Колебания и волны - Григорьев Ю.М., Кычкин И.С.

1.2. Математический маятник
1.3. Физический маятник
2.2. Представление колебаний в других формах
3.2. Диссипация энергии при затухающих колебаниях
4.3. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
4.4. Общий случай произвольной вынуждающей силы
5.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот
5.3. Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты
5.4. Сложение параллельных колебаний разных частот
§ 6. Колебания систем со многими степенями свободы
6.2. Система с двумя степенями свободы. Одномерная цепочка из двух разных частиц, закрепленных на разных пружинах
6.3. Система с двумя степенями свободы. Два связанных одинаковых математических маятника
6.4. Система с двумя степенями свободы. Два связанных разных математических маятника
6.5. Система с N числом степеней свободы. Система одинаковых частиц, закрепленных на шнуре на одинаковых расстояниях друг от друга
6.6. Система с N числом степеней свободы. Общий случай
6.7. Система с N числом степеней свободы. Формализм Лагранжа
7.2. Учет силы, пропорциональной кубу смещения
7.3. Нелинейные колебания математического маятника
8.2. Нелинейные колебания математического маятника
11.5. Плотность энергии и плотность потока энергии электромагнитной волны
13.2. Плоские волны. Случай когерентных волн
13.3. Интерференция волн от двух когерентных источников
15.1. Эффект Доплера в случае сплошной среды
15.2. Эффект Доплера в случае электромагнитных волн
Глава III. Колебания и волны в разных областях физики
16.2. Волновое уравнение. Электромагнитная волна
16.4. Импульс и давление электромагнитной волны
16.5. Поляризация электромагнитных волн. Естественный и поляризованный свет
17.3. Вынужденные колебания колебательного контура
§ 18. Явления на границе раздела двух сред
19.2. Осциллятор в электромагнитном поле
22.2. Физические характеристики акустических волн
23.2. Гипотеза Планка. Постоянная Планка. Формула Планка
§24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
24.2. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля
24.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
24.4. Физическое истолкование волн де Бройля
Author: Григорьев Ю.М. Кычкин И.С.
Tags: колебания акустика физика теория колебаний
ISBN: 978-5-9221-1823-1
Year: 2018
Similar
Современное введение в физику колебаний
Элементарный учебник физики. Том 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика
Колебания и волны
Элементы теории колебаний
Text
                    Ю.М. Григорьев, И.С. Кычкин
КОЛЕБАНИЯ
и
волны
Допущено УМО
по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки высшего образования
03.03.02 — Физика и 03.03.03 — Радиофизика
(Решение УМО № 088-4/63-14 от 28.05.2014 г.)
МОСКВА _
ФИЗМАТЛИТ®
2018

УДК 534, 537.8
ББК 22.3
Г 83
Григорьев Ю.М., Кычкин И. С. Колебания и волны. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. - 400 с. - ISBN 978-5-9221-1823-1.
Пособие по современной теории колебаний и волн может быть
использовано студентами высших учебных заведений, обучающимися по физическим,
радиофизическим, физико-техническим, инженерно-физическим направлениям.
Материал соответствует курсу общей физики. Пособие построено таким
образом, чтобы на примере теории колебаний и волн студенты увидели взаимосвязь
между разными областями физики. Книга может служить основой для
понимания теоретической физики.
Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлениям подготовки высшего образования
03.03.02 - Физика и 03.03.03 - Радиофизика (Решение УМО № 088-4/63-14
от 28.05.2014 г.).
© ФИЗМАТЛИТ, 2018
ISBN 978-5-9221-1823-1 © Ю.М. Григорьев, И. С. Кычкин, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Колебания 8
§ 1. Примеры колебаний 8
1.1. Пружинный маятник 8
1.2. Математический маятник 9
1.3. Физический маятник 9
1.4. Крутильный маятник 10
§2. Собственные колебания 13
2.1. Собственные колебания 13
2.2. Представление колебаний в других формах . 15
2.3. Энергия 17
2.4. Взгляд с точки зрения закона сохранения энергии (ЗСЭ) . . 20
2.5. Жесткость возвращающей силы 21
§3. Свободные затухающие колебания 29
3.1. Свободные затухающие колебания в вязкой среде 29
3.2. Диссипация энергии при затухающих колебаниях 33
3.3. Колебания при сухом трении 35
§4. Вынужденные колебания 39
4.1. Общее решение в случае гармонической вынуждающей
силы 39
4.2. Частные случаи 42
4.3. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики . . 46
4.4. Общий случай произвольной вынуждающей силы 51
§ 5. Сложение колебаний 56
5.1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
одинаковой частоты 56
5.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных
частот 59
5.3. Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты . . 62
5.4. Сложение параллельных колебаний разных частот 64
5.5. Биения 66
5.6. Произвольная периодическая функция 68

Оглавление
§ 6. Колебания систем со многими степенями свободы 74
6.1. Система с двумя степенями свободы. Одномерная цепочка
из двух одинаковых частиц, закрепленных на одинаковых
пружинах 74
6.2. Система с двумя степенями свободы. Одномерная цепочка
из двух разных частиц, закрепленных на разных
пружинах 78
6.3. Система с двумя степенями свободы. Два связанных
одинаковых математических маятника 80
6.4. Система с двумя степенями свободы. Два связанных разных
математических маятника 83
6.5. Система с N числом степеней свободы. Система одинаковых
частиц, закрепленных на шнуре на одинаковых
расстояниях друг от друга 86
6.6. Система с N числом степеней свободы. Общий случай ... 91
6.7. Система с N числом степеней свободы. Формализм Лаг-
ранжа 94
§ 7. Нелинейные колебания 95
7.1. Учет силы, пропорциональной квадрату смещения 96
7.2. Учет силы, пропорциональной кубу смещения 99
7.3. Нелинейные колебания математического маятника 101
§8. Метод фазового пространства (МФП) 110
8.1. Гармонические колебания (линейный осциллятор) 111
8.2. Нелинейные колебания математического маятника 115
8.3. Колебания при сухом трении 118
Глава И. Волны 120
§9. Волны 120
§10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 128
10.1. Уравнение плоской волны (УПВ) 128
10.2. Уравнение сферической волны (УСВ) 131
10.3. Волновое уравнение 134
§11. Энергия волны 142
11.1. Общие понятия 142
11.2. Упругие деформации 144
11.3. Скорость в упругой среде 146
11.4. Плотность энергии в упругой среде 155
11.5. Плотность энергии и плотность потока энергии
электромагнитной волны 158
§ 12. Принцип суперпозиции 164
§ 13. Интерференция и дифракция волн 172
13.1. Плоские волны. Случай некогерентных волн 172
13.2. Плоские волны. Случай когерентных волн 173
13.3. Интерференция волн от двух когерентных источников ... 174
13.4. Дифракция волн 179

Оглавление
§ 14. Стоячие волны 184
14.1. Стоячие волны 184
14.2. Стоячие волны в струне (стержне) 189
§ 15. Эффект Доплера (ЭД) 194
15.1. Эффект Доплера в случае сплошной среды 194
15.2. Эффект Доплера в случае электромагнитных волн 198
Глава III. Колебания и волны в разных областях физики 206
§ 16. Электромагнитные волны 206
16.1. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн 206
16.2. Волновое уравнение. Электромагнитная волна 207
16.3. Энергия электромагнитной волны 210
16.4. Импульс и давление электромагнитной волны 211
16.5. Поляризация электромагнитных волн. Естественный и
поляризованный свет 218
§ 17. Электрические колебания 226
17.1. Собственные колебания колебательного контура
(свободные колебания колебательного контура без активного
сопротивления) 226
17.2. Колебания колебательного контура с активным
сопротивлением (свободные колебания колебательного контура
с активным сопротивлением) 233
17.3. Вынужденные колебания колебательного контура 238
17.4. Переменный ток 245
§ 18. Явления на границе раздела двух сред 254
18.1. Упругие волны 254
18.2. Электромагнитные волны 259
§19. Излучение электрического диполя (осциллятора). Осциллятор
в электромагнитном поле 267
19.1. Излучение электрического диполя (осциллятора) 267
19.2. Осциллятор в электромагнитном поле 275
§20. Дисперсия света. Поглощение света 280
20.1. Дисперсия света. Классическая теория дисперсии света . . 280
20.2. Поглощение света 289
§21. Рассеяние света 295
§22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 306
22.1. Упругие (акустические) волны 306
22.2. Физические характеристики акустических волн 311
22.3. Ударные волны 316
§23. Гипотеза Планка. Фотон 325
23.1. Излучение. Трудности классической теории 325
23.2. Гипотеза Планка. Постоянная Планка. Формула Планка 328
23.3. Осциллятор в квантовой механике 336
23.4. Фотоэффект. Фотоны 339

6 Оглавление
§24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение
неопределенностей Гейзенберга 350
24.1. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм . . 350
24.2. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля . . 352
24.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга 358
24.4. Физическое истолкование волн де Бройля 362
24.5. Кванты полей взаимодействий 370
§ 25. Метод квазичастиц 374
25.1. Силы Ван-дер-Ваальса. Квазичастицы 374
25.2. Теплоемкость твердых тел. Фононы 381
25.3. Кратко о других квазичастицах 387
Литература 392
Заключение 393
Предметный указатель 394

Предисловие
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых
студентам по направлениям и специальностям «Физика» и
«Радиофизика и электроника», и предназначено для студентов физических,
физико-технических направлений и специальностей высших учебных
заведений. Курс лекций является семестровым (одна лекция в неделю),
и ясно, что объем и диапазон охватываемых в книге вопросов
несколько шире, чем читаемый курс.
Учебное пособие состоит из 3 частей, которые содержат 25 глав.
Номера формул приведены в виде (п,га), где п — номер главы, а т —
номер формулы внутри этой главы. Каждая глава завершается
примерами, позволяющими закрепить полученные знания практическими
действиями и готовящими студентов к решению более сложных задач
на семинарских занятиях.
В первой части, «Колебания», состоящей из 8 глав, даются базовые
знания по теории колебаний. Здесь в последних трех главах
рассматриваются теория колебаний систем со многими степенями свободы,
нелинейные колебания и метод фазового пространства.
Во второй части, «Волны», состоящей из 7 глав, рассматриваются
волны — упругие и электромагнитные.
На этом можно было завершить данную книгу. Но в третьей части,
«Колебания и волны в разных областях физики», состоящей из 10 глав,
рассматриваются избранные области физики, теоретические
исследования в которых базируются на основе курса «Колебания и волны».
Здесь продемонстрированы разнообразные явления, в которых
используется теория колебаний и волн и которые относятся к разным
разделам общей физики, начиная от электромагнитных волн и завершая
корпускулярно-волновым дуализмом и квазичастицами.
Авторы старались так построить книгу, чтобы студенты поняли
важность теории колебаний и волн во всей современной физике.
Это во-первых. Во-вторых, чтобы они видели взаимосвязь между
разными областями физики. И в-третьих, авторы надеются, что данная
книга послужит хорошим шагом в понимании теоретической физики.
Авторы

Глава I
КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Примеры колебаний
1.1. Пружинный маятник. Допустим, что один конец упругой
пружины прикреплен к стене, а к другому концу закреплен грузик
массы га, который может скользить без трения вдоль горизонтальной
линии (оси х на рис. 1.1). На рис. 1.1, а
х пружина находится в свободном (неде-
формированном) состоянии, а на 1.1,6
Y
[ она растянута на длину #, т. е. СК мы
1^ х _t выбрали так, что начало СК совпадает
с положением грузика при
нерастянутой (несжатой) пружине и ж-коорди-
F i ната грузика представляет собой его
б смещение от положения равновесия.
Так как движение одномерное и вдоль
Рис> 11 оси х, то все уравнения будем писать
в скалярном виде в проекциях на ось х. На грузик действует сила
упругости пружины F = -te, (11)
все время направленная в сторону положения равновесия грузика
(это обеспечивается знаком «минус» в (1.1)). Здесь к — коэффициент
упругости пружины (жесткость пружины). Движение грузика
подчиняется следующему уравнению движения (второму закону Ньютона):
тх = — кх (1.1а)
или x + v2x = Q u = JkTm (12)
Если грузик оттянуть на некоторое расстояние и отпустить, он
будет совершать колебания около положения равновесия. Закон
колебаний мы можем установить, решая уравнение движения (1.2).
Потенциальная энергия грузика определяется по формуле
Wn{x) = —, (1.3)
и она в положении равновесия минимальна (в данном примере просто
равна нулю).

/. Примеры колебаний
Из вышеизложенного мы можем сделать следующие выводы:
1. На тело, совершающее колебания, действует упругая
возвращающая сила.
2. Колебания происходят около устойчивого положения
равновесия.
3. В положении устойчивого равновесия потенциальная
энергия минимальна.
1.2. Математический маятник. Материальная частица
(небольшой грузик) массы т, подвешенная на длинной нерастяжимой нити
длиной 1У представляет собой математический
маятник (см. рис. 1.2). В отклоненном от
вертикали на угол а положении на грузик действует
возвращающая сила
F = —тд • sin a « —mga.
(1.4)
Здесь мы воспользовались малостью угла а, а знак
«минус» показывает, что эта сила направлена
против смещения. Ускорение грузика можно выразить
как произведение радиуса траектории (длины I
маятника) на угловое ускорение а:
а = /а,
(1.4а)
Рис. 1.2
т.е. уравнение движения (второй закон Ньютона) для грузика
принимает вид
mla = —mga, (1.46)
или
а + ш2а = О, и) = \fgfl.
(1.5)
Мы видим, что уравнения (1.5) и (1.2) совершенно аналогичны. Выводы,
сделанные выше, остаются в силе.
1.3. Физический маятник. Любое тело, имеющее
горизонтальную ось вращения, находящуюся выше центра масс этого тела,
называется физическим маятником. Допустим (см. рис. 1.3), физический
маятник подвешен на горизонтальной оси,
проходящей через точку О (перпендикулярно рисунку).
Колебательное движение этого тела подчиняется
уравнению вращательного движения твердого тела
10 =
(*)
где / — момент инерции твердого тела относительно
оси вращения, 0 = а — угловое ускорение вращения
тела, а
М = — тд • /0 sin а
— тд • 10а
(1.6)
Рис. 1.3

10 Гл. I. Колебания
— вращающий момент. Тогда уравнение колебаний физического
маятника имеет следующий вид:
а + и2а = 0, и) = JmglJI. (1.7)
Здесь т — масса физического маятника, / — его момент инерции
относительно оси вращения, /0 — расстояние от оси вращения до
центра масс С маятника.
Мы опять видим, что все три уравнения (1.2), (1.5) и (1.7)
совершенно аналогичны.
1.4. Крутильный маятник. Симметричное тело, подвешенное
на длинной нерастяжимой нити и совершающее вращательные
(крутильные) колебания вокруг нити (с закручиванием нити),
называется крутильным маятником (см. рис. 1.4). Если
повернуть диск (см. рис.) на какой-то угол <р в горизонтальной
плоскости (если смотреть сверху), то в
деформированной (закрученной на угол ф) нити возникнет сила
упругости кручения, направленная так, чтобы вернуть нить
в недеформированное состояние (положение равновесия).
Эта сила создает вращающий момент
Рис. 1.4 M = -D(py (1.8)
где D — модуль кручения нити. Знак «минус» понятен. Подставляя
это выражение в уравнение (*) вращательного движения, получим
уравнение крутильных колебаний диска (крутильного маятника)
Это уравнение аналогично всем трем предыдущим.
Мы рассмотрели четыре простых, но важных примера на малые
колебания. Главным выводом является то, что малые свободные
колебания любого типа подчиняются одному и тому же уравнению —
однородному дифференциальному уравнению второго порядка
х + и2х = 0, (1.10)
где через х обозначена любая переменная (расстояние, угол, ...),
определяющая положение тела (частицы) относительно положения
устойчивого равновесия, а и) — какая-то постоянная, зависящая от
параметров тела (частицы), совершающего колебания. Мы в следующем
параграфе увидим, что это циклическая частота колебаний.
Пример 1.1. Рассматривая математический маятник как частный
случай физического маятника, получить формулы (1.5).

/. Примеры колебаний 11
Момент инерции математического маятника (см. рис. 1.2)
вычисляется по формуле
/ = ml
и, подставляя это выражение в формулу (1.7), получим (1.5),
определяющую колебания математического маятника.
Вообще, из сравнения формул (1.5) и (1.7) для циклических частот
математического и физического маятников, видно, что при выполнении
равенства
i
где / — длина математического маятника, а / и /0 — момент инерции
физического маятника относительно оси вращения и расстояние между
осью вращения и центром масс физического маятника соответственно,
частоты колебаний математического и физического маятников будут
одинаковы. Исторически так сложилось, что длина /, определяемая
формулой (1.11) через параметры физического маятника, называется
приведенной длиной физического маятника.
Пример 1.2. Показать, что физический маятник может совершать
малые колебания с одной и той же частотой относительно 4 разных
горизонтальных осей. Найти расположения этих осей.
Формула (1.7) для циклической частоты физического маятника
может быть переписана в виде
(1.12)
где момент инерции / физического маятника относительно
горизонтальной оси вращения выражен, по теореме Штейнера, через момент
инерции /0 маятника относительно его центра масс
I = I0 + ml20. (1.13)
Возведя в квадрат равенство (1.12), получим квадратное уравнение
относительно L
/ + сл + с о
где j
Решая квадратное уравнение, находим два значения для
расстояния /0
tno — Т S" — \ I ~ 7 — .
m

12
Гл. I. Колебания
Для этих двух расстояний между центром масс С маятника и осями
его вращения Ох или О2 (см. рис. 1.5) частота и колебаний
маятника будет одинаковой. С той же частотой может колебаться маятник
и относительно осей, проходящих через точки О\ или
О|2, расположенных симметрично точкам Ох или О2
относительно центра масс (точки С). Таким образом,
действительно, физический маятник может совершать
малые колебания с одной и той же частотой
относительно 4 горизонтальных осей, положения которых
(по обе стороны от центра масс) определяются
формулами (1.14). Мы видим, что эти оси могут быть
расположены и вне самого маятника (например, ось О\).
Из формулы (1.14) и из рис. 1.5 можно получить
следующие интересные равенства:
Здесь I — приведенная длина физического маятника.
Пример 1.3. Как с помощью физического маятника
Рис. 1.5 может быть определено ускорение свободного падения р?
Из (1.15) можно получить следующую формулу для ускорения
свободного падения
9 =
+*ю) =
= "Hl'oi +I02) = "2('о, +*«)■ (1.16)
Здесь в скобках стоит приведенная длина физического маятника.
Измеряя ее (4 варианта) для одной и той же частоты, можно вычислить
ускорение свободного падения. Этот метод хорош тем, что нет
необходимости измерять положение центра масс физического маятника.
Пример 1.4. Определить циклическую частоту и колебаний
грузика массы т, прикрепленного к комбинированной пружине, состоящей
из двух последовательно соединенных пружин с жесткостями
(коэффициентами упругости) fcj и к2 (см. рис. 1.6).
Рис. 1.6
Смещение х грузика из положения равновесия равно сумме
растяжений (сжатий) хх и х2 обеих пружин
х = хх +х2. (*)
Сила упругости F комбинированной пружины может быть
представлена как обычно:
F = -fcz, (**)

2. Собственные колебания 13
где к — жесткость комбинированной пружины. В то же время эта
сила равна силам упругости отдельных пружин (по третьему закону
Ньютона)
F = — кх = — кххх = — к2х2,
т.е.
F F F
Из (***) и (*) находим жесткость к комбинированной пружины:
Подставляя ее в формулу (1.2), определяем и циклическую
частоту и;, с которой будет совершать колебания грузик массы т,
прикрепленный к комбинированной пружине:
к к
Vm(fc1+fc2)'
А что изменилось бы, если число последовательно соединенных
пружин было три? Четыре? И так далее. Подумайте.
§ 2. Собственные колебания
2.1. Собственные колебания. Вышеприведенные примеры
представляют собой собственные колебания — колебания, происходящие
под действием упругой возвращающей силы, пропорциональной
смещению тела от положения равновесия. Мы убедились, что в этом случае
уравнения колебаний имеют одинаковый вид
х + и2х = 0. (2.1)
В таблице собраны значения х и и для приведенных в предыдущей
главе примеров.
Решением уравнения (2.1) является гармоническая функция
ж = cos art или x = sinut. (*)
Действительно,
х = — u2cosut = — и>2х или , v
2-х 2 (**)
х = —и smut = —а; ж,
и простой подстановкой нетрудно убедиться в справедливости
сказанного.

14
Гл. I. Колебания
Таблица 2.1
1
2
3
4
Колебательная
система
Пружинный
маятник
Математический
маятник
Физический
маятник
Крутильный
маятник
X
х — отклонение
грузика от положения
равновесия вдоль оси
колебаний
а — угол отклонения
маятника от положения
равновесия
а — угол отклонения
маятника от положения
равновесия
ср — угол кручения
ш
J —, к — коэффициент
V т
упругости пружины, га —
масса грузика
у у» 9 — ускорение
свободного падения, / —
длина маятника
ImgU
у —у-2 , гп — масса
маятника, / — момент
инерции маятника
относительно оси колебаний, /0 —
расстояние от оси
колебаний до центра масс
маятника
Wy, D — модуль
кручения, / — момент
инерции маятника
относительно оси вращения
Мы можем умножить решение (*) на какую-то постоянную А,
а также добавить к аргументу синуса или косинуса другую
постоянную а, и в этом случае соотношения (**) останутся справедливыми.
Поэтому можно сказать, что общим решением уравнения (2.1)
является
х = Acos(ut + a) (2.2)
или
х =
(2.2а)
Мы видим, что тело, уравнение движения которого имеет вид (2.1),
совершает гармонические колебания — колебания, описываемые
гармонической функцией (косинусом или синусом). Такое тело (тело,
на которое действует упругая возвращающая сила, пропорциональная
смещению тела от положения равновесия) называется гармоническим
осциллятором. Наибольшее смещение
жтах = А> (2.3)

2. Собственные колебания 15
которое получается при значении косинуса (или синуса), равном
единице, называется амплитудой колебаний. Так как
cos(ut + а) = cos(ut + а + 2тг) = cos \ш It Н ) + а ,
то через время
Г = 2тг/а; (2.4)
тело вернется в то положение, в котором оно находилось в момент
времени t> т. е. через каждые промежутки времени Т колебания будут
повторяться. Это время (Т) называется периодом колебаний, аи; —
циклической частотой колебаний. Частоту и еще называют и
собственной частотой, так как она зависит лишь от свойств тела,
совершающего колебания (см. табл. 2.1). Угол а (или ах) называется
начальной фазой колебаний. Скорость тела, совершающего
колебания, вычисляется как производная по времени от смещения х:
х = -и A sin(ut + a) (2.5)
или
х = — u;Acos(u>t + ai). (2.5a)
Амплитуда А колебаний и начальная фаза а обычно
определяются из начальных условий. Допустим, известны начальное
смещение х0 и начальная скорость vQ тела. Тогда, положив в формуле (2.2)
для смещения х и в (2.5) для скорости время t равным нулю, получаем
х0 = A cos a, vQ = —шА sin а.
Отсюда находим значения амплитуды колебаний и начальной фазы
(2.6)
Сразу отметим, что в случае математического, физического и
крутильного маятников х0 представляет начальный угол отклонения или
кручения, a vQ — начальную угловую скорость.
2.2. Представление колебаний в других формах.
А. Мы уже знаем, что собственные (гармонические) колебания
могут быть представлены в одном из 2 видов ((2.2) или (2.2а)). Но ясно,
что решением уравнения (2.1) является и следующий закон изменения
смещения х:
х = acosuit + bsinujt. (2.7)
Действительно, вычисляя вторую производную по времени от х (2.7)
и подставляя полученное выражение в (2.1), мы можем убедиться
в справедливости сказанного. Скорость тела в этом случае вычисляется
по формуле
х = -aw sin ut + bu cos wt. (2.8)

16 Гл. I. Колебания
Постоянные а и Ь опять могут быть определены из начальных
условий. Допустим, заданы начальное смещение х0 и начальная скорость v0
тела. Тогда, считая в (2.7) и (2.8) время t равным нулю (начальный
момент), получаем
х0 = a, v0 = bw,
т. е. постоянные а и Ь могут быть определены по формулам
а = х0, b = vo/u. (2.9)
Мы можем определить связь между постоянными Л и а, с одной
стороны, и а и Ь, с другой. Для этого закон движения (2.2) можем
представить в следующем виде (пользуемся формулой разложения
косинуса суммы углов)
х = A cos(wt + а) = A cos a cos ut - A sin a sin ut. (*)
Сравнивая (*) с (2.7), получаем искомую связь
(2.10)
Б. Рассмотрим комплексное представление закона колебаний.
Для этого нам надо воспользоваться формулой Эйлера
где г = у/-Л — мнимая единица. Тогда закон собственных
колебаний (2.2) может быть записан как вещественная часть (Re) от
комплексного решения
х = Re(Aei(a;t+Q)) = Acos(urt + a). (2.11)
Здесь мы воспользовались понятием реальной (Re) и мнимой (Im)
частей комплексного числа
= sin/3.
Поэтому закон колебаний в общем случае может быть представлен
в комплексной форме
x = Ae*M+a) (212)
и в математических выкладках очень удобно пользоваться таким
представлением, так как дифференцирование по времени не меняет вида
функции, в отличие от гармонического представления (вспомните —
производная от синуса дает косинус и наоборот, но со знаком минус):
( '

2. Собственные колебания
17
Конечно, решения (2.12) и (2.13) не имеют физического смысла,
так как они представляют собой комплексные числа. Для получения
решений, имеющих физический смысл, надо взять их вещественную
ЧаСТЬ! х = Ъе(Ае*"г+а)) = A cos(ut + а),
х = Ке(шАе*шг+а)) = -и>Авш(«Л + а), (2.14)
х = Re(-c*;2Ae*(w*+e)) = -v2Acos(ut + а).
Нетрудно убедиться, что мы, как и должно быть, получили
известные результаты (см. (2.2), (2.5)).
В. Часто используется векторное представление колебаний.
В этом случае гармоническому колебанию, описываемому
формулой (2.2)
х = A cos(u>t + а) = A cos a(t),
можно поставить в соответствие вектор А длиной Л, вращающийся
в плоскости (например, в плоскости ху (см. рис. 2.1)) с угловой
скоростью и против часовой стрелки. Проекция этого вектора на ось х
определяет закон гармонических колебаний (2.2). На рисунке
пунктирный вектор А(0) — вектор А в начальный момент времени t = 0.
Его положение позволяет определить начальное смещение х0 = x(t = 0)
и начальную фазу а. Вообще, для любого момента времени, зная
положение вектора А, можно определить смещение х и фазу a(t) = ut + a.
Колебания могут быть наглядно представлены в графическом виде
как функция смещения х от времени t. Например, для колебаний (2.2)
(см. также рис. 2.1) имеем:
У
Рис. 2.1
Здесь х0 = A cos a — начальное смещение, определяемое начальной
фазой а.
2.3. Энергия. Упругая возвращающая сила, под действием ко-
. торой тело совершает колебания, является потенциальной силой.

18
Гл. I. Колебания
Xi
-At -
Рис. 2.2
Поэтому полная энергия W тела, равная сумме кинетической WK
и потенциальной Wn энергий, должна оставаться неизменной:
W = WK + Wn = const.
(2.15)
Кинетическая энергия равна
__ тх2
к ~~ ~Т"~
а потенциальная энергия
^n " T "" 2 ~ 2 * ( }
Сложив кинетическую и потенциальную энергии, получаем формулу
для полной энергии тела:
W = WK + Wn = mu2A2/2, (2.18)
которая действительно сохраняется. Здесь мы воспользовались тем,
что
sin2 (a;£ + a) + cos2(wt + а) = 1.
Из формулы (2.16) видно, что кинетическая энергия минимальна тогда,
когда
sin(utf + а) = 0 или cos(art + a) = 1,
и максимальна, когда
sin(utf + a) = 1 или cos(u;£ + a) = 0.
Если воспользоваться первой формулой (формулой для смещения х)
из (2.14), то можно сделать следующий вывод: кинетическая энергия
колеблющегося тела максимальна, когда тело проходит через
положение равновесия, и минимальна в положении максимального
отклонения (точках поворота).
В случае потенциальной энергии, наоборот (это видно хотя бы из
того, что кинетическая энергия выражается через синус, а
потенциальная энергия — через косинус) потенциальная энергия
колеблющегося тела минимальна в положении равновесия и максимальна
в положении максимального отклонения.

2. Собственные колебания 19
Таким образом, при собственных колебаниях кинетическая и
потенциальная энергии тела поочередно переходят друг в друга, причем их
сумма остается неизменной:
mi* fc^ _ та;2Л2 _ _ кА2 „ д)
Тело проходит через положение равновесия с максимальной скоростью
vmax=u,A, (2.20)
затем скорость постепенно уменьшается и становится равной нулю
в положении максимального отклонения (в точке поворота)
После этого тело начинает двигаться назад в сторону положения
равновесия со все возрастающей скоростью, которая становится
максимальной при прохождении тела через положение равновесия. И так далее.
Формулы (2.16) и (2.17) позволяют определить мгновенные
значения кинетической и потенциальной энергий гармонического
осциллятора, т. е. их значения в определенный момент времени t. Но в
физике (особенно при исследовании систем, совершающих колебания
с большой частотой) очень важно знание средних значений
кинетической и потенциальной энергий. Среднее значение любой величины f(t)
за какой-то промежуток времени At определяется по формуле
At
(2.21)
В нашем случае в качестве времени At естественно брать период
колебаний, т. е.
At =
Здесь период колебаний сразу выразили через циклическую частоту
колебаний ш, т.к. в формулах (2.16) и (2.17) энергии выражены именно
через нее. Поэтому средние значения кинетической и потенциальной
энергий могут быть вычислены по следующим формулам:
2тг
о
2п
+ а) dt. (**)
Wn ср = —^- I соз
о
Очевидно, что оба интеграла в (*) и (**) одинаковы по величине,
так как и синус, и косинус меняются по гармоническому закону

20 Гл. L Колебания
с одинаковой частотой (с одинаковым периодом) и пределы
интегрирования одинаковы. Поэтому достаточно вычислить один из интегралов.
Например,
\cos2(ujt + a)dt =
о
= < введем новую переменную z = ut + a,dt=-dz\ =
2тг+а 2тг+а
If If
= — cos2 z dz = rr— (1 + cos 2z) dz =
ш J 2a; J
а а
1 Г ,2тг+а , 1 . о 127Г+<*
= — 2тг+ а-а+- (sin(47r + 2а) - sin2a) = -. (***)
Подставляя полученные значения интегралов в (*) и (**), находим
формулы для средних значений кинетической и потенциальной
энергий гармонического осциллятора:
W =W = mijA - W (2 22)
Мы здесь воспользовались формулой (2.18) для полной энергии W
гармонического осциллятора и можем сделать вывод, что средние
значения кинетической и потенциальной энергий гармонического
осциллятора одинаковы и равны половине полной энергии
осциллятора.
2.4. Взгляд с точки зрения закона сохранения энергии (ЗСЭ).
Воспользуемся ЗСЭ для получения закона собственных колебаний.
Из ЗСЭ (2.19) получаем формулу для скорости тела:
m
Проведем разделение переменных и проинтегрируем:
Же
И
(Ш Г. к
m V ш7
(*)

2. Собственные колебания 2\_
Наша задача — проинтегрировать правый интеграл. Введем новую
переменную (при этом пользуемся формулой (2.19) для полной энергии):
= -г, х = Ajy (**)
тогда интеграл в правой части (*) примет вид
Г /m Г d-у
Такой интеграл легко вычисляется, если сделать подстановку
sin a = 7-
Тогда л 1 2 2
<j7 = cos a da, I — 7 = cos a
и равенство (*) примет вид
~~ и J " <*>
Здесь
ш = у ^ • (2-23)
Переписав (АА) в виде
a = utf — ,
постоянную интегрирования С находим из начальных условий:
С = ——
о; '
где aj — начальная фаза колебаний.
Тогда
a = ut + Qi, 7 = sin(cjt + a^
и из (**) находим закон изменения смещения х тела из положения
равновесия:
Л(* + а1). (2.24)
А это есть закон гармонических колебаний (2.2а), который был
получен при решении уравнения движения (2.1). Так и должно было
быть. А что было бы, если бы вместо подстановки (Д) воспользовались
другой подстановкой,
cos a = 7?
Подумайте.
2.5. Жесткость возвращающей силы. Еще раз напомним
выводы, сделанные уже в первой главе:
1. На тело, совершающее колебания, действует упругая
возвращающая сила.

22
Гл. L Колебания
2. Колебания происходят около устойчивого положения
равновесия.
3. В положении устойчивого равновесия потенциальная
энергия Wn минимальна.
Потенциальная энергия Wn тела, совершающего колебания под
действием упругой возвращающей силы, является функцией от
смещения х тела от положения равновесия:
Wn = W(x), (2.25)
где положение равновесия находится в начале координат, при х = 0.
Потенциальную энергию тела (частицы) мы можем представить
в виде разложения в ряд Тейлора (вспомните математический анализ):
dx
х=0
+ 7^7
2! dx2
x=0
3!
.... (2.26)
х=0
Мы рассматриваем малые колебания (смещение х мало),
следовательно, ряд (2.26) является убывающим рядом по степеням малой
величины х. Поэтому этот ряд оборвем на первом нетривиальном неисчеза-
ющем члене. Рассмотрим члены ряда в убывающем порядке — начиная
с первого. Первый член ряда Wn(0) представляет собой потенциальную
энергию тела в положении равновесия — она постоянна. Как нам
известно из курса «Механика», потенциальная энергия определена с
точностью до произвольной константы. Мы этим можем воспользоваться,
и эту константу, т.е. Wn(0), можем просто отбросить (или, другими
словами, мы можем так выбрать систему отсчета, что в положении
равновесия потенциальная энергия тела будет равна нулю). Теперь
рассмотрим второй член ряда
dx
ж=0
• х. Так как в положении рав-
новесия потенциальная энергия минимальна, то мы можем вспомнить
условие экстремума (минимума и максимума) функции — в точке
экстремума первая производная функции по переменной, от которой
она зависит, равна нулю. В нашем случае в положении равновесия
потенциальная энергия минимальна, т. е. для нее условием минимума
является равенство нулю первой производной потенциальной энергии
по смещению в положении равновесия:
dx
= 0.
(2.27)
x=Q
Таким образом, и второй член ряда (2.26), равный нулю, для нас
несуществен. А вот третий член ряда
2 dx2
•х1
х=0
(2.28)

2. Собственные колебания 23
нетривиален, причем по условию экстремума в точке минимума вторая
производная должна быть положительна:
к =
> 0. (2.29)
ж=0
Остальными членами в ряде (2.26), ввиду их малости (ж3,ж4,... <С
<С х2), мы можем пренебречь. Тогда потенциальная энергия частицы
(тела), совершающей свободные колебания, может быть
определена по формуле
Wn = Щ-. ' (2.30)
где жесткость к возвращающей силы определяется по
формуле (2.29), т.е. она равна второй производной от потенциальной
энергии частицы (тела) по смещению в положении равновесия.
То, что величина к> введенная в (2.29), действительно является
жесткостью возвращающей силы, можно показать. Упругая возвращающая
сила является потенциальной силой и, как мы помним из курса
«Механика», потенциальная сила определяется как «минус» градиент от
потенциальной энергии:
(^^^) (2.30
В случае колебаний вдоль х потенциальная энергия Wn зависит
только от ж, поэтому производные от Wn по у и z равны нулю, а частную
dWn dWn T
производную -^-^ можно заменить на полную производную —г-2-. Тогда
CJX CLX
F = -i 2pL = -ite, F = -Jkc, (2.32)
ax
т.е. действительно fc, .определяемый по формуле (2.29), является
жесткостью упругой возвращающей силы, под действием которой
происходят гармонические колебания с частотой
т dx2
х=0
I
(2.33)
Пример 2.1. Математический маятник представляет собой груз
массой m = 1 кг, подвешенный на невесомой струне длиной != 1 м.
Определить период малых колебаний этого маятника.
Период Т определяется по формуле
где циклическая частота математического маятника дается
формулой (1.5) (или см. табл. 2.1). Подставляя в (*) значение длины маятника,

24
Гл. I. Колебания
получаем, что период колебаний равен 2 с и, конечно, от массы груза
не зависит.
Пример 2.2. Шар массой m = 1 кг и радиусом Л = 10 см подвешен
на невесомой струне длиной I = 90 см (рис. 2.3). Определить период
малых колебаний этого маятника.
Такая система «струна + шар» представляет собой физический
маятник, так как размером шара мы не можем пренебречь, поэтому
период колебаний этого маятника находим
с помощью формулы (1.7), определяющей
циклическую частоту колебаний:
Здесь lQ = I + R — расстояние от оси
вращения (точки подвеса О) до центра масс шара,
а /0 — момент инерции шара относительно
точки подвеса, который может быть определен
по теореме Штейнера:
РИС. 2.3
т _
1q —
+
-г
где Ic = -mR2 — момент инерции шара относительно центра масс.
D
Поэтому рабочей формулой для определения периода колебаний будет
= 2тг
\
Подставив численные значения (в системе СИ Д = 0,1 м, I = 0,9 м),
получим период колебаний маятника Т = 2,01 с.
Если бы эту систему рассматривали в качестве математического
маятника, то период колебаний был бы равен 2 с (см. предыдущую
задачу), т.е. абсолютная ошибка в определении периода колебаний
составила бы 0,01 с.
Пример 2.3. Частица массой 100 г совершает гармонические
колебания по закону х = 0,05 cos (тг£ + —) м. Определить:
1) амплитуду колебаний;
2) период колебаний;
3) начальную фазу колебаний;
4) скорость и ускорение частицы;
5) максимальную скорость и максимальное ускорение частицы;
6) силу, действующую на частицу; ее максимальное значение;
7) кинетическую, потенциальную и полную энергии частицы;
8) моменты времени, когда частица будет проходить через
положение равновесия.

2. Собственные колебания 25
Смещение х частицы из положения равновесия задано в метрах,
т.е. будем работать в системе СИ.
1-3. Амплитуда Л, циклическая частота ш и начальная фаза
колебаний определяются сразу из сравнений заданного закона колебаний
х = 0,05 cos (я"*+!) (*)
с общей записью закона гармонических колебаний (2.2):
х = Acos(ut -ha),
т. е. А = 0,05 м = 5 см, и = тг = 3,14 рад/с, а = тг/2 = 90°.
Период колебаний равен 2 с:
ш
4. Скорость х и ускорение х частицы определяются по формулам
х = —шА sin (ut + а),
х = -a;2 A cos (ut + а) = -ш2х.
Для нашего случая
х = -0,057rsin Гтг^ + х) = -0,157 sin (тг£ + ^ м/с,
х = -0,05тг2 cos (тг* + |) = -0,493 cos (тг* + |) м/с2.
По этим формулам могут быть определены скорость и ускорение
частицы для любого интересующего нас момента времени t. Например,
в начальный момент времени t = 0
х = 0, х = -0,157 м/с, х = 0,
т.е. в начальный момент частица, находясь в положении
равновесия х = 0, движется против оси х со скоростью х = 0,157 м/с без
ускорения. Через четверть периода,
t = I = £r = Jr. 1
4 4w 2u> 2 '
смещение, скорость и ускорение частицы будут таковы:
х = 0,05cos (| + |) = -0,05 м,
± = 0,157 sin (?- + ?-\ =0 м/с,
ж = -0,493 cos (| + |) = 0,493 м/с2,

26 Гл. I. Колебания
Таким образом, в этот момент времени частица максимально
смещена от положения равновесия в отрицательную сторону оси я,
скорость ее равна нулю (на мгновение остановилась), а ускорение
равно х = 0,493 м/с2 и направлено вдоль оси х. И так далее.
5. Максимальные значения скорости и ускорения определяются
по формулам
*W = *тах = ^ = 0,05тГ = 0,157 м/с,
<Wx = *max = "2А = 0>05тг2 = 0,493 м/с2.
6. Сила F, действующая на частицу, равна
F = тх = -0,493m cos Ut +1) = -0,0493 cos (тг* + |) Н.
По этой рабочей формуле сила, действующая на частицу, может
быть вычислена для любого момента времени t. В зависимости от знака
полученной величины, можно определить направление силы (вдоль
в случае знака «плюс», или против оси х). Максимальное значение
силы
= 0,0493 Н.
7. Кинетическую энергию WK частицы определяем по
формуле (2.16):
WK =
Потенциальная энергия находится аналогично (см. (2.17)):
Wn = 1,23 • 10"4 • cos2 (nt + J) Дж.
Полная энергия
W = WK + Wn = ^^- = 2,46 ■ Ю^4 Дж,
т.е. постоянна.
8. В момент прохождения частицы через положение равновесия
ее смещение х из положения равновесия равно нулю:
При выполнении этого условия
х = 0,05 • cos (nt + |) = 0,

2. Собственные колебания 27
т.е.
cos (nt + x ) =0.
Это выполняется тогда, когда аргумент косинуса равен нечетному
числу -:
где т — целое число, начиная с нуля. Поэтому частица в положении
равновесия будет находиться в следующие моменты времени:
t = т с, т = 0,1,2,
Пример 2.4. Определить по формуле (2.33) частоты малых
свободных колебаний для: 1) пружинного маятника; 2) математического
маятника; 3) физического маятника.
1. Пружинный маятник (см. рис. 1.1). В этом случае
потенциальная энергия маятника
кх
Wn(x) = ^-.
где к — коэффициент упругости пружины.
Так как
п — кх, vvn \х=0 — к,
то частота гармонических колебаний пружинного маятника,
определяемая по формуле (2.33), равна
как и должно быть.
2. Математический маятник (см. рис. 1.2). В этом случае
потенциальная энергия маятника как функция угла отклонения а,
... , ... ч _ , . о ol mglor
Wn = mgh = ?п0/(1 - cosa) = 2mglsm — » —^—,
где h — высота поднятия маятника над положением равновесия, I —
длина маятника, а — угол отклонения. Здесь мы воспользовались
малостью колебаний (sin^ » ^]. Так как смещение
х = Isma та ta => а « у,
то формула потенциальной энергии маятника как функции смещения х
принимает вид

28 Гл. I. Колебания
и поэтому
W'(x) -®¥±-Шх
1^
x=0 *
Таким образом, частота гармонических колебаний математического
маятника, опять же по формуле (2.33), равна
как и должно быть.
3. Физический маятник (см. рис. 1.3). Уравнение движения
физического маятника имеет вид
1а = М,
где / — момент инерции маятника относительно точки подвеса, а М —
момент силы (вращающий момент), под действием которого происходят
колебания физического маятника. Как видим, роль массы га играет
момент инерции /, роль координаты х — угол отклонения а, а роль
силы F — момент силы М. Потенциальная энергия физического
маятника определяется формулой
Wn = mgh = mglo(l — cos a),
где h — высота поднятия центра масс (точки С) физического маятника
над положением равновесия, /0 — расстояние от центра масс С до
точки О подвеса. Тогда
^L
W"
d2Wr
da2
= mgl0 cos a\a=0 = mgk
и циклическая частота гармонических колебаний физического маятника,
определяемая формулой (2.33), равна
что также совпадает с формулой (1.7).
Пример 2.5. Вычислить период малых колебаний ареометра
(см. рис. 2.4), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном
направлении. Масса ареометра т = 50 г, радиус трубки г = 3,2 мм,

3. Свободные затухающие колебания
29
плотность жидкости р — 1,00 г/см3. Сопротивление
жидкости пренебрежимо мало.
На ареометр при пренебрежении силой
сопротивления жидкости действуют две силы — сила тяжести
га#, направленная вертикально вниз (против оси х), о
и сила Архимеда, направленная вверх и равная по
величине весу вытесненной жидкости, т. е. 2-й закон
Ньютона запишется так:
% = *Арх "
(*)
.v.V.V.r.
УУУУЛ-
ууЩ-
•уууууХ-
1
Рис. 2.4
где х — координата нижнего конца ареометра, т.е.
х — его ускорение, aF- объем погруженной части
ареометра. В положении равновесия силы тяжести и Архимеда
уравновешивают друг друга
pVog = mg=> pV0 = m,
где Fo — объем погруженной части ареометра в положении равновесия.
Объем V погруженной части ареометра в процессе колебания
меняется и может быть вычислен по формуле
V = V* - Sx = V. - тгг2 • х.
(***)
Тогда 2-й закон Ньютона (*), с учетом (**) и (***), приводится к виду
х + ш2х = 0,
где ш = Г\№^- — циклическая частота колебаний ареометра. Таким
V т г г
образом, период колебаний ареометра
§ 3. Свободные затухающие колебания
3.1. Свободные затухающие колебания в вязкой среде.
В предыдущей главе мы изучали собственные колебания — колебания
под действием упругой возвращающей силы. В реальном случае на
тело, совершающее колебания, действует еще и сила трения или
сопротивления (например, сила сопротивления воздуха). В данной
главе в качестве силы трения возьмем силу, прямо пропорциональную
скорости тела (по закону Стокса для тела, движущегося в вязкой
среде — жидкости или газе):
F — -~£ (3 П

30 Гл. /. Колебания
Знак «минус» показывает, что сила трения направлена против скорости
тела, а 7 — коэффициент трения. Тогда второй закон Ньютона
(уравнение движения) принимает вид
тх = — кх — ух,
или
z + 2/?i + uAr = 0, (3.2)
где (—кх) — упругая возвращающая сила, а; — частота собственных
колебаний, а
как увидим позже, называется коэффициентом затухания.
Уравнение (3.2) — однородное дифференциальное уравнение
второго порядка и, как мы знаем из математического анализа, его решение
ищется в виде
х = Aoe~Bt cos^,* + a). (*)
Постоянные Ао и а, как и в случае собственных колебаний,
определяются из начальных условий. А вот величины В и и>{ мы можем
определить, подставляя искомое решение (*) в уравнение движения (3.2).
Для этого нам необходимо вычислить первую и вторую производные
от смещения х по времени. Они таковы
х = Аое~т [—Вcos(uj{t+a)— u{ sin(
х = Аое~т [В2cos(u{t + а) +2Вш{ am(u)
Подставляя выражения для х и х в (3.2), сократив на общий
множитель Аое~т и группируя, получаем
[В2 - и\ + и2 - 20В] cos (a;,* + a) + 2a;, [B-0] sin (c^* + a) = 0.
Это уравнение в общем случае выполняется при условии равенства
нулю коэффициентов при косинусе и синусе:
В - /3 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим искомые величины
Поэтому решением уравнения (3.2) является
х = А)^* cos(a;j* + a), (3.4)

3. Свободные затухающие колебания
31
где
(3.5)
Закон изменения смещения (3.4) тела от положения равновесия мы
можем записать в следующем виде
х =
где
A(t) = Aoe
(3.4а)
(3.6)
Мы видим, что закон колебаний (3.4а) в вязкой среде внешне похож
на закон собственных колебаний (2.2), но величина A(t), которую
можно назвать амплитудой колебаний, с течением времени
уменьшается, т.е. колебания являются затухающими.
На рис. 3.1 показана зависимость смещения х от времени (график,
дан для случая, когда начальная фаза а равна нулю) — пунктирная
линия показывает, что амплитуда колебаний уменьшается по
экспоненциальному закону. Коэффициент (3 называется коэффициентом
затухания.
Аое
-pt
Рис. 3.1
Надо подчеркнуть, что затухающие колебания возможны лишь
в случае слабой вязкости, т. е. в случае, когда выполняется условие
0<ш. (3.7)
В этом случае, как мы видим из (3.5), затухающие колебания
происходят с частотой wp меньшей частоты собственных колебаний и
(колебаний без трения):
о>1 < и, (3.8)

32 Гл. I. Колебания
что интуитивно понятно. Поэтому период Тх затухающих колебаний
больше периода Г собственных колебаний:
Tl = ^>T=^. (3.9)
Это объясняется тем, что трение замедляет движение тела.
Полезно ввести понятие времени релаксации т. Временем
релаксации называется время г, в течение которого амплитуда
колебаний уменьшается ве = 2,71828... раз. Нетрудно убедиться, что это
время равно
г = ^. (ЗЛО)
Действительно, определив амплитуды колебаний в моменты времени t
и t + т:
A(t) = Аое-&, A(t + т) = Ао
убеждаемся в верности определения времени релаксации:
=1 е = 2,71828.... (3.11)
e
Подставляя в определение (3.6) амплитуды колебаний время t и t + Tlf
несложно определить изменение амплитуды за один период колебаний:
е
A(t)
гДе т
(3.13)
1 iY0
называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь вновь
введенная величина ЛГ0,
^o = f> (3.14)
равна числу периодов за время релаксации, т. е. числу полных
колебаний, после которых амплитуда уменьшается в «е» раз.
Надо подчеркнуть, что затухающие колебания не являются
гармоническими, так как амплитуда колебаний не постоянна.
Рассмотрим случай очень вязкой среды — случай сильного трения:
(5>и. (3.15)
В этом случае подкоренное выражение в определении (3.5) частоты и{
становится отрицательным и, чтобы избавиться от этого, мы
воспользуемся мнимой единицей г:
~~ (3.16)

__ 3. Свободные затухающие колебания 33
Здесь выражение под квадратным корнем уже положительно. В этом
случае лучше перейти к комплексному представлению (см. (2.11)).
Тогда решение (3.4а) может быть представлено в виде
х = Re {^~*е*М+в>} = V* Ree*<w«*+e>.
Здесь мы воспользовались тем, что Ао и е~&г — вещественные числа.
Подставляя вместо их его выражение (3.16), получаем
х = Аое-* Re {e-V^4*a} = V"^4^^'* Нее",
откуда приходим к выводу, что движение тела не будет колебательным:
* = A0cosa.e-(/3+v/^K (3.17)
Действительно, с течением времени смещение х монотонно
стремится к нулю, т.е. тело без всяких колебаний приходит в положение,
равновесия (х = 0).
Таким образом, мы можем сделать следующий вывод.
В слабовязкой среде, когда выполняется условие (3.7)
где и> — частота собственных колебаний, тело совершает
затухающие колебания с частотой
а в сильно вязкой среде, когда (см. (3.15))
тело, не совершая колебательного движения, монотонно движется
к своему положению равновесия.
3.2. Диссипация энергии при затухающих колебаниях.
Очевидно, что при затухающих колебаниях происходит диссипация (потеря)
энергии колеблющимся телом (частицей). Полная энергия
колеблющегося тела может быть вычислена по формуле (2.18), но вместо
частоты и собственных колебаний надо взять частоту и)х затухающих
колебаний (см. (3.5)), а амплитуду — в виде (3.6), т. е.
m^, (3.18)
Мы видим, что энергия тела, совершающего затухающие
колебания, убывает по экспоненциальному закону. В случае очень
слабой вязкости можно считать, что

34 Гл. I. Колебания
т.е. частоту затухающих колебаний можно заменить частотой
собственных колебаний и тогда полная энергия тела может быть выражена
следующим образом:
Woe-2#9 (3.18а)
где WQ — полная энергия тела, совершающего собственные колебания
(полная энергия гармонического осциллятора) с частотой ш и
амплитудой Ао:
Wo = ^ (3.19)
или полная энергия колеблющегося тела в начальный момент времени
0). (3.19а)
Таким образом, мы еще раз можем сделать вывод, что полная
энергия колеблющегося тела, равная в начальный момент Wo,
убывает по экспоненциальному закону и за время
тЕ = \ = ^ (3.20)
уменьшается в е раз. Последнее утверждение очевидно из (3.18а):
Из (3.20) ясно, что уменьшение энергии происходит с вдвое большей
скоростью, чем уменьшение амплитуды колебаний.
При исследовании колебательных систем (вначале в радиотехнике)
было введено понятие добротности системы, связанное прямо с
качеством (способностью затухать не слишком быстро) колебательной
системы. Исторически так получилось, что добротностью Q
называют отношение запасенной к определенному моменту времени
энергии колеблющейся системы W(t) к энергии AWTf, теряемой
этой системой за один период времени, умноженному на 2тг:
(3.21)
Так как
AWTl = W(t) - W(t + Т{) = W(t) (1 - e
то добротность колеблющейся системы
О 27Г 2?г 27Г
_ е-2/зт, - i _ е-2* - 2
1 - е No

3. Свободные затухающие колебания
35
Здесь в — логарифмический декремент затухания, No — число полных
колебаний, после которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Когда это число велико,
ЛГ0> 1,
т. е. в случае очень слабой вязкости, мы можем воспользоваться
представлением экспоненты в виде убывающего ряда:
о — с « — 1 — ^»i/ т -6»i/ — . .. ^ 1 — ~г о — ....
iV0 iV0
Тогда добротность может быть вычислена по более простой формуле
(членами порядка в2 или \/Щ и выше пренебрегаем):
(3.23)
Из этой формулы понятна причина, по которой данный параметр был
назван «добротностью» — чем меньше система подвержена затуханию,
тем больше число iV0, т. е. тем более качественна («добротна») система.
Добротность безразмерная величина. В табл. 3.1 приведены значения
добротностей разных колеблющихся систем.
Таблица 3.1
Но
1
2
3
Колеблющаяся система
Сейсмические колебания
Скрипичная струна
Электромагнитные колебания
Q
20-1000
~ 1000
107-1012
3.3. Колебания при сухом трении. До сих пор мы рассматривали
случай вязкой среды — сила трения (сопротивления) была
пропорциональна скорости колеблющегося тела (см. (3.1)). Но довольно часто
приходится иметь дело с системами (телами), в которых существенна
сила трения другого типа — сила сухого трения, направленная
против скорости, но не зависящая от величины скорости. Если
колебания происходят вдоль оси х, то силу сухого трения FTp можно
представить в виде
(3.24)
где -ггг =signi дает правильное направление действия силы трения,
_ М
aF0- величина силы сухого трения, не зависящая от скорости тела.
Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) принимает вид
тх = -кх - £;
(3.25)

36 Гл. I. Колебания
Это неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
(«неоднородность» равна (-~рт~))» и его решение равно сумме
общего решения однородного уравнения (2.1)
х + и2х = О
и частного решения неоднородного уравнения (3.25). Общее решение
х00 однородного уравнения известно (см. (2.2)):
а частное решение хчн неоднородного уравнения (3.25) равно
х F
в чем нетрудно убедиться простой подстановкой. Поэтому решение
уравнения (3.25) при наличии силы сухого трения имеет вид
(3.26)
Здесь ш — частота собственных колебаний. Отсюда видно, что если
перейти в другую систему координат ж', у', z\ смещенную относительно
х Fo
первоначальной системы координат х> у, z на величину р-г—^ вдоль
оси х, т. е. если перейти к новой переменной 'х'ттш
\x\mu2
то колебания происходят около точки, смещенной в сторону откло-
F F
нения на величину —^ = -=^. Поэтому за один период амплитуда
колебаний уменьшается на величину —^:
ДЛ(Г) = A(t) - A(t + T) = ^ = ^ (3.28)
и зависимость амплитуды колебаний от времени в случае сухого
трения имеет вид
/ ар. *\
(3.29)
где Ао = A(t = 0) — начальная амплитуда колебаний. Амплитуда
колебаний в случае сухого трения уменьшается линейно со
временем, в отличие от экспоненциального уменьшения в вязкой среде

3. Свободные затухающие колебания 37
(см. (3.6)). Число колебаний Nu которое тело сумеет совершить до
полного прекращения колебаний, может быть определено по формуле
AF AF '
полученной из учета того, что за один период амплитуда колебаний
уменьшается на АА(Т). Из (3.26) и последующих формул можно
заключить, что колебания при сухом трении происходят с частотой,
равной частоте и собственных колебаний тела, но эти колебания
смещены относительно положения равновесия в сторону
первоначального отклонения на величину, равную F0/(mu2) = F0/ky
и при этом амплитуда колебаний уменьшается линейно со
временем.
Пример 3.1. Допустим, что имеется осциллятор с массой m =
= 0,01 кг и жесткостью к = 1 Н/м. При проведении эксперимента
его поместили в две разные среды и получили два разных значения
времени релаксации: тх = 0,5 с и т2 = 0,2 с. Определить частоты
колебаний осциллятора в этих средах.
Частота их затухающих колебаний осциллятора в среде
определяется по формуле (3.5):
где w — частота собственных колебаний осциллятора, определяемая
формулой
u = J± =10 с"1,
V m
а /3 — коэффициент затухания, связанный со временем релаксации:
'4
Для двух разных сред, подставив численные значения времен
релаксации тх и т2, получим соответствующие значения коэффициентов
затухания:
1 ri 2 Т2
Тогда из (*) можно найти ответы на вопросы:
и>{ = yjw2 - 02 =9,80 с"1,
о>2 = \1ш2 — fl\ = 8,66 с"1.
Сравните с частотой собственных колебаний осциллятора.
Пример 3.2. Тело массой m = 50 г совершает затухающие
колебания. Определить коэффициент трения 7» если за время tx = 30 с оно
потеряло 40% своей энергии.

38 Гл. /. Колебания
Коэффициент трения (сопротивления) 7 может быть выражен через
коэффициент затухания /3 (см. (3.3)):
7 = 2т/?, (*)
т. е. надо найти коэффициент затухания /?, что можно сделать,
используя формулу (3.18а) для энергии:
W(t = 0) = Wo, W(tx) = Woe-W> =» ^fcO) = «А*,. (м)
Отсюда логарифмированием получаем формулу для /3:
а 1 . W(t = 0)
0 = ^-
и рабочую формулу для искомой величины — коэффициента трения:
Учитывая, что за время tx энергия тела уменьшилась на 40%, т.е.
W(t1) = 0,6-Wr(t = 0)
и, подставив численные значения, находим коэффициент трения:
Задача решена.
Пример 3.3. Согласно классической электронной теории,
интенсивность, с которой колеблющаяся заряженная частица излучает
энергию, равна
' Х
где / — интенсивность излучения (энергия, излучаемая в единицу
времени), е — величина заряда частицы, с — скорость света в вакууме,
х — ускорение частицы. Найти среднюю интенсивность излучения /ср
и показать, что при этом коэффициент затухания /3 может быть
определен по формуле
Р Зшс3'
где и> — циклическая частота колебаний заряженной частицы.
Определим /ср за один период колебаний частицы:
з —#- (cos И + а))ер =► 4р = -^3--

4. Вынужденные колебания 39
В этой цепочке преобразований мы воспользовались тем, что за один
период амплитуду колебаний можно считать неизменной, а среднее
значение квадрата косинуса равно 1/2 (см., например, вычисление
интеграла (***) перед формулой (2.22)):
т
If 1
(cos2(u>< + a))cp = - I cos2(wt + a)dt=2-
Интенсивность излучения, по определению, равна величине
уменьшения энергии W колеблющегося заряда за единицу времени:
г-К (**)
1 =
dt
Здесь мы использовали формулы (3.18а), (3.19) и (3.6) для энергии
и амплитуды колебаний тела, совершающего затухающие колебания:
W(t) = Woe-2**, W0^^M9
A(t) = Aoe-#.
Среднее значение интенсивности, если опять считать, что
амплитуда колебаний за один период остается неизменной, равно
1ср = (тш*0А\ = тш20А2. (***)
Сравнивая правые части (*) и (***), находим формулу для
коэффициента затухания:
Р Зшс3*
Задача решена.
§ 4. Вынужденные колебания
4.1. Общее решение в случае гармонической вынуждающей
силы. В предыдущем разделе мы рассматривали колебания в вязкой
среде, т. е. колебания при наличии трения. Они оказались
затухающими, что говорит о том, что при наличии сил трения энергия тела,
совершающего колебания, с течением времени уменьшается и стремится
к нулю — колебания тела прекращаются. Для поддержания колебаний
на тело должна действовать внешняя, вынуждающая тело совершать
колебания сила, изменяющаяся по периодическому закону:
(4.1а)
Допустим, что на тело действует внешняя вынуждающая
гармоническая сила, меняющаяся с циклической частотой и2:
FBbIH = Fo cos u2t. (4.1)

40 Гл. I. Колебания
Тогда второй закон Ньютона (уравнение движения) принимает вид
тх = —кх — yx + F0 coso^, (4.2a)
или
х + 2/Зх + uj2x = /0 cos u>2ty (4.2)
где и) и /3 — известные из предыдущих разделов, соответственно,
частота собственных колебаний и коэффициент затухания, а
А-5- <43>
Уравнение движения (4.2), в отличие от уравнения (3.2) для
затухающих колебаний, является неоднородным дифференциальным
уравнением второго порядка. Неоднородностью является правая
часть /0cosa>2£, не зависящая от искомой величины — смещения х.
Из математического анализа мы знаем, что общее решение
неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
х = хобщее(однородное уравн.) + хчастное(неоднородное уравн.). (4.4)
Общее решение однородного уравнения (это уравнение (4.2), в
котором правая часть считается равной нулю) мы знаем из предыдущей
главы, это формула (3.4а):
хобщее(однородное уравн,) = Аое~^г cos^t + &)• (*)
По истечении достаточно большого промежутка времени из-за
множителя е~^ смещение (*) исчезает:
хобше(однородное уравн.) = 0. (4.5)
I—КХ>
Конечно, ждать бесконечно долго (t —> оо) — чтобы установились
вынужденные колебания, нет необходимости — на практике для этого
достаточно времени, в 3-5 раз большего времени релаксации г:
Д*уст » (3-5)т. (4.5)
За это время величина Аое~@г («амплитуда» затухающих колебаний)
уменьшается примерно от 20 до 150 раз.
Таким образом, решение (4.4) уравнения (4.2) будет равно частному
решению неоднородного уравнения:
х — хчгстиое(неоднородное уравн.). (4.6)
Мы займемся этим решением. Не интересуясь переходным
режимом колебаний, когда тело, совершая затухающие колебания,
постепенно переходит в режим установившихся колебаний, установим

4. Вынужденные колебания 4J[
закон изменения смещения х тела при этих установившихся
колебаниях. Это решение будем искать в виде
х = A cos(w2t + <p). (4.7)
Вычислив производные по времени от (4.7)
х = —Аш2 sin(u2t + <£>),
х = — AuJcj, cos(u)2t + ф)
и подставив их в уравнение движения (4.2), получаем
s(u2t + Ф) — 2/3Аи2 sin((j2t + <р) + и2 A cos(u2t + ц>) = /о
Пользуясь известными тригонометрическими формулами разложения
синуса и косинуса суммы углов и сгруппировав подобные выражения,
приходим к следующему равенству:
А [(о;2 — и\) cos ip — 2/3u>2 sin ip\ cos w2t+
+ A [(u2 — a;2) sinv? —
Это равенство в общем случае выполняется тогда, когда
коэффициенты при cosuJ2t в левой и правой частях равенства одинаковы,
а коэффициент при sinu^ равен нулю:
А {(а;2 — о;2) cos (р — 20и2 sin <р} = /0, (Д)
Л {(а>2 - а;2) sin (р - 2/За>2 cos ^} = 0. (ДД)
Из (ДД) сразу находим формулу, позволяющую определить <р в (4.7):
2/?о;2
(4.8)
Из (Д) получаем
{(о;2 — и2) cos (p — 2@ш2 sin <p}
л
{(a;2 -a;|) -
Здесь все преобразования понятны. Избавимся от cos (р. Для этого
воспользуемся формулой (4.8) для тангенса:
о sin2 (р 1 — cos2 ф 1 ,
cos2<^ cos2<^ cos2</>

42 Гл. I. Колебания
Из этого равенства несложно определить косинус:
2 2
cos <р = Ш ^2 . (4.9)
Подставляя это выражение для косинуса в (ААА), получаем формулу
для амплитуды колебаний:
А= , /о„ (4.10)
4
Таким образом, установившееся решение уравнения (4.2) для
вынужденных колебаний в случае наличия сил трения имеет
вид (4.7)
х =
где амплитуда колебаний А и фаза <р (т.е., сдвиг фаз между
смещением х и силой FBbIH) определяются по формулам (4.10) и (4.8):
Т. е. под действием гармонической вынуждающей силы тело
совершает вынужденные гармонические колебания с той же частотой,
что и вынуждающая сила.
Зная связь между синусом и косинусом, мы можем определить
формулу для синуса фазы (р:
WW (4.11)
Формулы (4.7), (4.8) и (4.10) позволяют полностью узнать, как
будут происходить вынужденные колебания. Но полезно рассмотреть
некоторые частные предельные случаи.
4.2. Частные случаи. Частные случаи, которые мы сейчас
рассмотрим, ярко проявляются в случае слабого трения, т.е. будем
считать, что выполняется следующее неравенство:
/3<о; (4.12)
— коэффициент затухания значительно меньше частоты
собственных колебаний.

4. Вынужденные колебания 43
Случай А. Рассмотрим случай малой вынуждающей частоты:
и>2<^. (4.13)
В этом случае
2
Тогда из (4.10) получаем амплитуду колебаний
и)2 тш1 к
а из (4.9) и (4.11) — значения косинуса и синуса фазы (р:
cos<p
Таким образом, разность фаз (р между смещением х и вынуждающей
силой FBbIH равна нулю:
р = 0. (4.15)
Поэтому в случае малой вынуждающей частоты (см. (4.13)), мы можем
сделать следующие два вывода:
1. Закон колебаний (4.7) принимает вид
х = Acosct^, (4.16)
т.е. смещение х тела от положения равновесия и вынуждающая
сила FBbiH (см. (4.1)) имеют одну фазу.
2. Амплитуда колебаний (4.14) определяется амплитудой Fo
вынуждающей силы и силы упругости, а сила трения роли не
играет.
Этот же результат можно получить и непосредственным решением
уравнения, получающегося из общего уравнения (4.2) в случае малой
вынуждающей частоты (4.13). Действительно, при этом скорость х
и ускорение х колеблющегося тела будут малы, и ими в уравнении (4.2)
можно пренебречь. Тогда вместо (4.2) будем иметь
F F
ш2х = —cos<jj2t => x = -rpcosu^, (4.16a)
ТТЬ К
т.е. сразу приходим к закону колебаний (4.16).
Случай Б. Рассмотрим другой крайний случай — случай большой
вынуждающей частоты:
u;2>u;. (4.17)
В этом случае

44 Гл. I. Колебания
Тогда амплитуда колебаний (см. (4.10))
"I i ■ 2^2 а
cos<£> « ~=г = -1, sin<£> « =£• =0.
Отсюда определяем разность фаз между смещением х и вынуждающей
силой F'
¥> = -*. (4.19)
Из формул (4.18) и (4.19) мы можем сделать следующие два вывода:
1. Закон колебаний (4.7) принимает вид
х = A c,os(u)2t — я"), (4.20)
т. е. смещение х тела от положения равновесия отстает от
вынуждающей силы FBbIH по фазе на 180°.
2. Амплитуда колебаний (4.18) определяется амплитудой Fo
и частотой и>2 вынуждающей силы, а также массой т тела,
совершающего колебания. Причем чем больше частота вынуждающей
силы, тем (при фиксированных Fo и га) меньше амплитуда
колебаний. Сила упругости и сила трения роли не играют.
И здесь те же самые результаты можем получить, если сразу
упростим уравнение (4.2) в случае большой частоты колебаний вынуждаю-
щей силы (4.17). На этот раз период вынужденных колебаний Т = —
мал, поэтому за весьма малый промежуток времени, равный четверти
периода колебаний, колеблющееся тело не успевает приобрести
большую скорость х и не успевает сместиться на большую величину х,
т.е. ими в уравнении (4.2) можно пренебречь. Поэтому вместо (4.2)
будем иметь
х= f^cosuM. (4.20а)
т
Решением этого уравнения является
F F
X = ~ ^ ^
т.е. то, что мы выше уже получили (см. (4.20)).
Случай В. Рассмотрим случай, когда частота и2 вынуждающей
силы приблизительно равна частоте и собственных колебаний:
ш2ъи. (4.21)
В этом случае
2 + 4/?2о;22 » 4/32а;22 ^

4. Вынужденные колебания 45
Поэтому для амплитуды колебаний получаем следующее выражение:
(4.22)
2/Зш
0,
2/ЭЦ
Таким образом, в этом случае разность фаз между смещением х
и вынуждающей силой FBhlH равна
¥> = -|- (4-23)
Из общей формулы (4.10) для амплитуды А вынужденных колебаний
видно, что при выполнении условия (4.21) амплитуда должна
принимать максимальное значение, т.е. значение (4.22) для амплитуды
является максимальной при заданной вынуждающей силе для
конкретного тела, совершающего колебания. Из этих соображений, используя
формулы (4.22) и (4.23), мы можем сделать следующие два вывода:
1. Закон колебаний (4.7) принимает вид
(4.24)
т. е. смещение х тела от положения равновесия отстает от
вынуждающей силы FBblH по фазе на 90° и частота колебаний равна
частоте и собственных колебаний.
2. Амплитуда колебаний, определяемая формулой (4.22),
становится максимальной, т.е. наблюдается явление резонанса
колебаний.
Определим из смещения (4.24) скорость колеблющегося тела:
х = —о;A sin lut — — ] = uAcoswt = uAcosu2t. (4.25)
Мы видим, что скорость х и вынуждающая сила FBMH меняются
в одинаковой фазе. Это интуитивно понятно, так как в этом случае
тело будет получать необходимые толчки в соответствующие моменты
времени, что приводит к явлению резонанса.
Как в двух предыдущих случаях А и Б, и здесь общее уравнение
движения (4.2) может быть упрощено. Так как и2 та ш9 то вынужденные
колебания происходят с частотой собственных колебаний, т. е.
х 4- и)2х та 0,
поэтому уравнение (4.2) примет вид
2/?ж = ^ cos art. (4.24а)
т
Здесь частоту и2 мы заменили на частоту ш собственных колебаний.

46
Гл. /. Колебания
Скорость колеблющегося тела
что совпадает с (4.25). А смещение х (решение уравнения (4.24а))
х =
sinu;* =
cos
(art - -),
V 2/
2т/3ш 2т(3и
т.е., как и должно быть, мы получили закон колебаний (4.24).
4.3. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.
Формула (4.10) дает зависимость амплитуды А вынужденных
устоявшихся колебаний от частоты о>2 внешней вынуждающей силы и
позволяет построить график зависимости амплитуды колебаний от частоты
вынуждающей силы (см. рис. 4.1) — амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) колеблющейся системы. В случае малых частот
вынуждающей силы амплитуда колебаний уменьшается до величины,
определяемой формулой (4.14):
0
(4.26)
затем с увеличением и2 монотонно возрастает и, достигнув максимума,
опять начинает уменьшаться и стремится к значению, которое можно
найти по формуле (4.18):
(4.27)
При определенной частоте о;2рез вынуждающей силы наблюдается
резонанс колебаний — резкое возрастание амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к
частоте собственных колебаний — колебания происходят с
максимальной амплитудой Аре3. Резонансную частоту
о;
2рез
можно
J "2
Рис. 4.1

4. Вынужденные колебания 47
определить из условия экстремума амплитуды, т. е. из условия
экстремума функции A(uj2) (см. (4.10)) по частоте и2.
"^ 2(1f"?'""2"2)+4^'2"2°°
(4.28)
Мы видим, что частота ы2рез резонансных колебаний несколько меньше
частоты шх свободных затухающих колебаний (см. (3.5)):
= V"2 - 2/J2 < ^ = д/^2 - /З2, (4.29)
которая в свою очередь меньше частоты и собственных колебаний, т. е.
В случае частот и2 вынуждающей силы, близких к частоте а;
собственных колебаний, формула (4.10) для амплитуды вынужденных
колебаний может быть упрощена. В этом случае подкоренные выражения
в (4.10) могут быть приближенно заменены на
(о;2 - с»;2) = [(ш - и2)(ш + и2)}2 « (о; - и2)2 • 4а;2,
Тогда формула (4.10) для амплитуды вынужденных колебаний примет
вид
л= Fo 1 _ Fo » 1
/(^777
где Q — добротность колебательной системы (см. (3.23)):
Формулу (4.31) для амплитуды вынужденных колебаний можно
представить в виде р
А(ш2) = -fQL(w2), (4.31а)

48
Гл. I. Колебания
где введенная функция Ь(ш2) от частоты колебаний вынуждающей
силы -
Ь(ш2) = , (4.32)
называется лоренцевой функцией колебательной системы. Она
безразмерна и принимает максимальное значение, равное единице, при
частоте о;2 вынуждающей силы, равной частоте и собственных колебаний:
£max = L(u2 — w) = 1» (4.32а)
На рис. 4.2 приведен график зависимости лоренцевой функции
колебательной системы от частоты вынуждающей силы — этот график
называют еще лоренцевым контуром. За ширину лоренцева
контура Ди>2 принята его ширина, соответствующая частоте
вынуждающей силы, при которой энергия колебательной системы становится
вдвое меньше максимально возможного значения энергии данной
колебательной системы. Так как энергия колебательной системы
пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то только что сказанное
соответствует тому, что квадрат лоренцевой функции должен
уменьшаться вдвое:
1
\т) +1
1
2
(4.33)
(4.33а)
что показано в определении ширины лоренцева контура на рис. 4.2.
Из (4.33) следует, что
Так как здесь ширина лоренцева
контура До>2 = 2(а> — о>2), то несложно
убедиться в том, что ширина
лоренцева контура равна удвоенному значению
коэффициента затухания или, другими
словами, коэффициент затухания
равен половине ширины лоренцева
контура:
/?=^. (4.34)
Рис. 4.2
Можно считать (это видно из лоренцева контура на рис. 4.2), что
колебательная система наиболее интенсивно колеблется для частот

4. Вынужденные колебания
49
внешней вынуждающей силы, заключенных в интервале ширины
контура:
Ли?
Аи
(4.35)
Таким образом, ширина лоренцева контура характеризует наиболее
благоприятную для данной колебательной системы полосу частот, при
которых она наиболее эффективно откликается на внешнее
воздействие. Мы знаем, что добротность Q системы (см. (3.23)) определяет
«качество» системы, ее меньшую или большую подверженность
затуханиям, поэтому между ею и шириной лоренцева контура должна быть
прямая связь.
Действительно,
тг _ тг
2тг
(4.36)
т. е. знание ширины лоренцева контура позволяет определить
добротность колебательной системы и наоборот.
Так как энергия колебательной системы пропорциональна
квадрату амплитуды колебаний, то часто пользуются графиком
зависимости энергии (квадрата амплитуды) от частоты вынуждающей силы
(см. рис. 4.3). Шириной этой кривой считается До;2, определяемая
половиной значения резонансной энергии (половиной квадрата
резонансной амплитуды). Очевидно, что эта ширина и ширина лоренцева
контура одинаковы.
Рис. 4.3

50 Гл. I. Колебания
Из закона (4.7) установившихся вынужденных колебаний,
вычисляя первую и вторую производные по времени, можно получить
формулы для скорости и ускорения осциллятора:
v = х = -Аш2 sin(u;2* + ч>) = Аш2 cos (u2t + <p + -),
V */ (4.37)
а = х = — At| cos^^ + </?) = «Awf cos(o;2t + (р -f тг).
Отсюда находим амплитудные значения скорости и ускорения:
л Fo
(4-38)
Здесь для амплитуды Л колебаний подставили ее выражение из (4.10).
Аналогично АЧХ (см. рис. 4.1) для амплитуды смещений также
можно построить графики зависимости амплитудных значений
скорости и ускорения — они внешне похожи, но резонансные значения
скорости и ускорения достигаются при других значениях частот внешней
вынуждающей силы. Убедимся в этом. Резонансные значения амплитуд
скорости и ускорения получатся для частот с4рез и и'2рез> которые могут
быть определены из условий экстремума:
Ц^т л Ддтах __ л / ч
d
Вычисление этих производных несложно, постарайтесь сделать это
сами.
Решая уравнения (*), находим искомые частоты:
Jt = J- (4.39)
W2pe3 y/u* - 2/32 '
где Црез — частота внешней вынуждающей силы, при которой
происходит резонанс скорости (кстати, она совпадает с частотой и собственных
колебаний осциллятора), а и2рез — аналогичная частота для ускорения.
Как мы видим (см. также (4.28)), резонансные частоты для смещения,
скорости и ускорения не совпадают, причем
(4.40)

4. Вынужденные колебания
51
их значения можно определить по формулам (4.28), (4.39), и связь
между ними проста:
^'рез- (4.41)
Перейдем к рассмотрению ФЧХ (фазочастотной характеристики)
осциллятора, находящегося под действием внешней гармонической
вынуждающей силы.
На рис. 4.4 приведена ФЧХ осциллятора — зависимость фазы <р
отставания смещения х от внешней силы. То, что смещение х
постоянно отстает по фазе от внешней вынуждающей силы, ясно из
формул (4.1) и (4.7):
F =
х =
и формулы (4.11), откуда видно, что siny> отрицателен и фаза <р
принимает отрицательные значения в интервале от 0 до (-тг). ФЧХ
может быть построена при
использовании (4.8). Мы видим, что при очень
малых частотах ш2 колебаний внешней
силы отставание смещения х по
фазе от силы F очень мало. С
увеличением частоты ш2 отставание
увеличивается и достигает значения (—тг/2)
при резонансе — в этом случае
смещение и сила достигают соответственно
максимального и минимального своих
значений, или наоборот. Это мы
прекрасно знаем из своего детства —
любой из нас катался на качелях и
только что сказанное мы интуитивно
понимаем. При дальнейшем увеличении
частоты ш2 вынуждающей силы
отставание смещения по фазе от силы продолжает увеличиваться, достигнув
в пределе (-тг), т.е. при очень больших частотах ш2 вынуждающей
силы смещение и сила меняются в противофазе.
4.4. Общий случай произвольной вынуждающей силы.
Рассмотрим случай периодической вынуждающей силы (см. (4.1а)):
^вын(0 = *вын(* + Т)> (4-42)
которая может меняться произвольно (не обязательно гармонически)
в течение своего периода Г. Из математического анализа известен
метод Фурье — любая периодическая функция может быть разложена
—тг -
Рис. 4.4

52 Гл. I. Колебания
в ряд Фурье. В нашем случае произвольная (но периодическая!)
вынуждающая сила также может быть разложена в ряд Фурье:
п=0
= Fqqcos(fQ + F0l cos(u)xt + ipx) + F02 cos(u2t + <p2) + . •.,
(4.43)
где 2
a;n = ^ n. (4.44)
Это разложение имеет простой смысл — в общем случае любая
периодическая сила может быть представлена как алгебраическая сумма
некоторой постоянной силы Fqq cos <p0 и совокупности гармонических
сил с амплитудами F01,F02,..., начальными фазами ^lf^2»---»
меняющихся с циклическими частотами
кратными частоте
которая называется основной (низшей) частотой вынуждающей
силы. Тогда уравнение колебаний (второй закон Ньютона) вместо (4.2а)
примет вид
оо
тх = -кх - ух + ^Г FOn cos(unt + ipn). (4.46)
Решением этого уравнения является
оо /2тг \ °°
*(*) = 53 Лп cos ( Ynt + V-n ) = XI Лоп cos (wnt + фп). (4.47)
n=0 ^ ' n=0
Таким образом, в общем случае действия произвольной
периодической силы тело совершает сложное колебательное движение,
представляющее собой суперпозицию (наложение) вынужденных
гармонических колебаний с частотами, кратными основной
частоте. Эти колебания определяются «своими» внешними
гармоническими силами F0ncos(u;nt + <рп). Амплитуды AQn и начальные фазы фп
находятся из начальных условий.
Пример 4.1. Допустим, что на гармонический осциллятор с массой
т = 0,001 кг, жесткостью к = 10 Н/м и временем релаксации г = 0,5 с
действует вынуждающая сила
^вын = 0,01 sin 90* (Н),
меняющаяся по гармоническому закону. Определить амплитуду А
и фазу <р вынужденных колебаний.

4. Вынужденные колебания 53
Амплитуда А вынужденных колебаний определяется по
формуле (4.10):
А =
/о
т.е. нам надо определить четыре величины — /0, и, и2> и &•
Величину /0 определяем по формуле (4.3):
/0 т 0,001 кг кг'
а частота и>2 вынуждающей силы известна из условия задачи:
w2 = 90c-'.
Частота и собственных колебаний равняется
ш = \[^- =100 с"1.
V т
Коэффициент затухания находим, зная время релаксации
(см. (3.10)):
/3 = ^ = 2 с"1.
Подставив в (4.10) численные значения найденных величин,
определяем амплитуду вынужденных колебаний:
А « 5,4 • 10~3 м = 5,4 мм.
т. е. она чуть больше 5 мм.
Фазу <р колебаний находим, используя формулу (4.8):
т е
(р » tg(p » -0,1 рад « -6°.
Задача решена — осциллятор совершает вынужденные колебания
по закону е . /ЛЛ^ Л , ч
J х = 5,4 cos(90£ - 0,1) мм,
откуда можем сделать следующий вывод: смещение х отстает от
вынуждающей силы на 6° (0,1 рад) по фазе, что по времени равно
примерно одной тысячной секунды:
Ai = ^ = P^«0,001c.
и2 90
Пример 4.2. Определить среднюю мощность вынуждающей силы
для тела, совершающего в отсутствие вынуждающей силы
гармонические колебания.

54 Гл. I. Колебания
Искомая величина определяется по формуле
Определяя скорость х из (4.7)
х = — ш2 A sm{w2t + ф)
и подставляя ее в (*), получаем
= - w#"» (cosu^ • sin(u>2t + <p)) . (**)
/(2|)2 4/?Ч
При этом, воспользовавшись формулой (4.10) для амплитуды А
колебаний, и формулой (4.3), определяющей величину /0, нам необходимо
определить среднее за период значение круглой скобки в (**):
т
1 f
(cosw2t • sin(u2t + ¥?))cp = 7f cosuj2t • sm(u2t + cp)dt =
о
= (cosu^ • smu2t • cosф) + (cos2 u2t • sin(/?)c =
= sin <£ (cos2 cj2^)c = к s^n ^- (***)
Здесь синус суммы углов разложили по известной из тригонометрии
формуле и учли, что
COS Lfl
(cos u)2t • sina^ • cos<^)cp = —^- (sin2a;2*)cp = °'
= -.
Подставляя (***) в (**) и пользуясь формулой (4.11) для sin</?, получим
формулу для среднего значения мощности вынуждающей силы:
cp"
Все величины в этой формуле известны, а именно:
m — масса тела, совершающего колебания,
/3 = y коэффициент затухания, где 7 — коэффициент трения,
и — частота (циклическая) собственных колебаний,
и2 — частота (циклическая) изменения вынуждающей силы.

4. Вынужденные колебания 55
Пример 4.3. При частотах вынуждающей гармонической силы
и/2 и Ц' амплитуда скорости частицы равна половине максимального
значения. Найти:
1) частоту сд;рез, соответствующую резонансу амплитуды скорости;
2) коэффициент затухания /3.
Из закона (4.7) вынужденных колебаний дифференцированием по
времени получаем закон изменения скорости при вынужденных
колебаниях:
х — —Ащ sin(u>2£ + ф),
т. е. амплитуда скорости
Здесь мы воспользовались формулой (4.10) для амплитуды колебаний.
Частоту и>рез, соответствующую резонансу амплитуды скорости
колебаний, находим из условия экстремума vA:
: + 4/3*w§ —
(a;2 - w22)2 + 4/32a;22 - 4^2a;22 + 2wf (u;2 - w22) = 0,
и поэтому
ш = u2.
Подставив это значение в (*), находим амплитуду скорости при
резонансе: ,
vApe3 = ф
По условию задачи
_ /о
поэтому
Уо^2 _ А
или
=► wt - (2a>2 + 12/?2) w| + w4 = 0.

