МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
С. Л. АРТЕМЕНКОВ, С. М. СМОЛЬСКИИ
Утверждено
учебным управлением МЭИ
в качестве учебного пособия
для студентов
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по курсу
УСТРОЙСТВА ФОРМИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
РАДИОСИГНАЛАМИ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
СИНХРОНИЗИРОВАННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
Редактор В. М. БОГАЧЕВ
Scanned & DJVUed
Москва
1985
621.398
A 861
УДК: 621.373.12 (075.8)
Динамические свойства синхронизированных генераторов.
Артеменков С. Л., Смольский С. М./Ред. В. М. Богачев. — М.:
Моск, энерг. ин-т, 1985. — 84 с.
С помощью метода символических укороченных уравнений и аппа-
рата фазовой плоскости изучены стационарные синхронные колебания
в автогенераторах на инерционных усилительных приборах, проанализи-
рована локальная и глобальная устойчивость режимов, выявлены специ-
фические особенности установления колебаний, важные для формирова-
ния радиосигналов.
Пособие предназначено для студентов старших курсов радиотехни-
ческого факультета и может быть полезно аспирантам и инженерам,
занимающимся разработкой и исследованием устройств формирования
радиосигналов.
Материалы пособия написаны авторами совместно, отдельные резуль-
таты глав 1 и 2 получены с канд. техн, наук Богачевым В. М.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Минакова И. И.,
доктор технических наук Фомин Н. Н.
© Московский энергетический институт, 1985 г.
1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ СИНХРОНИЗИРОВАННЫХ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
1.1. Явление синхронизации. Классификация активных 
элементов автогенераторов
При подаче на автоколебательную систему, вырабаты-
вающую гармонические колебания с частотой сосв, внешнего
синусоидального сигнала частоты (овн~г(оСв/7 (г, q — неболь-
шие целые числа) может наступить явление синхронизации,
при котором частота колебаний отходит от частоты свобод-
ных колебаний ысв и «подстраивается» до точного дробно-
кратного равенства с частотой синхросигнала: (о=^(овн/г.
Если r=q~l, то говорят о синхронизации на основном
тоне. При г=1, <7>1 имеет место режим умножения частоты
(или синхронизации на гармонике), а при r> 1, 7—1 —деле-
ния частоты (синхронизации на ультрагармонике). Режим
синхронизации реализуется не для любых расстроек Дю =
= Ювн—rfUzelq, а лишь в некоторой (часто весьма узкой) об-
ласти, называемой областью синхронизма Дюс. Вне ее син-
хронные колебания теряют устойчивость, и наступает режим
биений, или асинхронный режим [1, 2]. Полоса синхронизма
зависит от структуры схемы, режима и мощности внешнего
синхросигнала Рвн. Чем больше Рвн, тем шире полоса Дюс-
Синхронизированные автогенераторы (АГ) широко при-
меняются для создания радиотехнических устройств различ-
ного назначения. С помощью синхронизации мощного АГ ма-
ломощным высокостабильным по частоте сигналом (например,
с кварцевого АГ) можно получить мощный стабильный
возбудитель передатчика. Явление синхронизации можно ис-
пользовать для деления и умножения частоты, для синтеза
сетки частот, в системах когерентно-импульсной радиолока-
ции, для эффективной фильтрации радиосигналов, для час-
тотной селекции близко расположенных по частоте сигналов,
для запоминания частоты радиоимпульсов, для повышения
эффективности обнаружения автодинных радиолокационных
3
систем, для создания ансамблей автогенераторов и т. д. [1—7].
Первые теоретические исследования синхронизации АГ на
электронных лампах были основаны на широко используемом
сейчас подходе — принятии эквивалентной электрической схе-
мы устройства (т. е. математической модели) и составлении
с последующим решением дифференциальных уравнений для
мгновенных значений сигналов. На этом пути возникают
трудности, связанные, во-первых, с нелинейностью этих урав-
нений (автоколебательная система принципиально нелиней-
на) и, во-вторых, с высоким порядком уравнений: даже для
простейшего одноконтурного АГ дифференциальное уравне-
ние имеет второй порядок.
В системах с узкополосными (т. е. высокодобротными)
частотно-избирательными звеньями, когда при различных воз-
мущениях изменения амплитуды и фазы высокочастотных
колебаний оказываются медленными, существенно упростить
анализ удается при использовании метода медленно меняю-
щихся амплитуд, введенного Б. Ван-дер-Полем [12] и строго
обоснованного Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.
На основе этого метода от уравнений для мгновенных значе-
ний переходят к так называемым «укороченным» дифферен-
циальным уравнениям для амплитуды и фазы. Порядок уко-
роченных уравнений снижается по сравнению с исходными,
что облегчает анализ.
Определенным шагом вперед на пути исследования АГ,
существенно облегчающим методику составления укорочен-
ных уравнений для квазиконсервативных систем, явилась
разработка С. И. Евтяновым метода символических укоро-
ченных уравнений [9, 10]. Метод позволяет получить укоро-
ченные уравнения для комплексных амплитуд сигналов, ис-
пользуя привычные для радиоинженеров упрощенные (уко-
роченные) выражения символических иммитансов вблизи
основной частоты колебаний. При таком подходе активную
часть АГ (усилительный прибор) надо характеризовать не
статическими вольт-амперными характеристиками (описыва-
ющими поведение мгновенных значений сигналов), а усред-
ненными за период колебаний параметрами. Поэтому иссле-
дование автоколебательных систем (в том числе синхронизи-
рованных) разбивается на два этапа. Сначала решается фи-
зическая задача анализа формы выходного сигнала (скажем,
тока) активного элемента (АЭ) при воздействии на входе
управляющего сигнала большой амплитуды с последующим
гармоническим анализом сигналов и выделением усреднен-
4
них по первой гармонике параметров АЭ. Затем составля-
ются символические укороченные уравнения системы для
основных гармоник сигналов и решается теоретико-колеба-
тельная задача количественного или качественного анализа
уравнений.
Вторая задача обычно включает три ступени возрастаю-
щей сложности. Сначала проводится изучение стационарных
колебаний, которые описываются нелинейными алгебраичес-
кими или трансцендентными уравнениями, а также зависи-
мость колебаний от параметров системы и режимов АЭ. Да-
лее исследуется устойчивость стационарных режимов при
малых отклонениях, для чего нелинейные укороченные урав-
нения линеаризуются и анализируется устойчивость характе-
ристического полинома. И наконец, переходят к изучению
глобальной устойчивости режимов (поведению при больших
отклонениях от стационарных значений) на основе нелиней-
ных дифференциальных уравнений. В настоящем пособии
рассмотрены все указанные ступени применительно к синхро-
низированным АГ.
Широкое внедрение в устройства формирования радио-
сигналов новых АЭ — высокочастотных полупроводниковых
диодов, полевых и биполярных транзисторов и их комбина-
ций — и использование их вплоть до СВЧ диапазона привело
к необходимости переосмысления прежних результатов. Дело
в том, что новые АЭ по сравнению с электронными лампами
обладают существенно новыми свойствами, являются сугубо
нелинейными и инерционными, что отражается в усложнении
их моделей.
Для удобства исследования АЭ, используемые в АГ, раз-
делим условно на четыре группы.
К первой группе отнесем такие АЭ, которые можно пред-
ставить нелинейным безынерционным двухполюсником (на-
пример, туннельный диод на низких частотах) с колебатель-
ной характеристикой h(U) (рис. 1.1,а). Эти АЭ можно ха-
рактеризовать по высокой частоте единственным веществен-
ным параметром, скажем, крутизной колебательной харак-
теристики Si(U) =h(U)/U, т. е. усредненной по первой гар-
монике крутизной. АГ (в том числе и синхронизированные)
на АЭ этой группы изучены наиболее полно.
Ко второй группе будем причислять АЭ, представимые
инерционным двухполюсником (ЛПД, клистроны, диоды
Ганна и т. д.). Хотя эквивалентная схема этих АЭ соответ-
ствует рис. 1.1,а и они характеризуются по высокой частоте
5
по-прежнему единственным параметром, он является уже
комплексным: (U) =Л([7)/f7, поскольку для инерционного
АЭ фазы первых гармоник тока h и напряжения С не оди-
наковы.
Ясно, что вопрос о том, к какой из двух групп отнести
данный двухполюсный АЭ, должен рассматриваться с учетом
диапазона частот АГ. Так, туннельный диод вплоть до корот-
в;
I.
г)
У
Рис. 1.1. Эквивалентные схемы двухполюсного (а), че-
тырехполюсного (б) и многополюсного (в) активных
элементов и схема трехвходового АЭ (г)
ких волн можно считать безынерционным, т. е. относить его
к 1-й группе. В СВЧ диапазоне инерционность его существен-
на, т. е. он относится к группе 2.
Усилительные приборы, представимые четырехполюсником
(рис. 1.1,6), будем относить к третьей группе*. АГ на АЭ
* На рис. 1.1,6 входное напряжение обозначено, как это принято
в теории транзисторных АГ [10], через U, а выходное, действующее на
колебательной системе, — через UK.
6
этой группы изучены слабее предыдущих, хотя в последние
годы разработан общий подход к их анализу и выявлены
качественные особенности автономных режимов [10]. Труд-
ность исследования обусловлена здесь тем, что выходное на-
пряжение #к на высокодобротной избирательной системе, от-
носительно которого составляется укороченное уравнение,
может не совпадать с напряжением С, от которого зависят
параметры АЭ. При нелинейной входной цепи АЭ связь меж-
ду О и Гк оказывается нелинейной (а порой и дифференци-
альной), что существенно усложняет анализ. Указанное об-
стоятельство может приводить к необычным процессам, в том
числе к сингулярной неустойчивости [10].
Наконец, к последней группе отнесем многовходовые АЭ,
имеющие более двух высокочастотных входов (рис. 1.1,в).
Такие АЭ состоят, как правило, из комбинации более прос-
тых. Для примера на рис. 1.1,г приведен вариант трехвходо-
вого АЭ, используемый для построения синхронизированных
АГ. Генераторы на многовходовых АЭ только начинают изу-
чаться и в настоящем пособии не рассматриваются.
1.2. Укороченные дифференциальные уравнения
При получении общих уравнений синхронизированных си-
стем представим активный элемент четырехполюсником
(рис. 1.1,6). Будем, как обычно, считать, что колебательная
система АГ обеспечивает синусоидальность входного и и вы-
ходного ик напряжений, а комплексные амплитуды первых
гармоник входного /Вх и выходного /вых токов связаны с Д
и С7К системой усредненных по первой гармонике У-пара-
метров
/вх = Уц/7У12Дк,
(1.1)
/вых= Уг1£7 -)- Y^IJ к,
которые в общем случае комплексные и нелинейные. Систе-
ма (1.1) описывает АЭ третьей группы (четырехполюсник).
Для инерционного двухполюсника (группа 2) Уц=У12=
= У22=0, а У21 — комплексная функция. В безынерционном
двухполюснике (группа 1) У21 — вещественная функция. По-
этому система (1.1) является общей для всех рассматривае-
мых АЭ.
Обычная трехточечная схема АГ и эквивалентная ей схе-
ма с идеальным трансформатором представлены соответ-
ственно на рис. 1.2,а и 1.2,6. Элементы У1—У4 составляют
7
обобщенную трехточку (элемент Уд обеспечивает фазирова-
ние [10, 11]). Элементы схемы с идеальным трансформато-
ром — проводимости рассеяния z/„ и контура Ук и коэффи-
циент трансформации kr — связаны с элементами трехточки
соотношениями
Синхронизирующий сигнал может вводиться во входную цепь
(7?вн на рис. 1.2) или в выходную: параллельно контуру ис-
Рис. 1.2. Трехточечная схема синхронизированного автогене-
ратора на четырехполюснике (а) и эквивалентная ей схема
с идеальным трансформатором (б)
точником тока /вн (рис. 1.2) или в ветвь контура источником
ЭДС, что эквивалентно.
Для анализа воспользуемся методом символических уко-
роченных уравнений С. И. Евтянова [9, 10], для чего необхо-
димо «укоротить» символический иммитанс Ук(/(о) относи-
тельно некоторой опорной частоты too, близкой к частоте
колебаний. Ориентируясь на рассмотрение синхронизации на
основном тоне, проведем это укорачивание обычным обра-
зом [10], после которого иммитанс будет зависеть от сдвину-
того оператора /(со—(Оо)=Р, воздействующего на медленно
меняющиеся амплитуды и фазы сигналов.
Рассмотрим эквивалентную схему рис. 1.2,6. Активный
элемент, находящийся слева от штриховой линии, описы-
вается по первым гармоникам сигналов системой (1.1). Для
8
цепи обратной связи (справа от штриховой линии) с источ-
ником тока /вн система уравнений в У-параметрах имеет вид
1 к,
(1-3)
/вых =—kiyjj + [Ук(р) +^2iT/Jt7 к-\-1 ВН-
Исключая из (1.1) и (1.3) токи/вх и /Вых, получим укорочен-
ные уравнения в символической форме:
(1-4)
УбГк+/вн = У/к(р)бГк,
где #=#к/#=(Уп+г/<,)/(У12—&тгл,)= —1/йос —функция, об-
ратная коэффициенту обратной связи йос АГ;
• (Уп-^Уд)(Уг1-Мд)
У= у11 + ,а	о-5)
выходная проводимость всей схемы, пересчитанная к точкам
подключения колебательной системы; У'к= Ук+£2ту<, — про-
водимость контура, вычисленная в режиме короткого замы-
кания на входе АЭ.
По предположению, напряжения u(t) и uK(t) близки к
гармоническим:
u(t) = Re{t7 ехр[/ (сМ+ф)]},
«к (0 = Re {t/к ехр[/ ((Овн^+ф) ]},
где t/K, U, ф, ф — медленно меняющиеся функции времени.
В стационарном синхронном режиме -со—(овн (что учтено в
записи сигналов), а в переходном режиме отличие со от ыВн
определяется производными от фаз ф и ф. Комплексные ам-
плитуды напряжений и внешнего тока гвн, записанные отно-
сительно частоты укорачивания (о0> имеют вид
&K=UKe*u^\ $=Ue^‘+*\ /вн=/вне*‘,	(1.6)
где Z=Wbh—®о. Подставляя (1.6) в (1.4) и применяя теорему
смещения операционного исчисления, получим
UKe”=X(E, U)Ue*,	(1.7)
Y(E,U)UKe”+IBH=Y'K(p+jb)UKe” 1 (1.8)
В системе (1.7), (1.8) учтено, что усредненные У-параметры
АЭ и, следовательно, комплексные функции /Ф и Y зависят
не только от амплитуды входного напряжения U, но и от
напряжения смещения Е. При фиксированном смещении, соз-
9
даваемом источником начального смещения Е„, всегда Е=ЕН,
и аргумент Е функций $ и У можно не учитывать. При на-
личии автосмещения в цепи, скажем, общего электрода
(рис. 1.3) к системе (1-7), (1.8) надо добавить еще одно
уравнение, полученное из рис. 1.3:
Еи=Е+/общ(Е, U)/Yo6w.(p),	(1-9)
где /общ — постоянный ток, текущий через цепочку автосме-
щения с символической проводимостью УОбщ(р); p=ja> — опе-
ратор, действующий на медленно меняющиеся постоянные
составляющие сигналов.
Система общих укороченных уравнений (1.7) — (1.9) вклю-
чает фактически 5 уравнений, так как уравнения (1.7), (1.8) —
Рис. 1.3. Эквивалентная
схема цепи автоматиче-
ского смещения
комплексные. Эта система описывает установление пяти неиз-
вестных задачи: амплитуд U, UK, фаз ср, ф и напряжения
смещения Е. При получении ее мы не учитывали зависимость
У-параметров и /общ от выходного напряжения UK, что позво-
ляет использовать (1.7) — (1.9) только для недонапряженно-
го режима [11].
Для АГ на инерционном двухполюснике система упро-
щается, так как здесь Уц = У12=У22=0, напряжения и и ик
совпадают. В результате из (1.8) имеем
Г(Е, U)Ue”+IBH=Y'K(p+jb)Ue”, (1.10)
где Y(E, U)=Si(E, U) — Y2i — комплексная крутизна по пер-
вой гармонике. Для безынерционного двухполюсника Si — ве-
щественная функция.
Ясно, что в случае, когда для АЭ третьей группы пре-
небрегают зависимостью Уи и У12 от режима (что всегда
делают при анализе АГ на электронных лампах), уравне-
ние (1.7) становится тривиальным и АГ описывается урав-
10
нениями (19), (1 10) Поэтому в этих условиях АЭ сводится
по существу к двухполюснику.
Рассмотрим теперь случай синхронизации источником
ЭДС во входной цепи Как можно показать, для получения
уравнений цепи обратной связи в этом случае можно исполь-
зовать уравнения (13), если заменить в них О на О—Ёв№,
Дк на С\—Ё,т1кт и приравнять /вн нулю В результате по-
лучим
1ък^=У<Ю ktyjj к,
(1-11)
—/вых=— kTy^+Y'KGK— YKEBB/kT
Комбинируя, как и прежде, (1.11) и (1.1), вводя комплекс-
ные амплитуды напряжений по (16) и применяя теорему
смещения, получим укороченные уравнения в виде
ик^=Я(Е, U)Ue*,
(1 12)
К(Е, U) Uк еЛ’—Ук(/Л)Emlkv= Y'K(p+jX) Uk#9.
