Гаральд Іро
КЛАСИЧНА МЕХАНІКА

KLASSISCHE MECHANIK
Harald Iro
Institut fur theoretische Physik
Universitat Linz
3. iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1996
UNIVERSITATSVERLAG RUDOLF TRAUNER

Гаральд Іро
КЛАСИЧНА МЕХАНІКА
Переклад з німецької
Романа Ґайди та Юрія Головача
За редакцією
Івана Вакарчука
Львівський національний університет ім. Івана Франка
Львів — 1999

УДК 531.145
PACS 01.30.Pp, 03.20.+І, 46.10.+Z
Іро Гаральд.
Класична механіка / Пер. з нім. Ґайда Р., Головач Ю. — Львів:
ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
ISBN 966-613-013-0
Підручник австрійського фізика-теоретика Гаральда Іро —
приклад книжки, яка вдало поєднує в собі класичний курс теоретичної
механіки із нетрадиційними елементами, засвідчуючи власний погляд
автора і його досвід у викладанні теоретичної механіки в університеті
Йоганна Кеплера в Лінці (Австрія).
Для студентів та викладачів фізичних факультетів, усіх, хто
цікавиться теоретичною механікою.
Затверджено до друку ухвалою Вченої Ради
Львівського національного університету ім. Івана Франка
ISBN 966-613-013-0 © by Universitatsverlag Rudolf Trauner,
A-4021 Linz, 1993
© Переклад українською мовою,
P. Ґайда, Ю. Головач, 1998
© Передмова, І.Вакарчук, 1999

Зміст
Передмова редактора перекладу 10
Передмова автора до українського видання 12
Передмова автора до німецького видання 13
Розділ 1. Мета та основні поняття 14
Розділ 2. Основи класичної механіки 24
2.1. Закони Ньютона 24
2.1.1. Маса, кількість руху і сила 24
2.1.2. Основні закони класичної механіки 27
2.1.3. Механіка матеріальної точки 29
2.2. Перші інтеґрали рівнянь руху Ньютона 31
2.2.1. Збережні величини і константи руху 31
2.2.2. Закон збереження енергії 33
2.2.3. Закон збереження моменту імпульсу 37
Розділ 3. Одновимірний рух частинки 40
3.1. Загальні властивості 42
3.2. Жолоб Ґалілея 46
3.3. Плоский маятник 47
3.4. Гармонічний осцилятор 50
3.5. Вимушені коливання осцилятора із
загасанням 52
3.5.1. Збуджені коливання осцилятора з лінійним
загасанням 53
3.5.2. Періодичне збудження коливань
осцилятора із загасанням
55

6
ЗМІСТ
3.6. Стійкість руху 58
3.7. Ангармонічний одновимірний рух 67
Розділ 4. Несподівана поведінка у двох вимірах 73
4.1. Двовимірний гармонічний осцилятор 73
4.2. Система Ено-Ейлеса 80
4.3. Як виглядає „некорисна“ збережна величина? ... 85
4.4. Хаотична поведінка 89
Розділ 5. Рух у полі центральних сил 97
5.1. Загальні властивості руху в центральному потенціалі 97
5.1.1. Збережні величини 97
5.1.2. Ефективний потенціал 100
5.1.3. Властивості траєкторій 102
5.2. Рух у потенціалі 1/г 104
5.2.1. Рух для L ф 0 105
5.2.2. Обмежений рух для L = 0 111
5.3. Рух у потенціалі V(r) ос 1/га 112
5.3.1. Механічна подібність 113
5.3.2. Вектор Ленца 115
5.4. Інтеґровність зникає 117
Розділ 6. Взаємодія двох мас 129
6.1. Система двох тіл 129
6.2. Гравітаційна взаємодія 136
6.3. Закони Кеплера 138
6.4. Гравітаційний потенціал деякого розподілу мас . . 143
6.4.1. Потенціал однорідної кулі 145
6.4.2. Потенціал неоднорідного тіла 147
6.5. Про правильність Ньютонового закону тяжіння . . 150
Розділ 7. Розсіяння частинок 153
7.1. Необмежений рух у центральному потенціальному
полі 153
7.2. Кінематика пружного зіткнення двох частинок . . . 157
7.2.1. Величини, які визначають пружне зіткнення 157
7.2.2. Кінематика пружного зіткнення 160
7.3. Потенціальне розсіяння 164
7.3.1. Поперечний переріз розсіяння 165
7.3.2. Розсіяння у полі з потенціалом 1/г 168

ЗМІСТ
7
Розділ 8. Заміна систем відліку 174
8.1. Перетворення між інерційними системами відліку . 175
8.1.1. Лінійні перетворення; трансляції 177
8.1.2. Повороти систем координат 178
8.1.3. Група Ґалілея 183
8.2. Перетворення до неінерційних систем відліку .... 187
8.2.1. Система відліку, яка рухається
прямолінійно з прискоренням 187
8.2.2. Обертові системи відліку 188
8.2.3. Рух в обертовій системі 193
Розділ 9. Лаґранжева механіка 199
9.1. В’язі та сили реакції 199
9.2. Варіаційне числення ' 207
9.2.1. Рівняння Ойлера 208
9.2.2. Перетворення змінних 213
9.2.3. Додаткові умови 216
9.3. Функція Лаґранжа 218
9.3.1. Обернена задача варіаційного числення . . . 218
9.3.2. Функціонал для положення x(t) 220
9.3.3. Функція Лаґранжа для матеріальної точки . 222
9.3.4. Функція Лаґранжа в узагальнених
координатах . 225
9.3.5. Інші застосування функції Лаґранжа .... 229
9.3.6. Нерівномірний рух систем відліку 231
Розділ 10. Системи багатьох частинок. Закони збереження і
симетрії 235
10.1. Рівняння руху для системи N матеріальних точок . 235
10.2. Закони збереження 239
10.2.1. Закон збереження імпульсу і центра інерції. 239
10.2.2. Закон збереження моменту імпульсу 241
10.2.3. Закон збереження енергії 244
10.3. Функція Лаґранжа системи N частинок 248
10.4. Інфінітезимальні перетворення і закони збереження 251
Розділ 11. Тверде тіло 260
11.1. Ступені вільності твердого тіла 261
11.2. Основи статики твердого тіла 261

8
ЗМІСТ
11.3. Динаміка твердого тіла 269
11.3.1. Рух у власній системі відліку 269
11.3.2. Тензор інерції 273
11.3.3. Рівняння Ойлера руху дзиґи 279
11.3.4. Рух важкої дзиґи 285
11.3.5. Важка симетрична дзиґа 292
Розділ 12. Малі коливання 301
12.1. Плоский подвійний маятник 301
12.2. Метод малих коливань 305
12.2.1. Загальна теорія 305
12.2.2. Застосування до подвійного маятника .... 310
12.2.3. Триатомна молекула 313
12.3. Лінійний ланцюжок (перехід до класичної теорії
поля) 320
Розділ 13. Канонічне формулювання механіки 328
13.1. Гамільтонова теорія 328
13.1.1. Функція Гамільтона і канонічні рівняння . . 328
13.1.2. Рух у центральному потенціалі й
однорідному магнетному полі 333
13.1.3. Дужки Пуассона 337
13.2. Канонічні перетворення 341
13.2.1. Твірна функція канонічного перетворення . 342
13.2.2. Інфінітезимальні канонічні перетворення . . 347
13.2.3. Симетрії і закони збереження 350
13.2.4. Потік у фазовому просторі 351
Розділ 14. Теорія Гамільтона-Якобі 357
14.1. Інтеґровність 357
14.2. Метод Гамільтона-Якобі (для систем, незалежних
від часу) 362
14.2.1. Рівняння Гамільтона-Якобі 362
14.2.2. Система, яку можна розділити 364
14.3. Задача трьох тіл 369
14.3.1. Обмежена задача трьох тіл 370
14.3.2. Задача двох центрів 376
14.3.3. Розв’язки обмеженої задачі трьох тіл 381
14.3.4. Чому траєкторії планет не хаотичні? 389

ЗМІСТ
9
Розділ 15. Від інтеґровних систем до неінтеґровних 394
15.1. Змінні дія-кут 394
15.1.1. Означення і загальні властивості 394
15.1.2. Перетворення до змінних дія-кут 398
15.2. Рух на (гіпер)торі 406
15.3. Канонічна теорія збурень 409
15.4. Теорема КАМ (огляд) 418
Підсумок 425
Додаток А. Системи координат 427
Додаток Б. Функція Ґріна 435
Б.1. ί-Функція Дірака 435
Б.2. Перетворення Фур’є 437
Б.З. Лінійні диференційні рівняння і функція Ґріна 439
Додаток В. Обертання і тензори 443
Список літератури 446
Предметний покажчик 456

Передмова редактора перекладу
Написати новий підручник з теоретичної фізики — завжди
нелегка і відповідальна справа. Нелегка тому, що курс
теоретичної фізики сформований віддавна, існує ціла низка чудових
підручників і монографій, присвячених окремим частинам цього
курсу і сказати своє, нове слово в цій сфері досить важко.
Відповідальна, бо добрий підручник стає основою для ознайомлення
студентів з новою для них ділянкою знань, а це потребує
особливої уваги від автора у виборі і подачі матеріалу. Підручник
австрійського фізика-теоретика Гаральда Іро — приклад книжки,
яка вдало поєднує в собі „класичний “ курс теоретичної
механіки з нетрадиційними елементами, засвідчуючи власний погляд
автора і його досвід у викладанні курсу механіки в університеті
Йоганна Кеплера в Лінці (Верхня Австрія).
Основною відмінністю пропонованої українському читачеві
книжки від традиційних курсів класичної механіки є розгляд
теорії нелінійних динамічних систем, дослідження хаотичної
поведінки в таких системах, розгляд нових задач про динамічні
системи (теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера). Одночасно значна
увага приділяється висвітленню питань, які раніше не
вважалися традиційними в курсі теоретичної механіки — це лінійний
аналіз стійкості, детальне обґрунтування різних випадків руху
гіроскопа, задача двох центрів і обмежена проблема трьох тіл.
Ці проблеми вдало поєднані з традиційним курсом теоретичної
механіки.
Ще однією вдалою рисою підручника є поклики в тексті на
недавні публікації з теоретичної механіки в наукових та
науковопопулярних журналах. Для читача, який вперше
ознайомлюється з цією ділянкою теоретичної фізики, такі поклики дають
змогу уникати хибної думки про те, що теоретична механіка є
цілком завершеною дисципліною, де немає місця для нових
досліджень. Цьому служать також ілюстрації, подані у
підручнику. Рисунки виконані за допомогою пакета аналітичних
обчислень „ Математика“ на підставі отриманих у тексті лекцій
рівнянь і створюють у читача враження співучасті у виконанні
досліджень. У перекладі для зручності українського читача, список
літератури доповнено також книжками, виданими українською,
російською, англійською мовами.

11
Вдало дібрані наприкінці кожного розділу задачі сприяють не
лише закріпленню викладеного матеріалу. Детальний аналіз
деяких питань, що розглядаються в тексті підручника, часом також
виноситься для самостійного опрацювання як одна із
запропонованих автором задач.
Загалом книжка Гаральда Іро „Класична механіка“ — це
сучасний, надзвичайно ретельно продуманий підручник з
теоретичної механіки, і його можна рекомендувати усім, хто цікавиться
цією основоположною ділянкою теоретичної фізики.
Переклад книжки виконали доктор фіз.-мат. наук професор
Роман Ґайда (розділи 1, 2, 6-15 та додатки) і доктор фіз.-мат.
наук Юрій Головач (розділи 3-5 та авторські зміни і доповнення
до нового видання книжки німецькою мовою).
Насамкінець хочу відзначити надзвичайно прихильне
ставлення автора до видання його книжки українською мовою. Він
та видавництво „Rudolf Trauner“ безкоштовно передали
авторські права для українського перекладу книжки, надали в наше
розпорядження електронний варіант тексту та ілюстрацій, що
значно полегшило технічне оформлення книжки. Дуже
корисними виявилися численні консультації з доктором Гаральдом Іро.
Перекладачі та редактор щиро вдячні авторові за допомогу, ми
також вдячні докторові фіз.-мат. наук Володимирові Третяку за
допомогу у підготовці українського перекладу книжки.
Іван Вакарчук

12
Передмова автора до українського видання
Пропозиція ректора Львівського державного університету
ім. І.Франка професора Івана Вакарчука перекласти українською
мовою мою книжку „Теоретична механіка “ — це одна із
найбільших почестей, які я отримав. Я сподіваюся, що моя книжка
виправдає його довіру. Це запрошення — один із наслідків тісної і
плідної співпраці Інституту фізики конденсованих систем (ІФКС)
НАН України у Львові із моїм інститутом, Інститутом
теоретичної фізики Університету Йоганна Кеплера в Лінці (Австрія).
Однак воно було великою несподіванкою для мене. За підготовку
українського перекладу я вдячний професорові Романові Ґайді
(ІФКС НАНУ), який уже відійшов від нас, та докторові Юрієві
Головачу (ІФКС НАНУ та ЛДУ ім. Івана Франка). їм обидвом
я щиро вдячний за численні зауваги і поліпшення мого тексту у
перекладі. Я вірю, що їхня робота була майже такою ж важкою,
як і моя, коли я писав цю книжку. Я дякую за зусилля усім, хто
був залучений до перевірки українського перекладу стосовно
його фізичного змісту і мови. Я також буду вдячний усім читачам,
які вкажуть на помилки і повідомлять свої коментарі та
пропозиції мені або видавцям.
Лінц (Австрія), жовтень 1998
Гаральд Іро

13
Передмова автора до німецького видання
Декілька років тому я вперше став перед завданням
прочитати в межах чотиригодинних викладів курс лекцій з класичної
механіки як першої частини теоретичної фізики. Я мав деяке
уявлення про сучасне трактування цієї теми. Зокрема новіший
розвиток у галузі нелінійних динамічних систем, який
характеризується загальними термінами „інтеґровність“ та „хаотична
поведінка “ дають змогу вважати їх у певному сенсі
завершенням класичної механіки. Тоді я не знав підручника класичної
механіки, зміст і структура якого хоча б наближено відповідали
моїм намірам. Тому своє розуміння класичної механіки я виклав
спочатку в конспектах. У міжчасі, правда, я знайшов у деяких
підручниках відображення цих тем, але вони не були суттєвою
складовою частиною цілісного викладу. Лекції з механіки я
читав багато разів, однак постійно їх переробляв і доповнював. У
зв’язку із запланованим їх виданням конспект поступово
набував вигляду книжки. Цілі залишалися тими самими: сильніший
акцент на значення перших інтеґралів рівнянь руху і збережних
величин, розгляд хаотичної поведінки в системах, які описуються
нелінійними рівняннями руху і перехід до новіших задач про
динамічні системи (теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера).
Водночас є ще теми, які раніше вважалися нетрадиційними, такі як
лінійний аналіз стійкості, детальне обговорення різних випадків
руху дзиґи (гіроскопа), задача двох центрів і обмежена
проблема трьох тіл, рівно ж канонічна теорія збурень — це важливі
частини загальної картини.
Пропоноване нове видання відрізняється від попереднього як
змістом, так і формою. Крім виправлення помилок та деякого
поліпшення тексту, я додав розгляд руху частинки в однорідному
магнетному полі. Щодо зовнішньої форми, то я змінив систему
опрацювання тексту і заново виконав майже всі рисунки.
Задачі зібрано разом наприкінці кожного розділу. Вказівки на них
у тексті позначено символом (К). Панові проф. Б. Шніцерові я
вдячний за численні вказівки та пропозиції щодо рисунків. Пан
д-р К. Кльоймбок з великим терпінням впроваджував мене у
пакети програм, які використані у цій книжці.
Лінц, серпень 1996
Гаралвд Іро

Розділ 1
Мета та основні поняття
Під кінець минулого століття здавалося, що фізика і,
зокрема, механіка, як її основа, в головних рисах завершені.
Залишалися нез’ясованими або нерозв’язаними лише деякі
теоретикопізнавальні („метафізичні“) питання. Одне з них — це проблема
трохи дивних властивостей ефіру [7], який, як уважали,
необхідний для електродинаміки і виступає як конкретизація
абстрактного абсолютного простору. Інша суперечність існувала між
представниками атомістики, уявлення яких знаходили вираз,
наприклад, у теорії газів, та прихильниками неперервної картини
природи, яка є ідейним тлом у теорії пружності або в теорії
електромагнетизму (характерним для двох останніх теорій є їхнє
формулювання у формі диференційних рівнянь з частинними
похідними [1]). Тому науковці щоразу більше займалися
теоретикопізравальними проблемами фізики і водночас (теоретичної)
механіки. Дуже широкий виклад науково-теоретичних аспектів
механіки подає Е. Мах у праці „Механіка в її розвитку“ [86].
У кожного, хто займається своїм довкіллям, тобто
спостерігає, формує, змінює навколишню природу, розвиваються певні
уявлення, основою яких є просте сприйняття цього довкілля.
Виникають образи і припущення про взаємні зв’язки і впливи явищ
природи: створюється картина світу, яка може містити, а в
багатьох випадках і міститиме, цілком ірраціональні елементи — чи
то демонічні, чи релігійні. У фізиці обмежуються раціональною
частиною картини світу. Подані нижче висловлювання і
міркування визначних фізиків про відношення між зовнішнім світом
та людиною добре узгоджуються з поглядами більшості фізиків.

15
Наш вибір жодною мірою не є повний чи систематичний, і тому
він відображатиме теоретико-пізнавальні й науково-теоретичні
аспекти механіки також дуже неповно; він може лише
ілюструвати деякі уявлення, які лежать в основі пропонованого викладу
механіки.
Певну модель процесу пізнання у фізиці сформулював
Гайнріх ГЕРЦ (Heinrich HERTZ, 1857-1894) у книжці „Принципи
механіки“ [4]: „Як базу ... ми використовуємо ... попередній
досвід, набутий випадковими спостереженнями або спеціально
поставленими дослідами. Але досвід, який завжди служить нам
для виведення майбутнього з минулого, а, отже, для
досягнення бажаних результатів, полягає ось у чому: ми створюємо
собі внутрішні уявні образи або символи зовнішніх предметів,
і створюємо їх такими, щоб мисленно необхідні наслідки цих
образів були образами тих наслідків, які в природі неминуче
виникають з предметів, відбитками яких були ці образи. Щоб ці
вимоги були викональними, мусять існувати деякі узгодження
між природою і нашим духом. Досвід учить нас, що ці
вимоги дійсно виконуються, так що й зазначені узгодження справді
існують “.
випадкові спостереження,
1
необхідні природні наслідки
спеціальні досліди
—*
2 ψ
t 4
внутрішні образи,
мисленно необхідні наслідки
символи
3
образів
Схема процесу пізнання за Герцом
Висловлюючи своє ставлення до цього, Людвіґ БОЛЬЦМАН
(Ludwig BOLTZMANN, 1844-1906) пише [1]:
„ Ніколи, мабуть, не було сумнівів ..., що наші думки є лише
образами предметів (краще — їх знаками), з якими вони мають
щонайвище деяку спорідненість, але ніколи не можуть з ними
покриватися, а лише мають до них таке відношення, як букви
до звуків або ноти до тонів. З огляду на обмеженість нашого

16
Розділ 1. МЕТА ТА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
інтелекту вони здатні віддзеркалювати завжди тільки малу
частину об’єктів.
Тепер можемо діяти двома способами: 1. Ці образи можна
узагальнювати. Тоді ми піддаємося меншій небезпеці, що вони
пізніше виявляться неправильними, бо їх буде легше узгіднити з
нововідкритими фактами; тільки через їхню загальність ці
образи будуть неточними і нечіткими, а їхній дальший розвиток
буде дещо непевний і багатозначний. 2. Ми конкретизуємо ці
образи і доводимо їх до деякого ступеня деталізації. Тоді будемо
змушені вносити в них багато більше довільностей (гіпотез),
що, ймовірно, не узгоджуватиметься з новим досвідом; з цього
матимемо таку користь, що образи стануть, наскільки
можливо, чіткими і виразними, і всі висновки з них ми зможемо
витягнути з повною впевненістю й однозначністю“.
Далі Больцман торкається вимоги „ вивчати тільки
безпосередньо ці явища і нічого довільного їм не приписувати “, тобто
не допускати будь-яких гіпотез; він зазначає, що ця вимога не
виходить за межі буквального фіксування поодиноких явищ.
У процесі конструювання образів і моделей існує деяка
свобода у виборі гіпотез. Якщо результати різних гіпотез не
відрізняються, то про їх вибір вирішують за критеріями, які лежать
поза межами фізичної арґументації. Існує таке мірило, як
естетична оцінка пояснень і теорій. Суттєвим критерієм є, за Махом
[86], простота або економія моделі. Це ствердження Маха не нове:
вже Ісаак НЬЮТОН (Isaac NEWTON, 1642-1727) подав „правила
дослідження природи з них два перші такі [89]:
Правило 1.
Шукаючи причин природних речей, нові
припущення можна робити тільки тоді, коли явища
не можна пояснити тим, що тепер знаємо.
Правило 2.
При цьому наскільки це можливо однаковим діям
мусимо приписувати однакові причини.
У своїй „Математичній фізиці“ Ґ. Кірхгоф [5] так визначив
завдання механіки: „Описувати повно і просто рух, що
відбувається в природі “.

17
Гіпотези і постулати, які виникають під час опрацювання
образів, будуть діалектично удосконалені й уточнені. Фізика
розвивається успішно завдяки взаємній грі між кращим пізнанням
спостережуваних явищ (постійне деталізування досвіду в сенсі
Герца) та застосуванням моделей (образів нашої уяви і їх
наслідків) у фізичній практиці. Фолькман [7] визначив цю обставину як
„круговорот пізнання“: „ Фізика — це понятійна система
відліку зі зворотним підтвердженням и. Разом з розвитком фізики
удосконалюються (початкові, неточні побутові) поняття; обсяг
їх значень уточнюється; деякі з них набувають кількісного
характеру; постають нові поняття.
Дещо конкретніше я хотів би відзначити такі кроки на шляху
до розуміння процесів природи у фізиці:
- процес природи так пристосовують, щоб його можна було
повторити під контрольованими умовами (наприклад,
досліди Ґалілея: вільне падіння, нахилений жолоб);
віднаходять величини, які визначають процес; відділяють суттєві
(залежність від маси, кута нахилу) та несуттєві (опір
повітря, тертя) ознаки і властивості (див. крок 1 на схемі процесу
пізнання);
- спостережуваний перебіг процесу моделюють
математично, причому суттєвим ознакам зіставляють математичні
величини; встановлені закономірності дають співвідношення
між цими величинами (крок 2);
- оцінка цих співвідношень здійснюється переважно
математичними методами (крок 3);
- результат потрібно інтерпретувати стосовно початкових
(дослідних) залежностей; він повинен давати висновки про
майбутній розвиток спостережуваних процесів (крок 4);
- якщо ці висновки узгоджуються зі спостереженнями, то
(математичний) образ процесу трактують як модель;
якщо це не так, то припущення (гіпотези), зроблені під час
формулювання моделі, слід переглянути і змінити;
- встановлюють зв’язки між явищами, які виглядають
різними, і між їхніми моделями, аналізують спільні риси (рух
планет — вільне падіння); моделі об’єднують для опису
групи процесів, які самі собою різні; описи більших областей
процесів називають теоріями;

18
Розділ 1. МЕТА ТА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
- якщо зроблено спостереження, які суперечать певній теорії,
то її треба змінити або відкинути.
Зауваження.
i) Філософічне питання про реальність процесів не є питанням
фізичним1. Відповідь на нього не є передумовою фізичної
практики.
ii) Диференціація на експериментальну і теоретичну фізику
(фізиків-експериментаторів та теоретиків) виникла на
початку цього століття у зв’язку зі зростанням ролі
математичного апарату. Поняття експериментальної фізики
існувало вже в часи Ньютона [89].
iii) Нові перспективи відкрив щораз інтенсивніший внесок
комп’ютерів у фізику. За їх допомогою можна проводити
обчислення, які були недоступні раніше. Суттєво розширюють
сферу фізичних досліджень так звані комп’ютерні
експерименти. Вони дають змогу симулювати деякі процеси, які не
піддаються дослідженням іншими методами
(обчислювальна фізика).
iv) Поряд з конкретними результатами фізика, особливо її
методологія, „філософія“ фізики, має значення як зразок для
інших галузей науки. Цей аспект фізики цікавий із
загальної точки зору і тому його треба особливо опрацьовувати в
навчальному процесі.
Після цих вступних цитат і міркувань займімося фізичними
образами і моделями. Спочатку розгляньмо ще трохи фундаментальні
поняття фізики.
Простір, час, рух
Сферу, в якій важливе кожне з цих понять, точно
окреслити важко. Знання про їх історичний розвиток суттєво полегшить  **Для Б. Рассела фізика, яка з’ясовує однаковість сприймання різними
людьми, є ознакою реальності, що існує поза нами [58].

19
розрізнення фізичного змісту цих понять, який вони мали в
різні періоди — на противагу до побутової мови. Однак це лежить
поза усталеними уявленнями механіки. Як широке
дослідження поняття простору згадаємо книжку М. Джаммера „Поняття
простору “ [51]. Те, що фізичний простір, а також час, не мають
жодної іншої якості, крім вимірювальності, тобто змоги
характеризувати їх за допомогою чисел2, ґрунтується на багатьох
чинниках, які вплинули на це в історії зазначених понять. В інших
світоглядних системах3 з цими (або спорідненими) поняттями
дуже добре пов’язуються властивості, які суттєво ускладнюють їх
кількісне зображення. Хоч ці обидва поняття, здавалося,
з’ясовані і розмежовані за їх застосуванням у класичній механіці, проте
на початку нашого століття А. Айнштайн мусів піддати їх
ревізії. Наприклад, поняття простору втратило своє незалежне від
поняття тіла (а, отже, і маси!) існування.
Фізика описує поведінку об’єктів, які перебувають у
„просторі “, а їхні положення змінюються з „ часом
Простір і час, а точніше, їх образи в больцмановому
сенсі, є базовими поняттями фізики; рух поєднує
простір і час.
Цими поняттями займалися від століть не лише філософи,
але й фізики. Цитати з міркуваннями на цю тему Ісаака
Ньютона, який стояв на початку становлення механіки, та Ернста
МАХА (Ernst MACH, 1838-1916), який уже міг зробити підсумок
цього розвитку, повинні дати змогу ознайомитися з формуванням
понять у фізиці. Ми взяли тут думки, викладені у праці
Ньютона „Philosophiae naturalis principia mathematica“ („Математичні
принципи філософії природи “) і в книжці Маха [86].
НЬЮТОН про час
„Абсолютний, дійсний і математичний час пливе
сам собою і завдяки своїй природі рівномірно і
незалежно від будь-яких зовнішніх предметів. Він
зіставляється також з терміном тривалість.
23 використанням певної вимірювальної операції. — Примітка
перекладача.
3Або, інакше, в інших (нефізичних) картинах світу. — Примітка
перекладача.

20
Розділ 1. МЕТА ТА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
Відносний, позірний і звичайний час є відчуттевою і
зовнішньою, точною або наближеною, мірою
тривання, якою послуговуються звичайно замість дійсного
часу, як година, день, місяць, ріки.
Ці твердження є, мабуть, інтуїтивно зрозумілими, але вони
виглядають непослідовними для тих, хто знає намір Ньютона
„ досліджувати тільки фактичне їх, імовірно, можна
пояснити, беручи до уваги тогочасну філософічну базу. МАХ4
заперечував проти цього, твердячи, що час — це абстракція. Зміни не
можна вимірювати тільки часом. Для вимірювання часу треба
притягнути рухи:
„Рух може бути рівномірним відносно іншого руху. Питання,
чи деякий рух сам собою рівномірний, позбавлене сенсу...
Абсолютний час не можна відмірити жодним рухом, тому він
не має жодної практичної і наукової вартості, ніхто не має
підстави сказати, що він щось знає про нього, це беззмістовне
„ метафізичне “ поняття
НЬЮТОН про простір
„Абсолютний простір залишається внаслідок своєї
природи і безвідносно до будь-яких зовнішніх
предметів завжди тим самим і нерухомим.
Відносний простір є мірою або рухомою частиною
абсолютного; він визначається за допомогою наших
органів чуття положеннями відносно інших тіл і
приймається звичайно за нерухомий простір
І про рух, який встановлює зв’язок між простором і часом:
„Абсолютний рух — це переміщення тіл з одного
абсолютного місця до іншого абсолютного місця,
відносний рух — це переміщення з одного відносного
місця до іншого відносного місця. “
4Е.Мах (як і Ґ. Кірхгоф) дотримується думки, що природознавство
повинно питатися не „чому?“, а „як?“ [78].

21
На це МАХ заперечує:
„Про абсолютний простір і абсолютний рух ніхто
не може нічого сказати, вони є голими предметами
думки, які дослідом не можна виявити. Всі наші
основні закони механіки є, як уже докладно зазначено,
результатами досвіду про відносні положення і рухи
тіл
Ньютонів дослід з відром — у ньому наповнене водою
відро приводиться повільно в обертовий рух, а потім раптово
зупиняється — не є для Маха переконливим доведенням існування
абсолютного простору: вигин обертальної поверхні води у відрі
вказує лише на відносний рух щодо фіксованого зоряного неба,
а не на рух відносно (фіксованого) абсолютного простору.
Уявлення про „ апріорні “, тобто незалежні від спостережуваних тіл
поняття — простір, час, рух — може мати законні підстави
лише у Ньютоновій механіці. Пізніше в загальній теорії відносності
таке відділення від понять маси (тіла) і сили (поля) вже не
допускається.
Отже, вже стосовно цих базових понять „простір, час і рух“
існують суперечності, які проте для фізичної практики (тобто
для шляху 3 та 4 на схемі 15, с. 2) не мають (майже)
жодного значення. З огляду на далекосяжну узгодженість побутових
понять простору, часу і руху з фізичними ми припускатимемо
далі, що читач володіє таким добре узгодженим розумінням цих
понять і не робитимемо спроби їх уточнювати.
Для застосувань важливо мати математичні образи цих
понять. З досвіду знаємо: якщо один раз умовитись про початок
системи координат О у просторі та про початок відліку часу
t = 0, то кожну точку простору г можна однозначно описати,
приписуючи їй три числа, тоді як для моменту часу t вистачає
одного числа. Дальшими поняттями, потрібними для створення
математичного образу простору, є довжина відрізка та кут між
двома відрізками. Цих вимог уже досить.
Евклідовий векторний простір у трьох вимірах
Його властивості такі:
1. Він є векторним простором (або лінійним простором), тоб-

22
Розділ 1. МЕТА ТА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
то в ньому означено дві операції: додавання і множення.
Додавання пов’язує два елементи (вектори) а, b простору однозначно
і зворотньо; воно є асоціативним і комутативним. Множення на
дійсне число теж ставить у відповідність одному елементові
інший; воно є асоціативним і дистрибутивним.
2. Для елементів векторного простору існує скалярний
добуток (а, Ь), тобто відображення двох векторів а та b на
дійсне число; це відображення дистрибутивне, комутативне,
однорідне ((аа, Ь) = а(а, Ь), а — дійсне число) і позитивно означене
((а, а) > 0). Скалярний добуток дає змогу ввести метрику.
Кожний евклідовий векторний простір скінченної
вимірності d має ортонормовану базу, тобто в ньому можна вибрати за
базу d ортогональних одиничних векторів (ортів). На практиці
стикаємось з проблемою, як знайти прямі, щоб задавали
зручні (локальні) вісі координат. У класичній механіці ними можуть
добре служити сонячні промені. Вимірювання довжин і
віддалей виконують порівнянням з фіксованою масштабною лінійкою
(наприклад, метровою).
Якщо існують обмеження ступенів вільності руху, то може
виявитися достатнім описувати процеси в одно- або
двовимірному просторі (рух на заданій кривій або поверхні). З іншого боку,
можна також надавати перевагу введенню, крім координат,
інших змінних, переходячи до (абстрактного) простору вищих
вимірностей (приклад: фазовий простір, див. далі).
Для повного кількісного опису руху тіл не досить
визначати тільки зміни просторових положень. Необхідно також
встановлювати залежність цих змін від часу. Поняттям „перед61 та
„після66 відповідає у математичному описі скалярна величина,
яку визначають як час t. На практиці для вимірювання часу
застосовують деякий зручний періодичний рух (процес), для
якого міра часу, тобто період (згідно з припущенням!) є сталим: на
початку новітнього нормування часу для цього служив
макроскопічний рух маятника, потім періодичні зміни розмірів кварцу
під час його коливань, і, нарешті, в наш час застосовуються
мікроскопічні рухи: коливання ядер (атомні годинники). Отже, для
визначення інтервалів часу застосовуються за домовленостями
стандартні рухи.
Для багатьох застосувань можна обмежитися під час дослі¬
дження руху протяжного тіла рухом деякої точки — його пред-

23
ставника, — яка лежить у тілі. В математичному описі руху
цієї точки з вектором положення г відповідає функція г = г(£),
яка задає часову послідовність положень цієї точки. У
класичній механіці для визначення руху особливе значення мають лише
перша та друга похідна за часом від вектора положення, а саме
зміна положення вектора з часом,5
a . dr
швидкість v = — =: г
at
і зміна швидкості з часом,
d2 г .. .
прискорення D = т =: r = V
atz
(позначення похідної за часом крапкою над упохідненою
величиною походить, до речі, від Ньютона).
Сили
Причиною зміни стану руху (точне пояснення дамо в
наступному розділі) в Ньютоновій механіці є дія сил. Типовими силами
є, з одного боку, ґравітаційна сила, дії якої розглядатимемо в
небесній механіці, і, з іншого боку, гармонічні сили, які найчастіше
служать наближеннями для сил різних типів. Темою класичної
механіки є динаміка, яка вивчає, як відбуваються рухи під
впливом сил.
Дальші припущення і гіпотези, які стосуються шляху 1 на
схемі пізнання (с. 15), викладемо в наступному розділі. Решта
книжки майже цілком присвячена шляхові 3 та його
проблемам, а також порівнянню результатів з реальністю (крок 4): із
законів Ньютона розвинемо на математичній площині (образів)
зображення механіки (Лаґранжеве, Гамільтонове), яке,
здається спочатку, є тільки естетично кращим образом механіки. Але
використання його математичного апарату дасть змогу зробити
прозорішими властивості та залежності, які в Ньютоновому
формулюванні розкриваються важче і без єдиної системи.
5Символи =: і : = (двокрапка і знак рівності) застосовують у сучасній
математичній літературі для скороченого позначення „рівності за означенням".
Двокрапку звичайно ставлять з боку символу, який означається цією
формулою. — Примітка перекладача.

Розділ 2
Основи класичної механіки
Фундаментом так званої Ньютонової (ньютонівської)
механіки є закони, які Ньютон опублікував наприкінці XVII століття
у книзі „Philosophiae naturalis principia mathematical (Лондон,
1686). Перед тим, як сформулювати закони, Ньютон мусив
означити поняття, які дали б змогу математично описувати механічні
процеси в природі: маса, сила, кількість руху. Три його закони і
деякі пов’язані з ними означення стоять, зрозуміло, на початку
розвитку теоретичної побудови механіки. Усі цитати з
Ньютонових „ Principia61 разом з деякими коментарями і критикою Маха
взято з книжки „Механіка у її розвитку“ [86].1
2.1. 	Закони Ньютона
'2.1.1. Маса, кількість руху і сила
Перед тим, як подати у своїй головній праці закони, Ньютон
сформулював деякі означення. Чотири з них звучать так:
Означення 1:
Кількість матерії вимірюється спільно її густиною
і об’ємом. Далі цю кількість матерії я буду розуміти
під назвами тіло або маса, і її можна визначити за
відомості про життя і діяльність Ньютона можна знайти, наприклад,
у біографії, яку написав С.І.Вавілов [90], або в новішій книжці „Хай живе
Ньютон! “ [79], у статтях якої описано життя і праці Ньютона.

2.1. ЗАКОНИ НЬЮТОНА
25
вагою цього тіла. Те, що маса пропорційна до ваги, я
дуже точно встановив за дослідом з маятником.
Означення 2:
Величина руху вимірюється спільно швидкістю і
кількістю матерїг.
Означення 3:
Матерія має здатність протистояти (чинити
опір); тому кожне тіло, поки є собою, залишається у
своєму стані спокою або рівномірного прямолінійного
руху.
Означення 4:
Прикладена до тіла сила — це намагання дією на
нього змінити його стан спокою або рівномірного
прямолінійного руху.
Мабуть, Мах надто строго називав означення 1 позірним, а
означення 3 — зайвим з огляду на 4. Але не лише він
незадоволений Ньютоновим поняттям маси. Так, Герц у своїх „Принципах
механіки “ [4] окреслив Ньютонове означення маси як
насильство, і Ньютон мусив би почуватися через це збентеженим. У своїх
означеннях Ньютон не розрізняв важкої маси й інертної маси.
Така диференціація враховує різні аспекти поняття маси в
означеннях 1 і 2. Рівність двох мас не є безпосередньо очевидною
(див. підрозділ 6.2).
Кількість руху сьогодні називають, звичайно, імпульсом. Для
усіх трьох понять: маса, кількість руху і сила їхній сенс у
сучасній фізиці суттєво відрізняється від того, який характерний для
побутового вживання цих слів (у випадку кількості руху існує в
побуті лише поняття імпульс). Фізичні поняття мають точніше
означений сенс (насамперед з огляду на те, що вони є в
математичних співвідношеннях). Аби показати, що зміст цих понять не
означений так чітко, як це можна було б, мабуть, зробити, коли
б їх запроваджували сьогодні, звернімося коротко до їх історії.
Для цього використаємо виклади М. Джаммера „Поняття маси“
[82] і „Поняття сили“ [83]. Для докладнішої інформації й
ознайомлення з історією цих понять ми відсилаємо читачів до цих
двох книжок.

26
Розділ 2. ОСНОВИ
Маса
Один з попередників сучасного фізичного поняття маси
пов’язаний у давніх культурах зі зважуванням матерії. Проте минуло
багато часу, поки поняття „маса“ почало визначати універсальну
кількість для найрізноманітніших предметів (форм і родів
матерії), яку можна було порівнювати (а, отже, і визначати кількісно)
також тоді, коли ці предмети мають різні інші властивості. Ще
в часи Арістотеля маса була індивідуальною кількісною
характеристикою кожного предмета, як, наприклад, колір або запах.
У побуті часто використовують як синоніми поняття маси і ваги.
З останнім поняттям пов’язане точне фізичне означення важкої
маси.
Кількість руху, імпульс
Наступним питанням було пізнати вплив величини маси на
рух. Цей аспект охоплює поняття кількості руху, яке чіткіше і
кількісно характеризує стан руху маси. В цьому контексті
точнішого відрізнення вимагає поняття інертної маси. Як уже
згадувалося, кількість руху називають сьогодні (лінійним)2 імпульсом.
Сила
Принаймні так само різним як поняття маси, є зміст поняття
сили. Декарт розумів під силою сьогоднішній імпульс, а потім
величину, яку тепер називають роботою. Ляйбніц
використовував термін vis viva (жива сила) для (кінетичної) енергії. Закони
Ньютона аж ніяк не усунули різного розуміння поняття сили. Ще
і сьогодні різні поняття сили, зусилля, напруження, роботи, дії
використовуються в побуті як синоніми. Поняття сили має
центральне значення для розвитку Ньютонової механіки, а, отже,
є суттєвою підвалиною сучасного природознавства. Такою
плідною не стала, наприклад, сила як гола причинність. У новішій
фізиці сила знову елімінується; її замінює поняття поля.
2 Для відрізнення від обертового. — Примітка перекладача.

2.1. ЗАКОНИ НЬЮТОНА
27
2.1.2. 	Основні закони класичної механіки
Після наведених вище означень сформулюємо три закони ру-
Перший закон:
Кожне тіло намагається зберегти стан спокою або
рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не
діє жодна сила.
Другий закон:
Зміна руху пропорційна дії зовнішньої сили і
відбувається в напрямі прямої лінії\ вздовж якої діє ця сила.
Третій закон:
Дія завжди дорівнює протидії, або дії двох тіл одне
на одне завжди рівні і протилежні за напрямком.
З цих законів випливають різні наслідки; найважливіші з них
містяться у принципі суперпозиції сил: сили додаються як
вектори (паралелограм сил).
Перший закон підсумовує сучасний досвід вивчення руху
маси. Зокрема Ґалілей вивчав рух деякої маси на похилій площині
під впливом сили ваги і встановив намагання зберігати рух тіла,
на яке не діє жодна сила (на горизонтальній площині). Декарт
узагальнив цю ідею, доповнивши її твердженням, що вільні тіла
рухаються лише прямолінійно.
За Арістотелем, швидкість пропорційна до сили. Великим
досягненням Ньютона було сформульоване у другому законі
твердження, що зміна величини руху, тобто прискорення, пов’язане
із силою, і що співвідношення між ними є загальним, спільним
для будь-яких рухів (траєкторії можуть бути цілком різними).
Правда, вже Ґалілей у своїх дослідах з паданням тіл після
початкового помилкового формулювання закону падіння, 1608 р.
встановив, чим визначається прискорення (див. [З, 80]). Другий
закон Ньютона є основою динаміки.
Мах особливо критикував перший і другий закони,
вважаючи їх означення „ непотрібною тавтологієюи. Він замінив

28
Розділ 2. ОСНОВИ
„ Ньютонову побудову набагато простішою, методично
краще впорядкованою і задовільнішою“ [86]. Але на противагу до
„ несистематичної “ Ньютонової її нелегко зрозуміти, якщо не
ознайомитися з попереднім обговоренням, яке міститься у
книжці Герца [4]. Можна думати, що Мах не оцінив належно праць
Ньютона; однак він таки знав їхню вартість, бо наприкінці
ствердив, що, з одного боку, повторення і тавтології зумовлені, мабуть,
спротивом сучасників щодо таких ідей, а, з іншого боку, —
нечітким розумінням нового. Проте це „не може кинути найменшу
тінь на його духовну величсс.
Зауваження.
i) В античності і ще довго пізніше вірили, що рух без дії сил
є коловим (Птолемей).
ii) Виглядає, що другий закон Ньютона служить означенням
сили. Незалежне визначення сили (порівняйте з силою
реакції, наприклад, гармонічної пружної сили) робить
можливими плідні застосування. Одним з наслідків цього закону
є зображення сили в конфіґураційному просторі, оскільки
своєю дією сила впливає на рух (пор. розділ 8).
iii) Оскільки перший закон Ньютона встановлює, що рух,
вільний від дії сил, прямолінійний, то певною мірою природно
користуватися декартовою системою координат (у
випадку, як це зауважив Птолемей, коли вільний від сил рух є
коловим, „природними“ були б полярні координати).
Викладемо в сучасній інтерпретації і математичному
формулюванні
основні постулати Ньютона
Імпульс р тіла визначається його масою т і швидкістю v =
dr/dt = r:
(2.1)
р = rav.

2.1. ЗАКОНИ НЬЮТОНА
29
• Сила зображується вектором. Якщо на тіло діють дві сили,
тоді повна сила F є векторною сумою цих сил:
F = F! + F2 (2.2)
(Теорема додавання сил, яку також називають принципом
суперпозиції сил).
• Два перші закони Ньютона встановлюють залежність між
зміною імпульсу (кількості руху) тіла і силою, що діє на
тіло; вони об’єднуються рівнянням руху Ньютона
Р = F (2.3)
(р = const, якщо F = 0 (перший закон)). У випадку
незалежної від часу маси т зміна швидкості, тобто прискорення
(fir/dt2 = ?, є мірою сили:
mr = F.
(2.4)
• Третій закон встановлює залежність між силами, з якими
два тіла діють одне на одне:
F2i = —Fi2 (2.5)
(дія дорівнює протидії), де Fж — сила, з якою тіло к діє на
тіло і.
Теорема додавання сил є вихідним пунктом важливого
передусім з історичного погляду розділу механіки: дослідження
випадку рівноваги дій багатьох сил на одне тіло (статика). Оскільки
сьогодні статика має значення тільки для технічних застосувань,
ми лише коротко зупинимось на її основах (див. підрозділ 11.2).
2.1.3. 	Механіка матеріальної точки
Означення і закони Ньютона застосуємо насамперед до так
званих матеріальних точок, які можна уявити собі як тіла з
нескінченно малими розмірами; обмеження такою абстракцією не
допускає впливу на рух тіла його внутрішньої будови і пов’язаних

зо
Розділ 2. ОСНОВИ
з нею ступенів вільності. Виходячи з такого, радше
математичного, поняття будемо описувати в межах механіки матеріальної
точки рухи протяжних тіл. Ми можемо покликатися на
традицію, яку визнають майже всі згадані в цій книжці фізики3  4.
Порівняння теоретичних результатів з реальністю показує, що ця
форма механіки є успішною (див. крок 4 схеми на с. 15).
Якщо застосувати третій закон Ньютона до матеріальної
точки, на яку діє зовнішня сила, то прийдемо, згідно з Герцом [4], до
„ логічної недосконалості коли, як це звичайно робиться,
розглядати відцентрову силу (див. розділ 8) як силу протидії. Але
це не що інше, як частина зміни кількості руху в лівій частині
(2.4). Отже, цей член враховувався би подвійно. Цього не буде,
якщо третій закон обмежити до сил, які є рівноправними, отже,
до двох (або більше) зовнішніх сил, тобто до сил, якими
взаємодіють дві (або більше) матеріальні точки.
Якщо сила залежить від положення, F = F(r), тоді говорять
про поле сил (силове поле). Якщо силове поле визначено
статично, то треба впевнитися, що силове поле не залежить від
швидкості. Для довільної залежності сили від r, v і t, F = F(r, v, t), часто
треба розв’язувати рівняння руху (2.3) або (2.4), тобто три
диференційні рівняння другого порядку. Якщо припустити, що сила F
має конкретні властивості, то існують загальні методи, які дають
змогу полегшити розв’язування рівнянь руху. В подальшому
зробимо два обмежувальні припущення про величини, що входять у
(2.3):
і) Розглядатимемо лише матеріальні точки з незмінними
4 . . . d . ..
масами*, тоді з рівності —Ітг) = шг випливає, що закон
at
руху задається рівнянням (2.4).
3Трохи дивними є заперечення проти точкової механіки, які відшукує
Шабо (Szabo), рішучий прихильник континуальної механіки [102].
4У випадку змінної маси рівняння руху (2.3) має вигляд:
. dm .. _
г— ь 771 г = F.
dt
dm
Якщо відоме, то рівняння руху можна в деяких випадках розв’язати
Wdux __
; зокрема для одновимірного руху, коли —— = const і F залежить тільки
dt
від V.

2.2. ПЕРШІ ІНТЕҐРАЛИ
31
іі) Силове поле F залежить лише від г, а не, наприклад5, від
ί (як в електродинаміці). Якщо розглядати сили взаємодії
двох матеріальних точок, залежні лише від положення, то
внаслідок третього закону Ньютона і на основі принципу
взаємності6 відповідні сили спрямовані вздовж (паралельно
або антипаралельно) вектора відносного положення двох
ТІЛ 1*1 — Г2 .
2.2. 	Перші інтеґрали рівнянь руху Ньютона
2.2.1. 	Збережні величини і константи руху
Розв’язуючи диференційне рівняння (2.4), гаг = F(r), за
даних початкових умов
г0 := r(t = 0) і vQ := v(t = 0), (2.6)
отримуємо траєкторію r = r(t) матеріальної точки у
(тривимірному) просторі, який назвемо конфігураційним простором. Якщо
введенням додаткової змінної v записати диференційне рівняння
другого порядку у вигляді автономної7 системи рівнянь першого
порядку:
ί = V,
ν = F/ra, (2.7)
то кількість диференційних рівнянь подвоїться. Натягнений на г і
ν (шестивимірний) простір називають фазовим простором.
Система рівнянь (2.7) має за кожних заданих початкових значень
Vq і го однозначний розв’язок (якщо F задовольняє певні
умови; вони виконуються у випадках, які розглядатимемо). Отже,
5Якщо сила тертя пропорційна до швидкості v (= г), то рівняння одної
точкової маси буде таке (Додавання сил; К):
mv = —Аг + F.
6Сила F12 діє з боку матеріальної точки шг на матеріальну точку ті у
положенні п, і оскільки F21 визначається відповідно, то сили мусять бути
паралельними або антипаралельними до вектора відносного положення
і*і - г2.
7Автономна означає, що рівняння не залежать явно від часу.

32
Розділ 2. ОСНОВИ
кожна фазова траєкторія (r, v) однозначно залежить від
початкових значень (але це може не виконуватися у конфіґураційному
просторі! — пор., наприклад, рисунки 14.11 і 14.12):
r = R(r0,vo;i),
v = V(r 0,ν0;ί). (2.8)
Функції R і V a priori невідомі. їх знатимемо, якщо
розв’яжемо рівняння руху. Поки що подамо твердження, які стосуються
структури розв’язків або їх існування. Оскільки рівняння руху
другого порядку обертовні (реверсивні), тобто інваріантні щодо
заміни t —» —ί, то можемо змінити напрям часу і, виходячи з
моменту часу t, через час —t прийти від (r(t),v(t)) до (ι*ο,νο):
r0 = R(r(t), v(t); —t),
Vo = V (r(t), v(t); —t). (2.9)
Якщо розглядати тривимірний рух, то останні рівності
виражають шість співвідношень між г, v і t з такою властивістю: функції
R і V, які є розв’язками системи рівнянь руху, мають стале
значення вздовж заданої фазової траєкторії. Вони утворюють набір
шести незалежних8 констант руху такого вигляду:
K,-(r(i),v(i),i) = 0, j = 1,...,6 (2.10)
(принаймні деякі з функцій Kj переважно не можна задати
явно). Якщо за допомогою довільно вибраного одного
співвідношення, наприклад К\, виразити час t з явної залежності Kj (t) через
(неявно залежні від часу) r(t) та v(t),
t = f (r(t),v(t)),
то в решті п’яти співвідношень можна виключити явну
залежність від часу. Тоді отримаємо п’ять незалежних між собою і
незалежних від часу констант руху, тобто п’ять незалежних
величин, які зберігаютьсяі9
Ij (r(t),v(t)) = 0, j = 1,...,5. (2.11)
8Оскільки і*о і Vo можна вибирати незалежно!
9Далі означатимемо їх також скорочено як збережнг величини; приклади:
енергія, момент імпульсу, інтеґрал центра мас. — Примітка перекладача.

2.2. ПЕРШІ ІНТЕҐРАЛИ
33
Проте з цього твердження про існування не можна вивести
спосіб визначити ці збережні величини, доки ми не знаємо розв’язків
рівнянь руху. Для більшості систем рівнянь руху ця проблема не
піддається розв’язанню. Константу руху або, відповідно,
збережну величину, назвемо також першим інтеґралом.10
Кожне зі співвідношень (2.11) зображує п’ятивимірну
гіперповерхню у шестивимірному фазовому просторі. Траєкторія
матеріальної точки лежить у кожній з цих гіперповерхонь; отже, вона є
лінією перетину цих гіперповерхонь. Конкретний приклад цього
типу розглянемо в розділі 4 (пор. рис. 4.3). Траєкторією частинки
є проекція фазової траєкторії на конфіґураційний простір.
Це твердження існування для констант руху не дає значної
користі у розв’язуванні рівнянь, бо воно передбачає, що
задача вже розв’язана. Оскільки кількість констант руху відповідає
кількості незалежних наперед заданих початкових умов, то так
сконструйовані константи є, зрозуміло, також незалежні. Отже,
кожна з них редукує кількість рівнянь, які ще треба
розв’язати, на одиницю. Тому доцільно ще перед розв’язуванням рівнянь
шукати якнайбільше незалежних констант руху. Для так званої
консервативної системи (див. нижче) завжди існує величина, яка
зберігається: повна енергія. Отже, в цьому випадку є ще лише
чотири збережні величини або п’ять констант руху, які треба
визначити (пізніше побачимо, що внаслідок структури рівнянь (2.7)
буде досить трьох збережних величин з певними властивостями;
див. підрозділ 14.1). Вони мусять, очевидно, бути незалежними в
деякому сенсі, який з’ясуємо пізніше. Якщо консервативна
система характеризується центральним потенціалом (див. нижче), то
можна задати дальші (але в загальному випадку не всі)
константи руху. Система називається інтеґровною, якщо можна задати
достатню кількість (див. підрозділ 14.1) перших інтеґралів для
того, щоб за їх допомогою можна було б побудувати розв’язок.
2.2.2. 	Закон збереження енергії
Помножмо рівняння руху (2.4) скалярно на г,
d
тії = —(ті:2/2) = Ff,
at
10Термін „перший інтеґрал“ загальніший, ніж „збережна величинабо він
охоплює також співвідношення, що містять час. — Примітка перекладача.

34
Розділ 2. ОСНОВИ
і проінтеґруймо за часом від to = 0 до
h
1*1
1 2
2mVl“
1 2 _
2mV°
fdr ,
/ F—dt
= f
J dt
J
0
1*0 ,C
Fdr,
(2.12)
з ід — г(0), Γχ = r(ii) і аналогічно vq і
Гі
Означення: f F(r)dr називається роботою сили F уздовж
го £
шляху С від ід до ід. Величина
Т — m\2/2 (2.13)
називається кінетичною енергією. У загальному випадку робота
залежить від кривої С. Якщо вона не залежить від С, тобто
VC,
то поле сил F називається консервативним. З цієї незалежності
від шляху випливає рівність інтеґралів для двох довільних
шляхів С\ і С<і зі спільними початковими і кінцевими точками і*і і Г2,
тобто
1*1 Гі Гі г0
0 = J Fdr — j Fdr = J Fdr + J Fdr = j) Fdr.
1*0 А ГоА ro,Ci 1*1 A C1+C2
Отже, поле сил F консервативне modi і тільки modi, коли dA^
кожної замкненої кривої С виконується рівність
j) Fdr = 0.
с
(2.14)
Використаймо теорему Стокса
/
Fdr =
/
rotFdf,

2.2. ПЕРШІ ІНТЕҐРАЛИ
35
де О — довільна поверхня, обмежена заданою кривою С і df —
вектор нормалі до елемента поверхні О. Тоді інтеґральна
умова (2.14) консервативності сили F заміниться на диференціальну
умову
rotF = V х F = 0, V = (д/дх, д/ду, d/dz). (2.15)
Математичним наслідком умови (2.15) є існування такої
скалярної функції V{r), що
V{r) називається потенціалом поля сил F(r). Якщо
проінтеґруЄМО F уздовж деякого шляху МІЖ Го І Гі,
то як простий результат отримаємо різницю значень V; у зв’язку
з цим потенціал V(г) називають також потенціальною енергією
в точці г. Підставлення (2.17) у (2.12),
показує практичне значення двох означень (2.13) і (2.17).
Оскільки го і ід — дві довільні точки, то для консервативної системи,
тобто для системи, в якій силу можна визначити через потенціал,
діє закон збереження енергії:
Сума кінетичної і потенціальної енергій, тобто
повна енергія Е, залишається сталою в часі:
F(r) = -gradF(r) = - W(r);
(2.16)
Imvf + V(ri) = Imvg + V(r0) =: E, (2.18)
E = T(v) + V(r) = — r2 + V(r) = const; (2.19)
енергія E є (явно від часу не залежною) константою
руху — величиною, що зберігається.

36
Розділ 2. ОСНОВИ
Якщо знайти таку константу руху (перший інтеґрал), то це
становитиме важливий крок до розв’язання проблеми: кількість
рівнянь, які ще треба розв’язувати, зменшиться. Це стосується
математичного аспекту. Але це вигідно ще й тоді, коли перші
інтеґрали є величинами, які мають фізичний сенс. Кінетична енергія
— це енергія, зумовлена рухом. Вона є мірою дії тіла, що
рухається зі швидкістю v, на пробну перешкоду, з якою воно
зіткнеться (відомий також термін Ляйбніца для кінетичної енергії:
жива сила). Трохи важче зрозуміти поняття потенціальної
енергії. Якщо повна енергія задана, то зміну потенціальної енергії
можна визначити збільшенням або зменшенням кінетичної
енергії. Інша можливість полягає у вимірюванні сили за допомогою
пронормованої пробної (точкової) маси, пов’язаної з пружинною
вагою11. Криволінійний інтеґрал цієї сили (тобто сума внесків
уздовж пройденого шляху) до довільної точки г визначає
потенціальну енергію К(г) (з точністю до адитивної сталої), так що
значення має лише різниця енергій.
Зауваження.
і) В одновимірному випадку сила12 завжди консервативна,
оскільки в одновимірній версії рівняння (2.16) можна завжди
написати як F(x) = —dV(x)/dx з V(x) = — f F(xf)dxr. За
законом збереження енергії (2.18) можна знайти
безпосередньо розв’язок рівняння руху в такому вигляді (див.
підрозділ 3.1)
х
t-t0 = ± J dx1/^2 (E-V(x'))/m.
0
В одновимірному випадку існують дві константи руху і,
отже, дві збережні величини; ми їх знайшли. Тому кожна
одновимірна задача розв’язна або інтеґровна.
11 Пружинна вага — це вимірювальний прилад, у якому дія зовнішньої
сили пропорційна до зміни довжини. Але добротність пружинної ваги треба
спочатку встановити, вона мусить бути проградуйованою. Ситуація подібна
до тієї, яка стосується приладів для вимірювання часу. Щоби пружинна
вага могла служити для вимірювання (у справжньому сенсі цього слова), її
потрібно певним способом проградуювати.
12Залежна тільки від координат. — Примітка перекладача.

2.2. ПЕРШІ ІНТЕҐРАЛИ
37
іі) Розгляньмо інший спеціальний випадок, коли три
компоненти рівняння руху для окремих змінних незалежні:
гпх = F\(x),
my = F2(y),
mz = Fs(z).
Із зауваження і) випливає, що задача розв’язна; для
кожної координати можна, як і вище, знайти збережну енергію
Е{, і = 1,2,3. Повна енергія дорівнює:
Е = Е\ + Е2 + ,
і потенціал У (г) розпадається на три частини:
(X у Z
I Fx{x')dx' + J F2{y')dy' + J F3(z')dz'
= V1(x) + V2(y) + V3(z).
2.2.3. 	Закон збереження моменту імпульсу
Помноживши рівняння руху (2.4) векторно на г,
г х тпї = — (г х тпт) = г х F,
dty ’
отримуємо:
jL = N, (2.20)
де нові величини означено рівностями:
момент імпульсу L : L = г х ті = r х rav = r х р (2.21)
момент сили N: N = г х F (2.22)
d
(nop. з —р = F !). Треба зауважити, що ці дві величини
відноat
сяться до певного вибору початку системи координат (К). Крім

38
Розділ 2. ОСНОВИ
того, рівняння (2.20), (2.21) і (2.22) справедливі (у такій формі)
лише у тривимірному просторі. Момент сили, паралельної до г,
дорівнює нулеві, а момент сили, перпендикулярної до г,
максимальний.
Важливим спеціальним випадком сили, момент якої зникає,
є силове поле, спрямоване у кожній точці г до центра (який
звичайно беруть за початок координат), тобто центральна сила
F(r) = /(r)r/r. (2.23)
Сила F паралельна до r, N = r х F = 0, так що з (2.20) випливає
закон збереження моменту імпульсу:
Момент імпульсу для центральної сили зберігається:
L = L(r, v) = const. (2.24)
З означення (2.21) випливає, що rL = 0, так що в кожний момент
часу траєкторія r(t) перпендикулярна до моменту імпульсу.
Отже, у випадку сталого моменту імпульсу траєкторія лежить у
нерухомій площині, перпендикулярній до L, тобто рух фактично
двовимірний.
Будь-яка центральна сила консервативна, оскільки з (2.23)
випливає, що rotF = 0. Потенціал можна легко знайти,
домножуючи скалярно (2.23) на г:
Л І
f(r)r = —rW(r) = —r—V( r) = — r—V(r);
or dr
остання рівність випливає з f = f(r): V залежить лише від
г = |г|. Отже, маємо співвідношення:
/(r) = ~iv{r)· (2·25)
Для руху матеріальної точки в центральному потенціальному
полі відомо, згідно із законами збереження енергії і моменту
імпульсу, чотири незалежні перші інтеґрали; їх вже досить (див.
розділ 14.1) для розв’язування системи диференційних рівнянь
(2.4) або (2.7).

. ПЕРШІ ІНТЕҐРАЛИ
39
Доповнення і питання
1. 	Змінна маса: ракета (пор. [24]):
Розгляньмо (одновимірний) рух ракети, перпендикулярний
до поверхні Землі в полі тяжіння F = —mg. Як
зменшенdm
ня маси ракети = —μ, так і швидкість вихідного ґазу
dt
відносно ракети —w вважатимемо сталими. Повна зміна
імпульсу відносно Землі складається зі зміни імпульсу ракети
—mv = mv — μν та зміни імпульсу вихідних ґазів μ(ν — w).
dt
Оскільки на рух ракети впливає лише сила ваги, то
рівняння руху набуває такого вигляду:
mv — μν + μ(ν — w) = mv — μνυ = —mg.
Розгляньте детальніше наведений схематичний виклад і
розв’яжіть рівняння руху (т = то — μί).
2. Розв’яжіть і обговоріть одновимірний рух у випадку сили
тертя, пропорційної до:
а) ν,
б) ν2 (опір повітря).
3. Покажіть, що перетворення координат г' = г + аза = Оне
змінює форми рівняння — L = Ν.
4. Зведіть вирази divF, rotF і V(r) для центральної сили
F(r) = f(r)r/r до якнайпростішого вигляду.
5. Визначіть момент імпульсу частинки, яка рухається:
а) вздовж прямої,
б) по колу з v = const.

Розділ 3
Одновимірний рух частинки
Найпростішою модельною ситуацією є рух однієї
матеріальної точки під дією зовнішньої сили. Наступне спрощення —
розгляд руху, опис якого вимагає лише однієї змінної. Тому
спершу розв’яжемо рівняння Ньютона для таких одновимірних рухів
в одночастинкових системах; при цьому покажемо, як
використовуються інтеґрали чи константи руху. Ще однією корисною
властивістю таких систем є те, що рух у двовимірному фазовому
просторі, який можна назвати також фазовою площиною, можна
зобразити цілком наочно.
Приклади одновимірних рухів:
і) Жолоб Ґалілея1: Частинка (маси т) ковзає без тертя
вздовж безмежно довгого прямого жолоба під кутом а до
напрямку сили тяжіння F = mg.
Нехай s — переміщення вздовж жолоба (відносно обраної точки
відліку so = 0). Оскільки імпульс частинки р = ms, а прикладена
1Діля того, щоб наголосити на одновимірності, оберімо замість звичайного
терміна (похила площина) назву жолоб (Ґалілея).

41
сила задається проекцією сили тяжіння на напрямок жолоба,
F = mg cos а, маємо:
ms = mg cos а.
іі) Плоский математичний маятник: Частинка (маси т)
прикріплена до кінця невагомого стрижня довжиною І. Другий
кінець стрижня є нерухомим центром обертання.
Треба дослідити вплив сили тяжіння на рух матеріальної точки;
при цьому центр обертання, траєкторія частинки і сила тяжіння
завжди повинні лежати в одній площині (розглядаємо випадок,
коли і початкова швидкість частинки лежить у цій площині).
Нехай ф — кут відхилення від прямовисного положення рівноваги,
тоді рівняння руху матиме вигляд (див. підрозділ 3.3):
тіф = —mg sin ф.
ііі) Гармонічний осцилятор: Нехай маса т може рухатися
лише вздовж прямої (осі х) і приводиться в рух до положення
рівноваги xq пружиною, закріпленою за другий кінець (у положенні
рівноваги пружина ненапружена).
Якщо сила натягу пружини лежить в області, яка підлягає
законові Гука, тобто модуль сили |F| пропорційний значенню
відхилення \х — жо|, то оскільки сила діє в протилежному напрямку,
маємо F = —к(х — хо). Обравши початком відліку вздовж осі х
положення рівноваги, xq = 0, маємо:
тх = —кх.

42
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Для і) та ііі) рівняння руху лінійні щодо координат, тоді як
рівняння іі) — нелінійне. Із наведених прикладів видно, що змінною,
в термінах якої проводиться опис руху, не обов’язково повинна
бути Декартова координата; наприклад, у випадку маятника —
це кут відхилення ф.
3.1. 	Загальні властивості
Одновимірне рівняння Ньютона для матеріальної точки
масою т в полі зовнішньої сили F(x) має вигляд:
тх = F(x), (3.1)
де змінна x(t) — координата маси в момент часу t. У цьому
випадку завжди існує потенціал2 V(x):
х
V(x) = - J F(x') dx'·,
(3.2)
тоді для сили маємо:
dV
dx
Рівняння (3.1) є інтеґровне (= розв’язне), тому, застосовуючи ті
ж міркування, що й під час отримання співвідношення (2.18),
помножмо (3.1) на х і отримаємо закон збереження енергії
I і2 + V(x) = E=jv2 + V(x) (3.3)
з початковими умовами х = x(t — to), v = v(t = to). Звідси
безпосередньо отримуємо рівняння:
і = ±^(в-у), (3.4)
2Для наведеного вище руху в похилому жолобі V(s) ос —S, для
плоского маятника У(ф) ос — cos ф, для частинки, яку приводить в рух пружина,
V(х) ос х2.

3.1. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ
43
і розв’язок x(t) у неявній формі:
«-*/ .. ^ М
Інтеґрал можна обчислити, якщо не аналітично, то, принаймні,
чисельно. Отже, одновимірна задача завжди розв’язна.
Форма потенціалу, за допомогою якої можна пояснити різні
типи руху матеріальної точки, зображена на рис. 3.1. Відповідні
Рис. 3.1. До руху в потенціалі V(x)
траєкторії у фазовій площині (ж, х) зображені на рис. 3.2 для
різних значень енергії. Розглядаючи рух частинки залежно від
повної енергії на підставі рис. 3.1, важливо мати на увазі, що в
кожній точці х різниця між повною енергією Е та потенціальною
енергією V(х) становить кінетичну енергію Т(х) = Е — V і, таким
чином, задає абсолютне значення швидкості |і|. На рис. 3.2 цей
зв’язок також ілюструється зіставленням різних значень енергії
порівняно з кривою залежності потенціалу і різних траєкторій у
фазовому просторі.
Для значень повної енергії менших від V(x^) (пор. рис. 3.1)
і для початкових значень х < х% рух є обмеженим. Він
відбувається між двома точками повороту. Ці точки визначаються з
... т . 9
умови рівності нулеві кінетичної енергії Т = — X = 0, а, отже,
і ШВИДКОСТІ X = 0. Для ПОВНОЇ енергії Е = Е\ це ТОЧКИ Х\ І Х2
на рис. 3.1. У точці повороту змінюється напрямок і; відповідно

44
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
V
х
X
Рис. 3.2. Траєкторії на фазовій площині для різних форм руху в
потенціалі V (х)
до цього при проходженні точки повороту щоразу слід вибирати
інший знак у формулі (3.4). Зрозуміло, що максимальному
значенню Т відповідає максимальне значення |£|. Нехай частинка
починає рухатися в момент часу t = 0 з точки повороту Х2 із
швидкістю х = 0. За час t\ = t(xі) вона досягне точки повороту
х\ (пор. рис. 3.1). Із закону збереження енергії (3.3)
(маємо V(x\) = V(x2) = Е) отримуємо швидкість як функцію
часу 0 < t < ti,:
Під час повернення із х \ в Х2 рух і послідовність проходження
точок знову повторюється в протилежному напрямку, це наслідок
інваріантності рівняння руху (3.1) щодо зміни знака часу. Таким
чином, час руху з точки Х2 др х\ дорівнює половині часу т, за
^x2 + V(x) = E

3.1. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ
45
який частинка повертається в точку х2:
XI
*-/■
dx
Х2 m-(E-V(x))
т
(3.6)
потім рух повторюється:
x(t + т) = x(t). (3.7)
Отже, кожний одновимірний обмежений рухе періодичним3;
пе„ . 2π
ріод т = т(£7), а, отже, і частота коливання ω — залежать
т
від обраної енергії Е. У зв’язку з періодичністю зручно зобразити
x(t) у вигляді ряду Фур’є. Такий метод використовується у так
званому гармонічному аналізі. У фазовій площині обмеженому
рухові відповідає замкнена траєкторія (адже рух є періодичним;
пор. рис. 3.2).
Значення координати xq, ПРИ якому V(x) має мінімум
(пор. рис. 3.1), визначатиме положення рівноваги; у цій точці
dV/dx = 0, і сила, а, отже, і прискорення х дорівнюють нулеві.
Розкладемо потенціал у степеневий ряд в околі положення
рівноваги xq:
V(x) = V{xq) + ^ωΐ (χ - χ0)2 + ...,
де величина
ωΐ :=
d?V
dx2
X=XQ
(3.8)
відповідно до ситуації, зображеної на рисунку, буде додатною.
Тоді для не надто великих енергій можна використати
гармонічне наближення, тобто обірвати розклад V(x) у ряд на
квадратичному члені, і після зсуву системи координат, так що хо = 0,
отримуємо замість (3.1) рівняння руху:
тх =
— U)qX.
(3.9)
3У
дача.
випадку потенціальних сил (пор. підрозділ 3.5). — Примітка перекла-

46
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Матеріальна точка коливається (див. підрозділ 3.4) біля
положення рівноваги з частотою сдо, незалежною від енергії; частота
коливання ωο визначається лише потенціалом.
Для енергії Е% > V(хз) рух необмежений (з одного боку), для
всіх х > Х4 маємо V(x) < V(x4). Частинка досягає при від’ємній
початковій швидкості точки повороту Х4 і потім віддаляється до
х = +оо. Якщо енергія частинки має значення Е2 = V(x3), то
рух поблизу хз суттєво залежить від функціональної форми V(х)
(наприклад, чи точка хз буде досягнута за скінченний час, чи ні).
Траєкторії у фазовому просторі мають форму, зображену на рис.
3.2. Якщо Е > V(x),Vx, рух (цілком) необмежений.
3.2. 	Жолоб Ґалілея
Дослідження Ґалілея на похилій площині можна, мабуть,
назвати першими експериментами в сенсі нашого сьогоднішнього
розуміння експериментальної постановки запитань природі (див.
про це [80]). Концепція і проведення експериментів є
прикладом революційного виклику Ґалілея: виміряти те, що вимірне,
і зробити вимірним невимірне. В той час вже було природним
систематичне спостереження астрономічних явищ і
застосування математики для викладу та узагальнення їхніх результатів;
але спостереження руху тіл на Землі в контрольованих умовах і
математичний опис результатів були новиною.
Тіло (маси т) рухається в (локальному) полі тяжіння
Землі, F = rag, по прямому жолобу, нахиленому під кутом а до
напрямку g. Нехтуючи тертям, отримуємо вже наведене раніше
рівняння руху
ms = mg cos а (3.10)
з потенціалом
V(s) = —smg cosa;
потенціал є монотонно (лінійно) спадний, тому маємо лише один
тип (односторонньо) необмеженого руху. Розв’язок
q cos а о ., лч . н н ч
5 = So + v0t + —Г, = s(t = 0), (3.11)
можна отримати або прямим інтеґруванням рівняння руху (під¬
становка s = v; К) або із закону збереження енергії (3.3). Якщо

3.3. ПЛОСКИМ МАЯТНИК
47
початкова швидкість гд < 0, частинка деякий час рухається по
жолобу догори (проти напрямку компоненти сили тяжіння), доки
через час tu = не досягне точки повороту 3 5 = 0;-після
д cos а
цього вона віддаляється з постійним прискоренням до s = +оо.
При а = 0 отримуємо добре відоме вільне падіння. Враховуючи,
що
«5 = г>о + gt cos α,
можна легко зобразити траєкторії у фазовому просторі (5, s) (К).
3.3. 	Плоский маятник
Математична модель плоского маятника описує матеріальну
точку маси га, яка може рухатися по колу радіусом І. Площина, в
якій розташоване коло, паралельна до сили тяжіння. В точці s =
Іф (нехай ф — 0 — положення рівноваги) діє лише танґенціальна
складова сили тяжіння rag (див. рис. 3.3)
i^tang = ~mg sin </>;
перпендикулярна до напрямку руху складова компенсується
в’яззю маятника. Оскільки швидкість вздовж колової
траєкторії дорівнює
S = /</>,
то із (3.1) випливає рівняння руху4 тіф + тдБІпф = 0, або
ф + ω2 Біпф = 0 з u2=g/l. (3.12)
Це нелінійне диференційне рівняння щодо змінної ф.
Потенціал V знаходимо інтеґруванням сили Ftang за Ιάφ (див.
(3.2)). Для приведеного потенціалу V := V/mgl отримуємо:
Ф
Ϋ(φ) — j άφ' sin (// = 1- cos </),
0
4Якщо маємо рух по вигнутій траєкторії, то запис рівняння руху Ньютона
У змінних Іф може бути, на перший погляд, неочевидним. Якщо ж зважити,
Що в кожній точці компонента імпульсу вздовж напрямку проекції зовнішньої
сили збігається з дотичною в цій же точці, стає зрозумілою відповідність
записаного рівняння законові руху (3.1).

48
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Рис. 3.3. Плоский маятник
причому маємо 1^(0) =0 (тобто Е = Т для ф = 0). Із закону
збереження енергії (домножуючи рівняння руху (3.12) на Іф)
\-ф2 + ω2(1 — cos ф) = εω2, ε := E/ml2ω2,
випливає, що кутова швидкість
ф = ±ω-\/2(ε + cos ф — 1). (3.13)
Після розділення зміцних інтеґрування приводить до еліптичного
інтеґрала [24, 50]
г=±ї Ιάφ>
о
Ми хочемо якісно проаналізувати траєкторії у фазовій
площині для різних форм руху, які отримуються при зміні повної
енергії ε. Тому нам потрібна також похідна ф за ф:
j у/2 (ε + cos0' - 1).
— = =Fa;sinф/ \/2(ε + cos ф — 1).
аф
Обмежимося розглядом області \ф\ < π. Залежно від величини
повної енергії ε отримуємо таку картину для траєкторій у
фазовій площині (фіф):

3.3. ПЛОСКИЙ МАЯТНИК
49
Рис. 3.4. Траєкторії плоского маятника у фазовій площині
а) 	є < 2: Існують точки повороту ф = 0 для ф =
iarccos (1 — ε) ±</>тах? де | </>max |< 7Γ· Рух У
конфіґураційному просторі є коливанням між — </>тах і фтах* У цих
положеннях маємо άφ/άφ — оо, тобто траєкторія у
фазовому просторі замкнена і щоразу прямовисно перетинає вісь
ф (див. рис. 3.4).
б) є > 2: ф завжди < 0 (або > 0). Маятник обертається за
годинниковою стрілкою (або проти годинникової стрілки).
ф мінімальна для ф — π.
в) є = 2: 0 = 0 для ф = ±7Г. Оскільки для ε = 2 виконується
рівність
άφ/άφ — =Fcjsin(</>/2),
то, наприклад, у положенні ф — π
άφ/άφ — =F^,
отже, нахил траєкторії у точці перетину з віссю ф є
скінченним. Маятник „ледве не“ обертається: чає, необхідний
для досягнення положення ф = π безмежно великий (К).
ф = π — нестійке положення рівноваги; достатньо малого
відхилення, щоб його покинути.
Поведінку всіх трьох розв’язків зображено на рис. 3.4.

50
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
3.4. 	Гармонічний осцилятор
У (3.12) розглянемо доданок, що відповідає силі для малих
кутів: sin ф ~ ф. При цьому рівняння руху плоского маятника
зводиться до рівняння руху одновимірного гармонічного
осцилятора
х + ω2χ = 0. (3-14)
Це рівняння руху описує не лише вплив гармонічної сили на
одновимірний рух матеріальної точки, але і взагалі рух у
потенціалі поблизу положення рівноваги (див. виведення рівняння (3.9)).
Спочатку безпосередньо розв’яжемо рівняння руху.
Скориставшись методом Ойлера і підставивши в (3.14)
X = Сех\
отримуємо λ = ±іи; таким чином, для х маємо:
х = Ае~гші + Вегші = Сі sineat + (¾ coscat,
де В повинно бути комплексно спряженим до А, В = А*, оскільки
х є дійсним. Константи інтеґрування А і, відповідно, С\ та С<2
визначаються з початкових умов
x(t = 0) = хо? £(t = 0) = vo,
і 	остаточний розв’язок має вигляд:
x(t) = xq coscut Η smut (3.15)
и
і
v(t) = vo cos ut — uxo smut. (3.16)
Ці рівняння є параметричним зображенням еліпса в фазовій
площині (х,г>); центр еліпса лежить у початку координат фазової
площини.
Для ілюстрації загальних міркувань підрозділу 2.2.1
отримаємо також розв’язок рівняння (3.14) за допомогою констант руху.
З одного боку, закон збереження енергії

3.4. ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР
51
описує траєкторію у фазовому просторі, а саме еліпс, з іншого
боку, його інтеґрування
t
/
dt'
І
dxf
/2
дає розв’язок
ί +
_ 1 (ωχ
I = — arcsm —==
ω
WlEj
m
(3.17)
де константа І містить обидві константи інтеґрування (ίο і
значення функції при гго). Звідси можна отримати явну залежність
х від часу:
x(t) = /т. sin(o;i + ωΐ). (3.18)
ω
Зв’язок між (Е,І) і початковими значеннями (χο?^ο) отримаємо,
порівнявши з виразом (3.15)
V2Е/т . ,
хо = — sm(o;i),
ω
νο
= \/2Е/т cos (ωΐ),
чи у зворотному порядку
/ =
(3.19)
Ε=^{ν20+ω2χ20). (3.20)
Вираз (3.17) можна привести і тривіальним способом до форми
(2.10) підрозділу 2.2.1:
І = — arcsin
ω
ωχ(ί)
у/2 Е/т
ί;
(3.21)
безпосередньо отримуємо dl/dt = 0 (К). Поряд з енергією / є ще
однією константою руху.

52
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Зміна напрямку часу в розв’язках (3.15) і (3.16):
Хо
Vo
x(t) cos(—α;ί) + sin(—ω£),
uj
v(t) cos(-u)t) — ux(t) sin(—ω£),
(3.22)
є прикладом інтерпретації початкових значень xq і г>о як
констант руху (див. рівняння (2.9)). Підставляючи обидві рівності
у (3.20) позбуваємося явної залежності від часу, і залишається
єдина збережна величина у формі закону збереження енергії:
Ε = ^№ + ω*3$) = ^(ν* + Μ).
У дусі загальних міркувань підрозділу 2.2.1 цей еліпс є єдиною
„ площиною “ в двовимірному фазовому просторі, і тому описує
траєкторію частинки; друга незалежна константа руху (3.21)
задає часову залежність траєкторії.
3.5. 	Вимушені коливання осцилятора із
загасанням
У цьому підрозділі розглянемо вплив на рух залежних від
швидкості сил тертя і залежної від часу зовнішньої сили, яка
збуджує коливання осцилятора. Оскільки енергія не
зберігається, аналіз руху проведемо безпосереднім розв’язуванням
диференційних рівнянь.
Сили тертя
У реальних ситуаціях сили тертя R гальмують рух. їх
головною відмінністю від сил, які ми розглядали раніше, є те, що вони
можуть залежати від швидкості, R = R(v). Насправді ж
залежність від швидкості є різною. Сила тертя зчеплення з твердою
основою, такою, як жолоб Ґалілея, є (переважно) незалежною
від величини швидкості тіла; вона пропорційна до нормальної
складової сили, з якою тіло тисне на основу. Під час руху
тіла в рідинах або ґазах сили тертя виникають лише, якщо v^O.
Обмежимося одновимірним рухом:

3.5. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ОСЦИЛЯТОРА
53
- Якщо рух у рідині відбувається з малою швидкістю, в
області ламінарного потоку виникає так зване Стоксове
тертя
R{v) — — αν, а > 0;
а пропорційне до в’язкості рідини η.
- Якщо швидкість не зовсім мала, проте менша від швидкості
звуку, сила тертя в Разах має Ньютонову форму
R(v) — —bv |υ|, b > 0,
де b пропорційне до густини ґазу р.
3.5.1. 	Збуджені коливання осидлятора з лінійним
загасанням
Нехай одновимірний осцилятор, з одного боку, зазнає
впливу залежної від швидкості сили тертя R(v) = —2jmv, η > 0,
яка спричиняє загасання, а з іншого, він утримується від
зупинки залежною від часу зовнішньою силою F = mk(t). Рівняння
Ньютона для руху частинки під впливом трьох сил (гармонічної
сили, сили тертя Стокса і залежної від часу збуджувальної сили)
згідно з теоремою про додавання сил має вигляд:
х + 2^х + ω2χ = k(t). (3.23)
Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.23) є сумою
загального розв ’язку хь (ί) однорідного рівняння
х + 2^х + ω2χ = 0
(3.24)
і часткового розв’язку хр (t) неоднорідного рівняння (3.23):
x(t) = xh(t) + xp{t).
Розв’язок однорідного рівняння знову можна знайти, наприклад,
за допомогою методу Ойлера. Поклавши х = Cext, отримуємо:
хн = e~^{Ae~lGjt + А*еш), ώ := y/ω2 - 72· (3.25)
Перехід до констант Re Я та ІшЯ дає змогу виразити ці сталі
через дві задані початкові умови.

54
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
Метод „поштовхуй
Математичний метод для визначення часткового розв’язку
лінійного диференційного рівняння (3.23) такий: спочатку
знайдемо розв’язок для випадку збудження, яке має форму
дельтафункції Дірака S(t) (див.: Додаток Б.1),
х + 27І + ω2χ = S(t). (3.26)
Частковий розв’язок цього рівняння називається функцією
Ґріна G(t) (див.: Додаток Б.З). Фізичний зміст рівняння руху (3.26):
воно описує миттєве збудження силою у формі ^-функції
гармонічного осцилятора, що загасає. Цікавою також є поведінка
після збудження, так званий відгук на дію збуджувальної сили,
прикладеної до матеріальної точки, що перед тим перебувала в
спокої. Розв’язок G(t) має вигляд (див. рівняння (Б. 13))
G(t) = 1 e~7t sin (ώί) θ(ί)ϊ (3.27)
id
для t > 0 виникають коливання, що загасають (див. рис. 3.5).
Сходинкова функція Θ(ί) (див.: Додаток Б.1, означення Б.1) є
Рис. 3.5. Реакція на збудження осцилятора, що загасає
виявом причинності: без збуджувальної сили немає руху (див.
рис. 3.5). Тут ώ є дійсною величиною лише для 7 < ω, і лише
в цій області виникає коливання, в іншому випадку осцилятор
сильно загасає і загасання відхилень після збудження суто
експоненційне.

3.5. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ОСЦИЛЯТОРА
55
Знаючи розв’язок рівняння (3.26), можемо тепер записати
частинний розв’язок рівняння (3.23) для будь-якої залежної від
часу зовнішньої сили. Як легко переконатися, використовуючи
(3.26), вираз
Xp(t) = J dt'G(t - t')k(t') (3.28)
задовольняє рівняння руху (3.23).
3.5.2. 	Періодичне збудження коливань осцилятора із
загасанням
Для періодичної зовнішньої сили з частотою Ω рівняння руху
(3.23) за відповідного вибору початку відліку часу має вигляд:
х + 2т± + ω2χ = к sinfit. (3.29)
Використовуючи (3.27) і (3.28), знаходимо частковий розв’язок
t
Xp(t) = zz J e-^-1) sineo(t — t!) sin Clt' dt*.
— 00
Після інтеґрування маємо (K):
. ч ω2 - Ω2 . 2γΩ
Хр{І) = (Ω2 - ω2)2 + 472Ω2 к Sm Ш ~ (Ω2 - ω2)2 + 472Ω2 k °°S
(3.30)
Частковий розв’язок складається з двох вкладів. Перший член
відповідає реакційній складовій: вона є у фазі із зовнішньою
силою (обидві а біпШ). Другий — це поглинальна складова,
пов’язана із константою загасання 7; будучи пропорційною до cos Ωί,
вона зсунута за фазою на π/2 стосовно збудження. Вплив
доданка, пов’язаного із загасанням, також виявляється в балансі
енергії. Розгляньмо осцилятор, на який діє лише сила тертя Стокса:
х + 27І + ω2χ = 0. (3.31)
Як і раніше, помножимо це рівняння на х і знайдемо:

56
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
Вираз у лівій частині рівняння — це похідна за часом енергії
вільного5 осцилятора в момент часу t:
E(t) = ^ (і2 + ω2χ2) .
ζ
Після інтеґрування отримуємо:
t
E(t) — Е(0) = —2τηη J x2dtf < 0;
о
як і слід було чекати, енергія осцилятора зменшується, коли
система не зазнає дії зовнішньої сили.
Для великих значень t у загальному розв’язку x(t) = Xh{t) +
xp(t) зникає залежна від початкових умов однорідна частина
(3.25) і залишається лише частковий розв’язок (3.30), який не
залежить від початкових умов: тому для фіксованих ω, 7, Ω всі
рухи такого осцилятора, навіть коли вони відрізняються
початковими значеннями ж і і, приводять до одного асимптотичного
стану. Траєкторії у фазовому просторі також асимптотично
збігаються. Відкладаючи хр як функцію жр, отримуємо еліпс, форма
якого не залежить від початкових умов, у той час як Xh(t) є
експоненційно спадним розв’язком, залежним від початкових умов.
Залежно від положення початкових умов на фазовій площині
отримуємо ситуацію, схематично зображену на рис. 3.6. Кожна
траєкторія асимптотично прямує до одного й того ж атрактора,
який у цьому випадку є еліпсом.
Катастрофа резонансу
Для коливань, що не загасають, 7 = 0, амплітуда в (3.30)
розбігається, коли частота зовнішньої сили рівна частоті
осцилятора: для Ω —> ω в (3.29) приходимо до резонансу. Для руху, що
не загасає,
х + ω2χ = k sin Ωί, (3.32)
5Тобто осцилятора без тертя, яке виникає через взаємодію з середовищем
(рідиною). Доданок з тертям відповідає сумарному врахуванню
дисипативного (яке спричиняє загасання) впливу ступенів вільності середовища.

