/
Author: Потапов А.И. Островский Л.А.
Tags: движение жидкостей гидродинамика физика теория колебаний и волн
ISBN: 5-9221-0370-9
Year: 2003
Text
УДК 532.59, 537.87
ББК 22.314
077
Островский Л. А., Потапов А. И. Введение в теорию модулиро-
модулированных волн. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 400 с. - ISBN 5-9221-0370-9.
В книге рассматриваются линейные и нелинейные волны, которые в ши-
широком смысле могут быть отнесены к классу модулированных волн. Обсуж-
Обсуждаются примеры волновых процессов в электродинамике, физике плазмы,
акустике, гидродинамике и теории упругости. Описываются пространствен-
пространственно-временные аналоги методов геометрической оптики и «квазиоптики». Рас-
Рассматривается распространение модулированных волн в нестационарных сре-
средах. Исследуются квазигармонические волны в средах с сильной дисперсией
и слабой нелинейностью, когда модуляция проявляется в медленных про-
пространственно-временных изменениях амплитуды и частоты. Обсуждается
параметрическое усиление солитонов в поле бегущей волны, а также эф-
эффекты их взаимодействия. Значительное внимание уделяется рассмотрению
процессов взаимодействия солитонов как классических частиц, движение ко-
которых описывается уравнениями ньютоновского типа. Проводится сравнение
точных и приближенных методов описания процессов их взаимодействия.
Даются исторические сведения и задачи для самостоятельного решения.
Книга рассчитана на студентов, магистрантов и аспирантов универси-
университетов. Вместе с тем, она может быть интересна и для специалистов самых
различных профилей.
Рецензенты:
Кафедра акустики МГУ (заведующий кафедрой член-корреспондент
РАН О.В. Руденко), член-корреспондент РАН А.Г. Куликовский
ISBN 5-9221-0370-9 © физматлит, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................. 9
Введение .................................... 12
Глава 1
Кинематика волн .............................. 17
1.1. Гармоническая волна .......................... 17
1.1.1. Комплексное представление волны .............. 18
1.1.2. Фазовая скорость ......................... 20
1.1.3. Дисперсия ............................. 21
1.2. Модулированная волна и групповая скорость ............ 22
1.3. Распространение волнового пакета .................. 26
1.4. Затухающие волны ........................... 30
1.5. Исторические замечания и комментарии ............... 31
1.6. Задачи и упражнения .......................... 33
Глава 2
Линейные волны в средах с дисперсией .............. 35
2.1. Электромагнитные волны ....................... 35
2.1.1. Электромагнитная волна в вакууме .............. 36
2.1.2. Электромагнитная волна в плазме ............... 37
2.1.3. Электромагнитная волна в диэлектрике ........... 38
2.2. Акустические волны ........................... 43
2.2.1. Волны в идеальном газе ..................... 43
2.2.2. Волны в газе с релаксацией ................... 44
2.2.3. Волны в жидкости с пузырьками газа ............. 46
2.3. Волны на поверхности жидкости ................... 48
2.4. Волны в упругих телах ......................... 51
2.4.1. Продольные волны в стержне ................. 52
2.4.2. Изгибные волны в стержне ................... 54
2.5. Исторические замечания и комментарии ............... 56
2.6. Задачи и упражнения .......................... 62
Глава 3
Энергим и импульс волн ......................... 65
3.1. Законы сохранения и уравнения переноса .............. 65
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.2. Энергия волн в среде с дисперсией .................. 68
3.2.1. Электромагнитная волна в плазме ............... 68
3.2.2. Волны на поверхности жидкости ................ 69
3.2.3. Упругие волны в стержне .................... 70
3.3. Энергия и групповая скорость ..................... 72
3.4. Квазигармоническая волна в диэлектрике .............. 74
3.5. Энергия волн в неравновесной среде ................. 78
3.6. Импульс электромагнитной волны .................. 82
3.6.1. Электромагнитная волна в вакууме .............. 82
3.6.2. Давление света .......................... 83
3.6.3. Электромагнитная волна в среде ................ 85
3.7. Импульс акустической волны ..................... 86
3.8. Исторические замечания и комментарии ............... 88
3.9. Задачи и упражнения .......................... 93
Глава 4
Вариационные методы в теории волн ................ 96
4.1. "Уравнения движения .......................... 96
4.1.1. Уравнения в форме Лагранжа ................. 97
4.1.2. Уравнения в форме Гамильтона ................ 97
4.1.3. Системы более высокого порядка ............... 99
4.2. Уравнения переноса энергии и импульса ............... 100
4.3. Вариационное описание электромагнитного поля ..........102
4.4. Усредненный вариационный принцип ................. 104
4.4.1. Уравнения для огибающих ................... 104
4.4.2. Волновое действие и законы сохранения ........... 106
4.4.3. Гамильтонова форма уравнений для огибающих ...... 108
4.5. Энергетические соотношения для линейных волн .......... 109
4.6. Волны отрицательной энергии ..................... 110
4.7. Исторические замечания и комментарии ............... 113
4.8. Задачи и упражнения .......................... 119
Глава 5
Асимптотики линейных волн ...................... 121
5.1. Метод стационарной фазы ....................... 121
5.2. Распространение волн в среде с дисперсией ............. 124
5.2.1. Расплывание короткого импульса ............... 124
5.2.2. Волны на глубокой воде ..................... 128
5.3. Автомодельные волны ......................... 130
5.3.1. Параболическое уравнение ................... 131
5.3.2. Линеаризованное уравнение КдВ ............... 133
5.4. Коротковолновое приближение .................... 135
5.4.1. ВКБ-приближение ........................ 135
5.4.2. Колебания висящей цепи .................... 137
5.4.3. Волна де~Бройля для электрона ................ 139
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.5. Исторические замечания и комментарии ............... 140
5.6. Задачи и упражнения .......................... 144
Глава 6
Пространственно-временная геометрическая оптика ...... 146
6.1. Уравнение переноса для частоты и волнового числа ........ 146
6.2. Эволюция модулированной волны ................... 149
6.2.1. Пространственно-временные каустики ............ 150
6.2.2. Пространственно-временные фокусы .............152
6.3. Изменение амплитуды волны ..................... 155
6.4. Асимптотика модулированных волн .................157
6.5. Асимптотическое поведение волн на воде ..............158
6.6. Исторические замечания и комментарии ............... 160
6.7. Задачи и упражнения .......................... 161
Глава 7
Пространственно-временная: квазиоптика ............. 163
7.1. Пределы применимости ПВ-геометрической оптики ........ 163
7.2. Уравнения ПВ-квазиоптики ...................... 165
7.2.1. Уравнение для комплексной огибающей ........... 165
7.2.2. Уравнения для амплитуды и частоты ............. 166
7.3. Гауссов импульс ............................. 168
7.4. Автомодельные волны огибающих .................. 171
7.5. Исторические замечания и комментарии ............... 173
7.6. Задачи и упражнения .......................... 176
Глава 8
Волны в нестационарных средах ................... 178
8.1. Примеры систем с переменными параметрами ........... 178
8.2. Пространственно-временная геометрическая оптика ........ 180
8.2.1. Уравнения для частоты и волнового числа ..........181
8.2.2. Изменение амплитуды и энергии волны ............182
8.3. Среда с бегущей волной параметра .................. 183
8.3.1. Общие соотношения ....................... 184
8.3.2. Стационарные волны огибающих ............... 185
8.3.3. Периодическая волна параметра ................ 187
8.3.4. Модуляция поверхностной волны на воде ...........189
8.4. Пространственно-временная квазиоптика ..............191
8.5. Волны в среде без дисперсии ...................... 192
8.5.1. Уравнения для связанных нормальных волн ......... 193
8.5.2. Одноволновое приближение ................... 196
8.6. Недиспергирующая среда с бегущей волной параметра ...... 200
8.6.1. Общие соотношения ....................... 201
8.6.2. Параметрическое формирование импульсов ......... 203
ОГЛАВЛЕНИЕ
8.7. Исторические замечания и комментарии ............... 207
8.8. Задачи и упражнения .......................... 208
Глава 9
Примеры нелинейных волновых процессов ............ 209
9.1. Электромагнитные волны ....................... 209
9.1.1. Нелинейная среда без дисперсии ................ 210
9.1.2. Диэлектрик с электронной поляризацией ...........211
9.1.3. Диэлектрик с ориентационной поляризацией .........213
9.1.4. Дискретные линии передачи .................. 215
9.2. Нелинейные акустические волны ................... 216
9.2.1. Волны в идеальном газе ..................... 217
9.2.2. Слабонелинейные акустические волны ............218
9.3. Волны на поверхности жидкости ................... 220
9.3.1. Уравнения для потенциала скорости ............. 220
9.3.2. Волны на мелкой воде ...................... 221
9.4. Волны в твердых телах ......................... 224
9.4.1. Волны в изотропном твердом теле ............... 224
9.4.2. Продольные волны в стержне ................. 226
9.5. Волны в цепочке маятников ...................... 227
9.6. Исторические замечания и комментарии ............... 229
9.7. Задачи и упражнения .......................... 233
Глава 10
Нелинейные эволюционные уравненим. Простые и ударные
волны ..................................... 235
10.1. Волна с медленно меняющимся профилем .............. 236
10.1.1. Волны в электромагнитных линиях передачи ........ 237
10.1.2. Электромагнитные волны в диэлектрике ........... 238
10.2. Метод связанных волн ......................... 238
10.2.1. Общая схема ........................... 239
10.2.2. Акустические волны в вязком газе .............. 240
10.2.3. Волны на мелкой воде ...................... 242
10.3. Нелинейные волны в среде без дисперсии .............. 243
10.4. Ударные волны ............................. 246
10.5. Ударные волны в вязкой среде .................... 250
10.6. Исторические замечания и комментарии ............... 253
10.7. Задачи и упражнения ......................... 254
Глава 11
Нелинейные квазигармонические волны .............. 257
11.1. Нелинейное уравнение Шредингера ................. 258
11.2. Волны огибающих в приближении пространственно-временной
геометрической оптики ......................... 260
11.2.1. Модуляционная неустойчивость ................ 260
11.2.2. Простые волны огибающих ................... 262
ОГЛАВЛЕНИЕ
11.3. Модуляционная неустойчивость в квазиоптическом приближении 265
11.4. Стационарные волны огибающих ................... 267
11.4.1. «Светлые» и «темные» солитоны огибающих ........ 267
11.4.2. Волна с амплитудно-частотной модуляцией ......... 270
11.5. Ударные волны огибающих ...................... 272
11.5.1. Основные уравнения ....................... 273
11.5.2. Структура ударных волн огибающих ............. 274
11.6. Исторические замечания и комментарии ............... 277
11.7. Задачи и упражнения ......................... 279
Глава 12
Модулированные несинусоидальные волны ............ 283
12.1. Стационарные бегущие волны ..................... 283
12.2. Уравнение Кортевега-де Вриза .................... 285
12.3. Уравнение Буссинеска ......................... 289
12.4. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона ............... 294
12.5. Модулированные волны в лагранжевых системах ......... 299
12.6. Волны в неоднородной среде с диссипацией ............. 301
12.7. Волны на поверхности жидкости переменной глубины ...... 306
12.8. Исторические замечания и комментарии ............... 309
12.9. Задачи и упражнения ......................... 312
Глава 13
Солитоны. Усиление и взаимодействие ...............313
13.1. Солитоны ................................. 314
13.1.1. Уравнение Кортевега-де Вриза ................ 314
13.2.2. Модифицированное уравнение КдВ .............. 315
13.2. Параметрическое усиление солитонов ................317
13.2.1. Основные уравнения ....................... 317
13.2.2. Уравнения движения солитона в переменном поле ..... 318
13.2.3. Различные режимы усиления солитонов ...........320
13.3. Взаимодействие солитонов как классических частиц ........ 325
13.4. Теория возмущений для солитонов .................. 328
13.5. Лагранжево описание взаимодействия солитонов .......... 332
13.5.1. Общая схема ........................... 333
13.5.2. Типы взаимодействий ...................... 336
13.6. Взаимодействие солитонов в неинтегрируемой системе ...... 338
13.7. Исторические замечания и комментарии ............... 340
13.8. Задачи и упражнения ......................... 344
Глава 14
Взаимодействие топологических солитонов ............ 346
14.1. Уравнение синус-Гордона ....................... 346
14.2. Точные решения ............................. 350
14.3. Столкновение двух кинков ....................... 352
ОГЛАВЛЕНИЕ
14.4. Столкновение кинка и антикинка ................... 357
14.5. Бризер .................................. 359
14.6. Приближенное описание взаимодействия кинков .......... 362
14.7. Исторические замечания и комментарии ............... 366
14.8. Задачи и упражнения ......................... 367
Приложение .................................. 369
Список литературы .............................. 375
Предметный указатель ............................ 398
100-летию А.А. Андронова посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы живем в мире волн. Наше зрение воспринимает световые,
а слух — звуковые волны; радиоприемник и телевизор улавли-
улавливают радиоволны; ветер порождает волны на поверхности мо-
моря ... — этот список молено продолжать дальше. Изучение волн
различной природы — одна из важнейших задач физики. В по-
последние десятилетия особенно бурно развивалась теория пели™
нейных волн, таких как интенсивные световые пучки, локализо-
локализованные волновые структуры (солитоны), обладающие, как выяс-
выяснилось, многими свойствами, роднящими их с материальными
частицами; автоволны, характерные, в частности, для биологи-
биологических и химических систем. Были сделаны важные математи-
математические открытия, позволившие построить точные решения для
целого класса уравнений в частных производных. Естественно,
что новые достижения теории волн нашли отражение в обзорах
и книгах, число которых уже измеряется десятками. Часть из
них посвящена в основном «горячим точкам» теории (например,
методу обратной задачи рассеяния в теории солитонов), некото-
некоторые имеют более общий характер. Однако книг, которые могли
бы служить введением в проблему и содержали бы как класси-
классические положения, так и современные результаты, очень мало и
все они были написаны не позднее начала 1980-х годов.
Круг задач, относящихся к теории волн настолько широк,
что написать всеобъемлющее руководство по теории волн вряд
ли вообще возможно. Мы поставили себе более скромную за-
задачу: рассказать об одномерных волнах, в которых все пере-
переменные зависят от времени и одной координаты. Иными сло-
словами, мы рассматриваем «волны в одномерном мире». Хотя
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
этот класс задач может показаться узким, на самом деле, по™
жалуй, большинство общих закономерностей теории волн может
быть понято применительно к этому классу. Более того, многие
трехмерные процессы в асимптотике переходят в квазиплоские
(т.е. локально близкие к одномерным) волны или могут иметь
заданную поперечную структуру (как в волноводных системах),
так что требуется определить лишь закон распространения вол-
волны вдоль оси системы. Другое ограничение, в рамках которого
мы предполагали (хотя и не всегда успешно) оставаться, — это
рассмотрение обширного и важного класса волн, которые можно
назвать модулированными.
По мере работы над книгой мы не смогли полностью удер-
жаться в рамках поставленной самим себе задачи. Чтобы облег-
облегчить читателю понимание предмета, мы решили начать с изло-
жения классических сведений о волнах. Не устояли мы и перед
соблазном привести некоторые сведения и комментарии, отыо-
сящиеся к истории развития волновых представлений в физике
и математике, от трудов классиков науки до работ недавнего
прошлого. Эти сведения неизбежно отрывочны и неполны, но,
по нашему убеждению, их полезно знать всем, кто работает в
этой области или интересуется ею. Из-за ограниченности объема
книги некоторые интересные проблемы теории модулированных
волн, в частности, нелинейные многоволновые взаимодействия,
в нее не вошли.
Все используемые в книге методы исследования нелиней-
нелинейных волновых задач, как правило, изложены на «физическом»
уровне строгости. Мы не стремились к приведению строгих ма-
математических доказательств, а ограничивались простыми мате-
математическими моделями и их применением к решению физиче-
физических задач. По уровню изложения книга доступна студентам
старших курсов и аспирантам университетов. Вместе с тем, она
может оказаться небезынтересной и для специалистов самых
различных профилей, поскольку мы старались придать ей меж-
междисциплинарный характер, а некоторые из ее разделов вряд ли
известны широкому кругу читателей. По сравнению с нашей
книгой «Modulated waves. Theory and applications», изданной в
1999 г. в США, настоящее издание существенно переработано и
дополнено рядом новых разделов. Его выход в свет планировал-
планировался в 2001 г. к юбилею А.А. Андронова, основателя Нижегород-
Нижегородской (Горьковской) школы теории нелинейных колебаний, но, к
сожалению, работа над книгой затянулась.
ПРЕДИСЛОВИЕ 11
Мы считаем своим приятным долгом поблагодарить А.В. Га™
понова-Грехова, так как ряд изложенных в книге идей впервые
появился на свет в дискуссиях с ним по общим проблемам фи-
физики нелинейных волн. Мы благодарны К.А. Горшкову, кото-
который по нашей просьбе написал разделы 13.4 и 13.5. Пользуем-
Пользуемся случаем выразить признательность нашим соавторам и кол-
коллегам из ИПФ РАН, Нф ИМАШ РАН и ННГУ, многолетнее
сотрудничество с которыми, способствовало формированию на-
наших представлений о роли и месте нелинейной волновой динами-
динамики в современной науке. Выражаем искреннюю благодарность
A.M. Дыхне и С.А. Рыбаку, которые стимулировали издание
этой книги на русском языке, а также Н.Б. Мезенцевой, Е.А. Мо-
товой и В.А. Прокофьевой за большую помощь при подготовке
рукописи книги.
Написанию этой книги способствовала также поддержка
наших исследований со стороны Российского фонда фунда-
фундаментальных исследований, Международного научного фонда
и ИНТАС.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Недостаточно иметь ясные и верные
мысли. Чтобы сообщить их другим,
надо еще уметь выражать их ясно.
Гельвеции
Современная теория волн — очень многоликое явление. Да-
Далее определить, что такое волна — дело не простое. У многих
из нас есть интуитивное представление о волне как о процессе
переноса энергии возмущений в пространстве без обязательно-
обязательного движения среды как целого. Однако это не относится, ска-
скажем, к стоячей волне, в которой энергия никуда, в среднем, не
переносится, а лишь переходит из одной ее формы в другую
и обратно. Или, если мы движемся мимо гофрированной непо-
неподвижной поверхности (скажем, летим на самолете над грядой
песчаных дюн), видим мы волну, проносящуюся под нами, или
нет? А к электромагнитным волнам вообще трудно применить
понятие среды. Электромагнитное поле в вакууме существует в
форме волн, и отделить их от некоей среды («эфира»), суще-
существующей в отсутствие волн, вообще невозможно. Это, однако,
не мешает выделить теорию волн в самостоятельную область
науки, изучающую свойства волновых процессов независимо от
их физической (или далее биологической) природы.
Современная наука о волнах активно развивается, начиная с
1960-х годов. Здесь уместно вспомнить слова Л.И. Мандельшта-
Мандельштама, сказанные им о теории колебаний, но полностью справедли-
справедливые по отношению к теории волн:
«Было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» опре-
определить, какими именно процессами занимается теория колеба-
колебаний. Валено не это. Важно выделить руководящие идеи, основ-
основные общие закономерности. В теории колебаний эти закономер-
закономерности очень специфичны, очень своеобразны, и их нужно не про-
просто «знать», а они должны войти в плоть и кровь».
ВВЕДЕНИЕ 13
К важным и трудным для изучения типам волновых движе-
движений принадлежат так называемые нелинейные волны, т.е. вол-
ны, настолько интенсивные, что они заметно влияют на свойства
среды, в которой распространяются, и поэтому разные участки
одной и той же волны движутся как бы по различным средам.
В результате форма волны претерпевает своеобразные, иногда
чрезвычайно резкие изменения. Некоторые типы нелинейных
волн известны издавна. Среди них ударные волны — «скачки
уплотнения», возникающие, например, в атмосфере от взрывов,
сверхзвуковых самолетов и т.д. Другой тип нелинейных волн —
солитоны — представляет собой устойчивые импульсы, которые
могут распространяться без изменения формы на значительные
расстояния. Такие импульсные возвышения наблюдались на по™
верхности воды Скоттом Расселом еще более полутора веков то-
тому назад.
В середине XX столетия появились новые мощные источники
оптического излучения — лазеры. Их излучение стало широко
использоваться для воздействия на вещество, передачи инфор-
информации и многих других целей. Нелинейность электромагнитных
волн, излучаемых световыми источниками, носит совсем другой
характер, чем нелинейность упомянутых выше ударных волн
или солитонов. Здесь волна представляет собой быстрые коле-
колебания (для света это 101 —1015 колебаний в секунду), интенсив-
интенсивность и частота которых сравнительно медленно изменяются во
времени и пространстве. Это типичные модулированные волны.
Многие закономерности их нелинейного поведения были поняты
еще в 1960-х годах. Тогда же обнаружилась возможность сжатия
в нелинейной среде мощного модулированного излучения в про-
пространстве (самофокусировка) и во времени (самомодуляция). В
световой волне могут возникать резкие изменения типа ударных
волн и солитонов, но — и это принципиально — такие измене-
изменения претерпевает не само поле, а его огибающие — амплитуда
и частота, сами же колебания поля остаются близкими к сину-
синусоидальным. Это был неожиданный результат: опыт многолет-
многолетних исследований по распространению волн малой амплитуды
подсказывал, что любой цуг колебаний конечной длительности
(волновой пакет), распространяясь в среде, будет неограниченно
расплываться из-за дисперсии. Явление самолокализации моду-
модулированных волн используется, в частности, для получения ко-
коротких световых импульсов — оптических солитонов.
Термин модулированные волны первоначально относился к
квазигармоническим волнам вида u(x,t) = А(х^ i) exp \iO{x, t)},
14
ВВЕДЕНИЕ
где и — переменная, описывающая поле, 0(x,t) — фаза вол™
ны. Локально, на небольших интервалах изменения х и t, та-
такая волна близка к гармонической, а ее амплитуда A(x,t), ча~
стота uo(x,t) = дв/di и постоянная распространения k(x,t) =
= ^дв/дх достаточно плавно изменяются во времени и про™
странстве (рис. 1). Квазигармонические волны типичны для
сред со слабой нелинейностью и сильной дисперсией. Для мно™
гих нелинейных явлений на поверхности воды, в плазме и дру-
других средах характерно возникновение существенно несинусои-
несинусоидальных квазипериодических волн, в которых период и дру-
другие параметры медленно изменяются в пространстве и времени
a u(x,t)
u(x,t)
Рис. 1. Модуляция квазигармони™
ческой волны
Рис. 2. Модуляция несинусоидаль-
несинусоидальной волны
(рис. 2). Более того, о модуляции можно говорить и примени-
применительно к уединенным импульсным волнам — солитонам, пара™
метры которых медленно изменяются по мере распространения.
Понятие модуляции можно применить к еще более широко-
широкому классу волновых процессов, для которого в «несущей» волне
нельзя вообще выделить ко-
u(x,t) нечного числа параметров,
^ ° ^! А 2 полагаемых затем функция-
функциями медленных переменных.
Примером может служить
простая волна (или волна Ри™
маыа) UyX^t) = г [x — ct — fiut),
(рис. 3). В этом случае нели™
ыейыые искажения сказыва-
сказываются лишь на интервалах, много больших характерной длины
волны, и их можно рассматривать как модуляцию по отноше-
отношению к «несущей» волне F(x — ct), распространяющейся без ис™
кажений.
Все перечисленные выше типы волновых процессов будем от™
носить к модулированным волнам, подразумевая под этим до-
Рис. 3.
волны
Медленная эволюция простой
ВВЕДЕНИЕ 15
статочно плавное изменение каких-либо их параметров. Это из™
менение может быть связано с наличием в исходных уравнениях
малых членов, обусловленных нелинейностью, дисперсией, по™
глощением или плавным изменением параметров среды в про-
пространстве и времени. Другая возможность состоит в том, что
модуляция обусловлена граничными или начальными условия™
ми (например, на границе задано модулированное колебание).
С некоторой долей условности книгу можно разделить на три
части. Первая из них (главы 1-5), представляет собой введение
в теорию волн. В ней приводятся общие сведения о линейных
волнах, их кинематических и динамических характеристиках, о
вариационных методах в теории волн. Рассматриваются метод
стационарной фазы, метод ВКБ и метод теории размерностей,
применяемый для анализа автомодельных волновых процессов.
Обсуждаются конкретные примеры волновых процессов в элек-
электродинамике и физике плазмы, в акустике и гидродинамике, а
так лее в теории упругости. Эта часть доступна студентам 3-4
курсов университетов, только еще приступающим к изучению
теории волн.
Вторая часть (главы 6-8) посвящена исследованию линейных
модулированных волн. В ней используются пространственно-
временные аналоги метода геометрической оптики и его обоб™
щения — квазиоптики. В восьмой главе рассматриваются про™
цессы распространения и преобразования модулированных волн
в нестационарных средах.
Третья часть книги (главы 9-14) посвящена исследованию
волн в нелинейных системах. В главе 9 приведены примеры
нелинейных волновых процессов в электродинамике, механике
жидкости и газа, механике твердого тела, которые в линейном
приближении были рассмотрены во второй главе. В главе 10 вы™
водятся простые модельные уравнения и рассматриваются неко-
некоторые свойства простых и ударных волн в недиспергирующих
средах. В главе 11 исследуются квазигармонические волны в
средах с сильной дисперсией и слабой нелинейностью. Здесь мо™
дуляция проявляется в медленных пространственно™временных
изменениях амплитуды и частоты, которые рассматриваются
как волны огибающих. В двенадцатой главе изучается модуля-
модуляция несинусоидальных волн. В качестве невозмущенных (немо™
дулированных) волн рассматриваются как периодические, так и
уединенные волны. В главе 13 рассматриваются свойства соли™
тонов. Обсуждаются процессы их параметрического усиления в
поле бегущей волны, а также эффекты взаимодействия. Значи™
16 ВВЕДЕНИЕ
тельное внимание уделяется рассмотрению процессов взаимо-
взаимодействия солитонов как классических частиц, движение кото-
которых описывается уравнениями ньютоновского типа. В заключи-
заключительной главе 14 на примере уравнения синус^Гордона рассма-
рассматриваются взаимодействия топологических солитонов (кинков)
и процесс образования бризера — связанной осциллирующей па-
пары из кинка и антикинка. Проводится сравнение точного и при-
приближенного описания процессов столкновения кинков.
ГЛАВА 1
КИНЕМАТИКА ВОЛН
Нужно обращать остроумие на са-
самые незначительные и простые вещи
и долго останавливаться на них, по-
пока не привыкнешь отчетливо и ясно
прозревать в них истину.
Рене Декарт
Начнем с обсуждения общих характеристик волн. С некото-
некоторой долей условности у них молено выделить кинематические
(например, частота, длина волны, фазовая и групповая ско-
скорости) и динамические характеристики (например, амплитуда,
энергия). В соответствии с этим в теории волн иногда выде-
выделяются задачи «кинематики» (нахождение резонансных частот
системы, вычисление фазовых и групповых скоростей волн в
среде с дисперсией, определение сдвига частоты при движении
излучателя или приемника и др.) и задачи динамики (вычисле-
(вычисление энергии и импульса, переносимых бегущей волной, опреде-
определение силового воздействия волны на препятствие и т.п.). Для
линейных систем эти задачи нередко могут быть рассмотрены
по отдельности — сначала кинематические, а затем динамиче-
динамические, хотя в общем случае они, конечно, оказываются взаимо-
взаимосвязанными. В этой главе приводятся сведения о простейших
кинематических характеристиках линейных волн в системах с
дисперсией, которые будут использоваться при изучении моду-
модулированных волн.
1.1. Гармоническая волна
Классический объект теории линейных волн — это одномер-
одномерная бегущая гармоническая волна, описываемая выражением
и(х, t) = щ sin (out — kx + <р), A.1)
18 КИНЕМАТИКА ВОЛН ГЛ. 1
где u(x,t) — некоторая физическая величина (полевая перемен-
переменная), щ — амплитуда волны, а ср — фаза. Согласно формуле
A.1), в каждой точке среды происходит гармоническое коле-
колебание с круговой частотой ш (периодом Т = 2тг/о;), причем в
разных точках эти колебания имеют разные фазы (рис. 1.1а).
Imu
Mo Ren
a
Рис. 1.1. Гармонические колебания, создаваемые волной в двух различных
точках Ж1 и Ж2 (fl), и их представление на комплексной плоскости (б)
В каждый момент времени поле синусоидально распределено в
пространстве с пространственной частотой fc, называемой вол™
новым числом или постоянной распространения (пространствен-
(пространственный период — длина волны равна А = 2тг/к).
1.1.1. Комплексное представление волны
Из соображений удобства при выполнении математических one™
раций гармоническую волну A.1) записывают в комплексной
форме:
u(x,t) = Aex.p{i(ujt — kx)}, A.2)
где А = щ exp {itp} — комплексная амплитуда1). На ком-
комплексной плоскости (Re гд, Im и) выражению A.2) соответству-
соответствует радиус-вектор, вращающийся вокруг начала координат. Дли-
Длина радиус-вектора пропорциональна амплитуде колебаний зд, а
угол между ним и горизонтальной осью равен полной фазе вол-
волны в = ujt — кх + ср (рис. 1.16). Производная от полной фазы
волны по времени соответствует частоте ш = дв/dt, а производ-
производная по координате — волновому числу к = ^дв/дх. Физический
смысл имеют действительная или мнимая части комплексного
выражения A.2), которые, в силу известной формулы Эйлера,
г) В теории волн часто используется другая, эквивалентная форма пред-
представления гармонической волны u(x,t) = Аех.р \_г(кх — ujt)}, отличающаяся
от A.2) сдвигом фазы на тт.
1.1 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА 19
выражаются так:
Re и = -(и + и*) = и cos (oot — кх + </?о),
2. A.3)
1т и = —-(и — и*) = iism(a;t — кх + <ро),
где ii* = Aexp{^if9} — комплексно сопряженное выражение.
Комплексная запись гармонической волны A.2) удобна тем, что
ее дифференцирование по времени и координате сводится те™
перь просто к умножению на ш и ^гк соответственно.
В физических приложениях нередко приходится вычислять
средние значения от произведения гармонических величин ви-
вида A.2). Среднее по времени (или фазе колебаний) от такого
произведения равно
1 г 1 г 1
щщ = ¦=; I щщ dt = — I u\U2 dO = - Re (AiAX). A-4)
0 0
При щ = щ = и формула A.4) дает выражение для среднего
квадрата функции и:
^=1-Re(AA*) = 1-\A\2. A.5)
Формулы A.4), A.5) позволяют вычислять средние значения
от квадратичных («энергетических») величин волнового поля
по известным комплексным амплитудам. Заметим, что мнимая
часть произведения амплитуд может и не иметь физического
смысла.
В теории линейных колебаний и волн гармонические функ-
функции играют фундаментальную роль. Иногда говорят: это вы-
вызвано тем, что синусы и косинусы — это самые «простые» из
периодических функций. Но такой ответ вряд ли удовлетвори-
удовлетворителен, так как «простота» — в достаточной мере произвольный
критерий. Определяющее значение здесь имеет тот факт, что
системы, которыми чаще всех пользуются в физике и технике
для анализа колебаний и волн (резонаторы), описываются ли-
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными ко-
коэффициентами, частным решением которых являются гармони-
гармонические колебания. Кроме того, как будет видно из дальнейшего,
линейные однородные среды с постоянными параметрами до-
допускают в общем случае лишь один тип стационарных (бегущих
без искажения формы) волн, — и это как раз гармонические вол-
20 КИНЕМАТИКА ВОЛН ГЛ. 1
ны. Но если перейти, например, к параметрическим системам,
описываемым линейными уравнениями с периодическими коэф-
коэффициентами, то гармонические функции потеряют свое особое
значение и их место займут несинусоидальные периодические
функции Матье или Хилла.
1.1.2. Фазовам скорость
Введем некоторые другие понятия, необходимые для анализа
волнового процесса. Одно из основных понятий — скорость вол-
волны. В механике частиц понятие скорости можно считать доста-
достаточно ясным и однозначным. Определение скорости частицы
как материальной точки неразрывно связано с возможностью
отождествления ее положения в пространстве: если в момент
времени t + At в точке пространства В находится частица М,
которая в момент времени t находилась в точке ^4, то ее скорость
равна v = lim (AB/At).
При распространении волны мы имеем дело не с перемеще-
перемещением «точки», а с переносом некоторого распределенного в про™
странстве возмущения. Чтобы судить о скорости переноса, надо
уметь сопоставлять возмущения среды в разных точках про™
странства и в различные моменты времени. Пусть волна рас-
распространяется без изменения формы, т.е.
и(х, t) = и(х — ct). A.6)
Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат
и моментов времени, удовлетворяющих соотношениям х — ct =
= const. Это значит, что если в некоторый момент i = 0 в неко-
некоторой точке xq поле имело определенное значение щ = зд(жо, 0),
то через промежуток времени t то же самое значение поле будет
иметь на расстоянии ct от первоначального места, т.е. в точке
х = xq + ct. Мы можем сказать, что все значения поля распро-
распространяются в пространстве со скоростью, равной с. Таким обра™
зом, и(х — ct) представляет собой волну неизменного профиля,
бегущую в положительном направлении оси х. В тех случаях,
когда профиль волны по мере распространения изменяется,
нужно сначала определить, что мы будем называть скоростью
распространения волны.
В линейных однородных средах с постоянными параметра-
параметрами без искажения распространяются лишь гармонические вол-
волны вида A.1). Для этого класса волн точка профиля волны од-
однозначно определяется значением фазы 0(x,t) = u)i — кх + (/?,
1.1 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА 21
которая и должна оставаться неизменной, т.е.
d9 dx j п
— = ш — —к = и.
dt dt
Таким образом, скорость любой точки профиля гармониче-
гармонической волны определяется как отношение ее частоты к волновому
числу:
dx ш /1 i-7\
Эта величина называется фазовой скоростью гармонической
волны.
1.1.3. Дисперсим
Связь между частотой ш и волновым числом к гармонической
волны определяется физическими свойствами среды. Эта связь,
заданная в явном или неявном виде
D(uj,k) = 0 или ш = ш(кI или k = k(uS), A.8)
называется дисперсионным соотношением или дисперсионным
уравнением.
В простейшем случае зависимость частоты ш от волнового
числа к линейная: ш = cfc, где с = vph — фазовая скорость, не
зависящая от частоты волны (рис. 1.2 а). Такая среда (или вол™
на) называется недиспергирующей. В этом случае любое возму-
возмущение, описываемое произвольной функцией A.6), распростра™
няется без изменения формы.
Если же связь между ио и к нелинейна (рис. 1.2 б), то фазо-
фазовая скорость зависит от частоты (или волнового числа), и раз-
различные спектральные составляющие волны распространяются с
разными скоростями. В результате только гармонические волны
могут распространяться без искажений. В этом случае говорят
о диспергирующих средах и дисперсии волн.
Необходимо сразу же заметить, что дисперсионное уравне-
уравнение D{uo^k = 0) может иметь несколько корней, тогда говорят
о нескольких «ветвях» дисперсионных кривых (см. рис. 1.2 6),
соответствующих различным волновым модам. В изотропной
среде такие ветви появляются симметричными парами: ио\^ =
= =b/(fc), что соответствует волнам, бегущим в противополож-
противоположных направлениях.
Причина дисперсии волн связана с существованием в сре-
среде характерных пространственных или временных масштабов.
Иногда различают временную дисперсию, вызванную наличи-
22
КИНЕМАТИКА ВОЛН
ГЛ. 1
ем в среде собственных временных масштабов (например, ча~
стота собственных колебаний молекул, характерное время ре-
релаксации и т.п.), и пространственную дисперсию, связанную с
наличием пространственных масштабов (например, период кри-
кристаллической решетки, характерные размерв! волновода и т.п.).
©,
Рис. 1.2. Зависимость частоты и фазовой скорости гармонической волны
от волнового числа в среде без дисперсии (а) и в среде с дисперсией (б); 1 —
низкочастотная мода, 2 — высокочастотная мода
При математическом описании волновых процессов это при-
приводит к нелокальной зависимости между физическими пере™
менными (например, между поляризацией и напряженностью
электрического поля в диэлектрике или между напряжением и
деформацией в твердом теле), которые записываются в виде
дифференциальных и интегро™дифференциальных уравнений.
В общем случае (например, для волн в движущихся средах) раз-
разделение дисперсии на пространственную и временную не всегда
возможно.
1.2. Модулированная волна и групповая скорость
Гармоническая волна A.2) однородна в пространстве и вре-
времени. Она является полезной математической идеализацией, но
в природе ее не существует. Реальный процесс, строго говоря,
1.2
МОДУЛИРОВАННАЯ ВОЛНА И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
23
никогда не сводится к одной синусоиде, хотя бы потому, что ис-
точник возбуждения (генератор) работает ограниченное время
и у волны имеется «начало» и «конец». Передача сигналов с
помощвю гармонической волнв! также невозможна из-за ее од-
однородности в пространстве и времени.
Чтобв! передать сигнал при помощи волны, нужно ее про™
модулировать, то есть изменить какой-то ее параметр во вре-
времени. Если при этом волна остается близкой к гармонической,
то такими изменяемыми параметрами могут быть ее амплиту-
амплитуда, частота или фаза. Соответственно различают амплитудную
щ = uo(x,t), частотную ш = w(x,t) и фазовую ip = (p(x,t) моду-
модуляции. В результате получается не гармоническая волна, а, на-
например, локализованное возмущение (волновой пакет), который
можно рассматривать как набор гармонических волн с ампли-
амплитудами и фазами, зависящими от частоты. Другими словами,
модулированная волна может быть представлена рядом или ин-
интегралом Фурье.
Понятие групповой скорости. Для начала рассмотрим
процесс, состоящий из двух гармонических волн с близкими
«о
©1 т
Рис. 1.3. Спектр (а) и форма (б) бигармонической волны
частотами ш\ и Ш2 (ш2 — ш\ <С ^1,2) и одинаковыми амплиту™
дами (рис. 1.3 а):
A.9)
и(х, t) = щ cos (ujit — k\x) + щ cos
= 2щ cos
-t-
h \ Г1,
-xj cos l^-i
Отсюда видно, что такой волновой процесс можно описатв
произведением двух периодических функций, одна из которв1х
cos (ujot — kox)^ где ujq = (ш\ +cd2)/2 и ко = (&1+&2)/2, описывает
24
КИНЕМАТИКА ВОЛН
ГЛ. 1
быстро осциллирующую (несущую) волну, а другая
a(x,t) = 2ii0co
описывает медленные изменения амплитуды несущей волны —
амплитудную огибающую (рис. 1.3 а, б). Модулированная волна
представляет собой «биения», причем в точках, где амплиту-
амплитуда проходит через нуль, фаза претерпевает скачок на величину,
равную тг.
Несущая волна перемещается с фазовой скоростью Vp^ =
= c^o/fco, а огибающая группы волн a(x,t) перемещается со ско-
скоростью
Vgr = gz^i = *?. A.Ю)
Аналогично рассмотрим процесс, состоящий из трех син-
синфазных гармонических волн (рис. 1.4 а) с близкими частотами
щ
щ
щ
щ
со
Рис. 1.4. Спектральный состав (а) и профиль амплитудно^модулированной
волны {б) для различных соотношений между амплитудами: т < 1 (i), m =
= 1 B) шт>1 (8)
?^1,2 = ^о =Ь Д^ и волновыми числами fc^ = k(uji):
u(x^ t) = no cos (oo®t — k®x) + \J щ cos
71 = 1
Связь меж:ду приращениями Аа; и Ак = (&2 — k\)/2 находит-
находится из дисперсионного уравнения к = к(ш)^ которое для малых
значений Аа; и Ак может быть представлено в виде степенного
1.2 МОДУЛИРОВАННАЯ ВОЛНА И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 25
полинома
к(ш0 ± До;) = к0 ± к'Аш + ^к" Аш2
где ^о = ^(шо)^ к1 = dk/dco и fc/; = (Pk/duP1. Принимая во внима-
внимание только два первых члена разложения, можно представить
волновое поле в виде
и(х, t) = щ [1 + т cos (Aujt — Акх)] cos (ujqI ~~ к$х),
где т = 2ч\/щ — коэффициент амплитудной модуляции. Вид
такой модулированной волны при различных значениях коэф-
коэффициента модуляции т показан на рис. 1А6. Скорость распро-
распространения ее огибающей определяется, как и в предыдущем слу-
случае: vgr = Аш/Ак.
Таким образом мы видим, что для характеристики модули-
модулированной волны необходимо ввести еще одно понятие — скорость
огибающей, которую называют групповой скоростью. В общем
случае групповая скорость модулированной волны определяется
выражением
d»)
При таком определении групповой скорости отношение ко-
конечных разностей Аш/Ak заменяется на производную du)/dk.
Важно отметить, что групповая скорость может сильно от-
отличаться от фазовых скоростей всех гармонических волн, вхо-
входящих в состав спектра модулированной волны, несмотря на то,
что в узкополосном сигнале все составляющие имеют близкие
фазовые скорости. Между групповой и фазовой скоростями су-
существует простая зависимость:
V = l(Hh)=«Ph + A^f, A-12)
называемая формулой Рэлея. Отсюда видно, что групповая и
фазовая скорости совпадают, если vph не зависит от волнового
числа, т.е. в отсутствие дисперсии. При наличии дисперсии груп-
групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой
скорости, в зависимости от знака производной dv^/dk.
Дисперсию называют нормальной (или отрицательной), ес-
если vgr < Vph (т.е. dvp^/dk < 0), и аномальной (или положитель-
положительной) , если vgr > vph (т.е. dv^/dk > 0).
26
КИНЕМАТИКА ВОЛН
ГЛ. 1
Аномальная дисперсия встречается, например, в диэлектри-
диэлектриках на частотах электромагнитных волн, близких к резонанс-
резонансным линиям поглощения, у ка-
пиллярных волн на поверхности
жидкости, у изгибных волн в тон™
ком стержне.
Существует простой графиче-
ский способ определения группо-
групповой и фазовой скоростей по дис-
персионной кривой (рис. 1.5). Ве-
Величина и знак фазовой скорости
определяются тангенсом угла на-
наклона секущей, проведенной из
начала координат: vph = tg a, a
групповая скорость равна танген-
Рис. 1.5. Графическое определе-
определение фазовой и групповой ско-
скоростей волны по дисперсионной
кривой
су угла касательной: Vgr = tg/3.
1.3. Распространение волнового пакета
Рассмотрим теперь волны со сплошным спектром. В силу
принципа суперпозиции общее решение, описывающее волновой
процесс в линейной системе, может быть записано в виде инте-
интеграла Фурье. Типичная постановка задачи — это задание значе-
значений функции и(х,0) и нужного числа ее производных в началь-
начальный момент времени на всей оси ^оо < х < оо (задача Коши)
или задание функции u(x,t) и ее производных на границе полу-
полупространства х > 0 при нулевых начальных условиях (краевая
задача).
Соответствующее Фурье-представление решения в первом
случае имеет вид1)
м
м
u(x,t) =
J
ь, A.13)
т=1
т=1 ~о
где М — число ветвей дисперсионного уравнения О(ш^к) = О,
соответствующее числу нормальных волн в системе, Fm(k) —
г) Здесь мы воспользовались записью гармонической волны в виде
exp{i(kx — out)}, которая более удобна для решения задач с начальными
данными.
1.3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА 27
пространственные спектры Фурье нормальных волн, определя-
определяемые из начальных условий задачи.
Пусть, например, в среде могут распространяться только две
встречные волны, удовлетворяющие дисперсионным соотноше™
ниям a;i52 = ±a;(fc). Тогда начальные условия можно задать в
виде
и(х,0) = щ{х), щ(х,0) = vo(x), ^00 < х < оо. A-14)
Запишем функции щ(х) и vq(x) в виде интегралов Фурье:
оо со
т I — I Ф-% i k\p fiк — I I h-\ -\- rn)p nlc
A.15)
ОО ОО v 7
г;0(ж)= / #2(fc)efcdfc = ^ J cj(A;)(Fi - F2)efc rffc,
отсюда находим пространственные спектры возмущений:
Следовательно, решение задачи об эволюции начального возму™
щения имеет вид
оо
um(x,t) = J Fm(k) e^p {i[kx T^(k)t]}dk, m = 1,2. A.17)
При m = 1 выражение A.17) описывает волну, бегущую вправо,
а при т = 2 — волну, бегущую влево.
Пусть начальное возмущение представляет собой локализо-
локализованную в пространстве модулированную волну (волновой па™
кет) (рис. 1.6) со спектром, сконцентрированным вблизи неко-
некоторого значения волнового числа к = ко:
щ(х) = А(х) exp {ik®x}j vo(x) = 0. A.18)
Здесь А(х) — медленно (в масштабе 1/fco) изменяющаяся ампли-
амплитудная огибающая, причем А —)> 0 при \х\ —)> оо.
28
КИНЕМАТИКА ВОЛН
ГЛ. 1
Решение, описывающее эволюцию волнового пакета, будем
искать в виде A.17), выделив в нем высокочастотную несущую
волну:
= exp {i(kox^fu)ot)} I Р\^(к) ехр {{[(к-ко)х^(ш(к) —cjo)t]} dk,
-°° ' A.19)
где ujq = o;(fco), a F\^ = — J щ(х) exp {—ikx} dx — Фурье-спектр
начального возмущения. Входящее в A.19) интегральное выра-
выражение описывает пространственно-временное поведение ампли-
туды модулированной волны. Преобразуем его, воспользовав™
гнись узостью спектра. Для этого аппроксимируем дисперсион-
дисперсионное уравнение ш = ш(к) в окрестности точки к = ко степенным
полиномом (рис. 1.6 6):
ш(к) -шо~ ш'(ко)Ак + 1 со"(ко)Ак2 + 1 ш'"(ко)Ак3 +..., A.20)
где Ак = к^к®^ а штрих обозначает производную по аргументу.
Ограничимся сперва линейным слагаемым (так называемое пер-
Рис. 1.6. Форма волнового пакета (а) и дисперсионная характеристика сре-
среды (б): 1 — линейное приближение, 2 — квадратичное приближение, 8 —
спектр волнового пакета
вое приближение теории дисперсии). Тогда, подставляя A.20) в
интеграл A.19) и используя известную теорему о сдвиге аргу-
1.3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА 29
мента:
Г F(k) exp {ik(s ± sq)} dk = u(s ± so),
™оо
где F(k) — Фурье-образ функции u(s), получаем
ОО
F(k)exp{i(k — ко)(х ± vgrt)}dk = -А{х ± vgrt).
— оо
Отсюда следует, что начальное локализованное возмущение
A.18) превращается в две модулированные волны, распростра-
распространяющиеся в противоположные стороны:
ui,2 = \а{х Т vgrt)el^koXTuJot\ A.21)
При этом высокочастотные несущие волны распространяются
с фазовыми скоростями Vph = icjo/fco, а амплитудная огибаю-
огибающая распространяется с групповой скоростью vgr = cof(ko) без
изменения своей формы.
Групповую скорость vgr называют также скоростью распро-
распространения сигнала, поскольку информация, переносимая вол-
волной, передается именно огибающей модулированной волны, а
не ее несущей. Как легко проверить, амплитудная огибающая
A(x,t) удовлетворяет уравнению переноса:
ЗА , дА п /-, оох
Если же рассматривается волна в среде, занимающей полу-
полупространство х ^ 0 с заданным условием на границе:
<> О,
и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 ^ х ^ оо,
то решение удобно искать в форме:
(X)
u(x,t) = I F(uj)e^p{i[uji- k(uj)x]}duj, A.24)
— оо
где F(w) — частотный спектр источника щ(?). При этом в ин-
интеграле A.24) необходимо удержать волны бегущие вправо, т.е.
только те, у которых групповая скорость положительна.
30 КИНЕМАТИКА ВОЛН ГЛ. 1
В заключение этого параграфа еще раз подчеркнем, что в
механике скорость материальной точки определяется единствен-
единственным образом, а при анализе волновых процессов приходится
вводить по меньшей мере две скорости: фазовую Vph и группо-
групповую Vgr. Напомним также, что «групповое» описание поведения
модулированной волны является приближенным, поскольку в
представлении дисперсионного уравнения полиномом A.20) от™
брасываются все члены с высшими степенями Ак. К чему при-
приводит их учет, мы увидим в главах 5 и 7.
1.4. Затухающие волны
Хотя в большинстве случаев мы будем иметь дело с «про™
зрачными» средами, не отнимающими энергию от волны, необ-
необходимо помнить, что реальные среды всегда вносят хотя бы сла-
слабое затухание в волну, уменьшая ее амплитуду во времени и про-
пространстве. В простейших случаях амплитуда экспоненциально
затухает во времени (а = щ exp {—St}) или в пространстве (а =
= щехр{—кх}). Это означает, что в дисперсионном уравнении
A.8) частота или волновое число будет комплексной величиной:
ш = ш + iS или к = к ~~ in. A.25)
Здесь мнимые части 8 и к называют соответственно временным
и пространственным декрементом затухания волны. Волновое
поле соответственно имеет вид
и(х, t) = щ exp {—St} exp {i(ujt — кх)} A.26)
или
и(х, t) = щ exp {^nx} exp {i(ujt — кх)}. A-27)
Если затухание достаточно мало, так что S<^w или /^<Cfc, то
можно по-прежнему считать, что фазовая и групповая скоро-
скорости волны определяются действительными частями комплекс-
комплексных величин ш и fc, т.е. Vp^ = ио/к и Vgr = duo/dk. Такие вол-
волны также можно рассматривать как модулированные. В общем
случае частота и волновое число могут быть комплексными од-
одновременно.
Если в поглощающей среде задан волновой пакет с фиксиро-
фиксированным волновым числом, то в дальнейшем его амплитуда будет
1.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 31
экспоненциально затухать во времени:
и(х, t) = А(х — vgrt) exp {—St} • exp {i(ujt ~~ kx)}. A.28)
Это описание имеет ограниченную применимость: на больших
интервалах времени форма пакета будет искажаться.
Затухание волны, естественно, означает потерю энергии вол™
нового поля. В линейной среде энергия W пропорциональна ква-
квадрату амплитуды волны: W ^ А (более подробно этот вопрос
будет обсуждаться в § 3.2), причем мощность, поглощаемая сре-
средой, пропорциональна величине запасенной энергии W:
^ = -26W. A.29)
Соотношение A.29) часто используется в экспериментах для
определения декремента затухания волны 5.
Затухание волны определяется различными физическими
механизмами и зависит от ее конкретной природы. В механи™
ке они обычно связаны с вязкостью (внутренним трением) или
теплопроводностью среды (термоупругими эффектами), в элек-
электродинамике — с электропроводностью среды, соударениями ча-
частиц и другими внутренними процессами. Изучая спектры по™
глощения волн, можно получать информацию о структуре ве-
вещества.
В заключение отметим, что потери энергии и дисперсия в
среде всегда связаны между собой. Эта связь следует из фунда-
фундаментального принципа причинности и дается так называемыми
соотношениями Крамерса-Кронига. Однако детальное обсужде-
обсуждение этих вопросов выходит за рамки данной книги. Для нас вале-
валено лишь, что потери в среде могут быть достаточно малыми, так
что идеализация «прозрачной» среды (или близкой к ней) имеет
реальный физический смысл.
1.5. Исторические замечания и комментарии
Волны и звук. История исследования волновых процессов
берет свое начало от изучения процессов возбуждения и рас-
распространения звука в воздухе. Первые сведения о волнах по-
появляются уже в теории музыки пифагорейцев (VI в. до н.э.).
Аристотель (IV в. до н.э.) правильно подметил, что для переда-
передачи звука от струны до уха необходимо некоторое время, но то,
что это время нужно для распространения звуковой волны, не
32 КИНЕМАТИКА ВОЛН ГЛ. 1
было еще осознано. В I в. до н.э. римский инженер и архитектор
Витрувий подметил аналогию между распространением волн на
воде и звука в воздухе. Эту аналогию между движениями водв!
и воздуха выразительно описал в XVI в. Леонардо да Винчи:
«... как брошенный в воду камень становится центром и при™
чиною различных кругов, так же кругами распространяется и
звук, порожденный в воздухе». Звук распространяется и «обра™
зует круги» на далекое расстояние в воздухе, при этом «круги,
распространяющиеся от различных исходных точек, встречают-
встречаются друг с другом без какой бы то ни было помехи и проникают
друг в друга и проходят один через другой — и так сохраня-
сохраняют всегда первопричину в качестве причины своей в середине».
Леонардо да Винчи обратил внимание на то, что движение ча-
частиц среды и процесс распространения волны не одно и то же.
При распространении волны по поверхности воды «появляется
некоторая видимость движения, но вода со своего места не дви-
двигается». Происходит «колебание воды», которое является скорее
как бы дрожанием, нежели движением. Например, соломинки
«не покидают своего места под действием волны, возникающей
под ними от происхождения кругов».
Скорость звука. Исследования процессов распростране-
распространения звука в воздухе были в средние века одним из важных ин-
инструментов изучения движения сжимаемой среды. Первую те™
еретическую формулу для определения скорости звука в газе
(cs = л/ро/РОч гДе POi Ро — давление и плотность газа) предло-
предложил Исаак Ньютон в своем знаменитом трактате «Математи-
«Математические начала натуральной философии» A687 г.). Она оказа-
оказалась ошибочной и давала величину скорости звука cs = 298 м/с,
значительно меньшую известных в то время опытных данных.
Такое расхождение Ньютон объяснял тем, что он не учитывал
величину частиц воздуха и содержание в воздухе водяных па-
паров. Но объяснения Ньютона не убедили его современников, а
причины расхождения опытных и теоретических данных стали
предметом многолетнего научного поиска. Только спустя более
100 лет П. Лаплас A816 г.) и С. Пуассон A820 г.) получили пра-
правильную формулу для скорости звука в газе: cs = у/'УРо/ро? гДе
7 = cp/cv — показатель адиабаты, ср и cv — удельные теплоемко-
теплоемкости газа. Это произошло после того, как была осознана важность
термодинамических процессов в сжимаемом газе и Лаплас вы-
выдвинул идею об адиабатичности процесса распространения зву-
звуковой волны в газе.
1.6 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 33
Фазовам скорость волны. Понятие фазовой скорости пе-
риодической волны ввел, по-видимому, также Ньютон в своих
«Математических началах...» на примере волн на поверхно-
поверхности воды. Он определил фазовую скорость как отношение дли-
длины волны к периоду колебаний в каждой точке, т.е. v = А/Т,
что совпадает с определением A.6), если положить А = 2ж/к
и Т = 2тт/ш. Ньютон показал, что фазовая скорость волн на
воде пропорциональна уХ (это гравитационные волны на глу-
глубокой воде), а ее точное выражение, с = у^А/2тг, скорее всего,
впервые было приведено Г. Эйри в статье «Tides and Waves»,
опубликованной в 5 томе «Encyclopedia Metropolitana» A845 г.).
Следовательно, с работы Ньютона можно начать исторический
отсчет теории дисперсии волн. Сам же термин «дисперсия» пер-
первоначально появился в оптике и в дальнейшем был распростра-
распространен на волны различной физической природы.
Групповам скорость волны. Впервые понятие о скорости
группы волн в дискретной цепочке ввел У. Гамильтон в 1839 г.
Термин «групповая скорость» и использованная в п. 1.2.1 ин-
интерпретация групповой скорости была предложена Д. Стоксом
в 1876 г. и, независимо от него, Рэлеем в книге «Теория звука»
A877 г.) [1.10].
1.6. Задачи и упражнения
1.1. Показать, что если дисперсионное соотношение задается в
неявном виде, D(uj^k) = 0, то выражение для групповой
скорости имеет вид
_ du^ _ D^ (D _ dD D _ dD
ClK J-S(jj \ Ufb (Jj(jJ
1.2. Показать, что формула Рэлея A.12), связывающая фазо-
фазовую и групповую скорости, может быть записана в виде
где А = 2ж/к — длина волны.
1.3. Найти выражение для огибающей волнового пакета, об-
образованного N гармоническими волнами с одинаковыми
2 Л.А. Островский, А.И. Потапов
34 КИНЕМАТИКА ВОЛН ГЛ. 1
амплитудами г^о и близкими частотами шп = uq + нО и
волновыми числами fcn = к® + nif (n = 1 -т- Ж, JVQ <C uj®):
N
и = Л^ щ cos[(a;o + nQ)t — (ко + пК)х].
1.4. Найти vph и vgr для волны, описываемой линейнвш урав-
уравнением Клейна-Гордона
д2и 2^2и п а
Каким типом дисперсии обладает волна в такой среде? Вы-
Вычислить значение критической частоты о;*, ниже которой
волна становится нераспространяющейся. Что происходит
с волной при ш < оо*!
1.5. По аналогии с задачей 1.4 провести анализ дисперсионных
свойств волны, описываемой линейным уравнением Бусси-
неска
д2и 2д2и п д4и ^
W ~ с Ъ^ ~ p
ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
Много ли есть людей, которые, любу-
любуясь игрой волн на поверхности ручей-
ручейка, думают, как найти уравнения, по
которым можно было бы вычислить
форму любого волнового гребня?
Людвиг Болъцман
В этой главе будут рассмотрены примеры волн, встречаю-
встречающиеся в различных областях физики: электродинамике, акусти-
акустике, гидродинамике и теории упругости. Мы выведем уравнения,
описывающие распространение волн различной природы, и об-
обсудим их дисперсионные свойства.
2.1. Электромагнитные волны
Электромагнитные волны описываются уравнениями Мак™
свелла для напряженностей электрического Е и магнитно-
магнитного Н полей и соответствующих им индукций D и В. Для
плоской линейно-поляризованной волны в изотропной среде,
распространяющейся вдоль оси х (рис. 2.1), уравнения для по™
Рис. 2.1. Структура полей в плоской электромагнитной волне
36 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
лей Еу = E(x,t) и Hz = H(x,t) сводятся к следующим:
дх ~ dt ' дх ~ dt ' ^ ' }
Эти уравнения не замкнуты и должны быть дополнены ма™
териальными уравнениями, связывающих электрическую D и
магнитную В индукции с напряженностями полей Е и Н. В ма™
териальных уравнениях электромагнитного поля используется
также электрическая поляризация среды Р (дипольный момент
единицы объема) и магнитная поляризация среды М.
2.1.1. Электромагнитная волна в вакууме
В вакууме D = 6qE и В = /лоН', где во и /ig — диэлектрическая и
магнитная проницаемости вакуума. Подставив эти соотношения
в B.1), получим уравнение для полей Е и Н:
дЕ _ дН дН _ дЕ /о ох
которые могут быть сведены к одному волновому уравнению
второго порядка:
82Е 2д2Е ^ , ,
где с = ^/бо/io = 3 • 103м/с — скорость света в вакууме.
Его общее решение представляет собой суперпозицию двух
волн произвольного профиля, распространяющихся в противо-
противоположных направлениях:
Е{х, t) = Ф1(ж - ct) + Ф2(ж + ct). B.4)
Для бегущей гармонической волны A.2) из уравнения B.3)
следует, что связь между частотой ш и волновым числом к ли™
нейна:
ш = ±ск. B.5)
Отсюда видно, что электромагнитная волна в вакууме не
обладает дисперсией: она распространяется с постоянной ско-
скоростью с, не зависящей от частоты. Дисперсия электромагнит-
электромагнитных волн возникает лишь при распространении в материальных
средах (плазме, диэлектрике) или в направляющих системах —
волноводах.
2.1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 37
2.1.2. Электромагнитная волна в плазме
Плазма представляет собой частично или полностью ионизиро™
ванный квазинейтральный газ. В простейшей модели плазмы
предполагается, что положительно заряженные ионы практиче™
ски неподвижны, а электроны движутся в поле электромагнит-
электромагнитной волны под действием силы Лоренца
Р = -eE-e(v xB), B.6)
Здесь е — заряд, a v — скорость электрона. Кроме того, прене™
брегается влиянием столкновений между частицами. В линей-
линейном приближении не учитывается магнитная составляющая си™
лы B.6), вызывающая дополнительные перемещения электрона
(дрейф) в направлении распространения электромагнитной вол™
ны, так как она имеет второй порядок малости. Тогда движение
электрона в поле плоской волны (см. рис. 2.1) происходит в на™
правлении оси у (вдоль направления Е) и описывается уравне-
уравнением
ту = -eE(x,t), B.7)
где т — масса электрона. Возникающая при этом поляризация
плазмы равна Р = —eNy (N — концентрация электронов). В ре-
результате поперечная электромагнитная волна, распространяю-
распространяющаяся в такой среде, описывается уравнениями
дЕ дН
дх dt
f | Р), B.8)
L F
dt2 m '
Система B.8) сводится к одному уравнению второго порядка
для напряженности электрического поля:
д2Е j,d2E 2 j? п (9 п\
Параметр шр = ¦\fe2N/(eom) называется плазменной ча-
частотой электронного газа. Для гармонической волны, когда
Е ~ exp {i(u)t — kx)}^ дисперсионное уравнение имеет вид
(рис. 2.2 а)
ш2 =ш2р+с2к2. B.10)
38
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны в плаз™
ме зависят от ее частоты (рис. 2.2 б):
vph = ±cJl + ш2/с2к2 = ±c/Jl - ш
Vav =
B.11)
B.12)
Из формул B.10)—B.12) следует, что в плазме могут рас-
распространяться электромагнитные волны лишь с частотой боль-
большей плазменной шр1 а дисперсия наиболее сильно сказывается
именно около этой частоты. Область ш < шр является областью
к О
Рис. 2.2. Дисперсионная кривая для электромагнитной волны в плазме (а).
Зависимости фазовой и групповой скоростей (б)
непрозрачности, где волновое число мнимое: ск = i(uj2 — и
так что Е ~ exp{^|fc|x}, а величина Щ^1 = с(ш2 — ш2)^1'2
определяет эффективную толщину слоя, экранирующего внеш-
внешнее электрическое поле 1).
В области прозрачности (ш > шр) групповая скорость волны
VgT начинается от нуля при ш = шр и с ростом частоты стре-
стремится к скорости света в вакууме (см. рис. 2.2 б). При этом для
всех частот произведение фазовой и групповой скоростей равно
квадрату скорости света: Vgr^ph = с2-
2.1.3. Электромагнитная волна в диэлектрике
Диэлектрики — вещества, не проводящие электрический ток —
подразделяются на полярные и неполярные. В полярных диэлек-
диэлектриках молекулы обладают собственным дипольным электриче-
электрическим моментом. В неполярных диэлектриках в отсутствие внеш-
г) Подчеркнем, что здесь речь идет не о диссипации, а именно об экра-
экранировании: при ш < Шр волна, падающая на границу плазменной среды,
полностью отражается.
2.1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 39
него электрического поля «центры тяжести» положительных и
отрицательных зарядов в молекуле совпадают, и ее дипольный
момент равен нулю. Электрическое поле «раздвигает» заряды
в пространстве и поляризует среду. При снятии внешнего по-
поля электрические силы будут возвращать заряды в положение
равновесия. При этом из-за наличия массы у частиц (электро-
(электронов и ионов) и связанной с ней инерции движение частиц после
снятия поля будет иметь осциллирующий характер. Возвраще-
Возвращение возбужденной молекулы в состояние равновесия происходит
благодаря затуханию осцилляции.
Простейшей динамической моделью однородного неполяр-
неполярного диэлектрика может служить совокупность одинаковых
нейтральных молекул (модель Лоренца). Движение связанных
электронов в молекуле описывается уравнением гармонического
осциллятора. Под действием электромагнитной волны молекулы
приобретают дипольный момент в результате смещения электро-
электронов относительно неподвижных ионов. Распространение плос-
плоской электромагнитной волны в такой среде описывается уравне-
уравнениями Максвелла B.1), дополненными уравнением для поляри-
поляризации Р:
дЕ _ дН
! | Р), BЛЗ)
д'2Р . хдР . 2D е2Ы„
+ З+ШРЕ
Здесь Ed = (E^P/Seq) — действующее в диэлектрике поле, ujq —
резонансная частота колебаний электрона в молекуле, т — его
эффективная масса, 5 — коэффициент затухания.
Первые два уравнения B.13) сводятся к волновому уравне-
уравнению
д2Е 2&2Е д'2Р /О1/1ч
которое совместно с третьим уравнением B.13) образует за-
замкнутую систему и описывает взаимодействие электромагнит-
электромагнитной волны с колебаниями молекул вещества.
Дисперсионное уравнение для гармонической волны в такой
среде имеет вид
(ш2 - с2к2) \L2 -^\-u? + i8co] + соУ = 0, B.15)
где Шр — плазменная частота, а величина <х^/3 дает поправ-
40 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
ку к резонансной частоте колебаний электрона из-за того, что
действующее поле Е^, отличается от среднего поля Е. Послед-
Последнее слагаемое в B.15) учитывает связв между поперечной элек-
электромагнитной волной и колебаниями диполей. Дисперсионное
уравнение B.15) может бытв разрешено относительно волново-
волнового числа:
с2к2 = ш2{1 + uJpl[{ool - а;*/3) - ш2 + гёш]} = ш2ё(ш). B.16)
Здесь выражение, стоящее в фигурных скобках, представля-
представляет собой комплексную диэлектрическую проницаемость ё(ш) =
= с2/v2h = п2(а;), где п(оо) — показатель преломления среды.
Дисперсия волн в областях прозрачности. Если прене™
бречь отличием действующего поля Е^ от Е (что допустимо для
газовых диэлектриков из™за малой концентрации молекул N) и
диссипацией E = 0), то B.16) можно представить в более ком-
компактной форме:
/2 2\V2
= и>п(ш), B.17)
где ше = 4 IuJq + ш2 — частота продольных колебаний электро-
электронов, а показатель преломления среды п(ш) в этом случае равен
п(ш) =
-UJ2
Дисперсионная зависимость B.17) и показатель преломле-
преломления п{ио) изображены на рис. 2.3. Из рисунка 2.3 а видно, что
вблизи собственной частоты колебаний электронов ш® имеются
две ветви поперечных электромагнитных волн: низкочастотная
ветвь (ш < ujq) с асимптотами ш = ckf/п@) при к1 —> 0 и ш =
= ujq при к1 —>- оо и высокочастотная ветвь (ш > иое) с асим-
асимптотами оо = ше при к1 —± 0 и оо = ск1 при к1 —ь оо. Вдали от
резонанса частотная дисперсия исчезает, а показатель прелом-
преломления соответственно равен п@) = ше/шо для ш <С оо® и п = 1
для ш^>оое. Интервал частот (оо®^оое) является запрещенным для
электромагнитных волн (так называемое окно непрозрачности).
Здесь волновое число, согласно B.17), оказывается чисто мни-
мнимой величиной. В этой области чисто мнимым является также
показатель преломления п(ш) (рис. 2.3 6). Анализ дисперсион-
дисперсионных кривых показывает, что в областях прозрачности @,о;о) и
2.1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
41
(о;е, оо) такие волны обладают нормальной дисперсией, так как
dn{uj)/duj > 0.
*'А
/i
/ ' >
/ i /i
// '
// \УЛ
yvx i i
/' 1 I
/
/
®'-
/
/
/
Si»».
w
л@)
1
О ®о
© 0
Рис. 2.З. Дисперсия электромагнитной волны в диэлектрике без учета дис-
диссипации (а). Зависимость показателя преломления от частоты {б)
Низкочастотная аппроксимация. Пусть ш/ш® <С 1. То-
Тогда, используя это отношение как малый параметр, из третьего
уравнения B.13) выразим поляризацию Р через электрическое
поле Е:
dt2 '
B.18)
Подставив это соотношение в B.14), получим уравнение, содер-
содержащее четвертую производную
где v = с/п@) — характерная скорость волны в низкочастотном
(длинноволновом) пределе (см. рис. 2.3 а), п2@) = A + Шр/'ш^).
Высокочастотная аппроксимация. В высокочастотном
пределе (оо/ш® 3> 1) дисперсионное соотношение B.17) хорошо
аппроксимируется выражением
ш2 -с2к2+ш2р, B.20)
которому соответствует дифференциальное уравнение
82Е о82Е 9 /
Cft 0X
совпадающее с уравнением B.9) для электромагнитных волн
в плазме. На очень высоких частотах показатель преломления
среды п практически не зависит от частоты и стремится к еди™
нице (см. рис. 2.3 6).
42
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
Дмсперсим в области резонанса. При стремлении часто™
ты электромагнитной волны к резонансной мнимую часть вол-
волнового числа нельзя считать пренебрежимо малой. Поэтому ис~
следуем этот участок спектра с учетом затухания волны. По-
Полагая к = к' + гк" и к" <С fc;, из B.16) находим приближенное
выражение для действительной части к:
к (ш) = ±-
с
I ^
с
Мнимая часть к (показатель поглощения волны) будет
г 2 2
К [СО ) Л г / о <-» \ <-» . t- г. г> п •
B.22)
B.23)
Вблизи резонанса можно положить
тогда соотношения B.22) и B.23) упростятся:
с[4(а;о - а;J + б2]'
B.24)
B.25)
Дисперсионные кривые fc;(o;), n(o;), a также кривая погло-
поглощения к"{и)) показаны на рис. 2.4. Граничные точки ш\ и Ш2
СО
Рис. 2.4. Дисперсионная кривая (а) показатель преломления и коэффици-
коэффициент поглощения (б) в диэлектрике с диссипацией
2.2 АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 43
находятся из условия dn/duo = 0. Между этими значениями по™
казатель преломления убывает с ростом частоты dn/duj < 0. Это
область аномальной дисперсии. В области аномальной диспер-
дисперсии фазовая и групповая скорости волны направлены в проти-
противоположные стороны.
Здесь мы рассмотрели лишь простейшую модель диэлектри-
ка, состоящего из независимых одинаковых молекул. Она дает
правильное качественное описание дисперсионных свойств си™
стемы с одной резонансной частотой. Данная теория дисперсии
легко обобщается на случай нескольких групп осцилляторов с
разными резонансными частотами.
2.2. Акустические волны
В этом параграфе мы обсудим некоторые математические
модели, описывающие распространение акустических волн в
жидких и газообразных средах. Такие волны, в отличие от ра-
радиоволн, относительно слабо затухают в воде и могут распро-
страняться в ней на сотни и даже тысячи километров. Поэтому
они широко используются для исследования океана, а также для
связи и передачи информации.
2.2.1. Волны в идеальном газе
Одномерные звуковые волны малой амплитуды в покоящемся
идеальном газе описываются линейными уравнениями
dv . dpf A dp dv A /о ол\
где р;,р;, v — соответственно, малые возмущения плотности, дав™
ления и скорости частиц газа относительно их равновесных зна-
значений р = ро, ро = vq = 0. Эта система уравнений не замкнута.
К ней необходимо добавить уравнения состояния, связывающие
давление, плотность и другие термодинамические характеристи-
характеристики газа.
Для адиабатических процессов связь между изменениями
давления и плотности имет простой вид
р' = c2sP', B.27)
где cs = л/'УРо/Ро — адиабатическая скорость звука, 7 — пока™
затель адиабаты Пуассона. Волна давления в этом случае опи-
44 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
сывается волновым уравнением
^^С2^=о. B.28)
Его общее решение представляет собой суперпозицию двух
встречных волн произвольного вида, см. B.4). Для гармониче-
гармонической волны связь между частотой и волновым числом линейная:
ш = ±csfc, т.е. фазовая и групповая скорости равны друг другу
и не зависят от частоты. Следовательно, в этом приближении
звуковые волны не обладают дисперсией.
2.2.2. Волны в газе с релаксацией
Причина появления дисперсии акустических волн в газе может
быть связана с релаксационными процессами, когда термодина-
термодинамическое равновесие в среде устанавливается с запаздыванием
по отношению к сжатиям и разрежениям. В результате связь
между давлением р и плотностью р становится нелокальной во
времени, она зависит от изменений плотности в предыдущие мо-
моменты и описывается интегральным выражением
t
p(x^t) = I R(t ~~ tl)p{x1tl) dt1'. B.29)
Явный вид ядра R(t — f) можно найти, изучая внутреннюю
структуру газа. Эти вопросы относятся к области молекуляр-
молекулярной акустики и акустической спектроскопии. Однако ряд важ-
важных результатов молено получить на основе феноменологиче-
феноменологического рассмотрения процессов релаксации, не конкретизируя
их физической природы. Например, релаксационная теория
Манделынтама^Леонтовича основана на предположении, что
вклад от «предыдущих» воздействий экспоненциально убывает
с ростом времени их запаздывания. В случае одного релаксаци-
релаксационного процесса это приводит к следующему уравнению состоя-
состояния:
t
р(х, t) = clp(x, t) — (с^о — Cq)
B.30)
которое эквивалентно уравнению B.29) с ядром
R(t - t') = c20S{t - t') - ^^ ехр ("^) • B.31)
2.2 АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 45
Здесь со, Cqo — соответственно скорости низкочастотного (шт —> 0)
и высокочастотного (шт —>• оо) звука, причем Cqq > cq, a t — ха-
характерное время релаксации. Подставляя B.30) в B.26) и исклю-
исключая переменные v и р, приходим к интегродифференциальному
уравнению для плотности:
= 0.
B.32)
Для гармонической волны дисперсионное уравнение, связываю-
связывающее частоту и волновое число, имеет вид
ш2
1 + га-—:— , B.33)
1 -iwtJ
где га = (с^ — Cq)/cq ^ 2(соо — cq)/cq — параметр, характери-
характеризующий относительную величину изменения фазовой скорости
волны с ростом ее частоты. Обычно эта величина мала. Раскла-
Раскладывая к в ряд по малому параметру га, придем к выражению
7 \ Ш (Л m ^V2 .771 ШТ \ /о О/|ч
fe " ±^ V1" Т ГТ^7^ " гУ IT^^J • B-34)
Из B.34) следует, что распространение звуковой волны в газе
с релаксацией всегда сопровождается поглощением и связанной
с ним дисперсией:
B2 \ 7// m a;2r /о огч
А =2^ТТ^^- B-35)
Графики зависимостей B.34) и B.35) изображены на рис. 2.5,
из которого видно, что дисперсия в такой среде является ано™
мальной. Итак, наличие релаксации приводит к увеличению ско-
скорости звука с ростом частоты и его затуханию (см. рис. 2.5). Та™
кое релаксационное затухание наблюдается не только в газе, но
и в морской воде, где оно объясняется присутствием различного
рода ионных примесей.
В области низких частот (ojt<C1), когда производная от плот-
плотности dp11 dt изменяется гораздо медленнее экспоненциального
ядра в интеграле B.30), ее можно разложить в ряд по малому
запаздыванию:
—-pf(x tf) ^ -\- (t — t')—^- + B 36)
dt' ' dt' tf=t dt'2 t'=t
46
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
Подставив B.36) в B.32) и интегрируя по i;, мы сведем интегро-
дифференциальное уравнение к дифференциальному, содержа-
содержащему высшие производные:
и
д3
dx2dt
dx2dt2
= 0.
B.37)
Третье слагаемое в B.37) характеризует затухание звука, про-
пропорциональное квадрату частоты, и имеет такую же структуру,
CD A
ют 0
Рис. 2.5. Дисперсионная кривая (а), зависимости фазовой и групповой ско-
скоростей {б) и коэффициента поглощения (в) от безразмерной частоты wr
как для волн в вязкой теплопроводной среде. Четвертое слагае-
слагаемое описывает дисперсионные эффекты.
2.2.3. Волны в жидкости с пузырьками газа
Жидкость с пузырьками газа представляет собой пример
структурно-неоднородной (двухфазной) среды. Ее простейшей
моделью является смесь из идеальной жидкости с равномер-
равномерно распределенными в ней газовыми пузырьками одинакового
размера. Пузырьки находятся на достаточном удалении друг
от друга, так что взаимодействие между ними осуществляет-
осуществляется только через поле давления. Радиальные пульсации газовых
пузырьков обусловлены действием двух сил: силы упругого сжа-
сжатия газа в пузырьке и силы инерции присоединенной массы
жидкости, вовлеченной в движение пульсациями пузырька. В
результате газовый пузырек в жидкости можно рассматривать
как осциллятор, изменения радиуса которого ? = (R — Rq) в
2.2 АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 47
линейном приближении описываются уравнением
? + ь>к = -ХР'- B-38)
Здесь ш® = [^jp®/(p®R®)] — частота собственных колебаний
пузырька, х = 1/(Ро^о) — параметр связи, р®^ Ро — невозму™
щенные значения плотности и давления в жидкости, р' — от-
отклонение давления от равновесного значения, R(t) — текущий
радиус пузырька, До — его равновесный радиус при давлении р®.
Предполагается, что характерная длина акустической волны
велика по сравнению не только с радиусом пузырьков, но и со
средним расстоянием между ними. В этом случае газожидкост-
ную смесь можно рассматривать как однородную (гомогенную)
среду с некоторыми эффективными значениями плотности, дав™
ления и других величин. Так, средняя плотность среды, очевид-
очевидно, равна
B.39)
где pi;2 — плотности жидкости и газа соответственно, a z =
= NV — объемное газосодержание в жидкости, N — число пу-
пузырьков в единице объема, aF= D/3) тгД3 — объем одного пу-
пузырька. Будем далее считать объемное газосодержание малым
(z <С 1). Тогда, учитывая, что z = z® + z\ р\ = р\® + р[^ р2 <С
<С р\, напишем отклонение плотности смеси р1 от равновесного
значения р®:
р' = р[A - z0) - pwz''. B.40)
Возмущение плотности жидкости р^ и избыточное давление р1 в
первом приближении связаны соотношением B.27). Подставив
B.40) в B.26), получим следующие уравнения:
dv . dp' A ^2dp' . dv dz' m ai\
где р® — равновесная плотность смеси, близкая к плотности
жидкости, а со = cs/(l — z®I/2 ~ cs — скорость звука. Воз-
Возмущение объемного газосодержания z' в первом приблилсении
связано с изменением радиуса пузырьков ? линейным соотно-
соотношением z' = NV1 — AttRqN^. Учитывая это соотношение, при-
приведем систему B.41) к одному уравнению второго порядка для
давления
-23V_3V_002l B42)
48 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
где /5 = AwRoNpo — коэффициент связи между пульсациями
пузырька и избыточным давлением в смеси. Уравнение B.42)
совместно с уравнением пульсации пузырька B.38) описывает
распространение звуковых волн в двухфазной среде.
Интересно отметить, что по виду уравнение B.42) совпадает
с уравнением B.14), а B.38) с последним уравнением в B.13),
описывающими распространение электромагнитных волн в ди-
диэлектрике в отсутствие потерь. Поэтому дисперсионные харак-
характеристики звуковых волн в жидкости с пузырьками газа ана-
аналогичны соответствующим характеристикам электромагнитных
волн в диэлектрике (см., например, рис. 2.5). Это частный, но
весьма наглядный пример «волновой» общности динамических
процессов различной физической природы.
2.3. Волны на поверхности жидкости
Еще один важный физический пример — волны, возникаю-
возникающие на свободной поверхности жидкости, находящейся в поле
сил тяжести. Учение о таких волнах является одним из самых
старых разделов гидромеханики и теории волн. Интерес к это-
этому явлению не угасает на протяжении более 200 лет. Большин-
Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на
поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что
жидкость идеальная, несжимаемая, а движение потенциально.
В этих предположениях и будет рассматриваться задача о вол-
волновых движениях на поверхности жидкости.
Будем считать, что снизу, при z = —h, жидкость ограничена
твердым дном (рис. 2.6). При малых амплитудах, когда можно
-h
Рис. 2.6. Поверхностные волны в канале конечной глубины
ограничиться линейным приближением, двумерные уравнения
теории поверхностных волн с учетом сил тяготения и поверх™
2.3 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 49
ностного натяжения запишутся в виде
где ip — потенциал поля скоростей v = Vy>, ?(ж,?) — верти™
кальное смещение поверхности, вызванное волной, g — уско-
ускорение свободного падения. Уравнение Лапласа B.43) выража-
выражает условие несжимаемости среды. Уравнения B.44) отражают
кинематические граничные условия на свободной поверхности
z = ((x^t) и на дне. Уравнение B.45) — это динамическое гра-
граничное условие на поверхности (вытекающее из уравнения Бер-
нулли) при постоянном давлении. Оно показывает, что при от-
отклонении свободной поверхности жидкости от невозмущенного
состояния z = 0 действуют две силы: сила тяжести g( и сила по-
поверхностного натяжения а(д2(/дх2)^ где а — коэффициент по-
поверхностного натяжения. Физическая природа этих сил и легла
в основу названия рассматриваемого типа волновых движений:
гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости.
Система уравнений B.43)—B.45) описывает гармонические
волны, распространяющиеся вдоль координаты х и имеющие
неоднородную структуру в вертикальном направлении z:
С (ж, t) = aexp{i(u)t — kx)\,
si , ) m /я ^щ
ojl — kx)}.
Решение такого типа называют неоднородной плоской волной.
Здесь функция Ф^) описывает распределение потенциала ско-
скорости по глубине, т.е. поперечную структуру волны. После под-
подстановки B.46) в соотношения B.43)—B.45) получается диспер-
дисперсионное уравнение
ш2 = (gk + ak3)thkh. B.47)
Следовательно, фазовая и групповая скорости поверхностной
волны в слое конечной глубины равны
Vph = [(g/k + a^thkh}1'2, B.48)
_ Vph Г 2kh km + 3
50
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
Здесь кт = \/gI(J = 2тг/Хт — значение волнового числа, со™
ответствующее минимальной фазовой скорости. Дисперсионная
кривая и) (к), а также зависимости от к фазовой и групповой
скоростей приведены на рис. 2.7.
^gr km
Рис. 2.7. Дисперсионная кривая (а) и зависимости от к фазовой и группо-
групповой скоростей для гравитационно™капиллярной волны (б) (vo = y/gh, шт =
= 4ag/p, kgr — 0, 39fem)
Дисперсионные свойства поверхностных волн наглядно ил-
иллюстрируются на следующих частных случаях.
1. Волны на мелкой воде (afc2<Cg, fc/i<Cl). В этом случае
из общих формул следует
uj = кл/gh = Удк^ и Vph = vgr = vq. B.50)
Очевидно, такие волны не обладают дисперсией. Подобным об-
образом распространяются, например, приливные волны и волны
цунами в океане. При средней глубине океана 4-5 километров
скорость подобных волн может превышать 200 м/с, что при™
ближается к скорости современных воздушных лайнеров. Если
учесть дисперсию длинных поверхностных волн (т.е. th (kh) «
^fc/i3/3), то дисперсионное соотношение B.47) примет вид ш2 =
= ghk2 — gh3k4. Такой дисперсией обладают волны, описывае™
мые уравнением
dt2
B.51)
2. Волны на глубокой воде (kh 3> 1). В этом пределе
th kh « 1 и дисперсионное уравнение принимает вид
ш2 = gk + ak3. B.52)
Здесь, в свою очередь, различают гравитационные волны^ когда
2.4 ВОЛНЫ В УПРУГИХ ТЕЛАХ 51
ак2 <С g, так что «работает» только сила тяжести, для которых
2-рп, B.53)
и капиллярные волны, когда ak2 ^> g, т.е. доминирует сила по-
поверхностного натяжения, и
/ J 3 / 7 /О IX /1 \
На глубокой воде гравитационные волны обладают сильной
дисперсией. При этом длинные волны распространяются бы-
быстрее коротких. Известно, что из области шторма в океане из™
лучаются волны зыби длиной порядка или более 100 м, «взбал-
тывающие» иногда большие акватории.