Здесь принято, что амплитуда внешнего сигнала постоянна,
т. е. воздействие оператора р на Ввн равно нулю:
Ук (р+/Х) Ев„= Ук (/А) Евн.
Сравнивая системы (1.7), (1.8) и (1.12), видим, что они
во многом схожи, однако в (1.12) член с Евв имеет коэффи-
циент, зависящий от расстройки частот автоколебаний и син-
хросигнала. Это обстоятельство приводит к различиям свойств
АГ, синхронизированных со стороны входа и выхода, которые
изучаются в гл. 2.
1.3. Уравнения стационарного синхронного режима
Уравнения стационарного режима находятся из общих
укороченных уравнений при р—0 и имеют вид для синхро-
низации источником тока:
UK=N(E, U) U,
Ф=фос+ф,
{G(E, U)—Ув(Х)}17к=— /вн соэф,	(1.13)
{В(Е, U)—Ум(Х)}//к=/вн81пф,
. Еи=Е-\-/о6щ (Е, и)ЁОбщ,
где фос= —Ф?»—фаза коэффициента обратной связи; N= |,
G = ReK, B = JmK, Ув=КеУ'к, Ум=,1ш У'к; /?общ — активное
сопротивление цепи автосмещения. Для случая фиксирован-
11
ного смещения, который в основном рассматривается далее,
систему (1.13) можно свести к двум уравнениям относитель-
но U и ср:
{G(U) — Ув (X) }А ((7) (7=—Ли cos ср,
(1.14)
{В (U)-Ум (X) }N (U) U=/вн Sin ф.
После нахождения из (1.14) стационарных значений U и ср
из (1.13) можно найти UK и ф.
Для двухполюсного АЭ функция N(U)= — 1ДТ и (1.14)
упрощается. В безынерционном АЭ 5((7)=0, что также об-
легчает анализ.
Уравнения (1.14) удобно анализировать на плоскости
амплитудно-частотных (АЧХ) U(к) и фазо-частотных (ФЧХ)
ср(Х) характеристик. Уравнение АЧХ находится из (1.14)
после исключения ср (возведения в квадрат и суммирования):
[ G (U) - Ув (X) ]W2 (U) U2+[B (V) - Ум (X) ]2Л/2 (U) U2=/2ВН. (1.15)
Для получения уравнения ФЧХ надо задаться функциями
G(U), B(U), N(U) и исключить из (1.14) амплитуду U.
Уравнения (1.13) могут иметь несколько решений, часть
из которых неустойчивые. Для анализа локальной устойчи-
вости необходимо получить характеристическое уравнение,
к чему мы теперь переходим.
1.4. Общее характеристическое уравнение
О локальной устойчивости состояний равновесия нелиней-
ной динамической системы можно судить по поведению ли-
неаризованной системы. Для простоты рассмотрим сначала
случай фиксированного смещения. Поскольку фаза ф в диф-
ференциальные уравнения системы (1.7) — (1.9) не входит,
перепишем (1.7) в виде
JJK=N(E, U)U,	(1.16)
ф=Ф~фос
и будем далее использовать при анализе уравнение (1.16).
Придадим величинам U, UK, ср малые приращения отно-
сительно стационарных значений* (7к={£/к]+е, £7^=[£7Ц-т],
Ф = [ф]-|-£ и разложим функции UKe№, NU, YUK^№ в ряды
* Далее для простоты записи значения переменных и функций, вы-
численные в состояниях равновесия, будут заключены в квадратные
скобки.
12
Тейлора в окрестности стационарного режима. Пренебрегая
малыми второго и высшего порядков, получим
UK^=[t/Ke-]+M {₽+/[ U&},
NU=[NU]+[N+UdN/dU]^,
YU^=[YU^]+[^]{[Y]&+[UKdY/dU]^+j{UKY]l}.
Подставляя эти разложения в уравнения (1.8), (1.16) и ис-
ключая е, имеем
{([У]-У^+<Ш^]}ПНЧ/([У]-У^)^=0,
где n=(UIN) (dN/dU) — параметр, отличие которого от нуля
обусловлено зависимостью N (т. е. | кос| ) от амплитуды. Раз-
деляя здесь действительные и мнимые части, найдем общее
характеристическое уравнение как условие нетривнальности
решений линеаризованной системы:
{[ G]-Ув (р , А)} (1 +«) +[ U ] Ум (р, X) - [В J
{[В]—Ум (р, X)} (1 +п)+[ и ^-1 [G]-yB (р, X)
= 0. (1.17)
Для АГ на четырехполюсных АЭ, параметры Уи и Yt2 кото-
рых не зависят от режима, а также для АГ на инерционных
двухполюсниках характеристическое уравнение (1.17) упро-
щается и сводится к найденному ранее:
\[G]-YB(p,k)+[UdG/dU]	Ум(рД)-[В] I
|[В]—Yu(p, k)+[UdB/dU]	[С]-Ув(рД) J	'
Это уравнение с учетом новых обозначений совпадает с по-
лученным для ламповых схем Г. Д. Шеманаевым.
Характеристическое уравнение (1-17) получено для слу-
чая синхронизации внешним током в выходной цепи, но спра-
ведливо и для синхронизации со стороны входа. Математи-
чески это следует из сходства укороченных уравнений для
этих случаев, а физически из того факта, что при возмуще-
ниях режима амплитуда синхровоздействия не меняется,
т. е. она исключается из уравнений в вариациях.
При наличии в схеме АГ автосмещения процедура ли-
неаризации проводится по аналогии с [10] и характеристичес-
кий определитель будет иметь размерность 3X3.
13
Определим порядок характеристического уравнения (1.17).
Ясно, что старший член уравнения содержится в выражении
({[G]-Ув(р, Х)}2+ {[В]-Ум(р, X)}2) (1 +п) =
= (1+п)|(У]-У'к(р+А)|2.	(1.19)
Поскольку У'к является отношением полиномов по р, то,
обозначая через пк максимальную степень р в числителе или
знаменателе У'к (где степень больше), находим, что порядок
характеристического уравнения равен 2/гк. При использова-
нии цепи автосмещения порядок, как и в автономном АГ,
возрастает [10]. В этом случае характеристическое уравнение
находится по аналогии с [10].
Общее характеристическое уравнение (1.17) позволяет
определить на комплексной плоскости месторасположение
характеристических корней. При нахождении этих корней в
левой полуплоскости исследуемый стационарный режим ло-
кально устойчив. Потеря устойчивости имеет место при по-
падании одного или нескольких корней в правую полупло-
скость, что может происходить по-разному.
1.	Если при изменении параметров корень переходит в
правую полуплоскость через бесконечно удаленную точку,
то этому соответствует переход через нуль коэффициента при
старшем члене характеристического уравнения. Как видно
из (1.19), в нашем случае это происходит при изменении
знака 1+«. Границу устойчивости 1+п=0 мы далее обозна-
чаем границей L, а область, ограничиваемую ею (т. е. область
l+«<0), называем областью сингулярной неустойчивости.
Такое название дано потому, что при 1+«-Н) дифферен-
циальное уравнение задачи становится сингулярным, т. е.
имеет малый коэффициент при старшей производной. Если
АГ переходит в режим синглярной неустойчивости, то выра-
батываемые колебания оказываются модулированными по
амплитуде и частоте, причем в периоде самомодуляции име-
ются как участки медленного изменения амплитуды, так и
быстрого (почти скачкообразного). Этот режим обычно на-
зывается «особой» самомодуляцией [10].
2.	Потеря устойчивости может происходить и за счет пе-
рехода в правую полуплоскость вещественного корня, дви-
гающегося при изменении параметров по вещественной оси
через начало координат. Это соответствует переходу через
нуль свободного члена bm характеристического уравнения
bopm+bipm-i+ ... +^m=o.
14
Границу устойчивости bm—0 будем обозначать Q, а область
bm<ZO называть областью статической неустойчивости [10].
Критерий статической устойчивости bm>0 не зависит от ди-
намических параметров системы и выражает градиентные
свойства функций, находящихся в левых частях уравнений
стационарного режима. Это позволяет дать этому критерию
наглядную геометрическую трактовку. О знаке bm можно су-
дить по взаимному расположению поверхностей (или линий),
задаваемых уравнениями стационарного режима. Для авто-
номных АГ это годографы АЭ и колебательной системы, диа-
граммы срыва и смещения [10] и т. и. Границе Q отвечают
точки соприкосновения указанных кривых.
Для синхронизированных АГ условию статической устой-
чивости можно дать наглядную геометрическую трактовку
на плоскости АЧХ или ФЧХ системы. Для простоты выкла-
док изучим случай АГ на двухполюснике.
Рассмотрим выражение для свободного члена характери-
стического уравнения, которое находится из (1-18) при р=0:
^=[G-yB(X)]2+[B-yM(X)]2+IG-yB(X))t/	+
ои
+[В-УМ(Л)](/^- .	(1.20)
ои
Обратимся теперь к уравнению (1.15) АЧХ, задающему кри-
вые G(X), в котором для двухполюсника надо положить
A(G) = 1. Продифференцируем (1.15) по U, считая X функ-
цией U:
. (1 21)
+[В-У.(ЧГ+ЧВ-Г«(М1 (g •£)-<>.
В точках, где касательные к АЧХ вертикальны, dk/dU=0, и
из (1.21) находим
(G-УВ)2+(О-Ув) U	(В-Ум)2+ (В—Ум) U =0.
ои	ои
Сопоставляя это условие с (1.20), заключаем, что в точках,
где АЧХ имеют вертикальные касательные, статическая
устойчивость синхронного режима теряется, так как свобод-
ный член bm характеристического уравнения обращается в
нуль. Этот же вывод справедлив и для ФЧХ: в точках,
где dX/dq> = 0, коэффициент bm=0.
15
3.	Последним из наиболее типичных случаев потери ло-
кальной устойчивости является переход в правую полупло-
скость двух (или нескольких пар) комплексно-сопряженных
корней. Это происходит при нарушении всех остальных (кро-
ме boZ>O, bmS>0) условий устойчивости характеристического
полинома. Такой тип неустойчивости назовем циклической
неустойчивостью. Такое название связано с тем, что при этом
в фазовом пространстве системы возникает предельный цикл
(или несколько циклов), движение по которому соответствует
периодическому изменению амплитуд и фаз сигналов. Гра-
ницу области циклической неустойчивости будем обозначать
буквой М.
1.5. Синхронизация одноконтурного генератора
на безынерционном двухполюснике
Укороченный иммитанс одиночного контура имеет вид [10]
Y'K(p)=GK(\+pT),
где GK и T=2Q/ao — резонансная проводимость и постоянная
времени контура; Q — его добротность В одноконтурном слу-
чае система укороченных уравнений, полученных из общего
(1.10), имеет вид
G (U) Ge^+7BH = GK (1+рТ+jkT) Ue*
где G (U) = ReK — крутизна по первой гармонике.
Выделяя здесь действительные и мнимые части, получим
dU GK-G(U) /вн
т^+и —— = 5? cos<f’ <1-22)
TU dt + A TU = — G^ sin	(1.23)
Для количественного анализа уравнений необходимо конкре-
тизировать функцию G(G). При классическом рассмотрении
задачи синхронизации [12] статическую характеристику зави-
симости выходного тока АЭ от входного напряжения аппрок-
симируют полиномом третьей степени. В этом случае коле-
бательная характеристика A(G) также определяется поли-
номом третьей степени и, следовательно, средняя крутизна
G(G) является квадратичной функцией амплитуды.
Классическая кубичная аппроксимация использовалась на
заре нелинейной радиотехники для описания качественных
сторон явления синхронизации. Для инженерных расчетов
эта аппроксимация часто является неприемлемой. Сейчас,
16
например, теория автогенераторов, работающих в режимах
больших амплитуд, в большинстве случаев [11] строится на
основе кусочно-линейной аппроксимации характеристик, при
которой G(U) оказывается сложной функцией амплитуды.
Для многих современных генераторных приборов (например,
клистрона, магнетрона, лавинно-пролетного диода) понятие
статической характеристики вообще лишено смысла и анализ
генераторов на них ведется с помощью рассчитанных или
снятых экспериментально зависимостей G(U). Ниже рас-
смотрение проводится на основе линейной аппроксимации
функции G(t7), привязанной к точке автономного режи-
ма Uo: *
G(l/) = G(l/0)+^M).	(1.24)
Для использования принятой аппроксимации (рис. 1.4) необ-
ходимо предварительно определить амплитуду автономных
Рис. 1.4. Форма аппроксимации не-
линейности активного элемента
колебаний Uo из уравнения G(Go)=GK, а затем значения
функции G и ее производной в точке Uo.
Подставляя формулу (1.24) в уравнения (1.22), (1.23)
и учитывая, что G(Uo) = GK, найдем
U dGg ...	. Дн
-5;cos<P’
U XT = —7г sin<p.
(1-25)
Для удобства обсуждения полученных результатов даль-
нейший анализ будем проводить в координатах, нормирован-
ных к параметрам автономного режима. Для этого введем
нормированную амплитуду синхронных колебаний a=U/Un,
приведенную постоянную времени контура с учетом прово-
димости АЭ Г =—T/{(Uo/GK)(dGo/dU)}, нормированную рас-
* Индексом «О» снизу обозначаются далее функции, вычисленные в
автономном режиме, т. е. при /вн = 0.
17 •
2—2377
стройку частот £=Х7’/ и нормированную амплитуду синхро-
сигнала F= — (/вн//о)/{(^о/бк) (dGo/dU)}, где I0 = GKU0 —
значение первой гармоники выходного тока в автономном ре-
жиме. В этих координатах уравнения стационарного син-
хронного режима имеют вид
а(а—l) = Fcosq>,	(1-26)
аЕ=—F sin ср.	(1-27)
Уравнения АЧХ и ФЧХ вытекают из (1.26), (1.27) после
исключения ср или а:
АЧХ	а2(а—1)2+а2^2=/*’2,	(1.28)
ФЧХ	V—Stgcp—Fsin<p=0.	(1.29)
Характеристическое уравнение системы находится из об-
щего (1.18) и имеет вид
T^+blP+b2=0,
где
bt = Т{2 [G (U)IGK - 1] + [U/GK] (dG/dU)},
G(U) 1[G(l/)	. U dGI
. GK ~~ч! GK ~ *+ GKdl/|+^T-
(130)
Входящие в (1.30) функции вычислены в точке стационар-
ного синхронного режима, устойчивость которого исследует-
ся. Чтобы перейти в (1.30) к выбранным ранее нормирован-
ным параметрам а и надо разложить функции в ряды
Тэйлора в окрестности стационарного автономного режима.
Проделав это, получим
Ua dG„
ь' = -т 5Г^<3а-2)’	О-З!)
/l/о dG„V
*2 = (ёГ JZ7J Ч- (a— l)(2a— 1)}.	(1.32)
По критерию Гурвица, устойчивость обеспечивается при
bi>0, Ь2>0. Поскольку dGo/dU<ZO (рис. 1.4), так как иначе
автономный режим неустойчив (10], условие 6i>0, опреде-
ляющее границу М циклической устойчивости, принимает вид
а>2/3.
Условие статической устойчивости Ь2>0 интерпретирует-
ся, как было показано выше, на плоскости АЧХ и ФЧХ как
условие вертикальных касательных. Поэтому построив гра-
ницу Q	-4
^2+(а—1) (2а—1 ) = 0,	(1.33)
18
мы найдем геометрическое место точек с вертикальными ка-
сательными на АЧХ и ФЧХ.
Перейдем к рассмотрению АЧХ, которые вместе с грани-
цами устойчивости М и Q показаны на рис. 1.5,а. Граница
М — горизонтальная прямая, a Q — эллипс. При F<0,25 АЧХ
Рис. 1.5. Амплитудно-частотные (а) и фазо-
частотные (б) характеристики синхронизиро-
ванного автогенератора на безынерционном
двухполюснике
состоят из двух ветвей: замкнутой эллипсовидной (располо-
женной вокруг точки автономного режима £ = 0, а=1) и
разомкнутой, лежащей ниже границы устойчивости М. При
iF=0,25 ветви сливаются и для Г>0,25 АЧХ состоит из одной
разомкнутой ветви.
2*
19
Введем следующие понятия: будем называть малыми та-
кие значения F, при которых устойчивость теряется на гра-
нице статической устойчивости Q, а большими — такие, при
которых срыв устойчивости происходит на границе цикличес-
кой устойчивости М. Как видно из рис. 1.5,а, границей между
малыми и большими силами является Е=0,325. При таком F
АЧХ касается эллипса Q в его вершинах.
При Е=0,314 АЧХ проходит через точки пересечения
границ М и Q. Если 0,314<Е<;0,335, то имеется интервал
расстроек 0,330,353, в котором существуют две устой-
чивые стационарные точки с одинаковой частотой и разной
амплитудой. В этом случае при перестройке АГ (или синхро-
сигнала) возможны гистерезисные явления и связанные с
ними скачки режимов. Однако для безынерционного АЭ об-
ласть гистерезиса чрезвычайно мала.
На плоскости ФЧХ уравнения границ М и Q имеют вид
М:	^(tg<p)/3,
Q:	S=(tg<p)/(2+tgM-
Граница М на плоскости £, ср — обычная арктангенсоида, а
Q приближается по виду к кривой £=—sin2cp (рис. 1.5,6).
При Е<;0,25 ФЧХ состоят из двух ветвей, одна из которых
похожа на арксинусоиду £=—sin ср, а вторая (неустойчи-
вая)— на арктангенсоиду £=tgq>. При Е>0,25 ФЧХ отхо-
дят от арксинусоиды, а при Е>0,353 ФЧХ не имеют точек
с вертикальной касательной, т. е. устойчивость теряется на
границе циклической устойчивости М.