3.5. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ОСЦИЛЯТОРА
57
Рис. 3.6. Загасання вимушених коливань осцилятора: всі
траєкторії асимптотично виходять на атрактор (еліпс)
з (3.30) знаходимо частковий розв’язок
—к
xp(t) = тгл о sin Clt.
— СсГ
Об’єднуючи його з розв’язком однорідного рівняння
Xh (і) — а cos ut + b sin ωί,
отримуємо при початкових умовах x(t = 0) = хо, x(t = 0) = 0
розв’язок рівняння руху (3.32)
к /Ω \
x(t) = Хо COSUt + —т: « — sinU)t — SlIiQt .
— ωζ \ω J
sin cot — sinfit
\ω
У границі Ω = ω + ε, є —> 0, маємо:
x(t) = х0 COS U)t + Jr* І — sineot — t COS U)t ) .
2ω \ω
(3.33)
Оскільки залежність від часу лінійна, то з ростом t величина х
необмежено зростає: рух не періодичний!
Отже, рівняння вимушених коливань осцилятора із
загасанням розв’язне і тоді, коли немає більше інтеґралів руху.
Ситуація кардинально відмінна від вимушеного коливання маятника
із загасанням, якщо рівняння руху нелінійне (sinж!). Відсутність
збереження енергії приводить до того, що рівняння руху вже не
є аналітично розв’язні. Чисельні розв’язки вказують на сильну
залежність розв’язків від початкових умов, що спричиняє
непередбачуваність руху (див. зауваження наприкінці розділу 4).

58
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
3.6. 	Стійкість руху
В експериментальних дослідженнях для кількісної оцінки
якоїсь події часто необхідно мати змогу повторювати її для того,
щоб потім оцінити результати вимірювання за допомогою
статистичних методів. Щоб кожне повторення відбувалося, якщо це
можливо, за тих самих умов, потрібно:
i) зберігати зовнішні умови, за яких воно відбувається (напр.,
сили тертя),
ii) завжди починати з тих самих значень динамічних змінних
(напр., х і х для гармонічного осцилятора).
В обох випадках відповідні параметри можна настроїти на те
саме значення лише в межах технічних можливостей. Навіть коли,
як у наступних прикладах, зовнішні умови точно повторюються,
залишається неточність у вимірюванні або підготуванні
початкових умов. Якщо розвиток у часі цієї відмінності в початкових
умовах залишається скінченним (напр., у межах точності
вимірювання), рух називається стійким (стабільним). Дослідімо
трохи детальніше розвиток у часі розкиду початкових умов.
Розгляньмо одновимірний рух матеріальної точки. Нехай
розв’язок x(t) з початковими умовами6
х(0) = ХО) ν(0) = (3.34)
відповідає першій експериментальній реалізації руху.
Повторюючи експеримент і стартуючи з початковими умовами х(0), г;(0),
близькими до початкових умов хо> W
x(0) = xo + <fc(b v(0) = vo + ίνο, (3.35)
де δχο, όνο менші від точності приготування, приходимо до
розв’язку x(t). Як поводиться різниця між обидвома розв’язками
δχ := x(t) — x(t) і δυ := ϋ(ί) — v(t), (3.36)
з часом?
6х є узагальненою змінною, що вказує на положення матеріальної точки;
наприклад, для плоского маятника х = ф. Відповідно, υ є швидкістю —
похідною за часом від цієї змінної.

3.6. СТІЙКІСТЬ РУХУ
59
Для матеріальної точки з гармонічним потенціалом взаємодії
з (3.15) і (3.16) випливає
δχ (t) = δχο coscot + (δνν/ω) sineat, (3.37)
δν (t) = δυο cosujt — ωδχο sincctf, (3.38)
тобто для всіх часів неточність залишається величиною того ж
порядку, що і на початку
\δχ\ < I<foo| + \δν$/ω\ і |йг>| < |йг;| + |cj<foo| ? (3.39)
отже, неточність є обмеженою. Наслідки у (фізичній) дійсності:
два однакові осцилятори з дещо відмінними початковими
станами коливаються завжди в такт.
Іншою є поведінка плоского маятника, рівняння (3.12).
Рисунок 3.7 узагальнює чисельні результати для еволюції з часом
області невизначеності, що має форму прямокутника {χο — δχ < х <
хо + <fo, г>о — δν < ν < г>о + описаного навколо точки (хо? ^о):
з часом форма області змінюється, як це зображено на рисунку,
при цьому одиницею виміру часу t є період Т середньої точки,
яка рухається у фазовій площині за заштрихованою траєкторією
(енергія, що відповідає будь-якій з точок у прямокутнику,
менша від Е = 1.45; граничне значення енергії для обмеженого руху
Е = 2). Тенденція очевидна: після достатньо великої кількості
періодів обертання середньої точки область невизначеності
розподіляється вздовж всієї траєкторії. Насправді це означає: два
однакові маятники, чиї початкові стани лише трохи
відрізняються, рухаються цілком не в такт.
У загальному випадку першу відповідь на запитання про
обмеженість області невизначеності можна отримати з лінійного
аналізу стійкості.
Лінійний аналіз стійкості
Рівняння руху точки у фазовому просторі — це система
диференційних рівнянь першого порядку
й = G(u), (3.40)
де ц означає вектор (r, v), a G задається рівнянням руху (напр.,
для системи рівнянь (2.7) G = (v,F(r)/т)). Розгляньмо тепер

60
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
t = ЗТ/4
Рис. 3.7. До часової поведінки відхилення початкових значень
для плоского маятника (див. текст)

3.6. СТІЙКІСТЬ РУХУ
61
близький до u(і) розв’язок u + iu, для якого маємо
ύ + ій = G(u + iu). (3.41)
Якою є поведінка iu(t) через великий проміжок часу?
Щоб відповісти на це запитання, розкладемо рівняння (3.41) за
iu:
й + ій = G(u) + (iu Vw) G \u + ...;
скоротивши перші члени ліворуч і праворуч згідно з (3.40), для
iu маємо:
ій = (iu Vu) G |и,
або в компонентах:
6щ = би.
dGj
duj
Вводячи позначення
Mij(u) :=
dGj
diij ’
(3.42)
надалі рівняння для відхилення iu запишемо у вигляді:
6щ = Mijbuj або ій = Мій. (3.43)
з
Зауважмо, що хоча ця система рівнянь лінійна стосовно ізд,
матриця М через залежність від u залежить від часу. В загальному
випадку поведінка розв’язків є складною (див., напр., [50, 53]).
Тут ми хочемо розглянути лише випадок, коли М(и) не
залежить від і, тобто u незалежне від часу, й = 0; отже, и є
стаціонарним розв’язком. Такі розв’язки будемо називати також
нерухомими точками системи диференційних рівнянь. Оскільки М
не залежить від часу, рівняння (3.43) має розв’язок
iu = exp (Мt) iuo, (3.44)
де exp (Mt) означається рядом Тейлора I + Mt + \ (Mi)2 + ..., a
iu0 задає відхилення початкових умов. Розв’язок (3.44) зручно
зобразити, використовуючи власні значення λζ і власні функції
Wj матриці М:
Mwz = Azw і.
(3.45)

62
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Оскільки матриця М у загальному випадку несиметрична, її
власні значення і власні вектори — комплексні (в цьому випадку
w* також є власним вектором, що відповідає власному значенню
λ*). Це слід врахувати, розкладаючи Juq за лінійно незалежними
(але не обов’язково ортогональними) векторами w^:
<Suo = ^CiWi; (3.46)
І
оскільки Juo — дійсна величина, то коефіцієнти с^, які
визначаються з рівняння (3.46), також, взагалі кажучи, комплексні.
Враховуючи, що = A^w*, з (3.44) отримуємо часову за¬
лежність би:
£u = exp (Мі) Qwi = Сі exp (А^) wі. (3.47)
і
Якщо принаймні одне власне значення має додатну дійсну
частину, відхилення у початкових умовах необмежено зростає,
причому найбільша додатна частина власного значення (нехай вона
відповідає Αχ) дає головний внесок у поведінку при t —> оо:
δ\ι ~ с\ ехр (Αχt) wi.
Для прикладу розглянемо фазову площину (я, г>)
одновимірної системи. З рівнянь
я = г>,
v = F(x,v)/m
згідно з (3.42) отримуємо матрицю
/ 0 1 \
т дх
т dv /
(3.48)
Існують два власні значення Аі і Аг, а також відповідні їм лінійно
незалежні власні вектори wi і W2, які в нерухомих точках не
залежать від часу. У цих величинах δη запишеться так:
δη(ί) = сі ехр(АЦ) wі + с2 ехр(А2£) w2.
(3.49)

3.6. СТІЙКІСТЬ РУХУ
63
Обидві величини Хі є або дійсні, або комплексно спряжені,
оскільки матриця М є дійсною матрицею. Для t —> оо можна виділити
такі випадки (див. рис. 3.8):
Рис. 3.8. Поведінка в околі нерухомих точок (див. текст)
а) λχ, λ2 > 0: І би І необмежено зростає, u — цілком нестійка
точка;
б) λχ > 0, λ2 < 0: для сі Ф 0 І би | зростає, для с\ = 0 | би | -» 0.
u — сідлова точка;
в) λχ, λ2 < 0: І би I -» 0. u — стійка точка7]
7У випадках а), б), в) величини λι, Аг набувають дійсних значень. —
Примітка перекладача.

64
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
г) λι, Л2 лише уявні (Л2 = ): | би | залишається обмеженим;
ґ) λι, λ2 комплексно спряжені і ReAі < 0: | би | —> 0. u є
кінцевою точкою руху 5и по спіралі, що скручується;
д) Αχ, λ2 комплексно спряжені і ReAi > 0: | би \ —> ос. u є
початковою точкою руху би по спіралі, що розкручується8.
Це загальне обговорення проілюструємо тепер на прикладі
трьох систем.
і) Гармонічний осцилятор: х + ω2χ = 0
Із виразу для сили
F = —πιωζχ
отримуємо
М =
(-•-і)
Лінійний аналіз стійкості в цьому випадку можна провести
ґлобально (тобто без введення нерухомих точок), оскільки М не
залежить від u = (я, ν), а, отже, і від £, тобто для всіх точок фазової
площини маємо:
δχ = δν,
δν = —ω2δχ.
Це особливість гармонічного осцилятора. З рівняння det(AI —
М) = 0 знаходимо власні значення
Ац2 = άζίω.
Це відповідає випадкові г) наведеного вище загального аналізу
(див. рис. 3.8, г). Відповідні власні вектори
Wl - VI+ ω2 ( ίω ) 1 W2 _ VTTTJ2 ( ~ίω )
8Нерухома точка а) називається нестійким полюсом, в) — стійким
полюсом, г) — граничним циклом, ґ), д) — фокусами. — Примітка перекладача.

3.6. СТІЙКІСТЬ РУХУ
65
так само комплексно спряжені, як і власні значення. З
відхилення у початкових умовах
Suq = (Sxq, δνο) = 2Re(ciwi) = (2Reci, — 2a;Imci)/ (1 + ω2)1/2
отримуємо
сі = — ιδνο/ω)(1 + ω2)1//2
і, згідно з (3.49), задану вже в (3.37), (3.38) часову залежність
би:
<hi = (<fa, ίν)
= ((£яо coseut + <h>o smujt/u)), (δυο coseut — (fao^sincjt)) ;
Su залишається обмеженим, незалежно від u = (#, г>) .
іі) Плоский маятник (ф = х): х + ω2 sin я = 0
Із виразу для сили
F = —πιω2 sin я
отримуємо
м = ( 2° .
\ —or cos х 0 J
На відміну від осцилятора, матриця М залежить від u =(χ,υ),
а, отже, і від часу. Тому шукаємо спочатку стаціонарні
розв’язки системи рівнянь й = 0. Для (я,г>) = (0,0) знаходимо обидві
нерухомі точки
(χ,ν) = (0,0) і (π,0).
Віддаль між близькими розв’язками (δχ, δν) залежить від часу
згідно з (3.43), тобто
δχ = δν,
δν = — ω2 cosx δχ.
Для нерухомої точки (0,0) матриця М має вигляд:

66
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Її власні значення
Лі2 = ± гсо.
У деякому околі цієї нерухомої точки різниця у початкових
значеннях не збільшується (рис. 3.8, г, пор. з осцилятором). У межах
лінійного аналізу стійкості нічого не можна сказати про розмір
цього околу.
У другому випадку (π, 0) маємо:
а власні значення
Х\ — ω і \2 = —ω.
При відхиленні δχο від прямовисного положення х = π
(матеріальна точка знаходиться над точкою повороту) поведінка
залежить від напрямку початкової швидкості 5г>о. Для власного
вектора wi Svq паралельне до δχq: маятник буде далі рухатися
від положення рівноваги і „падати “ вниз. Для W2 спрямоване
протилежно до δχο: матеріальна точка рухається до положення
рівноваги (К). Маємо приклад сідлової точки (рис. 3.8, б).
ііі) Осцилятор із загасанням: х + 2^х + ω2χ = 0
Сила
F = —2τηην — ω2χ
залежить від часу. Оскільки
не залежить від (ж, ν), лінійний аналіз стійкості знову можна
провести ґлобально. Власні значення можна записати так (7 < ω):
Ац2 = —7 ± iy/ω2 — 72 .
Оскільки ReA^ < 0, і = 1,2, відмінність у розв’язках, що
відповідають різним початковим значенням, експоненційно спадає.
Маємо приклад нерухомої точки типу ґ) (див. рис. 3.8, ґ).

3.7. АНГАРМОНІЧНИЙ ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
67
3.7. 	Ангармонічний одновимірний рух
Гармонічний одновимірний рух легко розв’язний. Для
негармонійних сил, а, отже, і потенціалів, деколи важко явно отримати
в розв’язку періодичність обмеженого руху. Продемонструймо це
на прикладі одновимірного руху матеріальної точки в
негармонійному потенціалі.
Проста нелінійна система
Розгляньмо осцилятор Дафінґа, рух якого описується
нелінійним диференційним рівнянням
Я -J- CcJqX Η- fix^ — 0.
(3.50)
(3.50) можна отримати, наприклад, з рівняння коливань
маятника, розкладаючи синус з точністю до членів третього порядку:
sin я = х — я3/6. Потенціал сили має вигляд (покладаємо масу
т = 1):
V = ^Ц)Я2 + jx*. (3.51)
Z ТЕ
Із закону збереження енергії Е = я2/2 + V можна обчислити x(t)
без наближень. Розв’язок є періодичним — це еліптичний
інтеґрал. У границі μ = 0 (в розкладі x(t) за степенями μ
залишається лише доданок, пропорційний μ°), знову отримуємо, природно,
відомий розв’язок для гармонічного осцилятора з частотою
коливань (Jo- Проте ми хочемо дослідити метод наближень, який
був би застосовний також і для нелінійностей іншої форми, ніж
μχ3. Таким методом є Фур’є-розклад x(t) у межах вже згаданого
гармонічного аналізу періодичного обмеженого руху. Розгляньмо
інший, більш фізичний варіант.
Природно розкласти х(і) у рівнянні руху (3.50) у ряд теорії
збурень за параметром μ:
x(t) = я0(4) + μ х\(t) + μ2Χ2(ή + · · · (3.52)
Прирівнюючи коефіцієнти при степенях μη, отримуємо систему
диференційних рівнянь:
μ
я0 + Ц)Яо = 0,
І3.53)

68
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
/і1 : Х\ + ujqX\ = —Xqi (3.54)
μ2 : Х2 +^о^2 = —3xqXu (3.55)
Розв’язок першого рівняння запишемо у вигляді:
xo{t) = Csin(u)ot + α),
де С, а — сталі інтеґрування. Підставляючи цей розв’язок у
друге рівняння (3.54), маємо:
х\ + cjqXi = — С3 sin3(a;ot + а) (3.56)
З 1
= — -С3 sin(uot + a) + -С3 sin(3o;oi + 3α).
Це рівняння для осцилятора без загасання під дією періодичних
сил з частотою ωο; воно має такий розв’язок (пор. (3.32) і (3.33)
з со —У cjq і Ω —У u\ К ):
з і і
xi(t) = -—С3 cos(o;ot+a)— 9 С3 sin(3o;ot+3a)+(7i sin(a;oi+ai),
8cjo 32ω0
(3.57)
де з’являються нові константи інтеґрування С\ і αχ.
Доданок, лінійний за £, походить від зовнішньої сили,
пропорційної до sin(u;o£ + а) у правій частині рівняння (3.56). Він
необмежено зростає з t (резонанс!). Оскільки ми знаємо, що розв’язок
періодичний, цей дефект повинен бути спричинений розкладом у
ряд. У цьому розкладі періодичність не спостерігається.
Прикладом аналогічної ситуації є розклад sin(aή + єї) за є (властиво за
єі):
sin(aή + εί) = sineot + єіcos ut —
(et)2
2
smut — ...
(нерівномірна збіжність за t). Для не надто великих часів t
розв’язок все-таки застосовний. Водночас величина t може досягати
значення періоду т = 2π/ω. У небесній механіці, де теорія
збурень такого типу була застосована вперше, такий доданок, що
зростає з часом, називається „секулярним“ (віковим)9 членом,
9Від seculum (лат.) — століття, вік. Деколи використовується термін
„віковий“. Пор.: „секулярне рівняння “. — Примітка перекладача.

3.7. АНГАРМОНІЧНИЙ ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
69
оскільки там т завжди порядку століть; відхилення розв’язку від
періодичного руху виявиться лише через такий проміжок часу.
Для більших t необхідно знайти метод, який приводив би
безпосередньо до періодичних розв’язків.
Явно періодичні розв’язки
Як уже зазначалося, недоліком описаного вище методу є те,
що розклад проводиться в околі розв’язку нульового порядку,
справедливого поблизу частоти ωο. Вона визначається
кривизною потенціалу в мінімумі (див. рис. 3.1), в той час як справжня
частота обертання не дорівнює ωο; вона визначається енергією
27г
ω = ω(Ε) = — (т = т(£7), пор. (3.6)) і, таким чином, залежить
т
від точок повороту (рис. 3.1), а, отже, і від μ. Тому в розкладі
розв’язку за μ можуть бути представлені не всі форми функцій,
що є розв’язками. Крім того, частота ωο як арґумент
функційрозв’язків містить додаткові члени. Тому у наведеному вище
степеневому ряді необхідно виділити внески, які приводять до
відмінності в частоті, і перейти до нової, „перенормованої“ частоти
ω. Частина ряду, що залишиться уже з „перенормованою“
частотою в арґументах функцій, повинна привести до періодичного
розв’язку10.
У методі розв’язку, що ґрунтується на цій ідеї11, виходять з
ще невідомої точної частоти ω і зображують поряд із
степеневим рядом (3.52) для x(t) також і різницю між ω2 і ω^ у вигляді
степеневого ряду за μ :
ω2 = cJq + μνύ\ + μ2^ + ..., (3.58)
де wn — параметри, які можна буде визначати поетапно.
Вирішальним моментом є те, що в рівнянні руху (3.50) виникає точна
частота:
х + (ω2 — μνυι — μ2ω2 — .. .)х = —μχ3. (3.59)
10Конкретніше це означає, що, наприклад, у випадку осциляторного
розв’язку x(t) — хо sin Loot виступає залежна від μ функція x(t) = /μ (ω(μ)ί), де
ίμ (ф) — періодична функція ф. У границі μ —> 0 отримуємо ω(μ) —> ωο і
ίΛΦ) —>· rrosin</>. Степеневий ряд містить внески до ω(μ) і до /μ.
Метод Крилова-Боголюбова. — Примітка редактора.

70
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
Застосовуючи також підстановку (3.52) для x(t) і прирівнюючи
коефіцієнти при степенях /іп, тепер отримуємо таку систему
рівнянь:
μ° :
іо + u2xq = 0,
(3.60)
μ1 :
її + ω2χι = —х\ + wiXq,
(3.61)
μ2 :
х-2 + ω2Χ2 = —За:оа:і + W2X о + гоїжі,
(3.62)
рівняннями (3.53), ... !). Як і раніше, розв’язок
рівняння
(3.60)
xo(t) = С sin(oή + а)
підставляємо в (3.61), що приводить до рівняння ДЛЯ Х\\
З 1
χ\+ω2χ\ = — -Сг sm(ut + a) +-С3 sm(3ut + 3a) + wiC sin(ojt + a).
(3.63)
Однак тепер ми можемо, на відміну від попереднього випадку,
вибрати w\ так, щоб доданки sin(oή + а) не спричиняли появу
секулярних членів. Виберемо
U»1 = \с2, (3.64)
тоді розв’язок
Х\(*) = -
sin(3wt + За) + Сі sin(a;i + αχ)
(3.65)
ω2 = + ^C2 + 0(μ2). (3.66)
Для того, щоб задовольнити початкові умови, достатньо констант
інтеґрування нульового порядку; отже, ми маємо право покласти
Сі = 0. Тоді розв’язок у першому порядку має вигляд:
x(t) = Csin(u)t + α) —
С3 sin(3 ut + 3α) + 0(μ2).
Якщо вибрати початкові умови у вигляді
(3.67)
x{t — 0) = £о і ж(< = 0) = 0,
(3.68)

3.7. АНГАРМОНІЧНИЙ ОДНОВИМІРНИЙ РУХ
71
то
xq — С sin а
0 = а)С cos а —
μ
32ω2
3μ
32сϋ
Розв’язком останнього рівняння є а
■С3 sin За,
С3 cos За.
= π/2. Тоді для xq маємо:
*° = с+зЬ-& + 0^)
або навпаки, виражаючи С через хо (підстановка: С = cq + μο\ +
··■),
с = Хо~з£^χο + °(μ2)· (3.69)
Підставляючи цей вираз у (3.66) і (3.67), отримаємо в першому
порядку теорії збурень розв’язок для початкових умов (3.68):
x(t) = Xq COSUJt
μ
32ω2
Xq (cos ωί — cos 3ωί) + 0(μ2) (3.70)
з
ω2 = ωΐ + + 0(μ2). (3.71)
Результат для перенормованої частоти ω2 збігається з
результатом, який отримується безпосереднім розкладом за μ виразу для
періоду т, рівняння (3.6), (К). Розв’язок (3.70) періодичний і ω
залежить, як і передбачалося, від амплітуди xq. Ці
властивості зберігаються також і у вищих порядках. Додаткові гармонічні
члени непарні, тобто в арґументах тригонометричних функцій
виступають лише непарні кратні до основної частоти: 3ω, 5ω, —
Існування такого наближення для заданого нелінійного
диференційного рівняння і його надійність у різних випадках є
предметом дослідження. Насамкінець зауважимо, що існують також
й інші способи наближень (див., наприклад, [50]).
Доповнення і питання
1. 	Опишіть рух уздовж прямого жолоба: розв’яжіть рівняння
руху і нарисуйте траєкторії у фазовій площині.

72
Розділ 3. ОДНОВИМІРНИИ РУХ
2. 	Частинка (маси т) рухається в потенціалі V (х) від точки
х = 0 у напрямку до точки повороту хи, 0 < хи < а. Нехай
потенціал в інтервалі [0, а] має форму:
(в обох випадках Vo >0). Енергія Е частинки трохи менша
від Vo: Е = Vo (і — δ2). Скільки часу необхідно, щоб з
положення х = 0 досягти точку х = хи1 Розгляньте у випадку
б) границю δ —> 0.
3. Проінтеґруйте для плоского маятника з енергією є = 2
кутову швидкість </>, рівняння (3.13), і визначіть час, за який
матеріальна точка досягає положення ф = π. Розв’язок:
ф = —π + 4arctg(ei).
4. Покажіть з явної форми константи руху /, рівняння (3.21),
що dl/dt = 0.
5. Обчисліть частковий розв’язок
Результатом є вираз (3.30).
6. Виведіть формули (3.33) для резонансного розв’язку
осцилятора під дією зовнішньої сили.
7. Визначіть Su(t) = (йх, δυ) для плоского маятника в околі
нестійкої нерухомої точки (π, 0) і поясніть поведінку
маятника поблизу цієї сідлової точки.
8. Розв’яжіть рівняння (3.56).
9. Визначіть період т для руху в потенціалі (3.51),
розкладаючи вираз (3.6) у степеневий ряд до першого порядку за μ.
Порівняйте з (3.71).
а) У (*) = %-,
а
— 00

Розділ 4
Несподавана поведінка у двох
вимірах
Для двовимірного руху матеріальної точки фазовий простір
чотиривимірний (ж, у, ж, у). Тому в консервативному випадку для
розв’язку рівнянь руху поряд з енергією Е = Т(ж, у) + V(ж, у)
необхідні інші перші інтеґрали. Коли ж „корисних“ (ізолювальних)
перших інтеґралів більше немає, у зв’язку з нелінійністю рівнянь
руху може виникнути нова поведінка розв’язків.
4.1. 	Двовимірний гармонічний осцилятор
Розпочнімо з рівнянь руху двовимірного (анізотропного)
гармонічного осцилятора:
Рівняння не пов’язані між собою. Рух розділяється на два
одновимірні рухи вздовж координат ж і у, відповідно. Отже, енергії
руху вздовж напрямку ж, так само як і вздовж напрямку у,
Ж + Сс^Ж = 0,
у + ШІУ = 0.
(4.1)
Е2,
(4.2)
(4.3)

74
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
сталі в часі, тобто є першими інтеґралами руху (див. зауваження
іі) із с. 37). Замість пари Е\ і Е2 оберімо за незалежні збережні
величини загальну енергію Е
Е = Е1+Е2 = ^(х2 + і,2 + ω2χ2 + и2у2) (4.4)
і 	енергію і?2· Із (4.3) і (4.4) можна отримати х (=: νχ) і у (=: vy) як
явні функції хі у; система інтеґровна. Хоча, згідно із загальними
міркуваннями, повинна існувати інша, третя збережна величина,
проте вона при довільному значенні відношення ω\/ω2
виявляється некорисною (див. підрозділ 4.3). Як буде показано в розділі
14, для розв’язку рівнянь руху достатньо двох незалежних
збережних величини.
Оберімо масштаб часу так, що ω\ί —> t, тоді и)2 зміниться на
ω := (jJ2/СсЦ.
Розв’язки рівнянь руху (4.1) для початкових умов х°, у0, v!j!, vy
запишуться (див. рівняння (3.15)):
x(t) = х° cos t + sin t,
y(t) = y° coscct + (vy/u) sineot.
Залежно від значення відношення частот ω, траєкторіями в
конфіґураційному просторі будуть більш або менш складні фігури
Лісажу. Для раціонального ω траєкторія замкнена, в той час як
для ірраціонального значення ω рух ніколи не повторюється, і
задана енергією ділянка конфіґураційного простору з часом
цілком покриється траєкторією.
Фазовий простір чотиривимірний. Хоча траєкторія
розташована на обидвох енергетичних гіперплощинах, але щоб справді
визначити криву, треба знайти ще третю збережну величину.
Оскільки чотиривимірний простір зображати тяжко і ненаочно,
можна використати одну збережну величину, щоб зменшити
вимірність від 4 до 3; наприклад, можна із виразу для повної енергії
записати змінну х через решту величин:
х = у/2 Е/т — у2 — х2 — оо2у2,

4.1. ДВОВИМІРНИЙ ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР
75
так що „решту“ фазового простору задають змінні х,у,у. Енергія
Е2 визначає поверхню, що має форму труби із еліпсоподібним
поперечним перерізом. Траєкторія отримується як лінія перетину
труби з площиною, що відповідає іншій (третій) збережній
величині (пор. ілюстрацію для ізотропного осцилятора, рис. 4.3).
Для спрощеної ілюстрації руху у фазовому просторі
перетнемо, вслід за Пуанкаре (J.H. POINCARE, французький математик
і фізик, 1854-1912), редукований фазовий простір (ж, у, у)
поверхнею і розглянемо лише послідовність точок перетину траєкторії
з цією поверхнею Пуанкаре (див. рис. 4.1). У випадку осциля-
Рис. 4.1. Послідовність точок перетину траєкторії на площині
Пуанкаре
тора найвідповіднішим вибором є площина, перпендикулярна до
труби: таким чином зросте ймовірність охопити всі траєкторії у
фазовому просторі. Далі у виборі площини слід врахувати, що
вона повинна лежати в „ центрі “ руху: так будуть охоплені всі
траєкторії; це справедливо для х = 0 (згідно з симетрією при
перетворенні х -А —х). Отже, обираємо за площину Пуанкаре
площину (х = 0). Тепер рух у фазовому просторі
характеризуватиметься послідовністю точок (j/,ΐ/)1. Для осцилятора (4.1) лінія
перетину площини Пуанкаре з поверхнею енергії (4.3) є еліпсом;
отже, кожна траєкторія у фазовому просторі повинна
зображатися як послідовність точок на цій кривій.
На рисунках 4.2 зображено траєкторії і відповідні точки
перетину в площині Пуанкаре для різних ω (зміна повної енергії Е не
впливає на форму траєкторій і кривих, на яких розташовані
точки перетину). На рисунках 4.2, а і б зображено результати для
Здебільшого прийнято вибирати лише ті точки перетину, що відповідають
конкретному напрямкові швидкості х, наприклад, х > 0.

76
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
Рис. 4.2. Двовимірний гармонічний осцилятор: траєкторії і точки
перетину з площиною Пуанкаре для різних енергій

4.1. ДВОВИМІРНИЙ ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР
77
раціональних значень ω = 1/2 і 1/5, а на рис. 4.2, в зображена
траєкторія і точки перетину для (майже ірраціонального)
значення ω = 0.679. Кількість точок перетину траєкторій з прямою
(х — 0) відповідає кількості точок перетину в площині Пуанкаре.
Хоча для ірраціонального значення ω траєкторія заповнює
конфігураційний простір, вона не заповнює фазовий простір: тут
на площині Пуанкаре утворюється лише еліпс, який, коли його
розглядати у фазовому просторі, зображує криву перетину
площини Пуанкаре з тором (див. розділ 15). Те, що точки перетину
на площині Пуанкаре лежать на одній кривій, є наслідком
існування і форми збережної величини і?2· Траєкторія у = у(х) не
єдина, виникають окремі гілки, кількість яких залежить від ω.
Ізотропний двовимірний гармонічний осцилятор
В ізотропному випадку частоти руху вздовж осей х і у
вироджуються:
х + ω2χ = 0,
у + и2у = 0. (4.5)
Додатково до збереження часткових енергій
Еі = (т/2)(х2 + ω2χ2), (4.6)
Е2 = {т/2)(у2+ш2у2) (4.7)
для ізотропного осцилятора, домножуючи х-компоненту (4.5) на
у, а у-компоненту на х, отримуємо різницю:
(ху - ух) = ^ {ху - ух) = 0.
Постійний у часі вираз (ху — ух) пропорційний до ^-компоненти
моменту імпульсу L:
Lz—m (ху — ух) — const =: L; (4.8)
отже, L е ще одною збережною величиною. Оскільки три
збережні величини незалежні одна від одної2, в цьому випадку ми
23бережні величини незалежні (див. підрозділ 14.1), якщо диференціали
dE\ — νηω1 xdx 4- mxdx,

78
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
знайшли максимальну кількість незалежних збережних величин.
Кожна збережна величина визначає тривимірну гіперповерхню
в чотиривимірному фазовому просторі (ж, у,ж, у). Крива
перетину цих трьох гіперповерхонь є траєкторією у фазовому
просторі, вздовж якої здійснюється рух. Кожна точка з координатами
(ж(£), y{t), ж(£), y(t)) задає положення і швидкість частинки в
момент часу t. Траєкторія матеріальної точки у (ж) — це
проекція траєкторії у фазовому просторі на конфіґураційний
простір (ж, у). Для наочного зображення цього твердження вилучимо
змінну ж за допомогою збережної величини (4.6):
ж = =Ь\/—Е\ — и;2ж2,
V т
і обмежимося тривимірною проекцією фазового простору,
залежною від координат ж, у і у. Другий закон збереження енергії (4.7)
є рівнянням еліптичної у перетині труби, паралельної до осі ж.
Закон збереження імпульсу (4.8), піднесений до квадрата, також
дає поверхню другого порядку: гіперболоїд, вісь якого лежить у
площині (х,у) (К):
2Е<і 2
ж
т
2Е\ о г» “ ·
—У + 2—ух +
т
L
W
(4.9)
Лінія перетину обох поверхонь, яка виявляється лінією дотику,
— це траєкторія (у редукованому тривимірному фазовому
просторі (ж, у, у)); обидві поверхні і траєкторія зображені на рис. 4.3.
Вилучаючи також у за допомогою другого закону збереження
енергії (рівняння (4.7)), можна отримати траєкторію у
конфіґураційному просторі площини (ж, у). Для цього підносимо
співвідношення (4.8) до квадрата і отримуємо, разом з (4.6) і (4.7)
(—^ —ж2у2 —у2ж2 = (—^ — ^^-ж2 —^і-у2 + 2а;2ж2у2 = —2xyxv
\т) \т) т т
dE2 = πιω2 у dy + mydy,
dL = mydx — mxdy — mydx 4- mxdy
також лінійно незалежні, тобто коли матриця (dlk/duj) має ранґ 3 (Д =
Ei,E2,L і щ = х,у,х,у). А це справді так (К).

4.1. ДВОВИМІРНИЙ ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР
79
Рис. 4.3. Траєкторія ізотропного осцилятора у фазовому просторі
(див. текст)
або інакше
2І?2 2 2Яі о / і \ ^ _ /.. 2 \
я Н у — І — ) = 2хуіху + ω ху).
т т \т)
Легко переконатися, беручи похідну за часом, що вираз
= ху + иі2ху (4-10)
є також збережною величиною, яка, зрозуміло, залежить від
трьох інших збережних величин (К); а саме, виконується
рівність3
(J4)2 = ±ЕхЕ2/т2 - oj2(L/m)2. (4.11)
У результаті отримуємо тепер 3 трьох збережних величин Е\, І?2
і L рівняння траєкторії як проекції лінії перетину трьох
незалежних поверхонь (4.6), (4.7) і (4.8):
^ + ^.2h{EuE,L)xy = (L·) . (4.12)
т т \т)
3Матриця диференціалів dEi,dE2,dL і dl4 (див. попередню примітку і
підрозділ 14.1) має ранґ нижчий, ніж 4, і її детермінант дорівнює нулеві.

80
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
Квадратична форма (4.12), залежно від L (пор.: (4.11)), є
позитивно (напів)означеною, оскільки
Для L ф 0 траєкторія є еліпсом, в той час як для L — 0 вона
вироджується у пряму (у = ±у^/Е\х).
Немає єдиного рецепту для знаходження збережних величин.
Але виявляється, що збережні величини часто пов’язані із
симетрією системи. Так, ізотропний осцилятор інваріантний відносно
(незалежного від часу) повороту системи координат; наслідком
цього є, як ми пересвідчимося в розділі 10, що момент імпульсу
сталий у часі, а, отже, він — збережца величина. Тому важливим
завданням в аналізі динамічних систем є виявити симетрії
(інваріанти) й ідентифікувати відповідні збережні величини. (Якщо
використати відповідні до симетрії координати — полярні
координати, то незмінність моменту імпульсу для ізотропного
гармонічного осцилятора виявляється безпосередньо (К); див. також
розділ 5.)
Отже, двовимірний гармонічний осцилятор інтеґровний. Для
двовимірної системи (а тим паче, для тривимірної) це не завжди
справедливо. Розгляньмо, як приклад, систему Ено-Ейлеса.
4.2. 	Система Бно-Біїлеса
Система, споріднена з гармонічним осцилятором, але з
суттєво відмінними, новими характерними ознаками — це система
Ено-Ейлеса (М. Henon, С. Heiles, Astron. J. 69, 73 (1964)):
тепер рівняння руху (т = 1, ω = 1) пов’язані і нелінійні. Хоча
ця система рівнянь була запропонована як модель для вивчення
інтеґровності руху галактики в аксіально-симетричному
ґравітаційному потенціалі, їх також можна трактувати як рівняння, що
описують динаміку двовимірного гармонічного осцилятора. Крім
повної енергії
АЕгЕ2/т2 - (І4)2 > 0.
х = —х — 2ху,
у = -у + у2-х2·,
(4.13)
Е = + ^ + у(х'у}'
(4.14)

4.2. СИСТЕМА ЕНО-ЕЙЛЕСА
81
v{x,y) = ^(х2 + у2) + х2у - ^у3, (4.15)
інші збережні величини невідомі.
Для потенціалу У (ж, у), частина якого зображена на рис. 4.4,
рух обмежений лише при енергіях, менших від максимального
значення Е —V— 1/6. Ця енергія — значення ТЦж,у) у трьох
сідлових точках (див. рис. 4.4):
(0,1), (^3/2,-1/2), (-^3/2,-1/2).
vf
Рис. 4.4. Потенціал системи Ено-Ейлеса
Ці сідлові точки і (локальний) мінімум (0,0) потенціалу V(ж, у)
згідно з умовами
dV ■ п
— = vx = 0
ох
dV · η
= °
одночасно є стаціонарними точками рівнянь для траєкторій у
фазовому просторі при х = vx = 0, у = vy = 0 (вказуючи
координати стаціонарних точок, опускатимемо їх значення; так точка з
координатами (ж, у, 0,0) просто збігається з (ж,у)). Для Е = 1/6
Рух у конфіґураційному просторі обмежений рівностороннім
трикутником, у кутах якого лежать стаціонарні точки (див. рис. 4.4
1 4:.5). Як і слід чекати, з аналізу стійкості (підрозділ 3.6 попе-

82
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
Рис. 4.5. Еквіпотенціальні лінії системи Ено-Ейлеса
реднього розділу) випливає, що лише мінімум є стійкою точкою
(к).
Оскільки фазовий простір чотиривимірний, виразимо
спочатку х через ж, у і у за допомогою єдиної збережної величини,
енергії (4.14):
X = ±у/2(Е- V(x,y)) - у2,
і виберемо, як і для гармонічного осцилятора, площину х = 0
за поверхню Пуанкаре. Для заданої енергії Е ділянка, в якій
можуть розташовуватися точки перетину, задається максимальним
і мінімальним значеннями у і у при х = 0; отже, точки (у, у)
повинні задовольняти умову
Е> \y2 + V(0,y). (4.16)
Інтеґруючи чисельно рівняння руху, можна визначити як
траєкторії у конфіґураційному просторі, так і точки перетину в
площині Пуанкаре (у, у) у фазовому просторі. Різні траєкторії
зображено на рисунку 4.6. Для найнижчої енергії, Е = 0.05,
поведінка траєкторій (рис. 4.6, a-в) цілком нормальна (реґулярна). Це
справедливо і для точок перетину на рис. 4.7, а. Як і у випадку
гармонічного осцилятора, вони розташовані на кривих, причому
можна з’ясувати відмінність у формі кривих (див.: G. Н. Walker,
J. Ford, Phys. Rev. 188, 416 (1969)). Перша несподіванка
виявляється при збільшенні енергії:

.2. СИСТЕМА ЕНО-ЕЙЛЕСА
83
Рис. 4.6. Різні траєкторії у системі Ено-Ейлеса
Якщо значення Е малі, Е = 0.05 (рис. 4.7, а) для всіх
початкових умов послідовність точок перетину розташована,
очевидно, вздовж (гладких) кривих.
Якщо Е = 0.11, з’являється нова поведінка. Для певних
початкових умов існує невпорядкована, хаотична послідовність
подальших точок перетину (рис. 4.7, б), які всі належать до
однієї траєкторії у конфіґураційному просторі. Ряд точок
від початково безмежно близьких точок розташовується у
фазовому просторі зовсім далеко одна від одної. Навіть
невелика невизначеність у початкових умовах призводить до
повної невизначеності в майбутній долі матеріальної точки.
Е = 0.13 і Е = 0.1666 (рис. 4.7, в, г): ділянка хаотичних
траєкторій розширюється із зростанням енергії.

84
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
а б
Рис. 4.7. Перетини Пуанкаре для різних енергій (див. текст)  ЗіЗі збільшенням значень енергії зростає як ділянка початкових
умов, що приводять до хаотичних траєкторій, так і сама
нереґулярність траєкторій (див. рис. 4.6, ґ, є, ж). Поряд з цим завжди
є, мабуть, цілком реґулярні траєкторії (див. рис. 4.6, г, д, е).
Ено і Ейлес систематизували свої результати так: для значень
енергії, менших від деякої критичної величини, приблизно рівної
Ес = 0.11, точки перетину видаються (навіть при збільшенні)
розташованими на кривих. Змінюючи початкові умови,
знаходимо множину кривих, яка цілком заповнює область (4.16). Для
енергій, більших від критичного значення, заповнена хаотичними
траєкторіями підобласть зростає лінійно з енергією. „Грубо
кажучи, можна стверджувати, що для енергій, менших від £7С, існує

4.3. НЕКОРИСНІ ЗБЕРЕЖНІ ВЕЛИЧИНИ
85
ще один інтеґрал, в той час як для вищих енергій він не існує
Правда, Ліхтенберг і Ліберман стверджують [56], що стохастичні
області завжди існують, але при енергіях, нижчих від
критичного значення, вони дуже „розріджені“ і їх не можна побачити на
рисунках, отриманих у результаті числових розрахунків.
Ґуставсону (F. G. Gustavson, Astron J., 71, 670 (1966)) вдалося за
допомогою ітераційного методу, кроки якого послідовно породжували
члени розкладу в ряд за степенями ангармонізму, сконструювати
інтеґрал руху (у 8-му порядку). Через цю другу збережну
величину, як і у випадку гармонічного осцилятора, точки перетину
на площині Пуанкаре розташовуються на кривих. Для Е < Ес
так отримані перетини Пуанкаре добре узгоджуються із
результатами, отриманими чисельним аналізом рівнянь руху (див. рис.
4.8). Хаотичну поведінку для Е > Ес таким способом (природно)
не можна відтворити.
На відміну від гармонічного осцилятора точки перетину в
площині Пуанкаре (для достатньо великих енергій) більше не
лежать на замкнених кривих. Це може вказувати на те, що
константи руху або відсутні, або стали неефективними. Наслідком
існування збережних величин у випадку гармонічного
осцилятора була поява еліпсів у площині Пуанкаре (рис. 4.2). Як може в
принципі існуюча, згідно з підрозділом 2.2.1, константа руху
стати „ неефективною “? Проілюструємо це в наступному підрозділі.
4.3. 	Як виглядає „некорисна44 збережна
величина?
Для незалежної системи 2/ диференційних рівнянь першого
порядку існує 2/ констант руху (наприклад, 2/ початкових умов)
і, після виключення часу, 2/ — 1 збережних величин (див.
підрозділ 2.2.1). Деякі з них відомі з самого початку і полегшують шлях
розв’язку. Але який вигляд має решта збережних величин?
Виявляється, що існують збережні величини різної якості: ізолювальні
і неізолювальні („ корисні “ і „ некорисні “).
Ілюстрацією цієї відмінності служить точний аналіз
двовимірного гармонічного осцилятора з підрозділу 4.1 (пор. також [47]).
Покладімо тут т — 1 і позначмо х\ := х, х2 := у, ν\ — υχ —
V2 = vy = ±2- 3 самого початку відомі дві збережні величини,

86
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
Рис. 4.8. Порівняння перетинів Пуанкаре, обчислених
Ґуставсоном, (ліворуч) із чисельними даними (праворуч) із зростанням
енергії (за Ліхтенберґом і Ліберманом [56])

4.3. НЕКОРИСНІ ЗБЕРЕЖИІ ВЕЛИЧИНИ
87
а саме, енергії руху в напрямку 1 і 2, рівності (4.2) і (4.3):
vj + uifxj = Ю2 +ч2 {4Ϋ = 2Д„ * = 1,2 , (4.17)
де х® і ν® — початкові значення. Обидві збережні величини мають
форму
G(r, v) - G(r0, v0) = 0. (4.18)
За загальними міркуваннями, наведеними в підрозділі 2.2.1,
повинна існувати третя збережна величина. Щоб її знайти,
запишемо в (3.22) в одновимірному випадку початкові значення х9,
ν®, і = 1,2, які вже є чотирма константами руху, як функції
залежних від часу величин Xi(t) і ^(ί), і — 1,2:
х9 = Хі coso— (Vi/oJi) sino;^,
V® = Vi COS U{t + U){Xi Sin (Jit,
і виразимо звідси час t:
cose= (v{Vi +uiiXiXi)/2Ei, (4.19)
sineJit = uji{xivl — ViXi)/2Ei. (4.20)
Вилучимо явну залежність від часу за допомогою одного із
співвідношень (4.19), (4.20) або їх комбінації. Згідно з міркуваннями,
наведеними в підрозділі 2.2.1, отримуємо три збережні величини.
Спочатку співвідношення
cos2 + sin2 Uit = 1, г = 1,2,
після підставлення cosurf і sinujit у вигляді (4.19), (4.20)
приводять до обидвох законів збереження (4.17) для енергій Еі . Із
тотожностей
t = (1/eJi) arctg(sinujit/ cosejit), 2 = 1,2
разом з (4.19), (4.20) отримуємо:
(Ui(XiVj -
V Vivf + UjfxiX1} ) ’
t = — arctg
Ui
2 = 1,2.

88
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
Виключаючи час, маємо ще одну збережну величину
С02{Х2У2 - V2X2)
V2V2 +
= 0,
(4.21)
яка, поряд з (4.17), визначає ще одну (гіпер)поверхню у
фазовому просторі. Але (4.21) не має форми виразу (4.18). Рівняння
(4.21) зводиться до алгебричного рівняння лише для
раціонального відношення4
Для ωχ = ω2 це рівняння можна легко записати у формі (4.18):
отримується постійність моменту імпульсу L і збережної
величини /4 (див. рівняння (4.10) і (4.11)) у формі (4.18), а саме (К):
де індекс 0 означає, що збережні величини беруться для
початкових значень ж*, vp. L° = L (ж^, ж§, v®, і, відповідно, /4. У
загальному випадку степінь алгебричного рівняння залежить від г
та s; відповідно до цього від г та s залежить і число розв’язків
для Х{ та Vi, якщо їх намагатися виразити як функції
початкових значень ж^ та v9. Із зростанням значень г і s досить швидко
зникає можливість представити рівняння у формі (4.18). На це
вказують також проекції траєкторій у конфіґураційному
просторі на площину (жі, Ж2), які отримуються, якщо вилучити
швидкості за допомогою законів збереження енергії (4.17). Зв’язок між
жі і Ж2, взагалі кажучи, неоднозначний. Наприклад, для випадку
ω2 = 2ω\ існує алгебричний зв’язок між х\ і х2 і
максимальна степінь рівняння дорівнює 8 (для певних початкових значень
степінь нижча). Кількість розв’язків жі = жДжг) відповідна. На
рис. 4.2, а зображено приклад чотирьох гілок (частин) розв’язку
в конфіґураційному просторі; на кожній гілці х2 є однозначною
функцією жі, причому жі може пробігати всю доступну область
значень. Всі гілки разом утворюють траєкторію. Оскільки
кількість розв’язків зростає зі збільшенням значень г і s, зростає і
ступінь багатозначності зв’язку5 між х\ і Ж2, а, отже, і кількість
4Коли (Л\/ш2 є раціональним числом. — Примітка перекладача.
5Тобто зростає кількість жг, що відповідають однаковому значенню х\. —
Примітка перекладача.
ωι/ω2 = r/s.
L/h - L°/I% = 0,
(4.22)

4.4. ХАОТИЧНА ПОВЕДІНКА
89
гілок траєкторії (див. рис. 4.2, б). Залежний від г і s ступінь
неоднозначності відповідає ступеневі розгалуженості поверхні у
фазовому просторі, визначеної співвідношенням (4.21). Цей
ступінь зростає з ростом г і s. Але розв’язування (4.21) для
визначення х\ — х\(х2) завжди приводить до алгебричного рійняння.
Для ірраціональних значень відношення α^/ωι розв’язки
нарешті щільно заповнюють задану енергією частину конфіґураційного
простору і кількість гілок необмежено зростає. Рівняння для
визначення х\ — х\(х2) буде трансцендентним. Збережну величину
(4.21) не можна більше знайти у формі (4.18); називатимемо її
негзолювальною. Її не можна використати для розв’язування
задачі, тому ЩО в ЯВНІЙ формі не знаходиться НІ Х\ ЯК функція £2,
ні Х2 як функція х\. Збережні величини — частини енергії (4.17)
— це так звані ізолювальні інтеґрали.
4.4. 	Хаотична поведанка
У системі Ено-Ейлеса виникають незвичні хаотичні
розв’язки. Звідси можна зробити висновок, що, принаймні для
Е > Ес « 0.11, лише енергії є ізолювальними збережними
величинами. Часову послідовність точок перетину в площині
Пуанкаре в хаотичній області характеризують дві властивості:
i) Послідовність точок у (під)області (4.16), мабуть, є
стохастичною.
ii) Дві точки перетину, що відповідають близьким початковим
умовам, розташовуються зовсім далеко одна від одної.
Означення:
Поведінка розв’язку системи хаотична, коли часова
еволюція траєкторій у фазовому просторі цілком
нереґулярна (випадкова) і відчутно залежить від
початкових умов; „відчутно“ означає, що початково (в момент
часу t = 0) сусідні траєкторії мають цілком різний хід
і відстань між ними зростає, грубо кажучи, локально
експоненційно.
Якщо при обмеженому русі доступна область фазового прос¬
тору також обмежена, тенденція двох траєкторій розбігатися

90
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
приводить до того, що вони повинні поводитися хоч і
детерміновано, але саме хаотично, щоб виграти у відстані. Деяке уявлення
про топологію многовиду повинно дати обговорення наприкінці
останнього підрозділу. В хаотичній області системи цей многовид
має фрактальну структуру6.
Щоб з’ясувати процес руху у фазовому просторі, повернімося
до зображення рівнянь руху у формі незалежної системи рівнянь
(3.40):
ύ = G(u) з u = (r, v), G = (v,F/т).
Віддаль між двома сусідніми траєкторіями u (t) і u (t) + όιι (t)
l*u(i)|
2
Зміна віддалі між двома послідовними в часі точками
визначатиметься (наближено) з лінеаризованого рівняння (3.43)
бщ = Mij (u) Uj, Mij (u)
з
d(h
dUj
Напрямки власних векторів є* і власні значення \ визначають
поведінку би в наступний момент часу: у напрямках, для яких
Хі > 1, віддаль зростає, а у напрямках, для яких λ; < 1, —
6Стандартним прикладом фрактальної множини є множина Кантора,
означена на інтервалі [0,1] одновимірної дійсної осі. Вона будується за
та•киМ правилом:
З інтервалу [0,1] усувається середній відкритий інтервал (1/3, 2/3), що
становить третину початкового відрізка. Наступний крок полягає в тому, що з
двох інтервалів, що залишилися, [0,1/3] і [2/3,1] знову усуваються середні
відкриті інтервали, що становлять третину їх довжини. Повторюючи таку
побудову безмежну кількість разів для інтервалів, що утворюються після
кожного кроку, отримуємо множину Кантора.
Фрактальний характер виявляється в тому, що ця множина не має
вимірності 1, якщо під вимірністю розуміти вимірюваність лінії, поверхні чи об’єму
в (довільних) одиницях виміру довжини, площі, об’єму. Але для множини
Кантора можна задати так звану вимірність Гаусдорфа <ія = 0.6309.
Відхилення від міри інтервалу вкладення [0,1] (<ія = 1) відображає фрактальний
характер. Подібне справедливе для фрактальних множин на площині (лінії
„узбережжя“ типово мають вимірність б?я = 124, килим Серпінського —
d,H = 1,89) і в просторі (губка Серпінського — (Ін — 2,73). Детальніше про
це можна прочитати у [57].

4.4. ХАОТИЧНА ПОВЕДІНКА
91
зменшується. Обмежимося двовимірним випадком, і нехай у
напрямку Єї власне значення λ і > 1, а у напрямку Є2 Л2 < 1.
Тоді часовий розвиток подій можна зобразити такою картиною:
розгляньмо два початкові значення і сполучімо їх кривою.
Власні вектори і власні значення в обох вихідних точках, а також у
точці на кривій, що їх сполучає, майже рівні між собою. Із
плином часу крива, що сполучає обидва значення, розтягнеться в
напрямку еі і стиснеться в напрямку Є2- Розтяг у фазовому
просторі може відбуватися лише до скінченної межі фазового
простору. Треба знайти якийсь вихід. Між тим власні вектори і власні
значення, залежні від часу через u (£), неперервно
змінювалися в кожній точці на кривій. Відмінність між достатньо далеко
розташованими точками також збільшилася настільки, що тепер
локальна поведінка поблизу них не визначається однаковим
законом для власних векторів і власних значень. Не пізніше, ніж на
межі фазового простору ця відмінність повинна стати настільки
великою, що не дозволить перетнути цю межу. Ті частини
кривої, що досягають межі, повертаються назад всередину фазового
простору. Довжина кривої при цьому постійно зростає. Мірою
відстані між двома початковими значеннями є крива, що їх
сполучає. Ця відстань може довільно зростати, і при цьому крива
не перетинатиме межу, зумовлену обмеженням фазового
простору. На площині Пуанкаре такій поведінці відповідає хаотична
послідовність точок перетину однієї траєкторії. Завдяки цьому
можливо, що початково сусіднім траєкторіям відповідають різні
послідовності точок перетину. Початкова віддаль \Su(t = 0)| між
двома траєкторіями сильно зростає з часом і наближено може
бути записана як
де σ — найбільший із так званих показників Ляпунова, що
означаються як
І навпаки, щоб система була хаотичною, принаймні для одного
показника Ляпунова повинно бути σ > 0. Показники Ляпунова
тісно пов’язані з власними значеннями матриці М.
Найпростішим прикладом описаного явища може служити
наведене нижче відображення двовимірного одиничного квадра¬
Su(t) І ос 6σί, σ > 0,

92
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
та7 0 < х,у < 1 самого на себе, при якому площа залишається
незмінною. Так зване перетворення пекаря складається з двох
операцій:
1) видовження і одночасного стискання у два рази:
= 2х, у' = У/2 ==Ф х/ Є [0, 2), у' Є [0,1/2),
2) складання, тобто відрізання і доповнення до попереднього
інтервалу [0,1):
х" = х', у" = у' для х' Є [0,1),
х" = х - 1, у" = у + 1/2 для х' Є [1,2).
На рис. 4.9 проілюстровано, що відбувається із зображенням
котячої морди після виконання одного перетворення пекаря. Після
наступних повторень перетворення котячу морду вже не можна
розпізнати. Перетворення змішуюче і (тому) ергодичне: котяча
морда буде розподілена по всьому простору, що розглядається.
0 1 0 1
Рис. 4.9. Розтяг і складання: на шляху до хаосу
Зауваження
Ітераційні відображення
Часова послідовність точок перетину в площині Пуанкаре
відповідає ітераційному відображенню. Для неінтеґровних систем
7Цей двовимірний простір не відповідає фазовому просторові
одновимірного руху; оскільки останній завжди є інтеґровним, в ньому не може виникнути
хаотична поведінка. Але наступне може служити моделлю подій у площині
Пуанкаре двовимірної системи.

4.4. ХАОТИЧНА ПОВЕДІНКА
93
— а лише в них можлива хаотична поведінка — таке
відображення не може бути виведене з рівнянь руху; тому доводиться
вдовольнятися вивченням моделей. Одним з прикладів є таке
відображення (М. Henon, Quart. Appl. Math. 27, 291 (1969)):
Це ітераційне відображення виявляє поведінку, подібну до
знайденої у перетинах Пуанкаре системи Ено-Ейлеса.
Коли може виникнути хаос? (Або: Коли в цьому є
впевненість ?)
Як ми вже побачили, хаос може виникнути в
чотиривимірному фазовому просторі двовимірної системи, але не в
двовимірному фазовому просторі одновимірної системи. В загальному
випадку справедливе твердження:
Нехай часова залежність п змінних u = (щ,..., ип) задається
незалежною системою п диференційних рівнянь першого поряд-
і G — нелінійна функція щ. Тоді хаос може виникнути, якщо
кількість компонент п > 3. Нехай зв’язки між компонентами u
загальні (наприклад, сили в системі неконсервативні). Тоді
система рівнянь інтеґровна, якщо відомі п—1 незалежних збережних
величин, тобто п — 1 співвідношень
У такій системі хаотична поведінка не може виникнути. Для
системи типу рівнянь (2.7) достатньо меншої кількості збережних
величин (а саме п/2 — див. підрозділ 14.1). Отже, для
виникнення хаотичної поведінки важливо, щоб система була нелінійною і
неінтеґровною.
Дисипативні системи
Сконструюємо для векторного поля G(u) у рівнянні (4.23)
узагальнену диверґенцію
Хі+і = Хі cos а — (уі — xf) sin а,
Уі+1 = Хі sin а + (уі-х}) cos а.
ку
ύ = G(u)
(4.23)
І і (u) = 0, j = 1,..., η -1.
divG =
(4.24)

94
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
і нехай divG = const < 0. Тоді систему називатимемо
дисипативною8. У нелінійних дисипативних9 системах хаотична поведінка
дещо відрізняється; траєкторія в них прямує до так званого
дивного атрактора. Вже для одновимірного загасного осцилятора
з вимушеними коливаннями (підрозділ 3.5.2) ми виявили
обмеження асимптотичного руху на підмноговид фазового простору
нижчої вимірності; там у двовимірний фазовий простір був
вкладений одновимірний атрактор-еліпс (пор. обговорення розв’язків
(3.25) і (3.30)). Дивність хаотичних нелінійних систем полягає
у фрактальній структурі атрактора і його самоподібності10.
Такому дивному атрактору можна зіставити нецілу (фрактальну)
вимірність, величина якої лежить між d і d— 1, де d — вимірність
простору вкладення.
Прикладом до цього є загасний маятник під дією періодичної
сили. У рівняння руху
х + 2ηχ + ω2 sin х = k cos Ш
залежна змінна входить нелінійно (sin х). Один з чотирьох
параметрів (7,а;,&,Ω) можна забратд зміною масштабу часу (tf = ωί
з наступним t' —> t) і залишаються лише три параметри:
х + Rx + sin х — F cos 2πηί,
де
R = 27/ω, F = k/ω2, η = Ω/(2πω).
Відповідна незалежна система рівнянь першого порядку має
вигляд:
х = V,
8Гармонічний осцилятор і плоский маятник — гамільтонові системи. Як
наслідок теореми Ліувілля про сталість фазового об’єму (див. підрозділ
13.2.4), для них divG = 0. У дисипативних системах довільний заданий
фазовий об’єм стискається.
9Наприклад, таких, що загасають. — Примітка перекладача.
10Структура (безмежно велика) називається самоподібною, якщо при
збільшенні іі довільно малої частини отриманий результат має подібний
вигляд до початкового. Для скінченого дивного атрактора це справедливо у
внутрішній частині (тобто всередині його скінчених границь). Прикладом
самоподібного об’єкта є берегова лінія: маючи відрізок берегової лінії,
неможливо без міри відліку визначити величину каменів або довжину краю води.

4.4. ХАОТИЧНА ПОВЕДІНКА
95
V — ~Rv — Sin X + F COS (/9,
φ = 2πη.
Обчислення диверґенції (4.24) дає —R. Виникає хаотична
поведінка (А. Н. MacDonald, М. Plischke, Phys. Rev. В27, 201 (1983)).
Оскільки система дисипативна, знаходимо дивний атрактор.
Вимірність Гаусдорфа атрактора трохи більша за 1 і залежить від
Д, F і η.
Числове інтеґрування
Результати числового інтеґрування рівнянь руху у випадку
хаотичної поведінки не відразу заслуговують на довіру; так,
наприклад, швидко виявляється, що форма траєкторії залежить від
розміру кроку. Обговорення способів інтеґрування триває. Однак
такі чисельні дані — ознака того, що поведінка системи є дивною.
Резюме
Коли рух піддається одисові за допомогою диференційного
рівняння, це не означає, що для всіх випадків майбутнє „в наших
руках“. У нелінійних системах неминучі неточності початкових
значень у хаотичних розв’язках приводять до великих
відмінностей у пізніших значеннях і невпевненості у визначенні майбутньої
поведінки. Однак такі системи детерміністичні.
Доповнення і питання
1. Дослідіть рух пов’язаного двовимірного осцилятора
(взаємодія білінійна за відхиленнями).
2. Покажіть, що для ізотропного осцилятора 3 збережні
величини £?і, і?2 і L — незалежні.
3. Виведіть співвідношення (4.9) і покажіть, що йде мова про
однополий гіперболоїд.
4. Покажіть, що для ізотропного осцилятора (4.5) величина
І4 = ху + и2ху:
і) незалежна від часу (тобто збережна),

96
Розділ 4. ДВОВИМІРНІ СИСТЕМИ
іі) незалежна від збережних величин Е\, і L (див.
рівняння (4.6), (4.7) і (4.8)).
5. Запишіть рівняння руху для ізотропного гармонічного
осцилятора в полярних координатах і розв’яжіть їх. Що
привертає увагу порівняно з розглядом у декартових координатах?
6. Визначіть стаціонарні точки для руху в потенціалі (4.15).
Застосуйте лінійний аналіз стійкості.
7. Покажіть, що співвідношення (4.21) для ω\ = ω<ι набуває
форми (4.22).

Розділ 5
Рух у полі центральних сил
У механіці один клас сил займає особливе положення — це
клас центральних сил. Згідно із законами збереження енергії та
моменту імпульсу рух у центральному полі є цілком інтеґровний.
Під час дії додаткової сили з іншими властивостями симетрії,
наприклад, однорідного зовнішнього поля, рівняння руху можуть
перестати бути інтеґровними.
5.1. Загальні властивості руху в центральному
потенціалі
5.1.1. Збережні величини
Розгляньмо рух матеріальної точки в полі центральної сили
F(r) = /(г)г/г. (5.1)
Для рівняння руху
mr =/(r)r/r, (5.2)
взагалі кажучи, завжди є два закони збереження: закон
збереження енергії і закон збереження моменту імпульсу (див.
підрозділ 2.2). Перший є наслідком існування скалярного потенціалу:
оскільки кожна центральна сила консервативна, rotF = V х F =
0, існує скалярний потенціал F(r), такий, що
F(r) = -W(r).
(5.3)

98
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Відповідно, домножуючи на г, маємо:
г
/(0 = -^- або V(r) = - J dr'/(/)· (5.4)
Домножуючи рівняння руху (5.2) скалярно на г і
використовуючи властивість (5.3), безпосередньо пересвідчуємося, що часова
залежність енергії
E=jr2 + V(r) (5.5)
зникає: повна енергія Е є збережною величиною.
Збереження моменту імпульсу є прямим наслідком того, що
момент імпульсу центральної сили (5.1) стосовно центра дії сили
дорівнює нулеві: r х F(r) = 0. Векторне множення рівняння
руху (5.2) на г засвідчує, що часова залежність моменту імпульсу
зникає, так що момент імпульсу сталий у часі:
L = г х mr = const. (5.6)
Оскільки Lr = 0, траєкторія r(t) постійно знаходиться у
фіксованій площині (перпендикулярній до L). Положення цієї
площини визначається початковим значенням L = Lo = гохтго. Якщо
вісь z спрямувати вздовж напрямку моменту імпульсу, L = Lez,
то рух відбуватиметься лише в площині z = 0. Вводячи полярні
координати в цій площині, приходимо до циліндричної системи
координат; деякі співвідношення для неї наведені в додатку А.
Оскільки рух відбувається в площині Z = 0, р постійно
дорівнює радіус-векторові і тому замість р ми писатимемо звичне г.
Це слід враховувати, застосовуючи співвідношення з додатка А.
Використовуючи співвідношення (5.2), рівняння руху (А.20) у
полярних координатах запишеться
т(г — гф2)ег + т(гф + 2 ϊφ)βφ = /(г)ег; (5.7)
відповідно, розділяючи ег- і е^-компоненти, маємо:
т(г — гф2) = (5-8)
тп(гф + 2 гф) = 0.
(5.9)

5.1. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ РУХУ
99
Підставляючи вираз для швидкості ί у полярних координатах
Г = ГЄг + Τψβφ (5.10)
(див. рівняння (А.19)) у (5.5), отримуємо закон збереження
енергії для руху в центральному потенціалі (5.4) у полярних
координатах:
^ [(г2 + г2ф2) + V(r)] = Е = const. (5-11)
Δ
Підставляючи (5.10) у (5.6), маємо:
щ о
L = rxmr = гег х тгфе^р = тг фег,
так що закон збереження моменту імпульсу — через орієнтацію
системи координат приведений до збереження ^-компоненти — у
полярних координатах має вигляд:
Lz = тг2ф — const =: L (5.12)
(надалі через L позначатимемо ^-компоненту, а не модуль L:
|L| = \LZ\ = |L|!). З (5.12) випливає, що
ф =
L
тг2 ’
(5.13)
і φ(ϊ) монотонно зростає або спадає (L > 0 або L < 0), тобто
траєкторія характеризується незмінним напрямком
обертання. Як ми пізніше покажемо (див. розділ 10), причиною
збереження моменту імпульсу є інваріантність потенціалу V(r) при
(незалежних від часу) обертаннях.
Просто пов’язана з моментом імпульсу так звана
секторіальна швидкість А. Вона означається як площа, яку описує
радіусвектор r(t) за одиницю часу. Для площі F, яку описує
радіусвектор г за час di, маємо:
r(t+dt)

100
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
1 1
F — Adt — - τ2άφ = - г2 ф dt
£ ζ
(r(t + dt) « r(t)). Таким чином, із закону збереження моменту
імпульсу (5.12) випливає постійність секторіальног швидкості
(закон збереження секторіальног швидкості):
А = г2ф/2 = L/2m (5.14)
(див. Другий закон Кеплера, підрозділ 6.3).
5.1.2. 	Ефективний потенціал
Використовуючи закон збереження імпульсу (5.13),
вилучаємо з рівняння (5.8) ф і отримуємо для радіального руху
mf = Ж + JL =:
dr тг3 dr ’
(5.15)
L2
де
тг
зСг
відцентрова сила,
і2
(5.16)
називатимемо ефективним потенціалом. Додаток до У(г) — це
потенціал відцентрової сили. В законі збереження енергії (5.11)
виключаємо ф за допомогою (5.13):
т, ,2 L2 _ т ,2
+^2) + ^) = -2^ + К//(г) = Я.
Для радіальної швидкості маємо:
(5.17)
v(r)) - ^=± VІ(£ - (518)
(знаки перед коренем відповідають різним напрямкам
радіального руху) і, інтеґруючи, отримуємо (явний) розв’язок
і г
J dt' = t- to = ± J
to 7*0
dr1
JL-)
2mr'2 J
(5.19)

5.1. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ РУХУ
101
Так знаходимо часову залежність r(t) аналітично, або, коли це
неможливо, шляхом чисельного визначення інтеґрала.
Підставляючи її в (5.13), отримуємо φ(ί). Отже, рівняння руху
матеріальної точки в центральному потенціалі є повністю
інтеґровним.
Радіальну компоненту руху можна розглядати як
одновимірний рух в ефективному потенціалі Veff. Для V ос — 1/г
ефективний потенціал зображено на рис. 5.1. Аналіз цього одновимірного
Рис. 5.1. Рух в ефективному потенціалі
руху цілком аналогічний до проведеного раніше (підрозділ 3.1) з
єдиною відмінністю, що тепер рух відбувається лише для г > 0.
Зокрема для випадку обмеженого руху (Е = Е\ на рис. 5.1)
випливає, що рух у напрямку ег між точками повороту г\ і г<і є
періодичним; рух загалом (у площині) не є періодичним!
Рівняння для траєкторії г((р) отримуємо з (5.18), вилучивши
час за донсімогою закону збереження імпульсу (5.13):
dr dr dt , mr2 12 чч L?
ΊΓρ = dtd^ = ±ЛГ V m ~V^~^iTr
У явній формі ψ = ψ(τ) має вигляд:
φ-φ0
±
/
L
rt2
г о
dr'
2т (Е - V(r'))
ϋ_
γ/2
(5.20)
(5.21)

102
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Константи інтеґрування го і ψο збігаються з початковими
значеннями r(t = 0), ψ(ί = 0), коли для обраних значень Е і L
початкові значення r(t = 0) і ф(і = 0) задовольняють умови
Е = £7(г0,г(* = 0),<£(ί = 0)) (див. (5.11)) і L = £(г0,<р(і = 0))
(див. (5.12)); в іншому випадку го і ψο є функціями початкових
значень r(t = 0), φ(ί = 0), r(t = 0), φ(ί = 0)! Згідно з (5.20) у
точках повороту зникає не лише г, а й dr/άψ = 0. Вибір знака
перед інтеґралом у (5.21) залежить від знака похідної dr/άψ на
частині траєкторії, що розглядається.
5.1.3. 	Властивості траєкторій
Розгляньмо траєкторію для Еф 0 в околі точки повороту Г[/,
яка визначається з умови рівності нулеві г і dr/άψ. Починаючи
з обраної точки траєкторії га = (га, ψυ + </>а), досягаємо точки
повороту rjj (див. рис. 5.2); для різниці кутових координат —фа
маємо (5.21):
Продовжуймо рух ДОТИ, ДОКИ в ТОЧЦІ Гь = (Τα,ψυ — Фь) віддаль
У
Апсиди і вектори
\
\
\
\
\
\
\
\
\
J
Рис. 5.2. Симетрія траєкторії поблизу точок повороту

5.1. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ РУХУ
103
знову дорівнюватиме га, тоді для кута фь маємо:
ги
(оскільки в точці повороту напрямок г і dr/άφ відрізняється, слід
вибирати інший знак у рівнянні (5.18) і, відповідно, (5.21)). За
винятком напрямку, кути фа і фь рівні між собою:
~Фа = Фь\
траєкторія симетрична відносно так званих апсидних векторів,
спрямованих до точок повороту (див. рис. 5.2).
Якщо рух обмежений (див. рис. 5.1 для £л), то
наведені вище міркування не залежать від того, чи вони стосуються
„внутрішньої“ точки повороту, радіус г\ на рис. 5.1, чи
„зовнішньої “, радіус Г2- У площині руху точки повороту розташовані на
двох колах радіусів г\ і тд відповідно. Згідно з (5.13) ф і άφ/dr
мають те саме значення для г\ і гд; форми траєкторії поблизу
точки повороту на колі радіуса г\ і, відповідно, на колі
радіуса Г2 — ідентичні. Коли ф і άψ/dr незмінно додатні або від’ємні
(пор. (5.12)), то і кривизна обмеженої траєкторії залишається
незмінною, а траєкторія має вигляд, зображений на рис. 5.4і. Від
функції V (г) залежить чи траєкторія буде замкненою, тобто чи
при зміні кута φ на 2π або 2ηπ, де η — ціле число,
виконуватиметься рівність г (φ + 2ηπ) = г (φ) (див. підрозділ 5.3).
Коли повна енергія Е дорівнює значенню (локального)
мінімуму потенціалу Veff в положенні го (пор. рис. 5.1)
Яо = Veff(r о),
то згідно з рівністю dVeff/dr = 0 випливає, що поряд з г (див.
(5.18)) г також дорівнює нулеві (див. (5.15)). Траєкторія буде
колом радіуса тд, і рух відбуватиметься з постійною кутовою
швидкістю
ω ф — Lfmr\. (5.22)
хНе може виникнути траєкторія, подібна до зображеної в третьому розділі
книжки Ґольдштейна [15].

104
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Для енергій, трохи більших за Eq, радіальний рух є,
наближено, коливаннями біля го (розклад Veff поблизу тд; пор. також
підрозділ 3.1).
Для L — 0 із рівняння (5.12) випливає
φ = const, (5.23)
тобто траєкторіями є прямі, що проходять через центр дії сили:
для L — 0 рух у центральному потенціалі відбувається вздовж
прямої, що проходить через центр дії сили.
У центральному потенціалі закон збереження імпульсу,
зокрема, напрямку імпульсу, приводить до того, що рух
відбувається в незмінній (тобто не залежній від часу) площині: рух є
двовимірним. Кількість рівнянь руху зменшується, отже, до двох
у конфіґураційному просторі і, відповідно, до чотирьох — у
фазовому просторі. Незалежних збережуваних величин є три;
фактично для інтеґрування необхідно лише два перші інтеґрали (див.
підрозділ 14.1). Це енергія Е і перпендикулярна до площини
компонента моменту кількості руху L. Отже, рух матеріальної точки
в центральному потенціалі є повністю інтеґровним.
5.2. 	Рух у потенщалі 1 /г
Обидві найважливіші центральні сили класичної фізики, сила
ґравітації і кулонівська сила, мають форму2:
F = —kmr/rs.
Для потенціалу такої сили відповідно отримуємо (5.4):
кт
г
Радіальна компонента руху отримується інтеґруванням виразу
для радіальної швидкості (5.18)
Г = ±]/^ (E-Veff(r))
2Маючи на увазі застосування наступних результатів у випадку
Гравітаційної сили, зручно виділити в потенціалі масу т. Знак обрано так, щоб силі
тяжіння відповідало к > 0.
(5.24)

5.2. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ 1 /R
105
з ефективним потенціалом
+ (*■*)
Знаючи r (£), можна знайти часову залежність кута φ із закону
збереження моменту імпульсу (5.13).
5.2.1. 	Рух для L ф 0
Відцентровий потенціал в (5.16) — це кінетична енергія в
напрямку координати φ. Для к > 0 ефективний потенціал має
мінімум, як це зображено на рис. 5.1. Існують три різні типи
траєкторій; вони відповідають різним значенням енергій, позначеним
на рис. 5.1 через Ео,Е\ і Е<ї.
і) 	Е = Ео: енергія дорівнює мінімуму ефективного потенціалу
Veffiro)
ro = І?/т2к, Ео — Veff(ro) = — к2т?/2L2. (5.26)
Траєкторія має форму кола (r = г = 0) з радіусом го, і рух
відбувається з постійною кутовою швидкістю φ = Ljmr\ =
m3fc2/i3 (nop. (5.22)). Кінетична енергія радіального руху
дорівнює нулеві. Із занулення ефективної сили dVeff/dr при
г = го, що означає рівність відцентрової (тгоф2) і
доцентрової (кт/г%) сил (К), для кутової швидкості отримуємо
вираз, до якого входять лише к і го·'
φ = = const. (5.27)
ii) Е — Еу. траєкторія все ще обмежена. Вона проходить між
точками повороту т\ і г<і і рух спрямований в одному
напрямку, оскільки φ > 0 (< 0).
iii) Е — Е2'. траєкторія відкрита (необмежена). Частинка,
радіальна швидкість якої спрямована до центра, досягає точки
повороту гз і віддаляється на безмежність.

106
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Хоча аналітичне обчислення r(t) з (5.18) неможливе
(детальніше див. у наступному розділі), можна визначити криву
траєкторії з рівняння (5.21)3:
φ = φο +
г
І
J 2
г о
І 2т ( Е +
dr'
кт
2тга )
Підставляючи и' = 1/г', отримуємо
Ψ
=w-j
du'
і
2 тЕ 2т2 к
У таблиці інтеґралів знаходимо, що
du 1
: arccos —
β + 2η и
у/а + βη + ηη2 уГ1! у/β2 — 4αη J ’
звідки випливає при a = 2mE/L2, β = 2m2k/L2 і η = — 1
ψ — ψκ ~ arccos
f~+
2 EL2
m3k2
і, нарешті,
l = ^sign(A:) + У1 + ^2 cos(^ - · (5-28)
Тут і значення інтеґрала в положенні го об’єднані в константу
φκ· Це співвідношення між г і φ описує в полярних координатах
3Вибираючи знак у (5.21), ми задаємо напрямок проходження траєкторії.

5.2. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ 1/R
107
конічний перетин4 з фокусом у початку координат (=у центрі дії
сили). Параметр
- 12
^ т2 |&|
і 	ексцентриситет
І 2 EL2 І ЇГ
Є~Ч1+тЧІ-]11+\Щ <5'30)
характеризують форму конічного перетину (ε завжди дійсна
величина, оскільки навіть для неґативних значень енергії Е > Eq;
пор. (5.26) і підрозділ 5.1).
Для притягальної сили, k > 0, φκ У рівнянні,траєкторії
1 = - (1 + ecos(<£ - ψκ)) (5.31)
г р
задає кутову координату сусідньої з початком координат точки
повороту. Після задання φκ кожна траєкторія руху для потен-
1 ...
ціалу - однозначно визначається значеннями р і ε, відповідно,
г
L і Е. Траєкторією може виступати кожен із чотирьох конічних
перетинів:
гіпербола:
ε > 1 (Е > 0),
парабола:
ε = 1 (Е = 0),
еліпс:
ε < 1 (Е < 0),
коло:
ε — 0 (Е = Eq)
Криві конічного перетину в полярних кооріщнатах
Оберімо систему координат так, що φκ = 0 в (5.31) і г (φ)
задовольняє рівняння
г =
1 + є cos φ
(5.32)
4Криву другого порядку. — Примітка перекладача.

108
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Нехай р > 0, тобто к > 0. Точки перетину кривої конічного
перетину з віссю у (φ = π/2, відповідно φ = 3π/2) знаходяться на
віддалі р від початку координат.
і) 	є < 1: еліпс, коло (є = 0).
Точки повороту при φ = 0 і φ = π знаходяться на віддалі
(5.33)
Р Р
П = г-Г“> г2 =
1 + ε
1 — є
Альтернативно до р і є форму еліпса можна описати в
термінах півосей
Г\ + г2 р
а —
1-е2
Ь = ау/1 — ε2 = 7 ^ ■ .
Обернені співвідношення мають вигляд:
(5.34)
(5.35)
Ь2 V
Є=У1~Д-
(5.36)
За цими замкненими траєкторіями (еліпс, коло (ε = 0))
відбувається обмежений рух у потенціалі -.

5.2. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ 1/R
109
іі) 	є = 1: парабола.
Єдина точка повороту при φ = 0 розташована на віддалі
П = (5.37)
Параболічна траєкторія виникає лише при одній величині
енергії, а саме при Е — 0; отже, вона має менше значення у
фізичних застосуваннях.
ііі) 	є > 1: гіпербола.
Рівняння траєкторії (5.32) описує лише ту гілку гіперболи,
у фокусі якої розташований центр дії сили. Справедливе
співвідношення cos<p > — l/ε, причому
cos^ = — 1/ε (5.38)
визначає асимптотичний кут (г (ψΑ) = ос). Точка
повороту знаходиться при φ = 0 і
(5.39)

по
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Рівняння асимптот у декартових координатах мають
вигляд:
У =
Тх\/є2 - 1 ±
ЄР
у/є2 — 1 ’
звідси для відстані від фокуса (центра дії сили) до кожної
з асимптот одержуємо (К)
Р
у/е2 — 1
(5.40)
Для відштовхувальної сили, к < 0, з (5.28) випливає
г =
Р
ε cos ψ — 1 ’
(5.41)
а, отже, повинна виконуватися умова cos<p > l/ε. Існують лише
гіперболічні траєкторії5. Для них початок координат (= центр дії
сили) розташований у фокусі другої, нефізичної гілки.
Точка повороту розташована на віддалі
Гшт = Г2 =р/(є - 1) (5.42)
від центра дії сили. Рівняння для асимптот є такими ж, як і у
випадку к > 0, тому для віддалі від центра дії сили до асимптот
знову отримується вираз (5.40).
Гіперболічні траєкторії (ε > 1, відповідно Е > 0) становлять
інтерес при розсіянні частинок у потенціалі 1/г (див. розділ 7).
5 У же з форми ефективного потенціалу бачимо, що може відбуватися лише
необмежений рух.

5.2. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ 1/R
111
5.2.2. 	Обмежений рух для L — 0
Випадок L = 0 вимагає особливого обговорення. Для L ф 0
відцентровий бар’єр перешкоджає досягненню центра
потенціалу. Точка синґулярності потенціалу залишається поза областю
досяжності. Як уже згадувалося в підрозділі 5.1, для L — 0 рух
відбувається вздовж прямої (рівняння траєкторії: φ = const), що
проходить через початок координат, наприклад, уздовж осі х\ з
форми потенціалу очевидно, що буде досягнена точка х = г = 0.
Виникає лише запитання, якою є часова залежність руху.
Матеріальна точка, яка спочатку знаходиться в положенні х = rmax,
прямує до х = 0 (див. рис. 5.3). При цьому швидкість і кінетич-
Рис. 5.3. Ситуація для L = 0 (Veff = V)
на енергія необмежено зростають (К). Початок координат
проходиться з безмежно великою швидкістю. Далі вона знову
зменшується, аж доки не буде досягнено точки спокою на відстані
х = — rmax; потім процес повторюється в протилежному
напрямку.
У зв’язку із синґулярністю в початку координат, який також
тепер буде досягнено, із закону збереження енергії можна
визначити лише рух за проміжок часу між двома відповідними
проходженнями синґулярності. Обмежимося вивченням часової
поведінки при русі з положення х = rmax до х = 0 (К). Тепер маємо

112
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
тому що для точки повороту на відстані rmax з х = г = 0 випливає
тк
rmax = щ.
Вибравши to = 0, маємо
Гт&х
Г у Т Гтах
Звідси одержуємо
t(r) = (vW^max - r + rmax arctg \/rmax/r - l) ,
де t змінюється в інтервалі 0 < t < imax з
^max := t(r = 0) = ^л/гтах/2^·
Час 2imax, який затрачає матеріальна точка на проходження від
однієї точки повороту до іншої, і відстань 2rmax між цими точками
пов’язані пропорцією
t - г3/2
що є однією з форм третього закону Кеплера (пор. підрозділ 6.3).
Як ми зараз побачимо, показник 3/2 є типовим для потенціалу
1/г.
5.3. 	Рух у потенціалі V(r) ос 1 /га
Розгляньмо вплив радіальної залежності потенціалу V(т) на
форму траєкторії. Параметризуємо цю залежність степенем а:
V(r) = -
mk
ιρΟί
Спочатку розглянемо ті значення а, для яких явно обчислюється
інтеґрал у рівнянні траєкторії (пор. (5.21))
г

5.3. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ V(R) ос 1/Ra
113
Найпростіші функції отримують, якщо а = —2,1, 2:
а = —2: ізотропний осцилятор (див. розділ 4.1 і К); траєкторії є
еліпсами, тобто замкненими кривими, проте центр дії сили
знаходиться в центрі еліпса, а не у фокусі. Період Т не
залежить від лінійного розміру а траєкторії: Т = 2π/ω.
а = 1: ґравітаційний потенціал; траєкторії є еліпсами із
центром дії сили у фокусі. Період підкоряється третьому закону
Кеплера: Т ~ а3/2 (див. наступний розділ).
а = 2: потенціал 1/г2; рух в ефективному потенціалі Veff
обмежений лише для L2 < 2т2к\ оскільки може бути
досягнене положення т — 0 (так само як у випадку а = 1 для
L = 0), рух потрібно розглядати в окремих інтервалах часу.
З відповідно обраними константами інтеґрування рівняння
траєкторії має вигляд (К)
^шах
ch(ар) ’
0 < t < ^max
ДЄ С — yj 2шк/1?“ Г, Т max — C,\J Ι//2ΤΤΙ\Е\ І tmax —
Траєкторія має форму спіралі і характерний
час руху Т ~
Для деяких інших значень а інтеґрування приводить до
еліптичних інтеґралів.
Чи обмежені траєкторії для а ф 1 є замкненими (як еліпс і
коло для а = 1), залежить від а. Як для значень а < 1, так і для
а > 1 знаходимо траєкторії у формі розеток, тобто „головна вісь“
змінює свою орієнтацію між двома послідовними мінімальними
відстанями на визначену величину Αφ (рис. 5.4).
5.3.1. 	Механічна подібність
Для потенціалу зі степеневою поведінкою,
можна отримати співвідношення між характерною довжиною
траєкторії а (наприклад, відстанню між обома точками
повороту в підрозділі 5.1) і проміжком часу Т, необхідним
матеріальній точці для того, щоб пройти відстань, визначену через а (для

114
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Рис. 5.4. Траєкторія у формі розетки (а = 1.1)
еліптичної траєкторії: велика піввісь і період (чверть періоду)).
Це співвідношення є наслідком інваріантності рівняння руху
тпг = -W(r) =car/ra+2
при одночасному масштабному перетворенні довжини і часу, яку
називатимемо механічною подібністю. Змінюючи масштаб
довжини
г' — Аг
і часу
і' = μί,
запишемо рівняння руху в нових одиницях виміру довжини і
часу:
(,μ2/λ)τηΐ' = -A(a+1W7r,a+2. (5.43)
Нові характеристики траєкторії (а7, Τ') запишуться через старі,
як
а* = λα,
Τ' = μΤ.
Рівняння траєкторії залишиться інваріантним, якщо (5.43) не
міститиме множників, залежних від λ і μ, тобто якщо
покласти
μ = д(а+2)/2. (5.44)
Виразимо λ і μ через α,α',Τ і Τ':
λ = a'/a,
μ = Τ'/Τ,

5.3. РУХ У ПОТЕНЦІАЛІ V(R) ос 1/Ra
115
і отримуємо з (5.44) Т'/Т = (а'/а)^а+2^2 і співвідношення між Т
Т ос а(а+2)/2, (5.45)
де константа пропорційності Τ'/a'(Q+2)/2 має (фіксоване)
значення в обраній системі координат. Для а = 1,±2 отримані вище
значення випливають як частковий випадок (5.45).
5.3.2. 	Вектор Ленца
Те, що для а = 1 траєкторія завжди є замкненою (еліпсом)
кривою і ніколи не має форми розетки, пов’язано ще з однією
збережною величиною в потенціалі6 1 /г. Помножмо рівняння руху
гаг = —kmr/r3 векторно на момент імпульсу L: ,
.. т , г х L _ гх (г х г) , / гг г
г х L = —к—^— = —тк ^ = —тк г-=■
Оскільки для центрального потенціалу L = 0 та з
випливає співвідношення гг = гг, отримуємо:
d
—~г
dt
2
— (г х L) = —тк
dt
d r
тк--.
dtr
Об’єднуючи разом диференціювання за часом, знайдемо, що
вектор Ленца К,
К = f х L — mfc-, (5.46)
r
є сталим у часі вектором7: К = 0. Його постійність відповідає
збереженню періодичності г- і (^-компонент руху (див. розділ 15), а,
отже, траєкторії замкнені. Є дві умови, які обмежують К.
Оскільки для руху в потенціалі 1/г вже відомі 4 збережні
величини, а існує лише п’ять незалежних інтеґралів руху, то К, так чи
інакше, може містити максимально одну додаткову незалежну
збережну величину. Вектор К повинен задовольняти такі умови:
63бережні величини Е, L є ізолювальними також і для ізотропного
осцилятора, V = mu;2r2/2, а траєкторії, як вже згадувалося, — еліпси.
Цей інтеґрал руху був відомий ще П. Лапласові. — Примітка редактора.