Дисперсия гравитационных волн является нормальной, так
как vgr < vph, а капиллярных волн — аномальной (vgr > г>рь).
В промежуточной гравитационно^капиллярной области фазовая
скорость волны имеет минимум, который для чистой воды (по-
(поверхностное натяжение воды Т = ра=735 дин/см) равен v™m =
= DgcrI/4 = 23 см/с и достигается при km = 3,6 • 10^2см™1
(Ато = 1,73 см). Групповая скорость достигает своего миниму-
минимума, равного v™ax = QJlv1^1 = 18 см/с, в области более длинных
волн, когда Agr ~ 2,5АШ = 4,38см.
2.4. Волны в упругих телах
В твердых средах, в отличие от жидкости и газа, могут рас-
распространяться, как минимум, два типа упругих волн: продоль-
продольные и сдвиговые. В безграничной среде эти волны, так же, как
электромагнитные волны в вакууме и волны давления в идеаль-
идеальном газе, не обладают дисперсией. Дисперсия упругих волн по-
появляется в ограниченных телах (стержнях, пластинах, оболоч-
оболочках), когда длина волны становится сравнимой с их поперечны-
поперечными размерами. Этот тип дисперсии связан с наличием границ.
Общее решение уравнений теории упругости, описывающих ко-
колебания тел ограниченной формы с учетом всех граничных усло-
условий, часто сталкивается с неопреодолимыми математическими
трудностями. Рассмотрим здесь два основных вида нормальных
волн в стержне: продольные и изгибные.
52
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
2.4.1. Продольные волны в стержне
Рассмотрим круглый стержень радиуса а, в котором возбужде™
на продольная волна. Как известно, продольной деформации
стрежня всегда сопутствует поперечная деформация (эффект
Пуассона). Следовательно,
смещение частиц при про™
дольных колебаниях имеет
в общем случае две компо™
ненты: одна из них, щ, па-
параллельна, а другая, и^, —
перпендикулярна оси стерж-
стержня. Поэтому первоначально
прямолинейные продольные
«волокна» при распростра™
нении волны искривляются
(рис. 2.8). Для достаточно
длинных волн, когда ка <С тг
(к — характерное волновое число), преобладают продольные
движения (приближение Лява). В этом случае продольные и
поперечные смещения связаны соотношениями:
Рис. 2.8. Деформация стержня при рас-
распространении продольной волны
Щ = u(x1tI
ди
B.55)
где u(x,t) — смещение точек стержня вдоль его оси, г < а — рас-
расстояние от оси стержня, v — коэффициент Пуассона. Учет попе™
речных смещений приводит к появлению в погонных плотностях
кинетической Т и потенциальной энергии W дополнительных
слагаемых, пропорциональных квадратам вторых производных:
д2
B.57)
Здесь Е и /i — модуль Юнга и модуль сдвига материала, р —
объемная плотность, F = ж а2 — площадь поперечного сечения
стержня, го = а/у2 — его полярный радиус инерции сечения.
Второе слагаемое в правой части B.56) описывает кинети-
кинетическую энергию, связанную с движением частиц стержня в ра-
радиальном направлении, а второе слагаемое в B.57) учитывает
потенциальную энергию сдвиговых деформаций.
2.4
ВОЛНЫ В УПРУГИХ ТЕЛАХ
53
Используя вариационный принцип механики (см. п. 4.1.3 ),
придем к следующему уравнению, описывающему продольные
волны в стержне:
д2и
д2и
B.58)
где ci = уЕ/р — скорость длинных продольных волн в стержне
(стержневая скорость), ст = л/ц/р — скорость сдвиговых волн
в безграничной среде.
Подставив в B.58) выражение для гармонической волны
и ~ expi(a;t — kx), получим дисперсионное уравнение
ш -
B.59)
из которого находятся выражения для фазовой и групповой ско-
скоростей волны:
v2r20k2(cT/ClJk2
B.60)
B.61)
Эти зависимости изображены на рис. 2.9. На рис. 2.9 а штри™
ховыми линиями нанесены прямые, соответствующие продоль-
продольным волнам в стержне в элементарном приближении Бернулли-
\
\
1 g
I
I
Рис. 2.9. Дисперсионная кривая (а), фазовая и групповая скорости для
продольной волны в тонком стержне (б)
54
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
Эйлера (к —>> 0, ио = сф) и сдвиговым волнам в безграничной
упругой среде (А; —> оо, о; = cTfc).
Групповая скорость продольных волн всегда меньше фазо-
фазовой и асимптотически приближается к ней при к —)> 0 и к —)> оо
(рис. 2.9 6). В точке fcgr = kuro^/(cT/ci) (Agr = 4,44i/
групповая скорость имеет минимум
l + 2cr/ci
Vg7 =CTi/^
(ct/qJ*
B.62)
Это значение не зависит от геометрических размеров стержня
и определяется только свойствами материала. Например, для
стержня из меди (q = 3710 м/с, ст = 2260 м/с, v = 0,32) зна-
значение v™m = 0,53q = 1968 м/с достигается при длине волны
Agr = 1,11a (kgra = 5,66). Заметим, что выражения B.59)—B.61),
строго говоря, не могут использоваться при ка > тт. Однако
их сравнение с точными дисперсионными зависимостями для
нулевой моды цилиндрического стержня показывает, что при-
приведенные здесь формулы сохраняют применимость вплоть до
значений ка с^ 6, т.е. до точки минимума групповой скорости.
В области длинных волн (к < 1/иго) фазовая и групповая
скорости стремятся к одному и тому же предельному значению
vgr = vph = q. В предельном случае (к —> 0) дисперсия продоль-
продольных волн отсутствует, и уравнение B.58) переходит в волновое
уравнение вида B.3).
2.4.2. Мзгибные волны в стержне
Изгибные волны возникают, например, при ударе по стержню в
поперечном направлении. Они представляют собой изгиб, бегу™
щий от места возбуждения.
Ф Пусть стержень совершает
w \ ГУ колебания в плоскости ж, у
(рис. 2.10). Будем предпо-
предполагать, что плоские сече-
сечения стержня, перпендику-
перпендикулярные его срединной ли-
линии в покое, остаются плос-
плоскими и перпендикулярными
срединной линии и во время
изгиба. Поперечные смеще-
смещения срединной линии малы по сравнению с длиной волны, что
позволяет пренебречь растяжением стержня.
Рис. 2.10. Перемещения, возникающие
при изгибной деформации стержня
2.4 ВОЛНЫ В УПРУГИХ ТЕЛАХ 55
В этом приближении поперечное движение стержня склады-
складывается из двух составляющих: перемещения его центра масс в
вертикальном направлении на величину w(x,t) и поворота на
угол <p(x,t) ~ wx относительно центра масс (см. рис. 2.10). По-
Погонная плотность кинетической энергии изгиба стержня состоит
из суммы кинетической энергии поступательного движения эле-
элемента стержня и энергии его вращения вокруг оси, проходящей
через срединную линию перпендикулярно плоскости колебаний:
Плотность потенциальной энергии изгиба равна работе восста-
восстанавливающих упругих сил и описывается выражением
B.64)
Здесь J — геометрический момент инерции поперечного сечения
стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости коле-
колебаний; EJ — изгибная жесткость стержня; F — площадь попе-
поперечного сечения; wxt — ф — угловая скорость поворота попереч-
поперечного сечения стержня.
Уравнение изгибных волн в стержне выводится из вариаци-
вариационного принципа (см.п. 4.1.3):
d2w 2 2d4w 2 dAw п /о ак\
+ гсГ 0' B-65)
где с\ = \/ЕIр — стержневая скорость, г\ = {J/FI'2 — осевой
радиус инерции, равный а/2 для цилиндрического стержня.
Дисперсионная зависимость для изгибных волн достаточно
специфична:
^B.66)
На плоскости ио1 к эта зависимость изображается кривой, выхо™
дящей из начала координат по параболе и асимптотически при-
приближающейся к прямой ш = ±qfc при к —> оо (рис. 2.11 а). Фа™
зовая и групповая скорости изгибной волны равны
= 2Vph i1" i) B'67)
Их графики выходят из нуля (рис. 2.11 б) и с ростом волнового
числа стремятся к одному и тому же постоянному значению q.
56
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
ГЛ. 2
При этом групповая скорость всегда больше фазовой, т.е. дис™
персия изгибных волн является аномальной {dv^/dk > 0). Груп-
Групповая скорость имеет максимум i;™ax = 1,09q, который дости-
достигается при fcgr = \/2/г, что соответствует длине волны Agr =
= л/2жг\ = 2, 22а. Расчеты по точной теории Похгаммера-Кри
дают максимум групповой скорости в области более длинных
волн 3, 33а < Л < 4а. Это указывает на ограниченность области
Рис. 2.11. Дисперсионная кривая (а) и фазовая и групповая скорости (б)
для изгибной волны в стержне (модель Рэлея)
применимости уравнения B.65), связанной с предположением о
том, что первоначально плоские поперечные сечения стержня
остаются таковыми и при изгибе. При описании длинных из™
гибных волн, когда fca>l, обычно пренебрегают кинетической
энергией вращения элементов стержня и вместо B.65) исполь-
используют упрощенное уравнение
d2w
dt2
дх4
= 0.
B.68)
В этом случае дисперсионная кривая является параболой, а фа™
зовая и групповая скорости линейно зависят от волнового числа.
2.5. Исторические замечания и комментарии
Волновое уравнение. Изучение волнового уравнения
2д_и q
дх2
д2
сыграло болвшую ролв в истории науки. Впервые его вывел
Жан Даламбер в 1747 г. при исследовании малв1х поперечнв1х
2.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 57
колебаний струны. Он показал, что общее решение этого урав-
уравнения имеет вид суперпозиции двух бегущих волн: u(x,t) =
= и\(х — ct) +'U2{x + ct). Он же указал на возможность использо-
использования этого уравнения для описания процесса распространения
звука. В 1748 г. Леонард Эйлер выразил произвольные функции
Ui^(x^ct) через начальное отклонение струны и(х,0) = U®(x) и
ее начальную скорость щ(х,0) = Vq(xO получив формулу, кото-
которую обычно называют формулой Даламбера. В 1753 г. Даниил
Бернулли при изучении колебаний одномерной цепочки пришел
к выводу о возможности представления произвольного движе-
движения цепочки в виде суммы простых гармонических колебаний:
сю
и(х, t) = 2_\ ап sin (knx) cos (nut).
Тем самым Бернулли ввел в теорию колебаний и волн принцип
суперпозиции и объявил его общим законом, присущим самой
природе колебаний. Эйлер и Лагранж с этим не согласились.
Они сомневались в возможности представления произвольной
функции тригонометрическим рядом. Только в 1807 г. Жан Фу-
Фурье сформулировал теорему о разложении произвольной перио-
периодической функции в тригонометрический ряд. Как ни странно,
против этого решительно возражал Жозеф Лагранж, хотя он
сам пришел к почти аналогичным результатам еще в 1759 г.
Теорема Фурье была доказана Петером Дирихле лишь в 1829 г.,
а в 1853 г. Георг Риман, изучая условия представления функ-
функции тригонометрическим рядом, пришел, в частности, к своему
известному определению интеграла (интеграл Римана).
Доказательство того, что волновое уравнение описывает рас-
распространение звуковых волн, а с и есть скорость звука, было да-
дано Эйлером в 1762 г. Однако формулу для вычисления скорости
звука он не привел (см. комментарии к гл.1).
Дисперсим волн. Из примеров, приведенных в этой главе,
видно, что «спектр» дисперсионных свойств различных волн мо-
может быть чрезвычайно широким, но вместе с тем нередко волны
совершенно различной природы — электромагнитной, механиче-
механической — описываются одинаковыми дифференциальными урав-
уравнениями и обнаруживают практически полное сходство в дис-
дисперсионных свойствах. Молено выделить, например, дисперсию
типа ш ~ скA — ак2)^ характерную для многих волн низкой ча-
частоты, или, скажем, ш2 = ш^ +c2fc2, которая может проявляться
на высоких частотах, или резонансную дисперсию и поглоще-
58 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
ние в области выделенных частот. Это позволит в далвнейшем
работать с достаточно общими типами уравнений волн и про-
проанализировать их свойства, характерные для широкого круга
процессов.
Дисперсим света1). Волновая теория света была основа-
основательно разработана в трудах Томаса Юнга и Огюстена Фре-
Френеля и позволяла из небольшого числа принципов объяснить
и рассчитать все известные тогда явления интерференции, ди-
дифракции, поляризации и двойного преломления. Единственная
неудача постигла волновую теорию в объяснении дисперсии и
поглощения света. Френель указал на молекулярную структу-
структуру вещества как на возможный источник дисперсии, но, к со-
сожалению, ранняя смерть в 1827 г. не позволила ему развить
эту идею. Ее подхватил Огюстен Коши, представивший среду
системой материальных точек, связанных между собой силами
взаимного притяжения и отталкивания. В 1830 г. Коши в своих
«Мемуарах о дисперсии света» вывел уравнение для смещения
частиц в среде:
д2и 2д2и одАи _ ~
W ^с а^ ~ р^л ^и^
описывающее распространение света в такой среде и учитываю-
учитывающее явление дисперсии.
В 1842 г. ученик Коши Шарль Врио предложил описывать
распространение света в среде уравнением
д2и 2&2и . п А
В дальнейшем оно нашло широкое применение в теории волн
и теории поля и получило название уравнения Клейна—Гордона.
Эти уравнения, учитывающие упрощенные предположения о ха-
характере взаимодействия среды и света, давали достаточно хо-
хорошее совпадение теории с известными в то время опытными
данными и, как мы теперь знаем (см. п. 2.1.4.), описывают нор-
нормальную дисперсию света соответственно в низкочастотной и
высокочастотной областях спектра (см. рис. 2.3 а).
В 1880—1862 гг. французский физик Ф. Л еру, измеряя пока™
затель преломления у паров йода, обнаружил обратную зависи-
зависимость коэффициента преломления от цвета и назвал открытое
Чв,
> оптике под дисперсией света подразумевают зависимость показателя
преломления от частоты.
2.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 59
им явление аномальной дисперсией. Это открытие получило об™
основание в электронной теории дисперсии света, развитой Ген-
дриком Лоренцем.
Первая попытка использовать открытие Леру была предпри-
предпринята в 1868 г. известным французским механиком Ж. Буссине-
ском. Он считал, что все пространство заполнено эфиром, име-
имеющим одну и ту же инерцию и упругость, и что при распро-
распространении света между эфиром и веществом появляются силы
взаимодействия. Поэтому, по мнению Буссинеска, все процессы
в эфире должны быть описаны двумя уравнениями: одно из них
описывает распространение волны в эфире, а другое — взаимо-
взаимодействие эфира и вещества. Эти уравнения он записал в виде
pdt2 едх2 ~ pldt2J
дх дх2
где рже — инерционный и упругий параметры эфира, pi, ? —
плотность и смещение частиц среды, A^B^D — константы, ха-
рактеризующие свойства среды. При В = 0 эта система сводится
к одному уравнению
dt2 C дх2 P
2
dt2 дх2 ^ dx2dt
где с2 = e/(p + p\ A) — скорость распространения света в сре-
среде; /3 = p\DI{p\A)) — параметр, характеризующий дисперсию
света.
Позже система уравнений, описывающая дисперсию света,
была предложена В. Зельмейером A872 г.), впервые высказав-
высказавшим идею о резонансном взаимодействии эфира и вещества, и
Г. Гельмгольцем A875 г.), который ввел в уравнение колебаний
частиц среды «трение»:
д2и 2д2и п / ^\
Эта модель позволила объяснить связь между аномальной дне™
Персией и поглощением света, а также предсказать эффект
стремления к единице показателя преломления для очень ко™
ротких волн. В то время такой эффект казался абсурдным, но
60 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
позлее, в 1894-1900 гг., он был подтвержден опв1тами с рентге-
рентгеновскими лучами. Правда, к тому времени об этом следствии
теории Зелвмейера-Гелвмгольца уже успели позабвхть.
Интересно отметить, что за три года до появления работы
В. Зельмейера дисперсией света интересовался Дж. К. Макс™
велл. В 1869 г. им был опубликован в «Cambridge University
Calendar» экзаменационный вопрос по математике для получе-
получения ученой степени доктора философии. Суть вопроса заключа-
заключалась в выводе уравнения распространения поперечных волн в
среде (эфире) с учетом их взаимодействия с атомами другого ве-
вещества и его интерпретации на языке волновой теории света. Пред-
Предполагалось, что атомы вещества независимы и связаны с эфиром
силой притяжения, пропорциональной относительному смеще-
смещению между атомами и эфиром, а также силой сопротивления,
пропорциональной скорости относительного смещения атомов.
В принятых нами обозначениях уравнения, предложенные
Максвеллом, молено записать в виде системы
/ . ^д2и 1~1д2и д2^
— +u;^ + R--- — ,
где тир- удельные плотности эфира и вещества, и — смещение
эфира, ? — относительное смещение атомов, Е — модуль упруго™
сти эфира, cjQ — резонансная частота колебаний атомов, R — ко-
коэффициент трения. Эти уравнения приводят практически к та™
ким же результатам, что и уравнения Зельмейера-Гельмгольца.
На эту работу, опубликованную в малоизвестном издании, впер™
вые обратил внимание лишь Д. Релей уже после появления ста-
статей Г. Лоренца по электронной теории дисперсии.
Электромагнитная теория света в своей первоначальной
форме не описывала явление дисперсии, что было отмечено еще
Максвеллом. Только электронная теория, развитая голландским
физиком Гендриком Лоренцем в 1890-1899 гг., смогла дать объ™
яснение этому явлению. Подробная история учения о дисперсии
света, начиная с ее зарождения, изложена в книге Е.И. Погре™
бысекой «Дисперсия света. Исторический очерк» [И. 11].
Волны на воде. Простейшая теория волн на поверхности
воды была дана И. Ньютоном в его «Математических началах
натуральной философии» A687 г.). Эта теория была основана
на неправильном допущении того, что частицы воды в волне
просто колеблются вверх-вниз. Ньютон сознавал ошибочность
2.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 61
такого допущения. Однако он счел возможным воспользоваться
им для приближенной оценки скорости распространения волны.
Правильный подход к теории волн на воде был найден Ж. Л а™
гранжем и изложен в его «Аналитической механике» A788 г.).
Он вводит в гидродинамику термины сжимаемая и несэюимае-
мая жидкость, а также потенциал скорости. Лагранж нашел
аналитическое решение, описывающее распространение длин™
ных волн на мелкой воде, и получил выражение для их скоро-
скорости: v = уfgh. Однако он не занимался детальной разработкой
теории волн, так как его увлекали другие, более общие матема-
математические проблемы. В дальнейшем идеи Лагранжа были разра-
ботаны французскими математиками О. Коши и С. Пуассоном,
которые приняли участие в конкурсе на Большой приз по ма-
тематике, объявленный в 1815 г. Парижской академией наук по
теме теория волн. Премию получил О. Коши, а мемуар С. Пуас-
сона заслужил почетный отзыв. Наиболее полно основы теории
волн на воде были разработаны в трудах английских ученых
Дж. Стокса и Д. Релея.
Коши и Остроградский. С развитием теории волн на во-
воде связана одна любопытная история, характеризующая стиль
отношений между учеными XIX века. В 1822 г. молодой русский
математик Михаил Остроградский A801—1862) жил в Париже и
посещал лекции П. Лапласа, О. Коши, Ж. Фурье. Он написал
работу «Теория волн в сосуде цилиндрической формы» и по™
слал ее О. Коши. Работа Остроградского произвела на Коши
сильное впечатление, он одобрил ее и направил в Труды Па™
рижской академии наук (статья была опубликована в 1826 г.). В
это время Остроградский сидел в парижской долговой тюрьме,
так как задолжал хозяину гостиницы из-за задержки в высыл-
высылке денег из дома. Коши, не будучи богатым человеком, выку-
выкупил Остроградского из долговой тюрьмы и рекомендовал его на
должность учителя математики в один из лицеев Парижа. Впо-
Впоследствии Остроградский был избран членом-корреспондентом
Парижской академии наук.
Упругие волны. До конца XVIII в. думали, что звук в
твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скоро-
скорости звука в твердом теле по отношению к его скорости в воздухе
выполнил в 1797 г. немецкий ученый Э. Хладни. Он открыл про-
продольные и вращательные (крутильные) волны в стержне, и его
опыты заложили основы экспериментальной акустики. Он же
провел точные измерения скорости в различных газах, пользу-
62 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
ясь для этой цели органными трубами. Ему принадлежит пер™
вое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в
1802 г. Интересно отметить, что под впечатлением от обаяния
и остроумия Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил
6000 франков для перевода его книги «Акустика» на француз-
французский язык.
Уравнение B.66) для изгибных волн впервые было выведено
Релеем из условия стационарности интеграла действия и приве-
приведено в его знаменитой книге «Теория звука». Следует отметить
также, что он одним из первых стал систематически применять
вариационные принципы механики для вывода уравнений дви-
движения распределенных систем (см. комментарии к гл. 4).
2.6. Задачи и упражнения
2.1. Покажите, что если ввести векторный потенциал электри-
электрического поля A(x,t):
jp _ 1дА и - дА
то система B.8) будет эквивалентна уравнению Клейна^
Гордона
д2А 2д'2А , 2 л а
из которого простым дифференцированием можно полу-
получить уравнения для электрического и магнитного полей.
2.2. Выведите дисперсионное соотношение B.15) для уравнений
электромагнитного поля в диэлектрике B.13). Покажите,
что в резонансной области дисперсия является аномаль-
аномальной, а фазовая и групповая скорости имеют разные знаки,
т.е. Vgr^ph < 0.
2.3. Покажите, что электромагнитные волны в диэлектрике в
областях прозрачности @, cjq) и (ujej oo) обладают нормаль-
нормальной дисперсией.
Указание. Используйте формулу Рэлея A.12) и соотноше-
соотношение vph = с/п(ш).
2.4. Покажите, что в среде с «высокочастотной» дисперсией,
описываемой уравнением
д^и _ 2(fu _ п д4и Q ,о>0)
^2 д^
2.6 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 63
не могут распространяться волны с частотой выше ио =
2.5. Исследуйте дисперсионные свойства волн, описываемые си™
стемой уравнений Зельмейера—Гельмгольца (см. коммен-
комментарий к главе). Сравните их с дисперсионными свойства-
свойствами электромагнитных волн в диэлектрике, описываемыми
уравнениями Лоренца B.13).
2.6. Как изменится уравнение для изгибных колебаний стерж-
стержня B.65), если стержень предварительно растянуть с силой
JVq? Выведите это уравнение и исследуйте его дисперсион-
дисперсионные свойства.
Указание. В потенциальную энергию изгиба стержня
B.64) необходимо добавить член, учитывающий энергию
растяжения: (N®/pF)w^.
2.7. На поверхности глубокой воды возбуждается пакет грави™
тациоыыых волн, содержащий N ^> 1 периодов колебаний
с частотой шс. Определите число гребней волн iVi на по™
верхности, которые увидит наблюдатель, находящийся на
берегу, и количество колебаний JV2, которые совершит на™
блюдатель, находящийся в лодке, при прохождении данно-
данного волнового пакета.
Решение. Пакет гравитационных волн можно представить
в виде
<г(ж, t) = A(t — x/vgT) exp {i(uj®tr — k®x)}.
Частота ш® и волновое число ко несущей волны удовлетво-
удовлетворяют дисперсионному уравнению ш = gk (см. § 2.3), ее
длина равна X® = 2тг/к® = 2жюф/оо®) а огибающая рас-
распространяется с групповой скоростью Vgr = A/2) у/g /ко =
= (l/2)^ph и отлична от нуля на интервале времени At =
/
Для наблюдателя на берегу волновой пакет будет иметь
длину L = VgrAt = 27iNvgr/uj® и, следовательно, в нем
уложится N\ = L/X® = Nvgj/юф = N/2 длин волн. Для
наблюдателя в лодке время прохождения пакета волн рав-
равно At. За это время лодка совершит N2 = (Atuj®/2n)N
колебаний.
64 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ГЛ. 2
2.8. Найдите явный вид функции Ф(г) в формуле B.46), опи™
сывающей распределение потенциала скорости (p(x,z,t) по
вертикальной координате в канале с конечной глубиной /i,
в глубоком канале и мелком канале.
Ответ. В канале конечной глубины:
Ф(г) = -iwch[k(z + h)]/(kshkh),
в глубоком канале (kh ^> 1):
в мелком канале (kh <C 1):
ГЛАВА 3
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН
Насколько движение энергии и дви-
движение сжимаемого вещества обуслав-
обуславливаются законами их сохранения,
настолько мы имеем право уподоб™
лять движение энергии движению по-
подвижного и сжимаемого вещества.
Н. А. Умов
В этой главе мы обсудим фундаментальные характеристики
волнового поля — энергию и импульс, а также связанные с ни™
ми законы сохранения. Как известно, волны могут переносить
энергию и оказывать силовое воздействие на материальные те™
ла. При этом возникает множество вопросов, например, с какой
скоростью переносится энергия волны в среде или как связаны
возникающие силы с импульсом волны. Здесь мы постараемся
дать на них ответ на примере нескольких типов волновых дви™
жений и приведем общие соотношения.
3.1. Законы сохранения и уравнения переноса
Математические уравнения, описывающие динамические
процессы, часто представляют в форме законов сохранения. За™
коны сохранения первоначально формулируются в интеграль™
ной форме, однако для непрерывных и дифференцируемых ве™
личин интегральная форма записи эквивалентна дифференци™
альным уравнениям, называемым также уравнениями переноса.
В области пространства, где нет источников и стоков поля,
плотность некоторой физической величины а и ее поток С через
66 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
единичную площадку связаны законом сохранения
da , т /-ч г\ da . дСк п / о -i \
— + divC = 0 или — + ^ = 0. C.1)
dt dt дхк
Примером таких соотношений является закон сохранения массы
в механике сплошной среды, где а = р — плотность среды, а С =
= pv — поток массы. В электродинамике — это закон сохранения
электрического заряда, где а = ре — плотность заряда, а С = j —
плотность электрического тока.
Если рассматривается векторная величина g, то закон сохра-
нения C.1) выполняется для каждой из ее компонент:
% + ?* = 0. C-2)
dt дхк
Здесь gi — проекция вектора g на ось ж^, а П^ — компонен-
компоненты тензора плотности потока величины g. Примером уравне-
уравнения C.2) в гидродинамике является закон сохранения импульса
g = pv , тогда П^ = pviVk + p§ik — тензор плотности потока
импульса.
Законы сохранения C.1) и C.2) в общем случае не опреде-
определяют однозначно входящие в них величины. Дело в том, что
к ним всегда можно добавить величины а^\ с^. и g| , П^. ,
удовлетворяющие тождествам
^ ^0 и ^ + f^0, C.3)
dt дхк dt дхк
которые не влияют на форму уравнений C.1) и C.2), но из-
изменяют вид входящих в них величин. В теории поля подобные
преобразования называют калибровкой. Вопрос о физически со-
содержательных величинах, входящих в законы сохранения, реша-
решается либо на основе опыта, либо на основе анализа микроскопи-
микроскопических материальных уравнений среды.
Для волновых полей в средах без диссипации выполняется
закон сохранения энергии:
^ + Р- = 0, C.4)
dt дхк
где w — плотность энергии, a S = {5^} — вектор плотности
потока энергии (вектор Умова^Пойнтинга).
3.2 ЭНЕРГИЯ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ 67
С физической точки зрения под энергией волны понимается
разность между энергией системы «среда + волна» и энергией
невозмущенной среды. Для нахождения явного вида величин w
и S используют уравнения, описывающие динамику физической
системы.
Уравнение переноса энергии C.4) иногда конструируется из
линеаризованных уравнений поля. Однако следует отметить,
что получаемая таким образом квадратичная по полю величи-
величина w не обязательно совпадает с действительной энергией, свя-
связанной с волной 1). Этот вопрос мы обсудим ниже при анализе
волн в неравновесных и нелинейных средах, а сейчас рассмо-
рассмотрим несколько примеров вывода уравнений переноса энергии в
физических системах.
Звуковая волна в газе. Уравнение переноса энергии плос-
плоскими акустическими волнами в идеальном газе можно получить
из уравнений B.26) и B.27). Для этого умножим первое из них
на v, а второе на р/ро и сложим их. В результате получим урав™
нение вида C.4), где плотность энергии звуковой волны го и ее
поток S равны
\ ( ^) S = pv. C.5)
Электромагнитная волна в вакууме и диэлектрике.
Уравнение переноса энергии плоской электромагнитной волной
в вакууме следует из уравнений Максвелла B.2) после их умно-
умножения соответственно на Н и Е и сложения. Плотность энергии
и ее поток в этом случае равны:
w = ^ , S = EH. C.6)
В среде с постоянными значениями относительной диэлектри-
диэлектрической (е) и магнитной (/i) проницаемостей плотность электро-
электромагнитной энергии равна (см. задачу 3.1)
w = ?оеД + ^н, C.7)
а плотность ее потока S по-прежнему дается выражением C.6).
г) То же самое относится к уравнению переноса волной импульса.
3*
68 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
3.2. Энергим волн в среде с дисперсией
Для диспергирующих сред, где различные физические пе-
переменные нелокально связаны между собой во времени и про™
странстве, вывод уравнения переноса энергии усложняется. Как
уже отмечалось в предыдущей главе, временная дисперсия со™
провождается диссипацией энергии и в общем случае заранее
не ясно, как определить энергию поля, связанную с волной. Для
этого необходим анализ материальных уравнений среды. Вместе
с тем, если диссипация мала и ей можно пренебречь, то выра-
выражение для энергии волны в диспергирующей среде можно полу-
получить из феноменологических уравнений движения.
3.2.1. Электромагнитная волна в плазме
Изменение энергии электромагнитного поля в среде описывает-
описывается уравнением Пойнтинга
Е + Я1 +
получающимся из уравнений Максвелла B.1) после их умноже-
умножения соответственно на Н и Е и сложения. Выражение для плот-
плотности потока энергии S = ЕН в этом случае остается таким же,
как и для волны в вакууме, но запись первых двух слагаемых
в виде производной по времени от энергии dw/dt становится не
столь простым делом. Для их преобразования необходимо обра-
обратиться к материальным уравнениям среды. В частности, для
электромагнитных волн в плазме D = е®Е + Р, I? = /iqU, a
электрическая поляризация Р = ^eNy удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению д2Р/д12 = uj^sqE (см. п. 2.1.2). Под-
Подставляя эти выражения в C.8), приходим к уравнению переноса
C.4), в котором плотность энергии равна
дt) ' ^-yj
Заметим, что второе слагаемое в выражении C.9) представляет
собой кинетическую энергию частиц плазмы в поле электромаг-
электромагнитной волны, так как
2eoul * *¦ ' о---- • C-10)
3.2 ЭНЕРГИЯ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ 69
Таким образом, энергия электромагнитного возмущения в плаз™
ме представляет собой сумму энергии электромагнитного поля
в вакууме и кинетической энергии частиц плазмы в поле вол™
ны. Иными словами закон сохранения энергии C.8) выполня-
ется для замкнутой динамической системв! «электромагнитное
поле + частицы плазмы». Аналогичное утверждение справед-
ливо и для более общих моделей диспергирующих сред.
8.2.2. Волны на поверхности жидкости
Для вывода уравнения переноса энергии поверхностными гра-
витационными волнами (см. п. 2.3) воспользуемся уравнением
движения идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяже-
тяжести:
P^ = -Vp + P&, C.11)
где d/dt = d/dt + (vV) — полная (субстанциональная) произ-
водная по времени, V = id/dx + jd/ду + кд/dz — оператор Га-
Гамильтона. Умножив C.11) скалярно на v, придем к уравнению
изменения плотности кинетической энергии
|(ру) + vVp - pgv = 0. C.12)
Здесь второе слагаемое, в случае несжимаемой жидкости
(divv = 0), равно vVp = V(vp), где произведение vp предста-
представляет собой работу, производимую силами давления над жидко-
жидкостью, в единицу времени. Третье слагаемое pgv есть мощность,
развиваемая силой тяжести при вертикальных движениях жид-
жидкости. Введем переменную ?(ж,?), отсчитываемую от поверхно-
поверхности z = 0 (см. рис. 2.6) и характеризующую вертикальное сме-
смещение элемента жидкости в слое —h ^ ? ^ (. В этом случае
pgV — _pgd^/dt = pg(d^/dt + vV?). Подставляя эти выраже-
выражения в C.12) и переходя к частным производным по времени,
придем к уравнению переноса энергии
)] = 0- C-13)
Отсюда находим, что объемная плотность энергии в гравитаци-
гравитационной волне равна сумме кинетической и потенциальной энергий
элемента жидкости в поле сил тяжести:
C.14)
70 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
Потенциальная энергия, связанная с поверхностным натяжени-
натяжением, здесь не учитывается.
Векторная величина
C.15)
представляет собой плотность потока энергии в гравитационной
волне. Физический смысл первого слагаемого в C.15) был объяс-
объяснен выше, а второе слагаемое определяет конвективный перенос
энергии движущейся жидкостью.
Для перехода от уравнения C.13) к уравнению переноса
энергии в направлении распространения волны необходимо про™
интегрировать его по вертикальной координате z. Плотность
энергии гравитационной волны в этом случае равна
Со С
w = fwvdz— I pgzdz = ^ I' v2 dz + -pgB'. C.16)
-h -h -h
Второе слагаемое в правой части C.16), представляет собой по™
тенциальную энергию, равную работе, затрачиваемой волной на
подъем столба жидкости с единичной площадью на высоту z =
= ?(ж,?). Аналогично поток энергии должен быть проинтегри-
проинтегрирован по вертикальной координате. Из C.15) следует, что в по™
верхностной волне горизонтальная компонента плотности пото-
потока энергии равна
С
*Ьж — I \vxP + Р^ж I тг + Яч ) \^z- (o.ITj
Мы вернемся к этому выражению позже при обсуждении сред-
среднего значения энергии поверхностной волны.
3.2.3. Упругие волны в стержне
Продольные волны в круглом стержне при учете его толщинных
колебаний описываются уравнением
д2и 2д2и 92 д2 (д2и 2д2и\ , ,
3.2 ЭНЕРГИЯ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ 71
Чтобы получить уравнение переноса энергии, умножим C.18)
на pFdu/di и учтем тождества
dt2 dt ~ 2 dt V dt ) ' dx2 dt ~ dx \дх dt) 2 dt \дх
2
d4u du = d_ f d3u du\ _ ld_ f d2u у ,~ ,
dx2dt2 dt ~ dx \dxdt2 dt J 2 dt \dxdt) ' ^ *
d4udu _ d fd3udu d2u d2u \ 1 d fd2u
dx4 dt dx \dx3 dt dx2 dxdtj 2 dt \dx2
После группировки слагаемых придем к уравнению переноса
энергии C.4), где погонная плотность энергии упругой волны
равна
w = \ [pF(u2t + vrlu\t) + (EF)(u2x + v2rl | u2xxj\ , C.20)
а плотность потока энергии описывается выражением
S = -EFuxut - u2rlF [рихЫщ + fi(uxxuxt - ихххщ)]. C.21)
Для длинных волн в стержне, когда к —> 0, в уравнении C.18)
моясно пренебречь четвертыми производными. В этом случае
дисперсия продольных волн исчезает, а выражения для энергии
и ее потока существенно упрощаются:
= i {pFu2t + EFu2x) , S = -EFutux» C.22)
w
Примером волн с дисперсией являются изгибные волны в тон-
тонком стержне, описываемые в простейшем случае уравнением
(см. п. 2.4.2)
и , 2 2О и _ г,
Умнолсим его на pFdu/dt и воспользуемся первым и четвертым
тождествами C.19), в результате получим уравнение переноса
C.4), в котором плотность энергии изгибной волны и плотность
ее потока соответственно равны
7/, _ 1 (nFn2 Л- r2EFii2 ) Я — ^r^EFiii и + — ?/ и А
Ш — ург п-f- -f I i-Ejr U>XXJ , О — I i-Ej-T \LlXXLlXt aXXXatj-
C.23)
72 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
В этом случае в выражение для плотности потока энергии вхо-
дят только вторые и третьи производные от смещения u(x,t) по
координате.
3.3. Энергим и групповам скорость
Групповая скорость была введена в § 1.2 из кинематических
соображений, и ее выражение vgr = du/dk годится для квазимо-
квазимонохроматических волн любой природы. Вместе с тем групповая
скорость, как скорость распространения сигналов, имеет смысл
скорости переноса энергии. В этом легко убедиться на частных
примерах. Определим скорость переноса энергии ven как отно-
отношение среднего за период потока энергии 5 к ее средней плот™
ности w:
Ven = 5/Ш. C.24)
В качестве первого примера рассмотрим акустическую волну в
идеальном газе:
v = v® exp {i(u)t — кх)}^ р = Ро exp {i(u)t — кх)}.
Средние значения плотностей энергии и потока C.5) такой вол™
ны с учетом связи v = p/pocs равны
1т) Г * . 1
= -Re[Povv +_
"~ 4^W» ^ 2 Vpoce
Отсюда вытекает, что S = csto, т.е. энергия акустических волн
распространяется со скоростью звука. Это естественно, так как
в идеальном газе отсутствует дисперсия.
Примером волн, в которых наличие дисперсии приыципиаль-
но, служат изгибные волны в стержне. Подставляя в C.23) вы-
выражение для гармонической волны щ exp {i(ujt — kx)} и усредняя
по времени, имеем
S = —^— Re {uxxu%t - ихххиХ) = r\EFujk3ul.
3.3 ЭНЕРГИЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 73
Подставим w и S в C.24) и, учитывая, что оо2 = rfcfk\ найдем
скорость переноса энергии изгибной волной в стержне:
2rfEuk o j
Ven = ^^ = 2riQfe = Vgrj
рш
которая также совпадает с групповой скоростью волны. Нетруд-
Нетрудно показать, что и электромагнитные волны в плазме переносят
энергию с групповой скоростью (см. задачу 3.7).
Таким образом, среднее значение потока энергии, переноси-
переносимого волной, независимо от физической природы равно произ-
произведению средней плотности энергии на групповую скорость S =
= VgTw и, следовательно, плотность можно трактовать как ско-
скорость переноса энергии1). Исходя из него, уравнение переноса
средней энергии молено представить в виде
дш , д / _\ Л /оог\
Ж + Ъ~х ^tW) = °- C'25)
Отсюда следует, что энергия ограниченного волнового паке-
пакета (энергия, заключенная между «групповыми траекториями»
х — VgTt c^ const) остается постоянной.
Поверхностные волны на глубокой воде. Вычислим
усредненные по времени выражения плотности энергии w и ее
потока Sx для гармонической поверхностной волны. Для этого
подставим
v = voekz exp {i(uji
С = Со^2 exp {i(u)t — к
( = (д) exp {i(cot — кх)}
в C.14), C.16) и C.17) и проинтегрируем их по координате z.
Все средние значения от линейных величин исчезнут, а от ква-
квадратичных останутся слагаемые, пропорциональные квадратам
амплитуд волны. При вычислении выражения для усредненной
погонной плотности энергии, сохраняющего все квадратичные
слагаемые (амплитуда волны предполагается маленькой) мы мо-
можем изменить верхний предел для v2 в интеграле C.16) с ? на
нуль. Так как величина ( мала по сравнению с характерным
масштабом волны А;, то мы получим погрешность третьего по-
порядка малости. Однако это некорректно для второго слагаемого
) Этот результат, как будет показано в следующей главе, носит общий
характер.
74 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
в C.14), содержащего линейный член ?. Его среднее значение в
постоянных пределах интегрирования равно нулю, но при пере-
переменном верхнем пределе интегрирования ? = ((x^t) появляется
квадратичное слагаемое (*2 и при kV® <C 1 имеем
В результате получаем
f 2 _ pICqI2
41c ^ 4
Здесь мы воспользовались формулами из п. 1.1.1 для вы-
вычисления средних значений от квадратичных величин, и также
соотношениями между переменными в бегущей короткой грави-
гравитационной волне, а именно
Вычисление среднего значения потока энергии более про-
простое. Последнее слагаемое в C.17) имеет третий порядок по ам-
амплитуде волны, поэтому после подстановки в него выражения
Ро = ^rvXQU)/kJ следующего из линеаризованного уравнения Эй-
Эйлера, мы имеем
с _ ^31Со|2 _ „, _
где vgr = ш/2к = (l/2)(g/fcI//2 — групповая скорость поверх-
поверхностной гравитационной волны.
3.4. Квазигармоническая волна в диэлектрике
Нестационарный процесс в веществе всегда в той или иной
степени термодинамически необратим и, следовательно, в нем
неизбежно присутствуют потери. Такая ситуация имеет место,
например, для электромагнитных волн в диэлектрике (п. 2.1.3)
и для волн в газе с релаксацией (п. 2.2.2).
Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся
в диэлектрической среде с комплексными проницаемостями е и
/1. В среде, так же как и в вакууме, плотность потока энергии
определяется вектором Пойнтинга S = Е х Н, а перенос энергии
электромагнитного поля плоской волной описывается уравнени-
уравнением C.8)
3.4 КВАЗИГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА В ДИЭЛЕКТРИКЕ 75
Первые два его слагаемых определяют одновременно и прираще-
ние энергии электромагнитного поля и ее диссипацию, связан-
связанную с необратимыми процессами в среде. При взаимодействии
поля с веществом часть энергии поля переходит в энергию дви-
движения частиц среды, но при этом часть механической энергии
заряженных частиц не может быть возвращена полю (напри-
(например, из-за неупорядоченных столкновений) и в конечном итоге
переходит в тепло.
Уравнение Пойнтинга C.8) не содержит никаких указаний
на то, каким образом выражение, стоящее в его левой части, де™
лится на энергию поля и диссипацию. Эту информацию можно
получить, обращаясь к анализу материальных уравнений среды
(см., например, п. 3.2.1).
Материальные уравнения. При изучении волновых про-
процессов в средах, в которых одновременно присутствуют и дис-
дисперсия и диссипация, недостаточно рассматривать чисто гар-
гармоническую волну, так как благодаря строгой периодичности в
ней не происходит никакого систематического накопления или
убывания энергии. В этом случае важное значение приобретает
анализ энергетических характеристик квазигармонических волн
Е = Eq(x^ t) exp {i(u)Qt ~~ k®x)}^ H = Hq(x^ t) exp {i(uj®t — k®x)}
C.26)
с медленно меняющимися в пространстве и времени комплекс-
комплексными амплитудами Eo(x,t) и Ho(x,t).
Как уже отмечалось в § 1.3, такие волны представляют собой
суперпозицию гармонических волн и могут быть представлены
в виде интегралов Фурье
exp {i(cjt — kx)}duj1
Е =
Н =
I
— сю
сю
I
где Fe и Fjj — фурье-спектры электрического и магнитного по-
полей волны, заметно отличающиеся от нуля лишь в узком интер-
интервале частот и волновых чисел, лежащими вблизи значений uq и
^о (Ac«j<Cu;o, Afc<Cfco). Комплексная амплитуда электрического
76 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
поля связана с фурье-спектром соотношением
E0(x,t)~ J FE(aj0+ujf)e^p{i[ujft-(k-k0)x}}duj\ C.27)
ujq — Aw
где ojf = ш ~~ ujq — отстройка от средней частоты волнового па™
кета. Условие медленности изменения комплексной амплитуды
означает, что характерные временные и пространственные мае™
штабы изменения огибающей много больше периода Т = 2tt/u)q
и длины А = 2тг/ко несущей электроманитной волны. Здесь и
далее все преобразования для краткости будем проводить толь-
только с электрическим полем, для магнитного поля все вычисления
проводятся аналогично.
Связь между индукцией электрического поля в среде D и его
напряженностью Е имеет вид
В(х^) = J ?0?(u))FE(u)ex-p{i(u)t-kx)}du), C.28)
™оо
где е(ш) = ег(ш) + ieff(uj) — комплексная диэлектрическая про™
ницаемость среды. Производная по времени от C.28) равна
оо
f)D с
--г- = I iu)eo6(uj)FE(u))e^p{i(u)t — kx)}du). C.29)
ut J
— оо
В силу спектральной узости волнового пакета в подынтеграль™
ном выражении можно положить
е(о;0 W) ^ ф0) + (^) а/, C.30)
\ аи у ujq
и после несложных преобразований получим
'due\ dEo(x,t)
) ^^
^^ \i(jjo?(wo)Eo(x,t) + [=) ^
ot у \ аш J Шо ut
C.31)
Таким образом, наличие дисперсии среды существенно изменяет
связь между производными dD/dt и dE/dt в квазигармониче-
квазигармонической волне.
3.4 КВАЗИГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА В ДИЭЛЕКТРИКЕ 77
Уравнение переноса средней энергии. Вычислим сред™
ние по времени от выражений, входящих в уравнение Пойнтинга
C.8). Для этого воспользуемся правилом усреднения величин,
записанных в комплексном виде A.4). Так для слагаемого, свя-
связанного с электрическим полем, имеем
dt J
Подставив сюда соотношения C.26) и C.31), получаем
w е0 (йше\ д\Е0\2 , g0
<% 4 V duj J Шо dt 2
где е1 и б/; — действительная и мнимая части электрической
проницаемости на частоте ш®. Аналогичным образом находится
выражение для магнитного поля
TjdB /io fduj[if\ d\Ho\ _|_ /
Среднее значение плотности потока энергии равно
"о -I- тр тт Т? ЕТ* fQ QOA
О — — S2j ±1 — —iZ/QXln. yO.tjZj
Подставив полученные выражения в C.8), приходим к уравне-
уравнению переноса усредненной энергии в диспергирующей среде с
поглощением:
? + Ш = -Q- C-33)
dt dx
Здесь w — среднее значение плотности электромагнитной энер™
гии в диспергирующей среде:
В C.33) появляется новое слагаемое, имеющее смысл средней
мощности тепловых потерь электромагнитного поля:
Оно указывает, что диссипация энергии определяется мнимы-
мнимыми частями комплексных проницаемостей. Диссипация энергии
сопровождается переходом электромагнитной энергии в тепло,
78 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
поэтому Q > 0. Отсюда следует, что мнимые части е и /i всегда
положительны:
е1' > 0, //' > 0.
Знаки вещественных частей комплексных проницаемостей (при
uj ф 0) не ограничены никакими физическими условиями, так
что е1 и // могут быть как положительными, так и отрицатель-
отрицательными.
В равновесной среде средняя энергия волны всегда положи-
положительна и поэтому должны выполняться неравенства
4-{ие') > 0, 4-W) > °- C-36)
duo duo
Однако в неравновесных (активных) средах вполне может ока™
заться, что неравенства C.37) (одно или оба) изменят свой знак,
и поэтому средняя энергия волны w будет отрицательной.
В следующем разделе будет рассмотрен один из примеров
волн отрицательной энергии в гидродинамике.
3.5. Энергия волн в неравновесной среде
До сих пор мы говорили об энергии волн в равновесных сре-
средах, в которых нет внутренних источников энергии, так что воз™
буждение волны всегда требует внесения энергии извне. Суще™
ствует, однако, класс неравновесных сред, где волна освобожда-
освобождает энергию присутствующего в среде источника, который сам по
себе волны не возбуждает. Таким источником может служить
поток электронов в плазме или сдвиговое течение в гидроди-
намике. В радиотехнике — это постоянное анодное напряжение
на транзисторах, в лазерной оптике — лампа накачки, наруша-
нарушающая равновесное распределение молекул по уровням энергии,
и т.д. При этом может случиться так, что возбуждение волны
извне может привести не к добавлению энергии в систему, а,
наоборот, к ее уменьшению из-за отбора энергии от источника.
Если энергия системы «источник + волна» меньше, чем энергия
источника без волны, то говорят, что в такой системе возбужда-
возбуждается волна отрицательной энергии (ВОЭ).
Интересное свойство ВОЭ проявляется, когда в среде имеет-
имеется небольшая диссипация (скажем, вязкость, или излучение из
среды, или взаимодействие с волной положительной энергии).
3.5
ЭНЕРГИЯ ВОЛН В НЕРАВНОВЕСНОЙ СРЕДЕ
79
Из уравнения баланса энергии A.29) следует
dW±
dt
= -2\8W±
C.37)
где W± — средняя энергия волны, 8 — коэффициент потерь. Мы
видим, что при W"_|_ > 0 энергия волны должна убывать со вре-
временем. В обычном случае это означает затухание поля, однако,
если W ^ < 0, то уменьшение энергии означает рост модуля W_,
а значит, увеличение ее амплитуды, т.е. волна с отрицательной
энергией усиливается! Та-
Таким образом, наличие поло-
положительных потерь F > 0)
приводит к неустойчивости
волн отрицательной энер-
энергии, подобно тому, как на-
наличие «отрицательных по-
потерь» (S < 0) приводит к
неустойчивости волн с поло-
положительной энергией.
В качестве примера рас-
рассмотрим гравитационные
волны на границе раздела
двух несжимаемых жидко-
C>(x,t)
Р2, Ф2
Рис. 3.1. Модель течения Кельвина—
Гельмгольца в двухслойной жидкости.
Ыижнаяя жидкость неподвижна, а верх™
стей различных плотностей няя Движется с постоянной скоростью 17
р\ и р25 из которых ниж-
нижняя, более плотная [р\ > pi), неподвижна, а верхняя движется
вдоль границы раздела со скоростью U (модель Кельвина-
Гельмгольца) (рис. 3.1).
Рассматриваемые волны удовлетворяют уравнениям Лапла-
Лапласа для потенциалов скоростей. Если vi = !7xq + Vc^i, V2 =
где xq — единичный вектор вдоль оси ж, то
A(pi =0, 0 < z < +оо,
= 0, -оо < z < 0,
C.38)
и выполняются условия непрерывности вертикальных смещений
C.39)
dz Jz=0 dt dx' V dz ;z=0 dt
и условия непрерывности давлений на поверхности
C.40)
80
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН
ГЛ. 3
Решение системы уравнений C.38)—C.40) ищем в виде неодно-
неоднородной бегущей волны
C.41)
С (ж, t) = Со exp {i(ujt — кх)},
?>1,2(ж, z, t) = Соф1,2(» exp {i(uji - kx)},
у которой ш и к удовлетворяют дисперсионному уравнению
и? + з(ш - Ukf - A - s)gk = 0, C.42)
где s = pi/P2- Уравнение C.43) имеет две дисперсионных ветви
wi,2 = j^Uk ± ^л/il - sfgk2 - sU2k2. C.43)
При 5 = 0 оно превращается в дисперсионное уравнение B.53)
для гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В об-
общем случае (s Ф 0, U ф 0) дисперсионные кривые Re а; и Imcj
показаны на рис. 3.2 а, б.
Из рисунка видно, что достаточно короткие волны при
(к > &2 = g(l — s2)/sll2) экспоненциально нарастают. Это из-
известная неустойчивость тангенциального разрыва (неустойчи™
вость Кельвина-Гельмгольца), существующая и в однородной
i Re©
Imco
0^*1 k2
\Imco2
Рис. 3.2. Дисперсионные кривые для поверхностных волн: реальная (а) и
мнимая (б) части частоты. Область волн с отрицательной энергией заштри-
заштрихована. Сплошные кривые соответствуют идеальным жидкостям, штрихо-
штриховые — вязкой нижней жидкости
среде, когда 5 = 1. Вместе с тем, более длинные волны устой-
устойчивы, и в области к < к2 существуют две дисперсионных вет-
ветви (рис. 3.2 а). Энергии волн, отвечающих этим дисперсионным
3.5 ЭНЕРГИЯ ВОЛН В НЕРАВНОВЕСНОЙ СРЕДЕ 81
ветвям, вычисляются по аналогии с энергией поверхностных
волн (см. п. 3.3): плотности кинетической и потенциальной энер-
энергий для жидкостей сверху и снизу от границы раздела интегри-
интегрируются по вертикальной координате z и усредняются по вре-
времени. Средняя плотность кинетической энергии системы равна
_ оо С
т = у / [^Хо + v^J - ^ dz + у
у / [^Хо + v^) ^ dz + у
Подставляя сюда выражение для потенциалов cpi^ из C.41) и
удерживая лишь слагаемые второго порядка малости, получим
T = ^[coHl + s)-sUW](t. C.45)
Отметим важную роль второго слагаемого в правой части C.45).
Благодаря ему кинетическая энергия может стать отрицатель-
отрицательной. Средняя потенциальная энергия вычисляется аналогичным
образом:
W=(p2- Pl)ge = f A - s)g& C.46)
Она всегда положительна и не зависит от скорости потока. Пол-
Полная средняя энергия рассматриваемой гравитационной волны
равна
W = T + W=^[A + з)ш2 + A - s)gk - sU2k2} (I. C.47)
Используя дисперсионное соотношение C.43), ее можно преоб™
разовать к виду
^ C-48)
где знаки ± и индексы 1,2 относятся, соответственно, к верхней
и нижней ветвям дисперсионной кривой. Из рис. 3.2 а видно, что
для участка нижней ветви между точками к\ и &2, гДе ^2^0,
энергия волны отрицательна.
Пусть нижняя неподвижная жидкость обладает малой вяз-
вязкостью с коэффициентом v. При этом в правой части C.45)
появится член —Агишк. Соответствующие дисперсионные кри-
кривые на рис. 3.2 изображены штриховыми линиями. В области
правее точки к2 эта вязкость лишь ослабляет неустойчивость
Кельвина^Гельмгольца; в частности, при к —)> оо мнимая часть
Imo;2 стремится к конечному значению sU2/2и. Зато в области
к\ < к < &2 теперь тоже возникает неустойчивость (Im^ > 0).
82 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
Инкремент неустойчивости в точках, не слишком близких к А;2?
описывается простой формулой
Важно отметить, что в движущейтся системе отсчета, где
всей жидкости придается дополнительная скорость У, частота
ш заменяется на ш — kV, так что величина и, возможно, знак
энергии W2 меняются, т.е. энергия волны не инвариантна по от-
отношению к системе отсчета. Вместе с тем сам факт устойчивости
или неустойчивости и величина инкремента не зависят от систе-
системы отсчета: вместе со знаком W2 меняется и знак эффективной
вязкости. В действительности понятие ВОЭ полезно в том от-
отношении, что оно позволяет предсказать появление неустойчи-
неустойчивости при введении в идеальную систему «истинных» положи™
тельных потерь (к ним всегда относится вязкость неподвижной
в данной системе отсчета жидкости). Круг физических систем,
для которых рассмотрены ВОЭ и связанные с ними вопросы, в
настоящее время весьма широк. К обсуждению некоторых об-
общих свойств ВОЭ мы вернемся в следующей главе.
3.6. Импульс электромагнитной волны
Если волна переносит энергию, то естественно возникает во-
вопрос: не переносит ли она и импульс и какое воздействие она
оказывает на тела, помещенные в область волнового поля? По-
Постараемся дать ответ на этот вопрос на примере электромагнит-
электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме и в среде.
3.6.1. Электромагнитная волна в вакууме
Для электромагнитных волн в вакууме из уравнений Максвелла
B.2) после их умножения соответственно на Е и Н и сложения
получается закон сохранения
^жH C49)
Величина, входящая под знак производной по времени, имеет
размерность плотности импульса и с точностью до константы
с~2 совпадает с ж-компонентой вектора Пойнтинга S:
g = Jf[EH] = |. C.50)
3.6 ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 83
Уравнение C.49) интерпретируется как закон сохранения им™
пульса электромагнитного поля (или, кратко, электромагнитно-
электромагнитного импульса), а величина, входящая под знак производной по
координате, представляет собой компоненту тензора плотности
потока импульса:
п = ерЕ2 +/ioff2
2
Заметим, что в данном частном случае поток электромагнитного
импульса П совпадает с плотностью энергии w электромагнит-
электромагнитной волны.
Проинтегрируем C.49) по объему, представляющему собой
параллелепипед, ограниченный неподвижными параллельными
плоскостями х\ и Х2 с единичной площадью (рис 3.3). Так
как электромагнитное поле не зависит от координат у и z, то
скорость изменения электромагнитного импульса в выделенном
объеме равна разности его потоков через сечения х\ и Х2'-
^ = П(Ж1)-П(ж2), C.51)
Х2
где G = / g(x) dx — электромагнитный импульс в конечном
XI
объеме V. Если разность потоков импульса через границы х\
и Х2 равна нулю, то полный электромагнитный импульс в объ-
объеме сохраняется, а его величина определяется начальными дан-
данными.
3.6.2. Давление света
Рассмотрим ситуацию, когда плоская электромагнитная волна
падает на полностью или частично отражающую стенку. Объем
V^ по которому проводится интегрирование, выберем как пока-
показано на рис. 3.3.
В этом случае П(жх) Ф П(ж2) и, следовательно, электромаг-
электромагнитный импульс G не сохраняется. Что же происходит в этом
случае? Оказывается, что в данной ситуации электромагнитная
волна обменивается со стенкой импульсом и воздействует на нее
с некоторой силой f. Возникновение этой силы связано с воз-
воздействием электромагнитного поля на вещество. Действитель-
Действительно, электрическое поле волны Е заставляет двигаться свобод-
свободные электроны в металлической стенке и наводит в ней поверх-
поверхностный ток с плотностью j = сгЕ (где а — электропроводность
металла). Магнитное же поле волны Н действует на этот ток с
силой f = [j H] /с, которая направлена по оси х в сторону рас-
84
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН
ГЛ. 3
пространения волны. Величина этой силы равна разности плот™
ности потоков электромагнитного импульса через сечения х\ и
Х2- Ее среднее значение по времени р, рассчитанное на единицу
площади, называют световым давлением:
C.52)
Это соотношение устанавливает связь между величиной свето-
светового давления и импульсом электромагнитной волны.
Рис. 3.3. К вычислению давления электромагнитной волны на отражаю-
отражающую стенку
Пусть на стенку падает гармоническая волна Ер =
= EQex.p{i(u}t ~~ кх)} (см. рис. 3.3), а отраженная волна рав™
на Ег = —
ех.р {i(ujt + кх)}, где R = \Ер\2/\Е
— ко-
коэффициент отражения. Тогда, учитывая, что в бегущей волне
напряженности электрического и магнитного полей связаны со-
соотношением Н = [пЕ] (где n = k/|fc| — единичный вектор),
получаем
C.53)
Отсюда видно, что при полном отражении волны от идеаль-
идеальной границы (R = 1) световое давление на нее вдвое больше, чем
при полном поглощении волны (R = 0). Эта величина является
чрезвычайно малой (например, при Eq ~ 103 В/м, р^ 1СП5 Па),
тем не менее она была экспериментально измерена П.Н. Лебе-
Лебедевым уже в 1899 г.
3.6 ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 85
3.6.3. Электромагнитная волна в среде
В п. 3.1.1 отмечалось, что законы сохранения C.1) и C.2) не
могут однозначно определять входящие в них плотности и по-
потоки энергии и импульса, поскольку имеется возможность их
калибровки. Здесь будет рассмотрен один из примеров такой
неоднозначности при определении импульса электромагнитной
волны в среде.
Для электромагнитной волны, распространяющейся с среде,
возможны два различных определения импульса. Одно из них
принадлежит А. Абрагаму и совпадает с определением импульса
электромагнитного поля в вакууме C.50). Второе определение
было предложено Г. Минковским
gM = [DB]. C.54)
На первый взгляд, оно больше соответствует духу макроско-
макроскопической электродинамики, в которой электромагнитное поле
в среде характеризуется переменными D и В. Импульс Минков-
ского удовлетворяет закону сохранения, который для плоской
волны имеет вид
— (DB) + (D— + В— | = 0. C.55)
Как и в случае с энергией, для приведения второй группы слага-
слагаемых к дивергентному виду необходимо привлекать конкретный
вид материальных уравнений среды.
Вычислим разность производных от импульсов, определен-
определенных по Минковскому и Абрагаму:
Яд; Яд f) 1 Я
-^ - -±± = !L(DB) - —-IEH). C.56)
dt dt dt с2 dt
В вакууме она, естественно, равна нулю, но в диэлектрике с по-
постоянными проницаемостями D = EqeE^ В = fio/iH она отлична
от нуля:
2 Я~\ -tjM) = /д. [6.0 ()
Эта разность имеет размерность плотности силы и добавляется
к силе Лоренца, действующей на частицы среды, помещенной в
электрическое поле (см. п. 2.1.2). Ее называют силой Абрагама.
Заметим, что сила Абрагама возникает только в динамических
полях и отсутствует в статическом электромагнитном поле.
Таким образом, если считать, что в переменных электромаг-
электромагнитных полях на среду кроме силы Лоренца действует еще и си-
сила Абрагама, то использование выражения для импульса в фор-
форме Абрагама C.50) или форме Минковского C.54) не приводит
86 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
к противоречиям. Следует помнить, что импульс распространя-
распространяющейся в среде электромагнитной волны складывается из двух
составляющих: импульса собственно электромагнитного поля и
импульса частиц среды, взаимодействующих с полем. Выбор то-
того или иного представления для электромагнитного импульса в
среде связан в определенной мере с удобством вычислений и
физической интерпретации результатов.
Непротиворечивость этих двух определений импульса видна
на примере электромагнитной волны в плазме. Для импульса,
представленного в форме Минковского, уравнение переноса име-
имеет вид C.55). Учитывая, что в плазме D = е®Е + Р и В = /лоН,
первое слагаемое в C.55) может быть записано как
|(Л5) = ^(ЯЯ)+*>|(РЯ), C.58)
а вторая группа слагаемых приводится к виду
1 (DM +B?f)=l f^ + ^\ + Р™. C.59)
2 \ дх дх у дх \ 2 / дх
Подставим C.58) и C.59) в C.55). Учитывая, что из первого
уравнения Максвелла B.1) следует дЕ/дх = —/j,odH/dt, полу-
получаем другую форму записи уравнения переноса электромагнит-
электромагнитного импульса
д ЕН д [еоЕ2+^оН2\ дРи {чап,
т— + Тх К г ) = "М?Е C-60)
Оно отличается от уравнения переноса импульса электромаг-
электромагнитной волны в вакууме C.49) наличием в правой части силы,
описывающей взаимодействие магнитного поля волны с наве-
наведенными в плазме токами. Это и есть так называемая сила Дбра-
Дбрагам а.
3.7. Импульс акустической волны
Акустическая волна представляет собой форму коллективно-
коллективного движения частиц среды, и поэтому под импульсом волны под-
подразумевают количество движения, которым обладают частицы,
участвующие в волновом движении. Понятие импульса j аку-
акустической волны вводится для волнового пакета, занимающе-
занимающего конечную область пространства, а его плотность совпадает с
плотностью потока массы:
pV, C.61)
3.7 ИМПУЛЬС АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ 87
где v — колебательная скорость частиц в волне, ро — плотность
невозмущенной среды, р' — изменение плотности, обусловлен-
обусловленное наличием акустической волны. В идеальной жидкости поле
скоростей в линейной акустической волне можно считать потен-
потенциальным: v = V(/? (if — потенциал), а изменение плотности
р1 связано с изменением давления р1 соотношением р1 = р1' jcsl
поэтому импульс можно представить в виде
j = poVip + S/cl C.62)
где S = p;v — вектор плотности потока энергии в акустической
волне (вектор Умова^Пойнтинга). Заметим, что второе слагае-
слагаемое совпадает по форме с определением импульса электромаг-
электромагнитной волны, по аналогии с которым мы будем называть его
волновым импульсом акустического поля:
g = S/C2. C.63)
Подчеркнем, что введенный здесь волновой импульс акустиче™
ского поля g не тождественен полному импульсу среды j и пред-
представляет собой лишь его квадратичную часть, связанную с вол™
новыми движениями в среде.
Полный импульс волны, распространяющейся в неподвиж™
ной среде, равен интегралу по всему занимаемому ею объему
F, но интеграл от (р преобразуется в интеграл по поверхности
и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым паке-
пакетом объема (р = 0. Таким образом, полный импульс волнового
пакета в данном случае равен интегралу от волнового импульса
J= JjdV^ fgdV^g. C.64)
Плотность потока импульса в гидродинамике характеризу-
характеризуется тензором Uifc = (pSik + pviVk)^ который для одномерных
акустических волн равен
Uxx = n = p0v2+p'. C.65)
Изменение полного импульса среды J C.64) в фиксированном
объеме V определяется потоком импульса П^ через его поверх-
поверхность. В одномерных задачах интегрирование по объему сводит-
сводится к интегрированию по координате х (см. рис. 3.3) и поэтому
^ = [p0v2 + р']х=Х2 - [pov2 + р']х=Х1. C.66)
Это уравнение представляет собой обобщение второго закона
Ньютона на конечный объем сплошной среды, заключенный
88 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
между неподвижными сечениями х = х\ ш х = Х2- Следователь-
Следовательно, правая часть C.66) есть не что иное как сила, действующая
на этот объем. Среднее по времени от этой величины называют
радиационным давлением:
FP = lipov2 + P')]x=x2 - Кроу2 + Р%=Х1. C-67)
Из этого определения вытекает, что радиационное давление аку-
акустической волны отличается от постоянной составляющей гид™
ростатического давления р1 на величину v2po, равную удвоенной
кинетической энергии.
3.8. Исторические замечания и комментарии
Энергим волны. В механике закону сохранения энергии
предшествовала идея сохранения «живой силы» mv , введенной
Лейбницем в 90-х годах XVII в. в противовес «мертвой силе»
mv, для которой закон сохранения был установлен ранее Декар-
Декартом. Закон сохранения «живых сил» использовал Д. Бернулли
A738 г.) при выводе известного уравнения гидродинамики, но-
носящего его имя. Он же одним из первых указал на возможность
перехода механической энергии в тепловую при различных ме-
механических процессах.
Термин «энергия» ввел английский физик В.Дж. Рэнкин в
1855 г. Он же попытался дать общее определение энергии как со-
состояния субстанции, способной производить работу, и разделил
энергию на «актуальную» и «потенциальную». Позднее В. Том-
сон (лорд Кельвин) вместо «актуальной» ввел термин «кинети-
«кинетическая энергия». В середине XIX в. закон сохранения и превра-
превращения энергии был признан как общий закон природы, охваты-
охватывающий все физические явления.
Следующим важным шагом в развитии закона сохранения
энергии было введение понятия энергии электромагнитного по-
поля Дж. Максвеллом в 1865 г. и представления о движении энер-
гии в материальных средах Н.А. Умовым [3.21], который в своей
докторской диссертации «Уравнение движения энергии в телах»
A874 г.) вывел общее уравнение переноса энергии C.1) и ввел
понятие вектора потока энергии S, который теперь называют
вектором Умова. Он провел аналогию между потоком энергии
и потоком сжимаемой жидкости, впервые дал определение лу-
луча как линии, вдоль которой движется энергия, и ввел понятие
3.8 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 89
скорости движения энергии ven = S/w. К сожалению, эта работа
не была понята ведущими русскими физиками того времени и
подверглась острой критике, в частности, со стороны А.Г. Сто™
летова. Впоследствии Н. Умов не возвращался к этой проблеме.
Независимо от Умова Дж. Пойнтинг в 1884 г. и О. Хевисайд
в 1885 г. развили теорию переноса энергии электромагнитно-
электромагнитного поля и получили выражение для вектора плотности потока
энергии S = [Е Н], названного позднее вектором Пойнтинга.
Выражение для усредненной энергии электромагнитного поля в
диспергирующей среде C.34) было впервые получено Л. Брил-
люэном в 1921 г.
Волны отрицательной энергии. Понятие о волнах с отри-
отрицательной энергией (ВОЭ) впервые появилось в сверхвысокоча-
сверхвысокочастотной электронике. Впервые на это интересное обстоятельство
обратил внимание Л. Чу в 1951 г. Он показал, что с медлен-
медленной волной пространственного заряда в электронном пучке свя-
связан поток «отрицательной кинетической мощности». В 1960 г.
П. Стэррок [3.26], не конкретизируя природы волн, показал, что
в среде, движущейся со скоростью V, энергия быстрой (бегу-
(бегущей по потоку, Wf < 0) и медленной (бегущей против потока,
Ws < 0) волн, измеряемая неподвижным наблюдателем, выра-
выражается соотношениями
Wf = W0(l + V/vph), Ws = W0(l-V/vph),
где vph — фазовая скорость волны в системе координат, относи-
относительно которой среда неподвижна, W® — энергия волны в этой
же системе координат. Из C.79) следует, что при Уф > V энер-
энергия медленной волны отрицательна, т.е. Ws < 0.
Представление о волнах отрицательной энергии в дисперги-
диспергирующих средах и механизмах их неустойчивости с точки зрения
общей физики и физики плазмы, было дано в работе Б.Б. Ка-
Кадомцева и др. в 1964 г [3.8]. Роль ВОЭ в возникновении плаз™
менных неустойчивостей и их связь с аномальным эффектом
Доплера была подробно рассмотрена М.В. Незлиным в 1974 г.
[3.16].
Что касается гидродинамики, то среди физиков одно время
существовало даже мнение о невозможности ВОЭ в механике
жидкостей. Однако первая работа, в которой рассматривались
ВОЭ в гидродинамике, правда, без введения этого термина, бы-
была опубликована Т. Бенджаменом [3.23] еще в 1963 г. при клас-
классификации неустойчивостей в стратифицированных сдвиговых
90 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
потоках. В дальнейшем это направление развивалось в работах
Л. Островского и др. [3.17].
Импульс. Эволюция, которую претерпело понятие импуль™
са (количества движения), сходна с эволюцией понятия энергии.
Понятие количества движения вначале применялось только к
механическим движениям и определялось как произведение мас-
массы на скорость («мертвая сила» Декарта). С течением времени
понятие количества движения было обобщено и стало охваты-
охватывать не только механическую, но и другие формы движения. Это
позволило сформулировать закон сохранения импульса, учиты-
учитывающий возможность его превращения из одной формы в дру™
гую (например, из электромагнитной в механическую).
Импульс электромагнитного полм. Впервые мысль о
существовании импульса электромагнитного поля высказал
Дж.Дж. Томсон A893 г.), исходя из построенной им механи-
механической модели электромагнитного поля. Он указал, что одно-
одновременно с переносом энергии в электромагнитном поле должен
иметь место и перенос импульса g, который связан с вектором
Пойнтинга соотношением g = S/e2. В 1900 г. А. Пуанкаре пока-
показал, что в произвольной замкнутой системе, содержащей элек-
электроны и поле, через которое они взаимодействуют, результиру-
результирующая всех электромагнитных сил, действующих на электроны,
отлична от нуля. Это противоречило третьему закону Ньютона.
Чтобы избежать противоречия, Пуанкаре, так же как и Том-
сон, предложил приписать электромагнитному полю импульс,
равный g = S/e2. В итоге он пришел к выводу, что для замкну-
замкнутой системы заряженных частиц должен сохраняться полный
импульс системы, равный сумме механического и электромаг-
электромагнитного импульсов. Эти идеи Пуанкаре получили дальнейшее
развитие в работах А. Абрагама, Г. Лоренца и Г. Минковского.
Давление света. В тесной связи с вопросом об электромаг-
электромагнитном импульсе находится вопрос о давлении световой волны.
Так как световая волна не только несет энергию, но и обладает
количеством движения (импульсом), то падая на препятствие,
она передает ему некоторый импульс, создавая тем самым дав-
давление на препятствие. Существование светового давления следу-
следует из корпускулярной теории света как результат бомбардиров-
бомбардировки освещенного тела «световыми частицами» (фотонами). Из
волновых представлений не так просто и наглядно можно было
придти к выводу о существовании светового давления. Так один
3.8 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 91
из основателей волновой теории света О. Френелв в 1825 г. по™
тратил много труда на безуспешные попытки обнаружить свето-
световое давление на опыте. В 1873 г. Дж. Максвелл, развивая элек-
электромагнитную теорию света, теоретически обосновал необходи-
необходимость существования светового давления. В 1879 г. А. Барто-
ли, развивая основы термодинамики излучения, независимо от
Максвелла также пришел к необходимости существования све-
светового давления, так как отсутствие этого давления нарушало
бы второе начало термодинамики. Однако доводы Максвелла и
Бартолли, несмотря на их общность, не являлись для их совре-
современников убедительными. Более того, вызывала сомнение сама
правомерность применения термодинамического подхода к тако-
такому объекту, как излучение. Строгий вывод выражения для силы
светового давления, основанный на максвелловской электроди-
электродинамике, был дан лишь в 1901 г. российским физиком Д.А. Гольд-
гаммером уже после знаменитых экспериментов П.Н. Лебедева
в 1899-1901 гг. по прямому измерению давления света на твер-
твердые тела.
Импульс волн в механике сплошной среды. Волновой
импульс и связанное с ним радиационное давление относятся к
общефизическим характеристикам волновых процессов и спра-
справедливы для волн любой природы. Однако, если в оптике и элек-
электродинамике они достаточно подробно исследованы как теоре-
теоретически, так и экспериментально и являются общепризнанными
волновыми категориями, то вопрос о физическом смысле волно-
волнового импульса в сплошной среде до сих пор дискутируется на
страницах научных изданий [3.3, 3.5, 3.15, 3.18]. Это связано с
рядом причин.
Во-первых, в отличие от электромагнитного поля, в сплош-
сплошной среде уже существует понятие импульса j = pv, как есте-
естественное обобщение ньютоновского импульса материальных ча-
частиц, и поэтому введение еще одного понятия — волнового им-
импульса — на первый взгляд представляется излишним.
Во-вторых, уравнения механики сплошной среды нелиней-
нелинейны, и поэтому импульс волны (впрочем, так же как и энергия)
должен, строго говоря, определяться в рамках нелинейной зада-
задачи. Действительно, величины волнового импульса энергии и их
потоков квадратичны по амплитуде волны, и при их вычисле-
вычислении в рамках линеаризованной задачи следует соблюдать осмо-
осмотрительность, так как при учете нелинейности такой же вклад
могут давать величины следующего порядка. В акустике впер-
92 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
вые на это обратили внимание, по-видимому, Б.П. Константи-
Константинов с М.П. Бронштейном в 1936 г. и Н.Н. Андреев в 1940 г.
[3.1, 3.2]. В гидродинамике это связано с учетом индуцирован™
hbix волной средних течений, также имеющих второй порядок
малости [3.2, 3.20]. При этом здесь так же, как и в электродина-
электродинамике сплошных сред, возникает неоднозначность в разделении
полей физических переменных на поле волны и движение среды.
Характерным примером может служить многолетняя дискуссия
по поводу определения импульса электромагнитного поля в среде
по Абрагаму или Минковскому и силы Абрагама [3.3, 3.18, 3.23].
В-третьих, в механике сплошной среды существует два спо-
соба описания движения среды: в эйлеровых переменных, свя-
связанных с системой отсчета наблюдателя, и в лагранжевых пере™
менных, жестко связанных с частицами среды. Для правильной
интерпретации теоретических результатов и их сопоставления
с экспериментальными данными становится существенным во-
вопрос о том, в каких переменных определяются кинематические
и динамические характеристики движения среды и как они из-
измеряются в эксперименте. В линейном приближении эйлерово
и лагранжево описания движения среды неразличимы, и их от-
отличия появляются лишь в приближении второго порядка. Но
именно такой порядок имеют интересующие нас величины вол-
волнового импульса и радиационного давления, и поэтому при их
вычислении необходимо учитывать различия в эйлеровом и ла-
гранжевом описаниях волнового процесса.
Импульс волны в сплошной среде должен в общем случае
определяться в рамках нелинейной задачи с учетом изменения
средних значений физических полей во втором приближении.
Однако обычно поступают иначе: решают линеаризованную за-
задачу и определяют плотность волнового импульса g вместе с
соответствующим ему законом сохранения для мгновенных или
средних по времени значений. При этом получаемое выражение
для g может не совпадать с механическим импульсом среды рлг.
Для того, чтобы избежать путаницы в использовании классиче-
классического понятия импульса pv, справедливого как для дискретных
частиц, так и для сплошной среды, и волнового импульса g,
характеризующего лишь коллективную (волновую) форму дви-
движения сплошной среды, последний называется «псевдоимпуль-
«псевдоимпульсом» или «квазиимпульсом» по аналогии с физикой твердого
тела и физикой плазмы. Более точные расчеты, учитывающие
нелинейные факторы [3.6, 3.20], показывают, что в ряде случаев,
например, если среда в начальном состоянии покоилась, волно-
3.9 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 93
вой импульс g молено рассчитывать в рамках линейной теории,
игнорируя эффекты второго приближения.
Энергим поверхностных волн. В этой главе мы лишь
кратко коснулись вывода уравнения переноса энергии трави™
тационными волнами на поверхности глубокой воды (п. 3.2.2),
который был необходим для рассмотрения волн отрицательной
энергии в § 3.6. По этим же причинами мы совершенно не затра-
затрагивали вопрос об импульсе поверхностных волн. Круг этих про™
блем весьма обстоятельно изложен в книге О. Филлипса [2.21]
и двухтомной монографии по волнам в океане П. Ле Б лона и
Л. Майсека [3.13], поэтому интересующихся деталями мы отсы-
отсылаем к указанным работам. Там же приведены достаточно по™
дробные библиографические и исторические сведения о вкладе
в эту область теории волн таких ученых, как Т. Леви-Чивита,
М. Лонге-Хигтинс, Р. Стюарт, Ф. Брезертон, Дж. Уизем и дру-
других.
3.9. Задачи и упражнения
3.1. Выведите уравнение переноса энергии электромагнитными
волнами в диэлектрике с постоянными значениями относи-
относительных проницаемостей е и /i.
3.2. Выведите уравнение переноса энергии изгибными волнами
в стержне, описываемыми уравнениями Рэлея B.66). Най-
Найдите средние значения плотности энергии го и ее потока
S для гармонической волны и покажите, что скорость пе-
переноса средней энергии совпадает с групповой скоростью
изгибных волн B.69).
3.3. В плоской гармонической волне амплитуда звукового дав™
ления равна ро = 2 • Ю~3 дин/см = 2 • 10~2 Па. Вычислите
t
амплитуду скорости v®, смещение частиц ? = f vt, а так™
о _
же средние значения плотности энергии w и ее потока S
(интенсивность звуковой волны) в воздухе на частоте / =
= ш/2тг = 1 кГц. При вычислениях принять, что для воз™
духа ро = 1, 29 кг/м , cs = 331 м/с.
Ответ. v0 = 4, 5-Ю7 м/с, С = 7-ИГ11 м, w = 13-Ю Дж/м,
5=0,45 Вт/м2.
94 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН ГЛ. 3
3.4. Амплитуда давления в звуковой волне при громком звуке
равна р® = 100 дин/см . Найдите поток энергии, попада-
попадающий за 1 с. в ухо человека, расположенное перпендику-
перпендикулярно направлению распространения волны. Площадь уха
считать равной F = 4 см2.
Ответ. Ш = 4, 6 • 105 Вт.
3.5. Интенсивность звука в воде равна S = 0,1 Вт/м2. Вычис-
Вычислите объемную плотность энергии гп, давление р® и сме-
смещение частиц ? в плоской волне на частоте / = 10 кГц.
При вычислениях принять, что для воды р® = 103 кг/м3,
cs = 1500 м/с.
Ответ, w = 6,5-10^5 Дж/м3,р0 = 550 Па, ? = 5,8-10^9 м.
3.6. Покажите, что среднее значение плотности энергии элек-
электромагнитной волны в плазме, определенное по формуле
C.9), совпадает с выражением C.40).
Указания. 1. При вычислении w в C.9) достаточно под-
подставить выражение для гармонических полей Е,Н ^
~ ex.p{i(u)t ~~ kx)} и произвести усреднение по перио-
периоду. 2. Электрическая проницаемость бесстолкновительной
плазмы равна е(ш) = c2/f2h = 1 — (шр/шJ и, следователь-
следовательно, d(uj1 e)/duj = 1 + ш2/ш2 = 2 — е(ш).
3.7. Покажите, что электромагнитная волна в плазме переносит
энергию с групповой скоростью, т.е. S = Vgrw.
3.8. Покажите, что для электромагнитной волны в плазме сред-
среднее значение силы Абрагама для квазигармонической вол™
ны /А = fiQ-(PH) совпадает с выражением C.57).
ОТ
Указание. При вычислении производной от поляризации
dp/dt в квазигармонической волне воспользуйтесь соотно-
соотношением D = Е + 4тгР и формулой C.32).
3.9. Вычислите среднее значение силы Абрагама C.57) для
электромагнитной волны в плазме.
Указание. Воспользуйтесь следующими выражениями для
магнитной и электрической проницаемостей в плазме:
3.10. Выразите плотность энергии акустической волны в газе
C.5) и ее поток через потенциал поля скоростей v =
3.9 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 95
3.11. Найдите среднюю силу светового давления на полностью
поглощающее зачерненное крылышко при нормальном па-
падении света (опыт П.Н. Лебедева). Напряженность элек-
электрического поля в падающей гармонической волне Е® =
= 22 • 103 в/м, а диаметр крылышка равен 5 мм.
Ответ, g = 5,3 • 103 Вт/м2, П = g/c = 1,81(Г5 Па, / =
3,5-1(Г10 н.
3.12. Запишите уравнение переноса импульса электромагнит™
ной волной в плазме через вектор-потенциал электриче-
электрического поля.
3.13. Рассчитайте давление, оказываемое плоской акустической
волной в воздухе, на полностью отражающую поверхность,
перпендикулярную падающей волне. Частота волны / =
= и)/2ж = 1 кГц, амплитуда смещений ? = 1СР5 см. Пара-
Параметры среды такие же, как в задаче 3.3.
Ответ. П = 0, 55 Па.
ГЛАВА 4
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН
Принцип наименьшего действия
обладает тем преимуществом, что он
в одном уравнении дает соотношение
между величинами, имеющими
непосредственное значение не только
для механики, но и для электроди-
электродинамики и термодинамики, ... эти
величины — пространство, время и
потенциал.
Макс Планк
Вариационные принципы содержат информацию о структу-
структуре динамических уравнений системы. Основанный на них мате™
матический формализм Лагранжа—Гамильтона может считать-
считаться фундаментом классической механики, и не только механики.
Достоинством такого подхода является его универсальность в
отношении вывода уравнений движения и законов сохранения
для достаточно широкого класса динамических систем. Более
того, вариационные методы дают представление об общих свой-
свойствах системы без решения соответствующих уравнений.
4.1. Уравнения движения
Вариационные принципы широко применяются в теории по-
поля и механике твердого деформируемого тела, в частности, при
описании волновых процессов. Кроме выяснения общих свойств
уравнений движения, вариационные формализмы Лагранжа и
Гамильтона лежат в основе ряда приближенных методов описа-
описания волн, в том числе модулированных.
