effekt_dzhozefsona

Tags: свойства и структура молекулярных систем физика

Similar

Введение в сверхпроводимость

Сверхпроводимость. Основы и приложения

Сверхпроводники в современном мире: Книга для учащихся

Сверхчувствительная магнитометрия и биомагнетизм

Text

А. Бароне, Дж. Патерно

Эффект Джозефсона
Physics and Applications of the
Josephson Effect

Antonio Barone

Consiglio Nazionale delle Ricerche and Universita di Napoli

Gianfranco Paternd

Comitato Nazionale Energia Nucleare

A Wiley-lnterscience Publication
John Wiley & Sons
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore
А. Бароне, Дж. Патерно

Эффект
Джозефсона

Физика и применения

Перевод с английского
под редакцией докторов физ.-мат. наук
Л.Г. Асламазова, Л.Н. Булаевского и С.И Веденеева

Москва «Мир» 1984
ББК 22.37

Б 25

УДК 539.2

Бароне А., Патерно Дж.

Эффект Джозефсона: физика и применения; Пер. с

Б25 англ. - М.: Мир, 1984.- 640 с., ил.

Монография известных итальянских физиков охватывает широ-
кий круг вопросов: от фундаментальной микроскопической теории
эффекта Джозефсона до уже существующих и предполагаемых инже-
нерных применений.

Для специалистов в области физики твердого тела, сверхпро-
водимости и криоэлектроники, а также для аспирантов и студен-
тов старших курсов соответствующих специальностей.

170 4060000 - 482

Б ———-—-— 71 - 84, ч . 1
041(01)-84

ББК 22.37

531.9

Редакция литературы по физике

Эта книга посвящена одному из самых интересных и актуальных
вопросов современной физики - эффекту Джозефсона. В 1962 г. этот
эффект был открыт молодым английским физиком Брайаном Джозеф-
соном, можно сказать, на кончике пера и за 20 лет проделал яркий
путь от чистой теории до воплощения в уникальные практические ус-
тройства. Область, относящаяся к эффекту Джозефсона, огромна
и затрагивает многие вопросы физики.

Открытие эффекта Джозефсона способствовало лучшему понима-
нию макроскопического проявления квантовой природы сверхпрово-
димости. В теоретическом плане изучение нелинейных свойств
джозефсоновских структур стимулировало исследование нестационар-
ных нелинейных уравнений, с которыми связаны центральные вопро-
сы современной физики. В прикладной сверхпроводимости после от-
крытия эффекта Джозефсона очень быстро возникло новое направле-
ние - сверхпроводниковая микроэлектроника. Уже в 60-х годах на
основе этого эффекта были разработаны сверхвысокочувствительные
квантовые магнитометры, которые используются в прецизионных
приборах. Цифровые сверхпроводниковые устройства с джозефсонов-
скими элементами памяти и логики, обладающие рекордным быстро-
действием и чрезвычайно высокой степенью интеграции, очень перс-
пективны и, по всех вероятности, открывают новые возможности при
создании ЭВМ следующих поколений.

Настоящая книга может служить энциклопедией по эффекту Джо-
зефсона. Эта самая полная монография, подводящая итог 20-летнего
пути. В ней собран обширный теоретический и экспериментальный ма-
териал, и изложен он с максимально возможной простотой, так что
основные идеи будут понятны даже неспециалистам.

Особенно важно, что в книге подробно изложены современные ме-
тоды изготовления разнообразных джозефсоновских структур, сверх-
проводниковых интерральных схем вычислительной техники и различ-
ных устройств на основе джозефсоновских контактов. В этом смысле
книга окажется очень полезной экспериментаторам и инженерам, зани-
мающимся микроэлектроникой. Книга снабжена довольно обширной
библиографией.

Из-за большой прикладной ценности и неослабевающего теорети-
ческого интереса эффект Джозефсона занимает многих и многих иссле-
дователей. Количество опубликованных работ в научных журналах
постоянно увеличивается, поэтому, естественно, в книге отражены
не все теоретические и экспериментальные успехи последних лет.
В соответствующих местах в ней сделаны примечания и указана допол-
нительная литература.

Перевод выполнили канд. физ.-мат. наук А.И. Буздин (гл. 7 — 10,
12), канд. физ.-мат. наук А.А. Варламов (предисловия, гл. 1 — 6) и
канд. физ .-мат. наук А.Д. Заикин (гл. 11, 13, 14, приложения).

J1 .Г .Асламазов
Л.Н . Булаевский
С .И, Веденеев

Предисловие
к русскому изданию

Написать книгу об эффекте Джозефсона - достаточно сложная
задача, даже если ее целью является только ввести читателя в
круг проблем этой обширной области физики. Мы же стремились еще
и дать единый обзор всей проблемы и изложить материал по возмож-
ности последовательно.

Мы выражаем благодарность издательству "Мир", которое в корот-
кий срок подготовило к изданию перевод этой книги на русский язык.
При переводе исправлены замеченные опечатки и сделаны небольшие
дополнения, в остальном же эта книга полностью соответствует анг-
лийскому изданию. Нам очень приятно, что наша книга, которая уже
используется во многих лабораториях и институтах стран Запад-
ной Европы и США, теперь станет доступной для многочисленной и вы-
сококвалифицированной советской научной общественности.

Антонио Бароне
Джанфранко Патерно
Звеве и Джанне посвящается

Предисловие

Эта книга охватывает все аспекты эффекта Джозефсона - от ле-
жащей в его основе физической теории до уже имеющихся и предпола-
гаемых инженерных применений. Представляют интерес оба края этого
’’спектра”. Физическая теория эффекта нова и важна при объяснении
многих макроскопических квантовых явлений. Использование этих
явлений в будущем сулит многочисленные технические усовершенство-
вания, но пока разработка многих из них еще полностью не завершена.
Мы попытались сделать эту книгу более подробной, чем обычные обзо-
ры, но исчерпывающим руководством в столь широкой области она,
конечно, служить не может. Прежде всего мы постарались раскрыть
те аспекты теории, технологии изготовления и применения джозеф-
соновских контактов, которые еще долго будут иметь значение.

В гл. 1 дан краткий обзор работ по феноменологическому описа-
нию джозефсоновских контактов. Хотя предполагается, что читатель
знаком с основами теории сверхпроводимости, мы начинаем книгу с
самого простого из возможных описания джозефсоновских структур
и их динамических свойств. В гл. 2 в достаточно простой форме пред-
ставлена микроскопическая теория. Здесь обсуждаются те характерные
детали теории, которые наиболее полезны для понимания эксперимен-
тальных результатов. Главы книги до некоторой степени независимы;
так (по крайней мере при первом чтении), читатель может пропустить
описание микроскопической теории, и восприятие последующих глав
серьезно не пострадает. В гл. 3 обсуждается зависимость критическо-
го тока от температуры и параметров контакта. Статические (т.е.
при нулевом напряжении) свойства ’’малых” и ’’больших” контактов
рассмотрены в гл. 4 и 5. В гл. 6 изложены некоторые важные свойст-
ва вольтамперных характеристик слабосвязанных систем малых раз-
меров, а описанию различных типов слабых связей посвящена гл. 7.

В гл. 8 дан обзор технологии изготовления джозефсоновских кон-
тактов и некоторый технических усовершенствований, которые исполь-
зуются во многих лабораториях мира на протяжении последних деся-
ти лет. Мы надеемся, что они не потеряли своей Ценности и в настоя-
щее время, в особенности для тех, кто только начинает работать с
джозефсоновскими контактами.

В гл. 9 и 10 обсуждаются резонансные моды в малых контактах,
а также динамические свойства протяженных контактов с точки зрения
современной ’’солитонной” теории.
Последние главы посвящены применениям джозефсоновских
контактов. В гл. 11 рассмотрены различные особенности взаимодей-
ствия периодических сигналов с контактами; в ней также рассказыва-
ется о таких возможностях использования контактов, как смешение
сигналов, параметрическое усиление и создание стандарта напряже-
ния. В гл. 12 и 13 речь идет о квантовых интерференционных приборах
и их применениях для измерений очень слабых магнитных полей. На-
конец, в гл. 14 описаны возможности джозефсоновского контакта как
основного логического элемента и ячейки памяти в гигантских цифро-
вых вычислительных машинах.

При отборе теоретического материала мы исходили прежде^всего
из того, что нам понадобится для обсуждения прикладных вопросов.
При этом мы попытались достичь наибольшей согласованности в изло-
жении вопросов, которые на первый взгляд могут показаться весьма
различными. Мы надеемся, что эта книга окажется полезной как студен-
там старших курсов, изучающим теорию сверхпроводимости и приме-
нение сверхпроводящих приборов, так и для научных работников и ин-
женеров. Хотя приведенная нами библиография и обширна, однако она
далеко не исчерпывающая, и мы приносим извинения тем авторам, чьи
работы мы могли не заметить.

Неаполь, Италия Антонио Бароне

Рим, Италия Джанфранко Патерно

Декабрь 1981

Благодарности

Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарности за
большую и разнообразную помощь, которая оказывалась нам в процес-
се работы над этой книгой. Без нее наша задача не была бы осущест-
влена.

Велика наша благодарность А.К. Скотту за его постоянную под-
держку и советы, а также Р. Вальо и Р. Парментье за тщательное
прочтение ими рукописи и неоценимое сотрудничество.

Мы выражаем нашу искреннюю признательность А. Баратову за
прочтение рукописи и предложения по улучшению гл. 2 и 3; Н. Педерсе-
ну - за гл. 6; Ю. Н. Овчинникову и Л.Г. Асламазову - за гл. 7;

Т. Финнегану - за гл. 11; С. Эрне и Й. Циммерману - за гл. 12 и 13;
П. Вольфу - за гл. 14.
Благодарим за полезное сотрудничество и советы М. Руссо, а
также Л. Солимара за его поддержку на ранних стадиях подготовки
этой книги.

Мы находимся в долгу перед нашими многочисленными коллегами,
любезно разрешившими процитировать и использовать их опубликован-
ные и неопубликованные результаты. В частности, мы извлекли
большую пользу из препринтов и оригинальных работ С. Басавайи,
А. Броерса, П. Карелли, Дж. Кларка, Д. Коэна, К. Фалько, М. Фельд-
мана, К. Гамильтона, Р. Харриса, Д. Херрела,В. Джонсона, И«Кули-
ка, Р. Лайбовица, Д.Лангенберга, Ли Конг Ванга, Х.Люббига, И.Моде-
ны, Дж.Нордмана, Д.Пробера, М.Риччи, Дж.Романи, Н.Саккетти,
Р.Санделла, И.Шуллера, И.Таура, И .Янсона, которым мы выражаем
нашу глубокую признательность.

Мы благодарим за обсуждения и советы В.Анаккера, В. Дивера
мл., С.Каллегари, Т.Фултона, К. Грея, Й.Куркиярви, Й. Матисоо,
Д.Скалапино, Э. Бальзамо, Р.Кристиано, О.Натоли, Р.Витиелло,
К.К. Лихарева, Й.Мооии и М.Тинкхама.

Мы благодарим Институт теоретической* физики им. Л.Д. Ландау
АН СССР за предоставление одному из авторов (Л .5.) возможности
встреч с советскими учеными в процессе написания этой книги.

Мы благодарим А.Мадзареллу за проявленные ею мастерство и
самоотверженность при подготовке рукописи, а также К.Сальвию
за его неоценимую техническую помощь.

Наконец, мы благодарим Л.Крешентини, А.Де Фео, М.Идзо,
Л.Мендиа, С.Пиантедози и К.Салинаса за разнообразную помощь
в подготовке рукописи, а также А. Делуку и С.Термини за дружес-
кую поддержку и советы.

А. Б.

ДжЛ.
“Каждое объяснение есть гипотеза"
Л.В. Виттгенштейн

Замечания к “Золотой ветви” Дж. Фрезера
Глава 1

Феноменологическая теория
слабой сверхпроводимости

В этой главе мы кратко рассмотрим феноменологическую тео-
рию эффекта Джозефсона, обрисуем в общих чертах основные экспе-
риментальные результаты и объясним их качественно на простейших
моделях. Однако вначале несколько слов о его истории.

Открытие явления, которое теперь именуется эффектом Джозеф*
сона, произошло около 20 лет назад (1961 — 1962 г.). В это время Брайан
Джозефсон был студентом-дипломником Брайана Пиппарда и работал
в Мондовской лаборатории Королевского общества в Кембридже. Как
говорил сам Джозефсон в своей Нобелевской лекции, творческая атмо-
сфера Мондовской лаборатории, присутствие там в то время Фила Ан-
дерсона, развертывание новых исследований сверхпроводящих тун-
нельных контактов как в экспериментальном [ 383, 384, 754], так и
в теоретическом [ 236] направлениях - все это идеально способствовало
раскрепощению интуиции и не могло не привести к важным результа-
там. Джозефсоновское предсказание и его экспериментальное под-
тверждение [29] открыли не только новую важную главу физики, но и
новые горизонты для многочисленных и замечательных применений
сверхпроводимости.

Конечно, истории этого открытия и ее глубокому анализу нужно
было бы уделить соответствующее место, но мы все же на ней задержи-
ваться не будем, чтобы никоим образом не исказить впечатление о
той чарующей атмосфере, в которой происходило это открытие. Пусть
читатель лучше обратится к историческим обзорам, написанным
самим Джозефсоном [ 547], а также Андерсоном [27] и Пиппардом
[821].

1 .1. Квантовая макроскопическая система

Объяснение сверхпроводимости как квантового явления в макрос-
копическом масштабе было предложено Ф .Лондоном [ 670] в 1935 г.
В 1950 г. Гинзбург и Ландау [ 399] создали феноменологическую теорию
сверхпроводимости, которая позволила глубоко понять природу этого
явления. Они развили теорию сверхпроводимости Ф. и Г. Лондонов
[ 672, 673], введя пространственно-зависящий параметр у, который
определяет меру упорядочения в сверхпроводящей фазе. В отличие
от параметра дальнего порядка в предложенных ранее двухжидкост-
ных моделях Гортера и Казимира [ 416] параметр порядка в теории
Гинзбурга - Ландау является комплексным, и его можно рассматри-
вать как волновую функцию "сверхпроводящих” электронов. Как по-
казал Горьков [ 413], величина у пропорциональна локальному зна-
чению △ . В рамках этих представлений единая функция определяет
макроскопическое число электронов, которые "сконденсированы" в
одном и том же квантовом состоянии. Именно в этом смысле сверх-
проводимость можно рассматривать как "квантовое макроскопичес-
кое состояние". Таким образом, мы имеем дело с частицами с эффек-
тивной массой т* и эффективным зарядом е*, которые можно описывать
"как целое" с помощью одной макроскопической волновой функции

^=р1/2е^, (1.1.1)

где ф - общая для всех частиц фаза, а р в таком макроскопическом
описании представляет их реальную плотность в макроскопическом
состоянии | $> :

<4Г’Лу>=М2=р-

Плотность электрического тока в присутствии вектор-потенциала А
может быть записана в виде
где с - скорость света.

Правило квантования магнитного потока показывает, что величи-
на эффективного заряда е* такой "частицы" равна удвоенному заря-
ду электрона е. Тйким образом, рассматриваемые "частицы" в дей-
ствительности являются парами из связанных электронов. Это ут-
верждение согласуется с представлениями микроскопической теории
сверхпроводимости, впервые сформулированной Бардином, Купером
и Шриффером [ 81] в 1957 г., о которой теперь говорят как о теории
БКШ. В этой теории полагается, что т*= 2т(т- масса электрона),
однако легко видеть, что выбор величины массы произволен, посколь-
ку он определяется нормировкой волновой функции пары у Ч

См. также микроскопический вывод Горьковым [ 413] уравнений Гинз-
бурга - Ландау.
Таким образом, при подстановке у из (1.1.1) в выражение для то-
ка имеем / э? \

J = p~ pv<p-— А . (1.1.2)

т \ с /

Градиентная инвариантность требует, чтобы при преобразованиях
векторного потенциала А и скалярного потенциала V

A^A+vx U-+U-?£

наблюдаемые физические величины оставались неизменными. Исполь-
зуя выражение (1.1.2) для плотности тока J, легко убедиться, что
это соответствует преобразованиям фазы

<Р^<Р + -j~X • (1.1.3)

Выбор различных постоянных значений скалярной величины х не влия-
ет на величины потенциалов, а просто приводит к различным значе-
ниям фазового множителя. Этот факт соответствует физической
ненаблюдаемости всей функции у.

Мы можем произвольно выбрать величину фазы в данной точке;
однако благодаря наличию так называемого дальнего порядка этим
выбором величина фазы будет определена и во всех остальных точ-
ках. Из выражения (1.1 2) видно, что пространственное изменение
фазы ф описывает состояние сверхпроводника с током.

Для системы, находящейся в равновесии, требование градиентной
инвариантности приводит к обязательной зависимости функции у от времени.
В самом деле, если даже величина у в какой-либо одной калибровке пос-
тоянна, то при переходе к другой калибровке мы получим, что фаза
Ф меняется согласно (1,2.3), где х зависит от времени. Изменение
функции у со временем в стационарном случае определяется обыч-
ным квантовомеханическим уравнением

дф

Как можно показать с помощью микроскопической теории [413],
величина Е равна удвоенному значению электрохимического потен-
циала ц. Эта величина является той минимальной энергией, которую
необходимо затратить при добавлении к системе одной куперовской
пары. Таким образом , y(r, t) = y(r)e?-2/и* //1(см. также [ 24, 251).

Поскольку число куперовских пар N и фаза ф - сопряженные пе-
ременные [24], имеет место соотношение неопределенностей ДМЛФ ~
2тг. Следовательно, в случае изолированного сверхпроводника

(N фиксировано) фаза ф неопределенна.
1.2. Слабосвязанные сверхпроводники

Рассмотрим два сверхпроводника SL и SR, расположенные вдали
друг от друга. В таком случае фазы в этих двух сверхпроводниках
могут изменяться независимо. Если сверхпроводники сдвинуть на-
столько, что расстояние между ними уменьшится примерно до 30 А,
то квазичастицы посредством туннелирования смогут переходить из
одного сверхпроводника в другой (одноэлектронное туннелирование).
Если же мы еще уменьшим расстояние между S L и SR, скажем до
10 А, то, как будет показано ниже, из одного сверхпроводника в*дру-
гой начинают перетекать также и куперовские пары (джозефсоновское
туннелирование). Сохранится ли в этом случае возможность незави-
симого изменения фазы в SR при определенной фазе в сверхпроводни-
ке 5L?. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Такая
степень свободы теряется, поскольку теперь между двумя сверхпро-
водниками возникает корреляция; это означает, что дальний порядок
’’передается” через границу.Таким образом, мы можем ожидать, что
система из двух сверхпроводников, разделенных тонким (А)
диэлектрическим барьером, будет вести себя до некоторой степени как
единый сверхпроводник. В отличие от обычной сверхпроводимости
это явление, согласно Андерсону [ 24], часто называют "слабой сверх-
проводимостью", поскольку значения соответствующих ему крити-
ческих параметров значительно меньше обычных . Отметим, что ци-
тированную выше работу Андерсона следует считать важной вехой в
развитии этой области.

Теория таких систем слабосвязанных сверхпроводников была соз-
дана Джозефсоном [ 541 - 546]. Мы будем рассматривать главным
образом туннельные структуры, хотя эффект Джозефсона имеет мес-
то в различных типах сверхпроводящих "слабых связей" (мостики
Дайема, точечные контакты и т.д.; см. разд. 1.8). Для начала мы на-
помним основы теории одноэлектронного туннелирования в рамках
простого феноменологического подхода. Обзор феноменологической
теории одноэлектронного и джозефсоновского туннелирования можно
найти в книге Солимара [ 937].

1.3. Одноэлектронное туннелирование

История сверхпроводящего туннелирования началась в 1960 г. с
экспериментов Гевера[ 383, 384], а также Николя, Шапиро и Смита
[ 754]. Туннельная структура обычно состоит из двух металлических
Рис. 1.1. Крестообразный туннельный контакт.

Ри с . 12.г Диаграммы энергия - импульс, а - нормальный металл; б - сверх-
проводящий металл; в - туннелирование электрона между двумя нормальны-
ми электродами.

пленок, разделенных тонким (~30 А) диэлектрическим барьером,
как это показано на рис. 1.1. Свойства такой структуры можно иссле-
довать, изучая зависимость туннельного тока / от приложенного к
контакту напряжения F.

Для большей наглядности мы рассмотрим простое представление
процесса туннелирования на диаграмме ’’энергия (Е) - импульс (к)”«
На плоскости Е - к нормальный металл представляется кривой, изо-
браженной на рис. 1.2, а. Штриховая линия соответствует той части
параболы, которая по энергии попадает ниже уровня Ферми Ер (дыроч
ные состояния) и отражена относительно этого уровня. На этой диа-
грамме рождение электрон-дырочной пары рассматривается как воз-
буждение двух состояний с энергиями Е/ = | | и Eh = | ел| соответ

ственно. Таким образом, энергия всех возбужденных состояний по
отношению к уровню Ферми оказывается положительной. В случае
сверхпроводника все сконденсированные пары находятся на уровне
Ферми, и для их возбуждения необходимо затратить некоторую мини-
мальную пороговую энергию △ (которую называют энергетической
щелью), что показано на рис. 1.2, 6. В этом случае существуют воз-
буждения, которые пребывают отчасти в дырочном, отчасти в элект-
ронном состояниях. Энергия таких квазичастичных возбуждений рав-
на Е = (е 2 + Д2)н. Из этого взаимно-однозначного соответствия
между Е и е следует, что N(E)dE = У1(е )cU, где N(E) и Я(е) - плотнос-
ти состояний в сверхпроводнике и нормальном металле соответствен-
но. Таким образом, мы имеем

N(E) = N(0)

Е
/е2-Д2(£)

Д(£)рД(Е)/Л£]
/е2-Д2(Е)

где через W(O) обозначена величина при е = 0, которая полагается
постоянной.

В случае когда щель не зависит от энергии (приближение теории
БКШ), мы находим следующее выражение для плотности состояний:

N(£) = 2V(0)------- |£|>Д ,

Уё^-д2

N(E) = 0 |Е|<Д. (1.3.1)

Теперь изложим вкратце феноменологическую теорию туннелиро-
вания, которая была предложена Гевером и Мегерле в 1961 г. [ 387].
При таком подходе мы скорее будем предполагать, что имеем дело с
обычными электронами, а не с квазичастицами. Туннельный ток I L
протекающий с левого электрода (L) на правый (К), определяется вы-
ражением

4^ = ^ f+JT\2NL(E)fL(E)NR(E)(\-fR(E))dE, (1.3.2)
где f l(e) (f r) ~ фермиевский множитель: f Z (E) = 1 /Cl -ь e$TEy)f
a N^(N^) - плотность состояний в левом (правом) металле; | Т | -
матричный элемент для перехода между состояниями с равной энер-
гией. Выражение (1.3.2) означает, что ток из L в R пропорционален
1) вероятности туннелирования; 2) числу электронов, имеющихся в на-
личии слева (доле заполненных состояний NLfL) и 3) числу возможных
состояний справа [ доле незаполненных состояний Л^(1 -//?)]. Меняя
местами индексы L и R, аналогично получаем текущий справа налево
ток I r L. Полный ток I, таким образом, есть

7 тг г 00

I=h-.K-I^L=-rf \'T\* 2NL(E)NR(E)[fL(E)-fR(E)]dE.

При приложении к контакту напряжения V уровни Ферми и ад раз-
двигаются на величину eV и, таким образом,

NL(E)NR(E+eV)[fL(E)-fR(E + eV)]dE,

где предполагается, что матричный элемент т не зависит от энергии.
Рассмотрим сначала контакт между двумя нормальными метал-

лами. Предположим далее, что NB и NB постоянны и равны плотнос-
ти состояний на уровне Ферми 2. Тогда туннельный ток между двумя
нормальными металлами определяется выражением

INN = constant X f + 00[/(£)-/(£ + eP)] dE,
которое после вычисления интеграла переходит в формулу
Inn ~°n^-

Постоянную величину ст v можно рассматривать как нормальную про-
водимость, т.е. структура металл - изолятор - металл при приложе-
нии к ней малых напряжений ведет себя как омический элемент.

В £ - k-плоскости туннельный процесс между нормальными ме-
таллами представлен на рис. 1.2, в. Переход электрона из левого ме-

= \/kBTt где Т - абсолютная температура, a кв - постоянная
Больцмана.

2) _

Сделанное предположение о том, что туннельный матричный элемент
и плотность состояний не зависят от энергии, можно оправдать, заметив, что
величина [/^(Е) — fa(E + еИ)] дает существенный вклад в интеграл только в
интервале энергий порядка eV вблизи уровня Ферми. Кроме того, нас инте-
ресуют величины eV порядка нескольких миллиэлектрон вольт , в то время как
энергия Ферми по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.
талла в правый приводит к появлению дырочного возбуждения слева
и электронного состояния справа.

Если оба металла находятся в сверхпроводящем состоянии, то
ситуация существенно меняется. Действительно, в этом случае плот-
ности состояний определяются уже выражением (1.3.1). Следователь-
но, туннельный ток в контакте, оба электрода которого являются
сверхпроводниками, определяется выражением

^ss

— constant X

|£|_________\Е+еУ\

|£2—Д£|,/2 |(E+eV)2-Д2Л|1/2

X [/(Е)-/(Е + еИ)] dE.

Численный расчет этого интеграла при Т * 0 приводит к логариф-
мической особенности тока/$$ при напряжении V = ±| Д^ -△/?!
и к конечному разрыву при V = ± | Д^ + Д^| /<? [ 754, 908, 969]. На рис.
1.3 проведено сравнение полученной таким образом вольтамперной
характеристики (рис. 1.3, а) с той же зависимостью» полученной экс-
периментально (рис. 1.3, б). Процесс одночастичного туннелирования
между сверхпроводниками проиллюстрирован рис. 1.4, а. Он представ-
лен как разрушение пары слева и создание возбуждений как слева,
так и справа от барьера. Приравнивая энергии начального и конечно-
го состояний: 2eV = El + eV + Er, находим, что минимальное на-
пряжение, при котором такой процесс становится возможным, eV =
= Д^ + Ад • При Т > 0 или в присутствии инжектированных частиц по
одну сторону барьера возможен также процесс, показанный на рис.
1.4, б. Если допустить и зеркальный процесс, то энергии квазичасти-
цы в начальном и конечном состояниях окажутся связанными с прило-
женным к контакту напряжением посредством соотношения eV = ER-
~el>

В этом случае минимальное значение V равно нулю. Если же
eV = ± I An ~Д J, то особенности в плотностях состояний каждого
К LT

из сверхпроводников соответственно при ER = и EL = AL приво-
дят к указанной выше логарифмической особенности вольтамперной
характеристики (рис. 1.3). Конечный скачок, наблюдающийся при
eV = Д^ + , также связан с поведением плотности состояний вбли-

зи шели.
(б)

Рис. 1.3. а - теоретическая вольтамперная характеристика контакта между
двумя различными сверхпроводящими электродами К1 = | -Д^| /е; И2=

= б - наблюдаемая на эксперименте вольтамперная характерис-

тика контакта Sп - Sп о - РЬ .

1.4. Соотношения Джозефсона

Есть несколько различных путей вывода основных соотношений
Джозефсона. Мы сначала обсудим очень простой путь, предложенный
Фейнманом [ 343]; он основан на рассмотрении "двухуровневой систе-
мы”. Этот подход, несмотря на свою простоту, является эффективным
Рис. 1.4. Процессы квазичастичного туннелирования между сверхпроводника-
ми при постоянном напряжении, приложенном к контакту. Д^ и Д^ - энерге-
тические цели каждого из электродов соответственно, а — процесс, сопровож-
дающийся разрывом пары;б - прямое туннелирование квазичастиц в резуль-
тате их температурного возбуждения.

средством для понимания специфических особенностей эффекта Джозеф-
сона11 . Его анализ в рамках теории БКШ был проведен Роговином и
Скул ли [ 854]. Кроме того, Роговин применил этот подход для анализа
различных свойств джозефсоновского контакта [ 847, 850]. В послед-
нее время определенный прогресс в этом направлении был достигнут
в работах Ди Риенцо и др. [ 283], Бонифачо, Милани и Скулли [ 131],
Луджато и Милани [679].

Такая феноменологическая модель широко использовалась многочислен-
ными авторами (см., например, [ 720, 264, 26Й).
Рис.1.5. Схематическое изображение туннельного контакта. S и S не-
соответственно левый и правый сверхпроводники; и - волновые функ-
ции пар в левом и правом сверхпроводниках.

Рассмотрим туннельную структуру сверхпроводник - барьер -
сверхпроводник. Обозначим волновую функцию ку перовской пары в пра-
вом (левом) сверхпроводнике через wR(yL). Как уже обсуждалось вы-
ше, мы имеем дело с макроскопическими квантовыми состояниями.
Следовательно, каждый сверхпроводящий электрод можно описать по-
средством единого квантового состояния, а введенные у-функции
можно рассматривать как макроскопические волновые функции этого
состояния. В таком случае величина | у| 2 представляет собой реаль-
ную плотность куперовских пар р. Следуя Роговину и Скулли, мы
обозначим основное состояние правого (левого) сверхпроводника
через кет-вектор | К> (| L> ). Тогда

=l^|2 =Pl ’ <W^I*>=lW=P«-

Если теперь учесть существующую между двумя сверхпроводниками
слабую связь, то окажется, что между состояниями | R> и | L>
возможны "переходы”. Эта связь между сверхпроводниками опреде-
ляется главным образом конечным перекрытием двух волновых функ
ций куперовских пар и Эта ситуация схематически изображе-
на на рис. 1.5. Рассматриваемая система, которая состоит из двух
подсистем, находящихся в своих основных состояниях, может быть
описана вектором

Это означает, что данная частица может находиться как в "левом”,
так и в ’’правом” состояниях с амплитудами соответственно и
Изменение этой системы со временем описывается уравнением Шре-

дингера

(1.4.1)
с гамильтонианом

%=%,+ЭСЙ+9СГ,

где = el\ L> < L\ и Кл = £Л| R> < R| соответствует невозмушен-
ным состояниям | L> и | R> ; последнее слагаемое

XT=K[\L>(R\ + \R) <£|]

описывает взаимодействие между этими двумя состояниями (его на-
зывают туннельным гамильтонианом). EL и ER - энергии основных
состояний каждого из сверхпроводников. К - амплитуда взаимодейст-
вия двух состояний системы, которая является мерой связи между
двумя сверхпроводниками и зависит от специфики туннельного кон-
такта (геометрии электродов, параметров туннельного барьера и т.д.).
Когда вектор-потенциал А = 0, величину К можно считать веществен-
ной.

Рассматривая проекции вектора состояния йа два основных сос-
тояния, мы можем переписать уравнение (1.4.1) для амплитуд и

jh~^=ER^R+K^L , =EL^L+K^R .

Как мы видели в случае двух изолированных сверхпроводников, входя-
щие в эти выражения энергии определяются величиной соответствую-
щего химического потенциала ER = 2цк , EL = 2ц£. В случае когда
к контакту приложена постоянная разность потенциалов V, эти хими-
ческие потенциалы сдвинуты друг относительно друга на величину
2eV и, следовательно, EL -ER = 2eV. Нуль отсчета энергии можно
выбрать посредине между величинами Е. и и тогда
L, К

jh^- = ~eV'l'ii+K'l'L ’ jh~^=eV4'L+K'l'R- (1-4.2)

Воспользовавшись для и <pR их выражениями

~ p\/2eJ,fL, 'Рк “

и отделяя вещественную и мнимую части в каждом из уравнений, на-

ходим

Эр, 2 „ I------ •

= -firpLPR Sinqp,

$Pr _ 2 I----- .

~ ^KyPl.PR sin<P>

(1.4.2а)
Л Ж
h V Рк

, eV
cosq)+ —
п

(1.4.26)

COS®---т~

где ф - -Фк» Плотность тока куперовских пар определяется вели-
чиной ~ а

Г__ VpL — _ VpR

аг аг ’

и, следовательно, согласно (1.4.2), можно написать

Vp£p/?sin(P * (1-4.3)

Если мы положим р£ = pR = р1, где p-j = const, то выражение (1.4.3)
принимает вид 2К

J^Jjsincp, где/ = ---------- р^ (1-4.4)

Заметим, что хотя pL и pR считаются постоянными, их производ-
ная по времени j отлична от нуля. Это кажущееся противоречие объяс-
няется тем, что в системе имеется источник тока, который непрерыв-
но подставляет куперовские пары взамен тех, которые уже протун-
нелировали сквозь барьер. Эти токи ’’питания” мы не включили в рас-
смотрение, однако можно показать, что их учет не изменит выра-
жений для плотности туннельного тока куперовских пар. Этот вопрос
обсуждался в работе Охты [ 769], который предположил самосогла-
сованную модель, учитывающую наличие внешнего источника тока.

Из уравнений (1.4.26) следует, что

= (1.4.5)

Найденные уравнения (1.4.4.) и (1.4.5) - основные соотношения тео-
рии эффекта Джозефсона. Согласно (1.4.5), при V = 0 разность фаз
должна быть постоянной и не обязательно равной нулю. Таким обра-
зом, согласно (1.4.4), даже когда к контакту не приложено напряже-
ние, через него может протекать ток конечной плотности, максималь-
ное значение которой равно J В этом и заключается стационарный
эффект Джозефсона [ 541, 542]. Впервые его наблюдали Андерсон и
Роуэлл в 1963 г. Экспериментальная оценка напряжения на контакте
при стационарном эффекте Джозефсона была выполнена Смитом
[ 927]. Изучая протекание незатухающего тока в сверхпроводящем
Рис. 1.6, Туннелирование к у перовской пары при V = 0.

кольце, которое содержало джозефсоновский контакт, он определил
верхнюю границу напряжения на контакте в 4 • 10“16 В.

На языке диаграмм импульс - энергия процесс стационарного
джозефсоновского туннелирования может быть представлен как на
рис, 1.6» Куперовские пары при этом локализованы на уровне Ферми.
Типичная вольтамперная характеристика джозефсоновского контакта
представлена на рис. 1.7. Здесь хорошо видно, что при нулевом напря-
жении ток отличен от нуля. Когда ток через контакт превышает неко-

Рис. 17. Типичная вольтамперная характеристика джозефсоновского кон-
такта Sn -Sn о -Sn , снятая при Т = 1,52 К.

X у
торое максимальное значение / ^соответствующее плотности тока
J Дна контакте внезапно возникает конечная разность потенциалов.
При этом происходит переход из состояния с нулевым напряжением
на контакте на квазичастичную ветвь вольтамперной характеристики.

Таким образом, как уже упоминалось в предыдущем разделе,
существование в контакте сверхтока (тока при V = 0) означает, что
эффект Джозефсона качественно можно представлять как распростра-
нение сверхпроводящих свойств на всю структуру, включая барьер.
В массивном сверхпроводнике ток и градиент фазы связаны соотно-
шением (1.1.2); в джозефсоновском же контакте ток куперовских пар,
согласно (1.4.4), возникает благодаря разности фаз между двумя
связанными сверхпроводниками.

Если к контакту приложено постоянное напряжение V # 0, то, как
можно убедиться, интегрируя уравнение (1.4.5), фаза <р изменяется
со временем по закону <р = <?0 + (2е/h)Vt, и, следовательно, в контак-
те возникает переменный ток

/ 2е \
J—JjSinl фо + I

с частотой со= 2ttv = 2eV/h. Такое явление носит название нестацио-
нарного эффекта Джозефсона. Отношение между частотой возникаю-
щего тока и приложенным напряжением равно

-р =483,6 МГц/мкВ.

Имеются различные способы убедиться экспериментально в сущест-
вовании этого явления. Можно, например, наблюдать, как влияет на
вольтамперные характеристики джозефсоновского контакта микровол-
новое излучение. Оказывается, что в результате взаимодействия меж-
ду приложенным микроволновым излучением и переменным джозефсо-
новским током на вольтамперной характеристике контакта при опре-
деленных напряжениях появляются ступеньки (рис. 1.8). Эти ступень-
ки возникают при напряжениях

где vQ - частота внешнего излучения. Впервые это явление наблюдал
Шапиро [ 906] в 1963 г.

Прежде чем перейти к обсуждению следующего вопроса, отметим,
что вывод уравнений (1.4.4) и (1.4.5), выполненный для туннельного
контакта, остается справедливым и для других типов слабых связей
Ри с. 1.8. Микроволновое облучение (9300 МГц (А) и 24850 МГц (Б)) приводит
к появлению ступенек, расположенных на расстояниях h\> /2е или hv /е друг от
друга, hv/e равно 38,5 мкВ (А) и 103 мкВ (Б). В случае А горизонтальный
масштаб составляет 58,8 мкВ/см, вертикальный 67 мкД/см; в случае Б го-
ризонтальный масштаб составляет 50 мкЦ/см, а вертикальный 50 мкД/см
[906].

между сверхпроводниками. Действительно, все параметры, характери-
зующие особенности структуры, содержатся в константе К, относи-
тельно которой совсем не обязательно предполагать, что она соответ-
ствует именно "туннельному" взаимодействию. В связи с этим утвер-
ждением ниже мы рассмотрим и другие типы слабых связей, в ко-
торых, однако, возможны отклонения от чисто синусоидальной зависи-
мости между током и фазой (см. гл. 7).

В заключение отметим, что предложенное описание квазичастич-
ного и джозефсоновского туннелирования есть результат совместного
применения двух не связанных между собой феноменологических под-
ходов». Единую же точку зрения на туннельные явления можно найти
только с помощью микроскопической теории. Как мы увидим в после-
дующих главах, в рамках микроскопической теории учитывается так-
же и температурная зависимость джозефсоновского тока.

Отметим, что весьма элегантный вывод соотношений Джозефсона
был предложен Блохом [ 125].
1.5. Влияние магнитного поля

Рассмотрим теперь влияние на джозефсоновский контакт магнит-
ного поля, приложенного в направлении оси у1’ (рис. 1.9). Для этого
вычислим с помощью (1.2.2) градиентно-инвариантную разность фаз
между двумя точками барьера (с координатами х и х + dx):

2еI тс _ , . \

пс \ 2е р /

КА ~ ( £|%r IR = ( £|Х г IR >Л = <>СХР ( J Yc f'A •ds) >

где А - вектор-потенциал, связанный с магнитным полем обычным
соотношением V х А = Н . Это выражение справедливо как для лево-
го, так и для правого сверхпроводника-Интегрируя его по контурам

и CR (рис. 1.9), получаем

) В двухуровневом подходе наличие вектор-потенциала А можно учесть
следующим образом. Амплитуда взаимодействия к при наличии магнитного
поля приобретает фазовый множитель

КЛ = ( L|9€ ТIR )А = < £|% т IR )А = оехр( j • ds).

Входящий в это выражение интеграл должен вычисляться вдоль барьера меж-
ду двумя точками: г - в правом сверхпроводнике и I - в левом. Для просто-
ты предположим, что вектор-потенциал А постоянен внутри барьера, и выбе-
рем точки г и I таким образом, чтобы выполнялось равенство | г -l\ =5,
где 5 — толщина барьера. Теперь мы видим, что в присутствии вектор-потен-
циала А уравнения (1.4.2) принимают следующий вид [ 281]:

= ’7<2f/',HS^ •

Проводя и в этом случае похожие выкладки, мы получаем уравнения Джозефсо-
на в градиентно-инвариантной форме:

i7G4f/6A-ds)=¥1/-
R

Рис. t$h Контуры интегрирования с и Сд, используемые при выводе зави-
симости фаз ср от магнитного поля, магнитное поле н приложено в направле-
нии оси у . Области проникновения магнитного поля в сверхпроводящие элек-
троды заштрихованы.

4>Lb(x+dx)-tpLa(x) = ^ £ (A+^/s)’dL (L51>

Полагая, что толщина сверхпроводящих пленок существенно превышает
лондоновскую глубину проникновения, мы можем протянуть контуры
и CR за пределы области проникновения магнитного поля, где
плотность экранирующих токов J5 = 0. При таком выборе контура ин-
тегрирования оказывается несущественным также и возможное умень-
шение плотности куперовских пар р вблизи барьера. Участки конту-
ров CL nCRt находящиеся внутри области проникновения магнитно-
го поля, можно выбрать перпендикулярными вектору J $ . При таком
выборе контура интегрирования второе слагаемое в интегралах
(1.5.1) можно опустить, и мы получим следующее:

<p(x + Jx)-<p(x)=[<jt>Lb(x + 4/x)-<pRft(x+4/х)]-[ф£а(х)-фЛа(х)] =

Adi

Пренебрегая толщиной барьера, это выражение можно записать в ви-

де

о р f
(p(x + dx) — <p(x)=
Далее, преобразовав контурный интеграл в поверхностный интеграл
для магнитного поля

• dl = Hy(XL + \R +1) dx,
получим это выражение в дифференциальной форме

^Г = Т-(^+Ья+<)Ну, (1.5.2)

ах hcx L к у

где \ и AR - лондоновские глубины проникновения для каждого из
двух сверхпроводников, at- толщина диэлектрического барьера. Ин-
тегрирование уравнения (1.5.2) дает

где d(AL + Ar + t) - толщина области контакта, в которую проника-
ет магнитное поле. Таким образом, уравнение (1.4.4) принимает
вид

J—J}sin! Нух + ч>Л, (1.5.3)

откуда видно, что туннельный сверхток пространственно модулиро-
ван магнитным полем. Следовательно, благодаря периодичности выра-
жения (1.5.3) можно реализовать такую ситуацию, в которой полный
туннельный ток будет равен нулю. Так, например, в гл. 4 будет пока-
зано, что в прямоугольном контакте, в котором без поля туннельный
ток распределен однородно, максимальный сверхток зависит от прило-
женного магнитного поля по типу фраунгоферовой дифракционной
картины (рис. 1.10, а). Впервые это явление наблюдал Роуэлл [ 858]
в 1963 г. Интересно отметить тесную аналогию между этим эффектом
и явлением оптической дифракции на щели той же формы, что и рас-
сматриваемый барьер.

Аналитическое выражение для 1у(Н) в зависимости от магнитно-
го потока Ф, пронизывающего контакт (Ну = /у), можно представить
как

Sin тт —
ф
7,(//)=Z,(0) --,

где Ф = HLd и Фо = tic /2е - квант магнитного потока (2,07 • 10-7

Гс • см2). Таким образом, минимумы в "дифракционной картине" име-
ют место при значениях магнитного потока, кратных величине кван-
Магнитное поле (мГс)

(б)

Рис.1.10в а - экспериментальная зависимость максимального джозефсо-
новскопо тока от магнитного поля для контакта Nb -NbO -Pb (Barone А
Patemo G, не опубликовано); б — экспериментальная кривая зависимости
максимального джозефсоновского тока при постоянном напряжении от маг-
нитного поля для двойного контакта, схема которого представлена на рисун-
ке. "Период изменения тока по магнитному полю составляет 39,5 и 16 мГс
для кривых А и Б соответственно. Величина максимальных токов составля-
ет мА (А) и а/0,5 мА (Б), расстояние между контактами в обоих слу-
чаях составляет 3 мм, а их ширина 0,5 мм[ 532].

та потока. Если две джозефсоновские слабые связи соединить парал-
лельно в сверхпроводящую цепь, то можно наблюдать явления, обус-
ловленные квантовой интерференцией [530], Такая "двухшелевая"
структура схематически представлена на рис. 1.10, б. Фазы в обоих
контактах связаны между собой посредством магнитного потока,
захваченного в сверхпроводящую петлю. Полный максимальный сверх-
ток, возникающий в результате интерференции между сверхтоками
в двух звеньях, определяется выражением

1 =

Фе

COS 77 —

Ф0

где _ магнитный поток, захваченный в сверхпроводящую петлю.
Это явление часто называют эффектом Мерсеро [ 26]. Зависимость
сверхтока системы из двух контактов от магнитного поля показана
на рис. 1.10, б. Мы видим, что в этом случае на зависимость дифрак-
ционного типа (как это было в случае одного контакта) налагается
интерференционная модуляция. Отметим, что имеющая место в этом
явлении характерная периодичность происходит из-за квантования по-
тока, и в зависимости от экспериментальной ситуации измерению
оказываются доступны весьма малые доли периода. Такая чрезвычайно
высокая чувствительность джозефсоновского тока к магнитному по-
лю - определяющее свойство для многочисленных применений эффек-
та Джозефсона, которые мы подробно обсудим в последующих главах.

1.6. Свободная энергия барьера

Сделаем несколько замечаний о связанной с барьером свободной
энергии. Эта величина была вычислена Андерсоном [ 24] на основе
микроскопической теории; мы же будем следовать простому термоди-
намическому выводу, предложенному Джозефсоном [ 544]. Предполо-
жим, что туннельный ток в контакте распределен однородно. Рассмот-
рим две отдельные системы L и R, первая из которых содержит барь-
ер, а вторая нет. Кроме того, представим себе, что каждая из этих
систем соединена с источником тока, и предположим, что в обоих слу-
чаях токи источников / равны. Изменение свободной энергии, свя-
занное с работой источника тока, равно

dFL—IVLdt и dFR=IVRdt,
и, таким образом, энергия, связанная с самим барьером, равна
dF—d(FR — FL)~I{VR~VL)dt.

Поскольку VR - VL есть разность потенциалов на барьере, то, вос-
пользовавшись основными соотношениями Джозефсона (1.4.4) и (1.4.5),
перепишем это выражение в виде

h .

dr = —/jSincp

Проинтегрировав это выражение, получим свободную энергию, прихо-
Рис. 1.11. Зависимость тока и свободной энергии барьера в джозефсоновс-
ком контакте от фазы.

дяшуюся на единицу площади контакта, а именно

/(<р) = — 7—J|cos <р 4-constant.

Константа, входящая в это выражение, выбирается из условия:
/ = 0 при ф = 2шг (п = 0, 1, 2, . . .) (в этом случае ток через контакт
не течет). Следовательно,

/(<?)=£)(!-cos <р).

где Еу = h] v/2e.

На рис. 1.11 представлены зависимости сверхтока и свободной
энергии от фазы. Мы видим, что определенное значение тока соответ-
ствует двум различным величинам фазы (для каждого периода). Ус-
тойчиво то состояние, энергия которого минимальна.

1.7. Электродинамика джозефсоновского контакта

Если магнитное поле имеет ненулевые компоненты в направле-

ниях х и у, мы можем записать

8<Р = 2£н j
Эх hcHyd

Эф
ду

~T-Hxd.

ПС х

(1-7-1)
Преобразуем эти соотношения с помощью уравнения Максвелла

1 9D

V Хп-----Л-----— ,

с с Эг

которое в нашем случае принимает вид
9НЛ ЭЯХ _ 4тг

Эх Ъу с z

1 эг>2

с Э/

Подставим в него значения Нх и Ну из (1.7.1) и, воспользовавшись
соотношением (1.4.4), найдем

he2 / 92<р Э2<р \ . dV

8^\Эх2 ду2 / dt

где С = er/4nt - емкость контакта, приходящаяся на единицу площа-
ди, £ г - относительная диэлектрическая проницаемость барьера, t -
его толщина.

Используя соотношение (1.4.5), запишем окончательно:

92<Р , Э2<Р 1 Э2<р _ 1

----Г Н-------------- ---Г — “Г Sin (Г ,

Эх2 Э>>2 с2 Эг2 X2

(1.7.2)

/ 1 V/2_ / t \,/2

С ЧДтгСУ/ Д erd) ’ (1.7.3а)

х =1 hcl Г

(1.7.36)

Уравнение (1.7.2) описывает всю электродинамику джозефсоновс-
кого контакта [ 544]. Оно описывает процессы проникновения, что лег-
ко увидеть в стационарном случае для малых значений фазы <p(sinq>^ср).
Тогда это уравнение принимает лондоновский вид и имеет одномерное
решение ф ~ е .

Глубина проникновения Л служит мерой ширины области по
краям контакта, в которой протекают джозефсоновские токи, и поэто-
му называется "джозефсоновской глубиной проникновения”. Она по-
является вследствие экранирования тока магнитным полем, возника-
ющим при протекании через контакт самих сверхтоков. Это явление
в сверхпроводнике первого рода носит название эффекта Мейсснера -
Ошенфельда; однако, в то время как типичные значения лондоновской
глубины проникновения AL составляют сотни ангстрем, оказыва-
ется порядка сотен микрометров. Такое слабое экранирование ~ дру-
гой аспект определения "слабая сверхпроводимость”.
Как мы уже упоминали, уравнение (1.7.2) содержит в себе феноме-
нологическое описание джозефсоновского туннельного контакта. Еще
большей общности можно достичь, использовав при его выводе ре-
зультаты микроскопической теории. Действительно, включив в рас-
смотрение квазичастицы, мы придем (см. гл. 2) к более точному выра-
жению для плотности тока:

J—Jj (V )sin <р -F [ о, (V )cos ср + а0( V)] К.

В этом соотношении слагаемое а 0(Е)Е представляет собой квазичас-
тичный туннельный ток, а слагаемое ojFjFcos <р соответствует
вкладу, связанному с интерференцией токов куперовских пар и квази-
частиц. Как правило, в последнем выражении с хорошей точностью
можно пренебречь вкладом "cos ф":

J=J1sin<p4-a0(K)K,
и тогда, с учетом диссипативных членов, уравнение (1.7.2) примет
вид

Э2<р . 92<р 1 92<р Д Э<р 1 D /г

—— Ч----—---------- = — sincp , . Д=а0/С.

Эх2 9у2 с2 Эг2 с2 9Г Xj

(1-7.4)

Для общего аналитического решения это уравнение слишком слож-
но. Однако оно подробно исследовано, и в последующих главах мы его
детально обсудим, рассматривая частные решения в специальных слу-
чаях, которые представляют физический интерес.

Рассмотрим теперь случай (впервые изученный Андерсоном [ 24]),
когда фаза ф не зависит от координат. Общее уравнение в отсутст-
вие диссипации (1.7.2) переходит в этом случае в обыкновенное диф-
ференциальное уравнение, описывающее движение маятника:

d2<P 1 2 • л - /\

Ч- WjSin<p = 0 , = c/Kj.

(1.7.5)

В пределе малых амплитуд (sin ср) соответствующее решение
есть колебание с частотой = оу /2тг, типичные значения которой
составляют ЮВ 9 * - 1011 Гц (что легко проверить, выбрав реалистичес-
кие значения с = —— с иА^ юо мкм). Поскольку в такой ситуа-

ции значение фазы на протяжении всего барьера постоянно, магнит-
ное поле равно нулю, а электрическое направлено перпендикулярно

плоскости барьера. Таким образом, становится понятным, что найден-

ные колебания фазы обладают характерными свойствами продоль-
ных плазменных волн [ 544, 545]. Происхождение таких плазменных
Рис. 1.12 . Зависимость со(£) для джозефсоновского контакта в пределе
Ф 0• - величина плазменной частоты при нулевом токе и в отсутствие

магнитного поля.

колебаний связано с периодическим переходом энергии барьера

(1 - cos <р)/2е в электростатическую энергию (l/2)(2en) VC и об-
ратно. Эти новые возбуждения, так называемые джозефсоновские
плазмоны, впервые наблюдали Дам и др. [ 251] в 1968 г. Из явных вы-
ражений для с и (1.7.3а, б) находим выражение для

с / 2eL \ ,/2
(Рт — - — I --- I f

J х7 \ hC )

где /1 - полный ток куперовских пар, а С - полная емкость контакта.

Мы видим, что относительно низкое значение частоты этой кол-
лективной моды обусловлено малой плотностью носителей заряда в
барьере (характерной для слабой сверхпроводимости). Поскольку значение
ozj оказывается меньшим, чем предельная частота обрезания плазмен-
ной моды в сверхпроводниках, рассмотренные колебания ограничены
областью барьера.

В пределах малых отклонений от значения <р = 0 мы можем пред-
ставить решение уравнения (1.7.2) в виде ср ~ ei “ kx^. Найденное
таким образом дисперсионное соотношение имеет вид

со2 = + к2с2 ;

соответствующая зависимость оо(Л) показана на рис. 1.12. Следователь-
но, величина представляет собой ту наименьшую частоту, с кото-
рой электромагнитная волна может распространяться внутри контак-
та. На языке теории электрических цепей характерная плазменная
частота определяется выражением со^ = 1/VTg где L = h/2el - эк-
вивалентная индуктивность контакта в пределе нулевого тока. Отме-
тим, что найденное выше выражение для строго справедливо лишь
в пределе нулевого джозефсоновского тока. Как мы увидим ниже
(в разд. И .6), эквивалентная индуктивность контакта (а следователь-
но, и плазменная частота) есть функция полного сверхтока, протека-
ющего через контакт, а также приложенного магнитного поля. Де-
тальные измерения плазменной частоты были выполнены Педерсеном,
Финнеганом и Лангенбергом [ 808, 809]. Эти авторы эксперименталь-
но подтвердили существование интерференционного вклада в туннель-
ный ток (см. разд. 2.6). Экспериментальные и теоретические иссле-
дования нелинейных эффектов, связанных с плазменным резонансом,
были выполнены Дамом и Лангенбергом [ 250].

13. Другие джозефсоновские структуры

Как мы уже видели, для проявления эффекта Джозефсона необ-
ходимо, чтобы два сверхпроводника были каким-либо образом связа-
ны между собой. В контакте между двумя сверхпроводящими пленка-
ми, который мы рассматривали до сих пор, такая связь осуществля-
лась посредством квантовомеханического туннелирования. Однако
возможны и другие типы слабосвязанных сверхпроводящих систем;
некоторые из них представлены на рис. 1.13. Первая структура
(рис. ЫЗ, а) носит название "мостика Дайема" [ 28]; она состоит
из единого сверхпроводящего слоя, две сравнительно широкие облас-
ти которого связаны между собой очень узким (~ 1 мкм или еще
меньше) перешейком. Необходимое условие возникновения когерент-
ности куперовских пар в этих двух областях грубо можно сформули-
ровать так: L < где L - максимальный размер перешейка, а § -
корреляционная длина в рассматриваемом сверхпроводящем материале.
Следует подчеркнуть, что выполнимость этого условия существенно
зависит от той области температур, при которой используется мостик,
поскольку § - температурно зависящая величина. В последние несколь-
ко лет был достигнут значительный прогресс в изучении этих контак-
тов; он связан как с усовершенствованием технологии их изготовле-
ния, так и с развитием теории, объясняющей их свойства. Другой тип
пленочных мостиковых структур был предложен Нотарисом и Мерсеро
[ 763]. В этом случае сверхпроводимость в области контакта "ослаб-
Сверхпроводник

Сверхпроводник
с острием

Сверхпроводник

Перешеек”

Подложка

Нормальный
металл

Плоский сверхпроводник

(б) ®

Рис. 1.13. Различные типы джозефсо новей их структур, а мостик Дайема;
б — мостик с использованием эффекта близости другого проводящего слоя;
в - точечный контакт; г - капля припоя Кларка; д - слабая связь типа "про-
волочный крест".

ляется” благодаря влиянию слоя нормального металла, нанесенного
на сверхпроводящую пленку. Такой метод позволяет изготовлять мос-
тики большего размера, а также снижает требования к геометрии кон-
тактов (рис. 1.13, б). Из мостиковых слабых связей в настоящее время,
пожалуй, наиболее перспективны мостики переменной толщины (см.
гл. 7).

Еше одна важная структура - ’’точечный контакт” [ 647, 1107].

Его создают, вдавливая острие одного сверхпроводника в другой сверх-
проводник (плоский), как это показано на рис. 1.13, в. При этом мож-
но создавать или прямой металлический контакт между острием и
сверхпроводящим слоем, или же острие предварительно окислить.

В последнем случае получаемая структура должна быть отнесена ско-
рее к категории туннельных контактов. Наиболее вероятно, что по-
лучится промежуточный вариант, когда проводимость контакта окажет-
ся и металлического, и туннельного типа. В любом случае свойства
точечного контакта чрезвычайно чувствительны к давлению, при кото-
ром он был изготовлен. Это предопределяет одновременно и достоинст-
во (регулируемость параметров), и ограничение возможностей (механи-
ческая неустойчивость) контактов этого типа по сравнению с другими
структурами.

На рис. 1.13, г, д представлены слабые связи типа "капля припоя"
(впервые исследована Дж. Кларком [ 213]) и "проволочный крест" (предпшюже-
жена Панкове [ 782]). Первая из них, однако, обычно проявляет свойст-
ва двойного контакта. На данном этапе полезно сделать замечание о
номенклатуре различных джозефсоновских структур. Слабой связью,
вообще говоря, можно называть все типы слабосвязанных сверхпро-
водников, включая туннельные контакты, мостики Дайема и т.д. Од-
нако в современной литературе этот термин чаще распространяется
на все структуры, за исключением туннельных. В этой книге мы исполь-
зуем выражение "слабая связь" в более широком смысле и там, где
это необходимо, точно определяем структуры, о которых идет речь.

Наконец отметим, что в качестве барьеров в джозефсоновских
контактах могут быть использованы не только диэлектрики, но и дру-
гие материалы. Слабую связь можно осуществить и применяя полупро-
водниковые слои толщиной в несколько сотен ангстрем, а также слой
нормального металла толщиной порядка нескольких тысяч ангстрем.

Более подробно перечисленные выше джозефсоновские структу-
ры обсуждаются в гл. 7 и 8.
Глава 2

Микроскопическая теория

В своей оригинальной работе Джозефсон [ 541, 542] развил мик-
роскопическую теорию сверхпроводящего туннельного контакта, учиты-
вающую туннелирование куперовских пар через барьер (см. также
[24]). Для построения этой теории он воспользовался формализмом
туннельного гамильтониана, предложенного Бардином [ 80], а также
Коэном, Фаликовым и Филлипсом [ 236]. Несколько позже стало по-
нятным, что эффект Джозефсона может иметь место и в сверхпро-
водящих слабых связях других типов. Однако нам представляется,
что к настоящему моменту полное описание на языке микроскопичес-
кой теории достигнуто только для туннельной структуры.

В этой главе мы расскажем об основных аспектах микроскопичес-
кой теории джозефсоновской туннельной структуры, следуя главным
образом подходу, который был предложен Амбегаокаром и Баратовом
[14]. При этом процесс туннелирования описывается на основе неста-
ционарной теории возмущений, построенной с помощью соответству-
ющим образом выбранного гамильтониана взаимодействия между
двумя сверхпроводниками.

В литературе имеются превосходные работы, в которых рассмот-
рены различные теоретические подходы к данному вопросу. Среди
них отметим статьи де Жена [ 270] и самого Джозефсона [ 544, 546].
Несколько позже Кароли и др. [ 175 - 177] построили теорию туннель-
ных процессов, в которой были устранены ограничения, связанные
с применением туннельного гамильтониана. Еще большей общности
в ряде обширных работ удалось достичь Фейхтвангу [ 338 - 341]. Не-
давно его теория была распространена Арнольдом [ 36] и на сверхпро-
водящие контакты.

Наконец отметим весьма общий подход к рассматриваемой проб-
леме, основанный на бозонном методе в теории сверхпроводимости
[ 642, 643].

2.1. Формализм туннельного гамильтониана

С точки зрения квантовой механики туннельный контакт обычно
описывается следующим гамильтонианом [ 236]:

(2.1.1)
Здесь Кд и - полные гамильтонианы соответственно правого и
левого электродов; они коммутируют с операторами числа частиц
и NR9 а именно

= 2 ск+Л,; Nl = 2 d4a . (2.1.2)

к,о q,ст

Слагаемое Нт соответствует туннельному взаимодействию и перево-
дит электроны из одного электрода в другой:

= S [Tkqck+^qCT+T*qtZq>kG],
kqo

(2.1.3)

где с £ ) - оператор рождения (уничтожения) электрона с импуль-

сом к и спином а в металле левого электрода; (d ) _ оператор
рождения (уничтожения) электрона с импульсом q и спином а в ме-

талле правого электрода. Их действие пояснено на рис. 2.1. -

матричный элемент, который определяется вероятностью перехода

электрона из состояния к слева от барьера в состояние q справа.
Пренебрегая энергетической зависимостью вероятности туннелирова-
ния, в квазиклассическом (ВКБ) приближении можно найти, что

lTkqГ 8к

где U и t — высота и ширина барьера, kz и qz — перпендикулярные
барьеру компоненты импульсов к и q. Наличие в этом выражении сим-
волов Кронекера связано с сохранением проекций импульса, парал-
лельных плоскости барьера. Пока мы рассматриваем величины напря-
жений вплоть до нескольких милливольт (этот масштаб определяется
величиной энергетической щели типичных сверхпроводников) и интере-
суемся только отношением туннельных токов, получаемых с нормаль-
ных и сверхпроводящих электродов, это приближение оправдано.

Сделаем несколько замечаний относительно выражения (2.1.1) и
(2.1.3). Возможность представить полный гамильтониан всей систе-
мы в виде суммы гамильтонианов двух невзаимодействующих метал-
лов и члена Кт , связанного с взаимодействием, предполагает сущест-
вование набора одноэлектронных волновых функций <р^ и xq соответст-
венно для левого и правого электродов. Эти функции должны обладать
следующими свойствами. Во-первых, ф^ и xq должны вместе образовы-
вать полный ортонормированный набор. Во-вторых, волновые функции
электрона в левом (правом) электроде должны выражаться лишь через
^k^Xq)• сожалению, одновременно этим двум условиям удовлетворить
Рис. Z 1. Схематическое изображение туннельного контакта JL и К —
гамильтонианы левого и правого сверхпроводящих электродов. — тун.
нельный гамильтониан,с^dq — операторы рождения и уничтожения элек-
тронов в металле левого и правого электродов соответственно.

нельзя. Однако можно поступить следующим образом. Определим сос-
тояние <?k(xq)» предполагая, что барьер тянется вплоть до V оо ( — ОО )
[ 80]. В этом случае и xq в области барьера экспоненциально зату-
хают и ортогональными не являются. Следовательно, соответствующие
операторы с в dq этих состояний, строго говоря, не коммутируют.
Однако, как показал Пранге [ 825], при допущении зеркального тунне-
лирования электрона между состояниями с равной энергией можно
считать, что антикоммутационные соотношения | с+^, d^\ = | =

= 0 в низшем порядке по выполняются.