56 Гл. /. Колебания
Решение уравнения 4-й степени относительно ш2 ищем по теореме
Виета:
Решая систему уравнений, находим искомые величины
§ 5. Сложение колебаний
5.1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
одинаковой частоты. До сих пор мы изучали колебания тела с одной
степенью свободы — отклонение тела от положения равновесия
однозначно определялось заданием одной переменной (смещением тела от
положения равновесия на какое-то расстояние или угол).
Рассмотрим пространственный осциллятор, т. е. тело, на которое
действует центральная упругая возвращающая сила
F = -fcr. (5.1)
Сравните эту силу с упругой возвращающей силой F (1.1) в
одномерном случае. Так как силу F (5.1) мы можем разложить по ортам:
F = Fxi + Fyj + Fzk,
где
Fx = -fcx, Fy = -fey, Fz = -fcz,
то на первый взгляд кажется, что тут мы имеем дело со сложением
трех независимых гармонических колебаний вдоль трех взаимно
перпендикулярных направлений (вдоль осей х, у и z).
Но так как возвращающая сила центральная, то по закону
сохранения момента импульса момент импульса колеблющегося тела
сохраняется и движение тела происходит в одной плоскости, перпендикулярной
моменту импульса. Взяв в качестве этой плоскости плоскость ху>
достаточно рассмотреть сложение двух взаимно перпендикулярных
колебаний, например вдоль осей хм у, отличающихся лишь амплитудами
и фазой колебаний (на угол а):
(5.2)

5. Сложение колебаний 57
Нам надо исключить время t, чтобы определить траекторию движения
тела, участвующего в двух взаимно перпендикулярных колебаниях.
Из (5.2) имеем
cosutf = —, (*)
а
т = cos(ujt + а) = cosut • cosa — smut • sina =
= — cos a — \ /1 s- sin a.
(**)
Здесь мы воспользовались разложением косинуса суммы углов,
соотношением (*) и связью между cosutf и smut. Равенство (**) можно
переписать в виде
ух х2 .
cosa = —4/1 г * sin a.
Ь а у а2
Возводя это равенство в квадрат, группируя подобные члены, получаем
уравнение траектории тела, участвующего в двух взаимно
перпендикулярных гармонических колебаниях:
х2 у2 2ху .2 /с оч
—о + то г- cos a = snr a. (5.3)
az cr ab
Если вспомнить аналитическую геометрию, то убеждаемся в том, что
траекторией движения тела будет эллипс.
Частные случаи.
А. Допустим, что колебания вдоль осей х и у происходят в
одинаковой фазе, т. е.
a = 0. (5.4)
В этом случае
cos а = 1, sin a = 0
и уравнение траектории (5.3) принимает вид
х2 2ху у2 _
а2 аЪ ^ Ъ2~ '
или 9 ,
Это уравнение прямой, угол наклона которой (см. рис. 5.1)
(5.6)
а

58
Гл. I. Колебания
Рис. 5.1
Поэтому в этом случае тело совершает колебания вдоль этой прямой
с амплитудой колебаний
А = у/а2 + Ь2 . (5.7)
Б. Допустим, что колебания вдоль осей х и у происходят в проти-
вофазе, т. е.
а = тг. (5.8)
Тогда
cos а = — 1, sin a = О
и после аналогичных в пункте А выкладок получаем, что тело будет
совершать колебания вдоль прямой
Ь
' = —х
а
(5.9)
с той же амплитудой (эта прямая обозначена пунктиром на рис. 5.1).
В. Допустим, что разность фаз колебаний вдоль осей х и у
составляет 90°: ~
В этом случае
cos а = 0, sin а = ±
и уравнение траектории (5.3) принимает вид
Ь+Ь = х- (511)
Это уравнение эллипса с полуосями о и Ь вдоль х и у. Поэтому
в этом случае тело будет двигаться по эллипсу (рис. 5.2). Подставляя
значение (5.10) в (5.2), получаем
х = a cos ut, у = Tb sin шг.
Видно, что если разность фаз а будет равна +тг/2, то тело будет
двигаться по часовой стрелке, а при а = —тг/2 — против часовой
стрелки (см. рис. 5.2).

5. Сложение колебаний
59
= +тг/2
= -тг/2
Рис. 5.2
Г. В промежуточных случаях, когда разность фаз а отличается от
вышерассмотренных, т. е. когда
7Г
:2'
(5.12)
траекторией тела будут эллипсы, оси симметрии которых не будут
совпадать с осями координат (наклоненные эллипсы).
5.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных
частот. Рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных
колебаний, частоты которых кратны:
х =
у = bsm{nut + a), n = 1,2,3,...,
(5.13)
т. е. колебания вдоль оси у происходят с частотой na>, кратной частоте
колебаний в перпендикулярном направлении (вдоль оси х). Достаточно
исследования первого нетривиального случая, когда частоты
отличаются вдвое (п = 2):
х = a sinutf = a sin —£,
(514)
у = a sin 2ut = a sin — t.
Здесь мы для упрощения математических выкладок приняли a = О
и а = Ь, что не приводит к изменению общих выводов. Наша
задача ■— исключить время, чтобы определить траекторию движения тела,
участвующего в этих двух взаимно перпендикулярных колебательных
движениях. Так как
sin 2wt = 2 sin u)t cos utf,
то
4 cos2 u;* 4(1-sin2
4 1-

60 Гл. I. Колебания
что лучше представить в виде
2Л^\ (5.15)
Сразу видно, что траекторией движения тела будет довольно
сложная кривая, которая не относится ни к прямой, ни к кривой 2-го
порядка (вспомните аналитическую геометрию). Кривую можно построить
непосредственно, определяя х и у в определенные моменты времени.
Например, в начальный момент времени t = 0 тело находится в начале
координат, х = 0, у = 0 (это можно установить из (5.14)):
«Пустив секундомер», т.е. придавая времени все возрастающие
значения, несложно, пользуясь (5.14), получить следующие данные
(для полноты включим сюда и начальный момент):
* = 0 =Ф я = 0, у = 0,
£ = Т/12 => я = 0,5а, у = 0,866а,
=> х = 0,707а, у = а,
= T/6 =Ф x = 0,866а, у = 0,866а,
х = а, у = 0,
я = 0,866а, у = -0,866а
и так далее.
Траектория движения приведена на рис. 5.3. Стрелкой показано
направление движения тела, которое легко установить из (*). Эта
двухпетлевая кривая называется фигурой Лиссажу. Мы видим, что
она вписана в квадрат со сторонами а. Нетрудно догадаться, что если
бы амплитуды слагающихся колебаний вдоль осей х и у не совпадали,
а были бы равны, соответственно, а и 6, то фигура Лиссажу должна
была вписаться в прямоугольник с соответствующими сторонами. В
случаях большего числа кратности частот, п = 3,4,..., фигуры Лиссажу,
т. е. траектории тела, участвующего в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, будут, соответственно, трех-, четырех- и т.д. петлевыми
кривыми (см. рис. 5.4 и рис. 5.5).
В любом случае кривая траектории, по которой будет двигаться
тело, будет замкнутой. Незамкнутость траектории является
показателем отсутствия кратности частот слагающихся взаимно
перпендикулярных колебаний. Из рисунков ясно, что число касаний фигуры
Лиссажу сторон прямоугольника, в который она вписывается, дает
отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний. Например,

5. Сложение колебаний
61
Рис. 5.4
в приведенных случаях
2: 1
3: 1
4: 1
Рис. 5.5
и*.
'. uj == 2a; \ (jj\
\ a; = 3a; i uj\
: и>~ = 4a;: w.
Здесь а;х, а^ — частоты колебаний вдоль осей х и у.
Надо подчеркнуть, что отношение частот может быть и не таким
простым (у нас просто целые числа), а равным отношению целых
чисел:
(5.16)
wv n
—- = —, nym — целые.
u)v m
В этом случае также получаются фигуры Лиссажу, но более
усложненные, причем число касаний этой фигуры прямоугольника, в который
она вписывается, равно пит (имеются в виду касания сторон
прямоугольника, перпендикулярных осям у и х соответственно).
И наконец, в случае отличия от нуля начальной фазы а (см. (5.13)),
как это следует из подпункта Г предыдущего параграфа, оси
симметрии прямоугольника со сторонами 2а и 26, в который будет вписана

62
Гл. I. Колебания
фигура Лиссажу, не будут совпадать с осями координат, а будут
направлены под углом к этим осям. На рис. 5.6 приведены фигуры
Лиссажу для разных соотношений частот — и разностей фаз а
слагающихся колебаний. у
1:1
1:2
1:3
2:3
3:4
Рис. 5.6
5.3. Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми
частотами, происходящих вдоль одного направления:
хх = acos(u>t + c*i), x2 = 6cos(utf + a2). (5.17)
Амплитуды а, Ь и начальные фазы а,, а2 могут быть совершенно
произвольными. Результирующее смещение х равно сумме смещений
при отдельных колебаниях
х = х{ +х2. (*)
Так как мы изучаем сложение колебаний с одинаковой частотой,
происходящих в одном направлении, то ясно, что смещение х также будет

5. Сложение колебаний 63
меняться с той же частотой:
х = Acos(u;t + a). (5.18)
Нам необходимо определить амплитуду А и начальную фазу а
результирующего колебания. Подставляя (5.17) и (5.18) в (*), получаем
Acos(ut + а) = acos(ut + Oj) + bcos(u>t + a2).
Пользуясь разложением косинуса суммы углов и группируя подобные
выражения, находим
A cos a cos u)t — A sin a sin ut = (a cos ax + b cos a2) cos ut—
+6sina2)sinu;£.
Это равенство в общем случае выполняется тогда, когда коэффициенты
при cos art и sin art в левой части равенства равны соответствующим
коэффициентам в правой части:
Asina = asinc*! + bsina2, (**)
Л cos a = a cosai + bcosa2. (***)
Решая эту систему из двух уравнений, определяем две неизвестные
величины А и а. Взяв отношение равенств (***) и (**), получаем
формулу, из которой несложно определить начальную фазу а
результирующего колебания:
gSina,+bsina2
acosa + ocosa2
Возведем оба равенства (**) и (***) в квадрат и сложим (при этом
опять, насколько это возможно, сгруппируем подобные выражения):
A2(sin2 а + cos2 а) = a2 (sin2 а{ + cos2 ах) + б2 (sin2 a2 + cos2 a2)+
+ 2ab(cosa{ cosa2 + sina^ sina2).
Три первые круглые скобки равны единицам, а последняя круглая
скобка — косинусу разности углов, т. е.
А = ^02 + 62 + 2060)8(0,-02). (5.20)
Вот мы нашли и вторую формулу — формулу для определения
амплитуды результирующего колебания.
Вывод: при сложении двух гармонических колебаний (5.17)
с одинаковой частотой, происходящих в одном направлении,
результирующие колебания (5Л 8) происходят с той же частотой,
а амплитуда и фаза колебаний определяются по формулам (5.20)
и (5.19).
Из формулы (5.20) видно, что амплитуда результирующих колебаний
будет максимальна при а{ = а2, т.е. в том случае, когда слагающиеся

64 Гл. I. Колебания
колебания происходят в одинаковой фазе, и будет равна просто сумме
амплитуд слагающихся колебаний:
А = Ат&х = а + Ь. (5.21)
А в том случае, когда слагающиеся колебания происходят в проти-
вофазе (a^ — а2 = ±тг), амплитуда результирующих колебаний будет
минимальна и равна разности амплитуд слагающихся колебаний:
A = Amin = \a-b\. (5.22)
Здесь берется модуль разности амплитуд, так как амплитуда —
величина положительная.
Формулы (5.21) и (5.22) могут быть обобщены и записаны в
следующем виде
п = 0,1,2,...=^Л=а+Ь=Лтах,
n = 0,l,2,...^A = |a-6| = Amin. l' '
В первом случае мы имеем дело с синфазными колебаниями, а во
втором случае колебания происходят в противофазе.
5*4. Сложение параллельных колебаний разных частот.
Рассмотрим сложение двух одинаково направленных (допустим, вдоль
оси х) гармонических колебаний, частоты которых могут отличаться:
х{ =acoB(wlt + al) = acoB$l(t)9
х2 = bcos(u2t + a2) = bcos$2(t).
Здесь введены обозначения для фаз колебаний:
Фх(г) = шхг + а19 Ф2(«) = v2t + a2. (5.25)
Результирующие колебания х, получающиеся в результате
сложения,
х = х{ +ж2, (5.26)
будут иметь вид
А(«)Ф(«) (5.27)
в котором «амплитуда» колебаний равна
A(t) = ^/а2 + Ь2 + 2аЬсо8(Ф1-Ф2), (5.28)
а фаза Ф(^) может быть определена из равенства
asi^ + tsin^
асовФ +осо8Ф
Разность фаз в общем случае зависит от времени:
Ф! - Ф2 = (шх - u2)t + (a, - a2), (5.30)

5. Сложение колебаний
65
поэтому величина A(t), играющая роль амплитуды колебаний, также
зависит от времени, т.е. непостоянна и не соответствует строгому
определению амплитуды колебаний. Фаза результирующих колебаний
Ф(г) = arctg
(5.31)
также зависит от времени, причем довольно сложно. И как результат
всего сказанного, закон движения тела (5.27), участвующего в двух
одинаково направленных гармонических колебаниях с разными
частотами и{ и и>2, будет очень сложен, т.е. колебания будут
негармоническими. Формулы (5.27)-(5.29) могут быть получены с помощью
обычных тригонометрических выкладок, но проще и нагляднее
воспользоваться методом векторных диаграмм (см. рис. 5.7). В этом случае
любому колебанию сопоставляется вектор, модуль которого совпадает
с амплитудой колебаний. Тогда слагающиеся колебания (5.24) могут
быть представлены как проекции векторов а и b на ось х:
х{ = ах, х2 = Ьх,
(5.32)
а результирующее колебание — как проекция вектора А, равного
векторной сумме векторов а и Ь:
(5.33)
на ту же ось х\
Из рисунка видно, что
х = Ах.
АС ау
(5.34)
а модуль вектора А определяется по известной теореме косинусов.
И сразу получаются результаты (5.28), (5.29). В частном случае
одинаковых частот слагающихся колебаний формулы (5.28) и (5.29)
переходят в (5.20) и (5.19), как и должно быть.
Рис. 5.7

66 Гл. I. Колебания
5.5. Биения. Рассмотрим частный (но очень важный!) случай
сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с
близкими частотами:
их « и>2, Аи; = |а72 — шх\ <C шх. (5.35)
Слагающиеся колебания (5.24) можно представить в удобном для
данного случая виде:
хх = acos(uxt + ах) = acos$x(t)y
£ + <*i) = bcos($x(t) + &(t))
Здесь
<x(t) = (и>2 - wx)t (5.37)
и в качестве начального выбран тот момент времени, когда начальные
фазы слагающихся колебаний были одинаковы:
ах = а2. (5.38)
Это мы всегда можем сделать. Тогда результирующее колебание (5.27)
может быть представлено следующим образом:
х = A(t) cos(uxt + ax + 0(t)) = 6cos^(t) + 0(t))t (5.39)
где 0(t) — угол сдвига фазы результирующих колебаний от первого из
колебаний. Далее мы можем так выбрать систему отсчета, чтобы
вектор а, характеризующий первое колебание, постоянно был направлен
вдоль оси х, т. е.
Ф(0* + 0, (5.40)
другими словами, эта система будет вращающейся вместе с вектором а.
Тогда формулы (5.28) и (5.29) примут вид
A(t) = yja2 + b2 + 2abcos(u;2 -u>x)tt (5.41)
Подставив эти результаты в (5.39), мы в принципе уже можем считать
поставленную задачу решенной. Но очень интересным является случай
сложения колебаний с одинаковыми амплитудами:
а = Ъ. (5.43)
Тогда формулы (5.41) и (5.42) значительно упростятся:
A(t) = a^/2(l+cos(u2-ux)t) = 2acos (^g^1*), (5.44)
Здесь мы воспользовались формулами для половинного угла.
Последнее равенство позволяет определить 0(t), на которую сдвинуты по фазе

5. Сложение колебаний 67
результирующие колебания от колебаний первой из слагающихся
гармонических колебаний:
(5.46)
Из (5.39), (5.25), (5.46) и (5.44) получаем закон колебаний при
сложении двух гармонических колебаний одинаковых амплитуд а
с близкими частотами их и и2, происходящих в одном
направлении: /Ш —W \ /U +Ш
х = 2а cos ( -^—z—-t j cos ( —Цг—-t + ax j. (5.47)
Величина _
\A(t)\ = 2a |cos ( 22 !tj , (5.44a)
представляющая «амплитуду» колебаний с частотой
2 »a;t «a;2, (5.48)
характеризует размах колебаний для определенного момента времени t
и меняется в пределах от 0 до 2а с циклической частотой
ыб = |сс^2 — cc^i |, (5.49)
называемой циклической частотой биений. Этот процесс —
периодические изменения амплитуды колебаний, называется биениями. Можно
ввести понятия период Т6 и частота i/6 биений:
Т =27Г = 27Г = Г1Г2
6 »* Ъ-»Л m-r»lf (5.50)
Здесь TvT2>vx,v2 — периоды и частоты слагающихся гармонических
колебаний.
На рис. 5.8 приведена зависимость смещения х от времени t в
случае биений (а = 6). Пунктирная линия описывается функцией
а сплошные линии — функцией
Вообще из-за небольшого отличия частот u>j и и>2 складывающихся
колебаний (см. (5.48)) вместо (5.47) можно пользоваться формулой
х = 2acos
^2 o^11\ cos(u{t + ax), (5.47а)

68
Гл. I. Колебания
х j
2а
ill
11
-2а
т Т
* IIII11 -
-'б
\ t
Рис. 5.8
в которой вместо Шх U2 можно ставить любую из частот шх и и2
слагающихся колебаний. Но, конечно, этого лучше не делать, а
воспользоваться средней частотой о>ср слагающихся колебаний:
« ^ ,«
(5.51)
Тогда формула (5.47) может быть переписана в виде
—*-?—-t J cos (Ucpt+ay) = A(t) cos (a;cp
(5.476)
т. е. при сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми
амплитудами а и близкими частотами u>t и о;2 получаются
биения — колебания с частотой ш и меняющейся амплитудой A(t),
принимающей значения от 0 до 2а с частотой биений и?б.
5.6. Произвольная периодическая функция. Для исследования
любых колебательных процессов универсальным и мощным является
метод разложения в ряд Фурье, известный из математического
анализа. Просто вспомним этот метод.
Допустим, что задана произвольная, но периодическая (с
периодом Т) функция
* = /(*). /(*) = /(* +Г). (5.52)
Тогда она может быть разложена в ряд Фурье:
(5.53)
(5.54)
п=\
который еще может быть представлен в виде
оо
x(t) = у + Yl Ci»> cos(nu;t'
П=1

5. Сложение колебаний 69
т.е. любая периодическая функция с периодом Т может быть
представлена как суперпозиция (наложение) гармонических
колебаний с циклическими частотами, кратными циклической
частоте и) колебаний заданной функции:
и>, 2а;, За;, 4а;,.... (5.55)
Частота ш = 2тг/Т называется основной циклической частотой. Члены
ряда Фурье, соответствующие определенным частотам (5.55),
называются соответственно, первой (о;), второй (2од) и т.д. гармониками
(обертонами) сложного периодического колебания (5.52). Гармоники
образуют спектр колебания (5.52). Как видно, периодические
колебания имеют дискретные спектры колебаний (п = 1,2,3,...).
Коэффициенты а^ах,а2,. ..,bj,b2,... разложения в ряд Фурье
вычисляются следующим образом. Из математического анализа нам
известны следующие определенные интегралы:
т
г2 (О при гпфп,
cos mutt • cos nut dt = < \ _ (5.56)
I T при m = n;
(О
= < \
I -
т
J»2 Г 0 при ф
• sin nu>t dt = < \ _ (5.57)
UT приш = п;
sin mut • cos nut dt = 0. (5.58)
т
-7
Если ряд (5.53) умножить на cos mut и проинтегрировать от —Т/2
до +Т/2, то в правой части, благодаря (5.56) и (5.58), все интегралы
равны нулю, за исключением интеграла, умножающегося на ат и
равного Г/2, т. е.
2 f2
ат = — х(£) cosmos eft, тфО. (5.59)
т
"7
Аналогично умножением на sin mart и интегрированием находим
формулу для вычисления коэффициентов Ьш\
2 ' t, тфО. (5.60)
т
"7

70 Гл. I. Колебания
Коэффициент а0 находится интегрированием ряда (5.53) в тех же
пределах:
oq = ^ [ x(t)dt. (5.61)
т
~7
Как мы помним из математического анализа, любая периодическая
функция может быть разложена в комплексный ряд Фурье по
экспоненциальным функциям:
+ОО
(5.62)
Здесь индекс суммирования пробегает целочисленные значения от —оо
до +оо. Формулы для вычисления коэффициентов dn разложения
получаются аналогично (5.59)—(5.61):
* I /.ч —innt.\+ I, i r\ /г* /?О\
(5.64)
т
"7
= 1 | x(t)dt.
Пример 5.1. Определить закон движения тела, участвующего
в двух гармонических колебательных движениях с одинаковыми
амплитудами а = 3 см и одинаковыми периодами Т = 2 с, происходящими
в одном направлении, но сдвинутыми по фазе на Да = тг/4.
Формулы (5.17) принимают вид:
хх = acosatf, x2 = acos(u>t + Да),
а закон движения тела будет определяться формулой (5.18):
х = A cos(ut + a). (*)
Амплитуда результирующего колебания вычисляется по (5.20):
А = ^a2 + a2 + 2a2cos(Aa) = а^/2(1 +cos(Aa)) = 5,54 см.
Начальная фаза а результирующих колебания определяется из (5.19):
_ автО + азтДа sin Да
a cos 0 + a cos Да 1 + cos Да
т.е.
а = тг/8.

5. Сложение колебаний
71
Таким образом, тело будет совершать гармонические колебания по
закону
х = 5,54 cos(?r£ + тг/8) см.
Здесь учтено, что циклическая частота
= тг с"1.
Пример 5.2. Определить результирующий закон колебаний при
сложении N гармонических колебаний одинаковой частоты и:
происходящих в одном направлении.
Очевидно, что результирующие колебания будут происходить с той
же частотой ш9 что и слагающиеся колебания:
х = A cos(ujt + a).
(*)
Наша задача — определить амплитуду А и начальную фазу а
результирующих колебаний.
Проще воспользоваться методом векторных диаграмм. На рис. 5.9
приведены векторы а* и аь сопоставляемые гармоническим
колебаниям под номерами ink. Все векторы aj,a2, ...,а# вращаются против
часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ш, и их проекции на
ось х определяют слагаемые гармонические колебания. Все векторы
слагаются по правилу векторного сложения:
Проекции результирующего вектора на оси координат равны:
N
== /
Ау = y =
г=1
N
г=1
У\
Рис. 5.9

72
Гл. L Колебания
Модуль А и угол наклона а результирующего вектора А
определяются по очевидным формулам:
А = \Jx2 + у2 , tg a = -.
Второе равенство позволяет определить начальную фазу а
результирующего колебания сразу:
а = arctg - = arctg
x
N
a>i sin oti
N
Y,
% cos <*i
(**)
Для вывода формулы амплитуды А результирующих колебаний
необходимо преобразовать подкоренное выражение
N
N
ufc COS Qfe =
г=1
N N
X2 +у2 = ^^ пг cos <*i^>2
i=\ k=\
ЛГ N N
= ^ ^ a^A; [cos on cos afe + sin оц sin a*] = ^ a^ cos(ai -л^).
г=1 A;=l i,fe=l
Здесь мы воспользовались формулой для косинуса разности углов.
Тогда амплитуда А может быть вычислена по формуле
\
- ак).
(***)
Подставив (**) и (***) в (*), получаем формулу, определяющую
результирующие колебания. В частном случае сложения двух колебаний
она дает полученные ранее результаты (5.19) и (5.20).
Пример 5.3. Частица участвует в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и
описываемых уравнениями х = cos2tt£ и у = costt^. Определить уравнение
траектории частицы и вычертить ее.
Для определения траектории движения необходимо устранить
время из закона движения частицы
x = cos2tt£, у = cos nt.
Для этого преобразуем ^-координату частицы:
х = cos 2тг£ = cos2 тг£ — sin2 тг£ = 2 cos2 nt — 1 = 2у2 — 1.
(*)

б. Сложение колебаний
73
Преобразования ясны и мы получили, что частица будет совершать
колебательные движения вдоль траектории, описываемой уравнением
представляющей собой параболу с вершиной в точке х = — 1, у = 0.
Так как амплитуды слагающихся колебаний одинаковы и равны 1,
то ясно, что частица будет колебаться только в той части параболы,
которая вписана в квадрат со сторонами, равными 2 (см. рис. 5.10).
Траекторию можно построить, придавая времени t все
возрастающие значения, начиная с начального момента. Из закона колебаний (*)
видно, что период колебаний вдоль оси х равен 1 с, а вдоль оси у —
2 с:
Ниже приведены координаты
возрастающих моментов времени:
х, у частицы для семи все более
2.
3.
6.
t2 = 1/12
t3 = 1/6
4. t4 = 1/4
5. *5 = 1/3
= 1/2
хх = cos 0 = 1;
х2 = cos(tt/6) = 0,866;
х3 = cos(tt/3) = 0,5;
х4 = cos(?r/2) = 0;
хъ = cos(2tt/3) = -0,5;
Ха = cos тг = — 1;
7. t7 = 2/3
Ух = cos 0=1;
y2 = cos(7r/12) =0,966;
2/3 = cos(tt/6) = 0,866;
y4 = cos(tt/4) = 0,707;
y5 = cos(?r/3) = 0,5;
2/6 = cos(tt/2) = 0;
y7 = cos(2tt/3) = -0,5
x7 = cos(4?r/3) = -0,5;
и так далее.
С помощью этих точек легко построить траекторию, вдоль которой
будет совершать колебания частица. На рис. 5.10 эти семь точек
указаны, а остальные расположены симметрично относительно оси х.

74
Гл. I. Колебания
§ 6. Колебания систем со многими степенями свободы
6.1. Система с двумя степенями свободы. Одномерная цепочка
из двух одинаковых частиц, закрепленных на одинаковых
пружинах. Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц (тх = т2 — т),
закрепленных на трех одинаковых пружинах (коэффициенты упругости
пружин одинаковы кх = к2 = къ = к), как показано на рис. 6.1. Частицы
(шарики) могут совершать колебания без трения в горизонтальном
направлении (вдоль оси х). Равновесные длины пружин обозначим /,
а через хх и х2 — отклонения первой и второй частиц от
положения равновесия — т.е. система обладает двумя степенями свободы.
Силы Fx и F2, действующие на первую и вторую частицы, равны
Fx = —кхх — к(хх — х2) = к(х2 — 2хх),
F2 = -кх2 - к(х2 - хх) = к{хх - 2х2).
(6.1)
I I I
Рис. 6.1
Тогда уравнения движения (второй закон Ньютона) для частиц
имеют вид
тхх =к(х2-2хх),
тх2 = к(хх — 2х2).
Решения этих двух линейных дифференциальных уравнений
второго порядка, как нам известно из математического анализа, ищутся
в виде
Хх = ах cos uty X2 = а2 cos ujt. (6.3)
Подставив эти искомые решения в уравнения движения (6.2), вместо
дифференциальных получаем систему из двух однородных
алгебраических уравнений:
(2к - ти2)ах - ка2 = О,
ках — (2к — ти2)а2 = 0.
Мы знаем, что эта система уравнений имеет нетривиальное решение,
если определитель этой системы (ар а2 считаются неизвестными)
равен нулю:
(2fc - ma;2) -fc
к -(2fc -
=► (2k - mu2)2 -k2 = 0 =» 2k - тш2 = ±fc. (6.5)
= 0

6. Колебания систем со многими степенями свободы 75
Уравнение (6.5) называется характеристическим уравнением
системы. Из последнего уравнения находим две циклические частоты:
(6-6)
т. е. две связанные частицы (два связанных осциллятора) могут
колебаться с такими частотами.
Если сложить уравнения (6.2), то получим, что
т(хх + х2) = -к(хх + х2). (6.7)
Это уравнение для гармонических колебаний системы со
смещением
Хх=хх + х2 (6.8)
из положения равновесия с циклической частотой
, (6.6а)
тп
а если вычесть из первого уравнения второе в (6.2), то
тп(хх - х2) = —Зк(хх - х2)у (6.9)
т. е. это также является уравнением гармонических колебаний системы,
но со смещением
Х2 = хх — х2 (6.10)
из положения равновесия, но уже с другой частотой
(6.66)
Колебания (6.3), происходящие независимо друг от друга по
гармоническому закону со своими частотами шх и ш2> называются
нормальными колебаниями (модами), а смещения X, и 12 - нормальными
координатами:
Хх=хх+х2= ах cos{ujxt + ах), {
Х2 = хх - х2 = а2 cos{u)2t + a2).
Подставив в систему уравнений (6.4) поочередно частоты и>х и ш2 (6.6),
находим связь между амплитудами ах и а2 нормальных координат:
= У — =^ а, = а2;
V^ (6.12)
/3fc
"2 = у— =► а,=-а2,
Гк
т.е. нормальные колебания с частотой и>х = л/—
соответствуют синфазным колебаниям частиц (осцилляторов), а нормальные

76 Гл. I. Колебания
колебания с большей частотой и>2 = \ — — колебаниям
осцилляторов в противофазе. m
В нашем случае первые нормальные колебания будут происходить
лишь тогда, когда мы в начальный момент времени отклоним обе
частицы (шарика) на одинаковые расстояния в одну и ту же сторону (или
направо, или налево) и отпустим их. Тогда они будут совершать
синфазные гармонические колебания с частотой их = ч /— , т. е. каждый из
шариков будет совершать гармонические колебания с такой частотой,
как если бы он был прикреплен к одной пружине с коэффициентом
упругости к. Это понятно, т.к. при синфазных колебаниях средняя
пружина (пружина связи) не деформируется и ее как бы не
существует. Вторые нормальные колебания с частотой и2 = ч /— будут
происходить тогда, когда мы в начальный момент времени отклоним
шарики в разные стороны на одну и ту же величину и отпустим
их. В этом случае колебания происходят в противофазе и пружина
связи (средняя пружина) уже играет свою роль — колебания будут
происходить с большей частотой.
Из известной связи между нормальными координатами Хх, Х2
и смещениями хх, х2 частиц из положения равновесия (6.11) можно
определить законы колебаний частиц в общем случае:
хх = 1 2 = ^ coefot + ах) + Ц cos(u2t + a2),
X -X а а (6ЛЗ)
х2 = —^—~ = у cos(o;^ + ах) - у cos(u;2* + а2).
Таким образом, колебания двух связанных частиц (осцилляторов)
представляют суперпозицию (наложение) нормальных колебаний с
разными частотами. Четыре величины а{9 а2, ар а2 определяются из
начальных условий (из двух заданных начальных смещений и двух
известных начальных скоростей).
Скорости частиц определяются из (6.13) (вычисляя производные
от хх или х2 по времени):
а\ш\ • / j. . \ а2а;2 • / j. . \
vx = хх = —тг^ sm{(jxt + ах) т> sin(c*;2r + а2),
(6.14)
ах) + ^^ sin(u2t + а2).
Для более наглядного представления полученных результатов
рассмотрим такой случай: допустим, что одна из частиц (например,
первая) в начальный момент времени смещена вправо на расстояние а
от положения равновесия, а другая частица (вторая) находится в
положении равновесия и их в начальный момент времени отпускаем.

6. Колебания систем со многими степенями свободы 77_
Начальные условия таковы:
x,(0)=a, *2(0)=0, v,(0)=*l(0) = 0> г;2(0)=х2(0)=0. (6.15)
Тогда, используя начальные условия (6.15), формулы (6.13) и (6.14)
записываются в виде (t = 0):
ах по
-± cos aj + ~ir cos a2 = a,
ax o>2 Л
— cos ax —~ cos a2 = 0,
2, 2. /g ig\
——-*• sin a2 = 0,
Имеем систему из четырех линейных уравнений с четырьмя
неизвестными. Решая систему уравнений, находим эти четыре величины:
ах = а2 = а, ах = а2 = 0. (6.17)
Тогда законы движения частиц принимают вид:
#j = ~
х2 = - (^ 2),
которые, если воспользоваться формулами для суммы или разности
косинусов, можно записать следующим образом:
(6.18)
Мы видим, что
1. Колебания каждой частицы происходят в виде биений
(см. (5.47));
2. Колебания второй частицы происходят с опозданием по фазе
на тг/2.
Это показано на рис. 6.2. Амплитуды колебаний меняются с
частотой Ш{ ~и* от нуля до а, а частота колебаний равна Ul W2.
В процессе этих биений осцилляторы (частицы) взаимно обмениваются
энергией, происходит «перекачка» энергии от одного осциллятора
к другому — когда один осциллятор находится в состоянии
колебаний с максимальной амплитудой, другой находится в состоянии покоя
и наоборот. В случае нормальных колебаний (6.3) (с частотами
Гк [Зк\
a?j = ч / — или о>2 = \ — ) такой перекачки энергии не
происходит, т. к. мы имеем два независимых колебания.

78
Гл. I. Колебания
1-й _
осциллятор
2-й _^
осциллятор
Рис. 6.2
6.2. Система с двумя степенями свободы. Одномерная цепочка
из двух разных частиц, закрепленных на разных пружинах.
Рассмотрим аналогичную предыдущему случаю систему из двух частиц
(шариков), закрепленных на пружинах, но будем считать, что шарики
разных масс и пружины разных упругостеи:
т\ Ф
к2.
(6.19)
Здесь кх и к2 — коэффициенты упругости крайних пружин, а к —•
коэффициент упругости пружины связи осцилляторов (средней
пружины). Тогда силы Fx и F2, действующие на первый и второй шарики,
равны
Fx = -к{х{ - к(хх - х2) = -(*! + к)хх + кх2,
F2 = -к2х2 - к(х2 — a?i) = -(к2 + к)х2 + кхх
и уравнения движения (второй закон Ньютона) для шариков будут
таковы: .
тххх =-(A;1+fc)x1+fcx2,
/» 1 \ 1 (b.zl)
Введем понятие парциальной частоты колебаний частицы
(шарика). Для этого систему, приведенную на рис. 6.3, можно
представить как сложную систему, состоящую из двух парциальных систем
(см. рис. 6.4). Эти парциальные системы имеют собственные частоты

6. Колебания систем со многими степенями свободы
79
Рис. 6.4
колебаний, определяемые по очевидным формулам:
(6.22)
Тогда уравнения движения после деления их соответственно на тх
и т2 примут вид:
Хх = —U7| Xj —• СХХ2,
,2„
где
х2 = —с2хх —
к к
сх = , с2 =
77l ТП
(6.23)
(6.24)
— постоянные коэффициенты, определяемые жесткостью к пружины
связи и массами тх и т2 шариков (частиц). Считая, что в такой
системе возможно нормальное колебание с какой-то частотой ш,
т.е. считая, что из определенной суперпозиции смещений хх, х2
шариков возможно определить такие нормальные координаты, колебания
которых происходят независимо:
Хх = ах cos(ut + а), Х2 = а2 cos(u;t + a)
(6.25)
и, подставив их в уравнения движения (6.23), вместо двух
дифференциальных уравнений второго порядка получим систему из двух
алгебраических уравнений:
(а;? -и;2)а{ +сха2 =0,
с2ах + (и2 — и2) а2 = 0.
(6.26)
Эта система уравнений имеет нетривиальное решение лишь в том
случае, если определитель системы равен нулю:
с2
= 0
- u>2) (w| - w2) - c,C2 = 0. (6.27)

80
Гл. I. Колебания
Характеристическое уравнение (6.27) является квадратным уравнением
относительно о;2, которую обозначим z\
z2 -
- с{с2) = 0,
Решение этого уравнения — две нормальные частоты и>1} ип:
\
4±4±М^1+СЛ
(6.28)
Подставляя эти нормальные частоты поочередно в систему
уравнений (6.26), можно определить амплитуды ах и а2. Мы определим их
относительные величины, например, из первого из уравнений (6.26):
Здесь римские цифры I и II соответствуют нормальным колебаниям
(модам) с частотами шх и ши. Тогда закон движения частиц
(шариков) может быть представлен как суперпозиция нормальных колебаний
(мод):
х{ •= а„ coe(«^t + аг) + аш cos(u>n* + а„),
i cos(a;nt + ап).
Здесь четыре величины ап, а1П, ар ап определяются, как это всегда
делается, из начальных условий. В частном случае одинаковых частиц
и одинаковых пружин:
т{ = т2 = m,
= fc2 = к
можно получить результаты из предыдущего параграфа, как и должно
быть.
6.3. Система с двумя
степенями свободы. Два связанных
одинаковых математических
маятника. Рассмотрим два одинаковых ма-
К1 тематических маятника (см. рис. 6.5)
связанных невесомой спиральной
т пружиной жесткостью fe. На
частике цы действуют сила тяжести и сила
упругости пружины связи, и уравне-
Рис. 6.5 ния движения каждого из маятников

6. Колебания систем со многими степенями свободы 81_
(второй закон Ньютона для каждой частицы после деления на массы
тх или га2) имеют следующий очевидный вид:
J = (хх -х2),
™ (6.32)
qX2 = (x2-xx)t
где
Д (6.33)
— частота собственных колебаний каждого маятника. Введем новые
переменные:
Хх = хх — х2, Х2 = хх + я2. (6.34)
Тогда после вычитания и сложения уравнений движения (6.32)
получим уравнения для новых координат Х{, Х2:
Мы видим, что новые переменные Хх и Х2 меняются независимо друг
от друга, т.е. являются нормальными координатами исследуемой
системы. Частоты мод (нормальных колебаний) равны
= ц> = у f
/
т у/ т (636)
Нетрудно понять, что нормальные колебания Хх> происходящие с
частотой o>j, соответствуют колебаниям маятников в противофазе, а
нормальные колебания Xv происходящие с частотой ии = Jy, равной
собственной частоте каждого из маятников, соответствуют синфазным
колебаниям маятников (см. рис. 6.6, а и б). То, что вторая мода
совпадает по частоте колебаний с собственной частотой каждого из
маятников, ясно из того (см. рис. 6.6,6), что в этом случае пружина
связи не деформирована и ее как бы не существует (она невесома).
Уравнения движения (6.35) имеют следующие общие решения:
Хх = a, cosc^* + Ъх &аш\Ь%
Х2 = а coscj^ + Ъ sina^
Допустим, что в начальный момент первый маятник отклонен на а,
а второй находится в положении равновесия, т. е.
t = 0 =ф хх = а, хх = 0, х2 = 0, х2 = 0. (6.38)

82 Гл. I. Колебания
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ
0000000
Рис. 6.6
Эти начальные условия могут быть представлены через нормальные
координаты:
t = О => Хх = Х2 = а, Хх = Х2 = 0. (6.39)
Из (6.37) могут быть определены скорости изменения нормальных
координат:
Хх = —
Х2 = —
Из четырех уравнений (6.37) и (6.40), воспользовавшись начальными
условиями (6.39), определяем четыре величины,
ах = а2 = a, bt = 62 = 0, (6.41)
поэтому
Хх = acosu\t, X2 = acoswut (6.42)
и, переходя к смещениям хх, х2 маятников (6.34), получаем:
Хх + Х2
() (^)
= _asin (Й1^*) • sin
Таким образом, колебания маятников носят характер биений.
Закон колебаний идентичен закону (6.18), поэтому то, что было
сказано в параграфе 6.1, повторять не будем. Только опять скажем, что:
1. Колебания второго маятника происходят с опозданием по
фазе на тг/2, и колебания обоих маятников проходят в виде
биений (см. рис. 6.2);
2. В процессе этих колебаний маятники взаимно обмениваются
энергией, происходит «перекачка» энергии от одного маятника
к другому — когда один маятник находится в состоянии
колебаний с максимальной амплитудой, другой находится в состоянии
покоя, и наоборот.

6. Колебания систем со многими степенями свободы
83
6*4. Система с двумя степенями свободы. Два связанных
разных математических маятника. Рассмотрим два разных
математических маятника
/, ф 12у тх ф га2, (6.44)
связанные невесомой спиральной пружиной жесткостью к (см. рис. 6.7).
Уравнения движения маятников (аналог (6.32)) имеют вид
где
хх+и>\хх =- —(*i -«г).
{Х х)
2Ж2 =
//////////////////////У
—^i X
(6.45)
Рис. 6.7
(6.46)
— собственные частоты колебаний математических маятников.
Решения уравнений (6.45) лучше искать в комплексной форме:
Хх = Ае™\ Х2 = Beiuit. (6.47)
Подставив искомые решения (6.47) в уравнения (6.45), вместо этих
двух дифференциальных уравнений получим два линейных
алгебраических уравнения:
тх
тч
тх
(6.48)

84 Гл. I. Колебания
Отсюда можно получить выражение для отношения
коэффициентов А и В:
А = к = —^ —• (649)
или характеристическое уравнение (которое получается или из (6.49),
или из условия равенства нулю определителя системы
уравнений (6.48)):
L2 - (ч)\ + —\] L2 - (ш\ + —)] - -¥— = 0. (6.50)
|_ у ^1/J L \ ^2/J ^1^2
Это квадратное уравнение относительно и2, решая которое находим
две нормальные частоты wt и ии:
"W = \ 2 ~ ±
Z v 1/2
.( Л)( Л)_
В случае малых к/тх и к/т2 громоздкая формула (6.51) для
нормальных частот (jj и ши упрощается:
^ = L + ± + fc2
/ 2 к к2
В общем случае решениями уравнений (6.45) являются суперпозиции
решений (6.47) и, взяв действительную часть этого решения, получим,
что общее решение уравнений (6.45) в смещениях х{ и х2
математических маятников принимает вид
х^ = п\ coso>i£ + 6j sino>j£ + &\\ coscjjj^ + Ьц sinc^ui,
Здесь
7, = f, Ti, = fl (6.54)
и определяются они по формулам (6.49) для нормальных частот
c^i и о;и соответственно. Дифференцируя (6.53) получаем формулы

6. Колебания систем со многими степенями свободы 85
для скоростей маятников:
х{ = — ajt^ sinc»;^ + b^i cosu^t — пцШц sinujut + buuu cosu>n£,
x2 = 7i (-^(J! sinu;^ + bxwx caau)\t) + (6.55)
buu>n cosuut).
Подставляя формулы (6.53) и (6.55) в начальные условия для
смещений и скоростей, мы получаем системы из четырех алгебраических
уравнений а{, blt an, Ьп. Допустим, что в начальный момент первый
маятник отклонен вправо на а, второй маятник покоится в положении
равновесия и в этот момент времени мы их отпускаем, т.е. начальные
условия таковы:
t = 0 =► а?| = a, i, = 0, я2 = 0, ж2 = 0. (6.56)
Подставив эти начальные условия в (6.53) и (6.55), получим:
а, + а„ = а, ^а, + 7иап = 0,
= 0, 71*1^1 + 7цЬп^п = 0.
Решая систему из этих четырех уравнений, находим искомые величины:
а! = —а, пц = ———а,
7h-7i 7i-7h (6.58)
b\ = Ъи = 0.
Тогда закон колебаний (6.53) маятников примет вид
711VX , , (6-59)
х0 = 7i7h (cos Wit — coswift).
7n-7i
Закон колебаний второго маятника x2(t) с помощью известной
тригонометрической формулы для разности косинусов можно
преобразовать:
Итак, колебания первого маятника описываются первой
формулой (6.59), а колебания второго маятника — формулой (6.60). Мы
видим, что колебания второго маятника происходят в виде биений
х2 = a2{t) sin (^ д""*) (6.61)
с изменяющейся амплитудой
^2Ш.а81п(^Л (6.82)
7i - 7н v * '

86
Гл. I. Колебания
и в моменты времени
2птг
п = 0,1,2,.
(6.63)
второй маятник возвращается в состояние покоя. О первом маятнике
этого сказать нельзя, поскольку, как видно из законов колебаний
маятников, в момент, когда второй маятник имеет максимальную амплитуду,
первый маятник имеет ненулевую амплитуду колебаний, т.е. первый
маятник свою энергию полностью не передает второму маятнику.
Другими словами, в случае разных связанных маятников обмен
энергией становится неполным.
6.5. Система с N числом степеней свободы. Система
одинаковых частиц, закрепленных на шнуре на одинаковых расстояниях
друг от друга. Рассмотрим систему N одинаковых частиц с
массами т, закрепленных на шнуре на одинаковых расстояниях а друг от
друга (см. рис. 6.8). Систему отсчета выбрали так, что равновесные
положения частиц определяются х-координатами, причем
т. е. длина шнура / равна
l = (N+l)a. (6.65)
га
т
т
т
-о-
m
-о-
xN-\
XN
Рис. 6.8
X
Будем считать, что:
1. Шнур невесом.
2. Колебания частиц поперечны, т. е. происходят параллельно оси у.
3. Сила натяжения шнура постоянна и равна F. Углы отклонениях
частиц от положения равновесия малы.
У
n+l
Рис. 6.9
Рассмотрим участок шнура с тремя частицами (см. рис. 6.9),
равновесные положения которых определяются координатами хп_^ хп> хп+х>

6. Колебания систем со многими степенями свободы 87
а смещения от положения равновесия — координатами уп_\, уп, уп+\-
При таких предположениях на каждую частицу действуют силы
упругости величиной F со стороны двух ближайших частиц вдоль линии,
соединяющей их. Равнодействующая этих сил Fn, действующая на п-ю
частицу со стороны (п - 1)-й и (п+ 1)-й частиц, направлена в сторону
положения равновесия этой частицы и равна
Fn = — Fsmipx — Fsin</?2 = —F{smipx -f siny>2) ^ ~Р{ф\ + ^2)- (6.66)
Здесь мы учли, что колебания малые и
В случае малых отклонений углы <р{ и <р2 могут быть выражены через
смещения частиц от положения равновесия:
y,^"-J"-', ч>2*Уп~*П+Х- (6.67)
С учетом (6.66) и (6.67) уравнение движения (второй закон Ньютона)
для средней частицы принимает вид
туп = -F VhLUbzl + VjLZJblL] = _£(2j/n - Уп_, - Уп+1). (6.68)
La a J а
Таких уравнений будет N. Мы видим, что на колебание любой частицы
оказывают влияние соседние частицы. Решения ищем в виде
нормальных колебаний
уп_ 1 = Ьп-1 cos wt, уп = Ьп coswt, уп+х = Ьп+! cos wt. (6.69)
Подставив искомые решения в (6.68), получим систему из N
алгебраических линейных однородных уравнений:
+ ^+i^O, n=l,2,...,iV. (6.70)
Так как шнур закреплен за концы, то граничные условия дают, что
т. к. концы шнура не совершают колебаний. С учетом граничных
условий (6.71), определитель системы уравнений (6.70)
-[] 1 0 0
1 41 1 0
0 1 -[] 1
= 0 (6.72)
должен быть равен нулю. Здесь для уменьшения громоздкости введено
очевидное обозначение:
\2F -таи2'
м-р

Гл. I. Колебания
Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение —
уравнение ЛГ-й степени относительно о;2, решая которое можем определить
все N нормальных частот ш^Шц, .. .,(*;#, а затем, подставляя в систему
уравнений (6.70) определенную нормальную частоту wi9 — связь между
амплитудами bvbu,... ,bN. Но специфика этого вопроса (поперечных
колебаний шнура с закрепленными на нем на одинаковом расстоянии
одинаковыми частицами) позволяет решить задачу проще.
Предыдущие рассмотрения показывают, что колебания будут иметь характер
биений, поэтому амплитуды Ьп нормальных колебаний можно искать
в виде
bn = b0 sin кхп. (6.73)
Здесь к — какой-то параметр, который пока неизвестен. Если это
искомое выражение для Ьп_{, Ьп и Ьп+1 подставить в уравнение (6.70), то
. ,/ «ч \2F — таш2] . . . ,, <ч
sinfc(n — \)а — - sin Una -fsmA;(n + \)a = 0, (*)
L * J
где мы воспользовались выражением для координаты х частиц через
расстояние а между ними (см. (6.64)):
хп = па. (6.74)
Равенство (*) можно переписать в другом, более удобном для
дальнейшего рассмотрения виде
sinfc(n+ l)a 2F — mauj2 , ч
i i_ = UjA
=
sin kna F
Так как
. 7/ 1Ч , . 7/ , 1Ч о . k(n + l)a + к(п -
sin k{n — 1 )a + sm k{n + 1 )a = 2 sin —
x
fc(n+ l)a-fc(n- \)a o . , .
x cos — —-— — = 2 sin kna • cos fca,
то из (**) находим, что
. 2F - таи2 _кч
cos ka = — (6.75)
или 2p
u2 = — (1-cosfca), (6.76)
ma
т.е. мы получили формулу для частоты (точнее, квадрата частоты)
нормальных колебаний, выраженную через неизвестный пока
параметр к. Значение этого параметра может быть найдено из граничных
условий (6.71):
1) = 0,
что возможно в том случае, когда аргумент синуса кратен тг:
kia(N+l) = in =» fc. = __^_= * » = I.II.Ill N, (6.77)

6. Колебания систем со многими степенями свободы 89
где целое число г соответствует номеру нормальных колебаний (мод).
Так как каждому нормальному колебанию соответствует свой
параметр, то формула (6.76) для нормальной частоты должна быть
конкретизирована с указанием номера нормальных колебаний:
= —
/та
Число мод (нормальных колебаний) равно N. Пользуясь формулой
синуса половинного угла, для частоты шг г-й моды можем получить
вместо (6.78) другую, эквивалентную формулу (только для ui9 а не и\):
Таким образом, в общем случае закон колебаний рассматриваемой
системы может быть представлен как суперпозиция нормальных
колебаний:
V(*n,t) = £v<(*».*). (6.79)
где нормальные колебания г-й моды происходят по закону
Vi(xn, t) = Ьг cos(<j^ + a{) = bQi sin кгхп • cos(u^ + aj. (6.80)
Амплитуды bOi и начальные фазы аг определяются из начальных
условий, а кг и шг — по формулам (6.77) и (6.78),
Рассмотрим частные случаи.
Начнем со случая одной частицы:
N=1.
В этом случае число мод равно 1 и частота нормальных колебаний,
соответствующих этой моде, вычисляется по формуле (6.78) и равна
I2F л ^ч" [2F
и>\ = \ — 1 - cos - = а — . (6.81)
V та \ 2/ у гпа
Эти нормальные колебания и нормальные колебания для последующих
частных случаев (N = 2,3) показаны на рис. 6.10.
Когда число частиц равно 2, число мод также равняется 2 и частоты
этих мод также вычисляются по формуле (6.78):
/2F7 ^Г I2F ( \\ ГТ
V та \ 3/ V та \ 2) у та
J2F Л 2ttV J2F / TV [ZF
= 4/— 1 -cos— = J— 1 + - = \ —,
(6.82)
что проиллюстрировано на рис. 6.10.

90
Гл. I. Колебания
Рис. 6.10
В случае 3 частиц частоты 3 нормальных координат таковы:
/2F7 ^Г /2J1 Л Г\
= \/ ( 1 - COS Т ) = \ [ 1 т=" »
Ута\ 4/ ута\ д/2/
у та \ 2/ У/ та
(6.83)
4
Это показано на рис. 6.10.
Выше было сказано, что частоты нормальных колебаний обычно
определяются при решении характеристического уравнения, которое
получается из условия равенства нулю определителя системы
алгебраических уравнений для амплитуд колебаний (см. (6.72)). Давайте
получим частоты мод (6.81), (6.82), (6.83), пользуясь этим общим
подходом.
В случае одной частицы формула (6.72) принимает вид
2F - таи;2
= 0,
откуда сразу получаем частоту (6.81) для нормальных колебаний в
случае одной частицы.

6. Колебания систем со многими степенями свободы 9\_
В случае двух частиц формула (6.72) принимает вид
I1 -!
= 0 =Ф (2F-mauj2)2 = F2
2F - таи2 = ±F
та
т.е. мы находим частоты (6.82).
В случае трех частиц имеем
1
= 0 =>
2F-mau;2l2 \ =()
Решая это уравнение относительно а;2, находим частоты всех трех
нормальных колебаний (6.83). Все получилось так, как и должно
быть. Но метод составления и решения характеристического
уравнения, конечно, является универсальным, более мощным методом.
Далее мы рассмотрим этот общий подход в решении задачи
колебаний со многими степенями свободы, не конкретизируя исследуемую
систему частиц.
6.6. Система с N числом степеней свободы. Общий случай.
Из вышеприведенных случаев систем с 2 степенями свободы видно,
что (см. (6.2), (6.21), (6.32), (6.45)) уравнения движения имеют
одинаковый общий вид
тххх + кхххх + кХ2х2 = О,
^2*^2 ~^~ к2ххх + к22х2 = 0.
В случае произвольного числа N степеней свободы уравнения
движения (6.84) могут быть обобщены:
тххх + кхххх Н~ кх2х2 + ... Н- кХ]уХ]у = 0,
ш2х2 + к2Ххх + fc22x2 + ... + k2NxN = 0,
mNxN + kNXxx + kN2x2 + ... + kNNxN = 0.
Вы можете посмотреть на уравнения движения (6.68) из
предыдущего параграфа для системы из N одинаковых масс, прикрепленных
на одинаковых расстояниях на невесомом шнуре. Эти уравнения имеют
вид (6.85), но из-за специфики задачи (мы считали, что друг с
другом взаимодействуют лишь соседние частицы, т. е. на колебания
произвольной частицы оказывают влияние лишь соседние частицы) они
упрощаются.
Уравнения (6.85) представляют собой фактически 2-й закон
Ньютона, записанный для каждой частицы с массой тг. В теоретической

92
Гл. I. Колебания
физике работают с так называемыми обобщенными координатами,
и уравнения движения записываются в виде уравнений Л а гран жа,
которые являются более эффективными и универсальными, чем 2-
й закон Ньютона и уравнения (6.85) еще более обобщаются, но это
находится за пределами курса общей физики. А пока для нас, т. е. с точки
зрения общей физики, уравнения (6.85) достаточны. Они представляют
собой систему из N линейных однородных дифференциальных
уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Их компактно
можно записать следующим образом:
N
*m = О, n= 1,2,...,
(6.86)
т=\
Из математического анализа известно, что решения таких уравнений
ищутся в виде
п = 1,2,..., N,
(6.87)
где и и ап пока неизвестные постоянные. Подставив искомые
решения (6.87) в систему уравнений (6.86), после сокращения на ei(Jt
получим
N
тпи;2ап +
кптат = О, п = 1,2,..., N.
(6.88)
771=1
Это система из N линейных однородных алгебраических уравнений,
которым должны удовлетворять постоянные ап (п = 1,2,..., JV).
Условием того, чтобы эта система уравнений имела нетривиальные
решения, является, чем мы выше уже не один раз пользовались, равенство
нулю определителя системы:
кп\
\/vi
к
N2
=0.
(6.89)
Если раскрыть определитель, то мы получим характеристическое
уравнение — уравнение ЛГ-й степени относительно неизвестной и;2.
Решая его, можно определить N циклических частот Wpu^, ...,u;#,
называемых собственными, или нормальными частотами
исследуемой системы. Как мы знаем из алгебры, некоторые корни уравнения
N-й степени могут совпадать, т.е. некоторые из нормальных частот
могут совпадать.

6. Колебания систем со многими степенями свободы 93
Подставляя определенное значение частоты Uj из найденной
совокупности частот (jpu/g,...,^ в систему уравнений (6.88),
можно определить соответствующие выбранной частоте Wj коэффициенты
ах ,0*2 ,...,ajy. Как нам известно из математики, если все корни
(т. е. частоты шх, а^,..., u)N) характеристического уравнения (6.89)
различны, то коэффициенты ат пропорциональны минорам m-го элемента
любой строки определителя (6.89), в котором вместо ш подставлена
выбранная частота u?j. Таким образом, частное решение (6.87) системы
уравнений может быть записано в виде
*m = a«W, a«>=c,Ami, m = 1,2,... ,N. (6.90)
Здесь Amj — минор m-ro элемента определителя (6.89), в котором
вместо и2 стоит и2, а Cj — произвольная постоянная. Общее решение
представляет собой суперпозицию этих решений:
Ат^\ (6.91)
но мы должны взять вещественную часть этого решения:
N 1 N
Ед .с.>,ч = V^A У С6 92^
b=i J j=\
Здесь N вновь введенных величин
Xj = Re [с,еЧ*], j = 1,2,..., N, (6.93)
называемые нормальными координатами, соответствуют
нормальным частотам и^ил^-^лг» определяемым из характеристического
уравнения (6.89). Дело в том, что они удовлетворяют уравнениям для
собственных колебаний:
4X^=0, j= 1,2,...,TV, (6.94)
независимых друг от друга, т.е. колебания новых координат Х^
совершенно независимы друг от друга и поэтому их называют
нормальными координатами.
В заключение приведем общий алгоритм решения задачи
колебаний системы с произвольным числом N степеней свободы:
1. Составляются уравнения движения (6.85) (или (6.86)) для
каждой степени свободы.
2. Решения ищутся в виде (6.87), и, подставив их в уравнения
движения (6.85) (или (6.86)), получают систему N линейных однородных
алгебраических уравнений для амплитуд искомых решений.
3. Приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений
и раскрыв его, получают характеристическое уравнение степени N
относительно квадрата частоты, решив которое находят нормальные
частоты шх, и>2,.. •, c^jv•

94 Гл. I. Колебания
4. Общее решение представляется в виде суперпозиции (6.92)
нормальных координат, колебания которых происходят независимо друг
от друга.
6.7. Система с N числом степеней свободы. Формализм Лаг-
ранжа. В теоретической физике вместо 2-го закона Ньютона
пользуются универсальными уравнениями движения исследуемой системы —
уравнениями Лагранжа:
Здесь
L = WK-Wn (6.96)
— функция Лагранжа (лагранжиан) исследуемой системы, WK
и Wn — соответственно кинетическая и потенциальная энергии
исследуемой системы, которые в общем случае могут быть представлены
следующим образом:
1 N I N
W* = 2 £ Шпт*п*т> ^п = 2 E кптХпХт> (6-97)
n,m=l n,m=l
где тпт и кпт определяются свойствами исследуемой системы. Таким
образом, лагранжиан исследуемой системы
1 N
i=2 E KmVm-^mVm)- (6-98)
n,m=l
Для того чтобы составить уравнения Лагранжа (6.95), вычисляем
частные производные от лагранжиана L по скорости хп и координате хп
AT N ЯГ N
JU q
n m=l n m=l
подставив которые в (6.95) получаем уравнения Лагранжа:
N N
fcnm^=0, П = 1, 2, ... , N. (6.99)
Эти уравнения являются более общими, как уже мимоходом
было сказано выше, чем уравнения движения (6.86), и позволяют
исследовать колебания любых систем с N числом степеней
свободы. Решения этих уравнений проводятся совершенно аналогично
тому, что было сделано в предыдущем параграфе (цепочка
уравнений (6.87)-(6.94)). Универсальность уравнений Лагранжа (6.99)
заключается в том, что с их помощью можно исследовать колебания
любых систем (не только механических, но и систем в
электродинамике, молекулярной физике, оптике, физике атома и ядра). Только надо

7. Нелинейные колебания 95
уметь выбрать переменные x{ix2,...yxN, называемые в общем случае
обобщенными координатами, однозначно определяющие состояние
колебательной системы.
Примеры на колебания со многими степенями свободы из-за их
сложности и самостоятельности рассмотрим в части III данной книги.
§ 7. Нелинейные колебания
До сих пор мы рассматривали гармонические колебания или
колебания, близкие к гармоническим, уравнения движения которых
описываются линейными дифференциальными уравнениями 2-го порядка.
Так мы имели уравнение движения (2.1)
х + UqX = О
для свободных колебаний под действием упругой возвращающей силы;
уравнение (3.2)
х + 2/й? + и%х = О
для свободных затухающих колебаний в вязкой среде; уравнение (4.2)
х + 2/Зх + ujqX = / ^
для вынужденных колебаний в вязкой среде под действием
гармонической вынуждающей силы, меняющейся с циклической частотой и>2,
или уравнения типа (6.68) или (6.86) (или (6.99)) в случае систем
с N числом степеней свободы. В этом случае общее решение является
суперпозицией (наложением) любых других частных решений.
Если внимательно проследить, как была получена формула (2.32)
для упругой возвращающей силы
F— — кт (7 П
— KXt \i'L)
где жесткость к пружины определяется как значение второй
производной потенциальной энергии колеблющегося тела в положении
равновесия (см. (2.29)):
лг.л*т
(7.2)
п~ dx*
то мы должны вспомнить, что при этом, разложив потенциальную
энергию тела (частицы) в ряд Тейлора (2.26) около положения
равновесия
dx
*=o
ld?W,
2 dx2
ld?Wn
6 dx3
.... (7.3)

96 Гл. I. Колебания
мы убедились в том, что первым нетривиальным членом в этом
убывающем ряде является третий член
ld2Wn
г п
•х2,
пропорциональный квадрату отклонения, с учетом которого мы
получили выражения (7.1), (7.2) для упругой возвращающей силы,
пропорциональной первой степени смещения частицы.
7.1. Учет силы, пропорциональной квадрату смещения. Наша
задача здесь — учесть еще и следующий, четвертый член в
разложении (7.3), т.е. потенциальная энергия тела (частицы) представлена
в виде
\d2Wu 9. Ы3И^П 3 _кх2 , max3
Здесь коэффициент к мы знаем, а вновь введенный постоянный
коэффициент а равен
a = J-^ . (7.5)
2т dx3 х=0
Тогда сила F, действующая на тело (частицу), будет равна
р = -^ = -кх - max2, (7.6)
dx
т. е. она нелинейна по смещению х тела от положения равновесия и
содержит выражение, квадратичное по смещению х. Уравнение движения
(второй закон Ньютона)
тх = — кх — max2 (7.7)
после разделения на массу m тела примет вид
х + и%х = -ах2. (7.8)
Здесь —
W£ (79)
— циклическая частота собственных колебаний тела под действием
упругой возвращающей силы (7.1). Так как ах2 — малая величина,
то решение уравнения (7.8) можно искать в виде
* = х<°>+*<■>, (7.10)
я(0) =AcosuQt (7.11)
— решение уравнения (2.1) для гармонических колебаний, а х^ —
поправка к смещению частицы из положения равновесия, появляющаяся
из-за учета силы, квадратичной по смещению (см. (7.6)). Мы здесь

7. Нелинейные колебания 97
и далее в этой главе пользуемся методом последовательных
приближений (метод теории возмущений). Исторически так сложилось, что
малую поправку к силе (7.6) (это член (-max2)) и появляющуюся
из-за учета этой силы поправку х^ в смещении (7.10) частицы из
положения равновесия, называют возмущением. Этот термин пришел
из наблюдения движения планет вокруг Солнца. При использовании
метода теории возмущений (метода последовательных приближений)
частоту и0 (7.9) собственных колебаний тела под действием упругой
возвращающей силы (7.1) (т.е. невозмущенной силы) называют еще
частотой невозмущенных колебаний.
В (7.11) начальная фаза принята равной нулю, так как этого мы
всегда можем добиться соответствующим выбором начала отсчета
времени. Подставив искомое решение (7.10) в уравнение движения (7.7)
и разделив на массу т, получим
Здесь мы воспользовались формулой (7.9) для частоты невозмущенных
гармонических колебаний. Так как для невозмущенных гармонических
колебаний справедливо уравнение движения (2.1), то сумма первых
2 членов в левой части равенства (7.12) равна нулю:
а в правой части равенства (7.12), из-за малости поправки х^ по
сравнению со смещением ж<°) в случае невозмущенных колебаний мы
можем пренебречь 2-м и 3-м членами:
хМ « <°> =► 2x<®xW « 0, (*<!>)2 » 0. (**)
Тогда уравнение (7.12) примет вид
W^^-Q^0))2, (7.13)
т.е. мы получили дифференциальное уравнение для поправки х^.
Воспользовавшись формулой (7.11) для невозмущенных
(гармонических) колебаний и тригонометрической формулой для половинного
угла
cos— = \/-(
уравнение (7.13) мы получим в удобном для решения виде
). (7.14)

98 Гл. I. Колебания
Это неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
относительно искомой х({\ Как решается такое уравнение, мы знаем из
математического анализа. Решение ищется в виде, аналогичном
неоднородности уравнения (правой части (7.14)):
х^ =oj +Ь1сов2ц>*, (7.15)
в котором неизвестные пока коэффициенты ах и Ь{ должны быть
определены. Подставив искомое решение (7.15) в (7.14), получим
^ 2£. (7.16)
Это равенство может быть записано в виде
Сх + Z?!cos2a;0t = 0, (7.17)
где коэффициенты
$ (7.18)
Равенство (7.17) в общем случае выполняется лишь тогда, когда
постоянные коэффициенты С{ и Dx равны нулю:
Cj=O, Z>i = 0. (7.19)
Из этих условий находим искомые коэффициенты а{ и Ь{:
аА2 аА2 ах
2a;g 6a;2 3
Таким образом, колебания в случае учета силы (см. (7.6)),
пропорциональной квадрату смещения, происходят по закону
аА2 аА2
х = A cos uQt - —т + —s- cos 2a;0t. (7.21)
2uj2 6a;2
При этом мы воспользовались формулами (7.10), (7.11), (7.15) и (7.20).
Прежде чем делать выводы, силу (7.6) представим в виде
(7.22)
где
F<°> = -*ж (7.23)
— упругая возвращающая сила (7.1), которую снабдили верхним
индексом (0), чтобы показать, что она представляет собой невозмущенную
силу, а
F<!> = -max2 (7.24)

7. Нелинейные колебания 99
— поправка первого порядка к силе, пропорциональная квадрату
смещения х2 частицы (тела) из положения равновесия. Так как эта сила
пропорциональна квадрату смещения, то она от знака смещения не
зависит и всегда направлена в одну и ту же сторону, поэтому
естественно ожидать, что положение равновесия частицы (тела) будет смещено
на какую-то величину. Действительно, из закона колебаний (7.21)
можно сделать следующий вывод: наличие в силе члена F(1\
пропорционального квадрату смещения частицы, приводит к смещению
положения равновесия на величину
** = -£?• (7-25)
Второй вывод также очевиден из закона колебаний (7.21): наличие
в силе члена F(1\ пропорционального квадрату смещения
частицы, приводит к появлению (кроме основной моды —
колебаний с частотой о;0) колебаний с удвоенной частотой 2и>0 (т.е.
появляется вторая мода или вторая гармоника). Этот результат
очевиден, если внимательно проследить вывод закона колебаний (7.21).
Вторая гармоника появилась из-за того, что квадрат смещения в F^
приводит к квадрату coso;0t, который выражается через косинус
удвоенного угла — 2uQt. Мы видим, что закон колебаний (7.21) является
нелинейным (не гармоническим или, как еще называют,
ангармоническим).
Нетрудно догадаться и по индукции предположить, что учет
следующих поправок к силе (поправок, пропорциональных х3, ж4
и т. д.) приведет к появлению гармоник высшего порядка: к
появлению дополнительных колебаний с частотами Зи?0, 4о>0 и т.д.
7.2. Учет силы, пропорциональной кубу смещения.
Рассмотрим поправку к силе, пропорциональную кубу смещения х3.
Для этого в разложении потенциальной энергии частицы в ряд
Тейлора необходимо сохранить член, пропорциональный х4, т.е.
вместо (7.4) будем иметь
1
nW~2
d?W
6 dx3
d*W
х=0
24
■х4 =
х=0
kx2 max3 т0х*
Здесь коэффициенты А: и а известны (см. (7.2) и (7.5)), а новый
постоянный коэффициент
0=
бш dx* х=0
(7.27)

100 Гл. I. Колебания
На этот раз мы учитываем поправку 2-го порядка F^ к силе, т. е.
поправку, пропорциональную кубу смещения частицы из положения
равновесия:
F = -$%L = -kx - max2 - трх3 = F<°> +F^+ F™, (7.28)
ax
-mpx3 (7.29)
— поправка 2-го порядка к силе. Разложения (7.26) или (7.28)
представляют собой убывающие ряды.
Уравнение движения (2-й закон Ньютона)
mx = -kx - max2 - mf3x3 (7.30)
после разделения на массу га принимает вид
х + (4х = -ах2-0хг. (7.31)
Тут необходимо сказать следующее. Вообще в теоретической механике
(первом разделе теоретической физики), которую вы начнете проходить
позже, показывается, что при учете поправок к упругой
возвращающей силе небольшую поправку получает и частота первой гармоники,
т.е. более строгим и правильным является представление первой
гармоники не в виде (7.11) с частотой а;0, определяемой по формуле (7.9),
ЗВВИДе х^=Асо*и, (7.32)
с несколько измененной частотой
w=<jo + u;(1)+u;(2) + ..., (7.33)
где w(1\lj(2\... — малые поправки первого, второго и т.д. порядков,
которые должны быть определены. В теоретической механике
показывается, что поправка 1-го порядка равна нулю:
«>W = 0, (7.34)
так что наше молчаливое предположение, что частота 1-й гармоники
при учете силы, пропорциональной квадрату смещения, остается
неизменной и равной и>0 (см. (7.11) и (7.9)), не является ошибочным. Но при
учете поправки к силе, пропорциональной кубу смещения, небольшое
изменение частоты 1-й гармоники необходимо учесть, т.е. во втором
приближении теории возмущений смещение и частоту надо искать
в следующем виде: ,m m m
(9\ \f.OO)
Ш = UJq +ОГ \
Здесь закон колебаний 1-й гармоники определяется формулой
s(0) = A cos о;*, (7.36)
где (см. (7.11)) вместо и>0 стоит несколько измененная частота о>,
определяемая по формуле (7.35). Нам необходимо определить поправки

7. Нелинейные колебания
101
2-го порядка х^ и иД2). Искомые решения ставятся в уравнение
движения (7.31), и после довольно громоздких математических
выкладок можно получить искомые поправки:
16а,2
,,(2)
_ Л2 Г 3/? 5а2 ]
Н
(7.37)
(7.38)
С подробным выводом вы ознакомитесь при прохождении
теоретической механики.
Мы видим, что, действительно, учет поправки к силе,
пропорциональной кубу Xs смещения, приводит к появлению
гармоники 3-го порядка, т.е. к появлению дополнительного колебания
с утроенной частотой За?. Закон колебаний 1-й и 2-й гармоник
определяется формулой (7.21), где вместо w0 надо ставить ш. Таким
образом, предположение, сделанное в конце п.7.1, правильно с одной,
поправкой — учет высших поправок приводит к изменению
частоты 1-й гармоники (вместо и>0 надо взять измененную частоту и;).
7.3. Нелинейные колебания математического маятника.
При получении уравнения колебаний (1.5) математического маятника
(7.39)
синус угла отклонения мы заменили на сам угол (см. (1.4)):
F = — rag sin a « —гада, (7.40)
что верно лишь в случае малых колебаний. Здесь это
ограничение снимем, т.е. колебания маятника не будем считать малыми.
Для более реального понимания, когда колебания маятника можно
считать малыми, а когда нет, полезно посмотреть на таблицу синусов.
Для наглядности приведем некоторые значения синусов:
sinO°
sin 5°
sin 10°
sin 15°
sin 20°
sin 25°
sin 30°
sin 50°
sinO
sin 0,0873
sin 0,1745
sin 0,2618
sin 0,3491
sin 0,4363
sin 0,5236
sin 0,8727
0
0,0872
0,1736
0,2588
0,3420
0,4226
0,5000
0,7660
0%
0,1%
0,5%
1,2%
2,1%
3,2%
4,7%
13,9%
Здесь в первом и втором столбцах углы приведены, соответственно,
в градусах и радианах, в третьем столбце — значения синусов, а в
последнем, четвертом столбце — относительные ошибки в определении

102 Гл. L Колебания
синуса в процентах при замене синуса его аргументом. Мы видим,
что, начиная с угла отклонения примерно в 15°, ошибки в определении
синуса (а значит, и в определении силы (см. (7.40)) становятся
больше 1 %.
Вернемся к рассмотрению колебаний математического маятника,
не ограничивая себя малыми колебаниями. Тогда вместо (1.46)
уравнением колебаний математического маятника будет
I—
ra/d = — rap sin а => а = — ursine*, u>0 = J- , (7.41)
где а;0 — собственная частота свободных малых колебаний
математического маятника.
Это же уравнение колебаний можно получить, рассматривая
колебания математического маятника как движение грузика массой га по
окружности радиуса / (длина нити математического маятника), т.е. мы
можем записать уравнение вращательного движения грузика:
1а = М, (7.42)
где I и М представляют собой момент инерции грузика относительно
точки подвеса, равный
/ = га/2, (7.42а)
и момент силы, действующий на грузик
М = —mgl sin a, (7.426)
где /sinа — плечо силы тяжести относительно точки подвеса, а знак
«минус» показывает на то, что момент силы тяжести препятствует
увеличению угла отклонения маятника. Подставив (7.42а) и (7.426)
в (7.42), получаем уравнение колебаний (7.41), как и должно быть.
Займемся решением уравнения (7.41), являющегося нелинейным,
т.к. вместо линейной переменной а стоит нелинейная функция sin а.
Мы можем воспользоваться известным из математического анализа
разложением синуса в убывающий ряд
sina = a-^ + ^-.... (7.43)
При исследовании малых колебаний маятника достаточно было
оставить первый член этого ряда. Здесь учтем и второй член ряда, т.е.
синус угла представим в виде
а3
sine* = а-—, (7.44)
о
т.е. пренебрежем третьим и последующими членами ряда. Опять же
для наглядности приведем значения синуса, вычисленные по
формуле (7.44), и их точные табличные значения с указанием погрешности:

7. Нелинейные колебания
103
sinO0
sin 5°
sin 10°
sin 15°
sin 20°
sin 25°
sin 30°
sin 50°
0
0,0872
0,1736
0,2588
0,3420
0,4225
0,4997
0,7619
0
0,0872
0,1736
0,2588
0,3420
0,4226
0,5000
0,7660
0%
0%
0%
0%
0%
0,02%
0,06%
0,50%
Видим, что формула (7.44) прекрасно определяет синус угла
отклонения. Конечно, для больших углов отклонения, а —> 90°,
погрешность вычисления по этой формуле увеличивается и необходимо учесть
уже следующие члены в разложении (7.43). Но для нас
разложение синуса в виде (7.44) достаточно. Тогда уравнение колебательных
движений (7.41) математического маятника в случае больших углов
отклонений принимает вид
= -f a3. (7.45)
Ясно, что решением этого уравнения не может быть гармоническая
функция
а = aosina;£, (7.46)
т.к. из-за того, что в правой части уравнения (7,45) искомая
величина а стоит в кубической степени, а куб синуса, как мы знаем из
тригонометрии, выражается через синус утроенного угла:
sin3 vt = 2 [3 sin u)t - sin 3ut],
(7.47)
уравнение (7.45) не выполняется в общем случае. Поэтому решение
уравнения (7.45) надо искать как суперпозицию (наложение) двух
гармонических колебаний с частотами о; и За;:
а = ao(sin ut + C sin 3ut).
(7.48)
Это искомое решение вполне соответствует выводу, сделанному ранее
(см. вывод в конце п. 7.1), что учет поправок к силе,
пропорциональных кубу и более высоким степеням смещения тела (осциллятора)
от положения равновесия, приводит к появлению гармоник высшего
порядка — к появлению дополнительных колебаний с частотами За;,
4а; и т. д. Мы здесь, снова пользуясь нашими знаниями из предыдущих
параграфов, берем вместо собственной частоты и0 свободных малых
колебаний математического маятника измененную под действием
возмущения частоту о;, несколько отличающуюся от о;0. Таким образом,

104 Гл. I. Колебания
наша задача сейчас — определить С и и. Так как возмущение
мало, т. е.
у < а, (7.49)
то заранее ясно, что коэффициент С, определяющий «вес» моды с
частотой За;, будет величиной, значительно меньшей единицы:
С<1. (7.50)
Так как
а = —olqW2 (sin art + 9Csin3u;£),
a3 = al [ sin3 art + 3C sin2 ut • sin 3vt + 3C2 sin ut - sin2 3ut+ (*)
+C3 sin3 3ut] « a§ [sin3 ut + 3C sin2 ut • sin За;^],
то, подставив их и искомое решение в уравнение движения (7.45),
имеем
— ш2 sin u)t — 9u;2C sin 3wt -V w\ sin ut + o;qC sin 3u;£ =
a;2
= -—■ (ao sin3 wt + 3qqC sin2 a;t • sin 3utf) «
^o / 2 3 9 1 о \ / ч
6 v 4 4 ;
При получении (*) мы пренебрегли членами, содержащими С2 и С3,
ввиду малости коэффициента С (см. (7.50)) и поэтому
С2 < С, С3 < С,
а в (**), по аналогичной причине, пренебрегли членом, содержащим С,
и куб синуса разложили по формуле (7,47). Равенство (**) можем
переписать в виде
\ / 1 \
I sin3u;£=0.
Это равенство в общем случае (т. е. для любого момента времени t)
выполняется лишь тогда, когда будут равны нулю коэффициенты (скобки)
при переменных величинах (т.е. при sin art и sin3a>£):
I — ш2+о% — 5^оао ) sinutf+1 —9о;2С+о;оС+^Ц)а:о j
о
- 9a;2C + a;gC + ^uficft = 0.

7. Нелинейные колебания
105
Отсюда получаем формулы для определения искомых величин:
24 9 1-2 -
(7.51)
Здесь о»0 и а0 известны, т. к. и0 определяется по формуле (7.41), а а0 —
амплитудное значение угла отклонения маятника. В случае не очень
сильных отклонений маятника, т. е. в случае выполнения условия
для определения частоты ш и коэффициента С можно пользоваться
более простыми формулами:
U)
(7.52)
Мы видим, что
1. «Вес» С моды с частотой За; действительно представляет
величину, значительно меньшую единицы, т. к. угловая амплитуда а0
колебаний маятника может принимать значения, лежащие в интервале
(7.53)
2. Частота колебаний ш уменьшается при увеличении
амплитуды а0 колебаний по сравнению с собственной частотой а?0
маятника.
Ниже приводим значения коэффициентов С при разных угловых
амплитудах а0, вычисленные по формулам (7.51) и (7.52):
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
С
(7.51)
0,000156
0,000646
0,00149
0,00272
0,00445
0,00675
0,00984
(7.52)
0,000156
0,000635
0,00143
0,00254
0,00397
0,00571
0,00778
Сравнение полученных результатов показывает хорошее согласие
приближенной формулы (7.52) с более точной (7.51).

106 Гл. I. Колебания
Результаты, полученные здесь для нелинейных колебаний
математического маятника, могут следовать и из более общего рассмотрения,
проведенного в п. 7.2. Но этим мы займемся в следующем примере.
Пример 7.1. Получить результаты, приведенные в п. 7.3, из общего
подхода.
В этом примере, исходя из общих соображений, приведенных
в п. 7.2, постараемся получить формулы (7.52) для частоты и и «веса» С
моды с частотой За;. На этот раз роль смещения ж, использованного
в п. 7.2, играет угол а отклонения математического маятника от
вертикали, т.е. формулу (7.31) мы можем переписать в виде
а + ш%а = -а* а - /За3. (*)
Здесь коэффициент а (в правой части формулы) (7.31) переобозначен
как а*. С учетом переобозначений этот коэффициент определяется
по формуле (7.5) и равен нулю:
2m da3 Q==o
Это следует из того, что потенциальная энергия математического
маятника, отклоненного на угол а, определяется по формуле (см. рис. 1.2):
Wn(a) = mgl(l — cos a)
и ее третья производная по углу а в положении равновесия равна нулю
= — mgl sin а\а==0 = 0.
Таким образом, уравнение движения примет вид
Из п. 7.3 известно уравнение нелинейных колебаний
математического маятника в указанном приближении (см. (7.45)):
=^a3. (**)
Из сравнения (*) и (**) находим коэффициент /?:
Подставляя полученное значение коэффициента 0 в формулу (7.38),
определяющую поправку а/2) к частоте в указанном приближении,
находим, что

7. Нелинейные колебания 107
Здесь роль амплитуды А в формуле (7.38) играет угловая амплитуда а0.
Подставив значение и/2) в (7.35), приходим к формуле
для частоты нелинейных колебаний математического маятника, т.е.
формула (7.52) для частоты найдена.
Перейдем к получению формулы для «веса» С моды с частотой За;.
Формула (7.35) для угла отклонения в случае математического
маятника принимает вид
а = а<°> + а<!> + а<2> = а<°> + а
<2>.
Здесь а^1) = 0 из-за равенства нулю коэффициента а* (об этом сказано
выше), а
а(0) =a0cosu;t. (□□).
Поправка а^ определяется по формуле (7.37):
Здесь первое выражение внутри скобки обычно значительно меньше
второго:
поэтому этим членом мы можем пренебречь. Тогда
и закон нелинейных колебаний математического маятника принимает
следующий вид:
а2
а = ^ ^
что совпадает с (7.48) и (7.52). Бросающееся на первый взгляд внешнее
отличие определяется различным выбором начального момента
времени в п. 7.2 и 7.3 (см. (7.32) и (7.46)). Задача решена.
Пример 7.2. Определить относительные отличия частоты ш
нелинейных колебаний математического маятника от частоты и0
гармонических колебаний и «веса» С моды с утроенной частотой За; при
следующих угловых амплитудах колебаний математического маятника

108
Гл. I. Колебания
(с учетом поправки к силе, пропорциональной кубу угла отклонения):
1. ао = 10° =0,1745.
2. ао = 20° =0,3491.
3. а0 = 30° = 0,5236.
4. ао = 40° =0,6981. (*)
5. а0 = 50° = 0,8727.
6. ао = 60° = 1,0472.
7. а0 = 70° = 1,2217.
Одна из искомых величин, относительное отличие частоты ш
нелинейных колебаний от частоты ш0 гармонических колебаний, может
быть определена из формулы (7.52):
(**)
а «вес» С моды с утроенной частотой За; находится из второй формулы
В (752): a2 S
Поэтому нам достаточно перевести градусы в радианы, что уже
сделано в (*) (крайне правые величины) и воспользоваться формулами (**)
и (***).
Результаты приведены в табл. 7.1.
С
s (%)
10°
1,6-ИГ*
0.2
20°
6,3-10"4
0.8
Табл
30°
1,4-10"3
1,7
ица 7.1
40°
2,5- КГ3
3
50°
4,0-Ю-"3
4.8
60°
5,7-10"3
6,8
70°
7,8-10"3
9,4
Мы видим, что хотя «вес» моды с утроенной частотой чрезвычайно
мал, изменение частоты колебаний по сравнению с частотой
гармонических колебаний уже при углах отклонения порядка 30° и больше
превышает 1%, достигая примерно 10% при угловой амплитуде 70°.
Пример 7.3. Потенциальная энергия Wn тела, совершающего
колебания вдоль оси ж, зависит от координаты х тела следующим образом:
Wn(z) = (0,5z2 + 0,lz4) Дж.
Зная, что масса тела т = 0,1 кг, а максимальное смещение от
положения равновесия А = 1 м, определить, пренебрегая силой трения:
1) положение равновесия тела;
2) силу, действующую на тело;
3) закон колебаний тела.

