/
Author: Владимиров В.С.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика математическая физика задачи по математике естественные науки
ISBN: 5-02-013760-X
Year: 1988
Text
ФИЗИКИ
М?-9
В 57
В. С. Владимиров
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
2W
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебника для студентов
физико-технических специальностей вузов
й®
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8
ББК 22.161
В57
УДК 517(075.8)
Владимиров В. С. Уравнения математической физики:
Учебник.— 5-е пзд., доп.— М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—
512 с.- ISBN 5-02-0137G0-X
Основная особенность курса — широкое использование концеп-
ции обобщенного решения краевых задач классической математи-
ческой физики. Поэтому в книге содержится специальная глава,
посвященная теории обобщенных функций. Излагается теория ин-
тегральных уравнений, теория сферических функций, теория функ-
ций Бесселя, операционное исчисление обобщенных функций. На-
стоящее издание незначительно отличается от предыдущего
(1981 г.): сделаны некоторые уточнения и пояснения в тексте и
добавлены два пункта — задача Коши для нелинейного уравнения
релятивистской струны и метод факторизации, непосредственно
примыкающие к основному материалу курса.
Для студентов математических и физических факультетов
университетов и вузов с повышенной математической подготовкой,
а также для аспирантов.
Ил. 112. Библиогр. 75 названий.
Владимиров Василий Сергеевич
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор В. В. Абгарян
Художественный редактор Т. IL Колъченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Л. И. Назарова, М. Н. Дронова
ИВ № 32526
Сдано в набор 23.06.87, Подписано к печати 29.04.88. Формат 84x108/32.
Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая, Усл. печ.
л. 26,88. Усл. кр-отт. 26,88. Уч.-изд. л. 28,45. Тираж 19 000 экз. За-
каз № 946. Цена 1 р, 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25
1702050000-114 п
R 053(02)-88 0-88
ISBN 5-02-013760-Х
©Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1976; 1981;
с дополнениями, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию........................... 9
Глава I. Постановка краевых задач математической фи-
зики .................................* . . . •
§ 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств,
теории функций и теории операторов..................13
1. Точечные множества в Rn (13). 2. Классы функций
Cp(G) и Ср (G) (15). 3. Пространство непрерывных функ-
ций С(Т) (17). 4. Интеграл Лебега (18). 5. Интегралы
Лебега, зависящие от параметра (24). 6. Интегралы ти-
па потенциала (25). 7. Пространство функций 3?z(G)
(29). 8. Ортонормальные системы (31). 9. Полные орто-
нормальные системы (34). 10. Линейные операторы и
функционалы (37). И. Линейные уравнения (40). 12. Эр-
митовы операторы (42).
§ 2. Основные уравнения математической физики ... "*4
1. Уравнение колебаний (45). 2. Уравнение диффузии
(48). 3. Стационарное уравнение (51). 4. Уравнение пе-
реноса (52). 5. Уравнения газо-гидродинамики (53).
6. Уравнения Максвелла (54). 7. Уравнение Шредингера
(55). 8. Уравнение Клейна — Гордона — Фока и уравне-
ние Дирака (55).
§ 3. Классификация квазилинейных дифференциальных урав-
нений второго порядка ..................................36
1. Классификация уравнений в точке (56). 2. Выраже-
ние оператора Лапласа в сферических и цилиндриче-
ских координатах (59). 3. Характеристические поверх-
ности (характеристики) (60). 4. Канонический вид урав-
нений с двумя независимыми переменными (63). 5. При-
мер. Уравнение Трикоми (69).
§ 4. Постановка основных краевых задач для линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка ....
1. Классификация краевых задач (70). 2. Задача Коши
(72). 3. Роль характеристик в постановке задачи Коши
(73). 4. Краевая задача для уравнений эллиптического
типа (75). 5. Смешанная задача (76). 6. Другие краевые
задачи (77). 7. Корректность постановок задач матема-
тической физики (79). 8. Теорема Коши — Ковалевской
(80). 9. Пример Адамара (82). 10. Классические и обоб-
щенные решения (83).
Глава II. Обобщенные функции 84
§ 5. Основные и обобщенные функции......................85
1. Введение (85). 2. Пространство основных функций
& (87). 3. Пространство обобщенных функций 2b' (91).
4
Оглавление
4. Полнота пространства обобщенных функций ЗУ (92).
5. Носитель обобщенной функции (95). 6. Регулярные
обобщенные функции (97). 7. Сингулярные обобщенные
функции (99). 8. Формулы Сохоцкого (100). 9. Линей-
ная замена переменных в обобщенных функциях (102).
10. Умножение обобщенных функций (103). 11. Упраж-
нения (104).
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций . . . 105
1. Производные обобщенной функции (106). 2. Свойства
обобщенных производных (106). 3. Первообразная обоб-
щенной функции (109). 4. Примеры, п = 1 (112).
5. Примеры, п^2 (117). 6. Упражнения (126).
§ 7. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 127
1. Определение прямого произведения (127). 2. Комму-
тативность прямого произведения (130). 3. Дальнейшие
свойства прямого произведения (132). 4. Свертка обоб-
щенных функций (133). 5. Свойства свертки (137).
6. Существование свертки (139). 7. Сверточная алгебра
обобщенных функций (140). 8. Уравнения в свер-
точной алгебре 9)^ (143). 9. Регуляризация обобщен-
ных функций (145). 10. Примеры сверток. Ньютонов по-
тенциал (147). 11. Упражнения (150).
§ 8. Обобщенные функции медленного роста . . . . 151
1. Пространство основных функций 3 (151). 2. Прост-
ранство обобщенных функций медленного роста
(152). 3. Примеры обобщенных функций медленного
роста (154). 4. Структура обобщенных функций с точеч-
ным носителем (155). 5. Прямое произведение обоб-
щенных функций медленного роста (157). 6. Свертка
обобщенных функций медленного роста (159).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медлен-
ного роста.............................................160
1. Преобразование Фурье основных функций из & (160).
2. Преобразование Фурье обобщенных функций из 9'
(161). 3. Свойства преобразования Фурье (164). 4. Пре-
образование Фурье обобщенных функций с компактным
носителем (166). 5. Преобразование Фурье свертки
(167). 6. Примеры, п — 1 (168). 7. Примеры, п^2
(172). 8. Упражнения (176).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций (опера-
ционное исчисление).................................. 177
1. Преобразование Лапласа локально интегрируемых
функций (177). 2. Преобразование Лапласа обобщен-
ных функций (178). 3. Свойства преобразования Лап-
ласа (180). 4. Обратное преобразование Лапласа (182).
5. Примеры и применения (186). 6. Упражнения (190).
Глава III. Фундаментальное решение и задача Кошп 192
§11. Фундаментальные решения линейных дифференциаль-
ных операторов....................................192
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных
уравнений (192). 2. Фундаментальные решения (193).
3. Уравнения с правой частью (196). 4. Метод спуска
(197), 5. Фундаментальное решение линейного диффе-
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
репциального оператора с обыкновенными производ-
ными (200). 6. Фундаментальное решение оператора
теплопроводности (200). 7. Фундаментальное решение
волнового оператора (201). 8. Фундаментальное реше-
ние оператора Лапласа (203). 9. Фундаментальное ре-
шение оператора Гельмгольца (205). 10. Фундамен-
тальное решение оператора Коши — Римана (206),
И. Фундаментальное решение оператора переноса (206).
12. Упражнения (208).
§ 12. Волновой потенциал «•••••••••
1. Свойства фундаментального решения волнового опе-
ратора (209). 2. Дополнительные сведения о свертках
(212). 3. Волновой потенциал (214). 4. Поверхностные
волновые потенциалы (218).
§ 13. Задача Коши для волнового уравнения.............
1. Задача Коши для обыкновенного линейного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффициен-
тами (222). 2. Постановка обобщенной задачи Коши
для волнового уравнения (224). 3. Решение обобщен-
ной задачи Коши (226). 4. Решение классической зада-
чи Коши (227). 5. Упражнения (229).
§ 14. Распространение волн
1. Наложение волн и области влияния (231). 2. Распро-
странение волн в пространстве (232). 3. Распростране-
ние волн на плоскости (234). 4. Распространение волн
на прямой (236). 5. Метод распространяющихся волн
(239). 6. Метод отражений. Полубесконечная струна
(242). 7. Метод отражений. Конечная струна (245).
8. Нелинейные волновые уравнения (247). 9. Реляти-
вистская струна (250).
§ 15. Метод Римана • .................................
1. Решение задачи Гурса (254). 2. Формула Грина (258).
3. Функция Римана (259). 4. Задача Коши (262),
§16. Задача Коши для уравнения теплопроводности , ,
1. Тепловой потенциал (267). 2. Поверхностный теп-
ловой потенциал (270). 3. Постановка обобщенной за-
дачи Коши для уравнения теплопроводности (272).
4. Решение задачи Коши (273). 5. Упражнения (274).
Глава IV. Интегральные уравнения......................
§17. Метод последовательных приближений «lift
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром
(278). 2. Повторные ядра. Резольвента (282). 3. Инте-
гральные уравнения Вольтерра (285). 4. Интегральные
уравнения с полярным ядром (287). 5. Упражнения
(292).
§ 18. Теоремы Фредгольма , . ................
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром
(293). 2. Теоремы Фредгольма для интегральных урав-
нений с вырожденным ядром (296). 3. Теоремы Фред-
гольма для интегральных уравнений С непрерывным
ядром (299). 4. Следствия из теорем Фредгольма (303),
5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравн^нцй
с полярным ядром (305), 6. Упражнения (307) * ? ’
209
222
231
253
267
277
278
293
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром « « • 308
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным
ядром (308). 2. Лемма Арчела — Асколи (309). 3. Ин-
тегральные уравнения с эрмитовым непрерывным яд-
ром (311). 4. Интегральные уравнения с эрмитовым
полярным ядром (313).
§ 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия < . . 314
1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непре-
рывного ядра (314). 2. Билинейное разложение повтор-
ных ядер (318). 3. Билинейное разложение эрмитова
непрерывного ядра (319). 4. Решение неоднородного
интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным
ядром (321). 5. Положительно определенные ядра (323).
6. Распространение теории Гильберта — Шмидта па
интегральные уравнения с эрмитовым полярным яд-
ром (324). 7. Теорема Ентча (326). 8. Метод Келлога
(328). 9. Теорема Мерсера (331).
Глава V. Краевые задачи для уравнений эллиптического
типа.......................................... « « . 333
§ 21. Задача на собственные значения....................333
1. Постановка задачи на собственные значения (333).
2. Формулы Грина (334). 3. Свойства оператора L (336).
4. Свойства собственных значений и собственных функ-
ций оператора L (337). 5. Физический смысл собствен-
ных значений и собственных функций (341).
§ 22. Задача Йтурма — Лиувилля........................ 312
1. Функция Грина (343). 2. Сведение задачи Штурма —
Лиувилля к интегральному уравнению (346). 3. Свой-
ства собственных значений и собственных функций
(347). 4. Нахождение собственных значений и собст-
венных функций (349). 5. Метод факторизации (351).
§ 23. Функции Бесселя...................................352
1. Определение и простейшие свойства функций Бессе-
ля (352). 2. Свойство ортогональности (354). 3. Рекур-
рентные соотношения для функций Бесселя (356).
4. Кории функций Бесселя (357). 5. Краевая задача на
собственные значения для уравнения Бесселя (359).
6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бессе-
ля (360). 7. Полнота функций Бесселя (362). 8. Другие
цилиндрические функции (363). 9. Упражнения (365).
§ 24. Гармонические функции.............................366
1. Формула Грина (366). 2. Распространение формул
Грипа (368). 3. Теорема о среднем арифметическом
(371). 4. Принцип максимума (371). 5. Следствия из
принципа максимума (373). 6. Стирание особенностей
гармонической функции (374). 7. Обобщенно-гармони-
ческие функции (375). 8. Дальнейшие свойства гармо-
нических функций (376). 9. Аналог теоремы Лиувилля
(377). 10. Поведение гармонической функции на бес-
конечности (378). 11. Упражнения (380).
§ 25. Сферические функции ..............................380
1. Определение сферических функций (380). 2. Диффе-
ренциальное уравнение для сферических функций
(382). 3. Полиномы Лежандра (383), 4. Производящая
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
функция (385). 5. Присоединенные функции Лежанд-
ра (388). о. Сферические функции (389). 7. Формула
Лапласа (391). 8. Шаровые функции (392). 9. Упраж-
нения (393).
§ 26. Метод Фурье для задачи на собственные значения . ♦ 394
1. Общая схема метода Фурье (394). 2. Примеры (395).
§ 27. Ньютонов потенциал 400
1. Объемный потенциал (400). 2. Потенциалы простого
и двойного слоя (402). 3. Физический смысл ньютоно-
вых потенциалов (404). 4. Поверхности Ляпунова (406).
5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя па
Поверхности S (410). 6. Разрыв потенциала двойного
Слоя (412). 7. Разрыв нормальной производной потен-
циала простого слоя (414). 8. Упражнения (416).
§ 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в
пространстве ...................................... 416
1. Постановка основных краевых задач (416). 2. Теоре-
мы единственности решения краевых Задач (418). 3.
Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
(420). 4. Исследование интегральных уравнений (422).
5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара (426).
§ 29. Функция Грина задачи Дирихле 428
1. Определение и свойства функции Грина (428).
2. Примеры построения функции Грина (метод отра-
жений) (431). 3. Решение краевой задачи с помощью
tyHKpHH Грина (433). 4. Формула Пуассона (435).
Сведение краевой задачи к интегральному уравне-
нию (436). 6. Свойства собственных значений и собст-
венных функций (439). 7. Упражнения (441).
§ 30. Уравнение Гельмгольца.............♦ * * • 442
• 1. Условия излучения Зоммерфельда (443). 2. Однород-
ное уравнение Гельмгольца (444). 3. Потенциалы (445).
4. Принцип предельного поглощения (447). 5. Принцип
предельной амплитуды (449). 6. Краевые задачи для
уравнения Гельмгольца (450). 7. Внешние краевые за-
дачи для шара (451). 8. Упражнения (452).
§ 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости 453
1. Постановка и единственность решения основных
краевых задач (453). 2. Логарифмический потенциал
(455). 3. Разрешимость краевых задач (458). 4. Реше-
ние краевых задач для круга (461). 5. Функция Грина
задачи Дирихле (463). 6. Решение задачи Дирихле для
односвязной области (465). 7. Упражнения (466).
Глава VI. Смешанные задачи , • «>>». 468
§ 32. Метод Фурье ............ 468
1. Однородное гиперболическое уравнение (469). 2. Не-
однородное гиперболическое уравнение (471). 3. Пара-
болическое уравнение (473). 4. Уравнение Шрединге-
ра (474). 5. Эллиптическое уравнение (475). 6. Приме-
ры (476). 7. Упражнения (482).
§ 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического
типа . . 483
1. Классическое решение. Интеграл энергии (483).
2. Единствсппость и непрерывная зависимость классп-
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
ческого решения (485). 3. Функции, непрерывные в
2?2(G) (489). 4. Обобщенное решение (491). 5. Единст-
венность и непрерывная зависимость обобщенного ре-
шения (494). 6. Существование обобщенного решения
(495). 7. Существование классического решения (498).
§ 34. Смешанная задача для уравнения параболического типа 501
1. Классическое решение. Принцип максимума (501).
т 2. Единственность и непрерывная зависимость клас-
сического решения (503). 3. Обобщенное решение (505).
4. Существование обобщенного решения (507). 5. Су-
ществование классического решения (508).
Список литературы.................................... 509
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Теория математических моделей физических явлений
составляет предмет математической физики. Математиче-
ская физика развивалась со времен Ньютона параллель-
но развитию физики и математики. В конце XVII в.
было открыто дифференциальное и интегральное исчис-
ление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы ос-
новные законы классической механики и закон всемир-
ного тяготения (И. Ньютон). В XVIII в. методы мате-
матической физики начали формироваться при изучении
колебаний струн и стержней, а также задач, связанных
с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы
аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер,
Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас). В XIX в. идеи
математической физики получили новое развитие в связи
с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оп-
тики, электродинамики, нелинейными волновыми процес-’
сами и т. д.; создаются теория потенциала и теория
устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, К. Гаусс,
О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Б. Риман,
С. В. Ковалевская, Д. Стокс, А. Пуанкаре, А. М. Ляпу-
нов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт). В XX в. в математи-
ческую физику включаются задачи квантовой физики и
теории относительности, а также новые проблемы газовой
динамики, переноса частиц и физики плазмы.
Многие задачи классической математической физики
сводятся к краевым задачам для дифференциальных
(интегро-дифференциальных) уравнений — уравнений ма-
тематической физики. Основными математическими сред-
ствами исследования этих задач служат теория диффе-
ренциальных уравнений (включая родственные области:
интегральные уравнения и вариационное исчисление),
теория функций, функциональный анализ, теория вероят-
ностей, приближенные методы и вычислительная ма-
тематика.
Изучение математических моделей квантовой физики
потребовало привлечения новых областей математики,
такиХд как теории обобщенных функций, теории функций
10
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
многих комплексных переменных, топологических и ал-
гебраических методов.
G появлением ЭВМ существенно расширился класс
математических моделей, допускающих детальный ана-
лиз; появилась реальная возможность ставить вычисли-
тельные эксперименты. В этом интенсивном взаимодей-
ствии теоретической физики и современной математики
создаются качественно новые классы моделей современ-
ной математической физики.
Среди задач математической физики выделяется важ-
ный класс корректно поставленных задач, т. е. задач, для
которых решение существует, единственно и непрерывно
зависит от данных задачи. Хотя эти требования на пер-
вый взгляд кажутся совершенно естественными, их, тем
не менее, необходимо доказывать в рамках принятой ма*
тематической модели. Доказательство корректности —
это первая апробация математической модели: модель
непротиворечива (решение существует), модель однознач-
но описывает физический процесс (решение единствен-
но), модель малочувствительна к погрешностям измере-
ний физических величин (решение непрерывно зависит
от данных задачи)»
В этой книге изучаются в основном корректно постав-
ленные краевые задачи для дифференциальных уравне-
ний классической математической физики. Однако в от-
.личие от традиционных способов изложения уравнений
в книге широко используется концепция обобщенного
решения. Обобщенные решения возникают при изучении
интегральных соотношений типа локального баланса, и
учет этих решений приводит к обобщенным постановкам
краевых задач математической физики.
Точное определение обобщенного решения опирается
па понятие обобщенной производной и, вообще, обобщен-
ной функции. Аппарат теории обобщенных функций
служит удобным средством для исследования линейных
краевых задач математической физики в обобщенной и
классической постановках. Поэтому специальная глава
в этой книге посвящена изложению теории обобщенных
функций.
Ряд разделов книги излагается на языке функцио-
нального анализа (на элементарном уровне)’, что, с од-
ной стороны, подводит читателя к чтению современной
научной литературы, а с другой стороны, приводит к зна-
чительным сокращениям изложения,
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
11
В книге принята следующая схема расположения ма-
териала. В главе I излагается постановка и классифи-
кация основных краевых задач математической физики,
а также приводятся некоторые необходимые для даль-
нейшего сведения из анализа. Глава II содержит элемен-
ты теории обобщенных функций, включая преобразова-
ние Лапласа обобщенных функций (операционное исчис-
ление). В главе III строятся фундаментальные решения
для дифференциальных операторов с постоянными коэф-
фициентами и исследуются обобщенная и классическая
задачи Коши для волнового уравнения и уравнения теп-
лопроводности. Особенность изложения состоит в том, что
в обобщенной постановке задачи Коши начальные усло-
вия включаются в мгновенно действующие источники;
это позволяет построить ее решение в виде свертки ис-
точника с надлежащим образом выбранным фундамен-
тальным решением. Специальный параграф посвящен
задачам Гурса и Коши для уравнения гиперболического
типа с двумя переменными (метод Римана). Глава IV
содержит теорию интегральных уравнений с полярным
ядром. Доказываются теоремы Фредгольма, Гильберта —
Шмидта, Ентча, Келлога и Мерсера.
В главе V рассматриваются задачи па собственные
значения для уравнений эллиптического типа, включая
задачу Штурма — Лиувилля, а также краевые задачи
для уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве
и для уравнения Лапласа на плоскости. Излагается эле-
ментарная теория гармонических функций, а также
функций Бесселя и сферических- функций. В главе VI
изучаются смешанные задачи для уравнений гиперболи-
ческого и параболического типов в классической и обоб-
щенной постановках. Излагается метод Фурье и дается
его обоснование.
Многие параграфы книги содержат задачи для уп-
ражнений. Ряд задач сформулирован в виде теорем, ко-
торые являются существенным дополнением к основному
материалу. Для упражнений можно также рекомендовать
«Сборник задач по уравнениям математической физики»
В. С. Владимирова, В. П. Михайлова, А. А. Башарина,
X. X. Каримовой, Ю. В. Сидорова, М. И. Шабунина
(Наука, 1982).
Эта книга является расширенным изложением лекций
по курсу «Уравнения математической физики», читанных
Двтором в точение многих лет студентам Московского
12
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
физико-технического института. Она рассчитана на сту-
дентов и аспирантов — математиков, физиков и инжене-
ров с повышенной математической подготовкой.
Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодар-
ность всем лицам, чья конструктивная критика способ-
ствовала улучшению настоящего и предыдущих изданий
книги. В особенности я благодарен Н. Н. Боголюбову,
С. Л. Соболеву, В. П. Михайлову, Л. Д. Кудрявцеву,
Б. М. Степанову, X. X. Каримовой, Ю. Н. Дрожжииову,
В. А. Ильину, И. А. Киприянову, В. В. Жаринову,
Ю. П. Кривенкову, В. Д. Чарушникову и И. В. Воловичу.
Я также весьма благодарен Н. Я. Владимировой за
помощь при оформлении рукописи и чтение корректур.
ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Некоторые понятия и предложения теории
множеств, теории функций и теории операторов
Пусть А — произвольное множество. Если элемент а
содержится (не содержится) в множестве Л, то это будем
записывать так: а^А (аё Л). Пусть В — другое множе-
ство. Обозначаем А с= В включение А в В, А = В — сов-
падение А с В, A U В — объединение А и В, А А В —-
пересечение А и В, А\В —
дополнение В до А
(рис. 1), А X В — произве-
дение А и В (множество
пар (а, Ь), а^А, Ь^В),
0 — пустое множество.
1. Точечные множества
в Rn. Обозначим ^-мерное
вещественное евклидово
пространство через Rn, а его точки через х = (#i, х2, ...
..яп), у. § и т. д., где Хг, i = 1, 2, ..., п,— координаты
точки х. Символами (х, у) и Ы обозначим скалярное
произведение и длину (норму) в Rn:
(х, у} = Х1У1 + х2у2 +... + хпуп,
к | = V(z>== + * • • +
Таким образом, число 1х — у\ есть евклидово расстояние
между точками х и у.
Множество точек х из Яп, удовлетворяющих неравен-
ству \х — я01<й, называется открытым шаром радиуса
R с центром в точке х0. Этот шар будем обозначать
U (х0; /?); Un= £7(0; R).
Последовательность точек xh = (xlh, x2h, ».хп$, k =
— 1,2,..., называется сходящейся к точке d в 7?я, xh -> х,
к оо, если 1хк — х! 0, к со. Последовательность хА,
14 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ, I
к — 1, 2, ..называется сходящейся в себе в /?п, если
— ЯР1 0, к оо, р оо.
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства Rn {принцип сходимости Коши), Для того
чтобы последовательность точек сходилась в Rn, необхо-
димо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в Rn.
Множество называется ограниченным в Rn, если су-
ществует шар, содержащий это множество.
Следующее предложение выражает свойство компакт-
ности пространства Rn (теорема Больцано — Вейерштpac-
ed). Из всякого- бесконечного ограниченного множества
в Rn можно выбрать сходящуюся последовательность.
Точка xQ называется внутренней точкой множества,
если существует шар U(xq\ е), содержащийся в этом
множестве. Множество называется открытым, если все
его точки внутренние. Множество называется связным,
если любые две его точки можно соединить кусочно-глад-
кой кривой, лежащей в этом множестве. Связное откры-
тое множество называется областью. Точка xQ называется
предельной точкой множества А, если существует после-
довательность xh, k=l, 2, ..., такая, что xh^A, xh¥= х0,
xh “* ^о, к оо. Если к множеству А добавить все его
предельные точки, то полученное множество^ называется
замыканием множества А и обозначается А; ясно, что
А<=^А. Если множество совпадает со своим замыканием,
то оно называется замкнутым. Замкнутое ограниченное
множество называется компактом. Окрестностью множе-
ства А называется всякое открытое множество, содержа-
щее А; ^-окрестностью Ае множества А называется
объединение шаров U (х; е)7 когда х пробегает А: =
«= U Ufa О-
ос&А
Функция %а(х), равная 1 при х^А и 0 при х^А,
называется характеристической функцией множества А.
Справедливо следующее предложение о покрытии
(лемма Гейне — Бореля). Если компакт К покрыт систе-
мой открытых шаров, то из этого покрытия можно вы-
брать конечную подсистему, покрывающую К.
Пусть G — область. Точки замыкания G, не принадле-
жащие G, образуют замкнутое множество S, называемое
границей области G, так что S = G\G. Например,
границей открытого шара U(ад R) является сфера
1х — Эту сферу будем обозначать S(x0; R); SR^
-5(0; R).
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
15
Будем говорить, что поверхность S принадлежит клас-
су Ср, Р 1, если в некоторой окрестности каждой точки
х0 е S опа представляется уравнением (х) = 0, причем
grad о)хо (х) 0 и функция (ох^ (х) непрерывна вместе со
всеми производными до порядка р включительно в упо-
мянутой окрестности. Поверхность S называется ку сочно -
гладкой, если опа состоит из
конечного числа поверхно-
стей класса С1.
Впредь мы будем рассмат-
ривать только области с ку-
сочно-гладкими границами;
через п ~ пх обозначим еди-
ничный вектор внешней нор-
мали к границе S в точке
x^S. Пусть точка xQ лежит
на кусочно-гладкой поверх-
ности S. Окрестностью точки
та связная часть мно-
xQ на поверхности S называется
жества S П U(Xq, R)1 которая содержит точку х0.
Ограниченная область G' называется подобластью,
строго лежащей в области G, если G' <= G; при этом пи-
шут G' G. В силу леммы Гейне — Бореля существует
такое число е > 0, что G (рис. 2).__
2. Классы функций Cv(G) и C?(G). Пусть сс = (сс1,
а2, ...» ссп) — целочисленный вектор с неотрицательными
составляющими а, (мультииндекс). Через daf(x) обозна-
чаем производную функции f(x) порядка |al==cci +
+ а2 + ... + ап'
да/ (.-) = дас,., ^7 (^) = ^°/W=/(*);
д = (5Х, д2, ... дп), dj = / = 1,2,...., п.
Для низших производных мы иногда будем употреблять
и такие обозначения: fxv fx^ и т. д., для одной пере-
менной— /', /(п), ... Мы будем пользоваться
также следующими сокращенными обозначениями:
(Х-*
X} х% , *, хп ,
а! = ах! а2! ... ап1
Множество (комплекснозначных) функций /, непре-
рывных вместе с производными daf(x), lai ^р (0^р<
16 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
<°°), в области G, образует класс функций Cp(G)t
Функции / класса CP(G), у которых все производные
0°7(я), led < р, допускают непрерывное продолжение на
замыкание G, образуют класс функций CP(G); при этом
под значением да1(х), x^S, led <р, понимаем ИтЗа/(л*')
при х' -> х, х' G. Класс функций, принадлежащих
CP(G) при всех р, обозначим через G°°(G); аналогично
определяется и класс функций C°°(G).
Таким образом, класс C°(G) состоит из всех непре-
рывных функций в G, а класс C°(G) можно отожде-
ствить с множеством всех непрерывных функций на С.
Для сокращения записи обозначаем _C(G) = С°(С),
G(G) = C°(G). Иногда аргумент б*или G у класса Ср
будем опускать.
Пусть функция f(x) задана на некотором множестве,
содержащем область G. В этом случае принадлежность
/ классу_Ср(£) означает, что сужение f на G принадле-
жит CP(G). Например, функция //(<г)=-0, х < 0; //(О)^
= 1/2; Я(я)=1, я>0, принадлежит классам С°°(^^0)
и С°° (я>0), причем если Н рассматривается как функ-
ция класса С°° (я^О), то ее значение в 0 следует счи-
тать равным 0, а если Н — функция класса С°° (z>0),
то ее значение в 0 следует считать равным 1 (в соответ-
ствии с определениями).
Введенные классы функций представляют собой ли-
нейные множества, т. е. из принадлежности функций /
и g какому-либо из этих классов следует принадлежность
этому же классу и любой их линейной комбинации
X/ + pg, где К и ц — произвольные комплексные числа.
Функция / называется кусочно-непрерывной в Rn, если
существует конечное или счетное число областей Gk, к ==
= 1, 2, ..., без общих точек с кусочно-гладкими грани-
цами таких, что каждый шар покрывается конечным
числом замкнутых областей {Gh} и /еС(Сй), А = 1, 2, ...
Кусочно-непрерывная функция называется финитной,
если она обращается в нуль вне некоторого шара.
Пусть Носителем непрерывной функции <р
называется замыкание множества тех точек, где ф(^)=И= 0;
носитель <р обозначаем виррф, так что
8иррф = [я: x^Rn, q>(x)¥= 0].
Таким образом, функция ф(я) финитна тогда и толь-»
ко тогда, когда виррф ограничен,
§ и
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
17
3. Пространство непрерывных функций С(Т). Пусть
Т — замкнутое множество, например замыкание G или
граница S области G. Обозначим через С(Т) класс не-
прерывных и ограниченных на Т функций. Снабдим
класс С(Т) нормой, положив
M!lc = sup|/(^)|, /еС(7’). (1)
хё Т
Норма (1) обладает следующими тремя характерны-
ми для нормы свойствами:
а) Н/Ис 0; li/Hc = 0 тогда и только тогда, когда / = 0;
b) IIZ/Hc = IXIH/Ilc, где к — любое комплексное число;
с) 0/4-gllc < 11/Нс + llgllc (неравенство треугольника).
Вообще всякое линейное множество, снабженное нор-
мой, обладающей свойствами а)—с), называется линей-
ным нормированным пространством.
Таким образом, С (Т) — линейное нормированное про-
странство.
Последовательность функций Д, А: = 1, 2, ..., из C(Z)j
называется сходящейся к функции f^C(T) в простран-
стве С(Т), fk-+ /, к -> оо в С(Г), если ll/ft — jh О,
к -> оо. Очевидно, сходимость Д~>/, к -> ©о в С(Т) экви-
валентна равномерной сходимости последовательности
функций /й(х), & = 1, 2, ..., к функции ](х) на множе-
стве Т:
Последовательность функций /й, к = 1, 2, ..., из С(Т),
называется сходящейся в себе в С(Т), если ll/ft — fpWc -> О,
к -> ©о, р -> оо.
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства С{Т) (теорема Коши). Для того чтобы
последовательность функций из С(Т) сходилась в С(Т),
необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе
в С(Т}.
Справедливы следующие полезные предложения.
Теорема Вей ерш трасс а. Если G — ограничен-
ная область и j^Cp(G), то для любого е>0 существует
полином Р такой, что
115°7 — <ЭаРНс < е при всех 1а| ^р.
Лемма Дини*). Если монотонная последователь-
ность непрерывных функций на компакте К сходится
*) См., например, В. И, Смирнов [2, гл. I],
В. С? Владимиров
!' WTE1U
48 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
в каждой точке к непрерывкой функции на К, то она
сходится равномерно на К,
Ряд, составленный из функций называется
регулярно сходящимся на Т, если ряд из абсолютных
величин |иА(я)| сходится в С (Г), т. е. сходится равно-
мерно на Т,
Множество называется равностепенно-не-
прерывным на Т, если для любого е > О существует та-
кое число б8, что при всех / имеет место неравенство
1/(Я1)~/(Я2) I < 8, КаК ТОЛЬКО Ui—Х2|<бе, #i, Хч^Т.
Функция f^C(T) называется непрерывной по Гёль-
деру на Т, если существуют такие числа С > 0 и а, 0 <
< ос 1, что при всех хх е= Т к х2&Т справедливо нера-
венство
1/(^1) ~ /(^2) I < С\х^ — #2|а;
если а==1, то функция /(я) называется непрерывной по
Липшицу на Т.
Пусть функции /(х) и со (я) заданы в окрестности
точки xQ (конечной или бесконечно удаленной). Будем
писать:
f(x)= О [со (я)] или /(#)== о [со (я)], х-+ xQ,
f(x) n
если отношение j ограничено или стремится к и при
х -> х^ соответственно.
4. Интеграл Лебега. Говорят, что множество А <= Rn
имеет меру нуль, если для любого & > 0 оно может быть
покрыто шарами суммарного объема <8.
Из этого определения вытекает, что всякое подмно-
жество множества меры пуль имеет меру нуль и объеди-
нение не более чем счетного числа множеств меры пуль
также имеет меру нуль. Например, всякое счетное мно-
жество и всякая кусочно-гладкая поверхность имеют
меру нуль.
Говорят, что некоторое свойство выполняется почти
везде в области G Rn, если множество точек области G,
которые не обладают этим свойством, имеет меру нуль;
при этом вместо «почти везде в Нп» будем говорить
просто «почти везде».
Считаем, что все функции заданы во всем простран-
стве Rn и почти везде конечны.
Функция / называется измеримой, если она совпадает
почти везде с пределом почти везде сходящейся последо-
вательности кусочно-непрерывных функций.
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 19
Из этого определения следует: если функции / и g
измеримы, то функции f~Vg, fg, шах(/, g), min(/, g),
1/1 и //g, если g^O, также измеримы; всякая функция,
совпадающая почти везде с пределом почти везде сходя-
щейся последовательности измеримых функций, измерима.
Множество А <= Rn называется измеримым, если его
характеристическая функция %А(я) (см. § 1.1) *) из-
мерима.
Неизмеримые функции (и множества) устроены весь-
ма неправильно, и пи одна из них не построена в явном
виде; можно только теоретически доказать их существо-
вание, используя так называемую аксиому выбора. Это
говорит о том, что все функции и множества, которые
нам. могут встретиться, будут измеримы. Поэтому в даль-
нейшем будем предполагать, не оговаривая этого каждый
раз, что все рассматриваемые множества измеримы,
а функции измеримы и почти везде конечны.
Пусть /(#) — кусочно-непрерывная финитная функция.
Элемент объема в Rn обозначим через dx == dxyHx2... dxn,
так что n-кратный интеграл Римана функции / по Rn
сокращенно запишем в виде
J / (х) dx = J J ... J / (х±, х2, .... rrn) dxrdx2 ,;, dxnt
Rn
Пусть (вещественнозначная) функция f(x) совпадает
почти везде с пределом неубывающей последовательности
кусочно-непрерывных функций /й(я), к=1, 2, ... с огра-
ниченной последовательностью интегралов (Римана)'
( fk (я) dx, к== 1, 2, ... Предел неубывающей ограниченной
последовательности этих интегралов называется интегра-
лом Лебега функции / и обозначается символом \i(x)dx,.
так что
/ (х) dx = lim I fk (x) dx.
J k~>CC J
Класс таких функций обозначим через «S2*.
Чтобы это определение было корректным, нужно до-
казать, что интеграл Лебега функции / е 2?+ не зависит
от последовательности {fh}.
*) Ссылка вида § 1.2 означает пункт 2 § 1.
2*
20
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
Прежде всего докажем: если почти
везде и {fh} — последовательность, определяющая инте-
грал Лебега функции f, то
lim J fk(x) (2)
Для доказательства (2) возьмем произвольное 8 > 0.
Пусть числа /?>0 и М>0 таковы, что /1(^)=:0.
Ы > R и Л(#)^= —М, х е UR, так что и
/А(я)>0, \x\>R, fk(x)>—M, x^UR,
к = 1, 2, ... (3)
Обозначим через А множество тех точек шара UR, в ко-
торых разрывна хотя бы одна из функций U(x), к = 1,
2, ... или Д(.т)А f(x), кМножество А имеет меру
нуль и, значит, его можно покрыть шарами U (хр, г^,
7 = 1, 2, ..., сумма объемов которых <8. Итак, на ком-
пакте К == С/в\ U Uг?) функции fk(x) непрерывны и
э
0, и потому для любой точки х из
К найдется такой номер Nx и такое число гх,. что
/д\.(я')> ~-е, х'^Щх; гх) П К. Таким образом, компакт
К покрыт системой открытых шаров U (х; гх), х^К.
По лемме Гейне — Бореля из этого покрытия извлечем
конечное покрытие, и пусть 7V0 — наибольший из соответ-
ствующих номеров Nx. Так как функции fh(x) не убы-
вают, то, в силу выбора номера 2V0>
(х)> ~8, X^RczUr.
Отсюда и из (3) при всех к > No имеем:
fk (х) dx^} (х) dx > ) /яо (х) dx >
Ur
— ej cZ.27 — М 2 [ dx^-— dx М
Ur > и^) [uR
что ввиду произвольности е и влечет требуемое неравен-
ство (2).
Пусть теперь {&•} — другая последовательность, опре-
деляющая интеграл Лебега функции f^2?+. Тогда из
неравенства lim [fk (х) — gj (.г)] = / (х) —- g$ (х) 0 ( почти
й->оо
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
21
везде) следует, в силу (2), неравенство
lim f [fh (х) — gj (ж)] dx = lim J fh (x) — J g} (a:) dx > 0;
fe->ooV V
7 = 1121 •••
и потому
lim J gj (x) dx lim f fk (x) dx.
j-»oo /г-»оо
Меняя ролями последовательности {fk} и {g,}, получим
обратное неравенство, и, следовательно, справедливо тре-
буемое равенство
lim /д (х) dx = lim gj (х) dx.
J j—>oo d
Вещественная функция f(x) называется интегрируе-
мой no Лебегу (суммируемой), если она представима в
виде разности функций класса <S?+:
/(^) = Л(^)-/2(^), 7 = 1,2. (4J
Число
J (х) dx — J /2 (х) dx = J / (х) dx
называется интегралом Лебега функции f. Класс функ-
ций, интегрируемых по Лебегу, обозначим через S. Все
функции класса Z измеримы и почти везде конечны.
Чтобы оправдать это определение, нужно показать,
что интеграл Лебега функции /&2?не зависит от пред-
ставления (4).
Действительно, если
/1-/2==/==£1 ~g2,
то /i + g2 == g\ + /2. Отсюда и и.з свойства аддитивности
интеграла Лебега для функций класса вытекает тре-
буемое равенство
J /1 (*) dx — У /2 (я) dx = У gx (х) dx — У g2 (х) dx.
Комплекснозначная функция j(x) называется интегри--
руемой по Лебегу если Ref ^2? и Im/eS7;
число
Re / (х) dx + iИ Im / (x) dx = j / (x) dx
называется интегралом Лебега функции f.
22 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по
Лебегу на измеримом множестве Л, /^ £?(/!), если
число
J/(*)Xa (*)<& = .[ f(x)dx
А
называется интегралом Лебега функции / по множеству А.
Функция f(x) называется локально интегрируемой по
Лебегу в области G, f е <S7IOC(G), если f^3?(G') для всех
измеримых G'^G. Обозначаем: <S7i0C(/?n)= S’toc.
В соответствии с этими определениями всякая кусоч-
но-непрерывная финитная функция интегрируема по Ле-
бегу, и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. С дру-
гой стороны, существуют функции, интегрируемые по
Лебегу и неинтегрируемые по Риману, например функ-
ция Дирихле:-
[О, х иррационально,
/п 0*0 = I л
04 7 (1, х рационально.
Интеграл Лебега функции /0(я) равен О (/0^<5?+).
Можно показать, что если функции f(x) и ин-
тегрируемы по Риману (возможно, в несобственном
смысле), то они интегрируемы и по Лебегу, и их инте-
гралы в обоих смыслах совпадают.
Имея в виду этот факт, впредь мы будем называть
интегрируемые по Лебегу функции просто интегрируе-
мыми функциями.
Интеграл Лебега обладает следующими основными
свойствами (некоторые из них следуют непосредственно
из определений, доказательства других можно найти, на-
пример, в книгах Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя [1],
гл. II и А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [1], гл. V).
а) Если / S’J | / (х) | dx = О, то f(x) = O почти везде,
и обратно,
Ь) Если то ]/! если / измерима и 1/1 gS7,
то f & S?. При этом справедливо неравенство
с) Если g^-27, / измерима и \f(x) I g(x} почти
везде, то f^2?, и справедливо неравенство
J |/(*)| dx J 8 (х)
§ и НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 23
Отсюда следует, что всякая ограниченная (измеримая)
функция интегрируема по Лебегу на любом ограничен-
ном (измеримом) множестве. В частности, если А — ог-
раниченное (измеримое) множество, то интеграл Лебега
J dx =« J ха d”
А
существует; он называется мерой Лебега множества А.
Ясно, что мера Лебега ограниченной области с кусочно-
гладкой границей совпадает с ее объемом.
d) Интеграл Лебега линеен (аддитивен) относительно
подынтегральной функции: если f^2?, и X и ц —
комплексные числа, то X/ + jig е S и справедливо ра-
венство
J [^/ (я) + (^)] dx =» X J / (х) dx + |л j g (х) dx»
ej Абсолютная непрерывность интегра-
ла Лебега: если f^ 37(G), то для любого е>0 су-
ществует такая G' G (рис. 2), что
J I / (х) I dx < е.
G\G'
f) О переходе к пределу под знаком ин-
теграла Лебега.
Теорема Лебега. Пусть последовательность (из-
меримых) функций А(я), А’=1, 2, ... сходится почти
везде к функции f(x). Если существует функция g&S?
такая, что \fk(х) I < g(х) почти везде, к~1, 2, . то
1^2 и
lim J fk (х) dx == J / (х) dx»
Теорема Б. Леви. Если неубывающая (почти вез-
де) последовательность /&(#), Л = 1, 2, ... функций из 3?
сходится почти везде к функции {(х) и последователь-
ность интегралов ^fk(x)dx1 к = 1, 2, ... ограничена, то
fe~37, и
lim fk (х) dx =35 / (х) dx,
h-™> J
g) Замена переменных в интеграле Ле-
бега. Пусть преобразование х = х(у) класса Cl(G), т. е.
^ = ^(г/1, Z/2, Уп), к— 1, 2, ..., п, Xk^C^G),
24
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. f
взаимно-однозначно отображает область G на область Gh
и — якобиан этого преобразования.
Для того чтобы необходимо и достаточ*
д (х}
но, чтобы / [х (у)] <= S£ (GJ. При этом справедливо
равенство
J / (х) dx = J / [х (г/)] [ | dy.
G
h) Теорема Фубини (о перемене поряд-
ка интегрирования в интеграле Лебега).
Если функция f(x, у), заданная на Rn+m, x&Rn, y&Rm,
измерима и существует повторный интеграл Лебега
функции \f(x, у) I
J [ J 1Ж */)|<te]4fy<oo,.
то Обратно, если / е S, то интегралы Лебега
§f(x,y)dx, ^f(x,y)dy
существуют почти везде, интегрируемы по Лебегу,
и справедливы равенства
J [ J* / (*, у) dy\ dx=\f (х, у) dxdy — ^[^f (х, у) dx\ dy.
Отметим, что если функция ](х, у) неинтегрируема,
то повторные интегралы могут и не существовать или не
быть равными, например:
Замечание. Интеграл Лебега по кусочно-гладкой поверх-
ности S строится аналогично. При этом для функций f(x, у), за-
данных на Rn X 8, сохраняется соответствующая теорема Фубини.
5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра. Усло-
вия, при которых имеет место непрерывность по пара-
метру и возможно дифференцирование под знаком инте-
§ 1]
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
25
грала, для интеграла Лебега менее ограничительны, чем
для интеграла Римана.
Из теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком
интеграла Лебега (см. § 1.4, f)) непосредственно вытекает
следующее утверждение.
Пусть функция f(x, у}, заданная на RnXA, A<^Rm,
непрерывна по у на множестве А при почти всех x^Rn
и существует интегрируемая функция g(x) такая, что
при каждом у&А lf(x, y)\^g(x) почти везде. Тогда
интеграл J/(#, y)dx есть непрерывная функция на А.
Справедлива следующая
Теорема (о дифференцировании под знаком инте-
грала Лебега). Пусть функция f(x, t), заданная на
RnX(a, b), имеет непрерывную по t в (а, Ь) производную
ft(x, t) при почти всех x^Rn и существует интегрируе-
мая функция g(x) такая, что при каждом t^(a, b)
\ft(x, ^)l^g(^) почти везде; пусть, далее, при некото-
ром t0^(a, Ъ) существует интеграл § / (я, t0) dx. Тогда
функция J / t) dx е С1 (а, Ь) и справедливо равенство
<5>
Доказательство. По предыдущему утверждению
функция J /г ъ) dx непрерывна по т в (а, Ъ). Далее,
пользуясь теоремой Фубини (см. § 1.4, h)), при всех
(а, Ь) имеем
*0
0/ (Л Т)
дх
dx =
= / (хх tjdx—A / (х, t0) dxt
откуда, дифференцируя по t, получаем равенство (5) и
остальные утверждения теоремы.
6. Интегралы типа потенциала. Пусть функция p(z/)
(абсолютно) интегрируема па ограниченной области G<=
ей” и обращается в нуль вне G. Интеграл
J I « - и 1
26
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
называется интегралом типа потенциала. Такие интегра-
лы часто встречаются в математической физике.
Докажем сначала справедливость оценки
dy а
хе 7?".
(6)
Ur
Действительно, если |х| >27?, то \х — у] > |х| — |у| >
>7? при всех |у| <7?, и поэтому
qn дп—а
п
если же |х| < 27?, то |х — у\ |а?| + |у| < 37? и
С f JL < f -
у = 1£1“
L/д О{Н,Х) usR
(3R)n-a,
Здесь Oni— площадь поверхности единичной сферы в Rn.
Оценка (6) доказана.
Из (6) вытекает, что при всех R>0 существует по-
вторный интеграл
Р (у) I <fy.
А тогда, по теореме Фубини (см. § 1.4, h))’, интеграл
1(х) существует почти всюду и представляет собой ло-
кально интегрируемую функцию в Rn (см. § 1.4).
Вне области G интеграл /(я), в силу результатов § 1.5,
есть бесконечно дифференцируемая функция и все ее
производные получаются дифференцированием под знаком
интеграла
дЧ (х) = f р (у) д» —1— dyt х е 7?n\G,
: I ® - у г
Докажем, что при всех р
5р7(х) = <9(|х|~“_,₽|)', |х|-> оо. (7)
Действительно, пусть G<=UR и |х|>7?; тогда
\х — у\> |х| — |у| > 1x1 — 7? при всех y^G. Отсюда,
принимая во внимание оценку
n₽_J_____|<_______Ь_____.
#|a| |я—• У |аНР1г
§ И
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
27
при Ы >/? получим
откуда и следует (7)' (см. § 1.3)\
Теорема. Пусть функция р ограничена, 1р(у)1<М
почти везде в G. Тогда интеграл I^Cp(Rn), где р —
наибольшее целое число такое, что а + р<п. Соответ-
ствующие производные функции Цх) получаются диффе-
ренцированием под знаком интеграла.
Доказательство. Докажем, что 1 (х) — непрерыв-
ная функция в Rn. Фиксируем x0<=Rn и возьмем произ-
вольное 8 > 0. Тогда
Первое слагаемое справа, в силу оценки (6)', не превос-
ходит 2МСаг]п~Л и потому может быть сделано <8/2 при
достаточно малом ц. Во втором слагаемом подынтеграль-
ная функция равномерно непрерывна по (х, у) в области
| х — Хц | | у — я0| > ц, y^G и обращается в нуль при
x = xQ\ поэтому этот интеграл может быть сделан
при всех x^U(x0} б), если б достаточно мало, б < ц/2.
Итак, нашлось такое число б, что |/(я0) — /(#) I < е/2 +
+ s/2==8 при всех 1я — я01<б. Это и значит, что функ-
ция 1(х) непрерывна в (произвольной) точке xQ&Rn,
т. е. I^C(R”).
Пусть а + 1 < п. Продифференцируем подынтеграль-
ное выражение в Цх) по х^ г==1, ..., п, и рассмотрим
функции
л w = J Р ы Д л/ - * $ Р и <fr.
28
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
В силу оценки
Уг-Хг
1 X — у [а+2
1
I х — у ja+1
рассуждение, полностью аналогичное тому, которое мы
только что проделали для интеграла 1(х)* показывает,
что функции Цх) непрерывны в R\
Докажем, что
(#) — Ц ~ 11 . . .} П, (8)
Для этого применим то же рассуждение, что и при до-
казательстве теоремы § 1.5. Имеем
о
г-
О
Г , . д 1 ,
------^dy
J | x _ у |«
_ Cr
I (^lt • » li « n #n) I (^ii » f «1 1?
откуда, дифференцируя по получим равенство (8). За-
конность перемены порядка интегрирования в предыду-
щих равенствах вытекает из существования повторного
интеграла
о
Х| u
IР (у) I
| X— у |1+а
dXi < Ма 1- х? ] Ca^R™-1
в силу теоремы Фубини (см. § 1.4, h))'. Здесь мы вос-
пользовались оценкой (6), предполагая, что (?с=£7д.
Таким образом, мы доказали, что I^C^R71) и допу-
стимо дифференцирование один раз под знаком интегра-
ла 1(х). Если же a + 2 < п, то, применяя предыдущие
рассуждения к функциям А(х), установим, что 1^ C2(Rn)
и допустимо дифференцирование два раза под знаком
интеграла Цх); и т. д. Теорема доказана.
Пусть функции 2^(х, у), а^(х, у) и Яё2(х, у) непре-
рывны на G X G. Аналогично предыдущему устанавлива-
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЙ
29
ется, что интегралы
f Ж (х, у) , Г (*, /) (У, у)
J I х _ .. ,а И J . , .«J . , .а„
G 1 У । G I * ~ У I । У ~ УI
непрерывны на С и G X G, если а<пиа1 + а2<« сеет-
ветственно.
Замечание. Все сказанное об интеграле Цх) без сущест-
венных изменений переносится и на интеграл типа потенциала
вида
J|xL^|ad5i/’ 0<а<и-1.
где S — ограниченная кусочно-гладкая поверхность и р — огра-
ниченная функция на S.
7. Пространство функций S?2(G). Совокупность всех
функций /, для которых функция 1/(я)12 интегрируема
на области G, обозначим через 3?2(G).
Множество функций 2?2(G)—линейное.
Действительно, если /^^(G) и ge^G)’, то из
неравенства
[X/ + pgl2<2lXl2l/l2 + 2|p|2|gl2
вытекает, что и их любая линейная комбинация X/ + pg
также принадлежит ^(G).
Установим важное неравенство (неравенство Коши —
Бундовского)*. если / и g^S^G)’, то
f / 0е) g (*) dx
G
J | / (ж) |2 dx J | g (х) |2 dx,
Действительно, поскольку / и то при всех
действительных X 1/1 + Xlgl ^2?2(G), а потому
о< J I1/WI + Ig(*)II2dx =
G
= j | / (ж) |2 dx + 2X [ | / (x) g (x) | dx + X2 J | g (x) |2 dx.
G G G
Следовательно, дискриминант этой квадратичной формы
неположителен, т. е.
j 1/0*0 g(^) Idx
_G
— J\f(x)\2dx J|gCr)l2<fo<0j
G G
откуда и вытекает требуемое неравенство Коши — Буня-
ковского.
30
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
Отметим дискретный аналог неравенства Коши — Бу-
няковского. Обозначим через 12 множество последователь-
ностей комплексных чисел а = а2г .для которых
оо
[| «[|2 = 2 k/il2 < 00• Если {ak} е Z2 и & = {bk} (= Z2, то
Д=1
2
ft—1
/оо /со
Если 1^3? 2(G) и G — ограниченная область, то
функция f(x) интегрируема на G.
Действительно, применяя неравенство Коши — Бупя-
ковского при gsl, получим
f | / (ж) I dx у/J \f(x)\2dx j dx<Zoo. (9)
На множестве функций 5?2(G) введем скалярное
произведение и норму по формулам
(Ji ё) == J f(x)g(x)dxt
G
Ц/||= / (А /) = j/4
превращая тем самым в (линейное)1 нормирован-
ное пространство. Здесь g (х) — функция, комплексно со-
пряженная с g(x).
Очевидно, введенное скалярное произведение обладает
свойствами:
(/, g)=(gT7), (V+ng, л)=Ш A)+ix(g, м.
Кроме того, в терминах нормы и скалярного произведе-
ния неравенство Коши — Буняковского принимает вид
К/,
Из этого неравенства вытекает следующее неравенство
Минковского:
OZ + gll^O/ll + llgll, /,ge^2(G)\ (Ю)'
Действительно,
17+g||z = U+g, / + g) =(А /) + (/, g)+(g, f) + (g,
< H/II2 +1 (A g) I +1 (g, /) 1 + Hgii2
< О/ll2 + O/llllgll + IlgllO/ll + llgll2 »= (П/ll + llgll)2.
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 81
Таким образом, мы видим, что норма II И удовлетво-
ряет условиям а)—с) § 1.3.
Последовательность функций Д, к == 1, 2, ..., из S2(G)
называется сходящейся к функции f^S2(fi) в простран-
стве S2(G) (или в среднем в G), если — 0, к ->
при этом будем писать
fh^f, к-+<*> в (<?)'.
Следующее предложение выражает свойство полноты
пространства S2(G) (теорема Рисса — Фишера*)):
если последовательность функций fh, к = 1, 2, ..из
S2(G) сходится в себе в S2(G), т. е. ПД — Д>Н 0, к -> с»,
д->оо, то существует функция f^S2(G) такая, что
11Д —/11->0, А;оо; При этом функция f единственна
с точностью до значений на множестве меры 0.
Пространство S2(G) относится к классу так называе-
мых гильбертовых пространств.
Множество функций Jl<^S2(G) называется плотным
в S2(G), если для любой f^S2(G) существует последо-
вательность функций H3_Jf, сходящаяся к / в S2(G).
Например, множество 0(G) плотно в S2(G), отсюда сле-
дует, что и множество полиномов плотно в S2(G), если
G — ограниченная область (в силу теоремы Вейерштрасса
(см. § 1.3)).
8. Ортонормальные системы. Функции / и g из S2(G}
называются ортогональными, если (/, g) — 0; функция /
из S’2(G) называется нормированной, если 11/11 = 1. Систе-
ма функций {cpft} из S2 (G) называется ортонормальной
в S2(G), если (<рл, Ф/) = 6Af, где бА< —символ Кронекера:
бМ‘ = 0, k^i, $ц == 1.
Примером ортонормальной системы в 3?2 (—л, л) яв-
ляется тригонометрическая система
45/1 = у?л = 01 ’
Конечная или счетная система функций {cpj называ-
ется линейно независимой, если для любого конечного
набора чисел {c/J? 21 сь 1 ¥= невозможно тождество
h
h
♦) См. Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1, гл. II].
32
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
Всякая ортонормальная система {фА} состоит из ли-
нейно независимых функций.
Действительно, в противном случае при некоторых
(комплексных) числах {cj, из которых только конечное
число отлично от нуля, мы имели бы равенство 2^фл =
k
*= 0, откуда, в силу ортонормальности системы {фА}, по-
лучили бы
О " ( 2 С/гфА* ф$| “ 2 (^АфА> фг) = 2 (ф/г> фг) ~ Ci*
\ k ] h h
Всякая система ф1? ф2, ... линейно независимых функ-
ций из S^G) преобразуется в ортонормальную систему
Ф1, фг ... следующим процессом ортогонализации Шмидта*.
ф2 ||%-(^ф1)ф1||”--’'
= % - (Фй, фй_г) ~ - (%, <РД) Фд ( >
фЙ II % “ (^’ Фй-1) Фй-1 - • • • ~ (^А- Ф1) Ф11|
Пример. Если в пространстве 1, 1) ортогона-
лизовать по Шмидту систему степеней 1, х, х2, ..то
получится система нормированных полиномов Лежандра.
Пусть система функций фл, /с == 1, 2, ..., ортоиормаль-
на в 2?2(G) и f^S>2(G). Числа (/, фА) называются
коэффициентами Фурье, а формальный ряд
со
2 (/, Фа) Фа (12)
fe=l
'= рядом Фурье функции / по ортонормальной систе-
ме {фь}.
Если система функций фА, к == 1, 2, ..ортонормалъна
в 3\(G), то для каждой j^^2(G) и любых (комплекс-
ных) чисел aL, а2, aN, N=l, 2, справедливо ра-
венство
N
f — 2 ak4)k
k—1
I2 II N I2
= /— 2 (Л Фа) Фа
I II k=l
Действительно, обозначая
N
+ 2 l(/i Фа) — ah |2.
(13)
N
/л = / — 2 (/. Фа) Фа., са = (Лфа) —«л» (14)
k=l
§ И
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
33
получим при i == 1, 2, ..N
(flit фг) =
/ N \ N
= / — 2 (/> фа) Фл, w = (/, фг) — 2 (/> q>fe) <pt) = o.
\ / /1=1
Следовательно,
TV
/ — 2 ak^
k=i
2 N [2
“ fw + 2 cktyk “
k=l
N N \
/tV + 2 /tv + 2 ck^k I = (/tv? /tv) +
\ k=l /
TV TV N
+ 2 (/tV, Ck^h) + 2 (Cktyk) f n) + 2 (clWk, Сгфг) =
A=1 h=l h,i=l
TV N
= II /tv II2 + 2 CkCi (фь фг) = || /tv II2 + 2 I Ch I2,
A,i=l /i=l
откуда, в силу (14), вытекает равенство (13).
Из равенства (13) вытекает неравенство
TV 2
/ — 2 (/> фл) ф/7
h=l
II N 2
/ 2 ak^k •'
Il k-^i
(15)
Далее, полагая в (13) ак = 0, к — i, 2, ..2V, получаем
равенство
TV 12 TV
/ - 2 (Л <pft) =|l / F - 2 l(/> ф012. (16)
k=l I /1=1
Из равенства (16) вытекает неравенство
со
2 К/, фл) 12<Ш\ (17)
/1=1
называемое неравенством Бесселя.
Из неравенства Бесселя и из теоремы Рисса — Фише-
ра (см. § 1.7) следует, что ряд Фурье (12) сходится в
2?2(G) к некоторой функции fi из <S72(G) (но не обяза-
тельно к /!)
Кроме того, из равенства (16) и из теоремы Рисса —
Фишера (см. § 1.7) вытекает такое предложение. Для
того, чтобы ряд Фурье (12) сходился к функции f в
S^2(G), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено
3 в. С. Владимиров
34 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
равенство Парсеваля— Стеклова (уравнение замкнуто-
сти) ♦)
со
2 К/, <Рл)|2 = 11/112- (18)
9. Полные ортонормальные системы. Пусть система
функций <рь ср2, ••• ортонормальиа в ^(G). Если для
любой /^2?2(G) ее ряд Фурье по системе tcpj сходится
к / в 2^2 (G), то эта система называется полной (замкну-
той) в ^(G) (ортонормальным базисом в 2?2(G)). При-
мером полно11 ортонормальной системы в «^(О, 2л) слу-
жит тригонометрическая система. Из этого определения
и из результатов § 1.8 вытекает
Теорема 1. Для того чтобы ортонормальная систе-
ма {фА} была полной в 2?2(G), необходимо и достаточно,
чтобы для любой функции f из S?2(G) было выполнено
равенство Парсеваля — Стеклова (уравнение замкнуто-
сти) (18).
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 2. Для того чтобы ортонормальная систе-
ма {(pj была полной в 2?2(G), необходимо и достаточно,
чтобы каждую функцию f из множества Л, плотного в
S>2(G)1 можно было сколь угодно точно приблизить в
^2(G) линейными комбинациями функций этой системы.
Необходимость условия очевидна; докажем его доста-
точность. Пусть f^Z2(G) и 8 > 0 —любое число. Так
как Л плотно в S?2(G), то существует /ое«< такая, что
II/ — /0П < е/2. (19)
По условию функция /о сколь угодно точно приближает-
ся в 3?2(G) линейными комбинациями функций системы
{cpj. Поэтому найдутся такие числа т, с1? с2, ..., ст, что
Отсюда и из (19), в силу неравенства Минковского,
*) Для тригонометрической системы функций это равенство
было указано без доказательства Парсевалем в 1805 г. В. А. Стек-
лев доказал его для многих конкретных ортонормальных систем
функций и широко пользовался им, ему же принадлежит и тер-
мин «уравнение замкнутости» (В. А. Стеклов [1], см. также
В. С. Владимиров, И. И. Маркуш [1]).
§ И
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
35
получаем
т
/ - 2
k=l
т
fo zL Cktyk
А=1
Но тогда, в силу неравенства (15), и подавно
n II
f~ 2 (Л фь)фй <ЕЛ
k=l II
N т$
что и требовалось установить.
Следствие. Если G — ограниченная область, то
в S^ziG) существует счетная полная ортонормальная
система полиномов.
Действительно, множество полиномов с рациональны-
ми коэффициентами плотно в 5?2(6) (см. § 1.7), счетно
и его можно сделать ортонормальным, используя процесс
ортогонализации Шмидта (см. § 1.8).
Лемм а. Пусть области GczRn и DcRm ограничены,
система функций фД#), 7 = 1, 2, ..., ортонормальна и
полна в 2>2(D) и при каждом 7 = 1, 2, ... система функ-
ций фу(^), А= 1, 2, ..., ортонормальна и полна в £\(G).
Тогда система функций
Xw(*, !/) = фы(^)^(у), К j = l, 2, (20)
ортонормальна и полна в 2?2(GX D).
Доказательство. Ортонормальность системы {/J
в S?2(G XD) устанавливается легко, а именно:
(Ху, Xvj') = j XwXs'j' =
GXD
= J* W^h'i-dx J dy = (<pw, <pft,r) (ipj, ip,,) =
G D
(ф&7» фЛ'7') fyp =
Докажем полноту этой системы в 9?2(GXD). Так как
C(GXD) плотно в 3?2(GXD) (см. § 1.7) то, по теоре-
ме 2, для этого достаточно установить справедливость
равенства Парсеваля — Стеклова для всех f^C(GXD).
Пусть f C(G X Л)._Так как система {фД полна в S?2(D),
то при каждом х <= G справедливо равенство Парсеваля —*
Стеклова (см. § 1.8)
2 l«jO)|2 = У)|2^
i=i Ъ
(21)
8*
S6
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
где
аз Й = j / (*, У) Фа (у) dy.
D
(22)
В силу ограниченности области D функции интегри-
руемы на D (см. § 1.7), и, поскольку
&C(G) (см. § 1.5).
Так как при каждом / = 1, 2, ... система {флД полна
в ^(G), то справедливо равенство Парсеваля — Стекло-
ва (см. § 1.8}
xL I &kj I2 — f I j (^) |2
Ji==1 G
(23)
где, в силу (22), (20) и теоремы Фубини (см. § 1.4),
^kj tykj) ~
= j* ajtpbj dx=>\ ( / (х, у) (у) dy cpw (z) dx
G G Lb
J / (*. у) <pw (*) Ф> (у) dx dy =
GXD
= J il.hjdxdy = %ftj). (24)
GX-D
По лемме Дини (см. § 1.3) ряд (21) сходится равно-
мерно на G. Интегрируя этот ряд почленно по области G
и пользуясь равенствами (23) и (24), для функции / по-
лучаем требуемое равенство Парсеваля — Стеклова
оо оо оо
S 5j|«Aj|2= S |(/> %Aj)la = J J |Ж !/)|2^^ = 11/15
k=l 3,h=l g в
Лемма доказана.
Замечание. Все сказанное о пространстве ^(G)
переносится и на пространства 5?2(G; р) или 3?2(S) со
скалярными произведениями
(/, g)p = f Р (ж) / (ж) g (ж) dx.
G
(f> g) = f f(x)g(x)dS,
s
f,g^^2(S)t
rj\e вес pef(G), p(#)>0, x^G и S — кусочно-гладкая
поверхность.
§ 1]
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
37
10. Линейные операторы и функционалы. Пусть Л
и Л9 — линейные множества. Оператор £, преобразующий
элементы множества Л в элементы множества Л9, назы-
вается линейным, если для любых элементов / и g из Л
и комплексных чисел Z и ц справедливо равенство
£ (V + pg) = w + p£g.
При этом множество Л = Лъ называется областью опре-
деления оператора L. Если £/ = / при всех / е Л, то
оператор L называется тождественным (единичным) опе-
ратором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Пусть на линейных множествах Л и Л9 определены
сходимости элементов с непрерывными линейными комби-
нациями, например, если Д f и gk g, к °° в Л, то
и kfh + pgft X/ + pg, к -> со в Л. Линейный оператор £,
переводящий Л в Л9, называется непрерывным из Л в
Л9, если из сходимости fk-+ /, к -> °о в Л следует сходи-
мость Lfk-+ Lf, к -* оо в Л9. Отсюда вытекает: для того
чтобы линейный оператор L был непрерывным из Л в Af,
необходимо и достаточно, чтобы Lfk -> 0, к -> в АС, ноль
скоро Д 0, к -+ оо 6 Л.
Пусть Л и Л9 — линейные нормированные простран-
ства с нормами || ||,^ и || ||^ соответственно (например,
Л9 = С(Т), Л=:2>г(С)). Линейный оператор L, перево-
дящий Л в Л9, называется ограниченным из Л в А7,
если существует такое число С > 0, что для любого / е Л
справедливо неравенство
\\Lf Цуг с с II (25)-
Из этих определений вытекает: если линейный опера-
тор L ограничен из Л в /С, то он и непрерывен из Л
в АС.
Действительно, если fk 0, к -> оо в Л, т. е.
IM*-*0’ &->оо> то Н/аЦуГ<с|1А11/Л
и потому £Д -> 0, к оо в Л9. Это и значит, что опера-
тор L непрерывен из Л в Л9.
Множество $ линейного нормированного пространства
Л называется ограниченным в Л, если существует такое
число А, что при всех I
Пусть линейный оператор L переводит Л в Л9! и
линейный оператор К переводит Л9! в Л9. Линейный
оператор KLJ = К (Lf), переводящий Л в Л9, называется
38
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
произведением KL операторов К и L; в частности, Кр{ ==»
- К (А?-1/) = Кр-> (А7), ZC = К, К° - I.
Частным случаем линейных операторов являются ли-
нейные функционалы. Если линейный оператор I преоб-
разует множество элементов Л в множество комплексных
чисел If, f^Jl, то I называется линейным функционалом
на множестве Л. Значение функционала I на элементе
/ — комплексное число If — будем обозначать через (Z, /).
Таким образом, непрерывность линейного функционала I
означает следующее: если fh 0, к -> оо в л, то последо-
вательность комплексных чисел (Z, /*), к -> °о, стре-
мится к 0.
Будем говорить, что последовательность li9 12, ... ли-
нейных функционалов на Л слабо сходится к (линейно-
му) функционалу I па Л, если опа сходится к I на каж-
дом элементе / из Л, т. е. (ZA, /)-^(Z, /), к-*- °°.
Линейный функционал I на множестве Л^ Л назы-
вается продолжением линейного функционала Z, заданного
на Л, если (Г, /) = (Z, /), $^Л.
Примеры линейных операторов и функ-
ционалов.
а) Линейный оператор вида
Kf Ж (z, у) / (г/) dy, xe=G„ (26)
G
называется (линейным) интегральным оператором,
а функция Ж (х, у) — его ядром. Если ядро Ж <=
J у) I2 dx dy = С2 <oot (27)
GXG
то оператор К ограничен (и, следовательно, непрерывен)’
из 3?2(£) = Л в 27(G)-Л9.
Действительно, применяя неравенство Коши — Бупя-
ковского, теорему Фубини (см. § 1.4) и пользуясь (27),
при всех f^2?2(G) получим неравенство
илМ
G
J Ж (х, у) j (у) dy
G
dx
1
f $\W^,y)\2dy$\f(y)\2dy dx = C2\\f^.
G LG G
т. е.
IIK/H< CII/11, /еВД,
(28)
g 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 39
которое и означает, что оператор К ограничен из ^(G)
вЗД.
Аналогично, линейный оператор А
(А&)^ 2 А = 1, 2, . . .(26 )
для которого
оо
I |" — С2 < сю, (27 )
k,i~l
ограничен (и стало быть непрерывен) из 12 в 12 (см.
§ 1.7), причем
|| Аа||<С[Iа||, а - {ак} 12. (28')
Ь) Линейный оператор вида
£/= 2 М*И7и), 2 m>0, (29)
|a|<7n |ct|—m
называется (линейным) дифференциальным оператором
порядка т, а функции аа(х) — его коэффициентами. Если
коэффициенты аа (х) — непрерывные функции на области
G <=/?”, то оператор L переводит Cm(G) = Jit в С(£)==А*.
Одна_ко оператор L не является непрерывным из C(G}
в C(G). В самом деле, последовательность
/д(^’) — -1. eb’i(x,a)о, к—>-оо в
в то время как последовательность
Lfk = 2 «а (^) dafh (х) = 2 аа (х) (га)а/с|а|“1е,'«х-а)
|а|<т |а|
не имеет предела в C(G). Отметим попутно,__что опера-
тор L определен не на всем пространстве _C(G), а лишь
на его части — па множестве функций Cm(G).
с) Линейный оператор
Lf = 2 I \ Жа(х, y)daf{y)dy + aa(x)daf(x)
|сх| Q
(30)
называется (линейным) интегро-дифференциальным опе-
ратором.
d) Примером линейного непрерывного функционала I
на S?2(G) служит скалярное произведение (Z, /) = (/, g),
где g — фиксированная функция из «S72(G). Линейность
этого функционала следует из линейности скалярного
40 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
произведения по первому аргументу (см. § 1.7), а в силу
неравенства Коши — Буняковского он ограничен:
I (U) I = I (А в) I < iigiHi/ii,
и, следовательно, непрерывен.
11. Линейные уравнения. Пусть L — линейный опера-
тор с областью определения Уравнение
Lu = F (31)
называется линейным (неоднородным) уравнением.
В уравнении (31) заданный элемент F называется сво-
бодным членом (или правой частью), а неизвестный эле-
мент и из Мъ — решением этого уравнения. Если в урав-
нении (31) свободный член F положить равным нулю, то
полученное уравнение
= (32)
называется линейным однородным уравнением, соответ-
ствующим уравнению (31).
В силу линейности оператора L совокупность решений
однородного уравнения (32) образует линейное множе-
ство; в частности, и = 0 всегда является решением этого
уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения
(31) {если оно существует) представляется в виде сум-
мы частного решения и0 этого уравнения и общего реше-
ния й соответствующего линейного однородного уравне-
ния (32),
и = и0 + и. (33)
Действительно, если и — произвольное решение урав-
нения (31), Lu = F, u^JlL, а Щ)—-частное решение этого
уравнения, Lu^ = F, и0^ то, в силу линейности опе-
ратора L, их разность и — и0 = и е Мъ и удовлетворяет
однородному уравнению (32):
Lu = L (и — и0) = Lu — Lu0 = F — F = 0.
Этим доказано представление (33) для решения и.
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы ре-
шение уравнения (31) было единственным в необхо-
димо и достаточно, чтобы соответствующее однородное
уравнение (32) имело только нулевое решение в
Пусть однородное уравнение (32) имеет только нуле-
вое решение в Обозначим через область значений
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 41
оператора L, т. е. (линейное) множество элементов вида
{£/}, где / пробегает Тогда для любого
уравнение (31) имеет единственное решение u^JtL, и,
таким образом, возникает некоторый оператор, сопостав-
ляющий каждому элементу F из элемент и из —•
решение уравнения (31). Этот оператор называется об-
ратным оператором к оператору L и обозначается через
Zrl, так что
и - L-'F. (34)
Оператор Zr1, очевидно, является линейным и преобра-
зует на Непосредственно из определения операто-
ра Zr1, а также из соотношений (31) и (34) вытекает:
LL^F^F, Fe$L; Ь~'Ьи = и,
т. е.
LL~l = I и =
Если линейный оператор L имеет обратный L~\ то
системы функций {фА} и {ZcpJ одновременно линейно не-
зависимы. (При этом, естественно, предполагается, что
все Фа^сЖь.)
Действительно, если система {срД линейно зависима,
то при некоторых {сД, из которых только конечное число
отлично от нуля, мы имели бы 2 == 01 откуда, при-
k
меняя оператор Z, получим 2 — 0, т. е. система
н
{Zq\} линейно зависима. Обратно, если система {ZcpJ
линейно зависима, 2 то, применяя оператор
h
Lr\ получим
S cftL-1£(pft = 2 ck<Pk = о<
k н
так что система {cpj линейно зависима.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu = Ku, (35)
где Z — комплексный параметр. Это уравнение имеет ну-
левое решение при всех X. Может случиться, что при не-
которых X оно имеет ненулевые решения из Те
комплексные значения X, при которых уравнение (35 J
имеет ненулевые решения из называются собствен-
ными значениями оператора А, а соответствующие реше-
ния — собственными элементами (функциями), соответ-»
42 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
ствующими этому собственному значению. Полное число
г (1<г^сс) линейно независимых собственных элемен-
тов, соответствующих данному собственному значению %,
называется кратностью этого собственного значения; если
кратность г = 1, то X называется простым собственным
значением.
Если кратность г собственного значения X оператора
L конечна и щ, и2, ..иг — соответствующие линейно
независимые собственные элементы, то любая их линей-
ная комбинация
Uo == CiUi + с2и2 + ... + сгиг (36)
также является собственным элементом, соответствующим
этому собственному значению, и формула (36) дает об-
щее решение уравнения (35). Отсюда и из формулы (33)
вытекает: если решение уравнения
Lu = Ku + f (37)
существует, то его общее решение представляется фор-
мулой
и = и* + 2 Chuh( (38)
/1=1
где и* — частное решение (38) и ch, k=l, 2, ..., г,—*
произвольные постоянные.
12. Эрмитовы операторы. Линейный оператор L, пере-
водящий ^(G) в S?2{G}, называется эрмитовым,
если его область определения JtL плотна в «^(G) и для
любых f и g из справедливо равенство
(L/,g) = (/,Lg). (39)
Выражения (£/, g) и (Lf, f) называются соответ-
ственно билинейной и квадратичной формами, порожден-
ными оператором L.
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым,
необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадра-
тичная форма (Lf, f), принимала только веще-
ственные значения.
Действительно, если оператор L эрмитов, то в си-
лу (39), ____
(!/,/) = (/, !/) = (!/,/),
так что квадратичная форма (Lf, f) принимает только
вещественные значения.
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 43
Обратно, если квадратичная форма (Lf, /) принимает
только вещественные значения, то при всех f и g из Лъ
имеем
Re[(Lg, /)-(£/, g)] =
= Re I [(L (/ + fg), / + ig) - (L/, /) - (Lg, g)J = 0,
Im[(Lg, /) + (Lf, g)] =
= Im[(£(/ + g), / + g)- (Lf, f) — (Lg, g)] = 0
и, стало быть,
(Lf, g) = Re(L/, g) + iIm(L/, g) =
= Re (Lg, f) - i Im (Lg, f) = (L^~f) = (f, Lg),
так что оператор L эрмитов.
Линейный оператор L, переводящий Лъ <= 3?2(G) в
572(С) называется положительным, если Лъ плотна в
^2(G) и
(А/,/)^0, ]^ЛЪ.
Из доказанного утверждения следует, что всякий по-
ложительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор L эрмитов (положитель-
ный) , то все его собственные вначения вещественны (не-
отрицательны), а собственные функции, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть Zo — собственное значе-
ние и uQ — соответствующая нормированная собственная
функция эрмитова оператора L, Lu0^=hQu0. Умножая ска-
лярпо это равенство па uQ, получим
(Lu0, и0) == (hollo, u0) = hQ(uo, щ) = Мщ112==^0. (40)
По для эрмитова (положительного) оператора квадратич-
ная форма (Lf, f) принимает только вещественные (не-
отрицательные) значения, и, стало быть, в силу (40),
Ло— вещественное (неотрицательное) число/
Докажем, что любые собственные функции щ и и2,
соответствующие различным собственным значениям Xi и
Х2, ортогональны. Действительно, из соотношений
из веП^ствепплСТи Zi и Z2 и из эрмитовости опеийоиа L
44
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ I
получаем цепочку равенств
zz2)==(X1n1J h2) = (Lh1, н2) = (^4, Z/iz2) =
= Х2и2) =Z2(^1, п2),
т. e.
^1(^1} ^2)=== A2 (Щ, iz2).
Отсюда, поскольку 2ц ^X2, вытекает, что (r/i, w2) = 0.
Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений
эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое
собственное значение — конечной кратности. Перенуме-
руем все его собственные значения: Х2, ..повторяя
Kk столько раз, какова его кратность. Соответствующие
собственные функции обозначим через и2, ..., так
чтобы каждому собственному значению соответствовала
только одна собственная функция uk:
Luh = Khuh1 k = i, 2, ... (41)
Собственные функции, соответствующие одному и тому
же собственному значению, можно выбрать ортонормаль-
ными, используя процесс ортогонализации Шмидта (см.
§ 1.8). При этом опять получатся собственные функции,
соответствующие тому же самому собственному значению.
По теореме § 1.12 собственные функции, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций
{uk} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее
можно выбрать ортонормальной*,
(Lukl ui) = 'kh(uk, Ui) = ^h{, (42)
Замечание. Все сказанное в § 1.7—1.9, 1.12 о пространстве
с очевидными изменениями справедливо и для его дискрет-
ного аналога 12 и тем более для всех конечномерных подпрост-
ранств пространства 12.
§ 2. Основные уравнения математической физики
Математическое описание многих физических процес-
сов приводит к дифференциальным и интегральным урав-
нениям или даже к интегро-дифференциальным уравне-
ниям. Весьма широкий класс физических процессов
описывается линейными дифференциальными уравнения-
ми второго порядка (см. § 1.10)
П ,2 П
2 + Ф)и = Р(О- (1)
ij==l г Э г=1 * 1
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 45
В этом параграфе мы рассмотрим характерные физи-
ческие процессы, сводящиеся к различным краевым за-
дачам для дифференциальных уравнений.
1. Уравнение колебаний. Многие задачи мехайики
(колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объ-
емов) и физики (электромагнитные колебания) описыва-
ются уравнением колебаний вида
«2
р = div (р grad и) — qu + F (х, V), (2)
dt
где неизвестная функция и(х, t) зависит от п (п ~ 1, 2, 3)
пространственных координат £ = (#i, х2, ..., хп) и време-
ни t; коэффициенты р, р и q определяются свойствами
среды, где происходит колебательный процесс; свободный
член F (х, t) выражает интенсивность внешнего возмуще-
ния. В уравнении (2), в соответствии с определением
операторов div и drad,
п
div (рgrad u) = (/’£)•
г—1 г 4 г
Продемонстрируем вывод уравнения (2) на примере
малых поперечных колебаний струны. Струной называ-
ется натянутая нить, пе сопротивляющаяся изгибу.
Пусть в плоскости (х, и) струна совершает малые
поперечные колебания около своего положения равнове-
сия, совпадающего с осью х. Величину отклонения стру-
ны от положения равновесия в точке х в момент времени
t обозначим через и{х^ t), так что и = и(х, t) есть урав-
нение струны в момент времени t. Ограничиваясь рас-
смотрением лишь малых колебаний струны, мы будем
пренебрегать величинами высшего порядка малости по
сравнению с 1g ос = —.
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натя-
жение Т (х, t) в точке х в момент времени t направлено
по касательной к струне в точке х (рис. 3). Любой учас-
ток струны (а, Ь) после отклонения от положения рав-
новесия в рамках нашего приближения не изменит своей
длины:
ъ _____
i=^Vi+(&dx-b-a’
46
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
и, следовательно, в соответствии с законом Гука, величи-
на натяжения | Т (х, t) 1 будет оставаться постоянной, не
зависящей от х и Z, \T(x,t)\ = T0. Обозначим через
F(xt t) плотность внешних сил, действующих на струпу
в точке х в момент времени t и направленных перпенди-
кулярно оси х в плоскости (ж, и). Наконец, пусть р(я)
обозначает линейную плотность струны в точке х, так
что приближенно р(<г)Дя—-масса элемента струны
(х, х + Дх).
Составим уравнение движения струны. На ее элемент
(х, х + Дх) действуют силы натяжения Т(х + Дх, t),
— Т (х, t) (рис. 3) и внешняя сила, сумма которых, сог-
ласно законам Ньютона, должна быть равна произведе-
нию массы этого элемента на его ускорение. Проектируя
это векторное равенство на ось и, на основании всего
сказанного получим равенство
70 sin а |х+Дх — 70 si n а |х + F (х*, I) Дх = р (х) Дх —-Ih1)..
dt
(ЗУ
Но в рамках нашего приближения
sin а =
X1 + tg2 а
. ди
а потому из (3) имеем
(х, t) __ 1 Г ди{х^ bx, t) __ (•*, 0 1
Р dfi 0 Дж [ дх J
8 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
47
откуда при Дя -> 0 следует равенство
ц т д и | р
р—2 = 1 о---2 “* Г »
dt2 дх2
(4)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний
струны. При F 0 колебания струны называются вынуж-
денными, а при F == 0 — свободными.
Если плотность р постоянна, р(^) = р, то уравнение
колебаний струны принимает вид
д2 и 2 д2 и .
dt2 дх2
р Т
где / =—, а а2 " -----постоянная. Уравнение (5) мы
будем также называть одномерным волновым уравнением.
Уравнение вида (2) описывает также малые про-
дольные колебания упругого стержня
(5)
(6;
где S (х) — площадь поперечного сечения стержня и
Е(х) — модуль Юнга в точке х.
Из физических соображений следует, что для одно-
значного описания процесса колебаний струны или
стержня необходимо дополнительно задать величины сме-
щения и и скорости щ в начальный момент времени
(начальные условия) и режим на концах (граничные
условия).
Примеры граничных условий.
а) Если конец х0 струны или стержня движется по
закону цА), то
|х—Хд “ Н (О*
Ь) Если на правый конец х0 струны действует задан-
ная сила v(t), то
ди I _____у (О
дх |х=х0 7’0 *
Действительно, в этом случае
Т° |х=х0 — Sln “ IX=3CO = V
48
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(ГЛ. I
с) Если правый конец х0 стержня закреплен упруго
и а — коэффициент жесткости закрепления, то
Е 4- аи — О
дх 1 ‘о
в соответствии с законом Гука.
Аналогично выводится уравнение малых поперечных
колебаний мембраны
? I , #и\ . р
dt2, 0 дх*^ dx*J
(7)
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний
мембраны
а2 / п2 \
OU ___ 2 ( $ и t * и \
dt2 у дх^ дх? J
+ /,
а2 = -°, / = ^
Р ' Р
(8)
будем называть двумерным волновым уравнением.
Трехмерное волновое уравнение
д2 / п2 о2 я2 \
ди ___ 2 I и и ; и I д и \ t
dt? дх* дх* дх* )
(9)
описывает процессы распространения звука в однородной
среде и электромагнитных волн в однородной непроводя-
щей среде. Этому уравнению удовлетворяют плотность
газа, его давление и потенциал скоростей, а также со-
ставляющие напряженности электрического и магнитно-
го полей и соответствующие потенциалы (см. § 2.6).
Мы будем записывать волновые уравнения (5), (8)
и (9) единой формулой:
□аи = /, (10);
где — волновой оператор (оператор Даламбера]:
д^
Da==ZJ-fl2A (D==D1)»
dt
A — оператор Лапласа:
л==Д+^+--+'£г
2. Уравнение диффузии. Процессы распространения
тепла или диффузии частиц в среде описываются следу-
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 49
ющим общим уравнением диффузии:
р^- = div (р grad u) — qu + F (х, t). (И)
Выведем уравнение распространения тепла. Обозна-
чим через и (х, t) температуру среды в точке х =*
= (^1, ^2, ^з) в момент времени t. Считая среду изотроп-
ной, обозначим, через р(я), с(х) и к(х) соответственно
ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент
теплопроводности в точке х. Обозначим через F(x, 2)
интенсивность источников тепла в точке х в момент
времени t. Подсчитаем баланс тепла в произвольном
объеме V за промежуток времени (t, t + kt). Обозначим
через S границу У, и пусть п —внешняя нормаль к ней.
Согласно закону Фурье через поверхность S в объем V
поступает количество тепла
QL = J к д-^ dS Af = J {к grad и, п) dS
s s
равное, в силу формулы Гаусса — Остроградского,
= j* div (к grad и) dx kt.
v
За счет тепловых источников в объеме V возникает ко-
личество тепла
Q2 = J F (х, t) dx kt.
v
Так как температура в объеме V за промежуток време-
ни (t, t + kt) выросла на величину
u(xr t + kt) — и (х, I) kt^
то для этого необходимо затратить количество тепла
<2з =
V
С другой стороны, Q3 = Qi + Q2 и потому
Иди ]
div (A- grad и) + F — ср I dx kt == 0^
откуда, в силу произвольности объема У, получаем
4 в. С. Владимиров
60 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
уравнение распространения тепла:
ср~ = div (7с grad и) + F(x, t). (12)
Если среда однородна, т. е. с, р и к — постоянные,
то уравнение (12) принимает вид
+ Л (13)
где
Уравнение (13) называется уравнением теплопроводно-
сти. Число п пространственных переменных х2з ...
..., хп в этом уравнении может быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного
описания процесса распространения тепла необходимо
задать начальное распределение температуры и в среде
(начальное условие) и режим на границе этой среды
(граничное условие).
Примеры граничных условий, а) Если на
границе S поддерживается заданное распределение тем-
пературы По, то
u |s = и0. (14)
Ь) Если на S поддерживается заданный поток тепла
то
-кк<15>
с) Если на S происходит теплообмен согласно закону
Ньютона, то
к + h (и ~ Is = °* (16)
где h — коэффициент теплообмена и и0 — температура
окружающей среды.
Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц.
При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться за-
коном Нэрнста для потока частиц через элемент поверх-
ности AS за единицу времени: А^ == — D<~kS3 где
D(x] — коэффициент диффузии и и(х, t) — плотность
частиц в точке х в момент времени t. Уравнение для
плотности и будет иметь вид (И), где р обозначает ко-
эффициент пористости, p = D и q характеризует погло-
щение среды.
§ 2J ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
51
3. Стационарное уравнение. Для стационарных про-
цессов F(x, £)=F(<r), и(х, t)=u(x) уравнения колеба-
ния (2) и диффузии (11) принимают вид
—divQ? grad и) + qu — F(x}. (17)
При р = const и # = О уравнение (17) называется урав-
нением Пуассона:
/ = (18)
при / == 0 уравнение (18) называется уравнением Лап-
ласа:
А‘и=0. (19)
Для полного описания стационарного процесса необ-
ходимо еще задать режим на границе — одно из гранич-
ных условий (14)—(16).
Пусть в волновом уравнении (10) внешнее возму-
щение j(x, t) периодическое с частотой со и амплиту-
дой а2/(я),
f(x, t) == а2/(я)"еш.
Если искать периодические возмущения и(х, t) с той
же частотой и неизвестной амплитудой и(х) ,
и(х, t)= и(х)е**\
то для функции и(х) получим стационарное уравнение
Ли + Л2м = -/(а;),/с2 = ^,. (20)
называемое уравнением Г елъмголъца.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольца при-
водят задачи на рассеяние (дифракцию). Например,
пусть задана приходящая
(из бесконечности) пло-
ская волна eih{a*x\ |а| = 1,
к > 0, которая подвергает-
ся изменению из-за нали-
чия некоторого препятст-
вия на границе S ограни-
ченной области G (рис. 4).
Препятствие можно зада-
вать, например, с помощью
। п ди Рис 4.
условия UIs = и или 1 =
= 0. Это препятствие порождает рассеянную волну v{x"jt
Эта волна вдали от рассеивающих центров будет близка
4*
52
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
к расходящейся сферической волне
( л* \ / 1 ч
1;^ = /(|Тг)т:Т + о(и )•
(21)
Поэтому при Ы -> оо волна v(x) должна удовлетворять
условиям вида
г(ж) = О(|ж|“1), d^l-ikv{x) =о(|^|-1), (22)
называемым условиями излучения Зоммерфелъда. Сум-
марное же возмущение и(х) вне области G складывается
из плоской и рассеянной волн:
и(х} — eih{a>x) + v(x), (23)
Отметим попутно, что функция /(s), s —Д-р, фигу-
I х I
рирующая в (21), называется амплитудой рассеяния}
она зависит, кроме того, от падающего импульса ка.
4. Уравнение переноса. Если длина свободного пробега частиц
значительно больше их размеров, то для описания процесса рас-
пространения частиц вместо уравнения диффузии используется
более точное уравнение, так называемое уравнение переноса (ки-
нетическое уравнение). Выпишем уравнение переноса при следу-
ющих предположениях: 1) скорости всех частиц одинаковы и рав-
ны н; 2) столкновения частиц между собой пренебрежимо редки;
3) частицы сталкиваются с неподвижными ядрами среды, 1(х) —
их средняя длина свободного пробега в точке х} 4) при столкно-
вении частицы с неподвижным ядром в точке х происходит одно
из следующих трех случайных событий: а) с вероятностью р\(х)
частица рассеивается па ядре, отскакивая от него, как упругий
шарик; Ь) с вероятностью р2(х) частица захватывается ядром;
с) с вероятностью р3 = 1 —р\ —р2 частица делит ядро, в резуль-
тате чего появляется v(x) 1 таких же частиц (при этом счита-
ется, что частица, разделившая ядро, исчезает); 5) распределение
частиц по направлениям как после рассеяния, так и после деле-
ния равномерное (изотропное).
Обозначим через п(х, s, t) плотность частиц в точке х1
летящих в направлении s = ($1? $2, $3), | s | = 1, в момент време-
ни t и через F (х, s, t) — плотность источников. Тогда функция
гр = ип — поток частиц — удовлетворяет следующему интегро-диф-
ференциалыюму уравнению:
1 dip ah С
ТдГ + £rad = 4л ) s 1 Z) ds + F> (24)
где a = 1/Z, h — pi + vp3. Это есть одпоскоростпос уравнение пе-
реноса для процессов с изотропным рассеянием. Вывод более об-
щих уравнений переноса и их исследование см. Г. И. Марчук [1]
и В. С. ВлАдпмпров [1].
§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
53
Если процесс переноса стационарный,
F (х, s, t) — / (х, s), яр (х, s, t) — ip (.г, s),
то уравнение переноса (24) принимает вид
ah 0 , ,
(s, grad ^) + «Ф = 4^ I (г, S ) ds + f. (25)
«х
Для полного описания процесса переноса частиц необходимо
задать начальное распределение потока частиц ip в среде (на-
чальное условие) и режим па границе этой среды (граничное ус-
ловие). Например, если область G, где происходит процесс пере-
носа, выпуклая, то граничное условие вида
г]) (ж, s, t) = 0, х е 5, (s, < 0, (26)
выражает отсутствие падающего потока частиц на область извне
(рис. 5).
Наконец, отметим, что уравнение переноса описывает про-
цессы переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса лучистой
энергии, прохождения у-кван-
тов через вещество, движения
газов и другие.
5. Уравнения газо-гпдроди-
намики. Рассмотрим движение / \
идеальной жидкости (газа), jg
т. е. жидкости, в которой от- / /
сутствуют СИЛЫ ВЯЗКОСТИ. / /
Пусть V (х, t) = р2,
вектор скорости движения I
жидкости, р (ж, t) — ее плот- _______
ность, р(х, t) — давление, /
/(ж, t) — интенсивность источ-
ников hF(j:, п К
интенсивность массовых сил.
Тогда эти величины удовлетво-
ряют следующей нелинейной системе уравнений, называемых
уравнениями гидродинамики (газовой динамики):
% + div (pV) = f, (27)
dV 1
+ (V, grad) V + ~ grad p - F. (28)
Уравнения (27) и (28) называются соответственно уравнени-
ем неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть
эту систему уравнений, необходимо еще задать связь между дав-
лением и плотностью:
Ф(р, р) =0, (29)
так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой
жидкости уравнение состояния имеет вид р = const, а для адиаба-
тического движения газа
рр~х = const, х = Cp!cv,
54
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
где Ср и cv — удельные теплоемкости газа при постоянном давле-
нии и постоянном объеме соответственно.
В частности, если жидкость несжимаема (р = const) и ее дви-
жение потенциально (V = — grad н), то из уравнения неразрыв-
ности (27) следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению
Пуассопа (18).
6. Уравнения Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется пе-
ременное электромагнитное поле. Обозначим £ (я, i) = (£'1, Е%, Е3)—
напряженность электрического поля, Н (х, t) = (Яр Я2, Яд) — на-
пряженность магнитного поля, р (х) — плотность зарядов, е — ди-
электрическая постоянная среды, р — коэффициент магнитной про-
ницаемости среды, I (х, I) = (/р 7 , 73)— ток проводимости. Тог-
да эти величины удовлетворяют следующей (линейной) системе
дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Макс-
велла'.
div (е£) = 4лр, div (р//) = О,
rot Е —
1 <Э(р/7)
с dt
rot Н =
1 д(еЕ)
с dt
(30)
(31)
(32)
где с = 3-1010 см/с — скорость света в пустоте.
Уравнение (31) выражает закон Фарадея, а уравнение (32) —
вакоп Ампера.
Отметим частные случаи уравнения Максвелла.
а) р — 0, е — const, р = const и I КЕ (закон Ома), X —
= const. Применяя к уравнениям (31) и (32) оператор rot п поль-
зуясь уравнениями (30), для компонент векторов Е и И получим
так называемое телеграфное уравнение:
4 л X ди
°аи + ~
а =
8Р
Ь) 7 = 0, 8 = const, р = const. Вводя чстырехкомпопептпый
электромагнитный потенциал (фо, ф), <р = (фь Ф2 фз), представим
решение уравнений Максвелла в виде
1 dro 1
Е = grad <р — — дт, И = — rot ф. (34)
При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удов-
летворять волновым уравнениям
D“<po = -~^‘P' °аЧ’ = 0 (35)
и условию Лоренца
Р8
Т-ёГ-^Ф = 0- <36>
с) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла пре-
вращаются в уравнения электростатики
div (еЕ) = 4лр, rot Е = 0 (37)
g 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 55
и в уравнения магнитостатики
div (|Ш) = 0, rot Н = I. (38)
При 8=const электростатический потенциал <ро удовлетворяет,
4л
в силу (35), уравнению Пуассона (18) при f =— — р.
При преобразовании уравнений Максвелла мы пользовались
следующими формулами векторного анализа:
div grad = Д, rot rot = grad div — Д7,
rot grad = 0, div rot = 0.
7. Уравнение Шредингера. Пусть квантовая частица массы т0
движется во внешнем силовом поле с потенциалом 7(ж). Обозна-
чим через гр (ж, t) волновую функцию этой частицы, так что
|г|>(ж, t) |2Дж есть вероятность того, что частица будет находиться
в окрестности и (х) точки х в момент времени здесь Дж — объем
и(х). Тогда функция гр удовлетворяет уравнению Шредингера
л
где К = 1,054-10-27 эрг-с — постоянная Планка.
Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то та-
кое состояние ее называется стационарным. В этом случае вол-
новая функция гр (ж, t) имеет вид
~Et
гр (ж, t} = e п гр (ж),
где волновая функция гр (ж), в силу (39), удовлетворяет стацио-
нарному уравнению Шредингера
К2
~2^Д^ + Игр=^гр. (40)
При 7 = 0 (свободная частица) уравнение Шредингера (40) пре-
вращается в однородное уравнение Гельмгольца (20).
Как и для уравнения Гельмгольца, в задачах на рассеяние па
потенциале V необходимо требовать выполнения условий излуче-
ния Зоммерфельда (22) на бесконечности (при к = f 2mQE К
£>0) *).
8. Уравнение Клейна — Гордона — Фока и уравнение Дирака.
Волновая функция <р(ж0, я), ж0 = ct, х = (жь ж2, ж3), где с —ско-
рость света, описывающая свободную релятивистскую (псевдо) ска-
лярную частицу массы т0, удовлетворяет уравнению Клейна —<
Гордона — Фока
( □ 4- <р = 0. (41)
♦) См., например, Д. И. Блохинцев [1, гл. IV и XIII], А. Мес-
сиа [1, гл, II].
56
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГГЛ. I
Для описания свободной релятивистской частицы массы т0 со
спином 1/2 (электрон, протон, нейтрон, нейтрино и др.) служит
четырехкомпопептпая волновая функция (спинор)
Она удовлетворяет уравнению Дирака — системе четырех линей-
ных дифференциальных уравнений первого порядка:
3 \
г2 p(w)=0’ <42>
fe=o k /
где I — единичная матрица и f - матрицы Дирака (в реализации
Паули):
/1 0 0 0\ / 0 0 0 1\
0 1 0 1 0 0 1 1110 0 1 0|
т = 0 0 — 1 0) 1’ Y =1 0 - 1 0 0 г
\о 0 0 — 1/ \-1 ООО/
0 0 0 — *\ /00 1 0\
т2 = 0 0 0 i 1 0 0 1 0 ) о о о 1 II 0 - 1 | 0 о •
1 0 0 0/ \ 0 1 0 ы
Уравнение Дирака есть результат матричной факторизации урав-
нения Клейна — Гордона — Фока, ибо ♦)
(3 \ / 3 \
*2 yh£~mor р2 =-(a+mo)z- (4з)
k=0 h ) \ h=Q h /
§ 3. Классификация квазилинейных
дифференциальных уравнений второго порядка
Прежде чем формулировать математические поста-
новки краевых задач для линейных дифференциальных
уравнений второго порядка необходимо классифициро-
вать эти уравнения.
1. Классификация уравнений в точке. Рассмотрим *
квазилинейное (линейное относительно всех старших
*) См. Н, Н, Боголюбов и Д. В. Ширков [1, § 6]. „
§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 57
производных) дифференциальное уравнение второго по-
рядка
2 (*) + Ф и> grad = 0 {1>
i,j=l г i
с непрерывными коэффициентами ац(х). Выясним преж-
де всего, по какому закону преобразуются коэффициен-
ты ац при произвольной неособенной замене независи-
мых переменных у == у (х), т. е.
УI — yi ^2’ • • •» % 1» 2, . . . ? 72, yi СНЕ С ,
3(хг г2, .... dxi у
Так как Z) ¥= 0, то в некоторой окрестности можно вы-
разить переменные х через переменные г/, х = х(у).
Обозначим и(х(у)) = й(у); тогда й(у(х))==и(х). Имеем
ди у ди дУ1
дх. & ду t дхг 1
п п (3)
д2и_____д_ (ди_\ __ у д2и дУi дУк , у ди_ УI
dxi дх. ~~ dXj [ dxi) ~~ dyt дуk dxi дх. дуt дх{ дх. *
Подставляя выражения (3) в уравнение (1), получим
V д2к у V п.. dhl _|_
, ^yldyh.‘4d Zjdyt^ t} dxtdXj
h,l=l 1 R M=1 1 1 1=1 1 J
+ Ф* (y, u, grad u) = 0. (4)
Обозначая теперь через a[h новые коэффициенты при
вторых производных:
- / х V / Ч дУ1 дУь, /ГЧ
alh (У) ~~ дх.^ (5)
перепишем уравнение (4) в виде (1):
П 2~
2 (У) + Ф (г/, и, grad и) = 0. (6)
58 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ I
Фиксируем точку я0; обозначим yQ = у(х0), а и =
dyt (х )
₽= - д Тогда формула (5) в точке х0 запишется в виде
^lh (Уо) = 2 (^о) (7)
ij=i
Полученная формула преобразования коэффициентов ац
в точке xQ совпадает с формулой преобразования коэф-
фициентов квадратичной формы
2 aij (^о) РгРз ($)
ij=l
при неособенном линейном преобразовании
Pi = 2 anVi, det {an) 0, (9)
г=1
переводящем форму (8) в форму
X С1 °)
М=1
Мы видим, таким образом, что коэффициенты
U0(^o), 7, i = 1, 2, ..п}
образуют симметричный тензор типа (2, 0)*) (симмет-
ричный контравариантный тензор ранга 2); для точно-
сти индексы /, у следовало бы писать сверху.
Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке х0 с
помощью замены переменных (2), достаточно упростить
в этой точке квадратичную форму (8) с помощью не-
особенного линейного преобразования (9). Но в курсе
линейной алгебры доказывается, что всегда существует
неособенное преобразование (9), при котором квадратич-
ная форма (8) принимает следующий канонический вид:
г т
2^— 2 ql (И)
1=г-\г1
кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм
целые числа г и т не зависят от преобразования (9)*).
Это позволяет классифицировать дифференциальные
*) См., например, Д. В. Беклемишев [1, гл. X].
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
59
уравнения (1) в зависимости от значений, принимаемых
коэффициентами а^ в точке xQ.
Если в квадратичной форме (И) т = п и все сла-
гаемые одного знака (т. е. либо г = т, либо г==0), то
уравнение (1) называется уравнением эллиптического
типа; если m = п, но имеются слагаемые разных знаков
(т. е. 1 С г < п — 1), то уравнение (1) — гиперболиче-
ского типа (при г = 1 или г = п — 1 — нормально-гипер-
болического типа); наконец, если пг < п, то уравнение
(1)~ параболического типа (при тп = п—1 и г=1 или
г — п — 1 — нормально-параболического типа}.
Подчеркнем, что приведенная классификация зависит
от точки Хо, так как числа г и пг зависят от xQ. Напри-
мер, уравнение Трикоми
д2 и , д2 и п
дх ду
(12)
— смешанного типа: при у < 0 — гиперболического ти-
па, при у > 0 — эллиптического типа, а при у = 0 — па-
раболического типа.
Пусть коэффициенты ац в уравнении (1) постоянны,
и пусть преобразование (9) приводит квадратичную фор-
му (8) к каноническому виду (11). Тогда линейная за-
мена независимых переменных
п
У1 ~
1=1
преобразует уравнение (1) к следующему каноническо-
му виду:
2 - 2 $ + Ф to. grad J) = 0, (13)
Пример ы. Уравнение Лапласа — эллиптического
типа, волновое уравнение — гиперболического типа и
уравнение теплопроводности — параболического типа.
2. Выражение оператора Лапласа в сферических и
цилиндрических координатах. Для иллюстрации преоб-
разований § 3.1 найдем выражение трехмерного опера-
тора Лапласа Д (п == 3, а^ ~ Ф = 0) в сферических
и цилиндрических координатах.
*) См., например, А. И. Мальцев [1, гл. VI] и Д. В, Беклеми-
шев [1, гл. VIII].
60
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
а) Сферические координаты (рис. 6):
== г sin 0 cos ф, х2 = г sin 0 sin ф, х3 = г cos 0.
Имеем
i-l, / = 1,2,3 Лг_А;
дх^ г г 1
дВ __cos 0 cos ф с0 ____cos 0 sin ф
дх^ г ’ дх% г 1
д® __sin 0 дд_________ cos 0
г ’ г2 sin 0 ’
<9ф __ _ sin ф дф __ cos ф „ и л п
дхх г sin 0 ’ дх2 г sin 0 7 дх^ ' ф *- •
Подставляя эти выражения в формулу (4), при п = 3,
(iij = $ij и Ф = 0 и собирая подобные члены, получим
Л 1 д / 2 д ( - а д \ 1 1 д2 /л/\
А -- “ТТ— И Т~ / “Ь ~9-I 1 Н----9-9->• (14)
г2 dr \ dr) r2 sjn Q £0 \ оО J r2 sin2 0 <9(р^
Ъ) Цилиндрические (полярные) коорди-
наты (рис. 7):
Xi = г cos ф, х2 = г sin ф, х3 = z.
Производя аналогичные, более простые, выкладки, по-
лучим
д _ь 1 4- д
Гвг) +г2 ЙФ2 + dz2‘
3. Характеристические поверхности (характеристики).
Пусть функция со(^), х = (х^ x2i ..хп), класса
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
61
С1 такова, что на поверхности (о (х) = 0 grad со {х) ¥= 0 и
V = (16)
г,7=1 г J
Тогда поверхность со (я) = 0 называется характеристиче-
ской поверхностью {или характеристикой) квазилиней-
ного дифференциального уравнения (1), а уравнение
(16) — характеристическим уравнением. При п =* 2 ха-
рактеристическая поверхность называется характеристи-
ческой линией.
Предположим, что каждая поверхность семейства
со (я)— С = О, а<С<&, есть характеристика уравнения
(1). Поскольку на каждой характеристике gradco=H=0,
то это семейство заполняет некоторую, достаточно ма-
лую, область G, через каждую точку которой проходит
одна и только одна характеристика. Пусть co^C2(G).
Тогда, если в преобразовании (2) взять у1 = ы{х). то
в силу (5) и (16), коэффициент обратится в нуль
в соответствующей области G. Более общо, если нам из-
вестны к {к п) семейств характеристик
*** (Oi(a;)= G, ..., оц(я)=
таких, что
( Эсо • (х) \
rang I......I == /г, х G Сгг
то, положив в преобразовании (2)
z/t = coj{х), .... yk = соА(я)’,
обратим в нуль коэффициенты аи, ..., ahk в G. Поэтому
знание одного или нескольких семейств характеристик
дифференциального уравнения дает возможность приве-
сти это уравнение к более простому виду.
Примеры характеристик.
а) Волновое уравнение (см. (10) § 2.1). Его
характеристическое уравнение имеет вид
Поверхность
a2{t — t0)2 — lx — #ol2 = 0, (17)
называемая характеристическим конусом с вершиной в
точке {xq. tQ).
62
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
Характеристический конус за вычетом его вершины
(хо, в которой grad обращается в нуль, есть харак-
теристическая поверхность волнового уравнения. Это се-
мейство характеристик зависит от п + 1 параметра (^0,
to). При п = 1 характеристиками являются два семей-
ства прямых (рис. 8)
х — at^= х + at== С2.
Характеристический конус (17) является границей
конусов
Г+(я0? to) = [а(£~ t0)> lx — or0|]
и
Г-(^о, to) = [—a(t — tQ)> lx — XoI],
называемых соответственно конусами будущего и прош-
лого с вершиной в точке (j’o, to) (рис. 9). Обозначаем
= Г^(0, 0).