В выражении (2.1.3) для туннельного гамильтониана не учитыва-
ются возможные процессы, протекающие с переворотом спина (так как
в него входят произведения операторов рождения и уничтожения с оди-
наковыми спинами). Также исключены из рассмотрения процессы, со-
провождающиеся поглощением и излучением энергии(поскольку оба
оператора в произведении с d^ действуют в одинаковые моменты
времени, что означает мгновенность туннелирования). Кроме того,
условия симметрии гамильтониана относительно обращения знака вре-
мени приводят к требованию

Т*-к,-ч = Тк,ч. (2.1.4)

Рассмотрим теперь случай, когда к контакту приложено напря-
жение P(t) так, что потенциал левого электрода относительно право-
го положителен (см. рис. 2.1). Предполагая, что все падение напряже-
ния происходит на барьере, находим, что ферми-уровни и \xR оказы-
ваются сдвинутыми дууг относительно друга на величину -ц - -eJZD

1) е = | е| есть абсолютная величина заряда электрона.
42

Глава 2

Это равносильно наличию у электронов левого электрода дополни-
тельной энергии, и соответствующий гамильтониан можно написать
ВВИДе %£(^)=9CL(0)-eWL ,

где число электронов определяется выражением (2.1.2).

Обозначим через ско. (t) и c^a(t) операторы уничтожения электрона
в металле левого электрода соответственно при F = 0 и Г О-В гей-
зенберговском представлении уравнения движения для этих двух опе-
раторов имеют вид

= [ско( t), XL(V)] = [гко(г), % JO)] + еУска(1).

Отсюда [ 839]

<р (о

£ко(') = е72 Скв(0 ,

(2.1.5а)

= (2-1.56)

Туннельный ток I {V, Т) при Т > О К и V 4 ® найдем , зная сред-
нюю величину скорости изменения оператора числа электронов NR:

I(V,T)=-e(NR) , (2.1.6)

где Лд - производная оператора NR по времени, а положительное на-
правление тока выбрано слева направо (рис- 2.1). Среднее значение
определяется выражением

. Tr{e-^-TN,} ,

где И - полный гамильтониан системы, kR - постоянная Больцмана,
a S р { } означает след оператора, заключенного внутри фигурных

скобок.

Поскольку Nr коммутирует с HL и , из уравнения движения

для W имеем , ; г п

R Nk = ^[%,Nr]=^[Xt,Nr].

Используя для туннельного гамильтониана выражение (2.1.3), на-

. (2.1.7)

При выводе последней формулы мы использовали коммутационные со-
отношения г л + л л 1 л • [ л + л л +1 — Л +

[^qa^qa>^qa] ^qa > [^qo^qo’^qa] q° >
которые следуют из антикоммутации операторов с^и Подставляя
(2.1.7) в выражение (2.1.6) и учитывая, что

= (Tkq<ck>qo>}*,

находим выражение для туннельного тока:

( 1

/(И,Г)=у1т 2?^,.) • (2.1.8)

' kqa *

Это выражение уже легко написать в первом порядке по Нт [ 14]
(найти линейный отклик по Нт). Так как слагаемое Ктв гамиль-
тониане рассматривается как возмущение, то удобно воспользовать-
ся представлением взаимодействия, в котором временная зависимость
операторов определяется невозмущенным гамильтонианом И~Х£(и) +
+ в то время как изменение собственных состояний со временем
определяется возмущением Кт . В первом порядке по Кт имеем

|ф (О > Ц1 -^£^те”т%г(т))^(оо)> ,

где г| -> (Г, т-е. q стремится к нулю, принимая лишь положительные
значения: временной аргумент у означает, что этот оператор
взят в представлении взаимодействия; | у(г)) есть собственная функ-
ция полного гамильтониана К = Ко + Нт; | у (°°) ) - собственная
функция невозмущенного гамильтониана Множитель епт указы-
вает на то, что возмущение включается адиабатически, начиная с
t = -оо< В рассматриваемом приближении соотношение (2.1.8) при-
нимает вид

7 = yImSTk4pc^qJ0-^£^T^([c^(<)rf4O(/),Xr(T)]}0j ,

где символ ( )0 означает среднее значение, соответствующее

невозмущенному гамильтониану Ко. Первый член в этом выражении
равен нулю, поскольку он определяет ток в случае, когда возмущение
равно нулю. Таким образом,

/=-^Re2Tkqf Л.’’([гг.('Ч.(<).5Сг«])0 . (2.1.9)
Й kqa

Подставляя в это выражение туннельный гамильтониан (2.1.3), нахо-
дим
Z=-^Re 2 Тм/' ^те’’т{Тк,ч,([гк+<,(/)4/чо(0)гк\.(тЧ'<,'(^)])о+

Ь kqo “
к'Ч'°' +T:v([ck+O('4a(0, <Дт)ск,„,(т)])0}-

2.2. Общее выражение для полного тока

Используя соотношения (2.1.5), мы можем найти зависимость от
P(t)> после чего последнее выражение запишется в виде
/ = Imf+0°</Te’T{e->f>-*<TMr-T)+e->')+*<T)’R(r-T)} .

•^—00

(2-2.1)

Функция S (t -т) и R(t — т) определяются следующим образом [ 8391:
5(г-т)=-2у^<?(г-т) 2 Т1чТ*<|.«ск+в(О^(т)>о<МО^;<,'(т)>о-
* kqo

k'q'a

-«в (т)^чв(О>о<ск<, (т)с^(/)>0) , (2.2.2а)

R(r-r)= -2j-^0(z-t) 2 Tk4Tk,q,{<ck+o(0ck\.(T)>0<J(|,a.(T)Jqo(/)>0-
* kqa

k'q'o'

-<cM№(O>o<‘MH‘MT))ob (2.2.26)
где 0(х) - ступенчатая функция: 0(х) = 1 при х > 0 и 0(х) = 0 при х< 0.
Отметим, что произведенная факторизация является точной, посколь-
ку средние значения вычисляются по невозмущенному ансамблю (га-
мильтониан Ио = + Хд ) и, следовательно, относятся к каждому

из двух электродов в отдельности. Если мы примем, что эти электро-
ды бесконечны и состоят из однородного сверхпроводящего металла,
то в S(t -т) отличными от нуля окажутся лишь диагональные (к =
q = q') члены.

Если ввести одночастичные гриновские функции [ 550]

G>(k,r-t)= -j(ck(T)c^(/)>; G<(k,т-0=7<с^(/)ск(т)> ,

^>(q. d4(t)d+(r)); С<(ч,Г-т)=у(</ч+(т)</ч(г)>,

то функцию S(t -т) можно записать в виде
S(t-T}= S |Tkq|2{G<(k) T-r)G>(q, t-r)-

“ M

-G<(q, t~r)G>(k, г-r)} ,
где с учетом соотношения < c£tckt>= < с+ьскг>уже выполнено сум-
мирование по спинам. В выражении для функции R(t -т) отличными
от нуля остаются лишь слагаемые с k' = -k, q' = -q, сг' = -сг,в
теории БКШ соответствующие спариванию электронов в массивных
сверхпроводниках. С помощью аномальных гриновских функций, вве-
денных Горьковым [412], а именно

F>(k, г-т) = <с^(Ос\Дт)> ; /^(к, ^-т)= -<cikl(T)ck+t(r)> ,

F^(q,T~t) = (d-ч|(т)</чТ(0> J ,

функцию Ff.it -и) можно представить в виде

/?(Z-T) = 4j Atf(z-T)2 |Tk |2(F>(k, Z-r)F<(q, t-z)—
й kq

— /<(к, t—T)F>(q,r—f)} .

При получении этого выражения было проведено суммирование по спи-
новым индексам и использована связь между аномальными функция-
ми* f^=—F^

Введем фурье-образы гриновских функций G^(k, со), F^(k, со),
F^(k,со), определяемые соотношением

G*(k,r)=T- f + XdUe-^'G^(k,w) ,
' 277 ^-00

а также соответствующие им спектральные функции

<7^(к, со)= ТуЛ(к, со)/ “(со) ,

F^(k,u)=±e~j’p‘BL(k,w)f±(w) ,

F^(q, w)= ±eJ'fRBR{q, u)f ~(w) ,
гдефт= ykBT)

/±(^) = (е^ы + \)~' и /+(w) = l-/-(w) .
В выражениях для F* и мы явно выделили фазовые множители
в спектральных функциях В(к, со) [ 839]. В противном случае спектраль-
ные функции, BR и BL оказались бы пропорциональны комплексному
сверхпроводящему параметру порядка △ R в правой части контакта и
его сопряженной величине L*l — в левой.

2.2.1. Выражение для полного тока во временном представлении

Сделаем в выражении (2.2.1) замену переменных t = t - т и
введем новую функцию R'(t), такую что

Тогда (2.2.1) примет вид

/(г) = 1т(е-л*(')1/2/+00Л,е’’<,-'')[ед*<'-,')|/25(Г)+

V •' — 00

-he "Mi

(2.2.3)

Функции S (t) и R’ (t) можно выразить через вещественные спектраль-
ные функции, введенные выше:

h kq (2тг)

ХЛЛ(ч,ы')[/ (w)-/ (w')]k (2.2.4а)

^^^('Wkql2!^

Л kq I/'-oo (277)

X ВЯ(Ч, <У)[/ "(О-/ "(~)]| • (2.2.46)
(<₽L -фя)

Фазовый множитель е в выражении для R(t) в предложен-

ном выводе возник весьма формально. Однако его присутствие в
этом выражении связано со специальными физическими причинами,
которые стоит обсудить подробнее. Напомним, что фазовый переход
второго рода означает возникновение нового упорядоченного состоя-
ния, характеризующегося понижением симметрии; таким образом,
система переходит в состояние, которое уже не обладает свойства-
ми полной симметрии, характерными для начального гамильтониана- На-
рушение симметрии удобнее всего пояснить на примере ферромагнит-
ного перехода. Основное состояние ферромагнетика соответствует
ситуации, в которой все спины выстроены в одном и том же направ-
лении.Таким образом, рассматриваемая система в этом состоянии
лишена симметрии по отношению к повороту в пространстве, которой
обладает исходный (изотропный) гейзенберговский гамильтониан*
Ансамбль всех таких состояний с пониженной симметрией называет-
ся ограниченным. В случае сверхпроводника ситуация оказывается
менее наглядной. Свойством симметрии, которое нарушается при
сверхпроводящем фазовом переходе, оказывается локальная гради-
ентная инвариантность. Это означает, что фазу параметра порядка
нельзя произвольно изменять в каждой точке, поскольку в сверхпро-
воднике выбор фазы в одной точке определяет ее значения во всех
остальных точках. Превосходное объяснение взаимосвязи между кон-
цепцией нарушенной симметрии в сверхпроводниках и эффектом
Джозефсона было предложено Андерсоном [ 24]. Пусть у нас имеется
некоторый ограниченный ансамбль. Применяя к нему унитарное пре-
образование, оставляющее гамильтониан неизменным, мы можем
построить некоторый другой ограниченный ансамбль. Для однородно-
го сверхпроводника в качестве такого преобразования можно выбрать,
например, где/V- оператор числа частиц (полного числа электро-
нов), а ср - вещественная постоянная. Такое преобразование остав-
ляет гамильтониан неизменным, поскольку он коммутирует с операто-
ром N, однако волновые функции после его применения приобретают
постоянный фазовый множитель. Для состояний с разными числами
частиц эти множители оказываются различными. Как легко видеть из
определения гриновских функций G* и F><, преобразование ос-
тавляет G-функции неизменными, так как с ус и ^q^q связывают
состояние с одним и тем же числом частиц. С другой стороны*

<e^ckc_ke-^)=e2^(ckc_k) ,

поскольку операторы ис^с^ис^_к связывают состояния с чис-
лами частиц, отличающимися на двойку.

Следовательно, под воздействием рассматриваемого преобразо-
вания аномальные гриновские функции приобретают фазовые множи-
тели

F(k,z)^e'2^F(k,r) , F(k, /)^eW(k, г) .
Итак, каждый из ограниченных ансамблей характеризуется своим фа-
зовым множителем е2^. Для одного сверхпроводника всегда можно
выбрать фазу ср = 0; в случае же джозефсоновского контакта, когда
мы рассматриваем два различных, но связанных между собой сверх-
проводника, такой простой выбор фазы, единой для всей системы,
оказывается невозможным. В этом случае необходимо учитывать
оба фазовых множителя е;'фь и е1<₽к, соответствующих каждому из
сверхпроводников, хотя измеряемые на опыте величины могут зави-
сеть лишь от разности фаз ср£ - фд •

2.2.2. Выражение для полного тока в частичном представлении
Если мы введем спектральное разложение [ 1040]

/ + оо /У/.j , .

=^-W(u)e-ju‘ (2.2.5)

- ОО

и фурье-образы функций S (t) и R' (t)

S(w)= f + XdtS(t)ejal; R'(u) = (^dtR'it)^' ,
•'-00 •' — 00

то выражение (2.2.3) можно будет преобразовать к виду

I(t)= Im | + +

lJ-oo •'-оо L

+ pj + O]} , (2.2.6)

где a = <pL -фд . Возвращаясь к разд. 1.4, мы видим, что разность
“Фк в этом выражении соответствует той части относительной
разности фаз между сверхпроводниками, которая не зависит от вре-
мени. Предположим, что коэффициенты в спектральном разложении
(2.2.5) вещественны. Это условие выполняется во всех случаях, пред-
ставляющих интерес с точки зрения физики ( мы будем рассматри-
вать их ниже). Тогда выражение (2.2.6) можно представить в виде

/(/)= ( dw ( Jw'PK(w)iy(w'){Г/^(ю')с°5(ю — w')z —

•' — 00 •' — 00

_^p,(«')sin( w-w')r] +

+ [7j2(w )cos(a“l"(w'l'w,)^) + '(/i(w,)sin(a: + (w'l“wZ)^)]} >
где мы ввели следующие обозначения:

/ («)= Im S()v«) ,
ту —»О

Ww) = Re S(jtj-w) ,

/72(ы)= Im Я'(/ч+«) ’
т?—*0

/л(со) = -Re/?'(;>)-+-со) . (2.2.8)

л -*о +

Таким образом, в присутствии изменяющегося со временем потенци-
ала V(t) как вещественные, так и мнимые части функций 5(go) и /?'(со)
дают вклад в полный ток I (t). Поскольку сами функции S (t) и R'(t}
вещественны и отличны от нуля лишь при t > 0, то для их фурье-образов
имеют место следующие соотношения:

S(-w) = S*(w); K'(-w)=/?'*(w) .

Более того, как показал Вертхамер[ 1040J, вещественные и мнимые
части функций S(co) и /?(со) связаны между собой дисперсионными соот-
ношениями Крамерса - Кронига [ 693]?

1 г + оо ImS(co')
ReS(w)=-P/ du'—7—— >

77 СО —СО

1 с 00 ReS(co')

ImS(w)=--P/ du'—• (2.2.9)

77 J U ~U

Аналогичные соотношения можно записать для Re/?'(со) и Im/?'(со)1).
Оказывается, что в случае медленно меняющегося или постоянного
напряжения на контакте слагаемое ?у 2(со) вклада в ток не дает
[ 639]. Случай постоянного напряжения на контакте мы подробно рас-
смотрим в следующем разделе.

23. Туннельный ток при постоянном напряжении на
контакте

Предположим, что Р(£) = VQ = const .В этом случае

^(у/2)ф(г) — e(j/2)uft

1) Р обозначает, что интеграл вычисляется в смысле главного значения.

4 - 436
где оу = 2(^/й)К0. Из (2.2.5) для коэффициентов Фурье легко находим
VF(w)=Wz*(w) = 6(«-^) .

Таким образом, выражения (2.2.6) и (2.2.7) принимают вид

= + , (2-3.1)

/(r,K0,T) = /<?/)(r(),r) + /71(r0,7’)sin<p(r) + /72(r0,r)cos<p(r),(2.3.2)
где <р(г) = а + со^ .в этом выражении мы явно выделили зависимость
коэффициентов от напряжения и температуры. Итак, полный туннель-
ный ток есть сумма трех различных вкладов. Вклад I связан с
функцией S(t) и представляет собой квазичастичный туннельный ток.
Зависящие от фазы слагаемые Ij 1 sin<p и Z^2cgs q> обязаны своим про-
исхождением функции R(t) и описывают когерентные процессы тунне-
лирования куперовских пар. Как станет ясно несколько позже, при
То = 0 вклады = Ij 2 = 0, и в этом случае полный ток определяется
единственным слагаемым /^(0, T)f которое соответствует стационар-
ному джозефсоновскому току. В случае отличцого от нуля постоянно-
го напряжения на контакте зависящие от фазы вклады описывают воз-
никающие в контакте переменные токи с частотой = 2(e/^)F0* Вво-
дя проводимости

а|(И0,Г)И0=/72(Г0,Т’); а0(Ио, Т)Ио = Iqp(Ио, Т) , (2.3.3)

мы можем переписать выражение (2.3.2) в несколько ином виде:

/(t, Vo, Т) = /,,( Ио, Т)sin<p( t) + [а,( Ио, Т )cos <р( 0 + а0( Ио, Т)] Ио .(2.3.4)
Именно такое выражение для полного тока было найдено Джозефсо-
ном в 1962 г. [ 541, 542].

2.4.Выражения для токов / qp^, i^t 2

В этом разделе мы найдем явные выражения для различных вкла-
дов в полный ток (2.2.8) для случая, когда к контакту приложено пос-
тоянное напряжение . Для этого необходимо прежде всего вычис-
лить фурье-образы функций S(£) и определенных выражения-
ми (2.2.4). Предполагая прохождение зеркальным и пренебрегая за-
висимостью матричных элементов от энергии, проведем интегри-
рование по компонентам векторов k и q, параллельным плоскости
барьера. После этого выражения (2.2.4) преобразуются к виду
Pl Г + 00 /• 4" оо

—[ def de'X

irel\N J -Q0 -00

Х(/ I?/ СС“е'(“ш')'Л;(е,<о)Лд(£', w')[/(w)-/(w')]L

I •'-00 2,77 •'-00 Z7r J

Pl /• 4- oo /•4-00

где мы ввели обозначение

R 1

N 4W e^(O)^(o)<|T|2>

/V^(0) и Nl(0) - плотности состояний на уровнях Ферми в металлах
правого и левого электродов соответственно. Знак " - " в фермиев-
ских функциях нами опущен. Следуя работе Баратова [71], введем
плотности состояний квазичастиц и куперовских пар:

1 /• 4- оо

п(ы) = X- / deA(e, ы) ,

277 2__ „

P(w)=4zf deB(e,w), (2.4.1)

2Я-/-00
после чего выражения для функций S (г) и R’ (Н принимают вид
0(t) Pl /• + <» Г4-00

5(0=-у-222;/ duf ^0“-^(0^(0[/(0-/(<0],
Км ке J -r J

.^(0 h
' RM

^(«W «>')[/(«')-/(")] .

(2.4.2)

2.4.1 .Квазичастичные вклады 1 qp и iqp .цам нужно выполнить
Фурье-преобразование функции S (0 к переменной jxy -со^/2 при rj -> 0+.
Вводя обозначение ооо = оэ^/2, имеем

z Pl г 00 /• 4- 00

-j——- / dt e(t f dux

ттек NJ_K J _

/4- oo

du'e'{u~u}lnL(w)nR(u’)[/(«)-/(«')] .
Поскольку

у + 00 1

/ "о+7ч)'=-_------------—г

•/-00 7 j(w-w-Wo+j»?)

И I I 1 \

Um —-=P 4 UjW(x) (2.4.3)

7)~>0 X—JT] \ X /

(символ P обозначает, что оставшийся интеграл должен вычисляться
в смысле главного значения), мы получаем

S (А-«о) =

7) —> 0 +

h
ireRN

/4- оо /• 4- оо

du I du'8(u — u' — u0

- 00 ^—00

Отсюда находим

S (>T»-Wo) =
1)->0

)

^rn

/ + 00 у 4- оо
du I du'

- 00 — 00

nL(^)nR^')

U — u' — Uq

[/(«)-/(«')], (2.4.4)

Aw> = Imn+5 Оч-"о)=

7)-*0

fc /4-00

= f tZWwL(w)«R(«-w0)[/(«)-/(w-«0)]. (2.4.5)

e A N J - oo

Отметим [ 1040], что полученное выражение для ReS (; q -со0) рас-
ходится при -> О (Ро 0)- Это становится понятным, если учесть,
что вещественная и мнимая части функции 5 (;q -соо) связаны соот-
ношениями Крамерса - Кронига (2,2.9) и что квазичастичный ток

линейно возрастает как функция со 0 при соо -> <*> - Для устранения
возникшей расходимости мы переопределим функцию S(/q -Wq), выч-
тя из нее величину [ Re S (/ q ~с°о)-'со = 0 • Понятно, что такое переоп-
ределение $ -функции никак не повлияет на величину квазичастичного
тока, поскольку она определяется мнимой частью функции S (;q -^0).

Выражение (2.4.5) оказалось аналогичным тому, которое мы
нашли для квазичастичного тока в рамках феноменологической тео-
рии (разд. 1.3).
Применим общее выражение (2.4.5) к случаю, когда оба электрода,
образующих контакт, находятся в нормальном состоянии. Имеем

/ + 00

dt Л0(е, w)= 1 •

wHa - 00

h /• + оо

I4P=Inn = ~7d-J ^w[/(«)-/(w-w0)] .

ДГ J — QQ

Поскольку же

/ Jw[/(w)-/(w-w0)] = -w0 и w0 = y = -^ ,

— 00 Z /?

мы получим окончательно INN = v0/RN' Таким образом, постоянную
Rn, введенную в начале этого раздела, можно интерпретировать как
сопротивление контакта в случае, когда оба металла находятся в
нормальном состоянии. Такое же омическое поведение рассмотрен-
ного контакта мы получали в разд. 1.3 и в рамках простого феномено-
логического подхода.

2.4.2. Вклады I 1 и I . 2, зависящие от фазы. Совершим те-
перь фурье-преобразование функции R' (t) к переменной ;г| + coQ . Из
выражения (2.4.2 б) имеем

Й /• + 00 /• + 00

R'Uv + ^j—^ J dt9{t)e^+^ duX

,neKNJ-^ ^-oo

X f du'e a'y'pL(a)pR(«')[/(«')-/(")] .

•'-00

Выполняя те же преобразования, что и в разд. 2.4.1, мы приходим к
выражению

р, / . , Л h L/- + 00, /• + 00, Л ,z ч, .

A (Ji) + wo)=—— (Р/ du du------------------r/(w')-/(w)l 4-

ч-»о + и/ ireRN [ J-x u~u'~u0 7 '*

J — 00 J - 00 J

и, таким образом,из (2.2.8) находим

b\-~ Re R'(jTj + w0) =
ч-0 +

fl r + oo r + oo Pj (о)}рг,( a/)

= --b-Pf du du'PLy ,PrK Д/ 0)' -/(<.)],(2.4.6)

J_x J-™ u-u'-u0 'J'v 7
IJ2= Im Я'(/ч+“о)=

T) —* О

= -£-f d<^pL(u)pK(u~wQ)[f( w-w0)_/(w)]- (2-4-7)

eKN J -ж

Необходимо отметить, что выражения (2.4.4), (2.4.5), (2.4.6) и (2.4.7)
соответственно для I qp, I qp •1j i и 1j2 остаются справедливыми
даже в случае сверхпроводников с сильной связью, поскольку до сих
пор на функции п(со) и р(со) мы не накладывали никаких ограничений.
В следующем разделе мы вычислим все рассмотренные вклады в пол-
ный ток в приближении теории БКШ.Сделаем несколько обших заме-
чаний относительно разных вкладов в полный ток. Вклад I sin ср опи-
сывает когерентное туннелирование куперовских пар через барьер.
Соответствующие вольтамперные характеристики контакта в случае
стационарного и нестационарного эффекта Джозефсона показаны на
рис. 1.7 и 1 Л.

Какой физический смысл имеет вклад "cos ср" ? Если мы срав-
ним выражения (2.4.5) и (2.4.7), то заметим между ними полную ана-
логию: разница только в том, что в выражении (2.45) содержатся
плотности состояний квазичастиц, а в выражении (2.4.7) вместо них
фигурируют плотности состояний куперовских пар р(со). Как уже отмеча-
лось, оба вклада / и / j2 при V = 0 обращаются в нуль. Все приво-
дит к мысли, что вклад в полный ток I cos<p соответствует
квазичастичному туннельному процессу, который сопровождается раз-
рушением и рождением куперовских пар по разные стороны барьера
и, следовательно, связан с когерентными эффектами. Еще раз под-
черкнем, что выражение для R(t -т ), из которого возникли вклады
с sin® и cos ф, включает в себя лишь слагаемые типа с+ (t)d х

т kt ЧТ

х которые, очевидно, и описывают такие со-

бытия. Смысл слагаемого с cos ф становится более понятным, если
перейти от электронных операторов к операторам квазичастиц и пар
[ 945].

25. Туннельный ток в приближении теории БКШ

Для удобства все полученные в предыдущем разделе выражения
для различных вкладов в полный ток сведем воедино:
Ij2(V0,T)= f*°°dwpJwWw~wo)[/(u-«o)-/(«)] , (2.5.16)

^(^о,7’)=т4-/ ^«l(wWw-wo)[/(w-wo)_/(w)] , (2.5.1b)

e к У J - 00

где w0 =eVQ/h, а энергии отсчитываются от уровня Ферми и измеряют-
ся в единицах Л.

В приближении теории БКШ

п,(<«0 = —-0(р|-|Д,|) ,
/а>2-Д2

(2.5.2а)

/?,(«)=———sgn(w)0(|«| —|Д,|) i — L,R , (2.5.26)

^2-Д2

где △*. - энергетическая шель, а функции 0(х) и sgn (х) определяются
следующим образом:

а(х\= 1 Для х>0 , / ) = 1 Для х>0 ,

{ ’ 0 для х<0 , ё1 ’ -1 Для х<0 .

Соответствующие зависимости плотностей состояний от энергии пред-
ставлены на рис. 2.2. В 1966 г. Вертхамер [ 1040] для случая Т = О,
введя новые переменные [ 24], смог найти явные аналитические форму-
лы для токов, которые выражаются посредством эллиптических ин-
тегралов. Переход к новым переменным осуществляется по формулам

a> = ALcosh£ , E,=Azsinh£ ,
to^A^coshs , е2 ^A^sinhf

(2.5.3)

где — у со2 — Д2£ и е2 = у<У2 — Д2Л. В случае симметричного контак-
та, когда оба электрода, составляющих контакт, идентичны (Д£ = &R=
= △), общие выражения, полученные Вертхамером, сводятся к виду

0<х<1,

(2.5.4а)
Рис .2 2 . Теоретическая зависимость плотности состояний куперовских пар
p(w) и плотности состояний квазичастиц п(оо) от энергии, полученная в приб-
лижении теории БКШ.
Рис .2 3. Вклад куперовских пар в ток (а), интерференционное сла-

гаемое /у2(соо) (б) и квази частичный ток / qp(uQ) (в), вычисленные по фор-
мулам (25.4а) б, в) при Т= 0 в приближении теории БКШ. Соответствующие
кривые нормированы на величину I^(0, 0).

Здесь х = | со0| /2д, a K(z) и E(z) - полные эллиптические интегралы
первого и второго рода соответственно от аргумента z. На рис. 2.3
графически представлены выражения (2.5.4). Как было показано Хар-
рисом [ 466], при Т = 0 и > &L +ДЛ вклады I и IJ2 оказываются
одного знака, а и 1J2 - разных знаков.

Анализируя рис. 2.3, можно сделать следующие основные выводы:
а)|/7,(0,0)| =|//2(2д, 0)| = | /ЧЙ(2Д, 0)| = лЙД/2^.

б) Зависимость / имеет особенность при напряжении V = 2д;/е
Она следует из аналитического выражения для К(х), так как
К (1) = оо. Эту расходимость, по имени обнаружившего ее
автора [ 840], называют риделевским пиком. Ее появление
связано с наличием особенности в плотности состояний в
сверхпроводнике при оо= А. Действительно, величина р(со)
при со- А имеет точно такую же особенность. Поэтому Хар-
рис [ 466] предположил, что риделевский пик можно объяс-
нить как "резонанс" между туннелирующими квазичастицами

и ку перовскими парами.

С помощью несколько иного подхода Ларкин и Овчинников [ 631]
вывели общие выражения для четырех вкладов/^ ,/^ i
логичные (2.5.1). Найденные ими выражения для 1 nlqp содержат
в себе лишь однократное (а не двукратное) интегрирование1 по частоте.
В приближении теории БКШ эти выражения принимают такой вид:

*/e&N 2

/д2л-(ы-«о)2

0(lwl-AJ0(A/?-lw + wol)

h/eRN 2 Lx dw~

(»-а>о)0(Д£-|ы-»о|)0(|ы|-Дл)

(w + wo)0(|«|-Al)0(Ar-|w-wo|)

w[l-2/(|w|)] • _

(2.5.56)

При конечных температурах (T > 0) выражения (2.5.1) и (2.5.5) могут
быть вычислены лишь численно. Однако в предельных случаях можно
найти и явные аналитические выражения для токов [ 631]. Для того
чтобы при вычислениях избежать расходящихся выражений, Шапиро
и др.[ 908] предложили удобный выбор переменных. В этой же рабо-
те они представили результаты численных расчетов и эксперименталь-
ные результаты для вклада Iqp(V, Т). Численные расчеты в случае
симметричного контакта (Д£ = дк) были выполнены Паульсеном
[ 822, 824] и Шлюпом [ 878].

Большая работа по исследованию полного туннельного тока была
проведена Харрисом [ 466, 468]. Результаты его численных расчетов
представлены на рис. 2.4 и 2.5 для случаев симметричного (Д£ = &R)
и асимметричного (△. ф а ) контактов соответственно. Для вычисления то-
ков Ij 1 и 1 у он использовал выражения (2.5.5). Из рис. 2.4 и 2.5 видно,
что при Т> 0токи оказываются отличными от нуля даже при нап-
ряжениях eV < + дк. в случае симметричного контакта = AR = △

(рис. 2.4) величины I и 1 стремятся к нулю при V -» 0, но тангенс
угла наклона графика при ‘'этом обращается в бесконечность. Дейст-
вительно, как показали Ларкин и Овчинников [ 631], при eVQ « △ или
Тимеем . А „ . . .

j =j _ _h__________А_________Ио / гшп(Т, Д) 1

ЧР П eRN 4cOsh2(A/2^T) kBT \ И' /'

Таким образом, в симметричных контактах проводимости ст 0(Р, Т)
и a у(у, т), определенные выражениями (2.3.3), при V -> 0 обращают-
ся в бесконечность. Такая особенность в проводимости ст (Р, Т) экс-
периментально была обнаружена Соренсеном [ 930]. Логарифмическая
особенность при eVQ = Д£ + д^ сохраняется и при конечных темпера-
турах. В реальных образцах эта особенность сглаживается анизотро-
пией щели и конечностью времени жизни квазичастиц. Мы вернемся
к обсуждению этого вопроса в разд. 11.2.1, когда речь будет идти об
экспериментальном исследовании риделевского пика.

На рис. 2.5, а - г представлены результаты расчетов для несим-
метричного контакта в случае, когда Дд(0) = ЗД£(0). В этом случае
тангенс угла наклона графиков зависимостей I I j2 Р->0 коне-
чен, однако в них имеется логарифмическая особенность при
eV= Дк - Д£. Во вкладе Т^при eV = Дк _дь имеет место конечный
скачок, который связан со следующим обстоятельством [ 466]. Как
было показано выше, токи I и / J2 связаны между собой соотно-
шениями Крамерса - Кронига, поэтому скачок в I и логарифми-
ческая особенность в I взаимно обусловлены. Харрис [ 46б] счи-
тает, что такой скачок в I можно обнаружить экспериментально те-
ми же методами, которые применяются для изучения риделевского
пика. Однако, насколько нам известно, до сих пор такие наблюдения
никем проведены не были.

В этой связи интересно сделать замечание о зависимости t
представленной на рис. 2,4, а и 2.5, а. Как уже было сказано в разд.
2.4.1, ReS(/r| -соо) расходятся при соо -> 0. Поэтому в действительнос-
ти на этих графиках построена зависимость от напряжения величины

Iqp = Итч->о + {Ле5(У'П“^0)-Ке5(Ут)-0)-Ке5(;т)-оо)}
[выражение (2.5.5)]. Это соответствует выбору нормировочной конс-
танты, при котором I & стремится к нулю при 0.
Рис, 2.4, Вещественные и ми мне части функций S (со) и я'(со) в приближе-
нии теории БКШ, вычисленные при различных значениях приведенной темпе-

ратуры t = т/Т. a - реактивная часть квази частичного тока
eV/2M0)

(Л

б - квазичастичныи ток I qp(vQ)\ в - амплитуда синусоидального вклада
*71(^0 И г “ амплитуда вклада "cos <p" Ij2(VQ). Все эти данные относятся
к случаю симметричного контакта (Д^ = Д^ = △ ). д — энергетическая щель
сверхпроводящих электродов. (Согласно Харрису[ 466, 46в1.)
[(0) + (0)1 V]/"W>4bI

Рис .2 5. Вещественные и мнимые части функций 5 (со) и Я'(со) для контакта
между различными сверхпроводящими металлами (Дд = 3&L),a - реактивная
часть квазичастичного тока 1^ (Ео); б - квазичастичный ток I$р(Р0);
(И

в-амплитуда синусоидагьного вклада I „ (Ко); г - амплитуда вклада "cos<p"
/72(РО) • Приведенная температура = Т/гсД (Д^ = Д, >Дд = △j.pornac-
но Харрису [ 466, 4681.)
2.6. Трудности, связанные с вкладом "cos <₽"

Как мы уже показали, при заданном постоянном напряжении V
полный ток, протекающий через джозефсоновский контакт, определя-
ется суммой трех слагаемых:

/(г, V, Т)=1Л(У, T)sinq>(t) + Vo0(V, Т)[ 1 +e(F, T)cos<р(t)] ,

где е( V, Т) —

о,(НП
о0(К,Т)

а ст1 и а0 - проводимости, определен-

ные выражениями (2.3.3). Таким образом, в квазичастичном токе со-
держится слагаемое, зависящее от разности фаз. Это так называе-
мый вклад "cos ф", существование которого впервые предсказал Джо-
зефсон [ 541, 542]в 1962 г. Впоследствии вопрос об этом вкладе ис-
следовался еше в нескольких работах [ 466 - 467, 623, 823, 824, 8781.

Интересно отметить, что вплоть до недавнего времени на вклад
"созф" обращали мало внимания. Впервые его экспериментально наб-
людали Педерсен, Финнеган и Лангенберг [ 808, 809] в 1972 г., изме-

ряя плазменную частоту со^ в туннельном контакте. После этого
интерес к проблеме стал возрастать (с 1972 по 1978 г. было опублико-
вано более ста работ, посвященных этому вопросу). Одна из глав-
ных причин такой активности заключается в том, что при Т и V 0
для величины е экспериментально было найдено значение е (0, 0) -
—-1, в то время как теоретическое предсказание давало величину
е (0, 0)= 1.

На рис. 2.6 представлены результаты численных расчетов функ-
ции e(F, Т), выполненных Паульсеном [ 823, 824] для симметрично-
го контакта в приближении теории БКШ. Отметим, что эти кривые
можно получить как отношение двух величин, представленных на рис.
2,4, д и б. Последующие эксперименты проводились различными ме-
тодами и на образцах различных типов, однако все они приводили к
значению е (0, 0) 1 [ 63, 328, 452, 760, 841, 1010]. Измерения тем-

пературной зависимости вклада "совф" в непосредственной близости
Тс были проведены в Датском технологическом университете [ 933,
812] и в некоторых лабораториях [ 861]. В качестве образцов при
этом были использованы оксидные туннельные джозефсоновские
контакты. Некоторые экспериментальные данные для контактов
Sn -SnO* -Sn представлены на рис- 2.7. При изменении температуры
величина е менялась от - 1 до + 1. Таким образом, рассмотренная в
Рис. 2 6. Отношение ст 1 (F)/cr0(Г), где параметр порядка △(Т) взят в прибли-
жении теории БКШ, при различных значениях приведенной температуры
1 =^/тс;при V )/сг0(jz ) 1. (Согласно Паульсену [ 8231.)

Приведенная температура, Т/Тс

Рис .2.7.Измеряемая на эксперименте амплитуда е вклада "созф” в зави-
симости от критического тока контакта или от приведенной температуры
Тс = 3,813 ± 0.0005К. (Согласно Соренсену, Мигинду и Педерсену [933].)

5 - 436
настоящей главе микроскопическая теория туннельных контактов пред-
сказывает знак вклада "cos <р”, не согласующийся с эксперименталь-
ными данными.

Были предприняты попытки обойти возникшую трудность введе-
нием конечного времени релаксации параметра порядка в рамках вре-
менного уравнения Гинзбурга - Ландау [ 487, 494]. Это позволило
получить правильный знак вклада "cos ср”. Лихарев [ 653] показал,
что отрицательный знак этого вклада можно получить, учтя некото-
рое уширение риделевского пика. Такое уширение, возможно, возни-
кает благодаря конечным временам жизни квазичастиц, которые
приводят к появлению мнимой части у энергетической щели, анизотро-
пии щели или перенормировки. Самюэльсен [ 872], воспользовавшись
простейшей аппроксимацией результатов микроскопической теории,
феноменологически ввел в рассмотрение эффекты уширения (для ве-
личины е (0, 0) можно получить любое значение от - 1 до + 1). К сожа-
лению, введение эффектов типа конечности времени релаксации или
уширения риделевского пика в микроскопическую теорию, основанную
на формализме туннельного гамильтониана, представляется весьма
сложной задачей. Таким образом, проблема знака вклада "совф" в
теории джозефсоновских туннельных контактов по-прежнему не реше-
на. Совсем недавно влияние уширения риделевского пика на амплиту-
ду вклада ”cos ф” было подробно изучено Зориным и др. [ 1113].
Глава 3

Величина и температурная
зависимость критического тока

В гл. 2 мы рассмотрели микроскопическую теорию джозефсоновс-
кого туннельного контакта. В частности, нашли общие выражения для
токов квазичастиц I и / а также вкладов в ток куперовских пар

и IJ2 как Функций напряжения и температуры. В этой главе мы
более подробно рассмотрим синусоидальный вклад Ij 1 в случае нуле-
вого напряжения на контакте. Как мы уже знаем, величина(О, Т)
определяет максимальный джозефсоновский сверхток, наблюдаемый
на вольтамперной характеристике контакта. Мы рассмотрим различные
типы сверхпроводящих электродов, образующих контакт. Начнем с
предположения, что оба сверхпроводника, образующие контакт, описы-
ваются в приближении теории БКШ. В этом случае выражение (2.5.1а)
при V = 0 совпадает с выражением для сверхтока, найденным Амбегао-
каром и Баратовом [141. Затем найдем величину I и ее температур-
ную зависимость для случая сверхпроводников при наличии сильной
связи, а также парамагнитных примесей. Наконец, кратко обсудим
вопрос о влиянии на сверхток парамагнитных примесей, находящихся
внутри барьера.

3 .1 .Джозефсоновский ток при V = О

Несмотря на то что ток / можно представить в виде однократно-
го интеграла (2.5.5а), первоначально он был изучен с помощью выра-
жения (2.5.1а), написанного для V = 0:

z х h г + ос 7- + ос Г/( со) сУ)1

/,(т) = |/71(0,г)| = ~р( d«

с'2'- /V * _ ос - эс

(3.1.1)
где символ Р означает вычисление интеграла в смысле главного зна-
чения. Разделяя вклады от положительных и отрицательных частот и
принимая во внимание соотношения f (- со) = 1 - f (со) и р ( - со) = -Р(^),
преобразуем выражение (3.1.1) к виду

duf db}'Pl(^Pr(u') х
to —О)' to + to'

(3-1.2)

Отметим, что это выражение было получено без предположения
о слабости связи или об отсутствии примесей в сверхпроводниках.
Поэтому, подставляя соответствующие выражения для р(со), его мож-
но успешно применять для различных типов сверхпроводящих элект-
родов .

3.2. Приближение теории БКШ

Рассмотрим случай, когда для описания обоих сверхпроводников,
образующих контакт, применима теория БКШ. В предыдущей главе
мы приводили выражение для р(со) (2.5-2б), справедливое в этом слу-
чае. Для со > 0 имеем

, 1 --edM-A,). (з.2.1)

Подставляя это выражение для р. (ш) в формулу (3.1.2), получаем

А(г)=

h г +00 г +00

—-2Д£ДлР/ dul d<J

ireKN JbL J^R

1 2co'/(co) 2co/(co')

w I W

(3.2.2)

Совершая замену переменных

E\ =co2 =e^ + A2L; E% +Д2л ;

преобразуем выражение (3.2.2) к виду

I (т\= del [Ж^е2 1 , 2£2/(£1) _ 2£i/(£2)

1 7 veRN Jo eJ0 E2 Et+E2 Е*-Е* Ef-El

(3.2.3)

Таким образом, мы приходим к выражению, которое впервые было
найдено Амбегаокаром и Баратовом[ 14].

Рассмотрим (3.2.3) при 1=0. Поскольку при Е > 0 фермиевские
множители /(£) равны нулю, второе и третье слагаемые в выражении
(3.2-3) в этом случае вклада не дают,и мы получаем

, /^2/iAf.AK + f + oo^2____!__ .

' ’’еКд, Jo Et Jo Е2 Et+E2

Следуя Андерсону [ 24], совершим замену переменных
£i,2 = Д£,/?c°sh0i 2 Ej^sinhflj 2 ,
после чего интеграл в (3-2-4) примет вид
у + оо /• 4- оо |

Z) ^'4 A/Coshtf, +Д Лсо5Ь 02

Делаем еше одну замену переменных:
_0'+02 _oi-o2
U~ 2 Г-—~

и, используя соотношения

cosh 6} ± cosh о -2coshMCoshv ,

2 sinh usinh v

(3.2.4)

выполняем интегрирование по и, что приводит нас к выражению

__________du__________

/△1 + Дд 4- 2 ALARcosh 2 и

При вычислении интеграла по v мы воспользовались подстановкой

у = ev . Оставшийся интеграл с помошью замены ch 2и = х приводит-
ся к канонической форме полного эллиптического интеграла первого
рода, после чего выражение (3.2.4) принимает вид

/1(0) eRNbL+bKK[

|А/? A/J \ 3

(3.2.5)

где К(х) - уже встречавшийся выше полный эллиптический интеграл

первого рода. Если Д£ ~дй> то, используя при х -* 0 асимптотичес-
кое выражение К(х) - JL_ у выражение (3.2.5) можно упростить:

• (3-2-6)

Это приближенное выражение можно использовать до тех пор, пока
величины Дд и Д£ отличаются не более чем в 2 - 3 раза. Для симмет-
ричного контакта, где = дЛ = д, выражение (3,2.5) переходит в точ-

ное соотношение

Л(о)=

77 АД

(3.2.7)
Это выражение оказывается весьма полезным на практике. С его по^
мошью, просто глядя на вольтамперную характеристику контакта,
можно легко оценить максимальную возможную величину стационарно-
го джозефсоновского тока. Действительно, из него следует, что мак-
симальный джозефсоновский ток при V = 0 равен току, соответствую-
щему на вольтамперной характеристике контакта напряжению
V ~ (тт/2)ИА/е, когда оба металла находятся в нормальном состоянии1).
Отметим, что выражение (3.2.7) можно легко получить из (2.5.4а),
положив х = 0.

В случае Т > 0, как было показано Амбегаокаром и Баратовом
[ 14], интеграл в выражении (3.2.3) можно преобразовать в сумму по
полюсам фермиевской функции f(E). Для выполнения этого преобразо-
вания мы воспользуемся несколько иным, чем в работе [ 14], подхо-
дом. Рассмотрим выражение для тока 1 в виде однократного интег-
рала (2.5.5а)« Введем величины

u.(w)=— i — L,R .

Тогда при нулевом напряжении на контакте (coQ = 0) это выражение
можно записать в виде

(3.2.8)

Здесь мы воспользовались соотношениями

l-2/W = unh(^) ,

1 _ 1/^-1 х>1 ,

Д2 — 1 Х<1 .

Выражение, стоящее в правой части равенства (3.2.8), эквивалентно
контурному интегралу [ 71]

1) Напомним, что здесь величина △ отнесена к постоянной д.
Рис .3,1 . Контуры интегрирования Го и Г в комплексной плоскости интегри-
рования z. Контур Г охватывает полюса фермиевской функции f(z) в точках
zn = /(2n+ 1)тгkB Т.(Согласно Баратову [ 71].)

(контур интегрирования Го показан на рис. 3.1). Фермиевская функ-
ция f(z) = (е$т* + I)"1 в точках zn = j con = /(тг/₽T)(2n + 1) имеет по-
люсы с вычетами - 1/(3 т> где рт = 1,ДВ Т. Поэтому для вычисления
этого интеграла контур Го можно продеформировать в контур Г, вклю-
чающий все эти полюсы (см. рис. 3.1). Тогда выражение (3.2.8) пре-
образуется к виду [71]

„ . е N /=о,±1,±2,... (3.2.9)

При = = △ последнее выражение упрощается:

S [ш?+д=<г)]-

eKN PT l=o,±i...

и может быть вычислено аналитически

/'(!') = T^ta”h(5T7) ’ (3'2ЛО)

Z> lx ft \ 1 J
Рис.3 2. Температурная зависимость максимальног ©(стационарного) джо-
зефсоновского тока.а - контакт Sn -SnO^ -Sn; б — контакт Sn -SnO* -Pb.
Э<спе ри ментальные данные (черные кружки) сравниваются с теоретически-
ми кривыми (сплошные линии), вычисленными на основании результатов Ам-
бегаокара и Баратова. Максимальная погрешность в экспериментальных
данных меньше размеров самих кружков. (Согласно Бальзаме и др.[ бб].)

Первые экспериментальные результаты по исследованию зависи-
мости критического тока джозефсоновского контакта от температу-
ры были получены в 1964 г. Фиском [ 352] на контактах Sn -Sп и
Pb -Sn: они оказались в хорошем соответствии с теорией. Такое же
хорошее согласие теории и эксперимента было получено Янсоном, Свис-
туновым и Дмитренко [ 1066] на образцах Sn - Sn. Проведенные недав-
но прецизионные эксперименты [ 66] продемонстрировали превосход-
ное согласие с теорией Амбегаокара и Баратова. На рис. 3.2 представ-
лены экспериментальные результаты для симметричного (а) и несим-
метричного (б) контактов. Эти экспериментальные данные сравнива-
ются с теоретическими кривыми Амбегаокара и Баратова, которые
получены следующим образом. Безразмерное отношение 11 (г)//1 (0)
вычисляется по формулам (3.2.9) и (3.2.5). Выражая энергетическую
щель в кельвинах, оказывается удобным переписать выражение (3.2.9)
с помощью приведенных щелей d. = А. (Т)/А. (0) и приведенных
температур t . = T/Tci , где Tci означает критическую температу-
ру соответствующего электрода (j=R, L):

W“ 2AJO)MO) / |Д£-ДЛ| 1
ДДО) + ДЛ(О) I ДЛ+ДЛ )

-1/2

/-=0,1,2

1=1 (д,.(о)/т;,г

Это выражение можно вычислить на ЭВМ как функцию параметров Tci
и А. (0). Приведенные щели di (Т) были получены с помощью полиноми-
альной интерполяции численных расчетов, проведенных Мюльшлегером
[ 734]. На рис. 3.3 показаны (нормированные) зависимости I Л(Т) от при-
веденной температуры для различных типов сверхпроводящих элект-
родов.

В заключение отметим, что хорошее согласие с теорией Амбегао-
кара и Баратова было обнаружено и в некоторых типах точечных кон-
тактов. В качестве примера приведем точечные контакты Та —Та,
исследованные Тагуши и Ёшиокой [ 960].

3.3. Влияние сильной связи

Рассмотрим теперь влияние на величину критического тока так
называемых эффектов сильной связи.

Реалистическое рассмотрение электрон-фононного взаимодейст-
вия в сверхпроводниках приводит к тому, что в отличие от теории
БКШ зависящая от энергии щель оказывается комплексной. В общем
случае плотность состояний куперовских пар определяется выражением

р (w ) = Re

(3.3.1)
Рис.3 3. Теоретические температурные зависимости максимального стационар-
ного джозэфсоновсксго тока для контактов с различные сверхпроводящими электродами,
вычисленные на основе результатов Амбегаокара и Баратова, a; Дг/Д2 = 1,00,
Тс'/Тс2~ △1/Д2 = 0,95, Тс ,/Тс 2 = 0,91; в: 1,03,

Тс 1^2 = 0,81; г: Дт/Д2 = 0,43, Тс , /Тс 2 0,41. Д1. Д2. Тс v Тс 2 -
энергетические щели и критические температуры соответственно для каждого
электрода. Данные однормированы на критический ток при нулевой темпера-
туре ина Тс1(ь= 1, к= 2ц.)

Рис. 3.4.Частотная зависимость вещественной △1 (со) и мнимой Д2(со) частей
энергетической щели при Т = О К. (Согласно Лиму и др. [ 663].)
где А (со) есть зависящая от частоты комплексная энергетическая
шель. На рис- 3.4 представлены зависимости от частоты веществен-
ной и мнимой частей А(со) для свинца, являющегося типичным сверх-
проводником с сильной связью. Температурная зависимость критичес-
кого тока /JT) может быть найдена подстановкой выражения (3.3.1)
в (3.1.2).

Фултон и Маккамбер [ 371] показали, что в случае симметричного
контакта это выражение можно представить в виде

Л(7’) =

w h До

2 eRN

tanh(A0/2A:eT)

1-Д',(Ао) "

А с+ 00 о) - 1 du tanh Im Д2(«) 9
eRNJ^o 2kBT w2 — Д2(<о)

(3.3.2)

A1(«)-Re[A(w)]; Д',(и>)=-^ >

а Ао есть то значение со, при котором А1 (со) = со.

При выводе (3.3.2) было использовано предположение, что

| ImA(A0)| « Ао: для физических систем это справедливо. Эти же ав-
торы провели численный расчет критического тока при Т = 0 для двух
сверхпроводников - олова и свинца - на основании зависимостей А(со)
полученных Макмилланом и Роуэллом [716] по измерениям за-
висимости Iqp(VY Оказалось, что величины критического тока состав-
ляют 78,8 % для свинца и 91,1 % для олова от соответствующей вели-
чины (0), вычисленной в приближении теории БКШ. Лим и др J 663]
провели теоретические и экспериментальные исследования температур-
ной зависимости критического тока для джозефсоновских контактов
РЬ -РЬ . Этим авторам удалось распространить анализ на конечные
температуры итерацией уравнений Элиашберга [ 310] для щели при
различных температурах с помощью численных результатов Макмил-
лана и Роуэлла. На рис- 3.5 мы привели их экспериментальные ре-
зультаты для зависимости максимальной плотности тока от темпера-
туры (все величины даны в приведенных единицах), а также соответ-
ствующие теоретические результаты.

В заключение отметим, что,как показывают многочисленные тща-
тельные исследования, среди других эффектов сильная электрон-фо-
нонная связь приводит к уменьшению критического тока (см., напри-
т/тс

Рис .3 5 . Зависимость нормированного стационарного джозефсоневского
TOKa/^j'j/Z^o) от приведенной температуры т/Тс . Сплошная линия - экспе-
риментальная кривая, наблюдающаяся на контактах РЬ -РЬ . Крестики соответ-
ствуют величинам тока, вычисленным в приближении сильной связи по фор-
муле (3.3.2). Треугольники - те же величины, полученные по формуле
(3.2.10) со значением щелй Д(Т), взятым в приближении теории БКШ. Кружки —
расчетные значения тока9 полученные по той же формуле (3.2.10), однако
со значениями Д(Т), взятыми в приближении сильной связи. (Согласно Лиму
и др. [ 663].)

мер, работы Швидтала и Финнегана! 891] для контактов РЬ -РЬ и
Фултона и Дунклебергера[ 367] для контактов Sn -Snk Авторам
данной книги не удалось обнаружить большего уменьшения критичес-
кого тока, чем то, что было предсказано Фултоном и Маккамбером.
Недавно Палей, Вилсон и Гейли [ 778] опубликовали результаты ис-
следования контактов Sn -Sn; ими был обнаружен необычно большой
джозефсоновский критический ток, значение которого согласуется
с предсказаниями теории БКШ, а не приближения сильной связи.

3.4.Влияние парамагнитных примесей

Другой аспект, заслуживающий большого внимания, - влияние на
свойства джозефсоновского контакта примесей, содержащихся в сверх-
проводниках или туннельном барьере. Мы начнем обсуждение со случая,
когда примеси содержатся в сверхпроводящих электродах. Для того
чтобы определить зависимость критического тока от концентрации
примесей в сверхпроводнике п. , необходимо ввести гриновские функ-
ции грязных сверхпроводников, которые зависят от времени пробега
электронов в металлах в нормальном состоянии. Впервые влияние
примесей, находящихся в сверхпроводниках, на эффект Джозефсона
было рассмотрено Баратовом [71]. Как оказалось, немагнитные при-
меси на джозефсоновский ток не влияют. Этот факт находится в сог-
ласии с теоремой Андерсона для грязных сверхпроводников [ 23], в
которой утверждается, что внешнее возмущение, не нарушающее сим-
метрии гамильтониана относительно обращения знака времени, не влия-
ет и на термодинамические свойства сверхпроводника (оно также не
должно приводить к пространственным изменениям параметра поряд-
ка на больших расстояниях [ 690]).

Заметим, что важное следствие этого результата - оправдание
применения формул (Зо2о9) и (3.2.10) для пленок, толщина которых
сравнима с корреляционной длиной [ 600].

В случае когда сверхпроводник содержит парамагнитные примеси,
в нем возникает обменное взаимодействие (которое нарушает сим-
метрию относительно обращения знака времени) между спинами элек-
тронов проводимости и спином магнитной примеси. Спины примесей
поляризуют электронные спины и таким образом оказывают влияние
на тенденцию электронов образовывать синглетные пары.

В присутствии хаотично расположенных парамагнитных примесей
плотности состояний квазичастиц и куперовских пар п(со) и р(со) опре-
деляются выражениями

«(w)^Re-------------— , (3.4.1а)

й2-д2(«)1 1/2

р( <o) = Re

—_
[w2-A2(w)]l/2

(3.4.16)

где для 5и Д в борновском приближении [4] имеем

д=д+-±~
2т2

СО
(Д2--2Р

(3.4.2а)

(Д2—й>2)'/2

(3.4.26)

Времена релаксации Т1 и т2 различаются вследствие рассеяния . Ве-
роятность рассеяния с переворотом спина Г связана с ними соотноше-
нием Г = 1/т$ = 1 /2т 1 - 1/2т2о Разделим выражения (3.4.2а) и (3.4.26)
соответственно на со и Ди вычтем (б) из (а), после чего получим

со _ со АГ 1
(Д2-й2)1/2

(3.4.3)

Таким образом, оказывается, что в присутствии магнитных примесей

помимо температуры А начинает зависеть от их концентрации через
параметр Г. Эффекты, возникающие в высших порядках (кондовская

аномалия, спиновые флуктуации), приводят к усложнению этой зави-
симости [ 692]- Введем параметр Z = (Г/А)273 и совершим подстанов-

ку [360]

после чего уравнение (3-4-3) примет вид

A L J х J
или, в эквивалентной форме,

Л4-TZx1 + х2 ~^+Z2

+ 2х~ Z~0

(3.4.4)

Для нахождения функций п(со) и р(со) необходимо решить это уравнение
четвертой степени при заданном значении величины Zo

В случае когда существует решение х, комплексно сопряженное
решению х, плотности состояний р(со) и п(со) отличны от нуля и опре-

деляются выражениями

/ \ 1 т 1

fi(co~ Т- —— Im- 9
v А /1/2 X-Z

(3.4.5а)

• (3.4.56)

Уравнение(3.4.4) можно решить в аналитическом виде1). Подробное
обсуждение путей отыскания его комплексно-сопряженного решения
было дано в работе Бейкера и Патерно [ 62]. На рис. 3.6 функции
п(со) и p(w) представлены при различных значениях параметра Г /А.
Интересно отметить, что в присутствии параразрушаюшего механиз-
ма, связанного с наличием магнитных примесей, плотность состоя-

1) Отметим, что параразрушающее влияние парамагнитных примесей ана-
логично параразрушающему действию протекающего по сверхпроводнику то-
ка^ его можно учесть тем же способом [ 360, 802].
Р и с.3.6 . Плотности состояний квазичастиц п(со) и куперовских пар р(со)
в присутствии парамагнитных примесей для двух различных значений пара-
метра Г /△. При Г 1 сверхпроводник находится в ’’бесщелевом" состоянии.

ний квазичастиц отлична от нуля даже при значениях энергии со, мень-
ших △ . Величина энергии, при которой впервые появляется отличная
от нуля плотность квазичастичных состояний, есть функция парамет-
ра Г; она определяется выражением [ 4].

«Я=Л(Т,Г) 1-

△(Г, Г)

2/3*13/2

В частности, при Г /△ > 1 образец переходит в так называемую бес-
щелевую область, в которой энергетическая щель равна нулю, в то
время как параметр порядка по-прежнему отличен от нуля. С дальней-
шим увеличением Г, т.е. с ростом концентрации примесей, при неко-
торой критической величине Гс сверхпроводимость разрушается. Эта
величина определяется выражением

г _ Д(о,о)

П 2 '

где △(0, 0) - величина параметра порядка сверхпроводника, не содер-
жащего примесей при температуре, равной нулю.

Для вычисления стационарного тока Джозефсона в присутствии
примесей подставим в выражение (3.1.1) плотности состояний куперов-
ских пар PL(co) и PR(u)9 найденные из (3.4.56). Очевидно, вычислить
возникающий при этом интеграл можно лишь с помощью ЭВМ. Впер-
вые влияние парамагнитных примесей на ток джозефсоновского кон-
такта было рассмотрено Баратовом [71]. Он рассмотрел контакт, ле-
вый электрод которого содержит парамагнитные примеси, а в осталь-
ном контакт симметричен. Подставляя (3.4.1) и (3.4.3) в общее выра-
жение (3.1.1), находим [ 600]

2ттА » Д£(Г,Г)ДЛ(Т)

где

4,= 4,+Г . «н=(2« + 1)^вГ.

(ч2+Д2г)

Баратов [ 71] показал, что сходимость этой суммы можно улучшить,
вычитая из нее соответствующее выражение при Д£ = Дд = 0, кото-
рое в свою очередь можно выразить аналитически с помощью поли-
гамма-функций (логарифмических производных гамма-функции). По-
лученные им результаты для величины /ДГ, Т)/1}(09 0) представлены
на рис. 3.7, а в зависимости от приведенной температуры t = Т/ТД0)
и параметра р = п. /пс = Г /Vс .

На рис. 3.7, б представлены зависимости от параметра р макси-
мального сверхтока i= /Дг , 0)/Z1 (0, 0), параметра порядка
5 = Д(Г, 0)/Д (0,0) и энергетической щели 5Q= wg(r, 0)/д(0,0), найден-
ные Баратовом в той же работе. Случай симметричного контакта с
примесями в обоих электродах при 1=0 был рассмотрен Куликом
[ 594], а при конечных температурах - Нэмом [ 745, 746].

Как мы уже говорили, процессы рассеяния электронов с переворо^
том спина ослабляют их связь в куперовских парах; время жизни ку-
Р ис.3.7.8- температурная зависимость приведенного максимального
тока при нулевом напряжении Z1 (Г, Т)/?1 (0, 0) для различных значений пара-
метра р = г/гс; б - зависимость приведенного параметра порядка
5 = △ (Г , 0}/Д(0,0), энергетической щели 5q = cog(Г, 0)/Д(0, 0) и максимально-
го стационарного джозефсоновского тока i= ^(Г , 0)/11 (0, 0) при т = О К
от параметра р = Г/Гс . Величина 11 (Г , Т\/1 1 (О, 0) относится к симметрич-
ному контакту, содержащему парамагнитные примеси лишь в одном из элек-
тродов.

6 — 436
перовских пар т$ становится конечным, что означает уширение уров-
ней на величину АБ = й/т5 ; в пределах щели возникают энергетичес-
кие уровни, и, когда АБ становится порядка cog, энергетическая щель
исчезает (см. также [ 203]).Теоретическая зависимость максимально-
го сверхтока от концентрации парамагнитных примесей (рис. 3.7, б)
указывает на существование эффекта Джозефсона и в области бесще-
левой сверхпроводимости. Действительно, когда концентрация пара-
магнитных примесей становится настолько большой, что параметр Г
достигает величины 0,912 Гс , щель исчезает, в то время как джозеф-
соновский критический ток по-прежнему остается отличным от нуля.

Шиба[ 911] и Русинов [ 862, 863] распространили эту теорию на
случай сильного обменного взаимодействия между спинами электро-
нов и парамагнитных примесей. В этом случае, даже при малых кон-
центрациях примесей, в сверхпроводнике имеются состояния с энер-
гиями ниже Д(Г, Т); это означает, что плотности состояний п(со) и р(оо)
отличны от нуля при со< Wg даже для величин Г /А « 1. Ло и Наги
вычислили в этом случае параметр порядка и критический ток Джозеф-
сона при конечных температурах [669, 740]. На рис. 3.8 графически
представлены наиболеее интересные результаты их теории. Здесь по-
казана температурная зависимость максимального джозефсоновс-
кого тока (в нормированных единицах) при различных значениях кон-
центрации примесей; для сравнения штриховой кривой представлены
результаты теории Абрикосова и Горькова.

Влияние парамагнитных примесей на джозефсоновский ток экспери-
ментально исследовал Хаузер [ 478]. Этот автор, однако, вместо
того, чтобы вводить в сверхпроводящие электроды подходящие маг-
нитные примеси, реализовал бесщелевое состояние с помощью эф-
фекта близости сверхпроводящих электродов с магнитным элемен-
том. В качестве образцов он использовал структуры Сг -РЬ -РЬО -
РЬ - Сг, в которых, изменяя толщину пленки свинца, можно влиять
на степень параразрушения и, следовательно, на критический сверх-
ток. Эти эксперименты, однако, не являются убедительными, посколь-
ку, как указывает автор, ввиду трудности изготовить свинцовые
пленки с толщиной менее 800 А хорошего качества заметных по ве-
личине эффектов наблюдать ему не удалось.

До сих пор мы обсуждали влияние парамагнитных примесей, на-
ходящихся в сверхпроводящих электродах. Рассмотрим теперь влия-
ние на критический ток парамагнитных примесей, локализованных
Ри с. 3.8. Нормированный максимальный стационарный джозефсон ов-
ский ток в зависимости от приведенной температуры для симметричного
контакта, содержащего парамагнитные примеси в обоих электродах. Сплош-
ная лрмия — модель Шибы и Русинова: штриховая линия — модель Абрико-
сова и Горькова. (Согласно Ло и Наги [ 669].)