4.1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 97
4.1.1. Уравнения в форме Лагранжа
Уравнения движения распределеннв1х (континуальных) систем
могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона^
Остроградского, согласно которому вдоль истинного движения
функционал S = ff Ldxdt (его часто называют интегралом
действия) принимает стационарное значение, т.е. его первая ва-
вариация должна быть равна нулю:
t\ Х\
8S = 6 J J L(uj,^-,^,x,tj dxdt = O, D.1)
to x®
где L(uj^duj/dtjduj/dx^x^t) — плотность функции Лагранжа,
зависящая в общем случае от совокупности N полевых перемен-
переменных Uj(x,t), j = 1,2,... , TV, их частных производных по време™
ни и координате, а также от времени и координаты. Интеграл
в D.1) варьируется по явно входящим в лагранжиан полевым
переменным и^ Uj^, Uj^x:
с r~i I I / t/ J-J с , U J-J с . U J-J г I j i . r\
to x®
Принимая во внимание, что оператор вариации и частные про-
производные перестановочны, а также учитывая тождества
dL о/ \=d_fdLe_.\ d f dL
Uj,t / Ol \OUj,t
dL г./ ч _ d ( dL r.
условие стационарности функционала можно представить в виде
dL
л—
р f / dL d dL d dL \x , ,,
= I I *—~7пя—~л~л—)Sujdxdt
J J \duj dt dujt dxdujx/ J
t
t0
f f \d ( dL , \ . d ( dL x \1 , ,, n
+ I I я7 я—Suj + я~ я—5uj)\dxdt = 0.
J J Idtydujt J/ dx\dujx JJ\
to xo
Здесь второй интеграл по теореме Гаусса-Остроградского сво™
дится к интегралу по замкнутому контуру вдоль границ области
4 Л.А. Островский, А.И. Потапов
98
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН
ГЛ. 4
варьирования и обращается в нуль1), а из первого интеграла
вытекает система вариационных уравнений:
д dL
ох дщх ouj
D.2)
Они известны как уравнения Эйлера-Остроградского и описы-
описывают движение рассматриваемой распределенной системы.
4.1.2. Уравнения в форме Гамильтона
Из условия стационарности интеграла действия D.1) можно по-
получить уравнения движения в форме Гамильтона, отличной от
D.2). Для этого вместо обобщенных скоростей Ujt перейдем к
обобщенным импульсам
дь
D.3)
и вместо лагранжиана L введем в рассмотрение гамильтониан
N
Н = Yl d^Ujt ~ L = PjUjt ~ L(uj>ujx,Pj,x,t). D.4)
В результате интеграл действия D.1) равен
XI
S =
to %о
N
Lj=i
dx dtj
а его первая вариация будет равна
h х
6S =
t0 ж0
II
to ж о
у
Z
3
+
"Л /
j \
д
дх
д
дх
(?
дн
дщх
-^ дН
—* dUja
j
дн
дщ
.*,
Pjl
jx 1
dxdi
dxdt^r
¦• D.5)
x) При вариационной постановке задачи считается, что на границах
пространственно-временной области хо ^ х ^ х±, to ^ t ^ ti полевые пере-
переменные Uj(x,t) не варьируются, и поэтому на них <5% = 0.
4.1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 99
Здесь второй интеграл по теореме Гауса-Остроградского сво-
дится к контурному интегралу по границе области to ^ t ^ ii,
xq ^ х ^ х\. Но так как на границах переменные tij, и pj не
варьируются, то он обращается в нуль. Из условия SS = 0 при™
ходим к уравнениям движения в форме Гамильтона:
dt др3" dt \diij дхдщх
Это система 2N дифференциальных уравнений в частных про-
производных первого порядка по времени. Они представляют собой
континуальный аналог канонических уравнений Гамильтона в
аналитической механике. Если ввести вариационную (функцио™
нальную) производную
ёН дН д дН (А ^
4
OUj OUj OX OUjx
то уравнения D.6) запишутся в симметричном виде
дщ _ ёН dpj _ ёН (АЯЛ
более похожем на канонические уравнения Гамильтона.
4.1.3. Смстемы более высокого пормдка
В ряде случаев при выводе вариационных уравнений движе-
движения в лагранжиане необходимо учитывать производные высо-
высокого порядка от переменных Uj(x,t). Появление высших произ-
производных вызвано нелокальной (как правило дифференциальной)
связью между различными переменными системы, определяю-
определяющими ее динамическое состояние. С примерами таких связей
мы уже встречались ранее во второй главе. Это соотношения
между поляризацией и напряженностью электрического поля в
диэлектрике, связь между потенциалом поля скоростей и верти-
вертикальным смещением частиц жидкости в поверхностных волнах
на воде, между смещениями частиц, лежащими на центральной
оси стержня и вне ее, и др. Пусть лагранжиан системы зависит
от производных до второго порядка включительно:
L = L(ujj Ujti Ujx^ UjXXj Ujxt). D-9)
4*
100 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
В этом случае вариационные уравнения движения имеют вид.
dL d dL d dL d dL d dL ^ /, 1Л\
— — + + = 0. D.10)
duj dt dujt dx dujx dx2 dujXX dx dt dujXt
Если в лагранжиан входит вторая производная по времени
Ujttj то в уравнении D.10) появляется четвертая производная по
времени. В этом случае D.10) эквивалентно системе двух свя-
связанных уравнений второго порядка для Uj и, например, Vj = Ujf.
4.2. Уравнения переноса энергии и импульса
Из теории поля известно, что вариационные уравнения D.2)
обладают интегралами движения, которые следуют из инвари-
инвариантности лагранжиана системы относительно преобразований
пространства и времени. В теории волновых процессов наи-
наибольший интерес представляют законы сохранения, связанные
с энергией и импульсом.
Из вариационных уравнений D.2) легко могут быть получе-
получены интегралы движения для плотности энергии системы
N /
которая совпадает с гамильтонианом D.4), и для плотности им-
импульса
N
J = l
Для вывода интеграла энергии умножим D.2) на обобщен-
обобщенную скорость duj/dt и воспользуемся тождествами:
( d Dl\ _ d ( dL \ dL
\
dL
dt.
д
дх
—
dL s
d'L
dt
dujt
д ( dL \ dL
U)
dL . dL d2 . dL
u + и +
Здесь символом &L/dt обозначена частная производная от ла-
лагранжиана по явно входящему времени. Группируя в получен-
4.2 УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 101
ном выражении соответствующие слагаемые, приведем его к
форме уравнения переноса:
dw . dS &L (л П/|ч
o>t дх dt v 7
Уравнение D.18) называют уравнением переноса энергии, а ве-
величину
N
— плотностью потока энергии.
Заметим, что правая часть уравнения D.14) отлична от нуля
в нестационарных системах, параметры которых явно зависят
от времени. В таких системах возможно увеличение или умень-
уменьшение энергии волнового поля за счет работы сторонних сил,
изменяющих параметры системы.
Уравнение переноса волнового импульса g получается в ре™
зультате умножения D.2) на пространственные производные
duj/dx и проведения преобразований, аналогичных D.13):
^ + — = ^ —. D 16)
dt дх дх
Здесь
N
— плотность потока волнового импульса. Слагаемое, стоящее в
правой части D.16), указывает на то, что в неоднородных систе-
системах импульс волны может изменяться, хотя ее энергия остается
неизменной.
Уравнения переноса энергии D.14) и волнового импульса
D.16) для систем более высокого порядка сохраняют свою фор-
форму, но выражения плотностей энергии, и импульса, а также их
потоков S и П имеют более сложную структуру.
Так, энергия и волновой импульс представляют собой сумму
двух групп слагаемых:
« L D18)
N
102 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
D.20)
а выражения для
Я
п =
N
-У
\(8L
[\dujx
их потоков равны
d
dti
dL
duJX
dL
dUjxt
d
dti
d dL \
dx dujxx I
dL d dL
ffQi * t /#/Y* /I'll *
У Ujj xt U*b U Ujj XX
dL 1
Q # • i
dujxx Urxt\ '
dL
q
>JXX
D.21)
Заметим, что выражения для плотностей энергии и импульса
совпадают с соответствующими выражениями локальной тео-
теории D.11) и D.12), если ввести дополнительную переменную
Vj = Ujx. Однако выражения для их потоков не совпадают с
D.15) и D.17). По-видимому, это связано с общей проблемой
неоднозначности математического представления уравнений пе-
переноса (см. п. 3.1.1).
4.3. Вариационное описание электромагнитного полм
Во второй главе с помощью вариационного принципа выве-
выведены уравнения продольных и изгибных колебаний стержней
(см. § 2.4). Здесь остановимся более подробно на вариационном
описании электромагнитного поля. Лагранжиан электромагнит-
электромагнитного поля выражается через компоненты векторного А и скаляр-
скалярного ср потенциалов. В интересующем нас случае плоских волн
(см. рис. 2.1) отлична от нуля лишь одна составляющая вектор-
векторного потенциала Ах = A(x,t), а компоненты электромагнитного
поля Еу = E(x1iI Hz = H(x,t) равны
В этом случае лагранжиан электромагнитного поля имеет вид
^ скорость электромагнитной волны в ваку-
вакууме. Подставляя его в D.2), приходим к волновому уравнению
для потенциала
4.3 ВАРИАЦИОННОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 103
которое эквивалентно первому уравнению Максвелла
дЕ , дН п
at дх
Второе уравнение Максвелла
дН BE n
следует непосредственно из определения D.22).
Согласно определению D.11), энергия электромагнитного по™
ля равна
(?)Н+«я'>- <4-25>
а ее поток D.15) есть
Аналогично находятся электромагнитный импульс и плот™
ность его потока
Рассмотрим вариационный способ описания электромагнит-
электромагнитного поля в материальной среде. Например, для электромагнит™
пых волн в плазме из D.22) и третьего уравнения в B.8) нахо™
дим, что dP/dt = боШрА. Тогда лагранжиан системы запишется
в виде
т _ ^о \(дА\2 2(дА
Отсюда следует, что электромагнитная волна в плазме описы-
описывается уравнением Клейна^Гордона
|^0+^ = О, D.30,
которое совпадает с уравнением B.9) для электрического поля,
если воспользоваться заменой D.22).
104 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
Выражения для плотностей энергии и импульса электромаг-
электромагнитной волны и их потоков находятся по формулам D.11), D.12)
и D.15), D.17).
4.4. Усредненный вариационный принцип
Весьма эффективный метод описания модулированных волн
следует из усредненного вариационного принципа, предложен-
предложенного в середине 1960-х годов Дж. Уиземом для квазипериодиче-
квазипериодических волн в консервативных системах. Он позволяет получать
по известному лагранжиану системы уравнения для медленно
меняющихся в пространстве и времени параметров квазиперио-
квазипериодических волн.
4.4.1. Уравнения длм огибающих
Будем исходить из лагранжиана системы, зависящего лишь от
одной полевой переменной,
L = L(u,ut,ux). D.31)
Соответствующее ему уравнение движения имеет вид D.2), где
следует положить Uj = u(x,t). Пусть уравнение D.2) имеет ре™
шение, описывающее бегущую стационарную волну
u{x,t) = U(9,a), D.32)
где U — периодическая функция (не обязательно синусоидаль-
синусоидальная), в = out — кх — фаза волны [и ж к — постоянные величи-
величины, имеющие смысл соответственно частоты и волнового числа),
а а — постоянная величина, эквивалентная амплитуде волны.
Для семейства решений D.32) уравнение в частных производ-
производных D.2) сводится к обыкновенному дифференциальному урав-
уравнению
которое соответствует лагранжиану
LW=L(U,wUo,-kUe), D.34)
Здесь введены обозначения Uq = dU/dO и d/dO = шд/дщ —
— кд/дих.
Далее будем интересоваться квазистационарной волной, у ко-
которой параметры медленно изменяются во времени и простран-
4.4 УСРЕДНЕННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 105
стве. Тогда в первом приближении волна по-прежнему описы-
описывается выражением D.32), но ее фаза 0(x^t) уже не является
линейной функцией х и t. Локалвная частота uj(x^t) и волновое
число k(x,i) связаны с фазой соотношениями
w(M) = f, *(M) = -?. D.35)
Дальнейшая задача заключается в том, чтобы избавиться в пе-
переменной u(x,t) от быстрых периодических осцилляции и найти
приближенные уравнения, описывающие медленные изменения
ее параметров: амплитуды a(x,t), частоты uj(x,t) и волнового
числа k(x,t). С этой целью введем в рассмотрение усредненный
лагранжиан. Для этого подставим D.32), D.35) в D.31) и усред-
усредним по фазе, считая параметры ш^к ж а постоянными на периоде
усреднения:
2тг
Щщвивх) = ±-fL(U,u>Ue,-kUe)de. D.36)
о
В усредненном лагранжиане независимыми переменными счи-
считаются амплитуда а и фаза в.
Теперь можно сформулировать усредненный вариационный
принцип:
8 j j с?{щ ви вх) dx dt = 0, D.37)
т.е. первая вариация функционала равна нулю, если a(x,t) и
O(x,t) описывают изменения параметров квазипериодической
волны D.32).
Вариационные уравнения, получающиеся из этого условия
имеют вид
да
dt d0t дх двх ~ '
К ним необходимо добавить условие
дк дш ^
Ж Ж! ~ '
вытекающее из определения локальной частоты и волнового
числа D.35).
При анализе модулированных волн удобнее работать не с фа-
фазой в, а другими переменными: частотой а;, волновым числом к
106 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
и амплитудой а. Перепишем вышеприведенную систему уравне-
ний в виде
д д? д дХ n u 4Q)
§ + %L = 0. D.40)
dt дх х /
Здесь под производными д(?/дио и дЯ^/дк понимаются усреднен-
усредненные величины
2тг
дЗ? д(? 1 Г тт dL jn
о
2тг
№_ = _д$ 1 Г тт дЬ
дк дв:
1 = 1. [и —
Уравнение D.38) — это нелинейное дисперсионное уравнение.
Оно определяет функциональную зависимость между мгновен-
мгновенной частотой ш1 локальным волновым числом к и амплитудой
волны а. Уравнение D.39) описывает медленные пространствен-
пространственно — временные изменения амплитуды, а D.40) выражает усло-
условие непрерывности фазы волны.
Уравнения D.38)-D.40) описывают квазистационарные вол™
ны с медленно меняющимися параметрами.
4.4.2. Волновое действие и законы сохранения
Из классической механики известно, что периодическому дви™
жению системы с частотой ш соответствует адиабатический ин~
вариант
Его обобщение на распределенные системы приводит к следую-
следующему выражению для адиабатического инварианта:
2тг
Т 1 Г (дЬ \ лл д@ (л ллЛ
J = о I (л"Mrf0= я~> D'41)
2пш J \дщ J дш
4.4 УСРЕДНЕННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 107
которое получило название плотности волнового действия. Та™
ким образом, вариационное уравнение D.39) можно рассматри-
рассматривать как закон сохранения волнового действия и записать в виде
где П/ = —dL/dk играет роль плотности потока волнового дей-
действия.
Из D.42) в частности, вытекает, что для локализованных вол™
новых пакетов сохраняется интегральная величина
оо
/= f Jdx, D.43)
имеющая смысл полного волнового действия локализованного
возмущения.
Закон сохранения усредненной энергии в стационарной ере™
де, когда d'L/dt = 0, следует из D.12) после его усреднения:
f + f = 0, D44,
где средняя плотность энергии w и ее поток S равны
S= ^-щ = -ш^. D.46)
дих ok
Аналогичным образом из D.16) получается закон сохранения
усредненного импульса квазистационарной волны в однородной
среде, когда d'L/dx = 0:
^ + ^ = 0. D.47)
dt дх
Здесь средний импульс g" и его поток П задаются выражениями
= к^, D.48)
OUJ
- ~kir + C?- D-49)
108 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
Нетрудно показать, что в системе с постоянными параметра-
параметрами закон сохранения средней энергии D.44) эквивалентен зако-
закону сохранения волнового действия D.39). Действительно, под-
подставив D.45), D.46) в D.44) после дифференцирования и груп-
группировки слагаемых, имеем
dt \дш J дх\дк)\ дшШг дкШх dt
Здесь последние три члена обращаются в нуль, так как
д(? д(? . д&, д(? д(?
dt дш дк дш дк
а оставшиеся слагаемые в квадратных скобках дают уравнение
D.39). Аналогичное соответствие имеет место и для усреднен™
ного волнового импульса D.48).
Таким образом, для систем с постоянными параметрами за-
законы сохранения усредненной энергии и волнового импульса вы-
вытекают из закона сохранения волнового действия. В системах
с переменными параметрами подобного соответствия уже нет.
Для систем с изменяющимися во времени параметрами не вы-
выполняется закон сохранения энергии D.44), а если параметры
системы зависят от координаты, то не выполняется закон со-
сохранения волнового импульса D.47). Закон же сохранения вол-
волнового действия D.42) выполняется во всех случаях.
4.4.3. Гамильтонова форма уравнений длм огибающих
Уравнения модуляции D.38), D.39) и D.40) могут быть записа-
записаны в форме Гамильтона. Для этого вместо амплитуды волны а
введем новую независимую переменную — волновое действие J,
определенное выражением D.41), и вместо усредненного лагран-
лагранжиана ?{а^ а;, к) будем рассматривать усредненный гамильтони-
гамильтониан «Ж как функцию независимых переменных J, ш и к:
k) = ^ { (^ut-L)d0 = u)J-?{a,u),k). D.50)
Z7T J \OUt /
Дифференцируя D.50) по J и учитывая, что ? не зависит
явно от J, получаем
— =ш. D.51)
4.5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН 109
Следовательно, частота волны равна производной от усреднен-
усредненного гамильтониана по волновому действию. Закон сохранения
волнового действия D.42) можно представить в следующем
виде:
— + — (—-) = 0. D.52)
Из D.50) следует, что дЖ/дк = —д^/дк, и равенство D.40) с
учетом D.52) преобразуется в
= 0. D.53)
Уравнения D.52) и D.53) аналогичны уравнениям Гамильтона
D.8). Отметим еще одну интересную аналогию. Переменные J и
А;, используемые для описания модулированных волн, играют
роль, аналогичную роли канонических переменных действие^
угол в классической механике.
4.5. Энергетические соотношения длм линейных волн
Обсудим соотношения, которые существуют между усред™
ненными значениями энергии D.45) и импульса D.47) с одной
стороны и их потоков D.46) и D.48) с другой. Рассмотрим ква™
энгармоническую волну
и(х, t) = а(ж, t) cos в{х1 ?), D.54)
распространяющуюся в линейной системе с постоянными пара-
параметрами. Модулированные волны в системах с переменными па™
раметрами и в нелинейных системах будут рассмотрены соот-
соответственно в главах 8 и 11.
В линейных задачах лагранжиан L является квадратичной
функцией полевой переменной и ее производных (см. § 2.4). Как
следствие, усредненный лагранжиан §! должен быть квадратич-
квадратичной функцией амплитуды волны
?(a,w,k) =Z(a;,fc)a2, D.55)
где Z(uj,k) — некоторая функция частоты и волнового числа.
В этом случае D.38) приводит к линейному алгебраическому
уравнению, которое имеет нетривиальное решение при условии,
что
Z(w,k)=D(u),k) =0, D.56)
110 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
т.е. функция Z(uj, к) совпадает с дисперсионным уравнением ли™
нейной системы. При этом, очевидно, $ равно нулю, что соот-
соответствует теореме вириала о равенстве средних значений кипе™
тической и потенциальной энергий в линейной колебательной
системе.
Уравнение сохранения волнового действия D.39) в этом слу-
случае запишется в виде
| (D^) - §-х (Dka>) = 0, D.57)
где Du = dD/duj^ D^ = dD/dk. Поскольку дисперсионное со-
соотношение D.56) может быть разрешено относительно частоты
ш = cj(fc), то из тождества D[cj(k), к] = 0 имеем
и в результате получим выражение для групповой скорости
"* = ш = -ё- D-58)
Подставляя D.58) в D.57), приходим к равенству
л \да2 1 д ( 2\1 , 2П fdk , дк
Далее, учитывая, что выражение во второй скобке равно нулю в
силу D.40), получаем уравнение переноса для амплитуды волны:
да2
(V2) = 0-
Таким образом, в линейных системах с постоянными парамет-
параметрами исследование эволюции модулированной волны D.54) сво-
сводится к совместному решению уравнений D.56), D.59) и D.40).
Связь между средними плотностями энергии линейной мо-
модулированной волны и ее потоком следует из выражений D.45),
D.46), D.55) и D.58):
S = -^-w = veW, D.60)
что является общим доказательством соотношений, полученных
в § 3.3 для частных производных. Из D.48) и D.49) вытекает
4.6 ВОЛНЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 111
связь между средней плотностью волнового импульса и его по™
током:
П = -Щ-Ж = %g. D.61)
Средняя плотность энергии модулированной волны равна про-
произведению волнового импульса на фазовую скорость:
w = vphj, D.62)
Выражения D.60), D.61) и D.62) дают соотношения между энер-
энергетическими характеристиками квазигармонических волн.
В линейных системах f= Ои волновое действие равно отно-
отношению энергии к частоте: J = w/ш (см. D.45), тогда уравнение
D.42) принимает вид
<Ш) + I ft) = о, D.63)
dt \ш) дх уш J v '
а интегральная величина D.43)
оо
i =
определяет адиабатический инвариант для модулированной
волны. Для волновых пакетов с постоянной несущей частотой
это приводит к соотношению
W /ш = const,
где W — полная энергия пакета. Вспомнив известное соотноше-
соотношение для энергии из квантовой теории Е = Nhw [h — постоянная
Планка), последене равенство можно записать как W/ш = N =
= const, которое гласит, что в рассматриваемом волновом пакете
сохраняется полное число квантов (квазичастиц) с энергией hw,
хотя частота ш может изменяться. Аналогичный результат мо™
жет быть получен и для волнового импульса, поскольку ~gjk =
= дЗИ/du). Он соответствует сохранению в волне числа квантов
с импульсом, равным р = Кк.
4.6. Волны отрицательной энергии
Волны с отрицательной энергией (ВОЭ) в неравновесных
средах уже обсуждались в § 3.6 на примере внутренних волн
112 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
в двухслойной жидкости с тангенциальным разрывом поля ско-
ростей. Там причиной возникновения ВОЭ служило движение
одного слоя жидкости по другому. Кроме волн в системах с пото-
ками, отрицательной энергией могут обладать, например, элек-
электромагнитные волны в диэлектрической среде в области ано-
мальной дисперсии, где {duoe/doo) < 0 и (dujfj/duj) < 0 (см. C.3)).
Наличие ВОЭ тесно связано с дисперсионными и диссипа™
тивными свойствами системы. Наиболее наглядно эта связь вы-
выявляется при использовании усредненного вариационного прин™
ципа.
Средняя плотность энергии линейных квазигармонических
волн описывается выражением D.44) при $, = 0:
_ д(? dD 2 (Л ал\
w = о;—- = oj^^a . D.о4)
дш дш
Отсюда видно (рис. 4.1), что знак w может измениться в
тех точках дисперсионной плоскости о;, А;, где меняется знак
либо частоты ш (точка т4), либо производной Ош (точка В)
на дисперсионной кривой. Первое условие означает, что меня-
меняется знак фазовой скорости Юф = ш/к относительно группо-
групповой vgr = duj/dk = —Dk/D^ (т.е. вол-
волна из «прямой» становится «обратной»
или наоборот). Второе условие в об-
общем случае соответствует обращению в
бесконечность групповой скорости. Та-
Таким образом, типичный участок ВОЭ
на дисперсионной кривой ш = ш(к) вы-
выглядит так, как показано штриховкой
на рис. 4.1. В точке В, где ^gr = оо, про-
происходит смыкание двух волновых вет-
Рис. 4.1. Область волн с Вей дисперсионной кривой, одна из ко-
отрицательной энергией на TOpbIX отвечает ВОЭ, а другая — обыч-
дисперсионной кривой за- ной вшше с положительной энергией,
штрихована да точкой ветвления частота становит-
становится комплексной, что приводит к неустойчивости связанных волн
разных знаков. Такая неустойчивость хорошо известна в элек-
электродинамике и в гидродинамике.
Как уже отмечалось в § 3.4, введение в систему потерь
приводит к нарастанию ВОЭ во времени. В этом случае в дис-
дисперсионном уравнении появляется мнимая часть, и частота ш
4.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 113
становится комплексной:
D(w,k)+ii>(u),k) = 0. D.65)
Считая потери малыми и раскладывая D.65) в ряд по
о;" /ujf <C 1, находим временной инкремент волны
Ш ~ —-
D.66)
Представляет интерес вопрос о связи между временным (о/') и
пространственным (kft) инкрементами волны. Последний возни-
возникает, например, в задачах о пространственном усилении волны,
возбуждаемой гармоническим источником с частотой oj, непо-
неподвижным относительно данной системы отсчета.
Для нахождения пространственного инкремента можно вос-
воспользоваться разложением дисперсионного соотношения D.65),
где и) = а/ + га/', к = к1 + гк" в ряд по малым мнимым частям
ш" и к". Принимая во внимание, что Z?(a/', fc;) = 0, получим про™
транственный инкремент неустойчивости
к ^^^^Ж^Г' D67)
который связан с временным инкрементом D.66) через группо-
групповую скорость.
4.7. Исторические замечания и комментарии
Вариационные принципы в классической механике.
Здесь вместе с краткой историей развития вариационных прин-
принципов в механике [4.2] приводятся некоторые определения и
формулы, использованные при написании этой главы.
Первую отчетливую формулировку вариационного принци-
принципа дал один из величайших математиков XVIII века француз
П. Ферма в 1662 г. применительно к проблеме распространения
и преломления света в среде. Он выдвинул постулат о том, что
свет, распространяясь в среде из одной точки в другую, выби-
выбирает такой путь, чтобы время прохождения его оказалось ми-
минимальным (принцип Ферма). Из этого принципа Ферма вывел
закон преломления света, открытый ранее В. Снеллиусом.
В механике первая формулировка вариационного принципа
была дана французским астрономом и физиком П. Мопертюи
в 1744 г. Согласно его принципу при истинном движении те-
114 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
ла минимальным является произведение его массы на скорость
и на путь. Эту величину Мопертюи, следуя Лейбницу, назвал
действием. Впоследствии став президентом Берлинской акаде-
мии наук, Мопертюи объявил принцип наименьшего действия
общим законом природы и основным доказательством бытия бо-
жьего. Однако этот принцип, и особенно его теологическое об-
обоснование, вызвали резкие возражения современников. Одним
из возражающих был член Берлинской академии наук И. Ке-
гин. Он, в частности, утверждал, что этот принцип был известен
еще Г. Лейбницу. Принцип наименьшего действия Мопертюи в
то время поддержал лишь Эйлер, который и придал ему за™
конченную математическую формулировку. Эйлер указал, что
выражение для действия, предложенное Мопертюи, пригодно
только для малых участков пути dS = v dt, а для всего пути на-
надо просуммировать все малые приращения действия и записать
его в виде
si t\ t\
S = J mvds = J mv2 dt = J 2T dt,
so t0 t0
где T = mv2/2 — кинетическая энергия. Именно это интеграль-
интегральное выражение называется действием по Мопертюи.
Более точную и общую формулу принципа наименьшего дей-
действия в форме Мопертюи придал Лагранж. В своей книге «Ана-
«Аналитическая механика» A788 г.) он распространил этот принцип
на случай произвольной системы материальных точек, связан-
связанных между собой и действующих друг на друга произвольным
образом, и сформулировал его в виде равенства нулю первой
вариации
8S = 8 f 2Tdt = 0* D.68)
to
Варьирование движений по Лагранжу осуществляется при усло-
условии сохранения полной энергии системы Т + W = const, а поэто-
поэтому момент времени t\ в D.68) не остается постоянным. Лагранж
вывел также ставшие классическими уравнения движения си-
системы материальных точек:
¦i:^--a- = Qu D-69)
dt dqi dqi x 7
где ф, qi, Qi — обобщенные координаты, скорости и силы. Одна-
Однако в своей книге Лагранж: изложил эти вопросы не совсем ясно,
4.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 115
что дало повод для дальнейших размышлений ряду ученых XIX
века и привело У. Гамильтона, М. Остроградского, К. Якоби и
А. Пуанкаре к новым модификациям вариационного принципа.
Гамильтон в 1834-1835 гг., отталкиваясь от своих работ по
оптике, пришел к созданию нового вариационного принципа ме-
механики, носящего его имя. Для консервативных систем со ста™
ционарными связями он предложил принцип наименьшего (ста-
(стационарного) действия в форме
O, D.70)
to to
где L = T — W — функция Лагранэюа^ равная разности кинети-
кинетической и потенциальной энергий. Преимуществом этого прин-
принципа является возможность считать конечный момент интегри-
интегрирования t\ заданным и не варьируемым, в отличие от принци-
принципа Мопертюи^Лагранжа D.68). Из принципа Гамильтона D.70)
легко получаются уравнения Лагранжа второго рода D.69), в
которых Qi = —{dW)/{dqi) являются потенциальными силами.
Гамильтон предложил в качестве переменных, характеризую-
характеризующих состояние системы, взять ?, qi,Pi, гДе Pi = dL/дсц — обоб-
обобщенные импульсы (еще ранее введенные в механику Пуассоном)
и ввел в рассмотрение функцию
H{qi,Pi,t) =P№-L(qi,pi,t), D.71)
с помощью которой уравнения движения D.69) он представил в
виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
дН . дН (А ^ох
* P <472)
Уравнения D.72) Якоби назвал уравнениями Гамильтона, а
функцию H(qit,pit,t) — функцией Гамильтона^ которая для си-
системы с идеальными стационарными связями совпадает с ее пол-
полной энергией.
В 1850 г. М.В. Остроградский опубликовал в трудах Петер-
Петербургской академии наук «Мемуар о дифференциальных уравне-
уравнениях, относящихся к изопериметрической задаче», в котором он
рассмотрел движения механической системы с нестационарны-
нестационарными (т.е. зависящими от времени) связями. Он предложил новую
116 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
форму интегрального вариационного принципа:
6S = Г [ST + J2 QiSqi \dt = O D.73)
i=1
и показал, что такая вариационная задача может быть сведе-
сведена к интегрированию уравнения типа канонических уравнений
Гамильтона D.70). Работа Остроградского обобщила принцип
наименьшего действия на системы с нестационарными связями
и на неконсервативные системы. Вариационный принцип D.73)
называют также принципом Гамилыпона-Остроградского.
Интеграл действия S является функцией начальных и ко™
нечных значений координат и времени. В 1842 г. Якоби показал,
что S можно рассматривать как характеристическую функцию
системы S{qi,t), зависящую от обобщенных координат и време-
времени и определяемую из решения дифференциального уравнения
в частных производных первого порядка:
?+*«.')=•¦ <«¦«>
?+*«
которое теперь называют уравнением Гамильтона-Якоби. Ее™
ли известен общий интеграл D.74), то по нему легко находится
решение уравнений динамики.
Еще одну модификацию вариационного принципа разрабо™
т?т в 1892 г. А. Пуанкаре. Он предложил определять действие
и траекториях в фазовом пространстве qi,Pi и вычислять ва-
вариацию
ti
S = / [Рг4г - H(pu gi)] dt = 0. D.75)
to
Отсюда можно прийти к каноническим уравнениям Гамильто-
Гамильтона D.72). Из D.75) также вытекает интегральный инвариант
Пуанкаре^Картана
1= ffaSqi-HSt), D.76)
С
где С — произвольный замкнутый контур в фазовом простран-
пространстве Pijqi.
В физике и механике вывод уравнений движения из D.70) и
основанные на них методы анализа динамических систем часто
4.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 117
называют лагранэюевым формализмом^ а методы анализа, осно
ванные на D.75) и уравнениях Гамильтона называют гамильто-
новым формализмом.
Вариационный принцип в теории полм. В теории по™
ля вариационный принцип, по-видимому, впервые применил
Дж. Фицжеральд, который в 1880 г. с его помощью вывел урав-
уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме [4.8]. В
1900 г. Д. Лармор использовал вариационный принцип в своей
книге «Эфир и материя». Однако широкое распространение в
теории поля этот принцип получил лишь после работ К. ТТТвяр-
цшильда A903 г.) и А. Пуанкаре A905 г.), установивших ин-
инвариантность интеграла действия относительно преобразований
Лоренца, и работы М. Борна A909 г.), применившего четырех-
четырехмерную форму записи принципа стационарного действия в элек-
электродинамике, в результате чего он приобрел симметричный вид.
Очередной всплеск интереса к вариационным принципам в
теории поля пришелся на 1915—1918 гг. в связи с развитием реля-
релятивистской теории гравитации. В этот период данной проблеме
была посвящена серия работ крупнейших физиков и математи-
математиков начала XX столетия, среди них работы Г. Лоренца A915—
1916 гг.), Д. Гильберта A915 г.), А. Эйнштейна A916 г.), Г. Вейля
A917-1918 гг.), Ф. Клейна A917-1918 гг.) и Э. Нетер A918 г.),
доказавшей теорему о связи интегралов движения динамиче-
динамической системы с инвариантностью ее лагранжиана относительно
преобразования координат и времени. После этого вариацион-
вариационные принципы прочно вошли в арсенал математических методов
как классической, так и квантовой теории поля.
Вариационный принцип в механике сплошных сред.
Применение вариационных принципов к динамике распределен-
распределенных механических систем началось гораздо раньше, чем в элек-
электродинамике. В 1877 г. лорд Рэлей (J.W. Strutt) в свой знамени-
знаменитой книге «Теория звука», положившей начало теории колебаний
и волн как самостоятельной науки, уже широко применяет ва-
вариационные методы для вывода уравнений колебаний стержней
и пластин, а также вычисления частот собственных колебаний
упругих тел.
Сделаем несколько замечаний об особенностях применения
вариационного принципа в механике сплошных сред. В меха-
механике сплошной среды используются два равноправных способа
описания движения среды: с помощью переменных Лагранжа
и переменных Эйлера. В первом случае сохраняется аналогия
118 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
между математическим описанием движения сплошной среды
и системы дискретных материальных частиц: при вычислении
интеграла действия суммирование по частицам заменяется на
интегрирование по объему, занимаемому средой. Число частиц в
таком объеме остается неизменным, а величина и форма объема
непрерывно изменяются из-за движения среды. Применение ва-
вариационного принципа в этом случае не требует существенных
изменений по сравнению с динамикой дискретных частиц. Со-
Сохраняется и физический смысл плотности функции Лагранжа
(лагранжиана) как разности плотностей кинетической и потен-
потенциальной энергий рассматриваемого объема среды. Такой под-
подход широко распространен в механике деформируемого твер-
твердого тела, где уравнения движения имеют второй порядок по
времени (см., например, книгу В.Л. Бердичевского [4.1]).
При использовании переменных Эйлера, более удобных в за-
задачах гидродинамики, интеграл действия вычисляется по непо™
движному в пространстве объему, границы которого непрерыв-
непрерывно пересекаются частицами среды. В этом случае простая ана™
логия с вариационным принципом для системы дискретных ча-
частиц утрачивается. Варьируемые переменные р, р, v не являются
независимыми, на них накладываются связи (например, dp/dt +
+ dlvpv = 0) и для получения вариационной задачи на без™
условный экстремум используется метод неопределенных мно-
множителей Лагранжа, в результате чего приходят к уравнениям
движения сплошной среды в переменных Эйлера (Р. Селиджер
и Дж. Уизем [4.9], В.Л. Бердичевский [4.1]).
Усредненный вариационный принцип Уизема. Этот
принцип был предложен Дж. Уиземом в 1965 г. как эвристиче-
эвристический метод описания квазипериодических волн в консерватив-
консервативной системе [4.8]. В 1966 г. Д. Льюк с помощью последователь-
последовательной схемы разложения по малому параметру дал доказательство
этого принципа на примере нелинейного уравнения Клейна-
Гордона. В 1968 г. Ф. Брезертон и К. Гаррет [4.11] предложи-
предложили использовать для анализа волн в движущихся средах за-
закон сохранения волнового действия, который расширяет область
применимости усредненного вариационного принципа Уизема. В
1970 г. Л.А. Островский и Е.Н. Пелиновский [4.6] дали обобще-
обобщение усредненного вариационного принципа на неконсервативные
системы, которое, по существу, представляет собой усредненный
вариант принципа Гамильтона-Остроградского D.73), обобщен-
обобщенный на распределенные системы. На возможность применения
4.8 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 119
принципа Уизема для анализа волн отрицательной энергии бы™
ло указано в 1986 г. в работе Л.А. Островского, С.А. Рыбака и
Л.Ш. Цимринга [4.7].
4.8. Задачи и упражнения
4.1. Найдите лагранжиан для уравнения
д2и _ 2д2и _ дд4и _ 0
~д? Ъх2 РЪх^ ~
4.2. Найдите лагранжиан, для системы уравнений
д2Е _ 2д2Е _ _д2Р #р 2p_,e2NF
описывающих распространение поперечной электромаг-
электромагнитной волны в диэлектрике (см. п. 2.1.3).
4.3. Найдите лагранжиан для системы уравнений Зельмейера
д2и лд2и п / >\
4.4. Выведите уравнение для поперечных волн в тонком
стержне, растянутом с силой N® по известному лагранжи-
лагранжиану
dw\2 N0fdw2\2] J fd2w\2 PT(d2w\2
где го — поперечное смещение оси стержня. При каком
условии тонкий стержень можно считать струной.
4.5. По известному лагранжиану
F \(dw\2 . J
выведите уравнения изгибных волн в стержне с учетом
сдвиговых напряжений (модель Тимошенко). Здесь w —
поперечное смещение срединной линии стержня, ср — угол
поворота поперечного сечения стержня, к ~ 0, 8 — коэф™
фициент сдвига, J/F = т\.
120 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН ГЛ. 4
4.6. Используя выражение для лагранжиана электромагнит-
электромагнитных волн в диэлектрике (см. задачу 4.2), выведите урав-
уравнение переноса энергии w и волнового импульса g в такой
среде. Дайте физическую интерпретацию входящих в них
слагаемых.
4.7. Выведите уравнение переноса усредненной энергии w для
волновых процессов, рассмотренных в задачах 4.2 и 4.3.
Может ли Ш в этих случаях иметь отрицательный знак?
4.8. Выведите уравнения переноса энергии изгибными волнами
в стержне, описываемыми системой уравнений (см. зада-
чу 4.5)
wtt - ^c2Twxx + nc2T(px = 0,
(fit - cf(pxx + кс2тг\(р - nc2Tr\wx = 0.
4.9. Для ситуации, описанной в задаче 4.8, выведите уравне-
уравнение переноса усредненной энергии. С какой скоростью она
переносится вдоль стержня?
4.10. Покажите, что уравнение переноса волнового действия
для модулированных волн в равномерно движущейся ере™
де может быть записано в виде
dt ш0 дх L ь шо J
где V — скорость движения среды, gjq, Wq — частота и сред-
средняя плотность энергии волнового пакета в системе отсчета,
движущейся вместе со средой.
Указание. Воспользуйтесь выражением для усредненного
лагранжиана в неподвижной системе отсчета
L(u, k) = D(w, к)а2 = D(uj0 + Щ к)а2,
где ио = cdQ + kV — частота волны в неподвижной системе
отсчета.
ГЛАВА 5
АСИМПТОТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
На свете есть вещи поважнее самых
прекрасных открытий — это знание
метода, которым они были сделаны.
Готфрид Лейбниц
Дифференциальные уравнения в частных производных, для
которых удается найти точные аналитические уравнения, ветре™
чаются достаточно редко. Для отыскания решений остальных
чаще всего применяются приближенные методы. Во многих слу™
чаях именно асимптотические решения позволяют провести де-
детальный анализ происходящих в системе волновых процессов.
В этой главе рассматриваются метод стационарной фазы, ме-
метод ВКБ и автомодельные решения дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных. Они позволяют проанализировать
поведение волн при больших временах и на больших расстояни-
расстояниях от места их возбуждения, когда волна приобретает опреде-
определенные универсальные свойства.
5.1. Метод стационарной фазы
Интегралы Фурье A.13) или A.17) формально дают точные
решения задачи о волнах в линейных однородных средах, но
они далеко не всегда дают наглядное представление об их пове-
поведении. Дело в том, что в среде с дисперсией частота ш и волновое
число к связаны нелинейным соотношением и интегралы Фурье,
как правило, не могут быть вычислены аналитически для про-
произвольных моментов времени. Однако для больших значений х
и t можно получить асимптотическое выражение искомой вели-
величины u(x,t), используя метод стационарной фазы. Этот метод
122 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
позволяет детально описать структуру «расплывшегося» волно-
волнового пакета и проясняет многие свойства волн в среде с диспер-
дисперсией.
Рассмотрим бегущую волну:
u(x,t)= § F{k)Skx-^k)tUk= f F(ky^k)tdk, E.1)
--OO — ОО
где введено обозначение ф(к) = kx/t — uj(k). Будем рассматри-
рассматривать поведение интеграла E.1) при x,t —>• оо, но так, чтобы от-
отношение x/t оставалось конечным и постоянным. Для больших
значений времени основной вклад в интеграл E.1) дают малые
окрестности вблизи «стационарных точек» к = fcc, в которых
)кс = 0- E-2)
Вблизи этих точек осцилляции подынтегральной функции ис™
чезают и интеграл E.1) остается конечным. В точках, где
(dt/j/dkk ) ф 0, подынтегральная экспонента является быстро
осциллирующей функцией волнового числа fc, и при t —>> оо ин-
интеграл стремится к нулю. Техника получения главных членов
асимтотического разложения интеграла Фурье E.1) состоит в
следующем. Функции F(k) и ф(к) раскладываются в ряды Тей™
лора в окрестности стационарной точки:
F(k) - F(kc) + Ff(kc)(k - кс) + ...,
2 E.3)
ф(к) - ф(к^ + ф\кс)(к - fec) + \ф"{к - кс)(к ^кс) + . . .
(штрих означает производную по аргументу к). В окрестности
стационарной точки первая производная фг(кс) = 0 и доминиру-
доминирующий вклад в интеграл дадут подчеркнутые слагаемые (если,
конечно ф"(кс) ф 0):
сю
u(a:,t)~ J F(fcc)exp|i \ф{кс)+ ^ф"(кс){к - ксJ] t\dk =
-— CXD
ОО
SkcX-^kc^ J exp U \±и'кс{к - ксJ] Л dk. E.4)
5.1
МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
123
С помощью замены переменных
\u"{kc)t = а, (к- ксJ = z2
интеграл в E.4) сводится к интегралу ошибок
I e~iaz dz = \/ж j\a\ • exp (—г- sign a
J \ 4
E.5)
E-6)
В результате первый член асимптотического разложения инте™
грала E.1) примет вид
, t) ~ —
F(kc)
: exp I i kcx — u)(kc)t — — signu)f/(kc) > . E.7)
Если существует несколько стационарных точек kcnj удовлетво-
удовлетворяющих уравнению E.2), то каждая из них дает вклад, анало™
гичный E.7), и их надо просуммировать.
Согласно формуле E.7) в среде с дисперсией волна любой
начальной формы в конечном счете, при больших значениях х
и t, превращается в квазигармоническую волну, у которой ам~
плитуда убывает пропорционально t~l>2. Пусть начальный про-
профиль волны и(х,0) = Uq(x) (рис. 5.1) представляет собой ли™
Рис. 5.1. Эволюция начального возмущения в диспергирующей среде
нейную комбинацию гармонических волн со всеми возможными
волновыми числами. При этом в начальный момент компонен-
компонента с волновым числом kCj ничем не выделена в спектре волны.
124 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
Однако спустя большой промежуток времени, эта компонента
оказывается доминирующим возмущением вдоль направления
x/t = Vg(ko) (см. рис. 5.1).
Каждый участок спектра сигнала имеет свою групповую ско-
скорость Vg(k). С помощью метода стационарной фазы, выбирая
значение x/t = Vg(k)J можно проследить за асимптотическим
поведением различных областей сигнала, и по ним воспроиз-
воспроизвести картину эволюции всего сигнала. Другими словами, дис-
диспергирующая среда производит «развертку спектра» сигнала в
пространстве.
Специального обсуждения требуют точки с максимальной и
минимальной групповой скоростью. В этих точках ujff(kc) = 0 и
решение E.7) становится некорректным. Правильное асимпто-
асимптотическое поведение определяется с помощью учета дальнейших
членов ряда Тейлора для ф(к) и имет вид
u(x. t) ~ , — ехр \г\ксх — ш(кс)Ш. E.8)
Как мы увидим в гл. 6, асимптотические выражения типа E.7)
могут быть получены в рамках «геометро-оптического» подхода
к анализу модулированных волн.
5.2. Распространение волн в среде с дисперсией
Воспользуемся методом стационарной фазы для анализа
асимптотического поведения импульсных возмущений в среде
с дисперсией.
5.2.1. Расплывание короткого импульса
Примером волн со слабой дисперсией служат продольные волны
в стержне при учете радиального движения частиц среды (см.
уравнение B.58)). Для волны, бегущей в положительном направ-
направлении оси х при длине волны, много большей радиуса стержня
{и2ю^к <С 1), из B.59) получаем следующий закон дисперсии:
uj^Csk^/Зк3, E.9)
где для малого параметра /3 справедливо /3 = ——-.—-——¦ <С
2i/2rg[l- (cr/csJ}
<С 1. По дисперсионному соотношению легко восстанавливается
5.2 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ 125
дифференциальное уравнение для смещения u(x,t) с помощью
подстановок гш = d/di и гк = —д/дх:
ди . ди . пд3и А /г 1п\
+с + ^ ° ^
Если в E.10) перейти к новым переменным х1 = х — cst и if = i,
отвечающим системе координат, движущейся со скоростью cs,
то получим уравнение (штрихи опущены)
ж+ "& = »¦ E-">
которое описывает распространение волны в среде с высокоча™
стотной дисперсией.
Рассмотрим распространение в такой среде короткого им™
пульса. Для определенности будем считать, что его форма в
начальный момент времени описывалась ^-функцией:
и(х,0) =Ао5(х). E.12)
Точное решение. При начальном условии, заданном в виде
<5-импульса, спектральная плотность F(k) = А®/2ж одинакова
на всех частотах, и интеграл Фурье E.1) вычисляется точно:
оо
, t) = ^ J ехр {г [к(х - cst) + Ck3t\ } dk =
и(х, t) =
six — cot) , s3l j /r n оч
г + ^ EЛЗ)
о
Здесь была использована замена переменной интегрирования
s = у/Щк. E.14)
Введем функцию Эйри (рис. 5.2)
сю оо
Ai (z) = — I cos ( sz + — ) ds = — Re f exp \ i (sz + — ) > ds,
0 -oo
E.15)
126
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
ГЛ. 5
тогда искомое решение задачи E.11), E.12) можно записать в
виде
u(x1t) =
Ар
E.16)
Ai(z)k
Из него видно, что «головная» часть импульса (х ~ cst) имеет
ширину А ~ C/3tI//3 и движется со скоростью cs (рис. 5.3). По
мере распространения ее ампли-
туда убывает по закону A/Aq ~
~ C/3t)"//3, а длительность уве-
личивается как C/3tI//3. Позади
от фронта импульса (х < cst) по-
появляются осцилляции, в которые
непрерывно переходит энергия от
головной части волны, а впереди
(х > cst) амплитуда волны экс-
Рис. 5.2. График функции Эйри поненциально убывает (рис. 5.3).
Точное решение E.16) можно ис-
использовать в качестве эталона для сравнения с асимптотически-
асимптотическими формулами E.7) и E.8).
л-1/З
х = cst
Рис. 5.3. Эволюция импульса в среде с высокочастотной дисперсией
Для более детального анализа участков волны спереди и сза-
сзади от фронта импульса воспользуемся асимптотическим разло-
5.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ
127
жением функции Эйри:
-1/4
Ai (z) = <
- 1,3/2
z —> оо,
E.17)
J- b"V4
COS -
Тогда при больших отрицательных значениях z
— cgt)/у/3C1 —>> ^оо решение E.17) примет вид
= COS
Lo \fopt 4J
E.18)
Оно показывает, что убывание амплитуды осцилляции за им-
импульсом (^ t^1/2) происходит медленнее, чем убывание ампли™
туды самого импульса (A/Aq ^ t^1/3). Это ведет к тому, что
при больших значениях времени t —> оо импульс превращается
в квазигармонический волновой пакет с локальным волновым
числом к ~ y/x/C/3t) и локальной частотой ш = ^(Зк2 с^ —x/3t.
Асимптотический анализ. Проведем анализ той же зада-
задачи методом стационарной фазы. Стационарные точки кс нахо™
дятся из уравнения E.9) и равны
E.19)
Вторая производная u)ff(kc) = —6/3кс отлична от нуля, ее™
ли x/t Ф cs. Следовательно, асимптотическое выражение E.7)
справедливо везде за исключением «головной» части импульса,
где нужно воспользоваться более точным разложением E.8).
Рассмотрим область, лежащую сзади от фронта волны
х < cst. Подставляя значения fcc, uj"(kc) и F(kc) = Aq/2tt в E.7),
получаем решение в виде модулированной квазигармонической
волны:
cos - v . :— + -
3 JbBi TV
E.20)
128 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
В области перед фронтом волны (х > cst) значение волнового
числа в стационарной точке E.2) становится чисто мнимым1)
кс = ±iy/(x/t — со)/3/3, и асимптотическое решение принимает
вид
/ j.\ А0 /Г 2(X-CstK/2 7г] 1 /гО1\
и(х,г) « . ехр < — ~~v Д^ — т г • E.21)
Полученные асимптотические выражения описывают экспонен-
экспоненциальное спадание переднего фронта волны и возникновение
спадающих высокочастотных осцилляции в «хвостовой» части
возмущения (см. рис. 5.3).
В области максимума фронта волны, где х ~ cst и ujff(kc) =
= 0, воспользуемся формулой E.8). В этом случае ы = —6/3 и
асимптотическое решение
с точностью до константы совпадает с выражением для ам-
амплитуды волны Эйри E.16). В совокупности выражения E.20)-
E.22) представляют полное асимптотическое решение задачи и
согласуются с соответствующими асимптотическими представ™
лениями точного решения E.16).
5.2.2. Волны на глубокой воде
Заметим, что для проведения асимптотического анализа линей-
линейных волн, вообще говоря, не требуется знания дифференциаль™
ного уравнения, достаточно лишь вида дисперсионного соотно-
соотношения. Проиллюстрируем это на примере гравитационной вол-
волны на глубокой воде. Для нее дисперсионное соотношение имеет
вид (см. § 2.4):
Пусть в начальный момент времени на поверхности задано 6-
образное возвышение ((х^О) = 5(х). С течением времени оно
распадется на две волны, бегущие в противоположных направ-
направлениях; мы будем следить за волной, бегущей в положительном
х) При комплексных значениях kCj вообще говоря, необходимо использо™
вать более общую процедуру асимптотического вычисления интеграла E.1),
известную, как метод перевала. Однако в данном случае оба метода дают
одинаковые результаты.
5.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ
129
направлении. Из дисперсионного соотношения находим
E.23)
Так как форма начального возмущения, имеющего спектр
F(k) = 1/2тг, описывается <5-функцией, то асимптотическое по-
поведение гравитационной волны дается формулой E.7), приводя-
приводящей к выражению
E.24)
Отсюда следует, что при больших временах и на больших
расстояниях возмущение представляет собой модулированную
волну с частотой ш и волновым числом fc, изменяющимися в
пространстве и времени:
§
at
k__d9__gf_
дх 4ж2'
E.25)
В такой волне низкочастотные (длинноволновые) составля-
составляющие с течением времени убегают вперед, так как их группо™
вая скорость больше, чем у высокочастотных составляющих:
vgT = A/2) ^/g/к = g/2u. Амплитуда смещения ( убывает в
пространстве пропорционально ж^3/2, а длина волны А = 2тг/к
растет пропорционально ж2 (рис. 5.4 а). В фиксированной точке
Рис. 5.4. Асимптотическое поведение волны на поверхности глубокой во-
воды: а — пространственное распределение смещения при большом t, б —
осциллограмма колебаний при большом х
5 Л.А. Островский, А.И. Потапов
130 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
пространства, находящейся далеко от места начального возму-
возмущения, амплитуда волны и ее локальная частота возрастают во
времени по линейному закону (рис. 5.4 6).
Следует отметить, что полная энергия такой волны, пропор™
оо
циональная интегралу J B dx1 равна бесконечности. Этого еле™
довало ожидать, так как интеграл от квадрата дельта-функции
расходится. Тем не менее, поведение локализованного возмуще-
возмущения с конечной энергией также хорошо описывается приведен-
приведенными выше асимптотическими выражениями.
5.3. Автомодельные волны
Мы уже встречались со стационарными волнами вида
и(х — ct), в которых искомая функция воспроизводит себя без
изменений на последовательных интервалах оси х. Существу-
Существует и более общий класс процессов, которые воспроизводят себя
подобным образом, но с изменением во времени масштабов по
координате L(t) масштаба самой искомой переменной Uo(t). Та-
Такие процессы называются автомодельными, а описывающие их
математические выражения вида
и(х, t) = U0(t)f (-^) = U0(t)№ E.26)
называют автомодельными решениями. Здесь ? = x/L(t) — ав-
автомодельная переменная. В большинстве случаев масштабы ис-
искомой величины и координаты ищутся в виде степенных функ-
функций времени: Uo(t) = а • tp, L(t) = b • tq (где р, q, a, b — постоян-
постоянные). Функция /(?) удовлетворяет обыкновенному дифферен-
дифференциальному уравнению.
С автомодельными решениями тесно связаны упоминавшие-
упоминавшиеся решения типа бегущих волн и = F(x — ct — а). В этом случае
характеристики процесса в разные моменты времени получают-
получаются одно из другого простым сдвигом r\ = x^ct^ a, а не преобра-
преобразованием подобия E.26). Однако если ввести новые переменные
t = lnr, а = ЫА, E.27)
то решение преобразуется к автомодельному виду
и(х,t)=F fin-?-) = / fС = -^-) • E.28)
5.3 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 131
Отыскание автомодельного решения уравнения с частными
производными в общем случае сводится к разделению перемен-
переменных после их подходящей замены и решению обыкновенного
дифференциального уравнения. Для установления автомодель-
ности решения задачи в ряде случаев достаточно анализа раз-
размерностей, основанного на П-теореме.
В качестве примеров ниже построены автомодельные реше™
ния уравнения Шредингера и линейного уравнения Кортевега^
де Вриза.
5.3.1. Параболическое уравнение
Рассмотрим автомодельное решение уравнения
г%+0*ф = О, E.29)
где /3 — параметр дисперсии. В квантовой механике уравнение
E.29) описывает волну де Бройля для электрона в свободном
пространстве. В этом случае комплексная величина A(x,t) име-
имеет смысл волновой функции электрона. Уравнение E.29) описы-
описывает также эволюцию медленно меняющейся комплексной ам-
амплитуды модулированной волны в линейных средах (см. п. 7.1).
Решение уравнения E.29) ищем в виде А = A(x,t,/3), где
определяющие величины имеют следующие размерности х):
[x] = L, [t] = T, Щ=Т~1Ь2. E.30)
Здесь L — размерность длины, Т — размерность времени. Из
трех размерных величин ж^и/З независимые размерности име-
имеют две: х и t. Из них молено составить лишь одну безразмерную
комбинацию
С = f3lfxm ос x2l+mf-1, E.31)
где показатели степеней l^r^m — должны удовлетворять следую-
следующим условиям:
21 + ш = 0, г-1 = 0. E.32)
Эта система уравнений недоопределена, поэтому одну из ве™
личин, например, т, можно выбрать произвольно. Тогда I =
= —т/2, г = —т/2 и автомодельная переменная в общем случае
принимает вид
^ • E-33)
) В линейных задачах искомую величину А без уменьшения общности
можно считать безразмерной, а ее масштаб Uo(t) = 1.
5*
132 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
При выборе переменной ? имеется произвол из-за возможности
выбора различных значений га. Его можно использовать так,
чтобы уравнение в обыкновенных производных имело наиболее
простой вид. Входящая в E.33) безразмерная постоянная а не
меняет структуру автомодельной переменной и может быть ис-
использована для нормировки числовых коэффициентов в урав-
уравнении.
Пусть т = 1, тогда частные производные от А = /(? =
= х/у/аЩ) равны
дА _ _ х df _ _ С df д2А _ 1 d2 f
Подставляя их в E.29), получим
— 7 - Р— = О
2 ^ d?
Положим а = 2 и введем обозначение df /d? = Ф, тогда придем
к обыкновенному дифференциальному уравнению
щ-ЦФ = 0, E.34)
которое решается методом разделения переменных:
где Aq — постоянная интегрирования. Решение для комплексной
амплитуды имеет вид
А@ ^Aoj ехр (гB/2) d( = Ао / cos (?) dC + *А0 / sin (^
О 0 0
E.35)
Входящие в его правую часть интегралы могут быть выражены
через интегралы Френеля
о
sin|C2rfC, E.36)
5.3
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
133
которые хорошо известны в теории дифракции. Они являют™
ся аналитическими функциями переменной ? и принимают пре-
предельные значения (рис. 5.5):
С@) = S@) = О, lim С fe2) = Urn
fe2
Выражение E.35) описывает изменение амплитуды модулиро-
модулированной волны u(x,t) = A(x,t) exp {i(u)t — kx)}, которая сначала
экспоненциально растет, а затем, осциллируя, приближается к
постоянному значению (рис. 5.6). По такому закону изменяет-
изменяется амплитуда, которая включается на границе среды в момент
времени t = 0.
Рис. 5.5. Графики интегралов Рис. 5.6. Профиль модулированной
Френеля волны, сформировавшейся из полуси-
полусинусоиды при большом х
5.3.2. Линеаризованное уравнение КдВ
Займемся поиском автомодельных решений уравнения E.11).
Его решение зависит от трех размерных величин
[x] = L, [t]=T, [/3}=L3T-\
из которых можно составить только одну безразмерную комби-
комбинацию
E.37)
134 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
Из условия безразмерности ? следует, что показатели степеней
должны удовлетворять условиям
3f + m = 0, г-1 = 0.
Отсюда находим, что I = —га/3, г = —га/3, и автомодельная
переменная при т = 1 примет вид
? = -4=, E-38)
V/5t
где а — безразмерная постоянная. Вычисляя частные производ-
производные от u(x,t) = u{?) и подставляя их в E.11), получим обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение
d3u a ^du ~
Введем обозначение du/d^ = Ф(?) и положим а = 3. В результате
придем к уравнению
S - ?ф = о- E-39)
Его решением является введенная в п. 5.2.1 функция Эйри
со
ф(?) = AI (С) = i / cos Ef + 53/3) ds,
о
а искомая величина и(?) выра^кается через интеграл
n@ =
о
Г cos (sz + 53/3) ds
dz. E.40)
Это решение описывает дисперсионное расплывание «сту-
«ступеньки», заданной в начальный момент времени и, поэтому,
оно отличается от решения E.16), описывающего расплывание
дельта-импульса.
Какова польза от найденных частных решений? Ответ со-
состоит в том, что автомодельные решения, как правило, пред-
представляют собой асимптотики более широкого класса решений,
отвечающих другим начальным условиям.
В заключение заметим, что поиск автомодельных решений
с помощью анализа размерностей не всегда приводит к желае-
желаемому результату. Он применим только в том случае, когда чис-
число величин с независимыми размерностями на единицу мень-
меньше общего числа определяющих величин. Более общим методом
5.4 КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 135
поиска автомодельных решений дифференциальных уравнений
в частных производных является групповой анализ дифферен-
дифференциальных уравнений, частным случаем которого является ана-
анализ размерностей.
5.4. Коротковолновое приближение
Рассмотрим распространение волны в неоднородной стацио-
стационарной среде. Для гармонических во времени волн задача сво™
дится к решению уравнений в обыкновенных производных с
переменными коэффициентами. В случае плавнонеоднородной
среды задача может быть решена с помощью метода Вентцеля-
Крамерса-Бриллюэна (ВКБ-приближение).
5.4.1. ВКБ-приближение
Приближение ВКБ — один из наиболее распространенных ме-
тодов описания волн в неоднородной среде, когда длина вол-
волны много меньше масштаба неоднородности среды. Рассмотрим
метод ВКБ на примере анализа распространения продольной
волны в стержне с переменными плотностью и поперечным се™
чением. Будем считать длину волны много большей диаметра
стержня, так что молено пренебречь радиальным перемещени-
перемещением частиц среды при осевой деформации. В этом приближении
уравнение для продольных волн имеет вид (см. п. 2.4.1)
=0. E.41)
Число случаев, когда существуют его точные решения, невели™
ко, поэтому большое значение приобретают приближенные ре-
решения.
Будем интересоваться распространением монохроматиче-
монохроматической волны, когда параметры р(х) и F(x) мало меняются на
длине волны:
и(х, t) = U(x) exp (iuut). E.42)
Подставив E.42) в E.41), получим для U(x) обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение
d2U F'{x) dU uj2p(x)fT , А,
136 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
Заменой переменных
ф(х) = y/F(x)U(x), E.44)
уравнение E.43) сводится к одномерному уравнению Гельм™
гольца
0 + к1п{х)ф = 0. E.45)
Здесь к^п(х) = [ш2р(х)/Е + F'2/4F2 - F"/2^] - квадрат эф™
фективного волнового числа, п(х) — переменный показатель
преломления, а ко — большой параметр. С помощью замены пе-
переменных
ф(х) =expJ j v{i)dA E.46)
вместо E.45) получим уравнение Риккати:
^ + v2 + kon(x)v = 0. E.47)
Учитывая медленность изменения параметра п(ж), будем искать
приближенное решение уравнения в виде асимптотического раз™
ложения
v(x) ~ kovo(x) + vi(x) + k^lv2{x) + ... E.48)
Подставляя E.48) в E.47) и приравнивая члены при одинаковых
степенях fco, получим
^ = 0,... E.49)
Отсюда находим
vq(x) = ±iy/n{x), vi(x) = ^2
Знаки «±» у переменной ^о(ж) соответствуют прямой и встреч™
ной волнам. В результате 1/^ записывается в виде
Г ж 1
exp < гко J \J
( x Л
ГУ I л . I
. E.50)
5.4
КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
137
Таким образом, решение уравнения E.41) в ВКБ~приближении
имеет вид
А
exp < г [ujt + ко I yn
В
Jy/ndA
E.51)
Здесь А и В — произвольные постоянные. Ввиду малости от™
ражений на плавных неоднородностях встречные волны в этом
приближении не взаимодействуют между собой. Чтобы учесть
отражение волн на неоднородностях среды, необходимо найти
поправки следующего приближения. Решение E.51) несправед-
несправедливо в окрестностях особых точек, где п(х) = 0. Эти точки тре-
требуют отдельного рассмотрения. Приводимые ниже примеры до™
пускают точное решение и позволяют проследить пределы при-
применимости ВКБ~приближения.
5.4.2. Колебания вмсмщей цепи
Рассматрим задачу Бернулли о колебаниях вертикально вися-
E.53) щей цепи (тяжелой нити) (рис. 5.7 а). Поперечные коле™
х = \
к Jo(x)
х= 0
V/
Рис. 5.7. Поперечные колебания висящей цепи: (а) схематическое изобра-
изображение системы; (б) пространственная форма колебаний
бания цепи, закрепленной в точке х = I и имеющей свободный
конец при х = 0, описываются дифференциальным уравнением
д2и
ди
E.52)
138 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
с краевыми условиями
u@,t) < 00, u(l,t) =0, E.53)
где u(xjt) — отклонение цепи от вертикали, a g — ускорение
силы тяжести. В линейном приближении вертикальными пере™
мещениями конца цепи пренебрегаем. Первое условие в E.53)
означает ограниченность амплитуды смещения свободного кон™
ца цепи.
Уравнение E.52) является частным случаем уравнения
E.41). Будем искать его решение в виде
и(х, t) = U{x)elujt + к.с. E.54)
Подставляя это решение в E.52), получаем, что функция U(x)
удовлетворяет уравнению
d2U ,d?, ^ц _ q
dx2 dx g2 '
которое заменой z = 2uj^/x/g приводится к стандартному виду
уравнения Бесселя с нулевым индексом:
2d U . dU , тт r\ /r rr\
z —г + z— + U = 0. E.55)
dz2 dz
Его общее решение записывается в цилиндрических функциях
(функциях Бесселя) нулевого порядка
U(z)=AoJo(z)+BYo(z). E.56)
Из условия ограниченности U в точке z = 0 следует, что В = О,
так как Yq(O) = oo, и, следовательно, решение E.54) представля-
представляет собой неоднородную стоячую волну (рис. 5.7 6):
u(x,t) = AJ®Buky/x/g) cos (ujkt + <p0), E.57)
где А — амплитуда, щ — начальная фаза волны, шк =
= ак/ \2^/g/l\ — частота собственных колебаний, а параметр
ак определяет нули функции Бесселя Jo(ct^) =0, А; = 1, 2, 3,...
В асимптотике при больших значениях z = 2uj^/x/g, когда
Jq(z) « [2ttzcos (z — тг/4)]1/2, решение E.57) можно представить
5.4 КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 139
в виде суперпозиции волн, бегущих в противоположных направ-
направлениях:
и(х, t) ~ —^=^ cos (out — 2ш\/х/'g + тг/4) +
yuj2x/g L
+ cos {ujt + 2uj^/^Jg - тг/4I. E.58)
Это выражение эквивалентно ВКБ-решению уравнения E.52).
5.4.3. Волна де Бройлм для электрона
В качестве другого примера рассмотрим движение электрона в
однородном электрическом поле Е, направленном вдоль оси х. В
квантовой механике электрон описывается волновой функцией
ф(х^I удовлетворяющей уравнению Шредингера
Здесь т — масса электрона, Н — постоянная Планка, a W(x) =
= еЕх — потенциальная энергия электрона в электрическом по™
ле. Решение будем искать в виде
ф(х, t) = Ф(х) exp (-iut), E.60)
где ш = Е/Ть — частота волны де Бройля, а функция Ф(х) удо-
удовлетворяет уравнению
й2Ф , 2тЕ
dx2 h2
A-ж)Ф = 0. E.61)
Заменой переменной z = —y2mE/W{l — х) уравнение E.61)
приводится к уравнению Эйри:
^ф
Слева от особой точки (т.е. z < 0) уравнение E.62) имеет осцил™
лирующее решение с переменной пространственной «частотой»,
пропорциональной л/z^ а справа от нее (z > 0) оно описыва™
ет апериодический процесс. Решение уравнения E.62), удовле-
удовлетворяющее условиям ограниченности при \z\ —>> оо, выражается
через функцию Эйри (см. рис. 5.3):
Ф(г) = CM (z) = C Г cos (sz + ?) ds, E.63)
0
140
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
ГЛ. 5
где С — постоянная. Волновая функция, описывающая поведе-
поведение электрона в однородном электрическом поле, имеет следу-
следующий вид:
<ф(х,г) = GAI
E.64)
На рис. 5.8 приведено распределение функции \ф\2, характеризую
ющей вероятность нахождения электрона в точке пространства
с координатой z. Из рисунка вид™
но, что при z > 0 вероятность
нахождения электронов быстро
убывает до нуля. В классической
теории точку z = 0 называют точ™
кой поворота. В ней кинетическая
энергия электрона равна потенци™
альной и поэтому за точку z = 0
электрон не проникает.
Слева от точки поворота (при
~~*^ z < 0) выражение E.64) предста™
вляет собой неоднородную сто-
стоячую волну. Воспользовавшись
асимптотическим выражением
плот- для функции Эйри при z —>> ^оо,
его можно представить в виде
суперпозиции двух бегущих волн:
-9 -6 -3 0
Рис. 5.8. Распределение
ности вероятности нахождения
электрона в пространстве
Это решение соответствует квазиклассическому приближению
квантовой теории, в которой каждое из слагаемых представляет
собой волну де Бройля, обобщенную на случай плавного изме™
нения потенциала W(x).
5.5. Исторические замечания и комментарии
Метод стационарной фазы. В наиболее общем виде он
был развит в 1887 г. английским физиком, механиком и мате-
5.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 141
матиком У. Томсоном (лордом Кельвином) для приближенно™
оо
го вычисления интегралов вида I(p) = J f(x) cospip(x) dx^ где
— оо
р — большой параметр, хотя такой же подход к вычислению ин-
интегралов с быстроосциллирующей фазой применял еще Г. Стоке
в 1840-х годах, правда, без строгих обоснований [5.9].
Автомодельные решения. Для описания нестационар-
нестационарных волновых процессов их впервые применил, по-видимому,
Дж. Буссинеск, который в 1832 г. нашел автомодельное реше™
ние, описывающее изгибные волны в тонком стержне. Связь ав-
автомодельных решений с асимптотическим поведением нелиней-
нелинейных волн (так называемые промежуточные асимптотики) была
установлена в работах Я.Б. Зельдовича и Г.И. Баренблатта в
195(ЫЭ60^х гг. [5.1].
Приближение ВКБ. В физической литературе асимптоти-
асимптотическое разложение решений линейного уравнения с переменны-
переменными коэффициентами E.45) при ко —>• оо наиболее часто называ-
называют ВКБ-асимптотикой, а решение E.50) — ВКБ-приближением.
Это название представляет собой первые буквы фамилий авто-
авторов Г. Вентцеля, X. Крамерса и Л. Бриллюэна, разработавших в
1926 г. этот метод для нахождения приближенных собственных
значений и собственных функций одномерного уравнения Шре-
дингера. В теории волн этот метод имеет название коротковол-
коротковолнового приближения или приближения геометрической оптики
[5.2, 5.6].
Математики называют E.46) преобразованием Лиувилля^
Грина, которые в 1837 г. рассмотрели поведение решений урав-
уравнения типа E.45) для больших значений ко при условии, что
п(х) — положительная, непрерывная дифференцируемая функ-
функция [5.16].
Функцим Эйри. Этим именем названа функция AI (z) (см.
E.15)) в честь английского королевского астронома Джорджа
Эйри. Эти функции возникают во многих задачах оптики, ра-
радиофизики, квантовой механики. Впервые функция E.15) была
использована Дж. Эйри в 1838 г. при изучении каустик свето-
световых волн. В математической физике функции Эйри первого и
второго типа с успехом применяются при построении сквозных
асимптотик обыкновенных дифференциальных уравнений, со-
содержащих точки поворота. В теории волн функция Эйри возни-
возникает при исследовании поведения волн в окрестности каустик,
142 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
где методы геометрической оптики неприменимы. В методе ста™
ционарной фазы возникает особенность, когда в некоторой точке
обращаются одновременно в нуль и первая, и вторая производ-
производные от фазы. Вблизи этих точек функция Эйри дает правильное
асимптотическое решение уравнений.
Джордж Эйри — английский астроном, физик, механик и
изобретатель A801-1892 гг.), член Лондонского Королевского
общества и член-корреспондент Петербургской Академии наук
(с 1840 г.), директор Гринвичской обсерватории. Этот ученый
обладал многими талантами и был заметной фигурой в англий-
английской науке XIX столетия. Он разработал теорию дифракции све-
света в объективах телескопов, предложил теорию радуги, обнару-
обнаружил явление астигматизма человеческого глаза и ввел в упо-
употребление цилиндрическо-сферические линзы для исправления
этого дефекта. Усовершенствовал теорию приливов и отливов
Лапласа. Определил плотность и массу Земли с помощью маят-
маятников, установленных на поверхности и в глубине шахты. Его
имя носит также функция напряжений, широко используемая
при решении двумерных задач теории упругости. В своем трак-
трактате «Tides and Waves» A845 г.) Эйри впервые дал правильную
теоретическую формулу для фазовой скорости волны на поверх-
поверхности глубокой воды. В этой же работе он придирчиво изучил
«Report on Waves» Дж. Рассела A844 г.) с описанием первого
наблюдения уединенной волны на поверхности воды и подверг
критике формулу для ее скорости. Критика уединенной волны,
данная таким известным специалистом как Эйри, естественно,
не способствовала увеличению интереса к этому явлению. В ито-
итоге изучение уединенных волн — солитонов, стало одним из ярких
событий физики нелинейных явлений уже во второй половине
XX столетия.
Задача Бернулли и цилиндрические функции. Задача
о колебаниях висящей цепи была решена Д. Бернулли в 1732 г. и
опубликована в трудах Петербургской академии наук. Решая ее,
он нашел выражение для цилиндрической функции Jq(x) в виде
степенного ряда и заметил (без доказательства), что уравнение
Jo (ж) = 0 имеет бесчисленное множество корней. Следующей ра-
работой, в которой встречаются цилиндрические функции Jn(x),
была статья Л. Эйлера A738 г.) о колебаниях круглой мембраны.
В этой работе он получил практически все основные результа-
результаты, связанные с цилиндрическими функциями и их приложени-
приложениями к математической физике. Немецкий астроном Ф.Бессель, с
именем которого обычно связывают цилиндрические функции,
5.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 143
в работе 1824 г. о движении планет вокруг солнца, дал рекур-
рентные соотношения для функций J\(x) (А — произвольное
действительное число). Для целочисленных значений А = в
он получил новое интегральное представление цилиндрических
функций и составил их первые таблицы для п = 0,1,2.
В частности, через функции Бесселя порядка 1/3 выражает-
выражается функция Эйри. Для отрицательных значений аргумента эта
связь имеет следующий вид:
где ? = B/3)z3/2 — аргумент функции Бесселя.
Волна де Бройля. Луи Виктор де Бройль — известный
французский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии за
открытие волновой природы электронов. Его заинтересовала
аналогия между математическим аппаратом аналитической ме-
механики с волновой теорией. Развивая идею Эйнштейна A905 г.)
о корпускулярно-волновом дуализме света, де Бройль предпо-
предположил, что дуализм является общим свойством поля и веще-
вещества. Он предположил, что всякая частица, имеющая энергию
Е и импульс р = ттш, может быть представлена в виде волны
ф = aexp{i(u)t — кх)}. При этом Е и ш связаны между собой
соотношением Эйнштейна для фотона Е = wh (h — постоянная
Планка), а связь между длиной волны А = 2тт/к и импульсом
р дается формулой де Бройля: А = 2nh/p (или р = hk). С по-
помощью этой формулы он определил длину волны электрона в
планетарной модели атома и вычислил электронные орбиты, ко-
которые совпали с результатами теории Н. Бора. Успех этого рас-
расчета ознаменовал рождение новой науки — волновой механики,
составляющей костяк современной науки о движении микроча-
микрочастиц.
Менее известно, что Луи де Бройль начал учиться на ис-
историческом факультете Парижского университета, но после ин-
интеллектуального потрясения, связанного с участием в Сольвеев-
ском конгрессе, перешел на факультет наук, который закончил
в 1913 г. С 1913 г. по 1919 г. он служил в армии в войсках ра-
радиосвязи. Вначале он занимался вопросами истории и методо-
методологии физики, а теоретической физикой заинтересовался лишь
в 1920 г. в возрасте 28 лет под влиянием своего старшего бра-
брата Мориса де Бройля, известного физика-экспериментатора, и
П. Ланжевена. Теория волновых свойств материи, окончательно
144 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ГЛ. 5
сформулированная в докторской диссертации де Бройля A923—
1924 гг.), явилась результатом методологического анализа ме-
механики и оптики и представляет собой идеальный пример
историко-научного исследования, приводящего к новым науч-
научным открытиям. Любопытно отметить, что никто из француз-
французских физиков того времени не оценил всей глубины и дерзо-
дерзости его идей. По всей вероятности, члены жюри, состоявшего
из знаменитых ученых-физиков Ж. Перрена, П. Ланжевена и
математика Э. Картана, не присудили бы ему докторской степе-
степени, если бы Ланжевен не догадался послать экземпляр диссер-
диссертации Эйнштейну. Эйнштейн мгновенно оценил значение идей
де Бройля и написал Ланжевену: «Он поднял угол великого за-
занавеса. .. Известно, что фотон не только волна, но и частица.
Почему же электрону, который частица, да и вообще любой ча-
частице, не быть также волной?» Этим все сказано. За это откры-
открытие в 1929 г. де Бройлю в возрасте 37 лет присуждается ни с
кем не разделенная Нобелевская премия.
5.6. Задачи и упражнения
5.1. С помощью интеграла Фурье найдите явные аналитиче-
аналитические решения, описывающие эволюцию (^-импульса в среде
с высокочастотной диссипацией:
ди ди с- д2и _ ~
dt дх дх2
и в среде с частотно-независимым затуханием:
ди , ди , с п
5.2. Методом стационарной фазы исследуйте асимптотическое
поведение капиллярных волн с ш = л/ак3 вдали от точки
их возбуждения (см. § 2.3).
5.3. Найдите автомодельное решение для изгибных волн в тон™
ком стержне (задача Буссинеска):
1 а2—^ = 0, ^оо < х < оо,
dt2 дх4
), u(oo,t) = 0.
5.6 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 145
5.4. Найдите автомодельное решение, описывающее поведение
изгибных волн в тонком стержне (см. задачу 5.3) при воз-
возбуждении его коротким ударом (щ@,х) = VqS(x)) в точке
ж = 0.
5.5. Найдите автомодельное решение задачи о тепловой волне,
возбуждаемой точечным источником:
ди д2и п ^ ^
— — а^-^г = и, ^оо < х < оо,
at дх2
u(x^Q) = UoS(x), u(oo,t) = 0.
5.6. Как изменится уравнение E.52), описывающее ма-
малые поперечные колебания вертикально висящей цепи
(см. рис. 5.1 а), если точка ее подвеса будет вращаться во-
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш?
Ответ.
д2и д ( ди\ 2
2
fUf Ш и =
дх V дх J
Исследуйте его решения в приближении ВКБ.
5.7. На границе х = 0 полубесконечного стержня 0 ^ х < оо с пе-
переменной площадью поперечного сечения F = FqA ^ ах)
при р = const, E = const возбуждается продольная волна
смещения гл(О,?) = uosinu)®t (t ^ 0). Исследуйте ассим-
птотики распространяющейся по стержню волны, считая,
что 1 — ах > 0. Как изменятся амплитуда и длина волны
при прохождении волной расстояния L?
5.8. Найдите решение предыдущей задачи методом ВКБ и со-
сопоставьте его с ранее полученным решением.
ГЛАВА 6
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Я. больше всего дорожу аналогиями,
моими самыми верными учителями.
Иоганн Кеплер
Решение задачи о распространении модулированной волны в
линейной среде с дисперсией может быть сконструировано с по™
мощью интегралов Фурье или Лапласа по известному решению
для гармонической волны. Однако вычисления этих интегралов,
за немногочисленными исключениями, доступны лишь ЭВМ и
часто приводят к громоздким результатам.
В этой главе рассмотрен другой подход к описанию моду™
лированных волн, заключающийся в отказе от спектрального
анализа в пользу пространственно-временного анализа моду™
ляции волны. При таком подходе открывается далеко идущая
«пространственно-временная» аналогия между стационарными
процессами в двумерных задачах и нестационарными одномер-
ными задачами. Уравнения для мгновенной частоты и локально-
локального волнового числа в линейной диспергирующей среде с диспер-
дисперсией оказываются нелинейными. В асимптотике волновые груп-
группы «выстраиваются» в порядке убывания групповой скорости,
а энергия распределяется в соответствии с величиной диспер-
дисперсии — максимальная энергия приходится на область со слабой
дисперсией.
6.1. Уравнение переноса длм частоты
и волнового числа
Пусть в однородной стационарной среде с дисперсией рас-
распространяется модулированная по амплитуде и частоте волна,
6.1 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ЧАСТОТЫ И ВОЛНОВОГО ЧИСЛА 147
описываемая выражением
и(х, t) = а(ж, t) cos в{х1?), F.1)
где a(xjt) — амплитуда волны, а <9(ж, t) — ее фаза. Начнем с опи-
описания изменений в пространстве и времени мгновенной частотв!
ш(х^) и локального волнового числа fc(x,i), определенных как
частные производные от фазы (см. D.35)):
u,(x,t) = ft, k(x,t) = -?. F.2)
Эти величины приближенно удовлетворяют локальному диспер-
сионному уравнению
u>(x,t) = f[k(x,t)], F.3)
которое фактически представляет собой нелинейное дифферен-
дифференциальное уравнение для фазы:
В механике уравнение такого типа называют уравнением
Гамильтона^Якоби, а в геометрической оптике — уравнением
эйконала. Его решения определяют пространственно-временные
лучи (ПВ-лучи), вдоль которых распространяются отдельные
группы волн.
Из соотношений F.2) вытекает очевидное равенство
дк . дш п (Р г\
^7 + я" = °' V6'5)
dt дх
Подставляя в него F.3), получим уравнение переноса волнового
числа
§ + v(*)§H°. F-6)
где VgT = (duj/dk) — групповая скорость. С другой стороны, под-
подставляя в F.5) дисперсионное соотношение F.3), разрешенное
относительно волнового числа к = i/j(w), приходим к эквива-
эквивалентному уравнению переноса частоты
дш , / \ дш ^ /я м
eT + vM^ = 0. F.7)
где Vgr(uj) = (dk/duj)^1 — групповая скорость, записанная как
функция частоты. Уравнения F.6) и F.7) показывают, что в
148 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ. 6
этом приближении перенос возмущения частоты и волнового
числа происходит с групповой скоростью. Следует отметить,
что, рассматривая линейную задачу о распространении модули-
модулированной волны в среде с дисперсией, мы пришли к нелинейным
уравнениям. Как нетрудно заметить, это связано с нелинейно-
нелинейностью дисперсионного уравнения F.3).
Так как ш и к связаны дисперсионным уравнением F.3), то,
очевидно, достаточно рассмотреть одно из уравнений F.6) или
F.7). Они являются квазилинейными уравнениями первого по™
рядка и интегрируются в общем виде. Вспомнив выражение для
полной производной по времени
duo дш dx дш
~dt ~ Ж ~ЖЪх"
видим, что F.7) выражает постоянство частоты вдоль про-
пространственно-временной линии dxjdt = Vgr(uj). Представим F.7)
в виде эквивалентной системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
dx / \ duo n
-? = VgvH, -^ = 0.
F.8)
Их интегралы определяют на плоскости x,t (рис. 6.1) про-
пространственно-временные (ПВ) лучи, которые соответствуют
Рис. 6.1. Характеристики уравнения переноса частоты F.7) для периоди™
ческой модуляции
характеристикам уравнения F.7) 1). Из второго уравнения F.8)
следует, что вдоль ПВ-лучей остаются постоянными частота ш
) Подчеркнем, что они не имеют прямого отношения к характеристикам
уравнения волнового поля.
6.2 ЭВОЛЮЦИЯ МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНЫ 149
и групповая скорость v(u)gr). Следовательно, они являются пря™
мыми:
x-v(<jjgr)t = t(u>), F.9)
где ? — константа для данного значения частоты ш. Зависимость
( от оо определяется законом модуляций частоты при х = 0.
Решение F.9) молено записать так лее в виде
ш(х, t) = F[x - vgr(u))tl F.10)
где F — функция, обратная С (о;), которая определяется из на™
чальных или краевых условий. Решение F.10) описывает про-
простую волну, называемую также волной Римана (см. § 10.3) в
нелинейной среде без дисперсии, хорошо известную в механике
сжимаемого газа.