116
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
1. к лежить у площині руху, оскільки К перпендикулярний
до L: KL = 0; отже, залишається максимально дві нові
збережні величини. Спрямуймо вісь z вздовж напрямку
моменту імпульсу, L = Lez, записавши ί у полярних координатах,
одержимо
К = (гфЬ — mk)er — τΊβφ. (5.47)
2. Довжина вектора К однозначно визначається енергією Е і
моментом імпульсу L, оскільки з
К2 = {гфЬ - тк f + (rL)2
= (г2 + г2ф2) L2 — 2гфЬтк + т2к2
= (2Е/т + 2k/r) L2 — 2kL2/г + т2к2
випливає
(5.48)
Порівнюючи з (5.30), бачимо, що ексцентриситет є
пропорційний до К — |К|:
є = K/mk. (5.49)
Залишається невизначеною ще одна збережна величина —
напрямок ψκ вектора К у площині руху:
К — К cos φκ^χ + К sin φκ^ν (5.50)
= К (cos(<p - (рк)ег - sm(y) - ψκ)*φ)
(друге співвідношення отримуємо, виразивши ех і еу через
ег і е<р, як це маємо в Додатку А).
З (5.47) і (5.50) випливає співвідношення
т
tg(¥> - ψκ) = тут·
гф — mk/L
Отже, під час руху в потенціалі 1 /г маємо, додатково до енергії
і моменту імпульсу, п’яту збережну величину — напрямок φκ
вектора К:
Ік{г, φ, г, ф):= ψκ = Ψ - arctg
гф — mk/L
= const. (5.51)

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
117
Оскільки кількість збережних величин досягла
максимального значення, з них можна безпосередньо (без інтеґрування)
визначити траєкторію. Треба лише з (5.51) виключити ф і г за
допомогою закону збереження моменту імпульсу (5.13) і закону
збереження енергії (пор. (5.18)). Простіший шлях такий: розгляньмо
проекцію вектора Ленца на траєкторію:
гК
rK cos(<p — φο) = r (г х L) — mkr
L2
L(rxr) — mkr = mkr
m
(nop. (5.46) і (5.50)). Звідси випливає
r (mk + K cos (ψ — ψκ)) =
L2
m
або
r =
L2/m2k
1
(5.52)
Це зображення кривої конічного перетину в полярних
координатах (пор. рівняння (5.31), (5.29) і (5.49); цим показано також
рівність кутів у (5.31), (5.50), яку ми передбачили, вводячи для
них однакові позначення). Як видно з (5.52), точка траєкторії
з найкоротшою віддаллю до відповідного фокуса (= центра дії
сили, початку координат) характеризується кутом φ = φχ· До
цієї точки спрямований вектор -Ленца К; у випадку еліптичної
траєкторії таку точку називатимемо перигелієм.
Існування побудованої додаткової збережної величини не
виражає ніякої симетрії відносно перетворення координат
(точкового перетворення, пор. розділ 10). Відповідне перетворення
симетрії — це перетворення у фазовому просторі (F. Schweiger, Acta
Phys. Austr. 17, 343 (1964)).
5.4. 	Інтеґровність зникає
Нова ситуація виникає тоді, коли додатково до центральної
сили діє ще одна сила з нижчою симетрією, виділяючи,
скажімо, напрямок у просторі. Як приклад, розгляньмо залежну від

118
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
швидкості силу - (г х В), В = const. Рівняння руху має вигляд
с
гаг = f(r)r/r + - (г х В). (5.53)
с
Сила такої форми з’являється в електродинаміці як вплив
(однорідного) магнетного поля (q — заряд, с — швидкість світла),
також така сила фігурує як сила інерції у системі координат, що
обертається8 (тоді В відповідає кутовій швидкості, див. підрозділ
8.2.3). Помножимо рівняння руху (5.53) на г, тоді останній
доданок зникне і закон збереження енергії залишиться у незмінній
формі:
Е = —r2 + V(r) = const, V(r) = — j drf(r). (5.54)
Чи є ще збережні величини? Початкова сферична симетрія
центрального потенціалу втрачається, оскільки В має напрямок.
Тому (див. розділ 10) момент імпульсу стосовно центра потенціалу
(= початку системи координат) більше не зберігається (див.,
однак, підрозділи 9.3.3 і 15.1). У цьому можна переконатися
безпосередньо, векторно домножуючи рівняння на г:
4-т(г х r) =4-L =1 (г х (г х В)) = 2 ((rB) і - (гг) В).
dt dt с с
Хоча не зберігається також і компонента моменту імпульсу в
напрямку магнетного поля Lz, але зберігається величина, частково
споріднена з нею. А саме, помноживши рівняння скалярно на В,
маємо:
^В (г х (г х В)) = - (В х г) (г х В) (5.55)
с с
(г х в)2 = f(rB)2 -Γ2β2);
2 cdtK ' 2 cdtV ' /’
об’єднавши похідні за часом, отримуємо
IlbB := га(г х г)В + ^(гх В)2 = const (5.56)
2с
8Тоді вона називається силою Коріоліса (з точністю до множника). —
Примітка перекладача.

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
119
як другу збережену величину. Звідси випливає, що це дві
єдині збережні величини. Для подальшого обговорення розгляньмо
підрозділ
Однорідне магнетне поле як єдина причина дії сили
Для руху тільки в постійному магнетному полі (/(г) = 0)
шг = - (г х В) (5.57)
с
насамперед знаходимо закон збереження енергії, що має лише
кінетичну природу (пор. (5.54)),
Ε=ψ\ . (5.58)
і величини Ilb (5.56). Ще одну збережну величину знаходимо,
інтеґруючи рівняння руху (5.57) за часом:
г — (г х В) := u = const. (5.59)
тс
З п’яти збережних величин (5.58), (5.56) і (5.59) незалежними є
чотири (див. рівняння (5.66)); ця кількість є ознакою
інтеґровності рівняння руху.
Скалярне множення (5.59) на В = Bez показує, що швидкість
матеріальної точки в напрямку вектора В стала:
rez = uez = const. (5.60)
Згідно з (5.60) тривимірний рух розділяється на (тривіальний)
одновимірний вздовж напрямку В і двовимірний у площині,
перпендикулярній до В. Тому зручно розкласти г і г на паралельну
до В та поперечну складові, zez, zez і, відповідно, р і р:
r = zez + p, з z = (rB)/J3, рВ = 0,
і
ί = zez + /9, З Z — (fB) /В, рВ — 0.
Оскільки, згідно з (5.60), і стале,
і =: г>ц = const,

120
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
також і енергія руху вздовж напрямку В залишається сталою,
Щ\ = ψ2 = у «І = const, (5.61)
і матеріальна точка рухається в напрямку В згідно з рівнянням
z = V\\t + Z0.
При цьому незалежним є рух, перпендикулярний до В.
Енергія Ер цього руху, згідно з (5.58) і (5.61), також стала:
Ер = ^р2 = const (= Е — £7ц) . (5.62)
Оскільки (г х В) = (р х В) і
LB = га(г х г)В = т(р х р)В = L^B,
де Lв — нормальний до В момент імпульсу (тепер з довільно
вибраним центром системи координат), то збережна величина I lb
визначається динамічними величинами в поперечній до В
площині:
ILBB = LbB + f (рх В)2 .
АС
(5.63)
Остаточно також і поперечна частина виразу (5.59)
ир = р - ωζ (р * ez) = const (= u — уц)
(5.64)
є сталою. Тут
qB
ωζ = —
тс
(5.65)
— так звана циклотронна частота. Чотири збережні
(5.62), (5.63) і (5.64) пов’язані співвідношенням
величини
т с,
ТТир — Ер + ωζΙρΒ,
(5.66)
так що лише три з них незалежні.
У виразі для енергії Ер у полярній системі координат,
ЕР = ^(Р2+Р2Ф2),

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
121
можна виразити ф через збережну величину Івв-> записану у
вигляді (5.81):
m
Ер — ~7ГР +
/2
1LB
2 mp2
+
m /ωζγ
2 \Ύ)
- -jUzlLB-
(5.67)
З точністю до останнього постійного доданка енергія Ер має
форму енергії двовимірного ізотропного гармонічного осцилятора з
моментом імпульсу Lz = Ilb і частотою коливань ωζ/2. Проте
траєкторії відрізняються. Причиною цього є відмінність в інших
збережних величинах9: зокрема в магнетному полі маємо
величини ир замість піденергії для руху в х- або у-напрямку у
випадку гармонічного осцилятора (пор. підрозділ 4.1). Як і у випадку
вектора Ленца, отримуємо з
Up Vtp
з одного боку,
Up = mpep + mp (φ + ωζ) βφ (5.68)
і, з іншого боку, кут φη як незалежні збережні величини.
Обчислення дає:
ψη = Ψ + arctg
ρ{φ + ωζ)
Р
(5.69)
(пор. (5.51)). Траєкторія однозначно задається цією
максимальною кількістю (3) збережних величин: Ер,Іів і ψη·
Для безпосереднього порівняння з ізотропним осцилятором
розгляньмо всі величини у двовимірній декартовій системі
координат. Рівняння руху мають вигляд:
X = LJZy,
у = -ωζχ. (5.70)
Спершу їх форма є іншою, ніж у випадку осцилятора;
диференціюючи ще раз за часом і перегруповуючи члени, маємо:
ds 2 d
їех+иглх
<Р 2 d
d^y+UZdty
= 0,
= 0;
9Ця відмінність зникає під час вибору системи відліку, яка обертається з
певною кутовою швидкістю (див. підрозділ 15.1.2).

122
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
інтеґрування за часом приводить ці рівняння до форми рівнянь
ізотропного гармонічного осцилятора (пор. (4.1)). Проте
розв’язок має іншу природу. Це спричинено відмінностями в збережних
величинах. У декартових координатах Ep,Ilb і ир — (и^щ)
мають вигляд:
Ер = ^(Р + у2),
(5.71)
Ilb = т ху - ху) + 1ωζ (х2 + у2
(иЛ = ί
\и2) \ν + ωζχ/’
(5.72)
(5.73)
і задовольняють умову (5.66),
(и\ + ul) = 2 Epfm + 2и)гІьв/т· (5-74)
Крива траєкторії повинна отриматися з цих збережних величин
за допомогою визначення х і у. Виконуючи очевидні дії, спочатку
отримаємо зі співвідношень (5.73)
и2у - щх = ху - ху + ωζ (X2 + у2);
врахувавши (5.72), маємо
Ilb 1 / 2 , 2\
и2у - щх = — + -ωζ + У ) ·
Запишемо останню рівність, виділяючи повні квадрати:
τηωζ
Враховуючи (5.74), отримуємо рівняння кола (Е > 0!)
Отже, матеріальна точка рухається колом радіуса
Рк
yJlEpjm
ωζ
(5.75)
(5.76)

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
123
з центром у
Щ U2
ωζ ’ ωζ
(5.77)
Кутова координата φη — arctg (г/2/^1) збережної величини
визначає напрямок до центра кола, а модуль (5.74) — це
відстань до центра кола як функція збережних величин Ер і
IlbРадіус кола задається енергією Ер. Якщо Ilb — 0, згідно з (5.74),
/ ,о j2\ ‘ІЕрІТТІ о · . тт
(а^ + а^) = —^— = рк і траєкторія перетинає вісь 2. Для
Ilb > 0 .(або Ilb < 0) випливає + d2) > (відповідно,
(^1 + < р^) і вісь 2; лишається зовні (відповідно, всереди¬
ні) кола. Зі співвідношення (5.74) отримуємо нижню межу для
Ilb1 а саме: Ilb > —Ερ/ωζ- Можна легко показати, що вектор
Рк = (х ~ У — ^2) описує обертовий рух навколо осі 2 із
постійною кутовою швидкістю ωζ (К).
Зауваження.
• Рівняння руху (5.53) і (5.57) інваріантні відносно
розширеного перетворення часової інверсії.
t -> -ί, В -а -В. (5.78)
Змінюючи відповідно до цього арґументи підрозділу 2.2.1,
можна безпосередньо переформулювати твердження про
існування констант руху і про збережні величини.  •• 3 інваріантністю щодо перетворень (5.78) тісно пов’язані
такі властивості руху. Кривизна траєкторії і напрямок її
проходження однозначно визначаються напрямком вектора В;
для заданого напрямку магнетного поля кривизна всіх
траєкторій однакова. Інакше, ніж у центральному потенціалі,
задана (плоска, замкнена) траєкторія може проходити
лише в одному напрямку. Тільки зміна напрямку магнетного
поля на протилежний дозволить проходження цієї
траєкторії у зворотному напрямку.

124
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
До магнетного поля додається центральна сила
Симетрійні властивості обох сил підказують, що базою для
рівнянь руху слід обрати циліндричні координати (пор.: Додаток
А). Спрямувавши поле В уздовж осі z, В = Bez, для компонент
рівняння руху (5.53) маємо (К):
Р~РФ2 = f(r)p/r + ωζρφ,
2 ρφ + ρφ = -ωζρ, (5.79)
щі = f{r)z/r,
де г = у/ ρ2 + ζ2. Для енергії (nop. (5.54)) отримується:
Е = у [ρ2 + р2ф2 + і2) + V І^у/р2 + z2^j = const, (5.80)
а для збережної величини (5.56)10:
Ilb = гпр2 ^ф + = const. (5.81)
Величина Ilb визначає положення (проекцію) траєкторії11.
Рівняння (5.79) інтеґровні, коли існує ще один ізолювальний
інтеґрал. Щоб з’ясувати це, М. Робнік (М. Robnik, J. Phys. А 14, 3195
(1981)) чисельно проінтеґрував рівняння руху для притягального
потенціалу 1/г
у(г) = ~
г
і знайшов перетини Пуанкаре траєкторій. Як результат, він
отримав, що третій інтеґрал руху ізолювальний для енергій, нижчих
за деяке критичне значення, залежне від В і Ilb5 для енергій,
10Це рівняння також безпосередньо можна отримати, домножуючи на р
(/^-компоненту рівняння руху.
11 Для потенціалу 1/г у праці Р. Ґаєвського (R. Gajewski, Physica 47, 575
(1970)) отримано:
i) Ilb > 0: траєкторія не охоплює вісь ζ.
ii) Ilb =0: траєкторія перетинає вісь ζ.
iii) Ilb < 0: траєкторія охоплює вісь ζ.

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
125
вищих за це значення, рух може бути хаотичним. У підрозділі
13.1.2 ми детально розглянемо і (чисельно) розв’яжемо
відповідне рівняння руху в системі відліку, що обертається (див.
підрозділ 8.2.3).
Рух у площині симетрії
Якщо в момент часу t — 0 z(t = 0) = 0 і i(t = 0) = 0, то рух
відбувається у площині, в якій розташований центр дії сили, і яка
одночасно перпендикулярна до В. З третього рівняння (5.79) для
малих часів випливає
mz = 0;
інтеґруючи з урахуванням початкової умови z(t = 0) = 0, маємо
і = const = 0.
Отже, для руху в описаній вище площині перше рівняння (5.79)
зводиться до (г = р)
гп (р - рф2) = f(p) + ІВрф. (5.82)
За допомогою збережної величини (5.81) з (5.82) можна
виключити ф:
1 г 1
ψ = —ή 1lb ~
mpz 2
після цього рівняння радіального руху набуде вигляду
12 і
m 'p = f(p) + ~Щ - jrnu2zp. (5.83)
mp° 4
У зв’язку із законом збереження енергії (5.80) цей
квазі-одновимірний рух в ефективному потенціалі
ν.,Μ = ν(ρ) + ·§^ + \mulp2 (5.84)
з початковими умовами ζ — ζ — 0 є інтеґровним. Отже,
отримуємо цілий клас траєкторій, які не є хаотичними для всіх значень
параметра. Це приклад співіснування хаотичних і нехаотичних
ділянок в одній і тій самій системі.

126
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
Висновки
Загалом рух в однорідному магнетному полі гвинтоподібний
і відбувається з кутовою швидкістю (циклотронною частотою)
Перпендикулярна до магнетного поля компонента руху описує
коло, радіус і центр якого залежать від початкових умов.
Відповідно, зберігається не z-компонента моменту імпульсу Lz =
тр2ф, яка відлічується відносно початку координат, а величина
(5.81), відлічена відносно центра колової траєкторії. Протилежно
до цього відбувається рух у центральному полі, що
характеризується центром дії сили (переважно розташованим у початку
координат); тут центр траєкторії (наприклад, центр розетки) у всіх
випадках є центром дії сили: Lz — стале. Ця конкуренція між
обидвома формами траєкторій спричиняє знайдену Робніком
(цитована вище праця) хаотичну поведінку нерелятивістичного руху
зарядженої частинки (заряд q) у статичному електричному полі
Е = qr/r3 і однорідному магнетному полі В. Характерною рисою
цієї системи є те, що обидва граничні випадки В —> 0, і,
відповідно, к —> 0 приводять до двох розв’язних систем, для яких відома
максимальна кількість збережних величин; тому рівняння руху
в обидвох випадках розв’язується лише алгебрично.
Доповнення і питання
1. Виведіть для руху в центральному полі закон збереження
енергії і закон збереження моменту імпульсу в
циліндричних координатах. Для цього помножте скалярно
(відповідно, векторно) на г (відповідно на г) рівняння руху, записане
в циліндричних координатах (див.: Додаток А).
2. Виведіть результат (5.27) для кутової швидкості.
3. Визначіть рівняння руху в декартових координатах для
потенціалу 1/г.
4. Обґрунтуйте рух тривимірного ізотропного осцилятора в
ефективному потенціалі. Розв’яжіть рівняння руху за
допомогою законів збереження.

5.4. ІНТЕҐРОВНІСТЬ ЗНИКАЄ
127
5. Обчисліть рівняння для асимптот гіперболи, виходячи з
рівняння для траєкторії (5.32), і перевірте співвідношення
(5.40).
6. Обґрунтуйте рівняння руху в потенціалі 1/г для L — 0.
Скільки часу потребує матеріальна точка, щоб досягнути
центра дії сили?
7. Визначте траєкторію руху матеріальної точки в
(притягальному) потенціалі 1/г2. Що відбувається при г — 0?
8. Опишіть рух у потенціалі
г2)/2,
г < 1,
г > 1.
9. Для притягального потенціалу 1/г запишіть у декартових
координатах константи руху в площині, перпендикулярній
до L, і визначіть за їх допомогою рівняння траєкторії.
10. Рух у магнетному полі: Тривимірне рівняння руху
радіуса вектора r = (x,y,z) стосовно центра кола має вигляд
qB
—; в явній
тс
формі
х г), де ω = (ωι,ω2,
,ω3) =
ωΒ/Β, ω
( 0
ω3
-ω2 \
r= -ω3
0
ωχ r.
V ω2
-ωι
ο /
Це рівняння також можна записати у вигляді
г = і (u;s) г,
де три компоненти s складаються з матриць, а саме:
/0 0 0 \ /00 г \ /0-г0
51 = 0 0 -і , 52 = 0 0 0 ,53 = і 0 0
\0 і 0 / \-і 0 0 J \0 0 0
так що через співвідношення zu;s = iY^u)ksk введена вище
матриця задає рівняння руху. Розв’язок рівняння руху
тепер запишеться просто:
r (t) = exp [г (ojs) t\ го

128
Розділ 5. РУХ У ПОЛІ ЦЕНТРАЛЬНИХ СИЛ
(експоненційна функція матриці М означається через
степеневий ряд: ехрМ = І + М + ^М2 + ...). Матриці мають
такі властивості:
2
SiSj SjS{ — i>£ijksk-> ® — 2П,
використайте ці властивості, щоб в явній формі записати
цей розв’язок.
11. Виконайте в рівнянні руху (5.53) перехід до циліндричних
координат (спрямуйте В уздовж осі z).

Розділ 6
Взаємодая двох мас
Взаємодію двох матеріальних точок можна звести за
відповідних припущень до руху однієї матеріальної точки у центральному
полі.
6.1. 	Система двох тіл
Досі ми вивчали процеси, в яких одне тіло рухається під
впливом сили, яка приходить „ззовні “. Причину цієї сили ми не
досліджували. Розглядаючи цей аспект точніше, скажемо, що ця сила
спричинена іншими тілами (матеріальними точками), якими ми
досі нехтували. Тому неминуче виникає запитання, як
відбувається взаємодія між (двома) тілами: миттєво чи з часовим
запізненням? У класичній1 нерелятивістичній механіці досліджують
силові поля, які залежать лише від координат; тим самим
припускають, що взаємодія відбувається миттєво; можливий рух
тіла, яке є джерелом сили, впливає безпосередньо на інші тіла. Це
не узгоджується зі спеціальною теорією відносності: дія сили,
яка походить з одного тіла, не може поширюватися у просторі
швидше, ніж світло. Якщо враховувати цю обставину, то, як і в
електродинаміці, прийдемо до польової теорії взаємодії. У
випадку ґравітації такою теорією поля є Айнштайнова загальна теорія
відносності. Тому уявлення про миттєве поширення сили, яке
звичайно приймають у класичній механіці, є наближенням, що
1 Термін класична вживають тепер частіше стосовно неквантової механіки.
— Примітка перекладача.

130
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
справджується лише для малих (порівняно зі швидкістю світла)
швидкостей тіл.
Якщо розглядати лише дві точкові маси ті і m2, то сили,
з якими вони діють одна на одну, так звані сили взаємодії (на
відміну від зовнішніх сил), можна виразити такими рівняннями:
mi?i = F12,
т2?2 = F2i (6.1)
(F21 — це сила, що діє на m2 з боку ті). За третім законом
Ньютона, рівняння (2.5), для цих сил виконується рівність
F21 = —Fi2- (6.2)
При цьому вимагають, щоби сили F21 і F12 діяли вздовж прямої,
яка сполучає дві маси, тобто сила F21 є паралельною до (ід — Г2).
Тому можна покласти
F21 = /2і(гі, Г2)р^ η*
|гі -г2|
й аналогічно для F12
F12 = /і2(гі,г2)т^—-η-·
|гі — Г2|
Оскільки розглядатимемо лише дві точкові маси (і більше
нічого!), то сили не залежать ані від того, в якій частині простору
перебуває система двох тіл, ані від того, який напрямок має
пряма, що сполучає маси (однорідність та ізотропність простору);
тому величини СИЛ Є функціями ТІЛЬКИ віддалі |ід — Г21 (вони
трансляційно та обертально інваріантні; пор. підрозділ 8.1):
/і2(Гі,Г2) = /іг(|Гі — Г21),
/2і(гі,Г2) = /2і(|Гі - Г2|). (6.3)
Підставляючи ці вирази у (6.2), отримуємо:
/і2(|гі - г2|) = /2і(|гі - г2|) =: /(|гі - г2|);

6.1. СИСТЕМА ДВОХ ТІЛ
131
порядок індексів довільний, тому їх можна пропустити. Отже,
маємо:
F2i(ri-r2) = /(|гі-г2|)|Р—^
|Г1 - Г2|
= — Fi2(r2 — ri) = F12(ri - г2)
= : F(n - г2). (6.4)
Тут індекси біля F також зайві, якщо напрямок сили
паралельний до прямої між точкою джерела сили та точкою її
прикладання2. Замість (6.4) можемо записати коротше:
F(r) = f(r)r/r = —F(—r), (6.5)
де r = ід — Г2- Це співвідношення означає, що F(r) є центральною
силою і тому консервативною (див. підрозділ 5.1): існує потенціал
V(r) такий, що
F(r) = -W(r). (6.6)
Цей потенціал взаємодії V (τ) двох точкових мас можна
визначити інтеґруванням (пор. рівняння (5.4)):
г
V(r) = - J dr' f(r').
Отже, рівняння руху (6.1) для обидвох матеріальних точок
мають вигляд (V =: д/дг = д/дг\ = —д/дГ2):
mi ri = -^V(|n - r2|),
(6.7)
m2r2 V(|ri - r2|).
(6.8)
Домножуючи скалярно ці рівняння на Гі, відповідно 1*2, додаючи
результати та інтеґруючи отриману суму за часом, отримаємо
закон збереження енергії
1 (mirf + ГП2І2) + F(|ri - r2|) = Etot (6.9)
, d..., ,. dV. dV. .
(зауважимо, що —K(|ri. - r2|) = ri + r2).
Об OY\ UY 2
2Далі F21 позначатимемо F(ri — Г2).

132
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Координата центра інерції і відносна координата
Для подальшого розгляду корисно запровадити координату
центра інерції та відносну координату. Дамо такі означення
(пор. рис. 6.1):
Рис. 6.1. Координата центра інерції і відносна координата
Координата центра інерції R: Координата центра інерції S
(точніше було б центра мас) означена рівністю
R =
ТПіГі + 77І2Г2
м
де М = ті + m2 — повна маса.
(6.10)
Відносна координата г: Відносне положення двох матеріальних
точок задається рівністю
г = гі - г2.
(6.11)
Кінцеві точки векторів гі, Г2 і R лежать на одній прямій3.
Виразимо гі і Г2 через R і г,
^ то
Гі = R* + -7J г
м
Г2 = R - ^г. (6.12)
3Пряма, що сполучає гі і Г2, визначається рівнянням
t(гс) = (1 — х)г\ + ХГ2, 0 < X < 1.
Для t = R маємо х = тг/М.

6.1. СИСТЕМА ДВОХ ТІЛ
133
Для координат г[ і г2 точкових мас гаї і m2 відносно центра мас
S отримаємо:
г[ := ід — R = ———г (гі паралельний до г), (6.13)
гаї + 7712
ТП\
г2 := Г2 — R = г (г2 антипаралельний до г). (6.14)
гаї + 7712
Рівняння руху виразимо в координатах R та г, у яких вони
матимуть простий вигляд. Додамо спочатку рівняння (6.7) і (6.8),
а потім помножимо, відповідно, на га2 і гаї і віднімемо
(враховуюд д д
чи, що ——V — ———V = — V). У результаті отримаємо рівняння
оті Оті аг
руху в координатах центра інерції та відносних координатах:
гаі?і + га2?2 = 0, тобто МR = 0, (6.15)
777ι7772(γι—Г2) = —(7711+7712)VV, тобто ГПГ=—W(r), (6.16)
де га — зведена маса, означена рівністю
777x7772
777 = .
777і + ™*2
Отже, згідно з (6.15) рух центра мас є вільним рухом (закон
збереження центра інерції), а рівняння (6.16) відносного руху двох
частинок має такий самий вигляд, як рівняння руху однієї
частинки (з радіус-вектором г) у заданому зовнішньому
центральному силовому полі V(r).
(6.17)
Закони збереження
Якщо в законі збереження енергії (6.9) виразимо за
допомогою (6.12) гі і Г2 через R і г, то отримаємо (К):
ImR2 + Imf2 + V(r) = Еил. (6.18)
Отже, повна енергія Etot є сумою кінетичної енергії руху центра
інерції й енергії відносного руху. Повний момент імпульсу Ltot

134
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
також можна розділити на моменти імпульсу центра інерції і
відносного рухуА (К):
Ltot = тіГі х ід + ГП2Г2 х f2 — MR х R + гаг х r. (6.19)
У тому, що ці два рухи дійсно незалежні, можна переконатися на
основі рівнянь руху (6.15) і (6.16). Домножуючи скалярно (6.15)
на R і (6.16) на г, отримаємо окремі рівності для збереження
енергії руху центра інерції і енергії відносного руху:
ІМЯ2 = ES, (6.20)
^mr2 + V(r) = E(=Etot-Es). (6.21)
Домножуючи векторно рівняння руху на R і відповідно, г,
отримаємо окремі закони збереження моментів імпульсів для руху
центра інерції і відносного руху
Ls = RxMR = const, (6.22)
L = rxrar = const; (6.23)
тут враховано, що момент сили в обидвох випадках дорівнює
нулеві.
Отже, початкова задача двох тіл розділяється на дві
незалежні задачі:
•і) вільний рівномірний прямолінійний рух (6.15) центра
інерції з масою М;
іі) відносний рух матеріальних точок; він описується
рівнянням (6.16), яке має такий самий вигляд, як для руху однієї
матеріальної точки зі зведеною масою га у центральному
потенціалі V(r).
Оскільки розв’язок для руху центра інерції є тривіальним, то
таким способом взаємодію двох тіл ми звели до задачі про рух
одного тіла в центральному потенціальному полі.
4Тут треба зауважити, що вектори η, Г2 і R виходять з (довільно
вибраного) початку координат, тоді як відносний вектор г є вільним вектором.

6.1. СИСТЕМА ДВОХ ТІЛ
135
Інтеґруванням рівняння (6.15) для руху центра інерції
отримуємо, що його швидкість стала:
R = V = V0 = const. (6.24)
Це можна сформулювати також як збереження імпульсу центра
інерції
Р = МУ = МУ о; (6.25)
тут три величини Vq або, відповідно, Ро = МУ о, є сталими.
Наступне інтеґрування рівняння (6.24) приводить до теореми про
рух центра інерції:
R - V0i = Ro (6.26)
з трьома константами руху Ro· Разом маємо шість незалежних
констант руху (Ro і Vo) або, враховуючи, що виключенням
часу з (6.26) можна утворити дві збережні величини, отримаємо
п’ять незалежних інтеґралів руху. Векторне множення рівняння
(6.24) на R = Ro +Voi приводить до вже відомого інтеґрала руху
моменту імпульсу центра інерції ((6.22)
Ls = MR х V = MR0 х V0;
проте внаслідок перпендикулярності Ls до Р незалежними тут
є лише два інтеґрали руху, які можна утворити на основі (6.26).
Енергія Es = Р2/2М визначається через Р, так що вона також
не є незалежним інтеґралом руху. Отже, для руху центра інерції
повний набір інтеґралів руху містить п’ять збережних величин,
за які можна взяти, наприклад, імпульс Р, квадрат моменту
імпульсу L| і ^-компоненту моменту імпульсу Ls,z-
Для відносного руху можна взяти безпосередньо результати
підрозділу 5.1 про рух матеріальної точки в центральному полі:
як ми знаємо, існують лише чотири збережні величини, а саме
енергія відносного руху Е та момент імпульсу відносного руху
L. Задача відносного руху завжди інтеґровна, оскільки закони
збереження енергії і моменту імпульсу дають достатньо
співвідношень (достатньо перших інтеґралів, пор. підрозділ 14.1), щоби
виразити швидкості г і φ як функції лише одної радіальної
координати г (пор. (5.18) і (5.13):
r = r(r) = \ — (Е — V(r)) — L2/m2r2,
(6.27)

136
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Ф — Ф(г) — L/mr2. (6.28)
Отже, в задачі двох тіл дванадцятьом змінним у фазовому
просторі відповідають десять відомих незалежних констант руху (9 з
них є незалежними збережними величинами). Тут треба
зауважити, що в такій задачі, в якій рух зображується розділеним на
два рухи, замість можливих 11 інтеґралів руху може існувати
лише 10 незалежних.
6.2. 	Гравітаційна взаємодія
З третього закону Кеплера (Т2 ос а3, див. підрозділ 6.3)
Ньютон5 зробив висновок, що закон для сили взаємодії між
Сонцем (ms) та деякою планетою, наприклад, Землею (т#), має
такий вигляд6:
IFI = (6.29)
|rs -ГЕ\
Відповідний потенціал виразиться рівністю
GmsmE
V(г) = , г = г5 - гЕ.
Цей закон взаємодії стосується не лише планет; він описує цілком
загально Гравітаційну взаємодію будь-яких двох тіл зі
скінченними масами ті і m2- Такий висновок підтверджують
лабораторні експерименти, які вперше найповніше здійснив Г. Кавендіш
1800 р., а від 20-х років нашого століття (Р. Етвеш) такі
вимірювання стали неперервною традицією (детальніше про це див.
наприкінці цього розділу). Усі ці спостереження приводять до
такого висновку: силу Гравітаційної взаємодії між двома точковими
масами т\ і m2 можна отримати з потенціалу
= _вт1т1'
г
Г = Гі - г2,
(6.30)
5Свою теорію траєкторій планет Ньютон розвивав від 1680 р.
6Припускаючи, що виконується другий закон Ньютона, силу можна
визначити за відомою траєкторією.

6.2. Гравітаційна взаємодія
137
де Гравітаційна стала G має таке значення7:
G = (6.674 ± 0.004) х 1СГ8 ^Wc"2.
У законі для цієї сили фіґурують маси т\ і m2, тобто ті самі
величини, які ми вже мали в лівій частині другого закону Ньютона,
наприклад:
mi'ri = F і2
Gm\rri2
|гі - г2|2
(гі - г2),
(пор. рівняння (6.7) і (6.8)); оскільки G повинна бути
універсальною сталою, це твердження не тривіальне! Масу, яка є
множником біля прискорення в рівнянні руху, означають як інертну
масу, а ту, що є в законі взаємодії (6.29), називають важкою
(Гравітаційною) масою. Важка маса знов-таки має два аспекти, які
не конче мусіли б бути тотожними: як активна важка маса вона
є причиною сили, а як пасивна важка маса вона є об’єктом дії
сили з боку іншої маси. Рівність активної і пасивної маси міститься
вже в третьому законі Ньютона. Рівність інертної і важкої маси
випливає з експерименту. Вже Ньютон встановив цю рівність у
дослідах з маятником (незалежність періоду коливань від маси;
наслідок: „усі тіла падають однаково швидко“).
Для руху двох матеріальних точок ті і m2 з потенціалом
взаємодії (6.30) нетривіальним є, як уже ми зазначили в
попередньому підрозділі, лише відносний рух: рух центра інерції з повною
масою М = ті + гп2 рівномірний, бо він вільний від дії сил; у
рівняння відносного руху входить лише зведена маса т — трт^ІМ.
Виражаючи т\ і т2 через М і т, отримуємо:
1 +
4т
~М
1 -
4т
~М
(6.31)
(з (ті — m2)2 > 0 випливає, що 4т < М). Оскільки т\т<і — тМ,
виконується також рівність
V(r) = -G
Мт
г
(6.32)
7Це значення взято з праці R.D.Rose et al., Phys. Rev. Lett., 23, 655(1969).
Результати новіших вимірювань лежать у зазначеному інтервалі (E.R.Cohen
and В.N.Taylor, The 1986 adjustment of the fundamental physical constants, Rev.
Mod. Phys., 59, 1121(1987)). Дальші зауваження про ці експерименти можна
знайти наприкінці цього розділу.

138
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Якщо розглядати лише відносний рух, то V(г) можна
інтерпретувати також як зовнішній потенціал
V(r) = -к—, к = GM. (6.33)
г
Розгляд руху зведеної маси відповідатиме тоді повністю
випадкові руху одної маси в зовнішньому ґравітаційному потенціалі,
який ми обговорили в попередньому розділі; всі отримані там
результати можна прямо перенести сюди. В системі центра інерції
траєкторії обидвох тіл є еліпсами навколо центра інерції зі
спільними фокусами. Розміри еліпсів визначаються співвідношенням
мас; це випливає з пропорційності радіус-векторів тіл відносно
центра мас, рівняння (6.13) і (6.14),
, гп2
Гі = мг
, гп 1
Г2 = "мг’
до відносного радіус-вектора г . Рух матеріальних точок по
обидвох еліпсах відбувається так, що відносний вектор г також
описує еліпс.
Якщо, як це буде в наступному застосуванні, одна з мас у
багато разів більша, ніж інша, наприклад ті 3> m2, тоді повна
маса практично дорівнює ті, а зведена маса — т2: М = ті і
т = т2 (пор. (6.17)).
•6.3. Закони Кеплера
Закони Кеплера мали неоціненне значення для становлення
механіки. Хоч саме на них ґрунтувалися ньютонівський закон
ґравітації і його наслідки, ми, обернувши історичний хід
розвитку, вже висвітлили їх, а тепер хочемо порівняти відповідні
результати з законами, які сформулював Йоганн КЕПЛЕР
(Johannes KEPLER, 1571-1631). Оскільки закони Кеплера досить
безпосередньо і без особливих зусиль можна вивести з
Ньютонового закону ґравітації, опублікованого майже на століття
пізніше, таке „обернення“ історії може привести до думки, що
досягнення Кеплера є, радше, скромними. Щоб належно оцінити
значення цих законів, коротко окреслимо тодішній рівень знань.

6.3. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА
139
Табл. 6.1. Деякі елементи траєкторій планет Сонячної системи
(за [65])
Планета
Маса
(у ше)
Середня
віддаль
(Ю6 км)
Ексцентри¬
ситет
є
Період
обертання Т
(троп, роки)
Сонце
330000
_
_
Меркурій
0.037
58
0.206
0.24
Венера
0.826
108
0.007
0.61
Земля
1
149
0.017
1.0004
Марс
0.108
228
0.093
1.88
Юпітер
318.4
778
0.049
11.86
Сатурн
95.2
1427
0.056
29.45
Уран
14.6
2870
0.047
84.01
Нептун
17.3
4497
0.009
164.79
Плутон
0.18
5900
0.250
247.7
У таблиці 6.1 подано деякі дані про дев’ять планет у нашій
Сонячній системі. У часи Кеплера було відомо тільки шість
перших планет. Тоді конкурували між собою геоцентрична і
геліоцентрична системи, причому остання, по суті, могла виступати
відкрито лише з певними застереженнями (як суто математична
модель); про це дбала Церква (процес Ґалілея). Але й
найактуальніша в той час геліоцентрична система, яку виклав М.
КОПЕРНІК (N. KOPERNIK, 1473-1543) у праці ,,De revolutionibus
orbium coelestium“ („Про обертання небесних сфер“), виходила
з використання колових орбіт і, як і попередні моделі, усувала
неузгодженості зі спостережуваними траєкторіями, вводячи
додаткові кола — епіцикли.
З таблиці 6.1 бачимо, що повна маса М нашої Сонячної
системи дорівнює практично масі Сонця ms- Якщо взяти лише
взаємодію між Сонцем і однією планетою (маса гар), то маємо
М ~ ms і га ~ гар;
при цьому з дуже добрим наближенням можна знехтувати впли¬
вом решти планет на вибрану планету (за трохи спрощених при-

140
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
пущень вплив однієї дальшої планети на рух вибраної розглянемо
у розділах 14 і 15). Те, що Сонце і планети замінюємо
матеріальними точками, ми виправдовуємо великими віддалями між
планетами порівняно з їх діаметрами. У підрозділі 6.4 це припущення
розглянемо детальніше.
Отже, відносний рух одної планети і Сонця визначатиметься
потенціалом (6.33). З огляду на співвідношення мас Сонце
перебуває практично в центрі інерції; у (6.33) виконуються з добрим
наближенням рівності к = GM ~ Gms і т ~ тр . Враховуючи
їх, порівняємо виведені в попередньому розділі властивості руху
з законами Кеплера.
Закони, названі його іменем, Кеплер встановив між 1605 і
1619 роками. Він вважав Сонце реальною причиною (а не
лише допоміжним засобом поліпшення узгодженості між
математичною моделлю і спостереженням) руху планет. Це було
передумовою виведення двох перших законів винятково втомливою
рахунковою працею з великої кількості даних астрономічних
спостережень, які він перейняв від Тихо Браге8. Орбіта Меркурія з
найбільшим (тоді відомим) ексцентриситетом планет
відігравала особливу роль. Обидва перші закони він подав 1609 р. у своїй
„Astronomia nova“. Особливо важливе значення мало
використання еліптичних орбіт і пов’язана з цим відмова від розгляду
колових орбіт як фундаментальних форм траєкторій, оскільки
це було подолання традиційних поглядів. Дослівний
(перекладений) текст законів беремо від Маха [86].
Рівнянню траєкторії (5.28) для Е < 0 відповідає
- Перший закон:
Планети рухаються по еліпсах навколо Сонця як
фокуса.
З виразу (5.34) для великої півосі еліпса підставленням (5.30)
і (5.29) для є і р отримуємо:
р тк
° = l-ε2 =~2Е'
(6.34)
8У 1601 р. Кеплер став наступником Тихо Браге у функції
королівського математика при дворі Рудольфа II у Празі. На цій посаді Кеплер,
який уже раніше займався астрологією, мав серед іншого будувати
гороскопи; це діяльність, яка в наш час хтозна чи приносить користь авторитетові
природознавства.

6.3. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА
141
Отже, а визначається лише енергією. Для величини малої півосі
з (5.35) випливає
, / Г2 Ч 1/2
Ь = ау/l - є2 = у/ар = 5 (6·35)
вона пропорційна до абсолютної величини моменту імпульсу.
Якщо L = 0, то b зникає: рух такої планети відбувався б, як уже
було показано, по прямій (головній вісі еліпса), яка проходить
через центр мас (¾ Сонце). Зведена маса т у (6.34) і (6.35)
дорівнює практично масі даної планети.
Наслідком закону збереження моменту імпульсу для
центрального потенціалу є інтеґрал площ (або закон площ) (5.14),
тобто сталість секторіальної швидкості Я,
A = L/2m. (6.36)
Цьому відповідає
Другий закон:
Радіус-вектор, проведений від Сонця до планети,
описує за рівні проміжки часу рівні площі.
Інтеґрування секторіальної швидкості А (6.36) за повним
періодом обертання (від t = 0 до t = Т) дає площу, обмежену
еліптичною орбітою
т
F = J Adt = TL/2m.
0
Оскільки для F маємо, згідно з (5.29)
F
= nab = пау/ар = па
= пгп*/2-
y/m2k’
то для періоду обертання Т отримуємо такий зв’язок з великою
піввіссю еліпса:
Т= iL а3/2 = -І=а3/2
Vk
Vgm
(6.37)
Оскільки повна маса М для усіх планет практично однакова,
М = 77lg, ТО Т2 ~ а3, і звідси випливає

142
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Третій закон:
Куби великих півосей відносяться як квадрати
періодів обертань.
Про слушність цього закону можна переконатися з поданих у
таблиці 6.1 періодів обертань і півосей середнім віддалям від
Сонця) планетних орбіт. Третій закон Кеплер опублікував 1619 р.
у книжці ,,De harmonice mundi“ („Про гармонію світу“); вона є
підсумком його постійних пошуків гармонії у пропорціях
планетних орбіт9. Минуло немало часу, поки ці три закони Кеплера (а
не прославлювані в той час астрономічні таблиці, які він склав
на замовлення Рудольфа II) забезпечили йому належне місце в
історії астрономії і фізики: тільки 1687 р. з’явилися Ньютонові
„Ргіпсіріа“.
Визначити залежність віддалі τ від t під час руху трохи
важче, ніж період обертання (пор. [15]). Використовуючи вирази
(5.30) і (6.34) для є і а, можемо записати функцію t = t(r)
(рівняння (5.19)) так:
_ ГТ~ Г r'dr'
V 2k J yjr* — rf2/2a — a( 1 —
r 0
/2a — a(l — ε2)/2
(6.38)
Якщо ввести ексцентричну аномалію ψ співвідношенням
r = a(l — ccosip), (6.39)
то результат інтеґрування можна задати явно:
t — to = (α3/^)1^2 (ψ — εsimp). (6.40)
Використовуючи (6.37), отримуємо звідси так зване рівняння
Кеплера
9<7Г
— (ί-ί0) = V’-esinV’, (6.41)
яке визначає зв’язок між t і г (і/> = ф(г)\). З цього рівняння φ{ί)
можна визначити лише чисельно або наближеними методами, а
9Вже 1596 р. Кеплер запропонував свою модель правильних
багатокутників для пояснення пропорцій орбіт відомих у той час планет.

6.4. Гравітаційний потенціал розподілу мас
143
звідти — отримати потім r(t). Розв’язок для φ(ί) випливає тоді з
закону збереження моменту імпульсу (6.28). Вибираючи зручно
початкові значення φ$ та ψο, знайдемо
1 + є
1-е
(6.42)
Наближені розв’язки рівняння (6.41) і (6.42) вивів і навів у
своєму викладі механіки вже Лаґранж (друга частина „Аналітичної
механіки“ [6], пункт VII, розділ І).
Рух у конфіґураційному просторі нестійкий; оскільки Т ~
а3/2, то початково близькі точки розбігаються за близькими
траєкторіями. Але рух є орбітально стабільним: близькі траєкторії
залишаються близькими.
6.4. 	Ґравітсіщйнии потенціал деякого розподілу
мас
Силу, з якою деяке тіло скінченної протяжності діє на
матеріальну точку з масою т, визначимо в межах таких модельних
уявлень. Тіло складається з деякої кількості матеріальних
точок ті у фіксованих положеннях Г{ (тобто взаємодію між його
складовими частинами не розглядаємо), причому віддалі |г^| є
скінченними. Повну масу тіла
М = mj
і
можна записати як інтеґрал від густини маси10
Р(г) = Σ - гі), (6-43)
І
яку створюють матеріальні точки у довільному положенні г,
тобто
М — J d3xp(r) (= тг). (6.44)
і
10Тут δ(χ) — так звана дельта-функція Дірака (див.: Додаток Б.1). —
Примітка перекладача.

144
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Внаслідок закону додавання сил повний потенціал буде сумою
потенціалів створених окремими точковими масами:
Г(г) = (г “ г») > °г (г - Гі) = - G.mm* (6.45)
і Іг ~ Гіі
Якщо означити рівністю
V{r) = -GmMVg{ r)
„геометричну частину“ потенціалу V^(r), то з (6.45) матимемо:
г
ГПі
Іг — г*|
виражаючи цю величину через густину маси (6.43), можемо
записати:
ад=і/А'іггрі· <М6>
Останнє співвідношення виконується незалежно від прийнятого
модельного зображення: у континуальному (неперервному)
зображенні повний потенціал є інтеґралом за внесками окремих
елементів об’єму навколо положення г',
V (r) = J d3x't>r'( г),
де
Mr) = -amJ^
|г - г'|
— потенціал, створений у точці г' елементом об’єму в точці г.
Запитання: Як впливає скінченна протяжність і розподіл мас
на залежність від г потенціалу F(r)?

6.4. Гравітаційний потенціал розподілу мас
145
6.4.1. Потенціал однорідної кулі
Для однорідної (тобто незалежної від положення) густини
маси11 ро з рівності (6.44) випливає, що
І d3x'p0 = Ωρο = м,
r'<R
де Ω =
47гй3
З
— об’єм кулі,
Ро
З
4тгД3
М.
Отже, (6.46) зводиться до
r'<R
(6.47)
(6.48)
Для обчислення інтеґрала спрямуємо г вздовж осі 2, тобто
г = (0,0,г), і запишемо компоненти у сферичній системі
координат, так що г' = (г' cos φ sin $, rf sin φ sin $, rf cos і?) і |r — r'| =
(r2 + r'2 — 2rr'costf)1^2. Отже, інтеґрал (6.48) матиме тепер
вигляд
R 1 2тг
Vg{r) = j-^з [r'2dr' [dcosti fdφ— гт,
47гД3 J J J (r2 + r/2 — 2rr' cos ϋ) ^
o -l o v '
3
2 R3
άξ
1
(r2 + r'2 — 2 rr'C^2
11У межах використаного вище модельного зображення однорідний
(гомогенний) розподіл мас дає таку картину: всередині деякого кулястого об’єму
(радіуса R) усі маси тщ рівні за величиною і регулярно впорядковані, так що
дивлячись на них з деякої великої віддалі, густину маси можемо вважати
сталою: р = ро.

146
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Оскільки
h
(г2 + г'2 — 2 ττ'ξ)
1/2
=
2/r r' < г
2/r' r' > г
то дальше обчислення інтеґрала залежить від того, чи ми
шукаємо дію сили всередині розподілу мас чи поза ним.
і) r < R:
Область інтеґрування треба розбити на дві,
R
W - 5F
/
І_о
r'2dr'I + f r'2—dr'
r J г
Z_
R3
Г„2
Т + 2(й -И>
так що
V9(r) = Vg(r) = Ap(3R2-r2) (6.49)
залежить лише від r — |г|; для радіальної компоненти сили Fr =
erF (пор. додаток (А.11)) отримуємо з (6.49)
Fr = = GmMX
dr R6
(інші компоненти F зникають). Всередині кулі потенціал
гармонічний, так що сила — лінійна за г.
іі) r > R:
Зрозуміло також, що г > г;, отже,
R
vg(r) = Г / Г'2<ІГ' = Vg(<r>> = г (6·50)
о
„ GmM
Fr = ~2~·
Бачимо, що куля з однорідним розподілом маси діє у зовнішніх
відносно неї точках так, ніби її маса зосереджена в центрі кулі.

бл. Гравітаційний потенціал розподілу мас
147
Тому в цьому випадку можемо замінити кулю однією
матеріальною точкою.
На рис. 6.2 зображено ґравітаційний потенціал Vg і його
похідну dVg/dr = — єгам · ^к потенціал, так і сила на поверхні кулі
(r — R) е неперервними:
Fr(R) =
GmM
R2
Рис. 6.2. Потенціал і сила кулі з однорідним розподілом мас
Можна також показати, що потенціал кулі зі сферично
симетричною густиною маси, р(г) = р(г) для г > Д, також має
вигляд V^(r) = 1/r (К). (Зауваження: якщо потенціал взаємодії
кожної матеріальної точки з „ зовнішніми “ масами пропорційний
до 1/га, а ф 1, для r R (К) маємо залежність Vg(r) ~ 1/га).
6.4.2. 	Потенщал неоднорідного тіла
Займімося тепер ґравітаційним потенціалом тіла
неправильної форми (об’ємом Ω), яке можна оточити сферою з радіусом Д,
а розподіл його маси є неоднорідним (див. схему).

148
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
Будемо цікавитися лише потенціалом поза тілом, тобто в
області r > R. У цій області також г > г', так що у виразі (6.46)
знаменник під інтеґралом можна розкласти за степенями г'/г:
1
1 1
(6.51)
|г — г'|
1 / г 1 ж- ·\ / / (Зх{Хп Sij \
= ; + ΓΓ3 + 2ΣχίχΗ Г5 J)
hj 4 /
+ ... .
3 рівності
Σ·%(^-^)=°
h3
випливає, що третій член у розкладі (6.51) можна звести до
згортки добутку тензорів з нульовим шпуром:
ІΣ (х<х'і - (
З XpXj δ
Підставивши (6.46), отримаємо
Vg{r)=Ь\І dv^r')+Ь^І dVrV(r')+
(6.52)
Ω
+έΐΣ(^-^)/Λ'
*>J Ω
p(*') + · · · ·

6.4. Гравітаційний потенціал розподілу мас
149
Інтеґрал у першому члені дорівнює повній масі М, другий
інтеґрал є означенням координати центра інерції тіла (пор. також
(6.10)),
J dVr'p(r') г0, (6.53)
Ω
а третій інтеґрал
J d3x' (x'tXj - ijr'2^ p( r') =: Qij (6.54)
Ω
дає тензор квадрупольного моменту розподілу маси. Отже, для
досить великих г поведінку Vg(г) визначає вираз '
ад=1+ψ+°^·
Якщо виберемо початок координат у центрі інерції го, то
перша поправка до залежності 1/г, яка походить від неоднорідного
розподілу мас, пропорційна принаймні до 1/г3 (для сферично
симетричного розподілу залишається взагалі лише член 1/г).
Квадрупольний момент перетворювати далі вже не можна. Сила, яка
визначається цим членом, є в загальному випадку
нецентральною (К). Якщо поправки до залежності 1/г малі, то розподіл мас
можна замінити у доброму наближенні матеріальною точкою.
Зауваження.
i) Потенціал матеріальної точки в положенні г, який діє на
розподіл мас р(г), також задається функцією Vg(r),
рівняння (6.46), (активна — пасивна ґравітаційна маса).
ii) Для потенціалу V (г) = 1/га, а ф 1, це виведення можна
здійснити аналогічно (для сферично-симетричного
розподілу знову отримується потенціал ос 1/га [але лише для
г » Д, див. попереднє зауваження і К]; дипольний момент
можна за допомогою зміщення початку координат
перетворити в нуль).

150
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
6.5. 	Про правильність Ньютонового закону
тяжіння
Як ми бачили, існують невеликі відхилення ґравітаційного
потенціалу (6.32), спричинені формою або/і розподілом мас
протяжного тіла; крім цих, існують й інші відхилення (див. далі).
Тому виникає запитання: наскільки великий їхній вплив?
Наскільки добре підтверджують (астрономічні)
спостереження або експерименти залежність 1 /г
ґравітаційного потенціалу?
Зі спостережень планетних орбіт, підсумком яких є три
закони Кеплера, можна вилучити потенціали V ос г~а (а > 0,
а ф 1). Другий закон відповідає будь-яким центральним
потенціалам; отже, як критерії для відрізнення залишаються перший —
про форми траєкторій і третій — про період обертання. Щоб
дослідити це питання і відповісти на нього, треба врахувати поряд
з ефектами загальної теорії відносності вже раз згадану
проблему відсутності екранування ґравітаційних взаємодій. Форма орбіт
зв’язаного руху, тобто еліпси, для більшості планет
підтверджена добре. Відхилення від них, розеткові траєкторії (пор. підрозділ
5.3), пояснює загальна теорія відносності на основі ревізії понять
простору, часу, ґравітаційного поля та їхньої взаємної
залежності.
• Загальна теорія відносності додає до потенціалу 1/г
поправку ос 1/г3, яка дуже добре описує спостережне зміщення
перигелію планет (особливо Меркурія) (див. [59]; у
кулонівському випадку поправка ос 1/г2!).  •• Впровадження у загальну теорію відносності поняття
абсолютного обертання за допомогою „загальної
коваріантності“ приводить до ефекту Тірінґа-Лензе (Thirring; Lense):
маса, що обертається, має дипольне поле (V ос fc/r2);
величина к пропорційна до швидкості обертання (див. [59]).
Правда, цей ефект дуже малий.
Підсумовуючи, ствердимо, що спостережні орбіти планет чітко
надають перевагу потенціалові 1/г. Періоди обертання також

6.5. ПРАВИЛЬНІСТЬ ЗАКОНУ ТЯЖІННЯ
151
добре підлягають третьому законові Кеплера, який, як ми
бачили у підрозділі 5.3, пов’язаний у межах механіки із
залежністю потенціалу від степеня г. Тільки рух у потенціалі з а = 1
підлягає третьому законові Кеплера.
Результати лабораторних експериментів:
Перше визначення ґравітаційної сталої G і тим самим
підтвердження Ньютонового закону тяжіння з використанням різних
звичайних тіл було успішно здійснено понад сто років після
встановлення цього закону: 1798 р. Г. Кавендіш (Н. Cavendish)
визначив за допомогою крутильних терезів густину Землі. Проведені
Р. Етвешом (R. v. Eotvos, 1922) і пізніше Р. Г. Діке (R. Н. Dicke,
1964) експериментальні дослідження показали, що ґравітаційна
стала G не залежить від матеріалу і величини мас, з якими
роблять досліди. Пізніші вдосконалення експерименту підтвердили
закон сили 1 /г2 і привели до процитованого значення
ґравітаційної сталої.
Доповнення і питання
%
1. Напишіть рівняння руху, повну енергію і момент імпульсу
в координатах центра інерції і відносних координатах для
руху двох тіл, які взаємодіють за третім законом Ньютона.
2. Розв’яжіть рівняння (6.38) за допомогою ексцентричної
аномалії ψ (6.39).
3. Орбіти більшості планет є майже коловими. Тому їхня
енергія Е тільки ненабагато більша від енергії Eq (5.26).
Внаслідок цього близько до го рух визначатиметься ефективним
потенціалом Veff(r), рівняння (5.25). Розкладіть Veff(r)
в околі го до квадратичних членів (включно). Розв’яжіть
у цьому наближенні радіальне рівняння руху. Порівняйте
частоту коливання („частоту лібрації“) у змінній г з
частотою обертання (5.27). Який вигляд має траєкторія?
Порівняйте її зі справжньою траєкторією.
4. Розгляньте рівняння руху маси га, яка притягається до Зем-
г
лі силою тяжіння F = Розкладіть радіальну ком¬

152
Розділ 6. ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ МАС
поненту ґравітаційної сили за степенями z — г — те і
знайдіть у наближенні О (z) розв’язок z (t) для початкових умов
z (t = 0) = h і і (t = 0) =0. Порівняйте з результатом в од-
Г е
норідному наближенні F = mg, g = GrriE—ό-·
rE
5. Дослідіть рух двох точкових мас т\ і m2, які взаємно
притягаються за законом тяжіння, у полі тяжіння Землі (маса
ше, радіус те)· Використайте для останнього однорідне
наближення, в якому на масу т^ діє сила притягання Землі
F = m^g. Наведіть рівняння руху для координат центра
інерції і відносних координат. Знайдіть розв’язки і
проаналізуйте результат.
6. Покажіть, що для потенціалу густини tv(r) =
—Gmp(r7) / |r — r'| зі сферично симетричним розподілом мас
для
г < R
т > R
виконується рівність Vg(r > R) = 1/г.
7. 	Обчисліть потенціал Vg(r) кулі (радіус R) з однорідним
розподілом мас ро для т > ії, якщо потенціал окремого
елемента об’єму t)r/(r) = ро/ Іг — г'|а. Покажіть, що для сферично
симетричного розподілу мас р(т) з Vg(r > R) = 1/та
випливає а — І.
8. 	Обчисліть квадрупольний момент Землі і знайдіть
поправку до головної залежності потенціалу 1/г. При цьому
Землю вважайте наближено еліпсоїдом обертання з однорідною
густиною маси (велика піввісь а = 6378.16 км, мала піввісь
(= вісь обертання) Ь = 6356.78 км).

Розділ 7
Розсіяння частинок
7.1. 	Необмежений рух у центральному
потенціальному полі
Унаслідок закону збереження моменту імпульсу (5.6) рух
частинки в центральному потенціальному полі V(г) відбувається у
фіксованій площині. Радіальна складова руху відповідає
одновимірному рухові в полі з ефективним потенціалом (див. рівняння
(5.16)) Veff(r) = V(r) + L2/2тг2] розв’язок r (t) описує
внаслідок (5.13) також рух у напрямку φ. Оскільки в цьому розділі
розглядатимемо лише потенціали, які при г —> оо зникають,
V(r -> оо) = 0, (7.1)
то частинка з енергією Е > 0 може рухатися в необмеженому
просторі. На рис. 7.1 зображено деякі приклади для Veff (г):
Крива:
V.H (Г) =
(1)
1/г2
(2)
—1 /г (L = 0)
(3)
— 1/г + 1/г2
(4)
— 1/г + с(1/г2 — 1/г3),
Окремого розгляду потребують ефективні потенціали, для яких
V(r) —> оо, якщо т —> 0, оскільки синґулярність для г = 0
лежить на траєкторії (рис. 7.1 (2) і (4)). Ця трудність є наслідком
використання поняття матеріальної точки для тіла, що є
джерелом поля. У класичному описі скінченна протяжність частинки

154
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
є природною межею, яка виключає досягнення синґулярності.
Таку ситуацію можна відобразити в потенціалі, задаючи той чи
інший спосіб прямування потенціалу до +оо, коли г -» 0. Тверда
куля (або так званий твердий кор) з радіусом а описуватиметься
нескінченним значенням потенціалу: V(r) = оо для г < а. Далі
розглянемо лише потенціали для яких мінімальна віддаль
до силового центра гт\п ф 0 (наприклад, (1) і (3) на рис. 7.1).
Рис. 7.1. Різні ефективні потенціали (див. текст)
Для потенціалу V(r) = —k/r характер руху можна якісно
визначити (для енергії Е2) з рис. 7.1. Траєкторія є необмеженою:
частинка приходить з г = оо (г = — уСТ, р-ня (5.18)), змінює
напрямок руху на зворотний при гт\п і прямує знову до г = оо
(г = у/ТС). Якщо залежність потенціалу від г є іншою, то
траєкторія може бути складнішою. Це ілюструє порівняння рухів для
V = — 1/г і V = — I/г1*8 на рис. 7.2. Якщо підібрати відповідно
Рис. 7.2. Траєкторії з однаковими початковими даними для
потенціалів V = —1 /г та V = —1/г1,8
початкові дані, то для потенціалу 1/г1·8 форма траєкторії така,

7.1. НЕОБМЕЖЕНИЙ РУХ
155
що зміна кута ф між початковим та кінцевим напрямками руху
буде більша від 2π, тоді як для потенціалу 1/г траєкторії
залишаються гіперболами, при цьому вектор Ленца, тобто вектор,
спрямований до точки траєкторії, найближчої до початку
координат (= фокуса), є сталим у часі (див. підрозділ 5.3.2); інакше
кажучи, для необмеженого руху в полі з потенціалом 1/г існує
тільки один вектор апсид. Траєкторія сама з собою не
перетинається.
Для досить великих т потенціал ТДг), який задовольняє
умову (7.1), (майже) не впливає на рух частинки. Виміряний зі
силового центру кут між напрямками входу в поле і виходу з нього
на великих віддалях практично не змінюється (ф (ос 1/г2) = 0):
отже, існують асимптотичні кути ψΑ, А = 1,2 (для
потенціалу 1/г ці кути дорівнюють φιρ = ψκ ± arccos(l/e); nop. (5.38)).
Як було зазначено в підрозділі 5.1, кожна траєкторія
симетрична відносно кута1 φυ, відрахованого від прямої, проведеної
до точки повороту (5.39) та відповідно (5.42) (для гіперболи
маємо τ(φυ) = Гтіп? де гтіп — найменша віддаль траєкторії від
силового центра; пор. (5.42)). Отже, між двома
асимптотичними кутами ψι і ψ2 лежить симетрична траєкторія. При цьому
форму (наприклад, кривину) цієї плоскої траєкторії визначають
енергія Е та момент імпульсу L (точніше — його ^-компонента
Lz). Оскільки обидві ці величини зберігаються, то вони
задаються значеннями перед зіткненням, тобто перед тим, як налітна
частинка піддається помітному впливові поля (V(r —> оо) = 0).
У цих областях рух частинки вільний, і його можна
характеризувати прицільним параметром s і асимптотичною початковою
швидкістю Voo (див. рис. 7.3):
s — це віддаль початкової траєкторії частинки до заданої
найкоротшої прямої, проведеної між джерелом частинок і силовим цен-
(7.2)
Це випливає також з рівняння траєкторії (К)
и — 1/г,
яке симетричне щодо заміни φ —»■ — φ.

156
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
Рис. 7.3. Прицільний параметр s
тром. Виразимо через ці параметри радіальну швидкість (5.18),
r = ±vQ
2 я2
-V(r) -
την*
(7.3)
і рівняння траєкторії (5.21):
ф,г) - <Р0 = ±s J
г о
' 1 —
ту.
2 s2
-ПО -
(7.4)
Отже, кут, на який частинка відхиляється від початкового
напрямку ψ\ ДО кінцевого Ψ2, тобто кут розсіяння 0,
θ = π-(φι- ψ2) (7.5)
(див. рис. 7.4), залежить від s і v^ (чи, відповідно, Е). Беручи
до уваги симетрію траєкторії, можемо обчислити інтеґрал (7.4) у
межах від г — оо (коли φ = ψ\) до мінімальної віддалі гтіп, яка
досягається при
_ ψι + Ψ2 _ θ-π
^min — 0 — ψ\ і 0
(7.6)
(див. рис. 7.4):
θ — π
ψπιϊη ~ ψΐ — ~ — —S
7*min
ί *L
J r'2
(7.7)
οο λ/1 -V{r')/E-
./2

7.2. КІНЕМАТИКА ЗІТКНЕННЯ
157
Рис. 7.4. Кут розсіяння одної частинки
звідки легко визначити кут розсіяння2 Θ. В експериментах з
потенціальним розсіянням мають справу з зіткненнями багатьох
частинок з силовими центрами, так що прицільні параметри s
є різними. Тоді за (7.7) можна визначити форму центрального
потенціалу (К)3.
7.2. 	Кінематика пружного зіткнення двох
частинок
7.2.1. 	Величини, які визначають пружне зіткнення
Дослідімо тепер рух двох частинок з масами т\ і т<і. Якщо
взаємодія залежить, як далі припускатимемо, лише від
координат гі та Г2, то ТДг), г = і*і — Г2, буде центральним потенціалом
(див. підрозділ 6.1), і внаслідок сталості повного моменту
імпульсу рух відбуватиметься в деякій фіксованій площині; отже, він
є двовимірним. Спочатку обмежимось тільки потенціалами
взаємодії, які мають скінченний радіус дії А:
V(|гі - г2|) = 0 для |гі - г2| > А.
Перед тим, як частинки входять в зону взаємодії, г > Я,
вони вільно рухаються одна до іншої зі сталими імпульсами =
2 Для конкретної траєкторії вибір знака в (7.4) визначається знаком
виразів у двох частинах цього рівняння. В (7.7) вибір знака відповідає ситуації,
зображеній на рис. (7.4) (тут L від’ємне!).
3Це так звана обернена задача розсіяння. — Примітка перекладача.

158
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
TfiiW{ (і — 1,2). Повна енергія є просто сумою кінетичних енергій:
Е — рІ/2ті + Р2/27712· (7.8)
Виразімо енергію (рівняння (6.18) Е = Еюи V = R і = г^) через
величини, які описують рух центра інерції системи і відносний
рух частинок:
Е = MV2/2 + m(v 1 - v2)2/2 = Р2/2М + q2/2m; (7.9)
тут
Р = MV = тру і + m2v2 = pi + р2 (7.10)
— імпульс центра інерції {з (6.10) випливає: MR = mifi+m2r2)
і
q := mv = m(vі - v2) = (m2pi - mip2)/M. (7.11)
— імпульс відносного руху.
Після того, як частинки вийдуть із зони взаємодії, вони
знову вільно рухаються зі сталими імпульсами рі і р2. Зміна їх
напрямків відносно початкових імпульсів рі і р2 визначає кут
розсіяння Θ (див. далі). Після зіткнення енергію виразимо
формулою
Е = Рі/2гаі + p2/2m2 = Р2/2 М + q2/2m (7.12)
з двома новими імпульсами центра інерції і відносного руху:
Р = Рі+Р2 і q = (m2jpi - mijp2)/M. (7.13)
- Зв’язок між величинами перед і після, перебування частинок
у зоні взаємодії визначається двома законами збереження:
i) законом збереження енергії:
Е = Е, (7.14)
ii) законом збереження імпульсу центра інерції:
Р = Р. (7.15)
За законом збереження імпульсу (7.15) закон збереження енергії
(7.14) зводиться до умови
2 -2
q =q
(7.16)

7.2. КІНЕМАТИКА ЗІТКНЕННЯ
159
для відносного руху. Отже, під час пружного зіткнення
може змінитися щонайбільше напрямок імпульсу відносного руху,
а, отже, і напрямок руху двох частинок. Ця зміна
залишається в кінематиці невизначеною. Вона пов’язана з кутом
розсіяння Θ і визначається динамікою4 (якщо зіткнення непружне, то
q2/2m = q2/2m + Q, де Q — енергія додатково збуджених
ступенів вільності; при цьому імпульс зберігається).
Усередині ЗОНИ взаємодії, |гі — Г2І < А, до кінетичної енергії
додається енергія взаємодії, так що Е — Т + V = const. Динаміка
зіткнення двох частинок відповідає, згідно з підрозділом 6.1,
рухові однієї частинки зі зведеною масою т у зовнішньому полі з
потенціалом V(r). Цей рух визначає кут розсіяння Θ за
формулою (7.7). Справжній рух частинок з масами ті та m2 навколо
центра мас, прийнятого за початок координат, відбувається за
траєкторіями (пор. (6.13) і (6.14))
ν' ν Pi 7712 V
ri=r‘-R= мг
і τ, ml
r2 = г2 - R = -"д^Г ·
(Для потенціалу 1/г ці траєкторії — гіперболи).
В експерименті з зіткнення або розсіяння початкові імпульси
частинок задані, а спостерігаються зміни імпульсів після виходу
із зони взаємодії. Для опису процесу зіткнення
використовуватимемо дві системи відліку:
i) систему центра інерції, в якій центр інерції нерухомий,
р — о,
та
ii) лабораторну систему, в якій рухома частинка падає на
нерухому другу частинку, мішень.
Величини в лабораторній системі позначатимемо індексом L, а
в системі центра інерції вони будуть без індекса. Щоб знайти
зв’язок між кутами розсіяння у двох системах відліку, θι і 0,
звернімося до кінематики процесу зіткнення в цих двох системах.
4Закони збереження імпульсу центра мас і енергії з чотирьох компонент
імпульсів рі та рг (рух в одній площині!) залишають невизначеною лише
одну величину. Нею є кут розсіяння.

160
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
7.2.2. 	Кінематика пружного зіткнення
Розгляньмо спочатку зміну характеристик руху під час
пружного зіткнення двох частинок у системі відліку центра інерції.
Кінематика в системі центра інерції
Умова спокою центра інерції у законі збереження повного
імпульсу (= імпульсу центра інерції) дає
р = Pi +Р2 = Pi +Р2 = о, (7.17)
так що в системі центра мас імпульси частинок до і після
зіткнення задовольняють умови
Рі = —Р2 1 Рі = -Р2 ·
Підставляючи їх у (7.11) та в означення q (7.13), отримуємо
q = Pi = -Р2 і q = рі = —ї>2· (7.18)
Із закону збереження енергії (7.16) випливає, що напрямок
імпульсу кожної частинки може, вправді, змінитися, але його
абсолютна величина залишається сталою (див. рис. 7.5):
Ч = Q — Pi = Рі- (7.19)
Рис. 7.5. Кінематика зіткнення в системі центра інерції
Зміну імпульсу однієї матеріальної точки, наприклад, ті,
отримаємо з рівності
PiPi = qq = 42COS0, (7.20)
де кут розсіяння 0, як уже сказано вище, визначається
динамікою руху в полі з потенціалом V(r).

7.2. КІНЕМАТИКА ЗІТКНЕННЯ
161
Кінематика в лабораторній системі
Оскільки частинка-мішень в лабораторній системі нерухома,
а центр інерції рухається зі сталою швидкістю, то рух у цих двох
системах виглядає по-різному, і різниця визначається цією
сталою швидкістю. Але це не впливає на відносну швидкість двох
частинок, а, отже, і на обидва імпульси відносного руху, q (7.11)
і q (7.13). Отже, вони не залежать від того, в котрій із цих систем
відліку їх розглядати. Тому можемо не писати індекса L біля q і
q
Перед зіткненням частинка 2 не рухається,
Р2 = 0>
так що повний імпульс задається імпульсом лише частинки 1
Р = Р1,
а для імпульсу відносного руху маємо:
rn, L Ш2
4 МН1 м
(7.21)
Із закону збереження повного імпульсу (імпульсу центра інерції)
р = Pi = pf + Р2
та означення відносного імпульсу випливає, що теля зіткнення
q = (m2pf - mip2 )/M.
Використовуючи (7.21), можна виразити імпульси pf і pf через
qiq:
, я-"·^ , я (7.22)
-І Ші 7Пі
Р. = ΜΡ + ή=^4 + 5·
Л£_т2т> ^
р2 - жр - q - q - q
(7.23)
У лабораторній системі відліку кути розсіяння 6l і Φζ, — це
кути між напрямками кінцевого руху частинок 1 і 2 і напрямком
руху налітної частинки: вь — це кут між pf' і pf', а — між
І>2 і pf (пор. рис. 7.6).

162
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
Р
L
1
Рис. 7.6. Кінематика зіткнення в лабораторній системі; 0/, і Фь
— кути розсіяння
Незалежність обидвох імпульсів q і q від вибору системи
відліку використаємо для встановлення зв’язку між кутами
розсіяння 0 і Для цього розглянемо трикутник, заданий
співвідношенням (7.22): згідно з (7.20), 0 — кут між q та q, а згідно з
(7.21), θι — кут між q та pf, так що з рис. 7.7 випливає
t я lqlsing
L |qmi/m2| + |q| cos0‘
Рис. 7.7. До співвідношення між кутами розсіяння 0 і вь
Враховуючи, що q = q, рівняння (7.19), отримаємо остаточно
шукане співвідношення між кутами 0 і 0^:
tg0L =
sin0
πΐ\/m2 + cos0
(7.24)
Очевидно, що tg0£ завжди менший від tg 0, і це означає, що кут
розсіяння в лабораторній системі завжди менший від кута розсі-

7.2. КІНЕМАТИКА ЗІТКНЕННЯ
163
яння в системі центра інерції:
вь<в.
Якщо маса налітної частинки-снаряду більша від маси
мішені, ті > m2, Для максимального кута розсіяння маємо (К)
sin0£ax = m2/т\ (cos0max = —m2/ті). (7.25)
Кут розсіяння частинки m2 у лабораторній системі Фі
отримаємо зі зображення рівності (7.23) на рис. 7.8: оскільки q та pf'
паралельні (пор. (7.21)), то є також кутом між q та р^.
Внаслідок рівності q = q (7.19) трикутник рівнобедрений, тобто кут
між р>2 і q також дорівнює Ф^. Але кут між q та q і є кутом
розсіяння Θ у системі центра інерції (див. (7.20)). Отже, зваживши
на те, що θ + 2Фь = π, отримуємо просте співвідношення:
Ф L
π — Θ
2
(7.26)
Рис. 7.8. До співвідношення між* кутами розсіяння Θ і Фі
Якщо маса мішені набагато більша від маси снаряду, m2 2>
777і, то центр інерції практично збігається з положенням частинки
7712, І tg(9L = tg0, а отже,
вЬ = в;
лабораторна система та система центра інерції збігаються. Так
є, наприклад, у випадку потенціального розсіяння: при цьому
джерело потенціального поля закріплене, тобто має формально
нескінченно велику масу (m2 = оо). З (7.26) видно, що сума двох

164
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
кутів розсіяння #£ І ФL дорівнює 7г/2 + ві/2, тобто більша від
7г/2.
Якщо маси частинки-мішені і налітної частинки рівні, m2 =
ті, то
tg#L =
sin#
1 + cos θ
θ
тобто
вь = 0/2;
максимальне значення кута розсіяння в лабораторній системі
90°; це означає, що розсіяння назад немає. Оскільки в цьому
випадку (пор. (7.26))
0l + $l = тг/2,
то в лабораторній системі частинки розлітаються під кутом 90°
одна до одної.
7.3. 	Потенціальне розсіяння
Розсіяння двох частинок визначається динамікою їхнього
руху. Її можна розглядати формально як динаміку руху однієї
частинки в (зовнішньому) потенціальному полі (пор. підрозділ 6.1).
Тому далі опис розсіяння частинки в потенціальному полі можна
буде застосувати також до процесу розсіяння двох частинок.
Для потенціалу розглянемо дві екстремальні ситуації. Перша
— коли потенціал має дуже короткий радіус дії, тобто взаємодія
частинки з силовим центром близькосяжна:
V(r) = {
ос
0
Для
г < А
г > А ’
V описує тут розсіяння матеріальної точки на (безмежно)
твердій кулі радіуса А. У цьому випадку динаміку можна
замінити законом дзеркального відбивання від поверхні кулі (К).
Інший крайній випадок — далекосяжна взаємодія, коли потенціал
характеризується нескінченно великим радіусом дії, наприклад,
ґравітаційний або кулонівський потенціал:
V (г) = —к/г.

7.3. ПОТЕНЦІАЛЬНЕ РОЗСІЯННЯ
165
Мала сила ґравітаційної взаємодії та відсутність її екранування
призводять до того, що ця взаємодія не є особливо придатним
об’єктом дослідження в експериментах з розсіянням. Іншою є
ситуація у випадку кулонівської взаємодії двох частинок із
зарядами qi та #2, коли V(r) = qiq2/r: оскільки існують і позитивні, і
неґативні заряди д, то
i) існують як притягувальні, так і відштовхувальні
1/г-взаємодії; далі,
ii) можливе екранування, так що можуть реалізуватися
системи двох тіл5.
У фізиці мікрочастинок не можна задати певних початкових
значень параметра зіткнень s. Тому на практиці досліджують
властивості потенціалів взаємодії, посилаючи на мішень струмінь
частинок (або, відповідно, два зустрічні струмені частинок); у
таких експериментах виникає деякий розподіл параметрів зіткнень.
Число частинок, які розсіюються в околі певного кута
відхилення, дає змогу зробити висновки про взаємодію з мішенню. Це
число, звичайно, треба поділити на число налітних частинок, тобто
його слід пронормувати. Таку міру процесу розсіяння називають
поперечним перерізом розсіяння.
7.3.1. 	Поперечний переріз розсіяння
Для опису і розуміння зображеної вище ситуації служить
поняття поперечного перерізу розсіяння. Диференціальний
поперечний переріз розсіяння σ(Ω) означається рівністю
σ(Ω) <т := 7™*(Ω, dil)/Iin, (7.27)
де
- /0ϊζί(Ω,ώΩ) — кількість частинок, розсіяних за одиницю часу в
тілесному куті сЮ, навколо просторового кута Ω (який
характеризується, наприклад, заданими Θ і Ф, див. далі);
- Ігп — інтенсивність налітних частинок, тобто кількість части¬
нок, які проходять за одиницю часу через одиницю площі,
перпендикулярної до струменя частинок.
5Тобто можна вважати, що для досить великих віддалей між частинками
взаємодії між ними немає; іншими словами, існує зона взаємодії
скінченних розмірів, подібно як і в першому екстремальному випадку. — Примітка
перекладача.

166
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
Величина σ має розмірність площі.
Розсіяння частинок у центральному потенціальному полі
мусить дати результат, симетричний щодо напрямку початкового
струменя (який приймається за вісь ζ)6. У цьому випадку
елемент тілесного кута
сЮ, — sin Θ d& άΦ
замінимо на елемент тілесного кута (пор. рис. 7.9):
ά,Ω -А 2π8ΐηΘώΘ,
Рцс. 7.9. Характеристичні параметри для розсіяння в
потенціальному полі
де кут розсіяння Θ — це кут між напрямком розсіяння і налітним
струменем (у лабораторній системі)7. Тоді /оиД0,й0) — число
6Тут неявно припускається, що в поперечній площині струменя налітних
частинок немає виділеного напрямку, тобто частинки не поляризовані.
Приклад протилежної ситуації: струмінь електронів проходить перед розсіянням
через магнетне поле, яке (частково) поляризує їх власні магнетні моменти.
— Примітка перекладача.
7 У позначеннях попереднього підрозділу Θ відповідає кутові розсіяння
9l у лабораторній системі: Θ = 9l- Для розсіяння в потенціальному полі
фіксованого центра (з нескінченно великою масою) виконується, як уже
зазначалося, 9l = 9 (9 — кут розсіяння в системі центра інерції), так що Θ = 9.

7.3. ПОТЕНЦІАЛЬНЕ РОЗСІЯННЯ
167
частинок, які розсіюються за одиницю часу в цьому конусному
просторовому куті, так що замість (7.27) маємо:
2πσ(Θ) sinO сЮ - /Out(0,dQ)/Iin. (7.28)
Визначення диференціального поперечного перерізу
Iout(&,dQ)/Iin:
Щоб можна було практично застосувати переріз σ(Θ),
мусимо встановити його залежність від параметрів траєкторії
(наприклад, Е та s). Цю залежність отримаємо з умови, що число
частинок, які входять у зону взаємодії, мусить дорівнювати числу
частинок, які з неї виходять.
Прицільний параметр s задає віддаль початкової траєкторії
від осі налітної частинки (пор. рис. 7.3). Траєкторію частинки, а
тим самим і кут розсіяння Θ, визначають s і енергія Е, оскільки
за (7.2) L = mvoos = s\/2mE. Кількість частинок, які влітають
у зону взаємодії через кільце між s і s + ds, мусить дорівнювати
кількості частинок Іотt, які вилітають із зони взаємодії під кутом
розсіяння між Θ і Θ — dO. При цьому кут розсіяння Θ є
асимптотичним кутом кожної траєкторії, яка визначається параметром
зіткнення 5, а Θ — dO стосується траєкторій з параметром
зіткнення s + ds (пор. рис. 7.9). Оскільки поверхня кільця дорівнює
2πsds (відповідний тілесний кут дорівнює — 2π8ίηΘώΘ!), то
зазначена рівність матиме вигляд:
Iout(о, dO) = linens ds. (7.29)
Виводячи цю рівність, ми припускали, що зв’язок між s і Θ для
заданої енергії однозначний, так що різним значенням s не
можуть відповідати однакові значення Θ. Підставляючи (7.29) в
означення σ (7.28), отримуємо:
2πσ(Θ) sin Θ \άθ\ = у·—!—1 = 2ns |ds|
lin
(знак модуля необхідний, бо ds і άθ мають протилежний знак, а
число частинок — величина додатня). Отже, поперечний переріз
розсіяння визначається формулою:
s ds
sin Θ dQ
σ(Θ) =
(7.30)

168
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
Для фіксованого кута Θ величина σ залежить від енергії, так що
в загальному випадку σ = σ(θ, Е).
Повний поперечний переріз at0t отримується з
диференціального інтеґруванням за повним тілесним кутом:
ош = j σ{0)<Κΐ·,
для циліндричної симетрії процесу розсіяння останній вираз
переходить у такий:
π
atot = 2π J a(0)sin0d0. (7.31)
o
Для потенціалів скінченного радіуса дії повний поперечний
переріз розсіяння задається величиною ефективної поверхні:
наприклад, розсіяння точкових частинок на твердих кулях дорівнює
поперечному перерізові кулі (К).
7.3.2. 	Розсіяння у полі з потенщалом 1 /г
У підрозділі 5.2.1 для траєкторії матеріальної точки з
енергією Е > 0 в полі з потенціалом 1/г було знайдено розв’язки у
вигляді гіпербол; у полярних координатах вони описуються,
згідно з (5.31), рівнянням
г =
Р
sign(A;) + ecos(<p - ψκ) ’
(7.32)
де р та є задано виразами (5.29) та (5.30). Оскільки у
випадку гіперболи є > 1, то знаменник має нулі в точках ψ\ та ψ2\ їм
відповідають значення кута φ для асиптот. Далі обмежимося
відштовхувальним потенціалом V (г) = \к\ т/г, к < 0; тоді мусимо
виходити з рівняння траєкторії (5.41),
V
Т = .
ecos(y> — φκ) — 1
Отже, напрямки асимптот φ а визначаються з рівняння
cos (φΑ - ψκ) = 1/ε.
(7.33)

7.3. ПОТЕНЦІАЛЬНЕ РОЗСІЯННЯ
169
Порівняння траєкторій для різних значень є і р показує, що їхні
асимптоти мають такі властивості (див. також підрозділ 5.2): що
ближче лежить точка повороту (гт\п = р/(є — 1),ірт\п = φκ)
до силового центра, тобто що глибше проникає частинка в поле,
то сильніше вона відхиляється і менший кут між асимптотами
початкової та кінцевої гілки (пор. рис. 7.10, а).
В експериментах з розсіяння напрямок налітної частинки
фіксований; змінюється тільки її прицільний параметр s, одночасно
з яким змінюється кут φκ і напрямок вилітної частинки (див.
рис. 7.10, б). Прицільний параметр ми вже визначили в
підрозділі 5.2 як функцію параметрів траєкторії є і р: оскільки s —
віддаль між силовим центром і початковою асимптотою, то
згідно з (5.40) маємо:
Рис. 7.10. Асимптоти для двох траєкторій: а — фіксований кут
φκ, б — фіксований початковий напрямок
Частинка, яка влітає з прицільним параметром s під
асимптотичним кутом φΑ, відхилиться симетрично до кута φκ на кут
розсіяння
від свого початкового напрямку (пор. (7.6) і рис. 7.10, б). З (7.33)
випливає
y/ε2 — 1
Θ = π — 2 (φΑ - φκ)
cos (φΑ — φκ) = cos
= sin - = l/ε.