в самом туннельном барьере. В теории, развитой в гл. 2, среди дру-
гих гипотез предполагалось , что туннельный гамильтониан Н опи-
сывает туннелирование электронов через берьер с сохранением спина:

2 Tkq(Cka^qa +^-qoC-ko) + ЭрМИТ. СОПр.
kqa

Для того чтобы отказаться от этого ограничения, Кулик [ 595] принял
другой феноменологический гамильтониан в виде

в котором слагаемые

‘Хт- STkq(Ckt^qt +c/q\<' kJ+ ЭрМИТ. СОПр.
kq

STkq(^^qi +</qTC_kl)+Эрмит. СОПР.
kq

описывают соответственно туннелирование электронов с сохранением
и без сохранения спина (стрелки указывают направления спинов элек-
тронов); входящие в эти выражения матричные элементы подчиняют-
ся соотношениям
при* — три . тр^* — qps

1 kq 1 — k — q ’ 1 kq 1 — k - q ’

налагаемым требованием инвариантности гамильтониана относи-
тельно обращения знака времени [ 24]. Таким образом, этот гамильто-
ниан наряду с обычными туннельными процессами описывает и процес-
сы, происходящие с переворотом спина электрона, которые могут
иметь место либо благодаря наличию в барьере парамагнитных приме-
сей, либо в результате спин-орбитального взаимодействия. Читателей,
интересующихся подробностями вычислений, мы отсылаем к цитиро-
ванной выше работе Кулика, здесь же приведем лишь полученное в
ней окончательное выражение для джозефсоновского тока (при Т = 0):

тг Д <|Т„|2>-<|Т,|2>

2 ** (|Т„|2>+<|Т5|2> Ф ’

где <| TJ 2 > (<| TJ 2> ) есть величина |Т"Ч |2 (|T£q |2) , усредненная
по углам между векторами кия, лежащими на поверхности Ферми.
Так как

I _ <|TJ2> -<|TJ2>
7>(0) (.|TJ2> +<|TJ2>

то максимальный сверхток в этом случае оказывается меньше величи-
ны, определяемой выражением (3.2.7).

Другими причинами уменьшения критического тока является воз-
можность туннелирования в условиях нарушения зеркальной симмет-
рии барьера или в присутствии задерживающих центров (ловушек) в
диэлектрическом барьере, которые делают нескоррелированными ка-
налы "туда” и ’’обратно” при туннелировании электрона сквозь барь-
ер. Эти обстоятельства приводят к тому, что Т* т v „и, таким
образом, инвариантность гамильтониана относительно обращения
знака времени оказывается нарушенной.

Недавно вопрос о том, как магнитные примеси, локализованные
в барьере, влияют на свойства контакта в различных ситуациях, был
рассмотрен Булаевским, Кузием и Собяниным [ 161].

3,5. Методики измерений

До сих пор мы рассматривали теорию и эксперименты, связанные
с нахождением величины максимального постоянного сверхтока. Об-
ратимся теперь к обсуждению некоторых аспектов экспериментальных
методик, предназначенных для измерения самого критического тока
Рис. 3.9. Схема экспериментальной установки, используемой для изучения
ВАХ джозефсоновского контакта. Внутренний дьюар, в котором помещен об-
разец, заполнен жидким гелием (L4He), внешний дьюар содержит жидкий азот
(ln2>.

Джозефсона, а также его зависимости от внешних параметров (тем-
пературы Т и внешнего магнитного поля Не). Обычно эти эксперимен-
ты состоят в наблюдении всех стационарных вольтамперных харак-
теристик (ВАХ). Простейшая процедура наблюдения ВАХ контакта
заключается в одновременной записи тока и напряжения на двухкоор-
динатном самописце (рис. 3.9). Этим путем можно получить полную
ВАХ при фиксированных внешних параметрах (т.е. Т или Не). Для
получения информации о зависимости сверхтока от этих параметров
такую процедуру следует повторять.

Опишем вкратце несколько иную процедуру [ 66, 663], которая
позволяет исследовать непрерывное изменение критического тока в
зависимости от внешних параметров. Ток в контакте можно задавать,
например, с помощью генератора пилообразного напряжения со срав-
нительно низкой частотой (50 — 100 Гц), а соответствующую ВАХ
снимать с помощью осциллографа (рис. 3.10). Ток в контакт подает-
|Г енератор]
треугольных
(импульсов I
1_(70 Гц)—J

68 Ом «от.

aeon юл* а'

веооо 1*а.

10 Ом

Предусили-

тель

_ 100 0м

К оси
осциллографа

100 Ом

> 10 кОм

Максимальный ток
смещения

Шунт

100 кОм

inn П.. |Генератор!

100 Ом прямоугольных
импульсов (15 Гц)

L. —ф ф . I v4

К оси ”у

Предусили-
тель

100 кОм осциллографа

Джозефсоновски й
контакт

К самописцу

/а)

Рис. 3.10. a - схема цепи, используемой для измерения ВАХ контакта и
джозефсоновского тока (согласно работе [бб]); б — экран осциллографа. Го-
ризонтальная линия соответствует опорному напряжению VR9
ся через ограничивающее сопротивление RL и шунтирующее сопротив-
ление R$ , которые можно выбрать с помощью коммутаторов. Напря-
жение, снимаемое с Rs , пропорционально величине тока. Напряже-
ние и ток усиливают с помощью дифференциальных усилителей с низ-
ким уровнем шума и малым дрейфом для того, чтобы уменьшить вли-
яние внешнего оборудования на исследуемый контакт. Напряжение
на контакте постоянно подается на х-вход осциллографа. На его у-вход
подается напряжение, снятое с сопротивления R$, а также опор-
ное напряжение VR, которое можно вручную изменять и наблюдать
независимо. Таким образом, на экране осциллографа возникает и
ВАХ контакта, и горизонтальная линия, соответствующая VR. Вели-
чина джозефсоновского тока оценивается путем доведения линии VR
до совпадения с вершиной вертикального следа сверхтока на экране ос-
циллографа. Величина напряжения VR измеряется с помощью цифро-
вого вольтметра или с помощью градуировочной сетки. При такой
процедуре нет необходимости наблюдать на осциллографе полных сверх-
ток, и с ее помощью можно достичь высокой точности. Пример пря-
мой зависимости критического тока от приложенного магнитного по-
ля с помощью такой методики был показан на рис. 1.10, а.

Другой простой путь для измерения максимального стационарно-
го джозефсоновского тока - использовать в канале у-оси осциллог-
рафа дифференциальный компаратор. Калиброванное постоянное на-
пряжение V с, подаваемое этим прибором, можно добавлять с помощью
дифференциальной схемы к подаваемому на вход сигналу напряже-
ния, который пропорционален току. ВАХ, возникающую на экране ос-
циллографа, можно сдвигать до тех пор, пока максимальный джозефсо-
новский ток не сравняется с нулем вертикальной оси. Измеряя вели-
чину Vc, можно определять джозефсоновский ток.
Глава 4

«Малые» контакты в магнитном поле

Одно из наиболее поразительных свойств джоэефсоновских струк-
тур — возникновение в них при приложении магнитного поля дифрак*
ционных и интерференционных явлений. Такое поведение обусловлено
волновой природой куперовских пар и когерентностью фазы по разные
стороны контакта.

Чрезвычайно высокая чувствительность джозефсоновского тока
к магнитным полям является основой наиболее важных применений
эффекта Джозефсона. В этом мы убедимся в настоящей и последую*
щих главах. Более того, тщательное изучение зависимости макси*
мального стационарного джозефсоновского тока от приложенного
Магнитного поля есть мощный метод исследования важных свойств
самого контакта. В частности, с ее помощью можно получить ин*
формацию о распределении плотности тока внутри контакта,

4.1 * Джозефсоновская глубина проникновения

Рассмотрим основные джозефсоновские соотношения (1.4.4),
(1.4.5), (1.7.1) в стационарном случае:

J=JjSin<p , (4.1.1а)

$=0 (4.1.16)

V-.>'<₽=( й?^)НХп ’ <411в)

где d=\L1 + + t9 \L и AL2 - эффективные лондоновские глуби*

ны проникновения для сверхпроводников, образующих контакт, a t -
толщина барьера. Через Н здесь обозначено истинное магнитное по-
ле в плоскости контакта, Включающее в себя как приложенное внеш-
нее магнитное поле, так и магнитное поле, возникающее при проте*
кании через контакт тока; п *- единичный вектор нормали к плоское*
ти контакта. Через у ф обозначен вектор с компонентами дф/д%,
дф/ду. Уравнение (1.7.2) сводится к виду

Э2<р 92<р 1

—т-1-----7 = —Sintp ,

Эх2 Эу2 Л2

(4.1.2)
(4.1.3)

где Л у определяется соотношением
_/ he2 \,/2
7 у %ireJ}d I

Как уже говорилось в гл. 1, величина Л у есть мера ширины об-
ласти вблизи краев контакта, а которой подавляются постоянные джо-
зефсоновские токи. Это означает, Uto распределение тока в контакте
с наибольшим поперечным размером L, большим Л у , Может быть
неоднородным даже в отсутствие приложенного магнитного поля. Та-
ким образом, контакты могут быть разделены на два класса: ’’ма-
лые” (Л< Лу) контакты, в которых распределение тока однородно,
поскольку магнитными полями, возникающими в результате проте-
кания тока,можно пренебречь, и ’’большие” контакты (L > Лу ), в кото-
рых токи, протекающие вблизи краев контакта, существенно ограни-
чены. С помощью табл. 2, приведенной в приложении, Мы можем пере-
вести выражение (4.1.3), Цредставленное в гауссовой системе единиц,
в соответствующее выражение в системе СИ:

Л =1 * Г/2 •

7 \ /
Для контактов Nb — NbO% — РЬ типичными значениями с? и/г являются
величины d = 1400 A, J = 5 А/см2 [509]. Следовательно, для Лу мы
находим величину Лу = 1,618 • 10~5 (1/1,400 • 1О“10 • 5 • 104)1/2 = 0,193 мм
(здесь для всех фундаментальных констант мы использовали значения,
приведенные в приложении). Из выражения (4.1.3) видно, что измене-
ние в толщине барьера t сильно влияет на величину Лу , поскольку Д
зависит от t экспоненциально. Следовательно, контакты равной площа-
ди могут быть малыми или большими в зависимости от величины плот-
ности тока /р С другой стороны, неопределенность величины t в вы-
ражении для Лу несущественна, поскольку она мала по сравнению со
всей величиной d = XL1 + Л^2 + te Необходимо также отметить, что
величина Лу зависит от температуры через J19 а также через лондо
новские глубины проникновения \L1 и Л^2 (см. Гл. 5).

4.2. Малые контакты

Рассмотрим контакты, размеры которых малы по сравнению с
джозефсоновской глубиной проникновения. Выберем систему коор-
динат с осью z, перпендикулярной плоскости контакта, как это было
показано на рис. 1.1. Пусть внешнее магнитное поле Не приложено
в направлении оси у; внутри контакта магнитное поле постоянно и по
величине равно приложенному внешнему полю (собственное магнитное
поле отсутствует). Таким образом, Интегрируя выражение (4.1.1в),
находим 27Td

Ч>(х)=-ф-Нух+<р0 ,

где Фо = he/2е — квант магнитного потока (2,07 • 10“7 Гс • см2;
2,07 • Ю-15 Вб), а ф0 - константа интегрирования.

Следовательно, фаза линейно меняется вдоль направления х ,
причем скорость этого изменения оказывается пропорциональной
величине приложенного внешнего поля Не. Из (4.1.1а) следует, что

J(%)=J|Sin(^77>,x+<]poj •
\ ^0 /

Таким образом, Цлотность тока Джозефсона внутри контакта распре*
делена по периодическому закону. На рис. 4.1 представлены графики
зависимостей ф(х) и J (х) для. различных значений внешнего поля Н?
в случае контакта прямоугольной формы с началом системы коорди*
нат, расположенным в геометрическом центре контакта (рис. 4.2, а).
Мы видим, Что при определенных значениях внешнего магнитного
поля периодическое изменение /(х) приводит к тому, что полный ток
через контакт оказывается равным нулю (рис. 4.1, &).

Полный ток через контакт определяется выражением

/= J fdxdyJi(x, y)sin^-^~ Нух+<р0^ > (4.2.1)

в котором интеграл вычисляется по всей площади контакта. Для боль*
шей общности мы ввели пространственную зависимость (J1 = J г (х, у))
максимальной плотности тока, Чтобы учесть эффекты, Обусловленные
неоднородностями в туннельном барьере (см. разд. 4.4).

Определим параметр

к=~Иу (4.2.2)

и $0

$(*) = j<fyJ\(x, у) ,

г де интеграл вычисляется в пределах всего контакта в направлении
оси у. Из выражения (4.2.1) имеем

/(^,Фо)= fL/2 dx^(x)sin(kx + <f>o)-im[eJ4>ofL/2 </И(х)еу/Д ,
J-t/2 I 2_l/2 )

где L - наибольший размер контакта в направлении оси %.
Р и с. 4.1 Пространственное изменение фазы q>(%) и плотности тока J (х) в присутствии внешнего магнитного поля н
для контакта прямоугольной формы. L - размер контакта в направлении, перпендикулярном приложенному полю. 5
(а)Ну = 0;(б)Яу = Ф0/2Ы; (в) Ну = Фо/Ь/.
Рис. 4.2. Геометрические конфигурации контактов и соответствующие
линейные плотности тока jj (%) в случае однородного распределения тока по
контакту.а, б - контакт прямоугольной формы; в, г — контакт цилиндричес-
кой формы.

(г)

Максимум этого выражения по переменной ср0 определяет значение
максимального джозефсоновского тока I^k):

w= f+L/2

L/2

dx$(x)ejkx

Для удобства вычисления этого интеграла мы доопределим функцию
i (%) как i (%) = 0 для |% | > L/ 2 и затем распространим интегрирова-
ние на область от -<*> до

/ + ос

dxJ(x)e

- m

(4.2.3)

Таким образом, максимальный джозефсоновский ток в заданном
внешнем магнитном поле представляется модулем фурье-образа функ-
ции 1 (х) [302].
4.3. Однородное распределение туннельного тока

Воспользуемся полученными выше результатами для рассмотрения
контактов различной формы. При вычислении полного тока входящую
в выражение (4.2Л) плотность туннельного тока Д будем предпола-
гать постоянной.

4.3.1. Прямоугольный контакт. Рассмотрим контакт прямо*
угольной формы, Доказанный на рис. 4.2, а, Н котором область барье-
ра определяется как |х | < L/2, | у | < ^/2, | z | t /2. Предполагая
//%) - J х = const, находим (рис. 4.2, б)9 Что

5(x)=J,WpL/2(x) ,

где

Ръ/2 ~

Г 1
[О

H<L/2 ,
|x|>L/2 .

Таким образом,

I}(k)= jyj (+ЖdxpL/2(x)e
J — m

Для фурье-ббраза функции рь/2 (х) находим [ 782 V-

f + оо r + L/2 /4-L/2

' dx Рь/2(х)е]кх ~ I coskxdx + j sinkxdx =

-00 7 •'-L/2 •'-L/2

2 sin к (L/2)
к

и, следовательно,

А(*)=Л

sin/c(L/2)

*(L/2)

где \ = /j WL.

Используя выражение (4.2.2), Представим эту формулу в виде

где ф = HyLd - магнитный поток, пронизывающий контакт.

Уравнение (4.3.11) описывает картину фраунгоферовой дифракции
(рис. 4.3).

Аналогия между картинами зависимости джозефсоновского тока
от магнитного поля и фраунгоферовой дифракции на щели той же фор*
мы, что и рассматриваемый нами контакт, очевидна. Как видно из
рис. 4.3, минимумы в зависимости 1 ^ф) расположены симметрично
ЬФ)/1.(0)

Рис. 4.3. Теоретическая зависимость максимального Джозефсон овс кого
тока 1г от магнитного поля для случая прямоугольного контакта.

относительно оси ординат, равноудалены и соответствуют величинам
магнитного потока Ф, кратным кванту магнитного потока Фо.

Впервые это явление наблюдал Роуэлл [ 858 ]. Впоследствии этот
эффект был тщательно изучен различными авторами [68, 352, 889*
891, 1060, 1061 ]. На рис. 4.4 представлены экспериментальные резуль-

Р и с. 4.4. Зависимость максимального джозефсоновского тока от магнит-
ного поля для контакта прямоугольной формы Sn -Sn%Oy -In. Кружки -
экспериментальные данные, сплошная линия — теоретическая зависимость,
построенная согласно выражению (4.3.1). Согласно Бальзамо и др. [68].)
таты Бальзамо и др. [68] и теоретическая зависимость 1г(Н). Но -
поле, соответствующее первому минимуму.

Заметим, что эффект Джозефсона подавляется весьма малыми
магнитными полями (порядка нескольких гаусс), Поэтому при измере-
ниях необходима тщательная экранировка от магнитного поля Земли.
Магнитное поле, соответствующее периоду дифракционной картины,
определяется величиной

Фа
дн=цлм+х„+,) («Ч

В случае когда сверхпроводники, образующие контакт, Одинако
вы (ali = AL2), Ота периодичность позволяет экспериментально опре-
делять величину лондоновской глубины проникновения. Однако необ-
ходимо помнить, что выражение (4.3.2) справедливо лишь до тех пор,
пока толщина сверхпроводящих пленок велика по сравнению с AL. В
случае когда это условие уже не выполняется, уравнение (4.3.2) за-
меняем на более общее:

дя=—-------------—---------------- >

/ ^1 ^2 1

L X Ll tanh -гт-F X L2 tanh -гт-F t

\ I

где и d2 - толщина сверхпроводящих электродов [ 1037].

4.3.2. Цилиндрические контакты. Рассмотрим теперь контакт
цилиндрической формы (рис. 4.2, в, г). В этом случае

S(x) = / RL^dyJx=lJ^R2-x2 ,

где R - радиус контакта. Максимальный ток Джозефсона определя-
ется интегралом

I}(k)= 2J} (R dx]/R2-x2ejkx .

J-R

Так как i (%) - функция четная, то

(R dx^R2 —x2ejkx = 2 /*/r2-x2coskxdx .

J-R •'0

Сделав подстановку x= Reos e, Имеем

f ]/R ~x2 coskxdx=—R2 ( / cos( к Reos 0) sin2 в dff •

0 Jq
Рис. 4.5. Теоретическая зависимость максимального Джозефсон овс кого
тока I г от магнитного поля для контакта цилиндрической формы.

Этот интеграл может быть выражен посредством бесселевой функ-

ции [ 697 ]

№)
№)

Ш)=Л

где = тгТ?2 J19 а Ц(х) - бесселева функция первого рода. Зависи-
мость показана на рис. 4.5, Причем магнитное поле нормирова-
но на величину HQ9 Соответствующую положению первого минимума.
Экспериментальные данные, Полученные на контактах цилиндрической
формы Sn - Sn в работе Матисоо [697 ], Представлены на рис. 4.6. Не-
сколько позже Патерно, Рисман и Вальо [803] исследовали контак-
ты Nb — РЬ с цилиндрической геометрией.

4.3.3. Случай произвольной ориентации магнитного поля.

В разд. 4.3.1 мы рассмотрели контакт прямоугольной формы, к кото-
рому было приложено магнитное поле в направлении оси у. Предполо-
жим теперь, что у магнитного поля обе компоненты Нх и Н в плос-
кости контакта отличны от нуля. Интегрируя выражение (4.1.1в), На-
ходим ? 7

и, Согласно (4.1.1а), Полный ток в контакте есть
Не (Э)

Рис. 4.6. Зависимость максимального джозефсоновского тока от маг-
нитного поля для контакта цилиндрической формы, Точки — эксперимен-
тальные данные; сплошная линия — теоретическая зависимость., (Согласно
Матисоо [б97]0)

Максимальный ток, таким образом, определяется выражением

А = Г^У ( + L/2dx JteJ{kxX~k'y)

•'-W/2 •'-L/2

где

sin /cxL/2
£xL/2

sin к УК/2
ку^/2

,(4.3.3)

к =^-Н

Фо ;

к =^~-И
у Фо

/, =J,WL .

Между прочим, отметим, Что на эксперименте величина приложен-
ного магнитного поля обычно определяется непосредственно по току,
протекающему через катушку, с помощью которой это магнитное поле
создается Вследствие этого в действительности таким образом из-
меняется величина Не = у/н* + Н2у. Следовательно, Нх = Не sin а,
Н = Hecos а} где а - угол между приложенным полем и осью у.
Максимальный критический ток можно представить в виде

sin( тт( Ф/Фо) cos а)

тг(Ф/Ф0)со8а

=Л

sin [ 7г( Ф/Фо)( W/L) sin а
7г(Ф/Ф0)(\У/Ь)5та

где ф = Не Ld.

7 - 4J6
Рис. 4.7. Зависимость максимального джозефсо невского тока 11 от
магнитного поля для контакта квадратной формы при различных ориентаци-
ях приложенного магнитного поля Не-9 а — угол между направлением поля Не
и осью х.

Итак, В случае когда поле, приложенное к переходу, имеет нену-
левые компоненты по осям х и у, зависимость 1 х от Не определяет-
ся произведением двух фраунгоферовых дифракционных функций.
Примеры таких зависимостей при различных ориентациях магнитного
поля показаны на рис. 4.7. Приведенные кривые относятся к контак-
ту квадратной формы (W/L = 1).

4.4. Неоднородная плотность туннельного тока

В реальных контактах оказывается существенной неоднородность
распределения плотности тока, обусловленная неоднородностями тун-
нельных барьеров. Исследования зависимости максимального джозеф-
соновского тока от внешнего магнитного поля - удобный способ
изучать пространственную зависимость ] = ^(х, у), поскольку инфор-
мация о ней содержится в наблюдаемых на опыте ’’дифракционных
картинах” зависимости Мы остановимся подробнее на этом
вопросе и покажем, что анализ зависимостей является удоб-
ным методом диагностики джозефсоновских структур [93, 800].
Дайнес и Фултон [ 302 ] с помощью формализма преобразований
Фурье выявили связь между зависимостью Z (Яе) и соответствую-
щим распределением тока в случае прямоугольного контакта. Иной
подход к решению этой задачи, основанный на формализме теории
информации, предложил Заппе [ 1081, 1086].В частности, он показал, Что
процедура получения функции i (х) из экспериментально найденной зависи-
мости Zt (27е) не является однозначной, если не сделать дополнитель-
ных физических предположений о свойствах барьера. Читателей, инте-
ресующихся подробностями этих двух подходов, Мы отсылаем к ци-
тированным выше работам. В разд. 4.4.1 мы подойдем к решению
этого вопроса с несколько иных позиций: рассматривая различные
случаи распределения плотности тока, в которых уже учтены локали-
зованные внутри барьера неоднородности, мы вычислим соответствую-
щие зависимости ZJZ/J. При этом мы воспользуемся простейшими
распределениями <j(%), Которые, однако, окажутся показательными
и для более реалистических ситуаций. В разд. 4.4.2 мы обсудим влия-
ние неоднородностей, предполагая их случайным образом распреде-
ленными в слое барьера. Эта модель соответствует так называемым
структурным флуктуациям [ 1062], Которые возникают из*3а неизбеж-
ных неоднородностей любого реального барьера.

4.4.1. Различные профили плотности тока. Рассмотрим кон-
такт, Показанный на рис. 4.2, а. П/сть магнитное поле приложено в
направлении у. Полный джозефсоновский ток определяется выраже-
нием (4.2.3), где

$(*) =

/ dyJ\x,y)

J W/2

В разд. 4.3 мы предполагали плотность джозефсоновского тока J
пространетвенно-бднородной. Рассмотрим теперь случай, когда
функция J 1(х> у) имеет профиль, показанный на рис. 4.8 (плотность
тока изменяется только в направлении %). Соответствующее аналити-
ческое выражение имеет вид

где § - параметр 1), Смысл которого пояснен на рис. 4.8, а
I = L - 2 s . Смысл величины J0 также ясен из рисунка.
100

Глава 4

Рис. 4a& Ступенчатый профиль плотности токао

Функция рт(%) определяется следующим образом:

Для максимального джозефсоновского тока имеем

A(*)=/Ow

Так как фурье-ббраз функции f(x -х0) определяется фурье-ббразом
функции f (х), умноженным на е~^х°, to

Ц(к) = J0W^sin^Z/2 + ?smb/2 ^_Л(/+,)/2 +eJ*(/+j)/2)

=J0WL

I sin kl/2

* L kl/2

s sin ks /7. (

L ks/2 C°S(

При к = 0 это выражение дает нам величину максимального джозеф-

соновского тока:

Окончательно

7,(0)^фу-+2£) •
где $ = HyLd.

Таким образом, как видно из выражения (4.4.1), Вредположение о
том, Пто плотность туннельного тока максимальна по краям контак-
та, приводит к зависимости (Не), Весьма заметно отличающейся от
той, которую мы получили в случае однородного по сечению контак-
та распределения тока. На рис. 4.9 представлены графики зависимос-
тей/^ф), построенные согласно выражению (4.4.1) для различных
значений параметров , § и s' = s /L. Понятно, что параметр s' влия-
ет на период модуляции обычной дифракционной картины (рис. 4.9, б).

На рис. 4.10, а представлена экспериментальная зависимость
Z2(^e) для контакта Sn -SnxOy - Sn, магнитное поле к которому
прикладывалось в направлении нижнего слоя. Укажем на очень хоро-
шее соответствие этой экспериментальной кривой с теоретической
(рис. 4.10, б), Полученной в предположении ступенчатого распреде-
ления плотности тока, как это было сделано выше.

Рассмотрим теперь несколько иное распределение тока по сече-
нию, в котором его плотность возрастает к краям контакта (рис. 4.11):

г cosh(ax)
1 1 cosh(aL/2)

где параметр а имеет размерность обратной длины и служит мерой
отношения плотностей тока на краях и в середине профиля, Показан-
ного на рис. 4.11.

В этом случае

1М=

71W y + L/2 , , ч ikt J

----—— I cosh( ax)eJ ах
COshj^pL/2

— -----1—— f L/2cosh(ax)cos(/cx)tZx ,

. / aL \ J—г/?

coshl — I 7

поскольку ch(ax) - функция четная. Проводя в этом выражении ин-

тегрирование, легко находим, Нто

k sin(£L/2)

a tanh(aL/2)
1 О I и

Ф/Ф()

ф/фо

Рис. 4.9. Зависимость Ц (рассчитанная согласно (4.4.1)) от магнитного
поля для контакта со ступенчатым распределением плотности тока (см.
вставку на рисунке), показанным на рис. 4.в. Соответствующие величины
параметров: (а) £ = 0,20,s/L = 0,01; (б) § = 0,20, s /L = 0,20; (в) £ - 0,06,
s/L = 0,06; (г) £ = 0,06, s/L = 0,01.
09’0 Otl’O ог’о 00*0“ 00 l 08*0 09*0 0h*0 02*0

(Г)

; mWWWWWWWWv

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

ф/фо

Рис. 4.9. (продолжение)
-20 -16 -12 -8 -4 -101 4 8 12 16 20

Рис. 4.10. a - экспериментальные данные для зависимости критического
тока от магнитного поля для контакта Sn -SnxOy -Sn ; б - теоретическая
зависимость Z^T/g), соответствующая ступенчатому профилю плотности то»
ка (см. вставку). Кривая построена с помощью выражения (4.4.1) при зна-
чениях параметров = 0,06 и s/L =0,11. (Согласно Бароне и др. [9з].)
Рис. 4.11. Профиль плотности тока: однопараметрическая модель.

где

/I(0)=^-Wtanh(^) •

Введем параметр х = (L/2)(l/a), после чего выражение (4*4.2) при-

Эта зависимость для различных значений параметра х представлена
на рис. 4.12. Приравнивая выражение (4.4.3) нулю, Мы находим поло-
жения минимумов:

Ф / Ф \
/ —xtanh(x) •

Это уравнение легко решается простым графическим построением
(рис. 4.13). Положение минимумов определяется пересечением гра-
фика с горизонтальной линией, соответствующей данному значению
X > 0. Из верхней части рис. 4.13 видно, что в случае х -* 0, который
соответствует однородному распределению тока, Положение миниму-
мов соответствует картине фраунгоферовой дифракции, Рде расстоя-
ние между двумя первыми минимумами (симметричными относитель-
но нуля) вдвое превышает расстояние между всеми последующими
минимумами. В случае больших х расстояние между всеми соседними
минимумами оказывается одним и тем же. Последний случай типичен
Р и с» 4.12. Зависимость I г (4.4.3) от магнитного поля для контакта с "од-
но параметрическим" профилем плотности тока (см. вставку на рисунке),
показанным на рис. 4.11. Соответствующие значения параметров: (а) х ~ 1.00;
(б) х = 5,00; (в) х = Ю, 00; (г) х = 100,00.

Ф/Фо

0.20 0.40 0,60

^(ФУМО)

о I T I 1
0,00 2,00 4,00

(Г)

Ф/Фо

Р и с. 4.12. (продолжение)
Рис. 4.13. Графическое определение положения минимумов тока в "одно-
параметрической” модели. Нижняя часть рисунка: экспериментальные дан-
ные (точки) для зависимости критического тока от приложенного магнитного
поля для контакта Nb - Nb Ох - РЬ . Сплошная линия - теоретическая зависи-
мость при экспериментальном профиле плотности тока, показанном на встав-
ке. (Согласно Бароне и др. [93].)

для интерференционных явлений, возникающих в двойных контактах.
Их мы подробно обсудим в гл. 12. Итак, как и следовало ожидать, &
случаях обоих рассмотренных профилей токов зависимости ока*
зываются похожими. Однако для лучшего понимания перехода от обыч-
ного контакта к ’’двойному” однопараметрическая модель, Доказан-
ная на рис. 4.11, более удобна.

Отметим, что распределения тока с возрастающей к краям кон-
такта плотностью типа рассмотренных выше встречаются на практи-
ке. Например, в случае контакта с геометрией типа "крест” (см. гл. 5
и рис. 5.15, г) этот эффект можно связать с возможными разруше -
ниями оксидного барьера по краям нижней пленки [890]. На рис. 4.1’3,б
точками представлены экспериментальные данные, которые можно ин-
терпретировать с помощью предложенной теории [93]. Сплошной ли-
нией на рисунке показана теоретическая кривая, Вычисленная с по-
мощью распределения плотности тока, которое показано на вставке
рис. 4.13, На рис. 4.14 представлены кривые I^He) для контакта
Рис. 4.14. Зависимость критического тока от магнитного поля для контак-
та Nb -NbOx -Sn с геометрией типа ’’крест" (прямая экспериментальная
запись). По ней видно проявление краевых эффектов. По вертикальной оси
регистрировался ток, по горизонтальной — магнитное поле, а — поле прило-
жено вдоль верхней пленки. Кривые относятся к разным знамениям темпера-
туры; б — магнитное поле направлено вдоль нижней пленки перпендикулярно
направлению, вдоль которого плотность тока имеет пики по краям электро-
да.
с геометрией типа "крест”. Магнитное поле прикладывалось как
вдоль верхней (рис. 4.14, а), так и вдоль нижней пленок (рис. 4.14, £).
В последнем случае, очевидно, имеют место краевые эффекты, ко-
торые можно учесть с помощью рассмотрения токового профиля в
%-направлении типа профилей, показанных на рис. 4.8 или 4.11. В
первом случае вследствие однородности распределения плотности
тока в /-Направлении возникает фраунгоферова картина (рис. 4.14,d).
Интересное доказательство поведения по типу двойных контактов
было проведено Бароне и др. с помощью светочувствительных кон-
тактов [87]. В своих опытах они усиливали плотность джозефсонов-
ского тока по краям контакта, облучая его светом (см. разд. 7.2.2).

Рассмотрим теперь противоположный случай, И котором плот-
ность тока максимальна в центре контакта. Для простоты профиль
тока выберем в форме треугольника:

J](x)

«L/2(^)='

|x|<L/2 ,
|x|>L/2 .

В этом случае легко убедиться, что

Ш)=

WL sin2(ZcL/4)

2 A:L/4

Соответствующая зависимость тока от магнитного поля показана на
рис. 4.15. При рассмотрении распределений тока, в которых его плот-
ность убывает по мере удаления от центра к краям контакта, обнару-
живается, Что вторичные максимумы в зависимости 1^Не} подавля-
ются. Это теоретическое заключение согласуется с эксперименталь-
ными наблюдениями Дайнеса и Фултона [302], которые рассчитали

Рис. 4.15. Зависимость максимального
джозефсоновского тока от магнитного поля для
контакта, профиль плотности тока в котором
имеет максимум в центре контакта.
также соответствующий профиль плотности тока. Напомним, Что
уменьшение амплитуды вторичных максимумов имеет место также в
цилиндрических контактах с однородным распределением плотности
тока (см. разд. 4.3.2). Эта аналогия оказывается весьма существен-
ной, хотя ее можно было и предвидеть: характер зависимости 1^Не)
определяется функцией 3(%) (см. выражение (4.2.3)), И, следователь-
но, подобных результатов можно достигнуть,- изменяя как форму
распределения J 1(х9 у), >гак и геометрию контакта [45, 67, 147, 733 ]<

Вопрос о влиянии неоднородности распределения плотности то-
ка на зависимость 1г(Н) был детально исследован с теоретической
и экспериментальной точек зрения в работе Бароне и др. [ 93]. Не-
сколько позже дальнейшие теоретические исследования в этой облас-
ти провели Рихтер и Зейдель Г 837 ].

В заключение отметим, Что если в минимумах зависимости 1г(Н)
ток оказывается отличным от нуля, То этот факт можно объяснить
или наличием в контакте "закороток", Или асимметрией распределе-
ния плотности тока в контакте. В первом случае имеется дополни-
тельный постоянный вклад в ток, а в последнем,вообще говоря, наб-
людается зависимость фонового тока от магнитного поля. Как мы
увидим в следующем разделе, аналогичные эффеты могут быть свя-
заны с присутствием структурных флуктуаций.

4.4.2. Структурные флуктуации. До сих пор мы обсуждали
вопрос о неоднородном распределении плотности тока, обусловлен-
ном локальной неоднородностью свойств барьера. Теперь мы рас-
смотрим эффекты, связанные с неоднородностями, случайно распре-
деленными по всему барьеру, - так называемыми структурными флуктуа-
циями [1062, 1063]. Несмотря на то что последовательный статистический
подход к этой проблеме наряду с другими возможными типами флук-
туаций (тепловыми, квантовыми и т/д.)1 предполагает рассмотрение
влияния структурных неоднородностей, Мы предпочитаем обсудить
здесь именно влияние структурных флуктуаций, Чтобы дать полную
картину влияния неоднородностей барьера на свойства джозефсонов-
ского туннельного контакта.

При учете структурных флуктуаций мы будем следовать методу
Янсона с незначительными изменениями.

Предположим, что плотность максимального тока в одном на-
правлении может быть записана в виде

ОО /

2 l«nCOS

п= i '

2ттпх

4- bn sin

(4.4.4)

L
где /. (%) - плотность тока без учета флуктуаций, а величина /у (%)
описывает вклад в ток вследствие случайных неоднородностей. Эта
стохастическая функция обладает следующими свойствами:

JJx)=0 и = + = J/e^r (4.4.5)

где черта сверху означает пространственное усреднение по площади
контакта./(§) - пространственная автокорреляционная функция, /у -
постоянный средний квадрат амплитуды флуктуаций, г - корреляцион-
ный радиус (мера неоднородности барьера). Такое выражение для
автокорреляционной функции получается следующим образом. Предпо-
ложим, Цто в барьере вдоль оси х имеется ряд малых секций, (относи-
тельный средний размер которых составляет г /L, и, следовательно,
величина L/r определяет среднее число таких секций в барьере. Ве-
роятность того, что внутри барьера имеется некоторое число I таких
секций (в пределах L), дается распределением Пуассона:

р (/)—____L—( —j e~L/r •

lU) (/—1)!\ г/

Аналогично вероятность того, 4то в пределах области размером | £ |
имеется I секций, Сеть

р([\ —____-__( —.

Предположим, Цто в пределах каждой секции амплитуда /у подчиняет-
ся гауссову распределению:

у 2 77 Jy2

где / 2 ~ среднеквадратичное отклонение.

Для автокорреляционной функции мы можем записать следую-

щее: _____________ ОО _______________________

Jz(x)Jz(x + O = 2 + .

/=1

Для любого I > I в интервале § (длина секции меньше чем §) мы име*

~ ‘ + ~~ 0 9

что соответствует отсутствию корреляции между величинами /у (%)
в различных секциях нашего разбиения. При I = 1 находим

J/, 1(Л + О ~ ~

р(1) = е-\ь\/г

и
Таким образом,

J/(x)J/(x + O = Jf2e~l(t/r •

Запишем связь между сверхтоком и приложенным магнитным полем:
7,(0) = W f + L/2J,(x)e2^x/Ldx ,

•' — L/2

где q> = Ф/Фо. Подставляя в эту формулу выражение (4.4.4) и исполь-
зуя свойства функции /у, находим:

/,2(Ф)-^2(Ф)+(/2+Л2)^

где У(ф) - обычный фурье-ббраз функции /у (%) и
00 А2 А2

/’=4W> 2 (-1Г”^Ц^Цх
т,п=\ ф—пф2—т2

( + к/2л Т( \Т( \ З-кпХх 2тттх2

I ах 2 Jf (х j )Jf (х2 )cos —-— cos —-—-

-L/2 7 L L

42=4W2 2

mft=\ Ф -п Ф — т2

С + ь/2л f+L/2j т( \ts . 2'тттх2

X / dxx I ax2Jz(x1)Jz(x2)sin—-—Lsm—?—- •

•'-L/2 •' — L/2 J L L

Средние значения этих выражений можно найти, Цведя автокорреля-
ционную функцию для /у(^ = Xj - х2), определенной выше. Преобра-
зуя эти интегралы, можно получить

г . 2 1 I/2

А(ф)~р 2(ф)H~Zo [а(г', ф) + Ь(г', </>)] S11j?r2- f > (4.4.6)

[ 77 ф J

где Zo = WL(2 г r / J ); h r = r /L. Функции a (г \ ф) и Ъ (г \ ф) опреде- ’
ляются выражениями

а(г',ф)=2 ;

2 1

1 +(2w«r')2

ф2

X 2 У

П = 1 ф2—П2 1 +(277ЛГ')2

8 - 436
оо

Z>(r', ф)=2 2
п —

пф \2_________1_____

ф2—п2/ l + ^lirnr')2

+ г'(1_е-1А') х

х 2 V 27771Г'

„=1 ф2 -п2 1 +(2‘п-пг')2

(4.4.7)

Для флуктуаций малого масштаба (г « 1) и малых внешних полей
(2я г 'ф « 1) выражения (4.4.7) упрощаются:

а(г',ф) = 2 2
п =

I _и2

\ ф И /

ТГ2ф2
2 sin2 тгф

, тгф

4- -yCOtg ТГф~ 1

оо / , \ 2

*(Л0)=2 2 -/Ц

'«=1 \ Ф2-п2 /

^2.2

ТГ Ф

2 sin2 тгф

тгф

— cotg тгф,

и,таким образом,
f / • 2 1/2

/,(Ф)=H)+d 1 - <4-4-8)

[ \ ТГ ф IJ

Из последнего выражения мы видим, что учет флуктуаций изменяет
обычную зависимость /Дф) = | У (ф) | < В частности, видно, что наря»
ду с вкладом в ток, Модулированным магнитным полем, появляется
добавка, Соответствующая постоянному фону величиной /0. Мы видим
также, Что величина /ДО) не меняется при учете структурных флук-
туаций. В более общем случае, который описывается выражением
(4.4.6), анализируя (4.4.7), Можно показать, Что в зависимости тока
от магнитного поля пойрежнему имеется фон, однако теперь его ве-
личина зависит от поля и с увеличением величины приложенного маг-
нитного поля обращается в нуль.

В случае флуктуаций малого масштаба разделить их среднюю
амплитуду и средний корреляционный радиус оказывается невозмож-
ным. Действительно, Согласно выражению (4.4.8), вся информация,
касающаяся флуктуаций, содержится в параметре /0. С другой сторо-
ны, в пределе крупномасштабных флуктуаций закон уменьшения то-
кового фона позволяет определять независимо величины г * и J2.

Янсон [1062] провел исследования на контактах олово - оксид
олова - олово,которые показали, Что в этих контактах был реализо-
ван режим флуктуаций малого масштаба. В этой работе для отноше-
ния у = /о//Д0) было найдено значение 0,066. Недавно Бароне и др.
Рис. 4.16. Экспериментальные данные (кружки) зависимости индуциро-
ванного светом джозефсоновскоро тока от магнитного поля в контакте
РЬ -CdS -In, указывающие на наличие в нем структурных флуктуаций
малого масштаба. Сплошная линия — теоретическая зависимость, рассчи-
танная согласно выражению (4.4.8) при значении параметра у = IQ/ Zt(0)=0,06.
Функция У(ф) вычислена в предположении о ступенчатом профиле
плотности тока с § = 0,01 и $’ = s /L = 0,01. (Согласно Бароне и др. 189 J.)

[89] исследовали влияние флуктуаций на свойства светочувствитель-
ных джозефсоновских контактов (см. гл. 7). Они измеряли индуци-
рованный светом джозефсоновский ток в зависимости от магнитного
поля. Исследования проводились на контактах, Ц которых при нулевом
приложении и без освещения ток отсутствовал. Такой выбор контак-
тов гарантировал для зависимости IJfl) отсутствие фоновых токов,
связанных с "закоротками" в барьере. Типичные экспериментальные
результаты представлены на рис. 4.16 (кружки). Очевидно, Что нали-
чие малого по величине постоянного фона в зависимости тока от маг-
нитного поля указывает на то, Что этому эксперименту соответству-
ет случай флуктуаций малого масштаба. Сплошной линией на рисунке
показана теоретическая зависимость, Полученная из формулы (4.4.8)
при значении у 0,06. Кроме того, Используя теорию, развитую в
разд. 4.4.1', можно учесть также и интерференционные вклады в ток,
связанные с краевыми эффектами. В рассматриваемом случае сту-
пенчатому профилю плотности тока соответствуют параметры £ = 0,01
И5 = 0,01.

Как мы видим, Найденное значение параметра у весьма близко к
значению, Полученному Янсоном. Однако измерения тока при относи-
тельно больших величинах магнитного поля позволяют количественно
определить величины г * и /р Для этого необходимо принять во вни-
мание тот факт, Ито на самом деле рассматриваемая задача являет-
ся двумерной. Это приводит к той же самой зависимости джозефсо-
новского тока от приложенного магнитного поля, но функция У(ф)
уже является фурье-образом от плотности тока, Проинтегрированной
в направлении у, а величина 7 ш z 4 а Д \ где параметр а те-
в

перь определяет меру средней площади структурной неоднородности
(см. Ссылку выше). Крупномасштабные флуктуации и их влияние на
свойства контактов будут упомянуты в гл. 8 в связи с технологией
изготовления контактов.
Глава 5

«Большие» контакты: статистические
эффекты, обусловленные
собственным магнитным полем

В предыдущей главе мы рассмотрели влияние магнитного поля
на свойства контактов, размеры которых меньше джозефсоновской
глубины проникновения.

В этом случае мы полностью пренебрегали эффектами, которые
обусловлены собственным магнитным полем, Возникающим при про-
текании тока через контакт. Теперь мы перейдем к обсуждению за-
висимости I(Не) для контакта, размеры которого по порядку вели-
чины сравнимы с джозефсоновской глубиной проникновения. В
разд. 5.1 представлен приближенный анализ случая L « Лу , цель ко-
торого — создать у читателя интуитивное понимание проблемы.
Точное решение для случая L» Лу представлено в разд. 5.2.

5.1. Приближенный анализ

Рассмотрим контакт простейшей геометрии, показанный на
рис. 5.1, а. Обозначим через 1 полный ток, Протекающий через кон-
такт, Д через - плотность джозефсоновского тока, которую будем
считать постоянной. Тогда, Как следует из закона сохранения заряда,

где 3 (х) — величина тока, протекающего в области от края контакта
до точки с координатой %. В выбранной нами системе координат име-
ют место следующие граничные условия:

Из выражения (5.1.1) имеем

(5.1.2)

Функция $ (х) показана на рис. 5.1, б.

Магнитное поле, Создаваемое током 3 (%), направлено вдоль оси у
и определяется выражением
Рис. 5. К a -- схематическое изображение контакта простейшей геометрии,
используемого для изучения влияния собственного поля; б - распределение
тока J(x) в сверхпроводящих пленках вдоль направления х. ।

Чтобы учесть влияние самоиндуцированного магнитного поля Hs (х)>
мы,следуя Ямашите и Онодере [ 1058], заменим истинное поле Hs (%),
определяемое выражением (5,1*3), его средней величиной Hs = 2тт/с(1 /W).
Если Ие - внешнее магнитное поле, приложенное в направле-
нии у, то полное поле в контакте есть Н = Не + Hs , и максималь-
ный ток определяется выражением (см. разд. 4.3)

2тг 1(Не)\
с W /

/(tfe)=WLJ,

sin

»е +

vdL / 2ir \
с W /

(5-1.4)

Легко видеть, что максимальная величина 1(H) равна /0 = WL Д. Од»
нако этот максимум достигается не при Не- 0, а при величине внешне»
го магнитного поля Нм = - (2тт/c)(/0/W).

Выражение (5.L4) можно переписать как функцию магнитного

потока:

/(Ф/Фо)
/р

Ф Ф" 7(Ф/Ф0)

1 Фо Фр 4
ф Ф" ДФ/Фр)

Фр Фр /р
ГДе 2w I

$=dLH- ^=dL—^:\ J=t+XL1+AL2 .

С 7 J Q Yy 1-* 1 L. Z

Фп = — (квант потока).

° 2e

Нетрудно убедиться, Что в этом простом случае

Ф/ _ L2 ( 8W,J\ JJ JL \2

Фо 4w I й2с2 / 4 Д

На рис. 5.2, а показана зависимость /(<p/<pft)//0 при L/A; =2. Для
рассматриваемого случая контакта простои геометрии мы видим, Что
учет влияния собственного поля приводит к сдвигу максимума в за-
висимости тока от магнитного поля. На рис. 5.2, б величина 7(0)/70
показана как функция безразмерного параметра L/Лу . Двумерный
случай с геометрией контакта типа ’’крест” был рассмотрен Ямаши-
той и Онодерой [1058]. В этом случае собственное магнитное поле
имеет отличные от нуля компоненты в направлениях % и у, и соответ-
ствующая зависимость 1(H) дается произведением двух фраунгоферо-
вых множителей. При этом максимальный ток I (Нм) уже не опреде-
ляется величиной 70, так как он подавляется компонентой собствен-
ного магнитного поля вдоль оси у.

Таким образом, б случае, когда размеры контакта становятся
больше \j , Поля, возникающие при протекании в контакте токов, су-
щественно изменяют его свойства. Это влияние может оказаться
значительным даже в случае, если отношение L/Ay близко к едини-
це. Кроме того, как мы увидим при более подробном рассмотрении,
геометрия контакта играет здесь решающую роль, Поскольку собст-
венные поля могут быть различными для различных конфигураций
электродов, образующих контакт.

Интересно отметить, Что джозефсоновская глубина проникнове-
ния Лу зависит от температуры как через лондоновскую глубину про-
никновения так и через величину максимальной плотности тока 7Х.
На рис. 5Л* показана температурная зависимость Лу для контак-
та с одинаковыми сверхпроводящими электродами; При ее вычисле-
нии использована найденная Амбегаокаром и Баратовом (см. гл. 3)
зависимость 1г(Т) и выражение для лондоновской глубины проникно*

вения Аг (Т): _

AL(T)=AL(0)[l-(T/Tf)4]

(5.1.6)

Таким образом, До тех пор пока приведенная температура меньше
0,5, Нормированный размер перехода L/Лу можно считать неизмен-
Рис. 6.2. а - зависимость джозефсоновского тока от магнитного поля
(5.К9) для контакта с геометрией, показанной на рис. 5.1, а - внешнее по-
ле приложено перпендикулярно направлению х. Кривая соответствует слу-
чаю L/ Ау = 2. (Zo — величина максимума тока, который имеет место при
Ф = Фу ± 0; б-отношение тока контакта в нулевом поле I(0) к максимальному
джозе Ооновскому току в зависимости от параметра L/Ay. L — размер
контакта, Ау — джозефсоновская глубина проникновения.
Рис. 5.3. Температурная зависимость джозефсоновской глубины проник-
новения Ау (Г) в случае симметричного контакта. Тс — критическая темпе-
ратура сверхпроводящих электродов. ।

ным; fe области же температур Т/Тс > 0,3 контакт, который считал-
ся ’’большим” (L >Лу ) при низких температурах, по мере приближе-
ния Т к Тс становится все меньше и меньше (благодаря увеличениюЛу).
Между прочим отметим, что отсюда легко понять, как наличие
собственного магнитного поля может повлиять на температурную за-
висимость /j, которая обсуждалась в гл. В.

5.2. • Анализ Оуэна и Скалапино

В простой модели, рассмотренной в разд. 5.1, Мы предполагали,
что распределение тока по контакту однородно. Как мы увидим ниже,
более детальное рассмотрение показывает, Что в случае L » Ау это
предположение оказывается несправедливым; Да самом деле из-^а на-
личия собственного магнитного поля распределение плотности тока
в этом случае может оказаться весьма неоднородным даже при ну-
левом внешнем поле. Следовательно, в этом случае вопрос об опре-
делении зависимости / (Не) сводится к решению уравнения (4.1'.2) с
соответствующими граничными условиями. Это уравнение, бднако,в
общем случае решить не удается; Поэтому обычно его решают при-
ближенно или прибегают к численным расчетам.
Ограничим наше рассмотрение одномерным случаем:

d <р(х) 1 . .

——— = — sin<p(x)

dx1 К j

(5.2.П

Соответствующую этому случаю конфигурацию контакта можно пред-
ставлять себе как прямоугольный контакт, один из размеров которо-
го мал по сравнению с Лу .

Умножая обе стороны (5.2.1) на 2(с?ф/dx)9 Мы получаем уравне-

ние

d / dtp \2 2 d

— —------~-T~COS<p ,

dx\ dx / dx

интегрируя которое, находим следующее:

/W\2=(£M2 +JL(COS))[)0-cos<p) ,
\ dx / у dx )х0

где <р0 = <р(%0). Введем константу

C=cos<p0 + T^]xo ’

после чего можем записать уравнение

^ = y-[2(C-cos<p)],/2 . (5.2.2)

ах л. j

Введем параметр %, связанный с С соотношением

Тогда

C—(2 — k2)/k2 .

dtp _ 1
dx Xj

I 2 —к2 \

2 —— —2 cos tp

\ к2 /

и, воспользовавшись соотношением cos ф = 2 cos 2 ф/2 — 1, мы мо-
жем преобразовать это уравнение к виду

^ = -|-(1-K2cos<f>/2)1/2 • (5.2.3)

ах к лj

Интегрируя его, получаем выражение вида

fx dx' _ ryix) d<p'/2
x0K^J /Г—K2COS2 <p'/2

Произведем под знаком интеграла замену переменных

Ч>'

ет

2 ’

Тогда [776, 876]»)

Х~Х0 _ (у/2-„/2 dO д\

Далее, После подстановки sin 0 = t в это выражение получаем

*0 f ~~cos<p/2_____dt_________ e (5 2 5)

~k (]-t2),/2(l-K2t2),/2

При к 1 последнее выражение можно представить с помощью эллип-
тических функций Якоби: sn(u|%2), сп(и|к2), dn(u|K2), с аргументом
и и модулем к [ 1042 ]. При этом

cos^ = —sn[—г—K2j > (5.2.6а)

2 \ kXj /

sin^ =cn( Х .-° к2) > (5.2.66)

2 \ кЛ7 /

здесь мы учли, Ито

sin2у = 1 —COS2y = 1 — sn2 —cn2 .

В случае если к > 1, после подстановки t = t'/ к в выражение (5«2>*Э)
находим

х *0 _ r-»ccos<p/2__________dt'________ . z .

A j Л (1-Г2/к2)'/2(1-Г2)1/2

это приводит к равенству

C°S | = - |sn( j . (5.2.8а)

2 К \ к2 /

Воспользовавшись соотношением sin2 q>/2 = 1 - cos 2 ф/2 = 1 - sn2/к2
= dn2, запишем .

sm?=dn^^ (5.2.86)

2 \ ЛУ к2/

Плотность тока в контакте J (%) и магнитное поле Н(х) теперь
можно вычислить, используя соотношения Джозефсона, а именно

J(x)=Jlsin<p(x); ’

$ Аналогичный анализ был проведен ранее Куликом [595]» Прим. ред.
Рассмотрим случай к < 1. Дифференцируя (5.2.6а), приходим к соот-
ношению

которое следует из следующего свойства эллиптической функции:
(d/du) зп(и\к) = cn dn. Рассматривая это выражение совместно с
(5.2.66), находим, что

Используя соотношения (5.2.6а) и (5.2.66), Цаходим

sin <р — — 2 snl

кЛ7

x~xQ
kXj

к2

Таким образом, в случае 1 выражения для / (%) и Н(х) имеют вид

Н(х)— dn^

х-Ху

K^J

(5.2.10а)

•/(*) = — 2JjSn —г—к2 с
\ /

здесь мы ввели величину

н - ф°
f0 ^d\j

Легко показать, что в случае к > 1

и, \ Нс0 / 1 \

-----2 ’

К \ Л/ к /

(5.2.106)

(5.2.11а)

(5.2.116)

J(x) = — ~“^sn/
к у

Зная свойства эллиптических функций Якоби, можно заметить, что
решения^полученные для случаев 1 и к > 1 совершенно различны

[ 514]. В частности, Цри к < 1 Н(%) никогда не меняет своего знака,
поскольку функция dn всегда положительна. Такое поле соответст-
вует ситуации, В которой приложенное (однородное) магнитное поле
преобладает над собственным полем контакта. Поскольку функция сп
принимает как положительные, Так и отрицательные значения, в слу-
чае к > 1 Н(х) меняет свой знак. Следовательно, случай к > 1 опи-
сывает ситуацию, в которой собственное поле контакта преобладает
над внешним полем* Примером такой ситуации может служить слу-
чай Не = О*

Рассмотрим случай, в котором собственное поле контакта пре-
небрежимо мало по сравнению с приложенным внешним полем Не. Со-
ответствующие выражения для магнитного поля и плотности тока в
контакте определяются формулами (5.2.10). Если мы предположим,
что %-*0иЛу —> оо так, что произведение kKj остается конечным, то
из выражения (5.2.10а) следует такое выражение для поля

Фа 1

Я(х)=—з г—=const ;
тта kKj е *

здесь мы учли, Пто к -> 0 dn(zz | к2) -> 1. Следовательно,

Фр
irdHe

(5.2.12)

В том же пределе, Подставляя в выражение (5.2.106) асимптотичес-
кие выражения для функций sn и сп при к 0, Находим для плотно-
сти тока:

J(x)= — 2Jjsin| Х° )cos| % >Х° । > (5.2.13)

\ K\j / \ KAj /

т.ё.

Дх) = — Jj sin -т—Ь<р0
\ K^j

Это выражение соответствует синусоидальному изменению плотно-
сти тока с периодом Х= ttkKj „ Используя выражение (5.2.12), полу-

чаем

J(x) = — Jj sin

2irdHe

—Ф—* + <Po

Это выражение соответствует обычной зависимости максимального
сверхтока от внешнего поля в случае малого контакта, той, что мы
получили ранее, И гл. 4.

В отношении периодичности полученных решений укажем, Нто
функции сп и sn имеют период 4К(%2), в то время как период функ-
ции dn есть 2 К (%2), Иде

К(к2)= Г/2 de -
0 /1 —K2sin20

— полный эллиптический интеграл первого рода. Отметим, что вслед
ствие соотношений

sn(u + 2K)= — sn(u); cn(u + 2K)= —cn(^)
(б)

Рис. 5.4. Простые одномерные конфигурации, а -асимметричный одномер-
ный бесконечно длинный контакт; б — симметричная линейная геометрия.

произведение функций sn(u) cn(u) также имеет период 2 К (к2). Лег*
ко убедиться, что период зависимости плотности тока J(x) от коор-
динаты составляет 2 k\j К(%2) в случае 0 £ к < 1 и 4А; К(1 /к2)
в случае к > 1. В частности, если к = 1, to К (1) = «>, период стано*
вится бесконечным. В выражения (5.2.1’0) и (5.2.1’1) входят два па-
раметра, и к, которые можно определить, Цыбирая соответствую»,
щие граничные условия для тока и магнитного поля. Очевидно, что
эти граничные условия зависят от особенностей геометрии контак*
та.

Рассмотрим простой случай асимметричного “линейного” контак*
та бесконечной длины; *гакой контакт схематически показан на
рис. 5.4, а. Сам контакт расположен в полупространстве % > 0, И его
поперечный размер W таков, что IV « Ау. Эта модель была рассмот*
рана Феррелом и Пранге [336], которые для этого случая нашли част*
ное решение уравнения (5.2.1). Они выбрали следующие граничные

условия:

Н( + оо)~^
v 7 ах

= 0

X— + 00

<р — 0 для X —» + 00 .

Из выражения (5.2.3) легко видеть, Что этот выбор соответствует
частному случаю к =1. С помощью выражений (5.2.6а) и (5.2.66),
используя асимптотические выражения для эллиптических функций
Якоби при к -> 1, Мы находим

/ч . x — Xq \

Н(х) = HcQ sech —г— >

\ /

J(x) = — 2 Jj tanh

—--—- sech —т—
/ \ А/

(5.2.14а)

(5.2.146)
Рис. 6.5. Распределение плотности джозефсоновского тока вдоль направ-
ления х для контакта с геометрией, показанной на рис. 5.4, а.

Полный ток, Протекающий через контакт, определяется выражением

W [ ^Jtxjdx

•'о

/• + «> / X — Хо \ t / X —Хо\

= 2J,W / tanh —т—sech —г—-
'о \ Л/ / \ /

Максимальная величина полного тока достигается при значении %0 = 0:

Anax^WX^ .

(5.2.15)

Таким образом, Для больших контактов в нулевом магнитном поле об*
ласть протекания туннельного тока ограничена характерным разме-
ром Лу от края контакта (рис. 5.5), П то время как для малых контак*
тов туннельная плотность тока была однородна по всей площади кон-
такта (гл. 4). Соотношение (5.2.12) определяет максимальный тун-
нельный ток, который может протекать через длинный (L.Ay -> <х>) и
узкий (W « \j ) контакт (см. «также рис. 5.12).

Рассмотрим теперь одномерный контакт с геометрией, Показан*
ной на рис. 5.4, 6. Задача в такой постановке была подробно изучена
Оуэном и Скалапина [776]. Граничные условия в этом случае при*
нимают такой вид:

Я(0) =

Фр I dtp 2tr I
2ird\ dx о) с W е
Рис, 5.6. Теоретическая зависимость нормированного тока от магнитного
поля для большого контакта симметричной линейной геометрии (рис. 5.4, б)
для случая L/Aj = 10 (согласно Оуэну и Скалапино [77б]).

Фп /
"<Ч=2Й(

dtp

с W

(5.2.16)

где Не — внешнее поле, приложенное вдоль оси у, а / - ток, протекаю-
щий через контакт. В качестве начала отсчета х = 0 выбран левый
край контакта. Из выражений (5.2.16) мы можем найти эквивалентные
соотношения:

фр ( 2ird\ dtp dx L dtp dx
Фо / dtp + 1
2wd \ dx L 1 dx

= 2Яе .
о/

\ 4тг I
0/"7w 9

(5.2.17)

Из них в принципе можно определить параметры к и %0 общего реше-
ния; однако этот путь оказывается не самым простым решением поставлен-
ной задачи. Можно зафиксировать величину внешнего поля и числен-
но искать те величины параметров к и %0, которые удовлетворяют
уравнениям (5.2.17) и определяют максимальное значение тока / . По-
лученная таким образом зависимость максимального тока ( в норми-
рованных единицах) от магнитного поля для контакта со значением
L/Aj =10 показана на рис. 5.6. Эта кривая качественно отличается
от соответствующих кривых в случае контакта малых размеров, Для
которого собственное поле пренебрежимо мало, ‘г. ё. поле внутри кон-
-|,оЬ

Р и с. 5.7. Плотность тока (сплошная линия) и локальное магнитное
поле (штриховая линия) внутри контакта при различных значениях Не для
моды 0 — 1, соответствующей линии, соединяющей точки (0, 1) и (2JD) на
рис. 5.6 (согласно Оуэну и Скалапино [ 77б]).

такта постоянно и равно внешнему полю. При рассмотрении зависи-
мостей / (%) и Н(х)9 соответствующих различным значениям 1 и Не,
можно отличить две существенно различные области. В области, ко-
торой на рис. 5.6 соответствуют значения параметров от Не = О,
1 = WHcQc /2и вплоть до Не = HcQ, / 0, контакт ведет себя как
сверхпроводник первого рода (мейсснеровская область). Он стре-
мится вытолкнуть внешнее магнитное поле. При этом ток связан с
внешним полем линейной зависимостью:

1т^ = ^(Н<0-\Не\) .
Z77

Таким образом, решения для J (х) и Н(х) описывают ситуации, в кото
рых как плотность тока, так и магнитное поле внутри контакта стре*
мятся к нулю (рис. 5.7). Соответствующие величины параметра к

9 - 436
близки к к = 1. Максимальная величина внешнего магнитного поля,
при котором еще существуют такие решения, - Нс0 ("нижнее крити-
ческое поле"). Как заметил Андерсон [26], {это поле соответствует
максимальной величине Не, которая еще может согласоваться с ре-
шением Н(х) при к = 1) (см. формулу (5.2.10а)). При Не = HCQ в кон-
такте имеется один вихрь (рис. 5.7, г). Этот вихрь содержит ровно
один квант магнитного потока.

В 1965 г. Джозефсон с помощью термодинамического подхода
вывел выражение для нижнего критического поля. Следуя Абрико*
сову [3], мы можем записать соотношение между "термодинамичес-
ким нижним критическим полем" Нс1 и свободной энергией /у, при-
ходящейся на единицу длины уединенного вихря, в виде

ЯС1 - ^-Ff . (5.2.18)

Это соотношение, определяющее переход в смешанное состояние, Мы
получим, проинтегрировав условие равновесия dF, = HcldM с учетом
того, что/"< dM = Ф0/4тг.