Исследование локальной устойчивости еще не дает ответа
на вопрос о том, будут ли синхронные колебания устойчивы
для больших отклонений. Для ответа на него необходимо
рассмотреть нелинейные дифференциальные уравнения. Мы
будем это делать на основе аппарата фазовой плоскости,
суть которого вкратце сводится к следующему.
Перепишем систему (1.22), (1.23) в следующем виде,
перейдя к введенным выше нормированным параметрам:
T'daldt-\-a(a—1) =F cos <р,
T'ad(p/dt-]-al = —F sin<p.
Разделив эти уравнения друг на друга, имеем
da _ а [Г cos<p —а(а- 1)] .
dq> — Fsincp —	'***
Это уравнение от времени явно не зависит и определяет на
плоскости ср, а (фазовой плоскости) семейство некоторых
20
интегральных кривых. Каждая точка фазовой плоскости со-
ответствует определенному состоянию системы, а изменение
состояния во времени соответствует движению на фазовой
плоскости по некоторой фазовой траектории, совпадающей
с интегральной кривой уравнения (1.34).
Для построения фазовых траекторий качественно (без ре-
шения уравнений) разработан специальный аппарат [12].
Сначала находятся особые точки (1.34), в которых произ-
водная da/dtp не определена и знаменатель и числитель одно-
временно равны нулю. Сопоставляя (1.34) и (1.26), (1.27),
видим, что особыми точками (1.34) являются точки стацио-
нарного режима. Некоторые из этих точек могут быть устой-
чивыми (если в них &i>0, &2>0), а некоторые—неустойчи-
вые. Характер поведения фазовых траекторий вблизи особых
точек определяется их типом. На рис. 1.6 приведено разбие-
ние плоскости АЧХ на области с разным типом особых точек.
Устойчивые точки могут быть узловыми (УУ) или фокусными
(УФ), а неустойчивые — узлами (НУ), фокусами (НФ) или
седлами (С).
Построение фазового портрета удобно проводить методом
изоклин. Изоклины горизонтальных (ИГК) и вертикальных
(ИВК) касательных определяются из условий dajd<p=Q и
da/dy—>-оо соответственно:
ИГК	а=0, Fcoscp—а(а—1)=0,
ИВК	F sin ср+а£ = О.
” Главные изоклины (ИГК и ИВК) показаны на рис. 1.7,
относящемся к случаю F<0,25, £ = 0 (полный синхронизм).
Точки пересечения изоклин а, Ь, с являются точками стацио-
21
парного режима, показанными на рис. 1.5,а и б. Как следует
из рис. 1.6, точка с является седлом, а точки а и b — узлами.
Устойчивым является только режим а, поэтому синхронные
колебания оказываются глобально устойчивыми: в каком бы
месте фазовой плоскости не находилась начальная точка, ис-
ходящая из нее траектория обязательно приходит в точку а.
Рис. 1.7. Фазовый портрет синхронизи- Рис. 1.8. Фазовый портрет синхро-
рованного генератора на двухполюснике низированного генератора (5 =
(g=0; Д=0,2)	=0,1; Д=0,2)
Рис. 1.9. Фазовый портрет син-
хронизированного генератора в
режиме биений (цикл А, 5=0,4;
А=0,2)
Рис. 1.10. Фазовый портрет син-
хронизированного генератора для
больших внешних сил (5 = 0,5;
F=0,45)
При наличии небольшой расстройки (рис. 1.8) изоклины
искривляются, а седловая точка е подходит к устойчивому
узлу d. В целом же топологическая структура портрета ос-
тается прежней. При дальнейшем росте £ седло сливается
22
Рис. 1.11. Фазовый портрет син-
хронизированного генератора в
режиме биений (цикл Б, £=0,7;
У7=0.45)
с узлом (происходит это на границе статической устойчиво-
сти Q) и далее пропадает, а на плоскости возникает устой-
чивая траектория А (рис. 1.9), движение по которой соответ-
ствует режиму биений. Поскольку фаза через 2л повторяется,
плоскость а, ср можно свер-
нуть в цилиндр, и тогда
траектория А замыкается
(образовывая цикл), охва-
тывая фазовый цилиндр.
Важно, что областью при-
тяжения цикла А является
весь цилиндр, т. е. режим
биений устойчив глобально.
Потеря устойчивости на
границе М динамической ус-
тойчивости происходит ина-
че. Для больших F увели-
чение £ приводит сначала
к замене устойчивого узла
устойчивым фокусом (рис.
1.10). При еще большем рос-
те £ (фокус становится неустойчивым и вокруг него образует-
ся устойчивый цикл Б (рис. '1.11), движение ио 'которому
опять соответствует биениям (правда, другого типа). Этот
режим биений снова оказывается глобально устойчивым.
Достоинствами аппарата фазовой плоскости являются его
наглядность, простота использования, а также то, что он дает
возможность проследить полную картину движений при лю-
бых сочетаниях параметров и начальных условий.
2.	СИНХРОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ГЕНЕРАТОРАХ
НА ИНЕРЦИОННЫХ ДВУХПОЛЮСНИКАХ
2.1.	Аппроксимация нелинейности и исходные уравнения
Для инерционного двухполюсника крутизна по первой
гармонике является комплексной У((7) =б((7)+/В((7), и
наряду с функцией G(U) надо задавать и вид функции
В (U). Первые модели инерционных АЭ основывались на
введении так называемой чистой задержки т3: считалось,
что в цепи обратной связи (или в АЭ) имеется бездисперсная
23
линия задержки, в результате чего ток отстает от входного
напряжения по фазе на <рз=®тз. В этом случае
ll(U)=h(U) (COS (ОТз+jSin (ОТ3),
т. е. У(П) =li/O= [У (U)) (cos (отз+/ sin ®тз). В такой модели
функции G(U) = |У((/) | cos (от3 и B(U)=]t(U) |sin®r3 оди-
наково зависят от амплитуды, что оправдывает одинаковый
тип аппроксимации функций G и В, например линейную ап-
проксимацию, как в § 1.5:
G(U)=G(U0) + %2 (U—Uo),
au
B(U)=B(U0)+^ (U-Uo).	(2.1)
Для случая чистой задержки
В0/Оо= (dBJdU) KdGddU) = tg а,	(2.2)
где введено переобозначение а=®тз. Рассмотрим смысл па-
раметра а. Для автономного генератора G(t/o) = GK, B(G0) =
= (®св—(Oo)T'Gk, где (Осв — частота свободных колебаний АГ.
Поэтому Bo/Go=(®cb—®о)Г. Величину (®св—®0)Г можно
выразить через фазовую характеристику <рк(<о) контура:
((Осв—(o0)7'=arctg[(pK((OcB)]. Таким образом, а=фк((Осв). Ба-
ланс фаз АГ имеет, как известно [11], вид <psi+cpOc+(pK=2nn,
где <ps 1 и фос — фазы усредненной крутизны и коэффициента
обратной связи. Если срь1+фос=0 (автогенератор, как гово-
рят, сфазирован), то частота колебаний (осв = (оо, так как из
баланса фаз <рк = 0 (или 2лп). При <psi+<Poc¥=0 (расфазиро-
ванный АГ) фк¥=0, т. е. частота колебаний отличается от
собственной частоты контура, что уменьшает стабильность
частоты, ухудшает условия самовозбуждения и т. д. Таким
образом, введенный выше параметр а=<рк((Осв) =<рв1+фос
характеризует степень расфазирования АГ.
В современных инерционных АЭ характер зависимостей
G(U) и B(U) может быть самым разнообразным, и для них
модель с чистой задержкой не проходит. Однако вблизи от
стационарной точки функции G(U) и В(U) обычно гладкие,
и для них можно использовать линейную аппроксима-
цию (2.1). При этом для (2.1) отношения Bo/Go и
(dBa/dU)lldGoIdU) =tgа могут, вообще говоря, не совпадать.
Если комплексная крутизна Y содержит не зависящую от
амплитуды реактивность B=const, то соответствующие этой
В конденсатор или индуктивность (в зависимости от знака В)
можно отнести к контуру и свести задачу к безынерционному
24
двухполюснику. Если же зависимость В от U имеется (за
счет' ли чистой задержки, инерционности процессов в АЭ
и т.п.), т. е. а=И=0, то имеется расфазирование генератора,
поэтому параметр а и при аппроксимации (2.1) также свя-
зан со степенью расфазирования.
Укороченные уравнения синхронизированного однокон-
турного АГ на инерционном двухполюснике можно получить
из общих (1.10):
GK-G(t/) /вн
Т dt+ U------£------= COS<P’
dq> X TGK — В (U)
ти + и-----------5----—
at
*вн .
VKsin<P-
GK
Для выбранной аппроксимации (2.1) эти уравнения в нор-
мированных параметрах, введенных в § 1.5, имеют вид
1 T'da/dt-\-a(a—l)=Fcoscp,
I T'ad(f/dt-\-a[£,-\-(а—l)tga]=—F sin ср,
где, как и прежде, £=(<оВн—<йсв)Г/ — обобщенная расстрой-
ка частот внешней силы и автоколебаний. Уравнения стацио-
нарного режима вытекают из (2.3) при равенстве нулю про-
изводных:
а(а—l) = Fcoscp,	(2.4)
a^+a(a— l)tga=— Fsincp.	(2.5)
При <х=0 (2.4), (2.5) сводятся к (1.26), (1.27).
2.2.	Характеристическое уравнение и границы
локальной устойчивости
Характеристическое уравнение для рассматриваемого слу-
чая находится из общего (1.18) и имеет вид 7'2p24-6ip+i’2=0,
где
{ / G \ U dG у
= Т|2	— 1) +	(2.6)
/ G \( G	U dG \
Ьг - Igk “ 1 )Uk “ 1 + GK dU J +
, t В	\[ в	U dB\
+ Ьг-хт 7 -KT+ . .tl t (2.7)
\ GK	Д ик	uK	'
25
Для принятой аппроксимации функций G и В вырая^ения
(2.6), (2.7) в нормированных параметрах можно перецйсать
так:
Uo dGa
Ь1 = -Т-^-к^}(За-2),	(2.8)
b2= ( У {£*+£ (За—2) tg а+ (а-1) (2а-1) (1+tg2 а)}.
\ Ou du /
Сравнивая (2.8) с (1.31), (1.32), видим, что уравнение гра-
ницы М циклической устойчивости (а=2/3) не изменилось по
сравнению со случаем безынерционного АЭ. Выражение для
границы Q статической устойчивости зависит от а и стало
сложнее. Перед построением АЧХ и ФЧХ системы проведем
анализ выражения для Ь2. Граница b2=Q соответствует квад-
ратному по £ уравнению
g2+g (За—2) tg а+ (а-1) (2а-1) (1 +tg2 а) = 0, (2.9)
условие существования корней которого связано с положи-
тельностью дискриминанта: (tg2a—8)a2-|-12a—4>0. Сам ди-
Рис. 2.1. Положения границы устойчивости Q
при разных a
скриминант является квадратным трехчленом относительно а,
и его корни определяются так:
6 ± 2 /cos a
a*-2== 8-tg’a	(2.Ю)
При a=0 из (2.10) имеем ai=l, a2=0,5, т. e. граница Q
существует в области 0,5<a<;lj что видно из рис. 1.5,а.
26
При а=И=О область существования границы <2 по а расши-
ряется (рис. 2.1). При а<70°30' граница Q является замк-
нутой кривой (типа эллипса), а при а>70°30' — разомкнутой
(типа гиперболы). На рис. 2.1 границы Q показаны для слу-
чая а>0, при а<0 они будут симметричны относительно
оси а.
Для определения типов особых точек на плоскости АЧХ
надо наряду с границами устойчивости М и Q построить гра-
ницу D=Q, где D=b2t—4Т2Ь2 — дискриминант характеристи-
ческого уравнения. Выражение для D имеет вид
D=Т2^-	(За—2)tg(а-1) (2а—1)tg2а),
\GK dU ) {	4	)
а построенная по нему граница D=Q показана на рис. 2.2.
Как видим, при а=^0 в режиме полного синхронизма (£=0)
Рис. 2.2. Границы устойчивости и типы особых
точек, соответствующих стационарным синхрон-
ным режимам расфазированного генератора
область устойчивых узлов сильно сужается, а при £>0 она
практически пропадает. Здесь фазовые траектории вблизи
устойчивого режима будут иметь в основном спиралеобраз-
ный вид, поскольку особые точки являются устойчивыми
фокусами.
2.3.	Амплитудно-частотные и фазочастотные
характеристики
Уравнения АЧХ и ФЧХ находятся из (2.4), (2.5) исклю
чением <р и а соответственно:
АЧХ
а2(а—1)2+а2{£+ (а—1 )tg а} =F2,	(2.11)
ФЧХ	g2-£ (tg а-j-tg <р) —F(tg<p+tga)/y l+tg2<p. (2.12)
27
При а=0 отсюда вытекают уравнения (1.28), (1.29) для
безынерционного АЭ.
Проанализируем сначала (2.11). Для определения геомет-
рического места точек (ГМТ) экстремумов АЧХ продиффе-
ренцируем (2.11) по считая а функцией и положим
Рис. 2.3. Амплитудно-частотные (а) и фазочас-
тотиые (б) характеристики расфазироваииого
синхронизированного генератора
da/dg=0. В результате получим 5+ (а—l)tga=0. Поэтому
экстремумы АЧХ находятся на прямой, проходящей через
точку автономного режима 5=0, а = 1 с наклоном, опреде-
ляемым а. При а=0 экстремумы расположены на оси а.
28
Как было показано в гл. 1, точки пересечения АЧХ с гра-
ницей Q имеют вертикальные касательные, т. е. ГМТ АЧХ
с вертикальными касательными совпадает с Q.
АЧХ расфазированного генератора (для случая а=45°)
представлены на рис. 2.3,а. Как видим, они уже не являются
симметричными относительно оси а: максимумы устойчивых
ветвей смещены в область отрицательных значений расстрой-
ки, а неустойчивых — в область £>0. При некоторых зна-
чениях F, которые будем в дальнейшем называть «средними»
(например, при Е=0,65 на рис. 2.3,а), устойчивость с одной
стороны резонансной кривой определяется границей Q, а
с другой — границей М. Значения F, отделяющие области
малых и средних, а также средних и больших внешних сил,
будем обозначать соответственно FrPiI и FrPt г- Определим
значения Frp>1>z для а>0.
АЧХ, соответствующая Frp, i, проходит при малых а
(sina<0,33) через точку эллипса Q, имеющую вертикаль-
ную касательную (при sina<0,33 в этой точке а>2/3). ГМТ
с вертикальными касательными к границе Q имеет вид
g= (1-40/3) (14-tg2a)/tgа.	(2.13)
Решая совместно уравнения (2.9), (2.11) и (2.13), найдем
значения Frp, i при sina<0,33 (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Зависимость граничных значений амплитуды внешней силы
от степени расфазирования генератора
а,град	0	10	20	30	45	60	75	90
^гр,1	0,353	0,31	0,272	0,257	0,243	0,228	0,226	0,224
^*гр,2	0,353	0,37	0,47	0,64	1,23	2,88		
frp,3	0,314	0,347	0,385	0,445	0,58	0,855	2,53	
Если sin a>0,33 (т. е. а>19°30'), то граница устойчиво-
сти М лежит выше точки с вертикальной касательной гра-
ницы Q. Тогда АЧХ, соответствующая FrPi i, проходит через
точку пересечения границ М и Q (точку А на рис. 2.3,а),
29
ордината которой а=2/3, а абсциссу можно найти из урав-
нения (2.9) при а=2/3: g=f 1+tg2 а/3. Подставляя найден-
ное значение g и а =2/3 в уравнение АЧХ, найдем Frp t для
а>19°30' (табл. 2.1).
АЧХ, соответствующая FrP:2, проходит через точку гра-
ницы Q, лежащую в области g<0 и имеющую вертикальную
касательную (точка Б на рис. 2.3,а). Решая совместно урав-
нения (2.9), (2.11) и (2.13) для отрицательного g, найдем
значения FrP:2 (табл. 2.1).
Из сопоставления рис. 1.5,а и рис. 2.3,а видно, что в рас-
фазированном генераторе по сравнению с АГ на безынер-
ционном АЭ существенно увеличивается область гистерези-
са — область значений F и g, в которой существуют два
устойчивых участка АЧХ. Сверху эта область ограничена
значением FTp< 2, а снизу — значением F, которое мы назовем
iFrp, з, соответствующим АЧХ на рис. 2.3,а, проходящей через
точку В с координатами (—V 1+tg2 а/3, 2/3). Значение Ргр,з
легко вычислить из уравнения АЧХ (табл. 2.1). Итак, область
гистерезиса существует при Л-р, з<+<+гр, г и соответствует
значениям расстройки, приведенным для разных а в табл. 2.2.
Графики gi,2 и Frp, 1,2. з, соответствующих границам области
гистерезиса, от степени расфазирования генератора пред-
ставлены на рис. 2.4 (область гистерезиса заштрихована).
Как видим, при увеличении расфазирования генератора
(т. е. при росте а) область гистерезиса существенно расши-
ряется и может быть сравнимой с полосой синхронизма.