170
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
Підставляючи це співвідношення у вираз для параметра
зіткнення, отримуємо
Θ
8=Р tg-g ■
(7.34)
Тепер мусимо ще виразити р через ЗМІННІ S І Vqq. Оскільки поле
простягається на безмежну віддаль (г —> оо), асиптотична
швидкість Voo у буквальному сенсі не існує. Проте, якщо взяти точку,
„досить далеку“ від силового центра, то для неї можна
вважати v = Voo і Е ~ Т, так що знову (пор. (7.2)) знаходимо вирази
Е ~ mv^/2 і L = mVooS. Підставляючи їх у формули (5.29) і
(5.30), р =
L2 .
т2 \к\
2 EL2
тгк2
, отримаємо для параметра р
та ексцентриситету є залежності від нових незалежних змінних:  Із_ v%°s2
р 1*1 ’
(7.35)
= \Л + v^s^/k2.
(7.36)
Із формул (7.34), (7.35) випливає тепер співвідношення між
прицільним параметром та кутом розсіяння:
s =
І/с|
Vctg
Θ
2
т |А:|
2Е
а звідси і шуканий зв’язок
ds _ |/г| 1
άθ 2v2^ sin2 Θ/2
(7.37)
(7.38)
З виразу (7.30) отримуємо формулу розсіяння Резерфорда
(Е. Rutherford, 1871-1937) для диференціального поперечного
перерізу розсіяння
к2 1 т2 к2 1
= 4г4 sin4 Θ/2 = 16Е2 sin4Θ/2
(7.39)
Цей вираз розбігається в напрямку „вперед“ (Θ = 0)
внаслідок нескінченної далекосяжності потенціалу. В класичній
механіці таку ситуацію маємо для всіх потенціалів з нескінченним

7.3. ПОТЕНЦІАЛЬНЕ РОЗСІЯННЯ
171
радіусом дії. Якщо значення енергії зростає, то, оскільки σ(Θ)
прямує до нуля, частинки будуть розсіюватися вперед щоразу
слабше, за винятком кутів Θ = 0. Разом з розбіжністю σ(Θ) у
напрямку „вперед “ прямує також до безмежності повний
поперечний переріз розсіяння (7.31):
π 1
crtoi ОС / . 4 sin Θ άθ = 4 / ^-3—— dsin0/2 = оо.
J sm4 Θ/2 J sir Θ/2
0 0
Зауваження.
i) Резерфордовий поперечний переріз розсіяння не залежить
від знака &, тобто однаковий для притягальних і
відштовхувальних взаємодій.
ii) Для сильних притягальних потенціалів (1/га, а > 2)
траєкторія може проходити через синґулярність силового центра.
Тоді виникають труднощі щодо визначення кута розсіяння.
Реалістичне припущення про „тверде ядро“ дає змогу
обминути цю проблему.
Доповнення і питання
1. Як запишеться диференційне рівняння для траєкторії у
центральному потенціальному полі у змінних и = υ,(φ) =
1/г?
2. Нехай Шснаряду > ^мішені· Знайдіть максимальний кут
розсіяння (7.25) у лабораторній системі та в системі центра
мас.
3. Виведіть залежність (7.34) між s і Θ із загального
співвідношення (7.7).
4. Матеріальні точки розсіюються на (закріпленій) твердій
кулі (радіус А). Обчисліть диференціальний і повний перерізи
розсіяння. Вказівка: для обчислення 5(0) необхідно
дослідити співвідношення, які стосуються відбивання
матеріальної точки на поверхні кулі.

172
Розділ 7. РОЗСІЯННЯ ЧАСТИНОК
5. 	Відновлення (реконструкція) потенціалу V (г) з перерізу
розсіяння: якщо диференціальний переріз розсіяння
відомий (з експерименту), то можна з σ(θ) визначити
залежність параметра зіткнення від Θ, s(0), а звідси знайти
потенціал [18]. Одне співвідношення, потрібне для цього,
випливає з (7.30). Оскільки для розсіяних назад частинок
параметр зіткнення зникає (центральний удар), s(0 = π) = 0,
то для інтеґрала зі співвідношення (7.30) з урахуванням
знака модуля знаходимо:
π
2π J σ(Θ') sin Θ' άθ' = тг s2(Θ). (7.40)
Θ
Отже, s(Θ), а також Θ (s) можна визначити з результатів
розсіяння. Другим співвідношенням є (7.7)
^min
7г — Θ Г 1 dr'
2 У 7і2 ((і _ V(r')/E) /s2(0) - l/r'2)1/2‘
Якщо сюди підставити прицільний параметр s(0),
визначений з (7.40), то отримаємо інтегральне рівняння для
невідомого потенціалу V(r). Щоправда, V(r) визначається тут
дуже неявно: потенціал входить у підінтеґральну функцію,
а межа інтеґрування гт\п також залежить від V (τ) через
інтеґральний вираз. Деякими перетвореннями можемо
отримати інтеґральне рівняння, придатне для визначення V(r)
• [18]:
W = exp
ОО
Ч
rW
θ(β)
Vs2 - r2W2
zds
W =
1
V
E'
6. 	Дотеперішні міркування проводилися для розсіяння в
лабораторній системі, тобто в позначеннях пункту 7.2.2 0 = 0^ і
σ слід замінити на σ^. Для зіткнень частинок, маси яких не
дуже відрізняються (експерименти з зіткненнями струменів
частинок), динамічні розрахунки можна здійснити в
системі центра мас, зводячи їх до задачі одного тіла. Тому
потрібно встановити зв’язок між перерізами розсіяння в обох

7.3. ПОТЕНЦІАЛЬНЕ РОЗСІЯННЯ
173
системах. Тут слід використати те, що кількість частинок,
розсіяних у заданому елементі тілесного кута, однакова в
обох системах відліку:
2π Iout σ(θ) sinθ \άθ\ = 2π Iout aL(9L) sin6L \d0L\
Тоді для диференціального перерізу розсіяння в
лабораторній системі отримаємо
^(Н) = ^пв
άθ
άθτ
= σ(0)
sin 9l
Зі співвідношення (7.24) між Θ і 9l випливає:
2
d cos б
d cos θι
cos 9l = [ — + cos 9
Km2
\m2J
+ 2 — cos 9 1
m2
Ί 1/2
звідси можна обчислити |dcos0/dcos0£|, так що
vl(0L) = σ(θ)
( mi
\m2
+ 2— cos 9 + 1
m2
1 3/2
1 + — cos 9
m2
)·
Як ВИДНО вже ЗІ зв’язку МІЖ 0L і 0, ДЛЯ ТЇІ2 ГП\
<?ь{вь) = σ{θ) =
так що за такого співвідношення мас 0l = Θ; отже, обидва
перерізи РОЗСІЯННЯ рівні. Для 77*2 = ГП\ виконується рівність
(0L = Θ/2)
<Уь{0ь) = 4σ(0) cos ^ = 4σ(20ι,) cosOL]
якщо в лабораторній системі переріз розсіяння ізотропний,
то в системі центра інерції він виявляється залежним від
кута (і навпаки). Повний переріз розсіяння, зрозуміло,
однаковий в обох системах відліку:

Розділ 8
Заміна систем відаіку
Розглядаючи фізичні процеси, ми мовчки припускали, що
описуємо їх у деякій системі відліку, яка складається з
пристроїв, призначених для визначення місця у просторі та
вимірювання часу (наприклад, ґратка з нескінченно довгих і дуже
тонких масштабних лінійок та сукупністю реґулярно
розташованих і зсинхронізованих годинників). Ми не цікавилися тим, як
впливає на опис процесів (руху) вибір системи відліку1;
іншими словами, як впливає заміна однієї системи відліку на іншу
(наприклад, системи центра мас на лабораторну систему
відліку). Для кількісного опису руху (встановлення положення г і
часу t та зображення зміни положення з часом величинами ί та
г) ми ввели (скажімо, декартову) систему координат2. Фізичні
величини, такі як імпульс р або сила F, ми відносимо до цієї
координатної системи: їх можна розкласти, наприклад, на
компоненти вздовж вибраних координатних осей. Як залежить, і чи
залежить взагалі, деяке рівняння чи результат від вибору
системи відліку, або, відповідно, системи координат, — відповідь на ці
запитання залежить від змісту цього рівняння чи результату.
Заміна системи відліку може спричинити зміни фізичних величин;
наприклад, змінюється швидкість внаслідок переходу від
системи, нерухомо пов’язаної з одним тілом, до системи, пов’язаної з
іншим рухомим тілом (система центра інерції і лабораторна сис¬
1 Винятком було встановлення зв’язку між системами лабораторною та
центра інерції у попередньому розділі. — Примітка перекладача.
2У межах деякої системи відліку може бути зручно вибрати інші
(наприклад, криволінійні) координати.

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
175
тема). З іншого боку, фізичні величини не повинні залежати від
вибору конкретної системи координат у заданій системі відліку;
адже координати — це лише математичні конструкції, тому їх
вибір не має впливати на фізичні висловлювання, як, наприклад,
„траєкторія є еліптичноюодначе форма рівняння траєкторії
залежить від вибору координат. Поставимо запитання: чи існують
системи відліку, в кожній з яких фізичні процеси виглядають
однаково?
Важливий клас систем відліку визначається вимогою, що
вільний від дії сил рух матеріальної точки має завжди такий
вигляд:
гаг = 0 . (8.1)
Такі системи відліку називаються інерційними. Л. Лянґе
(L. Lange) ще 1886 р. запропонував спосіб, яким принаймні
теоретично можна перевірити, чи деяка система відліку є інерційною
[54]:
„Кожна система відліку, в якій траєкторії трьох
однакових матеріальних точок, кинутих у різних
напрямках (що не лежать в одній площині) і залишених
після цього вільними, будуть прямолінійними,
називається інерційною. “
8.1. 	Перетворення між інерційними системами
відліку
Перед тим, як зайнятися перетвореннями систем відліку і
систем координат, необхідно уточнити поняття вектора. Досі ми
застосовували поняття вектора до двох різних об’єктів:
а) до самого вектора V, який зображає деяку фізичну
величину (імпульс, силу, ...) і тому не залежить від вибору
координатної системи3; його називають вектором з огляду
на властивості, які відповідають математичним вимогам до
3Нерозривно пов’язаний з векторним характером напрямок не залежить
від системи відліку, яка використовується; проте за цим приховується
невисловлене уявлення, що існує щось таке як абсолютний простір, який сам дає
змогу, якщо є лише одне тіло чи предмет, говорити про його положення або
напрямок.

176
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
векторного простору (лінійність, існування нульового
елемента, скалярного добутку тощо). У такому
(тривимірному) векторному просторі існує певний максимальний
набір лінійно незалежних ортогональних одиничних векторів
ег, І = 1,2,3, Є*Є^ = Sij, який називають базою; число
незалежних одиничних векторів у базі називається вимірністю
простору.
б) до його зображення, тобто компонент (Vi, V2, V3) у певній
вибраній базі є*, які є проекціями вектора на вектори бази:
Vi = Уег.
У такому підході V зображається лінійною комбінацією трьох
базових векторів (ортів) є* з компонентами V{ як ваговими
множниками4:
V = V&.
Як і досі, трійку компонент позначатимемо символом V:
V := (Vi,%,%);
якщо матимемо на думці абстрактний вектор, безвідносно до
деякої бази, то це буде наголошено в контексті.
. Рівняння (8.1), віднесене до деякої ортогональної бази, тобто
до деякої (локальної) декартової системи координат, має вигляд
тхі = 0, г = 1,2,3, „ (8.2)
де координати (хі,Х2?^з) е компонентами вектора г.
4Ми використовуємо угоду про підсумовування: за подвійним індексом
здійснюється підсумовування:
Viei = YjViei.

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
177
8.1.1. Лінійні перетворення; трансляції
Рівняння (8.2) виконувалось у координатній системі К з
ортогональною базою Єі, і = 1,2,3, та початком О. Воно залишається
інваріантним щодо лінійних перетворень
% і — DifoXfo Η- 0>і, (8.3)
зі сталими коефіцієнтами D& та параметрами а^, оскільки для
нових компонент х\ також виконується
тх\ =0, і — 1,2,3.
Клас лінійних перетворень (8.3) для нашої мети надто
загальний. Ми розглядатимемо лише такі перетворення, у результаті
яких зображення довільного вектора (трійки чисел) у
координатній системі К з ортогональною базою щ та початком О
переходить у таке ж зображення в системі Kf (з ортогональною базою
е[ та початком О1). Деякий вектор, який зображує фізичну
величину (наприклад, швидкість або прискорення), залишається
незмінним при такому переході до нових ортів і нового початку:
V = у<Є< = V/eJ, (8.4)
де Vi (УІ) — компоненти V у К або, відповідно, у К'. Компоненти
піддаються пасивному перетворенню координат; базові вектори
координатної системи, вектори є* перетворюються активно. Як
побачимо далі, умова (8.4) накладає на початково довільні
коефіцієнти Dik деякі обмеження.
Але спочатку займімося ще параметрами ар. якщо покладемо
в (8.3) Dik = т0 отримаємо просте перетворення координат
х\ — Хі + ар
яке описує сталий зсув (трансляцію) системи К' відносно К (при
цьому початок О переноситься в О'). Хоч вектори положення
змінюються відносно трансляції на сталий вектор a =
r' = r + а, (8.5)
але інші, вільні вектори, як наприклад, сила, залишаються інва¬
ріантними. Оскільки а = 0, то прискорення, а з ним і рівняння

178
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
(8.2), не змінюються відносно трансляцій (координати всіх
матеріальних точок змінюються на а*, але різниці координат, а, отже,
і швидкості, як рівно ж і прискорення, залишаються
незмінними).
Рівняння руху (8.2) інваріантні відносно сталих зсувів
початку координат або, інакше, трансляційно інваріантні.
8.1.2. 	Повороти систем коорщшат
Розгляньмо тепер лінійні перетворення (8.3) з йі = 0:
Xj = DjiXi. (8.6)
Оскільки співвідношення (8.6) повинні встановити зв’язок між
двома координатними системами К iKf, то базові трійки цих
систем, Є{ та е^, можуть бути тільки повернуті одна відносно іншої
(О = О'); отже, перетворення (8.6) мусить описувати повороти.
При цьому дев’ять коефіцієнтів Dik повинні задовольняти деякі
умови, так що вони не є незалежні між собою.
Для вектора положення г, проведеного з початку координат
у довільно вибрану точку простору, виконуються рівності
г = х'е'· = Хіві, (8.7)
де Х{ та х\ — координати точки в К та, відповідно, в К'.
Підставляючи (8.6) в останнє співвідношення, отримаємо
DjiXiej = Хіви
а оскільки хі — координати довільної точки, то мусить
виконуватися умова:
Djie'j = є*. (8.8)
Домножуючи на та враховуючи ортогональність базових
векторів, e'-ej. = Sjk, отримаємо
Dki —
(8.9)
отже, величини Dki є проекціями нових ортів на старі.

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
179
Оскільки просторова орієнтація координатної системи (чи
системи відліку) не впливає на довжину вектора, то й
довжина вектора г не змінюється при поворотах (8.6):
І*2 = XjXj = Х{Хі.
Звідси випливає, що
D j{D jkX%Xk = Х%Х% = •ЕіХк&ікі
а внаслідок довільності Х{
DjiDjk = бік- (8.10)
Якщо розглядати Dji як елементи деякої матриці В, то (8.10)
можна записати у вигляді
WO = I, (8.11)
де В^ — транспонована матриця, а І — одинична матриця.
Оскільки виконується також рівність ВВТ = її, то (8.11) означає,
що транспонована матриця В?" є оберненою відносно В:
В-1 = В^; (8.12)
отже, матриця поворотів В є ортогональною матрицею.
Позначаючи елементи матриці В-1, запишемо рівняння (8.12) у
такій формі:
D-j1 = D^. (8.13)
Множення рівняння (8.8) на D~£ дає співвідношення
ек = eiDik >
яке з урахуванням (8.13) можна записати так:
е'к = Dkiei; (8.14)
воно виражає трансформаційні властивості ортів відносно
поворотів: базові вектори перетворюються як компоненти вектора г
(див. рівняння (8.6)).

180
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
З (8.11) випливає рівність
det IED^ det D = (det ID)2 = det 1 = 1;
звідси для визначника ортогонального перетворення отримуємо:
det D = ±1.
(8.15)
Ортогональні перетворення, для яких detlD = 1, можна
неперервно перевести в тотожне (одиничне) перетворення І (пор.
(8.17) і (8.18)); вони називаються власними поворотами. Якщо
ж detD = — 1, то кожний поворот містить ще дзеркальне
відображення
І
' -1
0
0
Р =
0
-1
0
\
1 0
0
-1
(8.16)
Особливо просто зображається поворот навколо одної
координатної осі. Легко бачити, наприклад, що один поворот на кут
φ навколо осі 2 зображується матрицею (пор. також: Додаток В)
Ώ)ζ (φ) =
cos φ sin φ 0
— sin ψ cos ψ 0
0 0 1
(8.17)
Оскільки є симетричною матрицею
то з (8.11) випливає лише шість умов для дев’яти компонентів
IX Тому три величини залишаються невизначеними. їх можна
взяти за параметри повороту; наприклад, одиничний вектор η у
напрямку осі обертання (дві величини) і кут повороту навколо
цієї осі (іншому виборові параметрів відповідають кути Ойлера,
див. далі). Такий поворот переводить компоненти вектора г у
компоненти вектора r' = IDr :
r' = r cos φ + n(nr)(l — cos</?) — (n x r) sine/?. (8.18)
Цей поворот координатної системи з фіксованим (абстрактним)
вектором г називають пасивним. Якщо ж вектор г повертається
на кут φ (активний поворот), то це відповідає перетворенню
повороту координатної системи, що визначається матрицею Ш>(—φ).
Легко довести такі властивості перетворення (8.18):

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
181
i) (/9 = 0 відповідає тотожньому перетворенню І;
ii) якщо г = п, то й г' = п: вісі повороту не перетворюються;
iii) поворот на — φ — це обернене перетворення;
iv) г'2 = г2;
ν) інфінітезимальне (нескінченно мале) перетворення: якщо
кут повороту малий, φ = ε, то
r' = г - ε(η х г). (8.19)
Якщо поворот інтерпретувати як пасивне перетворення,
тоді результат г' є трійкою компонент (абстрактного) вектора г
відносно повернутої системи К1. Але таке перетворення,
наприклад (8.18) або, відповідно, (8.19), можна також інтерпретувати
як активне перетворення вектора г у г' поворотом на кут φ
(відповідно, ε), при чому база залишається незмінною. Взявши точку
зору пасивного перетворення, скажемо, що база перетворюється
активно на кут —φ (відповідно, —ε).
Кути Ойлера
Інше стандартне параметризування використовує три кути
Ойлера (Euler) як три параметри, які можна вільно вибирати.
Розгляньмо перетворення від ii до if', яке є результатом трьох
поворотів (пор. рис. 8.1):
Перший поворот виконаємо навколо осі г на кут φ (пор.
(8.17)): '
(COS ¢/3 sin</? 0 \
— sin<p cos</? 0 1 . (8.20)
о о і у
Другий поворот на кут ϋ виконаємо навколо нової осі х, яку
називають лінією вузлів k (див. рис. 8.1):

182
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
Нарешті останній поворот — навколо нової осі г на кут ф:
(cos ф sin ф 0 \
— БІпф cos φ 0 І . (8.22)
о о і у
Результат для повного повороту (дотримуватися послідовності!)
має вигляд:
В = Щф, ϋ,φ) =1¾ (^)]¾ (#)Ві (φ) = (8.23)
(cos ф cos φ — sin ф cos ϋ sin φ cos ф sin φ-f sin ф cos ΰ cos φ sin ф sin гА
-sin φ cos φ — cos ф cos ϋ sin φ —sin ф sin </?+cos φ cos $ cos </? cos φ sin ΰ ),
sint?sin<£ -sin$cos</? cos$ /
тут на область зміни кутів накладаються обмеження
0 < φ < 2π, 0 < ϋ < тг, 0 < φ < 2тг, (8.24)
внаслідок яких кожному поворотові можна однозначно
поставити у відповідність набір трьох кутів. Поворот від кінцевої до
початкової системи5 здійснює матриця
ІГ1 = Цр = Ш?1 {φ)Ώξ (tf (ф) (8.25)
з Ш^(у) = Οχ (-φ) і т.д.
5Далі у тексті для трьох координатних систем, які розглядаються для
параметризації поворотів кутами Ойлера, використовуватимуться такі
терміни: перша (вихідна) система координат — просторово закріплена, друга (з
ж-віссю вузлів) — проміжна, третя — власна. — Примітка перекладача.

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
183
8.1.3. 	Група Ґалілея
Повернімося тепер знову до визначення перетворень, які
пов’язують одну інерційну систему відліку К з іншою if', тобто
залишають незмінними рівняння (8.2). Ми встановили, що
рівняння (8.2) інваріантне відносно таких незалежних від часу
перетворень систем відліку:
i) трансляції
r' = г + а, а = 0, (8.26)
ii) обертання (ротації)
г' = Dr, = 0. - · (8.27)
at
До них додамо два інші перетворення від системи відліку
К до if', які стосуються також відліку часу.
iii) Перетворення швидкостей (яке часом називають також
спеціальним перетворенням Ґалілея) зі сталою швидкістю
w:
r' = r + wt з w = 0; (8.28)
відносно них вільний від дії сил рух у системі if, тт = 0,
переходить у вільний рух у системі if', mv' = 0. Нарешті,
рівняння руху (8.1) ще інваріантне відносно
iv) зсуву початку відліку часу („однорідність часу“):
tr — t + s. (8.29)
Підсумовуючи, отримаємо найзагальніше перетворення, яке
залишає інваріантним рівняння тт = 0, а саме перетворення
Ґалілея
r' = IDr + wt + а, (8.30)
t1 = t + s. (8.31)
Перетворення з detD = 1 утворюють 10-параметричну
(п, ф: w, а, 5) власну групу Ґалілея (К). Усі системи відліку, які

184
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
такими перетвореннями можна отримати з деякої інерційної
системи, також інерційні. Легко бачити, що обернені перетворення
мають вигляд (ЮГ1 = ED3"):
г = (r; — w (і! — s) — а),
t — t' — s.
їх можна зобразити в наведеній вище формі перетворення
Ґалілея:
r = ID?1 rf + wY + а',
t = t' + s
3
w' = — IlF w, a' = — WF (a — w s) і s' = —s.
На компоненти незалежних від часу векторів з перетворень
Ґалілея діють лише повороти (за винятком вектора положення6).
Для компонент сталої сили F це означає, що (пор. (8.6))
F[ = DikFk (8.32)
або коротко
F' = DF
(тут сукупність компонент інтерпретується як вектор, бо сам
вектор залишається незмінним). Для силового поля F(r) додатково
змінюється відносно перетворень Ґалілея ще вектор положення
г; при цьому для вектора як трійки компонент виконується
рівність
F'(r') =DF(r). (8.33)
Водночас залишається формінваріантним відносно
перетворень Ґалілея також другий закон Ньютона тт = F. Правда,
якщо сила залежить від положень — F = F(r) для
одночастинкової системи та F = F(ri,r2) для системи двох частинок — то в
загальному випадку сила, яка в системі К не залежить від
швидкості, в системі К' може стати залежною від швидкості та/або
від часу — коли вона в К від часу незалежна. Які сили є
інваріантними відносно перетворень Ґалілея?
6На який діють й інші перетворення. — Примітка перекладача.

8.1. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ
185
а) Зовнішні сили
Нехай F = F(r) — зовнішня сила. Оскільки F — вектор,
то перетворюватиметься як арґумент F, так і компоненти
сили; останні, правда, тільки відносно поворотів (F' = DF).
Повне перетворення зобразиться так:
F'(r') = DF(r) = BF(Brr' + w Y + a')· (8.34)
Звідси видно, що лише стала зовнішня сила залишається
під дією перетворення Ґалілея незалежною від швидкості
і часу. В інших випадках вона отримує в новій інерційній
системі, наприклад, додаткову залежність від часу.
б) Двочастинкові сили
Нехай F = F(rbr2) — сила взаємодії двох частинок у
положеннях гі та г2, відповідно. Виразимо цю силу через
координати центра інерції R і відносні координати г (див.
підрозділ 6.1): F(ri,r2) = F(R, r). З рівності
r' = Dr і + wt + а 2 = 1,2
отримуємо
R' =
тіг[ + 77і2Г2
ті + т2
= DR + wt + а,
r' = r[ -r'2 = D(ri - r2) = Dr,
так що R перетворюється як деякий вектор положення, а
г — як деякий вектор. Підставляючи наведені формули у
вираз
F'(r,1,r')=DF(r1,r2)=DF(R,r),
знаходимо
F'(R', r') = BF^R' + w Y + a', if г'). (8.35)
Якщо F не залежить від R, то7
F'(r') =DF(BTr'); (8.36)
7Тобто F є внутрішньою силою; її незалежність від R можна розглядати
як наслідок однорідності простору, тобто трансляційної інваріантності. —
Примітка перекладача.

186
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
цією рівністю нова функція F' у К' визначається (заданою)
функцією F. Оскільки внутрішня сила може залежати
лише від різниць координат (у загальному випадку ще й від
різниць швидкостей8) то і відносно довільного
перетворення Ґалілея в новій системі вона залежить лише від
різниці координат (можливо, ще й від різниці швидкостей).
Така трансформаційна поведінка стосується центральної сили
F(r) = f(r)r. З рівності
F'(r') = ЦДІШР’г'ЬшРУ = /(/) r'
(
Ю^і
= Г
= r) випливає, що й сила F' є центральною.
(Приклад: взаємодія між Місяцем і Землею в системі
відліку, нерухомій відносно Землі.)
Зауваження.
Якщо дві інерційні системи відрізняються лише положенням
або/і орієнтацією їх координатних осей (або вибором початку
відліку часу), так що для переходу від однієї системи відліку до
другої потрібні лише трансляції або/і повороти, то різницю між
ними можна зліквідувати просто, а саме новим вибором
координатної системи (відповідно, початку відліку часу) в одній із
двох інерційних систем; ці дві системи практично ідентичні.
Лише відносний (рівномірний) рух є суттєвою ознакою
розрізнення систем відліку . Тому, досліджуючи вплив вибору інерційної
системи на опис деякого фізичного процесу, можемо
обмежитися'такими інерційними системами, які переходять одна в одну
за допомогою перетворень швидкостей (спеціальних перетворень
Ґалілея9).
8Зауважимо, що спеціальним перетворенням Ґалілея (8.28) відповідає
перетворення швидкостей частинок ν[ = ν» + w (і = 1,2,...). Тому різниця
швидкостей двох частинок (а, отже, і залежна від них сила взаємодії) є
ґалілей-інваріантною. Якщо ж швидкості входять в арґументи F
складніше, то ґалілей-інваріантність порушується. Таку ситуацію маємо, зокрема,
для електромагнетних взаємодій заряджених частинок, коли вимогу
ґалілейінваріантності треба замінити на вимогу лоренц-інваріантності у спеціальній
теорії відносності. — Примітка перекладача.
9їх іноді називають чистими перетвореннями Ґалілея або бустами.
Останній термін частіше вживають у спеціальній теорії відносності для чистих
перетворень Лоренца. — Примітка перекладача.

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
187
8.2. 	Перетворення до неінерщйних систем
відліку
Тепер поцікавимося, як змінюються Ньютонові рівняння руху
під час переходу від інерційної системи К до деякої системи
відліку К', яка рухається нерівномірно відносно К.
8.2.1. 	Система відліку, яка рухається прямолінійно з
прискоренням
Система відліку К' перемішується відносно інерційної
системи К з такою часовою залежністю:
r'= r + a (t). (8.37)
Тоді зв’язок між швидкостями і прискореннями в цих двох
системах виражається формулами
r = г + а і r = г + а.
Якщо в системі К закон руху має вигляд ті = F(r), то в системі
Kf
mr' = F(r' — a(i)) + та. (8.38)
Член та можна інтерпретувати в системі Kf як силу. Таку
додаткову силу, спричинену відносним рухом системи відліку,
називають фіктивною силою. У цьому випадку фіктивна сила має
форму просторово однорідної сили, залежної від часу.
Для різниці координат (наприклад, для відносних координат
двох частинок) додатковий член не виникає. У системі двох тіл
з внутрішньою силою F = F(ri — Г2) сила F залишається
залежною лише від г[ — 1*2, і для відносної координати у прямолінійно
прискореній системі відліку К' виконується рівняння
mr' = F(r'), r' = r[ - r'2;
різниця між такими двома системами відліку є неспостережною
з погляду залежності від відносної координати, тоді як у
координаті центра мас R вона, очевидно, виявляється:
R' = a
(тут припускається, що в інерційній системі К виконується рів¬
няння R = 0).

188
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
8.2.2. 	Обертові системи відліку
Перетворення базових векторів
Припустімо, що рух системи відліку К' відносно К є
залежним від часу обертанням. Відповідне перетворення визначається
рівнянням (8.6), але тепер матриця поворотів залежить від часу:
х'і = Dik(t)xk. (8.39)
Проте співвідношення, які ми ввели в підрозділі 1.2,
залишаються дійсними. Зокрема базові вектори перетворюються згідно з
рівняннями (8.8) та (8.14):
е' = Dlkek] відповідно ek = Djke'j. (8.40)
Оскільки в інерційній системі К ми вважали базові вектори є*
незалежними від часу, то для зміни в часі базових векторів
маємо
Є* = = Dik&h ~
або коротко
е· = fiij(i)e'· з Qij := DikDjk. (8.41)
Матриця Ω = DID^ описує залежність від часу обертання бази в
ротаційній системі відліку. Помножуючи (8.41) на е^, отримаємо
такий вираз для Ω:
Ω* = έ'β'*. (8.42)
Взявши похідну за часом від рівняння (8.10), DikDjk =
отримаємо
DikDjk + DikDjk — 0,
так що для Ω^· виконується рівність
Ω^· -J- Ω^ = 0; (8.43)
отже, Ω — антисиметрична матриця. Тому вона має тільки три
не рівні нулеві незалежні компоненти, які можна зобразити так:
Ωζ; — ^ijk^h’
(8.44)

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
189
Запишемо явний вигляд Ω:
0
ω3
~ω2 \
—ω'3
0
ω[ .
(8.45)
ω'2
-ω[
0 /
Домножуючи (8.44) на ε*^, отримаємо обернені співвідношення:
ик — 2Єкі^іт
(8.46)
Зазначимо, що ω = — це кутова швидкість системи, яка
обертається, тобто ω = ω(ί) дає напрямок миттєвої осі
обертання, навколо якої система Kf обертається з кутовою швидкістю
ω(ί). У тому, що ω є вектор, можна переконатись на основі
його трансформаційних властивостей відносно поворотів.10 Якщо
ω є кутовою швидкістю, то вирази для поворотів базових
векторів мусять мати такий вигляд, який випливає зі зображення
(8.18) повороту в інфінітезимальній формі (8.19) із замінами г
—> е^, г7 — г —> de[ та εη —> — άφη (базові вектори повертаються
активно!) та наступним діленням на dt:
е· = Ф(п х е'). (8.47)
10Те, що ω справді є вектор, можна показати^ розглянувши
трансформаційні властивості величин відносно поворотів D, які переводять К' у деяку
нову систему відліку. Таке перетворення, застосоване до матриці Ω, здійснює
відповідне перетворення згідно з рівнянням (8.6) трійки компонент (вектора)
кутової швидкості. Доведення: з (8.42) випливає трансформаційна
поведінка Ω відносно поворотів D: Птп = DrnjDniPiji. Підставляючи цей вираз у
рівність ш'к = \єкгпп^гпп і домножуючи її на Dki (= (0^)ifc!), отримаємо:
Окг^к ~ 2 ^kmnDkiDmj Dnldjl ‘,
ОСКІЛЬКИ ε-тензор Інваріантний, DkiDmjDni£krnn = £ijj, ТО
DkiUj'k = = йі і, відповідно, ω3 = DjiOi ;
отже, ω перетворюється як вектор, і в новій системі виконується таке саме
співвідношення між ω та Ω

190
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
Тому зрозуміло, що в параметризації (8.18) матриці повороту
кутова швидкість задається рівністю:
ω = фп . (8.48)
Для підтвердження виразимо (8.41) через ω. Для цього
помножимо рівняння
&і — VtijBj — CijkLdfcGj
на г-ту компоненту орта (ej)* — тоді отримаємо
(е' )гЄ· = Є' = е'ьЄшшЦе'^г = е'к(ш X в')* = ω X β'.
Таким чином, для похідної за часом від одиничних векторів
отримуємо:
е'· = ω х е'·. (8.49)
Порівняння з (8.47) показує, що ω дійсно є кутовою швидкістю.
Множення цього рівняння на ω' дає cjj-e'· = 0: у системі, яка
обертається, внесок у ώ дають лише похідні від компонент. Дещо
складніше порівняно з (8.48) виразити ω через кути Ойлера.
Кутова швидкість як функція кутів Ойлера
Обчислення компонент ω як функцій Ойлерових кутів у
перетворенні (8.23) до власної координатної системи за допомогою
співвідношення (8.46) та означення Ω (8.41)
= — T^kijDiiD j[ = )lj
є, очевидно, дуже втомливим. Це можна зробити швидше, якщо
виразити Ω через окремі повороти (8.20, 8.21, 8.22) та застосувати
зв’язок (8.46) між ω і Ω:
= (^о) ЮТ = (І (И>З (ФЩ № (φ)ή Ef (φ)νξ (0)Ю£ (Ф)
= όβ ]D)2 EDi Ώξ Η- 1¾ 11¾ -Ь ED31¾ 0і
— όβ -f- О31¾ ^¾ ^1^2 ·
Ω

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
191
У результаті отримаємо
Ω = Ω3(^>) +Ρ3Ω2(ι9)Ρ|' +Ρ3Ι^Ωι(</?)Ε^Ι]^ , (8.50)
де11 Ω, = Вг Щ задаються поворотами навколо трьох осей
обертання. Вони діють у різних координатних системах: Ω\{φ) у
фіксованій у просторі координатній системі, Ω2($) — у проміжній
системі координат з віссю вузлів як віссю х, а Ω3 (?/>), як і Ω, —
у власній координатній системі. У співвідношеннях (8.50) Ωι(φ)
та Ω2($) перетворюватимуться матрицями поворотів до власної
координатної системи. Матрицям Ω, Ω* можна згідно зі
співвідношенням (8.46) зіставити у відповідних координатних системах
величини ω, ωρ при цьому матричні елементи Ω^ з (8.50)
скорочуються з \eijk\ Для г-тої компоненти кутової швидкості це дає в
обертовій системі
<4 = MM + (¾ ω2(<?))· + (Ю>3®2 ωλ(φ% , (8.51)
а це означає, що (абстрактні) вектори кутової швидкості
додаються адитивно:
ω = ωζ{ψ) + CJ2O?) + ωι(φ)· (8.52)
Оскільки ωι(φ) має у просторово закріпленій системі
компоненти (0,0,</і>), ω2($) — у проміжній системі спрямована за
віссю х-ів (лінією вузлів), і має, отже, компоненти (ί9, 0,0), а
мзіф) = (0,0,%Л) уже у власній системі, то з (8.51) і (8.21), (8.22)
для компонент кутової швидкості у власній системі К* (ω ω'\)
отримуємо:
ω' = ^ 0 j + ^ 0 j + Щ(ф)В2{д) ^ 0 j
(0 \ / ϋ cosip \ / ф cosip sin ΰ \
ο 1 + ( -ijsin ip І + ( ф Sin-0 sin 1? І .
ψ ) V 0 / \ фсовії )
11 Підсумовування за індексом і немає! — Примітка перекладача.

192
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
Остаточно, якщо повороти параметризувати кутами Ойлера, то
кутова швидкість у цій системі виразиться такою рівністю:
(ψ cos ф sin ΰ + ΰ cos φ \
ψ sin φ sin ϋ — ϋ sin φ І . (8.53)
ψ cos ϋ + φ )
Похідні за часом вщ векторів в обертових системах
Розгляньмо довільний вектор A = A(t) у просторово
закріпленій інерційній системі відліку К і у власній обертовій системі
відліку Кг (надалі А вважаємо абстрактним вектором, а не
трійкою компонент!). Як у рівнянні (8.4), маємо:
A (t) = Mt)ei = A'(t)e'(t). (8.54)
Похідну за часом в обох системах отримаємо, використовуючи
(8.49):
/7 А .
— = АіЄі = Α'ώ + А'і (и> х є·) = А+е'і + (ω х А).
Якщо ввести позначення
(^У:=і'е; (8.55)
для похідної за часом від А в обертовій системі К', то отримаємо
шукане співвідношення між часовими похідними вектора в обох
системах відліку
^=Ш’+<“хА)' <8-5б)
Член (ω х А) враховує зміну з часом вектора А, спричинену
обертанням осей рухомої системи координат. Зокрема для
швидкостей у К і К1 (A = r; г є однаковим у К і ΚΊ) маємо
ν = ν' + (ω х г),
(8.57)

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
193
dr .
№V = ^’1
v :=
dry
dt)
Якщо покласти А = ω, то
άω
άω\'
dt \ dt 1 ω’
(8.58)
(8.59)
так що похідні за часом від ω рівні між собою в обох системах;
ω задає також вісь обертання.
Друга похідна за часом від А, згідно з (8.59), виразиться фор-
мулою
II II
4s ^
Jt{{% +(“ХА)) +"*
(*0 +ь,хА+2“х (*)
((¾1) + ("хА)
/
+ ω х ω х А (8.60)
(дужки в останньому члені не є необхідними), так що в ній
з’являються три додаткові члени. Якщо обертання в часі стале (ώ = 0),
то перший додатковий член зникає.
8.2.3. 	Рух в обертовій системі
Розглядатимемо далі лише системи відліку К', які
обертаються зі сталою кутовою швидкістю ω. Тоді для прискорення b := г
та b' = (d2r/dt2) з (8.60) випливає рівність
b = Ь7 + 2ω х V + ω х ω х г. (8.61)
З рівняння руху mb = F у просторово закріпленій інерційній
системі отримаємо рівняння руху в обертовій системі відліку:
mb' = F' — 2m(u; х ν') — πιω х ω х r. (8.62)
У (8.62) присутні дві фіктивні сили:

194
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
- Якщо ν' = 0, тобто якщо в системі К' матеріальна точка
нерухома, то залишається тільки одна додаткова сила
—πιω х ω х г .
Цей член зображує відцентрову силу в К'\ вона
напрямлена перпендикулярно до вісі обертання (ω) назовні, а її
абсолютне значення дорівнює πιω2τ sin б, де Θ — кут між г
і ω.
- Якщо матеріальна точка рухається в if', то матимемо
також першу додаткову силу
—2πι(ω х ν') .
Цю фіктивну силу називають силою Коріоліса (С. G. de
Coriolis, 1792-1843). Вона ортогональна до ω і до миттєвої
швидкості ν' в К1.
Рух в однорідному магнетному полі відносно обертової
системи відліку
Рух матеріальної точки, на яку, крім сили F(r), діє стале
зовнішнє магнітне поле В, описується рівнянням (5.53)
mr = F (г) + -І· х В (8.63)
с
(див. підрозділ 5.4). Опишемо цей рух відносно обертової системи
координат. Якщо в загальному перетворенні рівняння руху (8.63)
до системи відліку, яка обертається з кутовою швидкістю ω,
mrf = F' (r) + - (r' + ω χ г) χ В' + 2mr' χ ω - πιω χ ω χ r
c
= F' (r) + -ί' χ В' + - (ω χ г) χ Β' + 2mr' χ ω - πιω χ ω χ r
C C
вибрати вісь обертання паралельно до В, то для однорідного
магнетного поля12 В' = В. Покладаючи, крім того, ω = ω/,, де
С0L = -~^-В = -\ωζ (8.64)
Zmc 1
12Цю рівність треба розуміти так, що в рухомій системі відліку поле В'
має лише одну компоненту — проекцію вектора В' на вісь обертання (або,
що те саме, на напрямок поля В, уздовж якого спрямовано вісь ζ).

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
195
— так звана Ларморова кутова швидкість, усунемо з рівняння
руху член Коріоліса, не втрачаючи жодного іншого члена;
рівняння руху в системі відліку (г = г'), яка обертається з кутовою
швидкістю (8.64), має вигляд (К):
о2
тї' = F' (r') + х В х г'. (8.65)
Для моменту імпульсу в обертовій системі І/ = тг1 х г' можна
знайти (К):
L'B = LB + (г х В)2 = BILB, (8.66)
2 	с
для центральної сили F (г) цей вираз точно збігається зі
збережною величиною підрозділу 5.4. Тепер ми з’ясували його
значення: він є компонентою моменту імпульсу на напрямок магнетного
поля в системі відліку, яка обертається з Ларморовою кутовою
швидкістю (8.64). Рівняння руху (8.63) для потенціалу 1/г було
отримане в розділі 13.1.2 і (чисельно) розв’язане в системі
відліку, що обертається з кутовою швидкістю (8.64). Результат: рух,
у загальному, хаотичний.
Сила Коріоліса
Розглянемо рух Землі, яка обертається з кутовою швидкістю
ω = 7.3 х 10-5с-1
відносно нерухомих зірок. Величина відцентрового прискорення
становить, залежно від географічної широти, не більше, ніж 0.3%
прискорення Землі (у відцентровому члені г є порядку величини
радіуса Землі), так що ним можна знехтувати. Сила Коріоліса є
причиною цікавих ефектів. Вона, між іншим, зумовлює важливі
з погляду метеорології великомасштабні циркуляції повітря:
проти годинникової стрілки у північній півкулі та за годинниковою
стрілкою у південній півкулі (дивлячись на Землю). Коріолісова
сила є також причиною відхилень від „вільного“ руху тіл, як,
наприклад, під час вільного падіння, яке зараз розглянемо.
Оскільки нас цікавить тільки рух в обертовій системі відліку
Землі, так що розглядатимемо лише похідні за часом в if', то в
подальшому пропускатимемо штрих для позначення швидкості

196
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
та прискорення. Сила ваги має в обертовій системі простий
вигляд: F' = rag. Нехтуючи відцентровою силою, отримаємо таке
рівняння руху:
? = g-2(w хг). (8.67)
З 	вибором координат (рис. 8.2), матимемо в Kf такі компоненти
векторів g і ω:
g = (0,0, —#), ω = (0, — ω sin б, ω cos б). (8.68)
Рис. 8.2. Система відліку, яка обертається разом із Землею
Виберімо такі початкові дані:
г(0) = (0,0, h) і г(0) = (0,0,0). (8.69)
Рівняння (8.67) можна розв’язати точно (див., наприклад, [24]).
Повчальним і доступним для обчислень є викладений нижче
наближений розгляд, який напрошується з уваги на те, що ω є
малою величиною.
Спочатку запишемо рівняння (8.67) у вигляді
V + 2(ω х v) = g (8.70)
і 	розкладемо v(t) у степеневий ряд за ω:
v(t) = v0(t) + ωνι(ί) + ω2ν2(ί) + (8.71)
Підставляючи його в рівняння (8.70), отримаємо:
(vq + cjvi + cj2v2 + ...) +2u> x (vq + cjvi + cj2v2 + ...) = g. (8.72)

8.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМ
197
Прирівнюючи в цьому рівнянні члени однакового порядку за ω,
знаходимо:
ω° :
vo = g,
ω1 :
ωνχ + 2(ω x vo) = 0,
(8.73)
ω2 :
o>2V2 + 2ω(ω xvi) = 0,
Розв’язок першого рівняння з початковими умовами (8.69)
v0 = g t, (8.74)
описує вільне падіння. Підставляючи його у друге рівняння,
отримуємо
ωνι = —2(ω х g)t.
З вибором (8.68) векторний добуток запишеться ω х g =
(ug sin 0, 0,0), так що для я-компоненти
v\x = — 2<7tsin0,
звідки
v\x = —gt2 sin θ.
Отже, в цьому порядку за ω швидкість ν має вигляд
ν(ί) =
—ugt2 sin θ
0
~9t
(8.75)
(8.76)
а наступне інтегрування з початковими умовами (8.69) приводить
до такого виразу для вектора положення r(t):
r(t) =
— Tjugt3 sin θ
0
-%t2 + h
(8.77)
Його ^-компонента відповідає добре відомому законові вільного
падіння. Але сила Коріоліса спричиняє додатково відхилення у
східному напрямку. Його величина залежить, серед інших, від

198
Розділ 8. ЗАМІНА СИСТЕМ ВІДЛІКУ
географічної широти; на полюсах вона зникає. До моменту
досягнення поверхні Землі z = 0 в час t = yj2h/g відхилення в
напрямку х має величину
1ω^/(2h)3 /д sin6>. (8.78)
У наближенні ω2 відбувається також відхилення в напрямку у:
траєкторія набуває компоненту в напрямку екватора (К).
Доповнення і питання
1. Виразіть елементи матриці поворотів Ш> через напрямок осі
повороту η і кут повороту φ (пор. (8.18)).
2. Покажіть, що є-тензор інваріантний відносно поворотів
систем координат.
3. Перевірте групові властивості перетворень Ґалілея (8.30) та
(8.31).
4. Як виглядають компоненти ω, якщо їх виразити через кути
Ойлера у просторово закріпленій системі відліку?
5. Для руху у сталому магнетному полі В запишіть рівняння
руху і момент імпульсу в системі відліку, яка обертається
з кутовою швидкістю ωι (8.64).
6. Обчисліть відхилення, зумовлені силою Коріоліса, у
другому наближенні за швидкістю обертання ω.

Розділ 9
Лаґранжева механіка
До кінця XVIII століття було досягнуто важливого етапу в
розвитку механіки. В „Аналітичній механіці“, яка вперше
з’явилася 1788 р., Ж. Л. ЛАҐРАНЖ (DE LAGRANGE, 1736-1812)
сформулював механіку за єдиним прозорим і дуже елеґантним
методом. Значний внесок до цього зробили брати Якоб (1654-
1705) і Йоган (1667-1748) БЕРНУЛЛІ (BERNOULLI) та син
Погана Даніел (1700-1782), а також Л. ОЙЛЕР (EULER, 1707-1783)
і Ж. Л. Д’АЛАМБЕР (D’ALEMBERT, 1717-1783). Структура
подальшого викладу суттєво відрізняється від історичного
розвитку. Лаґранж спирався у своєму підході на принцип Д’Аламбера і
на поняття віртуальних переміщень; ми їх у цьому розділі не
розглядатимемо. Після короткого викладу потрібних методів
варіаційного числення ми розвинемо Лаґранжеву механіку на основі
принципу найменшої дії, запропонованого У. Р. ГАМІЛЬТОНОМ
(HAMILTON, 1805-1865)1.
9.1. 	В’язі та сили реакщі
У багатьох задачах механіки задаються не лише сили, але й
обмежувальні умови, так звані в’язі, які мусять задовольняти
рухи або траєкторії; наприклад, віддаль тіла до заданої точки
повинна бути сталою (маятник). Розрізняють різні типи в’язей.
Голономними називають в’язі, для яких рівняння траєкторії r(t)
Ламільтон доповнив ним міркування П. Л. М. МОПЕРТЮЇ (DE
MAUPERTUIS, 1698-1759) і Л. Ойлера (обидва опублікували їх 1744 р.).

200
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
має вигляд
/(r(t),t) =0, (9.1)
куди входять тільки миттєві координати і час (маятник: (r(t))2 —
12 =0). Умовам цього типу ми приділимо головну увагу. В’язі,
яких у цьому вигляді записати не можна, називають
пеголономнимщ прикладами є
- в’язі, які містять швидкості або диференціали координат
(наприклад: Σ 9i{r)dxi = 0 => Ygi(r)±idt = 0),
- в’язі, >які виступають як нерівності.
Приклади неголономних в’язей:
- рух частинки у посудині кулястої форми: \r(t)\ < Д;
- кочення колеса (радіуса Д): тут в’язь v = Ііф пов’язує
лінійну швидкість колеса v з кутовою швидкістю ф. Оскільки
цю умову не можна проінтеґрувати, не знаючи руху, в’язь
неголономна.
Незалежні від часу в’язі називаються склерономнимщ а залежні
— реономними.
Далі розглянемо голономну в’язь для однієї частинки. Для
більшої кількості частинок і, відповідно, більшої кількості
голономних в’язей, цей метод можна легко узагальнити (див. [16]).
Як вже було з’ясовано, розв’язки рівнянь руху для заданих сил
є однозначними функціями початкових положень і початкових
швидкостей; тому розв’язок рівняння руху
mr = F
у загальному випадку не задовольняє задану в’язь (9.1), навіть
якщо її задовольняють початкові дані. Отже, оскільки рух має
задовольняти в’язь (в’язі), то мусять діяти ще інші сили, які
називають силами реакції2; разом з F вони забезпечують те, що
2Ці формальні міркування варто доповнити наочними фізичними.
Наявність в’язі (9.1) означає, що існує деяке матеріальне тіло, яке в кожний мо-

9.1. В’ЯЗІ ТА СИЛИ РЕАКЦІЇ
201
шукана траєкторія задовольняє в’язь. Тому в рівняння руху
мусимо ввести додаткову силу реакції Z:
mr = F + Z. (9.2)
Беручи до уваги, що рух визначається величинами г, ί, £, треба
в загальному випадку припустити, що залежність сили реакції
має вигляд
Z = Z(r,r,i)
навіть тоді, коли сила F залежить лише від положення: F = F(r).
Інакше кажучи, Z мусить мати такі властивості, що для
кожної дозволеної рівняннями руху швидкості частинки г, яка в
момент t займає на траєкторії положення г, усі компоненти сили F,
перпендикулярні до вимушеного в’яззю руху, повинні
скомпенсуватися; тоді частинка рухатиметься по траєкторії, якої вимагає
в’язь.
В’язь /(r, t) = 0 визначає поверхню у просторі. Кожна
можлива траєкторія мусить належати до цієї поверхні. Тоді з
наведеного розгляду випливає, що сила Z у кожній точці
перпендикулярна до цієї поверхні, так що її напрямок визначається ґрадієнтом
V/:
Z = A(r,r,i)V/(r,t). (9.3)
Отже, можемо збалансувати або компоненту сили F,
перпендикулярну до поверхні, або/і компоненту імпульсу mr, яка
приводила б до траєкторії, несумісної з (9.1), і тоді рух залишається
на заданій поверхні (приклад: відцентровий рух); величина λ
визначається з (9.2) і (9.1). (Можна обійтися і без її визначення,
якщо, наприклад, вдалим вибором координат вдасться у рівняннях
руху обмежитися розглядом лише тих компонент заданої сили
F, які є дотичними до можливої траєкторії). Якщо вже знайдено
„правильні^ рівняння руху, то з них можна знову отримати в’язь;
тоді в’язь стає константою руху або, відповідно, величиною, яка
зберігається (див. наведені нижче приклади).
мент часу t обмежує в просторі можливі положення частинки. Таке
обмеження реалізується взаємодією частинки з цим тілом (наприклад, кулька
прив’язана до нитки, другий кінець якої нерухомо закріплений). Отже,
частинка діє на це тіло з деякою силою, і з такою ж за величиною, але
протилежно спрямованою силою діє тіло на частинку. Тому останню силу називають
силою реакції (у цьому прикладі — це сила натягу, див. також приклади,
наведені далі). — Примітка перекладача.

202
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
А як є з енергією консервативної системи з в’язями? Щоб
з’ясувати це, помножмо скалярно рівняння руху (9.2), в якому Z
має вигляд (9.3), на г:
Y^mr2 = -W(r)r + ArV/(r,£).
at 2
Враховуючи, що з /(r,£) = 0 внаслідок —
випливає
г V/ =
1 т’
отримуємо:
Щ_ = oj_ аг а/ = 0
5г dt dt
і {І™2 +
= _A«i
Xdf
(9.4)
Отже, якщо в’язь від часу явно не залежить, то енергія
зберігається. Тоді сила реакції не дає внеску до балансу енергії, а
в’язь
/(г) = о
має форму і сенс додаткової збережної величини (зрозуміло,
мусить виконуватися також рівність /(го) =0).
Для ілюстрації розглянемо два приклади в полі тяжіння g,
якщо є сили реакції в’язі.
Рух у жолобі Ґалілея
Першим прикладом є знову жолоб Ґалілея (див. підрозділ
3.2): матеріальна точка, яка притягається ґравітаційним полем
Землі, може рухатися без тертя тільки похиленим жолобом по
прямій під кутом а до g (див. рис. 9.1). В’яззю служить рівняння
прямої
/(х, у) = х tg а - у = 0. (9.5)
Враховуючи (9.3) та вектор нормалі
V/ = (tga, —1) = (sinа, — cos a)/cos а
з (9.2) отримуємо рівняння руху
тх = Atg a + mg,
ту = -А,

9.1. В’ЯЗІ ТА СИЛИ РЕАКЦІЇ
203
f(x,y)=o
У
Рис. 9.1. До руху по похилому жолобу
аз (9.4) — енергію:
ТП / . о . 9\
Е = — (х + уг) - тпдх.
(9.6)
Диференціювання в’язі (9.5) дає співвідношення xtga = у, яке
разом з урахуванням обох рівнянь руху приводить до такої
рівності
λ = —mg sin a cos а.
Отже, сила реакції в’язі (пор. (9.3))
перпендикулярна до прямої (9.5) і, відповідно, антипаралельна
Д° V/; вона зрівноважує компоненту сили тяжіння в напрямку
V/ (К). При цьому „ правильні “ рівняння руху для такої системи
мають вигляд
Збереження енергії і в’язі вистачає, щоб система рівнянь руху
була інтеґровною. Подвійне інтеґрування, наприклад, першого
рівняння дає:
х
У
д cos2 а,
д sin a cos а.

204
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Простіший спосіб не вимагає визначення сили реакції в’язі.
Щоб записати рівняння руху по прямій, візьмемо до уваги тільки
компоненту ваги в напрямку цієї прямої:
F|| = mg cos а.
Проектуючи вагу на вісь х,
F\\iX = mg cos2 а ,
отримаємо вже відоме рівняння руху
тх — mg cos2 α.
Сферичний маятник
У другому прикладі розглянемо сферичний маятник, тобто
рух матеріальної точки на поверхні кулі (радіус І) під дією сили
тяжіння g = (0,0, —g). В’язь
f(r) = r2-l2 = 0 (9.7)
приводить згідно з (9.3) у рівнянні руху (9.2)
mr = mg + Z (9.8)
до сили реакції
З (9.7) знаходимо
іі
dt2
Z = 2Аг .
-7- (2гг) = 2г2 + 2г? = 0, тобто
dt
rr = -r2,
тому в помноженому скалярно на г рівнянні руху mrr = mgr +
2Аг2 можна вилучити член з гг:
—ті2 — mgr = 2Аг2.
Звідси з використанням (9.7) отримуємо:
A(r,f) = -^(r2 + gr)

9.1. В’ЯЗІ ТА СИЛИ РЕАКЦІЇ
205
(зверніть увагу: λ = A(r, г)!), і сила реакції в’язі дорівнює:
Z = -™(r2 + gr)r. (9.9)
Перший член сили реакції (ос г2) — це доцентрова сила, яка
протидіє відцентровій силі. Це легко побачити, якщо розглянути
рух у площині ψ = 0 у сферичних координатах: f = rer + где$ +
гфsintfe^ (пор. рівняння (А.12)); при цьому треба покласти г = 0
і ф = 0 ; враховуючи, що ί = для першого члена у виразі
для сили реакції в’язі (9.9) отримуємо вираз
— тгг2г = —т/і?2ег,
г
який описує доцентрову силу, спрямовану проти відцентрової
сили т/і?2ег. Другий член у (9.9) компенсує компоненти сили
тяжіння, які діють у напрямку до поверхні кулі в даній точці:
-^f(gr)r = -m(ger)er.
Отже, рівняння руху (9.8) тепер має вигляд:
mr = mg - ^(ί2 + gr)r. (9.10)
Воно нелінійне за г і містить швидкість ί. Вправді, залежність від
швидкості можна виключити за допомогою закону збереження
енергії (пор. (9.4); в’язь (9.7) не залежить від часу!):
— mgr = Е.
Тоді отримаємо рівняння
(9.11)
.. m (2Е \
mr = mg-^-+3grjr,
в якому не лінійність за г залишається. Проте хаотична
поведінка тут не з’являється, і це зумовлено достатньою кількістю
ізолювальних законів збереження. Домножуючи скалярно рівняння
руху (9.10) на г, отримуємо спочатку
т (rr + r2r2//2) = mgr (l — г2//2) .

206
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Як права, так і ліва, частини такої форми рівняння руху
виконуються для розв’язків, які задовольняють в’язь (9.7). Отже,
в’язь виконує функцію збережної величини. Домножуючи
скалярно (9.10) на г, отримуємо, як уже було сказано, закон
збереження енергії (9.11), а векторне множення (9.10) на г дає
приводить до закону збереження компоненти моменту імпульсу,
паралельної до g:
Цих трьох законів збереження досить для інтеґровності системи
(див. підрозділ 14.1). Якщо використаємо в рівнянні (9.10)
сферичні координати, то отримаємо (К)
тобто рівняння руху в одній змінній, яке є інтеґровним. Розв’язок
цього рівняння досліджувати далі не будемо. Для ф = 0, тобто
Lg = 0, знаходимо, зрозуміло, знову рівняння для плоского
маятника (підрозділ 3.3).
для плоского маятника (ф = 0, рух по колу) такий
альтернативний спосіб вже був описаний у підрозділі 3.3. З елеґантнішим
виведенням рівняння (9.13) ознайомимося у підрозділі 9.3.4.
Обидва приклади вказують, що спосіб розв’язування за
допомогою рівнянь руху, який вимагає визначення сил реакції в’язей,
може бути за певних обставин надто громіздким. Тому виникає
запитання, чи не існує метод, в якому в’язі можна застосувати
тг х r = mr х g.
Наступне скалярне множення на g
Lg :=Lg/g = ml2 sin2 ϋφ = const.
(9.12)
(9.13)
з
Lgjml2 = sin2 ϋφ — const,
Пряме зображення рівняння руху на поверхні кулі було б
складніше (на що вже вказував результат для сили реакції в’язі);

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
207
безпосередніше. Якщо, наприклад, рівняння руху можна
потрактувати як рівняння, що визначають деякий екстремум, то, як і
в звичайній теорії екстремумів, в’язі можуть виступати як
додаткові умови. І справді це так. Але щоб розглянути це питання,
потрібний спочатку деякий математичний екскурс.
9.2. 	Варіаційне числення
Варіаційне числення започаткувала задача про
брахістохрону, яку 1696 р. поставив Йоган Бернуллі:
„ Нехай у вертикальній площині задано дві точки А та В. По
якій траєкторії повинна рухатися під дією власної .ваги
матеріальна точка М, що вийшла з точки А, щоб у найкоротшому
часі досягнути точки В. “
Коли спочатку матеріальна точка перебуває нерухомо в А
(див. рис. 9.2), то закон збереження енергії має вигляд
(незалежна від часу в’язь не змінює закону збереження енергії, див.
(9.4))
- Мдх = -МдхА,
Рис. 9.2. До задачі про брахістохрону
так що для швидкості маємо:
υ = sjl д(х-хА).

208
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Виразимо швидкість υ
dx
dt
2
+
dyV
dt J
через інфінітези-
мальну довжину шляху ds —
\J (dx)2 + {dyf
вздовж кривої у = у(х):
V =
ds
dt'
тоді час, потрібний для руху від точки ха до хв уздовж шуканої
кривої виразиться рівностями:
ь(хв)
s(xb)
s(xb) xb
г ,
Г dt
r ds f
/ dt
= / —ds
= — =
J
J ds
J V J
t(xA)
s(xA)
s(xa) ΧΛ
\/2д(х - ха)
dx\
цей час Т є функціоналом траєкторії у(х):
хв
т = J f(y,y'',x)dx (9.14)
ХА
/ dy ,
з |/ — —— (у загальному випадку допускаємо ще додаткову за-
dx
лежність / від у): кожній кривій у(х), яка проходить через точки
А і В (тобто в ха та хв функція у(х) має наперед задані
значений у а та у в), відповідає певне значення Т. Шукаємо таку
траєкторію у = у(х), на якій матеріальна точка М досягає точку В
з точки А в найкоротшому часі Т. У задачі про брахістохрону
функція
f(y,y’-,x) =
л/ЇТ:
П
\j2g{x - ха)
(9.15)
не залежить від у.
9.2.1. 	Рівняння ОЗлера
В основі варіаційного числення лежить така фундаментальна
лема:

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
209
Нехай д(х) — неперервна функція і η(χ) — довільна
неперервно диференційовна функція, яка задовольняє
умови
η{χχ) = η(χ2) = 0.
(9.16)
Якщо
Χ2
/ ς(χ)η(χ)άχ = 0,
(9.17)
Хі
то д(х) тотожно зникає в інтервалі х\ < х < х<і.
Ця лема дає змогу знайти рівняння для такої функції у(х), яка
задовольняє краєві умови
Уі = у(х і) і У2 = у(х 2) (9.18)
і для якої функціонал
Х2
І = І[у\ = J f(y,y'-x)dx (9.19)
XI
має мінімальне (екстремальне) значення. Щоб показати це,
покладемо
у(х,а) = у(х) +αη(χ),
де η(χ) задовольняє краєві умови (9.16), а поза тим — довільна
(тобто у(х,а) має краєві значення у\ і 2/2); і дослідимо інтеґрал
Х2
!{<*) = f f {y(x,a),y'(x,a);x)dx
Χι
як функцію від а. Оскільки значення а = 0 повинне дати
розв язок у{х), для якої І є мінімальним, то мусить виконуватися
рівність
d£dy df dy' \
dy da dy1 da J
= 0.
dl_
da
Q=0
Q=0

210
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
„ , , dy .dy'ddyd
З означення υ(χ,α) випливає —— = η і = -—— = — тх)\
’ ' da 1 da dx da dx /v '
інтеґруючи частинами, отримуємо
dJ_
da
X2
X\
Останній член зникає внаслідок припущення (9.16); для а = 0
маємо у(х, 0) = у(х), так що
dl
da
α=0
Х\
Отже, на основі фундаментальної леми (9.17) шукана функція
у(х) мусить бути розв’язком диференційного рівняння Ойлера
варіаційного числення
df d df
= 0.
ду dx ду1
Його можна записати в такому явному вигляді:
df d2f
(9.20)
ду ду'ду^ dyf2U ду'дх
це- звичайне диференційне рівняння другого порядку типу
dzy dy
9i(y,y,,x)^2 + 92(у,у' ,χ)-^ + дз(у,у',х) = 0.
0;
(9.21)
Дві довільні сталі розв’язку фіксуються краєвими умовами
(9.18). Для розв’язку рівняння (9.20) функціонал (9.19) набуває
екстремального (мінімального) значення.
Особливі форми функції f(y,yf;x):
і) / не містить у явно:
/ = /(я,у')·
(9.22)

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
211
η · д/ d 5/
Оскільки — = 0, то —
оу ах оу'
0, так що похідна
df
—— — const
ду'
(9.23)
є першим інтеґралом рівняння Ойлера-Лаґранжа (9.20).
іі) / не містить х явно:
/ = Ну,у')·
Розглядаючи у як незалежну змінну, маємо
у' — dy/dx = 1 /(dx/dy) =: l/x'
(9.24)
J f{y,y')dx = J f (v,^jx'dy=: j F(x',y)dy.
Оскільки в F змінна x явно не виступає, то згідно з і)
dF/dx1 — д [/ (у, 1/х') х'] /дхг = const,
тобто
= const.
Записуючи це рівняння знов у змінних у, у7, отримуємо
перший інтеґрал рівняння (9.20):
f(y,yi) - &!/у'=c°nst· (9·25)
Повернімося тепер до задачі про брахістохрону. В ній /,
задане рівністю (9.15), не залежить від у, тому, згідно з (9.23) маємо
df у' 1
ду1 v/TT^V^^x^x^) уДдсї

212
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
звідки
Інтеґруючи, знаходимо:
X — ХА
Сі - (х - Ха)
(9.26)
у = С2 — у/сі(х — ха) — (х — ха)2 — сі arcsin -
І сі - (х - ха)
сі
Якщо вихідна точка А має координати хд = 0 і уа = у(ха) — 0,
7Г
ТО С2 = -Сі 1
7Г / ^ . І Сі ~Х
у = —Сі — у С\Х — xz — С\ arcsin w
(9.27)
= сі arccos
сі — x
Cl
— \J c\x — x2;
при цьому мусить виконуватися х < сі. У точці А маємо (пор.
(9.26))
1/(0)=0,
так що на самому початку матеріальна точка рухається в
напрямку сили ваги. Константа сі визначається координатами
точки В: ув = у(хв)· Це трансцендентне рівняння для сі. Але якщо,
наприклад, В знов лежить на осі у (хв = 0), то сі = ув/π.
Оскільки форма функції (9.27) досить складна, варто перейти
до параметричного зображення траєкторії. Якщо підставити
сі = 2а,
то співвідношення
х = а(1 — cost), (9.28)
у — a(t — sint)
задовольняють (9.27). Отже, крива брахістохрона є циклоїдою
(траєкторією, яку описує точка обводу кола (радіуса) під час
його кочення вздовж деякої прямої).
На закінчення подамо узагальнення на випадок функціонала
від багатьох функцій уі{х), ..., Уп{х):

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
213
Треба знайти екстремум функціонала
Х2
1 	= J/{Уи---,Уп,Уі,---,Уп,х)<Іх· (9-29)
XI
Відповідні краєві умови мають вигляд:
оч = уі{х і),
βΐ = Уі(х 2), (9.30)
тут і = Ι,.,.,η. Просте узагальнення здійснених вище кроків
на п змінних приводить до диференційних рівнянь Ойлера для
розв’язків сформульованої задачі:
di_d_df_
дуі dx ду'і
і = 1,... , п.
(9.31)
9.2.2. 	Перетворення змінних
Для застосування у фізиці важливе значення має поведінка
варіаційного методу при переході від змінних Уі(х) до інших
змінних qi(x):
Qi(x) = «(ί/ι(®),···,!Λ»(®)) =: «({і/})» і = 1,..., η.
З оберненого перетворення у і = у і ({д}) для похідної отримуємо
Уі = Σ = Уі (М > (у'})» а отже> 3 функції / ({у} ; {у1} ; х) —
функцію h ({#} ; {</} ; х). Оскільки величина І (скажімо, інтервал
часу Т між А та В) є, зрозуміло, незалежною від вибору змінних
(наприклад, полярних або декартових), то
Х2 Х2
1 = j / ({у} ;{y'};x)dx = J h ({у}; {у'} ;х) dx, (9.32)
Х\ X і
причому для у, треба взяти краєві умови аг = уг ({а}) та /¾ =
Уі ({/3}) (пор. (9.30)). З (9.32) неминуче випливають рівняння
Ойлера в системі змінних уі:
dh
dqi
dx dq[
= 0,
г = 1,...,
η.
(9.33)

214
Гиїділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Отже, для нової функції h ({g} ; {qf} ; х) рівняння Ойлера мають
ту саму форму, що була раніше для / ({у} ; {у'} ; ж), тобто правило
знаходження мінімізувальної функції залишається таким самим;
але явний вигляд рівнянь (після диференціювання) у загальному
випадку інший!
Часто використовують перетворення, яке є переходом до
параметричного зображення. Розгляньмо, наприклад, варіаційну
задачу для трьох декартових координат x,y,z:
Х2
I = f f(y,z\y',z';x)dx. (9.34)
Х\
Розв’язки у = у(х) і z = z(x) зображують криву у просторі. Таке
несиметричне зображення інтеґрала може бути небажаним. У
такому випадку можна вважати три координати залежними від
параметра £,
х = x(t), у = y(t), z = z(t), (9.35)
і шукати розв’язок як криву в параметричному зображенні.
Покладаючи
t\ — t(x і) та t2 = t(x 2), (9.36)
отримаємо для краєвих значень
Xi = x(ti), Уі = у(и), Zi = z(ti), і = 1,2,
а похідні у' та z' виразимо через похідні за t:
У1 = у/і, z' = zjx де ' =
Тоді інтеґрал перетвориться так:
Х2 *2
J f(y,z;y',z'-,x)dx = J f(y,z-,y/x,z/x;x)xdt.
Xl t\
Означаючи функцію h рівністю
h(x, у, z; х, у, z) = f(y, z; y/x, z)x\ x)x,

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
215
знаходимо нарешті
t2
y',z'\x)dx = J
11
h{x,y,z-,x,y,z)dt.
Тепер усі три координати рівноправні. Це відповідає згаданому
раніше випадкові симетрії задачі. Диференційні рівняння Ойлера
для h мають вигляд:
dh ddh dh ddh
dx dt dx ’ dy dt ду ’
dh
dz
d dh
dt dz
(9.37)
Щоб проінтеґрувати в загальному вигляді рівняння (9.37),
можна використати неявну залежність функції h від змінної t.
^ · dh ^
Оскільки — = 0, то
dt
dt
dh. dh. dh . dh.. dh.. dh
—x + — у + —z + —x + —y + ^7Z
dx dy dz dx dy dz
d dh . d dh . d dh dh ..
+ у7т+г7ш +
X dt dx
dh.
dy
.... dh.. dh..
аїх +diy+aiz
ί
dt
. dh. dh Λ
х + ^7У + ^г)
де в другій рівності використано рівняння (9.37). Об’єднуючи
праву і ліву частини останньої рівності, переконуємося, що
рівняння
dh
х +
ду
є першим інтеґралом рівнянь Ойлера (пор. з (9.25)).
Усі наведені властивості перетворень вмотивовують
застосування варіаційного принципу до опису руху системи у фізиці.
Перехід до змінних, пристосованих до симетрії задачі (наприклад,
сферичної симетрії) є простішим, ніж у вихідних рівняннях руху
(див. далі).
dh
у + = const
dz
(9.38)

216
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
9.2.3. 	Додаткові умови
Якщо до варіаційної задачі долучити додаткові умови, то їх
можна врахувати простим способом. Цей метод продемонструємо
такою задачею:
Через точки Рі(х\, j/i, z\) і Р2(х2, У2, ^2) провести
просторову криву так, щоб інтеґрал
Х2
1 = J f(y,z;y',z’;x)dx (9.39)
Х\
був екстремальним (мінімальним); краєві умови
задано так: уі = у(х{), ζ\ — ζ(χι), і — 1,2. Крім того,
крива повинна лежати на поверхні
G(x,y,z) =0; (9.40)
( Р\ і Р2 мусять, зрозуміло, також лежати на цій
поверхні).
Як у звичайних задачах на екстремум, тут можна
застосувати метод лаґранжевих множників. Отже, розгляньмо варіаційну
задачу для інтеґрала
1 =
Х2
J h(y,z; у', z';x)dx
XI
З
Ну, ζ·, уz'·, х) = /(у, z; у', z'; х) + \(x)G(x, у, z),
де \(х) — множник Лаґранжа. Оскільки краєві значення у і
2 мусять, звичайно, лежати на поверхні, означеній додатковою
умовою (9.40), то вони залишаються дійсними також для нової
варіаційної задачі. З рівнянь Ойлера для ї випливає:
dh d dh
ду dx dy'
dh d dh
dz dx dz'
d£
dy
d£
dz
d df w sdG n
dx dy' + ^ dy ~ °’
d df w ,dG n
dx dz’ + A^) dz ~ °‘
(9.41)

9.2. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
217
Разом з (9.40) маємо три рівняння для функцій у(х), z(x) та Х(х).
Узагальнення на більше змінних і, відповідно, більше
додаткових умов, здійснюється безпосередньо і без труднощів.
Іншу можливість, а саме виконання додаткових умов за
допомогою перетворень до інших спеціально вибраних координат,
продемонструємо іншим прикладом:
Знайти геодезійну лінію (= найкоротше сполучення)
між двома точками РДа, 0,0) і Ρ2(—α,0,π) на
поверхні циліндра х2 + у2 — а2 = 0.
Для елемента лінії ds виберімо параметричне зображення х =
x(t), У — 2/(ί) і z = z(t), так що довжина між Р\ і Р<і
L =
+ у2 + і2 eft,
причому точки лінії Si чи моменти часу £*, відповідають точкам
Рі. Щоби задовольнити додаткову умову х2 + у2 = а2, виберімо
конкретно
х — a cos t,
у = asint,
2 = Z(t),
так що залишається визначити ще функцію z(t). Для Р\ t\ — 0,
а для Р2 t2 = π. З х = —a sin t та у = a cos t маємо
π
L = j \Ja2 + i2 dt = Extremum.
0
Оскільки підінтеґральна функція не залежить від z, то рівняння
0
Ойлера для z(t) зводиться до — л/a2 + і2 = const (див. (9.23))
oz
або, відповідно,
і
у/а2 + і2
= const =:
_1_

218
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Звідси випливає спочатку і =
а
у/с — 1
а
, а тоді
z =
у/с — 1
t + ZQ.
п іл
З краєвими умовами t\ = 0 і t<i — π отримуємо zo = 0 і = 1.
у/с - 1
Розв’язок є ґвинтовою лінією
X — fl COS t j
у = asint,
z — t
(nop. рис. 9.3). Довжина лінії, яка сполучає дві точки, дорівнює
π
L = J у/а2 + 1 dt = πν^α2 + 1-
Рис. 9.3. Найкоротший шлях на поверхні циліндра (див. текст)
Останній метод особливо полегшує врахування додаткових
умов, які разом із в’язями є другою суттєвою причиною того,
щоб виводити динаміку деякої системи з варіаційного принципу.
9.3. 	Функція Лаґранжа
9.3.1. 	Обернена задача варіаційного числення
Поставимо таке запитання:

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
219
Чи існує для кожного диференційного рівняння
другого порядку
у" + Ф{х,у,у') = О
варіаційна задача
Х2
J f{y^y,\x)dx = Extremum,
Χι
для якої розв’язки диференційного рівняння Ойлера
9fddf
— —— = 0 або в розгорнутому вигляді
оу ах оу'
8Ч/+
d2f ,
У +
d2f df _
ду'дх ду ’
ду'2 ' ду'ду'
також є розв’язками цього диференційного рівняння?
Це запитання визначає обернену задачу варіаційного числення. У
цьому формулюванні вже передбачено, що в загальному випадку
не можна вимагати, щоб диференційне рівняння у" + Ф(:с, у, у’) =
0 було безпосередньо диференційним рівнянням Ойлера (9.21);
необхідно ще припустити, що існує множник М(х,у,у'), тобто
можна тільки вимагати, що рівнянням Ойлера є таке рівняння:
Му" + М Ф = 0 .
Порівнюючи з (9.21), отримуємо:
а2/
ду'2
= М
д2f , d2f df
-у + -7Г— -А = М Ф.
ду'ду ду'дх ду
Диференціюючи друге рівняння за у' та застосовуючи опісля
перше, отримуємо для М лінійне диференційне рівняння в
частинних похідних:
дМ ,дМ ВМ дФ,, Л
+ У — - —М = 0.
дх
ду
ду' ду'
Розв’язок цього диференційного рівняння містить довільну
функцію, так що існує нескінченно багато розв’язків поставленої
задачі [96, 100].

220
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
9.3.2. 	Функщонал для положення x(t)
На базі викладених загальних основних положень розглянемо
одновимірний рух матеріальної точки
тх = -~^-V(x) (9.42)
і поставимо запитання:
Чи існує така функція L(x, £, t), що диференційне
рівняння Ойлера
для варіаційного принципу
t2
j L(x,x,t)dt = Extremum,
ti
має ті самі розв’язки, що й рівняння руху (9.42), або,
ще більш бажано, збігається з цим рівнянням руху ?
Спробуймо отримати відповідь на останню частину. Оскільки
в диференційних рівняннях Ойлера х може містити лише другий
член, то покладемо просто
d dL
dt dx ~ тХ’
(9.44)
dL dV
(9.45)
dx dx
Розв’язком (9.45) є
ь
II
1
(9.46)
з поки що невідомою функцією Т(х). Її можна
няння (9.44). Інтеґруючи рівняння
визначити з рів-

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
221
за £, маємо
дТ
—— = mx (+ const) ,
ох
а наступне інтеґрування за і приводить до кінетичної енергії
Т = ігГПХ2 (+ const).
Z
Отже, так звана функція Лаґранжа (лаґранжіан)3 L
L(x, х, t) = 1mx2 — V(x)=T — V (9-47)
Δ
є розв’язком нашої оберненої задачі. Оскільки L явно від часу не
залежить, то, згідно з рівнянням (9.25), співвідношення
r dL.
L — —х = const
ox
є першим інтеґралом диференційних рівнянь Ойлера. Враховую¬
сь
чи, що — = 2Т, маємо
ох
L —
= L — 2T = — (Г + V) = —Е = const,
(9.48)
так що повна енергія зберігається:
Е — Т + V = const.
Якщо У залежить також від часу, то вираз для функції
Лаґранжа через Т та V не змінюється, L(x, і, £) = Т — V(х, £), і рівняння
Ойлера мають і в цьому випадку вигляд (9.43), але енергія T + V
вже не зберігається.
Величина
Р
dL
дх
= ті
(9.49)
є звичайним імпульсом. З (9.43) випливає, що р є збережною
ве3L Λ ,
личиною у випадку т— = 0, тобто коли L явно не залежить від
ох
х (х є циклічною координатою).
3Часто термін лаґранжіан використовується також для густини функції
Лаґранжа: L = f £dV, С — лаґранжіан. — Примітка редактора.

222
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Зауваження.
Обернена варіаційна задача неоднозначна, але вимога
L — Т — V встановлює функцію Лаґранжа однозначно.
Розгляньмо, наприклад, рівняння [16]
х + х = 0.
Воно є рівнянням Ойлера для такого лаґранжіана L:
Але існують інші функції Лаґранжа L, для яких рівняння
Ойлера також приводить до цього рівняння, проте вони не
мають форми L — Т — V. Прикладом є
L = ^х4 + 2х2х2 — х4
о
(мультиплікативний множник: х2 +х2).
9.3.3. 	Функщя Лаґранжа для матеріальної точки
Безпосередньо узагальнюючи наведений метод, отримаємо
функцію Лаґранжа для руху матеріальної точки у тривимірному
просторі
тпг = - faV(г), Г = (х, у, z). (9.50)
Якщо ОТОТОЖНИМО X-, у- і z-компоненти рівняння руху (9.50) з
рівняннями Ойлера для шуканої функції Лаґранжа, то знайдемо
(К)
L(x, у, z, х, у, z, t) = L(r, r, ί) = у r2 - V(r). (9.51)
Рівняння Ойлера для L
d dL dL
dt dr dr
(9.52)
називатимемо рівняннями (Ойлера-) Лаґранжа (докладніше:
ddLdL .
— у— -Q- = 0,...). Бони знову дають рівняння руху (9.50).

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
223
Трохи важче знайти функцію Лаґранжа для розгляненого
в підрозділі 5.4 руху заряду у сталому магнетному полі. Для
магнетного поля В необхідно, як і для електричного поля або
консервативної сили, замість поля В застосувати в лаґранжіані
потенціал А (В = V х А); але А множиться на швидкість і:
L — ^г2 — У(г) + -г А
Z с
(див. підручники з електродинаміки, а також [15]). Оскільки
векторний потенціал А магнетного поля множиться в і на
швидкість, то змінюється залежність між канонічним імпульсом і
швидкістю4:
р = ^ = ті + - А. ' (9.53)
аг с
У частковому випадку однорідного магнетного поля векторний
потенціал має вигляд
л 1
А = —г х В.
2
Легко переконатися, що рівняння руху (5.53) збігаються з
рівняннями Лаґранжа для лаґранжіана
L=j r2-V(r)-£r(rxB). (9.54)
Для канонічного імпульсу отримуємо
р = ті -^(г хВ). (9.55)
2с
Якщо виразити за допомогою (9.55) і через канонічний імпульс
р, то можна побачити, що наведена в підрозділі 5.4 збережна
величина Ilb є не що інше, як компонента „ канонічного“ моменту
імпульсу Lкап := г х Р, паралельна до В:
Ilb = (г х р) В/В. (9.56)
43агальне означення імпульсу, канонічно спряженого з відповідною
координатою, див. у підрозділі (9.3.4). — Примітка перекладача.

224
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Інтеґрал від L, екстремум якого визначає рівняння Лаґран-
жа,
S =
t2
j L(Y,v,t)dt.
ti
(9.57)
назвемо дією. Отже, зі всіх мисленнях траєкторій γ(ί) із заданими
значеннями г(^), і = 1,2, реалізуються лише ті, для яких дія S
мінімальна (екстремальна), тобто ті, які є розв’язками
Ньютонових рівнянь руху, що є разом з тим диференційними рівняннями
Ойлера варіаційного принципу. Це формулювання принципу
Гамільтона (W.R. Hamilton, 1834).
Зауваження.
Наведемо формулювання принципу Гамільтона за
допомогою функціональної похідної (просте означення
функціональної похідної можна знайти, наприклад, у [63])
Розгляньмо функціональну похідну дії за траєкторією
SS ^ . 6х(Ґ) ч
. Оскільки = дії -t), то
дх(і) дх(і)
SS
Sx(t)
*2 8L(x,x,t') J fdLSxjf) dLSx(tf)\
Sx(t) J \dx Sx(t) dx Sx(t) J
tl *1
І2
12
J
/(ϋ-έϋ)*-'*
dL_±dL
dx dt dx ’
. . Sx(tf) d Sx(t) -
де ми використали співвідношення ----- = — r --. От-
ox(t) dt' ox(t)
же, для розв’язку диференційних рівнянь Ойлера функціо-
SS п . .
нальна похідна дії зникає, , . . = 0, або, іншими словами:
ox(t)
дія S екстремальна.

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
225
9.3.4. 	Функщя Лаґранжа в узагальнених координатах
Часто зручно перейти від декартових координат до інших,
пристосованих до симетрії системи. Сформулюємо ще раз
спеціально для випадку функції Лаґранжа метод, поданий у
підрозділі 9.2.2. Нехай L(r,r, t) — лаґранжіан для руху матеріальної
точки, записаний у декартових координатах. Перетворення до
недекартових координат (наприклад, сферичних або
циліндричних)
9* = 9*(®,і/,*), * = 1,2,3,
можна провести відповідно до підрозділу 9.2.2. Функція
Лаґранжа L(r, r, t) перейде на основі формул
x = x({q}), y = y({q}), z = z({q}); {9) = (91,92,93),
у нову функцію нових змінних L ({g} , {q} , t) (nop. (9.32)); для
зручності ми не змінимо позначення функції, для розуміння
досить врахувати, які її арґументи. У нових координатах qi
рівняння Лаґранжа зберігають свою форму (див. (9.33))
d dL dL . „ n „
= 0, * = 1,2,3,
dt oqi (dqi
(9.58)
де L — нова функція Лаґранжа. Величини
Pi := dL/dqi
(9.59)
назвемо імпульсами (канонічно) спряженими з координатами qi.
Якщо L не залежить від тобто qi є циклічною координатою, то
dL/dqi = 0 і, спряжений з qi імпульс є, згідно з (9.58), константою
руху:
3L
Pi — -XT — const. (9.60)
Ці загальні положення застосуємо до спеціального випадку
циліндричних та сферичних координат.
Циліндричні координати
Швидкість виражається формулою (див. рівняння (А. 19))
ί = рер + ρφβφ + zez.