Таким образом, мы приходим к неожиданной аналогии меж-
между теорией модуляции и механикой: частота модулированной
волны в линейной диспергирующей среде ведет себя так лее, как
и мгновенное значение давления в газе! Эту аналогию нетрудно
понять с помощью следующих простых рассуждений: при до-
достаточно плавном изменении частоты oj(x,t) и волнового числа
k(xjt) модулированную волну молено представить как последо-
последовательность независимых групп, каждая из которых характе-
характеризуется своими значениями частоты ш и волнового числа к и
распространяется с соответствующей групповой скоростью v(uj)
как отдельная частица1) (см. рис. 6.1).
6.2. Эволюцим модулированной волны
Нетрудно представить характер изменения частоты uj(x^t)
как функции координаты и времени: каждая точка кривой
ш двилеется с постоянной скоростью VgTj причем участки с
dvgT/dx > 0 растягиваются, а с dvgT/dx < 0 — сокраща-
сокращаются, подобно волнам разрежения и сжатия в газодинамике
(рис. 6.2 а, б).
В зависимости от закона модуляции частоты группы волн
могут как расходиться, так и сблилеаться, обгоняя друг друга.
Наглядную картину процесса дает поведение ПВ™лучей F.9) на
плоскости x,t (рис. 6.3). ПВ-лучи представляют собой прямые
г) Еще одной, даже более близкой, является аналогия с движением пучка
электронов в устройстве с модуляцией электронов по скорости (пролетный
клистрон) или движением машин в потоке транспорта.
150 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ.
t>L
линии, наклон которых к оси х пропорционален скорости точки
профиля волны Vgr(u)), движущейся вдоль этой прямой. Пересе-
Пересечение ПВ-лучей создает
со /шод неоднозначность решения
F.10) в области хи < х <
< Ж2*. Однако, в отличие
от нелинейных волн в газо-
динамике, здесь сохраняет
определенный смысл и
многочастотное решение. В
точку пересечения ж*1??*1
сходятся две или три груп-
группы волн, которые затем
снова разбегаются, так как
они движутся с различны-
различными скоростями. Из рис. 6.3 а
видна еще одна важная ана-
аналогия с поведением лучей
в геометрической оптике.
Там их пересечение со-
создает каустики и фокусы.
В нашем случае можно
говорить о ПВ-лучах, пространственно-временных каустиках и
пространственно-временных фокусах.
V(m)
Рис. 6.2. Нелинейная эволюция волны
частотной модуляцией при vf (ш) < 0 (а)
и при v {ш) > 0 (б), ж*,?* — координаты
«опрокидывания» волны
6.2.1. Пространственно-временные каустики
Огибающая пересекающихся ПВ™лучей называется
про-
странственно-временной каустикой (см. рис. 6.3 а, х\* < х <
< #2*). Начальная точка каустики с координатами (x*i,?*i) со-
соответствует точке первого пересечения характеристик F.9) и ее
координаты находятся точно так же, как и координаты опроки™
дывания волны Римана.
Рассматривая координату х как функцию частоты ш1 легко
видеть, что в точке а эта функция имеет перегиб с нулевым
наклоном (см. рис. 6.2), т.е.
дш
д2х
ж*,**
= о, ?
ж* ,г
= 0.
(б.п)
Продифференцируем уравнение F.9) два раза по ш и учтем
F.11):
-Uv1^*) = С'Ы, -***&Ы = С"Ы- F-12)
6.2
ЭВОЛЮЦИЯ МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНЫ
151
Добавим к ним уравнение F.9) в точке разрыва:
5.13)
в результате получим систему из трех уравнений для определе-
определения двух координат ж*, ?* и значения частоты ш* в точке опро-
кидывания.
х2-
xi
г
2ж
¦щи
^^
Т "
^^^--^
а
t
/
в
Рис. 6.3. Поведение ПВ~лучей для волнового пакета линейной частотной
модуляцией (а), осциллограммы колебаний (б), изменение частотной моду-
модуляции (в)
Область, куда ПВ~лучи не проникают, — это область каусти-
каустической тени. В зоне тени в этом приближении поле равно нулю, а
на самой каустике амплитуда и плотность энергии поля обраща-
обращаются в бесконечность (см. § 6.3), что свидетельствует о непри-
непригодности геометрооптического приближения на ПВ-каустиках.
В действительности поле там отлично от нуля и может быть
рассчитано в приближении пространственно-временной квази-
квазиоптики (см. гл. 7).
Здесь мы не накладывали каких-либо ограничений на шири-
ширину спектра волны, поэтому изменение частоты Аы может быть
сравнимо с ее величиной cjq, лишь бы оно было достаточно мед-
медленным. Если же изменения частоты не только медленны, но и
152 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ.
малы, т.е. ио = cjq +а;(ж, i), где
1, то приближенно можно
записать vgr ~ vq +
/
. Тогда условия F.12) и F.13) упроща-
упрощаются:
ж* - (г;0 + v'JZ*)U = С(^о + 25*).
Если, например, на входе в систему (ж = 0) волна модулирована
по частоте, 2@,t) = ujQs'mQt , то из F.14) находим параметры
точки опрокидывания
=0,
ж* =
F.15)
Как и следовало ожидать, при слабой модуляции время опро-
опрокидывания огибающей t* велико по сравнению с периодом моду™
ляции Т = 2тг/П. Действительно, из второго соотношения F.15)
получаем Т/?* ~ vq/ujqv^ ^> 1.
6.2.2. Пространственно-временные фокусы
Интересен вопрос, как нужно модулировать исходную волну,
чтобы ПВ-лучи F.9), выходящие при х = 0 из конечного интер-
интервала 0 ^ t ^ Т, сошлись одновременно в одной точке ж = ж*,
t = ?*, т.е. чтобы получился пространственно-временной фокус
(рис. 6.4). Ясно, что в точке фокуса уравнение характеристик
F.9) должно выполняться тожде-
тождественно для всех С(ш) в некотором
интервале их значений. Это воз-
возможно лишь при определенном за-
законе модуляции частоты падающей
волны, зависящем от закона дис-
дисперсии среды. Подставляя значения
ж = ж* и t = ?* в F.9), получим
АО = *\
-с
F.16)
Рис. 6.4. Формирование про-
пространственно-временного
куса
фо™
Следовательно, частота сигнала
Vgr{x^l)) изменялась в
Исключая переменную
должна быть промодулирована
так, чтобы ее групповая скорость
пространстве по линейному закону.
С из F.9) и F.16), получим явное
6.2
ЭВОЛЮЦИЯ МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНЫ
153
выражение для vgr как функции координаты и времени:
x*t — t*x
U -t
F.17)
Отсюда следует, что для идеальной фокусировки волны ее груп-
групповая скорость должна изменяться линейно в пространстве
(t = 0) или обратно пропорцио-
пропорционально времени на границе среды
х = 0. При малой девиации часто™
ты линейному изменению группо-
групповой скорости vgr = vq + юшиз отве-
отвечает линейное же изменение ча-
частоты 2@,t) = ujot/T (t < T =
= 2тг/0).
В качестве примера рас-
рассмотрим условия оптимального
сжатия электромагнитной волны,
распространяющейся в однород-
однородной изотропной плазме. Выясним
оптимальный закон модуляции
частоты волны на входе в плазму
и найдем координаты ПВ-фокуса.
Электромагнитная волна в
плазме описывается уравнением Клейна—Гордона B.9) и ее
групповая скорость равна
(СО =СОр)
ct
Рис. 6.5. Групповые линии для
электромагнитных волн в холод™
ной плазме
vgr(uj) =
Уравнение F.9) определяет ПВ-лучи
X =
F.18)
F.19)
представляющие собой прямые линии, выходящие из точек оси
х = 0. При ( = 0hwp^w<oo лучи непрерывно заполня-
заполняют сектор с углами 0^/3^ тг/4 на плоскости x^ct (рис. 6.5,
сплошные линии). Штриховыми кривыми на рисунке нанесены
линии равной фазы в = ujp/c-\/c2t2 — ж2, представляющие собой
гиперболы.
Для того чтобы все ПВ-лучи, выходящие из интервала
0 ^ t ^ Т, сошлись в одной точке (#*,?*) (рис. 6.6), необходимо,
чтобы их наклон увеличивался с увеличением времени выхода
154 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ. 6
ПВ-луча из оси х = 0. Требуемый для этого закон изменения
частоты u)®(t) на границе системы находится из F.18), если под-
подставить в него выражение для VgT из F.17) и положить х = 0:
-1
F.20)
Отсюда видно, что частота волны на входе в плазму должна
расти со временем. Это вполне понятно, поскольку групповая
скорость vgr(uj) является растущей функцией частоты. Если за™
даны значения частоты в начале и в конце цуга волны (о;о@) =
= cji, ш®(Т) = Ш2 > cji), то координата и время наступления
ПВ-фокуса будут равны
F.21)
где ki?2 = ^р/(^гу2- С прибли^кением начальной частоты волны
Cl?i к частоте плазменных колебаний шр (т.е. /si—>-1) расстояние
ж*, на котором происходит сясатие волны (см. рис. 6.6), убывает
из-за увеличения дисперсии.
ш2
©1
Рис. 6.6. Образование ПВ-фокуса (а) и закон изменения частоты волны
при входе в плазму (б): 1 — х = v(O)t и 2 — х = v(T)t + ((Т)
Эффект сзсатия частотно-модулированных сигналов в дис-
диспергирующих средах используется, например, в радиолокации.
Полученные здесь решения хотя и непригодны для определения
формы сигнала в точке наибольшего сжатия, зато они позволя-
позволяют проследить за процессом сжатия и определить координаты
6.3 ИЗМЕНЕНИЕ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 155
ПВ-фокуса при любых дисперсионных свойствах системв! и лю-
любом законе модуляции.
6.3. Изменение амплитуды волны
Для описания изменений амплитуды и энергии модулиро-
модулированной волны воспользуемся законом сохранения усредненной
энергии (см. § 4.5):
ж+i=»• <е-22>
В модулированной волне функции w и S не остаются посто-
постоянными, а медленно изменяются в пространстве и времени.
Если учесть, что средние величины энергии и плотности ее
потока связаны соотношением S = VgT((jj)w, то F.21) преобразу-
преобразуется в уравнение для w:
— + v^iuj)— + gK Jw = 0. F.23)
dt Б дх дх
Знак усреднения w здесь и в дальнейшем будем опускать. Это
уравнение линейное, но его коэффициенты VgT и dvgT/дх явля™
ются функциями координаты и времени и закон их изменения
определяется решением F.10). На первый взгляд, решение урав™
нения F.22) выглядит весьма сложным делом, поскольку функ-
функция VgT сама задана в неявной форме. Однако, эта трудность
исчезает, если в качестве одной из переменных взять ( = х —
~ ^gr(C)^- Перейдем в F.22) к новым переменным ?, t и учтем
равенства
дш dw dw д^ dw dw д^
?~? аса*' ~дх ~ Ъс^х"
dt gr d( dt l+t(dvgT/d?)'
Тогда F.22) запишется в виде уравнения с разделяющимися пе-
переменными
dw_ u)(dvgr/d() _ п
dt I + t(dvgr/d0
156 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ.
Решая его, получаем
=
Q@
F.25)
где Q(() — произвольная функция, определяемая начальным
или граничным условием. Второе равенство в F.24) следует из
того, что (дш/дх) = (duj/d()(d(/dx).
Так как в линейной среде энергия является квадратичной
формой: w = Ф(а;,А;)а2, то амплитуда сигнала описывается вы-
выражением
F.26)
а =
l+t(dvgr/d()\'
где Qi = ^/Q/Ф — также произвольная функция. Итак, в дан-
данном приближении для исследования процессов модуляции вол™
ны F.1) необходимо решать уравнения переноса частоты F.7)
или волнового числа F.6) и затем уравнение переноса энергии
F.14). Первое из них имеет общий интеграл F.10), а второе —
интегрируется при известном решении F.10). Таким образом,
исследование характеристик модулированной волны сводится к
вычислениям сравнительно простых выражений F.10) и F.25),
определяющих изменение частоты и амплитуды вдоль ПВ-луча.
Q
-> о
^ О
Рис. 6.7. Изменение интенсивности w ~ а и частоты модулированной вол-
волны: а — модуляция волны на входе в систему х = 0, б — модуляция при
х < ж*, в — модуляция при х > ж*
На рис. 6.7 представлено изменение интенсивности огибаю-
огибающей a2(t) волны с синусоидальной модуляцией частоты в среде
с dvgr/duj > 0.
Ниже рассмотрим некоторые физические следствия и при™
меры использования изложенной здесь теории.
6.4
АСИМПТОТИКА МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН
157
6.4. Асимптотика модулированных волн
Пусть в начальный момент времени задано некихирис лока-
лизованное в пространстве возмущение (волновой пакет). Каким
будет поведение волны по прошествии достаточно большого вре-
мени и на больших расстояниях от начальной точки? Соглас-
Согласно вышеизложенному, импульс будет расплываться, приобре-
приобретая вид последовательности волновых
групп, каждая из которых характеризу-
характеризуется своей частотой и распространяется
с соответствующей групповой скоростью.
Поэтому, на больших расстояниях и вре-
временах имеем
%¦
(() - x
F.27)
В этом случае на плоскости ж, t характе-
характеристики х ~~ Vgrt = ( можно считать вы-
выходящими ИЗ начала координат (рис. 6.8). Рис- 6-8- Групповые
В механике такая волна называется цен- линии центрированной
трированной волной разрежения, а выра- волны
жение F.26) является простейшим приме-
примером автомодельных решений (см. § 5.3). Выражения для энер-
энергии F.24) и амплитуды F.25) при больших значениях времени
имеют вид
МС) F.28)
Разумеется, в такой волне dvgT/d( > 0, поскольку вперед выхо-
выходят группы с большей скоростью.
Итак, для каждой группы плотность энергии убывает как
t, а амплитуда пропорциональна t^1'2. Распределение энергии
волны в пространстве определяется отношением Qi/(dvgT/d?),
которое зависит от спектра сигнала. В рассматриваемом случае
wdx = E^du, где Е(ш) = dW/duj — спектральная плотность
энергии, и, соответственно, w = Еш(дш/дх). Из равенства F.26)
и F.27), находим
w« . Е",, ¦ F.29)
Пусть спектральная плотность энергии Еш примерно посто-
постоянна в интервале частот от оо\ до ио2 и близка к нулю вне это-
этого интервала. Тогда по истечении времени плотность энергии
158 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ. 6
будет больше на участках со слабой дисперсией, т.е. там, где от™
ношение dvgr/dw мало. Физически это понятно: на таких участ-
участках волна расплывается медленнее. Соотношения F.26), F.27) и
F.28) совпадают с соответствующими асимптотическими выра-
выражениями, полученными в п. 5.2.1 методом стационарной фазы.
6.5. Асимптотическое поведение волн на воде
Для гравитационных волн на глубокой воде дисперсионное
уравнение имеет вид (см. § 2.3) ш = \/gk, и групповая скорость
равна
к 2w"
F.30)
Поэтому согласно F.26)для короткого начального импульса рас™
пределения частоты и плотности энергии в асимптотике имеют
вид
2х'
4^' W~~it
F.31)
В этом случае и частота, и плотность энергии в данный мо~
мент убывают в пространстве (рис. 6.9 а). Максимум энергии
C,(x,t)
w(x)
Рис. 6.9. Асимптотическое поведение гравитационной волны: а — распре-
распределение частоты и энергии в волне; б — распределение поля смещения в
пространстве
волны находится в области максимальной частоты. Поэтому,
если спектральная плотность волны вначале была постоянна
6.5 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ВОЛН НА ВОДЕ 159
(Еш = const) в некотором интервале частот, то в дальней-
дальнейшем плотность энергии будет расти в области коротких волн
(рис. 6.9 6). Хотя в океане относительно длинные волны могут
уходить на большие расстояния от области их возбуждения, они
несут лишь малую часть энергии волнового поля.
Иначе ведут себя длинные гравитационные волны на мелко-
мелководье. В этом случае частота ш ~ -\fgTi(k — h2k3/2) и групповая
скорость поверхностных волн равна Vgr = г?оA — /З^2), где у® =
= \fgh и /3 = h2/2. Отсюда находим, что в асимптотике
F.32)
v J
2/ЗЫ
Здесь амплитуда волны, в противоположность предыдущему
случаю, неограниченно растет с приближением к фронту (х =
= vot), а перед фронтом при х > v$t возмущение отсутству-
отсутствует. Это является следствием того, что для больших длин волн
(к —> 0) дисперсия гравитационной волны исчезает.
Для гравитационно-капиллярных волн, когда эффект по-
поверхностного натяжения становится сравнимым с действием
поля сил тяжести, дисперсионное уравнение имеет вид из =
= (gr + crfc3) и групповая скорость волнового пакета равна
Рассмотрим сначала очень короткие волны, для которых
эффекты капиллярности преобладают над гравитационными
(gk <Ccrfc3). Для таких волн v = C/2)л/ак, и тогда асимпто™
тические распределения волнового числа и энергии имеют вид
-toeEw- F'34)
При сравнимых гравитационных и капиллярных эффектах важ-
важно то обстоятельство, что при волновом числе к ~ 0, 39^/g/<r
групповая скорость имеет минимум, равный vmin = 1, lA^Jg/a.
Это означает, что все возмущение уносится из начальной точки в
область х > ^mint, причем плотность энергии в точке х* = Vj^^t
в данном приближении бесконечна, поскольку {dvgV/dk)v~^ = 0.
Это типичная ПВ-каустика. Распределение волновых чисел при
vmint < х становится двузначным. Более того, \dvgr\/dk имеет
160 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ. 6
максимумы как при к < &*, так и при к > &*, что приводит
к довольно сложному распределению плотности энергии в про-
пространстве.
6.6. Исторические замечания и комментарии
Геометрическая оптика и геометрическая акустика.
Геометрическая оптика и геометрическая акустика — упрощен-
упрощенные теории распространения света и звука, пренебрегающие
дифракционными явлениями. Волновое поле в этих теориях
представляют в виде лучевой картины, на зависящей от дли™
ны волны, и считают, что энергия поля распространяется вдоль
каждой лучевой трубки (луча) независимо от остальных лучей.
В однородных средах лучи — прямые линии, в неоднородных
они искривляются (явление рефракции).
С математической точки зрения геометрическое приближе-
приближение есть предельный случай волновой теории при стремлении
длины волны к нулю. Волновое поле локально рассматривает-
рассматривается как квазиплоская волна, бегущая в направлении касательной
к лучу. Геометрическое приближение неприменимо в областях,
где существенны дифракционные эффекты волнового поля (ка-
(каустики, фокусы), принципиально не учитываемые этой теорией.
В этих областях необходимо использовать квазиоптическое при-
приближение.
Пространственно-временнам геометрическая оптика.
Развитие пространственно-временной геометрической оптики
началось с отдельных работ и догадок, не казавшихся совре-
современникам существенными. По-видимому, первые кирпичики в
современное здание классической геометрической оптики зало-
заложил Гамильтон, который на частном примере колебаний цепоч-
цепочки связанных масс ввел фундаментальное для физики поня-
понятие групповой скорости волны. Свои результаты он сообщил в
1839 г. в письме Дж. Гершелю [И. 10].
В 1874 г. Н.А. Умов в своей докторской диссертации высказал
парадоксальную для того времени мысль, что энергия наподо-
наподобие жидкости льется в физических телах, подчиняясь при этом
гидромеханическому уравнению неразрывности.
Важный шаг на пути создания геометрической оптики сде-
сделали К. Рунге и А. Зоммерфельд, опубликовавшие вывод урав-
уравнения эйконала, описывающего пространственное распределе-
6.7 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 161
ние монохроматического электромагнитного поля из уравнения
Гельмгольца. Сам термин «эйконал» вошел в употребление фи-
физиков в конце 80-х годов XIX столетия.
Вопрос о применимости геометрооптических построений к
теории модулированных волн впервые, по-видимому, был по-
поставлен СМ. Рытовым в 1940 г. в докторской диссертации, в
которой он рассмотрел задачи о распространении модулиро-
модулированных электромагнитных волн в нестационарных средах [6.11,
6.12]. Интенсивное развитие метода пространственно-временной
геометрической оптики началось в 1960-е годы. Тогда же этот
метод стал рабочим аппаратом специалистов по теории волн.
Была развита четырехмерная форма уравнений геометрической
оптики на основе аналогии с поведением частиц в четырехмер-
четырехмерной механике. Это привело, в частности, к введению понятия
пространственно-временных лучей, которые широко использу-
используются в этой главе [6.1].
6.7. Задачи и упражнения
6.1. На границу прозрачной среды с законом дисперсии v(uS) =
= г?оA — /За;2) падает волновой пакет и = u^smujt с ли™
нейной частотной модуляцией ш = шпA — at/т), а =
= (шп — ujk)/con и длительностью, равной т. На каком рас™
стоянии от границы частотная огибающая волнового паке™
та «опрокинется»?
6.2. На поверхности глубокой воды в точке х = 0 возбуждается
гравитационная волна с частотой, возрастающей по линей-
линейному закону ш = шпA + at/r), 0 ^ t ^ т, а = (шп — Шк)/шп.
На каком расстоянии от места возбуждения частотная оги-
огибающая такой волны «опрокинется»?
6.3. Произойдет ли «опрокидывание» частотной огибающей
капиллярной волны на поверхности глубокой воды (ш =
= л/crfc3), если ее частоту модулировать по закону, указан-
указанному в задаче 6.1 или 6.2?
6.4. Изгибная волна в упругом стержне в простейшем случае
обладает дисперсией ш = сегк2 (см. п. 2.4.2). Что будет
происходить с частотной модуляцией изгибной волны, ее™
ли ее частота в точке х = 0 изменяется по законам, при™
6 Л.А. Островский, А.И. Потапов
162 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ГЛ. 6
веденным в задачах 6.1 или 6.2? В каком из этих случа™
ев частотная огибающая волны «опрокинется»? Найдите
расстояние, на котором произойдет «опрокидывание».
6.5. Найдите как должна изменяться во времени частота грави™
тационной волны (в приближении глубокой воды) на гра-
границе х = О, при котором модулированная волна «сфокуси™
руется». Найдите координаты ПВ-фокуса.
6.6. Решите задачу 6.5 для капиллярных волн на поверхности
воды.
6.7. Решите задачу 6.5 для изгибных волн в тонком стержне.
6.8. На границе слоя холодной плазмы (х = 0) задан короткий
импульс поперечной электромагнитной волны с равномер™
ным распределением амплитуды от а; = 0 до cjmax ^> шр.
Необходимо исследовать асимптотическое поведение вол™
ны вдали от ПВ-фокусов и ПВ-каустик. Нарисуйте каче-
качественные зависимости распределения частоты и плотности
энергии в волне, а также распределение поля волны по ко-
координате х.
ГЛАВА 7
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ
КВАЗИОПТИКА
Первое правило всяких вычислений со-
состоит в том, чтобы точность резуль-
результатов, ими доставляемых, соответство-
соответствовала той практической потребности,
для которой вычисление производится.
Очевидно, что расчеты не точны, но
слова «не точны» не равносильны сло-
словам «не пригодны для дела».
А. Н. Крылов
Так же, как в обычной геометрической оптике пренебрегав
ют дифракцией волны, в пространственно-временной геометри-
геометрической квазиоптике не учитывается «временная дифракция»,
приводящая к расплыванию отдельных групп волн. Эти эффек-
эффекты приходится учитывать, в первую очередь, для окрестности
ПВ-фокусов и каустик, где интенсивность волны в приближении
ПВ-геометрической оптики неограниченно растет.
В этой главе будет рассмотрен круг вопросов, связанных с
учетом «временной дифракции». Будет показано, что для ква-
квазигармонических волн с узким частотным спектром (а точнее, с
узким спектром групповых скоростей) процессы модуляции опи-
описываются уравнением Шредингера для комплексной огибающей
или его аналогами для действительных амплитуды и частоты.
В рамках этих уравнений мы проследим за эволюцией волны в
окрестности ПВ-фокусов и каустик.
7.1. Пределы применимости
ПВ-геометрической оптики
В приближении ПВ-геометрической оптики вблизи фокусов
длительность волновой группы стремится к нулю. В действи™
164 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА ГЛ. 7
тельности же из спектрального соотношения неопределенности
Аи)At ^ тг следует, что длительность сигнала при предельном
сжатии не может быть меньше Тш\п^ж / Аиот) где Аиот — макси-
максимальная девиация частоты. При этом «групповое» приближение
для волнового пакета, имеющего конечную ширину спектра До;,
теряет смысл, так как отношение конечных разностей Аш/Ак
отличается от производной duo/dk и уравнения F.7) и F.23) те™
ряют применимость. Выясним, до каких пор можно пользовать-
пользоваться «групповым» приближением.
Из A.20) следует, что при замене Аш/Ак на duj/dk ошибка в
фазе гармонических составляющих волнового пакета, вызванная
опусканием второго и следующих слагаемых в A.20), за время t
имеет порядок
К1Й Н. G-1)
Пока она остается малой (т.е. Аср < тг), можно считать, что оги-
огибающая не меняет своей формы и движется с групповой скоро-
скоростью Vgr. Отсюда находится время t, в течение которого спра-
справедливо «групповое» приближение
G-2)
Так как волновой пакет движется со скоростью vgr(koI то он
сохраняет свою форму до расстояния
7
Целесообразно различать случаи, когда волновой пакет имеет
широкий спектр Да; ~ ujq и узкий спектр Да; <С ooq. В первом
из них минимальная длительность группы волн равна Tmjn «
^тг/о;о, т.е. сжатие группы может продолжаться до тех пор, пока
ее длительность не будет сравнима с периодом осцилляции поля,
после чего говорить о медленной модуляции волны вообще не
имеет смысла.
Во втором случае при малых изменениях частоты, поня-
понятие модуляции сохраняет смысл повсюду. Действительно, здесь
Д^ с^ (dvgr/doo)AujJ причем Да; <ц, а минимальная длитель-
длительность группы много больше периода осцилляции Tmjn «тгДо; ^>
^>тго;о. Следовательно, в случае малой модуляции частоты есть
надежда «пробиться до конца», оставаясь в рамках «модуляци-
7.2 УРАВНЕНИЯ ПВ-КВАЗИОПТИКИ 165
онных» представлений. Для этого необходимо учесть эффект
дисперсионного расплывания волнового пакета, связанный со
следующими членами в разложении дисперсионного уравнения
A.20). Соответствующую модификацию геометрической опти-
оптики, учитывающую эффекты дифракции, часто называют квази-
квазиоптикой. Здесь мы рассмотрим аналогичное приближение для
пространственно-временных процессов.
7.2. Уравнения ПВ-квазиоптики
Групповая скорость лишь приближенно характеризует рас™
пространение модулированной волны, поскольку в этом случае
дисперсионная кривая ио = ш(к) аппроксимируется линейной за™
висимостью ш ~ ujq -j~u)f(ko)Ak (см. рис. 1.4 6). Если учесть сле-
следующие члены в разложении A.20), то огибающая волнового
пакета уже не будет перемещаться как единое целое. При уз-
узком спектре искажения огибающей модулированной волны бу-
будут медленными по сравнению с пространственными и времен-
временными масштабами несущей волны. Наша задача заключается в
выводе уравнений, описывающих эти медленные изменения.
7.2.1. Уравнение длм комплексной огибающей
Модулированную квазигармоническую волну будем описы-
описывать выражением
и(х, t) = A(x, t) exp [i(cjot — kox)], G.4)
где A(x,t) — медленно меняющаяся комплексная амплитуда.
Вид уравнения для комплексной амплитуды легко находится
по дисперсионному соотношению A.20). С помощью замены
(ш — ш®) = id/dt, (к — ко) = —гд/дх выражение A.20) преоб™
разуется в операторное соотношение:
Пренебрегая производными второго порядка порядка и выше,
получаем уравнение для огибающей в первом (групповом) при-
приближении:
дА . дА п
dt B дх
166 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА ГЛ. 7
Во втором приближении теории дисперсии, удерживая в G.5)
вторую производную по координате, получим следующее урав-
уравнение для комплексной огибающей:
дА 1 дА\ 1 rq2a п /7 а\
где /3 = о/;/2 = v'/2 — параметр, характеризующий дисперсию
групповой скорости. Из сопоставления этих уравнений видно,
что групповое приближение выполняется тем лучше, чем мед-
медленнее меняется амплитуда волнв! и слабее дисперсия среды.
Уравнение G.6) можно привести к более привычному виду, если
перейти к «бегущей» координате х' = х ~~ VgTt:
. дА . п д2А п (п ^
гж + Cд^ = °- G-7)
Его называют параболическим уравнением Леонтовича или
уравнением Шредингера.
Специальное рассмотрение требуется для области частот,
где групповая скорость достигает экстремума и, следователь-
следовательно, /3 = 0. В этих случаях в дисперсионном соотношении G.5)
определяющую роль начинает играть кубическое слагаемое, и
для комплексной огибающей получаем уравнение
гДе Pi = A/6)оош(ко). Оно совпадает с линеаризованным урав™
нением Кортевега де Вриза E.11).
7.2.2. Уравнения длм амплитуды и частоты
Прежде чем заняться исследованием решений уравнения
G.7), выведем уравнения для амплитуды и частоты огибаю™
щих модулированной волны. Представим комплексную ампли-
амплитуду A(x,t) в следующем виде1):
А(х, t) = a(x, t) exp [i(f(x, t)], G.9)
где a(x,t) и <p(x,t) — действительные функции, описывающие
соответственно амплитудную и фазовую модуляции волнового
пакета. Частные производные от фазы <p(x,t) дают поправки к
г) Для краткости будем опускать штрих у переменной х в G.7).
7.3 ГАУССОВ ИМПУЛЬС 167
частоте ujq и волновому числу ко несущей волны:
6ч, = % 8к = -&. G.10)
dt дх
После подстановки G.9) в G.7) и разделения действительной и
мнимой частей получим систему уравнений для a(x,t) и ip(x,t):
G.11)
да . п f^dadip . д2<р\ п
dt V дх дх дх2)
Приведем эту систему уравнений к более удобному виду. Для
этого продифференцируем первое уравнение по координате, а
второе умножим на амплитуду и введем новую переменную
U(x, t), равную
U = 2^ = -2/Ш;(ж, t). G.12)
ох
В итоге получим
^ |) = 0. G.14)
Система G.13), G.14) по виду напоминает уравнения гидродина™
мики идеальной сжимаемой жидкости, где U играет роль скоро-
скорости, а а2 — плотности среды. Их называют иногда уравнениями
дисперсионной гидродинамики, так как в них входит третья про-
производная по координате.
Может показаться, что мы усложнили задачу, преобразо-
преобразовав линейное уравнение G.7), в систему нелинейных уравнений
G.13) и G.14). Однако в ряде случаев работать с действитель-
действительными переменными удобнее, особенно в нелинейных задачах,
рассматриваемых в гл. 11. Пока же заметим, что в групповом
приближении (/5 = 0) модуляция волнового числа, описываемая
функцией U(x,i), эволюционирует независимо и порождает ам-
амплитудную модуляцию а(ж,?), описываемую уравнением G.14).
Такие процессы рассматривались в гл. 6. Во втором приближе-
приближении (/5 ф 0) частотная и амплитудная модуляции волны взаи-
взаимосвязаны.
168 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА ГЛ. 7
7.3. Гауссов импульс
Рассмотрим важный класс точных решений линейного урав™
нения Шредингера G.7), описывающих эволюцию волнового па-
пакета, у которого в начальный момент времени амплитуда из™
меняется в пространстве по гауссову закону, а волновое число
изменяется по линейному закону:
А(х, 0) = а0 exp (-jx2), G.15)
"
где 7 — А о" +^- Здесь Aq — начальная ширина пакета, 25 — ко™
эффициент модуляции волнового числа. В электродинамике мо-
модулированную волну с такой огибающей часто называют радио™
импульсом с частотной модуляцией. Решение уравнения G.7)
с начальным условием G.15) может быть получено с помощью
интеграла Фурье E.1), где F(k) = a®/^/4nj exp (—k2/4:j). Опус-
Опуская промежуточные выкладки, которые предлагаем проделать
самостоятельно в качестве упражнения (см. задачу G.3)), запи-
запишем получаемое в результате автомодельное решение
А(х, t) = , Qo exp A "?;fl2 ) . G.16)
Отсюда следует, что действительные амплитуда a{x^t) и фаза
<p(x,t) радиоимпульса изменяются по следующим законам:
/ 2 \
/ ,\ CIO I X 1 /г-7 i t-j\
aixA) = —; exp ^™-^—гт , 7.17
где введено обозначение T(t) = [A - 4@StJ + D^A^tJ]. От™
сюда видно, что амплитудная и фазовая огибающие волнового
пакета взаимно связаны между собой, а скорость распростране-
распространения его максимума совпадает с групповой скоростью волны Vgr.
Ширина волнового пакета Д(?) и его максимум a(t) изменяются
во времени по законам
A(t) = A0^/T{t), a(t) = ao/f/тЩ. G.19)
Анализ показывает, что в зависимости от знака произведения
коэффициента модуляции S и параметра дисперсии /3 = u)ff(k®)/2
7.3
ГАУССОВ ИМПУЛЬС
169
волновой пакет по мере распространения может сжиматься, если
5C > 0 (рис. 7.1) или расширяться, если 5/3 < 0. В случае сжатия
в некоторый момент времени
G.20)
2V21
ширина импульса достигает минимума, а значение амплитуды -
максимума:
^min —
G.21)
В приближении ПВ™геометрической оптики в точке ?*,ж* =
= Vgrt* происходит пересечение ПВ-лучей (см. п. 6.2.2), т.е. воз-
возникает ПВ~фокус. В этой точке импульс не модулирован по
частоте. В данном случае в отличие от геометрооптического
Рис. 7.1. Сжатие волнового пакета с линейной модуляцией волнового числа
приближения ширина и амплитуда волнового пакета имеют ко™
нечные величины. При переходе через ПВ-фокус импульс на-
начинает расплываться, его амплитуда уменьшается (рис. 7.1) и
вновь появляется частотная модуляция. Для удобства расчетов
вводят коэффициент сжатия импульса
кА =
хо;
G.22)
170
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА
ГЛ. 7
и коэффициент усиления амплитуды
;7.23)
При отсутствии частотной модуляции (S = 0) волновой пакет
только расплывается, и его ширина увеличивается в л/2 раз за
время
Л Л
G.24)
Ао
которое называется временем дисперсионного расплывания. На
рис. 7.2 приведены графики изменения во времени амплитуды
и ширины волнового пакета в зависимости от знака произведе-
произведения S/3.
А/Ач
a/an
Рис. 7.2. Изменение ширины (а) и амплитуды (б) волнового пакета с ли-
линейной частотной модуляцией: 1 — <5 = 0, 2 — ^/3<0, 3 — 6/3 > 0
В ряде задач возникает необходимость учета дисперсионных
эффектов третьего приближения. Особенно это относится к слу-
случаям, когда на несущей частоте ш® групповая скорость имеет
экстремум и, следовательно, w/f(k®) ~ C = 0. Такая ситуация мо-
может иметь место, например, при распространении продольных
волн в стержне и гравитационно-капиллярных волн на поверх-
поверхности воды, у которых дисперсионные кривые ш = ш(к) имеют
точки перегиба (см. рис. 2.7. и рис. 2.9). В этих случаях эво-
эволюция комплексной амплитуды A(x,t) описывается уравнением
G.8). В этом случае форма гауссова импульса изменяется с те-
течением времени, а скорость перемещения его максимума отли-
отличается от групповой скорости волны.
7.4 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 171
7.4. Автомодельные волны огибающих
В гл. 5 были рассмотрены автомодельные решения некото-
некоторых уравнений. Здесь будет рассмотрен более общий случай по™
лучения автомодельных решений уравнений G.13) и G.14) ме-
методом разделения переменных. Будем искать их решение в виде
произведения функций, каждая из которых зависит от одной
переменной
G.25)
Здесь ? — автомодельная переменная, а функции
G(?), Ф(С), D(t) подлежат определению. Подставляя G.25) в
G.13) и G.14), получим
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по соответст-
соответствующим переменным.
Рассмотрим различные случаи, когда в системе G.26), G.27)
разделяются переменные. Начнем с уравнения G.26), которое
имеет вид
Здесь П = (ф2)>/<рф2В, Т2 = D'/ipD3, 6i = (ФС2)'/С2, в2 =
= ЦО2I /G2 — комбинации из искомых функций, зависящие
только от времени или пространственной переменной. Диффе-
Дифференцируя его по t и ?, видим, что либо 02@, либо T2(t) должны
быть постоянными. В обоих случаях получаются уравнения с
разделяющимися переменными, в которых нас интересуют толь-
только решения с ограниченным значением амплитуды.
Если 62@ = i{G2y/G2 = Ci= const, то функция G2@ =
= ^Cl и амплитуда остается конечной только при С\ = 0 и,
следовательно, G = G®. Тогда из G.26) и G.27) получим
ф = с2с, Ф2 = ФЦ{с2г + с3), <pD = -i/(c2t + с3).
172 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА ГЛ. 7
Заметим, что все введенные здесь обозначения С]_?2,з? Gq и i/?q,
не поясняемые специально, относятся к константам интегриро-
интегрирования. Из полученных соотношений следует решение, описываю-
описывающее изменение амплитуды модулированной волны и поправки к
ее волновому числу:
Найденное решение описывает пространственно-временную эво-
эволюцию амплитуды и частоты волны, у которой в начальный мо-
момент времени амплитуда была постоянной, а волновое число из-
изменялось в пространстве по линейному закону: ёк = 2f3U(x, 0) ~
~ х. Такие решения уже рассматривались ранее в § 6.2 и 6.3,
однако там не учитывался эффект «временной дифракции» ПВ-
лучей.
Существенно богаче случай T2(t) = Df/(pD3 = C\ = const.
При этом из G.26) имеем
(Ф - dO ^ = С2^ Ф;. G.30)
Тогда в левой части G.27) переменные разделяются и возникают
две возможности:
^^ (^) , G.31)
либо
D' = QXD\ <f! = MXD\ /З2 (^) = ^Ф2 (l - C^J) , G-32)
где М, Mi, Qi — произвольные константы.
Рассмотрим сначала равенство G.31). В этом случае функ-
функции СиФ удовлетворяют сразу трем уравнения (G.30) и два по™
следних в G.31)). Они совместны при условиях М = 0, С\ = С25
Ф = Ci?, тогда G.30) выполняется тождественно. Из оставшихся
уравнений в G.29) и G.31) находим, что
=
G.33)
7.4 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 173
а функция Сг(?) удовлетворяет вырожденному гипергеометри-
гипергеометрическому уравнению
где В12 — константы интегрирования.
Среди решений уравнения G.34) особый интерес предста™
вляют локализованные импульсы с конечной полной энергией.
Искать такие решения имеются все основания, поскольку энер™
гия волны
+ ОО +ОО
/9 Ф Р 9
D J
должна сохраняться, т.е. ф2/D = const. Функции ф и D из G.33)
как раз удовлетворяют этому условию. Из теории дифференци-
дифференциальных уравнений известно, что такие решения уравнения G.34)
существуют при В\ > 0. Собственные значения краевой задачи
при А(±оо) = 0 даются условием {B2Jq)\/T3i = Bn + 1), где
п = 0,1,2,...,а соответствующие собственные функции равны
Ап(() ~ Bп\)-1/2е-1^2Нп((), G.35)
где С = (Bi/q2I'^, а ЯП(С) = (-1)п^(е-?)е? - полиномы
Чебышева^Эрмита (рис. 7.3). Амплитудная огибающая модули-
модулированной волны в этом случае имеет вид
где ( = Q\zj\f(Q\i + Q2J + B\. При всех значениях параметра
п решение G.36) описывает локализованные волновые пакеты
(радиоимпульсы). В частности, при п = 0 оно описывает эволк>
цию гауссова импульса с линейной частотной модуляцией (см. §
7.3). Длительность и амплитуда импульса непрерывно изменя™
ются по мере его распространения. Так, если Qi < 0, aQ2<0,
то импульс сжимается, и наибольшее сжатие достигается в мо~
мент t = t* = ^Q2/Qi (в точке ПВ-фокуса). При этом в фокусе
частотная модуляция волны отсутствует (U(t,x) = 0), как и в
гауссовом решении G.16). При удалении от пространственно-
временного фокуса импульс неограниченно растягивается, а ча-
частотная модуляция вновь нарастает. Если при некотором to < ?*
174
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА
ГЛ. 7
А к
известны Dq и начальная длительность импульса Tq на уровне
а = ag/i/e, то минимальная ширина волнового пакета при t = ?*
и п = 0 равна Amin = 2/Dq (см. рис. 7.2).
В случае, если выполняются условия G.32), локализованных
решений не существует. Здесь имеется другой важный класс ре-
решений, удовлетворяющий
перепаду («ступеньке») от
а(—оо) = 0 до а(+оо) = щ =
= const. Этот класс решений
описывается интегралами
Френеля. Он был получен ме-
методом теории размерностей
в п. 5.3.1 для комплексной
огибающей модулированной
волны.
Автомодельные решения
имеют важное физическое
значение. Они, как пра-
правило, представляют собой
асимптотики более широкого
класса решений, отвечаю-
отвечающих другим начальным условиям, и поэтому с их помощью
можно сделать полезные выводы о конечной судьбе других,
неавтомодельных волн.
п = 2
Рис. 7.3. Функции Чебышева-Эрмита
Нп(() при п = 0,1,2
7.5. Исторические замечания и комментарии
Параболическое уравнение Леонтовмча. Для описания
процесса распространения электромагнитных волн вдоль по-
поверхности Земли М. Леонтович и В. Фок в 1946 г. [6.6, 6.7] вы™
вели приближенное дифференциальное уравнение
,7.37,
и назвали его «параболическим уравнением». Параболическое
уравнение описывает поперечную диффузию комплексной лу™
чевой амплитуды А и сходно с уравнением Шредингера в кван-
квантовой механике.
Известны многочисленные обобщения пароболического урав-
уравнения (ПУ) на нестационарные и нелинейные волновые процес-
процессы как в однородных, так и неоднородных средах с регулярными
7.5 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 175
и случайными изменениями параметров. Однако наибольшую
известность получило обобщение параболического уравнения на
нелинейный случай (см. комментарии к гл. 11), которое принято
называть нелинейным уравнением Шредингера. Широкое рас-
распространение ПУ приобрело также в подводной акустике, при
исследовании распространения акустических сигналов по под-
подводным звуковым каналам в океане. Параболическое уравнение
Леонтовича составляет основу математического аппарата «ква-
«квазиоптики». Важным классом его решений являются гауссовы
пучки, структура которых имеет автомодельный характер.
Гидродинамическая аналогия квантовой механики.
Практически сразу же после появления уравнения Шрединге-
Шредингера, описывающего движение частицы с массой т во внешнем
поле с потенциалом U(x),
Е. Маделунг в 1926 г. предложил замену, которая сводила урав-
уравнение G.38) к системе уравнений для двух действительных
функций. Он представил комплексную функцию ф(х^) в виде
G.39)
где a(x,t) и S(x,t) — действительные функции. Подставляя
G.39) в G.38) и вводя обозначение v(x,t) = m~1dS/dx, полу-
получаем систему уравнений в частных производных (ср. с G.13),
G.14)):
dv . dv д г ТТ( ч 1 . h2 д ( ^\д2а\
m+vm = d^-u{x)a^ + 2^^\a Ы' G40)
^ + ^(™H.
dt дх х f
Первое из них без последнего слагаемого в правой части есть
уравнение Эйлера, а второе — уравнение непрерывности для
некоторой «гипотетической» среды. Здесь квадрат амплитуды
играет роль плотности (а2 = р) среды. Последнее слагаемое
в правой части уравнения Эйлера отвечает за дисперсионные
свойства среды. Преобразование уравнения Шредингера G.38)
к эквивалентным ему уравнениям G.40) называют гидродина-
гидродинамической аналогией. В физике нередко встречаются весьма ин-
интересные и поучительные аналогии между, казалось бы, разно-
разнородными явлениями.
176 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА ГЛ. 7
Дисперсионные эффекты высокого пормдка. На недо-
недостаточность приближения геометрической оптики для описания
нестационарного волнового поля впервые обратили внимание в
1914 г. Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн. Они рассмотре-
рассмотрели задачу о дисперсионном расплывании «полуограниченной»
(внезапно включенной) синусоидальной волны. Они показали,
что передний фронт сигнала всегда распространяется со скоро-
скоростью электромагнитной волны с. В начале прибывает передняя
часть сигнала — так называемый предвестник, который имеет
малую амплитуду и высокую частоту. Основная часть сигна-
сигнала всегда переносится со скоростью v < с. Выражение для v
не может быть записано в общем виде, так как ее определение
неоднозначно и связано с методом вычисления [5.6, 6.3].
Квазиоптика имеет дело с описанием волновых полей, ха-
характеризующихся различными масштабами изменения ампли-
туды в направлении локального волнового вектора и в перпен-
перпендикулярном направлении.
В отличие от геометрической оптики, описывающей рас-
распространение волн в каждой лучевой трубке независи-
независимо, «квазиоптика» учитывает эффекты поперечной диффузии
амплитуды в смежные лучевые трубки.
Возникнув в «недрах» электродинамики, квазиоптика в
дальнейшем приобрела универсальный характер как метод, при-
пригодный для волн любой природы и в любом диапазоне частот,
если только выполнен необходимый критерий ее применимости
A<Cd (где А — длина волны, d — характерный пространственный
масштаб волнового пакета).
7.6. Задачи и упражнения
7.1. Найдите решения системы уравнений G.13), G.14), опи-
описывающие возмущения амплитуды и волнового числа ква-
квазигармонической волны, у которой в начальный момент
времени t = 0 задана малая амплитудная модуляция
а(ж, 0) = «о + &т cos Kx, U{x10) = 0.
7.2. Найдите решение системы G.13), G.14), описывающее ста-
стационарную волну огибающей, зависящую от одной «бегу-
«бегущей» переменной г/ = х — Vt.
7.6 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 177
Указание. В стационарной волне частотная и амплитудная
модуляции связаны соотношением U(r]) = V + С\/а2(г]I а
переменная a(rj) удовлетворяет уравнению
где Ci?2 — произвольные постоянные.
7.3. Покажите, что решение уравнения G.7) с начальным усло-
условием G.15) описывается выражением G.16).
Указание. Решение записывается в виде интеграла Фурье
А(х, t) = a° J exp ( —— ) exp (i[kx — oj(k)x\) dk^
— оо
— пй!Л
где ш(к) = г[3k2. Замена переменной интегрирования
сводит интеграл Фурье к вычислению интеграла ошибок
А(х, t) = /° ехр
7.4. Запишите уравнения для действительной амплитуды и де-
девиации волнового числа, эквивалентные следующему урав™
нению для комплексной амплитуды:
.DAlQd2A .Q д3А п
7.5. Найдите решение уравнения Шредингера G.7), описываю™
щее эволюцию огибающей волны, которая в начальный
момент времени t = 0 имела лишь линейную частотную
модуляцию А(х,0) = agexp (i5x2). Найдите координаты
пространственно-временного фокуса.
Ответ. Амплитуда и фаза модулированной волны изме-
изменяются по законам:
а(х, t) = ао/лД-4/Ш, (р(х, t) = -Sx2/A
Координаты ПВ-фокуса: t* = 1/4/3<5, ж* = vgI/Af38.
ГЛАВА 8
ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ
Характер идеализации, допустимых
при рассмотрении той или иной за™
дачи, определяется всей задачей в це-
целом и зависит поэтому не только от
свойств рассматриваемой системы но
и от того, на какие именно вопросы
желательно получить ответ при рас™
смотрении задачи.
Л. И. Мандельштам
В предыдущих главах рассматривались волны в средах с по-
постоянными во времени параметрами. В таких средах гармониче-
ские волны не порождают волн других частот. Модуляция ам-
амплитуды и частоты появляется за счет граничных и начальных
условий, а форма огибающих изменяется по мере распростране-
распространения из-за дисперсии, приводящей к сдвигу фаз гармонических
компонет в волне. В этой главе будут рассмотрены случаи, когда
сама среда может служить «модулятором» распространяющей-
распространяющейся в ней волны, благодаря тому, что ее параметры изменяются
во времени.
8.1. Примеры систем с переменными параметрами
Рассмотрим некоторые примеры сред, у которых парамет-
параметры могут изменяться как в пространстве, так и во време-
времени. Причины и характер изменений параметров среды могут
быть самыми разнообразными: движение неоднородной среды
(плазмы, газа, жидкости), управление ее параметрами посред-
посредством распределенных в пространстве источников и т.п. Во всех
8.1 ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 179
рассматриваемых здесь примерах мы будем считать, что пара™
метры среды изменяются по заданным законам, не вдаваясь в
выяснение причин, их вызывающих.
Диэлектрик с переменными параметрами. В диэлек-
диэлектрике с изменяющимися в пространстве и времени электриче™
ской и магнитной проницаемостями индукции и напряженности
полей связаны материальными уравнениями
D = еое(х, t)E, В = fiofi(x, t)H. (8.1)
Ограничимся рассмотрением низкочастотных волн, когда эф-
эффектами дисперсии и диссипации можно пренебречь. Тогда, под-
подставляя (8.1) в B.1), приходим к уравнениям электромагнитного
поля в неоднородной нестационарной среде:
§| = -/*! И*, № , ^ = -ео! [ф, t)E]. (8.2)
Если величины электрического Е и магнитного Н полей
плоской линейно поляризованной волны выразить через вектор-
векторный потенциал для плоской линейно поляризованной волны:
w дА п I дА /й «\
dt /i0 дх v 7
то систему (8.2) можно свести к одному уравнению второго по-
порядка
![«*¦<]-«"?["<*•<]=«*>¦ (8-4>
где с2 = 1/eo/iQ — квадрат скорости электромагнитной волны в
вакууме, a Q(x) — произвольная функция. В общем случае, при
произвольной зависимости проницаемостей e{x1t) и /i(^,i), на-
напряженности электрического Е и магнитного Н полей по отдель-
отдельности удовлетворяют дифференциальным уравнениям не ниже
третьего порядка (см. задачу 8.1).
Система (8.2) и уравнение (8.4) имеют достаточно универ-
универсальный вид. Аналогичными уравнениями описываются волны
в радиолиниях, акустические волны в нестационарной среде, по-
поперечные волны в струне с переменными натяжением и плотно-
плотностью и т.п. Такое совпадение еще раз указывает на существова-
существование математической аналогии при описании волновых процессов
в системах различной физической природы.
Движущаяся неоднородная плазма. Пусть плоскосло-
плоскослоистая неоднородная плазма движется произвольным образом
180 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
вдоль оси х со скоростью vx = v(x,t). Величины электрического
Е и магнитного Н полей плоской волны могут быть выражены
через векторный потенциал (8.3), который удовлетворяет урав-
нению
2д2А д2А
с
Здесь с = I/^/sq/iq, N — переменная концентрация электронов в
dy
плазме, vy = -j- — поперечная компонента скорости электрона.
К уравнению (8.5) необходимо добавить уравнение движения
электрона под действием электрического поля волны:
где m(x,t) = ттгоA — v2/с2)~1/2 — релятивистская масса элек-
электрона. Отсюда следует, что vy = (e/m)A и (8.5) записывается в
виде уравнения Клейна-Гордона с переменным коэффициентом
где шр = (Атге2Nx/rrixjI/2 — переменная плазменная частота.
Таким образом при описании электромагнитной волны в
неоднородной движущейся плазме с помощью векторного по-
потенциала А получается уравнение такого же вида, как и при
N = const. В то же время уравнения для электрического и
магнитного полей имеют более сложный вид. Так, например,
для электрического поля из (8.7) и (8.3) получим интегро-
дифференциальное уравнение
ggМ/ „ (8.8)
Изменение концентрации электронов в плазме может происхо-
происходить также из-за процессов рекомбинации и ионизации.
8.2. Пространственно-временнам
геометрическая оптика
Многие задачи о распространении модулированных волн в
диспергирующих средах с переменными параметрами могут
быть решены методом пространственно-временной геометриче-
геометрической оптики, описанным в гл. 6. Здесь дается его обобщение
8.2 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 181
на задачи, связанные с исследованием распространения моду-
модулированных волн в неоднородных и нестационарных средах с
дисперсией.
8.2.1. Уравнения длм частоты и волнового числа
В общем случае плавнонеоднородной и нестационарной среды
снова предполагается, что для квазигармонической волны
и = А(х, t) exp {i0(x, t)} (8.9)
выполняется локальное дисперсионное соотношение
ш = f[k,p(x,t)] или к = ф[ш,р(х,г)], (8.10)
где p(x,t) — некоторый заданный переменный параметр среды.
Оно учитывает явную зависимость мгновенной частоты ш =
= дв/dt и локального волнового числа к = —дв/дх от простран-
пространственной координаты х и времени t через некоторый параметр
(или совокупность параметров) p(x,t). Подставляя (8.10) в тож-
тождество dk/dt = ^дш/dxj приходим к уравнениям для k(x1t) и
о;(ж,?), обобщающим уравнения переноса F.6) и F.7):
дш / ч дш / ч / дф \ др
дк . п ,дк (df\ dp \ ' )
dt ох \ор/к ох
где v = (duj/dk)p=const = (дк/duj)p=const — локальная групповая
скорость модулированной волны (здесь и далее индекс у группе™
вой скорости опускается). Квазилинейные уравнения в частных
производных (8.11) эквивалентны системам обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений
dx / \ duj / ч f дф\ др /о л с\\
~Ж = у(ш>рЪ "di = ~у(ш>Р) (ф)ш W ^ ^
Так как ш ж к связаны дисперсионным соотношением (8.10), то
достаточно рассмотреть лишь одно из уравнений (8.11). Удоб-
Удобство использования того или иного из них зависит от особен-
особенностей конкретной задачи. Далее мы остановимся на анализе
уравнения переноса частоты uj(x^t). В общем случае из системы
уравнений (8.12) получаются два первых интеграла
IIi(a;,a;,t) = Сг и H2(uj1dk/dp1x1t) = C2, (8.14)
182 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
где Ci?2 — произвольные константы. Эти интегралы определяют
семейство характеристических кривых в пространстве о;, ж, t. Их
проекции на плоскость ж, t (при ш = const) дают ж, t-лучи (ПВ-
лучи), которые, в отличие от ситуации, рассмотренной в п. 6.1,
уже не являются прямыми линиями.
В одномерных задачах ПВ-лучи будем называть групповы-
групповыми траекториями, поскольку они описывают модулированную
волну как последовательность волновых групп (цугов). Движе-
ние групп зависит как от их частот, так и от закона изменения
параметров среды. Общее решение первого уравнения (8.11) за™
писывается в виде Щ = F(IJi), где F — произвольная функция,
определяемая из начальных или граничных условий (см. § 8.4 и
8.5).
Из уравнений (8.12) и (8.13) следует, что у данной волновой
группы к меняется только в неоднородной среде, aw — толь-
только в нестационарной. Следовательно в среде с переменными во
времени параметрами, даже при гармоническом начальном (или
краевом) возмущении, в бегущей волне появляется частотная
модуляция, которая в диспергирующей среде может сопрово-
сопровождаться появлением ПВ-каустик или ПВ-фокуеов. Это позво™
ляет эффективно управлять частотой и амплитудой волны за
счет изменения параметров среды.
Сделаем краткое замечание о волне, представляющей собой
короткий цуг, длина I и длительность Т которого много мень-
меньше масштабов изменения параметров среды. Частоту такого цу-
га можно считать постоянной, а его длина изменяется вслед-
вследствие того, что концы цуга движутся с разными групповыми
скоростями v\ и V2 вследствие неоднородности среды, поэтому
dl/dt = V2 — v\ или, при малой длине дуги dljdt = dv/dxl. Сле™
довательно, можно записать
где Iq — первоначальная длина цуга, а интеграл берется вдоль
групповой траектории. Временная длительность цуга Т равна l/v.
8.2.2. Изменение амплитуды и энергии волны
Как уже отмечалось ранее (см. п. 4.1.1), энергия волнового поля
в нестационарной среде изменяется за счет работы, совершае-
совершаемой при изменении во времени параметров среды, и, следова-
следовательно, энергия волнового пакета не сохраняется. Для анализа
8.3 СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 183
изменения амплитуды и энергии волны вдоль ж, i-луча в средах
с переменными параметрами удобнее пользоваться не законом
сохранения усредненной энергии, а законом сохранения волно-
волнового действия D.42), справедливым и в системах с переменными
параметрами:
где J = д^/дш = w/ш. Это линейное уравнение с переменными
коэффициентами. От него, при необходимости, можно перейти
к уравнению для амплитуды, если принять во внимание, что
в квазигармонической волне (8.9) действие J ~ шА . Решение
уравнения (8.15) может быть записано в следующей форме:
J = Jo(IIi) exp (- J (dv/дх) dt) , (8.16)
где интеграл должен вычисляться вдоль пространственно-
временной траектории, определяемой уравнениями (8.14).
Из (8.15) следует, что для локализованного волнового паке-
пакета сохраняется интеграл / = J Jdx. Это означает, что энергия
любой волновой группы изменяется пропорционально измене-
изменению ее частоты. Следовательно, для короткого волнового паке-
пакета, когда можно пренебречь изменением частоты на его длине,
отношение _
т W fwdx /о 1 ^\
J = — = ™ = const (8.17)
ш ш
является адиабатическим инвариантом (см. п. 4.3.2).
Поскольку в линейной среде средняя энергия пропорцио-
пропорциональна квадрату амплитуды, соотношение (8.17) молено исполь-
использовать для определения изменения амплитуды волновой груп-
группы.
8.3. Среда с бегущей волной параметра
Если параметры среды зависят как от координаты, так и от
времени, то в этом случае при наличии в среде дисперсии пер-
первое из уравнений (8.12) нельзя решить независимо от второго.
Аналитические решения могут быть найдены для класса систем,
параметры которых зависят от одной переменной г) = at+qx^ где
а и q — постоянные. Эта зависимость описывает среду, у кото-
которой параметры меняются по закону бегущей волны (V = —a/q).
Ее частные случаи: неоднородная стационарная среда (а = 0) и
однородная нестационарная среда (q = 0).
184 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
8.3.1. Общие соотношения
Для того, чтобы проинтегрировать нелинейные уравнения (8.11)
для к и ш, удобно ввести новую искомую функцию s = (Зш + ак,
а в качестве независимых переменных выбрать г/ и ? = a't + qrx,
где а! ж q1 — произвольные константы и a!q ф aqf. Тогда из (8.11)
легко получить
— + 6"(s,77)— = 0, (8.18)
где b(s,ri) = (af + Vq'/{a + Vq)). Уравнение (8.18) эквивалентно
характеристической системе
Л = Ь^,//), ^7 = 0,
а их первые интегралы имеют вид
v
о — j?(f\ с — Р — f Ь—1 f ч f]') (jJ fft 1 п)
Здесь F — произвольная функция, а интеграл во втором вы-
выражении вычисляется при постоянном значении s. Частота ш и
волновое число к модулированной волны находятся по извест-
известной функции s из закона дисперсии. Аналогично п. 6.2.1 нетруд™
но получить, что в точке «опрокидывания» волны выполняются
соотношения:
J TsdVl = °' д*+ J
Аналогичным образом можно проинтегрировать и уравнение
волнового действия (8.15), описывающее распределение интен™
сивности волны вдоль ПВ-луча. Для этого в качестве независи-
независимых переменных нужно выбрать rj и ?, последняя определяется
из (8.19) в неявной форме. Поскольку вдоль ПВ-лучей d(/dt =
= d(/dt + V(d(/dx) = 0, а в силу (8.19)
д( _ q -qb(s,ri) /о 91\
7^ ~" n ' {O.ZI)
l + (ds/dt) J(db/ds)df]
то уравнение в частных производных (8.15) переходит в обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение, интеграл которого имеет
8.3 СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 185
ВИД
l + (ds/dC) J(db/ds)dr]
где Q(() — произвольная функция, w — среднее значение плот-
плотности энергии. Таким образом, решение граничной (или началь-
начальной) задачи сводится к определению функций s(?) и Q(().
8.3.2. Стационарные волны огибающих
Рассмотрим более детально модулированную волну, параметры
которой зависят от переменной ц = x — Vt. Для конкретности бу-
дем интересоваться распространением электромагнитной волны
в неоднородной плазме, движущейся с постоянной скоростью V.
Электромагнитное поле в этом случае описывается уравнением
(8.7), где плазменная частота зависит от бегущей координаты
Шр = Шр(г]). Наибольший интерес здесь представляют особенно-
особенности, связанные с групповым синхронизмом^ когда скорость вол-
волны параметра V близка к групповой скорости волны. Именно
в этом случае возможно наиболее эффективное преобразование
частоты и амплитуды волны. Положим в (8.19) и (8.22), что
s = ш - vk, с = *, Ф, v) = [i- v(si n)hVl • (8.23)
В такой среде возможно существование модулированных волн,
у которых огибающие движутся вместе с волной параметра. Это
так называемые стационарные волны огибающих^ все парамет-
параметры которых зависят от одной переменной г/.
Пусть в полупространстве г) < щ, где параметры среды по-
постоянны, задана монохроматическая волна. Тогда граничными
условиями будут
о; (г/о) = ^сь Hvo) = ко, J(vo) = ^о, (8-24)
и решение задачи при г] > щ молено искать в виде функции
одной переменной г). Подставляя s = s(r)) в (8.18), легко видеть,
что имеются две возможности: или v(s,r)) = V, или s = 5o, где
s® — произвольная константа. В первом случае переменная 5, а
значит, w и i, являются вполне определенными функциями г/,
но, вообще говоря, не удовлетворяющими граничным условиям
(8.24). Во втором же случае, полагая sq = ujq — vko^ получим
решение задачи для произвольных значений ш® и ко. При этом
186
ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ
ГЛ.
из (8.22) следует, что
oji]) TV-v(ujOjr]o)
V -
125)
а из дисперсионного уравнения
найдем выражение для частоты и волнового числа как функций
бегущей координаты rj:
ш =
к =
(8.26)
где /3 = VIс — отношение скорости волны параметра к скорости
электромагнитной волны в вакууме.
eJ
/
0 0,2 0,4
i
2
1
eJ
7 |
/ i
/ .
^^^ I
1
V^—>
0,2 0,4\
б
Рис. 8.1. Зависимость частоты, волнового числа и амплитуды полей элек-
электромагнитной волны от концентрации в движущейся неоднородной плазме:
а -/3 = 0,3; 5-/3 = -0,3; д = ^|
На рис. 8.1 приведены зависимости частоты и волнового чис™
ла от концентрации плазмы при попутном (/3 > 0) и встречном
(/3 < 0) движении волн сигнала и параметра. Для определенно™
сти предполагается, что ш2G] < щ) = 0. Здесь же показано изме-
изменение напряженностей электрического Е ~ yuoJ и магнитного
Н ^ 1(ш2—ш2(г])) J]1/2 полей волны, найденное с помощью (8.25).
При встречном движении сигнала и волны параметра (/3 < 0)
в точке, где Sg = 61^G7*), волновое число проходит через нуль, и
8.3 СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 187
направления групповой Vgr и фазовой ур^ скоростей меняются
на обратное из-за явления сноса волны средой (рис. 8.1 б).
В критической точке ц = г/сг, где Шр = «s{j/(l — /52), величины
ш ш к становятся комплексными. Это соответствует точке пово-
поворота волны в неподвижной неоднородной плазме. Следует отме-
отметить, что в точке поворота v(r]cr) = V, т.е. она является точкой
группового синхронизма. Ее траектория на ж, t-плоскости соот-
соответствует ПВ-каустике, в окрестности которой поведение поля
описывается функцией Эйри.
8.3.3. Периодическая волна параметра
Для нестационарных процессов вычисление интегралов в (8.19),
(8.22), необходимых для определения функций s(() и Q(C), яв-
является существенно более сложной задачей, чем в стационарном
случае. В этом разделе обсудим ситуацию когда параметры сре-
среды изменяются по периодическому закону.
Общие соотношения. Прежде чем рассматривать такие
задачи, сделаем ряд дополнительных упрощений: будем пола-
полагать изменение параметров среды p(x,t) не только медленным,
но и малым, т.е. р = ро +Р;(^M гДе р1 ^Ро- Тогда изменения cj, к
и s (но не амплитуды) также будут малыми и из (8.19) получим
v
С(з') = t + (bo + f/) *7 - ? / P'(s, Vf) H, (8.27)
о
где ш = ujq + a/, s = s0 + sf, b = A - v/V)'1, b0 = b(so5Po)-
Если задана функция s;(O,t) = <s(i), а значит и обратная
функция t(s'), то из (8.27) следует
ту /ч _ t-boTj- (db/ds)sfr] - (dbfdp) jpfdr]f f ,
4S ] 1 - bo - /
Будем считать далее, что р1{т\) осциллирует с нулевым средним.
Тогда последний член в числителе (8.28) остается малым при
всех х и t и может быть отброшен. Подставляя еще значения bo
и db/dSj получим
\(&&?)] (8.29)
Таким образом, согласно (8.29) в первом приближении sf рас-
распространяется как простая волна со скоростью v(s) = vq +
188
ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ
ГЛ.
+ vo(dv/ds)sf (см. § 6.1). Изменение параметра pf(x^t) сказы™
вается лишь на виде граничной функции s(t). Если при х = О
задана ш' = ?(?), то s' = а/A — V/vq) + (V/vo)(du)/dp)pf, и из
(8.29) получаем выражение для а/, а из (8.22) — для интенсив-
интенсивности.
Гармоническам волна параметра. Пусть задан гармони-
гармонический закон изменения р1 = рт sinOrj, uo{t) = 0, тогда
ш = — [ — \рт sin и С < sin О t - — ) -
_ sin [t _ i (!_
J/Jo
$.31)
где С = t - (x/v0) [1 - у^{ду/дз)з'].
Следовательно, при малом периодическом изменении пара-
параметра р изменение частоты а/ является квазипериодическим с
характерным временным перио-
периодом Т = 2тг/О и пространствен-
пространственным периодом Л = tt/IQ^^1 ~~
~~ v^~ )]. На больших расстояни-
расстояниях сказываются дисперсионные
искажения волны, приводящие
к «опрокидыванию» частотной
огибающей u)'(x,t). Это опроки-
опрокидывание происходит в точке с
а/ = 0 и координатой
(8.32)
(dv I дш)(дш I др)ртп'
Рис. 8.2. Частотная и амплитуд- Из (8.30) ВИДНО, ЧТО С при-
ная огибающие волны в среде с пе- ближением к групповому син-
риодической волной параметра при хронизму (V -> Vq) максималь-
Ш = 2тгп ная девиация частоты растет.
Это, естественно, влечет за со-
собой рост дисперсионных искажений, и значение координаты х*
уменьшается. Развитие частотной и амплитудной модуляции
волны для этого случая показано на рис. 8.2.
8.3 СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 189
Применимость формул (8.27)—(8.31) ограничена условия-
условиями малости а/ и медленности модуляции параметров среды
^ ^ ^5 так как не учитывается дисперсионное расплывание
волнового пакета. Эти условия совместны, если
dv
поэтому при V —>• v® геометрооптическое рассмотрение неспра-
несправедливо. Этот случай может быть более подробно исследован в
приближении пространственно-временной квазиоптики.
Интересное обобщение этой теории возникает, когда мы рас-
рассматриваем процесс в подвижной системе отсчета. В ней пара-
параметры среды постоянны во времени и частота каждой группы
не изменяется. Для некоторых групп может случиться так, что
точки группового синхронизма могут находится внутри одного
периода волны параметра, поэтому группа будет «захвачена»
волной накачки. Точно также это может иметь место для частиц
в силовом поле с периодическим в пространстве потенциалом.
8.3.4. Модулмцим поверхностной волны на воде
Кратко обсудим важную для океанологии задачу о взаимодей-
взаимодействии между внутренней и поверхностной волнами. Длинная
внутренняя волна создает волну параметра в виде горизонталь-
горизонтального течения U(x — ci), бегущую с фазовой скоростью с и воз-
воздействующую на короткую гравитационную волну. Групповая
скорость последней vgr = (l/2)y/g/k может быть близка к с,
что и означает наступление группового синхронизма. Воздей-
Воздействие волны параметра при этом может быть весьма сильным
даже при малой ее амплитуде, когда /3 = U/c <C 1.
Эту задачу удобно рассматривать в системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью с. В ней параметры среды не зависят от
времени и, следовательно, частота попутного волнового пакета
ш® отличается от локальной частоты ш = \fgk в неподвижной
воде на величину доплеровского сдвига к (с — U) = кс[1 — /3(^?)],
где г] = х — ct. Следовательно, дисперсионное уравнение для
поверхностной волны имеет вид
Шо = ^/^к -ск + скр(г)), (8.33)
где ш® — частота в сопровождающей системе отсчета.
Нас интересуют значения волнового числа fc, близкие к усло-
условиям группового синхронизма. Поэтому положим к = ко + к1\ где
190
ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ
ГЛ.
к1 мало, а ко удовлетворяет условию ^gr(fco) = (l/2)^/g/fco = с.
Разлагая y/gk в ряд по к1 с точностью до к12 включительно,
получаем
sk12 = ^шо + скоC(г}), (8.34)
где s = c/4fco > 0, а ш® = ujq —
Пусть, например, внутренняя волна синусоидальна, т.е. /3 =
(причем к, <С к). Тогда зависимость fc;(?]), определя-
определяемая равенством (8.34),
р(т|) имеет вид, показанный на
рис. 8.3, на котором раз-
различные кривые отвечают
разным значениям ujq.
Очевидно, что (8.34) име-
имеет действительные решения
лишь при с^о/Зо =^0^0.
При этом в области \ujq\ <
< ско/3 кривые kf(r]) замкну-
замкнуты (всегда есть точки, где
к1 обращается в нуль), а при
ujq < 0 и \ujq\ > ско/3 — неза-
незамкнуты. Кривые, представ-
представленные на рис. 8.3, — это
траектории групп поверх-
Рис. 8.3. Траектории движения цугов постных волн. Среди них
поверхностных волн в поле внутренней есть «захваченные» груп-
волны пы (траектории типа 5), все
время остающиеся в преде-
пределах периода внутренней волны, и «пролетные» группы (траекто-
(траектории типа 1), движущиеся со скоростью, заметно отличающейся
от с и не удерживаемые волной параметра. Эти типы движений
разделены сепаратрисой (кривая 2). Вся эта картина движения
такая же, какая наблюдается у частиц в периодическом силовом
поле.
Подобные эффекты способны приводить к сильной пере™
стройке спектра поверхностных волн и тем самым делать вну-
внутренние волны видимыми на поверхности моря в виде «ели™
ков» — полос более гладкой поверхности, расположенных вдоль
фронтов внутренней волны. Они возникают из™за того, что по™
верхностные цуги, группируясь в одних местах, оставляют глад-
гладкие полосы в других.
8.4 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ КВАЗИОПТИКА 191
8.4. Пространственно-временная квазиоптика
Чтобы устранить особенности геометрооптических решений,
возникающие вблизи пространственно-временных каустик и фо-
фокусов, необходимо отказаться от предположения, что движение
волнового пакета определяется лишь локальной групповой ско-
скоростью, и учесть эффект дисперсионного расплывания. Как по-
показано в гл. 7, уточнение «геометрических» формул (8.30) и
(8.31) в рамках модуляционного подхода имеет смысл для волн
с узким спектром, когда применимы «квазиоптические» уравне-
уравнения.
Рассмотрим короткий волновой пакет, протяженность кото-
которого мала по сравнению с масштабом изменения параметров
среды. Такой пакет локализован вблизи одного ПВ-луча, и из-
изменения огибающих вдоль луча происходят на много больших
масштабах, чем размер самого пакета. Решение снова можно
отыскивать в виде (8.9), но в уравнениях (8.11) следует удер-
удерживать вторые производные от амплитуды.
Для вывода уравнения модуляции удобно перейти от неза-
независимых переменных х и t к переменным вдоль ПВ-луча t и (,
где ?(ж, t) — «групповая» переменная, являющаяся интегралом
уравнения характеристик (8.12) и удовлетворяющая уравнению
d(/dt + v(d(/dx) = 0. Выражение для комплексной амплитуды
волны представим в виде
A(x,t)=T(t,()A0(t,O, (8.35)
где функция А® описывает изменение амплитуды в «геометри-
«геометрическом» приближении, а Г — переменный комплексный мно™
житель, учитывающий дисперсионные искажения пакета. Тогда
для Г(?, () получим параболическое уравнение с переменными
коэффициентами (ср. с G.7)):
где /?(?,?) = A/2)(д2к/дш2)Ро — дисперсионный параметр, а
коэффициент (д(/дхJ учитывает изменение параметров среды
вдоль ПВ-луча.
Частным решением уравнения (8.36) является импульс гаус-
гауссовой формы
2
Здесь /(?, ?) и q(t, ?) — комплексные функции, характеризующие
192 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
медленные изменения параметров импульса вдоль ПВ-луча и
удовлетворяющие уравнениям:
Решая их, находим
о • I о I ®С
— mq® I p [-^-
*J V от
С) =
где до и /о — комплексные постоянные, определяемые парамет-
параметрами волнового пакета при t = 0.
Эти формулы обобщают решение G.16), полученное в § 7.3
для среды с постоянными параметрами. Амплитудная огибаю-
огибающая имеет гауссову форму, а фаза квадратична по переменной
?, что соответствует линейной частотной модуляции. Такой им-
импульс может испытывать дисперсионное сжатие. При этом ко™
эффициент сжатия импульса G.22) равен К = Imgo/2Rego и,
следовательно, условие существенного сжатия имеет вид Re go "С
<С Imgo-
Необходимо иметь в виду, что в неоднородной (или нестаци-
нестационарной) среде гауссово решение справедливо лишь на ограни-
ограниченных интервалах х и t. Действительно, расплывание импульса
приводит к тому, что его длина с течением времени сравнится
с масштабом неоднородности и затем превысит его. В резуль-
результате расплывания параболическое слагаемое в (8.36) становит-
становится пренебрежимо малым. На этом этапе решение описывается
«геометрическими» формулами и дальнейшее расплывание им-
импульса связано с расхождением ПВ-лучей.
8.5. Волны в среде без дисперсии
При отсутствии дисперсии скорость распространения волны
зависит только от параметров среды, а дисперсионное соотно-
соотношение остается линейным: ш = kv(x,i). В этом случае прибли-
приближение ПВ-геометрической оптики можно обобщить на случай
неосциллирующих волн, таких как короткие импульсы без вы-
высокочастотного заполнения. В этом разделе такие задачи будут
рассмотрены на примере электромагнитных волн в диэлектрике
с переменными параметрами. Излагаемый ниже подход в силу
математической аналогии применим и к другим типам волн в
8.5 ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 193
средах, не обладающих дисперсией, например, к упругим вол™
нам в твердых телах.
8.5.1. Уравнения длм связанных нормальных волн
При постоянных параметрах среды (/i = const и е = const) ре-
решение уравнений Максвелла (8.2) представляет собой суперпо™
зицию волн, бегущих в противоположных направлениях:
E(x,t) = Ei(x - vt) + Е2(х + vt),
H(x,t) = Z~l[Ei{x-vt) - E2(x + vt%
где v = с/у/ёЦ = c/n — скорость распространения волны в среде,
п = у/ёЦ — коэффициент преломления, Z = л/JjJs — волновое
сопротивление (импеданс) среды. Исходя из (8.37), будем искать
выражение для полей Е и Н в виде суммы и разности двух
функций при переменных параметрах е = e{x1i) и /л = /j,(x,t):
E = ui(x,t) +u2(x,t), H = Z^l[ui{x,t) -u2(x,t)]. (8.38)
Здесь ui^(xjt) — новые искомые функции. Из (8.38) легко по™
лучить и обратное преобразование:
щ = A/2)(Е + ZH), и2 = A/2)(?7 - ZH). (8.39)
Подставляя его в (8.2), для щ^2(х^) получаем симметричную
систему уравнений с переменными коэффициентами:
d d 7
к12и2,
(8.40)
где коэффициенты кц имеют следующий вид:
-idZ\ , 1 fdZ -\dZ
Здесь г?(ж, t) = c/y/ejl = c/n(x^ t) — величина, имеющая смысл ло~
кальной скорости распространения волны.
7 Л.А. Островский, А.И. Потапов
194 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
Левые части уравнений (8.40) описывают волны, бегущие в
положительном (щ) и отрицательном (щ) направлениях оси ж,
а их правые части ответственны за эффекты трансформации
волн из-за неоднородности и нестационарности среды, а также в
результате их встречного взаимодействия. Уравнения (8.40) на-
называют уравнениями, приведенными к нормальной форме, они
эквивалентны исходным уравнениям Максвелла (8.2). Заметим,
что изменения коэффициентов kij(x, t) здесь еще не предполага-
предполагаются ни малыми, ни медленными. Если волновое сопротивление
среды остается постоянным, то уравнения (8.40) разделяются, и
бегущие волны щ и и2 становятся независимыми.
Уравнения связанных нормальных волн (8.40) можно запи-
записать в более компактной форме, если от физических перемен-
переменных x,t перейти к лучевым переменным ?1,2B^)? являющимся
решениями характеристических уравнений
\-v(t t) (R Л9)
-J— СУ 1 Jb • и I • IO.tcZjI
Так как ?i52 являются интегралами уравнений (8.42), то выпол-
выполняются равенства
д , -id'
dt \дх dt) Si'z
и левые части (8.40) преобразуются к более простому виду
,-1<
— ± t;^1 — j ?i52 — линейные дифференциаль™
ные операторы. В результате вместо (8.40) получим уравнения
в лучевых переменных
ЛЗ)
Их левые части представляют собой производные вдоль ПВ-
лучей ?i?2. Если вместо щ^ ввести новые искомые величины
^(Сь6)], j = 1,2, (8.44)
8.5 ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 195
где pi = f knh^d&i P2 = j k22h:[1d^i1 то (8.43) приведутся к
следующему виду:
Ц = т2(?1,6)Д2, ^ =mi F,6)^1- (8.45)
ЗдеСЬ TTli — k2\fl2 exp (pi — Р2) И 7П2 = ^12^Г ехР (Р2 "" Pi) —
коэффициенты взаимодействия встречных волн. Если в полу™
ченных уравнениях т\^ равны нулю, то искомые величины
Rji^ij^) становятся независимыми и сохраняют свои значения
вдоль ПВ™ лучей:
R1=F1(^1), R2 = F2fa), (8.46)
Здесь F\^2 — произвольные функции своих аргументов, опреде-
определяемые из начальных или граничных условий.
Упругие волны в стержне с переменными параметра-
параметрами. Продольные волны в тонком стержне с переменными плот™
ностью р(ж, t) и модулем Юнга Е(х, t), описываются уравнением
!(**•*>?)-? (*<*• *>sH- <M7>
Представим его в виде системы
p(xt) E ^х^ (848)
и перейдем от и и v к волновым переменным г^:
гл = щ + г^2, г; = Z(u2 — щ), (8.49)
где Z = л/Жр — волновое сопротивление системы. В новых пе-
переменных система (8.48) преобразуется к симметричному виду:
^ дх 2 \dt дх) v ' "
(.o.ouj
dt дх 2 \dt дх/ v 7
Здесь с(ж, t) = л/Е/р — локальная скорость волны. Перейдем от
х и t к переменным ?1,2(^5 ?)? являющимся интегралами уравне™
ний dx/di = ±c(x,t), и введем
(8.51)
196 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
тогда вместо (8.50) получим уравнения в лучевых переменных
§^ J (8.52)
д^2 d?i d?i д^2
При постоянном значении волнового сопротивления среды Z =
= const полученные уравнения становятся независимыми, а пе-
переменные R\y2 остаются постоянными в неоднородной и неста-
нестационарной системе вдоль ПВ™лучей.
8.5.2. Одноволновое приближение
Если волновое сопротивление среды постоянно (Z = const), то
уравнения (8.40) полностью разделяются и волны щ и и<1 незави-
независимы. Этот интересный, но специальный случай будет подробно
проанализирован в следующем параграфе. Здесь же мы оста-
остановимся на рассмотрении случая, когда изменяются и волновое
сопротивление и показатель преломления среды, но изменяются
медленно, так что их производные малы. В этом случае урав-
уравнения (8.40) разделяются приближенно. Так, например, если в
среде возбуждена бегущая волна u\(x,t), то вторичная волна
U2{x1tI бегущая ей навстречу, возникает лишь за счет отраже-
отражений на неоднородностях среды и поэтому мала по сравнению с
первичной волной. В этом случае слагаемое кцщ является ве-
величиной первого порядка малости, a k\2U2 — величиной второго
порядка малости, и им молено пренебречь. В результате исход-
исходная задача в первом приближении сводится к решению уравне-
уравнения, описывающего распространение волны щ = u(x,t):
дх * (8.53)
-1 1 / С? д \
Уравнение (8.53) молено так же как и (8.11) решать мето-
методом характеристик. Его левая часть представляет полную про-
производную du/dx = ди/дх + {dt/dx)du/di1 вычисляемую вдоль
пространственно-временной траектории dt/dx = v^1.
В качестве примеров рассмотрим две задачи о распростране-
распространении волны в неоднородной и нестационарной средах.
Волна в неоднородной среде. Пусть на границе неодно-
неоднородной среды с Z = Z(x) и п = в(ж), занимающей полупро-
полупространство 0 < х < оо, задано электрическое поле E@,t). Tpe-
8.5 ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 197
буется найти поведение электрического и магнитного полей в
произвольной точке пространства.
В этом случае v = с/п и характеристические уравнения для
(8.53) принимают вид
dx с du 1 d /i Г7\ /о г л\
— = -рг, — = - — (lnZ)u. (8.54)
Их первые интегралы равны соответственно С\ = t—c~1fn(xf) dx1
о
и и = C2vZJ а общее решение есть
гб(ж, t) = ^ZF (t - с^1 Г n(xf) dxf . (8.55)
V о /
Из граничного условия (8.38) находим выражения для электри-
электрического Е = и и магнитного JJ = и/yZ полей:
Eix.t) = J^x)F[t-c~l fn{x')dx'Y
V n /
(8.56)
1 / л \
Я(ж,<) =
Входящая в них произвольная функция 1^(ж) определяется из
граничного условия задачи. Так, если E@,t) = Eosinwot, то в
произвольной точке полупространства х > 0 электрическое и
магнитное поля будут
E^f) = \!m) E° sinw° v~c'1 Sn(c) dC)'
(8.57)
С их помощью легко проанализировать поведение электри-
электрического и магнитного полей в пространстве и времени, а так-
также вычислить энергию и импульс волны при заданных законах
изменения волнового сопротивления Z(x) и коэффициента пре-
преломления п(х). При этом частота волны остается неизменной и
равной частоте источника gjq, а локальное волновое число изме-
изменяется в пространстве пропорционально изменению коэффици-
коэффициента преломления среды
Цх) = -п(х) =
-п(х) = -Х2,
198 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
где ко = шо/сп(О). В данном случае молено говорить о про™
странственной модуляции волны.