Заметим, Цто в присутствии магнитного поля свободная энергия
барьера, отнесенная к единице площади, определяется выражением

hJx
2е

(l-cos<p) + |Xj

J<p \2
dx /

(5.2.19)

Первое слагаемое в этом выражении связано с наличием самого бары
ера и было выведено в гл. 1 (разд. 1.6), второе - соответствует вкла-
ду магнитной энергии в области проникновения магнитного поля. Оно
найдено из соотношения

Эф 2е

Эх hcdHy *

откуда

— — ^2с2 ( V.

8тг 4е2 J2 \ dx / 9

коэффициент в этом выражении преобразован с помощью определе-
ния (4.1.3) для Ау .

Выражение для /у, Соответствующее уединенному вихрю в барье-
ре, найдено с помощью частотного решения фу уравнения (5.2.1). Сог-
ласно (5.2.2), йри к = 1 С = 1, и, следовательно,

/ d<pf \2
l-cos^^xd — I
Таким образом, из (5.2.19) мы получаем свободную энергию, прихо-
дящуюся на единицу длины вихря:

1 2е р 7 7 у\ dx ) J

2е J-x J\ dx )

Из уравнения (5.2.9), воспользовавшись асимптотическим выражени-
ем функции dn [(% -x0\/k\j \к2 ] при к = 1, находим, что

dty 2 . х

-г- = sechr— >
ах л, л.

где величина х0 предполагается равной нулю. Следовательно,

2h J, f + °° , ,2 х

F,------1 I dxsechzT— •

7 е J-x Л/

Вычисление этого интеграла приводит к выражению

Г _
7 е
Таким образом, нижнее критическое поле Нс1, определяемое услови-
ем (5.2.18), бсть , ф

С1 77 \ 'TtXjd

На рис. 5.8 показана температурная зависимость НС1 для сим-
метричных контактов, При построении которой для зависимости Лу (Т)
были использованы данные, Представленные в разд. 5.1 (см. рис. 5.3).

Интересно отметить, что величина термодинамического крити-
ческого поля оказывается меньшей, Нем Нс0, и равной (2/тт)Нс0. Ве-
личина Нс х представляет собой то наинизшее поле, При котором мейс-
снеровское решение становится неустойчивым и проникновение вих-
рей в контакт энергетически выгодно. При дальнейшем увеличении
внешнего поля ток начинает изменяться по следующей ветви в своей
зависимости от магнитного поля (см. рис. 5.6), которая уже соот-
ветствует ситуации с одним вихрем в контакте (мода с одновихре-
вой конфигурацией). Различные ветви этой кривой соответствуют
модам, которые описывают конфигурации, содержащие от п до п + 1
вихрей. Таким образом, Мы видим, Пто в магнитных полях, Превы-
шающих #с1, большой контакт ведет себя как сверхпроводник вто-
Рис, 6.8. «Нижнее критическое поле НС1 в зависимости от приведенной
температуры Т/Тс.

рого рода, в который оказывается возможным проникновение вихрей
При проникновении в контакт каждого последующего вихря относи-
тельная фаза <р по разные стороны барьера изменяется на 2 тг. Со*
ответственно полный поток при этом возрастает на один квант пото-
ка Фо. Интегрируя джозефсоновское соотношение

Э<р _ 2ird , ,
— —г— Н(х) >
Эх Фо v '

мы находим ф

<p(L)-<p(0) = 277-g- •

Из условия ф(Л) - ф(0) = 21T7Z следует, что Ф = пФ0. Зависимости
J (х) и Н(х} для различных значений Не показаны на рис. 5.9. В част-
ности, йа ветви, Которая начинается в точке He JHcQ = 0,03 (рис. 5.6)3
распределение плотности тока переходит с одновихревой моды на
двухвихревую. Для второй ветви контакт переходит с двухвихревой
к трехвихревой конфигурации и т.д. Можно ожидать, йто на экспери-
менте в зависимости тока от магнитного поля будет наблюдаться
огибающая кривой, йредставленной на рис. 5.6.

Первые исследования больших контактов были проведены Голд-
маном и Крейсманом в 1967 г. [ 402 ]п. В частности, они измери-

Поведение по типу больших контактов, предсказанное Оуэном и
Скалапино, наблюдалось также Кларком [204, 205] на контактах с метал-
лическим барьером.
Рис. 6.9. Нормированные плотность тока J (х)/J (сплошная линия) и ло-
кальное магнитное поле 2H(x)/HeQ (штриховая линия) для различных зна-
чений нормированного внешнего поля К = 2Hq/Hcq. а - при И = 0,06, ког-
да одновихревое решение находится на своем нижнем пределе; б — при
К = 1,08, когда Zj достигает своего максимума для моды 1 — 2; в - при
К = 1,72, когда 1 х оказывается наибольшим для моды 2 — 3; г - при
Н = 2,44, когда трехвихревое решение существует при максимально возмож-
ном значении И (согласно Оуэну и Скалапино [77б]).

ли температурную зависимость критического поля HcQ. Эксперимен-
тальные результаты, Полученные на контактах РЬ — РЬ в эксперимен-
тах Швидтала [ 888], Представлены на рис. 5.10. Они прекрасно сог-
ласуются с расчетами Оуэна и Скалапино. Сравнивая эти данные с
теоретической зависимостью,показанной для случая L /А у = 10 на
рис. 5.6, Мы видим, Пто расположения максимумов несколько разли-
чаются. Это различие связано с тем, что экспериментальные данные
относятся к контакту с отношением С Ду = 8,24. Отметим, Пто в
этих измерениях использовались контакты с геометрией типа ’’крест”;
Рис. 6.10. Зависимость максимального критического тока от маг-
нитного поля для контакта с линейной геометрией (см. рис. 5.4, б) при
L/Лу = 8,24. Точками обозначены экспериментальные данные. Сплошные
линии соответствуют теоретическим результатам Оуэна и Скалапино (см.
рис. 5.0) для L/Aj = 10 (согласно Швидталу [888]).

однако граничные условия, соответствующие теоретическому рас-
смотрению, обеспечивались подобранным симметричным током пи-
тания. Интересно отметить, что на рис. 5.10 видны также некоторые
’’метастабильные” состояния (экспериментальные точки под огибаю-
щей). Это явление может возникать из-aia взаимодействия вихря с
краем контакта, наличие которого приводит к возникновению свое-
образного потенциального барьера, который вихрю необходимо пре-
одолевать при входе в контакт (или выходе из него). Такое ’’гисте-
резисное” поведение свойственно сверхпроводникам второго рода.

Рис. 6.11. (Схематическое сравнение
в одном измерении изолированного вихря
в джозефсоновском контакте с вихрем
в сверхпроводнике второго рода. Н(х) и
| (х)| — соответственно магнитное по-
ле и амплитуда параметра порядка.
Итак, Здесь мы убедились, что во многих отношениях большой
джозефсоновский контакт ведет себя подобно сверхпроводнику вто-
рого рода. Однако эту аналогию не следует распространять слишком
далеко; существуют и определенные различия между этими двумя
системами. Так, Для длинного джозефсоновского контакта отсут-
ствует верхнее критическое поле. В качестве его можно принять
критическое поле Нс2 самих сверхпроводящих электродов, образую-
щих контакт. Вихревая структура, возникающая в контакте, является
одномерной, а то время как в сверхпроводнике второго рода абрико-
совские вихри образуют двумерную решетку. Природа самих вихрей
также отличается, Поскольку вихри в контакте не имеют нормальной
сердцевины. На рис. 5.11 для сравнения схематически изображены
вихри в джозефсоновском контакте и в сверхпроводнике второго ро-
дае Аналогию между этими двумя системами изучали Ямашита и Ринде-
рер [1059], использовавшие механическую аналоговую модель. В
частности, они рассмотрели явление, подобное пиннингу, и кривую
намагничивания.

5.3. Влияние геометрической конфигурации контакта

Как мы уже убедились, На поведение большого джозефсоновско-
го контакта существенно влияют геометрические факторы. В цити-
рованной выше работе Оуэн и Скалапино решали уравнение (5.2.1)
для случая геометрии одномерного линейного контакта (см. рис. 5.4, 6).
В отсутствие внешнего магнитного поля они обнаружили, что
нормированный максимальный джозефсоновский ток насыщается
при увеличении приведенной длины L/A^ (рис. 5.12). На этой
зависимости ясно виден линейный рост тока с увеличением дли-
ны контакта (однородное распределение плотности тока) в области,
где L Ау , и его дальнейшее насыщение (локализация у краев кон-
такта) при последующем увеличении L/a; . Экспериментальные
кривые насыщения тока были получены Махутте и др. [689], Шреэ-
ном и Притчардом [ 886 ], а также Джонсоном и Бароне [ 539 ]. Эти
экспериментальные результаты качественно согласуются с расче-
тами Оуэна и Скалапино.

Важно отметить, что контакты, Применяемые при исследованиях
и в различных технологических целях, бывают весьма разнообразной
геометрии, а значит, полученные конкретные экспериментальные ре-
зультаты не следует пытаться непосредственно связывать с резуль-
татами этих вычислений.
Рис. 6.1<Z (Максимальный полный ток в зависимости от длины контакта L
при Не = 0 (согласно Оуэну и Скалапино [77б]).

В частности, йри различных экспериментах с линейными контак-
тами часто используется конфигурация с ’’базисной плоскостью”
[697]. При этом нижняя пленка контакта располагается на большой
сверхпроводящей пластине и отделена от нее слоем изолятора тол-
щиной di (обычно она составляет несколько тысяч ангстрем). Что-
бы понять, как присутствие базисной плоскости влияет на свойства
контакта, рассмотрим пленку толщиной di , много меньшей, чем ее
ширина, й много большей, чем лондоновская глубина проникновения
AL(W » dt » Al). Распределение поверхностной плотности тока
Js (у) в отсутствие базисной плоскости [752] показано на рис. 5.13, й.
Влияние базисной плоскости схематически показано на рис. 5.13,6" (для случая
« W). Мы видим, Что распределение поверхностного тока в этом
случае становится почти однородным вдоль направления у. Это про-
исходит благодаря появлению изображения тока, протекающего в
контакте, которое возникает в сверхпроводящей базисной плоскости
и направлено по оси %. В результате полное магнитное поле над плен-
кой оказывается исчезающе малым. Наличие базисной плоскости изменяет
граничные условия. Мы видим, что в области контакта распределение плот-
ности тока можно предположить однородным даже в отсутствие базисной
плоскости. В действительности верхняя и нижняя пленки контакта
могут оказывать влияние, обратное влиянию базисной плоскости.

В этом случае ток уже не распределяете я равномерно в области
между краями контакта, а протекает главным образом вблизи одно-
го из них.
(а)

Рис. 5.13. Распределение плотности тока Js (у) в сверхпроводящей плен-
ке. а - без базисной плоскости; б — с базисной плоскостью.

▲ -Цу)

L-- Ф L
.... - —

<б>

Недавно Басавайя и Брум [ 97 ] подробно исследовали тщательно
выполненные линейные контакты с базисной плоскостью. Среди дру-
гих результатов они получили и кривые насыщения. В согласии с
приведенными выше соображениями в этом случае величина тока на-
сыщения оказывается вдвое меньше значения, вычисленного с помо-
щью граничных условий Оуэна и Скалапино. В последнее время бы-
ли опубликованы теоретические работы Жаркова и Васенко [1005,
1092], посвященные исследованию распределения тока и магнитного
поля в джозефсоновских контактах.

Приближенный подход к решению задачи о протекании тока в
контактах различной геометрии был предложен Бароне, Джонсоном
и Вальо [ 87 ]♦ Они предположили, что между фазой и током в контак-
те имеет место кус очно* Линейная зависимость, и проанализировали
одномерный случай с граничными условиями весьма общего вида, ко-
торые позволяют учесть различные типы геометрии электродов. Ио

ходное уравнение выглядит так:
Э2<р 1 2

(5.3.1)

где х - положительная константа. Выражение, соответствующее ли-
неаризованной связи между током и фазой, можно записать в виде
/(ф) = (/1/ 4)ф. Это соотношение и истинная синусоидальная зависи-
мость показаны на рис. 5.14. Такой выбор величины х совместно с
условием J < соответствует той же величине запасенной магнит-
ной энергии, ^ito и в случае истинной зависимости фазы и тока (за-
штрихованные на рисунке области имеют равные площади).
Рис, 6.14. Линейная и синусоидальная связи тока с фазой. Заштри-
хованные области имеют равные площади.

Для того чтобы иметь возможность учесть различные случаи
распределения тока по краям контакта, рассмотрим уравнение (5.3.1)
(со значением х = 1/ 2) с граничными условиями общего вида:

где аир- неотрицательные постоянные величины (для заданного
направления тока), Причем вследствие закона Ампера а + р 1.
Следовательно, различные значения аир являются мерой той до*
ли всего тока, которая протекает по соответствующему краю контак-
та. Выражение для распределения плотности тока имеет следующий
вид:

. ч_ I / 0cosh(x/2XJ + «cosh[(L-x)/2Xy] !-«-/? \

sinh(L/2Xj) + L/2X, )

с НJ cosh(x/2X7)-cosh[(L-x)/2X7] \

хД sinh(L/2X7) / 1 ‘ ’

Мы видим, Пто величина (Z / WL)( 1 - а — р ), как это следует из уело*
w L

вия f dy f dx J (x) = I, представляет собой ту часть тока, которая
о о

протекает через контакт, не создавая магнитного поля в у-направле-
нии. Приведем граничные условия, ^соответствующие геометрии кон-
тактов четырех типов, показанных на рис. 5.15.

а) . Легко убедиться, что в случае симметричного линей-
ного контакта (рис. 5.1'5, а) а = р = 1/2, и условие /тах(*) = Ц
при Не = 0 приводит к соотношению
Рис. 5.15. Эскизы типичных контактов с различной геометрией, в — ли-
нейная симметричная конфигурация; б — линейная асимметричная конфигу-
рация; в — геометрия с перекрытием; г — геометрия типа ’’крест” (соглас-
но Бароне и др. [87]).

4 — (3)

О 2 4 6 8 10 12 14

L/\j

Рис. 5.16. Нормированный максимальный джозефсоновский ток в зависи-
мости от величины нормированной длины контакта. Кривые 1 — 3 относятся
к геометрическим конфигурациям, показанным на рис. 5.15, a - в соответ-
ственно. Кривая насыщения для контактов с геометрией типа* ’’крест” дол-
жна попадать в заштрихованную область (согласно Бароне и др. [87]).
I _ 2sinh(L/2Xy)
“ cosh(L/2X7)+1

Зависимость нормированного сверхтока от нормированной длины
для такого контакта показана на рис. 5.16 (кривая 1). Такой
результат находится в согласии с характерными чертами кри-
вой насыщения, полученной в анализе Оуэна и Скалапино.

б) . Для геометрии контакта, показанной на рис. 5.15,6,
граничные условия имеют вид а = 1,₽ = 0 [954], и мы нахо-
дим

2WAJJ1 = tanh( 2Х}) '

В этом случае (рис. 5.16, кривая 2) ток насыщения оказывается
вдвое меньшим, Чем в предыдущем случае. Как уже указывалось,
такая же ситуация имеет место в случае линейного контакта с
базисной плоскостью [ 97 L

в) . Для геометрии контакта с перекрытием, показанной на
рис. 5.15,^, граничные условия можно принять в виде а = р = 0; это
означает, что ток протекает лишь в направлении у. В этом случае
(рис. 5.16, кривая 3) мы имеем

I L
2WXJJ1 2Xj ’
Таким образом,

Следовательно, в рассматриваемом случае можно ожидать, Что
эффект насыщения тока наблюдаться не будет; Нормированный
же джозефсоновский ток будет линейно возрастать с увеличе-
нием нормированной длины контакта, что указывает на однород-
ное распределение тока в контакте. Это утверждение хорошо
согласуется с экспериментальными результатами Джонсона
и Бароне [ 539], Н также с результатами последующего обсу-
ждения этого вопроса Стуемом и Вилмсеном [954].

г) . Наконец, рассмотрим контакт с геометрией типа "крест”.
В этом случае выбор подходящих граничных условий не очеви-
ден. Мы можем предположить, что а + |3= 1, и оставить неоп-
ределенным соотношение между аир. Это означает, что в за-
висимости от относительных размеров контакта и, следователь-
но, в зависимости от конкретного ’’расщепления” тока параметр
а(р) может принимать любые значения от 1/2 до 1. Эксперимен-
ты на контактах с геометрией типа "крест" указывают на то,
что ток в них протекает только по одному из краев. Однако,
по*йидимому, возможны и иные ситуации. При этом соответ-
ствующие кривые насыщения тока будут лежать между кривыми
1 и 2 (заштрихованная область на рис. 5.16). Видно, что если
а > р, 'го при L/Лу -> оо имеет место предельное соотношение
//2WAy/i = 1/а.. Возможно, что результаты работы Джонсо-
на и Бароде [ 539 ] отражают именно эту ситуацию, в которой
ток неравномерно распределен между двумя краями контакта.
Это обстоятельство может иметь место также и по другим
причинам, 'таким, как наличие в барьере неоднородностей, что
наблюдалось Махутте и др. [689] в симметричных линейных
контактах. Нужно также учитывать, что в контактах с геомет-
рией типа "крест” относительно большие пленки, выступающие
в качестве нижнего слоя, могут играты роль базисной плоскости
[215, 888 L

Используя линеаризованную модель, мы можем выяснить так-
же некоторые особенности зависимости I (Не) в пределах мейссне-
ровской области для рассмотренных выше случаев геометрии контак-
тов. Из условия /тах(%) < Л следует, Что /(0) < Ц и J (L) J Г По
уравнению (5.3.2) легко видеть, Что в пределе больших контактов

_2_ = l(1 + il _=

IVlXjJ, «\ На)' IVIXjJ, 0\ H„)

где Но = (8-тт/с )Л/ /1 представляет собой нижнее критическое поле,
которое уже обсуждалось в разд. 5.2.

Для симметричного линейного контакта находим (рис. 5.17, а,
кривая 1); / |я |

Il(He) = 4XJJ^ 1-V
\ “о

что согласуется с расчетами Оуэна и Скалапино. Для асимметрич-
ной геометрии линейного контакта (рис. 5.15, б), Или, в более об»
щем случае, если а = 1, р = 0 (а = 0, р = 1), Мы получаем зависи-
мость 7Д//Д, Представленную кривой 2 (кривой 3) на рис. 5.17, а.
В действительности же обе кривые 2 и 3 были получены также и
для симметричных линейных контактов с базисной плоскостью [ 97п,
697]. Кроме того, Напомним, Что Швидтал [888] получил эксперимен-
тальные результаты на контактах с геометрией типа "крест", реали-
зовав как симметричные (а = р = 1/2), *гак и асимметричные гра-
ничные условия (а = 1, р = 0; а = 0, р = 1). В этих экспериментах

Мы видели, что ток достигает своего максимального значения 1г (Яо)
при Не = Hq , в то время как в нулевом поле /ДО) = /ДН0)/ 2. Эго учитывается
величиной тока насыщения на кривой 2 рис0 5.16 в согласии с эксперименталь-
ными в этой работе.
Рис. 5.17. Нормированный максимальный джозефсоновский ток в зависи-
мости от внешнего магнитного поля для больших джозефсоновских контак-
тов. а — кривая 1 относится к геометрии контакта, показанной на рис. 5.15, а
(граничные условия а = р = 1/2); кривые 2 и 3 относятся к контактам с
геометрией, показанной на рис. 6.15, б(а = 1, р = 0 и а = 0, р = 1 соответ-
ственно). Для контактов с геометрией типа ’’крест" реализуются промежу-
точные ситуации (штрихован линия); б — кривые относятся к контакту с гео-
метрией, показанной на рис. 5.15, в (а = р = 0) и соответствуют трем раз-
личным величинам размера контакта L (согласно Бароне и др. [87 J).

значения параметров аир контролировались условиями подачи
внешнего тока. Штриховая линия на рис. 5.17, а соответствует про»
межуточному случаю распределения тока. Наконец, на рис. 5.17, б
представлена зависимость /х(Яе) для контакта, Геометрия которого
показана на рис. 5.15, &. Для случая а = р= 0 из уравнения (5.3.2)
имеем / I// I \

1-М •

\ п0 I

Различные кривые соответствуют различным значениям размера L.
Мы видим, что подобные же зависимости наблюдались также и в слу-
чае геометрии контакта типа ’’окно”, Исследованного Шреэном и Прит-
чардом [ 886 ].

В заключение этого раздела мы еще раз подчеркнем пределы
применимости линеаризованной модели* Очевидно, что в линеаризо-
ванном приближении профиль проникновения магнитного поля в мас-
штабе Ау отклоняется от истинного (например, максимумы J(x) имеют
место при х = 0 и х = L); Ьднако "интегральные” результаты, Этакие,
как зависимости Z 1(L/Л/ ) и Ц(Не)9 существенно не изменяются*

Как мы видели, несмотря на грубость приближения, эта проце-
дура может дать полезные сведения о свойствах контактов с различ-
ной геометрией* Применение этой модели для двумерного случая
недавно обсуждал Вальо [998]* В частности, он исследовал свой*
ства контактов квадратной формы и провел сравнение с имеющими-
ся экспериментальными данными* Некоторые из этих результатов
представлены на рис. 5*18, где показана картина распределения плот*
ности тока в контакте квадратной формы*

Наконец, fe целях полноты изложения упомянем случай контакта
с сечением в форме круга* Если его радиус Ro, то однородное распре-
деление плотности тока по сечению будет иметь место до тех пор,
пока выполняется условие 2#0 « Ау . Этот случай уже обсуждался
в гл.4. Если Rq становится больше Ay, to необходимо принять во
внимание ограничивающее влияние собственного поля, которое при-
водит к пространственной зависимости /у. Двумерность задачи в
этом случае упрощается ее цилиндрической симметрией. Фаза явля-
ется функцией только радиальной переменной R (мы, как всегда, рас-
сматриваем стационарный случай), и двумерное уравнение
V2 q> = L/А у sin ф сводится к виду

Э2ф 1 9<р z .

где произведен переход к безразмерной переменной г = R/\j. Пол-
ный ток определяется выражением

I— [ 02irR 8Шф( A) dR = X2 ( J2tirJxrs\nw(r\dr .

•'о 'о
0.89 0,90

L/kj=8

L/kj =16

(a)

Рис. 5.1Q. Распределение плотности тока в контакте квадратной формы
(L = W) при различных значениях отношения W/Aj в нулевом приложенном
поле (Не = 0). а - симметричные токи питания; б - асимметричные токи
питания. Отношение J(x, у)/ J постоянно вдоль каждой кривой (соответст-
вующая величина указана возле соответствующей кривой). Стрелки на ри-
сунках а и б указывают направление тока в электродах. (С любезного сог-
ласия Вальо).
Тагуши и Ешиока I 960] вычислили распределение плотности тока в
зависимости от нормированного радиуса r =R/\j для контактов раз-
личных размеров при нулевом внешнем поле. Эти кривые хорошо вос-
производят результаты Оуэна и Скалапино для одномерных линейных
контактов. В случае контакта с круговым сечением протекание тока
ограничено периферийной областью контакта.
Глава 6

Вольтамперные характеристики
(ВАХ)

В этой главе для теоретического изучения ВАХ джозефсоновского кон-
такта мы воспользуемся моделью простой электрической цепи, экви-
валентной этому прибору* В разд. 6.2 рассматривается случай, когда
ток через джозефооновский элемент определяется выражением
(1.4.4). В разд. 6.3 с помощью общего уравнения (2.2.3), которое было
получено в рамках микроскопической теории для нестационарного
туннельного тока, мы рассмотрим явления, возникающие в связи с за-
висимостью тока куперовских пар от частоты. Влиянию флуктуаций,
главным образом тепловых, на ВАХ контакта посвящен разд. 6.4.
Анализ проводится для простого случая постоянных значений квази-
частичной проводимости G и джозефсоновского тока Zp

6.1. ВАХ для слабых связей различных типов

Как уже говорилось выше (разд. 1.8), джозефсоновские явления
наблюдаются в структурах различных типов. Систему двух слабо свя-
занных сверхпроводников можно реализовать в виде туннельного кон-
такта, который обсуждался в предыдущих главах, сверхпроводящей
пленки с сужением, точечного контакта и т.д. (см. гл. 7).

При рассмотрении ВАХ всех этих приборов видно широкое разнооб-
разие их свойств. На ВАХ туннельных контактов могут наблюдаться
весьма заметные гистерезисные явления (см. рис. 1.7}; при такой ВАХ
имеются два различных устойчивых состояния контакта (с V = 0 и
V f 0) для значений тока, меньших максимального тока /г В точечном
контакте или мостиковой структуре ВАХ обычно оказываются одно-
значными по крайней мере для температур, не слишком удаленных от
критической. В качестве примера на рис. 6.1 представлены соответ-
ствующие данные для алюминиевого мостика. Каждая кривая соответ-
ствует определенному значению температуры. Конечно, частные отли-
чия в ВАХ различных слабых связей отражают различную физическую
природу этих структур. Однако, многие характерные черты ВАХ сла-
бых связей могут быть изучены в рамках простой модели эквивалент-
ной электрической цепи, в которой распределенная емкость и квази-
Рис. 6.1. Экспериментальные ВАХ алюминиевого мостика. Представлен-
ные три кривые соответствуют различным значениям приведенной температу-
ры Т/Тс , (Согласно неопубликованным результатам Карелли и Модены.)

частичная проводимость джозефсоновского элемента рассматривают-
ся как элементы этой цепи, включенные параллельно нелинейному
джозефсоновскому прибору.

6.2. Резистивная модель контакта: автономный случай

Следуя Маккамберу [704, 705], Стюарту [949] и Джонсону [538],
которые рассмотрели эту проблему независимо, представим слабую
связь как простую эквивалентную электрическую цепь, показанную
на рис. 6.2. Поскольку импеданс джозефсоновских приборов, применя-
емых на практике, обычно оказывается значительно меньше импеданса
источника, мы будем считать, что в цепи имеется источник тока. Бу-
дем также полагать, что протекающий в цепи ток постоянен. Уравне-
ние баланса токов в цепи имеет вид

= +GK(Z) + /Isin<p(r) , (6.2.1)

Рис. 6.2. Цепь, эквивалентная джозефсоновскому контакту при задаваемом
токе.
где CdV /dt - протекающий через емкость С ток смещения, GP( t ) -
ток, протекающий через сопротивление R(G = 1/R), а sin q> - джозеф>
ооновский сверхток. V (t ) есть напряжение на контакте, которое свя-
зано с разностью фаз q>(£) через соотношение (1.4.5). Отметим, что
это соотношение относится к случаю, в котором разность фаз на слабой
связи не зависит от координат. С помощью выражения (1.4.5) уравне-
ние (6.2.1) можно переписать как уравнение для фазы ср*:

r _ h ~d2<p , h 1 d<p , т .

1л‘~ТеС^ Те • <6-2’2)

Введем для удобства безразмерные переменные. Следуя Джонсону
[538], определим _

а также нормированное напряжение

/ л d<P _ v

ГДе / 2е Д \|/2

\ h С/

есть плазменная частота. С помощью этих обозначений уравнение
(6.2.2) можно переписать в виде

а= + sin<р , (6.2.3)

dr2 dr

где а = Zdc Jlx - нормированный ток. Поскольку при обсуждении
этого вопроса в литературе использовались различные безразмерные
переменные, то для упрощения их сравнения в табл. 6.1 наряду с на-
шими обозначениями мы представили те переменные, которыми поль-
зовались Маккамбер и Стюарт. Найти решение уравнения (6.2.3) в
общем виде оказывается невозможным, за исключением случая, когда
пренебрежимо мал член со второй производной (малая емкость контак-
та, С -> 0). В остальных случаях это уравнение можно исследовать чис-
ленными методами или с помощью различных аналоговых моделей.

^Строго говоря, ооу есть значение плазменной частоты в пределе малой
амплитуды и при 1^с -♦ 0 [2511
Рис. 6.3. Простой маятник с приложенным внеш-
ним вращающим моментом.

Весьма удобно применять также анализ этого уравнения на фазовой
плоскости.

6.2.7. Механическая модель. Рассмотрим простой маятник с мас-
сой т и длиной нити I , показанный на рис. 6.3. Если 0 - угол его от-
клонения от вертикали, то уравнение, описывающее движение маятника
с течением времени, имеет вид

где т т - полный вращающий момент, a Mj - момент инерции маятни-
ка. тт является суммой трех моментов: приложенного вращающего
момента (в нашем случае он равен ra = m^rg ), возвращающего
момента (он обусловлен действием силы тяжести и равен -mgZsinO),
а также противодействующего момента силы трения (мы примем его
в виде - (de,/dt), где D{ — коэффициент затухания); здесь g -

ускорение свободного падения тел. Таким образом, уравнение для
угла 0 как функции времени имеет вид

та=М{— +Df— +mglsin0 . (6.2.4)

dt ai

При сравнении уравнения (6.2.4) с уравнением (6.2.2), которое было
выведено для "электрической" модели, легко убедиться в близкой
аналогии между простым маятником и джозефсоновской слабой связью.
При этом угол отклонения маятника от вертикали 0 играет роль раз-
Таблица 6.1. Безразмерные переменные, используемые различными
авторами при рассмотрении резистивной модели, и их взаимосвязь

Переменная Автор
Джонсон Маккамбер Стюарт

Частота 2е 71 COy
Время т = СОу t 6= wOTt t0 = KC
Ток *dc а = '1 a a
Напряжение V п~ ТГ1 n n
Параметр Рс =-Ц 1 T°W/_

Таблица 6.2. Эквивалентность между физическими величинами в электрическом
и механическом аналогах

Электрический аналог Механический аналог
/dc ~ задаваемый ток та — приложенный вращающий момент
С - емкость контакта 1/R - проводимость Mj - момент инерции Df — коэффициент затухания

I! — максимальный джозефсоновский mgl - максимальный вращающий момент

ток силы тяжести
Ф разность фаз 6 — угол отклонения от вертикали

ности фаз ср. Следовательно, для лучшего понимания свойств джозеф-
соновского элемента можно использовать его механический аналог.

Аналогию между джозефсоновской слабой связью и жестким маят-
ником впервые отметил Андерсон [ 24]. После этого многие авторы
конструировали механические модели и использовдли их для описания
свойств как больших, так и малых джозефсоновских контактов, кото-
рые описываются резистивной моделью [807, 846, 895, 956]. Велико-
лепный обзор аналогов джозефсоновского контакта был дан Фултоном
[374]. В табл. 6.2 приведено соответствие между элементами и пара-
метрами электрической цепи и их механическими аналогами.
Уравнения (6.2 Л) можно переписать в безразмерных единицах:

ra _ d2e , . de , . п

—; - +sin0

mgl dr2 dr

где

Рм ~

^m —

Подставляя в последнее выражение типичные значения параметров, ска-
жем т ~5г, I =-- 9 см, М ~ ml2, мы находим, что ссм 10 с Это ве-
личина в 109 раз меньше характерных значений со7,которые, как это уже
указывалось в разд- 1-7, принадлежат к микроволновому диапазону
(порядка нескольких гигагерц)- Следовательно, нелинейности во вре-
менной зависимости 0 в механических аналогах оказываются доста-
точно медленными, и их можно наблюдать непосредственно- На рис 6Л
показана схема механического аналога, используемая на практике.
Линейное демпфирование осуществляется с помощью алюминиевого
диска и постоянного магнита. В этой модели внешний вращающий мо-

Рис. 6,4, Механический аналог простого джозефсоновского контакта, в кото-
ром задается постоянный ток. Роль тока в этой механической модели играет
вращающий момент, который прикладывается к диску. Величина этого момен-
та пропорциональна скорости вращения мотора. (Согласно работе [95б].)
мент та прикладывается с помощью мотора, на ось которого наса-
жен стержневой магнит, вращающегося вблизи алюминиевого диска.

6.2.2 . Случай малой емкости контакта (|3у » 1). Рассмотрим
простой случай, в котором проводимость шунта оказывается настоль-
ко большой, что полностью ’’закорачивает” емкость контакта. При
этом параметр Ру вместе с отношением G/ooy С оказывается очень
большим. В механической модели этот случай соответствует ситуации,
в которой затухание превалирует над инерцией. В такой постановке
задача подробно изучалась Асламазовым и Ларкиным [ 45] и Вилдрамом,
Пиппардом и Кларком[ 1028]. В этом приближении слагаемое с второй
производной, которое связано с током смещения, можно опустить, и
уравнение (6.2.3) сводится к

+ sin<p • (6.2.5)

Это уравнение уже имеет аналитическое решение. При |/dc| > прос-
тым интегрированием находим

<p(r) = 2tan

(6.2.6)

где Т — период, который определяется выражением

т_
(«2 —1),/2

Соответствующее постоянное напряжение на джозефсоновском элемен-
те пропорционально производной d<p /d т, усредненной по времени,
т.е. величине _ \ rrd(p 2тг

где точкой обозначено дифференцирование по времени. Таким образом,
связь между нормированным напряжением и током имеет вид

• (6.2.7)

Эта зависимость показана на рис. 6.5. Мы видим, что до тех пор, пока
ток ^dc не превышает критической величины Zt (а < 1), усредненное по
времени напряжение на контакте остается равным нулю. Дальнейшее
увеличение тока в цепи переходит контакт в состояние с конечным
напряжением. Эта ветвь кривой определяется однозначной зависимос-
тью между напряжением и током (6.2.7). Для больших величин тока
Рис. 6.5. Усредненная по времени ВАХ контакта, рассчитанная с помощью
резистивной модели при Ру »1 (предел нулевой емкости).

(а » 1) кривая асимптотически выходит на прямую, угол наклона ко-
торой определяется величиной нормального сопротивления. Такой вид
зависимости обусловлен возникновением переменного джозефсонов-
ского тока при конечном напряжении на контакте. Для лучшего пони-
мания ее происхождения рассмотрим выражение для напряжения
Т(т) в зависимости от нормированного времени. Вычисляя из выра-
жения (6.2.6) производную функции <р (т) по времени, находим.

К(т) (а2 — 1)/а

Эта зависимость показана на рис. 6.6 для двух различных значений
нормированного тока а. Для значений Zdc , близких к 1 г, зависимость
напряжения от времени представляет собой ряд периодических всплес-
ков и содержит в себе большое число гармоник. При’дальнейшем уве-
личении тока 7dc, расстояние между всплесками, которое определяется
периодом Т, уменьшается. Соответствующая зависимость напряжения
от времени все больше и больше стремится к простым синусоидаль-
ным осцилляциям на фоне постоянного напряжения по величине,
примерно равного ZdcZ?. Следовательно, средняя по времени величина
переменного тока стремится к нулю и не дает заметного вклада в
Рис. 6.6. Зависимость напряжения на контакте F(t) от времени при (Зу = 20
и для значения тока 1^с /1г = 1,2 (А) и Цс /^ = 4(B). Усредненные по време-
ни напряжения соответствуют точкам А и В на рис. 6.5.

полный постоянный ток. На языке механического аналога случай
а > 1 соответствует ситуации, в которой приложенный вращающий мо-
мент та достаточно велик для того, чтобы привести к вращению
маятника вместо его колебаний. В частности, кривая А на рис. 6.6
соответствует значению приложенного вращающего момента, кото-
рое лишь ненамного превышает величину, необходимую да совершения
маятником полного оборота вокруг оси вращения; поэтому движение
маятника, возникающее под действием такого вращающего момента,
оказывается весьма неравномерным. Другая ситуация (кривая Б) со-
ответствует случаю, когда приложенный вращающий момент намного
превышает возвращающий момент силы тяжести. Возникающее при этом
вращательное движение оказывается почти равномерным.

6.2.3 Анализ на фазовой плоскости. Вернемся к выражению (6.2.3),
которое справедливо для любых значений р . Как уже говорилось в
разд. 6.2.1, одним из путей изучения его решений - использование ме-
ханического аналога. Другую возможность для этой цели предоставля-
ет электрический аналог [60, 454, 538, 1041]. Для качественного пони-
мания свойств джозефсоновской системы весьма полезно изучить ее движение
в соответствующем фазовом пространстве. Это так называемый анализ
на фазовой плоскости, хорошо известный метод теории колебаний
[ 35, 727]. Мы изложим главную идею метода (следуя Джонсону [ 538])
и применим его для исследования решений уравнения (6.2.3). Это урав-
нение можно заменить двумя эквивалентными уравнениями первого
порядка: _

-j- =а — ~sing?. (6.2.8)

dr J dr

В уравнениях (6.2.8) время т фигурирует лишь в виде дифференциала
di и в явном случае не входит в правые части уравнений (т.е. в сис-
теме нет внешнего переменного тока}; в этом смысле данный случай
называется "автономным". Состояние системы в любой момент вре-
мени представляется некоторой точкой в плоскости Z, <р. По мере из-
менения т точка описывает некоторую траекторию. Вид конкретной
траектории зависит от начальных условий. Следовательно, при задан-
ных значениях параметров а и ру система представляется набором
возможных траекторий в плоскости Z, <р. Картину этих траекторий
часто называют диаграммой в фазовом пространстве. При изучении
набора диаграмм, полученных при различных значениях параметров
а и р j t можно извлечь информацию о свойствах возможных решений
системы уравнений (6.2.8). Например, замкнутые кривые в плоскости
Z, <<р соответствуют периодическим решениям; точка, в которой
d<p /di = dZ /d'x 0, соответствует положению равновесия и т.д.

Так как переменная <р содержится в уравнениях (6.2.8) под знаком
синуса и, следовательно, точки, отличающиеся на величину 2тг, для
переменной ср эквивалентны, то в качестве фазового пространства наи-
более удобно выбрать цилиндр (рис. 6.7, а). В таком цилиндрическом
фазовом пространстве имеются два типа замкнутых путей.

а. Замкнутые пути первого рода, охватывающие точку равновесия
(кривая Г\ на рис. 6.7). На языке механического аналога этот
тип траекторий соответствует колебательному движению маятника.

б. Замкнутые пути второго рода, которые проходят вокруг цилин-
дра, не охватывая точки равновесия (кривая Г2 на рис. 6.7). На
языке механического аналога этот тип траекторий соответствует
вращательному движению маятника.

Во избежание усложнений при построении диаграмм в фазовом прост-
ранстве оказывается более удобно представить фазовое пространство
(б)

Р и с. 6.7. а — цотиндрическое фазо-
вое пространство. Кривые и Г2 со-
ответствуют путям первого и второго
родов: б - кривые тех же типов пока-
заны на развернутом цилиндре.

в виде развернутого цилиндра (рис. 6.7, б). Можно показать, что для
системы уравнений (6.2.8) может существовать лишь один замкнутый
путь (и, следовательно, периодическое решение) второго рода, полнос-
тью лежащий в области Z > 0. Поскольку Z = ф, то эти решение соот-
ветствует состоянию, в котором средняя по времени величина напряже-
ния отлична от нуля.

В плоскости параметров Ру и а рассмотренная ситуация может
быть представлена следующим образом.

а* При а > 1 (7dc > и при произвольной величине Вj точки рав-
новесия не существуют; имеет место лишь периодическое решение
второго рода. Таким образом, контакт в этом случае пребывает в
состоянии с конечным напряжением.

б. При а<с 1 (/dc $ 4) ситуация оказывается более сложной. По-
ведение системы зависит от конкретного значения Рр

В плоскости а , Ру можно определить кривую [обозначим ее через
(Ру )], которая разделяет плоскость на две области, соответствую^
щие решениям с одним или двумя устойчивыми состояниями. Такая
зависимость % (Ру ), вычисленная Джонсоном [ 538] с помощью анало-
говой вычислительной машины, показана на рис. 6.8. В нескольких
работах [ 105, 106, 879, 949, 1082, 1093] были найдены также аналити-
ческие соотношения, которые приближенно описывают эту бифуркаци-
онную линию ас(Ру ).

При Ру < 0,2 имеет место простое соотношение [ 949]

л
Рис. 6.8. Результаты вычислений на аналоговом компьютере для пара-
метра ас в зависимости от величины Ру . В области, расположенной выше
кривой (Ру), существует только одно устойчивое решение. В облас-
ти, раоположенной ниже этой кривой, существуют два устойчивых решения.
(Согласно Джонсону [538].)

На рис. 6.9. показана типичная фазовая диаграмма при определенной
величине Ру и различных значениях параметра а Из нее видно, что
при а < а е (Ру ) существует только одно положение равновесия (рис.
6.9,а). При этом система имеет только одно устойчивое состояние, со-
ответствующее нулевому напряжению на контакте. Когда величина па-
раметра а возрастает до значения &с (Ру ), появляется петля сепаратри-

са) (б) (в)

Рис. 6.9. Качественные картины траекторий на фазовой плоскости, соответ-
ствующие трем различным ситуац<ям (А, В, С), показанным на плоскости

Pj -а на рис. 6.8. (Согласно Белых и др. [ Юб].)
сы (рис» 6.9, 0. При ас (p>j) < а < 1 возникают устойчивые периодичее-
кие решения, которые сосуществуют с точкой устойчивого равновесия.
Таким образом, в этом случае оказываются возможными состояния
как с нулевым, так и с конечным напряжением на контакте. Контакт
пребывает в одном из них (в зависимости от начальных условий). Боль-
шое число диаграмм в фазовом пространстве для джозефсоновской
слабой связи рассчитал и исследовал Фалько [326].

6124 ВАХ контакта конечной емкости. Рассмотрим усредненное
по времени напряжение V как функцию нормированного тока. При
< Ру (1) с* 1,15 мы получаем кривую, аналогичную той, которая по-
казана на рис. 6.10. Если мы находимся в точке а = 0, V - 0 и
начинаем увеличивать ток, то падения напряжения на контакте не про-
исходит до тех пор, пока мы не достигнем критического значения
тока Zj (а = 1). В этой точке происходит переброс в состояние с ко-
нечным напряжением на контакте, и далее кривая зависимости
V -I следует этой ветви характеристики.

С уменьшением тока напряжение на слабой связи остается конеч-
ным до тех пор, пока ток Zdc не уменьшится до величины I1ac (Ру ).
Сравнивая кривую, изображенную на рис. 6.10, с соответствующей за-
висимостью, показанной на рис. 6.5 (полученной в пределе нулевой
емкости контакта), мы видим, что в рассмотренном случае (Тово ког-
да конечная емкость)ВАХ оказывается гистерезисной. В пределе
Ру 0 (G« coy С) гистерезис становится полным. На рис. 6.11 пред-
ставлены зависимости усредненного напряжения от тока, полученные
Джонсоном [ 538] при решении уравнения (6.2.8) на аналоговой машине.

Рис. 6.10. Усредненная ВАХ, вычис- Риа 6t11t Аналоговые расчеты ус-
ленная на основании резистивной моде- редненных ВАХ при различных значе-
ли в случае конечной емкости контакта, ниях параметра (Зу. (Согласно Джон-
сону [538].)
Величины % (Ру), при которых контакт переходит в состояние с нуле-
вым напряжением, соответствуют кривой, показанной на рисо6о8о От-
метим, что перёбросы в состояние с конечным напряжением на кон-
такте происходят при конечном напряжении Vm , которое является функ-
цией параметра . Можно сделать оценку максимально возможного
теоретического значения величины Vm 9 которая будет справедлива
при Ру < 0,2. В результате анализа ВАХ, рассчитанных при этих зна-
чениях Ру , было обнаружено [ 538], что

Из соотношения (6.2.9) следует, что при Ру < 0,2

Используя выражения для Ру и соу , получаем

4 h
У(ВЛ<--?-иг .

m\rJJ ту- 2в J

Такая линейная зависимость напряжения Vmi при котором происходит
переброс системы, от плазменной частоты была экспериментально
обнаружена Фултоном [363] на туннельных контактах. Недавно Педер-
сен с сотр. [812] измерили напряжение переброса в контактах
Sn -SnOx — Sn для температур, близких к критической, при различ-
ных значениях параметра Ру . В экспериментах по плазменному резо-
нансу, измеряя величину ооу для каждой из величин Ру независимо,
они обнаружили, что имеет место соотношение Vm = khu>j /2е 9 где
k — постоянная порядка 1.

Другой подход к решению уравнения (6.2.1) заключается в замене
линейного выражения GP нелинейной формой вида GVn и отыскания
соответствующих аналитических решений. Педерсен и Сармарк [810,
811] рассмотрели случай п = 2; Стюарт [950] исследовал случаи
п=2ип->оо. В частности, при п = 2 [810, 811] уравнение (6.2.2.) при-
водится к виду

где предполагается, что R = const/Г = a k= (k tC)

Из этого уравнения можно найти решение, которое соответствует
зависящему от времени напряжению. Эта зависимость имеет вид

d2<p . . / dtp f 2 . 2

—-+к 1—7’1 4- o)r sin <р = о) г а
dt2 \ dt ) J * J

V(t) =

h dtp _ A /
2e dt 2e \

. \l/2,

— j(a + a0) dn

y7]7l(a+ao)l/2(,-zo)

2 к 4
И/Ио wv0

(а)

(б)

Рис. 6.12. Усредненные по времени ВАХ (сплошные линии), полученные пу-
тем решения уравнения (6.2.2) с использованием нелинейной зависимости
v/vQ = а** (штриховые линии). ( a) k = 1/4; (б) k = 1. (Согласно Педерсену
и Сармарку [ 8061.)

где dn[u] - эллиптическая функция Якоби, а параметр а0 = 2Л/(1 + 4А2)^.
Вычисляя среднее значение функции V (t ) по времени, мы находим ус-
редненные ВАХ, которые представлены на риа 6Л2о Полученный ре-
зультат в большей степени аналогичен результату, найденному в ли-
нейной резистивной модели (рис. 6.11).

Первая трудность, с которой мы сталкиваемся при сравнении
теоретических ВАХ с экспериментальными данными, полученными на
туннельных контактах, обусловлена сильной нелинейностью сопротив-
ления контакта квазичастичному току в этих образцах. Мы же в приб-
лижении резистивной модели полагали это сопротивление постоянным.
Скотт [901] исследовал уравнение (6.2.2) численно, использовав ре-
альную зависимость квазичастичной проводимости от напряжения
Для сравнения на рис. 6.13 представлены экспериментальные ВАХ
(Bi (И

ИмВ)

Р ч с. 6.13. a — экспериментальные и теоретические квазичастичные
туннельные кривые при температуре 4,2 К; б - экспериментально наблюдаю-
щийся и теоретический гистерезис ВАХ при температуре 4,2 К; в — экспери-
ментальная и теоретическая квазичастичные туннельные кривые при тем-
пературе 1,38 К; г — экспериментально наблюдающийся и теоретически рас-
считанный гистерезис для температуры 1,39 К. (Согласно Скотту [ 901].)

контактов Sn-SnOx - Sn и соответствующие им теоретические кривые
Из него можно убедиться в превосходном согласии между экспери-
ментальными данными и результатами численных расчетов. Неболь-
шое расхождение в них относится к "обратному перебросу" в сос-
тояние с нулевым напряжением, который происходит при значениях
напряжения несколько больших, чем предсказанные теорией. Это
явление может быть обусловлено влиянием тепловых флуктуаций* о
чем мы будем говорить ниже в разд- 6.4.

Сильную нелинейность в квазичастичной ВАХ туннельного кон-
такта можно устранить, напылив тонкую пленку нормального метал-
ла поперек электродов [448 , 460, 461]. В этом случае эффективное
сопротивление является суммой параллельно включенных сопротивления

Рис. 6.14. Экспериментальные данные о гистерезисном параметре а с в
зависимости от маккамберовского параметра полученные на шунтиро-
ванном контакте Sn-SnOx -Sn. Параметр (Зс изменялся посредством
уменьшения критического тока малым магнитным полем. Отметим, что
В . = 1/р}. (Согласно Хансме и Рохлину [460].)
контакта и шунтирующего сопротивления пленки нормального метал-
ла. Как заметил Фултон [363], особое внимание в такой технологии
следует уделять индуктивности контакта между электродами и
шунтом. Для того чтобы резистивная модель была применима, эту
индуктивность нужно свести к минимально возможной величине. На
рис. 6.14 представлены экспериментальные результаты для гистере-
зисного параметра ас, полученные на контакте Sn-SnOx -Sn
с описанным внешним шунтом [ 460]. Сплошной линией показана
соответствующая теоретическая зависимость, вычисленная в прибли-
жении резистивной модели. Результаты на рисунке приведены в за-
висимости от параметра = 1/ {3 J , введенного Маккамбером (см.
табл. 6.1).

Шунтом служил маленький серебряный прямоугольничек, напы-
ленный поверх контакта. Параметр , непосредственно связанный
с максимальным джозефсоновским током (см. табл. 6.1), изменял-
ся путем изменения внешнего магнитного поля (как это имело место
в эксперименте, результаты которого представлены на рис. 6.14) или
путем изменения температуры. Отметим также, что использование
внешнего шунта позволяет применять туннельные контакты в тех
приборах, где требуются безгистерезисные ВАХ (например, в
СКВИДах; см. гл. 13).

6.3. Туннельный контакт с заданным током

В рассмотренной выше резистивной модели джозефсоновс-
кий элемент описывался простой синусоидальной связью тока и фа-
зы. Квазичастичная же проводимость была учтена посредством
внешнего сопротивления, параллельного контакту. Однако ранее на
основе микроскопической теории было выведено более общее выра-
жение для тока, протекающего через туннельный контакт, которое
содержит в себе эффекты, связанные как с куперовскими парами, так
и с квазичастицами. Это выражение определяется интегро-дифферен-
циальным уравнением (2.2.3), которое в предположении о пространст-
венной однородности фазы можно переписать в виде

I(t)= Im f+°°,

ч-о+ I J-x >

(6.3.1a)
или, в эквивалентной форме,

Л' S(f)sin------х------— ,R(r)sin 2 I

•'О *
где S (t) и R *(0 “ вещественные осциллирующие и затухающие функ-
ции. Частота их осцилляций определяется величиной щели 2 А/Л.

Явные выражения для этих функций в приближении теории БКШ в слу-
чае симметричного контакта (одинаковые сверхпроводящие электро-
ды) были найдены Харрисом [ 469] в случае Т= 0 и Шлюпом [ 880] для
случая конечных температур. Для оценки отклика контакта, включен-
ного в произвольную цепь, Харрис [ 470] решил уравнение (6.3.1) чис-
ленно. В разд. 2.3 мы уже рассмотрели случай постоянного напряже-
ния на контакте. Как мы видели, при этом ток куперовских пар не
приводит к наблюдаемому вкладу в полный ток при конечных значениях
напряжения.

Предположим теперь, что контакт имеет емкость С и мы подклю-
чаем его к источнику постоянного тока / d . Соответствующая экви-
валентная цепь.показана на рис. 6.15. Уравнение баланса токов в этом
случае имеет вид 2

^ = ГеС^+‘М ’ (“'2>

где ток /(<р) определяется выражением (6.3.1). Фаза ф связана с нап-
ряжением соотношением (2.1.56), которое можно записать в виде

Таким образом, для отыскания усредненных по времени ВАХ контак-
та необходимо решить уравнение (6.3.2).

6.3.1. Адиабатическое приближение. Рассмотрим случай, ког-
да напряжение V( t) мало по величине или изменяется со временем
медленно, так что характерные частоты малы по сравнению со щелью.
В этом случае можно воспользоваться следующим приближением
[бЗП: „

j ) + Члены высших порядков, (6.3.3)

Рис. 6.15. Эквивалентная схема для туннельного контакта, в котором зада-
ется величина тока.
которое приводит к следующим выражениям для фазовых множь телей:
Ф(О=И')('-'о); 4>(t-t')=y(t)(t-t0)-v(t)t'.

В этих предположениях выражение (6.3.1 й) принимает вид

Дг)= Im [ +

л_0+ U-oo •'-оо 'j

Используя фурье-преобразование для функций $ (t') и Я*( t') (разд.
2.2.2) и определения (2.2.8), преобразуем уравнение (6.3.2) к виду
7dc = Ac^7+Zw,(r(0)+<z2(^(0)cos<p(z)+Z,1(r(0)sin<p(0 . (6.3.4)
at

Это и есть так называемое адиабатическое приближение. В случае
V(t) = Fo = const, когда соотношение (6.3.3) выполняется тождест-
венно, это приближение оказывается точным.

Вклады Iqp (V), 1 j t (V), Ij2 (V) были определены в разд. 2.2.2,
и они связаны с фурье-образами функций ) и Н *(i )4 В случае ко-
нечного напряжения для них были найдены явные выражения (разд. 2.4).
Хальбом, Люббиг и Лютер [450], решая уравнение (6.3.4), рассчита-
ли соответствующие ВАХ характеристики контакта*

Адиабатическое приближение обсуждалось в работах Шлюпа [ 880,
881]. Если мы предположим, что

Iqp{V)=GV-, IJ2(V)=eGV; Л,(Г)=/, ,
где G и Ij — постоянные, то уравнение (6.3.4) принимает вид

7<Jc = ^C4^ + ^G(1+ecos<P)^7+7iSin<P • (6.3.5)

При 6=0 это уравнение переходит в (6.2.2), выведенное в рамках ре-
зистивной модели в предыдущем разделе. Отметим, что уравнение
(6.3.5) выведено непосредственно с помощью микроскопической тео-
рии. Это, таким образом, в некоторой степени оправдывает использо-
вание резистивной модели, введенной эмпирически в разд. 6.2. При
е £ 0 уравнение (6.3.5) является обобщением этой модели, которое
позволяет учесть интерференцию токов куперовских пар и квазичас-
тиц (так называемый вклад "cos <р"). Такой обобщенный анализ ре-
зистивной модели, принимающий во внимание вклад "cos q>"(- 1 < е < 1),
был проведен в работе Шлюпа [ 879] с помощью теории возмущений
и численных расчетов.

Подробный анализ обобщенной резистивной модели, включающей
в себя вклад "cosq>", был дан в работе Белых, Педерсена и Соренсе-
на [ 1051.
6.3.2. Общий случай. Полные уравнения для тока, протекающего через
контакт, (6аЗЛ) и (6* 3.2) в случае е 0 были рассмотрены Макдональдом,
Джонсоном и Харрисом [706]. Полученные этими авторами с помощью
численных расчетов ВАХ симметричного контакта представлены на
рис. 6.16. Разные кривые относятся к различным значениям парамет-
ра RC/Tg (С -емкость контакта, Tg = Л/ А — постоянная времени,
связанная с величиной щели).

Отметим главные характерные особенности этой ВАХ.

а* При малых значениях параметра ЯС,/^ (предел малой емкос-
ти) постоянный ток достигает больших величин при напряжениях,
меньших значения энергетической щели. Главный вклад в этот
избыточный ток возникает благодаря туннелированию куперовских
пар, которое определяется функцией R*(t).

б. На ВАХ при V = 2А/е имеется особенность, которая усилива-
ется для контактов с малой емкостью. Таким образом, риделев-
ский пик в функции Я*(со) непосредственно проявляется на ВАХ
контакта.

Рис. 6,16, Влияние шунтирующей емкости контакта С на ВАХ. R -сопро-
тивление контакта в нормальном состоянии, Tg = Л/Д. Каждая кривая
построена со смещением начала отсчета для ^лумщего восприятия рисунка. Ток,
соответствующий нулевому напряжению на контакте, в каждом случае из-
меняется по верти каш от 0 до 1,57. (Согласно Макдона лвд у и др. [70б].)
в. Особенности в кривых наблюдаются также и при напряжениях

V =— >
п еп

где п -целое число. Эти значения напряжения соответствуют выс-
шим щелевым гармоникам, которые впервые были обнаружены
Йевером и Зеллером [391]. Впоследствии они были изучены как
теоретически [474, 475, 951], так и экспериментально [935]. В
рассматриваемой модели эти особенности также оказываются
обусловленными наличием риделевского пика.

г. В пределе большой емкости контакта -> 1) кривые ВАХ
при конечном напряжении стремятся к квазичастичному вкладу и
оказываются весьма похожими на соответствующие кривые, по-
лученные в случае заданного на контакте напряжения.

Зорин и Лихарев в своей работе [1112] теоретически рассмотрели
случай контакта с малой емкостью (ЯС/т^ = 0) при конечных темпе-
ратурах. Общий анализ случая конечных температур и произвольных
значений параметра RCбыл дан в работе Шлюпа [ 880].

Интересно отметить, что еще раньше влияние риделевского пика
на ВАХ было рассмотрено в адиабатическом приближении (6.3.4)
Хцльбомом, Люббигом и Лютером [ 450], а также Шлюпом [881]. На
рис. 6.17 ВАХ, полученные при Т=0иС=0в адиабатическом прибли-
жении, сравниваются с теми же зависимостями, найденными путем
решения общего уравнения (6.3.2).

Провести количественное сравнение теоретических результатов,
полученных для контакта с заданным током в цепи, с эксперименталь-
ными данными оказывается не просто. Дело в том, что при теорети-
ческом рассмотрении никак не учитывалось сглаживание риделевской
особенности. Кроме того, для большинства контактов, описанных в ли-
тературе, параметр RC / Tg обычно превышает 0,5 [ 7081. В этом слу-
чае (рис. 6.16) ВАХ мало отличаются от соответствующих кривых,
полученных в случае контакта с заданным напряжением.

Нимейер и Козе [756, 757] исследовали джозефсоновские контак-
ты с высокой критической плотностью тока при заданном токе в цепи
и обнаружили, что в этом случае избыточные токи оказываются весьр
ма большими. Действительно, определяя емкость контакта как ем-
кость плоского конденсатора, можно показать, что

ЯС )

Tg h t J1
Рис. 6.17. Вы чир генная на основании полного выражения (6.3L2) ВАХ тун-
нельного контакта с задаваемым током (сплошная линия) сравнивается с со-
ответствующей кривой, найденной в адиабатическом приближении (штриховая
линия) при Т= 0 и ЯС/Tg = 0 (предел нулевой емкости). Результаты расче-
тов для (НС/т^) -+ 1 (точки) совпадают с квази частичным током Iqp ( V),
(Согласно Шлюпу [880].)

Рис. 6.18. Вгеяние ветчины плотности критического сверхтока 70 на ВАХ
туннельного контакта. Ветчина гистерезиса характеризуется отношением то-
ка обратного переброса в состояние с нулевым напряжением IR к величине
критического сверхтока IQ . Температура Т-4,2 К, (а) 70= 3,1 • 108 А/см2,
10 =0,68 мА; (б) Jo = 3,4 • 104А/см2, IQ = 3,4 мА; (в) Jo = 2,1 • 10®
А/см 2, IQ =8,4 мА. (Согласно Нимейеру и Козе [757].)
где е0 - электрическая постоянная, ег и t - диэлектрическая прони-
цаемость и толщина оксидного барьера, △ - энергетическая щель,

- плотность максимального джозефсоновского тока. ВАХ для таких
контактов с высокими плотностями критического тока показаны на
рис. 6.18. Интересно отметить, что, как правило, в экспериментах
наблюдаются как четные, так и нечетные структуры высших гармоник
(рис. 6.18, а), несмотря на то что теория предсказывает наличие лишь
нечетных гармоник. Кроме того, при напряжении, соответствующем
удвоенной величине щели, не наблюдается никакой особенности. В
случае заданного тока в цепи до сих пор ни в одной из ВАХ туннельных
контактов не наблюдалось проявления риделевского пика при соответ-
ствующем напряжении.

В контактах с ниобиевым основным слоем часто наблюдается
"всплеск" избыточного тока [ 148, 573, 762, 803] при напряжении, со-
ответствующем удвоенной величине щели. Некоторые авторы [1112]
полагают, что этот всплеск связан с риделевским пиком. С другой сто-
роны, по-видимому, это явление связано не с избыточным током, а
с физическими свойствами самой ниобиевой пленки. На практике оно
наблюдается в тех случаях, когда на ВАХ имеется значительный гис-
терезис и, следовательно, параметр RC/t^ достаточно велик. Было
обнаружено также, что это явление связано с технологией напыления
основного слоя. Качественно его можно объяснить тем,что на поверх-
ности пленки присутствует нормальный слой "грязного" ниобия, в ко-
тором благодаря наличию чистой нижней пленки [910] проявляется
"эффект близости" (см. гл. 7). Свойства такого нормального слоя су-
щественно зависят от условий изготовления пленки. Такое объяснение
подтверждается следующими экспериментальными наблюдениями.

а. Используя сверхчистую ниобиевую фольгу, Шен [ 910 ] изгото-
вил контакты Nb—NbOx — РЬ. После того как ниобиевая фольга
в течение нескольких дней тщательно обезгаживалась при дав-
лении 10 1 мм рт. ст., на ВАХ таких образцов уже не наблюда-
лось никаких "всплесков*.

б. На ВАХ контактов, действие которых основано на эффекте
близости, наблюдается "всплеск" [395]. Для этих структур кривая
температурной зависимости максимального джозефсоновского
тока опускается ниже предсказанной Амбегаокаром и Бараговом
[ 14] и Романьяном и др. [855]. Такой же эффект "понижения" наб-
людается и в контактах Nb-NbOx-Pb [803]э и в ниобиевых
контактах с алюминием и без него [ 244], а также в контактах
Nb -NbOx -Nb [ 144], на BAX которых наблюдается "всплеск".

В своей недавней работе [701] Мацуда, Инамура и Ёшикио получи-
ли подтверждение описанного поведения контактов.

Численное решение интегро-дифференциального уравнения (6.3.2)
обычно проводится методом последовательных приближений. Однако
этот метод имеет ограниченную пригодность, поскольку с его помо-
щью стационарное решение можно найти только в том случае, когда
известна частота, соответствующая данному решению. Кроме того, с
помощью этого метода невозможно получить какую-либо информацию
об устойчивости нестационарного решения или об условиях существо-
вания стационарного решения.

Недавно Эрне и Люббиг [317 - 319] разработали метод преобра-
зования уравнения (6.3.2) в систему дифференциальных уравнений.
Этим путем, хотя и численно, можно найти полное решение. Рассчитан-
ные таким способом типичные ВАХ при Т = 0 показаны на рис. 6.19, а •

Рис, 6.19, а, б — усредненные ВАХ, вычисленные с помощью аналитическо-
го подхода для двух различных значений емкости контакта; в - график за-
висимости первой производной dV/dl^cor напряжения для кривой, показан-
ной на рис. 6.19, б. На ней видны много частичные ступеньки. (Согласно
Эрне и ЛюббигУ [3171.)
Рис. 6.20. Величина гистерезисного параметра ас в зависимости
от НС/т . Теоретическая кривая (сплошная линия) вычирлэна с помощью
аналитического подхода и сравнивается с экспериментальными результатами
работ [756, 757]. Штриховой линией показана соответствующая теоретическая
зависимость, вычисленная в резистивной модели Маккамбером [704, 705].
{Согласно $>не и Любб1гу [ 3171.)