7. Нелинейные колебания 109
1. В положении равновесия, около которого могут происходить
колебания, потенциальная энергия минимальна, т. е. по условию экстремума
первая производная от потенциальной энергии по переменной, от
которой зависит потенциальная энергия, должна быть равна нулю:
Wn' = х + 0,4а:3 = х( 1 + 0,4х2) = 0.
Решая это уравнение, находим три значения ж:
х\ =0,
из которых физическое значение имеет лишь первое решение, т. е.
положением равновесия тела является точка с координатой
х0 = хх = 0.
Но мы знаем, что тело (частица) может совершать колебания только
около устойчивого положения равновесия, в котором потенциальная
энергия должна быть минимальна. Из математического анализа
известно, что условием минимума функции является положительность
второй производной функции в положении равновесия. В нашем
случае
т.е., действительно, х = 0 является положением устойчивого
равновесия.
2. Так как сила трения по условию задачи отсутствует, то сила,
действующая на тело, потенциальна, т. е.
F = F(x) = -^п = -W = _x(i +0,4a;2) H.
ах
По этой формуле сила, действующая на тело, может быть определена
в любом положении тела. Знак «минус» из-за того, что сила
выражается через х в нечетной степени (х и я3), что приводит к тому, что
она является возвращающей силой (направлена в сторону положения
равновесия), что и обеспечивает колебательное движение тела.
3. Определим закон колебаний тела. Обратимся к формуле (7.35),
справедливой для нахождения смещения х и частоты ш колебаний при
учете поправки к силе, пропорциональной кубу смещения (что как раз
подходит в нашем случае):
Здесь (см. (7.32))
rr(0) = A cos art,

ПО Гл. I. Колебания
так как эта первая поправка х^ (см. (7.15), (7.20)) пропорциональна
коэффициенту а, определяемому по формуле (7.5) и в нашем случае
равному нулю:
Здесь
W™ = 2,4х.
Поэтому
х = Acosut + х
и нам надо найти х®\ и>0, ш@\ Частота и0 гармонических колебаний
(колебаний без возмущения) определяется по формуле (2.33)
с-',
а поправки х^ и а;^2^ к смещению и частоте — по формулам (7.37)
Н
Здесь мы сразу учли, что а = 0. Не определенный пока коэффициент 0
находим по формуле
Подставив найденные величины и величины, заданные по условию
задачи, получаем, что
х<2> =0,00146 cos За;*,
о;® = 0,047,
Поэтому закон колебаний тела будет иметь следующий вид:
х = (cos 3,16* + 0,00146 cos 9,48f) м.
§ 8. Метод фазового пространства (МФП)
В физике широко используется метод фазового пространства
(МФП), особенно в тех случаях, когда невозможно аналитическое
решение уравнения, определяющего изменение состояния исследуемой

8. Метод фазового пространства (МФП) ПЛ
системы (в механике — уравнения движения частицы (тела) или
системы частиц). Не является исключением и исследование колебаний.
МФП подробно будет изучен при прохождении теоретической физики.
Поэтому здесь мы ограничимся использованием МФП в частных
случаях, что позволит вам понять суть метода, а с применением этого
метода в более сложных случаях ознакомимся в части III книги.
8.1. Гармонические колебания (линейный осциллятор). Хотя
уравнение гармонических колебаний аналитически решается, для
демонстрации МФП рассмотрим и этот случай. Состояние осциллятора,
совершающего гармонические колебания, однозначно определяется его
смещением х из положения равновесия и скоростью х:
х = Acos(wt + a),
х = —Аи sin(utf + а) = Aw cos (u>t + а + -).
В МФП вместо этих переменных используют координату х и импульс р
исследуемой системы (в нашем случае — осциллятора):
х = Acos(ut + a),
р = rax = —mAu sin(utf + a),
и состояние системы (осциллятора) однозначно определяется точкой S
на фазовой плоскости, определяемой взаимно перпендикулярными
осями х (ось абсцисс) и р (ось ординат) (см. рис. 8.1, а).
Действительно, знание координат р и х точки S в определенный момент
времени равносильно знанию состояния осциллятора (его смещения х
и импульса р> или, что совершенно эквивалентно, его смещения х
и скорости х). Еще раз повторим, что плоская система координат
с осями х и р представляет фазовую плоскость. Это исторически
сложившееся название. Слово «фазовая» не относится к фазе
колебаний (ut + а) или начальной фазе колебаний а, а имеет смысл стадии,
состояния исследуемой системы (английское слово phase переводится
как фаза, период, стадия, аспект, разновидность). Из школьного
курса физики вы знакомы с фазовым состоянием вещества. Например,
система лед + вода + пар состоит из трех фаз: твердой, жидкой и
газообразной. То есть этим хотят сказать, что понятие фазовая плоскость
равносильно понятию плоскость состояния. Но мы будем
придерживаться исторически сложившегося термина «фазовая плоскость». Одно
мы должны понять и не забывать — состояние осциллятора
описывается координатами определенной точки в фазовой плоскости
(фазовом пространстве).
При колебании осциллятора, вследствие изменения при этом и
смещения х и скорости х, точка 5, соответствующая определенному
состоянию осциллятора, перемещается вдоль определенной
траектории L в фазовой плоскости (на рис. 8.1, а показан фрагмент этой

Гл. I. Колебания
Рис. 8.1
траектории), которая называется фазовой траекторией колеблющейся
системы (в данном случае — осциллятора).
Для определения фазовой траектории из закона изменения
переменных, представляющих собой координаты в фазовом пространстве,
исключается время. В случае гармонического осциллятора
переменными, представляющими собой координаты в фазовом пространстве,
являются смещение х и импульс р, а законы их изменения заданы
формулами (8.2). Исключение времени для такого закона стандартное
(мы уже не раз с этим встречались) — пользуемся известным
свойством синуса и косинуса:
sin2 (р + cos2 <р = 1. (*)
Для этого равенства в (8.2) возводим в квадрат, находим квадраты
синуса и косинуса и, сложив их, воспользовавшись при этом
свойством (*), получаем уравнение фазовой траектории гармонического
осциллятора: 2 2
?2+7^7Т2 = 1' С8-3)
Таким образом, фазовая траектория осциллятора,
совершающего гармонические колебания с циклической частотой и> и
амплитудой А, представляет собой эллипс с полуосями А и тиА вдоль
осей жир соответственно (см. рис, 8.1,6). Полуоси этого эллипса
равны максимальным значениям смещения х и импульса р осциллятора
(т.е. их амплитудам):
жтах = . ^g4j
Ртах = ГГШ)А.
Полуоси фазовой траектории гармонического осциллятора
выражаются через амплитуду Л, частоту и колебаний и массу га осциллятора.
Они характерны тем, что все они постоянны для данного осциллятора.
В то же время нам известно, что полная энергия WQ гармонического
осциллятора сохраняется (см. (2.18), (2.15), (2.19)):
тл/ — т^2 ^х2 — Р2 ^х2 — muj2j^2 __ ^2 _ и/
к + п ~ ~2~ + Т" ~ 2т + "У = 2 ~ 1Г 0>

8. Метод фазового пространства (МФП)
113
и этим мы можем воспользоваться. Определив квадрат амплитуды
через полную энергию осциллятора:
А2 _
и подставив его в (8.3), можно получить другое представление
уравнения фазовой траектории:
2W0
= 1,
(8.3а)
которое эквивалентно (8.3). Отсюда мы легко можем сделать
следующие выводы:
1. Каждой энергии гармонического осциллятора соответствует
своя эллиптическая фазовая траектория (см. рис. 8.2).
И
Рис. 8.2
2. Чем больше энергия Wo осциллятора, тем больше полуоси
Ь эллипса — фазовой траектории:
а
(8.5)
Уравнение (8.3а) фазовой траектории может быть найдено и
непосредственно из определения полной энергии
с учетом того, что к = та;2. Совокупность фазовых траекторий,
соответствующих разным энергиям осциллятора, представляет собой
фазовый портрет осциллятора (колеблющейся системы). Исследование
фазового портрета колеблющейся системы позволяет много узнать об этой
системе. Оно просто необходимо (неизбежно) при исследовании
колебательной системы в том случае, когда уравнение колебаний невозможно

114 Гл. I. Колебания
решить аналитически. В случае гармонического осциллятора уравнение
движения точно решается, но здесь метод фазового пространства мы
применили к гармоническому осциллятору из-за простоты и
наглядности задачи.
В теоретической физике в качестве координатных осей фазового
пространства берут оси, соответствующие так называемым
обобщенным координатам и обобщенным импульсам, которые при работе
в декартовой системе координат совпадают с обычными
декартовыми координатами и обычными импульсами, как было здесь при
исследовании линейного гармонического осциллятора, смещение
которого определялось декартовой координатой х, а импульс — обычным
импульсом частицы р = тх. При исследовании задач в других
системах координат (не в декартовой, а, например, в полярной,
цилиндрической, сферической и других) обобщенные координаты и скорости уже
не совпадают с декартовыми переменными. Поэтому в рамках общей
физики лучше пользоваться более привычными для нас независимыми
переменными. Например, в только что рассмотренном случае
линейного гармонического осциллятора вместо х и р можно пользоваться
другими независимыми переменными — смещением х и скоростью х
(см. (8.1)). В принципе ничего не меняется, только во всех формулах
импульс р надо заменить на га±, а фазовая плоскость будет образована
осями координаты х и скорости х. Например, формулы (8.3) или (8.3а),
определяющие фазовые траектории гармонического осциллятора,
примут вид
Xi + Sy = 1' (8-6)
х2 х2
+ £ 1 (87)
а вместо рис. 8.2 будем иметь рис. 8.3. В этом случае, естественно,
меняется лишь величина той полуоси фазовой траектории (эллипса),
которая соответствует скорости (импульсу):
,8.8)
тут
Начало фазовой системы координат, т. е. точка О в системе
координат с осями х их, соответствующее состоянию устойчивого равновесия
колебательной системы, называется центром фазового портрета
колебательной системы и является особой точкой, через которую фазовая
траектория не проходит.
В заключение этого параграфа надо отметить, что мы
пользовались терминами то «фазовое пространство», то «фазовая
плоскость». Дело в том, что фазовое пространство колебательной системы

8. Метод фазового пространства (МФП)
115
Рис. 8.3
с п степенями свободы 2п-мерно (п осей, соответствующих п
координатам х{ух2, ...,#п плюс п осей, соответствующих п
координатам х1ух2> ••• >яп). Поэтому в случае одномерного гармонического
осциллятора фазовое пространство представляет собой плоскость (х, х)
и можно было говорить или «фазовое пространство», или «фазовая
плоскость» — противоречия нет.
8*2. Нелинейные колебания математического маятника.
Рассмотрим колебания математического маятника без ограничения на
величину угла отклонения а от вертикали (см. рис. 8.4). Так как
на угол а не введено никаких ограничений, то нить математического
маятника лучше заменить невесомым
стержнем — это приведет к выполнению условия
постоянства расстояния I от грузика массы га
до точки О подвеса. Уравнение движения
маятника имеет вид (см. (7.41))
а =-ursine*,
(8.9)
Рис. 8.4
Это уравнение точно не решается, и мы
в п. 7.3 решали это уравнение методом по-
следовательных приближений. Здесь применим
МФП. Для получения уравнения фазовой
траектории нелинейных колебаний маятника проще воспользоваться
законом сохранения энергии. Полная энергия WQ, равная сумме
кинетической WK и потенциальной Wn энергий, сохраняется:
W0 = WK + Wn = ^ml2a2 + mgl(l - cos a).
Разделив это равенство на Wo> получим уравнение фазовой траектории
маятника без ограничений на величину угла отклонения а:
2W0
ml2
mgl

116
Гл. I. Колебания
На рис. 8.5 приведен фазовый портрет математического
маятника — множество фазовых траекторий, соответствующих разным
энергиям Wo маятника.
а
-Зтг
Рис. 8.5
Тут надо отметить 2 существенно отличающихся случая.
1. Случай малых углов отклонения. В этом случае cos а в (8.10)
можно разложить в убывающий ряд по а:
а2
и, оставив 2 первых члена:
cos a
1-
а4
ог
вместо (8.10) получим уравнение фазовой траектории в виде
а2
а2
'
ml2
представляющее уравнение эллипса с полуосями
(8.11)
(8.11а)
(8.12)
(8.13)
Этот случай показан на рис. 8.5 для 3 разных значений полной
энергии Wo — чем больше Wo, тем больше размеры эллипса — фазовой
траектории (3 эллипса, указанные цифрами 1, 2, 3).
Как мы знаем из п. 8.1, эллиптическая фазовая траектория
соответствует гармоническим колебаниям. Таким образом, в случае
малых отклонений колебания математического маятника будут
гармоническими, как и следовало ожидать.
2. Случай больших углов отклонения. При увеличении угла
отклонения а до таких величин, когда невозможно уже пользоваться
приближением (8.11а), уравнение фазовой траектории (8.10) не
переходит в уравнение эллипса, как это было в предыдущем случае, а
начинает соответствовать кривой, близкой к эллипсу, но не являющейся им.

8. Метод фазового пространства (МФГ7) П7
Колебания перестают быть гармоническими. Случай, когда угол
отклонения может достичь тг или (-тг), соответствует кривой 4 на
рис. 8.5. Эта кривая не является эллипсом, т. к. в точках а = а0 =
= тг, —тг (или а = 0), т. е. в точках поворота фазовая траектория
не гладкая, а испытывает излом. В этом случае (а = а0 = тг, -тг)
потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна
нулю, т. е. полная энергия
Wo = Wn max = mgl(l- cos тг) = 2mgl. (8.14)
Таким образом, мы можем сказать, что в том случае, когда полная
энергия маятника равна 2mgl, его фазовая траектория описывается
кривой 4 на рис. 8.5 (не эллипсом), т.е. его колебания будут
негармоническими, при этом маятник будет совершать такие колебания,
что в положениях максимального отклонения он будет находиться
в вертикальных положениях (положениях неустойчивого равновесия)
и через мгновение начнет двигаться в обратном направлении.
Полная энергия WQ маятника зависит от начальных условий,
например от начальной скорости, и поэтому мы всегда можем сообщить ему
такую начальную скорость, что его полная энергия будет больше 2mgl:
W0>2mgl (8.15)
В этом случае фазовая траектория маятника уже не будет
замкнутой кривой, а будет соответствовать кривой 5 на рис. 8.5, т. е. движения
маятника будут, как говорят физики, убегающими — движение
маятника перейдет во вращательное (угол а будет возрастать
неограниченно).
В заключение покажем, что уравнение (8.10) фазовой траектории
может быть получено и из уравнения движения (8.9). Угловое
ускорение маятника, т.е. левая часть уравнения (8.9), может быть
представлено в виде .
аа аа аа .аа 1 о ..о, t ч
При этом мы учли, что угловая скорость а является сложной
функцией от а и t:
а = d(a(t)).
Тогда, учитывая (*), из (8.9) получим выражение
~d(d2) = -ursine* da,
интегрируя которое приходим к равенству
а2
— = и>1 cos a + С. (**)

118 Гл. I. Колебания
Константу интегрирования С находим из начальных условий:
т.е.
f
s=f-fa'o = ^-wo- (***)
Здесь мы воспользовались тем, что полная энергия WQ маятника равна
максимальной кинетической энергии WKmax:
9 **ir
Подставив найденное выражение (***) для константы интегрирования
в (**), после элементарных преобразований получаем уравнение
фазовой траектории (8.10), как и должно быть.
8.3. Колебания при сухом трении. Это вопрос мы
рассматривали в п. 3.3. Если рассматривать одномерные колебания тела вдоль
оси ху на которое действует сила сухого трения, направленная против
скорости, но не зависящая от величины скорости (см. (3.24)):
Рч = ЩР* (8Л6)
то уравнение движения (2-й закон Ньютона) принимает вид (3.25):
(8.17)
Если перейти к новой переменной (см. (3.27))
j, (8.18)
о
то уравнение движения (8,17) упростится:
(8.19)
и совпадет с уравнением гармонических колебаний для смещения х',
отличающегося от смещения х на величину ттт—^. Так как х1 пред-
FI тш
ставляет собой фактически две переменные:
х\=х + —% для х > 0,
7° (8-20)
Х2 = х ^о Для * < 0»
то мы можем сделать следующий вывод: фазовая траектория в
случае наличия сухого трения представляет собой спиральную
кривую (см. рис. 8.6), представляющую собой сшитые между собой,

8. Метод фазового пространства (МФП)
119
х>0
х<0
Рис. 8.6
все уменьшающиеся по размерам полуэллипсы. Причем в верхней
части фазовой плоскости (х > 0) фазовая траектория
соответствует эллипсу с центром в
для х > О,
а в нижней полуплоскости — эллипсу с центром в
Fn
для х < 0.
(8.21а)
(8.216)
Это следует из того, что в положении равновесия, около которого
в данный момент происходит колебание, смещения равны нулю:
х j = 0 для х > 0,
х'2 = 0 для х < 0,
(8.22)
и гармоническому колебанию соответствует эллиптическая фазовая
траектория. Из вида фазовой траектории можно заключить, что тело
в конце концов прекратит свои колебательные движения и остановится.
Но при этом, т. к. центр эллипса меняется в зависимости от
направления скорости тела (см. (8.21а), (8.216)), то тело остановится в точке,
лежащей между х0 и Xqq, не обязательно совпадающей с точкой х = 0.
Из фазовой траектории видно, что уменьшение амплитуды колебаний
за один период равно
ДЛ = A(t) - A(t + Т) = 2(яоо - х0) =
(8.23)
что совпадает с (3.28). Отсюда также можно получить формулы (3.29)
и (3.30).

Глава II
ВОЛНЫ
§9. Волны
Мы можем проделать такой простой опыт. Если прикрепить один
конец какого-нибудь шнура к неподвижному предмету (например,
к стене) и, натянув шнур горизонтально за другой конец,
совершать довольно быстрые вертикальные колебания, то увидим, что от
нас в сторону закрепленного конца побежит волна (см. рис. 9.1) —
«гребни» и «впадины» шнура побегут в сторону закрепленного конца.
На рис. 9.1 положения волны в шнуре показаны во все возрастающие
моменты времени, т.е. tx < t2 < t3.
Рис. 9.1
Мы на основе этого, знакомого многим опыта, можем сделать
следующие выводы:
1. Волной называется процесс распространения колебаний.
2. Частицы среды (в нашем опыте — шнура), в которой
распространяется волна, не совершают поступательного перемещения
вдоль направления распространения волны, а лишь совершают
колебания около своих положений равновесия.

9. Волны Ш
Конечно, на основе частного опыта делать общие выводы
некорректно, но эти утверждения справедливы и в общем случае (хотя есть
и исключения). Другим примером могут служить волны, возникающие
и распространяющиеся во все стороны при падении камня на
поверхность воды. Можно привести и другие примеры.
Мы знаем, что любая колебательная система обладает энергией.
В то же время если обратиться к нашим примерам, то вертикальные
колебания свободного конца шнура в первом примере или падение
камня на поверхность воды во втором случае представляют собой
некоторое возмущение среды (шнура или поверхности воды), которое
распространяется в среде (в шнуре или на поверхности воды). Поэтому
мы можем дать другое определение волны:
Волна — это возмущение, распространяющееся в некоторой
среде (пространстве) с определенной скоростью и несущее при
этом энергию с собой. Другими словами, волны переносят
энергию.
В общем случае волны могут распространяться в любой упругой,
среде (в твердом теле, жидкостях, газах) из-за того, что любое
возбуждение колебаний частиц в определенной точке (малой области) среды
приводит к тому, что вследствие взаимодействия между близкими
частицами среды колебательный процесс будет распространяться от
частицы к частице, т. е. возникнет волновой процесс. Так как колебания
из-за взаимодействия частиц передаются от частицы к частице, то сами
частицы вдоль распространения волны не перемещаются, а совершают
только колебательные движения около своих положений равновесия,
т.е. в волновом процессе перемещаются в пространстве (среде) лишь
возмущения среды (происходит перенос энергии, а не самих частиц
среды). Об этом было сказано во втором выводе, сделанном из опыта
со шнуром. Но есть и другой вид волн, знакомый еще из школьной
физики — электромагнитные волны. Мы знаем, что они
распространяются в любой среде (не обязательно упругой). Поэтому здесь сразу
следует сказать, что различные виды волн вызываются
различными видами возмущений, которым соответствуют и разные
механизмы распространения этих возмущений (волн). Например, волны
в воздухе или в жидкости (звук) распространяются в результате того,
что колебательные движения частиц в газах или жидкостях создают
чередующиеся возмущения в виде сжатия или разрежения, которые
из-за взаимодействия между частицами среды вызывают движения
частиц в соседних областях среды, т.е. сжатие или разрежение среды
в соседних областях. Здесь мы имеем волновые процессы внутри
жидкости, а не на поверхности, о которых говорилось выше. А
распространение электромагнитных волн определяется не упругими свойствами
среды (электромагнитная волна может распространяться в вакууме),
а совершенно другим механизмом — переменное электрическое поле,
появившееся каким-то образом в определенной области пространства,
порождает в соседних областях переменное магнитное поле, которое

122 Гл. II. Волны
в свою очередь приводит к возникновению переменного
электрического поля и так далее, т.е. эти поля, возбуждая друг друга, в виде
электромагнитного поля распространяются в пространстве. Как мы
видим, электромагнитное поле может распространяться в любой среде
(и в вакууме тоже). Но, несмотря на различный характер
возникновения и распространения, любые волновые процессы, как бы они
разительно ни отличались по своей природе, имеют много общих
свойств, главным из которых является то, что они подчиняются
одному и тому же уравнению — так называемому волновому
уравнению. Об этом более подробно поговорим позже.
Волны, в зависимости от направления колебаний частиц среды
по отношению к направлению распространения волны, бывают
поперечными или продольными. В поперечной волне частицы среды
совершают колебания, перпендикулярные к направлению
распространения волны. Например, в рассмотренном выше опыте со шнуром мы
имеем дело именно с поперечными волнами. В продольной волне
частицы среды совершают колебания вдоль направления
распространения волны. Например, звук (звуковая волна) представляет собой
пример продольной волны, т.к. в этом случае сжатия и разрежения
в газе (жидкости) возникают из-за колебательных движений частиц
среды вдоль распространения волны. Кроме этих, четко отличающихся
друг от друга типов волн, бывают еще поверхностные волны —
волны, которые распространяются по свободной поверхности жидкости
на границе жидкость-газ (воздух). Примером такой волны является
вышеупомянутый случай волн, образующихся на поверхности воды при
падении на нее камня. В случае поверхностных волн силами,
определяющими движение, являются силы тяжести и поверхностного
натяжения: частицы жидкости, находящиеся на поверхности, совершают
сложные колебательные движения, представляющие собой наложение
поперечных и продольных колебаний.
На рис. 9.2 показано распространение поперечной волны вдоль
оси х (более подробное графическое описание опыта со шнуром
(см. рис. 9.1)). Для наглядности равноотстоящие точки шнура
пронумерованы /, 2, 3, ....
Мы отсчет времени здесь выбрали так, что в начальный момент
шнур (среда, в которой распространяется волна) покоится и в этот
же момент времени «заработал» источник волн (т. е. на опыте со
шнуром мы начали совершать вертикальные колебания свободного левого
конца шнура) — частица / начала двигаться вверх, что показано
стрелкой на рис. 9.2, а. В дальнейшем начнут двигаться вверх частицами
2, 3, 4, ..., увлеченные частицей /. Через время t, равное четверти
периода колебаний, шнур будет проходить через положение на рис. 9.2,6,
т. е. волна дойдет до точки 5 и эта частица начнет свое движение вверх,
как это было с частицей / в начальный момент времени. Через
половину периода колебаний t = -^ после начала отсчета времени частица /

9. Волны
123
l\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819
1 . «— —i—.—-*■—.—.—.—> » . «—.—
Рис. 9.2
будет проходить через положение равновесия в обратном направлении
(вниз), частица 5 сместится максимально вверх и волна достигнет
частицы 9, которая начнет смещаться из своего положения равновесия
вверх. И так далее. Ясно (см. рис. 9.2,5), что через один период
колебаний источника волны волна достигнет точки /7, которая начнет свое
смещение вверх, как и частица /, которая после совершения одного
полного колебания будет проходить через свое положение равновесия
в направлении вверх, т.е. через один период колебаний она будет
находиться в том же состоянии, что и в начальный момент времени.
Как уже было сказано, через время, равное периоду колебаний, волна
достигнет частицы /7, т.е. пройдет путь
X = vT, (9.1)
где v — скорость распространения волны (или просто скорость
волны). Таким образом, Л — расстояние, которое проходит волна
за один период Т колебаний (период волны), называемое длиной
волны. Длину волны можно определить и по-другому. Длина волны
Л — это расстояние между двумя ближайшими частицами среды,
колеблющимися синхронно, т.е. в одинаковой фазе. Например,
на рис. 9.2 — это расстояние между частицами / и /7, 2 и 18 и так
далее. Как видим, период колебаний волны совпадает с периодом

124
Гл. If. Волны
колебаний источника волн. Мы знаем связь между периодом
колебаний Т и частотой v (циклической частотой ш колебаний):
и) =
поэтому для любой волны справедливо равенство
\v = v.
(9.2)
(9.3)
Более наглядно (в случае поперечных волн) длину волны А можно
представить как расстояние между соседними «гребнями» (или
соседними «впадинами»).
Приведенные на рис. 9.2 пять разных положений волны (на
опыте со шнуром — 5 положений шнура) представляют как бы снимки
поперечной волны в моменты времени t = 0; —; ~; — ;Т, что
указывает на возможность графического изображения волны. На рис. 9.3
представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся
со скоростью v вдоль оси х.
Si
r\
\
\
A
/
A
\_
\
A
V
\
\
Ч у
В
X
X
Рис. 9.3
Ось абсцисс (ось х) совпадает с направлением распространения
волны, а по оси ординат отложено смещение s частицы в определенный
момент времени. Длина волны А наглядно видна на рисунке. График
на рис. 9.3 представляет собой зависимость смещения s любой
частицы среды от расстояния х этой частицы до источника колебаний
в какой-то фиксированный момент времени t (моментальный «снимок»
в момент времени t). Здесь очень важно (!) обратить внимание на
следующее. График волны на рис. 9.3 очень похож на график
колебаний (см., например, рис. 2.2), но они существенно отличаются. График
колебаний (рис. 2.2) дает зависимость смещения определенной
частицы от времени, в то время как график волны (рис. 9.3) дает
зависимость смещения всех частиц среды от их расстояния до
источника волн в определенный, фиксированный момент времени.
Существенное отличие!
График зависимости смещения 5 частиц среды от их расстояния х
до источника волны (рис. 9.3) справедлив и для продольных гармони-

9. Волны 12!5
ческих волн, только теряется наглядность, т. к. в этом случае смещения
частиц среды из положения равновесия (т. е. их колебания) происходят
вдоль направления распространения волны (вдоль оси х на рис. 9,3).
В этом случае нет гребней и впадин. Но на основе рис. 9.2 мы можем
представить, что происходит при распространении продольных волн.
Будем считать, что в точке / (рис. 9.2 а) в начальный момент t = О
заработал источник продольных колебаний — допустим, что частица /
Т
упругой среды начала смещаться вправо. Через четверть периода t = j
(рис. 9.2,6) частица / достигнет точки наибольшего смещения вправо,
следующая частица 2 из-за взаимодействия с частицей / также
сместится вправо, но на чуть меньшее расстояние. И так далее. И в этот
же момент времени волна достигнет точки 5, которая, как частица /
в начальный момент, начнет смещаться вправо. Из этих рассуждений
ясно, что в этот момент около частицы / будет максимальное
разрежение среды (расстояния между частицами среды будут максимальны),
а в окрестности точки 5 (докуда дошла продольная волна) будет
наблюдаться максимальное сжатие (расстояния между частицами среды
станут минимальными). Это явление можно проследить и в
последующие моменты времени. Но уже ясно, что в случае продольных волн
в пространстве распространяются возмущения среды в виде сжатия
или разрежения среды. Об этом было сказано выше.
Из предыдущих рассуждений знаем, что волна (независимо от
природы, типа) распространяется в пространстве с определенной
скоростью vy т.е. достигнет какой-либо точки пространства, находящейся
на некотором расстоянии х от источника колебаний (волн), не сразу,
не моментально, а через некоторое время
t=X-. (9.4)
В общем случае волна может распространяться в любых
направлениях и можно ввести понятие волнового фронта. Поверхность, до
которой доходят колебания (волна) в момент времени £,
называется волновым фронтом. Вообще волновой фронт может быть
произвольной формы. Это зависит от разных факторов, например от
размеров или формы источника колебаний, от свойств среды, в которой
распространяется волна (однородная, неоднородная, изотропная,
неизотропная среда). Можно дать другое, но эквивалентное определение
волнового фронта: волновым фронтом называется геометрическое
место точек, до которых доходят колебания к определенному
моменту времени t. Введем понятие волновой поверхности. Волновой
поверхностью называется геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе. Волновая поверхность тоже может быть
произвольной формы, зависящей от свойств среды, источника
колебаний. Очевидно, что для каждой фазы колебаний будет своя волновая

126
Гл. II. Волны
поверхность. Из всего сказанного мы можем сделать следующие
выводы:
1. Число волновых поверхностей не ограничено — каждой фазе
колебаний соответствует своя волновая поверхность.
2. В данный момент времени волна обладает единственным
волновым фронтом.
3. Волновой фронт в фиксированный момент времени
совпадает с одной из волновых поверхностей.
4. Волновой фронт перемещается в пространстве в
направлении распространения волны со скоростью, равной скорости
волны V.
5. Волновая поверхность неподвижна.
Как мы уже говорили, волновые поверхности могут иметь любую
форму. Но особо важную роль в физике играют волны, волновые
поверхности которых представляют плоскости или сферические
поверхности. В первом случае, когда волновые поверхности представляют
собой совокупность параллельных плоскостей, волны называются
плоскими. А когда волновые поверхности имеют вид
концентрических сфер, волны называются сферическими.
На рис. 9.4 и 9.5 показаны некоторые волновые поверхности в
случае плоской (рис. 9.4) и сферической (рис. 9.5) волн.
Zi
хх
х2
Рис. 9.4
Рис. 9.5
Волновые поверхности Pv P2> Р3 показаны пунктирными линиями,
представляющими при выбранных, как показано на рисунках,
системах координат, пересечения волновых поверхностей с плоскостью xz.
На рис. 9.4 плоская волна распространяется вдоль оси х и
плоскости Р{> Р2у Р3 являются волновыми поверхностями плоской волны,
т.е. частицы среды, находящиеся на одной определенной плоскости,
совершают колебания в одинаковой фазе; другими словами, фазы
колебаний частиц среды, в которой распространяется плоская волна, от
координат у и z не зависят, а зависят лишь от координаты х, вдоль

9. Волны 127
которой распространяется волна. Аналогично на рис. 9.5 от
источника колебаний (точки О) во все стороны расходятся сферические
волны и сферические поверхности Рх> Р2, Р3 являются волновыми
поверхностями сферической волны, т.е. частицы среды, находящиеся
на определенной сферической поверхности, колеблются в одинаковой
фазе. Таким образом, в случае сферической волны фаза колебаний
зависит лишь от расстояний волновой поверхности г до источника
сферических волн.
Пример 9.1. Оценить диапазон длин волн звука, слышимого
человеком.
Как нам известно из школьного курса физики, звук представляет
собой упругие продольные волны (акустические волны),
распространяемые в упругой среде. В качестве среды, в которой распространяется
звуковая волна, примем окружающую нас среду — воздух. Мы знаем,
что скорость звука в воздухе в нормальных условиях
v3B « 330 м/с
и частота колебаний слышимого звука лежит примерно в интервале
1/ = [16-20 -Ю3] Гц.
Тогда, пользуясь формулой (9.3), находим диапазон длин волн звука
в воздухе, слышимых человеком:
А=- = [0,017-20,6] м.
v
То есть длина звуковой волны, воспринимаемой человеческим ухом как
звук, колеблется в широких пределах — примерно от 2 см до 20 м (!).
Пример 9.2. Некоторый источник колебаний с частотой 20 Гц
и амплитудой 2 см возбуждает в упругом шнуре волны длиной
25 см. Определить скорость v распространения волны и максимальную
скорость колеблющихся точек шнура. Скорость волны находим сразу:
v = \и = 0,25 м • 20 с""1 = 5 м/с,
т.е. волна в шнуре (например, какой-то определенный «гребень» или
«впадина» в шнуре) распространяется со скоростью 5 м/с. А
максимальная скорость какой-либо точки шнура в процессе колебаний, т. е. в
поперечном направлении, определяется по формуле (2.20):
= 0,02 м • 2тг • 20 с"1 « 2,5 м/с.
Здесь s — смещение рассматриваемой точки шнура из положения
равновесия, А — амплитуда колебаний этой точки, определяемая
источником колебаний.

128 Гл. //. Волны
§ 10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ)
10.1. Уравнение плоской волны (УПВ). Рассмотрим
распространение плоской волны в одном определенном направлении, допустим,
вдоль оси Ох (см. рис. 9.4). Будем считать, что отсчет времени выбран
таким образом (это мы всегда можем сделать), что волновой фронт
в начальный момент времени представляет собой плоскость Ро (или
плоскость х = 0) и частицы среды, находящиеся на этом «начальном»
волновом фронте, совершают гармонические колебания по закону
s(Q,t) = s0cosut (10.1)
в одинаковой фазе шг. Здесь s(0, t) — смещение из положения
равновесия частицы среды с координатой х = 0 в момент времени t:
8(0,t) = s(x = 0,t)9 (10.2)
и — циклическая частота колебаний, as0- амплитуда колебаний.
В точку с координатой х Ф 0 волна подойдет с опозданием на время
At(x) = x/v, (10.3)
поэтому закон колебаний частиц, лежащих на волновой поверхности х
(в плоскости ж), принимает вид
s(x,t) = s0cosu(t - At) = sQcosu;(t-x/v). (Ю.4)
Введем широко используемую в физике волн величину — волновое
число fe (не путать с коэффициентом жесткости к):
к = w/v = 2тг/А. (10.5)
Тогда закон колебаний точек среды с координатой х может быть записан
в 2 видах:
s{x, t) = s0 cosoj(t — x/v) = s0 cos(ut — kx). (10.6)
Это и есть уравнение плоской волны (УПВ). Мы молчаливо считали,
что среда не поглощает энергию, что отражается в том, что амплитуда
колебаний s0 не зависит от расстояния х> до которого доходит волна.
В общем случае УПВ для волны, распространяющейся вдоль
положительного направления оси х в среде, не поглощающей
энергию, имеет вид
s(x, t) = s0 cos(atf — kx + <p0), (10.7)
где {cut - kx + <p0) называется фазой волны, а <р0 — начальной фазой
волны, т. е. фазой волны в плоскости х = 0 в начальный момент
времени t = 0.
УПВ (10.7) позволяет определить возмущение любой точки
среды в любой момент времени при распространении плоской волны
в положительном направлении оси ж, т.е. с помощью формулы (10.7)

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 129
мы можем определить смещение из положения равновесия любой
частицы среды в любой момент времени.
Очевидно, что скорость v распространения плоской волны вдоль
оси х совпадает со скоростью распространения волнового фронта.
А так как частицы среды, положения равновесия которых образуют
волновой фронт, колеблются в одинаковой фазе, то скорость
распространения волны совпадает со скоростью перемещения некоторой
постоянной фазы. Действительно, из условия постоянства фазы
волны
ut — кх + <р0 = const (10.8)
можно получить закон перемещения волнового фронта:
C. (10.9)
Дифференцируя х по времени, получим скорость распространения
волнового фронта (скорость перемещения постоянной фазы):
Чф = ^пф = х = - = v, (10.10)
которая, как мы убедились, совпадает со скоростью распространения
волны (здесь г;вф — скорость волнового фронта, г>пф — скорость
перемещения постоянной фазы). Скорость г>Пф, определяемая по
формуле (10.10), называется фазовой скоростью. Мы видим, что скорость
гармонической плоской волны совпадает с фазовой скоростью.
УПВ в комплексной форме записывается в виде (см. (2.11))
s(x,t) = Re(soeiM~fc*+v?o))- (10.11)
Если бы плоская волна распространялась против оси ж, то изменился
бы знак перед кх в фазе, т.е. УПВ, распространяющейся против
оси ж, имеет вид:
s(x,t) = s0cos(urt + fcz + </>0), (10.12)
или в комплексной форме
s(x,t) = Re(soe*("*+**+<*>)). (10.13)
УПВ (10.7) и (10.12) (или в комплексной форме (10.11) и (10.13))
справедливы в случае распространения волны в непоглощающей
энергию среде, когда амплитуда колебаний остается неизменной
независимо от х. Но при невозможности пренебрежения эффектом поглощения
средой энергии волны необходимо учесть уменьшение интенсивности
волны (затухание волны) — уменьшение амплитуды колебаний с
возрастанием х. Опыт показывает, что амплитуда колебаний в
поглощающей среде уменьшается по экспоненциальному закону:
so(x) = sQe-ix, (10.14)

130 Гл. II. Волны
где 7 — коэффициент поглощения (затухания) волны. Поэтому
УПВ в поглощающей среде принимает следующий вид:
s(x, t) = 50е"7Х cos(ut - кх + <£>0), (10.15а)
s(x,t) = soe~7a: cos(urt + кх + <р0). (10.156)
Здесь уравнение (10.15а) описывает плоскую волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси х, а (10.156) — в
отрицательном. В комплексной форме
s{xyt) = Re (soe-ix • е*^***^). (10.16)
УПВ (10.7) и (10.12) можно записать в измененном, но
эквивалентном виде. Для произвольной точки А (см. рис. 10.1), находящейся
в любой точке волновой поверхности Р плоской волны,
распространяющейся вдоль оси х, выражение кх в фазе УПВ может быть
представлено в другом, более общем виде
Jbx = k.r, (10.17)
где г — радиус-вектор точки А (точки наблюдения), а вектор к, по
модулю равный волновому числу к и направленный вдоль
распространения волны в точке наблюдения, называется волновым вектором:
k = fcn = -n = ^n. (10.18)
v Л
Здесь п — единичный вектор вдоль направления распространения
волны. Действительно, скалярное произведение векторов к и г
к- г = fc -rcosa = кх
или
к • г = (fci) • (xi + yj + *к) = кх.
Здесь а — угол между радиусом-вектором г точки наблюдения и
волновым вектором к, а разложение векторов к и г по ортам очевидно.
На рис. 10.2 также рассмотрено распространение плоской волны,
но, в отличие от предыдущего случая, направление волны произвольно
(не обязательно вдоль оси х). Нетрудно понять, что в этом случае
в фазе УПВ вместо кх должно стоять fc/, где / — минимальное
расстояние до волновой плоскости Р, проходящей через точку наблюдения
Л, и поэтому опять
кх =► к-1 = к-т. (10.19)
Таким образом, УПВ (гармонической) в произвольной точке с
радиусом-вектором г в общем случае записывается в виде
s(r, t) = s0 cos(ut - k • г + <p0) (10.20)

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ)
131
zi
A.
п к
—>—►
к х
Р
X
Рис. 10.1
Рис. 10.2
или в комплексной форме
a(r9t) = Ке(5ое^-к-г+^)), (10.21)
где s(r,£) — смещение частицы с радиусом-вектором г из положения
равновесия в момент времени t.
Представления (10.20) или (10.21) плоской гармонической
волны универсальны по 2 причинам:
1. Направление волны произвольно и определяется вектором к.
2. Нет необходимости думать о знаке перед к • г в фазе —
правильный знак получается автоматически при раскрытии скалярного
произведения этих векторов.
В поглощающей среде (при наличии затухания волн) необходимо
ввести в УПВ экспоненциальный множитель (см. (10.15а), (10.156))
р-7П•г
т.е.
или
r, t) = soe 7П *r cos(ut - k • r +
s{rtt) = Re
(10.22)
(10.23)
(10.24)
Введение такого множителя вместо е~7Х (в случае распространения
волны вдоль оси х (см. рис. 10.1) или е~7* (в случае произвольного
направления распространения волны (см. рис. 10.2) очевидно, т. к.
x в случае рис. 10.1,
I в случае рис. 10.2.
(10.25)
Перейдем к рассмотрению распространения сферической
гармонической волны.
10.2. Уравнение сферической волны (УСВ). Рассмотрим
сферическую гармоническую волну, расходящуюся от точечного источника
колебаний (волн) во все стороны со скоростью v (см. рис. 10.3).
Мы так выбрали систему отсчета, что начало системы координат

132 Гл. II. Волны
совмещено с источником сфери-
ческих волн, который совершает
гармонические колебания с фазой
<p0), (10.26)
I Ч |
\ / / где sQ — амплитуда колебаний, а
\ / 5(0,t) = e(r = 0,t). (Ю.27)
\ ^/ Точечным источником волн бу-
4' дем считать источник волн, разме-
рами которого можно пренебречь.
Рис. 10.3 Другими словами, будем
исследовать волны на расстояниях г,
значительно превышающих размеры источника. Если среда,
окружающая источник волн, изотропна (т. е. ее свойства по всем
направлениям одинаковы), то создаваемая источником волна будет
распространяться во все стороны с одинаковой скоростью v. Будем считать,
что она известна. Фазовой поверхностью, естественно, будет служить
сферическая поверхность радиуса г, где г — расстояние от источника
волн до точки наблюдения А. Частица среды, находящаяся на
расстоянии г от источника волн, будет совершать колебания, отстающие
во времени от колебаний источника волн на величину
Д*=^, (10.28)
т. е. УСВ примет вид
s(r,t) = f{r)s0cos(u>t - кг + <ро)9 (10.29)
где все обозначения прежние, за исключением неизвестной пока
функции, /(г), от расстояния г до точки наблюдения. Аналогичной
функции при рассмотрении распространения плоских волн не было.
В формуле (10.29) величина /(г) • з0 играет роль амплитуды
колебаний в точках, отстоящих от источника волн на расстоянии г,
а не s0.
Попытаемся понять, почему в случае сферических волн появляется
дополнительный множитель — функция /(г). По закону сохранения
энергии (а мы рассматриваем распространение сферической
волны в непоглощающей энергию среде) поток энергии волны
через любую замкнутую поверхность, содержащую источник волны
внутри себя, должен быть постоянным:
адамкн) = const, (10.30)
где через Ф(£замкн) обозначили поток энергии волны через
произвольную замкнутую поверхность 5замкн, обязательно содержащую внутри
себя источник волны. Замкнутая поверхность 5замкн может быть любой

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 133
формы, любого размера, но ЗСЭ требует выполнения (10.30). При
исследовании распространения сферической волны совершенно естественно
брать в качестве такой замкнутой поверхности сферическую
поверхность радиуса г с центром, совпадающим с источником сферических
волн. Тогда равенство (10.30) может быть переписано в другом виде
*( W» = ф^И) = • • • =const- <10-31)
т.е. поток энергии волны через любую волновую поверхность
остается неизменным. Поток энергии волны через сферическую
поверхность радиуса г
^сферИ) ~ е(г) • 5сфер(г) ~ 4тгг2<7(г), (10.32)
где 5Сфер(г) = 4тгг2 — площадь сферической поверхности радиуса г,
а а(г) — поверхностная плотность энергии волны на расстоянии г
от источника волны, пропорциональная квадрату амплитуды /(г) • s0
колебаний на расстоянии г:
a(r) = Cf(r)sl (10.33)
Последнее утверждение понятно, если вспомнить, что энергия
колебательной системы (осциллятора) пропорциональна квадрату амплитуды
колебаний (см. (2.18)). Множитель С в (10.33) — постоянная, не
зависящая от г. Тогда из (10.33), (10.32) и (10.31) нетрудно заключить, что
дополнительный множитель /(г) пропорционален обратной величине
расстояния г, т. е.
fir) ~ -. (10.34)
г
Поэтому можем сказать, что уравнение расходящейся сферической
волны в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
с
e(r, t) = - cos(wt - fer + </?o), (10.35)
где 5 равна амплитуде волны на расстоянии г = 1 от источника,
размерность 5 равно м2. Но тут надо быть осторожным. Если формально
пользоваться формулой для точки г = 0 (т. е. для точки, где находится
источник волн), то вместо необходимой амплитуды sQ источника
колебаний (см. (10.27)) получится бесконечно большая величина:
ton- = оо, (10.36)
г-*0 Г
чего не должно быть. Дело в том, что мы рассматривали волны,
расходящиеся от точечного источника (см. выше), когда размерами
источника волн можно было пренебречь по сравнению с
расстоянием г до точки наблюдения. А в (10.36) это условие не выполняется,
т.к. г -> 0. Поэтому еще раз подчеркнем, что УСВ (10.36)
справедливо для точечных источников (или на больших расстояниях г от
источника волн).

134 Гл. II. Волны
Так как в случае сферической волны волновой вектор к и радиус-
вектор г точки наблюдения параллельны (в случае расходящейся
сферической волны) или антипараллельны (в случае сходящейся к центру
сферической волны), то выражение кг в фазе можно заменить на
скалярное произведение к • г, т. е. в общем случае УСВ:
с
s(r, t) = - cos(art - к • г + <р0). (10.37)
В экспоненциальной форме записи УСВ имеет вид
s(ryt) = Re /^е^-к-г+*оЛ (10.38)
В поглощающей среде в формулы (10.37), (10.38) УСВ необходимо
добавить множитель (10.22), учитывающий затухание волны за счет
поглощения:
в(г,«) = -e-in'rcos{ut - к - г + <р0), (10.39)
г
*(г,t) = Re (£е-^'ге*№-к'г+*>)\ (Ю.40)
10,3. Волновое уравнение. В п. 10.1 и 10.2 мы получили
уравнения волны (УВ) в случае плоских и сферических гармонических волн
(УПВ и УСВ). Но надо сразу подчеркнуть следующее.
В этих параграфах мы нигде не пользовались для величины s
определением ее как механического смещения, т. е. как смещения
некоторой материальной частицы из положения равновесия. Просто она
характеризовала колебательный процесс без конкретизации
колебательной системы. Это позволяет утверждать, что УВ, полученные в п. 10.1
и 10.2, справедливы для гармонических плоских и сферических волн,
независимо от их природы.
Теперь получим так называемое волновое уравнение (ВУ),
представляющее собой дифференциальное уравнение, решениями которого
являются УВ. Тут опять надо обратить ваше внимание на один
момент. Вам необходимо постараться не путать ВУ, которое мы хотим
получить, с УВ, с которыми мы уже знакомы (см. п. 10.1 и 10.2).
Многие студенты их обычно путают, хотя они представляют собой
совершенно разные понятия. Так исторически сложилось, что их
названия похожи. Корректнее было бы УВ назвать законом
распространения волн. Но мы будем придерживаться исторически сложившихся
терминов. А вам надо быть просто внимательнее.
А. Плоская волна. Рассмотрим распространение плоской
гармонической волны в непоглощающей среде вдоль оси х. УВ известно
(см. (10.7)):
s(x> t) = s0 cos(ut -kx + ipQ).

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 135
Вычислим частные производные от этой величины по времени t и
координате х:
f ,/' (Ю.41)
it- = sofcsin(u;£ - fcx + <po)f -jr~2 = ~* *•
~, as о d s
Разделив —j на uz и вычтя из него —j, получим
а (1042)
Это есть ВУ плоской волны, распространяющейся вдоль оси х.
Нетрудно убедиться в том, что этому же ВУ подчиняется
распространение плоской волны против оси х.
Рассмотрим случай произвольного направления распространения
плоской волны. В этом случае УВ также известно (см. (10.20)):
s(r,£) = s0cos(ut - k • г + <Ро) = sQcos(u;t - кхх - куу - kzz + (р0).
Здесь мы раскрыли скалярное произведение волнового вектора к на
радиус-вектор г:
к • г = кхх + куу + kzz, (10.43)
в котором проекции волнового вектора на оси координат определяются
по формулам:
*■ = £' **'£• К = ^' (10-44)
Ux Vy Uz
где vx, vyy vz, представляют собой проекции скорости волны на оси
координат. Вторые производные от s по времени t и координатам ху у, z
легко вычисляются:
? л? e^ ^ S?"^ (ia45)
Тогда
называется ВУ, где
л2 л2 л2
д = аЗ + 5? + в? (10-4Г)
— оператор Лапласа. Хотя это уравнение получено для плоской волны,
мы увидим, что (10.46) является ВУ, которому подчиняется волна
любого типа, любой природы.

136 Гл. //. Волны
Б. Сферическая волна. Рассмотрим сферическую волну,
распространяющуюся в непоглощающей среде. УВ также известно
(см. (10.37)):
s(r, t) = — cos(u;£ — k • г + <Pq),
которое может быть переписано в эквивалентном виде
с
s(r91) = - cos(u>t т кг + р0). (10.48)
Здесь мы учли, что для сферических волн
( +кг в случае расходящихся волн,
к- г = < , (10.49)
у — кг в случае сходящихся волн.
В случае сферических волн лучше перейти в сферическую систему
координат г, 0, <р, т.к. задача обладает сферической симметрией.
В сферической системе координат, как нам известно из векторного
исчисления, оператор Лапласа записывается в виде
о2 О Л 1 Л2 1 а2 1 л
д+ + +?^ + ^с'89^ (1050)
Но так как в случае сферической волны величина s не зависит от
угловых переменных в и <£>, то частные производные от s по в и <р
равны нулю:
Поэтому в случае сферической волны
Первая и вторая частные производные от 5 (10.48) по расстоянию г
определяются без особого труда:
ds Sk S
■3- = ±— sin(ut Tkr + <p0) к cos(ut т кг + ^0),
^4 = cos(urt т fcr + vp0) =f —5- sin(a;^ т *г + <ро)+ (10.53)
2S
— cos(u>t
—
Тогда
As = cos(wt ткг + <p0) = k2s. (10.54)

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 137
Так как вторая частная производная от s по времени
dh 2
то опять приходим к ВУ того же вида, что и в случае плоской волны:
As-1^=0, (10.55)
но справедливому и для сферической волны.
В. Негармоническая волна. Можно показать, что ВУ,
полученное для плоской или сферической гармонической волны и
одинаковое для обоих типов волн, имеет такой же вид и для любой
негармонической волны. Рассмотрим негармоническую волну,
распространяющуюся в произвольном направлении со скоростью v:
«(г, t) = f(urt - k • г) = f(ut - кхх - куу - kzz). (10.56)
Здесь / — произвольная (негармоническая) функция от координат
r(xtyyz) точки наблюдения и времени £, меняющаяся с циклической
частотой ш. Волновой вектор к совпадает по направлению с
направлением распространения волны. Вычислим частные производные от s = /
по х:
дх d(ut - к • г) ' дх х} '
92f _ д _
д*~ д{ xJ)~
k-r) дх
Здесь штрих обозначает производные от / = s по аргументу этой
функции. Аналогично можно вычислить и производные по оставшимся
переменным у, z и t:
92f _ jl2 w/ d2f _ ju2 w/ a2/ _ 2 f//
0JJ2 - V • !&~ zJ ' W ~ J *
Нетрудно убедиться, пользуясь только что полученными выражениями
для вторых производных 5 = / по х, у у z и £, что функция (10.56),
описывающая негармоническую плоскую волну, удовлетворяет тому
же ВУ (10.46), которому удовлетворяла плоская гармоническая волна.
Можно показать, что и негармоническая сферическая волна является
решением того же ВУ.
Таким образом, любой волновой процесс подчиняется одному
и тому же уравнению — волновому уравнению (ВУ)
Д*-1§=0, (10.57)
в котором v — скорость (фазовая) волны. Это очень важно.

138 Гл. //. Волны
Пример 10.1. Волна с частотой v = 300 Гц распространяется со
скоростью v = 360 м/с. Определить разность фаз колебаний в точках А
и В, отстоящих друг от друга вдоль направления распространения
волны на расстоянии Ах = хв — хА = 60 см.
Нас интересует, как ясно из условия задачи, распространение волны
вдоль оси х, поэтому фаза колебаний в точках А и В определяется
по формулам (см. (10.7))
<pA=ut- кхА + (р0,
(pB=ut- кхв + (р0,
т. е. искомая величина равна
Ац> = срв — (рА = —к(хв — хА) = —2тгДх/А = —2ni/Ax/v = —тг рад.
Таким образом, колебания в точке В происходят с опозданием на тг рад,
т.е. в наблюдаемых точках А и В колебания идут в противофазе.
Это говорит о том, что они находятся на расстоянии, равном нечетному
числу полуволн. Так как длина волны
\ = v/v= 1,2 м,
то точки А и В действительно находятся на расстоянии, равном
половине длины волны (Ах = А/2).
Пример 10.2. Найти волновой вектор к и скорость v волны,
имеющей вид s = acos(otf — ах — /Зу — jz).
Из общего вида ясно, что это плоская волна, распространяющаяся
вдоль волнового вектора
k = kx i + ку} + kzk = ai + Pi + 7k,
т. е. а, /?, 7 равны соответственно проекциям волнового вектора на оси
координат. Волновое число
а скорость (фазовая скорость) волны определяется из формулы (10.5):
_ ш _ ш
Х)~гк~7Гс
Пример 10.3. Показать, что любая дифференцируемая функция
вида f(t + ax), где а — постоянная, является решением волнового
уравнения (ВУ). Каков физический смысл постоянной а?
Это мы уже фактически сделали в рассмотренном выше п. В.
Негармоническая волна, когда показали, что функция (10.56) является урав-

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 139
нением негармонической волны и подчиняется ВУ (10.46) (или (10.42)).
Поэтому, сравнивая условие задачи с (10.56), мы видим, что
а = —кх/и> = —l/vx = — \/v,
т.е. а совпадает с обратным значением скорости волны с
противоположным знаком, что говорит о том, что функция вида f(t + ах), если а
положительна, описывает уравнение волны (УВ), распространяющейся
против оси х, если а < 0, то наоборот.
Пример 10,4. В однородной среде распространяется плоская
упругая волна вида 5 = ае~1Х cos(otf - for), где а, 7» w и к — положительные
постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды
смещения частиц среды отличаются друг от друга на т\ = 1 %, если
7 = 0,42 м"1, а длина волны А = 50 см.
Мы имеем дело с поглощающей энергию волны средой, т.е. с
затухающими плоскими волнами (см. (10.15а)), распространяющимися
вдоль оси х. Обозначив рассматриваемые точки через Л и В по ме-.
ре удаления, условие задачи, т.е. уменьшение амплитуды колебаний
в точке В на 1 % можно записать в виде
иначе говоря,
*а ~ *в - "
Делением г\ на 100 перешли от процентов к десятичной дроби. Искомая
величина
2тг 2тг / 7] \
Знак «минус» показывает, что колебания в точке В происходят по
сравнению с колебаниями в точке А с опозданием по фазе на 0,3 рад.
Пример 10.5. Точечный изотропный источник испускает звуковые
колебания с частотой и = 1,45 кГц. На расстоянии гх = 5 м от
источника амплитуда смещения частиц среды s10 = 50 мкм, а в точке А,
находящейся на расстоянии г2 = 10 м от источника, амплитуда
смещения в rj = 3 раза меньше s10. Найти:
а) коэффициент затухания волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.
Точечный изотропный источник испускает расходящиеся звуковые
волны, уравнение которых представлено формулой (10.39):
s(r, t) = — е~7Г cos(u>t - кг + <р0), (*)

140 Гл. II. Волны
где мы учли, что для расходящейся сферической волны
п • г = г, к • г = кг.
Из (*) видно, что амплитуды смещения частиц среды в точках,
отстоящих на расстояниях г{ и г2 от источника звука, определяются
формулами
sl0 = -е"^, 520 = -е"™, (10.58)
т. е. их отношение
flu = !le7(r2-r,)
520 Г1
Отсюда несложно получить рабочую формулу для искомой величины —
коэффициента затухания 7-
1 , sl0rx 1 (гх \
7 = In -i^~L = In —т/ .
r2"rl 520Г2 Г2~Г1 Vr2 /
Подставив численные значения, находим, что
7 = 0,08 м"1.
Чтобы найти вторую искомую величину — амплитуду колебаний
скорости частиц среды, другими словами, максимальную скорость
колебательных движений частиц среды — определим формулу для
скорости vKOJl колебательных движений частиц среды при
распространении сферической волны
^кол = * = —~"е~7Г sin(^ " kr + Vo)«
Отсюда видно, что максимальные скорости колебаний частиц среды
в точках гх и г2 определяются формулами
() -^« () ^. (10.59)
Подставив численные значения во вторую из этих формул, ищем
максимальную скорость колебательных движений частиц среды,
находящихся на расстоянии г2:
vmax(r2) = ^^ « 0,15 м/с = 15 см/с.
Пример 10.6. Вывести ВУ бегущей гармонической волны в
однородном шнуре. Считать, что шнур натянут с силой F и известна
линейная плотность рх шнура.

10. Уравнение волны (УВ). Волновое уравнение (ВУ) 141
Шнур представим как систему из одинаковых шариков с
массами га, закрепленных на невесомом шнуре на одинаковых расстояниях а
друг от друга (см. рис. 6.8). Не повторяя рассуждений, сделанных
в п. 6.5, сразу воспользуемся формулой (6.68) — уравнением движения
n-го шарика:
тёп = F (tn±LZllL _ *п-*п.Л (#)
V a a J
Здесь sn — смещение n-го шарика из положения равновесия, sn —
ускорение этого шарика в процессе колебания (смещение у в (6.68)
заменили на s). Дальше будем считать, что шнур представляет собой
совокупность частиц, расположенных на бесконечно малом
расстоянии dx друг от друга, т. е.
а —»dx.
Тогда масса бесконечно малого участка dx шнура, равная массе га
одной частицы, может быть представлена через линейную плотность рх
шнура:
га —> р{а —> p{dx, (**)
а выражения, стоящие внутри скобки в правой части (*), стремятся
к значениям, равным производным от смещения s по х справа (+)
и слева (—) от рассматриваемого участка:
lim ^±i^^ = £
lim
ds
a^dx a dx
(
Подставив (**) и (***) в (*), получим ВУ гармонической волны в
однородном шнуре, натянутом с силой F:
dx2 v dt У
где
Гр
(АД)
— скорость распространения волны вдоль шнура. Формула (Д)
совпадает с ВУ (10.42) плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, как
и должно быть. Так как мы здесь рассмотрели конкретный случай
натянутого с силой F шнура, то и для скорости волны получена
конкретная формула, справедливая для скорости распространения
упругих волн вдоль шнура, натянутого с силой F.

142 Гл. II. Волны
§ 11. Энергия волны
11.1. Общие понятия. Мы знаем, что волны — это
возмущения, распространяющиеся в некоторой среде с определенной скоростью
и несущие при этом с собой энергию. В случае гармонических
волн скорость распространения волны совпадает с фазовой скоростью
(см. (10.10))
v = v (11.1)
и в этом случае скорость переноса энергии совпадает с этой скоростью.
11.1. Общие понятия. Введем понятие плотности энергии
волны wy равной энергии волны в единице объема среды:
-£•
Поэтому w называется еще объемной плотностью энергии волны.
Здесь dW — энергия волны в элементарном объеме dV. Очевидно,
энергия волны в объеме V равна
W = \wdVy (11.3)
где интегрирование проводится по всему объему V.
Потоком энергии волны d$ через некоторую элементарную
площадь dS называется величина
^Ф = _. (11.4)
На этот раз dW — энергия волны, переносимая через элементарную
поверхность dS за время (ft, т. е. поток энергии <2Ф — это количество
энергии, переносимое волной через элементарную поверхность dS
за единицу времени. Очевидно, поток энергии Ф волны через
произвольную поверхность S вычисляется по формуле
Ф= f<№, (11.5)
где интегрирование проводится по всей заданной поверхности 5.
Вектором плотности потока энергии (вектором Умова)
называется вектор j, направление которого в данной точке совпадает
с направлением распространения волны, а величина равна потоку
энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке
перпендикулярно к направлению распространения волны. Можно
показать, что этот вектор может быть представлен в виде
j = w>, (11.6)

//. Энергия волны
143
где \> — вектор, величина которого равна фазовой скорости (11.1)
волны, а направление совпадает с направлением распространения
волны в данной точке: ы
|n|=v = p v||k, (11.7)
или, если ввести единичный вектор п* вдоль волнового вектора к, то
ш к /и т \
\) = -j-llfc, Hk = Т- (11./Я)
Смысл формулы (11.6) несложно понять, если вспомнить сказанное
выше о том, что скорость переноса энергии совпадает с фазовой
скоростью (со скоростью распространения волны). Через площадку AS±y
расположенную перпендикулярно к направлению распространения
волны (оси х на рис. 11.1), за время At переносится энергия AWy равная
энергии волны внутри мысленно построенного цилиндра с
основанием AS± и высотой vAt, т. е.
AW = wAV = wAS±vAty
где AV — объем этого цилиндра. Тогда из определения вектора
плотности потока энергии следует, что его модуль равен
'" ' Л^лт=да,. (П.8)
Отсюда сразу следует формула (11.6), так как направление вектора
Умова совпадает с направлением распространения волны. Из (11.8)
и определения (11.4) потока энергии можно найти связь между
плотностью потока энергии и потоком энергии:
3 =
(Н.9)
В случае наклонного падения волны на площадку dS (см. рис. 11.2)
поток энергии через эту площадку
с?Ф = jdS± =ydS = jdScosa. (11.10)
-vAt-
Рис. 11.1
Рис. 11.2

144 Гл. II Волны
Здесь мы ввели стандартное определение вектора dS элементарной
площадки, модуль которого равен площади этой площадки, а направление
совпадает с нормалью ns к элементарной площадке. Поэтому поток
энергии через произвольную поверхность (см. (11.5)) вычисляется по
любой из этих формул:
ф= Ьф= ljdSx= [j-dS= ijdScosa. (11.11)
Так как волна представляет собой процесс распространения
колебаний, все введенные выше величины — плотность энергии w, поток
энергии dФi плотность потока энергии (вектор Умова) j — являются
переменными величинами, меняющимися с лериодом Т в случае
гармонических волн. Поэтому полезно вводить средние значения этих
величин, которые достаточно вычислить за один период по стандартной
формуле (2.21):
г
1 г
wCD = Ы = - \wdt,
j
о
т
<*Фср = (d9) = ^|йФА = (j)dS± = (j> • dS. (11.12)
о
Скалярная величина /, равная среднему значению модуля плотности
потока энергии
/ = 0'> = <™>, (11.13)
называется интенсивностью волны. Здесь и далее угловые скобки ()
обозначают среднее по времени значение рассматриваемой величины,
определяемое по общей формуле (2.21).
Полученные здесь формулы (11.1)—(11.13) имеют совершенно
общий характер, не зависят от типа, вида волн и среды, в которой
они распространяются, т. е. это могут быть поперечные,
продольные волны, волны упругие, электромагнитные и т.д. Но видно,
что введенные понятия зависят от 2 основных, базисных
понятий — плотности энергии w и фазовой скорости v, которые уже
могут зависеть от типа волны и среды, в которой они
распространяются.
11.2. Упругие деформации. Напомним основные моменты. Среда
(тело) считается упругой, если ее деформации, вызываемые
некоторыми внешними воздействиями, исчезают после прекращения этих
воздействий. По закону Гука упругие деформации прямо пропорцио-

//. Энергия волны 145
нальны вызывающим их внешним воздействиям. Напряжением а
называется величина, равная величине упругой силы, приходящейся на
единицу площади некоторого сечения тела:
р <11М>
Здесь dFynp — упругая сила (ее модуль), действующая на dS.
Если сила dFynp нормальна (перпендикулярна) к поверхности dS, то
напряжение а называется нормальным, а если эта сила dFynp
направлена по касательной к поверхности dS, то касательным. Нормальное
напряжение вызывает деформацию сжатия или растяжения,
касательное — деформацию сдвига. Нормальное напряжение может вызвать
деформацию твердых, жидких, газообразных сред, а
касательное — только твердых, т. к. и жидкость и газ не обладают упругостью
формы — они принимают форму того сосуда, в котором они находятся.
Мерой деформации является относительная деформация
$> (П.15)
So
где £0 — величина, характеризующая размеры или форму недеформи-
рованного тела, a d£ — величина, определяющая абсолютную
деформацию тела (среды). Закон Гука говорит, что при упругих деформациях
напряжение а прямо пропорционально относительной деформации:
<г.= К^.9 (11.16)
So
где К — модуль упругости тела (среды).
В случае продольного одностороннего сжатия (растяжения)
закон Гука принимает вид
F dl
<7 = -=Ег, (11.17)
где F — сжимающая (растягивающая) сила, действующая на тело
с поперечным сечением 5, /0 — длина тела в отсутствии внешнего
воздействия, dl — изменение длины тела под действием силы F, а
Е = К (11.18)
— модуль Юнга.
В случае всестороннего сжатия (растяжения) закон Гука имеет
аналогичный вид
<т = *Г^, (11.19)

146
Гл. II. Волны
где Vo — объем тела (среды) в отсутствии внешнего воздействия,
a dV — изменение объема тела (среды) под сжимающим
(растягивающим) напряжением а. В этом случае модуль упругости К (модуль
объемной упругости)
где Е — модуль Юнга, ai/- коэффициент Пуассона. Определение
коэффициента Пуассона просто. При продольном сжатии (растяжении)
тело деформируется и в поперечном направлении, причем поперечная
dR dl
деформация — пропорциональна продольному ~:
dR
Ro
dl
(11.21)
N
В
где RQ — размер тела в поперечном направлении в отсутствие
внешнего воздействия, a dR — изменение размера тела в поперечном
направлении при силе F, приложенном в продольном направлении.
Знак «минус» понятен — при продольном сжатии (растяжении) тело
в поперечном направлении
расширяется (суживается). Модуль Юнга Е
U и коэффициент Пуассона v зависят
от свойств тела (среды).
Деформация сдвига происходит
под действием силы F,
приложенной касательно некоторой плоскости
М (плоскости АВ на рис. 11.3). В
примере, приведенном на рис. 11.3 и
иллюстрирующем деформацию сдвига,
грань DC деформируемого тела
закреплена неподвижно (например, приклеена к плоскости NM).
Деформацию характеризует угол сдвига 9. Закон Гука в этом случае может
быть записан в виде
ar = |=G-0, (11.22)
где ат — касательное напряжение, a G — модуль сдвига,
определяемый через Е и и:
Рис. 11.3
Перейдем к рассмотрению распространения волн в упругих средах.
11.3. Скорость в упругой среде. Скорость (фазовая скорость)
упругой волны зависит от ее типа и среды, в которой она
распространяется. Поэтому рассмотрим некоторые типичные случаи.

1L Энергия волны 147
А. Скорость поперечной волны в однородном шнуре. Этот
случай мы уже рассматривали в примере 10.6, и нами было получено, что
скорость поперечной волны в шнуре определяется формулой
(11.24)
где F — сила натяжения шнура, а рх — линейная плотность шнура,
т. е. масса единицы длины шнура.
Б. Скорость продольной волны в упругой твердой среде.
Рассмотрим распространение продольной волны вдоль однородного стержня
(см. рис. 11.4). Ось х направили
вдоль распространения волны.
Второй закон Ньютона для элемента _л
стержня (на рисунке
заштрихованного) имеет вид:
dm-a = F. (*) Рис. 11.4
Здесь dm — масса этого элемента стержня, т. е.
dm = pdV — pS - dx, (**)
где р — плотность материала стержня, S — площадь поперечного
сечения стержня. Сила F, действующая на этот элемент стержня,
равна
F = F!+F2, (**♦)
где F{ (F2) — сила, действующая на левое (правое) сечение элемента
стержня:
где i — единичный вектор (орт) вдоль оси х.
Модули F{ и F2 сил упругости можно определить с помощью закона
Гука (11.17):
F, = а{х) • 5 = Е— • 5,
^ Х d£ (DD)
F2 = <т{х + dx) • S = i?— • S.
x+dx
Здесь dx — длина элемента стержня в недеформированном
состоянии, d£ — абсолютное изменение длины этого элемента, т. е. -р- —
ах
dx
относительная деформация этого элемента. Нижние индексы х или
х -h dx при —^ показывают, что значения этих величин надо брать
в точках х или х + dx. Тогда если спроецировать 2-й закон Ньютона (*)

148
Гл. II. Волны
на ось х (только это направление нас интересует), то с учетом
соотношений (**), (***), (D), (□□) получим:
?■. (DDD)
Здесь
ii
— ускорение элемента стержня за счет колебаний, а скобка в средней
части этого равенства равна изменению относительной деформации при
переходе от координаты х к x + dx. Поэтому получаем:
что представляет собой волновое уравнение (ВУ) (см. (10.42)) плоской
волны, распространяющейся вдоль оси х (вдоль стержня). Из
сравнения (11.25) с (10.42) видно, что скорость распространения
продольной упругой волны вдоль стержня, т. е. ее фазовая скорость,
определяется формулой
■{'■
(11.26)
где Е — модуль Юнга материала, из которого сделан стержень,
ар — объемная плотность этого материала, т. е. масса единицы объема
стержня. Необходимо отметить, что формула (11.26) получена для
скорости распространения продольных волн вдоль стержня. При более
строгом подходе при выводе формулы для скорости распространения
волн в сплошном твердом теле получает-
s 4тг. ся следующая формула:
(1-1/)
^прод
(1
-2I/) •
(11.26а)
В. Скорость поперечной волны
в упругой твердой среде. Поперечные
упругие волны вызываются деформаци-
■£ ями сдвига среды, а деформации сдвига
вызываются касательными
напряжениями, что, как уже было сказано, возможно
только в твердых телах. Поэтому речь
может идти о распространении упругих поперечных волн только
в твердых средах. Рассмотрим элемент среды, в которой вдоль оси х
распространяется упругая поперечная волна (см. рис. 11.5). Поперечные
колебания (колебания вдоль s) происходят из-за касательных напряже-
х x+dx
Рис. 11.5

//. Энергия волны 149
ний (касательных сил F! и F2), действующих на грани х и х + dx
выделенного элемента среды. Рассуждения, сделанные в предыдущем
п. Б. «Скорость продольной волны в упругой твердой среде»,
повторяются с учетом того, что силы упругости и деформации среды
направлены перпендикулярно к направлению распространения волны,
т.е. 2-й закон Ньютона (*) необходимо спроецировать уже на ось s.
Так, вместо соотношений (□□) для модулей сил у пру гостей получим:
•S,
и* (А)
П dS Q
x+dx
Здесь мы воспользовались законом Гука (11.22) для деформаций сдвига,
а угол сдвига в для слабых деформаций заменили на тангенс угла:
£. (АА).
и ds\ — абсолютное смещение грани х элемента длиной dx, т. е. -г-
dx ш
относительная деформация грани х элемента. Тогда, аналогично тому,
как была получена формула (□□□) из п. Б. «Скорость продольной
волны в упругой твердой среде», будем иметь
Отсюда получим
£4 = 0> (11.27)
представляющее волновое уравнение (ВУ) поперечной упругой
волны, распространяющейся вдоль оси х. Сопоставляя (11.27) с общим
ВУ (10.42), видим, что скорость распространения поперечной
упругой волны в твердой среде, т. е. ее фазовая скорость, определяется
формулой
"nonep^l/^. (П.28)
где G — модуль сдвига среды, р — объемная плотность среды.
Из (11.26) и (11.28) можно найти отношение скоростей продольных
и поперечных волн в определенной твердой среде (твердом теле):
^ j) (11.29)
ипопер V ь*
Здесь и — коэффициент Пуассона (см. (11.21)). Последнее получено
с помощью формулы (11.23), дающей связь между модулем сдвига G,

150
Гл. II Волны
модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона и. Таким образом, в
одной и той же среде продольные волны распространяются быстрее
поперечных.
Полезно привести здесь упругие постоянные (модуль Юнга Е>
модуль сдвига G и коэффициент Пуассона и) для некоторых твердых
веществ (см. табл. ИЛ).
Вещество (материал)
Таблица
Е, 109 Па
11.1
G, 109 Па
v (безразмерная)
Металлы
Алюминий
Висмут
Железо (сварочное)
Золото
Кадмий
Медь
Никель
Олово
Платина
Свинец
Серебро
Цинк
70
32
210
80
50
110
210
530
170
16
77
80
26
12
77
28
21
44
78
19
63
6
28
36
0,34
0,33
0,28
0,42
0,30
0,34
0,30
0,33
0,39
0,44
0,37
0,23
Сплавы
Бронза
Латунь
Сталь
Чугун
105
90
200
ПО
37
35
75
50
0,36
0,35
0,28
0,27
Прочие материалы
Каучук
Стекло
0,5
60
0,0015
25
0,48
0,25
Г. Скорость продольной волны в жидкостях и газах. Здесь
сразу необходимо подчеркнуть, что:
1. Как уже было сказано выше, если иметь в виду волны внутри
жидкостей и газов, то они могут быть только продольными.
2. Для определенного диапазона частот, а именно для частот в
интервале 16-20000 Гц, упругие продольные волны представляют собой
звук — звуковые волны. Волны с частотой меньше 16 Гц называются
инфразвуком, а волны с частотой больше 20 кГц — ультразвуковыми
волнами, и они человеческими органами слуха не воспринимаются.
Итак, этот пункт можно было назвать «Скорость звука (звуковых
волн) в жидкостях и газах».

//. Энергия волны 151
Формулу (11.26)
полученную нами для скорости продольных волн в твердых телах,
можно было применить и в случае жидкостей и газов. Но в этом
случае будет не очень корректно прямое использование понятия модуля
Юнга Е, введенного Гуком для твердых тел.
В нашем случае необходимо воспользоваться законом Гука (11.19)
для всестороннего сжатия (расширения) газа, который можно записать
в несколько измененном виде
dp=-Kry-, (11.30)
где напряжение о заменили на изменение давления при изменении
объема V на малую величину dV. Знак «минус» очевиден — увеличение
объема (dV > 0) приводит к уменьшению давления (dp < 0) и наоборот.
Тогда после аналогичных рассуждений, сделанных при выводе
формулы (11.26), для скорости волн в жидкостях и газах (их фазовой
скорости) можно получить формулу
(11.31)
в которой неизвестный пока модуль объемной упругости газа Кг может
быть определен следующим образом.
Из (11.30) следует, что
(*)
UV
но из условия сохранения массы
га = р • V = const
дифференцированием получаем
pdV + Vdp = 0 => dV = -—^.
Р
Подставив выражение для dV в (*), находим, что модуль объемной
упругости равен
К = —
г dp
Воспользовавшись этим, из (11.31) находим формулу для скорости
волн в жидкостях и газах, выраженную через элементарные
изменения давления р и плотности р:
(11.31а)

152 Гл. //. Волны
Допустим, что распространение звука в газе происходит при
политропных процессах, т. е. при выполнении условия
pVn = const, (11.32)
где п — показатель политропы в среде, где распространяется звук
(продольная волна). Из термодинамики известно, что показатель
политропы п принимает следующие определенные значения при
известных еще из школьного курса физики процессах:
п = О => р = const — изобарический процесс,
п = 1 =^ pV = const — изотермический процесс,
п = 7 => pV1 = const — адиабатический процесс,
п = оо => V = const — изохорический процесс.
При распространении звука (продольных волн) локальные давление р
и объем V газа меняются, поэтому при распространении звука
возможны только изотермический и адиабатический процессы.
Мы знаем, что 7 ~ постоянная адиабаты, которую можно определить
экспериментально (т. е. найти в справочниках) или определить по
формулам
= 1:тА (11.34)
где г — число степеней свободы атома или молекулы, из которых
состоит газ, в котором распространяется волна, а Ср (Cv) •— молярная
теплоемкость газа при постоянном давлении (объеме), для которых
справедливы соотношения:
Cp=l-j^R, CV = ^R, Cp-CV = R, (11.35)
где
Д = 8,314 Т,ДЖ (11.36)
К • моль
— газовая постоянная (молярная газовая постоянная).
Дифференцируя условие (11.32) политропных процессов
получим, что
dp = -np^r. (11.37)
Сравнивая (11.37) с законом Гука (11.30) для всестороннего сжатия
или расширения газа, получим, что модуль объемной упругости газа

//. Энергия волны 153
(жидкости) определяется через давление р в газе (жидкости) и
показатель политропы п:
Кг = пР> (11.38)
' — изотермический процесс,
р — адиабатический процесс
и поэтому скорость звука в газах может быть определена по
формуле
- — изотермический процесс,
%од(газ) = { »' (11.40)
/— — адиабатический процесс.
Р
Формулу (11.40) в случае газа (именно газа) можно записать
по-другому, если воспользоваться уравнением состояния идеального
газа
pV = ^RTy (11.41)
где т — масса газа, М — его молярная масса. Тогда плотность газа
тугр
-J7- — изотермический процесс,
— адиабатический процесс.
Отсюда можно получить отношение скоростей звука (продольных волн)
в газе при разных температурах:
Надо обратить внимание на следующее:
1. Формулой (11.40) или (11.43) можно пользоваться для
определения скоростей продольных волн только в газах. Это подчеркнуто
словом «газ» в формуле для скорости.
2. Формула (11.43) дает непосредственную зависимость скорости
звука (продольных волн) в газе от температуры Т газа.
3. Для больших частот (для звука так и есть) в процессе
распространения волны локальное изменение объема газа происходит быстро,
и сам процесс будет адиабатическим. Поэтому более справедливыми

154 Гл. II. Волны
являются формулы (11.39), (11.40) и (11.43), записанные для
адиабатического процесса.
4. Еще раз приведем формулы для скоростей (фазовых скоростей)
волн в разных средах:
а. Скорость продольной волны в твердом теле:
б. Скорость поперечной волны в твердом теле:
"попер = ^|- (П.28)
в. Скорость продольной волны в жидкостях и газах:
= 01-31)
= №. (11.31а)
V dp
Для скорости волны в газах (именно в газах) справедлива и
другая формула:
- — изотермический процесс,
' (11.40)
— — адиабатический процесс
Р
или
1 -jj- — изотермический процесс,
— адиабатический процесс.
5. Еще вот что интересно. Из термодинамики известно, что в
идеальных газах справедливы следующие формулы для вероятной,
средней и среднеквадратичной скоростей молекул газа:
V рп =
М '
8КГ
(11.44)
м '

//. Энергия волны 155
Мы видим, что скорость волн в газах г;прод(газ) примерно такая же,
что и приведенные в (11.44) скорости молекул в газах, но справедливы
такие неравенства:
^прод(газ) < vBep < vc? < vKB (11.45)
или i- ,— р-
^прод(газ) = W g г>вер = J — vcp = J - vKB. (11.45а)
Примерное равенство величин скорости волны г>прод(газ) и скорости
молекул газа объясняется тем, что любое возмущение в локальной
области газа распространяется за счет непосредственного соударения
молекул (один из признаков идеального газа), что определяется именно
скоростью молекул. А в жидкостях и твердых телах механизм
распространения возмущений отличается (например, так называемые фононы
в твердых телах). А то, что скорость волны в газах все же меньше
скоростей молекул, объясняется хаотичностью движения молекул газа,
и поэтому скорость распространения возмущения (волны) всегда
меньше типичной скорости молекул газа.
11.4. Плотность энергии в упругой среде. Объемная плотность
энергии (11.2) для упругой волны может быть представлена как сумма
плотностей кинетической и потенциальной энергий среды, в которой
распространяется волна:
+ (11.46)
Здесь 2
wK = ^ (11.47)
— объемная плотность кинетической энергии среды, где
— скорость колебаний частиц среды, т. е. элементарного объема среды,
s — смещение элементарного объема из равновесного положения
(в недеформированном состоянии среды). Объемная плотность
потенциальной энергии упруго деформированной среды, как мы
знаем из теории упругих деформаций, равна
^ (П.49)
где модуль упругости С равен, соответственно, модулю Юнга Е,
модулю сдвига G или модулю объемной упругости КГ:
C = E\G\KT (11.50)
в зависимости от типа волн и среды, в которой распространяется волна:
в случае распространения продольных волн в твердой среде С = Е\
в случае распространения поперечных волн в твердой среде С = G

156 Гл. //. Волны
и в случае распространения волн внутри жидкости или газа (а в этом
случае волны только продольные) С = Кт. Величина е в (11.49)
представляет собой относительную деформацию, т. е. соответственно
для тех же случаев. Обозначения объяснять не будем, они понятны
из соотношений (□□) п. Б «Скорость продольной волны в упругой
твердой среде», (ДА) п. В «Скорость поперечной волны в
упругой твердой среде» и формулы (11.30). Из формул (11.26), (11.28)
и (11.31), определяющих скорость волны, видно, что модуль упругости,
независимо от типа волны и среды, может быть представлен одной
формулой
C = pvL, (11.52)
где г;вол — скорость волны, определяемая по разным формулам. Тогда
объемная плотность энергии упругой волны дается формулой
w = wK+wn = -p (у2К0Л + v2B0Jl • е2), (11.53)
т. е. она определяется скоростью колебаний vK0Jl частиц среды и
скоростью волны vB0Jl. Из ВУ (10.42) плоской волны, распространяющейся
вдоль или против оси х, или из ВУ (10.57), которому подчиняется
любой волновой процесс, можно найти связь между скоростью г;вол
распространения волны (ее фазовой скоростью) и скоростью vK0Jl
колебаний частиц среды:
^кол = ^вол -£2' (11.54)
Можно показать, что
^=ТС (11.54а)
где знак «минус» («плюс») относится к волне, распространяющейся
вдоль (против) оси х.
Таким образом, объемные плотности кинетической и потенциальной
энергий среды при распространении волны в этой среде одинаковы:
. (П.55)
и объемная плотность энергии упругой волны может быть вычислена
по формулам
*-р«4. = /а4.-е2. (П.56)
Для гармонической плоской волны (10.7)
s = sQ cos(ut — kx + (р0),
плотность энергии волны
2 sin2(art - kx + </?0), (11.57)

11. Энергия волны 157
а для гармонической сферической волны (10.37)
g
s = — cos(ujt — k • г + ip0)
плотность энергии
- к • г + <р0). (11.58)
Так как среднее за период значение квадрата синуса равно -т\
(i2M + ))
то средние значения объемных плотностей энергии плоской или
сферической гармонических волн равны половине максимальной
плотности энергии:
(11-59)
В поглощающей среде с коэффициентом поглощения 7 (см. (10.14)),
(10.23), (10.39)) амплитуда s0 смещений убывает по закону:
so(x) = soe~lx — плоская волна,
50(г) = —е 7Г — сферическая волна.
В заключение необходимо обратить внимание на следующее.
Формула (11.6) для вектора Умова используется для одной
монохроматической волны. В случае наложения (суперпозиции) нескольких
продольных волн вектору Умова удобно придать другой вид:
J = -<"W (11 61)
где а — напряжение среды, а \>кол — скорость колебаний частиц среды.
Покажем это. Допустим, что возмущение среды, вызванное упругой
деформацией, распространяется вдоль оси х. Спроецируем (11.6) на
ось ж:
Jx = wvB0Jl. (11.62)
Здесь г>вол имеет вид (см. (11.26) или (11.31))
01-63)

158 Гл. II. Волны
где модуль упругости может быть определен по (11.50).
Преобразуем (11.62) следующим образом:
w
2
Ч =
^ " Р W/
Здесь мы воспользовались формулами (11.56), (11.63), (11.54а) и
законом Гука. Знак «минус» («плюс») относится к распространению
возмущения вдоль (против) оси х. Из (11.64) следует и формула (11.61).
11.5. Плотность энергии и плотность потока энергии
электромагнитной волны. В п. 11.3 и 11.4 мы рассмотрели волны,
распространяющиеся в упругих средах, что очень важно в физике. В п. 11.1
мы получили формулы, справедливые в общем случае, независимо от
типа волн (продольные или поперечные, плоские или сферические —
совершенно любого типа волны, распространяющиеся в любых средах).
Электромагнитные волны, с которыми вы знакомы еще со школьного
курса физики, не относятся к упругим механическим волнам. В этом
случае мы имеем дело с возмущениями электромагнитного поля —
взаимно связанными электрическим Е и магнитным Н полями,
распространяющимися в пространстве. В свободном пространстве (например,
в вакууме) электромагнитные волны поперечны й их распространение
описывается главными уравнениями электродинамики — уравнениями
Максвелла, с помощью которых, как мы увидим в части III, можно
получить ВУ электромагнитной волны, которое имеет тот же вид,
что и (10.57), только роль смещений 5 будут играть напряженности
электрического Е и магнитного Н полей. Здесь без подробного
исследования приведем формулы для плотности энергии и плотности
потока энергии электромагнитной волны.
Плотность энергии w электромагнитной волны равна сумме
плотностей we энергии электрического и wrn энергии магнитного
полей: 2 2
где е0, /х0 — электрическая и магнитная постоянные:
107 Ф
м' (П66)
/,0 = 4*. ИГ7 12.
м
Постоянная i
=—— =3108 - (11.67)
/Ч с
называется электродинамической постоянной и имеет размерность
скорости. Позже увидим, что она совпадает со скоростью све-

//. Энергия волны 159
та (электромагнитной волны) в вакууме. Величины гид
соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды,
в которой распространяется электромагнитная волна. Скорость
распространения электромагнитной волны в среде с диэлектрической
и магнитной проницаемостями е и //, т. е. ее фазовая скорость, равна:
v =-=L= =-^ =-, (11.68)
где
n = ^eji (11.69)
называется показателем преломления среды. Между напряженно-
стями электрического и магнитного полей имеется следующая простая
связь:
(11.70)
Тогда нетрудно убедиться в том, что плотности энергий электрического
и магнитного полей одинаковы
и плотность энергии электромагнитной волны может быть
представлена в виде
w = 2we = 2wm = 6SQE2 = w0H2 = —. (11.72)
Плотность потока энергии электромагнитного поля, которая
обычно обозначается как 5 (в отличие от j, которым мы пользовались
в п. 11.1)
S = wv = EH. (11.73)
Можно ввести вектор плотности потока энергии
электромагнитного поля S (вектор Умова-Пойнтинга)
S = 5nl; = [ExH], (11.74)
направленный вдоль направления распространения электромагнитной
волны (nv — единичный вектор скорости х>).
Интенсивность / электромагнитной волны, т. е. средняя энергия,
проходящая через единицу поверхности в единицу времени, равна
I = (S) = (EH). (11.75)
Этих формул пока достаточно. Другие формулы в п. 11.1 остаются
в силе. Подробно случай электромагнитных волн рассмотрим в
части III.
Пример 11.1. Определить скорость упругих волн в меди,
кислороде и водороде в нормальных условиях.