Рис. 8. Рис. 9.
Волновое уравнение имеет и другое семейство харак-
теристических поверхностей — семейство касательных
плоскостей к характеристическим конусам
at±(x, Ь) = С, (18)’
где Ь =(&i, Ъ2, ..Ъп), bh и С — любые вещественные
числа, причем |&| == 1.
Ь) Уравнение теплопроводности (см. (13)
§ 2.2). Его характеристиками, очевидно, является се-
мейство плоскостей t=*C.
с) Уравнение Пуассона (см. (18) § 2.3). Оно
не имеет (вещественных) характеристик, ибо из харак-
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
63
теристического уравнения
п
=0 на со=0
вытекает, что grad со = 0 па (о = 0, что невозможно.
4. Канонический вид уравнений с двумя независи-
мыми переменными. В § 3.1 рассмотрен способ приве-
дения квазилинейного дифференциального уравнения
второго порядка к каноническому виду в каждой отдель-
ной точке, где задано это уравнение. В связи с этим
возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобра-
зованием (2) привести уравнение (1) к каноническому
виду (13) в достаточно малой окрестности каждой точ-
ки? Чтобы такое приведение можно было сделать для
любого уравнения, необходимо, чтобы число условий
= 0, 1=£ к, I, к === 1, 2, ..., п\
da 8/6Zf{, Z — 2, 3, • • Z2J da 0,
где 8/ = 0, ±1, не превосходило бы числа неизвестных
функций z/z, I = 1, 2, ..., п:
п (п — 1) , л
--------------—- + п — 1 тг, т. е. п
2.
Покажем, что для п = 2 (и, очевидно, для п=1) это
приведение всегда можно сделать.
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное урав-
нение второго порядка с двумя независимыми перемен-
ными
д2 U , гп U ।
и и , т и и . и и . / ди ди
а—. + 2&—- + С—+ Ф НТ, V,
дх2 дхдУ ду2 \ дУ >
дх* ' ’ дх ду ду<
причем предполагаем, что коэффициенты а, Ъ и с при-
надлежат классу С2 в некоторой окрестности и нигде
в ней не обращаются в нуль одновременно. Для опре-
деленности можно считать, что а 0 в этой окрестно-
сти. Действительно, в противном случае может оказать-
ся, что с =/= 0. Но тогда, меняя местами х и у. получим
уравнение, у которого а ¥= 0. Если же а и с обращаются
в пуль одновременно в какой-либо точке, то Ъ ¥= 0 в
окрестности этой точки. В таком случае после деления
на 2fe уравнение (19) уже будет иметь канонический
вид (26).
64
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
Переходя к новьш переменным
£ = №£)>. n = n(^Z/)> цеС1 2, =/=(),
V У)
(20)
приведем уравнение (19) к виду
~ д2 и . о7 д2н . ~ д2 и . Tzl? ди ди\ п /плч
%У + 2^ + с^ + ФМ’м’<’^ = 0’ (21)
где, в силу (5),
~ V . ог. , (д1\2
а — я I д—) ~Ь 2& ~~— Ч- с I —— I ,
\дх ) дхду \ ду J
к — п^ дГ] 4- h № 8Г] J. % ' Л Sr> /ОО)
Ь~ад^ + Ь[д^ +d7te) + CdJdP <22>
7 = + 26^-^- + cf^-У
\ дх ) дх ду \ду } '
Потребуем, чтобы функции £(я, у) и ц(я, у) обращали
в нуль коэффициенты а и с, т. е., в силу (22), удовлет-
воряли характеристическому уравнению (см. (16), § 3.3)
а
/я|У
\ дх )
+ 2Ь
+ 26-4А + Г
дх ду
/ЧУ
\ ду )
= о,
(23)
5/| дг\ /ди] у
дх ду "т~ С \ ду )
= 0.
Так как а =/= 0, то уравнения (23) эквивалентны линей-
ным уравнениям
1 + М*,Й<-0. i + («.»)>" 0. (24)
где
. __Ъ — "]/ d « b-\-~\/d
Л1“----а ’ Л2“-----~а--« (25)
Х2 — Xi = d^b2- ас.
Согласно классификации, изложенной в § 3.1, воз-
можны следующие три типа уравнений (19):
I. Гиперболический тип, если d > 0.
II. Параболический тип, если d — 0.
III. Эллиптический тип, если d < 0.
Рассмотрим отдельно все эти три случая.
g 8]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
65
1. Гиперболический тип, d > 0. В этом слу-
чае уравнение (19) приводится к каноническому виду
4-ф^о
(26)
Отметим, что замена переменных р = g + г|, а = § — ц
приводит уравнение (19) к другому, эквивалентному,
каноническому виду:
я2
д ui
V
л.
—Л + ф = о,
до2 1
(27)
Для доказательства представления (26)' установим
существование хотя бы одной пары решений g, ц урав-
нений (24), удовлетворяющих условиям (20). Отметим,
что и л2е С2. Установим сначала связь этих решений
с характеристиками уравнения (19).
Предположим, что существуют решения уравнений
(24) такие, что grad ^0 и grad т] =#0 в рассматривае-
мой окрестности. Тогда, по определению (см. § 3.3),
кривые
g(z, у)^С„ т)(^ У)=^С2 (28);
характеристик уравнения
определяют два семеиства
(19).
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Пусть функция ы(х, у) класса С1 такова,
что #= 0. Для того чтобы семейство кривых со (х, у) =
= С давало характеристики уравнения (19), необходимо
и достаточно, чтобы выражение со (х, у)= С было общим
интегралом одного из обыкновенных дифференциальных
уравнений
£ = M*,Z/). (29)
Уравнения (29) называются дифференциальными
уравнениями характеристик уравнения (19).
Доказательство. Пусть ы(х, у)—С — семейст-
во характеристик уравнения (19). Из условияО
следует, что кривые со(х, у)—С заполняют некоторую
окрестность. Поэтому функция со удовлетворяет в
этой окрестности одному из уравнений (24), например
Ь Bt Gt Владимиров
66
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
уравнению
^ + М^)^ = 0. (24')
Далее, на каждой характеристике со(х, у')—С справед-
ливо соотношение
+ = 0. (30)
дх ду dx v '
* /Л 7/V d(SS . z\
Отсюда и из (24 ) заключаем, в силу условия
что со (я, у) = С есть общий интеграл первого из уравне-
ний (29).
Обратно, если со (я, ^)=С есть общий интеграл од-
ного из уравнений (29), например уравнения у' =*
==^i(#, у), то, в силу (30), на каждой линии со (я, z/) =
*=С выполняется соотношение (24х). Но по теореме су-
ществования и единственности решения для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений через каждую точку
из рассматриваемой окрестности проходит одна интег-
ральная кривая со (я, у)=С этого уравнения. Поэтому
уравнение (-24') удовлетворяется во всех точках этой
окрестности. Отсюда заключаем, поскольку со е С1,
что кривые а)(х, у)=С являются характеристи-
ками уравнения (19). Лемма доказана.
На основании доказанной леммы общие интегралы
уравнений (29): y)-=Ci и ц(я, у)=С2 такие, что
fit дг|
£ и ^-=/=0 и —=т^0, определяют два семейства
характеристик уравнения (19). Как следует из общей
теории обыкновенных дифференциальных уравнений*),
такие интегралы существуют в, возможно, меньшей ок-
рестности. При ЭТОМ, ПОСКОЛЬКУ /и G С2, ТО И 1] е С2
и, в силу (29) и (25),
д{1, п) _ дп н i
д (ж, у) дх ду ду дх ду ду ' 2
= 2^- ^-5-^=0. (31)
а ду ду 4 1
Таким образом, семейства характеристик (28) обра-
зуют семейства координатных линий (рис. 10) и функ-
ции Ъ\х, у) и ц(£, у) можно принять за новые пере-
♦) См., например, Л. С. Понтрягин [1, гл. IV],
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
67
менные. При этом в уравнении (21) будет я = с = 0 и,
в силу (22) и (29),
b = ИЛ - Ъ (\ + Х2) + с] = - — 7Г 7Г °-
L 1 2 х 1 1 J ду ду а ду ду
Разделив уравнение (21) на коэффициент 25 ¥= 0, полу-
чим уравнение в канониче-
ской форме (26).
II. Параболический
тип. Пусть d 0 в некото-
рой окрестности. Тогда урав-
нение (19) приводится к ка-
ноническому виду
+ ф = 0. (32)
дх\
В этом случае, в силу
(25), = Ч = - С\ так Рис- 10-
что дифференциальные уравнения (24)' совпадают и сво-
дятся к одному уравнению
дх а ду
(33)
Поэтому имеется одно семейство g(z, */)= характери-
стик уравнения (19), определяемое, в силу леммы, об-
, Ъ , л
щим интегралом уравнения у = — таким, что — U;
при этом g С2. В качестве второго семейства коорди-
натных линий выберем прямые х = С2 (см. рис. 10).
В результате замена переменных
о / ч д (g, ip <9g , n
g = g (x, y), Y] — X, —у = — ~ 0
ъ ъ \ ? iJJl J 1 O’ (#, yj Qy
дает, в силу (22) и (33),
а = 0, fe = a-^- + £>-^- = 0, с = а.
’ дх ду 1
Разделив уравнение (21) на коэффициент с = а =/= 0, по-
лучим уравнение в канонической форме (32).
III. Эллиптический тип, d < 0. В этом случае
уравнение (19) приводится к каноническому виду
+ -Ц + ф = о.
Sri2
(34)
5*
68
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(ГЛ. I
Докажем это утверждение для того случая, когда ко-
эффициенты а, Ъ и с уравнения (19) — аналитические
функции переменных (х, у) в окрестности некоторой
точки (см. § 4.8).
В этом случае, в силу (25), коэффициенты и Х2
уравнений (24) — аналитиче-
ские функции, причем при ве-
щественных (х, у) «= Z2. Из
теоремы Коши — Ковалевской
вытекает (см. § 4.8), что в до-
статочно малой окрестности су-
ществует аналитическое реше-
ние со (я, у) уравнения*)
+ (24')
удовлетворяющей условию
t _ и {х, у) 4- со (а:, у)
6 2
0» Положим
8у
со (ж, t/) — со (ж, у)
1 2i
(35)
где со = g — it] — функция, комплексно сопряженная с
со = £ -Нц; она удовлетворяет второму из уравнений (24) :
$со л / \ да) л
— + Z2 (х, у) — = 0.
дх 2 4 ’ я/ ду
Функции I и т] е= с°° и, в силу (35) и (31), их якобиан
отличен от нуля:
8_ & ip = g(g. ij) д (со, й)
8 (Ж, у) Q (Ш1 й) 8 {х, у)
2г а оу ду а | ду |
Поэтому функции | и ц можно взять за новые пере-
менные (см. рис. 11).
Посмотрим, какой вид примет уравнение (19) в этих
переменных. По построению функция со удовлетворяет
*) Решение существует и без предположения об аналитично-
сти коэффициентов а, b и с; см. И. Н. Векуа fl, гл. II]. Предполо-
жение об аналитичности коэффициентов позволяет использовать
теорему Коши — Ковалевской о разрешимости уравнения (24') с
комплексными коэффициентами в классе аналитических функций
(при d <Z 0 это уравнение называется уравнением Белътрами)*
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
69
уравнению
(д® \2 , о, да да
а I л r i 4~ 2Ь ——т-—
\ / дх ду
да \2
,^Г/
Отделяя здесь вещественную и мнимую части и поль-
зуясь (35), получим
а
\2 , П7 ,
+ 2Ь ——+ с
дхду
+ 2Ь?-й- + с
дх ду
51] V
ду ) *
. 7, ( дЛ. 4- ~L) + =
дх дх \ дх ду ду дх / ду ду
Принимая во внимание формулы (22), заключаем от-
сюда, что а = с и Ъ = 0 в переменных %, гр Далее, так
как’ d < 0 и-||т^0, то а = с ¥= 0. Разделив уравнение
(21) на а = с ¥= 0, приведем его к каноническому виду
(34).
5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в
§ 3.1, у равнение Трикоми
д2и . д2 и л
Z/-i + ~2 = 0
дх ду
(12)
принадлежит к смешанному типу: при у < 0 оно гипер-
болического типа, а при у > 0 — эллиптического типа,
ибо d = —у. Уравнение Трикоми представляет интерес
Рис. 12.
для газовой динамики, причем в области гиперболично-
сти у < 0 оно соответствует сверхзвуковому движению,
а в области эллиптичности у > 0 — дозвуковому дви-
жению.
70
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
При у < 0 уравнения характеристик (29) принимают
вид у' ~ ± ~7= Поэтому кривые (рис. 12)
v — y
+ V— у3 = cv х — V— уз = с2
являются характеристиками уравнения Трикоми. Преоб-
разование
£ = х + У3’ *] = ~ГХ~ У—У3
____________________1__
дТ] 6 (g — 7])
д“и
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
ди ди \ п
<-ж7=0’- £>*1-
Если же у > 0, то, в соответствии с теорией § 3.4,
ау — -^х—t Yу3 и подстановки типа (35) :
В = 4"*’ п =
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
д*и д2и |______1 ди
+ + Зп" 07]
§ 4. Постановка основных краевых задач
для линейных дифференциальных уравнений
второго порядка
В этом параграфе мы сформулируем математические
модели для ряда характерных физических процессов,
которые сводятся к различным краевым задачам для ли-
нейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Классификация краевых задач. Как было показа-
но в § 2, линейное дифференциальное уравнение второ-
го порядка
я2
р —“ = div (р grad и) — qu 4- F (х, I) (1)
дг
описывает процессы колебаний, уравнение
р ЖГ = div grad w) ~ qu + F V &
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
71
описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение
—div (р grad и) + qii = F (х) (3)
описывает соответствующие стационарные процессы.
Пусть G <^Rn — область, где происходит процесс, и
S —- ее граница, которую считаем кусочно-гладкой по-
верхностью. Таким образом, G есть область изменения
аргументов х в уравнении
(3) —• область задания урав-
нения (3). Областью задания
уравнений (1) и (2) будем
считать цилиндр Цт = G X
Х(0, Т) высоты Тис ос-
нованием G. Его граница со-
стоит из боковой поверхно-
сти S X [0, 7] и двух осно-
ваний: нижнего G X {0} и
верхнего G X {Т} (рис. 13).
. Будем предполагать, что
коэффициенты р, р и q
уравнений (1) — (3) не зави-
сят от времени далее, в со-
ответствии с их физическим
смыслом, будем считать,
что р {х) > 0, p{x)>0, x^G. Наконец, в соот-
ветствии с математическим смыслом уравнений (1)—-(3),
необходимо считать, что р е= C{G), р е C^G) и q C{G).
При этих предположениях, согласно классификации
§ 3, уравнение, колебаний (1) — гиперболического типа,
уравнение диффузии (2) — параболического типа и ста-
ционарное уравнение (3) — эллиптического типа. Таким
образом, различие в типах рассматриваемых уравнений
тесно связано с различием физических процессов, опи-
сываемых этими уравнениями.
Как отмечалось в § 2, чтобы полностью описать тот
или иной физический процесс, необходимо, кроме само-
го уравнения, описывающего этот процесс, задать на-
чальное состояние этого процесса {начальные условия}
и режим на границе той области, в которой происходит
этот процесс {граничные условия). Математически это
связано с неединственностью решения дифференциаль-
ных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных
дифференциальных уравнений n-го порядка общее реше-
ние зависит от п произвольных постоянных. Для урав-
72
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
нений же в частных производных решение, вообще го-
воря, зависит от произвольных функций; например, об-
щее решение уравнения их = 0 в классе функций, зави-
сящих от переменных х и у, имеет вид и(х, y)=f(y),
где / — произвольная функция класса С1. Поэтому,
чтобы выделить решение, описывающее реальный физи-
ческий процесс, необходимо задавать дополнительные
условия. Такими дополнительными условиями и являют-
ся краевые условия*, начальные и граничные условия.
Соответствующая задача называется краевой задачей. Та-
ким образом, краевая задача математической физики —
э то дифференциальное (интёгро-дифференциа льное)
уравнение (или система уравнений) с заданными крае-
выми условиями.
Различают, такшм образом, следующие три основных
типа краевых задач для дифференциальных уравнений.
а) Задача Коши для уравнений гиперболического и
параболического типов: задаются начальные условия,
область G совпадает со всем пространством Rn, гранич-
ные условия отсутствуют.
Ь) Краевая задача для уравнений эллиптического
типа: задаются граничные условия на границе 5, на-
чальные условия, естественно, отсутствуют.
с) Смешанная задача для уравнений гиперболическо-
го и параболического типов: задаются и начальные и
граничные условия, G Ф Rn.
Опишем подробнее постановку каждой из перечис-
ленных краевых задач для рассматриваемых уравнений
(1) —(3).
2. Задача Коши. Для уравнения колебаний (1) (ги-
перболический тип) задача Коши ставится следующим
образом: найти функцию и(х, t) класса С2(£>0)Л
Л С1 (£>()), удовлетворяющую уравнению (1) в полу-
пространстве t > 0 и начальным условиям при t = +0:
«ко = «0(^)1 ?7|(=0 = wi(a’)- (4)
При этом необходимо, чтобы F^C(^>0)\ uQ^C'(Rn),
u^C(Rn).
Для уравнения диффузии (2) (параболический тип)
задача Коши ставится так: найти функцию и(х, t) клас-
са C2(t > 0) Л C(t 0), удовлетворяющую уравнению (2)
в полупространстве t > 0 и начальному условию при
§ 41
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
73
£ ==+0:
п|/==о ~ По(^)\
(5)
При этом необходимо, чтобы F е= С (t > 0), и0 е С (Rn).
Приведенная постановка задачи Коши допускает сле-
дующее обобщение. Пусть даны квазилинейное диффе-
ренциальное уравнение второго порядка гиперболическо-
го типа
Л — V д*и V °2и к
д? “ al} dxidxi П ai0 dxidt
+ ®(x,t,u, ^-1 (6)
I 1 1 ' ox' ' ox' Ot H ' '
\ 1 /
кусочно-гладкая поверхность S = [Z = o(rc)] и функции
Uo и щ на S (данные Коши). Задача Коши для уравне-
ния (6) состоит в нахождении в некоторой части обла-
сти t>o(x), примыкающей к поверхности S, решения
w(z, Z), удовлетворяющего на S краевым условиям
и Is “ wo> Fn WjLf (?)
где n — нормаль к S, направленная в сторону возраста-
ющих t (рис. 14).
3. Роль характеристик в постановке задачи Коши.
Предположим, что поверхность S принадлежит классу
Рис. 14.
С2 (см. § 1.1) и ни в какой своей точке не касается
характеристической поверхности (см. § 3.3) уравнения
(6)? т. е. на S выполнено неравенство
п п
~ . v да За , V да / л
й00 = 1 — 2d . аГ + 2j й«0 дх, °*
г i=l 4
(8)
74
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. I
Преобразуем задачу Коши (6)-—(7) к задаче Коши,
в которой данные Коши заданы па плоскости т = 0. Для
этого вместо переменной t введем новую переменную
т = £ —о(х’). При этой замене переменной уравнение
(6) для функции
й (х, т) = и (х, т + о (х) )
(9):
в окрестности поверхности S принимает вид (см. § 3.1)'
д2ц
5т2
(10)
поскольку, в силу (8), аОо 0 на S. При этом поверх-
ность S переходит в плоскость т — 0, а краевые условия
(7), в силу (9), принимают вид
и |т=0 = и |2 = ий (х), -^-1 =^1|. (И)
1 и 1 U \ |Ts=0 Qi \ /
Осталось найти на S. Дифференцируя первое из
краевых условий (7), и0 (х) == и (х, о(^)), по х^ получим
п соотношений на S
дЦ0 _ | 7—4 9 У) /4 ОХ
“ It 1 - (12)
Дифференцируя функцию и(х, t) по нормали
п = ("Г1 —Г grad °) ’ Л = У1 + I grad о |2 *?
и учитывая второе из краевых условий (7), получим еще
одно соотношение на S:
п
ди 1 1 V5 &и д® /ло\
-- ”И7 А ~Г / 4 3 Я-* О*})
1 dt Д Д м дх. дх. 4 '
г=1 г г
Система линейных алгебраических уравнений (12J—(13J
ди , л
однозначно разрешима относительно величин-^-,; г 1$
2 ди <»
в каждой точке поверхности 2, так как
Ok
§ 4]
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
75
ее определитель 0
до дхг 1
до дхп 1 д 0 1 до Д дх± ’ * 1 1 до = (-1)”Л#=0.
Замечание. С другой стороны, если поверхность S совпа-
дает с характеристической поверхностью уравнения (6), то соот-
ветствующая задача Коши (6) — (7) может и вовсе нс иметь ре-
шения, а если и имеет таковое, то оно может быть не единст-
венным.
Для доказательства сказанного достаточно привести пример.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения uxt = 0 с данными на ха-
рактеристике t — 0:
u\t = о = М*)> ut\t == о = щ(х).
Если решение поставленной задачи существует, то из уравнения и
из второго начального условия вытекает необходимое условие раз-
решимости ее:н1(д:)=0. Таким образом, решение задачи может
существовать лишь при щ (х) — const == а. В этом случае, если
но е С2, решение действительно существует и, как легко убедить-
ся, дается формулой
и(х, t) = uq(x) + at + c(Z),
где c(0 — любая функция класса C2(t 0), удовлетворяющая ус-
ловиям с с(0) = с'(0) — 0. Решение не единственно!
4. Краевая задача для уравнений эллиптического ти-
па. Краевая задача для уравнения (3) (эллиптический
тип) состоит в нахождении функции и(х) класса
C2(G) П С1 (G), удовлетворяющей в области G уравнению
(3) и граничному условию на S вида
(14)
где а, Р и v — заданные кусочно-непрерывные функции
на S, причем а(х)^ 0, р (#)>(), а(х) + р (х) > 0, х S.
Выделяют следующие типы граничных условий (14):
Граничное условие I рода (а = 1, р = 0)
uls = и0. (15)
Граничное условие II рода (а = 0, р = 1)
ди j
дп ]s U±l
(16)
76 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ I
Граничное условие III рода (tB = 1, а > 0)
+ аи |s = м2- (17)
Соответствующие краевые задачи называются крае-
выми задачами I, II и III рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона (см. § 2.3) крае-
вая задача I рода
&U = ~f, u|5 = lZ0 (18)'
называется задачей Дирихле-, краевая задача II рода
А“=-/' (,9>
называется задачей Неймана.
Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения
(3) и во внешности ограниченной области G (внешние
краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо
граничного условия (14) на S, задаются еще условия на
бесконечности. Такими условиями, например, могут быть:
условия излучения Зоммерфельда (22) § 2.3 — для урав-
нения Гельмгольца или Шредингера (см. § 2.7); усло-
вия вида
u(x)=O(Vj или и(я)=о(1), |х|-> оо (20)'
— для уравнения Пуассона; принадлежность ф к
S?2(/?3) для собственных функций уравнения Шредин-
гера (40) § 2.7 и другие.
5. Смешанная задача. Для уравнения колебаний (1)’
(гиперболический тип) смешанная задача ставится сле-
дующим образом: найти функцию и(х, t) класса С2(Дг)Г1
ОС1 (Цт), удовлетворяющую уравнению (1) в цилиндре
Цт, начальныхМ условиям (4) при t = 0, х е G (на ниж-
нем основании цилиндра Цт) и граничному условию
ам+₽М=р {14,)
(на боковой поверхности цилиндра Дг). При этом не-
обходимо должны быть выполнены условия гладкости
Г^С(Дг), Но^СЧС), и^С(Щ,
v — кусочно-непрерывна па S X [0, Т] и условия согла-
сованности
аи*+(2i)
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 77
(Второе из равенств (21) имеет смысл, если решение
и(х1 t) достаточно гладко вплоть до нижнего основа-
ния ЦТ‘)
Аналогично для уравнения диффузии (2)' (парабо-
лический тип) смешанная задача ^ставится так: найти
функцию t) класса С2(ЦТ) П С(ЦТ), gradxu &С(Цт),
удовлетворяющую уравнению (2) в Цт, начальному ус-
ловию (5) и граничному условию (14').
Замечание. Решения поставленных краевых задач с глад-
костью С1 вплоть до границы области задания уравнения сущест-
вуют не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от тре-
бования такой гладкости и требовать, например, чтобы решение
было только непрерывным вплоть до границы области. Эта по-
становка является естественной в задачах, не содержащих пер-
вых производных в краевых условиях, например для уравнений
(2) и (3) с граничным условием I рода. Если же в краевые ус-
ловия входят первые производные, то в каждом конкретном слу-
чае необходимо указывать смысл, в котором должны быть выпол-
нены эти краевые условия. Например, для смешанной задачи для
уравнения (1) выполнения второго из начальных условий (4) мож-
но требовать в смысле ЧД; ; -
е-> + 0; (22)
для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения гранич-
ного условия (16) можно требовать в следующем смысле:
о / /\ XGzS
. /. (х), х' -> х, x'(~G, х'g — пх. (23)
6. Другие краевые задачи. Сформулируем еще три
краевые задачи, часто встречающиеся в математической
физике.
а) Задача Гуре а. Пусть дано линейное диффе-
ренциальное уравнение гиперболического типа с двумя
независимыми переменными в каноническом виде (см.
§ 3.4) 2 ,
+ a + b + си = / у) (24)
дхду дх ду 4 1 ' 7
с непрерывными -Коэффициентами а, Ъ и с в замкнутом
прямоугольнике П, П = (0, яо)Х(0, уо)^ Требуется найти
функцию и(х, у) класса С1(П)ПС(П), ^еС(П)*),
удовлетворяющую уравнению (24) в прямоугольнике II
и принимающую заданные значения на его сторонах
*) 11 тогда иху — иух в П (см., например, Л. Д. Кудрявцев
Ц §21]).
78 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
i/==0, 0 < я и я = О, О^у^уо (рис. 15):
dv~o = Ф1(я)> ^1х=о == ф2(^). (25J
При этом необходимо должны быть выполнены условия
гладкости
/е С(П), Ф1 е= С([0, гго]), ф2 С([0, у0])
и условие согласованности ф!(0)= ф2(0).
Отметим, что в задаче Гурса задается одно краевое
условие на двух пересекающихся характеристиках урав-
нения (24).
Ь) Задача Трикоми для уравнения Чап-
лыгина. Уравнение Чаплыгина имеет вид:
/<(^ + ^ = 0, (26)
дх ду
где
2Г(0)=0, К'(у)>^ У^О-,
при К{у)^у уравнение (26) превращается в уравнение
Трикоми (см. § 3.5).
Пусть одпосвязная область G в плоскости (х, у) раз-
делена параболической линией у = 0 уравнения Чаплы-
гина па две части: эллипти-
ческую (?1(г/>0) и гипербо-
лическую G2(*/<0). Предпо-
ложим, что область Gi в у >
> 0 ограничена кусочно-глад-
кой кривой So, которая окан-
чивается в точках Xi И Х2,
^*1 < па оси х, а область
G2 в у < 0 ограничена двумя
пересекающимися характери-
стиками Sj и Sz уравнения
(26) (ср. § 3.5), проходящими соответственно через точ-
ки Xf и х2 па оси х (рис. 16).
Требуется паггги функцию и(х, у) — класса C2(Gi U
U G2) П С1 (G) П C(G), удовлетворяющую уравнению (26)
в областях Gi и G2 и принимающую па дуге So и на
одной из характеристик, например па S1? заданные зна-
чения
u |so = uQ, и |S1 = ф. (27)
При этом необходимо, чтобы uo^C(Soy, (p^C(Si) и
Uo(^)/= ф(*1).
У
Уо
<Р2
О
/7
Vt
Рис. 15.
(^о*Уо^
о
§ 4]
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
79
с) Задача 3 а р е м б ы.
G разбита па две части
Требуется найти функцию
Пусть граница S области
и 52, S = S{ U S2 (рис. 17).
и(х) класса П
$2
Рис. 17.
удовлетворяющую уравнению
= 0, и граничным условиям
U |S1 = и0,
Лапласа в области G,
ди I
8П |S2 ~ U1'
7. Корректность постановок задач математической
физики. Поскольку задачи математической физики пред-
ставляют собой математические модели реальных физи-
ческих процессов, то их постановки должны удовлетво-
рять следующим естественным требованиям:
а) Решение должно существовать в каком-то классе
функций Л^.
Ь) Решение должно быть единственным в некоторохМ
классе функций Л2-
с) Решение должно непрерывно зависеть от данных
задачи (начальных и граничных данных, свободного чле-
на, коэффициентов уравнения и т. д.). Непрерывная за-
висимость решения и от данного задачи й означает сле-
дующее: пусть последовательность данных й = 1,
2, ..., в каком-то смысле стремится к й и uh, к = 1,
2, ..и — соответствующие решения задачи: тогда дол-
жно быть uh и, к -> оо, в смысле сходимости, выбран-
ной надлежащим образом. Например, пусть задача при-
водится к уравнению Lu = F, где L — линейный опера-
тор, переводящий Л в Л9, где Л и Л* — линейные нор-
мированные пространства. В этом случае непрерывная
зависимость решения и от свободного члена F будет
обеспечена, если оператор А"1 существует и ограничен
из Л9 в Л (см. § 1.10 и 1.11) . Требование непрерывной
80 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. I
зависимости решения обусловливается тем обстоятель-
ством, что физические данные, как правило, определя-
ются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно
быть уверенным в том, что решение задачи в рамках вы-
бранной математической модели не будет существенно
зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требовани-
ям, называется корректно поставленной (по Адамару),
а множество функций П — классом корректности.
Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий
а)—с), называется некорректно поставленной.
К некорректно поставленным задачам часто приводят
обратные задачи математической физики: по некоторой
информации о решении прямой задачи восстановить не-
которые неизвестные физические величины, определяю-
щие эту задачу (источники, краевые условия, коэффи-
циенты уравнения и т. д.).
Новый подход к некорректно поставленным задачам
предложен А. И. Тихоновым *).
В этой книге мы устанавливаем корректность постав-
ленных основных краевых задач для линейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка в том или ином
классе, а также изучаем качественные свойства решений
и методы построения (точных или приближенных) ре-
шений этих задач.
Пример. В теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений доказывается (см., например, В. В. Сте-
панов [1], гл. II), что задача Коши
/ “/(я. У), и(х0^уа
поставлена корректно, если функция f(x, у) непрерывна
по (я, у) и удовлетворяет условию Липшица по у (см.
§ 1.3) в некоторой области, содержащей точку (х0, у0).
8. Теорема Коши — Ковалевской. В этом пункте мы
выделим довольно общий класс задач Коши, для которых
решение существует и единственно. Прежде всего введем
два определения * **).
♦) См. А. Н. Тихонов Г1], А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и
М. М. Лаврентьев [1], М. М. Лаврентьев [1], А. Н. Тихонов и
В. Я. Арсенин [1].
**) Используемые ниже обозначения введены в § 1.2.
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 81
1) Система N дифференциальных уравнений с N не-
известными функциями ии и2, ..uN
д а
—т~ — Ф| (х, t, и19 и2, ..., uN,..., dt °d%Uj,...), (28)
dt 1
г = 1, 2, N,
называется нормальной относительно переменной t, если
правые части Ф< не содержат производных порядка выше
кг и производных по t порядка выше kt — 1, т. е.
+ «1 + ... + ап к{, ссо к< — 1.
Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и
уравнение теплопроводности нормальны относительно
каждой переменной х; волновое уравнение, кроме того,
нормально относительно t.
2) Функция /(я), x=(Xi, x2j ..., #п), называется ана-
литической в точке х0, если в некоторой окрестности этой
точки она представляется в виде равномерно сходяще-
гося степенного ряда
/(*)= 2 с«(ж-жо)“=2
|а|^о jcxl^o
(точка х0 может быть и комплексной). Если функция
f(x) аналитична в каждой точке области G, то говорят,
что она аналитична в области G.
Для нормальной относительно t системы уравнений
(28) поставим следующую задачу Коши: найти решение
Ui, п2, ..uN этой системы, удовлетворяющее начальным
условиям при t = t0:
ттн' = 0? I*1; i = 1, 2, (29)
где q)ift(z) — заданные функции в некоторой области
G^Rn.
Теорема Коши —Ковалевской. Если все
функции фм(я) аналитичны в некоторой окрестности
точки xQ и все функции Фг (^, ^, Wjaoalt...an1 »••) ана-
литичны в некоторой окрестности точки
(х09 to, . . 5a(p;ao(Zo), ...),
то задача Коши (28) —(29) имеет аналитическое реше-
ние в некоторой окрестности точки (я0, to) и притом
единственное в классе аналитических функций,
6 в, С. Владимиров
82
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(ГЛ. I
Для доказательства этой теоремы решение и2, ... |
..., uN в окрестности точки (яг0, t0) ищется в виде сте- *
пенных рядов
(Х , I ) (ХП zy
а | а| ^о) (# хо) « (30)
%>о, |а|^о о* ’
Из начальных условий (29) и из уравнений (28) ПОСЛе-
^о
довательно определяются все производные ot дхщ в точ-
ке (х0, to). Равномерная сходимость рядов (30) в неко-
торой окрестности точки (^0, t0) доказывается методом
мажорант. Единственность построенного решения в клас-
се аналитических функций следует из теоремы единст-
венности для аналитических функций.
Подробные доказательства теоремы Коши — Ковалев-
ской содержатся, например, в книгах И. Г. Петровского
[1], Г. Н. Положего [1] и В. П. Михайлова [1].
9. Пример Адамара. Теорема Коши — Ковалевской,
несмотря на ее общий характер, полностью не решает
вопроса о корректности постановки задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений. Дей-
ствительно, эта теорема гарантирует существование и
единственность решения лишь в достаточно малой окре-
стности, или, как говорят, в малом; обычно же эти фак-
ты требуется установить в наперед заданных (и отнюдь
немалых) областях, или, как говорят, в целом. Далее,
начальные данные и свободный член уравнения, как пра-
вило, оказываются неаналитическими функциями. Нако-
нец, может вовсе не быть непрерывной зависимости
решения от начальных данных. Это показывает пример,
впервые построенный Адамаром (см. Ж. Адамар [1]):
Решение задачи Коши
и |i=0 = 0, щ |(=0 = J sin кх
для уравнения Лапласа
а2 и _ а2«
аг2 дх2
есть <
sh kt . j
uh(x,t) = ^r^kx.
1 . x
Если к -> +©o, то у sin kx Zj 0; тем не менее при я¥=/л,
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 83
j = 0, ±1, . .
uk (%, О == “т” s^n О, & -> °°-
к
Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа
поставлена некорректно (в смысле определения § 4.7).
Тем по менее возможны корректные постановки этой задачи.
Например, в классе функций, ограниченных фиксированной посто-
янной, эта задача поставлена корректно при условии, что ее реше-
ние существует (последнее требование приводит к вполне опре-
деленным ограничениям па множество допустимых начальных
данных и0 и ui). О корректных постановках задачи Коши для урав-
нения Лапласа и методах их решения см. М. М. Лаврентьев [1].
10. Классические п обобщенные решения. Изложен-
ные в предыдущих пунктах постановки краевых задач
характеризуются тем, что решения их предполагаются
достаточно гладкими и они должны удовлетворять урав-
нению в каждой точке области задания этого уравнения.
Такие решения мы будем называть классическими, а по-
становку соответствующей краевой задачи — классиче-
ской постановкой. Таким образом, классические постанов-
ки задач уже предполагают достаточную гладкость вхо-
дящих в задачу данных. Однако, в наиболее интересных
задачах эти данные могут иметь довольно сильные осо-
бенности. Поэтому для таких задач классические поста-
новки уже оказываются недостаточными. Чтобы поста-
вить такие задачи, приходится отказываться (частично
или полностью) от требований гладкости решения в об-
ласти или вплоть до границы, вводить так называемые
обобщенные решения*). Но тогда встает вопрос о том,
какие функции можно называть решениями уравнения.
Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить
понятие производной и вообще понятие функции, т. е.
ввести так называемые обобщенные функции. Изучению
этого вопроса целиком посвящается следующая глава.
*) Идея обобщенного решения дифференциального уравнения
восходит еще к Л. Эйлеру [!]• Различные определения обобщен-
ного решения применительно к тем или иным задачам вводились
и изучались многими математиками начиная с 20-х годов нашего
века. Наиболее законченную форму понятие обобщенного решения
принимает в рамках теории обобщенных функций.
ГЛАВА II
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Обобщенные функции впервые в науку были введены
П. Дираком [1] в его квантовомеханических исследова-
ниях, в которых систематически использовалась знаме-
нитая 6-функция. Основы математической теории обоб-
щенных функций были заложены С. Л. Соболевым ([2],
1936 г.) и применены для решения задачи Коши для ги-
перболических уравнений. Еще раньше, в 20-е и начале
30-х годов, понятие обобщенной производной (типа ло-
кально интегрируемой функции) встречается в работах
ряда математиков (Д. Эванс, Л. Тонелли, Ч. Мори,
К. О. Фридрихе, Ж. Лере) для обобщения понятия
решения дифференциального уравнения. Наиболее после-
довательно это направление было развито С. Л. Соболе-
вым ([3], 1950 г.). Отдельные классы сингулярных обоб-
щенных функций, по существу, рассматривались в ра-
ботах С. Бохнера [1], Ж. Адамара [1] и М. Рисса в связи
с задачами «регуляризации» расходящихся интегра-
лов и рядов. Следует отметить также влияние метода
осреднения В. А. Стеклова [1], предложенного им в
1907 г., на последующее формирование концепции обоб-
щенной функции. В послевоенные годы Л. Шварц ([2],
1950—51 г.) дал систематическое изложение теории
обобщенных функций и указал на ряд ее важных при-
ложений.
В 50-е годы Н. Н. Боголюбов впервые показал фун-
даментальную роль обобщенных функций для описания
локального взаимодействия элементарных частиц и при-
менил их для построения аксиоматической квантовой
теории поля. В это же время методами теории обобщен-
ных функций были установлены фундаментальные ре-
зультаты для дифференциальных операторов общего ви-
да (Л. Гординг, И. М. Гельфанд, Л. Хёрмапдер). В даль-
нейшем теория обобщенных функций интенсивно раз-
вивалась многими математиками. Быстрое развитие тео-
рии обобщенных функций стимулировалось главным об-
разом потребностями математической физики, в особен-
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
85
§ 51
пости теории дифференциальных уравнений и квантовой
физики. В настоящее время теория обобщенных функ-
ций далеко продвинута, имеет многочисленные приме-
нения в физике и математике и прочно вошла в обиход
математика, физика и инженера*).
§ 5. Основные п обобщенные функции
1. Введение. Обобщенная функция является обобще-
нием классического понятия функции. Это обобщение,
с одной стороны, дает возможность выразить в матема-
тической форме такие идеализированные понятия, как,
например, плотность материальной точки, плотность то-
чечного заряда или диполя, плотность простого или
двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного ис-
точника, интенсивность силы, приложенной в точке,
и т. д. С другой стороны, в понятии обобщенной функ-
ции находит отражение тот факт, что реально нельзя,
например, измерить плотность вещества в точке, а мож-
но измерить лишь его среднюю плотность в достаточно
малой окрестности этой точки и объявить это плотно-
стью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция
определяется своими «средними значениями» в окрест-
ностях каждой точки.
Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить
плотность, создаваемую материальной точкой массы 1.
Считаем, что эта точка совпадает с началом координат.
Чтобы определить эту плотность, распределим (или,
как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри ша-
ра U&. В результате получим среднюю плотность
Примем сначала в качестве искомой плотности (мы
ее обозначим через 6 (я)) поточечный предел последо-
вательности средних плотностей /е(я) при е 0,. т. е.
& / ч 1. z , х I + 00, если х = О,
6(^) = 11т/Е(ж)= (!)
е->о ( 0, если я :^=0,
*) См. И. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, И. Т. Тодоров, А. И. Ок-
сан [1], И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [1], В. С. Владимиров [2,3],
Р. Стритер, А. Вайтман [1], Р. Пост [1], Г. Бремерман [1],
Л. Шварц [1], Л. Хёрмапдер [1], В. С. Владимиров, Ю. Н. Дрож-
жинов, Б. И. Завьялов [1].
86
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
От плотности б естественно требовать, чтобы интеграл
от нее по любому объему V давал бы массу вещества,
заключенного в этом объеме, т. е.
Г с , х 7 (1, если 0 е Vf
) б (х) dx = | '
V 10, если 0 g I7.
Но, в силу (1), левая часть этого равенства всегда рав-
на нулю. Полученное противоречие показывает, что по-
точечный предел последовательности /Дх), 80, не мо-
жет быть принят в качестве плотности б («г).
Вычислим теперь слабый предел последовательности
функций /е(^), е->0, т. е. для любой непрерывной
функции ф найдем предел числовой последовательности
при 8 -> 0 (см. § 1.10).
Покажем, что
lim I /е (х) ф (х) dx — ф (0).
е-»о J
Действительно, в силу непрерывности функции ф(^)
для любого т] > 0 существует такое е0 > 0, что 1ф(-г) —
— Ф (0) I < т), коль скоро Ы < 80. Отсюда при всех 8 80
получаем
У /е (^) ф(^) dx —• ф (0)
3
4ле3
[ <Р (0)] dx
|х|’<е
3 Г
<р (0) I dx < л -—5 dx = 1],
4ле , р
|>|<е
что и утверждалось.
Таким образом, слабым пределом последовательности
функций /Дх), 8 0, является функционал ф(0), сопо-
ставляющий каждой непрерывной функции ср(х) число
ф(0) —значение ее в точке х = 0. Вот этот-то функцио-
нал и принимается за определение плотности б (я); это
и есть известная ^-функция Дирака.
Итак, /е(х)-> б (я), 8 -> 0, в том смысле, что для лю-
бой непрерывной функции ф(^) справедливо предельное
соотношение
/е (^) Ф (x)dx (б, ф), 8 —> 0,
где символ (б, ф) обозначает число ф(0) — значение
функционала б па функции ф.
/
§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 87
Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно по-
действовать функционалом (плотностью) 6(х) на функ-
цию ф(я) = 1, (6, 1)= 1(0)= 1.
Если в точке х = 0 сосредоточена масса т, то соот-
ветствующую плотность следует считать равной т8(х).
Если масса т сосредоточена в точке xQ, то ее плотность
естественно считать равной т8(х — xQ), где (т8(х — х0),
<р)= 7шр(я0). И вообще, если в различных точках xh, к=>
₽ 1, 2, ..., N, сосредоточены массы тк, то соответству-
ющая плотность равна
N
2 mh8(x — xk).
k=i
Таким образом, плотность, создаваемая материальны-
ми точками, не может быть описана в рамках класси-
ческого понятия функции, и для ее описания следует
привлекать объекты более общей математической при-
роды — линейные непрерывные функционалы (обобщен-
ные функции).
2. Пространство основных функции 3). Уже на при-
мере 6-функции видно, что она определяется посредством
непрерывных функций как линейный непрерывный функ-
ционал на этих функциях (см. § 1.10). Непрерывные
функции, как говорят, являются основными функциями
для 6-функции. Эта точка зрения и берется за основу
определения произвольной обобщенной функции как
линейного непрерывного функционала на пространстве
достаточно «хороших» (основных) функций. Ясно, что
чем уже пространство основных функций, тем больше
существует линейных непрерывных функционалов на
нем. С другой стороны, запас основных функций должен
быть достаточно велик. В этом пункте введем важное
пространство основных функций 3).
Отнесем к множеству основных функций 3)~35 (Rn]
(см. § 1.2) все финитные бесконечно дифференцируемые
в Rn функции. Сходимость в 3) определим следующим
образом. Последовательность функций фь ф2, ... из 3)
сходится к функции ф (из 3)), если: а) существует такое
число R > 0, что supp фА cz UR- Ь) при каждом а =»
«= («1, а2, ..., ап) ч
да (fh (х) _—> д(р (x)t к-+ оа,
В этом случае будем писать: <pft -»- <р, к -*• °° в 3).
88
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. II
Линейное множество 3 с введенной в нем сходи-
мостью называется пространством основных функций 3.
Операция дифференцирования дг,ср(х) непрерывна из
S) е S).
Действительно, если -> 0, к -> о© в 3, то а) <рл(я) =
= 0, Ы >R при некотором 7?>0 и Ь) при каждом а
(^) Zj 0, к —> оо.
Но тогда: a) supp d3(pfi <= UR; b) при каждом а
5“ [5₽срй (а-)] = rfo+P<p/i (ж) It 0,
если к -> °°, что, в силу определения сходимости в 3\
и означает, что -> 0, к ©© в 3. Это и значит, что
оператор 5Р непрерывен из 3) в 3) (см. § 1.10).
Аналогично, операции неособенной линейной замены
переменных у(Ау+Ь) и умножения на функцию а^
&C°°{Rn), а(х)ц)(х)ч непрерывны из 3 в 3,
Совокупность основных функций, носители которых
содержатся в данной области С, обозначим через 3(G);
таким образом,
3(G)<^3(Rn)^3.
В связи с приведенным определением возникает во-
прос: существуют ли основные функции, отличные от
тождественного нуля? Ясно, что такие функции не мо-
гут быть аналитическими в Rn (см. § 4.8). Примером
основной функции, отличной от нулевой, является «ша-
почка» (рис. 18)
Р2
сое (х) =
Сге е2_,х|2
8.
Постоянную Се выберем так, чтобы
о 1
Ce8nJ =
V1
т. е.
Легко проверить, что
§ 5]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
89
Следующая лемма дает другие многочисленные при-
меры основных функций.
Лемма 1. Для любой области G и любого числа
е > О существует функция (IT) такая, что
О ц (я) < 1; ф) = 17 я е Ge; ц (я) = 0, х е <7зв(
(График функции ц(<г)' при G = (a, Ъ} изображен на
Доказательство. Пусть % — характеристиче-
ская функция множества С2е: х(4=^ х(х)«=0,
x^G2z. Тогда функция
п (-г) = J X (//) (ж — у) dy
обладает требуемыми свойствами. Действительно, так как
90
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
со8 е 0 сое (х), supp (о8 == (ое (х) dx = 1, то (рис. 20)
л(ж)= J сое(ж — у} dy<^C™(Rny,
С26
о < n J ЮЕ (х — у) dy = J соД)с^ =1;
а(*)= ,[ %(^)сое(ж — y)dy =
U(x;e)
J ®E(.r — у) dy — f®e(g)d£ = 1, teG£;
H(x;e)
• 0»: X e G3e.
Лемма доказана.
Из леммы 1 вытекает следствие: если область G огра-
ничена и G'<^G, то существует функция r[^£)(G) та-
кая, что 0 < т| 1, и
1? х е G'.
Следующая лемма
утверждает, что запас
основных функций до-
статочно велик.
Л е м м а 2. Множест-
во <2)(G) плотно в
Рис. 20.
интеграла Лебега (см. § 1.4,
ласть G' G, что
^(G).
Доказате л ь с т-
бо. Пусть /е 2?2(G) и
е > 0 — любое число.
В силу свойства абсо-
лютной непрерывности
е)) существует такая об-
| / (х) |2 dx
G\G'
(2)
Так как множество полиномов плотно в S"2(G')'
(см. § 1.7), то существует полином Р такой, что
^|/(т)-Р(а:)Р^<^. (2')
G'
Теперь выберем подобласть G" G', настолько близкую
§ 5]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
91
к области G'\ чтобы
G'\G"
(2")
Возьмем функцию ц из 3)(G') такую, что 0 ц 1
ц(х) = 1, x^G" (но следствию из леммы 1 такие функ-
ции существуют). Тогда Pt\^3)(G) и, в силу неравенств
(2), (2') и (2"),
|| / — Рц ||2 = J | / — Рц |2cfe = j* | f —Рт] |2&; + J | /
G G' G\G'
+ | / —- /‘[2<7ж + 2 J |/,-Pnl2^<
G' G’
<|e2 + 2 J |P|2dz<e2s
G'\G"
что и требовалось.
3. Пространство обобщенных функций ЗУ. Обобщен-
ной функцией называется всякий линейный непрерывный
функционал на пространстве основных функций ЗУ
В соответствии с обозначениями § 1.10 значение функ-
ционала (обобщенной функции) / на основной функции
Ф будем записывать (/, ф). Обобщенную функцию / бу-
дем также формально записывать в виде /(х), подразу-
мевая под х аргумент основных функций, на которые
действует функционал /.
Расшифруем определение обобщенной функции /.
1) Обобщенная функция / есть функционал на S),
т. е. каждой Фе£5 сопоставляется (комплексное) число
.(А <р)-
2) Обобщенная функция / есть линейный функционал
па ^5, т. е. если фе ЗУ 3) и Z, ц — комплексные
числа, то
(/, Хф + щф) = X (/, ф)+ц(/, ф).
3) Обобщенная функция / есть непрерывный функцио-
нал на 3). т. е. если фЛ 0, к о© в 3), то (/, фА) 0,
к ->
Обозначим через ЗУ = ЗУ (Rn) множество всех обоб-
щенных функций.
Множество ЗУ — линейное, если линейную комбина-
цию hj+iig обобщенных функций /ng определить как
92 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ II
функционал, действующий по формуле
(x/+pg, ф) = Ш ф)+ M(g> ф)', Фе^.
Проверим, что функционал л/ + pig — линейный и не-
прерывный на т. е. принадлежит ЗУ. Действительно,
если ср ф 3) и а, р — любые комплексные числа,
то по определению,
u(Z/ + pig, aq + = X (/, аср + РФ) + pi (g, аср + Рф) =
ва[Х(/, ф) + p(g, ф)] + ₽[Ш 'Ф)+н(£, ’!’)]=’
= а (А/ + pg, <р) + ₽ (X/ + pg, ф)’
и потому этот функционал — линейный. Непрерывность
его следует из непрерывности функционалов / и g: если
срА 0, к °° в S), то
(X/+pg, фА)==Х(/, фА) + p(g, фА)-*0, к -><».
Определим сходимость в ЗУ как слабую сходимость
последовательности функционалов (см. § 1.10): последо-
вательность обобщенных функций Д, /2, ... из 3)' схо-
дится к обобщенной функции {^ЗУ, если для любой
у&З) (А, <р)-^(/, ср), &->«>. В этом случае мы будем
писать fh-*- f, к -> о© в ЗУ. Линейное множество 3)' с вве-
денной в нем сходимостью называется пространством
обобщенных функций ЗУ.
Замечание. Линейные функционалы на 3) не обязаны
быть непрерывными на 3). Однако в явном виде не построено ни
одного линейного разрывного функционала на 3\ можно только
теоретически доказать их существование, используя аксиому
выбора.
4. Полнота пространства обобщенных функций ЗУ.
Весьма важным является свойство полноты простран-
ства ЗУ.
Теорема. Пусть последовательность f2, ... из ЗУ
такова, что для каждой ср^З числовая последователь-
ность (fk, <р) сходится при к-+ со. Тогда функционал j
на Зу определенный равенством
U, ф) = Нт(/Й, ф), ф (^0,
также является линейным и непрерывным на 3>, т. е<
§ б]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
93
Доказательство*). Линейность предельного функ-
ционала доказывается просто:
(Л аср + рф) = lim (/ft, ссср + рф) =*
fe->oo
= a lim (Д, <р)+р lim (Jh, $) = a (J, ф) + 0 (/,
k-*OQ k~*<X>
ср, ф^.0.
Докажем его непрерывность. Пусть фу-^О, v-> оо в 3)\
нам нужно доказать, что (/, фу)-* О, v-* со (см. § 5.3) ,
Допуская противное и переходя, если нужно, к подпо-
следовательности, можно считать, что при всех v =
= 1, 2, ... выполнено неравенство I (/, фу) I 2а при не-
котором а > 0. Так как
(А ф¥) = lim (/л, <pv),
k-^oo
то для каждого v = 1, 2, ... найдется такой номер 7cv,
что j фл?) | а. Но это невозможно в силу леммы,
следующей ниже. Полученное противоречие и доказывает
непрерывность функционала /. Теорема доказана.
Лемм а. Пусть последовательность функционалов
Л, А, ... из ЗУ удовлетворяет условиям теоремы и по-
следовательность основных функций фп ф2, •. . из 3 стре-
мится к 0 в 3. Тогда (jk, фА)->- 0, fc оо.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна.
Тогда, перейдя, если необходимо, к подпоследовательно-
сти, можно считать, что I (A, cpfe) I > с > 0. Сходимость фА
к 0 в 3 означает, что а) Фа(я) = 0, Ш >П при некото-
ром R > 0; Ь) при каждом а
daq>h (#) 0? /с оог
Поэтому, переходя, если нужно, опять к подпоследова-
тельности, можно считать, что
I <?“фА (ж) |< д, |а|<к = 0, 1, ...
Положим фА = 2йфА; тогда
= (3)
^-+0, й-*«>в0и любой ряд вида X (Т) сходится
*) Это элементарное доказательство взято из книги Г, Е, Ши-
лова [1, § 9].
94 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. П
в 3); в то же время
I (А, Фл) I = 2N (A, <pft) I > 2кс -> оо, к -> оо. (4J
Теперь построим подпоследовательности [fkv] и {ф^}
следующим образом. Выберем fkt и ф/г1 такими, чтобы
I (fktf I 2. (Это можно сделать в силу (4).) Пусть
fkj и ф^, / = 1, ..v ~ 1, уже построены; построим fkv и
фйу. Так как фл~*О, &-> <*> в S), то Ф&) 0,;
к ->00,7 = 1, у—1, и поэтому найдется такой номер
2V, что при всех /с > N
/-U’-t СТ
Далее, поскольку
(Л> 4’^)-> (Л 4^)> ^-> оо, у = 1,..., v — 1,
то найдется такой номер Nt N, что при всех
|(/м^)|<|(Л^-)| + 1г / = (6)
Наконец, в силу (4), выберем такой номер kv^Nlt что
| (/ч. К) I > 2* I (/• Ъ) I +2’' <7>
Таким образом, в силу (5) —(7), построенные Av и ф/^
таковы, что
|(/»),К)1<2Я-./ = 1----’'’ + 1> <8>
V-1
+ v + (9)
Положим
оо
4' U) = 5 4ч
V=1
В силу (3) этот ряд сходится в и, следовательно, его
сумма ф ^5 и
оо
(fkv, 4’) = Ю + S
7=1
Отсюда, принимая во внимание неравенства (8) и (9)\
8 5]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
95
получаем
I (Av I > I (Av ЮI - Д | (/ч* I -
co °° 1
- 2 |(Av’K)I>v + 1-2
j=v + l j=v + l
Рис. 21.
т. е. оо, оо. Но это противоречит соотно-
шению (/fe, if), что и доказывает лемму.
5. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функ-
ции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точ-
ках. Тем не менее можно говорить об обращении в нуль
обобщенной функции в области.
Обобщенная функция / обращается в нуль в области
G, если (/, ф) = 0 для всех 0(G):, этот факт будем
записывать так: / = 0, x^G или /(.г) — О, x^G. В соот-
ветствии с этим опре-
делением, обобщенные
функции / и g называ-
ются равными в области
G, если / — g = О, х G;
при этом пишем: f = g,
x^G. В частности, об-
общенные функции /
и g называются равны-
ми, j = g, если для
всех cp^S) (/, ср) =
=(#, <₽)•
Пусть обобщенная функция / обращается
области G. Тогда она, очевидно, обращается в
окрестности каждой точки этой области. Справедливо
обратное.
Лемма. Если обобщенная функция f обращается
нуль в окрестности каждой точки области G, то она
обращается в нуль и в области G.
Доказательство. Пользуясь предыдущим замеча-
нием, можно считать окрестности шарами. Нам нужно
доказать, что (/, ср) = О для любой ср .0(G). Фиксиру-
ем произвольную функцию ср из 0(G). Компакт suppcp
содержится в области G. Поэтому по лемме Гейне — Бо-
реля (см. § 1.1) suppcp можно покрыть конечным числом
шаров U(хъ, rh), k = 2, ..., 2V(<p), в которых f обра-
в нуль
нуль И
В
В
И
в
96 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
щается в нуль. Возьмем уменьшенные шары U (xk; rk)f
rh<^rh’> &=1, 2, ..., /V, все еще покрывающие suppcp
(рис. 21). По следствию из леммы 1 § 5.2 существуют
основные функции hh(x) такие, что
hh (z) = 1, я (= U (xh; г'ь), supp hk c U (^ft; rft)-
Обозначим
N h
= 2 h* Ч’л (z) = ф U)
По построению h(x)^l в окрестности suppcp. Поэтому
ZV
<pfe <= S) (U (.rft; rh)) и Ф (ж) = 2 Th U)-
й==1
Отсюда
(N \ N
f> 2 ^ =2 = °-
fe=l / k=L
Лемма доказана.
Пусть Объединение всех окрестностей, где
/ = О, образует открытое множество (3h которое называ-
ется нулевым множеством обобщенной функции /. По
лемме в каждой области, содержащейся в Ch / = 0; да-
лее, Cf есть наибольшее открытое множество, в котором
/ обращается в нуль.
Носителем обобщенной функции f называется допол-
нение О’/ до Rn; носитель / обозначим supp/, так что
supp / = Rn\C?f; supp / — замкнутое множество. Если
supp / — ограниченное множество, то обобщенная функ-
ция / называется финитной.
Из этих определений выводим: а) в любой области,
лежащей вне supp/, обобщенная функция / обращается
в нуль, т. е.
(/, <р) = 0, ср 3). supp/П supp ср = 0; (10)
Ь) носитель / состоит из тех и только тех точек, ни
в какой окрестности которых / не обращается в нуль.
Замечание. Доказанная в этом пункте лемма допускает
следующее обобщение. Пусть / е 3)' и G — область в Rn. Тогда /
индуцирует линейный функционал /g на 0(G), действующий по
формуле
(/<?, <Р) = (/, ф), фе^(С).
‘ § 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 97
Функционал /g непрерывен на 0(G) в следующем смысле: если
Фй -> 0, к-> оо в 0 и supp фй cz G' (= G, то (/g, Фй) -> 0, к -> оо.
Функционал /g назовем локальным элементом обобщенной функ-
ции / на G (сужение / на G).
Таким образом, всякая обобщенная функция индуцирует в
каждой области свой локальный элемент. Справедливо и обратное:
из всякой совокупности согласованных локальных элементов мож-
но «склеить» единую обобщенную функцию. Точнее, справедлива
следующая теорема «о кусочном склеивании». Пусть
семейство областей {Ga} покрывает Rn и для каждого а задан ли-
нейный непрерывный функционал fa на 0(Ga), причем если
Г) т0 fa~ fa'* х Ga П Ga'* Тогда существует един-
ственная обобщенная функция f^0', имеющая fa своими локаль-
ными элементами на б?а при всех а.
6. Регулярные обобщенные функции. Простейшим
примером обобщенной функции является функционал,
порождаемый локально интегрируемой в Rn функцией
/(х):
(Лф) = J f (х) (р (х) dx, (11)
Из свойства линейности интеграла следует линейность
этого функционала:
(Мф + РФ) = У/(ж) [%ф(^) + рф(ж)] dx =
= A J / (ж) <р (х) dx + р J / (ж) ф (я) dx= К (J, ф) + р (J, -ф)ж
а из теоремы о предельном переходе под знаком интегра-
ла следует его непрерывность на 3):
(J, фй) = У / U) Фй (*) 0г k -> OOJ
если (pft -> 0, к о© в 0). Таким образом, функционал (11J
определяет обобщенную функцию из 3)'.
Обобщенные функции, определяемые локально инте-
грируемыми в Rn функциями по формуле (И), называ-
ются регулярными обобщенными функциями. Остальные
обобщенные (функции называются сингулярными обоб-
щенными функциями.
Лемма (дю Буа-Реймон). Для того чтобы ло-
калъно интегрируемая е G функция f(x) обращалась в
нуль в области G в смысле обобщенных функций, необ-
ходимо и достаточно, чтобы /(я) = 0 почти везде в G.
Доказательство. Достаточность условия очевид-
на. Докажем его необходимость. Пусть а — произволь-
ная точка области G. Найдется такой замкнутый шар
7 в, С, Владимиров
08 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
U(а; е), который целиком содержится в области G и
в котором, следовательно, / = 0 в смысле § 5.5. Так как
при каждом А = (/Г1, к2, ..., кп) функция
ф* (я) = e£(fe’X)coe (х — а),
где со» — «шапочка» (см. § 5.2), принадлежит .25(G)', то
(/, Ф/J = / (#) с°е (<г — # dx = 0.
Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригономет-
рической системе / функции /(.г^соДх —а), инте-
грируемой на шаре U(а; е), равны нулю. Отсюда сле-
дует*), что эта функция равна нулю почти везде и, стало
быть, /(л) = 0 почти везде в этом шаре. Так как а — про-
извольная точка области G, то /(^) = 0 почти везде в G.
Лемма доказана.
< Всякая локально интегрируемая функция в Rn опре-
деляет по формуле (11) регулярную обобщенную функ-
цию. Из леммы дю Буа-Реймона следует, что всякая
регулярная обобщенная функция определяется един-
ственной **) локально интегрируемой в Rn функцией. Сле-
довательно, между локально интегрируемыми в Rn функ-
циями и регулярными обобщенными функциями сущест-
вует взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы бу-
дем отождествлять локально интегрируемую функцию
](х) и порождаемую ею по формуле (И) обобщенную
функцию — функционал (/, ср). В этом смысле «обыч-
ные», т. е. локально интегрируемые в Z?n, функции яв-
ляются (регулярными) обобщенными функциями.
Из леммы дю Буа-Реймона вытекает также, что оба
определения носителя непрерывной функции, данные
в § 1.2 и § 5.5, совпадают.
Наконец, отметим, что если последовательность /*(я)\
к *= 1, 2, ..., локально интегрируемых функций в Rn схо-
дится равномерно к функции f(x) на каждом компакте,
то она сходится к f(x) и в £)'(Rn).
Действительно, для любой ср е S) имеем
(А> <р) = f к (ж) Ф (х) dx -> J / (х) ф (х) dx = (/, ф), к -> оо.
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1, т. III, гл. XX] и
А, Н. Колмогоров и С. В. Фомин [1, гл. VIII].
*♦) С точностью до значений па множестве меры нуль.
§ 5]
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
99
Будем говорить, что обобщенная функция / принадле-
жит классу CP(G)1 /gCp(G), если в-области G она совпа-
дает с функцией /0(^) класса CP(G), т. е. для любой
(Л ф) = J* /gU) (f>(x}dx.
Если к тому же fG е= СР(С), то будем говорить, что / при-
надлежит классу CP(G).
7. Сингулярные обобщенные функции. В соответствии
с определением, данным в предыдущем пункте, сингу-
лярную обобщенную функцию нельзя отождествить ни
с какой локально интегрируемой функцией. Простейшим
примером сингулярной обобщенной функции является
6-функция Дирака (см. § 5.1)
(6, ф) = ф(0),
Очевидно, 6^S>', 6(£) = 0, х ¥= 0, так что supp 6 = {0k
Докажем, что 6(х) — сингулярная обобщенная функ-
ция. Пусть, напротив, существует локально интегри-
руемая в Rn функция /(х) такая, что для любой функ-
ции (peg)
J / (х) ср (х) dx == ф (0). (12)
Так как х^(х)<^ если ф^З), то из (12) вытекает
J f (х) х±ц) (х) dx = х^ (х) |х^о = 0 == (xj, ф)
при всех ф^.35; здесь х{ — первая координата х. Таким
образом, локально интегрируемая в Rn функция xjfx)
равна нулю в смысле обобщенных функций. По лемме
дю Буа-Реймопа, xJ(x) = 0 почти везде, и, стало быть,
/(х) = 0 почти везде. Но это противоречит равенству (12).
Полученное противоречие и доказывает сингулярность
6 функции.
Пусть соДх)—«шапочка» (см. § 5.2). Докажем, что
сое(х)-> 6(х), е->+0в S)'t (13)’
Действительно, по определению сходимости в 2)' со-
отношение (13) эквивалентно равенству
lim j сое (х) ф (х) dx = ф (0), ф е 3).
8->+0
По непрерывности функции <р (я) для любого ц > 0 су-
ществует такое е0 > 0, что 1ф(ж)~ ф(0)1 < ц, коль скоро
7*
100
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
|я| < е0. Отсюда, пользуясь свойствами «шапочки» сое(х),
при всех 8 е0 получаем
J <ое (я) ф (^) dx — ф (0) [
< J сое (х) | ф (х) — ф (0) | dx < ц I сое (z) dx = ц,
что й утверждалось.
Исходя из вида приближающей последовательности
сое(я), 8-^+0 (рис. 18), обобщенную функцию &(х)
* удобно изображать гра-
й фически, как это показа-
хо ио на рис. 22.
О Г~ Обобщением 6-функции
является простой слой
-2^-х0Л3 * * & поверхности. Пусть
{ и' Ъ — кусочно-гладкая по-
v герхность и ц(^) — иепре-
Рис. 22. рывная функция, задан-
ная на S. Введем обоб-
щенную функцию ц65, действующую по правилу
(цбб, ф) = J ц (^г) ф (х) dS, ф е S).
S
Очевидно, цбя^^7; p6s(:r) = 0, x^S, так что supp p6s с
с: S. Обобщенная функция p6s называется простым слоем
на поверхности S с плотностью ц.
3 а м е ч а н и е. Локально интегрируемые функции и 6-функ-
ции описывают распределения (плотности) масс, зарядов, сил и
т. д. (см. § 5.1). Поэтому обобщенные функции называются также
распределениями (distributions; см. Л. Шварц [1,2]). Если, на-
пример, обобщенная функция / есть плотность масс или зарядов,
То выражение (/, 1) есть полная масса или заряд соответственно
(если / имеет смысл на функции, тождественно равной 1, эта
функция не принадлежит 01); в частности, (6, 1) = 1; (/, 1) =
₽= J / (х) dx, если / — (абсолютно) интегрируемая функция на Rn.
8. Формулы Сохоцкого. Введем линейный функционал
действующий по формуле
dx = lim
Е>+0
X
(Я1),
§ 51
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
101
Докажем непрерывность этого
Пусть фй 0, к -> оо в S), т. е.
функционала па 3).
фл(^) — 0, |я| >R и
Z>0,/f->oo. Тогда
>|.фл) = Vpf^dx
, х 1 J X.
R
Vp J
—R
ЛрА (х)
R
| Фй (х')| dx 27? max | (х) |-> 0, к-^-оо.
-R К* *
j
Таким образом, ~ .
Обобщенная функция ZP совпадает (в смысле § 5.6)
1
с функцией — при х 0. Она называется конечной
частью (partie finie) или главным значением интеграла
1
от .
Установим теперь равенство
lim J J dx =— zncp(O) + dx. фе$. (14)
Действительно, если ф(^)==0 при U| > 7?, то
R
lim f dx = lim f ——2q(x)dx=*
e^+o J*-He e->+o ПЧ*
R R
= ф(0)Ит (^Т^^ + Кт (* [ф(x) — cp (0)] dx =>
e^+o J x -|-e e-*+o 'L x 4~e
—и —tt
R
= —2/<p(0)lim arclg—+ f dx =>
e->+o e J x
—it
— глср (0) + Vp J dx.
Соотношение (14) означает, что существует предел
j
последовательности ——8~> + 0 в J®', который мы
1&
1 1
обозначим —г^к, и этот предел равен — 1лЬ (х) . Итак,;
х “J- iU х
+ (15)
102
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Аналогично,
—Ц-. = глб(ж) + &-. (15')
х — i0 х 1 х 4 '
Формулы (15) и (15') называются формулами Сохоц-
кого ([1], 1873 г.). Они широко используются в кванто-
вой физике.
9. Линейная замена переменных в обобщенных функ-
циях. Пусть j(x) —локально интегрируемая в ГГ функ-
ция и x = Ay + b, det 4#= 0,— неособенное линейное пре-
образование пространства Rn на себя. Тогда для любой
ф е 5) получим
(/ (Ау + Ь), ф) =
= 6) Ф(г/)= ।detл | рС’ОЧ’Ь4-1 (*—О1^ =
= |det Л | 1(х —й)])'
Это равенство мы и примем за определение обобщенной
функции f(Ay + b) для любой ](х)е=&':
(/ (Ay + b), Ф) = (/, ф е S). (16)
Так как операция ф(^)-> ф[4“1(а: — Ь)] линейна и непре-
рывна из 2D в 2D (см. § 5.2), то функционал }(Лу + Ь),
определяемый правой частью равенства (16), принадле-
жит 2D'.
В частности, если А —- вращение, т. е. А'—Л’"1 и
Ъ = 0, то
(/(Лу), ф) = (/> Ч>(А'х));
если А — подобие (с отражением при с < 0), A^cl,
с 0, и b = 0, то
а (су), Ф) = рг|(/>
если 4=7, то
(/(у + Ь), ф) = (/, ф(^-Ь))\
Обобщенная функция j(x+b} называется сдвигом обоб-
щенной функции j{x) на вектор Ъ. Например, xQ)-~
сдвиг §(х) на вектор — xQ — действует по формуле
Хб(х’ — гг0), ф) = (б, ф(^ + гг0)) = ф(а:0)',
§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЮЗ
Изложенное позволяет определить сферически-сим-
метричные, центрально-симметричные, однородные, перио-
дические, лоренцеинвариантные и т. д. обобщенные
функции.
Например, обобщенная функция / называется инва-
риантной относительно группы Лоренца (лоренцеинва-
риантной), если f(Ax) = f(x) для всех преобразований А
из группы Лоренца (т. е. для всех линейных преобразо-
ваний А в Rn, сохраняющих квадратичную форму х{ —
2 2\
—“ ^2 — • • • — ) •
Непосредственно из определения (16) вытекает, что
операция линейной замены переменных линейна и непре-
рывна из ЗУ в 3':
(М+ (Ау + b)==kf(Ay + b) + iig(Ay + bj, /, g&3>';
fk(Ay + &)-> 0, к -> оо в ЗУ, если fh-^0, в 3'.
10. Умножение обобщенных функций. Пусть f(x) —
локально интегрируемая в Rn функция и а(х)^ С°° (Rn>jt
Тогда для любой ср 3 справедливо равенство
(а/, ф) = J а (х) f (х) ф (х) dx = (/, аф).
Это равенство мы и примем за определение произведения
af обобщенной функции j^3' с бесконечно дифферен-
цируемой функцией а:
(af, <p) = (f, (17)’
Так как операция умножения на функцию а е С°° (Rn}
линейна и непрерывна из 3) в 3) (см. § 5.2), то функ-
ционал а/, определяемый правой частью равенства (17),
принадлежит 3’.
Из определения (17) вытекает, что операция умноже-
ния на функцию a^C°°(Rn) линейна и непрерывна из
3)' в 3'\
й(Х/+н^)==^(^/)+^(^), /,
afh 0, к -> оо в 3', если jh-+ 0, к -> оо в ЗУ >
Если j^3', то справедливо равенство
/=п/, J18):
где ц — любая функция класса С°° (Rnyj, равная 1 в окрест-
ности носителя f.
104
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Действительно, для любой ср S) носители / и (1 — ц) ср
не имеют общих точек, а потому, в силу (10) ,
(У—пЛ ф)=(/» (1-п)<р)=о.
Примеры:
а) а(ж)б(ж) = а(0)б(х)',
так как при всех <p е S)
(аб, <р) = (б, оф) = а(0)ф(0) = (а(0)б, <р)\
ь) ^4 = ^
так как при всех ср ^2) (7?1)
4 ’ср) = (^4’ = Vp J ^~^~dx = J Ф (х) dx = (1, ф).
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение
любых обобщенных функций так, чтобы это произведение
опять было обобщенной функцией? Для локально интег-
рируемых функций их произведение не обязано быть та-
ковым (например, (Ы~1/2)2 = Ы""1 в 2?1)’. Подобное
имеет место и для обобщенных функций: Л. Шварцем
показано, что такое произведение, которое было бы ас-
социативно и коммутативно, определить нельзя. Действи-
тельно, если бы оно существовало, то, пользуясь приме-
рами а) и Ь), мы имели бы противоречивую цепочку
равенств:
о = 053 1= (хб (ж))^ 1 = б {х) (xP 4) = б (ж).
Чтобы определить однозначно произведение обобщен-
ных функций / и g, достаточно, чтобы они обладали,
грубо говоря, свойствами: насколько / «нерегулярна» в
окрестности (произвольной) точки, настолько g должна
быть «регулярной» в этой окрестности, и наоборот. На-
пример, естественно считать б (х — а) б (х ~ Ь) =» 0, если
а(х)8(х) = а(0)8(х), если функция а(х) непрерыв-
на в окрестности точки 0.
И. Упражнения, а) Доказать, что функции
X
1 “~4е 1 • X 1 8 8 . 2 X
---- е , -— sin —,--------------- r, — S111 —
2~|/л8 г я х" 4~-^х2, 8
стремятся к 6 (я) при е 4~
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 105
х — г0
^гх/
х + г0
Ь) Доказать предельные соотношения при 7-> + оо:
1х/ -ixt
-> 2nid (х), -------> 0,
х — iO
-> - 2л/6 (ж), tmeixt -> 0, т
х + iO
tQ(t)eixt -> i6(z)«
0,
ЧТО ряд 2 ah^ сходится в 0' при
£=—оо
с) Доказать,
любых ah.
d) Доказать, что (х) -> 0, R -> оо в^\
COS кх ~
е) Доказать, что Ф—~—->0, к-у ос ъ <Е> (Z? ), гдо
COS кх
—7—, ф
cos кх
---— Ф (х) dx.
f) Пусть а е 0(7?п), а 0, J а (х) dx = 1. Доказать, что
е~п а (х/&) -+ 6 (х), е->-|-0вЖ
g) Доказать равенство
(а/) (х + h) = а(х + к) f(x + к), а^С°° (Rn),
f е h e Rn.
h) Пусть / — финитная обобщенная функция в /?’ и ц — про-
извольная функция из ^(Л1), равная 1 в окрестности supp/. По-
ложим
= 4^-). z = *+iy-
2ni \ х — z)
Доказать, что: 1) /(z) не зависит от выбора вспомогателытой функ-
ции ц; 2) /(z) — аналитическая функция при z^supp/; 3) /(z) =з’
s=O(l/|z[),_z->oo;^4) j(x + ie) — f(x—e-> + 0 в
5) fft4z) = fft)(z), к = 1, 2, ...
Функция /(z) называется представлением Коши обобщенной
функции /*).
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций
Обобщенные функции обладают рядом удобных
свойств. Например, при надлежащем обобщении поня-
тия производной любая обобщенная функция оказывается
*) См. Г, Бремерман [1, ч. II].
Юб ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. It
бесконечно дифференцируемой, сходящиеся ряды из
обобщенных функций можно почленно дифференцировать
бесконечное число раз.
1. Производные обобщенной функции. Пусть /е
&Cp(Rn). Тогда при всех а, |а| р, и ср & 3) справед-
лива формула интегрирования по частям
(5“/1 ф) =* J (я) ф (ж)dx ==
= (- 1)|а| j / (*) <?“ф (*) dx = (- 1),а| (Л <Лр).
Это равенство мы и примем за определение (обобщенной)
производной daj обобщенной функции f&3)'i
т ф) = (-1)1а,(/. 5“ф), фе$. (II
Проверим, что да]^ЗУ. Действительно, поскольку
f^3)\ то функционал daf, определяемый правой частью
равенства (1), линейный:
(П Хф + И4)=(-15“(М> + п))~
в(~1).Ад“ф + ц5^О==М~1)д“ф)+'
^(-1)J“'(A ^) = А(3“/, ф) + ц(3“/, 41.
и непрерывный:
Р“/, фЛ = (-1),а|(/, 5афА) -> 0, к -> оо,
ибо если фЛ 0, к -> оо в S), то и 5афй -> 0, к оо в
(см. § 5.2).
В частности, при / = б равенство (1) принимает вид
(5а6, ф) = (~1)1а,5аф(0),
Обозначим {5°7(я)} классическую производную (там,
где она существует). Из определения обобщенной произ-
водной вытекает, что если обобщенная функция / е
е CP (G), то
да/== {daJ(x)}1 x^G, |а| ^р
Jb смысле определений §§ 5.5 и 5.6).
2. Свойства обобщенных производных. Справедливы
следующие свойства операции дифференцирования обоб-
щенных функций.
а) Операция дифференцирования д* линейна и непре*
рывна из ЗУ в ЗУ\
5a (V + Hg) = Х5°7 + щ?а£, /, g е
dafh 0, к -> оо в 3)\ если 0, к оо в ЗУ<
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Ю7
Докажем непрерывность. По определению производ-
ной при всех ср е имеем
(5“А, Ср) = (-1)1а,(А, 0,
что и означает, что dafh -> 0, в ду (см. § 5.3),
Линейность доказывается аналогично.
В частности, если ов(сс)~ «шапочка» (см. § 5.2), то
5аб(х), е +0 в $)'. (2)’
Соотношение (2) вытекает из соотношения (13) § 5.7<
Например, (Ое(^)-^б'(^), е +0 в ЗУ. Последова-
тельность (0g (я), е -> + 01 изображена на рис. 23,
Поэтому обобщенную функцию б' (х) удобно изображать
графически, как это показано па рис. 24.
Ь) Любая обобщенная функция бесконечно диффе-
ренцируема.
Действительно, если !<^ЗУ, то в свою очо-
д I df \
пт-д-
J \ I/
108 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
с) Результат дифференцирования не зависит от по-
рядка дифференцирования. Например:
d^d2j) = d2{dj)-=d^^i. je=0'. (3)
В самом деле, для любой (peg) получаем
ф) = (/, 5АФ)Н<Ш/), ф) = (^(^/), ф),
откуда и вытекают равенства (3) (см. § 5.5).
И вообще
5а+Р/ = 5а = 5Р (4)
Ь) Если / е ЗУ и а^ С°° (Пп), то справедлива форму-
ла Лейбнииа для дифференцирования произведения af
(см. § 5.10).
Например:
= + (5)
ахг J дх± х 7
Действительно, если ф — любая основная функция, то
откуда и вытекает равенство (5) (см. § 5.5).
е) Если обобщенная функция j = 0, х^ G, то и daf =
= 0, х е G, так что supp daj^ supp /.
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 109
В самом деле, если ср^^(6), то da(p^0[G)', а по-
тому
(За/, ф) = (—l)IccI (Л 5а<р) = 0, (peS5(G)\
что и означает d°7 = 0, xe=G (см. § 5.5).
f) Если ряд
Л (#)= s (#)«
/1=1
составленный из локально интегрируемых функций uk{x^,
сходится равномерно на каждом компакте, то его можно
почленно дифференцировать любое число раз и получен-
ные ряды будут сходиться в ЗУ.
В самом деле, поскольку при любом R > 0
р
Sp (х) = 2 uh (z) —> S (х),
/i=l
то Sp -> S, p -> ©о в ЗУ (cm. § 5.6). Но тогда, в силу a)\
p
/1=1
p—> co в ЗУ$
что и утверждалось.
Отсюда, в частности, вытекает: если
\ah\^A\k\m + B, (6)]’
то тригонометрический ряд
2 ahelhx (7)
71——оо
сходится в ^'(Z?1).
Действительно, в силу (6) ряд
о______I У h pihx
(771+2)1
h^o
сходится равномерно в Z?1; следовательно, ряд, пред-
ставляющий его производную порядка ш + 2, сходится
в 3)'(7?1) и совпадает с рядом (7).
3. Первообразная обобщенной функции. В этом пунк-
те считаем п = 1. Всякая непрерывная функция /(я)1
1K.-CJT (единственную с точностью до аддитивной
но
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
постоянной) первообразную /^(я)',
х
/(-1) (X) = J / (^ + С, /(-1)Л (х) = / (х).
Равенство =/ мы и примем за исходное для опре-
деления первообразной произвольной обобщенной функ-
ции /.
Обобщенная функция из ЗУ(И') называется пер-
вообразной обобщенной функции j из 3)'(Н1), если
= /, т. е.
(Г1’, <Р') = -(А Ф), Фе^- (8J
Равенство (8) показывает, что функционал /(~п задан
не на всех основных функциях, а только на их первых
производных. Наша задача — продолжить этот функцио-
нал на все 3) (в смысле определения § 1.10), причем так,
чтобы продолженный функционал /(~1) был линейным и
непрерывным па 0, и выяснить степень произвола при
таком продолжении.
Предположим сперва, что — первообразная /—-< су-
ществует. Построим ее. Пусть ср — произвольная функция
из ^(Т?1). Представим ее в виде
ф (*) = Ф' (^) + (*) J Ф (?) (9)
где (0g (х) — «шапочка» (см. § 5.2) и
Ф W = J [ф СИ “ CH J Ф (?) й?] dx'e (10)
Докажем, что Ц^3>. Действительно, if е С°° (7?1)' и
1р(л:) = 0, я<—шах(Л, е), если ср(х) = О, 1х| > R. Далее,
при х > шах (7?, е)
оо оо оо
if (х) == j* ср (ж') dx' — J сое {х') dx' J ср (|) d^ — О
—оо —оо —оо
в силу нормировки (3) § 5.2. Таким образом, if (х)0,
к| >шах(7?, в). Следовательно, if ^3).
Применяя функционал /(“° к равенству (9), получим
ф) = + <->е) J <р(£Ж
т. е., учитывая (8),
(/('Чф) = -(/л) + ^1ф®^ (Н)
I 8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Щ
где обозначено С'==(/(~’1), со8). Итак, если /("4)первооб-
разная / — существует, то она выражается равенством
(И), где гр определена формулой (10).
Теперь докажем обратное: при любой постоянной С
функционал определенный равенствами (11) и (10),
дает первообразную /.
Действительно, функционал /(~п, очевидно, линеен.
Докажем его непрерывность на Я), Пусть <pft 0, к оо
в 3), т. е. ф/г(^)=-^0, |я| > R и (pla) (х) 0х к -> оо. А то-
гда, по доказанному,
Фа (*) = J [фЛ И') — юе(я') J фА (£) dx' = 0г
— 00
Ы > max (7?, s),
и, очевидно, гр^а) (#) 1$ 0, к -> оо, т. с. грл -> 0, к -* оо в 3).
Поэтому, в силу непрерывности / на 3), имеем
(/(-1)j Фа) = — (/> Фа) + С J <ра (£) 0t к -> оо,
что и утверждалось. Следовательно, Осталось
проверить, что /("4 является первообразной /. В самом
деле, заменяя в (10) ср па ср' и учитывая, что j ср' (£) =0,;
получим ар = ср, и тогда из (11) вытекает равенство (8),
что и требовалось. Таким образом, доказана следующая
Теорема. Любая обобщенная функция f имеет един-
ственную, с точностью до аддитивной постоянной, пер-
вообразную, и всякая ее первообразная выражается
формулой
(/<-*’, ф) = -(А Ф) + (С ф), (12)’
где гр определяется равенством (10) и С — произвольная
постоянная.
Доказанная теорема утверждает, что решение диффе-
ренциального уравнения
и' = /, I13)’
существует в 3)'(Rl) и его общее решение имеет вид
и = + С, где /(~1) — некоторая первообразная / и С—’
произвольная постоянная. В частности, если / —непре-
рывная функция, то всякое решение в 3)' уравнения
112 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
(13) — классическое. Например, общее решение уравне-
ний и' = 0 в ЯУ есть произвольная постоянная.
Аналогично определяется и первообразная /("п) по-
рядка п обобщенной функции /, у(-п)(«)===у< Применяя
доказанную теорему к рекуррентной цепочке для —»
первообразных порядка к,—
j(-ny __ y(~^+D
О
•-------£ заключаем, что /(“п) существует и
единственна с точностью до про-
JLftx) невольного аддитивного полинома
степени п— 1.
v 4. Примеры, п = 1.
а) Вычислим плотность зарядов,
ис' * соответствующих диполю с элек-
трическим моментом +1 в точке я = 0 на прямой.
Этому диполю приближенно соответствует плотность
зарядов б (х — е) —~б (я), в > 0 (рис. 25). Переходя
здесь к пределу при е -> +0 в S)'*.
(т6 ~е) — Т 6 ч’) =
= 4 Me) - ф(0)]-> Ф' (0)= (6, ф') = - (6', ф)г.
заключаем, что искомая плотность равна —б'(я).
Проверим, что полный заряд диполя равен 0:
(-6', 1) = (б, 1') = (б, 0) = 0,
а его момент равен 1:
(-6', ж) = (б, а/) = (б, 1) = 1.
Ь) Пусть функция /(я) такова, что j^C'(x^xQ) и
/еС'\(х>аг0) (рис. 26). Покажем, что (рис. 27)
/' = {/' (*)} + [/]«0 6 (^ - я0)> (14)
где [/]х0 — скачок /(«) в точке ж0:
§6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЦЗ
Действительно, если ср е 35, то
(/'.> ф) = — (/, ф') = — J / (х) ф' (я)dx =*
= [/ (^0 + °) — / (*0 — °)] Ф W + J {/' U)} Ф dx =
= ([/]«0 8 (ж — х0) + {/' (я)}, <р).
В частности, если 0 — функция Хевисайда:
0(я)=1, х>0; 0 (х) = 0, х О,
то
0'(я) = б(я). (15)
В теории электрических цепей функция Хевисайда
называется «единичной ступенькой», а 6-функция— «еди-
ничным импульсом». Формула (15) утверждает, что
«единичный импульс» есть производная от «единичной
ступеньки». .
Замечание. Первообразная 6-функции есть 0(х) + С, где
С — произвольная постоянная (см. § 6.3). Таким образом, 0(я)
восстанавливается как первообразная своей обобщенной производи
ной 6(я); с другой стороны, 0(х) не восстанавливается как пер-
вообразная своей классической производной {0,(^)} = 0, х 0.
8 В, С. Владимиров
114 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. П
с) Если же функция /(^) имеет изолированные раз-
рывы 1-го рода в точках {я\} и {/' (^)) — кусочно-непре-
рывная функция на Л1, то формула (14) естественно
обобщается:
/' = {/' О)} + 5 l/Lft 6 (х - zfe). (16)
k
Формулу (16) удобно получать локально, в окрестно-
сти каждой точки xh, с использованием формулы (14J
и теоремы «о кусочном склеивании» (см. замечание
§ 5.5).
В частности, если
/оО) = -у~Й’ ге[0, 2л),;
2л-периодическая функция (рис. 28), то
оо
/о = -^+ 2 6СГ-2М- (17)
h~ —оо
Мы видим, таким образом, что обобщенные и класси-
ческие производные, вообще говоря, не совпадают!
Ь) Докажем формулу
оо оо
h 2 eihx== 2 б(^-2н- (is)
лет ллсм
оо оо
Для этого разложим 2л-периодическую функцию
СЮ J /о (*') dx' = - 0 _2 ’4л’ Х S 2л)
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
115
(функция /0 определена в § 6.4, с)) в равномерно сходя-
щийся ряд Фурье:
X
J /о (И dx'
о
оо
л_____£ у 1 ikx
6 2л 7.2 е ’
&=-оо h
В силу результатов § 6.2, f) этот ряд можно почленно
О
Рис. 29.
дифференцировать в S)' любое число раз. Дифференци-
руя его дважды и учитывая (17), получим
/о = — 2л + X 6 (я — 2Аэт) = 2л 2
k= — co h~— ОО
что и требовалось.
Отметим, что левая часть равенства (18) есть ряд Фурье
ОО
2л-периодической обобщенной функции 2 Ь(х — 2kn)t
, &=—оо
график которой изображен на рис. 29.
е) Покажем, что общее решение уравнения
^mu==0 (19)'
в ^'(Т?1) дается формулой
т—1
(20)
h=Q
где ck — произвольные постоянные.
Поскольку при всех ереи Л = 0, 1, ..., т—1
(^w6(ft), ф) = (6(fe), a;rnep) = (—l)fe(6, (Лр)(ft)) =
= (-l)ft(^ep)(ft)Uo = O,
то
(я)i = 0, к = 1, ..., т—1,
и, следовательно, обобщенная функция (20) удовлетво-
ряет уравнению (19).
8^
116 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ II
Докажем, что формула (20) дает общее решение в
3)' этого уравнения. Пусть ц(^)—основная функция,
равная 1 в окрестности точки х = 0. (По лемме 1 § 5.2
такая функция существует.) Тогда любая функция ф из
3) представляется в виде
m-i (М
ф (х) = 1] (х) 2 (ж), (21)
h=Q
где
Г т-1
’pw-’iw 2
х L ь=о
Функция ф 3), так как она финитна и бесконечно
дифференцируема; бесконечная дифференцируемость ее
в точке х = 0 следует из формулы Тейлора
N (Ъ'
ФИ - +
k=^m
справедливой в некоторой окрестности (где ц = 1) точки
0 при всех N > т.
Следовательно, если и <^3)' решение уравнения (19),
то, в силу (21),
/ т-1 \
(и, ф) = I и, Т] (х) 2 " fc!(0) ** I + (“1 я'Ч (*)) =<
\. k=0 ’ /
т-1
= 2 п + ^т“’
h=0
т—1 т—1
= 2 (- 1)* ChqW (0) = 2 ck(b(h\ ф),
k=Q h—O
„ nr’1}
Ch = fc| " (M> W J
что и требовалось установить.
Замечалие. Полученный результат непосредственно следу-
ет из более общего утверждения о том, что всякая обобщенная
функция, у которой носитель есть точка, представляется в виде ли-
нейной комбинации 6-функции и ее производных в этой точке
(см. § 8.4).
Отметим, что в классе локально интегрируемых функций урав-
нение (19) имеет единственное решение и = 0.
f) Проверим, что функция S’(t) = 0 (t) Z (t), где Z(l)
есть решение однородного дифференциального уравнения
LZ Z(m) + (i)Z(m~l>(t)Z = 0,
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
117
удовлетворяющее условиям
Z (0) = Z' (0) =... = Z»2) (0) = 0, Z^~" (0) = 1,
удовлетворяет уравнению US = 6(£).
Действительно, пользуясь формулой (14), получаем
<Г,(0 = е(02'(0? •••, ^(т-1)(О = 0(^)2(т”1)(О\
<Г(т)(О = б(о + 0(О^т)(О?
откуда
LS-0(О^ + б(О = б(О\
что и утверждалось.
5. Примеры, п 2.
а) Обобщением — 6х (х) является двойной слой на
поверхности. Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя
поверхность, п — нормаль к S (рис. 30) и v (х) — непре-
рывная функция, заданная на S. Введем обобщенную
функцию '“^(v^s)> действующую по правилу
(— <v6s), ф)= f v W “'У" dSl *Р е
8
Очевидно,
— (v6s)е supp i с s-
Обобщенная функция (v6s) называется двойным
слоем на поверхности S с плотностью v(x), ориентиро-
ванным по нормали п.
Эта обобщенная функция к л —--------Д'
описывает плотность заря- \
дов, соответствующую рас- X
пределению диполей на
поверхности S с поверх- s
ностной плотностью мо- рис> зо.
мента v(^) и ориентиро-
ванных вдоль заданного направления нормали п на S
(ср. § 6.4, а)).
Ь) Пусть область G имеет кусочно-гладкую границу
S и функция / С*1 (G") П С1 (Gi), где G^R^G. Тогда
Й“ = (Д}+ [/Isc°s(«^)6s>. i = l, 2, (22)
где п = П-х — внешняя нормаль к S в точке х S
и [f]s — скачок функций J при переходе извне через.
118 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. II
поверхность S:
lim /(ж') — lim /(ж') = [/]я(ж)г же 5.
xf-*x, х'->х, gG
Для получения формулы (22) воспользуемся форму-
лой Грипа и определением простого слоя (см. § 5.7):
= J ф (х) dx + f l/ls (®) cos (nxi) ф (ж) dS =•
= + [/Is cos (rixt) 8S, tpjr Ф <= S),
с) Пусть в условиях примера b) функция / s Сг ((7) П
ПС2(С,). Тогда
4г{ДМ([/Ьсоз('и№)+
+ 1О1 C0S(«^)ss-
L L JS
(23)
Для получения формулы (23) продифференцируем
равенство (22) по Xj и при дифференцировании функции
{j воспользуемся опять формулой (22):
д (Of 1 ( d2f 1 , 17 df П , ч
-Т~\ == + STF- COS(/^)SS,
дх^дх^ 4
Полагая в (23) f = J и суммируя по Z = l, 2, »♦., nt
получаем
п п
л/=и) + 2^«л 1=1 г со О сл <s>* Оо + mi cos (nxi)8s, (24)
Принимая во внимание равенства п 2 ([/Is cos(wxf) fis) = ([/]s 6S)>: i=l г (25)
п У Г/АУ | 9Х: | i==l Lk UJ s cos (B.Tj) 8S = s (26)
g 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЦО
перепишем формулу (24) в виде
''/-M + Ehagwu (2?)
L J w
Докажем формулу (25). При всех ср е= 3) имеем
[2 ЗГ № cos (”**)Ss)> <р J = ~ 2 ([/]s c°s (nxi) 68, ?£} =«
\i=l * / i=l \ V
= - 2 j [/Is cos(nxi)^-dS = - J [/]s2 iJ-costraa^d'S'^
i=l s 1 s i=l 1
8 X
Формула (26) устанавливается аналогично.
Полагая в формуле (27) / = 0, x^Gh получим
(28)
Эта есть вторая формула Грина, записанная в терминах
обобщенных функций. Применяя обе части равенства
(28) к основной функции ф, получим эту формулу в
обычной записи:
J(/Ay—ФД/) <&==]?/(29)
G S' '
Если G — ограниченная область, то формула (29) спра-
ведлива для всех ф^С2(С).
d) Пусть п = 2. Вычислим Д1п|я[. Функция In Ы
локально интегрируема в R2. Если х 0, то lh ЫеС°°,
а поэтому да In |я| = Wa In Ы} (см. § 6.1). Следователь-
но, переходя к полярным координатам (см. (15) § 3.2),
получаем
Aln|z| = -J-|;(r—^ = 0, а^О. (30)
Пусть ф SD, supp ф с: UR. Тогда
(Д In | х |, ф) = (In | х |, Дф) =
= J In | х | Дф (х) dx = lim J In | x | Дф (х) dx9
UR e~^Q e<|xl<K
120
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. п
Применяя формулу (29) при / = 1п |я| и G ”[е < |я| < Z?]
(рис. 31) и учитывая (30), получим, далее
(A In | х |, ср) = lim J A In | х | ср dx +
£-*0 Е<|х|<П
[ф (х) — ф (0)] dS + 2лф (0) — 2лф (0) = (2л 6, ф).
*= lim
е->о
Таким образом,
A In Ы = 2лб (х)}, п==2.
Аналогично при п > 3 получим
А = - (« - 2) (*)>
I х I
(31)
(32)
где бп *= площадь поверхности единичной сферы в Rn:
е) Проверим, что функции
*<*)—ЩТГ <33>
при п = 3 удовлетворяют уравнению
А^ + ^ = б(4 (34}’
Действительно, так как функции cos&UI и |^|~1sin &Ы
бесконечно дифференцируемы, то при дифференцирова-
нии функции можно пользоваться формулой
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
121
Лейбница (см. § 6.2, d)). Учитывая равенства
1 —. д ih\x\ __ ikxj iA |х|
0^1*1”“ |;г|31 дх.6 |х| £
Л iMxt = /2£fc L2k«|x|
(,О1 /
(поскольку здесь обобщенные производные совпадают
с классическими) и пользуясь формулой (32) при п —3,
получаем
(Д + /?) Д = Д1х| Д Д + 2(gradefft|4gradrl-1) +
I х I I х I \ I х \)
+ 1 дег*1*1 + Д = _ wftlx| 6 (х) +
OI 01 ' '
। ( 2tk . 2г/с к । к \ ift | х[ я о / \
+---------» Ч----5 — —i + I—г е = — 4ло (х).
I О|л О| 1*1 1*1) 4 '
что и утверждалось.
f) Пусть
8 (х, Z)
|х|а
_ е (о ia4
(2а У^1)п
Докажем, что
5-aW = S0J).
(35)
Функция ^(х, t] локально интегрируема в Rn+l, по-
скольку 8 = 0, t < 0; 8 0, t^O и при t > О
Г . Г п 1 Г —Е2
= И 4““'^=П^= е ^=1-
J - ' (2aynt)nJ i=1 Vя
(36)
Если £>0, то 8 ^C°°, а поэтому
8^ / | g |2 n \ « dg
W~^a2ta 2tj0' дхг
x_i . ____
2a21 1 dx* \^t2 2a2t) *
_ a*\8 =
dt.
О |2 n
8 = 0. (37)
| x I n
122
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Пусть ф^55(/?п+1). Учитывая равенство (37), полу-
чаем
- Ж ср) = - (ё, + а2ДФ) =
оо
•= — J J ё {х, t) + а2Дф) dx dt^
о ' '
ОО
= — Jim f f 8 (x, t) (~ + a2Acp^ dx dt =*
e->o ” J \ J
*= lim
e->o
= lim I 8 (x, e) ф (x, 0) dx +
8—>0 J
+ lim 8 (x. 8) [cp (x, 8) — ф (x, 0)] dx =
e-»o J
= lim J 8 (xy 8) ф (,r, 0) dx. (38)
так как, в силу (36),
I f 8 (x. e) [ф (x. 8) — ф (x. 0)] dx I Кг f g (x. 8) dx — Кг.
Докажем теперь соотношение
|х|2
s ('r’ ° = iah 6{x}' +0 в (я”)-
(39)
Действительно, пусть cp(.r)ej2). Тогда, учитывая, что
|х|2
У ё (х, t) [ф (ж) — ф (0)] dx < У е ia‘l \x\dx^
f Z. ia2t 1/^° С —U2 п 7 7-7 -|/'7'
”ЩлНе г * - J ‘ “d‘ = cr‘
о о
в сдлу (36), получаем при £->+0 соотношение (39):
(8 (^i 01 ф) J 8 (х. t) ф (х) dx — ф (0) J 8 (х. t) dx +
4- j <F {x1 f) [ф (x) — ф (0)] dx-+q> (0) = (6, ф).
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
123
Формула (35) следует из соотношений (38) и (39).
Отметим, что предельное соотношение (39) справедливо
и на ограниченных функциях, непрерывных в точке 0.
g) ПуСТЬ £ = £1 и
Докажем, что
□ = 6(М). (40)
Функция локально интегрируема в 7?2_и обращает-
ся в нуль вне замыкания конуса будущего Г+ (рис. 32)\
Пусть ф е
<Р) = (^Р Da<p) = =
dtp (— at, t)~
дх
оо
2 J dx
о
dtp (— a/, t)
dx
oo
1 C pep (at, t) ( <9cp (at, i)'
2 J I dt ‘ a dx
0
124
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
ОО
1 Г Гдф ( - at, t) d(p (— at, t)
T J dt a dx
0 L
oo co
1 C dcp {at, t) if dtp (— at, t)
2 J dt T J fa
о 0
= ±<p(°, 0) + |-ф(0, 0) = (6, <p),
что и доказывает равенство (40).
h) Пусть 6sr— простой слой на сфере Ы = г
(см. § 5.7). Установим справедливость соотношения (фор-
мула Пицетти)
г->0в®'. (41)
Действительно, при всех <р s S) при г -> 0 имеем
/ 1 е 1 . \
—^+14------2-0, ф =
\anr г I
= • 1+г J ф <ж)dS—=-A I* 1ф (")—ф (°)ids=
п Sr пТ Sj
п Sx L h=l k h,i^l k г J
так как
s^s-ids === 6^1 j* shds ===
Bi si Bi
J slds = On—i f sin”-2 0 cos2 Odd = ап-г J (1 — fi) 2 )^p rfp =
Sj о 0
g 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
125
Здесь В — эйлеров интеграл (бета-функция):
в (р, <7) = f (1 -
о
i) Пусть п = 2, z = x + iy, z=x — iy, dz = dx + idy.
Дифференциальный оператор
dz ~ 2 \дх 1 ду )
называется оператором Коши — Римана. Пусть
и f(x, у) = 0, z^G}, где Gi=R2\G. Границу 5 области G
предполагаем кусочно-гладкой
линией; за положительное на-
правление на S принимаем
то направление, при движении
по которому область G ос-
тается слева, как это принято
в ТФКП (рис. 33). Используя
формулу (22), выводим
S — у [cos (пх) +
dz \dz) 2
+ г cos (од)] 8S. (42)
Применяя обо части равен-
ства (42) к основной функции
Ф, получаем формулу, аналогичную формуле (29)':
т. e.
dxdy= -у J/ф [cos (/££) +
' s
t cos (од)] dS =*
= J /ф (dy — idx) = — ± j /ф^
S 8
J S’ = — A J /<p dz. (43)
G S
j) Докажем, что
dz z
(44)
126
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
j
Функция у локально интегрируема в R2, Поэтому,
пользуясь формулой (43) при / = — и G = [е < |z| </?]
(рис. 31), при всех зпррфсОд, получаем
2 Л
>=—4-lim [ ф (z) — = — 4- Ит i f ф (ea’e) dQ =
e^° |Z|Le 2 о
— Лф (0) = (лб, ф),
что и требовалось.
6. Упражнения, а) Доказать, что
d , , , „ 1 d „ 1 ,1
di i
dx х + i0 + гл6
где
Ь) Показать, что стоящие справа обобщенные функции явля-
ются общими решениями в ЗУ (/?) уравнении:
хи' = 1, и — с± + с20 (х) In ] х
1 1
хи' == 3 и = + С'2О (х) — ~t
х2и' = 1, и = сх + с20 (х) + с3б (х) —
1
хи = sin Ху и = сд (х) + рГр
ГД0
|Х|<1 |х|>1
оо
(sin х) и = Qt и= 2 (х ” ^п)*
&=—со
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 127
Обратим внимание, что классические решения дифференциаль-
ных уравнений первого порядка содержат лишь одну произволь-
ную постоянную!
с) Доказать равенство
а(х)6'(х) = ^а'(О)6(гг) + а(0)Ь'(х), аеЭД.
d) Доказать: если и f(x) == 0, х < z0, то существует
единственная первообразная обращающаяся в нуль при
х <С Xq.
е) Доказать равенство
(<Э°7) (х + h) -= + Л), / е 0', Ле
f) Доказать: если обобщенная функция инвариантна относи-
тельно всех сдвигов, то она — постоянная.
g) Доказать, что система обобщенных функций $аб(ж), |а| =
в г/г, т = 0, 1, * *линейно независима.
оо
h) Доказать, что ряд ah^ ^‘) сходится в при
Л==1
любых «Л.
i) Доказать, что общее решение в Ф’ уравнения xnv№ = О,
п > тп, есть
m—l п—1 т—1
и (х) = 2 Cfee (ж) я"1-1-* + 2 cft6№-m) (ж) + dhXk,
k=0 k—m k=6
где Ck и dh — произвольные постоянные.
§ 7. Прямое произведение
и свертка обобщенных функций
1. Определение прямого произведения. Пусть f(x) и
g(y)—локально интегрируемые функции в пространствах
Rn и Rm соответственно. Функция / (х) g (у) также будет
локально интегрируемой в Rn+m, Она определяет (регу-
лярную) обобщенную функцию, действующую на основ-
ные функции q)(x, у)^£) по формулам
(/(*)£(*/), ф) = У / (х) g (у) Ф (ж, y)dxdy =
*= J / (х) J g (у) ф («, У) dy dx = (/ (ж), (g (у), ф y)))t (1)
(g (у) / (*), ф) = У g (у) / (*) Ф & у) dx dy =•
•= У g (У) У /(«) ф У) dx dy^=(g (у), (/ (х), ф (х, у))). (Г)
Эти равенства выражают теорему Фубипи (см. § 1.4, h) )
о совпадении повторных интегралов с кратным. Равен-
ство (1) мы и примем за определение прямого произве-
128
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
дения f(x)‘g(y) обобщенных функций ЗУ (Rn) и
g(y)^Sy(Rm):
(ё(у), <Р(^)))', (2)’
Проверим, что это определение корректно, т. е. что
правая часть равенства (2) определяет линейный непре-
рывный функционал на S>(Z?n+m).
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Для любых g^3)'(R,n) и y^3)(Rn+m]
функция *ip(^)==(g(i/), <р(я, у)\ принадлежит 3)(Rn)t
причем при всех а
0“ч|) (ж) = (g (g), (х, у)). (3)
Далее, если фА -> 0, к -> °° в 3) (Rn+m), то
Ых) = (ё(У), фл(ж> у))-> О, 7с-> оо в 3>(К").
Доказательство. Так как при каждом x&Rn
ф(^с, z/)eJZ>(/?m), то функция 4 (х) определена в Rn, До-
кажем, что она непрерывна в Rn. Фиксируем точку х,
Рис. 34.
и пусть xh -> х, к -> оо,
Тогда
ф(*л, ф(я, //)' к-+<х>
в 0(Ят), (4)
так как, в силу ф *=
е 3) (Rn*m), носители
Ф(А, У) ограничены в
R,n независимо от к
(рис. 34) и при всех
y&R™
дуф (*л, у) 4ф y)i
к оо.
Поскольку функционал g(y)' непрерывен на 3){Rm}, то
из (4) вытекает непрерывность функции 4 (я) в точке х:
^(xk) = (g(y), <p(zA, g))->(g(j/), ф(х, = xh-+x.
Докажем теперь формулу (3). Фиксируем точку х и
обозначим Ы = (0, . .., h, ..., 0). Тогда
г
%пг)(у) = -j-[(p(x + hi, у) — (р(^, (5)
h -+ 0 в 3) (Rm),
так как, в силу ф е 3) (Rn+™), носители ограничены
§ 7]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
129
в Rm независимо от h и при всех
y^Rm
(У) = -j- Ь?»г₽ у) — (х, у)] ZZZJ
tV </tV^
Л->0.
Поскольку g<=2y(Rm'j, то, пользуясь (5)’, получаем
—= —- [(g(y), (f(x + hi,y))~(giy^^y))] =
- <Р (^^)-.Ф ^ =
Л->0,;
откуда п вытекает справедливость формулы (3)' при
« = (0> ...10):
dxi IsWi dxi J 1 1
Применяя снова эти рассуждения к полученной формуле,
убеждаемся в справедливости формулы (3) при всех а»
Так как, вместе с <р, 5а<р е 3) (Лп+гп), то из формулы (3)'
заключаем по доказанному, что 5агр (я) —непрерывная
функция в Rn при всех а. Таким образом, ^^C°°(Rn),
Далее, функция ip(^) финитна в Rn, ибо <р(я, у) = 0,
Ы >7? (рис. 34), а потому гр (#} = (£, 0)==0 при этих х.