Таблица 2.2
Зависимость границ ?i и области гистерезиса и ширины ее от степени
расфазирования генератора
а, град	0	10	19	30	45	60
Si	—0,353	—0,41	—0,52	—0,65	—1,19	—2,78
Ь	—0,333	—0,339	—0,362	—0,385	—0,471	—0,66
> tfTrt1 II tfTrt1 1 tfT*	0,02	0,07	0,158	0,265	0,72	2,12
Отметим, что при отрицательных а АЧХ по отношению
к АЧХ при а>0 являются симметричными, поскольку урав-
30
некие (2.11) при замене а на —а и £ на —g остается преж-
ним. Поэтому результаты расчетов (табл. 2.1 и 2.2) и графи-
ки рис. 2.4 соответствуют и отрицательным а при замене
5 на —
Рис. 2.4. Зависимости граничных значений внеш-
ней силы и расстроек, соответствующих области
гистерезиса, от степени расфазироваиия генера-
тора. Область гистерезиса заштрихована
Перейдем к построению ФЧХ генератора. Для этого сна-
чала найдем на плоскости cp(g) уравнения границ устойчи-
вости и проанализируем их положение.
Уравнение границы М можно получить, подставив в (2.4),
(2.5) а=2/3 и разделив полученные равенства друг на друга:
, g=(tg(p+tga)/3.	(2.14)
31
Как видим, граница М представляет собой на плоскости
(g, ф) арктангенсоиду (рис. 2.3,6), сдвинутую по оси g
на (tga)/3.
Чтобы найти уравнение границы Q, продифференцируем
(2.12) по ф и положим ^/с?ф = 0. В результате имеем
(tg « + tg <р)(1 -tg «tg Ф)
— 2 + tg’tp — tg a tg <p
Положение границы Q показано на рис. 2.3,6.
ФЧХ для случая а=45° показаны на рис. 2.3,6. По срав-
нению со случаем а=0 (рис. 1.5,6) здесь кривые становятся
асимметричными и смещаются по оси ф вниз, причем сдвиг
равен 45°. С увеличением а сдвиг ФЧХ по оси ф увеличивает-
ся, а область гистерезиса растет. При отрицательных а ФЧХ
смещаются вверх и идут симметрично относительно начала
координат по отношению к ФЧХ с а>0.
2.4.	Полоса синхронизма генератора
Во многих технических задачах захваченный генератор
требуется спроектировать таким образом, чтобы обеспечить
заданную полосу синхронизма — область расстроек, в кото-
рой синхронный режим устойчив. Поэтому необходимо полу-
чить простые инженерные формулы для расчета полосы син-
хронизма и обсудить зависимость полосы от амплитуды F
и степени расфазирования генератора.
При малых F (/•'<!/%. 4) устойчивость определяется гра-
ницей Q, т. е. для вычисления полосы синхронизма надо ре-
шать совместно уравнения АЧХ (2.11) и границы Q (2.9).
Сделать это в общем виде трудно, поэтому для получения
расчетной формулы мы примем сначала допущение: будем
считать, что при малых F синхронный режим существует
вблизи режима автоколебаний, т. е. а«1. Тогда уравнение
АЧХ принимает вид
(a-l)2+[^+(a-l)tga]2=^,	(2.15)
а уравнение границы устойчивости Q запишется так:
„ 2a — 1	a — 1
—£tga+ —(l + tg’a) = O. (2.16)
Выражая теперь а из (2.16)
a=(l+tg2a+gtga)/[l+(g4-tga)2]
32
и подставляя это равенство в (2.15), получим квадратное
уравнение относительно £
g2( !—/72)_2£/72 tg а_^2( 1 4-tg2 а) = 0.
Решения этого уравнения определяют абсциссы точек пере-
сечения АЧХ с границей Q:
t F2 tg а ± VF* tg2« -К (1 — Z72)!! -Ь tg2a)
«1,2 = -------------;--=5--------------
1 — F2
Полоса синхронизма определится следующим образом:
;c = e,-;, = 2-aA-f, + ‘^ .	(2.17)
Для сфазированного генератора tga=0 и (2.17) сводится
к известной формуле
l^=2F/fT^F2.
Поскольку далее формулой (2.17) мы будем пользоваться
для F<ZFTVli и F2vp,l<(0,35)2=0,12 (см. табл. 2.1), то в (2.17)
можно пренебречь F2 по сравнению с 1:
gc=2/7/cosa.	(2.18)
Рис. 2.5. Зависимости полосы синхронизма захвачен-
ного генератора от F при малых внешних силах, рас-
считанные по точной (сплошная линия) и приближен-
ным (пунктир и штрих-пунктир) формулам
Зависимости полосы синхронизма от внешней силы, рас-
считанные по (2.17) и (2.18), показаны на рис. 2.5 пункти-
3-2377
33
ром и штрих-пунктиром соответственно. Область определения
этих кривых — 0<F<Frp, 1.
Расчет полосы синхронизма без вышеописанных упрощаю-
щих предположений производился следующим образом. За-
давалось значение расстройки £ и решалось квадратное отно-
сительно а уравнение (2.9). Полученные решения определяют
ординаты точек с абсциссой которые лежат на эллипсе
устойчивости Q, причем меньший корень соответствует неус-
тойчивой части границы. Далее для большего корня из (2.11)
вычислялось значение F, которому соответствует АЧХ, про-
ходящая через выбранную точку эллипса. Результаты расче-
та сведены в табл. 2.3. Теперь легко определить полосу син-
хронизма (ширину области устойчивости) для выбранного F
(табл. 2.4). Зависимости полосы синхронизма от F построены
на рис. 2.5 сплошными линиями на основе данных табл. 2.4.
Как видим, эти кривые достаточно близки к полученным из
упрощенных формул (2.17) и (2.18): максимальная погреш-
ность не превышает 19%.
Таблица 2.4
Результаты расчета полосы синхронизма генератора при малых
внешних силах и разных а
	F	0,05	0,1	0,15	0,2	F грт
	а=0	0,11	0,21	0,315	0,41	0,73
5с	а=30°	0,12	0,235	0,36	0,495	0,63
	а=45°	0,14	0,28	0,43	0,60	0,76
	а =60°	0,19	0,405	0,64	0,88	1,03
Перейдем теперь к вычислению полосы синхронизма при
больших внешних силах (КЖгр.г). Поскольку для этого
случая устойчивость определяется границей М, уравнение ко-
торой а=2/3, то, подставляя это значение в (2.11), найдем
искомую связь между F и g:
4,4/.	1 . V
.шмэ Ь.ч, —+ — £-------tga •
.эдс 81 ... '	'
34
Таблица 2.3
К расчету полосы синхронизма генератора при малых
внешних силах и разных а
а=30°
	5	—0,1	—0,25 —0,2	—0,15	—0,1	0	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
	F	0,275	0,221	0,187	0,136	0,092	0	0,082	0,124	0,162	0,19	0,218
	-				а=45°			*•*		J;
		—0,3	—0,2	—0,1	0	0,1	0,2	0,3			1 к >-
	F	0,242	0,158	0,08	0	0,066	0,13	0,178	0,227		
			( **		а=60°	Г -	г	g	с ? ~		,* 2
	6	—0,3	—0,2	—0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	
С0 СП	F	0,173	0,109	0,061	0		0,048	0,09	0,131	0,162	0,194	с 9
Решая это уравнение относительно g, найдем абсциссы точек,
соответствующих границе устойчивости:
t tga 1 ,/817»
Eu---Г ±-5-)/— I
и полосу синхронизма:
=?! - &=4(2Л9)
3 у 4
Как видим, при больших F полоса синхронизма не зави-
сит от а и вычисляется по простой формуле (2.19), которую
можно еще больше упростить, когда под корнем можно пре-
небречь единицей:
gc=3F.	(2.20)
Оценки показывают, что точность расчета полосы по (2.20)
не хуже 10% при F>0,5.
Обратимся к определению полосы при средних значениях
внешней силы. В этом случае устойчивость справа опреде-
ляется границей М, а слева — границей Q (если а>0).
Результаты расчета приведены графически на рис. 2.6.
Кружками на кривых обозначены границы между малыми,
средними и большими силами. Как видим, с увеличением
степени расфазирования генератора полоса синхронизма воз-
растает.
2.5.	Синхронный режим автогенератора с источником
воздействия во входной цепи
Рассмотрим для определенности АГ на инерционном двух-
полюснике. Уравнения стационарного режима получим из
общих уравнений (1.12), предполагая, что N не зависит от
режима:
(— — 1 t/=EBH(cos ф+XTsin ф);
\ ° к I
I---КТ \U=—EBn(sin <р—KTcoscp).
Воспользовавшись аппроксимацией (2.1), перепишем эту си-
стему в виде
a(a—1) = F (cos ф+v sin ф),	(2.21)
avg+a (a— 1) tg a=— F (sin ф—v cos ф),
(2.22)
гДея=-1/[^^1, v=(X-Xo)7’, F=(EBH/U0)g.
Ojj dU J
36
Сравнивая системы (2.21), (2.22) и (2.4), (2.5), видим,
что анализ синхронизации источником во входной цепи слож-
нее, чем источником в выходной цепи. В первую очередь это
связано с необходимостью введения дополнительного пара-
Рис. 2.6. Зависимости полосы синхронизма за-
хваченного генератора от амплитуды внешней
силы. Кружками обозначены границы между ма-
лыми, средними и большими силами
метра g и с наличием расстройки v в правой части уравнений.
Уравнения АЧХ и ФЧХ найдем из (2.21), (2.22), исклю-
чая соответственно ф и а:
а2(а—l)2+a2(gv+(a—l)tga)2=P(l+v!).	(2.23)
v’+v2 ((l+g)ctg у—tgq—	) +
l	COS*OC Sin ф J
+v Ifg2 sm-^-((p+“)- — g (1+tg a ctg ф) I —
[ cos2 a sin <p	)
—^g2(l 4~tg a ctg <p)2 sin <p = 0.	(2.24)
Характеристическое уравнение не зависит от способа под-
ключения внешней силы, поэтому, как и прежде, граница
устойчивости Л4 определяется на плоскости АЧХ уравнением
а=2/3, а граница Q — уравнением (2.9).
Перейдем к построению АЧХ. Для этого необходимо за-
даться параметром g. Учитывая, что при фиксированном сме-
щении обычно 5<g<20, примем £=10.
37
Определим сначала ГМТ с горизонтальными касательны-
ми, для чего продифференцируем уравнение (2.23) по v
и положим da(dv=0:
(a — 1) tg а
7	8 [1 - (Flag?] '	(2'25)
Как видим, экстремумы АЧХ лежат уже не на прямой, а на
линии, зависящей от амплитуды внешней силы. Поскольку
Рис. 2.7. Амплитудно-частотные (а) и фазочас-
тотиые (б) характеристики расфазироваииого ге-
нератора, сиихроиизироваииого источником во
входной цепи
отклонение от прямой наблюдается лишь при малых а (близ-
ких к асимптоте, определяемой уравнением F/(ag) = i), то
это должно сказаться лишь на положении экстремумов неус-
тойчивых ветвей характеристик.
38
На рис. 2.7,а приведены АЧХ для tga=l, рассчитанные
по (2.23). При малых внешних силах они, как и ранее, со-
стоят из двух ветвей: замкнутой, верхняя часть которой
устойчива, и разомкнутой неустойчивой. При возрастании F
ветви сливаются. Интересной особенностью АЧХ генератора,
захваченного источником во входной цепи, является то, что
они существуют не при всех положительных а. Из формулы
(2.23) видно, что АЧХ имеют горизонтальную асимптоту
aTV=Fjg и определены лишь при а>-агр. Физически это озна-
чает, что при возрастании расстройки амплитуда колебаний
стремится не к нулю (см. рис. 2.3,а), а к Е№
Если асимптота расположена выше границы устойчиво-
сти М (т. е. в нашем случае это имеет место при Е>20/3
или EBH>2t7o/3), то АЧХ устойчивы при любых расстройках
(если, конечно, граница является замкнутой, т. е. tg2a<8).
Фазовые характеристики представлены на рис. 2.7,6. Они
смещены по оси <р вниз на 45° и асимметричны относительно
нее. Отличительной особенностью ФЧХ является то, что при
Е>20/3 (или ЕВн>2£7о/3) устойчивые ветви имеют экстрему-
мы, а неустойчивые — нет. Теперь ветви ФЧХ, расположен-
ные во 2-м и 4-м квадрантах, устойчивы при любых значе-
ниях расстройки.
2.6.	Способ качественного построения АЧХ сложных
синхронизированных систем
Уравнение АЧХ синхронизированных систем можно пред-
ставить в виде
Ф(а, s, d.)=E2,	(2.26)
где, как и прежде, a, g, F — нормированные амплитуда син-
хронных колебаний, частотная расстройка и амплитуда син-
хросигнала; d, — совокупность параметров задачи. Для одно-
контурных систем функция Ф оказывается достаточно прос-
той, и (2.26) можно решить для разнообразных аппроксима-
ций нелинейностей G и В. Если в качестве АЭ использован
инерционный четырех- или многополюсник, то уравнение
(2.26) решается, как правило, только подбором или с при-
влечением ЭВМ. Вместе с тем можно предложить быстрый
и наглядный способ качественного построения АЧХ, суть ко-
торого в следующем.
Продифференцируем (2.26) по g, считая а(%):
da д Ф/d
dl~~ дФ/да '	<2,27)
39
Выражение (2.26), определяющее АЧХ, соответствует обще-
му решению дифференциального уравнения (2.27), описы-
вающего некоторую консервативную динамическую систему
первого порядка. Поэтому искомые АЧХ являются интеграль-
ными кривыми а(%) уравнения (2.27), которые можно по-
строить качественно с помощью аппарата фазовой плоско-
сти. Таким образом, для построения АЧХ необходимо найти
координаты особых точек системы (2.27), решив совместно
уравнения
определить тип этих особых точек, вычислив вторые произ-
водные функции Ф; провести на фазовой плоскости g, а ИГК
и ИВК, определяемые по отдельности из (2.28), и далее
построить качественно фазовый портрет (2.27), т. е. семейство
АЧХ. Количественная увязка между фазовыми траекториями
и АЧХ легко осуществляется далее: выбрав на траектории
удобную точку (например, на оси а), вычисляем из (2.26)
значение Г, соответствующее данной АЧХ. Рассмотрим при-
мер использования этого способа.
Для одноконтурного АГ на инерционном двухполюснике
уравнение АЧХ имеет вид (2.11), т. е.
Ф(щ g) = a2(a-D2+a2[g+(a-l)tga]2.	(2.29)
Найдем производные Ф:
^=2a2U+(a-l)tga],	(2.30)
~ =2a[g2+g(3a-2)tga+(a-l)(2a-l)(l+tg2a)].	(2.31)
аа
Отсюда видно, что любая точка оси g, где а=0, является
особой для системы (2.27). Приравнивая (2.30) и (2.31)
нулю, находим координаты особых точек:
f a.i=l,	(аг=\/2,	(аз=0,
I gi=0;	I g2= (tga)/2;	[g3=tga.
Эти точки показаны на рис. 2.8 для tga=l.
Поскольку система (2.27) является консервативной, то ее
простые особые точки могут быть или седлом (если Д<0),
или центром (если А>0), где
( д2Ф )2 ( д*Ф д2Ф
Д = ~ \д$да) +	~д& '
40
Найдя вторые производные с учетом того, что они вычисля-
ются в особых точках, получим А=4п2(4п—3). Поэтому точ-
ка 1 (где а=1 и А = 4>0)—центр, точка 2 (А=— 1) —
седло, а в точке 3 А = 0, т. е. порядок ее выше первого.
Из (2.30) видно, что ИГК является прямой линией, по-
строить ее легко, соединив особые точки. ИВК является бо-
лее сложной кривой, как видно из (2.31), но строить ее все
равно потребуется, так как она является границей статичес-
Рис. 2.8. АЧХ генератора на инерционном
двухполюснике, построенные качественным
способом
кой устойчивости. Уравнение (2.31) является квадратным
относительно %, решив которое, построим ИВК (рис. 2.8).
Теперь легко построить качественно фазовый портрет ди-
намической системы (2.27), т. е. семейство АЧХ генератора
(рис. 2.8). Значения F для разных АЧХ определяются из
(2.29). Так, АЧХ, совпадающая с сепаратрисами седла 2,
проходит через точку п = 0,5, £ = 0,5, и для нее из (2.29) на-
ходим Г=0,25.
Преимущества предложенного способа построения АЧХ
особенно проявляются при анализе сложных систем, напри-
мер многоконтурных.
3.	ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
СИНХРОНИЗИРОВАННЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ
НА ИНЕРЦИОННЫХ ДВУХПОЛЮСНИКАХ
3.1.	Введение
Практика проектирования и применения синхронизиро-
ванных АГ на инерционных АЭ показывает, что в ряде слу-
чаев недостаточно уметь определять параметры стационар-
ных колебаний и анализировать локальную устойчивость ре-
жимов, чему посвящена гл. 2. Например, для оценки дли-
тельности переходных процессов, для построения областей
притяжения стационарных точек и, главное, для создания
общей картины поведения системы при произвольных изме-
нениях ее параметров или внешнего воздействия необходимо
исследовать динамические свойства АГ.
В данной главе рассмотрены особенности и построена об-
щая качественная картина процессов установления синхрон-
ных колебаний в одноконтурных АГ на инерционных двух-
полюсниках. Исследование проведено методом фазовой плос-
кости [12, 5] на основе количественного и качественного ре-
шений полученных в гл. 2 нелинейных дифференциальных
уравнений.