Сравнивая их с кривыми, представленными на рис. 6.16, мы видим,
что наиболее разительным отличием является отсутствие на рис. 6.19,
особенности вблизи напряжения, соответствующего величине удвоен-
ной щели. Следующее отличие, которое проявляется во всех кривых с
высокой степенью гистерезиса, это наличие многочастичных ступенек
как для нечетных, так и для четных значений п (рис. 6.19, Ъ,в). На
рис. 6.20 гистерезисный параметр а с представлен как функция пара?
метра jRC /t . Теоретическая кривая сравнивается с результатами
Нимейера и Козе [756, 757]; штриховой линией показана теоретичес-
кая зависимость, вычисленная Маккамбером [704, 7051 в резистивной
модели. При обработке экспериментальных результатов величина пат
раметра ег /1 в выражении (6.3.6) выбиралась таким образом, чтобы
согласие с теоретической кривой оказалось наилучшим.

6.4. Влияние тепловых флуктуаций

До сих пор мы обсуждали макроскопические ВАХ с детерминис-
тических позиций (т.е. в отсутствие шума). Однако джозефсоновский
контакт - это хороший пример системы, в которой тепловые флукту-
ации в критической области проявляются в макроскопическом масш-
табе. Ниже, используя резистивную модель в пределе малого шума,
мы рассмотрим влияние тепловых флуктуаций на ВАХ контакта. Как
мы увидим, их влияние сводится к "сглаживанию” вольтам перных
кривых [15, 512, 513]. Прежде чем приступить к анализу флуктуацион-
ного вклада, будет полезно ознакомиться с кратким обзором основ-
ных представлений теории флуктуационных явлений (см., например,
работы [640, 953]).

С течением времени ток I( t) претерпевает небольшие изменения
относительно своей средней величины, которую для простоты мы бу-
дем считать равной нулю. Величины I(t) в различные моменты време-
ни оказываются скоррелированными таким образом, что значение
тока I (t) в момент времени t оказывает влияние на величину тока в
последующие моменты времени, скажемте момент t + т. Обозначим
посредством ( + т)) временную корреляционную функцию

токов. Угловые скобки здесь обозначают усреднение по вероятнос-
тям реализации всех тех величин, которые ток может принимать в
эти два момента времени. В случае стационарного процесса не важно,
с какого момента времени мы начали наши наблюдения; существен-
ной оказывается лишь величина временного интервала т (это и есть
свойство стационарности процесса). Статистическое усреднение поз-
воляет найти корреляционную функцию между различными значения-
ми тока без специального изучения самой зависимости тока от вре-
мени.

Флуктуационные явления можно рассматривать как во временном,
так и в спектральном описании. Такие два подхода соответствуют
двум различным типам возможных экспериментов: можно измерять
исследуемую величину через короткиеиинтервалы времени или исполь-
зовать частотные анализаторы. При частотном описании важной ха-
рактеристикой является спектральная мощность Р(со) - средняя мощ-
ность, приходящаяся на единичный интервал частоты. Естественно,
что эти два описания (во временном и частотном представлениях) ока-
зываются связанными между собой, причем эта связь осуществляет-
ся посредством хорошо известной теоремы Винера - Хинчина:

(Z(f+r)Z(f)) = [ P(w)cos.

Согласно этой теореме, спектральная мощность и временная корреля-
ционная функция оказываются связанными фурье-преобразованием.

Для квазичастичного тока спектральная мощность определяется
выражением [876] , , . . . ч
п?и температурах Т»йсо/Ав для coth (Йа>/2ЛВТ) мы имеем
ccth (Дсо/2АВТ)«2АВ Т/ha, и функция спектральной мощности при
обретает вид

{ } * \ И М Н

В резистивной модели предполагается, что проводимость от частоты
не зависит, и , следовательно, выражение для спектральной мощности
упрощается: 2k ВТ

? irR

Отметим, что в этом выражении постоянная Планка сократилась. Та-
кое сокращение подтверждает тот факт, что в рассматриваемом слу-
чае флуктуации являются классическими, а функция Р есть просто
мощность джонсоновского шума на сопротивлении Я. Наконец, вос-
пользовавшись теоремой Винера — Хинчина, мы можем вычислить кор-
реляционную функцию

</(;)/(г+т)> = f cosGordw= ,

IT lx Jq

ОО

где мы использовали определение 5-функции 5(-t) = Д/тг f cos со тЭсо.
о

Влияние сверхпроводящих флуктуаций на свойства джозефсонов-
ского контакта можно учесть, введя в описывающие поведение кон-
такта уравнения движения слагаемое, соответствующее шуму:

, <6-4Ja>

ЭК к

C-gr=Z-Z1sin<P-^+/(r) . (6,4.16)

Без тока/(г), соответствующего шуму, последнее уравнение пред-
ставляет собой не что иное, как уравнение непрерывности для тока
в резистивной модели, которое мы уже рассматривали выше [ урав-

Для большей общности можно было бы исходить из соотношения
между автокорреляцией и спектральной мощностью:

Re </(z+t)Z(/)) - </(г+т))(/(г)> = ( P(w)cos а>те/а> .

Здесь черта означает усреднение по времени. В нашем случае второе сла-
гаемое в левой части равно нулю, так как имеет место тепловое равнове-
сие [ 853] и усреднение по времени отсутствует вследствие стационар-
ности системы.
нение (6.2.1)]. Грубо говоря, причина, по которой слагаемое, соот-
ветствующее шуму, включено лишь во второе уравнение, лежит в том,
что флуктуации всегда сопровождаются диссипацией, а поскольку
первое уравнение бездиссипативное, то и флуктуационного слагаемо-
го в нем быть не должно. Зависящий от температуры ток (Т)
был найден нами в гл. 3 в отсутствие шума Мы будем предполагать,
что величина сопротивления R постоянна и определяется нормальным
сопротивлением туннельного контакта Эго предположение хорошо оправ-
дывается для температур, близких к критической Тс * Мы же ограни-
чим наше рассмотрение именно этим случаем.

Поскольку введенное в уравнения (6.4.1) слагаемое можно опи-
сать лишь статистически, далее нам следует не искать решение урав-
нений (т.е. законы изменения функций ср и Г со временем), а ограни-
читься нахождением вероятностей для значений этих переменных в
любой заданный момент времени. При вычислении этих вероятностей
нам потребуется знание плотности вероятности, для определения кото-
рой необходимо знать статистические свойства функции 1 (t). Вели-
чина T(t) представляет собой шум, обусловленный резистивным то-
ком квазичастиц. Феноменологически этот ток описывается выражени-
ем V/R. Для наших целей оказывается достаточным рассмотреть
случай высоких температур и в качестве модели стохастического тока
I(t) выбрать "белый шум", который обладает следующими статисти-
ческими свойствами:

2k т

</(')> =0 и = .

Тот факт, что среднее значение I(t) равно нулю, достаточно очеви*-
дев; действительно, при усреднении учет влияния флуктуаций не дол*
жен менять свойства контакта, которые описываются детерминисти-
ческими уравнениями. Из 5-функционального вида коррелятора следу-
ет, что значения I(t) совершенно независимы; вероятность того, что
функция 1 (0 принимает некоторое значение в любой момент времени,
никак не зависит от того, какие значения принимала эта функция в
предыдущие моменты времени. Отсюда следует, что соответствующий
спектр однороден, подобно спектру белого света, или, что эквивалент*
но, корреляционная функция имеет очень резкий пик.

Следуя подходу Амбегаокара и Гальперина [ 15] (см. также работу
Иванченко и Зильбермана [ 512, 513]), который основан на оригиналь-
ном методе Стратоновича [952] и Тихонова [980], запишем уравне-

°См.также книгу Кузнецова, Стратоновича и Тихонова [бОв]-
ние (6.4.1) в виде

аи , г, \

P=~d^-^P+^)>
где

(6.4.2)

(7(ф)= —|уЛдГ(афН-с°8ф) >

Чо RC’

ау=й/1(Т)/^АвТиа=7.//1 - безразмерные

Мы записали уравнение (6.4.1) в виде (6.4.2) для того, чтобы под-
черкнуть их аналогию с уравнениями механики; в такой записи пере-
менная ф представляет собой координату, ар -импульс. Таким обра-
зом уравнения (6.4.2) описывают броуновское движение частицы мас-
сой М в потенциале U (ср). Продолжая эту аналогию еще дальше, мы
находим, что величина С “1 связана с вязкостью, а масса частицы
М оказывается пропорциональной емкости контакта. Вид потенциала
[7(<р) показан на рис. 6.21; это тот же потенциал, что на рис. 1.11,
но с учетом поляризационного тока. Увеличение тока (в
нормированных единицах величины а) приводит к росту среднего угла
наклона кривой.

Уравнения (6.4.2) - это типичные дифференциальные уравнения
Ланжевена для стохастических процессов; их можно переписать в
ВВДе

V=f2(<f>,V)+L2(t), (6.4.3)

где

/1(ф,П=^; U')=o,

Уравнения (6.4.3) описывают стохастический процесс марковского
типа. Математическое описание нашей системы дается уравнением
Фоккера - Планка для функции распределения вероятности ?(V, <p,t),
которое следует из (6.4.3). Можно показать, что в нашем случае это
уравнение имеет вид [ 124]
Рис, 6.21. Потенциал (7(<р) имеет вид, подобный показанному на рис. 1.11, но
несколько изменен из-за наличия тока. Увеличению тока соответствует увели-
чение среднего наклона кривой. Различные кривые относятся к различным зна-
чениям параметра а = i/i^ и сдвинуты так, что 17(0) = 0.

р №
dt М Э<р

Э
Эр

(6.4.4)

Это уравнение мы используем для описания трех различных случаев:
1) случай пренебрежимо малой емкости контакта, 2) случай малой, но
конечной емкости контакта и 3) случай контакта большой емкости.

6.4.1. Случай пренебрежимо малой емкости контакта. При-
веденные выше уравнения описывают марковский процесс в фазовом
пространстве, который при соответствующих условиях сводится к мар-
ковскому процессу в конфигурационном пространстве. Эго есть приб-
лижение Смолуховского для относительной фазы <р. Точные условия
применимости приближения Смолуховского легко найти, записав сис-
тему уравнений (6.4.2) в виде одного дифференциального уравнения
второго порядка:

1 dU . . i‘(l) Л

которое можно рассматривать как проекцию марковского процесса.
Это уравнение сводится к марковскому процессу в том случае, ког-
да емкость контакта оказывается очень малой. Мы видим, что для
выполнения приближения Смолуховского необходимо, чтобы прихо-
дящаяся на единицу массы внешняя сила (l/M )(ди/д<р) медленно из-
менялась на временах, много больших времени релаксации ц Та-
кое условие означает, что наша фиктивная броуновская частица дос-
тигает своей предельной скорости (1А]0М )(<?£/,/<9<р) и описывается
уравнением , ,п .

Ф=-17^ + -Т7^) . (6.4.5)

40Af dtp rj0M 7

где последнее слагаемое учитывает влияние хаотических флуктуа-
ций, связанных с броуновским движением частицы. Определяя

/(ф) =---ПйЗГ" и £(0= —Т7'"(0 > (6.4.6)

•'vx/ r)0M dtp v ’ r^M v ’ ’ v ’

мы можем переписать это уравнение в стандартной форме уравне-
ния Ланжевена:

<р=/(ф)+Л(г) , (6.4.7)

которое является фундаментальным уравнением теории Смолуховско-
го [187].

В предположении непрерывности флуктуаций это уравнение соот-
ветствует процессу диффузии в <р-пространстве, для которого можно
непосредственно воспользоваться уравнением Фоккера - Планка.
Из-за наличия в уравнении (6.4.5) стохастического слагаемого макси-
мум того, что мы можем сделать, - это определить вероятность раз-
личных значений величины <р, причем плотность вероятности является
решением уравнения Фоккера — Планка. Предположим дополнительно,
что существуют два первых дифференциальных момента функции <p(t),
которые определяются выражениями

lim <ф(' + т)-ф(')> f( ч

------=/<*) .

|.т<|ф(,+г)-ф(,у> =
т—»0 Т
где угловыми скобками обозначено условное усреднение: значение
величины <р в момент времени t равно фиксированному значению
<р(0; D - коэффициент диффузии. Следовательно, плотность вероят-
ности сг (<р, t) удовлетворяет уравнению

^ = -±((,/Ы) + й0 . (6.4.8)

Здесь мы предположили, что имеем дело с постоянным диффузион-
ным процессом. Это уравнение можно также записать в виде неко-
торого уравнения непрерывности:

Эо = Э<
Э/ Э<р
где поток вероятности ffi определяется выражением

S)lC [ 1 du квт 9а \

=--------77 ~Т~°----П *

\ 7)0М d(p 7]qM oq) )

(6.4.9)

(6.4.10)

В этом определении потока вероятности мы вернулись к нашим пер-
воначальным обозначениям [ср. (6.4.6)] и использовали формулу
Эйнштейна, которая связывает коэффициент диффузии с вязкостью
среды г|0 : D = kBT/r\QMa

Для сравнения теории с экспериментом нам следует вычислить
какую-либо измеряемую величину, например ВАХ при задаваемом в
цепи токе. Непосредственно измеряемой величиной в этом случае
служит напряжение, и для получения его явного выражения мы пос-
тупим следующим образом. Усредняя уравнение (6.4.5), находим

z.K II 1 dU\\~ 1 Л

т]0М dtp] j т]0М Jo dy0 V '

С помощью потока вероятности это выражение можно переписать
в виде

г2тг г , к RT f2n do ,

(Ф ) ~ [ ЗДб/фЭ----77 / ~Т~ dФ •

В стационарном случае do/dt = 0 (т.е. ffi = const). Используя гранич-
ные условия о (0)— о (2тг), находим

( ЭДdy — lir^ и р “<Уф —О ,

где величина © представляет собой то среднее время, за которое
происходит изменение величины фазы на 2тт.
Таким образом, связь между средним напряжением и потоком
вероятности имеет вид

— <И> =<ф> =2тгО1Г .

(6.4.11)

Явное выражение для среднего напряжения можно найти путем дву-
кратного интегрирования уравнения (6.4.8) в стационарном случае.

После первого интегрирования находим
|^-|y(a-sin<p)G=C; .
Оф

Проводя второе интегрирование и используя периодическое гранич-
ное условие сг (0) = сг (2тг), получаем

где = (2/у )Ci, a (<р) = -(аФ + coscp-1). Постоянная интегри-
рования определяется из условия нормировки / o’TTaJ(p= 1, которое

дает

где

2 1—ехр(тгуа) 1 * * *
у ехр(тгуа) 2тг

т, =jf2,exp(-ya<p)l0(ysin^j dtp ,

a 10 - модифицированная функщя Бесселя.

Сравнивая выражение (6.4.10) с результатом первого интегриро-
вания уравнения (6.4.8), находим, что

2 т)0Л/

Подставляя это выражение в (6.4.11), находим

х 7 2е 2 7]qM

Вспоминая определения параметров С1Л г|0 и М t находим окончатель-

I (6 4 12)

ехр(^уа) T1 ’ (Ь-412)

Под символом усреднения здесь подразумевается двойное усредне-

ние: и по ансамблю, и по времени. Это выражение содержит в
Рис. 6.22. ВАХ джозефсоновского контакта в присутствии тепловых флук-
туаций, найденные путем численного интегрирования уравнения (6.4.12)
(случай нулевой емкости). Радгичные кривые соответствуют различным зна-
чениям параметра у = (Т)/ekBT. Напряжение и ток даны в приведен-

ных единицах: а= 1/1г и <т]> = <V>/ 1XR. На частях а и б те же значения
у, но в различных масштабах.

себе различные предельные случаи. Например, при высоких темпера-
турах у -> 0 и V -> IR. Наоборот, если температура стремится к нулю,
у -* оо, и выражение (6.4.12) воспроизводит результат, полученный
ранее в случае нулевого шума: V = 0 для I < 1г] Р= - Т=
= Ry/l2-l 2’для I >1 j о ВАХ, полученные путем численных расчетов
из выражения (6.4.12), показаны в нормированных единицах на рис.

6.22. Результат действия тепловых флуктуаций заключается в "сгла-
живании" вольтамперных кривых, и при конечной температуре сред-
нее напряжение оказывается отличным от нуля, каким бы малым не
был ток. Полученные результаты удобно обсудить, вернувшись к
рис. 6.21. При 1=0 устойчивое состояние системы соответствует
одному из относительных минимумов функции Щф), скажем минимуму
в точке <р0. Необходимое условие реализации этого минимума
(dU/^ф)ф=фо= 0 соответствует соотношению Джозефсона Z= /^пф.
При конечных температурах в системе имеются тепловые флуктуа-
ции, а фаза может ’’проскальзывать1’ из одной потенциальной ямы в
другую. Возникающее при этом изменение фазы со временем в ко-
нечном счете приводит к появлению на контакте ненулевого средне-
го напряжения. Таким образом, в отсутствие флуктуаций переход из
состояния с нулевым напряжением в состояние с конечным напря-
жением на контакте происходит только при / = , в то время как в

присутствии флуктуаций этот переход может происходить при произ-
вольных значениях тока, меньших значения . Понятно, что в механи-
ческой модели состояние с нулевым током соответствует ситуации,
в которой частица остается (осциллируя) в долине потенциала Г(ф).
По мере непрерывного возрастания параметра а частица "видит”
перед собой все меньший и меньший барьер, пока, она не вырвется
из долины, после чего начинает скользить вниз по кривой Г(ф)1}.

В действительности характер движения частицы существенно опреде-
ляется диссипативными процессами. Большое или малое значение вяз-
кости, т.е. малая или большая емкость контакта, соответствуют двум
предельным случаям апериодического затухания или режима слабого
затухания. Проведенный выше анализ относится к первой ситуации (С = 0).
Конечно, для получения полной вольтамперной кривой надо уменьшать
ток. При этом средний наклон кривой 1/(ф) уменьшается, и движение
нашей частицы вниз по кривой замедляется — напряжение непрерывным
образом стремится к нулю (безгистерезисный ход ВАХ).

Полученные в такой теории ВАХ очень хорошо воспроизводятся
результатами численного подхода, основанного на использовании дат-
чика псевдослучайных чисел [975]. Оказалось, что фаза флуктуирует
вокруг равновесных положений (минимумы функции £7(ф)) и случайным
образом совершает прыжки на величину 2тг к другому положению рав-
новесия, как это было получено выше. Соответствующие изменения
напряжения проявляются в виде заметных пиков даже в области малых
изменений фазы, поскольку напряжение определяется не самой фа-
зой ф, а ее производной.

Первые экспериментальные результаты, которые подтвердили,
по крайней мере качественно, представленные выше теоретические
расчеты, были получены Андерсоном и Голдманом [21, 22] (см. так-
же работы Галкина и др. [377 , 378]). Эти авторы исследовали ВАХ,

х)Мы не рассматриваем здесь квантовые процессы, т.е. переходы
частицы из одного метастабильного состояния в другое (при Т= 0) посред-
ством туннелирования с сохранением энергии (см., например, ранние рабо-
ты Андерсона [241 а также работу Иванченко и Зильбермана [51 з}. В свя-
зи с фпуктуацюнными явлениями Феттер и Стефен [337] развили кванто-
во-лолевую теорию длинного (L> Ар джозефсоновского контакта^
а также сравнили их с соответствующими теоретическими результа-
тами для малых контактов Sn — SnOx — Sn0 Полученные ими кривые
соответствуют различным значениям параметра у при температу-
рах, близких к критической. При согласовании с теоретическими ре-
зультатами полагалось, что эффективному шуму соответствует тем-
пература 10 К. Некоторое расхождение теории и эксперимента мо-
жет быть связано со всевозможными неучтенными факторами, таки-
ми, как внешний шум, а также с использованным при теоретическом
рассмотрении предположением Q = l/fy « 1, которое не выполняется
в этих экспериментах в достаточной степени. На самом деле емкость
и сопротивление образца составляли С = 245 пф и R = 1,3 Ом соответ-
ственно. Такие значения параметров означают, что полученные выше
теоретические результаты становятся применимы к данным экспери-
ментам лишь для чрезвычайно малых величин критического тока
(/j < 10 “6 - Ю~7 А). Ситуация существенно меняется для других ти-
пов сверхпроводящих слабых связей, таких, как точечные контакты,
мостики Дайема или контакты с металлическим барьером. На практи-
ке по сравнению с туннельными контактами с диэлектрическими барье*
рами эти структуры обладают гораздо меньшей емкостью и, следова-
тельно, в большей степени соответствуют картине апериодического
режима затухания. В качестве примера упомянем работу Симмондса
и Паркера [916] по мостикам Дайема, емкость которых составляла
^3 пф. В этом случае наблюдается великолепное согласие результа-
тов теории и эксперимента. Как уже указывалось в гл. 1 и еще будет
обсуждаться в гл. 7, для слабых связей этого типа имеет место откло-
нение от чисто синусоидальной зависимости между током и фазой. При рас-
смотрении флуктуаций этот факт требует особого внимания, посколь-
ку изменяется форма кривой Щср)1)* При согласовании эксперимен-
тальных результатов с теорией цитированные выше авторы тщатель-
но учли это обстоятельство. Другие измерения были выполнены
Фалько, Паркером и Труллингером [ 328] на слабых связях, изготов-
ленных на основе нормального металла методом Нотариса - Мерсеро
(см. гл. 7). В этой работе теоретическое рассмотрение было обоб-
щено благодаря учету вклада "cos <р ". Авторы исследовали также
влияние шума на свойства внешне шунтированных туннельных кон-
тактов. Полученные результаты находятся в прекрасном согласии
с теорией

^Эгот вопрос &1л подробно рассмотрен в работе [бз] для различных
типов соотношений между током и Фазой0

2)См. также подробные работы [268, 2691
6.4.2. Случай конечной емкости контакта. До сих пор мы
ограничивались рассмотрением случая, когда емкость контакта бы-
ла равна нулю. Однако при этом важно знать, до каких пор допусти-
мо пренебрегать емкостью контакта. Вернемся к нашей начальной
системе уравнений (6.4.2) и попытаемся определить соответствую-
щий параметр разложения, который позволит нам отыскать первую
поправку к среднему напряжению для контакта с конечной емкостью.
Впервые в правильном виде эта процедура бцла проделана Ли [639],
работе которого мы и будем следовать. Он в свою очередь восполь-
зовался результатами работы Стратоновича [953] (смо также работу
Иванченко и Зильбермана [ 513]).

Пусть ?(<р, V,t) есть плотность вероятности в фазовом прост-
ранстве, т.е. в пространстве паременных <р и Г. Легко показать, что
эта плотность вероятности в фазовом пространстве удовлетворяет
двумерному уравнению Фоккера - Планка (6.4.4). Введем безразмер-
ные параметры _

2е л 2е

после чего уравнение Фоккера - Планка можно будет переписать в
обезразмеренном виде

№ 1, . 1 a(t^) 1 3(v$>) 1 Э2 [2^]

Эт Й dt? й2 ov й Э<р й2 Эи2 \ Y /

(6.4.13)

Для решения этого уравнения в случае малой, но конечной емкости
контакта мы воспользуемся разложением, которое было предложено
Стратоновичем [953]. Идея этого метода заключается в том, что в
случае достаточно большой вязкости (это соответствует малым зна-
чениям Q) распределение "скоростей" не должно слишком отличат
ться от равновесного случая (распределение Максвелла — Больцма-
на). В этом случае пространство скоростей оказывается ортогональ-
ным конфигурационному пространству, и нам надо рассмотреть лишь
марковский процесс для фазы <р. Ли [639] произвел разложение плот-
ности вероятности в фазовом пространстве ?(<р, v, t) по полиномам
Эрмита (это единственное разложение, которое соответствует всюду
конечной и интегрируемой плотности вероятности) о При этом он об-
наружил, что естественным параметром разложения служит величи-
на Q2, а не Q (4/у) как полагали Амбегаокар и Гальперин [15],
основываясь на физических аргументах Крамерса [ 589]. Таким об-
разом, определяя А(ф) = а — sincp, мы приходим к выводу, что истин-
ным критерием, который позволяет пренебречь емкостью контакта,
является именно требование

а не

Й2 — <С1
\ «ф /

/4\1/2
й -

(6.4.14а)

(6.4.146)

Интересно, что критерий Ли соответствует условию применимости
приближения Смолуховского, о котором мы уже говорили выше. Та-
кое условие применимости приближения Смолуховского заключает-
ся в требовании, чтобы для промежутков времени △£ порядка време-
ни релаксации т] “31 выполнялось неравенство

(6.4.15)

Это неравенство позволяет описывать флуктуации фазы как процесс
диффузии в конфигурационном пространстве. Физически неравенст-
во (6.4.15) означает, что фоккер-планковсков описание флуктуаций
фазы справедливо до тех пор, пока внешняя сила мало меняется
на флуктуационных участках траекторий, соответствующих време-
нам порядка времени релаксации. Такую трактовку этого вопроса
предложил Лавенда [637]. Точно таким же является физическое со-
держание критерия Ли (6.4.14 а).

Таким образом, с точностью до первого порядка в разложении
по малому параметру Q2 мы получаем следующее уравнение Фок-
кера - Планка в конфигурационном пространстве:

где а - плотность вероятности в этом конфигурационном простран-

стве, т.е.

(6.4.17)

Отметим, что в пределе Q -> 0, соответствующем случаю нулевой
емкости, уравнение Фоккера - Планка (6.4.16) сводится к соответ-
ствующему уравнению (6.4.8). Выполняя все те же математические
преобразования, что и выше (в случае Q = 0), можно рассчитать ВАХ
с точностью до членов первого порядка по малой емкости контакта:

<r> = -Aw/1^^^-T1-1(l+S22bj , (6.4.18)

х ' у Л 1 ехр(ягуа) \ Tj /

где

Ysin^)expJ-(^a)<p| ,

Т2 =y2,rJ<psiny ysiriy jexp^ - )<pj , (6.4.19)

al^xjnl^x)- модифицированные функции Бесселя.

При Q2= 0 полученная ВАХ (6.4.18) сводится к уже известной
форме (6.4.12). Таким образом, поправка, связанная с конечностью
емкости контакта, дается величиной Q2 Т2/ . Отношение Т2/ Tj

в зависимости от нормированного тока представлено на рис. 6.23
для различных значений параметра у °. Учет найденных поправок
приводит к их лучшему совпадению с приведенными выше экспери-
ментальными результатами.

Среди важных вех> создания теории флуктуаций в джозефсонов-
ских контактах с конечной емкостью необходимо упомянуть пионер-
скую работу Иванченко и Зильбермана [513]. Нужно также отметить
теоретическое исследование Куркиярви и Амбегаокара [605], в ко-
тором был применен метод Монте-Карло. Физическая идея, лежащая
в основе их подхода, грубо говоря, состоит в описании флуктуацион-
ного слагаемого L(t) посредством случайных импульсов. Эти импуль-
сы соответствуют столкновениям с частицами, газа, который пред-
полагается находящимся в равновесии. В этой работе было выявле-
но несколько важных свойств ВАХ (при Q/ 0). Наиболее важные из
них - более быстрый выход ВАХ на линию v = V / IXR по сравнению
с кривыми, соответствующими случаю Q = 0, а также пересечение
кривых, вычисленных с учетом флуктуаций, с кривыми, соответству-
ющими той же величине Q, но найденными в отсутствие шума. Де-
тальные расчеты были проведены также в работе Бисваса и Ихи [113].
В подробном исследовании Фалько и др. [ 329] получили эксперимен-
тальные результаты, находящиеся в хорошем согласии с анализом
Куркиярви и Амбегаокара.

Эти специфические кривые, показанные на рис. 6.22, были рассчитав
ны Эспозито [324 ].
Рис. 6.23. Зависимость отношения Т2/Т\ (6А 19) от нормированного тока
а, полученная численным интегрированием (случай конечной емкости кон-
такта ,Q= 1). Различные кривые соответствуют различным значениям
параметра у.
6.4.3. Случай большой емкости контакта. При феноменологичес-
ком рассмотрении мы уже указывали на то обстоятельство, что глав-
ное свойство ВАХ контактов с большой емкостью есть проявление
гистерезисного поведения. Обращаясь снова к механической анало-
гии, можно сказать, что этот случай соответствует малому трению
в системе. Начиная с нулевого ’’среднего" наклона кривой Z7 (ф)
(это соответствует нулевому току), мы будем постепенно увеличивать
угол наклона вплоть до той ве личины (соответствующей критическое
му току), при которой "частица" начнет скользить вниз по кривой
(что соответствует появлению конечного напряжения на контакте).
Ввиду нашего предположения о малости трения в системе мы будем
полагать, что частица может свободно двигаться вниз по кривой и не
будет задержана в следующей дцлине. Для нахождения полной ВАХ
частице следует пройти и в обратном направлении. При этом тангенс
угла наклона кривой изменится на противоположный, что теперь бу-
дет соответствовать непрерывно уменьшающемуся току. Для того что-
бы обнаружить на ВАХ гистерезис, проведем следующее качествен-
ное рассуждение. Мы видели выше, что по мере увеличения тока при
приближении к величине 1г может произойти переброс из состояния
с нулевым напряжением в состояние с конечным напряжением на
контакте. Этот переброс становится возможным благодаря флуктуа-
циям, которые обеспечивают недостающее количество энергии для
выхода из впадины кривой £7(ф). Наоборот, по мере уменьшения то-
ка движение частицы с конечной средней скоростью (состояние с ко-
нечным напряжением на контакте) становится все более устойчивым
к шуму, поскольку захват в долину потенциала вследствие случай-
ных флуктуаций становится все менее вероятным^. Таким образом,
при уменьшении угла наклона кривой частица "стремится" сохранить свое
состояние движения, т.е. при уменьшении тока контакт стремится остаться
в состоянии с конечным напряжением (гистерезисное поведение).

В случае большой емкости контакта необходимо рассматривать
уравнение (6.4.13) в пределе Q» 1 [953]. Не останавливаясь на вы-
воде, мы приведем лишь окончательный результат этой работы. Ока-
зывается, что время, на протяжении которого частица остается в
долине, определяется выражением [ 639]

? = дсехр(7|£..|/2) ,
где

= [а(тг —2 sin-1 а) —2(1 — а2 )1/2]

есть высота потенциального барьера в зависимости от параметра а.
Из этого выражения видно, что до тех пор, пока у достаточно велико
(т.е. температура достаточно низка), токовая ступенька при нулевом
напряжении оказывается чрезвычайно устойчивой даже для значений
тока, весьма близких к критической величине; такая устойчивость
обусловлена экспоненциальным характером зависимости времени жиз-
ни Гот отношения | Ет \ /kBT. Фултон и Дунклебергер [367] провели
тщательные исследования туннельных контактов Sn-SnxOy - Sn в
режиме слабого затухания. Им удалось найти зависимость времени
жизни метастабильного состояния с нулевым напряжением на кон-
такте от величины тока /. Измеренные значения оказались в диапа-
зоне 0,1 с - 0,1 мкс, причем с увеличением тока / они убывали поч-
ти экспоненциально. Эта работа в известной мере дополняет работы
Яккеля и др. [ 522, 523] (они относятся к случаю сильного затухания;
их результаты хорошо согласуются с теоретическими предсказани-
ями Куркиярви [603]). Отметим, что вопрос о влиянии тепловых флук-
туаций на свойства больших контактов (L > Ау ) также был рассмот-
рен теоретически (см., например>работу Зильбермана и Иванченко
[1094]). В недавно опубликованной интересной работе Бишопа и Трул-
лингера[ 112] обсуждается аналогия между обусловленным тепловы-
ми флуктуациями средним напряжением на контакте вблизи критичес-
кого тока и параметром порядка в случае классического фазового
перехода в приближении самосогласованного поля.

6.4.4. Другие подходы к рассмотрению влияния шума на свойст-
ва контактов. Вопрос о влиянии шума на свойства джозефсоновской
слабой связи (туннельные контакты, точечные контакты, мостики
и т.д.) до сих пор привлекает внимание и заслуживает тщательного
экспериментального и теоретического изучения^ Такое внимание объяс-
няется не только интересом к физической сущности этого явления,
которую пока нельзя считать выясненной до конца во всех аспектах,
но также и чрезвычайной важностью знать роль шума при определе-
нии пределов чувствительности реальных приборов, действие кото-
рых основано на эффекте Джозефсона.

Было выполнено несколько детальных исследований джозефсонов-
ских структур, в которых рассматривалось влияние собственных и
внешних шумов (например, Дам и др. [252], Зильберман и Иванчен-
ко [1095], Лихарев и Семенов [655, 656], Калашник и др. [552]). Сре-
ди экспериментальных работ, кроме уже цитированных в этой главе,
мы отметим ранние работы по исследованию различных аспектов
влияния шума на свойства джозефсоновских структур Вант-Ху для
и Мерсеро [ 1002], Вант -Худля [ 1001], Бакнера, Шена и Лангенберга
[154, 155], Кантера и Вернона [559, 560, 561], Верне и Адде [ 1008],
Хенкельса и Вебба [ 481], Выставкина и др. [ 1022], Лихарева и Ульри-
ха [ 657], а также недавние исследования влияния мерцающего шума,
проведенные Кларком и Воссом [224, 1015], Курдюмовым [6 02], Клар-
ком и Хокинсом [ 222].

Ни один из вопросов, касающихся флуктуаций, в настоящее вре-
мя нельзя считать полностью решенным. Интересующийся читатель,
ознакомившись с изложенными работами, а также с цитированной ли-
тературой, найдет не только детальные объяснения и подтверждаю-
щие их экспериментальные результаты, но и нерешенные вопросы.
Прежде чем закончить это раздел, мы приведем некоторые результа-
ты, полученные для спектральных мощностей различных флуктуа-
ционных вкладов (см. обширную работу Роговина и Скалапино [853]).

Влияние одночастичного туннелирования на спектр шума тока
рассматривалось многими авторами [252, 631, 851, 876]. Соответст-
вующее выражение для спектральной мощности имеет вид

eVQ +йсо

2~~

! Г / TZ \ 1

+ЛЦ *о ~ — j coth

1 (eV0-hw)

квТ 2

(6.4.20)

В случае VQ -> 0 (ненагруженный контакт) это выражение просто сво-
дится к формуле Джонсона - Найквиста, которая была использо-
вана в начале этого раздела. Если же к контакту приложить пос-
тоянное напряжение VQ, то система выйдет из равновесия, однако
будет пребывать в устойчивом состоянии. Следовательно, выраже-
ние (6*4.20) следует рассматривать как обобщение флуктуационно-
диссипативной теоремы Каллена - Вельтона [166] (см. [853]). В
пределе е Vo» ha выражение (6.4.20) сводится к формуле дробово-
го шума:
в в V

• (6.4.21)
Если величина eVQ превышает kBT (заметим, что при Т - 4,2 К вели-
чина kBT/e г* 360 мкВ), то из (6.4.21) мы получаем обычное выраже-
ние для дробового шума в диоде:

Этот не зависящий от температуры шум связан с хаотическим дви-
жением квазичастиц, которые независимо пересекают барьер. В пре-
деле kB т» е Fo [ дополнительно к условию е Vo » hu, которое соот-
ветствует области применимости выражения (6.4.21)] спектральная
мощность (6.4.21) дает классическое выражение для джонсоновского
шума Р(со) = 2kBT/irRN, поскольку в этом случае превалируют теп-
ловые флуктуации. Это результат является приближенным: при его
выводе величины напряжения на контакте предполагались столь ма-
лыми, что для них оставалась справедливой линейная связь между то-
ком и напряжением (т.е. дифференциальное сопротивление предпола-
галось постоянным Rd = Rn ).

Имеется также вклад в спектральную мощность тока, происходя-
щий из диссипативного вкладаrfcos<p" (lj2 )f соответствующего интер-
ференции квазичастиц и куперовских пар. При нулевом напряжени на
контакте

Л z ч е I йсо \ / Лео \ , / 1 Лео \

P-'2<")=2?(v)"'(v)COS’’»CO,h\2 -i^f] '

В пределе малых частот Лео <<kBl это выражение сводится к

п / ч *квТ

—cosepo ,

где Rd - дифференциальное сопротивление контакта по квазичастич-
ному току. В случае когда к контакту приложено постоянное напря-
жение, , ,

п / [r / TZ , Лео \ 1 / 2И0 + Лсо \ (

2тт |МК° 2е )COth[А:в7’\ 2 )] +

, т / ТГ Лео \ ,

+ Л2(*О“ 2?)coth

1
квТ

2 /

Еще один вклад возникает благодаря току куперовских пар (см.
основополагающие работы Андерсона [24], Стефена [944, 946, 947]).
Соответствующую спектральную мощность можно записать в общем
виде [ 852}:
РМ=+ yrboth

Z77 \ 2е /

2еК0+й«

(hcc \

И°“ 2?)Х

1 / 2еИ0 —йо> \ 1

X coth —; -------•

2 /]]

Отметим, что это выражение, как и предыдущее, имеет вид флукту-
ационно-диссипативного соотношения Каллена - Вельтонав Это об-
стоятельство было подробно изучено Роговином и Скалапино [853]

с помощью неравновесного термодинамического подхода, развито-
го в работе Бернарда и Каллена [111]0. Это выражение оказывает-
ся совершенно аналогичным (6.4.20) для спектральной мощности то-
ка квазичастиц, за исключением того, что в нем фигурирует заряд
куперовской пары 2е. В пределе низких частот йсо « е VQ выраже-
ние для (со) сводится к следующему:

Рл(«)=4|е|/л(Е0)со1Ь^j >

в то время как при kB Т « е Ро Pjr (со) = 41 е \lj j ( Го ). Происхождение
этого шума связано с взаимодействием туннелирующей куперовской
пары со стохастическими флуктуациями теплового поля фононов.

Другой вклад, относящийся к неравновесному стационарному про-
цессу, связан с взаимодействием туннелирующей куперовской пары
с флуктуациями заряда малой плотности внутри самого барьера
(андерсоновские плазмоны). Соответствующая спектральная мощность
определяется выражением

_ / _ \2 Г/ТТ

Pp = (Jx cos <pD) yg- -— coth yr-y •

где Г® coj /2Q - параметр затухания.

Отметим, что сам сверхток когерентен и не является диссипа-
тивным, т.е. пары не могут флуктуировать независимо и, следова-
тельно, не могут сами по себе быть источником шума. Однако эти
вклады в спектральную мощность возникают благодаря взаимодейст-
вию куперовских пар с возбуждениями в барьере - тепловым фонон-
ным полем (к контакту приложено напряжение) и плазменными мо-
дами (контакт без напряжения).

Необходимо отметить, что процесс протекания постоянного тока
куперовских пар в действительности есть неравновесное, хотя и стаlmoпар-
ное явление. Равновесие в контакте имеет место лишь тогда, когда его
энергия минимальна, что соответствует равенству нулю относительной фа-
зы и, таким образом, отсутствию протекающего через барьер сверхтока.
Глава 7

Другие типы сверхпроводящих
слабых связей

В этой главе мы рассмотрим джозефсоновские структуры, от-
личающиеся от туннельных контактов. Мы изложим лишь основные
идеи, не обсуждая детально их поведения, а также остановимся на
физике явлений.

Эффект Джозефсона, как уже отмечалось в начале книги, на -
блюдается в самых разнообразных сверхпроводящих структурах со
слабыми связями. Для общего определения явлений в таких структу-
рах используется термин ’’слабая сверхпроводимость” [24], отражаю-
щий тот факт, что величины ряда критических параметров малы по
сравнению с их значениями в обычных сверхпроводниках.

7x1. Контакты с металлическим барьером

Рассмотрим вначале контакт типа ’’сандвич”, барьером в кото*
ром является нормальный металл (структура 5 - N - S). Начиная
с первых ’’исторических” измерений Мейсснера [718, 719], сопротив-
ления между двумя оловянными проволочками, плотно прижатыми к
разделяющей их медной пластинке под прямым углом друг к другу,
было проведено большое количество работ по исследованию свойств
контактов нормальный металл - сверхпроводник (см., например,[488,
725, 926]). Упомянем также среди прочих теоретические работы Пар-
ментье [792], Фулде и Маки [361], де Жена и Мауро [274] и Макмилла-
на [714]0.

7.1.1. Эффект близости. В ’’сандвиче” сверхпроводник - нор-
мальный металл два соседних слоя (имеющие хороший электричес-
кий контакт) существенно влияют друг на друга. При этом в сверх-

Исчерпывающее обсуждение эффекта близости приведено в статьях
Деймэра и де Жена [279], Гилаберта [393] и в работах, цитированных в них.
проводнике уменьшается плотность куперовских пар вблизи границы,
а в нормальном металле, наоборот, появляются сверхпроводящие
свойства, "наведенные” через границу Грубо говоря, в этом и за-
ключается суть так называемого эффекта близости. Наличие такого
специфического поведения, несомненно, подразумевает, что как
плотность состояний, так и эффективное электрон-электронное взаи-
модействие меняются вдоль структуры N - S. Неоднородные системы
этого типа не могут быть описаны в рамках теории БКШ, предполагаю-
щей трансляционную инвариантность сверхпроводящей щели. Правиль-
нее рассматривать данную задачу с помощью теории, развитой Горь-
ковым [412, 413]. В этой теории используются статистические функ-
ции G и F+, определяемые соотношениями

G(r,r',/)= -j(T(^(r;O)^+(r'; r)}> ,

F +(r,r',z) = <T{i//T+(r;0)^(r'; t)}> ,

где <p(r; t) (y*(r; t )) - обычный оператор уничтожения (рождения)
электрона в точке г в момент времени t, Т - оператор временного
упорядочения, G - одночастичная функция Грина, аномальная функ-
ция Горькова связана с наличием куперовских пар. Во второй гла-
ве мы рассматривали гриновские функции в четырехмерном импульс-
ном представлении. Можно определить, кроме того, величину

Д(г)= K(r)F(r) ,

представляющую собой обобщение параметра порядка на Пространст-
венно-Неоднородный случай. Здесь ГДг) — эффективное электрон-элект-
ронное взаимодействие и F(r) = (г) ^(г )> - волновая функция
куперовских пар. Величина | F(r) | есть вероятность найти пару в
точке г.

Де Жен и Вертхамер, основываясь на результатах Горькова, раз-
вили детальную теорию эффекта близости [70 - 72, 273, 1039].

Пространственно-Неоднородный параметр порядка представляет
собой решение линейного уравнения самосогласования Горькова:

Д(г)~ jK(r.r )&(r)d3f ,

f Если мы рассмотрим структуру типа ’’сандвич” из двух сверхпровод-
нике© 3, и S2 с критическими температурами соответственно ТС1 и Тс2, где
< ^ 2»т0 можно ожидатц что критическая температура всей системы бу-
д г ише Т, {,
Рис. 7.1. Качественное поведение параметра порядка при температуре,
близкой к критической (смв, например, [271])в (а) N - 5-система;

(б) 5 - N - 5 -переход.

которое справедливо при малых Д(г), т.е. когда система находится
достаточно близко к ее критической температуре Т . Более точно*

С NS

предполагается, что при Т = (?cNS — критическая температу-
ра сандвича) происходит фазовый переход второго рода, т.е. при

Т TCns параметр порядка △ (г) мал при любых г. Качественно кар-
тина поведения параметра порядка вблизи границы S - W изображена
на рис. 1Л,а. Длина когерентности

M>N,S У/2
2тгквТ)

где Dn s = (l/3)vF In s ~ коэффициент диффузии, v

9 NtS 9 ZV,5

миевская скорость, INtS - длина свободного пробега электронов.
Обозначения и 5 относятся соответственно к нормальному и сверх-
проводящему металлам. В теории де Жена — Вертхамера предполага-
ется, что lN s « s ("грязный" предел) и пленки являются доста-
точно толстыми. При этих предположениях структурные детали гра-
ницы N - S становятся несущественными, и движение сверхпроводя-
щих электронов хорошо описывается диффузионным приближением^.

Параметр порядка, наведенный через границу в полубесконечной
нормальной V-области (-^ < х < 0), будет равен

FAr(x)^Fv(0_)e при больших|х| ,

где

-1 — (

N \2тгквТ)

$ Как альтернатива диффузионной теории рассматривался также под-
ход на основе вариационной теории (см. [915] и цитированные там работы).
представляет собой глубину проникновения пар в нормальный металл.
В случае когда ’’нормальный1' металл /V сам является сверхпроводни-
ком (Fn > 0) с относительно низкой температурой перехода Тс

(Тс < тс ), экспоненциальная зависимость FN(x) сохраняется, и KN

имеет вид / ьп х1/2/ о \

N ~\2nkBTj \og(T/TcN))

В общем случае произвольного значения | х | функция FN записыва-
ется в виде Fn(x) = 2К Ак *1 , где KN являются корнями
уравнения N N

IT \

Диаграмма-функция - логарифмическая производная гамма-функ-
ции Г, т.е. интеграла Эйлера второго рода.

В грязном пределе граничные условия для функции F на границе
раздела между нормальным металлом и сверхпроводником (х = 0) име-

ют вид

^(0) _ Г5(0+)

Детально проблема граничных условий обсуждалась Зайцевым
[ 1078, 1079], а не так давно Ивановым и др. [515], а также Бароне
и Овчинниковым [85].

В заключение этого краткого обсуждения сандвичей W -S стоит
упомянуть теорию Макмиллана [714], предполагающую существование
потенциального барьера на границе N - S и толщину пленок, в чис-
том случае малую по сравнению с > что обеспечивает однородность
сверхпроводящих свойств. Прохождение электронов через такой барь-
ер описывается методом туннельного гамильтониана, и ток куперов-
ских пар через барьер мал в меру его прозрачности. Касаясь экспери-
ментальной проверки теории, мы можем упомянуть среди других рабо-
ту Гилаберта, Романьяна и Гийона [394]; см. также ниже.

7.1.2. Контакты S - N - S. Рассмотрим сандвич сверхпровод-
ник - нормальный металл-сверхпроводник (S - W - S) с двумя грани-
цами W -S при | х | = dN (т.е. толщина нормального металла равна
2^) (рис. 7.1, б). Анализ, аналогичный рассмотренному выше и осно-
ванный на диффузионном приближении с использованием граничных
условий (7.1.1), приводит к такому же соотношению между током и
фазой I = I r sinф, как и в случае диэлектрических контактов (S - I-S).
В грязном пределе, когда толщины обоих S - и N-слоев велики по
сравнению с длиной когерентности и температура близка к критичес-
кой Т (Т - Т « Т « Т ) выражение для 1ЛТ) можно записать
cs cs cs 1

в виде [271]

Л(^)а(7;<-Т)2ехр(-2^,^) . (7.1.2)

Асламазов, Ларкин и Овчинников [51] детально рассмотрели слу-
чай контакта с металлическим барьером и нашли точное решение за-
дачи в предположении малой прозрачности границы /V - S . С помощью
теории возмущений в их работе было получено выражение для тока,
справедливое при всех температурах и произвольной толщине слоя нор-
мального металла. Они рассмотрели, кроме того, предельные случаи,
включая приведенный вышех).

Поучительно вкратце остановиться на подходе, предложенном
Кларком [215] и представляющем собой упрощенный вариант рассмот-
рения де Жена. В модели Кларка предполагается, что /V5 = /vN и
что подразумевает (это следует из 7.1.1) непрерывность
F и dF/dx на границе W -S . Считается также, что Т = 0 и, таким
_i
образом, KN = . Кроме того, вблизи границы для FN(x) использу-

ется простая линейная аппроксимация, указанная на рис, 7.2,а. Окон-
чательно выражение для максимального критического тока в этом
случае принимает вид

/ £ (Т\ \
/1(T)oc|F0(r)|2 ехр[-2^ДДП] •

\ SglM ) /

С другой стороны, амплитуда конденсации Fq(T) в глубине сверхпро-
водника и корреляционная длина зависят от температуры пропор-
ционально (Т _ т}У2 и (7\ - т}-™ соответственно. В результате
cs cs

выражение для ZJT) воспроизводит зависимость (7.1.2), полученную
де Женом (в соответствии с предположением Т, =0, здесь К^1
заменяется на ^). Мы не учитываем температурную зависимость
^N, так как эта зависимость типа ТУ2 вблизи Тс^ является сущест*

$ По вопросам теории контактов $ - N - S мы отсылаем читателя к
работам Галайко, Свидзинского и Слюсарева [375], Свидзинского, Анцигиной
и Братуся [957] и Ишии[510, 511].
Р и с, 7.2. a - пространственная зависимость амплитуды конденсации вбли-
зи N - S-границы в простой модели Кларка; б — ВАХ переходов 5 - N - S
при Т = 2,98 Ко Толщина нормального металла 5520 X, длина свободного
пробега Z = 140 А [215].

венно более слабой, чем температурные зависимости FQ и ^GL . На-
помним, что в случае диэлектрического барьера (структура типа
S _/-.$) температурная зависимость критического тока ZJT) вбли-
зи критической температуры Тс имеет вид Zx(Т) | F0(T) | 2 [272].

Таким образом, критический ток 1^ контакта S - / - S зависит от темпера-
туры как Zj (тс - Т), а для контакта S - /V - S эта зависимость,
как мы видели, И1?ая: 1г(Т) (Тс - Т)2»

Первое и наиболее обширное исследование структур S - V - $
было проведено Кларком и изложено в цитировавшейся выше работе.
Контакт представлял собой сандвич РЬ - Си - РЬ и был приготов-
лен с помощью простого напыления. Выбор металлов, образующих
границу S - N, ограничен некоторыми жесткими требованиями, таки-
ми, как отсутствие интерметаллических соединений, а также очень
малая взаимная растворимость металлов (для предотвращения диф-
фузии). Толщина металлического (Си) слоя была порядка нескольких
тысяч ангстрем; добавление около 3% А1 обеспечивало уменьшение
длины свободного пробега электронов (см. ниже). Типичное значение
сопротивления контакта составляет 10~7 Ом. При такой малой вели-
чине сопротивления требуются очень точные измерения напряжения,
позволяющие определить, находится ли контакт в состоянии с нуле-
вым или конечным напряжением ( ~ 10~“1 °В), и найти, таким образом,
величину критического тока. Это ясно из ВАХ, приведенной на
рис. 7.2,6. Разность потенциалов на сандвиче измерялась в связи
с этим сверхпроводящим гальванометром [213], включенным после-
довательно с сопротивлением 10““ 7 Ом и обладающим чувствитель-
ностью 10’13В с постоянной времени 0,3 с. В работе Кларком [213],
кроме того, были приведены результаты измерений максимальной
плотности критического тока ] в зависимости от толщины барьера
в диапазоне 3 • 103 - 7 • 103 А, а также температурная зависимость
критического тока. Эти данные сравнивались с предсказаниями упо-
минавшейся выше упрощенной теории, которая, несмотря на свой при-
ближенный характер, позволила довольно хорошо описать экспери-
ментальные результаты. Было найдено, что вблизи Т, критический
ток 1г зависит от температуры как (Тс - Т}2 и экспоненциально
падает с ростом толщины медной прослойки. Кроме того, было обна-
ружено, что при низких температурах зависимость 1}(т) описывается
экспоненциальным законом (-const • /7). Было установ-

лено также влияние примесей на /} (критический ток Ц уменьшался
с уменьшением длины свободного пробега 1п). В зависимости крити-
ческого тока 1г от магнитного поля На были обнаружены особенности,
свойственные "широким" туннельным контактам (см. гл. 5). Кроме
того, были детально исследованы и токовые состояния при конечном
напряжении [217].

Поведение, свойственное джозефсоновским контактам $ - N - S ,
наблюдалось также и в более сложных структурах. В самом деле, с

помощью направленного затвердевания можно создать слоистые эвте-
ктические сплавы, например, такие, как РЬ - Sn [298, 299] или

In - Bi - In (Bi) [991]. Данные структуры представляют собой перио-
дическую конфигурацию S ~ N - S. В зависимости от рабочей темпе-
ратуры Т такие последовательности контактов с металлическими барье-

рами характеризуются различным поведением, и возможна реализация
двух типов контактов: S - N - S и S - S'- S при температурах со-

ответственно Т > Т,. и Т < .

CN N

Наконец, отметим работу Нимейе-

ра и Миннигероде [758], содержащую результаты тщательнейшего ис-
следования влияния примесей на свойства нормального барьера, а так-

же недавнюю статью Сианга и Финнемора [502], посвященную тому же

вопросу (см. также цитированные в ней работы).

7J.3. Структуры S - I -N - Интересную структуру, имею-
щую отношение к обсуждавшейся выше, образуют сандвичи типа сверх-
проводник — изолятор - нормальный металл — сверхпроводник
Рис. 7.3. a •- схематический вид структуры S -Z -N -S и предполагае-
мое поведение параметра порядка [854]; б — качественная модель [904]
перехода сверхпроводник — полупроводник — сверхпроводник и предпола-
гаемое поведение параметра лорядкао

(б)

S _ I ™ /v -S [ 422]* В таких структурах связь между волновой функ-
цией куперовских пар в сверхпроводнике 5 и сандвиче W - 5 реализу-
ется через, диэлектрический барьер . Данные структуры оказывают-
ся исключительно полезными для изучения эффекта близости в нор-
мальной области, поскольку джозефсоновский сверхток определяется
произведением двух волновых функций, определенных по разные сто-
роны от барьера [272]. С экспериментальной точки зрения использо*
вать контакты типа 5 - I - N - S для исследования с помощью джо-
зефсоновского туннелирования эффекта близости — значит снять про-
блемы, связанные с исключительно низким сопротивлением структур
$ - /V - S . С теоретической точки зрения данное обстоятельство по-
зволяет ожидать лучшего согласия экспериментальных результатов
с теоретическим анализом, проводимым в рамках предположения о
малой прозрачности барьера. Выводы теории относительно данного
типа сандвичей представляют интерес также и для контактов с полу-
проводниковым барьером.

Мы изложили здесь вкратце упрощенную картину явления, дан-
ную Роуэллом и Смитом [859] (рассматриваемая система приведена
на рис. 7.3,&). Ось х, как и ранее, выбирается перпендикулярно струк-
туре сандвича с началом координат на границе N -S. Предполагает-
ся, что сверхпроводящий параметр порядка описывается линеаризован-

Рассматривались также структуры типа 5 -N -I - N -5 (см., напри-
мер, работа Заикина и Жаркова [1077])о
ным уравнением Гинзбурга — Ландау; в сверхпроводящей области S R
(т.е. при 0 < х < ds ) имеем зависимость △ = ^0^Т/Тс )sin[-rr(x + 6)/2§gz]
при 0 < х < а , а в области "далеко” от границы /V - S - зависимость
△ = До( Т/Тс ). Выражение для параметра порядка в нормальном ме-
талле берется таким же, как и в теории-Вертхамера для случая конеч-
ной толщины /V-слоя, обсуждавшегося выше. Кроме того, используют-
ся граничные условия де Жена (7.1.1). В результате выражения для
постоянного сверхтока оказывается пропорциональным произведе-
нию двух параметров порядка: постоянному параметру порядка в сверх-
проводящем слое SL и параметру порядка в /V-области на свободной
поверхности нормального металла (х = -dN) (более детально см. рабо-
ту [ 859]). Несмотря на простоту, эта теоретическая схема хорошо
описывает экспериментальные результаты для температурной за-
висимости джозефсоновского тока, полученные Роуэллом и Смитом
[859] и показанные на рис. 7.4. Приведенные данные относятся к
структурам Sn - Sn^Oy - Zn - Sn. Теоретические зависимости
представлены сплошными кривыми, а экспериментальные данные -
кружками. Рисунок не требует объяснений; мы можем только отме-
тить, что последовательный переход от кривой а к е соответствует
росту отношения dN/l N. Для меньших значений этого отношения,
т.е. когда dN реализуется поведение, предсказанное Амбе-
гаокаром и Баратовом [14] для структур S - I - S. С ростом вели-
чины отношения начинает проявляться эффект подавления
параметра порядка. Детали этих экспериментов и рассмотрение раз-
личных теоретических аспектов обобщенного уравнения Гинзбурга -
Ландау в связи с эффектом близости можно найти в статье Блэкбурна,
Смита и Роуэлла [ 120 ].

В связи с исследованиями таких неоднородных сандвичевых струк-
тур S -I - /V - S отметим уже упоминавшуюся работу [422], посвя-
щенную контактам РЬ -РЬО - Си -РЬ1), а также статью [855], в ко-
торой изучается эффект близости между одним сверхпроводником
(N = Sn) и другим, "более сильным", сверхпроводником (S = РЬ) в
сандвичах РЬ - РЬО - Sn - РЬ. Напыленные пленки алюминий - сви-
нец (N = Al, S= РЬ) использовались в качестве противоположного

^См. также работы [1014, 1015], в которых рассматривается эффект
близости в электродах Си - РЬ и Al - Sno
Рис. 7.4. Зависимость джозефсоновского тока структур S -Z -N —S от
приведенной температуры. Данные относятся к Sn-Snxoy -Zn - Sn-струк-
турам0 (а)о Тс= 3|68 dN = 600 А, - §45 А; (б) tCq= 3,60 К, dN = 1200 А,
1Н = 1180 А ; (В) Т = 3^34 к, dN = 2400 А, = 916 А ; (О Г = 3,43 к,

= 3600 A, lN = 1130 А;^Д) Тс = 3,44 К. = 3600 А, 1110 Ai

(И тс = 3,32 К, d^ = 3600 A, lN = 725 А [854]. Сплошная кривая — теория,
кружки - эксперимент, (Воспроизводится с разрешения Национального со-
вета по научным исследованиям Канады.)
электрода в контактах на основе ниобия. Результаты детального ио*
следования структур этого типа приведены в работе [355] $. Стоигр
также указать на работу Хаузера [478], в которой изучались струк-
туры с магнитным./V-металлом, а именно контакты СгРЬ - I - РЬ Сг
и РЬ - I - РЬ (см. также гл. 3) А

До сих пор мы рассматривали эксперименты по изучению темпе-
ратурной зависимости критического тока в контактах S - / -N -S ,
результаты которых интерпретировались в основном в рамках теории
Гинзбурга - Ландау. Данная теория исходит из предположения о бли-
зости температуры к критической и выполнения условий грязного пре-
дела. Однако в реальных экспериментах по эффекту близости эти
предположения выполняются лишь приближенно или даже вообще не
выполняются. Обратим внимание в связи с этим на теорию Макмилла-
на [714], свободную от указанных ограничений. Несмотря на разный
характер предположений, лежащих в основе теорий Гинзбурга - Лан-
дау и Макмиллана, они приводят к качественно одинаковой темпера-
турной зависимости 1{(Т) (см., например, расчеты Мори, Кодамы и
Осаки [731]). Недавно в работе [396] были приведены результаты де-
тальных исследований поведения критического джозефсоновского то-
ка в условиях эффекта близости в структурах Nb -NbxQ^ - Al/РЬ и
Nb - NbxOy - Cu/Pb и получено хорошее согласие с теорией Макмил-
лана.

Наконец, упомянем предсказанный теоретически [715] специфи-
ческий эффект, ожидаемый в структурах S - / -N- S. Разрывность
потенциала пары на V - S-границе вызывает осцилляции парной амп-
литуды F(x), что может привести с изменением температуры к инвер-
сии знака при х = -dN. Это в свою очередь должно вызвать аномальное
поведение критического тока. Экспериментально существование та-
кого эффекта не было подтверждено. Имеется ряд экспериментальных
результатов, которые могут быть интерпретированы в рамках данных
представлений (например, работа [221]), однако всесторонние иссле-
дования [999], по-видимому, однозначно исключают наличие каких-
либо аномалий.

$ См. также работу [244] и недавнюю статью [701].

Другие особенности поведения, которые могут быть интерпретирова-
ны в рамках представлений об эффекте близости, часто наблюдаются в кон-
тактах на основе ниобия (см. также разд. 6.3.2),
7.2. Контакты с полупроводниковым барьером

В другом классе контактов типа сандвичей в качестве барьерно-
го слоя используются полупроводники. Одна из причин интереса к
таким структурам - очень большая величина емкости, присущая кон-
тактам с оксидным барьером, что в ряде случаев может служить по-
мехой для использования контакта в прикладных целях. В случае по-
лупроводника из-за меньшей высоты барьера можно надеяться полу-
чить разумные значения максимальной плотности тока при сохранении
необходимой толщины барьера в контакте. По результатам, получен-
ным к настоящему времени, такие структуры не могут пока конкури-
ровать с оксидными контактами. Тем не менее приборы, использую-
щие полупроводниковые барьерные слои, могут оказаться перспек-
тивными.

7.2. ). Прослойки различных полупроводниковых материалов.

В качестве туннельных барьеров использовались полупроводни-
ки CdS, CdSe, С, Те, Ge, InSb, Т1, ZnS, РЬТе, GaAs nPbS.
Джозефсоновское туннелирование наблюдалось в контактах с про-
слойками из CdS, Те, РЬТе, Ge, InSb и Si. Здесь мы отметим
лишь основные свойства и характеристики этих структур, а обсужде-
ние деталей их приготовления отложим до гл. 8.

Наиболее интересные с физической точки зрения приборы были
получены с использованием светочувствительных полупроводнико-
вых материалов, это были также первые исследованные контакты с
полупроводниковыми барьерами [386, 391].

Как определение характеристик, так и полное понимание пове-
дения контактов с полупроводниковыми барьерами существенно за-
трудняется рядом обстоятельств. К ним относятся взаимная диффу-
зия на границах барьера, существование поверхностных состояний,
неконтролируемое легирование, аморфно-поликристаллическая струк-
тура многих напыленных полупроводниковых пленок, наличие проко-
лов даже в пленках толщиной 1000 А. Эти проколы образуют парал-
лельный шунтирующий путь для тока. Для их устранения можно после
нанесения полупроводникового слоя произвести окисление. Данная
процедура, однако, далеко не безобидна. Кислород может вызвать ра-
дикальные изменения структуры, такие, как введение примесей и по-
явление ряда оксидных барьеров либо в результате окисления полу-
проводникового слоя, либо в результате окисления верхнего элект-
> да (это может происходить за счет кислорода, адсорбированного
юлупроводником). Существование этих, а также других проблем
заставляет нас заключить, что знание таких характеристик контак-
та, как работа выхода полупроводника и сверхпроводящих электро-
дов, а также влияние легирования на материалы контакта, оказыва-
ется лишь относительно важным. Реальное поведение контакта в це-
лом сильно зависит от структуры пленки, которая в свою очередь
определяется в основном спецификой напылительной техники, кон-
кретными деталями границы полупроводник - сверхпроводник
и т.д.