Следовательно, гр е 3) (Rn),
Пусть ф&(я, у)->0, к -> оо в 55(jRw*w)\ Докажем, что
ipft(^)->0, к -> оо в S)(Rn). Так как носители фА(ж, у}
ограничены в Rn+m независимо от к, то, как мы видели
выше, носители грДя) также ограничены в Rn независимо
от к. Поэтому осталось доказать, что при всех а
x&Rn
<9агрЛ (%) .ZX 0, к -> оо,
Пусть это не так. Тогда найдутся такие число е0 > 0,
индекс а0 и последовательность точек хк, что
1 0/ф& е0,: к == 1, 2г- «t в (6)
Так как носители грд ограничены в R.n независимо от к,
то из (6) следует, что последовательность хк, к~1, 2, .
также ограничена в Rn. Поэтому по теореме Больцано—*
Вейерштрасса (см. § 1.1) из нее можно выбрать сходя-
9 В, С, Владимиров
130 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ, П
щуюся подпоследовательность I -* °°. Но тогда
^kv у) 0, t оо в ф (Rm\
Отсюда, в силу непрерывности функционала g на
S5(jRw), из формулы (3) получаем
Лрл, (//)> (^Аг У)} 0t I -> оо,
что противоречит неравенствам (6). Лемма доказана.
Вернемся к определению прямого произведения. По
только что доказанной лемме гр(х) = (g(у), ср (х, у))^
^3){Rn) для всех ср <= S) (Rn+m). Следовательно, правая
часть равенства (2), равная (/, гр), имеет смысл для лю-
бых обобщенных функций / и g и, таким образом, опре-
деляет функционал на £>(Rn+m). Далее, из линейности
функционалов / и g следует линейность этого функ-
ционала.
Докажем, что построенный функционал непрерывен
на 3)(Rn+m). Пусть ср/г —0, к -> оо в <Ь(7?п+т). Тогда по
лемме
U(j/)> фДя, г/))-> 0, к^о° в S>(7?n),
а потому, в силу непрерывности функционала / на
S)(7?n), (/(я), (g(z/), срА(^, ^/)))“>0, к -> °0, что и озна-
чает непрерывность линейного функционала, стоящего в
правой части равенства (2).
Таким образом, функционал f(x) • g(y)^ 0'(Rn*m),
т. е. является обобщенной функцией.
2. Коммутативность прямого произведения. Пусть да-
ны обобщенные функции j^&(Rn) и g^S)'(R'n). На-
ряду с прямым произведением /(.r)-g(?/), в соответствии
с формулой (2), определяется прямое произведение
.(#(!/) •/(*), ф) = («г(г/), (/(*), <р(*, г/))), <ре-0 (/?п+,п) •
(2')
Оказывается, что
f(x)-g(y) = g(y)(7)
т. е. операция прямого произведения коммутативна.
Действительно, на основных функциях ср 3) (Rn+m)
вида
N
Ч>(^1 у) = ^1 Ui(^)fi(y)i ui^0(Rn)> Vi<=S)(Rm\ (8)
Hl
§ 7]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
131
равенство (7) вытекает из определений (2) и (2'):
/ N \ N
(f ф) = /> 2 Ui (g, Vi) = 2 (/> Ui) (g, Vi) =
\ i=i / f=i
/ N \
= g> 2 (f, Ui) —(g(.y)' Rx), <p).
\ /=1 /
Чтобы распространить равенство (7) на любые основ-
ные функции, докажем лемму о том, что множество ос-
новных функций вида (8)
плотно в £Z)(/?ri+m) (ср.
Рис. 35.
у), к — 1, 2, ..., такие,
§ 1-7).
Лемма. Для любой
функции ср е Sfr(Rn¥m) су-
ществует последователь-
ность основных функций
фь(я, УЪ к ~ 1, 2, ..., ви-
да (8), сходящаяся к ср в
Доказательство.
Пусть носитель ср(х, у)
содержится в шаре UR
(рис. 35). По теореме
Вейерштрасса (см. § 1.3)
существуют полиномы РДх,
что
j 5аф — daPh | < при всех | а | к и | х |2 + | у |2 <18/?2.
(9)
Пусть е(х) и h (у)—основные функции, равные 1 в шаре
радиуса 7? и 0 вне шара радиуса 2R (по лемме 1 § 5.2
такие функции существуют). Тогда последовательность
основных функций
<р*(я, У) = e(x)h(y)Pk(x, у), к = 1, 2, ...,
обладает требуемыми свойствами. Действительно, ф& име-
ют вид (8), их носители содержатся в шаре |х12+ 1#12^
С8/?2 и, в силу (9), при любых а и к > |а|
| даф — 5“фй | = | д“ф — 5“ (ehPh) | <
Ы2 + Ы2<8Я2,
где Са — некоторые числа, не зависящие от к. Это значит,
что фл ф, к -> «> в Я) (Rn+m). Лемма доказана.
9*
132 ОЁОБПХЁННЫЁ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Пусть ср — произвольная основная функция из
^(2?n+w). В силу доказанной леммы существует после-
довательность сръ ф2, ... основных функций вида (8), схо-
дящаяся к ф в S>(Z?n+w). Отсюда, пользуясь непрерыв-
ностью на S)(Rn+m) функционалов j(x) • g(y) и g(y) • j(x)
(см. § 7.1) и доказанным равенством (7) на функциях
вида (8), получим равенство (7) и в общем случае:
(/ И • ё (у), <р) = Нт (/ (х) g (г/), <pft) =
fe->oo
= Um cpft) = (g(y)-f(x), <p).
k-*oo
3. Дальнейшие свойства прямого произведения.
а) Операция прямого произведения f(x)-g(y) линей-
на и непрерывна относительно f (из SD'(Rn) в &'(Rn+m))
и относительно g (из & (Rm) в ЗУ (7?n+w)), например:
[W)+ нА (ж)] - ^(z/) = М/(^) • ЙГ (^)1 -Ь н[Л(«)-^(г/)1,
А (г) 0, &-*°° в ЯУ(Нп+т),
если Д->0 в S)'(Rn).
Докажем непрерывность. Пусть q 3) (Rn+m). По лем-
ме § 7.1 i|)(£)==(g(z/), q(x, у))^ S)(Rn). Поэтому, поль-
зуясь определением (2) прямого произведения, получаем
Ук(Аё(у), <р) = (/Дж), (g(y), (f(x, #)))==
= Uh, *ф) -*• 0, к -> оо,
что и требовалось.
Ь) Ассоциативность прямого произведе-
ния: если j^S)f{R.n), g&&y(Rm) и fee^),(jRft)J то
/А • h(z)] = [/(z) • g(z/)] • h(z), Ц0)'
Действительно, если ф <= S) f T0
r(/(a:) fe(j/) -^(z)], <p) = (/(a:), (^(z/)-/i(z), <p)) =
“.(/(«), U(i/). (₽))) =
(k(z), <p)) = ([/(«) g(y)]-h^z}, <p).
с) Дифференцирование прямого произ-
ведения:
ото/)] - daf(x).g(y), (ну
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 133
В самом деле, если ср S)(2?n+m) , то (см. § 6.1)
№ [/ (*) • g (g)L ф) = (— 1)'а| (/ (*) • g (у), ^ф) =
= (— I)1"1 (g (у\ (f d“ip (ж, у)У) =•
= (#(g)> (daj(x), <р)) = (5“/(®)-g(g), ф).
d) Умножение прямого произведения: ес-
ли а е С°° (НпУ), то
а (х) [/(«)• g (у)] = а (х) f(x)-g(y'j. (12}
Действительно, если ср е Sb (Rn+m), то (см. § 5.10)
(a(x)[f(x)-g(y)], <p)-(f(x)- g(y), аф)==
= (/(а;)) (g(y),a(x)(p(x,y))^
а(х) (g(y), <р(.т, g))) =
= (а(ж)/(аг), (g(y), ф(*, у))) = (а(я)/(яр£(г/), ф).
е) Сдвиг прямого произведения:
U g) (х +h, у)= f(x +h)-g(y'). (13)
В самом деле, если ф = 0(Нп+т), то (см. § 5.9)
((/•g) (x + h, у), <p)-(/(.r)-g(z/), q>(x — h, g))=>
= (g(y), (/00. tp(x — h, g))) =
= (g(y), U^ + h), <р(ж, g)) ) = (/(« +A)-g(g), <p).
f) Говорят, что обобщенная функция вида /(ж)-1(g)
не зависит от у. Она действует по правилу: если ф е
то
(/(^)-l(^ <Р) =
= (/ (^)>. j Ф (ж> У) ду) = (1 (g) • / (ж), q>) = J (/ (х), <р (х, g)) dy.
Таким образом, получено равенство
(/ (x)i J ф у) ду) = J С (x)i Ф у)) dyt (14)
справедливое для всех ]^ЗУ(Н.п) и ф^^)(7?п+гп).
4. Свертка обобщенных функций. Пусть и g{x)
локально интегрируемые функции в Дп, причем функция
h(x)^^\g(y)f(x-y)\dy
также локально интегрируема в Rn, Сверткой f * g этих
134
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
функций называется функция
(/ * g) (я) = J / (у) g{x — у) dy =
= J g(y)f(x — y)dy =Rg»f)(x). (15)
Отметим, что свертки f*g и 1/1 * Igl — Л существуют
одновременно и удовлетворяют неравенству I (/ * g) (х) 1
^h(x) (при почти всех я)., так что свертка j*g оказы-
вается также локально интегрируемой функцией в Rn
(см. § 1.4, Ъ)). Поэтому она определяет (регулярную)
обобщенную функцию, действующую на основные функ-
ции <р ^3){Rn) по правилу:
(/ * gi ф) =
- J (/ * g) (£) ф (I) = J [f g (у) f(l — y) dy] ф © =
«= J g (У) [J / (£ — у) ф (£) dy =>
= f g (#) [ J / (я) ф + у) dx] dy
(в силу теоремы Фубини, см. § 1.4, h)), т. е.
(f*gi ф) = J/(^(бОф^ + y}dxdyx qt=£)(Rn). (16)
Отметим три случая, когда условие локальной инте-
грируемости функции h(x) выполнено и, стало быть,
свертка /*£ существует и определяется формулой (15).
1) Одна из функций / или g финитна, например
supp g с:
J h (x) dx = J | g (г/) | J | / (x — y) | dx dy <
VR UR± VR
< J \g(y)\dy f |/a)|^<oo.
Vbi Ur^bi
2) Функции /ng обращаются в нуль при х < О
(« = !).:
В R х
J h(x)dx = ^\g(y)\\f(x-y)\dydx-
-R 0 0
R R R R
= \ I£(*/)! y)\dx dy^^\g(y)\dy J |/(|) |^<oo.
о у о 0
§ 7]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И’СВЕРТКА
135
3) Функции /ng интегрируемы на 7?п:
J h (х) dx = J | g (у) | J | f (х — у) | dx dy =
= fig (У) Ну J |/(£)|d£<oo,
так что в этом случае свертка / * g интегрируема на Rn.
Будем говорить, что последовательность {цД основных
функций из S)(Rn) сходится к 1 в Яп, если:
а) для любого компакта К найдется такой номер 2V,
что щ(я)=1 при всех х^К и Ь) функции {цД
равномерно ограничены в 7?" вместе со всеми производ-
ными, 15“^ (я) | < Са, x^R\ А = 1, 2, а —любое.
Возможный график функций последовательности r)ft(#J,
k = 1, 2, ..., при п = 1 изображен на рис. 36.
Отметим, что такие последовательности всегда сущест-
вуют, например: Ц/Д^) где ц(а:)= 1 в
Докажем, что равенство (16) можно переписать в виде
(/ * g, ф) = Ит (/ (х) g (у), T]ft (я; у) ср (х + y))t (16')
fe~»oo
фе^5(7?п),
где g), 7с = 1, 2, любая последовательность,
сходящаяся к 1 в R2n.
Действительно, по доказанному функция
cXf(X)g(y)<f>(x + y)\
интегрируема на R2n и
l/Wg(g)ii/.(^; у)ч,(х+у)I < col/(«)g(g)<jp(« + у)I,
/с = 1, 2, ...
Далее,
/СО ё (у) !]*(*; у') <р (х + у) -> / (ж)g(у) ф (х + у),
Л -> ©о почти везде в 7?2п.
138 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Применяя теорему Лебега (см. § 1.4, f)), получим ра-
венство
j / (ж) g (у) ф (х + у) dx dy =
“ lim J / (x) g (y) Tjft (x; у) ф (ж -|- у) dx dyt
h-^oo
что, в силу (16), эквивалентно равенству (16')\
Исходя из равенств (16) и (16х), примем следующее
определение свертки. Пусть пара обобщенных функций /
и g из ЗУ (Rn) такова, что их прямое произведение
допускает продолжение (см. § 1.10) (/(^’)-g(y),
<p(^ + z/)) на функции вида ф(я+?/), где ф—-любая
функция из 3){Rn), в следующем смысле: какова бы пи
была последовательность {т]7г} функций из 3)(R2n)t схо-
дящаяся к 1 в R2n, существует предел числовой последо-
вательности
lim (/ (ж) • g (у), Т1д (ж; у) ф (ж + у)) = (/ (х) • g (у), ф (ж + у))
h-^oo
и этот предел не зависит от последовательности {цД.
Отметим, что при каждом к функция т)й(ж; у)ф(.г + у)
принадлежит 3)(R2n), так что наша числовая последова-
тельность определена.
Сверткой f * g называется функционал
(/*£, ф) = (/С*)•#(*/), ф(^+ */)) =
= lim (/(ж)-у(у), ^(ж; у) ф(ж + у)), <р 6= £> (Яп). (17)
к-*оо
Докажем, что функционал f*g принадлежит ЗУ(Rnyy
т. е. является обобщенной функцией. Для этого, в силу
полноты пространства ЗУ (Rn) (см. § 5.4), достаточно
установить непрерывность линейных функционалов
U(x)-g(y), ^(^ у)Ф(ж + у))> *==1, 2, (18);
на 3)(Rn). Пусть фУ-> 0, v в 3)(Rn). Тогда
T\h(x; y)Tv(^ + y)~> 0, v -> оо в ®(7?2п)\
поскольку v[h^3)(R2ny). Отсюда, в силу непрерывности
функционала /(^)-g(y) на 3)(R2n) (см. § 7.1), получаем
(/(я)-Z/) Tv (я + */))-> 0,
что доказывает непрерывность функционалов (18) на
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 137
Заметим, что, поскольку ср (я 4- у) не принадлежит
(она не финитна в Z?2”!), правая часть равенства
(17) существует не для любых пар обобщенных функций
/ и g, и, таким образом, свертка существует не всегда.
Пример. Свертка любой обобщенной функции / с
8-функцией существует и равна f,
/ * б = б * / = /.
Действительно, пусть q)^<2)(Rn) и {щ}—любая по-
следовательность функций из 3)(R2n), сходящаяся к 1
в R2n. Тогда т|«(^; 0) cp(x)->- ф(^), к-* в и по-
этому
lim (/ (*) • 6 (y)i & у) Ч> & + у)) =
= lim (/ (л), (ж; 0) ф (а:)) = (/, <р).
h~*oa
Отсюда, в силу определения (17), следует, что свертки
/ * б и б * / существуют и равны /, что и утверждалось.
Замечание. Смысл формулы / = /*6 состоит в том, что
всякую обобщенную функцию / можно разложить но 6-функциям,
что формально часто записывают так:
/(*) = р(£)6(*-£)
Именно эту формулу и имеют в виду, когда говорят, что всякое ма-
териальное тело состоит из точечных масс, всякий источник состо-
ит из точечных источников и т. д.
5. Свойства свертки.
а) Линейность свертки. Свертка f * g -™ линей-
ная операция из S)1 в 3)г относительно / и g в отдельно-
сти, например:
U/ + nA)*g = X(/*g)+ix(/1*g), ЛА,
при условии, что свертки / * g и /4 * g существуют.
Это свойство свертки непосредственно следует из
определения (17) и из линейности прямого произведения
/(а;)' g(y) относительно / и g в отдельности (см. § 7.3, а)).
Отметим попутно, что свертка / * g, вообще говоря,
не является непрерывной операцией из ЗУ в ЗУ относи-
тельно / или g, например: б(я —&)-*•(), /соо в ^'(Я1),
но
1 * б(я — &) = 1 А 0, к -> о© в ^'(Т?1).
Ь) Коммутативность свертки. Если свертка
g существуем то существует и свертка g * / и они
138
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
равны'.
(19)
f*g^g*f-
Это утверждение вытекает из определения свертки и
ив коммутативности прямого произведения (см. § 7.2):
(/ * gi ф) = Ит (/ (*)•£ (уУ Пь (^; У) ф (я + У)) =
k-*<X>
= lim (g(y)-f (ж), ПьСч У)ф(^ + УУ) =^g*f> ф), 3)-
fe->OQ
с) Дифференцирование свертки. Если сверт-
ка f * g существует, то существуют свертки daf * g и
f * dag, причем
aa/*g = 3a(/*g) = /*^g. (20)
Это утверждение достаточно доказать для каждой
первой производной dh / = 1, 2, ..., п. Пусть ф^^(/?71)
и Цй(я; у), к = 1, 2, ...,— произвольная последователь-
ность функций из 3)(R2n), сходящаяся к 1 в R2n. Тогда
последовательность Ць + к == 1, 2, ..., функций из
^)(7?2п) также сходится к 1 в 7?2п. Отсюда, пользуясь
существованием свертки /*g (см. § 7.4), получим сле-
дующую цепочку равенств:
(dj (/ * g\ <p) = — (f*g> ^ф) =
== — lim (/ (я) • g (у), T]ft в-, у) =
fc-»oo \ OXi J
<= — hm / (x)-g(y),-------------Т-----------д- <р(ж + у) =
fe-^OO \ °Xj °Xj J
(Q \
ёГ I/ И • g Ш Пйф + у) +
0 j /
/ / dTL\ \
+ lim (f(x)-g(y), ^4-— фСс + g) —
к’*™ \ \ Oxj) J
— lim (/ (x) g (y), r]ft(p (x + y)) =
fe”*oo
₽= lim (d}f (x) • g (y\ T]ft(p (x + y)) +
&-^oo
+ (/ * gi ф) — (/ * g> ф) = (djf * gt ф)г,
откуда и следует первое равенство (20) для д}. Второе
равенство (20) следует из первого и из коммутативности
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 139
свертки (см. § 7.5, Ъ)):
д}({ * g) = dj(g * /) = djg * / = / * djg.
Из равенств (20) вытекают равенства
5«/ = 5аб*/ = б*5а/, (21)
Отметим, что существование сверток daf * g и / * dag,
led > 1, недостаточно для существования свертки /*g
и справедливости равенства da/*g = /*5ag, например:
в'* 1 = 6 * 1 = 1, ио 0* Iх = 0*0 = 0. Другими словами,
операция свертки, вообще говоря, не ассоциативна:
(0 * б') * 1 = О' * 1 = 1, ио 0 * (§' * 1) = 0 * 0 = 0.
d) Сдвиг с в е р т к и. Если свертка / * g существует,
то существует и свертка /(<т + Л) * g(x’), причем
j(x +h)* g(x) = (J * g) (х + h), h gee R\ (22)
t. e. операции сдвига и свертки коммутируют.
Действительно, пусть T\k(x; у), к = 1, 2, любая
последовательность функций из &>(R2n), сходящаяся к 1
в R2n. Тогда при любом h е R'1 последовательность
щ(£ —Л; у), к = 1, 2, ..., сходится к 1 в R2n. Теперь,
пользуясь определениями сдвига (см. § 5.9) и свертки
(см. § 7.4), при всех q^£)(Rn) получаем
((/ * ё) & + ^)> <Р) = (/*£> Т (* — ^)) =
= lim (/ (ж) • g (у), T]fe (х — Л; у) ф (х — h + у)) =>
Л.->ОО
= Нт (/(ж + ti)-g(у), i]ft (ж; у) <р (ж + у)) =
= (/ (« + h) * g (ж), ф),
что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой
(13) для сдвига прямого произведения.
6. Существование свертки. Установим некоторые до-
статочные условия (помимо указанных в § 7.4), при ко-
торых свертка заведомо существует в ЗУ.
Теорема. Пусть J—произвольная и g — финитная
обобщенные функции. Тогда свертка f * g существует в
ЗУ и представляется в виде
и*ё, ср) = (/(^) • ё (у), П (у) ср (* + {/))'> ср е (23)
где ц — любая основная функция, равная 1 в окрестности
носителя g. При этом свертка непрерывна относительно
jug в отдельности; 1) если fh-+ 0, к °° в ЗУ, то
140
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
А * S 0, к оо в 3)'] 2) если gh-+ 0, к оо в ЗУ и при
некотором R swppgh^UR, то f * gk-+ 0, к -+ <*> в 3)'.
Доказательство. Пусть suppgc=?7p> ц-—функ-
ция из 3)(Нп), равная 1 в окрестности suppg, и supple
0 UR. (По лемме 1 § 5.2 такие функции существуют.)
Пусть, далее, ср — произ-
вольная функция из
3)(Rn), виррсрс=(7л и
щ(я; У)\ ^ = 1,2,..по-
следовательность функций
из 3)(R2n), сходящаяся к
1 в R2n (см. § 7.4). Тогда
при всех достаточно боль-
ших к
yl^ + y]^
-=ц(у)(р(х + у). (24)’
Для доказательства равенства (24) достаточно уста-
новить, что функция ц (у) ср (я + у) 3) (R2n). Но это сле-
дует из того, что она бесконечно дифференцируема и ее
носитель содержится в ограниченном множестве (рис. 37):
[(я, у): k + yl lyl ^UA+RXUR.
Учитывая теперь соотношение (24)" и равенство g =
= r]g (см. (8) § 5.10), убеждаемся в справедливости фор-
мулы (23):
(/ * gi <Р) = Ит (/ (ж) • g (у), Ла (ж; у) <р (ж + у)) =»
*= lim (/ (х) т] (z/)g-(f/),. Ла (х; у)(р(х + у)) =
fe~>oo
₽ lim (/ (ж) • g (y)t л (у) ла (ж; у) <р (ж + i/j) =.
&->оо
*= (f^)-g (г/),, л (у) <Р (х + y))t <ре=^.
Непрерывность свертки / * g относительно /ng выте-
кает из представления (23) и из непрерывности прямого
произведения /(^)-g(g) относительно / и g в отдельно-
сти (см. § 7.3, а)). При этом в случае 2) условие
spppg^E/n дает возможность выбрать вспомогательную
функцию ц, не зависящую от к. Теорема доказана.
7. Сверточная алгебра обобщенных функций Со-
вокупность обобщенных функций из ^'(Т?* 1), обращаю-
щихся в нуль при t<0} обозначим через
| 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 141
Теорема. Пусть f е и Тогда их сверт-
ка f * g существует в S>+ и представляется в виде
U*g, ф) = (/(0’gfr), 1]1(Ф]г(т)ф(* + *)). фе^(Л‘)',
(25)
где T]i(£) и ц2(£)—любые функции класса С00 (Я1)', рав-
ные 1 в окрестности полуоси [0, оо) и 0 при достаточно
больших отрицательных I. При этом свертка непрерывна
относительно f и g в отдельности, например-, если fh -+ О,
к -> оо в S)' и fk е то fh* g -> 0, к оо 6 ЗУ.
Доказательство. Пусть ф(£) —любая функция
из ^(Т?1), причем supp<pcz(—А, А); щ(£; т), к=?
«= 1, 2, ..— любая последовательность функций из
3)(r2), сходящаяся к 1 в R2 (см. § 7.4); тр(£), i = 1» 2,—
любые функции со свойствами, указанными в теореме,
причем тр(0 = 0, £<—6,; можно считать, что А > 6t и
А > 62. Тогда при всех достаточно больших к справедли-
во равенство
ni(it)n4T)'»lfc(z; т)ф(£ + т) = т)1(/)1ъ(т)ф(£ +т). (26)
Для доказательства равенства (26) достаточно уста-
новить, что функция щ(£)г|2(т)ср(£ + т)е=:0(7?2). Но это
следует из того, что она бесконечно дифференцируема,
а множество
[(£, т): t > —61, т > —62, 1Н~ т| Л],
в котором содержится ее носитель, ограничено в 2?2
(рис. 38).
Далее, по построению щ(£) = 1 и 1 в окрестно-
сти носителей f(t) и g(r) соответственно. Следовательно,
по формуле (8) § 5.10
/(f) = T]i(Z)/(O. ё'('г) = n2(t)g(r).
Учитывая теперь эти равенства и равенство (26),
убеждаемся в существовании свертки / *g в ЗУ (R1) и в
справедливости формулы (25):
(/ ф) = lim (/ (0 ’ 8 (т),_ Пь т) ф (^ + т)) =<
&->оо
= lim (Ях (о / (0 • 112 СО g (т)> Пл (0 т) ф (t + т)) =
= lim (/ (0 • g W>. Hl (0 П2 (т) Пл (t; Ч Ф (t + t)) =
fe-»OO
~ (9 • m m (ОпИт)ф (* + *)).
142
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Докажем, что / *£ = 0 при £<0, т. е. что / * ge S)'^
Пусть (peS5(ff) и supp ф <= [£ < 0]. Так как носитель
ф —компакт в 7?1, то, в силу леммы Гейне — Бореля (см.
§ 1.1), биррфсф<—е] при некотором е > 0. А тогда,
выбирая вспомогатель-
ные функции тр(£) и
ц2(0 равными 0 при
t < — е/2, получим
Т11(^)г)2(т)ф(^ + т) = 0 в
/?2, откуда и из пред-
ставления (25) вытека-
ет (/*g, Ф) = (/(ОХ
X g (т), 0) = 0, что и ут-
верждалось (см. § 5.5).
Непрерывность сверт-
ки / * g относительно /
и g в отдельности сле-
дует из представления
(25) и из непрерывно-
сти прямого произведе-
ния f(t) • g(x) относи-
тельно f и g в отдельности (см. § 7.3, а)). При этом вспо-
могательные функции щ или т]2 можно выбрать не зави-
сящими от А или gk соответственно. Теорема доказана.
Следствие. Свертка обобщенных функций из
обладает свойством ассоциативности (и коммутативности):
Л * (А * А) = (А * А) * А = А * (А * А А (27}
Действительно, пусть вспомогательная функция ц (Cj
удовлетворяет условиям теоремы. Тогда, в силу представ-
ления (23), при всех ф£<®(/?1) будем иметь
(А* (А* А), ф) = (А(О-(А * А) М, nWn Сг)ф(* + т))>
= ((А*А)(т), (А(0» п(Оп(т)<р(£ + т))) =
= (А(т)-А(т'), пМпМ) (А(0> л(0п(т + т')Х
Хф(г + т + т'))) = ([/2(т)- /з(т')1 •
X Т)(£)ц(т + т')ф(£ + t + tz) )\
Здесь мы воспользовались леммой § 7.1, согласно которой
’ (aw,
Учитывая теперь равенство
[А М • А M).hi (т) п (т').п<т + *'1=1АМ' • A
g 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 143
(см. (8) § 5.10), продолжаем нашу цепочку равенств:
(/1*.(/2*/з), <р) =
“,([/г (4 • /»(т')] • /1 (*)', Т| (0 П (т) П (т')'ф\t + т + т'))'.
Меняя местами Д, Д и Д в полученном равенстве и поль-
зуясь коммутативностью (см. § 7.2) и ассоциативностью
(см. § 7.3, Ь)) прямого произведения, убеждаемся в спра-
ведливости равенств (27).
Определение. Линейное множество называется
алгеброй, если на нем определена операция умножения,
линейная относительно каждого множителя в отдельно-
сти. Алгебра называется ассоциативной, если всегда
#(z/z) = (2z/)z; алгебра называется коммутативной* если
всегда ху «== ух.
Доказанные в этом пункте теорема и следствие из нее
утверждают, что &>+ образует ассоциативную и комму-
тативную алгебру, если в качестве умножения взять опе-
рацию свертки *; называется сверточной алгеброй.
Единицей в алгебре является 6-функция, так как
S * / = /.
8. Уравнения в сверточной алгебре ®+. В алгебре
рассмотрим уравнение
а* и = f, (28)
где а и / — известные, а и — неизвестная обобщенные
функции из 55-j.. Решение уравнения (28) при / == 6, если
оно существует, называется фундаментальным решением
сверточного оператора а* и обозначается Другими
словами, а"1 — обратный элемент к а в алгебре Я)+£
а* «= 6.
Теорема. Если аг* существует в £>+, то для любой
f из решение уравнения (28) в 25+ существует*
единственно и выражается формулой
и = а~**}- (29);
Действительно, свертка а~г * / е 2)+ и удовлетворяет
уравнению (28):
а * (а-1 * fi = (a * а"1) * /=-6 * / = Д
Так как однородное уравнение а * uQ — 0, соответствую-
щее уравнению (28), имеет в 55+ только нулевое
144
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
решение:
а”1 * (а * Uq) = (яг1 * а) * uQ = б * и0 = и0 = * 0 == О,
то решение уравнения (28) единственно в 3)+ (см.
§ 1.11).
Доказанная теорема сводит задачу решения уравне-
ния (28) при произвольной / из 3>+ к решению его при
конкретной / = б, т. е. к нахождению а”1.
Следующее предложение весьма полезно при построе-
нии фундаментальных решений в алгебре 3>+'. если а^1
и сушествуюш в то
{а1 * а^1 = аГ1 * я?1* (30)
Действительно,
(ах * я2) * (flf1 * а^"1) = (а2 * aj * 1 * а^1) ==
= а2 * (я2 * (а^1 * ^Г1)) = а2 * ((ai * я?1) * =
U2 (б (12 ) —— 0.2 0,2 — б.
в § 10, используя методы ТФКП, мы построим опера-
ционное исчисление на некоторой подалгебре алгебры
3)^ А сейчас ограничимся определением в алгебре 3)'+
операторов дробного дифференцирования и интегриро-
вания.
Введем обобщенную функцию /а из зависящую
от вещественного параметра а:
Проверим, что
/а*/₽ = /а^. (31)’
Действительно, если а>0 и Р>0, (см. § 7.4)
/а * /р =
00 I
r(a)r(₽)Jy У> ау~ Г(а)Г(₽) J*
о о
_ е (х) жа+₽-1 р fi _ е (х) га+₽-1 ;
Г(а)Г(Р) nV*.P) г (а + Р) '“+А*
Если же и С 0 или р «5 0, то, подбирая целые числа
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 145
т > —а и п > — р, получим
/а * /р = /а+m * /р+п == (/a-f-m * /р+п/™^ ~ /Й-р+^+га^ /а+pi
что и требовалось.
Рассмотрим сверточный оператор fa * в алгебре 3>+-
Так как /0 = б, то из (31) вытекает, что фундаменталь-
ное решение /а1 оператора fa * существует и равно
/а1 =/-««Далее, при целых тг < О /п = б(п) и потому
fn * и = 6(п) * и == и{п\ т. е. оператор fn * есть оператор
n-кратного дифференцирования. Наконец, при целых
п> О
(/« * и)<п) == /_п * (fn * и) = (f-n * Д) * U = 6 * и =
т. е. fn* и есть первообразная порядка п обобщенной
функции и (см. § 6.3). Поэтому оператор /а * называют
оператором дробного дифференцирования при а < 0 и
дробного интегрирования при а > 0 (а также оператором
Римана — Лиувилля).
9. Регуляризация обобщенных функций. Пусть / —
обобщенная функция и тр — основная функция. Поскольку
ф финитна, то свертка / * ф существует по теореме § 7.6.
Докажем, что
/*Ф = (/(у), г])(х-£/))еС“ (/?")-. (32):
Действительно, в силу (23) при всех имеем
(/ * ip! ф) = (/ (у) • 4’ (£)> п (%) Ф (у + £)) =
= (/(?/). Ьшп(Юф(// + ^)~
= (/ (у)> j Ф (£) ф (у + Ю = (/ (у). J ф (*) Ф (* — у)
где вспомогательная функция ц^З) и равна 1 в окрест-
ности носителя ф. Замечая теперь, что функция (р(я)Х
Хф(^ — у) принадлежит 3)(R2n)^ и пользуясь равенством
(14), получаем равенство (32):
(/ * Ф1 ф) = j* ф (ж) (/ (l/)t Ф О — уУ)йх=*
((/ (y)i ф (я — у)), ф)( ф ^3).
Бесконечная дифференцируемость правой части равенства
(32) устанавливается, как и при доказательстве лем-
мы § 7.1.
Ю в4 С, Владимиров
146
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. II
Пусть (ое(^)— «шапочка» (см. § 5.2). Тогда бесконеч-
но дифференцируемая функция
А(^) = / * CDs = (/(z/) » CDS(^ —г/))
называется регуляризацией обобщенной функции /.
В § 5.7 было доказано, что сое (#)-► 6 (я), е +0 в 3)'.
Отсюда, пользуясь непрерывностью свертки / * со8 отно-
сительно со8 (см. теорему § 7.6), получаем
/е(^)">/(^), е^+0вЖ (33)
Итак, всякая обобщенная функция есть слабый пре-
дел своих регуляризаций.
Пользуясь этим утверждением, установим более силь-
ный результат.
Теорема. Всякая обобщенная функция f есть ела- ;
бый предел основных функций, т. е. множество 3) плот-
но в ЗУ.
Доказательство. Пусть /е(х") — регуляризация /
и ц8(я), 8 -> +0,— последовательность основных функций,
равных 1 в шаре E7i/e. Тогда последовательность основных I
функций Це(я)/е(я), е -> +0, стремится к / в ЗУ, посколь-
ку для любой ф е ЗУ в силу (33), имеем
lim (Ле/ег ф) = Hm (/8t Т]еф) = lim (/е1 ф) = (Д ф)х
8->+о е-»+о е-»+о
что и утверждалось.
Замечание 1. Из полноты пространства ЗУ (см. § 5.4)
вытекает ооратное к теореме
утверждение: всякий слабый
предел локально интегрируе-
мых функций есть обобщен-
ная функция из ЗУ. Поэтому
теорию обобщенных функций
можно строить исходя из слабо
сходящихся последовательно-
стей обычных функций. По по-
воду Этого подхода см.
П. Антосик, Я. Микусинский,
Р. Сикорский [1].
Замечание 2. Регуля-
ризация локально интегрируе-
мых функций была введена в
1907 г. В. А. Стекловым [1] и
в дальнейшем многократно им использовалась. Для /e^iocC#1)
(см. § 1.4) он
[ многокр.
вводит функцию
f
0
§ 7]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
147
называемую в настоящее время функцией Стеклова, Функция
Стеклова есть свертка / с о-образной последовательностью (см.
рис. 39)
(х) =
— h х^. О,
х<с—h или я>0, Л-> + 0.
h ’
д
Для построения гладких регуляризаций В. А. Стеклов использовал
также и многократные свертки /*6л*6л* ... *бл.
10. Примеры сверток. Ньюпотов потенциал, а) Пусть
/(ж) — непрерывная функция в Лп\{0) с интегрируемой
особенностью в 0 и цбв(я)—простой слой на ограничен-
ной кусочно-гладкой поверхности S с непрерывной плот-
ностью ц (см. § 5.7).
Их свертка / * p6s — локально интегрируемая функ-
ция в Rn — выражается интегралом
/ * p6s = J ц (у)/ (х — у) dSv. (34)
S
Это утверждение вытекает из представления (23):
(/ * ф) = (цб5 (y)-f (£), 1] (у) <р (у + £)) =
=(у), п (г/) (/ ©> <р (у + £))) =
= f иСгОвСгО J/(£) <р(гг -+- ==•
S
*= [ И (и) j / (х — у} ф (х) dx dSy «
в
«= J ф (z) J p (г/) / (ж — у) dSy dxt cpe=0,
8
b) Пусть p — обобщенная функция. Свертка
Vn = *P. n > 3; V2 = In A » p, n = (35)
называется ньютоновым (при n == 2 логарифмическим}
потенциалом с плотностью р.
Если р — финитная обобщенная функция, то потен-
циал Vn существует в S)' и удовлетворяет уравнению
Пуассона
&Vn = — (п — 2)о„р, п>3; ДИз^3— 2лр, n^2. (36J
Существование потенциала Vn вытекает из теоремы
§ 7.6, Пользуясь (20) § 7.5 и (33) § 6.6, заключаем, что
10*
148
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. п
при п > 3 потенциал Vn удовлетворяет уравнению Пуас-
сона (36):
ДУ z= Д [ -—* р ] = Д -—# р =*
\кГ 2 / И 2
= — (п — 2) оп6 * р = — (п 2) Опр;
аналогично поступаем и в случае п = 2.
с) Если р — финитная (абсолютно) интегрируемая
функция на 7?п, то соответствующий ньютонов (логариф-
мический) потенциал Vn называется объемным потенциа-
лом (потенциалом площади).
Объемный потенциал Vn — локально интегрируемая
функция в Rn — выражается интегралами
(37)
Это утверждение вытекает из формулы (15) для
свертки финитной интегрируемой функции р с локально
интегрируемой функцией Ы2~", п 3, и —In Ы, гг = 2.
d) Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая двухсто-
ронняя поверхность с выбранным направлением нормали
п на ней и р и v — непрерывные функции на S, Пусть
цб5 и (v6s)
— простой и двойной слои на S с поверхностными плот-
ностями ц и v (см. § 5.7 и § 6.5, а)). Порождаемые ими
ньютоновы (логарифмические) потенциалы
п>3; Ц0) = 1Пг1рИ6ьъ п=2;
(38)
|а:| (39)
и = 2
называются соответственно поверхностными потенциала-
ми простого и двойного слоя с плотностями ц и у, .
в 7]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
140
Поверхностные потенциалы Vn0) и — локально
интегрируемые функции в R" — выражаются формулами
">3;
С 4 <40)
7<0) (х) = ц (у) In -.-l-р dSyt п = 2;
J I & у I
8
S (41)
n = 2'
a »
Формулы (40) являются частными случаями формулы
"(34). Докажем для определенности формулу (41) для по-
тенциала Vn\ п>3. Пользуясь представлением (23J
для свертки и определением двойного слоя, при всех
2D получаем
(Fkx)x <р) = - (vfis), ф) =*
•= - (у)) • ’ я (у) ф (у + &)) =*
V I fe I /
*= - (^(vSs(у)), п(у) ф(у +£))) =*
“= f v (у) /" f —';Г'а
J w 8nj |x_ j/p-2 v
s
“ f V Ы J <p (г) |i_‘y|^ & dS, »
s
= f <p W JV(s) А |1_<у|П^dS, dt,
8
откуда и следует требуемая формула (41 )\
Дифференцирование под знаком интеграла здесь обес-*
печивается теоремой § 1.6, а перемена порядка инте-
грирования:=^ теоремой Фубини (см. § 1.4, Ь)) в силу
150
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. II
существования повторного интеграла
Ji
И. Упражнения, а) Доказать равенство
а-,оМ.. о(.,)! _6( С( 6М.
дх. ... дх„ 4 17 4 7
1 •*
Ь) Доказать: supp[/(j?) • g(y)] = supp / X supp g.
с) Доказать: для того чтобы обобщенная функция f(x) не за-
d’/
висела от хг, необходимо и достаточно, чтобы ~~г = 0.
d) Доказать: для того чтобы обобщенная функция не зависела
от Хгч необходимо и достаточно, чтобы она была инвариантна от-
носительно всех сдвигов по Xi.
е) Доказать:
supp(/»g) cz [я: х = у + z. у <= supp f, zt= supp g].
f) Доказать, что если обобщенная функция / не зависит от xt,
то таким же свойством обладает и свертка f*g. (У к а з а п и е: вос-
пользоваться с) или d).)
g) Пользуясь f), доказать: если свертка /# 1 существует, то
она совпадает с постоянной.
h) Проверить равенства:
1) fa * /р = /а+р- fa (х) = га-1еях, « > 0;
х2
1 2СС2
2)/^=to /а(х) = У^е ’а>0;
3) fa * /р — /а+р> /а(х) ~ "л а3 4-z3’ а > °-
i) Доказать, что
[* (б' - W)'1]-1 = * [(б' - W)"4ft = (^уг
здесь введено обозначение *fh = /* ... */ (к раз).
j) Пользуясь формулой (31), показать, что функция
есть решение интегрального уравнения Абеля
я
f (J°L . d^ = g(x), g(0)=0, 0<а<1.
J (*-5)а
§ 8J ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 151
к) Доказать равенство
eaxf * еах g=eax(j ♦ g), /, g е
1) Доказать: если при всех <р =
< 0),.то
т) Обозначим через <F' пространство финитных обобщенных
функций со сходимостью: Д->0, /с->оо в если а) Д->0, &->
-> оо в и Ь) существует такое R > 0, что supp fk с UR при всех
к = 1, 2, ...
Доказать теорему: для того чтобы оператор £, действующий
из в ЗУ, представлялся в виде свертки, Lf = /о*/, где /о е ЗУ,
необходимо и достаточно, чтобы он был линейным и непрерывным
из «В’' в 3)' и коммутировал с операцией сдвига (см. § 7.5, d)).
При этом элемент /о — единственный и /о = £5.
§ 8. Обобщенные функции медленного роста
Одним из мощных средств для решения задач матема-
тической физики является метод преобразования Фурье.
В § 9 будет изложена теория преобразования Фурье для
так называемых обобщенных функций медленного роста
(tempered distributions). Поэтому сначала нужно изучить
класс обобщенных функций медленного роста.
1. Пространство основных функций^. Отнесем к мно-
жеству основных функций 3 = 9>(В.п) все функции клас-
са C°°(Rn), убывающие при Ы -> оо вместе со всеми про-
изводными быстрее любой степени Ы”1. Сходимость в 9>
определим следующим образом: последовательность функ-
ций ф2, ... из 3 сходится к функции ф G Р7, ф* ф,
/с оо в если для всех а и р
#0дафЛ (х)---* £03аф (х), к~+ оо, (1)
Очевидно, Р7 — линейное пространство. Кроме того,
3) <= 9Р и из сходимости в 3) следует сходимость в 9>.
Действительно, если ф& ф, к °° в 3), то, посколь-
ку носители фА ограничены независимо от к, справедливо
предельное соотношение (1) при всех аир, которое и
означает, что фл ф, к -*• °© в Р7.
Однако 9> не совпадает с 3)\ например, функция е-1*12
принадлежит Р7, но не принадлежит 3).
Тем не менее 3) плотно в Р7, т. е. для любой ф^Р7
существует последовательность ф^®, к == 1, 2, ,,та-
кая, что фА ф, к ->• о© в Р7,
152
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. И
Действительно, последовательность функций из 9)
iph (ж) = <р (.г) 1] j, к = 1, 2, ,..!
где ц 9) и ц (х) = 1, Ы < 1, сходится к (р в Z
Операции дифференцирования Лр(х-) и неособенной
линейной замены переменных ц>(Ау-\-Ъ) непрерывны из
9 в 9. Это вытекает непосредственно из определения
сходимости в пространстве 9.
С другой стороны, умножение на бесконечно диффе-
ренцируемую функцию может вывести за пределы мно-
жества £/?, например:
Пусть функция а е С°° (Нп) растет на бесконечности
вместе со всеми производными не быстрее полинома:
I даа (х) I С С а (1 + Ы) .
(2):
Множество таких функций обозначим через 0М.
Операция умножения на функцию а Ом непрерывна
из 9 в 9.
Действительно, из неравенства (2) вытекает: если
ср е S*2, то аср 5^, и если фл 0, к <» в то при всех
аи₽
х$да (аф/{) * О,
т. е. -> 0, к оо в
2. Пространство обобщенных функций медленного
роста 9'. Обобщенной функцией медленного роста назы-
вается всякий линейный непрерывный функционал на
пространстве основных функций 9. Обозначим через
9‘ == S?' (/?п) множество всех обобщенных функций мед-
ленного роста. Очевидно, 9' — линейное множество (ср.
§ 5.3). Сходимость в 9* определим как слабую сходи-
мость последовательности функционалов: последователь-
ность обобщенных функций /1? /2, ... из 9' сходится к
обобщенной функции k-> оо в 9', если для
любой фе^(/й, ф)-^^ ф), к -*• °°. Линейное множество
9' с введенной в нем сходимостью называется простран-
ством обобщенных функций медленного роста 9'.
Из этих определений непосредственно вытекает, что
9' с: 9)' и из сходимости в 9' следует сходимость в 9'.
Действительно, если f^9\ то 1^9', так как 9^9
и из сходимости в вытекает сходимость в 9 £см. § 8,1),
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 153
Далее, если Д -> 0, к оо в <?', то (Д, <р) -> 0, к -* при
всех ф из 3) cz ff> и, стало быть, Д 0, /«-*•«> в ЗУ.
Теорема (Л. Шварц). Для того чтобы линейный
функционал / на 9? принадлежал 9?' (т. е. был непрерыв-
ным на 9?), необходимо и достаточно, чтобы существова-
ли такие числа С>0ир^0, р — целое, что для любой
ср&9? справедливо неравенство
к/, (р)ксмР, (3):
где
||ср||р= sup (1 + | я |)”р“ф (•*)!•
|«1 Rn
Доказательство. Достаточность. Пусть ли-
нейный функционал / на 9> удовлетворяет неравенству
(3) при некоторых С>0 и р >0. Докажем, что f&9?'.
Пусть фй -> 0, к “*• со в 9\ Тогда Иф^Ир -> 0, к <*>, а пото-
му I (А фл) । СИф^Пр -* 0, к -> оо. Это значит, что / — не-
прерывный функционал на 9\
Необходимость. Пусть Докажем, что су-
ществуют числа С > 0 и р 0 такие, что для любой ф
&9> справедливо неравенство (3). Пусть, напротив, ука-
занных чисел С и р не существует. Тогда найдется по-
следовательность функций фА, к = 1, 2, ..., из 9> таких,
что
I (A <h) I й:11фА11А. (4)
Последовательность функций
= . , к = 1,2,
стремится к 0 в 3, ибо при к !а! и 7с > |р|
| x$da^h (х) |
I (ж) I < 1
ТТЦФлЦй
Отсюда и из непрерывности функционала / на 3 сле-
дует, что (А фл)"* 0, /с~>оо. С другой стороны, неравен-
ство (4) дает
К/> ^)1 = 57пЬг|(/’
УЧ Фй ||ft
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Смысл доказанной теоремы состоит в том, что всякая
обобщенная функция медленного роста является непре-
154 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
й
рывным функционалом относительно некоторой нормы
II 11р (как говорят, имеет конечный порядок).
3. Примеры обобщенных функций медленного роста.
а) Если /(х) — локально интегрируемая функция мед-
ленного роста на бесконечности, т. е. при некотором
m > О
f|/(x)|(l + \x\)~mdx<<x>t
то она определяет регулярный функционал / из 9)f по
формуле (11) § 5.6,
(/> ф) = J / (•*) Ф (*) ф е (5)
Однако не всякая локально интегрируемая функция
определяет обобщенную функцию медленного роста, на-
пример, ех е 9>' (7?1).
С другой стороны, не всякая локально интегрируемая
функция, принадлежащая имеет медленный рост. На-
пример, функция (cos е*)'= —ех sine* не является функ-
цией медленного роста, но тем не менее она определяет
обобщенную функцию из 9рг по формуле
((cos ех)', ср) = — J (cos ех) -ср' (х) dx, ср е
Замечание. Пользуясь теоремой Л. Шварца (см. §8.2),
можно доказать*), что всякая обобщенная функция из 9' явля-
ется производной от непрерывной функции медленного роста.
Этим объясняется название 9' — пространство обобщенных функ-
ций медленного роста.
Ъ) Если j—финитная обобщенная функция из ЗУ, то
она единственным образом продолжается на 9? как эле-
мент из 9?’ по формуле
(/, ф)=(/, w)\ Фе^, (6):
где ц е 3) и ц = 1 в окрестности носителя f.
Действительно, линейный функционал (/, цф)\ стоя-
щий в правой части равенства (6), непрерывен на 9^
если ср* 0, к -* оо в9, то цфл, -> 0, к -> оо в и потому
(А ПФл) О» Л -^ °°.
Единственность продолжения функционала / на 9>
следует из плотности 3) в 9> (см. § 8.1). В частности,
*) См. Л. Шварц [2, гл. VII].
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 155
продолжение (6) не зависит от вспомогательной функ-
ции ц.
с) Если / е др',* то и каждая производная да/ <= др'.
' Действительно, поскольку операция дифференцирова-
ния непрерывна из 9Р в др (см. § 8.1), то правая
часть равенства
есть линейный непрерывный функционал па 9? (ср. § 6.1).
d) Если / е др' ц det Л 0, то /(Ау + Ь)е др'%
В самом деле, поскольку операция преобразования
ф[Л-1 (х — 6)] непрерывна из др в 9Р (см. § 8.1), то пра-
вая часть равенства
</(^ + Ь).<Р)-(А£кр&Га)
есть линейный непрерывный функционал най^ (ср. § 5.9).
е) Если /&9>' и то а/<=9>'.
Действительно, поскольку операция умножения на
функцию а из 6м непрерывна из др в 9Р (см. § 8.1), то
правая часть равенства
.(«А ф) = (/, а<р)
есть линейный непрерывный функционал на 9Р (ср.
§5.10).
4. Структура обобщенных функций с точечным носи-
телем.
Теорема. Если носитель обобщенной функции / есть
точка {01, то она единственным способом представляется
в виде
1 СадЩх). (7)
1а|=о
Доказательство. Так как обобщенная функция /
имеет носитель {0}, то /&9?' (см. § 8.3) и, в силу (18)
§ 5.10, при всех к>0
f = r\(kx)f, (8)
где ц (я) — основная функция, равная 1 в окрестности
точки 0 и равная 0 при Ы > 1. Далее, по теореме
Л. Шварца (см. § 8.2) справедливо неравенство
I (/, Ф) I CllcpIL, ф£®, (9)
при некоторых тп > 0 и С > 0, не зависящих от ф,
156 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. П
Пусть ф — произвольная функция из S). Положим
Фл (ж) = <рта (я) 1] (kx)t tpm (.г) = <р (.с) — У ~ L(0) (Ю)
|а 1=0
Применяя неравенство (9) к функции и пользуясь
тем, что
сПфДя)i = О(Ы7п+1“т), х 0 (I7I тп)\
68r\(kx)s= О (А161), к <»,
получим
1 (J1 Ф&) I II Ф& 11m =*
®= С sup (1 + | х |w) ]50 [ф™ (х) ц (Н)] | <;
-i
131
< С! шах 2} I 5?<рт (а:) 1| dP-Vg (Аж) | <
|₽|<m, |x|<-llvl=o
k IPI с
< Ci max У A-m-i+ivlAiR-vl = -2->0f А->оо.
131cm |^10 к
Но, в силу (8), (/, грд) не зависит от к. Следовательно,
по доказанному
(A ^i) = Ит (/> ч|>л) = 0.
k^OO
Отсюда, пользуясь (8) и (10) при к — 1, получаем пред-
ставление (7);
( 771 \
л Фх + 2 =
1«1=о ' )
т т
-М1)4- 2 2 са(5Чф),
|а|=о [а 1=0
где обозначено
Сй « — (Л а^п)»
Докажем единственность представления (7) , Пусть
/(х)= 2
[а |==о
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 157
— другое представление /, так что
2 (са-с;)0“б(ж) = о.
I а 1=0
Применяя это равенство к моному |£1 т, получаем
m
0= 2 (Са-с;)(^а:₽) =
|а|=0
т
= 2 ^/) = (-i>iPip!(c₽-c;)t
I«1=0
т. е. Ср == Ср. Теорема доказана.
5. Прямое произведение обобщенных функций мед-
ленного роста. Пусть f(x)^9?'(Rn) и g(y)^
Поскольку д?’ то прямое произведение /(#)-g(z/)s
eS/(ZC+w) (см< § 7
Докажем, что f(x) • g (у) — 9?'(Rn+myj.
По определению функционала /(#)-g(i/) (см. § 7.1}
U^) g(y), 4>)=UW, (g(y), ф(я, у))); (iij
Докажем, что правая часть равенства (11) есть линейный
непрерывный функционал на 9\Rn+m).
Для этого установим следующую лемму, аналогичную
лемме § 7.1.
Лемма. Для любых g 9?'и q^9?(Rn+7ny
функция
= <р(х, !/) ) S
и справедливо равенство
<A' (ж) = (g (у), д“ф (х, у)). (12)
Кроме того, если срА -> 0, & оо в 9?(Д{п+т), то
^(^^{giy), срДж, у))~^01 А~>оо в 9\Rn\. (13}
Доказательство. Как и при доказательстве лем-
мы § 7.1, устанавливаются справедливость равенства (12)’
при всех а и непрерывность его правой части. Следова-
тельно, гр е С°° (Rn). Докажем, что 4>^^(7?n). Так как
g(y)^ 9>'(Rm) и при каждом x&Rn q>(x, */)e^(7?m), то,
по теореме Л. Шварца (см. § 8.2), найдутся такие числа
ОО и что для любых фе^(Яп+т)| а и x^Rn
158
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
справедливо неравенство
|(#(р), ^хфС^ P))l<c SUP (1 + |р|)Р|^5“ф(ж, г/)|.
y^Rm, I Vl<P
Отсюда, в силу (12), при всех x^Rn получаем нера-
венство
| x^daty (х) | < С sup (1 + | у \?) | x^dxq (х} у) |. (14)
y^Rm, I Vl<p
Так как ф£^(ЯИт), то из неравенства (14) вытекает,
что x|)^ ^(7?n).
Докажем теперь предельное соотношение (13). Пусть
фА -*• 0, к оо в 3 (Rn+m). Отсюда, применяя неравенство
(14) к последовательности фА, к -*• получаем
| |
< с sup (1 4- I у I )р | жР<^<9“<ра I-* Of к -> oof
yGRm, | vI
т. e. -> 0, к оо в &(Rn}. Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает, что правая часть ра-
венства (11), равная (/, ф), где 'ф(^)=:(^(г/), ф(я, у)),
есть линейный и непрерывный функционал на ^(Дп+7П),
так что /(^) • g(z/)(/1л+ш) (ср. § 7.1).
Прямое произведение обобщенных функций медленно-
го роста коммутативно и ассоциативно в
/СО • g(y) — g(y)' /(ж), f(x) - (g(p) • h(z)) =
“(/(«)-g(y)
Эти утверждения вытекают из соответствующих
свойств прямого произведения в ЗУ (см. § 7.2 и § 7.3, Ь))
и из того факта, что 3) плотно в 3 (см. § 8.2).
В частности, равенство f(x) • i(y)= l(z/)//(^)i где
/е «/"(Т?71), означает, что
(/1 J ф у) dy] = j (Л Ф («1 у)) dy, <р (Rn+m). (15)
Наконец, прямое произведение f(x)-g(y) обобщенных
функций j^3f{Rn) и g^3'(Rm) линейно и непрерывно
относительно f (из 3'(Rn) в &'(Rn+m)) и относительно g
Доказательство аналогично соответствующему доказа-
тельству для пространства 3' (см. § 7.3, а)).
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 159
6. Свертка обобщенных функций медленного роста.
Пусть / е и g — финитная обобщенная функция. Тогда
свертка / * g существует в 3)' (см. § 7.5). Докажем, что
/ * g принадлежит Э9' и представляется в виде
(W, ф)Н/п(Юф(я+ */))> Фе^. Щ)'
где т| — любая функция из 3), равная 1 в окрестности
носителя g.
Действительно, по теореме § 7.6 формула (16) спра-
ведлива на основных функциях ср из 3). Докажем, что
правая часть равенства (16) определяет линейный непре-
рывный функционал на 3. Пусть ср ^3 (Rn). Тогда, в си-
лу финитности функции ц, ц(^)ф(^ + y)^3(R2n), и так
как ](х) • g(у) — линейный функционал на 3(R2n), то
правая часть (16) — линейный функционал па 3(Rn). До-
кажем его непрерывность. Пусть срА -> 0, к -> <» в 3.
Тогда при любых а, [3, у
хау^дУ [1] (г/) фй (х + г/)] * 0, к-> оо,
и потому
ц (#)сР*(-£ "I" у) 0, к -* 00 в 5^(Z?2n) .
Поскольку j(x) • g(y)^ 3'(R2n) (см. § 8.5), то отсюда
следует непрерывность правой части (16) на ^(Яп):
(/(^)-g(*/), п(//)флк-+°°.
Итак, f * g^ 3'.
Обозначим 3 + — 3) + [\3’, где —сверточная ал-
гебра, определенная в § 7.7. Докажем, что если / и
g^3+, mo / 3+ и представляется в виде
u*g, ф) =
= (/(ФЛт). П1(01Ъ('0ф(* + Щ. (ре^(7?*)', (17)
где T]i и ц2 — любые функции класса С00 (Я1), равные 1
в окрестности [0, оо) и 0 при больших отрицательных t.
Действительно, по теореме § 7.7 формула (17) спра-
ведлива на основных функциях ср из ^(Т?1). Докажем,
что правая часть равенства (17) определяет линейный
непрерывный функционал на ^(Т?1). Пусть cpsS^?(7?1).
Тогда, в силу свойств функций i|i(0 п ц2(т), fjiWM'OX
X ср(£ +т)5%/?2) и правая часть (17)—- линейный функ-
ционал на ^(Т?1). Докажем его непрерывность, Пусть
160 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
фА 0, к -> °° в ^(Т?1) . Тогда, как и выше,
ть(£)Л2(т)фл(* + т)~> 0, Л->оо в ^(7?2).
Поскольку f(t) • g(j)^ (R2j (см. § 8.5), то отсюда сле-
дует непрерывность правой части (17) на ^(Д1). Итак,
/*£е=<Г(Д*).
Мы видим, таким образом, что совокупность обобщен*
ных функций &+ образует сверточную алгебру — подал*
гебру алгебры 2>+(см, § 7.7).
§ 9. Преобразование Фурье
обобщенных функций медленного роста
Замечательное свойство класса обобщенных функций
медленного роста состоит в том, что операция преобразо-
вания Фурье не выводит за пределы этого класса.
1. Преобразование Фурье основных функций из .94
Поскольку основные функции из & абсолютно интегриру-
емы па 7?п, то на них определена операция преобразова-
ния Фурье F:
F [ф] (5) = J ф dxt <р е У.
При этом функция й[ф](£)~- преобразование Фурье
функции ф (х) — ограничена и непрерывна в Rn, Основная
функция ф(я) убывает на бесконечности быстрее любой
степени Ы”1. Поэтому ее преобразование Фурье можно
дифференцировать под знаком интеграла любое число раз:
daF [ф] (5) = J (Lr)a Ф (х) е^х^ dx ~ F [(Lr)°4p] (£), (1)
откуда ясно, что F [ф] С°° (Пп). Далее, такими же свой-
ствами обладает каждая производная баф, а потому
F Р“ф] (Ю = J дасР (ж) = (- %)а F [<р] (g). (2)
Наконец, из формул (1) и (2) получаем
g W [ф] (g) = [ (Lt) «ф] (Ю = im'F [5р (Лр) ](§)’. (3)
Из равенства (3) вытекает, что при всех аир вели-
чины gp<9aF^](^) равномерно ограничены по
I ср) [ cfcr. (4)
Это значит, что F [ф]е^ (см. § 8.1). Итак, преобразова-
ние Фурье переводит пространство д’ в себя.
§ 9]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
161
Отметим, что пространство основных функций 3) пре-
образование Фурье в себя не переводит, поскольку пре-
образование Фурье финитной функции есть аналитиче-
ская функция и, стало быть, либо не финитна, либо нуль»
Так как преобразование Фурье F [ср] функции ср из 9>
есть интегрируемая и непрерывно дифференцируемая
функция на /?п, то, как это следует из общей теории пре-
образования Фурье*), функция <р(#) выражается через
ее преобразование Фурье F[cp](£) с помощью операции
обратного преобразования Фурье F”1:
ф(^) = ^,[/?[ф]] = /7[^1[ф]], (5)
где
F'1 № W = tAj f ® F ™=
(ZJT) V
= sM *0 F w 01 • (6)
Из формул (5) и (6) следует, что всякая функция ср
из 9> есть преобразование Фурье функции ф = F-1 [ср]
из б25, ср е= F [ip], и если F [ср] = 0, то и ф = 0. Это значит,
что преобразование Фурье F преобразует 9? на 9> и при-
том взаимно однозначно.
Лемм а. Операция преобразования Фурье F непре-
рывна из 9? в 9\
' Доказательство. Пусть фА -> 0, к °° в Тогда,
применяя (4) к функциям фА, при всех аир получим
I [фд] @) | < J | | dx <
< sup 1(xa<pft) | (1 +
dx
d + kl)n+11
откуда следует, что
&=Hn
--->0,
к -> оо,
т. е» F [<рА] -> 0, Л->оо в 9> (см. § 8.1) . Лемма доказана.
Аналогичными свойствами обладает и операция обрат-
ного преобразования Фурье
2. Преобразование Фурье обобщенных функций из
Пусть сперва /(я) — (абсолютно) интегрируемая функция
*) См., например, Л. Д. Кудрявцев [1, гл, VII]«
И В. С Владимиров
162 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. II
на Rn. Тогда ее преобразование Фурье
F I/] (g) = J / (*) №dxt | F [/] (g) | < J | / (х) | dx < oo,
является непрерывной, ограниченной в Rn функцией и,
следовательно, определяет обобщенную функцию из
(Л/L ф) = р[/](Ю<рт, <ре^.
Пользуясь теоремой Фубини (см. § 1.4, h) о перемене
порядка интегрирования; преобразуем последний инте-
грал:
J F [/] (g) Ф (g) - У [У / (х) e^dx ] <р (g) dg ~
*= У f (х) У <р (g) eW^d^dx = У / (х) F [<р] (ж) dxr
т. е.
(Ш ф) = (/, ^[ф]),
Это равенство мы и примем за определение преобра-
зования Фурье F[j] любой обобщенной функции медлен-
ного роста /:
тФ)=(/,г[Ф]), у^, Ф^^. (7>
Проверим, что правая часть этого равенства опреде-
ляет линейный непрерывный функционал на т. е. что
Действительно, так как F [ф] е др при всех
ере? (см. § 9.1), то (/, ^[ф]) есть функционал (очевид-
но, линейный) на Пусть ф* -> 0, к -> о© в ?. По лемме
§ 9.1 ^[ф^-^О, /с~>оо в?, и потому, в силу
.'(/, f[<pJ)^O, &-*©©, так что функционал (/, ТЧф])—-
непрерывный на
Таким образом, операция преобразования Фурье F
переводит пространство $?' в
Более того, F — линейная и непрерывная операция из
в 9>г.
Линейность F очевидна. Докажем ее непрерывность.
Пусть Д-^О, Л->оо в Тогда, в силу (7), при всех
(ре? получим
> (^[А],ф) = (А,^’[ф])-*О1 А-оо.
Это и означает, что в т. е. операция
F непрерывна из в
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 163
Введем в 9' еще одну операцию преобразования
Фурье, которую обозначим через F**1:
^~Ч/] = (8)
(2л)п
Докажем, что операция F”1 является обратной к опе-
рации преобразования Фурье F, т. е.
(9):
Действительно, из (5) —(8) при всех получаем
равенства
(Г1 [F [/И, ф) = (F [F [/] (- £)], Ф) =
= {F lf] (- S' F W)=(F [f]' F w (- =
= (F [/], F~l [ф]) = (/, F [F"1 [ф]]) = (/, ф) =
= (/, ^ЧЛф]])-^"1!/], Лф1)=№”[/]]. ф),
откуда и вытекают формулы (9).
Из формул (9) следует, что всякая обобщенная функ-
ция / из 9‘ есть преобразование Фурье обобщенной
функции g = F~l[f] из 9', j=F[g], и если f[/] = 0, то и
/==0. Таким образом, мы доказали, что преобразования
Фуръе F и F~l преобразуют 9' на 9' взаимно однознач-
но и взаимно непрерывно.
Пусть /(<?, у)^9' (Лп+т), где x^Rn, y^Rm. ВведехМ
преобразование Фурье /'’«[/J по переменным х = (хи х2г
,,хп), положив для любой ср(§, у)^ 9 (Rn+,n)
(m ф)==(/,/Ш). (ю):
Как и в лемме § 9.1, устанавливается, что
Ft [ф] Ст, у) = j ф Й, у) е <?(Rn+m)
и операция непрерывна из 9(Rn*m) в ^(/?п+гп)\
так что формула (10) действительно определяет обобщен-
ную функцию Fx [/](£, у) из 9'(Rn+m),
Пример. Покажем, что
F [6 (х - х0)] =e1(S,4 (И)
И*
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Действительно,
(F [6 (х — ж0)], <р) = (6 (х — х0), F [<р]) = F [ср] (ж0) =
= J Ф (£) e^’x^dl = (е^'х°\ <р), <ре
Полагая в (И) а?о = О, получим
F[6] = l, (12)
откуда
S = F-1 [1] =—L-FI1],
J (2л)п
так что
F[l] = (2n)"6(£). (13)
3. Свойства преобразования Фурье.
а) Дифференцирование преобразования
Фурье. Если / е 9й, то
5aF[/] = F[(^)^. (14)
Действительно, пользуясь (2), при всех по-
лучим
(5аЛЛ, фХ-!)"*1™, ^ф) = (-!)'“'(/, Г[^ф]) =
= (-^)“^[ф]) = ((^)“/, /?fe]) = (F[(^)a/], Ф),
откуда и следует формула (14).
В частности, полагая в (14) /=1 и пользуясь форму-
лой (13), имеем
F И = (-г)|а W[l] = (2л) ” (-0 |а!сГ6 U). (15)
Ъ) Преобразования Фурье производной.
Если / е 9', то
Л5О/]=(-^)аЛЛ. (16)
В самом деле, пользуясь формулой (1), при всех
Ф е 9 получим
\P[daf\, Лф]) = (-!)'“'(/, <Э“Лф]) =
=(-!)'“'(/, F[(/w)=(-i)le'(m (^)“ф)=
=((-^^[/1 ф),
откуда и следует формула (16).
В частности, полагая в (16) / = б и пользуясь форму-
лой (12) , имеем
F [5»6] = [6] = .(17):
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
165
§ 91
с) Преобразование Фурье сдвига. Если / s
е то
Л/(*-*о)]=е(ж°Л)Л/]. (18)
Действительно, при всех ф имеем
(F [/ (х — z0)], ф) = (/ (х — х0), F [ф]) = (/, F [<р] (х + х0)) =.
= (/, ^[фЛ°Л)]) =(/’[/], Л°’%) = фХ
откуда и следует формула (18).
d) Сдвиг преобразования Фурье. Если
е то
+ и = (19)
В самом деле, пользуясь формулой (18), при всех
(р G ПОЛУЧИМ
О1Й + У. <р)-(Л/). Ф(5-6«)) = (/. FIH-W-
- (/, W) - - F [Ф1) = (F [Ле-*>/], ri,
откуда и следует формула (19).
е) Преобразование Фурье подобия (сот-
раж е н и е м). Если / е S27', то при всех вещественных
с #= О
^[/(«01(5) = -^ [/1(Н
I с I \ /
(20)
поскольку при всех ф <= 9? имеем (см. § 5.9)
(Л/Mb ф) = (/М, Лф]) = ^г(А Лф](7)) =
= тАтг(а [<р(£)« (с )^ = (л f ф(^')е,<х’5,)^') =
Iе! \ J J ' J 1
= (j, Лф (<£)]) = (Л/b ч>(Ф) =-^^ [/](|\ ф\
И \ \с J J
f) Преобразование Фурье прямого про-
изведения. Если / е 9^' (Rn) и g е др' (Д?п) ? то
/?[/(x)-g(J/)] = Fx[/(a:)F[g](n)] =
= Fy [F [/] (I) • g (у)] = F [/](§); • Z^g] (n). (21)
166
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. II
Действительно, при всех <р(£, (/?"+’")' имеем
(F[f(x)-g(y)], 4) = U(x)-g(y), F[<p]) =
(£М,ад[ф]))==(/(*), (m/w)i=
=(/(*)-F[g](n), Л[ф])==(^[/(*).-Л^п)], ф)=
=та(п)., ,(/м w))=№i(n)', (F[№, ф))=
= (ЛЖ)/Я£](Т1)., ф),
откуда и следуют равенства (21)’.
g) Аналогичные формулы справедливы и для преоб-
разования Фурье Fx, например: если у) е52?, (/?п+/п) , то
d^yFAf} = Л[(^)М/Ъ
Fx [^/] = (- Ц)а$Рх [/].
4. Преобразование Фурье обобщенных функций с ком-
пактным носителем.
Теорема. Если / — финитная обобщенная функция,
то ее преобразование Фуръе принадлежит классу Ом и
представляется формулой
Л/](1) = (М (23)
еде г] — любая функция из S), равная 1 в окрестности
носителя /.
Доказательство. Учитывая равенства (6) § 8.3
й (16) § 9.3, при всех получаем
(5“F [/], Ф) = (- 1)'“' (F [/], б«ф) = (- l)taI (/, F [5“ф])
Н-1)|а|(Лп(*)(-<Лф])-
= (/ (*)« J П (*) (г*)аФ (£) e{(g,x)^e).
Замечая теперь, что
»]'(«) (гя:)аф (^)е,'(5-х) sP’(7?2n)',
и пользуясь формулой (15) § 8.5:
(/ J П (^) (^)“ф (В) =j (/г п (х) №ае^'хЧ Ф ©
из предыдущих равенств выводим равенство
[/Ji ф) = j (Д J] (х) (ix)aeKM') ф Q) d£s
§ 9]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
167
из которого вытекает, что
ii(4(^)a^’x)); 124):
Отсюда при а = 0 следует формула (23) .
Из представления (24), как и при доказательстве лем-
мы § 7.1, выводим, что daF[f]^ С(Rn), так что F[f]&
&C°°(Rn). Далее, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2) . су-
ществуют такие числа С>0 и р>0 (р — целое), при
которых справедливо неравенство (3) § 8.2. Применяя
это неравенство к правой части равенства (24), получаем
оценку
I daF [/] й) I = I (Л П (*) I < с h (ж) -
= С sup (1 + |z| )р | [г|(ж)Л1(^х)] |
<Са(1 + П|)р,.
из которой и вытекает, что F[/]^0m (см. § 8.1). Теоре-
ма доказана.
5. Преобразование Фурье свертки. Пусть / и g —
финитная обобщенная функция. Тогда
F\j * g\ = F\g]F[f]. (25}
Действительно, в силу § 8.6 свертка f * g^tf" и пред-
ставляется в виде
(/*£, ф) = (/(я), (£(#), 'П(#)ф(я +*/)))’, фе^,
где ц = 1 в окрестности suppg. Учитывая это
представление, при всех ср SP получаем
(Л/*#Ь ф) = (/*£, Лф]) =
= (/(*)> (Hg)> ф©ег((*+гд,5)^)).
Принимая во внимание, что, по теореме § 9.4, F [g] 0м,
и пользуясь формулами (15) § 8.5 и (23), преобразуем
полученное равенство:
(F [/ * g], <р) = (/, J (g, Т] (г/) ег(5>х)<р (g) dg) =»
= (/, J F [g] (g) <p (^) = (/, F [F [g] <p])
-(F[f], F[g]<p) = (F[gim <P),
откуда и вытекает формула (25) ,
168 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. П
6. Примеры, п = 1.
R
a) F [0(2? — | ж|)] = J eixidz = 2s-^. (26)
-R
Ь) F[e-aV] = ^<? 4“2. (27)
Действительно,
Осталось доказать, что линия интегрирования Im £ =
в последнем интеграле может
2а
быть сдвинута на вещест-
венную ось, т. е. что при
всех а
Im t==a
Рис. 40.
(28)
По теореме Коши при любом 7? > 0 имеем
| е~Ч^ = 0г
cR
? = О + 4Тг
(29)
где контур CR — cR (J cr [J Ir U Ir изображен на рис. 40.
Но на отрезках Ir — [0 т я, о = ±7?]
|е-^| = |е-а2+г2-2{ог
2 2 те[0,а]
= e~R+x =£0,
7?->оо,
а потому справедливо равенство
lim ( f + f А е £2(й; = Oj
R->oo <
\lR lnJ
§ 9]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
169
откуда, пользуясь (29), получаем равенство (28):
lim f е~^ dt> = lim ( f + f \ ==
fi-*oo R-+oo •$, Й
R \cr crJ
= J e~° do — j e~^d£ = 0*
—oo x=ia
c) F [егх ] = ]Ai e 4 < (30)
Действительно, из сходимости несобственного инте-
грала (интеграла Френеля)
оо гл
J ev dy = Ул е 4
вытекает равномерная сходимость по £ па каждом конеч-
ном интервале несобственного интеграла
00 N
$ eix2+ix*dz == К™ f elx2+ixldx^
= lim j
7V->oo __.дд
M-*oo
h2
d x == e 4
lim
ДЧ-|-
C -J./2
A-»oo g
-M+-.
-
ne
Таким образом, мы доказали равенство (30) поточечно
при условии, что преобразование Фурье понимается как
несобственный интеграл. Докажем справедливость этого
равенства в Пользуясь полученным результатом, при
всех (ре®, suppcp<=(—/?, R) имеем
N R
t= f etx F [<р] (ж) dx ~ lim f егх С ср (£) elx^dt, dx =>
J JV-^OO _‘M Jfl
M->oe
R N
= lim f <p(g) f eix2+ixldxd%^
N-^oo SR
R N 2 ~
>= f <p(g)lim eix2+wldx<^, = Vnei f <p(g)e 4 dgj
M-*QQ
170
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. П
откуда заключаем о справедливости равенства (30) на
основных функциях из S). Но S) плотно в 9? (см. § 8.1).
Поэтому это равенство справедливо на основных функ-
циях из 5^.
d) + (3i)
ле (-я)] (ЗГ)
Действительно, при всех а > 0 имеем
F [9 (ж) е~ах] = J (32)
О
Так как
6 (я) е~^ах 0 (#)\ а ->• +0 в 9>\
то, переходя к пределу при а -> +0 в формуле (32) и
пользуясь непрерывностью на 9?' преобразования Фурье
(см. § 9.2), выводим:
(33)
Применяя теперь формулу Сохоцкого (10) § 5.8, полу-
чаем равенство (31). Равенство (31') устанавливается
аналогично.
е) г|>-Д-1 = -2С-21пШ, (34)
I * I
где С — постоянная Эйлера,
1 сю
С| 1 — COS и 1 I COS U 1
= I-------du — I----dll
Ju J и л
0 1
и обобщенная функция —г определена в § 6.6, Ь)\
Iх I
Действительно, при всех ср «= 9? имеем
§ 91
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
171
со
*= 2 J J <р © c°s^~* <% dx + 2 J J <p © ft dx~
0 I
= 2 J Ф © J —4" dx -2 J f f' ® dx ~
= -2f ф(£)(С + 1П|£|Х
откуда и вытекает формула (34).
f) В § 6.4, d) было установлено равенство
6 (х — 2л к) = 2яГ * (35)
k——OO Jl=:—oo
Нетрудно видеть, что ряды в равенстве (35) сходятся
в Пользуясь формулой (И), перепишем равенство
(35) в виде
2л 5 6(х-2лЛ) = 3 Л6(ж-й)].
&== —ОО h—~OO
Применяя это равенство к ф е получим
2л[ 2 8(х—2л/с), ф ] = 2л 2 (6 (гг — 2л7ъ), ф)==»
\ k= — ОО / k=~00
= 2л 2 ф(2л&) = | 2 jP[6(^ — &)], ф j =*
fc——оо \й=—00 /
оо оо
= 2 л?])- 2 ЛфЖ
k==— ОО fc=—oo
т. е.
2л 2 ф(2л&)= 2 Лф](&). (36)
k=—ОО k~—ОО
Равенство (36) называется формулой суммирования
Пуассона.
172
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Полагая в формуле (36)
t*2, _ |2л2
<р(*)=е ‘ г 1>0,
к 1
получим
ОО _ ОО Z?.2JI2
2 O-“! = J/| 2 <37>
Л==—оо к~— ОО
Формула (37) применяется в теории эллиптических
функций.
7. Примеры, п^2.
а) Пусть квадратичная форма
П
3 ciijXiXj = (Ах, х), А = (а^),
ij—l
вещественна и положительно определена:
(Ах, х)^а!х!2, о>0.
Тогда
F [е“(Лхл)] - -Д=- е 4 « (38)
L J T/det A v ’
Для получения формулы (38) с помощью неособенного
вещественного преобразования х = Ву приведем квадра-
тичную форму (Ах, х) к диагональному виду
(Ах, х) = (АВу, Ву) = (В'АВу, у)=\у\2,
так что
А-'^ВВ', det Л (det5)2 = 1.
Отсюда, пользуясь формулой (25), получаем
F ^-(Аха)] _ J e^Ax^^dx =
= | det5|fe-(AM)+i(5’B^ =
|/det A J v
А П
= 1 TT
Vdet
лп/2
£ иУз = е —
Vdet А
пп/2
“j/delM Д/det А
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
173
§ 8J
Ь) Аналогично, пользуясь формулой (30), получим
F / Те"* (39)
1 J Д/det А '
с) Пусть f>sR (а?) — простой слой на сфере SR в R3.
Тогда
(40)
Действительно, так как 8sR — финитная обобщенная
функция, то, применяя формулу (23), получим
(6sk(^ r\(x)ei(M) = J x}(x)el(MdSx
Sr
jt 2«ГС
= /?2 f eiR(Mds = /?2JJ eifl,B,cose sin 6 dQ dtp = 4л/?
0 0
d) Пусть п==2. Введем обобщенную функцию
из положив при ср S27
— ф (0)
I2
Тогда
dx + j
|х[>1
= — 2л In [ 11 — 2лС0,;’
(41)
где
/
7 РоМ Л
= I -2-du — I -2— du
Ju Ju
О 1
и Л — функция Бесселя (см. ниже, § 23).
Действительно, при всех ср е ,9? справедлива цепочка
равенств
И^тАА =*
Г тж-тно) dx г Г
J | х I2 J
|х[<1 11 |х]>1
174
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. И
“ f тАз f у ® 1е1(жЛ) ~1 ] dx+
+ f Т^Т2 § <p(g)el(x'® d£dx =
|x|>l * X *
1 2Л
»= J 7 J 4> ® J (eirl''“s0 - 1) dQ dg dr +
0 0
оо 2Л
+e<ri?icose^0^^=
1 0
I
= q>(B)[J0(r|g|)- 1] d^dr +
О
= -2л] <p(g)(Co + ln|g|)^(
откуда и вытекает равенство (41).
е) f[±] = ^ ? = g + n].
(42)
Применяя к обеим частям равенства (44) § 6.5 пре-
образование Фурье, получим
р Г 1 / д . . * \ 1 1 — Z7 1 1 Z7 ГЯ1
г hr Н- + i — Н- = —F — = nF [б] = л<
12 су J z 2 z\ L J
1
Так как ^-—локально интегрируемая функция в 7?2, то
последнее равенство можно разделить на 5 в
В результате получим формулу (42).
f) F = 2HSin^pL n=2. (43)
. И 1 lfel- ‘
ff ST
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
«75
Действительно
е</? —|ar|)
F
f е1№
I -~г===х. dx —
, J / Д2 — I х I2
|х|<R Y П I Х I
Г '•'«('lEI) .
/я2 -I X I2
R 271
J ^irl^coscp
О
о
151
1
= 2л7? ( /0 (7? | g | и) ~ 2л -j - -1 g 1
О Y 1 и
Здесь мы воспользовались формулой 6.554, 2) из спра-
вочника II. С. Градштейна и И. М. Рыжика [1].
ё) "Ы “ тй’ "-3- <44>
Учитывая, что функция Ы“2 локально интегрируема
в R3, при всех получаем следующую цепочку
lim
Й->ОО
R Л 2Л
мш
ООО
J|£|pcos0
-----2---Р2 S*n ® Ф =*
R 1
»= 2л lim С ф (g) f f e{|^opdp dp d% =»
J 0J 4
R
x= 4лlim f f P ф jg. (45)
П-^oqJ I bl J P
о
Так как
l£l
si?iAJ.p-dp
cos I £ IR
R
OO CO
f C°SI5|P dp <A . f dp. e
J p2 «Р R -Г j p8 Jf»
176
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. п
то возможен предельный переход при 00 под знаком
интеграла в последнехм члене равенств (45). В результате,
учитывая, что
со
] Л12ЦА1Р dp = i., iei^o,
О
получим
\ |я| J / J ISI г J 1*1
откуда и следует формула (44)'.
(см. § 6.6, а)), показать, что:
8. Упражнения. Пользуясь формулами (31) и (ЗГ) и равенст-
1 '
ВОМ |2~ =
%
а)
Ь)
с)
1
F [signa] ~2i^ -g-,
-рк-г1=-лиь
L х j
F ^ — == гл sign g;
^11«| ] == —
F[0(*) z]=-ta6' (g)-^p-.
d) Доказать, что ряд
2 ahb{x—k),
te=--<X>
\«h I < c (1 + I к | Г
сходится в и
F
akS (a — k)
- 2 vikx‘
k=—00
e) Пользуясь теоремой § 8.4, доказать: если /eS>'(/?n) сфе-
рически-симметрична (т. е. f(Ax) = /(а) для всех вращений А в
Rn) или лоренцеинвариантна (см. § 5.9) и supp / == {0}, то соответ-
ственно /(а) = Р(Д)6(а) или /(a) = Р(С)6(а), где Р— некоторый
полипом.
f) Пусть f(=2)'(Rn) и 8нрр/с:Га; пусть далее г]—любая
функция класса £>(Rn)t равная 1 в окрестности носителя /. До-
казать, что функция
f(z) = (/(5). n(£)e<(z’5))> 2 “ (2i. < •> z„) = ж+ 1у, (46)
не зависит от ц, целая и удовлетворяет при некотором т 0 и
любом е > 0 оценке
If (Я 4- iy) I С.е<а + «)М(1 4- |ж I)”», (47)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
177
§ Ю]
Обратно, если целая функция f (z) удовлетворяет при лю-
бом е> 0 оценке (47), то существует (единственная)
supp / (ziUa такая, что имеет место представление (46) (теорема
’ Лейли — Винера — Шварца).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
(операционное исчисление)
Метод преобразования Лапласа является одним из
мощных средств для решения задач математической фи-
зики. В приложениях, например в теории электрических
цепей, этот метод часто называют операционным исчис-
лением (Хевисайда). Основы теории преобразования Лап-
ласа обобщенных функций заложены Л. Шварцем [3] и
Лионсом [1]. В целях простоты мы ограничимся здесь
изложением теории преобразования Лапласа обобщенных
функций с одной независимой переменной.*)
1. Преобразование Лапласа локально интегрируемых
функций. Пусть f(t) — локально интегрируемая функция
в /?*, f(t) = 0, t < 0 и
\f(t)\^Aeat при Щ
Интеграл
д~{р) = p = G+io),- (2)
О
называется преобразованием Лапласа функции f.
Функция (р)—аналитическая в полуплоскости о>
> а, причем ST (р) 0, а-*-+ оо.
Действительно, в полуплоскости а>а подынтеграль-
ная функция в (2), в силу (1), имеет оценку
\f(t)e~pt\ ^Ae~(a~a)i, £-> +<*,
и, следовательно, абсолютно интегрируема. Поэтому инте-
грал (2) сходится равномерно во всякой замкнутой полу-
плоскости о > а + 8, 8 > 0, определяя тем самым анали-
тическую функцию &~(р) при а>а, стремящуюся к 0
при о -> +оо равномерно по со.
Формула (2) в терминах преобразования Фурье при-
нимает вид
о>а.
*) См. также В. А. Диткин и А. П. Прудников [1] и
Ю. А. Брычков и А. П. Прудников [1].
12 Bt с4 Владимиров
178
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
|ТЛ. п
Эту формулу мы и примем за исходную при определении
преобразования Лапласа обобщенных функций.
Пример. /(^) = 0(О»
0-(р)=
J e-Pt dt
О
о> 0.
(3)
р
2. Преобразование Лапласа обобщенных функций.
Обозначим через @>+ (а) совокупность обобщенных функ-
ций f(t) из + (см. § 7.7), обладающих тем свойством,
что
f(l)e при всех а>а*).
(4)
Определение S?+ см. в §8.6; — сверточная алгеб-
ра. Очевидно, что S)+ (aj cz если
Справедливо включение: 9>+ cz <Z)+ (0).
Действительно, если supp/cz [0, <»), ц — любая
функция класса С°° со свойствами: ц(£)=^0, t< — б,
т](£)=1, t>— 6/2, б> 0 —любое, то при всех о>0
/=ц/ (см. § 5.10), и поэтому
Если f <= 3)'+ (а), то bf е S) + (а), Ъ е 0^;
/ (ЙО е S)'+ (ka), k > 0; / (t) eM e S)'+ (a + Re X).
Эти утверждения непосредственно следуют из опреде-
лений (см. § 8.3).
Если f и ge *£)+(&), то f*g^S>+(fl}u справедливо
равенство
(f * g) e~at ===== fe~Qt * ge~at, c>a. (5)
Действительно, пользуясь формулой (17) § 8.6, при
всех о > а и ср 2) (7?1) имеем
(/е~а< * ge~Q\ ср) ~ (f (t) e~ot -g(T)^0Tt П1 (^) Пг (т) ф (^ + т))^
“.(/(О (т), тц (0 Пг (т) е-*<‘+т)Ф (t + т)) =
«(/*?, (pe-ai)= (e-ot (/ * g), ф)\
♦) Обычно в качестве а берется inf тех а, для которых имеет
место (4).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
179
§ Ю]
откуда и следует равенство (5). Так как fe~ot и ge~ot G
е и — сверточная алгебра (см. § 8.6), то из (5)’
следует, что (f*g}e~al о>а, T.e.f*g(=£)'+(a).
Мы доказали, таким образом, что £>+ (а) — сверточная
алгебра-, она является подалгеброй сверточной алгебры
S)'+ (см. § 7.7).
В частности, если / е $)'+(а}, то / (t—т) = / «6(i — t)s
s ф'+ (а), т>0; /(m) = / » 6(m) e S)\ (a), m = 1, 2,• ..
если a>0, то m-я первообразная /(~m) = 6 * ... * 6 * / s
m раз
e S) + (a), m = 1, 2, ... (cm. § 6.3 и 7.8).
Пусть /е55+(а). Из условия (4) вытекает, что при
каждом о>а обобщенная функция f(t)e~ot обладает пре-
образованием Фурье, и поэтому
ST (р) = F[f(t) е^] (—со) = 2л7^[/W (со) е (6J
о > а
Фиксируем произвольное число о0> а. Докажем, что
^(р) = (/(0е"Ч
П(0е-(г’~оо)‘),
(7)
где г)(0—произвольная вспомогательная функция, вве-
денная выше.
Действительно, пусть о > о0 > а и среТогда
(ST (а + гео), ср) = (F If (/) е-<”] (- со), ср) -
Л<р(- «)])-
= (п (0 / (0 е“Ч [ф] (- 0) ~
— (/ (0 Я (0 е~(а~а°}1 J <р (®) e~iat d(t>j.
Но при каждом а > о0
г] (0.е_(о“ао)‘“|<й'<р (®) е= (Я2),
Поэтому интеграл в последнем выражении можно вы-
нести за знак функционала (см. (15) § 8.5), и мы по-
лучаем
(^ (о + го), (р) = J (/ (0 е~ао*, Т] (0 е“(₽_<’«)0 ф
откуда и вытекает формула (7).
(р) — аналитическая функция в полуплоскости
о > а и в каждой полуплоскости о > о0 > а справедлива
12*
180
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. II
формула дифференцирования
(р) = (/ (/) е-ао‘, т) (0 (- t)m
т = 1, 2, ...
(8)
Доказательство этого утверждения аналогично дока-
зательству леммы § 8.4, если учесть, что
-(р+Др-а0)<_
л(0
Др
Д/7-*-0 в
Функция &"(р) называется преобразованием Лапласа
обобщенной функции /(£) из + (а).
В операционном исчислении (обобщенную) функцию
f(t) называют оригиналом, функцию &~(р) — изображе-
нием и этот факт записывают так:
/(0-^(р), 0> а. (9)
Отметим, что между оригиналами /(£) и изображениями
ST(р) имеется взаимно однозначное соответствие*). Это
утверждение вытекает из определения (6) и из взаимной
однозначности операции преобразования Фурье (см.
§ 9.2).
Очевидно, преобразование Лапласа — линейная опе-
рация: если fh(t)^^h(p), <3>ah, к = 1, 2, то и
%А(0 + цЛ(t) ++ АЗг1(р) + ^£Р~2(р), о>тах(а1, aj.
Пример.
6 (t — т) -<-> е~хр, р — любое, т>0. (10)'
3. Свойства преобразования Лапласа.
а) Дифференцирование преобразования
Лапласа. Если /е^+(а), то
(-*)m/(£)^ ^(m)(p) , а>а, m = 0, 1, ... (11);
Действительно, (—t)™f^&>+(a) (см. § 10.2). При-
меняя формулы (7) и (8) к (~-^)??7, при всех $><з0>а
получим соответствие (И):
(- ')” /(«)-((-«)”/ (') Ч m -
= (/ m ч m (- e-i'-”»’1) = ^<ш> (?).
*) Поэтому соответствие (9) симхметричдо.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
181
§ Ю]
Ь) Преобразование Лапласа производ-
ной. Если / е= (а), то
(t) ++ рт&~(р), G>a, т = 0, 1, ... (12)
Это соответствие достаточно доказать при т = 1. Мы
знаем, что /' е®+(«) (см. § 10.2). Поэтому
f(t)~ Fl/'(0e-o,](-w)= F[(j(t)e-°lY + o/(i)e-a‘](-co) =
= (а + to) F\J(t) е~а‘] (-со) = р^-(р),
что и требовалось.
с) Сдвиг (смещение) преобразования Ла-
пласа. Если / S)'+ (а), то
f(t)eu o>a + ReZ. (13)
В § 10.2 показано, что f (t)eKt 3)'+(а + ReX); поэто-
в силу § 9.3, d),
/(0^ —F[/(Z)e^-°f](-co)-
= F[/(^)^<^>q(-o) = 5^(p —X).
d) Преобразование Лапласа подобия. Если
/ е S)\ (а) и к > 0, то
°>ка- (14)
Действительно, / (И) е !£>+ (ка) (см. § 10.2) и, в силу
§ 9.3, е),
Г -АЛ
f(kt) ++F [f (kt) e~at ] (— со) = F\f(kt)e h ](—©)=»
e) Преобразование Лапласа свертки. Если
/и g е 2)'+ (а), 1^5^ ng^S,(j>a,n
(f*g)(t)~$-(p)$(p), о>а, (15)
так что преобразование Лапласа мультипликативно.
Мы имеем f*g^S>+(a) (см. § 10.2) и, пользуясь
формулами (5) и (7), при всех о>о0>а получаем
(/ * g) (0 - ((/ * g) (0 е~% Т] (0 е-(р-а«)‘) =
= (/e-V*^-Vin(0e-(2’-°o)().
182
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Ног] (2) г и поэтому по формуле (17) § 8.6
будем иметь
(/* Лз (т)п (Z+т) е-(р-<М<‘+*>).
Учитывая теперь, что при некотором выборе вспомога-
тельных функций гц, ц2 и ц справедливо тождество
’{рис. 41)
П1 (О П2 (т) n (t + т) = Т], (/)112 (т),
и пользуясь определением прямого произведения в д"
(см. § 8.5), получаем формулу (15):
(/ * g)tt) **(/ (0 • g (т) е~°от, П1 («) t]2 (?) е-(р-°о)<'+г)) =
•= (/ (0 T)i (0 (g (т) е~о°т,т]2 (т) =
= W(p),
если еще раз учесть формулу (7)\
Лапласа сдвига (за-
паздывания). Если
е S)+ (я) и т > О, то
/(£ — т) e~xpff"(p), о>а.
(16)
В самом деле, / (2 — т)
е®+(«) (см. § 10.2) и, в
силу (15) и (10),
7(г-т) = /*6(£-т)**
е~хр&~(/?).
gj Преобразование
Лапласа первообраз-
ной. Если (я), а>0, то
/(-п.) (0 о > Й1 m = Oj t f (17)
Действительно, /( т) е 2)'+ (а) (см. § 10.2) и, в силу
С(15) и (3),
/-)(O = 0..i.*0*/^-L^(p).
>----v--р,,ь
m раз
4. Обратное преобразование Лапласа. Возникают за-
дачи: 1) дать внутреннее описание изображений алгебры
g 101
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
183
(а) и 2) как по данному изображению восстановить
(единственный) оригинал? Ответы на эти вопросы со-
держатся в следующей основной теореме.
Предварительно введем класс II (а)— совокупность
функций ^"(р), аналитических в полуплоскости о>а и
удовлетворяющих следующему условию роста: для любых
е > 0 и в0> а существуют числа Съ (о0) > 0 и т = т (о0) >
> 0 такие, что
W~(p) I G(Oo)е8О(1 + Ш’, о > Со. (18У
Очевидно, II (а)—алгебра с обычным умножением ана-
литических функций.
Основная теорема. Для того чтобы /(£) принад-
лежала (#)> необходимо и достаточно, чтобы ее пре-
образование Лапласа ST(р) принадлежало Н(а), При
этом при всех b ^а, о >о0>а и целых к> m(о0) + 1
справедливо представление
1
2ni
a+ioo
ST_ (p)
(p-b)fe
dpt
(19)
причем правая часть (19) не зависит от Ъ, о и к.
Доказательство. Необходимость. Пусть
f е &)+ (а). Тогда ее преобразование Лапласа ST (р) —
аналитическая функция в полуплоскости о > а (см.
§ 10.2) и при любом Оо > а в полуплоскости о > о0 имеет
место представление (7). Применяя к этому представле-
нию теорему Л. Шварца (см. § 8.2), при любом е>0
и некоторых С8(ос)>0 и m = zn(o0)>0 получим оцен-
ку (18)
\^(p)l<C(a0) sup
<CE(a0)^(l + |p|™)f O>or0?
так что ST 11(a).
Достаточность. Пусть SF<=H(a). Нужно дока-
зать, что функция &~(р) есть преобразование Лапласа
обобщенной функции / из !£>+ (а) представимой формулой
(19). Рассмотрим сперва случай, когда функция (^(р]
при всех о > о0 > а удовлетворяет оценке
|^(р)|
w*8g
lp-«lal
a> 1.
(20)
184 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. II
Тогда интеграл ?
а+гоо
7(0 = ^ J S~(p)eptdp (о>а) (21)
О—гео
сходится равномерно по t на каждом конечном проме-
жутке определяя непрерывную функцию /(/), —оо <
< t < оо.
Докажем, что /(0 не зависит от о>а. Пусть о2>
> 01 > а. По теореме Коши имеем
f S'(р) ept dp — О, (22)
T(d)
где контур Г(й) изображен на рис. 42. Учитывая, что
в силу (20),
J (р) ept dp
Oj+id
< J i^(°+и)1^<с. М
°1 а1 '
и переходя к пределу в равенстве (22) при d -* +%
получим
Gj-H00 ст,+loo
J (р) ePt dp= J S' (p) ept dp(
Cfj — loo (J2—-ioo
что и требовалось установить.
Перепишем равенство (21) в эквивалентной форме:
оо
eGt С
/ (£) — J S~ (о + ia>) eia/da>, о > а. (23)
—-оо
Пользуясь оценкой (20) и считая о>о0>а, оценим /(Z)':
00
1/ЮК^- J |^(а + йо)|Ло<
—оо х
оо
f е (?о) ес(е+о [ ___da______ с Ср (а} 6^+о.
2л J [{a_a)2 + (02]«/2
— ОО
§ Ю]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
185
Пусть t < —е. Устремляя в полученной оценке а к +«>,
выводим /(/) = 0. Отсюда, ввиду произвольности 8 > 0,
заключаем, что /(/)= 0,
t < 0. Из (23) следует
также, что и
о > а.
Итак,
с>а. j-—-
Рассмотрим теперь об-
щий случай. Фиксируем
произвольные b < a, oQ> а
и целое Л>т(о0)+1 и
введем функцию
д~ (D\ (р)
1(Р) (p-b)k'
6Aid
d2+id
32id
Рис. 42.
аналитическую в полуплоскости о > а и удовлетворяю-
щую при всех о > Оо оценке типа (20):
W^1 + |PP к_т^<
^\p-a[k-m \р-а\т ^lp-a\k-m’
По доказанному существует непрерывная функция Д из
S)\ (о0) такая, что
a+ioo
A(0 = i f о>о0. (24)
о—too
Отсюда, пользуясь формулой (12), выводим
- b)h h ° > ао-
Обозначая
\ U у
заключаем, что /е^+(ог0) (см. § 10.2), /(0 **
0>о9 и, в силу (24), справедливо представление ,(19)_.
186
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Осталось заметить, что построенная обобщенная функция
/ из S&+ (п0) (для любого Оо > я) единственна и поэтому
она не зависит от выбора вспомогательных параметров
Ъ^а, в0>а и /с>77?(0о)+1. Но тогда /е®+(а) и
/(/) +-> F(p), п> а. Теорема доказана.
Следствие. Пусть функция SF(а + /со) абсолютно
интегрируема по со на 7?1 при некотором о>а. Тогда
справедлива классическая формула обращения
и+гоо
а—гео
Для доказательства достаточно заметить, что в фор-
муле (19) возможно дифференцирование под знаком ин-
теграла к раз (см. § 1.5), и далее воспользоваться ра-
венством
= (p_fe)fcept.
Доказанная теорема устанавливает взаимно однознач-
ное соответствие •*-> между алгебрами (а) и Н(а},
причем это соответствие линейно и мультипликативно.
Такие алгебры называются изоморфными.
Замечание. Пользуясь техникой обобщенных функций,
можно доказать*), что всякая функция & из алгебры //(«) удов-
летворяет более сильному, чем (18), ограничению роста: для лю-
бого Оо > а существуют числа С^Оо) 0 и М = 71/(о0) 0 такие,
что
|£Г(Р)| СС(а0)(1+Ым), а > а0.
5. Примеры и применения.
a) 6(m’(t — т) <->- рте~хр, р—-любое, т>0, т = 0, !...,
(25)
Вытекает из формул (10) и (12).
m=Q>. Г ...**). (26)
Вытекает из формул (3), (11) и (13).
♦) См. В. С. Владимиров [2, § 26].
♦*) Соотношение 0(7) 1/р часто записываются так: 1 <-> 1/д,
W представляется не сорсем удачным#
g 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 187
с) Пусть f — функция из £>+ (a)i f&C” (£>0) и / *>•
-«-> о > а. Тогда
и—1
{/(п) (О) — Рп^ (р) - 2 /W (+ 0) Рп~к~\ О> а. (27)
ь=о
Действительно, пользуясь формулой (14) § 6.4 п раз
и учитывая при этом, что £<0, получим
|/"> И1 "Я /<»(+ 0)5<’-'->й,
/1=0
откуда, в силу (12) и (25), следует формула (27).
d) Пусть / и g — локально интегрируемые функции
из (a), g е= С1 (£ > 0) и / g ++ %, о > а. Тогда
t
j / (О {§’(t - т)} dr рЗГ (р) S(p)-g(+O)^ (p)t (28)
О
В самом деле,
g' = {gW+£(+0)6(0,
и поэтому
i
J/СО U' (t — "ОН? = /»{£'} =/ * [£' — £(+ 0)6] =
О
= /*£'-£(+ 0)/* 6 = (/ * g)' (0 - £(+ 0) /(0 ++
— (?)-£(+0)5Г(р).; о>а.
Формула (28) называется интегралом Дюамеля. Ока
широко используется в теории электрических цепей.
е) Уравнения в алгебре 2)+(а) имеют вид
g*u«/, I (29)
где g и / — известные и и — неизвестный элементы из
£>+ (а). Все сказанное в § 7.8 относительно алгебры
остается справедливым и для алгебры £>+(а). В до-
полнении к § 7.8 отметим следующий результат:
Для того чтобы оператор g * имел обратный g"1 ♦
в алгебре SD+(a), необходимо и достаточно, чтобы % g
G Н (а), где g (0 ** (p)j а> а; при этом g~l
о>а»
188 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. II
Это утверждение непосредственно следует из эквива-
лентных, в силу (15), равенств g = б, (р)^-^у =
о>а, и из установленного в основной теореме взаимно
однозначного соответствия меж-
-----------ll£___ ду элементами алгебр (а) и
11 Д *Ца).
f) Рассмотрим электрическую
? < цепь, состоящую из сопротивле-
[ । пия R, самоиндукции L, емко-
Н сти (j и источника э. д. с. e(t).
Рис. 43. включаемого в момент времени
f = 0 (рис. 43). Тогда в соответ-
ствии с законами Кирхгофа сила тока в цепи ф) удов-
летворяет интегро-дифференциальному уравнению
t
L%- + Ri + 4- f‘ (4 dx =
о
ИЛИ
g * i = e, (30)
где
g (0 = Ld' (i) + Rd (t) + -10 (0 e £>'+ (0).
Найдем обратный оператор a * = g~' *. Имеем
g(t)+-> Lp + R + o>0,
L,P
и поэтому, в силу е) и Ь),
,,х 1 ___ р
Lp + R + ± “ Ч^+)(Р-Р-) ~
1 1 ‘С р
- ГГ1------; -------М «4Л
^(Р+ — Р_) \Р~Р+ Р—Р_) 2Lcoi 1
R , . т Г\
Р± 2L гС0* ° “ у LC иУ
Таким образом,
/п ® (0 ““ГТ* ( R • Л
а\Ч = -Г^е 2L llOCOS (Of — -xySlDCOflg
и решение уравнения (30)' выражается формулой (см,
§ Ю]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
189
§ 7.8}
i (t) = а * е =
— | е 2L со cos со (/— т) sin со
Лео J ' ' 2L
о
Формула (31) в явном виде выражает реакцию, или
отклик, i(t) цепи на входной сигнал e(t), В теории элек-
трических цепей g(t) называется импедансом (обобщен-
ное сопротивление) цепи, a n(Z)—адмитансом (обобщен-
ная проводимость). Нетрудно видеть, что и * 0 = J а (т) dx
о
есть отклик цепи на «единичную ступеньку» 0 (функцию
включения).
g) Найдем обратный оператор <?* к оператору q *,
где
q (/) = (/) + ai6(w-!) (/)+...+ О (£), (32)
то есть
+ a^{m-i} + ... + am& = б.
В силу (25) имеем
q (О**Q(р) ^=рт + аур™-1
и поэтому, в силу е),
• “Г “т —
= (P-V* ...(р-хп)Ч
о^>а = max Re Xj.
(33)
Разлагая па простейшие дроби:
п
1
Q(p)
р~ \
и пользуясь (26), из (33) получаем
п
с-
(34) .
thi~l
Ci'hi (kj— 1)!
В силу единственности фундаментального решения
оператора q* в алгебре S)^. (см. § 7.8), функция §(I)
совпадает с фундаментальным решением, построенным
в § 6.4, f) (в случае постоянных коэффициентов),
190
ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. II
6. Упражнения, а) Пусть /а(0, —00 < а < оо,— обобщенная
функция, введенная в § 7.8. Доказать, что
/а (0 ~ а > °.
где за ра принимается та ее ветвь в полуплоскости о > 0, для ко-
торой ра > 0 при положительных р;
Ь) , Y-a-. a>ReZ;
\Р — Л)
1 1
с) ст > 0;
р со
d) 0 (i) cos tot -2", 0 (0 sin tot <-► —-r, o>0.
p 4- co p 4" w
e) Пусть [a&| c(l + A)™, = 0, 1, ... Доказать, что
2 ahf> (< - *) ♦♦ 2 ake~hP< ° > °-
fe=0 A—0
f) Пусть f(t) —периодическая функция с периодом Г, (абсо-
лютно) интегрируемая на периоде (рис. 44). Доказать, что
т
е (0 / (0 ~---L— С/ (0 e~ptdt, а > 0.
1 — е pi J
о
g) Проверить, что
1) (0 cos о *^ = б(о, &(t) = 6'(О4-0(О;
2) (fit cos t) * = 6(0, &(t) = 6,z(0 4-36(0 4-40(0 sh
3) ^4-2(0 cos 0 = 6(0, ^(0 =6(0-20(O^(1~O;
4) 0 * щ 4- = 6(0, 6 » tzi 4- 6' * u2 = 0,
щ(0 = -6(0 - 0(0«2(0 = 0 (0
h) Пользуясь формулой (27), показать, что
1) u'4-aw = /(/), u(0)=H0,
t
« (0 f t CO 4- uQe~at}
§ 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 191
2) и" + со2к = /(J), u(0) = ко» u'(0) = til,
t
u(t) = — ( f (r) sin co (t — tWt + wn cos co£ + w,
co J 0 1 co
о
при этом предполагается, что / е С (i > 0) f| (к).
i) Пусть <§Г1 — решение уравнения g*&i=3Q в алгебре
(а), причем ^igC'(^O). Пользуясь интегралом Дюамеля
(28), показать, что решение в алгебре (к) уравнения g « и »=»
==/, где / — локально интегрируемая функция из (а), выра-
жается формулой
t
и(0 = #! (+0)/ (0 (Т) {< («-Т)] л.
о
J) Доказать, что
8»7177' ”>0-
к) Пользуясь j), доказать равенство
t
ein I = J JQ (t - T) Jo (T) dx.
9
ГЛАВА HI
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
И ЗАДАЧА КОШИ
В этой главе теория обобщенных функций применя-
ется к построению фундаментальных решений и к реше-
нию задачи Коши для волнового уравнения и для урав-
нения теплопроводности. При этом задача Коши рассмат-
ривается в обобщенной постановке, что позволяет
включить начальные условия в мгновенно действующие
источники (типа простого и двойного слоя на поверхности
£ = 0). Таким путем задача Коши сводится к задаче о
нахождении такого (обобщенного) решения данного урав-
нения (с измененной правой частью), которое обращает-
ся в нуль при t < 0. Последняя задача решается стан-
дартным методом — методом суммирования возмущений,
порождаемых каждой точкой источника, так что решение
ее представляется в виде свертки фундаментального ре-
шения с правой частью.
Исследуется также задача Коши для гиперболиче-
ского уравнения с двумя переменными (метод Римана).