226
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
Отже, функція Лаґранжа матеріальної точки виразиться
рівністю 1
Ηρ,ψ,ζ,ρ,Ψ, ζ)
(р2 + ρ2φ2 + ζ2) - ν(ρ,φ,ζ),
(9.61)
а рівняння Лаґранжа матимуть вигляд
d dL dL
dt dp dp
mp — mpip +
dV
dp
= 0,
(9.62)
c^dL _ dL
dt dip dip
гаІ(Л)+%=°' (9-63)
±dL_dL
dt dz dz
.. dV Λ
mz + — = 0.
dz
(9.64)
Вибір циліндричних координат може бути корисним, коли
потенціал (або в’язі) мають циліндричну симетрію, наприклад, V
не залежить від φ : V = V(p, ζ). При цьому5
dL о.
ρφ = — = тр φ = const = Lz.
οφ
(9.65)
5Te, що ρφ дорівнює L2, випливає не лише зі зображення Lz у цилінд¬
ричних координатах, але також зі слушного в загальному випадку співвід¬
ношення між імпульсом рф, канонічно спряженим з кутом обертання ф, та
компонентою моменту імпульсу в напрямку незалежної від часу осі обертан¬
ня п: Нехай г = г (</>,...); зг =
dr · dr dr
+ випливає ^ = -
так що
dL дТ дТ ді . дт
Рф ~ дф ~ дф ~ ді дф ~ тТдф'
Для інфінітезимального (активного) обертання вектора положення (див.
рівняння (8.19) з dr = г; — г і — ε = άφ) маємо
dr
дф
= η X г.
Отже, виконується рівність
Рф — тпг(п х r) = mn(r х г) = nL.

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
227
Підставляючи (9.65) у рівняння Лаґранжа (9.62), отримуємо
тр —
L\ dV
тр3 др
= 0.
Разом з mz + = 0 маємо рівняння руху для циліндрично-
oz
симетричної задачі.
Циліндричні координати відповідають симетрії задачі і тоді,
коли заряджена частинка рухається в однорідному магнетному
полі В = Bez за наявності центрального потенціального поля
V(r) = V(yjp2 + z2) = V(p,z). У циліндричних координатах
функція Лаґранжа (9.54) має в цьому випадку такий вигляд:
Ρρ,Ψ,ζ,Ρ,Ψ,ζ) = ^m(p2 + р2ф2 + і2) + <7£~Ρ2ψ ~ V{piζ)· (9·66)
Рівняння Лаґранжа є тоді рівняннями руху (5.79). Порівняно з
випадком В = 0 магнетне поле спричинює зміну тільки
канонічного імпульсу ρφ :
2 	/ 1 \ qB
ρφ = тр Ιφ + -ωζ І = const = ILB, ωζ = —. (9.67)
у ζ / тс
Канонічний імпульс ρφ є знайденою в підрозділі 5.4 збережною
величиною Іів (пор. (5.81)). У Лаґранжевому формулюванні цей
закон збереження є прямим наслідком того, що φ — циклічна
координата, і тому спряжений з нею імпульс ρφ сталий.
Сферичні координати
У сферичних координатах швидкість зображується
формулою (див. рівняння (А. 12))
ί = rer + r sin?? ψβφ + 7Ч?Є0.
Звідси випливає вираз для функції Лаґранжа матеріальної точки
L(r, ??, φ, r, ??, φ) = ^ra(r2 + r2b2 + r2 sin2 ΰ φ2) — V(r, φ, ΰ) (9.68)
Ζ

228
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
з такими рівняннями руху:
dt dr dr
dt dd dd
(9.69)
d
, . ^ „ = Оm—(r2$) — mr2 sinfi cos$ ψ2 +
dt dd dd dV } Ψ dd
0, (9.70)
(9.71)
Навіть коли V залежить тільки від г, тобто коли маємо сферичну
симетрію, рівняння не є такими простими, як у випадку
циліндричної симетрії. Значною мірою саме тому в процесі
розв’язування рівнянь руху в центральному потенціалі використовують
сталість моменту імпульсу та переходять після цього ефективно
до циліндричних чи, відповідно, полярних координат. Рух
відбувається тоді лише у площині, перпендикулярній до напрямку
моменту імпульсу (у сферичних координатах ^-компонента
моменту імпульсу дорівнює тг2 sin2 d).
Сферичний маятник
Потенціальна енергія для маятника дорівнює V = —mgr (пор.
підрозділ 9.1), так що функція Лаґранжа має вигляд:
З 	огляду на симетрію використаємо сферичні координати і
врахуємо в’язь (9.7), г2 — /2 — 0; отже,
г т .о
L = —rz + mgr.
(9.72)
х = І cos<psin$,
у = l sin(/?sin$,
2 = loos'd.
У цих координатах
gr = —gz = —gl cos d і r = lde$ + Ιφ sin ϋβφ;
тоді
(9.73)

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
229
Використання в’язі виключає з функції Лаґранжа координату
г та швидкість г. Як і в рівняннях руху, число змінних таким
шляхом зменшується! Функція L містить лише два кути ϋ і φ та
їх похідні за часом.
Рівняння Лаґранжа:
і) Оскільки ψ — циклічна координата, то
ρφ = dL/дф = ml2ф sin2 ϋ = const =: m/2c;
^-компонента моменту імпульсу зберігається.
d^dL _ dL
U) dtdb дд~ '
(πι12ΰ) — ml2 sin ΰ cos ϋ ф2 — mgl sin ϋ = 0.
at
Підставляючи сюди значення сталого моменту імпульсу,
отримуємо рівняння руху для ії:
ϋ — (? cos ϋ/ sin3 ϋ = у sin??
(пор. рівняння (9.13)). Як видно, таке виведення є суттєво
коротшим, простішим і безпосереднішим, ніж те, яке було викладено
на початку розділу на основі рівняння руху та врахування сили
реакції в’язі.
9.3.5. 	Інші застосування функщі Лаґранжа
Неконсервативні сили
У консервативній системі, в якій сили визначаються
потенціалом ν’, рівняннями руху є рівняння Лаґранжа (9.52). Якщо
існує ще деяка додаткова сила F, яка не виводиться з
потенціалу, то легко бачити, що рівняння Лаґранжа для L — Т — V треба
змінити так (без доведення):
d_dL _ dL
dt dr dr
(9.74)

230
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
π . ·. 9W . .
Для потенціальної сили F = —— ці рівняння переходять у вже
от
знайомі нам, тоді L = Т — V — W. У недекартових
координатах (наприклад, сферичних або циліндричних) рівняння мають
вигляд
Тіir~ir = Qi’ * = (9.75)
at dqi dqi
де Qi — проекції сили F, заданої в декартових компонентах на
напрями осей координат qi (пор. додаток А):
Qi
dr
FT~
uQi
, „ dW (r) Λ dW dr dW
(якщо F = , to Qi = ——-r— = —r узагальнена
uГ С/Г C/Qi
сила).
Неголономні в’язі
Якщо задано неголономні в’язі типу
з
аі dqi + a dt = 0 (9.76)
i=l
або, що еквівалентно,
з
^aigi + o = 0, (9.77)
2=1
то їх можна врахувати в рівняннях Лаґранжа так (доведення:
див. [25]):
^dL _ dL
dt dqi dqi
(9.78)
До додаткового, взагалі кажучи, залежного від часу, параметра
λ приєднується ще рівняння в’язі (9.77), так що система рівнянь
не є недоозначеною. Цей метод охоплює і випадок голономних
в’язей
G(qi,q2, <7з, t) — 0,

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
231
оскільки рівність dG = 0, тобто
dG , dG , п
Σ щ*» + = о
має вигляд (9.76) (а^ = dG/dqi і а = dG/dt); з (9.78)
випливають тоді вже знайомі рівняння Лаґранжа (9.41) для голономних
додаткових умов:
d_dL_ _dL__ OG
dt dqi dqi dqi ‘
9.3.6. 	Нерівномірний рух систем відліку
Перехід до прискорених систем відліку (неінерційних систем)
змінює форму Ньютонового закону сили. Тому треба чекати, що
і функція Лаґранжа L змінить свій вигляд; але форма рівнянь
Ойлера-Лаґранжа (9.52) залишається незмінною (пор. підрозділ
про перетворення змінних у цьому розділі).
Між швидкістю v у деякій нерухомій6 інерційній системі К і
швидкістю ν', яка спостерігається в системі відліку if', що
рухається відносно К зі швидкістю W(t), існує співвідношення (див.
підрозділ 8.2.1)
v' = v +W(t). (9.79)
Підставляючи його у функцію Лаґранжа
L =
mv2
2
-m
отримуємо функцію Лаґранжа в системі К'
L' =
mv
/2
2
— mv'W(t) +
mW2
2
V(r)
(вектор r у системах K і Kf такий самий: г = г'). Член mW2/2 не
залежить від динамічних змінних г і ν'; отже, він не впливає на
вигляд рівнянь Лаґранжа, і тому його можна пропустити. Таким
чином, функція Лаґранжа в К' набуває форму:
/2
777 ν *
L'(r, V, t) = — mv'W(t) - V(r). (9.80)
z
6Відносно спостерігача. — Примітка перекладача.

232
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
d dV _ dV_
dt <9v' dr
K' (nop. (8.38)):
отримуємо таке рівняння руху в системі відліку
dV
rav' = — ——Ь mW(i).
dr
(9.81)
Розгляньмо ще випадок, коли система відліку К'
обертається відносно К з кутовою швидкістю ω; тоді між швидкостями в
обидвох системах відліку виконується таке співвідношення (див.
(8.57))
ν = ν' + ω х r. (9.82)
Тому для функції Лаґранжа L' маємо:
г'2
L'{ r, ν', t) = + την'(ω xr)|\xr)2-F(r). (9.83)
Δ Δ
Знайомі вже з підрозділу 8.2.3 рівняння руху (8.62) отримаємо
звідси за допомогою варіювання (К).
Розгляньмо рух зарядженої матеріальної точки в однорідному
магнетному полі В у системі відліку, яка обертається з
Ларморовою кутовою швидкістю
WL = -
g
2 	тс
В
(пор. (8.64)); як наслідок такого перетворення отримуємо
насамперед, що канонічний імпульс (9.55) у новій системі відліку
задається рівністю
р' = mv'. (9.84)
З 	функції Лаґранжа (9.54) в інерційній системі К випливає з
урахуванням (9.82) та ω = ωι вираз для перетвореної функції
Лаґранжа:
<9-85)
Доповнення і питання
1. 	Обчисліть силу реакції в’язі для похилого (Ґалілеєвого)
жолоба, а також силу вздовж жолоба.

9.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА
233
2. Визначіть рух у похилому жолобі тільки з енергії (9.6) і
в’язі (9.5).
3. Частинка рухається під дією сили тяжіння g = (д,0)
вздовж параболи х = ку2 у вертикальній площині. У
момент часу t = 0 вона знаходиться в точці (0,0).
а) Під дією сили тяжіння вона може відірватися вниз від
параболи. Знайдіть граничну швидкість, при якій
частинка ще знаходиться на параболі.
б) Нехай вона вимушено рухається вздовж параболи без
тертя. Знайдіть силу реакції. Визначіть у (у) і
обговоріть розв’язки залежно від початкової швидкості.
4. Знайдіть рівняння руху для сферичного маятника у
сферичних координатах.
5. Визначіть стаціонарні розв’язки для сферичного маятника
(9.13). Проаналізуйте стійкість. Подайте розв’язки для
малих відхилень від стійкого положення.
6. Маятник Фуко — це сферичний маятник у координатній
системі, яка обертається разом із Землею (див. підрозділ
8.2.3). Запишіть рівняння руху і визначіть силу реакції
в’язі. Розв’яжіть рівняння руху для малих відхилень від
положення рівноваги.
7. Розв’яжіть задачу про найкоротшу лінію між двома
точками на поверхні циліндра за допомогою:
а) прямого виключення, наприклад, координати у, з
додаткової умови;
б) Лаґранжевих множників.
8. Знайдіть функцію Лаґранжа для ізотропного гармонічного
осцилятора і для руху в полі з потенціалом 1/г у
координатах, пристосованих до симетрії задачі. Зредукуйте систему
рівнянь руху, використовуючи перші інтеґрали для
циклічних координат.

234
Розділ 9. ЛАҐРАНЖЕВА МЕХАНІКА
9. 	Перлина (масою т) рухається без тертя по дроті колової
форми (радіус Д), площина круга якого
перпендикулярна до поверхні Землі. Дріт обертається зі сталою кутовою
швидкістю ω навколо діаметра, напрямок якого збігається
з напрямком сили ваги mg.
Визначіть:
- функцію Лаґранжа для миттєвого положення ϋ (t)
перлини на колі (початок координат — у центрі кола) і
запишіть рівняння руху;
- усі стаціонарні розв’язки (кількість розв’язків залежить
від а := —-; яке значення має цей параметр?);
игп
- стійкість стаціонарних розв’язків залежно від а.
Розв’яжіть рівняння руху для малих відхилень від
стаціонарного положення.
10. 	Виведіть з V (9.83) рівняння руху в системі відліку, яка
обертається (переконайтеся, що з (9.85) випливає рівняння
руху (8.65)).

Розділ 10
Системи багатьох частинок.
Закони збереження і симетрії
Досі ми досліджували динаміку не більше ніж двох
матеріальних точок. Оскільки такі системи, радше, нереалістичні,
застосуймо тепер динаміку до більшої кількості матеріальних
точок. Спочатку в цьому розділі виведемо загальні властивості
системи N взаємодійних матеріальних точок.
10.1. 	Рівняння руху для системи N
матеріальних точок
Розгляньмо задану систему N матеріальних точок, у якій
існують як зовнішні, так і внутрішні сили взаємодії. Припустімо,
що внутрішні взаємодії складаються лише з двочастинкових сил
F^(rj, г^), де Fij — сила, що діє з боку j-тої матеріальної
точки на г-ту. Максимальна кількість ступенів вільності / системи
дорівнює кількості координат: / = З N. Згідно з теоремою про
додавання сил рівняння руху мають вигляд
N
ті гі = Fi + ^Fij,
3 = 1
N
= F2 + y^F2j,
m2r2
(10.1)

236
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
N
тмгм = F*+ ][>*,■,
з=і
де F* = F^(r^) — зовнішня сила, яка діє на і-ту матеріальну точку.
Як і для однієї матеріальної точки (див. підрозділ 2.2.1), ці З N
диференційних рівнянь другого порядку для З N координат N
частинок
{г} := (гі,г2,...,гдг) = (хі,..·,£/) =: {х} (10.2)
мають однозначні розв’язки для заданих початкових значень Х{
і Щ (= іі), і = 1,..., тобто
щ = Хі ({z0} , {w0} ;<), x° = xi(t = 0),
Vi = ({ж0}, {w0}; <), vf = Vi(t = 0). (10.3)
(з міркувань зручності координати матеріальних точок
пронумеровано випадково від 1 до / = ЗN).
Оскільки рівняння руху обертовні, тобто інваріантні щодо
обернення часу, t —> —t, то
хі = Хі (М, W; -t),
v°i = Wi ({ж} , Μ ; -ί), i,j = 1,...,/. (10.4)
Отже, існує 2/ співвідношень між Xi^Vi та t з тою властивістю,
що для заданого розв’язку, тобто вздовж деякої траєкторії у
фазовому просторі, певні побудовані з цих змінних вирази є сталими
(а саме, рівними χ® чи г^). Отже, існує 2/ констант руху
(перших інтеґралів). Якщо за допомогою деякого довільно
вибраного співвідношення з решти (2/ — 1) зв’язків виключити явну
залежність від часу, то отримаємо (2/ — 1) незалежних від часу
констант руху, тобто (2/ — 1) збережних величин:
Jj({*bM) = 0, З = 1,...,2/-1. (10.5)
Кожне з цих співвідношень (законів збереження) можна
розглядати як (2/ — 1)-вимірну гіперповерхню у 2/-вимірному
фазовому просторі. Траєкторія лежить у кожній з цих гіперповерхонь,

10.1. РІВНЯННЯ РУХУ
237
тобто вона є лінією їх перетину. Як було сказано раніше, саме
існування збережних величин ще не означає, що вони є корисні
або ізолювальні (рівняння (4.18)) (пор. підрозділ 4.3). Однак, як і
раніше, під збережною величиною (константою руху) розуміємо
ізолювальний перший інтеґрал.
Як побачимо далі, для консервативної системи N частинок
завжди можна знайти одну збережну величину: повну енергію
системи. Отже, залишається ще визначити „лише“ 2/ — 2
збережних величин, разом 2/ — 1 констант руху (у підрозділі 14.1
буде показано, що / збережних величин досить, щоби розв’язати
задачу). Вони, зрозуміло, мусять бути незалежними (див. також
підрозділ 14.1). Знайти всі константи руху вдається надзвичайно
рідко. Але в багатьох випадках можна задати окремі незалежні
від часу константи руху (величини, що зберігаються). Нижче ми
побудуємо відносно загальні закони збереження для замкненої
системи N матеріальних точок.
Припустимо, що внутрішні сили підлягають третьому
законові Ньютона
F ij = -F j{. (10.6)
Беручи і = j, отримуємо умову F^ = 0: самодія не допускається.
Сили діють вздовж прямих, які сполучають частинки1, тобто
Рц(Гі,Г^)=/у(г<,-)(Гі-Г,-)/гу, Tij =| Ті -rj\. (10.7)
При цьому існує потенціал взаємодії Vij (див. підрозділ 6.1; V* .=
д/дг{), так що
F a = (10.8)
З 	рівності Fij = —Fji випливає, що fij — fji та Vij = Vji (Vu = 0).
Підставляючи ці вирази в рівняння руху, отримуємо:
N N
тпі'гі = Fj + = Fj - Vij(rij), i = 1,...,N. (10.9)
i=і j=і
Якщо і зовнішні сили потенціальні, тобто
Pi(r) = -VUi(r),
1Такі сили називають центральними. Існують і нецентральні (зокрема
електромагнетні) сили взаємодії. — Примітка перекладача.

238
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
то система консервативна, оскільки повна енергія зберігається
(див. підрозділ 10.2.3).
Далі розглянемо тільки два випадки зовнішніх сил. Один
приклад зовнішньої сили — це сила тяжіння біля поверхні Землі
F* = mig, відповідно 17* (г) = -rriigr; (10.10)
тут сила тяжіння наближено однорідна, тобто незалежна від
положення. Інший випадок — замкнена система, коли відсутні
зовнішні сили:
Р< = 0, * = 1,...,ЛГ, (10.11)
і рух визначається лише внутрішніми силами:
N
гпіТі = - Vi Σ Vijijij), і = 1,..., N. (10.12)
з=і
Для вивчення властивостей системи часто корисно розглядати
рух окремої матеріальної точки відносно центра мас (або центра
інерції)2
ΣΝ
_ *=1 тггг
xv : — г
Σ£ι ті
м
N
ЕтіП,
і=і
(10.13)
Положення матеріальної точки відносно центра інерції
визначають відносні координати
r'=ri-R. (10.14)
З (10.13) отримуємо
N
^ШіГ- = 0, (10.15)
і=\
звідки випливає також
N N
Σ Σ тіЇі= °- (Ю.16)
2=1 2=1
2 Легко показати, що центр інерції міститься всередині області точок
простору гі, тобто всередині частини простору, в якій перебувають матеріальні
точки (див. [19]).

10.2. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
239
10.2. 	Закони збереження
10.2.1. 	Закон збереження імпульсу і центра інерції
Додамо рівняння руху всіх матеріальних точок і врахуємо, що
внаслідок = —F^ внутрішні сили не роблять внеску в суму;
тому отримаємо:
N N
Vi = Y,Fi. (10.17)
і= 1 г=1
Для імпульсу центра інерції (тобто повного імпульсу всіх
матеріальних точок)
N
Р := У^тпіГі — MR (10.18)
г=1
за допомогою (10.13) з (10.17) знайдемо рівняння руху
N
MR = P = ^Fi=:F. (10.19)
г=1
Рух центра інерції відбувається під дією суми
зовнішніх сил (з центром інерції як точкою їх
прикладання) (перший варіант закону збереження руху
центра інерції).
Якщо зовнішні сили задаються зовнішнім силовим полем,
Fi = Fi(ri) = Fi(R + r'i), (10.20)
так що і повна сила F є функцією положення окремих
матеріальних точок,
F = F(rb...,rAr) = F(R;r'1,...,r,jV), ' (10.21)
то згідно з (10.19) рух центра інерції R також залежить від
миттєвих положень г' окремих матеріальних точок πΐ{. Тому в
загальному випадку рух центра інерції пов’язаний з відносним
рухом матеріальних точок системи; так є, наприклад, у русі рою

240
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
взаємодійних матеріальних точок у ґравітаційному
потенціальному полі. Однак у наближенні (10.10) рух центра інерції не
залежить від миттєвих положень окремих матеріальних точок,
оскільки тоді
N
F = 2Fi = Mg, (10.22)
і—І
і з (10.19) випливає, що
& = g;
отже, центр інерції рухається рівноприскорено:
R= Igi2 + V0i + R0. (10.23)
Якщо система замкнена (F* = 0), то з (10.19) для руху центра
інерції отримуємо:
MR = Р = const = Pq. (10.24)
У замкненій системі повний імпульс є величиною
сталою (закон збереження імпульсу).
Наступне інтеґрування дає
MR — Р0£ = MR0, (10.25)
ДЄ Ro — стала інтеґрування, або
N N
Σ тг(їі - *Гі) - Σ ГПіГі = 0.
і—1 і—І
Рух центра інерції замкненої системи є вільним.
(Часто це твердження називають законом збереження центра
інерції). Таким чином, у (10.24) та (10.25) ми знайшли дві
векторні константи Ro та Pq. Як легко переконатися з виведення
сформульованих тверджень, вони виконуються також за
слабшої умови F = Fі = 0.

10.2. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
241
10.2.2. 	Закон збереження моменту імпульсу
Знайдімо похідну за часом від повного моменту імпульсу Ltot
всіх частинок відносно початку координат, за який беруть
переважно деяку особливу точку системи3
d_
dt
' N
ГПіГі X ίі
л=1
N
ГПіГі X Г;
г=1
TV TV ^ JV
— х Ff) + ^ ^ гг х ^ij =: ^ ^ (**г — Tj) X F
і=1 i,j=l hj=l
Оскільки сили F^ діють вздовж4 гі — г^, рівняння (10,7), то (г* —
Tj) х F^ = 0, так що
jLtot = N ш- (10.26)
ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ В часі ПОВНОГО моменту імпульсу Ltot дорівнює
повному моментові ЗОВНІШНІХ СИЛ N tot·
На противагу до того, як повний імпульс Р системи дорівнює
імпульсові центра інерції (див. рівняння (10.18)), момент
імпульсу складається не лише з моменту імпульсу центра інерції
Ls = R х Р,
але містить ще інші члени:
N
N
Ltot = х r<) = ^m<(R + r·) х (R + f(·)
і=1 i=l
N
= MR х R + ^ тпіг'і x
t=l
3Перепозначивши спочатку індекси та використавши умову (10.6),
отримаємо
Σ>· х Fo = \ (Σ г<х F* + Σ х Fi-) = \ Σ> - г>)х ¥іі ■
i,j \ *,j іJ / ij
4Тут розглядаються лише центральні сили. — Примітка перекладача.

242
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
N
= R х Р + ^ ^ х =: L5 + L; (10.27)
і—\
отже, Ltot є сумою моменту імпульсу Ls центра мас відносно
початку координат та повного моменту імпульсу L частинок
відносно центра мас.
Моменти зовнішніх сил також можна розкласти на дві
частини:
N N
N tot = Y/rixFi = Y/(R + r'i)xFi
і=1 г=1
N
= RxF + ^r' xFj
г= 1
= :Ν5 + Ν; (10.28)
Ns = R x F — момент повної сили, яка діє на центр інерції,
відносно початку координат, а N = Σί!=ι гіх^і — сума моментів,
які діють на матеріальні точки, відносно центра інерції.
Домножуючи векторно рівняння руху центра інерції (10.19)
на R, отримаємо рівняння для моменту імпульсу центра інерції:
-7-(MR х R) = R х F, коротко — Ns, (10.29)
at at
Віднімаючи це рівняння від (10.26), знаходимо окреме рівняння
для моменту імпульсу системи відносно центра інерції:
d N N dL
— Σ miA X Г ■ = Σ ri X Fj, коротко — = N (10.30)
1 г=1 i=l
((10.30) можна отримати також безпосередньо, якщо моменти
імпульсу частинок взяти відносно центра інерції, тобто якщо
рівняння (10.9) у системі центра інерції помножити векторно на г[ і
додати). У загальному випадку рівняння (10.29) і (10.30) для
моментів імпульсу Ls і L пов’язані між собою, оскільки внаслідок
(10.20) та (10.21) моменти імпульсу Ns і N не є незалежними.
Рівняння руху (10.30) для моменту імпульсу L відносно центра

10.2. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
243
інерції є центральним рівнянням для колового руху (підрозділ
11.3.1).
Для сили тяжіння у наближенні (10.10) з використанням
(10.15) отримаємо:
N N
N = Σ ГІ X Fi = -g X Σ тіГі = °» (10.31)
і—І і—1
так що
L = const; (10.32)
для системи N матеріальних точок, на які діє сила тяжіння πΐ{g,
момент імпульсу відносно центра інерції величина стала.
У замкненій системі (Fi = Ь) виконується нз лише рівність
N = 0, але і N tot = 0; отже, поряд із законом збереження
моменту імпульсу відносно центра інерції (10.32) тут також
виконується закон
L tot = const (10.33)
або
N N
Σ ГПіІГі XViJ-Σ т»'(Гі х vi) = 0.
і=1 »=і
У замкненій системі частинок повний момент
імпульсу і момент імпульсу відносно центра інерції
зберігаються.
Момент імпульсу центра інерції Ls визначається законом
збереження імпульсу (10.24) і законом збереження центра інерції
(10.25),
1
Ls = R х Р = (Ro + —Pot) х Ро = Ro х Ро = const,
так що для замкненої системи новим, додатковим законом
збереження є тільки закон збереження моменту імпульсу відносно
центра інерції
N
L = ^ гпіх\ х ί\ — const.
і— 1
(10.34)

244
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
10.2.3. 	Закон збереження енергії
Домножуючи скалярно рівняння руху (10.9) для г-ї
матеріальної точки на гі, отримаємо
1 d N
ШіГ? = fjFj - r<ν< Σ Vij(rij).
3 = 1
зфі
Підсумовуючи за всіма частинками, знаходимо:
N N N
Σ о™**? = Σ*ρ< ~ Σ тчім
dt f—' 2
ι=1
і=1
AT
*,І=1
N
= Σ ? Σ + ijVjVjt{rіj)).
i=l
Зауважимо, що = Уд (див. (10.6) та (10.8)) і
= jVij (|Г< - Γ,·|) = (iiVi + fjVj) VtJ(rtj).
Тоді
d_
dt
N 1 N N .
Σ 2m*^+Σ Σ
<=1 i=l j=i+l
d
N
-Έ<?+ν)-Σ*η
і—l
з повною кінетичною енергією
τ = Σ
(10.35)
(10.36)
г=1
і повною потенціальною енергією взаємодії частинок
N N 1 N
у = Σ Σ = 2 Σ ^(гу)·
г=1 j=i+l ij=l
Зфі
(10.37)

10.2. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
245
Якщо зовнішні сили консервативні
¥г(г) = -W*(r),
N
N
маємо
=-%Σ,υ<Μ·
і=1 і=1
і повна енергія системи зберігається:
N
T + V + ^Ui-Etot = const.
t= 1
(10.38)
(10.39)
Використаймо знову координати центра інерції (10.13) і
координати частинок відносно центра інерції (10.14); тоді
потенціальна енергія взаємодії частинок залежатиме від їх відносних
координат:
VijiTij) = Vij{rij), rij = Iri ~ rjI — ry,
а сумарна кінетична енергія T складатиметься з двох частин:
Т = ^тіГ^І^тДІ + г')2
і=1 і=1
= lMR2 + R^mi +
і=1 г=1
1 1 *
= -MR2 + -Σ тії2 =: Ts + Тг (10.40)
і=1
(з (10.15) випливає = 0). Ts — це кінетична енер¬
гія центра мас, а Тг — кінетична енергія руху відносно
центра інерції.*  5 Сума зовнішніх потенціалів залежить у загальному
випадку знову і від координат центра інерції, і від координат
частинок відносно центра інерції:
N N
Σ Щгі) = Συ№+Γί) = ^(R; Γί ’ · · · ’ γ'ν)· (10·41)
ΐ=1 i=l
5Внутрішня кінетична енергія системи. — Примітка перекладача.

246
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
Величина U(R; r'l5..., r'N) спричинює зв’язок між рухом центра
інерції і рухом відносно центра інерції.
Для сили тяжіння в наближенні (10.10) права частина (10.35)
з огляду на (10.13) набуває вигляду
N N
Σ hFi = %Σ тііі = мg**·’
і—1 і— 1
а сумарна зовнішня потенціальна енергія виразиться формулою
N
C/ = -^mi(R + r')g = -MgR, (10.42)
г=1
отже, енергія складається з двох частин. їх збереження
отримується окремо: з (10.23) після множення на R випливає, що енергія
рухомого центра мас зберігається
Es = Ts — MRg = const, (10.43)
і при цьому зі збереження повної енергії (10.39) отримується
висновок, що внутрішня енергія відносного руху також є сталою:
Е = Тг + V = const. (10.44)
Для системи N матеріальних точок в однорідному полі
тяжіння Землі (10.10) рух центра мас не залежить від їх відносного
руху.
У замкненій системі (F* = 0 у рівнянні (10.35) та Щ = 0 у
рівнянні (10.39)) повна внутрішня енергія зберігається:
Т + V = Ts + Tr + V = Etot = const. (10.45)
Внаслідок закону збереження імпульсу (10.24) кінетична енергія
центра інерції Ts отримується окремо і містить усі
трансляційні ступені вільності всієї системи. Кінетична енергія відносного
руху Тг містить у загальному випадку енергію обертань навколо
миттєвої вісі, що проходить через центр інерції (пор. також
підрозділ 11.3.1). Для замкненої системи збереження кінетичної
енергії центра інерції Ts та енергії відносного руху,
Е = ТТ + V = const, (10.46)
отримується окремо.

10.2. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
247
Підсумкове обговорення законів збереження для системи N
частинок
У сталому полі тяжіння рух центра інерції відділяється від
відносного руху матеріальних точок. Рух центра інерції завжди
інтеґровний: шістьма константами руху є Ro та Vo- Як і у
випадку замкненої iV-частинкової системи, енергія Е та момент
імпульсу L відносного руху зберігаються. Для замкнених систем
слушними є такі зауваження про відносний рух.
У замкненій системі N матеріальних точок (двочастинкові
сили взаємодії яких є консервативними) існує для N > 2
принаймні 10 незалежних констант руху і відповідно 9 незалежних
законів збереження:
Збереження імпульсу центра інерції
Закон збереження центра інерції
Закон збереження енергії (відносний рух)
Закон збереження моменту імпульсу (відносний
рух)
З величини
З величини
1 величина
З величини
Рідко вдається знайти ще інші константи. Рух центра інерції з
трьома ступенями вільності і п’ятьма збережними величинами
(рух центра інерції завжди інтеґровний), відділяється від решти
3(N — 1) ступенів вільності відносного руху з чотирма
загальними законами збереження: енергії та моменту імпульсу. З них
можна утворити трійку величин (£7, L2, £z), які
задовольняють умову інтеґровності з підрозділу 14.1. Тому задача двох тіл
(N = 2) з трьома ступенями вільності відносного руху є завжди
інтеґровною. У задачі Кеплера ми знайшли, крім того, ще один
незалежний інтеґрал руху, а саме вектор Ленца, який фіксує
незалежність напрямку перигелію від часу. Для N > 2, чотирьох
збережних величин відносного руху в загальному випадку не
досить для інтеґровності рівнянь відносного руху. Щоби
визначити відносний рух у тричастинковій системі, потрібні принаймні
шість інтеґралів руху. Спеціальні випадки замкненої
тричастинкової системи розглянемо в розділі 14.

248
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
10.3. 	Функщя Лаґранжа системи N частинок
Цілком аналогічно до функції Лаґранжа однієї матеріальної
точки (див. підрозділ 9.3.3) лаґранжіан системи N матеріальних
точок із зовнішніми консервативними силами складається з
кінетичної енергії
N 1
т = Σ 2™$
і—І
і потенціальної енергії
1 N N N
v = 2ΣΣЗДг*-г; І) + Σ^ (*)> iJ = h...,N
і=1 j=1 i=l
(див. (10.36), (10.37) і (10.39); далі включатимемо потенціал
зовнішніх сил Щ у потенціал6!^):
L ({r} , {f} , t) = L ({х} , {х} , t) = Т - Ц (10.47)
тут використано позначення (10.2). Диференційні рівняння
Лаґранжа
d dL _ dL
dt dxj dxj
/*2
L ({x} , {x} ,t)dt є рівняннями руху
ti
(10.9).
Для позначення того, що вихідними в нас є декартові
координати, подамо поки що функцію Лаґранжа символом Lx =
L ({х}, {і} ,£). Якщо, з одного боку, застосувати перетворення
до деяких зручніших координат (наприклад, сферичних) і/або,
з іншого, виключити декартові координати на основі в’язей
(наприклад, у задачі про маятник або тверде тіло), то координати
6Тут терміни „потенціалі і „потенціальна енергія“ вважаються
синонімами; фактично ці поняття відрізняються сталим множником, наприклад,
масою чи зарядом матеріальної точки. — Примітка перекладача.

10.3. ФУНКЦІЯ ЛАҐРАНЖА СИСТЕМИ N ЧАСТИНОК
249
Xj треба вважати, взагалі кажучи, функціями / (/ < ЗN)
незалежних узагальнених координат7 k = 1,..., /:
Xj = Xj{qu...,qf,t), (10.48)
де j = 1,...,31V і / < З N. Унаслідок цього швидкості xj теж
треба визначити через узагальнені координати та їхні похідні
за часом q^:
= Σ ^9* + ІН=І* ^ ^ ^ ■ (10.49)
Підставляючи (10.48) та (10.49) в іх, отримаємо функцію
Лаґранжа
L ({я ({9»}> Iі (М> {¢1. *)}>*) = L4 (М> Ш ,t)=:L ({¢), {¢), t)
(індекс q далі пропускатимемо) в / узагальнених координатах qk
L (М , № , t) = Т ({¢) , {¢) , t) - V (Μ , t). (10.50)
Рівняннями руху для узагальнених координат є рівняння
Лаґранжа
d dL dL
= 0, к = 1,...,/.
(10.51)
dt dqk dqk
Тут знову робимо висновок: якщо деяка координата qk циклічна,
тобто
то спряжений з нею імпульс зберігається:
Рк
dL
—- = const.
dqk
(10.52)
Закон збереження енергії
Якщо функція Лаґранжа явно від часу не залежить, тобто
dLjdt = 0 і L = L ({<7} , {¢)), то інтеґрал Якобі (C.G.J. JACOBI,
1804-1851, німецький математик)
dL
Ij := Σ ~d^k ~L = Σ™ ~L = const
к=1
(10.53)
к=1
7Явно це було зроблено в задачі про маятник у підрозділі 9.3.4. Там ми
мали замість початкових трьох декартових координат лише кути ϋ і φ.

250
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
є константою руху; доведення аналогічне до виведення
співвідношення (9.38): використовуючи рівняння Лаґранжа, легко
бачити, що для явно залежної від часу функції Лаґранжа
виконується рівність:
Якщо, крім того, перетворення (10.48) до узагальнених
координат явно від часу не залежить (наприклад, коли немає в’язей,
явно залежних від часу),
Xj = Xj(q 1,-..,9/), (10.54)
ТО
k—l
і кінетична енергія
, N f a . a . f
Т = о Σт* Σ ΊΓ'ΊΓ™1 -· Σ а«(?ь · · ·,?/)»« (10.55)
2 έί dqk dqi k%
є квадратичною формою із симетричними коефіцієнтами
амакі = &ік· Враховуючи рівність
J-y 3L . уТ дТ . _
Σ dq qk - Σ dqkqk ~ 2T’
k=l 4IC k=l 4IC
доходимо до висновку, що інтеґрал Якобі (10.53) є повною
енергією системи:
Ij = 2T-L = T + V = E = const. (10.56)
Якщо L явно від часу t не залежить, то інтеґрал Якобі (10.53)
є збережною величиною, і для незалежних від часу перетворень
(10.54) він дорівнює повній енергії системи.

10.4. ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
251
10.4. 	Інфінітезимальні перетворення і закони
збереження
Трансформаційні властивості функції Лаґранжа щодо
інфінітезимальних (нескінченно малих) перетворень (узагальнених)
координат і часу тісно пов’язані з явним виглядом збережних
величин.
Інфінітезимальні часові зсуви (трансляції)
Припустімо, що лаґранжіан інваріантний відносно
нескінченно малих *зсувів часу:
L ({9}. Ш J)=L ({9}> Ш»f), = t + ε·
Розкладаючи L ({g}, {g} , t') за степенями ε
L (Μ >Ш J)=L ({?} > {9} . ί) + є-Qi + · ■ · >
отримуємо, що
dL/dt = 0,
так що L({g},{g},i) = L({q} ,{q}). Як було зазначено вище,
звідси випливає, що інтеґрал Якобі (10.53) є константою, тобто
енергія зберігається.
Інфінітезимальні перетворення кооріщнат
Нескінченно мале перетворення координат має вигляд:
q'k = Qk + £sk(qi,...,qf,t). (10.57)
Тут є — інфінітезимальний параметр, a — залежно від
перетворення — функції г параметрів (аі,... ,аг) (див. далі). Якщо
функція Лаґранжа L інваріантна відносно цих перетворень,
тобто
L{{q'},{q'},t)=L({q},{q},t), (10.58)
причому з обох боків стоїть та сама функція L, то і рівняння
Лаґранжа, а, отже, і рівняння руху є інваріантними відносно

252
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
(10.57). Розкладаючи ліву частину (10.58) в ряд Тейлора за ε,
отримуємо в наближенні О(є) з урахуванням (10.58) таку умову:
Після застосування рівнянь Лаґранжа (10.51) звідси випливає
рівність
і оскільки Sk залежать від г параметрів, належним вибором
параметрів (αχ,..., аг) отримуємо г констант руху. Таким чином,
існує тісний зв’язок між інваріантністю системи відносно
перетворень та існуванням інтеґралів руху (величин, які
зберігаються) (теорема Нетер):
З інваріантності функції Лаґранжа L відносно
деякого г-параметричного перетворення випливає
існування г інтеґралів руху для рівнянь Лаґранжа
d dL 0L·
dt dqk dqk
Вимога інваріантності функції Лаґранжа L може бути надто
обмежувальною. Інваріантними мусять бути рівняння руху,
тобто рівняння Лаґранжа. Останні не змінюють своєї форми і тоді,
коли перетворення змінних супроводжується таким
перетвбренням функції Лаґранжа:
k=1
(10.59)
0.
Отже, маємо
(10.60)

10.4. ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
253
dF
Тут — повна похідна за часом довільної функції F({q'}, t). З
рівності
dF
dt
dF л , δΡ
dt
ΣυΓ ·/
4fc +
випливає, що
д dF _ dF_
dq'k dt ~ dq'k
так що додатковий член dF/dt не змінює рівняння Лаґранжа:
d д dF _ д dF _ d dF _ d dF
dtdqk dt dqk dt dtdqk dqk dt
Отже, функції Лаґранжа, які відрізняються тільки повною
похідною за часом від довільної функції координат, приводять до
тих самих рівнянь руху. Оскільки для є = 0 (10.57) стає
тотожним перетворенням, то мусить виконуватися умова F = О (є);
тому покладемо:
F = eG ({?'}, t). (10.62)
Бачимо, що заміна умови (10.58) на (10.61) приводить у
наближенні О(є) до заміни (10.59) на таке співвідношення:
•J^fdL dL \ dG п
\dqkSk + dqkSk) + dt
Звідси, використовуючи рівняння Лаґранжа, отримуємо
(10.60) рівняння
(10.63)
замість
Σ
к=1
dL
TT^sk +
dqk
G |e=0 = const,
(10.64)
яке визначає інтеґрал руху. Отже, інфінітезимальне
перетворення координат (10.57) індукує одночасно калібрувальне
перетворення (10.61) від L до V. Лаґранжіани L та V еквівалентні.
Функція L інваріантна з точністю до калібрувальної функції F.

254
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
Повернімося тепер до функції Лаґранжа TV-частинкової
системи у змінних гі та г*:
N 1
L = L ({*} , {і-} , t) = Σ 2ті^ ~ ν (ίΓ«}) · (10.65)
і=1 Δ
Якщо система замкнена, то V — інваріант відносно трансляцій
і обертань координат, отже, У, наприклад, має форму (10.37).
Дослідімо наслідки інваріантності L відносно інфінітезимальних
перетворень
L (М Лі-} , t) = L ({г'} , {г'} , t), (10.66)
де
г· = i4 + esi({r},t); (10.67)
вектори sі залежать від τ параметрів (аі,..., аг).
Трансляції
Для нескінченно малих зсувів цілої системи
гг{ = Гі + єа. (10.68)
функції sі ({г}) = а зводяться до трьох компонент вектора а як
параметрів трансляційних ступенів вільності. Оскільки як Т, так
і V інваріантні відносно цих перетворень, то виконується (10.66),
і з (10.60) випливає, що
N
•Σ
dL
dh
— const.
Враховуючи рівність
dL
= ГПіГі
С/Г і
(10.69)
отримуємо
N
а ^^гпіГі = аР = const,
(10.70)
і= 1
тобто компонента повного імпульсу системи в напрямку а
зберігається. Але а — довільний вектор, тому
Р = const.
(10.71)

10.4. ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
255
Якщо функція L трансляційно інваріантна, то
повний імпульс системи є інтегралом руху
(зберігається).
Трьом компонентам вектора а відповідають три компоненти
сталого в часі вектора Р.
Обертання
Інфінітезимальний поворот усіх координат описується
формулою
(див. співвідношення (8.19)), де в s* ({г}) = φ х гі параметрами
перетворення є три компоненти φ. Т і V знову є інваріантами
цих перетворень, і з інваріантності L (10.65) відносно обертань
випливає, згідно з (10.60), рівність
Враховуючи (10.69), н можна перетворити до такого вигляду:
Отже, компоненти моменту імпульсу, паралельні до вектора
повороту, є сталими в часі. Оскільки φ довільний, то мусить
виконуватися умова:
г
Гі + ε(φ х Ті)
N
φ гпі(гі х гі) = (pLtot = const. (10.72)
г=1
L ш = const.
(10.73)
З інваріантності функції Лаґранжа відносно
обертань випливає закон збереження моменту імпульсу.
Знову трьом параметрам φ відповідають три інтеґрали руху Ltot-

256
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
Перетворення швидкостей8  *Застосуймо до L({ri}, {гг}? t) інфінітезимальне перетворення
швидкостей зі сталим у часі векторним параметром w:
r[ = r і + звідки г \ — Г{ + ew. (10.74)
Тоді з (10.65) випливають такі рівності:
N
MM,{r},i) = ~£W)2 - ^(KJ) (10·75)
г=1 Δ
= Σ _ v (½}) -ew Σ mii'i+°^
i= 1 Z i=l
N
= £({r'},{r'},i) - ew^mir'i + 0(ε2);
i=1
тут використано те, що з трансляційної інваріантності системи
випливає
v ({И-*$|}) = ^((lri-rjl})·
Оскільки
N d
w ^гпіг'і = —MwR,
г=1
то в наближенні О (є) зв’язок між обидвома функціями
Лаґранжа набуває вигляду
dG
L({r},{r},t) = L({r/},{r'},i) +ε—
з калібрувальною функцією F = ε(3, де
G = —MwR + 0(є).
8Це перетворення відповідає переходові за формулами Ґалілея від однієї
інерційної системи відліку до іншої, що рухається ЗІ ШВИДКІСТЮ W відносно
початкової. — Примітка перекладача.

10.4. ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
257
Використовуючи рівняння (10.62) і (10.64), отримаємо:
dL
) v w£ — wRM = w(Pt — RM) = const,
ОТ і
враховуючи довільність w, маємо ще один інтеґрал руху:
Р t — MR = const. (10.76)
Закон збереження центра інерції є наслідком
калібрувальної інваріантності лаґранжіана L відносно
перетворення швидкостей (10.74)·
На противагу до трансляцій та обертань перетворення (10.74)
спричиняє зміну повної енергії, оскільки Т мусить
змінитися внаслідок зміни швидкостей усіх матеріальних точок на w.
Трьом параметрам w знову відповідають три константи руху.
Підсумок
Симетрія функції Лаґранжа (10.65) відносно
перетворень з групи Ґалілея, які містять 10 довільних
параметрів (див. підрозділ 8.1.3), має наслідком
існування 10 інтеґралів руху:
повна енергія (1)
повний імпульс (3)
повний момент імпульсу (3)
закон збереження центра інерції (3).
Наведемо ще один приклад зв’язку між інваріантністю і
законами збереження в узагальнених координатах. Розгляньмо рух
матеріальної точки в аксіально-симетричному полі з потенціалом
V = V(p). Відповідний лаґранжіан у циліндричних координатах
виражається формулою (9.61). Оскільки інфінітезимальне
перетворення
ψ1 — ψ + є

258
Розділ 10. СИСТЕМИ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК
залишає L інваріантним, то з (10.60) випливає рівність
dL
яка виражає закон збереження z-компоненти моменту імпульсу
(рівняння 9.65).
Як ми бачили, з функції Лаґранжа легко виводиться тісний
зв’язок між симетрією системи і константами руху; це ще одна
перевага Лаґранжевого формулювання.
Доповнення і питання
1. Застосуйте до функції Лаґранжа L перетворення
координат, які залишають L інваріантною, і знайдіть відповідні
інтеґрали руху для таких систем:
а) сферичний маятник;
б) двовимірний ізотропний осцилятор;
в) рух зарядженої частинки в однорідному магнетному
полі (пор. підрозділ 9.3.3).
2. Один з методів знаходження інтеґралів руху полягає у
застосуванні до функції Лаґранжа L ({<?}, {¢), t)
інфінітезимальних перетворень координат ([22])
(перетворення (10.77) повинні бути обертовними і
диференційовними за є). Це приводить до лаґранжіана
Як - Як ({я}, *; е)
(10.77)
L* ({?'}> Ή'}-*) = L ({я({^}.*;«)}«{ jt9 ({9'}»>'
(10.78)
де
Як = Як{{я'},і;є) (10.79)
(10.79)

10.4. ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
259
є оберненим перетворенням координат. Тут залежність L,
від ε походить тільки з того, що перетворення координат
залежать від є. Тому маємо рівність (її треба також довести!)
dLe
άε
' d_dL_
dt dqk
dV
дЯк.
<кк.£ dL ддк'
θε dt дє _ ’
(10.80)
в якій координати {g} (10.79) розглядаються як функції
нових координат {д'} згідно з (10.79). Якщо сукупність старих
координат {д} = {д'}|£_0 є розв’язками рівнянь Лаґранжа,
то в правій частині (10.80) перший член зникає для є = 0, і
внаслідок
dL, d
άε dt
dL dgk
dqk dε .
є = 0,,
функція dLe/dε\ε=Q мусить бути повною похідною за часом
від деякої функції G:
dL,
άε
ε=0
ία ({«>,«>.*)·
Тому маємо рівняння
d
' dL dqk
- G
dt
dqk dc
Ur
ε=0
(10.81)
dL dqk п
іншими словами: —- —— — G є константою руху.
дЯк дє г=0
Приклад застосування: гармонічний осцилятор:
L =
ти2 9
—9·
Знайдіть інтеґрал руху, який відповідає
інфінітезимальному перетворенню
q' = g + є smut
та переконайтеся, що він справді є величиною сталою.

Розділ 11
Тверде тіло
У цьому розділі подамо основні риси статики і викладемо
детальніше динаміку твердого тіла. До твердого тіла знову
застосуймо просту модель: воно побудоване з багатьох матеріальних
точок, міцно пов’язаних між собою. Цю ситуацію можна уявити
собі як граничний випадок такої більш реалістичної моделі. Між
N матеріальними точками в положеннях г^, і = 1,..., 7V існують
лише двочастинкові взаємодії; отже, повний потенціал тіла
матиме вигляд V({nj}) = Y^=l rij = kt - Ijl (див.
(10.37)). Ті значення г^, для яких усі внутрішні сили зникають,
є положеннями рівноваги а*:
Fz
-dV/dvi
Гі=*і
= 0.
В околі положень рівноваги потенціал можна розкласти в ряд.
Цей метод аналогічний до того, який було використано в
підрозділі 3.1 для одновимірної системи: власні значення матриці
коефіцієнтів розкладу в ряд,
d2V
дгідгі
(для фіксованих індек¬
сів і та j це матриця 9x9!), мусять бути позитивними для стійкого
положення рівноваги. Якщо дуже великі1, то (великі)
відхилення від положення рівноваги вимагали б енергії більшої, ніж є
насправді. Якщо енергії збудження низькі, то кожна матеріальна
*Тут не беремо до уваги тих власних значень, які відповідають
трансляціям і поворотам усіх матеріальних частинок відносно спільної точки відліку.
Власні значення таких відхилень зникають (див. підрозділ 12).

11.1. СТУПЕНІ ВІЛЬНОСТІ ТВЕРДОГО ТІЛА
261
точка перебуває практично в положенні рівноваги. Це і є границя
твердого тіла.
11.1. 	Ступені вільності твердого тіла
У цьому розділі розглянемо тільки граничний випадок, в
якому наявної енергії не досить, щоб (помітно) відхилити віддалі
між частинками від тих, які відповідають положенням
рівноваги. Такий стан називатимемо твердим тілом. Усі віддалі між N
матеріальними точками сталі:
rij = const, гц = 0 для г, j = 1,..., iV.
Початково маємо N2 — N умов, але оскільки 7¾ = г^, то їх
кількість можна звести до (N2 — N)/2; вони, однак, не можуть бути
незалежними, бо для відповідно вибраного N це число було б
більше, ніж кількість ступенів свободи З N. Для того, щоб
зафіксувати всі віддалі між частинками, не треба задавати для
кожної частинки її віддалі до інших. Досить вибрати три матеріальні
точки, які не лежать на одній прямій; вони визначають площину
у просторі. Положення всіх інших матеріальних точок, а, отже, і
їх рух, задамо їх віддалями до цих трьох вибраних точок (це буде
З(N — 3) умов). Оскільки три віддалі між ними сталі, то замість
9 ступенів вільності вони мають лише 6. Отже, кількість
ступенів вільності твердого тіла дорівнює 6 (= З N — З (N — 3) — 3);
це стосується і континуальної границі N —> оо. Три ступені
вільності відповідають координатам центра інерції, а три інші —
просторовій орієнтації означеної вище площини; три перші — це
трансляційні ступені вільності твердого тіла, а три останні —
обертальні.
11.2. 	Основи статики твердого тіла
Широка галузь статики (твердих) тіл зайняла ще в
„Аналітичній механіці“ Лаґранжа майже половину книжки. З часом
дуже важлива для технічних застосувань статика стала радше
самостійною технічною дисципліною. Тому після короткого
історичного огляду обмежимося мінімальним нарисом основ статики.

262
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Історія статики сягає в часі так само далеко, як і історія
вчення про рух. Відомо, що АРХІМЕД (ARCHIMEDES, 287-212 до
Хр.) вивчав закономірності важеля. Наступний важливий
розвиток у XIII ст. пов’язаний з вивченням рівноваги сил у різних
пристроях (Йордан де НЕМОР, Jordanus de NEMORE). Приблизно
два століття пізніше цими питаннями займався Леонардо да
ВІЙНІ (Leonardo da VINCI, 1452-1519). Справжній початок
неперервного розвитку статики заклав у XVI ст. С. СТЕВІН (S. STEVIN,
Нідерланди, 1548-1620). Активно спричинилися до цього також
Ґ. ҐАЛІЛЕЙ (G. GALILEI) і Р. ДЕКАРТ (R. DESCARTES, 1595-
1650) і особливо Ґ. П. РОБЕРВАЛЬ (G.P. ROBERVAL,
французький математик, 1602-1675), який вивчав умови рівноваги для
систем коліс, канатів і тягарів; він уже знав паралелограм сил. У
зв’язку з вивченням статики певну форму „принципу віртуальної
роботи “ розвивав Йоган БЕРНУЛЛІ.
Якщо для системи матеріальних точок не змінюється повний
імпульс і повний момент імпульсу, але не всі сили зникають (не
всі Fj = 0), то говорять про статичну ситуацію. Основними
рівняннями статики є умови рівноваги:
рівновага сил (—► відсутність трансляцій):
N
EF< = ° (11Л)
і=1
і рівновага моментів (-+ відсутність обертань):
N N
^rixFi = ^N< = 0. (11.2)
t=l і=1
Перша умова вимагає, щоби сума сил зникала без огляду на
точки їх прикладання. Друга умова вимагає, щоби сума моментів
сил відносно довільної точки дорівнювала нулеві. Її довільність
випливає з розгляду зміщення координатної системи rj = г< + а;
оскільки F^ = F<, то
N N
EF! = i>
i=l і=1

11.2. ОСНОВИ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
263
N N N N
ΣΝί = Х;(г< + а)хРі = 53гіхРі + а x^F<
і=1 і=1 г=1 г=1
N N
= ΣΝ<+“ »£Р,.
і=1 г=1
Враховуючи рівність (11.1), отримуємо
N N
ΣΝί = ΣΝ<·
Ї=1 г=1
Головна задача статики полягає у тому, щоби для
(протяжного) тіла, до якого прикладені сили або моменти сил, що не
перебувають у рівновазі, знайти силу або, відповідно, момент сили,
які встановили б рівновагу.
i) Якщо Σίί:і Ф але EiLi = 0, то досить, щоб у
спільному початку відліку (який, як і центр обертання, лежить
переважно всередині системи матеріальних точок)
прикласти силу F = — SfcLj F»· При цьому повний момент імпульсу
не змінюється, а баланс сил вирівнюється. На практиці
сили не можуть діяти В кожному положенні матеріальної
точки. Допомогти в цій ситуації може зміщення2 уздовж лінії
дії сили, причому момент імпульсу не зміниться.
ii) Якщо Fj = 0, але J2iLi Ν< Ф 0, то однією силою або
зміщенням початку координат не можна здійснити
зникнення моменту імпульсу. Допоможе тут тільки пара сил, яка
є основним елементом статики. Пара сил складається з
двох протилежно спрямованих рівних за величиною сил,
прикладених до двох різних належно вибраних точок. До
суми сил це не робить внеску, тоді як повний момент
імпульсу суттєво змінюється. Пару сил можна вибрати так,
що її обертальний момент зрівноважить початковий повний
обертальний момент.
2Точки прикладання. — Примітка перекладача.

264
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Продемонструймо застосування цих двох основних задач
такими двома простими прикладами3.
Приклад 1. Закон важеля
Три матеріальні точки масами ші,Ш2,тз скріплені між
собою твердим невагомим стрижнем (див. схему). Сила Fi задана.
Чому дорівнюють сили F2 та F3 у рівновазі? (Сили спрямовані
перпендикулярно до стрижня (= важіль).)
*1
І
™1
а
f2
тз у
Ь m2
F3
Умови рівноваги дають розв’язки для F2 та F3:
- Рівновага моментів відносно вибраного початку координат
772-3 (двораменний важіль):
а х Fi + b х F2 = 0, отже aF\ =
(„Сила х плече сили = const") або
„ а „
Fi = -Ft.
- Рівновага сил:
F3 = -(l + pF1.
Зауваження: Якщо Fi і F2 є силами ваги матеріальних
точок 772-і І m2, Fi = 772-^g, το з умови рівноваги випливає, що
α/b = m2/77іі; тоді сила F3 з боку опори буде прикладена в
центрі мас 7711 a + 7712 b = 0. Якщо 7713 замінити точкою опори або
віссю обертання, то до уваги треба брати тільки рівновагу
моментів сил (вага). В цьому випадку точка опори або, відповідно,
вісь обертання сприймають кожну нерівновагу сил.
3У технічних застосуваннях йдеться, зрозуміло, не про матеріальні точки,
скріплені невагомими стрижнями, а про масивні балки, важелі тощо.
Збереження цих понять далі є даниною континуальним уявленням. Матеріальні
точки — це точки прикладання сил.

11.2. ОСНОВИ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
265
Приклад 2.
Три матеріальні точки твердо скріплені між собою, як
зображено на схемі (вектор b спрямований перпендикулярно до а). На
гаі діє сила Fi, а на газ — сила —Fi. Які сили і з якими точками
прикладання треба додати, щоб система прийшла до рівноваги?
т2
b
тз
-Fi
Хоч вправді Σίί=ι = 0, але сума моментів відносно
довільної точки не зникає. Так, повний момент відносно точки, де
міститься газ, не дорівнює нулеві: N* = axFi ф 0. Тому
треба застосувати пару сил, щоб установити рівновагу. При
цьому нехай пара сил (F2, — F2) має точки прикладання в m2 та газ;
залишається Σ^-ι F* = 0. F2 треба визначити з умови рівності
нулеві повного моменту імпульсу:
а х Fi + b х F2 = 0.
f2
F,
b
a “ “F2
•F,
Оскільки сили спрямовані перпендикулярно до а, і,
відповідно, до Ь, то aF\ = bF2 або
У двох попередніх прикладах, у яких геометрія розташуван¬
ня тіл була фіксованою (не було жодних „ внутрішніх “ ступенів

266
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
вільності), сили визначалися так, щоб ними встановлювалась
рівновага. Дещо загальнішу ситуацію маємо у випадку, коли
більше твердих тіл (наприклад, важелі, колеса) пов’язані між собою
самими підпорами, стрижнями, які можуть обертатися,
натягненими линвами тощо. Тоді можна застосувати основні рівняння
(11.1) 	і (11.2) для визначення точок обертань і сил, які
забезпечать рівноважну конфіґурацію. Проілюструємо це також
двовимірним прикладом [55]: Два невагомі тверді стрижні AD\
(довжиною І) і ВС (довжиною 2а), закріплені в точках D\ та D^,
віддалених між собою на відстань а, можуть обертатись навколо
цих точок (див. рис. 11.1). У точках А і В прикладені сили (ваги)
Рис. 11.1. Підперті стрижні (важелі), які можуть обертатися
Fi (= mig) і F2 (= m2g). Стрижень ВС своїм кінцем С може
пересуватися без тертя по стрижню AD\. Треба знайти кут φ, при
якому обидва стрижні перебуватимуть у рівновазі.
Оскільки задання точок, навколо яких може відбуватися
обертання, фіксує просторове положення стрижнів щодо
трансляцій, то треба забезпечити лише виконання умови рівноваги
моментів. Якщо кут φ змінюється, то змінюються і моменти СИЛ FjJ
тому положення рівноваги для кожного стрижня
характеризується зникненням суми усіх моментів. На стрижень AD\ діють: і)
момент СИЛИ Fi
N\ = F\l siny?

11.2. ОСНОВИ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
267
та іі) момент Ν3α сили F3, яка діє з боку другого стрижня (на
AD\ діє тільки перпендикулярна компонента цієї сили, так що
силу F3 вважатимемо перпендикулярною до ADі):
N$a = F3X = 2F30 cos φ,
оскільки х/2 = асовір. Отже, з умови Νχ = Ν$α отримуємо:
Fil sin φ = 2F30 cos φ.
Враховуючи, що на стрижень ВС діє з боку ΑΌχ також тільки
перпендикулярна складова сили —F3 (дія = протидії!)
вважатимемо цю силу перпендикулярною до ВС] тому умова рівноваги
для стрижня ВС матиме вигляд
N2 = F2acos(2<p — π/2) = = F^a cos φ
або
F2 sin 2ψ = F3 cos φ.
Отже, вилучаючи F3, отримуємо
F\ І sin φ = 20F2 sin 2φ = 40F2 sin φ cos φ,
так що φ визначиться формулою:
_ 1 Fl і _ 1т\ і
cos ^ 2 F2 2о 2 m2 2 о ’
Якщо ші/шг > 2(2а/1) (тоді для сил виконується умова F1/F2
> 2(2а/1)), то у? = 0 і два стрижні стикаються: тоді С лежить на
лінії D\D2 нижче від точки Ζ?2· 3 іншого боку, в границі ті/m2
(і, відповідно, Fi/F2)-+ 0 кут φ -4 π/2 і точка підпори С досягає
точки обертання £>і, при цьому стрижень AD\ займає
горизонтальне положення.
Аналогічно можна робити в задачах визначення рівноваги в
системах закріплених і вільних коліс, пов’язаних між собою
канатами; такі машини називаються поліспастами (системами
блоків). Прикладом служить така проста задача: задано вільне
колесо, до центра якого прикладено силу Fi, і закріплене колесо
(обидва колеса мають радіус а). Прикріплений до стелі канат

268
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Рис. 11.2. Простий поліспаст
Рис. 11.3. Модель, яка замінює поліспаст

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
269
проходить спочатку через вільне колесо, а потім — через
закріплене; на кінець каната діє сила натягу F2 (див. рис. 11.2).
Щоб визначити рівновагу, можна виходити із заміненої
ситуації, зображеної на рис. 11.3, в якій замість коліс використовують
два важелі, закріплені в точках D\ і D<i і пов’язані між собою
канатом довжиною4 2а.
Умова рівноваги моментів на вільному колесі виражається
рівністю
F\a = F$2a,
а на закріпленому колесі —
F^a = і^а;
отже, рівновага буде, якщо сили задовольняють таку умуву:
F2 = Fx/2.
Ці приклади є двовимірними задачами. Ситуація для
тривимірних твердих тіл складніша. Наприклад, тут уже було б
неправильно вважати, що силу або момент сили можна прикладати в
довільній точці. В таких випадках, як уже зазначалося,
корисним є зауваження, що точку прикладання сили можна
переміщувати вздовж прямої її дії. Таке переміщення не змінює балансу
сил, а переміщення (анти) паралельно до сили не впливає також
на величину її моменту. Повніший виклад статики читач знайде,
наприклад, у підручнику Маке [20].
11.3. 	Динаміка твердого тіла
11.3.1. 	Рух у власній системі вщліку
Загальний розгляд системи багатьох частинок у
попередньому розділі стосується також нашої моделі твердого тіла. При
цьому внутрішні сили замінюються в’язями, які редукують кількість
4 Інший метод визначення рівноваги полягає у застосуванні принципу
віртуальної роботи
=0;
повна робота сил Fі уздовж можливих, віртуальних переміщень 6гі повинна
дорівнювати нулеві.

270
Розділі 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
ступенів вільності з 3N до 6. З них три - трансляційні
ступені вільності і три — ротаційні, які відображають три можливі
обертання навколо центра мас. Відповідними енергіями є
трансляційна енергія
Ts = MR2/2 (11.3)
і ротаційна енергія (енергія обертання), яка для твердого тіла
дорівнює кінетичній енергії його частинок відносно центра
ІнерЦІЇ: N
(11-4)
1 і=1
(див. рівняння (10.40)). Якщо зовнішні сили потенціальні, Fj(r) =
—VUi(r), то функція Лаґранжа має вигляд
L = Ts + Tr — U, (11.5)
де U задано формулою (10.41); при цьому змінні відносного руху
«}, {г'} в Тг і U не є незалежними, оскільки в’язі у
твердому тілі, які замінюють внутрішні сили, редукують їх число до 3.
Це треба враховувати при використанні рівнянь Лаґранжа. Тому
ми виразимо {г'}, {ґ(} через три незалежні змінні (наприклад,
кути Ойлера), після чого визначимо рівняння руху твердого
тіла (дзиґи). У загальному випадку координати R центра інерції і
відносні координати {г(} в U (10.41) пов’язані між собою, і два
рухи (трансляції і обертання) тіла не є незалежними. В
однорідному полі тяжіння (10.10) за відсутності інших сил обертальний
і поступальний рухи між собою не пов’язані5.
' Якщо спостерігати рух твердого тіла в деякій вибраній
інерційній системі відліку, яку назвемо просторовою системою
відліку, то центр інерції рухається згідно з (10.19) і для моменту
імпульсу центра інерції Ls виконується рівняння (10.29).
Обертальний рух визначатиметься рівнянням (10.30) для моменту
імпульсу відносних координат:
N \
N
—L
it
χ*ί
= Σ гІ х
коротко
= N.
і=1 /
г=1
(11.6)
5Випадок, коли в’язь задає не центр інерції як точку обертання,
обговоримо в підрозділі 11.3.4.

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
271
Ці рівняння руху і кінетична енергія (11.4) визначають
обертальний рух тіла відносно центра інерції. Щоб виразити обертальну
енергію Тг і момент імпульсу L через розподіл мас твердого
тіла, використаємо власну систему відліку (див. підрозділ 8.2.2).
У ній г· — радіус-вектор г-ої матеріальної точки відносно
центра інерції, величина якого дорівнює віддалі між цією точкою і
центром мас. Така система відліку обертається разом з твердим
тілом, так що г' — сталий вектор. Тому його похідна за часом
дорівнює нулеві:
У просторовій системі відліку залежить, зрозуміло, від часу, і
його часова похідна визначається рівністю (пор. (8.5-7))
(тут ω — миттєва кутова швидкість обертання системи відліку
твердого тіла відносно просторової). Тому для обертального
моменту і обертальної енергії (11.4) отримуємо
Якщо в (11.9) розкрити векторний добуток г( х(ц> хг'), то
матимемо:
(пор. зі співвідношенням між лінійним імпульсом і швидкістю
Р = ΜΥ). Величина Θ називається тензором інерції:
(11.7)
(11.8)
N
N
(11.9)
Тг
(11.10)
N
L = ΜΓί)2 - ri(wri)) =: Θω (11-11)
i=1
N
θ = ^™,(ι(γ;)2-γ'®γ').
(11.12)

272
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Тензор Θ, як і квадрупольний момент у підрозділі 6.4.2, є другим
моментом густини маси тіла (див. нижче); він характеризує
розподіл маси у твердому тілі відносно його центра мас6; у системі
відліку твердого тіла Θ є величиною, незалежною від часу. Якщо
обертальну енергію тіла виразити через Θ, то вона набуде такого
вигляду:
Тг = \ωΟω (11.13)
(nop. Ts = \MV2).
Для вільного руху, U = 0, кінетична енергія центра інерції
Ts і обертальна енергія Тг отримуються окремо (див. підрозділ
10.2.3):
Тг = ^ωθω = const; (11-14)
Δ
крім того (враховуючи, що момент сил N = 0), момент імпульсу
також сталий:
L = Θω = const. (11.15)
Проекція ω на L рівно ж не залежить від часу:
cjL = 2 Тг = const. (11.16)
Ці три умови обмежують часову зміну ω і визначають вільний
обертальний рух (див. наступний підрозділ).
Як ми вже зазначали, для довільних сил розділення повного
потенціалу матеріальних точок, а тим самим і функції Лаґранжа,
на частини, що відповідають рухові центра інерції і обертальному
рухові,
U(R, {r'}) = £MR) + Шг'}), (11-17)
у загальному випадку неможливе. Проте якщо зовнішньою силою
є сила тяжіння в однорідному наближенні, рівняння (10.10), то
повний потенціал (10.42)
U = -M Rg =U( R), (11.18)
має форму (11.17). Тоді сила тяжіння впливає в цьому
наближенні тільки на рух центра інерції, а не на обертальний рух тіла
6 Момент інерції відрізняється від квадруполеного моменту лише
значенням шпура: Ski+Qki= f^/Sp©.

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
273
(пор. підрозділ 10.2.3)7. Функція Лаґранжа (11.5) для руху в
потенціалі (11.18) має при цьому вигляд:
L = MR2/2 + \-ω&ω + MgR.
Звідси знову видно, що рух центра інерції відділяється від
обертового руху тіла навколо центра інерції: у системі центра інерції
(R = R = 0) обертання тіла є вільним з функцією Лаґранжа
Lrot = ΙωΘω. (11.19)
Однак у такому вигляді використати її для виведення рівнянь
Лаґранжа ще не можна, оскільки (узагальнені) координати
власної системи відліку тут явно не виступають — вони заховані в
кутовій швидкості ω. Застосування принципу Гамільтона
найменшої дії (див. підрозділ 11.3.5) стане можливим тільки тоді,
коли ми виразимо ω, наприклад, через кути Ойлера.
11.3.2. 	Тензор інерції
У системі центра інерції кожний вектор, наприклад, вектор
положення г[ розкладається за одиничними векторами8 е^:
г' = ΣΚ)Λ = *!<>ί + ^ + *4·
k=l
Подібно в базі е'к можна зобразити і тензор Θ:
з
® ®kiek ® ег (11.20)
к,1
7Для загальної форми Гравітаційного потенціалу U% ос тпі/г це вже не
виконується; наприклад, рух центра інерції впливає на момент інерції, а отже,
на просторову орієнтацію тіла. Такий зв’язок має значення, наприклад, для
пояснення „неправильностей" у русі супутника Сатурна Гіперіона; спрощена
модель передбачає хаотичну поведінку руху (див. [23]).
8Надалі індекси і та j використовуватимемо для нумерування частинок,
а індекси А:,/,т,... позначатимуть компоненти векторів; отже, (х]ь)і є Аг-тою
компонентою вектора положення г-тої частинки.

274
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Компоненти (див. рівняння (11.12))
®'кі = \.ri§kl ~ Юі {х'і)і\ (И·2!)
і—І
залежать від вибору бази, а штрих означає, що Θ розглядається
відносно бази е^. Як щодо векторів, так і щодо тензорів треба
розрізняти сам тензор Θ і його зображення &к1. Часто зображення
називають тензором; таку термінологію ми також
використовуватимемо. Зображення тензора інерції в декартових координатах
має такий вигляд:
©' =
Σ тг (у? + ζ?) - Σ тіх'іУ'і - Σ mix'izi ^
і—1 і—1 і=1
- Σ Έ"4 (*?+*?) ~ Σ "Ч/W
і=1 i=l г=1
N N N
Ет(хі+у?) ,
і=1 /
(11.22)
Якщо знову ввести густину маси р (пор. підрозділ 6.4),
- Σ rruz-Xi - Σ ™-і2іУі
\ і=1 і=1
N
р(Т>) = Σ mi6(r' ~ Γί) (11.23)
і=1
(jX^V = Σϋι mi = м), to
= J d3x'p(r') (r'2Ski - x'kx'i). (11.24)
Таке означення тензора інерції придатне для довільної густини
маси р(г'). Для однорідного розподілу маси з густиною р = Μ/Ω
(Ω — це об’єм, зайнятий розподілом маси) маємо:
Q'ld = J[f dZx' і*'2hi - х'кх'і) · (11.25)
Оскільки компоненти &к1 утворюють симетричну матрицю Θ',
то її можна трансформувати до діагонального вигляду Θ (пор.
додаток В) перетворенням подібності за допомогою ортогональної

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
275
матриці D, тобто матриці поворотів
Θ = ΒΓ&Ώ) (11.26)
з ID^D = І. Матриця Ш> здійснює одночасно поворот базових
векторів від efk до векторів Єї (у власній системі координат цей
поворот не залежить від часу; тут знову використовуємо угоду про
підсумовування):
ei = Dkle'k М = 1,2,3. (11.27)
Шпур 0'
N
Sp©' = 2 ^ rriirf
і=1
є інваріантом відносно таких поворотів.
Цілком аналогічно, як і у випадку векторів, співвідношення
(11.26) 	можна отримати в компонентному зображенні, виходячи
з інваріантності самого тензора 0, представленого у двох
координатних системах
© = ©'feie'fe ® е\ = вкієк О єі.
Звідси за допомогою (11.27) та рівності
®кі^кт^іп^т ® Єп = (D )mfc©kl^ln^m ® £ji>
маємо
®mn = {JD )тк®kl^ln-
У новій системі координат (г = Хк£к) Θ має діагональну
/f d3xp(r) (у2 + z2) О О
Θ = І 0 f d3xp(r) (х2 + z2) О
\ 0 0 J d3xp(r) (х2
(h 0 0\
= : О І2 0 .
V 0 0 h )
форму
(11.28)

276
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
У результаті ми перетворили тензор інерції до головних осей
(інерції) Єк. Три головні моменти інерції І& визначають
поведінку твердого тіла при обертаннях. З виразів (11.28) для 4 можна
легко вивести такі умови:
4 ^ о і | 4 - 4 |< іщ ^ 4 н- 4 ^ Ф і Ф τη·
Для кулі (радіуса R) з однорідною густиною маси немає
особливого вибору системи координат; отже, з самого початку тензор
інерції пропорційний до одиничного тензора, тобто він має
завжди діагональну форму; з (11.25) (переходом до сферичних
координат; К) отримуємо
Θ'η = \мііЧк1. (11.29)
Тензорові інерції Θ можна поставити у відповідність скалярну
величину І = /(п), яка отримується скалярним множенням Θ
справа і зліва на довільний одиничний вектор п:
І = Ι(ή) = ηθη. (11.30)
Тоді І є моментом інерції відносно осі п. Якщо поділити (11.30) на
І і перейти до нового вектора р = п j \/7, то отримаємо рівняння
рЄр = 1, (11.31)
яке є нормальною формою рівняння еліпсоїда (симетрична,
позитивно означена квадратична форма), так званого еліпсоїда
інерції. Головні осі еліпсоїда є головними осями інерції. Головні
моменти інерції є оберненими квадратами півосей еліпсоїда.
Треба відрізняти такі випадки:
4 	Ф 4 Ф 4 : несиметрична дзиґа;
4 	= 4 ф 4 : симетрична дзиґа;
4=4 = 4: сферична дзиґа.
У координатній системі головних осей енергія обертання має
простий вигляд:
(4^і + І2Ь>1 + 4^3) ·
(11.32)

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
277
Якщо обертання тіла відбувається навколо однієї з головних осей
інерції, наприклад є і (и>2 = — 0), то вираз для енергії обертан¬
ня спрощується:
Тг = \ііФ2.
Додаткова умова на обертання встановлює співвідношення між
зміною радіус-вектора R центра інерції і зміною кута φ (К). У
функції Лаґранжа та, відповідно, рівняннях Лаґранжа цю
додаткову умову треба належним способом урахувати (вилученням
змінних або введенням множників Лаґранжа, пор. розділ 9).
За допомогою еліпсоїда інерції можна наочно зобразити рух
тіла. Порівнюючи (11.11) з (11.13), бачимо, що
L = V ωΤγ·
Але νωΤΓ є вектором нормалі до поверхні (дотичної поверхні)
еліпсоїда інерції (11.31) з р = ω/(2Тг)1/2 у точці ω; отже, вектор
L перпендикулярний до дотичної поверхні, проведеної в точці
перетину ω з еліпсоїдом інерції (конструкція Пуансо\ L. POINSOT,
французький математик, 1777-1859).
Якщо сил немає, то рух обмежується умовами (11.14), (11.15)
та (11.16); отже, у просторовій системі відліку ω(ί) має
задовольняти щі три умови. Але умова сталості енергії обертання (11.14)
є рівнянням еліпсоїда інерції (11.31), так що з часом ω може
змінювати лише своє положення на еліпсоїді. Оскільки u;L = 2Тг,
то проекція ω на сталий момент імпульсу L з часом не
змінюється. Цим відбирається крива точок перетину ω з еліпсоїдом
інерції, або іншими словами: еліпсоїд котиться по фіксованій
моментом імпульсу L дотичній площині (= інваріантній площині),
причому віддаль центра (=. початок власної системи відліку) до
інваріантної площини залишається сталою. Крива точок дотику
на еліпсоїді називається полодія, а лінія точок дотику на
інваріантній площині — герполодія (див. рис. 11.4).
Обертальна енергія Тг = \ωθω у власній системі відліку з
головними осями інерції, виражена через кути Ойлера,
отримується з використанням (8.53):
Тг =
h
2
р sin ф sin ϋ + ϋ cos ф^ + ^ cos φ sin ΰ — ΰ sin φ^

278
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Рис. 11.4. Кочення еліпсоїда інерції
(^сові? +
= \гф2 {(/і sin2 ψ + І2 cos2 ip) sin2 ΰ +13 cos2 d}
L·
+^ι?2 (/ι cos2 ф + h sin2 ip) +
+φ·θ (Ιι — I2) sin $ sin ^ cos ^ + ΦΨΙ3 cosi9. (11.33)
Навіть після відділення обертального руху від руху центра
інерції енергія обертання, а з нею і відповідна функція Лаґранжа, в
системі головних осей мають трохи незручну форму. Щоби
записати (11.33) дещо компактніше, введемо величини
Ф= (Φ,ϋ,Ψ)
(sin -0 sin cos ip
cos гр sin d —sin ip
cos'd 0
(11.34)
°\
0 . (11.35)
Ч
Тоді енергія обертання набуде такого вигляду:

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
279
11.3.3. 	Рівняння Ойлера руху дзиґи
Якщо в рівнянні (11.6) виразити dL/dt через похідну за часом
величини L у системі відліку твердого тіла (див. рівняння (8.56)):
dL
dt
dL
dt
Η- oj x L,
(11.37)
то рівняння для зміни моменту імпульсу в системі відліку, яка
обертається разом з тілом, набуде вигляду:
dL\ т „
— ] +uxL-N.
(11.38)
Тут L = Θω (див. рівняння (11.11)) або L'k = Ос¬
кільки в подальшому нас цікавитиме лише рух у власній системі
. . . (d\ d
відліку, то похідну І — І позначимо коротко — (це означає, що
\ dt J dt
dL/dt об’єднує трійку похідних за часом компонент L, L = Lfkerk,
у власній системі координат).
Перетворенням ДО ГОЛОВНИХ осей Інерції £k отримуємо
матрицю Θ у діагональному вигляді
Θ = 0
h
0
0
0
h
0
0
0
h
і простий вигляд моменту імпульсу L
з
L = LkSk, Lk = І№к-
к—\
Оскільки dlj/dt = 0, то рівняння (11.38) запишеться так:
з
(11.39)
auj к v л
І" eklm^l^mlm — ^к
1,т
(11.40)
(тут Uk та Nk — компоненти, відповідно, векторів ω та N у
системі головних осей інерції: ω = о;* є*, N = Σΐ=ι Λ^ε*!). Якщо

280
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
рівняння (11.40) записати явно, то матимемо рівняння Ойлера (L.
Euler 1736) у такому вигляді:
Хоч ці рівняння, записані в системі відліку твердого тіла, на
перший погляд виглядають простими, зауважмо, що в них момент
імпульсу внаслідок перетворення до координатної системи
твердого тіла може набути складного вигляду, залежного від часу.
Всі величини в рівняннях (11.41) взяті відносно центра інерції,
тобто вони є функціями відносних координат γ[.
Якщо єдиною зовнішньою силою є вага (10.10), F* = m^g,, то
момент імпульсу відносно центра інерції зникає (див. рівняння
(10.31)), так що N = 0. Обертання тіла навколо центра інерції є
вільним рухом.
Якщо N = 0, то рівняння (11.41) утворюють нелінійну
автономну систему рівнянь для трьох змінних ωι,α;2,α;3. Динаміка
може виявитися хаотичною, якщо не можна задати достатньої
кількості (ізолювальних) перших інтеґралів. Розглянемо
спочатку випадок, коли два головні моменти інерції цівні між собою.
Вільний рух симетричної дзиґи
Для ГОЛОВНИХ моментів Інерції покладемо тепер І\ = І2 ф /з;
при цьому рівняння руху дзиґи мають вигляд:
Ιχώι — Ш2СОз{І2 — із) — Nu
I2U2 — о;зо;і(/з — І\) — N2,
— ω\ω2{1\ — h) = N3.
(11.41)
Ιιώι = -(/3 - Λ)ω2ω3,
Ι\ώ2 = (h - h)uі^з,
/3ώ3 = 0.
(11.42)
Останнє рівняння дає безпосередньо перший інтеґрал
о;з = const.
(11.43)
Два інші рівняння можна переписати так:
uj\ — —Ωω2,
ώ2 = Ωωι,
(11.44)

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
281
о h - h
h
Домножуючи перше рівняння (11.44) на ω\ і друге на cl>2, та
додаючи результати, отримаємо інший перший інтеґрал
ω\+ ω\ — const. (11.45)
Існування двох очевидно незалежних інтеґралів (11.43) і (11.45)
вказує, що рівняння (11.44) інтеґровне. Безпосереднє
знаходження розв’язку також просте.
Якщо продиференціювати одне з рівнянь (11.44) за часом і
підставити в результат друге рівняння, то отримаємо рівняння
осцилятора
ώ\ + Ω2ω{ = 0, і — 1,2,
розв’язком якого (для і = 1) є
ω\ = A sin Ωί.
Тоді друге з рівнянь (11.44) має розв’язок
и>2 = A cos Ωί.
Отже, ω обертається зі сталою кутовою швидкістю Ω (ω3 =
const!) навколо осі 2 (осі симетрії або осі фігури) тіла: вісь
обертання здійснює у власній системі прецесійний рух. З другого
боку ω обертається навколо сталого моменту імпульсу (Ν = 0 !), у
просторовій системі відліку це зображено на рис. 11.5. Щоби явно
описати рух у власній системі відліку (8.53), треба повернутися
до ω через кути Ойлера та проінтеґрувати рівняння:
ΑβίηΩί = ф sin ψ sin ϋ + ϋ cos ψ,
Α α^Ωί = </9 cos sin $ — ^sin^,
ω3 = φο,οζϋ + ψ.
Ці рівняння можна легко проінтеґрувати, вибираючи
координатну систему у просторовій системі відліку так, що сталий момент
імпульсу збігається з віссю z, L = (0,0, Lz) (К; див., наприклад,
[26]).

282
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Рис. 11.5. Рух Пуансо симетричної дзиґи для І\ < /3
Для Землі, яка є дещо сплюїДеною кулею, Ω = 0.00327 х ω3 ~
с^з/306. Якщо прийняти, що обертання Землі приблизно
вільне (приблизно, бо потенціал тяжіння 1/г не задовольняє умову
(11.17) 	з Uг({г^}) = 0), то можна дійти до певних висновків (див.
також [24]). Оскільки ω3 = І(день)-1, так що Ω = 1/306, то
тривалість прецесії вісі обертання навколо земної вісі дорівнювала
б 306 днів; насправді ж вона становить близько 420 днів, і вісь
обертання описує деяку неправильну криву навколо північного
полюса. Можна здогадуватися, що причиною такої різниці є те,
що Земля насправді не є твердим тілом.
Вільний рух (несиметричної) дзиґи
Вільний рух несиметричної дзиґи описується такою
нелінійною системою рівнянь:
ώι
ώ2
ώ3
h-h
h
h-h
h
h — h
=: ?
ωιω3 =: -Κ2ωιω3,
ω\ω2 =: Κ$ω\ω2.
(11.46)
Якщо припустимо, що моменти інерції іі пронумеровані так, що
h > h > 73, то всі К{ будуть додатними. Виникає питання, чи

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
283
динамічна система (11.46) може допустити хаотичну поведінку.
Щоб з’ясувати це, потрібно дослідити, скільки існує перших
інтеґралів. Легко знайти два незалежні перші інтеґрали:
домножуючи кожне з рівнянь (11.46), відповідно, на ωι,ω2 і ω3, отримаємо:
— Κ\ίιϋ\ϋύ2^Ζ·>
ω2ίύ2 =
ω3ώ3 = K3uiu)2003·
Для вдало підібраних лінійних комбінацій цих рівнянь
отримуємо:
— (і^2^1 + K1U2) — 0,
^{ΚζωΙ-ΚχωΙ) = 0,
^ {Кзш2 + Κ2ωΙ) = 0.
З них отримаємо два незалежні інтеґрали, наприклад,
Сі = Κ2ω\ + Κχω\ = const,
С3 = K3J2 + ^ω| = const; (11-47)
тоді третій інтеґрал виразиться різницею цих двох: (11.47):
К2С2 = К3С1 — К1С3. Отже, рівняння (11.46) інтеґровні і не
виявляють жодної хаотичної поведінки. Використовуючи збережні
величини (11.47), щоб виразити ωχ та шз через и>2, отримаємо з
другого рівняння (11.46)
ώ2 = (‘-fp'?)·
Розв’язок цього диференційного рівняння дається еліптичним
інтеґралом першого роду.
Стаціонарні розв’язки системи (11.46) визначаються умовами
ώ{ = 0, і — 1,2,3, тобто
^2^3 = ω1^3 = 0J\UJ2 = 0.