160 Гл. II. Волны
А. Медь. В меди могут распространяться как продольные
(звуковые), так и поперечные упругие волны. Скорости звуковых и
поперечных волн в меди определяем по формулам (11.26) и (11.28)
соответственно:
•*.-*-^-»■•=•
= J- =2225 *.
В справочниках для скорости звука меди при нормальных условиях
обычно приводят величину 3600 м/с. Здесь мы воспользовались
справочными данными для Е и G (см. табл. 11.1) и объемной плотности
меди п vr
Б. В газе (кислороде и водороде) распространяются только
продольные упругие волны, т.е. звук. Скорость звука (звуковых волн)
определяем по формуле (11.43):
т. е. мы считаем, что процесс адиабатический.
Так как кислород и водород состоят из двух атомных молекул О2
и Н2, то для них постоянные адиабаты одинаковы:
г+2 5+2 ЛА
7о>=7й,=7 = —= —= М.
Здесь мы учли, что число степеней свободы двухатомной молекулы
равно 5 (г = 5). Такое же значение для 7 можно найти и в
справочниках. Молярные массы газов известны:
МН=2.КГ3—, Мо =32-Ю-3—.
2 моль 2 моль
Подставив в (11.43) численные значения всех величин (при
нормальных условиях Т « 273 К), находим
1ДЗЙ173 м
27TFS - 1260 с'
В справочниках для этих скоростей при нормальных условиях даются
значения 1262 м/с и 316 м/с соответственно. Согласие хорошее.
Пример 11.2, Точечный изотропный источник звука мощностью
Р = 0,1 Вт находится в центре полого цилиндра радиуса R = 1 м

//. Энергия волны
161
и высоты h = 2 м. Найти поток энергии, падающий на боковую
поверхность цилиндра.
На рис. 11.6 систему отсчета
выбрали так, что источник звука,
находящийся в центре цилиндра,
совмещен с началом системы координат.
Вектор плотности потока энергии
звука (звуковой волны) из-за
изотропности источника звука
определяется формулой
Р Р
J = 7Г-Гл пг =
4ят2
пг
где
5сф(г) = 4тгг2
Рис. 11.6
— площадь сферы радиуса г,
а пг — единичный вектор вдоль
радиуса-вектора г точки
наблюдения. Рассмотрим поток энергии d$ через бесконечно узкую
(шириной dz) кольцевую полоску с координатой z:
Нормальная составляющая jn плотности потока энергии
jn=jcosa =
4тгг2
cos а,
(*)
а площадь dS бесконечно узкого кольца радиусом R равна
dS = 2тгД • dz.
Тогда для потока энергии через это кольцо находим
Р
= 2^2cosa' z'
Здесь мы имеем три переменные величины г, a, z, зависящие от
местонахождения воображаемого узкого кольца, но взаимозависимые.
Так как
А*.
z = Riga => dz
R
cos^a
r =
cos a
то (*) примет вид (т. е. dФ выразим через одну переменную — угол а)
с?ф = -— cos a • da.

162 Гл. II. Волны
Полный поток Ф звуковой энергии через всю боковую поверхность
цилиндра равен
ао
Ф = с1Ф = — cos a da = Psina0,
б
бок.пов. — а0
цилиндра
где
sma0 =
Поэтому
Ф= . „ =0,071 В.
Хотя в условии задачи речь идет об источнике звука, при решении
задачи мы нигде не пользовались спецификой звуковых волн, поэтому
решение справедливо для волн любого типа, распространяющихся во
все стороны с одинаковой интенсивностью (т. е. от изотропного
источника волн).
Пример 11.3. Плотность р двухатомного газа при нормальных
условиях равна 1,5 кг/м3. Определить скорость распространения звука
в этом газе при неизменном давлении и температуре 20 °С.
При нормальных условиях
^=273 К, р! = 1,0Ы05Па,
а скорость звука мы должны определить при несколько измененных
условиях:
Т2 = 293 К, р2 = рх = 1,01 • 105 Па.
Если воспользоваться формулой (11.43), то искомая скорость звука
IT
Здесь vx — скорость звука при нормальных условиях, которая может
быть определена по формуле (11.40):
где постоянная адиабаты для двухатомного газа (г = 5)

//. Энергия волны 163
Скорость звука при нормальных условиях:
1,4- 1,01 -105
Тогда искомая скорость звука при комнатной температуре (20 °С):
Для сравнения: скорость звука в сухом воздухе равна 332 м/с, а в
кислороде — 316 м/с.
Пример 11.4. Вдоль оси х в вакууме распространяется
электромагнитная волна, для которой амплитуда Ео напряженности
электрического поля равна 20 В/м. Определить амплитуду Но напряженности
магнитного поля этой волны.
Пользуемся связью (11.70) между напряженностями электрического
и магнитного полей:
Для вакуума (и практически для любого газа тоже) диэлектрическая
и магнитная проницаемости среды равны 1:
Поэтому
Полезно напомнить, что напряженность электрического поля
измеряется в В/м, а напряженность магнитного поля — в А/м (в системе
единиц СИ, которой мы обычно и пользуемся).
Пример 11.5. Вдоль оси х в вакууме распространяется плоская
электромагнитная волна. Зная амплитуду напряженности
электрического поля Ео = 0,1 В/м, определить интенсивность /
электромагнитной волны.
По формуле (11.75) искомая величина равна среднему по времени
от плотности потока энергии электромагнитного поля (модуля вектора
Умова-Пойнтинга):
I = (S) = (EH).
Так как электромагнитная волна плоская (по условию задачи) и
распространяется вдоль оси х, то
Е = E0cos{ut- кх),
Н = #0 cos(utf - кх)
и 1
I = Е0Н0 (cos2M *))

164 Гл. II. Волны
Пользуясь связью между Ео и Но из предыдущей задачи
20
для искомой величины получаем рабочую формулу
и, подставив численные значения, находим, что
/« 13,28^1.
м2
§ 12. Принцип суперпозиции
Допустим, что sx{x) и 52(х) являются решениями ВУ (10.42)
т.е. sx(x) и s2(x) — уравнения волн, распространяющихся в данной
среде вдоль или против оси ж. Тогда и их сумма
5 = 5j+52, (12.2)
т.е. их наложение также является решением ВУ (12.1):
92(sy + s2) 1 ^2(si + 5г)
" дх2 v* Ж2 =
Таким образом, наложение 2 волн является новой волной. В (12.2)
мы могли бы взять разность, а не сумму, и получили бы, что и в этом
случае разность волновых уравнений является решением ВУ (12.1),
т.е. новой волной. Вообще линейная комбинация (суперпозиция)
волн является новой волной, т.к. в (12.2) 5, и s2 мы могли умножить
на какие-то коэффициенты и получили бы новое решение ВУ (12.1),
т. е. новую волну. Очевидно, только что сказанное не зависит от числа
налагающихся волн. Поэтому мы можем дать несколько равносильных
формулировок принципа суперпозиции (ПС):
1. ПС говорит, что движение, получающееся в результате
одновременного распространения в среде нескольких волн, снова
представляет собой волновой процесс.
2. ПС говорит, что если в среде распространяется
одновременно несколько волн, то колебания частиц среды получаются как
геометрическая сумма колебаний, совершаемых этими частицами

12. Принцип суперпозиции 165
среды при распространении отдельно каждой из этих волн,
т. е. волны накладываются, не возмущая друг друга.
3. ПС говорит, что при распространении в среде нескольких
волн, каждая отдельно взятая волна распространяется независимо
от остальных и результирующая волна представляет собой
геометрическую сумму всех волн.
Здесь будет полезно сказать, что ПС выражает фундаментальные
свойства полей, рассматриваемых в физике. И его можно
сформулировать следующим образом.
Если существуют несколько полей fi (г = 1,2, ...,п), то
возможно и поле
U (12.3)
где с{ (г = 1,2,..., п) — постоянные.
Из математики знаем, что решения линейных уравнений
подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому мы можем заключить,
что ПС для волн является следствием линейности ВУ (10.42)
или (10.57). Среда, в которой справедливо ВУ (10.57), называется
линейной.
В силу возможности разложения в ряд Фурье (см. (5.54) или (5.62))
и ПС любая волна может быть представлена в виде суммы
гармонических волн — в виде так называемого волнового пакета. Волновым
пакетом (группой волн) называется суперпозиция волн, близких
по частоте:
п
5 = ]Г5., г=1,2,...,п, (12.4)
г=1
где
si = % cos(o;^ =F Kx) (12.5)
— г-я гармоническая плоская волна, распространяющаяся вдоль
(«минус») или против («плюс») оси х. Совокупность частот
u)l9u>2*--->vn (12.6)
образует так называемый спектр исследуемой волны. Скорость и
ускорения частиц среды, в которой распространяются эти волны (волновой
пакет), определяются как
(12.7)
V =
а =
п
s = У^^
г=1
п
8 = У^ Si
г=1
п
= у4
г=1
п
= N
г=1

166 Гл. II. Волны
В случае произвольного направления отдельных волн, образующих
волновой пакет, формулы (12.4) и (12.7) легко обобщаются (от
алгебраических сумм переходим к векторной сумме):
-krr), г =1,2, ...,n; (12.8)
г=1
г=1 г=1
п п
a = s = V^s =V^a- (129)
Здесь sit \>г и а^ — векторы смещения, скорости и ускорения частиц
среды в точке с радиусом-вектором г в момент времени t при
распространении в среде только г-й волны.
Здесь надо подчеркнуть 2 момента.
1. ПС справедлив для любого типа волн (хотя в (12.5) или
в (12.8) мы рассматривали именно плоские волны).
2. Спектр волнового пакета может быть дискретным (как это
было в предыдущих формулах (12.4) или (12.8)) или
непрерывным. В последнем случае частоты слагающихся волн отличаются
на бесконечно малые величины и суммы заменяются
интегралами.
Рассмотрим простейший волновой пакет, состоящий из 2
гармонических плоских волн с одинаковыми амплитудами и с частотами
и{ = и, и2 = и + duy распространяющихся вдоль оси х:
; - кх)у
s2 = s0 cos((u; + duj)t — (к + dk)x).
Здесь мы учли, что из-за того, что волновое число
к = — =ф dk = —,
v v
то частоте и + duj соответствует волновое число к + dk. Тогда
s(xt t) = Sj + s2 — s0[cos(utf - kx) + cos((o; + dw)t - (k + dk)x)] =
= 2s0cos(t<Lj-Xdkyos(u,cpt-kcpx), (12.10)
где
u>i -г u>2 fcj -f k2 uj
CD О ^^ CP О ^ /»t *
Здесь мы воспользовались обычными тригонометрическими
преобразованиями. На рис. 12.1 показана зависимость смещения s(x, t) частиц

12. Принцип суперпозиции
167
Рис. 12.1
среды от их местонахождения (от координаты х) в фиксированный
момент времени t. Пунктирная линия соответствует функции
cos
а сплошная — функции
't<L)-xdk\
ч 2 /'
>s(ort — кх)у
показывающей, что волновой пакет в данном случае представляет
собой «гармоническую» волну с частотой а;, но с переменной амплитудой
колебаний
so(x, t) = 2sQ
cos
ftduj -xdk\
V 2 )
(12.11)
которая является медленно меняющейся функцией от х и t. Слово
«гармоническая» взято в кавычки по этой причине — для гармонических
волн амплитуда колебаний постоянна (не зависит от времени). Вы,
наверное, обратили внимание на формальное сходство рис. 12.1 с рис. 5.8.
Но они существенно отличаются. На рис. 12.1 дана зависимость
смещений частиц среды от их местоположения при наложении двух
гармонических волн с близкими частотами, а на рис. 5.8 —
зависимость смещений частицы (осциллятора) от времени при одновременном
участии этой частицы в двух гармонических колебаниях с близкими
частотами.
В качестве скорости и волнового пакета берется скорость
перемещения постоянной амплитуды, т. е.
so(xtt) = const
dx __
~dt ~ Ik'
tdw -xdk = const =>
и = -г- =
(12.12)
Скорость и волнового пакета (группы волн), определяемая этой
формулой, называется групповой скоростью. Она отличается от фазовой
скорости и, определяемой из условия постоянства фазы волны
u;t — кх = const

168 Гл. И. Волны
и вычисляемой по формуле (см. (10.10))
г; = |. (12.13)
Установим связь между этими скоростями:
_ dw _ d(vk) _ dv
U = ~dk= dk =U+ <ta' **'
Преобразуем производную
dv dv d\ dv dk dv d /2тт\ dv ( 2тг\ dv ( k\
dK СиЛ UK СиЛ СьЛ (*Л СьЛ \ Л I О/Л у J V J
и, подставив ее в (*), получим
u = v-X% (12.14)
Прежде чем сделать выводы из данной связи между групповой и
фазовой скоростями, введем понятия диспергирующей и
недиспергирующей среды. Диспергирующей называется среда, в которой фазовая
скорость волны зависит от частоты (длины волны); в противном случае
среда является недиспергирующей. Из (12.14) можно сделать
следующие выводы:
1. В недиспергирующей среде фазовая и групповая скорости
волнового пакета совпадают:
v = и (недиспергирующая среда). (12.15)
2. В диспергирующей среде фазовая и групповая скорости
волнового пакета отличаются:
v ф и (диспергирующая среда), (12.16)
dv .
причем, в зависимости от знака —, групповая скорость может быть
СьЛ
больше или меньше фазовой скорости.
3. В диспергирующей среде волновой пакет расплывается.
Поясним только что сказанное. В диспергирующей среде
составляющие волнового пакета, т.е. гармонические волны с отличающимися
частотами из-за зависимости фазовой (а значит, и групповой) скорости
от частоты распространяются в среде с разными скоростями и группа
волн по мере распространения расплывается — волны с меньшими
скоростями начинают отставать от волн с большими скоростями. Это
схематически показано на рис. 12.2, где видно распространение некоторого
возмущения в диспергирующей среде вдоль оси х (tx <t2< t3). По оси
ординат отложен квадрат амплитуды смещения s£, которому
пропорциональна переносимая волной энергия. Поэтому с течением времени

12. Принцип суперпозиции 169
Рис. 12.2
энергия, переносимая волной в диспергирующей среде, распределяется
по всей среде — волна исчезает, энергия волны поглощается средой.
Пример 12.1. В однородной среде распространяются 2 плоские
поперечные волны одинаковой частоты и одинаковой амплитуды
соответственно вдоль осей х и у:
s{(x,t) = s0cos(u;t — кх),
Ч(УЛ) = sQcos(u>t-ky).
Считая, что колебания частиц среды происходят в одинаковых
направлениях, определить особенности колебаний частиц среды.
Будем считать, что колебания частиц среды происходят вдоль оси z.
Тогда по ПС:
s = s{ (x, t) + s2(y, t) = $0[cos(ut — кх) + cos(ut — ky)].
Из этой формулы следует, что смещение частиц среды будет
максимально тогда, когда их колебания в этих двух слагающихся волновых
процессах будут происходить синхронно, т. е. разность фаз будет
кратна 2тг:
ку — кх = ±2тгга, га = 0,1,2,... . (*)
Аналогично, если эти колебания будут происходить в противофазе,
то колебания частиц среды будут минимальными (в нашем случае из-
за равенства амплитуд слагающихся волновых процессов эти частицы
будут просто покоиться). Это будет в том случае, если
га = 0,1,2,.... (**)
Таким образом, частицы среды, находящиеся в плоскостях
у = х±т\, га = 0,1,2,..., (О)
перпендикулярных плоскости ху, совершают колебания
с максимальной амплитудой, равной 2s0. Эти плоскости на рис. 12.3
обозначены сплошными прямыми. А частицы среды, находящиеся
в плоскостях
у = х ± (га + 1/2)Л, га = 0,1,2,..., (00)

170
Гл. II. Волны
Рис. 12.3
перпендикулярных плоскости ху (штрихованные прямые), вообще не
совершают колебаний. При получении (О) и (ОО) из (*) и (**)
мы учли, что волновое число к = 2тг/А.
Нетрудно понять, что если бы амплитуды слагающихся волн
отличались и были бы равны 510 и s20, то в плоскостях (О) колебания
частиц среды были бы максимальными, происходящими по закону
«max = («10 + «2о) COSM ~ Ь),
а в плоскостях (ОО) колебания происходили бы с минимальными
амплитудами, равными разности амплитуд слагающихся волн:
«min = («10 - «2о) C°SM - кх).
Пример 12.2. Пользуясь определением групповой скорости, найти
рабочую формулу для групповой скорости электромагнитной волны
в среде с известной зависимостью показателя преломления среды от
частоты распространяющейся электромагнитной волны п(ш).
Фазовая скорость (скорость) электромагнитной волны может быть
определена по общей формуле (10.10) для фазовой скорости любого
типа волны или по формуле (11.68), справедливой именно для
электромагнитной волны:
Так как
и с
V= -г = -.
к п
по;
то
dk =
ndu> + ujdn
Таким образом, групповая скорость, определяемая формулой (12.12),
может быть вычислена по следующей рабочей формуле:
duj
U = -гг =
dk ndu +udn
=> и =

12. Принцип суперпозиции
Полученная формула позволяет определить групповую скорость
электромагнитной волны, если известна зависимость показателя
преломления п среды от частоты и электромагнитной волны. Если показатель
преломления не зависит от частоты, то
dn Л с
-— = о =$> w = — = г;,
aw n
т.е. групповая скорость совпадает с фазовой, как и должно быть.
Мы видим, что в случае отрицательного значения производной
dn Л
<0
т.е. в том случае, когда показатель преломления среды
уменьшается с увеличением частоты электромагнитного поля, при выполнении
условия
п + ы-^ < 1, (□)
приходим к тому, что
и > с,
т. е. получается, что групповая скорость электромагнитной волны
больше скорости света в вакууме, что кажется парадоксальным. Но тут
никакого противоречия с теорией относительности Эйнштейна нет,
так как групповая скорость совпадает со скоростью распространения
возмущения лишь в случае нерасплывания волнового пакета. Так как
при выполнении условия (D) волновой пакет быстро расплывается, то
свой только что упомянутый физический смысл групповая скорость и
теряет.
Пример 12.3. Фазовая скорость v некоторой волны зависит от
частоты и волны следующим образом:
а
где а = 7000 м • с"3/2, Ь = 100 Гц. Определить групповую скорость и
волны с частотой и0 = 300 Гц.
Групповая скорость
Так как
то

172 Гл. II. Волны
поэтому рабочая формула для групповой скорости имеет вид
и =
Подставив численные значения, получим, что
t* = 254,5 -.
с
Для сравнения можно вычислить и фазовую скорость:
§ 13. Интерференция и дифракция волн
Интерференция волн — явление, возникающее при сложении
волн, в результате которого возникает устойчивое во времени
перераспределение результирующих колебаний в пространстве с их
усилением в одних местах и ослаблением в других. Это общее
свойство волн, возникающее при выполнении определенных условий.
Сразу заметим, что только когерентные волны могут интерферировать.
Волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит
от времени. Источники когерентных волн называются когерентными
источниками волн.
13.1. Плоские волны. Случай некогерентных волн.
Рассмотрим наложение 2-х плоских волн, вызывающих колебания частиц
среды в одном направлении и распространяющихся вдоль оси х:
sx =s0lco$(u{t-klx + al) s0lcos(plt
S2 = 502 COs(u>2£ ~* ^2Х + аг) = 502 cos ^2*
Результирующие колебания
5 = 5l+s2 (13.2)
частиц среды будут иметь вид
s = so(t)ca8a(t), (13.3)
где
= у 5
502 COS(^2 "" Ч>\) >
= % ^п 9P1+s()2sinv?2 О3-4)

13. Интерференция и дифракция волн 173
Получение этих результатов аналогично выводу формул (5.27), (5.28),
(5.29) или их легко можно получить методом векторных диаграмм
(см. п. 2.2). Разность фаз слагающихся волн в точке с координатой х
<Р2-<Р\= (Ш2 " v^t - (k2 - kx)x + (а2 - ах)9 (13.5)
как видим, зависит от времени. Так как и фазы (рх и (р2 волн зависят
от времени, то амплитуда sQ результирующих колебаний в любой точке
среды зависит от времени, что уже отражено в формуле записью so(£),
поэтому в общем случае результирующие колебания в любой точке
среды будут негармоническими, хотя слагаются гармонические колебания.
Это же можно сказать другими словами — при сложении
некогерентных волн результирующие колебания будут негармоническими.
Интенсивность / волны (см. (11.13)), равная среднему по времени
значению плотности потока энергии j (модуля вектора Умова, или
Умова-Пойнтинга), пропорциональна квадрату амплитуды колебаний
в точке наблюдения (см., например, (11.59), (11.65)). Поэтому
определим среднее значение квадрата амплитуды колебаний
(4) = (4\ + 502 + 2^01502 cos(
= («01) + («02>
= «oi
Здесь, как и раньше, угловые скобки () обозначают среднее по времени
значение, а также учтено, что среднее значение постоянной равно
самой постоянной, а среднее значение косинуса равно нулю. Поэтому
наложение некогерентных гармонических волн приводит к тому, что
среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме
квадратов амплитуд слагающихся волн:
(s20) = 4\ + 4i = <5oi) + (4) > (13.6)
т. е. при наложении некогерентных гармонических волн
интенсивности просто слагаются:
/ = /,+/2. (13.7)
Только что сказанное можно обобщить на произвольное число п
слагающихся некогерентных волн:
+ ... + /„ = £/«. (13.8)
13.2. Плоские волны. Случай когерентных волн. В этом
случае, для того чтобы слагающиеся волны были когерентными, надо,
чтобы разность их фаз была постоянна:
<р2 — <£i = const, (13.9)

174 Гл. II. Волны
что приводит к необходимости одинаковости частот слагающихся волн
шх =и2=ш, (13.9а)
т. е. мы должны рассмотреть сложение волн
5, =sQlcos(u>t-kx + a{) = s
s2 = s02 cos(u;t — кх + a2) = s cos (p
Тогда уравнение результирующей волны примет вид
s = sQcos(ut - кх + а), (13.11)
в котором амплитуда s0 и начальная фаза а определяются по формулам
= V 5
S02 + 2501502 COS(a2 - ai) '
sm sin ax + sm sin a0 (13.12)
tga = — — -.
501cosaj +302cosa2
Так же, как это мы делали выше (см. вывод (13.6) и (13.7)), можем
получить, что
(4) = «01 + 502 + 2*01*02cos(a2 - a,) = eg,
I = Ix +12 + 2A//1/2 cos(a2 - a^.
Мы пришли к интересному результату — интенсивность
результирующей волны, полученной в результате сложения когерентных
волн, отличается от суммы интенсив-
' Р ностей слагающихся волн на величину
2^/7^2 cos(a2-a1), (13.14)
которая может быть как положительна,
так и отрицательна, т.е. при сложении
когерентных волн мы можем получить
ослабленную волну!
13.3. Интерференция волн от двух
Рис. 13.1 когерентных источников. Рассмотрим
2 когерентных источника волн Sx и 52
(в случае некогерентных источников явления интерференции не будет),
создающих в точке наблюдения Р волны (см. рис. 13.1)
s2 = sQ2 cos(ut — кг2).
Здесь начальные фазы волн считаем одинаковыми и равными нулю:
ах =а2=0, (13.16)

13. Интерференция и дифракция волн 175
что не играет существенной роли. Мы рассматриваем изотропную
и однородную среду, поэтому волновые числа для обоих источников
одинаковы:
jfe, = k2 = k = — = — = -. (13.17)
vx v2 v
Считая, что в точке наблюдения Р, находящейся на расстоянии гх (г2)
от первого (второго) источника волн Sx (52), колебания происходят
в одном направлении, после аналогичных вышеприведенным
рассуждениям получим, что уравнение результирующей волны имеет вид
S == 5л COS\ Шt -|— Q;), (13.18)
где t
Го9 Г^ 7ГТТ
О ~* Y *01 ' *02 ' 01 02 UJbv/l*-v >
__ sox sin кгх + sQ2 sin kr2 (13.19)
501 cos krx + s02 cos kr2'
Здесь
Д = г2-Г! (13.20)
называется геометрической разностью хода волн, что понятно.
Так как волновое число к (13.17) и разность хода волн Д для данной
точки Р наблюдения постоянны, то аргумент косинуса &Д в (13.19)
также постоянен, т.е. амплитуда колебаний в фиксированной точке
наблюдения постоянна и может принимать, в зависимости от разности
хода волн, значения, лежащие в интервале от разности до суммы
амплитуд слагающихся волн:
Sq — LI 1 21 ~ V 1 * 2/J' \1О.Л11)
Таким образом, в результате наложения двух когерентных волн,
исходящих из источников Sx и 52, получаем интерференцию волн —
явление усиления или ослабления амплитуды результирующей волны
в разных точках (областях) среды.
Амплитуда з0 результирующей волны будет максимальна в тех
точках среды, в которых
„ ЛЧ 2тгД
cos(A; А) = cos —г— = 1,
А
т. е. в тех точках, для которых аргумент косинуса равен четному числу
(положительному или отрицательному) тг:
Поэтому можем сказать, что условием максимума результирующих
колебаний является равенство разности хода волн целому числу

176 Гл. II. Волны
длин волн (четному числу полуволн):
max: Д = ±т\ = ±2т^, т = 0,1,2,.... (13.22)
Аналогично амплитуда з0 результирующей волны будет
минимальна в тех точках среды, в которых
/7ЛЧ 2тгД .
сов(А;Д) = cos —г— = — 1,
А
т.е. в тех точках, для которых аргумент косинуса равен нечетному
числу тг:
Л А
^ -1)тг, т=1,2
Таким образом, условием минимума результирующих колебаний
является равенство разности хода волн полуцелому числу длин
волн (нечетному числу полуволн):
^-1)~, га=1,2,.... (13.23)
Целые неотрицательные числа га = 0,1,2,..., фигурирующие в
условиях максимума (13.22) и минимума (13.23), называются, соответственно,
порядком интерференционного максимума или минимума.
В точках максимума амплитуда результирующих колебаний равна
сумме амплитуд слагающихся волн
(13.24)
а в точках минимума — разности
(13.25)
В остальных точках среды, как это видно из (13.21), амплитуда
результирующих колебаний принимает промежуточные между минимальным
и максимальным значения.
Интенсивность колебаний определяется по формуле
/ = 1{ +12 + 2^/ЦГ2 cos ^. (13.26)
Л
Мы видим, что интенсивность результирующей волны равна сумме
интенсивностей слагающихся волн, как это ожидается с точки зрения
«здравого» смысла, только в тех точках среды, для которых
выполняется особое условие
2тг Д 2тгД ч тг Л
cos—г— = 0 =* —г—=±(2га-1)- =» Д = ±(2т-1)7.
Л Л 2. 4

13. Интерференция и дифракция волн 177
Таким образом, интенсивность результирующей волны равна сумме
интенсивностей слагающихся волн только в тех точках, для
которых разность хода волн равна нечетному числу четверти волн:
1 = 1{+12 при Д = ±(2т-1)~, т=1,2,.... (13.27)
В точках максимума и минимума интенсивности результирующей
волны могут быть вычислены по формулам
Особенно ярко явление интерференции наблюдается при сложении
волн одинаковых интенсивностей 1Х = /2. В этом случае в точках
максимума интенсивность волны учетверяется, а в точках минимума
волны полностью гасят друг друга:
/тах = 4/„ /min = 0. (13.29)
В заключение сделаем следующие выводы:
1. Вышеприведенные результаты, хотя они получены из
рассмотрения плоских волн, справедливы для любых волн. Например,
в случае сферических волн дополнительный множитель /(г) = 1/г
(см. (10.34) и (10.35)) никак не влияет на ход рассуждений, приведших
к полученным выше результатам.
2. В случае неодинаковости начальных фаз налагающихся волн,
т. е. когда уравнения волн имеют вид
зх = s0l cos(ut - kr{ + а,),
s2 = s02 c°sM " kr2 + а2),
условия интерференционного максимума (13.22) и минимума
(13.23) видоизменяются очевидным образом:
2тг
max: — Д + а, -а2 = ±2ттг, т = 0,1,2,... (13.31)
А
2тг
min: — Д + с*! - а2 = ±(2т- 1)тг, т= 1,2,.... (13.32)
Так как разность хода волн Д = г2 — rlt то эти условия (шах или min)
предполагают, что для совокупности точек среды, в которых
наблюдаются максимум или минимум определенного порядка т, выполняется
условие постоянства разности хода волн
Д = r2 — Tj = COnst,
представляющее собой уравнение гиперболы с фокусами в точках
расположения источников волн S{ и S2. Поэтому семейство гиперболоидов
вращения (см. рис. 13.2) представляет геометрическое место точек,
в которых наблюдаются интерференционные максимумы (сплошные

178
Гл. II Волны
линии) нулевого (т = 0), первого (т = 1) и т.д. порядков и
интерференционные минимумы (штрихованные линии) первого, второго и т. д.
порядков. Показанные на рис. 13.2 гиперболы представляют собой
сечения плоскостью чертежа гиперболоидов вращения максимальной
и минимальной амплитуд колебаний результирующей волны.
, max(m = 2)
min(m =
max(m =
___ min(m =
max(m =
min(m =
max(m =
min(m =
max(m = 2)
)
l)
1)
0)
1)
l)
Рис. 13.2
Исходя из результатов, полученных в предыдущей (12 «Принцип
суперпозиции») и в этой (13 «Интерференция и дифракция волн»)
главах, будет полезно еще раз сделать следующие заключения:
1. Когда в линейной среде (т.е. в среде, свойства которой не
зависят от происходящих в ней волновых процессов)
распространяются несколько волн, то выполняется ПС (принцип суперпозиции) —
результирующее колебание в любой точке среды представляет собой
геометрическую сумму колебаний, соответствующих каждой из
слагающихся волн.
2. Результатом сложения когерентных волн является
интерференция волн — некоторое постоянное во времени распределение ин-
тенсивностей результирующей волны с чередующимися максимумами
и минимумами.
3. Интенсивность результирующей волны при сложении 2
когерентных гармонических волн, направления колебаний которых
в каждой точке среды совпадают, определяется формулой
(13.33)
где (<р2 - <р{) — разность фаз между слагающимися волнами в точке
наблюдения. Условием максимума интенсивности (амплитуды)
результирующей волны является условие равенства разности фаз волн
в точке наблюдения четному числу тг:
max:
= tp2 ~~ ^1 = =Ь2штг, m = 0,1,2,
(13.34)

13. Интерференция и дифракция волн 179
В этом случае интенсивность и амплитуда результирующей волны
\fh) ' (13.35)
равны:
)
= 50
s0 = sOmax = 501 + 502'
Условием минимума интенсивности (амплитуды) результирующей
волны является условие равенства разности фаз волн в точке
наблюдения нечетному числу тг:
min: A(p = (p2-(pl =±(2m- 1)тг, m= 1,2,.... (13.36)
И тогда
I = 4iin = {уД~\ - y/h) ' (13.37)
13.4. Дифракция волн. В обыденной жизни многое указывает
на то, что волна не всегда распространяется прямолинейно.
Например, волны на поверхности воды, если на пути их распространения
лежит какая-то преграда, если размеры этой преграды сопоставимы
с длиной волны, не распространяются за преградой прямолинейно,
образуя геометрическую «тень», а огибают препятствие, и в
области геометрической «тени» мы также увидим распространение волн.
Мы можем слышать голос человека, шум мотора машин и т.д.,
находясь не в прямой видимости от источника звуковой волны —
человек или машина за домом — т.е. звук (звуковая волна)
огибает препятствие (дом) и может распространяться не прямолинейно.
Явление нарушения прямолинейного распространения волн называется
дифракцией (дифракцией волн). Это вы должны помнить из
школьного курса физики. Это явление характерно для любых волн, в том
числе и для электромагнитных (рассмотренные выше примеры с
волной на поверхности воды или звуком относятся к упругим волнам).
Таким образом, дифракцией называется совокупность явлений,
наблюдающихся при наличии на пути распространения волны
резких неоднородностей. Исследование дифракционных явлений
наиболее серьезно было начато в работах Х.Гюйгенса (17 век). Он
предположил, что свет (а свет — это электромагнитные волны определенного
диапазона длин волн (см. п. 16) распространяется от источника
подобно волне на поверхности воды и выдвинул идею, которая называется
принципом Гюйгенса: каждая точка на волновом фронте
является источником вторичных волн. Положение волнового фронта
в следующий момент времени определяется огибающей вторичных
волн (см. рис. 13.3). При этом считается, что в однородной изотропной
среде вторичные волны — сферические и излучаются только вперед.
Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом
построения волновых поверхностей, и он не является физическим
объяснением явления распространения световой волны (вообще любой

180
Гл. П. Волны
Огибающая (новый волновой
фронт в момент t+At)
Вторичные волны
Первичный волновой фронт
в момент t
Рис. 13.3
волны), хотя с его помощью можно объяснить такие явления, как
законы отражения и преломления света, распространение света от
точечного источника, распространение светового пучка, явление
огибания препятствий. Но он недостаточен для объяснения
дифракционных явлений, т. к. этот принцип не решает вопроса об амплитуде,
интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.
О.Френель (19 век) дополнил принцип Гюйгенса возможностью
того, что вторичные волны могут друг друга как усиливать, так и
ослаблять, т.е. он учел возможность интерференции волн, и принцип
Гюйгенса-Френеля утверждает, что
в любой точке Ру находящейся вне
любой, воображаемой поверхности,
волна, возбуждаемая любым
источником S, может быть представима как
результат наложения вторичных волн,
которые «излучаются»
элементарными воображаемыми «источниками»,
распределенными на этой
воображаемой поверхности (см. рис. 13.4). Так как
воображаемая поверхность может быть
любой, то в качестве этой поверхности а можно взять волновой фронт
падающей волны. Колебание, создаваемое в точке наблюдения Р
элементарным «источником света» do, находящимся на расстоянии г
от точки Ру может быть представлено в виде (см. (10.35)):
Рис. 13.4
ds =
^ cos(vt - кг + а0).
(13.38)
Здесь ut + а0 — фаза колебаний на поверхности о, к —
волновое число, sm — амплитуда колебаний в da, К(в) — коэффициент,
зависящий от угла в между волновым вектором к и направлением
от da до точки наблюдения, который должен быть максимальным при
в = 0 и минимальным при в = тг (К(тг) = 0). Тогда по принципу
Гюйгенса-Френеля результирующее колебание в точке Р может быть

13. Интерференция и дифракция волн
181
определено по формуле (интеграл Гюйгенса-Френеля):
sP = [ К (в)— cos(vt - kr + aQ) da,
(13.39)
где интегрирование производится по всей волновой поверхности а.
Таким образом, амплитуда колебаний в точке Р равна
алгебраической сумме амплитуд колебаний, приходящих в эту точку от
всех элементов da выбранной волновой поверхности а. Это есть
не что иное, как следствие принципа суперпозиции, рассмотренного
нами в § 12.
Если источник волн S испускает сферические волны, то мы
можем воспользоваться сферической симметрией и в качестве волновой
поверхности а взять сферическую поверхность любого радиуса R
(см. рис. 13.5).
Рис. 13.5
Тогда волна в любой точке этой сферической поверхности
определяется выражением
и по принципу Гюйгенса-Френеля волна в точке наблюдения Р может
быть определена формулой
o—ikr _
'da. (13.41)
= [
J
da = \к{в)Щ-
) R
В качестве элементарной площадки da естественно выбрать тонкое
кольцо (см. штрихованное кольцо на рисунке), тогда из (13.41) полу-
(13.42)
Зависимость коэффициента К(в) от угла ^ принцип Гюйгенса-Френеля
не определяет. Строгое математическое исследование Г. Кирхгофа,

182 Гл. //. Волны
основанное на широко известной в высшей математике теореме Грина,
позволило определить эту зависимость:
tf(0) = i£(l+coe0). (13.43)
4тг
А мы можем лишь удостовериться в справедливости этой зависимости
из таких соображений. Рассмотрим 2 крайних частных случая: 0 = 0
и в = тг. Из (13.43) получаем, что
*Г(0) = ^, ВД=0. (13.44)
Мы уже говорили о том, что для угла в = тг коэффициент К минимален
и равен нулю, что соответствует принципу Гюйгенса — излучению
вторичных волн только вперед, из-за чего от элементарной
площадки da, находящейся на волновом фронте с угловой координатой в = тг,
вторичное излучение в точку наблюдения Р не попадает. Значение
коэффициента К при в = 0 можно получить следующим образом.
Рассматривая точку наблюдения Р на большом расстоянии от источника
волн S и беря в качестве волнового фронта а небольшую сферическую
поверхность, т.е. считая, что
г>Л => гъг0, fcr»l, 0«O,
и сравнивая sP, полученную из (13.42), с волной
= £meiM-*r)
г
идущей от источника S непосредственно, можно показать, что
действительно , . .,
Мнимый множитель ^
г = е 2
говорит о том, что фазы вторичных волн, излучаемых волновым
фронтом а, должны отличаться на тг/2 от фазы первичной волны (13.40).
На основе принципа Гюйгенса-Френеля можно рассмотреть много
различных задач дифракции и разработать более точные методики
исследования дифракции волн. В курсе общей физики с этим более
подробно вы познакомитесь в разделе «Оптика». Здесь эти вопросы мы
рассматривать не будем.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 13.1. Два когерентных источника испускают
гармонические волны с одинаковой начальной фазой и частотой 200 Гц. Считая,
что скорость распространения волн в среде одинакова и равна 400 м/с,
определить:
1. Разность хода волн, при которых наблюдаются
интерференционные максимумы нулевого, первого и второго порядков.

13. Интерференция и дифракция волн
183
2. Разность хода волн, при которых наблюдаются
интерференционные минимумы первого и второго порядков.
Пользуемся условиями максимума и минимума (13.22) и (13.23)
результирующих колебаний:
max: Д = г2 — rx = ±mA, m = 0,1,2,...,
min: Д = г2-г{ =±(2т- 1)~, га = 1,2,...,
где г{ (г2) — расстояние от первого (второго) источника волн до точки
наблюдения.
Длина волны
Поэтому в точках, для которых разности хода слагающихся волн равны
До = О, Д1 = 2 м и Д2 = 4 м,
будем наблюдать соответственно интерференционные максимумы
нулевого, первого и второго порядков. А в точках, для котррых эти разности
хода волн равны
А\ = 1 м и Д'2 = 3 м,
будут интерференционные минимумы первого и второго порядков.
Пример 13.2. Два
когерентных источника волн Sx и S2
расположены на расстоянии d = 2 м
и испускают волны одинаковых
частот vx = v2 = v,
распространяющихся с одинаковой скоростью
vx = v2 = v = 300 м/с. В
точке Р, находящейся на
расстоянии х — 2 м от оси
симметрии 00', наблюдается интерфе-
ренционный максимум первого
порядка. Определить частоту излучаемых волн. Расстояние / = 6 м
(см. рис. 13.6).
Условие интерференционного максимума 1-го порядка
О d
рис 13.6
- г. = А.
Поэтому искомая частота
г2 -

184 Гл. II. Волны
Расстояния гх и г2 от источников волн Sx и S2 до точки наблюдения Р
определяются по теореме Пифагора из треугольников S{PB и S2PA:
r\ =
Поэтому рабочая формула для определения искомой величины
принимает вид: v
и =
Подставив численные значения, получаем
300 м/с 300 .„ г
v = , . =г- « —-——-- » 476 Гц.
(л/35->/37) 6,71-6,08
Пример 13.3. Для условий предыдущей задачи, считая, что
интенсивности волн, излучаемых источниками Sx и 52, одинаковы (1{ = /2 =
= /) и нет поглощения волн, определить интенсивность
результирующей волны в той точке, для которой разность хода лучей Д = 10,5 см.
По формуле (13.26) искомая величина, т.е. интенсивность
результирующей волны
'рез = 1Х+12 + 2у/Щ COS^ = 21
Длину волны излучаемых волн определяем из условий предыдущей
задачи ЛЛЛ
А=Н = 30ОмА м
v 476 с"1
Тогда
т.е. интенсивность результирующей волны в наблюдаемой точке
в 1,5 раза больше формальной суммы интенсивностей слагаемых волн,
равной 21.
§ 14. Стоячие волны
14.1. Стоячие волны. Частным, но важным случаем
интерференции волн являются стоячие волны. Стоячие волны получаются при
наложении двух встречных волн с одинаковыми частотами и
амплитудами.

14. Стоячие волны 185
Рассмотрим 2 плоские гармонические волны, распространяющиеся
вдоль и против оси х:
8Х = sQcos{vt-kx + a{))
;£ + кх + а2).
Результирующая волна
s = 5j + 52 = 2s0 cos (кх Н—^—L J cos (ut ——- J =
(14.2)
Таким образом, частицы среды, в которой наблюдается волновой
процесс, получающийся в результате сложения 2 плоских гармонических
волн, распространяющихся в противоположных направлениях,
представляют собой гармонические осцилляторы, колеблющиеся по
гармоническому закону с амплитудой
( ^^)| (14.3)
Получающийся волновой процесс, описываемый уравнением (14.2),
называется стоячей волной.
Начало отсчета времени всегда можно выбрать так, чтобы
начальная фаза распространяющейся вдоль оси х волны была равна нулю,
тогда
ах = 0, а2 — а (14.4)
и вместо (14.1) уравнения противоположно направленных волн
примут вид
в, =8Qcos(wt-kx),
s2 = s0 cos(ut + кх + a),
а результирующая стоячая волна
8 = А(х)сов(иЛ-^\ (14.6)
где
А(х) = 2s0cos (кх + |) = 2s0cos ( ух + | V (14.7)
Из (14.6) и (14.7) мы можем сделать первый вывод:
1. Стоячая волна является модой (гармоникой) колебаний
среды, соответствующей частоте и? налагающихся волн. Амплитуда
стоячих волн (амплитуда колебаний частиц среды с
координатой х) равна
\А(х)\ =
cos ^x+S . (14.8)

186 Гл. II. Волны
Из (14.8) видно, что вследствие того что модуль косинуса
принимает значения от нуля до единицы, амплитуда колебаний частиц среды
меняется в пределах от 0 до 2s0:
А{х)е[0,2з0]. (14.9)
Амплитуды колебаний будут максимальны там, где выполняется
условие о
уя + ! = ±ттг, т = 0,1,2,..., (14.10)
т. е. частицы среды с координатами
|), т = 0,1,2,... (14.11)
будут совершать колебания с максимальной амплитудой, равной
Amax = 2s0. (14.12)
Эти точки, в которых колебания частиц среды происходят с
максимальной амплитудой, называются пучностями стоячей волны. Отсюда
следует второй вывод:
2. В пучностях стоячей волны колебания среды происходят
с максимальной амплитудой, определяемой по формуле (14.12).
Координаты пучностей определяются формулой (14.11).
Амплитуды колебаний будут равны нулю в точках с
координатами х, в которых выполняется условие
y| )|, m = 0,1,2,..., (14.13)
т. е. частицы среды с координатами
y m = O,l,2,... (14.14)
будут находиться в состоянии покоя. Такие точки, в которых частицы
среды постоянно находятся в состоянии покоя, называются узлами
стоячей волны. Мы можем сделать третий вывод:
3. В узлах стоячей волны, координаты которых определяются
формулой (14.14), частицы среды не совершают никаких
колебаний.
На рис. 14.1 показаны «моментальные снимки» смещений частиц
среды в случае поперечной (для наглядности) стоячей волны в разные
моменты времени. Начальный момент времени t0 и система координат,
т.е. начало оси ж, на рис. 14.1 выбраны так, что
cos (utQ - ~) = 0,
и поэтому начало оси х совпадает с одним из узлов стоячей волны. Узлы
стоячей волны на рисунке отмечены жирными точками.
Величина А(х), модуль которой представляет амплитуду колебаний частиц

14. Стоячие волны
187
Рис. 14.1
среды (см. (14.7) и (14.8)), имеет противоположные знаки по разные
стороны от узла стоячей волны. Другими словами, частицы среды,
находящиеся по разные стороны от узла, совершают колебания в про-
тивофазе. Это схематически показано на рисунке для момента времени
* = *о + т на Участке х € [О, А] символическими стрелками,
показывающими направление движений частиц среды в следующий момент
времени t0 + -j + dt. Из этих соображений можем сделать и четвертый
вывод:
4. Частицы среды, находящиеся между соседними узлами,
совершают колебания в одинаковой фазе
(14.15)
а частицы среды, находящиеся в областях, разделенных узлами
(например, в областях Л и В на рис. 14.1), совершают колебания
в противофазе, т.е. при переходе через узел фаза колебаний
изменяется скачкообразно на тг:
(14.16)
Это понятно и из уравнения стоячей волны (14.6), (14.7), т.к. при
переходе через узел величина А(х) меняет свой знак.

188 Гл. II. Волны
Таким образом, узлы стоячих волн обладают специфическим
свойством — они разделяют среду на области (например, А и В на
рис. 14.1), в которых колебания частиц среды происходят независимо
и в противофазе.
Определим расстояние между соседними узлами, что может быть
сделано с помощью координат соседних узлов (см. (14.14)):
А
2'
Аналогично может быть определено и расстояние между соседними
пучностями (см. (14.11)):
Аху [(га + 1), (га)] = ху(т + 1) - ху(т) = -.
Ахп [(га + 1), (га)] = хп(т + 1) - хп(т) = ^
т.е. эти расстояния одинаковы, о чем нетрудно и догадаться.
Расстояние Ас между соседними узлами (или соседними пучностями), равное
половине длины волны противоположно направленных волн
_ А
Лс~2'
в результате наложения которых получается стоячая волна, называется
длиной стоячей волны.
Волна обычно переносит энергию. Плотность потока энергии,
переносимой волной, равна (см. (11.6))
j = wv,
где v — фазовая скорость, которая для стоячей волны равна нулю,
т.к. (см. (14.15)) фаза колебаний одинакова для всех частиц среды,
находящихся между соседними узлами, и о фазовой скорости не может
быть никакой речи. Поэтому стоячая волна энергию не переносит,
т. е. плотность потока энергии стоячей волны равна нулю:
Это понятно, т. к. в случае отсутствия поглощения, что мы и
рассматриваем, противоположно направленные волны с одинаковыми
амплитудами и частотами несут одинаковую энергию в противоположных
направлениях, т.е. в итоге энергия не переносится. Поэтому кратко
пятый вывод:
5. Стоячая волна энергию не переносит. Но происходят
непрерывные превращения одного вида энергии в другой и обратно.
Рассмотрим производные по времени t и координате х от смещения s ((14.6),
(14.7)) частицы:
ds . о /2тг а\ . / а\
ш=* = -2Sou,cos {jX + - J sm (utf --)= г,кол, ^ ^
~дх =£ =

14. Стоячие волны 189
Здесь s — скорость колебаний частиц среды (см. (11.48)),
определяющая кинетическую энергию среды, а е = jp (см. (11.51)) —
относительная деформация среды, ответственная за потенциальную энергию
среды. Мы видим, что когда скорость vK0Jl колебаний частиц среды
максимальна (т.е. кинетическая энергия максимальна), деформация е
минимальна и равна нулю (т.е. потенциальная энергия равна нулю)
и наоборот. Так как когда смещение s и деформация е достигают
максимальных значений, скорость г;кол колебаний частиц равна нулю
и наоборот, то есть происходит непрерывное превращение
потенциальной энергии среды в кинетическую.
Необходимо подчеркнуть следующее. Хотя в вышеприведенных
выводах часто фигурируют термины «колебания среды», «колебания частиц
среды», «частицы среды не совершают колебаний», «частицы среды,
находящиеся между соседними узлами» и другие, которые как бы
ограничивают применение этих выводов только для упругих волн,
распространяющихся в среде, все пять выводов, сделанных выше,
справедливы для любых типов волн — упругих, электромагнитных,
поперечных, продольных.
14.2. Стоячие волны в струне (стержне)
А. Рассмотрим случай струны или стержня с закрепленными
концами. В этом случае в результате наложения бегущей в одном
направлении волны длиной волны А с отраженной может возникнуть
стоячая волна. При этом в закрепленных концах будут узлы стоячей
волны. Поэтому по всей длине I струны (стержня) при установившейся
стоячей волне должно уложиться целое число длины Ас стоячей волны
(целое число полуволн):
/ = пАс = п^, п= 1,2,.... (14.18)
Отсюда находим формулы для определения возможных значений длин
волн, при которых возможно установление стоячих волн:
Ап = ~, п=1,2,..., (14.19)
п
или возможных значений частот:
Частоты z/n, как мы помним из гл. I, называются собственными
частотами среды (струны, стержня). Колебания с частотой

190 Гл. II. Волны
называются основными, а с кратными частотами
un = ™\ = Yln' п = 2>3'"
— обертонами (гармониками, модами). Вообще в среде (струне,
стержне) по принципу суперпозиции возможны любые
колебания, представляющие собой наложение (суперпозицию)
различных гармоник.
Б. Рассмотрим случай с одним закрепленным концом. На этот
раз при установившихся стоячих волнах свободный конец стержня
будет пучностью стоячей волны, поэтому по всей длине стержня может
уложиться нечетное число полуволн Ас стоячей волны, т.е. нечетное
число четверти длин волн
J = (2n+l)^ = (2n+l)£. (14.23)
Отсюда находим формулы для длин волн Ап или частот vn
гармоник (14.19):
\ _ 4/ _ v _ 2п+1 v _ 1 о
В только что рассмотренных случаях струн (стержней, ...) с
закрепленными концами или с одним закрепленным концом мы заметили
одну особенность — в закрепленных концах обязательно
образуется узел стоячей волны, а в свободном конце — пучность стоячей
волны. Это позволяет сделать еще один важный вывод. Так как
обратную волну (отраженную от конца струны, стержня, ...) можно
рассматривать как продолжение бегущей волны, но в обратном направлении,
то, благодаря 4-му выводу, мы можем утверждать, что (шестой вывод):
6. При отражении от более плотной среды отраженная волна
меняет фазу на противоположную (фаза скачкообразно меняется
на тг), а при отражении волны от менее плотной среды изменения
фазы не происходит. Понятия «более или менее плотная среда»
связаны с большей или меньшей сопротивляемостью к деформациям.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 14.1. Один конец упругого стержня подвергается
гармоническим деформациям по закону s = s0cosutf, а другой конец жестко
закреплен. Определить результирующие колебания стержня.
Из-за того, что второй конец стержня жестко закреплен, в нем
будет находиться узел стоячей волны, образовавшейся в результате
наложения бегущей и отраженной волн, т.е. в точке отражения
отраженная волна скачкообразно меняет фазу на тг. Поэтому если ось х
направить вдоль недеформированного стержня, совместив начало оси
с источником гармонических колебаний, уравнения бегущей и
отраженной волн примут вид:
sl = s0cos(ujt — kx),
s2 = s0 cos(ut + kx + тг).

14. Стоячие волны 191
Если сравнить эти уравнения с (14.5), то видим, что а = тг и уравнение
стоячей волны (см. (14.6), (14.7)) имеет вид
s = s{ + s2 = 2s0cos (кх -f —) cos (ujt — — J = 2s0cosA;£sinc(;£.
По формулам (14.11) и (14.14) находим положения пучностей и узлов:
ху = ±m—, m = 0,1,2,
Аналогично можно решить задачу с одним свободным концом, но в этом
случае при отражении волны от свободного конца изменения фазы не
произойдет.
Пример 14.2, Генератор электромагнитных волн излучает
электромагнитные волны, которые, отражаясь, образуют стоячие волны.
Экспериментатор определил расстояние I = 10 см между соседними
точками, в которых наблюдается максимальная интенсивность
электромагнитных волн. Определить частоту излучения генератора.
Для электромагнитной волны частота
где с — скорость света (электромагнитной волны) в вакууме. В задаче
не сказано, в какой среде излучается электромагнитная волна, обычно
это воздух, а для воздуха скорость распространения электромагнитной
волны практически равна с, т. к.
где показатель преломления воздуха п = 1,00029. Расстояние между
соседними пучностями (а именно в них интенсивности
электромагнитных волн будут максимальны) равно половине длины волны
электромагнитного излучения
Поэтому искомая величина
Пример 14.3. При трении стержень с закрепленными концами
издает звук, основную частоту которого экспериментатору удалось
измерить: vx = 650 Гц. Длина стержня I = 1 м. Определить скорость
звука v3B в стержне и частоты обертонов звука, издаваемого стержнем.

192 Гл. II. Волны
Скорость звука
t>3B = v\ = vx\x =ux-2l= 1300 Гц = 1,3 кГц.
Здесь мы учли, что для основного тона по длине стержня укладывается
одна полуволна (см. (14.19), где п = 1):
А, = 21.
Частоты обертонов кратны основной частоте (см. (14.22)), т.е.
ь/п—пих=пЛ,Ъ кГц, п = 2,3,....
Пример 14.4. В однородной среде с плотностью р установилась
продольная стоячая волна £ = f0cosfcEcosutf. Найти выражения для
объемной плотности потенциальной wn и кинетической wK энергий
среды. Определить среднее значение объемной плотности w энергии.
Формулы (11.47) и (11.49) в нашем случае могут быть переписаны
в виде
"п 2\дх
ГДе dA = i =
— скорость колебаний частиц среды, а
= £ = —i
— относительная деформация среды. Если учесть, что волновое число
к = — и модуль Юнга Е = pv2 (см. (11.26)), то
»s2 kx sin2 (jjty
d2 2
wn = ^|— sin2 kx cos2 art.
Среднее во времени значение полной энергии
(«;> = К + «;„) = К) + («;„) = ^ = 2 К) = 2 («;„>.
При этом мы воспользовались тем, что средние значения квадрата
косинуса или синуса равны 1/2 и сумма квадратов синуса и косинуса
одинаковых аргументов равна 1.
Пример 14.5. Определить число N продольных собственных
колебаний стержня длиной / в диапазоне частот от их до и2, если один
конец стержня свободен, а другой жестко закреплен. Модуль Юнга Е
и плотность р стержня известны.

14. Стоячие волны 193
По всей длине стержня (т. к. в закрепленном конце стержня должен
быть узел стоячей волны, а на свободном конце — пучность) должно
уложиться целое число полуволн и еще четверть волны (см. (14.23))
(т.е. нечетное число четверти волн):
Длина волны
«I 1 /ff?
(**)
Здесь мы воспользовались формулой (11.26) для скорости продольных
волн в твердых телах. Подставив (**) в (*), получим формулу для п:
Тогда искомое число N продольных собственных колебаний стержня
(число обертонов) в интервале частот от vx до и2 равно:
n = к -n,]= [a^lfa -»>,)].

где [ ] означает, что необходимо взять целую часть от указанной
величины.
Пример 14,6. На струне длиной I = 120 см образовалась стоячая
волна, причем все точки струны с амплитудой смещения s01 = 3,5 мм
отстоят друг от друга на расстоянии Д/ = 15,0 см. Найти
максимальную амплитуду смещения. Какому обертону соответствуют эти
колебания?
Так как по всей длине волны А (по всей удвоенной длине Ас
стоячей волны) всегда можно найти 4 точки с одинаковыми амплитудами
смещений и т. к. по условию задачи расстояния между ними одинаковы
и равны А/, то длина волны
А = Ш = 60 см,
и по всей длине струны укладываются 2 длины волны — поэтому
это будет 3-й обертон (при основном тоне вдоль струны укладывается
1 полуволна, при первом обертоне — 2 полуволны, при втором — 3
и т.д.).
Считая, что уравнение стоячей волны имеет вид (начальную фазу
и ось х подбираем мы сами):
о • 27Г • .
s = 2s0 sin —x smut,
Л

194 Гл. II Волны
и зная, что расстояние от определенного узла (например, точки х = 0)
до ближайшей точки, которая колеблется с известной амплитудой s01,
равно А/8, можно написать равенство
2s0sin( — • - ) =s01,
т. е. максимальная амплитуда смещения равна
=5 см.
§ 15. Эффект Доплера (ЭД)
Изменение измеряемой частоты волн при движении источника
и (или) приемника волн называется эффектом Доплера (ЭД).
При сближении источника и приемника наблюдается повышение
частоты, а при удалении — понижение.
Надо сразу заметить, что есть два существенно отличающихся
механизма проявления эффекта Доплера. Это, во-первых, случай
упругих волн, а во-вторых, электромагнитные волны. Рассмотрим их
отдельно.
15.1. Эффект Доплера в случае сплошной среды. Пусть
источник волн 5 испускает упругие волны, т.е. распространяет
определенные возмущения в какой-то среде — газообразной, жидкой или
твердой, а приемник Р их регистрирует. Источник и приемник волн
могут покоиться или двигаться в произвольных направлениях и ЭД
можно рассмотреть в любом общем случае с помощью преобразований
Галилея (переход от системы отсчета, связанной с источником волн 5,
к системе отсчета, связанной с приемником волн Р). Но для большей
наглядности рассмотрим частные случаи — перейдем от простых
частных случаев к общему.
А. Допустим, что источник волн S движется в сторону
неподвижного приемника волн Р со скоростью vs относительно среды
(см. рис. 15.1, а). Будем считать, что неподвижный источник волн
испускает волны со скоростью v относительно среды. Так как
скорость распространения волн зависит лишь от свойств среды, то волна
за время Г, равное периоду колебаний источника, пройдет расстояние,
равное г/Г. Но за то же время источник волн пройдет расстояние vsT
в сторону приемника и, таким образом, расстояние между 2
последовательными возмущениями, т.е. длина волны АР, воспринимаемая
приемником Р, уменьшится на vsT\ у
XP = vT- vsT = (v- vs) —. (15.1)

15. Эффект Доплера (ЭД)
195
Vp
Dp
Рис. 15.1
Таким образом, т. к. расстояние между последующими
возмущениями среды уменьшается, происходит «уплотнение» возмущений.
Частота vs волны, регистрируемая приемником, увеличивается в
V —
v
V
v — •
раз:
s
(15.2)
Б. Допустим (см. рис. 15.1,6), что источник волн S движется под
углом в3 относительно направленной прямой (оси ж), соединяющей
приемник волн Р с источником волн 5, со скоростью vs. В этом
случае после аналогичных случаю А рассуждений (но на этот раз
вклад в изменение воспринимаемой приемником частоты вносит лишь
составляющая скорости волны вдоль оси х) имеем
V V
= vs—; • (15.3)
В. Допустим (см. рис. 15.1, в), что приемник волн Р движется
в сторону неподвижного источника волн S со скоростью vP. В этом
случае приемник Р воспринимает волну, налетающую на него со
скоростью v + vs (при этом из-за неподвижности источника волн длина
испускаемой волны не меняется). Поэтому частота ир волны,
воспринимаемая приемником Р, увеличивается в Vp раз:
V + Vp
V
V
Vp
(15.4)

196 Гл. II. Волны
Г. Допустим (см. рис. 15.1, г), что приемник волн Р движется под
углом вР относительно оси х со скоростью vP. В этом случае
(15.5)
Д. Допустим (см. рис. 15.1,(9), что и источник и приемник волн
могут двигаться со скоростями vs и vP в любых направлениях
(соответственно, под углами 6S и вР относительно оси х). Тогда частота vP
волны, воспринимаемая приемником, может быть вычислена по
формуле
v + VpCosQp v + vPx /1ССЧ
иР = Vo - ~- — vo —, (15.6)
представляющей собой обобщение формул (15.3) и (15.5)
Формула (15.6) качественно отражает ЭД: частота ир волны,
воспринимаемая приемником волн, изменяется в К раз, где
^±^. (15.7)
Здесь v — скорость волны относительно среды, vSx (vPx) — проекция
скорости источника (приемника) волн относительно среды на ось х}
причем приемник волн Р принят в качестве системы отсчета
(наблюдатель находится у приемника волн, т.е. ось х направлена от
приемника к источнику волн). Конечно, мы в качестве системы отсчета
могли выбрать источник волн 5 (это позволяет принцип
относительности Галилея), в этом случае ось х должна быть направлена от
источника 5 к приемнику Р и в формуле (15.6) или (15.7) в числителе
и знаменателе вместо знаков «плюс» должны быть знаки «минус».
Но от этого конечный эффект, т. е. значение коэффициента К, не
изменится.
Важно заметить, что коэффициент К может быть больше или
меньше единицы или равен единице:
Kl =1,
если vPx < vSx,
если vPx=vSxf (15.8)
если vPx > vSx.
Из (15.8) видно, что
1. Если источник и приемник волн удаляются друг от
друга, то воспринимаемая приемником частота волн уменьшается
по сравнению с частотой испускаемых источником волн.
2. Если расстояние между источником и приемником волн
остается неизменным, то воспринимаемая приемником частота
волн также остается неизменной.

15. Эффект Доплера (ЭД) Н)7
3. Если источник и приемник волн приближаются друг к
другу, то воспринимаемая приемником частота волн увеличивается
по сравнению с частотой испускаемых источником волн.
Это и есть эффект Доплера.
Еще раз подчеркнем, что скорости v1 vs и vp, введенные до сих
пор, являются скоростями волны, источника и приемника волн
относительно среды, в которой распространяется испущенная волна.
Введем скорость V источника волн относительно приемника, т. е.
V = vs-vP. (15.9)
Проекция относительной скорости V источника на ось х выбранной
выше системы отсчета равна
Vx = Усовв = u5cos0s - Урсоввр, (15.10)
где в — угол между V и осью х. Перепишем (15.6) в следующем виде:
V b
Можем воспользоваться разложением в степенной ряд (ряд Тейлора)
величины
Тогда
t=o
Обычно скорость vs источника меньше скорости v волны, и ряд
в (15.11) достаточно оборвать на каком-то члене, в зависимости от
необходимой точности определения частоты. Очень часто встречается
случай, когда скорость источника значительно меньше скорости волны
и в этом случае достаточно оставить первый член в ряде,
соответствующий г = 0:
V \
COS0J, vs<v. (15.12)
Здесь V — скорость источника волн относительно приемника, v —
скорость волны относительно среды, а 9 — угол между V и осью х
(радиус-вектор источника относительно приемника волн).

198 Гл. //. Волны
Требует внимания и такой случай, когда скорости ъ3 и \>Р
источника и приемника волн непостоянны, т. е. они зависят от времени:
\>s='os(t)y vP=\>p(t)t (15.13)
и в общем случае могут меняться не только величины, но и
направления скоростей. Так как скорость волны v конечна (не бесконечно
велика), то волна, испущенная источником в какой-то момент времени,
достигнет приемника через определенный промежуток времени Д£,
необходимый для преодоления волной расстояния от источника до
приемника. Таким образом, в этом случае формулу (15.6),
отражающую ЭД, лучше переписать с указанием моментов времени:
t = t+At> (15Л4)
где tf — момент испускания источником волны, которая достигнет
приемника в момент времени t.
Рассмотрим еще раз случай подвижного источника волн при
неподвижном относительно среды приемнике. Если считать, что
источник волн движется перпендикулярно направлению, соединяющему его
с приемником волн, то получим, что эффекта Доплера не будет,
т.е. (см. (15.6))
vP=0, 0s = J => vP = vs- (15.15)
Такой же результат (отсутствие ЭД) будет и в случае подвижного
приемника при выполнении условия перпендикулярности
относительной скорости V источника волн к направлению, соединяющему его
с приемником (см. (15.11)):
в=- => uP = i/s, (15.15а)
Таким образом, в случае упругих волн отсутствует
поперечный ЭД, т.е. при поперечном относительно приемника движении
источника волн частота волн, воспринимаемая приемником, совпадает
с частотой испускаемых волн. Как видно из (15.6) или (15.11), в
случае упругих волн наблюдается лишь продольный ЭД, эффект,
получающийся вследствие сближения (удаления) источника и приемника
волн друг к другу (друг от друга).
В заключение этого параграфа мы можем утверждать, обобщая
сказанное после (15.1), что при сближении (удалении) источника
и приемника волн происходит «уплотнение» («разрежение»)
возмущений среды, что в сочетании с ЗСС (законом сложения
скоростей) приводит к ЭД (продольному ЭД) — увеличению
(уменьшению) частоты волны, воспринимаемой приемником.
15.2. Эффект Доплера в случае электромагнитных волн.
ЭД в случае электромагнитных волн должен быть рассмотрен только

15. Эффект Доплера (ЭД)
199
с точки зрения специальной теории относительности Эйнштейна.
Допустим (см. рис. 15.2), что источник S электромагнитных волн
удаляется от приемника Р со
скоростью vs. Системы отсчета (СО) выберем
стандартно: приемник Р жестко свяжем
с СО К, а источник волн 5 — с К',
движущейся относительно К со
скоростью \)s вдоль оси х ,(оси х и х*
совмещены, а оси г/, z и у'\ z1 соответственно
Рис. 15.2
параллельны). Мы знаем, что в релятивистском случае (т.е. когда
скорости приближаются к скорости света в вакууме) справедливы
преобразования Лоренца между пространственными и временными
координатами в разных системах отсчета К и К'\
х -Vt
yf = y,
t 2
= г,
t1 =
или
(15.16)
X =
х1 + Vt1
(15.17)
где с — скорость света в вакууме, а V — скорость СО К1
относительно СО К.
Пусть источник S излучает электромагнитные волны с циклической
частотой us (частотой vs) в сторону приемника Р:
Мы записали уравнение волны для напряженности Е электрического
поля. Аналогично можно было записать и вектор Н напряженности
магнитного поля электромагнитной волны. Перейдем к наблюдателю —
к приемнику Р волн, т. е. в СО К с помощью преобразований
Лоренца (15.16):
= E0cos
<-
7х |/с/ *-"st
= Ео cos (u)Pt + kx). (**)
Последнее равенство мы записали, используя принцип
относительности Эйнштейна — уравнения электромагнитной волны инвариантны

200
Гл. II. Волны
относительно преобразований Лоренца, т. е. их вид должен быть
одинаковым в обеих СО К и К1. Из (**) получаем, что
Здесь мы воспользовались тем, что для электромагнитных волн
волновое число к1 = —. Умножив и разделив (15.18) на
формулу (15.18) можно преобразовать к другому виду:
Uq
(удаление),
(15.18а)
где коэффициент
i + sa
С __
\
1 -
> 1.
(15.19)
Мы получили продольный ЭД — при удалении источника
электромагнитных волн от приемника со скоростью vs частота волн,
воспринимаемых приемником, уменьшается в rj раз.
Очевидно, что в противном случае — в случае приближения
источника волн к приемнику с той же скоростью, — частота о>р
волн, регистрируемая приемником, увеличивается во столько же
раз (в г) раз):
иР = r)us > us (приближение). (15.186)
Продольный ЭД можно получить и из других соображений.
Рассмотрим случай удаления источника от приемника со скоростью vs.
Если частота электромагнитных волн, испускаемых источником, vs,
то период колебаний электромагнитных волн в СО К1 равен Ts = l/z/5.
Но из-за известного в специальной теории относительности эффекта
замедления времени период ТР в СО наблюдателя (приемника,
т. е. в СО К) увеличится:
tp —

15. Эффект Доплера (ЭД) 2Ш
Длина волны АР в СО К увеличится за счет того, что за один период
времени источник 5 удалится еще на расстояние vsT:
Таким образом, циклическая частота иР электромагнитных волн,
воспринимаемых приемником,
2
(15.20)
т.е. мы опять получили (15.18). Оба выражения здесь совершенно
тождественны.
Сравнивая полученные здесь результаты ЭД для электромагнитных
волн, мы видим, что в этом случае, кроме таких явлений, как
«уплотнение» или «разряжение» волн, связанных с изменением
расстояния между источником и приемником волн вследствие их
относительного движения, возникает дополнительная причина
появления ЭД — эффект замедления времени. Эффект замедления
времени проявляется в виде общеизвестного корня квадратного
0=?jL. (15.21)
В случае упругих волн
и формулы (15.18), (15.18а), (15.186) и (15.20) переходят в формулы,
описывающие продольный ЭД для упругих волн, как и должно быть.
Рассмотрим более общий случай. Допустим, что источник S
движется под произвольным углом 0s по отношению к его радиусу-
вектору R относительно приемника Р (см. рис. 15.1,д), т.е. угол
05 = (t>5AR). (15.22)
Тогда в частной формуле (15.20) фактор yl-^f, определяющий
эффект замедления времени, остается неизменным, т. к. он
определяется величиной скорости vs источника S относительно приемника Р,
а фактор f 1 + —), определяющий эффект «разрежения» волн в случае
удаления источника от приемника, заменяется на аналогичное выра-

202 Гл. II Волны
жение, только вместо vs надо брать проекцию скорости \>5 на радиус-
вектор R источника:
Таким образом, в общем случае ЭД электромагнитных волн
описывается формулой (записываем для частоты и)
1 + — cos в3
(15-23)
В случае, когда источник волн S движется перпендикулярно линии
наблюдения (радиусу-вектору R)
т. е. в случае электромагнитных волн, в отличие от упругих волн,
наблюдается поперечный ЭД — наблюдаемая частота меньше
частоты испускаемых волн. Ясно (множитель у/1 -/З2!), что поперечный
ЭД проявляется вследствие эффекта замедления времени, т. е. является
чисто релятивистским эффектом. Надо заметить, что поперечный ЭД
квадратичен относительно /3 = vs/cy в отличие от продольного ЭД,
который линеен по /3 (см. две последние формулы), поэтому
поперечный ЭД проявляется значительно слабее продольного. Например,
если бы источником электромагнитных волн служил спутник Земли,
то даже для него
,-5 /э2_ /^спутнУ ^ 1Л_9
(3 = ^пи „ з. кг5, /?2 = (}!ши)« ю-
с \ с /
и несложно понять только что сказанное и ясно, что поперечный ЭД
становится более ощутимым для релятивистских скоростей vs —> с.
В нерелятивистском случае, когда скорость источника волн
значительно меньше скорости света в вакууме,
С "/ С
и формула (15.23) перейдет в более упрощенную
(15.25)
Видно, что в этом случае релятивистский эффект, зависящий от (vs/c)2,
существенно перекрывается значительно ббльшим нерелятивистским
эффектом, зависящим линейно от vs/c и возникающим вследствие
«разрежения» («сгущения») волн как результат относительного
движения источника и приемника волн. Последнее выражение (крайнее

15. Эффект Доплера (ЭД) 203
справа) дает частоту vPi регистрируемую приемником, при полном
пренебрежении релятивистским эффектом от движения источника
волн, что часто оправдано. Из него можно получить формулы для
относительных изменений частоты и длины волн, регистрируемых
неподвижных приемником от движущегося источника волн. Из (15.25)
сразу находим, что относительное изменение частоты
с
А из того, что
следует, что относительное изменение длины волны равно
относительному изменению частоты с противоположным знаком, т. е.
^ ^ H (15.27)
А5 vs с
Выводы:
1. ЭД для упругих волн описывается формулой (15.6):
V
Г~-.
s cos 6S
2. В случае упругих волн поперечный ЭД отсутствует.
3. ЭД для электромагнитных волн описывается формулой
(15.23):
Здесь в качестве неподвижной СО принята СО, в которой приемник Р
покоится.
4. В случае электромагнитных волн проявляется и
поперечный ЭД, являющийся следствием эффекта замедления времени.
Пример 15.1. Для наблюдателя, стоящего на платформе станции,
частота звука гудка проходящего мимо поезда равна vx = 300 Гц, когда
поезд приближается, и i/2 = 270 Гц — когда удаляется. Определить:
1) скорость поезда; 2) частоту us звука гудка поезда.
Наблюдатель является приемником Р упругих волн (звука)
и т. к. он стоит, то его скорость vP = 0. Поезд является источником 5
волн. Имеем два случая: в первом (поезд приближается) — 6S = тг,
а во втором (поезд удаляется) — в8 = 0. Поэтому для этих 2 случаев
формула (15.6) принимает вид:
_ v
V — VQ'

204 Гл. II. Волны
Это система из 2 уравнений с 2 неизвестными — скоростью vs поезда
и частотой us издаваемого им гудка. Скорость волны (скорость звука)
в воздухе при нормальных условиях известна: v = 340 м/с. Решая
систему уравнений (*), находим рабочие формулы для искомых величин,
а также, подставив численные значения, и их самих:
I 2 1 *7 Л П А А Лт
v = _1 Lv — 17,9 - = 64,4 —,
v{ + и2 с ч
^
=284
Пример 15.2. Покоящийся источник звука испускает по всем
направлениям звуковую волну длиной Xs. Как изменится длина волны,
если источник звука привести в движение
J3 со скоростью, равной половине скорости
I звука?
] Длина волны испускаемого звука
/ n*s 2 _ _ v
~' Г^ ^~*" As - —*
Ъ vs
р 15 ^ где v — скорость звуковой волны, a us —
частота испускаемого звука. По
формуле (15.6) в точках наблюдения /, 2 и 3 (см. рис. 15.3) для частот
воспринимаемого звука получим
1 v 2
Здесь мы учли, что скорость наблюдателя (приемника) vP = 0, а
скорость источника звука г>5 = v/2. Тогда длины звуковых волн,
фиксируемых в этих точках, равны
1. Ai = — = 1,5Ас,
1 I/, s>
2. А2 = — = 0,5As,
3. Ад = = Ао.
Пример 16.3. Длина волны резонансной линии водородоподобного
иона гелия Не4" равна 303,78 А. Экспериментатор, наблюдая пучок
ускоренных ионов Не4" под углом 60°, определил длину волны этой линии
и обнаружил, что она равна 303,68 А. Определить скорость ионов Не+
в пучке.

/5. Эффект Доплера (ЭД) 205
Из (15.27) сразу получаем рабочую формулу для искомой величины
ДА5
cos05
Почему берется модуль, ясно — величина скорости источника волн
(иона Не"1") положительна. Здесь
А5 = 303,78 А, АР = 303,68 А, ДА5 = \Р - \s = -0,1 А.
Так как ДА5 отрицательна, то из (15.27) следует, что
cos 6g < 0 => 6S = тг — 60°
и скорость ионов гелия в пучке
vs = 3 oio tq/C ' КГ = l$75 ' 1q5 m/c=197,5 km/c«0,65- 10-3-c,
«Зи«3,7о и,о
т. е. меньше тысячной части скорости света в вакууме.
Пример 15.4* При наблюдении резонансной линии атома водорода
(Xs = 1215,68 А) на противоположных краях солнечного диска на его
экваторе экспериментатор обнаружил различие в длинах волн на ДА =
= 1,9 пм. Определить период Гс вращения Солнца вокруг своей оси.
Экспериментатор фиксирует электромагнитные излучения,
исходящие с разных краев диска Солнца на его экваторе, и значит, источники
электромагнитных волн — атомы водорода — движутся в
противоположных направлениях по отношению к наблюдателю — приемнику
электромагнитных волн (т. е. для одних источников 9S = 0, для других,
расположенных на другом крае, 9S = тг). Поэтому различие в длинах
волн, фиксируемых с противоположных краев диска Солнца, будет
равно удвоенному доплеровскому излучению. Мы можем воспользоваться
формулой (15.27), т. к. вращение Солнца (т.е. скорость vs источников)
нерелятивистское:
где Rc ^ 7 • 108 м — радиус Солнца. Отсюда находим рабочую формулу
для искомой величины . . п
_ 4тгА5Дс
Подставив численные значения Xs = 1215,68 А = 1,21568 • 10~7 м,
ДА = 1,9 • 10~12 м, получим, что
Гс « 25 сут,
т. е. Солнце совершает один оборот вокруг собственной оси примерно
за 25 сут.

Глава III
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
В РАЗНЫХ ОБЛАСТЯХ ФИЗИКИ
§ 16. Электромагнитные волны
16.1. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн.
Как было уже упомянуто в п. 11.5, электромагнитные волны поперечны
и их распространение описываются главными уравнениями
электродинамики — уравнениями Максвелла. Уравнения Максвелла
для электромагнитных волн имеют вид (система СИ)
ratE=™S, (16.1)
divB = 0, (16.2)
rotH=~, (16.3)
divD = 0. (16.4)
Здесь Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей,
D = ee0E (16.5)
— вектор электрического смещения,
B = /i/ioH (16.6)
— вектор магнитной индукции, е0 и д0 — электрическая и
магнитная постоянные (см. (11.66)), а е и // — диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды, в которой распространяется
электромагнитная волна.
Если среда распространения электромагнитных волн однородна
и изотропна и не обладает сегнетоэлектрическими и ферромагнитными
свойствами, то е и /х данной среды постоянны и вместо (16.1)—(16.4)
уравнения Максвелла для электромагнитных волн принимают более
упрощенный вид:
(16.7)
—,
divH = 0, (16.8)
дЕ
e£0^, (16.9)
divE = 0. (16.10)

16. Электромагнитные волны 207
16.2. Волновое уравнение. Электромагнитная волна. Для
исследования электромагнитной волны вместо того, чтобы идти
напролом, т.е. решать систему из уравнений Максвелла, представляющих
дифференциальные уравнения первого порядка, лучше преобразовать
их в уравнения второго порядка (дело в том, что дифференциальные
уравнения второго порядка решаются проще, чем уравнения первого
порядка). Вычислим ротор от равенства (16.7):
rot rot E = -/^о т£ (rot Н). (*)
Из векторного анализа известно, что
rot rot E = grad div E - ДЕ. (**)
Используя в (*) и (**) уравнения Максвелла (16.9) и (16.10),
получаем волновое уравнение для напряженности электрического поля
электромагнитной волны:
Совершенно аналогично, вычислив ротор от равенства (16.9), можно
получить волновое уравнение для напряженности магнитного поля
электромагнитной волны:
АН - ЗЛЯТ-0- 06.12)
Таким образом, напряженности электрического Е и магнитного Н
полей электромагнитной волны подчиняются волновому
уравнению (10.57), которому подчиняется любой волновой процесс,
только вместо s в (10.57) надо ставить Е или Н. Из сравнения (16.11)
(или (16.12)) с (10.57) сразу получаем формулу для фазовой скорости
электромагнитной волны:
v = -!= = —=!= = -, (16.13)
/еЦ /ёрЩ^ п
где
(16.14)
— показатель преломления среды, в которой распространяется
электромагнитная волна, а
с=—— =3108 - (16.15)
— скорость электромагнитной волны (света) в вакууме (п = 1).