§ 11. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов
Для построения фундаментальных решений линейных
дифференциальных операторов с постоянными коэффи-
циентами применяется метод преобразования Фурье.
Этим методом, естественно, могут быть получены только
фундаментальные решения медленного роста.
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных
уравнений. Пусть
т
2 аа(х)даи== f(.r), (1)
|а|—о
—- линейное дифференциальное уравнение порядка т с
коэффициентами е С°° (Rn). Вводя дифференциальный
оператор
т
L («1 д) = 2 (х) даi
М=о
§11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
193
перепишем это уравнение в виде
L(x, д)и-{(х}. (Г)’
Обобщенным решением уравнения (I)1 в области G
называется всякая обобщенная функция и<^£)', удовлет-
воряющая этому уравнению в области G в обобщенном
смысле, т. е. для любой у 25(G) (см. § 5.2).
(L(^, д)и, ф) = (/, ф). (2)
Равенство (2) равносильно равенству
_(н, L*(x, 5)ф)=.(Л Ф), ф^!, (2')’
где
т
L* (х, д) <р = 2 (- 1)1а1 да (авф). (3)
|(Х|—О
; Действительно,
(L(x, д)и, ф) = ( 2 аадаи, <р ] = 2 («Л ф) —
\|а|=0 / |а|=о
т т
= 2 (д% «аФ) = 2 (— 1)|а1 5а(ааф)) =
1а1=о ]а!=о
= ( U, 2 (— 1),а1 да (<МР) ] = («2 L* (х, д') ф).
\ |а|=о /
Ясно, что всякое классическое решение является и
обобщенным решением. Обратное утверждение сформу-
лируем в виде следующей леммы.
Лемма. Если f^C(G) и обобщенное решение и(х)
уравнения (1) в области G принадлежит классу Cm(G),
то оно является и классическим решением этого уравне-
ния в области G.
Доказательство. Так как и е ЗУ П CW(G), то
классические и обобщенные производные функции и до
порядка m включительно совпадают в области G (см.
§ 6.1). Поскольку и — обобщенное решение уравнения (1)
в области G, то непрерывная в G функция L(x, d)u — f
обращается в нуль в области G в смысле обобщенных
функций. По лемме дю Буа-Реймона (см. § 5.6)
L(x, d)u(x)~j(x) = Q во всех точках области G, так что
и удовлетворяет уравнению (1) в области G в классиче-
ском смысле. Лемма доказана.
2. Фундаментальные решения. Пусть L — дифферен-
циальный оператор с постоянными коэффициентами,
13 в. С. Владимиров
194 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
йа ^а»
т
Цд) = 2 аида, L* (5) = £ (— д). (4)
|а|—О
Фундаментальным решением {функцией влияния^
оператора L{d) называется обобщенная функция (В^ЗУ,
удовлетворяющая в Rn уравнению
£(5)<Г = б(я). (5)
Фундаментальное решение <S {х} оператора £($),
вообще говоря, не единственно; оно определяется с точ-
ностью до слагаемого являющегося произвольным
решением однородного уравнения L{d)<B 0 = 0.
Действительно, обобщенная функция <B{x)-\-
также является фундаментальным решением оператора
£(5):
L(d) (<Г + <Го)=£(<?И + £(<Э)<Го = 6(;г)'.
Лемма. Для того чтобы обобщенная функция В из
9)f была фундаментальным решением оператора &{д),
необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье
F[&] удовлетворяло уравнению
£(-^)£[^] = 1, (6)'
где
m
£© =
[а|=о
Доказательство. Пусть <В S?’ — фундаменталь-
ное решение оператора Ъ{д}. Применяя преобразование
Фурье к обеим частям равенства (5), получим
И£(3)^] = £[6] = 1. (7)'
Принимая во внимание формулу (18) § 9.3, имеем
7П
|а|~о
m
= 2 (8)
|а|=0
отсюда и из (7) вытекает, что F\<B\ удовлетворяет урав-
нению (6).
Обратно, если <7' удовлетворяет уравнению (6),
то, в силу (8), <§ удовлетворяет уравнению (7), откуда
следует, что ё удовлетворяет уравнению (5), т. е. яв-
[7И
X аада&
М-0
§ 11J ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 195
ляется фундаментальным решением оператора L(D).
Лем м а до каз а на.
Доказанная лемма сводит задачу построения фунда-
ментальных решений медленного роста линейных диф-
ференциальных операторов с постоянными коэффициен-
тами к решению в Р7' алгебраических уравнений вида
Р(^)Х = 1, (9)
где Р — произвольный полипом.
Как видно из уравнения (9), всякое его решение из
ЗУ (если таковое существует) должно совпадать с функ-
1
цией уу вне множества NP нулей полинома Р(£),
= Р(Ю = 0].
Отсюда следует, что если NP ¥= 0, то решение уравне-
ния (9) не единственно: разные решения отличаются
друг от друга на обобщенную функцию с носителем в
NP. Например, различными решениями уравнения — 1
являются обобщенные функции
__1__ __?__ и & — .
отличающиеся друг от друга на выражение вида
const б(%) (см. формулы Сохоцкого (15) и (15') § 5.8).
Если функция уу локально интегрируема в 7?”, то
она (точнее, определяемый ею регулярный функционал)
является решением в 5^' уравнения (9). Если же функ-
ция ру - не является локально интегрируемой в то
возникает нетривиальная задача о построении в 9)t реше-
ния уравнения (9). Л. Хёрмаидером [2] доказано, что
уравнение (9) всегда разрешимо в S*7', если ZJ(^)^0.
Обозначим через reg уу какое-либо решение из
уравнения (9). Построение этого решения существенно
зависит от структуры множества ХР и может быть про-
ведено для каждого конкретного полинома Р.
Таким образом, уравнение (6) всегда разрешимо в
Следовательно, всякий линейный дифференциальный
оператор L(d) с постоянными коэффициентами имеет
13*
196
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
фундаментальное решение медленного роста, и это ре-
шение дается формулой
S 1 [reg L (- fg) = F reg rw]- (10)
3. Уравнения с правой частью. С помощью фундамен-
тального решения ё (х) оператора L(d) можно построить
решение уравнения
L(d)u = j(x) (И)
с произвольной правой частью /. Точнее, справедлива
следующая
Теорема. Пусть }^ЗУ такова, что свертка ё * /
существует в ЗУ. Тогда решение уравнения (11) сущест-
вует в ЗУ и дается формулой
и — ё * f. (12)
Это решение единственно в классе тех обобщенных
функций из 3)', для которых существует свертка с ё.
Доказательство. Пользуясь формулой дифферен-
цирования свертки (см. (20) § 7.5) и учитывая равен-
ство (5), получим
L(S)(^*/)= 2 2 =
|сх|—о \|а|~ о /
= А(^)<Г*/ = 6*/ = /.
Поэтому формула и = ё * / действительно дает решение
уравнения (11).
Докажем единственность решения уравнения (11) в
классе тех обобщенных функций из ЗУ, для которых
свертка с ё существует в ЗУ. Для этого достаточно уста-
новить, что соответствующее однородное уравнение
£/(<?) и = 0
имеет только нулевое решение в этом классе (см. § 1.11).
Но это действительно так в силу
и = и*Ъ = и* Цд)ё = L(d)u * ё = 0.
Теорема доказана.
Следствие. Если и^ЗУ и свертка и*ё сущест-
вует в ЗУ, то справедливо равенство
и = Цд)и*ё. (13)
§ И] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 197
Физический смысл решения и = & * f. Пред-
ставим источник f(x) в виде «суммы» точечных источни-
ков /(£)б(я —£) (см. замечание в конце § 7.4):
/(^) = б*/ = J/(g)6(z-^.
В силу (5) каждый точечный источник /(^)6 (гг — ^) опре-
деляет влияние j(^)S(x — g). Поэтому решение
w(x) = ^*/ = \f®8{x-1№
есть наложение (суперпозиция) этих влияний.
4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференци-
альное уравнение с постоянными коэффициентами в
пространстве Rn+i переменных (х, t) = (хь х2, ..хп, t)
b[d, ^)u = f(x)-d(t), (14)
где
и Lq(d) — дифференциальные операторы по перемен-
ным х.
Пусть обобщенная функция и из ЯУ (Rn+l) допускает
продолжение на функции вида <p(rr) 1 (£), где <р^^(7?п),
в следующем смысле: какова бы ни была последователь-
ность основных функций т)л(О, А: = 1, 2, ...» из ^(Т?1),
сходящаяся к 1 в R1 (см. § 7.4), существует предел
lim (и, <р (х) T|ft (/)) = {и, <р (х) 1 (/)) И5)
fc->oo ' 7
и этот предел не зависит от последовательности {rjJ.
Обозначим функционал (15) через и0,
(м0> ф) = (и, Ф (х) 1 (0) = lin (и, Ф (х) Па (0)> Фе® (-R”).
А.->ОО
(16)
Очевидно, при всяком к функционал (и, q(x) T]h(t))
линейный и непрерывный на 3)(Rn), т. е. принадлежит
0'(Rn). Поэтому, по теореме о полноте пространства
S)'(Rn) (см. § 5.4), и предельный функционал
(Rn).
Приведем два примера на построение продолжения uQ.
а) Пусть и(х, £)—функция такая, что функция
j |u(^ t)\dt локально интегрируема в R\ Тогда Wo(#),—
198
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
локально интегрируемая функция в Rn и представляется
интегралом
оо
(х) = J и (х, /) dt9
—оо
(17)
Действительно, в этом случае функция и(х, t) локаль-
но интегрируема в Rn+i и, в силу теорехм Лебега и Фу-
бини (см. § 1.4), предел (15)
lim (и, ф (х) (t)) = lim I и (х, t) ф (х) T]ft (/) dx dt =
h-*oo
co
= J и (x, t) ф (x) dx dt — J ф (x) J и (x, t) dt dx
—oo
при всех ф e (J?n) существует и не зависит от после-
довательности {цД. Отсюда, в силу (16), и вытекает фор-
мула (17).
Ь) Пусть и =/(#)• 6(£), где fz=S)'(Rn). Тогда uti = f
в силу
(н0, ф) = lim (и, ф (х) (I)) = lim (/ (^) • S (£), ф (х) (/)) =
k-^OQ k~*0O
= lim (/ (х), <р (х) (0)) = (/, <р), <р €= S) (Rn).
k-^oo
Теорема. Если решение u^3)'(Rn+i) уравнения
(14) допускает продолжение (16), то обобщенная функ-
ция uQ из ЗУ (Rn) удовлетворяет уравнению
L0(d)uQ~ f(x).
(18J
Доказательство. Пусть щ(0> = 1, 2, ...,—
последовательность функций из ®(/?1), сходящаяся к 1
в R*. Тогда при q = i, 2, ... последовательности функций
WO +'Па0(0> ^ == 1, 2, ..., также сходятся к 1 в Я1 и,
следовательно, при всех ф из 3)(Rn) (ср. § 7.5, с))
lim (u4 ф (х) nl9) (0 ) = Um (и> Ф (ж) [Ла (0 + Па0 (0 D ~
k-*oo k-^oa
— lim (ил ф (ж) Па (0) = (ио> ф) ~ (мо’ ф) = °- О9)
fe-»0O
Учитывая (19), проверим, что обобщенная функция uQ
§ И] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 199
удовлетворяет уравнению (18):
(А> (5) и0, ф) = (w„, Lo (— д) ф) = lim (и, Lo (—5) ф (ж) (/)) =
fe->oo
= lim fи, Lo (— д') ф (х) i]Zi G) +
/1~»оо \
р \
+ 2(-1)’Ьд(-5)ф(Ж)49)(0 =
5=1 /
= lim (и, ь(—д,--------Ф (ж) (О) =
= lim [l(d, и, ф(z) T]ft (£)] = lim (/ (z)-6(i), ф(ж) т|л(О) =
/i-»oo \ \ / / /1—>00
= lim (/ (x), ф (ж) T]ft (0)) = (/, ф).
7i-*oo
Теорема доказана.
Изложенный метод получения решения zz0(^) уравне-
ния (18) с п переменными через решение и(х, t) уравне-
ния (14) с /г + 1 переменными называется методом спуска
по переменной t.
Метод спуска особенно удобно использовать для по-
строения фундаментальных решений. Действительно, при-
меняя доказанную теорему при / = б(х), получаем: если
S (х, t) — фундаментальное решение оператора j —
допускает продолжение вида (16), то обобщенная
(функция
ф)=(^, ф(^)1(0). (20)
есть фундаментальное решение оператора LQ(d); в част-
ности^ если S (х, t) такова, что функция J | <g (х, t) | dt
локально интегрируема в Rn, то
^0(ж)= J (21)
—оо
Фундаментальные решения и S удовлетворяют соотно-
шению
^o(^/i(O = ^*[6W-l(OL
Физический смысл этой формулы состоит i том, что
Й’о(^) есть (не зависящее от t} возмущение от источ-
ника 6(^)-l(Z), сосредоточенного па оси t (ср. § 11.3).
200 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
5. Фундаментальное решение линейного дифференци-
ального оператора с обыкновенными производными.
LS = —— + + • • • + апО — о (/).
dt at
В § 6.4, f) (см. также § 10.5, g)) было показано, что
фундаментальное решение этого оператора выражается
формулой
^(0 = 0(02(0,
где Z(t) удовлетворяет однородному уравнению LZ = 0
и начальным условиям
Z (0) = Z' (0) - ... = Z(n~2) (0) = 0, Z(n-n (0) = 1.
В частности, функции
S (0 = 0 (0 e~at, (22)
§ (t) = 0 (Z) (23)
являются соответственно фундаментальными решениями
операторов
d
dt
d2 , 2
—2 + a
dt2
6. Фундаментальное решение оператора теплопровод-
ности.
^-а2Д<Г = 6(а-,/). (24)
В § 6.5, f) было показано, что решение уравнения
(24) выражается формулой
|х!2
= (25)
(2а |/л0
и, следовательно, эта функция является фундаментальным
решением оператора теплопроводности.
Выведем формулу (25) методом преобразования Фурье.
Для этого применим преобразование Фурье Fx (см. § 9.2)
к равенству (24):
FAdS\ -a2F* wок
§11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
201
и воспользуемся формулами (21) и (22) § 9.3:
FJ6(*, 0] = (*) • е(о] = Яб](£) -6(0=1 (£>-б(0,
В результате для обобщенной функции S (§, 0«
==/y^](£, 0 получаем уравнение
ЧМ + «21 g р <г © о = i © • s (о- (26)
Пользуясь формулой (22) с заменой а на а2|^12, за-
ключаем, что решением в уравнения (26) является
функция
^© t) = 0(Z)e-fl2|^4
Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье F$1 и
пользуясь формулой (38) § 9.7, получаем равенство (25):
^{х, t) = F~x И© i)] =
6(0
(2л)”
J e-a2|J|2i-i(g,x)Jg =
6(0
(2a T/Grt)”
M2
e ia\
7. Фундаментальное решение волнового оператора.
□ а^п = б(^, 0.
(27)
Применяя к равенству (27) преобразование Фурье Fx
и действуя, как в предыдущем пункте, вместо уравнения
(26) для обобщенной функции Fx[<on] ==^«(1, 0 получаем
уравнение
«2^03 Z£
:;8 + «21112 © 0 = 1 ©-6(0- (28)
Пользуясь формулой (23) с заменой а на а!|1, заклю-
чаем, что решением в Я?' уравнения (28) является
функция
^»© 0 = 6(0 8Чш~-
I Ь |
Следовательно,
(^ 0 = П"1 (I, о] = е (0 Fi1
sina| g|t
. «И| .
(29)
202 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Пусть п = 3. Тогда из формулы (40) § 9.7 выводим
F-1 [А1£Ш.г1 = _L (х\
откуда и из (29) получаем
«« <*> ') - Ч, И - IS6 <“v -11П- <30>
причем обобщенная функция действует по правилу:
оо оо
ч=> - A J <Ss«’ 7 = АА ')
О о sat
Фе (7?1). (31)
Аналогично, пользуясь формулами (26) § 9.6 и (43)
§ 9.7, получим (ср. § 6.5, g))
0=270(пг-|х|),
W) =
0 (at — | х |)
2шг ]/д211 — | z |2
(32)
Для получения фундаментального решения ^2(^, 0»
x~(xi1 х2), воспользуемся также методом спуска по пе-
ременной х3 (см. § 11.4). Для этого нужно показать, что
^(я, 0 допускает продолжение (16) на функции вида
ф(#, /)1(.г3), где ф^®(/?3).
Пусть ^^^(Т?1) и последовательность щ(я3), к =
= 1, 2, ..., стремится к 1 в 7?1. Тогда, пользуясь (31),
при всех (pe®(/f) получИхМ
lim (^8, <р(^ ОЛй^з)) =
fe-^oo
оо
= lim -Ь Г A f ф (Х) /) т]А (лг8) dS dt =
&->со4ла
° ^at
1 С 1 С
4ла2 J 1 J
0 &at
ф (rr, t) dS dt = (^3, ф (^, t) 1 (^з)),;
так что этот предел существует и не зависит от последо-
вательности {щ}. Отсюда, применяя формулу (20), за-
§ И] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 203
ключаем, что при всех ср S) (R3)
оо
(<^2, <р) = (<F3, <р (ж, 01 (х3)) = f -у f <р (xt t) dS dt.
4ла J 1 J
о Sat
Преобразуем последний интеграл. Так как ср не зависит
от гг3, то, заменяя поверхностный
Sat = [|х I2 + xl = a2t2\ па удво-
енный интеграл по кругу
kl < at (рпс. 45), получим
Ф) -
ф(а:’ -dxdt=
о |x|<af к b I л 1
zna J у a2tz — | х |2
интеграл по севере
откуда и следует формула (32) Рпс< 45о
ДЛЯ б?2-
Аналогично, пользуясь формулой (21), получаем ме-
тодом спуска по переменной х2 формулу (32) для фунда-
ментального решения ^1(я, £):
(х, t) =
1 Г 0 {at— Vx2 + х^
х2 - xl Х‘‘
0 (at —
па
1
Г z du -~ = 0 (at — I х |).
) /1_м2 2а । •'
8. Фундаментальное решение оператора Лапласа,
= (33)
В § 6.5, d) было показано, что функции
(я) = 2?F111 М> (J) = -(„~Iх 1~п4л «>3,
(34)
204 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
являются фундаментальными решениями оператора Ла-
пласа. Вычислим эти фундаментальные решения методом
преобразования Фурье. Применяя преобразование Фурье
к равенству (33), получим
-ЮТп]=1. (35)
Пусть п == 2. Проверим, что обобщенная функция
— & ПГТ (СМ* § 9 7’ Удовлетворяет уравнению (35).
Действительно,
Г 15|2<р(5) -1S12Ф (S)|^0 С |g|2y(g)
J I £ |2 6 "Г J |£]2 5
|£|<1 11 111>1 1
= j*<p(£)d£ = (1» ф)>
Следовательно, в соответствии со схемой § 11.2 можно
положить
Отсюда, пользуясь формулой (41) § 9.7, получаем
(х) = f-1[— = «£;1пИ +&
2 7 [ | g |2J 4л2 [ | g l2J 2л ’ 1 2л
(36)
Так как постоянная удовлетворяет однородному урав-
нению Лапласа, то, отбрасывая в (36) слагаемое
убеждаемся, что фундаментальное решение <§А(^) можно
выбрать равным In | х |.
Пусть теперь п>3. В этом случае функция —III*"2
локально интегрируема в Rn и потому, в соответствии
с § 11.2,
Отсюда при п = 3, пользуясь формулой (44) § 9.7, по-
лучаем
<37)
Аналогично вычисляется и <§ГП (я) при п > 3.
§11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 205
Особенно просто гс>3, строится методом спуска
по переменной t (см. § 11.4) из фундаментальных реше-
ний оператора теплопроводности или волнового оператора.
Например, пользуясь формулой (21), из (25) при а—1
получаем формулу (34):
сю
^п(ж) = - J t)
—оо
г
dt = - —i— е 4t dt—
J (2 Vn/)n
I x|-n+2
4л”/2
П ,\l*Fn+a
2
___i___I
(n-2)o„l
x\~n+2,
n^3.
9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца.
(Д + *2)<Гэт = б(^). (38)
В § 6.5, е) было показано, что
Jh I . _ —г7г]гх:|
&а (х) = - т-4^4, <Г3 (х) = — ^-r-i (39)
34 ' 4л|х|’ 3 4 ' 4л IхI ' 7
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца при
тг = 3. Формулы (39) справедливы и при комплексных к.
Вычислим &2(х) методом преобразования Фурье. Из
(38) имеем
(-1£|2 + F)F[<T2]= 1. (40)'
Возьмем решение уравнения (40) в виде
F [<Г2] = lim 1 -2- = -у- ...--g,
е->+о& + ^8—|£| А + гО |Л |
и, следовательно, в силу непрерывности преобразования
Фурье,
<Г2 (х) = F'1 [-5----------5-1 =
2 1 L *2-но-in2 J
4 С
= —= lim lim I —5----:---—5- d£ =
4л e-»+o Д->°о J к -j- ie — |£|
R 2Л
= -Д5 lim lim f —----------f e~iplxlC0S(M^dp ==
4л" e->-4-q H->oo " is — P
о 0
206 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
R
1 Р р С Р70 (Р I х I) 7
= Игл пт 1 ------------т ар =
е->4"0 Я~>оо J к -р — р
е= — lim KQ (-— i У к2 + Ze | х |) =
е->+о
Здесь использовалась формула 6.532, 4) из справочника
И. С. Градштейна и II. М. Рыжика [1]; = 2,—
функции Ханкеля (см. § 23.8); пределы понимаются в
смысле сходимости в пространстве
Итак, функции
<Г2 (*) = - Т I Х 1)> ^2 W = Т Д02) № I) (41)
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца при
п = 2.
При /г=1 фундаментальные решения удобно взять
в виде (см. § 11.5)
оз / х 0 (.г) . 7 siller cos кх 1 ....
i W = — sin кх - +
= (42)
10. Фундаментальное решение оператора Коши —
Римана.
Л-Я-Ь&у). (43)
dz
В § 6.5, j) было показано, что
?(»,!/)-4- 04)
11. Фундаментальное решение оператора переноса*).
—t8 + (s, grad ^fi) + = б (x, /), | s ] = 1. (45)
Применяя к равенству (45) преобразование Фурье FXJ
для обобщенной функции Z?x[^s] = ^s(g, t) получаем
*) См. § 2.4.
§ 11] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ < 207
уравнение
+ [а - i (s, £)] (g, t) = 1 ®-6(f). (46)
Отсюда, пользуясь формулой (22), заключаем, что ре-
шением из 9?' уравнения (46) является функция
<rs(g, C===i;6(^)^i(e’6)"aM-
Применяя теперь обратное преобразование Фурье FjT1:
8*(ж, 0 = F^1 (g, Z)] = ^0 (0e-^F-1 [е{<s-^],
и пользуясь формулой (И) § 9.2 при xQ = vts:
р-1 = 6^ — vts)r
получаем фундаментальное решение оператора переноса
(я, t) = vQ (0 (х — vts). (47)
Для вычисления фундаментального решения (х)
стационарного оператора переноса
(s, grad 8°) + а#" = 6 (ar) (48)
воспользуемся методом спуска по перейенной t (см.
§ 11.4). В результате, в силу (47), при всех ф^^(/?3)
получим
(<TS, Ф (х) 1 (/)) - v J e~avi (6 (х - vts), ф (.?)) dt -
о
оо оо
= v J е“аг?ф (vts) dt = J е~аиф (us) du ==
о о
откуда, в силу (20), вытекает, что
«w-iTFs(s-ra)- (49)
Из (49), в частности, имеем
4А f^(,)dS = ^ (50)
S1
208 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III
12. Упражнения, а)
обобщенные функции
#п(я, 0 =
Пользуясь формулой (29), показать, что
П—3
0 (П / d \ 2
2ла \jia2‘di2‘]
6 (а2*2 — | ^ |2),
n 3 — нечетное,
1 /_1_ _л_\~ е<яг —1ж|) «
2яа \ла2 dt2) У - | х |2
(51)
п 2 — четное
являются фундаментальными решениями волнового оператора Па.
Ь) Доказать, что фундаментальными решениями оператора
Клейна — Гордона — Фока □ + т2 (см. § 2.8) являются обобщен-
ные функции
пт, х 2 , .24 т0П/ . ^ХО-|Х|2)
D (ха аЛ= ~л—-о (х“ — кг ) — —20 (х — а: Г)-—7==-----
' 0’ ) 2л V о 1 । ) 4л ' 0 ' /_ । х р
(52)
и Оа(жо, х) = Dr(—x0, х); здесь 7.— функция Бесселя (см. ниже,
§ 23).
с) Доказать, что обобщенные функции
D+ ("o’ ") = ^iF Iе (go) 6 - I? I2 - roo2)L
Л (53)
£-(v*)=-^[4-M6&2-1s2I-%2)]
удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона — Фока и соотно-
шению
4- D~ = Dr —- D(l.
Обобщенные функции Dr, Da, D+ и ^“ — играют важную роль в
квантовой теории поля *).
d) Пользуясь формулой (43) § 2.8, показать, что матрица чет-
вертого порядка
/ % а X
\ fe=o /
где Dr определена в (52), есть фундаментальное решение операто-
ра Дирака (см. § 2.8)
*) См. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [1, гл. II].
§ 12]
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
209
е) Пользуясь формулой (39) § 9.7, показать, что функция
t + f
<) = -е(г) yfe-
im0 2
X
е
(55)
является фундаментальным решением одномерного оператора
Шредингера
д К2 0s
iK dt +2тодх^
f) Показать, что функция
(- 1)йг
-------
22Уг (к)
есть фундаментальное решение итерированного оператора Лапла-
са Aft при 2к <Z п.
g) Доказать: если функция uE0'(^n+i) такова, что свертка
и * [о (я) • !(£)] существует, то существует функционал uq (см.
(16)), и справедлива формула
и * [6(я) • !(/)] = Но(х) • 1(f).
h) Доказать: если функция J |и(я, t)\dt локально интегри-
руема, то
и * [6 (я)’1 (0] “ f и (я, т) dt.
к) Проверить, что функции
J^cl/P-x2), h(cl!t2 -х2},
где 70 и 70 — функции Бесселя, являются фундаментальными ре-
шениями соответственно операторов
д2 2
-2 — —* + с •
дГ дх2 ~
§ 12. Волновой потенциал
1. Свойства фундаментального решения волнового опе-
ратора. Фундаментальными решениями волнового опера-
тора при п == 1, 2 и 3 являются (обобщенные) функции
(см. формулы (32) и (30) § 11.7)
14 В, С. Владимиров
210
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Функции и <^2 локально интегрируемы, а обобщенная
функция <Г3 действует на основные функции cpe£Z>(Z?4)
по формуле (31) § 11.7:
ОО (р (х,
- if т I ”4 dS dt = i f dx- (1)
о Sat R3
Носители функций и совпадают с замыканием ко-
нуса будущего Г+ (рис. 32),
а носитель обобщенной функ-
ции <f?3 совпадает с границей
[aZ=|rd] этого конуса. Па
рис. 46—48 схематически изоб-
ражены графики фундаменталь-
_____________________ных решений <S с?8 и <F3 в мо-
0 at рзЦ мент времени t.
Рис. 46. Пусть /(ж, (/?м+1) и
ф(^)е^5(ГГ).
Введем обобщенную функцию (/(я, £), ф(^))^^'(7?1),
действующую по формуле
((/(*, 0, ф(ж)), 'Ф) = (Л фФ), Ф(Се^(й*)- (2)
Из этого определения вытекает следующая формула:
Qkf (х t) \ fib
, Ф(^)) = ^(/(^О,Ф(А), /с = 1’2’--- (3)
Действительно, при всех фе^(Я’) имеем
, A \ (dhf А , ..h(.
'pWr '•’Ms?1 A ’ V' “
-(- «)*((/(*, <) “ А<Ж‘), ФЙ), ф),
откуда и следуют равенства (3).
. Будем говорить, что обобщенная функция /(я, t)
принадлежит классу Ср, 0 С р оо, по переменной t в
(а, Ь) (соответственно на [а, Ь]), если для любой
^2)(Rn) обобщенная функция (f(x, t), <p(rr)) принадле-
жит классу Ср(а, Ь) (соответственно Ср([а, й])) (см.
§ 5.6).
Лемм а. Фундаментальные решения (^г, t), п =
== 1, 2, 3, принадлежит классу С°° по переменной t в
§ 12]
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
211
[О, оо) и удовлетворяют предельным соотношениям при
*->+0
(4)
Доказательство. Пусть п = 3 и ф S) (2?3). Из
1(1) вытекает, что
(<^з (*, 0> Ф (*)) = f Ф (*) dS = J <р (ats) ds. (5)
Sat
Так как правая часть равенства (5) бесконечно диф-
ференцируема по t в [0, оо) в смысле § 1.2, то, следова-
тельно, <Г3 принадлежит классу по t в [0, оо). Кроме
того, из (5) вытекает, что
(Г3(я, t), Ф (*))-> О, £->+0. (6)
Далее, пользуясь формулой (3) при / = <?3 и А = 1, 2,
из формулы (5) получим при t -> +0
L "si
= 4^f + ф(а^->ф(°) = (б> Ф)> (7)
, Фй
, /2
a t
J <p(ais)cZs =
^’1
= и J (рds + irb\ ч ds
st st
(8)
14*
212 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
ибо функция
j* ф (ats) ds
'si
si
— четная бесконечно дифференцируемая по t, а потому
ее первая производная при t == 0 равна нулю. В силу
произвольности q>^3)(R3) предельные соотношения (6) —
(8) эквивалентны соотношениям (4) при п = 3.
Пусть теперь n = 2, 1 и (p^3>(Rn). Тогда при £>0
(?,(«, о, ФИ)_^ (
Uat
ср (х) dx
/a2Z2-|x|2
и1
<2Г],
at
(^i (*, 0. ф И) = ( Ф (*) dx =
-at
(9)
1
у J <р (atr]) dr]. (10)
-1
/1 - I п I2
Отсюда, как и при п == 3, вытекают все утверждения
леммы.
2. Дополнительные сведения о свертках. Установим
еще один признак существования свертки.
Теорема. Пусть обобщенные функции f и g из
ЗУ (Rn+i) таковы, что f(x, £) = 0, КО и suppg<=r+.
Тогда свертка f*g существует в 3)' (Rn+i) и при всех
^^3)(Rn+i) представляется в виде
(f*g, ф)=
•=(/(£, г), n(0n(t)n(aV-Ыг)ф(В + г/, * + ?)),
(11)
где ц(т)—любая функция класса C°°(Ri), равная 0 при
К—6 и 1 при £ > —8 (б и 8 — любые числа, б>8>0).
При этом свертка f*g обращается в нуль при t<0 и
непрерывна относительно / и g в отдельности: 1) если
/с->оо в 3)'(Rn+i), А = 0, /<0, то fk*g-O,
к оо в 3)'(Rn+i)\ 2) если gh~* 0, к в 3)f{Rn+i),
supp gh <= Г+, то f * gh 0, к -> оо в ЗУ (Rn+i).
Доказательство. Пусть срt)—произвольная
функция из 3)(Rn+i), suppcpct/A и t; у, г), к =
«= 1, 2, ...,— последовательность функций из 3)(R2n+2),
сходящаяся к 1 в R2n+2 (см. § 7.4). Тогда при всех доста-
точно больших к
^^п(0п(т)т](«гт2- 1«/12)пЛ^ у, 'с)ф(§ + у. г+т) =
= 11(/)т](т)т1(а2т2 - 1г/12)ф(|+г/, г + т)е=1|>. (12)
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
213
§ 12]
Для доказательства равенства (12) достаточно устано-
вить, что функция г|) е 2)(R2n+2). Но это следует из того,
что она бесконечно дифференцируема, а множество
[(g, t, У, т): *>-б, т>-б, а2ъ2 —
I» + £12 + (* + т)2 < А21
в котором содержится ее носитель, ограничено, поскольку
оно содержится в ограниченном множестве (см. рис. 35)
[-б^^А + б, -б^т^А + б, |г/| ^Уа2(А + б)2 + б,
|£| < Ул2(А + б)2 + б + А].
Далее, по построению т|(£)=1 в окрестности носителя
/(£, t) и ц(т)т](а2т2—1г/12)= 1 в окрестности носителя
g(*/, т). Следовательно (см. (18) § 5.10),
/(В, = t), g(y, т) = т](т)т](а2т2-|i/l2)g(i/, т).
Учитывая теперь эти равенства и равенство (12),
убеждаемся в справедливости формулы (11):
(f*g, <р) = Иго (/(£, t)-g(y, т), T)ft (g, Z; у, т) <р(£ + у, «+т)) =
Л->оо
= Ит (/ (g, t)• g (у, т), ifft)=(/ (£, t) g (у, т), 4>), <р<=®(/?п+1).
Л-»оо
Докажем, что /*g = 0, t<0. Пусть ф(я, t)^2)(Rn+i)
и supp ф [^ < 0]. Так как носитель ср— компакт в Rn+\
то найдется такое число 6t > 0, что supp ф с: [J — 6J.
А тогда, выбирая б <бг/2, получим
ц(0ц(т)г|(а2т2-- 1#12)ф(£ + ^, £ + т) = 0, (13)
откуда, в силу (11), (/*?, ф) = 0, что и утверждалось.
Непрерывность свертки / * g относительно / и g сле-
дует из представления (11) и из непрерывности прямого
произведения /(£, t)*g(y, т) относительно / и g в отдель-
ности (см. § 7.3, а)). При этом вспомогательную функ-
цию ц можно выбрать не зависящей от к. Теорема до-
казана.
Замечание. Доказанная теорема легко обобщается на тот
случай, если конус будущего Г+ заменить на произвольный зам-
кнутый выпуклый конус С, не содержащий целой прямой.
Отметим, что частный случай этой теоремы (при п = 0) уста-
новлен в § 7.7.
^Докажем теперь, что если g(x, 2)' (R*1*1), supp g c:
c= Г+ и и (x) e 2)' (Rn), to
g*[u(x)-f>(t\] = g(x, t\*u(x\, (14)
214 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
причем обобщенная функция g(z, t)*u(x) действует по
правилу
(g(x, t)*ll(x}, ф) =
= (g(y, ty-utt), п(Л2-1г/12)<р(гт, П), ^зчкп+').
(15)
Действительно, полагая в формуле (11) f = u(x) 6(0,
при ;всех ф е3)(Rn+l) получим
U* [u(x) -6(0], <p) =
= (в(У, т)ы(^)-6(0, ц(т)ц(01](а2т2-|у12)ф(у-Ц, т+0) =
= (gG/j) -и U) ,Л (т) л (а2т2-1 у I2) (6 (0 ,ц (0 ф (y+%,x+t))) =
= (ё(У, т)-п(^), г] (т) ц («V — 1у12)ф(у + £, т)),
(16)
Поскольку носитель g(y, т) содержится в полупростран-
стве т>0, то, в силу (18) § 5.10, g = r](i)g. Далее,
функция
т](«2т2- |у|2)ф(у + £, T)s^(Z?2n+1)'.
Поэтому, продолжая равенства (16) и учитывая (15), по-
лучим равенство (14):
и*[п(ж)-6(0], ф) =
= (л(т)§-(у, T)-ti(g), г](а2т2— 1у12)ф(у+ 1, т)) =
= (#(1/, т)-и(^), ц(а2т2— 1у12)ф(у + т)) =
= (g(^, 0* и (ж)’, ф).
Здесь последнее равенство получено в силу теоремы § 7.6.
Пользуясь теперь формулой (14) и правилами диффе-
ренцирования прямого произведения (см. § 7.3, с))
и свертки (см. § 7.5, с)), при всех к == 1, 2, ... получаем
равенства
g^[u{xyb{h\l)]=^[g{x,l)*u{x)]^d-^^-^u{x). (17)
3. Волновой потенциал. Пусть обобщенная функция
/(я, t) из j®,(jRn+1) обращается в нуль в полупространстве
t < 0. Обобщенная функция
Vn
где g’n — фундаментальное решение волнового оператора,
называется волновым потенциалом с плотностью f.
§ 121
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
215
Так как supp &п с: Г+, то, по теореме § 12.2, волновой
потенциал Vn существует в 0' (/?n+1) и представляется
в виде
'(К, <р) = (<ГДг/, т)./(ё, т'),
т](т)т](т,)'П(<22т2“~ Ы2)<р(# + L т + т')), фе^(Лп+1)\
(18)
где ц(т)—любая функция класса С00^1), равная 0 при
т < — 6 и 1 при т > — е; 6 и 8 — любые, 6 > е > 0. Кро-
ме того, по той же теореме волновой потенциал Vn(x, t)
обращается в пуль при t < 0 и непрерывно зависит от
плотности / в £>'(Rn+i). Наконец, по теореме § 11.3, этот
потенциал удовлетворяет волновому уравнению
DaVn=f. (19)
Дальнейшие свойства волнового потенциала Vn суще-
ственно зависят от свойств плотности /.
Если j — локально интегрируемая функция в Rn+i, то
Vn — локально интегрируемая функция в Rn±i и выража-
ется формулами
Гз = $ R4T
U(x; at)
t
, t} = J_ f C / (g<T) d% dT
’’ ' 2ла J J l/ 2.. .2 . £12
0 B(x; а(/-т)) У a “ T) — I 2 — s I
/ x+a (t—t)
V^x, 0 =27f j f&Tjdldt-
0 x—a (t—t)
(20)
(20')
(20")
Докажем формулу (20). Пусть Так как
/ — локально интегрируемая функция в 7?4, то, учитывая,
что / = 0 при t < 0, и принимая во внимание формулу
(1) и теорему Фубини, из представления (18) получаем
(73, Ф) = (^(!/, т),
Л (т) ц («2т2 — | у |2) J / (g, т') л (т') <р (у + I, т + т') dl di') =
=(^з 01 Х)1 a frMaV— 1 у I2) J / (х — у, t—i) ф (жЛ t) dx dt) =.
216
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
1 f
, 2 1
4ла J
R*
4(0) г
x — y,t — —
я ,
) Ф 0 dx dt dy =
7(* —p, i —
dy dxdt.
Uat
Это значит, что потенциал Vs — локально интегрируемая
функция в й4 и представляется в виде
— t — Ud)
v3 (*, 0 = А f ----ГП—— dy. (21)
4ла J \У I
Uat
Совершая в этом интеграле замену переменных х — у =
= получаем формулу (20).
Аналогично, с соответствующими упрощениями, выво-
дятся формулы (20') и (20") для потенциалов V2 и
Сопоставим каждой точке (х, I), t>0, открытый
конус
Г0~(я, 0 = Г~(я, 0 П [0<т<t]
с вершиной (х, J), основанием U(x; at) и боковой поверх-
ностью В(х, t) (рис. 49); здесь Г“(я, 7)— конус прошлого
(см. § 3.3).
Теорема. Если f^C2(t^0) при п — 3 и 2,
еС\(7>0) при тг==1, то потенциал FneC2(7>0)
§ 12] ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ 217
и удовлетворяет оценке
t2
ОК -о max |/(g, т)1,
Z в (х, о
t2 (22)
lK»GM)K-2 “ax 1/(£>т)1, П = 1, 2#
f0 (X, t)
и начальным условиям
QV I
r„|„ = 0, -sfL-0- <23>
Доказательство. Докажем теорему при п == 3.
Замена переменных у = atx\, t > 0, преобразует формулу
(21) к виду
V3 (х, о = £f + p (24)
ui
Так как f^C2(t>0) и подынтегральное выражение в
(24) имеет интегрируемую особенность, то V3 е С2 (Z>0)
(см. § 1.5). Из представления (24) следует также оценка
(22) для потенциала V9:
IГ8 (М) К^ max | / (g, т) | f Ц max | / (g, т) |.
Так как F3GC2(^0), то из оценки (22) вытекают на-
чальные условия (23).
Пусть теперь п = 2. Замена переменных g » х + atv\,
т =t — at, t> 0, преобразует представление (20') для
потенциала V2 к виду
f (24')
2”;U.
из которого непосредственно и вытекают требуемые свой-
ства этого потенциала.
Свойства потенциала Vt следуют из представления
(20"). Теорема доказана.
Замечание. Волновой потенциал 73(^, 0 называется так-
же запаздывающим потенциалом. Это название связано с тем, что
согласно формуле (20), значение потенциала V3 в точке х в мо-
мент времени t > 0 определяется значениями источника /(g, т),
218
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
£ е !7(z, at), взятыми в ранние моменты времени т = t — -—,
1
причем время запаздывания ~ | х — 11 — это то время, которое не-
обходимо для прихода возмущения из точки £ в точку х. Другими
словами, У3(.-г, 0 зависит лишь от значений источника /(£, т) на
боковой поверхности В (ж, t) конуса Г“ (х, t) (см. рис. 49).
4. Поверхностные волновые потенциалы. Если f =
= Ui(x) • 8{t) или / = и0(х) • 6'(Z), где uQ и ut произволь-
ные обобщенные функции из 2)'{Rn), то соответствую-
щие волновые потенциалы
V<y ~ &n*[U1(x).8(t)], V™ = ^п»[и0(ж)-6' («)], П = 1,2,3,
называются поверхностными волновыми потенциалами
{простого и двойного слоя с плотностями щ и и0 соот-
ветственно) .
В силу формул (14) и (17) § 12.2 волновые потен-
циалы и представляются в виде
V™ = <ГП (х, t)*ur (х), (25)
(х, I) я
= -^т~ *и° <ж) = £ « <26>
причем обобщенная функция ^n(^, t)*u(x) действует
в соответствии с формулой (15).
Лемм а. Поверхностные волновые потенциалы 7п}
и принадлежат классу С°° по переменной t в [0, оо)
и удовлетворяют начальным условиям при t -> + оо
Ко)(?, t)->О, t(*’ -->U1 (х) в 2)' (Пп), (27)
V™ (х, 0->и0(х),()->0 о 3)’ ЦС). (28)
Доказательство. По лемме § 12.1 обобщенная
функция <Fn(^, t) принадлежит классу С°° по переменной
t в [0, оо). Далее, щэи каждом t > 0 носитель ^n(rc, t) со-
держится в шаре Uat и, следовательно, равномерно огра-
ничен в Rn при t to > 0. Поэтому, пользуясь теоремой
§ 7.6 о непрерывности свертки в S)', заключаем, что при
всех ср S){Rn)
dh^.. (х, i) \
—(ж), ф (х) е= С [0, оо), k = 0t 1, .,,
§ 12]
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
219
Отсюда, в силу равенств (3) и (17),
дк
7^(^n(^ t^U^x), ф) =
0tn
I дк
= 0*“1 (я)], ф
\dtn
———*их (ж), ф I ,
выводим, что (^n(rr, t) * Ui(x), ср)еС°° [0, °°). Это и зна-
чит, в силу (25), что потенциал V(n0) (я,/) принадлежит
классу по t в [0, оо). Заменяя щ па п0, выводим из
(26), что таким же свойством обладает и потенциал
Докажем предельные соотношения (27). Учитывая
предельные соотношения (4) и пользуясь непрерывностью
свертки ^„(^, t) * Ui(x) в ££)'(/?") 7 получаем при t -> + 0
(х, t) = ёп (х, t)*U1 (х) -> (ж) = 0 в (Rn\
dV^ (х, t) g Мп (х, t)
(*)1 = -^г— *«1 И ->
== иг (х) в 3)' (/?п).
Аналогично устанавливаются и предельные соотноше-
ния (28). Лемма доказана.
Дальнейшие свойства поверхностных волновых потен-
циалов и Vn1 существенно зависят от свойств плот-
ностей щ и и0.
Если iii — локально интегрируемая функция в Rn, то
поверхностный потенциал V(n0) — локально интегрируемая
функция в Rn+i и выражается формулами
v(30)CM t а (29)
И20)Сг, 0 _ е<г> С Ц1 ® (29')
2ла U(x;Of)
x+at
у(1О)(^0 = ^-) У (29")
x~at
Установим формулу (29). Так как функция щ — ло-
кально интегрируемая в ZJ3, то, пользуясь формулами
220
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
(25), (15) и (1), при всех <p^S)(Z?4) получаем
(У?\ <р) = (^3(х, t)*Uy(x), <р) =
= (^3 (г/. 0. П (<№ - I у I2) j U1 (g) <р {у + В, 0 <%) =
ОО
= J J Uy(x — у)<р(х, t)dxdSydt =
0 sat В3
—y)dSvdxdt,
0 R3 Sat
откуда следует, что Рз0) локально интегрируема в /?4
и представляется в виде (ср. с формулой (34) § 7.10)
У(з0)(х, 0 = [uy(x-y)dSy.
kna t J
saf
Совершая в этом интеграле замену переменных х — у ==»
«==£, получим формулу (29). Аналогично, с соответствую-
щими упрощениями, выводятся формулы (29') и (29")
для потенциалов У<0) и У^.
Теорема. Если и0 е С3 (Rn), щ е С2 (Rn) при п = 3
и 2; Uo^C^T?1), Ui^C^R1) при п == 1, то потенциалы
ы Vn> принадлежат классу C2(t^ 0) и удовлетворяют
оценкам
|Уз0)(х, max |М1(|)|; (30)
S(x;ai)
I По) (х, t) I < t max I Uy (g) I, n = 1, 2; (30')
U(x',at)
I Уд1’ (x, t) I < max I u0 (Jj) | 4- at max | grad u0 (g) |, (31)
S(x',at) S(x\ at)
I Уз1’ (x, t) I < max I u0 (g) | + at max |gradu0 (g) |, (ЗГ)
L/(x;af) U(x',at)
I У?’ (x, t) 1 < max I u0 (g) I S(x'tal) (31")
и начальным условиям
5V(0) Уп ’ |t=0 = 0, (=o = Uy (x), (32)
Уп1 ’ lt=0 = uo (x)i t=o = °. (33)
§ 121
ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ
221
Доказательство. Пусть п == 3. Совершая в фор-
муле (29) замену переменных х — § = ats, £>0, получим
представление
У<°> (х, U1 (х - ats) ds, (34)
si
из которого следует, что Кз0) удовлетворяет оценке (30)
и принадлежит классу С2(£^0), поскольку Ui&C2(R3).
Дифференцируя формулу (34) по t и пользуясь (26), по-
лучим представление для потенциала
У(31} (х, 0 =
= ~~ J uQ (х — ats) ds — J(gradx u0 (x — ats), s) dst
откуда вытекает, что удовлетворяет оценке (31):
| F(31) (x, t) |<лнах| u0 (x—ats) | + a£ max | (gradx uQ (x—ats), s)|^
1*1=1 |*l=i
max | u0 (£) | + at max | gradx uQ (x) |
S(x,af) S(x’,at)
и принадлежит классу C2(i>0), поскольку u0^C3(R3).
При n = 2 замена переменных £ = х — atv\ при t > О
преобразует представления (29х) и (26) для потенциалов
У(20) и 7^ к ВИДУ
2я Vi-lnl2
(*, о =
0(0 f ип(х-аЩ) aQ{t}t f (gradxu0(x-яй]). П)
откуда и вытекают требуемые свойства гладкости и оцен-
ки (30х) и (ЗГ) для потенциалов 720) и например,
У£о) (.х, 01<max |ux (х- atvfi | f —=
^И1-Й12
1
= Z max |ux(g)|
g=U(x;ai) £ V 1 — p
222 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ II ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
Соответствующие свойства потенциалов F(i0) и
следуют из представлений (29z/) и (26), например:
(х, t) = “ [u0 (х + at) + и0 (х — а«)].
Теперь установим справедливость начальных условии
(32) и (33). В силу (27) и (28) эти условия выполнены
в смысле сходимости в пространстве (/?’). Но по до-
казанному функции V(n) («г, t) и Т/(п1) (.z, t) принадлежат
классу C2(t>0). Следовательно, эти функции удовлет-
воряют условиям (32) и (33) в обычном смысле. Теорема
доказана.
Замечание. Формулы (29), (29') и (29") формально сле-
дуют из формул (20), (20') и (20"), если в них положить /(£,т) ==
= ю(£) Х §(т) и «проинтегрировать» 6(т).
§ 13. Задача Коши для волнового уравнения
В этом параграфе мы применяем теорию обобщенных
функций к решению (обобщенной) задачи Коши для вол-
нового уравнения.
1. Задача Коши для обыкновенного линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициента-
ми. Прежде всего решим задачу Коши для обыкновен-
ного дифференциального уравнения с постоянными ко-
эффициентами:
Lu + й112(эт"1) + ... + апи = />0, (1)
н(Ь)(0) = щ, А = 0, 1, ..., п-1, (2)
где / C(t > 0).
Пусть u(t) — решение задачи Коши (1)—-(2). Продол-
жим функции u(t) и /(/) нулем на t < 0. Обозначая про-
долженные функции через й и f соответственно и поль-
зуясь формулами (14) § 6.4 и начальными условиями (2),
получим
fe-i
uw = {uw (0) 4- 2 (t), A: = 1, 2, ..., n. ,
Отсюда и из уравнения (1) заключаем, что
Lu = [Lu (f)} + Uq& (t) + (^i^o + ^i) (£) + ...
n—l
• k • +(^П~1^0 + • • » +^1^72-2 + ^71-1) 6 (0 “/ (0 + 2 C$k\tyt
k=0
§ 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
223
где
Со "4” • • • "4” 2 *4~" lZn~j, • • ., Гл—2 CLiIZq +
Cn—1 ^0-
Таким образом, функция й в обобщенном смысле удов-
летворяет в R1 дифференциальному уравнению
LH = f(t) + %ch6w(t). (3)
k=o
Построим решение уравнения (3). Функция «^(Z)^
= где LZ = 0 и
Z (0) = Z' (0) = ... = Z(”~2) (0) = 0, Z^ (0) - 1, (4)
есть фундаментальное решение оператора L (см. § 41.5).
Поскольку & и правая часть уравнения (3) принадлежат
сверточной алгебре обобщенных функций Ф+ (см. § 7.7),
то, по теореме § 11.3, решение уравнения (3) существует
и единственно в Ф + и выражается сверткой
и = %* h + 2 Cft6№)) = + 2 c^(/i) (0 -
\ ft=0 J fc=0
- e (<) f z (t - t) f (t) dx + e (0 "2 chzw (t). (5)
Здесь мы учли равенства
= 0(£)Z(ft)(£), == 0, t ^-i,
справедливые в силу (4) (см. § 6.4, f)).
Таким образом, решение u(i) задачи Коши (1) —(2),
будучи продолжено нулем на t < 0, удовлетворяет урав-
нению (3), решение которого единственно в алгебреФ+*
Поэтому формула (5) при t > 0 дает искомое решение за-
дачи Коши (1), (2):
J п~~ 1
u(t) = \Z(t-x)f(x)dx + 2 chZm(t). (6)
I.—n
В частности, формула (6) для задачи Коши
и' + аи = /(^), u(0)=u0; (7)
иг; + сги = f(t), и{0)^и01 uf(Q) = iix (8J
224 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
принимает соответственно вид
t
и (0 = J е-а(‘-т)/ (т) dx + иое~а\ (9)
О .
t
sin a (t — t) f (t) dx + u0 cos at + u± (ДО)
о
2. Постановка обобщенной задачи Коши для волново-
го уравнения. Схема решения задачи Коши, изложенная
в предыдущем пункте для обыкновенного линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициен-
тами, применяется для решения задачи Коши для волно-
вого уравнения
□аи = / (#, t\ (11)
u|t=o = uo(*), S|t=0 = M*). (12)
Считаем, что / С(£ > 0), и0 е С1 (7?п) и щ <= С(Rn),
Предположим, что существует классическое решение
и (я, t) задачи Коши (И) — (12). Это значит, что функ-
ция и класса C2(t > 0)0 Cl(t > 0) удовлетворяет уравне-
нию (11) при t>0 и начальным условиям (12) при
i->+0 (см. § 4.2).
Продолжим функции и и / нулем при t < 0, положив
(щ *>0, ~ (/,*>0,
и = (0, *<0, / = (о, f<0.
Покажем, что функция й(х, t) удовлетворяет в Rn+l
волновому уравнению
□<£ = /(*, 0 + М*)’8' (о + ^(^.6(0. (13)
Действительно, при всех <p^55(Z?n+1) имеем цепочку ра-
венств
(□Л ср) = (и, Паср) =*
оо оо
» J J иПаф dx dt = lim J J и f—г — a2AcpJ dx dt ==
0 Rn e->0 e Rn
’co
=== lim f f (— а2Дм ) qdxdt —
e-^o J J Vz2 / v
J Rn
g 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
225
__ J д<р(*,е) dx + J djL^- dx
Rn Rn
оо
=j J fqdxdt— J "•u {^i 0) dx+ J ф (xt 0) — °) dx=*
о Д" Rn Rn
« J qjdxdt— J и0(х)аФ,^?.Л dx + J ux (x) cp(x, 0) dx =
дП+l Rn Rn
= (7 + “o (^ • 6' (o + «1 и • s (Oi фХ
откуда и вытекает равенство (13).
Равенство (13) показывает, что начальные возмуще-
ния и0 и Ui для функции й(х, t) играют роль источника
и0 (х) • 6' (i)•+ Ui (х) • 6 (t), действующего мгновенно при
t = 0; при этом начальному возмущению и0 соответствует
двойной слой и0(х) • б'(£), а начальному возмущению
Ui — простой слой щ (х) • б (t) на плоскости t « 0. Далее
классические решения задачи Коши (11) —(12) содер-
жатся среди тех решений уравнения (13), которые обра-
щаются в нуль при t < 0. Это дает основание назвать
задачу об отыскании (обобщенных) решений уравнения
(13), обращающихся в нуль при £<0, обобщенной зада-
чей Коши для волнового уравнения. Но в таком случае
в уравнении (13) правую часть можно считать произ-
вольной обобщенной функцией.
Итак, введем следующее определение. Обобщенной за-
дачей Коши для волнового уравнения с источником
Fe S>z(7?n+1), назовем задачу о нахождении обобщенной
функции и е <®'(Дп+1), обращающейся в нуль при t<0
и удовлетворяющей волновому уравнению
□ а^ = ^(М)- (14)
Уравнение (14) эквивалентно следующему (см. § 11.1):
для любой ср 2)(Rn+i) справедливо равенство
(и2 Поф) = (F, ф). (14')
Из уравнения (14) следует, что необходимым усло-
вием разрешимости обобщенной задачи Коши является
обращение в нуль F при t < 0. Сейчас будет показано,
что это условие является и достаточным.
15 В, С. Владимиров
226 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
Замечание. При выводе уравнения (13) мы фактически
доказали равенство
{DaWGr, t)} + и(х, +0) • 6'(0 + Ut (*, +0) • 6(0, (15)
справедливое для любой функции и е C2(t > 0) f) Cl(£ > 0), обра-
щающейся в нуль при t < 0 и такой, что Dau gC(^O),
3. Решение обобщенной задачи Коши.
Теорема. Пусть F ЗУ (Rn+i) причем F = 0 при
t < 0. Тогда решение соответствующей обобщенной за-
дачи Коши существует, единственно и представляется
в виде волнового потенциала
и = <Sn * F. (16)
Это решение непрерывно зависит от F в 3)'.
Доказательство. По условию правая часть F
уравнения (14) обращается в нуль при t < 0. Поэтому
по теореме § 12.2 свертка F с фундаментальным решени-
ем &п волнового оператора существует в ЗУ (Rn+i) и об-
ращается в нуль при £<0. По теореме § 11.3 решение
уравнения (14) существует и единственно в классе обоб-
щенных функций из ®'(/Г41), обращающихся в нуль
при t < 0, причем это решение выражается сверткой (16).
Докажем непрерывную зависимость построенного ре-
шения и от F в ЗУ(Лп+1). Если Fk = 0, t<0 и Fh-+F,
fc оо в 3)' (7?п41), то, в силу непрерывности свертки (см.
теорему § 12.2), из (16) получаем
uk==(Fn*Fk-+S>n*F = и, А -> оо в 3)' (7?n+1).
Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая функция и(х, t) класса
C2(t > 0) П С1 (t > 0), обращающаяся в 0 при t<0 и та-
кая, что □a^^ C(£J>0), представляется в виде
и{х. t) — Vn (.г, t) + (^, 0 + V<n} (%, (10
где Vn — волновой потенциал с плотностью {□ Fn0) и
— поверхностные волновые потенциалы простого и
двойного слоя с плотностями ut(x, 0) и и(х, 0) соответ-
ственно.
Действительно, функция и(х, t) удовлетворяет урав-
нению (15) и, следовательно, по теореме § 13.3, представ-
ляется в виде суммы (17) трех волновых потенциалов
с указанными плотностями.
Следствие 2. При F = и^х) • 8(t)+ и0(х) • 6'(0 ре-
шение и(х, t) обобщенной задачи Коши принадлежит
§ 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 227
классу С°° по переменной t в [0, «>) и удовлетворяет на-
чальным условиям (12) в смысле слабой сходимости:
и(х, t^- + 0 в S)' (Rn).
(18)
Действительно, по лемме § 12.4 потенциалы и Vn)
принадлежат классу С°° по t в [0, <») и удовлетворяют
начальным условиям (27) и (28) из § 12.4. Следователь-
но, их сумма Уп0) + Vn \ являющаяся в силу (16) реше-
нием обобщенной задачи Коши при F == щ(^) • б (0 +
+ и0(х) • б' (0, принадлежит классу С°° по t в [0, <»)
и удовлетворяет начальным условиям (18).
Пример. Обобщенное решение задачи Коши
utt == а2ихх 4- 0 (х) • б' (0
дается формулой
(х. t) 4 4
и (%, 0 == —W = 2" 0 (# — at) + 0 (х + at),
На этом примере видно, что разрывы у начальных дан-
ных (или у их производных) распространяются вдоль ха-
рактеристик. Это явление наблюдается у всех уравнений
гиперболического типа (см., например, формулы (19) —
(19") § 13.4 и (23) § 15.4).
4. Решение классической задачи Коши. Из теорем
§§ 12.3, 12.4 и 13.3 при F (х, t)~ f(x. t)+ u^x) • 6(0 +
+ Uq(x) • 6'(t) вытекают следующие утверждения о раз-
решимости классической задачи Коши для волнового
уравнения.
Пусть j^C2{t>Q), Ug^C3(Я”) и Ui^C2(Rn) при
п = 3, 2; u0^C2(Rl) и при
п = 1. Тогда классическое решение задачи Коши (11) —
(12) существует, единственно и выражается
формулой Кирхгофа при п = 3:
U t)
1
4 па 2
№; at)
\ I а
|*-£|
<% +
4na2t J U1 ®dS
£>(х’, ар
4ла2 dt
1 д
S(x; at)
dS ;
(19)
15*
228
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
формулой Пуассона при п = 2:
и
О H(x,a(t-T)) Y и ’
. J_ с _
2ла J т/
17(х; at) к
. 1 д
/ (%, Т)
* __~\2 I ________t |2
2ла dt J
U(x; at)
£|2
Г и0 (£)
— I — ё12’
(19')
формулой Даламбера при п = 1:
tx+alt—x) к+at
u(^O = ^J j /(5,T)^dT + ^ J u1(^)^ +
О x~a(t—т) x—at
+ 4- («о (* +at) + uo (x—a0i • (19")
£
Это решение непрерывно зависит от данных /, п0 и
задачи Коши в следующем смысле: если эти данные изме-
няются так, что
\j — f\ с 8, |^о — uj е0, I tit — uj ех,
| grad (u0 — u0) | < 6q
{последнее неравенство нужно только при п = 3 и 2), то
соответствующие решения и и й в любой полосе 0
Т удовлетворяют оценкам:
~ I 712 f
u {х, t) — и {х, t) <4 -у-8 + Тгг + е0 + aTzQ, п = 3, 2;
। ~ I т2
[и(х, t) — и (х, t) I у 8 + + 80, п = 1.
Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для вол-
нового уравнения поставлена корректно (см. § 4.7), при-
чем C2(t > 0) А С1 (t 0) — класс корректности классиче-
ской задачи Коши и 3)' (Z?n+1)— класс корректности обоб-
щенной задачи Коши (см. теорему § 13.3).
Замечание. Изложенный метод решения задачи Коши
для волнового уравнения без существенных изменений переносит-
ся на случай любого числа п пространственных переменных,
а также на задачи, у которых данные Коши заданы на произволь-
ной пространственноподобной поверхности (см. § 4.3). Более того,
этот метод применим к задаче Коши для произвольных уравне-
§ 13] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 229
ний гиперболического типа с постоянными коэффициентами. Та-
кое уравнение характеризуется тем, что опо обладает фундамен-
тальным решением с носителем, заключенным в выпуклом кону-
се, не содержащем целой прямой (см. Л. Хёрмандер [1, гл. V]).
Впервые в явной мере этот метод был применен С. Л. Соболевым
[2] (1936 г.) для решения задачи Коши для гиперболического
уравнения второго порядка (см. также Ж. Адамар [1]).
5. Упражнения, а) Пользуясь фундаментальным решением
оператора Дирака (см. § 11, 12, d)), показать, что решение задачи
Коши для уравнения Дирака (см. § 2.8)
/ з \
I I У / -L - m I 1 Т = О,
I 4* г дхь 0
\ k=0 h J
Ч |х _0 = ¥0 (х), То = (%г %а, %3, %4), %,- €= (Я3)
выражается формулой
(з \
У а - imj DT (xQ, х) . (х).
fe=o дх J
Свертка матрицы с вектором определяется по обычным правилам
с заменой операции умножения на операцию свертки
Ь) Пользуясь фундаментальным решением оператора Клей-
на — Гордона — Фока (см. § 11, 12, Ь)), показать, что решение за-
дачи Коши для уравнений Клейна — Гордона — Фока (см. § 2.8)
выражается формулой
dDT (х , х\
u = DT (xQ, х) * иг (х) +----------* и0 (х).
с) Показать, что решения смешанных задач
□аи=0, = Н/[ь=о = 0, 0 < х, t < оо,
1) п[х==о === Фо(О> 2) Нх|х==0 == ^1(0»
где функции гро и ipi непрерывны в [0, оо) и обращаются в 0 при
t < 0, задаются соответственно формулами
(х, t)
1) и (X, 0 = - 2а2 -----
(я \
*-т/’
2) и (х, 0 = — 2а2^1 (х, 0 * 1|>1 (0 = — a J
о
d) Пользуясь фундаментальными решениями (22) и (23)
§ 11.5, установить, что задачи Коши
и' + аи == рп, 1г|^о = Ко, peC(f^O);
и" + a2U =s pU, ll|f=o=:Uo, 11'|/==о=Щ
230 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
эквивалентны соответственно следующим интегральным уравне-
ниям:
t
u(t) == J р (Tj и (т) fix + uQe~'at,
о
t
u(t) = _L C sin a (t — т) p (т) u (t) dx + w cos at и .
a J ° 1 a
о
e) Пусть обобщенная функция F финитна. Доказать, что ре-
шение и (я, t) соответствующей обобщенной задачи Коши для
волнового уравнения в Я4 обладает свойством: для любой ограни-
ченной области Gcz/?3 существует такое число Г = 7(G), что
и (х, t). = 0, х е G, t > Т,
f) Пусть /== 0 и функции но е G3(Z?2) и щ е C2(R2) финитны.
Доказать, что соответствующее решение и(х, t) задачи Коши для
волнового уравнения в R3 обладает свойством: для любой ограни-
ченной области G cz R2 существует постоянная К = К(G) такая,
что
| и (я, 0| KJtt х eG, t > 0.
g) Показать, что частные решения n-мерного волнового урав-
/ t \
нения Diu = 0 (см. § 2.1) вида /Г 17]~ ) определяются дифферен-
циальным уравнением
(£2 + !)/"(£) + (3 - n)lf (В) = 0, V * 1,
В частности,
и(Х, о = с11п|4ти-| + с2> ^=/=±1. «=1;
и (х, t) — jyp + с2, х Ф 0, п — 3.
h) Доказать, что функция
«* 0 = —Г—Г v (а« — I ж |)
4ла 1 хI
есть решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения
□аи == у(0 • 6(я),
удовлетворяющее начальным условиям
и (л, 0 0, ut(xt 0->О, t -> + 0, Vx (= (R3, х^=0.
Здесь функция v(0 = 0, t < 0 и v(0 0)),
g 14] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 231
§ 14. Распространение волн
В этом параграфе будет дана физическая интерпрета-
ция решений волнового уравнения, полученных в § 13.
1. Наложение волн и области влияния. Пусть задан
источник F (х, t), обращающийся в нуль при t < 0. Реше-
ние и (х, t) обобщенной задачи Коши для волнового урав-
нения с источником F(xt t) выражается согласно форму-
ле (16) 13.3 волновым потенциалом с плотностью F:
и=8п* F.
Физический смысл этой формулы (см. § 11.3)
состоит в том, что возмущение и(х, t) в точке х в момент
времени t > 0 представляет собой наложение (суперпози-
цию, сумму) элементарных возмущений
F(g, т)<Гп(*-£, t-x),
порождаемых точечными источниками
F& т)6Сг-Ю‘б(£-т)’,
когда точки (£, т) пробегают множество, где сосредото-
чено возмущение F. В этом состоит принцип наложения
волн (см. § 11.3) .
- Из принципа наложения волн следует, чт возмущение
и от источника F, сосредоточенного в множестве Т (т. е.
supp F Т) может достичь лишь тех точек полупростран-
ства t > 0, которые состоят из объединения носителей
&п(х — g, t — т), когда точка (g, т) пробегает мно-
жество Т. Полученное таким путем множество М(Т) на-
зывается областью влияния множества Т,
М(Т) = U supp <Fn (я — £, t ™ т) = supp &п + Tt
Ясно, что вне множества М(Т) будет покой, другими сло-
вами supp и если supp F Т.
Конкретная реализация принципа суперпозиции суще-
ственно зависит от структуры носителя фундаменталь-
ного решения <£п (%, t) и, стало быть, от числа п простран-
ственных переменных (см. § 12.1). Это, в свою очередь,
определяет особенности в характере распространения
волн в пространстве, на плоскости и на прямой.
Заметим, что особенности фундаментального решения
#п(я, t) (см. § 12.1) лежат на характеристической по-
верхности Ixl*= at (характеристическом конусе будуще-
го с вершиной в (0, 0); см. § 3.3). Отсюда следует, в си-
лу сказанного выше, что если источник F(x, t) имеет осо-
бенность в точке (#0> М , *о>О. то и решение и(х, t)
232
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
будет иметь особенность (возможно, более слабую)’ на
характеристическом конусе будущего k — aj = a(t — £0),
с вершиной в (ж0, £о). Итак, для волнового уравнения
особенности в источниках распространяются по харак-
теристикам.
2. Распространение волн в пространстве. Из выраже-
ния для фундаментального решения трехмерного волно-
вого оператора
«> ') = ЕЖ Ч, « = яг6 -1х !’>
^2, #3)',
вытекает, что возмущение &з(х, t) от точечного, мгновен-
но действующего источника 6(х) • 6(£) к моменту времени
Рис. 50.
Рис, 51.
t > 0 будет сосредоточено на сфере радиуса at с центром
в точке х = 0 (рис. 50 и 48). Это значит, что такое возму-
щение распространяется в виде сферической волны 1я| =
= at, движущейся со скоростью а, причем после прохожде-*
ния волны опять наступает покой. В этом случае гово-
рят, что в пространстве имеет место принцип Гюйгенса.
Отсюда, в силу принципа наложения волн (см. § 14.1),
вытекает, что возмущение и от произвольного источни-
ка F, сосредоточенного в Т, может достичь лишь тех то-
чек, которые состоят из объединения границ a(t~ т) =
= |я — конусов будущего Г* (%, т), когда их вершины
(g, т) пробегают множество Т (рис. 51), так что
М(7) = U грГ+(£,т).
При этом возмущение и(х, t) (запаздывающий потен-
циал) при t > 0 полностью определяется значениями ис-
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
233
точникаГ(§, т) па боковой поверхности В(х, t) конуса
Г7 (я, 0 (см. § 12.3, замечание и рис. 49). В этом состо-
ит математическая формулировка принципа Гюйгенса.
В частности, если возмущение F сводится к начально-
му возмущению вида
F(x, 0= п0(я) • 6'(0+щ(я) • S(0, (1)'
то и (х, t) при t > 0 полностью определяется значениями
п0(£) и П1(£) на сфере S(x, at), т. е. в точках границы
основания конуса (х, t).
Пусть теперь возмущение (1) сосредоточено в компак-
те К плоскости t = 0, т. е. supp п0 К, supp щ К. В си-
лу сказанного в точку х е
е К возмущение придет
. d
в момент времени Zo= —
Рис. 53.
этой точке в течение времени —-—, где d и D —
минимальное и максимальное расстояния от точки х до
точек множества К (рис. 52).
При t > ~ = tr в точке х снова наступает покой.
Таким образом, в момент времени tQ через точку х прохо-
дит передний фронт волны, а в момент времени через
эту точку проходит задний фронт волны. При этом в мо-
мент времени t передний фронт будет внешней огибаю-
щей сфер S(£; at), когда § пробегает К, а задний фронт—*
внутренней огибающей этих сфер (рис. 53).
Другими словами, к моменту времени t > 0 возмуще-
ние распространяется на область, заключенную между
передним и задним фронтами. Рассматривая эту картину
при всех £>0, заключаем, что в пространстве Д4 пере-
234
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
мойных (х, I) это возмущение будет сосредоточено на
объединении границ \х — = at конусов будущего
Г+(ё, 0), когда их вершины (g, 0) пробегают компакт К
(в плоскости т = 0), т. е. на М(К).
3. Распространение волн на плоскости. Из формулы
для фундаментального решения двумерного волнового
оператора
2 (xr t) = L, Ll_ , х = (xlf x2)t
2ла V a2t2 — И2
вытекает, что возмущение ^2(^, t) от точечного, мгновен-
но действующего источника 8(х) • б(£) к моменту времени
t > 0 будет сосредоточено в замкнутом круге радиуса at
с центром в точке я = 0 (рис. 54). Таким образом, на-
блюдается передний фронт волны |х| = движущийся
на плоскости со скоростью а. Однако в отличие от про-
странственного случая за передним фронтом возмущение
наблюдается во все последующие моменты времени, так
что задний фронт волны отсутствует. В этом случае го-
ворят, что на плоскости имеет место диффузия волн. При
этом принцип Гюйгенса, очевидно, нарушается.
. Чтобы понять, почему происходит диффузия волн, на
плоскости, заметим, что фундаментальное решение,
^(я, /), рассматриваемое как функция четырех перемен-
ных (я, #8, t), представляет собой возмущение от мгновен-
ного источника б (х) • 1 (хз) • б (t) i сосредоточенного на
ОСИ Хз (см. § 11.7),
<Г2(^ ^-(F3q6(^) 'l(^) 6(Z)].
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
235
От такого источника в R3 возмущение распространяется
в виде цилиндрической волны Ы at, передний фронт
которой Ы = at движется со скоростью а перпендикуляр-
но оси хЛ (рис. 55). После прохождения переднего фрон-
та возмущение сохраняется бесконечно долго.
Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см. § 14.2)
в данную точку (xQ, 0) е= R3 в момент времени t > 0 воз-
мущение от источника 6(.г) • Г(.г3) • 6(£) будет приходить
Рис. 56.
из тех точек сферы | х — х012 + #з = a2t2, которые лежат
на оси х3, т. е. из точек (рис. 55)
± Aat = {0, ± УаЧ2 — \х — я012}.
Отсюда следует, что при t = tQ в точке (я0, О)1
будет покой: в момент времени t0 через эту точку прой-
дет передний фронт волны (возмущение придет из точки
х = 0); во все последующие моменты времени t > tQ в эту
точку будут приходить одинаковые возмущения из точек
±.Aat и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное
от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны от-
сутствует) .
Из-за наличия диффузии волн на плоскости в случае
точечного начального возмущения b(x)’6(t) следует, что
диффузия волн наблюдается и для произвольного возму-
щения F(x, t), F == 0, t < 0.
Действительно, в силу принципа наложения волн
(§ 14.1), возмущение и от источника F, сосредоточенного
230 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
в Т, может достичь лишь тех точек, которые состоят из
объединения замыканий конусов будущего r+(g, т),
когда их вершины (g, т) пробегают множество Т
(рис. 56), так что
М (Т) = и r+(g, т).
U(^t)
Рис. 57.
При этом и (х, 0 при t > 0 полностью определяется зна-
чениями источника F(g, т) на замыкании конуса
IV (х, t) (см. рис. 49). (В этом состоит математическое
содержание понятия «диффузия волн».)
В частности, если F — начальное возмущение вида
(1), то и(х, t) при £>0 полностью определяется значе-
ниями w0(g) и iii(g) в круге U (х\ at), т. е. на основа-
нии конуса I? (х, t). Поэтому если начальное возмуще-
ние сосредоточено на К,
то к моменту време-
ни t > 0 возмущение
и(х, t) распространится
на область, представля-
ющую собой ^объедине-
ние кругов U (%; at),
когда их центры g про-
бегают К (рис. 57). Та-
ким образом, здесь на-
блюдается передний
фронт и отсутствует
задний фронт волны.
В соответствии со
сказанным областью
влияния М(К) компак-
та К является объеди-
нение замкнутых будущих световых конусов T+(g, 0),
когда их вершины (g, 0) пробегают К в плоскости т = 0
(см. § 12.3 и рис. 56).
4. Распространение волн на прямой. Из вида фунда-
ментального решения одномерного волнового оператора
(о 1 (^ 0 = 27 6 (at I х 1)1 х =
вытекает, что возмущение cSi (я, t) от точечного, мгно-
венно действующего источника б(^)-6(/) к моменту
времени t > 0 будет сосредоточено на отрезке — at
^x^at (рис. 46). В этом случае наблюдаются два пе-
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
237
редних фронта х = at и х = — at, движущихся на пря-
мой со скоростью а направо и налево соответственно.
Как и в плоском случае, за фронтом волны наблюдает-
ся возмущение (в данном случае оно постоянно и рав-
Н0 2а’/’ Т* е* Имеет меСт0 ДиффуЗИЯ ВОЛН.
Чтобы понять это явление, дадим трехмерную интер-
претацию фундаментальному решению <S4 [х, t). Это ре-
шение представляет co6oii возмущение от мгновенного
источника 6 (х) -1(^2, #з)-б(£), сосредоточенного на пло-
скости х = 0:
<?i(#, t) = <Г3 * [б(х) • 1 (х2, х3) • 6(£)].
От такого источника в R3 возмущение распространяется
в виде плоской волны Ы at, передний фронт которой
lxl= at движется со скоростью а, перпендикулярно пло-
скости х = 0. Отметим,
что в этом случае пе-
редний фронт состоит
из двух плоскостей
x = at и х ~ — at, дви-
жущихся со скоростью
а направо и налево со-
ответственно относи-
тельно плоскости х = 0
(рис. 58). После про-
хождения переднего
фронта волны возмуще-
ние сохранится беско-
нечно долго.
Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см.
§ 14.2) в данную точку (^0, 0, 0)^ff в момент времени
/>0 возмущение от источника б(^)-1(^2, ^з)-б(^) бу-
дет приходить из тех точек сферы | х — х012 + х2 + ^з =
= a2tz, которые лежат на плоскости х — 0, т. е. из то-
чек окружности (рис. 58)
Aaf = [#2 4" ^’з ~ «Г = О].
Отсюда следует, что при в точке (х, 0, 0J
будет покой; в момент времени t0 через эту точку прой-
дет передний фронт волны (возмущение придет из точ-
ки 0); во все последующие моменты времени / > tQ в эту
точку будут приходить одинаковые возмущения из точек
238
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
окружности Aat и, стало быть, в ней будет наблюдаться
отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт
волны отсутствует).
Из наличия диффузии волн на прямой в случае то-
чечного начального возмущения S(x)-6(t) следует, что
диффузия волн наблюдается и для произвольного на-
чального возмущения и^х) • 6(£).
Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник
вида 6(я)-6'(£). По теореме § 13.3 этот источник поро-
ждает возмущение
= О*[б(гг)-б' (01 =
*) 1 д п , . . п 1 V / 1 IX /ох
dt ~~ 2а dt®(at I Х I) 2 ® 1 Х
Отсюда видно, что возмущение &i(x, t) в момент вре-
мени t > 0 будет сосредоточено только в двух точках
х = ± at, так что после прохождения фронта волны
Ы = at снова наступает покой. В этом случае имеет мес-
то принцип Гюйгенса.
Для произвольного начального возмущения вида
по(я)-б'(О возмущение и(х, t) при />0 полностью оп-
ределяется значениями п0(£) в точках х ± at, т. е. в точ-
ках границы основания конуса IV (х, t) (рис. 49). Это
возмущение, в силу теоремы § 13.3, дается формулой
и = ^^х, £)* [Щ)(<г) • 6'(£)] = <8’1(я, 0* ^о(^)-
Отсюда, учитывая равенства (2), при t>0 получаем
и (xt t) = -у 6 (at — | x |>w0 (x) =
1 1
= yU0 (x + at) + — uQ <x — at). (3)
Физический смысл формулы (3) состоит
в том, что начальное возмущение н0(^)-б'(^) при t>0
как бы распадается на два подобных возмущения
-у ио(я±аО, каждое половинной интенсивности (рис. 59).
Например, при ио(х) = 0(х), где 0 — функция Хеви-
сайда (см. § 6.4, Ь)), наблюдается «распад» разрыва
и (хл t) = 0 (х + at) + ~ б (% —
л а
S 14)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
239
(см. рис. 60), и мы видим, что разрыв в точке (rr0, t0) =
>=(0, 0) распространяется по характеристикам x±at=*
-0 (ср. § 14.1).
iiufat)
Рис. 59.
В соответствии со сказанным области влияния отрез-
ка К = [6, с] для начальных возмущений щ (х) • 6 (t)
и и0(^)-6'(^) имеют вид, указанный на рис. 61 и 62.
Таким образом, на прямой для начального возмуще-
ния ut(^)’6(i) имеет место диффузия волн, а для на-
чального возмущения и0 (х) • 6' (7) — принцип Гюйгенса.
Рис. 60. Рис. 61.
Для произвольного возмущения F, F(x, £)=0, £<0, мо-
гут иметь место либо принцип Гюйгенса, либо диффу-
зия волн, либо их наложение. Физические интерпрета-
ции и геометрические построения аналогичны рассмот-
ренным в § 14.2 и § 14.3 соответственно.
5. Метод распространяющихся волн. Изложим другой
метод — метод распространяющихся волн — решения
классической задачи Коши для одномерного однородного
волнового уравнения
□ «U = 0, (4)
u|(=o = и0(х), u(|(„0 = (5)
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма. Для того чтобы функция и (х, Г) класса С2
была решением волнового уравнения (4) в некоторой об-
240 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ. Ш
ласти, необходимо и достаточно, чтобы в этой области
она представлялась в виде
и (я, t)== f(x — at}+ g(x + at}, (6J
еде /(£)' u g(T]) — функции класса С2 в соответствующих
интервалах изменения переменных £ и т].
Доказательство. Функция (6) удовлетворяет
уравнению (4), так как
“Г = a2f" (х — at) + a2g" (х + at) = а2
Обратно, пусть функция и(х, t) класса С2 удовлетво-
ряет уравнению (4) в некоторой области. Представим
уравнение (4J в каноническом виде. В соответствии со
сказанным в § 3.4 его дифференциальные уравнения ха-
рактеристик имеют вид
и, следовательно, замена переменных 1
^ = x — at, v\^=xA-at (7)
приводит уравнение (4) к каноническому виду
£« =о
8%dri и>
Интегрируя это уравнение по получим >
где X ““ некоторая функция класса С\ Интегрируя теперь .
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
241
полученное уравнение по ц, запишем функцию й в виде
С
W (В, Т]) = J X (Л') *1' + / (?) = /(5) + g (п). (8)
где / и g — некоторые функции класса С2. Переходя
к старым переменным х и t по формулам (7), выводим
из (8) представление (6) для решения п(я, t). Лемма
доказана.
Физическая интерпретация решения
(6). Функция /(я — at) описывает возмущение, которое
из точки Хц в момент времени t = 0 приходит в точку
х =» xQ + at в момент времени t (рис. 63). Поэтому эта
Рис. 63.
функция представляет собой волну, двигающуюся напра-
во со скоростью а. Аналогично функция g(x + at) пред-
ставляет собой волну, двигающуюся налево со скоростью
а (рис. 63). Общее решение (6) волнового уравнения
(4) есть наложение этих двух волн.
С помощью представления (6) общего решения вол-
нового уравнения (4) классическое решение задачи Ко-
ши (4) — (5) строится следующим образом.
Предположим, что решение и{х^ t) этой задачи суще-
ствует. Тогда, по лемме § 14.5, это решение представ-
ляется в виде (6) с функциями / и g из класса C2(Rl).
Для того чтобы решение и(х, t) удовлетворяло началь-
ным условиям (5), необходимо, чтобы функции / и g
удовлетворяли соотношениям
/ (х) + £ (я) = По (я), -af (х) + ag' (я) = щ (х},
т. е.
§
/ (I) + g ® = «о (?)- g (?) - / (?) = Т f “1
о
(9)
где С — некоторая постоянная. Решая уравнения (9)’
16 в. с. Владимиров
242 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
относительно неизвестных функций / и g,
О
в
ё (п)=4и» м+4г J ы1 +4*
о
и подставляя полученные выражения для / и g в фор-
мулу (6), получаем формулу Даламбера (см. § 13.4)
x+at
и о 4" + at^+ “at^+ 2Т jUi &
Непосредственной проверкой убеждаемся, что форму-
ла Даламбера (10) действительно дает классическое
решение задачи Коши (4)-—(5), если и^СЦВ'1)
и щеСДД1). Это решение единственно (см. § 13.4).
Замечание. Для построения решений уравнения колеба-
ний струны мы воспользовались основным свойством характери-
стик, состоящим в том, что на характеристике г] = const это урав-
нение приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению
относительно функции ц) с независимой переменной g, и
поэтому решение строится при помощи квадратур. Это свойство
характеристик — наличие уравнений с меньшим числом перемен-
ных, связывающих значения неизвестной функции и ее производ- (
ных,- лежит в основе ряда важных методов интегрирования
(квазилинейных) уравнений гиперболического типа (см. § 15).
6. Метод отражений. Полубесконечпая струна. Изло-
женный в предыдущем пункте метод распространяю-
щихся волн решения задачи Коши для уравнения (4)
позволяет решать некоторые смешанные задачи для это-
го уравнения.. Для определенности рассмотрим смешан-
ную задачу (см. § 4.5), описывающую колебание полу-
бесконечной струны я>0 с закрепленным левым концом
и|х==о = О. (И)
Предварительно докажем, что всякое классическое ре-
шение и(х, t) волнового уравнения (4) в квадранте
х > 0, t > 0, удовлетворяющее условию (И), представ-
ляется в виде
и(х, t)=g(x + at)-g(-x + at^ g^C^R'}. (12)
§ 14] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 243
Действительно, по лемме § 14.5 решение и(х, /)
представляется в виде (6), где f(^)^C2(Rl) и g(p)s
^С'2(т]>0). Отсюда, учитывая условие (И), получим
0 = /(— at}+ g(afj,
откуда и следует представление (12).
Физическая интерпретация решения (12).
Это решение представляет собой наложение двух волн:
волны g(x + at), движущейся со скоростью а налево,
Рис. 64. Рис. 65.
и волны —g(-~x + afj, движущейся с той же скоростью
направо. Пусть волна g(x + at) движется по полубеско-
нечной струне х > 0, закрепленной в точке х = 0. Тогда
волна — g(—х + at) будет двигаться по полуоси х < 0 на-
встречу волне g(x + at) (рис. 64). В некоторый момент
времени эти волны встретятся в точке х = 0 и, наклады-
ваясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой
точке. При дальнейшем движении волна g(x + at) ока-
жется за пределами струны, в то время как волна
—g(~x + at) перейдет на саму струну. В результате на
струне будет наблюдаться отражение волны g (х + at) от
конца струны я = 0 с изменением знака (рис. 65).
Построим теперь решение смешанной задачи (4) —
(5)— (И). Всякое классическое решение и(х, t) этой за-
дачи, в силу (12), допускает нечетное продолжение
й (х, t) по х класса С2(/?2), и это продолжение удовлет-
воряет уравнению (4) в R2, Отсюда и из условий (5) вы-
текает, что решение й (х, t) удовлетворяет начальным ус-
ловиям
ult=0 = uQ(x), (13)
где Ио и гХ 1 — нечетные продолжения функций uQ и щ со-
ответственно. Но решение такой задачи Коши единствен-
но и представляется формулой Даламбера (10) с заменой
iio на й0 и Ut па uh если й0^С2(1¥) и С' (R1), Эти
16*
244 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
последние условия будут выполнены, если
С2 (я>0), ^(^>0), uo(O) = и'о (0)=0.
(14)
Итак, если выполнены условия (14), то решение сме-
шанной задачи (4) —(5) —(11) существует, единственно
и задается формулой
x+at
и 0=4' (*+о*)+“о (*—ао1+-4 J* ®
х—at
(15)
я >0.
Пусть теперь х — at > 0. Тогда
и0 (х — at) = и0 (х — at), JM£)=ui(B), l.^x — atX),
и формула. (15) принимает вид
x+at
и {хх t) = Y [и0 (х + at) + Uo(x — at)] + J U1 (£) <%,
x—at
(16)
х > at.
Пусть теперь х — at^ 0. В этом случае
u0 (х — at) = — u0 (— х + at}, и1 (g) == — щ (—g),
x - g < 0,
и формула (15) принимает вид
x+at
1 1 С
и (^ 0 = ~2 (мо (* + at) — Щ (at — *)] + 27 J “1 ®
at—x
(17)
О ^x^,at.
Как видно из формулы (17), в точку (х. £), 0 х at,
приходят две волны: прямая волна из точки (х + at, 0)
и один раз отраженная волна из точки (at — х, 0) (совпа-
дающая с прямой волной из фиктивной точки (х — at, 0),
см. рис. 66).
, Аналогично рассматривается смешанная задача для
полубесконечной струны х > 0 со свободным левым
концом;
— 0,
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
245
Здесь также имеет место отражение волн от конца
струны х = 0, но уже без изменения знака.
7. Метод отражений. Конечная струна. Применим ме-
тод отражений, изложенный в предыдущем пункте, для
решения смешанной
задачи для конечной
струны 0 х I с за-
крепленными концами:
u|x=so = u\xt==i = 0. (18)
Сначала докажем,
что всякое классиче-
ское решение и(х, t}
волнового уравнения рпс
(4) в полуполосе 0 <
< х < Z, t > 0, удовлетворяющее условиям (18), представ-
ляется в виде
и(х, t)== g(x +at)—g(—х + at},
g(B+2Z)=ga), (19)
Действительно, по лемме § 14.5 решение u(x, t) пред-/
ставляется в виде (6), где /(£)<= С2(£< 0 и g(r])e
еС2(т] > 0). Отсюда, учитывая условия (18), получим
/(^)=-g(m). (20)
Эти соотношения определяют продолжение функций / и g
на всю ось с сохранением класса С2. В самом деле, равен-
ство g(^)= — /(~В) распространяет функцию g на ин-
тервал (—Z, оо). А тогда второе из равенств (20), записан-
ное в виде /(ц) = — g(2l — ц), распространяет функцию /
на интервал (— <*>, 3Z) и т. д. В результате такого продол-
жения функции / и g будут принадлежать классу С2 (У?1)
и удовлетворять соотношениям (20). Отсюда вытекает
представление (19) и 2/-периодичность функции g:
Решение (19) показывает, что имеет место отражение
волн от обоих концов = 0 и 2’ = / с изменением знака.
Отсюда следует, что движение струны — периодическое
21
по времени с периодом — (рис. 67).
Теперь построим решение смешанной задачи (4) —
(5) — (18). Если классическое решение и(х, t) этой зада-
чи существует, то, в силу (19), оно допускает 2Z-nepno-
246 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ. III
дическое нечетное продолжение и (х, t) по х относитель-
но точек я = 0 и х = I и это продолжение принадлежит
классу C2(R2) и удовлетворяет уравнению (4) в 7?2. От-
сюда и из условий (5) вытекает, что функция и (х, t)
удовлетворяет начальным условиям (13), в которых функ:
ции и 0 и Ui — соответственно —
2/-периодические нечетные про-
должения функций и0 и щ относи-
тельно точек х = 0 и х = I.
Рассуждая теперь, как и в пре-
дыдущем пункте, заключаем, что
если функции и0 и щ удовлетворя-
ют условиям
и0 е= С2 ([Oj Z]), и0 (0) = и"0 (0) =
= и0 (Z) = и0 (Z) = 0,
(21)
u,eC*([0, Z])', u1(0) = ul(Z) = 0,
то решение смешанной задачи (4) —(5) — (18) существу-
ет, единственно и дается формулой
н(^г) = A[u0(z + aZ) + u0(a: —aZ)] +
x-\-at
J
x—at
(22)
0 x L
Пусть точка (x, t) расположена так, как показано на
рис. 68. Тогда формула (22) в этой точке принимает вид
v
и {X, Z) = 4- [и0 (у) — и0 (₽)] — A. (|) d%. (23)
Р
Действительно, пользуясь правилом отражений, имеем
Яо’(Ь) = Мч), Ио(с)= - Щ(Р)>
J «х (I) = J и. (?) + [ ил dl =
ь ъ 1
I р
т i т
g 14] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 247
откуда и из (22) вытекает формула (23). Она показывает,
что в точку (я, t) приходят две волны: одна волна — из
точки р (один раз отраженная от конца #==/), другая
t
Рис. 68.
волна — из точки у (по одному разу отраженная от кон-
цов х «= I и х — 0) (рис. 68).
8. Нелинейные волновые уравнения. Аналог метода Даламбе-
ра построения решений линейного волнового уравнения с двумя
переменными, изложенный в § 14.5—14.7, применим и к некото-
рым нелинейным уравнениям. Ищем частные решения нелиней-
ного уравнения
F(u, ..., ...) =0 (24)
в виде
«(*)=/(£)/ £ = (*,
где I и х0 — постоянные векторы. В силу (24) функция должна
удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
F(f, ...» *а/(,а|), ...) =0. (25)
Примеры. 1) Уравнение Кортевега— де Фриза
ut + 6uu* + иххх = 0, (26)
'«>- ,!У. “-----------Г “>0- <27>
2 ch2 ~2~ (х — at —
2) Уравнение Лиувилля
utt — Uxx = gev, g> 0, (28)
а2 (1 _ а2)
/ (£) = In------------------г, 0 < a < 1. (29)
2g ch2 -g- (x — at — z0)
Решениями уравнения (28) является функция
, 8<р'(*+0Ф'(*—0
и (х, t)• ss- In—----------—5", (о0)
g [ф (X + 0 — Ф (® — t)]
248 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
где (р и гр — произвольные функции класса С3, удовлетворяющие
условиям tp' > 0 и ф' > 0.
3) Уравнение Sine — Гордон
пц ~ ихх = — g sin в, g > 0, (31)
/(£) = 4arctge Vi-«2 . (32)
Решения (27), (29) и (32) имеют характер «уединенной вол-
ны», их поведение при t = 0 и х0 = 0 изображено на рис. 69а), б),
в) соответственно. Такие решения называются солитонными.
Более общий метод построения решений некоторых нелиней-
ных уравнений с двумя независимыми переменными (х, t) осно-
вывается на следующей теореме Фробениуса, Пусть (7(х, t) и
7(2, t)—достаточно гладкие N X ^-матрицы-функции. Рассмот-
рим переопределенную линейную систему дифференциальных
уравнений
дхф = с?* чр = 7ф
(33)
относительно неизвестной TV-вектор-функции ф(2, t).
Для того чтобы система (33) была совместной, необходимо и
достаточно, чтобы было выполнено условие ее разрешимости
(условие Фробениуса)
dtV-dxV+ [Z7, 7] =0, (34)
где [р, V] =. UV — VU — коммутатор матриц U и V.
Предположим, что данное нелинейное уравнение (24) может
быть представлено в виде (34) с некоторыми матрицами
V(u, их, ut, ..Z) и V(u, их, ut, Л), аналитически зависящими
от комплексного параметра К *). Наличие эквивалентной системы
линейных уравнений (33) позволяет построить решения исходно-
го нелинейного уравнения (24) в терминах вектор-функции
к-ф(2, f; X).
♦) Такие нелинейные уравнения называются вполне интегри-
руемыми,
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
249
Например, для уравнения Кортевега —де Фриза (26) матри-
цы U и V имеют вид
— 2iX
их — 2и
2u2 + «xx — «х,
(35)
Первое из уравнений (33) для составляющей <p(a?, t; X) вектора
ip = принимает вид
— и (ж, t) ф = х2ф.
(36)
Рассмотрение краевой задачи на собственные значения для урав-
нения (36) при < = 0с неизвестным потенциалом u(x, t) (см. ни-
же, § 22) позволяет получить широкий набор точных решений
и (ж, t) для уравнения (26), причем зависимость ф от t опреде-
ляется из второго уравнения (33). В частности, получено следую-
щее n-солитонное решение уравнения Кортевега— де Фриза (26):
д2
u(xt t) = 2 ^2 (Aj (х> 0)>
(37)
где
Лу (X, Z) = бу + exp [- (х4 + Xj) х + 8х2/],
/, / == 1, ..., п,
х< (х$ =/= xj, i Ф j) — произвольные положительные постоян-
ные. Отметим, что при п = 1, 2xi = ]1а и ~]/а = р^ ° решение
(37) переходит в (27).
Для нелинейного уравнения Шредингера
lUt + Uxx + 21 и 12u = О
(38)
матрицы U и V имеют вид
В книге Захарова В. Е., Манакова С. В., Новикова С. П. и Пи-
таевского Л. П. [1] выписаны матрицы U и V и для других не-
линейных уравнений математической физики и указаны методы
построения их решений.
Перечисленные уравнения возникают во многих нелинейных
задачах распространения волн *). Они также представляют инте-
См. Дж, Уизем [1].
250
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
рео для теории поля как модели с нетривиальным взаимодей-
ствием.
9. Релятивистская струна. Пусть в пространстве 2?n+1 с коор-
динатами X з= (xGl xlf ..хп) (одномерная) струна в процессе
своей эволюции заметает некоторую двумерную поверхность
X ж® У (о, т), а < о < р, 0 < т < Г, причем в каждой точке стру-
ны выполнено условие «гиперболичности»
&2(Х, X') = (XX')2 — Х2Х'г^ 0. (39)
Здесь приняты следующие обозначения:
X = дхХ, X' *=х дсХ, XY == XqJ/q х^у^ — ... — ХпУп^ X2 «=« XX.
Нелинейные уравнения
струны имеют вид
движения этой (релятивистской)
(XX') X' — Х'2Х
3?
(XX') X — Х2Х'
= 0.
(40)
Имеет место следующее утверждение о структуре общего ре-
шения уравнения (40) при условии (39), аналогичное лемме § 14.5.
Лемма 1. Всякая вектор-функция X, представимая в обла-
сти С с: В2 в виде
Х(о, т) = /(а(о, т)) + g(b(a, т)), (41)
где а и Ь— произвольные функции класса С2(0) и / и g—произ-
вольные вектор-функции класса С2, удовлетворяющие условиям
f\a)=0, g'2(b)=0, (42)
удовлетворяют уравнению (40) и условию (39) в О.
Обратно, если вектор-функция X класса С3(&) удовлетворяет
уравнению (40) в окрестности О точки (оо, То), причем
S’2(X,X')>0 и Х^О или X'VO в О, (43)
то существуют функции а и Ь класса С2(ОГ) в (возможно, мень-
шей) окрестности О'czO точки (оо, т0), причем abr— а'Ь^О в
С?', и функции fug класса С2, удовлетворяющие условиям (42),
такие, что имеет место представление (41).
Первая часть этой леммы проверяется непосредственно: на век-
тор-функциях (41) в точках, где 2?2 > 0, уравнение (40) прини-
мает вид
(—fa' + g'b') + (fa — g'b)' = 0,
причем левая часть этого уравнения имеет смысл и в тех точках,
где S? == 0, й условие (39) выполнено:
&2(Х, Г) = [f(a)gf(h)]2(ab,-a/b)2^0.
Поэтому всякую вектор-функцию X вида (41) с указанными свой-
ствами будем называть (классическим) решением уравнения (40)
при условии (39).
§ 14]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
251
Для доказательства второй части леммы 1 используется
общая.
Лемма 2. Пусть вектор-функция X класса С2(О) в окрест-
ности О точки (Оо? То) удовлетворяет условиям (43). Тогда в
(возможно, меньшей) окрестности точки (Оо, То) сущест-
вуют такие координаты
£ = £(о, т), г|==п(а, т), g, qeCW in'— 0 в СП, (44)
в которых вектор-функция X удовлетворяет соотношениям
(д6Х±дпХ)2 = 0, (45)
Доказательство. Считаем для определенности X'2#= 0.
Тогда искомые функции а = <j(g, ц) и т = т(£, ц) должны удов-
летворять в силу (45) нелинейной системе уравнений
до до z /дт дх \ л до до t (дх дх\ л
^+^+Ма1Т>(д+^у=0’ 3£-^+Мст> т) (д—«'л/0,
(46)
где
XX' + S’
^1,2 £/2 ’
причем в силу (43) функции Ai,2e С2 (О) и Ai=A А2 в С. В пере-
менных х = ( + г), у = g — т) уравнения (46) принимают вид
до дх п до , дт
дж + ^1дл = 0, ду + Чду^0,
Обозначим через (Di(a, т) = G и а>2(о, т) = С2 общие интегра-
лы обыкновенных дифференциальных уравнений соответственно
do do
m = л=~л2(<т’т)
такие, что a>i, (02 С2, а)х Ф 0, со2 0 в (возможно, меньшей)
окрестности точки (с0, т0). По лемме § 3.4 такие интегралы су-
ществуют, удовлетворяют уравнениям
причем
да>1 д(о1 да> да)
9 (“1’ “г) , ,
(48)
(49)
В силу (49) в (возможно, меньшей) окрестности точки (о0,
То) уравнения
СО) (с, т) = у, со2(о, т) — х (50)
определяют функции о~о(х, у), х = х(х, у). Дифференцируя
первое из уравнений (50) по х, а второе — по у и принимая во
внимание соотношения (48), убеждаемся, что построенные функ-
ции а и т удовлетворяют уравнениям (47). Искомые функции
252 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ. III
£ и ц в силу (50) выражаются формулами
11 11
т), П = 2-со2(а, т),
причем в силу (49)
д (£, Л) д (£, Т|) д_ (<ог %) 1 (<ог <%)
д (о, т) д (сог со2) д (о, т) 2 д (о, т) *
Лемма 2 доказана.
Пусть в окрестности О точки (о0, т0) вектор-функция X клас-
са С3(О) удовлетворяет уравнению (40) и условиям (43). По лем-
ме 2 в возможно меньшей окрестности точки (с0, То) существуют
координаты (£, ц), в которых уравнение (40) упрощается и в
силу (45) принимает вид Х& = Таким образом, каждая со-
ставляющая X удовлетворяет однородному уравнению колебаний
струны с а == 1 (см. § 2.1) и к этому уравнению применима лем-
ма § 14.5 о структуре его общего решения:
X(g,n)=№ + n)+?(S-T]).
причем в силу (45) вектор-функции f и g должны удовлетворять
условиям (42). Возвращаясь к старым переменным (о, т) и обо-
значая а = £ + т), &==£ — т), получим представление (41) и
ab' — a'b^O в некоторой окрестности О' с О точки (аОт т0). Лем-
ма 1 доказана.
Задача Коши: найти вектор-функцию Хг(о, т) вида (3) и
класса С2(т > 0) f| С1 (т 0), удовлетворяющую уравнению (40)
и условию (39) при т > 0 и начальным условиям
Х|твв0 = <р(с), Х]т=хо = 'Ф(а), о<=Я!. (51)
Необходимыми условиями разрешимости этой задачи являет-
ся ф е С1 (Л1), гр е C(Rl) и
^2 = (ф'гр)2 — ф'24>2 >0, пе Я1. (52)
Обозначим
Р (о) = [ф'2^ - (ф'-ф) ф'] , х?,2 (а) = ^2 (ф'Ф ± Яо). (53)
Теорема 1. Если ф е С2 (Я1) и гр е С1 (Я1) таковы, что р, Xj,
X® е С1 (Я1) и удовлетворяют условию (52), то решение задачи
Коши существует и выражается формулой
а(а,т)
1 1 Г
X (о, т) =:-2 [ф(а(а, т)) + ф(& (о, т))] +у J p(o')da, (54)
Ь(а,т)
где а и Ъ — произвольные функции класса С2(т>0) f) С1 (т 0),
удовлетворяющие условиям
а(а,0) =а = Ь(а,0), а (а, 0) = (а), 5 (а, 0) = X® (а). (55)
§ 151
МЕТОД РИМАНА
253
В справедливости формулы (54) убеждаемся непосредствен-
ной проверкой с использованием леммы 1 и того факта, что в силу
(53) (ф' ±р)2 = 0.
Пример. Пусть (реС2^1) и ifeC’ffi1), ф'2 = —-ф2 > О,
фф' = 0. Тогда = <р/2, р = ф, ^i,2 = ±1. При а = о — т, Ъ =
= о + т формула (И) превращается в классическую формулу Да-
ламбера (см. § 13.4, формула (19")).
Как видно из формулы (54), решение задачи Коши неедин-
ственно. Оказывается, что все решения этой задачи описываются
формулой (54). Точнее справедлива сле-
дующая
Теорема 2. Пусть Хх и Х2 —
два решения задачи Коши (39), (40),
(51) класса С3 в некоторой окрестно- ___~
сти О интервала а < о < (3 прямой
т = 0, причем в О выполнены уело- рис 70.
вия S’2 (X., X'.) > о, X'2 =/= 0, j = 1,2.
Тогда в некоторой возможно меньшей окрестности О’ с С это-
го^ интервала (см. рис, 70) эти решения представляются в виде
ХДа, т) =/;(аДа, т)) + g;(5j(o, т)), ] == 1, 2,
где fj, gj еС'2, aj, bj е С2 (О') и удовлетворяют условиям (42), (55)
и /1(0) =/2(0) + С gi(o) — gz(o) ~ С, где С — постоянный
вектор.
Пользуясь формулой (54), можно решить методом отражений
и некоторые смешанные задачи для уравнения (40) при условии
(39), подобно тому как это делалось в § 14.6 и 14.7.
Пример. Гладко-замкнутая струна: а = — л, Р «=«
г=л, Х(—Щ_т) = Х(л, т), Х'(л, т)=Х,(—л, т). Пусть п = 2 и
Ф == cos о(}% 1» 1), Ф = sin о(1, 1, 1), ф'2 = 2 sin2 о, ф2 = —sin2 а,
ф'ф = 0, ^0 = V2sin2o, ^>2=±1, а==а + т, 6 = а — т;
Х(а, т) =cosocosr(y2, 1, 1) + sin о sin т(1, 1, 1).
Дальнейшие результаты о классических и обобщенных реше-
ниях уравнения релятивистской струны содержатся в работе
В. С. Владимирова и И. В. Воловича [1].
Уравнение релятивистской струны играет важную роль в
квантовой теории поля при построении нетривиальных моделей
взаимодействия элементарных частиц.
§15. Метод Римана
В этом параграфе мы изложим метод Римана для ре-
шения задачи Коши для линейного уравнения гиперболи-
ческого типа с двумя независимыми переменными, при-
веденного к каноническому виду z к
Lu + а~ + b -^ + си == f (х, у). (1)
дхду дх ду J '
254
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
1. Решение задачи Гурса. Для уравнения (1) рассмот-
рим задачу Гурса (см. § 4.6, а))
и |у=о = Ф1 (*).
U |х—О ~ Ф2 (j/)>
О х х0,
о< у С у0,
Ф1 (°) = ф2 (0). j
(2)
Функции а, Ъ и с предполагаются непрерывными на замк-
нутом прямоугольнике П, где П=(0, яо)Х(0, у0); реше-
ние и(х, у) ищется в П.
‘ Допустим, что /^C(riJ, дл е С1 ([0, я0])' и ср2 е
е С1 ([0, уо]). Сведем задачу Гурса (1) —(2) к эквивалент-
ной системе трех интегральных уравнений, предполагая,
что решение и = С1 (П) (и тогда иху е С(П)).
Пусть и(х, у)—решение этой задачи, иеС^П). По-
ложим
ди
дх
= Vf
ди
— = W,
ду
(3)
Тогда уравнение (1) и условия (2) примут соответствен-
но вид
V = av — cui (4)
ду дх J
V |^0 = (pi (.т), W |х=о = <Р2 (у)-
(5)
Из (3) — (5) немедленно получаем систему трех интег-
ральных уравнений относительно трех функций и, и и ш:
у
и {х, У) = Ф1 (ж) + J w (х, у') dy't
О
У
V (х, у) = (pi (ж) + J (/ — av — bw — си) (х, y')dy',
О
х
w (%, у) = ф2(#)+ J (/ ~ av — bw — си)(х\ у) dx\
о
Обратно, пусть функции и, v и w непрерывны на П
и удовлетворяют системе интегральных уравнений (6).
Докажем, что функция цеС^П) и является решением
задачи Гурса (1) — (2). Действительно, из (6) непосред-
§ 15]
МЕТОД РИМАНА
255
ственно следуют равенства (4) . .3 = w и
У
ди г / х . С dw (х, у') f
^ = ф1(^)+]-75-2^ -
о
У
«= Ф1 Ст) + J U —“ аи — bw — си} {хч У') dy' = vf
о
так что функция и е= С1 (П) и удовлетворяет уравнению
(1)вП:
д2и dw . у ди ди
7“77“ ==3 __.
дх ду дх 1 ду дудх
Кроме того, функция и удовлетворяет и граничным усло-
виям (2):
у
U к=0 = Ф1 (2?)> и 1х=о = <Р1 (0) + j ™ (0, у') dy' =>
О
у
*= <рх (0) + j ф2 (у') dy' = <рх (0) + <р2 (у) — <р2 (0) = <р2 (у).
о
Таким образом, задача Гурса (1) — (2) эквивалентна си-
стеме интегральных уравнений (6). Поэтому достаточно
исследовать эту систему.