Однородная нестационарная среда. Пусть параметры
среды зависят только от времени, т.е. Z = Z(t) и п = n(t). Ха-
Характеристическая система уравнений в этом случае запишется
в виде
dx с du ( dn . 1 r7d
\n + Z
Здесь, в отличие от (8.54), во втором уравнении вместо про-
пространственной производной использована производная по вре-
времени du/di = [c/n(t)](du/dx). По известным первым интегралам
t
dtf
0
находится общий вид решения
t
dtf
о
где F(?) — произвольная функция. Если известно начальное рас-
распределение электрического поля, например, Е(х, 0) = Eq sin
то искомое решение имеет вид
-60)
Из него следует, что амплитуда электрического поля изменяет-
изменяется во времени пропорционально отношению yZ/п^ а локальное
волновое число остается неизменным и равным первоначально™
му значению ко. Мгновенная частота волны изменяется обратно
пропорционально коэффициенту преломления среды
/,\ ско п@) /о ал \
где cjq = ско/п(О) — частота в начальный момент времени.
Пусть в начальный момент времени поле в среде отсутству-
отсутствует, а на границе среды х = 0, t > 0 задано электрическое поле
8.5 ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 199
E@,t) = Eosinujot. Тогда, из (8.60) следует, что
t
^Л^ .62)
где Со(^) определяет значение фазы волны ?(ж, ?) на границе сре-
среды х = 0 в текущий момент времени. В принципе всегда можно
выразить текущее значение времени t через значение «фазы»
на границе ?о, (т-е- найти обратную функцию t = i(?o)). Подста-
Подставляя соотношение (8.62) в условие E@,t) = Eq sinu;o?(?o)j нахо-
находим явный вид функции jFq(Co):
Для произвольной точки среды х > 0 необходимо заменить на™
t
чальную фазу ?о н^ С = х ~ с J dt'/n{t'), и тогда решение задачи
примет вид °
1[&]1/2 (8-63)
где Z[t(^o)] и п[^(Со)] — значения волнового сопротивления и
коэффициента преломления среды в момент вхождения в нее
данного цуга волны. Мгновенная частота и локальное волновое
число модулированной волны (8.63) по определению равны
Входящая в них функция ?(?) представляет собой время «влета»
данного цуга волны в среду, выраженное через фазу волны на
границе, поэтому
C dtj \ dt
Здесь учтено, что вдоль характеристики С = Со- Частные про™
изводные от ? по t и ж равны д^/di = —c/n(t), д^/дх = 1 и,
следовательно,
200 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
где ко = Co»qb@)/c — волновое число в начальный момент вре-
мени. Частота ш каждого волнового цуга изменяется обратно
пропорционально коэффициенту преломления среды, а волно-
волновое число к остается постоянным.
На основании полученных результатов качественная карти-
картина эволюции волны в нестационарной среде, возбуждаемой гра-
граничным источником, выглядит следующим образом. В различ-
различные моменты времени волна от источника входит как бы в раз-
различные среды, отличающиеся своими параметрами Z(t) и n(i).
При этом каждый цуг, распространяющийся в среде, имеет по-
постоянную длину L ~ c/won[t(?o)] = const, равную его длине в
момент входа в среду. По мере распространения цуг ускоряет-
ускоряется или замедляется в соответствии с изменением скорости рас-
распространения, в результате изменяется его частота ш = v/L =
= um[t(?o)]/n(t). Амплитуда и плотность энергии цуга также
увеличиваются или уменьшаются в зависимости от закона из-
изменения параметров n(t) и Z(t). Заметим, что при специальном
выборе функции п(?), значение частоты (8.64) может быть по-
постоянным во времени, но зависящим от координаты. Если к тому
же Z = const, то отсутствует и амплитудная модуляция, т.е. в
каждой точке волна явлется монохроматической со своей часто-
частотой.
8.6. Не диспергирующая среда с бегущей волной
параметра
Как ясно из предыдущего, среда совершает положительную
работу над полем (т.е. усиливает его) в точках, где dn/dt < 0;
обратное верно при dn/dt < 0. Это обстоятельство, хорошо из-
известное в теории колебаний, может быть использовано для по-
получения эффекта накапливающегося роста энергии волны — па-
параметрического усиления. Для этого усиления группы должны
продолжительное время находиться на участках с dn/dt < 0.
Это может быть достигнуто в случае синхронизма, когда па-
параметр («накачка») представляет собой волну, бегущую со ско-
скоростью, близкой к фазовой скорости волны. На этом принципе
основано параметрическое усиление бегущей волны, в которой
обычно усиливается основная гармоника, остальные же несин-
несинхронны с волной накачки из-за дисперсии среды. Заметим, что
рассмотренный в п. 8.3.4 групповой синхронизм приводит к ро-
росту глубины модуляции волны, а не ее полной интенсивности. В
8.6 НЕДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 201
среде без дисперсии групповой и фазовый синхронизм — это, в
сущности, одно и то же, и параметрическое усиление возможно
сразу для всех гармоник волны. Характерный пример — пара™
метрическое усиление импульса, приводящее одновременно к его
сжатию в соответствии с адиабатическим инвариантном (8.17).
Ниже рассматривается параметрическое преобразование (и уси-
усиление) волны в среде с бегущим параметром.
8.6.1. Общие соотношения
Рассмотрим полупространство х > 0, заполненное средой с по™
стоянным волновым сопротивлением Z = Z® и переменным ко-
коэффициентом преломления n(x,t) = n(r]), где г] = t — x/V.
В этом случае система (8.40) разделяется на два независимых
уравнения:
ди\ . пди\ . 1 дп л
OU2 П 042 1 ОП
дх с dt с dt
(8.65)
Дифференциалы dx, dt, drj вдоль характеристик системы связа-
связаны соотношениями
dx = ±(c/n)dt, drj = dt- V~ldx = A T c/Vn)dt,
dx = ±cdrj/(n =F
С их учетом характеристические уравнения для системы (8.65)
запишутся в виде
dx - с
s;- ящщу- (866)
^ = _(„(„) т*
Отсюда находим, что
(8.67)
о
где F\? — произвольные функции, вид которых определяется
из граничных или начальных условий задачи. В дальнейшем
202 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
будем рассматривать только одну волну щ = u(x^tO бегущую в
положительном направлении оси х. Для волны и^ все результа-
результаты получаются аналогичным образом.
Пусть начальные условия равны нулю, а на границе х = 0
заданы поля Е и Н:
E{O,t) = E0(t), H@,t) = Ho(t).
Если выполнены соотношения Eo(t) = ZoHo(t), то в среде воз™
буждается одна прямая волна, а встречная волна отсутствует.
Подставляя выражения для Е и Н из (8.62), и проводя преоб-
преобразования, аналогичные изложенным в п. 8.5.2, получим
F(Zo) = \ {пШо)] ~ c/V} Uo[t{Zo)], (8.68)
где Uo(t) = Eo(t) + Z®H®(t) = 2Eo(t), a t(^o) — момент времени,
в который цуг проходит через границу.
В результате при х > 0 искомое решение принимает вид
E(x,t) = <$>(
(8.69)
H(x,t) = ±Ф(х,
где функция Ф зависит лишь от параметров среды и равна
Отсюда следует, что выражение для электрического и магнит-
магнитного полей волны является произведением двух функций. Без™
размерная функция Ф(ж,?) играет роль амплитудного множи-
множителя волны и зависит лишь от закона изменения коэффициента
преломления среды n(x,t). В среде с постоянными параметрами
(п = const) амплитудный множитель обращается в единицу.
Изменения амплитуды и частоты волны связаны между со-
собой. При Eo(t) = EQsinajQt мгновенная частота определяется
выражением
dtjx=o
Так как в этом случае
dtjx=o
8.6 НЕДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 203
то отношение мгновенной частоты к частоте источника равно
с1у =
т n(ri) - c/V
которое вырождается в (8.64) при V —> оо. Формально соотно™
шение (8.71) справедливо при всех значениях ujq, но выражение
ш = дв/dt можно рассматривать как мгновенную частоту толь™
ко при условии, что амплитудный множитель Ф мало изменя-
изменяется за период высокочастотного сигнала 2тг/ш. Отметим, что
так как и мгновенная частота, и амплитуда колебаний бегущих
волн пропорциональны Ф(ж,?), то для их анализа достаточно
проанализировать поведение амплитудного множителя.
8.6.2. Параметрическое формирование импульсов
В качестве примера рассмотрим случай, когда на границе среды
х = 0 задано гармоническое поле E(t) = E® sina^i, а коэффици-
коэффициент преломления среды изменяется по периодическому закону
n(rj) = no(l + mcosuf]), (8.72)
где га — глубина модуляции, 0<Ccjq — частота модуляции, т) = t—
— x/V. В этом случае в знаменатель амплитудного множителя
Ф(ж,?) (8.70) входит безразмерная комбинация, пропорциональ™
пая разности между скоростью волны параметра V и скоростью
сигнала v = c/n{rj):
n(rj) — c/V = b + a cos Q,r),
где b = (no — c/V), a a = mn®. При \b\ > а скорость волны
параметра отличается от скорости сигнала и амплитуда волны
ограничена. Это так называемый несинхронный режим пара-
параметрического взаимодействия. При \Ь\ < а скорость сигнала и
скорость волны параметра могут совпадать (синхронный режим
параметрического взаимодействия) и тогда значение Ф стремит™
ся к бесконечности. Исследуем поведение волны в этих режимах
более подробно.
Несинхронная волна параметра (|Ь| > а). В этом случае
выражение для ?(x,t) согласно (8.67) имеет вид
п
t Г d( 2с , Г _i, /1Ъ\]
t = х — с I —— = х — —, arete 7 ter —- ,
S J Ь + acosOC пл/Ь2 - а2 Ь V Б V 2 )\ '
204 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ.
где 7 = л/(Ь + a)/(b ~ а)- Отсюда находим значение обратной
функции при х = 0:
t(Co) = ^
Производя замену ?о на С(ж^) и подставляя найденное соотно-
соотношение в (8.69), получим выражение для модулированного сиг™
нала в среде с бегущей волной параметра:
Е(х, t) = ^ Ф(ж, t) sin ^2ф, t), (8.73)
= arctg <J 7 tg I ^с x + arctg V7 g 2
Отметим некоторые свойства модулированной волны, выте-
вытекающие из (8.73). Изменение поля имеет характер периодиче-
периодических пространственных биений (рис. 8.4), амплитуда которых
всегда ограничена:
»(*,*)< M±f (8.74)
0<|<Ф(п;,*)<.
\b\+a v ; |&| -a
При этом чем больше отношение \Ь\/а (т.е. чем дальше режим от
синхронного), тем меньше Ф отличается от единицы. В фиксиро-
фиксированной точке пространства х функция Ф периодична по времени
с периодом 2тг/0. Это означает, что волна (8.73) модулируется
и по амплитуде, и по фазе с частотой изменения параметра п.
При постоянном значении г/ функция Ф имеет пространствен-
пространственный период
= —, = — , 8.75
пл/Ь2 - а2 Ул/Ь2 - а2' V J
где А = 27iV/ft — длина волны параметра. В фиксированный
момент времени функция Ф является, вообще говоря, почти пе-
периодической по координате х с периодом, кратным А. На рис. 8.4
показана пространственная зависимость амплитуды модулиро-
модулированной волны (8.73) от координаты х для случая Ъ = 2а, Л =
= 5А, т « 0,15, в момент времени to = 2пк/П. Максимальное
Л
увеличение амплитуды волны достигается в точках х = — -г,
2|Д -f- 2k)
8.6 НЕДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ ПАРАМЕТРА 205
а его численное значение тем больше, чем ближе \Ь\ к а. При
\Ь\ —>> а, т.е. при приближении к синхронному режиму, период Ф
стремится к бесконечности (Л —>• оо).
2 jc/Л
Рис. 8.4. Пространственное поведение амплитудной огибающей при несин-
несинхронной волне параметра
Синхронная волна параметра (\Ъ\ < а). Условие синхро™
низма, выражающее требование близости скоростей распростра-
распространения сигнала v и волны параметра V 7 может быть записано в
виде
^mln = с/щA + т) ^ V ^ timax = с/пОA - Гп).
В этом случае характеристическая переменная (ПВ^луч) дается
выражением
ln
где 7 = [(b + a)/(b — «)]1//2, а обратная ей функция при х = 0
равна
2 , Г
= т^ arctg —7
1 Т ехр (^
Электрическое поле, как и ранее, описывается выражением
(8.73), где величина фазы равна
(8.76)
x,t) = arctg -7
tg (Ofj/2) - 7 cth
ЬЛожпо показать, что при всех х и t амплитудная функция
Ф(ж,?) пололсительна и непрерывна. На границе среды х = 0
она равна единице, а в точках, где cos (?lrj) —± (—b/c), амплиту-
206
ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ
ГЛ.
да волны изменяется по экспоненте:
Ф
ехр
3.77)
причем показатель степени экспоненты положителен для тех то™
чек, в которых (dn/dt < 0). Таким образом, амплитуда модули-
модулированной волны в этом случае может неограниченно возрастать.
Рассмотрим подробнее случай, когда 6 = 0. Это означает,
что скорость волны параметра V совпадает со средней скоро-
скоростью распространения сигнала v® = с/щ. При этом амплитуд-
амплитудный множитель равен
5. (I
(xj t) = cos {2 arctg [exp (—mKx) tg в — тг/2]} cos x uf] =
= [2 sh(^mJTx) cos2 в + exp (—raifcc)] ,
где в = @^/2) + (тг/4), а К = U/V. Выражение для поля элек-
электромагнитной волны (8.73) в данном случае имеет вид
E = ^[2sh(mKx)cos20 + e^p(-mKx)] x
xctg [exp (-mKx) tg 0] — j) |. (8.79)
x sin < ~^-
В фиксированной точке пространства х амплитуда волны ? до-
достигает экстремальных значений при в = жк/2^ где fc — целое
число. Причем при нечетных
значениях Ф^ехр(тКхI а
при четных — Ф^ ехр (—тКх).
Это означает, что синусои-
синусоидальный на входе сигнал по
мере распространения разби-
разбивается на группы (волновые
пакеты), следующие друг за
другом с частотой модуляции
параметра п. На рис. 8.5 по-
показано пространственное рас-
тКх
Рис. 8.5. Амплитудная огибающая
при синхронной волне параметра
пределение амплитудной оги-
огибающей волны при глубине
модуляции т = 0,1 в момент
времени to = D&^1)тг/2О. При
этом максимумы имеют место для тех участков волны парамет-
параметра, где производная (dn/dt) равна наибольшему отрицательно-
8.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 207
му значению (dn/dt = ^mfino), а для минимумов — наоборот
(dn/dt = тпщ).
Таким образом, в синхронном режиме даже при неглубо-
неглубоком и сравнительно медленном изменении n(rj) можно получить
большое увеличение мгновенной амплитуды и частоты сигналь-
сигнальной волны. Среднее значение интенсивности волны за период
волны параметра изменяется в (Е2(х)/Е2@) = chx раз. Поль-
Пользуясь (8.73) нетрудно показать, что при |Ь| = а на больших рас-
расстояниях, где тКх ^> 1,
(8.80)
Сравнивая выражения (8.74), (8.77) и (8.80), приходим к заклю-
заключению, что параметрическое усиление является наиболее эффек-
эффективным в синхронном режиме при Ъ = (по — c/V) = 0.
8.7. Исторические замечания и комментарии
Волны в параметрических системах. Первые работы по
исследованию волновых процессов в системах с переменными
параметрами появились в конце 50-х^начале 60-х гг. XX века
(см. [8.2-8.4, 8.12, 8.13, 8.15]). В первых же работах было по-
показано, что эффект параметрического усиления волны в неста-
нестационарной среде связан не с абсолютной величиной изменения
параметров среды, а со скоростью изменения во времени dp/dt.
Накапливающиеся параметрические эффекты в недиспергирую-
щей среде с бегущим параметром исследовались в [8.10, 8.11]. В
таких системах молено отказаться от предположения о монохро-
монохроматичности волны, поэтому решения, полученные в § 8.5, годят-
годятся и для видеоимпульсов. Подобные параметрические системы,
генерирующие импульсные волны, были реализованы экспери-
экспериментально на распределенных параметрических диодах [13.2].
ПВ-геометрическам оптика длм нестационарных
сред. Впервые вопрос о применимости геометрической оптики
к вычислению модулированных волновых полей в нестационар-
нестационарных средах был поставлен СМ. Рытовым в 1938 г. [6.11,6.12].
Он же ввел термин «модулированная волна», который по ана-
аналогии с модулированными колебаниями относился к квазигар-
208 ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ ГЛ. 8
ионическим волнам. В своих исследованиях СМ. Рытов огра-
ничился рассмотрением квазистатического приближения, когда
скоростями изменения параметров среды молено пренебречь по
сравнению со скоростью изменения поля. Вопрос о границах
применимости такого приближения был впервые поставлен в ра-
боте [8.1].
8.8. Задачи и упражнения
.1. Покажите, что, если магнитная проницаемость среды из™
меняется по закону /л(х,?) = fii(%)fi2(t) при произвольной
б(ж,?), то система уравнений Максвелла (8.2) может быть
приведена к уравнению второго порядка для электриче-
электрического поля. Найдите вид этого уравнения.
Ответ.
д2Е 1Щ12ед2Е ( дщ . о де\ дЕ
дх2 с2 dt2 \ dt dt у dt
1 д»2 дЕ ( д2е dpi да
ох дх \ dt2 dt dt
.2. При каких e(x,t) и ^(xjt) система (8.2) мо^ет быть сведе-
сведена к уравнению второго порядка для магнитного поля HI
Найдите вид этого уравнения.
.3. На границе х = 0 однородного диэлектрика с переменными
во времени параметрами е = sm(l — at) и /л = /im(l — о)
действует гармонический источник электрического поля
E(t) = Eos'mujQt. Найдите структуру электромагнитной
волны при х > 0 и определите законы изменения ее ампли-
амплитуды, мгновенной частоты и локального волнового числа.
Как изменяется плотность энергии в такой системе?
.4. Покажите, что в режиме синхронизации (п. 8.7.2) при сов-
совпадении скорости волны параметра со средней скоростью
сигнала (т. е. V = с/по) амплитудная модуляция волны
Ф(ж,?) изменяется по закону (8.80).
ГЛАВА 9
ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ
ПРОЦЕССОВ
При всяком теоретическом исследова-
исследовании какой либо реальной физической
системы ... нужно учесть основные ре-
решающие факторы, определяющие те
именно черты поведения системы, ко-
которые нас в данное время интересуют,
и отнюдь не следует стремиться точно
учесть все без исключения ее свойства.
А. А. Андронов
В предыдущих главах рассматривались волны малой амплиту™
ды, когда при их описании можно было ограничиться линейными
уравнениями — хотя даже и в этой ситуации при исследовании
пространственно-временной эволюции модулированных волн воз-
возникали нелинейные задачи из™за нелинейности дисперсионного
уравнения. Вместе с тем, во многих других реальных случаях
амплитуды волн нельзя считать исчезающе малыми, и тогда ис-
ходные динамические уравнения, описывающие волновой процесс,
оказываются нелинейными. Возникающие при этом нелинейное™
ти, как правило, малы, но их учет принципиален, так как при-
приводит к новым эффектам, отсутствующим в линейных задачах.
В этой главе будут приведены примеры нелинейных волно™
вых процессов в электродинамике, механике жидкости и газа, а
также в механике твердого тела, которые в линейном прибли™
жении были рассмотрены во второй главе.
9.1. Электромагнитные волны
Уравнения Максвелла, описывающие распространение одно-
одномерной плоскополяризованной волны в изотропной среде без за-
210 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
рядов и токов, имеют вид:
дЕ _ _дВ дН _ _dD
дх dt ' дх dt ' (п -\\
Чтобы замкнуть систему, ее необходимо дополнить матери-
материальными соотношениями
, В(Н) = цоН + цоМ(Е), (9.2)
устанавливающими связь между электрической и магнитной ин-
индукциями с одной стороны, и поляризацией Р и намагниченно-
намагниченностью М среды, с другой. Операторы Р(Е) и М(Е) характеризу-
характеризуют взаимодействие вещества с электромагнитным полем. Если
воздействие поля на вещество сопоставимо с внутренними поля-
полями (например, межатомными или межмолекулярными полями),
то отклик вещества на поле будет нелинейным. Это выразится
в нелинейности выше упомянутых операторов. В частности, ха-
характерная величина межатомной электрической напряженности
в конденсированных средах имеет порядок Еш ^ Ю6^108 В/см.
Напряженности, сравнимые с этими величинами, получаются,
например, при фокусировке лазерного пучка. Для анализа по-
подобных ситуаций необходимо привлекать нелинейные матери-
материальные уравнения. Но при Е^ЕШ часто необходимо учитывать
малые нелинейности в материальных уравнениях. Дело в том,
что слабые нелинейности приводят к малым искажениям волны
за время порядка ее периода, однако малые искажения накап-
накапливаются и приводят к значительным нелинейным эффектам.
Рассмотрим некоторые примеры уравнений, описывающих вол-
волновые процессы в нелинейных средах. Для определенности бу-
будем учитывать лишь нелинейность электрических свойств сре-
среды, полагая магнитные свойства среды линейными, т.е. В =
9.1.1. Нелинейная среда без дисперсии
При достаточно медленных изменениях электромагнитного по™
ля отклик среды успевает отслеживать эти изменения, так что
связь между параметрами среды можно считать квазистатиче-
квазистатической: D = D(E) (рис. 9.1).
9.1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
211
Такая связь реализуется в сегнетоэлектриках, а для более
сильных полей — ив обычных диэлектрических материалах, ес-
если характерный период поля много больше времени релаксации
в среде. В этом случае система
(9.1) сводится к одному уравне-
уравнению
&2D _.^id2E Л / \
Полагая, что D = D(E), мы полу-
получим
дР е(Е) дх2 ~ U' ^'6)
Рис. 9.1. Зависимость индукции
где е(Е) = E^l{dD/dE) — диф™ D (а) и дифференциальной про™
ференциальная проницаемость ницаемости е (б) от напряженное-
среды. Из (9.3) следует, ЧТО ти электрического поля Е
скорость волны зависит от напря-
напряженности электрического поля Е. Поэтому в нелинейной волне
каждая точка профиля движется со своей локальной скоростью
v(E) = с/у/е(Е), зависящей от величины электрического поля
волны.
9.1.2. Диэлектрик с электронной поляризацией
Нелинейная поляризация диэлектрика может быть обусловле-
обусловлена различными физическими механизмами: ангармонизмом дви-
движения связанных атомарных или молекулярных осцилляторов
(электронная нелинейность), ориентацией в сильном электро-
электромагнитном поле вытянутых молекул, обладающих анизотроп-
анизотропной поляризуемостью (высокочастотный эффект Керра) или ло-
локальным изменением плотности среды (электрострикция) и др.
Строго говоря, детальное теоретическое рассмотрение про-
процессов нелинейной поляризуемости среды может быть проведено
лишь в рамках квантовой механики. Однако во многих задачах
электродинамики и нелинейной оптики можно ограничиться фе-
феноменологическим описанием процессов взаимодействия элек-
электромагнитного поля с веществом, оставаясь в рамках классиче-
классической теории.
Диэлектрик с электронной поляризацией в линейном при-
приближении был рассмотрен в п. 2.1.3. Нелинейность поляризации
связана с учетом ангармонизма электронных осцилляторов. Для
212 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
изотропных диэлектриков нелинейная восстанавливающая сила,
действующая на электроны, в общем случае является нечетной
функцией их смещения, начинающейся с кубического слагаемо-
слагаемого. Поэтому для плоскополяризованной электромагнитной вол-
волны вместо B.13) нужно использоватв следующую систему свя-
заннвхх уравнений:
^ ^ р, (9.5)
где fig = (ujq — cjp/3) — резонансная частота колебаний электро-
электрона, а — параметр, характеризующий нелинейный отклик среды
на внешнее воздействие. Обычно слагаемое «Р3 мало по срав-
сравнению с главным линейным членом и его можно рассматривать
как малое возмущение.
Если характерная частота электромагнитного поля мала по
сравнению с резонансной частотой электронов (т.е. ш «С ^о), т0
процесс поляризации среды можно считать безынерционным.
Тогда, пренебрегая производными d^P/dt2 и dPjdt и считая
нелинейность малой, получим
F- ?отр-Ь- —1е0—Ь1 . (9.6)
Это частный случай рассмотренной в предыдущем разделе
нелинейной недиспергирующей среды, в которой дифференци™
альная диэлектрическая проницаемость зависит от квадрата
электрического поля
Для проведения расчетов в нелинейной оптике обычно ис-
используют не диэлектрическую проницаемость, а показатель пре-
преломления п = по+П2^Б2/2, где коэффициент В2 определяет вели-
величину нелинейной добавки к показателю преломления. Так как,
по определению е = n? ^ Bq + ЩП2Е2, то из (9.7) следует:
9.1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 213
Эксперименты показывают, что для кварцевого стекла щ =
= 1,52 и П2 — 1СП23 м2/!?2, а для рубина щ ~ 1,65 и
П2 — Ю~12 м2/В2. Типичные значения пиковых напряженно™
стей в несфокусированных лучах мощных лазеров составляют
102 -™-105 В/м, а при волоконно-оптической компрессии достига-
достигают 109 -т-1011 В/м. Это указывает на то, что нелинейные поправ-
поправки к показателю преломления могут бытв весвма существен-
существенными. Так как характерное время установления электронной
поляризации составляет 10~ -т- 10~15 с, то приближенное со-
соотношение (9.6) справедливо для оптических импульсов с дли-
длительностью Т > 10~13с.
В следующем приближении, удерживая в (9.5) малое инер-
инерционное слагаемое d2P/di2 ~ ш2Р1 получаем
р-е°щЕ-щ{?ощЕ) -?ощ^- (9-8)
Подставляя его в (9.4), приходим к нелинейному уравнению,
учитывающему временную дисперсию среды:
Э2Е с2 д'2Е . д2Е3 йд4Е п m оч
где а\ = ael[e@) — 1]3/е@)Лд — коэффициент нелинейности,
/3 = [е@) — 1]/е-@)Од — параметр дисперсии, е@) = A + Шр/п^) —
линейная диэлектрическая проницаемость. Уравнение (9.9)
обобщает полученное ранее уравнение B.19) на случай учета ку-
кубической нелинейности среды.
9.1.3. Диэлектрик с ориентационной поляризацией
Модель диэлектрической среды с ориентационной поляризацией
представляет собой набор невзаимодействующих молекул, часть
из которых обладает дипольным моментом. Этот механизм ха-
характерен для нелинейных жидкостей, где молекулы могут лег-
легко поворачиваться. В отсутствие внешнего электрического поля
ориентации осей жестких диполей хаотически распределены по
углу и поляризация равна нулю. Ориентационная поляриза-
поляризация среды вызывается поворотом жестких молекул с постоян-
постоянным дипольным моментом под действием электрического поля
(нестационарный эффект Керра). В простейшем случае та-
такую молекулу можно представить в виде стержня с зарядами
+д и ^q на концах (рис. 9.2). Электрическое поле стремится
214
ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
ГЛ. 9
сориентировать ось диполя по направлению вектора Е. Однако
из-за теплового движения не все молекулы точно ориентируют-
ориентируются по полю. В качестве характеристики среды вводят параметр
порядка 0 ^ Ф ^ 1. При случайном распределении ориентации
молекул среда изотропна и Ф = 0, а при Ф = 1 все молекулы,
обладающие дипольным моментом, ориентированы параллель-
параллельно друг другу и среда максимально анизотропна. Поляризацию
среды, наведенную электрическим полем Е, записывают в виде
(9.10)
где х — диэлектрическая восприимчивость среды при Ф = 0,
а Ах — коэффициент анизотропии среды, соответствующий
Ф = 1. Поскольку Ф зависит от Е^ то второе слагаемое в (9.10)
отвечает за нелинейную по™
ляризацию среды.
В быстропеременном
электрическом поле ори™
ентирование молекулы
запаздывает относительно
изменения поля. Про-
Простейшая математическая
модель этого процесса при-
приводит к релаксационному
уравнению для параметра
порядка :
Рис. 9.2. Ориентация молекулы, обла-
обладающей дипольным моментом, в элек-
электрическом поле
(9.11)
Здесь тг — время релаксации, а 7 — коэффициент, характеризу-
характеризующий степень воздействия электрического поля на ориентацию
молекул. Время установления ориентационной поляризуемости
тг для обычных жидкостей составляет 10"™10 — 10"™12с, а для жид-
жидких кристаллов тг ~ Ю^6 -т- 1СР8с.
Уравнения (9.10) и (9.11) совместно с (9.4) описывают рас™
пространение электромагнитных волн в нелинейной среде с ори-
ориентационной поляризацией. При медленном изменении электри-
электрического поля инерционностью отклика среды можно пренебречь,
тогда Ф ~ jE2 и соотношение (9.10) соответствует недисперги-
рующей среде с квазистатической кубической нелинейностью.
9.1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
215
9.1.4. Дискретные линии передачи
В экспериментах наряду с распределенными электромагнитные
ми линиями передачи (двупроводные, коаксиальные и полоско-
вые линии) часто используются цепочки, составленные из дис™
кретных элементов: емкостей G, индуктивностей L и сопротив-
сопротивлений R. Дискретные элементы легко сделать нелинейными, их
можно менять как в конструкторе, создавая ту или иную мо-
модель среды с интересующими нас нелинейными, дисперсионны-
дисперсионными и диссипативными свойствами. Все это делает RLC-цепочкш
весьма привлекательными с точки зрения теоретического и экс™
периментального (аналогового) моделирования нелинейных вол-
волновых процессов в различных физических средах.
Рассмотрим простейшую LC-цепочку, изображенную на
рис. 9.3 а. Для вывода ее уравнений воспользуемся правилами
Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю и в
ип-\ ип
Ж Ж
A Q(un) Ж
/YY\
ж L ж
/YYY
Ч
Q{Un)
7Г
я-1
71-1
1
Л+1
х+а
х+а
Рис. 9.3. LC-цепочки, моделируюшие среду с пространственной дисперси-
дисперсией (а) и с пространственно-временной дисперсией (б)
любом замкнутом контуре падение напряжений равно нулю. В
соответствии с этими правилами для ЬС^цепочки имеем:
ип - ип^\ = -L——,
dt
Un+i
din
dt
(9.12)
dt
где un — напряжение на п-й емкости, in — токи в катушках
индуктивности, Q(un) = Со(ип — аи^/2) — заряд на нели-
216 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
нейной емкости, dQ/dun = CqA — отп) — дифференциальная
емкость линии. Исключая из (9.12) токи гп и гп_х, получаем
дифференциально-разностное уравнение для напряжения:
L^^l = ип+1 - 2ип + ип^. (9.13)
Если характерный пространственный период волны А охваты-
охватывает много звеньев т.е. А ^> 1, то можно перейти от дискретной
переменной п (номера ячейки) к непрерывной координате х =
= па (а — пространственный период ячейки) и воспользоваться
разложением
= и(х ±a,t) ~ u(x,t) ± ^г« + 2 1^2 J а ^
+)а ±
Подставляя это разложение в (9.13), получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение в частных производных
д2и ^2д2и . а д2и2 . од4и л /А л А\
где vq = а1'л/LCq — скорость распространения длинной волны в
линейной системе, а /3 = а /12 — коэффициент, отвечающий за
дисперсию волны. В длинноволновом приближении, когда моле-
молено положить, что /3 = 0, уравнение (9.14) описывает распростра-
распространение нелинейной волны напряжения в среде без дисперсии.
Учет дискретности линии, когда /3 ф 0, приводит к по-
появлению высокочастотной дисперсии. Заметим, что к появле-
появлению высокочастотной дисперсии приводит подключение допол-
дополнительных емкостей С\ параллельно индуктивным элементам
(рис. 9.3 6). Это создает возможность управления дисперсион-
дисперсионными и нелинейными свойствами системы за счет изменения
параметров электрической схемы и открывает возможность эф-
эффективного моделирования с их помощью нелинейных волновых
процессов различной физической природы.
9.2. Нелинейные акустические волны
В линейной акустике амплитуда волны считалась такой ма-
малой, что присутствие волны не сказывалось на распространении
9.2 НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 217
других волн, т.е. выполнялся принцип суперпозиции. Такое по™
ложение представляет собой идеализацию, так как нелинейность
присутствует и в уравнениях движения и в уравнениях состоя-
состояния среды. Вопрос в том, насколько существенно проявляются
эти нелинейности в той или иной конкретной ситуации.
9.2.1. Волны в идеальном газе
Одномерные движения идеального газа описываются уравнени-
уравнением Эйлера
g+^-IfE, (9.15)
ot ох р ox
уравнением неразрывности
| ? 0 (9.16)
и уравнением состояния среды (адиабата Пуассона)
\ (9-17)
где ро и Ро — равновесные значения давления и плотности, a j —
показатель адиабаты Пуассона (для газов 1 < j < 2).
Уравнения (9.15) и (9.17) записаны в переменных Эйлера ж, t.
В ряде случаев более удобна формулировка одномерных урав-
уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа.
Пространственное положение частицы среды в произволь-
произвольный момент времени характеризуется координатой ж, называ-
называемой переменной Эйлера. Ее положение в начальный момент
времени t = 0 определяется переменной ?, называемой пере-
переменной Лагранжа. Связь между эйлеровыми и лагранжевыми
переменными дается выражением
x = ? + ufat), (9.18)
где u(?,t) — смещение частицы от начального положения. В
переменных Лагранжа уравнение движения (9.15) и уравнение
неразрывности (9.16) имеют вид:
pow = ~1с (9Л9)
Щ)= Ро, (9-20)
218 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
а уравнение состояния (9.17) остается прежним. Систему (9.19)—
(9.20) совместно с уравнением состояния (9.17) можно привести
к одному уравнению второго порядка. Из (9.17) и (9.20) следует,
что
др _ фф _ 2 (, , ди\^1+1^ д\
ас " фас ^poCs V + аи ас2'
где cs = уТРо/ро — скорость звука в невозмущенном газе.
Подставляя это соотношение в (9.19), получаем так называемое
уравнение Ирншоу:
dt2
Отсюда видно, что акустические волны не обладают дисперсией,
а их нелинейность связана с тем, что локальная скорость звука
зависит от степени сжатия газа.
Отсутствие дисперсии у акустических волн в свободном про™
странстве является характерной чертой, отличающей нелиней-
нелинейную акустику от нелинейной оптики, где дисперсия электромаг-
нитных волн в среде играет существенную роль. Как было по-
показано ранее, у акустических волн дисперсия возникает лишь
вследствии релаксационных процессов в газе (п. 2.2.2), либо при
наличии газовых пузырьков в жидкости (п. 2.2.3).
9.2.2. Слабонелинейные акустические волны
Рассмотрим звуковые волны малой, но конечной амплитуды, ко-
когда в уравнениях (9.15)—(9.17) необходимо учитывать не только
линейные, но и квадратичные по амплитуде волны члены. Тогда
уравнение состояния (9.17) можно записать в виде
р ~ ро + <?8р' + ^—^р;. (9.22)
В этом приближении уравнения гидродинамики принимают вид
dv + 4 01 = G-2)са2 .Зр1 _ уд^
dt po дх р1 дх дх1 (Q 91)
др1 . dv д ( i ч
Правые части в этих уравнениях малы. Параметром малости
служит величина М = v/cs ~ р'/ро? называемая акустическим
9.2 НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 219
числом Маха. Можно показать, что в случае слабонелинейных
процессов эта система эквивалентна одному уравнению второго
порядка для потенциала скорости (г; = дср/дх):
,2
3.24)
dt2 b дх2 dt \\dxj 2с2 \ dt
Здесь при преобразованиях нелинейных слагаемых использова-
использовалось приближенное равенство d2ip/dt2 ~ c2(d2ip/dx2I а куби-
кубическим слагаемым мы пренебрегли. Первое слагаемое в правой
части (9.24) обусловлено конвективной составляющей ускорения
в уравнении (9.15) и не связано со свойствами среды. Второе
слагаемое связано с нелинейностью уравнения состояния (9.17).
Следует заметить, что вместо (9.24) в нелинейной акустике
применяются близкое по виду уравнение для скорости v:
д2 i2 i2 2
v 2О v 2О v
где е = G + 1)/2 — параметр акустической нелинейности. При
его выводе была использована замена д/dt ~ (д/дх), справед-
справедливая лишь для волны, бегущей в одну сторону, и оно, вообще
говоря, непригодно для анализа взаимодействия волн, бегущих
в противоположных направлениях.
Во многих задачах важно учитывать малую вязкость среды,
действие которой может быть сопоставлено с влиянием нелиней-
нелинейности. Движение вязкой среды описывается уравнением Навье^
Стокса:
dv dv 1 dp r^2/y
dt dx p dx dx2'
Здесь S = D?7/3 + x)p0 — приведенный коэффициент вязкости,
77 — коэффициент сдвиговой, а х ~ объемной вязкости. Его необ™
ходимо рассматривать совместно с уравнениями непрерывности
(9.16) и состояния (9.17). Для слабонелинейных акустических
возмущений эта система уравнений может быть приведена к од-
одному нелинейному уравнению
d2v 2^ 2d2v2 , d3v ,Q 9_ч
Л#2 CS^2 ~~ ECS Л^2 ~"~()Я«.2Я+# (y.^Oj
220 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
Оно может использоваться не только для газов, но и для
жидкостей с уравнением состояния Тэта:
где Аод — эмпирические константы. Величина р® = А® ~~
— А\ ~ рос имеет порядок «внутреннего» давления в жидкости,
связанного с силами межмолекулярного взаимодействия.
9.3. Волны на поверхности жидкости
Гравитационные волны на поверхности жидкости предста-
представляют собой классический пример нелинейных диспергирующих
волн.
9.3.1. Уравнения длм потенциала скорости
При рассмотрении волн конечной амплитуды уравнения линей™
ной теории B.43)—B.45) необходимо дополнить двумя нелиней-
нелинейными членами. Один из них входит в интеграл Бернулли B.45)
из-за наличия конвективной производной в уравнении Эйлера
[(v, V)v = 1/2(V</?J], а второй — в кинематическое граничное
условие B.44) на свободной поверхности z = ?(ж,?) из-за то-
того, что вектор скорости v точек, лежащих на подвижной по™
верхности, имеет горизонтальную и вертикальную компоненты
в результате искривления поверхности (см. рис. 2.6). Его верти™
кальная составляющая равна vz = (dz/dt) = d(/dt + vx(d(/dx).
В результате полная система нелинейных уравнений без учета
сил поверхностного натяжения имеет вид:
я 2 ¦ я 2 - i п (9-26)
дх2 dz2 \ _^ - -ч f
, = 0, (9.27)
dz J z=^ dt дх дх
где h — глубина слоя жидкости.
9.3 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 221
Нас интересует изменение во времени формы его свободной
поверхности z = ?(ж,?), которая и представляет собой поверх-
поверхностную волну вдоль оси х. Специфика задачи состоит в том,
что искомая функция ?(ж,?) входит в краевое условие на неиз-
неизвестной подвижной границе. Наша задача состоит в исключении
«неволновой» координаты z из исходных уравнений (9.26)—(9.29)
и получении нелинейных эволюционных уравнений для ср и ?,
зависящих лишь от «волновых» переменных х и t.
В нашем распоряжении имеются два безразмерных парамет-
параметра Е\ = а/А и /1 = /i/A, где а, А — соответственно амплитуда и
длина волны. Первый из них характеризует степень нелинейно-
нелинейности, а второй — дисперсионные свойства поверхностной волны. В
зависимости от величин этих параметров молено рассматривать
линейные {е\ <С 1) волны на «мелкой» (/i<1) или «глубокой»
(/i^>l) воде, а также нелинейные {е\ ~ 1). Линейные поверхност-
поверхностные волны были рассмотрены в п. 2.3 и здесь мы сконцентриру-
сконцентрируем внимание на выводе уравнений нелинейных поверхностных
волн.
В случае глубокой воды (/i 3> 1) единственным малым пара-
параметром задачи является параметр, характеризующий нелиней-
нелинейность волны. Решение уравнений (9.26)—(9.29) может строиться
в виде асимптотических рядов переменных р и ( по степеням
параметра нелинейности е\.
9.3.2. Волны на мелкой воде
В этом случае /i = h/X «С 1 и нелинейность волны определяется
у лее не ?]_, а отношением амплитуды волны к глубине канала
е = a/h. Для дальнейшего упрощения уравнений (9.26)—(9.29)
и выделения в них доминирующих слагаемых удобно перейти к
безразмерным переменным
\, z' = l f = ^, C'=S, <p' = ^, (9.30)
A h A a «gA
где v® = л/gh — предельная скорость распространения по-
поверхностной волны на мелкой воде. В качестве масштаба вре™
мени выбран интервал, за который волна пройдет путь, рав-
равный ее длине. В безразмерных переменных система уравнений
(9.26)—(9.29) теперь выглядит так (штрихи у безразмерных не-
222 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
ременных опускаем):
(9-32)
В эти уравнения входят два малвхх параметра е и /i2, и чтобв!
одновременно учесть эффекты нелинейности и дисперсии, необ™
ходимо положить е ~ /i2. Выражение для потенциала скорости
(p(x,z,t) представляется в виде степенного ряда по координате z:
ф, z, t) ~ Мх, t) + J2 »n(z + !)>«(ж' *)• (9-35)
Здесь ipo(x,t) = (p{x^t^z = —1,) — потенциал поля скоростей
на дне канала. Подставляя это разложение в уравнение Лапла™
са (9.31) и граничное условие (9.32), находим, что все нечетные
члены разложения обращаются в нуль, а четные слагаемые свя™
заны рекуррентным соотношением
В результате (9.35) примет вид1)
/ . i \2n f\2n
v,z,t) ~<po(x,t) + > (-l)nfiznK / tt^-. (9.36)
п=1
На свободной поверхности z = ((x^t) потенциал представля-
представляется в виде разло^кения в ряд Тэйлора по степеням вертикаль-
г) Заметим, что до этого момента еще не делалось никаких приближений.
В случае мелкой воды (/i <С 1) в выражении (9.36) обычно ограничиваются
лишь первыми тремя членами.
9.3 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 223
ного отклонения от уровня z = 0:
Подставляя эти разложения в граничные условия (9.33) и (9.34),
получаем с точностью до величин порядка е и /л
g 3g
аС , д2<ро (д^скр^ ^ дУ(Л _l ^2 ^Уо = П
6>t дх2 \дх дх ^ дх2 ) 6 дх4
Эти уравнения описывают нелинейные поверхностные волны на
мелкой воде и называются системой уравнений Буссинеска.
Система уравнений (9.38) может быть записана в более при™
вычной форме. Для этого необходимо вернуться к размерным
физическим переменным (9.30), продифференцировать первое
уравнение (9.38) по координате х и ввести в рассмотрение го-
горизонтальную скорость у(х^г) = дщ/дх, которая определяется
как д(ро/дх ^ S + fj?(i(d2v/'дх2). После этих преобразований си-
система (9.38) запишется в виде:
dt
Они отличаются от уравнений газовой динамики (9.15) и (9.16)
наличием третьей производной в правой части первого уравне-
уравнения и совпадают с ними при стремлении глубины канала к нулю.
Роль плотности среды играет возвышение ?, а роль давления —
величина gB/2, что соответствует уравнению адиабаты Пуас-
Пуассона (9.17) с эффективным показателем j = 2.
Систему уравнений (9.39) можно свести к одному уравне-
уравнению относительно переменной (. Для этого продифференцируем
второе уравнение (9.39) по времени и воспользуемся заменами
dv/dt c± —gdC/dx, dv/dx c± h~1d(/dt1 следующими из линейно-
линейного приближения. В результате после ряда несложных преобра™
зований придем к уравнению Буссинеска
^ - ^ _ ii9V _ gftl А _ 0 (9 40)
df* v°dx* 2hdx* 2 9х4 ~и' iy'4Uj
} 1
дх
д<
dt
д
дх
1 д I
С дх
д
v 2 )
h) •
i h'2
1 2
il — Г
J — L
dsv
dx2dt
224 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
где vq = л/gh — скорость поверхностных волн на мелкой во™
де. Это уравнение пользуется большой популярностью в теории
нелинейных волн, так как относится к точно интегрируемым
уравнениям.
9.4. Волны в твердых телах
Мы уже видели в гл. 4, что вариационные принципы приво-
дят к весьма общей форме записи уравнений движения. Здесь
они будут использоваться для вывода уравнений, описывающих
нелинейные волны в упругих телах.
9.4.1. Волны в изотропном твердом теле
Уравнения механики твердого тела могут быть получены из ва-
вариационного принципа Гамильтона^Остроградского. В механи-
механике твердого тела для описания процессов деформации исполь-
используются лагранжевы координаты, отвечающие начальным поло-
положениям частиц среды. Применительно к задачам твердого тела
лагранжевы координаты в твердом теле мы будем обозначать
через Х{.
Объемная плотность лагранжиана для упругого тела в пря-
прямоугольных декартовых координатах записывается следующим
образом:
\{^J (9.41)
где Ui{xi,X2iX3,t) — компоненты вектора смещения, ро — плот™
ность среды в начальный момент времени, & — внутренняя энер-
энергия, Sik — тензор конечных деформаций:
_ 1 / дщ дик , дип дип \
— ~2
При адиабатических процессах изменение внутренней энергии,
вызванное деформациями тела, можно представить разложени-
разложением по инвариантам тензора е^. Для изотропной среды оно имеет
вид
8 = \Ч + /i/2 + jlf + »2hh + |^/з. (9.43)
Здесь 11 = ?ц, /2 = sikSki, h = SikSkiSij\ A, /i — константы упру-
упругости второго порядка (коэффициенты Ламе); vn — константы
упругости третьего порядка. Это разложение соответствует так
9.4 ВОЛНЫ В ТВЕРДВ1Х ТЕЛАХ 225
называемой пятиконстантной теории упругости и учитывает эф-
эффекты, связанные с квадратичной нелинейностью среды.
Заметим, что нелинейные эффекты в твердых телах опреде-
определяются двумя факторами. Прежде всего это нелинейность тен-
тензора Грина Eik, которая не зависит от физических свойств среды
и определяется геометрией деформирования, поэтому ее назы-
называют геометрической нелинейностью. Кроме геометрической,
существует физическая нелинейность, связанная с тем, что в
выражение для внутренней энергии (9.43) входят третьи сте-
степени градиентов перемещений дщ/дх^ с коэффициентами unj
характеризующими физические свойства среды. Оба этих фак-
фактора приводят в итоге к нелинейности уравнений движения.
Подставляя (9.41)—(9.43) в интеграл действия D.1), после
стандартных вычислений приходим к уравнениям движения
д2щ д Г д8 1 (а ал\
dt2 dxk \d(dui/dxk)j
которые описывают нелинейные волны в изотропном твердом
теле.
В случае распространения плоских продольной и сдвиговых
волн вдоль оси х\ = х уравнения (9.44) сводятся к системе
д2и _ 2д2и _ «1 д /ди\2 а2 д /^W\2
"Ш2 C|^2^T^V^J Та^ \дх~) '
(9.45)
d2W 292W d fdudW\
dt2 r dx2 2dx \dx dx J '
где W(x,t) = г?С22 + ^вз — вектор поперечных смещений,
единичные орты осей х2 ижз, величина а\ = Зс2 +Ро" {у\
+ 8^з) играет роль нелинейного параметра для продольной вол-
волны, а а.2 = с^/2 + р^1 (^2/2 + z/3) — параметр, отвечающий за
нелинейное взаимодействие продольной и сдвиговой волн. За-
Заметим, что эти волны не обладают дисперсией и, кроме того,
у сдвиговой волны отсутствует собственная нелинейность, по-
поэтому она может взаимодействовать лишь с продольной волной.
В этом приближении продольная волна воздействует на сдви-
сдвиговую параметрическим образом, а сдвиговая волна является
для продольной нелинейной силой. Собственная нелинейность
у сдвиговых волн появляется лишь в следующем порядке. Это
связано с тем, что сдвиговые волны поперечны и в изотропной
среде они могут обладать только нечетной нелинейностью.
8 Л.А. Островский, А.И. Потапов
226 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
9.4.2. Продольные волны в стержне
Как мы видели в п. 2.4, дисперсия появляется при распростра™
нении упругих волн в стержнях. Здесь мы рассмотрим, к чему
приводит учет нелинейных эффектов для продольных волн в
стержне. Распределения смещений в поперечном сечении тон-
тонкого круглого стержня описываются выражениями:
ux = u(x,t), ur = ^VT^ 0 < г ^ а, (9.46)
а компоненты тензора Грина (9.42) равны
ди ,1 (9и\2 _ _ ди
?хх ~ fa + 2 \fa) ' Err " SW ~ V^
Объемная плотность функции Лагранжа (9.41) в этом случае
равна
где!? = /iCA + 2/i)/(A + /i) ^модуль Юнга, а =
+61^2 A — 2iy)+81^3) — нелинейный параметр для продольных волн
в стержне. В выражение (9.47) входит «неволновая» перемен-
переменная г. Она стоит перед высшими производными, отвечающими
за дисперсию продольных волн, и ее учет делает задачу неодно-
неодномерной, как и в случае поверхностных волн на воде (см. п. 9.3).
Чтобы избавиться от неодномерности, проинтегрируем (9.47) по
поперечному сечению стержня и перейдем к одномерному ла-
лагранжиану L = 2тг Jq Lvrdr. Подставляя L в D.10), приходим
к уравнению, описывающему нелинейные продольные волны в
стержне (ср. B.58)):
at2 \ Е дх) ох2 и ох2 \ at2 т ох2)
где го = а/у2 — полярный радиус инерции. Заметим, что в
области длинных волн можно воспользоваться приближенным
9.5
ВОЛНЫ В ЦЕПОЧКЕ МАЯТНИКОВ
227
соотношением d2u/dt2 ~ с2д2и/дх2 и заменить (9.48) более про™
стым уравнением
д2и
2
2 2
r
= 0, (9.49)
которое иногда называют модифицированным уравнением
Буссинеска.
9.5. Волны в цепочке мамтников
Рассмотрим физическую модель, приводящую к другому,
весьма популярному в нелинейной теории волн уравнению —
уравнению синус^Гордона (СГ). Это цепочка из связанных ма-
маятников, совершающих колебания около общей оси (рис. 9.4).
ky
л-1
W+1
жжж
Рис. 9.4. Механическая линия передачи из упруго связанных маятников
Маятники подвешены на прямом стержне, отстоят друг от дру™
га на расстояние а по оси х и связаны между собой пружинами,
работающими на кручение. Угол отклонения п-то маятника от
вертикали обозначим через ipn(t). Свободные колебания одно-
одного маятника без учета упругих связей описываются известным
уравнением
где / = ml2 — момент инерции маятника. Т = mgl — возвраща-
возвращающий момент силы тяжести; /,га — соответственно длина маят™
пика и его масса.
8*
228 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
Взаимодействие в~го маятника со своими соседями добавля-
добавляет к этому уравнению моменты Мп^п±\ = K(tpn±\ — ^п)^ со~
здаваемые пружинами, расположенными слева и справа от в™
го маятника. Поэтому уравнение колебаний цепочки маятников
приобретает вид
^ n = K(<pn+l - 2<fn + fn-i), (9.50)
где К — константа кручения пружины. В длинноволновом при™
ближении, когда характерная длина волны А много больше рас-
расстояния между маятниками а, в уравнении (9.50) можно перейти
от дискретного параметра п к непрерывной координате х = па
и воспользоваться разложением
<Pn±i(t) ^ (f(x±a,t) ~ <p(x,t) ± -^а + l \д&
В этом случае дифференциально^разностное уравнение (9.50)
сведется к дифференциальному уравнению в частных производ-
производных, называемому уравнением синус-Гордона:
§-со&+^п^ = О, (9.51)
где со = [(i^a2)/BJ)] — скорость волны вращения, ujq =
= g /I — парциальная частота колебаний отдельного маятника.
Значение уравнения (9.51) далеко выходит за рамки описан-
описанной «игрушечной модели». Оно встречается в теории кристал-
кристаллов, теории сверхпроводимости. С ним связаны некоторые по-
попытки построения единой теории элементарных частиц. Уравне-
Уравнение является частным случаем нелинейного уравнения Клейна-
Гордона
Другим частным случаем (9.52) является так называемое
уравнение (р :
*?-cgg+WoVW = O (9.53)
которое встречается в нелинейной теории поля и физике элемен-
элементарных частиц. Все эти уравнения релятивистски инвариантны
в том смысле, что их вид не изменяется при преобразованиях
Лоренца.
9.6 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 229
9.6. Исторические замечания и комментарии
Нелинейная оптика. Первые прямые эксперименты по ре™
гистрации нелинейных эффектов при поглощении и преломле-
преломлении света в урановых стеклах были ввшолнены СИ. Вавило-
Вавиловым в 1920—30-е гг. еще задолго до появления лазеров. Вавило-
Вавиловым было подмечено, что минимальные световые поля, при ко™
торых могут наблюдаться нелинейные эффекты, соответствуют
резонансам молекул среды. Поэтому основное внимание в его
исследованиях было сосредоточено на наблюдении нелинейных
эффектов вблизи резонансных линий поглощения. СИ. Вави-
Вавилову и В.Л. Левшину принадлежит первое экспериментальное
наблюдение эффекта «просветления» непрозрачной среды в по™
ле интенсивной волны A925 г.). Этот эффект был заново открыт
в 1965 г. С. МакКоллом и Е. Ханом и получил название эффекта
самоиндуцированной прозрачности [9.1].
Первое четкое изложение причин появления оптических
нелинейностей было дано Вавиловым в его книге «Микрострук-
«Микроструктура света» A950 г.). В ней же впервые появился и термин
«нелинейная оптика». При распространении сильных электро-
электромагнитных волн в конденсированных средах различие меж™
ду действующим полем и внешним макроскопическим полем
связано с возникновением нелинейной поляризуемости среды.
Классические модели нелинейностей, обобщающие электронную
модель Лоренца были предложены в работах Н. Бломбергена
и подробно описаны в его монографии «Нелинейная оптика»
A965 г.) [9.5] и монографии С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова «Про™
блемы нелинейной оптики» A964 г.) [9.2].
Интенсивное развитие нелинейной оптики началось в 1960-х
годах после изобретения лазера, позволившего получать силь-
сильные оптические поля. Первыми нелинейными эффектами в ла-
лазерной оптике стали генерация второй оптической гармоники в
кристалле кварца (П. Франкен и др., 1961 г.) генерация 3-й и
4-й оптических гармоник в лазерах с модулируемой добротно-
добротностью. В 1962—-1964 гг. были экспериментально обнаружено явле-
явление вынужденного комбинационного рассеяния и вынужденное
рассение Мандельштама-Бриллюэна [9.1].
В 1963 г. впервые наблюдались самофокусировка света, кото-
которая теоретически была предсказана в 1961 г. Г.А. Аскарьяном.
В 1965 г. экспериментально наблюдался эффект самоиндуциро-
самоиндуцированной прозрачности.
230 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
К середине шестидесятых годов XX века нелинейная опти™
ка сформировалась как самостоятельное направление нелиней-
нелинейной физики. К этому времени появились генераторы оптических
гармоник и перестраиваемые параметрические генераторы света.
Фактором, стимулировавшим развитие нелинейной оптики,
было интенсивное развитие нелинейной радиофизики в 1958—-
1959 гг. в связи с исследованием процессов усиления, преобра-
преобразования и генерации электромагнитных волн в приборах сверх-
сверхвысокочастотного диапазона и в электромагнитных линиях пе-
передачи, содержащих нелинейные элементы.
Нелинейная гидродинамика. Нелинейные уравнения
движения идеальной жидкости были сформулированы Л. Эйле-
Эйлером в 1755 г. Он исходил из идеи о том, что для каждой частицы,
мысленно выделенной из общего объема жидкости, применим
второй закон Ньютона. Полная система уравнений гидродина™
мики идеальной жидкости включала в себя пять уравнений: три
уравнения движения для компонент вектора скорости, уравне™
ние непрерывности и уравнение состояния жидкости.
В 1788 г. Ж. Лагранж вводит термины сжимаемая и несжи-
несжимаемая жидкость и функцию </?, которая позднее стала назы-
называться потенциалом скорости (V = V<p). Это позволило ему
записать уравнение неразрываности для несжимаемой жидко-
жидкости в виде уравнения Лапласа А(р = 0. Это уравнение называ™
ют интегралом Коши-Лагранжа. Лагранж также предпринял
первую попытку сведения системы трехмерных уравнений гид™
родинамики к одному уравнению для потенциала скоростей (р,
но получившееся уравнение оказалось чрезвычайно сложным.
Уравнение нелинейной газовой динамики в переменных Ла-
гранжа (9.21) впервые появилось в статье С. Ирншоу «К мате™
матической теории звука» A860 г.), в которой он сделал попытку
отыскать решение общего уравнения звуковых волн. Он рассма™
тривал уравнение состояния газа в общем виде р = F(p/p®) и
пришел к уравнению
д2х „/ (дх\ д2х а
совпадающему с (9.21) при F = ро(р/роO- Ирншоу был одним
из первых, кто установил, что с увеличением скорости движения
плотность среды может возрастать [И.7].
Уравнения Буссмнеска. Жозеф Валентин Буссинеск
A842—1929), французский механик и физик, внес значительный
9.6 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 231
вклад в различные области гидродинамики, теории упругости
и теорию распространения света. Его исследования по распро-
распространению слабонелинейных поверхностных волн на мелкой во™
де изложены в трех статвях A871—1872 гг.). Буссинеск предпола-
предполагал течение несжимаемой и невязкой жидкости безвихревым и
раскладывал потенциал поля скоростей по степеням вертикаль-
вертикальной координаты. Сначала он вывел систему нелинейных урав-
нений (9.38), а затем, используя приближение д/di ~ —v^d/dx
(справедливое лишь для волн, бегущих в одну сторону), свел ее
к одному уравнению второго порядка (9.40). Буссинеск нашел
три интегральных инварианта этого уравнения, два из которых
представляют собой законы сохранения массы и энергии. Он вы-
вывел также формулу для скорости распространения возвышения
на поверхности воды и показал, что из условия ее постоянства
вытекает выражение для формы уединенной волны, которое те™
перь известно как солитон. Буссинеск показал также, что уе-
уединенная волна представляет собой возвышение на поверхности
воды и не может сформироваться при отрицательном началь-
начальном смещении поверхности. Эти результаты Буссинеска на мно-
много лет вперед предвосхитили предсказания нелинейной волновой
теории длинных волн на воде.
Нелинейная упругость в механике твердого тела. В
1687 г. Якоб Бернулли в своих опытах по растяжению струн,
изготовленных из кишок кошки, пришел к противоречию с ли-
линейным законом Р. Гука и написал об этом письмо Г. Лейбни-
Лейбницу. Лейбница заинтересовало отсутствие согласованности меж-
между линейным законом Гука и опытами Бернулли. В своем ответе
A690 г.) он предположил, что экспериментальные данные Бер-
Бернулли описываются гиперболической зависимостью. Так был
сформулирован первый нелинейный закон упругости задолго
до того, как в трудах К.-Л. Навье A821 г.) и О. Коши A825-
1830 гг.) появились уравнения механики твердого тела [И.1].
В 1695 г. Я. Бернулли предложил параболический закон
упругости: х = kFm, где х — удлинение, F — продольное уси-
усилие, а к и т > 1 — константы. При т = 3/2 этот закон луч-
лучше согласовывался с экспериментальными данными, чем закон
Лейбница. В течение последующих двух с половиной столетий
параболический закон Бернулли неоднократно переоткрывался
другими исследователями для широкого спектра материалов.
Следующий важный вклад в нелинейную упругость при ма-
малых деформациях был сделан лишь спустя сто с лишним лет
232 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
французским математиком, механиком и политиком П. Дюпе-
ном. В 1811—1815 гг. он, будучи морским офицером, заинтересо-
заинтересовался изменением формы деревянных судов после их спуска на
воду. С этой целью он выполнил серию экспериментов, в кото-
которых измерял прогибы свободно опертых призматических балок
из кипариса, березы, дуба и сосны и устанавливал вид прогиба.
После обработки экспериментальнных данных Дюпен предло-
предложил параболический закон 6 = aF + bF2, описывающий зависи-
зависимость прогиба деревянной балки 6 от приложенной силы F (а и
Ъ — константы, находящиеся из опытов).
В 1824 г. чешский механик Ф. Герстнер, автор книги «Теория
волн» A804 г.) и первого точного решения, описывающего нели™
нейные волны на поверхности глубокой воды (волны Герстнера),
провел серию экспериментов по растяжению стальных фортепи™
анных струн и обнаружил, что опытные данные описываются
параболой т = as — be2, где т — растягивающее напряжение, е —
относительная деформация, а,Ъ — экспериментально определя-
определяемые константы. Спустя полтора десятилетия в 1839 г. к такому
же закону пришел английский механик-экспериментатор И. Хо-
джкинсон, в своих опытах по растяжению и сжатию стальных
стержней.
Запись закона нелинейной упругости в виде разложения объ™
емной плотности внутренней энергии по степеням компонент
тензора деформации (9.43) была предложена в 1937 г. Ф. Мур™
наганом и независимо от него Л.Д. Ландау.
История этих исследований подробно описана Дж. Беллом
в книге «Экспериментальные основы механики деформируемых
твердых тел» (см. [И.1]).
Нелинейные волны в стержнях. В первых работах, по-
посвященных исследованию нелинейных диспергирующих волн в
тонких стержнях учитывалась дисперсия продольных волн, свя-
связанная лишь с учетом кинетической энергии поперечного дви-
движения частиц стержня. Это соответствует удержанию в урав-
уравнении (9.48) слагаемого с dAu/dx2dt2 и пренебрежению слага-
слагаемым, пропорциональным д и/дх . Такой приближенный учет
дисперсии продольных волн в тонком стержне был предложен
А. Лявом еще в 1892 г. Он игнорирует вклад сдвиговых дефор-
деформаций, связанных с изгибом продольных волокон, в потенци-
лаьную энергию стержня. Ляв мотивировал это приближение
тем, что основная часть потенциальной энергии от сдвиговых де-
деформаций учитывается заменой коэффициента (A + 2/i) модулем
9.7 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 233
Юнга Е, что приводит к уменьшению скорости продольных волн
в стержне с\ = л/Е/р® по сравнению со скоростью плоской про™
дольной волны в свободном пространстве с\ = \/{Х + 2/i)//?q.
Более точный анализ [9.13, 9.14] показывает, что при малых
длинах волн слагаемое с д и/дх не является пренебрежимо ма-
лым по сравнению с д4и/дх di2. Его учет позволяет расширить
область применимости математической модели вплоть до длин
волн а/Х ~ 1, когда групповая скорость продольной волны до-
достигает минимального значения.
9.7. Задачи и упражнения
9.1. Выведите уравнение для потенциала скорости из уравне-
уравнений нелинейной гидродинамики (9.15)—(9.17) при выполне-
выполнении закона р = с2р^ где cs = const.
9.2. Найдите лагранжиан, из которого уравнение (9.24) полу-
получалось бы как вариационное уравнение D.2).
9.3. Найдите вид лагранжиана для уравнения Ирншоу (9.21).
Найдите выражения для плотности энергии, волнового им-
импульса и их потоков.
9.4. Считая нелинейность слабой, упростите уравнение (9.24),
сохранив в нем только квадратичную нелинейность.
Ответ.
= _ 2G + 1) д (ди\2
2 ~ Cs дд) '
dt2 Csdx2 ~ Cs 2 дх\дх) '
9.5. Найдите лагранжиан, соответствующий уравнению Бусси-
неска (9.40).
9.6. Выведите уравнение продольных колебаний цепочки оди-
одинаковых частиц, имеющих массы т и отстоящих друг от
друга на расстояние а. Частицы связаны между собой
нелинейными пружинками, у которых сила F и удлине-
удлинение х связаны соотношением F = к®х + к\х2, где к$,к\ —
константы.
Ответ:
234 ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГЛ. 9
Здесь un(i) — смещение n-й частицы от положения равно™
весия.
9.7. Для цепочки, описанной в задаче 9.6, получите уравнение в
частных производных, описывающее ее колебания в длин™
новолновом приближении (А/а >> 1).
9.8. Выведите дифференциально-разностное уравнение, опи-
описывающее распространение волны напряжения в LC-
цепочке, показанной на рис. 9.3 б. Найдите длинноволно-
длинноволновую аппроксимацию этого уравнения, учитывающую вре-
временную и пространственную дисперсии.
ГЛАВА 10
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ПРОСТЫЕ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Когда мы хорошо понимаем вопрос,
нужно освободить его от всех излиш-
излишних представлений, свести его к про-
простейшим элементам.
Рене Декарт
Начиная с 1960-х годов в теории нелинейных волн были до-
достигнуты разительные успехи. Выяснилось универсальное зна-
чение уравнений Кортевега-де Вриза, Бюргерса, Буссинеска,
синус-Гордона и др., которые задолго до этого появились в раз™
личных областях физики и математики, но не имели широкого
распространения. Для всех этих уравнений были разработаны
новые точные и приближенные методы исследования. В резуль-
результате были обнаружены новые эффекты в нелинейной оптике,
физике плазмы, гидродинамике, биофизике и других областях
науки. Вместе с тем была сформулирована система универсаль-
ных понятий, общих как для физиков, так и для математиков,
которые привели к пониманию многих нелинейных явлений с
общих «теоретико-волновых» позиций.
Нелинейные волновые процессы описываются, как правило,
системами квазилинейных дифференциальных уравнений, точ-
ные решения которых удается получить только в некоторых про-
простейших случаях. Основным же способом их исследования явля-
ются приближенные методы, большинство из которых так или
иначе связаны с близостью искомого решения к некоторому из™
вестному невозмущенному решению. Эта близость определяется
явно или неявно входящим малым параметром, содержащимся
либо в самих дифференциальных уравнениях, либо в граничных
или начальных условиях. При этом задача сводится к определе-
определению параметров решения и малых поправок к нему.
236 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
Имеется другой тип задач, в которых учет малых нелиней-
нелинейных факторов приводит к появлению качественно новых эф-
эффектов. В этих случаях обычно не удается построить равно-
равномерно пригодные асимптотические разложения непосредствен-
непосредственно для решений в рамках малых добавок к порождающему ре-
решению. Адекватное описание возмущенной системы достигает-
достигается при этом преобразованием переменных. В виде асимптотиче-
асимптотического представления ищутся уравнения для новых перенорми-
перенормированных величин и формулы связи между новыми и старыми
переменными. В таких случаях оказывается удобным преобразо-
преобразование исходной системы уравнений к некоторой упрощенной мо-
модельной форме. Это позволяет сделать минимум предположений
о виде искомого решения, который затем естественно вытекает
из преобразованных уравнений. Такое преобразование позволя-
позволяет отбросить второстепенные факторы и более подробно изучить
эволюцию нелинейных волн, их структуру и взаимодействие.
Ниже излагаются некоторые методы приведения нелинейных
уравнений к модельному виду и рассматриваются примеры их
использования в конкретных задачах.
10.1. Волна с медленно меняющимся профилем
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси х. В простейшем случае, когда в среде отсут-
отсутствуют нелинейность и дисперсия, она описывается эволюцион™
ным уравнением
W + CP = °- A0.1)
dt дх х /
Если перейти к новым переменным
? = x-ct, т = fit, A0.2)
то решение уравнения A0.1) будет зависеть лишь от одной пе-
переменной ?.
Для нерелятивистских процессов замена переменных A0.2)
совпадает с преобразованиями Галилея и соответствует пере-
переходу от неподвижной системы отсчета x,t к движущейся ?,т.
Поэтому иногда мы будем использовать следующее выражение:
переход к сопровождающей системе координат ?,т.
Если среда обладает слабой нелинейностью, дисперсией или
диссипацией, то профиль волны u(x,i) будет зависеть не толь-
10.1 ВОЛНА С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМСЯ ПРОФИЛЕМ 237
ко от ? = х — сЬ, но еще и медленно изменяться во времени. В
этом случае также можно перейти к сопровождающей системе
координат ?,т, но волновое поле будет описываться функцией
двух переменных u(x,t) = -F(?, /it), где /i<Cl — малый параметр,
характеризующий медленность изменения формы волны во вре-
мени. В соответствии с этой заменой переменных производные
от функции F выражаются следующим образом:
dnF _ a^F д?_ _ dF_ _ dF_
A0.3)
d2F 2&F 0 d2F , 2a2F
Поскольку зависимость F(^t) от переменной т медленная, то
каждое дифференцирование по т увеличивает порядок малости
соответствующего члена. Поэтому при анализе нестационарных
процессов в выражениях A0.3) во многих практически интерес-
интересных случаях достаточно удерживать лишь первые производные
по т. Такое предположение существенно упрощает вид уравне™
ний, описывающих эволюцию однонаправленных волн в средах
со слабой нелинейностью, дисперсией и диссипацией. В силу сво™
ей простоты и наглядности описанный метод получил широкое
распространение при исследовании нелинейных волн в различ-
различных областях физики.
Ниже мы продемонстрируем этот метод на примерах вывода
эволюционных уравнений в задачах электродинамики, акустики
и механики твердого деформируемого тела.
10.1.1. Волны в электромагнитных линиях передачи
Волна напряжения в нелинейной цепочке (см. рис. 9.4) в конти-
континуальном приближении описывается дифференциальным урав-
уравнением (9.14). Перейдем к переменным ? = х — v®t и т = /it,
тогда получим
2JL^JL 4- ^!ЁМ +« (^ _ ^^! . ?1#^Л 1й— = 0
\ vo д^дт vl дт2 J 2 ^ дС2 v0 д^дт v2Q дт2 j P д?4
A0.4)
Будем считать, что в слабонелинейной волне амплитуда име-
имеет порядок /i и параметр дисперсии /5 также имеет порядок /i.
Чтобы учесть нелинейные и дисперсионные эффекты в первом
приближении, сохраним в A0.4) все члены не выше первой сте-
степени /1, а слагаемыми порядка /i2 и выше пренебрежем ввиду их
238 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
малости. В результате получим
д (ди . а ди . Р д3и\ А /т г\
я? я~ + ^^и1^ + тг^^т? = 0. A0.5)
д? \ дт 2/iv0 д^ 2/it;o д^3 /
2/iv0
После интегрирования по ? она сведется к эволюционному урав-
уравнению
ди . ди . id3и п /чп г\
ъ; + аиЖ + ьдё = 0> A0-6)
где а = сшо/2/i, Ъ = Cvq/2/i. Это известное модельное уравнение
Кортевега-де Вриза.
10.1.2. Электромагнитные волны в диэлектрике
Когда частота электромагнитной волны в диэлектрике много
меньше резонансной частоты электронов (o;<C^o)? она обладает
слабой высокочастотной нелинейностью и описывается нелиней-
нелинейным уравнением (9.9) для электрического поля. После перехо-
перехода к переменным ?, т и вычисления производных по формулам
A0.3) уравнение (9.9) сведется к модифицированному уравнению
Кортевега-де Вриза (МКдВ)
где а = «ic/B/iy/6@)), Ь = —f3c/B/j,y/e@)). Заметим, что, если
в исходном уравнении (9.9) слагаемые, описывающие нелиней-
нелинейность и дисперсию, малы по сравнению с каждым из членов ли™
нейного волнового оператора, то в уравнении A0.7) все члены,
вообще говоря, одного порядка (если нелинейность и дисперсия
учитываются в одном порядке малости). Кроме того слагаемые,
характеризующие нелинейность, дисперсию (и, как увидим ни™
же, диссипацию) входят в эволюционные уравнения аддитивно.
Это позволяет «конструировать» эволюционные уравнения, ис™
пользуя «базовые» элементы для различных типов нелинейно-
нелинейности, дисперсии и диссипации.
10.2. Метод связанных волн
Этот метод применяется к квазигиперболической системе
уравнений с малыми параметрами нелинейности, дисперсии и
диссипации.
10.2 МЕТОД СВЯЗАННЫХ ВОЛН 239
10.2.1. Общам схема
Пусть распространение волн в среде описывается системой урав-
уравнений
^ + Bog = MR(u,z,*), A0.8)
где и = (г^1, г^25 • • • un)T — вектор-столбец N физических не-
ременных (знак (... )т означает операцию транспонирования),
Bq — квадратная (N x N) матрица с постоянными коэффициен-
коэффициентами, Ж — векторный оператор, описывающий в общем случае
нелинейные, дисперсионные и диссипативные эффекты, /i<Cl —
малый параметр, характеризующий слабое влияние членов, вхо-
входящих в правую часть A0.8), на изучаемый волновой процесс.
Левая часть системы A0.8) описывает волновые процессы в
нелинейной недиспергирующей среде, поэтому ее решение (при
/1 = 0) молено искать в виде набора собственных волн:
N
Um{x- Ant)rn, A0.9)
где Un — произвольные безразмерные скалярные функции, тп —
некоторые векторы, определяющие размерности физических ве-
величин и, Хп — характерные скорости распространения собствен-
собственных волн в среде. Подставляя A0.9) в A0.8) (при /i = 0), нахо-
находим, что оно будет решением системы уравнений A0.8), если
выполнены условия
Det|B0 - \J\ = 0, %тп = Апгп, A0.10)
где / — единичная матрица. Таким образом, величины скоро-
скоростей собственных волн Хп являются собственными значениями
матрицы ?»о, а гп — ее правые собственные векторы.
Для изучения более общего класса нестационарных волно-
волновых процессов, когда /i ф 0, соотношение вида A0.10) будем
рассматривать как замену переменных
N
n = J2Un(^,t)rn, A0.11)
71 = 1
где для новых искомых переменных Un(x,i) еще не конкретизи-
конкретизируется зависимость от координаты и времени. Частный случай
такой замены переменных уже использовался в п. 8.5 для при-
приведения уравнений электромагнитного поля в нестационарной
среде к уравнениям связанных волн.
240 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
Подставим A0.11) в A0.8), умножим последнее на левые соб™
ственные вектора 1Ш матрицы Bq (IBq = А1) и восполвзуемся
условием ортогональности 1те • тп = 0 при га Ф п. В результате
система A0.8) приведется к нормальной форме уравнений свя™
занных волн Um:
A0.12)
В правых частях этих уравнений по дважды встречающимся
индексам га и в ведется суммирование.
Согласно выражениям A0.11) функция u(x,t) является су-
суперпозицией волн Un{x1i), каждая из которых распространяется
вдоль своей характеристики (?п = х — Xnt = const) и слабо вза-
взаимодействует с другой волной.
Во многих случаях граничные или начальные условия та™
ковы, что в первом приближении в среде распространяются
лишь М нормальных волн (М < N) или даже только одна из
них (М = 1). Тогда система A0.13) распадается на две груп-
группы: М связанных нелинейных уравнений для «основных» волн
Um(x,t) (га = 1,2, ...М) и N — М линейных уравнений для
остальных волн (га = N + 1, М + 2,... Ж), в правых частях ко™
торых остаются лишь переменные Um (т = 1, 2,... М, опреде™
ляемые из уравнений первого приближения. Поочередное реше™
ние этих групп уравнений позволяет построить итерационную
процедуру нахождения эволюционных уравнений для основных
волн в первом, втором и более высоких приближениях. Мы не
будем останавливаться подробно на изложении итерационной
схемы решения, с которой можно познакомиться по литерату-
литературе к данной главе. В первом приближении по /i эволюционные
уравнения для «основных» волн Um естественным образом вы-
вытекают из системы A0.13), если в ней положить равными нулю
амплитуды «чужих» волн Un(n Ф т). Далее мы будем интере™
соваться только одноволновым приближением (М = 1) и проде-
продемонстрируем применение этого метода на примерах вывода эво-
эволюционных уравнений для слабонелинейных акустических волн
в вязком газе и поверхностных волн на мелкой воде.
10.2.2. Акустические волны в вмзком газе
При малой нелинейности волны в вязком газе описываются си™
стемой уравнений для скорости v и возмущений плотности р1
10.2 МЕТОД СВЯЗАННЫХ ВОЛН 241
(см. п. 9.2.2)
ро дх 2дх дх A0.13)
где а = €5G — 2I рц. В правую часть A0.13) входят малые ела™
гаемые, описывающие нелинейные и диссипативные эффекты.
При записи системы A0.13) в матричном виде A0.8) имеем
\Р' ) ' \ро 0 )
A0.14)
где и — вектор-столбец физических переменных. Собственные
значения Ате и собственные векторы 1ТО и гто матрицы Bq нахо™
дятся из уравнений A0.10) и равны
А1>2 = ±ср, г1>2 =| ±?1 , 11>2 = (l, ±y
Заметим, что собственные векторы тт и 1те находятся из A0.10)
с точностью до произвольного множителя д, который может
быть использован для нормировки коэффициентов в A0.14). Бу™
дем считать, что q = 1, тогда замена переменных A0.11) имеет
вид
или
Отсюда видно, что новые переменные Uip представляют собой
комбинации из физических переменных v и р;, каждая из кото-
которых при отсутствии нелинейности и диссипации распространя-
распространяется без изменений вдоль своей характеристики.
242 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
Уравнения связанных волн A0.12) имеют вид
fit ^ Лт 4/)т Г x z/ V l lf
Ub Udy т: СУХ l
+G-2)(l71-l72J]+?|1(l71+l72). A0.16)
Отсюда видно, что переменная U\ описывает волну, распростра-
распространяющуюся в положительном направлении и слабо взаимодей-
взаимодействующую со встречной волной С/2- В одноволновом прибли-
приближении уравнение для U\ получается из A0.16), если положить
dt +
dUi
f
Cs дх
или для поля скорости
dv
dt +
dv
дх
1 G + 1.
1 4
1 G + 1)
4
) dU1
дх
dv2
dx
s
2
ed'Ui
2 dx2
d2v _
dx2
поскольку теперь JJ\= v. После перехода к переменным ? = ж —
— cst и т = t они преобразуются в уравнение Бюргерса
—+ сш—= 5^—, A0.17)
^г о>ж dx2 v 7
гдеа = G + 1)/2 = е, Ъ = 8/2.
Уравнение Бюргерса — одно из основных в нелинейной аку-
акустике, как и вообще одно из наиболее изученных уравнений те™
ории нелинейных волн.
10.2.3. Волны на мелкой воде
Слабонелинейные волны на поверхности мелкой воды описы-
описываются системой уравнений Буссинеска (9.39). При матричной
форме записи системы Буссинеска в виде A0.8) имеем
dv , h2 d3v
i-i о I - о 1 жт I dx 2 dx2dt
A0.18)
10.3 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 243
Собственные значения и собственные векторы матрицы Bq
равны
где vq = y/gh — максимальная скорость линейных поверхност-
поверхностных волн на мелкой воде (см. п. 2.3). Переход от физических
переменных v и ? к U\^i задается соотношениями
v = ^(C/i - С/2), С = (Ui + С/2) A0.19)
или
а уравнения для связанных волн имеют вид
<10-20>
Эта система уравнений описывает волны, бегущие в противопо-
противоположных направлениях и слабо взаимодействующие между собой
за счет нелинейности и дисперсии. В одноволновом приближе-
приближении (С/2 = 0) получаем уравнение
3 vo TT dUi , h2 д3иг nnon
U + A0.21)
at ox 2 h ox 4 ox2ot
которое иногда называют уравнением длинных волн. Оно, по су-
существу, представляет собой уравнение для вертикального сме-
смещения поверхности, так как U\ = ? = hv/vQ. При переходе к
переменным ? = ж — voi, т = t уравнение A0.21) совпадает со
стандартной формой уравнения Кортевега-де Вриза A0.6), где
а = 3vo/h и b = /г2/4
10.3. Нелинейные волны в среде без дисперсии
Начнем этот раздел с рассмотрения нелинейных процессов в
средах без дисперсии и потерь. Характерный физический при-
244 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
мер — акустические волны конечной амплитуды, описываемые
уравнением A0.17), если в нем положить 6 = 0. Здесь мы рас-
рассмотрим несколько более общее уравнение
ди , ди , п ди ^ /-, п, оо\
_ + С0_ + «^_ = 0, A0.22)
где и(х^г) — переменная, характеризующая физическое поле,
со — скорость волны в линейном приближении, п — целое число,
характеризующее степень нелинейности среды, так например,
п = 1 соответствует квадратичной нелинейности, а п = 2 —
кубической нелинейности.
После замены переменных z = x^c®t^ т = t уравнение A0.22)
принимает вид
^ + аип^ = 0. A0.23)
ОТ OZ
С подобным уравнением мы уже встречались ранее в п. 6.1. Там
было показано, что оно эквивалентно характеристической сис-
системе
dz п du п
(Ш 0
а ее полный интеграл может быть записан в виде
u(z, т) = F(z - m/V), A0.24)
где F — функция, которая определяется из начальных условий.
Выражение A0.24) называют простой волной или волной Рима-
на. Нелинейная эволюция простой волны показана на рис. 6.2,
из которого видно, что ее профиль по мере распространения
искажается, поскольку разные участки бегут с разными скоро-
скоростями. Заметим, что в переменных z, r точки профиля волны, в
которых u(z,t) = 0, остаются неподвижными.
Проследим более подробно нелинейную эволюцию волны,
заданной в начальный момент времени в виде синусоиды
u{z1 0) = щ sin(kz + тг):
u(z, т) = 11Q sin \kz — f ^™те ) т\ , A0.25)
L \uo у J
где т\ = аки^т — безразмерное время. За нелинейными иска-
искажениями волны удобнее всего проследить с помощью графиче-
графических построений. В силу периодичности функции A0.25)) можно
10.3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ
245
ограничиться ее рассмотрением лишь на одном периоде. Запи-
шем уравнение характеристики
kz = т\\ — + arcsin — ) .
\uo/
A0.26)
Отсюда видно, что профиль волны при т\ ф 0 получается пу-
тем графического сложения функции kz = arcsln(ti/iio), опи-
описывающей форму волны при т\ = 0, и кривой kz = т^и/щL^
характеризующей относительные перемещения точек профиля
волны в зависимости от амплитуды. На рис. 10.1 приведен гра~
Рис. 10.1. Искажение профиля простой вол-
волны в среде с квадратичной нелинейностью.
Профиль волны при т = 0 (i); при т = 1 B)
и при т > 1 (8); прямая kz = t(u/uq) D)
фический анализ нелинейных искажений простой волны A0.25)
на плоскости (и/щ, kz) при квадратичной нелинейности, когда
п = 1. Из рисунка видно, что в некоторый момент времени т\ =
= Т]_* простая волна приобретает бесконечную крутизну и затем
(при т\ > Т]_*) становится неоднозначной. Это явление иногда
называют опрокидыванием волны. Оно начинается при тх* =
= 1, когда на ее профиле впервые появляется точка с верти™
кальной касательной. Как было показано в п. 6.3.1, параметры
точки опрокидывания 2*, тх*, и* находятся из условий, что в ней
(dz/du)* = —jfc^1 (tig — и2)^1/2 + Ti^(kuo)^1 = 0 и, кроме того,
(d2z/du2)* = ч*к^1{ч^ ^и2)^3'2 = 0. Следовательно, опрокиды-
опрокидывание волны происходит при и* = 0 в момент времени т\* = 1
и в точке с пространственной координатой z* = 0. В этот мо-
момент угол наклона прямой kz = т\{и/щ) равен тг/4. В исходных
переменных ж = z + cot, t = т опрокидывания простой волны
246
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛ. 10
происходит при
= 1/акщ
Эти величины обратно пропорциональны амплитуде волны щ
и представляют собой характерный временной и пространствен-
пространственные масштабы нелинейных искажений.