208 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Пользуясь известной связью (см. (9.3)) между длиной, частотой
и скоростями распространения электромагнитной волны в вакууме с
и в какой-то среде г;, можно записать:
C = Y' (16.13а)
где Ао (А) — длина электромагнитной волны в вакууме (среде). Из этих
равенств следует, что
А= А (16.136)
п
т. е. длина Л электромагнитной волны в среде с показателем
преломления п уменьшается в п раз по сравнению с длиной Ло этой
же электромагнитной волны в вакууме (п > 1).
Решения уравнений (16.11), (16.12) сразу получаем из (10.20):
E = Emcoe(u/t-k-r), (16.16)
H = Hmcos(u;*-k.r), (16.17)
где
r = si + yj + *k (16.18)
— радиус-вектор точки наблюдения, начальная фаза <р0 выбрана равной
нулю, а
к = fcn = -п = ^п = -Jejln (16.19)
v А с
— волновой вектор (см. (10.18)), п — единичный вектор вдоль
распространения волны, ш — циклическая частота электромагнитной волны.
Решения (16.16) и (16.17) описывают электромагнитные волны,
распространяющиеся вдоль вектора к с фазовой скоростью v.
Решениями волновых уравнений (16.11) и (16.12) являются и такие
комплексные функции
Е = Emei(a;t-k-r\ (16.20)
H = Hmei(a;t-k'r), (16.21)
вещественная часть которых совпадает с решениями (16.16) и (16.17)
(см. (10.21)):
(16.22)
Н = Re (Нше^*-к-г>). (16.23)
Можно установить связь между Е и Н. Используя (16.20) и (16.21),
вычислим следующие частные производные:
ш = -ад Щ = -^Е- f = -^Е- (1624)
iwH. (16.25)

16. Электромагнитные волны
209
С помощью этих формул 1-е уравнение Максвелла (16.7) может быть
преобразовано следующим образом:
— х Е = -г [к х Е] = -ДОо"^ = -i
или
[к х Е] = /х/хоа;Н.
(16.26)
Мы видим (вспомните векторный анализ), что векторы к, Е и Н
образуют правовинтовую систему — все векторы взаимно
перпендикулярны и направление любого из векторов получается правилом
правого буравчика. Волновой вектор к указывает направление
распространения электромагнитной волны, а векторы напряженностей Е и Н
лежат в плоскости, перпендикулярной вектору к (см. рис. 16.1 и 16.2).
LZ
Н
Е у
Рис. 16.1
Рис. 16.2
На рисунках система координат выбрана так, что электромагнитная
волна распространяется вдоль оси х (k || Ox, n — единичный вектор
вдоль к). Рис. 16.2 представляет как бы моментальную фотографию
плоской электромагнитной волны. Как мы помним из предыдущей
части, плоской называется волна, у которой поверхностями равных фаз
являются плоскости. В нашем случае закон изменений напряженностей
электрического и магнитного полей (см. (16.16) и (16.17)) принимает
вид (к- г = кх):
Е = Em cos(ut - кх),
Н = Нт cos(ut - кх).
(16.27)
(16.28)
Отсюда видно, что, действительно, поверхностями равных фаз
(волновыми поверхностями) являются плоскости, параллельные плоскости yz:
х = const. (16.29)
В общем случае волновые поверхности (и волновой фронт) могут быть
более сложными поверхностями.

210 Гл. ///. Колебания и волны в разных областях физики
Вычислим модуль (16.26):
то есть
(16.30)
Можно сделать следующие выводы:
1. Электромагнитной волной называется переменное
электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве.
2. Электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы Б и Н
напряженностей электрического и магнитного полей
перпендикулярны направлению распространения волны (см. (16.26)).
3. Изменения Б и Н происходят в одинаковой фазе по
гармоническому закону (см. (16.16), (16.17)).
4. Электромагнитная волна распространяется со скоростью v,
равной фазовой скорости, которая меньше скорости света с в
вакууме в п раз (см. (16.13)).
5. Между величинами Е и Н напряженностей электрического
и магнитного полей справедлива простая связь (см. (16.30)).
16.3. Энергия электромагнитной волны. Электромагнитная
волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное
поле, плотность энергии которого равна сумме плотностей we энергии
электрического и wm энергии магнитного полей:
.... и2
(16.31)
Из-за известной связи (16.30) между напряженностями электрического
и магнитного полей следует, что плотности энергий электрического
и магнитного полей одинаковы
Щ^' „632)
и плотность энергии электромагнитной волны может быть
определена по любой из следующих формул:
^ (16.33)
Так как электромагнитная волна распространяется в среде со
скоростью v, то через единицу площади, перпендикулярной направлению
распространения, за единицу времени переносится энергия
(16.34)

16. Электромагнитные волны 2Д
представляющая собой модуль вектора плотности потока энергии
электромагнитной волны. Так как направления переноса энергии
и распространения электромагнитной волны совпадают, то вектор
плотности потока энергии S можно представить в виде
S = £#n=[ExH]. (16.35)
Эта векторная величина имеет исторически сложившееся название —
вектор Пойнтинга (вектор Умова-Пойнтинга)
Надо отметить, что измеряемой величиной обычно является
не мгновенное, а среднее по времени значение (из-за огромной частоты
колебаний значения измеряемой величины). В случае плотности потока
энергии электромагнитной волны имеем дело со средней величиной,
определяемой по формуле
= ^ Sdt. (16.36)
Угловой скобкой ( ) обозначено среднее значение величины, а то,
что в качестве промежутка времени, за которое определяется среднее
значение, берется период Т колебаний, это совершенно естественно.
Аналогично и для других переменных величин.
Выводы:
1. Плотность энергии электромагнитной волны — энергия
единицы объема электромагнитной волны определяется
формулой (16.33).
2. Вектор Пойнтинга —- это вектор, направление которого
совпадает с направлением электромагнитной волны, а величина
равна энергии, переносимой электромагнитной волной через
единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения
волны, за единицу времени, и определяется формулами (16.34)
и (16.35).
16.4. Импульс и давление
электромагнитной волны. Электромагнитная вол- \У
на обладает не только энергией, но и
импульсом. Допустим, что на плоскую по-
верхность падает по нормали электромаг-
нитная волна (на рис. 16.3 вдоль оси х).
Легкие отрицательно заряженные частицы
среды — электроны под действием элек- —»
трического поля будут двигаться против 2, В©
вектора Е, т.е. образуется ток с
плотностью j, направленный вдоль Е
(значительно более инертные положительно
заряженные тяжелые ионы не успевают реагировать Рис. 16.3

212 Гл. III, Колебания и волны в разных областях физики
на быстро меняющееся электрическое поле и остаются практически
неподвижными, т. е. они в образование электрического тока j вклада
не дают). Тогда на ток j действует сила Лоренца
F = [jxB]=/x/iO[jxH], (16.37)
направленная вдоль распространения электромагнитной волны
(направление силы определяется правилом правого буравчика). Это
сила, действующая на единицу объема. Так как ток j и напряженность
магнитного поля Н перпендикулярны, то модуль этой силы равен
F = wojH. (16.38)
По второму закону Ньютона импульс Ро, передаваемый
электромагнитной волной слою площадью, равной единице и единичной толщины,
в единицу времени равен силе, действующей на этот слой:
В то же время известно, что в этом слое выделяется энергия
электромагнитного поля в виде тепла (закон Джоуля-Ленца):
w = jE. (**)
Исключив плотность j тока из (*) и (**), находим связь между
импульсом Ро и плотностью энергии w электромагнитного поля:
о 4> (16.39)
P0 = l[ExH] = ls. (16.40)
В вакууме (воздухе) v = с и из (16.39) можно получить формулу
(16.41)
Такая формула известна из релятивистской механики, и она
справедлива для частиц, масса покоя которых равна нулю. Такой частицей
является фотон и, действительно, электромагнитная волна может быть
рассмотрена как поток фотонов.
Мы убедились (см. рис. 16.3 и рассуждения, связанные с ним),
что электромагнитная волна, падающая на какую-то поверхность,
действует на поверхность с определенной силой, направленной вдоль
распространения электромагнитной волны, т. е. электромагнитная волна
оказывает давление на поверхность.
Рассмотрим 2 предельных случая:
а) электромагнитная волна падает перпендикулярно на какую-то
плоскую поверхность и полностью поглощается;
б) электромагнитная волна падает перпендикулярно на какую-то
плоскую поверхность и полностью отражается.
Эти 2 случая показаны на рис. 16.4 и 16.5.

16. Электромагнитные волны
213
Полное
поглощение
Полное
отражение
777777777777777/
777777777777777/
77777777.
/77777777/
Рис. 16.4
Рис. 16.5
Здесь Pj — импульс падающей электромагнитной волны, Р2 —
импульс, переданный поверхности, Р3 — импульс отраженной
электромагнитной волны.
а) В первом случае по закону сохранения энергии
Р,=Р2 =► Р{=Р2.
Тогда оказываемое на поверхность давление
(w), (16.42)
т. е. при полном поглощении давление электромагнитной волны на
поверхность равно среднему значению плотности энергии
падающей электромагнитной волны. Почему берем среднее значение, ясно
из сказанного выше в связи с формулой (16.36).
б) Во втором случае по закону сохранения импульса
Р1=Р2 + Рз ^ -Pi = А ~~ ^з»
и так как в случае полного отражения Рх = P3, то
p=(P2v)=2(w), (16.43)
т. е. в случае полного отражения давление электромагнитной
волны на поверхность удваивается и равно удвоенному среднему
значению плотности энергии падающей электромагнитной волны.
Мы рассмотрели крайние частные случаи. Совершенно
аналогичное рассмотрение позволяет получить формулу для давления в общем
случае:
p=(w)( 1+/J) cos2 0. (16.44)
Здесь в — угол падения (угол между направлением распространения
падающей электромагнитной волны и нормалью к поверхности), /3 —
коэффициент отражения (отношение интенсивности волны,
отраженной поверхностью, к интенсивности падающей волны). Под
интенсивностью I называется усредненное по времени значение
плотности потока электромагнитной энергии — модуля вектора
Пойнтинга (см. (11.75) и (16.36)):
(16.45)

214 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Подставляя в (16.45) формулы (16.16), (16.17) для напряженностей
электрического и магнитного полей, воспользовавшись при этом
формулой (11.70), вычислив среднее по периоду колебаний (см. (16.36)),
для интенсивности электромагнитной волны получаем (надо помнить,
что среднее значение квадрата косинуса равно 1/2):
E™ (i6-45a)
т. е. интенсивность электромагнитной волны пропорциональна
квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны.
Для вывода формулы (16.44) еще необходимо пользоваться
законом отражения и преломления — угол отражения 0' равен углу
падения в и (см. (18.20) и (18.21))
*±L% (16.46)
где 0" — угол преломления, а п{ (п2) — показатель преломления
первой (второй) среды. Формула (16.46), как вы помните из школьного
курса физики, называется законом Снеллиуса.
Нетрудно убедиться, что формулы (16.42) и (16.43) получаются
из (16.44) как частные случаи.
Выводы:
1. Электромагнитная волна обладает импульсом, плотность
которого равна плотности энергии электромагнитного поля,
деленной на скорость распространения волны в данной среде,
а направление совпадает с направлением распространения волны
(см. (16.39), (16.40)).
2. Электромагнитная волна оказывает давление на любое
препятствие и оказываемое давление зависит от угла падения и
степени отражения волны от препятствия (см. (16.44)).
Пример 16.1. Выразить фазовую скорость (скорость
распространения) -о электромагнитной волны через Е и Н.
Ясно, что искомую скорость можно представить в виде
где п — единичный вектор вдоль распространения волны, который
может быть представлен в виде (см. (16.35)):
[ЕхН]
nssEH'
Поэтому
[ЕхН]
1) = V- -.
ЕН

16. Электромагнитные волны 215
Пример 16.2. Переписать уравнения Максвелла (16.7)—(16.10)
для электромагнитных волн в векторном виде.
Выше для 1-го уравнения Максвелла (16.7) это мы уже делали
(см. вывод формулы (16.26)). Рассмотрим 2-е уравнение
Максвелла (16.8):
Из (16.20) и (16.21) нетрудно получить следующие полезные формулы:
J, -^— = -гА^Н, -тт- = -г^Н, (16.47)
(16.48)
с/с
Используя (16.47) для проекций Нг (г = x>y,z) напряженности
магнитного поля, равенство (*) может быть переписано следующим образом:
-ikxHx - ikyHy - ikzHz = -i (k • Н) = 0.
Таким образом, 2-е уравнение Максвелла (16.8) приводится к виду:
(k-H)=0.
Преобразования 3-го и 4-го уравнений Максвелла (16.9) и (16.10)
совершенно аналогичны, и можно сразу привести все преобразованные
уравнения Максвелла для электромагнитных волн:
[кхЕ]=^Н, (16.49)
(к-Н)=0, (16.50)
[кхН] = -ееоиЕ, (16.51)
(к-Е)=0. (16.52)
Из этих формул можно сделать те же самые выводы, которые были
сделаны в 16.2. Попробуйте сами.
Пример 16.3. Плотность потока энергии излучения
гелий-неонового лазера составляет 0,1 Вт/см2. Определить амплитуды напряжен-
ностей Ет и Нш электрического и магнитного полей в излучении
лазера.
Из формулы (16.34), используя равенство (16.30), для плотности
потока энергии излучения получаем
Здесь мы учли, что в воздухе е = 1, \i = 1. Так как среднее значение
квадрата косинуса (синуса) равно 1/2, то из (*) получаем рабочую

216 Гл. HI. Колебания и волны в разных областях физики
формулу для амплитуды Ет напряженности электрического поля
излучения лазера:
Подставив численные значения ({S) задана по условию задачи),
находим, что о
м
Амплитуда напряженности магнитного поля определяется по формуле
Пример 16.4. Известно, что плотность потока солнечной энергии
у поверхности Земли равна примерно 0,1 Вт/см2. Определить давление
солнечного света у поверхности Земли.
Из (16.34) для плотности потока солнечной энергии имеем
(5> = (5} =
г; с
(5> = (5} = 1Г
г; с м
Таким образом, давление солнечного света на поверхность,
расположенную у поверхности Земли перпендикулярно солнечным лучам (если
поверхность полностью поглощает солнечные лучи, например
абсолютно черное тело), равно (см. (16.42)):
p=(w) = 0,333 • 10"5 ^ = °>333 ' 10~5 Па = 0>333 • Ю-10 атм.
м
Если поверхность полностью отражает, то (см. (16.43))
р = 2 (w) = 0,667 • 10-10атм.
В любом случае давление света ничтожно мало (в 10 миллиардов раз
меньше атмосферного!). Но еще в 1898 г. русский ученый П. Н. Лебедев
впервые измерил световое давление и этим подтвердил
электромагнитную природу света, о чем впервые говорил на основании своих
уравнений Максвелл.
Вообще в зависимости от длины электромагнитной волны в вакууме
Ао = £ (16.53)
электромагнитные волны делятся сегодня на 4 вида волн:
1) радиоволны,
2) световые волны (свет или оптическое излучение),
3) рентгеновское излучение,
4) гамма-излучение,
расположенные по мере уменьшения Ао. Надо заметить, что границы
этих видов довольно условны. Свет (оптическое излучение) в свою
очередь делится на 3 вида:

16. Электромагнитные волны 217
1. Инфракрасное излучение, для которого длина волны Ло в
вакууме лежит в интервале
Аое(8-1(Г7 м-5 10"4 м) =
= (800 нм-5 • 105 нм) = (8000 А-5 - 106 А). (16.54)
2. Видимый свет,
Ло € (4 • 10~7 м-8 • 10"7 м) = (400 нм-800 нм) = (4000 А-8000 А).
(16.55)
3. Ультрафиолетовое излучение,
Ло е (10~9 м-4 • Ю"7 м) = (1 нм-400 нм) = (10 А-4000 А). (16.56)
Здесь, наверное, будет уместно заметить, что в оптике, т. е. в
области световых волн, напряженность электрического поля Е
электромагнитной волны называют еще световым вектором — так исторически
сложилось. Это можно объяснить следующим образом. Простая оценка
сил Fe и Fm, действующих на какой-то заряд е со стороны
электрического и магнитного полей (кулоновская сила и сила Лоренца), дает
следующую примерную относительную величину этих сил:
тР « Т' (1657)
Ге с
где ve — скорость заряда. Так как наблюдаемые фотоэлектрические,
фотохимические, физиологические, любые оптические и другие
явления, вызываемые светом, определяются взаимодействием света с
валентными (внешними) электронами атомов среды, которые являются
нерелятивистскими частицами, т.е. скорость ve которых значительно
меньше скорости с света в вакууме:
ve < с,
то можно сделать вывод, что почти все действия света вызываются
электрической составляющей световой волны — напряженностью
электрического поля Е, поэтому название световой вектор для Е в оптике
довольно логично. И так как интенсивность света пропорциональна
квадрату амплитуды светового вектора (см. (16.45а)), то такие чисто
волновые явления, как интерференция, дифракция, поляризация
света, объясняются на основе исследований электрической составляющей
света, т. е. светового вектора.
Такие специальные вопросы оптики, как интерференция, дифракция
света и т. д., мы здесь рассматривать не будем. Общий подход к
исследованию интерференции и дифракции волн рассматривался в § 13.
Для справки можно привести и области рентгеновского и гамма-
излучений:
До = (0,1 А-10 А) — рентгеновское излучение,
Ао = (10~3 А-0,1 А) — 7-излучение.

218 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
16.5. Поляризация электромагнитных волн. Естественный
и поляризованный свет. Мы знаем, что электромагнитные волны,
а значит и световая волна, поперечны — напряженности
электрического Е и магнитного Н полей световой волны взаимно перпендикулярны
и колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению луча
света (волновому вектору к, или скорости х> распространения волны).
Три вектора Е, Ник образуют правовинтовую систему. Поэтому если
мы знаем направление волны (к) и направление одного из векторов
напряженностей (Е или Н), то нетрудно определить и направление
другой напряженности. Мы об этом уже говорили, но можно еще раз
повторить, что обычно рассматривают только напряженность
электрического поля электромагнитной волны, называя ее световым
вектором. Дело в том, что если иметь в виду взаимодействие света с
веществом, то предпочтение должно быть отдано вектору Е, т. к. сила,
действующая со стороны светового поля на электрический заряд е,
сила Лоренца, равна
F = eE + -h>xH], (16.58а)
с
т.е. действие магнитной составляющей обычно много меньше, чем
действие электромагнитного поля (из-за множителя - <С 1).
Поляризацией света в широком смысле называется совокупность
явлений волновой оптики, в которых так или иначе проявляется
поперечность световых волн. Поляризованным светом называется
световая волна, в которой направление колебаний светового вектора
носит определенный упорядоченный характер. В естественном свете
(солнечный свет, свет электрической лампы, свет от костра и т.д.)
колебания светового вектора в любой точке среды совершаются во
всевозможных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.
Это связано с тем, что естественный свет возникает как результат
испускания электромагнитных волн огромным числом атомов
источника света, моменты времени, направления и поляризации
испущенных электромагнитных излучений которых не скоррелированы,
хаотичны.
Рассмотрим два взаимно перпендикулярных световых колебания
одинаковой частоты, происходящих вдоль осей хну:
Ех = Ех cos(ut + <£,), Еу = Е2 cos(ut + <p2) (16.58)
и исследуем результат сложения этих волн. Перепишем (16.58)
следующим образом:
Ех — Ex{cosu)tcosifx — sin art sin <p{),
Ey = J

16. Электромагнитные волны 219
Отсюда получаем
Я, . Ev .
Ех ЕУ
-=г- cos(p2 — -=г
Возводя в квадрат обе части этих равенств и складывая, приходим
к уравнению
(J) §^ cos{(p2"^l} = sin2(^2"^l)* (1659)
Как мы знаем из аналитической геометрии, полученное уравнение
является уравнением эллипса. Тут возможны следующие важные частные
случаи:
1. Пусть разность фаз между взаимно перпендикулярными
световыми колебаниями (16.58) постоянна:
Aip = {р2 - (fi = const. (16.60)
В этом случае, как мы уже сказали, уравнение (16.59) представляет
собой уравнение эллипса, т.е. конец результирующего светового
вектора
' (16.61)
описывает на плоскости z = const эллипс — световая волна
оказывается эллиптически поляризованной. При этом вводятся понятия
право- или левополяризованной волны» в зависимости от того,
по часовой стрелке или против часовой стрелки происходит
вращение светового вектора Е, если смотреть навстречу световому лучу.
Направление вращения зависит от знака разности фаз Ду?. Допустим,
что в какой-то момент времени t0
cos(u>t0 + (ft) = 1 => ut0 = -<£>!•
Тогда световой вектор, направленный вдоль оси х, и скорость
изменения светового вектора, направленного вдоль оси у, принимают вид
Ех (to) = Ех, Ёу (to) = -иЕ2 cos (tp2 - (p{). (16.62)
Отсюда нетрудно сделать вывод, что результирующий свет будет
правополяризованным в том случае, когда разность фаз у>2 — у>х
положительна, и наоборот:
0 < ((р2 — (pi) < тг => правополяризованный свет,
-тг < (<р2 - <£>i) < 0 =Ф левополяризованный свет.

220 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
2. Допустим, что разность фаз слагающихся световых волн
кратна тг:
т = 0, ±1,±2, (16.64)
Тогда уравнение (16.59) переходит в уравнение прямой:
Еу = (-1)т^Ех. (16.65)
Таким образом, в случае выполнения равенства (16.64)
результирующая световая волна оказывается линейно поляризованной (плоско-
поляризованной), т.е. результирующий световой вектор будет
колебаться в одной плоскости.
3. Рассмотрим случай, когда амплитуды слагающихся световых
волн одинаковы и их разность фаз равна нечетному числу тг /2:
> m = ±1,±3,±5,... . (16.66)
В этом случае уравнение (16.59) переходит в уравнение окружности:
E2x + E2y = El (16.67)
т.е. получится круговая поляризация (конец результирующего
светового вектора будет двигаться по окружности по часовой стрелке
или против часовой стрелки, если смотреть против направления
светового луча — получим правую или левую круговую поляризацию).
Для правой поляризации
|, Епр = J50(icos(urt + <£1)-jsin(urt + <£1)), (16.68)
а для левой:
|, Елев = E0(icos(ut + <р{) + j sin (art -f- <px)). (16.69)
Из (16.68) и (16.69) можно получить, что сумма право- и левополя-
ризованных волн с одинаковыми амплитудами дает линейно (плоско)
поляризованную волну:
Е = Епр + Елев = i2E0 cos {иЛ + <рх). (16.70)
4. Допустим, что разность фаз А<р = <р2-(р1 претерпевает
случайные хаотические изменения. В этом случае направление и величина
результирующего светового вектора Е будут меняться скачкообразно,
непредсказуемо, т.е. мы получим естественный свет. Поэтому
естественный свет всегда можно рассматривать как сумму двух
взаимно перпендикулярных некогерентных, плоскополяризованных
световых волн одинаковой интенсивности.

16. Электромагнитные волны 221
Вышеприведенные выводы
можно получить и другим способом.
На рис. 16.6 показано получение
результирующего светового вектора Е
как результат сложения (16.61)
световых векторов. Угол а между
результирующим световым вектором и осью х
может быть определен из очевидного
равенства
Отсюда, полагая разность фаз А(р = <р2 - <Р\ случайно меняющейся
величиной, получим, что и угол а является случайно, непредсказуемо
меняющейся величиной, т. е. мы можем сделать вышеприведенный
четвертый вывод. Если А(р = 0 или тг, то
Е
tga = ±-=£ = const, (16.706)
Е\
т.е. световая волна, как об этом уже сказано во втором выводе,
будет линейно (плоско) поляризованной. Когда разность фаз А<р = ±—
и амплитуды слагающихся световых колебаний одинаковы, Ех = Е2,
имеем
(16.71)
т.е. световая волна будет поляризована по кругу (право — знак
«минус», или лево — знак «плюс») — плоскость колебаний
результирующей световой волны будет вращаться по или против часовой стрелки,
если смотреть против направления светового луча, с угловой
скоростью и. Это был третий вывод. В других случаях мы получим первый
случай — эллиптически поляризованный свет.
В естественном свете колебания светового вектора Е в любой точке
среды совершаются во всевозможных направлениях, быстро и
хаотично сменяя друг друга. Это можно представить схематично так, как
показано в левой части рис. 16.7 (вид навстречу световому лучу).
В то же время, как уже сказано выше, естественный свет всегда можно
представить как результат сложения двух взаимно перпендикулярных
некогерентных, плоскополяризованных световых волн одинаковой
интенсивности, что показано на рис. 16.7 (справа).
Кроме естественного и поляризованного света, можно ввести
понятие частично поляризованного света. Это свет, «промежуточный»
между естественной и поляризованной световыми волнами — свет,
в котором световой вектор совершает колебания во всевозможных
направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга, но с
проявлением некоторого преимущественного направления. Частично
поляризованный свет схематично можно представить, как это показано

222
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Рис. 16.7
на рис. 16.8 (слева). В то же время частично поляризованный свет, как
и естественный, можно представить как результат сложения двух
взаимно перпендикулярных некогерентных, плоскополяризованных
световых волн разных интенсивностей, что показано в средней части
рис. 16.8. На этом же рисунке справа показано, что частично
поляризованный свет можно представить как результат сложения естественного
и поляризованного света.
Естеств. Поляриз
Рис. 16.8
. Для количественного определения степени поляризованности света
было введено понятие степени поляризации Р:
Р — max ^min _ •'пол
Т 4- Т ~~ Т '
-'max ' -'min *0
(16.72)
где 10 — полная интенсивность рассматриваемого света, /пол —
интенсивность поляризованной части света, /max (/min) — максимальная
(минимальная) интенсивность частично поляризованного света.
Например, в двух крайних случаях — в случае естественного и линейно
(плоско) поляризованного света — степени поляризации равны
соответственно нулю и единице:
естественный свет
поляризованный свет
Р(ест) = 0,
Р(пол) = 1.
(16.73)
Для эллиптически поляризованного света из-за того, что световой
вектор постоянно вращается, нет определенных значений /max, /min, /пол,
и поэтому понятие степени поляризации теряет смысл (постоянно
меняется).

16. Электромагнитные волны
223
Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с
помощью так называемых поляризаторов. Они свободно пропускают
световые волны, плоскость колебания которых параллельна главной
плоскости поляризатора. Световые волны, плоскость колебаний
которых перпендикулярны главным плоскостям поляризатора, полностью
или частично задерживаются (не пропускаются). В качестве
поляризаторов используются анизотропные кристаллы (например, кристалл
турмалина). Поляризаторы можно использовать и как анализаторы —
устройства для анализа поляризованного света. На рис. 16.9 показано
действие поляризатора Я и анализатора А. На рис. 16.9, а показано,
что если на поляризатор падает естественный свет, то из него выходит
уже плоско поляризованный свет с интенсивностью, равной половине
интенсивности падающего естественного света, причем плоскость
поляризации и главная плоскость поляризатора параллельны (на рисунке
главные плоскости поляризатора Я и анализатора А более темные).
Если главные плоскости поляризатора и анализатора параллельны, как
на рис. 16.9, а, то анализатор пропустит поляризованный на
поляризаторе свет без помех полностью, т.е. за анализатором мы будем
наблюдать поляризованный при прохождении поляризатора свет без
изменения интенсивности (для упрощения пренебрегаем
энергетическими потерями света при прохождении поляризатора и анализатора).
Я
На рис. 16.9, б анализатор повернут на угол 90° вокруг направления
светового луча, т.е. в этом случае главные плоскости поляризатора
и анализатора перпендикулярны и анализатор не пропустит прошедший
через поляризатор плоско поляризованный свет. И, наконец, третий,

224 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
промежуточный случай: главные плоскости поляризатора и
анализатора расположены под углом а друг к другу. В этом случае через
анализатор пройдет лишь та составляющая плоскополяризованной световой
волны, прошедшей через поляризатор, световой вектор которой Е..
параллелен главной плоскости анализатора:
Ец =E0cosa, (16.74)
где Ео — световой вектор падающего на анализатор плоскополяризо-
ванного света. Тогда интенсивность / прошедшего через анализатор
света
/ = /0cos2a, (16.75)
где /0 — интенсивность падающего на анализатор плоскополяризо-
ванного света. Это закон Малюса. Сформулируем закон Малюса:
интенсивность света, прошедшего через систему «поляризатор+
+ анализатор», пропорциональна квадрату косинуса угла
между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
Формула (16.75), с учетом сказанного выше, может быть записана в виде
/ = i/ecTcos2a. (16.76)
Здесь 7ест — интенсивность естественного света, падающего на
поляризатор.
В заключение надо сказать о возможности получения естественного
света из поляризованного (обратная задача). В этом случае можно
изготовить порошок из прозрачного вещества (например, стекла). Если
пропустить поляризованный свет через этот порошок, то из-за
многократных отражений от хаотично расположенных кристаллов
поляризация нарушится и мы получим естественный свет.
Пример 16.5. Максимальная интенсивность частично
поляризованного света в четыре раза больше минимальной интенсивности.
Определить степень поляризации этого частично поляризованного
света.
Степень поляризации определяем по формуле (16.72)
7 — 7 1
Р — max ^min __ ~ __ г\ а
7 4- 7 ~~ 5 "~
Jmax ^ imin °
Пример 16.6. Определить отношение максимальной и
минимальной интенсивностей, если степень поляризации равна 0,75.
Формулу (16.72) преобразуем к виду:
•*тах 1
г 1
р Jmin
•'max i i
7 •
■'mm

16. Электромагнитные волны 225
Отсюда получаем рабочую формулу для искомой величины и саму
величину:
■*тах = 1 ~г ■» __ у
т.е. максимальная интенсивность в 7 раз больше, чем минимальная.
Пример 16.7. Поляризаторы (анализаторы) имеют общее
название — николь. Через два николя (поляризатор и анализатор), главные
плоскости которых расположены под углом 60° друг к другу, проходит
свет, причем на каждом из николей световая волна теряет 10%
световой энергии при поглощении и 5% при отражении. Определить, во
сколько раз уменьшится интенсивность естественного света,
падающего на эту систему, при прохождении через два николя.
Интенсивность поляризованного света, прошедшего через
поляризатор, равна половине интенсивности падающего света с учетом потерь
световой энергии:
Интенсивность прошедшего через анализатор света, опять же с учетом
энергетических потерь, по закону Малюса равна
s2 а- (**)
Подставив (*) в (**), для искомой величины получаем
*о 2 2-4
'■а (0,85)2
"""" А * •
Таким образом, интенсивность проходящего систему «поляризатор +
+ анализатор» света в 11 раз меньше интенсивности падающего на эту
систему естественного света.
Пример 16.8. Частично поляризованный свет падает на
поляризатор. Поляризатор повернули на угол а вокруг направления светового
луча из положения, соответствующего максимуму пропускания. При этом
интенсивность прошедшего света уменьшилась в к раз. Определить
степень поляризации падающего на поляризатор света.
Частично поляризованный свет можно представить как сумму
естественного и поляризованного света (см. рис. 16.8), тогда по
формуле (16.72) степень поляризации частично поляризованного света равна
р _ •'пол __ -*пол * /\
~Г ~Т~ТТ~ ()
■lq ■'ест ' 2пол
Так как поляризатор пропускает половину естественного света, а пло-
скополяризованный свет пропускается по закону Малюса, то
интенсивности проходящего через анализатор света в первом и втором случаях

226
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
определяются по формулам
9"* ест
1
то
= SЛ*т + /пол COS2 0 = -/ест + /пол,
+ 4>л cos2 а,
2 ест пол
^ her 2( 1 — к cos2 a)
Отсюда можно определить -р1 = v . —rr—-, подставив которое
•'пол \"* */
в (*) получим формулу, по которой может быть определена степень
поляризации падающего на поляризатор частичнополяризованного света
*- 1
Р =
1 — k cos 2а *
§ 17. Электрические колебания
17.1. Собственные колебания колебательного контура
(свободные колебания колебательного контура без активного
сопротивления). Цепь, состоящая из емкости С (конденсатора),
индуктивности L (катушки индуктивности) и активного (электрического)
сопротивления R (проводов), называется, как известно, колебательным
контуром (см. рис. 17.1, где эти три элемента цепи показаны
сосредоточенными в определенных местах). В данном параграфе рассмотрим
колебательный контур без активного сопротивления (см. рис. 17.2):
Д = 0. (17.1)
+9
О —|
-я
3
1
J
О 1^"
1 >
\>
1
Рис. 17.2
Реально этого добиться, конечно, нельзя — любой проводник
обладает электрическим (активным) сопротивлением. Но подбором
материала проводников, их размеров можно приблизиться к этому. Из
школьного курса физики мы знаем, какие процессы происходят в таком

17. Электрические колебания
227
колебательном контуре, если предварительно заряженный
конденсатор С подсоединить к катушке индуктивности L. Давайте вспомним
это. Сообщим обкладкам отсоединенного от катушки L конденсатора С
электрические заряды +д и -q. Это можно сделать, присоединив
конденсатор к какому-нибудь источнику напряжения. Возникшее между
обкладками конденсатора электрическое поле обладает энергией
о С
(17.2)
Здесь q — заряд на обкладке конденсатора, а С — емкость
конденсатора.
Эта же энергия может быть вычислена и по другим формулам:
W==T" = ^T~- (17*2а)
Здесь U — напряжение между обкладками конденсатора (разность
потенциалов обкладок конденсатора). Все эти 3 формулы равноправны,
но мы будем обращаться именно к формуле (17.2). В (17.2)
энергию электрического поля между обкладками конденсатора обозначили
как We, что понятно, а также как Wn, что показывает, что энергия
электрического поля представляет собой потенциальную энергию
системы (конденсатора). На рис. 17.3, а показан момент подключения
конденсатора к катушке индуктивности и в это время исследуемая
система (колебательный контур) обладает энергией W (17.2),
совпадающей с энергией электрического поля конденсатора (W = We).
ТПТТТ1
-я
+я
МП МП
-я
+я
пптптпм
-я
Рис. 17.3
В дальнейшем конденсатор начинает разряжаться, т. е. через
катушку индуктивности L потечет все увеличивающийся ток, который
достигнет максимального значения в момент полной разрядки конденсатора.
Ток, проходящий через индуктивность, порождает магнитное поле,
усиливающееся с увеличением тока и достигающее максимальной
интенсивности в момент полной разрядки конденсатора (см. рис. 17.3, б). Энергия
магнитного поля катушки индуктивности определяется формулой
г г2
w = —- = w =
(17.3)
где / — ток через катушку (ток в колебательном контуре), a L -
индуктивность катушки. Индекс «т» показывает, что это энергия

228 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
магнитного поля, а «к» — что эта энергия соответствует кинетической
энергии.
Так как активное сопротивление равно нулю (R = 0), то из-за того,
что энергия системы не расходуется на нагревание проводов
(вспомните закон Джоуля-Ленца), полная энергия системы (колебательного
контура) сохраняется:
л г г2
We + Wm = ^ + ^- = Wo = const. (17.4)
Поэтому по мере разрядки конденсатора энергия электрического поля
переходит в энергию магнитного поля (электрическое поле переходит
в магнитное) и в момент полной разрядки конденсатора, т. е. в момент
максимального тока, энергия системы (контура) представляет собой
полностью энергию магнитного поля (W = Wm, см. рис. 17.3,6).
В дальнейшем начинается процесс зарядки конденсатора,
сопровождающийся уменьшением тока через контур, т. е. ослаблением
магнитного поля катушки (усилением электрического поля конденсатора),
и продолжающийся до полного превращения энергии магнитного поля
катушки в энергию электрического поля конденсатора (см. рис. 17.3, в):
wm->we =► w = we.
И так далее. Мы видим, что в колебательном контуре происходит
периодический процесс, т. е. периодически меняются заряд на
обкладках конденсатора и ток в катушке индуктивности, электрическое поле
в конденсаторе и магнитное поле в катушке индуктивности. Ясно, что
этот процесс должен подчиняться определенному уравнению
колебаний. Займемся этим.
Рассмотрим колебательный контур без активного сопротивления
(см. рис. 17.2). Пусть ток / течет в направлении 1 —» 2 —> 3. Тогда
закон Ома для этого участка
/Д = 0 = ^1-у>з+£2> (17.5)
где IR = 0 из-за отсутствия активного сопротивления,
— напряжение на конденсаторе (разность потенциалов между
обкладками 1 и 3 конденсатора), а
e2 = -L^ = -L/ (17.7)
— э.д.с. самоиндукции катушки индуктивности (знак «минус» в
соответствии с правилом Ленца). Подставив (17.6) и (17.7) в (17.5),
получаем:

17. Электрические колебания 229
Но т. к. сила тока ,
/=J=4, (17.8)
то уравнение (*) может быть приведено к виду
Lq+±q = O (17.9)
или
q + u2q = 0, (17.10)
где
Это и есть уравнение колебаний в колебательном контуре без
активного сопротивления. Оно совпадает с уравнением (1.10) (или (2.1)),
которому подчиняются колебания гармонического осциллятора
(собственные колебания), только вместо переменной я, соответствующей,
смещению совершающей гармонические колебания системы из
положения равновесия, в нашем случае (в случае колебательного контура)
имеем дело с зарядом q на одной из обкладок конденсатора. Поэтому,
естественно, что мы не будем решать уравнение (17.10) заново, а
просто можем воспользоваться результатами из § 2. Так, общим решением
уравнения (17.10) является (см. (2.2))
q = qmoo8(LA + a), (17.12)
т.е. заряд q на обкладках конденсатора изменяется по
гармоническому закону с циклической частотой и?, определяемой по
формуле (17.11). Здесь qm — максимальное значение заряда на обкладке
конденсатора, а — начальная фаза колебаний заряда, определяемая
начальными условиями. Период колебаний Т определяется по
формуле (2.4):
Г= —=2тг>/ТС, (17.13)
и
называемой, как вам известно еще из школьного курса физики,
формулой Томсона.
Напряжение на конденсаторе
а), (17.14)
где
Umc = qf (17.15)
— амплитуда напряжения. Таким образом, заряд q на обкладках
конденсатора и напряжение Uc между ними меняются в
одинаковой фазе.

230 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Сила тока / в колебательном контуре (см. (17.8) и (17.12))
определяется формулой
= /mcos (ujt + a+ -V (17.16)
где
Im=qmu (17.17)
— амплитуда тока. Из сравнения (17.16) с (17.14) (или (17.12))
получаем, что колебания тока опережают по фазе колебания
напряжения (заряда) на обкладках конденсатора на тг/2 — в тот
момент, когда сила тока в контуре достигнет максимального значения
[cos [utf + а + ~] = 1), напряжение или заряд на обкладках
конденсатора минимальны (равны нулю, т. к. cos(ut + а) = 0 в этот момент
времени) и так далее. Об этом мы уже говорили выше, исходя из
закона сохранения энергии колебательного контура.
Максимальные значения напряжения UmC и тока 1т могут быть
вычислены по формулам (17.15) и (17.17). Из них находим формулу,
связывающую максимальные значения тока и напряжения:
тс- (17.18)
Мы здесь воспользовались формулой (17.11) для циклической
частоты и собственных колебаний колебательного контура.
Имеется прямая аналогия между механическим гармоническим
осциллятором, совершающим свободные колебания под действием
упругой возвращающей силы, и колебательным контуром без активно-
гб сопротивления (см. §2). Как уже было отмечено выше,
смещению х осциллятора соответствует заряд q на обкладках конденсатора,
а (см. (2.5) и (17.16)) скорости х осциллятора — ток / в колебательном
контуре:
х q>
х g = i.
Мы и дальше можем проследить аналогию между механическим
гармоническим осциллятором и колебательным контуром. Но так как
под механическим гармоническим осциллятором мы понимаем такие
механические колебательные системы, как пружинный,
математический, физический, крутильный и т.д. маятники (см. §1),
совершающие малые колебания, то дальше лучше рассмотреть аналогию между
колебательным контуром и конкретным гармоническим осциллятором,
например, пружинным маятником (см. п. 1.1). Из сравнения уравнения
движения для пружинного маятника (1.1а) (второго закона Ньютона,
записанного для пружинного маятника) с уравнением (17.9)
колебательного контура сразу находим аналогию между массой т
осциллятора (коэффициентом при х) и индуктивностью L колебательного конту-

17. Электрические колебания
231
pa (коэффициентом при д), а также между коэффициентом упругости к
пружины (коэффициентом при х) и обратной величиной емкости \/С
колебательного контура (коэффициентом при q):
т
k J,.
(17.20)
Из этой аналогии можно получить формулу для собственной
циклической частоты колебательного контура без активного сопротивления
(см. (1.2)):
г к 1
(17.21)
и =
что совпадает с (17.11), как и должно быть.
Из сравнения упругой возвращающей силы в пружинном маятнике
(см. (1.1)) и напряжения между обкладками конденсатора (см. (17.14)),
а также использования аналогий между fc, x и 1/С, q соответственно
следует аналогия между этими величинами:
= -kx £/ = -
(17.22)
В табл. 17.1 собраны вышеперечисленные аналогии между
механическими и электрическими величинами, соответствующими пружинному
маятнику и колебательному контуру.
Таблица 17.1
М
1
2
3
4
5
6
Механические величины
Смещение х
Скорость х
Масса т
Жесткость к
Собственная частота и — \ —
V т
Упругая сила F = -кх
Электрические величины
Заряд q
Ток q = I
Индуктивность L
(Емкость)"1 —
С
Собственная частота о; ==-
Vlc
Напряжение на конденсаторе Uc = ~
С
Мы можем сделать следующие выводы.
В колебательном контуре без активного сопротивления:
1. Происходят незатухающие гармонические колебания заряда q
на обкладках конденсатора, напряжения Uc между обкладками
конденсатора и тока / (см. (17.12), (17.14) и (17.16) с собственной
частотой о;, определяемой формулой (17.11).

232 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
2. Полная энергия W колебательного контура, равная сумме
энергии We электрического поля конденсатора и энергии Wm
магнитного поля катушки индуктивности, сохраняется (см. (17.4)),
хотя в течение колебательного процесса энергии электрического
и магнитного полей меняются и периодически переходят друг
в друга с удвоенной частотой 2и>.
3. Колебания заряда q и напряжения Uc на конденсаторе
происходят в одинаковой фазе (см. (17.12), (17.14)), а ток опережает
их по фазе на тг/2 (см. (17.16)).
4. Между механическими и электрическими величинами
имеются аналогии (см. табл. 17.1).
Внимание! Необходимо подчеркнуть, что аналогии между
механическими и электрическими величинами проведены здесь для
пружинного маятника. Аналогично можно сравнить электрические величины
колебательного контура с механическими величинами других
механических гармонических осцилляторов — математического, физического,
крутильного и т.д. маятников. Предлагаю читателю заняться этим
самому.
В заключение хотим обратить ваше внимание еще на один момент.
В п. 6.7 было вкратце упомянуто о том, что в теоретической физике
вместо 2-го закона Ньютона пользуются универсальными уравнениями
движения исследуемой системы — уравнениями Лагранжа.
Уравнения Лагранжа универсальны в том смысле, что с их помощью можно
изучать любые системы, исследуемые во всех областях физики:
механике, молекулярной физике, электричестве и магнетизме, вообще,
в физике микро- и макромира. В (6.95), (6.96) были приведены
уравнения Лагранжа для системы с s степенями свободы:
где функция, равная разности кинетической WK и потенциальной Wn
энергий исследуемой системы,
L = WK-Wn (17.24)
называется функцией Лагранжа исследуемой системы. Функция
Лагранжа и индуктивность обозначены одной и той же буквой L
(так уж сложилось исторически, старайтесь их не путать). Переменные
х{,х2, ...,х5 (в теоретической физике это не обязательно обычные
координаты) называются обобщенными координатами.
Обобщенными координатами называются любые з независимых координат
(обозначим их qv q2,..., q3), однозначно определяющих состояние
исследуемой системы, и уравнения Лагранжа в обобщенных коорди-

17, Электрические колебания 233
натах имеют вид
где s — число степеней свободы исследуемой системы, а цг называется
обобщенной скоростью, соответствующей г-й степени свободы.
В случае колебательного контура состояние системы
(колебательного контура) однозначно задается зарядом q на обкладках конденсатора,
т.е. колебательный контур обладает одной степенью свободы (s = 1),
и в качестве обобщенной координаты может быть выбран заряд q на
обкладках конденсатора контура и уравнение Лагранжа для
колебательного контура лишь одно:
±д±-д±-0 (1726)
в котором функция Лагранжа колебательного контура определяется
формулами (17.24), (17.2) и (17.3):
il n727)
2С' ( '
Здесь мы учли, что обобщенная скорость q в данном случае есть не
что иное, как ток / в колебательном контуре (см. (17.16) или (17.19)).
Вычислим частные производные от функции Лагранжа по обобщенной
координате (заряду q) и обобщенной скорости q:
8L q Ы
Подставив их в уравнение Лагранжа (17.26), получим
Lq+±q = Q (17.29)
ИЛИ
^ 2g = 0, (17.30)
которые совпадают с уравнениями колебаний колебательного
контура (17.9) или (17.10), как и должно быть. Мы здесь просто показали
использование формализма Лагранжа в теоретической физике при
исследовании колебательного контура.
17.2. Колебания колебательного контура с активным
сопротивлением (свободные колебания колебательного контура с
активным сопротивлением). На этот раз будем считать, что в
колебательном контуре присутствует и активное (омическое) сопротивление R
(см. рис. 17.1):
Д^О. (17.31)

234 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Понятно, что из-за нагревания активного сопротивления (вспомните
закон Джоуля-Ленца) энергия колебательного контура,
представляющая собой сумму энергий электрического и магнитного полей,
постепенно уменьшается, т. к. часть этой энергии переходит в тепловую
энергию нагревания, т. е. колебания колебательного контура
должны быть затухающими.
Закон Ома (17.5) примет вид
/Д = -■£-£/, (17.32а)
О
или
Lq + Rq+^q = 0. (17.32)
Вывод этого уравнения аналогичен выводу (17.9). Разделив полученное
уравнение на индуктивность L, получим уравнение колебаний в
колебательном контуре с активным сопротивлением:
(17.33)
Вновь введенная величина
/? = ;§ (17.34)
называется коэффициентом затухания. Название это понятно, если
сравнить уравнение (17.33) с уравнением (3.2) затухающих колебаний
осциллятора. Опять, не решая заново уравнение (17.33), его решение
находим, используя решение (3.4а) уравнения (3.2) для осциллятора:
д = дтее-# сое (<«;,* +а), (17.35)
т. е. заряд q на обкладках конденсатора изменяется по закону
затухающих колебаний осциллятора с коэффициентом затухания /?,
определяемым по формуле (17.34), и с циклической частотой
(см. (3.5))
^I^ ^*L (17.36)
Мы видим, что частота ujx затухающих колебаний (колебаний при
наличии активного сопротивления) колебательного контура меньше
собственной частоты ш колебательного контура (контура без активного
сопротивления):
и>х = yfrf^p < и = ~^=-, (17.37)
что является, как мы помним из гл. I, общим свойством осциллятора.

/ 7. Электрические колебания 235
Напряжение U на конденсаторе также меняется по закону
затухающих колебаний осциллятора:
% (17.38)
где максимальное значение UmC напряжения равно
(17.39)
Из (17.35) и (17.39) видно, что заряд q на обкладках
конденсатора и напряжение Uc между обкладками конденсатора меняются
в одинаковой фазе (как и в случае конденсатора без активного
сопротивления).
Для нахождения закона изменения тока / в колебательном контуре
вычисляем производную по времени от заряда q на обкладках
конденсатора
/ = q = qm [-/Зе-Р* cos (ux t + a)- e~^u)x sin (i^ t + a)]. (*)
Из (17.37) можно получить, что
Умножив (*) на единицу в виде (**) (естественно, ничего не меняется)
и введя новый угол <р9 для которого
U в (di
=*► tg(p = —--
—L, cosv? = =*► tg(p = —--, (17.40)
LJ U) jj
выражение (*) для тока в контуре может быть приведено к виду:
/ = 1тв-# cos (w,t + a + <p), (17.41)
где максимальное значение 1т тока в контуре определяется формулой
1т = Ят<о- (17.42)
Внимание! Максимальное значение тока определяется частотой w
собственных колебаний конденсатора, а не частотой и{
затухающих колебаний. Из (17.41) сразу можем сделать вывод, что ток
в колебательном контуре с активным сопротивлением меняется по
закону затухающих колебаний осциллятора и опережает по фазе
заряд и напряжение на угол <£>, определяемый по формуле (17.40).
В отличие от колебательного контура без активного сопротивления,
когда ток опережает по фазе заряд или напряжение на обкладках
конденсатора точно на тг/2 (см. (17.16)), наличие активного
сопротивления R приводит к разным значениям фазы опережения (р. Из (17.40)

236 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
видно, что фаза опережения <р принимает значения от тг/2 (при R = 0)
до тг, что происходит при
_ шх [Ь
W у С
Только что сказанное схематически можно выразить в виде
при (КД<2^. (17.43)
В случае Д = 2ч /-^ частота затухающих колебаний контура равна
нулю, т. е. изменения заряда, напряжения и тока перестают быть
периодическими. Сопротивление
называется критическим. Вообще, выводы, сделанные в §3,
остаются в силе и здесь, только надо учесть, что здесь роль
осциллятора играет колебательный контур. Так, время релаксации т
колебательного контура (см. (3.10) и (17.34))
Вы должны помнить, что время релаксации — это время, в течение
которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. В случае
колебательного контура амплитудными значениями заряда, напряжения и
тока являются, соответственно, величины (см. (17.35), (17.38) и (17.41)):
qo(t)=qme-0t, U0(t) = UmCe^\ I0(t) = 1^. (17.45)
Логарифмический декремент затухания колебательного контура
(см. (3.13))
-■?£ (1746)
Здесь
2Ж 2* 2П (17.47)
4L2
— период затухающих колебаний колебательного контура, No —
число полных периодов за время релаксации. Последнее
выражение в (17.46) для логарифмического декремента затуханий контура

/ 7. Электрические колебания 237
получается, если воспользоваться формулами (17.34) и (17.47) для 0
и Тх. В случае слабых затуханий коэффициент затухания 0 мал и
/?2<а>2 =» с^ »о>, (17.48)
т.е. логарифмический декремент затухания колебательного контура
может быть вычислен по формуле
в « —г- = ttRW — . (17.49)
Здесь частоту с^ затухающих колебаний колебательного контура
заменили на частоту и его собственных колебаний. Добротность
колебательного контура Q определяется формулой (см. (3.23))
Сделаем выводы:
В колебательном контуре с активным сопротивлением R:
1. Происходят затухающие колебания заряда q на обкладках
конденсатора, напряжения Uc между обкладками конденсатора
и тока I (см. (17.35), (17.38) и (17.41)) с частотой u>v
определяемой формулой (17.37).
2. Полная энергия W колебательного контура, равная сумме
энергии We электрического поля конденсатора и энергии Wm
магнитного поля катушки индуктивности, не сохраняется (в
отличие от колебательного контура без активного сопротивления),
а постепенно уменьшается, переходя в тепловую энергию
нагревания.
3. Колебания заряда q и напряжения Uc на конденсаторе
происходят в одинаковой фазе (см. (17.35), (17.38)), а ток
опережает их по фазе на угол у>, лежащий в интервале от тг/2 до тг
(см. (17.43) и (17.40)).
4. Между механическими и электрическими величинами
имеются аналогии (см. табл. 17.1).
В заключение этого параграфа естественно опять обратиться к
формализму Лагранжа (см. конец предыдущего параграфа). Уравнения
Лагранжа, приведенные в (17.25), справедливы в случае отсутствия
диссипативных сил (т.е. в случае наличия только потенциальных сил).
Об этом специально не было сказано, чтобы не загромождать материал
ненужными тогда сведениями. В общем случае уравнения Лагранжа
имеют вид
где 5 величин Qi,Q2'-"»Qe называются обобщенными силами,
соответствующими диссипативным силам. В случае колебательного

238
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
контура с активным сопротивлением R уравнение Лагранжа
вместо (17.26) принимает вид
dt dq dq
(17.52)
в котором что собой представляют L, q, qy нам известно. Остается
найти обобщенную диссипативную силу Qwcc. Ее можно определить из
следующих простых соображений. Уравнение Лагранжа (17.52) может
быть переписано следующим образом:
ddL
dt
&ДИСС
Здесь мы воспользовались первым равенством из (17.28)
dL- q -U
и
(17.53)
(17.54)
Поэтому можно заключить, что обобщенная диссипативная сила <2ДИСС,
в нашем случае наличия активного омического сопротивления Д,
должна быть равна напряжению на участке активного сопротивления, т. е.
Здисс =
(17.55)
Тогда если подставить в уравнение Лагранжа (17.53) выражения (17.54)
и (17.55) для Uc и <2ДИСС, получим уравнение (17.32) —
модифицированный закон Ома для колебательного контура с активным
сопротивлением, представляющее собой уравнение колебаний
колебательного контура с активным сопротивлением R. То, что
обобщенная диссипативная сила фдисс совпадает с падением напряжения на
участке активного омического сопротивления Д, понятно, т.к.
именно на этом участке происходит диссипация энергии колебательного
контура (закон Джоуля-Ленца).
17.3. Вынужденные колебания
колебательного контура. Будем считать, что в
колебательный контур включен источник э.д.с.
U (см. рис. 17.4), изменяющейся по гармони-
ческому закону:
U = Um COS LJ2t.
(17.56)
Здесь Um — амплитудное значение э.д.с,
а ц - циклическая частота колебаний U
источника э.д.с. Последняя, в отличие от
собственной циклической частоты ш контура и частоты шх затухающих
колебаний, снабжена индексом «2». Этих обозначений и будем при-

17. Электрические колебания 239
держиваться в последующем. Закон Ома при наличии источника э.д.с.
примет вид
IR = -^ - ZJ + Um cos uj2tt (17.57)
откуда можно получить
q + 2(3q + u2q= -^ cos u2t. (17.58)
JL/
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
относительно заряда д, совпадающее с уравнением (4.2) вынужденных
колебаний осциллятора. Поэтому, не решая заново уравнение (17.58), мы
можем воспользоваться готовыми решениями уравнения (4.2). Мы
знаем из §4, что в этом случае имеется так называемый переходный
режим колебаний, когда осциллятор, совершая затухающие
колебания, постепенно переходит в режим установившихся колебаний.
Мы не будем здесь интересоваться переходным режимом колебаний
колебательного контура от момента включения источника э.д.с. до
момента начала установившихся колебаний, т.е. воспользуемся
решением (4.7) уравнения (4.2):
q = qm cos(w2t + а), (17.59)
где максимальное значение заряда qm на обкладках конденсатора и
начальная фаза а определяются по формулам (4.10) и (4.8):
(17.60)
Естественно, мы здесь вместо /0 = F0/m в формулах (4.8), (4.10)
подставили Um/L, что полностью соответствует и аналогии между
механическими и электрическими величинами (см. табл. 17.1). Подставив
в (17.60) выражение (17.11) для частоты о; собственных колебаний
колебательного контура и (17.34) для коэффициента затухания /3
контура, получим окончательные формулы для определения qm и а:
qm = Um o, (17.61)
(17.62)

240
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Для полноты приведем и формулы для синуса и косинуса начальной
фазы а заряда q на обкладках конденсатора:
sin a = —
R
cosa = —
(17.63)
(17.64)
Эти формулы получены из (4.11) и (4.9) с учетом выражений для
частоты и собственных колебаний колебательного контура и его
коэффициента затухания /?.
Мы видим, что амплитудные значения заряда gm на обкладках
конденсатора и начальная фаза а заряда зависят от частоты и>2
источника э.д.с.:
Ят = 9т("2)' а = <*("2)- О7'65)
Графики их зависимостей от ш2 приведены на рис. 17.5 и рис. 17.6.
1
7Г
2
7Г
ш
1 х
Л
/л
/А
Рис. 17.5
Рис. 17.6
На этих графиках /?4 > /33 > 02 > (3{ = 0. Об этих графиках
подробно было сказано в п. 4.3 при построении графиков на рис. 4.1
и рис. 4.4. Максимальное значение заряда при и>2 = 0 (э.д.с. источника
постоянна) получается из (4.26) известной заменой
0 => А
Ur
umc,
т.е.
Ят("2 = 0) = UmC,
(17.66)
как и должно быть.
Резонанс колебаний заряда возникает при резонансной
частоте w2pe3> которую можно определить, если воспользоваться формула-

17. Электрические колебания 2£1
ми (4.28) и (17.11):
R2 (17.67)
Графики (см. рис. 17.5) зависимости максимальных значений заряда qm
на обкладках конденсатора от частоты ш2 колебаний э.д.с. называются
резонансными кривыми для заряда.
Как видно из (17.36), (17.67), резонансная частота и;2ре3 меньше
частоты их затухающих колебаний заряда в колебательном контуре,
которая в свою очередь меньше частоты и собственных колебаний
контура:
J___kL /_L_*L _!_ (1768)
LC 212 <]j LC 4L2 < VIC '
В случае частот ш2 колебаний внешней э.д.с. е, близких к
частоте ш собственных колебаний колебательного контура, формула (17.60)
для максимального значения qm заряда на обкладках конденсатора
несколько упрощается и принимает вид
qm = i^Q__L__ = UmCQL(w2), (17.69)
где Q — добротность колебательного контура, a L(u2) — лоренцева
функция (см. (4.32)). Для получения (17.69) мы обратились к (4.31).
Из графика зависимости начальной фазы а заряда от частоты ш2
изменения приложенной внешней э.д.с. U (см. рис. 17.6) видно, что эта
фаза отрицательна и принимает значения от 0 до (—тг) при увеличении
частоты и2:
= (0,оо) =* а = (0,-тг). (17.70)
Другими словами, колебания заряда q на обкладках конденсатора
отстают по фазе от колебаний э.д.с. U внешнего источника,
причем это отставание тем больше, чем больше частота а?2 колебаний
э.д.с. U, стремясь к (-тг) при неограниченном возрастании этой
частоты, т.е. при больших частотах колебания q и U происходят
в противофазе.
Напряжение Uc на конденсаторе
Uc = % = UmCcos(u2t + a) (17.71)

242
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
меняется в такой же фазе, что и заряд на обкладках конденсатора,
где максимальное значение напряжения на конденсаторе
UmC - ~n ~
(17.72)
Графики зависимости напряжения Uc на конденсаторе от частоты uj2
колебаний э.д.с. (резонансные кривые для напряжения) аналогичны
графикам зависимости q от ш2 (см. рис. 17.5) и при ш2 —* 0 все кривые
сходятся в одной точке, где
_ тт
(17.73)
т.е. при постоянной э.д.с. напряжение на конденсаторе равно
приложенному напряжению. График рисовать не будем.
Ток в колебательном контуре
= Im cos
(u2t + a + |^,
где максимальное значение тока
1т =
(17.74)
(17.75)
Внимание! Максимальное значение тока в случае вынужденных
колебаний определяется частотой и>2 колебаний внешней э.д.с,
а не частотой и собственных колебаний, как было в случае
затухающих колебаний (см. (17.42) и замечание после нее). Из
сравнения (17.74) и (17.59) (или (17.71)) можно сделать вывод, что ток /
опережает по фазе заряд q на обкладках конденсатора (или
напряжение Uc на конденсаторе)
на тг/2. Резонансные кривые тока
приведены на рис. 17.7.
В отличие от резонансных кривых
для заряда и напряжения
резонансные кривые тока при и2 -> 0 стремятся
к нулевому значению тока
и)2 -» 0 =»
О,
(17.76)
Рис. 17.7
что понятно (при постоянной э.д.с.
ток в контуре отсутствует). Есть еще
и другое отличие. Из (17.75) видно,

17. Электрические колебания
243
мальна в том случае, когда
что амплитуда 1т силы тока
макси(17.77а)
<»2С
т. е. резонансная частота для тока а;£рез совпадает с собственной
частотой и? колебательного контура:
1
(17.77)
в то время как резонансная частота заряда и напряжения на
конденсаторе меньше частоты ш собственных колебаний контура и определяется
формулой (17.67).
Максимальное (амплитудное) значение силы тока в случае
резонанса
^трез=^2Рез) = ^« (17.78)
Из (3.23) и сказанного после нее ясно, что качество
колебательного контура определяется его добротностью Q. Обратимся к графику
на рис. 17.8, представляющему
собой резонансную кривую для
относительного значения тока — по оси
ординат отложено отношение
амплитудного значения тока 1т к
амплитудному значению тока /трез в
случае резонанса:
(17.79)
* то рез
Рис. 17.8
Как мы видим из рис. 17.7, чем
меньше коэффициент затухания /3, тем
острее резонансная кривая. Это
качество («острота» резонансной кривой) определяется отношением
«ширины кривой» к резонансной частоте, т.е. величиной —£%- = ——.
а;2рез ш
Конечно, понятие «ширины резонансной кривой» необходимо уточнить.
Условились, что в качестве ширины резонансной кривой берется
разность частот Ц' и Ц, для которых максимальное значение тока
меньше максимального значения тока в случае резонанса в \/2 раз:
/\ _ г
2) — I
(17.80)

Um
244 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Такой выбор определяется просто: мощность пропорциональна
квадрату тока и частоты с^ и Ц' соответствуют половинным значениям
мощности. Тогда, считая, что
Г — -*трез
и используя формулы (17.75), (17.78), получаем
~ RV2'
или
Здесь мы воспользовались определением коэффициента
затухания /3 и собственной частоты колебаний и (см. (17.34) и (17.11)). Решая
квадратное уравнение (*), находим необходимые нам частоты Ц и Ц'
колебаний э.д.с, при которых максимальное значение тока будет в \/2
раза меньше максимального значения тока в случае резонанса:
<4 = <у/и;2 + /32 -/3, о# = у/uj2 + (З2 + /3, (17.81)
т. е. ширина резонансной кривой
^-u4 = 2/?. (17.82)
1 \
п \ w2LC J
Отсюда следует, что относительная ширина резонансной кривой
колебательного контура равна обратной величине добротности:
Црез Ш Ш V L Q
т. е. чем больше добротность колебательного контура, тем острее его
резонансная кривая.
В заключение закон Ома (17.57) перепишем через напряжения:
U = UR + UC + UL, (17.84)
где (см. (17.74), (17.75), (17.71), (17.72), (17.7))
UmR = ImR = qmw2R (17.85a)
— падение напряжения на активном (омическом)
сопротивлении R,
Uc = ^ = UmC cos(w2t + a), UmC = ^ = ^ (17.856)
— напряжение на конденсаторе,
UL = Li = UmLcos(u>2t + a + ir), UmL = u2LIm (17.85в)

17. Электрические колебания 245
— падение напряжения на индуктивности L и (см. (17.56))
U = Umcosu2t
Мы видим, что напряжение UR на активном сопротивлении и ток I
в контуре меняются в одинаковой фазе, напряжение Uc на
конденсаторе отстает по фазе на тг/2 от тока I, а падение
напряжения UL на индуктивности опережает по фазе на тг/2 ток I
в контуре.
И, наконец, как это мы делали в предыдущих случаях, уравнение
вынужденных колебаний в колебательном контуре (17.58) можно
получить в лагранжевом формализме. Попытайтесь сами.
Сделаем выводы.
В колебательном контуре с источником э.д.с, меняющейся по
гармоническому закону с частотой и>2 (см. (17.56)):
1. Установившиеся вынужденные колебания заряда q на
обкладках конденсатора, напряжения Uc между обкладками
конденсатора и тока I (см. (17.59), (17.71) и (17.74)) происходят
с частотой (л>2у совпадающей с частотой колебаний источника э.д.с.
То же самое можно сказать и о падениях напряжения на омическом
сопротивлении и индуктивности.
2. Колебания заряда q и напряжения Uc на конденсаторе
происходят в одинаковой фазе (см. (17.59), (17.71)), а ток опережает
их по фазе на тг/2 (см. (17.74)).
3. Колебания заряда q (напряжения Uc) на конденсаторе
отстают по фазе от колебаний э.д.с. U внешнего источника на а.
Причем это отставание тем больше, чем больше частота и>2
колебаний э.д.с. £, стремящаяся к (—тг) при неограниченном
возрастании этой частоты (см. рис. 17.6).
4. Колебания напряжения UR на омическом сопротивлении
и тока I происходят в одинаковой фазе, а падение напряжения UL
на индуктивности (напряжения Uc на конденсаторе) опережает
(отстает) по фазе ток I на тг/2.
5. Резонанс заряда q (напряжения Uc) на конденсаторе
происходит при частоте ш2рез, определяемой формулой (17.67), а
тока / — при частоте <^2рез» совпадающей с частотой и> собственных
колебаний колебательного контура (см. (17.77)).
6. Относительная ширина резонансной кривой тока
колебательного контура равна обратной величине его добротности
(см. (17.83)).
17.4. Переменный ток. Фактически протекание переменного
тока через цепь, состоящую из участков любого типа (омическое
сопротивление Д, емкость С, индуктивность L), мы уже рассмотрели.
Но полезно рассмотреть это еще раз в частных и общем случаях

246 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
несколько иначе. На этот раз наличие источника переменной э.д.с.
(см. (17.56))
U — Um cos u>2t
будем считать обязательным.
В общем случае ток / и напряжения на отдельных участках цепи
определяются формулами (см. (17.74), (17.85а), (17.856), (17.85в))
UR = UmRcos (u2t + a + |), UmR = ImR,
Uc = UmC cos(v2t + a), UmC = ImXc,
UL = UmL cos(u2t + a + тг), UmL = ImXL,
Здесь (см. (17.62))
R R
tga = — r = T
а амплитудное значение тока (см. (17.75))
г _
т
Мы ввели новые обозначения
X =
XL=w2L, Xc = -^, (17.86)
в которых X называется реактивным сопротивлением (в отличие от
активного сопротивления Д), XL — индуктивное сопротивление,
Хс — емкостное сопротивление), а
Z = v/i?2 + X2 = 4 /Д2 + (a;2L - -L) (17.86а)
— полное сопротивление (импеданс) цепи.
Из (17.74) и (17.85а), (17.856), (17.85в) сразу видно выполнение
четвертого вывода из п. 17.2 — колебания тока / и напряжения UR
на омическом (активном) сопротивлении R происходят в одинаковой
фазе, а падение напряжения UL на индуктивности (напряжения Uc на
конденсаторе) опережает (отстает) по фазе ток / на тг/2.
Если ввести / ч
( ) (17.87)

/ 7. Электрические колебания
247
где а — начальная фаза колебаний заряда q на обкладках конденсатора,
то формулы (17.59), (17.74) и (17.85а), (17.856), (17.85в) и (17.62)
переписываются в виде
q = qmcos (u2t - <р - 0 = qmcos
/ = /m cos (o>2* - <p) = /m cos v? (t),
^я = ^тл cos (u;2* - у?) = С7тЯ cos (p (t),
^c = ^mc cos (^ J)
|) = C/mL COS
Здесь
7Г
ip(t) = o;2i - ^ = u)2t + a + -.
(17.88)
(17.88a)
Формулы (17.88) (см. также (17.75)) позволяют легко
воспользоваться векторным представлением колебаний (см. п. 2.2), что видно
на рис. 17.9.
С1т
(XL-Xc)Im =
UmC = XcIm
Рис. 17.9
С помощью полученных формул можно рассмотреть частные случаи:
1. Переменный ток, текущий через цепь, содержащую только
активное сопротивление:
Д^О, L = 0, С = оо. (17.89а)
2. Переменный ток, текущий только через катушку индуктивности:
Д = 0, L#0, С = оо. (17.896)

248 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
3. Переменный ток, текущий только через конденсатор:
Д = 0, L = 0, С фоо. (17.89b)
Эти случаи предлагаем исследовать вам самим (совет: вам будет
полезно воспользоваться и векторным представлением).
В заключение этого параграфа рассмотрим мощность Р,
выделяемую в цепи переменного тока:
P(t) = I(t)U(t) = Imcos{uj2t - <p)Um cosu2t.
Все фигурирующие здесь величины P, 7, U переменны, поэтому
берутся их значения в определенный момент времени t. Элементарная
тригонометрия позволяет преобразовать это выражение:
P(t) = \lmUm cos^ + ilmUm cos(2u;2* - <p).
Приборы измеряют среднее значение, поэтому среднее значение мощ-
ности (достаточно вычислить среднее значение за один период Г2 = —
колебаний э.д.с.)
(17.90)
Здесь мы воспользовались тем, что среднее значение косинуса от
переменного аргумента равно нулю:
(cos^u^ — ф))=0.
Так как (см. (17.87), (17.63), (17.86а) и (17.75))
/ тг\ . R
cos (р = cos (а+тт) =— sina=—,
то для мощности переменного тока получим
^ (17.91)
Так как мощность переменного тока определяется формулой
Р = Д/2 = /С/,
то ток и напряжение, определяемые формулами
e~V2y e~~V2' ( '
называются эффективными значениями переменного тока и
напряжения. И мощность переменного тока может быть представлена через
эффективные значения тока и напряжения:
P = IeUecos<p. (17.90а)
Множитель cosv? называется коэффициентом мощности. В технике
стараются максимально увеличить этот коэффициент.

/ 7. Электрические колебания 249
Пример 17.1. Колебательный контур состоит из соленоида
(катушки длиной / = 5 см, площадью поперечного сечения Sx = 2 см2
и числом витков N = 250) и плоского конденсатора (площадь
пластинок S2 = 1 см2, расстояние между ними d = 2 мм). Определить
частоту и собственных колебаний контура.
Воспользуемся формулой (17.11) для искомой величины:
1
Индуктивность L соленоида вычисляется по формуле (см. табл. 17.2)
N2S{ N2S{
а емкость С плоского конденсатора
Здесь мы учли, что для воздуха ц = 1, е = 1. Таким образом
(пользуемся еще формулой (11.67) для скорости света),
ld -8,5-Ю7 ИМ.
С
Внимание! Мы работаем в системе единиц СИ, поэтому не
забудьте приводить значения величин, фигурирующих в рабочих формулах,
в эту систему единиц.
Пользуясь случаем (возникшей в задаче необходимостью
вычисления емкости и индуктивности), заметим, что емкости и индуктивности
систем, обладающих определенными симметриями, могут быть
вычислены аналитически. В табл. 17.2 приведены формулы для емкостей
и индуктивностей некоторых систем (система единиц СИ, емкость С
в фарадах, индуктивность L в генри).
Пример 17.2. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С = 5 мкФ, катушки с индуктивностью L — 10 мГн и
омического сопротивления R = 1 Ом. Заряд конденсатора qm =0,1 мКл.
Определить период колебаний Т{1 время релаксации г,
логарифмический декремент затухания 0, добротность Q и закон изменения
напряжения Uc на обкладках конденсатора.
Период колебаний Тх колебательного контура определяется
формулой (17.47)
_ 2тг 2тг 2тг
Т\ =
4L2

250
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таблица 17.2
№
1
2
3
4
5
6
7
Система
Плоский конденсатор (5 — площадь обкладок,
d — расстояние между ними)
Цилиндрический конденсатор или коаксиальный
кабель (г{ и г2 — радиусы внутреннего и внешнего
цилиндров, 1 — длина цилиндра (кабеля))
Сферический конденсатор (гх иг2- радиусы
внутренней и внешней сфер)
Двухпроводная линия (d — расстояние между осями
проводов, г — радиус проводов, 1 — длина проводов)
Соленоид (N — число витков, 1 — длина соленоида,
S — площадь поперечного сечения, п = N/1 —
число витков на единицу длины, V = SI — объем
соленоида, к — коэффициент, значение которого зависит
от l/d (см. табл. 17.3)
Длинный коаксиальный кабель
Длинная двухпроводная линия {d/r > 1)
Формула для
емкости или
индуктивности
с 47гееог1г2
Г2-Г,
с= тгеео1
In——
г
W0N2S
J
= ktifiorfV
2тг rx
2тг г
где и)х — циклическая частота затухающих, а ш — собственных
колебаний контура, (3 — коэффициент затухания контура. Подставив
численные значения, получаем, что
Тх = 2,79 • 10"4 с.
Время релаксации г определяется формулой (17.44)
с,
т.е. через такой промежуток времени амплитудные значения заряда,
напряжения и тока уменьшаются в е раз. Логарифмический декремент
затухания (см. (17.46))
добротность контура (см. (17.50))

/ 7. Электрические колебания
251
l/d
k
Таблица
0,1
0,2
0,5
0,5
1
0,6
17.3
5
0,8
10
« 1,0
И, наконец, закон колебаний напряжения на обкладках конденсатора
устанавливаем, используя формулы (17.38) и (17.39):
Начальная фаза а находится из начальных условий:
Таким образом,
Uc = ^е~т cos %t = 20e"50t cos(7168,49тг*) = 20e~50t cosO,49tt* В.
С Г,
Ответ дается в вольтах (система СИ).
Пример 17,3, Колебательный контур, состоящий из емкости
С = 10 мкФ, индуктивности L = 0,1 Гн и активного сопротивления
R = 165,8 Ом, подключен к источнику бытовой переменной сети.
Определить: амплитудное значение 1т силы тока в цепи, разность фаз <р
между током / и внешним напряжением U, амплитудные значения UmL
и UmC напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе.
Напряжение (эффективное значение напряжения) каждодневно
используемой нами сети и частота и2 нам известны:
Ue = 220 В, i/2 = 50 Гц.
Поэтому закон изменений внешней э.д.с. (см. (17.56), (17.92)) имеет
вид:
U = 220V2 cos 314* = 310cos 1(ХЫ = 310cos 314* В, (*)
т. к. циклическая частота и2 э.д.с.
и2 = 2tti/2 = 100тг с"1 =314 рад/с.
В (*) амплитудное значение внешней э.д.с.
Амплитудное значение 1т силы тока вычисляется по формуле (17.75):
Т —
и„
= 0,93 А.

252 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
Для сведения можно привести вычисленные значения реактивного X
и полного Z сопротивления (импеданса) (см. (17.86), (17.86а)) цепи:
X = XL - Хс = v2L - ~ = -287,1 Ом,
Z = y/R2+X2 « 332 Ом.
Так как
tglp = я = ~1732 ** * = "60° = ~S'
то ток в контуре будет меняться по закону (см. (17.88)):
I = Im cos (u)2t -<p) = 0,93 cos (КХЫ + |) А.
т. е. он опережает внешнее напряжение U на тг/3.
Индуктивное и емкостное сопротивления определяются по
формулам (17.86):
XL = ш2Ь = 31,4 Ом, Хс = -^ = 318,5 Ом,
u>2 G
поэтому амплитудные значения UmL и 17тС напряжений на катушке
индуктивности и конденсаторе равны (см. (17.856), (17.85в)):
ить = ImXL = 29,2 В, UmC = 1тХс = 296,2 В.
Для полноты можно привести и законы изменений напряжений на
катушке индуктивности и емкости (см. (17.88)):
UL = UmL cos (u>2t - у + |) = 29,2 cos (iOOtt* + ^) B,
^c = ^c cos Lj2t - if - I) = 296,2 cos (lOOrrt - ~) B.
Пример 17.4. В обычную сеть переменного тока включены
конденсатор С, активное сопротивление R и катушка индуктивности L
(именно в таком порядке). Активное сопротивление и индуктивность
катушки известны: R = 10 Ом, L = 0,1 Гн. С помощью вольтметра
измерили падение напряжения UCR на участке «конденсатор +
сопротивление» и URL на участке «сопротивление + катушка» и нашли их
отношение: (UCR : URL) = 3. Определить: емкость конденсатора, силу
тока и законы изменений тока и напряжений.

/ 7. Электрические колебания
253
Сделаем рисунок в соответствии с условиями задачи:
Для обычной сети
U = Ue= 220 В, u;2 = 2iru2 = ЮОтг рад/с.
В этой задаче мы имеем дело с показаниями прибора, т. е. с
эффективными значениями напряжения (и тока). Индекс «е», показатель того,
что имеем дело с эффективными значениями, для упрощения снимем.
Воспользуемся условием задачи
= 3 =►
Отсюда получаем рабочую формулу, а подставив численные значения,
и само значение для емкости конденсатора:
Ток
С =
1
U
= 96,8 мкФ.
= 21,76 А.
Законы изменений тока и напряжений определяются четырьмя
формулами из (17.88), необходимо лишь найти амплитудные значения тока
и напряжений, а также фазу tp между током и внешним напряжением.
Амплитудное значение тока равно (см. (17.92))
=30,78 А.