3.2.	Уравнение фазовых траекторий
Для изучения динамических свойств синхронизированных
АГ обратимся непосредственно к системе укороченных диф-
ференциальных уравнений (2.3), которые описывают измене-
ния нормированной амплитуды и фазы напряжения на входе
АЭ (рис. 1.2). Разрешив (2.3) относительно производных и
разделив первое на второе, получим нелинейное дифферен-
циальное уравнение первого порядка
da a[Fcos<p — a (a — 1)]
d<p — F sin<p — a 'с, — a (a—1) tga
(3.1)
В этом уравнении в явном виде время уже не присутствует,
и пространство состояний (или фазовое пространство) систе-
мы представляет собой, как и ранее, цилиндрическую поверх-
ность (<р, а), развертку которой будем называть фазовой
плоскостью.
42
Согласно [12, 5], для разбиения фазового портрета (ФП)
\ на траектории необходимо получить сведения о характере и
расположении так называемых особых траекторий: особых
точек или состояний равновесия, предельных циклов и сепа-
ратрис, разделяющих различные области притяжения. Далее
требуется ответить на вопрос о том, как меняется качествен-
ная структура ФП при изменении параметров системы. Для
этого необходимо указать множество бифуркационных зна-
чений параметров (т. е таких значений, при переходе через
которые качества системы меняются) и выяснить особенности
всех бифуркаций.
Сведения о расположении и типе особых точек уравнения
(3.1) получены в гл. 2 при построении АЧХ и ФЧХ. Далее
нам потребуется разбить пространство параметров системы
на области, соответствующие различному количеству и типу
особых точек, т. е. построить так называемые бифуркацион-
ные диаграммы.
Решение задачи о существовании, характере и располо-
жении предельных циклов, соответствующих периодическим
движениям, связано обычно с большими трудностями, так как
регулярных методов здесь не существует. В данном случае
с помощью отдельных частных приемов можно достаточно
полно ответить на вопрос о существовании и поведении пре-
дельных циклов и описать множество их бифуркаций.
3.3.	Бифуркационные диаграммы
Для того чтобы выявить и систематизировать множество
качественно разных фазовых портретов, необходимое для
описания процессов установления колебаний в АГ, разобьем
пространство параметров (g, F, tga) на области с качествен-
но одинаковой структурой ФП Такое разбиение осущест-
вляется с помощью бифуркационных диаграмм (БД), кото-
рые в нашем случае удобно строить на плоскости (§, F) при
разных параметрах расфазирования tga. Эти диаграммы
позволяют поставить в соответствие определенному множеству
значений параметров типичный ФП, что сводит к минимуму
количество портретов, которые необходимо рассмотреть.
Задача построения БД частично может быть решена на
основе результатов анализа локальной устойчивости состоя-
ний равновесия (гл. 2), позволяющего выделить области зна-
чений параметров, для которых количество и тип особых то-
чек на ФП остаются постоянными Изменение типа особых
точек на плоскости АЧХ происходит при пересечении одной
43
из границ М, Q, D (см. § 2.3). Поэтому граничные линии БД,
разделяющие области топологически сходных ФП, можно
получить на основе совместного решения уравнений указан-
ных границ с уравнением АЧХ (2.11). Так, например, найдем
границу М, которая на плоскости АЧХ имеет вид прямой
а=2/3. Подставляя это значение в уравнение АЧХ (2.11),
получаем
F=yTl + (3g-tga)2.
Процедура построения границ Q и D математически громозд-
ка, поэтому ход границ на плоскости параметров (£, F) рас-
считан на ЭВМ. Для сфазированного АГ на двухполюснике
а=0 и БД (рис. 3.1) симметрична относительно оси F. В рас-
фазированном АГ (рис. 3.2 для а=45°) появляется асиммет-
ричность границ, которая возрастает с ростом а. Это возни-
кает за счет увеличения несимметрии АЧХ и ФЧХ (см.
рис. 2.3).
На рис. 3.1, 3.2 римскими цифрами обозначены области,
для которых ФП имеют сходную топологическую структуру,
Рис. 3.1. Бифуркационная диаграмма сфазированного
синхронизированного генератора (а = 0)
а арабскими цифрами — отдельные точки областей. Для каж-
дой области указаны количество и тип особых точек. Так,
например, на ФП для F=0,2, £ = 0,1 (см. точка 2, область I
на рис. 3.1) имеются три особые точки: устойчивый узел,
седло и неустойчивый узел (см. соответственно точки d, е, f
на АЧХ, рис. 1.5,а).	гп ' . - '
44
Из анализа рис. 3.1, 3.2 видно, что в целом БД разбива-
ются на две части. В первой (области I—IV) на ФП присут-
ствует точка устойчивого состояния равновесия, соответст-
вующая стационарному синхронному режиму, т. е. эта часть
БД (расположенная по обе стороны от оси F) является об-
ластью синхронизма. Во второй части БД, называемой об-
ластью биений (области V, XI), особые точки на ФП неустой-
Рис. 3.2. Бифуркационная диаграмма расфазированного синхронизирован-
ного генератора (а = 45°)
чивы. Режиму биений на ФП соответствует устойчивый пре-
дельный цикл. Переход от синхронного режима в режим
биений связан с потерей устойчивости точки стационарного
синхронного режима на границе Q (для малых F) или М
(для больших F).
Отсюда ясно, что построенные БД имеют не только теоре-
тический, но и большой практический интерес, так как по ним
легко рассчитать ширину полосы синхронизма генератора.
Для заданной амплитуды внешнего сигнала максимально
возможная расстройка £, при которой устойчивость еще со-
храняется, определяется самой правой (£>0) или левой
(£<0) кривой на рис. 3.1, 3.2, соответствующей границе М
или Q. Соответствующие зависимости полосы синхронизма
от величины внешней силы обсуждались в гл. 2 (рис. 2.6).
Области БД, где на фазовых портретах существует два
устойчивых режима (см. точки g и k на АЧХ, рис. 2.3,а), бу-
45
дем называть областями гистерезиса, поскольку в них воз-
можно возникновение гистерезисных явлений. Участки БД,
где ФП содержат две устойчивые особые точки, представлены
областями VI, VII. В сфазированном случае эти области
гистерезиса чрезвычайно малы (см. увеличенный круг К
на рис. 3.1). С увеличением расфазирования в граничном
случае tga= 1/2^2 (a=19,5°) области гистерезиса VI, VII
на правой полуплоскости пропадают. Дальнейшее увеличение
а приводит к образованию и расширению областей XII, XIII
(рис. 3.2) трех неустойчивых точек: седла, неустойчивого ниж-
него узла и неустойчивого верхнего узла или фокуса.
На левой полуплоскости с ростом а область гистерезиса,
наоборот, увеличивается. При небольших углах расфазирова-
ния (а<45°) она остается слишком малой для того, чтобы
ее необходимо было учитывать на практике. Однако при
больших а область гистерезиса, перемещаясь влево вверх,
заметно растет (рис. 3.2).
Построенные бифуркационные диаграммы не позволяют
ответить на вопрос о существовании, количестве и характере
устойчивости предельных циклов уравнения (3.1). Вместе
с тем ответ на этот вопрос весьма важен для определения
свойств режима биений, и даже частичный ответ на него су-
щественно облегчает построение фазовых портретов.
3.4.	Предельные циклы и режим биений
Ранее (§ 1.5) отмечалось, что в цилиндрическом фазовом
пространстве (а, <р) могут иметь место два рода предельных
циклов. Если при развертке фазового цилиндра на плоскость
по одной из образующих цикл остается замкнутым (см.
рис. 1.11), то говорят о предельном цикле первого рода
(цикл Б). Иная ситуация наблюдается в случае, если цикл
охватывает фазовый цилиндр (цикл второго рода или цикл Л)
и при движении по циклу фаза непрерывно нарастает. Тогда
на фазовой плоскости цикл теряет свойство замкнутости
(см. рис. 1.9).
Некоторые свойства предельных циклов уравнения (3.1)
можно изучить, используя известные теоремы о предельных
циклах динамических систем второго порядка [12, 5]. Сфор-
мулируем эти свойства в виде следующих утверждений:
а)	предельный цикл первого рода (цикл Б), если он су-,
ществует на фазовом цилиндре, обязательно пересекает гра-
ницу циклической устойчивости М (линию а = 2/3);
46
б)	предельный цикл второго рода (цикл Л) не может
быть расположен целиком ниже линии а = 2/3;
в)	может существовать только один предельный цикл вто-
рого рода, лежащий выше линии а = 2/3;
г)	этот предельный цикл устойчив;
д)	предельный цикл может стянуться в точку только на
линии п = 2/3, т. е. особая точка типа фокуса меняет харак-
тер устойчивости только при а = 2/3.
Последний результат был получен ранее в § 2.2 на основе
анализа локальной устойчивости состояний равновесия и по-
этому в доказательстве не нуждается. Доказательства ут-
верждений а—г приведены в приложении.
Существование или отсутствие предельных циклов может
быть установлено с привлечением метода кривой контак-
тов [12]. Контактной кривой называется геометрическое место
точек, где кривые некоторой вложенной системы замкнутых
линий с центром в начале координат касаются интегральных
кривых дифференциального уравнения. Простейшей систе-
мой вложенных замкнутых кривых или так называемой топо-
графической системой являются концентрические окружности
вокруг точек стационарного режима ас, <р0 или начала коор-
динат. Последняя система для случая цилиндрической фа-
зовой поверхности представляется линиями постоянной ам-
плитуды а. Этим линиям соответствует контактная кривая
daldt=Q, уравнение которой совпадает с уравнением изоклин
горизонтальных касательных к фазовым траекториям. Ясно,
что если предельный цикл существует, то его точки мини-
мального и максимального удаления от начала координат
принадлежат контактной кривой. Устойчивые точки стацио-
нарного режима, относящиеся к максимумам АЧХ, соответ-
ствуют и максимальному радиусу контактной кривой. Поэто-
му предельный цикл вокруг такой точки стационарного ре-
жима существовать не может. При увеличении расстройки §
(относительно линии максимумов а=1—g/tga АЧХ) сущест-
вует интервал, в котором предельный цикл на фазовом порт-
рете не может окружать устойчивый узел. Для малых F
этот интервал расстроек совпадает с областью, где существует
устойчивый узел, т. е. лежит между границами Q на БД
(рис. 3.1).
Рассмотрим в качестве примера ФП (рис. 3.3) для точки 2
БД (рис. 3.1). Расположение особых точек на портрете (точ-
ки d, е, f на рис. 3.3) можно определить по АЧХ и ФЧХ (см.
47
рис. 1.5), а также по расположению ИГК и ИВК. Вся фазо-
вая полуплоскость является здесь областью притяжения
устойчивого состояния равновесия (точка d на рис. 3.3),
т. е. стационарный синхронный режим абсолютно устойчив.
В отсутствии предельного цикла вокруг устойчивой точки d
можно убедиться, рассмотрев взаимное положение ИГК и
ИВК. Для каждой точки ИВК, расположенной правее седла
Рис. 3.3. Фазовый портрет сфазированного гене-
ратора в точке 2 области I БД
е, из вертикальных и горизонтальных отрезков построим ло-
маную вида /—2—3—4—5 и т. д. (рис. 3.3), которая имеет
характер скручивающейся спирали. Интегральная кривая,
выходящая из точки 7, оказывается вложенной в эту лома-
ную спираль и тем самым не может снова возвратиться в
исходную точку, что исключает возможность существования
предельного цикла.
Существование и расположение предельного цикла для
достаточно больших расстроек (при любых значениях F)
может быть определено, если рассмотреть контактные кри-
вые для системы с центром в точке стационарного режима
(см. приложение). Для больших £ эти кривые приближаются
к кругу единичного радиуса, а единственная особая точка
уравнения (3.1) является неустойчивой. В то же время,
если а велико, то из (2.3) следует, что daldt<SF т. е. все
интегральные кривые входят в достаточно широкую полосу,
48
примыкающую к оси а=0. Тем самым должен существовать
устойчивый режим (предельный цикл типа Л), к которому
устремляются приходящие сверху и снизу фазовые траекто-
рии. Согласно утверждению в, такой цикл может быть только
один.
Отметим, что движение по устойчивому предельному цик-
лу соответствует квазипериодическому режиму биений. При
этом амплитуда и фаза колебаний генератора сложным об-
разом изменяются во времени.
Опасные и безопасные границы устойчивости. Как было
отмечено ранее (§ 1.5 и § 2.3), для больших внешних сил ус-
тойчивость стационарного синхронного режима теряется на
границе циклической устойчивости М (bi=Q). Переход через
границу М связан с бифуркацией состояния равновесия типа
фокус. Эта бифуркация в общем случае может происходить
двояким образом [5, 8] в зависимости от характера нелиней-
ных свойств динамической системы в окрестности особой
точки.
В первом случае при переходе из области в область
bt<ZO потеря устойчивости фокуса связана с рождением из
него устойчивого предельного цикла. Такая граница может
быть названа безопасной [8], поскольку при любом сколь
угодно малом переходе в область 6i<0 состояние равновесия
из устойчивого становится неустойчивым, однако изображаю-
щая точка остается в сколь угодно малой окрестности состоя-
ния равновесия. При обратном переходе изображающая точ-
ка снова возвращается в состояние равновесия, т. е. система
ведет себя обратимо.
Во втором случае переход в область &i<0 на ФП сопро-
вождается стягиванием в устойчивое состояние равновесия
неустойчивого предельного цикла так, что фокус теряет
устойчивость. Это означает, что данный стационарный режим
срывается и устанавливается другой, параметры которого
могут быть весьма далеки от первого. При обратном пере-
ходе система ведет себя в этом случае необратимо, что обус-
ловливает опасный характер такого типа границы.
Описанные две ситуации имеют простой физический смысл
и соответствуют в частном случае, например, мягкому и
жесткому возникновению колебаний в автономном автогене-
раторе [1]. Далее будет показано, что подобные процессы воз-
никают и в синхронизированных системах при переходе в ре-
жим биений.
4-2377
49
Задача о поведении динамической системы на границе
области устойчивости состояния равновесия типа фокус впер-
вые решена А. М. Ляпуновым и затем рассмотрена для авто-
колебательных систем А, А. Андроновым [12]. Выяснение ха-
рактера «опасности» границы М связано с определением зна-
ка первой ляпуновской величины L на этой границе. Для
61=0 сложный фокус является устойчивым (безопасная гра-
ница) при L<Z0 и неустойчивым (опасная граница) при L>0.
Методика определения знака L рассмотрена в приложении.
Расчеты показывают, что в сфазированном АГ (а=0)
граница М является целиком безопасной. С увеличением рас-
фазирования при а=19,5° одновременно с появлением обла-
сти трех неустойчивых особых точек на БД (см. рис. 3.2) на
правой ветви границы М появляется опасный участок (ВН
на рис. 3.2), правой границе которого соответствует значение
£=tga.
3.5.	Фазовые портреты синхронизированного генератора
Изучим сначала случай малых внешних сил (Г=0,2).
При полном синхронизме (т. е. нулевой расстройке) сущест-
вуют три особые точки, обозначенные на рис. 2.3 а, b и с, ко-
ь Рис. 3.4. Фазовый портрет расфазиро- 1
мц ванного генератора в режиме полного
синхронизма (в точке 12 области II БД,
г	|=0, F=0,2)
торые являются соответственно узлом, седлом и неустойчи-
вым фокусом. Фазовый портрет (рис. 3.4) в этом случае
соответствует точке 12 бифуркационной диаграммы (рис. 3.2).
Видим, что областью притяжения устойчивого синхронного
50
режима в точке а является вся плоскость. Сравнение портре-
та на рис. 3.4 с соответствующим портретом АГ на безынер-
ционном двухполюснике (рис. 1.7) показывает их качествен-
ную идентичность. Однако ход сепаратрис седла в точке Ь
и форма конкретных фазовых траекторий существенно отли-
чаются.
Если теперь увеличивать расстройку %, то, как и ранее
(рис. 1.8), устойчивый узел и седло будут сближаться. Если
расстройка соответствует границе статической устойчиво-
сти Q (точка 13 на рис. 3.2), то ИГК и ИВК касаются друг
друга (рис. 3.5), и в этой точке (d на рис. 2.3) седло и узел
Рис. 3 5. Фазовый портрет в бифуркаци-
онном случае на границе Q (точка 13
БД, F=0,2)
сливаются и образуют особую точку второго порядка—сед-
ло-узел. Из слившихся сепаратрис седла образуется устой-
чивый предельный цикл, движение по которому вокруг фа-
зового цилиндра соответствует квазипериодическому режиму
биений. При дальнейшем увеличении | седло-узел исчезает
(для области V на рис. 3.2, см. портрет на рис. 1.9).
Обсудим далее, к чему приведет увеличение внешнего
сигнала, например, при полном синхронизме (£=0). Теперь
уже при возрастании F будут сближаться седло и нижний
неустойчивый фокус (а потом узел), и при F=0,35 они сли-
ваются в седло-узел (точка f на рис. 2.3), который затем
исчезает При дальнейшем росте F система переходит в широ-
кую область III, IV на рис. 3.2, где существует единственная
устойчивая особая точка (типичный портрет показан на
рис. 1.10). Если теперь при большом значении F, скажем,
4*
51
А=0,65, увеличивать расстройку, то точка стационарного
режима, двигаясь по АЧХ (см. рис. 2.3), дойдет до грани-
цы М, после чего устойчивость фокуса теряется (переход
в область V на рис. 3.2) и вокруг него возникает устойчивый
предельный цикл (типичный портрет показан на рис. 1.11).