На спектральном языке нелинейные искажения волны озна™
чают обогащение ее спектра высшими гармониками. Можно по-
показать (см. упражнение 10.3 ), что спектр волны A0.25) дается
следующим рядом:
u(x,t) =
A0.27)
n=l
где In(nr)/nr = Вп(т) — амплитуды фурье™гармоник нелиней-
нелинейной периодической волны 1п — функции Бесселя. Выражение
A0.27) называют разложе-
А к нием Бесселя-Фубини. Оно
справедливо лишь при т < 1,
так как при т > 1 функ-
функция A0.25) становится неод™
позначной. На рис. 10.2 изо™
бранены зависимости ам~
плитуд первых трех гармо™
ник от т<
Более подробный анализ
нелинейных искажений ВОЛ™
ны в с бической
нелинейностью и определе-
определение координат ее опрокидывания мы предлагаем читателю про-
провести самостоятельно.
10.4. Ударные волны
После опрокидывания профиль простой волны A0.25) ста-
становится многозначным, что в акустике не имеет физического
смысла. Вместо этого в волне возникает разрыв — ударная вол-
волна. Поэтому при т > т* необходимо, строго говоря, исследовать
более полные уравнения с учетом эффектов дисперсии и дисси-
диссипации.
Рис. 10.2. Зависимость амплитуд кц>
монических составляющих простой вол-
ны от времени
10.4
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
247
Исследование волновых процессов, содержащих резкие
(ударные) фронты, обычно разбивается на две задачи. Вне об-
области быстрого изменения полей (на рис. 10.3 Z2 > z^ z > z\)
динамический процесс по-прежнему описывается выражением
простой волны A0.25) — это «внешняя» задача. В области быс-
быстрых движений (z<2, ^ z ^ z\) необходимо учитывать диссипа-
тивные эффекты, которые из-за больших значений производных
становятся сравнимыми с нелинейными слагаемыми и препят-
препятствуют опрокидыванию волны. Это «внутренняя» задача.
При этом фронт волны представляет собой достаточно рез-
резкий, но непрерывный переход от одного предельного значения
щ к другому U2 (рис. 10.3).
Ширина переходного слоя
(ударного фронта) А = z\ —
~~ z^ зависит от диссипации
среды. На границах области
ударного фронта решения
«внутренней» и «внешней»
задач сшиваются с помо-
ЩЬЮ соответствующих гра- Рис> 10>3„ Определение положения раз-
ничных условий. Если шири- рыва в простой волне п0 методу равных
на ударного фронта А много площадей
меньше внешнего простран-
пространственного масштаба волны, то переходный слой можно заменить
разрывом, соединяющим значения u(zjt) перед фронтом удар-
ударной волны u(z, т) = щ и за ним u(z, т) = и^-
Мы сначала рассмотрим ударные волны в разрывном при-
приближении, а затем изучим их структуру в вязкой среде в рамках
модельного уравнения Бюргерса, а также в среде с вязкостью и
дисперсией (уравнение КдВ-Бюргерса).
Условим на фронте ударной волны. Если искомая вели™
чина u(z,t) является разрывной функцией z и т, то для одно-
однозначности решения нужно к уравнению простой волны A0.25)
присоединить граничные условия на разрыве z = Zd(r).
Для вывода граничных условий обратимся к уравне-
уравнению Бюргерса A0.17) и проинтегрируем его по интервалу
Z2 ^ z ^ z\, содержащему скачок параметров волны (рис. 10.44):
&/«*=-& 1D-'?)*¦ <10-28>
Z2 Z2
248 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
Устремим пределы интегрирования z\ и Z2 к точке 2^, тогда
интегральное слагаемое в левой части A0.28) преобразуется к
виду
%2 Zd
!
i
!
! j^
zd + 0 zd + 0
где г^152 = ^(^2 ±0) — значения u{zJr) перед разрывом и после
него, Vd = dzd/dr — скорость разрыва. Интегралы J{du/dz)dz
обращаются в нуль из-за того, что их области интегрирова-
интегрирования стремятся к нулю при конечных значениях ди/дт. Слага-
Слагаемое в правой части A0.28)
превратится в конечную раз-
разность + ^{и\ — и\). Таким обра-
образом на линии разрыва инте-
интегральное соотношение A0.28)
превращается в конечно-
разностное соотношение
(и2 -ui)Vd = |(гх2 -ul).
Рис. 10.4. К выводу граничнввс уело™ (\q 29)
вий на разрыве в простой волне Оно является граничным
условием на разрывном фрон-
фронте ударной волны и связывает скачок параметров в ударной
волне со скоростью ее распространения
Vd = 77(^2 + ^i)- A0.30)
В переменных (ж = z + cgi, t = т) скорость ударной волны равна
vd = со + 77(^2 + ^i)- A0.31)
2
Из A0.31) следует, что если скачок u{z^r) симметричен относи-
относительно оси и = 0, т.е. щ = —г^2, то в переменных z, т он остается
неподвиленым {Vd = 0). Местонахождение разрыва в профиле
простой волны определяется в общем случае по методу равных
площадей: разрыв должен отсекать у простой волны области с
равными площадями Si и *$2, которые на рис. 10.3 заштрихованы.
10.4
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
249
Большое значение имеет вопрос о том, как изменяется ве~
личина скачка поля на разрыве? Это легче всего выяснить на
примере синусоидальных начальных условий. В силу симмет-
симметрии A0.25) разрыв образуется в точке ^ = 0и при п = 1 его
величина щ = щ — U2 может быть найдена из трансцендентного
уравнения
^
A0.32)
Графическое решение этого уравнения изображено сплошной
линией на рис. 10.5 а. Из него видно, что при 1 ^ т\и^/щ ^ тг/2
скачок поля на разрыве растет, достигая своего максимального
значения щ = щ в момент т\ = тг/2.
Затем форма волны приближается к пилообразной
(рис. 10.56). Далее величина скачка в пилообразной волне
убывает приблизительно по гиперболическому закону
и^/щ — тг/A + Ti). Гиперболический закон затухания нели-
нелинейных разрывных волн
является характерной Md^
особенностью, отличаю™
щей их от гармонических
волн в линейной среде,
которые затухают по экс-
экспоненциальному закону.
Уменьшение величины
скачка поля на разрыве
связано с диссипацией h
энергии волны. Наглядно /\ ,.
этот процесс можно рас- \у
сматривать как результат ^1=0
«съедания» разрывом
неоднозначных частей
профиля (см. рис. 10.1
и 10.4). При больших
Л
Рис. 10.5. Изменение скачка поля на раз-
разрыве в простой волне (сплошная линия —
точное решение, штриховая линия — при™
ближенное решение) (а); профили волны в
значениях т\ амплитуда /гЛ
различные моменты времени [о)
волны, а, следовательно, и
нелинейность, становятся
малыми и профиль волны вновь сглаживается, приближаясь к
синусоидальному (рис. 10.56).
Не все разрывы, удовлетворяющие уравнению A0.52), могут
существовать в реальности. Для их существования необходимо,
250 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
чтобы выполнялось еще и условие устойчивости: малые возму-
щения должны вызывать малые изменения решения. Для этого
необходимо, чтобы скорость распространения малых возмуще-
ний перед разрывом (с2 = cq + ащ) была меньше У^, а после
разрыва (с\ = с® + ащ) была больше У^, т.е.
c2<Vd<d. A0.33)
Рассмотренная нами волна удовлетворяет этому условию при
а > 0. Ее скорость A0.30) равна полусумме скоростей волн до
и после разрыва. Если условие A0.33) не выполнено, то разрыв
является неустойчивым, что в конечном итоге приведет к его
исчезновению. Так, например, рассмотренная нами разрывная
волна неустойчива при а < 0.
Устойчивые ударные волны могут возникать в результате
нелинейной эволюции простых волн, поэтому их иногда называ-
называют эволюционными ударными волнами. Примером таких волн
могут служить ударные волны сжатия в газе и жидкости, а в
большинстве твердых тел устойчивыми являются ударные вол-
волны разгрузки.
10.5. УдаРные волны в вмзкой среде
В предыдущем разделе ударная волна рассматривалась как
движущийся разрыв, и вопрос о ее структуре и характерной
ширине ее фронта в этом приближении не ставился. При более
детальном анализе ударных волн разрывной фронт заменяется
узкой областью, в которой происходит быстрое изменение поля,
описываемое уравнениями, учитывающими, в общем случае, эф™
фекты высокочастотной диссипации и дисперсии.
Обычно при описании структуры фронта ударной волны ис-
исходят из следующих предположений. Считается, что все дина™
мические переменные в переходном слое зависят лишь от одной
переменной rj = х — Vt (где V — скорость движения ударной
волны), т.е. они являются стационарными и описываются обык-
обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).
Поскольку вне ударного фронта все переменные изменяют-
изменяются очень медленно по сравнению с их изменениями на фронте,
то можно считать, что в его окрестности они вообще остают-
остаются постоянными и соответствуют состояниям равновесия ОДУ,
описывающих структуру ударного фронта.
10.5 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ 251
Таким образом, задача исследования структуры ударных
волн сводится к нахождению фазовой траектории, соединяющей
его состояния равновесия. Для их анализа могут быть исполь-
использованы качественные методы теории нелинейных дифференци-
дифференциальных уравнений, в частности, метод фазовой плоскости.
Структура фронта ударной волны в вмзкой среде. В
вязкой среде ударная волна описывается уравнением Бюргерса
A0.17), которое для стационарных волн и = и(г]) преобразует™
ся в
d-q 2
где D — постоянная интегрирования. Это уравнение имеет
два состояния равновесия щ^ = F/[a(l ± \J\ ~~ 2aD\/V2 )],
соединенные между собой решением, имеющим вид перепада
(рис. 10.6)
Этот перепад и есть фронт ударной волны, который ранее мы
представляли разрывом. Ударные волны подобного типа назы-
называют тейлоровскими. Их скорость
совпадает со скоростью разрыва '
A0.30), а характерная ширина ^\
обратно пропорциональна величине
скачка щ
о
ц
Рис. 10.6. Профиль тэйлоров-
и стремится к нулю при 6 -> 0. ской ударной волны
Ударная волна в среде с вязкостью и дисперсией. В
тех случаях, когда кроме диссипации необходимо учесть и дис-
дисперсионные эффекты, можно обратиться к анализу уравнения
Кортевега^де Вриза^Бюргерса
— + аи— + Ьт^г = 5-—, A0.37)
дт dz dz3 dz2 v J
которое учитывает совместное влияние нелинейности, диспер-
дисперсии и диссипации. После перехода к переменной rj = z — Vt оно
превращается в ОДУ второго порядка
b?u _ §du = ^u2 + Vu + D A0>38)
df]2 drj 2 v /
252
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛ. 10
где D — постоянная интегрирования. Уравнение A0.38) описы-
описывает движение «частицы» с массой Ъ под действием нелинейной
силы F = —dW/du с потенциалом W(u) = -»г&3 — — г<,2 +
и 2
и 2i
+ d^ и силы трения с коэффициентом 6. При этом роль времени
t играет переменная «—г/». На рис. 10.7а изображен фазовый
портрет» уравнения A0.38) при Ъ > 0.
Характер движения зависит от соотношения между пара™
метрами дисперсии Ъ и диссипации 8. Если д достаточно мало
(S < 5* = y/AbV), то «частица», находящаяся при t = ^оо в на™
чале координат U\ = 0, будет скатываться на дно «ямы»: и^ =
= —— (t = oo), совершая затухающие колебательные движения
около положения равновесия. В этом случае ударная волна име-
имеет осциллирующую структуру (рис. 10.76), а скорость ее рас-
1Г а
пространения V = - U2 совпадает со скоростью в разрывном
приб лижении.
du
du
V"
Рис. 10.7. «Фазовые портреты» уравнения A0.39) и профили
фронта ударной волны при Ь>0 (а, б) и Ь < 0 (в, г)
При Ъ < 0 осцилляции возникают впереди фронта удар™
ной волны (рис. 10.7 г). Такие ударные волны с осциллирующей
структурой экспериментально наблюдаются в плазме и электро-
электромагнитных линиях передачи.
10.6 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 253
10.6. Исторические замечания и комментарии
Уравнение Кортевега—де Вриза. Голландский матема-
математик Дидерик Иоханнес Кортевег и его ученик Густав де Вриз,
отталкиваясь от работ Ж. Буссинеска и Дж. Рэлея, в 1895 г. вы™
вели уравнение A0.6), описывающее все основные эффекты, экс-
экспериментально наблюдавшиеся С. Расселом на большой волне в
канале около Эдинбурга (см. коммент. к гл. 13) [4.6].
Уравнение КдВ сыграло большую роль во втором «ро-
ждении» солитона уже в наше время, хотя сами авторы, по-
видимому, не придавали большого значения своей статье, в ко™
торой оно было получено. В частности, о ней даже не упоми-
упоминается в биографии Кортевега A945 г.). Знаменитым оно стало
после того, как в 1965 г. Н.Забуски и М.Крускал выяснили, что
оно описывает локализованные волны, которые не изменяются
после столкновения друг с другом, и ввели в обращение термин
«солитон». В 1967 г. группе американских ученых С. Гарднеру,
Дж. Грину, М. Крускалу и Р. Миуре удалось найти общее ре-
решение уравнения КдВ с помощью метода обратной задачи рас-
рассеяния. От этой работы обычно и отсчитывают начало бурного
развития науки о солитонах.
Простые и ударные волны. В 1808 г. С. Пуассон вывел
уравнение движения идеальной сжимаемой жидкости с учетом
нелинейных членов и нашел не частное решение в неявном виде
д(р/дх = f[x — (c+d(p/dx)t\, которое описывает распространение
простой волны. Пуассон не исследовал полученное им решение,
и оно не было широко известно его современникам. Лишь в кон-
конце 40-х годов это решение стало предметом глубокого изучения в
работах Дж. Чаллис A848 г.), Г. Стокса A848 г.), а затем С. Инр-
шоу («On the mathematical theory of sound», 1860 г.) и особен-
особенно Б. Римана («О распространении волн конечной амплитуды»,
1860 г.). Двое последних дали общее математическое решение
проблемы, поставленной Пуассоном [И.7].
В 1877 г. лорд Рэлей, отдавая должное результатам Пуассо-
Пуассона, назвал найденное им выражение для dip/дх в простой волне
интегралом Пуассона, и это название долгое время сохранялось
в научной литературе.
Ирншоу ввел понятия о волнах сжатия и разрежения, устано-
установил зависимсоть между плотностью и скоростью потока. Риман
ввел понятие об ударной волне и разработал математический ме-
метод решения задачи о разрыве, составивший основу современно-
современного метода характеристик (метод Римана).
254 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
Следует, однако отметить, что ни Ирншоу, ни Риману не уда™
лось дать правильную физическую интерпретацию явления раз-
разрыва гидродинамических параметров. В частности, когда Риман
пытался дать явлению разрыва энергетическую оценку, он исхо-
исходил из неверной посылки об адиабатическом характере перехо-
перехода через скачок. На это указал в 1878 г. Рэлей, подчеркнувший,
что игнорирование уравнения сохранения энергии было ошиб-
ошибкой Римана, не позволившей ему рассмотреть вопрос о суще-
существовании разрыва. Правильный анализ разрывных течений в
газодинамике с учетом термодинамических процессов был дан в
работах В. Рэнкина A870 г.) и X. Гюгоньо A885-1887 гг.) [И.7].
10.7. Задачи и упражнения
10.1. Из системы уравнений газовой динамики (9.15)—(9.17) вы-
выведите уравнение простой волны (волны Римана).
Решение. Полагаем, что р = p{v), тогда уравнения (9.15) и
(9.16) приводятся к виду
dt \ p dv J дх
= {dp/dpI'2 = cs (p/po)
где с(р) = {dp I dpI/2 = cs(p/po)^ l^2 — местная скорость
звука, xs = yJPo/po — скорость звука в невозмущенной
среде. Условия совместности полученных уравенний при-
приводят к соотношению dc/dp = =Ьс(р)/р, из которого нахо™
дим v = =Ь2[с(р) — cs]/G — 1)- Подставляя найденные соот-
соотношения в исходные уравнения, получаем два уравнения
первого порядка
dv , / ч dv A
— ± (cs + ev)— = 0,
dt дх
= (т±1)/2.
10.2. С помощью метода связанных волн выведите нелиней-
нелинейные эволюционные уравнения для продольных и сдвиго-
сдвиговых волн в твердом теле (9.45).
Указание. Для простоты считайте, что сдвиговая волна
плоскополяризованная, т.е. W = v(x^i)yo.
10.7 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 255
10.3. Графическим методом исследуйте нелинейную эволюцию
простой волны, описываемой уравнением
ди . ди , 2ди А
— + со— + ас®и — = 0
dt дх дх
при условии на границе и\х=® = щ sincdt. Найдите коорди-
координату ж* и момент времени ?*, когда в простой волне обра™
зуется разрыв.
10.4. Покажите, что периодическая волна Римана A0.25) может
быть записана в виде разложения Бессела^Фубини A0.27).
Указание. Решение A0.25) может быть представлено ря-
рядом Фурье
оо
z, т) — ао / j хэп\Т) ып nnZ)
п=1
су ^
где Вп{т) = - f sin(kz — ти/щ) sinnkzd(kz) — коэффици™
71 о
енты Фурье. После замены переменной
? = kz — ти/щ^ d(kz) = d(( — rsln^)
и интегрирования по частям выражение для Вп приводит™
ся к виду
7Г
Я (т} — — ^ f гпч С Ч1Т1 \г)(С — т Ч1П t\\ dt —
Dn\T)^ ^ J ^ LfHs TblI1sJJttS —
0
7Г
1 Г
= — — I |cos \(п^~1)С^пт sinCl+cos \(п — 1)(^пт sm(]\d(.
0
Далее используется интегральное представление функции
Бесселя
7Г
1 Г
1к(пт) = — I cos (fc? — вт sin() d(
0
и рекуррентное соотношение
В результате волна Римана A0.25) приводится к виду
A0.27).
256 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. 10
10.5. Вычислите скорость распространения слабой ударной вол™
ны, описываемой уравнением A0.22) при п = 2.
10.6. Докажите, что тейлоровская ударная волна A0.35) имеет
два эквивалентных представления:
u(rj) = щ +
1а(и2 - иг)
2ё '
щ) + (П2 - Ul)th
10.7. Найдите стационарное решение модифицированного урав-
уравнения Бюргерса
ди 2 ди с-д и -
— - аи — - д—^ = 0,
ОТ OZ OZ1
которое описывает структуру фронта ударной волны в вяз-
вязкой среде с кубической нелинейностью
Ответ.
где щ = 0, р = ащ/Зё^ V = —ащ/3 — скорость ударной
волны.
ГЛАВА 11
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ
ВОЛНЫ
Физическая теория подобна костюму,
сшитому для природы. Хорошая тео™
рия подобна хорошо сшитому костю-
костюму, а плохая — тришкину кафтану.
Я.И. Френкель
В этой главе рассматриваются волны, близкие к синусои-
синусоидальным, в нелинейной диспергирующей среде. Возникает во-
вопрос: когда возможны такие волны? — ведь нелинейность по™
рождает высшие гармоники, и волна, вначале синусоидальная,
перестает быть таковой по мере распространения. Существует,
однако, широкий класс процессов, в которых нелинейные иска-
искажения несущей волны остаются малыми. Это волны в средах, в
которых «дисперсия сильнее нелинейности», другими словами,
изменения скорости волны за счет нелинейности значительно
меньше разницы между скоростью собственной волны на основ-
основной частоте и ее ближайшей гармонике. Рассмотрению таких
процессов и посвящена настоящая глава. В главах 6 и 7 мы
видели, как, казалось бы, в «безнадежно линейной» ситуации
возникают, благодаря «частотной нелинейности», типично нели-
нелинейные задачи. В этом смысле волны огибающих оказываются
нелинейными даже в линейных средах. Разумеется, переход к
изучению «истинно нелинейных» сред чрезвычайно расширяет
круг задач и в той же мере их усложняет.
В модулированной волне нелинейные искажения огибаю-
огибающей становятся существенными на больших пространственно-
временных масштабах. В квазиоптическом приближении они
описываются нелинейным уравнением Шредингера для ком-
комплексной амплитуды или его аналогами для действительных ам-
амплитуды и частоты.
258 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
11.1. Нелинейное уравнение Шредмнгера
Уравнения для огибающих квазигармонических волн в нели™
нейной среде могут быть получены различными способами, на-
например, методом многомасштабных разложений или с помощью
усредненного вариационного принципа Уизема. Здесь же мы
ограничимся простейшим выводом уравнений для огибающей
на примере нелинейного уравнения Клейна^Гордона
д2и 2 д2и , 2 . За (л 1 1 \
c +ши + аи ° A1Л)
Его решение будем искать в виде квазигармонической волны
где A{x1t) — медленно меняющаяся комплексная амплитуда, а
частота cjq и волновое число ко удовлетворяют дисперсионному
соотношению
и? -и?р + с2к2. A1.3)
Вычислим производные от комплексных величин, входящих в
A1.1):
д2и (д2А , о, . дА .о
д2и
а также нелинейное слагаемое:
и3 = А3еШо + А*3е~Шо + Ы\А\егв° + ЗА*|А|2е^°,
где в® = u)®t ^ кох — фаза несущей волны. Подставим эти выра-
выражения в A1.1) и приравняем к нулю выражения, стоящие при
exp(i^o)- В результате получим эволюционное уравнение для
комплексной амплитуды:
. дАХ . 1 (д'2А 2д2А\ . , л,2 л п /-, 1 /П
где Vgr = с2ко/шо = (du)/dk)fc0 — групповая скорость волны, а =
— нелинейный коэффициент. Перейдем от х и t к новым
11.1 НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 259
переменным х1 = x — VgTt, tf = t. Эта замена переменных соответ-
соответствует переходу в сопровождающую систему координат, в кото-
которой амплитуда медленно изменяется в пространстве и времени
из-за эффектов дисперсии и нелинейности. В новых переменных
уравнение A1.4) сводится к нелинейному уравнению Шредингера
.•#-0g+aW'A = O. (ИЛ)
где /3 = c2ujp/2ujQ = l/2(d2u/d2k) — дисперсионный параметр
задачи. Здесь штрихи у независимых переменных опущены.
Уравнения в действительной форме. От уравнения
A1.5) с помощью замены А = ae^p(icp) можно перейти к си™
стеме уравнений для действительных переменных — амплитуды
a(x^t) и фазы ip(x,t) квазигармонической волны:
~ A1.6)
да п [суда dip . д'2(р\ ^
at \ дх дх дх2)
Если вместо фазы (р ввести новую искомую величину U =
= 2/3(д(р/дхI то A1.6) сведется к системе уравнений:
dU . TfdU да2 <^о2 д ( _\д2а\
* д\а Чха дх п дх2 ' AL?)
да . о / 2 г т\ п
где q = 2/За = a{d2uj/dk2) — новый параметр, равный произ™
ведению коэффициента нелинейности на параметр дисперсии.
Система A1.7) отличается от уравнений квазиоптического при™
ближения G.13) и G.14) наличием нелинейного слагаемого. Ло-
Локальное волновое число модулированной волны равно:
к = ^о + ^U(xA). A1.8)
2C
Из A1.7) следует, что поведение нелинейных волн огибающих
определяется соотношением между параметрами нелинейности
и дисперсии.
9*
260 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
11.2. Волны огибающих
в приближении пространственно-временной
геометрической оптики
В правую часть первого уравнения A1.7) входят нелинейные
слагаемые, обусловленные различными физическими фактора-
факторами. Первое (qda2 / дх) связано с нелиненостью среды, а второе
учитывает «нелинейную» дисперсию групповой скорости волно-
волнового пакета. В свою очередь, эти слагаемые могут иметь разные
порядки малости. В главе 7 была рассмотрена одна предель-
предельная ситуация — линейная квазиоптика, когда слагаемое, связан™
ное с нелинейностью среды, отсутствовало. Здесь сначала бу-
будет рассмотрен другой предельный случай — пространственно-
временная геометрическая оптика. В этом динамическом при-
приближении предполагается, что модуляция настолько медленна,
что можно пренебречь дисперсией групповой скорости, описы-
описываемой последним слагаемым в правой части уравнения A1.7).
Тогда уравнения огибающих принимают вид, сходный с уравне-
уравнениями газовой динамики:
dU . ттди да2
dt дх дх ALg)
dt дхх J
Отсюда следует, что в нелинейной среде, в отличие от линейной
(см. гл. 6), амплитудная и частотная модуляция взаимосвязаны
у лее в геометрооптическом приближении.
11.2.1. Модуляционная неустойчивость
Рассмотрим монохроматическую волну типа A1.2), где А = а® =
= const и Uq = 0, и исследуем ее устойчивость по отношению к
малым модулирующим возмущениям. Для этого линеаризуем
систему A1.9) в окрестности стационарнного значения A = 0,®^
l, Ux <C 1):
aili . o da\ A dai . 1 dUi A /11 in\
Система A1.10) имеет два семейства характеристик:
A1.11)
11.2
ПРИБЛИЖЕНИЕ ПВ-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
261
которые при q > 0 являются действительными (т.е. система
уравнений — гиперболическая), а при q < 0 — комплексными
(т.е. система уравнений — эллиптическая).
Пусть у бегущей монохроматической волны u(x,t) задана ма™
лая пространственная модуляция параметров, изменяющаяся по
закону exp(ii^x). Решение для огибающих в последующие мо™
менты времени можно искать в виде гармонического возмуще-
возмущения: ai,f7i ~ ехр[г(Ш — Кх)] с действительным К. Тогда из
A1.10) находим, что частота О и волновое число К огибающих
связаны дисперсионным соотношением
A1.12)
Из него следует, что при q > 0 частоты ft\^ действительны
и малое начальное возмущение не нарастает, а значит, моно-
монохроматическая волна в этом случае является устойчивой. Иная
ситуация наблюдается при q < 0. В этом случае частоты П\^
комплексные, и малые начальные возмущения огибающей воз™
растают со временем как exp I yf^|ftot J, т.е. монохроматическая
волна неустойчива и имеет место самомодуляция (рис. 11.1). На
спектральном языке эффект самомодуляции связан с усилением
боковых компонент в спектре модулированной волны, в которые
t> to
щ ш
Рис. 11.1. Самомодуляция волны в нелинейной среде при q < 0:
а — форма модулированной волны; б — спектр волнвх
перекачивается энергия из его центральной части (рис. 11.16).
Для возникновения модуляционной неустойчивости волны необ-
необходимо, чтобы нелинейный а и дисперсионный /3 параметры ере™
ды имели противоположные знаки:
A1.13)
262 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
Это условие известно, как критерий модуляционной неустой-
неустойчивости Лайтхилла. Примерами самомодуляции являются
неустойчивость огибающих оптических полей, а так лее неустой-
неустойчивость нелинейных волн Стокса на поверхности глубокой во-
воды (известная как неустойчивость Бенджамена-Фейра), кото-
которая приводит к их распаду на волновые пакеты. Модуляционная
неустойчивость наблюдается также у изгибных волн в тонких
стержнях и пластинах.
11.2.2. Простые волны огибающих
Проведем анализ нелинейной эволюции волн огибающих при
больших начальных возмущениях. Будем искать частный класс
решений системы A1.9), в котором существует локальная связь
между переменными а2 и U:
U = U(a2). A1.14)
для одной переменной а2:
Подставляя это соотношение в A1.9), получим два уравнения
змеиной а2:
dt w) к da' V дх - ' (пл5)
dt V da2/ о>ж
Условие их совместности требует выполнения равенства
(иле)
из которого находится локальная связь между амплитудой и
частотой модулированной волны:
!7 = ±2V/go2- A1-17)
Подставляя A1.16) и A1.17), например, во второе уравнение
A1.16), придем к квазилинейному уравнению первого порядка
для амплитудной огибающей:
1Г- = 0- A1.18)
11.2 ПРИБЛИЖЕНИЕ ПВ-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 263
От знака параметра q, входящего в это уравнение, существенно
зависит характер нелинейной эволюции огибающей. Если q > О,
то характеристики (ж, i-лучи), определяемые из условия dxjdt =
= =Ь \fqa2, будут действительными, а уравнения A1.9) будут ги™
перболическими. Если же q < 0, то характеристики будут ком-
комплексными, а уравнения A1.9) будут эллиптическими.
Остановимся на рассмотрении нелинейных волн модуляции,
описываемых уравнением гиперболического типа (q > 0). В этом
случае амплитудная и частотная огибающие модулированной
волны будут описываться выражениями
a2(x,t) = F (x±Zy/qa?t\ , A1.19)
г i— 1 V2
U(x, t) = ±2^ \F{x ± ЗлД^Щ , A1.20)
где F — произвольная функция, определяемая из начальных
или краевых условий. Решение такого типа в гидродинамике
принято называть волнами Римана, или простыми волнами.
Знаки ±» соответствуют волнам огибающих, распространяю-
распространяющихся соответственно в отрицательном и положительном на™
правлениях оси х. При переходе от подвижной системы коор-
координат к неподвижной решения A1.19) и A1.20) будут зависеть
от аргументов г)± = х — f vgr ± Зл/qa2) t. Следовательно, в непо-
неподвижной системе координат обе волны огибающих будут рас™
пространяться в одну сторону, но с различными скоростями:
быстрая волна — с локальной скоростью v+ = vgr + 3i/ga2, а
медленная со скоростью V- = Vgr — iyqa?. Это так называе-
называемый эффект расщепления групповых скоростей, впервые тео-
теоретически предсказанный Дж. Уиземом. С течением времени у
быстрой волны увеличивается крутизна фронта, а у медленной
волны — крутизна спада. В результате начальный профиль вол-
волнового пакета симметрично расплывается с увеличением кру-
крутизны его краев (рис. 11.2). Такое поведение огибающей, вы-
вызванное расщеплением групповых скоростей, совершенно не по-
похоже на поведение нелинейного волнового пакета, у которого
существует лишь одна групповая скорость. Крутизна профиля
огибающей будет увеличиваться до тех пор, пока не образует-
образуется «разрыв». Точка образования «разрыва» огибающей опре-
определяется из условий, аналогичных условиям F.11) и соответ-
соответствует появлению ж, t-каустики. В ее окрестности приближение
264
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
ПВ~геометрической оптики теряет силу, и дальнейшее исследова
ние волны огибающей необходимо проводить в квазиоптическом
приближении на основе анализа решений более полных уравне™
ний A1.7), учитывающих дисперсию групповой скорости.
Рис. 11.2. Нелинейная эволюция волнового пакета при q > О
\
Рис. 11.3. Нелинейная эволюция волнового пакета при q < О
Нелинейная стадия развития модуляционной неустойчивости
волны при q < 0 описывается эллиптической системой урав™
нений A1.10) и более сложна для анализа. Ее точное реше-
11.3 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КВАЗИОПТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 265
ние может быть найдено с помощью известного в гидродина-
гидродинамике преобразования годографа. Здесь мы не будем вдаваться
в подробности этого весьма сложного анализа и приведем лишь
рис. 11.3, дающий качественное представление о нелинейной эво-
эволюции огибающей волнового пакета. Из него видно, что вершина
пакета обостряется вплоть до образования острого пика.
Из рассмотренных примеров можно судить о том, насколько
сложнее и разнообразнее оказывается эволюция волн огибаю™
щих в нелинейной среде по сравнению с линейной. В этом слу-
случае, вообще говоря, уже нельзя ввести универсальную группо-
групповую скорость волнового пакета, определяющую поведение ж, t-
лучей. При q > 0 существует две локальных скорости: v± = Vgri
±3у да2, но ни одна из них не является скоростью переноса энер-
энергии модулированной волной. Более того, при q < 0 эти скорости
и соответствующие им ж, i-лучи оказываются комплексными и
тогда бегущая волна сама себя модулирует.
11.3. Модуляционная неустойчивость
в квазиоптическом приближении
В приближении нелинейной ПВ-геометрической оптики у
волн огибающих возникают особенности в точке опрокидыва-
опрокидывания при q > 0 или на вершине цуга при q < 0. Чтобы устранить
эти особенности, в первом уравнении A1.8) необходимо учесть
эффект дисперсионного расплывания волнового пакета.
Рассмотрим сначала поведение малых возмущений af(x^t) =
= ао и U!{x^t) монохроматической волны, которые описываются
линеаризованной системой уравнений, следующей из A1.8):
&U' . о да' 2/32 d3af п
—= + 2qa®— - ~^itt = 05
ot дх «о ах» (и 21)
да ао dU' ^
Полагая а;, U1 ~ ехр[г(Ш —ifrc)], получим дисперсионное соотно-
соотношение, связывающее частоту и волновое число волны модуляции
= ±a0Kx q+^K2. A1.22)
266
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
Оно отличается от дисперсионного уравнения A1.12) наличием
дополнительного слагаемого под радикалом. Поведение возму-
возмущений в этом случае зависит от знака параметра q. При q > О
монохроматическая волна устойчива, а при q < 0 имеется интер-
интервал волновых чисел К < К* = ^/|д|ад//32, на котором частота
Q является мнимой и, следовательно, возмущения нарастают с
инкрементом
Im U =
а-о
A1.23)
Таким образом, учет третьей производной в A1.21) не устраняет
эффект модуляционной неустойчивости, а лишь ограничивает
область значений К, при которых она имеет место. На рис. 11.4
приведена зависимость мнимой части частоты Im ft от волно-
волнового числа К. Из него видно, что при Кт = К*/у/2 достига-
достигается максимальная величина инкремента, равная (Im fl)max =
= сшд. Следовательно, в монохроматической волне при q < О
наиболее быстро нарастает модуляция с длиной волны Хт =
= 2тг/Кт = 2тг/3/ао\/\q\j которая обратно пропорциональна ам-
амплитуде. Интересно отметить, что значение (Im fi)max не за-
зависит от дисперсионного параметра /3, однако с уменьшением
дисперсии максимум инкремента достигается для более высокой
частоты модуляции (см. рис. 11.4, кривая 2). Итак, при отрица-
ImO
Рис. 11.4. Инкремент модуляционной неустой-
неустойчивости: 1 — q = qi, 2 — q = q2
тельных значениях параметра q нелинейная монохроматическая
волна оказывается неустойчивой относительно модуляции ее ам-
амплитуды и частоты. Ограниченность ширины полосы неустой™
чивости связана с учетом члена, описывающего «временную ди-
дифракцию» волн.
11.4 СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 267
11.4. Стационарные волны огибающих
Значительный интерес представляет вопрос о существовании
стационарных волн огибающих. Класс стационарных волн здесь
гораздо богаче, чем в линейном случае. Полагая в A1.7) a(x,t)
и U{x1t) зависящими от одной переменной г/ = х — Vi, где V =
= const — скорость волны, получим первые интегралы в виде:
где Сi52 — константы интегрирования. Первое соотношение в
A1.24) устанавливает алгебраическую связь между амплитуд-
амплитудной и частотной огибающими волнового пакета, а второе урав-
уравнение описывает их изменение вдоль бегущей «координаты» г/.
Заметим, что при С\ Ф 0 и амплитуде, стремящейся к нулю,
у фазовой переменной возникает особенность U —>• оо, соответ-
соответствующая скачку фазы в волне. Чтобы избавиться от нее, по-
положим С\ =0. В этом случае отсутствует частотная модуляция
волны, а ее скорость равна групповой скорости в линейной сре-
среде и не зависит от амплитуды. Равенство U = V дает лишь
постоянный сдвиг частоты (волнового числа) несущей волны и
приводит к появлению во втором уравнении A1.24) постоянной
V2/2f32. He уменьшая общности, эту постоянную можно поло-
положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить соответ-
соответствующей перенормировкой переменных U ш а.
11.4.1. «Светлые» и «темные» солитоны огибающей
Система A1.24) при С\ = 0 сводится к уравнению нелинейного
осциллятора:
0 + W{°2 ~ qa2)a = °- AL25)
Это известное уравнение Дуффинга. Его решения могут быть
выражены в эллиптических функциях (см. Приложение 1), од-
однако более наглядно можно проследить их поведение на фазовой
плоскости {a,da/drj). Характер решений зависит от знаков ко-
коэффициентов q и С*2. Так как С2 — произвольная постоянная, то
мы рассмотрим все возможные случаи, когда уравнение A1.25)
имеет ограниченные решения.
268
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
При g < 0 и С*2 < 0 уравнение A1.25) имеет три состоя-
состояния равновесия: седло при а\ = 0 и центры «2,з = iyC^Az- На
Рис. 11.5. Фазовый портрет уравнения A1.25) для q < 0 и С2 < 0 (а);
типы волн огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 л 2 (б, в);
солитон огибающей (г)
рис. 11.5 показаны фазовый портрет уравнения и различные ти™
пы модулированных волн со стационарными огибающими. Здесь
следует особо отметить существование локализованного волно-
волнового пакета — солитона огибающей (рис. 11.5 г), который опи-
описывается выражением:
— vgrt) exp [i(u)ot — kox)] + к.с,
J
и(х, t) = aTOsech ^ g
L 2p J
A1.26)
где ат — максимальное значение амплитуды. Солитоны A1.26)
образуют семейство решений, зависящее от двух параметров —
несущей частоты и максимальной амплитуды. Ширина солито™
на обратно пропорциональна его амплитуде: А = 2/3/(атодДд[).
Заметим, что она имеет порядок масштаба модуляции мо-
монохроматической волны Лт =
), при котором
модуляционная неустойчивость имеет наибольший инкремент
11.4
СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ
269
п=10
нарастания. В оптике волну A1.26), представляющую собой
«вспышки света», часто называют светлым солитоном.
На рис. 11.6 приведены экс-
экспериментальные результаты
по наблюдению нелинейных
волн огибающих в LC-линии
передачи.
Если G2 > 0 и q < 0, то
уравнение A1.25) имеет толь-
только одно состояние равнове™
сия — центр, находящийся при
а = 0.
При положительных зна™
чениях g и G2 > 0 уравне-
уравнение A1.25) имеет три состо™
яния равновесия: центр при
а\ = 0 и седла при «2,з =
— ^yC^/q- Фазовый портрет
в этом случае имеет вид «ко™
шачьего глаза»(рис. 11.7а), а рис. 11.6. Развитие модуляционной
характерные типы модулиро- неустойчивости квазигармонической
ванных ВОЛН приведены на волны в L С-линии передачи и форми™
рис. 11.7 б,в. В ЭТОМ случае ЛО™ рование солитонов огибающей
кализованной уединенной вол-
волны не существует, но зато имеется уединенное решение в виде
провала в гармонической волне (см. рис. 11.7 в). Это так назы-
называемый темный солитон, для которого легко записать решение
в явном виде.
t - кох)] + к.с, A1.27)
и(х, t) = amth
Это семейство решений опять зависит от частоты несущей вол™
ны ш® и амплитуды ат. Распределение интенсивности в такой
волне описывается выражением
,th2 ^
=a*m[l- sech2 (^
A1.28)
и представляет собой «провал» в виде перевернутого солито™
на относительно уровня /q = а^ (см. рис. 11.7 г). Ширина
«темного» солитона обратно пропорциональна его амплитуде:
А = 2P/(y/qam).
270
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
Рис. 11.7. Фазовый портрет уравнения A1.25) для q > 0 и
Сг > 0 (а); волны огибающих, соответствующие фазовым
траекториям 1 и 2 (б, в) и распределение интенсивности в
«темном» солитоне (г)
В случае, когда q > 0 и
ограниченных решений.
< 0, уравнение A1.25) не имеет
11.4.2. Волна с амплитудно-частотной модуляцией
До сих пор рассматривались модулированные волны, у которых
имелась амплитудная модуляция, но не было частотной. Здесь
будет рассмотрен более общий случай волновых процессов, ко™
гда С\ ф 0 и наряду с амплитудной имеется и частотная мо-
модуляция. Система A1.24) при С\ ф 0 эквивалентна уравнению
второго порядка
Его можно интерпретировать как уравнение движения матери-
материальной точки с отталкивающим центром. Аналитическое реше-
решение уравнения A1.29) приводит к довольно сложным и громозд-
громоздким вычислениям, поэтому обратимся к его анализу на фазовой
11.4 СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 271
плоскости. Перейдем от а и г] к новым переменным
w=., ^+v'2/2
я.
Тогда уравнение A1.29) преобразуется к виду:
~s2w3 -jw^3 = 0, A1.31)
где 5i = sIgn(gC2 + F22/2), s2 = sign (9), 7 =
= Cfq2 (C2 + F2/2) /2B/52L. Первый интеграл уравнения
A1.31) определяет траектории движения изображающей точки
на фазовой плоскости:
(^J + ПИ=??. A1.32)
Здесь слагаемое H(w) = [(si/2)/2]tc;2- [E2/4)/4]w4+
определяет потенциальную энергию частицы, а постоянная Е
имеет смысл полной энергии частицы. Уравнение A1.32) может
быть проинтегрировано методом разделения переменных:
Г dw AL33)
и сведено к вычислению эллиптических интегралов. На
рис. 11.8 а приведен характерный вид потенциала H(w) при 5i =
= 52 = 1и0<7< 4/27. Фазовые траектории на рис. 11.8 а
соответствуют разным значениям постоянной Е.
Таким образом, ограниченные стационарные волны огиба™
ющих с амплитудно-частотной модуляцией существуют только
при q > 0. При этом реализуются лишь волны затемнения. Се™
паратрисе на фазовой плоскости (рис. 11.8 5, кривая 2) отвечает
солитон затемнения (рис. 11.8 г), описываемый выражениями:
A1.34)
arctg |—¦rrrt
где Юоо — значение амплитуды волны на бесконечности, a wm —
амплитуда солитона, определяющая «провал» интенсивности в
272
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
Рис. 11.8. Потенциал П(гу) и фазовый портрет уравне-
уравнения A1.31) при si=S2 = 1hO<7< 4/27 (а, б); профили
огибающей (в, г)
гармонической волне. Скорость модулированной волны теперь
зависит от ее амплитуды.
11.5. УдаРные волны огибающих
Ударные волны — нелинейный процесс, характерный для
сред со слабой дисперсией, допускающих сильные искажения
профиля волны вплоть до образования разрывов. В средах же с
сильной дисперсией, изучаемых в этой главе, нелинейность про™
является, главным образом, в пространственно-временных из-
изменениях медленно меняющихся амплитуды и частоты, тогда
как локальная структура несущей волны остается неизменной
(в нашем случае — квазигармонической). Выше мы видели, что
при q > 0 волны огибающих могут испытывать накапливающи-
накапливающиеся искажения, аналогичные искажению мгновенного профиля
волны в слабодиспергирующих средах. В частности, при q >
> 0 возможны простые (римановы) волны огибающих (п. 11.2).
Естественно предположить далее, что распространение таких
волн приводит к установлению резкой (по сравнению с масшта-
масштабом изменения огибающей) переходной области — ударной волны
огибающей. На эту мысль наводит, в частности, существование
двух точек равновесия (седла и центра) на фазовой плоскости
системы уравнений A1.24) при q > 0. Если в систему уравне-
уравнений A1.7) ввести хотя бы малое затухание, то могут появиться
11.5 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 273
фазовые траектории, соединяющие соседние точки равновесия.
Такие траектории соответствуют ударным волнам огибающих,
по аналогии с ударивши волнами в обвхчной газодинамике.
11.5.1. Основные уравнения
Следует отметить, что подходящий диссипативный процесс дол™
жен быть довольно специфичным. Непосредственный учет ли-
линейной вязкости, достаточный для описания обычных ударных
волн, не дает установления ударных волн огибающих и приводит
лишь к общему затуханию волны. Здесь необходимо присутствие
инерционной нелинейности, которая релаксирует при изменении
средней интенсивности поля. Учет подобных процессов приво-
приводит к повышению порядка усредненных уравнений для огибаю-
огибающих, необходимому для получения переходной области между
двумя состояниями равновесия, отвечающими немодулирован-
ным волнам. Не конкретизируя физической природы нелиней-
нелинейного инерционного процесса, будем описывать его дополнитель-
дополнительной переменной %(ж,?). В простейшем случае инерционный «от-
«отклик» среды на воздействие мощной волны описывается урав-
уравнением релаксации.
В качестве модельного примера, описывающего волновой
процесс в среде с инерционной нелинейностью, рассмотрим си-
систему, включающую уравнение для релаксации нелинейного па-
параметра:
где Тр — характерное время релаксации среды, j\u\2 — учитыва-
учитывает влияние интенсивности волнового поля на нелинейные про-
процессы в среде. Для обычных сред тр > 0 и 7 > 0, хотя могут
быть и другие возможности. Выражение для u(x,t) будем ис-
искать в виде квазигармонической волны A1.2).
Подставляя A1.2) в A1.35), придем к следующей системе эво-
эволюционных уравнений:
— + —\ - в— + А - О
di V&dx) дх- аХ ' (iL36)
274 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
При выводе A1.36) мы воспользовались заменой d2A/dt2 ~
« v2(d2A/dx2I вытекающей из группового приближения. Все
остальные обозначения совпадают с принятыми в A1.5).
В тех случаях, когда можно пренебречь релаксацией среды,
т.е. тр = 0, система A1.36) приводится к нелинейному уравне-
уравнению Шредингера A1.5). Заметим, что в уравнениях A1.36) не
целесообразно переходить к «бегущей» координате х1 = х — fgri,
так как избавление от слагаемого VgrdA/dx в уравнении Шре™
дингера приводит к появлению пространственной производной
Vgr(df]/dx) в уравнении релаксации. Перейдем к действитель-
действительным переменным а(ж,?), ip(x,i), v(x,t):
А(х, t) = aeitp, v = vgr- 2@dip/dx. A1.37)
Подставляя A1.37) в A1.36) и производя преобразования, ана-
аналогичные описанным в п. 11.1, получим:
A1.38)
где как и выше q = а/3. Система уравнений A1.38) является
обобщением уравнений A1.7) на случай среды с нелинейной ре™
лаксацией. При тр = 0 системы A1.7) и A1.38) эквивалентны.
11.5.2. Структура ударных волн огибающих
Так же, как и в п. 11.4, будем искать стационарные волны, за™
висящие от одной переменной г\ = х — Ft, где V = const. Это
позволяет в A1.38) перейти к уравнениям в обыкновенных про™
изводных, причем первые два уравнения один раз интегрируют-
интегрируются. В результате получаем:
A1.39)
Здесь Ci;2 — константы интегрирования. Система A1.39) имеет
третий порядок и ее исследование в полном виде затруднитель-
11.5 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ 275
но. Проанализируем более подробно два предельных случая, ко™
гда инерционность нелинейности либо мала, либо велика.
В рассмотренной системе существуют два независимых вре™
менных масштаба: тр — время релаксации нелинейности и тт ~
~ (Kmvgr)^ ~ /3/су|д|атах — характерное время модуляции,
равное периоду волны, для которой инкремент неустойчивости
максимален (см. рис. 11.4). Влияние параметров тр и тт в урав-
уравнениях A1.38) сходно с влиянием вязкости и дисперсии в урав™
нениях для мгновенных значений поля. Ход волнового процесса
зависит от соотношения между характерной длительностью на™
чального возмущения то и указанными параметрами.
В случае большой инерционности нелинейного параметра
(тр ^> тт) производной d2a/dr]2 в A1.39) можно пренебречь, и
после несложных преобразований приходим к уравнению перво-
первого порядка для интенсивности т = а2:
тр^ = га(Ь0 - him2 + b2m3I A1.40)
где b0 = 1/V, b2 = (F2/2 + C2)VCf и b3 =
Уравнение A1.40) может быть проинтегрировано, но мы
ограничимся его качественным исследованием на фазовой плос-
кости. Нетрудно проанализировать все варианты поведения фа-
фазовых траекторий уравнения A1.40) в зависимости от знаков
и величин входящих в него коэффициентов. Ясно, что физи-
физический смысл имеют только неотрицательные значения га. На
рис. 11.9 а показан один из вариантов фазовой траектории это-
этого уравнения. Соответствующая ей ударная волна огибающей
представляет переход от неустойчивого состояния равновесия
газ (при г\ -Л ^оо) к устойчивому состоянию га2 (при 77 —>• оо).
Форма ударной волны, в которой амплитуда монотонно спадает
от газ до 7712, показана на верхнем рисунке 11.9 5. Характерная
длительность ударного фронта Т имеет порядок тр/A^т2/тп1),
то есть Т ^ тр.
Для среды с малой инерционностью (тр <С тш) второе урав-
уравнение A1.39) содержит малый параметр при производной. Та-
Такой процесс можно разбить на два этапа: быстрый, происходя-
происходящий за время порядка тр, и медленный по сравнению с тр. При
тр > 0 траектории быстрых движений в фазовом пространстве
(a, da/dr]^ x) системы A1.39) приходят за время порядка тр на
цилиндрическую поверхность х = 7а2? в окрестности которой
происходят все медленные движения. Для медленных движе-
276
НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 11
ний Tpdx/dr] <x~ 7fl25 и можно положить dx/df] ~ —jda2/dr].
Совсем отбросить производную от х нельзя, так как при этом
dm, %„<: %т
Рис. 11.9. Фазовые портреты (а) и соответствующие им формы
ударных волн огибающих (б) для rr < rm и тг > тт
система A1.39) становится консервативной и не имеет решений,
соответствующих ударной волне. При сделанных предположе-
предположениях система A1.39) приводится к уравнению второго порядка:
= 0,
A1.41)
где rfx = (F2 - G2/2M d2 = g7/2/32, d3 = Cf/2/32. Уравнение
A1.40) можно рассматривать как уравнение движения матери-
материальной точки в потенциальном силовом поле с отталкивающим
потенциалом
пэф =
d\a2
2а2
A1.42)
и нелинейным трением. Знак силы трения определяется знаком
произведения qjr. Нетрудно провести исследование решений
первого уравнения A1.39) на фазовой плоскости (a, da/drj), соот-
соответствующей указанной выше поверхности х = 7fl2- На рис. 11.9
показан фазовый портрет (а) и структура ударной волны оги-
огибающей (б). Заметим, что последняя превращается в «темный»
солитон при исчезновении инерции (см. рис. 11.8).
11.6
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
277
В заключение отметим, что ударные волны огибающих
наблюдались экспериментально для пикосекундных световых
импульсов в изотропных жидкостях, а так лее в радиодиа-
радиодиапазоне в нелинейных L С-линиях, содержащих в качестве
Рис. 11.10. Формирование ударной волны огибающей в LC-линии переда-
передачи с инерционной нелинейностью [11.16]: а — быстрая ударная волна, б —
медленная ударная волна
инерционных нелинейных элементов полупроводниковые дио-
ды(см. рис. 11.10).
11.6. Исторические замечания и комментарии
1. Нелинейные волны огибающих. В 50-—60 гг. XX сто™
летия появились новые мощные источники энергии волновых
полей, например, лазеры; их излучение стало широко исполь-
использоваться для воздействия на вещество, передачи информации и
многих других целей. Эти волны имеют совсем другой характер,
чем, например, ударные волны. Здесь волна представляет собой
быстрые колебания (для света — многие миллиарды колебаний в
секунду), интенсивность и частота которых сравнительно мед-
медленно (например, с частотой звука) изменяются во времени и
пространстве. Такие волны называют модулированными. Зако-
Закономерности их нелинейного распространения к началу 60-х гг.
оставались неисследованными.
Теоретические исследования нелинейных модулированных
волн начались в 1960-х годах, практически одновременно в
электродинамике Л.А. Островским и в механике (теория волн
на воде) Дж. Уиземом и М. Лайтхиллом. Возможность суще-
существования простых и ударных волн огибающих была показана
Л.А. Островским в 1963 г.[11.16, 11.18] В 1965 г. Дж. Уизем
278 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
предложил использовать метод усредненного лагранжиана для
описания модулированных волн, а М. Лайтхилл показал воз-
возможность самомодуляции нелинейных волн и ввел соответству-
соответствующий критерий неустойчивости (см. [11.14]). На возможность
существования солитонов огибающих было указано Островским
в 1966 г. [11.17], а детально они были исследованы В.И. Карп-
маном и Е.М. Крушкаль в 1968 г. [11.11, 11.10].
Экспериментально солитоны и ударные волны огибающих
были обнаружены сначала в радиофизике на LC-линиях с нели-
нелинейными элементами (Л.А. Островский, Л.В. Соустов, 1972—-
1975 гг. [11.19, 11.20]), а потом и для мощных лазерных импуль-
импульсов в оптических волокнах и жидкостях (Л. Молленауэр и др.,
1980 г. см. [11.26], Е.В. Нестерова и И.А. Александров, 1985 г.
[11.15]). Солитоны огибающих экспериментально наблюдались
также на поверхностных волнах на глубокой воде (Г. Юэн и
Б. Лейк, 1975 г. [11.25]) и у изгибных волн в тонкой металличе-
металлической оболочке (Дж. By и др., 1987 г. [11.30]).
В последующие годы исследования нелинейных волн огиба-
огибающих проводились очень активно. Самолокализация модулиро-
модулированных волн и связанное с ней расширение спектра были ис-
использованы для получения коротких световых импульсов. Пред-
Предлагается использовать солитоны огибающих для передачи без
искажений световых импульсов в волоконных волноводах на
большие расстояния (так как слабые, линейные волны в них рас-
расплываются). С подобными волнами пытаются связать происхо-
происхождение спиральных рукавов галактик и свойства элементарных
частиц.
Нелинейное уравнение Шредингера. Это фундамен-
фундаментальное уравнение нелинейной физики появилось в 1960-х-на-
чале 1970-х годов в различных областях науки. По-видимому,
впервые оно возникло в 1961 году в теории конденсированных
сред, когда Л.П. Питаевский [11.21] и Е. Гросс независимо друг
от друга предложили его для описания процесса формирова-
формирования вихревых нитей в конденсате Бозе^Эйнштейна. Проникно-
Проникновение нелинейных уравнений Шредингера в нелинейную теорию
волн началось с задач о самофокусировке волновых пучков, рас-
рассмотренных П. Келли в 1964 г. и В.И. Талановым в 1965 г.
(см. [11.4, 11.22]) Для описания нестационарных волновых по-
полей в диспергирующих средах оно было предложено практи-
практически одновременно для нелинейных электромагнитных волн в
диэлектрике А.Г. Литваком, В.И. Талановым в 1967 г. [11.13],
и В.И. Карпманом [11.10, 11.11]. для описания модулированных
11.7 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 279
волн, а В.Е. Захаровым A968 г.) при исследовании устойчиво-
устойчивости поверхностных волн [12.7]. В наиболее общем виде нели-
нелинейное уравнение Шредингера было предложено Д. Бенни и
А. Ньюэлом A967 г.) как формализованное модельное уравне-
уравнение, пригодное для описания слабонелинейных диспергирующих
волн различной физической природы. В 1970 г. НУШ появилось
в работе Ф. Тапперта и К. Вармы в связи с изучением распро-
распространения теплового импульса в твердом теле, а в 1972 г. оно
проникло в физику плазмы для описания нелинейных ленгмю-
ровских волн. Однако известность оно приобрело в 1971 г. после
работы В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [11.9], в которой они на-
нашли точное решение НУШ с помощью усовершенствованного
ими метода обратной задачи рассеяния. В дальнейшем большой
вклад в теорию нелинейного уравнения Шредингера внесли ра-
работы Г. Юэна и В. Лейка A975-1982 гг.) по нелинейной динамике
гравитационных волн на глубокой воде [11.25].
Модулмцмоннам неустойчивость волн Стокса. В 1847 г.
Д. Стоке нашел приближенное выражение для нелинейных гра-
гравитационных волн на поверхности глубокой воды, зависящее от
одной переменной, и высказал предположение, что с увеличе-
увеличением амплитуды профиль волн приближается к некоторой пре-
предельной форме (циклоиде) с угловой точкой на вершине. Попут-
Попутно Стоке получил два фундаментальных результата, состоящих
в том, что в нелинейных средах с дисперсией могут существо-
существовать стационарные волны и, что в дисперсионное соотношение
для нелинейной периодической волны входит амплитуда [12.20].
В 1967 г. Т. Бенжамин и Дж. Фейр экспериментально и теорети-
теоретически доказали неустойчивость волн Стокса по отношению к ма-
малым продольным возмущениям (см. [11.14]). Ими было найдено
критическое отношение глубины воды к длине волны 2тг/г/А =
= 1,36, при котором наступает неустойчивость. Этот результат
произвел эффект разорвавшейся бомбы среди механиков и ма-
математиков, потративших много лет и усилий на доказательство
существования и устойчивости волн Стокса. И в результате ока-
оказалось, что эти волны неустойчивы!
11.7. Задачи и упражнения
11.1. Выведите нелинейное уравнение Шредингера для медлен-
медленно меняющейся комплексной амплитуды A(x,i) квазигар-
280 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
ионической волны A1.2), удовлетворяющей модифициро-
модифицированному уравнению Кортевега^де Вриза
+аи + ^ °
11.2. Выведите нелинейное уравнение Шредингера для квази-
квазигармонической волны, описываемой уравнением:
д2и 2 \л , fdu\2] д2и 2 д2 (д2и 2d2
c[1 + a{) \г Uc
11.3. С помощвю метода усреднения выведите уравнение оги-
огибающей для квазигармонической волны, удовлетворяющей
уравнению Гарднера:
ди . / . 2\ди . пд3и А
— + (а\и + а2и )— + р^-г = 0.
dt дх дх3
Указание. Решение следует искать в виде суммы трех тар™
моник с медленно меняющимися амплитудами и медленно
изменяющейся составляющей Aq(x^t):
и(х, t) = Aieie + v{A0 + А2еш) + \?Аъеш + к.с,
где /!<С1 — малый параметр. Квадратичная нелинейность,
которая в первом приближении порождает постоянную со-
составляющую t4q и вторую гармонику. Во втором же при™
ближении она приводит к генерации третьей гармоники и
нелинейному вкладу в волну на основной частоте.
11.4. Запишите нелинейное уравнения Шредингера A1.5) для
действительных функций v и го, определенных выражени-
выражением ^4 = -у + iw.
11.5. Для модифицированного уравнения Шредингера вида
*ж + ^ + а^\А\2А + «2|^ = о
найдите:
а) нелинейное дисперсионное уравнение, отвечающее мо-
монохроматической волне;
б) систему «гидродинамических» уравнений типа A1.7);
11.7 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 281
в) выявите условия, при которых монохроматическая вол™
на неустойчива относительно модуляции амплитуды и ча-
частоты, и найдите максимальный инкремент неустойчиво-
неустойчивости.
Указание. Воспользуйтесь результатами п. 11.1. и п. 11.3.
11.6. Найдите локализованную солитоноподобную волну огиба-
огибающей (светлый солитон) для уравнения
dt дх2
при произвольном п > 2.
Ответ.
A(x,t) =
Нелинейный закон дисперсии имеет вид 0 = 1 + К2 —
11.7. Исследуйте на устойчивость систему уравнений A1.7)
при малых возмущениях ее стационарного состояния a =
= а0, U = С/о.
Ответ.
l,2-U0K) = ±a0KJq+^K^.
V ao
Система неустойчива, если q > 0 и 0 < К2 < |g|ag//32.
11.8. Выведите уравнения для амплитудной и частотной огиба-
огибающих «спиральной» волны, удовлетворяющей векторному
уравнению Буссинеска:
д2ш _ 2<92w п94ш _ д /| |2 \
где w(x,t) = @,Wg(x,t),wz(x,t)) — вектор смещения.
Указания. Решение ищется в виде спиральной волны
w(x, t) = а(ж, t)e(x, t), где a(x,t) — амплитуда волны, а
е = {cos0(x,t), — sin(p(x,t)} — поляризационный вектор,
в(х, t) = a;o — Kqx + (р(ж, t) — фаза волны вращения.
11.9. Найдите аналитический вид решений уравнения A1.25),
описывающих периодические волны огибающих, представ-
282 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕОКИЕ ВОЛНЫ ГЛ. 11
ленные на рисунках 11.5,6", 11.5,в и 11.7,6. Проанализируй-
Проанализируйте их предельный переход к уединенным волнам — соли-
тонам огибающих.
11.10. Найдите аналитический вид решений уравнения A1.29),
описывающих периодические волны затемнения. Проана-
Проанализируйте их предельный переход в солитон.
11.11. Выявите условия модуляционной неустойчивости моно-
монохроматической волны в среде с инерционной нелинейно-
нелинейностью, описываемой уравнениями A1.38).
11.12. С помощью замены переменных х и у приведите двумер-
двумерное нелинейное уравнения Шредингера
M+v дА) яд2Л 2вд2А а А\2Л - 0
dt ^г дх) дх2 ду2
к одномерному.
Указание. Нужно перейти к новой пространственной коор-
координате z = х cos a + у sin а (поворот системы координат на
угол а).
ГЛАВА 12
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ
ВОЛНЫ
Из всех услуг, которые могут быть
оказаны физике, введение новых
идей — самая важная.
Дмс.Дэю. Томсон
Квазигармонические волны, рассмотренные в предыдущей
главе, характерны для сред с сильной дисперсией и малой нели-
нелинейностью. Подобные среды типичны, например, для нелиней™
ной оптики. В средах же со слабой дисперсией даже малая
нелинейность ведет к существенным искажениям формы волн,
и «квазигармоническое» приближение уже не пригодно. Зада-
Задачи такого рода возникают для нелинейных волн на воде, волн в
плазме, в нелинейных линиях передачи.
В этой главе рассматриваются медленные вариации несину-
соидальных волн. При этом расширяется понятие модуляции:
теперь изменяются не только амплитуда, частота и фаза волны,
но и ее профиль.
12.1. Стационарные бегущие волны
В первоначально гармонической волне с конечной амплиту-
дой из-за нелинейности появляются высшие гармоники, и ее
форма искажается в процессе распространения. Чаще всего (хо-
(хотя и не всегда) чем больше амплитуда волны, тем больше и нели-
нелинейные искажения. Однако характер процесса зависит не только
от величины нелинейности, но еще и от дисперсионных свойств
среды. Если дисперсия отсутствует, то волны всех частот рас-
распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями. Это обес-
284 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
печивает взаимный резонанс гармоник во времени и простран-
пространстве, и поэтому даже слабая нелинейноств приводит с течением
времени к накапливающимся искажениям профиля начальной
волны. При сильной дисперсии, когда синхронизм отсутствует,
волна такой же амплитуды будет искажаться существенно ела™
бее, а при небольшой нелинейности остается почти синусоидаль-
синусоидальной.
Особенности нелинейных волновых процессов в существен™
ной степени определяются конкуренцией между нелинейностью
и дисперсией, а в неконсервативных системах — также и дис-
диссипацией энергии волны. Нелинейность, как уже отмечалось,
приводит к зарождению высших гармоник, в которые перека-
перекачивается энергия из основного возмущения, и тем способствует
появлению в профиле волны резких перепадов. Дисперсия лее,
наоборот, имеет тенденцию к «размыванию» резких перепадов
из-за различия в фазовых скоростях гармонических составля-
составляющих волны. Диссипация также может препятствовать нели-
нелинейным искажениям волны просто потому, что из-за затухания
нелинейность в ней падает.
Из™за трудности, а нередко и невозможности получения об™
щего решения нелинейных уравнений в частнвхх производнвхх,
в теории нелинейных волн ограничиваются анализом частных
решений, описывающих тот или иной тип волновых движений.
В 1960™х годах были открытв! hobbig методв! точного решения
некоторых типов таких уравнений, наиболее известный из них —
метод обратной задачи рассеяния. Эти методы применимв! к
классу так называемых точно интегрируемых уравнений. Од-
Однако многие динамические процессв! в нелинейной физике они™
сываются неинтегрируемыми уравнениями.
Относительно простой, но весьма показательный класс реше-
решений описывает стационарные волны, сохраняющие свою форму
в процессе распространения:
u(x,t) = f(ri,Cm), A2.1)
где г] = х ~~ Vtj V — скорость стационарный волны, а Ст — со-
совокупность других ее параметров. В линейных средах с посто-
постоянными параметрами без дисперсии любое бегущее возмущение
является стационарной волной. В линейных средах с диспер-
дисперсией стационарными являются гармонические волны вида и =
= a cos (u)t — кх). В нелинейных средах стационарные волны су-
существуют в результате «уравновешивания» действий нелиней-
12.2 УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА 285
ности и дисперсии. Такие решения играют выделенную роль
в теории нелинейных волн. Они описываются обыкновенны-
обыкновенными дифференциальными уравнениями, и для их анализа могут
быть использованы качественные методы теории колебаний, на-
например, метод фазовой плоскости. Однако здесь есть одно отли-
отличие: теперь в уравнение входит дополнительный произвольный
параметр — скорость стационарной волны V.
Во многих случаях волны, близкие к стационарным, возника-
возникают в результате нелинейной эволюции нестационарных волн, от-
отвечающих более широкому классу начальных и граничных усло-
условий.
12.2. Уравнение Кортевега—де Вриза
Начнем с рассмотрения свойств нелинейных периодических
волн на примере уравнения КдВ (см. п. 10.2) 1)
ди . ди , пд и ^ /-to о\
— + аи— + /3^— = 0, A2.2)
dt дх дх3 v J
которое описывает в сопутствующей системе координат вол-
волну, распространяющуюся в среде со слабой нелинейностью и
дисперсией. Будем искать его решение в виде бегущей волны
и(г) = х — Vt) и после подстановки в A2.2) и интегрирования
придем к уравнению в обыкновенных производных
PpL - Vu + ^u2 = rf, A2.3)
где d — постоянная интегрирования. Если использовать анало-
аналогию с механикой, то уравнение A2.3) описывает движение части-
частицы в консервативном силовом поле, причем выполняется закон
сохранения энергии:
Щ*±\2 + Щи) =Е. A2.4)
Здесь П(и) = г^3 + 3Vu2/a + du имеет смысл потенциальной,
а Е — полной энергии частицы. С помощью A2.4) можно по-
построить фазовые траектории динамического процесса на штос™
кости (du/drjju)^ варьируя, например, величину «энергии» Е. На
Здесь и далее мы будем использовать обозначения х и i вместо ? и т.
286
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 12
рис. 12.1 а показаны вид нелинейного потенциала И(и) и «фа-
«фазовый портрет» уравнения. Уравнение A2.4) интегрируется в
квадратурах:
du
/(из — u)(u2 — u)(ui ~~ и) у из ~~ и\
и
A2.5)
где щ — начальная фаза волны; щ^,з — действительные кор™
ни кубического уравнения Е — П(и) = 0 (щ ^ щ ^ и ^ щ);
Щи) а
и\
из
L
П = Е
к
-1
1
из
0
j
J-.
0
i
(
к/
и
[U
\п
\
\
А
и
j
1
1
Л
_\
1
ч
л/л
л/л
Jill».
ч
б
Рис. 12.1. Вид функции И(и) и фазовые траектории уравнения КдВ (а).
Форма стационарных волн (б): i — квазигармоническая волна; 2 — кнои-
дальная волна; 8 — уединенная волна (солитон)
, s) — эллиптический интеграл первого рода. Согласно опре™
делению эллиптических интегралов здесь введены следующие
обозначения: s = \/(щ — щ)/(щ — щ) — параметр эллиптичес-
эллиптического интеграла @ ^ s ^ 1), (р = arcsln ^(г^з — и)/(щ — г^) — его
аргумент. Разрешая последнее соотношение относительно пере™
менной u(rj), находим явный вид решения
u(rj) =щ- (щ - и2) sin2 (р.
12.2 УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА 287
Используя определение эллиптических функций (см. Приложе-
Приложение), найденное решение приведем к следующему виду:
u(rj) =щ- (щ - и2)ш2[к(г] ~~ 770M], A2.6)
где к = уа(щ ~~ щ)/12/3 — постоянная распространения нели™
нейной периодической волны, s — модуль эллиптической функ-
функции.
Решение A2.6) зависит от трех параметров щ^^з и описывает
при 5 < 1 периодическую стационарную волну1), в которой пе-
переменная u(x,t) изменяется от минимального и2 до максималь-
максимального щ значения (рис. 12.1 б).
Между скоростью волны V, ее энергией Е и корнями куби-
кубического уравнения щ^,з существует связь:
V = а(щ + U2 + ^з)/3, Е = щщщ. A2.7)
В качестве характеристик нелинейной волны вместо корней
^1,2,3 удобно выбрать более содержательные с точки зрения фи-
физики параметры: амплитуду А = (г^з — щ)/^, скорость V =
= а(щ + U2 + щ)/3 и коэффициент s. У решения A2.6) суще-
существует эквивалентная форма записи:
и(х, t) = («з - ^) + 2ф&А<* ~Vt- rio),s\, A2.8)
где к = y/aA/GfSs2^ а через dn (r/, s) обозначена эллиптическая
функция, называемая дельта-амплитудой Якоби. Можно ввести
также параметр подобия нелинейной периодической волны
аА 1
2 ~ '
Период Л функции A2.8) определяется выражением
= —-^ = w аК(а), A2.9)
г) Волны, описываемые функцией A2.6), могут быть выражены с помо-
помощью эллиптического косинуса, поэтому их называют также кноидалъными,
исходя из прочтения обозначения en.
288 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
а ее среднее значение равно
л
и = \ / «fo) drj = щ - 2ф (l - Ш\ , A2.10)
О V /
где КиЕ- соответственно полные эллиптические интегралы
первого и второго рода (см. Приложение).
В физических приложениях среднее значение поля волнв! ча-
часто равно нулю. Это накладывает на параметры дополнительное
условие и волна становится двухпараметрической. Так, скорость
волны V молено выразить через амплитуду А ж s (или через вол-
волновое число к = 2тг/Л и s):
A2.11)
Выражение A2.11) представляет собой нелинейное дисперсион-
дисперсионное уравнение^ связывающее фазовую скорость кноидальной
волны с ее амплитудой. Оно может быть записано в более при-
привычном виде для частоты и волнового числа по аналогии с дис-
дисперсионным уравнением для гармонической волны. Для этого
вместо переменной г/ = х — Vt введем фазу волны в = кх —
— ujt = кг]. По определению фазовая скорость F, частота ш и
волновое число к связаны соотношением V = ио/к. Тогда A2.11)
может быть представлено в следующем виде:
^J (з| + s2 - 2) . A2.12)
Отсюда следует, что когда параметр нелинейности s равен нулю,
К = Е = тг/2 и A2.12) вырождается в дисперсионное уравнение
для линейного уравнения КдВ: а; = ^/3fc3 (см. п. 5.2.1).
При отсутствии постоянной составляющей (и = 0) решение
A2.8) принимает вид
A2.13)
12.3 УРАВНЕНИЕ БУССИНЕСКА 289
При малых амплитудах волны, когда s <C 1, моле-
молено воспользоваться асимптотическими выражениями для эл-
эллиптических и интегралов: K(s) ~ (тг/2) (l + (l/4)s2),
E(s) ~ (тг/2) (l — (l/4)s2) . В этом случае эллиптические функ-
функции превращаются в тригонометрические, а решение A2.13) с
точностью до слагаемых, пропорциональных квадрату ампли-
амплитуды, описывает периодическую волну, состоящую из двух гар-
гармоник
u(x,t) = Acos (oot — кх) + —jj cos2(out — kx) + ..., A2.14)
Приближение малой амплитуды соответствует случаю, когда
дисперсионные эффекты в среде преобладают над нелинейны-
нелинейными. В другом предельном случае, когда 5 = 1, фазовой траекто-
траекторией является сепаратриса (см. рис. 12.1 а), решение A2.6) при-
приобретает форму импульса (рис. 12.1 5, кривая 5), соответствую-
соответствующего пространственно локализованной уединенной волне — со-
литону. Такие волны образуют важный тип нелинейных про-
процессов и будут рассмотрены в следующей главе.
12.3. Уравнение Буссинеска
В качестве следующего примера рассмотрим свойства нели-
нелинейных волн, описываемых уравнением Буссинеска
|^ _ JpL - ас2рр^ - /& = 0, A2.15)
dt2 дх2 дх дх2 дх4 v 7
В отличие от уравнения КдВ, оно описывает волны, которые
могут распространяться в обоих направлениях. В одноволновом
приближении в соответствующей системе координат оно сводит-
сводится к уравнению КдВ (см. п. 10.1).
Прежде всего, обсудим общие свойства нелинейных волн, вы-
вытекающие из условий инвариантности рассматриваемого урав-
уравнения. Легко видеть, что уравнение A2.15) всегда инвариант-
инвариантно относительно инверсии времени (t —>• —?), а его инвариант-
инвариантность относительно инверсии координаты (х —>> —х) выполня-
выполняется лишь при условии изменения полярности волны (и ~^г —и)
или знака коэффициента нелинейности (а —>> —а). Из этой ин-
инвариантности вытекают два следствия: в среде с квадратичной
нелинейностью волна, бегущая вправо, ведет себя точно так же,
10 Л.А. Островский, А.И. Потапов
290 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
как и волна, бегущая влево, но имеющая противоположную по™
лярность; нелинейная волна положителвной полярности в среде
с а > 0 ведет себя так же, как волна отрицательной полярности
в среде с а < 0. Эти свойства позволяют ограничиться рассмо-
рассмотрением только волн положительной полярности в среде с а > 0.
Подстановка и = u{rj) в A2.15) приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению
_ ~
Проинтегрируем его по г) и введем обозначение w = du/drj. В
результате получим уравнение второго порядка
Р%р - (V2 - <?)w + ifu? = d, A2.16)
где d — постоянная интегрирования. Оно отличается от A2.3)
только коэффициентами, и для анализа его решений можно вое™
пользоваться результатами предыдущего раздела. По аналогии
с механикой уравнение A2.16) описывает движение частицы в
консервативном силовом поле, и имеет место закон сохранения
энергии A2.4), где потенциальная энергия равна
Щ- \ з , 3( v — с )w . ,
w) = —w + v 9 ; + dw.
Периодические решения уравнения A2.16) выражаются через
эллиптический синус
w{?) =w3- (w3 - w2)sn2[K(r] - 7/o), s], A2.17)
где к = ^/ac2(w^ — w\)/Ylfi — аналог постоянной распространен
ния; s = yf(w% — W2)I{w$ — w\) — параметр нелинейности вол-
волны; wn — действительные корни кубического уравнения Е —
— П(го) = 0 {w\ ^ W2 ^ w ^ ^з)-
Трехпараметрическое решение A2.17) описывает при s < 1
волну, в которой w изменяется от минимальной величины W2 до
максимума гоз (см. рис. 12.16). Параметры V, Е и wn связаны
соотношениями
V2 = с2 + Дт(го1 + w2 + w3), ?? = ^1102^3, A2.18)
ас2
12.3 УРАВНЕНИЕ БУССИНЕСКА 291
вытекающими из теоремы о свойствах корней кубического урав™
нения.
Как и в предыдущем случае, в качестве параметров бегущей
волны удобно выбрать ее амплитуду А = (w% — ^2)/2, скорость
V и параметр нелинейности s:
w(x, t) =ws- 2Asn2l^(x -Vt- 770), s], A2.19)
где к = у ас2 A12Af3 s2. Отсюда следует, что кноидальная волна
существует, если произведение а.А положительно. Можно ввести
параметр подобия кноидальной волны
_ ас2 А _ 1
который с точностью до константы совпадает с параметром по-
подобия для уравнения КдВ. Пространственный период равен
Постоянная составляющая волны w определяется по форму-
формуле A2.10). Если w = 0, то волна A2.19) описывается двухпара™
метрическим семейством решений:
Wif]) =
Используя соотношения между эллиптическими функциями,
можно дать эквивалентное представление найденного решения
через дельта™амплитуду Якоби
Переменная w = ди/дх описывает градиент поля u(x,i)
и через нее может быть легко найдено выражение для
du/di = —Vди/дх. Выражение для u(x1t) находится из A2.22)
ю*
292
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 12
интегрированием по координате:
A2.23)
где zn(ft77, s) — дзета-функция Якоби с периодом 2K(s) (см. При-
Приложение). Графики нелинейных волн и, ди/дх^ и д2и/дх2 при
различных значениях параметра s показаны на рис. 12.2. Из
2 4 6 8 п
1 ,
0 2 4 6 8 п
3
0 2 4 6 8 п
б
Рис. 12.2. Нелинейные периодические волны и их спектральные составы
при различных значениях параметра s: 1 — s = 0,6; 2 — 0,9; 8 — 0,99
12.3
УРАВНЕНИЕ БУССИНЕСКА
293
приведенного рисунка видно, что с ростом амплитуды волны ее
форма приближается к импульсной, а спектр расширяется.
Связь между фазовой скоростью нелинейной волны и дру-
гими ее параметрами находится из выражений A2.18)и A2.20):
A2.24)
Соотношение A2.24) представляет собой нелинейное дисперси-
дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между фазовой ско-
скоростью, волновым числом и параметром s кноидальной волны.
На рис. 12.3 показана зависимость скорости волны от волнового
Рис. 12.3. Зависимость скорости стационарной волны от
волнового числа к и параметра нелинейности s
числа и параметра нелинейности. Из него видно, что при пере™
ходе параметра s через некоторое критическое значение s^ «0, 9
стационарная волна становится «сверхзвуковой», т. е. V > с.
При этом изменяются ее дисперсионные свойства — скорость
волны при фиксированном значении s не убывает с уменьшени-
уменьшением ее длины, а, наоборот, растет. Это объясняется тем, что при
s > л* «амплитудная» часть дисперсии волны начинает преоб-
преобладать над линейной дисперсией.
294
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 12
Связь между частотой, волновым числом и параметром
нелинейности имеет вид:
'I 2 7 2 л/4/ ^-iv \ / г» ±l/ . ^ о, \
or = с A; — pk — 6— + s —2].
7Г / \ К
A2.25)
Зависимость частоты кноидальной волны от волнового числа и
параметра нелинейности представлена на рис. 12.4. При s = О
Рис. 12.4. Нелинейное дисперсионное соотношение
A2.25) вырождается в дисперсионное уравнение для линейной
волны: из1 = с2к2 — /3fc4.
12.4. Нелинейное уравнение Клейна—Гордона
Анализ свойств стационарных волн в среде с кубической
нелинейностью, можно провести на примере нелинейного урав™
нения Клейна^Гордона:
д2и
=0-
A2.26)
Это уравнение используется при описании структурных фазо-
фазовых переходов в твердых телах и конденсированных средах. Оно
12.4 НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА 295
инвариантно относительно инверсии не только времени (?—>> —
—?), но и координаты (х —>> —х) и изменения полярности волны
(и —>> —?i). Кроме того, оно инвариантно относительно преобра-
преобразований Лоренца, и поэтому широко применяется в нелинейной
релятивистской теории поля.
В предыдущей главе это уравнение использовалось для изу-
изучения квазигармонических волн в нелинейной среде. Здесь мы
рассмотрим его решения, описывающие стационарные периоди-
периодические волны.
Будем искать решение уравнения A2.26) в виде бегущей вол-
волны и = u(rj), тогда оно преобразуется в обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение
/т/ 2\ аи. 2 | 3 а (л о qt\
(V — с J—2 + шри + аи — 0? A2.27)
которое совпадает с уравнением Дуффинга, но содержит допол™
нительный параметр — скорость стационарной волны V. Каче-
Качественный анализ поведения его траекторий на фазовой плоско™
сти (du/dfj^u) проводился ранее в п. 11.4.1 (см. рис. 11.5-11.7).
Уравнение A2.27) сводится к уравнению первого порядка
A2.4) с потенциальной «энергией» П(и) = (аи4 + 2a^ti2)/4(F2 —
— с ). Функция И (и) может иметь одну или две «ямы» в зависи-
зависимости от знаков а и (V2^c2). Этим случаям отвечают различные
типы волн: «быстрые» (V > с) или «медленные» (V < с) волны.
Начнем с рассмотрения быстрых волн (V > с) в среде при
(а < 0). Фазовый портрет динамической системы показан на
(рис. 12.5а). Периодические волны соответствуют замкнутым
траекториям, лежащим внутри области, ограниченной сепара-
сепаратрисами, и описываются эллиптическим синусом:
/ ,Ч л \2K(S)J, jr. Ч 1
и(х, ъ) = Asn —^^к{х — Vt — щ)ч s ,
, J A2.28)
Такие волны не имеют постоянной составляющей и содержат
три параметра: скорость V, амплитуду А и параметр нелиней-
нелинейности s. Амплитуда волны изменяется в интервале 0 < А <
|, а частота ш = kV, постоянная распростра-
распространения к = 2тг/Л и s связаны дисперсионным уравнением
2
296
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 12
При малой амплитуде форма волны близка к синусоидаль-
синусоидальной, а по мере приближения фазовой траектории к сепаратри-
сепаратрисе волна все больше отличается от синусоидальной (рис. 12.5 б",
ц/А
Рис. 12.5. Вид функции Л(и) и фазовый портрет уравнения
A2.27) для «быстрых» волн (V > с) при а < 0 (а). Форма
стационарных волн (б): 1 — кноидальная волна; 2 — уеди-
уединенная волна
кривая 1). При движении по сепаратрисе, соединяющей состо-
состояние равновесия, стационарная волна превращается в перепад
(рис. 12.5 б, кривая 2), соединяющий одно состояние равновесия
с другим.
При а < 0 в системе возникают медленные волны (V < с).
Фазовый портрет системы имеет вид перевернутой восьмерки
(рис. 12.6а). Здесь возможны два различных типа периодиче-
периодических волн. Первый из них соответствует замкнутым траекто-
траекториям, лежащим внутри областей, ограниченных сепаратрисами
(кривая 1), которые описываются дельта-амплитудой Якоби:
-Vt -
A2.30)
Такие волны существуют, если А изменяется в интервале от
12.4
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
297
/\а\ до А2 = */2а;2/|а|, и имеют постоянную состав™
ляющую. Дисперсионное уравнение для таких волн имеет вид:
A2.31)
ш2 = с2к2 -
_Up_ ( 7Г
2-s2 \2K(s
По мере приближения фазовой траектории к сепаратрисе
форма волны все больше становится похожа на периодическую
Рис. 12.6. Вид функции П(и) и фазовый портрет уравнения A2.27) для
медленных волн (V < с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн (б):
1 — волна, близкая к синусоидальной; 2i, 22 — кноидальные волны; 8 —
уединенная волна — солитон
последовательность однополярных импульсов (рис. 12.6 б", кри™
вая 2f). При движении по сепаратрисе, соединяющей состоя-
298 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
ние равновесия, уединенная стационарная волна приобретает
вид импульса положительной или отрицательной полярности
(рис. 12.6 5, кривая 8).
Периодическая волна A2.30) может быть представлена ря-
рядом Фурье
1 + 4 > —^—т- cos —гт , A2.32)
g
\ ti—l
где в = k(x^ Vt) — фаза волны, s' = y/l — s2 — дополнительный
модуль эллиптической функции и q = ехр(^тгКE/)/К(«§)). При
малой амплитуде волны полный эллиптический интеграл перво™
го рода может быть представлен асимптотическим выражением
K(s) ~ (тг/2)A + 52/4) и A2.32) превращается в
и(х, t) c^u + a cos в + -— cos 30 + ...