Оставив в стороне контакты с прослойкой из CdS, которые будут
подробно обсуждаться в следующем разделе, рассмотрим теперь наи-
более распространенные полупроводники, применяемые в связи с эф-
фектом Джозефсона. Использование очень тонких слоев германия
(~ 50 Я) позволяет получить контакты с плотностью критического то-
ка, превосходящей 30 А/см2. Упомянем здесь ранние исследования
Липсона и Стюпеля [667] контакта Sn - Ge - Sn. Келлер и Нордман
[ 569] получили контакт с прослойкой из ниобия (и электродами из
РЬ и Sn), обладающий довольно четкой ВАХ с ясно выраженной щелью
и демонстрирующий типичную периодическую зависимость тока от маг-
нитного поля. Аналогичные результаты были получены теми же авто-
рами с использованием барьеров индий - сурьма. Другой полупровод-
никовый материал, исследовавшийся в контактах, - теллур [171, 172,
904, 905]. Интересно отметить, что в работах [171, 172] ясно обнару-
живалась "квазичастичная" структура ВАХ, несмотря на присутствие
тока утечки, тем не менее величина щели была, по-видимому, меньше
ожидаемой в случае свинцовых сверхпроводящих электродов. Авторы
предположили, что этот эффект связан с взаимной диффузией свинца
и теллура, что ведет к образованию в исследуемой структуре слоя
РЬТе. Соответствующая этому случаю форма барьера показана схема-
тически на рис. 7.5. На том же рисунке представлена модель барьера
с поверхностными состояниями [173].

Результаты обширных экспериментальных и теоретических иссле-
дований контактов с прослойкой из теллура были опубликованы Сето
и Ван Дузером [904]. Эксперименты проводились на контактах
Sn — Те — Sn, полученных напылением, с толщиной полупроводниково-
го барьера до 800 А. В соответствии с теоретической моделью тел-
лур можно рассматривать как вырожденный полупроводник p-типа, и
Рис. 7.5. Схематическое изображение моделей энергетических барьерово
а — идеальные барьеры; б — модель барьера без поверхностных состояний;
в и г — модели барьеров с поверхностными состояниями соответственно
для аморфных материалов ( Се, InSb) и вырожденного р₽типа Те • Ej ~ уро-
вень Ферми, Ev _ вершина валентной зоны и Ес — дно зоны проводимости
(по работе [ 173])О

на поверхности раздела полупроводник - свинец возникают два барь-
ера Шоттки (см. рис. 7.3,5). Соответствующая форма барьера схема-
тически приведена на рис. 7.5л. Зависимость критического тока от
температуры и толщины прослойки теллура анализировалась автора-
ми в рвете теории де Жена, рассмотренной в предыдущем разделе. В
модели свободных электронов длину когерентности для вырожденно-
го полупроводникового слоя можно определить как

/ J/2

Kn *N\6irkBTm*] (3W

где ц - не зависящая от температуры подвижность электронов, т* -
электронная эффективная масса и п - плотность носителей. Как и
ранее, предполагается, что температура Т выше температуры пере-
хода полупроводника. Считается также, что толщина барьера доста-
точно велика, так что внутри сверхпроводников волновая функция пар
практически постоянна. Зависимость 1г от Т, наблюдавшаяся Сето и
Ван Дузером, по-видимому, характеризуется тремя различными ре-
жимами. Первый напоминает зависимость Амбегаокара - Баратова
для случая оксидных контактов и соответствует ситуации, когда до-
минирует поведение типа барьера Шоттки. Во втором режиме наблюда-
ется экспоненциальное уменьшение критического тока, обусловлен-
ное объемными характеристиками полупроводника и связанное с из-
менением парной амплитуды Л(г). Наконец, последний режим соответ-
ствует промежуточному поведению. Сето и Ван Дузер смогли получить
хорошую аппроксимацию своих экспериментальных данных, а также
результатов Кардинны, Манхеса и Ренара [171]. Точность аппрокси-
мации последних результатов, разумеется, зависит от выбранного
значения длины когерентности полупроводника; этот выбор может
быть более или менее реалистичным в зависимости от истинной кон-
центрации носителей и их подвижности. В этих структурах, как и в
оксидных контактах, сверхток должен экспоненциально зависеть от
толщины барьера, если концентрация и подвижность носителей посто-
янны. Реальная ситуация может оказаться иной из-за отсутствия не-
обходимого контроля над этими параметрами в напыленных сандви-
чевых структурах.

Стоит, наконец, упомянуть о структурах с мембраной из моно-
кристаллического кремния, полученных Хуангом и Ван Дузером
[505, 506]. Данные структуры привлекают к себе особый интерес,
поскольку позволяют избежать многих проблем, связанных с нане-
сением полупроводникового слоя (см. гл.8).

7.2.2. Контакты со светочувствительным полупроводнике*
вым барьером. «Начиная с пионерских экспериментов Гевера [386]
со сверхчувствительным контактом с прослойкой CdS, интерес к это-
му типу переходов непрерывно возрастает [88, 302, 389, 866].

Светочувствительные полупроводники позволяют получать сверх-
проводящие туннельные контакты с изменяемой высотой барьера.
Как мы увидим далее, в зависимости от специфики облучения
соответствующие изменения в барьере могут привести к реализации
большого числа различных ситуаций в одном образце, что позволяет
лучше понять физику явлений в джозефсоновских контактах. Кроме
того, открывается интересная возможность создания оптически конт-
ролируемых устройств. На практике светочувствительные джозефсо-
новские контакты были получены лишь с использованием CdS-барье-
ров, хотя светочувствительность наблюдалась также и в туннельных
10 мВ/деп

(6)

Рис. 7.6. Оптический отклик переходов Pb - CdS - РЬ. Все ВАХ получены при
4,2 К; входной оптический сигнал создавался электронной вспышкой, а -
изменение сопротивления структуры с t > 500 А под действием света; б -
светочувствительное квази частичное туннелирование; в — темновые ВАХ
перехода с малым импедансом; г - эффект Джозефсона, наведенный све-
том, в переходе с характеристикой (в) [88].

контактах с использованием CdSe [8^4]1\ Результаты детальных
экспериментальных исследований контактов с барьерами из CdS и
CdSe и электродами из таких материалов, как Sn, РЬ и Nb, были
приведены Бароне, Риссманом и Руссо [88], а с электродами из In -
Бароне и Руссо [86]. На рис0 7.6 представлен оптический отклик кон-
такта РЬ -CdS - РЬо Рис, 7.6,я иллюстрирует изменение сопротив-
ления под действием света в структурах с полупроводниковым барье-
ром толще 500 X. На рис. 7.6,6 показано светочувствительное пове-
дение хорошо определенной туннельной структуры (t 200 А), Пере-

$ Среди работ по светочувствительным туннельным контактам ука-
жем на статьи [280, 717, 993].
v[i мв/дел]
(а;

И1 мВ/дел.]

(б)

[о,5 мв/деп J

Рис. 7.7. Оптический отклик светочувствительных переходов. ВАХ при о
4,2 К. а - ступенчатая структура образца РЬ -CdS - РЬ с тонким ('МОО А)
барьерным слоем CdS; б — влияние воздействия света на нормальное сопро-
тивление образца РЬ -CdS - In; в и г — переход In-CdS - In соответствен-
но в "темновом" режиме и после облучения светом [891

ход от кривых с меньшим сопротивлением к кривым с большим со-
противлением соответствует увеличению числа световых вспышек»
На рис. 7»6,<? приведена ВАХ контакта (t < 150 А) в ’’темновом”
режиме» Рис 7,6,7 относится к тому же контакту с наведенным
светом джозефсоновским током» Облучение светом, таким образом,
меняет характеристики барьера, приводя к уменьшению туннельного
сопротивления. На рис. 7.7 представлены более поздние результаты,
полученные с использованием в качестве электродов различных ма-
териалов. Гевер и Зеллер [389] дали довольно упрощенное объяснение
такого поведения (см. также работу Радхакришнана [830]), основан-
ное на уменьшении высоты эффективного барьера из-за наличия ло-
вушек для фотодырок. Исключительно большое время рекомбинации

14 - 436
для таких ловушек [150] приводит к,появлению эффекта памяти в
проводимости, что и наблюдается экспериментально. Вернуть образец
в его нормальное состояние ("темновое” сопротивление) может либо
пропуская через него сильный импульс тока, либо нагрев его до тем
пературы выше 100К. Соответствующие физические механизмы, отве-
чающие этим двум методам, пока не установлены, и не ясно, имеют
ли оба эффекта термическую природу.

Стоит также напомнить, что в случае барьера из сульфида кад-
мия возможна конкуренция различных механизмов туннелирования.
В самом деле, кроме ’’прямого прохождения" электронов через по-
лупроводник возможно также и "косвенное прохождение" через час-
тицы кадмия, внедренные в CdS. Это было ясно продемонстрировано
в экспериментах Джозефовича и Смита [540].

Как мы увидим в гл. 8, в контактах с прослойкой CdS могут
использоваться барьеры самой различной толщины в зависимости
от материала сверхпроводящих электродов: от 100 до 200 А в кон-
тактах РЬ - CdS - РЬ до 700 - 800 X и более в сандвичах

In-CdS - la. Это указывает, что природа контакта сверхпроводник -
полупроводник играет очень важную роль. В случае границы
РЬ - CdS разная величина работ выхода приводит к образованию
высокого потенциального барьера, в то время как взаимная диффу-
зия на границе между In и CdS создает хороший омический контакт
In -CdS [150]. Рассмотрим контакт РЬ -CdS - In. Такая структу-
ра, как можно предположить, имеет сильно асимметричный барьер,
который в присутствии освещения в основном локализован на грани-
це РЬ -CdS. Граница между In и CdS может рассматриваться как
вырожденный слой, и до некоторой степени ее можно аппроксимиро-
вать слоем нормального металла. Оказывается возможным, таким
образом, рассматривать контакт РЬ - CdS - In в качестве структу-
ры сверхпроводник - изолятор - нормальный металл - сверхпровод-
ник (S-I-N-S')n обсудить его поведение в рамках теории эф-
фекта близости. Данная конфигурация сандвича сходна с изучавшей-
ся Роуэллом и Смитом (разд. 7.1.3). Следуя их анализу (немного
модифицированному), можно найти величину критического тока, а
также его температурную зависимость в явном виде [34]. На
рис. 7.8,а,б приведены экспериментальные данные вместе с теоре-
тическими зависимостями, полученными на основе указанного под-
хода. Аналогичные результаты были получены Гилабертом и др.
<
s

Рис. 7.8. Температурная зависимость светоиндуцирован-
ного постоянного джозефсоновского тока. Проводится срав-
нение экспериментальных данных с теоретической зависи-
мостью (сплошная кривая), полученной в рамках теории эф-
фекта близости, а) структура In - CdS - In; б) структура
РЬ - CdS - In; две в) две кривые, соответствующие двум разным
светоиндуцированным критическим токам в одном образце
(РЬ - CdS - In) [34]
(б)

(в)
[396] и интерпретированы в рамках модели Макмиллана [714].
Приведенные на рис. 7.8 данные относятся к температурной зависи-
мости джозефсоновского тока, вызванного освещением, в контактах
In — CdS — In и РЬ - CdS — In (а и б соответственно). В случае
асимметричного контакта РЬ - CdS — In джозефсоновский ток резко
возрастает ниже Тс 9 в то время как в случае симметричного кон-
такта (In - CdS - In) зависимость от температуры вблизи Тс прак-
тически линейная. Таким образом, в широком температурном интер-
вале (Т ~Т с ) воспроизводится поведение, характерное как для сим-
метричных, так и для асимметричных структур с оксидными барьерами
(см. гл. 3). При низких температурах тем не менее не наблюдается ни-
какого насыщения (как и для других структур с эффектом близости,
обсуждавшихся в этой главе). Отсутствие насыщения тока в структу-
рах S - / - W - S может быть обусловлено сравнительно большой
толщиной /V-слоя и недостаточно низкой температурой [ 396]. На
рис. 7.8,<? приведены температурные зависимости критического джо-
зефсоновского тока при двух различных уровнях облучения.

Недавно в работе Асламазова и Фистуля [50] обсуждался микро-
скопический подход к описанию рассмотренного типа структур (см.
также работы [11,12]).

Светочувствительные контакты, как уже отмечалось, благодаря
возможности регулировать высоту эффективного барьера облучением
позволяют моделировать различные ситуации при изучении одного об-
разца. Например, как было продемонстрировано Бароне и др. [92],
оказалось возможным в зависимости от уровня облучения наблюдать
на одном контакте поведение, свойственное как малым (L /Ау < 1),
так и большим (L/Ay > 1) контактам. Зависимости критического тока
от магнитного поля, показанные на рис. 7.9, ясно демонстрируют на-
личие перехода между этими двумя типами поведения. Действитель-
но, мы видим два предельных случая: фраунгоферову диффакционную
картину, типичную для малых контактов, и квазилинейную зависимость,
свойственную большим контактам со скрещенной геометрией (см. гл 5).
Интерпретация перехода от малого к большому контакту очевидна.
Увеличение уровня облучения приводит к росту сверхтока; в соответ-
ствии с этим джозефсоновская глубина проникновения уменьшается и
отношение L /Аj растет.
Рис. 7.9. Зависимость критического тока от внешнего магнитного поля
при увеличении тока под действием светового облучения» Данные относятся
к одному образцу (РЬ — CdS — In). Интересно отметить переход от режима
поведения, свойственного ’’малым” контактам (а), к режиму "большого"
контакта (б, в, г) [92].

Кроме того, исследуя зависимость 1г и Н при изменении прозрач-
ности верхнего пленочного слоя (изменении в некоторых местах его
толщины), можно наблюдать либо поведение, свойственное одиночно-
му контакту (дифракция Фраунгофера), либо двухконтактное поведение
(интерференционная картина). Эти две ситуации отвечают соответст-
венно однородному и локализованному на концах освещению. Послед*-
няя ситуация предоставляет возможность создания двух (или более)
контактных интерферометров с помощью подходящего селективного
освещения образца с постоянной толщиной барьера. Получающиеся
структуры при этом подобны тем, что используются в элементах
компьютеров (см. гл. 14). Отметим, кроме того, что светочувстви-
тельные контакты могут представлять интерес и в связи с изучением
эффекта структурных флуктуаций в барьере (гл. 3, разд. 4.4.2). Пер-
спективы использования светочувствительных контактов вместе с
обзором исследований этих структур рассмотрены в работе Бароне,
Руссо и Вальо [89].
7.3. Мостиковые контакты

Плоские структуры, в которых электроды и связь лежат в одной
и той же плоскости, составляют важный класс джозефсоновских сла-
бых связей1). Первая слабая связь такого типа была исследована
Андерсоном и Дайемом [28] и практически одновременно с этим
Лэмбом и др. [621] и Парксом, Мошелендом и Сюрженом [ 791]. В
этом случае структура представляет собой тонкую пленку, в которой
две относительно большие сверхпроводящие области (электроды или
’’берега”) соединены узким мостиком. Такие слабые связи ведут се-
бя как джозефсоновские элементы, если только размеры мостика,
соединяющего два электрода, меньше зависящей от температуры кор-
реляционной длины мостика § (Т) (или по крайней мере сравнимы с
ней). Существует большое разнообразие технических методик для
получения данных структур, в том числе механические, фото- или
электронно-лучевая литография, а также напылительные методики
с использованием специальных масок (см. гл. 8).

На рис. 7.10 схематически изображены два различных типа тон-
копленочных структур: мостик постоянной толщины, или "мостик Дай-
ема", и мостики переменной толщины (МПТ). Последние структуры
могут быть образованы как путем уменьшения лишь толщины пленки
в области слабой связи, так и путем одновременного уменьшения
толщины и ширины перемычки мостика.

На рис. 7.11 приведена фотография реального индиевого микро-
мостика переменной толщины, полученного методом двухступенча-
той электронно-лучевой литографии [680,873 ]. Толщина перемычки
мостика составляет 500 А, а толщина берегов - от 2000 до 3000 А.

Мостик постоянной толщины Мостики переменной толщины

Рис. 7.10. Различные тонкопленочные мостиковые структуры.

Относительно материала данного раздела мы отсылаем читателя так-
же к прекрасному обзору Лихарева [654].
Р и с. 7.11. Индиевый мостик переменной толщины, полученный методом
двухступенчатой электронно-лучевой литографиив Толщина мостика и бере-
гов примерно соответствует 500 и 2000 А» (С любезного разрешения
РоДо Сэнделла.)

В нашем изложении мы будем часто использовать букву L для
обозначения геометрической длины перемычки мостика (расстояния
между берегами). Реальный физический смысл имеет некоторая эф-
фективная длина мостика L е, большая, чем геометрическая, посколь-
ку изменения параметра порядка могут наблюдаться и в определенной
области сверхпроводящих электродов благодаря эффектам близости
и текущему в электродах току1).

$ Фактически под Ъе имеется в виду расстояние, на котором локализо-
ван нелинейный бтклик системы. — Прим, перев.
Фактически кроме геометрической длины слабую связь характеризу-
ют такие длины, как эффективная длина связи Lg, корреляционная
длина §(Т), длина свободного пробега электронов I и глубина проник-
новения магнитного поля Л(Т). Соотношение между L и £ позволя-
ет классифицировать связи с Ц < § как "короткие” и с Le § как
’’длинные”. Можно ввести также понятие ’’грязных” (Z « L ) и ’’чис-
тых” (/ > Ц,) слабых связей.

Заметим, что перемычка мостика в слабой связи может быть как
из нормального металла (связь S - V - S), так и из сверхпроводящего
(S - S'- S) с критической температурой Тс f меньшей чем критическая
температура ТсВ берегов. Однако даже в случае Тс > ТсВ оказывает-
ся возможным реализовать слабую связь, варьируя относительную ве-
личину критических токов берегов 1сВ и перемычки При этом необ-
ходимо выполнение условия \ < 1сВ .

В случае слабой связи типа мостика Дайема как длина, так и ши-
рина перемычки W должны быть меньше корреляционной длины (или то-
го же порядка), т.е. L — max[L, W]^ §. Выполнение этого условия
требует использования сложной технологической процедуры для созда-
ния связей с размерами в плоскости пленки порядка 10“5 см, т.е.
типичной величины корреляционной длины. Использование структур
типа МПТ позволяет избежать этих трудностей. В самом деле, в этом
случае необходимо выполнение условий (см. ниже)

dL lB], £,L ,

где обозначает толщину пленки и индексы L и В относятся соот-
ветственно к перемычке и берегам.

Таким образом, для МПТ снимается ограничение на ширину пере-
мычки при условии, что слабая связь находится на подложке из сверх-
проводника. Последнее обеспечивает однородность распределения то-
ка (см. гл. 5) как выше, так и ниже его критического значения, пре-
дупреждая тем самым проникновение вихрей. Однако когда мостик
становится слишком широким, он по своим свойствам приближается к
мостику такой же постоянной толщины, поскольку его скорее можно
рассматривать как очень толстый мостик, повернутый набок.

Другой важный класс слабых связей представляют собой "мости-
ки на эффекте близости” Нотариса - Мерсеро [763, 764]. В этих
структурах слабая связь осуществляется нанесением на сверхпроводя-
щую пленку слоя нормального металла (одна из возможностей) и ло*
кальным изменением относительной толщины пленок. Таким образом,
особенности эффекта близости служат для изменения, например, кри-
тический температуры в некоторой области сверхпроводящей пленки
и создания тем самым слабой связи. Локальное изменение свойств
сверхпроводящей пленки можно осуществить и ионным травлением, а
также методом ионной имплантации [38, 464, 576, 781 ]. Все такие
слабые связи могут рассматриваться в некоторой степени как струк-
туры S - W - S, рассмотренные в разд. 7. I, однако с барьером, ха-
рактеризуемым поперечным сечением, а не площадью прослойки метал-
ла.

Исторически первые шаги в развитии теории мостиковых слабых
связей были сделаны в оригинальных исследованиях (например, [397])
бесконечно длинных сверхпроводящих пленок и проволочек, т.е. сверх-
проводящих образцов с поперечным сечением, настолько малым, что
можно было ограничиться рассмотрением изменений физических пара-
метров лишь вдоль одного направления. В реальных слабых связях из-
за конечности длины необходим учет граничных условий, принимаю-
щих во внимание присутствие электродов, поперечное сечение которых
всегда больше, чем у самой перемычки мостика. В случае когда сече-
ния берегов и связи одинаковы, можно непосредственно применять гра-
ничные условия, обсуждавшиеся в разд. 7.1.

При построении теории реальных слабых связей удобно иметь в
виду квазиодномерную перемычку, соединяющую два берега, намного
превосходящих ее по своим размерам, а именно структуру типа МПТ
[649]п. Как было показано Лихаревым и Якобсоном [659], последнее
обстоятельство позволяет считать параметр порядка на концах пере-
мычки заданным и равным его равновесному значению в электродах.
Очевидно, что в этой ситуации все изменения параметра порядка лока-
лизованы на геометрической длине мостика L , которая при этом иден-
тична эффективной длине. Реально существующая конфигурация, хо-
рошо описываемая данной моделью, — мостик переменной толщины (а
также до некоторой степени структуры типа точечных контактов). Важ-
но также отметить, что МПТ обеспечивает благодаря трехмерному
характеру конфигурации более эффективный отвод тепла [577, 578,

См. также раннюю экспериментальную работу [440].
766]. Как уже указывалось, в случае очень широких МПТ специфи-
ческие свойства трехмерного сужения утрачиваются.

В качестве первого приближения при изучении поведения таких
пленок и мостиков (а также точечных контактов) можно использо-
вать простую резистивную модель контакта. Однако, как мы увидим
ниже, она не в состоянии объяснить некоторые специфические свойст-
ва этих слабых связей. Двухжидкостная модель, как обсуждалось в
гл. 6, позволяет записать соотношение

/ = /,sin<p+ —
или, в более общем виде,

(7.3.1)

dtp _ 2е
dt h

где используются обычные обозначения.

7.3.1. Статический случай. (Простое теоретическое объясне-
ние поведения мостиковых джозефсоновских структур (строго при-
менимое к МПТ и точечным контактам), а также обоснование резис-
тивной модели было впервые предложено Асламазовым и Ларкиным
[45]. Следуя их подходу, рассмотрим стационарную ситуацию с по-
мощью простых уравнений Гинзбурга - Ландау, не зависящих от
времени (справедливых при Т~Тс t т.е. для малых △), в форме1)

,2е \2
V-v^-A)

До

(7.3.2)

• А

V-JT-A
he

(7.3.3)

Предположим также, что одновременно выполняются условия

/«L , L«^(T), L«A(7J.

В (7.3.2) А — векторный потенциал и AQ ~ равновесное значение △.
Выполнение указанных условий приводит к тому, что в уравнении

Эти уравнения следуют из микроскопической теории [413] (сма так-
же книги [272] и [983])О
(7.3.2) доминирует градиентный член и оно сводится к уравнению

Лапласа (в калибровке А = 0)

V2A=0

с граничными условиями на поверхности сверхпроводника

Решение этого уравнения записывается в виде суммы двух членов

Д=Дье'^/(г)+Дле^(1-/(г)) . (7.3.4)

Индексы L и R обозначают величины, относящиеся соответственно
к левому и правому берегам. Функция f (г) представляет собой ре-
шение уравнения Лапласа, стремящееся к 1 (0) в глубине левого (пра-
вого) электрода.

Используя решение (7.3.4), с помощью (7.3.3) с А = 0 получаем
выражение для плотности сверхтока:

Л(г) = I V^г)ДьД* Sin<P=СV^г)ДеA«sin<p

Для нахождения плотности нормального тока заметим, что V • Е = 0
и Е = -Vt7, т.е» 7217 = 0 с граничными условиями dU/дп = 0 на поверх-
ности сверхпроводника. Это уравнение Лапласа для скалярного потен-
циала U имеет единственное решение, которое может быть записано
(аналогично (7.3.4)) в виде U = f (r)P + UR, где V = UL - URt раз-
ность потенциалов на слабой связи, и, таким образом, Vf7 = -PVf (г)
(UL и UR постоянны в соответствующих берегах).

Таким образом, в рамках двухжидкостной модели мы можем запи-
сать выражение для тока в виде

J = - V /(г)( - СДLДRsin<p

\ KN '

и,интегрируя по поперечному сечению связи, получаем для полного
тока V ir

,=-R;+,^A'“, 1,ря ,|=ад;ДА-

Для области берегов имеем d<pL R/dt = (h/2e )t/L R и отсюда
находим фундаментальное соотношение dq/dt = (2<?/й)К.'

Вопрос о синусоидальном характере зависимости (7.3.1) между
током и фазой в стационарном случае (V = 0) детально обсуждался
Баратовом, Блэкбурном и Шварцем [74] в рамках теории Гинзбурга —
Ландау для одномерной модели слабой связи (см. также работы
[197, 425]) Ч

Подытожим результаты решений не зависящих от времени урав-
нений Гинзбурга - Ландау для слабых связей [659, 661]. В случае
очень коротких мостиков L « § воспроизводятся с точностью до
малых поправок результаты Асламазова и Ларкина. Если L >
необходимо различать два случая: Т > Тс иТ<Тс, отвечающие
ситуациям S-/V-S и S - S' - S. В первом случае по мере роста от-
ношения L /§ модуль параметра порядка в центре мостика экспонен-
циально убывает. Зависимость тока от характеристик контакта при
этом в основном такая же, как и в случае сандвичей S - А - S , рас-
смотренном в разд. 7. > [51].

Зависимость сверхтока от разности фаз для случая Т < Тс при
различных значениях параметра L' = L/§ приведена на рис. 7.12,а.
Как следует из этого рисунка, зависимость / (ф) синусоидальна, по-
ка нормированная длина L' меньше единицы, т.е. для связей, коротких
по сравнению с корреляционной длиной. По мере увеличения L зависи-
мость I от ф начинает отклоняться от синусоидальной, и максималь-
ный сверхток (нормированный) стремится к постоянному значению 0,385
для L > 8§, т.е. критический ток приближается к критическому току
бесконечной сверхпроводящей проволочки, имеющей корреляционную
длину такую же, как слабая связь [397].

Экспериментально синусоидальная форма зависимости / (ф) была
подтверждена Фултоном и Дайнесом [ 368] в их измерениях при Т ~ Тс
и I 10 мкА с использованием интерферометра на двух слабых связях.
Среди прочих работ упомянем также недавние детальные измерения
Яккеля и др. [524, 525].

Интересно заметить, что удобное описание слабых связей с двух-
и трехмерным сужением достигается выбором эллиптических цилинд-
рических [ 1012] и сплюснутых сферических координат [579]. Решение
уравнений Гинзбурга - Ландау в этих координатных системах в ста-
тическом пределе [729] приводит к синусоидальной зависимости
тока от фазы в трехмерном случае. Этот результат находится также
в согласии с детальным рассмотрением Кулика и Омельянчука [597].

Отметим, что все эти подходы, а также обсуждавшаяся выше
работа Асламазова и Ларкина, поскольку они базируются на теории

$ См. также недавнюю статью [б7в1
Гинзбурга - Ландау, основаны на предположении, что температура
близка к критической Тс . Информацию о поведении слабых связей
при произвольных температурах можно получить с помощью уравне-
ний сверхпроводимости Эйленбергера [307]. В грязном пределе
(/ < ?0) возможно использование более простых уравнений Узаделя
[997] для параметра порядка. В одномерном случае^ эти уравнения
можно записать в виде [598]

2uF-d4-

n./2df 1 F d\F]2
1 m

=2Д(х)(1 - И2),/2.

Здесь F(x, со) - функция Горькова, проинтегрированная по энергети-
ческой переменной, со= irkBT(2n + 1)А и D = (1/3)vFl. Плотность
сверхтока дается выражением

2-ггквТ I dF_ dF^\
dx F dx ) '
П (л)

-Кулик и Омельянчук решили это уравнение с соответствующими гра-
ничными условиями. Как и в теории Асламазова и Ларкина, условие
L « £(Т) позволяет отбросить все члены, кроме градиентных. В
окончательном виде полный ток

, 2Д <р , „v 1 . _t Aosin<p/2

I = — A0cos — ,ттквТ2, .......-- tan . ...... ~ •

е w yw2 + AqCOS2<p/2 у со2 4-A20cos2 <р/2

При T -► Tc теория Кулика - Омельянчука для коротких мостиков
воспроизводит результаты Асламазова и Ларкина. Однако при низ-
ких температурах зависимость ток — фаза перестает быть синусои-
дальной, и для Т = 0 она становится существенно асимметричной
(рис. 7.12,6). Что касается температурной зависимости критического
тока, то вблизи Тс теория дает линейную зависимость, как и пред-
сказывали Амбегаокар и Баратов для туннельных контактов (см. гл. 3).
Однако при более низких относительных температурах (скажем, ниже
0,85) кривая идет по-другому (рис. 7.12,<?).

Укажем, что уравнения Узаделя использовались для исследова-
ния влияния температуры на зависимость тока от фазы S - W - S.

$ С помощью другого выбора функций (Куприянов) можно обойти это
ограничение (ем0 работу [б54]).
(6)

Р и с. 7.12. а - зависимость сверхтока от разности фаз ф на берегах
5 — 5* - 5-мостика (Т < Тс ) при различных величинах отношения L /%
[б59]; б ~ получаемая в рамках теории Кулика и Омельянчука [597]
зависимость сверхтока от разности фаз для короткой грязной слабой
связи при разных температурах; в — температурная зависимость крити-
ческого тока туннельного перехода (кривая А), следующая из теории Ам-
бегаокара и Баратова [ 14] (смв гл0 3)» Температурная зависимость крити-
ческого тока короткой слабой связи в грязном (кривая Б) и чистом (кри-
вая В) пределах, следующая из теории Кулика и Омельянчука [.597, 59б]о
70 (т) представляет здесь критический ток, даваемый формулой Амбегао-
кара и Баратова (рисунки взяты из работы [б541)0
слабых связей, когда Т, =0 [654]. Необходимо также упомянуть
исследование Кулика и Омельянчука [ 599] слабой связи с большой
длиной свободного пробега (чистые структуры с L < I, §). При этом
вместо уравнений Узаделя необходимо использовать более общие урав-
нения Эйленбергера [307]. Результаты этой теории для зависимости

от Т представлены на рис. 7.12.

Наконец, отметим, что в предельных случаях короткой и длинной
слабой связи поведение ZJT) различно [918]. Для короткой слабой
связи предсказываемая теорией линейная зависимость 1Г от Т экспе»
риментально наблюдалась в довольно широком температурном диапа-
зоне Даалмансом, Клапвийком и Мооии [249] на алюминиевых микро-
мостиках, Грегер-Хансеном, Левинсеном и Педерсеном [425] и Сон-
гом и Рохлином [940] в оловянных и индиевых микромостиках и Йе и
Бурманом [1069] в свинцовых слабых связях1). Некоторое расхожде-
ние с теорией при температурах вблизи Тс может объясняться различ-
ной температурой контакта и берегов. Кроме того, в непосредствен*
ной близости к Тс отклонения от линейной зависимости 1г(Т) возмож-
ны из-за тепловых флуктуаций, эффектов конечности толщины пленки,
особенностей технологии изготовления контактов и т.д. В соответ-
ствии с предсказаниями теории Гинзбурга - Ландау (см., например,
разд. 6.5 в книге де Жена [272]) критический ток длинной одномерной
связи меняется с температурой по закону 7^(1 -Т/Тс)/2 (см., на-
пример, работы [259, 920]). Зависимость этого типа также наблюда-
лась в различных мостиковых слабых связях (см., например, работы
[ 132, 469, 584, 576]).

7.3.2. ВАХ. Рассмотрим теперь особенности ВАХ тонкопленоч-
ных мостиков. На рис. 7.13,а приведены типичные кривые [767] для
различных температур, полученные на структурах типа МПТ. Мы ви-
дим , что, начиная с г7 = 0, сверхток описывается ветвью с конечным
напряжением примерно до 50 мкВ, характеризующейся малым диффе-
ренциальным сопротивлением Rd « rn. В этой области, как показа-
но в увеличенном масштабе на рис. 7.13,5, наблюдается характер-
ная "ступенька” 2) на характеристике вплоть до температур 3,75 К.

Среди прочих смо раннюю работу [ 105б] и детальное исследование
[б441

® Мы выбрали слово "ступенька" в соответствии с текущей литерату-
рой, хотя, если откладывать ток по вертикальной оси, как сделано на рисун-
ке, скорее следовало бы использовать слово "колено".
Рис. 7.13. Типичные ВАХ оловянных мостиков переменной толщины при
различных температурах [7671

vmkB
а б

При дальнейшем увеличении температуры (Т~Тс) эта ступенчатая
особенность исчезает, и кривые начинаются с 11 с конечным наклоном.
При больших напряжениях ВАХ следуют кривой большего сопротив-
ления, проявляющей субгармоническую структуру (см., например,
[424, 474, 475] и цитированные там работы). При еще больших зна-
чениях напряжения эта структура размазывается, и на ВАХ появля-
ется характерный изгиб, вызываемый нагревом.

•Заметим, что в резистивной области при больших напряжениях
кривая (вернее, ее продолжение) пересекает ось I при значениях
1е > 0 или, другими словами, высоковольтная ветвь приближенно опи-
сывается зависимостью I = V/R + 1е.В рамках чисто резистивной
модели 1е = 0; любой сдвиг тока обычно связывается с " избыточ-
ным током”. Заметим также, что с понижением температуры началь-
ный наклон ВАХ монотонно возрастает, и в области порядка несколь-
ких микровольт появляется крутой линейный участок. При достаточно
низких температурах выше этого участка на характеристике наблюда-
ется также резкий переход в состояние с конечным напряжением. Та-
ким образом, при уменьшении температуры появляется отрицатель-
436

(6) ИмкВ)
Ри с. 7.14. а - ВАХ оловянных мостиков переменной тол-
щины при различных температурах (из работы [249]); б -
ВАХ алюминиевых микромостиков при низких температу
pax; R = 0,113 Ом (из той же работы); в — ВАХ оловянно-
го вискера (ДТ = 2,9 мК); L = 8 • 10~2 см, А = 1,93 мкм2
(из работы [723]).
ное дифференциальное сопротивление, что приводит к гистерезисному
поведению. Каким образом гистерезис возникает и как он развивает-
ся по мере понижения температуры, ясно показано на рис. 7.14,я, где
приведены ВАХ, полученные для контакта того же типа (Sn-МПТ) в
работе Даалманса, Клапвийка и Мооии [249]. В соответствии с резуль-
татами рис. 7.13 мы видим смещенный прямолинейный участок в нача-
ле характеристики при низких температурах. При еще более низких
температурах этот участок исчезает.

На рис. 7.14, б,в. показаны ВАХ алюминиевых слабых связей, со-
ответствующие микромостику (б) и длинному полосковому мостику
(<?). Эти результаты обнаруживают ряд особенностей; на их интерпре-
тации мы остановимся ниже. Наконец, напомним о других эффектах,
которые возникают в мостиках под действием микроволнового излу-
чения. К ним относятся появление субгармонических ступенек, эф-
фекты частотной зависимости и увеличение максимального сверхтока
(см., например, работы [208, 644]; см. также разд. 11.3).

7,3.3. Интерпретация токовых состояний. Мы дали до этого
краткую классификацию сверхпроводящих мостиков, рассмотрев со-
ответствующие ВАХ. Обсудим теперь возможную интерпретацию
этих результатов. Недавно были обнаружены некоторые новые эф-
фекты и было предположено их теоретическое объяснение, раскры-
вающее различные феноменологические аспекты этих структур,
однако полного понимания вопроса еще не достигнуто. Резистивная
модель, как мы видели, дает описание мостиков в терминах джозеф-
соновского поведения (по крайней мере при некоторых условиях).
Однако в рамках этой простой двухжидкостной модели нельзя объяс-
нить обсуждавшиеся выше особенности ВАХ. В самом деле, было
предпринято много попыток описать эти слабые связи с помощью
подходящей эквивалентной.цепи. В оригинальной работе Маккймбе-
ра [704] предлагалась эквивалентная цепь, в которой считалось, что
слабая связь включена последовательно с индуктивностью (собст-
венная индуктивность) и подсоединена к источнику постоянного на-
пряжения. Для объяснения поведения сверхпроводящих слабых свя-
зей использовались самые разнообразные модификации резистивной
модели, среди которых мы отметим рассмотрения Грегер-Хансена,
Левинсена и Педерсена [425] и Грегер-Хансена и др. [426]. Одно из
наиболее важных явлений, которое необходимо принимать во внимав
ние при рассмотрении состояний с конечным напряжением, - движе-
ние потока. Этот процесс имеет место также и в джозефсоновских
туннельных структурах (гл. 10) как с диэлектрическим, так и с ме-
таллическим барьерами. В широкой мостиковой слабой связи без
сверхпроводящей подложки распределение тока уже не однородно.
При достижении сверхтоком критического значения состояние с ну-
левым напряжением становится неустойчивым, и под действием ло-
ренцевской силы начинается движение вихрей1! к центру мостика,
как это показано на рис. 7.15. В пионерской работе Андерсона и
Дайема [28] появление субгармонических ступенек под влиянием
микроволнового излучения связывалось с движением потока в сла-
бой связи. В рамках этой схемы ступеньки образуются из-за син-
хронизации этого движения микроволновым излучением. Этот под-
ход был широко развит Лихаревым [ 649] и Асламазовым и Ларки-
ным [46]$.

Движение потока, по-видимому, способно последовательно объ-
яснить появление смещенного линейного участка на кривых V - I
для связей на основе олова, показанного на рис. 7.14,а [249]. Ана-
логичное поведение было обнаружено и в Nb-МПТ [ 1029], и в этом
случае ответственным за него также предполагалось движение
потока31.

Охарактеризуем вкратце основные представления, лежащие в
основе простейшей теоретической модели [579] . Предполагается,
что динамика движения потока определяется наличием лоренцев-

11 Данная ситуация возможна и для сверхпроводников первого рода,
поскольку тонкая пленка, сделанная из такого сверхпроводника, при тол-
щине меньше некоторой критической ведет себя как сверхпроводник вто-
рого рода [162].

$ См. также статьи Головашкина и Лыкова [404] и Головашкина и дрв
[406] и цитированные там работы. Данные авторы исследовали высокотем-
пературную слабую связь (Nb3Sn), и полученные ими экспериментальные
результаты находятся в согласии с теорией Асламазова и Ларкина. Эта
теория также использовалась для объяснения некоторых необычных свойств
длинных МПТ, образованных искровым электрическим пробоем в монокри-
сталлическом кремнии [108, 109].

Обширный цикл исследований по структурам типа МПТ был выпол-
нен Губанковым и др. [440] и Губанковым, Козельцом и Овсянниковым
[435, 437, 438].
Рис. 7.15 Схематическое изображение движения вихря в слабой связи0

ской силы Fl = у Фо на единицу длины, вызываемой взаимодействи-
ем между током и вихрем, и силы пиннинга F , даваемой выраже-
нием Fp = ]рФ0. Кроме того, на вихрь, движущийся с постоянной
скоростью v, действует сила вязкого трения F^, пропорциональная
скорости F^ = тр; она вызвана трением между нормальным кором
вихря и кристаллической решеткой.

Предполагая для параметра вязкости выражение

где ст - нормальная проводимость кора, можем записать условие
равенства сил FL = Fp + Fj в виде

(У I ф \2

Если v - число вихрей, пересекающих мостик в единицу време-
ни, то V = уФ0 и v = v/W. Можем, таким образом, записать
Рис. 7.16. Однозначная зависимость ток - фаза, режим проскальзывания
фазы и режим течения потока (из работы [ 601] )0

где Z = тт£2(Т)/сг1У2с/, = J pWd, и I = JWd. С помощью этих

качественных аргументов в соответствии с экспериментом при то-
ках выше критического мы получаем линейное соотношение между
током и напряжением; изменение наклона вызвано температурной
зависимостью импеданса. Наконец, среди прочих результатов по
динамике потока в сверхпроводящих мостиках обратим внимание на
работу Гутмана и др. [449], в которой с помощью модели движения
потока объясняется область плато на ВАХ.

На рис. 7.16 приведены значения как длины, так и ширины мости-
ка (нормированы на £(Т)), которые отвечают появлению движения
потока. Область, лежащая ниже горизонтальной штриховой линии,
указывает размеры мостика, при которых реализуется однозначная
зависимость тока от фазы в соответствии с результатами, приве-
денными на рис. 7.12. Остальная область отвечает одномерному ре-
жиму проскальзывания фазы (см. ниже). Стоит заметить, что тече-
ние потока возможно лишь в случае неоднозначной зависимости
от ф [601], что в свою очередь подразумевает отсутствие данного
явления в S - /V - 5-связях. В них, как уже обсуждалось ранее, при
увеличении длины наблюдается лишь экспоненциальное уменьшение
критического тока. Рассмотрим теперь набор экспериментальных
ВАХ маленьких алюминиевых мостиков, представленных на рис. 7.14,^.
Заметим, что в целом кривые похожи на характеристики образцов на
основе олова, которые приведены на рис. 7.13. Однако имеются су-
щественные различия в их детальной структуре. В случае алюмини-
евых образцов, размер которых слишком мал для проникновения вих-
ря, гипотеза о движении потока не работает. Очевидно, что при отно-
сительно больших напряжениях зависящая от температуры структура
ВАХ обусловлена субгармонической ступенчатой структурой. В са-
мом деле, особенности должны наблюдаться при значениях напряже-
ния (1/п)(2А/е). Кроме того, присутствуют ступеньки, связанные с
собственными резонансными модами контакта. Это явление четко
наблюдается в туннельных структурах (см. гл. 9), где ступеньки
возникают из-за взаимодействия электромагнитного поля сверхтока
с резонатором, образуемым контактом. В случае мостика внешнее ок-
ружение связи создает подобие резонансной полости. Мы можем так-
же отметить, что ВАХ показывают большую величину избыточного
тока.

Объяснение динамики поведения связей более узких, чем § и од-
новременно Л, дает нестационарная теория сверхпроводимости [833,
834], использующая концепцию релаксационных колебаний параметра
порядка [763], связанных с джозефсоновской частотой. Это явление
интерпретируется как процесс проскальзывания фазы, при котором
увеличение относительной фазы ф = — Xr компенсируется локаль-

ными скачками на 2тт фазы х комплексного параметра порядка
Т ~ в точке, где амплитуда обращается в нуль. В момент скач-
ка сверхпроводимость локально разрушена и протекает нормальный
ток, затем сверхпроводимость восстанавливается; эти процессы раз-
рушения и восстановления повторяются. Данное явление можно рассмат-
ривать как предельный случай одномерного движения потока в том
смысле, что вихрь, пересекающий мостик, приводит к обращению Т
в некоторой точке мостика в нуль. Теория этого процесса основыва-
ется на зависящем от времени уравнении Гинзбурга - Ландау, запи-
сываемом в простой форме как1}

(л=о)

Здесь V - нормированный на его равновесное значение параметр по-

Временное обобщение уравнения Гинзбурга - Ландау дано в рабо-
тах Горькова и Элиашберга [414, 415], другие важные результаты содер-
жатся в работах Шмида и Шёна [883], Овчинникова [774], Крамера и Ваттс-
Тобина [5881 Баратова и Крамера [73] и Ваттс-Тобина и Крамера [10351
рядка Дит- характерное время релаксации параметра порядка, кото-
рое в упомянутой выше статье считалось равным нулю. Впоследствии
динамика слабых связей была исследована Лихаревым и Якобсоном
уже для случая т 0 [658, 659].

Отсылая читателя к этим статьям, заметим, что анализ на осно-
ве временного уравнения Гинзбурга - Ландау позволяет, кроме того,
объяснить наличие избыточного тока на кривых V - Z. Это Явление,
грубо говоря, обусловлено эффектом близости на границе между мос-
тиком и сверхпроводящим берегом. В самом деле, при больших токах
параметр порядка исчезает в глубине перемычки мостика. Однако
благодаря эффекту близости на концах перемычки наводятся сверх-
проводящие свойства, и параметр порядка в этой области всегда от-
личен от нуля. Это позволяет пропускать при заданном напряжении
больший ток. В связи с работой Лихарева и Якобсона в [494] обсужда-
лась также зависимость от напряжения соотношения между током и
фазой при учете релаксации (т.е. при т / 0). В своей основе такая
схема соответствует резистивной модели со сверхтоком, зависящим
от напряжения (резистивная т-модель).

Кроме того, Сонг [939] на основе представлений о температур-
ной зависимости "эффективной емкости" продолжил объяснение ги-
стерезиса ВАХ. Межэлектродная емкость мостиков в отличие от тун-
нельных структур, по-видимому, слишком мала для того, чтобы выз-
вать гистерезис зависимости I от И. В этом случае определяющая
временная константа - время релаксации параметра порядка.

Дальнейшее понимание влияния эффектов релаксации на основ-
ные свойства состояний с конечным напряжением в одномерных мос-
тиках связано с работами Баратова и Крамера [72, 587]. Релаксаци-
онные эффекты в рамках простой феноменологической модели, учи-
тывающей фазовую зависимость проводимости в виде сг (ф) = crN -ь сгх sin ср,
рассматривались также Дивером, Рифкином и Сайделлом [262].

Для полноты картины рассмотрим теперь ВАХ длинного (L»
сверхпроводящего мостика, приведенную на рис. 7.14,0, Реально эта
структура представляет собой вискер из олова [723, 724]. Необычную
ступенчатую форму характеристики можно объяснить возникновением
последовательности локализованных ячеек, на которых происходит в
основном одинаковое падение напряжения. Такая картина согла-
суется с теорией Скокпола, Бизли и Тинкхама [920] и их экспе-
риментальными результатами. Основная идея состоит в том, что в
каждой такой ячейке происходит осцилляционный релаксационный про-
цесс, и падение напряжения на ячейках интерпретируется как возник-
новение разности потенциалов на центрах сбоя фазы.

В самом деле, наличие резистивных центров в мостике приводит
к появлению конечного напряжения, что в свою очередь вызывает из-
менение скорости релаксации параметра порядка по обе стороны от
центра.

В соответствии с предсказаниями теории характерная единица
напряжения Vu определяется процессами неупругого рассеяния квази-
частиц. Штриховые линии на рис. 7.14,в отвечают дифференциальным
сопротивлениям n/?1 (R{ соответствует первому конечному наклону и
п = 1, 2, ...). Величина Vu дается выражением Vu = 2ApN( I - I s)/S,
где A - диффузионная длина для квазичастиц, pN - нормальное удель-
ное сопротивление, S - площадь локального поперечного сечения. Раз-
личные значения наклонов кривых получаются из соотношения
t = ?s + V/Rn при Rn = nRr. Это находится в согласии с обсуждавшей-
ся теорией, которая предсказывает равные величины скачков напряже-
ния, причем каждый скачок дает вклад 2/\pN/ S в дифференциальное
сопротивление. Все линейные участки вольтамперных кривых пересе-
кают ось I в одной точке Zs, представляющей собой усредненный по
времени сверхток, текущий по области сбоя фазы. Долан и Яккель
[293], используя туннельные зонды, исследовали области сбоя фазы
в длинных мостиках Sn и показали экспериментально различный харак-
тер пространственного изменения сверхпроводящего потенциала (прак-
тически скачком) и потенциала нормальных электронов (на расстоянии
нескольких микрометров). Результаты Скокпола, Бизли и Тинкхама
справедливы и для случая коротких мостиков. Это относится по край-
ней мере к утверждению о ключевой роли процессов сбоя фазы в пони-
мании джозефсоновского поведения в состояниях с конечным напряже-
нием. Хюбнер и Ватсон [507] получили интересные результаты, кото-
рые указывают на появление ступенчатой ВАХ в трехмерной ситуации.
В этом случае, однако, роль единичного кванта потока играет трубка
потока.

Детально такие структуры магнитного потока исследовались также
с помощью магнитооптической техники высокого разрешения (см. [1034] и
цитированные там работы).
Важно отметить, что диссипация тепла в состояниях с конечным
напряжением приводит к увеличению локальной температуры. В пре-
деле большой диссипации этот нагрев ведет к образованию нормаль-
ных "горячих пятен". Эта идея использовалась в недавних работах по
сверхпроводящим пленкам и с успехом была применена Скокполом,
Бизли и Тинкхамом [921] для объяснения гистерезиса ВАХ при низ-
ких температурах, а также наличия верхней границы напряжения в
эффекте Джозефсона на переменном токе. Эти же авторы [985] прове-
ли детальный количественный анализ эффектов саморазогрева и свя-
занных с ним ограничений на работу приборов, использующих слабые
связи (см. также недавний обзор Тинкхама [984]).

7.3.4. Некоторые аспекты неравновесной сверхпроводимо-
сти. Интересная особенность неравновесной сверхпроводимости —
это изменение сверхпроводящих параметров, вызванное модифика-
цией функции распределения квазичастиц.

Элиашберг [311, 312], развивая эти представления, провел деталь-
ный анализ проблемы и предсказал возможность увеличения энерге-
тической щели в сверхпроводнике под действием высокочастотного
облучения (см. работы [518, 519]). В джозефсоновской слабой связи
как следствие этого должно наблюдаться увеличение критического
тока1). В самом деле, этот эффект давно наблюдался в сверхпроводя-
щих мостиках [259, 1056] и получил название эффекта Дайема - Вьят-
та$ (см. также разд. 11.3). Явление такого рода относится, по-види-
мому, к.чисто джозефсоновским эффектам (см., например, работу
[536]). Кроме того, для существования эффекта при фиксированной
температуре необходимо, чтобы частота была ограничена снизу и
сверху [633]. Последнее обстоятельство связано с наличием щели:
если частота облучения больше частоты, соответствующей щели, то
механизм разрушения пар оказывается более эффективным, и сверх-
проводимость подавляется. Не так давно Трэдуэлл и Якобсен [ 990]

> Данный эффект исследовали среди прочих Хунт и Мерсеро [508] (см.
также работы [ 197, 290]), Эти авторы считали, что увеличение щели про-
исходит из-за подавления термических флуктуаций благодаря синхронизи-
рующему эффекту излучения,,

Этот эффект наблюдался большим числом исследователей (см., на-
пример, работы [291, 423, 528, 644]).
предложили модификацию теории на случай поглощения фононов и
провели ее экспериментальную проверку. Увеличение щели и, следо-
вательно, критического тока Джозефсона в этом случае наблюдалось
под действием облучения контакта фононными возбуждениями с час-
тотой 10 ГГц

Недавно Октавио, Скокпол и Тинкхам [767] в связи с детальными
экспериментальными результатами рис. 7.12 обсуждали предположе-
ние о том, что за особенности ВАХ может быть ответственна нерав-
новесная сверхпроводимость. Как следует из недавних работ Аслама-
зова и Ларкина [48, 49], в коротких мостиках существует специаль-
ный механизм, приводящий к неравновесному энергетическому рас-
пределению электронов. Качественно физику этого явления можно
объяснить следующим образом. Величина щели (параметра порядка)
из-за большей концентрации тока в области контакта (между берега-
ми) меньше, чем в берегах. Таким образом, электроны с энергиями,
меньшими чем щель в берегах, пространственно-Локализованы об-
ластью контакта (они захвачены в потенциальной яме). Сверхток че-
рез слабую связь, когда она находится во внешнем высокочастотном
поле, имеет осциллирующие компоненты. В результате дно и стенки
потенциальной ямы также осциллируют. Электроны отражаются от ос-
циллирующей ямы, и их энергия (в среднем) увеличивается. Электро-
ны, когда их энергия становится больше щели в берегах, могут диф-
фундировать из связи в берега, где функция распределения электро-
нов близка к равновесной из-за малой концентрации сверхтока. Дей-
ствие высокочастотного поля приводит к уменьшению числа квазичастиц
и эквивалентно, таким образом, эффективному охлаждению связи. В
результате в высокочастотном поле критический ток связи увеличи-
вается. Экспериментальная проверка этой теории была осуществлена
Губанковым, Козельцом и Овсянниковым [439] и Латышевым и Надем
[636]. Они показали, что в достаточно коротких контактах диффузия
энергии из-за осцилляций потенциальной ямы превалирует над непо-
средственным воздействием электрического поля, которое ускоряет
электроны (механизм Элиашберга для пространственно-однородного

$ Прекрасные обзоры связанных со слабыми связями различных аспек-
тов неравновесной сверхпроводимости написаны Лангенбергом [624], Чан-
гом и Скалапино [ 188], Шмидом [882], Линделофом [664], Ивлевым [517]
(см. также цитированные в этих обзорах работы).,
сверхпроводника). При объяснении формы ВАХ слабых связей сущест-
вен также учет эффектов неравновесности. В этом случае неравно-
весность вызвана джозефсоновскими осцилляциями сверхтока и соот-
ветствующими осцилляциями параметра порядка в области контакта,
которые появляются, когда ток превосходит некоторое максималь-
ное значение. Эти осцилляции приводят, как и в случае контакта во
внешнем высокочастотном поле, к неравновесной функции распреде-
ления электронов, что в свою очередь и вызывает увеличение сверх-
проводящего параметра порядка.

В результате сверхток через контакт существенно увеличивает-
ся при низких напряжениях (которые обратно пропорциональны време-
нам энергетической релаксации). На ВАХ слабых связей появляется
характерная ’’ступенька” [47]. Точки на рис. 7.13,а как раз соответ-
ствуют этой теории. Как можно видеть из рисунка, они довольно хоро-
шо описывают форму кривой после ступеньки. При более низких напряжени-
ях экспериментальные данные находятся в согласии с теорией Голуба
[407], также учитывающей неравновесные эффекты1).

Влияние эффектов неравновесности, как следует из теории, су-
щественно зависит от температуры. ’’Ступенька” появляется лишь
в случае контакта с длиной, превосходящей некоторую характерную
величину \JD/L (D - коэффициент диффузии). Мы видим, что условие
L > \/D/& выполняется, только если температура достаточно мала
по сравнению с критической. Соответственно и характерная ступень-
ка на ВАХ появляется лишь в этом температурном диапазоне. Экспе-
риментальная температурная зависимость ’’точки ступеньки” находит-
ся в хорошем согласии с теорией [438]. Экспериментально наблюда-
лась также корреляция между увеличением критического тока под дей-
ствием внешнего высокочастотного поля и появлением ступеньки на
ВАХ мостика.

Необходимо также упомянуть, что совсем недавно был достигнут
существенный прогресс в понимании физической сущности избыточно-
го тока. В теории, развитой Артеменко, Волковым и Зайцевым [40 - 431
получено следующее выражение для избыточного тока:

Д / тт2 Д J V \
tanhTT"¥ ’
е eR \ 4 / \ 2/сдТ /

недавней работе Шмида, Шена и Тинкхама [884] приводится исчер-
пывающее обсуждение проблемы, отмечаются пределы применимости резуль-
татов цитированных выше работ и получены качественно иные результаты.
объясняющее наличие прямой пропорциональной зависимости между
избыточным током и величиной параметра порядка. Это выражение
находится в хорошем согласии с результатами эксперимента, выпол-
ненного Дивиным и Надем [284, 285]. Нормальный ток в сверхпрово-
дящих связях при напряжениях, превышающих энергетическую щель,
определяется теми же процессами, что и в туннельных контактах.
А именно: ток обусловлен переходами между занятыми энергетичес-
кими состояниями в одном береге и пустыми состояниями — в другом.
Разница между связями S - S'- S и туннельными контактами заклю-
чается в том, что в первом случае вклад в ток вносят также квази-
частицы, энергия которых соответствует запрещенной зоне в бере-
гах. Такие частицы движутся, например, из левого берега и отража-
ются, превращаясь в ’’дырки”, которые двигаются назад (андреевское
отражение)1). Ток, обусловленный этими электронами и дырками,
имеет место в левом электроде, в то время как в правом электроде
он обусловлен куперовскими парами.

Отметим, наконец, что в длинном одномерном неоднородном мос-
тике, состоящем из двух частей с несколько различными критически-
ми температурами, ширина перехода (ДТС ) меняется под действием
высокочастотного поля. С увеличением мощности облучения -> О
и в зависимости R от Т появляется ступенчатая структура [634, 635].
Этот эффект, как было недавно предложено Асламазовым [44], можно
объяснить неравновесными явлениями, которые стремятся выравнять
критические температуры различных частей.

7.4. Слабые связи типа точечных контактов

Точечный сверхпроводящий контакт состоит, грубо говоря, из
двух сверхпроводников, слабо связанных благодаря малой площади
их контакта. Такая структура реализуется в месте прижима острого
сверхпроводящего электрода к плоской сверхпроводящей поверхности
(реальные структуры обсуждаются в разд. 8.8). При этом практичес-
ки невозможно предсказать конфигурацию области контакта и полу-
чить хорошо определенные структуры. В самом деле, детали области
контакта в значительной мере определяются механическими свойст-
вами двух сверхпроводников, давлением между ними, большей или
меньшей степенью неизбежного окисления и т.д. В принципе можно
выделить два различных случая. В первом случае точечный контакт
образуется исключительно благодаря металлическому контакту меж-

См. работу Андоеева [32].
ду электродами; в результате образуется слабая связь с концентра-
цией тока, очень похожей на обсуждавшуюся в предыдущем разделе
Во втором случае два сверхпроводника разделены тонким оксидным
слоем, и точечная контактная структура фактически представляет
собой ’’маленький” туннельный контакт. К сожалению, эти две ситуа-
ции представляют лишь идеальные предельные случаи. Более реаль-
ная картина отвечает промежуточной ситуации. Мы должны предпо-
ложить при этом, что связь между двумя сверхпроводниками осуще-
ствляется несколькими параллельными путями: за счет металличес-
ких контактов и за счет оксидных барьеров. Несмотря на неопреде-
ленность в механизме связи, точечные контакты нашли широкое при-
менение как в низкочастотных, так и в высокочастотных устройствах,
и продемонстрировали высокую степень надежности. Прекрасный об-
зор свойств и применений этих структур содержится в работе Цим-
мермана [ 1099]. Назовем среди пионерских исследований джозефсо-
новских свойств точечных контактов работы Циммермана и Сильвера
[1106, П07], Омара и Де Брюэн Оботера [771] и Дайема и Гримса
[257]* э.

Одна из причин широкого использования таких структур заклю-
чается, конечно же, в простоте их изготовления. В течение многих
лет основным недостатком точечных контактов являлось отсутствие
воспроизводимости, а также в некоторой степени их ограниченная
стабильность. Достигнутый в этом направлении прогресс кратко
обсуждается в разд. 8.8.

Различным аспектам точечных слабых связей посвящено боль-
шое количество статей. Отметим среди прочих работы Тагуши и
Ёшиоки [959, 960], в которых обсуждаются основные свойства этого
типа связей, включая температурную зависимость критического то-
ка^, зависимость от магнитного поля и детали ВАХ при микровол-

Напомним в связи с этим рассмотренную в разд. 7.6.1 простую мо-
дель Асламазова и Ларкина.

Ссылки на другие работы приведены в библиографии статьи Цим-
мермана [1099]. Мы отсылаем также читателя к работам [265, 1022].

3) г, г

В недавних экспериментах Дивина и Надя [284] с ниобиевыми точеч-
ными контактами наблюдалась температурная зависимость критического
тока, находящаяся в очень хорошем согласии с теорией точечных слабых
связей, развитой Куликом и Омельянчуком [598].
новом облучении. Часто появляющийся на кривых V - I гистерезис,
видимо, обусловлен эффектом саморазогрева [367]. Исследовалась
также и роль флуктуаций, в связи с этим укажем среди прочих
работы [987, 988, 1022, 1033]. Соотношение между током и фазой
также было предметом детальных исследований (см., например, ра-
боты [521, 841]). Наличие зависящей от фазы проводимости (член
"cos <р”) было показано Винсентом и Дивером [Ю10]; позднее этот
вопрос обсуждался в работе [165]1).

В заключение еще раз подчеркнем условный характер того, что
мы называем "другие типы джозефсоновских структур". В дальней-
шем некоторые аспекты этих слабых связей будут дополнительно
рассмотрены в том или ином контексте: изготовление, применение
и т.д. Детали можно найти в цитированных работах; некоторые из
них содержат обширную библиографию.

Относительно более поздних результатов по точечным структурам
отсылаем читателя к работам [919, 962, 963, 1038].
Глава 8

Технология изготовления
джозефсоновских структур

В этой главе мы обсудим различные технологические аспекты из-
готовления туннельных джозефсоновских структур, а также других ти-
пов сверхпроводящих слабых связей. Мы постараемся дать полный об-
зор существующих методик и представить простые ’’рецепты" изго-
товления образцов, описав довольно детально все технологические шаг
ги.

8.1. Джозефсоновские туннельные контакты

Рассмотрим вначале изготовление джозефсоновских контактов
типа ’’сандвич”, т.е. структур сверхпроводник - туннельный барьер -
сверхпроводник. Такая структура состоит из двух тонкопленочных сверх-
проводящих электродов, изготовленных методом напыления, которые раз-
деляет соответствующий барьерный слой, созданный одним из возмож-
ных способов. Решающим моментом при изготовлении туннельных струк-
тур является надежность туннельного барьера. Наилучшие результаты
обычно достигались при использовании естественных, а не искусст-
венных диэлектрических барьеров. Естественные барьеры получаются
при окислении напыленной первой металлической пленки - базового
слоя. Искусственные включают в себя барьеры, созданные ’’дополни-
тельными” пленками из подходящих материалов, таких, как оксид ме-
талла, углерод, органические соединения и различные типы полупро-
водников. Толщина слоя оксидного барьера, необходимая для реализа-
ции условий джозефсоновского туннелирования, составляет 10 — 20 А.
Типичные же значения для толщины полупроводниковых и металличес-
ких барьеров составляют соответственно 100 и 1000 А. Неоднородность
барьеров может стать серьезной проблемой во всех случаях. В самом
деле, толщина сверхпроводящих пленок в довольно широких пределах
( несколько тысяч ангстрем) не является критической. Напротив, даже
небольшое изменение толщины оксидного слоя t радикальным образом
влияет на свойства контакта. Нормальное туннельное сопротивление/?^,
как следует из теории, экспоненциально зависит от толщины барьера.
Это означает, что с уменьшением t максимальный джозефсоновский
ток растет экспоненциально. Напомним (гл.4), что, измеряя зависимость
джозефсоновского сверхтока от внешнего магнитного поля, можно
хорошо контролировать степень однородности туннельного барьерного
слоя в изготовленном образце. При получении туннельных структур с
четко выраженными границами металиическая маска должна плотно
прилегать к подложке, на которую производится напыление. Маски
обычно изготавливают либо механически, либо методом фоторезиста.
В зависимости от желаемой конфигурации переходов широко и успеш-
но применяют, кроме того, разнообразные методы фото-и электрон-
ной литографии. Ниже в связи со спецификой техники напыления тон-
ких пленок мы также обсудим некоторые аспекты различных методик
получения переходов с желаемой геометрией.