284
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Запишемо три незалежні розв’язки цих рівнянь:
о>(1) = (ω, 0,0),
u/2) = (Ο,ω,Ο), (11.48)
ω(3) = (0,0, ω).
Тут параметр ω можна вибирати довільно. Отже, стаціонарні
розв’язки описують обертання навколо трьох головних осей інерції.
Першу відповідь на питання щодо стійкості руху навколо цих
осей обертання отримаємо з лінійного аналізу стійкості (див.
підрозділ 3.6). Для малих відхилень від стаціонарного розв’язку
ώ = ω(ι\ω^ або
ω = ώ + (11.49)
виконуються рівняння:
ίώχ = Κι(ώ2δω3 + ώ^δω2),
δώ2 = —Κ2(ώ ιδωζ+ώϊδωι),
δώζ = Κζ(ώιδω2 + ώ2δωι),
сукупність яких можна записати в матричній формі
δώχ \ 1
' 0
Κχώ3
Κχώ2 \
( δωχ
δώ2 ) = І
—Κ2ώ3
0
—Κ2ώχ 1
I δω2
δώ3 1 \
. Κ3ώ2
κ3ώχ
ο )
V δω3
або скорочено
δώ = Μ(ώ)δω.
(11.50)
Висновок про стійкість деякого розв’язку δω = exp(Mtt)£u;o
можна зробити за власними значеннями λ матриці Μ(ώ), які
отримуються з рівняння
det(M - λΐ) = -λ3 + \(ΚχΚ3ΰ% - К2Кгш\ - ΚχΚ2ωΙ) = 0,
тобто
λ (λ2 - ΚχΚζώΙ + Κ2Κ3ώ\ + ΚχΚ2ώ\) = 0.
(11.51)

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
285
Один з розв’язків (11.51), а саме власне значення
λ = 0, (11.52)
є спільним для всіх стаціонарних розв’язків. Оскільки λ не
залежить від ω, то величина швидкості обертання довільна; зміна
розв’язку рівняння для параметра ω не впливає на стійкість
руху. Наведемо інші власні значення для розв’язків (11.48)
і) о/1) = (ω,Ο,0) :
λ = ±tuy/(h - h)(h - /2)//2/3- (11-53)
Розв’язок квазістійкий (|£ω(ί)| залишається обмеженим),
іі) и/2) = (Ο,ω, 0) :
λ = ±wy/(h - /2)(/2 - /3)//1/3. (11.54)
Розв’язок нестійкий (|<5ω(ί)| зростає),
ііі) 	= (0,Ο,ω) :
λ = ±tuy/(h - /3)(/2 - /3)//1/2. (11.55)
Розв’язок квазістійкий.
Отже, обертання несиметричної дзиґи навколо „середньої“
(вісі І2) є завжди нестійким. Щоб проаналізувати стійкість двох
інших розв’язків, потрібні дальші дослідження (див. серед інших
[23]).
11.3.4. 	Рух важкої дзиґи
До цього часу ми вважали, що початком системи координат
для динамічних величин Tr, L та N у власній системі відліку
служить центр інерції. Якщо змінимо початок координат, то
зміниться момент імпульсу і момент сили, а тензор інерції вже не
буде вільним тензором, тобто його значення залежатиме від
вибору початку координат. Нехай А — новий початок координат

286
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
всередині дзиґи або на її краю, заданий, наприклад, в’яззю
(точка обертання або точка підпори). Тоді замість (10.14), r; = R + r',
ми введемо відносні координати г", задані рівністю
Гі = А + г". (11.56)
Вектори та г” будуть пов’язані співвідношенням
r" = r' + (R-A)=:r' + h. (11.57)
Оскільки Σίί=1 тігі = ТО ДЛЯ т'І отримаємо умову
N
Σ mi*” = м(R - A) = Mh; (11.58)
і=1
тут h — вектор, проведений з нового початку координат А до
центра мас R. Зв’язок між тензором інерції 0(A), обчисленим
відносно А, та тензором 0(R) ( = 0), визначеним відносно R,
отримаємо, підставляючи (11.57) у 0(R):
N
©fci(R) = 0'fei = J>i[r- Юі (*0J
i=l
= Σ>< [w - ь)2 - (Mi - M (Mi - Лі)]
і—1
= Ύ^τηι [h2Skl - hkht] +Στηι [T'i2ski - {4)і (ЖПг]
і—1 i=l
N N N
-2hδΜ Σ гпіт" + hk mi (x'i)i + hi ^ mt (xk)i.
i= 1 г=1 i=l
Унаслідок (11.58) члени, лінійні за r" (відповідно, (χι){) разом
з першим членом дають — М (h2Ski — hkhi). Другий член — це
момент інерції відносно А:
[4¾ - К)і Юі] = ®кі = ®кіЩ;
і=1
(11.59)

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
287
так що співвідношення двох тензорів набуває врешті такого
вигляду:
Єк1(К) = ΘΜ(Α) - М [h2Skl - hkhi] , h = R - А (11.60)
(теорема Штайнера).
Тепер відносно початку координат А означений не лише
розподіл мас, але і момент імпульсу та момент сили. Ситуація проста
для нерухомого початку координат9:
А = 0. (11.61)
Підставмо у рівняння руху (10.9) замість г* вираз (11.56),
помножмо векторно г-те рівняння на т" і зауважимо, що для
внутрішніх сил Fij тепер також виконується рівністд Σί^=і гї х
Fij = 0 (пор. виведення в останньому розділі, зокрема
примітку 2). Враховуючи (11.61), отримаємо тоді аналогічне до (11.6)
співвідношення МІЖ моментом Імпульсу L(A) = ^iLlmiri х
та сумарним моментом зовнішніх сил Ν(Α) = Σίίζΐ гї х ^і (К):
^L(A)=N(A). (11.62)
Для похідної за часом знову маємо:
r" = U, х г",
так що (пор. (11.11))
N
L(A) = Σ тіг" х (« х г") = Θ(Α)ω. (11.63)
і—І
Отже, у власній системі відліку рівняння руху Ойлера мають
таку саму форму (11.41) з тією лише відмінністю, що всі величини
беруться відносно А.
Якщо розглядати як зовнішню силу лише вагу тіg, то
враховуючи (11.58), можна надати моментові сил відносно А такого
вигляду :
N
N(A) = £r" х rriig = Mh x g. (11.64)
t=і
9Виводячи теорему Штайнера, ми не потребували такого припущення.

288
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
У власній системі відліку h є сталим вектором, але
прискорення Землі залежить від часу. Оскільки у просторовій інерційній
системі g є сталим, то згідно з рівнянням (8.56) у власній
системі відліку отримаємо для часової залежності (компонент) g таке
рівняння:
(д) =; έ Х g- <П'65)
Абсолютне значення g не залежить, очевидно, від вибору системи
відліку:
|g| = у/зї + 92 +9І = 9- (11.66)
Два рівняння (11.62) та (11.65) визначають рух важкої дзиґи у
власній системі відліку за умови, що початок системи координат
А нерухомий. Підставляючи в рівняння Ойлера (11.41) момент
сили (11.64), отримаємо явно:
Ι\ώ\ = и)2иіз(І2 — h) + АГ(/і2<7з — ^352),
I2UI2 = изиі{Із - h) + M(hsgi - Λ153), (11.67)
= ω\ω2{1\ — h) + M(h\g2 — Λ2Ρ1),
а для g:
51 = ^352-^253,
52 = ^153-^351, (11.68)
53 = ω25ι -ωι52·
Ця система нелінійних диференційних рівнянь першого порядку
для залежних від часу змінних ω* та g* з параметрами Д = Д (А)
і hk називається системою рівнянь Ойлера-Пуасона.
Інтеґровність цієї системи залежить знову від кількості
перших інтеґралів. У загальному випадку довільних значень
параметрів існує три перші інтеґрали, а саме (див. також [64, 62]):
1. 	Повна енергія Tr + U = \ωΘ(Α)ω — Mgh, тобто
^ з з
- - Μ Σ gkhk = const.
z k=l k=1
(11.69)

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
289
2. Компонента моменту імпульсу Lg, паралельна до земного
тяжіння; оскільки з (11.64) випливає, що Ng = 0 і, згідно з
(11.62), Lg = const, то
з
Lg = ^ Ік^к 9к = const. (11.70)
к=1
3. Умова (11.66) для g:
Σ>1=02· (11-71)
к=1
Можна показати [62], що чотирьох перших інтеґралів досить, щоб
задача була інтеґровною. Для довільних значень параметрів Iк та
hk інші перші інтеґрали в загальному випадку не існують; може
виникнути хаотична поведінка. Система рівнянь (11.67), (11.68)
інтеґровна у таких чотирьох випадках:
• випадок Ойлера: h = 0 (R = А); абсолютна величина
моменту імпульсу L2 є четвертим інтеґралом
ΐ\ ω\ — const (11.72)
і
(це співвідношення отримується множенням кожного з
рівнянь (11.67) на відповідний добуток Ік^к та наступним
підсумовуванням); оскільки U = 0, то Е = Тг (= ωθω/2) =
Lu;/2, так що із закону збереження енергії (11.69) випливає
сталість ще однієї компоненти L. Оскільки |L| ,Lg та La;
фіксовані, то L = const. Цей висновок можна розглядати
також як безпосередній наслідок з (11.62), оскільки N = 0.
Розв’язок ми вже обговорювали в попередньому підрозділі
(с. 282).
• випадок Лаґранжа (симетрична дзиґа): І\ = І2 , h\ = h<i =
0; центр інерції лежить на осі симетрії еліпсоїда інерції; з
третього рівняння (11.67) отримуємо четвертий інтеґрал
(11.73)
CJ3 = const.

290
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
• цілком симетричний випадок: І\ = І2 — Із', система рівнянь
(11.67) лінійна; четвертий інтеґрал такий:
з
^2(jJkhk{= wh) = const (11.74)
k=і
(множення рівнянь (11.67) відповідно на з наступним
підсумовуванням) .
• випадок Ковалевської10: І\—І2 — 2/з , /із = 0; еліпсоїд
інерції є вправді, як і в іі), аксіально-симетричним, але розподіл
мас такий, що центр інерції лежить у площині (я, у)
власної системи координат (але не конче на осі симетрії (осі z))\
четвертий інтеґрал має такий вигляд:
о о М (ч
^1 - ω2 + — (Мі - M2)
2ω\ω<ι + —(hig2 + /i2ffi)
h
+
=const.
(11.75)
Рівняння руху Ойлера для дзиґи (11.41) або (11.67) є
наслідком рівнянь руху для моменту імпульсу у власній системі
координат. Змінні в цих рівняннях не є канонічними змінними
(компоненти ω не спряжені до кутів Ойлера); тому ці рівняння не можна
вивести безпосередньо з функції Лаґранжа системи як рівняння
Ойлера-Лаґранжа. Але можна поставити задачу про
визначення руху з функції Лаґранжа для дзиґи з точкою обертання в А.
Для цього треба ввести в кінетичній енергії координати у власній
системі відліку, використовуючи (11.56):
Т = \ Σ= \мк2 + Μλ(ω X (R - А)) + і £ гщ(ω х г")2·
2=1 2=1
Останній член — це енергія обертання Тг(А) відносно А.
Діючи аналогічно до підрозділу 11.3.1, бачимо, що як і раніше щодо
10Цей випадок С. Ковалевс^ка знайшла 1888 р., досліджуючи аналітичні
властивості системи рівнянь у комплексній площині часу. Такий метод
застосовуватиметься також у так званому тесті Пенлеве (Painleve) (див. [62, 64]).

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА .
291
L(A), цей член можна виразити через тензор інерції 0(A):4
1 Ν 1
Tr(A) = -Στη*(ω x ν'!)2 = -ωθ(Α)ω.
ι=1
Якщо А зафіксувати, то для функції Лаґранжа матимемо:
L = ^ωθ(Α)ω - ЕГ(А,{г?}).
Для сили тяжіння потенціальна енергія задається виразом
(11.18),
U = —MgR = — Mgh — М gA,
і функція Лаґранжа для руху відносно А має вигляд:
L = 1ωθ(Α)ω + Mgh. (11.76)
z
Оскільки існують тільки три обертальні ступені вільності, всі
змінні в (11.76) треба виразити через кути Ойлера <р, # і ψ.
Вони параметризують перетворення від просторової системи
координат, у якій g = (0,0, — <7), до власної системи координат,
в якій тензор інерції діагональний, 0(A) = diag(/i, /2, /3)? а
h = задає положення центра інерції. Якщо викорис¬
тати (8.53), щоб виразити ω через кути Ойлера, то отримаємо не
надто складний вираз для обертальної енергії як функції кутів
Ойлера <р, $, ψ та їх похідних φ, ΰ, ψ. У потенціальній енергії
треба ще перетворити (0,0, —д) за допомогою повороту Ш> (8.23)
до зображення g у власній системі:
(sin ψ sin ϋ \
cos ψ sin ϋ J . (11.77)
cos$ J
Вектор g задовольняє рівняння (11.66) та (11.65) (К), так що
функція Лаґранжа (11.76), виражена через Θ, ω і g, відповідає у
власній системі рівнянням (11.67). Деякі з наведених вище
збережних величин легше вивести з цієї форми L, ніж з рівнянь
руху. Детально розглянемо це питання для випадку Лаґранжа.

292
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
11.3.5. 	Важка симетрична дзиґа
Розгляньмо рух симетричної дзиґи, яка обертається навколо
осі фігури (= осі симетрії) в однорідному полі тяжіння Землі
g = (0,0, —g). Дзиґа опирається в точці А, яка належить до осі
обертання, на підставку, причому внаслідок великого тертя точка
підпори нерухома: А = 0 (пор. рис. 11.6).
'Чк
Рис. 11.6. Важка симетрична дзиґа
У рівняннях Ойлера (11.67) головні моменти інерції Д беруть
відносно точки підпори (= точки обертання) А; їх зв’язок з
головними моментами інерції Ґк відносно центра інерції визначається
у власній системі координат (пор. рис. 11.6) теоремою Штайнера
(11.60) з
h = R — А = (0,0,/і).
Оскільки дзиґа симетрична, то
h{=h) = I[ + Mh\ h = i'z.
Момент сили ваги відносно точки підпори А задається рівнянням
(11.64), в якому компоненти g визначаються у власній системі

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
293
(пор. рівняння (11.77)), так що
(cos ф sin ΰ \
— sin^sinT? ]. (11.78)
0 )
Якщо підставити в рівняння руху (11.67) ω у формі (8.53), то
отримаємо досить складні рівняння, головно внаслідок складного
вигляду ώ. Оскільки бракує простих прикладів, то ми не
робитимемо спроби безпосередньо розв’язувати рівняння руху дзиґи11.
За допомогою Лаґранжевого формалізму розв’язування
простіше. В’язь А = 0 редукує функцію Лаґранжа до форми (11.76).
Виражаючи обидві частини L = Tr — U у системі головних осей
дзиґи через кути Ойлера, знайдемо для енергії обертання (див.
(8.53)) вираз
Тг = 2^ωι + ωί) +
= ^Ιι(ψ2 sin2 ϋ + $2) + ^/3(v?cos# + φ)2, (11.79)
а з використанням (11.77) потенціальну енергію запишемо так:
U = Mgh cost?. (11.80)
Отже, функція Лаґранжа має вигляд:
L = ^І\(ф2 sin2 ϋ + ϋ2) + ^/3(9¾ cos?? + φ)2 — Mgh cos ΰ. (11.81)
z z
ИУ книзі Бекера [11] вибрано зручний спосіб розв’язування, добре
пристосований до проблеми, що розглядається. У ньому всі величини
перетворюються до проміжної системи координат (з лінією вузлів як віссю х та спільною
з координатною системою тіла віссю z). У цій системі координат дзиґа
обертається тільки зі швидкістю ψ (=: s) навколо осі 2. Оскільки остання є віссю
симетрії дзиґи, величини 11 = 12 залишаються незалежними від часу.
Ойлерові рівняння записані в цій системі координат. Тому маємо
(ΰ \ / sin ϋ \
ψ8Ϊηϋ і N = Mgh І 0 І.
ф cos ϋ ) \ 0 J
У цій системі рівняння руху дзиґи суттєво легше розв’язувати.

294
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Легко бачити, що кути φ і ф є циклічними змінними. Тому
відповідні спряжені імпульси ρφ і ρψ, тобто компоненти моменту
імпульсу вздовж відповідних осей обертання, є величинами сталими,
їх збереження можна пояснити також наочними міркуваннями.
Момент сили ваги має напрямок лінії вузлів. Але осі обертання
для ψ та ф є „старою “ та, відповідно, „новою“ віссю 2 (див. рис.
8.1), отже, вони перпендикулярні до лінії вузлів; тому відповідні
компоненти моменту сили дорівнюють нулеві, а компоненти
моменту імпульсу залишаються сталими. Для останніх знаходимо:
dL
Ρφ = WT = (/1 Sin2 ϋ + Із cos2 ϋ)ψ +
оф
+Iscosd'ifi = const =: ДЬ, (11.82)
dL
ρ·ψ = —г = Із(фcos?? + ψ) = /зо;з = const =: Да; (11.83)
дф
з (11.83) випливає, що = ф cos d + ф = const. Оскільки функція
Лаґранжа явно від часу не залежить, то енергія
Е = Т + U = \-І\(ф2 sin2 d + d2) + ^Іг(Фcosd + ф)2 + Mghcosd
Ζ ζ
(11.84)
також зберігається. У підсумку маємо три перші інтеґрали
руху і три ступені вільності; система є інтеґровною (див.
підрозділ 14.1). Тому замість розв’язувати рівняння Лаґранжа, яке ще
залишається для змінної $, можемо побудувати розв’язок
безпосередньо з інтеґралів руху. Насамперед відніманням від енергії
Е обертальної енергії навколо осі z власної системи координат
утворимо дещо простіший інтеґрал руху
Е' — Е — = \і\(ф2 sin2 d + d2) + Mghcos'd (11.85)
2/3 2
(кінетична частина величини Ef — це інтеґрал руху (11.45)
вільної симетричної дзиґи).
У три інтеґрали руху (11.82), (11.83) і (11.85) величини ф,ф id
входять у простій алгебричній формі. Якщо з цих співвідношень
ми виразимо явно ф, ф і d як функції $, то досить буде
провести одне інтеґрування для знаходження d(t); звідси отримаємо і

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
295
функції φ{ί) та ψ(ί). Підставляючи (11.83) в (11.82), отримаємо
насамперед
І\ф sin2 ΰ + I\a cos ΰ = /і&,
звідки
b — a cos ϋ
Ψ
sin2 ϋ ’
при цьому (11.83) зводиться до рівності
(11.86)
• Да пЬ — а cos??
ψ = — COS г/ S——
h Sin2 ϋ
(11.87)
З (11.86) та (11.87) можна буде визначити φ{ί) та ?/>(£), якщо
знайдемо ??(£). Рівняння для визначення ??(£) отримаємо з (11.85):
підставляючи (11.86) в (11.85), приходимо до рівняння
, Д??2 h (Ь — a cos ϋ
2 2 \ sin??
2
+ Mgh cos??,
(11.88)
а заміна u = cos ϋ приводить до такого співвідношення:
Е'(1 — и2) = ^Д?і2 + ^rh{b — аи)2 + Mghu( 1 — ?і2).
Δ Δ
За допомогою означення
f(u) := (1 — и2)(а — βν) — (b — сш)2, (11.89)
а = 2Е’/Іи β = 2Mgh/h
(а і β — додатні параметри!) отримуємо нарешті
няння
du
dt
[ZM]1/2.
з
(11.88)
рів(11.90)
Інтеґрування
/
du
приводить до еліптичного інтеґрала. Звідси не можна
отримати розв’язок для ϋ(ΐ) в аналітичному вигляді. Тому проведемо
якісний аналіз.

296
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Оскільки f(u —> —ос) = —ос і f(u —> +ос) = +оо, то існує
принаймні один дійсний нуль цієї функції. Але питання в тому, чи
він лежить у відповідному інтервалі — 1<г/<1(7г>т9>0!). Для
и = іі маємо /(±1) = — (b =F а)2 — отже, від’ємне значення
(випадок b = а обговоримо пізніше). Фізично цікавими є лише дійсні
значення ti, тобто в деякій частині інтервалу [—1,1] мусить
виконуватися умова / > 0; тому в цьому інтервалі мусять лежати два
нулі, які можуть збігатися (див. рис. 11.7). Ці точки є точками
Рис. 11.7. Функція f(u) (див. текст)
повороту руху ЩОДО t?, ϋ\ І $2· Рух, який описується функцією ΰ
між цими двома значеннями, визначає часову залежність φτ&ψ
за формулами (11.86) і (11.87).
Для унаочнення руху дзиґи нарисуємо слід, який описує вісь
фігур на деякій кулі під час обертання навколо точки А (рис.
11.8). Для рис. 11.7, a f(u) має подвійний нуль в щ: в ньому
з рівності й = 0 випливає, що t? = 0, тобто ϋ має фіксоване
значення $о = const. Оскільки тоді ψ = const і ф = const, то
дзиґа прецесує зі сталим нахилом і сталою кутовою швидкістю.
Вісь фігур описує коло на поверхні кулі. Для рис. 11.7, б існують
два нулі wi та ^2, між якими f(u) додатня. Вісь фігур рухається
між двома колами t?i = arccos(tii) та t?2 = arccos(ti2), t?i > t?2
періодично туди і назад: вісь дзиґи виконує нутацію.
Відповідно до трьох кутів ψ, φ і ϋ загальний рух важкої
симетричної дзиґи складається з:
1. 	Обертання навколо осі /з (кутова швидкість ψ).
2.. Прецесії (= обертання осі фігури навколо фіксованої точки
А, з кутовою швидкістю ф) навколо просторової осі z і

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
297
Рис. 11.8. Рух важкої симетричної дзиґи
3. 	Нутації (= „кивкового руху“ осі фігури і водночас кута ΰ
між двома граничними кутами ϋ\ і $2) навколо лінії вузлів,
яка обертається зі швидкістю ф.
Тип нутації визначається рівнянням (11.86), ф =
1-й*  1
i) Якщо Ь — а cos $2 = Ь — аи<і > 0, тобто Ь/а > и<і, то знак ф не
змінюється, і рух осі фігури такий, як на рис. 11.9, а.
ii) Якщо Ь — аи2 < 0, тобто Ь/а < и<і і и\ < Ь/а, то знак ф
змінюється між і $2 при ϋ = arccos(Ь/а) і рух осі фігур
має петлеподібний вигляд (рис. 11.9, б).
iii) Якщо Ь = a cos ??2 = аи2? тобто Ь/а = то ф зникає саме в
точці повороту $2· Така ситуація зображена на рис. 11.9, в.
Особливий випадок відповідає умові а = Ь, тобто $2 — 0 (див.
[17]). Якщо а = Ь, то и = cos?? = 1 є нулем функції /(и), дзиґа
може стояти вертикально (ΰ = О)12. Це положення буде стійким за
12Якщо a = b і = ΰ = 0 то Е1 — Mgh, тобто а = β\ значення ϋ = 0
і ВІДПОВІДНО, U — 1 Є ТОДІ ПОДВІЙНИМ нулем функції f(u)\ Імпульси Рф І Ρφ
вироджуються: ρ-ψ — ρφ — Ιζ(φ 4- ψ) = const („спляча дзиґа“).

298
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
Рис. 11.9. Різні форми нутації
умови, яку треба дослідити точніше. Тому повернімося до виразу
для енергії Е' (11.88) і підставмо у нього I\b = І\а = /3CJ3:
Е' =
h#2 (Ізшз)2
2 2І\
1 — cos ϋ
sin??
2
+ Mgh cos??;
E' є енергією руху, який відповідає кутові ϋ в ефективному
потенціалі
υ(ΰ) = tg2(i9/2) + Mgh cos ϋ.
2Ιι
Розклад у ряд за малими значеннями ϋ дає
υ{β) = + Mgh - Mghf = Mgh+ ^ {ω2 - ω02) ϋ2,
де
ωΐ = 4hMgh/ll
Тип екстремуму U для ?? = 0 визначається знаком коефіцієнта у
члені ??2 (рис. 11.10). Якщо ω2 > Ц), то існує один мінімум, і рух,
тобто обертання навколо просторової осі 2, стійкий, поки
виконується зазначена умова. Якщо ж о;2 < cjq, то рух нестійкий, і вісь
фігури виконує нутаційний рух. Навіть якщо спочатку
виконується умова Сс?з > ωο, то внаслідок неминучого тертя насправді
стане з часом меншою від cjq, і дзиґа почне виконувати нутацію.

11.3. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
299
Рис. 11.10. Потенціал 17(ΰ): а — для > ωο і б — для о;з < ωο
Доповнення і питання
1. Обчисліть тензор інерції ДЛЯ
а) кулі,
б) куба,
в) прямокутного паралелепіпеда (плитняка)
з однорідним розподілом маси.
2. Два циліндри починають котитися вниз по похилій
площині. Один з циліндрів — суцільний, а другий — порожній з
нескінченно тонкою стінкою. Циліндри мають рівні маси,
однорідно розподілені. Котрий циліндр скотиться швидше?
3. Прямокутна нескінченно тонка пластинка (маса М)
обертається зі сталою кутовою швидкістю ω навколо однієї з
діагоналей. Визначіть момент сили, під дією якого
відбувається такий рух. Який результат для квадратної пластинки?
Поясніть різницю.
4. На підставі розв’язку у власній системі координат опишіть
рух вільної симетричної дзиґи у такій просторовій системі
відліку, в якій L = (0,0,LZ).
5. Виведіть рівняння для часової залежності моменту
імпульсу (11.62) відносно початку відліку А.

300
Розділ 11. ТВЕРДЕ ТІЛО
6. 	Покажіть, що g = {д\,д2,9з) задовольняє у просторовій
системі відліку рівняння (11.65). Вказівка: виведіть залеж-
/ °
ність від часу величини g = Ώ(φ,ΰ,ψ) I 0
V -9
і виразіть
(0,0, —д) через компоненти у фіксованій просторовій
системі відліку.
7. Покажіть, що у випадку Ковалевської четвертий інтеґрал
(11.75) 	сталий.
8. Визначіть функцію Лаґранжа і рівняння руху складного
маятника. У найпростішому випадку такий маятник
складається з двох мас ті і m2, закріплених невагомими
стрижнями на віддалях, відповідно, 1\ і І2 від точки обертання.
Ідентифікуйте і обговоріть величини, які тут з’являються.
9. Фізичний маятник: Реальний маятник — це тверде тіло,
закріплене в деякій точці А (ф центр інерції R) так, що може
обертатися, і під дією сили тяжіння коливається біля
положення рівноваги. У найпростішому випадку точка
обертання лежить на одній з головних осей інерції на віддалі
h від центра інерції, h = R — А, а вісь обертання обмежує
рух тіла до певної фіксованої площини. Можна показати,
що функція Лаґранжа для цієї системи має вигляд
L =
1
2
(І[ + Mh2) ф2 — Mgh cos φ,
де Ι[ — головний момент інерції відносного центра інерції.
- Порівняйте з математичним маятником з підрозділу 3.3.
- Порівняйте зі складним маятником у попередньому при¬
кладі.
- Що зміниться, якщо точка обертання не лежить на одній
з головних осей інерції і рух не відбувається лише в
певній площині?

Розділ 12
Малі коливання
При низьких температурах, коли енергії збуджень малі,
моделлю твердого тіла може служити система N частинок зі
сталими відстанями між ними; ступені вільності руху частинок
заморожені біля положень рівноваги. Якщо температура (енергія
збудження) підвищується, то частинки рухаються щоразу
інтенсивніше; тоді велика частина енергії системи вноситься в ці
ступені вільності.
Умови сталих віддалей спрощують розгляд руху твердого
тіла до задачі, математична складність якої відповідає
двочастинковій системі. Якщо розглядати коливання частинок біля
положень рівноваги, тоді і в гармонічному наближенні виникає спо-.
чатку пов’язана АГ-частинкова задача. Але перехід до так званйх
нормальних координат розщеплює рівняння руху, так що в кінці
знову отримаємо N незалежних рівнянь. Нормальні координати
задають колективні збудження („фонони“) системи частинок.
12.1. 	Плоский подвійний маятник
Якщо вийти поза межі задачі двох тіл, яку ми вже детально
розглянули, то наступна найпростіша нежорстка система — це
три точкові частинки, для яких з умов сталих віддалей між
ними порушується лише одна. Отже, розгляньмо три матеріальні
точки ті, 777-2 і тз зі сталою віддаллю 1\ між т\ та газ, і сталою
віддаллю І2 між гаї і m2- Якщо припустити, що маси m2 і газ
взаємодіють між собою, то віддаль між цими двома матеріаль-

302
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
ними точками може або цілком вільно змінюватися в інтервалі
[0,1\ + /2] (як у випадку, який розглянемо далі) або
намагатиметься прийти до деякої рівноважної віддалі, якщо діятиме деяка
сила взаємодії, наприклад, гармонічна сила.
Система інваріантна відносно обертань і зберігається повний
момент імпульсу, якщо не діє жодна зовнішня сила. Якщо
припустити, що на кожну матеріальну точку діє сила тяжіння, то
система все ще залишається інваріантною відносно обертань
навколо лінії дії сили тяжіння: тому компонента моменту імпульсу,
паралельна до сили тяжіння, зберігається. Якщо в деякий
момент часу рух трьох частинок відбувається в певній площині, в
якій лежить також вектор сили тяжіння, (тобто в цій площині
лежать також швидкості), то рух увесь час відбуватиметься у
цій площині. Тоді можна обмежитися дослідженням руху трьох
частинок у зазначеній площині. З максимальної кількості шести
ступенів вільності два фіксуються додатковими умовами сталих
віддалей, а два відповідають рухові центра інерції у площині. Для
відносного руху залишаються лише два ступені вільності. Щоби
вилучити рух центра інерції, можна, наприклад, зафіксувати
одну матеріальну точку, після чого розглядати взаємний рух лише
відносно неї. Щоби зробити інтеґровним рух з двома
залишковими ступенями вільності, в загальному випадку не досить закону
збереження енергії.
Якщо матеріальну точку m3 закріпити як центр обертання,
то отримаємо зображений на рис. 12.1 випадок подвійного маят-
Рис. 12.1. Подвійний маятник

12.1. ПЛОСКИЙ ПОДВІЙНИЙ МАЯТНИК
303
ника: вісь х спрямована вздовж сили тяжіння, так що на
матеріальні точки діють сили (глід, 0). Дослідімо рух у припущенні,
що кути фі і ф2 малі. Для цього виразимо декартові координати
матеріальних точок через /і, І2, Фі і Ф2'·
Х\ — l\ cos 01,
У1 = iisin^i, (12.1)
та
Х2 = h COS 01 + /2 COS (/>2,
У2 = h sinφι + /2 sinφ2. (12.2)
Для швидкостей обох матеріальних точок отримуємо:
Х\ = —їїфі sin 01,
Уі = ІіФіСОйфи
1
І2 = -кф\ sin 01 -І2Ф2 sin 02,
У2 — Ііфі COS φι + І2Ф2 COS Ф2,
так що кінетична енергія задається такою формулою:
Т = \тхі\ф\
(12.3)
+ ^т2 (і\ф\ + 1%ФІ + 21хі2Ш^Фі sinф2 + cos^i cos¢2))
= + ™,2)і\ф\ + γη2ΐΐφ\ + m2lχ12φιφ2 cos(</>i - φ2).
Потенціальна енергія має такий вигляд:
V — —{тідхі + rri2gx2) = ~rni9h cos ф\ — rri2g(li cos φι + /2 cos Ф2)
= — (mi + m2)gh cos φι — m2gh cos ¢2. (12.4)
З функції Лаґранжа L = T — V випливають рівняння руху:
(ті + т2)ІіФі + m2lih^2 cos(0i - ф2) + т2ІіІ2ФІ ^(Фі ~ Ф2)
+ (ті + m2)glі sin^i = 0, (12.5)

304
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
ГП2І2Ф2 + ГП2І1І2Ф1 COS(0і - 02) “ ГП2І1І2Ф1 sin(0i - 02)
-\-m2gl2 sin 02 = 0. (12.6)
Це нелінійні диференційні рівняння другого порядку. їм
відповідає автономна система диференційних нелінійних рівнянь
першого порядку. Однак можлива і хаотична поведінка (див. підрозділ
4.4); вона справді з’являється.
Але, оскільки ми цікавимося лише рухом у стані, близькому
до рівноваги, визначимо стаціонарні положення системи, тобто
такі розв’язки, для яких виконуються рівності фі — фі — 0, а
отже, розв’язки, які випливають з умови
Відповідні рівняння
і = 1,2.
sin 01=0 І sin 02 = 0
мають чотири розв’язки (0,0), (0,π), (π,0), (π,π). Тільки
перший є (стійким) рівноважним розв’язком; він, очевидно, дає
абсолютний мінімум потенціалу:
Vmin = -(mi + m2)gh - т2дІ2·
Якщо кути 0і і 02 вдмірювати від положення рівноваги (0,0)
(див. рис. 12.1), то значення ф\ і 02 задають відхилення від цього
положення. Розкладемо функцію Лаґранжа та відповідні
рівняння руху до найнижчого нетривіального порядку за відхиленнями
01 та 02 та їх часовими похідними. Це другий порядок у
функції Лаґранжа і перший порядок у рівняннях руху. Пропускаючи
константу Fminj отримуємо:
L = 1(ті + т2)і\ф\ + ^т2ІІФІ + m2lih4>i4>2
-\(ті + гп2)дІіф\ - ^т2д12фІ. (12.7)
Відповідні рівняння руху:
(mi + 7712)^1 + + (mi + m2)i?^i = 0,
т212ф2 + т21\ф\ + т2дф2 = 0 (12.8)

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
305
утворюють систему двох лінійних пов’язаних диференційних
рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Шукаючи розв’язок у
звичайному вигляді
0ϊ(ί) = Фі exp(-iut)
(ф тільки формально комплексне; фізичний сенс має лише дійсна
частина), отримаємо алгебричну систему рівнянь, яка в
матричній формі має такий вигляд
i (mi + m2)gh 0 \ _ J2 i (т + m2)l\ m2hl2 V
д 0 m2gl2 J у m2lil2 т2І2 )
Перед тим, як розв’язувати цю систему, обговоримо
метод малих коливань.
ф\
02
!=0·
(12.9)
загальний
12.2. 	Метод малих коливань
12.2.1. 	Загальна теорія
Наведений вище розгляд подвійного маятника ілюструє
обговорену в підрозділі 10.3 для системи N частинок заміну
декартових координат матеріальних точок на узагальнені координати,
кількість яких дорівнює кількості ступенів вільності / < З N. Для
подвійного маятника чотири координати — хі, #2? У і, У2 — для
опису руху двох матеріальних точок у заданій площині
редукуються ДО ДВОХ кутів фі І 02.
Якщо у функції Лаґранжа для iV-частинкової системи
використати залежність З N декартових координат від / незалежних
координат (ft,
Ті 92? ■ · · ? 9/)? ^ 1? · · · ? 3iV, f < 3ΛΓ,
то отримаємо
Ц{(і}Лч}) = \rnkiqkqi-V{{q}), A:,/= 1,...,/ (12.10)
(умова підсумовування!). Оскільки

306
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
коефіцієнти rrijk є функціями узагальнених координат:
"Ifc* ({<?}) =
dr і дгг
U'dQkdqr
(12.11)
вони симетричні відносно індексів &,/. З додатньої означеності
квадратичної форми 2Т = Y^i=irni(ii)2 випливає додатня
означеність також і форми т^іЦкЧі·
Система N матеріальних точок перебуває у рівновазі, якщо
всі узагальнені сили
Qk = ~
dV
dqk
(12.12)
зникають для певних значень qk = що визначають положення
рівноваги:
Qk\$ —
(12.13)
(індекс 0 означає, що треба підставити {g} = {q0})- Стосовно
розкладу потенціалу за відхиленнями від положення рівноваги
щ = Як- Як
(12.14)
рівність (12.13) означає, що лінійний член мусить зникати:
ПШ = У«Л> + \ + · · ■ ■ <1215>
Чи система справді перебуває у стані рівноваги, визначає
квадратична форма
\Рищщ' р“:=(з^)0· (12Л6)
Необхідною умовою стійкості стану рівноваги є додатня
визначеність квадратичної форми (12.16). Якщо ж вона додатньо
напівозначена (принаймні одне власне значення матриці Ркі зникає),
екстремум треба дослідити точніше.
Використаємо тепер кінетичну енергію
Т = -тпкШЧі = -ггікійкЩ .
(12.17)

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
307
Якщо ми і тут розкладемо т^і в околі положення рівноваги {#0},
то матимемо
ткі{{я}) — Mkl + ^ Qqkl^j Un '' *
з симетричною матрицею мас
Щі = mkidq0})· (12.18)
Оскільки Т є квадратичною за її*;, то з розкладу зберігаємо лише
перший член, так що в цьому гармонічному наближенні функція
Лаґранжа (12.10) зводиться з урахуванням (12.16) до
= РкІ^кЩ^ч (12.19)
або в матричних позначеннях
£=^(йМй-иРи) (12.20)
з и = (wi,...,Uf). При цьому несуттєву сталу V"({^°}) в (12.15)
пропущено (зрозуміло, МкійкЩ також додатньо визначена).
Варіація L за новими змінними зд та йк приводить до рівнянь руху
МкіЩ + РкіЩ = 0, к, І = 1,..., /. (12.21)
Стандартний метод розв’язування цієї розщепленої системи
лінійних диференційних рівнянь — це експоненційна заміна
Uk(t) = uik exp(—iojt) (12.22)
(оскільки відхилення Uk дійсне, то Wk комплексні!). Вона дає
алгебричну систему рівнянь
{-ω2ΜΜ + Pkl)wt = 0, (12.23)
або в матричному записі
(Р - ω2Μ)·νν = 0.
(12.24)

308
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Умовою розв’язності цієї системи рівнянь є рівність нулеві
визначника
det(P - ω2Μ) = 0. (12.25)
/ розв’язків цього характеристичного рівняння /-го степеня
відносно ω1 є власні значення ω2 ; для відповідних їм / власних
векторів sr (з компонентами srk ; fc, r = 1,..., /) виконується рівність
Psr=w2Msr. (12.26)
З того, що як Р, так і М — симетричні матриці і М додатньо
означена, випливає, що
i) ω2 дійсні і невід’ємні (множення на (sr)*; К):
ω2 > 0; (12.27)
ii) власні вектори sr можна вибрати дійсними (доведення:
розглянути різницю спряжених комплексних рівнянь для
власних значень; К);
iii) власні вектори sr — якщо вибрати зручне нормування —
задовольняють такі умови ортонормування (К):
srMs5 = Srs. (12.28)
(Вони виконуються також у випадку вироджених власних
значень).
Тоді з (12.26) випливає рівність
sW = ω2<Γ4. (12.29)
Співвідношення (12.28) і (12.29) означають, що матриці Р і М
одночасно діагоналізуються використанням перетворення
подібності з (/ х /) S-матрицею, де S утворюється із записаних одна
біля одної матриць-стовпчиків sr:
S = ^s1 s2 ... s·^ ,
(12.30)

42.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
309
тобто
STMS = I і §TP§ = diag(w?,...,a;J). (12.31)
Внаслідок (12.26) залежні від часу величини
sr exp(iu)rt) і sr ехр(—iuort), г — 1,..., /, (12.32)
є розв’язками рівнянь руху (12.21): вони утворюють
фундаментальну систему розв’язків рівнянь руху, тобто довільний
розв’язок u можна записати так:
/
u = s74cr^ ехр(га;г£) + с~ exp(—iurt)}. (12.33)
r— 1
2/ комплексно спряжених величин с+ і с~ (и — дійсне!),
сг = (с+) =: Сг,
містять разом 2/ дійсних констант, які дають змогу для
системи диференційних рівнянь другого порядку врахувати початкові
значення величин u і ύ у час t = 0.
Якщо в (12.33) ввести нормальні координати ξΓ(ί), тобто
амплітуди власних коливань sr,
ξΓ(ί) = с* exp(iurt) + Cr exp(—iurt) = 2Re (Cj- exp(—iojrt)), (12.34)
то матимемо
f
u(i)=.J>4r(i), (12.35)
r= 1
і, враховуючи (12.28), обернені співвідношення
ξρ(ί) = spMu (t). (12.36)
Перейшовши тепер до нормальних координат ξΓ як нових
динамічних змінних, для кінетичної і потенціальної енергії отримаємо
(врахувавши (12.35) і (12.28) чи, відповідно, (12.29)), такі вирази:
(12.37)

310
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
V = \ηΨη=1~ΣωΙ£ ■ (12-38)
r=1
Отже, функція Лаґранжа матиме вигляд:
і = г2)· (12-39)
r=1
Беручи варіації за нормальними координатами, знаходимо
рівняння руху в нормальних координатах, які утворюють систему
/ незалежних рівнянь гармонічних коливань
& + “>& = о, Р = 1) · · · > / (12.40)
з початковими умовами
£р(0) = spMu(0) і 4(°) = δρΜύ(0). (12.41)
12.2.2. 	Застосування до подвійного маятника
Наведені загальні положення застосуймо тепер до плоского
подвійного маятника. Рівняння руху (12.9) для ф° = (Φι,φ®)
мають вигляд
(Р - ω2Μ)φ° = 0,
де (М = ті + m2),
■ r=(Mt °. ) і М = ( м!\ ^V
V 0 rn2gl2 ) \ т2ІіІ2 гп2Ц )
Відповідна функція Лаґранжа L = фМф — φψφ). Лінійна
система рівнянь (12.9) має нетривіальний розв’язок лише за умови,
що визначник матриці
Р - ω2Μ = ( M/l^f " 'fP -rfnvhV2 \ (12.42)
V —ω τη21\12 m2l2(g — ωΔ12) J
дорівнює нулеві (nop. (12.25)); тобто мусить виконуватися така
рівність:
TTi\l\l2uj^ — Mg(li -(- -(- Mg^ = 0.

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
311
Розв’язками цього рівняння є власні значення
ωϊ,2
^ + 12 ± Jih + hf-Uihmi/M^ . (12.43)
Відповідні власні вектори sr,r = 1,2 знайдемо з рівняння
М(д — u%l\)s\ — Wrm2^2s2 = 0
(пор. (12.26) і (12.42)), тобто
s[ _ ujm2h
4 ~ M(g-uthy
(12.44)
Компоненти цих векторів треба ще пронормувати згідно з (12.28).
Це можна зробити для довільних параметрів. Ми доведемо до
кінця лише спеціальний випадок
іг = І2 = І .
Покладаючи
2 Q
μ = ГП2/М і ujq = —
та підставляючи в (12.43), отримуємо
1 ~ ~ .2 1
"1,2 = "“13^(1 =*= V® = ·
(12.45)
(12.46)
звідки, зокрема, випливає, що ω\ > ω\. Для компонент власних
векторів отримуємо з (12.44)
>1 _
= ц/^Ьг=™·
0 !ШГ
тобто
S = Οί\
Я)
1 S = «2
f),
(12.47)
де ат треба ще визначити з умови нормування (12.28). У
величинах (12.45) маємо

312
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
так що з урахуванням рівностей
spMsr = 2 ΜμΙ2
(1 -Ді)а\ 0
о (і + \/Д) а2
для нормувальних множників отримуємо:
«і = ΐ/(2Μμί2(1 - у/μ) ,
а\ = 1 /(2Μμ/2(1 + ^/μ) .
Тепер власні вектори повністю визначені. Вектор s1 описує рухи
обидвох мас у протилежних напрямках (рис. 12.2, а), тоді як s2
— рух однакового напрямку (рис. 12.2, б). До s1 належить більше
і
І
І
І
І
І
І
І
/
/
/
/
/
0
4
\
\
\
\
\
\
0
Рис. 12.2. Нормальні коливання подвійного маятника
значення частоти ω\\ отже, такі коливання важче збудити, ніж
ті, що відповідають векторові s2. У границі μ —> 1, тобто ті -А 0,
маємо -А оо. Тільки 7¾ може коливатися біля початкового
положення на сталій віддалі 21 з частотою ω<ι — ω$/\/2. Якщо
μ —> 0 (m2 -а 0), то uj\ — и)2 — cl?o, і безмасова „штанга66 І2 (=
/), яка в цій границі вже не потрібна, коливається разом з т\.
Обидві границі приводять до простого маятника, але з різними
його довжинами.
Загальний розв’язок для руху — це лінійна комбінація обох
власних коливань (12.47)
ф{і) = 6(ф! +&(*) S2.

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
313
При цьому виконується рівність (пор. рівняння (12.29))
s*W =
а функція Лаґранжа в нормальних координатах має такий
вигляд
Рівняння Лаґранжа є незалежними між собою рівняннями
осцилятора для нормальних координат з частотами ωΓ, див. (12.46),
Виражаючи амплітуди (= нормальні координати) формулою
(12.36) через 0, £r = sr М0, отримуємо:
у момент часу t — 0 початкові значення ξι і £2 отримаємо з ф\ і
ФІ
12,2.3. 	Триатомна молекула
Наступним прикладом застосування загальної теорії будуть
коливання такої триатомної молекули: усі три атоми однакові;
сили між атомами залежать лише від віддалей і мають ту
властивість, що потенціал взаємодії V мінімальний, коли віддалі мають
рівноважне значення а. Отже, положення рівноваги х^, і = 1,2,3,
атомів утворюють рівносторонній трикутник з довжиною сторін
а (див. рис. 12.3). Для зручності виберемо таку систему
координат:
1
2
ξγ- + ίϋγ-ξτ — 0, Т — 1,2.

314
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Рис. 12.3. Трикутна молекула
Тоді центр інерції молекули перебуватиме в початку координат.
Потенціал взаємодії V із зазначеними положеннями рівноваги
запишемо у вигляді
у = \ [(Іхі - Х2І - аΫ + (|х2 - х3| - а)2 + (|х3 - хі| - а)2] ,
(12.48)
де к задає силу взаємодії між атомами1. Переходячи до відхилень
щ від положень рівноваги,
u і = Хі-х?, * = 1,2,3,
отримаємо
У = \ [(Iх? -*2 + U1 - и21 - а)2 + (|х2 -χ3 + u2 “из| - а)2
+ (|хз _х? + u3 - Ui| - а)2
(спочатку розглядаємо тільки відхилення иг, які лежать у
площині трикутника). Розкладаючи вираз
|хі - xfe + Ui - ufe|
= [(хі - xfc)2 + 2(х° - x°)(uі - Ufc) + (Ui - uk)2]1/2
1 Оскільки наприкінці ми розглядатимемо потенціал лише в гармонічному
наближенні, дозволене кожне припущення, яке задовольняє зазначену умову
щодо положення рівноваги.

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
315
за степенями u та враховуючи, що |х? — х£| = а, і ф к, приходимо
до рівності
|х? - Xfe + U* - Ufel
= а
1+(хі - Xfe)(uj - ufc)/a2+-(uj - ufc)2/a2+ ...
так що
|хі — xfe + Uj — її* І — a = (χ° — Xfc)(uj — и*)/а + ...
= eik(ui - ufe) + ....
Тут введено одиничні вектори Є{к (Xj1 — x^)/a,
Є12 = (-1,0), е23 = 1(1,-^3), е3і = 1(1, л/3), (12.49)
спрямовані вздовж ліній, які сполучають атоми на рис. 12.3.
Підставляючи ці вирази у V та зберігаючи члени порядку и2
включно, знаходимо:
V = 1 [(ei2(ui -u2))2 + (e23(u2 -u3))2 + (e3i(u3-ui))2]
= 2^ei2Ul^2 "*■ (e31ul)2 + (e12U2)2
+(e23u2)2 + (e23u3)2 + (e3iu3)2 (12.50)
—2 ((ei2Ui)(ei2U2) + (e23U2)(e23U3) + (e3iUi)(e3iU3))].
Якщо тепер пронумеруємо компоненти векторів Uj. тобто покла-
демо
и
;= (ubu2,u3),
(12.51)
то
тг 1 m
V = -uPu,
2 ’
(12.52)
де
і
( Єі2®Єі2+Єзі®Єзі
-Єі2®Єі2
“в31®е3і \
F = k\
—Є12 (S>ei2
Єі2 ®Єі2 +е23 <8>е23
-е23®е23 1
\
І -Єзі®Єзі
—е23®є23
е23®е23 + е3і ®Є31 /

316
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
5
Уз
-4
0
-1
-Уз\
Уз
3
0
0
-Уз
-3
к
-4
0
5
-Уз
-1
Уз
4
0
0
-Уз
3
Уз
-3
-1
-Уз
-1
Уз
2
0
\ -Уз
-3
Уз
-3
0
6 /
(12.53)
(виконуються рівності Єі2 ® Єі2 = i Q Q 1, Єзі ® Єзі =
Оскільки всі атоми мають однакову масу, то матриця мас у
виразі для кінетичної енергії
з з
Τ=\Σ = \ Σ тй’? = (12.54)
і—І і— 1
вже пропорційна до одиничної матриці
М = ml;
тому ліва частина рівняння (12.25) зводиться до det(P - ω2τηϊ).
Внаслідок цього квадрати власних частот пропорційні до власних
значень Eig(P) матриці Р:
<4 = Eig(P)/m. (12.55)
Довгі прямі обчислення або менш утомливі за допомогою
комп’ютера дають власні значення
Eig(P) = £(0,0,0,3/2,3/2,3)
і згідно з (12.55) такі нерівні нулеві частоти ωτ:
Т
= (\/3/2, \/3/2, \/3^
(12.56)
Нульові власні значення матриці Р можна легко зрозуміти: два
з них відповідають (двовимірним) трансляціям центра інерції і

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
317
одне — обертанню молекули навколо центра інерції; адже
функція Лаґранжа інваріантна відносно цих операцій. У матриці Р
трансляційна інваріантність виявляється в тому, що сума
елементів як першого, третього, п’ятого рядка, так і другого,
четвертого і шостого дорівнює нулеві. Тому кожен вектор U = (u, и, и),
тобто чиста трансляція атома (і центра інерції), є власним
вектором Р; можна, наприклад, трансляцію атома вздовж осей х та
у, ux = (1,0) та = (0,1), вибрати як базу для довільної
трансляції, тобто (див. рис. 12.4, а, б)
sn = αι (1,0,1,0,1,0) і si2 = α2(0,1,0,1,0,1). (12.57)
Рис. 12.4. Зміщення молекули
Чисте обертання молекули зображуватиметься векторами и*,
ортогональними до векторів х^: 11¾ = φ(η χχ·)3 віссю обертання
п, перпендикулярною до площини молекули. Обмежуючись цією
площиною, отримуємо
так що для обертання власним вектором буде
sr = огз(1, —л/з, 1, л/з, —2,0). (12.58)
Відповідна картина зображена на рис, 12.5.

318
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Рис. 12.5. Обертання молекули
Легко переконатися, що три ортогональні власні вектори
(12.57) і (12.58) належать до трьох власних значень 0 матриці
Р ( нормувальні множники а* треба ще визначити).
Наступний власний вектор, як порівняно легко бачити,
відповідає коливному стану, який має ту саму симетрію, що й
положення рівноваги: 11¾ ос (див. рис. 12.6), тобто
Рис. 12.6. Пульсуюча мода
8^ = 06(-^3,-1,^3,-1,0,2)5 (12.59)
молекула „пульсує“. Зрозуміло, що цей власний вектор
ортогональний до попередніх. Він належить до власного значення ЗА:
і, відповідно, до власної частоти иіз у (12.56). При цьому можна
легко виявити і обчислити всі власні моди молекули.
Останні два власні вектори належать до двократного
власного значення 3&/2, і відповідно, до вироджених власних частот ω\
і cl>2 у рівнянні (12.56); внаслідок цього виродження їх треба ще

12.2. МЕТОД МАЛИХ КОЛИВАНЬ
319
у процесі знаходження ортогоналізувати. Два можливі розв’язки
такі (К):
s0i = аДл/З, —1, —л/З, —1,0,2), so2 = ^5(-1? л/З, —1, л/3,2,0).
(12.60)
Відповідні коливання зображені на рис. 12.7, а і б. Внаслідок
Рис. 12.7. Два види двох останніх коливань
симетрії розташування до цих двох станів можна додати ще ті, які
отримаються поворотом на 120°.2 Вони є лінійними комбінаціями
наведених мод (приклад: = —(l/2)sol + (\/3/2)^,2? Рис* 12.8).
Рис. 12.8. До повноти мод коливань
2Така інваріантність відносно дискретних перетворень не приводить до
жодних законів збереження. Із законами збереження пов’язана лише
інваріантність відносно неперервних перетворень (інфінітезимальних перетворень)
(теорема Нетер).

320
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Залишається ще визначити нормувальні множники; їх
отримують з рівності sMs = 1 (пор. (12.28)):
Оі\ = 02
, 0^3 — θ!4 = #5 = С*6 = - \ -—
З т
(12.61)
Отже, загальний коливний стан u молекули задається лінійною
комбінацією власних коливань (12.59) і (12.60),
U = Ш*оі + Ш*о2 + &(*)&*, (12.62)
де нормальні координати £r(t) осцилюють з частотами иг (12.56)
(пор. підрозділ 12.2.1).
Ми вже визначили всі моди коливань тривимірної задачі.
Вправді в такій задачі маємо дев’ять ступенів вільності, але
кількість збуджень з власним значенням 0 зростає на 6 — на три
більше, ніж у плоскій задачі: три ступені вільності для трансляції і
три для обертань. Залишаються лише три ступені вільності для
коливань, і ми їх уже знайшли. Цю обставину можна виразити
коротко: три точки завжди лежать у деякій площині.
12.3. 	Лінійний ланцюжок (перехід до
класичної теорії поля)
- Виходячи з моделі тіла як нескінченної кількості
взаємодіючих матеріальних точок, прийдемо в границі нескінченно малих
віддалей між матеріальними точками до теоретико-польового
формулювання пружних властивостей тіл, які розглядаються як
континуум. Продемонструємо це дуже простою системою, а саме,
лінійним ланцюжком пружно пов’язаних матеріальних точок.
Нескінченно багато матеріальних точок маси т пов’язані
гармонічно з пружною сталою &, при цьому віддалі між сусідніми
двома атомами на осі х дорівнюють а (рис. 12.9). Тоді відхилення
п-ої матеріальної точки від її положення рівноваги в напрямку
осі х = па дорівнюватиме
Uji — Τγι па.
(12.63)

12.3. ЛІНІЙНИЙ ЛАНЦЮЖОК
321
• · · · ·
, , 1 1 г
-2а -а 0 а 2а
Рис. 12.9. Лінійний ланцюжок
Згідно з попереднім підрозділом для кінетичної і потенціальної
енергії такого розташування маємо:
оо ^ ОО ^
Т= Σ 9m^’ F= Σ о*(«я
Un+l)
(12.64)
Якщо розглядати тільки поперечні відхилення (у напрямку
у), то ип буде координатою у п-і частинки і тоді для обох енергій
отримаємо такі самі вирази (12.64). Ці обидва випадки можна
звести до одного. З функції Лаґранжа
оо
Σ
П— — 00
1 -2
2тип
- 2Нип -Un+l)
2
(12.65)
отримаємо рівняння руху
тйп + к(ип - ип+1) + к(ип - ип-1)
= тіїп + 2кип - к(ип+і + ип-\) =0, п — -оо,..
(12.66)
, оо.
Тоді u := (... ,гіп_і,гіп,ип+і,...) є нескінченновимірним
вектором. Матриці М і Р будуть також нескінченновимірними: М
пропорційна до одигіичної матриці,
М = ml,
а ненульові матричні елементи Р лежать на головній діагоналі
і на двох сусідніх з нею. Матричні елементи головної діагоналі

322
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
дорівнюють 2&, а сусідні біля головної діагоналі к:
/
\
Р
... 0 0 -к 2к -к 0 0 ...
... 0 0 —к 2к -к 0 0 ...
... 0 0 -к 2к -к 0 0
V
Сюди не можна безпосередньо перенести дослідження, проведені
в підрозділі 12.2.1; наприклад, нескінченновимірні вектори
будуть нормуватися не так, як скінченновимірні. Але можна, як і
в підрозділі 12.2.1, з рівняння
обчислити власні вектори s і виразити через них u (підстановка
u(t) = w ехр(—iut)):
(р — індекс, який нумерує власні вектори, а £(р, t) —
нормальні координати). Оскільки М пропорційна до одиничної матриці,
тобто кожний вектор є її власним вектором, треба ще тільки
визначити власні вектори матриці Р. Можна побачити, що вектори
s з компонентами
де р — поки що довільний дійсний параметр, є такими власними
векторами, якщо розглянути η-ту компоненту Ps:
(Р — cj2M)w = 0
(12.67)
р
Snip) = егрпа
(12.68)
(Ps)n — 2 ksn fc(sn_i + sn+i)
2к{1 — cos pa)sn.
(12.69)

12.3. ЛІНІЙНИЙ ЛАНЦЮЖОК
323
Отже, власне значення Р, яке відповідає s дорівнює 2к(1 — cospa).
Якщо це підставити в рівняння для власних значень, то
отримаємо
(Р — a;2M)s(p) = (2к(1 — cosра) — πιω2) s(p) = 0.
к
Тоді для ω мусить виконуватися рівність ω2 = 2—(1 — cos pa) =
πι
k
4—sin2(pa/2), тобто
ω = ±2ωο sin(pa/2), ωο = yjk/m. (12.70)
Займімося тепер точніше власними станами s(р). Resn =
cos(рпа) задає відхилення n-го атома в цьому стані. Відхилення
ланцюжка утворюють тому хвилеподібне збудження з довжиною
хвилі А = 2π/ρ = ra (га — це, наприклад, віддаль між двома
послідовними максимумами функції cosprr). Половина
мінімальної довжини хвилі — це віддаль між двома атомами Amin = 2а
(г = 2); малі значення λ сенсу не мають, бо за заданих значень
відхилень у двох сусідніх точках ця сама ситуація
описуватиметься різними значеннями р, так що зображення буде
неоднозначним. Величина Amin задаватиме також максимальне значення р:
ртах = π/а. Оскільки допустимі також неґативні значення р, то
можливі значення р лежать у такому інтервалі:
р Є [—π/α,π/α]. (12.71)
Оскільки можливе будь-яке значення р, що лежить всередині
цього інтервалу, то суму треба замінити інтеґралом. Отже,
відхилення u є лінійними суперпозиціями власних векторів s(p) з
нормальними координатами ξ як коефіцієнтами:
π/α
u = J άρξ(ρ,ί)&(ρ). (12.72)
—π/α
Нормальні координати — це амплітуди базових збуджень s(p)
лінійного ланцюжка. Частоти нормальних координат (12.70)
можуть набувати будь-які значення, дозволені умовою (12.71).

324
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Граничний континуальний випадок: коливна струна
Щоб перейти до континуальної границі, спрямуємо віддаль а
до 0, але густину маси т/а вважатимемо сталою. За допомогою
підстановок
a =
: Ax,
па =
: x і
m/а =
: μ,
ak =
: Υ
функцію Лаґранжа (12.65) перетворимо до вигляду
£ = ΣΔι
ϊ-μύ?(χ) — ((и(х 4- Δχ) — u(x))/Δχ)3
Δ Δ
а рівняння руху (12.66) запишуться так:
Υ
μΔχώ(χ) — д— [и(х + Δχ) — 2 и(х) + и(х — Ах)] = 0.
Якщо Δχ -А 0, а μ та Υ залишаються сталими, то
L = j dxC,
де
(12.73)
— густина функції Лаґранжа для зміщення и(х). Для рівнянь
руху отримаємо (К)
d2U 2d2U rrzrj-
w~vd^ = 0'
(12.74)
Це одновимірне хвильове рівняння описує коливання струни.
Воно має такий загальний розв’язок:
їі(х, t) = f(x — vt) -(- g(x -(- vt),
(12.75)

12.3. ЛІНІЙНИЙ ЛАНЦЮЖОК
325
де / та д — дві довільні (принаймні двічі диференційовні)
функції. Функції f(x — vt) та g(x-\-vt) є двома заданими деформаціями
(струни), які поширюються ЗІ ШВИДКІСТЮ V ДО X = оо і, відповідно,
х = —оо. Насправді, струна натягнута і має скінченну довжину
/, тобто для розв’язків рівняння (12.74) маємо краєві умови:
їі(0,£) = и(1,і) = 0, —оо < t < оо.
Для відповідного розв’язку можна вимагати (див. підручники
для диференційних рівнянь у частинних похідних), щоб
виконувалися рівності:
и(х, 0) = σ (х) з σ (0) = σ (І) = 0
і
βη,
— (х,0)=т(х) з τ(0)=τ(Ζ) = 0,
де функції σ (х) і т (х) задаються довільно на інтервалі (0,1) з
точністю до вже заданих краєвих умов. Тоді, як можна легко
переконатися,
x+vt
1 1 г
и(х, t) = - [σ (х + vt) + σ (х — υί)] + — / r(s)ds
2 2 v J
x—vt
e розв’язком рівняння коливань (12.74) вигляду (12.75). Функції
σ (х) і т (х) задають початкову форму і початкову швидкість
деформації струни. Наприклад, для закріпленої у деякій точці хо
струни матимемо:  З[ —х
0 < х < хо
а(х)
) хо
~ \ с ’
[-^(І-Х)
\ 1 — X 0
хо < х <1
т{х)
= 0, 0 < х < і.
З густини функції Лаґранжа (12.73), загально заданої
вира. ди ди ч
зом £ = £(и, —, —,ж,Ї), отримується рівняння руху (12.74) за
ox ot
правилом (див. [15])
д дС д дС ас _
dt д(ди/ді) дх д(ди/дх) ди

326
Розділ 12. МАЛІ КОЛИВАННЯ
Це узагальнене рівняння Ойлера-Лаґранжа для густини функції
Лаґранжа3 С поля (деформації) u(x,t). У нашому випадку С не
залежить від и, так що останній член рівняння зникає.
Доповнення і питання
1. Покажіть для рівняння (12.26) для власних значень, що
i) частоти иг дійсні,
ii) власні вектори sr можна вибрати дійсними,
iii) власні вектори sr задовольняють умови srMss = Srs.
2. Маса ті сполучена пружиною (коефіцієнт пружності к\)
з підвіскою. До маси т\ прикріплена пружиною
(коефіцієнт пружності /¾) інша маса m2 (див. схему). Положення
рівноваги відповідають значенням х\ — 1\ та Х2 = h + h-
На обидві маси діє також сила тяжіння. Задайте функцію
Лаґранжа для відхилень, паралельних до сили тяжіння.
Визначіть положення рівноваги мас і рівняння руху для
відхилень. Розгляньте цей результат ДЛЯ 772-1 — І к\ = &2·
3. 	У триатомній молекулі А^В атоми в положенні рівноваги
розташовані вздовж прямої (див. схему).
/ /
• · ·
А В А
3Або: лаґранжіана. — Примітка редактора.

12.3. ЛІНІИНИИ ЛАНЦЮЖОК
327
Потенціальна енергія молекули залежить лише від обох
віддалей АВ і В А і ще від кута, утвореного прямими, що їх
сполучають під час відхилень з положень рівноваги.
Гармонічні сили для відхилень атомів на осі молекули в
перпендикулярному до неї напрямку різні (константи к\ і fo)·
Визначіть:
- потенціальну енергію і функцію Лаґранжа для плоских
відхилень молекули;
- власні частоти і нормальні координати.
4. Перевірте, чи вектори (12.60) є власними векторами і
знайдіть розклад, зображений на рис. 12.8.
5. Перейдіть до континуальної границі для одновимірного
ланцюжка і наведіть відповідне рівняння руху (12.74).

Розділ 13
Канонічне формулювання
механіки
Лаґранжевий опис — це перше загальне формулювання
аналітичної механіки. Вона є теоретичною побудовою, в якій
узагальнюються і досліджуються вихідні положення та їх
наслідки. Зображення різних процесів у ній максимально
уніфіковане. Ця аналітична механіка є економною теоретичною побудовою
(Е.Мах). Рівняння руху є рівняннями Ойлера-Лаґранжа для дії
S (див. розділ 9): для реальних траєкторій дія досягає
екстремуму:
На підставі цього принципу екстремуму, У. Р. ГАМІЛЬТОН
(W. R. HAMILTON) запропонував об’єднувальне і
найелеґантніше формулювання класичної механіки. Такий підхід до
класичної механіки став суттєвою базою для розвитку теорії атомних
процесів — квантової механіки XX століття.
13.1. Гамільтонова теорія
13.1.1. Функція Гамільтона і канонічні рівняння
Функція Лаґранжа матеріальної точки з одним ступенем
вільності є функцією незалежних змінних g, q і t:
S Ldt — Extremum.
L = L(q, q, t).

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
329
Тому ці незалежні змінні визначають також повний диференціал
L:
dL = η^-dq + ~dq + (13.1)
dq dq dt
Зважаючи на важливу роль, яку відіграє імпульс р = SfL/dq у
Лаґранжевій теорії з погляду законів збереження — коли L не
залежить від q, то р зберігається (див. підрозділ 9.3) —
доцільно взяти за незалежні величини q і р замість q і q. Ця
заміна досягається перетворенням Лежандра функції L. При цьому
впроваджується нова змінна (р) як похідна заданої функції
Лаґранжа (L) за одним з її арґументів (q). Паралельно з тим замість
L(q,q,t) з’являється нова функція H(q,p,t). Щоб знайти ії,
перетворимо (13.1) з використанням р — dL/dq\
Jr dL , ,. dL , „ .4 . , dL Ί
dL = —dq + pdq + —dt = —dq + d{pq) - qdp + — dt.
Збираючи повні диференціали з обох боків разом, отримаємо:
dH := d(pq — L) =
dL dL
~Q^dq + qdp - —dt (13.2)
(вибір знаків умовний); dH є повним диференціалом функції
Н = pq — L. Співвідношення (13.2) показує, що тепер
незалежними змінними є вже q,p і t (Н насправді не залежить від ¢,
оскільки dH/dq = р — dL/dq = 0). Порівняння (13.2) з повним
диференціалом функції H(q,p, і)
JTT dH J дН ^ dH
dH-~a^dq+~d^dp+~dtdt
приводить до таких співвідношень:
дН _ _3L_ . _ 9Я дН _ dL
dq dq ’ ^ dp ’ dt dt
(13.3)
(13.4)
Ці співвідношення виконуються взагалі для двох функцій, які
пов’язані перетворенням Лежандра. Перше й останнє
співвідношення типові для всіх змінних, не зачеплених перетворенням (тут
— це змінні q і £; знак залежить лише від вибору знака в Н).

330
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Навпаки, функція Лаґранжа L є результатом перетворення за
Лежандром функції Я, якщо від змінних q і р перейти до
незалежних змінних q і q\ при цьому друге рівняння в (13.4) відіграє
ту ж роль, що й р = dL/dq для перетворення від L до Η (К).
Функція Гамільтона Н
H(q,p,t) = pq(q,p,t) - L{q,q(q,p,t)t) (13.5)
є перетворенням Лежандра функції Лаґранжа L. Якщо в (13.4)
^ dL дН
використаємо рівняння Ойлера-Лаґранжа р = — = ——, то
oq oq
отримаємо Гамільтонові або канонічні рівняння
дН
я =
др'
дН
(13.6)
Р =
dq
дН
dL
(13.7)
ді
dt
Для багатьох змінних і = 1,..., / спосіб дій цілком
аналогічний. /-вимірне перетворення Лежандра замінює за допомогою
переходу від швидкостей qi до імпульсів рі —dL/дсц функцію
Лаґранжа £({g}, {q},t) на функцію Гамільтона
H{{q}, М, t) = рій - L({q}, {¢), t) (13.8)
(правило підсумовування!); при цьому швидкості сц
розглядаються тут як функції імпульсів pj, qi = Яі({я}Лр}^)· Рівняння
Гамільтона
dH
Qi =
dpi’
Pi =
dH
дЯі'
(13.9)
дН
dL
dt
dt’
і = 1,...,/, задають еволюцію
системи в
часі. В такій формі
рівняння руху утворюють систему диференційних рівнянь лише

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
331
першого порядку для 2/ незалежних змінних qi(t) та Pi(t).
Гамільтонові рівняння прямо описують динаміку системи у
фазовому просторі. Як і в Лаґранжевій теорії координата qi
називається циклічною, якщо dH/dqt = 0; тоді з рівняння руху (13.9)
випливає, що рі = 0, так що спряжений з координатою qi імпульс
Рі є константою руху: р% — const.
Для явної незалежності L від t існує константа руху (див.
(10.53)), а саме інтеґрал Якобі
Ij = ж - L({q}, {q}) = #({<?}, {р}); (13.10)
у цьому випадку і функція Гамільтона є першим інтеґралом.
Якщо, крім того, кінетична енергія в узагальнених координатах є
(додатньо означеною) квадратичною формою щодо швидкостей
{g} (пор. (10.55)), так що функція Лаґранжа має вигляд
L = &ik ({9}) QiQk ^ ({9}) = Т ^ О'ік = Якії
то рк = 2аік ({q}) сц і тоді
Н = аік ({<?}) РіРк + V ({<?}) = Т + V = Е.
Отже, в цьому випадку Н дорівнює повній енергії Е системи.
Простим прикладом є тривимірний рух матеріальної точки в
потенціалі V(г) з функцією Лаґранжа
L(r,r) = mf2/2-F(r).
Оскільки р = dL/dr = mr, з (13.8) випливає така функція
Гамільтона для матеріальної точки в потенціалі ТДг):
H = p2/2m + V(r)=T + V = E. (13.11)
Частинка в центральному потенщальному полі
Функція Лаґранжа частинки в потенціальному полі V(r)
згідно з рівнянням (9.61) має вигляд (оскільки рух
відбувається лише в одній площині (z = 0), замінімо р на г)
L = у (г2 + г2ф2) - V(r).

332
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Спряжені до г і ψ імпульси будуть
dL dL о.
Рг = ~дї = тг 1 Р* = 0ф=тг<Р·,
(13.12)
так що для функції Гамільтона Н = рТг +ρφφ — L
отримуємо:
Н= £- + J^ + V(r).
2m 2 mr2
(13.13)
Вільна дзиґа
Виходячи з функції Лаґранжа (див. (11.36); L = Тг)
L = іφ/\τΘΛφ,
з Ойлеровими кутами (ф, $, ψ) =: ф як змінними (Θ і Λ — це
матриці, означені в рівняннях (11.28) і, відповідно, (11.35)),
отримаємо для канонічного імпульсу
РФ = § = ΛτΘΛ0. (13.14)
оф
Для функції Гамільтона використаємо обернену
залежність
φ = (ΑΓΘΑ)~1ρφ.
. Тому спочатку з Н = рфф — L отримуємо:
Η = рф (ΛτΘΛ)_1ρф - ірф (ΛΤΘΤΛ) 1 (ΛΤΘΛ) (ΛτΘΛ)_1ρ*
= рф (ΛΤΘΛ)-1 рф - ірф (ΛΤΘΤΛ)-1 рф
= ірф (ΛΤΘΛ) 1 рф
(Θ — діагональна матриця, тому Θτ = Θ). Врешті для
функції Гамільтона вільної дзиґи знаходимо:
Я= ір^Л-1©-1 (ЛТ)~Х рф
(13.15)

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
333
з
д-1 =
1
sint?
sin^
cos ψ sin ϋ
— sin ψ cos ϋ
cos ψ 0 \
— sin ^ sin г? 0 ),
— cos ψ cos ϋ sin ϋ J
Θ-1
/ і. ο ο \
0 f ο
h 1
ν0 0 τ /
13.1.2. 	Рух у центральному потенціалі й однорідному
магнетному полі
З функції Лаґранжа для руху зарядженої матеріальної
точки в однорідному магнетному полі з урахуванням канонічного
імпульсу (9.55) отримується така функція Гамільтона
Я=|£ + ІР<Г><В> + 8£ї(г*В>2 + У(г> <13Л6>
тп
(порівнюючи Н з Е = —ν2 + V (г), див. (5.54), треба взяти до ува-
ги, що імпульс р пов’язаний з ν рівністю (9.55)). Якщо вектори
зобразити в циліндричних координатах (В = Bez) і врахувати,
що імпульс р, виражений через спряжені до р, ψ та z імпульси
Ρρ,Ρφ і Ρζ, має вигляд (К)
Р = Ρρ&ρ Н Pz^z>> (13.17)
( qB\
то отримаємо ωζ = —
V тс)
(13.18)
Оскільки Н не залежить від координати ψ (φ — циклічна
координата), спряжений до неї імпульс ρφ є константою, яка дорівнює
(пор. (9.56))
Ρφ = I LB-

334
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Повна енергія Е — це випливає з умови dH/dt — 0 (див. далі)
— та ρφ є єдиними (ґлобальними) збережними величинами. Це
показує чисельний аналіз канонічних рівнянь для V ос 1 /г (пор.
також М. Robnik, Journ. Phys. А 14, 3195 (1981)).
Коли V ( \/р2 + z2 ) = 0, функція Гамільтона розпадається на
дві частини:
2
Z5
(13.19)
Канонічні рівняння для z і р незалежні між собою, рухи
відбуваються незалежно (пор. підрозділ 5.4). У напрямку z
відбувається вільний рух, тоді як функція Гамільтона Нр для руху в
площині (х, у) має такий самий вигляд, як у випадку
двовимірного ізотропного гармонічного осцилятора з Lz = ρφ і ω = ω^/2.
Отже, рух інтеґровний. Причина того, що отримані в результаті
траєкторії (колові траєкторії, центр яких у загальному випадку
лежить на скінченній віддалі від довільно вибраного початку
координат) все ж таки відрізняються від тих, які ми розглядали
в підрозділі 4.1 для осцилятора, полягає в тому, що різними є
збережні величини (зокрема, щодо и^; див. підрозділ 5.4 ).
Якщо для V (г) ф 0 розглядати рух у системі відліку, яка
обертається з Ларморовою кутовою швидкістю (8.64) =
В навколо початку координат г — 0, то з (8.56) одержу-
простіша функція Гамі-
2 тс
ється канонічний імпульс, а з (13.16)
льтона
.'2
н' = +
Q
2т 8тс2
(г хВ)2 + У(г),
(13.20)
в якій потенціал з’являється лише в одному додатковому члені. У
площині, яка перпендикулярна до В і на якій знаходиться центр
потенціалу (г = 0), цей член має форму гармонічного
потенціалу (К). Згадане в підрозділі 8.2.3 чисельне дослідження руху в
магнетному полі ґрунтується на канонічних рівняннях,
отриманих з Н' (див. згадану працю М. Робніка). Оскільки
зберігається імпульс ρφ = I lb, система ефективно має лише два ступені
вільності; вони описуються циліндричними координатами р і z.

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
335
Для притягального ґравітаційного або кулонівського потенціалу
V (г) = —кгп/т функція Гамільтона в обертовій системі
координат запишеться
1 Т2
£[' — 1 (Л I ,Л\ , 1 LB
m
.2 Л
кгп
2m + +
(13.21)
Вибравши систему одиниць так, щоб m — 1, отримуємо такі
канонічні рівняння:
дН'
Р =
дрР
Рр,
дН'
ζ =
dpz
Pz,
дН'
_ Яв
1
Рр —
др
Р3
“ 4
дН'
KZ
Pz
Крім енергії
dz
ω\ρ
кр
4?~
у/р2 + Ζ
гЗ’
в-\(Ρ,+ή) + + - ^к+г2.
(13.22)
(13.23)
інші збережні величини безпосередньо не виявляються; отже,
можлива хаотична поведінка1 (див. підрозділ 14.1). Розв’яжемо
ці рівняння, вибравши такі самі значення параметрів, як і у
Робніка, а саме
Ilb = ωζ = к = і- (13.24)
Ефективний потенціал
V(p,z)
J_ і 2 1
2 р2 8р ^Tz2
(13.25)
функція Гамільтона (13.16) для потенціалу V (г) = — — описує у кван-
г
товій механіці (як оператор Гамільтона) стани атома водню у сталому
магнетному полі. Там задача полягає в тому, щоб знайти всі власні значення
оператора Гамільтона як функції повного набору так званих квантових
чисел. Ця задача відповідає проблемі інтеґровності у класичній механіці.

336
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
має абсолютний мінімум при z = 0 і pm;n = 0.86198
^(Ληίη,Ο) = -0.39430.
Для значень енергії Е < 0.5 рух у напрямку 2 залишається
обмеженим2. Для Е > 0.5 частинка може віддалитися до z =
оо. На рис. 13.1 за допомогою ліній рівня зображено потенціал
Рис. 13.1. Потенціал V (ρ,ζ)
V (ρ,ζ) у ділянці обмежених траєкторій 0.39430 < V < 0.5.
Як і раніше (див. розділ 4), унаочнимо динаміку в
чотиривимірному фазовому просторі (р, ζ,ρρ,ρζ) за допомогою
послідовності точок перетину з відповідно обраною площиною Пуанкаре.
^Згідно з (13.21) завжди маємо Е > V (ρ,ζ). Оскільки, з іншого боку, для
всіх ζ справедливо
V(p,<X) = ± + ±p2>V(p,z)
і V (р, оо) при pm in = 2 має мінімум зі значенням
У (pmin, ОО) = — ,
для енергії Е необмеженого у просторі руху повинно бути
Е > Eesc — — ■

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
337
З (13.23) для кожної обраної енергії Е вилучімо координату pz
pz=pz (E,p,pp,z),
а для решти незалежних координат (р, z,pp) оберімо площиною
перетину
z = 0.
Якщо покласти pz = ρζ (Е, ρ,ρρ, z — 0) > 0, то координати (ρ,ρ^)
однозначно визначають точки перетину в цій площині. З (13.23)
також випливає, що дозволені значення змінних р і рр повинні
лежати у площині перетину Пуанкаре в межах ділянки, обмеженої
кривою
рі =2Е - £ - ї"2 + \ ' (13-26>
Результати числового інтеґрування для зростаючих значень
енергії Е об’єднані на рис. 13.2 і 13.3. Як і для системи
Ено-Ейлеса (див. підрозділ 4.2), для низьких енергій Е < 0.04, видається,
що система майже інтеґровна, проте при Е = 0.04 стає добре
помітною хаотична поведінка (пор. рис. 13.2). Типовими є численні
„ острівці “ і криві, на яких лежать точки перетину. Хаотична
ділянка збільшується зі зростанням енергії (рис. 13.3; пор. також із
вже багато разів згаданими результатами М. Робніка). Точки
перетину однієї траєкторії охоплюють все більшу частину ділянки,
обмеженої кривою (13.26).
13.1.3. 	Дужки Пуассона
З точністю до знака в рівняннях руху (13.9) координати й
імпульси цілком рівноправні; тому ми часто називатимемо їх
канонічно сцряженими (коротко: канонічними або спряженими)
змінними. У поданій далі формі канонічних рівнянь
усувається і ця різниця щодо знака.
Похідну за часом деякої динамічної величини О =
0({<г}, {р}5 £), тобто деякої функції динамічних змінних {#} і {р},

338
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Рис. 13.2. Чисельно отримані перетини Пуанкаре для руху в
потенціалі V (р, z)
можна перетворити за допомогою канонічних рівнянь (13.9) до
такого вигляду:
§=[°·4„+!τ' <із-27>
де дужки Пуассона двох динамічних змінних А та В відносно
змінних {#} і {р} означено рівністю
дАдВ дА дВ
L ’ dqidpi дРідЧі ’
(13.28)
Якщо О не залежить явно від часу t, О = 0({#}, {р}), то dO/dt =
0. Тоді з (13.27) випливає, що О незалежна від часу, dO/dt = 0,
якщо
[0,я\ЯФ = 0.
(13.29)

13.1. ГАМІЛЬТОНОВА ТЕОРІЯ
339
Рис. 13.3. При вищих енергіях перетини Пуанкаре вказують на
зростання хаотичної поведінки
Явно незалежна від часу динамічна величина О
зберігається, якщо дужка Пуассона [0,Н]д р = 0.
З означення (13.28) дужок Пуассона випливає, що
Г П1 _дО . г П1 _ до
[Яи°]ч,р др. \ \Pt,0]QjJ) д^.
Підставляючи О = Н, виразимо Гамільтонові рівняння (13.9)
через дужки Пуассона:
Яг — [ЯгіЩд^р І Pi — \Рі-> H]q,p ■ (13.30)
У такому вигляді канонічні рівняння мають цілком симетричну
форму відносно змінних {#} і {р}.

340
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
З означення (13.28) випливають також фундаментальні дуж¬
ки Пуассона для канонічних змінних qi та рр
[«> Qj]qj> = \Pi’Pj\q,p = 0. fa’Pj]q,p = δϋ· (13.31)
Запишемо деякі корисні співвідношення і властивості дужок
Пуассона, які легко довести3:
[А, А] = 0, (13.32)
[А, В] = - [В,А\, (13.33)
[А,В + С\ = [А,В] + [А,С], (13.34)
[А,ВС\ = [А, В]С + [А, С] В. (13.35)
Наведемо також ще так звану тотожність Якобі
[А, [В, С]\ + [В, [С, А]] + [С, [А, В]] = 0. (13.36)
Частинка в центральному потенщалі
Ό Р
Для функції Гамільтона (13.13), Н = —— + φ ^ + V{r)
ZiTfl ΖίΤην
канонічними змінними є τ,φ,ρτ,ρφ] тому дужки Пуассона
двох величин А і В можна записати так:
ΘΑ ΘΒ _ дА дВ дА дВ _ дА дВ
дг дрг дрг дг δφ δρφ δρφ δφ
Канонічні рівняння (13.9) і, відповідно, (13.30), виражені
через дужки Пуассона, матимуть такий вигляд:
• г rj-i дН І дн РІ
Г = ІГ’Н] = дї,=тР'· ψ = 1ψ·Η] = δΓφ = ^·
(13.37)
• _ r in _ дн _ РІ 9V ■ _ Г in _ 9Η _ η
Pr-\pr,H]~ дг - mr3 3Γ,ρφ-[ρφ,Η\- 9φ-0.
(13.38)
3Далі у співвідношеннях пропускатимемо позначення дужок Пуассона
індексами q і р, оскільки ці співвідношення виконуються незалежно від вибору
спряжених змінних.

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
341
Друге рівняння (13.38) показує, що φ є циклічною змінною,
так що знову отримуємо збереження z-компоненти
моменту імпульсу
Lz = Ρψ·
Для потенціалу 1 /г кут φ к = Ік (пор. підрозділ 5.3.2),
який визначає напрямок вектора Ленца, є ще одною
збережною величиною. Якщо її виразити через канонічні
імпульси, то
ІК (г, ¥>,Рг,Р„) =φ~ °*«Spif_Jkr/L· (13.39)
Легко показати, що виконується рівність
[LZJK} = -1. (13.40)
13.2. 	Канонічні перетворення
З різних причин (наприклад, якщо є симетрія) часто зручно в
системі, заданій функцією Лаґранжа L({q}, {g}, t) чи, відповідно,
H({q}, (р},£), перейти від координат qi до нових координат Qp
Яі = ЯіМЛ і = 1,...,/. (13.41)
Перетворення координат зумовлює перетворення функції
Лаґранжа L до L({Q}, {Q},t) і при цьому індукує перетворення
імпульсу Рі в імпульс
Pi = dL/dQu
з імпульсами Р{ можна за знайомим правилом перейти до нової
функції Гамільтона #({Q}, (Р},£).
Узагальнюючи, розглянемо тепер перетворення координат і
імпульсів до нових
Qi = <2г(М,{дМ)>
Рг = Ρί(Μ,Η,ί). (13-42)
Не є само собою зрозуміло, що перетворена Гамільтонова
функція H({Q}, {Р},£), яка отримується з #({#}, {р}Д) заміною

342
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Qi = Qi{{Q}Ap}^) і Pi = Pi{{Q},{pht)i відіграватиме для
координат {Q} і {Р} роль нової функції Гамільтона. Назвемо
перетворення (13.42) канонічним, якщо і для змінних {Q} і {Р}
виконуються канонічні рівняння, тобто якщо існує така функція
щ°
Qi =
d—=\Q
dPi ІУ”
н
Q,P
Pi = ~Ш=[Рі'Й]пр
oQi L і Q,P
(13.43)
Знайдімо тепер умови для виконання (13.43).
13.2.1. 	Твірна функція канонічного перетворення
i*t 2
Виражаючи в дії S = / dtL функцію Лаґранжа через фун-
Jti
кцію Гамільтона
t2
= J (QiPi
■ Н ({q},{p},t))dt
(13.44)
і застосовуючи принцип найменшої дії SS = 0, варіюванням
отримаємо канонічні рівняння (К). При цьому {#} і {р} є
незалежними змінними. Варіюючи член треба звернути увагу
на те, що адитивна константа до інтеґрала не змінює його
екстремальності, SS = 0. Тому до підінтеґрального виразу можна
завжди вводити адитивно часову похідну деякої функції.
Зокрема, беручи похідну для d(qiPi)/dt, прийдемо до висновку, що дії
*2 І2
еквіва-
/ {-QiPi - Н ({(/}, {р}, t)) dt та J (qiPi - Н ({g}, {p}, t)) dt
ti ii
лентні. Це потрібно використати під час варіювання стосовно р*.
Форма канонічних рівнянь не змінюється стосовно канонічних
перетворень (13.42), так що принцип найменшої дії мусить
залишатися інваріантним щодо останніх. Це означає: якщо виразити

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
343
S 	через старі і нові змінні, то мусить виконуватися рівність
δ I \pidqi - Н ({</}, М, t) dt] = dj [PidQi - Н ({Q}, {Ρ}, t) dt\ .
(13.45)
Ми зазначали, що до підінтеґральних виразів у цій формі можна
додавати повний диференціал dF довільної функції F, і при
цьому варіаційні рівняння (тобто канонічні рівняння) залишаться
незмінними4. Підінтеґральні вирази рівні з точністю до dF:
Pidqi - Н ({¢), {р}, t) dt = P{dQi - H ({Q}, {P}, t) dt + dF. (13.46)
Функція F може залежати від динамічних змінних: як від
„старих66, так і від „нових66, але серед змінних ¢/, pi, Qi і Рі
лише 2/ змінних будуть незалежними. Якщо приймемо, що F
залежить від qi і Qi і позначимо цю функцію F\ ({<?},{£?},£), то з
урахуванням (13.46) матимемо:
- д Рі dF-ι dFi
dFi = Pidqi - PidQi - (Я - H)dt = —±dqi + j-±dQi + dt.
oqi dQ% ut
(13.47)
Отже, функція F\ мусить задовольняти такі умови:
Pi
Pi
Η
dFi
dqi’
dFi
H +
W
dFi
dt ‘
(13.48)
(13.49)
(13.50)
Якщо, навпаки, нам задано функцію Fi, то ці рівняння
визначають канонічне перетворення у такому вигляді: рі = рі ({9}, {Q}, t)
iPi = Pi({q},{Q},t).
4У підрозділі 10.4 було показано, що функція Лаґранжа в заданій
сукупності координат {</} задається з точністю до адитивної повної
похідної довільної (калібрувальної) функції тобто функція Лаґранжа
L = L 4- dF/dt еквівалентна функції Лаґранжа L. Це виконується,
зрозуміло, і в нових координатах {Q}.