Решение системы (6) будем строить методом последо-
вательных приближений, положив
у
ио = Ф1 (ж)> vo = Ф1 (*) + J / (^, у') dy',
х ° (7)
и>0 = Ф2 (у) + J / («S У) dx'\
о
Up = J Wp-ife y')dy\
О
У
Vp = — J (aUp-1 + feiUp-1 + cup-1) (.r, y') dy\
0
x
Wp= — j (aPp-x + biVp-x + cup_x) {x', y) dx',
0
p = 1, 2, .,,
(8)
256 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
Докажем для всех (я, ?/)еП и р = 0, 1, ... оценки
(9)
1 Ц?р (я?, У) I < мкр -
где
М = max [max |н0|, max Iv01, max |zp0I],
К = 1 + max(!d + 1Ы + |c|).
При p = 0 оценки (9)\ очевидно, выполнены. Покажем,
что неравенства (9) останутся справедливыми и при за-
мене р на р + 4. Сделаем это, например, для иР+1. Из ре-
куррентных соотношений (8) и из неравенств (9) имеем
у
|pp+1Kj(|a||yp| + |6|| wp\ + |c||up|)(x, y')dy'^
О
У
< ((* + у'У (Iа I + Iь I + Iе 1) /) dy' <
О
< + - *p+1] < MKP+1 лйж*
что и утверждалось. Из оценок (9) следует регулярная
(см. § 1.3) сходимость рядов
w = S wp> v = 2 vv, ^=2^1 (Ю)
Р—0 Р=0 р=0
которые мажорируются равномерно сходящимся на П
рядом
М 2 к? Il+eIL = MeK(x+v\ (И)
Р=1 р
Построенные функции и, и и w непрерывны на П. Дока-
жем, что они удовлетворяют системе (6). Установим это,
например, для первого из уравнений (6). Суммируя пер-
вое из рекуррентных соотношений (8) по р от 0 до N и
§ 15J
МЕТОД РИМАНА
257
пользуясь (7), получим
Л! у N-1
5 Uv (х, у) = ф J (х) 4- J 2 и>р {х, у') dy’t N = 1г21
1Р~0 0 р=о
Переходя в этом равенстве к пределу при 7V -> <» и поль-
зуясь равномерной сходимостью рядов (10), получим пер-
вое из уравнений (6).
Докажем единственность решения системы уравнений
(6) в классе С’(П). Для этого достаточно доказать, что
соответствующая однородная система (6) имеет только
нулевое решение (см. § 1.11). Пусть и*, р* и w*— реше-
ние однородной системы (6), |и*| Л/, |г?*| М и |ш*|
М. Так как функции ир =*= и*, ир = р* и wp = w* удов-
летворяют рекуррентным соотношениям (8), то, по дока-
занному, для них справедливы оценки типа (9):
h*(*.,(<1 p = li2,...
Переходя к пределу при р -> % получаем и* = у* = w* =
= 0, что и требовалось.
Докажем непрерывную зависимость решения от дан-
ных /, ф! и ф2. Пусть /, ф1 и ф2 —- другие данные, причем
I/—71<е, |ф1 — <pi|
I ф2 — ф2 К 82,
С 81, | ф! — ф! |
I ф2 — ф2 | < 82-
(12)
Обозначим через и и й соответствующие решения задачи
Гурса. Тогда найдется такая постоянная С, что
| и — и | С (е + + 82 "Ь
| Ux ’ ЫХ | С (& -j- 8j + 8^ -f- 82 + С2),
\иу — Uy | С (е + 81 + 8Х + 82 + 82),
| иХу — иху | С (б + 8! 4- 8i + 82 + 82).
(13)
Действительно, функция и — й есть решение задачи
Гурса с данными / — /, ф! — ф1 и ф2 — ф2. По доказанному
функции и — й, v — v и w — w, определяемые соответ-
ствующими рядами (10), мажорируются на П величи-
ной (И),
max [шах \и0 — м01, шах 1р0 — г?01, шах |ш0 — ®01]ек(х+!/)1
17 в, С. Владимиров
258
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ш
т. е., в силу (7) и (12), величиной
шах шах | cpi — Ф11, max
у
<Pi — Ф1 + J (/ — 7) (ж, у') dy'
О
шах
X
<Р2 — ф2 + J (/ — 7) (*', У) dx’
О
/(хо+^о)
С (s + 61 + 81 + е2 + 82)©
Отсюда, а также из соотношений (3) и из уравнения (1)
следуют оценки (13).
Резюмируем полученные результаты в виде следую-
щей теоремы.
Теорем а. Если функции a, b, с, f непрерывны на П,
^о]), i/o]), ф1(0)_== <р2(0), то решение
задачи Гурса (1) —(2) в классе С1 (П) существует, един-
ственно и непрерывно зависит от данных f, фь <р2 в смыс-
ле (12) -(13).
2. Формула Грина. Пусть функции а, Ь, ах и Ьу не-
прерывны на замкнутой ограниченной области С с ку-
сочно-гладкой границей S и п — внешняя нормаль к 5.
Тогда для любых функций и и__и класса С1^) и таких,
что и^ и иху непрерывны на G, справедливо равенство
(формула Грина)
^(vLu — uL*v) dxdy — j* И-у ----~ + auvj cos (nx) +
G 8
+ (4 £—4 £ + bllv)cos dS,:
где I/* — дифференциальный оператор, формально сопря-
женный с оператором L (см. (3) § 11.1),
дхду дх ду
Формула (14)
сти G тождества
получается интегрированием по обла-
vLu — uL*v =
д / v ди
дх 2 ду
и dv ,
2 ^j + aUV
V ди и ди , у ’
2 ТХ--2 Tx + bllV
МЕТОД РИМАНА
259
§ 15]
и применением к интегралу в правой части формулы
Гаусса — Остроградского *).
3. Функция Римана. Функцией Римана оператора L
называется функция Й(я, у\ g, ц), удовлетворяющая ус-
ловиям:
1) функция 5?, и непрерывны по совокуп-
ности переменных (х, у; g, rj) на IT X П;
2) при каждой (g, т|)^П функция 5? удовлетворяет
уравнению
L*x,y)^ (х, у, I, т|) • О, (z, у) «= П,
и условиям на характеристиках х = % и у = ц (рис. 71)
X у
§b(x',r\)dx' ^a(^tyf)dy'
= . (15)
Из условий (15) выводим:
^(£, ц; Л)=1, (16)
= Ь(х, ^Jx^ = <z(g, у)^\х^. (17)
В соответствии с этим определением функция Римана
$*(#, У\ В, л) оператора £* непрерывна па П X П вместе
с производными и удовлетворяет уравнению
Лх, У)^ = 0 на П и условиям на характеристиках х ®= §
*) Для областей на плоскости эта формула часто называется
формулой Грина.
17*
260
ФУПДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. 1П
И у = Л
х у
SI* = е , SI* = е , (15*) '
так что
^*(g, п; П)= 1, (16*)’
SI* L=n = — ь (х’ п) SI* Ь~п’ Si* L=| = — а (1, у) SI* |х==|.
(17*)
Теорема. Если функции а, Ь, с, ах и Ьу непрерыв-
ны на П, то функция Римана Я существует, единственна
и справедливо равенство
Sl(x, у; g, ri) = ^*(g, л; (18)
где SI* — функция Римана оператора L*.
Доказательство. Так как характеристические
данные (15) принадлежат классам С1 ([0, я0]) и
С*([0, Уо\) соответственно, то по теореме § 15.1 при каж-
дой (£, л)е П существуют и единственны решения четы-
рех задач Гурса в прямоугольниках Пь П2, П3 и П4 *)
(рис. 71) для уравнения L*u = 0 с данными (15) . Это ре-
шение обозначим через Sl(x, у; g, л)-
По построению функция 5? непрерывна по (х, у)_на П,
функции Slx, Slv и Slxy непрерывны по (х, у) на П<, i
= 1, 2, 3, 4 (теорема § 15.1). Докажем, что Slv непрерыв-
на по (х, у) на 1L_ Для этого рассмотрим задачу Гурса
в прямоугольнике П2 U П3 для уравнения L*v = 0 с дан-
ными на характеристиках х = £ и у = 0:
f
J a{l,y')dyf
|х—&= e SI (хх 0; ц). (19)
Так как данные (19) принадлежат классу то по тео-
реме § 15.1 существует единственное решение v &
е С1 (П2 1Ш3). Поэтому v = St на П2_и, следовательно,
v ~ SI на П3. Таким образом,^_СЧ (П2 U П3). Аналогич-
но доказывается, что St С1 (П4 U П4). Но на линии х = %,
в силу второй из формул (17), функция Sly непрерывна.
Поэтому Sly непрерывна по (х, у) на П. Аналогично до-
*) Если точка (£, л) лежит на границе П, то соответствую-
щие прямоугольники Щ вырождаются.
§ 151
МЕТОД РИМАНА
261
называется, что и непрерывна по (я, у) па П. Но тог-
да из равенства b(x,j/) 5?==0, (ж, у)е Щ £== 1, 2, 3, 4, вы-
текает, что fftxy непрерывна по (я, у) на П и удовлетворя-
ет уравнению у^=0 на П.
Непрерывность функций 5?, 5?у__и SZxy по совокуп-
ности переменных (я, у; £, ц) на ПХП следует из непре-
рывности этих функций по (х, у) на П и из непрерывной
зависимости решения задачи Гурса от данных (15) в
смысле (12) —(13).
Докажем равенство (18). Пусть точки (£, ц)^П и
(£ь П. Считаем для определенности < £ и тр < ц.
Применяя формулу Грина (14) к функциям н =
= Й?*(я, у; |i, Ц1) и v = ffi(x, у- g, ц) и к области G ==
=[(я, y)'4i<x<l Ц1 < У < л] (рис. 71) и пользуясь
равенствами Z/*$? = 0, L$* = 0, (15) —(17) и (15*) —
(17*), получим соотношение (18):
0 =
£
С ( & д$* дУ1
2 дх 2 дх
dx +
2/=^!
У=Т)
л
дЯ.
2 ду
£
а
dy =
= 4^ & п; ь
— 4 ^(Si, 'п; & *1) n; ?i> nJ +
+ 4 (S, Th; п) 52* (g, T1J Tlx) —
-4й S’ (Si, -Hi; £i> Th)+
+ 4 (S, n; & n) & n; Bi, nJ —
262 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
ill? £г 1]) (£. П1! £i>. Di) +
+ 4 й (£1- Л) %* (£i. п; £и П1) -
- 4^ (Sit т; Ъ п) Я* di., nr. £v iii)=
« & п; Hi) — (£i, т; £. п)«
если < £ и т)1 < т]. Аналогично рассматриваются и ос-
тальные случаи. По непрерывности равенство (18) оста-
ется справедливым на II X П. Теорема доказана.
Пример. Функция Римана для уравнения иху + си =»
= О, с — постоянная, имеет вид (см. § 11.12, к))
у, I, Т])= Л [V4c(g - х) (Т) - J/)],
где Jo — функция Бесселя (см. ниже, § 23).
Физический смысл функции Римана.
Пользуясь формулой Грина (14), можно показать (ср.
§ 6.5, g)), что функция
у\ ц)-0(я~£)е(^~т])$(х, у; g, ц)
удовлетворяет уравнению
£(* (^ У\ & П) === б (х — £) • б (у — т])*
Поэтому функцию & можно истолковать как возмущение
в точке (я, у), порожденное точечным источником интен-
сивности 1 в точке (%, ц). Таким образом, функция (S
является естественным обобщением фундаментального
решения (см. § 11.2) на уравнения с переменными коэф-
фициентами гиперболического типа.
4. Задача Коши. Пусть G обозначает треугольную
область, ограниченную характеристиками £ = xQ и т] = yQ
и отрезком гладкой кривой S == [ц == а(|)]. Для опреде-
ленности считаем, что кривая S проходит через точки
(х01 0) и (0, у0) (рис. 72). Предполагаем, что кривая S
нигде не касается характеристик, т. е, oz(£)<0, 0^
Поставим следующую задачу Коши для уравнения
(1) в области G (см. § 4.2). Найти функцию и(х, у),
и^С1 (С), иху е C(G), удовлетворяющую уравнению (1)
в G и данным Коши на S:
и |х = “о< £ |а = ы1- <20>
8 15]
МЕТОД РИМАНА
263
Как показано в § 4.3, задание и и на S эквива-
лентно заданию и, иу (или их) на S, в силу соотношений
cos (пх) = у, cos (пу) = — А = v 1 + (о')2; (21)
» о' I 1
^х Ь + иу |s = uQx |s> ux Is -Д-uy |2 "д' == ul' (22)
С помощью функции Римана представим решение
задачи Коши (1) — (20) в явном виде.
Теорема. Если S — кривая класса С2, функции а,
h, с, ах и Ьу принадлежат С(П), /eC(G), uQ[x, o(.r)]s=
^С2([0, я0]) и ih[x, о (я)] е С1 ([0, а?0]), то решение зада-
чи Коши (1) — (20) существует, единственно и выража-
ется формулой Римана
u (zr, у) = -у и0 (xv у) SI Сг1? у\ х, у) +
j
+ ~2 и о (*, У1) & (*’, У\\ У) +
2ху
+ (23)
\ 4r UI j 4 с/1| / J е/
Gxy
еде Gxy и SXJ/ — части области G и кривой S, лежащие
между характеристиками 1, = х и v^y; y^o^Xi), yt ***
^с^х) (см. рис. 72).
Доказательство. Пусть и(х, у") — решение вада*
чи Коши (1)~~,(20). Та^ как то
264
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
ef(G). Фиксируем точку (х, у) из области G. Приме-
няя формулу Грина (14) к функциям и(£, ц), v =з
«=$!(£, ц; х, у) и к области Gxy, получим
х
[ + ^ +
j j л ) л=у
иху Х1
У
И. ди и д$, . j
тг «,-т Ti, + *1-
ди и д& г .
т~гт < + мГ +
^ху
. / & ди и д№ , 1 /о/ч
+ (Т drj F дц + au^j ^J* (2 *)
Пользуясь соотношениями (15) — (17), преобразуем пер
вые два слагаемых в правой части равенства (24):
у] ^(нй)
xi
1 1
= у и(®> у)-----2" и У' Х' У)'
и аналогично:
+ аиЯ
= -у и (.г, у) — и (х, у±) Я (х, уд, х3 у).
Подставляя полученные выражения в формулу (24), по-
лучим представление (23).
Докажем единственность решения задачи Коши (1) —
(20). Действительно, если и — решение соответствующей
однородной задачи (т. е. при / = 0 ио = ^1 = О и тогда,
в силу (22), их1х = иу\ъ = 0), то формула (23) сразу даст
и = 0, что эквивалентно единственности (см. § 1.11),
§ 15]
МЕТОД РИМАНА
265
Осталось доказать существование решения задачи
Коши (1) — (20). Для этого достаточно установить суще-
ствование решения этой задачи при н0 == Hi = 0. Действи-
тельно, вводя новую неизвестную функцию
v = u — uQ\x, о(я?)] — [у — o(rr)]uy[ar, o(rr)],
мы придем к уравнению (1) с измененной правой частью
Д и нулевыми данными Коши на S. Из условий гладко-
сти функций н0, Uj и о следует, в силу (22), что
иу[х, о (я)] е С1 ([0, £о]), и потому Lv == fL & C(G).
Таким образом, осталось проверить, что функция
U (х, у) = f 5? (g, n; х, у) / (£, 1]) dl d*1, / е= С (G), (25)
Gxy
есть решение задачи Коши (1) —(2СН с нулевыми дан-
ными Коши. Очевидно, u^C(G) и н|2 —0. Далее, в си-
лу формулы (18)
^?(В, 1); х, у) = &*(х, у, g, л)’>
(26)'
так что функции Й?Х(В, у), Л1 х, у} и
Л! х, У) непрерывны на П X П и L(x.y)5?(^, ц; х, у} =
= 0. Поэтому формулу (25) можно дифференцировать по
х и у по классическим правилам дифференцирования
интегралов по переменной области,
fe= J + Ti; X, y)f(x,f])d^r
Gxy У1
X
Yy - f ^/^л +
Gxy X1
У
+ Й (x, y; x, y) / (x, y) + J (x, л; X, у) / (x, tj) dy\.
У1
Из этих формул заключаем, что и С' (GJ,
и u„ls = 0, Пользуясь равенствами (16), (26) и (17*),
2G6 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
убеждаемся, что и удовлетворяет уравнению Lu = /,
Lu z=3 J L(Xi!0 5?/ di] 4-
Gxy
v
+ J kk, y)№&> n; x, y) + ^(*> n; x> у) тНи +
+ J p>(z, УЖ У, x, y) + ^-(S> У, y) /(£> y) <% + / =
*1L
У
« j к & y) & y\ %, n) + & y; ъ n)] f n) Ф1 +
У1 L
X
+ J Ь (x, y) 91* (x, у, I, y) 4- У, & J/)] f (£> У) + f = /•
xi
Теорема доказана.
Отметим некоторые качественные следствия, вытека-
ющие из формулы Римана (23). Из этой формулы видно,
что решение задачи Коши в точке (я, у) полностью
определяется значениями данных /, и0 и ut в замкнутой
треугольной области Gxy — области зависимости точки
(я, У) (ср. § 14.4). Поэтому, если эти данные изменять
вне фиксированной области Gx*y* (с соблюдением над-
лежащих свойств гладкости), то и решение будет ме-
няться лишь вне этой области. Таким образом, мы при-
ходим к следующему выводу: к данному решению зада-
чи Коши, зафиксированному в области Gx*y*, можно
присоединить вдоль характеристик £ == х* и rj == г/*, во-
обще говоря, различные решения, являющиеся его про-
должением.
Замечание. Существование классического решения зада-
чи Коши для уравнения колебаний струны установлено при всех
(см. § 13.4). Здесь мы доказали существование ре-
шения задачи Коши для уравнения (1) при всех /еС(£). Ослаб-
ление требований на / связано с тем, что решение уравнения (1)
ищется в более широком классе функций неСЦС), uxy^C(G)
(в этом случае иху = иух s С(G)),
§ 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 267
§ 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводно-
сти строится методом, аналогичным методу, изложенному
в § 13 для решения этой задачи для волнового урав-
нения.
1. Тепловой потенциал. В § 11.6 было показано, что
функция
|х|2
& (хг t) = ^~-пе ia2t
является (фундаментальным решением оператора тепло-
проводности. Эта функция неотрицательна, обращается
в нуль при t < 0, бесконечно дифференцируема при
(я, ^)¥=(0, 0) и локально интегрируема в Более
того (см. § 6.5, f)),
J % (х, t) dx = 1, t > 0; (1)
&(х, t)-+d(x), t-++0 в SY(Rn). (2)
График функции (S (х, Z) при различных t<rQ <
L< t2 < t3) построен на рис. 73.
Фундаментальное решение 8 (х, fj дает распределение
температуры от точечного мгновенного источника 6(х)Х
Х6(0- Поскольку 8(x, t)>0 при всех t>0 и х^Вп,
то, стало быть, тепло распространяется с бесконечной
скоростью. Но это противоречит опыту. Следовательно,
268
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
уравнение теплопроводности недостаточно точно каче-
ственно описывает механизм передачи тепла. Тем не ме-
нее это уравнение дает хорошее количественное согласие
с опытом (например, при больших х и малых t величи-
ной ё(х, t) с большой точностью можно пренебречь).
Более точное описание процессов переноса (тепла, ча-
стиц) дается уравнениями переноса (см. § 2.4).
Пусть обобщенная функция обращается
в нуль при t < 0. Обобщенная функция V = ё * /, где
ё — фундаментальное решение оператора теплопроводно-
сти, называется тепловым потенциалом с плотностью /.
Если тепловой потенциал V существует в S5'(7?n+l),
то, в силу теоремы § 11.3, он удовлетворяет уравнению
теплопроводности
^ = а2Д7 + /(х, /).
(3)
Из теоремы § 7.6 следует, что если / — финитная обоб-
щенная функция и обращается в нуль при t < 0, то теп-
ловой потенциал заведомо существует в J0z(/?n+1).
Выделим еще один класс плотностей /, для которых
тепловой потенциал существует. Пусть «< —класс функ-
ций, обращающихся в нуль при t < 0 и ограниченных
в каждой полосе 0 t < Т.
Теорема. Если то тепловой потенциал V
с плотностью f существует в классе Л и выражается
формулой
t |х—£|2
V (Г, t) = ( ( —ХЦ е~ 4a2(t—т) dXi (4)
' J J [2аУя(1 — T)]n ' '
0 Bn
Потенциал V удовлетворяет оценке
|V(£, sup |/(g, т)|, />0, (5)
и начальному условию
x&Rn
OZZjO, f-> + 0, (6)
Если к тому же функция и все ее про-
изводные до второго порядка включительно ограничены
в каждой полосе^ то V C2(t > 0)/1 С1 (£ > 0).
§ 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 269
Доказательство. Так как функции & и / локаль-
но интегрируемы в Rn+i, то их свертка
t
J J /(5. dx
0 Rn
существует и является локально интегрируемой функцией
в Rn+i, если функция
t
h(z, 0 = 11 1/^’ dx
0
локально интегрируема в 7?n+1 (см. § 7.4). Проверим, что
это условие выполнено. Так как h = 0 при t < 0, то до-
статочно установить, что функция h удовлетворяет оцен-
ке (5) при £>0. Это следует из равенства (1) в силу
теоремы Фубини:
sup
Л (х, t)
l/(^T)|f t-x)cB-dx~
0 .<•
= t sup I / (g, r) I, t > 0.
(7)
Таким образом, тепловой потенциал V = (S * / пред-
ставляется формулой (4). Так как то этот по-
тенциал обращается в нуль при t<0 и, в силу (7),
удовлетворяет оценке (5). Это значит, что V^ Jt, Из
оценки (5) следует, что V удовлетворяет начальному
условию (6).
Совершая в формуле (4) замену переменных интегри-
рования
^ = x — 2a^sy, x = t —
представим ее в виде
t
V = J J / G — 2а /s J — s) е-1У|2 dy ds. (4')
0 Rn
Пусть функция /е£2(^0) и все ее производные до
второго порядка включительно содержатся в классе М,
Тогда, пользуясь теоремами о непрерывности и диффе-
ренцируемости интегралов, зависящих от параметра Хсм.
270 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
§ 1.5), из формулы (4') и из равенства
I ^T^-2a^~s y’t-^e-M2dyds +
О Rn
+ J j (я — 2а Vt у, + 0) е-М2 dy
Rn
выводим, что функции V, Vx., Vt, Vx.x., Vx.t непрерывны
при t > 0, a V tl непрерывна при />0. Теорема доказана.
2. Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой по-
тенциал Т(о) с плотностью / = uQ (х) • б (t) называется по-
верхностным тепловым потенциалом (простого слоя с
ПЛОТНОСТЬЮ Но),
7(0) ==<?? * [но(^) • 6(£)] = <F(rr, t) * и0 (х].
Если Но финитна в /?п, то поверхностный тепловой
потенциал Т(о) заведомо существует в 3)' (7?n+1) (см.
§ 7.6).
Следующая теорема дает еще один признак существо-
вания поверхностного теплового потенциала и его
свойства.
Теорема. Если и0(х)— ограниченная функция в Rn,
то поверхностный тепловой потенциал Т(0) существует
в Л, принадлежит классу С°°(£>0), представляется ин-
тегралом Пуассона
(8>
Rn
и удовлетворяет неравенству
|Ио)(^о|<йир|,7()©|) />0. (9)
£
Если к тому же функция и0(х) непрерывна в Rn, то
потенциал 7(0) еС(^О) и удовлетворяет начальному
условию
V(O’l,=o = Uo(^). (10)
Доказательство. Так как функция
Цх, /) = J|u0(g)|^(x-^ f)(%
обращается в нуль при £<0, а при £>0, в силу (1),
§ 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 271
удовлетворяет оценке (9):
h (х, t) < sup | «0 (g) | (x - g, t) = sup | u0 (£) I,
то эта функция локально интегрируема в Rn+l. Следова-
тельно, поверхностный тепловой потенциал У(0) ==»
==^(^, t)*u0(x) представляется формулой (8) (см.
§ 7.4):
V<0)M = (8')
обращается в нуль при t < 0 и, в силу неравенства
I V(0) I h, удовлетворяет оценке (9). Это значит, что
Далее из формулы (8) следует, что V(o) е С°° (I > 0)'
(см. § 1.5).
Пусть теперь п0 — непрерывная ограниченная функция
в R\ Докажем, что потенциал V(0) С0) и удовлет-
воряет условию (10).
Пусть (х, t) -> (х0, 0), t>0 и е > 0 — произвольное
число. В силу непрерывности и0(х) существует 'такое
ЧИСЛО 6>0, ЧТО 1ко(^)~ Uq(Xq) I < е при — я0! < 26.
Поэтому, если lx — гг01 <6, то 1х — у — х01 < 26, если
IZ/I < 6, и в силу (1) и (8') при £>0 имеем
I У<0) (х, t) - u0 (xu) I < J I u0 (B) - u0 (z0) I s (x - t) -
= J I u0 (* ~ y) — «0 (*o) I & (У’ 0 dy +
+ J I Uo (x — y) — u0 (ar0) I S (y, t) dy <
1И>0
< e + slip ] u0 (g) | J e ,s|2d£.
Второе слагаемое в (И) также можно сделать <8 за
счет t 0, так что при некотором 61 =С 6
|7(0)(я, /)— uQ(x0) I < 2е, 1х — я01 <6i, Id <6l
Теорема доказана.
Замечание. Формула (8) формально вытекает из форму-
лы (4), если в ней положить /(§, т) = н0(£) • 6(т) и «проинтегри-
ровать» 6(т),
272 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравне-
ния теплопроводности. Схема решения задачи Коши, из-
ложенная в § 13.1 для обыкновенного линейного диффе-
ренциального уравнения, применяется и для решения
задачи Коши для уравнения теплопроводности
^ = а«ДМ + /(х101 (12)
н|/==0 = (13)
Считаем и u0^C(Z?n). Предположим, что
существует классическое решение и(х, t) этой задачи.
Это значит, что и е С2 (I > 0) Я С (t > 0), удовлетворены
уравнение (12) при t>Q и начальное условие (13) при
t -> 0 (см. § 4.2).
Продолжая функции и и f нулем при t < 0, как и
в § 13.2, заключаем, что продолженные функции й и
удовлетворяют в уравнению теплопроводности
= а2Д и + / (х, 0 + и0 (х) 8 (/)• (14)
Равенство (14) показывает, что начальное возмущение
и0 для функций й(х, t) играет роль мгновенно действую-
щего источника и0(я)-б(£) (типа простого слоя па плос-
кости t = 0) и классические решения задачи Коши (12) —
(13) содержатся среди тех решений уравнения (14),
которые обращаются в нуль при t < 0. Это дает основа-
ние ввести следующее обобщение задачи Коши для урав-
нения теплопроводности.
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопро-
водности с источником F е ЗУ (Rn+i) назовем задачу о
нахождении обобщенной функции и ЗУ (Rn+1), обра-
щающейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей уравне-
нию теплопроводности
~ — а2киУР(х,t). (15)
Уравнение (15) эквивалентно следующему (см. § 11.1):
для любой y<=3)(Rn+l) справедливо равенство
— = а2 Д(₽) + (F> Ч’)- (15')
Из уравнения (15) следует, что необходимым условием
разрешимости обобщенной задачи Коши является обра-
щение в нуль F при t < 0.
§ 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 273
Замечание. Уравнение (14) фактически есть тождество
ди 9 (ди 9 1
— (тки — — а Ди| + и (х, + 0) • 6 (Q, (16)
; справедливое для любой функции weC2(i>0) Пб'(^^О), обра-
щающейся в нуль при t <Z 0 и такой, что щ — а2Аи е C(t 0).
f 4. Решение задачи Коши.
Теорема. Пусть F(x, t)=f(x, £) + и0(х)'• 6(f), где
и uQ — ограниченная функция в Rn. Тогда решение
соответствующей обобщенной задачи Коши существует
и единственно в классе Л и представляется формулой
Пуассона
t |х-||2
। и (х, t) = С f —--е 4а +
* k ' J J [2a 1/л (Л- т) n b
о R™
I X-II2
+ -^L-fu0©e (17)
v (2a у nt) 3
! Rn
Решение и непрерывно зависит от f и uQ в следующем
смысле*, если
I/ — f I =С 8, |н0 — WOI 80,
то соответствующие решения и и й в любой полосе
удовлетворяют оценке
5 lu(x, t) — й (х, t) I С Те + 80. (18)
Если к тому же /eC2(i>0), все ее производные до
второго порядка включительно принадлежат классу Л
и u0^C(Rn), то решение и(х, t)—классическое.
* Доказательство. В силу условий теоремы сверт-
ка <о с правой частью F уравнения (15) существует в Л
и представляется в виде суммы (17) двух тепловых по-
тенциалов V и У(0), и эти потенциалы выражаются фор-
мулами (4) и (8) соответственно (см. теоремы §§ 16.1 и
16.2). Таким образом, по теореме § 11.3 формула (17)
дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения
теплопроводности и это решение единственно в классе
j Л. Непрерывная зависимость решения и от данных за-
дачи / и uQ вытекает из оценок (5) и (9) .
Если функции / и uQ удовлетворяют дополнительным
. условиям гладкости, сформулированным в теореме, то по
теоремам §§ 16.1 и 16.2 построенное обобщенное реше-
18 в, С, Владимиров
274
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
ние и С2 (t > 0) П C(t > 0) и удовлетворяет начальному
условию (13). По лемме § 11.1 и(х, t) удовлетворяет
уравнению (12) в каждой точке области t>0. Поэтому
и — классическое решение задачи Коши (12) — (13). Тео-
рема доказана.
Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для
уравнения теплопроводности поставлена корректно (см.
§ 4.7), причем C2(t > 0) A C(t > 0), даи^Л, |а| 2 —
класс корректности классической задачи Коши и Л —
класс корректности обобщенной задачи Коши,
Замечание. Единственность решения задачи Коши для
уравнения теплопроводности можно установить в более широком
классе, а именно в классе функций, удовлетворяющих в любой
полосе 0 t Т оценке
| и (х, 0 | < Стеат^ ,
5. Упражнения, а)
задач
Показать, что решениями смешанных
щ == а2ахх, н| /=о izo(rr),
1) н[х=зо = Ф(0, 2) Нх]х=о=ф(0
являются соответственно функции
, , , ~ , о (х, t)
1) и (xt t) = & (х, t)*uQ (х) — 2а1-----------------------*ф (0 =з
оо
о
(х-Ра (х+£)2~
4«2/ _ е 4<Л
t
1 х Г (т) е
2а ~[/л J (Z — т)3/2
о
4а* G~T)dT,
2) и (х, = & (х, t)*uQ (х) — 2с? (х, (0 =»
оо
о
(х-£)2 (х+£)2
4а2/ । е &c?t
t
а С (0
Т/л J ~\/t — т
о
4a2{t~x)dT.
Здесь i?o С([0, оэ)) ограничена, uQ и uQ — ее нечетное и четное
продолжения соответственно и ф е С([0, оо)), ф = 0, t < 0,
§ 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 275
Ъ) Пусть функция uq(x) ограничена в Rn и обладает шаро-
вым предельным средним
1 Г
11m —— I
оо vnR J
п |х|<В
dx = а.
Доказать, что решение и (х, t) соответствующей задачи Коши для
уравнения теплопроводности стабилизируется к а при t -> оо, т. е.
1 х ] <R
lim и (xt t) ——> а,
оо
R — любое,
с) Пользуясь фундаментальным решением оператора Шре-
дингера (см. § И, 12, е)) показать, что задача Коши для одно-
мерного уравнения Шредингера (см. § 2.7) сводится к интеграль-
ному уравнению
яр (я, 0 = X
t т |х-£1а
J у ; (?i т) +
,"»0 |ж—£|а
е Ж
/ ч .5Л
4 ( т\ 1/2 г-—-
Х = Д —° е 4.
П \2пК /
d) Пользуясь фундаментальным решением оператора перено-
са (см. § 11.11), показать, что задача Коши для уравнения пере-
носа (см. § 2.4) сводится к интегральному уравнению
яр (xi si 0 “ ahv
яр [х — v (t —
т)$, т]е av(i ^ds'dT-j-
t
+ v J F [x — v (t — t) s, s, t] e“~av^~^dT: + ipQ (x — vis, s)
о
e) Показать, что задача Коши для уравнения Бюргерса ♦)
ut + иих = a2uXXl п[ f=0 = и0(х)
.2^
с помощью замены и = — 2а —сводится к
задаче Коши для
*) См. Дж. Уизем [1, гл. 4],
18*
276 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III
уравнения теплопроводности
Ф< = fl2(Pxx- ф 1/=0 = ГХР
S5 J“"®«
о
f) Показать, что нелинейное уравнение Шредингера
iut + иХх + v | и 12и — 0, v >» 0.
рмеет решения типа солитонных (см. § 14.8)
и
2а ехр [
v ch
,0-at)
ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегральными уравнениями называются уравнения,
содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Многие задачи математической' физики сводятся к ли-
нейным интегральным уравнениям вида
f Ж & у) <р (у) dy — f (х), (1)
G
ср (х) = A J Ж (х, у) ср (у) dy + / (х) (2)
G
относительно неизвестной функции ср (х) в области Gc
с=/?п. Уравнения (1) и (2) называются интегральными
уравнениями Фредгольма первого и второго родов соот-
ветственно. Известные функции Ж (х, у) и f(x) назы-
ваются ядром и свободным членом интегрального уравне-
ния; X — комплексный параметр.
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
здесь рассматриваться не будут.
Интегральное уравнение (2) при / = 0
ср (х) = А [ Ж (х, у) ср (у) dy (3)
G
называется однородным интегральным уравнением Фред-
гольма второго рода, соответствующим уравнению (2).
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
я|) (х) = А f Ж * (ж, у) (у) dy + g (х), (2*)
ф (х) = A j Ж* (х, у) ф (у) dyt (3*)
G
где Ж*(х, у)~Ж(у, х), называются союзными урав-
нениям (2) и (3) соответственно. Ядро Ж*(х, у] назы-
вается эрмитово сопряженным (союзным) ядром к ядру
у).
278 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Мы будем записывать интегральные уравнения (2),
(3), (2*) и (3*) сокращенно, в операторной форме:
ср = ЛАф + /, ф = ХА’ф,
if = + g, 4 ~
где интегральные операторы К и К* определяются ядра-
ми Ж(х, у) и у) соответственно (см. § 1.10):
(Kf)(x)^W(x,y)f(y)dy,
G
(K*f)(x) = $X* (х, y)f(y)dy.
G
К интегральным операторам и уравнениям примени-
мы все определения и факты, изложенные в §§ 1.10—-
1.12. Кроме того, оказывается полезным следующее опре-
деление: то комплексное значение Л, при котором одно-
родное интегральное уравнение (3) имеет ненулевые
решения из S?2(G), называется характеристическим чис-
лом ядра Ж(х, у), а соответствующие решения — соб-
ственными функциями этого ядра, соответствующими
этому характеристическому числу. Таким образом, харак-
теристические числа ядра Ж (я, у) и собственные значе-
ния оператора К взаимно обратны, а их собственные
функции совпадают.
§ 17. Метод последовательных приближений
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром.
Предположим, что в интегральном уравнении (2) область
G Ограничена в Z?n, функция / непрерывна па замкнутой
области G и ядро Ж (х, у) непрерывно на С X G (такие
ядра будем называть непрерывными).
Напомним определение норм в пространствах 2?2(G)
и C(G) и скалярного произведения в 2?2(G) (см. §§ 1.3
и 1.7):
(Л g) = j* / (*) g (*) dxf f, g^S’i (<7);
G
11/11 = |/fl/(^)|2^ = /eS’JG);
11 / lie = max |/(x)|t
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 279
Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным
ядром Ж(х, у) переводит (2?2(G) в C(G) (и, следователь-
но, C(G) в C(G) и S?2(G) в S?2(G)) и ограничен, причем
НК/Пс МУЙ/П, / е s2 (G), (4)
< MV\\j\\c, f^C(G), (5)
И/П Л/711/11, / e S>2 (G), (6);
где
M == max | Ж (x, у) |, V = j* dy.
x^G.y&G G
Доказательство. Пусть f^3?2(G). Тогда / —
абсолютно интегрируемая функция на G_(cnl § 1.7) и,
поскольку ядро Ж (х, у) непрерывно на G X G, функция
(Kf) (х) непрерывна на G. Поэтому оператор К перево-
дит .^(G) в G(G) и, в силу неравенства Коши —Буня-
ковского, ограничен:
[ Kf ||с = max | (Kf) (х) | = max
kgG xgG
\ Ж (х, у) f (у) dy
G
< max У J | Ж (x, y) |2 dy 1 / J | / (y) |2 dy < M V V ] /1|.
x^G V G
Аналогично, проще, доказываются неравенства (5J и
(6). Лемма доказана.
Для того чтобы интегральный оператор К с непре-
рывным ядром Ж (х, у) был нулевым в 2?2(G), необхо-
димо и достаточно, чтобы Ж(х, j/)s0, x&G, y&G.
Достаточность условия очевидна, а необходимость
вытекает из леммы дю Буа-Реймона (см. § 5.6): если
при всех f^S?2(G)
(Kf) (х) = §Ж (х, у) / (у) dy^Oi XG.
G
то
Ж(х, y)s0, xe=G, y^G.
Таким образом, мы установили взаимно однозначное
соответствие между непрерывными ядрами и соответст-
вующими им интегральными операторами.
Аналогично доказывается такое утверждение: если
(Kf, g) = 0 при всех f и g из 2?2(G), то К = 0 и, стало
быть, Ж (х, у] 0.
' 280 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Будем искать решение уравнения (2) методом после-
довательных приближений, положив <р(0) (х) = f(x)9
q>(p) (z) = A J Ж (х, у) ф(р-1) (у) dy + / (ж) = Жф(р-1) -f- /,
Докажем, что
Ф(₽) = 2 KhKhf, р = 0, 1, ... (8)
k=0
где Кк — степени оператора К (см. § 1.10).
Действительно, при р = 0 формула (8) верна: ср(0)
= /. Предполагая эту формулу верной при р и заменяя
в рекуррентной последовательности (7) р на р +1, полу-
чаем формулу (8) при р + 1:
Ф<р+1) = М<ф(р) + / =
р р р+1
= кк 2 + /==/+ 2 Kh+1Kh+lj = 2 KkKhf.
7г=0 k~0 k=0
Таким образом, формула (8) верна при всех р.
Функции (Kpf)(x), р = 0, 1, называются итера-
циями функции /.
По лемме § 17.1 итерации / непрерывны на С и в
силу (5) удовлетворяют неравенству
\\Kpj\\c = \\К(КР~Ч) llc MV\\Kp^j\\c
^(MV)2\\Kp~2jWc . .^MVy\\j\\c,
т. е.
р = о, 1, ... (9):
Из этой оценки следует, что ряд
2^(^ft/)W, (Ю)
называемый рядом Неймана, мажорируется числовым
рядом
оо
\\f\\c 2
k=0 1
I
сходящимся в круге | К | <; Поэтому при этих К ряд
(10) сходится регулярно (см. § 1.3) по определяя
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
281
тем самым непрерывную на G функцию ф(я). Это зна-
чит, в силу (8), что последовательные приближения
Ф(р) (х) при р оо равномерно стремятся к функции
Ч>(*):
XGG оо
ф(р) (ж)_£ ф (х) = 2 ( Khf) (хХ р-^ со, (12)
k—о
причем, в силу (11), справедлива оценка
.. „ п/ис
||ф||С< 1 —|Х|МГ
(13)
Докажем, что функция ф(ж) удовлетворяет интеграль-
ному уравнению (2). Действительно, переходя к пределу
при р -* оо в рекуррентном соотношении (7) и пользуясь
равномерной сходимостью последовательности ф(р) (ж) к
ф(х) на G, получаем
ф (ж) = lim ф(р) (ж) = % J У£ (х, у) lim ф(р-1) (у) dy + / (х) =
|р->оо g (р-^оо
— к \ Ж (хх у) q (у) dy + f (х).
G
Докажем единственность решения уравнения (2)’ в
классе ^(G), если И1<д7у- Для этого достаточно по-
казать, что однородное уравнение (3) имеет только пу-
левое решение в этом классе (см. § 1.11). Действитель-
но, если фо е S?2 (G) —- решение уравнения (3), ф0 =
*=ХКф0, то, по лемме § 17.1,
11ф011 1ШИф011,
откуда, благодаря неравенству |Х|Л/7<1, следует Нф0И =*
в 0, т. е. ф0 = 0, что и требовалось установить.
Резюмируем полученные результаты в следующей
теореме.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Фред-
гольма (2) с непрерывным ядром Ж(я, у) при |^|<
имеет единственное решение ф в классе С(Д} для
любого свободного члена f &С (Д). Это решение представ-
ляется в виде регулярно сходящегося на G ряда Неймана
(12) и удовлетворяет оценке (13). Другими словами,
в круге существует и ограничен обратный опе-
ратор (7 —ЛЯ)/1.
282
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
Замечание. Методом последовательных приближений мож-
но пользоваться для приближенного решения интегрального
уравнения (2) при достаточно малых |Х|.
2. Повторные ядра. Резольвента. Предварительно убе-
димся в справедливости равенства
W, g) = (f, K*g), / и у^ДС). (14)
Действительно, если / и g^S^2(G), то, по лемме
§ 17.1, Kf и K*g^2\(G), и поэтому
(Kf, g) = J (Kf) gdx = J Г [ Ж (х, у) f (у) dy] g (х) dx =
~ G
G G
f / (у) Г J % (x, y) g (*) dxl dy = J fK*g dy = (/, K*g).
G G
(15)
G
Лемма. Если Kh z = 1, 2,— интегральные операторы
с непрерывными ядрами Ж i{x, у) соответственно, то опе-
ратор К3 == К2К1 — интегральный с непрерывным ядром
Ж3 (z> у) = J «5^2 (*> у') у) dy'.
G
При этом справедлива формула
(W = К* К*. (16)
Доказательство. При всех f^S’2(G) имеем
(кзГ) (*) = (А2АХ/) (*) = f «^2 У') \ % 1(У’’ У) f (y'jdy dy'=*
G G
= [ Г f Ж2 (x, у’) Жх (у', у) dy' ] f (у) dy,
G
G
откуда и вытекает формула (14). Очевидно, ядро Ж3(х, у)
непрерывно при х G, у
Принимая во внимание равенство (14), при всех / и
g^2?2(G) получаем
(/, K*sg) = (Ksf, g) = (K.K.f, g) = (KJ, Klg} = (/, K*Klg)f
t, e.
(Л^-аТ^) = о,
и, следовательно, As = К(К*, что и эквивалентно равен-
ству (16) . Лемма доказана.
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
283
§ 17]
Из доказанной леммы следует, что операторы Кр
К(КР~')~(КР~')К, р = 3, ..— интегральные и их
ядра ЖР{х, у) непрерывны и удовлетворяют рекуррент-
ным соотношениям: «Ж (я, ?/)==J/’(.r, ?/),
Жр {х> у) = f Ж (х> у') %»-! (У > У) dy' =
о
= J Жр-Х {х, у') Ж {у', у) dy’, (17)
G
Ядра ЖР(х, у) называются повторными ядрами ядра
Ж(х, у).
Из рекуррентных соотношений (17) вытекает, что
повторные ядра удовлетворяют неравенству
\Жр(х, y)\^M>V*-1, р = 1, 2, ... (18)
Из оценки (18) следует, что ряд
2 ЬкЖк+1(х, у), х(=Сг y<=Gf (19)
fe=o
мажорируется числовым рядом
2 |к|'!м'‘+1г\
fe=0
j
сходящимся в круге | X | <Поэтому ряд (19) сходит-
j
ся регулярно при X <= С, у С, | К I — 8 при любом
е > 0. Следовательно, его сумма непрерывна в G х G х U i
MV
j
и аналитична по % в круге | X | < . Обозначим сумму
ряда (19) через 91(х, у, %):
91^У\ *)=
k=0
Функция Sl{x, у\ Z) называется резольвентой ядра
у).
Теорема. Решение ср интегрального уравнения (2)
с непрерывным ядром Ж (х, у) единственно в классе
C(G) при | h | < и для любого f<==C(G) представля-
284 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV
ется через резольвенту $,(х, у; Л) ядра Ж(х, у) по фор-
муле
ср (а?) = / (ж) + X [ 5? (х, у, X) / (у) dy. (20)
о
Другими словами, справедливо операторное равенство
(1-%К)-1 = 1 + кН( |А|<^, (21)
где R — интегральный оператор с ядром SZ(x, у; %).
Доказательство. По теореме § 17.1 решение ф
_________________________________ j
уравнения (2) единственно в классе C(G) при 1М<д7у
и для любой / е С(G) представляется в виде равномерно
сходящегося ряда Неймана (12). Подставляя в этот ряд
выражения итераций Khf через повторные ядра ЖДх, у)
и пользуясь равномерной сходимостью ряда (19) для
резольвенты (х, у; Z), получаем формулу (20);
ф(«) = f X ^•#’fe+i(*. У)
G L &=0
/ (У) dy + / (х) =
G
« X J (х, у, I) f (у) dy + f (х),
а
Теорема доказана. >
Докажем, что повторные ядра (К*)р(х, у) и резоль-
вента 5?* (^, у\ ^) эрмитово сопряженного ряда Ж*(х, у)
выражаются через повторные ядра JfP(x, у) и резоль-
венту исходного ядра У£ (х, у) по формулам
(*, У) == (*, у), р = 1, 2, ..., (22)
3?* (*» У, = Й(у, х- X), |Х| <-^у. (23)
Равенство (22) следует из формулы (16), согласно
которой
(Jf*)₽ = (^)* р = 1, 2, ...
Так как Ij^*(x, у) I = \У£ (у, х) I < М, то, по доказан-
ному, ряд (19) для резольвенты у, %) ядра Х!*(х, у)
сходится при х s у<^&, R | < jjp- Отсюда, пользуясь
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ £85
равенством (22), получаем формулу (23):
оо оо
st* У, ^)= X (х, У) = X ^1+1 к, у) =
А—О /1=0
ОО ' оо
= X ^k+i (У, х) = 2 ^k+1 (у, х) = Я (у, Х-, X).
k=0 k=o
Из (23) получаем
91* & У\ $ = & (У, %; (я, у; Z),
1
и, следовательно, в силу (21) справедлива формула
(Z - Uf*)-1 = I + П?*, IXI < 2р. (21*)
Замечание. Можно доказать, что резольвента &(х, у, X)
непрерывного ядра Ж(х, у) допускает мероморфное продолже-
ние па всю плоскость комплексного переменного X, причем по-*
люсами ее являются характеристические числа ядра Ж(х, у).
Это предложение ниже будет доказано для вырожденных и для
эрмитовых ядер.
3. Интегральные уравнения
область G есть интервал (0, а)
ется в нуль в треугольнике 0 *
кое ядро называется ядром
Волътерра, Интегральные
уравнения (1) и (2) с ядром
Вольтерра принимают вид
X
j М (х, у) <р (г/) dy = f (x)f
О
х
$(х) = К$Ж(х, у)<р (у) dy + f (х)
О
(24)
Вольтерра. Пусть п == 1,
и ядро Ж (я, у) обраща-
’.х<у<а (рис. 74). Та-
и называются интегральными уравнениями Волътерра
первого и второго родов соответственно.
Интегральные уравнения Вольтерра первого рода диф-
ференцированием сводятся к уравнениям второго рода
х
Ж (х, х) <р (х) + J —— ф («/) dy = /' (х)(
Q
286
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
если Ж {х, у) и у) непрерывны при О^у^х^а,
Ж(х, я)¥=0, х^[0, 4 С1 ([0, а]) и /(О) = О. Инте-
гральные уравнения Вольтерра первого рода здесь рас-
сматриваться не будут.
Предположим, что в интегральном уравнении (24)
/^С([0, я]) и ядро (х, у) непрерывно в замкнутом
треугольнике 0 у х а (см. рис. 74). В таком случае
|J4f (ат, у) I и интегральный оператор
X
(Kf) (х) = j Л (х, у) f (у) dy
О
переводит С([0, а]) в С([0, а]).
Как и для уравнения Фредгольма (см. § 17.1), опре-
делим последовательные приближения ф(р) по формуле:
ф(0) = /, Ф(₽)= 2 = ?.Л'ф(р-1) + /, /> = '1,2,...
h— О
(25)
Итерации Kpf е С ([0, а]) и удовлетворяют оценке
|(^/)(х)|<||Дс<^ х^[0,а], р = 0,1, ... (26)
Докажем оценку (26) но индукции по р. Для д = 0
оценка (26) верна. Предполагая ее верной при р — 1,
докажем ее для р:
I (А7) (*) | = | к (К*-1/) I = J Ж (х, у) (Kp~1f) (у) су
О
< м и ||с мр~' j dy - II / цс
о
Из оценки (26) вытекает, что ряд Неймана (10) ма-
жорируется на [0, а] сходящимся числовым рядом
mci>|*^ = l!/MX,M“ (27)
А=0
и потому сходится регулярно по х на [0, а] при любом
X, определяя непрерывную функцию ф(ж). Таким обра-
зом, в силу (25) последовательные приближения ср(р) при
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 287
р -> о© равномерно стремятся к функции ср:
ссе[о,а] оо
Ф<р)(;г)=Хф(я)= X Щя'УШ р->оо. (28)
k—o
При этом, в силу (27) , справедлива оценка
ll<pllc (29)
Переходя к пределу при р -> оо в рекуррентном соот-
ношении (25) и пользуясь равномерной сходимостью по-
следовательности ф(р) к ср на [0, а], заключаем, что по-
строенная функция ср (х) удовлетворяет интегральному
уравнению (24).
Докажем единственность решения уравнения (24)' в
классе С,[(0, &)] при любом %. Для этого достаточно по-
казать, что соответствующее однородное уравнение имеет
в этом классе только нулевое решение (см. § 1.11). Дей-
ствительно, если фо — решение однородного уравнения
(24), ф0 = Х/<ф0, то
ф0 = ХТЦЛЯфо) = Х2/<2ф0 ==...= 2ЛКрфо, р = 1, 2, ...
Применяя к этим равенствам оценку (26):
|ф0(ж)|==|^рф0|<|Х|р||ф0||с^, P=l,2, ....
и устремляя р к % получаем ф0 (х) = 0, х е [0, а], что
и утверждалось.
Сформулируем полученные результаты в виде следу-
ющей теоремы.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Волътер-
ра (24) с непрерывным ядром Ж (х, у) при любом X
имеет единственное решение ф в классе С ([0, а]) для
любого свободного члена /^С([0, а]). Это решение пред-
ставляется регулярно сходящимся рядом Неймана (28)
и удовлетворяет оценке (29).
Следствие. Непрерывное ядро Вольтерра не имеет
характеристических чисел.
4. Интегральные уравнения с полярным ядром. Ядро
где Ж (х, р)(= С(G XG), называется полярным ядром] ес-
ли то Ж (х, у) называется слабо полярным
ядром.
288
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
Для того чтобы ядро Ж (х, у) было полярным, необхо-
димо и достаточно, чтобы оно было непрерывным при
х^у, x^G, y^G и удовлетворяло оценке
I Ж G.i у) I < -—а < п' х G’ y^G-
к —1/1“
Действительно, необходимость условия очевидна, а до-
статочность следует из представления
= У(у)|Ж^Г+е * 0<е<п —а,
\х — у
где функция
Ж(х, у)=Ж(х, у)\х~у\а+в
непрерывна на G X G.
Лемма 1. Интегральный оператор К с полярным
ядром Ж (х, у) переводит C(G) в C(G), S?2(G) в S?2(G)
и ограничен-.
\\Kj\\c^mj\\c, f^c(G), (зо)
ИЯ/U УМУ*И/И, /^^(G), (31)
где
N = max I Ж (x, y) \dy,
x<=G G
N* ~ max J | Ж* (x, y) | dy.
xGG G
Доказательство. Пусть /^С(С). Тогда функция
(Kf) (x) = f ж (x, y) f (y) dy = f f (y) dy
непрерывна на G (см. § 1.6), так что оператор К пере-
водит 0(G) в C(G) и справедливо неравенство (30):
II lie = max f IЖ (х, у) f (у) dy\<
<11/Ис max f \Ж(х, y)\dy = 7V||/||C.
Цусть f^3?2(G). Пользуясь неравенством Коши—
Пуликовского, получаем
И/ II2 = JI Kf \Чх = f f Ж (х, у) / (у) dy 2 dx <
G G ~
< [ f/l Ж (x, г/)| /| Ж (х, #)| I f (у) I dyl~dx
Ь *
G
G
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
289
< j j | Ж (х, у’) I dy' J I X (хг у) 11 j (у) \*dy dx С
G G G
< N J | / (у) |2 J | Ж {х, у) \dxdy^NN*$\f (у) \Чу =
= W* II/II2,
откуда следует, что оператор К переводит S?2(G} в S?2(G)
и справедливо неравенство (31).
Лемма доказана.
Пользуясь доказанной леммой и повторяя рассужде-
ния § 17.1, заключаем, что теорема § 17.1 остается спра-
ведливой и для интегрального уравнения (2) _с полярным
ядром Ж(х, у) в ограниченной области GXG с заменой
MV па 2V: если |Х|<~, то в классе C(G) существует
единственное решение для любой f<=C(G) и это решение
представляется рядом Неймана, регулярно сходящимся
на G.
Лемма 2. Если у}—полярные ядра,
, А*
I У) К----------—^7» Wi<n, / = 1,2,
к ~ у I 1
и область G ограничена, то ядро
(х, у) = f (,т, у') Ж, (у', у) dy'
— также полярное, причем
I
если at + а2 > п,
(32)
I 41 I % — У I | + ^5» если а1 + а2
д^3(х, у) непрерывно на GXG, если ai + а2 < п.
Дока з а т е л ьст в о. Представляя полярные ядра
%\(х, у) в виде
Жг & У) = ----------5^, 0 < £ < П — CCi?
\х-У\ 1
где 5^г(<г, у)— непрерывные функции на G X G, перепи-
шем ядро Х\(х, у) в виде
19 В. С. Владимиров
290
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
j
Если ОС1 + а2 < п, то при е (п — 04 — а2), е > 0
4U
ядро Ж3(х, у) непрерывно на GXG (см. § 1.6). Если
же а! + а2> п, то, рассуждая, как и в §__1.6, заключаем,
что (х, у) непрерывно при х=£ у, x<^G, у ^G.
Таким образом, для доказательства леммы осталось
установить оценки (32) при at + а2 > п. Принимая во
внимание оценки для ядер
у), имеем
|Х8(», у) К
С_____________dy'____________
11 / 1^9 1 f 1^1 ’
у, I х — у' I 2 I у' — у I 1
Сг
x&G, y<^G,
Переходя в этом интеграле к но-
вым переменным интегрирования
ц = х — у' и заменяя полученную
область интегрирования на большую — шар UD, где D —
диаметр области G (рис. 75), выводим оценку
I (х, у) I < А,А2 J .....—.---------
и D Ini 21 — П I 1
Обозначая
к—у\~г> |^| = 1
и совершая в последнем интеграле замену переменных
интегрирования ц = г£, йц = rn dg, получаем
А—=
UD I Ь I I 5 fe I
(33)
В силу Id 1 интеграл в первом слагаемом представ-
ляет собой равномерно ограниченную величину
(34)
§ 17] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Учитывая при ||| >2 неравенство
291
оценим второй интеграл:
1F1 В
2<1|1< —
2%„
_____
|а1 + <Х2
п—1—сс, —а.
р 1
1 2dP
если
а1 + а2 > П\
если
(35)
aL + а2 »= п.
1<ISI<£
г
1
1
1 1 2
1 D
1П —
Из оценок (33) “(35) и-вытекают оценки (32). Лемма
доказана.
Из доказанной леммы следует, что все повторные яд-
ра ЖР(х, у) полярного ядра Ж(х, у)— полярные и удов-
летворяют оценкам
I у) I
4d*-^Fpa+(₽’1)n#
если ра — (р — 1) п> 0; /орч
Л|1п|^-У|| + в„ (36)
если ра — (р 1) тг = 0*
Начиная же с номера р0 = j + 1 повторные ядра
Жр(х, у) непрерывны. (Здесь [f] обозначает целую часть
числа Z > 0.)
Отсюда, пользуясь леммой 1 § 17.4 и рассуждая, как
в § 17.2, выводим, что резольвента полярного ядра
^(*, у\
№к+1(х,у)~
k—0
= (х, у, X) + (хх у, К)
(37)
представляет собой сумму двух слагаемых: полярного
19*
292
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IV
слагаемого
Р„-2
уЛ) = 2 У)
k=0
и непрерывного слагаемого
оо
Я2(*,у,К) = 2 KhXh+1(x,y). (38)
h=P0-l.
При этом ряд (38) сходится равномерно при х = G, y^G,
| Л 27 — е’ при любом е > О, определяя непрерывную
функцию $!2(я, У, Л) при x^G, y<^G, |Х|>— и ана-
1
литическую по Л в круге |Л|< —.
Из сказанного следует, что теорема § 17.2 остается
справедливой для интегрального уравнения (2) с поляр-
ным ядром Ж(х, у) при условии, что |Л|<-^-. Далее,
формулы (22), (23) и (21*) для (Х)(м), 52*(^Z/;^)
и (Z —ЛК*)""1, очевидно, также сохраняются, если |Л| <С—
•' |Х|<^.
5. Упражнения, а) Доказать, что резольвента ^(rr, у; Z) не-
прерывного ряда Ж(х, у) удовлетворяет интегральному уравне-
нию Фредгольма при | X | MV < 1:
St (х, у; X) =X [ Ж (х, у’) Я (у', у, X) dy’ +Х (х, у).
G
Ь) Пусть ядро Ж (х, у) интегрального уравнения Фредголь-
ма (2) принадлежит 2>2(G\G). Пользуясь оценкой (28) § 1.10,
доказать сходимость в ^(G) метода последовательных прибли-
жений для любой / <= ^2(G), если |Х|£ < 1.
с) Доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична во
всей плоскости комплексного переменного К (целая функция).
d) Пусть Ж С(х 0), Ж(х} — 0, х < 0. Доказать, что обоб-
щенная функция
ё (х) = б (х) + я (х), я = .ж * .у *... * зу
й—1 h раз
есть фундаментальное решение оператора (б — Ж) * в алгебре
(см. § 7.7 и 7.8). При этом ряд для $Цх) сходится равномерно
в каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
203
§ 18]
уравнению Вольтерра
й(ж) = + ж>0.
о
Функция (х — у) является резольвентой ядра Ж(х — у) при
А = 1.
е) Доказать, что при |Л| < 1 интегральное уравнение Милна
оо оо
о 151
имеет единственное решение (р — 0 в классе ограниченных функ-
ций на [0, оо).
f) Доказать, что при К < 1/2 решение интегрального уравне-
оо
ния Ф (я) = X J е~,5С“2/,ф (у) dy + / (х) единственно в классе огра-
—оо
ниченпых функций в R1 и выражается формулой
оо
<Р (*) = / (х) + у==^= J 1-П |ж_у1/ (у) dy.
—оо
g) Для интегрального оператора Пайерлса
доказать оценку N = 7V* < “ (1 — е-аГ>), где D — диаметр обла-
сти G с R3.
§ 18. Теоремы Фредгольма
В этом параграфе для интегрального уравнения Фред-
гольма
ф = Шр+/ (1)
с непрерывным ядром Ж (я, у) и союзного к нему урав-
нения
^===ZZ<*i|? + g (1*)’
будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Ядро
N
W у) — S AW М (2)
i=l
где fi и gi^C(G), называется вырожденным ядром.
294
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. IV
Без ограничения общности можно считать, что систе-
мы функций {/г, 1 < i N} и {gf, 1 < i < N} линейно не-
зависимы. Действительно, если это не так, то, например,
}n (х) = e Ji (я)+...+ Civ-i/iv-i (х)
и ядро Ж (х, ?/), в силу (2), принимает вид
Ж(х. у) =
N~1 N—l N-1
= 2 fi(x')gi(y)+ 2 Cifi(x)gN(y) = 2 fi(x)g*(y).
i~ 1 i=l i=l
Действуя подобным образом, через конечное число шагов
добьемся того, что в представлении (2) системы функ-
ций {/,} и {gi) окажутся линейно независимыми.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма с
вырожденным ядром (2)
N с
ф (^) = 2 fi (Ч J gi (у) ф (</) dy + / (х) (3)
г=1 g
и союзное к нему уравнение
- N - г-
Ф (*) = 2 gi (Ч fi (У) (У) dy + g (*)• (3*)
i=l £
Решения (р и ip интегральных уравнений (3) и (3*)
будем искать в классе С (<?).
Покажем, что эти уравнения сводятся к системам ли-
нейных алгебраических уравнений и потому могут быть
исследованы и решены известными методами линейной
алгебры.
Перепишем уравнение (3) в виде
N
ф (ж) = 2 Cifi (х) + / (ж), (4)
4=1
где
с» = f ф (у} gi (г/) dy = (ф, Ь) (5)
G
— неизвестные числа. Умножая равенство (4У на gft(#),
интегрируя по области G и пользуясь (5), получаем сле-
дующую систему линейных алгебраических уравнений
для неизвестных чисел ch
N с с
Ck = f-^1ci\gii(x')fi(x)dx+\gli(x)f(x)dx, (6)
»=1 JG G
§ 18]
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
295
Обозначая
«hi = J gh (*) fi (ж) dx,
G
ah = ^f (ж) gh <%) dx = (/, gh), (7)
G
перепишем систему (6) i
N
Ch = S «fciCi + ah, к = 1, 2, ,.N. (8)
i-l
Вводя матрицу А и векторы с и a:
А = (oCfei)) £ “ (^1? ^2’ • • •» = (^1’ ^2’ • • •1 ^iv)t
представим систему (8) в матричной форме:
с = КАс + а. (9)
Докажем, что интегральное уравнение (3) и алгебраи-
ческое уравнение (9) эквивалентны. Действительно, если
Ф^С(С)— решение уравнения (3), то как мы только
что показали, числа cf = (cp, gi), isl, 2, ..., N, удовлет-
воряют системе (8). Обратно, если числа г=1, 2, ...
..., N, удовлетворяют системе (8), то функция ф(^),
построенная по формуле (4), непрерывна на G и, в силу
(7), удовлетворяет уравнению (3):
N « N
<р (*) — X А (х) ! gi (у) <р (t/) dy — f (х) = к 2 Cifi (х) +
й»! 0 1=1
n г
+ 7(.r) —Х2 h(x) ]gt(y)
i-l g
ckfk(y) + f(y) dy—f(x)
N f N
S fi ('^') ( ^i ^k^ik
1=1 \ A=1
Обозначим через D(%) определитель системы (9),
D(X)==det(7-M), (10)’
и через алгебраическое дополнение матрицы
1 — кА. Ясно, что Р(Х) и Мм(У) — полиномы по X, при-
чем D(X)^'O, ибо D(0)==det7 = l.
Пусть (комплексное) число Z таково, что Л(Х)^0.
По теореме Крамера решение алгебраической системы (9)’
единственно и выражается формулой
N
W ait к = 1, 2, ..N, (И)
ХУ
г=1
296
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
Подставляя найденное решение (11) в формулу (4)
и вспоминая определение чисел ah, получим решение
интегрального уравнения (3) при £>(Х)=/=0 в виде
<р и=(%) /< и Jdy+/ (*)• <12)
С другой стороны, по теореме § 17.2 при достаточно
малых Z (и тогда D (X) =И= 0) это решение выражается че-
рез резольвенту 5?(х, у; X) по формуле (20) § 17.2. Сле-
довательно,
N
(13)
7 i,h—l
Таким образом, резольвента &(х, у\ К} вырожденного
ядра есть рациональная функция X и, стало быть, до-
пускает мероморфиое продолжение на всю плоскость ком-
плексного переменного % (см. § 17.2, замечание).
2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы по-
строили в явном виде решение интегрального уравнения
с вырожденным ядром. Здесь мы продолжим исследование
таких уравнений и установим условия их разрешимости.
Как и уравнение (3), приведем союзное к нему урав-
нение (3*) к эквивалентной системе линейных алгебра и-
ческих уравнений. Имеем
N __
ф (ж) = X 2 ^igi (*) + g (®)« (4*)
где di = (ip, fi) — неизвестные числа. Соответствующая
система линейных алгебраических уравнений, эквивалент-
ная уравнению (3*), имеет вид
N
4 = к = 1, 2, ..N, (8*)
где
Pfci = J fk (я) gi (x) dx = aik, bh = (g, fk)- (7*)
G
Таким образом, система (8*)—союзная к системе (8):
d = lA*d + b, (9*)
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 297
где
А* = (Рлг) = (^ih) = А\ d = {dv d2, dN)>
Ь (feV • * ” Ы’
Из курса линейной алгебры известно*), что определи-
тели и ранги матрицы и ее транспонированной совпада-
ют. Поэтому, в силу (10),
det (7 — L4*) = det (7 — М') =det (7 —M') = W),l
rang (7 — L4*) = rang (7 — M') = rang(7 — KA) = q.
Могут представиться два случая.
I. D(K)¥=6. Тогда q = N и системы (9) и (9*) одно-
значно разрешимы при любых а и Ь. Следовательно,
уравнения (3) и (3*) также однозначно разрешимы при
любых / и g и эти решения даются формулами (4) и
(4*) соответственно.
II. Z)(X) = O. Тогда q<N и, в силу (14), однородные
системы (9) и (9*) имеют ровно по N — q линейно не-
зависимых решений:
c(s} = (4S), 4S)>. • •, <№), dw = (4S\ 4S),...,
s=l, 2, N—q.
Однородные интегральные уравнения (3) и (3*) будут
также иметь ровно по N—q линейно независимых реше-
ний, определяемых формулами (4) и (4*) соответственно:
N Я
<ра (а) = X 2 cP’/i («), 'Ч’з (^) = ^ 2 dfgi (я), (15)
2=1 2=1
s = l, 2, ..., N-q.
Докажем линейную независимость полученных сис-
тем решений {ф8, 1 5 N—q} и {i]?s, 1 5 N—q}.
Пусть найдутся такие числа ps, 5 = 1, 2, ..., N—q, что
N—q
2 P^fs (я) = 0, х G,
8~1
т. е., в силу (15),
N N-q
2 /г (%) 2 CiS)Ps = 0, X G.
г=1 s=i
*) Используемые здесь сведения из линейной алгебры содер-
жатся, например, в кпиге Д. В. Беклемишева [1, гл. V].
298
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ IV
Отсюда, в силу лилейной независимости системы функ-
ций {/ъ 1 i С А}, вытекают равенства
i = l,2, ...,2V.
6-1
Поскольку система векторов {r(s), Is^s^A— q} линей-
но независима в RN, то из последних равенств вытекает
р8 == 0, s = 1, 2, N—q, что и доказывает линейную
независимость системы решений {ф8}. Аналогично уста-
навливается линейная независимость системы реше-
ний {ifJ.
Далее, для разрешимости системы (9) при D(Z)==0
необходимо и достаточно выполнение следующих усло-
вий ортогональности*):
2V
(a, t/(s)) = X = 0, s = 1, 2, ..., N - q. (16)
i=l
Условия (16) эквивалентны условиям
(Л *$«) = [ / (^) фа (я) dx = 0, 5 = 1, 2, ..., N — qf
G
поскольку, в силу (15) и (7),
J / (х) (х) dx =
G
N е - N
«= А, 2 J / СО Ь i (x) dx d\8} = X 2 aid(f = к (&, rf(s))*
i=l G
Итак, доказаны следующие теоремы, называемые
теоремами Фредгольма.
Теорема 1. Если Z)(X) =/=(), то уравнение (3) и со-
юзное к нему уравнение (3*) однозначно разрешимы
при любых свободных членах fug.
Теорема 2. Если D (К) = 0, то однородные уравне-
ния (3) и (3*) имеют одинаковое число линейно неза-
висимых решений, равное N — q, где q — ранг матрицы
I-KA.
Теорема 3. Если D (Л) = 0, то для разрешимости
уравнения (3) необходимо и достаточно, чтобы свобод-
ный член f был ортогонален ко всем решениям ife, s —
«= 1, 2, ..., N—q, союзного однородного уравнения (3*).
*) Это есть геометрическая форма теоремы Кропекера — Ка-
пелли.
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 299
Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические
числа вырожденного ядра совпадают с корнями полино-
ма О(к) и, следовательно,— их конечное число. Далее,
из формулы (13) для резольвенты вытекает, что харак-
теристические числа вырожденного ядра совпадают с по-
люсами его резольвенты (см. замечание § 17.2).
Зам ечапие. Может оказаться, что функции Д и gi в пред-
ставлении (2) вырожденного ядра зависят от комплексного па-
раметра %, а именно: пусть fi(x; X) и gi(x; X) непрерывны по
(я, X) в б X и аналитичны по 1 в круге иы. В этом случав
теоремы Фредгольма 1—3 остаются справедливыми при условии,
что |Х| < со.
Докажем, что определитель О (К)—аналитическая функция в
круге |Х| < со. Действительно, элементы матрицы А, вычисляемые
по формуле (7):
akiW = [ ^х' М fi W dx
G
— аналитические функции в круге |%| < со. Поэтому, в силу (10),
/)(%)—аналитическая функция в этом круге, причем j9(X)^0.
3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с непрерывным ядром. Доказанные в предыдущем пунк-
те теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с
вырожденным ядром допускают распространение на ин-
тегральные уравнения с произвольным непрерывным
ядром. Идея доказательства состоит в том, что непре-
рывное ядро представляется в виде суммы вырожденного
ядра и достаточно малого непрерывного ядра. Это дает
возможность, пользуясь результатами § 17 о разрешимо-
сти интегральных уравнении с малым ядром, свести со-
ответствующее интегральное уравнение к интегральному
уравнению с вырожденным ядром, для которого теоремы
Фредгольма уже установлены. Отсюда будет следовать
вывод о справедливости теорем Фредгольма для интег-
ральных уравнений с непрерывным ядром в ограничен-
ной области.
Итак, пусть ядро (х, у) непрерывно на G X С. По
теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) его можно приблизить
сколь угодно точно полиномами, т. е. для любого 8 > 0
существует такой полином
& (я, У) =
O«|a+P|<sN
(17)
что
IJf (х, у) — &>(х, у}|| < е, х е С, у <== Q.
300 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Таким образом, ядро Ж(я, г/) представляется в виде
Ж(х, у)-&(х, у)+$(х, у), (18)
где 0>(х, у)—вырожденное ядро (полином) и_^(.г, у) —
малое непрерывное ядро, \(3(х, у)\<&, x^G, y^G.
В силу (18) интегральное уравнение Фредгольма
принимает вид
Ф = Жр + Х(?(р + /, (19)
где Р и Q — интегральные операторы с ядрами SP(x, у)
и <2 (х, у) соответственно, причем Р + Q == К.
Покажем, что при|Х|< — в классе 0(G) интеграль-
ное уравнение (19) эквивалентно интегральному урав-
нению с вырожденным ядром. Для этого введем новую
неизвестную функцию Ф(ж) по формуле
Ф = ф — Х(2ф. (20)
По теореме § 17.2 функция ф однозначно выражается
через Ф по формуле
Ф = (Z - KQ) ~1Ф = (/ + MV) Ф, (21)
где R— интегральный оператор с ядром &(х, у; Z)—ре-
зольвентой ядра $(х, у). В силу (20) и (21) уравнение
(19) принимает следующий эквивалентный вид:
ф = ХР(1 + Х7?)Ф + / = А7Ф + /, (22)
где
Т = Р + IPR. (23)
Вспомним, что_резольвента (ж, у; X) непрерывна по
(ж, у; %) в GxGyJJ 1 и аналитична по Z в круге
eV
(см. § 17.2). Отсюда, принимая во внимание
лемму § 17.2, заключаем, что оператор Т — интеграль-
ный с непрерывным ядром
ЗГ (х, у, К) = ЗР (х, у) 4- A J ЗР (х, у') 5? (у', у, A) dy'.
G
Далее, из (17) вытекает, что ядро (х, у; X)-—вырож-
денное и аналитическое по X в круге |Х|<;—.
Теперь преобразуем союзное интегральное уравнение
(1*). В силу (18) Z<* = P* + Q*, и поэтому уравнение
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 301
(1*) принимает вид
(Z -!(?*) ф = Х/>*ф + g, (19*)
Применяя оператор (Z— к уравнению (19*) и
пользуясь равенством (21*) § 17.2,
(/— Д)*)^ = z + W?*, 1М<^. '
приведем его к эквивалентному уравнению
ф == (/ __ Х(?*) -1 (1Р*ф + g) = (Z + XZ?*) (7>*ф + g) -
-I (Р* + М?*Р*) ф + (Z + V?*) g. (24)
Обозначая
gl (/ + AZ?*)g, g = (Z - Г(?*)gx (25)
и учитывая, что, согласно формулам (16) § 17.2 и (23),
Р* + ЛР*Р* = (Р + АРР) * - Т*.
перепишем уравнение (24) в виде
ф^Л/^'фЧ^!. (22*)
Таким образом, при |Х|<^ в классе С(G) интег-
ральное уравнение (1) эквивалентно интегральному
уравнению (22) с вырожденным ядром ^7~(х, //; X), ана-
литическим в круге | X | < —, а союзное к нему уравне-
ние (1*) эквивалентно уравнению (22*), союзному к
уравнению (22). Но для уравнений (22) и (22*) спра-
ведливы теоремы Фредгольма 1—3 и определитель
j
Z)(Z)— аналитическая функция в круге (см.
§ 18.2, замечание). Отсюда, пользуясь эквивалентностью
этих уравнений исходным уравнениям (1) и (1*), по-
лучаем следующие теоремы Фредгольма для интеграль-
ных уравнений с непрерывным ядром. Совокупность
этих теорем называется альтернативой Фредгольма.
Альтернатива Фредгольма. Если интеграль-
ное уравнение (1) с непрерывным ядром~ разрешимо в
C(G’) при любом свободном члене f^C(G), то и союз-
ное к нему уравнение (1*) разрешимо в C(G) при лю-
бом свободном члене g^C(G), причем эти решения
единственны (первая теорема Фредгольма),
302 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C(G}
не при любом свободном члене то
1) однородные уравнения (1) и (1*) имеют одинако-
вое (конечное) число линейно независимых решений
(вторая теорема Фредгольма);
2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и
достаточно, чтобы свободный член f был ортогонален ко
всем решениям союзного однородного уравнения (1*)
(третья теорема Фредгольма).
Доказательство. При X — 0 альтернатива Фред-
гольма, очевидно, справедлива. Поэтому считаем К 0 и
в предыдущих построениях выберем е<ГгП=.
I л1 *
Пусть уравнение (1) разрешимо в Cifi) при любом
/^С((?). Тогда эквивалентное ему уравнение (22) с вы-
рожденным ядром также будет разрешимо в С(<5) при
любом /. Отсюда, применяя теорему 3 § 18.2, заключаем,
что jD(X)=/=O. А тогда, по теореме 1 § 18.2, уравнение
(22) и союзное к нему уравнение (22*) однозначно раз-
решимы при любых / и gi из C(G). Но функции gi и g
взаимно однозначно выражаются по формулам (25).Сле-
довательно, эквивалентные уравнения (1) и (1*) одно-
значно разрешимы в C(G) при любых / и g. Первая
теорема Фредгольма доказана.
Если уравнение (1) разрешимо в C(G) не при любом
/, то и эквивалентное ему уравнение (22) с вырожден-
ным ядром также разрешимо в C(G) не при любом /.
Отсюда, по теореме 1 § 18.2, заключаем, что Z)(X)=O.
Но тогда, по теореме 2 § 18.2, однородные уравнения
(22) и (22*) имеют одинаково^ (конечное) число линей-
но независимых решений в C(G). Поскольку функции Ф
и ф связаны соотношениями (20), то и эквивалентные
им однородные уравнения (1) и (1*) имеют одинаковое
(конечное) число линейно независимых решений в
C(G) (см. § 1.11). Вторая теорема Фредгольма доказана.
Далее, по теореме 3 § 18.2, для разрешимости урав-
нения (22) при Z>(Z)= 0, необходимо и достаточно, что-
бы свободный член / был ортогонален ко всем решениям
союзного однородного уравнения (22*). Но решения ф
эквивалентных однородных уравнений (1*) и (22*),
равно как и правые части / эквивалентных уравнений
(1) и (22), одни и те же. Следовательно, для разреши-
мости уравнения (1) в рассматриваемом случае необхо-
димо и достаточно, чтобы свободный член / был ортого-
§ 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 803
пален ко всем решениям союзного однородного уравне-
ния (1*). Третья теорема Фредгольма доказана.
Докажем теперь четвертую теорему Фред-
гольма:
В каждом круге |Х| С В может находиться лишь ко-
нечное число характеристических чисел ядра Ж(х1 у).
Доказательство. Выберем е • Тогда
при 1X1 < R + 1 будет | X | < —. Поэтому при |Х| < /? + 1
однородные уравнения (1) и (22) эквивалентны. Следо-
вательно, в круге |Х| < R + 1 характеристические числа
ядра Ж (х, у) совпадают с корнями уравнения ^(XJ^O
(см. § 18.2). Поскольку ядро ST(х, у; X) аналитично по
X в круге IXl < R + 1, то £>(Х)— аналитическая функ-
ция в этом круге (см. § 18.2, замечание). Отсюда по
свойству единственности аналитических функций *) за-
ключаем, что в круге IXl ^R может находиться лишь
конечное число корней уравнения /)(Х)=0, а значит, и
ядро Ж (гг, у) может иметь только конечное число ха-
рактеристических чисел. Теорема доказана.
4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой
теоремы Фредгольма следует, что множество характери-
стических чисел непрерывного ядра не имеет конечных
предельных точек и, значит, не более чем счетно. (Это
множество может быть и пустым, как, например, для
ядра Вольтерра, см. § 17.3).
Далее, из второй теоремы Фредгольма вытекает, что
кратность каждого характеристического числа конечна.
Следовательно, все характеристические числа ядра
Ж (х, у) можно перенумеровать в порядке возрастания
их модуля:
IXJ |Х2| ^..., (26)
повторяя в этом ряде Xfe столько раз, какова его крат-
ность. Соответствующие собственные функции обозначим
через ф2, ..., и каждому характеристическому числу
Xft из (26) сопоставим собственную функцию фА:
<рй=лл, k=i, 2, m
*) См., например, Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк и М. И. Ша-
бунин [1, гл. II].
♦♦) Если Хь — не простое характеристическое число, то соот-
ветствующие ему ерь можно выбирать различными способами и
поэтому соответствие (27) между Хд и ср* неоднозначно.
304 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
По второй теореме Фредгольма Z,2, ... — все харак-
теристические числа ядра J$f*(.r, г/), причем кратности Aft
и Кк одинаковы. Соответствующие собственные функции
Обозначим через фй:
фл = МС*фА, * = 1,2,... (27*);
Собственные функции фА и фА непрерывны на С.
Докажем, что если ¥= то
(<Pfc, tfc)=o. (28);
Принимая во внимание равенство (14) § 17.2, из
(27) и (27*) получаем
(фА, 'ФО = (фА> ^г^*Фг) = U (/<фА, ФО = ф <Ф*’ Ч’О»
“к
откуда, в силу Кк Ф Хг, и следуют равенства (28) .
Отметим, что и фА, к = 1, 2, ...,— характеристиче-
ские числа и соответствующие собственные функции
повторного ядра ЖР(х, у).
Это утверждение вытекает из равенств (27), согласно
которым
Фь = W * = 1,2,... (29)
Обратно, если ц и ф — характеристическое число и
соответствующая собственная функция повторного ядра
Ж>Р(х, у), то по крайней мере один из корней j = 1,
2, р, уравнения %р = ц является характеристическим
числом исходного ядра Ж\х, у).
Это утверждение следует из равенства
(щй? - 7) ф = (-1) (М< -/)... (kPK - I) ф « 0. (30 J
Действительно, если
ф = (М< — 7)... (ХРК - 7) ф ¥= 0, (31)
то, в силу (30), (Zi7<7) ф = 0, и потому h — характе-
ристическое число ядра Ж(х, у). Если же ф == 0, т. е.,
в силу (31),
(А2Я-7)...(М<-/)ф = 0,
го, повторяя предыдущее рассуждение, получим: либо
Х2— характеристическое число ядра (х, у), либо
(х3К — 7)...(ХрК — 7)ф = 0 и т. д.
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
305
§ 18]
Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма в
терминах характеристических чисел и собственных
функций.
Если X=/=%ft, к — 1, 2, ..то интегральные уравнения
(1) и (1*) однозначно разрешимы при любых свободных
членах.
Если А = то однородные уравнения
Кер = ХАф и
имеют одинаковое (конечное) число rh > 1 линейно не-
зависимых решений — собственных функций ерь ср^+1,.. •
.q)^+rh-i ядра Ж (х, у) и собственных функций
фА+1, • ядра Ж*(х, у), соответствующих ха-
рактеристическим числам ХА и kk (rk — кратность и
Если X = ХА, то для разрешимости уравнения (1) не-
обходимо и достаточно, чтобы
(/, W=0, Z==0, 1, — 1. (32)
Замечали е. Изложенный процесс сведения интегрального
уравнения (1) к интегральному уравнению (22) с вырожденным
ядром указывает па следующий способ приближенного решения
уравнения (1) при любых %: 1) ядро Ж(х, у) приближается по-
линомом &(х, у) (или другим каким-либо вырожденным ядром),
2) для малого ядра Q (х, у) = У£(х, у)—&(х, у) методом § 17.2
приближенно строится резольвента &(х, у; X), 3) составляется ин-
тегральное уравнение (22) с вырожденным ядром (х, у\ %),
4) методом § 18.1 строится решение Ф уравнения (22) и, наконец,
5) по формуле (21) находится решение ср уравнения (1).
5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений
с полярным ядром. Распространим теоремы Фредгольма
на интегральные уравнения с полярным ядром (см.
§ 17.4)
<v/? / \ 5$ (X, у)
—Л а<п,
I*—{/I
где Ж(х, у)—непрерывное ядро па GXG и G —- огра-
ниченная область.
Докажем, что для любого е > 0 существует такое вы-
рожденное ядро &(х, у), что
max [ | Ж (х, у) — ZP (х, у) | dy <Z е, (33)
x$=G G
max ^\^(x,_y)-^(x1y)\dy<^ (33*)
xGG G
20 в. С. Владимиров
• 306
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IV
Действительно, ядро
3? (х, у) =
Ж(х, у),
Ж (х, у) Na,
। .^1
Iх У\> N'
k-z/l<4r;
непрерывно и при достаточно большом N
J | Ж (х — у) — 2? (х — у) I dy =
G
= f \Ж(х,у)\[------1— -Na]dy^
к-2/Kjy
< f L:-К|Р^<тах|Жг,г/)| f
J |*-На GXG* J . \*~У\
lx—yi<—
= с $ i^==c<7Jpn-1_a^==^^b<l’
и аналогично
№*(x,y)-3?*(x,y)\dy =
G
= J\Ж(у, х) — £ (у, x)\dy <-у, же G,
G
Далее, приблизим непрерывное ядро Z (я, у) вырожден-
ным ядром 9^(х. у) (см. § 18.3):
13? (х, у) — & (х, у) I < X е G, у ^G.
Отсюда следует возможность аппроксимации полярного
ядра «Ж9 (х, у) вырожденными ядрами в смысле
(33) -(33*):
max J | Ж (х, у) —- SP (х, у) | dy
KGG G
< max J | Ж (ж, у) — Z (х, у) | dy+
G
+ max f | ^(ж, у)— {х, y)\dy < f dy = е.
2 ZVJG
Аналогично устанавливается и оценка (33*).
§ 18]
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
307
Итак, для любого 8 > 0 полярное ядро Ж (я, у) пред-
ставимо в виде Ж(х, #) + £?(#, у), где
$*(#, у)—вырожденное ядро и £?(#, у)—малое поляр-
ное ядро, удовлетворяющее, в силу (33) — (33*), оценкам
max J | Q (х, у) | dy<e, max J | Q* (х, у) | dy < е,
xGG G k^GG
Повторяя теперь рассуждения § 18.3 и 18.4 и поль-
зуясь результатами § 17.4 о разрешимости интегральных
уравнений с малым полярным ядром, заключаем, что
все теоремы Фредгольма и их следствия переносятся и
на интегральные уравнения с полярным ядром.
Отметим, что все собственные функции полярного
ядра Ж (х, у), принадлежащие 3?2 (G), принадлежат С (G).
Действительно, если ф0 === ТцАфо, фое^2(С), то ф0 =»
«= Х?ЛГрф0. Но при достаточно большом р ядро ЖР(х, у)
интегрального оператора Кр непрерывно_ (см. § 17.4).
А тогда, по лемме § 17.1, ф0 = ^о^Фо (Р)г что и ут-
верждалось.
Замечание. Теоремы Фредгольма остаются справедливыми
и для интегральных уравнений с полярным ядром на ограничен-
ной кусочно-гладкой поверхности S:
ф (х) = X f — ' ф (У) dS + / (я),
J I х — у р у
S
где ядро Ж(я, у} равномерно непрерывно па 5 X 5 и показатель
а меньше размерности поверхности S (см. И. Г. Петровский [2],
§ 8).
6. Упражнения, а) Доказать, что если Ж(1) —непрерывная
2л-периодическая функция и
л
J Ж (t)elkldt #:0, к — целое,
—л
то
1
л и <pft (д.) = e-ikx
J Jif (.t) eihtdl
—IX
— характеристическое число и соответствующая собственная функ-
ция ядра Ж(х — у), —л, < х, у < л.
Ь) Доказать, что если Ж(1) — (абсолютно) интегрируемая функ-
ция на IV и Р[Ж] (ц) #= 0, то
Х = РЛ (и) и <р =
308
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
— характеристическое число и соответствующая собственная
функция ядра Ж(х — у), — оо < ж, у < оо.
с) Доказать, что X = 1/ — — характеристическое число ядра
F Л
cos(zy), 0 < я, у < оо и ему соответствуют собственные функции
оо
(J) (ж) = / (я) + "j/"JL J cos (ху) / (у) dy,
о
где f(x) — любая функция из <22(0, оо).
Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами приме-
ров Ь) и с) теоремы Фредгольма несправедливы (области инте-
грирования в них не ограничены!).
§19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром
Ядро Ж(х, у) называется эрмитовым, если оно сов-
падает со своим эрмитово сопряженным ядром,
Ж(х, у)~Ж*(х, у).
Соответствующее интегральное уравнение
Ф (ж) = X J (х, у) Ф (у) dy + / (х) (1)
G
при вещественных Z совпадает со своим союзным, ибо
Я* = К. Это уравнение удобно рассматривать в прост-
ранстве 3?2 (G).
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерыв-
ным ядром. Пусть К — интегральный оператор с эрмито-
вым непрерывным ядром Ж(х, у). Этот оператор перево-
дит 2%(G) (G— ограниченная область) в <2^(6) (см.
§ 17.1) и эрмитов (см. § 17.2 и § 1.12):
(Kj, g) = (/, Kg), f, g^2(G)=JtK. (2)
Обратно, если интегральный оператор К с непрерыв-
ным ядром Ж(х, у) эрмитов, то это ядро эрмитово.
Действительно, из равенства (2) следует эрмитовость
ядра Ж (х, у)~ Ж* (х, у) (см. § 17.1).
Из формулы (22) § 17.2 следует, что все повторные
ядра ЖР(х, у) эрмитова непрерывного ядра Ж (х, у) эр-
митовы:
Ж*р (х, у) = (Jf *)р (х, у) - Жр U, у).
Лемм а. Интегральный оператор К с непрерывным
ядром Ж (х, у) переводит всякое ограниченное множест-
§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ
309
во из 272(G) в множество, ограниченное в C(G) и состо-
ящее из равностепенно-непрерывных*) функций на G.
Доказательство. Пусть В — ограниченное мно-
жество из £?2(С): 11/11 A, j^B. По лемме § 17.1 опера-
тор К переводит множество В в множество, ограничен-
ное в C(G): \\Kfl\c^MllV A, j^B, Далее, так как ядро
Ж(х, у) равномерно непрерывно на G X G, то для любо-
го 8 > 0 существует такое число б > 0, что
как только \х'— х" I < б, х', х" и y^G. Отсюда, поль-
зуясь неравенством (4) § 17.1 с заменой Ж(х, у) на
Ж(х , у)—Ж(х", у), при всех j^B получаем
|(/</)(^')-(/Q)(Z)| =
J {Ж{х\у)-Ж{х\ y)]f(y)dy
а
Угл 11"
как только \х'— х" I < б, хг, х" ^G. Это значит, что
множество {(Kf) (х), f е В] состоит из равностепенно-
непрерывных функций па G. Лемма доказана.
2. Лемма Арчела — Асколи. Если бесконечное множе-
ство В ограничено в С (К), где К — компакт, и состоит
из равностепенно-непрерывных функций на К, то из не-
го можно выбрать сходящуюся в С (К) последователь-
ность.
Доказательство. Как известно, множество точек
с рациональными координатами счетно. Поэтому все та-
кие точки множества К можно перенумеровать: х^ х2,...
По условию множество чисел {/(Xi), /<= В} ограничено.
Могут представиться два случая.
1) Это множество бесконечно. Пользуясь теоремой
Больцано—Вейерштрасса (см. § 1.1), из него выберем
сходящуюся последовательность /(/’)(.т1), /с = 1, 2, ...
2) Это множество конечно. В этом случае найдется
последовательность функций f^ (х), k = 1, 2, ..., прини-
мающих в точке х^ одинаковые значения.
Далее, поскольку множество чисел {(х2), Л = 1,
2, ...} ограничено, то из него выберем описанным выше
*) Определение множества равностепенно-непрерывных функ-
ций содержится в § 1.3.
310
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. IV
способом сходящуюся подпоследовательность Д2) (^2)? &
= 1,2.. и т. д.
Рассмотрим теперь диагональную последовательность
Л (#) в(я),. А = 1, 2, функций множества В, Для
любой точки Xi числовая последовательность /&(#;), к=*
= 1, 2, ..сходится, ибо по построению при к > I эта
последовательность содержится в сходящейся последова-
тельности Дг) ), Л = 1, 2, .. <
Докажем теперь, что последовательность Д, к = 1,
2, ..., сходится равномерно на К. Пусть 8 > 0. Посколь-
ку эта последовательность состоит из равностепенно-не-
прерывных функций на К, то найдется такое число 6,
что при к = 1, 2, ,..
(3)
коль скоро \х—-х'\ < б, х и х К. Так как /<—огра-
ниченное множество, то из множества точек х2, ...
можно выбрать конечное число их: xly x2,...,xh Z = Z(e),
так, чтобы для любой точки х К нашлась точка xh
1 Z Z, такая, что \х — хг\ < б. Вспоминая, что после-
довательность /л(я), к = 1, 2, ..сходится на точках
Xi, х2, ..Xi, заключаем, что найдется такое число
N = 2V(e), что
I/й (^) —(ж{) | к, p^N, i = 1, 2, ..I. (4)
Пусть теперь х — произвольная точка множества К. Вы-
бирая точку xh 1 такую что \х — х{1 < б, в силу
(3) и (4) получаем
I fh (х) — fp (ж) КI fh (ж) — Д (ж») I + I fk (жО — fp (Ж{) | +
+ I Д (^) — fp (х) I + у + -J = В, k, p^N,t
причем N не зависит от х. Это значит, что последова-
тельность /*, к = 1, 2, ..сходится в себе в С (К). По
теореме Коши (см. § 1.3) эта последовательность сходит-
ся в С (К) к некоторой функции из С (К) . Лемма до-
казана.
Замечание. Лемма Арчела — Асколи выражает свойство
компактности любого ограниченного в С (К) множества, состояще-
го из равностепенно-непрерывных на К функций. Лемма § 19.1
утверждает, что интегральный оператор с непрерывным ядром
переводит всякое ограниченное множество из в множество,
компактное в C(G). Всякий оператор, обладающий таким свойст-
вом, называется вполне непрерывным из Я?2(С) в С((7).
§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ
311
3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерыв-
ным ядром. Не всякое ядро, отличное от тождественного
нуля, имеет характеристические числа; например, как
было показано в § 17.3, ядра Вольтерра не имеют тако-
вых. Тем не менее справедлива следующая
Теорема. Всякое эрмитово непрерывное ядро
.У£{х, у)^0 имеет по крайней мере одно характеристи-
ческое число, и наименьшее по модулю характеристиче-
ское число Xi удовлетворяет вариационному принципу
1
141
sup
И/II
11/Г
(5)
Доказательство. Обозначим через v точную
верхнюю грань функционала ИА/Il на множестве функ-
ций / из 2?z(G) с единичной нормой:
у == sup ||А7||. (6)
1/1=1
Из оценки (6) § 17.1 вытекает, что на функциях
этого множества ИК/Il < MV, а потому у MV. Кроме
того, очевидно, у > 0. Докажем, что v > 0. Действитель-
но, если у = 0, то, в силу (6), мы имели бы iljf/ll = 0,
т. е. Z</ = 0 при всех fezS^G), и потому Ж (х, у)^0.
x^G, y^G (см. § 17.1), вопреки предположению.
Из определения точной верхней грани у вытекает су-
ществование последовательности Д, к = 1, 2, ..., ИДИ =
«= 1, такой, что
ИКДИ -> у, к + оо; (7);
кроме того, справедливо неравенство
\КЧ 11 = IК | \\К{ II < V и/1|,;
(8)
Докажем теперь, что
K2fk -v2fh-> 0, к -> оо в 27(G)’. (9J
Действительно, пользуясь (2), (8) и (7), получаем
И2Л - v7Jl2 = (/<7n - v7ft) К2А - v7J =
= (Х7*, *7*)+*4(А> A)-v2(/ft, /<7ft)-v2(/<7ft, А) =
= H7ftll2 + v4-2v2(7Qft) Kfh)^
< v2l!/</ftll2 + V4 - 2vWJI2 = V4 - v2ll£/J2 0, к ->
что и эквивалентно предельному соотношению (9),
312
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. IV
По лемме § 19.1 последовательность функций Kfh,
к = 1, 2, ..., ограничена в С(G) и состоит из равносте-
пенно-непрерывных функций на G. А тогда, по лемме
Арцела — Асколи (см. § 19.2), существует подпоследова-
тельность фг = Kf14, i = 1, 2, ..сходящаяся в C(G)
к функции ф^С(6т), Иф — ipfHc О, Z-*• оо. Отсюда,
пользуясь оценками (4) и (5) § 17.1 и соотношением
(9), получаем
|| — v2i|)||c<
< II К2 ('Г — ФО 11с + V2 || ф — ф{ ||с + || K2^i — V2^i ||с <
< MV И (ф - фО ||с + v21| ф - ф{ ||с + || К( K2fk. - v2/a.) ||с <
< (ЛГУ2 + v2) || ф - ф{ ||с + М /7|| К2},.. - v2fh. |-^0, г->ооЛ
и, следовательно,
/<2ф = у*ф.
Докажем, что ф ¥= 0. Из предельного соотношения (9)
следует, что
Аф^ — а2Д. 0, i~>oo b^2(G),
и, следовательно, HAipJI -> v2, i С другой стороны,
из леммы § 17.1 вытекает, что H/OpJI -* НАф!1, i -> оо.
Таким образом, НАфП = v2 > 0, откуда и следует, что
ф =И= 0.
Итак, построенная функция ф является собственной
функцией ядра Ж^х, у), соответствующей характери-
стическому числу —s. А тогда по крайней мере одно из
v
1
чисел ± — является характеристическим числом ядра
Ж (х, у) (см. § 18.4). Таким образом, построенное ха-
1
рактеристическое число по модулю равно — и, стало
быть, в силу (6), удовлетворяет вариационному принци-
пу (5).
Осталось установить, что — наименьшее по моду-
лю характеристическое число ядра Ж(х, у). Действи-
тельно, если Ко и ф0 — характеристическое число и соот-
ветствующая собственная функция, Х0Кф0 = фо, то, в си-
лу (5),
1 ... чпп nQll^ll^oll 1
1*11 /еЛ) 11/11 IK II IV
и потому |XJ < Uol. Теорема доказана.
§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 313
Как было установлено в § 19.1, интегральный опера-
тор К с эрмитовым непрерывным ядром Ж (х, у) эрмитов.
По теореме § 1.12 характеристические числа ядра
Ж (х, у) вещественны, а собственные функции, соответ-
ствующие различным характеристическим числам, орто-
гональны. Кроме того, по четвертой теореме Фредголь-
ма множество характеристических чисел не более чем
счетно, а по второй теореме Фредгольма кратность каж-
дого характеристического числа конечна. Поэтому систе-
ма собственных функций оператора К не более чем
счетна и эту систему можно выбрать ортонормальной
(см. § 1.12).
Принимая еще во внимание доказанную теорему и
теоремы Фредгольма (см. § 18.3), для интегральных
уравнений с эрмитовым непрерывным ядром Ж (х, у)^0
получаем следующие утверждения:
Множество характеристических чисел {ХА} не пусто,
расположено на вещественной оси, не имеет конечных
предельных точек; каждое характеристическое число
имеет конечную кратность, система собственных функ-
ций {фД может быть выбрана ортонормальной,
(фь, ф/)=бА/. (10)'
Если Z k = 1, 2, ..., то уравнение (1) однозначно
разрешимо при любом свободном члене Если
Z = то для разрешимости уравнения (1) необходимо
и достаточно, чтобы
(f, Фн-0=0, / = 0, 1, ..., гА-1, (11),
еде ф/п ф/i+i» . . фй+г&-1— собственные функции, соответст-
вующие характеристическому числу khurh—кратность Kh.
4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным
ядром. Все результаты, установленные в § 19.3 для ин-
тегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром,
остаются справедливыми и для интегральных уравнений
с эрмитовым полярным ядром.
Действительно, для таких интегральных уравнений
справедливы теоремы Фредгольма и их следствия (см.
§ 18.5).
Далее, для эрмитова полярного ядра Ж(х, у) все по-
вторные ядра ЖР(х, у) эрмитовы и полярные, причем
при 1 эти ядра непрерывны (см. § 17.4),
314 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Осталось распространять на эрмитовы полярные ядра
Ж (я, y)^Q теорему § 19.3. Обозначим
v == sup || А/||. (12)
Тогда, в силу Ж(х, у)^0 и неравенства (31) § 17.4,
О < v N = 2V*. Как и при доказательстве теоремы
§ 19.3, из (12) вытекает существование последователь-
ности Д, к = 1, 2, ,,ИДИ = 1, такой, что
К2Д —v2/ft->0, А->оо в ^(G).
Отсюда, применяя неравенство (31) § 17.4 при р =
= 1, 2, ..., получаем
ILK2*/* _ V2P/a|1
- || (^2р-2 + ^р-4 + , . . + V2P-V) (K2fh - V2A) II
< (N2p~2 + vzN2p~* +... + v2*~2) 11К2Д - v2/aII -> 0, к + %
t. et
; KZpfk - vZpfh -> 0, &->oo в ^(GJ. (13)
Но при 2p > р0 ядро fflipix, у} непрерывно. Поэтому,
как и при доказательстве теоремы § 19.3, из предельного
1
соотношения (13) вытекает, что—характеристиче-
ское число ядра у). А тогда, поскольку ядро
Ж (х, у) эрмитово и, значит, все его характеристические
1
числа вещественны, по крайней мере одно из чисел ± —
является характеристическим числом Ai этого ядра (см.
§ 18.4). Отсюда и из (12) вытекает справедливость ва-
риационного принципа (5) для характеристического чис-
ла Очевидно, Xi — наименьшее по модулю характери-
стическое число ядра М(х, у). Этим завершается рас-
пространение теоремы § 19.3 на эрмитовы полярные
ядра.
§ 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия
1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непре-
рывного ядра. Пусть Xi, ... — характеристические
числа эрмитова непрерывного ядра (х, у)^0, располо-
женные в порядке возрастания их модуля, |Xj |Х21 <
и epi, ср2, .. — соответствующие ортонормальные
собственные функции, (<рл, срг),= 6^.
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 315
Как мы знаем, характеристические числа вещест-
венны, а собственные функции фА(я) непрерывны на б?;
при этом множество либо конечно, либо счетно;
в последнем случае UJ «>, к -> оо. Далее, в силу тео-
ремы § 19.3 справедливо неравенство
(1)
Отметим еще неравенство *)’
I (а) I2
J | Ж (х, у) I2 dy,.
G
x^G.' (2)
(Ниже, в § 20.2, будет показано, что в неравенстве (2)
фактически имеет место знак равенства.)
Неравенство (2) при фиксированном x^G представ-
ляет собой неравенство Бесселя (см. § 1.8) для функции
Ж(х, у), коэффициенты Фурье которой по ортонормаль-
ной системе {фДг/)1 равны
(Xi фО = У ж (ж, у) <fh (у) dy = K(fh = у <рй (х).
G к
Введем последовательность эрмитовых непрерывных
ядер
Ж(р)(х,у) = Ж(х, р-1,2,,.. (3)
Соответствующие интегральные эрмитовы операторы К{р)
действуют по формуле
^’/ = К/-2^<Рй /е^а(С). (4)
г=1 г
Докажем, что Хр+.1? ХР+2, .... и cpP+i, Фзч-г, ••• образу-
ют все характеристические числа и собственные функ-
ции ядра У£{р} {х, у).
В самом деле, в силу (4) имеем
г &
*) Если ядро у) имеет конечное число характеристиче-
ских чисел А1, Л2, ..., Knj то будем считать — оо, k > N,
316
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
так что Kh и к > р 4- 1,— действительно характеристи-
ческие числа и собственные функции ядра Ж(р) (х, у).
Обратно, пусть Хо и Фо — характеристическое число и со-
ответствующая собственная функция ядра Ж{р) (х, у),
т. е., в силу (4),
р
фо=м<(₽)Ф»=- к 2 <5>
г=1 г
Отсюда при к = 1, 2, ..р получаем
, \ I 1К \ 7 V Оо’ ‘Pi) (*Pi’ ^а)
(Ф<р Фа) = к (АФ(р Фа) — к Z------------Г--------
г=1 г
= хо(фо- =
2 = 1 г
X %
= Y (фо’ фа) — у (Фо> Фа) = 0.
а потому, в силу (5), ф0 = 1о#фо. Таким образом, и
фо — характеристическое число и соответствующая собст-
венная функция ядра Ж (х, у). Поскольку ф0 ортого-
нальна ко всем собственным функциям фъ ф2, ..., фР, то
следовательно, Ло совпадает с одним из характеристиче-
ских чисел ZP+i, Zp+2, ..., и ф0 можно считать равной фй
при некотором к р + 1.
Таким образом, ZP+i — наименьшее по модулю харак-
теристическое число ядра Ж{р) (х, у). Применяя неравен-
ство (1) к этому ядру и учитывая (4), получаем нера-
венство
|К<’>/|_р/-2ЦА>ф| /ег2(С), (6)
р = 1, 2, ...
Пусть эрмитово ядро Ж(х, у) имеет конечное число
характеристических чисел: Х2, . .X#. По доказанно-
му эрмитово ядро Ж{Ю (х, у) не имеет характеристиче-
ских чисел, а потому, по теореме § 19.3, Жт (х, у)^0,
так что, в силу (3),
= (7)
т. е. ядро Ж(х, у) вырожденное.
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
317
Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда
имеет конечное число характеристических чисел (см.
§ 18.2), выводим такой результат: для того чтобы эрми-
тово непрерывное ядро было вырожденным, необходимо
и достаточно, чтобы оно имело конечное число характе-
ристических чисел.
Будем говорить, что функция f(x) истокообразно
преставима через ядро Ж(х, у), если существует функ-
ция h е 2?2(G) такая, что .
/ (х) = [ U’> У) h (у) dy, x^G. (8)
G
Теорема Гильберта — Шмидта. Если функ-
ция f(x) истокообразно представима через эрмитово не-
прерывное ядро Ж(х, у), j = Kh, то ее ряд Фуръе по
собственным функциям ядра Ж (х, у) сходится регулярно
(и, значит, равномерно) на G к этой функции:
°° 00 /г \
/ и) = 2 и, ф*) и= 2 фл (*)• <9)
" л=1 и
Доказательство. Так как / = Kh, h^S?2(G), то,
по лемме § 17.1, ft=C(G) и коэффициенты Фурье функ-
ций / и h по собственным функциям {срД ядра Ж(х, у)
связаны соотношением
(/, ф/() = (Kh, <рл) = (1г, K<ph) = (10)
'Ui
Если число Ж (х, у) имеет конечное число характери-
стических чисел, то, в силу (7),
VI (А’ Фй)
/ (х) = Kh = 2 V
k=i
и теорема Гильберта — Шмидта доказана.
Пусть теперь ядро Ж(х, у) имеет бесконечное число
характеристических чисел. В этом случае IAJ -*• °°,
к -> «j. Поэтому, в силу (6) и (10), ряд (9) сходится к
/ в <?2(6):
Й2—1 II II 7i=l 11 || 1 27+1 1
р -> °0.
Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно
на G. Пользуясь неравенством Коши — Бупяковского и
318
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. IV
неравенством (2), при всех р и q получаем
g
k=p
~ J
2
L h=p
ФО*) < 1
^La
Фа) I2
_k—p
<71//У | 2|(й, фЛ2
у IV*) I2 В
.G
0.
x^G. (И)
к~р
j I (^, Фа) I2
— г
2 С I I.
2
В силу неравенства Бесселя
со
2 |(А, фа)12<И1Р
/1=1
правая часть неравенства (И) стремится к 0 при р, q-+
©о. Это и значит, что ряд (9) сходится регулярно на
G. Теорема доказана.
Приведем некоторые следствия из теоремы Гильбер-
та — Шмидта.
2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем,
что повторное ядро ЖР(х, у) эрмитова непрерывного
ядра Ж(х, у) разлагается в билинейный ряд по собст-
венным функциям этого ядра
оо —
(12)
fe=l А/г
регулярно сходящийся на G XG.
В силу формулы (17) § 17.2 при каждом у G ядро
Жр(х, у) истокообразно представимо через ядро Ж {х, */'),
а потому, по теореме Гильберта — Шмидта, оно разлага-
ется в регулярно сходящийся ряд Фурье но собственным
функциям этого ядра:
& у} = S («^р (т> £/)> Фа) Фа О)-
А=1
Так как ядро ЖР(х, у) эрмитово, то
(Жр (хх у)ч cpk) == J Жр (х, у) (х) dx =»
G
- = (13)
а
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 319
Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12)
сходится регулярно по х е G при каждом у G.