8.2. Электроды туннельных структур

Сверхпроводящие электроды контактов, как мы уже знаем, из-
готавливают в виде тонких пленок с помощью подходящей методики ва-
куумного напыления. Для джозефсоновских контактов использовались
самые разнообразные сверхпроводники. В табл. 8.1 приведены типич-
ные сверхпроводящие материалы и их наиболее существенные пара-
метры. Сверхпроводники, которые можно применять для изготовления
туннельных контактов, делятся на две категории. К первой относятся
мягкие металлы, такие, как РЬ» Sn и In. Эти металлы легко испарять
в вакууме с помощью простого резистивного нагревателя. Вторая ка-
тегория включает в себя переходные металлы, такие, как Nb, V и Та.
Особенно успешно, как мы увидим, используется ниобий (в основном
в качестве базового электрода). У этих металлов высокие температу-
ры плавления, и для приготовления из них тонких пленок требуется слож-
ная техника напыления с использованием, например, испарения электрон-
ным пучком или катодного распыления.

Таблица 8.1. Типичные параметры сверхпроводящих металлов.
(Данные относятся к массивным образцам)

Материал Критическая температура Тс (К) Критическое поле нс (Э) Глубина проникновения 4(A) Точка плавления ( °C)
Cd 0,56 30 1300 321
Al 1,20 99 515 659
In 3,40 293 515 156
Sn 3,72 305 510 232
Та 4,48 830 (500) 3000
V 5,30 1020 398 1920
Pb 7.19 803 390 328
Nb 9,26 1980 440 2415
Имея в виду контакты с оксидными барьерами, обсудим вначале не-
которые аспекты использования различных металлов.

8.2.1. Мягкие металлы. Начиная с самых ранних экспериментов
по сверхпроводящему туннелированию, широко использовались мягкие
металлы, особенно олово и свинец. С ними легко работать, и получаю-
щиеся контакты имеют экспериментальные характеристики, которые
позволяют провести прямое сравнение с теорией. Однако эти материа-
лы нельзя рекомендовать для использования в случаях, когда основ-
ными требованиями к устройству являются большой срок службы и спо-
собность сохранять рабочие характеристики при периодических изме-
нениях температуры1). Действительно, при изменении температуры в
интервале между комнатной и гелиевой (4 - 300 К) в мягких металлах
возникают механические напряжения. Это может вызвать движение дис-
локаций и деформацию границ зерен; в результате возникают выступы
на поверхности пленок, а в некоторых случаях - одномерные образо-
вания, напоминающие вискеры. Такие выступы на пленке металла вызы-
вают в конечном счете существенные повреждения оксидного слоя. В
самом деле, размер таких локализованных неоднородностей * 2) может
на порядок превышать толщину барьерного слоя и, таким образом, про-
низывать его. Это весьма вероятно в случае получения оловянных или
свинцовых пленок на подложках из обычного стекла. Из-за того что
коэффициенты теплового расширения пленки и подложки разные, в плен-
ке возникают напряжения растяжения (при охлаждении) и сжатия (при
нагревании). Это облегчает образование выступов на пленке. В зависи-
мости от знака изменения температуры можно наблюдать и рост^ и со-
кращение выступов [610, 613].

Чтобы повысить степень однородности электродов из мягких метал-
лов, нужно жестче контролировать процесс изготовления контактов, а
именно следить за поддержанием лучшего вакуума во время напыления
пленок и проявлять предусмотрительность при выборе материала и тем-
пературы подложки. Разрушения, вызываемые термической цикличнос-
тью, можно свести к минимуму, уменьшая исходную температуру об-
разца, т.е. между экспериментами хранить его в жидком азоте. Даль-
нейшего улучшения параметров можно добиться, нанося на весь обра-
зец слой защитного материала, такого, как SiO или фоторезист, - это
предохранит структуру от нежелательного влияния атмосферы. Опыт

^Эти два свойства связаны и до некоторой степени их можно отождест-
вить.

21Термин "локализованные неоднородности" используется здесь, чтобы
отличить данный тип неоднородностей от неизбежных флуктуаций толщины
барьера ("структурные флуктуации”), обсуждавшихся в последней части гл.4.
показывает, что, несмотря на все предосторожности, полученные
результаты, пожалуй, можно считать неудовлетворительными. По-
видимому, более практично использовать сплавы мягких металлов
или переходные металлы, среди которых наиболее перспективен
ниобий.

На практике заключение о качестве туннельного контакта — ’’хо-
роший" он или "плохой" - в большой степени зависит от тех целей,
для которых он предназначен. Подробнее этот вопрос будет обсуждать-
ся в главах, посвященных приложениям. Здесь мы сосредоточим внима-
ние на более общих требованиях, таких, как возможность легко контро-
лировать операции, большая надежность и высокая степень воспроиз- .
водимости параметров.

8.2.2. Сплавы мягких металлов. В патенте фирмы IBM [20] при-
водятся данные по туннельным контактам с заметно улучшенное тер-
моцикличностью, что было достигнуто благодаря использованию элек-
тродов из свинца, содержащего индий или In - Sn (это предотвращает
бугристость электродов). Такие бинарные и тройные сплавы действи-
тельно позволяют получать очень стабильные контакты. Стоит отме-
тить, что "добавки" такого рода к мягкому металлу базисного слоя
могут влиять как на структуру электрода, так и на процесс образова-
ния оксидного слоя. Они также могут улучшить сцепление пленки с
подложкой. В последующем патенте фирмы IBM Элдриж и Матисоо
[ 309] сообщили еще ряд интересных результатов, относящихся к пе-
реходам "РЬ - РЬОХ - РЬ, в которых базисный электрод изготавли-
вался из сплава свинца с индием. Среди прочего указывалось, что, ме-
няя концентрацию In в сплаве, можно получить целый набор с различ-
ной высотой потенциального барьера на одной подложке и за одну ста-
дию окисления. В самом деле, уменьшение эффективной высоты барь-
ера - важное свойство сплавов индия. В результате оказывается воз-
можным получать контакты с более толстым оксидным слоем и в то
же время с почти прежним значением максимального сверхтока. Это
ясно из рис. 8.1, на котором показана зависимость плотности крити-
ческого тока от процентного содержания индия в сплаве для структур
этого типа. Результаты относятся к слою оксида толщиной 32 А. Роль
индия в свинцовых сверхпроводящих электродах обсуждалась также
Эммануэлем и др. [ 313 ]. Исследования поверхности, проведенные в этой
работе, продемонстрировали влияние температуры отжига и ионного
травления как на величину, так и на количество дефектов на поверх-
ности. В то же время не было обнаружено заметной зависимости по-
верхностных дефектов от подложки, что, по-видимому, противоречит
гипотезе об определяющей роли различия в тепловом расширении ме-
таллических пленок и подложек.
Концентрация In (атЛор

Рис. 8.1. Плотность джозефсоновского тока как функция процентного со-
держания индия в сплаве Pb - In [20].

Использование бинарных и тройных сплавов, как уже отмечалось
выше, позволяет получить хорошие результаты. У тройных сплавов
свинца (Pb-In - Au) термическая стабильность оказалась выше, чем
у бинарных. Лахири [ 611 ] наблюдал появление первого выступа на
пленке свинца заданной площади (1 см2) после одного термического
цикла (298 - 4,2 К)» В случае пленок из сплавов РЬ -2%Аи и РЬ - 8% In пер-
вый выступ возникал после двух термических циклов» Поверхностные дефекты
в пленках из тройного сплава РЬ — 8% In — 4%Au наблюдались лишь
после семи термических циклов. Эти пленки после высокотемператур-
ного отжига (75°С) ясно обнаруживают, кроме того, эффект легиро-
вания, препятствующий образованию неровностей. Роль золота в преду-
преждении появления поверхностных дефектов отмечалась также Фу
и Ван Дузером [ 358] $. Басавайя и Грейнер [ 99] опубликовали не
так давно подробные результаты относительно термоциклической ста-
бильности джозефсоновских контактов (рис. 8.2, а).

Эти данные позволяют сделать вполне определенный вывод об улуч-
шении свойств контактов в первую очередь благодаря добавкам золо-
та. Второй электрод в обеих сериях измерений имел состав РЬ -1,7 вес»% Au.
Интересно отметить, что уменьшение толщины электродов

Как указывает Лахири [ 611 ], Чаудари (а также другие исследовате-
ли ) независимо наблюдали эффекты легирования под действием добавок зо-
лота.
(al

Рис. 8.2. a - процентная зависимость кумулятивных разрушений от числа
термических циклов (300 — 4,2 К) для структур с нулевым (А) и 4%-ным
(по массе) (6) содержанием Au в базовом электроде (согласно Анаккеру
[ 19]). Плотность тока равна 750 А/см2 (А ) и 1500 А/см 2. ( Б).

туннельного контакта также может улучшить его характеристики [178,
189, 612 ]. Недавние исследования того, как связаны напряжения и де-
формации в пленках с толщиной сверхпроводящих слоев, позволили
несколько продвинуться в решении проблемы термоцикличности (см.,
например, работы [ 101, 736]). Результаты последних достижений в
технологии изготовления контактов позволили также заменить золо-
то на висмут в верхних электродах. Успешное использование верхних
электродов из сплава РЬ - 29 вес. % Bi обусловлено не только их эф-
фективностью в предотвращении образования выступов на поверхности,
но и получаемыми ВАХ с очень малым током утечки при напряжениях
ниже энергетической щели. Резкая форма ВАХ - важное свойство
туннельных контактов с точки зрения применений в вычислительной
технике. За деталями и дополнительными ссылками по затронутым воп-
Rnn

Rnn 1-е измерение

Время (мес)

(б)

Рис. 8.2. б - влияние хранения при комнатной температуре и термических
циклов на свойства контактов на основе ниобия (Nb- NbxOy - РЬ ). Показа-
телем качества было выбрано сопротивление туннельного барьера в нормаль-
ном состоянии Сопротивление каждого контакта нормировалось на его
величину, полученную при первом измерении в жидком гелии. Каждая точка
соответствует среднему значению по большому (5 — 20) числу контактов.
Эти контакты изготавливались в одной серии при одинаковых условиях, обес-
печивающих примерно равное значение максимальных плотностей сверхтока.
(С любезного разрешения В.Лаккуанити, Дж. Мар ул л о и Р.Вальо.)

росам мы отсылаем читателя к специальному выпуску IBM Journal
of Research and Development (Vol. 24, No. 2, pp. 105 - 264, March
1980), посвященному состоянию исследований по джозефсоновской
вычислительной технологии в рамках проекта фирмы IBM.

8.2.3. Жесткие материалы (переходные металлы). Для изготов-
ления как базового слоя, так, возможно, и верхнего электрода в джозеф-
соновских контактах можно использовать также "жесткие "сверхпрово-
дящие металлы. Перечислим положительные качества этих металлов:
высокая механическая прочность, химическая стабильность, высокие
критические температуры, хорошее соединение со стеклянной подлож-
кой, сохранение однородности после термических циклов, высокая ста-
бильность оксидов. К недостатку данных материалов следует отнести
высокую степень поглощения различных газовых примесей, таких, как
водяной пар и кислород. Последнее может существенно изменить сверх-
проводящие свойства этих металлов. В результате тонкие пленки бу-
дут иметь другую (более низкую) критическую температуру по срав-
нению с чистым объемным образцом. Напылять тонкие пленки Nb,Та
и V высокой чистоты можно с помощью распыления мишени электрон-
ным пучком (см. [ 749], а также цитированные в ней работы). Впер-
вые очень хорошие результаты на туннельных контактах Nb - NbOx-
РЬ были получены Нордманом [761], а также Мулленом и Саллива-
ном [ 735]. Отметим и ряд других важных работ: [ 419, 427, 459, 762,
889]. Представляет интерес также работа Хоэла и др. [ 492], посвя-
щенная технологии изготовления цепочек ниобиевых контактов. Ис-
пользование фотолитографии, применяемой обычно при изготовлении
интегральных схем, позволило добиться хорошей четкости форм струк-
туры. Упомянем также среди прочих работ обширную статью Риссма-
на и Палолмена [ 845], в которой подробно описана простая методика
изготовления контактов. В более поздней работе Оуэна и Нордмана
[ 775] были получены хорошие результаты при исследовании интеграль-
ных схем на основе ниобиевых туннельных контактов. Таким образом,
литература по джозефсоновским контактам с ниобиевым базовым сло-
ем весьма обширна; в различных главах этой книги в разных контек-
стах обсуждаются другие статьи, посвященные этим структурам. Про-
веденные разными авторами определения срока службы данных кон-
тактов ( см., например, рис. 8.2, б), показали их исключительно высо-
кую стабильность. Упомянем в этой связи кроме исследований фир-
мы IBM и недавнюю работу [ 1027].

Почти все рассмотренные выше контакты были изготовлены сле-
дующим образом. Сначала напылялся базовый ниобиевый слой, и затем,
после его окисления, сверху напылялась свинцовая или оловянная плен-
ка х). Однако, по крайней мере для ряда приложений, желательно иметь
симметричные контакты Nb - Nb. Начало успеху в этом направлении
было положено работами Лайбовица и Куомо [616] и Лайбовица и
Майядаса [ 617]. В первой из этих работ производился эпитаксиаль-
ный рост монокристаллических ниобиевых пленок на сапфировой под-
ложке, а туннельный барьер получался при анодировании ниобия в сер-
ной кислоте. Во второй работе были изготовлены структуры Nb - Al -
Al 2О3 -Nb. Хорошие результаты на структурах Nb - NbОх -N b
получили Брум и др. [ 148]. В диапазоне температур 2 - 9 К Брум

работе [ 459] второй электрод изготовлялся из сплава РЬ -Ъь
[ 144] тщательно исследовал свойства структур Nb -NbO% - РЬ и
Nb -NbOx-Nbo Хорошие контакты Nb - Nb получили также Хокинс
и Кларк [479 ]; они достигли, этого, нанося на оксидный барьер
NbOx очень тонкий (~10 - 20 А) слой меди до того, как был напылен
второй ниобиевый электрод. Моор, Роуэлл и Бизли [ 730] сообщили
о весьма обнадеживающих результатах при исследовании джозефсо-
новских контактов Nb3Sn - РЬ. Они получили очень ’’чистые” ВАХ
контактов на основе пленок Nb - Sn разного состава. С приближе-
нием концентрации олова к Nb3Sn критическая температура достиг-
ла 17,2 К, а энергетическая щель 3,2.мэВ. Отметим более поздние
работы [102, 500].

В ряде работ сообщалось об исследовании контактов на основе
ванадия. Упомянем в этой связи работу Сейфарта и Ренча [ 902],в ко-
торой исследовались джозефсоновские контакты V - V* О -РЬ, по-
лученные с помощью распыления ванадиевой мишени электронным
пучком. Обнаружились некоторые расхождения с идеальной картиной
в зависимости критического тока от магнитного поля. Проводившиеся
на протяжении более одного года контрольные измерения для опреде-
ления срока службы контакта показали его довольно высокую стабиль-
ность. Перечислим и другие работы, посвященные контактам на осно-
ве ванадия: [10, 95, 275, 277, 278, 282, 869, 1064, 1065].

8.3. Оксидные барьеры

Интенсивность реакции металлов с кислородом зависит от вели-
чины выигрыша в энергии в результате такой реакции. Первым усло-
вием надежности барьеров является получение оксида, лишенного пор.
В этом случае оксид играет защитную роль, предохраняя металл от
дальнейшего окисления. В некоторых металлах, наоборот, объем окси-
да оказывается меньше объема металла, из которого он образовался,
и в результате появляются напряжения сжатия, что ведет к образова-
нию пор. При этом открывается доступ молекулам кислорода, вступа-
ющим в реакцию с металлом на границе металл — оксид, и процесс
окисления продолжается. Механизм роста оксидного слоя в защитных
оксидных слоях можно описать как миграцию положительных ионов
металла через оксид, что приводит к реакции на границе между
оксидом и окисляющей атмосферой. Конкурирующий механизм окисления -
реакция на границе металл оксид, происходящая за счет ионов кисло-
рода, проникающих через пленку оксида. В обоих случаях происходит
диффузия электронов по направлению от металла к окисляющей атмос-
фере. Течение различных процессов определяется транспортными и
электрическими свойствами, такими, как коэффициент диффузии ионов
металла и кислорода, электропроводность оксида и распределение за-
ряда на границах раздела.

В зависимости от рассматриваемого диапазона толщины оксидно-
го слоя его рост как функция времени описывается различными урав-
нениями (см., например, работы [ 477, 591]). В самом деле, возмож-
ны зависимости: линейная, квадратичная, кубическая, логарифмичес-
кая и обратная логарифмическая. Для описания скорости окисления
данного металла в широком диапазоне толщин и температуры может
потребоваться комбинация этих зависимостей. В представляющем для
нас интерес случае очень тонких пленок (10 - 20 А) ситуация оказьь
вается весьма сложной, и теоретическое описание является далеко не
полным. Ясно, что даже предположение о непрерывном процессе роста
оксидного слоя весьма произвольно. Если в течение несколько часов
происходит образование слоя оксида толщиной в несколько ангстрем,
то скорее всего можно ожидать ступенчатый характер роста. Измери-
тельная же техника, какая бы она ни была, всегда дает некоторое сред-
нее значение толщины оксидного слоя.

Хауффе и Илыинер (см. цитированные выше работы), руководст-
вуясь идеей Мотта, предложили механизм окисления, который непосред-
ственно ведет к прямой логарифмической зависимости для скорости
окисления. Они считали, что наиболее медленный процесс, определя-
ющий скорость ступенчатого роста, - это туннелирование электронов,
но не диффузия ионов, как предполагалось ранее в модели Кабреры -
Мотта, которая справедлива в диапазоне толщины 40 - 50 А (см. ссыл-
ки, приведенные выше).

К наиболее типичным методам получения оксидных туннельных
контактов относятся: 1) термическое окисление, 2) окисление в тле-
ющем разряде кислорода и 3) окисление в высокочастотном тлеющем
разряде. Заслуживают внимания также и другие, менее общие методы.

8.3.1. Термическое окисление, Один из способов (теоретически
самый простой) изготовления оксидного туннельного барьера - окисление
первого осажденного сверхпроводящего слоя в атмосфере воздуха или
чистого кислорода. Данный метод чувствителен ко многим параметрам:
давлению кислорода, времени окисления, температуре подложки, нали-
чию паров воды, органическим примесям и т.д. В случае когда окисля-
ется чистая поверхность, на первой стадии окисления кислород либо
хемосорбируется (в виде моноатомного слоя), либо образует оксид
стехиометрического состава на поверхности. По мере роста пленки ок-
сида увеличивается расстояние между поверхностями раздела кислород -
оксид и оксид - металл, что ослабляет влияние распределения ионов
Время (мин)

Рис. 8.3. Зависимость толщины оксидного слоя от времени, а — свинец окис-,
лялся термическим способом (данные Элриджа и Матисоо [ 308]); б — алюминий
окислялся в тлеющем разряде кислорода (данные Майлза и Смита [72б]).

кислорода на миграцию ионов металла. Это приводит к своеобразному
самоограничению процесса термического окисления. Важно отметить,
что хотя такое самоограничение роста и представляет собой большое
преимущество с точки зрения требований однородности, оно позволяет
получать лишь сравнительно тонкие оксидные пленки. Температура,
как уже упоминалось, - важный параметр окислительного процесса.
В общем случае скорость химической реакции v растет с темпера-
турой по закону Аррениуса v = С ехр ( - Еа / Т) ( С - константа, Еа-
энергия активации). Окисление мягких металлов при-изготовлении тун-
нельных сверхпроводящих структур производится, как правило, при
комнатной температуре. В случае переходов с базовым слоем из нио-
бия оксидные барьеры получают при относительно высокой температу-
ре (около 100 - 200°С) за несколько минут (см. ниже).

На рис. 8.3 показана зависимость толщины оксида свинца (а), из-
меренной с помощью эллипсометрии, от. времени окисления. Эти дан-
ные получены Элдриджем и Матисоо [308];, они ясно указывают на ло-
гарифмический характер зависимости скорости роста оксида. Изго-
товление барьерных слоев методом термического окисления требует
довольно длительного времени; это в принципе позволяет лучше кон-
тролировать время окисления, а следовательно, и толщину барьера. В
то же время, однако, увеличивается вероятность загрязнения органи-
Рис. 8.4. Зависимость толщины слоя оксида свинца от давления кислорода
при времени окисления 100 мин. (Согласно Элдриджу и Матисоо [ 308].)

ческими примесями извне, действия паров воды и т.д. На рис. 8.4.
приведены данные работы [ 308 ] по зависимости толщины пленки ок-
сида от давления кислорода при фиксированных времени окисления и
температуре. Напомним, что окисление может проводиться как в чис-
том кислороде, так и на воздухе. Понять детально разницу между эти-
ми двумя случаями довольно трудно. В действительности наличие
"инертной" части воздуха может и уменьшить скорость окисления, и
увеличить ее благодаря возможному каталитическому действию. В
случае окисления свинцового сплава (Pb - In), но не чистого свинца
наблюдается уменьшение скорости окисления и насыщение его толщи-
ны (см., например, работу [ 295]).

8.3.2. Окисление в тлеющем разряде, Обсудим теперь этот прос-
той и широко используемый метод окисления. Как уже отмечалось выше
распределение создаваемого ионами кислорода отрицательного заря-
да на поверхности раздела кислород - оксид позволяет ионам металла
мигрировать, в результате чего и происходит дальнейший рост оксид-
ной пленки. Однако по мере увеличения толщины пленки влияние это-
го электрического поля уменьшается,поскольку расстояние между дву-
мя поверхностями раздела оксид - металл и кислород - оксид увели-

^Недавно Гарно [ 379] предложил простой процесс окисления с контро-
лируемой влажностью.
Рис, 8.5. Распределение потенциала вблизи отрицательного электрода,
чивается. Диффузию ионов металла, следовательно, можно усилить с
помощью внешнего электрического поля.

На практике предпочтительнее использовать плазменное окисле-
ние, при котором потенциал базового слоя ’’плавает”. При использова-
нии плазменного анодирования потенциал пленки поддерживается по-
стоянным, и сильное электрическое поле вблизи тонкого оксидного
слоя может вызвать повреждения самого барьера. Упомянем здесь
среди прочих пионерскую работу Шроэна [ 885] и работу Притчарда и
Шроэна [ 827], в которой обсуждается объединение методов окисления
в тлеющем разряде и фотолитографии для изготовления контактов.

При получении кислородной плазмы в окислительной камере к од-
ному или нескольким электродам подходящей геометрии (обычно ци-
линдрической ) прикладывают отрицательное напряжение в несколько
сотен вольт. Распределение потенциала вблизи отрицательного цилин-
дрического электрода имеет вид, аналогичный приведенному на рис. 8.5
Очевидно, вблизи отрицательного электрода имеется высокая концен-
трация положительных ионов, быстро убывающая с увеличением рассто-
яния. Область квазинейтральности отвечает распределению, при кото-
ром электроны ’’компенсируют” заряд положительных ионов. Иониза-
ция происходит в основном в переходной области в результате процес-
са е~ + О2-* О2 +2 е". Благодаря процессу е" + О2 -> Оу неболь-
шой вклад в ионизацию кислорода дают также медленные электроны в
квазинейтральной области. Как видно из рисунка, изменение потенци-
ала в основном локализовано в переходной области, а в квазинейтраль-
ной области потенциал близок к нулю. Образец (базовый металличес-
кий слой) помещают в квазинейтральную область. На рис. 8.6схема-
тически представлена система металл - оксид - плазма в процессе
окисления, где предполагается, что атомы кислорода диффундируют
внутрь, а кислородные вакансии наружу.
Рис. 8.6. Качественная схема плазменного окисления металла.

Преимущество от подачи на электрод отрицательного, а не поло-
жительного напряжения двоякое: большая стабильность и отсутствие
загрязнений. Действительно, при положительном напряжении электро-
да ионный ток оказывается значительно большим. Положительные
ионы, ускоренные по направлению к стенкам окислительной камеры,
оказывают сильное распылительное действие, вырывая различные при-
меси и приводя тем самым к опасному загрязнению образца. При отри-
цательном напряжении плазма по отношению к камере заряжена отри-
цательно и положительно заряженные ионы не могут ускоряться в сто-
рону стенок камеры.

Типичное значение давления кислорода при окислении в тлеющем
разряде составляет десятки миллиметров ртутного столба. Надо, од-
нако,, отметить, что по отдельности значения различных параметров:
потенциала разряда,.геометрии электрода, давления кислорода и т.д.,
особенного смысла не имеют, поскольку они очень тесно связаны. Окис-
ление в тлеющем разряде оказывается намного более быстрым процес-
сом, чем термическое (рис. 8.3, б). Какую из методик окисления сто-
ит предпочесть, сказать трудно. В некоторой степени ответ можно
найти в комбинации выбранного металла для базового слоя и методи-
ки окисления, поскольку все данные о качестве и надежности барьера
извлекаются из поведения всего туннельного контакта.

8.3.3. Окисление в тлеющем ВЧ разряде. «Грейнер [427, 428] раз-
работал методику окисления в тлеющем разряде с использованием высоко-
частотного напряжения. В этом процессе окисления участвуют два
конкурирующих механизма: в течение одной половины периода проис-
ходит рост оксида, а в:течение другой - его распыление. Скорость
Рис. 8.7. Процесс ВЧ окисления. Приведена зависимость угла пово-
рота вектора поляризации света, который пропорционален толщине оксида,
как функция времени. Ясно видно изменение Aq -△ после достижения рав-
новесия, при увеличении и последующем уменьшении давления кислорода. (Со-
гласно Грейнеру [ 423].)

первого процесса примерно логарифмически зависит от толщины окси-
да, а скорость второго от нее почти не зависит. Этими двумя процес-
сами можно управлять независимо, меняя либо давление кислорода,
либо подводимую ВЧ мощность. Таким образом можно достигнуть ди-
намического ’’равновесия” между двумя антагонистическими процес-
сами, при котором толщина пленки оксида перестает зависеть от времени.
Экспериментальные данные для зависимости толщины оксидного слоя
на пленке свинца от времени, полученные с помощью эллипсометрии,
приведены на рис. 8.7. График отражает угол поворота вектора поля-
ризации света (пропорциональный толщине пленки оксида) как функ-
цию времени. Ясно виден быстрый рост толщины вначале и выход на
насыщение в равновесных условиях. С ростом давления кислорода тол-
щина оксидной пленки увеличивается (рост оксида происходит быстрее,
чем разрушение^ При понижении давления до начальной величины трав-
ление оксида начинает идти быстрее, чем рост, и в результате чего
толщина пленки возвращается к исходному равновесному значению. Так-
ким образом, этот метод позволяет держать окислительный процесс
под контролем и получать оксидные пленки с заданной толщиной. Окис-
ление в тлеющем ВЧ разряде широко исследовалось и использовалось
многими авторами (приведем в качестве примера работы [ 313, 564,
565, 607, 701]).
Таблица 8.2, Плотность тока (глубина проникновения магнитного поля
(d) и отношение скоростей распространения волн в оксиде и вакууме ( с / с)
для различных оксидных контактов, t и ef - толщина и относительная ди-
электрическая проницаемость оксида^ Все данные относятся к Тс*4,2 К, за
исключением данных по оловянному контакту, где 7&1,35 К

Материал электродов A ^cm2 d = 41 Pl2+t Л c -qa Процесс окисления
Sn—Sn [ 1033] 0,7+13,9 970 0,058 Газовый разряд
Pb-Pb [ 351 ] 10“2+102 860 0,066 Термический
Nb-Pb [ 609] 3+5 1400 0,038 II W
Nb-Pb [ 98] 30 + 320 1300 0,027 ВЧ газовый разряд
Nb-Nb [ 145] 524+1570 1760 0,010 То же
PbAuIn — Pb Au
[ 145 ] 50+1760 1900 0,036 И II

Дополнительно отметим, что Клейнсассер и Бурман [ 582] полу-
чили контакты субмикронной толщины, проводя окисление с помощью
пучка химически активных ионов.

Типичные характеристики джозефсоновских контактов, получен-
ных из различных сверхпроводящих материалов и с помощью разных
методов окисления, приведены в табл. 8.2. Что касается платности
критического тока, то ее максимальные значения, полученные до сих
пор, составляют-*!05 А/см2 [ 501, 756, 757] и даже несколько выше
(~106А/см2) [ 582].

8.4. Формирование контактов

Основная задача при работе с тонкопленочными устройствами -
придать пленке необходимую форму. Здесь мы обсудим лишь некото-
рые аспекты этого вопроса !). Важно изготовить устройства с мини-
мальными размерами, особенно если из них нужно создавать большие
системы. В случае логической операционной системы высокая сте-
пень интеграции позволяет, например, существенно уменьшить время
на передачу информации между ячейками. На наших глазах с каждым
годом размеры электронных приборов заметно уменьшаются. Сейчас
в одном чипе размером в несколько миллиметров может содержаться
около 10 000 транзисторов, и этот предел вскоре будет превзойден.

Данный вопрос прекрасно изложен в статье Смита [922]; см. также
цитированные в ней работы.
Джозефсоновские устройства, как показано в последней главе, - весь-
ма серьезные кандидаты на использование в компьютерной техноло-
гии. Поскольку при их работе тепла выделяется существенно меньше,
чем в случае полупроводниковых элементов, плотность джозефсонов-
ских элементов определяется исключительно геометрическими фак-
торами (если оставить в стороне проблемы, связанные с подводящи-
ми проводниками).

8,4.1, Металлические маски. Для изготовления контактов сравни*
тельно простой геометрии с размерами электродов свыше 0,1 мм можно
использовать металлические маски, которые или вырезают с помо-
щью точной механической методики, или получают методом фоторе-
зиста. Пленка в этом случае напыляется через маску, которая для
улучшения резкости краев пленки плотно прижимается к подложке.
Лучшие результаты достигаются при использовании масок из нержа-
веющей стали,достаточно толстых, чтобы они были жесткими, но
достаточно 'тонких, чтобы их можно было легко обрабатывать и из-
бежать эффектов затенения. Хороший компромисс для толщины мас-
ки - около 0,05 мм. Кроме того, разработано значительное число бо-
лее сложных методик, включающих в себя широко используемые в по-
лупроводниковой технологии многослойные металлические маски.

8,4.2, Фотолитография. Для получения пленок субмиллиметровых
размеров (до 1 - 2 мкм) используются фотолитографические методики.
Наиболее широкое распространение получил метод контактной фото-
литографии (или ’’теневого копирования”) с использованием высоко-
разрешающего и высококонтрастного изображения на фотопластинке
(фотомаске)1), находящейся в контакте с подложкой, покрытой фо-
торезистом. В зависимости от особенностей методики применяют
два типа фоторезиста. При использовании позитивного или негативно-
го резиста в соответствующем проявителе растворяются соответст-
венно области, подвергнувшиеся или не подвергнувшиеся действию
света.

Экспонировать слой фоторезиста можно либо с помощью контакт-
ной печати, либо, как указывалось, проецируя изображение на фото-
резист через оптическую систему (проекционная литография). Послед-
ний метод распространен мало. Изготовление фотомаски для контакт-
ной литографии начинается с получения необходимого изображения в

1^Чтобы избежать зазора между фотомаской и верхним слоем фоторе-
зиста и обеспечить хороший контакт, используют гибкие маски (см. работу
[ 9221).
большом масштабе. Затем это изображение в уменьшенном виде пере-
носят на маленький (как правило, стандартного размера 5x5 см2)
стеклянный слайд. При изготовлении масок сложной конфигурации ис-
пользуют фототрафаоеты, вырезанные из платы большого размера. В
этом случае необходимый рисунок вырезается в красном полупрозрач-
ном слое пластика, который нанесен на более толстый прозрачный слой-
основу. Эта операция производится либо вручную, либо под контролем
компьютера. На данном этапе точным оптическим методом изображе-
ние уменьшается; это можно выполнять в несколько стадий (обычно
используется уменьшение в две стадии) в зависимости от требований,
предъявляемых к маске. Наконец, рисунок, в несколько сотен раз мень-
ший оригинала, переносят на стеклянный слайд, представляющий собой
фотомаску. С помощью мультипликатора можно производить последо-
вательные итерации Простой картины и получать изображения более
сложных систем. В настоящее время фотомаски успешно получают с
помощью непосредственного, контролируемого компьютером экспони-
рования.

Предполагая, что используется негативный резист, обсудим ос-
новные этапы фотолитографического процесса. Схематически этот
процесс представлен на рис. 8.8 (левая часть). После тщательной очист-
ки подложки на всю зе поверхность в вакууме осаждают сверхпроводя-
щий слой. Подложку с металлической пленкой покрывают фоторезистом
и вращают с большой скоростью, чтобы получить гладкий, тонкий и од-
нородный слой фоторезиста (а).Параметры, определяющие качество
слоя фоторезиста, - его вязкость, угловая скорость, ускорение и вре-
мя вращения подложки. Более тонкие и однородные слои получают при
больших ускорениях. Типичная толщина слоя около 1 мкм. Затем, ис-
пользуя ртутную лампу, производят экспонирование фоторезиста че-
рез фотомаску. Выбранные участки фоторезиста, а именно участки,
попавшие в теневую область фотомаски и не экспонированные, удаля-
ют соответствующим проявителем ( б). Для заданной толщины слоя
фоторезиста подбирают оптимальные времена экспонирования и прояв-
ления, позволяющие получить наилучшее разрешение после проявления.
Затем незащищенный сверхпроводник удаляют либо химическим, либо
ионным травлением (в), а остатки фоторезиста удаляют подходящим
растворителем(г).

Конечно, по крайней мере в принципе ту же пленочную структуру
можно пфлучить, используя позитивный резист и маску, дополнитель-
ную по отношению к маске, применявшейся в процессе с негативным
резистом.
Подложка

Металл Негативный резист Позитивный резист

Рис. 8.8. Основные этапы процесса изготовления электродов методом фото-
литографии. Левая часть соответствует использованию негативного резиста,
на правой представлена съемная техника с применением позитивного резиста
(см. текст).

8.4.3. Метод съема металлической пленки. Остановимся на широко
используемой методике, представляющей собой комбинацию литографии
(не обязательно фотолитографии) и процесса ’’съема” металлической
пленки. Эта методика позволяет избежать проблем, связанных с трав-
лением сверхпроводящей пленки. В качестве примера опишем кратко
технику получения того же пленочного образца, что и в рассмотрен-
ном выше процессе (рис. 8.8).Будем предполагать, что используется
та же фотомаска, но с позитивным фоторезистом. Первый шаг - нане-
сение фоторезиста на подложку (д). Затем с помощью экспонирова-

17 - 436
иия и проявления резисту придается желаемая форма ( е). Далее на-
пыляется сверхпроводящая пленка (ж). Наконец, в растворителе фо-
торезист под слоем металла растворяется и удаляется вместе с самим
металлом; таким образом, остается лишь металлическая пленка, на-
пыленная непосредственно на подложку. Последняя операция, которая
и называется обычно "съемом", довольно тонкая, поскольку оставша-
яся металлическая пленка или по крайней мере ее края могут легко
отделиться от подложки. Во избежание этого необходимо каким-либо
способом нарушить непрерывность металлической пленки по краям об-
разца, чтобы при съеме металла, находящегося на фоторезисте, не ис-
портился изготовленный образец. Добиться этого можно несколькими
путями. Один из способов заключается в профилировании фоторезиста
при погружении его после экспонирования в хлорбензол [ 476]. Такая
обработка создает на краях фоторезиста обратный скос с углом около
20°. Этого достаточно, чтобы обеспечить "чистый" съем металлической
пленки, если испаритель при ее напылении был расположен почти нор-
мально к подложке (см. также [ 476]). Для получения лучшего разре-
шения можно использовать и более изощренные методики.

Остановимся теперь вкратце на двух методах, схематически пред-
ставленных на рис. 8.9 и 8.10. В первом из этих методов [ 421] под-
ложки вначале покрывают слоем позитивного резиста толщиной 4,5 мкм.
Затем напыляют пленку алюминия толщиной ~1 мкм и ее в свою оче-
редь также покрывают слоем резиста (той же толщины, что и первый).
Далее верхний фоторезист экспонируют для получения желаемого изо-
бражения (рис. 8.9, б, в),и алюминий химическим травлением удаля-
ют через окна, образованные в резисте (рисч 8.9, г ). Это травление, -
пожалуй, наиболее критический этап во всей процедуре. На данном
этапе из-за соответствующего переэкспонирования и отражения све-
та от подложки (д) нижний слой резиста подрезается под пленкой
алюминия на глубину4 мкм. После проявления и удаления резиста
остается, таким образом, только алюминиевая пленка нужной конфи-
гурации (рис. 8.9, <?), которая играет роль шаблонной маски на под-
резанном нижнем слое резиста. Теперь можно напылять выбранный
сверхпроводящий металл, не боясь разрывов и отделения ппенок, по-
скольку остающаяся на подложке часть металлической пленки не связа-
на с остальной пленкой. Вторая методика, развитая в лабораториях
фирмы "Белл" [297], иллюстрируется рис. 8.10. Вначале экспонируется
нижний слой фоторезиста (а). Затем напыляют слой подходящего ме-
талла ( £),скажем слой алюминия толщиной (1 - 2 ) • 103 А , который
отделяет нижний слой фоторезиста от второго верхнего. Верхний слой
р( иста экспонируется через маску (негатив требуемого изображения)
Маска

L____________I Г.. .............J

(в)

L_____________I

(г)

(а) <"б)

г~........I

Подложка

Металл

Позитивный резист

Рис, 8.9. Схематическое изображение фотолитографического процесса, пред-
ложенного в работе Г ребе и др. [ 421 ].

(а)

L.. I

Подложка

Маска

(г)

Металл

Позитивный резист

Рис. 8.10. Схематическое изображение фотолитографического процесса, ис-
пользованного в работе Дунклебергера [ 297].
и потом проявляется (в, г). Далее проводятся травление алюминия
(д) и проявление нижнего фоторезиста (экспонированного на первом
этапе). Таким методом, варьируя времена экспонирования и проявле-
ния, можно получить необходимое подрезание слоев ( е). В противо-
положность предыдущему методу выбранный металл напыляется через
верхний резист, а не через алюминий. Алюминиевый слой использует-
ся лишь для разделения двух слоев резиста, и предел разрешения прм
этом целиком определяется технологией обработки фоторезиста. Нако-
нец, укажем также, что техника съема может использоваться и при из-
готовлении джозефсоновских контактов на основе материалов с высоким
Тс , например таких, как Nb3Sn [ 500].

Принципиально иной метод изготовления субмикронных мостиков
предложили Фейер, Пробер и Когделл [ 342 ]. Он включает в себя опти-
ческую проекционную литографию и процедуру съема пленки. Отлича-
ется также и методика экспонирования, которая осуществляется с об-
ратной стороны, т.е. свет проходит через подложку и попадает на ре-
зист снизу. Проецирование при экспонировании производится с по-
мощью зеркального оптического микроскопа. Техника ’’обратного экс-
понирования” позволяет получать очень резкие контуры резиста, и,
возможно, такой ’’обратный путь” света нужным образом подрезает
резист. Основные этапы данной процедуры представлены на рис.8.11.

Среди разработанных методов ’’съема” тонких металлических
пленок упомянем также использование масок, сдвинутых относитель-
но подложки, и косое напыление пленок [ 292, 755 - 757].

8.4.4. Электронная литография. Заметим, что предел геометричес-
кого разрешения в литографических процессах определяется длиной
волны источника излучения. В самом деле, если размер деталей изо-
бражения становится сопоставим с длиной волны света, то из-за ди-
фракции контуры изображения смажутся. Предельное разрешение наи-
лучших фотолитографических методик - около 1 мкм. Чтобы достиг-
нуть разрешения порядка 0,1-1 мкм, необходимо использовать пучок
электронов, поскольку длина волны электронов в тысячи раз меньше
длин видимого света1). Кроме того, электронным лучом можно управ-
лять магнитным или электрическим полями. Такое управление может
осуществляться компьютером, что обеспечивает большую гибкость в
выборе и изменении необходимого изображения. В результате снима-
ются все проблемы, связанные с изготовлением большого числа фото-

1 ^Пионерские эксперимэнты в этом направлении были поставлены Бу-
ком и Шулдером [ 152]. Другие ссыпки можно найти в работе [ 922], а в ка-
честве общего простого обзора отметим работу [ 1/и].
Рис. 8.11. Оптическая проекционная литография и съем пленки с использо-
ванием ’’обратного экспонирования’’» (Согласно Фейеру и др. [ 342].)

масок, каждая из которых предназначена для своей определенной за-
дачи. Реальная система для электронной литографии состоит из элек-
тронного микроскопа, управляемого специальным компьютером, кото-
рый в соответствии с запрограммированным изображением контроли-
рует экспонирование. В отличие от фотолитографии, где сразу экс-
понируются все участки изображения, в рассматриваемом случае тре-
буется определенное время для сканирования электронного луча и вы-
черчивания всего изображения. Таким образом, при получении изобра-
жений на больших ( по сравнению с поперечным сечением электронно-
го пучка) площадях время экспозиции электронной литографии может
быть значительным. Для устранения этого недостатка применяют (в
Тюбингенском университете) электронно-оптические системы с парал-
лельным экспонированием; эти системы позволяют одновременно экс-
понировать большое число элементов в сложной системе изображений.
В этом процессе используется просвечивающий электронный микро-
скоп, в котором маска и образец играют обратные роли в том смысле,
что увеличение изображения объекта-образца заменено уменьшением
изображения объекта-маски. Поразительные возможности электронной
литографии в создании джозефсоновских структур продемонстрирова-
ли Броэрс и Лайбовиц [ 142] при изготовлении сверхпроводящих мос-
тиков (см. рис. 8.20).
8.4.5. Рентгеновская литография. Рентгеновская литография -
очень важный копировальный метод получения изображений с высоким раз-
решением [ 941, 942]. Как и в фотолитографии, в его основе лежит
теневая печать. Однако соответствующая длина волны намного мень-
ше (обычно используются мягкие рентгеновские лучи),' и поэтому мож-
но получить гораздо лучшее разрешение, поскольку, как уже отмечалось
в случае конечного расстояния между образцом и маской предельное
разрешение определяется именно дифракционными эффектами. Кро-
ме того, в отличие от электронов рентгеновские лучи распространя-
ются по прямой и практически не чувствительны к посторонним за-
грязнениям, паразитным полям и разным другим механизмам откло-
нения и рассеяния. Используемые в рентгеновской литографии маски

Область оптических
(> 1 мкм) размеров

Область
субмикрометровых
размеров

Рис. д.12. Методы изготовления пленочных структур для микроэлектронных
устройств. ( Согласно Блоккеру и др. [ 126].)
состоят из полупрозрачных мембран; изображение, которое требует-
ся получить, сформировано из тонкой пленки, поглощающей рентге-
новские лучи. Таким образом, к материалу масок предъявляются сле-
дующие требования: прозрачность для рентгеновского излучения вне
изображения, достаточная жесткость, плоская и гладкая поверхность,
отсутствие напряжений и прочность. Хорошие маски получаются при
использовании золота в качестве поглощающего материала для мем-
браны и ее основы [ 923]. Разрешение рентгеновской литографии лими-
тируется теневыми эффектами, толщиной поглонцающего слоя и
взаимодействия рентгеновского излучения с материалом маски и ре-
зистом. Размытие изображения из-за теневых эффектов и дифракции связано
с конечной величиной зазора между маской и образцом, необходимого для то-
го, чтобы предотвратить их взаимное повреждение. Компромисс между этими
двумя требованиями и определяет оптимальное расстояние между маской и об-
разцом. Обзор рентгеновского (а также электронно-лучевого) метода получе-
ния изображения приведен в работе [ 126]. Рис. 8.12 подводит итог
обсуждениям различных методов получения пленочных структур тре-
буемой конфигураций.

8.5. Простые методы изготовления джозефсоновских
контактов с оксидным туннельным барьером

Опишем здесь два простых рецепта изготовления джозефсоновск
ких туннельных контактов. По существу они представляют собой лишь
некоторые "скелеты” возможных методик, и значения параметров ука-
заны весьма приближенно. Подробности и детали этих методов можно
найти в литературе, но их определяют также опытным путем непосред-
ственно в лаборатории.

8.5.1. Изготовление контактов термическим испарением. Мы
не будем входить в детали специфики вакуумной технологии. Как следует из
изложенного выше, для получения количественных контактов требуются
очень хорошие'вакуумные условия. Таким образом, предельное давле-
ние в вакуумной системе должно быть низким и должна быть возмож-
ность его поддерживать во время напыления образца. Кроме того, в
системе по мере возможности не должны содержаться органические
примеси и пары воды. В литературе можно найти данные о джозефсо-
новских контактах, полученных при испарении металла в очень широ-
ком диапазоне давлений (10~5 - 10 "° мм рт.ст.), однако зачастую от-
носительное количество возможных загрязнений не указывается.

^Отметим среди прочих работ статьи [ 237, 943], посвященные этим
вопросам.
Напылительная камера изготавливается из нержавеющей стали. Внут-
ри ее расположены резистивные нагреватели, которые испаряют ме-
талл и обеспечивают напыление тонких пленок. Чтобы подобрать фор-
му электродов джозефсоновской структуры, необходимо изменять от-
носительное положение масок и подложки без нарушения вакуума, по-
этому напылительная установка должна иметь механическую систему
с дистанционным управлением. Должна быть предусмотрена также воз-
можность напыления тонких пленок (скажем, олова или свинца) на бо-
лее или менее сложные подложки. В простейших случаях в качестве
подложек используются предварительно очищенные обычным способом
предметные стекла. В дополнение к этому, когда система приспособ-
лена для получения тлеющего разряда, можно применить очистку ион-
ной бомбардировкой в атмосфере воздуха при низком давлении (10 -
20 мм рт. ст.). В процессе напыления пленок требуемой конфигура-
ции маски плотно прижимают к подложкам. Предпочтение отдается
маскам из нержавеющей стали (толщиной около 0,1 мм), которые из-
готавливаются с помощью метода фоторезиста или, для очень прос-
тых целей, механическим резанием. Для получения информации о рос-
те пленки и ее конечной толщине используется специальный измери-
тель толщины. После нанесения первого сверхпроводящего слоя ди-
электрический туннельный барьер изготавливается либо термическим
окислением, либо окислением в тлеющем разряде. В первом случае в
вакуумную камеру на 1 - 3 ч (в зависимости от металла) вводится
сухой чистый кислород при атмосферном давлении. Как уже указы-
валось, эти данные лишь ориентировочные. В литературе можно най-
ти сообщения об окислении в очень широком диапазоне времен и дав-
лений. При окислении в тлеющем разряде сухой чистый кислород при
давлении в диапазоне 10-2 - 10-3 мм рт.ст. ионизируется напряже-
нием 300 - 1000 В в течение времени от десятка секунд до несколь-
ких минут. Эти параметры также ориентировочные, так как они сильно
связаны друг с другом и критическим образом зависят от.заданной
геометрии электродов. Однако используемое напряжение не должно
быть слишком высоким, поскольку в противном случае ионы могут при-
обрести энергию, достаточную для разрушения оксидного слоя во вре-
мя его образования. Как уже достаточно подробно обсуждалось, за-
грязняющего влияния примесей, находящихся на стенках окислитель-
ной камеры, можно избежать, подавая на окисляемую пленку отрица-
тельное напряжение. После завершения процесса окисления систему
вновь откачивают, и с помощью управляющего механизма маску уста-
навливают в положение, обеспечивающее напыление второго электро-
да туннельной структуры. Последний этап - изготовление электри-
ческих контактов для исследования контакта.
(е)

Подложка

А1

Позитивный резист рь ИЛи Sn

Рис. 8.13. Методика изготовления контактов на основе ниобия.

8.5.2. Получение базовых пленок контактов катодным распылением.
В качестве второго примера мы опишем методику изготовления туннель-
ных контактов на основе ниобия, разработанную Хоэлом и др. [ 492]
и модифицированную Рейблом [ 832]. Основные этапы этого процес-
са показаны на рис. 8.13. Ниобиевая пленка толщиной около 1000 А
напыляется на стеклянную подложку методом катодного ВЧ распыле-
ния. Ниобий затем покрывается более трлстым ( порядка 104 А) слоем
алюминия, напыленным тем же методом (рис. 8.13, а). Из ааюминие-
вой пленки с: помощью метода фоторезиста и последующего химичес-
кого травления изготавливается трафарет (рис. 8.13, б,в), играющий
роль маски, /(алее фоторезист смывается, и методом ионного трав-
ления, используя алюминивую маску, получают необходимую конфигу-
рацию из ниобия. Этим процессом можно управлять олагодаря разным
скоростям ионного травления двух металлов. Оставшийся алюминий
можно удалить химическим травлением. На данном этапе получен ба-
зовый слой ниобия требуемой конфигурации, на котором теперь оксид-
ный барьер выращивается либо термическим, либо плазменным окис-
лением (рис© 8.13, г ) в соответствии с описанными выше методиками,
После этого термическим испарением напыляется слой сверхпроводя-
щего металла (на практике это свинец или олово), играющего роль
второго электрода в туннельной структуре. Этот слой вновь покрывав
ется фоторезистом, из которого получают требуемое изображение
электрода (рис. 8.13, д}. После химического травления и удаления
Рис, 8.14. Интегральная схема на основе ниобиевых контактов. (Согласно

Оуэну и Нордману [ 77б].)

фоторезиста соответствующим растворителем, наконец, получается
готовый образец, представленный на рис. 8.13, е. Развитие этой про-
цедуры легло в основу технологии интегральных схем, разработанной Оуэном и
и Нордманом [ 775]. Одна из таких схем в качестве примера приведе-
на на рис. 8.14.

8.5.3. Другие виды структур с оксидными барьерами. Прежде
чем завершить, по необходимости неполное, обсуждение методов изготов-
ления джозефсоновских контактов с оксидными барьерами, нам хоте-
лось бы отметить предложенный Аспеном и Голдманом [ 52] метод
изготовления контактов с барьерами из 1п% 0^. Кроме того,стоит упо-
мянуть простую и остроумную технологию получения контактов на ос-
Рис. 8.15. Вид сверху структуры, содержащей 13 контактов на основе нио-
биевой проволоки. (С любезного разрешения Дж. Э. Нордмана.)

нове ниобия без осаждения ниобиевых пленок [ 169]. В качестве базо-
вого электрода в этом случае используется полированный конец нио-
биевой проволоки, закрепленной изолирующим материалом внутри не-
большого медного цилиндра. Туннельный контакт создается на торце-
вой поверхности ниобиевой проволоки, на которую после ионного трав-
ления и окисления напыляется второй свинцовый электрод. Детали
этой процедуры можно найти в цитированной работе. Вид сверху струк-
туры, содержащей 13 таких переходов, представлен на рис. 8.15.

8.6. Полупроводниковые барьеры

Для получения полупроводниковых барьеров можно использовать
различные методики вакуумного напыления, обсуждавшиеся выше в
связи с изготовлением металлических слоев. Однако в ряде случаев
некоторые проблемы, обусловленные природой полупроводниковых ма-
териалов, исключительно затрудняют контроль над изготовлением та-
ких барьеров. Среди прочего упомянем возможное присутствие по-
верхностных состояний в полупроводниковой пленке, проблемы, свя
занные с границей раздела, неконтролируемое легирование, наличие
микропрокрлов и нестехиометричность, Необходимо отметить, что в
случае тонких полупроводниковых пленок, зачастую аморфных, не-
большое изменение параметров напыления может приводить к весь-
ма значительному разбросу свойств пленок. Даже "первый взгляд"
на ВАХ структуры дает информацию о реальной ситуации. Уменьше-
ние величины сверхпроводящей щели может, например, среди прочего
свидетельствовать о взаимной диффузии между материалом полупро-
водникового барьера и сверхпроводящими электродами. Серьезная
и весьма общая проблема - микропроколы в напыленном полупроводни-
ковом барьере, которые приводят к появлению металлических мости-
ков через барьер. Чтобы обойти эти трудности, обычно сразу после на-
несения полупроводникового слоя производят окисление; микропроко-
лы при этом заполняются оксидом, и возможность образования зако-
роток уменьшается. Однако такое дополнительное окисление может
приводить к нетривиальным последствиям, изменяя, напри мер,,свой-
ства полупроводника. В дополнение к этому адсорбированный на тун-
нельном барьере кислород может приводить к продолжению окисления
верхнего электрода, увеличивая тем самым барьер и уменьшая вели-
чину плотности критического тока.

8.6. Л Различные попупроводники.Как уже отмечалось в гл. 7, для
изготовления туннельных барьеров можно использовать самые раз-
нообразные полупроводники. В связи с изготовлением светочувстви-
тельных переходов мы уже обсуждали CdS, впервые примененный Ги-
вером [ 386]. Теллур легко осаждается при вакуумном испарении [ 172,
904], однако получаемые результаты пока еще неудовлетворительны,
Возможно также использование барьеров из Ge и InSb. Как было по-
казано в работах [ 170, 570], полученные катодным распылением барь-
еры из этих материалов позволяют получать хорошие контакты на ос-
нове ниобия ("сандвичи" типа Nb-Ge-РЬ и Nb — In Sb-Pb ). Для
определения характеристик барьеров можно осаждать с той же скорос-
тью, что и пря изготовлении туннельных барьеров, очень толстые (свы-
ше 1000 А) пленки и измерять их сопротивление. Наиболее вероятно,
что тонкие пленки Ge и InSb аморфные (см. работу [ 170]). И хо-
тя с помощью контролируемого легирования в объемных образцах дан-
ных полупроводников положение уровня ферми в запрещенной зоне мож-
но изменять, при изготовлении барьерных слоев, т.е. пленок, это уже
становится невозможным. На реальные свойства барьеров оказывают
влияние скорость осаждения, давление, температура, состояние подлож-
ки и т.д. Интересно отметить, что испытания этих структур на долго-
вечность, проведенные Келлером и Нордманом [ 570], дали результа-
ты, довольно близкие к полученным в работе [ 492] для соответству-
ющих контактов с оксидными барьерами. В качестве барьера применял-
ся также и РЬТе [ 171], однако полученные контакты имели большой
ток утечки.

Практически во всех случаях напыление полупроводниковых пле-
нок рождает проблемы, связанные с микропроколами. Как уже указы-
валось, в связи с этим необходимо проводить окисление полупроводни-
ковых пленок после их нанесения. Что касается плотности критическо-
го тока, то, даже используя очень тонкие барьеры толщиной порядка
50 А, трудно надеяться на получение контактов с высокой плотностью
тока и малой емкостью. В зависимости от толщины полупроводниково-
го слоя [ 904] и других параметров [ 67, 86] можно получить как гис-
терезисные, так и безгистерезисные ВАХ контактов. Наконец , упомянем ра-
боту [ 330], в которой приведены доказательства джозефсоновского туннели-
рования в контактах с барьером из формвара1).

8.6.2. Светочувствительные барьеры. В гл.7 уже обращалось внимание
на интересную возможность использования соединений II и VI групп
периодической системы в качестве светочувствительных барьеров тун-
нельных контактов. Осаждать пленки CdSe оказывается легче, чем
CdS. В частности, чтобы не бояться загрязнения, слои CdSe необходи-
мо напылять в системах со сверхвысоким вакуумом, в то время как из-
готовление пленок CdS оказывается довольно "грязным" процессом. В
последнем случае главная проблема состоит в разных величинах упру-
гости паров двух компонентов соединения. Однако, несмотря на это \
CdS — наиболее удачный материал для светочувствительных перехо-
дов. В самом деле, уже упоминавшееся различие величин упругости
пара Cd и S заставляет контролировать процесс их напыления очень
тщательно, в то же время есть и большое преимущество, так как поз-
воляет изготовлять контакты с наперед заданными свойствами. Следуя
работе Руссо [ 866], опишем в общих чертах некоторые аспекты изго-

^Мы не рассматриваем здесь барьеры из углерода [ 686, 687], так как,
насколько нам известно, джозефсоновского туннелирования в этом случае об-
наружено не было.
200 мкА/дел. 10 мкА/дел

2 мВ/дел.

20 мкА/дел- 20 мк.А/деп

Р и с. 8.16. Влияние толщины полупроводникового барьера на ВАХ контактов
РЬ —CdS - РЬ одинаковой площади при 4,2 К. (Согласно Бароне и др. [ 88].)

товления структур РЬ — CdS — РЬ и РЬ — CdS — Sn (см. также рабо-
ты [ 88, 688 ]). В данной методике использовался турбонасос, и все
этапы проводились без нарушения вакуума. Вначале при комнатной
температуре на обычное предметное стекло осаждают первый сверх-
проводящий электрод, а затем термическим испарением на него напы-
ляют высокочистый порошок сульфида кадмия. Возможен предваритель-
ный подогрев полупроводника в течение нескольких минут. Во время
испарения полупроводника давление поддерживается в диапазоне
10-5-10-7мм рт.ст. Среди различных факторов, определяющих электрон-
но-оптические свойства светочувствительных структур, исключитель-
ное место принадлежит величине давления в процессе испарения. До на-
несения второго электрода, чтобы предотвратить образование микро-
проколов, проводится окисление в сухом воздухе при давлении 1 атм
в течение 1 ч (см. ниже). В случае барьеров из CdSe применяют так-
же окисление в тлеющем разряде [88, 844], причем обнаружилось,
что оно сильно влияет на импеданс контакта, Упомянем также изложен-,
ный в статье Люббертса и Шапиро [ 677 ] метод определения зоны ми-
крополя.

Влияние толщины t барьера CdS на ВАХ структур РЬ-CdS - РЬ
демонстрируется кривыми на рис. 8.16. Оказалось, что квазичастич-
ная характеристика наблюдается только у туннельной структуры, име-
ющей t - 500 А, а эффект Джозефсона - лишь у структур с t < 150 А.
В настоящее время, как указывалось в гл. 7, можно получать свето-
чувствительные джозефсоновские структуры, а именно РЬ — CdS — In
и In - CdS -In, используя^очень толстые барьеры CdS (соответст-
венно до 700 [ 86] и 1000 А [ 89]). В этом случае можно избежать
также окисления барьера, что, как отмечалось, способно изменить
свойства полупроводника.

Отсутствие микропроколов в светочувствительных структурах
можно установить значительно более надежным способом. В самом де-
ле, можно изготовить контакты, которые в темновом режиме являются
"не джозефсоновскими", и, следовательно, в отсутствие напряжения
джозефсоновский ток должен быть равен нулю. Это гарантирует, что
после облучения светом ток при нулевом напряжении соответствует
джозефсоновскому току, индуцированному светом (см. гл.7). Кроме
того, аккуратные измерения зависимости I { от И (см. рис. 4.16) для
этого типа контактов могут, как обсуждалось в последнем разделе
гл. 4, дать информацию о флуктуациях толщины барьера. На рис. 8.17
представлен случай больших флуктуаций, причем прямая эксперимен-
тальная зависимость (нижняя часть) очень хорошо согласуется с тео-
ретической моделью (верхняя часть); за детальной информацией от-
сылаем читателя к работе [ 89].

Наконец, отметим значительно большую долговечность и лучшую
термоцикличность структур с барьерами из CdS при использовании
индиевых электродов, чем в случае структур РЬ -CdS - РЬ . В част-
ности, после 10 термических циклов в интервале температур 4,2 - 300 К
и сотни циклов в интервале 4,2 - 100 К, проводимых в течение не-
скольких месяцев, никаких существенных изменений на ВАХ контактов
не было заметно. Еще лучшие результаты были получены не так давно
при изучении структур на основе ванадия [ 95, 282].
Ри с. 8.17. Зависимость постоянного джозефсоновского тока через контакт с барьером из CdS от маг-
нитного поля. Непосредственная запись экспериментальных результатов (нижняя часть) и результаты
теоретической модели (верхняя часть), предполагающей наличие "структурных флуктуаций" (см. текст ).
8.6.3. Контакты с монокристаллическими барьерами. Хуанг и
Ван Дузер [505, 506] разработали новую технологию получения джозефсонов-
ских структур, основанную на изготовлении кремниевых пластинок с
мембраной, которая создается локальным травлением и которая игра-
ет роль барьера. В таких структурах джозефсоновское туннелирование
наблюдалось через кремниевые барьеры толщиной 400 и 1250 А.

Наиболее важно в этой методике то, что барьерный слой представ-
ляет собой монокристалл. Основные этапы изготовления контактов это-
го типа представлены схематически на рис. 8.18. В качестве исходно-
го материала использовалась кремниевая монокристаллическая пла-
стинка толщиной 250 мкм с ориентацией < 100 > . Обе полированные
поверхности этой пластинки были подвергнуты влажному термическо-
му окислению при температуре 1150° С. Верхний оксидный слой (диок-
сид кремния SiO2 толщиной 7500 А ) защищался фоторезистом, в то
время как нижешй стравливался (рис. 8.18, а). При помещении плас-
тинки в насыщенную атмосферу бора осуществлялась диффузия бора
с незащищенной стороны, как показано на рис. 8.18, б 0.

Затем в верхнем слое фоторезиста обычным методом было сде-
лано квадратное окно (рис. 8.18, я). Далее, с нижней стороны удаля-
ли каким-либо подходящим способом борное стекло и слой Si - В и
с целью защиты диффузионного слоя напыляли слой SiO2» Пластинка
после этого была готова к локальному травлению. Оно осуществля-
лось с помощью травления кремния в специальном растворителе (вод-
ный раствор этилендиамина и пирокатехола) с избирательным дейст-
вием, который плоскость < 100 > травит быстрее, чем плоскость
< 111 >. С увеличением концентрации бора в кремнии процесс трав-
ления сильно замедлялся, а при некоторой концентрации прекращал-
ся вовсе (рис. 8.18, г). Таким образом получалась желаемая мем-
брана из кремния, легированного бором. В зависимости от парамет-
ров диффузионного процесса, таких, как время и температура,. тол-
щина мембраны варьировалась в интервале 400 - 4000 А. Толщина
х- мембраны зависит от толщины монокристаллической пластинки.
Для получения субмикронных размеров данная технология была усо-
вершенствована введением двойного травления (см. цитированные вы-
ше оаботы, а также обзоры Ульриха, Ван Дузера [ 996] и Ван Дузера
[ 1000]). Туннельный контакт создавался напылением сверхпроводя-
щих электродов на оставшуюся после удаления Si О 2 кремниевую мем-

^За подробностями процесса изготовления и обсуждением механиз-
ма примесной диффузии мы отсылаем читателя к оригинальным работам
Хуанга и Ван Дузера [ 505, 506].
Рис, 8J8. Основные этапы изготовления контактов с монокристаллическими
барьерами., (Согласно Хуангу и Ван Дузеру [505, 50б].)