344
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Використовуючи іншу комбінацію незалежних динамічних
змінних, наприклад, {<?} і {Р}, підставимо в (13.46) повний
диференціал dF = dF2 ({#}, {Р},£) — d(QiPi) і отримаємо з умови
- dFo dFo dFo
dF2 =pidqi+QidPi-(H-H)dt=^dqi+-^p:dPi + -^dt (13.51)
такі рівняння:
Pi =
dF2
(13.52)
Qi
dF2
dPi'
(13.53)
// =
H.SP2
H+ at ■
(13.54)
Для двох інших стандартних комбінацій динамічних змінних
покладемо в (13.46) dF = dFz({p},{Q},t) + d(qiPi) або dF =
dF4 ({p}, {P},t) + d(qipi) — d(QiPi). Легко вивести відповідні
рівняння для F3 ({р}, {Q}, t) і F4 ({р>, {Р}, t) (К).
Функції Fi, ^2,^3,^4 назвемо твірними функціями
(канонічних перетворень). Стандартні позначення для цих типів твірних
функцій такі:
Рі = ^ ({<?},{<?},<), F2 = F2({q},{P},t),
Рз = F3({p},{Q},t), F4 = F4({p},{P},t). (13.55)
Ми цікавитимемось тільки твірною функцією типу F2 ({#}, {Р})·
Отже, якщо задано перетворення (13.42) і його можна
записати в одній з чотирьох форм, наприклад, (13.52) і (13.53), за
допомогою функції F (яку треба спочатку раз визначити), то таке
перетворення канонічне, і нова функція Гамільтона Н ({Q}, {Р},£)
отримується, наприклад, з (13.54), причому в правій частині
треба підставити qi = qi({Q}, {P},t) і pi = Pi({Q}, {Р},£). Якщо є
явна незалежність від часу функції F, а тим самим і
перетворень (13.42), рівняння для третьої умови і відповідне рівняння
для перетворення зводиться до
н (Ш {Р}, t)=H ({q({Q}, {Р})}, {p({Qh {P})h t) . (13.56)

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
345
Простими прикладами канонічних перетворень є чисті
перетворення координат (13.41) (які називають також точковими
перетвореннями). Твірну функцію точкових перетворень легко
задати: вона має вигляд
/
F2({q},{P},t)=Y/Ql({q},t)Pl.
г=1
Виділимо дві твірні функції канонічних перетворень.
Перше перетворення відповідає функції
Fi = qiQi. (13.57)
Відповідні рівняння перетворень такі:
Pi = Qi, Рг = ~Яі І н = Н. (13.58)
Координати й імпульси взаємно замінюються; різні знаки є
наслідком форми канонічних рівнянь. Це перетворення показує, що
в межах Гамільтонової теорії суттєвої різниці між імпульсами та
координатами немає.
Друге перетворення відповідає функції
F2 = qiPi. (13.59)
З рівнянь (13.52), (13.53) і (13.54) випливають такі рівності:
Рі = Рг, Qi = qi і Н = Н\ (13.60)
тобто це тотожне перетворення (це саме маємо для F3 = — QiPi)·
Ця твірна функція є вихідним пунктом для інфінітезимальних
(нескінченно малих) перетворень, тобто перетворень, які
нескінченно мало відрізняються від тотожних (див. далі).
Гармонічний осцилятор
Функція Гамільтона одновимірного гармонічного
осцилятора має такий вигляд (К):
Н = р2/2т + ти2х2 / 2.

346
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Застосувавши канонічне перетворення з твірною функцією
типу F\ (див. (13.55)):
F(x, Q) = ^тих2 ctgQ,
отримаємо такі формули для рівнянь (13.48) і (13.49)
dF
р = — = muxctgQ
ох
р _ dF _ πιωχ2 1
dQ 2 sin2 Q
Звідси отримаємо x і p як функції Q і Р:
х =
sin (2
πιω
р = v2mcJPcosQ.
Підставляючи в Н, знаходимо (dF/dt = 0)
Η = ωΡ = Ε.
Отже, Q — циклічна координата, так що Р = 0, тобто Р =
const, а саме
Р = Ε/ω.
Q . a dH
З рівняння Q = —- = ω випливає, що
оР
Q = ut + φ.
Отже, для змінних х і р знаходимо відомі розв’язки
і 2Е
х = \ sin(u;t + φ), р = л/2гпЕ cos (ut + φ).
V πιωζ
Канонічні інваріанти
Встановимо тепер деякі величини, які не змінюються відносно
канонічних перетворень. Насамперед інваріантні відносно таких
перетворень фундаментальні дужки Пуассона (13.31). Є навіть
таке твердження (див. [15, 16]):
Деяке перетворення канонічне тоді і тільки тоді,
коли фундаментальні дужки Пуассона інваріантні,
тобто коли
[Qii Pi]q,p = $iji
[Qi>Qi]q<p = [Pi,Pi)qj, = о· (13·61)

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
347
Отже, властивість деякого перетворення бути канонічним не
залежить від заданої функції Гамільтона: якщо перетворення
канонічне, то воно таким буде для будь-якої (форми) функції
Гамільтона. Одним із наслідків (13.61) є таке співвідношення для
двох функцій А і В (К)
[А,В]Яф = [А,В]^Р, (13.62)
де в другій дужці Пуассона А і В треба розглядати як функції
від qi({Q}, {Р}) та Pi({Qb {*Р})· Отже, немає потреби вказувати,
щодо яких змінних беруться дужки Пуассона, тому далі індекси
біля дужок пропускатимемо.
До величин, які не змінюються стосовно канонічних
перетворень, належать так звані інваріанти Пуантре. Одним з них є
елемент об’єму у фазовому просторі fj dqidpi. Його
Інваріантів
ність випливає з такої властивості визначника Якобі канонічного
перетворення (див. [18]):
D := det
d(Qu...,Qf,Pu...,Pf)\
При цьому не змінюється величина елемента об’єму:
/ / /
Д dQidPi - D Д dqidpi = Д dqtdpt
г=1 і—І і—І
(13.63)
(13.64)
а отже, і величина деякого заданого об’єму у фазовому просторі
інваріантна відносно канонічного перетворення. Це твердження
важливе, зокрема, для дослідження хаотичної поведінки
Гамільтонових систем (пор. теорему Ліувілля про об’єм фазового
простору в підрозділі 13.2.4).
13.2.2. 	Інфінітезимальні канонічні перетворення
Твірною функцією інфінітезимального канонічного
перетворення
= 9* + ε/i ({д}, М) >
= Рі + єді ({q}, {р})
Qi
Рі
(13.65)

348
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
з нескінченно малим параметром є є функція, яка нескінченно
мало відрізняється від твірної функції тотожного перетворення.
Якщо ВЗЯТИ твірну функцію типу і*2, тоді твірна функція
тотожного перетворення задається виразом (13.59). Тому твірна
функція перетворення (13.65) повинна мати такий вигляд:
F2 = qiPi + eJ({q},{P}).
Використання умов (13.52), (13.53) у (13.66) дає:
(13.66)
dF2 8J
Pi = = Pi + ε-r—
dqi oqi
n_m_ , oj_.
4i dp Чг + ЄдРі'
порівняння з (13.65) приводить до рівностей:
9і = ~
д£
dqi
fi =
dJ
дРі
(13.67)
J назвемо твірною інфінгтезимального перетворення5. Оскільки
Рі відрізняється від рі лише на О (є), то в цьому наближенні J =
Зміна динамічної величини 0({^}, {р}) при інфінітезимальних
канонічних перетвореннях (13.65) виразиться так:
Ю = 0({, + sf), {р + eg)) - 0({,}, {р}) = £ (|^/і + ^ft) .
Якщо сюди підставити (13.67) і врахувати, що Р{ = pi + eg^ то
отримаємо інфінітезимальну зміну О, індуковану перетворенням
(13.66):
S0 = e[0,J]. (13.68)
Прикладом інфінітезимального перетворення є незалежний
від часу поворот системи координат на нескінченно малий кут δφ
(= є у (13.65)). Якщо одиничний вектор η визначає напрям осі
обертання, то вектор положення г переходить у вектор г' згідно
з такою рівністю (див. рівняння (8.19), тепер пасивний поворот
вектора!):
r' = г + δφ(η х г) (13.69)
5Використовується також термін ґенератор канонічного перетворення. —
Примітка перекладача.

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
349
(qi є тепер декартовими координатами вектора r, a Qi —
вектора г'). Поворот системи координат спричиняє зміну кожного
вектора, зокрема імпульсу р, а саме6
р' = р + δφ(η х р) (13.70)
(Рі —р\ ). З (13.67) випливає
(13.71)
(13.72)
Компонента моменту імпульсу в напрямку осі
обертання є твірною функцією (Генератором)
інфінітезимального повороту.
Можна також показати, що для інфінітезимальног
трансляції уздовж вектора а твірною функцією буде (К)
J = ар. (13.73)
Компонента імпульсу вздовж деякого вектора є
Генератором інфінітезимального зміщення в напрямку
цього вектора.
r' - г = δφ(η х г) = δφ—,
др
r\ J
р' -Р = δφ(ηχρ) = -δφ—.
Просте інтеґрування дає:
J = —г(п х р) = п(г х р) = nL.
Часову еволюцію системи можна також розглядати як
канонічне перетворення. А саме: якщо в інфінітезимальних
канонічних перетвореннях (13.65) покласти J = #({<?}, {р}) і є = eft, то з
урахуванням (13.67) з (13.65) спочатку отримаємо
Qi = Яі +
dpi
р дН А*
Р% = Pi - -w-dt.
дЯг
6Це випливає також з (13.69) диференціюванням за часом і наступним
множенням на масу.

350
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
Qi та Р, нескінченно мало відрізняються від </, та pf Qi = qi + dqi,
Pi = Pi + dpi. На основі канонічних рівнянь (13.9) отримаємо
dq%
dpi
dH
дрг
dt = qidt — qi{t + dt) - qi(t),
dH
-—dt =pidt = pi(t + dt) ~Pi(t). (13.74)
uQi
Отже, функція Гамільтона індукує інфінітезимальний зсув
координат й імпульсів при зміні часу від t до t + dt. Оскільки
добуток двох канонічних перетворень є знову канонічним
перетворенням, то еволюцію системи в часі можна розуміти як добуток
канонічних перетворень, для кожного з яких твірною є функція
Гамільтона.
13.2.3. 	Симетрії і закони збереження
Поставимо тепер запитання, як поводиться функція
Гамільтона Н відносно інфінітезимального канонічного перетворення,
твірною якого є функція J. Відповідь дає рівняння (13.68): якщо
за динамічну змінну візьмемо Н (О = ії), тоді для зміни Н при
канонічному перетворенні знайдемо:
δΗ = є [Я, J]. (13.75)
Звідси видно, якщо виконується рівність
[tf,J]= 0, (13.76)
то функція Н інваріантна щодо цього перетворення, δΗ = 0. З
іншого боку, з (13.27), враховуючи О = J, отримуємо для зміни
в часі величини J = J({^}, {р})
— = [І,Я]. (13.77)
Враховуючи (13.76), можемо сказати, що інваріантність Н
зумовлює часову незалежність твірної функції J:
(13.78)

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
351
Якщо функція Гамільтона системи інваріантна
відносно деякого інфінітезимального канонічного
перетворення., то твірна функція цього перетворення
зберігається в часі.
Тривіальним прикладом є сама функція Гамільтона (J = Н з
dH/dt — 0). Порівняно з теорією Лаґранжа (див. підрозділ 10.4)
зв’язок між інваріантністю (симетрією) і законами збереження
у межах Гамільтонової теорії виражається дуже безпосередньо і
чітко. Інваріантність Н пов’язана з часовою зміною J (див.
рівняння (13.75) і (13.78)): якщо SH дорівнює нулеві, то J є
величиною сталою. Доповнимо цей загальний закон одним конкретним
прикладом.
Нехай Н інваріантна відносно інфінітезимальних поворотів
(13.69), (13.70). їх твірною функцією є компонента моменту
імпульсу в напрямку осі обертання n, J = nL (див. (13.72)), так що
згідно з (13.76)
[Я, nL] = 0. (13.79)
Отже, nL також зберігається (пор. (13.77)). Якщо Н інваріантна
відносно обертань навколо довільної осі обертання п, то з (13.79)
випливає, що
[Я,Ь] = 0; (13.80)
але тоді, згідно з (13.77), момент імпульсу L = L(r,p)
зберігається:
dL/dt = 0.
Цілком аналогічно можна показати, що і для
інфінітезимальних трансляцій зберігається ґенератор J = ар, тобто імпульс
уздовж напрямку трансляцій а. Якщо а довільний, то імпульс є
константою (К).
13.2.4. 	Потік у фазовому просторі
Канонічні рівняння (13.9) є диференційними рівняннями
першого порядку для 2/ змінних фазового простору
i = G(z),
£= ({?}>{?})
(13.81)

352
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
З 2/-КОМПОНЄНТНИМ векторним полем
Множину всіх розв’язків
Zi = Ct({zto ЬМо), * = 1,...,2/
(13.82)
для всіх можливих початкових умов zto = z(t = to) назвемо
потоком у фазовому просторі. Якщо потік відомий, то для кожної
початкової ситуації ztQ можна задати точку z, яка досягається в
момент часу t (це правильно для обох напрямків часу). Для
незалежної від часу функції Гамільтона Η = Η (z) канонічні
рівняння є автономною системою; тому вони інваріантні відносно
часових трансляцій.
Симплектична (= переплетена) структура7 канонічних
рівнянь має два особливі наслідки (пор. у зв’язку з цим зауваження
наприкінці підрозділу 4.4):
i) Для інтеґровності автономної системи рівнянь досить /
перших інтеґралів (у загальному випадку потрібно знати
2/ — 1); ми займемося цим у наступному розділі.
ii) Величина об’єму в фазовому просторі залишається сталою.
Основою для цієї другої властивості Гамільтонової системи є
вже згадана особливість (13.63) визначника Якобі довільного
канонічного перетворення, якщо її застосувати до часової еволюції
системи. Як було з’ясовано, цю еволюцію можна розглядати як
канонічне перетворення.
Якщо записати інфінітезимальне канонічне перетворення для
часової еволюції системи (рівняння (13.65) з є = t — to і J = Н) у
змінних Я = ({Q}, {Р}) і z, то матимемо
Я — z + (t — to) G,
7Часові похідні координат {</} (перші / компоненти z) визначаються
похідними Н за імпульсами {р} (другі / компонент z), а часові похідні імпульсів
— похідними за координатами.

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
353
де G задається формулою (13.82). Звідси для похідних
отримуємо:
Для матриці І + єЩ яка нескінченно мало відрізняється від
одиничної, маємо:
Враховуючи означення (13.82) векторного поля G, отримуємо
що узгоджується з властивістю (13.63) визначника Якобі
канонічного перетворення. Кінцевий наслідок для системи рівнянь
(13.81) такий: у всіх Гамільтонових системах маємо рівність
Стан системи в момент часу t визначається заданням усіх
фазовому просторі. Рух цієї точки у фазовому просторі
реґулюється рівняннями Гамільтона. Розгляньмо тепер різні реалізації
системи (з різними близькими початковими умовами). Вони
утворюють у фазовому просторі множину точок, яка в момент часу
to міститься в певному об’ємі V (to)
det (I + єМ) = 1 + eSpM+O (ε2).
Звідси випливає, зокрема, що
dGi д2Н д2Н
(13.83)
dzi dqidpi dp1dql
Це означає, що
(13.84)
(13.85)
координат й імпульсів. Йому відповідає точка в 2/-вимірному

354
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
1Z є областю інтеґрування змінних z. Окремі точки поводяться у
фазовому просторі відповідно до рівнянь Гамільтона. В час t$+dt
ця множина точок займає об’єм
де Z_ — канонічні змінні системи в цей момент часу. Як ми вже
зазначали, вони є образами змінних z щодо інфінітезимальних
перетворень. Так само область інтеґрування Ті! є образом TZ. Тоді
згідно з (13.64) та, відповідно, (13.84),
об’єм цієї області є константою. Форма цієї множини точок (і
водночас об’єму, в якому вона міститься), може змінюватися:
Величина об’єму у фазовому просторі для
Гамільтонових систем є сталою в часі (але не обов’язково
форма!).
Це одна з форм теореми ЛІУВІЛЛЯ (J. LIOUVILLE, 1809—
1882); множина точок поводиться як нестискальна рідина. У
фазовому просторі динамічної системи з дН/ dt = dHjdt = 0 рух не
може асимптотично наближатися до деякого атрактора з
меншою вимірністю (пор. підрозділ 4.4).
.Якщо покладемо тепер у (13.68) SO = dO (при є = dt і J = ії),
то знайдемо знову рівняння для зміни в часі величини О (див.
(13.27)). Його можна також записати як рівняння Ліувілля
де С := [...,ίΖ] — так званий оператор Ліувілля.
Доповнення і питання
1. 	Покажіть, що Н є результатом перетворення Лежандра
функції L.

13.2. КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
355
2. Який вигляд має функція Гамільтона і канонічні рівняння
для
i) двовимірного ангармонічного осцилятора?
ii) руху матеріальної точки в потенціалі 1/г?
3. Виведіть співвідношення (9.61) і форму (13.17) функції
Гамільтона, виходячи з функції Лаґранжа в циліндричних
координатах (13.18).
4. Розгляньте в обертальній системі відліку плоский рух, який
описує функція Гамільтона
н = ^№+ύ) + ν№+'ή + ι&1*ί+«*)·
Запишіть рівняння
V^yjxi + y2) =
руху
1
і проаналізуйте розв’язки для
у/х2 +У2
5. Покажіть, що при канонічному перетворенні [A,B\q^p =
[A>B]q,p ·
6. Переконайтеся, що виконуються співвідношення (13.39) і
(13.40).
7. 	Виведіть рівняння Лаґранжа з (13.44).
8. 	Наведіть умови інтеґровності для твірних функцій типу Рз
iF4.
9. 	Розгляньте функцію Гамільтона для одновимірного гармо-
1 о πιω2 9 лг .
нічного осцилятора Н = -—ρΔ Л —q . У рівняннях
перетворення т
Q = Х(р + imojq), Р = \(р — imuq)
визначіть константу λ так, щоб перетворення від {q,p) до
(Q,P) було канонічним. Який вигляд має твірна функція
F2 (q, Р)? Знайдіть Н (Q, Р) і канонічні рівняння для Q і Р.

356
Розділ 13. КАНОНІЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
10. 	Наведіть твірну функцію типу Р) для перетворення з
твірною функцією F(q: Q) = \muq2 ctg Q.
_ , , _ч mnuoq / 2Р 0 ^ q
Розв язок: і*2 (<?, Р) = — ■■■ \/ q1 + Parcsm —=
2 	V mu; /2р
11. 	Знайдіть твірну функцію J для інфінітезимальних
трансляцій.
12. Який вигляд має J для константи руху (наприклад, для
закону руху центра інерції)?  1313. Напишіть явно канонічне перетворення, твірною функцією
якого є вектор Ленца (пор. підрозділ 5.3.2). (Вказівка: J =
АК, де А — довільний вектор).

Розділ 14
Теорія Гамільтона-Якобі
Канонічні перетворення не лише дають змогу краще
зрозуміти зв’язок між властивостями симетрії системи та
інтеґралами руху, вони також ефективні при обчисленні цих інтеґралів за
стратегією розв’язування канонічних рівнянь, яку подаємо далі.
14.1. 	Інтеґровність
У системі з / ступенями вільності існує, у принципі, (2/ — 1)
збережних величин (див. підрозділ 10.1). Рух такої системи буде
визначено, якщо вдасться знайти явно (2/ — 1) незалежних
констант руху (означення незалежності див. далі, пункт ііі) ). Дуже
рідко це можна зробити відразу, тобто не знаючи розв’язків. У
тих не дуже частих випадках, коли кількість відомих збережних
величин достатня для розв’язання задачі, систему називають
інтеґровною.
Якщо, наприклад, вдається знайти канонічне перетворення
(13.42), у результаті якого всі координати (або імпульси) стають
циклічними, то система інтеґровна. А саме, якщо усі нові
координати Qi циклічні, то Н залежить лише від (нових) імпульсів
Рй
Н = Н{ Р), Р = (Pl,...,Pf), (14.1)
які внаслідок рівнянь Pi = —dH/dQi = 0 є сталими:
Pi — const =:
(14.2)

358
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
і Η (Р) = Н (/З).1 Але звідси випливає, що
■ ип ип
Qi = №rWi=''v' = const’ (14'3)
так що при цьому
Qi = Vit + Oii, і = 1,...,/, (14.4)
де а.і — сталі інтеґрування. А це вже розв’язок заданої системи.
Якщо потім установимо, що рух залишається обмеженим, то
Qi мусять залишатися скінченними; звідси випливає, що
величини щ є типу кутів (тобто означені mod27r). Це доводить таку
теорему Ліувілля про інтеґровність:
Гамільтонова система з / ступенями вільності є
інтеґровною (на деякому підпросторі U фазового
простору), якщо відомі / функцій І{ (на U) з такими
властивостями (не обмежуючи загальності викладу, можна
покласти І\ = Н):
І)
ii)
iii)
[Іі,Н] = 0, тобто І{ збережні величини,
[/і, Jj] = 0, величини Іі є в інволюції,
повні диференціали dli = dqk + τ~~ dpk лінійно неза-
oqu дрк
лежні, тобто ранґ / х 2/ матриці коефіцієнтів
(dh діл
\dqk' dpi)
дорівнює /, тут і — /-індексів, що нумерують стрічки, а к
та І — 2/-індексів, які нумерують стовпчики.
Перший приклад величин, які не перебувають в інволюції, є
компоненти збережного моменту імпульсу L однієї частинки. Дужки
Пуассона мають для них такий вигляд:
[Li,Lj\ = SijkLk·
1 Задля короткості і прозорості всі величини, які лежать або в /-вимірному
координатному підпросторі, або в /-вимірному імпульсному підпросторі 2/-
вимірного фазового простору, записуватимемо як /-вимірні вектори.

14.1. ІНТЕҐРОВНІСТЬ
359
З 	трьох компонент L можна утворити максимум дві збережні
величини, які перебувають в інволюції: стандартний вибір — це
L2 і Lz (К). Це потрібно врахувати в обчисленні збережних
величин, щоб з’ясувати питання про розв’язність системи. Якщо,
наприклад, розглянути рух частинки в потенціалі 1/г, то
кількість незалежних ступенів вільності / = 3 і, згідно із загальними
результатами (підрозділ 10.1), потрібно знайти 2/-1 = 5
незалежних інтеґралів руху, щоб суто алгебрично визначити
траєкторію як криву перетину відповідних гіперповерхонь. У цьому
випадку існує п’ять незалежних інтеґралів руху (ії, L, /#), але
максимум три (= /) з них, наприклад, ії, L2 і перебувають
в інволюції. Як уже було зазначено (див. (13.40)), для вектора
Ленца виконується рівність
[LV,IK} = -1.
Подібну ситуацію маємо для двовимірного ізотропного
гармонічного осцилятора (див. підрозділ 4.1). Максимальна кількість
незалежних інтеґралів руху — три; це, наприклад, такі величини:
Н = 2^ (Рх2 + Ру2) +^{х2+ У2) ,
Lz = хру - рху,
ТТ 1 2 та;2 ї
Нх = -—рх -І х .
2 пгу 2
Але з них Нх і Lz не перебувають в інволюції, оскільки (К)
[Lz, Нх] = —рхру + тш2ху = ті4.
т
Аналогічно для руху в магнетному полі (підрозділ 5.4) маємо
такі інтеґрали руху в площині, перпендикулярній до В:
н, Ρψ = I LB, ψιι = Ψ + arctg
Ρφ + \mp2U)z
PPp
Тут виконується, насправді, рівність [Η,ρφ] = 0, але
\Ρφ,ψν] = “І·

360
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОВІ
У наведених прикладах існує максимум / незалежних інтеґралів
руху, які перебувають в інволюції2.
Тепер окреслимо схему доведення теореми Ліувілля, яка
складається з багатьох кроків (для точного формулювання і
деталей див. [10, 28]). Многовид, у якому відбувається рух,
міститься в 2/-вимірному фазовому просторі. Кожен інтеґрал руху
І і — const редукує вимірність цього многовиду на одиницю, і
водночас можна виключити одну динамічну змінну, так що рух
інтеґровної системи відбувається на диференційовному многовиді
ф у фазовому просторі, вимірність якого (не більша) /. Далі
будемо розглядати тільки обмежені рухи; для них ф є компактним
(крім того, простим зв’язним) многовидом. ф можна
відобразити на деякий „ простіший “ многовид, а саме ф „ еквівалентний “
(коректно треба було б сказати дифеоморфний, тобто існує
ізоморфізм між двома диференційовними многовидами) /-вимірній
поверхні деякого (гіпер)тору (часто говорять просто /-вимірний
тор). Доведення цього твердження просте: з інтеґралів руху Ц
утворюють 2/-КОМПОНЄНТНІ векторні поля
Vi = (Vp/i, — Vgf/г), г = 1,...,/
(V9 = (d/dqi,..;, d/dqf) і аналогічно Vp). 2/-вимірні нормалі до
ф Є нормалями ДО (гіпер) поверхонь іі = const (ф є множиною
перетинів усіх цих поверхонь; пор. рис. (4.3))
— (Vgf/j, Vp/j), j = 1, . . . , /,
вони ортогональні до векторів V^:
ViUj = - [Іі, Ij\ = 0 Vi,j,
оскільки Ii згідно з іі) перебувають в інволюції. Тому вони всюди
паралельні до поверхні многовиду ф, який внаслідок
припущення про обмеженість руху мусить бути компактним. Водночас ф
можна „ пригладити “, щоб не виникали вихори або вершини (там
Viiij невизначені), так що тоді він має топологію тора
(наприклад, для кулі мусять існувати точки, в яких Vi неозначені).
2Це підсилює здогадку, що взагалі існує максимум / незалежних перших
інтеґралів з властивістю іі). Це зробило б також зрозумілим кількість
незалежних величин, необхідних у квантовій механіці для повного визначення
енергетичних рівнів.

14.1. ІНТЕҐРОВНІСТЬ
361
Оскільки розміри ф визначаються інтеґралами руху, то цими
інтеґралами визначаються також розміри (= радіуси) тора. При
цьому (сталі) радіуси є функції величин /¾.
Часову еволюцію системи, зображену як рух точки в 2/-
вимірному фазовому просторі на /-вимірній поверхні
мйоговиду ф, можна зобразити за допомогою канонічного перетворення
(яке ще треба сконструювати) як рух точки на /-вимірній
поверхні тору в деякому (/ + 1)-вимірному просторі. На поверхні тору
кожну точку можна зафіксувати заданням / кутій:
θ = {θχ (14.5)
варіація 0j при фіксованих інших кутах описує коло- на
(гіпер)торі, радіус Jj якого визначається інтеґралами руху. На рис.
15.1 зображено ситуацію для двох ступенів вільності. Для
динаміки на торі радіуси Jj є змінними, спряженими до кутів 0j.
Тому перетворення ф на тор мусить переводити інтеґрали руху
I = (Ji,..., If) також у сталі величини J = (Ji,..., ), спряжені
до кутів 0, тобто фундаментальні дужки Пуассона мають такий
вигляд:
\Jii Jj] — \βΐ4^ΐ\ — 0? = ^ij· (14.6)
Рівно ж і функція Гамільтона початкової системи переходить у
функцію Гамільтона Н (0, J) для руху на торі. Оскільки Ji сталі,
то з J = —'VeH = 0, випливає, що θ{ є циклічними: Н = Н (J).
Водночас з рівнянь 0 = V jH = const випливають рівняння руху
ίβ=“· <ΐ4·7>
де сталі частоти обертання ω = (оц,... ,ω/) визначаються з
рівностей:
ω = u;(J) := VjH. (14.8)
Для довільних значень ω\ рух на торі майже періодичний
(квазіперіодичний), тобто з часом він покриває цілий тор (див.
підрозділ 15.2). Інтеґрування рівнянь руху (14.7) і знаходження
розв’язку є простим. Складнішу частину дослідження, а саме явне
конструювання таких змінних, які параметризують рух на торі,
проведемо в наступному розділі.

362
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
У загальному випадку необхідно спочатку знайти / інтеґралів
руху з властивостями і) - ііі)3. Викладемо тепер один з методів,
який, у принципі, можна використати для канонічного
перетворення функції Гамільтона до нових циклічних координат.
14.2. 	Метод Гамільтона-Якобі (для систем,
незалежних від часу)
14.2.1. 	Рівняння Гамільтона-Якобі
Знайдемо рівняння для твірної функції канонічного
перетворення, яке задану функцію Гамільтона переводить в
очевидно інтеґровну, наприклад, залежну лише від нових імпульсів.
Вихідним пунктом є незалежна від часу функція Гамільтона
Н = Н (q, р). Здійснимо незалежне від часу канонічне
перетворення з твірною функцією типу і*2, яку прийнято позначати
W = W( q,P);
її називають також (обмеженою) скороченою функцією дії або
характеристичною функцією Гамільтона. Між старими і
новими канонічними змінними виконуються, згідно з (13.52), (13.53) і
(13.54), такі співвідношення:
р = V9w,
(14.9)
Q = VPW,
(14.10)
H(Q,P) = H(q,p).
(14.11)
Тут враховано, що W явно не залежить від часу. Але тепер ми
вимагатимемо, щоб функція Н залежала лише від перетворених
імпульсів, які при цьому будуть сталими:
я(о,р) = я(р)
(14.12)
3Встановити, чи задана система інтеґровна, можна за допомогою тесту
Пенлеве (Painleve). Але це питання лежить за межами нашого розгляду.
Щодо цього рекомендуємо [62, 64].

14.2. СИСТЕМА, НЕЗАЛЕЖНА ВІД ЧАСУ
363
(пор. (14.1) і (14.2); вважаємо, що умови інтеґровності і) — ііі)
попереднього підрозділу виконуються). Оскільки Н — Н{Р), то
Я не є додатковим інтеґралом руху:
Η(Ρ) = Η(β)=:Ε(β). (14.13)
Рівняння для твірної функції W такого канонічного
перетворення отримаємо з (14.11), враховуючи (14.13). Підставляючи
(14.9) 	у ії, знаходимо з (14.13) і (14.11) диференційне рівняння
Гамільтона-Якобі для незалежної від часу системи:
Я (q, VqW) = Н (Оqu ..., qf), (^,..., ^)) = E. (14.14)
Це диференційне рівняння в частинних похідних для функції дії
W у / змінних q{. Знайдемо так званий повний інтеґрал,
тобто розв’язок W, який залежить від / констант /¾. Ці /¾ можна
взяти за (сталі) імпульси спряжені координати Qi можна
тоді знайти з (14.10), Qi = dW/dPi = θ\ν/δβ{Α. Згідно з (14.3) їх
залежність від часу визначається константами
^ = дН (β) /θβ{ = дЕ (β) /ад. (14.15)
Рівняння Гамільтона-Якобі є інструментом, за допомогою якого
можна (в принципі!) систематично (без інтуїції і спроб)
перетворити функцію Гамільтона системи до такої форми, в якій
інтеґровність, а отже і розв’язок очевидний. Тому це рівняння
важливе також при наближеному обчисленні інтеґралів руху (див.
розділ 15).
У загальному випадку Е є функцією всіх /¾. Не обмежуючи
загальності, на практиці вибирають константи /¾ переважно так,
що
βι =Е. (14.16)
Оскільки Qі =
дН
9βι
дЕ
№
= 1, то
Qi = t + au (14.17)
4У загальному випадку функція Гамільтона залежала від Q і /З, Н =
Н(Q,/3), але, оскільки /¼ = const, то з β = —'VqH = 0 випливає, у згоді з
(14.13), що Qi циклічні змінні.

364
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
і внаслідок того, що інші βρ і = 2,..., / незалежні від Е = βі,
маємо Qi = дН/δβ{ = dE/dpi = щ = 0, так що
Qi = ai, * = 2,...,/. (14.18)
Ці (/ — 1) рівнянь визначають траєкторію, a Qi дає розгортання
руху в часі. 2/ сталих а* і /¾ визначаються початковими умовами
для q{ і pi. На практиці виявляється, що розв’язування рівняння
Гамільтона-Якобі переважно не простіше, як пряме
розв’язування рівнянь руху.
14.2.2. 	Система, яку можна розділити
Розгляньмо систему, для якої виконується припущення про
розділення стосовно змінних qp.
f
W = YjWi{qhfi). (14.19)
i= 1
Тоді рівняння Гамільтона-Якобі (14.14) можна розкласти5 на
незалежні рівняння для Wi (у цьому підрозділі не діє правило
підсумовування за індексами, які повторюються!)
dWi
’ %
(14.20)
Такі системи назвемо сепарабельними. Але при цьому
сепарабельність залежить від вибору координат qp Розв’язуючи (14.20)
dWі . (ΛΛ^ dWi
відносно ——, отримаємо згідно з (14.9): —— = pi \qpp).
dq% dqi
Сепарабельність властива усім системам, для яких функція
Гамільтона має форму
/
#(q,p) = Y^hi(qupi).
і-1
Як приклад розглянемо
5 Для несепарабельних систем рівняння Гамільтона-Якобі не приносить
особливої користі у розв’язуванні рівнянь руху.

14.2. СИСТЕМА, НЕЗАЛЕЖНА ВІД ЧАСУ
365
Двовимірний гармонічний осцилятор
Функція Гамільтона для анізотропного двовимірного
гармонічного осцилятора, який ми розглядали в підрозділі 4.1,
має вигляд (К)
н = ^(pl+p2y) + j(“lx2+ ω1ν2)· (14·21)
Система явно сепарабельна, рух розділяється за осями х
та у, так що для функції дії маємо:
W = Wx{x) + Wy{y).
Рівняння Гамільтона-Якобі
(14.22)
також сепарабельне: якщо його записати у вигляді
и 1 (dwx\2 т 22 1 (dwv\2 , m 2 2
-Τ'·* =2™UrJ +T<V =*’
то оскільки права і ліва частина залежать від різних
змінних, кожна з них мусить дорівнювати деякій константі /¾.
Складові енергії Ех та Еу є константами розділення:
+ = А-А = Е-Е, = Е.,
Розв’язки рівнянь (14.23) мають вигляд:
х
Wx (х,Ех) = J dx'y/2mEx - τη2ω%χ'2
(14.23)
(14.24)
і <2Е
= - І x\j2mEx - πι2ωΙχ2 Η -
Ux
arcsin x
2 Ex
πιωζ
Wy(y,Ey) = J dy'yj2mEy - \
(14.25)
1
2
y^lmEy - т2шІу2
+
2Ey
—- arcsin
У
πιωΐ J

366
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
Тепер рух системи визначають координати Qj,
спряжені до узагальнених (сталих) імпульсів /¾. Часову еволюцію
руху знаходимо (див. (14.10) і (14.17)) з рівності:
Л dW dW dWx
Q' = m= as= sw=t+n-
Оскільки
dW,
dE
- = — [ dx1 ( 2^E Ey^ - χ'Λ
τ ω J \ πιωΐ )
-1/2
1 .
= — arcsin x
ωχ \
2 Ex \
πιω* ) ’
то
X —
2 Ex
mwl
sin(cJxt + Qi),
ol\ = ωχα\.
(14.26)
З рівняння (nop. (14.18))
_ dW dW
~ dfo ~ dEy ~ "2
отримуємо рівняння траєкторії6
(14.27)
6Для ізотропного осцилятора, коли ωχ = ωυ = ω, підстановка
х
2 Ех
πιω2
=: х/а = cost/?,
=: y/b = δϊηφ
є розв’язком, якщо фазовий кут a2CJ вибрати таким, що дорівнює —π/2.
Звідси випливає рівняння еліпса у звичайній формі: (х/а)2 + (у/Ь)2 = 1.
Для загального співвідношення частот можна виразити с*2 з рівняння
траєкторії через початкові дані, підставляючи у праву частину (14.27)
замість х та у значення хо та у о. Враховуючи, що ν2/ω2 = 2Εχ/πιω2 —
х2 та відповідні співвідношення для vy,vx і Vy, і беручи до уваги, що
arcsin z = arctg (z/у/1 — z2), з (14.27), можна тоді вивести знайдену в
підрозділі 4.3 „некорисну“ збережну величину (4.21).

14.2. СИСТЕМА, НЕЗАЛЕЖНА ВІД ЧАСУ
367
і звідси з використанням (14.26)
У = \—|-sin(wyi + Q2), а2 = ων(αι + а2). (14.28)
V тшу
В узагальнених імпульсах функція Гамільтона
виражається просто:
Н = . (14.29)
Тут відсутні циклічні координати Q\ та Q2· Розв’язування
цим способом вимагає більше праці, ніж пряме
розв’язування рівняння руху, але воно дає безпосередньо константи
руху і „нормальну форму“ Н.
Припущення про роздільність (14.19) особливо просте, коли
функція Гамільтона не залежить від однієї чи більше координат.
Якщо, наприклад, — циклічна, то покладемо
W(q,fi) = q^k + J2wi(ql^), (14.30)
іфк
тоді і спряжений до циклічної координати імпульс буде сталим
(Рй — 0к— Рк)· Для застосування цього припущення розглянемо
Рух у центральному потенщалі
У сферичних координатах функція Гамільтона має вигляд
(к)
н = —
2т
Pr + zj +
r2 sin21
+ V(r).
(14.31)
Для обмеженої (скороченої) функції дії W властивість
розділення
W = Wr(r) + \νϋ(ϋ) + Wv{<p) (14.32)
приводить до мети. Оскільки координата φ — циклічна, то
згідно з (14.30) за методом розділення
ννφ(φ) = βφφ, (14.33)
причому константа розділення βφ внаслідок ρφ — dW/8φ =
βφ, є z-компонентою збережного моменту імпульсу:
βφ — Lz
(14.34)

368
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
(nop. (9.65): Lz = ρφ). Докладаючи тепер (14.9), рі =
dW/dqi, отримуємо рівняння Гамільтона-Якобі
Шг
dr
+
1
(dw* γ β2φ
\ θϋ ) + Sin2 ϋ
+ 2 mV{r) — 2ηιΕ.
(14.35)
Вираз у квадратних дужках є функцією єдиної змінної ΰ.
Видозмінюючи при цьому рівняння
(dWoV βφ
V 9ϋ ) sin2 ϋ
= r2
2m{E - V(r))
m
бачимо, що ліва частина залежить лише від $, тоді як
права є функцією самої змінної г. Звідси випливає, що обидві
частини мусять дорівнювати одній і тій самій константі;
оскільки ліва частина є явно додатною, то цю константу
позначимо βφ. З того, що у сферичних координатах момент
імпульсу L2 = р# + ρ2φ/ sin2 ϋ (К), випливає, що
/¾ = |Ь| ·
(14.36)
Так отримуємо два рівняння для функцій W# і Wr:
(^) =-§+2m(E-V(r». (14.37)
Звідси відразу випливають розв’язки у формі інтеґралів
для функцій W$ і Wr.
У підсумку отримуємо для W вираз (див. (14.32))
г
W (г, 0, ψ, Е, βϋ ,βψ) = Ί dr' m(E - V) - /32/г'2 (14.38)
ΰ
+ J dx)‘ χ/β#- /З2/ sin2 ϋ' + βφψ
з трьома константами розділення Е (=: /Зі), β#, βφ.
Рівняння траєкторії і часову залежність руху отримаємо згідно з

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
369
(14.10), (14.17) і (14.18):
t + Qi
_ dW _ f
~ dE ~mJ
dr'
>/2 m(E-V)-/%/r*’
dW
9βφ
(14.39)
(14.40)
βφ_
βϋ
=
dW
δβ*
[ dd' , —= + ψ,
^ sin i?' у sin2 ϋ' - (βφ/βϋ)2
Г
—βϋ ί dr1— ■ ■■ - —
J л/2 m(E-V)-ft/r*
ϋ
- ί άϋ' L , (14.41)
J yj 1 - (βφ/βϋ)2 sin2 ϋ'
де αι, αφ, a# — сталі інтеґрування. З рівняння (14.40)
отримуємо рівняння площини руху (F. Schweiger, Acta Phys.
Austr. 19,138 (1964)), якщо підставити οοδψ := βφ/βϋ =
Lz! |L|:
αφ = — arcsin(ctg^ctg^) + φ. (14.42)
Разом з рівнянням (14.41) отримується траєкторія;
рівняння (14.39) описує часову залежність руху на траєкторії.
Якщо з самого початку сформулювати рух у плоских
полярних координатах, то отримаємо
г
w = Wr(r) + πφ(ψ) = J dr'yj2m(E - V) - β2φ/г'2 + βφφ\
(14.43)
це випливає з (14.38) з βϋ — βφ і ϋ = π/2.
14.3. 	Задача трьох тіл
У цьому підрозділі вийдемо трохи поза межі задач двох тіл.
Проблема двох тіл з центральносиметричними силами взаємодії є
вправді інтеґровною, але для сил ґравітації вона описує, радше,
нереалістичну ситуацію: треба було б показати, що слабкі, але
далекосяжні взаємодії віддалених тіл суттєвого впливу на
властивості траєкторій не мають. Оскільки число інтеґралів руху в

370
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОВІ
загальній (тобто без обмеження руху) задачі N тіл обмежене,
то явно безнадійними були б спроби розв’язувати її аналітично.
Можна навести деякі менш чи більш корисні висловлювання про
розв’язки, особливо у спеціальних ситуаціях (див. про це [28] і
відповідні цитати з нижче згаданої статті Saari і Хіа). Зі
збільшенням кількості частинок, які беруть участь у взаємодії,
з’являються також розв’язки, які не відповідають очікуваним
властивостям: виникають так звані нефізичні розв’язки. Якщо
говорити мовою першого розділу: картина реальних процесів виявляє
також наслідки (логічно неминучі висновки), які не можуть
узгоджуватися з ходом природних процесів. Один приклад цього:
для п > 4 існують розв’язки, згідно з якими частинка може
відійти на нескінченність за скінченний інтервал часу ([28]; D.G.
Saari, Zhihong Хіа, Notices of the AMS, 42, 538 (1995)).
Причини таких нефізичних розв’язків треба шукати у
миттєвій далекодії, існуванні нескінченно великих швидкостей і
концепції точкових мас (матеріальних точок). Перші два дефекти
можна усунути релятивістичною польовою теорією взаємодії. У
ній поширення взаємодій здійснюється зі скінченною швидкістю
(швидкість світла).
Усі ці проблеми й аспекти виходять поза межі нашого
викладу. Вже задача трьох тіл, яку хочемо розглянути, в
загальному випадку нерозв’язна. Загальна задача трьох тіл має дев’ять
ступенів вільності; згідно з поданими в підрозділі 14.1
властивостями, для розв’язання цієї задачі треба мати дев’ять інтеґралів
руху. Рух центра інерції з трьома ступенями вільності
інтеґровний, але для решти шести ступенів вільності відносного руху
маємо лише три інтеґрали руху: Е, L2, Lz. Отже, розв’язування
ґравітаційної задачі трьох тіл надто складне. Тому займемося так
званою обмеженою задачею трьох тіл.
14.3.1. Обмежена задача трьох тіл
Ця модель для руху трьох матеріальних точок визначається
такими обмежувальними припущеннями:
і) одна з трьох мас, га, настільки мала, що її впливом на рух
двох інших мас, гп\ і m2, можна знехтувати.
Тому можна розглянути таку ситуацію:

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
371
ii) обидві великі маси рухаються по колових траєкторіях.
Третє обмеження таке:
iii) всі три тіла рухаються в одній площині. (Якщо початкове
положення, а також початкова швидкість малої маси
лежить у площині цього кола, то, згідно із законом
збереження моменту імпульсу, рух відбувається у цій площині.)
Прикладом застосування цієї моделі (принаймні наближено)
є рух планетоїда з малою масою у ґравітаційному
потенціальному полі двох великих тіл Сонячної системи, Сонця і Юпітера.
Справді, існують астероїди, які рухаються у площині орбіти
Юпітера; однак про це скажемо пізніше. Рух Місяця навколо Землі
і рух обох цих тіл навколо Сонця не є вдалим, прикладом, бо
площина орбіти Місяця нахилена відносно орбіти Землі.
Тепер коротко опишемо шлях від загальної задачі трьох тіл
до обмеженої. Використовуючи відносні координати для трьох
мас ті, т2 і т:
Гі, г2, гт з тіГі + т2г2 + тгт = 0 (14.44)
(центр інерції лежить у початку координат), для функції
Лаґранжа матимемо (К)
L\2m —
тіт2 ,. . ,2 , Gm\m2
(гі - г2) +
2Μ І ід — г2
де Л4 := ті + т2 + т — загальна.маса і
+ ^т-і
Lm — т
"П /. · \2 , "*2 /. . \2
2М Гт Гі) +2М^Гт' Гз)
Gm\ Gm-i
|гт-гі| |rm-r2|_
(14.45)
(14.46)
— функція Лаґранжа для руху маси т під дією обидвох тіл з
масами т\ і т2. Якщо тепер припустити, що маса т дуже мала
порівняно з ті і т2, то обидві ці маси рухаються по Кеплерових
орбітах без впливу на них маси т: для руху ті і т2 член Lm
у (14.45) можна пропустити. Обмежені розв’язки є
Кеплеровими еліпсами; у спеціальному випадку — це колові орбіти (див.
нижче).

372
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
Якщо (14.44) перетворити далі, то отримаємо спочатку
Gm і Gm 2
Lm = m
Ai + m.o гаї .о ra2 .9
■rm + ΤΓΤΤΪΙ + ^T7r2 +
+
2M ~m ' 2Ml ' 2 Μ “ I rm - Гі I |rm-r2i_
Нехтуючи у квадратній дужці га порівняно з сумарною масою
М = гаї + га2,
отримаємо функцію Лаґранжа
(14.47)
L(rm,rm,t) = τη
1
m 1 .2 , m2 .2
+
2Гт + 2ΜΓι + 2ΜΓ2
Grai
І Гя
■Гі
+
Gra2
r2
(14.48)
для руху малої маси га під дією великих мас га і і га2, які
рухаються поміж Кеплеровими орбітами ri(t) і r2(t) навколо центра
інерції. Тепер гш — радіус-вектор маси га відносно центра інерції
матеріальних точок гаї і га2. ід і г2 у (14.48) — параметри, часова
залежність яких задається „ззовнітому L явно залежатиме від
часу.
Наступним кроком у спрощенні задачі є вибір колових орбіт
для руху мас гаї і га2 навколо центра мас. Якщо за початок
координат візьмемо центр інерції, то радіус-вектори гі і г2
задовольнятимуть такі умови:
гаї га2 Λ
-ттГ 1 + —г2 = 0,
М М
(14.49)
r\—:a — const, r2 =: 6 = const, (14.50)
тобто ід і г2 мають протилежні напрямки, а внаслідок того, що
рух коловий, а і Ь є сталими (див. рис. 14.1). Крім того, з (14.49)
випливає умова а/Ь = га2/гаі, або інакше:
а/га2 = Ь/гп\ λ.
(14.51)
Якщо Пі є ортом у напрямку ід, то оскільки ід і г2
антипаралельні,
Гі = апі і г2 = -6П],

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
373
Рис. 14.1. Колові орбіти „важких “ мас
а для їхніх довжин з (14.49) випливає записане вище
співвідношення. Числове значення величини λ залежить від вибору
одиниць довжини і маси. Як уже зазначено в розділі 5, відносний
вектор і*о = і*і — Г2, а разом з ним і вектори і*і і Г2, обертаються
з кутовою швидкістю
(пор. рівняння (5.27); к = GM і го = |гі — гг| = a + Ь = AM).
Залежності і*і і Г2 від часу можна позбутися, якщо перейти
до системи координат, яка обертається з кутовою швидкістю ω
навколо центра інерції „важких“ частинок, а вісь обертання
збігається за напрямком з моментом імпульсу. Щоб знайти вигляд
L у цій новій системі координат, врахуємо виведене в розділі 8
співвідношення між швидкостями у просторовій системі
координат (К) та власній системі координат (К') (див. (8.57))
(14.52)
(г) = (г)' + ω х і*.
Позначмо для скорочення
771
г ■■= (гтУ
г := г<
1

374
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
і візьмімо до уваги, що гі та 1*2 дорівнюють нулеві у власній
системі координат. Тоді
L(r, r) = m
^г2 + ΐ(ω х r) + x r)2
Δ Δ
Gm\ Gmo
+ : — +
Til
r2
(14.53)
Маси тп\ і m2 виразимо всюди через повну масу М (пор. (14.47))
і відношення мас
m і
М
(14.54)
Отже,
ті = μΜ, т2 = (1 - μ) М. (14.55)
Проведімо далі масштабне перетворення часу і довжин. Детально
запишемо це так:
Gm\ Gm\ ΰΜμ
|r — ГіІ |г — Am2n1| |r - AM (1 - μ) ηι|
G μ
= X |r/AM — (1 — μ) nil
і аналогічно
Grri2 G 1 — μ
|r — r2| A |r/AM + ni|‘
Кутова швидкість ω вже виражена в цих параметрах (див.
(14.52)):
ω=^-^0/\ύ, ώ2 = 1, (14.56)
λ Μ
де одиничний вектор ώ спрямований перпендикулярно до
площини орбіт мас ті і m2- Вимірюючи г в одиницях довжини AM,
а час t — в одиницях часу AM^A/G, тобто покладаючи7
r' = r /(AM) і t' = t j(\мЛчЩ ,
7Якщо тпі m2, як, наприклад, для Сонця і котроїсь з планет, то b ^
0, 777-2 — М, так що Λ ~ а/М. У цьому випадку міра довжини AM є просто
віддаллю α + b ~ а між ті і m2. Як природну одиницю часу отримаємо період
обертання Ті маси ті
2π 5
пор. (6.37) 1.

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
375
отримаємо для V — —L =: L (ми відразу пишемо знову г і t
G
замість г' і і'):
L — т
+ -
^і·2 + f(ώ xr) + i(wxr)2
+
1-М
r - (1 - μ) пі| |r + μηχ\_
(14.57)
Ця функція Лаґранжа містить лише відношення мас μ як
параметр. Тому зрозуміло, що форма траєкторій може залежати
лише від μ. У нових одиницях а = 1 — μ і Ь = μ, так що віддаль
між масами т\ і m2 дорівнює
Гі - г2| = 1.
Тепер L від часу вже явно не залежить; тому інтеґрал Якобі
(пор. підрозділ 10.3)
, dL.
Ij = -grr - L = m
1 ·2
2Г
Μ
lr — (і — м) «і
1(й X г>2
1 -М
|г+дпі|_
(14.58)
є збережною величиною. Використовуючи канонічний імпульс
dL .
р = — = т(г + ω х г),
можемо записати функцію Гамільтона в системі координат, яка
обертається, у такому вигляді
я=^р2-й(гхр)-
μm
Г- (1 -μ) nil
(1 — μ) т
|r+Mni| ’
(14.59)
Останнє обмеження полягає у вимозі, що рух трьох тіл
відбувається у заданій площині (площина ху —> ώ = (0,0,1)).
Цього можна досягнути, як уже вище сказано, належно
підібраними початковими умовами для маси т; тому можемо обмежитися

376
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
двовимірним описом. Виберімо за вісь х пряму, яка сполучає
нерухомі тепер маси гаї і гаг, так що
Гі = М) = (1-μ,0), r2 = (-6,0) = (-/і, 0). (14.60)
Віддалі малої маси га від гаї та гаг тепер задаються рівностями
Гі = |г - (1 - μ) Пі I = \J{x - (1 - μ))2 + у2,
г2 = |Γ+μηι| = \]{χ + μγ + у2. (14.61)
Якщо одиницю маси виберемо так, що га = 1, то функція
Гамільтона набуде такого остаточного вигляду:
н = ІІРІ + РІ) + ІРхУ - Рух) - Z-- ~Г-■ (14.62)
Iу Г\ Г2
Задача про рух легкої маси у силовому полі двох великих мас
зведена до можливо найпростішого вигляду. Вона інтеґровна,
інтеґрал Якобі Ij (14.58) є збережною величиною:
H = Ij.
Оскільки саме розв’язування цієї спрощеної задачі можна
здійснити лише чисельно, розгляньмо спочатку таке
наближення: великі маси будемо вважати від початку нерухомими;
відповідну функцію Лаґранжа або Гамільтона отримаємо з
наведених вище виразів, у яких пропущено усі члени, що містять ώ.
Спочатку розглянемо цю так звану задачу двох центрів, а потім
повернемося до обмеженої задачі трьох тіл.
14.3.2. 	Задача двох центрів
Плоский рух маси га = 1 у полі тяжіння двох нерухомих мас
гаї і гаг описують канонічні рівняння, які випливають з функції
Гамільтона
н = \ір2х +РІ) - — - — > = Gmi, к2 = Gm2. (14.63)
Δ Г\ Г2
Щоб ця двовимірна задача була інтеґровною, необхідно, крім
енергії, знайти принаймні ще одну збережну величину,
наприклад, за допомогою методу Гамільтона-Якобі.

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
377
Для спрощення виберімо систему координат так, що
Г2 = \] (х + с)2 + у2, (14.64)
тобто центри сил розташуємо симетрично8 відносно осі у. Ця
симетрія робить зручним використання еліптичних координат
х = cch£cos77,
у = csh£sin77 (14.65)
([2, 13, 28]; еліптичні координати є новим прикладом
криволінійних ортогональних координат (пор.: Додаток А; К)). Криві
ξ = const — еліпси, а криві η — const — гіперболи (див. рис.
14.2). З (14.65) випливають такі вирази для віддалей до силових
центрів:
r\ — c(ch ξ — cos η) і r<i => c(ch£ + cosry). (14.66)
Щоб визначити спряжені імпульси, використаємо функцію Лаґ-
Рис. 14.2. Еліптичні координати
8Для ω = 0 і фіксованих силових центрів початковий центр інерції уже не
є особливою точкою (центром обертання) системи.

378
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
ранжа (пор. (14.53) для ω = 0) в еліптичних координатах (14.65)
L=\(i2+ »*)+? + ?■
2 г і г 2
L = ^(ch2t
cosz η)(ξ2 + ή1) +
«і/с
■ +
K2/c
ch £ — cos η ch ξ + cos η
(14.67)
Тоді матимемо
Ρξ = ^r = c2(ch2£-cos2 77)^,
9ξ
r\ τ
ρη = — = c2(ch2 ξ - cos2 77)7). (14.68)
При цьому функція Гамільтона Η = Η(ξ^η1ρξ,ρη) виразиться
такою формулою
н = J 1 / 2 , 2\ _ *і/с «2/с
2с2 (ch2 ξ — cos2 77) ^ η ch ξ — cos η οϊιξ + οοδη
(14.69)
Використовуючи закон збереження енергії Н = Е, здійснимо
перетворення
Ρξ+Ρη — 2«іc(ch ξ + cos η) — 2к2с(сЬ ξ — cos η) = 2Ec2 (ch2 £ — cos2 η).
Ця форма підказує припущення про розділення функції дії (див.
підрозділ 14.2.2):
νΤ(ξ,η) = \νξ(ξ) + ]νη(η).
Якщо тепер розділити залежність від ξ і 77, то за допомогою під-
dWe
dWn
становки ρξ = і Ρη = 9η
одержимо рівняння
(¾) — 2с(«і + к2) ch £ — 2с2£7 ch2 £ (14.70)
(dW \ 2
9j^ J + 2c(«i — k2) cos 77 — 2c2E cos2 77 =: -/¾.
2

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ-
379
Константа розділення /¾ є другою збережною величиною. Отже,
задача двох центрів інтеґровна. З (14.70) маємо рівняння
-2с(кі + κ2)άιξ-2ο2Εάι2ξ =-β2,
^ — 2с(«і — к2) cos η + 2с2Е cos2 η = β2
з розв’язками
ί
\¥ξ(ξ,Ε,β2)=J<%' [2ο2Εάι2ξ'+ 2ο(κ1+κ2)άιξ'-β2]Φ,(14.71)
\νη(η,Ε,β2)= Jάη' [~2(?Ε cos2 η' + 2c(«i - κ2) cos η' + β2γ^2.
Інтеґрування приводить до еліптичних інтеґралів. Рух
матеріальних точок описується такими рівняннями (пор. (14.10) =
ft),(14.17) і (14.18)):
= dW = dWi,dWIL
дЕ дЕ дЕ ’
dW dW* dW„
Осо = = Η -.
δβ2 δβ2 θβ2
Друге рівняння описує траєкторію
ξ
2a2 = -J [2c2Ech2? + 2с(кг + κ2) άιξ' - β2]~1/2 άξ' (14.72)
+ J [—2c2E cos2 η1 + 2с(к,і — Κ2) cos η + /¾] άη
як функцію параметрів Е, /?2 і тоді як перше дає часову
залежність руху. Цим ми звели задачу до простих інтеґралів і,
таким чином, знайшли її розв’язок. Розв’язування за допомогою
методу Гамільтона-Якобі, згідно з Корбеном і Штелє [13], значно
простіше, ніж інтеґрування рівнянь Лаґранжа9.
9В „Аналітичній механіці“ (частина 2, глава VII, розділ III) Лаґранж
прямо розв’язує рівняння руху, приводячи їх до інтеґралів (квадратур), які в
„загальному вигляді розв’язати неможливо

380
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
У границі с —> 0 обидва силові центри збігаються. Одночасно
необхідний перехід до плоских полярних координат виконується
в границі ξ —> оо, причому
cch£~csh£~- ехр(£) =: г
залишається скінченним. Тепер треба перейти від η до φ. Тоді з
(14.72) випливає (άξ = dr jr)
r
2α2 = - J i2E + 2(Kl + К2УГ' ~ Pl/r'2} 1/2 + βΤ/2(Ρ·
Інтеґрування дає очікуване рівняння траєкторії задачі Кеплера,
рівняння (5.28).
Якщо к,\ = к>2 = 1/2 і с = 1/2, то рівняння руху в задачі двох
центрів мають у декартових координатах такий вигляд:
Потенціальна енергія
V2z (х, у) = -
1
2
(14.74)
має у точках положення силових центрів (—1/2,0) і (1/2,0) дві
нескінченно глибокі лійки; вони зникають як для х —> оо, так
і для у —> оо. Між цими двома лійками лежить сідлова точка
S = (0,0). Потенціал має в ній значення
г22 (S) = V2Z (0,0) = -2.
Тому з форми потенціалу випливає, що залежно від початкового
значення енергії для Е < — 2 рух відбувається в обмеженій
області біля одного з центрів притягання (пор. рис. 14.3, а), тоді як
для — 2 < Е < 0 рух у загальному випадку відбувається навколо
обох центрів (пор. рис. 14.3, б).

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
381
Рис. 14.3. Результати чисельного інтеґрування рівнянь руху
задачі двох центрів для а) Е = —2,2 і б) Е = —1,8 (κι = = 1/2,
с = 1/2)
14.3.3. 	Розв’язки обмеженої’ задачі трьох тіл
Повернімося тепер до обмеженої задачі трьох тіл. Єдиним
відомим інтеґралом руху є енергія в обертальній системі відліку,
інтеґрал Якобі (14.58)
!j = \{х2 + У2) - \{х2 + У2) - Z7 - (14.75)
2 2 г\ Г2
Другої збережної величини, яка б зробила задачу інтеґровною,
не видно. На те, що її не можна задати явно, вказують також
хаотичні розв’язки системи.

382
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
З функції Гамільтона (14.62) випливають канонічні рівняння
( рх = х =: и, ру = у =: v)
х
У
Іі
V
Г\ і Г2 тут задаються рівністю (14.61). Стаціонарні розв’язки
рівнянь руху х — у — й — V — D дають умови
μ(χ-(1->.)) + (1-<.)(Χ + μ)_ι = 0> (14 77)
(^ + ЙТІ-1)» = 0 (14-78)
для точок екстремумів потенціалу
Узк(х,у) =-τ;(χ2 + у2) --г -—· (14-79)
2 Г\ Г2
На рис. 14.4 зображено картину еквіпотенціальних поверхонь для
μ = 0.1. Положення обох великих мас окреслюють глибокі
лійкц. На рис. 14.5 еквіпотенціальні лінії функції V^k У) наведено
для трьох різних значень μ. У всіх випадках вирізняються три
сідлові точки (+) і два максимуми (★). Ці п’ять положень
рівноваги назвемо Лаґранжевими точками. З (14.78) випливає, що
або
а) у = 0, тобто (14.61) зводиться до
τι = \χ — (1 — μ)\ і Γ2 = |χ + μ|, (14.80)
або/і
б)
μ/rf + i І-μ)/4 = 1. (14.81)
= «,
= V,
2υ + χ-μ{χ-{1-μ)) (14.76)
о.. , .. УУ (1~у)у.
2w + У з з )

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
383
Рис. 14.4. Потенціал Узк(х,у) Для відношення мас μ = 0.1
Якщо підставимо розв’язки а) або, відповідно, б) у рівняння
(14.77), то отримаємо для а) (у = 0) три розв’язки для
положень трьох мас 772-1, ^2 і τη на одній прямій — осі х [28]. Ці
розв’язки нестійкі. На рис. 14.5 видно ті три сідлові точки (+),
які лежать на прямій між двома великими масами. Цим
колінеарним розв’язкам не можуть відповідати жодні конфіґурації
небесних тіл. Для б) з (14.77) отримуємо
1_
Λ
і разом з (14.81) це дає
П = г2 = 1 = (а + Ь) = |гі - г2|. (14.82)
Звідси для координат положень рівноваги (фіксованих точок)
маємо
1 л/з
хо = 2 - М, Уо = ±-у · (14.83)
Незалежно від відношення мас μ два положення рівноваги маси
771 утворюють з радіус-векторами гі = (1 — μ,Ο) і г2 = (—μ,Ο)
мас 772-і і 772-2 вершини рівносторонніх трикутників. На рисунках
14.4 і 14.5 вони відповідають максимумам (★)! Однак лінійний
аналіз стійкості рівнянь (14.76) показує, що для μ < 0.038 ці
стаціонарні розв’язки є стійкими (К; пор. також: H.J. Scholz, Praxis

384
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОВІ
μ = 0.5
μ = 0.1
μ = 0.01
Рис. 14.5. Еквіпотенціальні лінії й екструмуми функції Узд:(х,у)
для μ = 0.5,0.1,0.01; +: сідлова точка, ★: максимум
der Naturwissenschaften — Physik 7,10,1987). Сили Коріоліса не
дають „впасти “ масі т; вона може рухатися в деякій області
навколо положення рівноваги. Паралельно до форми цього
максимуму потенціалу V(x,y) (пор. рис. 14.5) зі зменшенням μ область
стабільності розширюється в напрямку φ (φ = arctg (у/х)), але
в радіальному напрямку вона залишається малою. Практично
мала маса коливається в напрямку φ біля положення
рівноваги. Вкінці, якщо значення μ дуже малі (наприклад, μ = 0.001),
мала маса може навіть від одного стійкого положення
досягнути іншого: існують підковоподібні траєкторії, які обігають обидві
стаціонарні точки [60].
Констеляцію, яка відповідає трикутним розв’язкам, було
знайдено для „Троянців “. У цьому випадку великі маси — це
Сонце і Юпітер (μ ~ mjUViterl^iSonne — 318.4/330000 ~ 0.001).
Троянці мають ту саму траєкторію і таку саму швидкість, як
Юпітер; є дві групи: група Ахіллеса, яка обертається поперед
Юпітера і містить приблизно 700 астероїдів (що
характеризуються деякою яскравістю), і група Патрокла, яка обертається за
Юпітером і містить приблизно половину зазначеної кількості
астероїдів. Кожна з цих груп утворює рівносторонній трикутник з
Сонцем і Юпітером (рис. 14.6).
М. Ено детально дослідив чисельно рівняння (14.76) для μ =
1/2 (М. Henon, Numerical Exploration of Hamiltonian Systems, in

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
385
Група Ахіллеса
„Chaotic Behaviour of Deterministic Systems“, Les Houches 1981,
North Holland, 1983). Для наведеного значення μ три колінеарні
Лаґранжеві точки, сідлові точки (+) на рис. 14.5, мають такі
координати:
Li = (0,0), L2
із
(14.84)
Дві інші Лаґранжеві точки (★), які задають рівносторонні
трикутники, мають такі координати:
и
(14.85)
Для кожного значення інтеґрала Якобі (14.75), меншого від
Угк (іі) = Угк (0,0) = —2, (14.86)
для належно взятих початкових координат рух залишається весь
час усередині однієї з двох потенціальних „рур“, рис. 14.5. Якщо

386
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОВІ
енергія Ij більша від V3к (Ті) = — 2, але менша від
то рух обмежений в області навколо важкої маси. (Значення
потенціалу в екстремумах Т4 і Т5 дорівнюють V3к (Т4) = Учк (Т5) —
У праці Ено використано параметри С — —27/, так що для
обмеженого руху біля важкої маси умова (14.86) дає
а для обмеженого руху навколо обох мас виконується умова:
Як і в розділі 4, зобразимо динаміку цієї двовимірної системи
послідовністю точок перетину з площиною перетину Пуанкаре.
Якщо виберемо поверхню
то штриховані криві на перетинах Пуанкаре рис. 14.7 і 14.8
обмежать досяжну область змінних х і і, яка отримується з
(14.75) 	при у = у = 0. У площині Пуанкаре існують чотири
нерухомі точки, які відповідають простому замкненому рухові
навколо кожної з великих мас: /і та і для руху навколо m2 і / та
g — навколо гаї. Траєкторія, що належить до нерухомої точки
/і, позначеної на рис. 14.9, зображена штрихованою лінією. Для
досить великих значень С послідовність точок перетину вказує,
можна думати, на інтеґровність системи (С = 4.5, рис. 14.7). Це
може натякати на замкненість кривих для траєкторій, точки
перетину яких лежать біля нерухомих точок. Нумерація точок на
кривій навколо нерухомої точки h показує часову послідовність
проходження поверхні Пуанкаре траєкторією типу,
зображеного на рис. 14.9. Траєкторія не замкнута (див. рис. 14.9): рух є
квазіперіодичним. Справді, один цикл подібний до Кеплерових
±± = -1.375.)
С> 4,
(14.88)
(14.89)

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
387
Рис. 14.7. Перетин Пуанкаре обмеженої задачі трьох тіл для С =
4.5 (див. текст)
Рис. 14.8. Інші перетини Пуанкаре обмеженої задачі трьох тіл

388
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
Рис. 14.9. Неперіодична траєкторія навколо маси m2
еліпсів, але помітно виявляється вплив іншої маси. Всі
траєкторії навколо маси ті, точки перетину яких лежать на кривих біля
/і, мають однаковий напрямок обертання. Така ж ситуація
стосується руху навколо другої маси стосовно нерухомої точки /.
Нерухомі точки і та g і криві біля них відповідають траєкторіям
навколо будь-якої з двох мас з протилежним напрямком
обертання (для цих значень Ij напрямок обертання не змінюється).
Асиметрія щодо прямої (х = 0) на рис. 14.7 і 14.8 є наслідком
вибору напрямку обертання мас ті і m2-
Якщо енергія Е зростає, чи, відповідно, С зменшується, то
з’являються (при вибраній точності) ланцюжки „замкнених “
сполучених разом кривих. Так, для С = 4 на рис. 14.8,а маємо
шість кривих; відповідну траєкторію у конфіґураційному
просторі зображено на рис. 14.10. Якщо продовжувати траєкторію, то
з часом вона заповнюватиме в конфіґураційному просторі
відомий уже „бантик“. Виникнення таких траєкторій є характерною
рисою хаотичної поведінки. При цьому значенні С ця риса
виявляється чітко: на рис. 14.8 всі „розкидані“ точки належать до
однієї траєкторії.
Хаотичні області збільшуються, якщо С зменшується (С =
3.5, рис. 14.8, б). На рис. 14.11 зображено очевидно цілком нере-

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
389
Рис. 14.10. Траєкторія у формі „бантика“ навколо т2
ґулярну траєкторію при10 С = 3.5. Тут чітко видно відмінність
від реґулярних траєкторій у задачі двох тіл (пор. рис. 14.3, б).
Зокрема нереґулярно змінюється напрямок обертання.
Деякі реґулярні форми траєкторій для різних значень μ, які
ми взяли з цитованої вище праці Шольца (H.J.Scholz), зображено
на рис. 14.12.
14.3.4. 	Чому траєкторії планет не хаотичні?
Отже, хаотична поведінка виявляється вже в цій дуже
спрощеній моделі руху трьох тіл. Якщо вихідні припущення моделі
відповідають деякій реальній ситуації, то в такому випадку
майбутні положення трьох тіл не можна було б описати самим
інтеґруванням рівнянь руху11. Завжди залишаються неточності у
знанні початкових умов, які роблять неможливим точне
передбачення справжньої траєкторії малої маси. Ця обставина трохи
103начення С = 3, яке Ено подав до рис. 29, очевидно друкарська помилка.
Якщо С = 3 рух є, взагалі кажучи, необмеженим.
иА.Айнштайн висловив думку, що задачу трьох тіл можна вважати вже
розв’язаною, коли записані рівняння руху, бо іх можна чисельно
розв’язувати з довільною наперед заданою точністю, так що “з цього погляду зайве
говорити, що майбутня революція в науці може дати неочікувані результати”
[87].

390
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
Рис. 14.11. Явно нереґулярна (хаотична) траєкторія навколо
обидвох мас
бентежить, коли думати про стійкість і реґулярність планетних
орбіт Сонячної системи або про орбіту Місяця навколо Землі. В
нашій Сонячній системі немає явно хаотичних орбіт. Чому так
добре функціонує спрощений розгляд окремих планет у межах
задачі двох тіл? З уваги на це поставимо запитання: “Який вплив
на рух деякої планети навколо Сонця має інша планета?”
Розгляньмо конкретно вплив найбільшої планети, а саме
Юпітера, на рух Землі навколо Сонця. В усякому разі рух Землі у
відомому відрізку часу реґулярний і зовсім не хаотичний.
Співвідношення мас таке, що центр мас Сонця, Юпітера і Землі
лежить практично в центрі Сонця, тобто з добрим наближенням
мажемо прийняти, що Гі (= Г5) = 0. Орбіту Юпітера
вважатимемо приблизно коловою, а його кутову швидкість сuj — сталою.
Отже, конфіґурація в обмеженій задачі трьох тіл визначається
масами:
772-1 — T77S 5 7772 = mj 1 777 = 777е,
де 7775, 777j та 777£ — відповідно маси Сонця, Юпітера і Землі.
Перейдемо тепер до системи координат, яка обертається разом з
Юпітером, але її початок залишається в центрі мас (в Сонці). При
такому перетворенні до нової системи координат, яка обертається
з кутовою швидкістю сиу, у функції Гамільтона з’явиться
додатковий член х р) (пор. (14.59)). У плоскій полярній системі

14.3. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
391
Рис. 14.12. Інші типи траєкторій у задачі трьох тіл
координат р = ргег + (ρφ/Γ)βφ і
«Лг х Р) = ujpv,
так що функція Гамільтона має вигляд:
Н =
2т е
{Рг+Рі/Г2) ~ω4Ρφ -
GmsrriE
Gm jrriE
I r - r j I'
(14.90)
Якщо знехтувати ґравітаційним потенціалом Юпітера, то
отримаємо, зрозуміло, відому з розділу 5 форму руху, з тим тільки,
що тепер еліпс обертається, оскільки його описуємо в системі
координат, яка обертається (наприклад, дивимось на нього з
Юпітера). Орбіта має форму розетки, подібно як на рис. 14.8, б. Якщо
взяти ще до уваги вплив Юпітера, то можуть виникнути — як у
попередньому підрозділі — хаотичні розв’язки для Землі.
Причину того, що орбіта Землі має шанси не стати хаотичною, тобто
чому в системі з хаотичними розв’язками існують і реґулярні,
з’ясуємо в наступному розділі.

392
Розділ 14. ТЕОРІЯ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ
Доповнення і питання
1. Обчисліть такі дужки Пуассона компонент моменту
імпульсу. [Д, ( [L , -^z] ( 0).
2. Визначіть L2 у сферичних координатах як функції
узагальнених імпульсів і напишіть функцію Гамільтона у
сферичних координатах.
3. Обчисліть [LZ,HX] для двовимірного ізотропного
гармонічного осцилятора.
4. Розв’яжіть рівняння Гамільтона-Якобі для просторового
осцилятора з ωχ = ων =: ω ф ωζ у циліндричних
координатах (пор. [2]).
5. Еліптичні координати: задайте (локальні) одиничні
вектори, якобіан і вираз для швидкості f (пор. у додатку А
підрозділ про криволінійні координати).
6. У задачі двох центрів розгляньте потенціальну енергію для
загальних значень параметрів «і, «2 і с, а також наслідки,
які звідси випливають для можливих траєкторій.
7. Виведіть рівняння руху (14.76) для обмеженої задачі трьох
тіл з функції Гамільтона (14.62). Для трикутного розв’язку
(14.83) визначіть межі стійкості для відношення мас μ.
“8. Інакший підхід до розв’язування плоскої задачі трьох тіл
ґрунтується на такій задачі Лаґранжа: який з трикутників,
утворених трьома тілами, залишається під час руху весь
час подібним до себе?
Оскільки рух центра інерції сталий, то досить
розглянути відносний рух. Відносні координати трьох тіл: rj =
(Xj,yj), j = 1,2,3 задовольняють умову ^ ·mjYj — 0.
Припущення про те, що трикутник (у загальному випадку
многокутник), утворений координатами rj (t), залишається весь
час подібним (пор. [28, 61]):
Xj(t) + iyj{t) = Cjz(t), Cj і z(t) комплексні, j = 1,2,3.

. ЗАДАЧА ТРЬОХ ТІЛ
393
Рівняння руху можна тепер розщепити на диференційне
рівняння для залежного від часу масштабного множника
ζ(ή
(14.91)
і систему алгебричних рівнянь для трьох сталих величин Cj
-u2Cj = —-^rnfc (14.92)
кф] lCfc - cjI
(ω2 — константа розділення). Величини cj задовольняють,
очевидно, рівняння = 0. Розв’язки рівнянь (14.92)
дають стійкі конфіґурації системи трьох тіл. Маємо тут уже
знайому ситуацію: рівносторонній трикутник (|с* — Cj\ = а,
V j,k ω2 — G (mi + m2 + m3)/а3) та лінійну
констеляцію (Recj = 0, Vj і-» два рівняння для двох
незалежних „ віддалей “ (Imci — Imc2) та (Imc2 — Ітсз)). Рівняння
(14.91) не залежить від кількості тіл. Кожен розв’язок
задає. зміну повної фігури (обертання, зміна величини).
Метод можна безпосередньо узагальнити на N тіл у
площині (для N = 2 рівняння (14.92) завжди тривіально
розв’язне; лінія, яка сполучає два тіла, залишається завжди
подібною до себе).

Розділ 15
Від інтеґровних систем до
неінтеґровнйх
Лише декілька задач класичної механіки точно розв’язні, в
той час як багато цікавих задач виявляються нерозв’язними. Але
деякі з них можна розглядати як розширення деякої розв’язної
системи. Тоді цю систему можна використати як вихідний пункт
для обчислення шуканого руху за теорією збурень. Для
неінтеґровних систем ряди теорії збурень вправді не збігаються, але
вони дають змогу зрозуміти поведінку системи.
15.1. Змінні дія-кут
15.1.1. Означення і загальні властивості
У викладі схеми доведення теореми Ліувілля (підрозділ 14.1)
ми зазначили, що обмежений рух у деякій інтеґровній системі
еквівалентний рухові на поверхні тора. Ми хочемо тепер провести
це відображення для обмеженого руху в цілком сепарабельній
системі. Повна сепарабельність означає, що у належно вибраних
координатах qi розв’язок рівняння Гамільтона-Якобі має форму
/
W = Y'Wi(qi,0).
г=1
(15.1)

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-ΚΥΤ
395
Звідси випливає, ЩО кожен ЗІ спряжених Імпульсів Рі
dW = dWi{qi,fi)
dq% dqi
і = 1,...,/,
залежить лише від відповідної координати q%\ р% — Pi (q%)
(величини β{ сталі параметри; див. підрозділ 14.2.2). Сепарабельною
системою є, між іншим, двовимірний гармонічний осцилятор і
частинка в центральному потенціалі (див. попередній розділ).
Серед координат qi у цьому випадку є два типи. Нагадаємо
собі траєкторії типу розетки в центральному потенціалі (див.
також розділ 5). Змінна т набуває періодичних значень в
інтервалі [rmin,rmax], а кут ψ пробігає при цьому інтервал [0,2π); рух
як ціле в загальному випадку неперіодичний. Узагальнення цієї
поведінки веде до такого твердження: якщо в системах з
обмеженим рухом матеріальних точок узагальнені координати
пробігають реґулярно скінченні проміжки, то можна розрізнити два
роди часової залежності узагальнених координат:
i) Координати, які через час ті знову досягають свого
початкового значення,
Qi(t + П) = qi(t)
(у цьому прикладі — радіальна координата розеткової
траєкторії); такий рух назвемо лібрацією.
ii) Координати, які через час ті отримують додаток 2π,
qi(t + Ti) = ®(ί) +2π
(у тому ж прикладі полярна координата розеткової
траєкторії). Відповідний рух назвемо ротацією.
Пробігові координатою qi одного циклу завдовжки т\
поставимо у відповідність величину Ji, яку назвемо змінною дії1:
t+Ti
t
(15.2)
Змінні дії відігравали центральну роль у старій квантовій теорії Бора,
Зоммерфельда і Борна.

396
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
(У цьому підрозділі правило підсумовування за подвійним
індексом нечинне!). Інтеґрування поширюється на весь інтервал ті
цілого циклу змінної q{. З означення (15.2) видно, що 2nJi є площею
поверхні, яку замикає один цикл руху в площині (qi,Pi)
фазового простору. Оскільки за припущенням Н не залежить від часу,
то пробіг одного циклу в qi у різні проміжки часу мусить дати
той самий результат, і перший інтеґрал у (15.2) не залежить від
t. Тому змінні дії Ji сталі. Це наводить на думку прийняти ці /
констант за нові імпульси за допомогою деякого канонічного
перетворення з твірною функцією VF(q, J) (яку ще треба знайти).
Знаходження кутових змінних Θі, спряжених до змінних дії J^,
здійснюємо за загальним правилом (13.53) і, відповідно, (14.10),
ві =
dW
dJi'
(15.3)
При цьому Н (q, р) переходить у нову функцію Гамільтона
Η(θ, J), θ = (θχ,..., Of) і J = (Ji,..., Jf) (рівняння (14.11)).
Оскільки Ji за їхньою побудовою (15.2) є сталими, то
внаслідок рівняння
дН
дві
= Ji
0
Н не залежить від кутових змінних вг:
Н = Й(3) = Е(3).
З рівняння2
ві
дН
dJi
: Ші = const
випливає залежність кутових змінних від часу:
ві — U>it + .
(15.4)
(15.5)
2Порівняння з (15.3) показує, що виконується співвідношення
(15.6)

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-КУТ
397
З (15.2) видно, що розмірність змінних дії така сама, як
моментів імпульсу, і тому θ{ (як кути) безрозмірні.
Оскільки система сепарабельна, тобто3
W = Y/Wi(qi,J), (15.7)
І
то внаслідок pi = dWi/dqi
Ji = hii^dqi'' (15'8)
але кутові змінні 0* все ще залежать у загальному випадку від
усіх ¢.
Оскільки рух обмежений, він здійснюється у скінченному
інтервалі [<7г,тіщ ^г,тах]· 3 рІВНОСТІ Pi = dW{jdqi (формальним)
ІНТЄґруванням знаходимо функцію
Wi
Pidqi,
яка в зазначеному інтервалі неоднозначна, оскільки у
протилежному випадку
Навпаки, мусить виконуватися рівність
dWi = 0.
Ji = (15.9)
де ΔW{ — приріст під час одного пробігу циклу. Якщо qi є
координатою, яка описує лібрацію, то значення рі та, відповідно,
W{ відрізняються на двох частинах пробігу (один раз „туди66, а
потім „назад66) своїм знаком, так що
Ji
■. = і./
dWi
2π J dqi
Я τη ax
Qm&x Qmin
, I f dWi. ^ f dWi.
J J Ж**
n 9max
1 I
= -/ dqi.
π J dqi
Ят\п
3У (15.1) ми розглядаємо величину /¾ як функцію від Jk.

398
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Якщо координати qi кутові змінні, qi = φ, то цей приріст
визначається безпосередньо інтеґруванням від 0 до 2π:
Ji =
2π
Практично чинять так, що визначають твірну функцію
W(q,/3) для перетворення до нових довільних сталих
імпульсів /¾ (цим систему вже також розв’язують). Тоді з рівностей
Pi = dW/dqi обчислюють за (15.2) змінні дії. Якщо виразити
тепер β{ у W через змінні дії, /¾ = A(J), то отримаємо шукану
твірну функцію W(q, J). Перетворення до змінних дії і кутових
змінних проілюструємо прикладами.
15.1.2. 	Перетворення до змінних ддя-кут
Двовимірний гармонічний осцилятор
Щоб перейти до змінних дії і кутових змінних, разом з
функцією Гамільтона (14.21), можемо використати результати
попереднього розділу (зокрема рівняння (14.24) і (14.25)). Маємо:
J' = i;fitdx (1610)
= j) \/2τη(βι - β2) - τη2ωΙχ2άχ, βι - β2 > 0, (15.11)
• 1,2 = έ / ініу (1512)
= j> ^τηβ2 - m2u%y2dy, β2 > 0. (15.13)
Шлях інтеґрування за змінною у проходить від одного нуля
підкореневого виразу ym\n = — y/%mfc/mujy до іншого ута,х =
\/2т/?2/τηωυ, і тоді знову назад, але тепер імпульс спрямований
у від ємному напрямку осі у і дорівнює
— у/2τηβ2 -
т2и2у2, отже,
У max У min
J2 = Т J dy yj2τηβ2 - тп2ш%у2 - Τ J йуфТф2
т2и2у2
У тії
У max

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-КУТ
399
π
1
- тп2ш2у2 = β2/ωυ.
(15.14)
2/min
Цілком подібно для .т-компоненти руху отримаємо
j\ = (βΐ - βϊ)!ωχ·
(15.15)
Із обернених співвідношень
β2 = uyJ2 і βι - β2 = UxJl
(15.16)
випливає, що
Η = Е = βι — OJxJ\ + U)yJ2-
(15.17)
Якщо у твірній функції (14.24) і (14.25) всюди виразимо /¾ через
змінні дії Ji і знайдемо похідні за (15.3), то для кутових змінних
θ{ знайдемо:
причому часову залежність змінних θι задає рівняння (15.6). З
(15.5) випливає:
частоти кутових змінних дорівнюють частотам гармонічних
осциляторів. Вони не залежать від кутових змінних Ji — це
особливість гармонічних осциляторів (частота не залежить від
амплітуди, тобто від енергії!). Обернення співвідношень (15.18)
приводить до першої частини канонічних перетворень
(15.18)
ωι — о;х, Сс?2 —
(15.19)
х = y/2Ji/mui sin0i,
у = y/2J2/mu2 sin 02,
(15.20)
а разом з (15.6) і (15.19) — до вже відомого розв’язку (пор. під¬
розділ 4.1). Другу частину перетворень, а саме, рівняння для

400
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
спряжених імпульсів, отримаємо з рівнянь рх
Наприклад,
dWx . dwy
~d^lpy = -^-
Рх
— πι2ω\χ2 =
Φ
y/2mu)\Ji cos θ\.
2mu)\J\ — πι2ω\^^~
πιω і
sin2 θ\
(15.21)
Ізотропний осцилятор у полярних координатах
Для ωχ = ωυ =: ω побудовані перетворення повчально
порівняти з тими, які отримуються із застосуванням полярних
координат. Функція Гамільтона для ізотропного гармонічного
осцилятора (пор. підрозділи 4.1 і 14.2.2) у плоских полярних координатах
(р, ψ) має вигляд
Я - 1 („‘ 4- Р'Л 4- ГГ“‘
Н-2^[Р'+7 ~
(15.22)
Оскільки φ — циклічна координата, то ρφ = βφ = const і для W
можемо взяти
W (р, φ) = Wp (р) + βφφ,
так що
— (πιω)2 р2. (15.23)
Змінні дії знайдемо з рівностей:
dW,
W = \l2mE~7
Jp =
P
\!
dpJ2mE — — (πιω)2 p2,
(15.24)
Pi
V P
1
2π
n
=
s-
/ άψβφ = βφ;
(15.25)
0

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-КУТ
401
де рі І р2 — це дві точки повороту руху. Для обчислення Jp нам
потрібний інтеґрал
Р1
де
Р1,2 = (<* ± \/<*2 - 4/527^)
є (додатними) коренями підінтеґрального виразу. Оскільки ми
припускали, що ω > 0, то з нерівності а2 — 4/3272 > 0 для βφ
отримуємо умову
Е п
<βφ<
ω
Е
ω
Після деякого перетворення знаходимо
р 2 І
(15.26)
Якщо повернутися до початкових змінних, то матимемо
2Jp = — — |^|
UJ
або
Е = ω (2 Jp + |J^|).
Отже,
cjp — 2cj(^ — 2cj.
(15.27)
Рух у радіальному напрямку відбувається з частотою, вдвічі
більшою від частоти обертання. Це властивість руху по еліпсу
з початком координат у його центрі: коли φ робить один оберт,
радіус р пробігає два рази цикл від р\ через р2 назад до ρχ.4
4Н. Бор в умові квантування змушений був писати Е = hj. — Примітка
редактора.