Движение по нему опять соответствует квазигармоническому
режиму, но в отличие от рис. 3.5 здесь фаза колебаний ме-
няется около стационарного значения.
Переходные области бифуркационных диаграмм. Рассмот-
рим теперь случай, когда выбранные значения F и I соответ-
ствуют области гистерезиса генератора (области 5—3—4—
6—5 на рис. 3.2). Пусть для F=0,84 расстройка выбрана
равной —0,85, что соответствует точке 10 на БД (рис. 3.2).
В этом случае уравнение стационарного режима имеет три
решения: g, i, k, два из которых (g и k) локально устойчивы
(см. рис. 2.3), а фазовая плоскость системы (рис. 3.6) де-
Рис. 3.6. Фазовый портрет в области гис-
терезиса VII (точка 10 БД, £ = —0,85,
Д=0,84)
лится сепаратрисами седла г на области притяжения верх-
него устойчивого узла и нижнего устойчивого фокуса (или
узла). Область притяжения нижней точки является узкой и
не включает малые амплитуды, поэтому после повторного
включения АГ установится режим g. Если же при работаю-
щем АГ выключается синхронизирующий источник, то после
его повторного включения может установиться тот или дру-
гой режим в зависимости от начальной разности фаз, по-
скольку амплитуда автономных колебаний (а=1) может
соответствовать любой области притяжения.
52
При переходе за счет изменения g через границу Q свер-
ху или снизу происходит слияние седла и соответственно
верхнего или нижнего устойчивого узла, после чего седло-
узел исчезает. При этом характер оставшейся устойчивой
точки не меняется.
Поскольку внутри замкнутой границы Q граница М (на
участке 3—6) уже влияет на устойчивость, то должна су-
ществовать область VIII, где вокруг нижней неустойчивой
особой точки имеется устойчивый предельный цикл. На гра-
нице М (участок 3—6) устойчивый фокус превращается в
сложный устойчивый фокус и происходит ветвление решения
дифференциального уравнения (3.1) с образованием неустой-
чивого фокуса и устойчивого предельного цикла. Возьмем,
например, точку 11 (7'=0,65, g =—0,65) в области VIII диа-
граммы. В этом случае, как следует из рис. 2.3, система имеет
одну устойчивую I и две неустойчивые пит особые точки.
Поэтому на первый взгляд ожидать здесь каких-либо скач-
ков при повторном включении не приходится. Однако анализ
фазового портрета (рис. 3.7) указывает на возможность
а
О	at	2зг
Рис. 3.7. Фазовый портрет в расширенной
области гистерезиса VIII (точка 11 БД,
£=—0,65, Р=0,65)
срыва устойчивости синхронного режима в точке I, поскольку
вокруг неустойчивого фокуса имеется устойчивый предель-
ный цикл. Таким образом, ширина области гистерезиса фак-
тически возрастает по сравнению с найденной на основе ана-
лиза локальной устойчивости. Отмеченная особенность ти-
пична для генераторов именно на инерционных АЭ, где экспе-
риментально при включении синхросигнала (или при импульс-
53
ной синхронизации) часто наблюдаются перескоки из син-
хронного режима в квазигармонический или наоборот. Ясно,
что этот экспериментальный факт легко объясняется на ос-
нове рис. 3.7, так как если при включении синхронизирую-
щего сигнала начальная разность фаз соответствует области
притяжения предельного цикла, то реализуется режим бие-
ний. Этот результат очень важен практически еще и потому,
что значительная инерционность современных АЭ может при-
водить к расширению области гистерезиса почти на всю по-
лосу синхронизма. Тогда отмеченные явления возникают
принципиально.
Переход через границу Q (участок 3—7) из области VIII
в область V БД аналогично переходу через участки Q (0—7) и
Q (3—5) сопровождается слиянием седла и верхнего устойчи-
вого узла (рис. 3.8), а затем исчезновением получившегося
Рис. 3.8. Фазовый портрет в би-
фуркационном случае (точка 2 на
границе Q БД)
Рис. 3.9. Фазовый портрет в ре-
жиме биений (точка 1 области V
БД)
седло-узла (рис. 3.9 для области V диаграммы). При этом
сохраняется устойчивый предельный цикл, размеры которого
увеличиваются. Различие между участками (7—0) и (7—3)
границы Q можно пояснить следующим образом: при пере-
ходе из области V в область II седло-узел возникает на пре-
дельном цикле, а затем разрывает его, а при переходе в
область VIII седло и узел возникают отдельно (вне предель-
ного цикла) так, что он не исчезает.
Наличие границы (участок 6—7) связано с тем, что при
переходе из области VIII в область II размер устойчивого
предельного цикла вокруг неустойчивого фокуса увеличи-
вается настолько, что он подходит вплотную к седлу и обра-
зуется петля сепаратрисы седла (для точки 8 на границе
54
(б—7) портрет показан на рис. 3.10), которая затем разры-
вается. После этого предельный цикл исчезает и портрет
имеет типичный в области II вид (рис. 3.11) для точки 9
диаграммы.
Отметим, что описанные области гистерезиса при а<19,5°
существуют как на правой, так и на левой половинах бифур-
Рис. 3.11. Фазовый портрет в то»
ке 9 области II БД
Рис. 3.10. Фазовый портрет в
бифуркационном случае обра-
зования петли сепаратрисы
(точка 8 границы 6—7 БД)
кационной диаграммы. При а—19,5° справа эти области про-
падают, и с ростом а возникают качественно новые переход-
ные области. Рассмотрим их подробнее.
При малой инерционности АЭ (малые а) эллипс устойчи-
вости синхронных колебаний (Q) на плоскости АЧХ а(ё)
таков, что обе его точки с вертикальными касательными
(точки А, Б на рис. 1.5,а) расположены выше границы цикли-
ческой устойчивости М. С увеличением инерционности АЭ
при а=19,5° точка А границы Q переходит через прямую М
вниз (рис. 2.3,а для а=45°). В этом случае на АЧХ возможно
существование трех неустойчивых точек. Последнему соот-
ветствуют области XII и XIII БД (рис. 3.2). Расчеты пока-
зывают, что при а>19,5° граница М на участке ВН (рис. 3.2)
становится опасной [8]. Это означает, что при переходе через
этот участок границы из областей V и XIII соответственно
в области IV и X неустойчивый фокус становится устойчи-
вым и из него рождается неустойчивый предельный цикл.
При этом существующий устойчивый предельный цикл, естест-
венно, сохраняется (напомним, что для безопасной грани-
цы М превращение неустойчивого фокуса в устойчивый со-
55
провождается стягиванием на этой границе в точку устойчи-
вого предельного цикла). Таким образом, на БД существует
область, примыкающая слева к участку В—Н границы М.
(рис. 3.2), в которой на фазовых портретах (рис. 3.12, 3.13)
Рис. 3.12. Фазовый портрет в об-
ласти гистерезиса слева от участ-
ка ВН границы М на БД (£ близ-
ко к значению в точке В)
Рис. 3.13. Фазовый портрет в об-
ласти гистерезиса слева от участ-
ка ВН границы М на БД (£ близ-
ко к значению в точке Н}
наряду с устойчивым фокусом имеются два предельных цик-
ла — устойчивый, соответствующий биениям и неустойчивый.
Таким образом, и в этой переходной области локально устой-
чивый синхронный режим не является глобально устойчи-
вым. В АГ в этом случае возможны перескоки из одного
режима в другой при изменении параметров. В пределах
областей XII, XIII на ФП могут происходить существенные
изменения и сложные бифуркации. Это связано с возникно-
вением второго неустойчивого предельного цикла, служащего
как бы водоразделом областей притяжения устойчивых ре-
жимов. Размеры областей притяжения существенно меняются.
Обобщая результаты проведенного исследования, можно
констатировать, что характер перехода от устойчивого син-
хронного режима к режиму биений для случаев малых и
больших сил качественно различен. При малых силах срыв
синхронизма связан с нарушением критерия статической ус-
тойчивости, а при больших — критерия циклической устойчи-
вости. Предельный цикл, соответствующий квазипериодичес-
кому режиму биений, при больших силах расположен вокруг
неустойчивой особой точки и более «благоприятен», чем
цикл, охватывающий цилиндр (малые силы). Объясняется
это тем, что средняя частота колебаний <оср=<во4--^- оказы-
56
вается для него несмещенной, а само колебание близко к ста-
ционарному режиму и тем более, чем ближе мы подходим
к границе М. При малых силах переход в синхронизм по
частоте происходит скачкообразно, что более опасно на прак-
тике.
Таким образом, при малых внешних силах переход в зону
синхронизма осуществляется при увеличении периода оги-
бающей до бесконечности и незначительном изменении ам-
плитуды биений при значительной деформации их форм. Для
больших сил переход в синхронный режим происходит с
уменьшением амплитуды биений до нуля при определенном
предельном значении периода биений Тб. В приложении по-
казано, что приближенно этот период определяется формулой
Тбж 2лТ//1 g|, т. е. Тб уменьшается почти обратно пропор-
ционально значению расстройки g на границе М. С прибли-
жением к переходной области (средние силы) значение пре-
дельного периода стремится к бесконечности.
В области средних сил два разных механизма образова-
ния (или разрушения) предельного цикла постепенно заме-
няют друг друга, что обусловливает наличие явления гисте-
резиса, т. е. возможности существования или режима биений,
или синхронного режима в зависимости от начальных усло-
вий. При этом области глобальной и локальной устойчивости
колебаний не совпадают, и с изменением параметров АГ воз-
можны перескоки из одного режима в другой. Гистерезис
проявляется еще и в том, что при изменении расстройки в
одну и другую сторону полосы «захвата» и «удержания»
синхронного режима оказываются различными. Это различие
(так же, как и интервал средних сил) чрезвычайно мало
в случае малого расфазирования АГ, но возрастает с увели-
чением а так, что проявляется на практике в АГ СВЧ диа-
пазона.
3.6.	Количественные оценки длительности установления
синхронных колебаний
Рассмотренные выше фазовые портреты синхронизиро-
ванных АГ не дают непосредственного ответа на вопрос о вре-
мени установления колебаний, который представляет особый
интерес для практических задач синхронизации АГ разного
рода модулированными колебаниями, оценки динамических
свойств таких АГ, для построения на их основе фильтровых
и подобных устройств. Поэтому представляет интерес рас-
57
смотреть непосредственно временные характеристики процес-
сов установления и влияние на них режима АГ (угла отсеч-
ки 9), добротности колебательной системы Q, частотной рас-
стройки А=2(<0вн—<0св)/(0св и инерционности АЭ.
Анализ показывает *, что в соответствии с построенными
выше портретами и известными результатами [2, 3] процессы
Л
Рис. 3.14. Процессы установления ампли-
туды (а) и фазы (б) синхронных колеба-
ний при разных расстройках амплитудах
внешней силы F и начальных значениях фа-
зы фо. Случай включения питания генератора
установления амплитуды и фазы в синхронизированных АГ
могут быть простыми (апериодическими и колебательными)
и сложными (рис. 3.14). Области пространства параметров
* Количественные расчеты переходных процессов проведены совместно
с М. И. Бычковым.
58
с апериодическими и колебательными типами переходных
процессов соответствуют областям устойчивых узлов и фоку-
сов на найденных выше БД. Для малых внешних сил при
включении питания АГ установление амплитуды происходит
значительно быстрее установления фазы, если только началь-
ное значение фазы не близко к стационарному (см. рис. 3.14,
случай Г=0,2). Так, например, для начального значения
фазы ф0=45° после включения АГ амплитуда нарастает за
110 периодов свободных колебаний Тсв, после чего U не ме-
няется, а фаза продолжает устанавливаться и приближается
к стационарному значению за вчетверо большее время (при-
мерно 420 Тсв).
Типичные зависимости времени установления амплитуды
Т“у и фазы Тфу от фактора регенерации SRy (или угла отсеч-
ки 9, который определяется как решение уравнения автоном-
Рис. 3.15. Зависимости времени установления
амплитуды и фазы колебаний в синхронизи-
рованном генераторе от параметра регенера-
ции SRy и угла отсечки 0 при различных
значениях добротности контура Q
ного режима S7?y = l/yi(9), yi(9) — коэффициент разложе-
ния для первой гармоники) приведены на рис. 3.15 для раз-
личных значений Q. Как видим, увеличение S7?y (или умень-
шение 9) приводит к резкому росту времени установления.
Это вызывается ослаблением влияния синхросигнала за счет
59
увеличения амплитуды автономных колебаний, что приводит
к уменьшению нормированной амплитуды внешней силы и
увеличению расстройки g.
Для случая а=0 7’/’"’ почти линейно зависят от доброт-
ности (для Тау — рис. 3.16). Поскольку изменение Q прямо
пропорционально влияет на расстройку g и не изменяет F,
постольку с увеличением Q (и следовательно, g) время уста-
Рис. 3.16. Зависимости времени установления
амплитуды синхронных колебаний от доброт-
ности колебательного контура при различной
величине расфазирования, расстройки и раз-
ных значениях фактора регенерации
новления линейно растет. Если же рассмотреть время уста-
новления, нормированное на постоянную времени контура
T=QTCBln (т. е. разделить Ту на Q/л), то оно практически
не будет зависеть от расстройки, что согласуется с [2]. При-
ближение к границе синхронизма приводит к некоторому
уменьшению скорости роста (точки ТС и Л7 на рис. 3.16).
При а=0 изменение знака расстройки частот не изменяет
зависимости T\(Q). Введение расфазирования (а=#0) дает
явно выраженное расхождение характеристик, причем для
положительных расстроек рост Ту, как правило, замедляется,
а для отрицательных, наоборот, убыстряется (рис. 3.16). Та-
ким образом, для а#=0 отклонения зависимости Ty/Q(A) от
константы растут с ростом Д и имеют, как правило, разные
знаки при изменении знака Л. Другими словами, для АГ
на сугубо инерционных АЭ имеет место существенная зави-
симость времени установления колебаний от расстройки в
пределах полосы синхронизма АГ. Так, например, на краях
60
полосы синхронизма Ту может различаться в несколько раз,
и это расхождение растет с ростом а. Данное обстоятельство
необходимо принимать во внимание на практике при проек-
тировании АГ на инерционных АЭ.
4.	УСТАНОВЛЕНИЕ СИНХРОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В АВТОГЕНЕРАТОРАХ НА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАХ
4.1.	Введение
В предыдущих главах были изучены свойства синхрони-
зированных АГ на инерционных двухполюсных АЭ, относя-
щихся по введенной в гл. 1 классификации ко второй группе
усилительных приборов. В этих АГ амплитуды выходного
напряжения UK на избирательной системе и напряжения U
на входе АЭ (см. рис. 1.2) связаны между собой линейно
или просто совпадают. Однако указанное соотношение в ряде
современных схем АГ, например в транзисторных СВЧ гене-
раторах, не выполняется. Это может быть вызвано рядом
причин и, в частности, тем, что амплитуда входного (базо-
вого) тока транзистора в СВЧ диапазоне /Вх нелинейно за-
висит от входного напряжения U. Такой АЭ относится к
третьей группе (гл. 1) и может быть представлен в виде
четырехполюсника (см. рис. 1.1,6). В результате зависимость
напряжения UK от U или, как говорят, характеристика об-
ратной связи (ХОС) генератора становится нелинейной и
может иметь немонотонный характер.
В автономных системах в этом случае возможно возник-
новение нестандартных режимов, рассмотренных ранее для
АГ на электронных лампах и приводящих к разрывным (скач-
кообразным) переходным процессам, а также к режиму осо-
бой (релаксационной) самомодуляции [10].
В настоящей главе изучаются особенности процессов уста-
новления колебаний в одноконтурных синхронизированных
АГ на четырехполюсных АЭ. Теоретическое изучение разрыв-
ных процессов в синхронизированных АГ представляет осо-
бый интерес с практической точки зрения, поскольку в ре-
зультате удается выявить и объяснить причины возникнове-
ния разного рода паразитных эффектов и выработать реко-
мендации по их устранению. В ряде случаев указанный ре-
жим релаксационных колебаний может быть с успехом
использован для создания генераторов колебаний специаль-
61
ной формы или АГ с быстрым дискретным переключением
амплитуды выходного сигнала.
4.2.	Укороченные дифференциальные уравнения
Уравнения АГ на инерционном четырехполюснике, син-
хронизированного внешним током /вн на основном тоне, по-
лучим на основе общих уравнений (1.7), (1.8). Учитывая, что
для одиночного контура У/к(р+/А) = Ск(1+р7’+/А,7’), имеем
UK=N(U)U,	(4.1)
ф = —фос+ф,	(4.2)
?(t/)t/Ke^+/BH=GK(l+pT+AT)t/Kew. (4.3)
Заменив в (4.3) р на dldt и разделив действительные и
мнимые части, получим укороченные уравнения для UK и ф
во временной форме:
д</к
0(U) ]	/в„
-~0c°s?.
^81Пф.
0к
Ок
B(U)1_
Ок
(4-4)
Смысл величин, входящих в эти уравнения, обсуждался
в гл. 2. Для АГ на двухполюснике UV = U и система (4.4)
совпадает с изученной в гл. 2.
Введем, как и ранее (гл. 2), линейную аппроксимацию
(2.1) функций G(U) и B(U) и перейдем в уравнениях (4.1),
(4.4) к нормированным параметрам a, g, F, tga, Т'. В резуль-
тате получим следующие укороченные уравнения:
aK = N(a)a,	(4.5)
Г' — -\-ак(а—1) = Г cos ф,	(4.6)
dt
T'aK~j +aK[H-(a—l)tga]=—ГвШф,	(4.7)
где aK=t/K/t/K0 — нормированная амплитуда синхронных ко-
лебаний на контуре.