8
Здесь ? — постоянная составляющая, а = A/2)(^2 — А\) — ам-
амплитуда волны. Дисперсионное уравнение для основной гармо™
ники
uj = (Ji + (?к2 + 7аа2
представляет собой асимптотическое разложение A2.31) по ма™
лому параметру s. Последнее слагаемое в его правой части дает
поправку к линейному дисперсионному уравнению, пропорци-
пропорциональную квадрату амплитуды волны. Заметим, что такая по-
поправка к дисперсионному уравнению основной гармоники волны
характрена для всех рассмотренных здесь примеров.
Вне сепаратрисы (рис. 12.6 а, кривая 2%) периодическая ста-
стационарная волна описывается эллиптическим косинусом:
и(х, t) = Асп [^Щ^Нх -Vt- 770), 5] ,
A2.33)
Амплитуда такой волны превышает пороговое значение А2 =
\). Она представляет собой последовательность коло-
колообразных импульсов чередующейся полярности (рис. 12.6 б",
кривая 2%) и не имеет постоянной составляющей. Дисперсион-
12.5 МОДУЛИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМАХ 299
ное уравнение для таких волн имеет вид
Отметим, что, в отличие от рассмотренных выше случаев, у
этих волн величина параметра s уменьшается с ростом ампли-
амплитуды.
12.5. Модулированные волны в лагранжевых системах
Для лагранжевых систем наглядное описание модулирован™
ных волн дает теория Уизема (см. п. 4.3M основанная на бли-
зости решения к стационарной периодической волне. Напомним
основные положения этой теории.
Пусть динамическая система описывается уравнением D.2)
с лагранжианом Ь(и,щ,их,г,х), где явная зависимость лагран-
лагранжиана от t и х характеризует медленное изменение параметров
системы во времени и пространстве. Пусть известно его стаци-
стационарное решение и = и(в^а). Тогда медленные изменения пара-
параметров волны описываются уравнениями:
™Ё »§ = 0, A2.35)
dt дш дх дк
^ + ^ = 0, A2.36)
dt дх v 7
^ = 0. A2.37)
да
Уравнение A2.35) описывает пространственно-временные из-
изменения амплитуды, A2.36) выражает условие непрерывности
фазы волны, а A2.37) определяет зависимость между мгновен-
мгновенной частотой, локальным волновым числом и амплитудой вол™
ны и является нелинейным дисперсионным уравнением систе-
системы. Задача состоит в том, чтобы найти явный вид уравнений
модуляции для нелинейных периодических волн и исследовать
их свойства.
В качестве примера рассмотрим модуляцию нелинейных пе-
периодических волн описываемых уравнением Клейна-Гордона
A2.26). Оно получается из вариационного уравнения D.2) с ла-
300 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
гранжианом
— ) — с ( — ) — о; и — —и A2 38)
Лагранлсиан, усредненный по периоду стационарной волны,
равен
?={и? - с2к2) и2в - ио2ри2 - ^и4, A2.39)
где вид функции и(в) определяется соотношениями A2.28),
A2.30) или A2.33). Подставляя A2.39) в A2.35), получим
да с2к да , ха (дш 2дк\ /ю /in\
+ ft^U + cJ A2-40)
а соотношение A2.37) дает нелинейное дисперсионное уравнение
со2 - с2к2 = co2pq2(s). A2.41)
Входящая в A2.40) функция qi(s) = и$/a{duQ/da) для стацино-
парной волны A2.33) равна
о = / + ()/()
41 Ds2 - l)/Bs2 - 1) - 2Е/К - [Bs2 - 1)/A - s2)](E2/K2)'
а функция q2(s) определяется из дисперсионного соотношения
A2.34). Уравнение A2.40) вместе с A2.36) и A2.41) образует
замкнутую систему, описывающую медленные изменения пара-
параметров волнв! во времени и пространстве.
На основе этих уравнений исследуем устойчивость стацио-
стационарных волн относительно малых возмущений. Для этого лине-
линеаризуем уравнения A2.40) и( 12.41) около постоянных значений
А = Aq, ш = gjq, к = ко и будем считать возмущения зависящи-
зависящими от бегущей переменной rj = t — x/v. Разрешая полученную
систему уравнений, найдем значение характеристической скоро-
скорости для огибающей
v =
1+{ш^/с2к2){р + q2) LV " *" ' ~~ V N t" - - -
A2.42)
{s) = A0q1(s)/2(dq2/dA)A=Ao.
12.6
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ДИССИПАЦИЕЙ
301
Так как р и ^ могут принимать отрицательные значения,
то выражение A2.42) определяет в общем случае два различ-
различных комплексных значения характеристической скорости вол™
ны огибающей. Если оба значения скорости действительны, то
уравнения модуляции являются гиперболическими и периодиче-
периодическая стационарная волна A2.33) устойчива относительно малых
медленных возмущений (см., например, п. 11.2.1). Если значе-
значения скорости комплексные, то система A2.40), A2.36) относит-
относится к эллиптическому типу и периодическая стационарная волна
неустойчива. В этом случае имеет место самомодуляция перио-
периодической волны.
В линейном приближении, когда s —>• 0, и, следовательно
^1э2 —^ 1, р —^ 0 из A2.42) получаем, что скорость огибающей
v = с/4/1 + ш^с^к2 совпадает с групповой скоростью линейной
гармонической волны.
Спектр несинусоидальной волны состоит (рис. 12.7 а) из
нескольких дискретных линий, число которых определяется ее
формой, а расстояние между ними — периодом волны (см. рис.
12.2). Медленная амплитудная и малая частотная модуляция
означают появление дополнительных компонент в узкой полосе
около каждой из гармоник волны. Самомодуляция волны связа-
связана с возбуждением боковых компонент возле каждой из гармо-
гармоник (рис. 12.7 6).
к А
Рис. 12.7. Модулированная несинусоидальная волна (а) и ее спектр (б)
12.6. Волны в неоднородной среде с диссипацией
Рассмотрим эффекты, связанные с плавным изменением па-
параметров среды в пространстве. Подобные эффекты интересны
тем, что вызванное ими изменение амплитуды волны приводит
к изменению ее формы.
302 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
Широкий класс волновых процессов в средах с плавной неод-
неоднородностью и малой диссипацией (когда они меньше, чем эф-
эффекты нелинейности и дисперсии) может быть описан уравне-
уравнением 1):
q(x)*L + а(х)и*± + /3(Х)&}± + 81(х)и - ё2(хф = 0, A2.43)
где т = x/c — t — время в сопровождающей системе координат; с
— скорость линейной волны; д(ж), а(ж), /3(х) — медленно меня™
ющиеся функции координаты. Параметр ^ описывает потери,
a Si — характеризует неоднородность среды и связанное с ней
рассеяние волны.
При <5х?2 — 0 и постоянных д, а и /5 стационарными реше-
решениями уравнения A2.43), зависящими от фазы в = кх — wTj
являются кноидальные волны (см. п. 12.2)
— -^zn [^e, s . A2.44)
тг / dO V тг /
Здесь znF, s) — дзета™функция Якоби, щ — постоянная соста™
вляющая, характеризующая стационарное состояние среды при
отсутствии возмущений. Частота ш и волновое число к связаны
дисперсионным уравнением
qk = ащш - 4/Зш3 (—) (з§ + з - 2^ . A2.45)
Первое слагаемое в A2.45) учитывает сдвиг частоты волны, обу-
обусловленный наличием постоянной составляющей в A2.44). Ам-
Амплитуда кноидальной волны равна
КЛ\ A246)
А
2а
Для применения нелинейной теории модуляции Уизема уравне-
уравнение A2.43) удобно преобразовать к лагранжевой форме. С этой
целью введем замену переменных
) При изучении нелинейных волн в неоднородных средах данная форма
записи эволюционного уравнения более удобна, чем применявшаяся ранее.
12.6 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ДИССИПАЦИЕЙ 303
Тогда A2.43) молено представить в виде
д dL ^^? = OR
дт дФт дх дФх <9ФГ' /iq/iq\
д дЬ дЬ dR x /
В этих уравнениях функция
L = f ФТФХ + |фЗ + j3 ($TFT + IF2) - 0#2 A2.49)
формально может рассматриваться как лагранжиан, а
R = \ (Si - \qx) Ф2Т A2.50)
— как плотность диссипативной функции Рэлея.
Вычислим их средние значения:
A2.51)
* = (т (W ?
где угловые скобки означают усреднение по переменной в. Из
них находится уравнение для медленно меняющихся парамет™
ров кноидальной волны, обобщающее A2.35) на случай учета
диссипации:
^д? _ ^д? = dR П2 г2)
dt дш дх дк дш' { }
В качестве примера рассмотрим граничную задачу об изме-
изменении параметров периодической волны A2.44) с заданными при
х = 0 значениями ее амплитуды А@) = ^4q, и частоты ш@) =
= ujq. Кроме того, положим, что у волны отсутствует постоянная
составляющая, т.е. щ = 0.
В неоднородной среде период волны не изменяется, а осталь-
остальные параметры будут функциями координаты х. При этих уело™
виях из A2.52) находим уравнение
d д? _ дМ П9 „х
dx дк дш х /
304 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
Подставляя в него (? и М из A2.51), получаем
± [^K2zn2] = -^!к2 {{5г - l/2gx)zn| + 8, шъщ вд] .
A2.54)
Здесь выражения
-2s2 E 1-s2
представляют собой монотонно возрастающие функции пере™
менной s.
Таким образом, задача о модуляции кноидальной волны сво™
дится к интегрированию уравнения первого порядка A2.54) для
функции s = s(ж), а осталвные параметры волны (амплитуда
и волновое число) определяются через s по формулам A2.45),
A2.46). Напомним, что уравнение A2.54) справедливо при усло-
условии малости диссипативнв1х членов по сравнению с осталвными,
в противном случае волна не остается локалвно стационарной.
В общем виде найти аналитическое решение уравнения
A2.54) не удается. Однако нетрудно найти асимптотические вы™
ражения для s(x) в случае малв1х и больших значений s.
Если s <С 1, то функция A2.44) близка к гармонической. При
этом изменение ее амплитуды будет описываться выражением
/ Х 2\
~ Д) ехр ( - J Sl ^^ J
A2.55)
которое соответствует линейному приближению.
При больших значениях параметра нелинейности, когда
л/1 — s2 = s;<Cl, кноидальная волна A2.44) близка к периодиче™
ской последовательности солитонов (s = 1) 1), слабо связанных
между собой:
A2-56)
Свойства солитонов подробно рассматриваются в следующей главе.
12.6
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ДИССИПАЦИЕЙ
305
Закон изменения амплитуды солитона в неоднородной диссипа™
тивной среде имеет вид
—4/3 / p/qdx1
о
1 + 4АоКЛ/«оI/3/(а//5L/3ехр ( -ф} p/qdx" I <te'/g
4^ о V ° /
A2.57)
где Aq — начальное значение амплитуды.
На рис. 12.8 показаны зависимости коэффициента затухания
к = —{ЗА/'дА) I'А кноидальной волны как функции параметра
5 при наличии в системе толь-
только высокочастотных (кривая 1) k/k®
или только частотно незави- 1,5
симых (кривая 2) потерь. Из
графика видно, что нелиней-
нелинейность приводит к росту затуха-
затухания волны, причем это сильнее j
сказывается в случае высокоча-
высокоча0
0,5
1
стотных потерь. Это объясня-
объясняется тем, что при увеличении
амплитуды в волне появляют- р^ ия График зависимости к0_
СЯ гармоники, в которые пере- эффициента затухания периодиче-
качивается энергия из основной ской ВОЛНЬ1 от параметра s: 1 - вы-
частоты. Так как в среде С вы- сокочастотные потери (ёг = 0, ё2 ф
сокочастотной диссипацией ко- /0); 2 — частотно-независимые по-
эффициент затухания пропор- тери (§2 = 0, §2 ф 0)
ционален ш , то гармоники за-
затухают сильнее. В результате увеличивается общее затухание
нелинейной периодической волны.
Однородная среда с диссипацией. В однородной среде с
низкочастотными потерями (#2 = 0) амплитуды квазигармони-
квазигармонической волны и солитона убывают по экспоненциальному зако-
закону, но с разными показателями экспоненты:
Лзт ~ ехр -—ж, ASoi ~ ехр —-Z—X. A2.58)
q о q
Отсюда видно, что солитон затухает быстрее, чем синусоида.
Это связано с расплыванием солитона при уменьшении его амп™
литуды.
306 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
Для высокочастотных потерь (<5х = 0, 62 ф 0) экспоненциаль-
экспоненциально затухает лишь синусоида (As[n ~ exp(^io;2x/g)), а амплиту-
амплитуда солитона затухает по гиперболическому закону
А.Ы = Д ¦ A2.59)
На больших расстояниях амплитуда солитона пропорциональна
ж™1 и не зависит от начального значения А®. Аналогичная ситу™
ация имеет место для пилообразной волны в среде без дисперсии
(см. рис. 10.5).
Заслуживает внимания то обстоятельство, что в активной
среде (($2 < 0) согласно A2.59) амплитуда солитона становится
бесконечной на конечном расстоянии х* = 45qf3/4-aS2Ao. Это
явление получило название взрывной неустойчивости.
12.7. Волны на поверхности жидкости переменной
глубины
Рассмотрим эволюцию длинных нелинейных волн на поверх-
поверхности жидкости с переменной глубиной, каковым является, на™
пример, береговая зона океана (рис. 12.9).
В этой области можно наблюдать различные типы волн —
от синусоиды до изолированных возвышений, близких к солито-
нам, причем существенную роль играют уклоны дна. Для доста™
точно плавного изменения
глубины h{x) описание
нелинейной трансформации
волн может быть дано
на основе обсуждавшейся
выше теории модуляции.
Длинные волны на по-
поверхности покоящейся жид-
жидкости описываются уравне-
Рис. 12.9. Волна на поверхности жидко- ниями Буссинеска (9.39). Их
сти в канале переменной глубины МОЖНО обобщить на случай,
когда глубина слоя жидко-
жидкости h(x) плавно изменяется. Уравнения (9.39) были выведены
в предположении малости параметров дисперсии /i2 = (h2/XJ
и нелинейности е = a/h ~ v/y/gh. Кроме этого, будем считать,
12.7 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ 307
что величина A/L, характеризующая уклон дна, много мень-
ше параметра диспер- сии, т.е. X/L <С (Л/АJ), где L — харак-
характерный масштаб изменения глубины. При этих предположениях
от системы Буссинеска с помощью метода связанных волн (см.
п. 10.2.3) молено перейти к «возмущенному» уравнению Корте™
вега-де Вриза:
дх + + + ^ - U {1гШ)
где т = J ^(gh)~^'^dx\ — t — уравнение характеристики, на ко-
которой вертикальное отклонение поверхности ? и скорость v свя™
заны между собой соотношением ( = \Jhjgv. Уравнение A2.60)
отличается от обычного КдВ последним слагаемым, учитываю-
учитывающим изменение глубины, и является частным случаем уравне-
уравнения A2.43), в котором надо положить 82 = 0 и 8\ = {dh/dx)/Ah.
При h = const A2.60) имеет решение
Отсюда видно, что высота волны зависит от глубины канала и
параметра нелинейности:
Г —Г Г . — 2ujh2 s2lK{s) И 9 «9^
40 — Wax — Win — 2 {IZ.OZ)
При плавном изменении глубины модуляция квазистационарной
волны описывается уравнением A2.54), которое интегрируется
и приводит к алгебраическому соотношению
h9/2K2(s) znj = const. A2.63)
Можно показать, что соотношение A2.63) эквивалентно
условию^ сохранения среднего потока энергии поверхностной
волны S (см. C.17)). Действительно, благодаря малости нели™
нейности и дисперсии можно использовать для S выражение,
полученное в линейном приближении для волн на мелкой воде:
S = vgrw = \/ghpg( . A2.64)
В этом приближении скорость переноса энергии принимается
равной скорости волн на мелкой воде: (vgr = y/gh, а функция
308
МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. 12
С (в) определяется выражением A2.61). Влияние нелинейности
волны на средний поток энергии A2.64) в данном случае учи-
учитывается только видом решения A2.61). Подставляя A2.61) в
A2.64) и усредняя его по <9, из условия S = const приходим к
соотношению A2.63).
Вернемся к анализу соотношения A2.63). Так как произведе-
произведение K2znJ монотонно возрастает с увеличением s, то из A2.63)
следует, что при уменьшении глубины h{x) параметр s(x) возра-
возрастает и, следовательно, растет нелинейность профиля волны, на-
набегающей на берег, вплоть до ее превращения в солитон (s = 1).
На рис. 12.10 показана зависимость s(h) для некоторых значе-
значений s@), определяющих профиль волны на глубине h = /iq.
Зависимость высоты волны от глубины дается в неявной
форме соотношениями A2.62) и A2.63). Можно показать, что
для рассматриваемых волн d(®/dh < 0, следовательно, высота
волны и ее скорость vmax ~ ^/y/h растут с уменьшением глу-
глубины (т.е. при движении к берегу). На рис. 12.11 представлены
зависимости (o(h) для различных значений sq.
0
Рис. 12.10. Зависимость парамет- Рис. 12.11. Зависимость амплиту-
ра нелинейности кноидальной вол- ды нелинейной волны от глубины.
ны от глубины канала при различ™ 1 — линейная волна (so = 0); 2 —
ных начальных значениях s@) = so- so = 0, 01; 8 — so = 0, 2; 4 — уеди-
1 — so = 0, 5; 2 — so = 0, 3; 8 — so = ненная волна (so = 1)
= 0, 2; ^ — so = 0,1; 5 — so = 0, 01
В случае малых (s<Cl) и больших (s —> 1) значений парамет-
параметра нелинейности для высоты волн из A2.63) следуют простые
12.8 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 309
асимптотические выражения
Cosin ~ /г/4, Cosoi-Zi- A2.65)
Первое из этих соотношений хорошо известно. Оно соответству-
соответствует (в ВКБ-приближении) закону изменения амплитуды линей-
линейной волны, распространяющейся в плавно неоднородной среде
(см. п. 5.4). В теории поверхностных волн он известен также
как закон Грина. Второе соотношение A2.65) описывает другой
предельный случай, а именно изменение амплитуды солитона в
плавно неоднородной среде.
Общая же качественная картина эволюции нелинейной по™
верхности волны при ее движении к берегу следующая. С умень-
уменьшением глубины растет нелинейность профиля волны, а высота
волны и амплитуда монотонно увеличиваются. Если начальный
профиль волны был близок к синусоидальному (sq ^ 1), то, как
видно из рис. 12.10 (кривая 5), такая волна, приходя в мелко-
мелководную зону, в большом интервале изменения глубины почти не
меняет формы (s остается малым), и ее высота растет как Л,^1/4
(рис. 12.11, кривая 2). Затем параметр s(x) быстро растет, и на
каждом периоде профиль волны становится близким к профи-
профилю солитона (s = 1), после чего высота волны нарастает как
/i. Причина этого — уменьшение ширины солитона с ростом
его амплитуды, так что для сохранения полной энергии волны
ее амплитуда должна расти быстрее.
На очень малой глубине, когда скорость частиц на гребне
волны сравнивается со скоростью ее распространения, получен-
полученные решения уже непригодны, так как нелинейность перестает
быть слабой. При (/h ~ 1 поверхностная волна обрушивается.
Начальное синусоидальное возмущение (sq <C 1) превратится в
одиночную волну (солитон) только в том случае, когда при х =
= 0 его амплитуда достаточно мала, в противном случае обру™
шивание волны происходит раньше, чем ее форма существенно
изменится.
12.8. Исторические замечания и комментарии
Метод фазовых траекторий. Фактором, отделившим в
свое время теорию колебаний от собственно теории дифферен-
дифференциальных уравнений, можно считать метод фазовых траекторий
310 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
или, в случае систем с одной степенью свободы, метод фазовой
плоскости, который позволил строить топологические образы
основных типов движений и, тем самым, получать о них доста-
точно полное качественное представление [12.1].
Впервые для изучения колебательных систем фазовые тра-
кектории были применены в 1885 г. французским математиком
Анри Леоте, преподавателем знаменитой Политехнической шю>
лы в Пари лее. С помощью построения интегральных кривых и
предельных циклов в фазовом пространстве (правда, не давая
им этого названия) он исследовал работу устройства автомати-
автоматического регулирования водяных турбин. По-видимому, Леоте не
был знаком с опубликованной за три года до этого (в 1882 г.) ра-
работой своего тезки и тоже выпускника Политехнической школы
Анри Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями», в которой он разработал качественный и геомет-
геометрический подходы к решению дифференциальных уравнений.
К сожалению, связь идей Пуанкаре с исследованиями колеба-
колебаний не была замечена ни самим Пуанкаре, ни кем-либо другим,
а статья последнего была полностью забыта. Лишь спустя 43
года была опубликована статья А.А. Андронова «Предельные
циклы Пуанкаре и теория автоколебаний» A928 г.), после ко™
торой метод фазовых траекторий получил широкое распростра-
распространение в теории колебаний. Общепризнанным «интернациональ-
«интернациональным» языком специалистов по теории колебаний, теории устой-
устойчивости и теории бифуркаций метод фазовых траекторий стал
после выхода в 1937 г. в свет книги А.А. Андронова и С.Э. Хай-
кина «Теория колебаний»[12.1]. По трагическому стечению об-
обстоятельств среди авторов первого издания этой книги не была
указана фамилия А.А. Витта, который в это время был незакон-
незаконно арестован, а затем трагически погиб.
В теорию волн метод фазовой плоскости вошел в начале
1960-х годов, когда, собственно, и формировалась современная
теория нелинейных волн. С его помощью Р.В. Хохлов исследо-
исследовал нелинейное взаимодействие гармонической волны с ее вто-
второй гармоникой в случае близких фазовых скоростей A961 г.),
А.В. Гапонов, И. Катаев и Г.И. Фрейдман в 1959—1965 гг. изу-
изучали структуру стационарных электромагнитных ударных волн
в радиолиниях с различными дисперсионными характеристика-
характеристиками [10.3]. Широкое распространение в теории нелинейных волн,
метод фазовых траекторий обрел после появления монографии
12.9 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 311
А.С. Ахманова и Р.В. Хохлова «Пробдемв! нелинейной оптики»
[9.2] и книги А. Скотта «Волны в активных и нелинейных сре-
средах в приложении к электронике». Хотя конечномерное фазовое
пространство в случае волновых систем может быть построено
только для частных классов решений, в первую очередь, ста™
ционарных волн, солитонов, автоволн, однако они часто играют
первостепенную роль в понимании качественных особенностей
волнового процесса.
Нелинейные волны на поверхности жидкости. Задача
об отыскании нелинейных установившихся волн на поверхности
бесконечно глубокой жидкости впервые была сформулирована
Дж. Стоксом в 1847 г. Он же получил ее решение в виде тригоно-
тригонометрических рядов и показал, что найденное им решение можно
рассматривать как прогрессивную (бегущую) волну, распростра-
распространяющуюся без изменения своего профиля по поверхности жид-
жидкости. Из его расчетов следовало, что скорость распространения
такой волны зависела не только от ее длины, но и от амплиту-
амплитуды. Таким образом, Стоке фактически впервые ввел понятия
стационарной волны и нелинейного дисперсионного уравнения,
которые широко используются в современной теории нелиней-
нелинейных волн [12.20].
Изучая вопрос о форме траектории частиц жидкости при
распространении волны конечной амплитуды, Стоке пришел к
неожиданному результату, а именно: при распространении такой
волны частицы жидкости имеют, помимо колебательного движе-
движения, еще постоянное движение в направлении распространения
волны. Более строгое доказательство существования такого до-
дополнительного течения в бесконечно глубоком потоке было дано
Дж. Рэлеем в 1876 г.
В приложениях к своему основному мемуару о волнах, Стоке
высказал предположение, что с увеличением амплитуды очерта-
очертания волн приближаются к некоторой предельной форме, харак-
характеризуемой наличием на вершине волны угловой точки. Он не
построил профиль волны, но доказал, что угол между касатель-
касательными в угловой точке всегда равен 120 градусам. Первое постро-
построение формы предельной волны Стокса было дано Дж. Митчелем
в 1893 г., а затем в 1851 г. А.И. Некрасовым [12.22], с помо-
помощью метода конформных отображений. В 1967 году, через 120
лет после открытия волн Стокса Т. Беыжамин и Дж. Фейр экс-
экспериментально и теоретически доказали их неустойчивость по
отношению к малым возмущениям (см. комментарий к гл. 11).
312 МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. 12
12.9. Задачи и упражнения
12.1. С помощью фазовой плоскости исследуйте стационар-
стационарные периодические волны, описываемые уравнением МК-
дВ A0.7). Сколько типов периодических волн возможно в
этом случае? Найдите периодические решения в аналити-
аналитическом виде.
12.2. Найдите периодические решения обобщенного уравнения
КдВ
ди . пди . пд3и А
т+аи 8^ + ^ = °-
При каких параметрах в, а, и /3 они существуют? Вычис-
Вычислите период таких волн и запишите нелинейное дисперси-
дисперсионное уравнение.
12.3. Найдите аналитические выражения для периодических
стационарных волн, описываемых уравнением синус-Гор-
синус-Гордона.
dt2 д2
Вычислите период таких волн и запишите нелинейное дис-
дисперсионное уравнение.
ГЛАВА 13
СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Часто достаточно изобрести одно но™
вое слово, и это слово становится
творцом.
Анри Пуанкаре
В этой главе обсуждается один из наиболее ярких примеров
нелинейных волн — уединенные консервативные волнв! или со-
литоны. Солитоны представляют собой локализованные стацио-
стационарные волны, которвш в фазовом пространстве соответствуют
сепаратрисы. В этом смысле их молено назвать предельными
волнами. Характерное свойство солитонов состоит в том, что
при взаимодействии с себе подобными и другими возмущения™
ми они сохраняют свою форму подобно материальным части-
частицам. Солитоны после их столкновения остаются неизменными
как частицы при упругом соударении. Именно на этом их свой-
свойстве основывается определение солитонов, которое характерно в
основном для интегрируемых уравнений: КдВ, МКдВ, Буссине-
ска, синус-Гордона и др. В неинтегрируемых системах уединен-
уединенные волны не удовлетворяют этим жестким требованиям, хотя
во многих случаях ведут себя почти как солитоны. Они также
как и солитоны, могут сталкиваться, сцепляясь или уничтожая
друг друга, а в процессе взаимодействия излучают некоторое
осциллирующее возмущение, которое отсутствует у солитонов в
интегрируемых системах. Такие волны мы также будем назы-
называть солитонами. На основе аналогии солитон-частица разрабо-
разработаны приближенные методы, описывающие поведение уединен-
уединенных волн как деформируемых частиц, подчиняющихся уравне-
уравнениям Ньютоновской динамики. На этом пути решены многочис-
многочисленные задачи об усилении, распространении и взаимодействии
солитонов в нестационарных и неоднородных средах. Некоторые
из таких задач рассматриваются в данной главе.
314
СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ГЛ. 13
13.1. Солмтоны
В этом разделе рассматриваются солитоыы, описываемые
уравнением Кортевега^де Вриза и его модификацией.
13.1.1. Уравнение Кортевега^де Вриза
Оолитон, описываемый уравнением КдВ
ди
—
dt
ди
дх
A3.1)
представляет собой волну, которой в фазовом пространстве со™
ответствует сепаратриса, выходящая из точки равновесия и воз-
возвращающаяся в нее (см. рис. 12.1). Аналитическое выражение
для солитона получается как предел кноидальней волны A2.6)
при s = 1, которое после преобразований переходит в простое
решение
u(x,t) = Ach~2
А
A3.2)
описывающее солитон (рис. 12.1 б, кривая 3). Амплитуда солито-
солитона А, его скорость V и ширина А связаны между собой соотно-
соотношениями
A3.3)
первое из которых вытекает из
A2.11) при s = 1. В солитоне один
из параметров А, V или А может
быть выбран в качестве независи-
независимого, а остальные два выражаются
через него. Из A3.3) следует, что
скорость солитона растет, а шири-
ширина уменьшается с ростом амплиту-
13Л)- ПРИ этом произведе-
А
Рис. 13.1. Скорость солитона
и его ширина как функции ам- ние АА = 3Р/« остается постоян-
плитуды для уравнения КдВ:
Т/ Л Л /* —1/2
нои величиной и определяется лишь
отношением параметров нелинейно-
нелинейности и дисперсии среды. Полярность
солитона в среде с нормальной дисперсией (при /5 > 0) совпада-
совпадает со знаком параметра нелинейности, а в среде с аномальной
дисперсией (при /5 < 0) полярность солитона противоположна
знаку нелинейности.
13.1 солитоны 315
Уравнение КдВ можно записать в дивергентной форме:
?+аD + )9?н) =о,
dt дх \ 2 дх2)
из которого следует, что для солитона A3.2) сохраняется инте-
со
тральная величина Р = J udx1 которую молено интерпрети-
интерпретировать как «импульс». Умножая A3.1) на переменную и, после
несложных преобразований получим еще один закон сохране-
сохранения:
dt дх
из которого вытекает, что сохраняется полная «энергия» соли-
солитона1)
со со
W= f и2 dx = A2A J chC d( = |а2А. A3.5)
Из A3.5) и A3.2) следует, что энергия солитона W пропорцио-
пропорциональна А3/2, в то время как в линейной волне энергия пропор-
пропорциональна квадрату амплитуды.
13.1.2. Модифицированное уравнение КдВ
Решения, найденные в предыдущем разделе, легко обобщить на
случай произвольной степенной нелинейности (см. задачу 13.1).
Здесь мы остановимся лишь на рассмотрении солитонов в среде
с кубической нелинейностью, описываемых модифицированным
уравнением Кортевега^де Вриза (МКдВ)
ди . 2 ди . од3и А /1Ом
— + агГ— + /Зтт^ = 0. A3.6)
dt дх дх3 х /
Уравнение для стационарных волн и = и(т) = х — Vt) имеет вид
lhf-2Ju+si3u =0- A3J)
г) Величины Р ш W мы лишь условно называем «импульсом» и «энер-
«энергией» солитона, поскольку они, вообще говоря, не совпадают с полными
выражениями для импульса и энергии поля в физической системе.
316
СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ГЛ. 13
Фазовые портреты этого уравнения зависят от знаков его
коэффициентов и совпадают с фазовыми портретами уравнения
A2.27) (см. рис. 12.5 а и 12.6 а). Так,
4 например, в среде с нормальной дис-
дисперсией (/5 > 0) при «жестком» 1) ти-
пе нелинейности (а > 0) существуют
«быстрые» солитоны, распространя-
распространяющиеся со скоростью V > 0. На фа-
фазовой плоскости им соответствует се-
сепаратриса, выходящая из «седловой»
точки и возвращающаяся в нее (см.
рис. 12.6 а, кривая 8). Такие солито-
I ны описываются выражением
0
Рис. 13.2. Скорость солито-
на и его ширина как функ-
функции амплитуды для уравне-
уравнения МКдВ: -F-A2, Д-/Г1
u(x,t) =
-1 fx-Vt
А
^ ' ^ ^ и могут иметь как положительную,
так и отрицательную полярности (см.
рис. 12.6 5, кривая 8). Их амплитуда, скорость и ширина связаны
соотношениями (рис. 13.2)
A3.9)
У солитонов МКдВ инвариантом является произведение АА =
= д/З/З/а, а их полная энергия пропорциональна амплитуде:
W - А2А - А.
Для медленной волны V < 0 в среде с/3>0иа<0 уеди-
уединенной волне на фазовой плоскости соответствует сепаратри-
сепаратриса, соединяющая две различные седловые точки (см. рис. 12.5 а,
кривая 3). Такие уединенные волны представляют собой сту-
ступеньку (кинк), т.е. переход от одного стационарного состояния
к другому. Их форма описывается гиперболическим тангенсом
(рис. 12.5 6, кривая 3):
u(x,t) =
х - Vi
A3.10)
) Термины «жесткий» и «мягкий» типы нелинейности вводятся по ана-
аналогии с определением нелинейности упругой пружины.
13.2 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ СОЛИТОНОВ 317
Высота кинка А, его ширина А и скорость распространения V
связаны между собой соотношениями
12„ , _ w л„ . A3.11)
Производные от кинка по координате и времени представляют
собой колоколообразные импульсы:
A3.12)
и отличаются от A3.2) лишь соотношениями между параметра-
параметрами.
13.2. Параметрическое усиление солитонов
До сих пор мы считали параметры среды, в которой рас-
распространяется волна, постоянными во времени. Теперь рассмо-
рассмотрим задачу о взаимодействии солитона с бегущей волной «на-
«накачки». Подобная ситуация для линейной не диспергирующей
среды рассматривалась в п. 8.6. Там было показано, что, ес-
если скорость распространения сигнала близка к скорости волны
параметра, то синусоидальное начальное возмущение по мере
распространения превращается в последовательность импуль-
импульсов (см. рис. 8.8). Здесь будет проанализировано влияние нели-
нелинейности, дисперсии и диссипации среды на эффект параметри-
параметрического усиления импульсов.
18.2.1. Основные уравнения
Рассмотрим уравнение КдВ, дополненное диссипативными сла-
слагаемыми и внешним силовым источником,
- + соA + аи)- + р— = -5lU + S2^ + Ф(гу). A3.13)
Здесь $i и $2 — соответственно, коэффициенты частотно-
независимых и высокочастотных потерь, Ф(г]) — внешняя сила,
зависящая от бегущей координаты г/ = х — Vt7 где V скорость
движения внешнего источника. Близкая модель использовалась
в п. 12.6 для исследования трансформации квазистационарных
периодических волн в неоднородной среде.
318 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
Предположим, что существует решение уравнения A3.13) в
виде ввшужденной бегущей волны F(rj), которое удовлетворяет
обыкновенному дифференциалвному уравнению
(со - V)FV + acoFF^ + f3Fvm = ^ёгР + 62F
m
Рассмотрим возмущение, распространяющееся на фоне F{rj).
Для этой цели введем новую переменную и!(х^) = uf(x^t) — F.
Искомая переменная и!(х^1) удовлетворяет уравнению
Это нелинейное уравнение, в котором закон изменения коэффи-
коэффициентов определяется волной накачки F(rj).
Предположим, что возмущение u'{x,t) локально близко к со™
литону A3.2). Однако теперь его скорость зависит не только от
амплитуды А, но и от величины «пьедестала» F, а его ширина,
как и прежде, определяется лишь амплитудой:
У = со l + a F + ? , A = J^. A3.15)
Таким образом, задача сводится к исследованию динамики со™
литона под действием возмущений, связанных с нестационарно™
стью и диссипацией системы.
13.2.2. Уравнения движения солитона в переменном
поле
Будем считать, что длина волны накачки много больше ширины
солитона. Это означает, что параметр F(rj) в A3.14) изменяется
медленно, а слагаемые в правой части этого уравнения малы,
потому что содержат производную от F. В этом случае можно
рассматривать адибатические изменения солитона как целого с
медленно меняющейся амплитудой AgOi(?), а его положение на
волне накачки характеризуется значением фазовой переменной
= kp f(V-v)dt,
13.2
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ СОЛИТОНОВ
319
где s — координата солитона в системе отсчета, движущейся со
скоростью V (рис. 13.3), кр = 2тгАр, а Ар — длина волны накачки.
Рис. 13.3. Положение солитона на волне накачки
Кинематическое уравнение для солитона имеет вид:
A3.16)
Пусть волна накачки синусоидальная, т.е. F(yj) = Ар cos крт]
= Ар cos ср, тогда согласно A3.15) скорость солитона есть
V(AsohAp,(p) =
Asoi/3).
Подставляя это выражение в A3.16), находим уравнение, опре-
определяющее положение солитона относительно бегущей волны па-
параметра:
-р = А + т cos <p — Г,
A3.17)
где А = aAS0\/3c® — безразмерная амплитуда солитона, (А > 0),
т = kpCgt — безразмерное время, т = aAp/V — параметр мо™
дуляции, Г = A — V/cq) — относительная расстройка ме^ду
скоростью волны накачки и характерной скоростью линейной
волны в системе.
Уравнение для амплитуды солитона может быть найдено из
уравнения энергетического баланса. Умножая A3.14) на и1 и ин-
интегрируя по ж, получим уравнение переноса энергии
dw
as;
дх
dF /2 _ с. /2
drj
dx .
A3.18)
320 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
где w = иг2/2 представляет собой плотность энергии, а величина
/2
играет роль потока энергии, переносимой солитоном. Первое
слагаемое в правой части A3.18) описывает работу, совершае-
совершаемую волной накачки над солитоном, а последние два слагаемых
определяют низко- и высокочастотные потери в системе. Инте-
Интегрируя A3.18) по ж в окрестности солитона и предполагая, что
на длине солитона dF/dr] остается постоянной, приходим к урав-
уравнению баланса энергии:
^j- = ^^W - 25гШ - 62B(W), A3.19)
где W — полная энергия солитона
W = 1/2 J и'2 dx = lei/Scr1*
— оо
a B(W) — функция, описывающая высокочастотные потери в
системе:
сю
В = J u'2xdx = l2(cl/2/a2y/p)A^2.
Из A3.19) находится уравнение для безразмерной амплитуды
солитона:
— = -A(rasing — 7i) ~ 72А2. A3.20)
Здесь 7i = 26i/kpco и 72 = ^2Со/9кр — безразмерные параметры
диссипации.
13.2.3. Различные режимы усиления солитонов
Как было показано в первом приближении, динамика солитона
в среде с бегущей волной параметра описывается двумя пере-
переменными параметрами: амплитудой А и фазой <р, удовлетворяв
13.2 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ СОЛИТОНОВ 321
ющими автономной системе уравнений
dA 2 / . . ч л Л2
dT 3 A3.21)
-г- = А ~~ m cos ш — Г.
Исследование различных режимов усиления солитона в среде с
бегущей волной параметра сводится к анализу решений систе-
системы A3.21), который можно провести качественно на фазовой
поверхности А, (р, представляющей собой, ввиду периодичности
<р, цилиндр.
Рассмотрим различные режимы поведения солитона в зави-
зависимости от значений параметров системы. Сначала кратко об™
судим простейший случай, когда Г = 0 и в системе отсутствуют
потери (т.е. 71 — 72 — 0). В этом случае состояния равновесия,
в которых dAjdr = dif/dr = 0, соответствуют значениям ipn =
= птг, где п = 0,1, 2, 3,... и Ап = —т — для четных п и Ап = га
— для нечетных п. Исследование движений солитона при малых
отклонениях от состояния равновесия (А = Ап + А1^ (р = <рп + (//,
А' <С Дг, ^; <С </?п) проводится с помощью линеаризованной си-
системы уравнений A3.21). Анализ показывает (читатель может
провести его самостоятельно), что при нечетных п состояния
равновесия являются центрами, а при четных — седлами. Фазо™
вый портрет линеаризованной системы имеет вид, аналогичный
показанному на рис. 12.5. Следовательно, у солитона существу™
ют нейтрально устойчивые состояния, когда малое изменение
параметров системы вызывает малое отклонение от равновес™
ных значений амплитуды и фазы.
Теперь рассмотрим неконсервативную систему, когда Г ф 0
7i ф 0, а 72 = 0. Из первого уравнения A3.21) следует, что при
т < 7i солитон может только затухать, поэтому будем иссле-
исследовать случай, когда т > 71 • При этом существует интервал
значений фазы — 37r/2arcsinGi/^i) < tp < Зтг/2 + arcsinGi/ra),
где т sin cp > —71 и возможно усиление солитона. Установив-
Установившиеся значения амплитуды и фазы определяются состояниями
равновесия системы A3.21). При отсутствии высокочастотных
потерь G2 — 0) они даются следующими соотношениями:
^4.12 — 0, cos (f\2 = Г/m,
^_^ ' A3.22)
А3,4 = 2(Г ± л/т2 -7i)> sin</?3,4 = -Ji/m.
11 Л.А. Островский, А.И. Потапов
322
СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ГЛ. 13
IV
Анализ окрестностей особых точек A3.22) и поведения фа-
фазовых траекторий позволяет выделить четыре области значений
параметров т и Г (рис. 13.4),
в которых поведение системы
имеет качественно различный
I // III характер.
Область I (т>у/Г2+7х).
В этом случае имеются четы-
четыре состояния равновесия: два
седла (^1,25^1,2) и Два устой™
чивых фокуса (с^з,45 -4-3,4)•
Нулевая точка равновесия
Ач = 0, Lp2 = тг + arccos (Т/т)
неустойчива и находится
внутри области усиления
— Зтг/2 — arccos G1/га) <
< (f < Зтг/2 + arccos G1/га)
(рис. 13.5 а, б), поэтому все фазовые траектории, начинающиеся
в области А > 0, заканчиваются в устойчивом фокусе (ipi,Ai)
Рис. 13.4. Бифуркационные кривые
на плоскости га, Г: 1 — га = 71? 2 —
т = Г, 8 — т = >/r + 7i
sinq> 4
Рис. 13.5. Мягкий реж:им усиления солитона при т > у^Г2 + 7i
(а, б"— фазы состояний равновесия, в — фазовый портрет системы)
13.2
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ СОЛИТОНОВ
323
(рис. 13.5 в) 1). Малые солитоны с Aq > 0 и любой начальной
фазой щ нарастают до устойчивого состояния с амплитудой А^
и фазой (^4, где устанавливается динамический баланс между
энергией, получаемой солитоном от накачки, и диссипатив-
ными потерями. Эта область соответствует мягкому режиму
параметрического усиления солитонов.
Область II ( Г < т < -\/V2 + 7i ) • В этом случае также име-
имеется четыре состояния равновесия: два седла (9^1,3? ^1,3)? устой-
устойчивый фокус (щ, А4) и устойчивый узел (^2^2) (рис. 13.6 в).
sincp
Рис. 13.6. Жесткий реж;им усиления солитона при Г < m <
Из рисунка видно, что нулевое состояние равновесия ((fi, A\) на™
ходится вне области усиления и все фазовые траектории, прохо-
проходящие вблизи линии А = 0, заканчиваются в узле ((^2^2 — 0).
Это означает, что все малые солитоны затухают, а усилива-
усиливаются до стационарного значения (ip^jA^) только солитоны с до™
статочно большой начальной амплитудой. Следовательно, эта
область соответствует жесткому режиму параметрического уси™
) При А < 0 в рассматриваемой системе солитонв! не существуют, по-
поэтому фазовые траектории в области А < 0 не рассматриваются.
324
СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ГЛ. 13
ления солитонов. На границе областей мягкого и жесткого уси™
ления (f2 = (fs (рис. 13.6 а, б) и т = у Г2 + 7i •
Область III G1 < т < Г). В этом случае имеется только два
состояния равновесия: седло (^з5 ^з) и устойчивый узел (</?4, -В4)
(рис. 13.7).
Здесь синхронное движение малых импульсов с волной пара-
параметра невозможно, так как на оси /1 = 0 нет точек равновесия
(рис. 13.7 в). В этой области возможен лишь жесткий режим
81Пф i
0
-у\/т
/ /"X |Фз
Ф4
а
/ i ^N
2%
, ф
COS ф k
Рис. 13.7. ^Жесткий реж:им усиления солитона с при 71 < ттг < Г
усиления солитонов. Отличие от предыдущего случая состоит
в том, что малые начальные солитоны затухают, не приобретая
определенной фазы относительно волны параметра.
Область IV (Г < —sjm2 — jf). Здесь все импульсы положи-
положительной полярности (А > 0) затухают так же, как и при т < 8\.
Во всех рассмотренных случаях процесс установления со™
литона связан с так называемым «расстроечным» механизмом:
при изменении амплитуды изменяется скорость солитона и на™
рушается синхронизм между ним и волной параметра. Солитон
начинает перемещаться вдоль волны параметра (см. рис. 13.3)
в область, где взаимодействие приводит к изменению его ам-
13.3 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛИТОНОВ КАК КЛАССИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ 325
плитуды и скорости, противоположному тому, которое вызва-
ло начальную рассинхронизацию. «Обратное движение» соли-
тона вдоль волны параметра происходит до установления ба-
ланса между энергией, получаемой им от волны «накачки» и
потерями. Таким образом в процессе установления стационар-
стационарного режима солитон может совершить несколько затухающих
колебаний в окрестности равновесных значений фазы и ампли-
амплитуды.
Описанные здесь режимы параметрического усиления соли-
тона имеют некоторую аналогию с разгоном частиц в цикличе-
циклических ускорителях, причем роль частиц в нашем случае играют
солитоны.
В рассмотренных случаях не учитывались высокочастотные
потери в системе. При их наличии G2 Ф 0) также возможны
мягкий и жесткий режимы усиления солитонов, а некоторые
дополнительные особенности процесса установления связаны с
зависимостью затухания импульсов от их амплитуды.
Следует отметить, что при параметрическом взаимодействии
амплитуда волны накачки, строго говоря, не остается постоян-
постоянной, как было принято в рассмотренном нами случае. Учет изме-
изменения амплитуды накачки усложняет исследование, но основные
черты рассмотренного механизма сохраняются.
13.3. Взаимодействие солитонов как классических
частиц
На поведение солитонов как частиц указывает то, что со-
солитон способен сохранять свою структурную целостность под
действием различных возмущений. В предыдущем разделе бы-
было показано, что при плавных изменениях параметров системы
он остается в семействе уединенных волн.
Еще более выраженным примером такого поведения явля-
является взаимодействие двух (или более) солитонов. После нели™
нейного взаимодействия они сохраняют свои параметры, кото-
которые имели до столкновения, изменяется только общее время их
распространения (т.е. фазы солитонов). Рассмотрим взаимодей-
взаимодействие солитонов в рамках уравнения КдВ
ди . ди . д3и А /1О поч
-«г +и— + -— = 0, A3.23)
dt дх дх3 х /
326 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
(где для простоты положили а = /5 = 1). Вначале обсудим точ-
ное решение уравнения A3.23), описывающее взаимодействие
двух солитонов. Это решение может быть получено различны-
различными методами, здесь же приведем конечный результат без его
подробного вывода:
u(x,t) = (Аг - А2) Aish" im/Al) + Mch" im/A2J, A3.24)
где щ = х — Vfct — фазы солитонов, а их скорости Vk , амплиту-
амплитуды Ak и длительности Ад. связаны соотношениями A3.3). Далее
для определенности будем считать, что А\ < А2.
Рассмотрим асимптотику решения A3.24) при щ —>• ±оо и
щ/'А2 ^ 1. В этом случае первое слагаемое в A3.24) стремится
к нулю:
А\ IjL7 j
Используя стандартные формулы преобразования гиперболиче™
ских функций, можно показать, что оно эквивалентно одиноч-
одиночному солитону
и(х, t) ~ A2ch^2 (^^ т в) , A3.25)
где
. A3.26)
Следовательно, в результате взаимодействия быстрый солитон
^2 сохраняет свою индивидуальность, но получает прираще™
ние фазы на величину 26. Аналогичным образом можно про-
проанализировать асимптотическое поведение решения A3.24) при
772 —> =Ьоо и 771/Д1 ^ 1- Для значений времени, отстоящих в да-
далекое прошлое от момента взаимодействия, выражение A3.24)
сводится к суперпозиции солитонов:
и{х, t -> ^00) - А2 ch^2 G72/A2 -в) + А1 ch^2 (щ/Ai + в),
A3.27)
а для значений времени, отстоящих далеко в будущее после мо-
момента взаимодействия, получаем суперпозицию тех же двух со-
13.3 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛИТОНОВ КАК КЛАССИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ 327
литонов, но со сдвигами фаз:
и(х, i -> +00) ~ А2 ch^2 (щ/А2 + 0) + Аг ch^2 (т/Аг - в).
A3.28)
Таким образом в результате взаимодействия солитоны сохра-
сохраняют свои первоначальные параметры. Результат их взаимодей-
взаимодействия состоит в том, что быстрый солитон с амплитудой А2 сме-
смещается вперед на величину Ах2 = 219Д2 от своей невозмущенной
траектории, а медленный солитон А\ смещается назад на вели-
величину Ах\ = 29А\. Более подробный анализ позволяет выявить
следующие особенности взаимодействия солитонов:
1. Если амплитуды солитонов сильно отличаются друг от
друга {А2/А\ > 3), то меньший солитон вначале поглощается,
а затем излучается большим солитоном и в момент их полного
перекрытия волновое поле имеет один максимум. Это так назы-
называемое обгонное взаимодействие (рис. 13.8 а).
t v
Рис. 13.8. Качественная картина поведения солитонов при обгонном (а) и
обменном (б) взаимодействиях
2. Если солитоны мало отличаются друг от друга [А2/А\ <
< 2,62), то в течение всего процесса взаимодействия имеют ме-
место два максимума поля. Это так называемое обменное взаимо-
взаимодействие рис. 13.8 б).
328 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
В реальной физической системе нелинейные волновые про™
цессы как правило описываются неинтегрируемыми уравнения-
уравнениями и, строго говоря, в них мы имеем дело не с солитонами, а с
некоторыми солитоноподобными локализованными возмущени-
возмущениями. Солитон же можно брать в качестве начального волнового
образования (невозмущенного решения) близкого к реальности.
Для подобных ситуаций можно построить теорию возмуще™
ний, которая рассматривает солитон как деформируемую части-
частицу, сохраняющую свою индивидуальность и подчиняющуюся за™
конам динамики Ньютона. Такое описание позволяет не только
решать конкретные задачи, но и провести классификацию воз™
можных типов взаимодействия солитонов, как классических ча-
частиц.
18.4. Теорим возмущений для солмтонов1)
В настоящее время разработано достаточно много вариантов
методов возмущений для описания эволюции сильно нелиней-
нелинейных волновых процессов и, в частности, солитонов. Одни из них
пригодны лишь для систем, близких к точно интегрируемым, а
другие, обладая достаточной общностью, требуют для своей ре-
реализации дополнительной информации об исследуемой системе.
Вместе с тем основные идеи, лежащие в основе всех подходов,
достаточно наглядны и носят универсальный характер.
Прммые методы возмущений. Наиболее существенный
вывод, следующий из численных и физических экспериментов
с уединенными волнами и закладывающий основу для построе-
построения методов возмущений, заключается в том, что наличие ма-
лых возмущений не приводит к разрушению солитонов и, бо-
более того, солитоны и в этой ситуации проявляют определенную
устойчивость: эволюция волны, первоначально близкой к соли-
тону, происходит таким образом, что в каждый момент времени
волна остается близкой к стационарному солитону, параметры
которого медленно (по сравнению с соответствующими масшта-
масштабами уединенной волны) изменяются во времени. Поправки к
уединенной волне под действием возмущающих факторов, на-
накапливаются таким образом, что не выводят общее решение из
семейства стационарных. Это свойство солитонов заложено во
все методы возмущений для уединенных волн, так что основная
цель этих методов сводится по существу к нахождению законов
Разделы 13.4 и 13.5 написаны К.А. Горшковым.
13.4 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СОЛИТОНОВ 329
изменения параметров солитона и, если необходимо, нахожде-
нахождению малых поправок, сопровождающих уединенную волну.
Общая последовательность действий при построении схемы
методов возмущений следующая. Рассмотрим волновую систему
Й(Ф1е) =0, A3.29)
где N — нелинейный оператор, Ф — совокупность полевых пе-
переменных, е — малый параметр. Предположим, что при е = 0
система A3.29) допускает локализованное решение — уединен-
уединенную волну ф(°)(ж,?, А), характеризуемую совокупностью пара-
параметров А = {А\,... Ат} (это могут быть координата, скорость,
амплитуда и другие параметры волны ). При учете возмущений,
когда е ф 0, интересующее нас решение в окрестности данного
солитона отыскивается в виде ряда по степеням е:
, t) = ф(°) (х, t, А) + J2 ?Пф(п) (ж> *)> A3-3°)
где главный член разложения ф(°) — известное уединенное ре-
решение. Подставляя A3.30) в систему A3.29) и приравнивая нулю
слагаемые при каждой степени е, мы получим в каждом прибли-
приближении линейные уравнения для возмущений:
?фН = #(*). A3.31)
Здесь L — линеаризованный вблизи решения ф(°) оператор
JV, а Н^ содержит лишь функции предыдущих приближений
Ф^,... ф^^1). Левая часть уравнения содержит переменные ко-
коэффициенты, обусловленные исходной уединенной волной, по-
поэтому A3.31) можно рассматривать как задачу рассеяния волн
в линейной неоднородной среде, создаваемых источником Н^пК
Алгоритм построения приближенного решения A3.30) начи-
начинается с анализа характера решения начальной задачи A3.31).
Будем предполагать, что исходное уединенное решение Ф^
устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных,
так что часть решения A3.31), обусловленная возможным нали-
наличием начальных возмущений, остается ограниченной при любых
временах. Для выяснения характера временного поведения ча-
части решения A3.31), обусловленной источником Н^п\ разложим
330 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
ф(п) по полной системе собственных функций оператора L:
t) + fCk(t)fk(x,t)dk, A3.32)
где {fd{%,t),fk(x,t)} — совокупность собственных функций опе-
оператора L, a {Cd(t)j Ck(t)} — подлежащие определению коэффи-
коэффициенты разложения, относящиеся соответственно к дискретному
и сплошному спектрам оператора L. Подставив A3.32) в линей™
ные уравнения A3.31) и используя условия полноты и ортого-
ортогональности собственных функций
/ /*(ж, t)f+{x, t)dx= J fk(x, t)f+{x, t) dx =
ffd(x,t)f+(x,t)dx = O,
где к Ф к1', d ф d!', получаем уравнение для коэффициентов
Cd^Ck- Если система A3.31) разрешена относительно первых
производных по времени (что, очевидно, всегда можно сделать),
то эти уравнения приобретают простой вид:
(*,*)<&• A3-33)
Здесь f+d,k — собственные функции оператора Ь+, сопряженно-
сопряженного L г). Типичная особенность получаемых таким образом реше-
решений — это секулярная (степенная по t) расходимость во времени
части коэффициентов С^к- Для возникновения такой расходи-
расходимости (т.е. возникновения резонансов) достаточно, чтобы пра™
вые части A3.33) имели отличное от нуля среднее по времени.
Для коэффициентов сплошного спектра С& такая расходи™
мость обычно не приводит к росту соответствующей части реше-
решения A3.32). Дело в том, что для волновых систем собственные
функции /д. не локализованы и отвечают падающим на рассе-
рассеивающий потенциал и отраженным от него волнам. При этом
секулярный рост коэффициентов С& связан с ростом размеров
области, занятой полем расходящихся волн, и не приводит к ро™
сту величины самого поля излучения.
Сопряженный оператор определяется соотношением f1ФLФdx =
13.4 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СОЛИТОНОВ 331
Иная ситуация складывается при секулярном росте коэффи-
коэффициентов дискретного спектра G&. Здесь расходимость коэффи-
коэффициентов приводит к расходимости первой части решения A3.32),
что обусловлено их пространственной локализацией: отток воз-
возмущений из моды при резонансном возбуждении невозможен.
Существенно, что среди локализованных собственных фукнций
всегда есть такие, которые отвечают вариациям порождающе-
порождающего решения ф'°) по параметрам А{ (это следует просто из то-
того, что линейный оператор L получается вариацией исходного
нелинейного оператора). Ясно, что в случае, когда набор соб™
ственных фукнций дискретного спектра ограничивается только
этими функциями, решение A3.30) может быть записано при™
ближенно (с точностью до величины О (б2)) следующим обра-
образом:
A3.34)
где а.\ — некоторые постоянные порядка 6, а многоточием обо-
обозначена часть решения, отвечающая сплошному спектру и оста-
остающаяся ограниченной при t —>> оо. Таким образом нарастаю-
нарастающая (резонансная) часть возмущения приводит к сдвигу волны
как целого в пространстве параметров А. Этот вывод указывает
способ подавления возникающей секулярной расходимости. Для
этого необходимо считать параметры А{ порождающего реше-
решения ф(°) медленно меняющимися функциями времени, т.е. А{ =
= Ai(r)j где т = et. Это несколько модифицирует правые части
уравнения A3.31), так в первом приближении Н^ заменяется
на Н^ — {дф(°}/dAi)(dAi/dt). Возникающий таким образом про™
извол в определении функции Ai(r) используем для того, чтобы
потребовать выполнения следующих условий:
+d(x,T)H(l\x,T)dx = 0. A3.35)
Это условия ортогональности, предотвращающие рост коэффи-
коэффициентов дискретного спектра. Соотношение A3.35) представля-
представляет собой дифференциальные уравнения, определяющие зависи-
зависимость параметров А\ от времени и, следовательно, закон эволю-
эволюции исходного решения под действием возмущений.
В случае, когда при е = 0 система A3.29) относится к клас-
классу точно интегрируемых, все собственные функции дискретного
332 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
спектра определяются вариациями Ф'0' по А{, и молено утвер™
ждать, что с помощью условий ортогональности устранены все
расходимости (в первом приближении число резонанснов равно
числу неизвестных функций А\) и описание исходной распре-
распределенной системы сводится к решению конечномерной системы
дифференциальных уравнений:
*?± = J f^dH^l\x,r)dx, rf=l,2,...m, A3.36)
где элементы матрицы т^ равны j f^d(d^ /9Ai)dx.
Малые поправки, сопровождающие эволюцию уединенной
волны, находятся из выражения A3.32), которое после выпол-
выполнения условий ортогональности A3.35) полностью определяет-
определяется собственными функциями сплошного спектра оператора L.
Интересно отметить, что в случае интегрируемых систем все
собственные функции непрерывного спектра также могут быть
найдены путем вариации порождающего солитонного решения.
13.5. Лагранжево описание взаимодействия солитонов
Обсудим здесь применение теории возмущений к задаче о
взаимодействии уединенных волн. Наиболее общая ситуация,
попадающая под такое приближенное описание, связана с ан-
самблями сильно разнесенных, слабо взаимодействующих со-
солитонов, имеющих близкие параметры (амплитуды, скорости и
т.п.). В этом случае изменение параметров каждого из солито-
солитонов, обусловленное слабыми полями соседних уединенных волн,
можно считать квазистационарным, а общее решение — близ-
близким к суперпозиции солитонов. В нулевом приближении, когда
взаимодействие еще не учитывается, глобальное решение пред-
представим суммой солитонов с одинаковыми параметрами, а с уче™
том взаимодействия поле в окрестности каждого (г-го) солитона
будем искать в виде разложения
A3.37)
13.5 ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ 333
где Ф^(С = x — Vt, V) — солитонное решение, отвечающее сред™
ней скорости солитонов в ансамбле, Si(t) — координаты соли-
тонов такие, что dsi/dt ~ 0(sV)J т = et, р = еж, е — малый
параметр по порядку величины, равный отношению разности
скоростей солитонов к средней скорости V 7 величины полей со™
седних (j-x) солитонов в области расположения данного (г-го)
имеют порядок е .
13.5.1. Общам схема
Наглядные с физической точки зрения резулвтатв! получаются
при использовании уравнений поля в лагранжевой форме:
^i^ir + ^^г ~ ~ш: = U5 {16.66)
dt дФь дх дФх дФ х 7
где Ь(Ф^ФЖ,Ф) — плотность функции Лагранжа. Далее для
простоты, изложение ведется для однокомпонентной функции
Ф(ж,?), хотя все основные этапы применения теории возмуще-
возмущений сохраняются и в более общем случае, включающим неодно™
мерность и многокомпонентность полевой функции Ф(ж,?).
Подставляя A3.37) в A3.38), получаем стандартную систе™
му уравнений последовательных приближений ЬФ п)
линейным оператором второго порядка:
A3-39)
где переменные коэффициенты, зависящие от ^ — 5^, определя-
определяются следующим образом:
А = F2/t /
В = ^Уд2Ь/дФгдФ + 821/дФхдФ,
С = д2Ь/дФ2.
Лагранлсева форма исходных уравнений A3.38) обуславливает
самосопряженность оператора L. Уравнения Lf = 0, а значит,
ввиду самосопряженности, и Ь+/+ = 0 всегда имеют убываю™
щее при ? —>• ±оо решение Ф^ , поэтому в казсдом приближе-
334 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
нии для ограниченности поправок Ф^ необходимо и достаточно
выполнение условий ортогоналвности J Щп ф\ (? — $i)d^ = 0.
— оо
В первом приближении условия ортогоналвности выполняются
тождественно, так как решения уравнений ЬФ^ = Щ , где
гA) - »-. J d \dL i d"L V92L)*(°)\ _
A3.40)
имеют вид Ф^ = Sid&0}/dV, т.е. ограничены при любых ?. Во
втором приближении Щ ' = Щг' + Щ2 + Щ3 , где
т_ё. \д2ь / (о) ф(о)\ d ( дЧ дЧ \ (о) э2ь (о)
„B) .
Оператор Ly в A3.41) — это производная по V от оператора
L в A3.39), а оператор L^ в A3.41) имеет тот же вид, что и
L в A3.39), но его элемешы А, 1?, С определяются нелинейной
частвю лагранжиана Ljy = L — Ll, где L^ — квадратичная по
полевв1м переменнв1м частв лагранжиана. Во втором приближе™
B)
нии условия ортогоналвности необходимв! толвко к части Д| , а
именно J (Щ-у +Н^)ф1 d^ = 0. К части Щ2 условия ортого™
нальности выполняются тождественно, поскольку, как и в пер™
вом приближении, уравнения Lf = H^ имеют всюду ограни-
ограниченные решения A/2)в?Фуу. В результате условия ортогональ-
ортогональности приводят к уравнениям для координат солитонов s^, кото-
которые по своей структуре совпадают с уравнениями для классиче-
классических частиц с парным потенциалом взаимодействия U(si — Sj)
13.5 ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ 335
и эффективным лагранжианом вида
+ ОО
A3.42)
+ ОО
m =
Величина массы классической частицы m в выражении
A3.42) определяется через полный волновой импульс солито™
на Р, а эффективный парный потенциал взаимодействия пред™
ставляется приращением исходного Лагранжиана, обусловлен™
ным полем соседнего солитона.
Описание взаимодействия уединенных волн в рамках эффек™
тивного Лагранжиана A3.42) допускает обобщение на многомер-
многомерный и многокомпонентный случай:
= ^ {mpqSipSiq - U(щ - Sj)} ,
+оо
+ СХ)
=J [дг
При этом предполагается, что исходная лагранжева система
уравнений допускает локализованное решение вида Ф^°^(^, V) =
= {Ф^0)}, к = 1,2,...iV, ? = {?q = xq-Vqt}, q = 1,2,. ..N.
Индексы i,j, как и выше, нумеруют взаимодействующие соли-
тоны, а по дважды повторяющимся индексам p^q^k в A3.43)
предполагается суммирование.
336 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
13.5.2. Типы взаимодействий
Общее выражение A3.42) для парного потенциала взаимодей-
взаимодействия солитонов записано в виде интеграла по бесконечному ин-
интервалу ^оо < ? — Si < +00. Фактически этот интеграл эффек-
эффективно определяется областвю с размерами порядка масштаба со-
литона, так что в качестве величинв! Ф'°'(? —*%) при вычислении
A3.42) достаточно ограничиться асимптотическим выражением
для поля j-ro солитона: /(?) = lim^±oo ф(°)(?). В типичных си-
ситуациях /(?) определяется из линеаризованных уравнений поля
и имеет вид:
^ХМ). A3-44)
где Ck — действительные постоянные, а А^ — характеристиче-
характеристические корни линеаризованных уравнений (естественно, отбира-
отбираются только корни с ReA/j < 0). Понятно, что зависимость U(s)
от s повторяет зависимость /(?) от ?. Для пары солитонов в
простейшем случае, когда /(С) и U(s) определяется одной экс-
понентой, уравнения движения имеют вид:
2U^ аКфз^ S = S2_ 5l. A3.45)
Здесь можно выделить три случая.
1. При монотонной зависимости U(s) (ImX = 0) возможен
либо отталкивающий (adP/dV > 0), либо притягивающий
(adP/dV < 0) характер взаимодействия солитонов. В случае
отталкивания солитоны после взаимодействия (t —> +00) обме-
обмениваются скоростями ii52(+°°) — 52,i(—00) и единственный ре-
результат взаимодействия сводится к сдвигу траекторий центров
солитонов (сдвиг фаз):
2. При монотонной U(s) и притягивающем характере взаи-
взаимодействия, рано или поздно наступает этап сильного перекры-
перекрытия полей отдельных солитонов. Если, однако, эта стадия от-
относительно непродолжительна, то из уравнения A3.45) можно
вычислить период Т колебаний связанного состояния двух со-
13.5 ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ 337
литонов, оказывающийся возможным в этом случае:
Г = 8 (дР1дЛ/ елW2 arccos (e-Aw/2) A3.47)
где smax — максимальное расстояние, на которое расходятся вза-
взаимодействующие солитоны.
3. Наконец, при IinA ф 0 потенциал взаимодействия имеет
вид бесконечной последовательности ям и горбов. Здесь, в прин™
ципе, оказываются возможными статические и возбужденные
связанные состояния, их счетное число, и все они описывают-
описываются в рамках слабого взаимодействия.
Все перечисленные типы взаимодействия молено проиллю-
проиллюстрировать на примере обобщенного уравнения КдВ
? ? ? 0, A3.48)
at ох дх^
которое может быть записано в лагражевой форме с плотностью
функции Лагранжа, равной
т 1 , 1 р+2 J UXWX + ^W2, (9 = 3)
L = -UTUf + т 77 гШ
2 (р
uxwx + wv + vl (g 5
A3.49)
где их = Ф. Подставляя A3.49) в A3.42), получаем выражения
для га и U(s).
При q = 3 и р = 1 уравнение A3.48) представляет собой
каноническую, точно решаемую модель КдВ с солитонным ре-
решением ф(°) = 3Fch^2(\/F^/2) (см. пп. 13.1.1 и 13.3). В этом
случае линейная асимптотика решения имеет вид
Для модифицированного уравнения КдВ солитонные решения
имеют вид (см. п. 13.1.2)
Ф(о) = ±\fWdr
с линейной асимптотикой
= ±2VWexp(-W0.
338 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
В этих случаях уравнение движения A3.45) для пары солитонов
приобретает вид
^ = ±32F3/2 exp^V^s), A3.50)
где знак «+» отвечает взаимодействию солитонов уравнения
КдВ и солитонов одинаковой полярности в модели МКдВ, а знак
« —» — взаимодействию солитонов разной полярности уравнения
МКдВ.
Результирующий сдвиг фаз A3.46) в этих случаях равен
y/VAx = 2]n[4V/(ds/dt)oo],
что согласуется с известным точным выражением при
(ds/dt)/2V4Z1.
Кроме того, взаимодействие разнополярных солитонов урав-
уравнения МКдВ эквивалентно взаимному притяжению частиц
(U(s) ~ —exp(—y/Vs)), что свидетельствует о существовании
связанных состояний таких солитонов. Это также согласуется с
известными точными решениями.
13.6. Взаимодействие солитонов в неинтегрируемой
системе
Дадим более подробный анализ взаимодействия солитонов
применительно к обобщенному уравнению Кортевега^де Вриза
A3.48) при р = 1, и g = 5. В этом случае оно является неинте™
грируемым и, более того, неизвестны аналитические выражения
для стационарных волн — солитонов, поэтому формулы для рас™
чета взаимодействий таких волн в законченном виде получить не
удается. Тем не менее в рамках предлагаемого описания может
быть составлена достаточно полная картина их взаимодействия.
Прежде всего укажем, что из соображений подобия сле-
следует, что общая структура решения дается формулой и(?) =
= Fc/^F1/4^), где ? = х — Vt. Отсюда сразу определяется связь
между амплитудой и длительностью солитона. Можно опреде-
определить также асимптотическое поведение хвостов солитона при
|?| —)> оо, существенное для анализа слабого взаимодействия.
Линеаризуя уравнение A3.48) для стационарной волны и = и(?)
вблизи и = 0, легко видеть, что при F < 0 (медленный солитон)
13.6 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛИТОНОВ В НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ СИСТЕМЕ 339
хвосты солитона осциллируют:
и ос exp(-F1/4C/2) cos(F1/4C/2).
A3.51)
Этих сведений уже достаточно для записи приближенного урав™
нения взаимодействия A3.50), которое имеет вид
-s | cos I —— (s
A3.52)
Знак правой части уравнения A3.52) изменяется в зависимости
от расстояния между солитонами, и поэтому силы взаимодей-
взаимодействия солитонов могут иметь как притягивающий, так и оттал-
отталкивающий характер. Основ-
Основные типы движений солито™ 1
нов удобно исследовать на j-k
фазовой плоскости уравне-
уравнения (рис. 13.9).
Анализ фазовых траек™
торий позволяет выделить
три типа взаимных движе™
ний солитонов с осциллиру-
осциллирующими «хвостами».
1. Инфинитные движе-
движения солитонов (рис. 13.9,
траектории 1). В этом слу-
случае солитоны после сбли™
жения на расстояние smin
неограниченно расходятся.
Этот тип движения каче-
качественно похож на тот, что
реализуется при столкнове-
столкновении солитонов с экспоненциальными асимптотиками. Отличие
заключается в том, что теперь зависимости результитующих
сдвигов фаз являются разрывными функциями скорости стал™
кивающихся солитонов.
2. Связанные состояния солитонов (рис. 13.9, траектории 2),
колеблющихся относительно центра масс. Этому типу движений
соответствуют замкнутые траектории на фазовой плоскости.
3. Стационарные двухсолитонные волны (мультисолито-
ни) (рис. 13.9, состояния равновесия 5), соответствующие на
фазовой плоскости точкам равновесия типа «центр».
Рис. 13.9. Фазовый портрет уравнения
A3.53) A — инфинитные движения со-
солитонов; 2 — колебательные движения
солитонов относительно центра масс;
8 — связанные двухсолитонные состоя-
состояния)
340 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
Последние два типа движений обусловлены знакоперемен-
знакопеременным потенциалом взаимодействия солитонов, который имеет по-
потенциальные «ямы» убываю™
щей с ростом s глубины. В тех
случаях, когда разность энер-
энергий солитонов, находящихся
на дне ямы, недостаточна для
преодоления сил притяжения,
они не могут разойтись и со-
совершают взаимные колебания,
испытывая то притяжение, то
отталкивание. При равенстве
Рис. 13.10. Стационарный двугор- энергий СОЛИТОНОВ, находя-
бый солитон (бисолитон) щижя на дне ямщ кодебания
не возникают, и в этом случае
мы имеем стационарный двугорбый солитон (рис. 13.10). Даль-
Дальнейшее исследование стационарных волн с двумя и более мак-
максимумами в основной части решения (мультисолитоны) требует
более точного расчета в рамках исходного уравнения A3.48).
Отметим также еще одну принципиальную возможность вза-
взаимного захвата первоначально удаленных солитонов в системе с
диссипацией энергии. В этом случае в правую часть уравнения
A3.52) добавляется диссипативное слагаемое пропорциональное
dsjdr и на фазовой плоскости особые точки типа «центр» пре-
превращаются в устойчивые фокусы. Явлению захвата соответству-
соответствуют фазовые траектории, начинающиеся в бесконечности и за-
заканчивающиеся в фокусах. После захвата солитоны совершают
«затухающие» колебания относительно друг друга и при доста-
достаточно больших временах образуют квазистационарный бисоли-
бисолитон.
13.7. Исторические замечания и комментарии
«Болынам уединенная волна» Скотта Рассела. Впер-
Впервые большую уединенную волну (солитон) наблюдал английский
кораблестроитель и изобретатель Джон Скот Рассел в августе
1834 г. В это время Рассел изучал перспективы использования
паровых судов на канале, соединяющем Эдинбург и Глазго. В
этой связи Рассел проводил эксперименты с баржами различной
формы, движущимися с разными скоростями, и в ходе экспери-
экспериментов он обнаружил, что после внезапной остановки баржи в
13.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 341
узком канале масса воды, которую баржа привела в движение,
собралась около носа судна и затем неожиданно оторвалась от
него, катясь вперед в виде большого одиночного возвышения.
Эта волна долго двигалась вдоль канала практически с посто-
постоянной скоростью, не изменяя своей формы. Он дал ей название
волна трансляции. Первое сообщение об этом Рассел сделал в
1838 г., а в 1844 г. в статье «Report on Waves» он дал подробное
описание этого явления и выполненых им экспериментов [И.З.].
Рассел экспериментально установил следующие основные
свойства уединенных волн:
— постоянство скорости и неизменность формы отдельной уеди-
уединенной волны;
— зависимость скорости волны от глубины канала и высоты вол-
волны;
— распад достаточно большой волны на две или более уединен-
уединенные волны;
— наблюдаются только волны возвышения.
Кроме этого, в своей первой публикации A838 г.) Рассел от-
отметил, что большие первичные волны (солитоны) проходят друг
через друга без каких-либо изменений, таким же образом, как
и малые колебания, производимые упавшим на поверхность во-
воды камнем. Правда этому явлению «упругого» взаимодействия
солитонов, которое так поразило ученых, вновь открывших его
130 лет спустя, Рассел, по-видимому, не придавал особого значе-
значения и больше не возвращался к его обсуждению. На континенте
работа Рассела не была замечена, но в Англии ей заинтересова-
заинтересовались Дж. Эйри и Дж. Стоке. Эйри придирчиво изучил доклад
Рассела и в своей работе «Tides and waves» A845 г.) подверг рез-
резкой критике его выводы об уединенной волне. Эйри утверждал,
что длинные волны в каналах не могут сохранять свою форму.
Выражение Рассела для скорости уединенной волны не получа-
получается из теории длинных волн на мелкой воде 1), а поверхнност-
ные волны могут иметь как положительный, так и отрицатель-
отрицательный знаки амплитуды. Стоке в своей работе «On the theory of
oscillating waves» A847 г.) с большей осторожностью, чем Эйри,
подходил к наблюдениям Рассела, но и его заключение гласило,
что волны не могут сохранять постоянную форму.
Критика наблюдений Рассела такими известными специа-
специалистами как Эйри и Стоке не способствовала увеличению ин™
) В этой работе Эйри приводит формулу для фазовой скорости линейных
поверхностных волн на мелкой воде (см. комментарий к гл. 1).
342 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
тереса к этому явлению, и об уединенной волн надолго забы-
забыли. Расселовский доклад о волнах привлек внимание В. Бус-
синеска A871 г.) и Дж. Рэлея A876 г.). Они оба нашли, что
уединенная волна имеет форму гиперболического секанса и =
= uosech2[(x — Ft)/А], а ее скороств V определяется формулой
V = \fg{h + щ), найденной эмпирически Расселом. Их работы,
а также статвя Дж. Маккована «On the solitary wave» A891 г.)
и новвю onBiTBi с уединенной волной подтвердили правоту Рас-
Рассела. Тем не менее, спорв! о существовании уединенной волны
в кругу специалистов еще долго не прекращалисв — слишком
велик был авторитет Эйри и Стокса.
Теорим солитонов и уравнение Кортевега^де Ври-
за. В 1895 году голландские ученые Д. Кортевег и его ученик
Г. де Вриз вывели уравнение A3.27) (носящее их имя), наибо™
лее просто описывающее все основные эффекты, наблюдавшие-
наблюдавшиеся Расселом. Они нашли его периодические волновые решения
(кноидальные волны), а также показали, что решение вида и =
= tiQsech [(ж — Vt)/А] является стационарнвш, опровергнув тем
самвш мнение Эйри.
Хотя уравнение КдВ свхграло в дальнейшем большую роль
во втором «рождении» солитона в 1960-е годы, сами авторы,
по-видимому, не придавали болвшого значения своей статье, где
оно было получено. В частности, о ней даже не упоминается
в биографии Кортевега. Знаменитвш уравнение КдВ стало по-
после того, как в 1965 г. Н. Забуски и М. Крускал выяснили, что
оно описывает стационарные локализованные волны, которые
не изменяются после столкновения друг с другом, и ввели в
обращение термин «солитон». В 1967 г. группе американских
ученых С. Гарднеру, Дж. Грину, М. Крускалу и Р. Миуре уда™
лось найти общее решение уравнения КдВ с помощью метода
обратной задачи рассеяния. От этой работы обычно и отсчиты-
отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах. «Клуб» соли-
солитонов все время пополняется новвши членами и сегодня среди
их пестрой «толпы» трудно ориентироваться даже специалистам
[И.6., И.13].
Взаимодействие солитонов как частиц. Проблема взаи-
модействия солитонов, пожалуй, самая красивая и все еще наи-
наименее изученная область теории нелинейных волновых процес-
процессов. На частицеподобные свойства солитонов, которые вв1ходят
из столкновения с неизменными формами и скоростями и при™
обретают лишь некоторые сдвиги фаз (упругое взаимодействие)
13.7 ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 343
впервые обратили внимание Н. Забуски и М. Крускал в 1965 г.,
а в 1968 г. П. Лэксом с помощью разработанной им техники
L-A пар было дано строгое теоретическое доказательство это™
го факта. Оно показывает, что энергия в нелинейных средах с
дисперсией может распространяться в виде устойчивых лока™
лизованных образований без рассеяния. Это свойство часто ис-
используется в качестве определения солитона, накладывает весь™
ма жесткие требования, которым удовлетворяют далеко не все
уединенные волны. При этом форма солитона не является важ™
ной частью его определения: он может иметь колоколообраз™
ную форму или форму «ступеньки». На первый план выступают
«столкновительные» свойства взаимодействующих волн [13.15].
Существует, однако, обширное семейство частицеподобных
волн, которые не удовлетворяют этим жестким требованиям,
хотя во многих случаях они ведут себя почти как солитоны. На™
пример, ни одно из локализованных решений нелинейного урав™
нения Клейна-Гордона, описывающих частицеподобные волны,
не удовлетворяет указанным требованиям. Но как показывают
численные эксперименты, они также как и солитоны, могут стал™
киваться, сцепляясь или уничтожая друг друга, а в процессе
столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее
возмущение («излучение»), которое отсутствует у взаимодей™
ствующих солитонов. Такие волны также целесообразно назы™
вать солитонами [13.10].
Недавно в экспериментах с механическими системами бы™
ли обнаружены сильно нелинейные частицеподобные волны
[A3.29)], которые расщепляются при встречных столкновениях,
порождая вторичные частицеподобные волны. Известны мате™
матические модели [13.8, 13.19, 13.25, 13.30], качественно опи™
сывающие подобные эффекты. Явление расщепления частице™
подобных волн при встречных столкновениях имеет любопыт™
ную квантово™механическую аналогию с взаимодействием эле™
ментарных частиц.
Теория возмущений для солитонов. Отталкиваясь от
идеи: солитон™частица, были разработаны различные прибли-
приближенные методы, описывающие поведение солитонов как дефор™
мируемых частиц, подчиняющихся уравнениям ньютоновской
динамики. На этом пути были решены многочисленные задачи
об усилении, рассеянии и взаимодействии солитонов в нестаци-
нестационарных и неоднородных средах (см. обзор [13.23]).
В настоящее время разработано достаточно много вариантов
методов возмущений для описания эволюции сильно нелиней™
344 СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЛ. 13
ных волновых процессов и, в частности, солитонов. Одни из них
принципиально пригодны лишь для систем, близких к точно ин-
интегрируемым [13.1, 13.9], а другие, обладая достаточной общно™
стью, требуют для своей реализации весьма обширной инфор-
информации об исследуемой системе [13.16, 13.24].
Изложенная в этой главе адиабатическая теория взаимоде-
ствия солитонов основана на работах [13.21, 13.26]. Она не яв-
ляется вполне строгой и полной, поскольку, во-первых, в неко-
некоторых случаях ее результаты приводят к необходимости учета
сильных взаимодействий и, во-вторых, отсутствует строгое об-
обоснование асимптотической сходимости данного метода. В част-
частности, в рамках рассматриваемой теории невозможно учесть из-
излучение энергии при взаимодействии солитонов. Вопрос об из-
излучении важен с точки зрения применимости предложенного
модельного описания для количественного расчета взаимодей-
взаимодействий солитонов в экспериментах. Вместе с тем, полученные ре-
результаты дают наглядную интерпретацию процесса взаимодей-
взаимодействия солитонов и находят количественное подтверждение при
сравнении с точными аналитическими решениями в тех случа-
случаях, когда последние существуют, а также подтверждаются ре-
результатами численного моделирования [13.13, 13.14] и экспери-
экспериментальными данными по взаимодействию солитонов в электро-
электромагнитных линиях передачи [13.2—13.4].
13.8. Задачи и упражнения
13.1 Найдите солитонное решение обобщенного уравнения КдВ
ди . пди . од3и А
— + да/*— + /З^г = О,
at ох дх3
(п > 0 — а целое число), описывающее волны удов-
удовлетворяющие нулевым условиям на бесконечности и =
= 0, ди/дх = 0 при х —> =Ьоо. Выявите соотношения меж-
между его амплитудой Д скоростью V и шириной А.
Ответ. Решение имеет вид
-2/п
а его параметры связаны соотношениями
U^ А_
р2аА
13.8 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 345
13.2. Найдите решение в виде уединенной волнв! обобщенного
уравнения КдВ с производной пятого порядка
ди , ди , д5и п
dt дх дх5
Выявите связь между ее параметрами.
13.3. Найдите солитонное решение уравнения Гарднера
ди . ди 2ди . од3и А
при а > 0, /3 > 0 и выявите связь между ее амплитудой,
шириной и скоростью.
13.4. Найдите решение в виде уединенной волны для уравнения
Бендамена^Бона^Махони
ди . ди . ди п д3и А
dt дх дх dx2dt
при а > 0, /3 > 0.
Ответ. Решение имеет вид
u(x,t) = 3(с — co)sech
13.5. Найдите решение в виде уединенной волны для уравнения
Джозефа-Эгри
ди . ди . ди . Q д3и А
ГЛАВА 14
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
солитонов
Немаловажный урок состоит в том,
что точные решения все еще окру™
жают нас со всех сторон и не всегда
следует сразу устремляться на поис-
поиски малого е.
Дою. У из ем
В заключительной главе мы более подробно обсудим пример
нелинейной волновой системы, на котором удобно сравнить точ-
точные и приближенные решения для взаимодействующих солито-
нов. В качестве изучаемой модели выберем известное уравнение
синус-Гордона, которое занимает весьма важное место в нели™
нейной теории волн, так как, с одной стороны, оно тесно связано
со многими проблемами нелинейной физики, а с другой — име™
ет сравнительно простые точные решения. На их примере про-
проследим за процессами взаимодействия солитонов как частиц, а
также исследуем динамику бризера — связанного состояния со-
литона и антисолитона. Сопоставление точных решений с при™
б лишенными, полученными, например, методами, изложенными
в предыдущей главе, полезно с точки зрения определения сте™
пени достоверности последних и области их применимости.
14.1. Уравнение синус^Гордона
В отличие от уравнений КдВ и МКдВ, уравнение синус-
Гордона (9.51) имеет второй порядок по времени. В безразмер™
14.1
УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОНА
347
ных переменных оно записывается в каноническом виде:
д2и д2и
В такой системе стационарные волны вида и = и(г) = ж —
описываются уравнением математического маятника:
d2u
1
¦ sin и = 0.