В частности, полагая в формуле (12) р = 2, х == у и
учитывая, что, в силу (17) § 17.2,
х) = j* У'} (у', х) dy' =»
G
= j (z, у') УС {х, у') dy' =\\УС (х, у) I2 dyt
G G
получаем равенство
| 4h W |2 f
= Jm^)|W (!4)
h g
Из леммы Дини (см. § 1.3) следует, что ряд (14)
сходится равномерно на G. Отсюда, используя неравен-
ство Коши — Буняковского
у | Tft (ж) <Pfe (у)| 1 у |<Pft(a:)|2 у I <Pft (у) |2 1
у р । n |р—2 7 2 7 2 1
fe=l I Л1 I A=1 J
заключаем, что ряд (12) сходится регулярно на GXG.
Интегрируя равномерно сходящийся ряд (14) почлен-
но и учитывая нормировку собственных функций, полу-
чаем формулу
оо
Zt2= f \\W(x,y)Fdxdy. (15)
h=l Ч g G
3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного
ядра. Исследуем сходимость ряда (12) при р==1,
а именно докажем, что эрмитово непрерывное ядро
УС(х, у) разлагается в билинейный ряд по своим собст-
венным функциям
(16)
Й=1 л*
сходящийся в S^fG) равномерно по y^G, т. е.
р —
k=l k
(17)
Равенство (13) при р = 1 показывает, что при каж-
дом у ^G коэффициенты Фурье ядра УС (л:, у) по орто-
320
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
нормальной системе {(pfe(^)} равны
<Р/< (у)
ч
. Поэтому, при-
меняя формулу (16) § 1.8, получаем равенство
откуда, в силу равномерной сходимости ряда (14), за-
ключаем о сходимости билинейного ряда (16) к ядру
Ж (х, у) в смысле (17).
Из (17) следует, в частности, что ряд (16) сходится
к ядру Ж(х, у) в X G), т. е.
р->оо. (18)
Для билинейной формы (7</, g) докажем формулу
оо ------
(Kf, g) = 2 f, g^X2 (G). (19)
k-^1 h
Действительно, поскольку /^^(G), то, по теореме
Гильберта — Шмидта,
оо
й=1 '<
причем этот ряд сходится равномерно на G. Умножая
этот ряд на функцию g из .^(G) (и, следовательно, аб-
солютно интегрируемую на G, см. § 1.7) и почленно ин-
тегрируя его по области G, получаем формулу (19):
W,g)~
ОО ОО ' ' ' ..—
=J w» - 2 (т. и«и "—2
Q k=l Q fe = l А
Полагая в формуле (19) / = g, получим представле-
ние квадратичной формы (7</, /) в виде
оо .
/e^a(G). (20)
h=l &
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 321
Формула (20) представляет собой обобщение форму-
лы приведения к главным осям квадратичной формы с
конечным числом переменных.
4. Решение неоднородного интегрального уравнения
с эрмитовым непрерывным ядром. Построим решение не-
однородного интегрального уравнения
Ф = Л^ф + / (21)
с эрмитовым непрерывным ядром Ж{х,у).
Если к = 1, 2, ..и f(=C{G), то {единствен-
ное) решение <р интегрального уравнения (21) представ-
ляется в виде равномерно сходящегося на G ряда {фор-
мулой Шмидта)
ф(*) =х 2
(22)
Действительно, при X #= %ft, &=1, 2, ..., решение ин-
тегрального уравнения (21) существует и единственно в
C{G) при любом свободном члене f^C{G) (см. § 18.3).
По теореме Гильберта — Шмидта функция /Гер разлага-
ется в равномерно сходящийся ряд Фурье по собствен-
ным функциям ядра Х>{х, у). Поэтому
ф=^+/=*2^ф* +/•
k=l k
(23)
Вычислим коэффициенты Фурье (ср, <pft). Из уравнения
(21) имеем
(ф, Фа) = к (Ку, фй) + (/, фЛ) = А (ф, Kqk) + (/, фй) «
= у- (ф, Фа) + (А Фа)
и, следовательно,
(ф, Фа) = U> Фа)> к = 11 21 • • •«
откуда, в силу (23), вытекает формула Шмидта (22)’.
По теореме Гильберта — Шмидта
сю
(£/)(*)= 2^
А=1
21 В. С. Владимиров
322
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IV
причем ряд сходится равномерно на G. Поэтому форму-
ла Шмидта (22) принимает вид
ф (^) = х (pfe (х) + 2 W =
= * J У£ Z/) / (у) dy + Х22 fffe (х) +1 (24)
Далее, из регулярной сходимости билинейного ряда (12)'
при р = 2 следует равномерная сходимость билинейного
ряда
...
МЧ~*) *
и его сумма есть непрерывная функция по x^G, у 5,
X =7^= к = 1, 2, ..и мероморфная по X с простыми
полюсами Хк. Следовательно, при Л ¥= к = 1, 2, ...,
в формуле (24) можно поменять порядок суммирования
и интегрирования, в результате чего получим
(£СО — «^(#2 _2Л
Q L fe==l k' А '
f<U)dy + f(z).
(25)
С другой стороны, по теореме § 17.2, при малых X
решение уравнения (21) выражается через резольвенту
5?(я, У\ М ядра Ж(х, у) по формуле (20) § 17.2. Сле-
довательно,
St у\Ц = У£ у) + А 2 (26)
Таким образом, резольвента (х, у\ %) эрмитова не-
прерывного ядра Ж(х, у) допускает мероморфное про-
должение на всю плоскость комплексного переменного
X с простыми полюсами и вычетами
— 3 <Pfe+i W <Рй+1 (!/)« (27)
i—0
где <pft, фй+i, .cpk+rh-i —собственные функции ядра
У£(х, у),соответствующие и rft — кратность Л* (см. за-
мечание § 17,2).
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
323
Пользуясь равенством (16), перепишем формулу (26)
в виде
(^2 У’> ^) _ fa ’ (2^)
Й=1 h
причем билинейный ряд сходится в S?2(GXG) (см.
§ 20.3).
Замечание. Формула (22) остается справедливой
и при X = Xj, если, в соответствии с третьей теоремой
Фредгольма,
(/, Фм<) = 0, i = 0, 1, ..., г; — 1.
В этом случае решение уравнения (21) не единственно
и его общее решение, согласно формуле (38) § 1.11,
дается формулой
со
ф (*) = 2 г ~~Т. Ф* <ж) + /(х) + 2 CiCPH* (*)> (29)
fc=l k 3 г=О
где Ci — произвольные постоянные.
5. Положительно определенные ядра. Ядро J£f(#, у]
называется положительно определенным, если соответст-
вующий оператор К положителен (см. § 1.12), т. е.
(Л/,/)>0, /^^2(С).
Всякое положительно определенное ядро Ж\х, у) эр-
митово.
Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см.
§ 1.12), то и его ядро Ж(х, у) эрмитово (см. § 19.1).
Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро Ж (х, у}
было положительно определенным, необходимо и доста-
точно, чтобы все его характеристические числа %h были
положительными.
Действительно, если > 0, то в силу (20), (7£/, /)>
> 0, f^£>2(G), так что ядро Ж(х, у) положительно оп-
ределенное. Обратно, если ядро Ж (х, у) положительно
определенное, то
Л == (^Фа, Фа) > 0s т- е. К > 0.
Лл
Если Ж(х, у) — положительно определенное непре-
рывное ядро^ то справедлив следующий вариационный
21*
824
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
принцип:
± = SUD
II /И2
(30)
— 11 2, . * .>
причем supremum в (30) достигается на любой собствен-
ной функции, соответствующей характеристическому
числу kk.
Действительно, пользуясь формулой (20) и учитывая
неравенства Ki > > 0, t > к, при всех / ^(G) таких,
что (/, = 0, i = 1, 2, ..к -- 1, получаем
(Kf, f) 1 у I (/. Ф<) |2 < 1
II/II2 И/АЙ М '"мл2
2к/> <₽i)i2t
i==fe
и, стало быть, неравенство в силу неравенства Бесселя справедливо <31> II/Il
С другой стороны, при / = ф* имеем
КИ2 ‘ V ( }
Неравенство (31) и равенство (32) устанавливают спра-
ведливость вариационного принципа (30).
Полагая в (30) к == 1, получаем
1 W, f)
— =« sup
/е^2(С) II/II
(33)
6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на
интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром.
Теорема Гильберта — Шмидта и следствия из нее, уста-
новленные в этом параграфе для интегральных уравне-
ний с эрмитовым непрерывным ядром, переносятся и на
интегральные уравнения с эрмитовым слабо полярным
ядром (см. § 17.4)
I X — у г *
Действительно, для таких ядер справедливы резуль-
таты § 19. Поэтому, как показывает анализ доказатель-
ства теоремы Гильберта — Шмидта, для распростране-
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 325
ния этой теоремы на слабо полярные ядра достаточно
установить следующую лемму.
Лемма. Интегральный оператор К со_ слабо поляр-
ным ядром Ж(х, у) переводит S?2(G)e C(G)u ограничен:
WKf\\c Zzll/II, (34)
где
L2 — max J | (rr, y) |2 dy.
X&i G
Доказательство. Пусть /^^2(G). Пользуясь
неравенством Коши — Бупяковского, при всех х е G
имеем
\ Ж (х, y)f(y)dy
z/)|3^]l/2||/||<A||/||.
(35)
Далее, из результатов § 1.6 вытекает, что функции
g \ J' у I
J | (х, у) I2 dy
G
непрерывны на G. Поэтому оператор К переводит 2%((7)
в C(G) и неравенство (34) следует из неравенства (35).
Лемма доказана.
Пусть теперь эрмитово ядро М(х, у)—полярное,
а < п. Для таких ядер справедливы результаты § 19.
Поэтому, как это следует из доказательства теоремы
+ 1 повторные
Гильберта—Шмидта, ряд (9) сходится в S?2(G). Учи-
тывая теперь, что при р рг =
п
2 (п — а)
ядра №р(х, у) эрмитовы и слабо полярные (см. §§ 17.4
и 19.4), заключаем, что билинейные ряды (12) сходятся
регулярно при р^2р{. Далее, формулы (19) и (20),
а следовательно, и все результаты § 20.5 сохраняются.
Формула Шмидта (22) остается справедливой с заменой
равномерной сходимости на сходимость в S?2(G).
Замечание. Рассмотрим интегральное уравнение
ф (*) = X J р (у) УС (г, у) ф (у) dy + f (х),
G
(36)
где ядро у) эрмитово и вес р(у) — положительная и_непре-
рывная функция на G. Замена неизвестной функции ф = Ур<р пре-
826 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IV
образует уравнение (36) к эквивалентному интегральному урав-
нению
Ф (®) “ Л j Vp (*)Р(у) Ж (®, £/) 41 (j/) dy + Vp (®) t (*)
G
с эрмитовым ядром Ур(я)p(z/)«^(^, у). Переходя к исходному урав-
нению (36), убеждаемся, что теория Гильберта — Шмидта без из-
менений переносится и на интегральное уравнение (36) с неэр-
митовым ядром р(у)Ж(х, у), если его рассматривать в пространст-
ве р) со скалярным произведением {/, g)p (см. § 1.9, за-
мечание).
7. Теорема Ентча. Многие задачи математической фи-
зики сводятся к интегральным уравнениям с веществен-
ным эрмитовым ядром. Такие ядра называются симмет-
ричными; они удовлетворяют соотношению «Ж9 (я, у) =
*=Ш(у, х).
Собственные функции симметричного ядра Ж{х, у)
можно выбрать вещественными.
Действительно, если фо == Ф1 + fcp2 — собственная
функция ядра Ж(х, у), соответствующая характеристи-
ческому числу Ао:
<Ро == <₽1 + = Ао7£фо == А0Аф1 + &ойлр2,
то, в силу вещественности Ж(х, у) и Хо, заключаем от-
сюда, что отличные от нуля вещественная и мнимая ча-
сти cpt и ф2 функции ф0 также являются собственными
функциями, соответствующими Хо:
ф1 = ХоА’ф!, ф2 == ХоА’фг.
Ядро Ж(х, у) назовем положительным ядром, если
Ж(х, у) > 0, х е G, у G.
Очевидно, если ядро Ж(х, у) положительно, то и все
его повторные ядра ЖР(х, у) положительны.
Теорема Ентча. Если симметричное полярное
ядро Ж(х, у) положительно, то его наименьшее по мо-
дулю характеристическое число М — положительное и
простое; соответствующая собственная функция ф1 (х)
положительна в G.
Доказательство. Пусть Zi — наименьшее по мо-
дулю (вещественное) характеристическое число симмет-
ричного положительного полярного ядра Ж (х, у) и ф4 —
произвольная вещественная собственная функция, соот-
ветствующая А1, ф1 в Л1/<ф1. Тогда — наименьшее ха-
рактеристическое число положительно определенного
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 327
полярного ядра J^2(^, у} и ф! — собственная функция,
соответствующая = XfK2(plt
Докажем, что фДя) не может менять знак в области
G, т. е.
1ф1(^)ф1(^)1 = Ф1(^)ф1(*/), y^=G.
Действительно, в противном случае, в силу непре-
рывности функции фД#) (см. § 18.5), нашлись бы та-
кие окрестности U(x'; r)^G и U(y'-, p)<=G, что
1ф1(^)Нф1(г/)1 > Ф1(<г)ф1(т/), x^U(x'\ г), у^Щу'\ р)\
и потому, в силу условия J^2(rC, #)> 0,
=ikt И уУ>'fpi (ж) 11 ф ।dx dy>
G G
1 С C *Pi) i
> M J J ^2 dX dy== pp J2"~ ==
что противоречит вариационному принципу (33).
Докажем, что функция фДя) не может обращаться в
нуль в области G и, стало быть, может быть выбрана
положительной в G.
Действительно, в противном случае найдется точка
х' G такая, что
<Р1 (х') = Хх [ (х', у) <рх (у) dy = 0t
G
откуда, в силу условия J^2(#, у)> 0, следует противо-
речие: Ф1 (*/) — 0, у <= G.
Из положительности ф1 (х) следует положительность
Zi, ибо Ж (я, у) > 0 и = -j—- > 0.
Докажем, что Zi — простое характеристическое число.
Действительно, если бы существовала линейно неза-
висимая с ф1 вещественная функция ф2, соответствую-
щая то при всех вещественных с их линейная комби-
нация ept + сф2 также была бы вещественной собствен-*
ной функцией, соответствующей и, следовательно, по
доказанному она не могла бы обращаться в нуль в обла*
сти G, что ввиду произвольности с невозможно» Теорема
доказана,
828
ИНТЕГРАЛЬНЕЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
Замечание. Теорема Ентча справедлива для любого поляр-
ного положительного ядра (без предположения его симметрии).
Соответствующая теорема справедлива и для матриц с положи-
тельными элементами и называется теоремой Перрона,
8. Метод Келлога. Для приближенного нахождения
наименьшего по модулю характеристического числа и
соответствующих ему собственных функций эрмитова
полярного ядра Ж(х, у) применяется метод последова-
тельных приближений Келлога. Пусть вещественная
функция ф(0) из ^(G) не ортогональна ко всем собст-
венным функциям, соответствующим Хр Составим после-
довательности
_ (г\ _ <р(р) (*) 1 _ II <р(р-1) II n — 1 2
*Р<₽) ( ' ~ [<р(р)|| ’ -р) ~ || ф(р) ц ’ р ~11 2' '' “
где ф(р) = 7<рф(0)— итерации функции ср(0) (см. § 17.1).
Члены Х(Р) и ф(Р) (х) этих последовательностей и прини-
маются за приближения к [ZJ и к соответствующей соб-
ственной функции ф! (х).
Дадим обоснование метода Келлога для интеграль-
ных уравнений с симметричным слабо полярным поло-
жительным ядром. По теореме Ентча для таких ядер
Zi — положительное и простое, так что 0 < М < |Х21
...; соответствующая собственная функция ф! (х) поло-
жительна при x^G; собственные функции фДя) веще-
ственны (см. § 20.7).
Теорема*). Пусть ЖЦх, у)—симметричное слабо
полярное положительное ядро. Тогда для любой функции
ф(0)(^)>0, Пф(0)П = 1, последовательность {Z(P)} сходится,
монотонно убывая, к и последовательность {ф(Р)} схо-
дится к ф1 в и в C(G), причем справедливы
оценки
0<Х(р)-Х1<^Ьу₽"2Ц21л Р = 2,3,. (38)
И(₽)-<Р111с<^2 г —с--------1,P = 2J3,...1 (40)
\Л2/
где сх == (ф<0\ ф1),_ L2 == шах [ | Ж (х, у) |2 dy.
XSG G
♦) См. В. С, Владимиров [1].
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
329
Доказательство. По теореме Гильберта — Шмид-
та (см. §§ 20.1 и 20.6) имеем
Ф^(^) = ^<р(о)=2-^<р,г(4 р—142д ..., (41)
k=l
где, в силу неравенства Бесселя,
Sd<h(0,ll2 = it сй = (ф(оид. *1>0, (42)
k=l
и ряды (41) сходятся равномерно по х е G.
Из равенств (41), в силу (ср*, <Ра) = вытекают ра-
венства
00 2
h“IP<Л- 24Р. р-1.2, (43)
fe=i
Докажем, что последовательность Z(P), р « 1, 2, ..
монотонно убывает и Х(Р) М.
Действительно, пользуясь неравенством Коши — Бу-
няковского, получаем
Пф(р)112 == (ф(р), ф(р)) == (Кф(р“п, ф(р)) = (ф(р~п, 7£ф(р))=«
= (ф(р"1}, <Р(р+1)) Нф(р’1)Н Нф(р+1)П,
откуда и из (37) следуют неравенства
||Ф(Р)|| ||<р(р-»||
А(р+1)~||ф(р+1)||||ф(р)|| 7(₽)’ р
Далее, из вариационного принципа (5) § 19.3 (см. так-
же § 19.4) выводим
лй» ------------------
(43), получаем
=inf JZL = x
h(p)ll ;
что и утверждалось.
Принимая во внимание равенства
Р = 2, 3, tt (44)
330
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Отметим неравенства, справедливые при х > у > 0:
(гг —р),.
14-х 2
1 + у 1/Г+7
(45)
Применяя первое из неравенств (45) при
к правой части равенств (44) и пользуясь (42), полу-
чим неравенства (38):
Пользуясь формулами (41) и (43), получаем
/1—2
(47)
§ 20] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
331
Применяя второе из неравенств (45) при
к правой части равенств (47) и учитывая (42), получа-
ем неравенства (46):
Неравенства (39) вытекают из неравенств (46) при
q = 0 в силу (37). Докажем неравенства (40). Учиты-
вая неравенство (34) § 20.6, получаем
ф(р)
II Ф(р) — <Р1 ||с =
(p(p-i)
kh(p)H
<Р1 -
Применяя к правой части полученного неравенства нера-
венство (46) при q = 1 с заменой р на р — 1, получим
оценки (40). Теорема доказана.
Замечание 1. Доказанная теорема о сходимости метода
Келлога справедлива и для симметричных полярных положитель-
ных ядер. При этом оценки (40) имеют место при р 2/ц (см.
§ 20.6).
Замечание 2. Аналогично доказывается, что метод последо-
вательных приближений § 17.1 при |Х| < |Xi| сходится в C(G)
dX |р\
-— , если ядро у) эрмитово и по-
Ai I /
лярпое.
9. Теорема Мерсера. Если эрмитово непрерывное яд-
ро Ж (х, у) имеет конечное число отрицательных харак-
теристических чисел, то его билинейный ряд (16) схо-
дится регулярно на G XG.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если непрерывное ядро Ж(х, у}—положи-
тельно определенное, то
Ж (х, х) >0, х е
Доказательство. Ядро Ж(х, у) эрмитово (см.
§ 20.5), щ тогда Ж(х2 х) = Ж(х2 х\ вещественно, Если
332
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IV
бы существовала такая точка xQ G, что Ж(х^ z0)<0,
то по непрерывности нашлась бы такая окрестность
U <= G точки х0, что Re Ж (х, у)< 0, х^ U, у &U. Выби-
рая непрерывную неотрицательную функцию ср (х) Ф 0 с
носителем в V, получим
(2Г<р, ф) = [ J Ж (х, у) ф (z) <р (у) dx dy =
v и
= j* j* Re Ж{х, у) ф (х) <р (у) dx dy <0,
и и
что противоречит положительно!! определенности ядра
Ж(х, у). Лемма доказана.
Доказательство теоремы Мерсера. Эту
теорему достаточно доказать для положительно опреде-
ленных ядер Ж (х, у) в силу результатов § 20.1. А тогда
и все ядра Ж(р)(х, у), определяемые формулой (3), бу-
дут непрерывными положительно определенными (см.
§ 20.5). По лемме Ж{р)(х, х)^ 0, x<^G, так что
V |фь(ж)12 *^^Х)^М, x^G, р = 1, 2, ...
h=i
Отсюда, используя неравенство Коши — Буняковского,
I Фа И Фй (у) | у | Фь I2 у I Фь (У) I2
Ч А .
заключаем о равномерной сходимости по х на G ряда
(16) при каждом y^G. (Напомним, что этот ряд схо-
дится к ядру Ж(х, у) в S?2(G) равномерно по у е G,
см. § 20.3). Следовательно, в равенстве (16) можно по-
ложить х = у, и мы получаем равенство
(49)
По лемме Дини (см. § 1.3) ряд (49) сходится равномер-
но на а тогда из неравенства (48) следует регуляр-
ная сходимость билинейного ряда (16). Теорема до-
казана.
Следствие. В условиях теоремы Мерсера
2 г = (ж *)dx' (5°)
fe=l G
ГЛАВА V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В этой главе изучаются краевые задачи для уравне-
ний эллиптического типа, в частности, теория потенциа-
ла для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве и
на плоскости и для уравнения Гельмгольца в простран-
стве. Кратко излагается также теория функций Бесселя
и сферических функций.
Если не оговорено особо, то область G предполагает-
ся ограниченной, а ее граница S — кусочно-гладкой по-
верхностью. Обозначим через G{ внешность G, = Rn\G,
G U 5 U G^Rn.
§ 21. Задача на собственные значения
1. Постановка задачи на собственные значения. Рас-
смотрим следующую линейную однородную краевую за-
дачу для уравнения эллиптического типа (см. § 4.4):
—div(p grad и) + qu = Кщ х е G, (1)
<2>
Предполагаем (см. § 4.1 и 4.4), что
q^C(G\ p(x)>0, $(*)>(), x<=G, '
аир — кусочно-непрерывны на S, а (х) 0г
(3)
Р (х) О, а (я) + р (я) >0, х е S'.
Пусть S,o — та часть 5, где а (х) > 0 и р (х) > 0 одно-
временно.
Задача (1) —(2)_состоит в нахождении функции и(х)
класса С2 (G) А С1 (G), удовлетворяющей уравнению (1)’
в области G и граничным условиям (2) на границе S'-
Очевидно, задача (1) —(2) всегда имеет нулевое реше-
ние. Это решение не представляет интереса. Поэтому
задачу (1)—(2) необходимо рассматривать как задачу
на собственные значения (см. § 1.11) для оператора
L = —div (р grad)+ q.
334 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
К области определения оператора L (см. § 1.10)
отнесем все функции /(я) класса G2(G)fl C^G), удовлет-
воряющие граничному условию (2) и условию Lf &
По лемме 2 § 5.2 £>(G) плотно в ^(G),
a 0(G), очевидно, содержится в Поэтому JtL плот-
но в 02(G).
Итак, задача (1) —(2) состоит в нахождении тех зна-
чений К (собственных значений оператора L), при кото-
рых уравнение
Lu = Хи (4)
имеет ненулевые решения и(х) из области определения
Мъ (собственные функции^ соответствующие этому соб-
ственному значению).
Замечание. Собственные функции гладкости С1 (G) су-
ществуют не всегда. Поэтому в некоторых задачах требование
гладкости ослабляется. Это естественно для краевых задач I ро-
ди
да (не содержащих^’, см. § 4.4). Для остальных краевых задач
ди
под на 5 понимают так называемую правильную нормальную
производную (см. § 4.5, замечание; § 24.2).
2. Формулы Грина. Если к C2(G) П С1 (G) и
g= C^G), то справедлива первая формула Гринах
п
jvLudx=§p^^^dx — ] pv^dS+ §quvdx. (5)
G G i==1 1 г S G
Для доказательства формулы (5) возьмем произволь-
ную область G' с кусочно-гладкой границей S', строго
лежащую в области G (рис. 76). Так как ue=C2(G), то
u^C2(G') и, следовательно,
j vLu dx= [ v [— div (р grad и) qu] dx =»
G' G'
С О n
= — j div (pv grad u) dx + j p dx + j quvdx.
G' Gf i==l 1 * G'
Пользуясь теперь формулой Гаусса — Остроградского
(см. § 2.2), получаем
п
jvLudx- I р2dx~J pv^dS' + f4uvd^ <5')
G' G' <=1. ’• , ’ S' G'
§ 21]
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
335
Выберем последовательность областей G' G с ку-
сочно-гладкими границами S' S (рис. 76) такую, что-
бы было справедливо предельное соотношение
s’-s
S' s
для любых функций
но-гладких поверхностей S
такие последовательности
всегда существуют.)
Устремляя в равенстве
(5') G' G и пользуясь тем,
что и и г^С^С), заключа-
ем, что предел правой части
существует и, следовательно,
существует предел левой ча-
сти и справедливо равенство
(5). При этом интеграл сле-
ва в (5) необходимо пони-
мать как несобственный.
Если и и v & C2(G) Л С1 (G),
формула Грина:
то справедлива вторая
^(vLu-uLv)dx = ^p(u^ — vd-^\dS, (6)
G 8 ' '
Для доказательства формулы (6) в первой формуле
Грина (5) поменяем местами и и и:
п
§uLvdx^p%^--^ dx - J pu^dS + J quv dx,,
G G г=1 г г S G
и вычтем полученное равенство из равенства (5). В ре-
зультате получим вторую формулу Грина (6).
В частности, при /7 = 1, q = 0 формулы Грина (5) и
(6) превращаются в следующие (ср. с формулой (29)
§ 6.5):
<7)
G g » = 1 8
— ukv)dx = — и (8)
g s ' '
336 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
3. Свойства оператора!». Оператор L эрмитов:
g) = (J, Lg), (9)
Действительно, так как функции / и g принадлежат
области Л7, то Lf^S?2(G) и Lg = Lg & 2?2(G) и вто-
рая формула Грина (6) при и = / и v = g принима-
ет вид
J (&! - JLg) dx= (Lf, g) - (f, Lg^p(jd±-g^ dS.
Далее, функции / и g удовлетворяют граничному j
условию (2):
I
По предположению (3) а + 0 > 0 на S. Поэтому одно-
родная система линейных алгебраических уравнений
(И) имеет ненулевое решение (а, Р), и, значит, ее оп-
ределитель равен нулю, т. е.
/
%
дп
dg
дП
Л-^g^L
1 дп ё дп
s
s
= 0,
Учитывая полученное равенство, из формулы (10) полу-
чаем равенство (9), которое и означает, что оператор L
эрмитов (см. § 1.12).
Пусть / е Полагая в первой формуле Грина (5)’
и = / и v = f и учитывая, что L/^<S?2(G), получаем
f) - Jp|grad/|2dx — ^pf&dS + (12)
G SG
Из граничного условия (2) следует, что
= — если Р(ж)>Ох же 5;
дп р 11 1 4 ' 1 ’
/ = 0^ если Р(ж) = Of же5»
§ 21] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 337
Подставляя эти соотношения в равенство (12)', получа-
ем выражение для квадратичной формы:
f) = J (р | grad/ |2 + q | /12) dx + J p у | f |2 dS,
G SQ
(13)
где So — та часть S, где a (x) > 0 и (J (x) > 0.
Квадратичная форма (Lf, j), называется
интегралом энергии.
В силу предположений (3) в правой части (13) все
три слагаемых неотрицательны. Поэтому, отбрасывая
второе и третье слагаемые и оценивая снизу первое сла-
гаемое, получаем неравенство
(ЬД /) > j* РI grad /12 dx > min р (or) J | grad/12 dxt
G ocGG G
т. е.
(Lf, f) > Ро II I grad /I II2, / е= (14?
где ро — minp(^); в ^илу непрерывности и положитель-
ности функции р на G, pQ > 0.
Из неравенства (14) вытекает, что оператор L — по-
ложительный (см. § 1.12), т. е.
(А/, /)>0, /е^ь. (15/
Отсюда, в частности, опять следует эрмитовость операто-
ра L (см. § 1.12).
4. Свойства собственных значений и собственных
функций оператора L.
Все собственные значения оператора L неотрица-
тельны.
Это утверждение вытекает из положительности опе-
ратора (см. § 1.12).
Собственные функции оператора L, соответствующие
различным и собственным значениям, ортогональны.
Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора
(см. § 1.12).
Собственные функции оператора L можно выбрать
вещественными.
Это утверждение вытекает из вещественности опера-
тора L (ср. § 20.7). Действительно, пусть ^ — (вещест-
венное) собственное значение и н0 — соответствующая
собственная функция оператора L,
LUo == ^0, ^0 (16)
22 в, С, Владимиров
338 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. v"
Тогда, отделяя в равенстве (16) вещественную и мни-
мую части, получаем, что отличные от нуля веществен-
ная и мнимая части собственной функции п0 = Ui + ш2
также являются собственными функциями, соответству-
ющими собственному значению XOl Luj == Хоп;, / = 1, 2.
Лемма. Для того чтобы X = О было собственным
значением оператора L, необходимо и достаточно, чтобы
q = 0 и а == 0. При этом X = 0 — простое собственное
значение и п0 == const — соответствующая собственная
функция.
Доказательство. Необходимость. Пусть
X == 0 — собственное значение оператора L и и0 — соот-
ветствующая собственная функция, так что Ьиэ == 0,
uQ е JtL. Применяя к функции п0 формулу (13), по-
лучаем
о = (£u0, u0) = J (р I grad и012 + q | и0 |2)dx + J Р j 1 «о |Жг
g s0
откуда, учитывая предположения (3) , выводим
р grad и0 = 0, qu0 = 0, х е G,
т. е. По == const 0 и q = 0. Из граничного условия (2)
для собственной функции и0 = const следует, что а == 0.
Необходимость условий доказана. При этом установлено,
что и0 = const — единственная собственная функция, со-
ответствующая собственному значению X = 0, т. е. это
собственное значение — простое.
Достаточность. Если q = 0 и сс 0, то, в силу
(3), £>0 и задача(1) —(2)превращается в следующую:
— div (р grad и) = |g = 0,.
для которой и0 = const есть собственная функция, соот-
ветствующая собственному значению X = 0. Лемма до-
казана.
При п > 2 будем считать, что в граничном условии
(2) либо р = 0, либо р = 1, т. е. это условие имеет вид
либо и ]s = 02 либо + аи == 02 а 0. (17)
Тогда, если граница S области G — достаточно гладкая
поверхность и коэффициенты р > 0, д > 0 и а > 0 — до-
статочно гладкие функции, справедлива следующая
§ 21] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 839
Теорема!. Множество собственных значений опе-
ратора L не имеет конечных предельных точек; каждое
собственное значение имеет конечную кратность. Всякая
функция из Ml разлагается в регулярно сходящийся ряд
Фуръе по собственным функциям оператора L.
Эта теорема будет доказана для двух частных случа-
ев: 1) для задачи Штурма — Лиувилля (см. § 22) и 2)
для задачи Дирихле (см. § 28). Доказательство этой тео-
ремы содержится в книгах В. П. Михайлова [1], гл. IV
и О. А. Ладыженской [1], гл. II.
На основании приведенной теоремы и предыдущих
утверждений все собственные значения оператора L
можно перенумеровать в порядке возрастания их вели-
чины:
О Aj Аг . . ., А& ~00, & °°» (1^),
повторяя в этом ряде Aft столько раз, какова его крат-
ность. Соответствующие собственные функции обозначим
через Х\, Х2, ..., так что в ряде (18) каждому собствен-
ному значению Ай соответствует собственная функция
= /с —1, 2, ..., X^Ml.
При этом собственные функции {ХД можно выбрать ве-
щественными и ортонормальными (см. § 1.12), так что
(LXh, ХД - Aft (Ха, ХД - АЛь (19)
Далее, всякая функция / из ML разлагается в ряд
Фурье по ортонормальшж системе {ХД,
/W= (20)
h~l
и этот ряд сходится регулярно на С, Но ML плотно в
^(G) (см. § 21.1). Отсюда и из теоремы § 1.9 вытека-
ет следующая
Теорема 2. Система собственных функций опера-
тора L полна в S?2(G).
Пусть / е Мь. Умножая ряд (20) скалярно слева на
и учитывая, что Lj е= ^(G), получаем формулу для
интеграла энергии
(Lf, /) = 2 (КХ) (Г/, xh) = 2 (/, LXh) (Txh) =
k=l
= 5 (Л W (pxj = 2 M (Л xh) p. (21)
h=l
22*
340
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Теперь установим следующий вариационный принцип
(ср. § 20.5):
Х& =
inf
IIЛ
(/,Xi)=0,i==l,2,...,fe-l
fc — 12 2, ..
(22)
причвлМ infimum в (22) достигается на любой собствен-
ной функции, соответствующей собственному значе-
нию Xh.
Действительно, пользуясь формулой (21) для квадра-
тичной формы (£/, /) и учитывая неравенства (18):
Xf > > 0, г > Л, при всех j^J(L таких, что (/, Х) = 0,
i = 1, 2, ..., к — 1, получаехМ
оо оо
(£/,/) = 2 Л|(/, ад>^ 2 |(/, ад.
г=й i—h
Но, в силу теоремы 2, справедливо равенство Парсеваля
(см. § 1.8)
21 (Л ад = 2 К/, ад = 11 Л2,
г=1 i—h
и потому
С другой стороны, при / = Xk, в силу (19), имеем
= (Xfe,Xt) = 0., г = 1,2,..., к-1.
Нм
Этим установлена справедливость вариационного прин-
ципа (22).
Полагая в (22) к = 1, получаем, в частности,
= inf
^Ль
W, f)
ИЛ2 *
Применяя формулу (21) к функциям
Лр “ / 2 (/> ^г) % и Р “ 1? 2, .. .г
i—1
из Д и учитывая, что
(лп^А)= (/- 2 (лхадх/,
\ i=l
0, к == 1, 2, .. .,р,:
§ 21] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 341
получаем
лР) = 2 h\(f,xh)\2-
fe=p+l
Отсюда и из сходимости ряда (21) следует, что
(£т]р. Пр)-* 0, р-*°°. (23)
Применяя неравенство (14) к функциям и учитывая
(23), получаем при р °°
II | grad HI2 =»
р
grad / — У (/, Х{) grad Х{
i=l
2
< 4- (LnP. Tip) 0*
M)
Полученное соотношение означает, что
grad / (х) = 2 (Л Xft) grad Xft (x)t (24)
h=l
причем ряд (24) сходится к grad / в S’2(G).
Итак, получена следующая
Теорема 3. Если то ряд (20) можно диф-
ференцировать почленно по Xi, i = 1, 2, ..., п, один раз
и полученные ряды (24) будут сходиться к в 272(G).
Замечание. Полученные результаты соответственно рас-
пространяются и на краевую задачу на собственные значения для
уравнения Lu = Xpzz, где вес р(я) > 0 — непрерывная функция
на если эту задачу рассматривать в пространстве р) (ср.
§ 1.9, замечание).
5. Физический смысл собственных значений и соб-
ственных функций. При р = 1 и р = 0 задача на собствен-
ные значения (1) —(2) принимает вид
—Ди + q(x)u == Хи, и|5 —0. (25)
Как известно*), собственные значения задачи (25)
определяют уровни энергии квантовой частицы, движу-
щейся во внешнем силовом поле с потенциалом (потенци-
альная яма; рис. 77)
q(x), xt=Git
+ оо, х <= G.
V(^) =
!) См., например, Д. И. Блохинцев [1, гл. VIII] и Мессия [1].
842
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Соответствующие собственные функции являются волно-
выми функциями стационарного оператора Шредингера
(см. § 2.7),
— Au + V (х) и = Ки, (26)
Как будет показано в § 32, собственные значения опе-
ствующая собственная
ратора L определяют собствен-
ные частоты колебаний ограни-
ченных областей (объемов,
мембран, струн, стержней
и т. д.), а соответствующие соб-
ственные функции — ампли-
туды гармонических колебаний.
Наименьшее собственное
значение стационарного опера-
тора переноса (см. § 2.4) опре-
деляет также критичность
в реакторе в критическом состоянии.
ядерного реактора, а соответ-
функция — плотность нейтронов
§ 22. Задача Штурма — Лпувилля
При п = 1 задача па собственные значения (1) —(2)
§21.1 называется задачей Штурма — Лиувилля,
Lu -~(ри')'+ qu == ки, 0<.r<Z, (1)
htu (0) - h2u (0) = 0, Щи (Z) + H2u (Z) = 0. (2)
В соответствии с условиями (3) § 21.1 считаем
р е С1 ([0, Z]), q е= С([0, Z]), р(х)> 0, q(x)^ 0,
К >0, h2 > 0, Hi >0, Н2 0, hi + h2 >0, + Н2 > 0.
Напомним, что область определения оператора L со-
стоит из функций и(х) класса С2(0, Z) П С1 ([0, ZJ), и"
е 2^2(0, Z), удовлетворяющих граничным условиям (2).
Выражение (13) § 21.3 для квадратичной формы
(£/, /), / е принимает следующий вид:
i
/)= f(p I f I2 + q I /12) dx + ^P (0) I/ (0)1* + J-p(Z)|/(Z)|2
о 2 2
(последние слагаемые выпадают при h2 == 0 или Н2 = 0
соответственно).
§ 22]
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
343
1. Функция Грина. Предположим, что Х = 0 не есть
собственное значение оператора L; это значит, в силу лем-
мы § 21.4, что либо q 0, либо hi 0, либо 0.
Рассмотрим краевую задачу
Lu — (ри')' + qu = f(x), u^J(l, (3)
где / e C(0, l) П S>2(0, l). Так как X = 0 не есть собствен-
ное значение оператора L, то решение краевой задачи (3)
в классе Ml единственно (см. § 1.11). Построим решение
этой задачи.
Пусть ъ\ и v2 — ненулевые (вещественные) решения
однородного уравнения Lu = 0, удовлетворяющие ус-
ловиям
hivi (°) — (0) = Of H1v2 (Z) + H2v'2 (I) = 0, (4)
Из теории обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений следует, что такие решения всегда существуют
и принадлежат классу С2([0, /]). Решения и v2 линейно
независимы. Действительно, в противном случае Vi(x) =
= cv2(x) и, следовательно, в силу (4) решение удовлет-
воряет и второму граничному условию (2). Это значит,
что Vi является собственной функцией оператора Д соот-
ветствующей собственному значению X = 0, вопреки пред-
положению. Поэтому определитель Вронского
w(x) =
(*)
у' (х)
(*)
=7^= 0А
Кроме того, имеет место тождество Остроградского — Лиу-
вилля *)
p(z)>(x)==p(0)>(0J, х е [0, Z]. (5)
Будем искать решение задачи (3) методом вариации
произвольных постоянных,
и (х) == Ci (х) Vi (х) + С2 (х) v2 (xj. (6)
В соответствии с этим методом функции и С2 долж-
ны удовлетворять системе линейных дифференциальных
уравнений
Ci^i + C2v2 = 0, C1vl + C2v2 = —~ (7)
♦) См., например, Л. С. Понтрягин [1, гл. 3].
344
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
с определителем w (х) 0. Решая эту систему и пользуясь
тождеством (5), получим
гг 1 0 V2 f (^) (^)
Cj = — х W f ! Р Vi = p(0)u>(0)1
с2 = - £ W V1 0 _ / (x) иг (x)
, / 1 p p (0) w (0)'
(8)
Чтобы удовлетворить граничным условиям (2), поло-
жим С2(0)=0, (Z) — 0, поскольку, в силу (4) и (7),
h.u (0) - h2u' (0) = h. [С\ (0) (0) + С2 (0) v2 (0)] -
- h2 [Ci (0) i4(0) + Ci(0) V, (0) + C2 (0) v'2 (0) + C’2 (0) p2(0)l =
= C. (0) [/^ (0) - h2v\ (0)] + C2 (0) [V2 (0) - h2v2 (0)] = 0,.
и аналогично для конца х = Z. Интегрируя (8) при усло-
виях G(Z) = 0, С2(0)= 0, имеем
i
с> = - mo)V(O)' Jf v*
X
X
с> w=- p(o)V(6j- f / м м dy-
о
Подставляя полученные выражения в (6), находим ис-
комое решение задачи (3) в виде
и (х) =
[х I
vz (*) J / (У) (у) dy + V1 (ж) J / (г/) v2 (у) dy
0 50 J
ИЛИ
I
u(x)=> §3 (x, y) j (y) dy,, (9)
0
где
x 1 0<x<p,
X' p(0)^ (0) ll?2 (я) 1>1 (*/),
Функция $ (x, у) называется функцией Грина краевой
задачи (3) или оператора L,
§ 22]
8АДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
845
Итак, доказан следующий результат:
Лемма. Если Z = 0 не есть собственное значение one*
ратора L, то решение краевой задачи (3) существует,
единственно и выражается формулой (9).
Перечислим свойства функции Грина (х, у), въпе^
кающие непосредственно из
формулы (10).
1) Вещественна и непрерыв-
на в замкнутом квадрате
П = [0, Z] X [0, I] и принадле-
жит классу С2 в замкнутых тре-
угольниках
[0 < х у I] и [0 у х I]
(рис. 78).
2) Симметрична:
у) = 3(у, х), (х, у)е=П.
3) На диагонали х = у скачок производной Зх равен
1
—т-г, т. е.
р{у}
0£(у + О, у) 8$ (у — 0, у) _ 1 ,,^/л 1\
----д~х----------Тх-------У^1)'
4) Вне диагонали х = у удовлетворяет однородному
уравнению
Lx$(x, у)=0, (х, у)^П.
5) На боковых сторонах квадрата П удовлетворяет
граничным условиям (2):
(0, у) - h2 & у) + Я2 = О,
ре [0, Z],
Пример. Функция Грина краевой задачи
-и" = f(x), u(0)=u(l)=0
имеет вид
. (х(1— y)t 0^x^yt
3 {х, у) = \
1(1 — х) у, р<^<1.
Физический смысл функции Грина. Из
свойств 1), 3) и 4) вытекает, что при каждом ye(0, I)
функция Грина $ {х, у) удовлетворяет в обобщенном
346
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
смысле (см. § 11.1) уравнению
Lx&(x, у) = 6(х - у), х е=(0, Z)’.
Поэтому 2F (х, у) есть возмущение, порождаемое точечным
источником интенсивности 1, находящимся в точке у. Та-
ким образом, функция Грина у) является естествен-
ным обобщением фундаментального решения (см. § 11.2)’
на уравнения с переменными коэффициентами при на-
личии граничных условий (описывающие процессы в не-
однородных ограниченных средах).
2. Сведение задачи Штурма — Лиувилля к интеграль-
ному уравнению. Покажем, что задача Штурма — Лиу- <
билля сводится к интегральному уравнению Фредгольма
с вещественным, симметричным и непрерывным ядром
Теорема. Краевая задача
Lu^hu + f, и£=Ль, f gC(0, /)П^2(0, I) (11)
при условии, что 1 == О не есть собственное значение опе-
ратора L, эквивалентна интегральному уравнению
i i
u (х) = A. J (.г, у) и (i/) dy + J (ж, у) / (у) dy, (12)
О о
UG=C([0, ZJ),
где $(х, у)— функция Грина оператора L.
Доказательство. Если и(х)~— решение краевой
задачи (И), то, применяя лемму § 22.1 с заменой / на
Ки + /, получим
i
и (•*) = f у) (у) + / (у)1 dy>-
о
т. е. и(х') удовлетворяет интегральному уравнению (12).
Обратно, пусть функция иоеС([О, Z]) удовлетворяет
интегральному уравнению (12). Рассмотрим краевую
задачу
Lu = Лл0 + /,
По лемме § 22.1 единственное решение этой задачи
дается формулой
i
и (х) = J (х2 у) P-Uo (у) + / (i/)] dy = Ир (ж)1
о
§ 221 Задача штурма — лиувилля 347
откуда следует, что uQ и удовлетворяет уравнению
Luq = Лн0 + /,
т. е. и0 есть решение краевой задачи (11). Теорема до-
казана.
При / = 0 краевая задача (И) превращается в задачу
Штурма — Лиувилля и, следовательно, задача Штурма —
Лиувилля (1) — (2) эквивалентна задаче на собственные
значения для однородного интегрального уравнения
i
и (я) = A J (х, у) и (у) dy (13)
О
при условии, что А = 0 не есть собственное значение опе-
ратора L.
Теперь освободимся от предположения, что X = 0 не
есть собственное значение оператора L. Для этого заме-
тим, что в силу леммы § 21.4, pi«0 не есть собственное
значение задачи Штурма — Лиувилля
Ци — (puf)' + (q + 1) и = рш, (14)
h.u (0) - h2u' (0) = Нрг (Z) + Н2и' (Z) = 0. (15)
НоДиА1? и поэтому задача (14) — (15) эквива-
лентна задаче (1) —(2) при pi = X + 1.
Следовательно. задача Штурма — Лиувилля (1) —(2)
эквивалентна интегральному уравнению
i
и (х) = (X + 1) J (ж, у) и (у) dyt (16)
О
где &±(х, у') — функция Грина оператора Lit
3. Свойства собственных значений и собственных
функций. Таким образом, установлена эквивалентность
задачи Штурма — Лиувилля (1) —(2) задаче на соб-
ственные значения для однородного интегрального урав-
нения (16) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым)
непрерывным ядром JFi(rr, у). При этом собственные зна-
чения Л задачи И) —(2) связаны с характеристическими
числами pi ядра $t(x, у) соотношением pi = X+l, а соот-
ветствующие им собственные функции совпадают. По-
этому для задачи Штурма — Лиувилля справедливы все
положения теории интегральных уравнений с симметрич-
ным непрерывным ядром, развитые в §§ 19 и 20. В част-
ности, множество собственных значений {ЛА} этой задачи
348 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
не пусто и не имеет конечных предельных точек; соб-
ственные значения вещественны и конечной кратности;
собственные функции {Xft} можно выбрать вещественны-
ми и ортонормальными; Xk е С2 ([О, Z]).
Но задача Штурма — Лиувилля имеет ряд специфиче-
ских свойств. Отметим некоторые из них.
Собственные значения неотрицательны.
Это утверждение доказано в § 21.4.
Множество собственных значений счетно.
Действительно, если бы это множество было конечным
{Xi, Х2, ..Ал}, то ядро Э’Дя, у) имело бы представление
(см. § 20.1)
X. (х) X. (у)
• (17)
Но Xh^ С2 ([0, ZJ), и поэтому представление (17) проти-
воречит свойству 3) функции Грина S?i(x, у). Получен-
ное противоречие и доказывает наше утверждение.
Каждое собственное значение — простое.
В самом деле, пусть Х^ и Х2 — собственные функции,
соответствующие собственному значению Хо. Это значит,
что эти функции удовлетворяют уравнению (1) при Х==
= Ао и граничным условиям (2). Из первого граничного
условия (2)
(0) - h2X[ (0) = 0, ЛхХ2 (0) - h2X2 (0) = 0
вытекает в силу предположения hi + h2 > 0, что
Х1(0) -^(0)
Х2(0) -Х'2(0)
*х(0) Х2(0)
х;<о) %;(0)
= 0,
т. е. определитель Вронского для решений ХДя) и Х2(х)
уравнения (1) при X = Z0 в точке х = 0 обращается
в нуль. Поэтому эти решения линейно зависимы. Это
и значит, что Хо — простое собственное значение задачи
Штурма — Лиувилля (1) —(2).
Теорема (В. А. Стеклов). Всякая функция f из Л1Ъ
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по соб-
ственным функциям {XJ задачи Штурма — Лиувилля,
f№ = (18)
§ 22] ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ 349
Доказательство. Так как / е Лъ, то
L1Z = LZ + Z = ^eC(O, OAS’aO, Z).
Но v^e1 = и потому Таким образом, функ-'
ция Z является решением краевой задачи
LJ = h, f(= Лье
причем, по построению (см. § 22.2), X —О не есть соб-
ственное значение оператора Li. Обозначим через SFi (гг, у)
функцию Грина оператора Lit По лемме § 22.1 функция Z
выражается интегралом
i
[ /(г) = j y)h(y)dyt
О
т. е. истокообразно представляется через эрмитово непре-
рывное ядро у). По теореме Гильберта — Шмидта
(см. § 20.1) функция Z разлагается в регулярно сходящий-
ся ряд Фурье по собственным функциям ядра $i(x, у).
Но собственные функции ядра $i(x, у) совпадают с соб-
ственными функциями оператора которые в свою оче-
редь совпадают с собственными функциями {XJ операто-
ра L, Теорема доказана.
Таким образом, для задачи Штурма — Лиувилля вер-
на теорема 1 § 21.4 и следствия из нее. В частности, си-
стема собственных функций задачи Штурма — Лиувилля
полна в ^?2(0, Z).
Замечание. Другими методами В. А. Стеклов доказал бо-
лее сильное утверждение: всякая функция / е С1 ([0, Z]), удовлет-
воряющая условиям /(0) == f(l) = 0, разлагается в регулярно схо-
дящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма —
Лиувилля (1) —(2) (см. В. А. Стеклов [1, ч. 1, гл. V]).
4. Нахождение собственных значений и собственных
функций. Изложим процесс вычисления собственных зна-
чений и собственных функций задачи Штурма — Лиувил-
ля (1) —(2). Пусть Ui(x\ К) и и2(х\ X)—решения урав-
нения (1), удовлетворяющие начальнььм условиям:
ui (0; e It u'i (0; ^) = 0; и2 (0; X) = 0л и'2 (0; А) = 1,
Тогда функция
и (я; X) = ^2Wi (^; X)+hiU2(x; X) (19)
удовлетворяет уравнению (1) и первому из граничных
условий (2). Чтобы удовлетворить второму из граничных
350
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
условий (2), необходимо положить
H1h2u1 +H2h2Ui (Z; X) +H2hLu'2 (Z; 2v)=0<
Корни Zi, X2, ... полученного трансцендентного уравне-
ния и дадут все собственные значения задачи Штурма —
Лиувилля (1) — (2). Соответствующие собственные функ-
ции Xh определяются по формуле (19) при Х = ХА,
Xk(x)== и(х-, Xh) = h2Ui(x; Xh)+ hLu2(x; Хй), &==!, 2,
Пример. Вычислим собственные значения и соб-
ственные функции задачи Штурма — Лиувилля при
р = 1, q = 0, h2 = Н2 = 0:
— п(0) = u(Z)== 0. (20)
Для этого выпишем общее решение дифференциаль-
ного уравнения (20)
и (х) = CL sin УХх + С2 cos УХх
и подберем произвольные постоянные G и С2 и параметр
X так, чтобы удовлетворить граничным условиям (20) и
< Х2(х)
Рис. 79.
Х3(х)
условию нормировки Hull === 1. Условие и (0) = 0 дает С2 = 0,
а условие u(Z) == 0 дает УXI = /гл, fc = ± 1 + 2, ..так что
л А" л2 , х кпх
X = и (х) = С1 sin —.
Из условия нормировки
I
о
i = у и» следовательно,
h = Xft(x)=/+sm^ * = 1x2,... (21)
§22] ЗАДАЧА ШТУРМА —ЛИУВИЛЛЯ 351
Из построения следует, что других собственных функ-
ций задача (20) не имеет. Система собственных функций
(21) полна в ^(О, I) (см. § 22.3).
Графики собственных функций Xh(z), к = 1, 2, 3, изо-
бражены на рис. 79.
5. Метод факторизации. Для численного решения краевой за-
дачи (12) весьма удобен метод факторизации (см. В. С. Владими-
ров [4]). Проиллюстрируем его на примере задачи (3):
Lue~-(Pu'Y+ qu = f(x), f&CUO, 1])ч (22)
/цн(0) - M'(0) = 0, 7/iu(Z) + H2u'(l) = 0, (23)
при условиях, сформулированных в. начале § 22, и h2 0, Н\ > 0.
Представим дифференциальный оператор 2? второго порядка
в виде произведения дифференциальных операторов первого по-
рядка
г d(du\ (d \( d \
= + (24)
с вспомогательными функциями g и g\. Чтобы равенство (24) име-
ло место для всех функций и е С2, необходимо и достаточно, что-
бы gi = g/p, а функция g удовлетворяла уравнению Рикатти
/ + (25)
В силу (24) уравнение (22) распадается па два уравнения перво-
го порядка
+ “ Z/= / —£и= — у (*)• (26)
Из уравнений (26) следует: чтобы удовлетворить первому из
граничных условий (23) достаточно положить
1/(0) ===== 0, g(0) == 7?^; (27)
чтобы удовлетворить второму из граничных условий (23), пола-
гаем
Н2и (0
“(Ь)~ я1Р(/) + я2<?(/) • (28)
Поскольку q(x) ^0 и g(0) = hjh2 0, то из уравнения (25) сле-
дует, что его решение g(x)^0 (положительно, если hi > 0 и
g(x) > 0). Поэтому, если g > 0, то первое из уравнений (26) ус-
тойчиво численно интегрируется при начальном условии у(0) = 0
от точки 0 до точки I; второе из уравнений (26) также устойчиво
численно интегрируется при известном начальном условии (28)
от точки I до точки 0. Таким образом, решение неустойчивой крае-
вой задачи (22) —(23) (g(x) ^0!) мы свели к решению трех ус-
тойчивых задач Коши: для одного нелинейного уравнения Рикат-
ти (25) и для двух линейных уравнений (26) с начальными усло-
виями (27) и (28).
352 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
§ 23. Функции Бесселя
Рассмотрим уравнение
х2и" + хи' + (х2 — v2)u = 0, (1)'
называемое уравнением Бесселя. Всякое решение этого
уравнения, не равное тождественно нулю, называется
цилиндрической функцией. Отметим, что коэффициенты
уравнения (1) не удовлетворяют условиям § 22.
1. Определение и простейшие свойства функций Бес-
селя. Рассмотрим при — оо < V < ОО функцию
J М = У (-Vft+V (2\
' £ г (А-4-v 4-1) Г (* 4-1) 2J *
Эта функция представима в виде
Л(^) = ж7,(х2)', (3)
где /»(£) — целая функция,
/ ГН = У (-1)У zzx
V 22A+Vr (ft + v + 1) Г (/£ + 1) ‘ [ 1
Действительно, в силу признака Даламбера ряд (4)
сходится равномерно на всяком компакте плоскости ком-
плексного переменного £ и поэтому определяет целую
функцию A (£).
Таким образом, при v = 0, ±1, ... Jv(x)—однознач-
ная аналитическая функция, а при у =И= 0, ± 1, ... Jv(x) —
многозначная аналитическая функция; выделим ту ветвь
ее, где xv > 0 при х > 0.
Проверим, что функция 7v(.z) удовлетворяет уравне-
нию (1). Пользуясь соотношением Г(з + l)==zr(z), по-
лучим
х2 Jv (х) + xj'v (х) — v2 Jv (х) =
__у (— 1)* [(2& Ч-v) (2А; 4-v — [) + 2A- + v — v2] ( х =
1 (^ +v+1) Г(А’4~ О Ы
_у (—+ v) /^\2ft+v =
“"о Г (А4-v + 1) 1 (Л + 1) \2)
_дУ (“I)* /х\М_
r(^+v)r(/c) \2J
§ 23J
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
353
хг у
" г + v + 1) Г 1)
/ - \ 2fe+V
(yj = —
что и утверждалось.
Цилиндрическая функция Д(^) называется функцией
Бесселя порядка v.
В частности,
/«/. w = 2 Х+1). *2ft+1 = /3-sin х'
fe=0
л.,, W - /А 2 *
'« ' ' г лх (2А-)! г пх
h—0
(5)
Если v > 0, целому числу, то функции Д(«г) и
Yv(x) = J-V(x) линейно независимы. Это следует из (2)
в силу
А^-^.-т-Ц + О^2)], х->0, v^-1, —2, ...
Z 1 (V -j- 1)
(6)
Если же v = п — целому числу, то
J^(x) = (-l)Vn(4, (7)'
так что функции Jn(x) и J_n(x) линейно зависимы.
Докажем равенство (7). Учитывая, что Г(—&)=оо,
к = 0, 1, ..., из (2) имеем
j-n (х) = 2^ Г(* —,t + l) F(A- + l) ("2 )
(— 1)п+*
Г (s + 1) 1 (s 4- п 4- 1)
\2s4-n
I) =(-1)п/п(х).
Отметим, что при v = п — целому неотрицательному
числу — второе линейно независимое решение Yn (х) урав-
нения Бесселя (1) обладает свойством
Спх ”[14- 0(1)1, 1,
с0 In х [1 4- о(1)1» п = О,
Это утверждение вытекает из формулы Остроградско-
го— Лиувилля (см. (5) § 22.1) при р(х)—х,
У'п(х) Jn(x) — Yn(x) j'n(x) =
23 в. с. Владимиров
354
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
откуда
\ ___________________________ ап
Jn), ^(х)’'
так что
Yп (х) — Jn (х)
Выбирая в (9) хп достаточно малым и пользуясь асимп-
тотикой (6), из (9) получаем (8),
2. Свойство ортогональности. Если pt и ц2 — веще-
ственные корни уравнения
ос Jv (р) + Рр X (ц) === О, сс^О, р>0, а + р > 0, (10)
то при v > — 1
1
J xJy (ргт) Jv (p2z) dx == 0х pi у= р2; (11)
о
1
. J xJ* (цгг) dx = 1 [Л (И1)]1 2 + 4(1 - 4) Л (r). (12)
О \ Н /
Доказательство. Пусть рл и р2 —любые веще-
ственные числа. Функции Jv(pi#) и Jv(p2^) удовлетворя-
ют, в силу (1), уравнениям
d Г ^у(М гг)~
dx dx
2£Г dJv (р2а:)
dx [ dx
+ — 7) Л(fM = 0,;
4“ ~ dу (р2*г) =
Первое из этих уравнений умножим на Д(ц2«т)\ а вто-
рое — на Д(Ц1#), затем вычтем почленно одно из другого
и проинтегрируем по интервалу (0, 1). В результате по-
лучим
j dx Jv
о
dx
dJv
1
— (p2 ----- Hl) f (|’1X) Jv СЦ2^) dXf
0
§23]
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
355
или
4Н1А С'-Ч^) J» (Pi2) — НаА (FM) j'v (FV)] Io =
1
= (pj — p2) J xJv (j-4#) Jv (P2^) &X- (13)
0
Но из (2) при x -> + 0 имеем (ср. (6))
А(М = П?1Пу(т) +O(xv+2)(
\ixJ'v (рж) = 1(у4-Т)~ От) + 0 (^V+2)*
и поэтому
ргт*7у (р2^‘) X (Hi#)—р2^Д (Hi^) X (р2-т)=О (x>2V+2), #-> + 0.
Таким образом, в силу условия v > — 1 левая часть ра-
венства (13) обращается в нуль при х = 0 и мы получаем
1
J xJy (рх^) Jу (p2rr) ~
о
= —_ - [pi^v (Р2) *А (Pl) Р2*А (Pl) А (Р2)]• (1^)
н2 — Р1
Если теперь и р2 — корни уравнения (10):
aJy (Pi) + PPiX’ (Pi) = 0, аД (р2).+ ₽р2Х (р2) =» 0,; (15)
а числа а и £ не равны нулю одновременно, то опреде-
литель линейной системы (15)zравен 0,
А 04) ^iACA)
А (А) МЖ)
— р2А’ (Pi) Jv (р2) Pi*^v (р2) Jv (Pi) 0.
Отсюда и из (14) следует свойство ортогональности (11).
Пусть pi — корень уравнения (10). Переходя в равен-
стве (14) к пределу при ц2 и пользуясь правилом
Лопиталя и уравнением (1), получим формулу (12): , -
1
J xJ* (Pi#) dx ===
о
lim - > [pxJv (р2) Jv (pi) р2Л (Pi) Л (р2)]
IV^I Н2"“Р1
у v ((н)] 2р~~ *^v v (ia)-!
= у [а (Н1)Р + ~2 (Hl) [ 1 ~2 I •
\ )
23*
356
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. V
3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.
Справедливы следующие рекуррентные соотношения:
Jv (х) = Jv-i (х) — — J\ (х), (16)
/v (^) “ Д +1 (#) + ~ (я*)’ (16 )
Действительно, формула (16) следует из (2) :
J' (г}-J (х} = У [ (-Dfe(2/c+v) / х \2A+v-I _
Jv(X) JV-!{X) [ 2Г (A-+ v+ 1) Г(А' + 1) \2)
/x\2A+v-il
Г (A + v) Г (к + 1) \ 2 J J
= ~v у <-о*____________________I^Vft+V = _ v j , .
x Г (A 4-v-j-1) Г (A--b 1) \2J xJv\-4'
Аналогично устанавливается и формула (16').
Формула (16) и (16') можно переписать в виде
-[ dx *• d dx j xvJv (ж)] = a;vJv-i(^)t ГА(Х) 1 MiW V 1 V * 1 xv J X (17) (17')
Отсюда получаем при т = 0, 1, ... = xv~mJv-m (х), (18)
/ d у dx) г Jy 1 ( 4 \ w xv J } хУ+т * (18')
В частности, из формул (5), (18') и (18) при т =
= 0, 1, имеем
Л.+*/, (х) = (- l)m У Хт^ (^)т (19)
J_m_t/i(x)^y^xm+i/‘l^ ‘£811. (19')
Наконец, вычитая формулы (16) и (16'), получаем
еще одно рекуррентное соотношение:
Jv + l (я) ~ Jv (я) + JV-1 (х) = 0. (20)
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
357
§ 23]
4. Корни функций Бесселя. Докажем следующие свой-
ства корней уравнения (10) при v > — 1. (При р = 0 это
уравнение определяет корни функций Бесселя.)
Теорема. Корни уравнения (10) при v > — 1 — ве-
щественные, простые, кроме, возможно, 0; они симмет-
рично расположены относительно точки 0 и не имеют ко-
нечных предельных точек.
Доказательство. Вещественность корней. Из
формулы (2), в силу вещественности ос, р и Г(§) при ве-
щественных £, получаем Ц(х) = Jv(x),
ajv (р) + Pp/v (р) = а/у (р) + PpJy (р).
Поэтому, если р — корень уравнения (10), то р — также
его корень. Если р2 =/= р2, то, применяя формулу (И) при
Pi = р, р2 = р, получим противоречие:
1 1
0 = j х Jv (p:r) Jy (рзг) dx ~ J x | Jv (pre) p dx.
о о
Поэтому p2 == p2, т. e. либо p — вещественное, либо p —
мнимое число: p = la, a #= 0 вещественно. Но последний
случай не имеет места, поскольку, в силу (2) и Г (£)>0,
В>0,
г /• \ I р- т' /• \ (ia\V V a + p(2A? + v) la}2k,f]
aJv(ш)-f-РшД (ш) — 2у ^r^+v4-l)r(fc+l)(2/ =#0-
Симметрия корней и отсутствие конечных предельных
точек следуют из представления (см. (3))
<хД (ц) + РвЛ (в) == [(« + Pv) /v (в2) + Рв2/С (в2)]
и из того факта, что нули целой функции не могут иметь
конечных предельных точек.
Докажем простоту корней. Пусть р0 > 0 — корень
уравнения (10) кратности > 2, так что
сс</у (р0) 4" PPo^v (ро) =
aJv(p0) 4* (Но) ~Ь ₽роД(Ро)
= — р(во~ n-Vv(Ho) + «Л (Но) = 0 (21)
в силу уравнения (1). Из равенств (21) заключаем: а) ли-
бо Jv (Во) в Л (Во) = °1 Ь) либ° “2 + Р8 (в8 “ v2) = Слу‘
358
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
чай а) невозможен в силу теоремы единственности ре-
шения уравнения (1), поскольку точка > 0 не особая
для него. Докажем, что случай Ь) также невозможен. Для
реализации Ь) необходимо [J > 0 и
у = V V2 — 0<p0<|v|.
Подставляя это выражение в первое из равенств (21) и
возводя в квадрат, получим
что, в силу (12), приводит к противоречивому равенству
1
J х Jv (Но^) '
о
Теорема доказана.
На основании установленной теоремы положительные
корни уравнения (10) можно перенумеровать, располагая
их в порядке возрастания величины
n(v)
Pi Ра *<-•••
(22)
Выпишем для примера первые три корня 70 (х):
|40) = 2,4048, |40) = 5,5201, Цз0> = 8,6537.
Примерные графики функций и А(^) = — /о(^)
приведены на рис. 80.
§ 23]
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
359
Выпишем без доказательства асимптотическое выра-
жение для функции Д(я):
Jv(^) = 1/~ —cos (я— ~ v — -£-) + О(1г~'7?)> + оо.
(23)
Отсюда вытекает приближенная формула для корней
J v («г) :
pftv) « ~ v + кп.
5. Краевая задача на собственные значения для урав-
нения Бесселя. Пусть v 0. Рассмотрим краевую задачу
на собственные значения
v2
Lvu = — (хи')' + ~ и = tarn, 0 < х < 1, (24)
гф) = О(^), х -> 0, ан(1)+0н'(1) = О, (25)
где у = min (v, 1), а > 0, 0 > 0, а + 0 > 0. К области оп-
ределения J(lv оператора Lv отнесем функции и(х) клас-
са С2((0, 1]), удовлетворяющие граничным условиям (25)
и условию £~,/2LYu е (0>1); плотно в 2^2(0, 1).
Из определения непосредственно вытекает: если
и е то
Lvu& «2?2(0, 1) и хи'(х)-+0, х -> 0. (26)
Оператор Lv — положительный (и, стало быть, эрми-
тов, см. § 1.12), причем
1 1
(Lvu, и) = \ х | и ^dx + v2 f —- dx + | и (1) |2 0, (27)
J J х Р
о о
ue=J(Lv
(при 0 = 0 последнее слагаемое в (27) выпадает).
Действительно, (27) следует из (25) и (26):
860 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Каждое собственное значение X оператора Lv неотри-
цательное и простое. Для того чтобы X, = 0 было собствен-
ным значением оператора Lv, необходимо и достаточно,
чтобы v = 0 и а = 0; ему соответствует (единственная)
собственная функция и (х) = const.
Действительно, из неотрицательности квадратичной
формы (Ци, и) следует неотрицательность собственных
значений X; при этом, как и в § 21.4, устанавливаем, что
X == 0 тогда и только тогда, когда v = а = 0, и ему соот-
ветствует собственная функция и = const. Простота X до-
казывается так же, как и в § 22.3.
Пусть Цо > 0 — корень уравнения (10). Тогда из урав-
нения Бесселя (1) и из (6) следует, что = Цо — соб-
ственное значение и Д(цп.г)—соответствующая собствен-
ная функция оператора Lv. Обратно, пусть Хо — (положи-
тельное) собственное значение и uv(x)—соответствующая
собственная функция оператора Lv. Тогда (см. § 23.1)
щ(^)= Ct Jv (УХоя) + С2Уу(1/К0х).
Но из первого граничного условия (25) и из (6) и (8)
следует, что С2 = 0. А тогда uv(x) = СДу(УКох) и из вто-
рого граничного условия (25) следует, что ц0 == УХ0 есть
корень уравнения (10).
Таким образом,
^/tv) = [n4v)]2 и L = 1, 2, ..., (28)
— все собственные значения и соответствующие собствен-
ные функции оператора Lv.
6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бес-
селя. Пусть X == 0 не есть собственное значение оператора
Z/v, т. е. либо v > 0, либо при v = 0 а > 0. Пользуясь ме-
тодом § 22.1, построим функцию Грина $у(х, у) опера-
тора Lv.
Пусть v > 0. Функции xv и x~v — линейно независи-
мые решения уравнения Lvii == 0. Поэтому функция
Vi(x) — xv удовлетворяет первому граничному условию
(25) и функция
/ \ V I —V — (X
р2 (х) ах + х , а = g—j—,
2 \ / 4 pv + СС
удовлетворяет второму граничному условию (25). Поэто-
му, в соответствии с формулой (10) § 22.1, функция
§23]
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
361
^(#, у) при некотором cv ¥= 0 имеет вид
$ v (я, у) =
f V ( V . —v\
cNx {ay + у ),
f!vy {ax 4- x ),
(29)
0 < x < p,
Пусть v = 0 и a > 0. Функции 1 и In x — линейно не-
зависимые решения уравнения LQu = 0. Поэтому Vi {х) =
= 1, п2 (х) = — + In х и
^о(^ У) =
со (— 4 + 1п у\
( в , \
М—а + 1па7’
0 < х < р,
рО<1.
(30)
Решение краевой задачи
Lvu^f(x)t ue=JtLvJ^C((fi, 1]), ^“1/2/^^2(0, 1) (31>
единственно и выражается формулой
1
и {х) = J S’v (х, у) / (р) dy. (32)
О
Это утверждение устанавливается так же, как и в
§ 22.2. Единственное различие связано с первым гранич-
ным условием (25). Проверим его выполнение. Пусть
v > 0. Тогда, пользуясь (29) и неравенством Коши — Бу-
няковского, получаем
|и(я)| =
X
(axv + z-v) J yvf (p) dy +
0
^O(xv) 4- |cv|x v
Cvxv J (apv + P v) / (p) dy
X
= О (xv) + О (x) = О
x -* 0, что и требовалось. Аналогично, проще, рассматри-
вается и случай v = 0.
362
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
7. Полнота функций Бесселя. Введем пространство
S? г [(0, 1); я] — функций со скалярным произведением и
нормой (см. § 1.9, замечание):
1
(Л g)« = J # И F(*) II / 1|х= /(Л /)*.
о
В силу результатов предыдущего пункта, как и в
§ 22.2, заключаем, что если К == 0 не есть собственное
значение оператора Lv, то задача на собственные значе-
ния (24) — (25) эквивалентна задаче на собственные зна-
чения для однородного интегрального уравнения
1
и(^) = kJ y)yu(y)dyt иеС([021]). (33)
О
Переходя к новой неизвестной функции v(x) — Ухи(х'),
приведем интегральное уравнение (33) к эквивалентному
виду (ср. § 20.6, замечание):
1
v (х) = X J Vху Sv (х, у) V (у) dy, vf=C ([0г 1]). (34)
О
В силу (29) и (30) ядро Уху*§?(х, i/)^0, вещественно,
непрерывно и симметрично. Поэтому к интегральному
уравнению (34) применима теория Гильберта — Шмидта
(см. §§ Г9 и 20). В частности, существуют собственные
значения к == 1, 2,..., и V х } я), к = 1, 2,...,
— соответствующие собственные функции (см. § 23.5),
ортогональные в <£?2(0, 1).
Таким образом, мы доказали, что краевая задача
(24) — (25) имеет собственные значения < ^2V)< .. •«
являющиеся квадратами положительных корней |Д¥)
уравнения (10); соответствующие собственные функции
к = 1, 2, ..., образуют ортогональную систему
в «2% [(0, 1); х]9 причем в силу (12)
I /, кч I - 4 [л «’)]+4 (i - л шл
(35)
Справедлива следующая
Теорема. Еслии то функция Ух и(х] раз-
лагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе
§ 23J
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
363
функций Yх Jv (|4V)#)> А = 1, 2, ...,
» W = i «г1 J, 4” - (#МЖ
k=l lrvVlk X) ||х
(36)
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы В. А. Стеклова (см. § 22.3). Если и е то
Lvu = f(x), где/еС((0, 1]),^1/2/е <?2(0, 1) (см. § 23.5).
По доказанному (см. § 23.6) функция и (х) выражается
через ядро $v(x, у) по формуле (32), т. е.
Таким образом, функция Ухи(х) истокообразно предста-
вима через вещественное непрерывное симметричное ядро
]!xy&v(x, у). По теореме Гильберта — Шмидта (см. §20.1)
эта функция разлагается в регулярно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям х Jv этого ядра.
Если же X = 0 есть собственное значение оператора
Lv(t. е. при v == сс == 0, см. § 23.5), то, как и в § 22, доста-
точно рассмотреть задачу
— (хи')' + хи = (X + 1)хщ и(х) — 0(1), х -> 0, и' (1) = 0.
Теорема доказана.
Множество функций ^V^xu(x)f ие/ц} плотно в
2\(0, 1). По теореме каждую функцию вида Ухи(х)9
U^J^Lv1 можно сколь угодно точно приблизить в
(0, 1) линейными комбинациями ортогональной систе-
мы функций Vx Jv (n/tv)x)9 к = 1, 2, ... Отсюда по
теореме § 1.9 следует, что эта система полна в «S?2(0, 1).
Итак, доказано: система собственных функций
Jv (|4гМ’ k 2’ • • •’ полна в <^2 [(0, 1); х].
8. Другие цилиндрические функции. Наряду с функ-
циями Бесселя Д(я), большое значение для приложений
имеют другие типы цилиндрических функций*). К их
числу относятся:
*) Более подробное изложение можно найти в книгах
В. И. Смирнова [3, гл. VI], А. Н. Тихонова и А. А. Самарского
[1, дополнение II], В. Я. Арсенина [1, гл. XI], А. Ф. Никифорова
и В. Б. Уварова [1, гл. III],
364
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
функции Ханкеля первого рода
'= КТ СО e~inv - (х)], v и,
и+г - <- ‘)п1Ш.
функции Ханкеля второго рода
(х) = g.n [ Jv (х) е J-y (я)], v п,
H(2)(x} — J (х\ * РАД*) / л^д/_у (д07 .
(x)-Jn(x) л dv (~1) dv
функции Неймана
।
Nv{x)^-^—-[Jv{x)CQSnV — J-V(X)],
H «II V
47 л £ dv 4 7 dv
функции мнимого аргумента
•^-vi . —v?
Iv(x) = e 2 Jv(^), ^И = 7«2
|v=n’
Таким образом,
H^}{x)= Jv(x)+ iNv(x),
(37)
H(v2}(x) = Jv(x)-iNv(x).\ v 7
Пользуясь асимптотическим выражением (23) для
Jv (я), получим при X + оо
Г~чГ ifx— — V——)
= 2 (38J
я<2) (х) = /А ~\x~v~) + 0 (38г)
Nv(x)= + (39)
Iv(^) = т£= И + OGr-1)], (40)
у Znx
^v(^) = V^e~x[i + (41)
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
365
§ 23]
Аналогично, пользуясь (6), получим при х -> + О
^1)(x) = -Jlnl+ /42)(z) = ^lnl+ ...
^ои) = —if ln~-+ Я0Сг) = 1п^ + ...
9. Упражнения, а) Пользуясь формулами (16) и (17), доказать,
что при v > — 1 положительные корни функции J»(x) и Jv-fi(^)
разделяют друг друга, т. е.
о < кГ < н(/+1) < и Г < i4v+1) < • • •
b) Доказать равенство
у__ОО
е2 - S 7пИ(П
П==— оо
с) Пользуясь Ь), доказать, что
л
J (X) = _L f ei(ne-x Sin6)d0 „ = 0, 1, ...
" 2л J
—Л
d) Доказать равенство
1 Jv(einmx) — einmvJv(x), m = 0, -f-l, ...
e) Доказать формулу при v > —1/2
i
-1
f) Пусть функция /(|я|) абсолютно интегрируема на Яп, и для
нее справедлива формула обращения преобразования Фурье. До-
казать, что ее преобразование Фурье равно
2—п °°
(2л)п/2||| 2 J/n_2 (ЦI И rn/2f (г) dr = /х (| ? |), (42)
0 2~
и справедлива формула обращения
2-71 ~
/ (г) = (2л)~’,/2г 2 j (гр) р”/2/1 (Р) dp. (43)
0 2
Формулы (42) и (43) называются прямым и обратным
п — 2
разеваниями Ханкеля порядка " ? соответственно.
преоб-
366
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ V
§ 24. Гармонические функции
В этом параграфе изучаются основные свойства гар-
монических функций.
Вещественнозначная функция и(х) класса C2(G) на-
зывается гармонической в
°\ — |^.| области G, если она удовлет-
воряет уравнению Лапласа
Ди = О в этой области.
/ № При п = 1 гармонические
/ функции сводятся к линей-
/ ным функциям и потому их
/ теория интереса не представ-
/ ляет. Поэтому в дальнейшем
будем считать п > 2.
Рис. 81. Нетривиальным приме-
ром гармонической функции
при х Ф 0 является фундаментальное решение оператора
Лапласа (см. § 11.8)
<^2 W = 5771п Iх Ь п " 2'>
«»«--ик1'Г“ »>3-
График функции S’n(x) изображен на рис. 81.
1. Формула Грина. Если u^C2(G) и и(я)=0, х е (7,
то при х е 8 справедлива следующая формула Грина\
+ 1 f Г ! и (,Л ± 1 1
(п-2)ап J [|г_ дп 'У> 8пу | х _ у р-2]
(1)
и ~ J д и 1п [7=71dy +
G
, 1 С Г, 1 ди (у) . . д , 1 1
+ 2л J [1п | х- у | дп дпу ln |x-j/|J dSy‘
Другими словами, функция и представляется в виде
суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов:
+ + (2)
§24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
367
где (считаем для определенности п 3)
vn И - адм - - (^4)77“ч
— объемный потенциал с плотностью
1
(л —2) оп
К0)(*)=-^п*
ди s _ 1 f 1 ди (у)
д^8)~ (п-2) оп J ~дГ v
S
— потенциал простого слоя на 5 с поверхностной плот-
1 ди
П0СТЬЮ
П“ w - - Л. & (“««)- f “ м а; is>
S
— потенциал двойного слоя на 5 с поверхностной плот-
1
НОСТЫО — Т---пТ-г- и.
(и — 2) оп
Докажем формулу Грина (1) при п > 3. Применяя
формулу (27) § 6.5, с) к функции и и учитывая, что
г । Г да ди \
I«s] = - u I ,s, |,-JS = -Тп |s> получим
Ди = {Ди}-^68-^(ийа). (3)
Так как функция и финитна, то ее свертка с фундамен-
тальным решением Sn оператора Лапласа существует
(ум. § 7.6). Поэтому, применяя формулу (13) § 11.3 и
пользуясь равенством (3), для функции и получаем пред-
ставление
и = <ГП * Au = * {Ди} - <Г„ * 6S) - <Гп * |г (uSs) =
= -п - 2) - [- j—* {Ди} +
+ * (Й 6s) + [7^ * Д ^u8s\ • (4)
Отсюда, пользуясь определением ньютоновых потен-
циалов и формулами (37), (40) и (41) § 7.10, получаем
формулу Грина (1) при п > 3. Случай п=2 рассматри-
вается аналогично.
368
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Формула Грина (1) справедлива и для функций и
класса С2 (G) А С1 (G), если в ней интеграл по области G
понимать как несобственный (ср. § 21.2). (Этот интеграл
может сходиться не абсолютно.)
Для доказательства применим формулу Грина (1) ко
всякой подобласти G' G с кусочно-гладкой границей
и перейдем к пределу при G' -> G. Пользуясь предполо-
женной гладкостью функции и, убедимся в справедливо-
сти формулы Грина (1) ив этом случае. (По поводу вы-
бора последовательности областей G' G см. § 21.2.)
Для гармонической в области G функции и класса
С*(С) формула Грина (1) принимает следующий вид:
и(х) ==
= 1 С [ 1 __и (и\ —_____* 1 dS
(n —2)onJ Пг-г/Г-2 дп дпу\х-у[п~2\ vt
S
и (х) = f [in —j — и (у) ~ In .—-—jl dSy,
4 ' 2л J х— w dtl дпп I X — у \ и
sL v
п= 2.
(5)
Поверхностные потенциалы Рп0)(я) и V^C?) можно
непрерывно дифференцировать вне S под знаком инте-
грала бесконечное число раз, и эти потенциалы — гармо-
нические функции вне S. Отсюда и из формулы (5) вы-
текает, что всякая гармоническая функция бесконечно
дифференцируема *).
Замечание. Формула Грина (5) выражает значения гар-
монической функции в области через ее значения и значения ее
нормальной производной на границе этой области. Эта формула
аналогична формуле Коши для аналитических функций. Легко за-
метить также аналогию между формулой Грина в форме (2) и
сходной формулой (17) § 13.3 для волнового уравнения. ,
2. Распространение формул Грина. Пусть граница 5
области G — поверхность класса С1 (см. § 1.1) и функ-
ция иеС4(С). Будем говорить, что функция и имеет
правильную нормальную производную ♦♦) на S, если рав-
номерно по всем x&S существует предел нормальной
„ ди (х') t t
производной -q~ при # 6=-— и этот предел
*) И даже аналитическая (см. § 4.7).
♦*) Этот термин введен А. М. Ляпуновым [1].
§ 241
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
369
„ ди ди (х)
обозначаем = так что
ди (х'у^Р ди (х) , __
дпх дпх ’ Х
х' ^—Пх
Из этого определения следует, что если правильная
нормальная производная существует, то она непрерывна
на S и является обычной нормальной производной. Да-
лее, равномерно по всем x^S существует предел и(х')
при х' -> х, х1 е — пх. Этот предел обозначим через и (х),
так что и е С (S) и
x€=S
и (х') и (х), х' X, х' — пх. (6)
Доопределенная таким путем функция и(х) будет не-
прерывной на G, т. е. u^C(G).
Действительно, пусть xk х е S, xk^G. Тогда хк
лежит на нормали — nXh к некоторой точке xh е S, т. е.
== %k + ^xh (рис. 82) и бА -> О, Пользуясь не-
прерывностью функции и на S и равномерной ограни-
ченностью
ди (х')
дп
xk
| и (х) — и (хЭ I <| и (л) — и (xk) I + I и (xh) — и (хд) ] <
| и (х) — и (xk) | + Сбк —> 0, к -> оо.
Очевидно, для функций класса C'ffi) правильная нор-
мальная производная всегда существует.
Пусть S — поверхность класса С2. В каждой точке
х &S отложим по внутренней
нормали —пх отрезок по-
стоянной длины б. Множест-
во концов х‘ этих отрезков
описывается уравнением
х’ = х — бпх. (6)
В силу леммы Гейне — Боре-
ля (см. § 1.1) при достаточ-
но малом б это множество
образует некоторую замкну-
тую поверхность класса С1, которую обозначим через
и назовем поверхностью, параллельной поверхности S
(рис. 82).
Нормаль пх> в точке х’ =х — 8пх <= направлена
вдоль нормали пх, х е= S, если S^C\
24 в. С. Владимиров
370
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ V
Действительно, пусть х — произвольная точка на S и
а; = 2'(£), —произвольная кривая класса С1 на 5,
проходящая через х, x = x(Q). Тогда х' (l)= х(t) — 6nX(t)f
£ > 0 — кривая класса С* на S6, проходящая через точку
х' = х — 8пх. Дифференцируя по t очевидное тождество
|я(£) — x'(t) I2 = б2 (см. рис. 82), получим
откуда, полагая t = 0 и учитывая, что касательная к кри-
вой в точке х ортогональна к нормали пх, выводим
' dx' (0Л dx (0)\ n /о\
Vя’“dTJ = / = °- (8)
Это означает, ввиду произвольности выбранной. кривой,
что нормаль пх ортогональна к касательной плоскости
поверхности S& в точке х\ т. е. пх == пх^ что и утвер-
ждалось.
Лемма. Пусть граница S области G — поверхность
класса С2 и функция и из имеет правильную нор-
мальную производную на S. Тогда для любой
справедливо равенство
Й jz (У) ’-й? ds“ (9>
Sa S
где S6 — поверхность, параллельная 5.
Доказательство. Так как нормали пх и пхг в
точках х е 5 и я' — х— бпл е направлены одинаково, то
/(Z)
ди (х')
(Ю)
xf ~+Х, xf —nxi
в силу определения правильной нормальной производной
и непрерывности функции / на G. Из предельного соот-
ношения (10) и вытекает равенство (9). Лемма доказана.
Из этой леммы вытекает, что следующие формулы
Грина остаются справедливыми для поверхностей S
класса С2 и для функций, имеющих правильную нормаль-
ную производную HaS*. формула (5) § 21.6, если и G2(G),
Lu е ^2(G)2 ~ существует и и «= С1 (G) П С (G); форму-
§ 24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
371
ла (6) § 21.6, если и, v^C2(G), и существуют]
формула (1) § 24.1, если u^C2(G) и ~ существует.
Действительно, применим перечисленные формулы
Грина к любой подобласти, ограниченной поверхностью
S&, параллельной S. Переходя в. этих формулах к преде-
лу при б0 и пользуясь предельным соотношением (9),
убедимся в справедливости формул Грина при сформули-
рованных предположениях.
3. Теорема о среднем арифметическом. Предваритель-
но докажем следующее утверждение: если гармоническая
в области G функция и^С[ (G) (или если существует
на S и S е С2), то
\^dS=--Q.
J дп
(И)
Равенство (11) вытекает из первой формулы Грина
(7) § 21.2 при 1.
Теорема о среднем арифметическим. Если
функция и(х)—гармоническая в шаре Un и непрерывная
на URl то ее значение в центре этого шара равно сред-
нему значению по сфере SR,
= f u(x)d5 = l f u(Rs)ds, (12)
sfi "s,
Доказательство. Применяя формулу Грина (5)
для точки х = 0 к любому шару |.r| <р, р < R, и поль-
зуясь формулой (И), при п>3 получим равенство (12):
L ьр ьр
Так как функция u(x) непрерывна на замкнутом шаре
Vr, то равенство (12) сохраняется и при р R. Случай
п = 2 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
4. Принцип максимума. Пользуясь теоремой о сред-
нем арифметическом, установим следующий принцип
максимума для гармонических функций.
24*
372
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
Теорема. Если функция и (х) const — гармониче-
ская в ограниченной области G и непрерывна на G, то
она не может принимать свои минимальное и макси-
мальное значения в области G, т. е.
min и (х) < и (х) < max и (х), x^G. (13)
Доказательство. Пусть, напротив, функция и(х)
принимает свое максимальное значение М в некоторой
точке х^ е G,
М == и (xQ) = max и (х).
(14)
Так как х0 — внутренняя точка области G, то сущест-
Рис. 83.
вует шар G(,г0; г0) наиболь-
шего радиуса г0, содержа-
щийся в G (рис. 83).
Докажем, что
и(х)^М, x^U\xQ; г0).
(15)
Из (14) следует
и(х)^ М = и(х0),
х е= U(xo\ Го). (16)
Если бы в некоторой точке x'^U(xQ; г0) было и(х')<
<М, то, по непрерывности, неравенство и (х) <М имело
бы место и в некоторой окрестности ихг точки х'. Но то-
гда, применяя к сфере S(x0; р), где р == 1<г' — х01, фор-
мулу среднего арифметического (12) и пользуясь нера-
венством (16) и неравенством и(х)<М, х^их,, по-
лучаем
и (*о) =
-1- [
°nPn-1SJ-рх
Ь(х0,р)
и (х) dS <Z
J dS = M,
S(«0;p)
М
что противоречит (14). Итак, тождество (15) установлено.
Возьмем теперь произвольную точку xt <= G, лежащую
на границе шара U (х0, г0) (рис. 83). По доказанному
н(^1) = /1/. Применяя предыдущие рассуждения jk точке хь
заключаем, что и(х)^М в наибольшем шаре U (х^ л) с
с G, и т. д. В силу леммы Гейне — Бореля за не более
чем счетное число шагов таким путем исчерпывается вся
область G, и, значит, и (х) э М, х^ G, вопреки предпо-
ложению.
§ 24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
373
Полученное противоречие показывает, что первона-
чальное предположение неверно; поэтому функция и (х)
не может принимать свое максимальное значение в обла-
сти G. Отсюда, заменяя и на —и, заключаем, что функ-
ция и(х) не может принимать свое минимальное значе-
ние в области G. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что гармоническая
функция не может иметь внутри области ни локальных
максимумов, ни локальных минимумов.
5. Следствия из принципамаксимума.
а) Если функция u^C(G) — гармоническая в G. то
| и (х) | max | и (х) |, х е G. (17)
В частности, если и\8 ~ 0, то u(x)^0. x^G.
Это утверждение следует из неравенства (13),
± и (х) max ± и (и) max | и (х) |, х е G,
x&S x&S
Ь) Будем говорить, что (обобщенная) функция и(х)
непрерывна на бесконечности и принимает там значение
а. и(°°)=а, если она непрерыв-
на вне некоторого шара и
и(х)-+ а при |я| -> «j.
Если функция и е C(Gi)-^
гармоническая в области Gt =
= Rn\G и то
I и (х) I шах I и (х) I» х ^1-
(18)
В частности, если ix|s = 0 и
г/(оо) = 0, то u(x)^0. x^Gt.
Действительно, пусть шар UR содержит G. Тогда
S U SR есть граница области Qn = И UR (рис. 84). При-
меняя к этой области неравенство (17), получаем
|и(л;)|^ max |w(z)|^max|u(x)|+max |u(^)|, x^Qr.
x&S{JSR x&S
Так как u(oo) = 0, то
max | и (x) | —> О, В -> oo.
XGSft
Поэтому, переходя в полученном неравенстве к пределу
при /?~>оо} получим неравенство (18).
374
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
с) Если последовательность функций и^ и2, ...» гар-
монических в области G и непрерывных на G, равномерно
сходится на границе S, то она равномерно сходится и
на G.
Это утверждение вытекает из неравенства (17):
I ир (я) — uq (х) | шах | ир (х) — uq (х) | О,
р, q оо, х С. (19)
Аналогичное утверждение справедливо и для области
Gi—Rn\G при условии, что uft(<») = 0.
6. Стирание особенностей гармонической функции.
Для гармонических функций справедлива следующая тео-
рема о стирании особенностей, аналогичная соответству-
ющей теореме для аналитических функций.
Теорема. Если функция и (х) — гармоническая в
области G\{0) и удовлетворяет условию
и(х) = o(l<Tn(z) I), х-+0, (20)
где ё’п — фундаментальное решение оператора Лапласа,
то она гармонически продолжается в точку {О).
Доказательство. 11усть Un^G^ Введем функ-
цию й(х), равную и (х) в UR и 0 вне UR. Эта функция
локально интегрируема, и, в силу (3) § 24.1, функ-
ционал
Л“ + ж6'« + »(“М <21>
обращается в нуль на всех основных функциях, равных
нулю в окрестности точки {01. Это значит, что обобщен-
ная функция (21) либо равна 0, либо ее носитель есть
точка {01. Тогда, по теореме § 8.4, эта обобщенная функ-
ция представляется в виде конечной комбинации произ-
водных от 6(я), т. е.
тп
д“ - - а - а (“М + 2 »»«“«• (22)
|а|=о
Так как функция й финитна, то ее свертка с фунда-
ментальным решением существует (см. § 7.6). Поэто-
му, применяя формулу (13) § 11.3, из (22) получаем
§ 24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
375
представление
и = <£= — <$п* 6Sfij - (U^SK) +
+ 2 Са (<Гп* 5“б) = Ко) (*) + V™ (х) + 2 сада^п (х).
|а|=о |ос|=о
(23)
Так как поверхностные потенциалы 7П° и VV — гармо-
нические функции в шаре UR (см. § 24.1), то из (23)
и из условия (20) вытекает, что все са = 0, так что
функция
u(x)=V™(x) + V™(x)
— гармоническая в шаре UR. Теорема доказана.
7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественно-
значная непрерывная функция и(х) называется обоб-
щенно-гармонической в области G, если она удовлетво-
ряет в этой области уравнению Лапласа, т. е.
(Ди2 ф) == J и (х) Дф (х) dx==0l фе 3) (G). (24)
Очевидно, всякая гармоническая функция являет-
ся обобщенно-гармонической. Справедлива и обратная
Теорема. Всякая обобщенно-гармоническая функ-
ция и(х) в области G бесконечно дифференцируема и,
следовательно, гармонична в этой области.
Доказательство. Ввиду локального характера
теоремы можно считать^ что u^C(G). Продолжим
функцию и нулем вне G, и пусть и — продолженная
функция. Применяя формулу (13) § 11.3, получим пред-
ставление
й = Ай * (25)'
где <£п — фундаментальное решение оператора Лапласа.
Так как Ди=Ди = 0, x^G и Ди=Д0 = 0, x^Gt, то
supp Ди <= S. Поэтому, по теореме § 7.6, для свертки
Ди * имеет место представление
(Ди»«?п, <р) = (Ди (у)-<Гп (£), п (г/) <р (у + В)) =
= (Aw (г/), т] (у) J &п (£) <р (у + I) d%) =
= г] (г/) JiFnOr — у) q> (x) dx}, (26)
376
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
где т] — произвольная функция из равная 1 в окрест-
ности S.
Пусть G' G. Выберем в ^26) вспомогательную
функцию т| такую, что supprjAG' = 0 (рис. 85). По-
скольку фундаментальное
решение (х ~ у)— бес-
конечно дифференцируе-
мая функция при х =# у,
то при выбранной ц и
всех (р е= 2) (G')
П(у)^п(х~у)ф(х)е
е^(/?2п).
Применяя теперь к пра-
вой части равенств (26)
§ 7.3, f), получаем
Рис. 85.
формулу (14)
(Ди*^п, ф) = j ф(ж)(Ди(р), т](г/)<Гп(гг—q>=0(G'),
откуда, в силу (25), следует равенство (ср. (34), § 7.10)
и(я) = (Дн (у), г](у)^п(х-у)), xe=G'.
Из этого представления, как и при доказательстве лем-
мы § 7.1, выводим, что и^С°° (G'). Отсюда ввиду произ-
вольности области G' G вытекает, что и е С°° (G).
Поэтому функция и(х) удовлетворяет уравнению Лап-
ласа в области G в классическом смысле (см. § 1.11),
т. е. является гармонической в G. Теорема доказана.
8. Дальнейшие свойства гармонических функций. От-
метим два следствия, вытекающих из установленной в
24.7 эквивалентности понятий обобщенной гармоничщг-
сти и гармоничности.
а) Если последовательность иъ и2, ... гармонических
в области G функций слабо (в частности, равномерно на
каждом компакте K<xlG или монотонно) сходится к функ-
ции и е= C(G), т. е.
J (я) ф (я) dx -> J и (х) ф (a?) dx, к-> оо, ф е 3) (G), (27)
то и — гармоническая функция в G.
Действительно, каждая функция последовательности
{щ} удовлетворяет интегральному соотношению (24). Но
тогда, в силу (27), и предельная функция и(х) из C(G)
также будет удовлетворять равенству (24), т. е. является
§ 24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
377
обобщенно-гармонической и, следовательно, гармонической
функцией в области G.
Ь) Если функция u^C(G) такова, что для каждой
точки x^G существует такое число rQ = г0(х)>0, что
при всех г<г0 выполнено условие среднего арифмети-
ческого
“(*) = 777=1
J u(r — y)dSv
Sr
(28)
то и(х) — гармоническая функция в области G.
При доказательстве можно считать, что n^C(G);
пусть й — продолженная нулем вне G функция и. Возь-
мем G'^G. По лемме Гейне —Бореля (см. § 1.1) най-
дется такое число ro = ro(Gz)>O, что при всех x^G' и
г<г0 для функции и(х) будет выполнено равенство (28).
Составим свертку
/г (^ = (-4+16^- (29)
\ оГ|г г I
где 6Sr— простой слой на сфере Sr (см. § 5.7). Исполь-
зуя формулу (34) § 7.10, а), перепишем свертку (29)
в виде
/rW = -4+if u(x-y)dSy-“-^
Отсюда, в силу (28), следует, что при всех г < г0
fr(x) = 0, х е= G'. С другой стороны, пользуясь предельным
соотношением (41) § 6.5, h) и непрерывностью
свертки (см. § 7.6), из (29) получаем
fr tT- Д6-ш = тт- Ли,
' 2п 2п
г->0 в <£)’
следовательно, Дй = Ди = 0, х<^&. Отсюда ввиду про-
извольности Gl G заключаем, что функция и (х) — об-
общенно-гармоническая и, значит, гармоническая в об-
ласти G.
9. Аналог теоремы Лиувилля. Для гармонических
функций во всем пространстве Rn справедлива следую-
щая теорема, аналогичная теореме Лиувилля для анали-
тических функций.
Теорема. Если и^ Spt удовлетворяет уравнению
Лапласа во всем пространстве Rn, то и — полином.
378 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ V
Доказательство. Применяя к равенству А и ==
= 0 преобразование Фурье, получим (см. § 9.3, Ь))
— Igl2/7[w](g) = 0, откуда вытекает, что F[u] = 0, £=И=0,
т. е. либо F [и] = 0, либо носитель F [н] есть точка {О).
По теореме § 8.4 представляется в виде
т
F[u]®- 2 сада6®,
|а|-о
откуда следует, что и — полином. Теорема доказана.
Следствие. Если функция и — гармоническая в Rn
и удовлетворяет неравенству
|и(я) I С(1 + |^| )m, x^Rn, m > 0,
то и—(гармонический) полином степени ^т.
10. Поведение гармонической функции па бесконеч-
ности. Пусть точка х лежит вис шара UR, Совершим пре-
<?; образование инверсии
У' ТУ& Tj2
/ X* =---5 X, X =---- X*. (30)
/ М2 1**1 '
\/ Точки х и х* называются
/ lZZ\ симметричными относитель-
/ \ но сферы SR. Симметричные
—J точки удовлетворяют соот-
У / ношению
ldk*l - R\ (31)
рис и поэтому преобразование
инверсии взаимно однознач-
но преобразует внешность шара UR на С7п\{0) (рис. 8j6).
Пусть функция и (х) — гармоническая вне шара UR.
Функция
( п \ П — 2 I п% \
«*<**)=G4i) « г4рж*) (32)
\ Iх 1/ \| /
называется преобразованием Кельвина функции и(х}.
Докажем, что при преобразовании Кельвина гармонии*
ность сохраняется, т. е. функция и* (а;*) гармонична
в ?7r\{0}.
Докажем это для п = 3 (для п 3 доказательство
аналогично). Для этого перейдем к сферическим коорди-
натам (см. § 3.2). Пусть ж = (г, 0, <р) и и (я) = п (г, 0, ф).
§ 24]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
379
п2
Тогда, в силу (30) и (31), я*=(р, 0, ср), р = — и, в
силу (32), 2
и* («*) = и* (р, 0, ф) = и (^-, 0, ф).
Поэтому
Ди* (Х'*) = 44
4 7 р2 др
9 ди
р W
1 в
р2 sin 0 ^6
• Л * и I .
sin6^J +
1 а2 и* = г6 а2и _2_5и 1 д
р2 sin2 0 5<р2 7?в dr2 г г2 sin 0 д0
• Л ди ) ,
Sln6a0 +
1 д2и
г2 sin2 0 дер2
откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема. Пусть функция и (х) — гармоническая вне
шара Ur и при |х| -> °° и(х) = о(1) (п > 3), и(я)== 0(1)
(п = 2). Тогда
баи(^= O(l/ld"-2+laI), Id «>, (33J
если п > 3. Если же- п = 2, то
limu(^)=sa, Id-*00, (34)
йай(^) = О(1/|^|1+1а|), Id -* °о(|а1 > 1). (35)’
Доказательство. Совершая преобразование Кель-
вина (32), получим функцию и*'(х*), гармоническую в
Ов\{0} и удовлетворяющую при |х*| -> 0 условию
4 |о(1), если п^З,
U | х* р“2 (0(1), если п == 22
т. е. в обоих случаях
u*(a:*) = о(\&п(х*) I), |я*| -^0.
По теореме о стирании особенностей гармонической функ-
ции (см. § 24.6) заключаем, что функция гг*(я*) гармо-
ническая в шаре UR. Совершая обратное преобразование
Кельвина, для функции и(х) получим представление
из которого и вытекают результаты (33) —(35). Теорема
доказана.
380 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. V
Аналогично для п = 2 доказывается (ср. § 24.5); если
и(х)—гармоническая в области Gt, непрерывна на Gi
и и(х) = 0(1), |х| -> оо? то
|u(x)|^ max |u(^)|, x^Glt (36)
И. Упражнения, а) Пользуясь теоремой о среднем арифме-
тическом (см. § 24.3), доказать следующую модификацию этой
теоремы: если функция и (х) — гармоническая в шаре UR и не-
прерывная на Uто и (0) = —— I и (х) dx.
°пПП иR
Ь) Пользуясь а), доказать теорему Лиувилля: если функция
и(х)—гармоническая в Rn и ограничена сверху (или снизу), то
и\х) = const.
с) Пользуясь утверждением Ь)
лог принципа симметрии
§ 24.8, доказать следующий апа-
Римана — Шварца: пусть
граница области G содержит
открытое множество 2, лежа-
щее в плоскости хп == 0, функ-
ция и(х) —гармоническая в G
и обращается в нуль на S;
тогда нечетное продолжение
функции и(х) в область G,
симметричную к G относитель-
но плоскости хп — 0, есть гар-
моническая функция в обла-
сти G U 2 U G (рис. 87).
d) Доказать теорему: если
и — линейный непрерывный
Рис. 87.
функционал на £>(G) (см.
§ 5.5, замечание) и удовлетворяет уравнению Лапласа в области G,
то и — гармоническая функция в G.
е) Пользуясь d), доказать: если обобщенная функция и удов-
du
летворяет условию Коши — Римана = 0 в области G с R , то
она аналитична в G.
f) Пользуясь методом § 24.9, доказать теорему Лиувилля для
аналитических функций.
g) Доказать формулу Грина (5) для функций, гармонических
в Gi = Rn\G, имеющих правильную нормальную производную на
S е С2 и и(оо) = 0.
§ 25. Сферические функции
Рассмотрим еще один класс специальных функций,
важный для математической физики.
1. Определение сферических функций. Сферической
функцией (сферической гармоникой) порядка I = 0, 1,...
называется всякий однородный гармонический полином
степени Z, рассматриваемый на единичной сфере Si cz Rl\
§ 25) СФЕРИЧЕСКИЕ ФУКЦИИ 381
Таким образом, между сферическими функциями УД^),
s <= St, порядка I и однородными гармоническими поли-
номами иДя*), x^Rn, равенство
\ и, (х) 'г
* =л_, s==A (1)
1*1/ |д.|Н |х|’ 4 7
устанавливает взаимно однозначное соответствие.
Сферические функции Yt и У и различных порядков
ортогональны в ^(й),
(У г, У у) =» f У < (s) Yv (s) ds = 03 I Г. (2)
Действительно, применяя формулу Грина (8) § 21.2
для шара Ut к гармоническим полиномам
что и требовалось установить.
Для примера вычислим все сферические функции Yh
Z = 0, 1, ..., на окружности St (п = 2). Это удобно де-
лать в полярных координатах (г, <р), 0^г<оо, 0^ф<
< 2л. Применяя к гармоническому полиному
ut(x) = rlYi(q)) (3)
оператор Лапласа (см. (15) § 3.2), для сферической
функции Yi получаем дифференциальное уравнение
у; + ?Yl = о2
откуда
У(<р)== a/C°sZ(p +Ь/sin/ф, I = 0, 1, ... (4J
Итак, сферические функции на окружности это триго-
нометрические функции. При этом, в силу (3) и (4),
и2 (х) =» г1 (at cos Zф + bt sin Zф) = at Re zl + bt Im zz,
Z — Xt + IXt,
382
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
|ГЛ V
дает общий вид однородного гармонического полинома
степени I в 2?2.
Наша задача — вычислить все сферические функции
/ = 0, 1, .. на сфере при п = 3.
2. Дифференциальное уравнение для сферических
функций. Найдем дифференциальное уравнение для
сферических функций на сфере Sl при п = 3. Это удобно
делать в сферических координатах (г, 6, ср),
0 С В л, 0 < ф < 2л. Применяя к гармоническому по-
линому
<р) (5)’
оператор Лапласа (см. (14) § 3.2), для сферической
функции У/ получаем дифференциальное уравнение
1 д I 0Y л 1
+ —2-----5-+ 1(1+ 1)У/ = 0. (6)
sm 0 б>0 \ 00 / sin2 о 5ф2 • 7
Решение уравнения (6) будем искать в классе функций
С~(50.
Для того чтобы функция Yt была сферической функ-
цией порядка I, необходимо и достаточно, чтобы она
принадлежала классу С°°(51) и удовлетворяла уравне-
нию (6).
Необходимость условий уже доказана. Докажем их
достаточность. Пусть функция Yt^ С°° (SJ есть решение
уравнения (6). Тогда функция uh построенная по фор-
муле (5), удовлетворяет уравнению Лапласа в сфериче-
ских координатах и, значит, гармонична в /?3\{0). Кро-
ме того, эта функция ограничена в окрестности точки
х = 0. По теореме о стирании особенностей гармонической
функции (см. § 24.6) функция щ — гармоническая в Z?3.
Далее, эта функция — однородная степени Z. Отсюда, ис-
„пользуя аналог теоремы Лиувилля (см. § 24.9), заклю-
чаем, что й[ (х) — однородный гармонический полином
степени I. Это и значит, что функция У/ есть сфериче-
ская функция порядка I.
Для нахождения решений уравнения (6) применим
метод Фурье. В соответствии с общей схемой этого мето-
да*) ищем решение У/ уравнения (6) в виде произве-
дения
УД В, <р) = ^(со8б)Ф(ф). (7)
♦) Более подробно этот метод изложен в § 26 и 32.
§ 25]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
383
Подставляя выражение (7) в уравнение (6) и деля
его на —о™, получим
sin 0
sin 0 4 [sin о — 0) +1(1 + 1) sin2 0<? (cos 6)
Ф" (ф) _ сЮ I с?0 J____________________
Ф(ф) ~~ ^(cos0)
(8)
Левая часть равенства (8) не зависит от 0, а правая —
от ф. Следовательно, каждая из этих величин не зависит
ни от 0, ни от ф, т. е. является постоянной величиной.