254 Гл. ///. Колебания и волны в разных областях физики
Амплитудные значения напряжений на омическом сопротивлении,
на конденсаторе и катушке индуктивности находим, используя
формулы (17.85а), (17.856), (17.85в):
UmR = ImR = 307,8 В,
UmC=Im^r = Ю12.7 В,
Фаза
2п
<р = arctg ^2k = arctg(-0,15) = -0,15 рад.
К
Мы уже готовы записать законы изменений тока и напряжений:
/ = 30,78cos(314*+ 0,15) А,
С/д = 307,8cos(314*+ 0,15) В,
С/с = 1012,7 cos (314* + 0,15- |) В,
C/L = 966,5cos(314* + 0,15+!) В.
Таким образом, ток и напряжение на активном сопротивлении
меняются в одинаковой фазе, опережая по фазе внешнее переменное
напряжение на 0,15 рад, а напряжение на конденсаторе (катушке)
отстает (опережает) от тока по фазе на тг/2.
§ 18. Явления на границе раздела двух сред
18.1. Упругие волны. Допустим, что со стороны некоторой среды
(будем считать, первой среды) на границу раздела со второй средой
падает упругая волна. Граница
раздела может быть произвольной
формы, но для нас достаточно
рассмотреть нормальное падение
волны на плоскую границу
раздела (см. рис. 18.1). Система отсчета
выбрана так, что границей раздела
сред служит плоскость
Рис. 18.1 у у
х = 0. (18.1)
Тогда уравнение падающей волны имеет вид (см. (10.7))
inanV > / ^™" ^01 COSlCi/it ~~ К\Х), ^10.^*3^
где и{ — циклическая частота падающей волны, кх = — = -^ —
волновое число в первой среде, vx — скорость распространения (фазовая
1-я
А Л
среда
1
0
V
2
2
-Я
среда
X

18. Явления на границе раздела двух сред 255
скорость) волны в первой среде. Часть волны отражается, и ее
уравнение (см. (10.12))
t) = so\ coe(wj* + k{x), (18.26)
а часть проходит через границу:
52пр(х, t) = 502 cos^t — к2х). (18.2в)
Смысл индексов понятен. Тогда уравнения волн в первой и второй
средах (вспомните принцип суперпозиции) принимают вид
8x(x9t) = «1пад + «1отр = SQl COS(u{t - кхх) + s'0l COs(u{t + kxx),
S2(x, t) = 52np = <% COs(u;2^ - ^2^)-
Эти решения мы должны «сшить» на границе раздела сред, т.е. эти
решения должны удовлетворять определенным граничным условиям.
Первое граничное условие должно отразить неразрывность среды
на границе раздела, т.е. смещения частиц сред на границе раздела
со стороны обеих сред должны быть одинаковы (на границе
раздела х = 0):
*i(0,*) = «2(0.i). О8-4)
т.е.
(so\ + SQi)cosujit = 502coso;2^.
Так как последнее равенство в общем случае выполняется лишь при
равенстве частот падающей и проходящей волн:
шх = и>2, (18.5)
то первое граничное условие может быть записано как
5oi + 5oi =s02> (18.4а)
т. е. амплитуда з02 проходящей волны должна быть равна сумме
амплитуд s01 + Sq| падающей и отраженной волн.
Второе граничное условие — это условие равенства напряжений а
на границе раздела (определение напряжения см. в (11.14)):
Из § 11 мы помним, что напряжение а среды в результате ее
деформации в процессе прохождения волны определяется формулой
а = Се, (18.7)

256 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
где е — относительная деформация, а модуль упругости С равен,
соответственно, модулю Юнга Е, модулю сдвига G или модулю объемной
упругости Кг (см. (11.50)):
C = E\G\KV (18.8)
в зависимости от типа волн и среды, в которой распространяется
волна: в случае распространения продольных волн в твердой среде
С = Е\ в случае распространения поперечных волн в твердой среде
С = G и в случае распространения волн в жидкости или газе (волны
продольные) С = Кг. Можно ввести понятие импеданса (волнового
сопротивления) среды:
z = ~. (18.9)
Граничное условие (18.6) с учетом (18.7) и (18.9) приводится к виду
zxvxex(Q,t) = z2v2e2(0it). (18.6a)
Относительная деформация в средах
6i(x,t) = -j-*- = s0lk{ cos(u{t — fcjx) — sfoxk{ cos^J-f k{x),
£2(#,£) = -p1 =
и, подставив их значения на границе раздела в (18.6а), пользуясь выра-
жением волновых чисел через частоты волн я, = —-, к0 = —-\ и одина-
V l v\ l v2J
ковостью частот волн (см. (18.5)), можно получить второе граничное
условие (18.6) в таком необходимом для нас виде:
(8о\ -soi)*i =«02^2- (18.66)
Система из двух уравнений (18.4а) и (18.66) с двумя неизвестными,
амплитудами s'0{ отраженной и s02 проходящей волн, решается просто:
= 101 = 1201 ,, 01
02 zx+z2 Cxv2 + C2vx i + Ъ'
Z\
Для волнового сопротивления z среды мы можем получить другую
полезную формулу через объемную плотность р среды, если
воспользоваться формулой (11.52) для модуля упругости С, одинаковой для
всех типов волн и сред:
z = - = pv. (18.9а)
v

18. Явления на границе раздела двух сред 257
Здесь и выше для упрощения записи индекс «вол» в обозначении
скорости vB0Jl волны мы убрали, т.к. в этом обозначении здесь нет
необходимости (а тогда, в § 11, кроме скорости волны vB0Jl была
необходимость иметь дело и со скоростью vK0Jl колебаний частиц среды.
Замечание это сделано с целью напомнить вам еще раз о совершенно
разных смыслах этих величин — скорости волны и скорости колебаний
частиц среды).
С использованием (18.9а) формулы (18.10) для амплитуд
отраженной и проходящей волн могут быть переписаны через плотности р, и р2
сред:
1 РчЩ
5 = S%* 5 = S»- (18.10а)
P\Vl
Интенсивности падающей, отраженной и проходящей волн
могут быть определены, соответственно, по следующим формулам
(см. первую формулу (11.59), (11.13)):
h = 2^1^1*01^1, /{ = ^i^oVi* h = 2^2^2«02^?- (18.11)
Можно ввести величины, характеризующие «степень прозрачности»
границ раздела двух сред — коэффициент отражения Я, равный
относительной интенсивности отраженной волны, т.е. отношению
интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей волны:
и коэффициент пропускания Г, равный относительной
интенсивности проходящей волны, т. е. отношению интенсивности проходящей
волны к интенсивности падающей волны:
<so\J
Сумма этих коэффициентов равна единице,
Д + Г=1. (18.14)
Из формул (18.12) и (18.13) видно, что коэффициенты отражения
и пропускания симметричны относительно сред (относительно
индексов 1 и 2), поэтому можно сказать, что коэффициенты отражения
и пропускания одинаковы для обоих направлений
распространения упругой волны (как с 1-й среды во 2-ю, так и наоборот).
Формулы (18.12) и (18.13) для коэффициентов отражения и
пропускания можно преобразовать к виду, удобному для графического

258
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
исследования и практического использования:
<-h
(18.12a)
(18.13a)
На рис. 18.2 приведены графики зависимостей коэффициентов R и Т
от относительного волнового сопротивления —. Пунктирной
линией описывается график зависимости коэффициента отражения R от
относительного волнового сопротивления —, а сплошной линией —
коэффициент пропускания Г. Из этих графиков мы можем сделать
следующие выводы.
1. В случае одинаковых волновых сопротивлений коэффициент
отражения становится равным нулю, а коэффициент пропускания — единице:
Z{ =
= 0, Г=
т. е. какими бы ни были разными среды, в случае одинаковости их
волновых сопротивлений упругая волна проходит через границу
их раздела без отражения.
2. В том случае, когда волновое сопротивление одной из сред
значительно больше волнового сопротивления другой, коэффициент
отражения равен единице, а коэффициент пропускания — нулю:
R= 1, Г = 0;
Д= 1, Г = 0,
(18.15а)
(18.156)
1,0
0,5
R, Т
у
А
z\ \п\)
Рис. 18.2

18. Явления на границе раздела двух сред
259
т. е. в случае значительного отличия волновых сопротивлений
соприкасающихся сред упругая волна полностью отражается от
границы раздела этих сред.
К этим двум выводам можно добавить еще такие:
3. Частоты отраженной и проходящей упругих волн на границе
раздела двух сред совпадают с частотой падающей на границу
раздела волны
Ш1 =и[=ш2. (18.16)
4. Длина волны Х[ отраженной волны совпадает с длиной
волны Aj падающей на границу раздела волны, а длина волны Л2
проходящей волны меняется:
(18.17)
Л1 =Л1 = ——» Л2 =
о;,
5. Коэффициенты отражения и пропускания R и Г
вычисляются по формулам (18.12) и (18.13) или (18.12а) и (18.13а).
6. Коэффициенты отражения и пропускания одинаковы для
обоих направлений распространения упругой волны (как с 1-й
среды на 2-ю, так и наоборот).
18.2. Электромагнитные волны. Допустим, что на границу
раздела двух разных однородных сред падает электромагнитная волна. Опыт
показывает, что часть волны отражается, часть продолжает
распространяться, изменив при этом направление, во второй среде (см. рис. 18.3).
Будем считать, что среды непроводящие, т. е. диэлектрики:
Mi = А*2 = 1» е\ Ф е2- (18.18)
На рис. 18.3 к, к' и к" — волновые
векторы падающей, отраженной и
преломленной волн (см. (16.19)). Тогда
напряженности электрических полей этих трех волн
будут представлены, соответственно,
следующим образом (см. (16.20)):
pi(wt-kr)
Е = Ете'
= Е'
(*)
Здесь дополнительные фазы а' и а"
учитывают возможность изменения фаз отраженной
и преломленной волн. Ясно, что в первой среде результирующая
напряженность электрического поля по принципу суперпозиции равна
векторной сумме напряженностей падающей и отраженной волн
Е, =
(**)

260 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
а во второй среде распространяется только проходящая (преломленная)
волна, т. е.
Е2 = Е". (***)
На границе раздела сред тангенциальные составляющие напряжен-
ностей электрических полей должны быть одинаковы:
ЕХТ = Е2Т. (Д)
Применение граничного условия (Д) к (**) и (***), с учетом (*),
приводит к равенству
^*> *'гк'+^ *<"**+">. (ДД)
Здесь мы в показателях степеней раскрыли скалярные произведения
типа
кг = кхх + куу + kzz,
а также учли, что волновые векторы лежат на плоскости z = 0 и на
границе раздела у = 0. Так как обе части равенства (ДД) представляют
гармонические функции от t и х, то для того чтобы равенство (ДД)
выполнялось при любых значениях tux, необходимо, чтобы
выполнялись равенства
о; = а/ = иЛ (18.19)
кх = к'х = *£'. (ДДД)
Из формулы (18.19) сразу видно, что частоты отраженной и
преломленной электромагнитной волны остаются неизменными (от среды
не зависят) и равны частоте падающей электромагнитной волны.
Пользуясь рис. 18.3, равенство (ДДД) можно переписать в виде
к sin в = У sin в1 = к" sin 0" =>
=> — sin 0 = — sin в' = — sin 0".
V, Uj V2
Углы в, Qf и 0" называются, соответственно, углами падения,
отражения и преломления электромагнитной волны на границе раздела
двух сред. Последние равенства позволяют найти, что
^ = 0, (18.20)
Sin0 Псу /ЮО1Ч
i (1821)
Здесь при получении второго равенства мы воспользовались
формулой (16.13) для скоростей электромагнитной волны в разных средах:
Vl = —, t^ = —, (18.22)
7Z| Tin
где пх (п2) — показатель преломления первой (второй) среды, в
которой распространяется электромагнитная волна (см. (16.14)), а с —

18. Явления на границе раздела двух сред 26J_
скорость электромагнитной волны (света) в вакууме (см. (16.15)).
Величина „ ,,
п21 = ^ = ^1, (18.23)
n, v2
равная отношению показателей преломления 2-й и 1-й сред, называется
относительным показателем преломления второй среды по
отношению к первой. Равенство (18.20) называется законом отражения
света — угол отражения света равен углу падения и отраженный
луч света лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью
в точке падения (в плоскости падения). Соотношение (18.21)
выражает закон преломления света — отношение синуса угла падения
света к синусу угла преломления постоянно для заданных сред
и равно относительному показателю преломления второй среды
по отношению к первой. Этот закон называется законом Снел-
лиуса по имени ученого, впервые получившего эту закономерность
при исследовании прохождения луча света через границу раздела двух
прозрачных сред.
Так как при получении законов отражения и преломления (18.20),
(18.21) не было сделано никаких ограничений на частоту (длину
волны) электромагнитной волны, то они справедливы для любой
электромагнитной волны, хотя были получены Снеллиусом на опытах со
светом, т. е. с электромагнитной волной определенного диапазона длин
волн (см. (16.55)).
Рассмотрим случай нормального
падения электромагнитной волны на
границу раздела двух непроводящих
сред (см. рис. 18.4):
Mi = А*2 = 1- (18.24)
Обозначения прежние: нештрихован-
ные величины относятся к падающей
волне, штрихованные — отраженной,
а величины с двумя штрихами —
проходящей волнам. Векторы е, е' и е" —
единичные векторы вдоль направлений р .g ,
падающей, отраженной и
преломленной волн, т. е.
е = е" = -е'. (18.25)
Направления напряженностей магнитного поля определяются по
правилу правого буравчика (см. (16.26)). На границе раздела
тангенциальные составляющие напряженностей электрического (магнитного) поля
со сторон разных сред должны быть одинаковы:
(18.26)
(18.27)
n2 = V
e<
E
E"
e'
H
e"
H'
> ф
ф
H"

262 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Первым условием мы выше уже пользовались. В нашем случае
равенства (18.26) и (18.27) эквивалентны равенствам
Е + Е' = Е", (18.28)
Н + Н' = Н". (18.29)
Пользуясь общей связью (16.26) между напряженностями
электрического и магнитного полей, можно получить следующие формулы:
Н' = щМ [в' х Е'] = -щ .р- [е х Е'], (18.30)
V Мо V ^о
Н" = щ.р- [в" х Е"1 =по.р[ех Е"1.
2V \Ч
Подставив (18.30) в (18.29), получим, что
п,Е = п,Е' + п2Е". (18.31)
Мы получили систему из 2 уравнений (18.28) и (18.31)
Е = Е"-Е', (18.28)
п,Е = п,Е'+ п2Е" (18.31)
с. 2 неизвестными Е' и Е". Решая их, получим искомые напряженности
электрических полей отраженной и проходящей волн:
Е/ = ni ~П2Е>
пх+п2 ' (1832)
Е" = 2щ Е.
Щ -f- П2
Мы видим полное формальное совпадение этих формул с
формулами (18.10), выражающими амплитуды отраженной и
проходящей волн в случае упругих волн. Только в случае электромагнитных
волн показатель п среды имеет смысл величины, равной или хотя
бы прямо пропорциональной волновому сопротивлению (импедансу)
z среды, определяемому формулой (18.9), т.е.
z (упругие волны) <=> п (электромагнитные волны). (18.33)
Рассмотрим интенсивности электромагнитных волн у границы
раздела сред. Пользуясь формулой (16.45а), находим интенсивности

18. Явления на границе раздела двух сред 263
падающей, отраженной и проходящей волн:
~ще1
(18.34)
По закону сохранения энергии интенсивность падающей волны равна
сумме интенсивностей отраженных и проходящих волн:
/ = /' + /", (18.35)
в чем легко убедиться простой подстановкой. Так же, как мы делали
в случае упругих волн, и здесь можем пользоваться такими
величинами, как коэффициенты отражения и пропускания:
„_>;.£_ to)'. „8.36)
1 Ет \П1+П2/
J" _пД_ 4n,n2
1 п\Ет {ПХ+П2У
Эти формулы также формально совпадают с формулами (18.12)
и (18.13) для соответствующих коэффициентов в случае упругих волн
с учетом вышесказанного (см. (18.33)). Очевидно, что сумма этих
коэффициентов равна единице (закон сохранения энергии). Можно
построить график зависимости R и Т от отношения п2/п{ показателей
преломления сред (см. рис. 18.2, где по оси абсцисс отложено n2/nv
что указано в скобках) и сделать выводы, аналогичные тем, которые
были сделаны для упругих волн. Только надо учесть специфику
электромагнитных волн.
Выводы:
1. Частоты отраженной и проходящей (преломленной)
электромагнитных волн совпадают с частотой падающей на границу
раздела волны (см. (18.19)):
о; = а/=иЛ (18.38)
2. Длина волны Л' отраженной электромагнитной волны
совпадает с длиной волны Л падающей на границу раздела волны,
а длина волны Л" проходящей волны меняется:
А = А' = \ А" = ^А. (18.39)
П1 П2
3. Закон отражения: отраженный луч света лежит в плоскости
падения и угол отражения равен углу падения (см. (18.20)).

264 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
4. Закон преломления: преломленный луч света лежит в
плоскости падения и углы преломления и падения связаны
соотношением (18.21).
5. Преломленная (проходящая) и падающая электромагнитные
волны колеблются в одинаковой фазе — при прохождении через
границу раздела сред световая волна не меняет фазу колебаний (см.
вторую формулу (18.32)).
6. В случае
щ >п2, (18.40)
т. е. при отражении электромагнитной волны от границы раздела
оптически более плотной среды с оптически менее плотной фаза
колебаний отраженной электромагнитной волны не меняется.
7. В противном случае
щ<п2> (18.41)
т. е. при отражении электромагнитной волны от границы раздела
оптически менее плотной среды с оптически более плотной фаза
колебаний отраженной электромагнитной волны меняется на
противоположную (т.е. изменяется на тг).
8. Коэффициенты отражения и пропускания одинаковы для
обоих направлений распространения электромагнитной волны
(как с 1-й среды на 2-ю, так и наоборот). Это следует из
симметричности формул (18.36) и (18.37) относительно перестановки индексов 1
и 2 (перестановка индексов 1 и 2 в этих формулах не меняет
значений R и Т).
9. В случае сред одинаковой оптической плотности коэффициент
отражения становится равным нулю, а коэффициент пропускания —
единице (см. рис. 18.2 или формулы (18,36), (18.37)):
0 = 0, щ = п2 => R = 0, Т = 1, (18.42)
т. е. какими бы ни были разными соприкасающиеся среды, в
случае одинаковости их показателей преломления электромагнитная
волна проходит через границу их раздела без отражения.
10. В случае значительного отличия показателей преломления
соприкасающихся сред электромагнитная волна полностью
отражается от границы раздела этих сред:
0 = 0, п2>п{ (или щ > n2) => R = 1, Т = 0. (18.43)
Надо заметить, что два последних вывода справедливы в случае
нормального падения электромагнитной волны на границу раздела сред,
что отражено в формулах (18.42) и (18.43) условием в = 0.
Пример 18.1. Вывести формулу для предельного угла 0пред —
минимального значения угла падения светового луча, при котором
наблюдается явление полного внутреннего отражения (ПВО).
С явлением ПВО вы знакомы еще из школьного курса физики.
При падении света из оптически более плотной среды в оптически

18. Явления на границе раздела двух сред
265
менее плотную (пх > п2), как видно из закона Снеллиуса (18.21), угол
преломления 0" будет больше угла падения 0. И тогда возможен
случай, когда практически не будет света, распространяющегося во второй
среде, а преломленный луч при каком-то определенном угле 0пред
падения будет скользить вдоль границы раздела сред, т. е. угол преломления
будет равен 0" = 90°. В этом случае по закону Снеллиуса
sin0n
sin 90°
(18.44)
При углах падения, равных или больших 0пред, определяемого этой
формулой, будет наблюдаться явление ПВО.
Пример 18.2. На дне сосуда, наполненного водой до
глубины h = 30 см, находится точечный источник света S. На поверхности
воды лежит непрозрачная круглая пластинка, причем центр пластинки
находится точно над источником света (см. рис. 18.5). Определить
минимальный диаметр d диска, при котором источника света не будет
видно над водой.
п2
Рис. 18.5
Так как свет идет от источника света 5, т. е. на границу раздела АВ
падает со стороны оптически более плотной среды (воды, п{ = 1,33)
в среду, оптически менее плотную (воздух, п2 = 1,00029 « 1,0), то при
углах падения 0, равных или больших 0пред, будет наблюдаться
явление ПВО, т. е. источника света S над водой мы не увидим. Из рисунка
видно, что
d
2
В то же время
(*)
(**)

266 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Из (*) и (**) находим искомую величину
d = t2h = 68,4 см,
т. е. если диаметр диска будет равен или больше 68,4 см, то источник
света 5 над водой мы не увидим.
Пример 18.3. Определить коэффициенты отражения и
пропускания света обычным стеклом.
Если мы хотим определить эти коэффициенты для обычного
оконного стекла, то соприкасающимися средами являются воздух и стекло
и для них пх = 1,0, п2 = 1,5. Тогда искомые величины определяются
по формулам (18.36) и (18.37)
x+n
Т = ^-^ = 0,96 & Т = 1 - Д.
(п\ + Щ)
Таким образом, при нормальном падении света на стекло отражается
только 4% световой энергии, а 96% пропускается, в чем мы довольно
неплохо убеждаемся каждый день.
Пример 18.4. Определить коэффициент пропускания звука для
материалов из дерева.
Это задача на определение звукопроницаемости широко
используемого на практике строительного материала. Коэффициент пропускания
звуковых волн определяется формулой (18.13а)
m 4рогл> 1
P\V\
V
где в данной задаче р{ и vx — плотность первой среды (воздуха)
и скорость распространения звука в ней:
р{ = 1,3 кг/м3, и, = 330 м/с. (*)
Эти данные взяты из справочника. Конечно, скорость vx звука в
воздухе может быть определена и по формуле (11.26). Соответствующие
величины для дерева также находим аналогично:
р2 = 600 кг/м3, v2 = 3000 м/с. (**)
Подставив численные значения (*) и (**) в формулу для коэффициента
пропускания, получим
Г« 0,001,
что вполне соответствует второму выводу в вопросе п. 18.1 (см. (18.15а)),
т.е. деревянный материал является очень хорошо звукоизолирующим

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 267
материалом. Вы можете сами исследовать на звукопроницаемость
и другие материалы. Задача решена.
Пример 18.5. Тонкое волокно, выполненное из прозрачного
материала с показателем преломления п = 1,35, образует так называемый
световод. Определить максимальный угол а0, когда при отклонениях
светового луча от оси симметрии
световода на такой или меньше угол
энергетические потери будут
минимальны.
На рис. 18.6 луч 1 — отраженный
луч, а луч 2 — преломленный,
скользящий вдоль границы раздела волокна
и воздуха в случае равенства угла
падения в предельному углу (18.44):
п 1
в — 0ППР_ = arcsin — = arcsin —.
н А пх п
При углах в > 0пред (т. е. при углах а < а0) не будет выходящего
из волокна света, т.е. энергетические потери будут минимальными.
Из рисунка видно, что
COSa0 = ^П^пред = " = °»74>
таким образом, искомый угол
ао = 42°12/.
§ 19. Излучение электрического диполя
(осциллятора). Осциллятор в электромагнитном поле
19.1. Излучение электрического диполя (осциллятора). Изучая
курс «Электродинамики» как один из разделов теоретической физики,
вы увидите, что, решая систему уравнений Максвелла, записанных
для произвольной системы зарядов, можно убедиться в том, что
электромагнитное поле вне этой системы представляет собой
совокупность полей различных мультиполей — полного заряда,
электрического дипольного момента, магнитного дипольного момента,
электрического квадрупольного момента и так далее. Вообще мультиполь —
понятие, введенное в теоретической физике и представляющее собой
систему зарядов, определяющих электромагнитное поле на большом
расстоянии от рассматриваемой системы зарядов (т. е. на расстояниях,
значительно больших размеров системы зарядов). Мультиполь
нулевого порядка (монополь, т. е. мультиполь порядка I = 0) представляет

268 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
собой точечный заряд с электрическим зарядом е, равным полному
заряду рассматриваемой системы
е = У>„ (19.1)
и напряженность Е электрического поля, создаваемого им, как мы
знаем, обратно пропорциональна квадрату расстояния г до точки
наблюдения: . .
Я(заряд) = Е(1 = 0) - \ = -ij. (19.1а)
Мультиполь первого порядка (электрический диполь, т.е.
мультиполь первого порядка / = 1) представляет собой два разноименных
одинаковых по величине заряда, и его электрическое поле на большом
расстоянии обратно пропорционально кубу расстояния до точки
наблюдения:
Е(диполь) = Е(1 = 1) ~ -з = -щ. (19.16)
Четыре одинаковых по величине заряда, расположенных в вершинах
параллелограмма так, что сторона параллелограмма соединяет разные
по знаку заряды, представляет собой квадруполь, т.е. мультиполь
второго порядка / = 2. Поле квадруполя на большом расстоянии
обратно пропорционально четвертой степени расстояния до точки
наблюдения: j .
Е(квадруполь) = Е(1 = 2) ~ -j = -щ. (19.1 в)
Восемь одинаковых по величине зарядов, расположенных в вершинах
параллелепипеда так, что его каждое ребро соединяет разные по знаку
заряды, образуют октуполь, т. е. мультиполь третьего порядка, поле
которого на большом расстоянии обратно пропорционально пятой
степени расстояния до точки наблюдения:
Я(октуполь) = Е(1 = 3) - ~ = -jjr-. (19.1г)
И так далее. Таким образом, поле любой системы зарядов на
большом расстоянии представляет собой суперпозицию полей мульти-
полей разных порядков, что схематически может быть представлено
следующим образом:
Подвижные заряды представляют собой токи, создающие вокруг
себя магнитные поля, и магнитное поле подвижных зарядов может быть
также разложено по мультиполям. Но силы, действующих на заряд со
стороны магнитной составляющей, пренебрежимо малы по сравнению

19. Излучение электрического диполя (осциллятора)
269
с силами, действующими на тот же заряд со стороны электрической
составляющей поля (см. (16.57)). Поэтому в случае нерелятивистских
частиц нам достаточно рассмотреть электрическую составляющую
поля системы зарядов. Даже больше: так как поле электрического муль-
типоля уменьшается с расстоянием как
то ясно, что наиболее существенным в оптической области
(см. (16.57) и соображения, связанные с ним) является электрическое
дипольное излучение, возникающее при изменении со временем
электрического дипольного момента системы зарядов. Поэтому здесь будем
рассматривать именно электрическое дипольное излучение (излучение
электрического диполя).
Электрическим дипольным
моментом (дипольным моментом) системы
зарядов называется векторная величина,
определяемая по формуле
т<, (19.4)
—е
Рис. 19.1
где ег — заряд частицы под номером г, г^-
ее радиус-вектор, и суммирование
ведется по всем зарядам излучающей системы.
Простейшим диполем является система
из двух равных по величине, но противоположных по знаку зарядов
(см. рис. 19.1), дипольный момент которой, определяемый по общей
формуле (19.4)
d = -ег! +ег2 = е(г2 - тх) = el, (19.5)
равен произведению заряда частицы на вектор 1, проведенный от
отрицательного заряда к положительному. Внимание! Не путайте только
что введенный вектор 1 с порядком / мультиполя.
В оптике обычно выполняется условие
а < А < г,
(19.6)
где а — характерный размер излучающей системы, А — длина волны
электромагнитного излучения, г — расстояние от излучающей системы
до точки наблюдения. Действительно, характерный размер
излучающей системы — атома или молекулы — равен примерно 10"10 м, длина
оптического излучения (световой волны) — А « 10~7 м (см. (16.55)),
а расстояние до точки наблюдения г « 10"1 м, т.е. условие (19.6)
выполняется неплохо:
ю-10<10-7< иг1.

270 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Область, находящаяся на расстояниях г, значительно
превышающих длину волны А электромагнитного излучения, называется
волновой зоной излучающей системы. При выполнении условия (19.6),
т.е. в волновой зоне решениями уравнений Максвелла (16.7)—(16.10)
являются следующие выражения для напряженностей электрического
и магнитного полей излучаемого электромагнитного поля (с выводом
вы ознакомитесь, когда будете изучать электродинамику в курсе
теоретической физики):
(19.7)
E(t) = 1/^[Hxn]=Moc[Hxn].
Здесь n = - — орт радиуса-вектора г точки наблюдения, а
T = t--, (19.7а)
с
т. е. - представляет собой время запаздывания — время, через
которое излучаемая электромагнитная волна достигает точку наблюдения.
Это интуитивно понятно, так как
электромагнитное поле в точке наблюдения в
момент времени t определяется состоянием из-
dj / лучающей системы в предыдущий момент
времени т, определяемый очевидной
формулой (19.7а). Мы видим, что, как и должно
быть, г, Е и Н образуют правовинтовую
систему (см. рис. 19.2). Введем сферическую си-
Рис. 19.2 стему координат г, 0, <р таким образом, чтобы
полярная ось (ось OZ) была направлена вдоль
дипольного момента d излучающей системы, т. е. угол между диполь-
ным моментом и радиусом-вектором точки наблюдения А совпадает
с полярным углом 0. Тогда из (19.7) сразу можно получить формулы
для напряженностей электрического и магнитного полей излучаемой
электромагнитной волны:
Е = цосН = p-dsin6y
, _ 47ГГ (19.76)
Н = dsin0.
4тгсг
Сферические составляющие напряженностей электрического и
магнитного полей электромагнитного излучения в точке наблюдения А
определяются по следующим формулам:
О
Ег = 0, Ев = p-d sin 0, Ей, = 0,
47ГГ , (19.8)
Нг = 0, Нв = 0, Н
r
4тгсг

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 271
Из формул (19.8) ясно, что электрические и магнитные поля
излучения максимальны в направлениях, перпендикулярных дипольному
моменту излучающей системы (в = 90°), и минимальны (просто
исчезают) в направлениях полярной оси, т.е. вдоль дипольного момента
(0 = 0°). Пользуясь формулами (19.7) для напряженностей
электрического и магнитного полей, можно вычислить вектор Пойнтинга (16.35):
S = [Е х Н] = и/,0 J2 sin2 0. (19.9)
При этом мы учли, что двойное векторное произведение может быть
раскрыто по правилу «bac-cab», перпендикулярность векторов п и Н,
а также воспользовались формулой для величины напряженности
магнитного поля:
[Hx[Hxn]]=H(H.n)-ntf2,
(H.n) = 0,
4тгсг
Формула (19.9) для вектора Пойнтинга ясно показывает наличие
потока электромагнитной энергии, излучаемой системой зарядов в
окружающее пространство. Можно получить формулы и для плотностей we
энергии электрического и wm энергии магнитного полей (для вакуума):
Здесь мы воспользовались формулами для плотностей энергий (16.31)
и напряженностей (19.76) электрического и магнитного полей.
Как и должно быть (см. (16.32)), плотности энергий электрического
и магнитного полей одинаковы:
we = wm. (19.11)
Плотность энергии электрического дипольного излучения равна
n26. (19.12)
Конечно, эта формула могла бы быть получена сразу из формулы (19.9)
для вектора Пойнтинга, если бы мы воспользовались известной
формулой (16.34) для модуля вектора Пойнтинга.
Плотность потока энергии электромагнитной волны, излучаемой
диполем, обратно пропорциональна квадрату расстояния г2 от
излучающей системы до точки наблюдения (см. (19.9) или (19.12)),

272
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
в
что и должно быть, так как полный
поток электромагнитной энергии через
сферическую поверхность, охватывающую
излучающую систему, по закону сохранения
энергии должен оставаться постоянным, а
площадь поверхности сферы (4тгг2) растет
пропорционально квадрату радиуса г сферы.
Множитель sin20 в формуле (19.9) для
вектора Пойнтинга приводит к неравномерному
распределению интенсивности излучения по
разным направлениям — как уже было сказано выше, она максимальна
в направлении, перпендикулярном дипольному моменту (в = 90°), и
отсутствует вдоль направления дипольного момента (в = 0°, см. рис. 19.3,
где приведена диаграмма направленности излучения).
Поток электромагнитной энергии через элементарную площадку ds,
обхватывающую элементарный телесный угол d£l, т.е.
интенсивность dl излучения в телесный угол dQ, равен
рис
dl = (S • da) = Sds = Sr2du = Sr2sin9d0d<p
dl^-rpz-d2 sin3 6d6 dip.
(19.13)
Отсюда суммированием интенсивностей по всем направлениям
(интегрированием по сферическим координатам в и <р) можно получить
формулу для полной интенсивности дипольного излучения системы
зарядов с дипольным моментом d:
I =
iSLd
О7ГС
(19.14)
При получении этой формулы был вычислен следующий двойной
интеграл:
2тг
Lin3Ode [ dip = -2тг [ (1 - cos20) d(cos0) = у.
0 0 0
Если воспользоваться определением дипольного момента (19.4)
системы зарядов, то формулы (19.7) для напряженностей излучаемой
этой системой зарядов электромагнитной волны могут быть записаны
в следующем виде:
Н =
1
4тгсг
4ят
(19.15)
х nl.

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 273
Мы видим, что электромагнитное излучение возможно только
неравномерно движущимися заряженными частицами (т.е. при
г, Ф 0). Другими словами, равномерно движущиеся заряды не
излучают.
В случае одиночного заряда по формуле (19.4) его дипольный
момент равен
d = er (19.16)
и так как
d = ef = ew, (19.17)
где w — ускорение заряда, то в случае одиночного заряда в
предыдущих формулах d2 можно заменить на e2w2. Например, вектор Пойнтин-
га и интенсивность излучения (см. (19.9) и (19.14)) будут вычисляться
по формулам
. (19.19)
Допустим, что заряд совершает гармонические колебания
г = r0cosurt, (19.20)
т.е. представляет собой осциллятор (гармонический осциллятор).
В этом случае его дипольный момент
d = er = er0 cos ut = d0 cos ut, (19.21)
где d0 = er0 — амплитудное значение дипольного момента
осциллятора. Поэтому
d = -u;2d0 cosu;* = -cAi, (19.22)
и интенсивность излучения гармонического осциллятора (заряда е,
колеблющегося по гармоническому закону (19.20)) в телесный угол dQ
равна (см. (19.13))
f£ sin3 в dO d^ • cos2 ut
и представляет собой мгновенную интенсивность, меняющуюся очень
быстро (с частотой и;). Физический смысл имеет средняя по времени
интенсивность излучения (она регистрируется прибором):

274 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
2тг
где Г = период колебаний осциллятора. Так как
т
Т
то
dI = »<£ГУ sin3 в d9 dip (19 23)
и полная интенсивность / дипольного излучения осциллятора
Вектор Пойнтинга для гармонического осциллятора
in2*- <1925)
Появление коэффициента - по сравнению с (19.9) понятно.
Мы можем сделать следующие выводы:
1. Гармонический осциллятор, совершающий колебания с
частотой и;, излучает электромагнитные волны с той же частотой.
2. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату
амплитуды г0 и четвертой степени частоты и> колебаний
осциллятора.
В классической физике считается, что излучение атомов
обусловлено колебаниями электронов около их положения равновесия в атомах.
В резерфордовской модели атома электрон вращается вокруг ядра,
т.е. движется с нормальным (центростремительным) ускорением и
поэтому непрерывно излучает электромагнитную волну. Из-за этого
электрон теряет энергию и в конце концов электрон должен был бы
упасть на ядро. Это привело бы к тому, что:
• атом был бы нестабильным, что противоречит опыту;
• свойства конкретно взятого атома были бы непостоянными, а
зависели бы от «возраста» атома, что также противоречит опыту.
Эти соображения послужили причиной создания атомной
модели Бора, а в последующем — квантовой механики, в которой эти
трудности исчезают совершенно естественно. В квантовой
механике показывается, что выражения для энергии дипольного излучения,
полученные в классической физике, остаются в принципе
справедливыми. Это объясняется тем, что основные свойства атомных излучателей
объясняются не конкретными законами движения излучающих систем,
а периодичностью процесса.

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 275
Мы рассмотрели электрическое дипольное излучение, которое
в общем случае более интенсивно, чем остальные, но если дипольное
излучение отсутствует (например, при d = 0), то должны быть учтены
излучения в следующих приближениях: магнитное дипольное,
электрическое квадрупольное и т. д.
Надо сказать, что формулы дипольного излучения приведены в
системе единиц СИ, хотя дипольное излучение широко
рассматривается в физике излучения атома, в которой используется
специальная атомная система единиц, на которую проще перейти с гауссовой
системы единиц. Так, формулы (19.7), (19.9), (19.13) и (19.14) для
напряженностей электромагнитного излучения, для вектора Пойнтинга
и интенсивностей электрического дипольного излучения в гауссовой
системе единиц принимают следующий вид:
ixn],
1 d'
А'КС? Г'
1 d2
sin3 в d6 dip,
(19.7*)
(19.9*)
(19.13*)
Переписать остальные формулы в гауссовой системе не составляет
труда.
19.2. Осциллятор в электромагнитном поле. Рассмотрим
частицу с массой m и зарядом е, которая может совершать
гармонические колебания около некоторого положения равновесия под действием
некоторой центральной упругой возвращающей силы (см. (5.1)):
F = -fcr. (19.26)
Уравнению движения (2-й закон Ньютона) для этой частицы
mr = -fcr =*► г + WqT = 0
подчиняются, как мы знаем, гармонические колебания с собственной
частотой
У1 (19.27)
Хорошо известным примером такого пространственного осциллятора
в классической физике является валентный (оптический или
внешний) электрон в атоме. В дальнейшем такую частицу будем называть
валентным электроном в атоме, не ограничивая общности получаемых

276 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
выводов; главное, частица должна представлять собой
пространственный осциллятор с некоторым электрическим зарядом е.
Допустим, что атом с одним валентным электроном находится в
поле электромагнитной волны. В общем случае электромагнитная волна
может быть поляризована эллиптически (см. (16.61)), но для
упрощения математических выкладок будем считать, что электромагнитная
волна поляризована по кругу. Тогда систему отсчета можно выбрать
так, что компоненты электрической и магнитной составляющих
электромагнитной волны в местонахождении валентного электрона будут
иметь вид:
Ех = Е0сози;г, Ey = ±Eosmut, Ez=0;
в. = о. ву = о, bz = b, (1928)
где и — частота электромагнитной волны, а знаки «плюс» («минус»)
соответствуют левой (правой) круговой поляризации электромагнитной
волны.
Уравнение движения валентного электрона атома записывается
в виде
f + о;02г = ± (е + I [г х В]), (19.29)
где в правой части стоит сумма сил, действующих на электрон со
стороны электрического и магнитного полей, деленная на массу электрона,
aw0- собственная частота колебаний валентного электрона в атоме
в отсутствии падающей на атом внешней электромагнитной волны.
Введем вектор ft циклотронной частоты
п = — в =» nx = o, a, = o, п=п = — в. оэ.зо)
тс у тс
Тогда уравнение движения (19.29) электрона принимает вид
fr (19.31)
Векторное произведение скорости электрона на циклотронную частоту
[г хп]=
i j к
x у z
О О п
и уравнение движения (19.31) может быть записано в виде трех
уравнений в скалярном виде:
х — ily + щх = —Ео cosutf,
т
:i—EfiSinutj \izf.oz)
т
= 0.

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 277
Решения этих уравнений (закон движения оптического электрона)
таковы: ^
X = —Г-
У = ±
— ш1 ± )
(19.33)
771(075 -ш2 ± пи)
Исключая из закона движения (19.33) время, находим уравнение
траектории электрона
x2 + y2 = R2±, (19.34)
где „
R± = / 2 2. о V (1935)
m(o;Q — о;2 ± По?)
т.е. под действием электромагнитной волны круговой поляризации
электрон вращается по окружности радиуса Д+ (для света с левой
круговой поляризацией) или радиуса R_ (для света с правой круговой
поляризацией). Другими словами, вращающийся световой вектор Е
поляризованного по кругу электромагнитной волны (света) заставляет
вращаться дипольный момент атома, модуль которого
p±=eR± (19.36)
различен для электромагнитных волн, поляризованных по кругу в
разных направлениях.
В том случае, когда падающая на атом электромагнитная волна
плоскополяризована, валентный электрон в атоме будет совершать
гармонические колебания в плоскости светового вектора (напряженности
электрического поля Е) и волнового вектора к с частотой
вынуждающей силы (силы со стороны электрической составляющей
электромагнитной волны), т. е. с частотой и> электромагнитной волны. В
случае эллиптической поляризации падающей электромагнитной волны
валентный электрон будет вращаться по эллипсу с полуосями
_ еЕ0{ _ еЕ02
вдоль осей х и у соответственно, где Е01 (Е02) — амплитуда х-ком-
поненты (у-компоненты) напряженности электрической составляющей
электромагнитной волны. Все сказанное выше насчет знаков «плюс»
или «минус» остается в силе.
Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:
Под действием электромагнитной волны частоты и> валентный
электрон атома совершает:
1. Гармонические колебания с той же частотой
(19.38)

278
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
где
А =
(19.38а)
если падающая электромагнитная волна плоскополяризована.
2. Вращательные движения по окружности радиуса R±
(см. (19.35)) с той же частотой падающей на атом
электромагнитной волны, если электромагнитная волна поляризована по кругу.
3. Вращательные движения по эллипсу с полуосями а±, Ь±
(см. (19.37)) с той же частотой падающей на атом
электромагнитной волны, если электромагнитная волна поляризована по
эллипсу.
Еще раз подчеркнем, что хотя мы почти всегда говорили
«валентный электрон атома», полученные результаты
справедливы для любого гармонического осциллятора с электрическим
зарядом е и с собственной частотой о>0 колебаний в отсутствии
внешних полей.
Пример 19.1. Определить дипольный момент системы зарядов,
показанных на рисунках А и Б:
[*—о,—»+«—а—*\ —eQ*—i
Рис. А
К\
О
то
—е
—е
Рис. А'
Рис. Б
Приведенные системы зарядов
являются примерами квадруполя.
А. Введем произвольную
систему К (см. рис. А'). Тогда
дипольный момент рассматриваемой
системы зарядов определяется по формуле
(19.4):
d = — evx + 2er2 — er3.
Так как
r2 = rl +r12>
Г3 = Г| + Fj2 H- r23 = Tj + ^rj2,
d = -ег! + 2е (г, + г12) - е (г{ + 2г12) = О,
т.е. дипольный момент такого квадруполя от выбранной системы
отсчета не зависит и равен нулю.
Б. Рассмотрим систему зарядов относительно системы отсчета К
(см. рис. Б') (мы здесь воспользовались тем, что дипольный момент си-

19. Излучение электрического диполя (осциллятора) 279
стемы зарядов не зависит от системы отсчета, ер J3— е
относительно которой ведется наблюдение). Тогда
d = 0 • (-е) + ег2 - ег3 + ег4 =
= е (г2 + г4) - ег3 = ег3 - ег3 = 0.
Мы учли, что
г2 + г4 = г3.
Таким образом, дипольный момент такой системы зарядов также равен
нулю. Нетрудно показать, что этот вывод не зависит от выбранной
системы отсчета. Можете убедиться в этом сами. Задача решена.
Пример 19.2. Допустим, что в однородное магнитное поле с
напряженностью Н перпендикулярно к полю влетает заряд е со скоростью v0.
Определить полную интенсивность излучения этого заряда.
Интенсивность излучения определяем по формуле (19.14*) (в
гауссовой системе единиц):
. 2d2 2e2w2
Ускорение w заряда в магнитном поле Н может быть определено
с помощью второго закона Ньютона, если учесть, что на подвижный
заряд в магнитном поле действует сила Лоренца:
w = -, F = -[dxH] =►
т с
w = — [х> х Н].
гас
Считая потерю энергии зарядом в единицу времени малой, скорость
заряда за это время можно считать неизменной, тогда
/ Л \
Мы учли, что я>0 и Н перпендикулярны, т.е. sin f i>0H 1 = 1.
Подставив полученное значение квадрата ускорения заряда в формулу (*),
получим формулу для интенсивности излучения заряда, влетевшего
в магнитное поле:
_ 2eAvlH2 _ 4е^ (mv2\
3 т*<* ~~ Зт*с* \ 2 )'
Мы видим, что излучаемая энергия обратно пропорциональна пятой
степени скорости света в вакууме с5, т.е. очень мала. Но она прямо
пропорциональна кинетической энергии влетающего в магнитное поле

280 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
заряда и для быстрых частиц становится существенной (например, для
частиц космических лучей, влетающих в магнитное поле Земли).
Пример 19.3. Показать, что из-за электрического дипольного
излучения амплитуда колебаний заряженной частицы е с массой т,
совершающей колебания с циклической частотой ш, уменьшается по
экспоненциальному закону
А = Аое~ы, (□)
ЗтсЗ'
Средняя интенсивность излучения определяется по формуле
р2л;2-| с) 2 с) Л р2,Ал2
j I *- С X | L С /,.9\ & " лО А / 9.\ Си/Л
Ср ~ I 3 С3 I "" Зс3 V УсР ~ Зс3 V УсР "" Зс3 ' V 7
В то же время интенсивность излучения / по величине равна
уменьшению энергии е колеблющегося заряда в единицу времени:
Полная энергия колеблющегося заряда равна
mw2A2
Здесь мы воспользовались «подсказкой» (D) в условии задачи.
Вычислив производную по времени от энергии
и подставив ее в (**) для интенсивности излучения, получим
/ср = тш2ЬА2. (***)
Сравнивая правые части формул (*) и (***), находим формулу для Ь:
Это значение для величины Ь мы определили в предположении
справедливости закона затухания (□).
§ 20. Дисперсия света. Поглощение света
20.1. Дисперсия света. Классическая теория дисперсии света.
В классической электромагнитной теории считается, что показатель
преломления среды от длины волны света не зависит. Но еще Ньютон

20. Дисперсия света. Поглощение света
281
в своем известном из школьного курса физики опыте наглядно показал,
что показатель преломления среды от длины волны зависит:
п = п(А).
(20.1)
Дисперсией света называется зависимость показателя преломления
среды от длины волны А (частоты и) света. В исследовании явления
дисперсии света часто пользуются понятием дисперсии вещества —
производной от показателя преломления по длине волны —. На рис. 20.1
показан схематически опыт Ньютона
по наблюдению явления
дисперсии света. Белый свет,
падающий на прозрачную призму с
преломляющим углом А, из-за
зависимости показателя
преломления от длины волны разлагается
в призме в спектр. Причем, как
это показано на рис. 20.1,
показатель преломления среды с
увеличением длины волны уменьшается
(Акр -^ Аоранж > ... > А,
к
о
г
Рис. 20.1
р *- ^оранж <г • • • <г 'Лфиол —^ икр ^
< поранж < ... < пфиол), т.е. красный луч света преломляется меньше,
чем оранжевый и т. д. Это фиксируется на экране Э.
Для прозрачных бесцветных веществ такая зависимость
показателей преломления от длины волны выполняется практически всегда
(см. рис. 20.2). Бесцветность означает, что в используемом интервале
длин волн нет поглощения. Такая дисперсия (уменьшение п с
увеличением А) называется нормальной дисперсией. В случае нормальной
дисперсии дисперсия вещества отрицательна ( -^ < 0). В случае нали-
\ал /
чия полосы поглощения (на рис. 20.3 приведен график коэффициента
поглощения а — среда поглощает свет с длиной волны в интервале
[А,, А2]) в области полосы поглощения наблюдается аномальная
дисперсия — увеличение показателя преломления среды с увеличением
длины волны. В этом случае дисперсия вещества положительна. В
случае нормальной дисперсии показатель преломления среды может быть
пк
n,
Рис. 20.2
Aj A2
Рис. 20.3

282
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
аппроксимирован с помощью ряда по степеням (— J (формула Коши):
» = « + £ + £ + -. (202)
где а, Ь, с — постоянные, значения которых могут быть определены
для конкретного вещества экспериментально. Обычно ограничиваются
первыми двумя членами ряда (20.2):
Ь
Формула Коши очень хорошо описывает зависимость показателя
преломления среды от длины волны света. В таблице приведены
наблюдаемые на опыте и вычисленные по формуле Коши значения (п — 1)
для водорода:
А, А
5462,260
4078,991
3342,439
2894,452
2535,560
2302,870
1935,846
1854,637
(п — 1) набл.
1,39650- 10~4
1,42632 -Ю-4
1,46133- 10"4
1,49859- 10~4
1,54690- 10-4
1,59418- Ю-4
1,71824-Ю-4
1,75926-Ю-4
(п- 1) Коши
1,39650- КГ4
1,42633-10"4
,46118-10"4
1,49863-lO"4
1,54701 • 10~4
1,59418-Ю-4
1,71837-10"4
1,75996-Ю-4
Как видим, согласие отличное.
Электромагнитная теория Максвелла, не содержащая атомно-молеку-
лярных констант, не дает объяснения дисперсии света. Для этого
необходимы атомистические представления. Поэтому классическая теория
дисперсии света основана на электромагнитной теории и электронной
теории вещества. Движение (поведение) электронов в атоме
описываются законами квантовой механики. Но можно показать, что и
классическая теория дисперсии, основанная на электромагнитной теории
Максвелла и классической электронной теории Лоренца и
рассматривающая дисперсию света как результат взаимодействия
электромагнитной волны с заряженными частицами вещества, совершающими
вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле световой
волны, очень хорошо описывают явление дисперсии света. В
классической теории дисперсии оптический (валентный) электрон в атоме
рассматривается как дипольный (атомный) осциллятор,
характеризующийся собственной частотой и0.
Для прозрачных тел /х = 1 и показатель преломления среды
п =
= е = 1 + ае,
(20.4)

20. Дисперсия света. Поглощение света 283
где ае — диэлектрическая восприимчивость вещества:
ав = поа. (20.5)
Здесь а — поляризуемость атома, а п0 — концентрация атомов
(молекул) исследуемой среды, т. е. число индуцированных во внешнем
электрическом поле электромагнитной (световой) волны электрических
диполей.
Найдем поляризуемость а атома. Ее определение дается в
электродинамике — индуцированный электромагнитным полем дипольный
момент р пропорционален напряженности Е электрической
составляющей электромагнитной волны и, как мы убедились в п. 19.2, зависит
от направления циркулярной (эллиптической или круговой)
поляризации электромагнитной волны
р± ~ Е => р± = еоа±Ео, (20.6)
где во — электрическая постоянная (см. (11.66)), а а± —
коэффициент поляризуемости (поляризуемость) атома. Из сравнения формул
(20.6) и (19.36) для индуцированного дипольного момента с
использованием (19.35) можно получить формулу для поляризуемости атома:
Так как циклотронная частота п даже в случае очень сильных
магнитных полей значительно меньше частоты оптического диапазона
(ш » 1015 с""1, ft « 1010 с"1 для В « 10 Тл):
п < о;, (20.8)
то атомную поляризуемость можно представить в виде
/ (209)
В случае отсутствия внешнего магнитного поля (В = 0 => п = 0)
поляризуемость вещества определяется формулой
Мы видим, что поляризуемость а±(а;) при наличии внешнего
магнитного поля может быть получена из поляризуемости а при
отсутствии магнитного поля заменой и> на о; ± П/2:
(20.11)

284 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Здесь надо подчеркнуть, что хотя мы рассматривали поляризуемость
атома в поле электромагнитной волны, формула (20.10) позволяет
вести исследование и в чисто электрическом поле с частотой ш.
Так как показатель преломления среды
(20.12)
то и показатель преломления п±(и)) среды при наличии внешнего
магнитного поля может быть получен из показателя преломления п
среды при отсутствии магнитного поля той же заменой:
п±(и>) = п L ± ^
± ^ ' §• (20.13)
Здесь мы воспользовались малостью — по сравнению с ш (см. (20.8))
и в разложении п(о;±-т-] в ряд по спененям — довольствовались
первыми двумя членами этого убывающего ряда. Мы получили, что
показатель преломления зависит от частоты (длины волны)
электромагнитной волны (света) и различен для световых лучей с разными
направлениями круговой поляризации, что в свою очередь приводит
к разным скоростям распространения этих лучей:
v± = —. (20.14)
Так как п < 0 (заряд электрона е < 0), то n_ > n+ (v_ < г;+), т.е.
скорость правополяризованного света меньше скорости левополяризо-
ванного, что приводит к повороту (вращению) плоскости поляризации
проходящего через магнитное поле светового луча. Если через (р_
и <£+ обозначить углы вращения лево- и правополяризованных лучей
при прохождении пути z вдоль магнитного поля, то результирующий
световой вектор будет повернут на угол
<р= g fa- -+
В то же время углы <р± представляют собой фазы, приобретаемые
право- и левополяризованными лучами света на том же пути:
<р± = kz = -n±z. (ПП)
с
Подставив (ПП) в (П) и воспользовавшись формулой (20.13), можно
получить формулу для угла вращения <р плоскости поляризации
светового луча при прохождении им пути z вдоль направления магнитного
поля В:
<p = VzB, (20.15)
^^ (20.16)

20. Дисперсия света. Поглощение света
285
— постоянная Верде. Данные эксперимента находятся в неплохом
согласии с этой классической теорией магнитного вращения плоскости
поляризации электромагнитной волны (светового луча).
Мы несколько отвлеклись. Более подробно исследуем зависимость
показателя преломления п среды от частоты (длины волны)
электромагнитной волны (света).
Так как циклотронная частота п обычно значительно меньше
характерной частоты и обычно используемых электромагнитных волн
(см. (20.8)), то ею пока просто пренебрежем и будем считать, что
поляризуемость атома определяется формулой (20.10). Тогда
п0е2
п2 = 1 +
(20.17)
тео(ш1 - и2)'
где (еще раз подчеркнем) п0 — концентрация атомов (молекул) среды,
в которой распространяется электромагнитная волна (свет) частоты ш,
aw0- собственная частота колебаний электрона в атоме, га — масса
электрона. Постарайтесь не путать показатель преломления п среды
с концентрацией п0 атомов среды.
Если в веществе имеются различные заряды ег (ионы) с
собственными частотами uOi и массами mi} то формулу (20.17) можно
переписать в виде 2
1 6 2у (20.18)
где nOi — концентрация зарядов (ионов) г-го вида.
График зависимости квадрата показателя преломления п2 среды
от частоты и проходящего через среду света показан на рис. 20.4
(сплошная кривая), где и0 — собственная частота колебаний электрона
в атоме. А на рис. 20.5 показана аналогичная зависимость в случае
наличия в среде, допустим, частиц с двумя разными зарядами (два типа
ионов) — также сплошные кривые. В этом случае а;01 и и>02
представляют собой собственные частоты этих зарядов. Мы видим, что в случае
равенства частоты и световой (электромагнитной) волны и одной из
собственных частот uOi среды квадрат показателя преломления среды
стремится к ±оо: при стремлении и к wQi слева (и < uOi) n2 стремится
к +оо, а при стремлении справа (ш > uQi) n2 стремится к -оо. Но это
гг
1
г
П2<
1
1 1
)\ 1
/\ /
У-л У\
\(
у
1
U)
ио\
^02
Рис. 20.4
Рис. 20.5

286 Гл. HI. Колебания и волны в разных областях физики
противоречит опыту; опыт показывает, что поведение п2 вблизи uOi
описывается пунктирной линией. Это противоречие объясняется тем,
что формула (20.17) (или (20.18)) получена при решении уравнения
движения
г + ц>г = ~Е, (20.19)
т
получающегося из уравнения (19.29) при отсутствии внешнего
магнитного поля, в котором негласно пренебрегли силой сопротивления.
Дело в том, что электрон даже в случае изолированного атома из-за
излучения будет совершать затухающие колебания, которые
объясняются не только излучением, но и взаимодействием атомов между собой.
Поэтому во втором законе Ньютона (уравнение движения (20.19))
необходимо учитывать силу сопротивления (силу торможения),
которую можно считать пропорциональной скорости электрона, т. е.
Fconp = -7r. (20.20)
Знак «минус» показывает, что эта сила направлена против скорости
электрона, а 7 ~~ коэффициент сопротивления, зависящий от среды.
Тогда уравнение движения электрона принимает вид
г+ 2*г + ц|г = —Е, (20.21)
т
5=± (20.22)
— коэффициент затухания. Полученное уравнение совпадает с
уравнением (4.2) для вынужденных колебаний осциллятора, решение
которого известно (см. (4.7), (4.10), (4.8)). Мы этим воспользуемся. Только
в отличие от того случая (главы 4 «Вынужденные колебания»)
световой вектор (вектор напряженности электрического поля) Е представим
в комплексном виде
Е = Еое«и*-]а\ (20.23)
Тогда установившимся решением уравнения будет
* (2024)
которое получается из сравнения правых частей (20.21) и (4.2), с
учетом того, что мы ищем комплексное решение, а если z комплексное
число,
z = х + iy,
то квадрат комплексного числа
z2 = zz* = (х + iy)(x - iy) = x2 4- у2.

20. Дисперсия света. Поглощение света 287
Повторяя вышесделанные выкладки (в случае пренебрежения трение
м излучения) для квадрата показателя преломления, вместо (20.17)
получим 2
п\ = 1 + . 2П°е,о. ХЛ = е. (20.25)
Мы видим, что квадрат показателя преломления, а значит,
диэлектрическая проницаемость е и показатель преломления п стали
комплексными числами, т.е. комплексный показатель преломления пк можно
представить в виде Г . ч /олос,
г пк = у/е = п(1 - %р). (20.26)
Здесь п — истинный показатель преломления среды (вещественный
показатель преломления), прямо отвечающий за явления преломления
света и т.д., который и будем называть показателем преломления
среды, а /3 — показатель затухания среды. Возведя (20.26) в квадрат
и сравнивая с (20.25) (вещественные и мнимые части должны быть
одинаковы), получаем
п2(1 - /?2) = 1 + 2 n°f К2 - и,2), (20.27)
те ((и;5 о;2)2 + 4о;252)
2 f
те0 ((и;5 - о;2)2
п2/? = „ 2 U°t,A 2JS2,u>6. (20.28)
Из этой системы из двух уравнений можно определить показатель
преломления п и показатель затухания среды /3. И можно убедиться в том,
что в этом случае (в случае учета трения излучения) теоретически
вычисленный график зависимости п2 = е от частоты и проходящего
через среду света (или от А) хорошо совпадает с экспериментально
наблюдаемой зависимостью — т.е. вне области поглощения света
наблюдается нормальная дисперсия, а в области поглощения
аномальная дисперсия. Смысл показателя затухания (3 можно понять из
следующих соображений. Допустим, ось х направлена вдоль
распространения света внутри вещества. Тогда световой вектор имеет вид
(см. (20.23)) Е = Ее
Волновое число кк (оно комплексно)
О^г О/я-
h = £пк = £п(1 - W) = *(1 - iff)- (**)
Здесь мы учли комплексность показателя преломления (20.26). Тогда,
подставив (**) в (*), получим
Е = Еое-Ркхе«и*-кх), (20.29)
т.е. /3 определяет затухание световой волны (показатель затухания).
До сих пор мы считали, что на атомный осциллятор (электрон
в атоме или молекуле) действует электрическое поле Е только
световой волны. Но для сжатых газов, жидкостей и твердых тел такое

288 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
допущение неточно — необходимо учитывать влияние окружающих
данный осциллятор атомов (молекул), поляризованных под действием
света. В случае изотропного вещества эффективное (действующее на
осциллятор) поле Е' может быть представлено как сумма
напряженности Е электрического поля света и поляризации Р:
Е' = Е + ^-Р, (20.30)
т.е. вместо уравнения (20.21) уравнение движения электрона
принимает вид , v
f + 28y + JqT = — ( Е + — Р ). (20.31)
Для упрощения можем пренебречь трением излучения (6 = 0). Тогда,
повторяя выше не один раз сделанные выкладки, получим, что
п2 = 1 + = ^ ^г. (20.32)
■° "' 3m£oj
Отсюда можно найти, что
или
е
Эта формула называется формулой Лоренца-Лорентца. В случае
заданного вещества и конкретной длины волны (а; — фиксирована)
формула Лоренца-Лорентца может быть записана в более простой
форме:
K^l) (2(Ш)
Здесь р ~ п0 — плотность вещества, а вновь введенная величина г
называется удельной рефракцией вещества. Таким образом,
удельная рефракция вещества не должна меняться при изменении плотности
вещества. Это хорошо подтверждается опытом. Так, при изменении
давления воздуха (а значит, и плотности) в 200 раз от 1 до 200 атм
удельная рефракция воздуха меняется лишь на 0,1%. При
сжижении газообразного кислорода (плотность увеличивается в 800 раз)
или при превращении водяного пара в воду (плотность увеличивается
в 1200 раз) удельная рефракция этих веществ остается неизменной
с точностью 2-3%. Формула (20.34) может быть переписана в другом
виде через диэлектрическую проницаемость е вещества:
^4 = Т. (20.35)

20. Дисперсия света. Поглощение света
289
где а — поляризуемость атома, определяемая формулой (20.10) в
случае пренебрежения трением излучения или формулой
а =
те0 [(ш$ - о;2) - 2iu6]
(20.36)
в случае учета трения излучения (6 Ф 0). Формула (20.35) называется
формулой Моссотти-Клаузиуса.
20.2. Поглощение света. Интенсивность света при прохождении
через вещество уменьшается. Это можно объяснить тем, что при
прохождении через вещество происходит преобразование энергии света
(электромагнитной волны) в другие виды энергии или в энергию
вторичного излучения иных направлений и спектрального состава.
Поглощение света может приводить к нагреванию вещества, ионизации или
возбуждению атомов или молекул, фотохимическим процессам и т.д.
Это явление, т. е. уменьшение энергии световой волны при распростра-*
нении ее в веществе, называется поглощением (абсорбцией) света.
Поглощение света в веществе описывается законом Бугера:
Т —
(20.37)
где /0 и / ~ интенсивности света на входе и выходе поглощающего
вещества толщиной х, а — коэффициент поглощения, зависящий от
вещества и длины волны. Смысл коэффициента поглощения прост —
интенсивность света при прохождении вещества толщиной х0 = -
уменьшается в е раз. Расстояние ж0, при прохождении которого
интенсивность света уменьшается в е раз, называется пробегом излучения.
В нижеприведенной таблице приведены типичные значения
коэффициента поглощения и пробега излучения для некоторых величин.
Таблица 20.1
Вещество
Вода
Стекло (тяжел, флинт)
Стекло (темное)
Смола
Графит
Золото
Длина
волны
Л, нм
770
450
546
546
436
546
Коэффициент
поглощения о\
см"1
0,024
0,046
100
1430
2 105
8 105
Пробег
излучения
х0, см
42
22
0,01
0,0007
0,000005
0,0000012
Пробег
излучения
в длинах
волн, -f
А
550000
500000
180
13
0,11
0,022

290 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Закон Бугера был получен экспериментально. При
экспериментальном измерении коэффициента поглощения не надо забывать, что часть
света отражается на границе исследуемого вещества и это необходимо
учесть. Но можно взять исследуемое вещество с разными
толщинами хх и х2, тогда
L = ^-,> =* а = j-*-— In ^ (20.38)
и в этом случае эффект отражения исключается. Закон Бугера может
быть получен феноменологически без исследования механизма
поглощения света.
Пусть (см. рис. 20.6) через однородное вещество проходит световой
пучок. Рассмотрим бесконечно тонкий слой вещества толщиной dx.
I к I + dl — интенсивности света на
входе и выходе этого слоя. Изменение
интенсивности в этом слое пропорциональ-
О
^ но интенсивности входящего света и тол-
х щине слоя, т.е.
dl = — ol dx.
2Об Тут мы ввели коэффициент пропорцио-
ис* ' нальности а, а знак «минус» показывает
на уменьшение интенсивности. Проведя разделение переменных и
интегрируя по всей толщине вещества:
dl . \dl f,
— = — a dx => — = — a \dx,
i0 о
получим
In — = — ox,
т. е. закон Бугера:
I = Ioe-*x. (20.39)
Мы видим, что интенсивность света при прохождении через
вещество уменьшается по экспоненциальному закону.
А теперь попытаемся объяснить закон Бугера. Когда мы
рассматривали явление дисперсии света, для светового вектора (напряженности
электрического поля световой волны) получили формулу (20.29)
щ л—вкх A(ut—кх) /ОП ЛП\
Здесь (5 был так называемый показатель затухания, фигурирующий
в определении комплексного показателя преломления (см. (20.26)):
nk = n(l -iff). (20.41)

20. Дисперсия света. Поглощение света 2Ш
Тогда если вспомнить (см. (16.45) и (16.30) или (16.45а)), что
интенсивность света пропорциональна квадрату светового вектора, и
возведя (20.40) в квадрат, можно получить такую же закономерность
уменьшения интенсивности света при прохождении вещества, что и в законе
Бугера (20.39), где коэффициент поглощения а и показатель
затухания /3 связаны соотношением
а = 2к(3 = ^/?. (20.42)
Рассмотрим достаточно разреженную среду такую, что ее
диэлектрическая проницаемость е мало отличается от единицы:
Н<1. (20.43)
Тогда комплексный показатель преломления
пк = у/ё « 1 + | (*)
и так как истинный показатель преломления среды п и коэффициент
поглощения а определяются реальной и мнимой частями комплексного
показателя преломления
il о"лт г. (2044>
V. с
то из (20.25) с учетом (*) можно получить следующие формулы,
определяющие показатель преломления п и коэффициент поглощения
среды а:
2те0
*= U,2nif*2x2y (20-46)
с [(а$ w2)2 + 4w2^2]
Вблизи области резонанса (\ш - шо\ < ш0 =» Wq - и>2 « 2wo(wo - о>))
имеем
(2048)
Эти формулы описывают дисперсию и поглощение света в разреженной
изотропной среде. Обычно (для прозрачных веществ)
S < и>0. (20.49)

292
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
1
— — — — —р
1
1
1
. i
\ i
■ \" т ~ ~^=l=
\/
1 Is*—-
п, о\ В этом случае типичная зависимость п
и а от частоты световой волны
показана на рис. 20.7. График на рис. 20.7
аналогичен графику на рис. 20.3,
только здесь приведена зависимость п и а
от частоты и) проходящего через
среду света, а на рис. 20.3 — от длины
волны. Удвоенное значение коэффици-
~° *" ента затухания 28 (см. (20.22)) играет
Рис. 20.7 Роль полуширины линии
поглощения (полуширины спектральной
линии). Полушириной спектральной линии называется расстояние между
точками А и А! (см. рис. 20.7), расположенными по обе стороны от
центра спектральной линии, для которых интенсивность света равна
половине интенсивности в центре линии. Но об этом более подробно
будем говорить позже, когда будем использовать методы квантовой
оптики.
Зависимость коэффициента поглощения а от длины волны (частоты)
света называется спектром поглощения вещества. Спектры
поглощения сильно зависят от состояния вещества. Так, для газов (паров
металлов), в которых атомы находятся в среднем на значительном
расстоянии друг от друга, можно пренебречь их взаимодействием,
и спектры поглощения определяются спектрами поглощения
изолированных атомов. В этом случае коэффициент поглощения а везде
очень мал (практически равен нулю) и лишь в очень узких областях
(10"~2-10~3 нм) их значения испытывают максимумы. Эти области
резкого поглощения соответствуют собственным частотам валентных
электронов атомов газа.
На рис. 20.8 приведено схематическое изображение (без
соблюдения масштабов) спектра поглощения паров натрия (дублеты натрия).
588,99
330,23
330,29
285,28
1285,ЗОЛ
Л, нм
Рис. 20.8
Мы имеем классический пример линейчатого спектра
поглощения. В том случае, когда газы состоят из молекул, содержащих
несколько атомов, появляются собственные частоты, соответствующие
колебаниям атомов внутри молекулы, которые из-за того, что массы

20. Дисперсия света. Поглощение света 293
атомов в десятки тысяч (несколько
десятков тысяч) раз больше масс
электронов, значительно меньше собственных
частот валентных электронов. В этом
случае имеем дело с молекулярным
спектром поглощения — с
полосами поглощения шириной порядка от ' нм
0,1 нм до 100 нм. Коэффициент погло- Рис. 20.9
щения диэлектриков невелик (порядка
10~2-10~5 см"1), но у них поглощение селективно, и зависимость
коэффициента поглощения от длины волны имеет вид, приведенный на
рис. 20.9, т. е. мы имеем дело со сплошным спектром поглощения.
Для металлов коэффициент поглощения велик (порядка 104-
105 см""1), поэтому они для света практически непрозрачны. Например
(см. вышеприведенную таблицу), золотая фольга толщиной всего лишь
в 10~6 см ослабляет интенсивность проходящего через него света
в е раз. Непрозрачность металлов объясняется наличием свободных
электронов, которые под действием световой волны совершают
вынужденные колебания, т. е. возникают быстропеременные токи,
выделяющие джоулеву теплоту. И как результат энергия световой волны быстро
(на небольшом расстоянии) превращается во внутреннюю энергию
металла — металл только нагревается, но не пропускает свет.
Пример 20.1. Упростить формулы (20.27) и (20.28),
определяющие показатель преломления п и показатель затухания /3, в случае
дисперсии вблизи собственной частоты и0 атомного осциллятора.
В этом случае частоту ш проходящего через среду световой волны
можно заменить собственной частотой а;0 атомного осциллятора
(оптического электрона в атоме) всюду, кроме выражения (и% -а;2), которое
может быть представлено в виде
-uj) =
Тогда формулы (20.27) и (20.28) упрощаются и принимают вид
?дау (2а51)
Допустим, что среда так разрежена, что выполняется условие
^- < 4ио6. (20.52)
Тогда, разложив правую часть (20.51) в ряд по степеням малой вели-
2
чины J—-2—-= и пренебрегая членами, пропорциональными квадрату,

294 Гл. ///. Колебания и волны в разных областях физики
кубу и большим степеням этой величины, для показателя преломления
и показателя затухания разреженной среды получим
(20-53)
0о;0 (До;)2 + S2
то есть Да;
п = 1 + ~г-ае. (20.55)
о
Пример 20.2. Во время эксперимента получилось, что
электромагнитные волны с частотой 300 МГц (радиоволны) и меньше не
проходят через исследуемую плазму. Определить концентрацию электронов
в плазме.
Плазма представляет собой ионизированный газ, в котором
электроны и ионы движутся свободно и их собственная частота равна
нулю. Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется в
основном электронами, т. к. из-за того, что массы ионов значительно больше
массы электронов, их вкладами можнЪ пренебречь. Тогда из (20.25),
положив о»0 = 0и пренебрегая затуханием (6 = 0), имеем
2
Но для плазмы диэлектрическая проницаемость е = 0 и для
концентрации электронов получим рабочую формулу
Пример 20.3. Интенсивность света, проходящего через пластинки
с толщинами хх = d и х2 = 2d, вырезанные из разных материалов,
уменьшается в 2 и 8 раз соответственно. Определить, пренебрегая
отражением света, насколько отличаются коэффициенты поглощения
пластинок.
По закону Бугера (20.37) для этих двух случаев имеем
Отсюда получаем
10=
i 1
12
или
'2*2

21. Рассеяние света 295
Воспользовавшись условиями задачи, приходим к выводу, что
т.е. вторая пластинка сделана из материала, коэффициент
поглощения которого в 1,5 раза больше коэффициента поглощения материала,
из которого вырезана первая пластинка.
Пример 20.4. Свет с длиной волны А = 770 нм распространяется
в воде. Определить уменьшение интенсивности света после
прохождения слоя воды толщиной 1 м.
Коэффициент поглощения воды для света с длиной волны А =
= 770 нм берем из справочника: а = 0,024 см""1. По закону Бугера
^ = е™ = е2'4 = 11,023,
т. е. интенсивность света после прохождения слоя воды толщиной 1 м
уменьшается в 11 раз.
Пример 20.5. Что изменится в примере 20.3, если учесть
однократные отражения от поверхностей (передней и задней) пластинок?
Если через р обозначить коэффициент отражения, то интенсивность
проходящего через переднюю поверхность пластинки света без учета
поглощения равна /0(1 — р), а после прохождения задней поверхности
будет равна /0(1 — р)2 в случае отсутствия поглощения. А с учетом
поглощения
2
т. е. мы видим, что возможность однократного отражения от передней
и задней поверхностей пластинки ничего не меняет, как и должно быть.
§21. Рассеяние света
Рассеяние света — это явление преобразования проходящего
через вещество света этим веществом, которое сопровождается
изменением направления распространения света и которое мы наблюдаем
как свечение вещества (несобственное свечение, например,
свечение Луны, планет). Рассеяние света не происходит в однородных
средах. Необходимым условием возникновения рассеяния является
наличие электронов в атомах и молекулах вещества, способных
совершать вынужденные колебания под действием световой волны, становясь
при этом источником вторичных световых волн, распространяющихся
по всем направлениям. Но в однородных веществах это условие
не является достаточным, так как в таких веществах для любого
направления, кроме первоначального, найдется совокупность
элементарных объемов с размерами, малыми по сравнению с длиной волны

296 Гл. HI. Колебания и волны в разных областях физики
проходящего света, испускающих в этом направлении вторичные волны
одинаковой амплитуды, но колеблющиеся в противофазе и таким
образом гасящие друг друга. Поэтому внутри однородных сред происходит
гашение вторичных волн в любом направлении, кроме направления
распространения падающей волны, так как только в этом направлении
вторичные волны синфазны и образуют проходящую волну. Таким
образом, в однородных средах рассеяние света не происходит. Но
идеально однородных сред не существует — однороден только вакуум.
Реальные среды всегда оптически неоднородны, но неоднородны по-разному
и рассеяние света в этих средах происходит по-разному.
Неоднородную среду можно представить как однородную среду,
в которой введены какие-то оптические неоднородности — мельчайшие
частицы постороннего вещества, беспорядочно распределенные по
объему однородной среды. Такие среды называются мутными средами.
Ярко выраженными примерами мутных сред являются:
1) туманы (взвеси мельчайших капелек жидкости в воздухе, газах);
2) дымы (взвеси мельчайших твердых частиц в воздухе, газах);
3) взвеси мельчайших твердых частиц в жидкостях;
4) взвеси мельчайших капелек одной жидкости в другой, не
растворяющей первую (эмульсии);
5) твердые тела типа матовых стекол, опалов, перламутры
и так далее.
Напряженность электрического поля Е световой волны внутри
неоднородной среды может быть представлена в виде
Е = Ео + Е',
где Ео — напряженность световой волны в однородной среде (т. е. это
напряженность электрического поля падающей световой волны в
случае отсутствия оптических неоднородностей), а Е' — напряженность
рассеянного света. Внедрение неоднородностей приводит к тому, что
диэлектрическая проницаемость е неоднородной среды может быть
представлена как сумма постоянной части е0, соответствующей
диэлектрической проницаемости однородной среды, и 8е, соответствующей
изменению диэлектрической проницаемости среды в местах
нахождения неоднородностей:
е = ео + 6е. (21.1)
Тогда в местах нахождения неоднородностей появится дополнительный
вектор поляризации SP (будем работать в гауссовой системе единиц):
($Р = ^Е. (21.2)
Дальше введем простую, допускающую аналитическое решение модель
неоднородной среды — допустим, что оптическая неоднородность
создается одинаковыми шариками радиуса а, беспорядочно разбросанны-

21. Рассеяние света 297
ми внутри однородной среды. В этом случае, как мы знаем из
дисциплины «Электричество и магнетизм», напряженность внутри шарика
(21.3)
где е — диэлектрическая проницаемость внутри шарика, е0 — вне
шарика (однородной среды), Ео — напряженность электрического поля
вне шарика (неоднородностей). Дополнительный дипольный момент
шарика, вызванный электрическим полем (т. е. просто дипольный
момент шарика):
или, если воспользоваться формулами (21.2) и (21.3), то
Р = ТЙГ^ЗЕ<>- (2L4)
Электрическое поле диполя на большом расстоянии г (см. п. 19.1)
определяется формулой
^ (21.5)
где в — угол между осью диполя и направлением рассеянного
светового луча. В общем случае в (21.5) напряженность поля E{(t)
в точке наблюдения в момент времени t определяется дипольным
моментом в момент времени t , т. е. дипольным моментом pit ],
где v = скорость распространения света в среде, что объясняется
эффектом запаздывания. Но нас будет интересовать интенсивность 1{
рассеянного света, которая равна усредненному по времени численному
значению вектора Пойнтинга, поэтому запаздывание роли не имеет.
Тогда интенсивность света, рассеянного одним шариком,
aJ4sin2fl3
1\ = -; Т~5г- (21.6)
Здесь и далее черточка обозначает усреднение по времени.
Интенсивность световой волны в однородной среде
1о = ^Ч~Щ- (21-7)
Подставив в (21.6) выражение (21.4) для дипольного момента
неоднородности (шара) и воспользовавшись формулой (21.7) для
интенсивности прямой (падающей) волны, для интенсивности света, рассеянного
одним шариком, получаем
т - о,2 (6~£« V"4Q6sin20j /01 &)

298
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
или
где Vj = -тга3 — объем одной неоднородности (одного шарика),
о
Мы до сих пор рассматривали случай, когда падающий свет
был поляризованным (Ео — фиксирована). Рассмотрим случай, когда
падающий свет является естественным. Допустим, что падающий
свет направлен вдоль оси г, а рассеянный свет — вдоль направления ОАУ
лежащем на плоскости yz под углом в к направлению падающего света
(см. рис. 21.1). Мы так выбрали систему отсчета. Дипольный момент
неоднородности р может быть разложен по ортам декартовой системы
координат:
P = P*i + JVJ.
т. е. неоднородность может быть рассмотрена как два взаимно
перпендикулярных диполя рх и ру, для которых углы вх и 0у между их осями
и направлением О А рассеянного света равны соответственно:
2'
2
(*)
Из-за естественности падающего света излучения этих диполей
некогерентны, поэтому интенсивность рассеянного луча света равна сумме
интенсивностей излучений каждого из этих диполей (см. (13.7)):
которые вычисляются по формуле (21.6) с углами вх и ву (*), поэтому
/ Л 1
1 4тг£ог;3г2 ' 2
Р2>
ИЛИ
"9£°
7T2T
Рис. 21.1

21. Рассеяние света 299
Таким образом, формула (21.9) [(21.10)] определяет интенсивность
рассеянного под углом в к направлению падающей световой волны
светового луча в случае поляризованного [естественного] падающего
света. В первом случае рассеянный свет является поляризованным
(как и падающий), а во втором случае — частично поляризованным.
Во втором случае рассеянный свет будет полностью поляризованным
только в одном направлении — направлении, перпендикулярном
распространению падающего света, т.к. в этом направлении диполь ру
не излучает электромагнитной волны.
Мы исследовали рассеяние света на одном шарике
(неоднородности) объемом Vx. Полученные результаты можем обобщить на случай
рассеяния света от неоднородного тела объемом V и концентрацией п0
неоднородностей (число неоднородностей в единице объема среды).
Если считать расстояние г от тела до точки наблюдения значительно
большим линейных размеров тела (среды), на котором происходит
рассеяние света (а значит, и размеров Vj^ неоднородностей), то все
расстояния г от неоднородностей до точки наблюдения можно считать
одинаковыми и вместо формул (21.9) и (21.10) для интенсивности
рассеяния в случаях падения на среду поляризованного и
естественного световых лучей будем иметь
(21.11)
(21.12)
Здесь /Дпол) (или ^(ест)) определяется по формуле (21.9)
(или (21.10)).
Определим энергию е{ световой волны, рассеиваемую
неоднородностью (шариком) в единицу времени по всем направлениям:
*i =
Если в качестве замкнутой поверхности взять сферу радиуса г,
то элементарная площадь в сферической системе координат dS =
= r2sm9d9d<pt и
г г
е, =г2 d(p /,sin0d0.
Подставляя вместо 1Х выражения из формул (21.9) или (21.10),
получим одинаковые формулы для энергии ех световой волны, рассеиваемой
неоднородностью по всем направлениям:
ei=7iJo. (21.13)
ГДе 2 2
lx=2^el(^A Ji (21.14)

300 Гл. UL Колебания и волны в разных областях физики
Зная эту величину, можно рассчитывать уменьшение интенсивности /0
падающего света из-за рассеяния. Обратимся к рис. 21.1. На пути
падающего (проходящего в первоначальном направлении) луча света
мысленно выделим элементарный объем в виде цилиндрика толщиной dz
и единичным основанием 5=1. Очевидно, уменьшение интенсивности
проходящего через цилиндрик света равно рассеянной цилиндриком
в единицу времени энергии:
dlo = — 6jn0 dV = —е{п0 dz = — 7inoA) dz =>•
dI0
Интегрируя, находим, что интенсивность падающей волны /0 из-за
рассеяния света убывает экспоненциально:
оо7Я. (21.15)
Здесь
7 = По7, = 24ж*4 {j^f $no (21-16)
называется коэффициентом рассеяния. Таким образом, если еще
учесть уменьшение интенсивности проходящего через среду света за
счет поглощения (см. закон Бугера (20.39)), то в общем случае
'o(*)='o(O)e~(<7+7)*> (21.17)
где о — коэффициент поглощения.
Обратимся к формуле (21.10), определяющей интенсивность
рассеянного под углом в светового луча в случае падения естественного
луча света. Из нее следует закон Рэлея: интенсивность
рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины
волны падающего света, т.е. чем короче длина волны, тем сильнее
рассеяние света, и этот эффект проявляется очень сильно (~ А"*4).
Ярким повседневным примером выполнения закона Рэлея является
синий цвет неба. Если бы атмосфера была абсолютно однородной, то
небо было бы черным — мы бы видели Солнце на черном фоне неба,
т. к. в этом случае не было бы рассеяния солнечных лучей в атмосфере.
Но атмосфера неоднородна и значительная доля прямого солнечного
излучения рассеивается в атмосфере, и рассеяние тем больше, чем
меньше длина волны солнечного луча. Поэтому рассеянный в
атмосфере солнечный свет значительно богат коротковолновыми лучами света,
чем и объясняется синий свет неба. А красный цвет зари утром или
вечером объясняется опять же законом Рэлея: при восходе или заходе
Солнца световой луч Солнца проходит больший путь в неоднородной
атмосфере, и на этом пути коротковолновая часть излучения теряется
на рассеяние и до нас доходит в основном длинноволновая часть

21. Рассеяние света 301
излучения, т.е. заря получается красноватого цвета. Как мы видим,
синий цвет неба объясняется неоднородностью атмосферы, которая
возникает из-за наличия пыли и других посторонних частиц в воздухе.
С увеличением высоты содержание этих неоднородностей уменьшается,
поэтому мы должны ожидать уменьшения насыщенности рассеянного
света синими лучами, т.е. небо должно становиться более блеклой,
менее насыщенной синим цветом. Но наблюдается обратный эффект:
например, в высокогорных местах чем выше мы поднимаемся, тем
воздух чище, т. е. тем воздух должен был бы быть однороднее и
меньше рассеяние, небо, наоборот, становится более насыщенным синим
цветом. Тут парадокса нет, просто здесь начинает играть большую роль
так называемое молекулярное (рэлеевское) рассеяние. В чем суть
этого рассеяния? Если кратко, то молекулярное рассеяние
вызывается тепловыми флуктуациями числа молекул в определенном
элементарном объеме SV^ Здесь г — номер элементарного объема
(среду мы можем разбить на множество элементарных объемов). Тогда
дополнительный дипольный момент элементарного объема SV{ равен
(см. (21.2))
fe*y
где 8ег — флуктуация диэлектрической проницаемости внутри
элементарного объема 5У{. Повторяя вышесделанные выкладки при получении
формулы (21.10), но, естественно, не считая при этом, что
неоднородности представляют шарики, для интенсивности рассеянного от 8У{
света получим
(21.18)
Рассмотрим далее идеальный газ. В этом случае диэлектрическая
проницаемость среды в том месте, где находится элементарный
объем SVi%
Здесь /3 — поляризуемость молекулы, пы — концентрация молекул
в местонахождении элементарного объема 5V{, N{ — число молекул
в этом объеме. Из (*) для флуктуации диэлектрической проницаемости
находим, что
Мы учли, что элементарный объем 8Уг фиксирован (не меняется),
a &Ni — флуктуация числа молекул в элементарном объеме 5Уг. Так как

302 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
и, как мы знаем это из молекулярной физики,
Т° в4/?2 l+cos20
h = ~дг -2 W^i- (**)
Так как n2 = si и для газов (см. (*) после формулы (21.18))
п2 - 1 = 4тг/3по =(п - 1)(п + 1) » 2(п - 1) =►
/? = —
" 2тгп0'
где п — показатель преломления, а п0 — концентрация молекул,
то для интенсивности рассеянного элементарным объемом 8Уг света
(рассеянного за счет флуктуации числа молекул внутри 8У{) получим
. 2тг2(п-1)2 1 +
Li - Г~п
Так как числа молекул в разных элементарных объемах флуктуируют
независимо, то рассеянные от разных элементарных объемов лучи
света являются некогерентными и, как следствие, интенсивность
рассеянного под углом 9 света в среде объемом V равна сумме интенсивностей
от всех элементарных объемов, т. е.
2тг2(п-1)У l+cos2fl
= V* *Г- V (21.19)
В том случае когда падающий свет плоско поляризован, как и в
случае (21.9), вместо ^— надо взять sin20:
4тг(п1)^ sin0
(П0Л) = гГ\4 ° "Т2"' ( '
Зависимость интенсивности рассеянного света от длины волны
(пропорциональность А"4) остается в силе.
Рассмотрим случай неидеальных газов и жидкостей. Формула
(21.18) была получена без ограничения на идеальность газа, поэтому
она справедлива и в случае неидеальных газов и жидкостей. В этом
случае, используя термодинамические соотношения, можно показать,
что интенсивность рассеянного под углом в неидеальным газом или
жидкостью света определяется по формуле (А.Эйнштейн):
d^2
(21.21)

21. Рассеяние света
303
Здесь к — постоянная Больцмана, Vo — удельный объем среды (объем
единицы массы среды), р — плотность среды, Р — давление, а индекс Т
в одном из выражений означает определение этого выражения при
постоянной температуре. В случае поляризованного падающего света,
1 + cos2 в л .2л
как и выше, выражение - должно быть заменено на sin в.
Зависимость от длины волны остается неизменной. Формула (21.21)
справедлива для небольших концентраций. В случае критической
точки -jrrr = 0 и по формуле (21.21) интенсивность рассеянного света
становится равной бесконечности, чего, естественно, не должно быть.
В этом случае можно уточнить эту формулу, но этого здесь делать
не будем. Ниже приведены данные молекулярного рассеяния света,
полученные в результате многочисленных опытов.
1
2
3
4
5
6
7
8
Среда
Воздух
Водород
Аргон
Углекислота
Вода
Бензол
Кварц
Каменная соль
Доля рассеянного светового потока
при прохождении света через среду толщиной
в 1 см при нормальном давлении и температуре
2,7 • 10"7
6,3 • 10"9
2,25 • 1(Г7
7-КГ7
5 • 1(Г5
4,6 • 10"4
1,9-10~6
1,35 КГ6
Рассмотрим поляризацию света при рассеянии. Допустим, что
естественный свет от источника S падает на молекулу О в направлении
оси Z (см. рис. 21.2) и мы наблюдаем
рассеянный под углом в = — луч
света, идущий вдоль оси Y (так выбираем
систему отсчета). В этом случае
векторы напряженностей электрических
полей падающего естественного света
будут перпендикулярны оси Z — будут
лежать на плоскости ху и из них в
направлении наблюдения вдоль оси У
пойдут лучи света, световой вектор которых
будет перпендикулярен оси Y и будет
S*
Рис. 21.2
лежать на плоскости ху, т. е. будет параллелен оси X, что показано на
рисунке синусоидой. И, как результат, рассеянный под прямым углом
свет должен быть плоскополяризованным в плоскости ху. Но опыт
показывает, что это не совсем так: поляризация рассеянного под прямым

304 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
углом света не получается полной. Для только что указанного случая
степень поляризации равна (см. (16.72)):
ki (21.22)
За меру деполяризации принимают величину
Д = 7^ (21.23)
*х
Для газов Д не очень велика:
Д(Я2) = 1%, Д(ЛГ2) = 4%,
но для жидкостей она уже существенна:
Д (бензол) = 44%, Д(сероуглерод) = 68%,
Д (нитротолуол) = 80%(!).
Деполяризация рассеянного под прямым углом луча света связана
с оптической анизотропией рассеивающих молекул. Если, например,
молекула может поляризоваться вдоль определенного направления О А
(см. рис. 21.2), то поле падающего света, направленное вдоль оси X,
вызовет колебания диполя вдоль ОА и рассеянный в направлении
оси Y свет будет представлять сумму поляризованных вдоль осей X
и Z световых лучей, т. е. он будет поляризован только частично.
Пример 21.1. Определить относительную долю рассеянного света
синего цвета (Л! « 400 км) по отношению к рассеянному свету
красного цвета (А2 « 700 км).
Мы для световых лучей синего и красного цвета взяли характерные
длины волн. По закону Рэлея
Ь. - М -94
т. е. свет синего цвета рассеивается в 9 раз сильнее, чем свет красного
цвета.
Пример 21.2. Считая, что в рассеянии света доминирующую роль
играет молекулярное рассеяние, вывести формулу для энергии е
световой волны длиной А, рассеиваемой объемом V среды в единицу
времени. Считать, что показатель преломления среды п и концентрация
молекул среды п0 и интенсивность падающего света известны.
Ответ не зависит от степени поляризованности света, падающего
на вещество. Допустим, что он плоско поляризован. В этом случае
интенсивность рассеянного под углом в света вычисляется по
формуле (21.20):
2

21. Рассеяние света 305
где
Искомую величину е можно найти, просуммировав
(проинтегрировав) интенсивности рассеянных световых волн по всем направлениям:
В качестве замкнутой поверхности, содержащей рассеивающее свет
вещество (среду) внутри себя, выберем сферическую поверхность
радиуса г, т. е.
2тг тг
е = I Ir2 sin в d6dy> = Ar2 [ dip [ sin3 9d6 =
о о
= 2тгг2А [ (1 - x2)(-dx) = 2ш2А \у - x\ = ^Л
7
3n0A4
Пример 21.3, Оценить долю рассеянного светового потока при
прохождении света через воздушный слой толщиной 1 см при
нормальном давлении и температуре.
Через £0 обозначена энергия падающей на среду световой волны.
Для оценки доли рассеянного света объем среды (воздуха) толщиной /
можно представить в виде V = S •1> тогда
е0 = I0S,
и если воспользоваться формулой (*) из предыдущей задачи, то
е _32тг3(п-1)2г
е0 ~ Зп0А4
Так как при нормальных условиях
NA 6,022 • 1023 о
0 V 22 41 • 10~3 '
то для красного света (А » 700 нм)
- = 4,3 • Ю-8,

306 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
а для синего (А » 400 нм)
что хорошо согласуется с экспериментальными значениями (см.,
например, таблицу перед рис. 21.2).
§ 22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны
22.1. Упругие (акустические) волны. Акустика — это
область физики, изучающая звук и звуковые явления. Звуковые волны
(акустические волны) — это упругие волны, распространяющиеся
в разных средах (газе, жидкости, в твердом теле), характеризующиеся
частотами от 16 до 20000 Гц:
| Звук | =» v = (16-20000) Гц. (22.1)
Упругие волны таких частот обычно воспринимаются человеческим
ухом и поэтому названы звуком. Упругие волны более низких частот
не вызывают ощущение звука и их называют инфразвуком (инфра-
звуковые волны):
| Инфразвук] =► v < 16 Гц. (22.1а)
Упругие волны более высоких частот, чем 20000 Гц, также не
воспринимаются человеческим ухом в виде звука и называются ультразвуком
(ультразвуковые волны):
Ультразвук] =» v > 20 кГц = 2 • 104 Гц. (22.16)
Упругие волны сверхвысоких частот, порядка 109 Гц и выше,
называются гиперзвуком (гиперзвуковые волны):
| Гиперзвук | =» v > 109 Гц. (22.1 в)
Здесь, независимо от частоты упругих волн (инфразвук, звук,
ультразвук, гиперзвук), их будем называть звуковыми или акустическими
волнами. Как мы знаем из гл. II, эти волны могут быть только
продольными в газах и продольными или поперечными в жидкостях и твердых
телах (в жидкостях поперечные волны могут распространяться на
поверхности, а внутри — только продольные волны, как и в газах).
Приведем формулы для скоростей упругих (акустических) волн
в разных средах, полученные в п. 11.3:
а) скорость продольной волны в твердом теле
(22.2)

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 307
б) скорость поперечной волны в твердом теле
(22.3)
в) скорость продольной волны в жидкостях и газах
Для скорости волны в газах (именно в газах) справедлива и другая
формула:
~ = \l^r — изотермический процесс,
р V *L_ (22.5)
— лг^пг — адиабатический процесс.
р V М
Величины, фигурирующие в этих формулах, известны. При
распространении акустических волн давление р и объем V газа меняются,
поэтому возможны только изотермический и адиабатический процессы.
Сравнивая два разных выражения для модуля Кг объемной
плотности среды (см. рассуждения перед (11.31а) и формулу (11.38)):
Kr = pJ. = np, (22.6)
разделив переменные ^ ,
— = п—
р 9
и интегрируя, получим
Константу интегрирования С можем определить из равновесного
состояния среды, когда нет волн:
(**)
где р0 и р0 - давление и плотность среды в равновесном состоянии
(при отсутствии волн). Тогда из (*) и (**) можем получить так
называемое материальное уравнение газа
'■»(*)*■
(22.7)
Для жидкости справедливо полуэмпирическое уравнение Тета
(материальное уравнение жидкости)
f ~ \ *
(22.8)
где рх — внутреннее давление, возникающее за счет межмолекулярного
взаимодействия, а параметр i определяется эмпирически.