A4.2)
Для медленных волн (V < 1) «фазовый портрет» уравнения
показан на рис. 14.1. Умножив A4.2) на du/drj и проинтегриро-
проинтегрировав по ?|, получим
du
— cos«)
A4.3)
где Е — постоянная интегрирования. Различным ее значениям
соответствуют разные фазовые траектории. Уединенным вол-
Рис. 14.1. Фазовый портрет уравнения синус-Гордона
нам соответствуют сепаратрисы при Е = 0, соединяющие два со™
седних состояния равновесия1). В этом случае из A4.3) имеем
и/2
г] Г dy
/1-F2 J sin у
1 , и
lntg-
&4
) Периодические стационарные волны, существующие при Е ф 0, чита-
читатель может исследовать самостоятельно, используя результаты гл. 12.
348
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
откуда находим решение, описывающее уединенную волну:
u(x,t) = 4arctg exp ( ± х± t+ °) , A4.4)
где во — начальная «фаза» волны. В решении A4.4) первая па-
пара знаков определяет полярность волны, а вторая пара — на™
правление ее распространения. Волны, описывающие монотон-
монотонный переход от 0 до 2тг (или от —2ж до 0) при изменении х от
^оо до оо, называют кинками (или 2тг-импульсами) (рис. 14.2 а).
Две другие волны, изменяющиеся от 2тг до 0 (или от 0 до ^
получили название антикинков (рис. 14.2 6).
ц
ди i
ах
^\ 0
б V
/^ ч
1
Рис. 14.2. Кинк (а) и антикинк (б), соответствующие сепаратисам 1 и 2 на
рис. 14.1
В ряде задач, например, в теории джозефсоновских перехо-
переходов, физический смысл имеет не сама функция к, а ее частные
производные ди/dt и ди/дх^ соответствующие электрическому
и магнитному полям:
ди
дх
—
dt
= ±-
2V
: СП
-1 I x ±Vt + х®
A4.5)
14.2 УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОНА 349
Отсюда видно, что профиль производной от кинка совпадает с
профилем солитона в среде с кубической нелинейностью, опи-
описываемого уравнением МкДВ (см. п. 13.1.2). Однако связь меж™
ду скоростью F, амплитудой А = 2/л/1 — V2 и шириной А =
= л/1 — V2 в волне A4.5) отличается от соответствующих соот-
соотношений для солитона A3.8).
Вычислим энергию, переносимую волнами. Для этого вое™
пользуемся лагранжианом
В соответствии с определением D.3) плотность энергии волны
равна
1 \(ди\2 . [ди\2]
+Ы
Подставляя сюда A4.4) и A4.5), находим
Полная энергия кинка равна
оо
W= Г wdx = —^—. A4.8)
— оо
Аналогичное выражение получается и для антикинка. Из A4.8)
следует, что энергия кинка и антикинка не может быть меньше
Wq = 8 и увеличивается с ростом скорости.
Нелинейные волны A4.4) обладают конечной интегральной
величиной
оо
Q = h S'§?-* = ^[«(оо)-«(-оо)],
™оо
которая в теории поля называется топологическим зарядом и
равна =Ы соответственно для кинка и антикинка. Уединенные
волны, обладающие ненулевым топологическим зарядом назы-
называют также, топологическими солитонами.
350 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
14.2. Точные решеним
Уравнение синус^Гордона имеет точные многосолитонные
решения, на примере которых удобно проследить за процессами
взаимодействия солитонов (кинков). Обратим внимание на то,
что его солитонные решения A4.4) описываются выражением
u(x,t) = 4arctgC/(a: =Ь Ft), где U — экспоненциальная функция
аргумента. Будем искать более общий класс решений уравне-
уравнения A4.1):
u(x,t) =4arctgC/(x,t). A4.9)
Здесь U(x,t) — новая искомая функция, зависящая от х и t.
Рассматривая A4.9) как замену переменных и подставляя ее в
A4.1), получим уравнение в частных производных для U{x1t):
A4.10)
При его выводе использовалось тождество
На первый взгляд, уравнение A4.10) гораздо сложнее, чем ис~
ходное уравнение, но по счастливому стечению обстоятельств
его решения можно искать методом разделения переменных, че~
го не удается сделать в A4.1). Положим
Щ A4.11)
и подставим это соотношение в A4.10), в результате получим:
(X2 + Т2) (^ + |) - 2{Х12 + Т2) = X2 - Т2, A4.12)
где штрихи обозначают дифференцирование по координате, а
точки — дифференцирование по времени. Дифференцирование
выражения A4.12) по х и t и последующая группировка слагае™
мых позволяют разделить переменные:
2ХХ1 dx \ X J 2TTdt\T
14.2 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 351
где А — постоянная разделения. Отсюда находим обыкновен-
обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка для функ-
функций Х(х) иТ(г):
^L-d{T + 2Л2Т3 = О,
A4.13)
= 0,
d2X
dx2
где di?2 — постоянные интегрирования. Уравнения имеют пер-
первые интегралы:
A4.14)
(™) -<12Х2-\2Х* = и2,
\ dx )
где v\52 — еще две постоянные. Заметим, что постоянные d\^2 и
vxp, не являются независимыми. Подстановка выражений A4.13)
и A4.14) в A4.12) приводит к двум дополнительным соотноше-
соотношениям между константами:
Если обозначить и2 = п и с2 = к , то из A4.14) получим:
A4.15)
п2.
В эти уравнения входят три независимых параметра А, А; и п. В
общем случае их решения получаются обращением эллиптиче-
эллиптических интегралов (см. Приложение)
т
dT
Q у Л2Т4 + (F _ 1)Г2_ «2
A4.16)
ж — жо = =Ь
о
352
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ
ГЛ. 14
Конкретный же вид решений зависит от BBi6opa постоянных А, к
и п. Проанализируем некоторые частные решения, допускающие
простую физическую интерпретацию.
Односолмтонное решение. Пусть параметры А = 0, п = О
и fc2 > 1, тогда дифференциальные уравнения A4.13) линейные
и для Х(х) и T(t) получаем из A4.2) следующие выражения:
Х(х) = ехр (±к(х - жо)), T(t) = ехр (±\/к2 - l(t -
где xq, to — постоянные интегрирования. В этом случае решение
уравнения A4.1) имеет следующий вид:
= 4 arctg ехр
_(x-xo)±V(t-to)\ I _
л/1-F2
/1 +. Г /,
= 4 arctg ехр ±
L V
. A4.17)
Здесь V = V^2 — 1/fc — скорость волны, a I9q = (xq + Fto) —
начальная фаза. Это решение полностью совпадает с A4.4).
При A = 0,
выражениями:
Х(х) = ±
14.3. Столкновение двух кинков
^05fc>l функции X и Т описываются
nV
i^ , T(t) = y^=
V(t - to)
Постоянные жо, ^о устанавливают начало отсчета, далее поло-
положим, что xq = 0 и to = 0. Тогда искомое решение примет вид
u(x,t) = ±4 arctg < V
A4.18)
Заметим, что этот результат не зависит от константы в, так как
в выражение для u(x,t) входит отношение X(x)/T{t).
14.3 СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ КИНКОВ 353
Отвлечемся от анализа решения A4.4) и рассмотрим супер™
позицию бегущих навстречу друг другу кинков. Принимая во
внимание тригонометрическое равенство
arctg z ± arctg у = arctg f y
находим, что эта суперпозиция описывается выражением
. л , ( ехр m + ехр 7/2 \ (¦% л 1П\
и\ + и2 = 4 arctg —^ *-*— , A4.19)
V1 - ехр щ ехр т/2 /
7/i?2 = (x±Ft)/Vl — V2 — фазы бегущих волн. К подобному
виду можно преобразовать и решение A4.18):
гг(ж, tj - ±4 arctg j x + F^2 exp {щ + ln F) exp ^ _ ln F)
A4.20)
Сравнивая выражения A4.19) и A4.20), видим, что A4.20)
отличается от A4.19) наличием множителя V^2 в знаменателе
и знаком фазы у экспоненты ехр (—7/2). Для выяснения смысла
этого различия рассмотрим асимптотики A4.20) при t —>• ^00
(отдаленное «прошлое») и при t —>• 00 (далекое «будущее»).
Асимптотики можно получить, рассматривая пределы A4.20)
при t —>> ±00 вблизи характеристик х = ±Vt. Выберем в A4.20)
верхний знак и воспользуемся равенством
arctg z = тг/2 — arctg(l/z).
Тогда получим, что выражение A4.20) в «прошлом» описывало
суперпозицию двух кинков:
u(t -> -00) « 4arctg[exp (гц + т/о)] + 4arctg[exp (щ - щ)] - 2тг,
A4.21)
где т/о = In V — начальные фазы кинков. В далеком «будущем»
решение A4.20) также описывает суперпозицию двух кинков:
u(t —$> оо) ~ 4arctg[exp (щ + щ —
+ 4 arctgfexp (щ - щ + Ат/)] - 2тг. A4.22)
12 Л.А. Островский, А.И. Потапов
354
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ
ГЛ. 14
Здесь Аг] = In V 2 — дополнительный сдвиг фаз кинков, завися-
зависящий от их начальной скорости. Анализ этих асимптотик показы-
показывает, что найденное решение описывает встречное столкновение
двух одинаковых кинков (рис. 14.3). При этом «центр тяжести»
пары кинков в процессе взаимодействия остается неподвижным,
а кинки получают дополнительные пространственные сдвиги
в
направлении их движения
(сравни с п. 13.3). Физи-
Физическая трактовка взаимодей-
взаимодействия такова: кинки одинако-
одинаковых знаков «упруго» оттал-
отталкиваются друг от друга, об-
обмениваясь скоростями.
Полная энергия такого
процесса равна удвоенной
энергии отдельных кинков:
W = 16fc = 16/Vl-F2. Это-
Рис. 14.3. Встречное столкновение го и следовало ожидать, по-
кинков: волновые профили в различ- скольку решение A4.20) опи-
ные моменты времени сывает упругое взаимодей-
взаимодействие кинков, каждый из ко-
которых имеет энергию W = 8fc, а полная энергия в консерватив-
консервативной системе сохраняется.
Взаимодействие кинков как частиц. Покажем, что ре-
решение A4.20) можно представить в виде суперпозиции кинков,
бегущих с переменными скоростями. Умножим числитель и зна-
знаменатель аргумента функции в A4.20) на exp [s(i)] и приведем
ее к виду
u(x,t) = 4arctg
— exp [—(
2F exp [js(t)] ch
где 7 = l/\/l — V2. Здесь s(t) — имеет смысл расстояния от кин-
ка до центра масс системы, расположенного в начале координат.
Если на переменную s(t) наложим условие
2F™1 exp [js(t)] ch (jVi) = 1 + exp [2js(t)l
эквивалентное уравнению
chGFt) =
A4.23)
14.3
СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ КИНКОВ
355
то решение задачи может быть записано как суперпозиция кии™
ков:
и(х^) = 4arctg {exp [j(x + s)]} — 4arctg {exp [—j(x — s)]} .
A4.24)
Выражение A4.23) представляет собой неявную зависимость
координаты кинка от времени. Разрешая его относительно s,
находим явный вид закона движения кинка:
s(t) =
A4.25)
На рис. 14.4 а показана зависимость скорости кинков ds/dt
от координаты. Пространственно-временные траектории частиц
-0,8
Скорость
Рис. 14.4. Зависимость скорости кинков от расстояния между ними (а);
пространственно-временные траектории кинков (б); фазовые сдвиги кин-
кинков (Аж) и минимальное расстояние между ними (Ажт^те) как функции
начальной скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые
линии — приближенное решение
12*
356 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
представляют собой гиперболы (рис. 14.4 б) с асимптотами
s(t -> ±оо) = ±\fl-V2lnV^1 ± Vt.
Левые части рисунков 14.4 а и б соответствуют кинку, начинаю™
щему движение из s = ^оо, а правые части — кинку, начинаю-
начинающему движение из s = oo. Величина пространственного сдвига
кинка, полученного им в резулвтате взаимодействия:
совпадает с выражением, полученным из анализа решения
A4.20). По закону движения A4.25) легко восстановить диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка, описывающего движе-
движение частицы (см. задачу 14.3). Здесь же мы ограничимся выво-
выводом дифференциального уравнения первого порядка, имеющего
смысл закона сохранения энергии кинка. Для этого продиффе-
продифференцируем A4.23) по времени и возведем его в квадрат. После
преобразований гиперболических функций находим:
= F2. A4.26)
Это выражение молено интерпретировать как закон сохранения
энергии отдельной частицы, движущейся в силовом поле с по-
потенциалом
U(s) 1Sh
Другими словами, задача о взаимодействии двух одинаковых
кинков эквивалентна задаче о движении частицы в силовом поле
с потенциалом U(s). Роль начальной энергии системы играет
величина, равная кинетической энергии частицы при s —> ^оо.
Потенциальное поле в данном случае является отталкивающим,
и минимальное расстояние между кинками может быть найдено
из A4.26) при условии, что в точке поворота скорость частицы
равна нулю:
Axmin = 2i/l-F2ln[(l + y/i-V2)/V]. A4.27)
Зависимости сдвига фаз Ах и минимального расстояния меж-
между кинками Axmin от начальной скорости V приведены на
рис. 14.4 в.
14.4
14.4. СТОЛКНОВЕНИЕ КИНКА И АНТИКИНКА
357
14.4. Столкновение кинка и антикинка
Пусть А ф О, п = 0 и к2 > 1, тогда решение уравнения A4.1)
может быть записано в виде
= ±4 arctg
exp [y(x + Vt) — In V] — exp [j(x — Vt) ~~ In
1 + F2 exp [j(x + Vt) - In F] ехр[7(ж - Vt) - '.
A4.28)
где введено обозначение j = 1/л/1 — F2. Асимптотический ана-
анализ, аналогичный проведенному в предыдущем разделе, пока™
зывает, что данное решение описывает встречное столкновение
кинка и антикинка (рис. 14.5). «Центр тяжести» солитон-анти™
солитонной пары остается неподвижным и совпадает с началом
t =
Рис. 14.5. Встречное столкновение кинка и антикинка
координат (рис. 14.5 б). Кинк и антикинк в процессе взаимодей-
взаимодействия смещаются навстречу друг другу и можно говорить о их
взаимном ускорении. Полная энергия системы, как и в преды-
предыдущем случае, равна удвоенной энергии кинка.
Динамика кинков как частиц. Используя схему, изложен™
ную в предыдущем разделе, решение A4.28) можно записать
в виде суперпозиции кинка и антикинка, движущихся с пере-
переменными скоростями. При этом динамическая переменная s(t)
должна удовлетворять следующему условию:
A4.29)
358
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ
ГЛ. 14
Нетрудно показать, что взаимодействие кинка и антикинка эк™
вивалентно движению частицы в поле с притягивающим потен-
потенциалом
\dtj
A4.30)
Зависимость скорости частиц от расстояния между ними по™
казана на рис. 14.6 а. Пространственно-временные траектории
S
——
S
-з
Расстояние
а
v ° 3
Координата
Скорость
Рис. 14.6. Зависимость скорости кинка и антикинка от расстояния меж-
между ними (а); пространственно-временные траектории частиц (б); фазовый
сдвиг (Аж) как функция скорости (в). Сплошные линии — точное решение,
штриховые линии — приближенное решение
парв! кинк^антикинк описываются выражением
s(t) =
^F^1 shGFt)
A4.31)
14.5
БРИЗЕР
359
и в асимптотиках стремятся к прямым (рис. 14.6 б)
s(t -> ±оо) = ±\/\-V2lnV^1 ± Vt.
Отсюда следует, что сдвиги фаз кинка и антикинка точно такие
же, как и при столкновении кинков (рис. 14.6 в).
14.5. Брмзер
При А ^ 0, п = 0 и fc2 < 1 решение задачи может быть
получено из A4.28) заменой параметра V на мнимую величину
iV = iy/l - к2/к:
U[X. I) =
[ п chkx j *
A4.32)
Оно описывает локализованное в пространстве и осциллиру-
осциллирующее во времени возмущение, которое называют бризером
(рис. 14.7). Величина П = Vjл/l + V2 есть частота осцилляции
Рис. 14.7. Бризер — связанное состояние кинка и антикинка
бризера во времени, а параметр к = A + F2)™1//2 характеризует
его пространственную локализацию. Бризер можно интерпре-
интерпретировать как связанное состояние двух кинков разных знаков.
Кинки колеблются относительно общего центра с частотой 0 <
<О^1и амплитудой Ах « | lnF|.
360
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ
ГЛ. 14
Внешне бризер выглядит как стоячая волна, достигающая
максимума в моменты времени Ш=Bп + 1)тг/2 (п = 0, ±1,
±2,...). Другое свойство бризера заключается в том, что он,
так же как и кинки, ведет себя подобно частице. «Фазовый пор-
портрет» бризера и его основные пространственно-временные ха-
характеристики представленв! на рис. 14.8 а-в. Энергия бризера
-1,5.
Расстояние
Координата
0,5
Скорость
Рис. 14.8. Зависимость скоростей кинка и антикинка в бризере от рассто™
яния между ними (а); ПВ-траектории (б); зависимость ширины бризера
от его энергии (скорости частиц) (в). Сплошные линии — точное решение,
штриховые линии — приближенное решение
как и прежде равна W = 16&, но теперь к = 1/л/1 + V2 < 1 и,
следовательно, его энергия меньше, чем энергия пары кинков,
у которых к = 1/л/1 — V2 > 1 (рис. 14.9). При уменьшении ча-
частоты О размах колебаний кинков логарифмически возрастает и
при ft —>• 0 бризер разваливается на свободные кинк и антикинк.
Бризер как частица. По аналогии с рассмотренными выше
случаями точное решение A4.32), описывающее бризер, можно
представить в виде суперпозиции бегущих волн. При этом ди-
динамическая переменная s(i) будет удовлетворять закону сохра-
14.5
БРИЗЕР
361
нения энергии:
(ds\2 1 + V2
\dt) ch27i
A4.33)
где введено обозначение 71 = л/1 + У2- Движение кинка относи-
относительно начала координат описывается выражением
x In l-V'1 sm(Vt/y/l + V2) + 1/1 + V^2 sin2(Vt/\fl + V2) 1 .
A4.34)
Они совершают периодические движения частиц около непо-
неподвижного центра масс (рис. 14.8 а, б). Ширина бризера Аж на™
Рис. 14.9. Зависимость энергии частицеподобных волн от па™
раметра к (а), и скорости (б). Бризер A), пара кинк-кинк (#).
(Wo = 16 — энергия покоящегося кинка)
ходится из A4.33) при условии, что в точке поворота скорость
частицы равна нулю:
Ах =
= 2 In
A4.35)
Ее зависимость от скорости показана на рис. 14.8 в.
Вырождение брмзера в солитон огибающей. При ма-
малых энергиях W <C Wq = 16, когда частота осцилляции П —)> 1,
бризер превращается в широкий волновой пакет. В этом случае
362 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
выражение A4.32) молено разложить по степеням малого пара™
метра е2 = 1 — П2. Если ограничиться только первым членом
разложения, то A4.32) примет следующий вид:
и(х11) ~ 2ie ch^1 кх ехр гA — е2/2)t + к.с. = А{х11) exp it + к.с,
A4.36)
где A(x,t) = 2ieexp {—ie2/2) di^1 kx — медленно меняющаяся
комплексная амплитуда. Подставим A4.36) в уравнение синус-
Гордона и пренебрежем второй производной d2A/dt2J так как
она является малой величиной порядка б4. В результате полу™
чим, что A(xjt) удовлетворяет нелинейному уравнению Шре-
дингера
ЪдА д"А 1\А\2А-0
Следовательно, при малых энергиях бризер вырождается в
квазигармонический волновой пакет. Волны такого типа подроб-
подробно рассматривались в одиннадцатой главе.
14.6. Приближенное описание взаимодействия кинков
Выше было показано, что точные решения, описывающие
взаимодействие кинков, могут быть представлены в виде супер™
позиции двух волн, бегущих с переменными скоростями. Это
наводит на мысль о приближенном описании взаимодействия
пары кинков с помощью выражения
и(х, t) = 4 arctg \ ± ехр -—т-^ \\ ± 4 arctg \ ± ехр —
I L Ai J J I L
A4.37)
Здесь Si(t) — новые переменные, имеющие смысл расстояний
каждой из волн до общего центра масс, Aj = */1 — V2 — харак-
характерная ширина волны, a Fj — скорости невзаимодействующих
волн. При этих предположениях кинки и антикинки представля-
представляют собой частицы, движущиеся с переменной скоростью Vj(t) =
= dsj/dt. Для построения приближенной теории нелинейного
взаимодействия таких волн-частиц будем предполагать выпол-
выполненными условия малости их относительных скоростей.
Чтобы иметь возможность сопоставления результатов при-
приближенного анализа с точными решениями и в то же время
14.6 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КИНКОВ 363
не усложнять задачу, ограничимся исследованием взаимодей-
взаимодействия одинаковых кийков, движущихся навстречу друг другу.
При таком симметричном взаимодействии имеется лишь одна
независимая переменная s(t) = s\(t) = —S2(t), которая равна
расстоянию частицы от начала системы координат, связанной
с неподвижным центром масс системы. Условие применимости
приближенного описания, развитого в пп. 13.4 и 13.5., в данном
случае сводится к требованию малости абсолютных значений
скоростей волн. Динамическое уравнение для переменной s(t)
получается из A3.42) и A3.45) после подстановки в них выра-
выражений A4.37):
^ = KeW(-2s). A4.38)
Здесь К — константа взаимодействия, причем К = +4 для пары
кинк-кинк иК=-4 для пары кинк-антикинк.
Уравнение A4.38) имеет интеграл движения, который можно
интерпретировать как закон сохранения энергии:
A439)
В качестве начальной энергии выберем величину Е =
равную кинетической энергии свободной частицы, когда взаимо-
взаимодействие отсутствует. Методом разделения переменных решение
уравнения A4.39) сводится к вычислению интеграла
s
[ ds = = ±V2(t -t0). A4.40)
so
Здесь to — постоянная интегрирования, определяющая началь-
начальный момент движения частиц, S® — начальная координата ча-
частицы.
Взаимодействие двух кийков. В этом случае К = 4 и
потенциал U = -Кещ)(^2з) является отталкивающим. Дви-
z,
жущиеся навстречу друг другу кинки сближаются до некото-
некоторого минимального расстояния, а затем начинают разбегаться
(рис. 14.4). Введем новую переменную:
364 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
где 5min — расстояние от начала координат до точки поворота
частицы,
^ 1. A4.41)
Тогда A4.40) сведется к
- t0) {\z\ > 1, *o = 1)-
Вычисляя его и возвращаясь к старым переменным snt, нахо-
находим пространственно-временные траектории частиц:
s(t) = smin + In {ch [V(т - го)]} , A4.42)
которые представляют собой гиперболы с асимптотами
s(t -> ±оо) = (smin - In2) ± Vt.
После столкновения кинк получает положительное приращение
координат
Ах = 2(smin - 1п2) = lnF^2.
Его величина совпадает с точным значением при F С 1
(рис. 14.4 в). Сравнение точного A4.25) и приближенного A4.42)
решений показывает, что приближенное выражение правильно
описывает движение кинков при всех значениях времени, если
F«1h smin > 1 (рис. 14.4б).
Взаимодействие кинка с антикинком. При взаимодей™
ствии разнополярных кинков константа взаимодействия К = — 4
и потенциал U(s) является притягивающим. Здесь возможны
два качественно различных случая движения частицы в зависи-
зависимости от величины ее начальной энергии Е. Пусть Е > 0, тогда
уравнение A4.40) после замены переменной z = exp [2(s — so)]
(«so = A/2) Ы(\К\/Е) = ln2F^x) сводится к вычислению инте-
интеграла
2E(t-t0).
14.7 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КИНКОВ 365
Полагая, что в момент t = 0 происходит полное перекрытие кип™
ков, находим:
f{|}, *<0,
s(t) = \ A4.43)
где sh Ft* = V/2. Отсюда следует, что частицы совершают
неограниченные движения (^оо < s < оо), а приближенное вы™
ражение A4.43) хорошо согласуется с точным решением A4.31),
когда V <С 1 (рис. 14.6 б).
При t —>• 0 (момент перекрытия кинков) приближенное ре-
решение имеет особенность (см. рис. 14.6 а), связанную с прибли-
приближенным учетом взаимодействия кинков. После взаимодействия
разнополярные кинки получают сдвиги Ах = lnV из-за вза-
взаимного ускорения (рис. 14.6 в).
Бризер. При Е < 0 частица совершает осциллирующее дви-
движение внутри потенциальной ямы. После замены переменной
z = exp (smax — 5), где smax = \n2V~1 — амплитуда колебаний
частиц около центра масс, уравнение A4.40) сводится к вычис-
вычислению интеграла
A4.44)
Из него находим, что участок траектории частиц с s > 0 описы-
описывается выражением
s(t) = w + In \sinV(t - t*)|, 0 < t < *~*Vt\ A4.45)
где t* = V^1 arcs!n(F/2). Сопоставляя A4.45) с точным решени-
решением A4.34), видим, что приближенное решение правильно опи-
описывает движение частиц при достаточно больших расстояниях
между ними (рис. 14.8 6). Частота осцилляции бризера О ~ V
и его ширина Ах = 2smax = hi4F~2 совпадают с соответствую-
соответствующими точными выражениями при V <С 1 (рис. 14.8 в).
366 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ ГЛ. 14
14.7. Исторические замечания и комментарии
Уравнение смнус^Гордона. Многие из нелинейных эф™
фектов, встречающихся в разных областях естествознания и
обозначаемых разными терминами, с точки зрения теории нели-
нелинейных волн оказываются тождественными и описываются од™
ной и той же математической моделью. Одним из ярких при™
меров такой универсальности служит уравнение синус^Гордо™
на (СГ) [14.2, 14.31.
Впервые это уравнение появилось вовсе не в волновых зада™
чах, а при изучении геометрии поверхностей с отрицательной
гауссовой кривизной и записывалось в виде д^ср/д^дг] = sirup,
где ? = (x — t)/2 и 7] = (x + t)/2. Для этого уравнения А. Бэклунд
в 1875 г. предложил метод, впоследствии названный его име™
нем, с помощью которого можно строить последовательность
(иерархию) точных решений, отталкиваясь от простейших ре™
шений. Однако в те времена этот результат не был востребован
и в течение долгих лет оставался лишь математическим «укра™
шением» теории нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных.
Физические приложения уравнения СГ. Для физи-
физических приложений уравнение синус^Гордона было открыто
Я.Ф. Френкелем и Т.М. Конторовой в 1937 г. Они пришли к это™
му уравнению при изучении динамики дислокаций в кристаллах
и нашли его односолитонное решение, которое описывало рав™
номерное движение дислокации в одномерном кристалле [14.2,
И.З]. Одиннадцать лет спустя в 1948 году В. Доринг применил
уравнение синус^Гордона для описания движения стенок Блоха
в теории ферромагнетизма. Затем в 1962 г. это уравнение рас™
смотрели Дж. Перринг и Т.С. Скирм в связи с исследованиями в
теории элементарных частиц. Они, отталкиваясь от результатов
численного анализа, впервые получили явное решение уравне™
ния СГ для двух взаимодействующих волн: кинка и антикинка.
В 1966 г. это уравнение появилось в работе И.Т. Кулика при
исследовании распространения волн в тунельном переходе Джо™
зефсона. Немного позже, в 1971 г. Г. Лэмб установил, что урав™
нение СГ описывает распространение ультракоротких лазерных
импульсов в двухуровневой среде [14.2, 14.6].
Рассмотренная в п. 9.5 механическая модель была описана
А. Скоттом в 1969 г. С ее помощью были продемонстрированы
многие нелинейные волновые процессы, описываемые различ™
14.8 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 367
ными решениями уравнения СГ. Впервые название уравнение
«синус^Гордона» появилось в работе И. Рубинстайна в 1970 г.
Взаимодействие кийков. Исследование взаимодействий
солитонов, описываемых уравнением синус^Гордона, имеет весь™
ма поучительную историю, характерную для многих научных
открытий [14.4, 14.7].
В 1936 г. немецкий математик Р. Штайервальд, исследуя
свойства криволинейных поверхностей, нашел ряд решений
уравнения СГ, которые в современной терминологии соответ-
соответствуют одиночному солитону (кинку), двум взаимодействую™
щим кийкам разных полярностей и бризеру. Но так как эти ре™
шения описывали псевдосферические поверхности, то они дол-
долгое время были известны лишь немногим специалистам по гео-
метрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о со-
литонах [И. 13].
Частицеподобные свойства взаимодействующих волн, описы-
ваемых уравнением СГ, впервые были описаны Дж. Перрингом
и Т. Скирмом в 1962 г. Они численно исследовали встречное
столкновение уединенных волн и наблюдали идеальное восста-
восстановление формы и скоростей волн после взаимодействия. Самое
удивительное в их исследовании то, что они угадали вид анали-
аналитического выражения tg(u/4) = Vsh(j^1x)/ch(j^1VtI описы-
описывающего взаимодействие двух волн, а позже установили, что это
точное решение. Было ясно, что решения уравнения СГ облада-
обладают весьма специфическими свойствами, но Перринг и Скирм не
стали развивать далее свои исследования в этом направлении и
открытие свойств солитонов как частиц задержалось до появле-
появления работы Н. Забуски и М. Крускала в 1965 г.
Использование преобразования Бэклунда для получения
высших решений уравнения СГ (теперь их называют многосо-
литонными) началось в 1953 г. с работы А. Зигера, Н. Донха,
А. Кохиндорфера. В 1971 г. Дж. Лэм сумел разработать на осно-
основе преобразования Бэклунда метод построения иерархии много-
солитонных решений уравнения синус^Гордона [14.6].
14.8. Задачи и упражнения
14.1. Найдите аналитические уравнения A4.1), описывающие
локализованные стационарные волны при V > 1.
368
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ
ГЛ. 14
14.2. Покажите, что при U(x,t) = X(x)T(t) в уравнении A4.10)
переменные разделяются и для T(t) и Х(х) также получа-
получаются уравнения вида A4.13).
14.3. Используя соотношения A4.26), A4.30) и A4.33), выведи™
те уравнения ньютоновского типа, описывающие движе-
движения частиц в силовом поле, которые моделируют взаимо™
действия кинков как частиц.
Ответ. Уравнение, описывающее взаимодействие двух
кинков, имеет вид
Взаимодействие кинк-антикинк описывается уравнением
d S
Динамика бризера описывается уравнением
d s
14.4. Покаж:ите, что минимальное расстояние мезсду сталкива-
сталкивающимися кинками описывается выражением A4.35).
14.5. Найдите аналитическое выражение, описывающее зави™
симость сдвига фаз Ах взаимодействующих кинков от их
начальной скорости V.
14.6. Покажите, что энергия бризера равна W = 16/л/1 + V2.
14.7. Найдите решение уравнения СГ, описывающее бегущий
бризер.
Указание. Используйте решение A4.32) и условие инвари™
антности уравнения синус-Гордона относительно преобра-
преобразований Лоренца
ПРИЛОЖЕНИЕ
Эллиптические интегралы и функции
Для облегчения чтения книги ниже приводится сводка элемен-
элементарных свойств эллиптических интегралов и эллиптических
функций.
I. Эллиптические интегралы
Эллиптический интеграл первого рода определяется как
sin ip
F(tp,s) = [-= ёф f
V ; J у/1-з28ш2ф J
у/ф
0 0
Эллиптический интеграл второго рода определяется как
р ^
E(ip, s) = /\/l-s2 sin2 фйф= f Vl~ s2f dt. (П2)
о
Здесь 0 ^ 5 ^ 1 модуль эллиптических интегралов. Замена пе-
переменной t = simp осуществляет перевод эллиптических инте-
интегралов (П.1) и (П.2) из тригонометрической формы в алгебраи-
алгебраическую и обратно.
Полные эллиптические интегралы (рис. П.1)
тг/2
у/1 -
О
тг/2
Е(а) = Е U> = |, а) = J ^Jl-s2 sin2 ^df. (П4)
370
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для малых значений модуля s (s< 1), интегралы K(s) и E(s)
имеют следующие асимптотические значения
K(s) - f (l + I
, B(s) . | (l - I
(П5)
Для больших значений модуля s (V = y/l ~~ s2 <C 1 где sf —
дополнительный модуль),
(П6)
——¦—
S2
0,5
Рис. П1. Зависимость полных эллиптических интегралов от параметра
II. Эллиптические функци
Эллиптические функции Якоби sn(v,s) (амплитуда синуса),
сп (г?, s) (амплитуда косинуса), и dii (г;, s) (дельта-амплитуда) па-
параметра v и модуля s представлены преобразованием соответ-
соответствующих интегралов первого рода:
v =
dt
en г
-/
dnv
dt
-I
dt
¦ (П7)
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
371
Они являются однозначными аналитическими функциями пере™
менной v, за исключением их полюсов, и однозначными функ-
функциями модуля 5, определенного в интервале 0 ^ s ^ 1. Функции
1
-1
Рис. П2. Эллиптический синус при s2 = 0,0 A),
0,8 B), 0,99 E), 0,9999 Ц)
сп (г;) и dn('y) являются четными (см. рис. П.З-П.4), а функция
sn(t;) (рис. П.2)— нечетная функция переменной v:
(^v) = dn
(—v) = -snv.
Для простоты системы обозначений модуль s обычно опуска-
опускается.
mv /7ft
K(s)
1
УМ
-1
о
1
K(s)
Рис. ПЗ. Эллиптический косинус рис. Д4. Дельта™амплитуда Якоби
при s2 = 0,0 (i), 0,8 B), 0,99 (8O при s2 = 0 (i), 0,6 B), 0,8 E),
0,9999 D) 0,99 Ц), 0,9999 E)
372 ПРИЛОЖЕНИЕ
Периоды эллиптических функций:
sn (v + 4К) = -sn (v + 2К) = snv,
en (v + 4К) = -en (г; + 2К) = en v, (П8)
dn(i;
Функциональные соотношения:
dn\ + 52sn2v = 1, (П9)
, 9 9 9 /
dn г; — sen v = s .
Производные:
dsnv
dv
denv
dv
= cnudni;,
= -snvdnt;, (П10)
ddnt; 2
— = ^5
Некоторые формулы интегрирования:
I cn2v dv = s 2[v — E((p, s)]j
0
v
f cn2vdv=s~2[E((p, s)—s/2v], (П11)
dn2vdv =
о
v
Л
о
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 373
Дифференциальные уравнения для эллиптических функций:
0 + A + s2)S - 2s2S3 = О, (П12)
^ + A - 2s2)C + 2s2C3 = О, (П13)
^ + (s2 - 2)D - 2D3 = О, (П14)
dv2 х 7 х 7
где используется следующая система обозначений: S = snv^ С =
= сп-у, and D = dnv.
Дзета-функция Якоби:
Z(v, s) = I an (w, s) аи — ^~^v = ^(V9? s) ~ f\v- (П15)
0
Это периодическая функция с периодом 2K(s).
III. Асимптотические разложения
При 5<1, эллиптические функции выражаются через тригоно™
метрические:
sn v ^ sin v — — [v — - sin v ) cos v, (П16)
4 \ 2 / ч 7
cnv ~ cos v + — lv — - sin v 1 sin г?, (П17)
4 \ zi /
2
dnv ^ 1 - — sin v. (IIIoj
При s1 = >/l — s2 <C 1 эллиптические функции выражаются
через гиперболические функции:
~ thv — — (v — shvchv) ch г?, (П19)
1^ — ^-{v — chv chv) thv ch^1 v, (П20)
dnv 2^ ch~ v — —(v + shv ch г?) thv ch™ v. (П21)
374
ПРИЛОЖЕНИЕ
IV. Разложение в ряды Фурье:
silt; =
2тг
2тг
п=1
oo
2тг
1С
(П22)
(П23)
(П24)
(П25)
n=l
Где q = exp(-7rK'/K) и К = K(s').
V. Средние значения функций:
(П26)
(П27)
(П28)
Более детальная информация об эллиптических функциях со-
содержится в следующих источниках:
1. Градштейн И. С, Рыжик Н.М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.
2. Янке Е., Эмде Ф., Лем Ф. Специальные функции. М.:
Наука, 1977.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
По всему спектру вопросов, обсуждаемых в этой книге, в
настоящее время еще отсутствуют обобщающие монографии и
учебные пособия. Перечень книг и обзоров, посвященных от™
дельным вопросам теории волн и ее приложений в различных
областях науки, включает сотни наименований. Приводить его
здесь в полном виде не представляется ни возможным, ни целе-
целесообразным. В каждой главе мы ограничились указанием книг
и обзоров, наиболее полно отражающих современное состояние
рассматриваемых в ней вопросов. В список включен ряд пионер-
пионерских работ, с которых начиналось развитие отдельных направ-
направлений теории волн, имеющих отношение к рассматриваемым в
книге вопросам, а также работ, которые по мнению авторов ока-
оказали заметное влияние на развитие физических и математиче-
математических представлений теории модулированных волн.
К главе 1
1.1. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперс-
дисперсных системах / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.
1.2. Виноградова М.Вп Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория
волн. 2-е изд. М.: Наука, 1990.
1.3. Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959.
1.4. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.
1.5. Левин М.Л. Как свет побеждает тьму: У.Р. Гамильтон
и понятие групповой скорости // УФН. 1978. Т. 125.
С. 565^567.
1.6. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.:
Наука. 1972.
1.7. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относитель-
относительности и квантовой механике. М.: Наука. 1972.
376 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.8. Пирс Дою. Почти все о волнах. М.: Мир, 1983.
1.9. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию коле-
колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
1.10. Рэлей Теория звука: в 2-х т. / Пер. с англ. под ред.
СМ. Рытова. М.: Физматлит, 1956.
1.11. Рытое СМ. Некоторые теоремв! о групповой скорости
электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1947. Т. 17, № 10.
С. 1930.
1.12. У из ем Дою. Линейные и нелинейные волнв! /Пер. с англ.
под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1977.
К главе 2
2.1. Акустика в задачах / Под ред. С.Н. Гурбатова и О.В. Ру-
денко. М.: Наука. Физматлит, 1996.
2.2. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д.
Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука,
1979.
2.3. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику
сплошных сред (в приложении к теории волн). М.: Нау-
Наука, 1982.
2.4. Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем
/ Под ред. В.В.Болотина. М.: Машиностроение, 1978.
2.5. Виноградова М.В., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория
волн. 2™е изд. М.: Наука, 1990.
2.6. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. 2-е изд. Наука, 1967.
2.7. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории ко-
колебаний стержней пластин и оболочек // М.: ВИНИТИ.
Итоги науки и техники. 1973. Т. 5.
2.8. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.
2.9. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука,
1988.
2.10. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую
акустику. М.: Наука, 1985.
2.11. Ланда П. С. Линейные и нелинейные волны. М.: Наука,
1999.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 377
2.12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
сред. 2-е изд. М.: Наука, 1982.
2.13. Накоряков В.Б., Покусаев Г., Шрейбер И. Р. Волновая ди™
намика газо™ и парожидкостных сред. М.: Энергоиздат,
1990.
2.14. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волно-
волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.
2.15. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 2. М.:
Наука, 1988.
2.16. Рэлей Теория звука: в 2-х т / Пер. с англ. под ред.
СМ. Рытова. М.: Физматлит, 1956.
2.17. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений в жидкости.
М.: Наука, 1977.
2.18. Хаус X. Волнв! и поля в оптоэлектронике /Пер. с англ.
М.: Мир, 1988.
2.19. Ле Блон /7., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. М.: Мир,
1981.
2.20. Лайтхилл Дэю. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.
2.21. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гид-
рометеоиздат, 1980.
К главе 3
3.1. Андреев Н.Н. О некоторвгх величинах второго порядка
в акустике. // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 5.
С. 684-689.
3.2. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся сре-
среды. 2-е изд. Наука, 1981.
3.3. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. Гл. 12
(О тензоре энергии-импульса и силах в макроскопической
электродинамике.). М.: Наука, 1975. С. 258-269.
3.4. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. 2-е изд. М.: Наука, 1967.
3.5. Денисов ГГ. К вопросу об импульсе волны, радиационном
давлении и других величинах в случае плоских движений
идеального газа // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3. С. 390-402.
378 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3.6. Зарембо Л.К., Красильников В. А. Введение в нелинейную
акустику. М.: Наука, 1966.
3.7. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука,
1988.
3.8. Кадомцев Б.Бп Михайловский А.Б., Тимофеев А.В. Вол-
Волны с отрицательной энергией в диспергирующих средах //
ЖЭТФ. 1964. Т. 47, вып. 6. С. 2266-2268.
3.9. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относи™
тьельности и квантовой механике. М.: Наука. 1972.
3.10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 3-е изд. М.:
Наука, 1986.
3.11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 7-е изд. М.: На-
Наука, 1989.
3.12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
сред. 2-е изд. М.: Наука, 1982.
3.13. Ле Блон П., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. М.: Мир,
1981.
3.14. Летохов СВ., Миногин В.Г. Нелинейные движения ато-
атомов в световом поле // Нелинейные волны. Распростране-
Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. С. 96—103.
3.15. Мак-Интайр М.Е. Миф о «волновом импульсе» // Совре-
Современная гидроднамика. Успехи и проблемы. М.: Мир. 1984.
С. 454-476.
3.16. Незлин М.В. Волны с отрицательной энергией и аномаль-
аномальный эффект Доплера // УФН. 1976. Т. 120, вып. 4. С. 481.
3.17. Островский Л.Ап Рыбак С.Ап Цимринг Л.Ш. Волны от-
отрицательной энергии в механике жидкости // УФН. 1986.
Т. 50, вып. 3. С. 417-437.
3.18. Павлов В. И. К дискуссиям по проблеме пондеромоторных
сил // УФН. 1978. Т. 124, вып. 2. С. 345-349.
3.19. Рабинович М.Ип Трубецков Д.И. Введение в теорию ко-
колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
3.20. Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн
в сдвиговых потоках. М.: Физматлит, 1996. С. 83-123.
3.21. Умов Н.А. Уравнения движения энергии в твердых телах:
Избр. соч. M.-JL: Гостехиздат, 1950. С. 151-200.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 379
3.22. Benjamin Т.В. The threefold classification of unstable
disturbances In flexible suffices bounding Invlscld flows. Pt.3.
//J. Fluid Mech. 1963. V. 16. P. 436-450.
3.23. Nelson D.F. Resolution of the problem of Minkowski and
Abragam // Mechanical Modelling of New Electromagnetic
Materials/Ed. R.K.H. Hsleh. Elsevier. Amsterdam. 1990.
P. 171-177.
3.24. Poynting J. H. Radiation pressure // Proc. Phys. Soc. of
London. 1905. V. 19.
3.25. Rayleigh, Lord Strutt J. W. On the pressure of vibrations //
Phil. Mag. 1902. V. 3, № 15. P. 338-546.
3.26. Sturrock P.A. In what sence do slow waves carry negative
energy // J.Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 2052-2056.
К главе 4
4.1. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики
сплошной среды. М.: Наука, 1983.
4.2. Вариационные принципы механики /Под. ред. Л.С. Полак.
М.: Физматгиз. 1959.
4.3. Гелъфанд И.М., Фомин СВ. Вариационное исчисление. М.:
Физматгиз. 1961.
4.4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 7-е изд. М.: Нау-
Наука, 1989.
4.5. Лисин В.Б., Потапов А.И. Вариационный метод вывода
уравнений нелинейной механики жидких кристаллов //
ПММ. 1999. Т. 63, № 2. С. 340^346.
4.6. Островский Л.Ап Пелиновский Е.Н. Метод усреднения и
обобщенный вариационный принцип для несинусоидаль™
ных волн // ПММ. 1972. Т. 36. № 1. С. 71^78.
4.7. Островский Л.А., Рыбак С.А., Щимриш Л.Ш. Волны отри™
цательной энергии в гидродинамике // УФН. 1986. Т. 50.
Вып. 3. С. 417-437.
4.8. У из ем Дою. Линейные и нелинейные волнв! / Пер. с англ.
под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1977.
4.9. Селидэюер Р.Л., Уизем Дэю. Б. Вариационные принципы в
механике сплошной среды // Сб. пер. Механика. М.: Мир.
1969. W 5. С. 99-123.
380 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4.10. Шмутцер Э. Основные принципы классической механики
и классической теории поля. М.: Мир, 1976.
4.11. Bretherton F.P., Garrett C.J.R. Wavetrains in Inhomoge™
neous moving media // Proc.Roy.Soc. London. 1968. V.A302.
P. 529-554.
К главе 5
5.1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточ-
промежуточная асимптотика. 2-е изд. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.
5.2. Бреховскчх Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.:
Наука, 1973.
5.3. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперс-
дисперсных системах / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.
5.4. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях ма-
математической физики. М.: Из-во МГУ, 1982.
5.5. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // УФН.
1976. Т. 118, вып. 2. С. 339-367.
5.6. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории
колебаний и волн. М.: Наука, 1983.
5.7. Вакман Д.Е. Эволюция параметров импульса при распро-
распространении с дисперсией и затуханием // Радиотехника и
электроника. 1986. Вып. 3. С. 531-536.
5.8. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения за-
задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ,
1997.
5.9. Лайтхилл Дэю. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.
5.10. Заславский P.M., Мейлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимо-
Взаимодействие волн в неоднородных средах. Новосибирск: Нау-
Наука, 1982.
5.11. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические ые-
тоды. М.: МГУ, 1965.
5.12. Найфе А. Методы возмущений / Пер. с англ. под. ред.
Ф.Л. Черноусько. М.: Мир, 1976.
5.13. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.
М.: Наука, 1988.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 381
5.14. Тау С. А. Линейные волны в средах с дисперсией // Не ли™
нейные волны /Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. М.:
Мир, 1977. С. 54-90.
5.15. У из ем Дэю. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир,
1978.
5.16. Хеддинг Дэю. Введение в метод фазовых интегралов. Ме-
Метод ВКБ. М.: Мир, 1985.
5.17. Ястребов В.П. Автомодельные задачи о распространении
продольных волн в нелинейных средах // ПМТФ. 1985.
№ 4. С. 118-128.
К главам 6 и 7
6.1. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространст-
Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные
волны. Л.: Из-во ЛГУ, 1985.
6.2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.:
Наука, 1973.
6.3. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // УФН.
1976. Т. 118, вып. 2. С. 339^367.
6.4. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неод-
неоднородных сред. М.: Наука, 1980.
6.5. Кравцов Ю.А., Островский Л.А., Степанов Н.С. Геомет-
Геометрическая оптика неоднородных и нестационарных сред //
ТИИЭР. 1974. Т. 62, № 11. С. 91.
6.6. Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о рас-
распространении электромагнитных волн // Изв. АН СССР.
Сер. Физич. 1944. Т. 8. Вып. 1. С. 16.
6.7. Леонтович М.А., Фок В.А. Решение задачи о распростра-
распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по
методу параболического уравнения // ЖЭТФ. 1946. Т. 16.
С. 557.
6.8. Островский Л.А. Дисперсионное сжатие частотно-моду-
частотно-модулированных волн в неоднородной плазме // Изв. ВУЗов.
Радиофизика. 1969. Т. 12. С. 1333^1338.
6.9. Островский Л.Ап Потапов А.И. Модулированные волны
в линейных средах с дисперсией. Горький: Из-во Горьков-
ского ун-та, 1988.
382 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6.10. Островский Л.Ап Рабинович М.И. Нелинейные и неста-
ционарные волны. Рязань: Из-во РТИ, 1975.
6.11. Рытое СМ. Модулированные колебания и волны // Тру™
ды ФИАН СССР. 1940. Т. 11, вып. 1. С. 43-133.
6.12. Рытое СМ. О переходе от волновой к геометрической
оптике // ДАН СССР. 1938. Т. 18, № 2. С. 263.
К главе 8
8.1. Аверков СИ., Болдин В.П. Волны в нестационарных неод-
неоднородных средах без дисперсии // Изв. ВУЗов. Радиофи-
Радиофизика. 1980. Т. 23, № 9. С. 1060-1066.
8.2. А верков СИ., Островский Л. А. Распространение коле-
колебаний в системах с переменными параметрами // Изв.
ВУЗов. Радиофизика. 1958. Т. 1, № 4. С. 46-51.
8.3. Аверков СИп Степанов Р.С Распространение волн в си-
системах с бегущими параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофи™
зика. 1959. Т. 2, № 2. С. 203-212.
8.4. Аверков СИ., Хронопуло Ю.Г. Электромагнитные волны
в диспергирующих средах с переменными параметрами //
Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 5. С. 818-825.
8.5. Басович А.Яп Таланов В.И. Адиабатическое взаимодей-
взаимодействие волн // Нелинейные волны. Распространение и вза-
взаимодействие. М.: Наука, 1981. С. 147-166.
8.6. Кравцов Ю.Ап Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неод-
неоднородных сред. М.: Наука, 1980.
8.7. Кравцов Ю.А., Островский Л.А., Степанов И.С Геомет-
Геометрическая оптика неоднородных и нестационарных сред //
ТИИЭР. 1974. Т. 62, № 11. С. 91-112.
8.8. Островский Л.А. О приближении геометрической оптики
для волн в линиях передачи с переменными параметрами
// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1961. Т. 4. С. 293-305.
8.9. Островский Л.А., Степанов И. С Нерезонансные парамет-
параметрические явления в распределенных системах // Изв. ВУ-
ВУЗов. Радиофизика. 1971. Т. 14. С. 489-529.
8.10. Степанов Н.С Распространение волн в недиспергирую-
щих системах с переменными параметрами // Изв. ВУЗов.
Радиофизика. Т. 3. 1960. С. 672-682.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 383
8.11. Armstrong J.A. and Shir en N.S. Theory of phase and
amplitude bunching In travelling wave Interactions // IEEE,
J. Quant. Electron. 1973. V. 9, 1, Part I. P. 17-23.
8.12. Landauer R. Parametric amplification along nonlinear
transmission lines // J. Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 479-484.
8.13. Morgenthaler F.R. Velocity modulation of electromagnetic
waves // IRE Trans. Microwave Theory Tech., 1958. MTT-
6. P. 167^172.
8.14. Ostrovsky L.A., Potapov A.I. Modulated waves. Theory
and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore-
London. 1999.
8.15. Tien P.K. and Suhl H.A. Travelling wave ferromagnetic
amplifier // Proc. IRE. 1958. V. 46. P. 700-706.
К главе 9
Более полную информацию о математических моделях, опи-
описывающих нелинейные волновые процессы в системах различ-
различной природы можно найти в работах:
9.1. Агравал Г. Нелинейная волновая оптика /Пер. с англ. под
ред. П.В.Малышева. М.: Мир, 1996.
9.2. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики
(электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих
средах). М.: Наука, 1964.
9.3. Багдоев А.Г. Распространение волн в сплошных средах.
Ереван: Из-во АН АрМ ССР, 1981.
9.4. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику
сплошных сред в приложении к теории волн. М.: Наука,
1982.
9.5. Вломберген М. Нелинейная оптика. М.:Мир, 1966.
9.6. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную
акустику. М.: Наука, 1966.
9.7. Кулаков А.В., Румянцев А.А. Введение в физику нелиней-
нелинейных процессов. М.: Наука, 1988.
9.8. Львов B.C. Нелинейные спиновые волны. М.: Наука, 1987.
9.9. Наугольных К.Ап Островский Л.А. Нелинейные волновые
процессы в акустике. М.: Наука, 1990.
384 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
9.10. Лейбович G., Сибасс А. Р. Примеры диссипативных и дис-
пергирующих систем, описываемых уравнениями Бюргер-
са и Кортевега-де-Вриза // Нелинейные волны. М.: Мир,
1977. С.117-150.
9.11. Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие //
Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1981.
9.12. Островский Л. А., Су тин A.M. Нелинейные упругие вол-
волны в стержне // ПММ. 1977. Т. 41, № 3. С. 531-537.
9.13. Пору бое А. В., Самсонов A.M. Уточнение модели рас-
распространения продольных волн деформации в нелинейно-
упругом стержне // Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19, Вып. 12.
С. 26-29.
9.14. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стерж-
стержнях и пластинах. Горький: Изд-во ГГУ. 1985.
9.15. Руденко О.Вп Солу ян СИ. Теоретические основы нели-
нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
9.16. Селезов И.Т., Корсунский СВ. Нестационарные и нели-
нелинейные волны в электропроводящих средах. Киев: Наукова
думка, 1991.
9.17. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в при™
ложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977.
К главе 10
10.1. Акустика в задачах / Под ред. С.Н. Гурбатова и О.В.
Руденко.- М.: Наука. Физматлит, 1996.
10.2. Рабов С А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-
во МГУ, 1988.
10.3. Районов А.В., Островский Л.А., Фрейдман Г.И. Удар-
Ударные электромагнитные волны // Изв. ВУЗов. Радиофизи-
Радиофизика. 1967. Т. 10, № 9-10. С. 1376-1413.
10.4. Додд Р., Эйлбек Дж.^ Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны
и нелинейные волновые уравнения / Пер. с англ. под ред.
А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.
10.5. Зельдович Я.Бп Райзер Ю.П. Физика ударных волн и вы-
высокотемпературных гидродинамичеких явлений. М.: Нау-
Наука, 1966.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 385
10.6. Капель Г.И., Разоренков СВ., Уткин А.Вп Фортов В.Е.
Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.:
Янус-К, 1996.
10.7. Куликовский А.Г., Свешникова ЕЖ. Нелинейные волны в
упругих средах. М.: Московский лицей, 1998.
10.8. Накоряков В.Б., Покусаев Б.ГП Шрейбер И.Р. Волновая
динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоиздат,
1990.
10.9. Нелинейные волны/Ред. С. Лейбович и А. Сибасс/ Пер с
англ. под ред. А.В. Гапонова и Л.А. Островского. М.: Мир,
1977.
10.10. Неравновесные и резонансные процессы в плазменной
радиофизике, гл. 9 / Н.С. Ерохин, М.В. Кузелев, С.С. Мо™
исеев и др. М.: Наука, 1982.
10.11. Островский Л.А. Приближенные методы в теории нели-
нелинейных волн // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 4.
С. 454^476.
10.12. Островский Л.А., Пелиновский ЕЖ. О приближенных
уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и
дисперсией // ПММ. 1974. Т. 38, № 1. С. 121-124.
10.13. Пелиновский ЕЖ., Фридман В.Е., Энзельбрехт ЮЖ.
Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин. Валгус,
1984.
10.14. Руденко О.В., Солуян СИ. Теоретические основы нели-
нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
10.15. Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В.
Постникова и В.И. Королева. М.: Наука, 1978.
10.16. Энзельбрехт Ю.К., Низу л У. К. Нелинейные волны де-
деформации. М.: Наука, 1981.
К главе 11
11.1. Абдуллаев Ф.Х., Дарманян С.А., Хабибулаев П.К. Опти™
ческие солитоны. Ташкент. Из-во ФАН, 1987.
11.2. Азравал Г. Нелинейная волновая оптика /Пер. с англ. под
ред. П.В. Малышева. М.: Мир, 1996.
11.3. Ахманов САП Вислоух В.АП Чиркин А.С Оптика фем-
птосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.
386 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
11.4. Власов С.Н., Таланов В. И. Самофокусировка волн.
Н. Новгород: ИПФ РАН, 1997.
11.5. Гапонов А.В., Островский Л.А., Рабинович ММ. Одно™
мерные волны в нелинейных системах с дисперсией // Изв.
ВУЗов. Радиофизика. 1970. Т. 13, № 2. С. 163-213.
11.6. Громов Е.М., Таланов В. И. Короткие солитоны огибаю-
огибающей (Комбинированное нелинейное уравнение) // Изв. ВУ-
ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т. 39, № 6. С. 735-756.
11.7. Громов E.M.j Таланов В.И. Нелинейная динамика корот-
коротких волновых пакетов в среде с дисперсией // ЖЭТФ.
1996. Т. ПО, вып. 1. С. 137-149.
11.8. Гуревич А.В., Крылов А.Л., Эль ГА. Нелинейные мо-
модулированные волны в дисперсионной гидродинамике //
ЖЭТФ. 1990. Т. 98, вып. 5A1). С. 1654-1626.
11.9. Захаров В.Еп Шабат А.Б. Точная теория двумерной са-
самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нели™
нейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, вып. 1. С. 118-134.
11.10. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих
средах. М.: Наука, 1973.
11.11. Карпман В.И., Крушкаль Е.М. Модулированные волны
в нелинейных диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1968.
Т. 55, Вып. 2. С. 530.
11.12. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая
динамика одномерных упругих систем // Изв. ВУЗов.
Прикл. нелин. динамика. 1996. Т. 4, № 2. С. 72-102.
11.13. Литвак А.Г., Таланов В.И. Применение параболичесю>
го уравнения к расчету полей в диспергирующих нелиней-
нелинейных средах // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 4.
С. 539.
13.14. Нелинейная теория распространения волн / Пер. с
англ. под ред. Г.И. Баренблатта, М.: Мир, 1970.
11.15. Нестерова З.Вп Александров И.В. Ударные волны оги-
огибающих пикосекундных световых импульсов в изотропных
жидкостях // ЖЭТФ. 1985. Т. 88, вып. 1. С. 96-106.
11.16. Островский Л.А. Электромагнитные волны в нелиней-
нелинейных средах с дисперсией // ЖТФ. 1963. Т. 33. № 8. С. 905.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 387
11.17. Островский Л.А. Распространение волновых пакетов и
пространственно-временная самофокусировка в нелиней-
нелинейной среде // ЖЭТФ. 1966. Т. 51, вып. 4A0). С. 1189-1194.
11.18. Островский Л.А. Ударные волны огибающих // ЖЭТФ.
1968. Т. 54, № 4. С. 1235-124
11.19. Островский Л.А., Соустое Самомодуляция» элек-
электромагнитных волн в нелинейных линиях передачи // Изв.
ВУЗов. Радиофизика. 1972. Т. 15, № 2. С. 243^247.
11.20. Островский Л.А., Соустое Л.В. Ударные волны огибаю™
щих и релаксационная неустойчивость электромагнитных
волн в нелинейной линии // Изв. ВУЗов. Радиофизика.
1975. Т. 18, № 5. С. 700-706.
11.21. Питаевский Л. П. Вихревые нити в идеальном Бозе-газе
// ЖЭТФ. 1961. Т. 40, Вып. 2. С. 646-651.
11.22. Таланов В. И. О самофокусирующихся волновых пучках
в нелинейной сред // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2, № 5.
С. 218-222.
11.23. Талипова Т.ГП Пелиновский Е.Н., Кит Е., Еитан О.
Нелинейная трансформация волновых пакетов в слабо дис-
диспергирующих средах // Изв ВУЗов Радиофизика. 1999.
Т. 42, № 4. С. 354-358.
11.24. Шварцбург А.Б. Геометрическая оптика в теории пели™
нейных волн. М.: Наука, 1976.
11.25. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных
волн на глубокой воде/Пер, с англ. М.: Мир, 1987.
11.26. Hasegawa A. Solltons In Optical Fibers. Berlin: Springer
Verlag, 1989.
11.27. Kivchar Yu., Chubycalo 0., Usatenko 0., Grinyoft D. Bright
and dark gap solltons governed by quadratic nonllnearltles //
Int.J. of Modern Phys. В 9, № 8, 1995. P. 875-931.
11.28. Ostrovsky L.A., Potapov A.I. Modulated waves. Theory
and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore-
London. 1999.
11.29. Yagi Г., Kawahara T. Strongly nonlinear envelope soliton In
a lattice model for periodic structure // Wave Motion, 2001.
V. 34. P. 97^107.
11.30. Wu X, Wheariley Sn Putierman Sn Rudnick I. Observation
of envelope solltons In solids // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59.
N. 24. P. 2744^2747.
388 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 12
12.1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колеба-
колебаний. М.: Физматлит, 1959.
12.2. Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейны-
нелинейными распределенными параметрами. М.: Из-во Сов. радио,
1974.
12.3. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперс-
дисперсных системах / пер. с англ. М.: Мир, 1983.
12.4. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-
во МГУ, 1988.
12.4. Гришин В.Е., Федянин В.К. Интегрирование модели с/?4
в эллиптических функциях Якоби и исследование их ме-
методом фазовой плоскости // Теор. и Матем. Физика. 1984,
Т. 59, № 3. С. 440-452.
12.5. Гуревич А.В., Питаевский Л.П. Распад начального
разрыва в уравнении Кортевега-де-Вриза // Письма в
ЖЭТФ. 1973. Т. 17, вып. 5. С. 268-271.
12.6. Заславский Г.М. Нелинейные волны и их взаимодействие
// УФН. 1973. Т. 111, вып. 3. С. 395-426.
12.7. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной
амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ.
1968. № 2. С. 86-94.
12.8. Кадомцев Б.В., Карпман В.И. Нелинейные волны //
УФН. 1971. Т. 103, вып. 2. С. 193-232.
12.9. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих сре-
средах. М.: Наука, 1973.
12.10. Косевич A.M., Ковалев А.С. Введение в нелинейную фи-
физическую механику. Киев: Наукова думка, 1989.
12.11. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие
волны в стержне конечной длины // Акустичекий журнал.
1983. Т. 29, № 4. С. 515-520.
12.12. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида
на поверхности тяжелой жидкости //Собр. соч. Т. 1. М.:
Физматгиз, 1961. С. 358-439.
12.13. Нелинейные волновые процессы // Сб. статей 1982-
1985 гг. / Пер. с англ. под ред. В.Н. Николаевского. М.:
Мир, 1987.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 389
12.14. Нелинейная теория распространения волн / Пер. с англ.
под ред. Г.И. Баренблатта. М.: Мир, 1970.
12.15. Островский Л.А., Пелиновский Е.Н. Трансформация
волн на поверхности жидкости переменной глубины //
Изв. АН СССР ФАО. 1970. Т. 6, № 9. С. 934-939.
12.16. Пелиновский Е.Н. Нелинейная динамика волн цунами.
Горький: НПФ РАН, 1982.
12.17. Потапов А.И., Семерикова П.П. Нелинейные продоль-
продольные волны в стержне с учетом взаимодействия полей де-
деформации и температуры // ПМТФ. 1988, № 1. С. 57-61.
12.18. Сборник задач по теории колебаний / Под ред.
Л.В. Постникова и В.И. Королева. М.: Наука, 1978.
12.19. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в
приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977.
12.20. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений в жидко-
жидкости. М.: Наука, 1977.
К главе 13
13.1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи
// Пер. с англ. под ред. В.Е.Захарова. М.: Мир, 1987.
13.2. Весницкий А.И., Островский Л.А., Папко В.В., Шаба-
Шабанов В. П. Параметрическая генерация импульсов в распре-
распределенных системах // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 274-
275.
13.3. Горшков К. А., Островский Л.А., Папко В.В. Параметри-
Параметрическое усиление и генерация импульсов в нелинейных рас-
распределенных системах // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1973.
Т. 16, № 8, С. 1195-1204.
13.4. Горшков К. А., Островский Л.А., Папко В.В. Взаимодей-
Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических
частиц // ЖЭТФ. 1976. Т. 71, вып. 2(8). С. 585-593.
13.5. Горшков К.А., Островский Л.А., Пелиновский Е.Н.
Вопросы асимптотической теории нелинейных волн //
ТИИЭР. 1974. Т. 62. Вып. 11. С. 113-120.
13.6. Додд Р., Эйлбек Джп Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны
и нелинейные волновые уравнения // Пер. с англ. под ред.
А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.
390 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
13.7. Дрейден Г.В., Островский Л.И., Самсонов A.M., Семено-
Семенова Е.В., Сокуринская Е.В. Формирование и распростране-
распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом
теле // ЖТФ. 1988. Т. 58, № 9. С. 2040-2047.
13.8. Каэюаев В.Вп Потапов А.И., Семерикова Н.П. Расщепле™
ние частицеподобных волн при встречных столкновениях
// Изв. ВУЗов Радиофизика, 1995, Т. 38. № 1-2. С. 100-105.
13.9. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для со™
литонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, вып. 2(8). С. 537-559.
13.10. Лазариди А.Н., Нестеренко В.Ф. Обнаружение уединен™
ных волн нового типа в одномерной зернистой среде //
ПМТФ. 1985, № 3. С. 115-118.
13.11. Лэм Дою. Введение в теорию солитонов. М.:Мир, 1983.
13.12. Нестеренко В.Ф. Распространение нелинейных импуль-
импульсов сжатия в зернистой среде // ПМТФ. 1983, № 5. С. 136—
148.
13.13. Пелиновский Е.Н. Авторезонансные процессы при взаи-
взаимодействии уединенных волн с внешними полями // При-
Прикладная Гидромеханика. 2000. Т. 2G4). № 4. С. 67^72.
13.14. Слюняев А.В., Пелиновский Е.Н. Динамика солитонов
большой амплитуды // ЖЭТФ, 1999. Т. 116, вып. 1.
С. 318-335.
13.15. Солитоны / Ред. Р. Буллаф и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983.
13.16. Солитоны в действии / Ред. К. Лонгрен и Э. Скотт. М.:
Мир, 1983.
13.17. Теория солитонов. Метод обратной задачи /Под ред.
С.П.Новикова. М.: Наука, 1980.
13.18. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У. К. Нелинейные волны де™
формации. М.: Наука, 1981.
13.19. Bona J.L., Pritchard W.G., Scott L.R. Solltary^wave Inter™
action// Phys. Fluids 1980. V. 23. P. 438-441.
13.20. Feng B.-F., Kawahara T. Multi-hump stationary waves for
a Korteveg-de Vrles equation with nonlocal perturbations //
Physica D. 2000, V. 137, P. 237-246.
13.21. Gorshkov K.A., Osirovsky L.A. Interaction of solltons
In nonlntegrable systems. Physica D. 1981, V. 3. № 1-2.
P. 428-438.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 391
13.22. Grimshaw Д., Pelinovsky En Sakov P. Interaction of
a solitary wave with an external force moving with
variable speed //Stidies In Appl. Mathematics, V. 97. 1996.
P. 235^276.
13.23. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solltons In nearly
Inlegrable systems //Rev. Modern of Physics. 1989, V. 61.
№ 4. P. 763^915.
13.24. Keener J.R., Mclaughlin D.W. Soliton under
perturbat!on//Phys. Rev, 1977, A16, P. 777.
13.25. Lewis C, Tjon LA. Resonant production of solltons In the
RLM equation // Phys. Lett. 1979, 73A, P. 275^279.
13.26. Ostrovsky L.A., Gorshkov K.A. Perturbation theories
for nonlinear waves//Nonlmear sclnce at the dawn at the
XXI century/egs. P. Grlstlansen, M. Soerensen. Amsterdam.
Elsevler 2000.
13.27. Ostrovsky L.A., Potapov A.I. Modulated waves. Theory
and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore-
London. 1999.
13.28. Pelinovsky E., Talipova Т., Kharif C. Nonlinear dispersive
mechanism of the freak wave for-matlon In shallow water
//Physlca D. 2000. V. 147. № 1-2. P. 83^94.
13.29. Potapov A.I, Vesnitsky A.I. Interaction of solitary waves
under head-on collisions. Experimental Investigations //Wave
Motion. 1994. V. 19. P. 29^35.
13.30. Santarelli D.R. Numerical analysis of the regularized long™
wave equation: Inelastic collision of solitary waves, Nuovo 01-
mento 46 B, № 1, 1978, P. 179^188.
13.31. Samsonov A.M. Strain solltons In solids and how to
construct them. Chapman and Hall. CRC Press, London, Boca
Raton, New York. 2001.
К главе 14
14.1. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев:
Наукова думка, 1984.
14.2. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны
и нелинейные волновые уравнения /Пер. с англ. под ред.
А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.
392 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
14.3. Захаров В.Е., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Ф. Полное
описание решений l!Slne-Gordonl!ypaBHeHHM // ДАН СССР.
1974. Т. 219, № 6. С. 1334-1337.
14.4. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные
волны намагниченности: Динамические и топологические
солитоны. Киев: Наукова думка, 1983.
14.5. Косевич A.M., Ковалев А.С. Введение в нелинейную фи-
физическую механику. Киев: Наукова думка, 1989.
14.6. Лэм Дэю. мл. Введение в теорию солитонов /Пер. с англ.
под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983.
14.7. Солитоны / Ред. Р. Буллаф и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983.
14.8. Солитоны в действии / Ред. К. Лонгрен и Э. Скотт. М.:
Мир, 1983.
14.9. Топологический солитон // Физическая энциклопедия.
Т. 5. М. БРЭ, 1998, С. 134-142.
14.10. Eilinberger G. Solitons. Mathematical Methods for
Physicists. Springer™Verlag. Berlin Heidelberg New York,
1981.
14.11. Ostrovsky L.A., Potapov A.I. Modulated waves. Theory
and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore-
London. 1999.
Работы, содержащие исторические сведения
Читатель, более детально интересующийся историей науки
и, в частности, теории волн, может обратиться к следующим
работам:
И.1. Белл Дэю. Ф. Экспериментальные основы механики де-
деформируемых твердых тел. Ч. 1, 2. / Пер. с англ. М.: Hay™
ка, 1984.
Книга представляет собой капитальный исторический
обзор. В ней описаны экспериментальные исследования,
явившиеся истоками создания той или иной ветви ме-
механики твердого деформируемого тела или поворотным
пунктом в ее истории. Ее содержание охватывает 300-
летний период — от первых опытов Р. Рука A678 г.) и
до 1972 г. — года завершения работы автора над книгой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 393
И.2. Боголюбов Н.Н. Математики и механики: Библиографиче-
Библиографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.
Помещены сведения о жизни и научной деятельности
свыше 1500 ученых-математиков и механиков прошлого
и современности. Приведены хронология важнейших со-
бытии в области математики и механики.
И.З. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитон и его история // Солитоны
/ Ред.Р.Буллаф и Ф. Кодри / Пер. с англ. М.: Мир. 1983,
с. 11-77.
И.4. Вариационные принципы механики / Под ред. Л.С. Полак.
М.: Физматгиз, 1959.
В этом сборнике собраны работы основоположников ва-
вариационных принципов в механике: Ферма, Мопертюи,
Эйлера, Лагранжа, Гамильтона, Якоби, Остроградского
и др.
И.5. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.
М.: Наука, 1989.
Это одна из лучших и ярко написанных историй матема-
математики XIX столетия, отражающая, в частности, разви-
развитие вариационных методов классической механики и ма-
математической физики.
И.6. Майлс Дж. Уравнение Кортевега-де Вриза (исторический
очерк) // Современная гидромеханика / Пер. с англ.М.:
Мир, 1984. С. 186^208.
И.7. Меркулова Н.М. История механики газа (До начала XX
века). М.: Наука, 1973.
Дается историко-научный анализ развития механики га-
газа и формирование ее основных направлений. Подробно об-
обсуждается история простых волн, движущихся разрывов
и ударных волн в газодинамике.
И.8. Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1983.
В этой книге, а также в приложениях к ней можно най-
найти исторические сведения о возникновении таких поня-
понятий, как «энергия» и «импульс» в теории электромаг-
электромагнитных волн, теории относительности и релятивист-
релятивистской теории гравитации, а также излагается история
проникновения вариационных принципов в эти разделы
физики.
394 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
И.9. Планк М. Принцип сохранения энергии. М.-Л. 1938.
Эта книга была написана 29-летним М.Планком в 1887 г.
как конкурсная работа философского факультета Гет-
тишенского университета, условием которого было точ-
точное историческое изложение значения и применения сло-
слова «энергия» в физике. Она содержит разделы: истори-
историческое развитие закона сохранения различных видов энер-
энергии, формулировка и доказательство принципа сохране-
сохранения энергии. Книга сыграла значительную роль в исто-
истории развития этого фундаментального закона природы и
выдержала пять изданий на немецком языке.
И. 10. Пирс Дж. Почти все о волнах. М.: Мир, 1976.
Книга содержит много исторического материала по те-
ории волн. Она адресована в первую очередь молодым спе-
циалистам и представляет собой интересную попытку
выработать у них глубокое интуитивное понимание фи-
зической сути волновых процессов при минимальном ис-
использовании математического аппарата.
И.11. Погребысская Е.И. Дисперсия света. Исторический очерк.
М.: Наука, 1980.
Излагается история развития представлений о диспер-
дисперсии света, начиная с опытов Ньютона по разложению
света призмой в спектр и кончая анализом проблемы в
квантовой теории.
И. 12. Рэлей Теория звука:в 2-х т /Пер. с англ. под ред. СМ. Ры-
това. М.: Физматлит, 1956.
Это первая монография A877 г.) в мировой научной
литературе, посвященная изложению фундаментальных
основ теории колебаний и волн. Содержит многочислен-
многочисленные исторические справки и ссылки на первоисточники по
акустике, волнам в газе, на поверхности воды, в твердых
телах и многое другое.
И.13. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. 2-е изд. М.: Наука,
1990.
В увлекательной форме рассказано о широком круге явле-
явлений, которые объединяет нелинейная теория колебаний
и волн. На примере науки о солитонах сделана попытка
показать как развивается наука вообще, как она в итоге
после многих недоразумений, заблуждений и ошибок до-
добирается до истины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 395
И.14. Франкфурт У.И. Закон сохранения и превращения энер™
гии. М.: Наука, 1978.
Прослеживается история развития закона сохранения и
превращения энергии от классической механики до те-
теории относительности и атомной физики. Приводятся
очерки о Р. Майере, Г. Гельмгольце и Д. Джоуле.
И. 15. Храмов Ю.А. Физика: Биографический справочник. 2-е
изд. М.: Наука, 1983.
Содержит краткие сведения о жизни и научной деятель-
деятельности около 1200 физиков прошлого и современности,
внесших вклад в развитие физической науки. Содержит
также хронологию физики, список Лауреатов Нобелев-
Нобелевской премии по физике.
ПРЕДМЕТНЫМ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический инвариант 106, 111,
183
Автомодельная переменная 130, 131
Автомодельное решение 130, 131,
134, 141-145, 168
Амплитуда комплексная 18, 75, 165,
191
— — медленно меняющаяся 24, 27,
75, 165, 191
Антикинк 348, 364
Асимптотическое поведение волны
128, 157-159
— разложение 127, 136
Бризер 359-362, 365
Бегущая волна параметра 200
Вариационное уравнение 98, 100
Вариационный принцип 96-97, 113
Гамильтона 115
Гамильтона-Остроградского 97,
116
усредненный 104, 118 (см. также
метод Уизема)
Взаимодействие обгонное 327
— кинка и антикинка 357-360, 364
— кинков 352-355, 362
— солитона с волной накачки 317
— солитонов 325-327, 336-338
Взрывная неустойчивость 306
ВКБ-приближение 135, 140, 145
ВКБ-решение 137, 139
Волна акустическая в идеальном га-
газе 43, 217
в газе с релаксацией 44
в жидкости с пузырьками газа
46
— гармоническая 17
— де Бройля 131, 143
— квазигармоническая 14,75, 76, 165,
181, 257
— квазипериодическая несинусои-
несинусоидальная 14, 281-299
— кноидальная (нелинейная перио-
периодическая) 287, 289
— модулированная 13, 22, 29, 127,
131
Волна на глубокой воде 50, 128
— на мелкой воде 50, 221, 242
— на поверхности жидкости 48-50,
60, 220, 306
— накачки 319, 320
— несущая 14, 24, 29
— огибающей 257-282
— отрицательной энергии (ВОЭ) 78,
89, 111
— параметра несинхронная 203
синхронная 205
— Римана (см. также простая волна)
14, 149, 244, 263
— стационарная 283
— ударная 246-253
— уединенная 142
— упругая 51,52,61, 224
в стержне с переменными пара-
параметрами 195
изгибная в стержне 54
продольная в стержне 52, 226
— электромагнитная (см электро-
электромагнитная волна)
— Эйри 128
Волна-частица 143, 144
Волновое действие 106, 107
— уравнение 35, 38, 43, 57
— число локальное 147
Волновой импульс 101, 107
— пакет 23, 26
Гамильтона вариационный принцип
115
— уравнения 98, 99, 107, 115
— формализм 117
— функция 115
Гамильтониан 96
— усредненный 108
Гамильтона-Остроградского вариа-
вариационный принцип 97, 116
Геометрическая оптика 160
пространственно-временная 146,
160, 180, 260
Групповая скорость 25, 72
гравитационной волны 50
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
397
Групповая скорость гравитационно-
капиллярной волны 50
изгибной волны в стержне 55
продольной волны в стержне 53
— — электромагнитной волны в
плазме 37
Групповой синхронизм 185
Давление радиационное 88
— света 83, 91
Декремент затухания волны 30
Дисперсия волны 21, 51,56, 57
— аномальная 25,43
— нормальная 25, 41, 51
— света 58-60
Дисперсионное соотношение 147
— уравнение 21, 28
акустической волны в газе с ре-
релаксацией 45
— — гравитационно-капиллярной
волны 49
гравитационной волны на глу-
глубокой воде 50, 128
капиллярной волны 50
— — волны отрицательной энергии
(ВОЭ) 80
электромагнитной волны 37—41
нелинейное 288, 293, 294, 299
изгибной волны в стержне 55
продольной волны в стержне 53
Диссипация 77, 305
Задача Бернулли 137, 142
Задача Буссинеска 144
Закон сохранения волнового дей-
действия 106-108, 183
волнового импульса 100, 101
— — импульса электромагнитного
поля 82, 85
энергии 65, 107
Затухание волны 30
Импульс акустического поля 87
— волновой 101, 107
— электромагнитного поля 82
в вакууме 82
в диэлектрике 85, 90
Инкремент неустойчивости ВОЭ 82
Интеграл Френеля 132
— Фурье 26, 27, 75 125, 174, 255
Каустика пространственно-времен-
пространственно-временная (ПВ-каустика) 150, 187
Квазиоптика 176
— пространственно-временная (ПВ-
квазиоптика) 165, 191, 265
Кинк 348, 357 -364, 367
Кноидальная волна 287, 289
Корпускулярно-волновой дуализм
143, 144
Коэффициент модуляции 168
Критерий модуляционной неустой-
неустойчивости Лайтхилла 262
Лангранжа уравнение 115
— формализм 94, 117
— функция 115
Лагранжиан 97, 99
— усредненный 105, 109
— электромагнитного поля в вакуу-
вакууме 102
в плазме 103
Материальные уравнения 35, 38, 75,
76
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллю-
ена 135
— возмущений для солитонов 328-
332
— стационарной фазы 121, 140, 144
— Уизема (усредненного лагранжи-
лагранжиана) 104,118, 299
Модуляция 14
— амплитудная 24, 155, 263, 267-270
— поверхностной волны 189
— фазовая 23
— частотная 23, 149, 270
Нелинейная оптика 229
Неоднородная среда 135, 196, 301
Неравновесная среда 78
Нестационарная среда 178, 198
Неустойчивость взрывная 306
— модуляционная 260
Огибающая амплитудная 24, 29
— частотная 149, 154,
— фазовая 158
Опрокидывание волны 150, 245
Параметрическое усиление солитона
317-322
— формирование импульса 203
Плазменная частота 37
Поток волнового действия 107-110
— импульса 100-102
398
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поток энергии 28, 100
акустических волн 87
волн на поверхности жидкости
68, 69, 73
— — электромагнитных волн в ди-
диэлектрике 66
Приближение Вентцеля-Крамереа-
Бриллюена (ВКБ) 135, 140, 145
— коротковолновое 135
— одноволновое 196, 237-243
— теории дисперсии первое (группо-
(групповое) 28, 164, 165
второе 166
третье 170
Принцип суперпозиции 26, 57
Пространственно-временной (ПВ)
луч 148-154
ПВ-каустика 150, 187
ПВ-фокус 152
Разложение Бесееля-Фубини 246
Сила Абрагама 85, 94
— Лоренца 37
Скорость волны групповая 25, 26, 33
фазовая 21, 26, 32
— переноса энергии 72
— света в вакууме 35
Солитон 289, 314-317
— огибающей 267-270
— топологический 346, 349 (см. так-
также кинк)
Спектр волны (фурье-спектр) 27, 28
Стационарная точка 122
Топологический заряд 349
— солитон 349
Точка поворота 140, 187
"Уравнение Бенджамена-Бона-Ма-
хони 345
— Буссинеска 221, 223, 289
— Бюргерса 242
— Гамильтона 99, 109
— Гамильтона-Якоби 116, 147
— Гарднера 345
— Джозефа-Эгри 345
— Клейна-Гордона 34, 103
нелинейное 228, 294
— Кортевега-де Вриза 131, 238, 253,
285, 315-317
возмущенное 307
модифицированное 238, 315
обобщенное 337, 345
Уравнение Лагранжа 97, 115
— нелинейное эволюционное 236, 273
— параболическое Леонтовича 166
— переноса амплитуды 110
импульса 86
частоты 146
энергии 77, 101, 153, 318
— синус-Гордона 228, 235, 366
— состояния среды (см. материаль-
материальные уравнения)
— Шредингера 139, 166
нелинейное 259, 362
— Эйлера 74
— Эйлера-Остроградского 98
— Эйри 139
Уравнения Максвелла 35-38
Фаза волны 18, 20
Фазовая скорость 20, 21
акустической волны в газе с ре-
релаксацией 45
гравитационной волны 50
— — гравитационно-капиллярной
волны 49
изгибной волны в стержне 55
продольной волны в стержне 53
— — электромагнитной волны в
плазме 38
Фазовый портрет 268, 270, 272, 286,
296, 297, 347
Формула Рэлея 25
Функция Бесселя 138, 143
— Гамильтона 115
— Лагранжа 115
— Эйри 125, 139, 141, 143
Фурье интеграл 27, 75, 121-123, 255
Электромагнитная волна в среде с
дисперсией 74
в диэлектрике 38, 179
с электронной поляризаци-
поляризацией 212
с ориентационной поляри-
поляризацией 214
в линии передачи 215
в плазме 37, 68, 179
Энергия волны на поверхности жид-
жидкости 69, 70, 74
в неравновесной среде 79
в диспергирующей среде 77
— кинка 349
— солитона 315
— электромагнитной волны 68
L.A. OSTROVSKY, A.I. POTAPOV
INTRODUCTION TO THE THEORY OF MODULATED
WAVES
PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS
International Academic Publishing Company "Nauka"
Russian Academy of Sciences
Moscow, 2003, 400 pages
The linear and nonlinear waves that can, in the wide sense, be referred
to the class of modulated waves are treated in the book. Examples of wave
processes in electrodynamics, plasma physics, acoustics, hydrodynamics,
and elasticity theory are considered. Space-time analogs of the methods
of geometrical optics and «quasi-optics» are described. Modulated wave
propagation in nonstationary media is analysed. Quasi-harmonic waves are
investigated in media with strong dispersion and weak nonlinearity, where
modulation manifests itself as slow space-time changes in amplitude and
frequency. Parametric amplification of solitons in a traveling wave field
as well as the effects of their interaction are discussed. The interaction of
solitons as classical particles the motion of which is described by newtonian
equations is addressed. Exact and approximate methods for description of
their interaction are compared. Some historical information is provided and
tasks for independent work are given.
The book is intended for graduate and postgraduate students. At the
same time it may also be interesting to specialists in different fields.
Научное издание
ОСТРОВСКИЙ Лев Аронович
ПОТАПОВ Александр Иванович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН
Редактор О. В. Салецкая
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 13.02.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 25. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0370-9
985922 103701