Обозначая эту постоянную через v, из равенства (8) для
неизвестных функций Ф и SP и параметра v получаем
уравнения
Ф"+уФ = 0, (9)
J_^rsin0^^0)l + \i(i + 1)--------У <F(COS0) = O.
sin0c?0[ rf0 J L sin2 0j
(10)
Чтобы функция (7) была однозначно определена па
сфере Si, необходимо, чтобы Ф была 2л-периодической
функцией. Но такие решения уравнение (9) имеет лишь
при v = т21 т = 0, 1, ..., причем
ф(ф) = е’тф. (И у
Таким образом, задача нахождения сферических
функций свелась к уравнению (10) при г = ттг2, тп =
= 0, 1, ... Совершая в этом уравнении замену перемен-
ной p==cos0, для функции ^(ц) получаем уравнение
-[(1-И2)^']' + + (12)
1 р
Решения уравнения (12) в точках ±1 должны прини-
мать конечные значения |^(±1) I < оо.
3. Полиномы Лежандра. При т?г = О уравнение (12)
принимает вид
[(1 - р2)^']' + Щ + 1)^ - 0. (13)
Проверим, что полиномы
^1(и) = Й^(ц2_1)г’ / = (14)
384
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
называемые полиномами Лежандра, удовлетворяют урав-
нению (13). Равенство (14) называется формулой Род-
рига.
Действительно, полагая = (р,2 — 1) * и дифференци-
руя тождество
(р2 _ 1) w\ - 2lpWt - О
I + 1 раз, получаем
(Ц2 1) Р0/+2) + 2ц^'+1) - 1(1 + 1) Жр = 0.
Таким образом, функция FFP и, следовательно, полином
3\ удовлетворяют уравнению (13).
Выпишем первые четыре полинома Лежандра:
Л (и) = (и) = и.
Графики этих функций изображены на рис. 88.
Из формулы (14) непосредственно следует, что
^(1)=1. (15)
Полином Лежандра — единственное линейно неза-
висимое решение уравнения (13) в классе С2([—1, 1]).
Действительно, для всякого решения 3 С2( [—1, 1])
уравнения (13) в силу формулы ОстроградскогоЛиу-
вилля (см. (5) § 22,1) при (р) = 1 — ц2 справедливо
соотношение
^(Р)^(Р)-^(Н)^'(Р) = -^Т, |р|<1,;
1 — р
откуда следует, что а = 0. Поэтому определитель Врон-
ского для решений и 3 обращается в нуль тождест-
§ 25]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
385
венно, и, следовательно, решения SP\ и линейно за-
висимы.
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систе-
му в (—1, 1).
В самом деле, так как полином Лежандра ^(jx) удов-
летворяет уравнению (12) при тп = 0, то, в силу (11) и
(7), ^(cos 0)^ С°° (Si) и удовлетворяет уравнению (6).
Следовательно, (cos 0) — сферическая функция поряд-
ка I (см. § 25.2). Но сферические функции различных
порядков ортогональны в 2?z(Si) (см. § 25.1). Поэтому
1
2л J (р) (р) dp ==
-1
Л 2 Л
== J J (cos 0) SPy (cos 0) sin 0 dO d<p = 0, I =/=
о 0
Замечание. Полином Лежандра является собственной
функцией оператора — [(1 — р2)^']', соответствующей простому
собственному значению % = ф + 1). Роль граничных условий
здесь играют условия конечности решения ^(ц) в точках 4- 1. От-
метим, что функция 1 — ц,2 обращается в нуль на концах основно-
го интервала (—1, 1) и нотохму не удовлетворяет условиям § 22.
4. Производящая функция. Пусть х = (г, 0, ф) и
«=(0, 0, 1). Разложим функцию
1 =____________1____________________1_________
I х V । 1 — 2r cos 0 + г2 ]/\1 — reid) (1 — re~i0)
в ряд по степеням г,
оо
-/ 1......== (cos 0) г1»
у 1 ~ 2r cos 0 + г2 z=o
(16)
(17)
Ряд (17) сходится при |г| <1 и 0 е [0, л], и его можно
почленно дифференцировать по г и 0 бесконечное число
раз, причем полученные ряды будут сходиться равномер-
но по (г, 0) на [—Го, го]Х[0, л] при любом г0<1. При-
меняя к равенству (17) почленно оператор Лапласа и
учитывая, что функция (16) гармонична в шаре |х| < 1,
при всех ге(0, 1) получаем
оо
о == 2 а (cos 6) ^z] ==
Z=0
°° г / j \ т
= 2 P-n (sin 0 5) + +1) ai
I sin 0 V dv ] 4 7 1
l=o u 4
25 в, С. Владимиров
380 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Отсюда следует, что каждое слагаемое в последней сум-
ме обращается в пуль, и, следовательно, функции аДц)
удовлетворяют уравнению (13). Поэтому а/(ц)== С^(ц)
(см. § 25.3) и разложение (17) принимает вид
оо
V, / "2с<*<“8°>г'- <18>
И 1 — 2г cos 0 + г 1=о
Для определения постоянных Ct положим в (18) 0 = 0
и воспользуемся равенством ^(1)=1. В результате по-
лучим
оо оо
’ _ v / _ у с/,
1 — г Jtsssii АяЖ с 1
Z——О 1=0
откуда следует, что Ct = 1.
Итак, справедливо разложение
оо
F===1 = 2s’<WA|r|<0. (19)
V l-~2rp + r* i=Q
__1
Функция (1 — 2гц + г2) 2 называется производящей функ-
цией для полиномов Лежандра.
Из формулы (19) легко получить рекуррентные со-
отношения между полиномами Лежандра:
(Z + 1)^+1 (ц) - (2Z + 1) (ц) + (ц) = 0, (20)
(2Z + 1) (ц) = (И) - (И). (21)
Для этого, дифференцируя тождество (19) по г и ц
и умножая затем на 1 — 2гц + г2, получим тождества
оо оо
(fi — г) 2 &i (н) г1 = (! — 2ф + 7'2) 2 1^1 (н)
1=0 1=0
г 2 &1 (н) Г1 = (1 — 2ф + Г2) 2 (р) г1.
1=0 1=0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, по-
лучаем соотношения (20) и
(р) = (И) - 2^ (н) + ^;+1 (и). (22)
Дифференцируя равенства (20), имеем
(z + i)^;+1(ii)-(2/ + адао-
— (2Z + 1) (|t) + Z^Lj (fi) = 0.
8 25]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
387
Исключая из этого соотношения и соотношения (22)' про-
изведение (pt), получим равенство (21).
Докажем формулу
1
W = J ^ооф = 27тг (23)
-1
Для этого один из множителей Л подынтегральной
функции выразим через и ^_2 по формуле (20).
Пользуясь ортогональностью полиномов и по-
лучим
i 1
||р = J = J - T=d <^_2) dp =
~1 -1
1
=J pm_xdp.
-1
Выражая произведение по формуле (20) и пользуясь
ортогональностью полиномов 5^-1 и получим
1
19. If - J 9^ (1±АS>M + ф =
-1
откуда и вытекает формула (23):
II ду. ip _ 2Z ~~ 1 АдзА А о ду ip =_ —_
11^ “ 2/+ 1 2Z - 1 " ’ 3 11 ° 11 21 + Г
Система полиномов Лежандра Z — 0, 1, ..полна
в ^(-1, 1).
Это утверждение вытекает из теоремы § 1.9 и из тео-
ремы Вейерштрасса (см. § 1.3), согласно которой множе-
ство полиномов, а следовательно, и множество линейные
комбинаций полиномов Лежандра плотно в С([—1, 1]) и
значит, в £?2(~1, 1).
Таким образом, всякая функция /^^(—l, 1) разла-
гается в ряд Фурье по полиномам Лежандра
оо
1=0
сходящийся в 1) (см. § 1.9).
25*
888 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
5. Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что
функции
^Г(Н) = (1 - Ц2)7^”0 (н), I = 0, 1, ..т = 0, 1, ..Ц
(24)
называемые присоединенными функциями Лежандра,
удовлетворяют уравнению (12).
Действительно, производя в уравнении (12) замену
^(И) = (1-И2)7и(И)1
для функции z получим уравнение
(1-р2)Г -2^(m + l)z' + (Z2 + Z-m2~m)z==0. (25)
С другой стороны, дифференцируя уравнение (13) т раз,
убедимся, что производная удовлетворяет уравне-
нию (25). Следовательно, присоединенные функции Ле-
жандра удовлетворяют уравнению (12).
Умножая уравнение (25) на (1 — ц2)™, перепишем его
для z == в виде
[(1 - [12)т+1^Г+1)]'= - (/ - rn) (Z + т + 1) (1-^)т^т).
. (26)
При каждом т > 0 система присоединенных функций
Лежандра 1 = т+1, ..., ортогональна в
J?2(—lf 1), причем
(27)
Это утверждение верно при т = 0 для полиномов Ле-
жандра (см. §§ 25.3 и 25.4). Отсюда, пользуясь
определением функций SP™ и формулой (26) с заменой т
н& т—1, получаем
1 1
= J = J (I - dp -
-1 -1
» (1 - и2)’п^т)^-1) |1_1 - J ^^-1)[(1-и2)т^т)]' dji=
-1
»= (/ _ т _ 1) (Z + т) j (1 - ц2)"-1 =
*1
g 25]
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
889
(Z + т) (I_ т + 1) ==
«= (Z + пг) (Z + т
1) (Z _ га + 1) (1—т 4-2) (.К~2, ^Р“2) =*
(Z /п)! 65 \ (/ -р m) 1 2 л
- (Г=^)Г2Г=Л6^^
что и требовалось установить.
При каждом т^О система присоединенных функций
Лежандра ЯР™, l = m, m+1, ..., полна в 1, 1).
Действительно, возьмем произвольную функцию / из
класса ®(—1, 1), плотного в «^(—l, 1) (см. § 1.7).
Тогда
т
W) = /O)(1-^2) 2es)(-i, 1).
По теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) функцию if можно
сколь угодно точно приблизить в С'([— 1, 1]) полиномами
и, следовательно, линейными комбинациями производных
l = ni, яг+1, ... Отсюда следует, что функцию /
можно сколь угодно точно приблизить в —1, 1) ли-
нейными комбинациями функций системы Z = тг
т + 1, ..., что, в силу теоремы § 1.9, и доказывает полно-
ту этой системы.
6. Сферические функции. В силу (7), (И) и (24) по-
лучена следующая совокупность решений уравнения (6):
УГ(0,Ф)-=
SP™ (cos 0) cos mep, m = 0, 1, .. ., Z;
*= ' (cos G) sin | m | <p, m = — 1, — 2, .
Z = 0, 1, ...»
— Z, (28)
или в комплексной форме:
ур (0, <р) = (cos 0) efw.' (28')
Эти функции, очевидно, принадлежат классу
Поэтому Y™ (0, ф)— сферические функции (см. § 25.2)\
Распределение знаков сферической функции У1(0, ф)
15 sin2 0 cos 0 cos 2ф на единичной сфере изображено на
рис. 89.
390
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Сферические функции У'?, m ===== 0, zhl, ..., ±Z, поряд-
ка I линейно независимы, и их линейные комбинации
УД*) = 2 аГ’УГе) (29)
т--—1
с произвольными коэффициентами а^
также являются
Рис. 89.
стема присоединенных
сферическими функциями поряд-
ка I,
Сферические функции {У™}
образуют ортогональную и полную
систему в 2^2 (^t), причем
||Ъ II (30)
Действительно, тригонометри-
ческая система пг^О, 1, ...}
ортогональна и полна в <2%(0t 2л J
и при каждом тп = 0, 1, ... си-
функций Лежандра (р), I =*-
== т, пг + 1,г...} ортогональна и полна в S72(“l7 1)
(см. § 25.5). Поэтому, по лемме § 1.9, система функций
{^(^^/=0,1, „.,№=0,1, ...J)
ортогональна и полна в 572[(—1, 1)Х(0, 2л)], и, следова-
тельно, система сферических функций {У(0, гр)) орто-
гональна и полна в -2%(Л?1). Формула (30) вытекает
пз (27):
krl|2 = JJ [УГ(0, ^psinOrfO^»
о о
dtp = 2 л
(И-Ы)!
2/+ 1 (1 — 1 fn |)1 *
Полнота ортогональной системы сферических функ-
ций {У™} означает, что всякая функция / из S?2(*Si) раз- i
латается в ряд Фурье по этим функциям:
CO I
/(*) = 3 S 4"4T(S) = S r;(S)i (31)
l~l) hl~~— I l~i)
1
§ 25]
СФЕРНЧЕСКНЕ ФУНКЦИИ
391
сходящийся в S?2(‘S'i). В соответствии с (30) коэффи-
циенты а^ ряда (31) вычисляются ио формуле
Л 2Л
»0' а т)-0®*
0 0
(32)
Пусть Qi ($) — произвольная сферическая функция по-
рядка I. Тогда (Qb Yу) — 0, Z¥=Z' (см. § 25.1), и в раз-
ложении (31) для функции Qi остается только одно сла-
гаемое Yh так что Qi = Yi. Итак, доказано:
Сферические функции {УТ1 исчерпывают все линей-
но независимые сферические (функции*,-формула (29) дает
общее выражение для ссферической (функции порядка I.
Замечание. Сферические функции У™, тп — 0,
±1, ..±Z, являются собственными функциями операто-
ра Бельтрами
1 д ( . 1 д2У
----------- __ I S1D О -Т7Г- ]----------------Т ч
sin о \ ао j Siо /Ар2
У е Г (5J,-
соответствующими собственному значению X = I (Z + 1}
кратности 21 + 1.
7. Формула Лапласа. Пусть Yi(s)—сферическая
функция порядка Z. Применяя формулу Грина (5) § 24.1
для шара 1Ц к гармоническому полиному YY^s), по-
лучим при г <1
г%0) =
д 1
4л J
s
dnsf | х — s' | j
(33)
По в силу (19)
1
1
I * — s' j p.
d 1
dns/ | x — s' | s
7 ~ ^li S * )) 7 1
/1-1
£
/ p2 —2rp (s, $')+• r2
1
o° oo
- Й 2 «»«')) 3TT , - - 2 (‘ + <) «'» A
‘ /i-о к h=0
(85)
392 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
причем ряды (34) и (35) сходятся равномерно по (s, s']
при каждом г<1 (см. § 25.4). Подставляя выражения
(34) и (35) в формулу (33) и производя почленное инте-
грирование, получаем
1 00 Г
= 2 ? J (* + к + !) СО (Cs О) ds',
h~0 S±
Г < 1,
Отсюда ввиду произвольности г вытекает следующая
важная интегральная формула для сферических функций:
У (&/))<&'
S1
(36)
Применяя формулы разложения (31) — (32) к функции
/(s') = ^/((s, s')) и учитывая формулу (36), получим
формулу сложения для полиномов Лежандра:
(37)
т=—I u''t'
Заменим в равенстве (31) $ на s'. Умножая это ра-
венство на ^\(($, $')), интегрируя его почленно по s' G
и пользуясь формулой (36), получаем формулу
Kfi (s) = J / (О ((*, О) ds', (38)
S1
Формула (38) сразу дает все коэффициенты в сфериче-
ской функции yft, участвующей в разложении (31) произ-
вольной функции /е 5?2(^1). Опа называется фюрмулой
Лапласа.
8. Шаровые функции. Построим решения уравнения
Лапласа Дм = 0 в R3 методом разделения переменных
в сферических координатах (г, 0, ср). В этих координатах
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
393
§ 25]
уравнение Лапласа имеет вид (см. § 3.2)
л 1 д / о ди\ , 1 д ( . Q ди \ । 1 д2и г>
Ан == — — Г2 Т- + -7Г--- Та Sin 0 тг- + -77-5“ -2“ = О,
г1 dr \ dr J r2 sin е к 00 / г2 sin2 0 дф2
(39)
где и (г, 0, ф) = и (г sin 0 cos ср, г sin 0 sin ф, rcos0).
В соответствии с общей схемой метода Фурье ищем
решение и уравнения (39) в виде /произведения
u(r, е, ф)=^(г)^е, ф)\ (40)'
Подставляя это выражение в уравнение (39)', для функ-
ций 5? и Y получаем уравнения
(г^Э'-Н^-О, (41)
1 д f . адУ] г 1 d2Y , v п //оч
—тп sin 0 -д-) 4 <—у + Ц/ = 0, (42)
sin 0 oG к о0 J sin2 0/дф2
где ц— неизвестный параметр. При этом УеСто(51)\
При p==Z(Z+l), Z — О, 1, .../уравнение (42) имеет
решения класса Соо(51), и этими, решениям# являются
сферические функции У™, т = 0, ±1, ..., ±Z (см. §25.6) t
Уравнение (41) при р == 1(1 + 1) /имеет два линейно не-
зависимых решения: г1 и г~1~\ j
Таким образом, в силу (40)/уравнение Лапласа име-
ет следующий набор линейно независимых решений:
г%(0, ф), r-^Y^O. ф), Z = 0, 1, ..., (43)
где r]Yi — гармонический полином степени Z и г~7_1Уг —
гармоническая функция в Z?3\{0}^ Функции (43) называ-
ются шаровыми функциями.
9. Упражнения, а) Доказать: 3\(—р) = (—l)z^z(p).
b) Пользуясь формулой (19), доказать оценку |^z(p)| 1,
р е [—1, 1].
с) Пользуясь рекуррентными соотношениями (20) и (21), до-
казать, что корни ^(н)> Z > 1» вещественнее, простые, лежат в
(—1, 1) и что
с!) корни полиномов ^/(р) и (р) пере>гежаются.
е) Доказать тождество
зт
(р) = A J (р -J- i i — р2 cos ф)Аф.
о
f) Пользуясь формулой (36), доказать следующую теорему
1
Функа — Хекке, Если Ж(р) е= S?z(—1, 1) и J Ж (р) (р) d[i О,
394
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛТШТИВЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
то =----------т----------------и т = 0, +1, ..., + к —-
2 л j Ж (ц) &k (ц) ф
—1
характеристическое число и соответствующие собственные функ-
ции интегрального уравнения
<p(s) =Х [ .Г [(s,/)] <p(4')ds'.
g) Пользуясь е), а также формулой с) § 23.9 доказать, что
/ х\
lim f cos у j = JQ (x).
§ 26. Метод Фурье для задачи
на собственные значения
Для определения собственных значений и собствен-
ных функций многомерных элл иптических операторов,
допускающих разделение переменных, применяется ме-
тод Фурье (метод разделения переменных).
1. Общая схема метода Фурье. Разобьем независимые
переменные па две группы: = zr2, хп) и у
~(Уь Уг, Ут), и пусть G с= Rn — область изменения х
и DcRm— область изменения у. Обозначим через S и Г
границы областей G и D соответственно. Тогда (5 X D) U
JJ (GXr) есть граница области G X D с Rn+m,
В области GXD рассмотрим следующую краевую
задачу па собственные значения для уравнения эллипти-
ческого типа:
Lu + Ми = Zw, (1J
^ + ₽Й~| _ = 0х T^ + S—L =0, (2)
o’/г \SXD on |Gxr
где L и M — эллиптические операторы, не зависящие от
у и х соответственно; функции а, ₽ не зависят от у и
(функции 7, б не зависят от х.
Будем искать собственные функции задачи (1J — (2J
в виде произведения X(x)Y(yV
и(х, у) = Х(х)У(у]. (3)1
Подставляя это выражение в уравнение (1)\ получаем
F(z/)LX(4+ X(x)MY(у)-ХХ(х\ Y(y),
§ 26]
МЕТОД ФУРЬЕ
395
откуда
IX (г) _ . MY (у)
Х(:г,\ Л "¥(//) ‘
(4)
Левая часть равенства (4) по зависит от у, а правая —
от х. Следовательно, эти выражения по зависят ни от х,
ни от у, т. е. равны постоянной. Обозначая эту постоян-
ную через р и полагая v = Z —р, из (4) получаем два
уравнения:
LX = рХ, г(5)
MY -vIC (6)
Таким образом, уравнение (1) расщепилось па два
уравнения (5) и (6), или, как говорят, переменные раз-
делились* при этом дополнительно появился неизвестный
параметр р.
Для вывода граничных условий для функций Х(х] и
У (у) подставим произведение X(x)Y(y) в граничные ус-
ловия (2). В результате, после сокращений, получим
аХ + 0^1 =0,- (7)
тУ + 6^-1 =0. (8)
Итак, краевая задача на собственные значения (1) —
(2) распалась па две краевые задачи па собственные
значения (5) — (7) и (6) —(8) с меньшим числом неза-
висимых переменных. Обозначим через pft, Xh(x), к —=
= 1, 2, ..и Vj, У,-(у), 7 = 1, 2, ..., все собственные зна-
чения и собственные функции операторов L и М соот-
ветственно. В силу (3)
'kid ~ Hfc “Iи) ~= Ч 1 1^7 2, . . (9)
суть собственные значения и собственные функции исход-
ной краевой задачи (1)—(2).
3 а м е ч а п и е. Пусть ортонормальные системы собственных
функции {ХД и {УД полны в ^2(&) и .^(7-Д соответственно (см.
§ 21.4). Тогда по лемме § 1.9 система собственных функций {XhYД
ортонормальна и полна в ^(^ХП). В этом случае формулы (9)
дают все собственные значения и собственные функции краевой
задачи (1) — (2).
2. Примеры.
а) Рассмотрим краевую задачу па собственные значе-
ния для прямоугольника П=(0, Z) X (0, т) с границей L
396 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ V
(рис. 90):
= = (10)
дх ду
В соответствии с общей схемой метода Фурье эта
задача распадается па две одномерные краевые задачи:
-X " = J1X, X (0) = X (Z) = 0; (11)
-Y"=vY, У(0)=У(т) = 0. (12)
Собственные значения и собственные функции этих крае-
вых задач вычислены в § 22.4:
= XZi(x) = j/|sin^, *=1,2,...; (13)
Ч-(£)’• Y>Ы /-‘.2.- <м>
Из (13) и (14) в соответствии с формулами (9) полу-
чаем следующие собственные значения и собственные
функции краевой задачи (10):
hkj = Л2 ^hj U’> У) = S*U (15)
\г ml у 1т, 1 т
к, j= 1, 2, ...
Так как построенные ортонормальные системы соб-
ственных функций {XJ и {УД полны (см. § 22.3), то в
силу замечания § 26.1, других собственных значений и
собственных функций задача (10) не имеет. Отметим,
что собственные значения Xk} могут повторяться, т. е.
= ^/<070 при некотором наборе номеров (fc, /). Количе-
ство таких повторений, равное числу решений в целых
§ 26]
МЕТОД ФУРЬЕ
397
числах уравнения
£ + Z Jk и.
I2 Т+
дает кратность собственного значения ^0?0* Например,
при Z = m = l кратность Х47 == Х74 = Ai8 = X8i равна 4
(42 72 = 72 + 42 _ р _|_ 82 _ S2 + р) .
Ь) Рассмотрим краевую задачу па собственные значе-
ния для круга UR (рис. 91):
— Аи = Ku, и = 0. (16)
Эту задачу удобно решать в полярных координатах х =
== г cos ср, z/ = rsincp, 0^г</?, 0 ср < 2л. В этих
координатах задача (16) для функции й(г, ср)=«
= и, (г cos ср, г sin ср) принимает вид (см. § 3.2)
1 д f ди \ 1 д2 и
г dr V Or) г2 дер2
Xu,
(17)
и (R, ср) = 0.
К граничному условию при r~R необходимо еще до-
бавить граничное условие при г = 0. Это условие состоит
в том, что функция и должна быть ограниченной в ок-
рестности точки г = 0. Далее, функция и, очевидно,
должна быть 2л периодической относительно ср.
Применяя к задаче (17) метод Фурье, для функции
и (г, ср) = Й(г)Ф (ср) получаем две одномерные краевые
задачи:
-Ф" =рФ, Ф(ср) = Ф(ср +2л); (18)'
г(г^')' + (Хг2~ц)^ = 0, !<%(()) 1 <оо, Й(7?)==0. (19)'
Собственные значения и собственные функции задачи
(18) легко вычисляются (тригонометрические функции):
Нл = А'2, Ф/{ (ср) = —=ei/iP, к = 0, 1, ..
у 2Л
(20)
Далее, уравнение (19) есть уравнение Бесселя (см.
§ 23). Ограниченное в нуле решение 91 (г) этого уравне-
ния при pt = к2 выражается функцией Бесселя Л(УХг).
Чтобы получить собственные значения X, пужио^вос-
пользоваться вторым граничным условием (19), Jft(VXZ?) =
= 0, т. е. 1^X7? = где j == 1, 2, рположи-
тельные корни функции Бесселя JA(p). Отсюда следует,
398
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
ЧТО
Г„0012 , х
/Н-’ (r) = Ch}jh г)’ 7=*’2’ • • •’ (21)
— собственные значения и собственные функции краевой
задачи (19) при ц = к2. Выбирая нормирующие множи-
тели ckj такими, что
получим ортонормальную и полную систему в
^2 [(0, /?); г] (см. § 23.7).
Из (20), (21) и (22) получаем, что
7с = 0, 1,
U) = у^фДЖГГ / = 1 ’ 2, ..., <23>
суть собственные значения и собственные функции крае-
вой задачи (17), а значит, и
задачи (16)*).
Пули собственной функции
Im Х31 (,r) = См Jз ^43) j-j sin 3 ср
R изображены па рис. 92.
По лемме § 1.9 система соб-
ственных функций орто-
пормальпа и полна в ^?2(£7Л),
и поэтому других собствен-
ных значений и собственных
функций задача (16) не
имеет.
с) Рассмотрим краевую задачу па собственные значе-
ния для трехмерного шара С7В:
— Ди =• Хи, и ]<5д = 0. (24)
♦) Строго говоря, пока установлено лишь, что функции Xhj
удовлетворяют уравнению (16) при X = hkj в Но из ра-
венства
J (г) eik* = ( 'h + У У (-~ 1)Р б" + Жз)Р
h k 2 J 4^Г(р + ^ + 1)Г(р + 1)
(см. § 23.1) следует, что Х^еС№(67) (ср. § 30.2). Поэтому урав-
нение (16) будет удовлетворено и в точке я = О,
§ 26]
МЕТОД ФУРЬЕ
899
Эту задачу удобно решать в сферических координатах
(г, 0, ф), 0=^г</?, 0^0^ л, О^ф <2л. В этих коор-
динатах задача (24) для функции и (г, 0, ф) =»
« и (г sin 0 cos ф, г sin 0 sin ф, г cos 0) принимает вид (см.
§ 3.2)
1 д I 2 du j 1 д
d7/ rrsin
1 д2и
. ади
Sin 0-^1----5---5----FT
k оО / r- sin~ q
: й (R, 0, <р) = 0,
w (г, 0, ф) = и (г, 0, ф + 2л).
(25)
(26)
В соответствии с общей схемой метода Фурье соб-
ственные функции задачи (25) — (26) ищем в виде про-
изведения 52(г)У(0, ф). Разделяя переменные для функ-
ций У и 52 получим краевые задачи
J—4fsin0^ + -4—^ + цУ = °, (27)
sin 0 60 J sin2 0 г \ ш \ /
(г252')'+(Хг2-ц)52 = 0, |5?(0)| <оо, 52(7?)-0. (28)
При p = Z(Z4-1), 7 = 0, 1, ... задача (27) имеет ре-
шения и этими решениями являются сферические функ-
ции У Г, m = 0, ±1, ..., ±1 (см. § 25.6)^_При p = Z(Z+l)
уравнение (28) для функции превращается
в уравнение Бесселя (см. § 23)
п /Г ( 4 \21
r252i + r5?x+ V2-52х = 0.
Поэтому ограниченным в нуле решением уравнения
(28) является функция
Я(г) = ±7 >(УЬ), (29)
1/г !+-
Чтобы удовлетворить граничному условию Й(7?) =0, не-
(1+г) ('+?)
обходимо положить в (29) ]/%/? = р,) , где р) —
положительные корни функции Бесселя Итаке
X . О Li о
= ’ д2 3. Хцт О) = rpjf ^l+l_ I Pj 2 Л уУ™ (0> ф)»
(30)
1 = 0,12 .j = 1Л 2j .. т = Qi ±it
400
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. V
— собственные значения и собственные функции краевой
задачи (24). Выбирая нормирующие множители ctjm та-*
кими, что (см. формулы (35) § 23.7 и (30) § 25.6)
/~Н л 2л / / 1 \ \
Г (6» Ф)]2'*^ dQdq
1 +Sflm(/+|/n I)!
2/4-1 (/ —p»|)l’
и учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя
в 2\[(0,‘ /?); г] (см. § 23.7) и сферических функций в
•2^ (Si) (см. § 25.6), в силу леммы § 1.9 заключаем, что
система собственных функций (30) ортонормальна и пол-
на в 3?z(UR), поэтому других собственных значений и
собственных функций задача (24) не имеет.
Аналогичным образом рассматривается и краевая
задача
•— Ди = Хи,
-+№|^=°л а>0.
§ 27. Ньютонов потенциал
Этот параграф посвящен более детальному изучению
свойств ньютонова потенциала в трехмерном пространстве
(см. § 7.10). Этот потенциал определяется как свертка
обобщенной функции р (плотности) с функцией Ы'1:
V = -|7Т *р== —4я^з*Р- (1)
Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона
ДЕ = —4лр. (2)’
Основы классической теории потенциала заложены
А. М. Ляпуновым [1] в конце прошлого века и развиты
В. А. Стекловым [1].
1. Объемный потенциал. Если р — (абсолютно) инте-
грируемая функция на G и р(.г) = 0, Gi~ R3\G, то
ньютонов потенциал V, называемый объемным потенциа-
лом^ выражается интегралом
rW-Ji^7rdi' (3>
G
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
401
и представляет собой локально интегрируемую функцию
в Rn (см. § 7.10^)).
Если p^C(G) и G — ограниченная область, то объем-
ный потенциал V принадлежит классу С1 (Я3), гармони-
чен в Gt и
( V (х) = |х|->оо.
Действительно, так как G — ограниченная область и
pet(G), то по теореме § 1.6 интеграл (3) принадлежит
С1^3), и по формуле (7) § 1.6
V (х) = О [-.-|-\ 1 X 1 -> оо.
' 1 I I X I J 1 1
При x^G потенциал V(я) допускает непрерывное
дифференцирование под знаком интеграла в (3) беско-
нечное число раз, так что
VeC’O0(G1). Отсюда и из
уравнения (2) вытекает, что
! Д7 = 0, xt=Gh т. е. потен-
циал V — гармоническая
функция в области Gt (по
лемме § 11.1).
Если р €= Ci (G) П C(G), то
FeC2(G).
Для доказательства возь-
। мем подобласть G' G с ку-
сочно-гладкой границей S' и внешней нормалью п'
(рис. 93). При этом потенциал V разобьется на сумму
двух объемных потенциалов Vt и V2, F == + Р2, где
1 f = J 1^ —j/I
G' G\G'
По доказанному V^C^R3), V2^C°°(G'). Дифференци-
руя потенциал Vi как свертку, получим (см. § 7.5, с))
grad (х) = grad (у7|- * Pi) = у7[ * §rad Pi’ Pi = P0G'- (4)
> Так как pt & С'(Д'), то по формуле (22) § 6.5
grad рх = {grad pj — pn'Sgz.
Подставляя полученное выражение в (4)’ и пользуясь
формулой (3) для объемного потенциала и формулой (40)’
26 в. С, Владимиров
402
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
§ 7.10 для потенциала простого слоя, получим
grad Ц (z) = ~ * {grad pj — у|у« р/г'б5, =
J I X — у I J J
G' S'
(5)
Первое слагаемое в правой части (5), как объемный по-
тенциал с плотностью gradp^C(G'), принадлежит клас-
су С'1(2?3), а второеклассу C°°(G'). Следовательно,
grad Vi е= Cl(G7), т. е. Г1еС2(С/). По тогда и V=V< +
+ V2 е С2 (G7) и, ввиду произвольности G' <9ё G, V е С2 (G),
что и требовалось доказать.
2. Потенциалы простого и двойного слоя. Пусть S —
ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя *) поверх-
ность, п — выбранное направление нормали к ней и ц и
v — непрерывные функции па S, Ньютоновы потенциалы
Г») _ Л_ * и F(1> = - -Ду * ~ (v6S),
I лт I г ° I х I дп 4
называемые потенциалами простого и двойного слоя соот-
ветственно, выражаются интегралами
417=71^ (6)
у™«Л’<’ЛгЛ7Т1К’ (7>
S и
и представляют собой локально интегрируемые функции
в /?3 (см. § 7.10, d)). Эти потенциалы удовлетворяют
уравнению Пуассона:
AVw = - 4npSs, AF(1) = 4л. Л- (vSs). (8)
Фиксируем точку xQ на S, и пусть — нормаль в ней
к S. Дифференцируя формулу (6) при х ё $ по направ-
лению я0 и пользуясь равенством
д 1
а«0 |я —[/|
3
/ к Уг^хг COSAp
~ cos ---------------г л-------(9)
*) Та сторона поверхности 5, к которой примыкает нормаль
считается положительной, а противоположная сторона — отрица-
тельной (рис. 93 и 94).
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
403
где — угол между вектором у — х и нормалью п0
(рис. 94), получаем выражение для нормальной произ-
водной потенциала простого слоя:
дУ(()) (.г)
дп0
dSy.
(Ю)
Аналогично, в силу равенства
д 1______
0пу О —J/I
(11)
где <рху — угол между вектором х — у и нормалью п
(рис. 94), формула (7)
для потенциала двойного
слоя У(1) принимает вид
7(1) О) =
C0S Фху
I X. — у I 3
(12)
Потенциалы Ио)
и Т/<|) — гармонические
П°’еС(2?3)' и
функции вне поверхности S,
F(0)W=o(i4r)’ F(1,o) = o(rVy И-><*>•
\ I * I / \ I X I /
Эти свойства потенциалов F(o) и F(1) выводятся из
представлений (fi) и (12) и из уравнений (8), подобно
тому, как это делалось для объемного потенциала (см.
§ 27.1).
Теперь покажем, что потенциал двойного слоя V(n (я)
с плотностью v = 1 равен
cos^
,2 аг> У ~~
x^G
x^Gl^R^\Gf
(1.3)
если S — граница области G.
Пусть xe=G. Тогда найдется шар U(x, r^^G. Гра-
ница области G\U (х1 г0) состоит из поверхностей 5 и
20*
404
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
S(x; г0) (рис. 95). Поскольку функция Iх — yl-1 —^гармо-
ническая при х^ у, то, применяя к области G\U(я, г0)
формулу (И) § 24.3, получим
(Аг-^—Л + f —5-j—J—- dSy=O. (14)
J dn„ pr — у | J On | x — y| y ' '
s V ^’r0)
Принимая во внимание
(11) и учитывая, что cosq^y— 1
па сфере 1<£ — из (14) выводим первое из ра-
венств (13):
~Т J dSy=
r° k~z/b-=r0
= — 4л.
Пусть теперь х е Gt. Так как функция lx— z/l-"1 —
гармоническая в G, то, применяя формулу (И) § 24.3,
имеем
0,
S
(15)
что, в силу (11), и доказывает вторую из формул (13).
Замечание. Формулы (13) можно обобщить на случай про-
пзвольной поверхности S (Гаусс); если х Ц S, то потенциал Г(1)(.г)
с плотностью v s 1 равен телесному углу, под которым поверх-
ность S видна из точки х (с учетом, знаков сторон поверхности).
3. Физический смысл ньютоновых потенциалов. Потен-
циал V =
*рс произвольной (финитной) плотностью
р удовлетворяет уравнению Пуассона ДП=—4лр, Поэто-
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
405
му V есть ньютонов или кулонов потенциал, создаваемый
массами или зарядами, распределенными в пространстве
с плотностью р. В частности, непрерывное распределение
масс или зарядов создает объемный потенциал; если же
массы или заряды сосредоточены па поверхности, то они
Рис. 96.
Рис. 97.
создают (ньютонов или кулонов) потенциал простого
слоя; если па поверхности сосредоточены диполи, то соз-
даваемый ими кулонов потенциал есть потенциал двой-
ного слоя.
Для примера вычислим (кулонов) потенциал И(1) (^; Z),
создаваемый диполем с моментом +1 в точке 0, ориенти-
рованным в направлении Z, | Z| == 1. Этот потенциал соз-
дается распределением (см. § 6.4, а))
lim — 6 (х — 1г)-------— б (х)
в-»+о L 8 8
(рис. 96), и поэтому
Т/(1) (ж; I) = — Ду
т. е.
д1
7(1)(х; /)=-4гЦ- = £^
(16)
___ _£ 1
д1 | х | ’
где <р — угол между векторами х и Z. Па рис. 97
жены поверхности уровня потенциала B(,)(.r;Z)
COS ф , \
потенциальные поверхности -—р = ± с ] •
Из формул (12) и (16) следует, что потенциал двой-
ного слоя представляет собой «сумму» элементарных по-
тенциалов
v (р) F(1) {х — у, п) = V (у) С--~,
изобра-
(экви-
406
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. "V
создаваемых диполями па поверхности S с плотностью
момента у(у) и ориентированных по нормали д.
4. Поверхности Ляпунова. Дальнейшие свойства по-
тенциалов простого и двойного слоя устанавливаются в
предположении, что S — поверхность Ляпунова. Замкну-
тая ограниченная поверхность S называется поверхностью
Ляпунова, если в каждой точке x^S существует нор-
маль непрерывная по Гёльдеру па S, т. е. суще-
ствуют числа С > 0 и а > 0, а 1 такие, что
| tlx tly | С [ X у )а, X, у —Z Si (17)
Из этого определения вытекает, что поверхности Ля-
пунова содержатся в классе поверхностей С1; с другой
стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность
класса С2 есть поверхность Ляпунова (при а = 1).
Для поверхности Ляпунова S существует такое число
г0 > 0, 4Сго<;1, что для любой точки x^S окрестность
ux = S П U(х\ г0) пересекается прямой, параллельной нор-
мали в единственной точке.
Действительно, в противном случае, из условия глад-
кости поверхности S следовало бы, что па куске их нахо-
дились бы две точки iji и у2, для которых угол между
нормалями Пу. и пУ2 был бы тупым, (дУ1, пу) 0, что
противоречило бы неравенству (17):
V 2 j tiyv | С ] y L — у2 р С 2 г0 < -у.
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
407
На куске их выберем локальную систему прямолиней-
ных координат у2, г/з) с началом в точке х и ось
т/з направил! вдоль нормали, == /гх, а оси у{ и у2 напра-
вим вдоль единичных орт i mJ соответственно (рис. 98).
В силу сказанного, в этих координатах поверхность их
можно задать уравнением
У^^УьУ^ /^(о), /(0) = 0. (18)
где о— проекция их па плоскость (уь у2), причем
в силу (17)
|я —/г0|<С|у|% уеих, x^S = (19)
Из (19) при всех у^их вытекают оценки
I(и,г)| = | (га — га0, г) + (га0, i)|<|п — п01<С|у|“,
| (я, J)| = |(» — na,j} + (га0,»К|га — ииКС|г/|“,
(га, и0) = (га — га0, га0) + (га0, га0) >
> 1 — | га — га01 > 1 — С | у |а >
Учитывая, что на поверхности их справедливы соот-
ношения
df_ _ __ (л, /) JV _ ___ (я, /)
°У1 (п’ по) ’ Ч («- "о) *
из (20) выводим неравенства
I = /— % 4- СI У i“> 4- С IУ |“, У
I з</1 («> п0) ' 3 J л/2 3
_________ (21)
Обозначая р = р4И + 1А< из (21) выводим
< Ц4 с I у I- < 2Сп < А, (У1, у2) (= о. (22)
Отсюда, пользуясь неравенством
выводим |/!^р/2. Далее, учитывая (18) и пользуясь
40 8
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
опять (22), получаем
Р р а
|/|<2Cf|i/|“dp' = 2Cj(p'2 + /2)2 ф'<
о о
р
< 2С [ 4)^ J р'W < 2Ср1 +».
Итак, установлены неравенства
|Уз1<7> I Уз I =С 2Ср1+“ < 2СI у |1+« у<=их. (23)
Лемма 1. Если S — поверхность Ляпунова, то
IcoscpxyKISC’l^—г/|а, z, y^S, (24)
|coscpx/?/+ cosi|Vy| ^3C|£' —- z/|a, x, y^Sr x'^nx, (25)
где C — постоянная в неравенстве (17).
Доказательство. На основании сказанного, оцен-
ки (24) и (25) достаточно установить для всех у из
(произвольной) окрестности их = S П U (х\ г0). Оценка
(24) следует из оценок (19) и (23):
I COS ф^| = | (л, ^1 = 1^- 4- (йо) <
<1«-п0| 4- Щ^ЗСЫ.
I V I
Докажем теперь оценку (25) на их. Пользуясь опре-
делением углов И lpx'2/(CM. формулы (9) и (И)) и
неравенством Кохии — Буняковского (см. § 1.7), при всех
у е их и х е R3 получаем оценку
| cos фх'у + cos
[cos (noz/i) — COS (ny-)]
з
2 [cos («0Z/i) — COS (»f/4)]2
i=l
= {(«, Z)2 + (7Z, J)2 4- [1 - («, w0)]2}a
и, следовательно, в силу (20),
[ cos (fx,y 4- cos ipx/v К Узе I у |«
Отсюда, пользуясь неравенством (23) и замечая, что
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
409
р < к' — у\, х' е п0, при всех у е их и х' е nQ получаем
оценку (25):
а
I COS фх^ + COS ^xrv | /ЗС (р2 + уТ) 2 ^ЗСра^ЗС | х'—X/|°Ч
Лемма доказана.
Лемма 2. Если S — поверхность Ляпунова, то суще-
ствует такая постоянная К, что
W^'A.ds^K,
(26)
xf е R\
Доказательство*). Если расстояние от точки xf
до S не меньше "а*, так что |а/ — у\^-^> у S, то ин-
теграл (26) равномерно ограничен числом dS,
Г .Г V
° s
Пусть теперь расстояние от точки х' до S меньше
так что существует точка х S такая, что | х — х' | =
г
= 6 < Нетрудно убедиться, что точка х' лежит на
нормали п0 или - й0 к S в точке х. Для определенности
мы будем считать, что х' я0, так что в локальных коор-
динатах х ==(0, 0, 6) (см. рис. 98). Разобьем интеграл
(26) на два:
8\щ
dSv. (27)
idSv +
8
В силу оценки
г
к' — У I > I!/ — ^ | — I * — х'\>го-2
г
~т, yeS\ux,
&
первый интеграл справа в (27) равномерно ограничен
числом Kit
Оцепим теперь второй интеграл справа в (27). Заме-
чая, что (рис. 98)
| COS -фх//у I = у--;.Уз I < р < I х' — у |,
I \ху\ I х —(/| |-^ —У I V It
.♦) Идея взята из книги С. Г. Михлина [1, гл. 18].
410
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
и пользуясь оценками (23) и (25), получаем оценку
1 cos срх/у КI COS Цх,у + COS I + I cos I <
<Г ЗС1 x' 7/|aj_—pa+1 'I yz 7, la J 7/p=//
^'JC' |x y\ 4- —y\ + p y^ux.
Поэтому
i i *'-!/12 a
I — V I3’
(28)
Первый интеграл справа в (28) равномерно ограничен
(см. § 1.6). Для оценки второго интеграла справа в (28)
перейдем к локальным координатам (см. рис. 98)
^!^/2< 4 g С <?У^У2
(«>«0)[р2 +(6-^)213/2 "" 3 * 5 [р2 + (б- !/3)2Г!/2’
здесь мы воспользовались третьим неравенством (20).
Тогда, в силу (23), |у3| р/2 и, стало быть,
Р2 + (6 - у3Т = р2 + б2 + yl - 2бу3 > р2 + б2 - 261 у31 >
> р2 + б3 — 6р > -у (о2 + ба), у е их.
Учитывая полученное неравенство, продолжим сцеп-
ку (29):.
Г dS^ Г ds^d^ / s С Г , Р dp dtp __ о
J |x'-,|3< J (р2+62Г/2 " 16J J (p3 + 63):72 &Л-
ux a oo
Лемма доказана.
5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя па
поверхности S. Предполагая границу S области G по-
верхностью Ляпунова, установим некоторые свойства по-
тенциалов V(0) и V(i) на S. Имеют место равенства
s
’— 4л,
— 2л,
0л
х е G,
x^S,
x^Gv
(30)
Для доказательства равенств (30), в силу (13), ос-
талось рассмотреть случай S. Выбрасывая из S
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
411
окрестность их == S П U (xt г0) точки х, получим
cos фу?/
I х — У I2
COS ф„„
—dsu +
t^dS,. (31)
| I tZ У ' •
S \ и
Так как xsG\U(x, г0) (рис. 99), то применяя форму-
лу (11) § 24.3 к области G\U(х; г„) к функции к — у|-1
и действуя, как и в § 27.2, получим
f f dS.
s\uxl 0 gds(x;t0)
Поэтому при стягивании их в точку ^(г0->0) первый
интеграл справа в (31) стремится к —2л (рис. 99). Вто-
рой же интеграл справа в
(31), в силу оценки (24),
сходится абсолютно и потому
стремится к нулю при zzx х
(см. § 1.6). Поэтому, перехо-
дя в (31) к пределу при
-> х, получим формулу
(30) при х S.
Потенциал двойного слоя
F(1) (х) — непрерывная функ-
ция на S.
Рис. 99.
Действительно, в силу неравенства (24), справедли-
вого на поверхности Ляпунова 5, потенциал И(1)(;г),
определяемый формулой (12), есть интегральный опера-
тор с полярным ядром
C°S Фх?/
1 |2
О — и
X <= St у е= 5,
а потому переводит всякую функцию v s С(S) в функ-
цию 7(1)e=C(S) (см. § 1.6; ср. с леммой 1 § 17.4).
Докажем теперь, что интеграл
f / , C0St^ ,С /о-
J И — у I
гЗе — угол между вектором у — х и нормалью яХ1
есть непрерывная функция х на S.
Действительно, замечая, что
= X, y^S (33)'
(рис. 100), из (24) выводим оценку
Icos фЛ С ЗСк - х, y^S, (34)
412
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
из которой, как и для потенциала 7(1), следует непре-
рывность интеграла (32) па S.
В соответствии с формулой (10) обозначим интеграл
/ппч ^/(0)
(32) через ,
<35>
S * 1 * У 1 S
.ГЕ S.
<9F(o) (z)
Функция —— называется прямым значением нор-
мальной производной потенциала простого слоя на по-
ал верхности 5; по доказанному
она непрерывна па S.
Отметим еще, что потен-
р / Чиал простого слоя Vw{x)—>
р J непрерывная функция на S,
/ поскольку F(u)gC(//3) (см.
1 Л § 27.2).
Хч^. 6. Разрыв потенциала двой-
ного слоя.
Рис. 100. Теорема. Если S — по-
верхность Ляпунова и v Q
еС(5), то потенциал двойного слоя V(1) принадлежит
C(G) и C(Gi) и его предельные значения и V™
на S извне и изнутри S выражаются формулами
(х) = 2nv (х) + Г(1) (x)=2nv(x)+ fv (у) ^^JLdSy, (36)
s 1*-у1
V™ (х) = - 2nv (х) + F(1) (х) =
С COS (0
= - 2«v U) + v (у) ----dSv. (36')
3 I*—У
D
Доказательство. Введем функцию
W (х',х) = f [v (у) — v(x)]-^ILdS x'^R3, x^.S,
J К - у г
Функция W(х', х) при х’ = хеS, в силу (30), равна
W (хх х) = fv (у)---dSy + 2nv (ж) =• 2nv (ж) + 7(1) (ж).
g I® —У|
(37)
§ 27]
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
413
Функция W (х, х) непрерывна па S в силу непрерыв-
ности плотности v и потенциала V(i) па S (см. § 27.5) ।
Докажем, что
x&S
W (х\ х) 1—> W (#, х), х' —> х^ S» (38)
Пусть 8 > 0. Так как функция v равномерно непре-
рывна на 5, то существует такое число б == бе > 0, что
при всех х g= S имеет место неравенство
IV (у) — V (л) I < у <= их = S а и (х; 6)t (39)
где К — число, входящее в
Оценим разность
\W(xf, x) — W(x, rr)|<
неравенство (26)\
| V (г/) — V (х) |
C°S <f^y cos
I х’ — у |2 | х — у |2
dSy. (40)
В силу неравенств (39) и (26) первый интеграл спра-
ва в (40) не превосходит е/2,
COS cos <рж;/
I х' — у I2 I X — у I2
dSy<
е_ С /I cos |
J \ | х'— г/f2 +
d,Sv^-^2K =
у 4л
8
2~
Далее, подынтегральная функция в (40), как функция
переменных (х, х', у), равномерно непрерывна при
[х — х’ |< 4, х е S, ye=S\ux и обращается в нуль при
6
х' == х. Поэтому найдется такое 6' -у, что при всех х'&
t^U(x\ б') второй интеграл справа в (40) будет меньше
Следовательно, | W(x', х) — W (х. х) | < 4“+ 4~== е» е
(х\ б'), #<=5, что и доказывает предельное соотно-
шение (37).
Считая х' е Gi и пользуясь формулой (30), предста-
вим потенциал 7(1) (х') в виде
С COS Q)
V(1)(Z)= |[v(p) — V(a:)] ж = 1Г(ж\ a:). (41)
I - UI
414 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
Переходя в этом равенстве к пределу при х' S,
x'^Gt и учитывая предельное соотношение (38), по-
лучаем
И1* (ж') ZZj Р7(ж, x) = V^(x), x^St
откуда следует, что V{i) С (fit) и, в силу (37), справед-
ливо равенство (36).
Другой случай рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Из формул (36) и (36') следует соотношение
4лv (х) = F(4? (х) — J4P (х), х е S. (42)
Замечание. Формулы (3G) и (36') аналогичны формулам
Сохоцкого (15) и (15х) § 5.8.
7. Разрыв нормальной производной потенциала про-
стого слоя.
Теорема. Если S—поверхность Ляпунова и
gC(S), то потенциал простого слоя 1/(0) имеет правиль-
п /гЖ<0)\ !dV{^\ а
ныв нормальные производные и на $
извне и изнутри 5, причем
- - 2л,и (г) + Г JL (j) 22^ dS„, (43)
I Х~У\
—— = 2лп (х) 4-—— =
\ дп J - 4 7 г \ * ()П
р cos яЬ
= 2л(1 (х) + р (у) —dSy. (43')
§ I х — у I
Доказательство. Пусть 1/(1) — потенциал двой-
ного слоя па S с плотностью ц. Введем функцию
ТУх(Уг х) = + Г(1) (ж'), х' е= же
и докажем, что при х х е S, х' tix
W, (х', х) =: W, (X, X) = dX^L + yd) (44)
По доказанному (см. § 27.5) функция Wfix, х) непре-
рывна на 5.
§ 271
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
415
Пользуясь формулами (10) и (12), представим функ-
цию Wi в виде интеграла:
Й I* - У\
Зададим е > 0. Оценим разность
| W\ (х', х) — И7! (х, х) |
C0S ^х’1) + C0S Я’х'!/
I * — у Г
(45)
В силу оценок (24), (25) и (34) первый интеграл
справа в (45) не превосходит (абсолютно) сходящегося
интеграла
и потому может быть сделап < -у при достаточно малом
б = бе. Далее подынтегральная функция в (45), как
функция переменных (^, х', i/), равномерно непрерывна
при [х— х x^S, y&S\ux и обращается в нуль
при х х. Поэтому найдется такое число о ^-у ,что
при всех х' е U(х\ б') BTopoii интеграл справа в (45)
будет меньше Следовательно,
ЦУДж', x)—Wi(x1 х) I < е, x'^U(x; б'), х' е nXi х^ S,
что и доказывает предельное соотношение (44).
По теореме § 27.6 F(1)eC(G) и
7^ (,г) = 2;tfi (х) + Vw (ж).
Поэтому предельное соотношение (44) при х' х s
eS, / G пх принимает вид
5у(0)(а.')^ () 8Vw(x)
~ 1ZX — У+ (*) + wi = — 2лр (х) + ,
откуда заключаем, что правильная нормальная производ-
ная па $ пзвке существует (см. § 24.2) и,
с учетом формулы (35), выражается равенствами (43).
416
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Другой случай рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Из формул (43) и (43') следует соотношение
4л|л (х) = (z) — x^S. (46)
Замечание. Можно доказать, что если плотность ц непре-
рывна по Гёльдеруща S (см._§ 1.3), то потенциал 7(0) принадле-
жит классам C'(G) и CX(GX) (см., например, С. Л. Соболев
[1, л. XV]).
8. Упражнения, а) Показать, что потенциал простого слоя для
сферы SR с плотностью ц == 1 равен
Ио) (;Г) =
4л/?1 2
I Г
,4 л/?,
I ж 1 > Я;
]х|< Я.
Ь) Пользуясь а), показать, что объемный потспциал для шара
UR с плотностью р. = 1 равен
V(x) =
4лЯ3
3|*Г
2лЯ2 “ у | х |2,
с) Показать, что для шара Ur объемный потенциал с плот-
ностью /(|я|) равен
к
d) Пользуясь с), показать, что если j / (р) р2с?р = 0, то
о
R
F(*)=-^yJ/(P) P4dp.
О
е) Доказать, что если поверхность Ляпунова 5 ограничивает
выпуклую область, то постоянную К в неравенстве (26) можно
взять равной 4л.
§ 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа
и Пуассона в пространстве
1. Постановка основных краевых задач. Будем изу-
часть следующие четыре краевые задачи I и II родов для
трехмерного уравнения Лапласа (см. § 4.4). Считаем об-
ласть G такой, что Gi = R3\G есть область.
§ 28] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА <17
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую
в области G функцию u^C(G), принимающую на S за-
данные (непрерывные) значения щ.
Внешняя задача Дирихле: Найти гармоническую в об-
ласти Gj функцию u^C(Gi), принимающую па S задан-
ные (непрерывные) значения и обращающуюся в О
на бесконечности.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в
области G функцию u^G(G), имеющую на S заданную
(непрерывную) правильную нормальную производную
Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в
области Gt функцию u^G(GJ, имеющую на S заданную
(непрерывную) правильную нормальную производную ut
(нормаль внутренняя) и обращающуюся в 0 на беско-
нечности.
Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравне-
ния Пуассона
Ди--/, (1)
причем требуется, чтобы u е= G2 (G) A G(G) для внутрен-
них задач и и <= C2(Gt) A G(G\), u(<x>)=0 для внешних
задач.
Подстановка
u = v+V, V (ж) = Д f , Z (;z) dy (2)
G
сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуас-
сона к соответствующим внутренним краевым задачам
для уравнения Лапласа, если / е С1 (G) A C(G).
Действительно, в этом случае объемный потенциал
V е С2 (G) A G1 (G) и удовлетворяет уравнению Пуассона
(1) (см. § 27.1). А тогда, в силу (2), функция v должна
удовлетворять уравнению Лапласа и соответствующему
граничному условию.
Для внешних краевых задач поступаем аналогично
(если объемный потенциал с плотностью / существует и
обращается в 0 на бесконечности).
Отметим, что преобразование Кельвина (см. § 24.10)'
позволяет сводить внешние краевые задачи для уравне-
ния Лапласа к внутренним, и наоборот.
Наконец, обратим внимание, что для задач Неймана
(внутренних и внешних) необходимо предположить, что
S^C1; далее, существование у решения и(х\ правиль-
27 в. С. Владимиров
418 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. V
ной нормальной_производной на S влечет ее непрерыв-
ность на G или Gi соответственно (см. § 24.2)
2. Теоремы единственности решения краевых задач.
Докажем теоремы единственности решения краевых за-
дач, поставленных в § 28.1.
Теорема 1. Решение уравнения Пуассона един-
ственно в классе обобщенных функций, обращающихся
в 0 на бесконечности.
Доказательство. Достаточно установить, что
уравнение Лапласа имеет только нулевое решение в
классе обобщенных функций, обращающихся в 0 при
|я| Но это вытекает из аналога теоремы Лиувилля
(см. § 24.9).
Теорема 2. Решение внутренней или внешней за-
дачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от гра-
ничного значения щ или и$ соответственно в следующем
смысле: если | и^ — uf | е на S, то соответствующие
решения и и й удовлетворяют оценке
\и(х)--й(х)\ x^G (x^Gi). (3)'
Доказательство. Применяя неравенства (17) и
(18) § 24.5 к гармонической функции и — й,
| и (х) — и (х) К шах | uf (х) — uf (х) |, х е G (х е G^
х~8
получим все утверждения теоремы.
Будем говорить, что поверхность Ляпунова S — до-
статочно гладкая поверхность, если для нее справедлива
формула Грина (7) § 21.2 для функций и класса С2(С)П
А С (G), имеющих правильную нормальную производную
на S и Ди & 3?2(G), и для функций v класса Cl(G) A C(G).
В силу сказанного в §§ 24.2 и 27.4 ограниченные
замкнутые поверхности класса С2 — достаточно гладкие
поверхности.
Теорема 3. Если S — достаточно гладкая поверх-
ность, то решение внутренней задачи Неймана опреде-
лено с точностью до произвольной аддитивной постоян-
ной. Необходимым условием разрешимости этой задачи
является равенство
\u~(.x)dS+ f/(^)^ = 0. (4)
8 G
Доказательство. Если и и й — два решения
внутренней задачи Неймана, то их разность ц е= C(G) —>
§ 28]
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
419
гармоническая функция в G и имеет нулевую правиль-
ную нормальную производную на S. Применяя формулу
Грина (7) § 21.2 при = получим
J | grad Т] |а dx = У dS = 0,;
G S
откуда следует, что grad ц = 0, х е G, так что т] в и —
— й = const.
Необходимость условия (4) разрешимости внутренней
задачи Неймана вытекает из формулы (8) § 21.2 при
v1, согласно которой
J tix dS = J dS = j Дп dx = — У / dxt
S S G G
если и — решение этой задачи. Теорема доказана.
Ф и з и ч е с к и й смысл условия (4) состоит в
том, что стационарный поток тепла (несжимаемой жид-
кости, напряженности электрического и магнитного по-
лей, см. § 2) через замкнутую поверхность S равен сум-
марной величине всех источников (зарядов), находящих-
ся внутри S (закон сохранения).
Теорема 4. Если S — достаточно гладкая поверх-
ность, то решение внешней задачи Неймана единственно.
Доказательство. Пусть и и й — два решения
внешней задачи Ноймана. Тогда их разность ?]^C(Gi) —•
гармоническая функция в G^ имеет нулевую правильную
нормальную производную на S и 1](<») = 0. По теореме
§ 24.10 функция ц удовлетворяет неравенствам
hU)l<r7i’ 1 gradrl(x) I < А» И->оо. (5)
I л I I £ I
Применяя формулу Грина (7) § 21.2 при u — v — x]
к области Qr (рис. 84), получим
f | gradn (• dx - J ,)£ dS + j ng dS - J ng dS. (6)
Qr S Sr Sr
Но из оценок (5) вытекает, что при R -> оо
J < J | q||gradr]|dS <-§ J dS = 4л
Sr Sr
27*
420
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Поэтому, устремляя в равенстве (6) й к о°, получаем
J | grad t] |2 dx = 0,
Gi
откуда следует grad т) == 0, т. е. ц (х) == const, х е Так
как ц (оо) =* 0, то ц = и — й 0, x^Gl9 Теорема доказана.
3. Сведение краевых задач к интегральным уравне-
ниям. Выпишем формулу Грина (5) § 24.1 при п = 3:
и(х) ~
1 С [ 1 ди (у) __ ( >д 1 ]
4л J | х — у | dit. U дп | х — у |
S L у и j
dSy, x^G. (7)
Формула (7) справедлива для функций ugC(G), гармо-
нических в G и имеющих правильную нормальную про-
изводную па 5, если S — достаточно гладкая поверх-
ность (см. § 28.2).
Из теорем единственности для задач Дирихле и Ней-
мана (см. § 28.2) следует, что, вообще говоря, не суще-
ствует гармонической функции и с произвольно задан-
ными значениями и и па S. Поэтому формулу Грина
(7) нельзя непосредственно использовать для решения
поставленных краевых задач, подобно тому как мы это
делали для решения задач Коши (см. §§ 13.3 и 16.4).
В этом состоит существенное различие между краевой
задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши.
Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем за-
дачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к ин-
тегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром.
Далее, используя теорию интегральных уравнений, дока-
жем разрешимость этих краевых задач.
Пусть S — достаточно гладкая поверхность. Ищем ре-
шение задач Дирихле (внутренней и виешйей) в виде
потенциала двойного слоя
д к — у I
dSyi>
ч *— неизвестная непрерывная плотность на S. Функ-
ция Г(1) — гармоническая в G и С4, принадлежит клас-
сам C.(G), C(Gi) и C(S) и Г(1)(^)=0 (см. § 27.2, 27.5
и 27.6). Поэтому, чтобы потенциал Г(1) давал решение
внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо и
§ 28] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
421
достаточно, чтобы соответственно были выполнены ра-
венства
(ж) = uf (х), X <= S, (8)
где — предельные значения У(1) изнутри и извне S.
Но теореме о разрыве потенциала двойного слоя (см.
§ 27.6) равенства (8) принимают вид
Т 2nv (х) + \ v (у) ——dSy = uf (х), х ^S. (9)
Равенства (9) представляют собой интегральные уравне-
ния Фредгольма относительно неизвестной плотности у.
Вводя вещественный параметр X и ядро
М (я, У) ==
CQS <РХу
2л | х — у |2 ’
(10)
перепишем интегральные уравнения (9) в единой форме:
у (,х) = X Ж (х, у) v (у) dSy + / (х), х е S. (И)
в
При этом для внутренней задачи Дирихле X = 1 и
wo~
/ =—5^-, а для внешней задачи Дирихле X = —1 и
J 2л *
Аналогично решение задач Неймана (внутренней и
внешней) ищем в виде потенциала простого слоя
у(«) (ж) = С dS
' 7 J I — У I y
где p — неизвестная непрерывная плотность на S. Функ-
ция V(0) — гармоническая в G и Gl4 непрерывная в Л3,
(dV(Q)\
имеет правильные нормальные производные на
S изнутри и извне S и У(0)(оо) = 0 (см. § 27.2 и 27.7).
Поэтому, чтобы потенциал F(0) давал решение внутрен-
ней или внешней задач Дирихле, необходимо и доста-
точно, чтобы соответственно были выполнены равенства
(12)
422
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
По теореме о разрыве нормальной производной потенциа-
ла простого слоя (см. § 27.7) равенства (12) превра-
щаются в интегральные уравнения Фредгольма
2лр
(*) + J н (//)
s
созЧ^
___,2
dSv = uf (x)s
xe=Sf (13)
относительно неизвестной плотности ц.
Из равенства ф^7 х, y^S (см. § 27.5)’, и из
(10) следует, что ядро интегральных уравнений (13)
равно ^(у, .т) Jzf* (^, у), так что уравнения (9) и
(13)—союзные друг другу. Вводя параметр Z, перепи-
шем интегральные уравнения (13) в единой форме:
В (.г) = X f Ж* (гг, у) р (у) dSy + g (^ X е S. (И*)
s
При этом для внутренней задачи Неймана Л = —1 и
и~ ил
g 2р а для внешней задачи Неймана Л — 1 и g ~
Для поверхности Ляпунова S функция cosfpA-v непре-
рывна на S X 8 и, в силу леммы 1 § 27.4, удовлетворяет
оценке
I cos (pxj ЗС\х — у |а > 0.
Поэтому, в силу (10), ядро Ж (х\ у) непрерывно при
х е 8, у е 8, х у и удовлетворяет оценке
z/)|<
зс
2 л | х — у |2~а
и, следовательно, является полярным ядром (см. § 17.4)’.
Таким образом, для интегрального уравнения (11) и
союзного к нему уравнения (11*) применимы все поло-
жения теории Фредгольма (см. замечание § 18.5).
4. Исследование интегральных уравнений. Докажем
сначала, что А = 1 не есть характеристическое число
ядра Jt‘*(x, у). Пусть, напротив, Л=1— характеристиче-
ское число этого ядра и ц* — соответствующая ему соб-
ственная функция,
р* (я) = f Ж* {х, у) ,Ц* (у) dSy — ^-[ |х* (у) dSyi
s k-j/l (14)
x^S.
Собственная функция ц*^С(8) (см. § 18.5). Построим
потенциал простого слоя V{Q) с плотностью р*. Функция
§ 28]
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
423
F(o> гармонична вне S, непрерывна в R3 и V(0)(oo)'=0
(см. § 27.2). Далее, в силу формулы (43) § 27.7 и урав-
нения (14), ее правильная нормальная производная на S
извне равна нулю. Отсюда, по теореме 4 § 28.2 о един-
ственности решения внешней задачи Неймана, заключаем,
что У(0)(ж)^0, x^Gi и, в частности, F(0)|s = 0. Но тог-
да, по теореме 2 § 28.2 о единственности решения внут-
ренней задачи Дирихле, Т/(0) (х) 0, х е G. Итак,
У<0>(£)~~ 0, х^ТР. Отсюда, пользуясь формулой (46)
§ 27.7, заключаем, что |л*(я)^0, x^S.
Таким образом, X = 1 не есть характеристическое чис-
ло ядра у), Отсюда, по второй теореме Фредголь-
ма, X = 1 также не есть характеристическое число ядра
ХДх, у). А тогда, по третьей и первой теоремам Фред-
гольма, интегральные уравнения (11) и (И*) при Х = 1
однозначно разрешимы при любых непрерывных / и g.
Следовательно, справедлива
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле и внешняя
задача Неймана разрешимы при любых непрерывных дан-
ных Щ ии^и их решения представляются потенциалами
двойного и простого слоя соответственно.
Теперь из формулы (30) § 27.5,
^^LdSu = - \X(x,y)dSy~i, x<=S,
I * “ У 1 J
следует, что X==—l есть характеристическое число ядра
Ж (х, у) и — соответствующая ему собственная
функция. Докажем, что это — простое характеристическое
число. Для этого, в силу второй теоремы Фредгольма,
достаточно показать, что Х = —1 — простое характеристи-
ческое число ядра УР*(х, у). Пусть р0 — соответствую-
щая собственная функция,
Но (ж) = — J у) Но О) dSy = -
s
С03
I * - у I2
Но О) dSv.
(15)
Собственная функция ц0 s С(S) (см. § 18.5)'.
Составим потенциал простого слоя с плотностью р0)
F“W = JlT=i7i'is»' <16)
S
Функция 7(0) гармонична вне S, непрерьщда в ff 0
424 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
p°)(ooj=0 (см. § 27.2). Далее, в силу формулы (43')’
§ 27.7 и уравнения (15), ее правильная нормальная про-
изводная на S изнутри равна нулю. Отсюда, по теореме 3
§ 28.2 о единственности решения внутренней _задачи
Неймана, заключаем, что 7(0) (#)^ С = const, x^G.
Докажем, что С ¥= 0. Пусть, напротив, F(o) (х) 0,
х &G и, в частности, V<o)ls = O. Но тогда, по теореме 2
§ 28.2 о единственности решения внешней задачи Ди-
рихле, 1/(0)(^)=0, x^Gi. Итак, F(o)(rc)^O, x&R\ От-
сюда, пользуясь формулой (46) § 27.7, заключаем, что
Цо (х) 33 0, х е S, что невозможно.
Пусть Цо — другая собственная функция ядра
Jif*(х, у), соответствующая характеристическому числу
Х = — 1. По доказанному потенциал простого слоя F(0)
с плотностью Цо равен постоянной C=£Q на G. Но^тогда
потенциал простого слоя -~~V° — У(о) с плотностью -^гцо—
— ц0 равен нулю на G, откуда следует, что эта плотность
тождественно равна нулю на 5, т. е.
Поэтому Х = —1 —простое характеристическре число яд-
ра у) и, стало быть, ядра №(х, у).
Нормируем собственную функцию ц0 так, чтобы
V(o)(-*) = x<=G, (17)
8
Потенциал простого слоя V(o> с плотностью ц0 называет-
ся потенциалом Робена.
Физический смысл потенциала Робена:
это есть потенциал, создаваемый зарядами на проводящей
поверхности 5, а его плотность
( ч 1 (дуЩ , ч
Но № — 4п( д/г /+
есть плотность зарядов, которая устанавливается на этой
поверхности. При этом полный заряд
S 8
называется емкостью проводника S.
§ 28]
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 425
Вернемся к уравнениям (И) и (11*) при X —— 1.
По третьей теореме Фредгольма интегральное уравнение
(11*) при Х=^”1 разрешимо тогда и только тогда, когда
свободный член g ортогонален к 1. Итак, справедлива
Теорема 2. Внутренняя задача Неймана разреши-
ма при любой непрерывной функции и Г, удовлетворяю-
щей условию ортогональности
luHx)dS = Gt (18)
8
и ее решение представляется потенциалом простого слоя.
Далее, для разрешимости уравнения (И) при Z = -l
необходимо и достаточно, чтобы свободный член / был
ортогонален к ц0. Таким образом, внешняя задача Дирих-
ле имеет решение, представимое потенциалом двойного
слоя, при любой непрерывной функции и^, ортогональ-
ной к плотности ц0 потенциала Робена
fi4(z)Ho(z)dS = O, (19)
8
Условие разрешимости (19) возникло за счет того,
что решение внешней задачи Дирихле искалось в виде
потенциала двойного слоя и, следовательно, от решения
заранее требовалось убывание О(|а:|“2) при |я|-> оо.
Однако в постановке этой задачи требуется лишь, чтобы
решение обращалось в 0 на бесконечности. Чтобы учесть
и такие решения и тем самым избавиться от условия
(19), поступаем следующим образом.
Считаем 0 е С. Ищем решение внешней задачи Ди-
рихле в виде суммы потенциала двойного слоя F(1) с не-
известной плотностью v на S и ньютонова потенциала
а
от заряда в точке х = 0 неизвестной величины а,
и (х) = yw (X) + .-7| = f V (у)dSy + Л. (20)
I х । з I х — у Г 1^1
Соответствующее интегральное уравнение (11) принимает
ВИД ••
v W - - J X (х, л V fo) dS, + (21)
S
По доказанному для разрешимости интегрального урав-
426 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. V
нения (21) необходимо и достаточно, чтобы
(22)
8 L
Так как Ое G, то, в силу (17),
|^^ = Г(о)(О) = 1,
8
а потому условие разрешимости (22) принимает вид
а = j* и* (х) р0 (х) dS, (23)
s
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3. Внешняя задача Дирихле разрешима
при любой непрерывной функции щ и ее решение пред-
ставляется в виде суммы потенциала двойного слоя и
потенциала
ГЩ У
s
Замечание. Пусть выполнены условия разрешимости (18)
и (23). Тогда общие решения интегральных уравнений (21) и
(И*) при X == —1 содержат по одной произвольной постоянной С\
и С соответственно: v(ar) + р,(я) + Qto(#). Отсюда, в силу фор-
мул (30) § 27.5 и (17), опять получаем, что решение внешней за-
дачи Дирихле единственно (и, значит, не содержит постоянной С),
а решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до
аддитивной постоянной Ci.
5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара.
Построим решения задач Дирихле и Неймана (внутрен-
ней и внешней) для шара UR.
Пусть / — заданная непрерывная функция на сфере
SR. Тогда f(Rs) разлагается в ряд Фурье по сферическим
функциям
оо
/(^)=2Гг(8), (24)
1—0
где, в силу (38) § 25.7,
У' <s) = J ds'>
S!
Ряд (24) сходится в 3?2(5Ц) (см. § 25.6). Предположим,
что этот ряд сходится в C(SR\.
g 28] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 427
Дог да
00
^M) = 2(iYn(0,<p), r<R, (25)
/~о ' '
— решение внутренней задачи Дирихле с щ = f;
оо
е- ф)=24(4УYi@’ +с’ r<R’ <26>
\ /
— решение внутренней задачи Неймана с иг = / при
условии, что
уо = 4 f / ds' /7^ J 7 И dS== °: (27)
«1 Sr
^('’’0<ф) = 2(тУ+1у'(0’Ф)’ г>7?’ <28>
z=o /
— решение внешней задачи Дирихле с щ ~ f;
оо
«(''.0>ф) = -2пп(тУ+1уг(0’Ч’)’ Г>Л’ (29)
— решение внешней задачи Неймана с ut == /•
Действительно, ряд (25) состоит из гармонических
полиномов (см. § 25.8) и по предположению сходится
в С (Sb). Поэтому этот ряд сходится в С (Ur) (см. § 24.5),
определяя функцию и, гармоническую в UR (см. § 24.8),
непрерывную на UR и принимающую, в силу (24), зна-
чения / па SR. Это и значит, что ряд (25) дает решение
внутренней задачи Дирихле для шара UR с щ = f.
На основании признака Абеля*) ряд
1=1
сходится вместе с рядом (24) в C(Sr). Отсюда, повторяя
предыдущие^ рассуждения, заключаем, что ряд (26) схо-
дится в С (Ur) и определяет- функцию и, гармоническую
в Ur и непрерывную на Un. Далее, этот ряд можно
*) См, Г, М. Фихтенгольц [1, т. П]<
428
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V ,
почленно дифференцировать по г,
оо
= 2 <3°)
поскольку ряд (30), в силу признака Абеля, сходится
в С (Ur). Наконец, сумма ряда (30) па Sr согласно (24)
совпадает с /, если функция f удовлетворяет условиго
(27) разрешимости внутренней задачи Неймана (см.
§ 28.4). Это и значит, что ряд (26) дает решение внут-
ренней задачи Неймана для шара UR с = / при вы-
полнении условия разрешимости (27).
Аналогично доказывается, что ряды (28) и (29) оп-
ределяют решения соответствующих внешних краевых
задач.
§ 29. Функция Грина задачи Дирихле
1. Определение п свойства функции Грина. Функцией
Грина (внутренней) задачи Дирихле для (ограниченной)
области G называется функция $ (х, у), x^G, у G,
удовлетворяющая следующим свойствам:
1) При каждом y^G представляется в виде
$ &> у') = £Г|Г=7Г + §у>)': (1)
где функция g(x, у) — гармоническая в G и непрерывная
на G по х.
2) При каждом у е G удовлетворяет граничному ус-
ловию
^(я, у) Ixes = 0.
(2)
Из условий 1) и 2) вытекает, что функция $ (х, у) —-
гармоническая по х в области G\{y}. непрерывная в
G\{y}, обращается в нуль па S и стремится к +°о при
х у. Отсюда, в силу принципа максимума (см. § 24.4),
вытекает, что $(х, у)>0, х е G, y^G. Далее, гармони-
ческая функция g(x, у) удовлетворяет граничному
условию
= xgS> y^G' <3>
откуда следует, что g(x, у)<0, x^S, у е G. Но тогда,
в силу принципа максимума, это неравенство сохранит-
ся и в области G, т. е. g(x, у)< 0, х е G, у е G. Итак, в
§ 29]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
429
силу (1), функция Грина удовлетворяет неравенствам
4
0<^(ж, ^)<4П|Л!_У|. yf=G, (4)
Из единственности решения задачи Дирихле (см.
§ 28.2) вытекает, что функция Грина 3 (х, у) единствен-
на (если опа существует).
Физический смысл функции Грина. Из
определения функции Грина $ (х, у) следует, что при
каждом у G она удовлетворяет
в обобщенном смысле уравнению $ S'" х
Пуассона (х, у)= —Ь(х — у), у \
х е G, и обращается в нуль на 7 о„ ]
границе 5. Поэтому функцию у^^ £ */
<3 (х, у) можно интерпретировать ( /
как кулонов потенциал (см. I у
§ 27.3), порождаемый внутри за- X.
земленной проводящей поверхно- -----
с I 1 _L
сти 8 зарядом + —, находящим-
= /Л <ПН РИС. 101’
ся в точке у е G (рис. 101). ,
Функция g(x,_y) непрерывна по совокупности пере?
менных (х, у) <в G X G,
Пусть xQ^G, y0^G и (х, у)-+(х0, г/0), х е G, у & G.
Пользуясь непрерывностью функции g(x, у) по х, прин-
ципом максимума и равенством (3), получаем
1 g (я0, Уо) — g(^y)\<
<\g^o> y0) — g^ %)1 + k(*- Уо) — g(x’ у)К
< I g (*о- Уо) -g (*’ Уо) I + | - |?iy|[
что и доказывает непрерывность функции g в точке
(Хо, У о)-
Теорема. Если S — достаточно гладкая поверх-
ность, то функция Грина 3 (х, у) существует, имеет пра-
дЗ (х, у) Q
вилъную нормальную производную *—%- на 8 при
опх
всех ij^Gu симметрична:
3(х, у)==3(у, х}, x^G, y^G. (5J
Доказательство. Достаточно установить сущест-
вование симметричной функции g(x, у), обладающей
при каждом y^G следующими ^свойствами но гармо-
ническая в G, непрерывная на G^ удовлетворяет гранил-
430
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
ному условию (3) и имеет правильную нормальную
производную на 5.
Фиксируем у G, Функция — х — у | , х е Gh
есть, очевидно, решение внешней задачи Неймана с гра-
ничной функцией
= 5^17^71. хеЗ. (6)
С другой стороны, по теореме 1 § 28.4 это решение пред-
ставляется в виде потенциала простого слоя
с непрерывной плотностью ц(г/', у) по y'^S. Поэтому,
в силу единственности решения внешней задачи Нейма-
на (см. § 28.2, теорема 4),
1'“”^>“-5ГТ71Г7Р <7)
Потенциал У(о> гармоничен в G и непрерывен в R3
(см. § 27.2) и, в силу (7), удовлетворяет граничному
условию (3). Поэтому
g (х, у) = 7(0> (х, у) = f dSv„ x^G. (8)
JI**' У I
s
Отсюда по теореме § 27.7 следует, что функция g(x, у)
имеет правильную нормальную производную (изнутри)
на S и эта производная, в силу формул (46) § 27.7
и (6), равна
-^^- = 4^^, у)-А x(=s. (9)
Осталось доказать симметрию функции g(x, у). При-
меняя формулу Грина (13) § 28.3 к функции g(x, у) и
пользуясь граничными условиями (3) и (9) и формулой
(8), при всех х е G и у е G получаем
g(z, У) =
1 С Г 1 д^У'< ,л д 1 1 jc , =
4л J | х — /| дп , ъ\У , J) Qn । х _ у' । у
8 L и J
§ 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 431
S у
+ [ g (у', у) (у', х)] dSy, =•
s L s/' J
8
— 4л j g (/,;/) [л (гД х) dSv,=*
S
= J [g(/, y)^g(y'> a1) — g(y'> x)&g(y', y)]dy' +
\ + J “«(»•-)
s
Теорема доказана.
> / Из симметрии функции g(.r, у) вытекают следующие
дополнительные свойства ее: непрерывная по (х, у) в
GXG, при каждом х & G — гармоническая по у в G1
принимает значение — х — у р1 при у S и имеет
0g (хч у)
правильную нормальную производную ---------- на S.
ОПу
2. Примеры построения функции Грина (метод отра-
жений). Для построения функции Грина для области с
। достаточно широкой группой симметрии весьма эффек-
тивным оказывается метод отражений. Этот метод мы
проиллюстрируем на ряде примеров.
а) Шар, Un. Пусть у е Un, у Ф 0 и
£ У* =1/7^2-- 12/11^*1= 7?3» (10)
I У I
— симметричная точка относительно сферы SR при пре-
образовании инверсии (см. § 24.10).
Ищем функцию Грина в виде
= 4 л | х — FF ~~ 4л | я — //* |«
где — — неизвестный заряд в симметричной точке у*.
Функция
8 (xi У) 4л | х — у* |
432
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
— гармоническая в Ur и принадлежит классу C°°(Ur}.
Подберем величину а так, чтобы функция *§(х, у) обра-
тилась в нуль на границе SR. Для этого заметим, что
при Ы =треугольники Оху* и Оху подобны: один
угол у них общий, а прилегающие стороны, в силу (10),
пропорциональны (рис. 102). Поэтому при Ы = R спра-
ведливо соотношение
R _ 1 д — */*|
I У I I я — И А
и, следовательно, в силу (11), необходимо положить
а = -тД-. Итак,
IУ I
\Х?.У) | х — 4л | у | | х — у* |
_ I_________________Л\у\
4л(х-^| 4л|я| y\2-yR2\
есть функция Грина для шара. Формула (12) сохраняет
силу и при у = 0:
^ (^ °) “4л |zl 4л/?
Ь) Полупростран-
ство, #з>0*). Пусть
точка */ = (z/i, */2, Уз) ле-
жит в этом полупростран-
стве, у3 > 0. Точка у =*
= (*/i, Уг, —Уз) называет-
ся симметричной с точ-
кой у относительно плос-
кости xz == 0 (рис. 103).
Нетрудно видеть, что
функция Грина для полу-
пространства Хз > 0 определяется формулой
(#> у) ~ /•г-1"—г
4 4л I я — у |
1,
4л | х — у | *
' (13)
♦) Эта область неограниченна (см. также пример d)). Функ-
ция Грина &(х, у) для таких областей, кроме условий 1) и 2),
должна удовлетворять условию $ (х, у) -*>0 при |я|-> оо,
§ 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 433
с) Полу шар, Ы </?, £3 > 0. Пусть точка у лежит
в этом полушаре; у* — точка, симметричная с у относи-
тельно сферы у и у* — точки, симметричные с у и
у* относительно плоскости х3 — 0 (рис. 104). Функция
Грина выражается формулой
У У) — । х _ | г/11 л; — г/* 1 4Я | х _ у |
+--------(14)
4л | у | — у* I
d) Двугранный угол, х2 > 0, х3 > 0. Пусть точ-
ка X/ У2, Уз) лежит в этом двугранном угле, г/2>0,
Уз > 0; у и у' — точки, симметричные с у относительно
плоскостей Хз = 0 и х2 = 0 соответственно; у' — точка,
симметричная с у относительно плоскости х$ = 0
(рис. 105). Функция Грина имеет вид
( j 4л | я у\ 4л | я — у |
4л | ж у' | 4л | z — уг\ )
Аналогично строится функция Грина и для двугран-
ного угла раствора —, где п — целое, п > 3.
3. Решение краевой задачи с помощью функции Гри-
на. Впредь в этом параграфе будем считать, что S
достаточно гладкая поверхность (см. § 28.2). Рассмотрим
28 в, С. Владимиров
434
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. V
внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона
Дн =—/(#)’, u|s“W0(^'), и е Г(С)П C(G), (16)
где f^3?2(G)[\ C(G) и uosC(5). Как установлено
§ 28.2, решение этой задачи единственно.
Теорема. Если решение и(х) задачи (16) имеет
правильную нормальную производную на S, то оно предо-
ставляется формулой
и(х) =
J ио О)dS у + J у) f О)
S У G
(17)
х е G.
Доказательство. По условию решение не
е С2 (G) A C(G), имеет правильную нормальную произ-
водную на 5 и Ди = — /, /е= <?2(G) A C(G). Применяя к
Рис. 105.
функции и(х) формулу Грина (1) § 24.1 при п = 3 и
учитывая (16), получим
, ч 1 Г [ди (у) 1 f \ д 1 1 ?с I
и (х\ = 7— I —7— ।---------г — Щ (z/) д— j—-----г aSn -j-
v 7 4л J дп | x — у I 0 dn | x — у 1 y
s L
+ Afi-^Ц-x^G- (18)
' 4jt J I X — £/| 4 1
G
Далее, при каждом x G функция g(x, у) гармониче-
ская по у в G, непрерывная по у на G и имеет правиль-
(*^ ч У) с / сопо\
ную нормальную производную —— па о (см. § 2У.2).
Применяя к функциям и (у) и g(x, у) формулу Грина
§ 29]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
435
(8) § 21.2, выводим равенство
{ \ / \dg (х, у)'
g(x, у) — и0 (у) .
dSy 4*
+ J / (у) g (*, у) dy, x<=G.
G
Прибавляя это равенство к равенству (18) и пользуясь
(1) и (3), получаем формулу (17). Теорема доказана.
4. Формула Пуассона. Вычислим теперь нормальную
производную функции Грина для шара UR на сфере SR.
Пользуясь выражением (12) для этой функции, получим
(%, у) I д Г 1_________________________7?|у|______11
дпу д 1 * * * У\ [4я I х “ у 1 4л I х I у ]2 ~ yR2 I J
4л др ]Л| |2р2 — 2 | а; | р cos у
_________________R__________________
V R* + \x ]2р2 — 2/?2 Iх I р cos у
________________
4л7? (/?2 + р |2 — 2R | х [ cos у)3/2
| |2 — 7?2
4л/? | х—#|3
И формула (17) для шара UR при / = 0 принимает вид
= f ~Z7P Ися. (19)
|у|=л 1 Х У 1
Это и есть формула (интеграл) Пуассона. Она аналогич-
на формуле Коши для аналитических функций.
Докажем, что формула Пуассона (19) дает решение
внутренней задачи Дирихле для шара UR
ки = 0, и |Sfi = ц
(20)
для любой непрерывной на SR функции и0.
Действительно, решение и(х) этой задачи существует
для любой непрерывной функции и0 и единственно (см.
§ 28). Во всяком меньшем шаре С7Р, р < Н, функция
и(х) является решением задачи Дирихле £ граничным
значением и |1Чр и принадлежит классу С°°(?7Р). Поэтому,
по теореме § 29.3, это решение представляется интегралом
28*
436
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Пуассона (19), т. е.
= i [ Г“~Ц^и dS'j' N<p-
1Лр |г4р|*-^
Переходя в этой формуле к* пределу при р R и поль-
зуясь непрерывностью и(х) на UR и граничным услови-
ем (20), получаем представление (19), что и требо-
валось.
5, Сведение краевой задачи к интегральному уравне-
нию. Рассмотрим в области G краевую задачу для урав-
нения Пуассона
и|5 = 0, иеС2(С)ПС(С), (21)
где /е= &2(G)(]C(G).
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если f е С (G), то функция
V (ж) = [ g (х, у) f (у) dy (22)
G
— гармоническая в области G.
Доказательство. Так как функция g(x, у) не-
прерывна по (х, у) в G X G и гармонична по х в G
(см. § 29.1), то V ^C(G) и для любой (ре= <£)((?) спра-
ведливы равенства
J V (х) Дф (х) dx = J [J g {х, у) f (у) dy] Дер (х) dx =
= []*#(•£, y)^(p(x)dx]dy = 0,
так как g удовлетворяет уравнению Лапласа (см. § 29.1).
Поэтому функция V (х)—обобщенно-гармоническая и,
значит, гармоническая в области G (см. § 24.7). Лемма
доказана.
Теорема. Если Cl(G)f\ C(G), то {единствен-
ное) решение задачи (21) выражается формулой
и (х) = J S? (х, у) f (у) dy (23)
G
и имеет правильную нормальную производную на S.
Доказательство. Докажем, что формула (23)
дает решение задачи (21). Пользуясь (1), перепишем
(23) в виде суммы двух слагаемых:
и(х) = ^(^).+ (#), (24)’
§ 29]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
437
где V — объемный потенциал с плотностью и функ-
ция Г определена равенством (22).
По предположению / g= Ci (G) П С(G). Поэтому объем-
ный потенциал V е= C2(G) П С1 (G) и удовлетворяет урав-
нению Пуассона (21) (см. § 27.1). По лемме функция
Г (х) — гармоническая в области G. Итак, в силу (24)
функция u^C2(G) и в области G удовлетворяет урав-
нению Пуассона (21).
Докажем, что u^C(G) и обращается в нуль на S,
Для этого достаточно показать, что
I и(х) | 0, х'х. х'G. (25)
Пусть е > 0. В силу оценок (4) найдется такая под-
область G' G (рис. 106), что (см. § 1.6)
f .'Л f <26>
G\Gf __ G\G'
х ge G,
Но функция g(x', у) равномерно непрерывна по (х', у)л
на GXG' (см. § 29.1), п поэтому в силу (1), функция
Грина $(х', у) равномерно
непрерывна по (х', у) на
(G\G")XG', где О"-лю-
бая подобласть такая, что
G'g=G" <=G (рис. 106). По-
этому, учитывая, что функ-
ция $(х', у) обращается в
нуль при х е S, y&G', за-
ключаем, что найдется такая
достаточно близкая к G
подобласть G" G, что
J (^'> У)Ку)йу
Gf
х' g= G\G",
откуда и из неравенства (26)
|и(а/)| = .[ (х’1У)1(.У)Лу
G
+ J & , у) f (у) dy
G\G'
вытекает неравенство
J y)fW)dy +
G'
8 , 8
т +
справедливое при всех xf G\G"9 Это и доказывает
предельное соотношение (25)«
438
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Докажем, что функция и (х) имеет правильную нор-
мальную производную на S. Так как VeC1^?3)
(см. § 27.1), то, в силу (24), для этого достаточно уста-
новить, что функция V (х) имеет правильную нормаль-
ную производную на S. По доказанному V ^C(G)— гар-
моническая в G и удовлетворяет граничному условию
—Vis. Построим потенциал простого слоя V(o) с
непрерывной плотностью, решающий внешнюю задачу
Неймана с и* =—(см. § 28.4). Объемный потен-
циал — V (.г) также является решением этой задачи
(см. § 27.1). Поэтому, в силу единственности решения
внешней задачи Неймана (см. § 28.2), заключаем, что
V{Q}(x) ——V(.z), x^G}, В частности, V(0)ls = —Vis.
Отсюда, по теореме о единственности решения внутрен-
ней задачи Дирихле (см. § 28.2), получаем, что Г(.г)==з
= V(0)(£), х е G. Поскольку потенциал простого слоя
V(o) имеет правильную нормальную производную (изну-
три) на S (см. § 27.7), то, следовательно, и функция Г
обладает таким же свойством. Теорема доказана.
Теперь установим, что краевая задача
- Хи + /(х), uls = о, и^ С2 (G) П G(G) (27)
эквивалентна интегральному уравнению
и (х) = [ & (х, у) [Хи (у) + f (у)] dy, uf=C(G), (28)
G
если j&Cl(G)KC(G).
Действительно, пусть функция u^C(G) есть реше-
ние интегрального уравнения (28), т. е., в силу (1),
и = 4л J ~ |х "/ ["• ' dy + f S (х, у) [Хи (у) + / (г/)] dy.
G G
(28')
Первое слагаемое справа в (28') есть объемный потен-
циал и потому принадлежит классу C'fJFt3) (см. § 27.1),
а второе слагаемое есть гармоническая функция в обла-
сти G (см. лемму)д_ Поэтому u^C^G) и, следовательно,
Хи + G^GJA C(G). По теореме § 29.5 функция и(х)
есть решение краевой задачи (27).
Обратно, если функция и^(х) есть решение краевой
задачи (27), то она является (единственным) решением
краевой задачи (21) с заменой / на Хнх + /, Так как
§ 29] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 439
Хщ+ /€=(?(£)(! С (С?), то, по теореме, это решение вы-
ражается интегралом (23) с заменой / на + /, т. е.
функция Ui удовлетворяет интегральному уравнению
(28). Этим доказана эквивалентность задач (27) и (28).
6. Свойства собственных значений и собственных
функций. Рассмотрим однородную краевую задачу на
собственные значения (внутреннюю задачу Дирихле)
Дн + Xu-O, u|s = 0, ueC2(G)nC(G). (29);
В § 29.5 было показано, что задача (29) эквивалент-
на задаче на собственные значения для однородного ин-
тегрального уравнения
и (х) = X J & (х, у) и (у) dy, и<=С (G)( (30)
G
с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром
^(я, у) (см. § 29.1).
Докажем, что ядро S? (х, у) слабо полярное (см.
§ 17.4). Для _этого функцию g(x, у), заданную и непре-
рывную на (GXG)U(GXG) (см. § 29.1), продолжим на
G X 5, полагая, в соответствии с (3),
g у} = —7~\-------г» х <= S, y^S.
° 4 ’ 4л I х — у | ’
При_таком продолжении функция #(я, у) непрерывна
на GXG, кроме тех точек, где х = у, у е S. А тогда, в
силу (1), __функция Грина &(х, у) непрерывна при
x&G, y^G, х¥=у и, стало быть, в силу (4), ядро
ЗДя, у) слабо полярное (а = 1, п = 3).
Поэтому для уравнения (30) справедливы все поло-
жения теории интегральных уравнений с симметричным
слабо полярным ядром, доказанные в § 19 и 20. Но соб-
ственные значения и собственные функции краевой за-
дачи (29) совпадают с характеристическими числами и
соответствующими собственными функциями ядра (х, у).
Это дает возможность для краевой задачи (29) пол-
ностью доказать теорему 1 § 21.4, а также установить и
некоторые другие свойства этой задачи.
Теорема. Множество собственных значений {XJ
краевой задачи (29) не имеет конечных предельных то-
чек, причем > 0; каждое собственное значение ХА име-
ет конечную кратность. Наименьшее собственное значе-
ние Xi — простое, а соответствующая ему собственная
функция А\(я)>0, х е G. Собственные функции {АД
440 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. V
можно выбрать^ вещественными и ортонормальными;
Xh^ С2 (б?) П С (G); они имеют правильную нормальную
производную на S. Всякая функция / из *) разлага-
ется в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным
функциям {XJ.
Доказательство. Отсутствие конечных предель-
ных точек у множества {Zft} и конечная кратность каж-
дого собственного значения следуют из теорем Фред-
гольма (см. § 18.5). Из вещественности и эрмитовости
ядра $ (х, у) вытекает, что собственные функции {XJ
можно выбрать вещественными и ортонормальными
(см. § 19.4 и 20.7).
Собственная функция Xk е С2 (G) П С(G) и является
решением при X = краевой задачи (29) и интеграль-
ного уравнения (30). Поэтому, по теореме § 29.5, Xk(x)
имеет правильную нормальную производную на S. Отсю-
да и из формулы Грина (7) § 21.2 при и = и = Xh выте-
кает, что
к = \ (Хк, Xh) = - (ДХЙ, Xh) = JI grad Xh |2&> 0.
G
Простота и положительность X^x) в G вытекают
из теоремы Ентча (см. § 20.7), так как, в силу (4),
ядро у) положительное.
Пусть Тогда функция ](х) является (единст-
венным) решением краевой задачи
Д/ = ^й, /|5 = 0, I
где h = — Д/е C(G)0 <S?2(G). По теореме § 29.3 функ-
ция /(я) истокообразно представима через ядро $(х, у),
и, следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта
(см. § 20.6) она разлагается в регулярно сходящийся
ряд Фурье по собственным функциям {ХА}. Теорема до-
казана.
Таким образом, для краевой задачи (29) верны тео-
рема 1 § 21.4 и следствия из нее. В частности, система
собственных функций {ХА} этой задачи полна в 2?2(G),
Замечание. Пользуясь замечанием § 27.7, можно доказать,
что собственные функции X* <= кроме того, Xh&C°°(G)
(см. § 30.2).
♦) То есть /е= C2(G)(] С1^), Д/е= ^2(G) и f\s = 0 (см. § 21,1).
§29]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
441
7. Упражнения, а) Пользуясь формулой Пуассона (19), дока-
зать неравенство Гарнака
И<«.
(^ + 1^1) (Я —1*1)
справедливое для любой функции и (х) 0, гармонической в шаре
Ur и непрерывной на Ur.
b) Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему: вся-
кая возрастающая последовательность гармонических функций в
области G сходится (равномерно на каждом компакте Яс: G) или
к гармонической в G функции, или к + со.
с) Доказать равенство
1 Г Я2 — | .г|2 _
|у|—я
1,
R
d) Пользуясь с), доказать, что интеграл Пуассона
1 С I х I2 — Я2
4лЛ J ix_ „|3 “о dSv> •х 1 > R
1»1=в 1 у 1
дает решение внешней задачи Дирихле для шара UR.
е) Показать, что n-мерный интеграл Пуассона
1
дает решение внутренней задачи Дирихле для шара UR cz Rn,
f) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу-
пространства хг > 0 представляются соответственно формулами
2л
С цо(у),
J \х— у|3
1
2л
«г (.'/)
1^ - У I rfi/’
если uQ(y) = СЧЫ1”®), щ(у) == |?/|->оо при любом
е > 0; у == (у\, у2).
g) Пусть G —- выпуклая ограниченная область в R3. Доказать,
что краевая задача для стационарного уравнения переноса (см.
§ 2.4)
(s, grad ip) -J- (zip — \h (x) <p (#) + / (x),
Ф (x) = _ J ip (x, s') ds', ip (x, s) = 0, x e S, (s, nx) < 0,
Я si
эквивалентна интегральному уравнению Пайерлса (см. § 18.5, g))
Ф (*) - f % (I * - У I) [U (у) Ф (у) + / (у)] dy, Ж (g) =
•G
Здесь /г, / е C(G), h(x) > 0, а > 0.
h) Пользуясь g) и теоремой Ентча (см. § 20.7), доказать: рее
характеристические числа {Хд} однородного уравнения Пайерлса
442
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
положительны, It — простое, соответствующая ему собственная
функция положительна, система собственных функций {<£&}
полна в h)-
i) Доказать следующий принцип максимума: если функция
и(х) класса C2(G)f\C(G) удовлетворяет в ограниченной области
G дифференциальному неравенству
Lu === —div (р grad и) + q (х) и 0, р > 0, q О,
то либо и 0 на £, либо и(х) принимает свой (положительный)
максимум на G на границе S.
j) Пользуясь i), доказать: если функция u&C2(G) U C(G) есть
решение краевой задачи
—Ди + q(x)u = F(x), u|s = v(x), (31)
то справедливо неравенство
90 = ™'П2(«).
к) Пользуясь j), доказать единственность решения задачи (31)
в классе C2(G) (]C(G) и его непрерывную зависимость от F и v
в норме С (при условии <?о > 0).
1) Доказать, что решение краевой задачи
Lu=f, <№ + Р^|8 = у
единственно в классе C2(G) (]C}(G), если q^O или а =йЮ.
rn) Пусть L — положительно определенный оператор, т. е.
(Lu, и) > 0, и ^Ль, и У= 0. Доказать: для того чтобы функция и0
из Ль была решением уравнения Lu = /, f<=<F2(G), необходи-
мо и достаточно, чтобы она сообщала в Ль минимум функцио-
налу
(Lu, и) —2 Re (/, и);
решение uq единственно в Ль»
§ 30. Уравнение Гельмгольца
Уравнением Гельмгольца называется уравнение (см.
§ 2.3)
Ди + к2и = / (1)
При к = 0 оно превращается в уравнение Пуассона. Тео-
рия уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения
Пуассона, однако имеются некоторые особенности, свя-
занные с неединственностью решения (при 7с2 >0).
Уравнение (1) будем рассматривать в трехмерном
пространстве, п =* 3, Соответствующие фундаментальные
§ 30]
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
443
решения выражаются формулами (см. § 11.9)’
Лй|х| ____________________ р—Шл|
<х\ = -1—, % м = - .
4 7 4л I х |’ 4 7 4л I х I
В дальнейшем считаем к > 0.
1. Условия излучения Зоммерфельда. Как было пока-
зано в § 28.2, решение уравнения Пуассона во всем про-
странстве единственно в классе (обобщенных) функций,
обращающихся в нуль на бесконечности. Для уравнения
Гельмгольца это утверждение уже не имеет места, по-
скольку соответствующее однородное уравнение
Дгг + кги = 0
имеет в R3 ненулевое решение
(2).
Im ё (х) =
sin к | х |
4л | х | 4
обращающееся в 0 на бесконечности.
Чтобы выделить класс единственности решения для
уравнения Гельмгольца в неограниченных областях, яв-
ляющихся внешностью ограниченных областей, нужно
потребовать дополнительные ограничения па поведение
решения па бесконечности. Такими ограничениями явля-
ются условия излучения Зоммерфельда (см. § 2.3):
и(ж) = о(р. г1)1 —iku^ = ° (И ’)>- И-*00 (3)
ИЛИ
и (х) = О( I х\ 1), + i/ш (ж) = о(|.г| ’)> к|->оо. (3)
В дальнейшем (см. § 30.5) будет выяснен физиче-
ский смысл условий излучения: условия (3) соответст-
вуют рассеянным волнам (уходящим в бесконечность),
а условия (3)—падающим волнам (приходящим из бес-
конечности). Нетрудно проверить, что фундаментальные
решения ё (х) и ё (х) удовлетворяют условиям излуче-
ния (3) и (3) соответственно. Заметим, что для гармо-
нических функций (к == 0) условия излучения вытекают
только из одного требования: н(<х>)=0 (см. § 24.10).
С другой стороны, можно показать*), что при к>0
всякое решение однородного уравнения Гельмгольца,
удовлетворяющее второму из условий излучения (3) или
(3), удовлетворяет и первому условию: и(ж)=О(|а:|'1).
*) См. И. Н, Векуа [2].
444
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
2. Однородное уравнение Гельмгольца. Решения одно-
родного уравнения Гельмгольца (2) обладают свойства-
ми, аналогичными свойствам гармонических функций.
Отметим некоторые из них.
а) Если функция u^C(G) удовлетворяет в области
G уравнению (2) в обобщенном смысле, то u^C°°(G).
Это утверждение доказывается так же, как и для
гармонических функций (см. § 24.7).
Ь) Пусть граница S области G — достаточно гладкая
поверхность (в смысле § 28.2). Если функция u^C(G)
удовлетворяет в области G уравнению (2) и имеет пра-
вильную нормальную производную на S, то справедливы
формулы
eUllX ?/| Qu (yj
|х — дп
. ч д elk[x~^
U (У) ।------Г
дпу —г/|
dSy,
0)
и
S
e-ih|x-j/l (y)
I % — g | dtl
a e—ik\x~y\. I
и (у) -г- т---------г dSu. (А\
Otly | x — ij | y V*)
Доказательство этих формул аналогично доказатель-
ству формулы Грина (5) § 24.1 для гармонических
функций.
с) Если обобщенная функция и из 9)Г удовлетворяет
во всем пространстве однородному у равнению Гелъмголъ-
ца, то и & Ом.
Действительно, применяя к уравнению (2) преобра-
зование Фурье, получим ( — |£|2 + /г)/фг] = 0, откуда
следует, что Лфг] = 0 при |gl #=/г, т. е. /фг] — финитная
обобщенная функция. Но тогда, по теореме § 9.4,
и е /^[/фг]] е Ом.
d) Будем говорить, что обобщенная функция и(х)
удовлетворяет условиям излучения (3) или (3), если
она — класса С1 вне некоторого шара и удовлетворяет
условиям (3) или (3).
Если обобщенная функция и удовлетворяет во всем
пространстве R3 однородному уравнению Гельмгольца и
условиям излучения (3) или (3), то u(x)—0, x^R3,
Действительно, пусть решение и уравнения (2) удов-
летворяет условиям (3). Тогда и^&' и, в силу с),
и <= С°° (7?3). Применяя формулу (4) к шару UR произ-
§ 301
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
445
вольного радиуса 7?, при Id < R получаем
( - 1 С Г ди (у) _ > . д е^х~^ ]
и \Х) — 4л J [| Я — у | d | d и д I 1J I | х — у I J
SR
dSy
| Г eik\x-y\
4л J | x — у |
SR
+ iku (z/) 11
R — | x | cos у
I x~~y\
\ । / \ 7? I x I cos V 1 7 о
+ и (у) —: 1 |2 \dS„.
1 l*~ У\ J
Принимая во внимание условия (3)
h(y)|<-J-, |ущ —(l/)I<-Цг’ Ш = ^
где ц(7?)->- 0 при 7? -> оо, и неравенства
R — Id \y — xl <7? + Id, Id < 7?, Id ==/?,
кС
R{R-\x\)
оценим последний интеграл при больших 7?:
1 U (ж) К
1 С_____1
4л J R — | х |
SR
R
R - I x ]
+с<',-|-|*|1,К<
R(R — Id)2 J
у» (R\ | Id C 7? +1 d
n(7?) +
Устремляя в правой части полученного неравенства
7? к оо, заключаем: и(х)^0, что и требовалось уста-
новить.
Аналогично рассматривается и случай условий (3).
Замечание. Справедливо более общее утверждение *): ес-
ли граница S области G — достаточно гладкая поверхность, функ-
ция u^C(Gi) удовлетворяет однородному уравнению Гельмголь-
ца в области Gi = R3\G, имеет правильную нормальную _пропзвод-
ную на S, удовлетворяет условиям излучения (3) или (3) и гра-
ди |
ничным условиям и |s = 0 или I = 0, то и(х) — О, X GE G1.
3. Потенциалы. Пусть р — обобщенная функция.
Свертки
у __ — * р = — * р у == —j— * р = — 4лS * р
I X I г ‘ IXI г ‘
являются аналогами ньютоновых потенциалов (см. § 27).
*) См. И. Н. Векуа [2], В. И. Смирнов [2, гл. IV, § 2].
446
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Если р финитная, то эти потенциалы принадлежат
(см. § 8.6) и удовлетворяют уравнению Гельмгольца
(см. § 11.3)
Ди + khi = —4лр.
Таким образом, решения уравнения Гельмгольца (1)'
существуют в 9' для любой финитной обобщенной
функции / и представляются потенциалами
и = — S * /, и = * /. (5)
При этом решение единственно в классе обобщенных
функций, удовлетворяющих условиям излучения (3) или
(3) (см. § 30.2, d)).
Если p^C(G) и р(а?) — 0, х €= G{ — R'3\G, то потен-
циалы V и V выражаются интегралами
v(Т) = J (|7^7i р(у) dy, v И = J уггуг Р dlJ-
G G
Эти потенциалы принадлежат классу С1 (/?3)0 С°° (G^),
удовлетворяют в области Gi однородному уравнению (2)
и условиям (3) и (3) соответственно.
Это утверждение доказывается так же, как и для
объемного ньютонова потенциала (см. § 27.1). В провер-
ке нуждается лишь второе из условий излучения. Счи-
таем G^UR, |^| > R, и, следовательно,
Id — ЙС Id — |г/1 Lr —- у \ < kl + |г/| < Ы+Д (6)
при всех у е G. Тогда (ср. § 30.2, d))
^ТГ-W'W’j'pWx
G
Г| x | — | a | cos Y .. । । - । ..I ,
X-----о —4——-j—— + iK (a; — г/ cos у — Lr—у ) dy,
|x — t/|2L I* — И \i i ui II ji/j y>.
и потому, в силу неравенств (6),
|тттг-^(-)|<
(। ж । _ я/ + 2А7?) f । Р I = 0 (।ж । *)♦
§ 30]
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
447
Аналогично рассматривается и потенциал V.