308 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Формулы (22.2)-(22.5) позволяют определить скорости
акустических волн внутри среды, в которой они распространяются. Мы
вкратце уже говорили в гл. II о поверхностных волнах,
распространяющихся на свободной поверхности жидкости. Упругие волны,
распространяющиеся вдоль поверхности твердого тела, называются волнами
Рэлея. Примерами волн Рэлея являют-
среда 1 ся волны на земной поверхности,
возникающие при землетрясениях, взрывах
и т.д. Рассмотрим случай плоских волн
среда 2 Рэлея, распространяющихся вдоль оси х
(см. рис. 22.1), лежащей на границе раз-
Рис. 22.1 дела твердого тела (среда 2) с воздухом
(среда 1). Мы не будем вдаваться в
строгое рассмотрение этого случая, что выходит далеко за рамки курса
общей физики, а просто приведем основные формулы. Частицы
среды 2 (которую будем считать однородной, изотропной упругой средой)
испытывают два взаимно перпендикулярных смещения: смещение £
вдоль направления распространения волны (вдоль оси х) и смещение £,
перпендикулярное направлению распространения, т. е. границе раздела,
и происходящее вглубь полупространства xz (ось z на рис. 22.1 уходит
вглубь среды 2). Эти смещения происходят по следующим законам:
£(ж, г, t) = A(z) sin (art — kx)>
(22 9)
C(x, z, t) = B(z) cos(ut - kx).
Здесь «амплитуды» колебаний определены по формулам
(22.10)
где
Я\ =
(22.11)
q2 = ^Jk2 - А;2
опер ,
а *» *прод и ^попер *~ соответственно волновые числа волны Рэлея,
продольной и поперечной волн, а А — постоянная, определяемая из
начальных условий. Мы видим, что в фиксированных точках среды
колебания происходят по гармоническому закону. Из (22.9), исключая
время, находим уравнение траектории движения частиц среды 2 вблизи
от поверхности:
£2 С2
^2 + £2 = 1> (22.12)

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 309
т.е. частицы среды, совершая продольные и поперечные колебания,
движутся по эллиптическим траекториям с полуосями А и В,
определяемыми по формулам (22.10). Мы видим, что с глубиной (с
увеличением z) амплитуды колебаний резко (экспоненциально) убывают,
т. е. действительно представляют поверхностные волны —
практически толщина слоя локализации волн Рэлея примерно порядка от А
до 2А. Так как частицы среды совершают колебательные движения по
эллиптическим орбитам около своих положений равновесия, то
переноса вещества нет.
Можно показать (это опять вне рамок общей физики), что фазовая
скорость vp3Jl волны Рэлея подчиняется уравнению
а3 - 8а2 + 8(3 - 2/?2)а - 16(1 - /?2) = 0. (22.13)
Здесь
\ипопер/
Можно привести приближенное вещественное решение этого
уравнения, которое для нас достаточно:
7±M2fl
I + v
где v — коэффициент Пуассона (см. (11.21)). Подставляя значения
коэффициентов Пуассона для разных твердых тел, можно убедиться
в том, что
^ е (0,874-0,955), (22.16)
*ч
т.е. скорость г;рэл волн Рэлея меньше скорости поперечных волн t>nonep,
которая в свою очередь меньше скорости продольных волн г>прод
(см. (11.29)):
2^EL /i/). (22.17)
^попер
Если воспользоваться формулами (22.15), (22.17) для отношений
скоростей, то для типичного значения коэффициента Пуассона v = 0,3
получаем следующее примерное соотношение скоростей продольной,
поперечной и волн Рэлея:
<V* « 1 : °>63 : °>59. (22.18)
В табл. 22.1 приведены экспериментально установленные значения
скоростей продольных и поперечных волн в некоторых телах при 20 °С
и их отношения.

310
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таблица 22.1
Среда
Алюминий
Железо
Никель
Свинец
Сталь
Чугун
Лед
^прод, М/С
5080
5170
4785
1200
5050
3850
3260
^попер» М/С
3080
3230
2960
700
3300
2400
1990
г^попер : г;прОд (экспер)
0,61
0,62
0,62
0,58
0,65
0,62
0,61
гЛюпер : г^прод (теор)
0,611
0,625
0,620
0,589
0,625
0,627
Сразу можно сказать, что отношение скоростей действительно
близко к 0,63, даваемому формулой (22.17) для фиксированного
значения коэффициента Пуассона и = 0,3- Конечно, коэффициент
Пуассона v различен для разных материалов (см. табл. 11.1). В
последнем столбце табл. 22.1 приведены значения отношений скоростей,
вычисленные по формуле (22.17) с использованием известных
значений коэффициентов Пуассона, приведенных в табл. 11.1. Совпадение
хорошее.
До сих пор мы, не подчеркивая это особо, рассматривали
распространение упругих волн в изотропных средах, т. е. в таких средах, где
свойства вещества не зависят от направления (одинаковы во всех
направлениях). В анизотропных твердых телах (кристаллах) их свойства
различны по разным направлениям, т.е. упругие константы — модуль
Юнга Е, модуль сдвига G, коэффициент Пуассона v — принимают
разные значения в различных направлениях и нетрудно догадаться,
что скорости распространения упругих волн внутри таких сред будут
зависеть от направлений распространения этих волн. В табл. 22.2
приведены для примера минимальные и максимальные значения
модулей упругости для некоторых металлических монокристаллических
веществ (в первом столбце приведен тип кристаллической решетки).
Тип
кристаллической
решетки
Кубическая
Гексагональная
Металл
Медь
Алюминий
Железо
Вольфрам
Магний
Цинк
Таблица
£min> Па
68
64
135
400
43,7
36,5
22.2
Smax, Па
194
77
290
400
51,4
126,3
<?min> Па
31
25
61
155
17,1
27,8
Gmax, Па
77
29
118
155
18,4
49,7

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 311
Мы видим, что, действительно, разброс значений упругих
констант довольно существен, что приводит к разным скоростям упругих
(акустических) волн по разным направлениям внутри анизотропных
кристаллических тел. В изотропном упругом теле распространяются
два вида волн — продольные и поперечные, их скорости разные.
В анизотропных телах волновой вектор к может быть разложен по
трем взаимно независимым направлениям, поэтому в кристаллах
могут существовать трц волны с разными скоростями распространения
и различными частотами.
Вообще, зная скорость акустических волн, можно определить
не только упругие константы веществ, их зависимость от разных
внешних условий, например от температуры, но и такие характеристики, как
сжимаемость, отношение теплоемкостей, химическое строение. В
многоатомных газах, в смесях и вообще в тех случаях, когда протекание
разных химических реакций зависит от прохождения акустических
волн, возникает акустическая релаксация, вызывающая дисперсию
звука — зависимость фазовой скорости акустических волн от частоты
(вообще упругих волн).
22.2. Физические характеристики акустических волн.
Интенсивность звука / (плотность потока энергии акустической волны)
определяется формулой (см. (11.13) и (11.59))
/ = (j) = (WV) = \(юи?$, (22.19)
где р — плотность среды, в которой распространяется акустическая
волна частоты ш со скоростью v> а £0 — амплитуда колебаний частиц
среды. Еще раз напомним, что J — это поток энергии волны через
единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны, за единицу времени. Естественно, что интенсивность звука
должна быть связана с акустическим давлением, т.е. с изменением
давления, возникающим при изменении плотности вещества при
прохождении через него акустической волны. Акустическое давление 6р,
если давление рассматривать как функцию от плотности р среды,
можно представить в виде
Sp = -щЬр = v28py (*)
в котором мы воспользовались формулой (11.31а) для скорости
продольных волн в жидкостях и газах. Определим Sp. Считая, что
продольная волна распространяется вдоль оси х и учитывая, что
количество вещества внутри какого-то элементарного объема остается
неизменным, можно записать
pdx-S = p'(dx + d£)-S,
где р — плотность среды в отсутствии звуковых волн, р1 — плотность
среды при прохождении волны, dx - S — некоторый элементарный

312 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
объем среды в отсутствии волн, (dx + d£) • S — объем того же элемента
при прохождении волны, т.е. d£ — изменение длины этого
элементарного объема при прохождении волны. Тогда изменение плотности
6р = р-р = -р-±ъ-рЛ. (**)
Здесь, считая изменение плотности среды незначительным, что обычно
и выполняется, р1 заменена на р. Учитывая, что относительная
деформация е = -р равна отношению скорости колебаний vK0Jl частиц среды
к скорости v волны (см. (11.54а)) и (11.51), получим, что
V
6р = р-^, (***)
подставив которое в (*), находим акустическое давление звуковой
волны:
*P = /*>-tW (22.20)
Из (22.20) можно определить формулу для амплитуды скорости
колебаний частиц среды
(4«Jo = ^p (22-21)
где (6р)0 — амплитуда колебаний акустического давления, т. е.
6р = (Sp)0 cos(ut - kx + <р0). (22.22)
В то же время, как мы знаем из теории колебаний, амплитуда скорости
колебаний равна
(Оо = "•$>■ (22-23)
Воспользовавшись этим и выражением (22,21) для амплитуды скорости
колебаний, интенсивность акустических волн можем представить через
акустическое давление:
^*5^¥ <22'24>
Здесь (см. (18.9а))
z = pv (22.25)
— волновое (акустическое) сопротивление среды.
Реальная среда обладает вязкостью и теплопроводностью, что
приводит к поглощению средой акустических волн (см. (10.15а)):
£(z, t) = &~1X cos(ut - kx), (22.26)
где 7 — коэффициент поглощения (затухания) волны. В результате
и акустическое давление меняется по аналогичному закону:
5р(х, t) = (6р)ое-~<х cos(u)t - fear) = (Sp(x))0 cos(ut - kx), (22.27)

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 2U3
т. е. амплитуда акустического давления убывает экспоненциально
с увеличением пройденного расстояния х:
(6р(х))0 = («р)ое-^, (22.28)
что приводит к еще более резкому экспоненциальному уменьшению
интенсивности акустических волн (звука) с увеличением пройденного
волной расстояния х:
1 = 10е~^х. (22.29)
Здесь
, Ш = Ш& (22.30,
pv pv
— интенсивность акустической волны в момент вхождения в среду
(х = 0).
Более глубокие исследования (и это вне рамок общей физики)
в гидродинамике и термодинамике приводят к следующей формуле для
коэффициента поглощения звука:
гДе ^(С) — динамическая вязкость (вторая вязкость), х —
коэффициент теплопроводности среды, cp(cv) — удельная теплоемкость
среды при постоянном давлении (объеме). Первое и второе выражения
в квадратной скобке обусловлены вязкостью среды, а третье
выражение — теплопроводностью среды. Обычно вклады второй вязкости (С)
и теплопроводности (х) в поглощении звука значительно меньше
вклада динамической вязкости (77), поэтому коэффициент поглощения
звука 7 c неплохой точностью может быть вычислен по более простой
формуле
!4 ^# (22.32)
Здесь мы воспользовались формулами (22.2)-(22.4) для скоростей
упругих волн, а С — модуль упругости среды (см. (11.50)).
Мы видим, что коэффициент затухания 7 акустических волн очень
сильно (квадратично) зависит от частоты акустических колебаний:
7
= Аи2, (22.33)
где А можно считать постоянной для данной среды. А это приводит
к разительному отличию быстроты убывания интенсивности
акустических волн разных частот в одной и той же среде — так отношение
интенсивностей акустических волн разных частот шх и а>2 на одном

314 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
и том же расстоянии х от места вхождения этих волн в данную среду
при условии равенства их начальных интенсивностей равно
^4=е(^) при 1(и>х,0) = Ци>2,0)9 (22.34)
или
рЛ = Ю0'43429^2. (22.34а)
1{и2,х)
Отсюда очевидно, насколько быстро затухает акустическая волна
с увеличением частоты. Например, инфразвук проходит через весь
земной шар, не затухая особенно сильно! А вот ультразвук частотой
106 Гц затухает уже на расстоянии десятка метров.
Из определения ясно, что интенсивность звука / измеряется в Вт/м2
(в системе СИ). Но на практике пользуются внесистемными
единицами (наверное, вы хорошо знакомы со словом децибел). Это основано
на психофизиологическом законе Вебера (XIX век),
устанавливающем связь между ощущениями человека и внешними раздражениями.
Он установил, что:
а) минимальное изменение интенсивности звука, воспринимаемое
человеком, составляет примерно 1/10 от интенсивности звука.
Меньшее изменение человеком обычно не чувствуется;
б) минимальное изменение веса груза, ощущаемое человеком, —
примерно 1/30 от веса;
в) минимальное изменение интенсивности света, ощущаемое
человеком, — примерно 1/100 от интенсивности света.
Для нас интересен закон Вебера, касающийся звука. В обыденной
жизни используются понятия «громкий звук», «негромкий звук», а не
«интенсивный» или «неинтенсивный», хотя они связаны с друг другом
и естественно связать относительное изменение интенсивности звука
с изменением громкости звука:
^ - AL => ^ = AAL, (22.35)
где через L обозначен уровень громкости звука. Коэффициент
пропорциональности А зависит от масштаба шкалы интенсивности / и
громкости L. В левой части этого равенства стоит относительное
изменение интенсивности звука. По закону Вебера минимальное
изменение интенсивности звука, различаемое человеческим ухом, составляет
примерно 1/10 часть от абсолютной интенсивности звука и эта доля
не зависит от абсолютной величины интенсивности звука, поэтому
естественно предположить прямую связь между относительным
изменением интенсивности звука и изменением громкости звука. Переходя
в (22.35) к бесконечно малым изменениям:
AdL (22.36)

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны ЗП>
интегрированием получим:
Для определения постоянной интегрирования С введем понятие порога
слышимости, наименьшей интенсивности /min звука, при которой звук
не воспринимается, т.е. громкость звука (уровень громкости звука)
равна нулю:
n = 0 + C =» C = ln/min. (**)
Таким образом, подставив значение С (**) в (*), находим, что
In J-=AL, (22.37)
■*min
где /min — интенсивность звука на пороге слышимости. Зная связь
между натуральным и десятичным логарифмами
формулу (22.37) для громкости L звука можно переписать в виде
lnlO.lg.J-
L = min. (22.38)
Обычно масштаб уровня громкости звука выбирается так, что
А = In 10, (22.39)
т. е. уровень громкости (громкость) звука определяется формулой
J (22.40)
imin
Эта формула для громкости звука может быть видоизменена и записана
через акустическое давление звуковых волн. Для этого воспользуемся
формулой (22.24), связывающей интенсивность звука / с акустическим
давлением 6р. Тогда
X = lg -^- =21g-p^. (22.41)
Громкость звука, определяемая по формуле (22.40) (или (22.41)),
безразмерная величина, зависящая от относительной интенсивности
(или от относительного акустического давления), но эту
относительную величину, т.е. громкость звука принято выражать в белах (бел).
Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими и называемыми
децибелами:
1 децибел = 1 дБ = — бел, (22.42)

316 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таблица 22.3
Звук
Тикание часов
Шепот на расстоянии 1 м
Тихий разговор
Речь обычная
Громкая речь
Крик
Шум самолетного двигателя на расстоянии 5 м
Уровень громкости L, дБ
20
30
40
50-60
70
80
120
и формулы (22.40), (22.41), если работать в децибелах,
переписываются следующим образом:
L = 10 lg т^- дБ = 20 lg (-r^-Л дБ. (22.43)
Anin \dPminJ
В среднем человеческое ухо уже не воспринимает звук, если
акустическое давление звука равно или меньше 2 • 10~5 Па, т. е. в качестве
порогового акустического давления принимают именно это давление:
*Рппп = 2.10-5Па. (22.44)
Тогда по формуле (22.24) можно вычислить и интенсивность /min звука
на пороге слышимости. Так, для воздуха при нормальных условиях,
и в качестве /min принято значение
4пп = Ю-12 Па. (22.45)
В табл. 22.3 приведены примерные значения уровня громкости L для
типичных случаев.
22.3. Ударные волны. Обычно вызываемые акустическими
волнами изменения 8р плотностей среды, в которой они распространяются,
значительно меньше самой плотности р среды. Но есть случаи
(например, при движении тел со сверхзвуковыми скоростями, при
взрывах, при ударах тел о преграды, при мощных электрических
разрядах и т.д.), когда эти изменения становятся сравнимыми по величине
с плотностью среды, и в этих случаях возникают качественно новые
волны, так называемые ударные волны. Таким образом, при таких
сильных акустических возмущениях среды, при которых
изменения 5р плотности среды, вызываемые акустическими волнами,

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны
317
становятся сравнимыми по величине с плотностью р
невозмущенной среды
6р « р, (22.46)
возникают ударные волны. Очевидно, что резкое значительное
изменение плотности среды вызывает аналогичные изменения давления,
температуры, скоростей среды. Поэтому можно привести и другое
определение ударных волн: ударная волна — это
распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью область сжатия среды, в
которой происходит резкий скачок характерных параметров среды —
плотности, давления, температуры и т. д.
Рассмотрим на фронте ударной волны а (см. рис. 22.2)
элементарную площадку dS. Будем считать, что волна распространяется вдоль
оси х. Слева от фронта волны (отрицательная сторона оси х) —
возмущенная волной область среды, а справа (положительная половина
оси х) — невозмущенная среда (волна только дошла до фронта а).
Плотность р и давление р среды, а также скорость волны v в
возмущенной (невозмущенной) областях среды снабжены индексом 1(0).
По закону сохранения массы количество вещества, заключенное
в элементарных объемах, цилиндрах А и В, одинаково (газ,
находящийся в цилиндре А, за единицу времени переходит в цилиндр В):
dmx = dm0 => рх dVA = р0 dVB => pxvx dS = povo dS,
т.е.
P\V\ = povo. (22.47)
Таким образом, импульс единицы объема среды остается неизменным.
Внимание! В ударных волнах, в отличие от обычных волн,
рассмотренных нами до сих пор, вещество переносится в направлении
распространения ударной волны.
Изменение за единицу времени импульса количества вещества,
заключенного в элементарном объеме, равно
P\v\ dVA - Povo dVB =
Рис. 22.2

318 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
где p\V{dVA (povodVB) — импульс элементарного объема А (В),
а также мы воспользовались неизменностью импульса единицы объема
среды (см. (22.47)). По закону изменения импульса это изменение
вызвано разностью сил давления в невозмущенной и возмущенной
областях:
F = (po-Pl)dS, (**)
т.е.
( )•
\Р\ Ро/
По закону сохранения энергии
( Uo + р0) dVB = (*& + Ux +р.) dVA, (22.49а)
где Uo (U^) — плотность внутренней энергии невозмущенной
(возмущенной) среды. Учитывая, что
dVA=vxdS, dVB=vodS, Pi-^fJ. Po
по закону сохранения массы dmx = dm0, то формулу (22.49а) можно
переписать в виде
Ро Р\) \л> Pi/ 2
(22.49)
Таким образом, использовав 3 закона — закон сохранения массы, закон
изменения импульса и закон сохранения энергии, мы имеем систему
из 3 уравнений:
(22.47)
(22.48)
(22.49)
Ро Pi/ \A> Pi/ 2 V^ Pi
Из 2 последних уравнений, исключая (p0v0)2, получим, что
Обычно от объемных плотностей р0 и р{ переходят к удельным
объемам Vq и V*, т.е. к объемам единицы массы среды в невозмущенной
и возмущенной областях среды:
Vo* = -, Vr = -. (22.51)
Ро Pi

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны
319
Тогда равенство (22.50) может быть приведено к так называемой
ударной адиабате (адиабате Гюгонио):
V0*U0 - VM + I (Vo* - V
= 0.
(22.52)
Если ударная волна распространяется в газе, то для плотностей
внутренней энергии среды можно воспользоваться формулой для
внутренней энергии идеального газа
*-£г ъ-ft
(22.53)
и тогда уравнение ударной адиабаты в газе принимает вид
тк = Z+ ,Z° Z , ,ч-'. (22.54а)
или
Ро =
(22.546)
Внимание! В формулах (22.54а), (22.546) 7 ~ постоянная адиабаты,
и ее старайтесь не путать с коэффициентом затухания (поглощения)
7 в формуле (22.26) — это просто совпадение обозначений. Ударная
адиабата (22.54а) может быть переписана и в более общепринятой
записи через отношение давлений за и перед фронтом ударной волны:
Fo= (7+i)v?-(7-№' (22-54в)
8 такой записи хорошо видна существенная разница между ударной
адиабатой (адиабатой Гюгонио) и адиабатой Пуассона
справедливой при адиабатическом
процессе. На рис. 22.3 приведен график
ударной адиабаты — зависимость
отношения давлений ~ в возмущенной
Ро
и невозмущенной областях среды от
у*
относительного удельного объема 77*
этих же областей среды (сплошная
часть кривой). Так как давление р{
в возмущенной ударной волной части
среды больше давления р0 в
невозмущенной части среды, то физический
смысл имеет только сплошная часть
кривой. При бесконечном увеличении
7+1
Рис. 22.3

320 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
мощности ударной волны, что вызывает бесконечное увеличение
давления рх в возмущенной части среды, отношения удельных объемов
и объемных плотностей среды по обе стороны от волнового фронта
стремятся к своим конечным предельным значениям:
£i->oc=> £ = 1^1, а = 2±1 (22.56)
т. е. с помощью ударной волны, какой бы она ни была мощной, не
удается достичь беспредельного увеличения плотности среды. Постоянная
адиабаты
7 = ^. (22.57)
где г — число степеней свободы молекулы (атома), из которого состоит
среда. Из механики мы знаем, что число степеней свободы любой
системы из N частиц
г = 3N - К (22.57а)
где к — число голономных связей, наложенных на эту систему частиц.
Так, атом (N = 1, к = 0) обладает 3 степенями свободы (г = 3 х
х 1 - 0), двухатомная молекула (N = 2, Аг == 1, т.к. известно одно
равновесное расстояние между атомами) обладает 5 степенями свободы
(г = 3 • 2 - 0), трехатомная молекула (N = 3, к = 3, т.к. известны
три равновесных расстояния между атомами) обладает 6 степенями
свободы (г = 3 • 3 - 3) и т. д. Поэтому постоянные адиабаты для од-
ноатомного газа, для газа, состоящего из двухатомного, трехатомного
и т. д. молекул, равны
7(°Дноатомн- газ) = о = 1,67; 7(двухатомн. газ) = - = 1,4;
о о
g
7(трехатомн. газ) = - = 1,33;... .
(22.576)
Таким образом, предельное сжатие газа к в ударных волнах,
которое может быть определено как увеличение (уменьшение) плотности
(удельного объема) газа
* = а = ^ = Х±| (22.58)
Ро v\ 7-1
равно
&(одноатомн. газ) = 4; Цдвухатомн. газ) = 6;
? / \ т (22.57в)
«(трехатомн. газ) = 7; ....
В табл. 22.4 приведены экспериментально измеренные значения
предельных сжатий в воздухе (давление р{ в области наибольшего сжатия
дается в атмосферах; 1 атм = 101,3 кПа).

22
. Упругие (акустические)
волны.
Ударные волны
321
Таблица 22.4
Р\
к
1
1
5
2,84
10
3,88
50
6,04
127
8,58
561
11,00
1000
11,00
2980
9,75
6380
8,97
19200
8,62
143900
6,27
Мы видим, что, действительно, предельное сжатие воздуха в
ударных волнах ограничено и равно 11, но это отличается от теоретического
значения 6, если считать, что воздух в основном состоит из двухатомных
молекул. Можно привести состав воздуха: азот N2 — 78,026%,
кислород О2 — 21,000%, углекислый газ, водород и т.д. — меньше 1%.
Отличие экспериментального значения, которое можно считать точным
в пределах погрешностей эксперимента, от теоретического
объясняется разными причинами. Это, например, то, что мы при получении
формулы (22.56) считали газ идеальным, и, конечно, в рамках этой
книги мы не стали учитывать такие явления, как диссоциация молекул
при высоких температурах (а температура в ударных волнах
достигает нескольких сот тысяч градусов!), химические реакции, ионизацию,
и т. д. Поэтому тот результат, что мы получили при такой упрощенной
модели среды, а именно адиабату Гюгонио, дающую неплохое
совпадение с экспериментом, можно считать замечательным.
Пример 22.1. Оценить длины волн А продольных акустических
волн в воздухе и во льду.
Формула для длины волны известна еще из школьного курса
физики (см. (9.3)): у
Х
т.е. искомая величина А выражается через скорость v продольных
акустических волн и их частоту и. Скорость акустических волн может
быть определена по формуле (22.4) (или (22.5)) для воздуха и по
формуле (22.2) для льда. Но можно найти их и в справочниках. Мы так
и сделаем:
vx = 330 м/с, v2 = 3300 м/с,
где индексами «1» или «2» обозначены скорости в воздухе или во
льду. Перед нами стоит задача оценить, а не вычислить точно,
поэтому берем округленные значения скоростей звука при нормальных
условиях. Следуя определениям акустических волн (см. (22.1)-(22.1в))
и разбив частоты акустических волн на поддиапазоны с частотами,
отличающимися на порядок, для длин акустических волн получим:
Инфразвук
v=(0,2-2)
г/=(2-20)
-165) м
! = (165-16,5) м
г = (1650-165) м

322
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Звук
Ультразвук
и=(20-2-102 )
А, =(16,5-1,65) м
А2 = (165—16,5) м
А, = ( 1,65-0,165) м
А2 = ( 16,5-1,65) м
Гиперзвук =Ф- <
и = (2 • 104-2 • 105) Гц =Ф
ГА, = (1,65 • 10-2-1,65 • 10"3) м
IА2 = (1,65 • КГ'Ч.бб • 10"2) м
и = (2 • 105-2 • 106) Гц =»
А, = (1,65 • 1(Г3-1,65 • 1(Г4) м
v = (2 • 106-2 • 107) Гц =►
I
и = (2 • 108-2 • 109) Гц ^>
А, = (1,65-Ю"5-1,65-Ю-6) м
А2 = (1,65 • Ю-4-1,65 • 10~5) м
v = (2 • 109-2 • 1010) Гц =*•
ГА1 = (1,65-10-6-1,65-Ю-7)м
^ 1А2 = (1,65 • 10-5-1,65 • 10~6) м
i/ = (2-1010-2-10") Гц=^
Г
А2 = (1,65 • 1<Г6-1,65 • Ю-7) м
Мы видим, что длина волны меняется в очень широком диапазоне:
от 1,5 км до 100 А(!) в воздухе и от нескольких десятков километров (!)
до 10~7 м внутри льда.
Пример 22.2. Оценить поглощаемость инфразвука и ультразвука.
Возьмем для определенности конкретные частоты инфразвука
и ультразвука:
vx = 10 Гц (инфразвук),
v2 — 106 Гц = 1 МГц (ультразвук).
Относительное ослабление интенсивностей звуковых волн на
одинаковом расстоянии х при условии равенства начальных интенсивно-

22. Упругие (акустические) волны. Ударные волны 323
стей (интенсивностей источников звуковых волн) определяется
формулой (22.34) (или (22.34а)):
1{)
что для нашего случая дает
) _. jq0,4342910i0/|\
что явно свидетельствует о чрезвычайно быстром затухании
ультразвуковых волн, о котором уже было сказано выше (см. после (22.34)).
Здесь можно сказать, что из формулы (22.32) ясно видна
зависимость коэффициента поглощения 7 акустических волн не только
от частоты, но и от таких характеристик среды, как ее объемная
плотность р и модуль упругости С (см. (11,50)). Отсюда с учетом того,
что ультразвук существенно поглощается на небольших расстояниях
и коэффициент поглощения сильно зависит от характеристик неодно-
родностей среды, понятно широкое использование ультразвука в науке,
технике, медицине. Так как акустические волны распространяются
в материальных средах, то любая неоднородность среды, т.е. любое
изменение состояния (свойств) среды приводит к изменению скорости
распространения и поглощения. Поэтому ультразвук, для которого эти
изменения особенно существенны, является прекрасным
«инструментом» использования материальных свойств вещества, их структуры.
Из-за большого диапазона частот и благодаря малым длинам волн
(см. предыдущую задачу) ультразвук позволяет достичь больших
разрешающих способностей и точности. Из применений ультразвука как
метода исследования структуры веществ можно указать на:
- определение макроскопических неоднородностей, размеры
которых сравнимы или превышают длину волны используемого
ультразвука;
- использование в гидролокации;
- использование в дефектологии;
- исследование структуры живых организмов, диагностика
злокачественных опухолей;
- определение геометрических размеров и форм тел, толщины
материалов, уровня жидкости;
- изучение свойств монокристаллов и поликристаллических сред;
выявление несовершенств структуры кристаллической решетки
тел; изучение доменов, кристаллитов и т. д. в твердых телах
и многие другие применения.
Пример 22.3. Во сколько раз уменьшается на некотором пути
интенсивность звука, если громкость на этом пути уменьшается на 30 дБ?

324 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Используя формулу (22.43) для громкости звука в точках А и В,
получим
т. е.
1в
Таким образом, на этом пути (на рисунке — на пути АВ)
интенсивность звука уменьшится в 1000 раз. Посмотрите на табл. 22.3
и сделайте выводы: например, интенсивность
А В звуковой волны, образованной обычной ре-
х чью, примерно в 1000 раз больше
интенсивности звуковой волны от тикания часов и т. д.
Пример 22.4. Два звука в некотором газе отличаются по уровню
громкости на 20 дБ. Найти отношение амплитуд колебаний давления
газа для этих звуков.
По формуле (22.43) для громкостей звуков имеем
Тогда
т.е. акустические давления этих звуков отличаются в 10 раз:
Также можете воспользоваться табл. 22.3 и сделать свои выводы.
Пример 22.6. Для звука, распространяющегося при нормальных
условиях в воздухе, определить амплитуду колебаний давления
воздуха там, где громкость звука равна 100 дБ,
Искомую величину (Sp)Q можно определить, пользуясь
формулой (22.24):
(5р)0 = y/2pvl.
При нормальных условиях плотность воздуха и скорость звука в
воздухе известны:
р = 1,2928 г/л = 1,2928 кг/м3, v = 331,36 м/с,
а интенсивность / звука с известной громкостью L может быть
определена из (22.43):
7
-'min

23. Гипотеза Планка. Фотон 325
где интенсивность звука /min на пороге слышимости также известна:
/min = Ю-12 Па.
Таким образом, искомая величина
(6р)0 = \/2pvImln • ЮГо = 2,93 Па.
§ 23. Гипотеза Планка. Фотон
23.1. Излучение. Трудности классической теории. С точки
зрения классической физики излучение электромагнитных волн каким-
либо телом (веществом) вызывается колебаниями зарядов (электронов,
ионов), содержащихся в этом теле. В зависимости от того, колебаниями
какого типа зарядов определяется данное электромагнитное излучение,
оно может лежать в определенной области спектра. Так, излучение,
возникающее вследствие колебания оптических (валентных)
электронов атомов вещества, лежит в области видимого и ультрафиолетового
излучений (сравнительно высокие частоты). А инфракрасное
излучение объясняется колебаниями значительно более тяжелых зарядов —
ионов. В металлах, в которых содержится значительное число
свободных электронов, уже нет речи о колебаниях электронов около их
положений равновесия, и спектр электромагнитного излучения широк.
Электромагнитное излучение вызывает по закону сохранения энергии
потерю энергии излучающим телом.
Излучения, в зависимости от способа пополнять убыль энергии,
делятся на разные виды — фотолюминесценция, хемилюминесцен-
ция, электролюминесценция, тепловое излучение.
Фотолюминесценция — вид излучения тел, вызываемый предварительным или
непрерывным освещением тела, т. е. пополнением убывающей энергии
тела излучением от внешнего источника. Хемилюминесценция —
излучение тела, сопровождаемое химическими превращениями внутри
тела — изменением химического состава вещества и уменьшением
запаса его внутренней энергии. Примером является свечение
окисляющегося в воздухе фосфора. Электролюминесценция — излучение
вещества при воздействии на него внешним электрическим полем.
Например, свечение газов или паров металлов при электрическом
разряде (тлеющий разряд, лампы дневного света, электрическая дуга,
искра). Тепловое излучение — излучение тел за счет внутренней
энергии — убывающая при излучении энергия тела пополняется
сообщением телу тепла со стороны (извне). Мы рассмотрим именно
тепловое излучение, при исследовании которого и были обнаружены
общеизвестные в класической физике трудности, приведшие к
развитию квантовой физики.
Тепловое излучение отличается от других видов излучений тем, что
оно может быть равновесным (равновесное излучение). Рассмотрим

326 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
полость с идеально отражающей оболочкой с постоянно
поддерживаемой температурой. Если нагретые, а значит, и излучающие тела
поместить внутри этой полости, то через определенное время, вследствие
непрерывного обмена энергией между телами и излучением, наступит
равновесное состояние: каждое тело будет поглощать и излучать в
единицу времени одно и то же количество энергии. Внутри полости
наступит равновесное излучение. Это явление — равенство излучения
и поглощения, называется принципом детального равновесия
(каждому микропроцессу, происходящему в системе, соответствует
обратный микропроцесс, причем оба микропроцесса происходят с
одинаковой вероятностью). Так как равновесное излучение соответствует
равновесному состоянию системы, то это означает, что система находится
в состоянии с наибольшей вероятностью. Основным характерным
свойством равновесного излучения является независимость
распределения плотности энергии излучения по частотам и
направлениям от формы и материала оболочки полости. Равновесное
излучение однородно, изотропно и неполяризовано; оно зависит
только от температуры. Поэтому тепловое излучение называют еще
температурным. Тела, помещенные внутри полости, могут обладать
различными поглощательными способностями, но в состоянии
равновесного излучения, как мы уже говорили, каждое тело будет поглощать
и излучать одно и то же количество энергии, которое свойственно
именно этому телу. Об этом говорит правило Прево: если два тела
поглощают разные количества энергии, то и испускание должно
быть различно.
Введем величины, характеризующие излучение. Пусть и —
плотность энергии излучения, т. е. энергия единицы объема в поле
излучения. Она может быть разложена по всем частотам излучения:
,dw, (23.1)
где u^duo представляет собой плотность энергии излучения,
приходящегося на интервал частот [uyu> + du]. Совершенно аналогично
плотность энергии излучения может быть разложена по длинам волн
излучения:
u= uxdX, (23.2)
о
где u\d\ равно плотности энергии излучения, приходящегося
на интервал длин волн [A,A + dA]. Коэффициенты разложения иш
и их называются спектральными плотностями энергии излучения.
Так как

23. Гипотеза Планка. Фотон327
= -2тгс --* = -т
и из (23.1) с учетом (*) получаем
0
и = \иш (Ь = - ju^ d\ = ^иш
О О
d\. (**)
О оо О
Сравнивая (**) с (23.2), находим простую связь между спектральными
плотностями энергии излучения в разных представлениях
(представлении частоты и длин волн):
их = ^иш. (23.3)
В зависимости от типа задачи или используемого метода исследований
необходимо выбрать их или uw в целях упрощения решения проблемы.
Ясно, что в случае равновесного излучения спектральная плотность
энергии излучения ии (их) не зависит от формы и материала оболочки
полости, внутри которой установилось равновесное излучение (см. вы*
ше), а зависит от частоты (длины волны) и температуры Т:
иш = иш(«>, Т), их = uA(A, T), (23.4)
а плотность энергии излучения зависит лишь от температуры:
и = и(Т). (23.5)
Нахождение спектральной плотности энергии излучения иш
(или их) — основная задача теории теплового излучения.
Напомним основные законы теплового излучения.
Это закон Стефана-Больцмана, справедливый для абсолютно
черного тела (тела, полностью поглощающего падающее на него
излучение):
и = аТ\ (23.6)
где коэффициент
a = 7,56.1O-16-=5U, (23.6а)
м3-К4
а Т — температура тела в Кельвинах. По закону Стефана-Больцмана
плотность энергии излучения абсолютно черного тела
пропорциональна 4-й степени температуры. Коэффициент а связан с так
называемой постоянной а Стефана-Больцмана соотношением
<т = |а = 5,67.10-8-^?. (23.66)
Формула Вина, справедливая для абсолютно черного тела
(23.7)
где Ф — некоторая функция от и/Т, конкретный вид которой Вину
получить не удалось.

328 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Закон смещения Вина
Ат = А, 6 = 0,29-Ю-3 м-К, (23.8)
где Ат — длина волны, соответствующая максимальной спектральной
плотности энергии излучения ит, Ь — постоянная Вина.
Формула Рэлея-Джинса:
иш = ^кТ. (23.9)
Выводы этих формул мы здесь не приводим, т. к. они более
подробно рассматриваются в «Оптике». Эти формулы нам нужны лишь для
демонстрации трудностей, возникших в классической физике.
По формуле Рэлея-Джинса спектральная плотность энергии
излучения иш пропорциональна квадрату частоты излучения. В то время
как по формуле Вина (23.7) она зависит от частоты более сложно. Дело
в том, что, как показывает опыт, эти формулы оказываются
справедливыми в разных областях частот излучения: формула Рэлея-Джинса
хорошо выполняется для малых частот, а формула Вина неплохо
описывает случай больших частот. Промежуточная область частот
этими формулами не объясняется. Но так как при выводе формулы
Рэлея-Джинса не вводится никаких ограничений на область частот
излучения, то формула Рэлея-Джинса должна быть справедливой для
всех частот. Но этого нет. Невыполняемость формулы Рэлея-Джинса
в случае средних и больших частот показывает не только опыт,
но и такой парадоксальный результат, что по формуле Рэлея-Джинса
плотность энергии излучения и (см. (23.1)) становится равной
бесконечности:
оо оо
f кТ Г
и = \иш dw = -2-3
и/ duj = —йгт —
3 о
= 00. (23.10)
Этого не должно быть. Ситуация (несогласие с опытом в случае
больших частот (малых длин волн)) была названа ультрафиолетовой
катастрофой. Таким образом, классическая физика оказалась в
тупике — она не могла объяснить зависимость спектральной плотности
излучения иш от частот. Это сумел объяснить в 1900 году Планк,
но для этого он был вынужден сформулировать гипотезу,
непонятную с точки зрения классической физики, но послужившую
началом развития квантовой физики.
Есть и другая трудность в классической физике, о которой было
сказано после формулы (19.25).
23.2. Гипотеза Планка. Постоянная Планка. Формула Планка.
В классической физике считается, что излучение и поглощение света
(электромагнитной волны) происходит непрерывно, т.е. частота
излучения (или поглощения) света может меняться на бесконечно малую

23. Гипотеза Планка. Фотон
329
величину. Планк, чтобы объяснить зависимость функции спектральной
плотности энергии излучения иш от частоты wf получаемую на опыте,
отказался от этого и сформировал гипотезу: излучение или
поглощение света (электромагнитной волны) происходит порциями —
так называемыми квантами света (электромагнитной волны), или
квантами энергии. Он считал, что энергия гармонического
осциллятора может принимать только дискретный ряд значений, кратных
определенной величине £0, начиная с наименьшего, равного нулю:
0,£0,2£0,3£0,4£0,... (см. рис. 23.1). По гипотезе Планка величина е0
зависит лишь от собственной частоты ш осциллятора. Поэтому
осциллятор может излучать и поглощать свет только порциями — квантами
света, энергия которых кратна eQ. Как видно из рис. 23.1, энергия
гармонического осциллятора в разных состояниях, начиная с наинизшего
в энергетическом смысле, может быть представлена в виде формулы
Еп =
п = 0,1,2,3,... .
(23.11)
В
~*-Ел=4еп
i£0 = 0
t t
Мы величину е0 пока не знаем. В состоянии термодинамического
равновесия при определенной температуре Г выполняется принцип
детального равновесия — среднее
число актов излучения (при этом kE
осциллятор из состояния с
большей энергией переходит в
состояние с меньшей энергией,
например, на рис. 23.1 переход А,
указанный стрелкой) равно среднему
числу обратных актов поглощения
света (на рис. 23.1 показано
возбуждение В осциллятора — он
переходит из состояния с меньшей
энергией в состояние с большей
энергией).
На указанном на рис. 23.1
переходе А осциллятор излуча- Рис. 23.1
ет свет (электромагнитную волну)
с энергией ЕБ — Е{ = 5е0 — е0 = 4е0 или, поглотив свет такой же
энергии, осциллятор при переходе В возбуждается с уровня с
энергией Е{ на уровень с энергией Еъ. В состоянии термодинамического
равновесия состояния (энергетические уровни Еп) будут возбуждены
согласно распределению Больцмана:
Е
Здесь Nn — число осцилляторов в состоянии п (т.е. в состоянии
с энергией Еп), NQ — число осцилляторов в невозбужденном
состоянии п = О (J50 = 0).
6—*
2—-
п

330 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Определим среднюю энергию (Е) осциллятора в состоянии
термодинамического равновесия. Если вспомнить теорию вероятности, то мы
знаем, что среднее значение любой величины Ф, распределенной по
состояниям, характеризуемым определенными числами п = 0,1,2,3,...,
с вероятностями а0Уа1уа2,аг,... определяется по формуле
(23.13)
где Фп — значение величины Ф в состоянии п. По распределению
Больцмана (23.12) вероятность возбуждения энергетического
уровня Еп осциллятора равна относительному числу осцилляторов на этом
Уровне: в
ап = -^ = е-ТЕт. (23.14)
Поэтому
"' )П£ое-"*о*
Здесь мы воспользовались формулами (23.11) и (23.14), а также ввели
обозначение <
х = w ^
Формула (*) может быть записана в виде
п=0 п=0
Применяя формулу для суммы геометрической прогрессии, имеем
(F\ = . ± 1п 1 = goe"gog = £о
к ' dx 1 - е~£ох 1 - е"еож е£ох - 1'
Вот мы и получили формулу, определяющую среднюю энергию (Е)
осциллятора в состоянии термодинамического равновесия:
(23.15)
Плотность энергии излучения, приходящегося на интервал частоты
(u,<j + du))t может быть представлена в виде
и„(Ь = з{е), (23.16)
где ии — спектральная плотность энергии излучения, s — число
степеней свободы рассматриваемой системы (равновесного излучения)
в единице объема, а (е) — средняя энергия, приходящаяся на одну
степень свободы. Будем исходить из того, что число степеней свободы
системы в единице объема равно числу мод (числу стоячих волн

23. Гипотеза Планка. Фотон 33J_
в полости) в единице объема. Определим это число. Условием
образования стоячих волн внутри полости размером L (из-за гармонического
фактора cos(ut — kx)) является равенство
kL = 2тгп,
или в декартовой системе координат по трем взаимно перпендикулярным
направлениям
кхЬ = 2тгпх, kyL = 27rny, kzL-2^nzi (О)
где пХУ пу, nz — положительные целые числа.
Число стоячих волн dN, волновые числа которых лежат в
интервалах (kxtkx +dkx), (kyiky + dky), (kz,kz+dkz), равно числу целых
чисел в интервалах (пх,пх + dnx), (ny,ny + dny), (nz,nz + dnz), т.е.
L3
dN = dnx dny dnz = j^ dkx dky dkz. (□)
Здесь мы воспользовались соотношениями (О). Еще надо учесть, что
каждому направлению распространения с одним и тем же волновым
числом к соответствуют две волны, поляризованные взаимно
перпендикулярно, поэтому число стоячих волн удваивается:
огЗ о/"3
dN = щг<1кх dky Л,
Здесь мы перешли в сферическую систему координат и в качестве
элементарного объема dkxdkydkz в пространстве волновых чисел взяли
сферический слой толщиной dk и радиусом к. Тогда число стоячих
волн в единице объема (число степеней свободы) равно
dN к2 ш2 {пп.
5 = ty = -?dk = -5-5 dw. (00)
г2 тгс3
L3 тг2
Здесь мы применили формулу для волнового числа к = —.
Подставив полученное выражение (00) для чисел степеней
свободы в (23.16), заменив среднюю энергию (е), приходящуюся на одну
степень свободы, средней энергией (Е) осциллятора в состоянии
термодинамического равновесия по формуле (23.15), получим следующую
формулу для спектральной плотности энергии излучения:
Нам остается определить величину е0. Для этого мы можем
воспользоваться формулой Вина (23.7):

332 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
или л
з^т - 1
(000)
т.е. левая часть должна быть функцией только от —. Из начального
введения величины е0 ясно, что она характеризует сам осциллятор
и не может зависеть от макроскопического параметра,
определяющего состояние системы в целом: речь идет о температуре Т. Таким
образом, величина е0 может зависеть лишь от характеристики
осциллятора — его собственной частоты ш. Причем так как левая часть
равенства (000) должна быть функцией —, то е0 должна быть
пропорциональна первой степени частоты и:
eQ~u =» eo = hw = hv. (23.18)
Коэффициент пропорциональности Ь является фундаментальной
постоянной, равной
П = 1,0546 • 1(Г34 Дж • с. (23.19)
Постоянная
h = 2тгП = 6,6262 • 1(Г34 Дж • с (23.20)
называется постоянной Планка (Планк пользовался именно этой
постоянной). Подставив выражение (23.18) для е0 в (23.17), получим
формулу Планка:
Вместо ии можно ввести спектральную плотность энергии излуче-
ния и„:
и= \uvdv, (23.22)
о
которая связана с иш формулой
и„ = 2жиш, (23.23)
Т Р
i§ *" ОО ОО ОО
и = \иш dw = и Jlit di/= \uu dv.
0 0 О
Величина uvdv представляет собой плотность энергии излучения,
приходящегося на интервал частоты [v,v-\-di>]. Тогда формула
Планка (23.21) может быть записана в виде

23. Гипотеза Планка. Фотон 333
Пользуясь соотношением (23.3), формулу Планка можно записать
и для спектральной плотности энергии излучения их по длине волны:
- 1
(23-25)
Формула Планка ((23.21), (23.24) или (23.25)), полученная на
основе его гипотезы о том, что излучение или поглощение света
происходит порциями — квантами света, прекрасно совпадает
с опытными данными. Она дала возможность преодолеть
трудности классической физики и послужила фундаментом к развитию
квантовой физики.
Совершенно естественно, что в случаях малых и больших
частот формула Планка должна перейти в формулы, правильно
описывающие излучения в случаях малых и больших частот, т. е.
соответственно в формулы Рэлея-Джинса и Вина.
1. Рассмотрим случай малых частот, т.е. допустим, что
— «1.
кТ
Тогда
*т1 + _
т.е. мы получили формулу Рэлея-Джинса (23.9), как и должно быть.
2. Рассмотрим случай больших частот:
На этот раз экспонента в знаменателе формулы (23.21) значительно
больше единицы:
ект — 1 «
шу (23.26)
что представляет собой формулу Вина (23.7) с уже определенной
функцией Ф:
которую Вин так и не смог найти, исходя из классической физики (!).
Кроме этого, формула Планка позволяет вывести формулы для
определения постоянных Стефана-Больцмана и Вина, т.е. закон
Стефана-Больцмана и закон смещения Вина.

334 /л. ///. Колебания и волны в разных областях физики
3. Выведем закон Стефана-Больцмана. Плотность энергии
излучения ж ж
Здесь мы воспользовались формулой (23.1) и формулой Планка (23.21).
Займемся вычислением интеграла /. Введем новую переменную
ТогАа оо оо
j _ (j£\ Г x*dx _ (КГ)4 f х*е~* dx
О О
! 1 + -х + е-2* + е-3*
Так как ,
! = 1 + е-х + е-2* + е-3* + ...,
1 — е~х
то
4 °°
I = П£\ Г хЗе-* (1 + е- + в"21 + е-3* + ...) dx =
Л °°
= (Mpj f [хЗе-х + яЗе-2х + Х3е-3х + ^ # J ^ =
= (интегрирование по частям) I — 1 61 + ^j + «j + ... =[ —г—J тт.
Подставив выражение полученного интеграла / в (D), получим закон
Стефана-Больцмана (23.6):
и = аТ4, (23.28)
где постоянная а определена по формуле
а = JE!*L = *£* = 7,56 ■ Ю- -*Ц. (23.29)
lS3^3 15c3/i3 м3-К4
Постоянная Стефана-Больцмана (см. (23.66))
Согласие с экспериментальным результатом (23.6а) прекрасное!
4. Перейдем к выводу закона смещения Вина (к определению
постоянной Вина). В нем идет речь о длине волны Ат, соответствующей
максимальной спектральной плотности энергии излучения абсолютно

23. Гипотеза Планка. Фотон 335
черного тела. Воспользуемся формулой (23.25) для спектральной
плотности энергии излучения:
8тгЛс 1 8тг(А;Г)5 х5
А5 е5^_! (he)4
которая должна быть максимальна при заданной температуре Г. Здесь
мы ввели новую переменную
he
Таким образом, задача сводится к поиску минимума функции 5 .
Условие экстремума дает
хъех - 5х4 (ех -
ж10
=
хех-5еж + 5 = 0 =* хт = 4,9651142.
Подставив полученное значение хт в (ПП), получим закон смещения
Вина:
Ат = y* (23-31)
где постоянная Вина
Ъ = т^- = 2,897790 • 10"3 м • К. (23.32)
кх„
т
Результат прекрасный (см. (23.8)).
В пунктах 3) и 4) получены формулы (23.30) и (23.32) для
постоянных Стефана-Больцмана и Вина, выраженные через
фундаментальные постоянные — скорость света в вакууме с,
постоянную Больцмана к и постоянную Планка h. Это сделано благодаря
гипотезе Планка об излучении и поглощении световых квантов,
которая послужила фундаментом начала и развития квантовой
физики. Формулы (23.30) и (23.32) могут служит для вычисления
фундаментальных постоянных с, fc, h. Зная их, можно определить
и другие постоянные, например число Авогадро N или элементарный
заряд е:
AT R F
где R — универсальная газовая постоянная, a F — число Фарадея:
Кл
R = 8,31441 м v, F = 9,648456 • 104
моль • К моль

336 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
5. Из (□) и (23.28) видно, что формула Планка
устраняет ситуацию, названную ультрафиолетовой катастрофой (23.10).
Ультрафиолетовая катастрофа является следствием утверждения
классической физики о равномерном распределении энергии по степеням
свободы, о том, что на каждую степень свободы приходится одна и та
же средняя энергия (Е) = кТ. А по формуле Планка она не постоянна
(см. (23.15)) и равна (воспользуйтесь формулой (23.18))
(Е) = -^—, (23.33)
ект - 1
т.е. быстро убывает с увеличением частоты ш. Плотность энергии
излучения и уже не равна оо, а конечна (см. (D) и (23.28)).
В заключение еще раз повторим гипотезу Планка, несколько
изменив формулировку: осцилляторы могут находиться только в
некоторых избранных состояниях, в которых их энергия является целым
кратным наименьшего количества энергии е0:
0, г0,2е0,3£0,..., пе0,...; eo = hw = hut (23.34)
где со — собственная частота осциллятора; при излучении (или
поглощении) осцилляторы переходят из одного из этих состояний
в другое скачком, минуя промежуточные состояния, излучая
(поглощая) при этом кванты света (электромагнитной волны),
энергия которых определяется разностью энергий этих состояний.
Формулу (23.34) для энергии осциллятора можно переписать в
компактном виде
En = nbuj = nhv, где п = 0,1,2,..., (23.35)
т. е. состояния гармонического осциллятора, согласно гипотезе Планка,
характеризуются числом п, принимающим положительные
целочисленные значения, начиная с нуля; т. е. осциллятор может находиться в
состоянии покоя (п = 0 =Ф> Ео = 0), в первом возбужденном состоянии
с энергией Ех = hi/ (п = 1 => основной тон с частотой */), во втором
возбужденном состоянии Е2 = 2hi/ = h • 2v (n = 2 =$► первый обертон
с удвоенной частотой) и т. д.
23.3. Осциллятор в квантовой механике. Ранее мы увидели,
что, благодаря гипотезе Планка об осцилляторе, его состояниях и его
излучении световых квантов с энергией ?uj = hi/, была получена
так называемая формула Планка (см. (23.21), (23.24) или (23.25)),
полностью устраняющая трудности в классической теории
теплового излучения и позволяющая получить формулы и законы (закон
Стефана-Больцмана, формулу Вина, закон смещения Вина и формулу
Рэлея-Джинса), в которых фигурируют разные константы и функции,
определяемые через фундаментальные постоянные — скорость света
в вакууме с, постоянную Планка h и постоянную Больцмана к. Это
результат гениальной гипотезы Планка.

23. Гипотеза Планка. Фотон 337
Как уже было подчеркнуто, гипотеза Планка послужила
фундаментом начала и развития квантовой механики. В квантовой механике,
которую вы еще не изучали и с основами которой вы познакомитесь,
изучая физику атома как раздел общей физики, и подробно будете
изучать в разделе теоретической физики «квантовая механика»,
основным уравнением, определяющим энергетический спектр и состояние
системы, является уравнение Шредингера
Нфп = Епфп- (23.36)
Здесь Н — гамильтониан системы (оператор полной энергии
системы):
tf = f+ t/, (23.37)
где Т — оператор кинетической энергии системы, U — оператор
потенциальной энергии системы. «Шапочка» Л обозначает, что
соответствующая величина является оператором. Функция фп называется
волновой функцией системы и описывает состояние, в котором находится
изучаемая система. Еп — энергия системы в состоянии фп. Уравнение
Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение и,
решая его, можно определить состояние фп, в котором может находиться
исследуемая система, и ее энергетический спектр {Е}.
В координатном представлении любая функция, зависящая
только от пространственных и временной координат х, у, z, t> не меняет
своего вида, а любая функция, зависящая от импульса р
(скорости t>), становится оператором (содержит операцию
дифференцирования), т. к. в квантовой механике импульс р заменяется оператором р,
имеющим вид
(23.38)
где г — мнимая единица, а оператор V хорошо известен:
Рассмотрим гармонический осциллятор, совершающий
гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0.
В классической механике его кинетическая и потенциальная энергии
известны (см. (2.16) и (2.17)):
_ гаа^ _ _р|^ кх2
1 " 2 ~ 2m U ~ 2 '
Тогда гамильтониан Я гармонического осциллятора
- ^ * Ъ2 rfi кг2
тт /rL7T i KX

338 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
и уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает
При определении гамильтониана мы учитывали, что:
1) движение происходит вдоль оси х, т.е. брали только ж-составля-
ющую оператора импульса р, т.е. рх = -tft^-;
д
2) частную производную ^- можно заменить полной производ-
d
ной —, т.к. состояние осциллятора фп от времени явно не зависит.
(XX
Решая уравнение Шредингера (дифференциальное уравнение 2-го
порядка) можно определить волновые функции (функции состояния)
фп и энергетический спектр {Е} осциллятора. Нас интересует лишь
энергетический спектр осциллятора. Результат таков; гармонический
осциллятор может находиться лишь в определенных
состояниях ф0, Vp^2'*"9 КОТОРЫМ соответствуют определенные значения
энергии Ео, Ev Е2,.. ., причем
( ^^ п = 0,1,2,..., (23.40)
и = 2ttz/ = 2тг\/ —
V m
— собственная частота колебаний основного тона колебаний
осциллятора. Функции состояния V>o»^р^2»••• тоже известны, но приводить
их здесь не будем.
Мы видим, что формула (23.40) для энергетического спектра
осциллятора, полученная в квантовой механике в результате решения
уравнения Шредингера (23.39), отличается от формулы (23.35),
основанной на гипотезе Планка, лишь сдвигом на постоянную величину
— = — всех соответствующих энергетических уровней. Это приводит
к тому, что энергетический спектр гармонического осциллятора имеет
такой же вид, что и на рис. 23.1, только все энергетические уровни
будут располагаться на — = — выше. И поэтому в низшем
квантовом состоянии п = 0 энергия осциллятора не равна нулю, что было
в гипотезе Планка, а равна
Таким образом, нулевая энергия Ео осциллятора не равна нулю,
что связано с тем, что и при абсолютном нуле температуры
осциллятор обладает энергией, определяемой по формуле (23.41).
Следует подчеркнуть, что все выводы, сделанные на основе
гипотезы Планка, остаются в силе, за исключением последнего — того,

23. Гипотеза Планка. Фотон
339
что нулевая энергия осциллятора (энергия осциллятора при
минимальной температуре — температуре абсолютного нуля) все же не равна
нулю.
23.4. Фотоэффект. Фотоны. Как мы убедились, тепловое
излучение абсолютно черного тела последовательно было решено только
после отказа Планком от подхода классической физики к проблеме
излучения, от представления излучения энергии атомом
(осциллятором) как о непрерывном процессе. Гипотеза Планка об испускании
и поглощении света квантами позволила получить формулу (формулу
Планка (23.21)), правильно объясняющую излучение черного тела во
всем интервале частот. Эта гипотеза, при дальнейшем ее развитии,
объяснила и другие явления, например фотоэффект, химическое
действие света, эффект Комптона и т.д. и послужила основой развития
квантовой физики.
Явление фотоэффекта можно наблюдать на установке (установка
Столетова), показанной на рис. 23.2. В сосуде, в котором
поддерживается высокий вакуум, расположены анод А и катод К из
исследуемого металла, подключенные к батарее Б. С помощью
потенциометра R можно менять величину подаваемого на электроды напряжения.
При облучении катода светом в цепи появляется электрический ток
(фототок), измеряемый миллиамперметром. А.Г.Столетов на такой
установке показал (1888-1890 гг.), что под действием света
исследуемый металл теряет отрицательно заряженные частицы (под действием
света из металла вырываются отрицательно заряженные частицы).
Оказалось, что это электроны. Это явление — вырывание
электронов из твердых (и жидких!) тел под действием света
называется внешним фотоэлектрическим эффектом (внешним
фотоэффектом). Эти электроны называют фотоэлектронами.
Рис. 23.2

340 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Внешний фотоэффект подчиняется следующим трем законам:
1. Число фотоэлектронов, вырываемых из катода за единицу
времени, при фиксированной частоте падающего на катод света
пропорционально интенсивности света (закон Столетова).
2. Максимальная начальная скорость (максимальная
кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности
падающего света, а определяется лишь его частотой (максимальная
кинетическая энергия фотоэлектрона пропорциональна частоте
падающего света).
3. Для каждого вещества существует минимальная частота u>m
падающего света (максимальная длина волны Лт), ниже которой
фотоэффект невозможен. Если длина волны падающего света больше
этой Ат, так называемой красной границы фотоэффекта, то эмиссия
электронов отсутствует.
Первый закон фотоэффекта качественно понятен с точки зрения
классической физики — с точки зрения классических представлений
о свете как электромагнитной волне. Падающая на металл
электромагнитная волна вызывает вынужденные колебания электронов в металле.
Чем больше интенсивность падающего света, тем больше количество
поглощаемой энергии, а значит, тем больше количество вырываемых
светом электронов. Но в то же время второй и третий законы
фотоэффекта с точки зрения классической физики необъяснимы!
Например, с увеличением интенсивности падающего света,
кинетическая энергия вырываемого из вещества электрона должна
увеличиваться и не должна зависеть от частоты падающего света, что в корне
противоречит второму закону фотоэффекта. Аналогично не должно
было существовать и красной границы фотоэффекта, так как при
любой частоте света при достаточной его интенсивности должен был бы
вырываться электрон. Но это противоречит уже третьему закону
фотоэффекта. Волновая теория света оказалась бессильной объяснить
законы фотоэффекта. Трудности она испытала и при исследовании
излучения абсолютно черного тела (это мы уже знаем).
В последнем случае выход из тупика был найден благодаря
гипотезе Планка: атомы (осцилляторы) излучают энергию не непрерывно,
а определенными порциями — квантами света, энергия которых
пропорциональна частоте их колебаний:
eo = fta; = fa/ = ^. (23.42)
Л
А.Эйнштейн расширил гипотезу Планка: свет с частотой и
не только испускается и поглощается, но и распространяется
в пространстве отдельными порциями (квантами света),
энергия которых £0 = Ни, т. е. распространяющийся свет представляет
собой поток определенных частиц — квантов света (фотонов),
движущихся со скоростью света с в вакууме. Для объяснения
фотоэффекта Эйнштейн предположил, что фотон поглощается одним

23. Гипотеза Планка. Фотон 341_
электроном и по закону сохранения энергии энергия поглощенного
фотона тратится на работу Ау совершаемую электроном для выхода
из вещества, и на сообщение этому электрону (фотоэлектрону)
максимальной кинетической энергии Гтах (га - масса электрона):
hv = А + Ттах = А + ^р. (23.43)
Это равенство называется уравнением внешнего фотоэффекта
Эйнштейна. Отсюда можно получить, что
= h"-А, (23.44а)
(to-A), (23.446)
из которых очевиден второй закон фотоэффекта — максимальная
кинетическая энергия (максимальная скорость) фотоэлектронов от
интенсивности света (т.е. от числа фотонов), падающего на единицу
площади вещества в единицу времени, не зависит, а зависит лишь
от частоты v света и работы выхода А. Очевидно, что фотоэффект
возможен лишь в том случае, когда энергия налетающего фотона hv
достаточна для выхода электрона из вещества:
hv > A, (23.45)
Таким образом, при частотах, меньших определенной vm{u)m)y
»т = р (23.46)
фотоэффект не наблюдается, т.е. частота vm(ujm) соответствует
красной границе фотоэффекта
Ат = Щ. (23.47)
Это есть объяснение третьего закона фотоэффекта. А первый закон
фотоэффекта объясняется просто. Так как интенсивность света равна
nhv, где п — число фотонов с энергией hv, падающих на единицу
площади вещества в единицу времени, то ясно, что число электронов,
вырываемых из излучаемого вещества, пропорционально
интенсивности света (каждый фотон вырывает один электрон).
На рис. 23.3 приведена вольт-амперная характеристика
фотоэффекта — зависимость фототока J от приложенного напряжения U
между электродами при разных интенсивностях 1Х и 12 падающего на
вещество света (12 > 1\) одной и той же частоты. Необходимо обратить
внимание на следующие моменты:
а) фототок J не равен нулю (существует) и при отрицательных
напряжениях от (—Uo) до 0, т.е. когда на исследуемый металл К
(см. рис. 23.2) подан положительный по сравнению с электродом А
потенциал. В этом случае, несмотря на то, что электрод К притягивает

342
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
U
Рис. 23.3
к себе выбитые из него же отрицательно заряженные фотоэлектроны,
последние из-за того, что они обладают ненулевыми скоростями,
максимальное значение которых определяется из очевидного соотношения
(е — абсолютная величина заряда электрона)
mv:
max
(23.48)
за счет уменьшения собственных кинетических энергий могут
совершать работу против сил задерживающего (тормозящего)
электрического поля между электродами и достичь электрода А. Для напряжений,
меньших или равных Uo,
U^-Uo =» J = 0, (23.49)
фототока не будет. Uo называется задерживающим напряжением;
б) при увеличении напряжения С/, начиная с (-!70), фототок
монотонно увеличивается (участок АВ на рис. 23.3), так как с увеличением
напряжения все большее число электронов достигает анода Л;
в) и, наконец, начиная с определенного значения напряжения С/н,
т.е. при
фототок J достигает максимального значения JH, называемого
фототоком насыщения. В этом случае все электроны, выбиваемые из
катода К, достигают анода Л, т.е. фототок насыщения
JH = еп0,
(23.51)
где п0 — число фотоэлектронов, выбиваемых светом из катода за
единицу времени.
Уравнение Эйнштейна (23.43), если воспользоваться
соотношениями (23.46) и (23.48), может быть переписано в следующем виде:
eU0 = h{y - i/m),
(23.52)

23. Гипотеза Планка. Фотон
343
где (не мешает повторить еще раз) Uo - запирающее напряжение, v -
частота падающего на катод К света, ит - частота красной
границы фотоэффекта. На рис. 23.4 приведены графики зависимости eU0
от частоты v падающего света (для алюминия А1 (прямая //'),
цинка Zn (прямая 221) и никеля Ni (прямая 33')), построенные на основе
опытных данных. Мы видим, что это прямые (как и должно быть
(см. (23.52)), углы наклона которых одинаковы:
d(eU0
= h.
(23.53)
По углу наклона можно определить постоянную Планка h. Точность
полученных таким образом значений постоянной Планка оказалась
порядка 0,1-0,2%, что является косвенным подтверждением
правильности гипотезы Эйнштейна о квантовом характере взаимодействия света
с электронами при фотоэффекте. Точки пересечения /, 2, 3 прямых
с осью абсцисс определяют частоты красной границы фотоэффекта,
а точки пересечения с осью ординат (на рис. 23.4 они не показаны) —
задерживающие напряжения.
В заключение надо сказать, что до сих пор речь шла об однофо-
тоннном фотоэффекте, при котором выбиваемый электрон поглощал
один фотон. В случае очень больших интенсивностей света (в лазерах)
возможен многофотонный фотоэффект, когда выбиваемый электрон
успевает поглотить не один, а несколько (обозначим N) фотонов.
В этом случае уравнение Эйнштейна принимает очевидный вид:
(23.54)
и понятие «красная граница фотоэффекта» теряет строгий смысл,
так как в зависимости от числа N поглощаемых фотонов фотоэффект
может наблюдаться и при значительно меньших, чем частота vm
красной границы фотоэффекта, частотах.
3,0-
I/10-15, Гц
1,8

344 Гл. HI. Колебания и волны в разных областях физики
Уравнение Эйнштейна (23.43) (или (23.54) в случае
многофотонного фотоэффекта) правильно описывает фотоэффект и является
подтверждением гипотезы Эйнштейна о фотонах — свет частоты и
не только испускается или поглощается атомами в виде порции
энергии, равной hi/, но и ведет себя при взаимодействии с
веществом как частица, распространяясь при этом со скоростью
света с в вакууме.
Так как фотон является ультрарелятивистской частицей, то по
теории относительности Эйнштейна его энергия, как и энергия любой
релятивистской частицы, может быть определена по знаменитой
формуле Эйнштейна
е = тс2. (23.55)
Величина га, обычно называемая массой частицы, движущейся со
скоростью г>, определяется по формуле
771
т = . ° . (23.56)
где т0 — масса покоя частицы. Так как фотон движется со скоростью
света в вакууме v = с, то формулы (23.56) или (23.55) дали бы нам
бесконечно большие значения для массы га и энергии е фотона, если
бы масса покоя т0 фотона отличалась бы от нуля:
т = """ = -Я = оо =» £ = тс2 = оо. (23.57)
Поэтому его масса покоя фотона равна нулю:
га0 = 0, (23.58)
так как только в этом случае для энергии фотона получается конечная
величина
е = тс2 = hv. (23.59)
Опять же из теории относительности Эйнштейна мы знаем, что между
энергией е и импульсом р частицы имеется следующая связь:
(23.60)
Отсюда находим, что фотон обладает импульсом
p=£ = ^ = mc=ftfc. (23.61)
с с

23. Гипотеза Планка. Фотон 345
Здесь мы воспользовались определением волнового числа к = —. На-
л
правление импульса совпадает с направлением распространения света,
поэтому формулу импульса фотона можно записать в векторном виде:
р = ftk, (23.62)
где
k = fan = у п (23.63)
— волновой вектор (п — единичный вектор вдоль направления
распространения света).
Таким образом, фотон, как любая частица, обладает массой,
энергией и импульсом:
ш=^ = ^, (23.64)
e = hi/ = hu>9 (23.65)
р = Rk. (23.66)
Эти формулы позволяют сделать качественно новый, замечательный
вывод: свет (электромагнитная волна) обладает двойственным
характером (дуализм света) — формулы (23.64)^(23.66)
связывают корпускулярные характеристики фотона (массу, энергию,
импульс) с волновой характеристикой света (частотой и?).
В классической физике (волновой оптике) — свет рассматривался
как электромагнитная волна и такие явления, как интерференция,
дифракция света и другие хорошо объяснялись. Первые трудности
встретились при попытках замкнутого, самодостаточного объяснения
излучения абсолютно черного тела, фотоэффекта, которые понимаемы
лишь с точки зрения квантовой оптики: свет представляется уже как
поток частиц — фотонов. Тогда возникает вопрос: что собой
представляет свет — волны или частицы? Квантовая физика говорит, что
и то и другое. Наше непонимание природы света является
следствием нашего незнания квантовой физики (мы квантовую физику еще
не проходили): мы исходим из нашего знания классической физики
и упорно стараемся навязывать классическое описание к природе
света, имеющему существенно неклассическую природу. Дело в том,
что свет обладает потенциальной возможностью проявлять себя как
волна или поток частиц (фотонов). Эти свойства проявляются четко
при взаимоисключающих условиях эксперимента (например,
эксперимент по наблюдению интерференции света или по наблюдению
фотоэффекта и т.д.). Мы говорили о фотонах, но целый ряд фактов
показывает, что не только свет, но и любые частицы вещества
ведут себя в одних случаях как частицы, а в других — как волны.
Это привело к открытию квантовой физики, изучать которую вы
будете на старших курсах, и мы в дальнейшем будем пользоваться

346 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
основными результатами квантовой физики, пока не входя в
подробности этой науки.
Пример 23.1. Определить энергию (в эВ) и импульс фотона с
длиной волны А, равной: а) 555 нм (видимый свет); б) 0,1 нм
(рентгеновские лучи); в) 0,001 нм (гамма-лучи). Сравнить эти величины с
соответствующими величинами электрона, движущегося со скоростью
v = 1000 м/с.
Из формул (23.65) и (23.66) для энергии и импульса фотона мы
можем получить рабочие формулы для вычисления энергии и импульса
фотона в таком виде:
г = у, (23.67)
p=j. (23.68)
Здесь нас интересует величина импульса фотона, поэтому формула
(23.68) записана в скалярном виде. При этом мы воспользовались
известными соотношениями:
с . 2тг
Конечно, формула (23.68) получается из (23.67) сразу, если
воспользоваться формулой (23.61) для импульса фотона (которая справедлива
для любой частицы с массой покоя, равной нулю).
Обозначим через ее0 и ре0 энергию (энергию покоя) и импульс
(нерелятивистский импульс) электрона:
£е0 = ™>е<?> РеО = те"- (*)
Почему (хотя в условии задачи не уточнено) берем именно
нерелятивистский импульс электрона, объясняется тем, что из-за небольшой
скорости v
v < с =Ф - «0
с
электрон (в данной задаче) является чисто нерелятивистской
частицей. Поэтому нет необходимости вычислять релятивистский импульс
электрона, т. к. т%)
Ре= ^
Тогда рабочие формулы для отношений энергий и импульсов фотона
и электрона будут следующими:
--Лг. - = ^4- (А)
£е0 тес\ ре0 mev\
Держа в руках калькулятор, подставляя численные значения в рабочие
формулы, нетрудно получить следующие ответы:

23. Гипотеза Планка. Фотон 347
а) случай видимого света
ех = 2,23 эВ, р, = 1,2 . КГ27 ^s ^- = 4,4 . 1(Г6, Ь. = 1,3;
С ^еО РеО
б) случай рентгеновских лучей
е2 = 12,3 кэВ, р2 = 0,66 • 10"23 ^А
с
%- = 2,4 • Ю-2, &- = 0,7 • 104;
в) случай гамма-лучей
ег = 1,23 МэВ, р3 = 0,66 • 10"21 ^-^; ^ = 2,4, %- = 0,7 • 106.
Посмотрите, какими высокоэнергетичными являются рентгеновские,
а тем более гамма-лучи!
Пример 23.2. Работа выхода электрона для никеля А = 4,84 эВ.
Найти длину волны, соответствующую красной границе фотоэффекта.
Сразу воспользуемся формулой (23.47):
Лт = ^ = 2,56 • 10"7 м = 256 нм.
т
Пример 23.3. Красной границе фотоэффекта для алюминия
соответствует длина волны Ат = 332 нм. Определить: а) работу выхода
электрона для этого металла; б) длину световой волны Л, при которой
задерживающий потенциал UQ = 1,00 В.
а). Работу выхода электрона из алюминия находим сразу:
А = р- = 3,74 эВ.
б). Уравнение фотоэффекта Эйнштейна (23.43) с учетом (23.48)
может быть записано в виде
he he
Отсюда получаем рабочую формулу
А =
1П" he
и, подставив численные значения, находим искомую величину:
А = 2,62 • 10"7 м = 262 нм.

348
Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
Пример 23.4. В 1916 г. Р. Милликеном при исследовании
фотоэффекта с поверхности натрия были получены данные, приведенные
ниже:
i/, 1014 с"1
ио,в
5,49
0,47
6,92
1,02
7,41
1,20
8,22
1,60
9,60
2,13
11,83
3,02
Здесь v — частота света, падающего на поверхность натрия, Uo —
задерживающее напряжение. Используя эти данные, определить: а)
значение постоянной Планка h\ б) работу выхода А электрона для натрия.
Так как в задаче две неизвестные величины, то необходимо иметь
два уравнения, содержащие их. Очевидно, это уравнения фотоэффекта
Эйнштейна, записанные для любых двух разных частот их и v2 света,
полученных из эксперимента:
hi/{ = А + еС/01,
hv2 = A + eU02.
Работа выхода А электрона от частоты света не зависит, поэтому
она одинакова в обоих уравнениях. Исключив работу выхода А из
уравнений (например, вычитанием их), получаем рабочую формулу для
вычисления постоянной Планка:
h=e(U0l-Un)
Взяв из таблицы данные для любых двух частот, можно определить
постоянную Планка. Из-за погрешностей эксперимента одна пара
измерений, конечно, может дать довольно ошибочное значение постоянной
Планка. Поэтому надо брать среднее арифметическое значение:
h = 6,53 • 1(Г34 Дж • с.
Довольно неплохо, если учесть недостаточную точность
экспериментального оборудования того времени (h = 6,626 • 10~34 Дж-с).
Аналогично можно определить и работу выхода:
А= 1,8 эВ.
Проверьте сами. Более поздние работы дают значение, чуть
превышающее 2 эВ.
Пример 23.5. Используя формулу Планка, найти выражения,
определяющие число квантов света (фотонов) в единице объема
полости при температуре Т в спектральных интервалах (а;, и + du>)
и(А,А + йА).
По гипотезе Планка энергия кванта света (фотона) (см. (23.18))
е0 = ftu>,

23. Гипотеза Планка. Фотон 349
поэтому искомое число квантов света в единице объема с
частотами в интервале [и, и + duj) может быть определено по формуле
(см. (23.21)):
, иша\о 1
пш aw = —— =
Аналогично ,ч
Сл Л
-О л еТкг - 1
Здесь мы воспользовались формулой Планка (23.25) для спектральной
плотности энергии излучения по длине волны.
Пример 23.6. Точечный изотропный источник испускает свет
с длиной волны А = 589 нм. Световая мощность источника Р = 10 Вт.
Найти среднюю плотность потока световых квантов (фотонов) на
расстоянии г = 2 м от источника.
Разделив Р на площадь сферы радиусом г, мы получаем
спектральную плотность энергии излучения. Искомая величина равна
спектральной плотности энергии излучения, поделенному на энергию кванта
р р.\
W ~" 4тгг2 • Пш " 4пгЧ2пс
Здесь
Подставив в (*) численные значения, находим ответ:
Задача решена.
Пример 23.7. Максимум интенсивности излучения Солнца
приходится на длину волны Ат = 500 нм. Определить температуру
поверхности Солнца.
Рассматривая Солнце как абсолютно черное тело, по закону
Вина (23.8) (или (23.31), (23.32)) определяем искомую величину:
Т = А = 5796 К » 5800 К,
Ат
что очень хорошо подтверждается и другими методами определения
температуры поверхности Солнца.
В заключение, наверное, естественно сказать о том, что в 1923 г.,
т. е. спустя 35 лет после обнаружения явления фотоэффекта,
американский физик А. Комптон открыл явление, которое невозможно было
объяснить с точки зрения классической физики (волновой оптики).
Он проводил опыты по рассеянию рентгеновского излучения на
парафине и нашел, что длина волны рассеянного рентгеновского излучения

350 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
оказалась больше, а не равна длине волны падающего
рентгеновского излучения (т.е. частота рассеянного излучения оказалась меньше
частоты падающего излучения). Классическая физика (волновая
оптика) этого не может объяснить. По волновой теории под действием
падающей на электрон электромагнитной волны электрон колеблется
с той же частотой, что и частота падающего излучения, и становится
источником вторичных электромагнитных волн, частота (длина волны)
которых равна частоте (длине волны) падающего излучения. Таким
образом, классическая физика (волновая оптика) никак не могла
объяснить результат, полученный Комптоном. Это явление, т.е. явление
увеличения длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на
свободных электронах, было названо эффектом Комптона. Эффект
Комптона оказался вторым после фотоэффекта замечательным
явлением, который можно объяснить лишь с точки зрения квантовой
физики (квантовой оптики). Эффект Комптона легко объяснить, если
считать, что электромагнитное излучение представляет собой поток
фотонов (световых квантов). Достаточно использования законов
сохранения энергии и импульса.
§ 24. Корпускулярно-волновой дуализм.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
24.1. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм.
Ранее мы убедились в том, что свету присущ корпускулярно-
волновой дуализм — в таких явлениях, как фотоэффект, эффект
Комптона свет ведет себя как поток частиц — квантов света (фотонов),
а явления интерференции, дифракциии света объяснимы лишь при
рассмотрении света как волны (электромагнитной волны). Все это
казалось противоречием — было непонятно, как это одно и то же понятие
«свет» может быть потоком частиц и в то же время еще и волной,
совершенно взаимоисключающих, на первый взгляд, понятий?
В 1924 г. французский ученый Луи де Бройль расширил это
свойство света и выдвинул очень смелую гипотезу: корпускулярно-
волновой дуализм присущ не только свету, но и любому
веществу — с любой частицей вещества связана волна точно так же,
как с квантом света связана электромагнитная волна. Причем
энергия е и импульс р частицы, представляющие собой
корпускулярные характеристики, связаны с частотой i/(u;) и длиной
волны Л такими же соотношениями, которые справедливы для
света (см. (23.65), (23.66)):
е = hi/= Ьи>, (24.1)
h
— — ПК, p — ПК, К*1*./,)

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 351
Эти формулы связывают корпускулярные характеристики частицы
вещества (энергию, импульс) с волновой характеристикой (частотой,
длиной волны). Существенным расширением области применения
формул (24.1) и (24.2) в гипотезе де Бройля является то, что
формулы (23.65) и (23.66), внешне совершенно тождественные формулам
(24.1) и (24.2), были справедливы лишь для фотонов, масса покоя
которых равна нулю (фотоны всегда движутся со скоростью с в вакууме),
а формулы (24.1) и (24.2) справедливы и для частиц с отличающейся
от нуля массой покоя. Поэтому формулу (24.2) мы можем переписать
в другом виде, а именно любой частице с массой т и импульсом р
соответствует волна с длиной волны Л, определяемой по формуле
аЛ = А. (24.2а)
р mv
Здесь т_
т= т° о, (24.3)
где га0 — масса покоя частицы, т — релятивистская масса частицы
(масса частицы, зависящая от скорости). Мы помним, что
релятивистский фактор — общеизвестный корень квадратный
вится более или менее отличающимся от 1 лишь при скоростях t>,
близких к скорости с света в вакууме. Даже для спутника Земли
(скорость спутника v = 8 км/с), скорость которого велика для обыденной
жизни,
Ю-10 = ^0,99999999993,
т.е. корень квадратный равен 1 с точностью 10~12! Ну а для частиц,
масса покоя т0 которых равна нулю (например, для фотона, гравитона,
который, кстати, еще не обнаружен экспериментально), импульс р
определяется по формуле (23.61):
р=- = — =тс, (24.4)
с с
т.е. такие частицы характеризуются релятивистской массой
<см-(23-64» ь, п.
rn = ^ = -j. (24.5)
Мы знаем, что фотону соответствует электромагнитная волна (фотон —
квант света, т.е. электромагнитной волны), а что за волны
соответствует другим частицам? Они были названы волнами де Бройля
и определяют волновые свойства частиц.
Оценим длины волн де Бройля для электрона и нейтрона при
комнатной температуре. Как мы увидим, при комнатной температуре

352 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
(Т = 300 К) электрон и нейтрон являются нерелятивистскими
частицами (их скорости значительно меньше скорости света в вакууме),
поэтому для вычисления длин волн де Бройля, соответствующих
электрону и нейтрону, пользуемся формулой (24.2а), где в качестве масс
электрона (или нейтрона) берем их массы покоя:
те = 0,911 • 10"30 кг, тп = 1,675 • 10~27 кг,
а их скорости при температуре Г определим по формуле для средней
скорости частиц, известной из молекулярно-кинетической теории
вещества:
v = vср = JR = 5,93 • 10"12J^ -. (24.6)
р V ътп V m с
Используя (24.6) и (24.2а) для длины волны де Бройля частиц с
массой т, находящихся в газе с температурой Г, получим следующую
формулу:
Подставляя численные значения, находим длины волн де Бройля для
электрона и нейтрона при температуре Т = 300 К:
Ае = 67,8 А = 6,78 нм = 6,78 • 10"9 м,
Ап = 1,6 А = 0,16 нм = 0,16 • 10"9 м.
Можно определить и их средние тепловые скорости при температуре
0( 2С)
ve = 1,073 • 105 м/с, vn = 2,48 • 103 м/с, (24.8а)
т. е., как и должно быть, при одинаковой температуре средняя тепловая
скорость более тяжелой частицы — нейтрона в л — раз меньше
средней скорости более легкой частицы — электрона.
Мы помним, что одним из основных свойств волн является
дифракция волн. Поэтому логично предположить, что волновые
свойства материи можно обнаружить на дифракционных
явлениях частиц (электронов и т.д.) с учетом соответствия им волн
де Бройля.
Задача — как это можно сделать.
24.2. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля.
Мы видим (см. (24.2а)), что определенному виду частиц (например,
электронам) при одной и той же скорости v этих частиц соответствует
волна де Бройля одной определенной длины волны Л (частоты v)>
т. е., другими словами, потоку частиц одного вида и с одинаковыми
скоростями соответствует монохроматическая волна де Бройля.
Это нам и нужно, чтобы исследовать волны де Бройля.