Из (4.6) и уравнения (4.5), которое представляет норми-
рованную ХОС, вытекает дифференциальное уравнение, опи-
62
сывающее процесс установления управляющего режимом на-
пряжения:
T'R(a)-^- -\-а(а— l)Af(a) = Feos ср.	(4.8)
di
Здесь R(a)=—к-=У(а)+а^^-)=^(а) (Ц-n). При^(а) = 1
da	da
(что соответствует нулевому базовому току транзистора)
ак = а, и система (4.7), (4.8) сводится к изученной в гл. 3.
При немонотонной ХОС (4.5) функция R(а) проходит
через нуль в точках экстремума ХОС. В этих точках диф-
ференциальное уравнение (4.8) теряет определенность:
da/dt^-oo, т. е. имеет место скачок амплитуды а. Конечное
значение амплитуды определяется в этом случае из условия
Рис. 4.1. Форма характеристики обрат-
ной связи
постоянства полной энергии системы W в момент скачка
FK [10]. Поскольку для выбранной модели энергия системы
запасена в колебательном контуре, условие U7(tCK) = const
можно представить как условие постоянства напряжения на
его емкостной ветви (или тока в индуктивной ветви). Усло-
вие скачка тогда запишется в виде
ак | t=t^ = aN (а) | ,=,^= const.	(4.9)
Для выяснения особенностей скачкообразных движений
в рассматриваемой автоколебательной системе зададимся
конкретной немонотонной ХОС с двумя экстремумами
(рис. 4.1), положив к примеру
У (а) == —0,3 (а— 1) —0,6 (а— 1)	0,3 (а— 1)3.	(4.10)
Для облегчения выкладок и обсуждения результатов пре-
небрежем далее инерционностью транзистора, т. е. примем
63
в (4.7) а=0. Более точный анализ показывает, что основные
качественные результаты, которые получаются в этом слу-
чае, справедливы (и являются типичными) для любой немо-
нотонной ХОС.
4.3.	Стационарные синхронные режимы и их локальная
устойчивость
Стационарные режимы будем анализировать, как и
в гл. 2, на плоскости АЧХ (а, <р). Уравнение АЧХ следует
из (4.7), (4.8) при равенстве нулю производных:
aW2(a){(a—1)2+[Н~(а—l)tga]2} = F2.	(4.11)
Амплитудно-частотные характеристики a(g) могут быть
построены по этому уравнению численно или способом, опи-
Рис. 4.2. Амплитудно-частотные характеристики синхронизи-
рованного генератора на четырехполюснике в безынерционном
случае (а=0)
санным в § 2.6. Для рассматриваемого случая а=0 АЧХ
симметричны относительно оси а, поэтому на рис. 4.2 пока-
зана только область £>0. Из рис. 4.2 и 1.5,а видно, что при
малых значениях внешней силы (F<0,76) качественный ха-
рактер АЧХ не меняется по сравнению с АГ на двухполюс-
нике (поскольку при а<1,3 ХОС монотонная). С увеличе-
нием F появляется дополнительная замкнутая ветвь АЧХ
64
(рис. 4.2, Е=0,8), соответствующая той области значений а,
где daK/da<zO (рис. 4.1). При Е=0,8 замкнутая и разомкну-
тая ветви АЧХ сливаются. Отметим, что при больших силах
АЧХ (например, F=1 на рис. 4.2) имеют широкие области
неоднозначности с обеих сторон от частоты свободных коле-
баний (g=0).
Условия локальной устойчивости стационарных режимов
определяются по коэффициентам характеристического урав-
нения, которое находится из (1.17) и имеет вид
Ьор2+Ь1р+Ь2=О,	(4.12)
где
b0=	bl = -T^d-^ A[2(a-l)(l+n)+a],
GK au
Й2=(т1-7!7р^£г-1И(а-1)(1+«)+а]+	(4-13)
\ uK au /
+ R+(a—l)tg a][(g+(a—l)tga)(l+n)+atga]}.
Сравнение (4.12) с характеристическим уравнением АГ
на двухполюснике (§ 2.2) показывает, что в (4.12) при стар-
шей степени р появился коэффициент Ьо, знак которого за-
висит от режима. В случае монотонной ХОС критерий сингу-
лярной устойчивости (6о>О) удовлетворяется всегда и гра-
ница сингулярной устойчивости L (&о=О) отсутствует, а гра-
ница циклической устойчивости М (bi=0) состоит из одной
прямой (а=2/3). Если ХОС немонотонная, то граница L,
согласно (4.13), определяет горизонтальные прямые, назы-
ваемые Ен и Ев и соответствующие абсциссам экстремумов
ХОС. Количество ветвей границы М возрастает до трех, и
все они являются горизонтальными прямыми (рис. 4.2). Гра-
ница статической устойчивости, как обычно, определяет гео-
метрическое место точек АЧХ, имеющих вертикальные каса-
тельные, и состоит из трех симметричных ветвей, одна из
которых, как и ранее (рис. 1.5,а), замкнутая, эллипсовидная.
Устойчивые участки АЧХ показаны на рис. 4.2 сплошны-
ми линиями. Видно, что начиная с Е=0,4 устойчивость ста-
ционарного синхронного режима теряется в середине зоны-
синхронизма в связи с тем, что АЧХ пересекают нижнюю
ветвь границы Е. При Е>0,8 возможно существование одно-
временно трех локально устойчивых точек стационарного ре-
жима (например, w, v, t на рис. 4.2). Отмеченные факты
объясняют наблюдаемую порой на практике многозначность
режимов в СВЧ транзисторных АГ и связанные с ней пере-
скоки.
5- 2377
65
Для выяснения характера поведения системы вблизи ста-
ционарных состояний необходимо указать типы соответст-
вующих им особых точек. Для этого на рис. 4.3 наряду с гра-
ницами L, М и Q построена граница D: Д = 0, где Д — дис-
криминант характеристического уравнения (область устойчи-
Рис. 4.3. Типы особых точек на плоскости АЧХ
вости на рисунке заштрихована). Как видим, устойчивость
на границах Q и L теряется соответственно за счет слияния
или взаимного превращения устойчивого узла и седла. Гра-
ница М разделяет области устойчивых и неустойчивых фоку-
сов, а линия D — области узлов и фокусов.
4.4.	Бифуркационная диаграмма
Поведение решений исходной системы (4.5) — (4.7) будем,
как и ранее, изучать на фазовой плоскости (а, ср). Уравнение
фазовых траекторий получим из системы (4.7) (4.8):
da _ a [Г cos ср — а (а—1) N (а)],. . ..
dcp	(14-п)!-sin cp-f-a [^4-(а—I) tg aj (а)}
где N (а) определяется выражением (4.10). При N (а) = 1
уравнение (4.14) сводится к изученному в гл. 3.
Заметим, что переход от реальной системы (4.7), (4.8)
к (4.14) неправомерен, если 1-]-п=0, и приводит к потере
информации о направлении движения по интегральным кри-
66
вым, если знак R(a) =N(a) (1-f-n) меняется (т. е. ХОС немо-
нотонная). Поэтому решения системы (4.7), (4.8) отлича-
ются от решений (4.14) рядом условий. Согласно (4.8), про-
изводная da/dt имеет противоположные знаки выше и ниже
линий R(a)=0 (прямые LH и Лв), которые выступают в этом
случае в качестве множества точек стыка фазовых траекто-
рий. При попадании изображающей точки на линию R(a)=0
происходит мгновенный скачок амплитуды а (амплитуда ак
и фаза <р в момент скачка остаются постоянными, поскольку
в силу (4.6), (4.7) производные dajdt и dq/dt определены
и конечны). Место окончания скачка соответствует новой точ-
ке ХОС, определяемой из условия (4.9).
В результате изучение системы (4.7), (4.8) сводится к
анализу хода фазовых траекторий (4.14) с помощью построе-
ния фазовых портретов (см. гл. 3) с последующим перехо-
дом к фазовым портретам реальной системы с учетом изме-
нения направления движения по траекториям и скачков ам-
плитуды.
Отметим, что уравнение (4.14) имеет дополнительные осо-
бые точки, расположенные на линиях «стыка». Характер их
локальной устойчивости определяется обычным образом [12].
Перед анализом фазовых портретов (ФП) целесообразно
провести их систематизацию с помощью построения бифур-
кационной диаграммы (БД) на плоскости параметров: ам-
плитуды F и расстройки £ частоты внешней силы. Для по-
строения БД воспользуемся результатами исследования ло-
кальной устойчивости состояний равновесия и нанесем на
плоскость F, g границы L, М, Q и D. Они могут быть по-
строены, если исключить амплитуду из пар уравнений, вклю-
чающих уравнение ЛЧХ (4.11) и уравнение соответствующей
границы. Рассчитанная таким образом на ЭВМ бифурка-
ционная диаграмма приведена на рис. 4.4 (в силу симметрич-
ности БД показана только область £>0). Здесь границы L,
М, Q, D разбивают плоскость параметров на области, в каж-
дой из которых ФП имеют сходную структуру по числу и
типу особых точек.
Выявление других качественных особенностей ФП свя-
зано с ответом на вопрос о существовании, количестве и ус-
тойчивости предельных циклов системы. Здесь достаточно
полный ответ можно получить, используя соображения не-
прерывности изменения структуры портретов при перемеще-
ниях на плоскости параметров F, g, а также известные при-
емы теории бифуркаций [5]. Результаты соответствующего
5* Н
67
анализа отражены на БД (рис. 4.4) и обсуждаются далее
при описании фазовых портретов.
Для облегчения классификации типичных ФП области БД
обозначены многозначными числами. При этом каждой из
особенностей отводится два разряда числа, считая слева на-
право в порядке возрастания амплитуды на портрете. Если
одну из особых точек окружает предельный цикл, то его
обозначение помещается вслед за обозначением этой особой
точки. Пара дополнительных особых точек, расположенная
на линиях Ан или LB, отмечается одним двузначным числом.
Рнс. 4.4. Бифуркационная диаграмма синхронизирован-
ного генератора на четырехполюснике
Расшифровка обозначений дана в табл. 4.1. Так, напри-
мер, для области 556192469447 на ФП имеются: неустойчи-
вый фокус ниже линии LH (число 55), вокруг которого распо-
ложен устойчивый предельный цикл (61); на линии Ln две
устойчивые дополнительные особые точки (92); между LH
и Лв — устойчивый фокус (46), два седла на LB (94) и устой-
чивый фокус выше LB (47). Введенная система обозначений
позволяет до некоторой степени формализовать процесс по-
строения портретов.
Важно отметить, что, как и в § 3.3, по бифуркационной
диаграмме легко может быть определена полоса синхрониз-
68
ма АГ. Для заданной амплитуды внешнего сигнала макси-
мально возможная расстройка, при которой устойчивость еще
сохраняется, определяется самыми правыми кривыми на
рис. 4.4, соответствующими границам Qi и Afi. Однако в дан-
ном случае в зоне синхронизации локально устойчивые син-
хронные колебания не являются глобально устойчивыми в
широкой области параметров (4592469447).
Таблица 4 1
Условные обозначения особых точек и предельных циклов
Первый индекс	Второй индекс
1	— седло 2	— устойчивый узел 3	— неустойчивый узел 4	— устойчивый фокус 5	— неустойчивый фокус	5	— особая точка ниже 7Н 6	— особая точка между £н и LB 7	— особая точка выше LB
6 — устойчивый ) предельный 7 — неустойчивый )	цикл	Равен нулю или является порядко- вым номером особой точки, вокруг которой расположен предельный цикл
8 — разрывный предельный цикл	0
9 — две особые точки на линиях Лн и Тв	1	— устойчивая особая точка и седло на £„ 2	— две устойчивые особые точки на Тя 3	— седло и устойчивая особая точка на £в 4	— два седла на £в
Более того, в центре этой зоны в значительной по разме-
рам области 921680 устойчивость стационарных колебаний
полностью теряется. Эти особенности системы связаны с не-
монотонностью ХОС и анализируются ниже при рассмотре-
нии типичных фазовых портретов.
69
4.5.	Фазовые портреты синхронизированного генератора
на четырехполюснике
Исследование ФП, как и ранее (§ 3.5), проведем в обла-
сти а>0, 0<ф<2л фазовой плоскости. Изучим сначала
случай малых внешних сил (F<0,4). При этом БД
(рис. 4.4) и, следовательно, типичные портреты соответствую-
щих областей диаграммы качественно идентичны построен-
ным в гл. 3 для а=0. Однако наличие дополнительных гра-
ниц L„ и LB приводит к особенностям переходных процессов.
Рассмотрим, например, ФП для точки 1 области 25 (рис. 4.4),
представленный на рис. 4.5. Немонотонность ХОС вызывает
Рис. 4 5. Фазовый портрет синхронизиро-
ванного генератора на четырехполюснике в
точке 1 области 25 диаграммы (£=0,2,
Е=0,35)
искривление фазовых траекторий выше устойчивого узла а
(см, точку а на АЧХ, рис. 4.2) между линиями Лн и LB, ко-
торые являются изоклинами вертикальных касательных. По-
скольку, как было выяснено ранее, направление движения
по траекториям между LH и LB меняется на обратное, линии
La и Lb становятся соответственно линиями отталкивания и
стыка фазовых траекторий. При этом в системе имеют место
скачки амплитуды. Действительно, если изображающая точ-
ка находится ниже границы LH, то она, как обычно, приходит
в узел а, т. е. синхронные колебания устанавливаются плав-
но. Если же она первоначально была расположена выше LH,
то далее она приходит на границу Ев, откуда происходит
70
скачок по линии постоянного ср (например, траектория be).
Линия окончания скачков Къ определяется из условия (4.9).
Затем точка продолжает плавно двигаться в узел (траек-
тория са).
Итак, если начальные условия соответствуют весьма ши-
рокой области между LH и LB, то в процессе установления
амплитуда а возрастает до прямой LB, затем меняется скач-
ком до прямой Лв и далее плавно устанавливается синхрон-
ный режим. Эта особенность ФП, свойственная всей области
малых F, важна для практики. Дело в том, что часто син-
хронизацию используют для получения мощных когерентных
колебаний, подавая весьма малый стабильный сигнал на
мощный автогенератор. Активный элемент последнего при
этом обычно ставится в такой режим, параметры которого
близки к предельно допустимым. Если же при включении
синхросигнала за счет каких-либо возмущений амплитуда
колебаний увеличится, скажем, на 10%, что соответствует
Рис. 4 6. Фазовый портрет для больших
расстроек (в точке 4 области 459193 диа-
граммы, £=1,3; F = l)
на ФП переходу изображающей точки снизу через границу
LH, то далее амплитуда будет нарастать и достигнет 250%
от стационарного значения. При полном использовании АЭ
по напряжению такое перенапряжение может привести к ка-
тастрофическим последствиям. Столь же опасными могут
быть и очень быстрые перепады амплитуды, существующие
в данном случае принципиально.
71
Проследим теперь, что происходит на фазовом портрете
с увеличением внешней силы для небольших расстроек. При
F=0,4 (переход в область 2591) изоклина горизонтальных
касательных пересекает границу LH, на которой появляется
участок стыка фазовых траекторий, отделенный от участка
отталкивания дополни-
тельными особыми точ-
ками уравнения (4.14).
Если F>0,4, то в облас-
тях 2591, 4591, 459192
БД структура траекто-
рий вблизи линии L„ на
Ф|П одинакова (напри-
мер, рис. 4.6 для точки
4 БД). В реальной систе-
ме при попадании изоб-
ражающей точки на учас-
ток стыка границы LH
происходит скачок на ли-
нию /<н (рис. 4.6), опре-
деляемую условием (4.9).
Видим, что в этом случае
опасный скачкообразный
характер процесса ус-
тановления колебаний
имеет место и при вклю-
чении питания АГ (на-
пример, переходной про-
цесс I, т, п, s).
Рассмотрим теперь са-
мый интересный случай,
'когда с пересечением на
БД границы L„ (переход
в область 921680, точка 2
на рис. 4.4) на фазовом
портрете устойчивый узел
переходит через линию LH
и превращается в седло
(точка d на ФП, рис. 4.7,а
Рис. 4.7. Фазовый портрет в точке 2
области 921680 диаграммы (а) и об-
ласть существования режима релак-
сационной автомодуляции (б) (| =
= 0,2, Р=0,6)
и АЧХ, рис. 4.2). Устойчивые точки на фазовой плос-
кости 'пропадают. В момент исчезновения устойчиво-
го узла Образуется устойчивый разрывный предельный
цикл. На рис. 4.7,6 он изображен отдельно расширенным,
72
так как на реальном портрете разрывный цикл сливается в
вертикальный отрезок eg. Чтобы убедиться в существовании
цикла, достаточно проследить за ходом некоторых фазовых
траекторий реальной системы, расположенных по обе сто-
роны от него. Факт возникновения разрывных колебаний ам-
плитуды может быть легко проиллюстрирован с помощью
рис. 4.1, на котором изображена ХОС генератора. Движение
происходит следующим образом. Амплитуда а плавно на-
растает от нуля до Ан (точка /), затем скачком увеличивается
до Ан (точка g), откуда плавно уменьшается до второй точки
скачка h и вновь скачком переходит в точку е. Далее кар-
тина периодически повторяется, т. е. наблюдается особая
самомодуляция колебаний [10].