Если р = или р = где ц и vg С (S)', то
соответствующие потенциалы V и V представляют собой
аналоги поверхностных потенциалов простого и двойно-
го слоя и выражаются интегралами:
Г(0) (*) = J и (г/) dSv, V(o) (я) = j етг-тт н (у) dSy,
S ' 8
dSyi
д е у'
ОПу | х — у I у
Свойства потенциалов У(о), У(о), У(1) и У(1) аналогич-
ны свойствам соответствующих ньютоновых потенциалов
(см. § 27). Вне поверхности S эти потенциалы бесконеч-
но дифференцируемы, удовлетворяют однородному урав-
нению (2) и условиям_излучения (3) или (3) соответст-
венно, причем У(о) и У^С(1Г)._Если S — поверхность
Ляпунова, то потенциалы У(0) и У(0) имеют правильную
нормальную производную на S извне и изнутри S и эти
производные равны соответственно
ЙЛ ± М = + 2Ч‘ И + ,Ь' М ййг ds-’ <7>
/лт7(о)\ f л ~№“1/1 _
<7)
S
потенциалы двойного слоя У(1) и У(1) принадлежат клас-
су C(G) П Cffii) П C(S), и их предельные значения на S
извне и изнутри S равны соответственно
(х) = ± 2nv 4- J v (у) -Л- i-—т dsv. (8)
8 У
V^(x)=±2nv(.r) + ^v(y)^-e1T-^dSy. (8)
8 У
4. Принцип предельного поглощения. Добавим к ле-
вой части уравнения Гельмгольца член ieu:
Aue + (й2 + ie) ие - -/(4, (9)
448
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
При е ¥= 0 для любой финитной обобщенной функции
/ уравнение (9) имеет единственное решение в классе
и это решение выражается сверткой
ие = т-4-1 (10)
Действительно, свертка (10) существует в 9Р' (см.
§ 8.6) и удовлетворяет уравнению (9), ибо функция
1 il/k2+i£lxl
4л | х |
есть соответствующее фундаментальное решение (см.
§ 11.9). Единственность решения уравнения (9) в клас-
се вытекает из единственности решения однородного
уравнения
Ди + (А'2 + ze)u = 0,
т. е. уравнения
(-UI2 + к2 + fe)F[u] - 0.
Пусть f^C(G), /(<£)= 0, х G{. В этом случае реше-
ние (10) уравнения (9) записывается в виде интеграла
1 eiT/fe2+ie|x-y|
= ......Ш&/.
(11)
Переходя в формуле (11) к пределу при е +0 или
е—0 и полагая Vк2 ± Ю = получим, в силу (5),
решения и или й_ уравнения (1), удовлетворяющие ус-
ловиям (3) или (3) соответственно:
1 Р егА[х—у|
lim иЕ (х) = J - / (г/) dy = и
G
। Р е-гй|х-у| _
lim иЕ (ж) = — j / (i/) d'J = и (х)-
Таким образом, имеет место следующее утверждение,
называемое принципом предельного поглощения: реше-
"ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3) или
(3) есть {равномерный по х) предел единственного ре-
шения уравнения (9) при 8 -> ±0 соответственно.
Принцип предельного поглощения позволяет выде-
лить единственное решение уравнения Гельмгольца, не
§ 301
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
449
заботясь о его поведении на бесконечности; при этом
полученное решение автоматически будет удовлетворять
условиям излучения (3) или (3).
5. Принцип предельной амплитуды. Этот принцип со-
стоит в том, что решения и или й уравнения (1), удов-
летворяющие условиям (3) или (3), являются соответст-
венно пределами
и(х) = lim elhtv+(x1t)i (12)
f->4-oo
и (^) = lim e~llltv_ (х, t) = lim eiktv~ (x, — I), (12)
^-♦4-00 /-»—oo
где v±(x, t)—решение (обобщенной) задачи Коши для
волнового уравнения с правой частью Q(t)e*ihi j(x) и с
нулевыми начальными данными9.
□ Р± = е (0 eTiA7 (ж), v± (ж, t) = 0, t < 0. (13)
Действительно, пусть функция
/gC(G), /(х)=0, x^Gt.
Тогда единственное (обобщенное) решение задачи
Коши (13) выражается с помощью волнового потенциала
(см. § 13)
t м e^iht С еШх-у!
v+(х, t) =-г— ‘-----rf(y)dy.
™ J \ х — v
1 у 1
(14)
Пусть G cz UR. Тогда \х — у\ Ы + R и, следовательно,
1^ — у \ I при всех у G, если t > Ы + /? (рис. 107).
Поэтому формула (14) в области t > l#l + R принимает
вид
p-ikt Г Мх-у]
v+ & 0 = 77 J Ж
т. е., в силу (5),
v+(x, t)~ e~ihtu(x) ,
откуда и вытекает предельное соотношение (12) для
и(х). Аналогично рассматривается и случай реше-
ния й(х).
Таким образом, решение уравнения Гельмгольца (1),
удовлетворяющее условиям излучения (3) или (3), мож-
но рассматривать как амплитуду установившегося коле-
^9 н. с. Владимиров
450
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
1ГЛ. V
бания, полученную с помощью предельного перехода из
неустановившихся колебаний, вызванных периодическим
' внешним возмущением с частотой к и амплитудой f(x).
При этом предельная амплитуда и(х) соответствует рас-
сеянной волне, а амплитуда
и (х) — падающей волне.
6. Краевые задачи для
уравнения Гельмгольца.
Пусть граница 5 области G —
достаточно гладкая поверх-
ность (в_смысле § 28.2), а
Gi = R*\G — область. Задачи
Дирихле и Неймана (внут-
ренние и внешние) для
уравнения Гельмгольца ста-
вятся так же, как и для
уравнения Пуассона (см.
§ 28.1). При этом для внеш-
них задач требуется, чтобы
на бесконечности решение
удовлетворяло условиям из-
лучения (3) или (3).
Если X = к2 не есть собственное значение внутрен-
ней задачи Дирихле или Неймана для уравнения Лап-
ласа, то решение соответствующей внутренней краевой
задачи для уравнения Гельмгольца единственно.
Отметим, что множество исключительных значений
к, при которых нарушается единственность решения
внутренних краевых задач, счетно (см. § 21.4 и 29.6).
Решения поставленных краевых задач для однород-
ного уравнения Гельмгольца строятся методом теории
потенциала, подобно тому как это делалось в § 28 для
уравнения Лапласа.
Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней,
удовлетворяющей условиям (3)) ищется в виде потенциа-
ла двойного слоя F(1) с неизвестной плотностью v С (5).
В силу (8) функция v должна удовлетворять интеграль-
ному уравнению
v (х) = X f X (ж, у) v (у) dSy + / (ж),
> 8
(15)
где
ч 1 д e^\x-v\ COS ср ik[ J
Ж (х, у) = — -—7--------- = (1 — ik .г—у )-----~е 1 ю
к 2п дп\х —у \ 4 1 — £/|2
§ ЗЮ]
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
451
При этом X — 1 и / = —~~ соответствуют внутренней за-
даче Дирихле и % == — 1 и f = — внешней.
Решение задачи Неймана (внутренней и внешней,
удовлетворяющей условиям (3)) ищется в виде потенци-
ала простого слоя_ У(0) с неизвестной плотностью ц е=
^C(S). В силу (7) функция ц должна удовлетворять
интегральному уравнению, союзному к уравнению (15),
И (я) = bj X* (х, у) р. (у) dSy -f- g (х), х е St (15*)
s
причем X ==—1 и g~ 2^- соответствуют внутренней зада-
на
че Неймана и X — 1 и g = — ----внешней.
Применяя теоремы Фредгольма к интегральным урав-
нениям (15) и (15*) и пользуясь теоремой единственно-
сти (см. § 30.2, замечание), как и для уравнения Лапла-
са (см. § 28.4), получим следующую теорему.
Теорема. Если X = к2 не есть собственное значение
внутренних задач Дирихле и Неймана для уравнения
Лапласа, то краевые задачи {внутренние и внешние) для
однородного уравнения Гельмгольца однозначно разре-
шимы в виде соответствующих потенциалов при любых
непрерывных граничных значениях*).
Замечание. К краевым задачам для уравнения Гельмголь-
ца приводят задачи на рассеяние (дифракцию) (см. § 2.3). Раз-
личные применения рассмотрены в гл. VII книги А. И. Тихонова
и А. А. Самарского [1].
7. Внешние краевые задачи для шара. Рассмотрим
внешнюю краевую задачу для шара радиуса R
&и + к2и = 0г и |SjR = и0 (0, ф)в
и =
ди
-----iku —
dr
г-> ОО*
Как показано в § 30.6, эта задача имеет единственное
решение. Построим его. Для этого разложим функции
*) Разрешимость внешних краевых задач имеет место при
всех значениях параметра к2 (см. И. Н. Векуа [2]),
29*
452
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
и (г, 0, ср) и щ(0, ср) в ряды по сферическим функциям
(см. § 25.6):
оо I
U (г, 0Д ср) = 2 2 Im (г) YT (0, <р)г
1=^0 ТП——1
ОО I
ио (®> ф) = 2 2 янпЗ'Т (0> ф)-
Z—О m— — I
Неизвестные коэффициенты разложения должны
удовлетворять уравнению (см. § 26.2, с))
&"lm + 4 + к - ^1 91 Im = Oj- (16)
r L r J
граничному условию
^l^R) &1т
(17)
и условиям излучения
9hm (г) = О (у)» 9i\m (г) — ikSlim (г) == о (у)>
г-^оо. (18)
Общее решение уравнения (16) имеет вид
A, (кг) + £?+\/г (кг), <19)
где —функция Ханкеля (§ 23.8). Учитывая асимп-
готические формулы (38) § 23.8 для этих функций, ви-
дим, что условиям (18) удовлетворяет лишь функция
4=Я1»1/2(А:г), так что с2 = 0. Чтобы удовлетворить ус-
"|/Я aim
ловию (17), достаточно положить . Под-
ставляя найденные значения Ci и с2 в (19), получим ис-
комое решение и в виде
оо I
и<г,е, ф) = 2 2
1—0 т——1
Y? (G, ср).
№
Аналогично рассматривается и внешняя краевая за-
дача II рода.
8. Упражнения, а) Пусть р —финитная обобщенная функция.
Доказать, что потенциалы V и V с плотностью р удовлетворяют
условиям излучения (3) и (3) соответственно.
§ 31)
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
453
Ь) Пусть функция и(х) класса C(UR) удовлетворяет однород-
ному уравнению Гельмгольца в шаре UR- Доказать аналог теоремы
о среднем арифметическом:
и (0) = —М*— f и (Rs) ds (kR < л).
4л sin кН J
с) Пусть к2 лежит в плоскости комплексного переменного z
с разрезом: Im z = 0, Re z 0. Доказать, что решение уравнения
Гельмгольца единственно в классе 9)'.
d) Показать, что в «-мерном случае условия излучения Зом-
мсрфельда
и (я) = О Ц х I 2 J, + Пси (х) = о [| х I 2 J, |я|->оо,
обеспечивают единственность решения уравнения Гельмгольца.
е) Построить теорию потенциала для уравнения Гельмгольца
при к2 < 0.
f) Доказать: если f^&(Rn) удовлетворяет однородному урав-
нению Гельмгольца в области G, то /eC°°(G), А:2 —любое (комп-
лексное) число.
g) Доказать: если функция и(х) гармонична в области Gi и
и (со) == 0, то она удовлетворяет условиям излучения (при к = 0).
h) Распространить формулы (4) и (4) на функции ugC(^i),
удовлетворяющие в области Gx уравнению (2), имеющие правиль-
ную нормальную производную на S и удовлетворяющие условиям
излучения (3) и (3) соответственно.
§ 31. Краевые задачи
для уравнения Лапласа на плоскости
Для точки (х, у) плоскости R2 удобно употреблять
обозначения z = х + iy или z == х — iy. Считаем: G — ог-
раниченная область в R2 с кусочно-гладкой границей S.
Большинство результатов, полученных в §§ 27, 28 и
29 для краевых задач трех переменных, переносится и
на двумерные краевые задачи с заменой фундаменталь-
ного решения сГ3 (х) = —- д. । на фундаментальное ре-
шение (2) = In | z |. Однако в постановках и реше-
ниях этих задач возникают некоторые различия, связан-
ные с особенностью поведения фундаментального реше-
ния на бесконечности.
1. Постановка и единственность решения основных
краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения
Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответст-
вующие задачи в пространстве (см. § 28.1), за исключе-
454
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
нием того, что для внешних задач от решения требуется
лишь ограниченность при Ш -> °о (а не обращение в 0).
Предполагаем, что Gt = R2\G — область.
Из результатов §§ 24.5 и 24.10 следует: если функция
u(z)—гармоническая в Gt. непрерывная и ограниченная
на Gu то
lim и (z) = а,
(1)
grad и (z) = О
->оо,;
(2)
| и (z) | max | и (z) |,
zgGp
(3)
Линия Ляпунова и достаточно гладкая линия опреде-
ляются так же, как и в случае пространства (см. §§ 27.4
и 28.2); неравенство (26) § 27.4 в этом случае принима-
ет вид
flcos^d7c
J И-tl dS^Ki
z' -ft2*
Справедливы следующие теоремы единственности для
основных краевых задач для уравнения Лапласа.
Решение внутренней или внешней задачи Дирихле
единственно и непрерывно зависит от граничных данных
^о" или соответственно.
Если S — достаточно гладкая линия, то решение вну-
тренней или внешней задачи Неймана определено с точ-
ностью до произвольной аддитивной постоянной, причем
J Ui (z) dS = 0 или У и* (z) dS = 0 (4)
s s
— необходимое условие разрешимости соответствующей
задачи.
Доказательство этих утверждений подобно доказа-
тельствам теорем 2, 3 и 4 § 28.2. Некоторое отличие воз-
никает в связи с появлением необходимого условия раз-
решимости (4) внешней задачи Неймана. Докажем это.
Пусть w(z)—решение внешней задачи Неймана с гра-
ничной функцией и± на S. Так как и гармонична в Gt
и имеет на S правильную нормальную производную,
равную — и^ъ то, применяя формулу (8) § 21.2 при v = 1
§ 31]
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
455
к области Qr (см. рис. 84), получим
+ ^dS-O.
s SR
Переходя в этом равенстве к пределу при R -> о© и поль-
зуясь оценкой (2), получаем условие (4).
2. Логарифмический потенциал. Логарифмический
потенциал определяется как свертка обобщенной функ-
ции р с функцией —ln|z| (см. § 7.10):
V - —In I z I * р - -2л<Г2 * р. (5)
Логарифмический потенциал V удовлетворяет уравнению
Пуассона
Д V = —2лр. (6)
Частными случаями логарифмического потенциала
являются: потенциал площади
v (*) = J Р (0 In d^ t, = & + Ч (7)
G
потенциал простого слоя
7<0) (г) = In * p6s = J р (С) In dSz (8)
S
и потенциал двойного слоя
S S
Эти потенциалы обладают следующими свойствами:
Если p^C(G), р 5= 0 в Gi, то потенциал площади
V С1 (7?2)-, гармоничен в Gt и при Ы со
V(z) = Jpco^injA + о (И (ю)
G
Если, кроме того, pf=Cl(G), то 17еС2(6).
Если то потенциал простого слоя У(о) s
е С(7?2), гармоничен вне S и при Ы <»
к(0> (z) = J р (С) ds in + о (а). (И)
S
Если S — линия Ляпунова^ то потенциал У(0) (г)
456
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
имеет правильные нормальные производные
(dV^\
\ дп /+ и
дУ(0)\
к дп
на S извне и изнутри S, причем 1
dV^\ , х ч . дР(0) г
—— (2) == — лц (z) 4-т—=»
\ дп J 4- 4 1 F \ / 1 дп
= —пр. (z) + J р (£)
S
7^^
|z—£1 61
(12)
(dVW\ , . , . . dVw (z)
{-djr)Jz) = n^^+—0ir-
= 4l(z)+ [p(g)^Ld5£.
s |Z“SI
(12')
Если v^C(S), то потенциал двойного слоя F(1) гар-
моничен вне S и
^(z)^^),; |z|->OO. (13)
Если S — линия Ляпунова, то
2nt же Gjj
J 1« — И 41 — л,, zeSt (14)
S о, Ж L— G
Потенциал F(1) (z) принадлежит классам C(Ei)
и C(S), и его предельные значения и F(l? на S
извне и изнутри S выражаются формулами
(z) = лv (z) + V(1) (z) = nv (z) + J v (О dSit (15)
s
(z) = — JIV (z) 4- V(1) (z) = — nv (z) 4- J V (OpL^i^;.
(15')
Доказательство этих свойств аналогично соответству-
ющим доказательствам для трехмерного случая (см.
§ 27). Некоторое различие имеется лишь при доказа-
тельстве оценок (10) и (И). Докажем оценку (10).
Оценка (11) доказывается аналогично. Пользуясь (7),
8 311
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
457
имеем
v(2) - J р (9 In ||| = У р © In dri. (16)
G G
Пусть G лежит в шаре UE и Izl >2/?. Тогда при всех
£ е G справедливы неравенства
|z| - R \z - £1 Id + R,
27?
г-г С In
2R
|*-Ч1
(17)
откуда и из (16) следует оценка (10):
Р(2)-Ур(0ад1П|7|
111
1*1
1*-Ч|
G
< PT ,f IР (91 «<!<!= if|.
G
Физический смысл фундаментального
решения <§r2(z). Вычислим электростатический потен-
циал V (z, х3), создаваемый зарядами, лежащими на оси
1
х3, с линейной плотностью — т. е. с распределением
р (z, х3) = — 6 (z) • 1 (х3). Метод спуска по переменной
х3, изложенный в § 11.4, здесь не проходит. Несколько
модифицируя этот метод, определим потенциал V(z, х3)
как предел при N -> оо потенциалов Vn(z, х3), создавае-
мых зарядами, лежащими на отрезке l^3l оси х3, с
. „ 1
линеииои плотностью — т. е. с распределением
ри(2, = - ^S(Z)-G(TV-Ы). (18)
Этот потенциал есть свертка ру с —4л<8?3 (см. § 27)
плюс произвольная постоянная cN *),
vN(z, z3)^-—=L== * • 6 (TV - Ы)1 + =
1/|Z|2 + ^ J
*) В классе функций, обращающихся в 0 на оо, потенциал
U(z, х3) не существует. Поэтому и потенциалы VN(z, х3) будем
выбирать из более широкого класса функций (в данном случае —
ограниченных на оо).
458
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
N г
1 С &Х3 I
~ -55 X/№ + (*»-О2 + ~
- In [а?3 — 4 + Kl г I2 + (Ж3 — 4)2]| \ + cN =<
1 . -3-^+/|И2 + (^-^
= Т- In----—========= + cNt (19)
Я х3 + N + у | z |2 + (*8 + W)a
Чтобы обеспечить существование конечного предела V#
при N -> оо, положим в (19) са = ту ]n (27V). В результа-
Z Л
те получим
v (z, Ха) = lim Vjv (z, а-3) = ^- In I z I -1 (х3).
Таким образом, фундаментальное решение <§Г2 (2) =»
= In | z | есть электростатический потенциал, создавае-
мый зарядами, лежащими на оси я3, с линейной плот-
ностью — (ср. § 11.4).
3. Разрешимость краевых задач. Предположим, что
граница S области G — достаточно гладкая линия и G4 ==»
8=3 R2\G — область.
Как и в § 28.3, решение внутренней задачи Дирихле
ищем в виде потенциала двойного слоя
т(1) (2) = J V (С) dSu ve С (5); (20)
S
решение внешней задачи Дирихле — в виде суммы по-
тенциала двойного слоя У(1) и неизвестной постоянной
а; решение задачи Неймана (внутренней или внеш-
ней)—в виде потенциала простого слоя
V(0)(z) = J\(£)in[7Arj^t ReC(S). (21)
s
Для неизвестных плотностей v и ц и числа а, в силу
формул (12), (12'), (15) и (15'), получаем интегральные
§ 311
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
459
уравнения
v(Z) = Ajr(z,:)v(Od.S,s + /(z), zeSf (22)
s
p(z) = xjjf*(z^)p(£)d5t + g(z), z<=S, (22*)
s
с полярными (союзными д^уг другу) ядрами
= & (23)
При этом X = 1, / = —- соответствуют внутренней и Х=«
и+ — ос
= —1, f=— -------внешней задачам Дирихле; X ~ — 1,
и1 “1"
g =----внутренней и л = l,g — ———внешней задачам
л л
Неймана.
Пусть ц — непрерывное решение уравнения (22*) при
о
X = 1 и g = ——. Интегрируя это уравнение по кривой S
и пользуясь (23) и (14), получаем
р (z) dS
= 1 f f p (0 dStdSz —Aut (z) dS =
л J j | Ъ z I J
s s s
= T f И (0 f dSzdSi - 4 f ut (z) dS =
S 8 8
= -Jp(£)d5-Aju+(2)^
t. e.
Jp(Z)d5 = --^fuf(z)^. (24)
s s
Докажем, что X = 1 не есть характеристическое чис-
ло ядра JJf*(z, ^). Пусть, напротив, X = 1 — характери-
стическое число этого ядра и ц* — соответствующая ему
собственная функция,
р* (z) = J 3f* (Z, О Р* (» dSi = 1 j Р* (0 dSt, z е 5.
8 8
(25)
460
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Тогда p*<^C(S) и, в соответствии с (24) (при и* — 0)
J р* (z) dS = 0. (26)
в
Построим теперь потенциал простого слоя У(о) с плот-
ностью ц*. Функция l7(0)eC(ff) гармонична вне S и,
в силу (26) и (И), 17(0)(оо)=0. Далее, в силу (12) и
(25) ее правильная нормальная производная на S извне
равна 0. Отсюда, пользуясь единственностью решения
внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле
(см. § 31.1), как и в § 28.4, заключаем, что F(0)(z)^0,
z е Z?2, и, следовательно, р*(.з)^0, z е S, что противо-
речиво.
По теоремам Фредгольма уравнения (22) и (22*) при
Z = 1 однозначно разрешимы в С (5) при любых непре-
рывных / и g. При этом для решения ц уравнения (22*)
при Z = 1 и g =------ справедливо соотношение (24) .
Поэтому, если выполнено условие (4), то, в силу (И),
у(°)(оо)=0. Итак, доказана
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле разрешима
при любой (S). Внешняя задача Неймана разреши-
ма при любой Ui е С ({^удовлетворяющей условию раз-
решимости (4).
Из формулы (14) вытекает, что ^ = -1 есть характе-
ристическое число ядра Ж (z, £) и v 1— соответству-
ющая ему собственная функция. По второй теореме
Фредгольма = —1 — характеристическое число союзного
ядра J^*(z, £). Пусть щ — соответствующая собственная
функция,
6 4 С COS
Но (*) = - Ж* (2, £) Но (9 dSi = - -М p-Ai Ио (Q dS^
Z е S. (27)
Мы знаем, что р0 е С (S) (см. § 18.5). Докажем, что
]‘Ио(£)<^ = С=/=0. (28)
8
Пусть, напротив, С = 0. Составим потенциал простого
слоя с плотностью go (потенциал Робена):
По,(2)=Уно©1П|7^|^. (29)
8
Функция И(о) С (R2) гармонична вне S и, в силу уело-
§31] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
461
вия (7 = 0, Р°>(оо) = 0 (см. § 31.2). Далее, из (12') и
(27) вытекает, что ее правильная нормальная производ-
ная на S изнутри равна нулю. Отсюда, так как решение
внутренней задачи Неймана единственно с точностью до
аддитивной^ постоянной, заключаем, что F(o) (z) == const =
решения
единственности
«Ci, G. Но тогда, в силу
внешней задачи Дирихле (см.
§ 30.1), V^(z)^C^ и,
следовательно, р0 (z) = 0, z^S,
что невозможно.
Таким образом, С ¥=0. От-
сюда, рассуждая, как и в
§ 28.4, заключаем, что X
«=« — 1 — простое характеристи-
ческое число ядра J^*(z, £) и,
стало быть, ядра Ж(2, £).
Нормируем собственную
функцию Цо так, чтобы С = 1.
По доказанному соответствую-
щий потенциал Робена T(0)(z) =
= const, z <= G.
По третьей теореме Фредгольма
нения (22) и (22*) при А, = —1 разрешимы тогда и
ко тогда, когда их свободные члены /ng ортогональны
к собственным функциям ц0 и 1 соответственно. Для
внешней задачи Дирихле это условие принимает вид
интегральные
урав-
толь-
а] р0 (z) dS = 0,;
s
т. е., в силу (28)' (при (7 = 1)', оно всегда может быть
удовлетворено за счет надлежащего выбора постоянной а,.
а == j и^ (z) ц0 (z) dS. (30)
s
Итак, справедлива следующая
Теорема 2. Внешняя задача Дирихле разрешима
при любой и* е С (5). Внутренняя задача Неймана раз-
решима при любой Ui е(7 (5), удовлетворяющей условию
разрешимости (4).
4. Решение краевых задач для круга. Для окруж-
ности SR интегральные уравнения (22) и (22*) легко ре-
шаются, и это дает возможность построить решения крае-
вых задач для круга UR в явном виде.
462
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Действительно, в силу соотношения (см. рис. 108)
Ы2= lz- £!2 + Я2 + 27?к - £1 cosq^, |£|=д, (31)
получаем
COS Сргу 4
•У<г'О-7ТТ=ТТ--5Я"-У*<г'О-
Поэтому интегральные уравнения (22) и (22*) при-
нимают единый вид:
V(Z) = ~2H7? f v(Z)dS + f(z), |z|=7L (32)
|Ц=я
Решая это уравнение (см. § 18.1), получим:
v (z) = — — и0 (z) + —у- f и» © d$ (33)
при Х= 1, / =------ (внутренняя задача Дирихле);
v(z) = и° © ~ J а° © dS*
f ” Ю=К (34)
а ~ 2mR J U° © dS
1Е|=Д
при X = — 1, / = ---(внешняя задача Дирихле);
р (г) = и! (z), если J иг (£) dS = 0 (35)
Ю=я
при Х=—1, / == — (внутренняя задача Неймана); '
р (z) = - А и+ (Z)t если j ut (9 dS = 0 (36)
+
UT
при л = 1, / = — — (внешняя задача Неймана)-
Подставляя выражение (33) для плотности v(z) в по-
тенциал двойного слоя (20) и пользуясь формулами (14)
и (31), получим решение внутренней задачи Дирихле:
ULZ) f — “ О + т4-
|£1=bL 4n7?
f u^^)ds
cr^i^=
|z— £| 41
§ зп
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
463
1
2пП
2R cos cpz£
|2-CI
^dsAds^
I Z — £ I ъ I
— 2Д I z — g I COS (рг?; | z g |2
dS^,
т. e. это решение представляется формулой (интегралом)
Пуассона
u^~2kR f Uo(S)~^£dSz, |2|<Я. (37)
1С1=л |z
Аналогично, подставляя выражения (34) для плотно-
сти v(z) и постоянной а в сумму И(1) (z) + а, получим
решение внешней задачи Дирихле:
w(z) = ^7? f |г|>Я. (33)
Ю=я |2~SI
Наконец, подставляя выражения (35) и (36) для
плотности p(z) в потенциал простого слоя (21), получим
соответственно решения внутренней и внешней задач
Неймана:
и (2) ~ J ui (С) In । 2 । dS^ 4~ С,;
1£1=н
1£1=я
(39)
И>Л. (40)
5. Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина
'(внутренней) задачи Дирихле для (ограниченной) обла-
сти G называется функция $ (z, £), обладающая свой-
ствами (ср. с § 29.1): при каждом представляется
в виде
+ <41>
где функция g(z, £)—гармоническая в G и непрерывная
на G по z и удовлетворяет граничному условию
^(z,S).LeS==0,
.(421
464 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ V
Из принципа максимума вытекает, что функция Гри-
на удовлетворяет оценке
0<^(2, £)<±1Пг_^_, Z(=G,£<=G,Z^O (43)
где D — диаметр области G. Функция Грина 5F (и, £)
Рис. 109.
обладает и всеми остальными свойствами, изложенными
в § 29.1.
Пусть теперь G — односвязная область^ ограниченная
кусочно-гладкой кривой S, и w == w (2) — функция, кон-
формно отображающая область G на единичный круг
1ip| < 1 (рис. 109). Тогда функция
конформно отображает область G на единичный круг
I cd I < 1, причем точка £ G переходит в 0. Поэтому эта
функция при каждом £^G представляется в виде
o(z,?) = (z-g)i|:(z,?), (45J
где функция _jl'(z, ^—аналитическая в области G,
ф(з, £)^0, z&G и 4*eG(G)*).
Проверим, что функция
% (z, Q = - х In I со (Zi 0 I = - ± Re In co (z, t) (46)
есть функция Грина задачи Дирихле для области G.
Действительно, из (45) вытекает, что функция (46):
представляется в виде (41), причем функция
g (z, о = — A In I чр (г, О1 = — A Re In чр (z, Of
как вещественная часть аналитической функции
In 4(3, £), £)=#0, гармонична в G и непрерывна на
*) См., например, М. А. Ефграфов [1, гл. V и IX].
§ 31]
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
465
О. Далее, в силу равенства |co(z, £) I == 1, z^S, функ-
ция (46) удовлетворяет и условию (42).
Для примера построим функцию Грина для круга
I z | < R. Функция
W ~~ /?2 —
отображает круг Id <R на единичный круг Icol < 1,
причем точка £ переходит в 0. Поэтому, в силу (46),
»М = ^|з^|-аКе1“Й^5 <47>
есть функция Грина для круга Id <7?.
6. Решение задачи Дирихле для односвязной области.
Метод конформных отображений позволяет получить
представление для решения задачи Дирихле для любой
односвязной области. Это представление является обоб-
щением формулы Пуассона.
Сначала, пользуясь равенством
7?2 — ] z |2
I „ V >2
— Re
представим формулу Пуассона (37) в виде
w(z)==^e2ju f ^о(£)
(48)
Пусть функция u0 непрерывна на границе S односвяз-
ной области G. Пусть, далее, функция z = z(w) конформ-
но отображает круг lid < 1 на область G и w_~w(z)—
обратное отображение (рис. 109). Тогда z£C(t\); пред-
положим, что w^Cl(G). При этом отображении функция
u0(z) перейдет в функцию w0[z(i^)], непрерывную на
окружности |ш|==1. По формуле (48) построим решение
задачи Дирихле для круга lid < 1 с граничной функ-
цией и0[2(ш)]:
u0 [z (со)]
СО + W d(x)
со — w со *
Переходя в этой формуле к старым переменным z и
£, w = w(z), о = (о(£), получим искомое решение задачи
30 в. С. Владимиров
466
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. V
Дирихле для области G с граничной функцией н0:
и (z) = Re f и0 (С) + zezG. (49)
4 ' 2т J ° ч / w (£) — w (z) w (£) ' х '
S
Замечание. Как известно, вещественная и мнимая части
аналитической функции являются гармоническими функциями. Об-
ратно, если функция и (z) — гармоническая, то, построив сопряжен-
ную функцию
z
(z) — 11 4* dv\ -j- Сf £ £ 4“ гТ1
получим аналитическую функцию f(z) — u(z) 4- ^(z), у которой
вещественная часть есть функция u(z). Это дает возможность ис-
пользовать аппарат теории аналитических функций при решении
и исследовании краевых задач для гармонических функций на
плоскости (см. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [1]).
7. Упражнения, а) Пользуясь формулой (42) § 6.5 и фунда-
1
ментальным решением — оператора Коши — Римана (см. § 11.10),
вывести формулу Коши — Грина: если u^C'(G) f)C(G), то спра-
ведливо представление
1 f 1 ди (£) 1 f и(1) __ (и (z), z g= G;
л J z — £ 2лг J £-—z (О, zeG^
G 8
Ь) Пользуясь а), доказать: если u^C'(G) f| C(G) и удовлет-
ди
воряет условию Коши — Римана, -= = 0, ze С, то u(z) — аналити-
OZ
ческая функция в области G и справедлива формула Коши
1 Сц(С) (u(z)f z^G\
2niJ £-z^“|o, ze/?r
с) Показать, что потенциал простого слоя для окружности
| z | == R с плотностью ц == 1 равен
С , с., f—2л7?1пЯ, I z | С R
Г<о>(2)=- J
1£|=я
d) Пользуясь с), показать, что логарифмический потенциал
площади для круга j z | < ft с плотностью р = 1 равен
—- л7?2 ^ln R — yj — [ z |2, ] z | R,
лЛ2 In [ z [, 1 z | > R9
§ 31]
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ
467
е) Показать, что следующие функции являются функциями
Грина задачи Дирихле:
1
2л 1П z — £
для полуплоскости у > 0 *);
J_i <*-£*) (*-J)
2я (г-£)(«-£•)
1 z2-?
2л 1П z2 _ ^2
1 ez —• 1
2л ln __ t
для полукруга | z | < 7?, у > 0;
для четверти плоскости х > 0, у > 0 *);
для полосы 0 < у < л *).
f) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу-
плоскости у > 0 представляются соответственно формулами
оо
JL Г
Л J %(ё) (х_^2 + г/2’
— ОО
оо
- J «1(g) 1п [(ж “ 5)2+у2] с'
—оо
если ио(§) = 0(15 Р~е), ил = |£ I”*- 00 при любом 8 > 0.
g) Пусть функция ф(0) разлагается в равномерно сходящийся
ряд Фурье на [0, 2л]
<Р (0) = ®0 + У' («ь cos / е + 6Й sin 7;0).
й=1
Доказать, что
/| z | \ ft
и (z) — aQ + > I -д- I (ak cos кв + bk sin кв}
fe=i X '
— решение внутренней задачи Дирихле для круга |z] <R с
/ R \ft
и (z) = aQ + 2^ I j7[ j (ak cos + bk sin
ft=iX
— решение внешней задачи Дирихле с и+ == <р;
00 । .ъ
2z л
(ah cos И + bh sin Лв) + С
/1=1
— решение внутренней задачи Неймана с — ф при условии
«о = 0;
оо
k=l
— решение внешней задачи Неймана с иJ = ф при условии а0 =0.
*) См., примечание на с. 432»
flft+i
—Г (aft cos /,е + bh sin И) + с
30*
ГЛАВА VI
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
В этой главе будет рассмотрена смешанная задача
для уравнений гиперболического и параболического ти-
пов, изложен метод Фурье*) (метод разделения пере-
менных) для их решения и дано обоснование метода
Фурье.
§ 32. Метод Фурье?
Одним из наиболее эффективных методов решения
многомерных краевых задач является метод Фурье (раз-
деления переменных)'. В § 26 этот метод был применен
к краевым задачам на собственные значения. В этом па-
раграфе метод Фурье формально применяется к решению
краевых задач для уравнений различных типов. Обосно-
вание метода Фурье для решения смешанных задач для
уравнений гиперболического и параболического типов бу-
дет дано в следующих параграфах этой главы.
Пусть оператор L определяется дифференциальным
выражением
Lu = —div (р grad и) + qu, x^G,
п граничным условием
аи + ₽ тг- I == Of
1 1 дп |s '
причем функции р(х), д(я), а(х) и р(я?) удовлетворяют
условиям (3) § 21.1.
Предположим, что собственные значения {XJ операто-
ра L положительны, 0 < Х2 а соответствующие
♦) Метод разделения переменных использовался еще в XVIII в.
Л. Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи о
колебании струны. В начале XIX в. этот метод был детально раз-
работан Ж. Фурье и применен им к задаче о распределении теп-
ла. Впоследствии метод разделения переменных получил название
метод Фурье,
§ 32]
МЕТОД ФУРЬЕ
469
собственные функции {XJ,
LXh = KpXh, Xk е 1, 2, ..
вещественны и образуют полную ортонормальную систе-
му в пространстве 2?2(G; р) со_скалярным произведением
(/, g)p с весом p(.r)>0, x^G, p^C'(G). (Достаточные
условия, при которых реализуются эти предположения,
даны в § 21.4.)
1. Однородное гиперболическое уравнение. Рассмот-
рим в бесконечном цилиндре Z(co = GX(0, °°) смешан-
ную задачу для однородного уравнения гиперболического
типа (см. § 4.5):
д2 и г
dt2
U |(=о = (х), |j=o = Uj (х), х е= G;
+ Р Ir I ~ 0> 0.
1 дП\8
(1)
(2)
(3)
Сущность метода Фурье состоит в следующем: постро-
им достаточное количество решений уравнения (1), пред-
ставляемых произведением
вдвд (4)
и удовлетворяющих граничному условию (3); из этих ре-
шений составим линейную комбинацию, удовлетворяю-
щую начальным условиям (2); при некоторых условиях
естественно ожидать, что полученная линейная комбина-
ция будет удовлетворять уравнению (1) и граничному
условию (3), т. е. будет решением задачи (1)--(2) — (3).
Итак, ищем решение уравнения (1) в виде произве-
дения (4), причем от функции Х(х) потребуем, чтобы
она удовлетворяла граничному условию (3). Подставляя
выражение (4) в уравнение (1) и деля его на pZX, по-
лучим
__ ЬХ (х)
T(t) w
Левая часть равенства (5) не зависит от х, а правая —
от t. Следовательно, каждая из этих величин не зависит
ни от х, ни от ty т. е. является постоянной величиной.
Обозначая эту постоянную через — % (ср. § 26.1)
из равенства (5) для неизвестных функций Т и X и
470 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI
параметра X получим уравнения
LX = ApX, (6)
Т" + АТ = О. (7)
Следовательно, уравнение (1) распалось на два уравне-
ния (6) и (7) с меньшим числом независимых перемен-
ных, т. е., как говорят, переменные разделились.
Решения Х(х) уравнения (6) должны удовлетворять
граничному условию (3). Поэтому в качестве X и А
можно взять собственные функции Xh и собственные зна-
чения Ал оператора L. Общее решение уравнения (6) при
А = Aft > 0 имеет вид
Th(t)== ah cos t + bfcSin VAft£, (8)
где ah и bh — произвольные постоянные.
Таким образом, в силу (4) и (8), построено счетное
число частных (линейно независимых) решений уравне-
ния (1):
Tk(t)Xk(x) = (akcos У Kt + 6ftsin ’]/Xht)Xh(x), (9)
fc = l, 2,
удовлетворяющих граничному условию (3) и содержа-
щих произвольные постоянные ah и bk. Всякая конечная
сумма решений (9), естественно, опять будет удовлетво-
рять уравнению (1) и граничному условию (3).
Составим формальный ряд
S Th (f) Xh (х) = 2 (ЙЙ cos t 4- bh sin J/Ц i) Xh (x).
fc==l k=l
(10)
Коэффициенты ah и bh выберем такими, чтобы ряд (10)
формально удовлетворял начальным условиям (2):
2 (%)= (*^)’ 2 (%)= (^)f
k=i
т. е., в силу полноты ортонормальной системы
в ^2(6; р),
(^0’ — У pUQXfcdx, bk == (^i? ^k)p*
Итак, для решения и(х, t) смешанной задачи (1) —
(2) — (3) получено формальное разложение по собственным
МЕТОД ФУРЬЕ
471
§ 32]
функциям {XJ оператора Л,
и (я, 0=2 (ah cos VK t 4- bk sin VKh t) Xh (x). (12) ,
h~l
Этот ряд назовем формальным решением смешанной за-
дачи (1) — (2) — (3); /с-й член ряда (12), равный
Тк (t) Xh (я) = NhXh (х) sin (УМ + аь),
где
Nh = У a2h + bh sin aft = cos ah =
представляет собой так называемое гармоническое коле-
бание с собственной частотой^ УХ^и амплитудой NhXk(x).
Последовательность чисел У^1? УА2, ... называется спект-
ром собственных частот колеблющейся системы.
2. Неоднородное гиперболическое уравнение. Изло-
жим другой, более общий, вариант метода Фурье, при-
годный для построения формального решения смешанной
задачи также и для неоднородного уравнения гиперболи-
ческого типа
p§ = -Lu + F(xs<). (13)
При каждом t>0 разложим решение и(х, £)-задачи
(13) —(2) —(3) в ряд Фурье по собственным функциям
{ХА} оператора L,
оо
и 0=2 П (0 xk U)t тк (о = (u, xh)p. (14)
/1=1
В силу (2), (14) и (11) неизвестные функции Th(t\
должны удовлетворять начальным условиям:
h (Э) 5=5 J Р (*г) 0) ~ ОЛр. ^k)p =
G
С (1^)
Л (0) = J р И Xh (Ж) dx = (u1): Xh)p = bh.
G
Составим дифференциальное уравнение для функций
Tk. Умножая скалярно уравнение (13) па Xk и производя
472
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ VI
формальные выкладки, получим
f Р X^dx = Д f ^uXKd3: = -72 (м> Xk)p =
a ot dt J at
G G
= - (Lu, Xh) + (F, Xh) =
= — (u, LX^ + (F, Xh) = — (u, X^p 4- (F, Xk)f
т. e., в силу (14), функции Th удовлетворяют уравнению
где
Th + \Th — ch (Q, к — 1, 2? .. ч
Ck (0= (F, xk) = j* F (x,t)Xh (x) dx.
G
(16)
(17)
Решая задачу Коши для уравнения (16) с начальны-»
ми условиями (15), имеем (см. § 13.1)
Th (0 == ah cos Vkk t 4- bh sin Vkh t 4-
t
+ 77==- f c« (T) sin V%(z — T)dx- (18)
У
Подставляя выражение (18) в ряд (14), получим фор-
мальное решение смешанной задачи (13) — (2) — (3):
u (^ t) = S ak cos
fc=i L
У К * + bh sin Y\ t +
t
f Ck (t) sin ]/Zft (t — T) dx Xh (x). (19)
4^ J
Отметим, что первые два слагаемых в ряде (19), в си-
лу (12), дают формальное решение смешанной задачи
при 7г==0; третье слагаемое есть решение этой задачи
при и0 = ut === 0.
Пусть щ = Hi = 0 и
F (^, t) - С sin (cof) р (х) X. (х}. (20J
Тогда
ah -= bk — 0, ch С sin (cofj [Xh Xk) p = C&ik sin art
§ 32J
МЕТОД ФУРЬЕ
473
и, следовательно, в силу (18),
t
(0 = /^' | s*n (®т) sin У ^а (t — т) dx =
У М
_ _£2»а . / “ , gj n VXi I — sin со/^.
СО2-Xi []/\ J
Поэтому формальный ряд (19) сводится к единственно-
му слагаемому
и (х, t) = sin Xi t — sin со/) Хг (ж), (21)
(0 Mi )
которое является фактическим решением задачи. При
со-> решение (21) принимает вид
и =гут (5и~уг * “1 cos Xi (22>
Из формулы (22) следует, что под действием перио-
дического внешнего возмущения (20) с частотой, равной
Рис. ПО.
одной из собственных частот YZi, амплитуда колебаний
неограниченно возрастает при t -* °°, т. е., как говорят,
имеет место явление резонанса (см. рис. 110).
3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилинд-
ре 4oo = GX(0, оо) смешанную задачу для уравнения
параболического типа (см. § 4.5):
р^ = -£п4-^(жЛ/); (23)
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
U | / =0 (*г) , J
au + pgl =0, i>0.
‘ 1 дп |s
(24):
(25)
Для построения формального решения смешанной за-
дачи (23) — (24) — (25) используем метод Фурье в форме,
данной в § 32.2. В соответствии с этим методом решение
и(х, t) ищется в виде ряда (14). Для функций Th(t) по-
лучим задачу Коши:
Tk + hT = ck(t), Th(0) = ak, /с = 1,2, ..., (26)
где ch(t) и ah определяются равенствами (17) и (15)
соответственно. Решая задачу Коши (26), получим (см.
§ 13.1)
Th (О = ahe~Kht + ^ch (т) dx, (27)
о
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи
(23) — (24) — (25) выражается рядом
u(x,0==S ake~4t+ \ch^e^h(t~X)dx Xh(x). (28)
ft==1 L о
4. Уравнение Шредингера. Смешанная задача для
уравнения Шредингера (см. § 2.7)
= -+ <29)
Ф|<=.-0 = Фо(х), же G; (30)
а^ + ₽Йк = 0’ Z>° (31)
рассматривается так же, как и смешанная задача (23) —
(24)—(25). Для функций Тк имеем следующую задачу
Коши:
ihT'h - KhTh = 0, Th (0) = ah = (ip0, Xh), (32)
откуда 4
= <33)
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи
§ 32] МЕТОД ФУРЬЕ 475
(29) —(30)— (31) выражается рядом
ОО _____LAfct
ip (ж, о = 2 акв п xk (я)« (ОД
/1=1
^2
где Xh — собственные функции оператора L при р ==
q = V и р = 1.
5. Эллиптическое уравнение. Рассмотрим в конечном
цилиндре Hi = GX (0, I) краевую задачу для уравнения
эллиптического типа:
р7? = Lu +
w | {=0 === Hq {х) ? и I tzssi=== Н/ (з?)» х
au + ₽g|s = 0, 0<f<Z.
(35)
(361
(37)
Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда
(14). Неизвестные функции Th(t) должны удовлетворять
уравнению
K~hTk = ch(t\ /c = l,2t...s (38)
и граничным условиям
7\(0) == (и0, Xh)p = ah, 77fe(Z) = (ul1 Xk)p = bk,
функции ch(t) определяются равенством (17).
Построим решение краевой задачи (38) —(39). Функ-
ция
(39):
sh/xft(Z-0 . sh/м
vk(f) — 7\(Z) ah . bh
sn у Kk I sh у I
удовлетворяет уравнению (38) и граничным условиям
^(0)= pa(Z) = O. Поэтому эта функция выражается фор-
мулой (см. § 22.2)
i
*4 (0 = — f (z>. г) Ch (j) dxt (40)
о
где
т)
1
]/ sh /
sh l/Xfe(Z — t),
sh — 0 sh
— функция Грина краевой задачи (см. § 22.1)
^v" +Khv^-ck(t),
476
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
Следовательно,
Sh ]/ V Sh VXft I J
(41)
Таким образом, формальное решение граничной зада-
чи (35) — (36) — (37) выражается рядом
Г„ sh д sh /м
А , г-— -
sh
Xh(x). (42)
О
6. Примеры.
а) Колебание
задача сводится к
лосе (О, Z)X(O, оо)
(см. § 2.1):
D а U :ssz Q>
закрепленной струны. Эта
решению смешанной задачи в полупо-
для одномерного волнового уравнения
«|/=о = «о (ж)- и1 Ь=0 = «1 (ж),
7/1 -7/1 - 0 (43)
и |х—о и |х=I —
задача на собственные значения есть
Соответствующая
задача Штурма — Лиувилля:
-а2Х" -АХ, Х(0) = Х(/) = 0.
Поэтому (см. § 22.4)
2
( кпа
• кпх т л г»
sin—, к = 1, 2, ...,
и формальное решение задачи (43) выражается рядом
оо
/ 7\ 2 ( кпа. . , . кпа .\ . кпх ..
— 2,1 «//COS —Z 4- bhsm — t Sin— t (44)
7t=l \ /
где
7 I
ak^ f uQ (x) sin dx, bk = f (x) sin dx.
о 0
Каждое гармоническое колебание
rft(0Xft(^) = 7Vft/4Sin^Sin(^f + aft)t
~ 11 2; • •
§ 32]
МЕТОД ФУРЬЕ
477
л? ° ” /слл
образует стоячую волну с собственной частотой — и
амплитудой
Нули 1, п — 0, 1, ..к, амплитуды называются узлами,
гС
П -4- 0,5 J Г\ Л 7 А
а ее точки экстремума ——ь га = и, 1, к — 1,— пуч-
ностями этой стоячей волны
(рис. 111).
Гармоническое колебание
TiXi с наименьшей собствен-
и 1.1 /" G 7td
нои частотой И « у на-
зывается основным тоном;
остальные гармонические ко-
лебания Т2Х2, Т3Х3, ... с соб-
ственными частотами
w /" 'л 2ла л л л Зил
У Л2 = —, у Л3 = „
Рис. 111.
образуют ряд последователь-
ных обертонов.
Решение (44) складыва-
ется из отдельных тонов (ос-
новного тона и обертонов),
и их суммарное действие приводит к созданию тембра
звука, издаваемого струной.
Ь) Распространение тепла в ограничен-
ном с т е р ж и е. Рассмотрим смешанную задачу для
одномерного уравнения теплопроводности:
ui^=a2uxx, == и0(х), u|x==0 = == 0. (45)
Формальное решение задачи (45) выражается рядом
,222
оо h nW t
и(х, 0 = -у 2 а^е 1 sin^7~< (46)
Ограничиваясь первым членом ряда (46), получим при-
ближенное решение задачи (45):
и(х, t)^2-^-e 1 sin^p
478
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ VI
с) Колебания закрепленной мембраны.
Задача сводится к решению смешанной задачи для дву-
мерного волнового уравнения:
□аи==0, и |f==0 = и0 (ж), = u|s = 0. (47)
Соответствующая задача на собственные значения при-
нимает вид
-a2AX = ZX, X|s = 0.
Для прямоугольника (О, Z)X(O, т) (см. § 26.2)
1 «2.2 /&2 1 /2 \ v / \ 2 . knx . ту
Чз == Л2а2 I I xkj (x, y) = -= sin — sin
\ I m I I/ Im * m
k, / = 1,2, ...,
и формальное решение задачи (47) выражается двойным
рядом
ktj—i
+ bkj sin ла yZ -а + -^2 sin sin (48)
где
а^-
bkj
. кпх . iny у 7
sin —— sin dxdy,
L m u
• к jtx . i л у -j i
sin —• sin dx dy.
I rn
Для круга UR (cm. § 26.2)
2 /f / \
Ki = ll4ft)]a ^2’ хм У) = упл|/;(и(Ю)| Jk^} Tty***
к = 0, 1, 7=1, 2,
где —положительные корни уравнения Д(ц) = О.
Формальное решение задачи (47) выражается двойным
рядом
у, I) =
“ 2 2 [а«cos ~zr +bh^sin -IT1 [4(и(л>)]2e '
(49)
§ 32]
МЕТОД ФУРЬЕ
479
где
В 2л
= ] J я] гага^г
о о
R 2Л
bh} = 7W f f wi Jk (^ft) i) e~ik<p r dr d4'
‘W'j 0 0 '
Формальное решение смешанной задачи для дву-
d)
мерного уравнения теплопроводности,
Ut=a2hu, wL=o = Щ>(#), wls = 0,
имеет вид: для прямоугольника (0, Z)X (0, т)
fi 2 ,-2
__ _„2л2/Н_J
,2 ‘ 2
! т
"(50)
оо —л а‘
U (х, 2 ®We
A, J=1
. кпх . ]пу (51)
sin-г— sin —; v ;
I т ’
для круга UR
Г (fe)]2 2 ( (Ъ'Г\
( f\ — 1 V V---------------------f
[4 (!.<«)?'
(52)
e) Колебание шарового объема. Рассмотрим
смешанную задачу (47) для трехмерного шара UR. Соот-
ветствующие собственные значения и собственные функ-
ции вычислены в § 26.2, с) (формулы (30) и (31)).
Формальное решение задачи выражается рядом
(1+1/2) at
i я-i’
U ~ лЯ21/7 22 2 \аЧт C0Sf
nn V r i=a j=i m=-i L
4- Ъ,- sin и(г+1/2) —1 (2/'+D(z —I^DI______________1________
+ ljm sin д j (1 + (l +! m!)( (py+i/2))]2 X
(53)
+ bljm sin pj'
где
Uljrn --
В Л 2Л
= J j J UU (х) Ji+ А (74г+1/2) УГ(0. ф) ra/2 dr sin 0 de d%
0 0 0 8 '
480
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
R Л 2Л
^0™ U + 1/2) f J J (^) J1+1/2 (pj +1/2)Тг]^
о о о ' '
X Y™ (9> ф) r^2dr sin 0 dO Jcp.
f)' Формальное решение смешанной задачи (50) для
трехмерного шара UR выражается рядом
i
1
и (х, t) = —9——
к 7 лЯ2Уг
Г (/+1/2)12 а2
J
Г filU+1/2) — | Ут /А гп\
2Z + 1 (Z-|ra|)| 'H-l/2^ й)у1<е, <р)
xi+6om(/+i™i)i р;+1/а(^+1/2))12.
(54)
g) Рассмотрим в шаре С7Л смешанную задачу для
уравнения Шредингера:
(55)
tl<=0 = 4’oU), 1Nsb = 0s
с потенциалом V, зависящим только от Ы. Соответству-
ющая задача на собственные значения принимает вид
-^-ДХ + Р(|х|)Х = ХХ1 Х|зй = 0г
или, в сферических координатах,
. 1 д^х
г2 sin2 0 5<р2
+ 7(г)Х = ХХ,
(56)
|Х(0, 0, ф)| < °°, X(R, 0,<р) = О.
Собственные значения и собственные функции краевой
задачи (56) определяются методом разделения перемен-
ных. Полагая
*=^Мм)
§ 32]
МЕТОД ФУРЬЕ
481
и действуя, как и в § 25.8, получим
а . V . /г\ _ л [ 2/4-1 (/ — | т | )! (r) yWn \
Xl3m ~ У Л (14-М (^ + 1^1 и Yl (0J ф)’
Z = О, 1, /==1, 2, т = 0, ±1, .±Z,
где Xzj и ЖДг), / *= 1, 2, ,..,— собственные значения и
собственные функции одномерной краевой задачи
- + ^(Г- X) О
г к
Ж(0) = Ж(Я) = 0.
Формальное решение задачи (55) выражается рядом
оо оо z i
, А 1 V V V _лх0' 21 + 1 (/ —|т|)! у
“ М ~ яг Z X Z аЧ^е l+dom (/ + I т 1)1 X
1==q т=— I °т 17
Х^(г)7Г(6, <р)? (57)
где
R л 2Л
= J J J Wo (х) (r) Yf (0, ф) r dr sin 0 dQ cftp.
ООО
Собственные значения Хц определяют уровни энергии
квантовой частицы; индексы I и т называются соответ-
ственно орбитальным (азимутальным) и магнитным кван-
товыми числами *)
h) Формальное решение задачи Дирихле
A?z = Ot idx=0 = п|х==а = 0, и\у^=== и^х), u\y^i = ui(x) (58)
в прямоугольнике (0, а)Х(0, I) выражается рядом
со
u(x’.y) = ^lL (afesh/OT + bksh^-} —(59)
/?=1 7 sh —
где
i i
ah — J uQ (x) sin dx, bk = J ui (z) sin dx.
о о
i) Рассмотрим задачу Дирихле в трехмерном цилиндре
?7йХ(0, Л):
\и = 0, и = и0 (z), и |г_0 = и |г==Л == 0. (60)
*) См., например, А. Мессиа [1, гл. IX].
31 В. G. Владимиров
482
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
В цилиндрических координатах (г, ср, z) (см. § 3.2) ре-
шение и(х, у. z) = u(r, z) не зависит от угла ср, и поэтому
задача (60) принимает вид
1 д / ди\ , д2 и л
— Т* Г"Т“ Н ~ (61)
г дг\ dr J 1 '
и (JR, z) = н0 (z), й (г, 0) = й (г, h) == 0.
Решая краевую задачу (61) методом разделения перемен-
ных, й(г, z) = ^?(r)Z(z), для функций Жи2 получим
краевые задачи
Z" + XZ = 0, Z (0) = Z (fe) = О,.
<г + = о, | <% (0) | < оо.
Решения этих краевых задач легко находятся,
Xft=V"’ Zk^ = V<rsin^T'’ ^k(r) = chI0
где /0— функция Бесселя мнимого аргумента (см. § 23.8).
Формальное решение задачи (61) и, стало быть, за-
дачи (60) выражается рядом
°° Т)
и(х)^и (г, z) = 4 2 ак - - Sin (62)
k 1 Zo (кя h )
где
h
I / \ • fiTlZ -j
ak = J u0 (z)sm — dz.
О
7. Упражнения, а) Доказать: если u0 e (0, Z), uQ (0) =
-uo(Z) = u;(°) = w;'(Z)^0, <?2(0, Z), W1(0) =W1(Z) =0,
то ряд (44) представляет классическое решение задачи (43).
Ъ) Доказать: если (0, Z), u0(0) = u0(Z) =0, то ряд
(46) представляет классическое решение задачи (45).
с) Доказать: если и0, щ еС2(<7), u0|s = ujs = 0, то ряд
“(ж- = 1 [(“о’ sll /)-/........+(“*’ x^sTpX7j Xk (г)
дает решение следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа
в цилиндре G X (0» 0 •
-^5--ЬААи = 0, и |F=0 = uQ (х),
§ 33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
483
§ 33. Смешанная задача для уравнения
гиперболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная зада-
ча для уравнения гиперболического типа (см. § 4.5):
р A2L = div (р grad и) — qu + F (rr, t) = — Lu -\-F (x, Z), (1)
dr
(x, t)^H„ = GX(O, oo);
и |f=o = w0 (x), |(=Q = u, (x), x €= G;
au + (3 1 — 0, I 0.
1 1 dn
(2)
(3)
Предполагаем, что функции p, p, q, а и {} удовлетво^
ряют условиям § 32; G — ограниченная область и ее гра-
ница S — кусочно-гладкая поверхность, 50 — та часть S,
где а(х)>0 и |3(х)>0 одновременно.
1. Классическое решение. Интеграл энергии. Класси-
ческим решением смешанной задачи (1)—(2) — (3) на-
зывается функция и(х, t) класса С2(ЦЖ) Л С1 удов-
летворяющая уравнению (1) в цилиндре начальным
условиям (2) на нижнем основании и граничному усло-
вию (3) на боковой поверхности этого цилиндра.
Необходимыми условиями существования классическо-
го решения задачи (1) — (2) — (3) являются следующие
условия гладкости:
u0^Cl(G), Ui^C(G),
и условие согласованности
auQ
+ ₽^| = 0.
‘ dn (s
При изучении краевых задач для гиперболических
уравнений весьма эффективным оказывается метод инте-
гралов энергии. Пусть и{х, t)— классическое решение за-
дачи (1) — (2) — (3). Интегралом энергии называется ве-
личина
+ р | grad и |2 + qu2 dx
представляющая собой сумму кинетической и потенциаль-
ной энергий колеблющейся системы в момент времени f.
31*
484
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
Пусть и(х, t)—классическое решение задачи (1) —
(2)—(3) и Р^С(Ц^). Тогда справедливо соотношение
t
J2(Z) = J2(0) + JJf(^T)^Lj). dXj (4)
0 G
где
j2 (0)=4 У +p igrad u<> i2+qu^dx+1 fp j u^dS-
G So
Для доказательства возьмем произвольные число е > 0
и область G' G с кусочно-гладкой границей S'
(рис. 112). Умножая уравнение (1) на интегрируя
по цилиндру G' Х(е, Т) и пользуясь первой формулой
Грина (см. § 21.2), получим
f F^-dxdt= f — f+ Lu\ dxdt
J d* J dt \ dd /
G'X(e,T) G'X(e,T) \ /
~ J pyfr$-dzd;r + JJ d^Ludxdt-
G' e e G'
Переходя здесь к пределу при 8 0 j 6' -> G и поль-
зуясь тем, что и С1 {Цт) и F (Цт), получаем ра-
венство
4-,p|gradu|24-§w2]|o^ —
G L
(5)
0 s Цт
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
485
Из граничного условия (3) вытекают соотношения на S
если Р > 0; и — 0, если р = 0. Поэтому
- И ' Г. dS dt - J ,f 4 “ Я ds dl = 4.[ p I “*
OS 0 So s0
откуда и из (5), заменяя Т на t, получаем формулу (4)\
Теорема доказана.
Следствие. При F = 0 равенство (4) принимает вид
= t^0' (6)
Физический смысл равенства (6) состоите
том, что полная энергия колеблющейся системы при от-
сутствии внешних возмущений не меняется со временем
(закон сохранения энергии).
2. Единственность и непрерывная зависимость класси-
ческого решения. Приме-
меним метод интеграла
энергии для доказатель-
ства единственности и не-
прерывной зависимости
классического решения
смешанной задачи (1) —
(2)-(3).
Дифференцируя равен-
ство (4) по t, получим
2/(0 /' (i) =
£
Рис. 112
Применяя к правой
ши — Буняковского,
части равенства (7) неравенство Ко-
выводим неравенство
(8)
Учитывая теперь, что р (^) > 0, ре С(6-) и, стало
быть, р (х) р0 при некотором р0 > 0, получаем цепочку
неравенств
486
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
т. е.
(9)
Аналогично убеждаемся в справедливости оценки
HI grad н ЦК j- J(t)t "(10)
где ро = minр(х), х G, pQ> 0.
Подставляя неравенство (9) в неравенство (8) и со-
кращая на /, выводим неравенство
/,<ч<ж-,п ,>0-
Интегрируя полученное дифференциальное неравенство,
для функции 7 получаем оценку
/(/)<у(0)4--р=[иНт. (11)
V 4 s
Из оценок (9), (10) и (И) выводим оценки
г
<>0; °2’
l|graa«||< |/'^/(0)+у1=],И|Л. »» (13)
Теперь оценим функцию Hull. Дифференцируя равенство
IIи II2 = J и2 0
G
по t, пользуясь неравенством Коши — Бупяковского и
учитывая неравенство (12), получаем
2|МН'=~
= 2ju^^<2Bu|||fr|<2||uJ 1/A/(0)+±j||/?|K ,
a L г 0 0 п
т. е., после сокращения на 2 Hull,
____________________ t
§33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
487
Интегрируя это дифференциальное неравенство, имеем
где IWI0значение функции Hull в точке t = 0, т. е.
II и ||о = f u2 (х, 0)dx = j* Mo (х) dx = || и0 Ц2.
G G
Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле,
получим искомую оценку
1ЫК1Мо +
_____ t
/>0. (14)
Теперь, пользуясь оценками (12), (13) и (14), дока-
жем следующую теорему.
Теорема. Классическое решение задачи (1) — (2) —
(3) единственно и непрерывно зависит от и0, ut и F в
том смысле, что если F <^С (Цт), F(Цт) и
|F-F|<e, 0<Z<7’;
||| grad u0 — grad u011|<e0,
ho —^ullc<eo>
hi —«ilK8i>
(15)
то соответствующие (классические) решения u(x, t) и
и (x, t) удовлетворяют при неравенствам
||a — iz||< C^e0 + Tc,q + TeQ + + ~2“(16)
Ц| gradxu — gradh11|<C (e0 + e„ + ex + Те), (17)
|| «г — ui || C (ej J- e0 + ei + Те), (18)
причем число С не зависит от щ, uh F,tuT.
Доказательство. Для доказательства единствен-
ности достаточно установить, что классическое решение
и(х, t) однородной задачи (1) —(2) —(3) (при
и F = 0) единственно, т. е. и(х^ t) = 0, (х, t)^ Цм (см.
§ 1.11). Но это вытекает из неравенства (14) , поскольку
и0 = 0, /(0) = 0 и F = 0.
Для доказательства непрерывной зависимости соста-
вим разность ц и — й. Функция ц является классиче-
ским решением задачи (1) — (2) — (3) с заменой I7, и0 и
щ на F — Рг щ — и щ — щ соответственно, Прльзуясь
488
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
неравенствами (15), для решения т] оценим величину ин-
теграла энергии 72 (0):
2/2 (0) =
= j (Р («1 — wx)2 + РI grad и0 — gradw012 + q (и0—н0)|2]^+
G
+ I р -тг (и0 ~~ u^dS V max р (^) 8i + V max р (х) (е^)2 4-
g XG~G xgG
°0
V max q (х) 4~ cr max p ~ (x)
xGG x-So P
8o Ci (8o + 8o + 8i)\
где V — объем области G, о — площадь куска So и С? —
число большее, чем числа Итахр, V max р и Утах д 4-
+ a max р~. Таким образом, получена оценка
/SJCOXC^eo + eUeJ. (19)
Применяя теперь к решению ц неравенство (14)\
_____________________ t
hll<ho-“oll+ ]/ ^-J(O)t + ±^t-^F-F\\dr,.
и пользуясь неравенствами (15) и (19), получим при
всех £*=[(), Z] оценку (16):
IIИ 11.^1^wollc + (£° "Ь 8° + +
t
+ у” f G ~ т) dx 80 Vv + —С± (е0 + 80 -j- 8i) +
0 р0
+ Л_ 72 < С (8о + г.Т + + zj + -f
при надлежащем выборе постоянной С.
Аналогично, с помощью неравенств (12), (13) и (19),
устанавливаются и неравенства (17) и (18). Теорема до-
казана.
Доказательство существования классического решения
задачи (1) (2) — (3) представляет значительные труд-
ности. Чтобы обойти эти трудности, как и для задачи Ко-
ши, введем понятие обобщенного решения этой задачи;
§ 33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
489
существование же обобщенного решения устанавливается
более простыми средствами. Прежде чем приступить к
этой программе, изучим более подробно функции из
22(G), зависящие от параметра.
3. Функции, непрерывные в 9?2(G). Пусть при каж-
дом t [а, 6] функция и(х, I) принадлежит 22 (G), Функ-
ция и(х, t) называется непрерывной в S?2(G) по пере-
менной t на [а, Ь], если для любого t [а, £]
и(х, t')-+ и (х, t), t' -> t в Z2 (G).
Из этого определения вытекает: если функция и(х, t)
непрерывна в S?2(G) по t на [и, 6], то норма Ни (я, i)H
непрерывна по t на [и, 6]; для любой f^S?2(G) скаляр-
ное произведение (и\х, 0, /) непрерывно по t на [a, Ь];
uetg?2(GX(u, 6)), если интервал (и, Ь) конечен.
Действительно, непрерывность Hull следует из нера-
венства
|Hu(x, £z)ll — Hu (a:, f)ll| Hu (zr, t') — и(х, f)H,
вытекающего из неравенства Минковского. Непрерывность
(и, /) следует из неравенства Коши — Буняковского
I (u(x, f), /) —(u(j*, £), /) I Hu (я, t') — u(x, £) IIII/II.
Принадлежность u к 22(GX(a, b)) следует из конечно-
сти (u, b), непрерывности Hull и равенства
ъ ь
J J | и (x, t) dt = J |] и (x, t) fdt.
a G a
Последовательность функций uk(x, £), к = 1, 2,
называется сходящейся к функции и(х, t) в 22(G) рав-
номерно по t на [а, &], если
II uh (х, f) —и (rr, t) || __X о,
к-> оо;
при этом будем писать
uk __u,
к оо в 2"2 (G).
Из этого определения следует, что
иА-> и, оо в 2?2(GX(u, fe)) ;
tG[a,b]
Ц U^ (^2 t^\\ -|| U (^2 0 III
490
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. VI
Лемма 1. Если последовательность функций uk(x, t),
к = 1, 2, ..., непрерывных в S?2(G) по t на [а, Ь], сходит-
ся к функции и(х, t) в Z2{G) равномерно по t на [a, fe],
то и(х, t) — непрерывная в 2?2(G) по t на [л, Ь\ функция.
Доказательство. Возьмем произвольное 8 > 0.
Существует такое число тп = те, что
о — и(х,
По условию функция um(x, t) непрерывна в 3?2(G) по
tе [а, 6]. Поэтому существует такое число 6 == б8, что
J ит Г) — ит (хх t) || <у, 11' — 11 < 6, tt «= [a, 6].
Следовательно, пользуясь неравенством Минковского, по-
лучаем
^u(x1t') — u(x, 011<11“^) — ит(х, Г)|| 4-Jwp,fot')-
— Um(xt ОН + В(й?л t) — и(х, t)||< J + + А = 8
при всех U~-£'l < б, t', t е [а, Ь]. Лемма доказана.
Последовательность функций uk(x, £), к = 1, 2, ..., на-
зывается сходящейся в себе в S?2(G) равномерно по t
на [а, 6], если
u/j —- иР ___» 0, к, р оо в S’g (G).
Лемма 2. Если последовательность функций uh(x, £),
Л==1, 2, ..., сходится в себе в 3?2(G) равномерно по t
на [a, fc], то существует функция и(х, /), непрерывная в
по t на [а, ft] такая, что
1 /е[а,Ь]
uk и, к-*- оо в (G),
Доказательство. По теореме Рисса — Фишера
(см. § 1.7) при каждом t [а, Ь] существует функция
и(х, t)^S^2(G) такая, что
uA->u, А->оо в 9?2 (G). '(20)
Далее, можно выбрать подпоследовательность uk. (х,
i == 1, 2, ..., такую, что
|]wftJ+1(aU) — t [«1 *1- (21)
§ 33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
491
Но, в силу (20), при каждом Ь]
и = lim uk = uk. + (uh - uft{) + (uft{ - uh ) + .. . ,t
p—>oo
и потому, в силу (21),
h- uh. || C || uh , + 1 - uh. || + || uh.+2 - uh. + 11| + . . . <
< + 7'Л + • • • = 77~1’ 1 = 1,2,- ..
откуда следует, что подпоследовательность сходится
кив Z2(G) равномерно по t^[a, Ь]. А тогда из нера-
венства
\\uh~ Ч
заключаем, что последовательность {uk} сходится к функ-
ции и в Z2(G) равномерно по t на [а, Ь]. По лемме 1
функция и(х, t) непрерывна в S92(G) по t на [а, Ь]. Лем-
ма доказана.
4. Обобщенное решение. Пусть существуют последо-
вательности функций Fht^C), uw е С1 (G) и uhl е
е С(G), к = 1, 2, ..., такие, что 1) при к -> оо
tG[0,T]
Fh —> F в Z2 (G) при любОхМ Т > 0,
__ (22)
в C(Q’ grad ukQ -> grad и0 в <S?2(G),
zi/ji —> иг в Z2 (G);
2) при каждом к = 1, 2, ... существует классическое
решение ик(х, t) смешанной задачи
Р ^uk + (^ 0» (1Л)
Щ1 |t=0 “ (*^)» |£_о ~ )
+ (3,)
Докажем, что существует функция t), непрерыв-
ная в Z2{G) по t на [0, оо) и такая, что при любом Т>0
к-^оо в Z2(G)9
(23)
Функцию и(х, t) назовем обобщенным решением задачи
Ш-(2)^{3),_
492
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
Действительно, применяя неравенство (16) теоремы
§ 33.2 к разности uh — ир, при всех t е [О, Z] и Т > О
получаем
К — WplK
< с (1 + Т) II uft0 — ир0 |]с + ТIII grad им — grad ир011| +
+ Т || uhl — ир11| + max || Fh — Fv || 1
4 O^t^T J
откуда, в силу (22), следует, что последовательность {uj
сходится в себе в £?2(G) равномерно по t на [О, Т\. По
лемме 2 § 33.3 существует функция и(х, t), непрерывная
в S?2(G) по t на [0, оо) такая, что при любом Т>0 спра-
ведливо предельное соотношение (23).
Из определения обобщенного решения вытекает, что
всякое классическое решение задачи (1) — (2) — (3) явля-
ется ' и обобщенным решением ее и для существования
обобщенного решения необходимо выполнение условий:
F непрерывна в ^2(G) по t на [0, °°), u0^C(G),
grad н0 ^^(G) и Ul<^2?2(G).
Установим теперь дополнительные свойства обобщен-
ных решений.
а) Обобщенное решение и(х, t) задачи (1) — (2) — (3)
удовлетворяет уравнению (1) в обобщенном смысле, т. е.
для любой ере (/(«,) выполнено интегральное соот-
ношение
Г / { ^2ср .
J и (*>. ЩР +
dxdt — \ F (х, t) qdx dt.
(24)
Действительно, пусть ср Ф (//«,); тогда supp ср <= Цт
при некотором Г>0. Умножая уравнение (Г) на функ-
цию <р и интегрируя по цилиндру Цт, получим
П Г
С * иъ
) р “ div grad + qUk
tJ ut
Цт
ср dx dt
= J Fkq dx dt.
Цт
В интеграле, стоящем в левой части этого равенства,
интегрированием по частям перебросим операцию диф-
ференцирования па основную функцию ср (см. (6) § 21.2).
Поскольку ср обращается в нуль в окрестности границы
цилиндра Цт, внеинтегральные члены при этом исчезнут
§ 33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
493
и в результате получим
f Uk ГР д~3г ~ div grad ф) + М
О ot
Цт
dxdt = j* Fkq> dx dt.
цт
(25)
теоремы
и Г>0
duk диР
dt dt
Учитывая теперь, что в силу (23) и (22),
ик -> и и Fk -> F, к -> оо в 3?2 (Цт},
и переходя в последнем равенстве к пределу при к -> оо,
получим интегральное соотношение (24).
Ь) Обобщенное решение и(х, t) обладает первыми
(обобщенными) производными ut, grad и, непрерывными
в 3?i(G) по t на [0, оо)7 причем при всех 77>0
dt-----> Qt 1
^[0,7]
grad uh ~__t grad и, к->оо в 3?2(G).
Действительно, применяя неравенство (18)
§ 33.2 к разности ик — ир, при всех Z^[0, Т]
получим
С с (II uh0 — ир0 lie + III grad им — grad uw | | +
+ ||wfei — upi II + T max II Ph — Fp II),;
откуда, в силу (22), следует, что последовательность про-
du^
изводных-^j-, /с = 1, 2, ..., сходится в себе в S72(G) рав-
номерно по t на [0, 7] при всех Т > 0. По лемме 2 § 33.3
существует функция й(х, t), непрерывная в ^2(G) по t
на [0, оо)? такая, что при всех Г>0
duh
-77-=^. /г->оо в S’JG). (26)
С другой стороны, из (23) следует, что uh-+u, к
в S)' (функции ик и и считаем продолженными нулем
вне цилиндра Цое). Отсюда, пользуясь непрерывностью,
в S)' операции обобщенного дифференцирования (см»
§ 6.2, а)), заключаем, что
duk ди 7
dt dt
Применяя полученное соотношение к основным функциям
494 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI
<р из и учитывая (26), выводим
("* f* f ди \ т
I и ср dx dt I ср dx dt -> I —, ср к к -> ооА
откуда вытекает равенство (см. § 5.5)
Ut — U, (Х, t) Цао.
Таким образом, в силу (26), доказано первое предель-
ное соотношение (25). Второе соотношение (25) дока-
зывается аналогично.
с) Обобщенное решение и(х, t) удовлетворяет началь-
ным условиям (2) в следующем смысле:
Пи — и0И 0, ll|gradx(u — и0) HI -> 0, \\ut — ujl -> 0, t -> 0.
(27)
Для доказательства перейдем к пределу при к -> оо
в неравенстве
Пгг(гг, 0)— щ(х) II Пи (гс, 0) — ик(х, 0) II + Hufe0(^) — uQ(x) II,
используя предельные соотношения щ(.г, 0)->u(.r, 0) и
uft0(#) щ(х) в «^(G). В результате получим и(х, 0) =
*=и0(х). Отсюда, в силу непрерывности функции u(x,t)
в 2?2(С!) по t е [0, оо)? убеждаемся в справедливости пер-
вого предельного соотношения (27). Аналогично, исполь-
зуя свойство Ь), получим и остальные соотношения (27).
... Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение
\и(х, t) удовлетворяет граничному условию (3), подлежит
Дальнейшему выяснению.
5. Единственность и непрерывная зависимость обоб-
щенного решения. Докажем, что оценки (12), (13) и (14)
остаются справедливыми и для обобщенного решения
и(х, t) задачи (1) — (2) — (3).
Действительно, пусть ик(х, 0, & = 1, 2, ...,— последо-
вательность классических решений задачи (1') — (2') —
(3х), сходящаяся к обобщенному решению и(х, t) в смыс-
ле (23). Применяя к решениям uh неравенство (14), по-
лучим
t
1Ы1С1КЛ + у + <>0,
(28)
§ 3SI УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
4(15
где
Л (0) = 4f (рЛх+ р | grad uk012 + з40) dx+ ± J PjU%odS.
g s0
(29)
Пользуясь тем, что, в силу (23) и (22) (см. § 33.4),
tc[o,T] telo.T]
||Fft||=X||F||, 77>0 —любое;
lbfeo — Me 0, III grad ukQ III -> III grad u01II;
lluAill -* llwjl, к -> oo?
и переходя к пределу в (28) и (29), убедимся в справед-
ливости оценки (14).
Оценки (12) и (13) устанавливаются аналогично, ес-
ли воспользоваться предельными соотношениями (25).
Из оценок (12), (13) и (14), как и для классического
решения, вытекают единственность обобщенного решения
задачи (1) —(2) — (3) и его непрерывная зависимость от
uQ, lit и F в смысле теоремы § 33.2.
6. Существование обобщенного решения. В § 32.2 бы-
ло построено формальное решение задачи (1) — (2) — (3)
в виде ряда Фурье по собственным функциям {Xj} опе-
ратора А,
(30)
где
Tj (t) — Gj COS ]/ Aj t + bj sin V"kj t +
t
4—| с, (t) sin VI'.j (t — t) dx, (31)
= (u0, X;)p, bj =-4==(iiv Х,)р, Cj(t) = (F,X}). (32)
V ч
Возникает задача обоснования метода Фурье, т. е. вы-
яснения условий, при которых ряд (30) сходится и дает
обобщенное или классическое решение.
Предположим, что uQ^JlL, ui^2’2(G) и F непрерыв-
на в i?2(G) по t на [0, оо). Докажем, что при этих усло-
виях ряд (30), представляющий формальное решение за-
дачи Щ —(2) —(3), сходится в 9?2 (G) равномерно по t
496
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ VI
на [О, Т} при всех Г>0 и определяет обобщенное реше-
ние и(х, t) этой задачи.
Действительно, пользуясь теоремами разложения 1,
2 и 3 § 21.4 (см. замечание), представим функции и0,
grad w0, и ~ в виде рядов Фурье по собственным
функциям {Xj} оператора
ио = S (^)> (33)
00 оо
grad u0 (x) = 2 «j grad ui (x) = 2 КfyXj (x^ (34)
;=i
oo
F (x, t) = p (ж) 2 Cj (t) Xj (x)t (35)
где Wj, bj и Cj(f) определены формулами (32 J, причем
функции Cj(t) непрерывны па_[О, °°) (см. § 33.3). При
этом ряд (33) сходится в C(G), а ряды (34) сходятся
bS’^G).
Докажем, что ряд (35) сходится в 2^2 (G) равномерно
по t на [О, Т] при любом Т > 0. Действительно, при каж-
дом t <= [0, оо) для функции справедливо равенст-
во Парсеваля — Стеклова (см. § 1.8)
<»>
J=1 G
Каждый член ряда (36) представляет собой неотрица-
тельную непрерывную функцию с] (Q, и этот ряд сходит-*
ся к непрерывной функции (см. § 33.3). По лемме Дини
(см. § 1.3) ряд (36) сходится равномерно на любом ко-
нечном промежутке [О, Т\. Отсюда, оценивая остаток ряда
(35) в 2^(6?),
р («) 2 ci (О Xj (х)
2
max р (х)
оо
2 cj (О V р U) xs И
2
= С 2 (О С1 (О (Х„ xt)p = с 2 4
j,l—k 3—fi
заключаем, что этот ряд сходится в равномерно
по t е [О, Г] при любом Т > О,
§ 33] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 497
Обозначим через uki uk0, ukl и Fh к-е частные суммы
рядов (30), (33), (34) и (35) соответственно, например!
k
(^i 0 “ 2 Fj (Z) Xj {x)r к = 1, 2, .«•
5=1
Так как
т] (0 = - (0 + С) (0, т} е= с2 ([0, оо)),
дХ, I
LXj — hjpXj, aXj + P-^|5 = 0f
Х}еС2(С)Л C‘(G) ,
то функции иК принадлежат С2(Д«,)П С*(Ц<Л, удовлетво--
ряют уравнению (!')
a2 k
р + Luh = (рФ^ + TiLX^ =
5=1
k k
== 2 (— ^j^TjXj + pcjXj + XjpTjXj) = p 2 CjXj —Fk (X) t)$
j=l 5=1
граничному условию (3') и начальным условиям (2'J
k
| £=0 2j (^) — UkO (^)l’
5=1
д I h
l=o = 2 (^) uki (^)-
5=1
Таким образом, построена последовательность uk(x, ^)\
к = 1, 2, ..классических решений задачи (!') — (2х) —
(3') таких, что справедливы предельные соотношения
(22). В § 33.4 было доказано, что эта последовательность
(и, стало быть, формальный ряд (30)) сходится в ^2(С)
равномерно по t на [0, Г] при всех Т > 0 к обобщенному
решению и(х, t) задачи (1) — (2) — (3). Построенное об-
общенное решение и(х, t) обладает свойствами а), Ь) и
с), установленными в § 33.4. Итак, доказана следующая
Теорема. Если и0 е 2?2 (G) и F непрерывна
в 2?ъ(Сг) по t на [0, оо), то обобщенное решение задачи
(1) — (2) — (3) существует и представляется рядом (30)-—»
формальным решением этой задачи.
32 в. С. Владимиров
498
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
Замечание. При п = 1 справедлива теорема вложения: ес-
ли f е (О, Z), т0 1 С ([О, Z]) и
1
11/Кс< уу И/11 + Ы||Л-
(*)
Действительно, из равенства
f(x)=f (х0) + j /' (^') dx', х0 <= [О, Z]
жо
следует, что / е С ([О, Z]). Отсюда, выбирая точку xG е [О, Z] такой,
что
I
I f (%) I = Т J1 f W ।dx''
О
и пользуясь неравенством Коши —- Буняковского, получим (*):
1/(г)К|/(*0)| + J I/'
*0
I I
< у J I / (*') I dx'-\- j I f (x') 1 dx' < Ы_ II / II +VT|| f II, X S [0, ZJ.
Пользуясь этой теоремой и неравенством (13) и (14), можно
усилить результаты § 33.2, 33.4—33.6, в частности: последователь-
ность Uk(x, О» А:-> оо сходится равномерно на любом Цт =
= [О» Z] х [О, Г] к обобщенному решению и(хч Z) непрерывно-
му на Цы.
7. Существование классического решения. Возникает
задача: выяснить, при каких условиях обобщенное реше-
ние (30) задачи (1)-—(2) —(3) является классическим
решением. Нетрудно убедиться, что ряд (30) представ-
ляет классическое решение этой задачи, если он и ряды,
полученные однократным дифференцированием по всем
аргументам, сходятся равномерно в любом конечном ци-
линдре Цт, а ряды, полученные двукратным дифферен-
цированием, сходятся равномерно на любом компакте из
£(оо. Доказательство же возможности почленного диффе-
ренцирования ряда (30) в общем случае представляет
значительные трудности. Поэтому мы ограничимся рас-
смотрением смешанной задачи с двумя переменными (я,
§ 33]
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
499
в полуполосе =(0, Z)X(O, со):
д2 и д ( ди\ /Ог,ч
<37>
u\t=G = и0(х), Ufh=0 = (^), 0<х^1, (38)
hitz — h2ux\x^0 = HYu + Я2^х1х=/ == 0, t > 0. (39)
Предполагаем все > 0. Собственные функции {XJ
образуют полную ортонормальную систему в 5?2(0, I)
(см. § 22.3) и удовлетворяют интегральному уравнению
(см. § 22.2)
z
Xh (х) = J 3 (х, у) Xh (у) dyf (40)
О
где 3 (х, у)—функция Грина оператора L (см. § 22.1).
По теореме Мерсера (см. § 20.9)
I Хь (*) I2
2 Г — % (х, х)(
(41)
причем ряд (41) сходится равномерно па [0, Z].
Докажем равномерную на [0, I] сходимость рядов
~ I Y' 12 ~ I г" 12
k=l
fe=l
(42)
Равномерная сходимость
из интегрального уравнения
^21
первого ряда (42) вытекает
(40)
= (ж, у) Xk (у) dy = ($х, Xh),-
О
равенства Парсеваля — Стеклова (см. § 1.8)
у 14(g) I2
л 2
= 1|3?х||2 = §\$x(x,y)\2dy
О
и из леммы Дини (см. § 1.3). (В силу свойств функции
Грина 9 (х, у) последний интеграл есть непрерывная
функция на [0, Z].) Равномерная сходимость второго ряда
(42) вытекает из равномерной сходимости первого ряда
32*
500 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI
(42) и ряда (41) и из дифференциального уравнения
xk (я) = — -тУ (%) 4-------Xk
Р v4 Р v*')
Для задачи (37) — (38) — (39) выпишем ряд (30),
представляющий обобщенное решение этой задачи (см.
§ 33.6):
и & 0=2 («л cos V^ht + bh sin v0 Xh (x), (43)
= (w0, Xh), 6*V%* = (u1, Xk). (44)
Сначала докажем: если u0^JtL и ui^S’2(Q, I), то
ряд (30) сходится равномерно на Цж {к непрерывной
на функции и(х, t)).
Действительно, так как щ то Lu^ZJ^, I) и
^7i(^0? ^h) (^0? 7>АЙ) J (ZvIZq, A/j) .
Отсюда, учитывая обозначения (44), в силу равенства
Парсеваля — Стеклова (см. § 1.8), получаем
оо оо
2 | ah |2 = || Lu01|2, 2 М М2 = II их ||2. (45)
k—1 k—1
Применяя к ряду (43) неравенство Коши — Буняковского
и учитывая равномерную сходимость ряда (41) и сходи-
мость рядов__(45), убедимся в регулярной сходимости ря-
да (43) на
оо
2 I ah cos t + bk sin V\ Z11 Xh (x) |<
Л=1
Теперь докажем теорему о существовании классиче-
ского решения задачи (37)— (38) — (39).
Теорема. Если uG, LuQ и щ принадлежат то
ряд (30) представляет классическое решение задачи
{37}-{38)-{39), причем и^С2^),
§ 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 501
Доказательство. В силу условий теоремы, как и
в (45), получаем
2 = (46)
h=l • k=l
Из сходимости рядов (46) и из равномерной сходимости
рядов (41) и (42) следует регулярная сходимость на
ряда (43) и всех рядов, полученных почленным диффе-
ренцированием его по х и t один и два раза. Теорема
доказана.
Замечание. Первое строгое обоснование метода Фурье для
двух переменных было дано В. А. Стекловым [1]: для многих пе-
ременных—см. О. А. Ладыженская [1].
§ 34. Смешанная задача для уравнения
параболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная за-
дача для уравнения параболического типа (см. § 4.5)
р = div (р grad и) — qu F (х, t) = — Lu 4- F (х> t)x
(1)
lx, £)еДю = СХ(0, 00);
ul /=0 ==: Uq (x) , x G(2)
+₽^|s = z)’ Cr, [0, 00) (3)
при условиях § 32.
1. Классическое решение. Принцип максимума. К ласси-
ческим решением смешанной задачи (1) — (2) — (3) на-
зывается функция и(х, t) класса С2 (//со)П С(ЦК}, grades
еС(//со), удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре
Ц^, начальному условию (2) и граничному условию (3).
Необходимыми условиями существования классическо-
го решения задачи (1) — (2) — (3) являются следующие
условия гладкости:
v — кусочно-непрерывна на S X [0, оо),
и условие согласованности
• О I
CCIZO4-|3_O
dtl |s 4 7
502
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ VI
При изучении краевых задач для уравнения парабо-
лического типа весьма полезным является следующий
Принцип максимума. Пусть функция и(х, t)
класса C2(x^G, 0 < < Г) Я C(Z/T) удовлетворяет урав-
нению (1) в Цт- Тогда, если F (х, t)^0 в цилиндре Цт,
то либо и^О на Цт. либо функция и(х, t) принимает
свой (положительный) максимум на цилиндре Цт на
нижнем основании G X {0} или на боковой поверхности
S X [0, Z] его, т. е.
и 0 тах [0, max и (х, t), max
(4)
(x, t) e Цт,
Доказательство. Предположим противное, т. е.
пусть функция и(х, t) принимает положительные значе-
ния в некоторых точках цилиндра Цт, ио не достигает
своего (положительного) максимума ни на его нижнем
основании G X {0}, пи на боковой поверхности SX[0, Т].
Это значит, что найдется точка (xQ, Zo), xQ^G, 0<tG^T,
такая, что
и (^о» ^о) > тах Г®? max и (я, Of max и =
x==G,f—O x~S,o^.t^T
= М>0. (5)
Обозначив
8 = и <Х0, to) - М > 0, (6)
построим функцию
V (х, t) = и (х, о + у
Тогда
v(х, t)^u(х, t) + (х, t)е Цт
и, в силу (6), при всех (х, t) из G X {0} или S X [0, Т]
имеем
п(х0, t0) и(х0, t0)—е -J- Ме + и(х,
> е + v {х,_ t) — 4- v (х, /).
Отсюда следует, что функция v также принимает свое
.(положительное) максимальное значение на Ц? в некою-
§ 34]
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
503
рой точке (х\ t'), х' & G, 0 <Л' ^Т, причем
v(x', t')^v(x0, £0)>е + 7И. (7)
Выпишем необходимые условия максимума функции
v в точке (х', t'):
> О,. grad V = 0, Др < 0.
Из этих условий, а также из неравенства (7) вытекает,
что в этой точке
р — div (р grad и) + qu — F =«
= р ^7 — рДр — (grad р, grad v) -f- qv — F
Ob
, 8 [ p T — i'V , 8 /p T — t'\
+ 2 \ т % т J + 2 5 т у
(л T — t'\ . ep n
V 2Z / 2T > 0,;
что противоречит уравнению (1). Это значит, что нера-
венство (5) неверно и, следовательно, справедливо про-
тивоположное неравенство (4), что и требовалось уста-
новить.
Заменяя и на —и и F на — F из принципа максимума
получим
Принцип минимума. Если функция и(х, t) клас-
са С2(х^ G, 0 < t Г) А С (Цт) удовлетворяет уравне-
нию (1) в Цт и F ^0 в Цт, то справедливо неравенство
и (х,Л) min [(), min и(х5 t), min u(x1t)]. (4')
xGG,t=0 XSS,O<Z<T
2. Единственность и непрерывная зависимость класси-
ческого решения. Применим принципы максимума и ми-
нимума для установления единственности и непрерывной
зависимости классического решения смешанной задачи
(1) — (2) —(3) I рода, т. е., когда в граничном условии
(3) а = 1 и ₽ = 0:
u\B = v(x1 t), (х, Z)sSX[0, оо)
(Требование gradx«e (/(«,) для краевых задач I рода из-
лишне; см. замечание § 4.5.)
504
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
Пусть и (х, t)—классическое решение задачи (1) —
(2) — (31) и F е С (До,). Фиксируем Т > 0 и обозначим
^ = И11С(ЦГ)« = IMc(SX[0,T]), Mo = hollc(6)-
Составим функцию
% («1 0 = U (х, — Ро = min Р (х) > 0. (8)
о XSG
Функция х является классическим решением смешанной
задачи (1) — (2) — (3J с заменой Л и у на F — М —
Ч)
q Mi М f
o'и v ~o 1 соответственно. Учитывая, что
r0 r0
(х,Г)<=Цт-,
ро Ро
v-^t^Mv (х, Z)e=5x[0, Т],
Ро
и пользуясь неравенством (4), получаОхМ оценку
Х^ шах(Л/0, ^Л),
т. е., в силу (8) ,
и (х, t) С J Т + max (Мо, MJ, (х, t) е Цт.
Ро
Аналогично, вводя функцию
Хх(х, t) = u (x, +
1 о
и пользуясь неравенством (4'), получим противополож-
ную оценку:
и(х10>-^7’-тах(ТИ(), Мх), (х, /) 6= Цт.
•О
Итак, если и(х^ t)—классическое решение задачи
'(1) — (2) — (31) и F С , то при любом Т>0 спра-
ведлива оценка
Ь11с(цг)<тах [|| u0 ||c(g), |Гу||с(8х[о,т])] + (9)
Пользуясь полученной оценкой, докажем следующую
§ 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИНА
505
Теорема. Классическое решение задачи (1) — (2)—
(31) единственно и непрерывно зависит от uQ, и и F в
том смысле, что если
|| Р - Р ||с(цг) < 8> 1«о —«о||с(ё)<ео,'
IIp-pI (10)
И U иНС(8х[0,Т])
то соответствующие (классические} решения и(х, t} и
й (х, t) удовлетворяют неравенству
II и - и |Ццт) < max (е0, ех) + е< (11)
Доказательство. Единственность решения выте-
кает из того, что, в силу оценки (9), однородная задача
(1) — (2) — (31) (при == 0, 1? = 0 и F = 0) имеет только
нулевое классическое решение (см. § 1.11).
Для доказательства непрерывной зависимости соста-
вим разность ц == и — и. Функция ц является классиче-
ским решением задачи (1) — (2) — (3J с заменой F, и0
и v на F — F, Uq — Uq и v — v соответственно. Применяя
неравенство (9) к функции ц и пользуясь оценками (10),
получим оценку (11). Теорема доказана.
3. Обобщенное решение. Как и для уравнения гипер-
болического типа, введем понятие обобщенного решения.
Пусть функции а(х) и Р(я) непрерывны на S.
Пусть существуют последовательности функций Fh^
&С(Ц„), vh^C(SX[Q, оо)) и uM^C(G), й==1, 2,
такие, что 1) при к-+ оо
Р^РъС(Цт), vh-+v*C(SX[V, Т]}
при любом Т > 0; им uQ в С (G); ' ''
2) при каждом к = 1, 2, ... существует классическое
решение смешанной задачи
Р Lujt -|- Fk (хх t)j,
uk L=o “ uko (^)>;
(Г)
(2')
(3')
506 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI
Предположим, что существует функция и'(х/ £), не-
прерывная на цилиндре и такая, что при любом Т > 0
к -> оо в С(ЦТ}.
(131
Функцию iz(rr, t) назовем обобщенным решением задачи
(1) —(2) —(3).
Из определения обобщенного решения задачи (1) —
(2)— (3) вытекает (ср. § 33.4): всякое классическое ре-
шение этой задачи является обобщенным решением ее;
для существования обобщенного решения необходимо вы-
полнение условий: Z?eC(Z(oo), v е С (S X [0, °0)),
еС(С); обобщенное решение удовлетворяет начальному
условию (2); обобщенное решение удовлетворяет уравне-
нию (1) в обобщенном смысле, т. е. для любой (ре
^£>(1^) выполнено интегральное соотношение
J и (х, t) р 4“ dx dt = J F (х, t) ф dxdt. (14)
Докажем, что для краевой задачи (1)—- (2) — (3J по-
следовательность {uh} равномерно сходится па любом Цт.
Действительно, применяя неравенство (9) к разности
— ир, при всех Т > 0 получаем
\\Uk-Up < max [|| им - up0 ||cfe), || vh — vp ||C(sx[o,t])] +
T
откуда, в силу (12), следует, что последовательность {щ)
сходится в себе в С(ДТ). Поэтому существует функция
и(х, t), непрерывная на и такая, что последователь-
ность {uh} сходится к и в С (Цт) при любом Т > 0 (см.
§ 1.3).
Докажем, что оценка (9) остается справедливой и для
обобщенного решения и(х, t) задачи (1) — (2) — (31).
Действительно, пусть uh(x, £), й = 1, 2, ...,— последов
вательность классических решений задачи (1) — (2) — (3i),
равномерно сходящаяся к обобщенному решению и(х, t)
ца любом цилиндре Цт. Применяя к решениям щ оценку
§ 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
507
(9), при всех Т > 0 получаем
11^||С(ДТ) ^11 11С(с)’ 1Ыс(5Х[0,7])] + ^И^||С(цг)*
(15)
Учитывая предельные соотношения (12) и (13) и пере-
ходя к пределу в неравенстве (15) при к->°% убедимся
в справедливости оценки (9).
Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного
решения задачи (1) —(2) — (3J и его непрерывная зави-
симость от и^ v и F в смысле теоремы § 34.2.
4. Существование обобщенного решения. Существова-
ние обобщенного решения докажем для смешанной зада-
чи (1) — (2) — (3) при Z’= 0 и у = 0:
= — Lu, и|(=о = “о(«).. au + ₽£|s = o' (16)
В § 32.3 было построено формальное решение задачи (16)’
в виде ряда Фурье по собственным функциям {XJ опе-
ратора Д
и (я, 0=2 aje 3 Xj СО» аэ = (w0’ ^j)p* (17)
j==i
Предположим, что uQ^JtL. Докажем, что при этом
условии ряд (17), представляющий формальное решение
задачи (16), сходится равномерно на и определяет
обобщенное решение и(х, t) этой задачи.
Действительно, пользуясь теоремой разложения 1
§ 21.4 (см. замечание), представим функцию и0 в виде
регулярно сходящегося на G ряда Фурье по собственным
функциям оператора А,
оо
^0 СО == 2 О')*
;=о
(18)
Обозначим через uh и им частные суммы рядов (17) и
(18) соответственно. Функции щ, /с = 1, 2, являются
классическими решениями задачи (16) с заменой и0 на
щ0, причем им -> н0, к оо в С (G). Поскольку все Zj > 0,
то ряд, составленный из абсолютных величин членов ря-
да (17), мажорируется на равномерно сходящимся
рядом на G,
508
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VI
Поэтому последовательность {uh} сходится равномерно на
Доо к обобщенному решению и(х, t) задачи (16). Итак,
установлена
Теорема. Если и0 е то обобщенное решение за-
дачи (16) существует и представляется регулярно сходя-
щимся на Цю рядом (17)—формальным решением этой
задачи.
5. Существование классического решения. Как и в
§ 33.7, ограничимся рассмотрением смешанной задачи с
двумя переменными (х, t) в полуполосе = (0, I) X
Х(0, оо):
ди д I ди\
и? = гр qu,
dt дх V дх]
п|/==0 = щ(х), O^X^l,
hiii — = Н\и + Я2их1ж==/ = 0,
£>0.
(19)
(20)
(21)
Теорема. Если u^JtL, то ряд (17) дает классиче-
ское решение и(х, t) задачи (19) — (20) — (21), бесконеч-
но дифференцируемое по t при t > 0, 0 < х I.
Доказательство. По теореме § 34.4 t/^C(Z(0O)\
Далее, пользуясь равномерной сходимостью рядов (41) и
(42) § 33.7 и сходимостью первого ряда (45) § 33.7, как
и в § 33.7, устанавливаем регулярную сходимость рядов
V а.е £>0,/с = 1, 2,
дхг
оо
0 X 8
'(при любом 8 > 0). При этом нужно учесть, что величи-
ны ^е 3 равномерно ограничены при / = 1, 2, ..., £>е.
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А д а м а р Ж.
1. Задача Коши для линейных уравнений с частными произ-
водными гиперболического типа.— Мл Наука, 1978.
А н т о с и к А., М и к у с и н с к и й Я., С и к о р с к и й Р.
1. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход.— Мл
Мир, 1976.
Арсенин В. Я.
1. Методы математической физики и специальные функции.—
Мл Наука, 1984.
Беклемишев Д. В.
1. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.— М.:
Наука, 1984.
Бицадзе А. В.
1. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1982.
Блохинцев Д. И.
1. Основы квантовой механики.— Мл Наука, 1983.
Боголюбов Н. Н., Л о г у н о в А. А., Т о д о р о в И. Т., О к-
с а к А. И.
1. Общие принципы квантовой теории поля.— М.: Наука, 1987.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.
1. Введение в теорию квантованных полей.— М.: Наука, 1984.
Бохнер С.
1. Лекции об интегралах Фурье.— М.: Физматгиз, 1960.
Бремерман Г.
1. Распределения, комплексные переменные и преобразования
Фурье.— Мл Мир, 1968. .
Б р ы ч к о в Ю. А., П р у д и и к о в А. П.
1. Интегральные преобразования обобщенных функций.— Мл
Наука, 1977.
В е к у а И. Н.
1. Обобщенные аналитические функции.— Мл Наука, 1987.
2. О метагармонических функциях Ц Труды Тбилисского мат.
ин-та.—1943.-Т. XII.—С. 105—174.
Владимиров В. С.
1. Математические задачи односкоростной теории переноса ча-
стиц Ц Труды мат. ин-та АН СССР.—1961.— Т. 61.— С. 3—
158.
2. Методы теории функций многих комплексных переменных.—
Мл Наука, 1964.
3. Обобщенные функции в математической физике.— Мл Нау-
ка, 1979.
4. Приближенное решение одной краевой задачи для дифферен-
циального уравнения второго порядка Ц ПММ.— 1955,—
Т. 19, вып. 3.- С. 315-324.
610 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Владимиров В. С., В о л о в и ч В. С.
1. Краевые задачи для нелинейных уравнений релятивистской
струны Ц ДАН СССР.— 1985.—Т. 289.—С. 1043—1047.
Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И.
1. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функ-
ций.—М.: Наука, 1986.
Владимиров В. С., М а р к у ш И. И.
1. Владимир Андреевич Стеклов — ученый и организатор нау-
ки.— М.: Наука, 1981.
Владимиров В. С., Михайлов В. П., Башарин А. А.,
Каримова X. К., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И.
1. Сборник задач по уравнениям математической физики.— М.:
Наука, 1982.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.
1. Обобщенные функции. Вып. 1, 1959. Вын. 2, 3, 1958.— М.:
Физм атгиз.
Градштейн И. С., Рыжик И. М.
1. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: На-
ука, 1971.
Дирак И.
1. Основы квантовой механики.— М.: Гостехиздат, 1932.
Д и т к и н В. А., II р у д н и к о в А. II.
1. Операционное исчисление.— М.: Высшая школа, 1975.
Евграфов М. А.
1. Аналитические функции.— М.: Наука, 1968.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питзе fi-
ски й Л. П.
1. Теория солитонов. Метод обратной задачи.— М.: Наука,
1980.
3 е м а п я н А.
1. Интегральные преобразования обобщенных функций.— М.:
Наука, 1974.
Й о с т Р.
1. Общая теория квантованных полей.— М.: Мир, 1967.
Колмогоров А. Н., Фо м и в С. В.
1. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.:
Наука, 1981.
Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М.
1. Уравнения в частных производных математической физи-
ки.— М.: Высшая школа, 1976.
Кудрявцев Л. Д.
1. Основы математического анализа. Т. I—II.— М.: Высшая
школа, 1981.
Курант Р., Г и л ь б е р т Д.
1. Методы математической физики.— Т. I—II.— М.: Гостехиз-
дат, 1951.
Лаврентьев М. А.
1. О некоторых некорректных задачах математической физи-
ки.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.
1. Методы теории функций комплексного переменного.— М.:
Наука, 1988.
Ладыженская О. А.
1. Краевые задачи математической физики.— М.: Наука,
1973.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
511
Лионе Ж-Л.
1. Support dans la transformation de Laplace Ц J. Analyse
Math.- 1952-1953 - T. 2.- P. 369-380.
Ляпунов A. M.
1. Собрание сочинений.— M.: Изд-во АН СССР, 1954.— Т. 1.
Мальцев А. И.
1. Основы линейной алгебры,— М.: Наука, 1975.
Марчук Г. И.
1. Методы расчета ядерных реакторов.— М.: Госатомиздат,
1961.
2. Методы вычислительной математики.— 2-е изд.— М.: Йаука,
1980.
М е с с и а А.
1. Квантовая механика. Т. L— М.: Наука, 1978.
Михайлов В. И.
1. Дифференциальные уравнения в частных производных,—
М.: Наука, 1983.
Михлин С. Г.
1. Курс математической физики.— М.: Наука, 1968.
Никифоров А. Ф., Уваров В. Б.
1. Специальные функции математической физики,— М.: Наука,
1984.
Никольский С. М.
1. Курс математического анализа. Т. I—II.—М.: Наука,
1983.
Петровский И. Г.
1. Лекции об уравнениях с частными производными.— М.: На-
ука, 1970.
2. Лекции по теории интегральных уравнений.—М.: Наука,
1984.
П о л о ж и й Г. Н.
1. Уравнения математической физики.— М.: Высшая школа,
1964.
Понтрягин Л. С.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука,
1982.
Рисе Ф., Секефальви-Надь Б.
1. Лекции по функциональному анализу.— М.: Мир, 1979.
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Ш а б у п и н М. И.
1. Лекции по теории функций комплексного переменного.—М.:
Наука, 1982.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики. Т. П.— М.: Наука, 1967.
2. Курс высшей математики. Т. IV, ч. 1.— М.: Наука, 1974.
3. Курс высшей математики. Т. III, ч. 2.— М.: Наука, 1974.
Соболев С. Л.
1. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.
2. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les
equations lineaires hyperboliques normales Н Мат. сб.— 1936.—
T. 1(43).— С. 39-72.
3. Некоторые применения функционального анализа в матема-
тической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
С о х о ц к и й Ю. В.
1. Об определенных интегралах, употребляемых при разложе-
нии в ряды.— С. Петербург, 1873.
512 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Стеклов В. А.
1. Основные задачи математической физики.— 2-е изд.— М.:
Наука, 1983.
Степанов В. В.
1. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Физматгиз, 1959,
Стритер Р., Вайтман А.
1. РСТ, спин и статистика и все такое.— М.: Наука, 1966.
Тихонов А. Н.
1. О методах решения некорректно поставленных задач Ц Тру-
ды международного конгресса математиков (Москва —
1966).—М.: Мир, 1968.—С. 720-722.
Тихонов А. Н., А р с е н и н В. Я.
1. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1986.
Тихонов А. Н., Иванов В. К., Лаврентьев М. М.
1. Некорректно поставленные задачи Ц Дифференциальные
уравнения с частными производными.— М.: Наука, 1970.—
С. 224-234.
Тихонов А. Н., С а м а р с к и й А. А.
1. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1977.
Фихтенгольц Г. М.
1. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. I—III.— М.: Наука, 1970.
У и з е м Дж.
1. Линейные и нелинейные волны.— М.: Мир, 1977.
Хёрмандер Л.
1. Линейные дифференциальные операторы с частными произ-
водными.— М.: Мир, 1965.
2. О делении обобщенных функций па полиномы Ц Математи-
ка.— 1959.— Т. 3, № 5.— С.‘ 117—130.
3. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными.— М.: Мир, т. 1, 1986; т. 2, 1987.
Шварц Л.
1. Математические методы для физических наук.— М.: Мир,
1965.
2. Theorie des distributions. Т. I—II.— Paris, 1950—1951.
3. Transformation de Laplace des distributions // Medd. Lunds.
Univ. mat. Semin. (Supplementband).— 1952,—C. 196—206.
Шилов Г. E.
1. Математический анализ. Второй специальный курс.— М.:
Наука, 1965.
Эйлер Л.
1. Интегральное исчисление. Т. III.— М.: Физматгиз, 1958,