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 353
В дальнейшем для определенности займемся потоком электронов.
Допустим, что мы создали поток электронов одинаковой скорости
ускорением их в электрическом поле с разностью потенциалов V,
т. е. по закону сохранения энергии (потенциальная энергия переходит
в кинетическую)
ww2 т/ /2eV /лл ЛЧ
—— = eV =Ф v-\ . (24.9)
Z V тп
Им соответствует волна де Бройля с длиной волны А, определяемой
по формуле
« «• (24.10)
у/У
Здесь, в конце, мы подставили численные значения массы m и заряда
е= 1,6- 10~19 Кл электрона, причем длина волны де Бройля
измеряется в А, если разность потенциалов в вольтах. Сразу видно, что
ускоренному потенциалом V = 150 В электрону соответствует волна
де Бройля длиной А = 1 А. Это по порядку величины соответствует
длине волны мягких рентгеновских лучей (см. (16.56а)). Внимание!
Сразу заметим, что формулы (24.9) и первые две в (24.10) справедливы
для любых частиц с массой га и зарядом е, но последняя формула
в (24.10) (т.е. \/-тт~ AJ справедлива только для электронов (мы уже
подставили га и е электрона). Не забудем, что электроны считали
нерелятивистскими (т.е. p = mv), но в случае релятивистских скоростей
электронов, что возможно в очень сильных электрических полях,
необходимо пользоваться релятивистской формулой для импульса частицы
(пока рассмотрим любую частицу с массой покоя т0 и зарядом е):
Тогда формула де Бройля для релятивистской частицы принимает вид
ХЛ = ±-1^. (24.11)
Скорость v ускоренной электрическим потенциалом V частицы можно
получить из закона сохранения энергии, но при этом кинетическую
энергию частицы необходимо определить по релятивистской формуле,
т. е. Г = Е - Ео = тс1 - тос? и тогда
Т = U =► гапс4 -=L=r -1|= eV.

354
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Отсюда находим, что
Je2V2 + 2m0c2eV
г; = с
га0с2
подставив которые в формулу де Бройля (24.11) для релятивистской
частицы, получим уточненную формулу для длины волны де Бройля
частицы, ускоренной потенциалом V до любых скоростей:
(24.12)
Эта формула справедлива для любой частицы. В случае электрона
W
(24.12а)
где V измеряется в вольтах. Конечно, поправка к единице, т.е.
0,489 • 10~6V", начинает проявляться лишь в очень сильных полях
V« 105 В. В (24.12а) длину волны Л€ снабдили индексом е, чтобы
показать, что эта формула может быть использована только для
электронов. В табл. 24.1 приведены значения длин волн де Бройля для
электронов и протонов при разных ускоряющих потенциалах V.
Видно, что длины волн де Бройля протонов примерно в
1836 «42,85
Таблица 24.1
Ускоряющий потенциал V, В
105
104
103
400
200
50
10
Длина волны де Бройля, А
электроны
3,7 • Ю-2
0,12
0,39
0,61
0,86
1,7
3,9
протоны
9,0 • 10~4
2,9 • Ю-3
9,0 • 10~3
1,4-Ю-2
0,02
0,04
0,09

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенбереа 355
раз меньше длин волн де Бройля электронов (при одном и том же
ускоряющем потенциале V), как и должно быть при нерелятивистских
скоростях (см. вторую формулу в (24.10)):
(24.13)
Мы видим, что при ускоряющих потенциалах до 10000 В волны
де Бройля электронов соответствуют по длине волны
рентгеновскому излучению с длиной волны в интервале (0,1-10 А), что наводит
на мысль, что электроны, ускоренные в таких электрических полях,
должны вести себя как рентгеновские лучи, т. е. должны испытывать
интерференционные и дифракционные явления при прохождении через
естественную дифракционную решетку с периодом, равным
примерно длине волны де Бройля электронов, т.е. при прохождении через
кристаллическую решетку твердых тел с соответствующим периодом.
Напомним, что периоды кристаллических решеток металлов равны
нескольким А.
Действительно, через 3 года после выдвижения Луи де Бройлем
своей гипотезы, в 1927 году американские физики К. Дэвисон и Л. Джермер
поставили свой опыт по рассеянию электронов на кристаллах
никеля Ni, в котором была четко обнаружена дифракция рассеянных
электронов, безоговорочно подтвердившая гипотезу де Бройля. Рассмотрим
схематично этот опыт.
Параллельный пучок / электронов одной скорости (т. е. ускоренный
в электрическом поле с потенциалом V) направлялся на монокристалл
никеля А под углом скольжения <р, отражался, и отраженный пучок 2
электронов фиксировался датчиком (коллектором) В (см. рис. 24.1).
На опыте можно было менять углы tp для определенной скорости v
электронов, т. е. для фиксированного значения V потенциала
ускоряющего электрического поля, что равносильно исследованию отражения
волн де Бройля определенной длины волны А под разными углами.
Для этого достаточно было
поворачивать кристалл А и менять
положение датчика В. Но можно было,
сохраняя один и тот же угол
падения (р, менять длину волн де
Бройля, т.е. менять ускоряющий
потенциал V. Второй подход проще
для проведения самого
эксперимента, что и делали в своем опыте Дэ-
виссон и Джермер: они меняли ускоряющий потенциал при неизменном
фиксированном угле ф. Этот опыт с отражением электронов от
кристалла, если учесть, что электронам соответствуют волны де Бройля,
представляет, по-существу, опыт с отражением волн де Бройля от
кристалла, т.е. мы видим полную аналогию опыта Дэвиссона-Джермера

356
Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
с опытом Вульфа-Брегга по отражению рентгеновских лучей от
кристалла, который нам хорошо известен еще со школьного курса физики.
Таким образом, пользуясь этой аналогией, мы можем пользоваться
общеизвестной формулой Вульфа-Брегга
n= 1,2,3,....
(24.14)
Эта формула является условием появления максимумов отраженных
лучей. Здесь d — постоянная (период) кристаллической решетки, п —
порядок максимума. Пользуясь формулой (24.10) для длины волны
де Бройля электронов, ускоренных в электрическом поле с
потенциалом V, условие Вульфа-Брегга для максимумов в случае
рентгеновских лучей может быть преобразовано в условие появления
максимумов отраженных электронных пучков:
12
(24Л5)
Здесь Vn измеряется в вольтах, а постоянная (период) решетки d
в А (кстати, для никеля, с которым работали Дэвиссон и Джермер,
d = 2,03 А).
В опыте Дэвиссона и Джермера одним из углов скольжения был
угол (р = 80° и в этом случае условие (24.15) появления максимумов
отраженных электронных пучков от монокристалла Ni принимает вид
= 80°, Ni
n, n= 1,2,3,....
(24.15а)
На рис. 24.2 приведена зависимость силы тока / датчика В в
эксперименте Дэвиссона и Джермера, т. е. зависимость интенсивности
отраженных электронов от значения ускоряющего потенциала V при
постоянном угле скольжения <р = 80° (на нижней оси абсцисс отложен V1/2,
а на верхней оси абсцисс — значение порядка максимума п
интенсивности электронных пучков). Видно хорошее совпадение
экспериментально измеренных максимумов с теоретически вычисленными
максимумами для сравнительно больших значений п = 6,7,8,.... Расхождение
для более низких значений п < 5 вызвано тем, что при выводе формулы
12 3 4 5 6 7 8
п
10
15 20 25 Vх'2 (B)V2
Рис. 24.2

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 357
Вульфа-Брегга (а значит, и формулы (21.15) (или (24.15а)) считалось,
что показатель преломления постоянен и равен 1 как вне кристалла,
так и внутри, что приводило к постоянству длины волны как вне,
так и внутри кристалла, что, конечно, неточно. Показатель
преломления, а значит и длина волны, различны вне и внутри кристалла. Этот
эффект менее заметен для очень коротких длин волн (А < 0,7 А), но
для более длинных длин волн необходимо уточнить формулу (24.15).
Это можно сделать, но здесь заниматься этим не будем. Для нас более
существенно то, что эксперимент Дэвиссона-Джермера подтвердил
гипотезу де Бройля!
Подтверждением гипотезы де Бройля является беспрецедентное
развитие электронной спектроскопии. Сегодня уже в
промышленности пользуются электронными микроскопами, действие которых
основано на гипотезе де Бройля — электронные пучки ведут себя как
волны. В табл. 24.2 приведены постоянные решеток d, измеренные
методами дифракции электронов и рентгеновских лучей.
Металл
А1
Аи
Pt
Pb
Fe
Таблица
d (электр.), А
4,035
3,99-4,20
3,89
4,99
2,85
24.2
d (рентг. лучи), А
4,063
4,06
3,91
4,92
2,86
Согласие хорошее. В настоящее время развит мощный электронный
анализ (электронная спектроскопия или электронная оптика), который
по точности не только не уступает рентгенографическому анализу,
но и имеет свои существенные преимущества.
1. Электронные пучки способны отклоняться под действием
электрических и магнитных полей, что равносильно тому, что волны де Бройля
способны изменять направления под действием электрических и
магнитных полей, т.е. электрические и магнитные поля способны играть
роль линз в случае оптики. Таким образом, специально подобранным
набором катушек индукции (магнитные поля) и конденсаторов
(электрические поля) можно фокусировать электрические пучки, т. е. можно
сконструировать электронные линзы, электронные микроскопы. Этого
нельзя сказать об рентгеновских лучах — нет еще рентгеновских линз,
рентгеновских микроскопов. Это первое преимущество перед
рентгенографическим анализом.
2. Длину волны волн де Бройля можно менять непрерывно и
произвольно, просто меняя величину ускоряющего электроны потенциала V.
Этого тоже невозможно сделать с рентгеновскими лучами.

358
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
3. С помощью электронных лучей можно добиться несравненно
больших интенсивностей, чем в случае использования рентгеновских
лучей, что приводит к многократному уменьшению времени
экспозиции объектов (доли секунд в случае электронной оптики по
сравнению с многочасовой экспозицией в случае рентгенографического
анализа).
По гипотезе де Бройля любые частицы обладают волновыми
свойствами. Действительно, дифракционные явления очень четко были
обнаружены при рассеянии нейтронов, молекулярных пучков (Н2, Не)
от кристалла.
Возникает вопрос. Почему тогда не наблюдаются волновые свойства
у макротел? Дело в том, что телам с массой, допустим, от 10 г до
10 т (а это, например, кусочек мела или машина), движущимся со
скоростями 5 м/с, соответствуют длины волн де Бройля в интервале
примерно от 10~32 м до 10~39 м (вычисляем по формуле (24.2а)).
Это немыслимо малые размеры — сегодня неизвестны периодические
структуры с такой постоянной (постоянная кристалла порядка 10""10 м)
и об обнаружении у макротел волновых свойств не может быть и речи.
Ведь дифракционные явления у волн проявляются лишь в тех
случаях, когда размеры неоднородностей становятся порядка длины волны.
А для макротел (10~32 м~10~39 м) «С 10"10 м! Поэтому макротела
проявляют лишь корпускулярные свойства.
24.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Рассмотрим дифракцию электронов на щели (см. рис. 24.3). Пусть на экран АА
с щелью ВВ шириной Дх падает слева направо вдоль оси у
параллельный пучок электронов (сплошные стрелки). Если бы электроны вели
себя только как частицы (корпускулы), то на экран Э они попадали бы
в область В'В'у двигаясь прямолинейно в прежнем направлении
параллельно оси у, т. е. размеры пятна В1 В' точно совпадали бы с размерами
щели ВВ. Но из-за корпускулярно-волнового дуализма они в случае
X
В1
В1
э
Рис. 24.3
2-й дифракционный
минимум
1-й дифракционный
минимум

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 359
соразмерности ширицы Ах щели ВВ с длиной волны де Бройля,
соответствующей электрону, будут испытывать дифракцию, т. е. могут
попасть и в область вне В1 В1 на экране Э и из-за интерференционных
явлений волн де Бройля на экране Э будет наблюдаться дифракционная
картина, состоящая из главного максимума, расположенного
симметрично относительно оси у напротив щели ВВ, и побочных
максимумов, расположенных симметрично относительно оси у по обе стороны
главного максимума. Таким образом, хотя большинство электронов
продолжает двигаться прямолинейно за щелью в прежнем направлении
и образуют главный максимум дифракционной картины, есть и такие
электроны, которые изменяют свое направление движения (не из-за
взаимодействия с краями щели!), попадают в область вне В1 В1 и
создают побочные максимумы, т. е. дифракционную картину. Это чисто
волновое явление! Поэтому мы можем воспользоваться условием
дифракционных минимумов
Az-sina = ±2m- = ±mA, m= 1,2,3,..., (24.16а)
известным из теории дифракции волн на щели шириной Ах. В (24.16а)
угол а — угол дифракции (в нашем случае — угол отклонения
электронов от первоначального направления движения), am — порядок
минимума. Так, положение 1-го минимума позволяет определить
ширину главного максимума, положение 2-го минимума — ширину главного
и двух первых побочных максимумов интенсивностей, прошедших
через щель электронов. В то же время ширина щели Ах в этом
эксперименте представляет собой точность определения положения электрона
в момент прохождения через щель, другими словами,
неопределенность положения электрона. Из-за явления дифракции электронов
появится неопределенность импульса Арх электрона, которая может
быть представлена в виде (см, рис. 24.3)
h
А1
Здесь для импульса электрона мы воспользовались формулой де
Бройля (24.2а). Из (24.16а) и (24.166) получим:
Ах • Арх = ±mh, т= 1,2,3,.... (*)
Но так как:
а) нас интересуют величины (модули) неопределенностей
координаты Ах и импульса Арх,
б) нас интересуют любые отклонения электронов от
первоначального направления движения, т.е. отклонения от главного максимума
на любые углы, начиная от угла положения 1-го минимума (га = 1),
то мы оставляем знак «плюс» в «*» и можем считать, что га ^ 1,
т. е. соотношение (*) переходит в
Ах • Арх ^ h. (**)
Арх = р • sin a = y sina. (24.166)

360 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Сейчас мы должны учесть еще 2 момента:
а) соотношения типа (**) можно записать для неопределенностей
координаты и импульса в любом направлении,
б) соотношения (**) справедливы для любых частиц (не только
для электронов), т. к. в этом опыте дифракции электронов мы нигде
не пользовались величинами или свойствами, характерными именно
только для электронов. При более строгом рассмотрении в (**) вместо
постоянной Планка h надо поставить Ь — постоянную Планка,
деленную на 2тг.
Тогда соотношение (**) можно обобщить: неопределенности Аху
Ay, Az положения частицы и неопределенности Арх, Ару, Apz
ее импульса в один и тот же момент времени подчиняются
условиям
Ах-Арх>Ъ, АуАру^П, Az-Apz^h. (24.17)
Эти соотношения в 1927 г. получил В. Гейзенберг, и они называются
соотношениями неопределенностей Гейзенберга (СНГ). СНГ можно
сформулировать еще таким образом: координата и соответствующий
ей импульс микрочастицы не могут быть определены точно в один
и тот же момент времени и произведение их неопределенностей
не может быть меньше постоянной Планка h. Сразу надо
подчеркнуть, что невозможность одновременного точного определения
положения и импульса микрочастицы не связана с
погрешностью экспериментального оборудования, а следует из свойства
корпускулярно-волнового дуализма вещества.
Так как соотношения неопределенностей Гейзенберга (24.17)
получены на основе допущения корпускулярно-волнового дуализма
частиц, а, как мы видели выше, для макротел это свойство дуализма
не проявляется, то ясно, что соотношения неопределенностей
Гейзенберга для макротел никакой роли не играют. Действительно, даже для
такого маленького с обыденной точки зрения макротела, как частица
(«пылинка») размером 10~6 м (т.е. в десятки тысяч раз больше
размеров атома) и массой 10~12 кг (т.е. примерно в 1013-1015 раз (!) больше
массы атома), если ее координату определить с точностью до 0,01 ее
размеров (т.е. Ах = 10~8 м), то неопределенность ее скорости Av
будет порядка 10~13 м/с (!):
Да: • Арх « Ь => Av » —— « 10"13 м/с,
тАх
т. е. фантастически далека (меньше) от необходимой точности
измерения скорости частицы, что говорит о возможности полного описания
движения макротел с точки зрения классической механики.
Рассмотрим микрочастицу, например электрон, в атоме. Если мы
хотим убедиться в присутствии электрона в определенном атоме, мы
должны суметь определить координату этого электрона с точностью,

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 361
хотя бы до 0,1 размеров атома, т.е. так как типичные размеры атома
примерно 1 А = 10~10 м, то неопределенность координаты электрона
должна быть примерно Ах « 10"и м. Тогда неопределенность
скорости электрона в атоме, вытекающая из принципа неопределенностей
Гейзенберга,
Ave « —V- « Ю8 м/с.
е теАх
Но мы знаем из школьного курса физики, что типичная энергия
валентного электрона в атоме порядка 10 эВ. Приравнивая такое значение
энергии среднему значению энергии и помня, что среднее значение
энергии гармонического осциллятора (а валентный электрон в атоме
можно представить как осциллятор) равно удвоенному значению
средней кинетической или средней потенциальной энергии (см. (2.22)), мы
можем определить типичную скорость электрона в атоме:
ЮэВ = 2.^р =► Ve = jmz =1,3-106м/с.
2 у me
Здесь мы учли, что
1 эВ= 1,6-10"19 Дж.
Мы видим, что для электрона в атоме неопределенность скорости Ave
значительно больше самой скорости ve электрона. Значит, мы в
принципе не можем определить одновременно точные значения положения
и скорости электрона в атоме, что означает, что понятие
траектории электрона в атоме теряет смысл. И все это из-за
необходимости выполнения соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Действительно, в квантовой механике, которую вы будете изучать
на старших курсах, это утверждение вытекает совершенно
естественно.
Вообще из соотношений неопределенностей Гейзенберга (24.17)
вытекает, что точное значение одной из двух величин (координаты
или импульса) приводит к полной неопределенности другой величины,
т. е. если известно точное положение микрочастицы (Ах = 0), то
значение ее импульса (скорости) совершенно неопределенно, и наоборот:
Ах = 0 => АРх = оо (Avx = оо);
АРх = 0 (Avx = 0) => Ах = оо. К '
Этот вывод легко сделать, если вспомнить правило Лопиталя из
математического анализа.
В заключение остановимся еще на одном соотношении
неопределенностей. Разделим и умножим соотношение неопределенностей

362 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Гейзенберга на типичную скорость частицы:
Ах
Ах-Ар = Apv = AtAT = AtAE^h.
Ах
Здесь мы учли, что — = At — неопределенность времени, если Ах —
неопределенность положения частицы, а
Ар • v = v • A(mv) = mvAv = Д ( —— ] = ДТ,
где Т — кинетическая энергия частицы, равная полной энергии Е
свободной частицы. Мы получили соотношение неопределенностей для
энергии Е и времени t:
AEAt^h. (24.19)
Хотя это соотношение мы получили из соотношения
неопределенностей Гейзенберга, это соотношение неопределенностей для
энергии Е и времени t является совершенно независимым от
соотношения неопределенностей Гейзенберга и самостоятельным,
имеющим другую суть соотношением. В квантовой физике АЕ
представляет собой неопределенность энергии некоторого
состояния микрочастицы, a At - время нахождения микрочастицы
в этом состоянии. Соотношение неопределенностей энергии и времени
не является соотношением неопределенностей Гейзенберга, как иногда
ошибочно называют его некоторые авторы, и имеет, еще раз
подчеркнем, другое содержание.
Опять, как это мы уже делали выше, можно убедиться в том,
что соотношение (24.19) приводит к существенно новым результатам
только в случае микрочастиц.
24.4. Физическое истолкование волн де Бройля. В чем смысл
волн де Бройля? Ясно, что это не упругие волны, известные в
классической физике, т.е. не колебания частиц среды, распространяющиеся
в среде. Также ясно, что это не электромагнитные волны. Тогда что они
собой представляют?
Опыт В. А. Фабриканта (1948 г.) с дифракцией электронов показал,
что волновые свойства присущи не потоку электронов, а каждому
отдельно взятому электрону. Он пропускал очень слабый электронный
пучок через монокристалл, причем простые оценочные расчеты
показывают, что промежуток времени между двумя проходящими через
кристалл (прибор — дифракционную решетку) электронами в десятки
тысяч раз больше времени прохождения электрона через кристалл. То есть
можно было быть уверенным в том, что каждый электрон проходит через
кристалл, не подвергаясь влиянию других электронов. И что при этом
наблюдалось? Схематически этот опыт можно представить следующим
образом (см. рис. 24.4). На кристалл К падает электрон и
попадает на экран — фотопластинку, которая фиксирует место попадания

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 363
электрона. На экране сначала по- |
являются хаотически разбросанные i
точки — изображения мест попа- '
дания электронов после прохожде- —*"~~f
ния через кристалл, расположение |
которых не подчиняется никакому .
описанию. Но с увеличением числа '
электронов, проходящих через кри- *
сталл, т. е. с увеличением времени рис, 24.4
эксперимента, на экране
появляется дифракционная картина, о которой мы уже говорили. Причем эта
дифракционная картина великолепно объясняется гипотезой де Брой-
ля, т.е. тем, что каждой частице соответствует дебройлевская волна
с длиной волны, определяемой по формуле (24.2а). Мы знаем, что свет
обладает двойственным характером (дуализм света) и интенсивность
света пропорциональна квадрату светового вектора Е2 (см. (16.45а)),
если свет рассматривать как электромагнитную волну, или числу
фотонов, если свет рассматривать как поток фотонов (см. п. 23.4).
Поэтому по аналогии с только что сказанным число электронов,
попавших в определенное место экрана и пропорциональное вероятности
попадания электронов в это место, совершенно естественно связать
с квадратом некоторой функции Ф, описывающей волну де Бройля.
На основании таких соображений немецкий физик М. Борн предложил
ввести некоторую волновую функцию Ф, описывающую состояние
микрочастицы и связанную с вероятностью dW нахождения
микрочастицы в объеме dV соотношением
Уточним это соотношение. Так как волновая функция Ф микрочастицы
описывает состояние частицы, то она должна быть функцией
пространственных и временной координат
Ф = Ф(ж,у,*,*) = ФМ). (24.20)
Она может быть комплексной, т.е. квадрат модуля волновой функции
|Ф|2 = Ф*Ф. (24.20а)
Предположение М.Борна, как показало последующее развитие
науки (открытие и развитие квантовой механики Э. Шредингером),
оказалось верным. Таким образом, вероятность нахождения
микрочастицы в элементе объема dV с радиусом-вектором г, т. е. в точке с
координатами ж, у, z, в момент времени t определяется формулой
dW(r,t) = dW(x9y,z9t) = \%{x,y,zyt)\2dV. (24.21)
Эта формула является базовой в квантовой механике. Вероятность
того, что данная микрочастица находится где-то в любой точке

364 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
пространства, равна единице и записывается в виде условия
достоверного события (вспомните «Теорию вероятностей»):
= oo)= \
dW =
по всему
пространству
\V\2dV=l. (24.22)
vie
В квантовой механике условие достоверного события (24.22)
называется условием нормировки волновой функции.
Вот таким образом гипотеза де Бройля привела к революции
в науке — к открытию квантовой механики (Э. Шредингер, 1926 г.).
Пример 24.1. Вычислить дебройлеровские длины волн электрона,
протона и атома урана, имеющих кинетическую энергию 100 эВ.
Из формулы для кинетической энергии частицы (пока не будем
конкретизировать, что это за частица)
определяем ее скорость через кинетическую энергию:
/^ (1)
Тогда рабочая формула для искомой величины находится
подстановкой (1) в формулу де Бройля (24.2а):
Х = ^==. (24.23)
Подставляя численные значения h, T и масс электрона, протона и
атома урана
те = 0,911 • Ю-30 кг, тр = 1,672 • 10~27 кг, mv £ 238mp,
находим искомые величины:
Ае = 1,23 • 1(Г10 м = 0,123 нм = 1,23 А,
Ар = 2,86 • 10"|2 м = 0,286 • 10"2 нм = 0,0286 А,
Аи =0,186-10"12 м = 0,186- КГ3 нм = 0,00186 А.
Мы работаем в системе СИ, поэтому при подстановке численных
значений не забудьте использовать связь
1 эВ= 1,6-КГ19 Дж.

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 365
Пример 24.2. Частица движется слева направо в одномерном
потенциальном поле, показанном на рис. 24.5. Левее потенциального
барьера, высота которого U = 15 эВ, кинетическая энергия частицы
равна Т = 20 эВ. Во сколько раз и как
изменится дебройлевская длина волны
частицы при переходе через барьер?
Так как частица находится в
постоянном (не зависящем явно от
времени) потенциальном поле, то ее
полная энергия сохраняется:
Е0 = Е{. (1) Рис. 24.5
Здесь Ео — полная энергия частицы слева от потенциального барьера:
.,?
(2)
а Ех — полная энергия частицы над барьером:
(3)
Из (2) и (3) находим (как это мы уже делали в предыдущей задаче)
формулы для дебройлевских длин волн частицы слева и над
потенциальным барьером:
h % h
u V2mT ' у/2т{Т - U)
откуда определяем искомую величину
= 2.
Таким образом, дебройлевская длина волны частицы над
потенциальным барьером увеличится в 2 раза по сравнению с длиной волны слева
от барьера.
Пример 24.3. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую
длину волны молекул водорода, находящихся в термодинамическом
равновесии при комнатной температуре.
Так как между скоростью частицы (в данном случае — молекулы
водорода) и ее дебройлевской длиной волны имеется однозначная связь
h
v = , (1)
тпл
то можно ввести, помимо общеизвестной максвелловской функции
распределения F(v) модуля скоростей молекул, еще и функцию
распределения (р(Х) дебройлевской длины волн молекул:
(2)

366 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Смысл этого равенства прост: вероятность того, что скорость молекул
равна Vy совпадает с вероятностью того, что дебройлевская длина
волны молекулы равна А, если v и X связаны соотношением (1).
Знак «минус» отражает просто тот факт, что приращения скорости v
и длины волны А противоположны по знаку (увеличение скорости
частицы вызывает уменьшение дебройлевской длины волны и наоборот).
Пользуясь распределением Максвелла
формулами (1) и (2), а также связью между дифференциалами
скорости и дебройлевской длины волны, получающейся из (1) при
непосредственном дифференцировании, получим формулу для функции
распределения дебройлевской длины волны молекул:
<р(Х) = АА-4е"л*, (24.24)
где 2
"ив;- <2424а)
а А — постоянная, конкретное выражение которой в данной задаче
значения не имеет (вы сами можете это определить). Для наиболее
вероятной дебройлевской длины волны ее функция распределения должна
быть максимальна, т. е. по условию экстремума
ИЛИ /а а \
А (-4А-5е"А* + А-4е~л?а2А-3) = 0.
Отсюда находим формулу для наиболее вероятной дебройлевской
длины волны молекулы:
из которой в случае молекулы водорода (т « 2тр) определяем
искомую величину
() 10 A
Пример 24.4. При каком значении кинетической энергии Т
дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине
волны?

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 367
Дебройлевская Адб и комптоновская Ак длины волн электрона
определяются по известным формулам:
h h
Адб = =
A mv mev
■=?
Мы здесь учли возможность релятивистской скорости электрона
(ведь мы не знаем пока, с какой скоростью движется электрон при
выполнении условия равенства дебройлевской и комптоновской длин
волн), поэтому вместо массы покоя те электрона берем его
релятивистскую массу Ше г. Пользуясь условием Адб = Ак, получаем,
что электрон действительно быстрый (релятивистский), т.к. его
скорость лишь в у/2 раз меньше скорости света с в вакууме:
„ = -Lc. о»
Поэтому кинетическую энергию Т электрона в нашем случае надо
вычислять по релятивистской формуле
T = mc2- mec2 = тес2 - 1 ,
Г = тес2 (у/2 - l) = 0,21 МэВ.
т.е.
Пример 24.5, Параллельный поток моноэнергетических
электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью
шириной 6= 1,0 мкм. Определить скорость этих электронов, если на
экране, отстоящем от щели на расстоянии / = 50 см, ширина
центрального дифракционного максимума 2Дх = 0,36 мм.
Из оптики (явления дифракции на щели) знаем, что
b bmv'
Здесь мы воспользовались формулой для дебройлевской длины волны.
Таким образом,
т.е. в этом опыте скорость электронов в 150 раз меньше скорости света
в вакууме.

368 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Пример 24.6. Свободный электрон в момент £0 = 0 локализован
в области Ах0 = 0,1 нм = 1 А (порядок размера атома). Оценить
ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с.
По соотношению неопределенностей Гейзенберга неопределенность
скорости электрона определяется формулой
Av.
тАх0'
Тогда ширина области локализации электрона через время t может
быть оценена по формуле
Ах » Дг; -t
тАх0'
Подставив численные значения, получим потрясающую величину
Ахъ 1160 км (!),
т.е. величину, соразмерную с расстоянием от Москвы до Минска!
Думаю, что есть повод задуматься.
Пример 24.7. Электрон находится в одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы /.
Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления
электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии.
Искомая величина может быть определена из закона изменения
импульса (второго закона Ньютона, записанного через скорость
изменения импульса):
'■&
Изменение импульса Ар может быть оценено с помощью соотношения
неопределенностей
Ах- Др« / • Др« Ь => Ары у, (2)
при получении которого учтено, что неопределенность координаты
электрона Ах определяется шириной / потенциальной ямы. Из оценки
скорости электрона
А Ах I Ь
Av& -т— « — « —,
At At ml
где последнее выражение Дг; получено из (2) (Ар = тДг>), получаем,
что
Д*«^. (3)
а

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенбереа 369
Подставляя (2) и (3) в (1), находим формулу для искомой величины:
Как мы учли условие задачи «при минимально возможной его энергии»,
подумайте сами. Оцените величину силы.
Пример 24.8. Оценить размер и энергию атома водорода в
основном состоянии.
Полная энергия атома (имеется в виду энергия Е электрона в атоме,
т.к. ядро атома помещено в начало системы отсчета) равна сумме
кинетической Т и потенциальной U энергий электрона:
£ = Т + [/. (1)
Кинетическая энергия электрона
mv2
где а — неопределенность координаты электрона в атоме, т.е. это
примерно размер атома. Здесь мы считали, что разброс Ар в
импульсах электрона (его неопределенность), равный по соотношению
неопределенностей примерно -, дает и величину импульса р электрона
в атоме. Потенциальная энергия электрона в поле ядра атома
водорода (а это потенциальная энергия взаимодействия электрона с
зарядом (-е) с протоном с зарядом е) определяется формулой
и—т <3)
Тогда полная энергия электрона в атоме
В основном состоянии энергия минимальна (любая система, в том
числе и атом, стремится занять состояние с минимальной энергией).
Поэтому, пользуясь условием экстремума для энергии
получаем
та6 аг

370 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
т. е. находим величину
а0 = -^-2 = 0,528 • 10"10 м = 0,528 А, (5)
для которой энергия электрона будет минимальна. Величина а0
называется воровским радиусом, с ним более подробно ознакомитесь
в «Физике атома и атомных явлений». Мы получили, что размеры
атома водорода порядка 1 А, как и должно быть.
Подставив значение а0 из (5) в (4), получим энергию электрона
в атоме водорода в основном состоянии:
И это правильный результат. Отрицательность энергии электрона в
основном состоянии атома водорода говорит о том, что он связан в атоме
и ему необходимо сообщить энергию 13,6 эВ, чтобы он стал
свободным с кинетической энергией, равной нулю. Зато он станет свободным,
не связанным с ядром атома водорода, т. е. произойдет ионизация атома
водорода. Физики в этом случае говорят, что потенциал ионизации атома
водорода из основного состояния равен 13,6 эВ. И это прекрасно
согласуется с опытом, хотя мы провели только оценочные
рассуждения.
24.5. Кванты полей взаимодействий. Разнообразие
взаимодействий, наблюдаемых вокруг нас, может быть сведено к 4 видам
фундаментальных взаимодействий: гравитационному,
электромагнитному, сильному и слабому. В современной физике ведутся
интенсивные работы по поиску общего подхода в теории взаимодействий,
и как в свое время были объединены электрические и магнитные
взаимодействия, несколько десятков лет назад была разработана
теория электрослабых взаимодействий (единая теория электромагнитных
и слабых взаимодействий была создана в 1967-1968 гг. А. Саламом
и С.Вайнбергом независимо друг от друга, за что они впоследствии
стали лауреатами Нобелевской премии).
Если вкратце говорить отдельно об этих видах взаимодействия,
то так называемые слабые взаимодействия отвечают за
нестабильность, распад и превращения элементарных частиц. Это взаимодействие
на несколько порядков слабее не только сильного, но и
электромагнитного взаимодействий, но сильнее гравитационного. И проявляется на
очень малых расстояниях, порядка 10~15 см и меньше. Первым
экспериментально обнаруженным явлением, вызываемым слабыми
взаимодействиями, был радиоактивный /?-распад ядер (А. Беккерель,
1896 г.). Например, в процессе радиоактивного электронного
распада (/J"-распада) один из нейтронов (п) атомного ядра превращается

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 371
в протон (р) с испусканием электрона (е~) и электронного
антинейтрино (i/e), т.е.
Сильные взаимодействия (их еще называют ядерными) являются
наиболее мощными из всех 4 видов взаимодействий, но они
отвечают лишь за стабильность атомных ядер и отличаются очень малым
радиусом действия — они проявляются лишь на расстояниях порядка
10"13 см. Это расстояние примерно в сотни тысяч раз (!) меньше
размеров атома, но все же в сотни раз больше характерного радиуса
действия слабых сил.
Гравитационное взаимодействие, самое слабое из четырех
вышеупомянутых, возникает между любыми частицами и телами,
имеющими ненулевую массу, в виде сил взаимного тяготения (вспомните
закон всемирного тяготения Ньютона). Так как эти силы
пропорциональны произведению масс взаимодействующих частиц (тел), то они
начинают играть существенную роль лишь при исследовании движения
тел с очень большими массами. Например, полет любого тела (мела,
снаряда, самолета, ракеты, спутника и т.д.) в поле тяготения Земли
(масса Земли огромна). В то же время с помощью закона всемирного
тяготения Ньютона
„ ггцт2
можно убедиться в том, что сила тяготения между большим
многоэтажным каменным домом и человеком, находящимся рядом с этим
домом, так невелика (в сотни тысяч раз меньше веса человека), что
ею можно пренебречь по сравнению с другими силами (например,
силой тяжести человека). Но большой радиус действия сил тяготения
(они обратно пропорциональны квадрату расстояния между телами)
приводит к тому, что, например, сила взаимодействия между Солнцем
и Землей, несмотря на огромное расстояние между ними и благодаря
большой массе этих тел, велика и эта сила ответственна за движение
Земли вокруг Солнца по какой-то определенной траектории. Таким
образом, радиус действия гравитационных сил можно считать равным
бесконечности.
Электромагнитные взаимодействия возникают между частицами,
обладающими электрическими зарядами. Радиус действия этих сил,
как и гравитационных, неограничен, т.е. бесконечен. Благодаря этим
силам существуют атомы, молекулы. Благодаря им возникают силы
взаимодействия между атомами, молекулами. Они являются причиной
возникновения различных сил взаимодействия между частицами газов,
жидкостей и твердых тел. Таким образом, именно электромагнитные
взаимодействия порождают разные силы, которые мы наблюдаем,
например, силы упругости, силы реакций, силы трения и т. д.

372 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таким образом, можно привести примерные величины радиуса
действия L этих 4 видов фундаментальных взаимодействий:
1. L = оо, электромагнитные взаимодействия.
2. L = оо, гравитационные взаимодействия.
3. L « 10"13 см, сильные (ядерные) взаимодействия.
4. L « 10~15-10~16 см, слабые взаимодействия.
Наивысшим достижением современной фундаментальной физики
является квантовая теория поля — дальнейшее качественно новое
развитие квантовой механики. Одним из основных создателей
квантовой теории поля (квантовой электродинамики) был лауреат
Нобелевской премии Р. Фейнман, известный вам своим замечательным курсом
«Фейнмановские лекции по физике». Конечно,
квантовую теорию поля проходят на старших
курсах университетов, причем ее обычно
изучают только те студенты, которые специали-
зируются по теоретической физике. Поэтому
здесь будет уместно лишь «на пальцах»
воспользоваться одним из основных положений
квантовой теории поля. А оно таково:
микрочастицы взаимодействуют между собой
благодаря «обмену» между собой квантом
Рис 24 6 поля, ответственного за данное
взаимодействие. Сразу хочу сказать, что эта
формулировка максимально упрощена с целью показать то, о чем будет идти
речь, с максимальной простотой. На рис. 24.6 приведена диаграмма
Фейнмана, показывающая взаимодействие двух частиц / и 2 путем
«обмена» квантом К поля взаимодействия: частицы до взаимодействия
находились в состояниях / и 2 (или в $j и Ф2) соответственно,
а после взаимодействия («обмена» квантом К поля) перешли в
состояния /' и 2' (или в Ф{ и Ф£). И вот здесь мы в состоянии оценить
массы квантов поля взаимодействия частиц, т.е. фактически можем
определить, какие частицы являются «переносчиками» взаимодействия
в вышеупомянутых 4 видах фундаментальных взаимодействий.
На помощь нам придет соотношение неопределенности (24.19)
между энергией и временем:
AEAt« П. (*)
Так как нас интересует процесс взаимодействия между частицами
(обмен квантом К поля), то неопределенность времени Д* будет
представлять собой специфическое (характерное) время процесса
взаимодействия, а неопределенность энергии АЕ в момент взаимодействия
будет определять энергию кванта К поля — в момент взаимодействия
одна из частиц передает энергию АЕ другой частице за счет «обмена»

24. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение Гейзенберга 373
квантом К поля. Характерное время At физического процесса
(взаимодействия) может быть оценено формулой
Д* = -, (**)
с
где L — радиус действия сил взаимодействия, а с — скорость света
в вакууме (максимальная скорость в природе) принята в качестве
скорости распространения взаимодействия. Энергию АЕ кванта поля
можно оценить по формуле Эйнштейна
АЕ « тс2, (***)
где т — масса кванта К поля. Подставив (**) и (***) в (*), получим
формулу
т«£, (24.26)
по которой может быть оценена масса га кванта поля. Отсюда,
использовав (24.25) для радиусов действия 4 видов фундаментальных
взаимодействий, получим оценочные значения для масс квантов поля:
1. m = 0, электромагнитные взаимодействия.
2. га = 0, гравитационные взаимодействия.
(24.27)
3. га « 300ше, сильные (ядерные) взаимодействия.
4. га « (20-200)тр, слабые взаимодействия
Эти простые оценочные определения масс квантов полей
взаимодействия, основанные на использовании соотношения неопределенностей
энергии и времени в простой модели взаимодействия частиц, дают
довольно точные значения масс квантов поля.
Действительно, электромагнитные взаимодействия между
электрически заряженными частицами возникают благодаря
электромагнитному полю, создаваемому этими частицами, и переносчиками
взаимодействия являются кванты электромагнитного поля — фотоны, масса
покоя которых равна нулю. Аналогично гравитационные взаимодействия
между материальными частицами возникают благодаря
гравитационному полю, создаваемому этими частицами, и переносчиками
гравитационного взаимодействия должны быть также частицы с нулевой массой
покоя. Эти частицы были названы гравитонами, но пока они
экспериментально не обнаружены. Квантами поля сильных (ядерных)
взаимодействий должны быть, как показывает предсказание (24.27), следующее
из соотношения неопределенностей между энергией и временем,
частицы с массой примерно равной 300 масс электрона (Юкава, 1935 г.).
Эксперимент, проведенный в 1947 г. С. Латтесом, X. Мюирхедом
и др., показал существование заряженных частиц, названных тг+,

374 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
и тг"~-мезонами, ответственных за ядерные взаимодействия, и их
массы равны
т(тг+) = т(тг") = 273,13те.
А в 1950 г. экспериментально были обнаружены нейтральные тг°-мезоны
с массой
т(тг°) = 264,11те.
Прекрасное предсказание из простого, на первый взгляд, соотношения
неопределенностей (24.19) между энергией и временем! И, наконец,
четвертый вид взаимодействия — слабые взаимодействия,
ответственные за распад элементарных частиц. Соотношение неопределенностей
между энергией и временем предсказывает существование квантов
поля слабых взаимодействий с массой порядка от 20 до 200 масс протона
(отличие в 10 раз обусловлено тем, что в качестве радиуса действия
сил слабых взаимодействий можно брать 10~15-10~16 см). Как уже
было упомянуто выше, в 1967-1968 гг. А. Салам и С. Вайнберг создали
на основе теории калибровочных полей теорию электрослабых
взаимодействий, по которой следовало, что электрослабые взаимодействия
возникают за счет обмена фотонами (7) и так называемыми
заряженными (W±) и нейтральными Z0 векторными бозонами. По теории
Салама-Вайнберга массы этих частиц — квантов поля электрослабых
взаимодействий — должны быть таковы:
= 85mp,
m(Z°) = 95mp.
Соотношение неопределенностей между энергией и временем тоже
на высоте!
§ 25. Метод квазичастиц
25.1. Силы Ван-дер-Ваальса. Квазичастицы. В п. 23.3 мы
видели, что гармонический осциллятор может находиться лишь в
определенных состояниях ф0, ф{у ф2* • • •» которым соответствуют определенные
значения энергий Е^Ех,Е2,...ь причем (см. (23.40))
+ IV п = 0,1,2,..., (25.1)
где
w = 2tti/ (25.1а)
— собственная частота колебаний основного тона колебаний
осциллятора. Таким образом, нулевая энергия Ео осциллятора не равна нулю
(см. (23.41))
* = £ = £■ (25.2)

25. Метод квазичастиц 375
что приводит к тому, что даже при абсолютном нуле температуры
осциллятор обладает энергией, отличающейся от нуля и определяемой
формулой (25.2). Как показывает опыт, формула (25.1) для энергии
гармонического осциллятора лучше соответствует физическим явлениям,
чем первоначальная полуклассическая гипотеза Планка (см. (23.34)
или (23.35)). К одним из явлений, которые не могут быть объяснены
с точки зрения полуклассической гипотезы Планка, относятся силы
межмолекулярного притяжения (впоследствии названные силами
Ван-дер-Ваальса) Одним из проявлений этих сил является то, что
состояние реальных газов более правильно описывается уравнением
Ван-дер-Ваальса
а не уравнением состояния идеального газа (уравнением
Клапейрона-Менделеева)
pV = ЯГ,
известным еще из школьного курса физики.
Рассмотрим взаимодействие двух молекул А и В, моделируя их как
квантовые осцилляторы с дипольными моментами dx и d2,
расположенные на расстоянии R друг от друга (см. рис. 25.1). Молекулы А
и В произвольны, т. е. дипольные моменты dj и d2 осцилляторов могут
быть разными как по величине, так и по
направлению. Мы ниже приведем формулу
для энергии взаимодействия таких диполей,
которую обычно получают в теоретической
физике (см. (25.4)), а здесь покажем вывод л х* **
формулы для энергий взаимодействия ди- Рис. 25.1
полей в частном случае. Пусть колебания
диполей (гармонических осцилляторов) происходят вдоль соединяющей
их прямой (см. рис. 25.2). Будем считать, что положительные
заряды диполей неподвижны (это так называемое нулевое приближение,
которое нас устраивает, т.к. положительно заряженные ядра атомов
значительно тяжелее, отрицательно заряженных электронов, и
колебаниями ядер около положения их равновесия можно пренебречь)
и расстояние R между ними постоянно, а отрицательные заряды
совершают колебания около положительных зарядов вдоль соединяющей
их прямой (оси х).
А В
+е -е +е -е х
СН
-я,
-Д
Рис. 25.2

376 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
Полная энергия Е этой системы из 2 взаимодействующих
осцилляторов (диполей) равна
E = T + U. (1)
Здесь (см. (2.16)), т.к. положительные заряды считаем неподвижными,
кинетическая энергия
_ тх\ ™*2
т. е. равна сумме кинетических энергий отрицательных зарядов
(электронов), а потенциальная энергия диполей равна
U = U{ + U2 + Ul2, (3)
где (см. (2.17))
— сумма потенциальных энергий отрицательных зарядов (электронов),
где uJq — собственная частота колебаний отрицательных зарядов, а
Ul2 = tf(+e, +е) + С/(-е, -е) + UAB(-e, +e) + UAB(+e, -e) (5)
— энергия взаимодействия между диполями, в которой
(6)
— энергия кулоновского взаимодействия между положительными
зарядами,
е2
R + #2 ~~ х\
— энергия кулоновского взаимодействия между отрицательными
зарядами,
-^- (8)
— энергия кулоновского взаимодействия между отрицательным
зарядом молекулы А с положительным зарядом молекулы В и, наконец,
— энергия кулоновского взаимодействия между положительным
зарядом молекулы А с отрицательным зарядом молекулы В, Рассмот-

25. Метод квазичастиц 377
рим более подробно энергию U{2 взаимодействия между диполями.
Подставляя (6)-(9) в (5), получим
« X\ * * X2 t , X2 — X\
Пользуясь биномиальным рядом с отрицательным показателем
(Ю)
3 первых выражения внутри квадратной скобки можно представить
в виде убывающих рядов:
~Х\\
(\ 4- Х2~Х\\ _ 1 _ Х2 ~Х\
Г fl / ^ R
Так как обычно расстояние Я между молекулами значительно больше
размеров г{ и г2 самих молекул, т. е.
^«1, ^«1, (12)
то, оставив в разложениях (11) первые члены, дающие в итоге первый
нетривиальный результат, а это как раз члены, квадратичные по ^
и ~, получим формулу для энергии взаимодействия диполей,
приведенных на рис. 25.2:
Как мы уже упоминали выше, в теоретической физике для
энергии взаимодействия произвольно ориентированных диполей dj и d2
(см. рис. 25.1) получается формула
_(drd2)^
и\2 -
которая в частном случае ориентированных в одном направлении
диполей (см. рис. 25.2) переходит в формулу (25.3), как и должно быть.
Действительно, в этом случае, если воспользоваться определением ди-
польного момента (19.4), получим, что имеющиеся в (25.4) скалярные
произведения равны:
(dj • d2) = e2x{x2, (dj • R) = -ex{R, (d2 • R) = -ex2R
и (25.4) переходит в (25.3).

378 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таким образом, полная энергия Е 2 взаимодействующих диполей
может быть представлена как
тх\ тш^х2 ти\х\ 2е2ххх2 _
~ + ~2~ + ~2 F~~
ТП
2 v"! ' "vj ' о vwi ■ W2y d.4 » (Zb.ba)
или
2m 2m 2
{ ]
Здесь в (25.56) воспользовались определением импульсов диполей рх =
= mxj и Р2 = тя^2*
Случай взаимодействующих осцилляторов довольно подробно был
рассмотрен нами в §6. В данном случае мы можем перейти к
нормальным координатам с помощью преобразований
хс = -щ (я, 4- я2), ха = -^ (я, - я2) (25.6)
или I I
Так как
Ж1 + ^2J = (ЖС + жа). (Ж1 + Ж2) = (ЖС + жа)»
J
Х|Х2 = — Гх^ — Ха\
2,
то полная энергия Е системы из 2 взаимодействующих диполей в
нормальных координатах хс и ха принимает вид
Е = ЕС + Еа, (25.7)
ГД6 -2 2 2
22 222 (25.7а)
2е2 / 2е2
/1 + (25.76)
Мы видим, что в нормальных координатах система их 2
взаимодействующих диполей может быть представлена как 2 независимых

25. Метод квазичастиц 379
(невзаимодействующих) осциллятора с частотами и>с и и>а,
определяемых формулами (25.76). Тогда если перейти к квантовому
представлению (см. формулу (23.40)), полная энергия 2 взаимодействующих
диполей квантуется и равна сумме энергий независимых
квантовых осцилляторов:
с + 2) *hUa (Па + 2 Г пс»гга = 0»1»2--»
(25.8)
находящихся в состояниях с квантовыми числами пс и па
соответственно.
Еще раз повторим: энергия 2 молекул, находящихся на расстоянии R
друг от друга, квантуется (числа гсс, па принимают целочисленные
значения 0,1,2,... и их называют колебательными квантовыми
числами) и в основном (не возбужденном) состоянии молекулы находятся
в состоянии с пс = 0, па = 0, т. е. энергия молекул в основном состо-
янии
Д(0,0) = 1Л|/С + \hva = ^ [(1 -6)5 +(1 +Ь)*],
л (*)
Пользуясь разложением в ряд
(1±6)5 = 1±1ь-1б2±..., (**)
с учетом того, что
и оставив в убывающих рядах (**) по 3 первых члена (они дают
нетривиальный результат), получим
( ^) (25-9)
Это есть энергия молекул в основном состоянии. Так как энергия
осциллятора в основном состоянии равна половине hv0 (см. (25.2)), то
ясно, что добавочное выражение к энергии 2 • -^ = hvQ 2
невзаимодействующих осцилляторов, т. е.
А.-*.--£. С=^1_, (25.10,
представляет собой энергию взаимодействия молекул, находящихся
на расстоянии R друг от друга.

380
Гл. HI. Колебания и волны в разных областях физики
Вот мы и получили формулу для энергии взаимодействия 2
молекул, которая установлена в предположении, что расстояние между
молекулами значительно больше размеров молекул. Отрицательность
энергии взаимодействия молекул говорит о том, что эти силы
взаимодействия молекул являются силами притяжения, т.к. для того,
чтобы освободить эти молекулы от их взаимного влияния
(притяжения), им надо сообщить положительную энергию, численно равную
энергии их взаимодействия Еъъ. Тогда их полная энергия станет равной
2 • ~y = hi/Qt т.е. они станут свободными. Это во-первых.
Во-вторых, энергия взаимодействия Евз
обратно пропорциональна 6-й степени
расстояния между молекулами (см. (25.10)),
а сила взаимодействия обратно
пропорциональна 7-й степени расстояния между
молекулами. Действительно, если одну из
молекул, допустим, молекулу /, поместить
в начало системы отсчета (см. рис. 25.3),
Рис. 25.3 то положение молекулы 2 определяется
радиусом-вектором R, и сила F12, с которой
молекула / действует на молекулу 2, вычисляется по формуле для
потенциальной силы:
F12 = -grad£B3 = -
Таким образом,
. „д.
(25.11)
т.е. силы притяжения между молекулами, называемые силами
Ван-дер-Ваальса, обратно пропорциональны 7-й степени
расстояния между молекулами. Формула (25.11) еще раз показывает, что
силы взаимодействия молекул — это действительно силы притяжения.
Еще мы воспользовались 3-м законом Ньютона — это вы, наверно,
заметили.
В-третьих, постоянная С в формуле (25.10) определена через
известные постоянные — постоянную Планка ft, заряд е и массу т
электрона, а также через частоту vQ собственных колебаний
электрона. Но это получилось из-за того, что при выводе формулы (25.10) для
энергии взаимодействия диполей (осцилляторов) мы считали, что
отрицательным зарядом является электрон, совершающий колебания
в поле положительно заряженного тяжелого ядра, т.е. мы
пользовались довольно жесткими конкретными условиями. Для реальных
молекул, тем более для сложных молекул, это условие строго не
выполняется. Но в любом случае моделирование молекулы диполей
(осциллятором) является очень мощным, универсальным
приближением, и все развитие современной физики подтверждает это.

25. Метод квазичастиц 381
Постоянную С для конкретных молекул можно определить из
экспериментальных данных (например, из колебательных спектров молекул).
В-четвертых, не равная нулю энергия взаимодействия Евз
(см. (25.10)) между молекулами появляется лишь при
рассмотрении их как квантовых осцилляторов (см. (25.1), (25.8)), т.е.
благодаря тому, что квантовые осцилляторы совершают колебания
(обладают энергией) и при абсолютном нуле температуры (из-за наличия
дополнительного члена 1/2 в энергии осциллятора). Чего нельзя сказать
в случае классических осцилляторов (осцилляторов в классической
физике).
В-пятых, если посмотреть на формулу (25.8), то видно, что при
использовании нормальных координат мы переходим к независимым
(невзаимодействующим) осцилляторам, совершающим нормальные
колебания, т. е. колебания с нормальными частотами (в нашем случае
с частотами ис и и>а, отличающимися от частоты и0 собственных
колебаний и определяемыми формулами (25.76)). Это общая
тенденция: в современной физике широко используется метод
квазичастиц — замена реальных взаимодействующих между собой частиц
невзаимодействующими или взаимодействующими слабо
квазичастицами (приставка «квази» происходит от латинского слова «quasi»,
которое переводится как «мнимый», «ненастоящий»). В нашем
случае формула (25.8) показывает, что задача взаимодействующих
молекул может быть заменена задачей невзаимодействующих осцилляторов
(квазичастиц), но совершающих колебания с другими (нормальными)
частотами.
В-шестых, по принципу суперпозиции колебаний (см. 6
«Колебания систем со многими степенями свободы») состояние двух
взаимодействующих молекул будет представлять суперпозицию
(наложение) этих двух независимых колебаний (нормальных
колебаний, мод) и этот подход может быть обобщен на любое число
молекул (любое число степеней свободы).
25.2. Теплоемкость твердых тел. Фононы. Рассмотрим
теплоемкость твердых тел. Покажем, что теплоемкость твердых тел
определяется в основном тепловыми колебаниями частиц (атомов, молекул,
ионов) около положений равновесия в узлах кристаллической решетки.
Вклад свободных электронов (в металлах) в теплоемкость твердых тел
незначителен.
В классической физике однородное твердое тело рассматривалось
как система частиц, расстояния между которыми практически
неизменны, если не считать небольшие по амплитуде тепловые колебания
частиц около своих положений равновесия. Как известно из
классической молекулярно-кинетической теории, на каждую степень свободы
частицы приходится средняя энергия, равная fcT, т. е. каждая частица
твердого тела обладает средней энергией
(25.12)

382 Гл. Ill Колебания и волны в разных областях физики
Таким образом, внутренняя энергия U одного моля твердого тела равна
U = EBBy7p=NA.(E)=3RT, (25.13)
где
NA = 6,022- 1023 моль"1
— число Авогадро,
Дж
= 8,314
К • моль
— молярная газовая постоянная. И тогда молярная теплоемкость
твердого тела с точки зрения классической физики постоянна и равна
С = Cv = ^ = ЗД * 25 __ ~ . (25.14)
dT К • моль
Об этом говорит закон Дюлонга-Пти: молярная теплоемкость
твердых тел не зависит от температуры Т и равна ЗА.
Но опыт показывает, что закон Дюлонга-Пти при низких
температурах нарушается и теплоемкость при этом сильно зависит от
температуры:
Су » Г3 (низкие температуры). (25.15)
Это есть закон Дебая.
Чтобы устранить такое несогласие, примем следующую модель
твердого тела. Будем считать, что движение атомов (молекул) в
твердом теле может быть представлено как совокупность определенного
числа упругих волн, соответствующих нормальным колебаниям.
Вспомните предыдущий параграф, в котором мы видели, что
задача взаимодействующих молекул (атомов) может быть
заменена задачей невзаимодействующих осцилляторов (квазичастиц),
совершающих колебания с нормальными частотами.
Рассмотрим твердое тело объемом V и постараемся подсчитать
число нормальных колебаний (мод) в этом твердом теле. Сделаем это
2 способами.
А. Можем воспользоваться формулой (□), следующей после (23.16)
и определяющей число dg стоячих волн в объеме L3 = V,
волновые числа которых лежат в интервалах (kx,kx + dkx)t (ку>ку + dhy),
(kz,kz+dkz):
L3 V о
/7/1 ~~ ——— /lie /lie /lie — ^__^^^ • Д.ТГ1С /lie I 5k I
Uu —■— ^_ v л Uiix/м Hirbqj \Air\i~ ^— ,-~ v л T/lfV Uiib • \ /
Здесь мы перешли в сферическую систему координат и в качестве
элементарного объема dkxdkydkz в пространстве волновых чисел взяли

25. Метод квазичастиц 383
сферический слой толщиной dk и радиусом fc. С учетом связи между
волновым числом к и частотой и
2тп/
к =
v
и того, что в твердом теле возможно распространение одной продольной
и двух поперечных волн частотой i/, число мод с частотами (i/, v + dv)
получается из (*) умножением на 3:
dg = ^з • (25.16)
Б. Этот же результат можно получить и по-другому. Воспользуемся
методом фазового пространства (см. §8). Если вспомнить
корпускул ярно-волновой дуализм, то в нашем случае каждой упругой
волне с частотой v нормальных колебаний, распространяющейся
внутри твердого тела, соответствует частица (квазичастица) с
энергией е и импульсом (квазиимпульсом) р, определяемым по аналогии
с формулами де Бройля (см. (24.1), (24.2) и (24.2а)) следующим
образом:
е = hi/ = Uu>, р =— = —. (25.17)
v v
В то же время если подойти с точки зрения метода фазового
пространства, состояние этой квазичастицы определяется 6 координатами х, у,
2, рх, руу pz в фазовом пространстве. Соотношение неопределенностей
Гейзенберга (см. (24.17)) позволяет определить объем пяч ячейки,
соответствующей определенному состоянию квазичастицы (определенному
нормальному колебанию):
пяч = &xAyAzAPxApyApz = h\ (25.18)
В качестве элементарного объема du в фазовом пространстве,
занимаемого всеми квазичастицами (модами) с импульсом р [частотой v = ^- J,
имеющимися внутри всего объема V твердого тела, мы можем взять
сферический слой толщиной dp и радиусом р с учетом всего объема V
твердого тела, т. е.
dU = 47tp2dpV. (25.18а)
Тогда с учетом того, что в твердом теле возможно распространение
одной продольной и двух поперечных волн частотой и, число мод
с частотами (y,v + dv) получается из (25.18) и (25.18а) умножением
на 3:
, _ du l2nVp2dp __ 12пУi/2 du
т. е. мы получили уже известную нам формулу.

384 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Таким образом, реальное движение атомов, молекул, ионов в
узлах кристаллической решетки твердого тела может быть
заменено совокупностью упругих волн, соответствующих нормальным
колебаниям (квазичастицам). Эти квазичастицы были названы
фононами. Энергия и импульс фонона (квазиэнергия и
квазиимпульс фонона) определяются формулами (25.17). Они аналогичны
соответствующим формулам для фотона (см. (23.59), (23.61)), только
в (25.17) v — скорость упругих волн в твердом теле.
Фононы, как и фотоны, относятся к так называемым бозе-частицам.
Со всем этим вы познакомитесь на старших курсах, когда будете
проходить такие дисциплины теоретической физики, как квантовая
механика, статистическая физика. А пока придется вам только
поверить на слово. Частицы в природе делятся на 2 вида: ферми-частицы
(фермионы) и бозе-частицы (бозоны). Фермионы обладают
полуцелым спином и подчиняются статистике Ферми-Дирака, а бозоны —
это частицы с целочисленным спином (включая нулевой спин) и
подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Фононы, как уже сказано,
являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна:
dn = f9 , (25.19)
Ш - 1
где dn — число фононов с энергией в интервале
Внутренняя энергия U твердого тела объемом V равна энергии
фононов в объеме V, частоты которых могут иметь значения от О
до некоторой максимальной частоты */тах, которая возможна:
^тах
[/= [ hvdn. (25.20)
Воспользовавшись формулами (25.19), (25.16) и (25.17), получим
формулу, по которой может быть определена внутренняя энергия твердого
тела объемом V: v
•'max л
u = }2nhV_ Г v dv 2
^3 J еш-х
Определим i/max — верхнюю границу частот фононов. Полное число
мод (нормальных колебаний)
max
J*
о
должно быть равно числу степеней свободы 3N кристаллической
решетки твердого тела (N — число узлов кристаллической решетки,

25. Метод квазичастиц
385
т.е. число атомов или ионов, находящихся в узлах кристаллической
решетки твердого тела объемом V):
\2irV
dv =
= ЗЛГ.
о о
Отсюда находим верхнюю границу частот фононов:
3JV\I/3
(25.22)
Это частота называется еще характеристической дебаевской
частотой. Температура TD, определяемая из равенства
= hvT
(25.23)
называется характеристической температурой Дебая. В табл. 25.1
приведены характеристические температуры Дебая TD для некоторых
элементов и соединений.
Таблица 25.1
Элемент
Be
Mg
Са
La
Ti
Pt
V
Nb
Cu
TDf К
1160
406
219
132
278
229
273
252
339
Элемент
Та
Cr
Mo
W
Fe
Co
Ni
Pd
Au
TD9 К
231
402
425
379
467
445
456
275
165
Элемент
Cd
Hg
Al
In
Tl
Si
Ge
Pb
Bi
TDt К
300
80
418
109
89
658
366
94
117
Элемент
Ag
Zn
NaCl
KC1
Алмаз
Sn
KBr
CaF2
TDt К
225
308
320
227
1910
212
174
474
Введем безразмерную величину
х =
кГ
(25.24)
тогда формула (25.21) для внутренней энергии твердого тела примет
вид:
(25.25)

386 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Рассмотрим 2 крайних случая:
А. Область высоких температур. Допустим, что температура Г
твердого тела значительно больше дебаевской температуры TD:
T^>TD => s«l. (25.26)
Тогда, разложив экспоненту в ряд по степеням малой величины х
ех = 1 + х + х2 + ...
и оставив два первых члена в интеграле, получим
Iel
U = 9NkTD (£-) \ x2dx => U = 3NkT. (25.27а)
\TDJ j
Для 1 моля вещества (N = NA, NAk = R) в случае высоких температур
внутренняя энергия твердого тела определяется формулой
U = 3NAkT = ЗДТ, (25.27)
т.е. получили формулу (25.13), которая была выведена из
классических представлений. Отсюда получается и закон Дюлонга-Пти (25.14).
Таким образом, в области высоких температур (25.26) квантово-фи-
зический подход, т. е. модель фононов, дает совпадающий с
классической физикой результат — закон Дюлонга-Пти.
Б. Область низких температур. Допустим, что температура Т
твердого тела значительно ниже дебаевской температуры TD:
T<TD => ^-oo (25.28)
и поэтому
U = 9NkTD (^-)4 • £ =* U = ^KANkTD (^Л . (25.29а)
Здесь мы воспользовались значением интеграла
оо
х3 dx тг4
е*-\ 15'
о
Таким образом, в случае низких температур, т.е. температур,
значительно меньше дебаевской, внутренняя энергия твердого тела
определяется формулой
l(J\ (25.29)

25. Метод квазичастиц 387
Отсюда можно получить формулы для молярной теплоемкости
твердого тела в случае низких температур:
C = CV = ^ = A-T\ (25.30)
А = ^ (25.30а)
01D
— постоянная для данного твердого тела.
Вот мы и пришли к согласию с опытом — законом Дебая (25.15).
В заключение еще раз подчеркнем, что правильная зависимость
теплоемкости твердого тела от его температуры (независимость
от температуры при высоких температурах и кубическая
зависимость при низких) может быть получена лишь в модели фо-
нонов — квазичастиц, соответствующих нормальным колебаниям
в твердом теле.
К сказанному необходимо добавить следующее. Представление
колебаний кристаллической решетки в виде идеального газа
невзаимодействующих фононов связано с разложением потенциальной энергии
в убывающий ряд Тейлора (см. (2.26)) и учетом в нем первого
нетривиального неисчезающего члена, пропорционального квадрату смещения
осциллятора из положения равновесия. Это представление, как мы
убедились здесь, достаточно для объяснения теплоемкости твердого тела.
Оно достаточно и для объяснения упругих и оптических свойств
кристаллов. Но для объяснения других свойств кристаллических тел
необходим учет следующих членов в разложении энергии в ряд Тейлора —
т.е. необходим учет ангармоничности. Это приводит к учету более
тонких эффектов — к возможности рассмотрения слабых
взаимодействий между фононами. Что в свою очередь приводит к возможности
рождения, уничтожения фононов, к возможности рассеяния их друг
на друге с изменением частоты и поляризации в рамках законов
сохранения энергии и импульса (квазиэнергии и квазиимпульса фононов —
квазичастиц). Взаимодействие между фононами позволяет объяснить
тепловое расширение, температурную зависимость теплоемкостей при
постоянном объеме Cv и при постоянном давлении СР, их отличие
друг от друга, а также зависимость упругих параметров от
температуры и давления. Учет взаимодействия между фононами позволяет
объяснить такие явления, как рассеяние нейтронов и рентгеновских лучей
на кристаллах, эффект Мессбауэра и другие. Только возможность учета
взаимодействия между электронами (реальными частицами) и фононами
(квазичастицами), т.е. учет электронно-фононного взаимодействия,
позволяет объяснить сверхпроводимость. Но все это выходит за рамки
нашей книги, и с этим вы познакомитесь на старших курсах.
25.3. Кратко о других квазичастицах. В заключение еще раз
подчеркнем, что модель фононного газа очень эффективна в описании
таких свойств твердого тела, как теплоемкость, тепловое расширение,

388
Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
теплопроводность, электропроводность, сверхпроводимость и другие
важные явления в твердых телах.
Кроме фононов, в физике широко используются и другие
квазичастицы, представляющие собой моды (нормальные колебания)
соответствующих изучаемому явлению колебаний. Это, например, поляроны,
представляющие собой особые квантовые стационарные состояния
электронов в инерционно поляризующейся диэлектрической среде.
В этом состоянии электрон своим электрическим полем создает
локальную поляризацию среды, которая в свою очередь
взаимодействует с электроном, в результате чего электрон переходит в состояние
быстрых колебаний в области локальной поляризации. Таким образом,
система «электрон + область локальной поляризации» представляет
собой осциллятор — квазичастицу, которая была названа поляроном.
Модель поляронов позволяет эффективно объяснить такие явления,
как электропроводность, термоэлектрические явления, эффект Холла
и много других явлений в твердых телах и жидкостях. Спин полярона
равен 1/2, т.е. он является фермионом.
В таком явлении, как фотопроводимость — изменении
электропроводности вещества под действием электромагнитного излучения,
электроны из валентной зоны перебрасываются в зону проводимости
и становятся свободными. Но возможен и иной процесс, когда
возбужденный электрон не разрывает связи с дыркой (положительным
зарядом), возникающей в валентной зоне, а образует с ней связанную
систему (электронейтральную си-
Зона проводимости стему — пару из связанных
положительного и отрицательного
зарядов), сходную с атомом
водорода. Возникающая таким
образом пара из положительного
и отрицательного зарядов
образует некую квазичастицу, которая
была названа экситоном.
Энергетический спектр экситона
аналогичен спектру атома
водорода (см. рис. 25.4). Уровни
энергии экситона расположены вблизи
дна зоны проводимости. Так как
они электронейтральны, то
возникновение их в
полупроводнике не приводит к появлению
дополнительных носителей зарядов,
вследствие чего поглощение
света не сопровождается
увеличением проводимости полупроводника. Экситоны возникают и при
фотоэлектрическом активном поглощении света. Возникнув, они
распространяются внутри полупроводника и при столкновении с фононами,
И Экситонное
J состояние
Валентная зона
Рис. 25.4

25. Метод квазичастиц 389
примесными центрами, другими несовершенствами кристаллической
решетки и другими квазичастицами или рекомбинируют или
разрываются. В первом случае возбужденные атомы переходят в нормальное
состояние, а освобожденная энергия возбуждения передается узлам
кристаллической решетки или излучается (люминесценция). Во
втором случае образуется пара носителей — электрон и дырка, которые
обусловливают фотопроводимость полупроводника. Модель экситонов
позволяет исследовать и другие свойства полупроводников. Спин экси-
тона целочислен, поэтому он является бозоном.
Другого рода квазичастицы вводятся при исследовании плазмы.
Плазма — это ионизированный газ с достаточно большой
концентрацией заряженных частиц, обладающий свойством квазинейтральности,
т.е. содержащий практически одинаковые количества положительно
и отрицательно заряженных частиц (электронов, ионов и т.д.). Плазму
иногда называют четвертым (после твердого, жидкого и газообразного)
агрегатным состоянием вещества. Она — наиболее распространенное
состояние вещества в природе. Солнце, большинство звезд,
межзвездные туманности — это полностью ионизированная плазма. Очевидно,
что не любая система, состоящая из одинакового числа
положительных и отрицательных зарядов, является плазмой. Для того чтобы
такая система была названа плазмой, необходимо, чтобы плотность
заряженных частиц была больше некоторой минимальной плотности.
Эта минимальная плотность определяется из условия
1>Д (25.31)
где L — характерный размер системы заряженных частиц, а
— так называемый дебаевский радиус экранирования (формула
приведена в гауссовой системе единиц, что обычно используется в физике
плазмы). Здесь к — постоянная Больцмана, е{ — заряд частиц г-го вида
(электроны, ионы и т.д.), п{ — концентрация этих частиц, а Тг —
температура, соответствующая этим частицам. Для невырожденного
электронного газа х
V^-V . (25.32а)
При смещении заряженных частиц плазмы от некоторого усредненного
положения равновесия возникает электрическое поле, которое
стремится вернуть их в исходное положение. И, как результат,
возникают плазменные колебания. Коллективное взаимодействие заряженных
частиц через электрическое поле приводит к возникновению
упругих свойств плазмы. Любое случайное нарушение квазинейтральности
в локальной области плазмы приводит к плазменным колебаниям.

390 Гл. III. Колебания и волны в разных областях физики
Наиболее существенными и важными являются ленгмюровские
колебания — малые продольные плазменные колебания, возникающие
при нарушении квазинейтральности, т.е. при произвольном смещении
электронов относительно ионов, и представляющие собой колебания
электронов около значительно более тяжелых ионов. Можно показать
(см. Пример 25.1), что в этом случае колебания плазмы происходят
с частотой i
/47Гпе2 /ос ооч
и = W , (25.33)
где те — масса электрона, п — концентрация электронов.
Для исследования свойств плазмы очень эффективно введение
квазичастицы, соответствующей этим колебаниям, которая была названа
плазмоном. Плазмой — квант плазменных колебаний, энергия
которого определяется стандартно для энергии квазичастиц:
(25.34)
Использование плазменной модели позволяет очень эффективно
исследовать не только собственные свойства плазмы, но и взаимодействие
плазмы с внешним возмущением.
Для изучения магнитных свойств веществ вводят магноны,
представляющие собой квазичастицы, соответствующие волнам перемаг-
ничивания вещества. Конечно, подробное изучение этих квазичастиц
и использование их при исследовании разных физических систем
выходит за рамки данной книги. Они затронуты здесь лишь вскольз,
чтобы «на пальцах» показать возможности формализма квазичастиц,
возникающего как развитие и обобщение гипотезы де Бройля.
Пример 26.1. Показать, что частота ш ленгмюровских колебаний
в плазме определяется формулой (25.33).
Допустим, что электроны в плазме смещаются
на малое расстояние х вдоль оси х (см. рис. 25.5).
О
+
+
+
+
+
+
+
/ 2
— х
Тогда плоскости / и 2 заряжаются, соответственно,
положительными и отрицательными зарядами
и напряженность Е электрического поля,
возникающего между плоскостями, может быть
определена по формуле для напряженности
электрического поля между двумя равномерно и разноименно
заряженными бесконечными параллельными
плоскостями (в гауссовой системе единиц):
Рис. 25.5 Е = 47r<7i,
где а — поверхностная плотность зарядов на плоскости 2. Для
нахождения а заметим, что количество заряда Q, приходящееся на
некоторую площадь S на плоскости 2, равно количеству заряда, имеющегося

25. Метод квазичастиц 391
в объеме V = Sx: Q = enV = enSx. Тогда искомая поверхностная
плотность будет равна
а = -^ = епх.
С учетом этого уравнение движения электрона (второй закон Ньютона,
записанный для электрона) принимает вид
гаег = —еЕ = — 4тге2пх1. (*)
Здесь (-еЕ) — сила, действующая на электрон со стороны возникшего
электрического поля. Спроецировав (*) на ось х,
тех — —4тге2пх,
получим уравнение колебательных движений электронов:
4тге2п
х + х = 0.
ше
Сравнив полученное уравнение с уравнением (1.2) гармонических
колебаний, получаем, что действительно электроны в плазме совершают
колебания (плазменные колебания) с частотой
и) =
совпадающей с (25.33). Задача решена.

Литература
1. Алешкевич В. А., Деденко Л.Г., Караваев В. А. Колебания и волны. —
М.: Изд-во МГУ, 2001.
2. Рабинович М.И., ТрубецковД.И. Введение в теорию колебаний и волн. —
М.: Наука, 1984.
3. Горелик Г. С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959.
4. Иродов И. Е. Волновые процессы. Основные законы. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2001.
5. Калипгеевский Н.И. Волновая оптика. — М.: Высшая школа, 1995.
6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
7. Трофимова Т.И.> Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с
решениями. — М.: Высшая школа, 1999.
8. Кычкин И. С. Курс общей физики. Механика. — Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003.
9. Кычкин И. С, Суздалов И. И. Основы волновой и квантовой оптики. —
М.: Высшая школа, 2005.
10. Кычкин И. С. Задачи по механике. — Якутск: Изд-во ЯГУ, 1996.
11. Кычкин И. С. Задачи по молекулярной физике. — Якутск: Изд-во ЯГУ,
2004.
12. Кычкин И. С. Задачи по атомной физике. — Якутск: Изд-во ЯГУ, 2004.
13. Алешкевич В. А., Ахметьев В.М. Параметрические колебания в курсе
общей физики // Физическое образование в вузах, 2001, т. 7, № 4, с. 44-49.
14. Леонов П. В, О некоторых физических аналогиях, сопровождающих
колебания связанных колебательных систем // Физическое образование в
вузах, 2003, т. 9, № 1,с. 110-120.

Заключение
Из-за ограниченности объема и в силу того, что книга
представляет собой учебное пособие по общей физике, было невозможно охватить
весь спектр применения теории колебаний и волн и часто приходилось
использовать упрощенные подходы. Но авторы надеются, что пособие
поможет читателям понять важность теории колебаний и волн в физике,
поможет в изучении других разделов физики. Желаем успехов!

Предметный указатель
Абсорбция (поглощение) света 289
Акустика 306
Акустические волны 127, 323
Амплитуда вынужденных
колебаний 43, 53
— затухающих колебаний 40
— колебаний 15
Амплитудно-частотная
характеристика 46
Анализатор 223
Анизотропные кристаллы 223
Биения 66, 67
Вектор волновой 130, 134, 137, 208,
345
— магнитной индукции 206
— плотности потока энергии
(Умова) 142, 144
звука 161
электромагнитного поля
(Умова-Пойнтинга) 211
— Пойтнинга 211
— световой 217
— электрического смещения 206
Векторное представление колебаний
17, 247
Векторный бозон 374
Векторных диаграмм метод 65, 71,
172
Волна 120, 121
— длина волны 123
— интенсивность 144, 159
— плотность энергии 155, 158, 210,
326
— скорость 156
групповая 167
— фаза 128
Волновая зона 270
— поверхность 125
Волновая теория света 340
Волновое уравнение 134, 207
— число 128
Волновой вектор 130, 134, 137, 208,
345
— пакет 165
— фронт 125
Волны акустические 127
— вторичные 179
— де Бройля 351
— звуковые 306
— когерентные 172
— плоские 126, 128, 134
— поверхностные 122
— поперечные 124, 125
— продольные 125, 127, 152, 306
— Рэлея 308
— световые 216, 218
— стоячие 185, 189
в струне 189
-— сферические 135
— упругие 148, 160, 306
— электромагнитные 207, 210
поляризованные 219
влево 219
линейно 220
право 219
эллиптически 219
Время запаздывания 270
— релаксации 32, 236
Гармоники 69
Гармонический осциллятор 14, 273,
338
потенциальная энергия 20
Геометрическая разность хода волн
175
Гиперзвук 306
Гипотеза Планка 329
Громкость звука 315

Предметный указатель
395
Группа волн 165
Гюйгенса принцип 179
Давление световое 216
Дебая характеристическая
температура 385
частота 385
Декремент затухания
колебательного контура 236
логарифмический 32
Децибел 315
Диаграмма векторная 71, 172
— Фейнмана 372
Диполь 268
Дипольное излучение 269
Дипольный момент 269
осциллятора 273
Дисперсия аномальная 281
— вещества 281
— нормальная 281
— света 280
Диссипация энергии 33
Дифракция 179
Длина волны 123
Добротность системы 34
Доплера эффект 194
Закон Бугера 289
— Вебера 314
— Гука 144
— Дебая 382
— Джоуля-Ленца 212
— Дюлонга-Пти 382
— Малюса 224
— отражения 261
— преломления 261
— Рэлея 300
— смещения Вина 328
— Снеллиуса 214, 261
— Стефана-Больцмана 327
— Стокса 29
Законы фотоэффекта 340
Звук 311
— интенсивность 311, 314
Импеданс 246, 256
Импульс электромагнитной волны
211
Интерференция волн 172
Инфразвук 306
Когерентность 172
Колебание 14
— векторное представление 17
— комплексное представление 16
— период 15
— фаза 15
— частота 15
циклическая 15
Колебания в вязкой среде 29
— вынужденные 39, 238
— гармонические 14, 111
— затухающие 31, 234, 237
— малые 10
— нелинейные 96, 99, 101
— нормальные 75
— свободные 23, 29
затухающие 29, 118, 234
— синфазные 64
— собственные 13, 226
— электрические 226
Колебательный контур 226
Корпускулярно-волновой дуализм
350
Коэффициент затухания 30, 31, 234
— мощности 248
— отражения 213, 257
— поглощения (затухания) 130, 289,
312
— пропускания 257
— Пуассона 146
— рассеяния 300
Ленгмюровские колебания 390
Лиссажу фигуры 60
Логарифмический декремент
затухания 32, 236
Лоренцев контур 48
Максимума порядок 176
— условие 175
Маятник крутильный 10
— математический 9
— пружинный 8
— физический 9
приведенная длина 11
Метод векторных диаграмм 71

396
Предметный указатель
Метод квазичастиц 374
— последовательных приближений
(возмущений) 97
— фазового пространства 110
— Фурье 51, 68
Минимума порядок 176
— условие 176
Мода колебаний 75, 190
Модуль кручения 10, 14
— объемной упругости 146
— сдвига 146
— упругости (Юнга) 145
Мультиполь 267
Некогерентные волны 172
Нормальные колебания 75, 388
— координаты 75
Обертоны 69, 190
Опыт Дэвисона-Джермера 355
Осциллятор в квантовой механике
336
электромагнитном поле 275
— гармонический 14
— электрический 267
Переменный ток 245
Период колебаний 15
Периодическая функция 68
Плазма 389
Плоскость главная поляризатора 223
Плотность потока энергии волны
142
электромагнитной волны
159
— энергии электромагнитной волны
158
Поглощение (абсорция) света 289
Показатель комплексный 287
— политропы 152
— преломления среды 159, 207
относительный 261
Полное внутреннее отражение 264
Полоса поглощения 292
Поляризаторы 223
Поляризация электромагнитных
волн 218
Порог слышимости 315
Порядок интерференционный 176
Постоянная Верде 285
— Планка 328, 332
Поток энергии волны 132, 142
Принцип Гюйгенса 179
— Гюйгенса-Френеля 180
— суперпозиции 164
Пучность стоячей волны 186
Рассеяние молекулярное (рэлеев-
ское) 301
— света 295
Резонанс 45
Резонансные кривые 241
Ряд Фурье 68
Свет естественный 218
— поляризованный 218
Связанные математические
маятники 83
Скорость волны Рэлея 309
— групповая 167
— звука в газе 153
— поперечной упругой волны 149
— продольной упругой волны 148
— фазовая 129
— электромагнитной волны 159, 207
Сложение колебаний 56
Собственные колебания 13, 226
— частоты 92
Соотношения неопределенностей
Гейзенберга 360
Спектр волны 165
— колебания 69
— поглощения 292
гармонического осциллятора
338
линейчатый 292
молекулярный 293
— энергетический 337
Спектроскопия 356
Среднее значение 19, 211
Степень поляризации 222
— свободы 74, 86
Стоячие волны 184
в струне (стержне) 189
Суперпозиция волн 165
— колебаний 69

Предметный указатель
397
Трение излучения 285
— сухое 35, 118
Угол предельный 264
Ударные волны 316
Узел стоячей волны 190
Ультразвук 306
Уравнение волновое 135, 149
— плоской волны 128
— сферической волны 131
— Тета 307
— ударной адиабаты 319
— характеристическое 75, 87, 92
— Шредингера 337
— Эйнштейна 341
Уравнения Лагранжа 94
— Максвелла 206
Уровень громкости звука 314
Фазовая плоскость 111
— траектория 112
Фазочастотная характеристика 51
Формализм Лагранжа 94
Фотоэффект 339
Фурье ряд 52, 68
Частота 10, 15
Ширина резонансной кривой 243
Энергия волны 141
— колебаний 17
— электромагнитной волны 210
Эффект Доплера 194
для упругих волн 194
электромагнитных волн 199
— Комптона 350
Фаза колебания 15
Юнга модуль 145

Учебное издание
ГРИГОРЬЕВ Юрий Михайлович
КЫЧКИН Иннокентий Саввич
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Редактор Е.С. Артоболевская
Корректор В. Р. Игнатова
Оригинал-макет: Д.П. Вакуленко
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 13.08.2018. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 27,5. Тираж 300 экз.
Заказ Но 7476
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru
Отпечатано с электронных носителей издательства
в АО «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru. E-mail: sales@chpd.ru, тел.: 8(499) 270-73-59
ISBN 978-5-922I-1823-1