Таким образом, в значительной по размерам области БД,
ограниченной на рис. 4.4 штриховкой и расположенной в
Рис. 4.8. Фазовый портрет синхронизированного
генератора для больших амплитуд внешней силы
(точка 3 области 929427 диаграммы; £ = 0,2,
Т=1)
центре зоны синхронизма, устойчивость стационарного син-
хронного режима срывается и возникает режим релаксацион-
ной автомодуляции амплитуды колебаний генератора. Этот
результат хорошо объясняет иногда наблюдающийся экспе-
риментальный факт срыва устойчивости синхронных колеба-
ний в центре зоны синхронизма при увеличении внешней
силы.
73
Если амплитуда внешней силы возрастает далее и имеет
место переход через линию Е=0,8 БД, на линии LB на фа-
зовой плоскости за счет пересечения ее с ИГД появляется
участок отталкивания (см. рис 4 6). Пересечение границы
LB (переход в область 9216269427) приводит к переходу седла
через линию LB на ФП, в результате чего оно превращается
в устойчивый узел. При этом разрывный цикл исчезает, и
в системе снова возникает стационарный синхронный режим,
но уже выше LB. Выше границы Q2 в области 929427 этот
режим является единственным (для точки 3 области, см.
рис. 4.8), причем его установление происходит только скач-
кообразно Изображающая точка сначала приходит на уча-
сток стыка линии LH (например, точка /) и скачет на линию
/Св (точка р), откуда происходит плавное установление ко-
лебаний в точку i.
Для больших значений расстройки и внешней силы пере-
ход на БД от группы границ LH, Q2, СИ2 к совокупности гра-
ниц LB, Q3, М3 сопровождается на ФП серией сложных би-
Рис 4 9 Фазовый портрет синхронизированного
генератора в области гистерезиса (точка 5 диа-
граммы, £ = 1,4, 6=1,3)
фуркаций, происходящих между линиями L„ и LB. Исследо-
вание показывает, что при больших расстройках существует
своеобразная область гистерезиса (отмеченная на рис. 4.4
74
крестообразной штриховкой), где на фазовом портрете при-
сутствуют два (а ниже границы Л42 диаграммы — три) ста-
ционарных синхронных режима, один — выше LB, а другой —
ниже LH. Преимуществом в установлении пользуется либо
тот, либо другой режим в зависимости от соотношения пара-
метров. Ниже границы 7И1 нижний режим становится режи-
мом биений. Один из портретов, возможных в этой области
гистерезиса (для точки 5 БД), показан на рис. 4.9. Область
притяжения нижнего устойчивого фокуса (см. точку t на
рис. 4.2 и 4.9) заштрихована. Аналогичный фазовый портрет
(см. рис. 3.6) анализировался ранее для случая синхрониза-
ции АГ на инерционном двухполюснике. Однако рассмотрен-
ные в гл. 3 гистерезисные эффекты были вызваны другой
причиной — инерционностью АЭ. В генераторах с немонотон-
ной ХОС явление гистерезиса принципиально возникает в
широкой области параметров и в том случае, когда инер-
ционность АЭ отсутствует.
Проведенный анализ показывает, что немонотонный ха-
рактер характеристики обратной связи приводит к сущест-
венному качественному изменению свойств транзисторных
синхронизированных автогенераторов и к новым явлениям,
которые необходимо учитывать на практике.
ПРИЛОЖЕНИЕ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ
В теории динамических систем на плоскости [12, 5] су-
ществует ряд методик и приемов, позволяющих достаточно
полно ответить на вопрос о поведении предельных циклов си-
стемы. Для иллюстрации их возможностей проведем, во-пер-
вых, доказательство сформулированных в § 3.4 утвержде-
ний а—г.
Для этого перейдем в исходной системе уравнений (2.3)
к другим координатам: представим переменные ср и а как
полярные координаты на плоскости вспомогательных пере-
менных х, у:
а=у х2+у2, tg(p=y/x.	(П.1)
Тогда система (2.3) примет следующий вид:
Г^=Р1(х,р); Т'~-~ = Ql(x, у),	(П.2)
at	at
где
[ Pi(x,y)=x(a— 1)—у[В+(а— l)tga]— F, (П
I Qi(x,у)=у(а— l)+x[g+(a— l)tga].
Заметим, что преобразование (П.1) переводит линии по-
стоянной амплитуды а на фазовом цилиндре в окружности
того же радиуса на плоскости (х, у). В результате различие
между предельными циклами первого (Б) и второго (Л)
родов (см. § 1.5) заключается в том, что на плоскости
(х, у) цикл А окружает начало координат, а цикл Б нет.
Согласно критерию Бендиксона [5], интеграл
(ПЛ|
S
обращается в нуль, если он взят по площади S, расположен-
ной внутри предельного цикла.
76
Для системы (П.2), (П.З) имеем
~ + 4^ = 2-3«-	(П.5)
дх ду	’
Отсюда видно, что выражение дР^дх-А-дС^/ду положительно
внутри круга радиуса а=2/3 на плоскости (х, у) и отрица-
тельно вне круга. Справедливость утверждений а и б непо-
средственно следует из применения критерия Бендиксона
(П.4) в случае выполнения (П.5).
Для доказательства утверждения (б) предположим, что
одновременно существуют два подобных предельных цикла.
Так как пересечение циклов невозможно [12], то один из них
вложен в другой. Применяя критерий Бендиксона, получаем,
что интеграл (П.4) по кольцу, образованному этими двумя
предельными циклами, должен быть равен нулю. Но этого
не может быть, так как, согласно (П.5), для точек вне круга
а=2/3 подынтегральное выражение в (П.4) всегда отрица-
тельно. Отсюда следует справедливость утверждения (в).
Утверждение (г) вытекает из критерия орбитальной устой-
чивости Пуанкаре [12], который связывает устойчивость пре-
дельного цикла со знаком интеграла
+ (п-6)
J \дх ду/
взятого по предельному циклу. Если интеграл (П.6) отрица-
телен, то предельный цикл устойчив. При а>2/3, согласно
(П.5), подынтегральное выражение в (П.6) отрицательно для
любой точки предельного цикла, а потому интеграл (П.6)
меньше нуля и, следовательно, предельный цикл А, распо-
ложенный выше линии а=2/3, является устойчивым.
Рассмотрим далее ход контактной кривой уравнений
(П.2), (П.З) для случая топографической системы (§ 3.4)
с центром в точке стационарного режима (х0) Уо)  Для этого
проведем преобразование координат, представленное схема-
тически на рис. П.1. В полярных координатах (0,/?) с цент-
ром в точке (х0, Уо) дифференциальные уравнения (П.2),
(П.З) получают вид
Т'-^- = «о (а—а0) (cos O+sin 0 tg а) 4-7? (а— 1),	(П.7)
dt
Г'/?—=а0(а—Go) (sin 0—cos 6tg а)—/?[В+ (а—l)tg а], (П.8)
dt
где а= (g2o+^2+2go^cosO)1/2.
77
Уравнение контактной кривой следует из (П.7) при
а0(а—а0) (cosO4-sin0tga)+/?(a—1)=0.	(П.9)
Рассмотрение хода этой контактной кривой позволяет в каж-
дом конкретном случае более точно определить поведение
предельных циклов системы. Так, например, если точка ста-
ционарного режима а0 расположена вблизи от начала коор-
динат х=0, у=0, то решение уравнения (П.9) близко к
окружности единичного радиуса (/?->1 при а0->-0). Поскольку
Рис. П. 1. Схема вспомогательного
преобразования координат
с увеличением расстройки АЧХ асимптотически приближа-
ются к оси т. е. а->0 при | £|—>оо, то предельный цикл А
с увеличением расстройки приближается к кругу единичного
радиуса. Существование этого цикла показано в § 3.4.
Существенным подспорьем при качественном исследова-
нии поведения предельных циклов динамической системы яв-
ляются методы теории бифуркаций, которые опираются на
следующее положение. Если известны бифуркационные зна-
чения параметров, известны особенности всех бифуркаций
при прохождении через различные бифуркационные значе-
ния, кроме того, известна качественная структура фазового
портрета динамической системы при каких-либо частных зна-
чениях параметров, то, используя соображения непрерывно-
сти, можно показать, что на основе этих сведений мы можем
определить качественную структуру для любой точки во
всем пространстве параметров. Выяснение характера и осо-
бенностей бифуркаций представляет собой особую задачу.
Например, в § 3.4 отмечалось, что бифуркация состояния
равновесная типа фокуса на границе циклической устойчи-
78
вости М может носить разный характер (опасные и безопас-
ные границы). Рассмотрим здесь методику определения ха-
рактера этой бифуркации.
Следуя [12], для определения устойчивости сложного фо-
куса на границе М уравнения (3.1) рассмотрим качественную
структуру поведения фазовых траекторий в окрестности фо-
куса. В полярных координатах (0, У?) с центром в данном
фокусе (<ро, Go) из (П.7), (П.8) получим уравнение фазовых
траекторий
dR _	—R [а0 (д—д0)(соз 0+sin 0 tg ct)+# (д — 1)]	(П 101
dQ	д0 (д—fl0)(sin 0 — cos 0 tg а) — R [^+(д— 1) tg a]
Разложив правую часть (П.10) в ряд Маклорена по
степеням R, представим это уравнение в виде
^=Kt (0)/?+^(е)^+к3(е)/?3+..., (пл 1)
au
где функции Kt, К2, Кз и т. д. сложным образом зависят от О
и параметров а0, g, tga.
Будем искать решение (П.11) с начальными условиями
R = Ro, 0=0, которое при малых Ro может быть представле-
но рядом
R=fiRo+f2R2o+fsR3o+,,,_	(п.12)
Подставив (П.12) в (П.11) и приравняв коэффициенты при
первой, второй и третьей степенях Ro, будем иметь
= Л1/з+2/С2ЛА!+^з/31.	(ПЛЗ)
au
Интегрируя (ПЛЗ) с учетом начальных условий (fi~l при
0 = 0), находим
/у=ехр f KtdQ,	(П.14)
о
f2=ft f K2ftdQ,	(П.15)
о
/з=Ы1+М KzpidG.	(ПЛ6)
о
По значениям величин ft, f2, fs,  можно судить о пове-
дении интегральных кривых в окрестности особой точки
79
/?=0. После полного оборота по 0, согласно (П.12), получим
Ri= М2я)Яо+М2лЖ+/з(2л)Я3о+ ....	(П.17)
Для достаточно малых Ro первые коэффициенты данного ряда
полностью определяют значение Rt. В случае Ri<Ro при
движении по интегральной кривой в положительном направ-
лении фокус, очевидно, является устойчивым. Если RC>Ro,
то — соответственно неустойчивым.
Вычисление fi по формуле (П.14) дает
f,=Сехр ! Carets_______2IW.-1>.8°]/QUO I .
( VO 2l^+(a0-l)tga] aotg0+D-|-ao J
_______2^+2(2a0-l)tg_oc________|i/2?	(П18)
(2^+(3a()—2) tg a + a0 tg a cos 20-)-«o sin 20 J
D= [2g+ (3ao-2)tg a]2—a2o(l+tg2 a).
На границе M имеем a0=2/3 и fi(2ji) = l, поэтому при
>-0 отношение RJRo, согласно (П.17), стремится к едини-
це. Если а0>2/3, то под знаком экспоненты в (П.18) отри-
цательная величина, Д (2л) < 1 и Ri<Ro, т. е. фокус является
устойчивым. При Оо<2/3 имеем Ri~>Ro, что говорит о неус-
тойчивости фокуса.
Для определения /г по формуле (П.15) на границе М
(а0=213) заметим, что из (П.10) следует: ^2(0+л;)=—^2(0)•
В то же время /1(0) при Оо=2/3 и замене 0 на 0+л знака
не меняет. Поэтому интеграл (П.15) в пределах от нуля
до 2л обращается в нуль. Отсюда (П.16) упрощается:
(П.19)
а ряд (П.17) получает вид
/?1=/?о+/3(2л,2/3)/?3о+... •
Из этого выражения следует, что при достаточно малых Ro
именно знак /з определяет, насколько Rt больше или меньше
Ro. Иначе говоря, /з является первой Ляпуновской величиной
L=f3 и обусловливает характер «опасности» границы М.
Определение знака fs (2л, 2/3) по формуле (П.19) связано
с громоздкими вычислениями, поэтому они были проведены
на ЭВМ, а результаты обсуждаются в § 3.4.
Проведенный анализ позволяет определить период дви-
жения по предельному циклу в граничном случае. На основе
80
уравнения для фазы (П.8) получаем, что время одного кру-
гового (с радиусом R) движения вокруг фокуса равно
зл	-r de
у _ jf г __________________________________________
6 (J а0 («—«o)(sin е — cos 0 tg се)—(«—1) tg се]
На границе М в случае стягивания предельного цикла в точ-
ку (т. е. при а=2/3 и имеем
г”	dO	2лТ’
Тб~ ЗТ' f ----------------------=---------------------.
•J 3i—sin 234-tg <х cos 20	(£2-(1 +tg2a)/9]1/2
Если расстройка велика по сравнению с 1 и tga, то прибли-.
женно получаем 7’б=2л7'//| £|.
6-2377
ЛИТЕРАТУРА
1.	Уткии Г. М. Автоколебательные системы и волновые усилители.—
М.: Сов. радио, 1978. — 272 с.
2.	Демьяичеико А. Г. Синхронизация генераторов гармонических коле-
баний. — М : Энергия, 1976. — 240 с.
3.	Фомин Н. Н. Синхронизированные полупроводниковые генераторы
в аппаратуре СВЧ. — М.: Связь, 1979. — 40 с.
4.	Хотуицев Ю. Л., Тамарчак Д. Я. Синхронизированные генераторы
и автодины на полупроводниковых приборах. — М.: Радио и связь, 1982.—
240 с.
5.	Бутеиии Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию
колебаний. — М.: Наука, 1976. — 384 с.
6.	Дворников А. А., Уткии Г. М. Фазированные автогенераторы радио-
передающих устройств —М.; Энергия, 1980.'— 177 с.
7.	Минакова И. И., Федосеев А. Г. Управление параметрами синхрони-
зации неизохронных автогенераторов. — Радиотехника и электроника, 1980,
№ 12, с. 2593—2600.
8.	Баутин Н. Н., Шильников Л. П. Поведение динамических систем
вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодиче-
ских движений. — В кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рож-
дения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980, с. 294—316.
9	Евтянов С. И. Ламповые генераторы. — М.: Связь, 1967. — 384 с.
10.	Богачев В. М., Смольский С. М. Исследование автоколебательных
систем методом символических укороченных уравнений. — М.: Моск, энерг.
ин-т, 1980.— 95 с.
11.	Радиопередающие устройства; Учебное пособие/Под ред. Благове-
щенского М. В., Уткина Г. М. — М.: Радио и связь, 1982. — 408 с.
И2.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.:
Наука, 1981. — 568 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	Общие уравнения синхронизированных автоколебательных систем 3
1.1.	Явление синхронизации. Классификация активных элементов
автогенераторов ............................................ 3
1.2.	Укороченные дифференциальные уравнения..................7
1.3.	Уравнения стационарного синхронного	режима .	.	.	.11
1.4.	Общее характеристическое уравнение.....................12
1.5.	Синхронизация одноконтурного генератора на безынерцион-
ном двухполюснике............................................16
2.	Синхронные колебания в генераторах на инерционных двухпо-
люсниках .....................................................23
2.1.	Аппроксимация нелинейности и исходные уравнения .	.	.23
2.2.	Характеристическое уравнение и границы локальной устой-
чивости .....................................................25
2.3.	Амплитудно-частотные	и	фазочастотные характеристики	27
2.4.	Полоса синхронизма	генератора..........................32
2.5.	Синхронный режим автогенератора с источником воздействия
во входной цепи..............................................36
2.6.	Способ качественного построения АЧХ сложных синхронизи-
рованных систем..............................................39
3.	Динамические свойства синхронизированных автогенераторов на
инерционных двухполюсниках....................................42
3.1.	Введение...............................................42
3.2.	Уравнение фазовых траекторий...........................42
3.3.	Бифуркационные диаграммы...............................43
3.4.	Предельные циклы и режим биений........................46
3.5.	Фазовые портреты синхронизированного генератора .	.	.50
3.6.	Количественные оценки длительности установления синхрон-
ных колебаний .............................................. 57
4.	Установление синхронных колебаний в автогенераторах на четы-
рехполюсниках	...........................................61
4.1.	Введение...............................................61
4.2.	Укороченные	дифференциальные уравнения.................62
4.3.	Стационарные синхронные режимы и их локальная устой-
чивость .....................................................64
4.4.	Бифуркационная	диаграмма..............................66
4.5.	Фазовые портреты синхронизированного генератора на че-
тырехполюснике	........................................70
Приложение.
Литература.
Сергей Львович Артеменков
Сергей Михайлович Смольский
Учебное пособие
по курсу
«Устройства формирования и обработки радиосигналов»
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИНХРОНИЗИРОВАННЫХ
ГЕНЕРАТОРОВ
(Кафедра радиопередающих устройств)
Технический редактор Н. Н. Толченова.
Корректор Л. М. Филиппова.
Темплан издания МЭИ 1985 г., поз. 28 (учебн.)
Л—66010. Подписано к печати 06.01.1986 г.
Формат бумаги 60x84/16.	Печ. л. 5,25.	Уч.-изд. л. 4,2.
Тираж 300.	Заказ 2377.	Цена 15 коп.
Типография МЭИ, Красноказарменная, 13