402
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Рух у магнетному полі
Рух зарядженої частинки у площині, перпендикулярній до
однорідного магнетного поля В = £?ez, описується канонічними
рівняннями, які отримуються з функції Гамільтона (пор. підрозділ
13.1.2)
(15.28)
Без останнього сталого члена Н має той самий вигляд, що й
(15.22). Враховуючи, що тепер
_ __ „ πιωζ
а = 2 тЕ + τηωζβφ і 7 = —Tj—*
можна використати проведені вище обчислення. Отримується
такий результат:
1 / 2тЕ + τηωζβφ
р 2 \ πιωζ
Отже, для βφ (= ρφ) > 0 знаходимо
Е = uzJp
І ДЛЯ βφ (= J^) < 0
Е = ωζ (Jp + \3φ\) ·
Розщеплення на два випадки може, на перший погляд, видатись
дивним; але це стає зрозумілим, якщо пригадати собі, що колова
траєкторія (пор. (5.75), и<і — 0)
(? — 2 pd cos φ + d2 = а2, a2
2 E
T ’
πιωΔζ
d2
2 E 2ρφ
πιω2ζ πιωζ
для ρφ (= Il,b) > 0 (тобто d2 — a2
^ψ > 0) не охоплює
πιωζ
(довільно) вибраного початку координат (координата φ не може
провести повного обходу), а для ρφ < 0 (тобто d2 — а2 < 0) —

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-КУТ
403
охоплює його. Зрозуміло, що в першому випадку ψ вже не є
кутовою змінною (у сенсі підрозділу 15.1): існують два значення φ,
між якими відбувається рух; співвідношення (15.25) у цьому
випадку незастосовне. Для таких кругових орбіт φ набуває значень
тільки в інтервалі (К) (φι,ψ2)·> де
= ± = ± <15'29)
При цьому для βφ >0 виконується рівність
Ψ2
1 Г 2
J(p = - І βψάφ = -βφ arctg
π J π
ψ\
Ця дещо своєрідна ситуація стає цілком зрозумілою, якщо
перейти до системи відліку, яка обертається з Ларморовою частотою
ωι = — ~ωζ· Тоді у функції Гамільтона (15.28) зникає сталий
член (пор. (13.19))
Як функція Гамільтона, так і траєкторії такі ж, як для
гармонічного осцилятора з частотою ω^/2. Через те, що система відліку
обертається з кутовою швидкістю ωι = — \ωζ у напрямку,
протилежному до обертання частинки, колова траєкторія частинки
в обертальній системі відліку на основі співвідношення частот
uz/ul — 2 „ натягнена “ на еліпс з центром у початку координат
(= у точці обертання).
Рух у центральному потенщалі
Для руху в центральному потенціалі змінні дії визначаються
такими формулами (див. підрозділ 14.2.2)
rmax
Jr = -У dr = 1 J dryj2m(E - V) - /Sj/г2, (15.30)
^min

404
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
2π
Jd = hf іїїгм = h ! (15·31)
о
2π
1 Г8W 1 Γ
^=2^/^=2-τ]№ = ^ (15·32>
Ο
де /¾ (= |L|) > 0 і βφ (= Lz) |θ. Для J$ інтеґрування дає [22]
h = (/¾ - \βφ\)· (15.33)
Обернення співвідношень (15.32) і (15.33) приводить до формул:
βφ = /¾ — Jd + \^φ\ · (15.34)
Тільки Jr залежить від потенціалу V(r).
Якщо розглянемо конкретний потенціал, а саме збурений
потенціал 1 /г
хг/ ч тк с
V(r) = + “2, (15.35)
r rz
то не зовсім прості розрахунки (див. [15, 22]) приводять до виразу
Jr = -y/(Jt + I J„|)2 + 2 тс+^^/Щ (15.36)
(для обмеженого руху енергія Е мусить бути від’ємною). Звідси
випливає
Е = Й (Jr, J*, = —γ?· (15.37)
2 ^Jr + y/(J$ + |«/<^|)2 + 2mcj
Частоти кутових змінних θ{ задаються рівностями (пор. (15.5))
с= dH/dJi. На відміну від осцилятора (див. рівняння (15.19))
частоти залежать від (сталих) змінних дії. Оскільки ωφ =
Ф ωΓ, в русі у площині ϋ = π/2 у конфіґураційному просторі
(г, </?) для ірраціонального відношення ωφ/ωτ виявляється
розеткова траєкторія, згадана в підрозділі 5.3. На картині у фазовому

15.1. ЗМІННІ ДІЯ-КУТ
405
просторі після одного обігу на двовимірній поверхні тора
траєкторія не замикається. Для с = 0 маємо
Е = Н =
m3k2
2 (Jr + + \JV\)і  2  з ’
(15.38)
і, 	отже, всі три частоти рівні:
ωτ = = ωφ =: ω =
m3fc2
(Jr + + |Jc^|)3
(15.39)
(Якщо виразити суму змінних дії через енергію і підставити
тоді Е у зв’язок з великою піввіссю, то можна переконатися, що
цей зв’язок має форму третього закону Кеплера.). Траєкторії у
конфіґураційному просторі вже замикаються після одного
обігу (вектор Ленца!). Кутові змінні визначаються згідно з (15.3) з
рівнянь θ{ = cW(q, J)/dJi (К). їх залежність від часу задається
рівністю θ{ = u)(J)t + див. рівняння (15.6).
Розглядаючи рух у центральному потенціалі лише як
двовимірну задачу у площині траєкторії, матимемо J# = β# — \βφ\ = 0
(пор. підрозділ 14.2.2) і
Е = Н = —
msk2
2(Jr + \Jv\f
(15.40)
Частоти кутових змінних вг і θφ однакові. Переходячи, однак, до
координатної системи, яка обертається з кутовою швидкістю uj
(пор. підрозділ 14.3.4), отримуємо, що знову виконується рівність
3φ —
Lz,
(15.41)
і разом з
рг = yJ2mE{E + uij3φ + GmsmE/r) - J^/r2
з (14.90) знайдемо (див. [48]; пор. (15.36)):
Jr = -1- /prdr = - \JV\ + -.
2жТРг ' φ' у/-2m(E + «,jJv)
(15.42)

406
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Отже,
Е UJj Jφ
G2m2sm\
2(Jr + Ш)2 ’
(15.43)
так що частоти задаватимуться рівностями (для J4> > 0)
G2m2sm%
Ur = (J +J уг ω4> = + ur- (15.44)
Таким чином, виродження знімається в обертальній системі
координат!
15.2. 	Рух на (гіпер)торі
Змінні ві залежать у загальному випадку від усіх qj (пор.
(15.3)):
θί = θί (q).
Деяке уявлення про значення в{ дає зміна в{ для одного повного
обігу змінної qk за фіксованих значень інших координат ¢/, j ф к:
А Л Гдві. Г &W , д / dW
АЛ =
= 2к6ік.
Під час одного фіктивного обігу самої координати qk — насправді
впродовж одного періоду системи всі координати змінюють свої
значення — вк зростає на 2π. Це означає, що змінні дії
залишаються сталими, тоді як значення кутових змінних (не одночасно!)
зростають на 2π. Саме це і дає рух на торі сталих розмірів, який
ми розглянули в підрозділі 14.1: траєкторія визначається тільки
часовою залежністю кутових змінних. І навпаки, звідси
випливає, що при зміні кутової змінної ві на 2π за сталого значення J
координата qi (Θ) пробігає один період, тобто або повертається до
початкового значення, або зростає на 2π, тоді як д^, к ф г,
знову набувають початкові значення, не пробігаючи одного періоду.
Отже, для лібраційних координат
qi{01 + 2πηι, ...,0/ + 2πη/, J) = ¢(01,..., 0/, J), Щ - ціле,

15.2. РУХ НА (ГІПЕР)ТОРІ
407
а для ротаційних координат
®(0і + 2πηι,... ,0/ + 2πη/, J) = д»(0і,... ,0/, J) + 2πη^·),
де g^ — початкове значення для щ — 0. Якщо розглянути у
випадку ротації величину
Яг = Яі~ Яг ви
то дг*(0, J) задовольняє те саме співвідношення, що й лібраційна
координата:
®(0 + 2тгп,Л) =®(0,J)· (15-45)
Змінні qi або, відповідно, д*, є багатоперіодичними функціями
кутових змінних5. Отже, координати можна розкласти в ряд
Фур’є:
Яі(в, J) = Σ qi’a ('ехР (іпв) ’ (15.46)
П
де η = (пі,n f), щ — ціле число. Якщо тепер підставити часову
залежність θ, θ = ωί + θ°:
Яі(0, J) = Σ Яі,n (J) exp (in (ωί + 00)),
П
то з’ясовується, що питання, чи траєкторія у фазовому просторі є
замкненою чи ні, залежить від ηω. Якщо прийняти для значення
п°, ЩО
η°ω = 0,
то траєкторія замкнена; відношення частот обертання
раціональне, вони є резонансними.
Як ми бачили в (15.9), твірна функція W{ зростає під час
одного обігу на 2nJ{. Але звідси випливає, що функція W\ — 6{Ji
мусить бути періодичною, так що „зведена46 („редукована66)
твірна функція
W* = W( q,J)-0J (15.47)
5Взагалі багатоперіодична функція η арґументів хі з періодами ті має
таку властивість:
f(x 1,. . . ,Xn) = f(x 1 + Ті, . . . ,Ж„ + Τη).

408
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
мусить бути багатоперіодичною функцією кутових змінних.
Оскільки θ = VjW, то переконуємося, що W* = W*(q, 0) —
перетворення функції Лежандра W. Виконуються такі
співвідношення:
р = Vqw*( q, Θ) і J = -VeW*{ q, 0).
З першого з них випливає, що р*, а, отже, і кожна динамічна
функція О (q, р), є багатоперіодичною функцією.
Якщо введемо для різних систем з однаковою кількістю
ступенів вільності змінні дії і кутові змінні, то рух на торі буде
давати загальну картину руху у фазовому просторі для всіх цих
систем. Спочатку розглянемо сепарабельну інтеґровну систему,
фазовий простір чотиривимірний і траєкторії лежать на
тривимірній поверхні енергії
H = H(JuJ2)=E.
Двовимірний многовид, у якому відбувається рух, еквівалентний
(ізоморфний) поверхні тора у тривимірному просторі. Для
заданої енергії Е збережні величини Λ і J2 є радіусами тору,
причому, наприклад, J\ є радіусом перерізу кільця, a J2 = J2(i?, J\) —
радіусом самого кільця (див. рис. 15.1). Рух по обводі перерізу
Рис. 15.1. Тор і траєкторія двовимірної системи
кільця відбувається згідно з рівнянням 0і = ω\ί + 0j, а вздовж
кільця — за рівнянням 02 = ω2ί + 02. Так ми отримуємо для

15.3. КАНОНІЧНА ТЕОРІЯ ЗБУРЕНЬ
409
траєкторій зображення у вигляді гвинтових ліній, які лежать на
поверхні тора (див. рис. 15.1). Залежно від того, чи відношення
ω\/ω2 раціональне, чи ні, рух є замкнений або з часом покриває
всю поверхню тора (тоді такий рух називатимемо майже
періодичним (або квазіперіодичним)). Кривим у площинах перетину
Пуанкаре (пор. у розділі 4 рух двовимірного гармонічного
осцилятора) відповідають криві перетину тора з площиною,
перпендикулярною до осі тора. Залежно від відношень частот точки
перетину покривають у площині Пуанкаре деяку криву
(ірраціональне відношення) або кількість таких точок скінченна
(раціональне відношення).
Для вивчення руху можна поверхню тора відобразити на
одиничний квадрат у площині з координатами ^/2π, причому тоді
зміна координат у часі за модулем дорівнює одиниці. Це
згадана в підрозділі 4.4 редукція картини руху системи у фазовому
просторі.
Для системи з / ступенями вільності зі змінними дії і кутів
J, Θ та функцією Гамільтона Н = Н(J) наочне зображення тору,
щоправда, неможливе, але у двовимірних випадках його можна
здійснити аналогічно.
15.3. 	Канонічна теорія збурень
Тепер розгляньмо обмежений рух системи з / ступенями
вільності, функція Гамільтона Н якої відрізняється від функції
Гамільтона Щ точно розв’язної (тобто інтеґровної) системи на
член ХН\. Нехай система Щ буде (в загальному випадку після
канонічного перетворення змінних q і р до змінних дії J і кутів
Θ) циклічною відносно Θ:
#0 = Яо(Л), (15·48)
а, отже, інтеґровною. Тоді канонічні рівняння руху для J і Θ
мають такий вигляд:
J
Θ
-νθΗ0(3) = 0,
VjHo(J) u»0(J),
(15.49)
(15.50)

410
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
(нагадуємо: V# = (<9/<90і,..., d/d6f) і аналогічно Vy).
Застосовуючи перетворення6 від (q, р) до (0, J) також в Я, отримаємо
Я у змінних J і 0:
Я (0, J) = Я0(Л) + λ#ι(0, J). ■ (15.51)
У цій системі для J і 0 виконуються канонічні рівняння руху
J = —V0#(0, J), (15.52)
0 = V/tf(0,J), (15.53)
але 0 і J вже не є змінними кутів і дії для Я: J вже не є
незалежними від часу і 0 вже не є сталою величиною. Часова еволюція
відбувається згідно з рівняннями:
J = -AV*#!(0,J),
0 = u;o(J) + AVj#i(0,J).
Наша мета — перейти до таких змінних дії і кутів К і </>, в
яких нова функція Гамільтона Н(ф, К) стане циклічною відносно
кутових змінних </>, тобто
Я(К) =Я(0,Л). (15.54)
Тоді для К і ф виконуватимуться легко розв’язні канонічні
рівняння:
К = -V*£(K) = 0,
ф = νκΗ{ Κ)=:ω(Κ). (15.55)
Шукані перетворення повинні визначатися твірною функцією
W(0, К) (типу 2, див. підрозділ 13.2.1). Тоді поряд з (15.54)
виконуються співвідношення (диб. рівняння (13.52) і (13.53))
J = νθ\ν(θ, К), (15.56)
ф = VKW(e,K). (15.57)
6У попередньому розділі, вводячи канонічні перетворення, ми розглядали
задану систему (з функцією Гамільтона Н) і класифікували перетворення
змінних з огляду на те, чи вони залишають формінваріантними канонічні
рівняння. Тут ми застосовуємо задане перетворення змінних у різних
Гамільтонових системах (Но і Н). Якщо це перетворення канонічне в системі Но,
то воно канонічне також у системі Н.

15.3. КАНОНІЧНА ТЕОРІЯ ЗБУРЕНЬ
411
За допомогою співвідношень (15.56) функція дії W визначається
з рівняння Гамільтона-Якобі (15.54).
Оскільки для λ = 0 твірна функція W мусить звестися до
твірної функції тотожного перетворення, то покладемо
W = Wo + XWi + \2W2 + ..., (15.58)
де
W0 = ΘΚ
(15.59)
індукує тотожне перетворення (пор. рівняння (13.59)). При цьому
вимагаємо, щоб VFi(0, К), і > 1 були багатоперіодичними
функціями змікних 0 (див. у зв’язку з цим рівняння (15.47)). Вони
визначаються з рівняння Гамільтона-Якобі
Я (0, V0W) = Е = Я(К), (15.60)
якщо Я розкласти у степеневий ряд і знайти методом
послідовних наближень з рівняння
HO(V0W) + АЯі(0, V0W) = Я0(К) + АЯі(К) + .... (15.61)
Підставимо для W розклад (15.58) і запишемо рівність
HO(V0W) = Яо(К + WeW\ + ...) (15.62)
= H0(K) + \(VeWl)(VjH0(J = K)) + ...
та аналогічний вираз для Н\
Ηι(θ,ν0Ψ) = Ηι(θ,Κ + \ν0Ψι + ...)
= Ні(в, К) + XiVoWiXVjHiie, J = К)) + —
Тоді з (15.61) отримаємо для коефіцієнтів біля степенів А
λ° : Я0(К) = Я0(К), (15.63)
λ1 : и>0(К)(УвЖі) + Яі(в,К)=Я1(К), (15.64)
і Т.Д.,
де (див. (15.50))
ω0(Κ) = V^0(J = К).
(15.65)

412
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Усереднімо рівняння (15.64) за всіма 0*; при цьому функцію
F(e,K), усереднену за всіма 0г, позначимо F (К):
2π 2π
F(K) = -Tj J...Jdev..defF{e,K).
^ ο ο
Тоді, враховуючи припущення про багатоперіодичність W, (за
винятком Wq), отримаємо, що7
dWi
дві
= 0,
* = 1>···,/
1 звідси
Яі(К) = Яі(К). (15.66)
Отже, Wi визначається з рівняння
w0(K)(V^i) = Яі(К) - Η^θ, К). (15.67)
Функція Гамільтона має у цьому порядку вигляд (див. (15.62) і
(15.66))
Я(К) = Я0(Л)|л=к + АЯ^К), (15.68)
а для частот кутових змінних ф знаходимо:
ω(Κ) = VKH{ К) = ω0(Κ) + AV*lfi(K). (15.69)
Такий метод продемонструємо на подальших прикладах.
73 багатоперіодичності випливає, що Wi (θ, К) можна розвинути в ряд
Фур’є
Wi (θ, Κ) = Σ Wi,m (К) exp [im0].
Якщо ВЗЯТИ , ТО В ПОХІДНІЙ ряду Фур’є член ДЛЯ ТПі = 0 зникає і після
дві
усереднення інтеґрування дає
2π
0

15.3. КАНОНІЧНА ТЕОРІЯ ЗБУРЕНЬ
413
Ангармонічний осцилятор
Розгляньмо осцилятор Дафінґа, який ми описували в
розділі 3 (т = 1,μ/4 —> X)
Я = р2 / 2 + (ω$/2)χ2 + \хА. (15.70)
Застосуймо до цієї системи формалізм теорії збурень.
Тепер маємо виразити
Щ = р2/2 + (ojq/2)x2 і Щ = х4 (15.71)
через відомі з попередніх підрозділів змінні дії і кута
системи Я0. Насамперед запишемо вираз для Но у цих
змінних
Н0 = u0J (15.72)
(пор. (15.17)), який отримується за допомогою
канонічного перетворення
х = \f2J/uo sin θ (15.73)
(пор. (15.20)) і рівняння (15.21). Застосовуючи це
перетворення до Я, зокрема до Яі, знаходимо
#1 (0, J) = (2J/ωο)2 sin4 0, (15.74)
тобто Н = ujqJ + λ(2,//ωο)2 sin4 0. Ми встановили
вихідний пункт для потрібного нам канонічного
перетворення. Канонічне перетворення змінних (J, Θ) до (Я, ф)
з твірною функцією
W(e,K) = ΘΚ + ΧΨ^Θ,Κ) + ... (15.75)
приводить, згідно із загальним методом, до того, що
в нових змінних К,ф у нульовому наближенні (пор.
(15.63)) виконується рівність
Η0(Κ) = Ηο{Κ)=ω0Κ. (15.76)
Усереднення Ні (б, J) за Θ з урахуванням того, що
1 2π з
— / άθ sin4 θ = дає вираз
ΔΈ q о
Ні (К) = (3/2)(Κ/ω0)2,

414
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
звідки разом з (15.66) отримуємо
Ні(К) = (3/2 )(Κ/ω0)2. (15.77)
Отже, згідно з (15.76) і (15.77) для Η — Но + ХН\ у
цьому наближенні маємо:
Я = ωο К + ^\{Κ/ω0)2. (15.78)
З частотою (пор. (15.5))
ω =
дН
дК
— ωο ЗХК/ujq
(15.79)
- . - ; дн
рівняння руху для кутової ЗМІННОЇ, ф = 7—, має прос-
оК
тий вигляд:
ф (t) — cut + фо
(15.80)
(див. (15.6)). Згідно з (15.64) W\ задовольняє рівняння
(ω0 (К) = ω0, пор. (15.72))
Ubiwx{0,K) + (2Κ/ωο)2 sin4 θ — Ηι(Κ), (15.81)
Οϋ
яке з урахуванням (15.77) набуває вигляду:
r\
ωο-^Ψ^Θ, Κ) = (Κ/ωο)2 (3/2 - 4sin4 θ). (15.82)
Інтеґрування дає8
Wi(0,K) = ^( 8Іп2в-І8Іп4бУ (15.83)
ω0 \ о /
З твірної функції W = ΘΚ + XW\ можна з точністю до
членів першого порядку визначити зв’язок (jК, ф) зі
8Адитивна функція f(K) відсутня, оскільки W\ мусить бути періодичним
відносно Θ .

15.3. КАНОНІЧНА ТЕОРІЯ ЗБУРЕНЬ
415
„старими“ змінними (J, Θ) (рівняння (15.56) і (15.57)):
ф==θ + 2\Κ/ωΙ (sin20—1 sin40 ) , (15.84)
- 1 cos 40^). (15.85)
J = = К + 2\Κ2/ωΙ ( cos 20
30
Обертаючи рівняння (15.84)
θ = ф — 2\K/ujq (sin20 — 1 sin40), (15.86)
отримаємо за його допомогою у цьому порядку з
(15.85)
J = К + 2\Κ2/ωΙ (cos 20—1 cos 40^ . (15.87)
Обидва рівняння (15.86) і (15.87) є канонічними
перетвореннями від (if, ф) до (J, б). Можемо тепер
підставити ці співвідношення в перше канонічне
перетворення (15.73). Використовуючи вирази для л/j з (15.87)
та sin0 з (15.86):
yfj — \[К ^1+ΧΚ/ωΙ ^cos20 — ^ cos4</>^ ,
sin θ = sin φ — 2λif/ц| ^sin 2φ — ^ sin 4</>^ cos φ,
отримуємо
Ж = y/2K/uo БІпф
+λ^\/2Κ/ωο ^sinφ ^cos2φ — ^ cos40^
— 2 cos 0 ^sin 2φ — ^ sin 4φ
(15.88)
= y/2K/uv sin </>—— — \/2K/uq (6 sin φ -(- sin 3φ)
4

416
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Підставляючи розв’язок (15.80), знайдемо часову
залежність руху у вихідному конфіґураційному
просторі. У нульовому порядку маємо
х— у/2К/иіо sin(o;oі + 0о), (15.89)
і оскільки також К — J, то звідси випливає
відомий вираз для гармонічного осцилятора. В
наближенні О(Х) частота, яка визначає часовий обіг, задається
рівністю (15.79). Вибір фо = π/2 приводить для і — 0
в (15.88) до виразу
х0 = x(t = 0) = \/2Κ/ωо )
і, відповідно, до оберненого співвідношення
Отже, розв’язок, виражений через має вигляд:
X
( 5Axq\
= п1+т4)
cosωί — Х—^2 (6 cos
8ω0
cos 3 ωί)
х\
= хо cos ωί — А-рЯг (cos ωί
8ω0
cos 3ωί),
а це є розв’язок рівняння руху (3.70), який ми вибрали
в розділі 3 з λ = μ/4. Підставляючи також у (15.79) К,
виражене через початкове положення хо? отримуємо
результат — рівняння (3.71)
ω = cjq ^1 + ^Axq· (15.90)
Підсумуємо ще раз наведений вище шлях
розв’язування: два послідовно здійснені канонічні перетворення
(х,р) —> (0, J) —> (</>, К) привели до рівняння руху,
яке легко розв’язується. Якщо піти зворотним
шляхом, отримаємо розв’язок початкового рівняння.

15.3. КАНОНІЧНА ТЕОРІЯ ЗБУРЕНЬ
417
Поправки першого порядку
Повернімося до рівняння (15.67) для багатьох координат і
продовжимо обговорення теорії збурень. Для одновимірної задачі
це рівняння можна розв’язати. В багатовимірному випадку легко
можуть виникнути ускладнення.
Оскільки для обмеженого руху Ні(0,К) також є
багатоперіодичною функцією, то Н\ можна розкласти в /-вимірний ряд
Фур’є:
Я1(0,К) = ^Я1т(К)ехр(гш0), (15.91)
т
де т = (mi,... ,mf) з цілими т*. У Фур’є-розкладі W\
Wi(e,K) = Σ Ж1т(К)ехр(ші0) , (15.92)
т
т^О
немає члена з (т = 0), тому можна зробити припущення, що W\
періодична функція. Але це означає, що Н\ мусить дорівнювати
(т = 0)-членові ряду для Н\, так що маємо:
Ηι-Ηι=Σ яіт(К) ехр(гт0). (15.93)
т
т^О
Якщо цей розклад у ряд підставимо в рівняння (15.67), то
отримаємо спочатку для коефіцієнтів Фур’є Wim такий результат
zrnu;o(K)Wlm = —Я1т( К),
а для повної поправки в першому порядку —
^ Я1техр(,т0)
Іґ ша;о(К)
т^О
На цьому виразі можна продемонструвати проблеми, які
з’являються вже в першому порядку теорії збурень для / > 2.
Збіжність суми суттєво залежить від mu;o(K). Розгляньмо
фіксований набір значень для компонент К. Якщо частоти ωο,ϊ(Κ)
резонансні, тобто існує деякий набір цілих чисел ті такий, що
mu>o(K) =0, (15.95)

418
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
то сума, очевидно, розбігається; тоді треба перейти до
виродженої теорії збурень (див., наприклад, [2]). Але й тоді, коли
нерезонансні, тобто не існує такий вибір га*, для якого
задовольнялось би співвідношення (15.95), можна відповідним вибором
(переважно великих) значень ті зробити ΐϊΐωο(Κ) як завгодно
малим. Лише для достатньо нерезонансних значень ωо,і ряд
збігається абсолютно („проблема малого знаменника“; пор. також
катастрофу резонансу в розділі 3). Звідси виникає запитання: чи
ряд взагалі збігається в якомусь скінченному інтервалі А?
15.4. 	Теорема ΚΑΜ (огляд)
Що відповідає рухові інтеґровної системи на гіперторі, коли
включається деяке збурення? Відповідь дають А. Н.
Колмогоров, В. І. Арнольд і Й. Мозер у своїй знаменитій теоремі КАМ
(пор. [64] і цитовану там літературу з цього питання).
Поведінка тора залежить суттєво від частот ωο(Κ), які визначаються
незбуреною системою згідно з (15.65) і таким чином
характеризують тор для вибраного набору значень К{. Трохи неточно ця
теорема формулюється так:
Якщо в незбуреній системі Но частоти ωο,ї тора
достатньо нерезонансні, то і для системи Н = Но +
ХНі при малих, але скінченних значеннях X існує
трохи здеформований тор, який для X —> 0 переходить у
тор незбуреної системи Но.
- Зауваження,
i) Умову нерезонансності можна сформулювати кількісно.
ii) Тори, які не задовольняють ці умови, будуть зруйновані,
їхні рештки лежать тоді між торами, які „вижили“.
Система Ено-Ейлеса не дуже зручна для демонстрування цієї
теореми, оскільки вже у „незбуреній “ функції Гамільтона Но =
(р].+р2)/2+(х2 -\-у2)/2 частоти співмірні, а саме рівні, ω\ = ω<ι — 1;
тому введення „ збурення “
\Н\ = х2у - у3/3 (15.96)
вимагає виродженої теорії збурень. Але якщо для відношення
частот взяти ірраціональне число, наприклад π/З як коефіцієнт

15.4. ТЕОРЕМА КАМ
419
перед членом у2, так що
Но = \{рі +Р2у) + ^{х2 + |г/2), (15.97)
тобто
ω\ = 1 І CJ2 = 7г/3,
то жолоб потенціалу У (ж, у) ледь-ледь відрізняється від
початкового, і максимальна енергія для обмеженого руху дорівнюватиме
(1/6) (π + 1) /4 = 0,1726 (замість 1/6 у початковій системі
ЕноЕйлеса). Оскільки для малих енергій потенціальний жолоб ще
має форму гармонічного осцилятора і збільшення енергії
спочатку впливає на ангармонічні члени, за міру параметра збурення
λ можна взяти енергію9.
Вираз (15.97), записаний у змінних дії (рівняння (15.15) і
(15.14)), має вигляд (пор. (15.17))
Ho = J\ + (тг/З) J2.
Для (15.96), враховуючи кутові змінні (15.18), знаходимо
\Н\ = 2у —Д sin02 (Λ sin2 θ\ — r) sin2 Θ2). (15.98)
Залишаючи поза межами нашого розгляду дослідження на основі
теорії збурень, подамо відразу чисельні результати для
перетинів Пуанкаре. При малих енергіях для кривих точок перетину з
поверхнею Пуанкаре отримуються знову еліпси (тори)
гармонічного осцилятора (див. рис. 15.2). Якщо енергія зростає, картина
9 Виходячи з енергії
тр НП /.2 . -2\ . 1 / 2 2 . 2 2\ . / 2 1 3 \
(* +2/) + 2 Κω*χ + “уУ ) + іх У ~ ) >
масштабним перетворенням довжини {х,у) —> {х\у) = (х,ї/)/а отримуємо
Е=~2а 0е + 2/ ) + 2 (ω*χ +шУу )+а 2/ -32/ )>
а покладаючи а = Λ, знаходимо
т-,/\2 НП / . /2 ■ /2\ . 1 / 2 /2 . 2 /2\ , \ ґ /2 / 1 /3 \
Я/λ = Y (ж +2/ ) + -(ωχχ +и^2/ ) +Λ ί X у - -у \.

420
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Рис. 15.2. Відображення Пуанкаре модифікованої системи
ЕноЕйлеса при зростанні енергії
змінюється: тори розв’язуються і частка хаотичної області у
фазовому просторі збільшується. Наявна(і) всюди при малих
енергіях збережна(і) величина(и) поступово втрачаються; тори, які
ще існують, вказують на локальні залишки початково
ґлобальної(их) збережної(их) величини (величин). Для вибраних
параметрів система неінтеґровна. Не існують жодні інші (ґлобальні)
ізолювальні збережні величини. Тому не можна чекати, що
застосовна теорія збурень (асимптотичний розклад). Проте вона дає
знов правильну поведінку для початкової системи Ено-Ейлеса у
фазовому просторі, якщо енергії малі (див. підрозділ 4.2).

15.4. ТЕОРЕМА RAM
421
Тепер застосуємо ці результати до обговореної у підрозділі
14.3.4 стійкості планетних орбіт Сонячної системи. Вже для
орбіти Землі, якщо її розглядати як наслідок лише силового поля
Сонця і Юпітера (функція Гамільтона (14.90)), були б
можливі хаотичні розв’язки. Відношення частот радіального і кутового
руху „незбуреної“ Землі (без впливу Юпітера) у системі
координат, яка обертається з кутовою швидкістю ωj (див. рівняння
(15.44)), становить
ωτ/ωφ = 1 +ω3/ωφ. (15.99)
Якщо застосуємо теорему КАМ до загальної функції Гамільтона,
включно з притяганням Юпітера, то встановимо, що внаслідок
малого відношення мас mj/ms рух все ще відбувається на торі,
за винятком випадку, коли відношення частот раціональні.
Оскільки період обертання Юпітера становить 11.86223 років, або
wj/ωφ = 1/11.86223, то з (15.99) отримуємо
ωτ/ωφ = 1.0843.
Це відношення, очевидно, досить ірраціональне, щоб рух Землі
з урахуванням впливу Юпітера залишався на стійкому торі і,
таким чином ґарантувалась стійка орбіта.
Виключення торів зі співмірними частотами можна справді
спостерігати в Сонячній системі (див. [48]). Прикладом є кільце
астероїдів між Марсом і Юпітером. Там у добрій узгодженості
з теорією у розподілі астероїдів спостерігаються прогалини для
раціональних відношень частот ω/uj (див. рис. 15.3).
Відносна
кількість
астероїдір
Рис. 15.3. Прогалини в поясі астероїдів (з [48])

422
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
Другим прикладом для відбору стійких орбіт є структура
кілець Сатурна (див. рис. 15.4); вони складаються з малих кусків
Рис. 15.4. Кільце Сатурна (Physik in unserer Zeit, 23, 121 (1992))
матерії, які рухаються по колових орбітах без суттєвого впливу
одних на інші і без зіткнень. У цій ситуації притягання Сатурна
переважає, а один з внутрішніх супутників (Мімас) відіграє роль
збурення.
Ці обидва приклади служать, очевидно, лише вказівками,
чому планетна система, яка складається з набагато більше, ніж
трьох тіл, незважаючи на це, може бути стійкою. Питання про
стійкість планетної системи залишається також нерозв’язаним у
межах комплексних модельних обчислень (див. про це різні
статті у [49]).
Ці результати — нагорода за використання трохи формальної
теорії Гамільтона-Якобі. Хоча зусилля на побудову
математичного формалізму великі, досягнуте за їх допомогою розуміння
основних рис теорії важливе для оцінки розв’язків динамічної
системи (dH/dt = 0). Чисельно ці розв’язки можна знайти з
досить великими затратами праці. Але спільні риси різних систем
та причини для аналогій або відмінностей у поведінці руху
можна зрозуміти (тільки) на основі аналітичних методів. Змінні дії
і кута відіграють у розгляді не розв’язних точно задач важливу
роль. Але теорія Гамільтона-Якобі служить важливим
інструментом і для розуміння неінтеґровних систем, хаотичної
поведінки, „руйнування “ торів тощо.

15.4. ТЕОРЕМА КАМ
423
Інтеґровні системи ми розглянули докладніше, ніж
неінтеґровні (обертальний маятник із загасанням, система
Ено-Ейлеса, подвійний маятник (без гармонічного наближення),
обмежена система трьох тіл) тільки тому, що їх можна розв’язати
аналітично (принаймні за допомогою теорії збурень); їхні розв’язки
можна подати в замкненій формі і тому їх легше обговорювати в
межах лекційного курсу чи у книжці. Загальні властивості
хаотичних неінтеґровних систем і методи їх розгляду виходять поза
такі межі. Запропонований підручник повинен служити
вихідною базою для розуміння літератури з цієї проблеми (наприклад,
[48, 62, 64]).
Доповнення і питання
1. Визначіть кутові змінні θ{ для руху в потенціалі 1/г і
зобразіть наочно відповідний рух.
2. Виведіть співвідношення (15.29).
3. Функція Гамільтона плоского математичного маятника
(див. підрозділ 3.3) має такий вигляд:
Н-Л-
2т/2
mgl cos φ.
Знайдіть змінну дії J = — j) ρφάψ, проаналізуйте и
залежність від енергії Е (> тді) для
• Е = -тді + ε, є > 0,
• Е = тді — є ,
• Е 3> тді
і задайте якісно функцію J(E) ([48]).
4. 	Застосуйте канонічну теорію збурень до анізотропної версії
(15.97), (15.96) системи Ено-Ейлеса. Обчисліть у першому
порядку х та у як функції змінної дії і змінної кута і
визначіть звідти часову залежність цих координат.

424
Розділ 15. НЕІНТЕҐРОВНІ СИСТЕМИ
5. 	Адіабатична інваріантність змінних дії
Обмежимось одновимірним випадком. У консервативній
системі задано деякий повільно змінний з часом параметр
a (t) (наприклад, частота ω для гармонічного осцилятора).
З функції Гамільтона
H = H{p,q,a) = ^ + V(q,a)
випливає з урахуванням рівності Н (р, g, а) — Е для
імпульсу: р = р (Е, д, а) і, отже, для змінної дії
J =
= 2
Я2
J р (Е, д, a) dg
Яі
ДЕ, а),
де точки повороту ді і <72 є нулями рівняння р (Е, дг. а) = 0.
Для часової похідної дії, усередненої за періодом,
виконується рівність ([18])
dJ
dt
1 f dJ А - О
TJ dtdt~0]
якщо а змінюється повільно, то дія не змінюється
(адіабатична інваріантність дії). Для одновимірного
гармонічного осцилятора з рівності J = Ε/ω випливає, що внаслідок
адіабатичної інваріантності енергія змінюється
пропорційно до частоти ω (t). Застосування до плоского маятника зі
слабо залежною від часу довжиною маятника I (t) у
наближенні малих відхилень (ω2 = g/l):
Як залежить максимальний кут відхилення <ртах від
довжини маятника /? Оскільки з Е — ;2/2<Ртах випливає:
J = -(ff//)1/2/Vmax = -ff1/2/3/Vmax> ТО ДЛЯ залежності
ЯМплітуди маятника від його довжини маємо:
¥>тах (ί) ОС [І (ί)Π3/4 ·

Підсумок
Другий закон Ньютона геніально розкриває взаємний зв’язок
між рухом і силою в різноманітних механічних системах. Тому в
кожному окремому випадку можна було б обмежитися
розв’язуванням відповідних диференційних рівнянь аналітично або
чисельно. Проте якщо врахувати додатково загальні аспекти, такі як
вплив властивостей типу симетрії на розв’язки й інтеґровність,
то досягнемо глибшого розуміння фізичних систем. У ході такого
загального вивчення фізичних властивостей процесів виникають
нові поняття, які стосуються цілих класів систем, наприклад,
енергія, імпульс, момент імпульсу. Ці фізичні величини дають
змогу чіткіше описати спільні риси рухів різних систем.
У Лаґранжевій механіці можна легше включити до
розгляду сили, відомі тільки з їхньої дії на рух. Перехід до координат,
які відповідають симетрії задачі, здійснюється простіше, ніж у
Ньютонових рівняннях руху. Залежність руху від певної
вибраної системи координат входить в основу опису. Але суттєво новий
аспект Лаґранжевого формулювання порівняно з суто
Ньютоновим полягає у тому, що воно робить чітким тісний зв’язок між
симетрією системи і законами збереження.
Нарешті, у Гамільтоновому підході і в підході
ГамільтонаЯкобі інваріантність канонічних рівнянь стосовно канонічних
перетворень є суттєвою складовою частиною теорії. Ці
перетворення систематично використовуються до розв’язування задач.
Траєкторії обмеженого руху в різних інтеґровних системах
можна охопити єдиною картиною як траєкторії на деякому торі. Це
формулювання динаміки системи дає змогу відповісти на
запитання, чи рух Землі в силовому полі Сонця буде стійким і під
впливом далекої планети, а також підійти ближче до питання
про стійкість планетної системи. З іншого боку, питання про ін-

426
ПІДСУМОК
теґровність класичних рівнянь руху, сформульоване як питання
про кількість незалежних ізолювальних перших інтеґралів, має
відповідник у квантово-механічному описі. У цьому аспекті
відповідь важливою і для квантової механіки. Однак наштовхуємося
на труднощі, розглядаючи вже таку просту систему, як точковий
заряд у центральному силовому та однорідному магнетному
полях.

Додаток А
Системи координат
Декартові координати
У декартових координатах три координатні осі визначаються
трьома ортогональними незалежними від положення
одиничними векторами1 Єі,Є2,Єз:
Sij е елементами одиничної матриці І (інваріантним тензором
другого ранґу її, пор.: Додаток В):
Три одиничні вектори утворюють базу. Кожен вектор а можна
зобразити як лінійну комбінацію трьох векторів бази:
Вектор положення г точки Р спрямований від початку
координат до точки Р. Він є так званим зв’язаним вектором, залежним
від вибору початку координат. На відміну від нього, фізичні
величини імпульс р, сила F вільні вектори. Для вектора положення
маємо також:
Одиничні вектори єі інваріантні відносно переносів (трансляцій), тобто
їхні напрямки в усіх точках однакові [97].
а = а іЄі + а2^2 + язез*
Г = ХЄ\ + ye 2 + ze3 = Х\Є\ + Х2Є2 + ^3^3-

428
Додаток А. СИСТЕМИ КООРДИНАТ
Трійки чисел (аі,а25&з) та (x,y,z) або, відповідно, (хиХ2,хз) є
декартовими компонентами векторів а та г; їх часом
ідентифікують з самим вектором:
а = (αι,α2,α3), r = {x,y,z)
(пор. розділ 8).
Скалярний добуток а з b в ортогональній базі має таку
форму:
ab = а\Ь\ + + — йфі.
при цьому за індексами, що повторюються, проводиться
підсумовування (умова підсумовування). Кут Θ між а і b отримується з
рівності
cos Θ =
ab
аІЇЬ[’
де |а| є довжиною а:
|а| — yja\ + 02 + а\.
Важливим інваріантним тензором є цілком антисиметричний
тензор третього ранґу ε^*. Його означення:
“ εΐ23 = 1;
- кожне циклічне переставлення індексів (123) веде до: ε23ΐ =
£312 = 1;
- кожне переставлення двох індексів веде до зміни знака: =
—Sjik і т.д.; звідси випливає також, що — 0, якщо
довільні два індекси однакові.
Запишемо корисне співвідношення
^ijk^imn ~ fijm^kn ^jn^km·
За допомогою тензора є можна виразити векторний добуток
двох векторів
с — а х Ь,
а саме
Q = (& * Ь)і = Eijkajbh.

429
Операції векторного аналізу
Диференційний оператор V, так званий оператор набла,
визначається рівністю
ν = Σ
І
він поводиться як вектор відносно перетворень систем координат.
Якщо V(r) — скалярна функція і А(г) — векторна функція, то
операції grad, div і rot виражаються через V так:
gradF = W,
div A = VA,
rotA = V х А.
Варто запам’ятати: rot gradF = 0, div rotA = 0.
Ортогональні криволінійні координати
Введемо в декартових координатах (х, у, z) функції
и = u(x,y,z),
υ = v(x,y,z), (A.l)
w = w(x,y,z),
як нові, криволінійні координати (ιι,υ,ιυ), де функції (u,v,w) —
однозначні і неперервно диференційовні, отже, існує також
обернене відображення
х = х(гл,г;,ги),
у = у(гх,г;,ги), (А.2)
z = z(u,v,w).
Отже, змінюється також база для цих координат. Якщо в кожній
точці лінії перетину кожної пари поверхонь и = const, υ = const,
w = const взаємно перпендикулярні, то координати називають
ортогональними криволінійними координатами. Векторами бази
в точці (г4, г>, w) є нормовані дотичні вектори до зазначених ліній

430
Додаток А. СИСТЕМИ КООРДИНАТ
перетину. Якщо взяти лінію вздовж кривої їі, яка є кривою
перетину поверхонь v = const і w — const, а також відповідно означені
лінії v та ги, то взявши похідні радіус-вектора (А.2), отримаємо
три ортогональні вектори вздовж цих ліній
dr
dw
(А·3)
як базу в цій точці. На противагу до базових векторів
декартових координат, їхній напрямок залежить від точки (гі,г>,ги), яка
розглядається. Величини2
h
и
dr
du
hy —
dr
dv ’
hu
dr
dw
є також у виразі, який визначає залежність елемента довжини
лінії ds від криволінійних координат:
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
+ [it -* υ] (dv)2 + [u —> го] (dw)2
= hi (du)2 + h2v (dv)2 + h2w (dw)2
= (dsu)2 + (dsv)2 + (dsw)2 . (Α·4)
dsu = hudu e елементом лінії уздовж кривої и і, відповідно, dsv =
hvdv та dsw = hwdw — елементами ліній уздовж кривих v та w.
Залежність напрямків базових векторів криволінійних
координат від точки у просторі необхідно враховувати як під час
обчислення похідних за напрямком, так і в застосуванні оператора
набла. Наприклад, визначаючи ґрадієнт (скалярної) функції ψ у
криволінійних координатах
νψ = (νψ)η eu + (V^)„ e*, + ('Vif>)w ew,
треба виходити з означення ґрадієнта
= άψ,
2їх також називають коефіцієнтами Ламе. — Примітка перекладача.

431
тобто
дф дф дф
аф = — du + —dv + aw.
ои ον ow
Для ds = (dsu, dsv,dsw) виконуються рівності:
(VV0U = ^ і т.д.
Звідси для компонент випливають вирази:
(w)u
±дф _І_д±
Кди у ψ)υ hvdv'
m)w
1 дф
hw dw
(A.5)
Суттєво складнішими, ніж у декартових координатах, є вирази
для VA = divA, V х A = rotA і V*  2  з^ (див., наприклад, [101]).
Під час перетворень координат (А.1) змінюється залежність
елемента об’єму dV = dxdydz від диференціалів координат і
виникає якобіян
J = det (dxi/duj) = huhvhwi (А.6)
((хі\х2,хз) = (я, у, з), (iii,iz2,ii3) = (u,v,w))
dV = \J\ dudvdw.
Перетворення декартових координат до двох ортогональних
криволінійних координат, які розглянемо далі, є неоднозначним
у початку координат; цю точку треба в кожному випадку
розглядати окремо.
Сферичні (полярні) координати
Перетворення від (ж, у, z) до сферичних координат (г, $, φ)
задається формулами
х = r sin ϋ cos φ,
у = rsin$sin<p,
2 	= r cos??,
з 	такими оберненими перетвореннями
r = (x2 + у2 + 22)1/2,
ϋ = arccos 1 (x2 + у2 + z2)1^2) ,
ψ = arctg (y/x),
(A.7)
0 < r < oo,
0 < ΰ < тг, (A.8)
0 < φ < 2π.

432
Додаток А. СИСТЕМИ КООРДИНАТ
Поверхні r = const є сферами (з центром у початку координат),
поверхні ϋ — const — конусами (з вершиною у початку), а
поверхні ψ — const — площинами, перпендикулярними до площини
(ж, у) (вісь z лежить у площині ψ = const). У кожній точці ці
поверхні взаємно ортогональні.
Для декартових компонент ортогональних одиничних
векторів у точці (г,ΰ-,φ) отримуємо за (А.З)
er = (sin?? cos sinдsimp, cos??),
Є0 = (cost? cos <£, cost? sin (£, — sin??), (A.9)
Βφ = (— sin φ, COS <£,0).
Виконується рівність
er x e# = e^, (r, ??, φ) — циклічне переставлення.
Для якобіяна (А.6) маємо
J = r2 sin??,
так що елемент об’єму
dV = ν2άν$\τίϋάϋάφ. (А. 10)
Ґрадгєнт скалярного поля V виражається формулою
1 dV
dV 1 dV
W — Єг — h — + Βφ-—;·
or rod rsmv σφ
(A.11)
Оскільки er = ??e$ + c^sin^e^, то похідна за часом від
радіусвектора r(= rer), r =rer + гег має такий вигляд:
r = rer + rde# + r sin??</?e^. (А. 12)
Для прискорення отримаємо
і? — (г — гд2 — гф2 sin2 d'j er + (2гд + гд — гф2 sin?? cos??^ е$
+ ^2r</9sin?? + 2гдфcos?? + r(/5sin??^ βφ. (А. 13)

433
Циліндричні координати
Перехід від (я, у, z) до циліндричних координат (р, <р, з)
визначається формулами
х — р cos <р,
у = psin<p, (А. 14)
z — z
з оберненими перетвореннями
Р = (х2 + у2)1/2, о < р < оо,
φ = arctg(y/x), 0 < φ < 2π, (Α.15)
2 = 2, —ΟΟ < 2 < ΟΟ.
Поверхні ρ = const є (нескінченно довгими) циліндричними
поверхнями (коаксіальними до осі 2), поверхні φ = const —
площинами, перпендикулярними до площини (я, у), а поверхні 2? = const
— площинами, паралельними до площини (я, у).
Для декартових компонент ортогональних одиничних
векторів (ортів) у точці (р, <р, 2) із загального означення знаходимо
ер = (cos<p, sin(p, 0),
βφ = (— sin COS(p, 0), (A.16)
ez - (0,0,1)
зі співвідношеннями
Єр x = ez, (r, $,<p) — циклічне переставлення.
Якобіян
j = p,
так що для елемента об’єму маємо:
dV = ράράζάφ.
(А.17)
grad У виражається у циліндричних координатах такою
рівністю:
VF = ер
dV_
др
+ Βφ
ldV_ dV_
р др Gz dz
(A.18)

434
Додаток А. СИСТЕМИ КООРДИНАТ
Для похідної радіус-вектора за часом r = pep-\-zez знаходимо
З Єр — Φ^ψ
Г = рер + ρφβψ + ІЄг,
(А.19)
а для прискорення
г = (р- рф2)ер + (2рф + ρφ)βφ + zez.
(А.20)

Додаток Б
Функція Ґріна
Б.І. 5-Функція Дірака
(Р.А.М. DIRAC, англійський фізик, 1902-1984)
(^-функція Дірака належить до так званих узагальнених
функцій. Узагальнені функції є неперервними функціоналами над
простором так званих пробних функцій, які повинні задовольняти
деякі умови; результатом застосування узагальненої функції D
до пробної функції f(x) є числове значення r: D (/) = г.
Узагальнену функцію можна означити як межу послідовності функцій
{$n(s)} :
00
Dn (/) = J dxgn(x)f(x) = rn,
— 00
яка для η —> οο дає узагальнену функцію
00
Dif)= / dxgO0(x)f(x) = r, r — lim rn.
J n—>oo
— 00
Часто граничну „функцію“ goo(x) називають узагальненою фун¬
кцією (пор. нижче: Зображення й-функції).

436
Додаток Б. ФУНКЦІЯ ҐРІНА
Зображення й-функції:
• границя Θ(ί) — Θ(ί — т), де Θ(ί) — сходинкова функція
Гевісайда („сходинка" Гевісайда):
Тоді
t > 0
t < 0 '
S(t) = lim — [Θ(ί) — Θ(ί — τ)1.
τ-* 0 Τ
(Б.1)
• границя послідовності функцій (див. рис. Б.1):
= lim
П-ЮО
—nt2
Рис. Б.1. Послідовність функцій у/^е nt2 для п = 1,4,16,64
• Фур’є-образ (див. підрозділ Б.2) функції f(t) = 1:
00
6(,) = -L / ^
—оо
(Б.2)

Б.2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є
437
Властивості 5-функції:
Ь
1. S(t — to) = 0 для t ф to і 5(0) = оо, причому f S(t — to)dt = 1,
а
якщо а < to < b.
2. f(t)S(t — to) = f(to)S(t — to), зокрема, виконується рівність
ь
tS(t) = 0 (точніше: f f(t)S(t — to)dt = f(to), причому а < to <
а
Ь і / неперервна у to).
3. S(-t) = ί(ί).
4. S(at) = ^«(ί).
I α I
5. Зв’язок зі сходинковою функцією: -7-Q(t) = S(t).
dt
6. Похідна й-функції:
b d
І /(*)аИ* “ tQ)dt = ~ 3l/(f) , a < to < b.
a ai t=t0
Б.2. Перетворення Фур’є
(J.B. FOURIER, французький фізик і математик, 1768-1830)
Означення:/(ω) є Фур’є-образом1 (нижче позначатимемо його
Ф.О.) функції /(ί), якщо
00
/М= J dte~iu,tf(t). (Б.З)
— 00
функції / і / звичайно не розрізняють — відмінність між ними прийнято
визначати різними арґументами функцій, і для обидвох функцій
використовують той самий символ. Цим користуємось і ми.

438
Додаток Б. ФУНКЦІЯ ҐРІНА
Обернене перетворення має вигляд;
оо
/(*) = ^ J ά^ειωίΙ{ω). (Б.4)
— ОО
Деякі властивості Ф.О.:
• лінійність:
00
/М + = J dte~tuJt (f(t) + g(t)).
— 00
• Ф.О. похідної:
00
/ = ίω/(ω)·
—оо
(Доведення: інтеґрування за частинами); узагальнення на
вищі похідні очевидне
• Теорема про згортку:
00 00
/MffM = J dte~lult J drf(r)g(t - τ).
—оо —оо
Ф.О., які часто використовуються:
- Ф.О. Ґаусової функції f(t) = e~t2/σ е також Ґаусовою функцією
f(u) = у/сгке-*™2.
2 OL
- Ф.О. функції f(t) = е~а\ь\ є функцією Лоренца /(ω) = —^ «.
ωζ + or
Ф.О. можна також застосувати до узагальнених функцій (про
це див. [99]): J-функція є Ф.О. сталої функції (/(ω) = 1; пор.
співвідношення (Б.2)).

Б. 3. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
439
Б.З. Лінійні диференщйні рівняння і функщя
Ґріна
(G. GREEN, англійський математик і фізик, 1793-1841)
Функщя Ґріна
У лінійному диференційному рівнянні
Ltx(t) = K(t) (Б.5)
диференційний оператор Lt має таку загальну форму
dn d
Lt — 4" · · · 4- (^*®)
Розв’язок G(t,tf) рівняння
LtG(t,t') = S(t-t') (Б.7)
називають функцією Ґріна.
Якщо функція Ґріна G(t,tf) визначена, то можна відразу
написати розв’язок неоднорідного рівняння (Б.5) для довільної
функції K(t):
00
x(t)= J G{t,t')K{t')dt'. (Б.8)
— 00
00
Доведення є простим і коротким: Ltx(t) = f =
— 00
00
f 0(t — t')K(t')dt' = K(t). Отже, інтеґральний оператор
— 00
f dt'G(t, t1)... обернений до диференційного оператора Lt.
Якщо оператор Lt інваріантний стосовно трансляцій t —> і + а:
Lt+a — Lt-,
як це виконується, наприклад, коли всі коефіцієнти ai(t) = αχ не
залежать від £, то функція Ґріна залежить лише від різниці t — tf:
G(M') = G(i-i')·

440
Додаток Б. ФУНКЦІЯ ҐРІНА
Рівняння гармонічного осцилятора із загасанням
Для диференційного оператора осцилятора із загасанням
Lt = ifi+2lit+Uj2° (R9)
методом перетворення Фур’є (див. вище) отримується
алгебричне рівняння для Фур’є-образу функції Ґріна G(ω)
(—οΡ + ‘li'yUJ + CcJq) C?(ccj) — 1,
звідки знаходимо розв’язок
G М
1
—ω2 + + cjq
1
(ω - *7 - νωο~ 72) (ω - *7 + \/ωο - 72)
(Б.10)
Обчислення інтеґрала
G(t) =
_1_
2π
J duje^Giui)
— 00
(Б.11)
вимагає деякої математичної хитрості. Спочатку зручно
розширити ω на комплексні значення ω = Кеш + ііти = \ω\βιφ і
розглянути підінтеґральну функцію у цій комплексній площині ω.
Додаючи до інтеґрала в (Б.11) інший, у результаті чого
інтеґрування виконується по півколу в нескінченній комплексній
площині, отримаємо
оо
J dujeluJtG(uo) + J dueluJtG(u)) = j) du)elujtG(u)),
η
де зворотний шлях Ή від оо до — оо треба вибрати так, щоб він
не давав внеску в інтеґрал. Зважаючи на те, що для \ω\ —> оо

Б. 3. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
441
домінантною у підінтеґральній функції є поведінка множника
exp [—t Іти;], доходимо до висновку, що для t > 0 шлях
інтеґрування треба замкнути у верхній напівплощині (Іти; > 0), а
для t < 0 — у нижній (Іти; < 0). В обох випадках отримуємо
оо
J άωβίωίΰ(ω) = j dueiu>tG{u). (Б.12)
Інтеґрал по замкненому контуру визначаємо за допомогою
лишків:
ί / {z) dz = 2жг Res / (z)\z=Zk.
с к
Тут замкнений шлях інтеґрування С обмежує область у
комплексній площині z і сума лишків задається внеском
ізольованих синґулярних точок Zk функції / (z) у цій області.
Полюсами підінтеґрального виразу в (Б.12) є два прості полюси
функції G (ω); вони лежать у верхній півплощині площини ω.
У полюсі ω = ιη — ω, ω = ^/u;q — 72 внесок лишка становить
Res
аіші
ω — ij — ω
мо внесок Res
ω—ιη—ω
^гші
ω — і j + ω
e -Jtg-iut
її , а в полюсі ω = ίη + ω має-
2ω
е~деш
= =—. Отже, результатом
• ■ — 2u;
ω=ιη+ω
інтеґрування є причинна функція Ґріна
1
ω = \Jω1 —
G(t) =
—e 7isincot
ω
0
t > 0
t < 0
72.
(Б.13)
Те, що ця функція Ґріна G(t) е причинною, видно з розв’язку
ОО
x(t) = J G{t - t')K(t')dt'
τ
= ' /
ω J
-7 (t-t1)
sin [ω (t — t')] K(t')dt',

442
Додаток Б. ФУНКЦІЯ ҐРІНА
оскільки на x(t) впливає тільки неоднорідний член K(tf) для
часів tf < t, тобто сили, які діють до заданого моменту часу t.
Наслідок настає після його причини2  з (дії сили).
Так ми отримали тільки одну (з багатьох можливих)
функцію Ґріна, бо G((jj) визначається лише з точністю до довільного
розв’язку однорідного рівняння
0 = (ω2 — — ujq) F((jj)
= (ω — ij + ώ) (ω — ij — ώ) F(u). (Б.14)
Відповідно до властивості 2. J-функції (додаток Б.1) загальний
розв’язок цього рівняння має вигляд:
F(ω) = с\5 (ω — + ώ) + (ω — %η — ώ). (Б.15)
Фур’є-образ F(oj) — це добре відомий загальний розв’язок
однорідного рівняння коливання із загасанням:
00
F(t) = ( duei,j3tF{u)
2π J
— 00
00
= — / άωβιωί [cjJ (ω — i-y + ώ) + 026 (ω — i-y — ώ)]
2ж J
— 00
= Сіе-^е~ш + с2е-^еш. (Б.16)
2Останнє твердження прийнято називати принципом причинності. Це один
з фундаментальних принципів сучасної теоретичної фізики. — Примітка
перекладача.

Додаток В
Обертання і тензори
Обертання
Загальне обертання будемо задавати трьома параметрами:
наприклад, ортом η у напрямку осі обертання і кутом
повороту a, DnH; або трьома кутами Ойлера, Щфіϋ,φ) (див. розділ
8). Під час такого обертання вектор х = (хі,Х2?^з) (точніше
кажучи, його декартові координати, див. зауваження у підрозділі
8.1) перетворюється у деякий НОВИЙ вектор х' = (хі^х^х'з)
х\ = DijXj або х' = Ш. (В.1)
D має такі властивості:
і) 	Якщо кут повороту а = 0, то перетворення мусить бути
тотожним
D(a = 0) = І або Aj(0) = (¾.
ii) Якщо для незмінної осі обертання здійснюється зворотний
поворот на кут а, тобто використовується Ш>(—а), то
результатом мусить бути початкове положення
Щ—а) — D-1 (а).
iii) Під час обертання довільного вектора його довжина не
змінюється, тобто з
= DijDikXjXk — %j%j = %j%kfijk

444
Додаток В. ОБЕРТАННЯ І ТЕНЗОРИ
випливає, що
DijDik = Sjk або Ш?1 D = її
— перетворення є ортогональним:
DF = D-1.
(В.2)
iv) 	3 рівності D?1 ЇЇЗ> = її випливає, що
det D = 1.
Якщо якась з координатних осей, наприклад, вісь z, є віссю
обертання, то обертання на кут φ описується простим виразом
аналогічно зображуються обертання навколо х- та у-осей. Легко
переконатися, що власними значеннями цієї матриці є 1, е1^ та
е~гч> (без доведення: власні значення матриці ЇЇЗ> лежать на
комплексному колі з радіусом 1).
Довільне обертання можна зобразити трьома простими
обертаннями навколо трьох різних координатних осей (пор. підрозділ
8.1.2).
Тензори
Величини Th..,n, які перетворюються відносно обертань як
η-кратний добуток (декартових) компонент векторів ... x%n
(пор. В.1):
називаються тензорами п-го ранґу1. Вектор є тензором першого
ранґу. Прикладом тензора другого ранґу є тензор інерції чи
квадрупольний момент розподілу маси. &ij є інваріантним тензором
другого ранґу; інваріантним, оскільки його форма не змінюється
>.·Τ·
(В.З)
хТут ми трактуємо тензор лише як об’єкт, який має трансформаційні
властивості (В.З) відносно обертань.

445
відносно обертань. Іншим прикладом тензора є цілком
антисиметричний тензор третього ранґу Eijk (див.: Додаток A). —
також інваріантний тензор.
Операція, яка зменшує ранґ тензорів, називається згорткою;
вона полягає у підсумовуванні за двома індексами; наприклад
для тензора Т^ьї-
Tijkk — Tij,
отримуємо тензор другого ранґу. Внаслідок ортогональності D,
рівняння (В.2), з (В.З) випливає, що згортка є операцією,
інваріантною відносно обертань. Відомим прикладом згортки є шпур
деякої матриці
SpM = Мц,
який відповідно є інваріантною відносно обертань величиною.

Список літератури
Підручники з механіки
історичні:
[1] Boltzmann L. Vorlesungen liber die Prinzipe der Mechanik.
Leipzig: J.A. Barth, 1922.
[2] Born M. Vorlesungen tiber Atommechanik. Berlin: J. Springer,
1925 (Nachdruck, 1976); російський переклад*1: Борн Μ.
Лекции по атомной механике. Харьков; Киев, 1934.
[3] Haas A. Einfiihrung in die theoretische Physik. Bd. 1. Berlin,
1921.
[4] Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig: J.A. Barth,
1894; російський переклад*: Герц Г. Принципи механики,
изложенньїе в новой связи. М.: Наука, 1971.
[5] Kirchhoff G. Vorlesungen tiber mathematische Physik. Leipzig:
B.G. Teubner, 1877; російський переклад*: Кирхгоф Г.
Механика. Лекции по математической физике. М.: Изд-во АН
СССР, 1964.
[6] Lagrange J.L. Analytische Mechanik, deutsche Ausgabe der 2.
frz. Ausgabe (1811-15) von H. Servus. Berlin: J. Springer, 1887;
російський переклад*: Лаграпж Ж. Аналитическая
механика. Т.1,2. М.: Гостехиздат, 1950; англійський переклад*:
Літературу, позначену зірочкою, додали редактор перекладу та
перекладачі.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
447
Lagrange J.L. Analytical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publ., 1997.
[7] 	Volkmann P. Einfiihrung in das Studium der theoretischen
Physik inbesondere in der analytischen Mechanik mit einer
Einleitung in die Theorie der Physikalischen Erkenntnis. Leipzig:
Teubner, 1900.
[8]* Остроградский M.B. Полное собрание трудов: В 3-х т. Киев:
Изд-во АН УССР, 1961.
сучасні:
[9] 	Abraham R., Marsden J.E.. Foundations of Mechanics. New
York, N.Y., 1978. Addison-Wesley, Reading, MA, 1979 2nd ed.
[10] ArnoVd V.I. Mathematische Methoden der klassischen
Mechanik. Basel: Birkhauser, 1988; англійський переклад*:
Arnold V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics.
Springer Graduate Texts on Mathematics, No. 60. New York:
Springer, 1978; російський ориґінал*: Арнольд В.И.
Математические методьі классической механики. М.: Наука, 1979.
[11] Becker R.A. Introduction to Theoretical Mechanics. New York:
McGraw-Hill, 1954.
[12] Budo A. Theoretische Mechanik. Berlin: Deutscher Verlag der
Wissenschaften, 1965.
[13] Corben H.C.j Stehle P. Classical Mechanics. Huntington: R.E.
Krieger, 1974.
[14] Godbillon C. Geometrie differentielle et mecanique analytique.
Paris: Hermann, 1969.
[15] Goldstein H. Klassische Mechanik. Frankfurt: Akademische
Verlagsgesellschaft, 1963; англійський ориґінал*: Goldstein H.
Classical Mechanics. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1980;
російський переклад*: Гольдстзйн Г. Классическая
механика. М.: Мир, 1975.

448
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
[16] Heil М., Kitzka F. Grundkurs Theoretische Mechanik.
Stuttgart: Teubner, 1984.
[17] Kibble T.W.B. Classical Mechanics. London: Longman, 1985.
[18] Landau L.D., Lifschitz E.M. Lehrbuch der theoretischen
Physik, Band I: Mechanik. Berlin: Akademie-Verlag, 1970;
російський оригінал*: Ландау Л.Д., Лифшиц И.М.
Теоретическая физика. Т.І. Механика. М.: Наука, 1973.
[19] Ludwig G. Einfiihrung in die Grundlagen der theoretischen
Physik, Band I: Raum, Zeit, Mechanik. Braunschweig: Vieweg,
1985.
[20] Macke W. Mechanik der Teilchen. Leipzig: Akademische
Verlagsgesellschaft, 1967.
[21] Pars L.A. A Treatise on Analytical Dynamics. London:
Heinemann, 1964.
[22] Saletan E.J., Cromer A.H. Theoretical Mechanics. New York:
J. Wiley, 1971.
[23] Scheck F. Mechanik. Berlin: Springer, 1988; англійський
переклад*: Scheck F. Mechanics. Berlin: Springer, 1994.
[24] Sommerfeld A. Vorlesungen iiber theoretische Physik. Bd. I:
Mechanik. Frankfurt: Haxri Deutsch, 1977.
[25] Spiegel M.R. Theory and Problems of Theoretical Mechanics,
Schaum’s Outline Series. New York: McGraw-Hill, 1967.
[26} Stephani H., Kluge G. Theoretische Mechanik, Spektrum.
Heidelberg: Akademischer Verlag, 1995.
[27] Thirring W. Classical Hamiltonian Systems. New York:
Springer, 1975.
[28] Thirring W. Lehrbuch der Mathematischen Physik. Bd. 1:
Klassische Dynamische Systeme. Wien: Springer, 1977; англійський
переклад*: Thirring W. A Course in Mathematical Physics,
vol.l: Classical dynamical systems. New York: Springer, 1979.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
449
[29] 	* Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Наука, 1974
[30] 	* Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математичес-
кие аспектьі классической и небесной механики // Итоги
науки и техники. Сер. Современньїе проблеми математики.
Фундаментальньїе направлення. Т. 3. М.: ВИНИТИ, 1985;
англійський переклад*: Arnold V.I. (ed) Dynamical Systems
III. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.
Berlin-Heidelberg; New York: Springer, 1988.
[31] 	* Гайда Р.П. Вступ до теоретичної фізики: Учбовий посібник
для студентів IV-V курсів механіко-математичного
факультету університету. Львів: Вид-во Львівського ун-ту, 1970.
[32] 	* Глауберман А.Ю., Сеньків М.Т. Лекції з теоретичної фізи¬
ки. Теоретична механіка. Львів: Вид-во Львівського ун-ту,
1960.
[33] 	* Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко
А.М. Сборник задач по теоретической физике. М.: Вьісш.
шк., 1972.
[34] 	* Кильчевский Н.А., Ремизова Н.И., Кильчевская Е.Н. Осно¬
ви теоретической механики. Киев: Вища шк., 1986
[35] 	* Кільчевський М.О. Курс теоретичної механіки. ТІ. Київ:
Вища шк., 1972.
[36] 	* Кільчевський М.О. Курс теоретичної механіки. Т.2. Київ:
Рад. шк., 1957.
[37] 	* Кільчевський М.О., Нечипоренко Г.Д., Шальда Л.М. Осно¬
ви аналітичної механіки. Київ: Наук, думка, 1975.
[38] 	* Медведев Б.В. Начала теоретической физики. М.: Наука,
1977.
[39] 	* Ньютон И. Математические начала натуральной филосо-
фии. Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крнлова.
М.: Наука, 1989.
[40] 	* Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физи-
ков. М.: Наука, 1970.

450
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
[41] 	* Ольховский И.И., Павленко Ю.Г, Кузьменков Л.С. Задачи
по теоретической механике для физиков. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1977.
[42] 	* Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1991.
[43] 	* Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: Изд-
во Моск. ун-та, 1988.
[44] 	* Татаринов Я.В. Лекции по классической механике. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1984.
[45] 	* Федорченко А.М. Теоретическая физика. Классическая ме-
ханика. Киев: Вища пік., 1983.
[46] 	* Федорченко А.М. Теоретична фізика. Т.1. Класична меха¬
ніка і електродинаміка. Київ: Вища пік., 1992.
Література до спеціальних тем
[47] Balescu R. Equilibrium and Nonequilibrium Statistical
Mechanics. New York: J. Wiley, 1975; російський переклад*:
Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика: В 2-х Т. М.: Наука, 1978.
[48] Berry Μ. V. Regular and Irregular Motion, in: Topics in
Nonlinear Dynamics, AIP Conference Proceedings 46, ed. S. Jorna.
New York: American Institute of Physics, 1978.
[49] Chaos, Resonanse and Collective Dynamical Phenomena in the
Solar System, ed. S. Ferraz-Mello. Dordrecht: Kluwer, 1992.
[50] Hagedorn P. Nichtlineare Schwingungen. Wiesbaden:
Akademische Verlagsgesellschaft, 1978.
[51] Jammer M. Concepts of Space. Cambridge (MASS): Harward
University Press, 1954.
[52] Klein F., Sommerfeld A. liber die Theorie des Kreisels
(Nachdruck). Stuttgart: Teubner, 1965.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
451
[53] La Salle J., Lefschetz S. Die Stabilitatstheorie von Ljapunov.
Manhheim: B.I., 1967.
[54] von Laue M. Die spezielle Relativitatstheorie. Braunschweig:
Vieweg, 1955.
[55] Lechner A. Enzyklopadie der Mechanik. Wien: L.W. Seidel,
1923.
[56] Lichtenberg A.J., Lieberman M.A. Regular and Stochastic
Motion. New York: Springer, 1983.
[57] Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York:
Freeman, 1977.
[58] Russell B. Das ABC der Relativitatstheorie. Hamburg:
Rowohlt, Reinbeck, 1972.
[59] Sexl R., Urbantke H. Gravitation und Kosmologie. Mannheim:
B.I., 1983.
[60] Schmid E. W., Spitz G., Losch W. Theoretische Physik mit dem
personal Computer. Berlin: Springer, 1987.
[61] Siegel C.L., Moser J.K. Lectures on Celestial Mechanics.
Berlin: Springer, 1995.
[62] Steeb W.-H., Kunick A. Chaos in dynamischen Systemen.
Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1989.
[63] Schwabl F. Quantenmechanik. Berlin: Springer Verlag, 1988.
[64] Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics. New
York: J. Wiley, 1989.
[65] The Cambridge Encyclopaedia of Astronomy. London:
Jonathan Cape Ltd, 1977.
[66] Souriau J.M. Structure des systems dynamiques. Paris: Dunod,
1970.
[67] Sudarshan E. C. G., Mukunda N. Classical Dynamics: A Modern
Perspective. New York: Wiley, 1974.

452
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
[68] 	* Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.
[69] 	* Вакарчук І.О. Квантова механіка. Львів: ЛДУ ім. І. Фран¬
ка, 1998.
[70] 	* Давьідое А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
[71] 	* Климишип І.А. Астрономія. Львів: Світ, 1994.
[72] 	* Кобилянський В.Б. Статистична фізика. Київ: Вища шк.,
1972.
[73] 	* Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.ІІІ.
Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука,
1974.
[74] 	* Угаров В.А. Спеціальная теория относительности. М.: На¬
ука, 1977.
[75] 	* Федер Е. Фрактальї. М.: Мир, 1991.
[76] 	* Чалий А.В. Неравновесньїе процесові в физике и биологии.
Киев: Наук, думка, 1997.
[77] 	* Юхновський І.Р. Основи квантової механіки. Київ: Либідь,
1995.
Література з історії механіки
[78] Carnap R. Einfiihrung in die Philosophie der
Naturwissenschaften. Miinchen: Nymphenbueger Verlagsbuchhandlung,
1969.
[79] Fauvel J., Flood R., Shortland M., Wilson R. (Eds.), Let
Newton be! Oxford: Oxford University Press, 1988.
[80] Folsing A. Galileo Galilei — Prozefi ohne Ende, Hamburg:
Rowohlt, Reinbeck, 1996.
[81] Hund F. Geschichte der physikalischen Begriffe. Mannheim:
B.I., 1972.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
453
[82] Jammer М. Der Begriff der Masse in der Physik. Darmstadt:
Wiss. Buchgesellschaft, 1964; англійський ориґінал*: Jammer
M. Concept of Mass in Classical and Modern Physics.
Cambridge (Mass.): Harvard Univ. Press., 1961.
[83] Jammer M. Concepts of Force. New York: Harper and Brothers,
1962.
[84] Koestler A. Die Nachtwandler — Die Entstehungsgeschichte
unserer Welterkenntnis. Frankfurt: Suhrkamp, 1980.
[85] Koestler A. The Sleep Walkers. New York: Grosset & Dunlap,
1963.
[86] Mach E. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig: F.A.
Brockhaus, 1912.
[87] Moszkowski A. Einstein — Einblicke in seine Gedankenwelt.
Berlin: Fontane, 1922.
[88] Peterson I. Newton’s Clock — Chaos in the Solar System. New
York: Freeman, 1993.
[89] Sambursky S. Der Weg der Physik. Miinchen: dtv, 1978;
англійський ориґінал*: Sambursky S. Physical Thought. London:
Hutchinson, 1974.
[90] Wawilow S.I. Isaac Newton. Berlin: Akademie-Verlag, 1950;
російський ориґінал*: Вавилов С.И. Исаак Ньютон. 1643-1727.
М.: Наука, 1989.
[91] 	* Аксіоми для нащадків. Українські імена у світовій науці.
(Збірник). Львів: Каменяр, 1991.
[92] 	* Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук. М.: Наука,
1989.
[93] 	* Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
[94] 	* Храмов Ю.А. Физики. М.: Наука, 1983.

454
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Математична література
[95] Bourne D.E., Kendall Р.С. Vektoranalysis. Stuttgart:
Teubner, 1973; англійський ориґінал*: Bourne D.E., Kendall P.C.
Vector Analysis. London: Oldbourne Book Co Ltd, 1967.
[96] Funk P. Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und
Technik. Berlin: Springer, 1970.
[97] Lagally M. Vorlesungen iiber Vektorrechnung. Leipzig:
Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 1964.
[98] Lichnerowicz A. Einfiihrung in die Tensor analysis, Mannheim:
B.I., 1966; англійський ориґінал*: Lichnerowicz A. Elements
of Tensor Calculus. London: Methuen, 1962.
[99] Lighthill M.J. Einfiihrung in die Theorie der
Fourier-Analysis und der Verallgemeinerten Funktionen. Mannheim: 1966;
англійський ориґінал*: Lighthill M.J. Introduction to
Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1958.
[100] Miller M. Variationsrechnung. Leipzig: Teubner, 1959.
[101] Spiegel M.R. Vector Analysis and an Introduction to Tensor
Analysis, Schaum’s Outline Series. New York: McGraw-Hill,
1959.
[102] Szabo J. Geschichte der Mechanischen Prinzipien. Basel:
Birk- hauser, 1987.
[103] 	* Блажиєвський Л.Ф. Операторні методи квантової теорії.
Текст лекцій. Львів: ЛДУ ім. І. Франка, 1993.
[104] 	* Підстригач Я.С. Тензори на многовидах. Навчальний по¬
сібник. Львів: ЛДУ ім. І. Франка, 1986.
[105] 	* Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1974.
[106] 	* Романовский П.И. Рядьі Фурье. Теория поля. Аналитичес-
кие и специальньїе функции. Преобразование Лапласа. М.:
Наука, 1980.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
455
[107] 	* Свідзинський А. Математичні методи теоретичної фізики.
Київ: Вид-во ім. Олени Теліги, 1998.
[108] 	* Сеньків М.Т. Векторний і тензорний аналіз. Львів: ЛДУ
ім. І. Франка, 1991.

Предметний покажчик
А
аналіз стійкості
лінійний, 59, 284
аномалія
ексцентрична, 142
атрактор, 56
дивний, 94
Б
блок, 267
В
важіль, 264
вектор
апсидний, 103
Ленца, 115
величина
динамічна, 337
збережна, 32, 339
взаємодія
кулонівська, 165
визначник Якобі, 347
відображення
дзеркальне, 180
ітераційне, 92
відхилення
від положення
рівноваги, 306
вісь
головна, 276
в’язь
голономна, 199
неголономна, 200, 230
реономна, 200
склерономна, 200
Г
група Ґалілея, 183
Ґ
ґравітаційна стала, 137
д
дзиґа, 270
антисиметрична, 282
важка, 288
симетрична, 292
вільна, 332
симетрична, 280
спляча, 297
дія, 224
дужки Пуассона, 338
фундаментальні, 340
Е
експеримент Кавендіша, 151
еліпсоїд інерції, 276
енергія
кінетична^ 34
потенціальна, 35
ротаційна, 270

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
трансляційна, 270
Ж
жолоб
Ґалілея (похилений), 46,
202
З
задача
двох центрів, 376
про брахістохрону, 207
трьох тіл
обмежена, 370
плоска, 392
закон
всесвітнього тя ж іння,
136
збереження, 247
енергії, 35, 98, 131, 245,
250
імпульсу, 240, 254
моменту імпульсу, 38,
98, 243, 255
секторіальної
швидкості, 100
центра інерції, 133, 257
Кеплера
перший, 140
другий, 141
третій, 141
Ньютона
перший, 27
другий, 27
третій, 27, 29, 237
збереження
енергії
відносного руху, 134
центра інерції, 134
імпульсу центра інерції,
135
457
моменту імпульсу
відносного руху, 134
центра інерції, 134
зіткнення
пружне, 159
змінна дії, 395
змінні
динамічні, 58
канонічно спряжені, 337
кутові, 396
зона взаємодії, 157
І
імпульс, 26, 28
відносного руху, 158
канонічно спряжений,
225
центра мас, 158, 239
інваріанти Пуанкаре, 347
інволюція, 358
інтеґрал
ізолювальний, 89
перший, 33
площ, 141
Якобі, 249, 375
інтеґрали руху, 236
інтеґровність, 358
К
кількість руху, 26
кільце
астероїдів, 421
Сатурна, 422
кінематика
пружного зіткнення, 160
коливання
згасне, 54
сильно згасне, 54
струни, 324

458
константа руху, 32, 236, 247
конфіґураційний простір, 31
координата
відносна, 132, 238
незалежна
(узагальнена), 249
центра мас, 132
циклічна, 221, 225, 331
координати
нормальні, 309
кут розсіяння, 156, 169
кути
Ойл єрові, 181
Л
Лаґранжеві точки, 382
ланцюжок
лінійний, 320
лібрація, 395
лінія вузлів, 181, 294
М
маса, 26
активна важка, 137
важка, 25, 26, 137
зведена, 133
інертна, 25, 137
пасивна важка, 137
матриця мас, 307
маятник
плоский, 47
подвійний (плоский), 303
сферичний, 204
фізичний, 300
Фуко, 233
механіка матеріальної точки,
ЗО
молекула
триатомна, 313
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
момент
імпульсу, 37
інерції, головний, 276
квадрупольний
розподілу маси, 149,
272
сили, 37
Н
наближення
гармонічне, 307
нутація, 297
О
обертання
резонансні, 407
оператор Ліувілля, 354
осцилятор
гармонічний,
одновимірний, 50, 345
Дафінґа, 67, 413
двовимірний, 73, 365, 398
ізотропний, 77, 400
П
пара сил, 263
параметр зіткнення, 155
перетворення
Ґалілея, 183
спеціальне, 183
інфінітезимальне, 181
канонічне, 341, 347
координат
інфінітезимальне, 251
пасивне, 177
точкове, 345
перигелій, 117
період, 45
поверхня Пуанкаре, 75

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
поворот, 178
власний, 180
подібність
механічна, 114
показник Ляпунова, 91
поле
потенціальне, 331
сил, ЗО
центральне
потенціальне, 38, 153
поліспаст, 267
положення рівноваги, 45,
260, 306
поперечний переріз
повний, 168
розсіяння,
диференціальний, 165
потенціал, 35
взаємодії, 131, 157, 237
ґравітаційний, 136
ефективний, 100
центральний, 99, 367, 403
прецесія, 281, 296
принцип
віртуальної роботи, 269
Гамільтона, 224
суперпозиції сил
див. теорема
додавання сил, 29
припущення про розділення,
364
прискорення, 23, 29
Р
резонанс, 56
рівняння
Гамільтона, 330
Гамільтона-Якобі,
диференційне, 363
459
гармонічних коливань,
310
для траєкторії, 101
канонічне, 330
Кеплера, 142
Лаґранжа, 222, 225, 248
Ліувілля, 354
Ойлера, 280
диференційне, 210
Ойлера-Пуассона, 288
руху Ньютона, 29
статики (основні), 262
траєкторії, 155
хвильове, 324
робота, 34
розв’язок стаціонарний, 61
розсіяння
потенціальне, 157, 164
ротація, 395
рух
необмежений, 46
обмежений, 43
орбітально стабільний,
143
періодичний, 45
стійкий, 58
С
сила, 26, 29
взаємодії, 130
відцентрова, 100, 194
двочастинкова, 235
доцентрова, 205
жива, 36
консервативна, 34
Коріоліса, 194
реакції, 201
тертя, 52
зчеплення, 52

460
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
узагальнена, 230, 306
фіктивна, 187, 193
центральна, 38, 97
система
відліку, 174
власна, 270, 271
інерційна, 175
обертова, 188, 232
прискорена, 187, 231
дисипативна, 94
Ено-Ейлеса, 80
модифікована, 418
замкнена, 238
інтеґровна, 33, 358
консервативна, 35
лабораторна, 159
першого порядку
автономна, 31
сепарабельна, 364
хаотична, 89
центра інерції, 159
статика твердого тіла, 261
ступінь вільності, 235
Т
тверде тіло, 261
тензор інерції, 271
теорема
додавання сил, 29
КАМ, 418
Ліувілля
про інтеґровність, 358
про об’єм фазового
простору, 354
Нетер, 252
про рух центра інерції,
135
Штайнера, 287
тертя
Ньютонове, 53
Стоксове, 53
тор, 360, 408
тотожність Якобі, 340
точка
матеріальна, 29
нерухома, 61
повороту, 43
траєкторія, 31, 32
замкнена, 103, 108, 113,
115
у формі розетки, 113
Троянці, 384
У
угода про підсумовування,
176
умови обмежувальні, 199
Ф
фазовий простір, 31
фігура Лісажу, 74
формула розсіяння
Резерфорда, 170
фрактальна структура, 90
функція
Гамільтона, 330
Ґріна, 54
калібрувальна, 253
Лаґранжа, 221, 248
обмежена (скорочена),
362
твірна
інфінітезимального
перетворення, 348
канонічного
перетворення, 344
ц
центр інерції, 238, 239

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
461
ч
частота
резонансна, 417
циклотронна, 120, 126
Ш
швидкість, 23, 28
кутова, 189, 271
Ларморова, 195
секторіальна, 99

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
Гаральд Іро
Класична механіка
Переклали з німецької
Роман Ґайда
Юрій Головач
Редактор Мирослава Прихода
Комп’ютерний набір Дарїі Маїк
Комп’ютерна верстка Андрія Швайки
Підписано до друку 01.12.99. Формат 60х907іб·
Папір офс. Ґарн. Times. Друк офс. Умови, друк. арк. 29.
Фарбо-відб. 29,25. Обл. вид. арк. 27,46.
Тираж 1000 прим. Зам. 723
Львівський національний університет ім. Івана Франка
79000 Львів, вул. Університетська, 1
Жовківська книжкова друкарня
видавництва Отців Василіян „Місіонер"
80300 м. Жовква Львівської обл., вул. Василіянська, 8.