брану (рис. 8.18, д). Такие структуры имели очень высокие значения
произведения IY С, превышающие даже теоретически достижимые зна-
чения для аналогичного оксидного туннельного контакта. Кремниевые
барьеры использовались также в джозефсоновских компланарных кон-
тактах с плоской геометрией электродов [ 893].

8.7. Сверхпроводящие мостики

Первые сверхпроводящие мостики были изготовлены Андерсоном,
Дайемом [ 28], Парксом, Мошелэндом, Сюрженом [ 791] и Ламбэ и
др. [ 621 ]. В свете современной технологии их методики кажутся наив-
ными, но даже в этих пионерских работах были получены мостики раз-
мером в несколько микрометров, Простейшая методика заключается в
напылении подходящего металлического слоя и вырезания из него ост-
рым резцом мостика желаемой формы [ 368]. В цитировавшейся вы-
ше работе [ 791] использовался другой простой метод. На предмет-
ное стекло наносилась тонкая нить лака. С помошью микроножа эта
нить аккуратно разрезалась, и после этого на всю подложку и нить на-
пылялась металлическая пленка. Далее подходящим способом лако-
вая нить вместе с нанесенным на нее металлом удалялась, не затра-
гивая при этом металла в области разреза. Модификации этого мето-
да, а также альтернативные методики, включающие использование
подходящих масок, успешно развивались различными авторами (см., например,
работы [ 129; 259, 423, 425, 426 , 903, 1056]). Другие ссылки на работы,
посвященные исследованию сверхпроводящих мостиков приведены в
разд. 7.6. Позднее сверхпроводящие слабые связи начали изготавли-
вать с помощью обсуждавшихся в разд. 8.4 довольно сложных мето-
дов литографии. Как мы видели, используя электронную литографию
и технику съема металлических пленок, можно получать микронные
и субмикронные мостики. Впервые методом электронной литографии
микромостик изготовил Лайбовиц [ 615], которому удалось получить
однородные мостики из ниобия размером до 0,3 мкм.

Мостики переменной толщины (МПТ), как мы видели в гл.7, пред-
ставляют особый интерес, что связано с их "трехмерной" конфигура-
цией, обеспечивающей лучший отвод тепла [ 577, 578], а также с на-
личием подходящей модели для теоретического описания таких струк-
тур [ 649]. В качестве примера на рис. 7.11 приведен МПТ из индия,
который был изготовлен с помощью электронной литографии.

Упомянем среди различных способов изготовления сверхпрово-
дящих мостиков метод, использованный в работе [ 248], а также ме-
тодику [ 342], кратко описанную в разд. 8.4.3.

На рис. 8.19 изображен МПТ из ниобия, изготовленный довольно
простым способом [ 1030] О. На ниобиевую пленку толщиной 500 А
помещалась кварцевая нить диаметром 1 мкм, и не защищенная нитью
пленка подвергалась ионному травлению. Затем напылялся более толс-
тый ( 5000 А) слой ниобия. В результате после удаления нити получа-
лась структура с переменной (отношение 1 : 10) толщиной. Оконча-
тельная форма мостика с V-образными "берегами" получалась хими-
ческим травлением.

Среди последних достижений в области миниатюризации сверх-
проводящих устройств отметим получение с помощью электронной ли-
тографии ниобиевых наномостиков, показанных на рис. 8.20 [ 142]2).

^См. также работы [ 96, 132, 376 J. Другие типы высококачествен-
ных МПТ ( например, [ 767]) обсуждались в гл. 7. Следует среди прочих
упомянуть также свинцовые МПТ, изготовленные авторами [ 1069].

® См. также работы [ 140, 143, 619].
Рис. 8.19. Мостик переменной толщины из ниобия. (С любезного разреше-
ния Л.К.Ванга и др. [ 1030].)

На верхней микрофотографии изображен ниобиевый мостик шириной
250 X, толщиной 200 А и длиной 0,8 мкм, соединяющий два ниобиевых
берега. На нижней микрофотографии представлен наномостик шири-
ной-600 X и длиной 0,25 мкм.

Другую категорию мостиков представляют структуры, основан-
ные на эффекте близости [ 575, 722, 764]. Их изготавливают с по-
мощью нанесения пленки нормального металла на сверхпроводящий
слой (или наоборот). В результате получается сандвич S / А, крити-
ческая температура которого из-за эффекта близости ниже, чем у
сверхпроводника , в то же время сверхпроводящие свойства через S / А-
границу передаются до некоторой степени и нормальному металлу. В
случае тонких пленок нормального и сверхпроводящего металлов, ме-
няя их относительную толщину, можно изменять критическую темпе-
ратуру сандвича. Аналогичная ситуация реализуется и при использо-
вании двух сверхпроводящих пленок S и S ' с разными Тс , при этом
также можно усиливать или ослаблять их сверхпроводящие свойства.
Рис. 8.20. Микрофотографии ниобиевых наномостиков, изготовленных в ис-
следовательском центре фирмы 1ВМос помощью электронной литографии. Верх-
няя часть: наномостик шириной 250 А, расстояние между берегами 0,8 мкм.
Нижняя часть: наномостик шириной 600 А, расстояние между берегами 0,23 мкм.
(С любезного разрешения А.Н.Броэрса и Р.В.Лайбовица [ 142],)

При изготовлении слабых связей данного типа используются как мяг-
кие ( РЬХ Sn, In и их сплавы), так и жесткие сверхпроводящие мате-
риалы (Nb, Та ), а в качестве нормальных металлов - соответствен-
но Au и Си или Таи Zr. Теория таких мостиков обсуждалась Ка-
саткиным и Волковым [ 566].

Альтернативой структур на эффекте близости являются мости-
ки, изготовленные ионной имплантацией, которые представляют со-
бой соответствующую металлическую пленку с локальным изменени-
ем сверхпроводящих свойств. Основная идея состоит в том, чтобы,
легируя пленку какими-либо ионами, уменьшить параметр порядка и в
результате создать область с относительно низкой критической тем-
пературой, связывающую две области с большей Тс. Харрис [ 463 -
469] успешно применил ионную имплантацию для получения молиб-
деновых слабых связей с внедренными (N + и/или S + ) ионами. Ар-
рингтон и Дивер [ 38] изготовили ниобиевую слабую связь с помо-
щью имплантации ионов железа в ниобиевую пленку.

Все эти типы слабых связей (полученных последовательным на-
пылением слоев, ионной имплантацией и т.д.) при подходящем соот-
ношении между их размерами и эффективной длиной демонстрируют
одинаковые квантовые сверхпроводящие свойства1 2).

Стоит также упомянуть слабые связи, поведение которых осо-
бенно интересно с точки зрения физики. Они представляют собой сверх-
проводящие мостики, слабое звено в которых реализуется в резуль-
тате локальной неравновесной концентрации квазичастиц, что в свою
очередь подавляет сверхпроводящие свойства. Достичь этого можно
инжекцией квазичастиц, фононной инжекцией и фотоинжекцией. В
данном направлении получены обнадеживающие результаты [ 1051,
1052, 1070], и можно надеяться на создание слабых связей с непре-
рывно "регулируемыми” сверхпроводящими свойствами. Начало теоре-
тическому рассмотрению слабых связей, создаваемых фотоинжекцией,
было положено в 1971 г. Волковым [ 1011 ]. В работе [ 533] сообщалось
об уменьшении критического тока сверхпроводящих слабых связей (пле-
ночных и точечных) под действием лазерного излучения. Наконец,отме-
тим, что было начато изучение джозефсоновских свойств сверхпровод-
Циков с высокими критическими температурами. В 1972 г. Яноко, Га-
валер и Джоунс [ 534] из сплава Mo - Йе получили мостики Дайема с
Тс выше 12 К. Позднее, используя напыленные пленки Nb3Ge, удалось
получить мостики с критической температурой до 21 К [ 535, 618 ]2).
Кроме того, были изготовлены слабые связи из NbN и Nb3Sn3> с кри-
тическими температурами соответственно 14,7 и 17,5 К.

^Сопоставление этих структур можно найти в работе [ 57б].

2) См. также работу [ 109], в которой обсуждаются изготовление и
свойства длинных сверхпроводящих связей, созданных импульсным электри-
ческим пробоем монокристаллического кремния.

3)Отметим также сообщения [ 404 — 40б] о получении структур с Т
вплоть до 18 К. (О получении структур с Тс до 20-21 К см. [ 1 *, 2* ] - °
Прим>ред.)
8.8. Сверхпроводящие точечные контакты

Как уже указывалось в предыдущей главе (разд. 7.7), сверхпро-
водящие точечные контакты из-за широкого использования в приложе-
ниях привлекают к себе большое внимание, несмотря на неполное по-
нимание протекающих в них физических процессов. Более точно сле-
дует сказать, что из-за неопределенности природы контакта в каждом
конкретном случае неясен механизм его проводимости. Кажется ра-
зумным предположить в общем случае наличие параллельных мостико-
вого и туннельного ’’каналов” проводимости.

Технология изготовления точечных контактов очень разнообраз-
на [ 1099] ив значительной мере определяется конкретными требова-
ниями, предъявляемыми при их использовании. На рис. 8.21 приведены
три различных метода получения точечных контактов. Первый пред-
ставляет собой широко используемый точечный контакт между двумя
ниобиевыми винтами, во втором случае контакт создается между за-
остренным с помощью химического травления концом проволоки из под-
ходящего металла (например, Nb ) и окисленной пластинкой. И наконец,
в третьем случае используются две сверхпроводящие фольги, разделен-
ные пластичным изолятором и укрепленные на плоском основании. Эти
сверхпроводники прижимаются друг к другу специальным стержнем
или винтом, что создает контакт в небольшой области. Среди прочих
отметим также стабильные точечные контакты двух типов. Контакты
первого типа [ 1111] создаются между заостренным и плоским ниобие-

Оксид

Игла из Nb

Майлар

Рис, 8.21. Точечные контакты трех различных типов.
После соприкосновения

Рис. 8.22. Микрофотографии, полученные с помощью сканирующего микро-
скопа, ниобиевого точечного контакта с хорошими термоциклическими се ойст-
вами. Изготовлен в лаборатории NASA/GISS, НЬю-Йорк. (С любезного разре-
шения И.Таура.)

выми винтами в корпусе ВЧ СКВИДа (см. гл. 13). Конструкция обес-
печивает высокую жесткость и снимает проблемы, связанные с разли-
чием теплового расширения электродов контакта. В работе [ 159] так-
же были разработаны точечные контакты (как в одно-, так и в двух-
контактной структурах), обладающие высокой механической стабиль-
ностью и хорошими термоциклическими свойствами? Устройство состо-
ит из двух сверхпроводящих ниобиевых блоков, разделенных слоем стек-

О свойствах "чистых” сверхпроводящих контактов с критическими тока-
ми До 70 мА и плотностями критического тока до Ю6 А/см см. в работах
[3*, 4*]. - Прим. ред.
ла. Связь между ниобиевыми блоками осуществляется с помощью заос-
тренного ниобиевого шнта, который контактирует с плоской поверхностью
блока. Основная особенность данной структуры заключается в использовании
изолирующего стекла с таким же коэффициентом теплового расширения,
как у ниобия1). Хорошими термоциклическими свойствами обладает из-
готовленный Тауром в лаборатории NASA / GISS ниобиевый точечный
контакт, показанный на рис. 8.22. Контакт создается между заострен-
ным концом ниобиевой проволоки и ниобиевой фольгой, помещенными
между двумя подложками. С помощью электрохимического травления
проволоки удалось получить радиус острия меньше 0,25 мкм. Материал
подложек имел, как уже обсуждалось выше, тот же коэффициент тепло-
вого расширения, что и ниобий. Относительно деталей и использования
таких структур см. работы [ 962, 963].

Точечный контакт совершенно другого типа представляет собой
созданная Кларком [ 204] система из множества контактов. Кларк ис-
пользовал плотно упакованную систему оловянных сверхпроводящих ша-
риков, в которой слабые связи, аналогичные точечному контакту, воз--
пикали в областях касания шариков. Лум и Ван Дузер [ 682] предложи-
ли иной тип контактов. Эти контакты создавались между двумя сверх-
проводящими слоями, разделенными подходящим фоторезистом. Сла-
бые связи между ними образовывались через отверстия в фоторезис-
те. Реальный диаметр таких отверстий определяется диаметром "про-
кола”, который можно сделать методом литографии.

^См. также структуры с точечными контактами, полученные в работах
[ 129, 284, 300].
Глава 9
Резонансные моды в туннельных
структурах

9.1. Джозефсоновский контакт в качестве
линии передачи

С точки зрения электромагнитных свойств туннельный контакт
из двух сверхпроводящих пленок, разделенных тонким слоем диэлек-
трика, можно рассматривать как линию передачи. Электрическое по-
ле в основном локализовано в оксидном слое толщиной t. Из-За про-
никновения в сверхпроводники магнитное поле заполняет большую
область с толщиной d = t + х 2 (Л£ — лондоновская' глубина про-
никновения). Благодаря такому распределению поля < скорость рас-
пространения электромагнитной волны оказывается меньше, чем в
эквивалентной полосковой линии из несверхпроводящих пленок (дан-
ное обстоятельство было впервые отмечено Пиппардом [ 819 ] в 1947 г)„
Детальный анализ этой конфигурации в отсутствие тока был выпол-
нен Свихартом [ 958 ]. Скорость распространения волн можно очень
легко найти в случае, когда толщина сверхпроводящих электродов
мала по сравнению с соответствующей глубиной проникновения.

Рассмотрим простейшую конфигурацию, Представленную на
рис. 9.1. Будем считать, что электрическое поле направлено вдоль
оси z, магнитное - вдоль оси х и они оба однородны в направлении
оси %. Плотность тока имеет ненулевую у-компоненту в сверхпрово-
дящих областях и ненулевую z-компоненту в оксидном слое (квази-
частичный и джозефсоновский токи). При этих предположениях урав-
нения Максвелла записываются в виде

-^E2(y,t)=-±~Hx(z,y,t) , (9.1.1а)

(9.1.16)

Я 4 77

yzHx(z,y,t) = ~Jy(y,t) , (9.1.1b)

где ег - относительная диэлектрическая проницаемость и с - ско-
рость света в пустоте.
Рис. 9.1. Схематический вид линии передачи, образуемой джозефсонов-
ским контактом. Магнитное поле Не направлено вдоль оси %. Область ди-
электрического оксидного слоя заштрихована.

Проинтегрируем уравнение (9.1.1 а) по поверхности S в плоско-
сти у, z, заключенной между прямыми, Дараллельными оси z и про-
ходящими через точки с координатами у и у + dy:

Г . ^ = -1

Js ° ду cJs dt

Вспоминая, что Еz отлично от нуля лишь в оксидном слое, и
предполагая отсутствие зависимости от z в этой области, Долучаем

-±E(y.t)ldy = &

где Е(у, t) и Н(у, t) - электрическое и магнитное поля в оксидном
слое, Де зависящие от z. (Здесь через I мы обозначили толщину ок-
сидного слоя.) Вводя глубины проникновения поля с помощью соотно-
шения

*- = 7?(Ь)О"’(ь') ’ (9L2)

можно записать последнее выражение в виде

dy с dt ’ '

где

J-/ + X£1 + AL2 •
Проинтегрируем уравнение (ЭЛЛ в) по поверхности S лежащей в
плоскости xz с z > 0 и заключенной между прямыми, параллельными
оси z и проходящими через точки с координатами х = - W/2 и
х = W/ 2, Где W - ширина контакта* Мы имеем

/•+W/2 , /- + 00 , ^HAz.y.t) 4тг Г , ч

/ dx dz — = —{ doJv(y,t) .

J-W/2 •'o dZ C JS'

Следовательно,
и? f + o° л dHx 4?r , ч
w/0 = •

Окончательно получаем

Н(уЛ) = ^1(уЛ) , (9-1.4)

где /(у, t) - ток в точке у сверхпроводящего электрода. Из (9.1.3)
и (9.1.4) следует, что

dV(y,t) = _^_d_ dl(y,t)
dy с2 w Эг ’

где И(у, t) = IE (у, t) - напряжение на контакте. Комбинируя (9.1.4)
и (9.1.1 б), Имеем в диэлектрической области

Э/(у,г) е ЭК(ул) z х z

Пренебрежем током через оксидный слой (J z = 0). При этом предпо-
ложении выражения (9.1.5) и (9.1.6) могут рассматриваться как вольт-
амперные соотношения для линии передачи без потерь [831 ]. Вводя
емкость и индуктивность на единицу длины с помощью соотношений

С “ 4^Г L “Т7 W ’

получаем 9и(у,г)=_ ,Э/(ьг)

ду L' dt

Mb') _ _ , ЪУ(уЛ)
dy С dt '

Скорость распространения волн в такой линии передачи

С ^L'C С][^

(9.1.7)

(9.1.8)
Используя типичные значения I ^20 A, d -1 000 А, ег = 4, получаем
для отношения скоростей волн в сверхпроводящей линии передачи
и в пустоте величину с / с — 0,05ДСм. табл. 8.2.) В случае, когда од-
на из сверхпроводящих пленок имеет толщину 5, сравнимую с лондо»
новской глубиной проникновения А^, выражение для с принимает
вид [958]

( XL2 + coth5/XL1)

9.2. < Резонансные моды контактов с малой
добротностью

Рассмотрим туннельный контакт, имеющий конечную длину в направле-
нии распространения волны. Благодаря отражению на концах такой кон-
такт ведет себя как резонансная линия передачи и имеет резонанс-
ные моды собственных электромагнитных колебаний. В случае от-
крытой на концах линии передачи картина распределения напряжения
n-й моды для стоячей волны будет такая:

vn(y>t)= А„е^"'cos , (9-2-1)

где L - длина контакта, и

П7ГС
т~

(9.2.2)

При наличии джозефсоновского тока (при конечном Р) происходит
излучение в контакт электромагнитной энергии с частотой со = 2eV/h-.
Это излучение возбуждает резонансные моды, которые в свою оче-
редь взаимодействуют с джозефсоновским током. Таким образом,
реализуется нелинейное взаимодействие между резонатором и джо-
зефсоновским током. В случае совпадения джозефсоновской часто-
ты с,одной из резонансных мод сод появляется ток с нулевой часто-
той. Ниже мы покажем, что для усиления взаимодействия джозеф-
соновский ток должен быть пространственно промодулирован в на-
правлении у. В малых контактах (L « Ау ) достичь этого можно лишь
приложением внешнего магнитного поля, перпендикулярного оси у»
Таким образом, Во внешнем магнитном поле Не на ВАХ будут на-
блюдаться особенности тока при напряжениях

Т7 _ h _ h с
п 2еШп 2е 2Ln

(9.2.3)

Впервые эти особенности наблюдались Фиске [352], и они обычно
называются ступеньками Фиске. Действительно, в случае контак»
Рис. 9.2, Типичная картина собственных ступенек на ВАХ контакта
Sn -$пОх - Sn при наличии магнитного поля. Кривая получена с использова-
нием переменного опорного напряжения. (Согласно Лангенбергу и др. [ 629].)

тов, управляемых по току, они наблюдаются в виде ступенек на ВАХ
(рис. 9.2). Однако, если для получения ВАХ используется контакт

с изменяемым опорным постоянным током и наложенным на него
низкочастотным переменным током, наблюдаемая картина может
иметь вид, который показан на рис. 9.3. Для получения этих данных
использовалась многократная экспозиция, И выбор каждой сингуляр-
ности осуществлялся установлением соответствующей величины
опорного постоянного тока. Такая процедура обеспечивает лучшее
обнаружение сингулярностей независимо от их относительных ампли-
туд и положений.

Теперь мы определим теоретически зависимость величины ам-
плитуды ступенек от напряжения и от магнитного поля. Мы предпола-
гаем, что размеры контакта малы и амплитуда ступенек много
меньше максимального джозефсоновского тока1} [304, 592]. Рас-
смотрим одномерный контакт, изображенный на рис. 9.1. В этом
случае уравнение (9.1.5) и (9.1.6) можно представить в виде

а?

(9.2.4а)

Как мы покажем ниже, это соответствует ситуации с малой вели-
чиной добротности Q.
Рис. 9.3. ВАХ контакта Nb — NbO*. - РЬ с собственными ступеньками во
внешнем магнитном поле. Вертикальная шкала: 0,1 мА/дел.;’горизонталь-
ная шкала: произвольные единицы. Кривая получена с использованием из-
меняющегося опорного тока и наложенного на него низкочастотного пере-
менного тока. Применялась многократная экспозиция.

= - с ЭГ(аЬ -WJ2(y, 0 , <9-2- 46)

оу ot

где ток через контакт предполагается отличным от нуля. Эти урав-
нения могут быть записаны в виде одного уравнения второго поряд-
ка для V:

92v(y,0 _гс,э2НьО . JЧ(ьО
— LC + LW 9/ .

Используя (9.1.8) и определение L*, Долучаем

г2У(у,1) 1 d2V(y,t) ШуЛ) (Q...

Э^2 с2 Эг2 с2

Предположим, что
v(y,t)=vo + v(y,t) , (9.2.6)

где v(y, t) « VQ. Плотность полного тока /у = Jj + Jq представляет
собой сумму плотностей джозефсоновского и квазичастичного токов.
Для квазичастичного тока воспользуемся выражением (разд. 1.7).

’ (9-2'7)

где RT(V0) = 1 /a0(F0) - зависящее от напряжения нелинейное сопро-
тивление туннельного перехода. Джозефсоновский ток записывает*

ся в виде /, = J|Sin<p(y, f) , (9.2.8)
где фаза ф(у, t) = wt - ку + ф]( у, t)
и hV°' к Ф0Не ’

- постоянное внешнее магнитное поле. Слагаемое cpjy, t) связа-
но с v(y^ t) уравнением

>(.•') = ^^4^ <«.9)

Подставляя (9.2.6) - (9.2.9) в (9.2.Э), Получаем следующее уравнение
для<р,(у, «):

Эр2<Р](у,/) 1 92ф|(у,г) 4тг d ЭфДу,/)] _ Э [ 2е 4w .

Э/1 8у'2 ё2 Э/2 с2 Rt * j Э/[ Л t/'/lSin<PJ’

и окончательно имеем

э2Ф1(ьО
Э/

Э2<Р1(у,0 1 9<Pi(bO

CRT ,Эг

= -ysin<p, (9.2.10)
Л J

где Лj - джозефсоновская глубина проникновения (1.7.36) и С -
емкость в расчете на единицу площади. При получении (9.2.10) кон*
станта интегрирования предполагаясь равной нулю. Как было отме*
чено Куликом [596], это справедливо, Поскольку мы интересуемся
асимптотическими (t -> <») решениями уравнения (9.2.10), которые с
учетом затухания не зависят от начальных условий. Воспользуемся
этим уравнением (9.2.10), чтобы получить выражение для <рх(у, г). В
первом приближении можно рассматривать как малое возмущение
и пренебречь им в правой части уравнения (9.2.10). Получаем, 'таким
образом, уравнение для д>1:

д2ф|

Эу2

1 / Э2<р« 0<pt \ 1 / , \

— I —— 4- I = — sm(o>r — ку)

ё21 эя у Э/ } v

(9.2.11)

где у = l/CRr.
Кроме того, величина ср Ду, t) непосредственно связана с v(y. г),
и ее можно разложить в ряд по нормальным модам контакта (9.2.1):

{00 )

S ^“"'cos (9.2.12)

л=0 L J

(gn - комплексные величины). Заметим, Uto данный частный выбор
зависимости от у подразумевает выполнение следующих граничных
условий для tpj [ 596]:

Используя соотношение между разностью фаз <р и магнитным полем

ГТ, \ he Эф
"'•’'’-'маУ •

нетрудно убедиться, что условия (9.2.13) подразумевают равенство
на краях контакта магнитного поля приложенному внешнему магнит-
ному полю Яе. Таким образом, не учитывается вклад собственного
поля. Это справедливо для контактов с длиной L « \j < Постоянный
джозефсоновский ток через контакт как функция напряжения и внеш-
него магнитного поля дается выражением

Jdc — lirn ~ [ dt~ ( dyJ} sinfeor — ky 4- <рДу, r)l . (9.2.14)

T -» oo * 4) L /q

Поскольку мы рассматриваем <рх как возмущение, разложим sin ср
по степеням <р1в В первом порядке

Jx sin(cot - ky + = - ky)+ JjCOsC^Z - ky)<px(yj) . (9.2.15)

Таким образом, величина постоянного тока равна

JdAyo^e)= Ит Tdty fLdyJlcos(^t-ky)<p}(y,t)- (9.2.16)
Т-х М) М)

при этом мы использовали соотношение

1 Т* 1 j

lim — I dt-z- I dyJ} sin (со/ — ky) = 0 .

T -* oo 7 •'О К Jq

Для вычисления Jdc при заданном напряжении и магнитном по-
ле необходимо определить ср Ду, t), т.е. коэффициенты gn в разложе-
нии (9.2.12). Подставляя (9.2.12) в (9.2.11), непосредственно полу-
чаем

2 gne^'cos^|-(^) +^- , (9.2.17)

л =0 L | \ L / cL J Xj

где синус в правой части уравнения был записан в экспоненциальной форме.
Предположим далее, что временная зависимость срх(у, t) в основ-
ном определяется силовым членом в правой части уравнения. При
этом = и ,

и выражение (9.2.17) принимает вид

Умножая обе части этого выражения на cos (ятгу/L) и интегрируя,
для n-i^o коэффициента gn получаем

g„ = Г 2 / С-'7Г1------Г/4’COS (cosку - jsin ку). (9.2.18)

[to2 — (иттс/L) — jtoyJ L A) L

Интегралы в этом выражении легко вычисляются. Вводя величины

В„(к) = y [Ldyc°s cosky , (9.2.19а)

Ь Jq L

/х 2 fi. , niry . ,
С„(к)=-£] dv’cos ЛГsm ку

запишем (9.2.18) в виде

Ьп 2 \ 2 г 7 L ” 7

h _ Л.Л2Г 4- 1 О2

(9.2.196)

где мы ввели фактор добротности Qn = ^nC^RT^ Напомним,
что Qn зависит ог напряжения через RT* Действительная и мнимая
части gn имеют вид

Reg„(w, к)-

---------------|в„(А )[1 - (4,/wH +

[] -(w„/w) + 1/2,^ 1

GU)]
J

(9.2.20а)

Im to. к) =

с2А2х27 [в„(к)

[1--(ч,мТ +Д Qn
п

(9. 2. 206)
Таким образом, Из (9в2Л6) следует, что

Л(И0,Я,) = lim 4; Гжу- fLdyJl[cosutcosky + sinwlsinky]<pl(y,t)

Г — оо Л) L Jq
где

2 [Regz?(w,/c)sinw/+Img„(w,/c)cosa)r]cos^^ .

п=0 L

В окончательном виде

ОО

4(К>. = Л S {iBn(fc)Imgn(W.A:) + iC„(^)Reg„(W^)}, (9.2.21)

п =0

где мы воспользовались соотношениями

1* 1 fTj 2 г 1 [Т> • 2 1

lim — / drcos wz = lim — / atsm<x)t —-------

T — 00 T Jg T -• 00 T •'o 2

.. 1 rT .

nm —i atsmw/coswt =0 .

7-00 T Jg

Подставляя (9.2.20 a, б) в (9.2.21), получаем

4w2Xj „=о

1/е

-[в»+СД/с)].

” (9.2.22)

Для определения зависимости /dc от магнитного поля нужно вычис-
лить коэффициенты Вп и С„ (9.2.19 а, б). Заметим, что

L Jo L

Интеграл легко вычислить, И мы получаем
Г л» Т / , т д 2

= Л».

л = 1,3,5,...

F?(^)= <

(4kLsin(kL/2) 1
17т-(„)2 J ’ "=2-4-6...........

Поскольку A L = 2тгФ/Ф0 = 2тг<р, можем написать

( _ X 2

J 2ftcos

I 2ф8Ш7Гф ]

Нф2 -(л/2)2] J

n = l,3,5,... ,

(9.2.23)

« = 2,4,6,... ,
и (9.2.22) принимает вид

i/e

=о [ 1 — (/о>)2]" + 1/2,

-ГДф). (9.2.24)

Это выражение независимо было получено в работах [592] и [204,
203].

При фиксированной величине внешнего поля данное выражение
по существу представляет собой сумму лоренцевых линий с центра-
ми при напряжениях

В обычных экспериментах, однако, из-за низкой величины импедан-
са перехода наблюдение формы этих линий на ВАХ сильно затрудне-
но. Как следует из (9.2.24), зависимость максимума амплитуды п-й
ступеньки от внешнего поля дается выражением

(9.2.25)

Индекс п в Qn напоминает о зависимости Qn от напряжения через

Теперь будет уместно сделать несколько замечаний относитель-
но добротности контакта Qn^ В рассмотрении, Приведенном выше, при-
нимались во внимание лишь потери, связанные с туннелированием квази-
частиц через барьер. В реальных приборах вклад в потери вносит и
ряд других механизмов: поверхностное сопротивление сверхпрово-
дящих пленок, Геометрические неоднородности, излучение из кон-
такта.

Полная добротность QT может быть рассчитана по формуле

где Qi - добротность, Обусловленная каждым из перечисленных вы-
ше механизмов.

Наибольший вклад в потери обычно вносит поверхностное сопро-
тивление электродов. Выражение для добротности контакта в этом
случае в приближении малой длины пробега электронов было полу-
чено Нгаи [753].

Результаты первых экспериментальных исследований добротнос-
ти джозефсоновских контактов представлены в работе [892], авто-
ры которой изучали влияние магнитного поля на самоиндуцированные
ступеньки, а также в работе [ 932 ], где исследовался отклик резона»
тора перехода на внешнее микроволновое излучение. Данные более
поздних экспериментальных работ по этой проблеме приведены в ра-
ботах [145, 1033].

Выражения (9.2.24) и (9.2.25) справедливы при условии

(9.2.26)

Равенство (9.2.23) можно представить в эквивалентной форме:

2ф sin( тгф — Л7 77/2) 12
ф + п /2 тгф — птт/2 J

В этом выражении Гд(ф) записано в виде произведения двух функ-
ций. При больших п, как нетрудно видеть, Главный максимум дости-
гается при ф^п/2. В табл. 9.1 приведены максимальные значения
Гп(ф) для п от 1 до 5 вместе с соответствующими значениями фду. Гра-
фик функции Г^2(ф)/п2 при различных значениях п представлен на
рис. 9.4.

На рис. 9.5 приведена типичная экспериментальная зависимость
постоянной составляющей джозефсоновского тока от магнитного по-
ля, а также ступеньки 1, 2 и 3. Данные относятся к Nb -РЬ - кон-
такту и получены в одной серии измерений. Заметим, что в обычных
образцах условие (9.2.26), Как правило, Выполняется лишь для ступе-
нек высшего порядка (п > 2). В разд. 9.5 мы обсудим более общую
теорию, развитую Куликом [596] и применимую также к контактам
с большой добротностью До этого момента мы и отложим сравне-
ние результатов теории и экспериментов.

Впервые о наблюдении собственных резонансов в Sn - Sn- и
РЬ —Sn- контактах сообщил Фиске [352 ] в 1964 г. Эти данные были

Таблица 9.1. Абсолютные максимумы Функции ^П(Ф) и соответствующие
им значения ф^ для различных значений п1у

п = 1 п=2 п =3 п =4 п =5
Гп(Фм) 1,091 1,031 1,015 1,008 1,006
Фм 0,70 1,15 1,60 2,05 2,55

1 > Чм дан0 в квантах потока Фо.
Рис. 9.4. (Теоретическая зависимость ступенек Фиске (9.2.23) от магнит-
ного поля F2(^)/n2 = )2 Q^/4-гг2] для различных п и малых

значений Q

представлены на конференции по сверхпроводимости, состоявшейся
в августе 1963 г. в Колгейтском университете (США). Тогда же
Пиппард[820] предложил возможное объяснение явления.

Последующие экспериментальные исследования были выполне-
ны тем же Фиске [ 239 ] и двумя экспериментальными группами: од-
ной из Университета шт* Пенсильвания [304, 305, 627 ] и второй из
Донецкого физико-технического института [286, 287, 289, 1066]*
Зависимость амплитуды резонансных мод от магнитного поля изу-
чали Дмитренко и Янсон [ 287 ] как на малых, так и на больших ’’мос-
тиках Sn - Sn на эффекте близости”* Эти авторы приводят также дан-
ные по температурной зависимости напряжений различных ступенек
и теоретическую зависимость, рассчитанную с использованием обыч-
ного выражения для Ay (71) [см* (5*1*6)]* Данные по температурной
зависимости положений ступенек в контактах Nb -NbOx -РЬ и
Рис. 9.5. Экспериментальная зависимость от магнитного поля постоянно-
го джозефсоновского тока (а), первой (б), второй (в) и третьей (г) ступенек.
Данные относятся к прямоугольному контакту Nb - Nb O% - РЬ .

Nb -NbO% -Ь приведены в работе [874]. Там же обсуждается набор
ВАХ контактов Nb -In полученных с помощью источника напряже-
ния с малым внутренним сопротивлением и обнаруживающих ступень-
ки напряжения. Недавно были выполнены экспериментальные иссле-
дования зависимости амплитуды ступенек от магнитного поля на по-
лупроводниковых контактах [ 867 ]. Исследовался, в частности, свето-
чувствительный запорный слой CdS, и было получено хорошее согла-
сие с теорией оксидных контактов, Представленной в этом разделе.
Результаты последующих теоретических и экспериментальных ис-
следований резонансов в полупроводниковых джозефсоновских кон-
тактах приведены в работе [683].

Отметим, что приведенный выше анализ основывался на одномер-
ной модели. Экспериментально моды Фиске в структурах кольцевой
геометрии исследовались в работе [ПО], И теоретически - в [747].
В работе [748] приведены результаты теоретических исследований
прямоугольных контактов при произвольной (в плоскости контакта)
ориентации поля» В случае поля, Направленного вдоль одного из кра*
ев резонатора, получаются результаты одномерной модели. Однако,
если поле имеет ненулевые ^составляющие вдоль обоих направлений,
должны наблюдаться другие резонансы при иных значениях напряже-
ний. Влияние этих новых мод усиливается при направлении поля
вдоль диагонали резонатора.

9.3. Бесконечно длинная структура

В случае контакта бесконечной длины (L = оо) стоячие волны
электрического поля в сверхпроводящей линии передачи отсутству-
ют. Как было показано, уравнение (9.2.11) можно записать в виде

Э2У|(Ьг) Ip2?,^,/) Эу/ьО =±1т^(И(-^)1 /931)
Э72 с1 Эг2 Ху

Рассмотрим решение <р х типа бегущей волны:

<Р1(^,г) = 1шЛ(А:,ы)е2(“'“*:>’) (9.3.2)

(Л - комплексное число). Подставляя (9.3.2) в (9.3.1) нетрудно пока-
зать, что

А (к, w) = _-----у- ,

и>2/с2 — к2 — j(wy/c2)

Следовательно,

<р,(у,/) = 1т-

с2 (\-k2c2/w2)-j/Q
----------------------e
«2^ (1 - к2с2/ы2 )2 + 1 /Q2

(9.3.3)

Как и ранее, постоянный ток дается соотношением

= Ит V/ dt“Г / ^jricos(wZ~^)<Pi(>;^) •

Г-оо L А)

L-* оо

Используя (9.3.3), Запишем выражение для постоянного тока в виде

\\-к2с2/и2} +X/Q2

(9.3.4)

Бесконечно протяженный контакт, Таким образом, имеет на ВАХ
лишь один резонанс.

Напряжение, при котором реализуется максимум этого резонан-
са при заданном значении внешнего поля, определяется условием
с* /Ч = г. Это условие подразумевает, что фазовая скорость движе-
ния распределения джозефсоновского тока со/к совпадает с фазо-
вой скоростью с* электромагнитной волны в контакте. Обозначим
через Vм напряжение, При котором наблюдается резонансный мак-
симум. Поскольку со = 2 eV/ft, а к = (2 тг<//Ф0)Яе, До соотношение
между приложенным магнитным полем Не и Vм будет

VM — d—H . (9.3.5)

Интересно отметить, что и в предыдущем случае (конечные L) при
больших п мы также получаем соотношение, аналогичное (9.3.5). В
самом деле, При этом длина волны в контакте становится много
меньше его длины L ( напомним, Пто = F/con = L/птг)» Поле Н”,
в котором реализуется максимум n-й ступеньки, При больших п да- '
ется выражением

(9.3.6)

Соответствующее напряжение определяется выражением

(9.3.7)
й " L ’

и, таким образом,

VnM = d-^H" . (9.3.8)

Первые экспериментальные данные, демонстрирующие поведе-
ние, типичное для бесконечных контактов, были получены в работе
[294]. На рис. 9.6, а представлены ВАХ при разных значениях внеш-
него магнитного поля. Измерения выполнены на контактах РЬ -РЬ
размером 0,25 х 0,25 мм. Эти результаты находятся в хорошем согла-
сии с описанной выше моделью бесконечной линии передачи.. Однако,
как следует из экспериментальных данных^ длина электромагнитных
волн в контакте оказывается того же порядка, Пто и длина контак-
та. Таким образом, условие применимости теоретической модели
L -> оо не выполнено. Наблюдаемое поведение может быть связано с
наличием неоднородностей в оксидном слое. Действительно, ёсли
характерное расстояние между этими неоднородностями порядка
длины волны, То отражения на концах контакта резко ослабляются.
Таким образом, картина стоячих волн исчезает, и контакт ведет
себя подобно бесконечной полосковой линии. Зависимость положе-
ния пика И^от приложенного магнитного поля приведена на рис. 9.6, б.
Экспериментальные результаты хорошо согласуются с полученной
(wtf/V Z_OL x) Я01 e_OLx) ^д

О 0,5 1.0 1,5 2,0 2J5 3,0

Напряжение (x ю"3 В) (а)

Рис. 9.6. a - ВАХ контакта

РЬ - РЬО*. - РЬ при различных значе-
ниях внешнего магнитного поля н ;
с ем

б - зависимость положения пика V

от приложенного магнитного поля н .
Экспериментальные данные (точки)
сопоставляются с линейной зависи-
мостью, даваемой (9.3.8). (Согласно
Экку и др. [304].)
выше линейной зависимостью (9.3.5). Небольшое расхождение при
больших значениях напряжения может объясняться частотной зави-
симое тью с (через глубину проникновения) [753].

9.4. Неоднородное распределение плотности тока

Рассмотрим теперь эффект неоднородности распределения плот-
ности тока1} в направлении у в контактах конечной длины. Обсудим
данный вопрос, Несколько обобщив теорию контактов с низкой доб- '
ротностью Q, развитую в разд. 9.2. Соотношение (9.2.11) при этом

принимает вид
d2<Pi
9/

1 / 92<р! Эф! \
И Эг2 Y 9г )

Лу) • /
------------sin( cot — ку) .
<MV>

где ( J ) - среднее значение плотности джозефсоновского тока в
направлении у и ( Ау ) 2 = 2 /8 Tied (J ) . Тогда для постоянного

тока имеем

j -

dC 4о)2(Х7>2

где теперь

в- +с" - \-k y 77? “
и

Максимальная высота ступенек, таким образом, определяется выра-
жением ?

/ т \2 о

™ = , (9.4..)

где

л;(ф)=

e-j2^ Лу1СО5^У
L <J> COS L

Рассмотрим простой профиль распределения плотности тока, мак-
симальной на концах контакта, уже знакомый нам по гл. 4 (см.

рис. 4.11):

J1coshx(l-2j'/L)

—

(9.4.2)

$ Имеется в виду неоднородность критического тока. — Прим, перев.
С помощью замены переменных (2/L)y = у* получаем для интегра-

лов

FM= (J)coshx ^y'cosh(Xy')sin(П>Г)sin( )

для нечетных n

™ = <J)coshX /O'^'cosh(xy')cos(П>Г)cos( )

В окончательном виде

Для четных n.

4м(Ф>х)=

J2 / L \

4w2n2

тт(ф — п/2) тт(ф + п/2)

X2+ тг2(ф- п/2)2 х2 + ^2(ф + п/2)2

(-Iftanhx/ х2____________

х \ Х2 + 1г2(ф~п/2)2

х2

COS тгф -г

Х2 + 772(ф + п/2)2

зштгфУ Для нечетных п ,

(9.4.3а)

С(ф,х) =

-_п_ х
2пг

тг(ф — п/2) 7т(ф + л/2)

Х2 + 1г2(ф~п/2)2 х2 + ^2(Ф + п/2)2

sin 1гф -ь

(-1)" tanhX /_______xZ_______+

4 X \х2 + я2(Ф-п/2)2

2
> для четных п .

х2

Х2 + п2(ф + п/2)2

cos тгф

(9.4.36)
При х 0 последнее выражение сводится к (9X3 6), Полученному ра* ’
нее для однородного контакта. При х -*00 (плотность тока сосредото* ’
чена на концах) находим

s I L \2 Qn /tanhxp [4cos2ff<f>, 77=2,4,6,..
” °0 4tt2/72 \ X / 4sin27тф , 77 = 1,3,5,..

Поскольку

/ Г\ 1 /' + L/2J Ti I tanhX

<J> = TJ dyJ(y)-Jx^— ,
имеем

/Лф,оо)=</>(7^)2-%1£Д(ф),

\ \ЛУ/ / 4тГл2

где

2 sin тгф , и = 1,3,5,... ,

п 2со8ягф, м=2,4,6,....

Интересно отметить, что при Н = 0, *г.е. при <р = 0, из (9X3 а, б) еле*
дует, 4 то

О п = 1,3,5,...

ЛМ(0,х) = / r \ / L \ Qn /___________2---- \ п=2,4,6,...

4тг2И 1 + т72и2/4Х2/

для всех значений х* Таким образом, если х 1 0, в нулевом магнит*
ном поле ступеньки появляются при четных п.

Зависимость от магнитного поля джозефсоновского тока и пер*
вых ступенек Фиске, рассчитанная для профиля плотности тока (9.4.2)
приведена на рис. 9.7. Рассмотрен частный случай х = 5. Данные
нормированы на величину, соответствующую максимальной ампли-
туде тока. Руссо и Вальо [ 868 ] выполнили недавно измерения на
туннельном контакте из CdS, В котором максимум распределения
плотности тока на концах достигался неоднородным облучением (см.
ниже). Экспериментальные данные вместе с расчетными кривыми,
полученными с помощью теоретического анализа, изложенного выше,
приведены на рис. 9.8.

Результаты дальнейшего теоретического и экспериментального
анализа того, как неоднородности контактов с большими величина* ’
ми Q влияют на зависимость самоиндуцированных ступенек от
магнитного поля, приведены в работе [69]. Экспериментальные ре-
зультаты этой работы сравниваются с общей теорией Кулика
(разд. 9.5), модифицированной для учета неоднородности распреде*
,,УШ'уу^

'Ад^_

],0

0,5

1,0-

Т | ! ! I! Тj_

1,0^

1,0.

г t IIгг

“дА/Ду^,.

2 4 6 8 0

Рис. 9.7. Теоретическая зависимость максимального джозефсоновского
тока (п = 0) и тока на первых четырех самоиндуцированных ступеньках
(п = 1, 2, 3, 4) от магнитного поля для контакта с концентрацией тока на
концах (см0 врезку). Каждая кривая нормирована на максимальное значе-
ние тока.

ления тока. Детальный анализ проблемы представлен в работе [801].
Дальнейшее развитие теории содержится в работе [ 1031 ].

9.5. Резонансные моды в контактах с высокой добротностью

Рассмотренная теория ступенек Фиске справедлива при условии

'„«1 т.е. 61«4w2(^)
Рис. 9.8. Верхняя часть: зависимость максимального джозефсоновского
тока, индуцированного светом, Ij (Ф/Фо) в контакте In - CdS -In. Точка-
ми изображена нормированные на максимальное значение эксперименталь-
ные данные. Сплошная кривая — теоретический расчет для неоднородного
профиля распределения тока в рамках однопараметрической модели (4.4.3)
для х = 18. Нижняя часть: зависимость тока на индуцированной светом пер-
вой ступеньке Фиске от магнитного поля для того же контакта. Точки —
нормированные на максимальное значение тока экспериментальные данные.
Сплошная кривая получена при помощи (9.4.3) для х = 18. Штриховая кривая
представляет собой теоретическую зависимость от поля амплитуды второй
ступеньки. (Согласно Руссо и Вальо [868].)

Кулик [596] рассмотрел случай, когда Qn может принимать произ-
вольно большие значениЯе Исходный пункт при этом - уравнение
(9X10) для фазы cpjy, t)-9 в ’’силовом” члене в правой части урав-
нения теперь нельзя считать малым возмущением»

Предположим для простоты, что напряжение близко к одному из
резонансов: Запишем (у, t) в виде

<pt(y,t)^@(t)coskny , (9.5.1)
где kn = п тт/Le Мы рассматриваем здесь только одну компоненту
разложения по нормальным модам контакта^ При этом уравнение
(9<2Л 0) принимает вид

_ ± I j = cos kny> _ (9.5.2)

Эу2 с2 \ Э/2 9/ / х2?

jQcosky

для преобразования множителя е п воспользуемся разложе-
нием по функциям Бесселя (смо например,[ 599]):

e7ecos^= £ (9.5.3)

т= — оо

где Jm(x) - функция Бесселя порядка и. Подставляя (9.5.1) и (9.5.3)

в (9.5.2), получаем

cos(A:ny) [Э2О(0 , 9©(г) 1 9/2 9z +^п2®(0 •

-2 Г +оо

= —-ylm-je7"'?-7*7’ 2 U)mJm(®)e~jmk"y

I m = — oo

Умножим обе части уравнения на cos А у и проинтегрируем его от
О до L:

9!©+уЭ6+ 2.20=_£i2 х

Xlmje7"' £

I т = — оо

jkvcos(kny)e Jmk-

Здесь мы использовали соотношение [° dy cos 2(^ у) = L/2. Введем,
следуя Кулику, константы

= • (9-5.4)

Последнее выражение примет вид

9 + w20(t) = aRe{e7“'F(©)} , (9.5.5)

П1

где о>2 = к2с2, а — с2/^, и

л©)= +£ о)Ч(0К.я.

т = — оо
Как было отмечено Куликом [5961, уравнение (9*5*9) представляет
собой стандартное дифференциальное уравнение, хорошо известное
в теории нелинейных колебаний [ 127 ]* При условии а -> 0, Т.е.

Л/ -> <*>, можно искать асимптотическое решение для 0(f) в виде
0(f)= a(f)cos(wr 4-6)4- аи(а, b,vt) + ••• ,
где a(t) и Ъ (t) - медленно меняющиеся функции; йх производные по
времени связаны с ’’силовым” членом в (9*5*5)* Предположив da/dt
= db /dt = 0, получаем

©(f) — acos(coZ 4- 6) (9.5.6)

с постоянными а и 6 *

Можно показать, что если пренебречь временной зависимостью
П©), То , .

F(0>Jo(^)f„o , (9.5.7)

где

^dye~jkycoskny .

Подставляя (9*5*6) и (9*5*7) в (9*5*5), легко получить соотношение

aejb —

-Т—---—— aJ02 (5)^.0

(w„-«2) + jwy У2/

Отсюда находим амплитуду а:

(9.5.8)

где

Г I- pt .2 Ф|5«1(тгф — ет(п/2))|

Ло ~ Л( Ф)— 777

w |ф2-«2/4|

и Fn(x) - введенная ранее функция. Выражение (9.5.8) можно пере*

писать как

- -а = 1

J02(a/2) X2, UY |/(w2 — w2)2 + w2y2

(9.5.9)

Постоянный джозефсоновский ток дается выражением

Jdc(w,fc)= lim 4= fTdt у- [LdyJlsin(ul - ky + 0(t)coskny) .

T — v: * ‘'o L •'О

20 - 436
Рис. 9.9. Универсальная функция ]М/ /^(ф) от Z Fn(q), полученная
численным расчетом с помощью (9.5.11) и (9.5.13) [799].

Разложив подынтегральное выражение в ряд по е кпУ и ограничив-
шись членами низшего порядка, получим

JdJ<^W,J0(g)j,|f)Fn(4>H - (9-5.Ю)

12/ 12/ v'(^--^r+7v

Как легко видеть, в пределе малой амплитуды электромагнитной вол^
ны в контакте, т*е* при 0, из (9*5*9) и (9*5*10) следует выражение
(9*2*24), полученное ранее. В самом деле, используя асимптотичес-
кие разложения для1 /0(%) и Д(%) при а -> 0, имеем

соу

с2 1

а — —------

X2 “7

Используя эти выражения, получаем п^й член разложения (9.2*24)*

В общем случае максимальная амплитуда ступеньки как функция маг-
нитного поля получается из (9*5*9) и (9*5*10) при оо= оо * В этом слу- ’
чае п

, (9.5.11)
Рис. 9.10. Теоретическая зависимость амплитуды первой (п = 1) самоинду-
цированной ступеньки от магнитного поля для контактов с высокой добротно-
стью Q, рассчитанная из (9.5.11) и (9.5.16). Две кривые соответствуют двум
значениям Z для которых амплитуда ступеньки достигает максимального
значения 0,33 (из универсальной функции на рис. 9.9).

где а - первый корень нелинейного уравнения

121 а\ аХ2, 1
Jol у I-—“„YVTTT •

Если мы опять введем добротность Q контакта, определяемую как

Q =и>„/у (и со„ /с = nn/L), то последнее соотношение примет вид
71 Tv • ' *1

т / а \ а

(Е/7тпх7)2е„^(Ф) *

Оно справедливо для произвольно больших Qn3
L/hr 0. Вводя параметр

/ L \2 Qn

Л2 ’

но лишь при условии

(9.5.12)

перепишем наше уравнение в виде
т / а \ а

Мг)= I’513)

Как легко видеть из (9*5Л1) и (9*ЭЛЗ), величина /J1Fn есть уни-
версальная функция ZnFn 9 не зависящая от п и ф* Эта функция пред-
ставлена на рис* 9е9е Теперь полезно сравнить экспериментальные
данные с теорией* На рис^ 9Л0 приведены кривые, построенные с
Не [мА]

Рис.9.11. Зависимость от магнитного поля амплитуды первой (а), второй (б)
и третьей (в) самоиндуцированных ступенек для контакта Nb -NbOx-Pb .
Экспериментальные данные (кружки) относятся к образцу, у которого
перпендикулярный магнитному полю размер несколько превосходил джозеф-
соновскую глубину проникновения Ху. Показаны также теоретические зави-
симости, рассчитанные с помощью (9.5.11) и (9.5.13). Для п = 1 (а) сплош-
ная линия соответствует теоретической кривой для Zn = 1.91 ; штриховая —
для Z^ = 8,15 (эти кривые дают одинаковые значения максимальной ампли-
туды ступеньки ). Z= о,51 для п = 2; Zn = 0,16 для п = 3 [799].

помощью графика рис* 9*9 для п = 1 и заданного значения максимума
/У //г Они соответствуют двум частным значениям Zn*

Первое сравнение экспериментальных данных с рассмотренной
выше теорией Кулика было сделано в работах [889, 892]* Анализ при
этом ограничивался лишь зависимостью максимальной амплитуды
ступеньки от соответствующей величины Qn* Данные по зависимости
амплитуды ступенек от магнитного поля для контактов с высокой
добротностью приведены в работе [417]* Недавно Патерно и Нордман
[799] провели детальное исследование влияния магнитного поля на
’’ступеньки Фиске”* Исследуемые образцы представляли собой кон-
такты типа Nb -NbO% -РЬ с различным отношением L/Л/ (длина
контакта перпендикулярна магнитному полю). Экспериментальные данные
вместе с теоретической кривой приведены на рис* 9*11* Результаты
получены на образце с отношением L/Xy, Несколько большим едини-
цы* Величина этого отношения согласуется также с формой зависи*
мости I от Н9 Полученной на том же образце и представленной на
рис* 9*3. Теоретические зависимости амплитуды ступенек были чис-
ленно найдены из (9*5*11) и (9*5.13). Значения Zn определялись с по-
мощью универсальной функции на рис. 9*9, причем для F (ф) исполь-
Рис. 9.12. Зависимость от магнитного поля максимального джозефсонов-
ского тока Ij (ф) (а) и амплитуд первой (б) и второй (в) самоиндуцированных
ступенек для контакта Nb -NbOx -РЬ.Экспериментальные данные (кружки)
сопоставляются с теоретическими зависимостями (сплошные кривые), рас-
считанными соответственно из (4.3.1), (9.5.11) и (9.5.13). Для данного об-
разца отношение L/Xy полагалось равным 0,6. (Согласно Патерно и Норд-
ману [799].)

зовались теоретические значения (см. табл. 9.1). Величина I „/1г
определялась из отношения Iп/IQ между измеряемой максимальной
амплитудой ступеньки и максимальным постоянным джозефсоновс-
ким током. При Zn < 1 теоретические значения определялись по фор-
муле (9.2.25). Данные на рис. 9.11 относятся к ступенькам 1, 2 и 3.

На рис. 9.12 приведены данные для контактов с L/X; < 1 (~ 0,6%
Имеется прекрасное согласие теории с экспериментом. В предыду-
щем случае (экспериментальные данные на рис. 9.11) небольшое рас-
хождение объясняется относительно большой величиной отношения
L/Xy исследуемого образца, тогда как теория Кулика справедлива
в пределе L/Xy -> 0. На рис. 9ДЗ показаны данные для контакта с
Рис. 9.13. Поведение в магнитном поле прямоугольного контакта с мак-
симальным поперечным размером L, большим джозефсоновской глубины
проникновения Л /(L/Лу = 1,3). Использовался контакт Nb -NbOx -РЬ со
скрещенной геометрией. Поле прикладывалось перпендикулярно наибольше-
му размеру: a — сравнение постоянного джозефсоновского тока с теорети-
ческой зависимостью (сплошная линия), полученной из (5.1.5); б - е — само-
индуцироваиные ступеньки соответственно от первой до пятой. Сплошные
линии представляют собой теоретический расчет с помощью выражений
(9.5.11) и (9.5.13) [799].

отношением L/Лу = 1,3° t Как и ожидалось, В этом случае имеется
заметное расхождение с теорией* Для п = 2 максимальная амплиту-
да токовой ступеньки наблюдается в нулевом магнитном поле. Особен
ности такого рода, так называемые ступеньки нулевого поля, впер-
вые наблюдали Чен и др. [192]. Последующие экспериментальные дан*

Теоретическая зависимость максимального джозефсоновского тока
от приложенного поля рассчитана в рамках приближенного рассмотрения
для собственного поля [1058]; см. также гл. 5 (разд. 5.1).
ные приведены в работах [ 191, 370, 417 ]. Ступеньки нулевого поля
обычно наблюдаются при напряжениях, соответствующих нечетным
числам п мод Фиске. Природу появления этих сингулярностей объяс-
нили Фултон и Дайнес [ 370], исходившие из представления о движе-
нии вихря внутри контакта. Данная модель предсказывает существо-
вание ступенек такого рода для нечетных чисел п при напряжениях,
меньше некоторого предельного VQ = (с /\j )Ф0* Однако эта модель
не дает никаких указаний относительно влияния поля на токовые
особенности. Экспериментально амплитуда ступенек оказывается
убывающей функцией магнитного поля и не зависит от его направле-
ния. Мы вернемся еще к вопросу о ступеньках нулевого поля в
разд. 10.4.
Глава 10

Динамика флуксона

10.1* Уравнение синус-Гордона

Электродинамика протяженного джозефсоновского контакта опи-

сывается, как мы уже видели, дифференциальным уравнением в част-

ных. производных (1.7.4), которое в одномерном случае можно запи-
сать в виде1}

Эх2 с2 Э/2 с2 9/ \2

(ю.1.1)

Мы уже рассматривали частные решения этого уравнения. В преды-
дущей главе изучались некоторые приближенные осцилляторные ре- ’
шения при наличии потерь. Точные стационарные (т.е. не зависящие
от времени) решения обсуждались в гл. 5.

Мы исследуем теперь общие решения (10.1.1), пренебрегая дис-
сипативными эффектами. Измеряя расстояние х в единицах Xj и
время t в единицах Xj /с, можем записать (10.1.1) в виде* 2)

Фхх_Ф«=8тф . (10.1.2)

Это очень важное уравнение широко используется в прикладной нау-
ке [90, 899]. В литературе оно известно под названием уравнения
синус-Гордона (УСГ) [860]3). Это уравнение имеет решения типа
уединенной волны, *гак называемые солитонные решения, обладаю-
щие свойствами, характерными для частиц. Одно из наиболее удиви-
тельных свойств данных решений заключается в том, что два солито-
на выходят из столкновения неизменными, Сохраняя прежними фор-
му и скорость. Столкновение приводит лишь к их временной задерж-
ке. В уравнении (10.1.2) под ср можно подразумевать разность фаз ср
или нормированный магнитный поток. Это непосредственно следует
из интегрирования фундаментального уравнения Джозефсона для

1} Здесь ось х направлена вдоль контакта,, а ось z - перпендикулярно
ему.

2) В этой главе для обозначения частных производных используются
подстрочные индексы.

® В качестве общего обзора по распространению нелинейных волн см.
[1049].
Рис. 10.1. Механическая модель уравнения синус-Гордона, а - пружина;

б — припой; в — латунь; г — резьбовое отверстие; д — проволока; е — штырь;
ж и з - шарикоподшипники; и - опора. Размеры даны в дюймах. (Согласно
Скотту [895].)'

временнбй зависимости фазы (1.4.5):

2 77 /* Ф

/ и^ = 2тг^- •
Фо J фо

Моделирование механической системой 9 Доказанной на рис. 10.1
[895], помогает получить качественное представление о решениях
уравнения синус-Гордона. В этой модели роль члена ср играет во> ‘
вращающий момент пружины, Члена t - момент инерции маятника,
а член sin ср соответствует моменту силы тяжести. Читатель, кото '
рый возьмется за изготовление простой механической модели (из порт-
новских булавок и резиновой ленты), сможет приобрести ценный опыт.
На рис. 10.2 показана такая "карманная" модификация механической
модели. Схема рассматриваемого джозефсоновского контакта пред- ’
ставлена на рис. 10.3.

10.1.1. Решения типа бегущей вопны. Решения уравнения
(10.1.2), Зависящие от времени, Имеют вид бегущих волн или волн
Рис. 10.2. ’’Карманная” модификация механической модели, представлен-
ной на рис. 10.1.

Рис. 10.3. Длинный джозефсо-
новский контакт.

постоянного профиля вида

ф — ф(х~ut) . (10.1.3)

Они изучались в связи с джозефсоновскими контактами Куликом
[ 596 ], Скоттом [894] и Лебвулом и Стефеном [ 638 ]1} * Параметр
и в (10.1.3) есть скорость распространения волны; он может быть

См. также книгу Скотта [896 ].
произвольным. Если мы запишем аргумент (10.1.3) в виде £ = х -ut}
то

Э _d_ _Э_ _ d_

.Ъх~* dt, И Udt '

и (10.1.2) примет вид известного уравнения движения маятника

б/2ф _ sin ф
d^2 1— и2

Умножая на dy/d£ и интегрируя, Находим

d<j>

2(Е — cos</>) ’/2

1-w2 ’

(10.1.4)

где Е - константа интегрирования. Уравнение (10.1.4) имеет еле*
дующие два решения:

$ = 4tan Чехр

t_ (x-ut)

Д — w2

при Е = 1 и | и | <1и

<J>=4tan Чехр

при Е = - 1 и \и | > 1.

Первое решение представляет собой одиночный ”кинк”, т.е. со-
литонное решение, Отвечающее повороту ср и 2 тг; оно показано с
помощью механической аналогии на рис. 10.4, а. Знаки "+" или
указывают направление вращения и отвечают кинку (солитону) или
антикинку (антисолитону). Это решение описывает движения одиноч*
ного флуксона или антифлуксона в джозефсоновском контакте
(рис. 10.3). Второе решение, Очевидно, йвляется неустойчивым, по*
скольку оно соответствует ситуации, когда в равновесном состоянии
находятся вертикально отклоненные маятники.

Если Е отличается от единицы, мы получаем периодические
решения. Проинтегрируем уравнение (10.1.4) и в результате получим

£= Д ~и2

ГФ d$

0 /2757—cos ф

т.ё. обычный эллиптический интеграл. Рассмотрим два решения.
Рис. 10.4. Фотографии механического аналога, а - односолитонное решение;
б — набор равноудаленных солитонов; в — волны большой амплитуды; г — вол-
ны малой амплитуды. (С любезного разрешения 30.Скотта.)
При Е > 1, | и | < 1

ф = 2 sin

где сп - эллиптическая функция с параметром 0 < k < 1 (в пределе
к 1 в качестве решения имеем одиночный солитон). Это решение
отвечает решетке флуксонов с постоянным периодом в контакте. На
рис. 10.4, 6 представлена механическая модель этой ситуации. В
случае Е » 1, т.е. большой плотности солитонов, рассматриваемое
решение сводится к виду

При - 1 <Е < +1, |u| > 1

<f> = 2sin 1 £sn

где sn - эллиптическая функция с параметром> к> 1. Это решение
представляет собой периодические волны большой амплитуды
(рис. 10.4, в). В пределе £ -* + 1 и <р 6*оно сводится к случаю волн
Малой амплитуды, представленному на рис. 10.4, г. Этот случай со* ‘
ответствует "плазменным волнам".

10.1.2. Функции энергии. Заметим, что, если плотность ла* '
гранжиана

£= — фг2] + 1 — cos</> (10.1.5)

подставить в уравнение Эйлера - Лагранжа

_Э_/_Э£ По 1 61

Эх * Эфх )+ Э J Эф,) Эф ’ ( • • )

получим уравнение синус-Гордона. Любое решение данного уравнение
удовлетворяет, таким образом, Цринципу Гамильтона, *г.ё. интеграл

ffcdxdt

на этих решениях экстремален. Отметим, Uto отрицательное значе-
ние плотности лагранжиана (10.1.Э) также удовлетворяет этому ус*
ловию, причем выбранный в (10.1.6) знак отвечает минимуму в слу-
чае устойчивых решений и максимуму в случае неустойчивых.
Вводя соответствующую плотность импульса

гт— эе _
"=S>,

с помощью преобразования Лежандра находим плотность гамильто-

ниана К:

Полная энергия, таким образом, будет равна

( + XXdx= ( + °°{|[(ФЛ)2 + (Ф)2] +1 -cos<i>) dx .

•'-оо •'-00

Гри слагаемых в гамильтониане отвечают различным вкладам в
энергию контакта: электрической энергии, Запасенной в области ди-
электрического барьера; Магнитной энергии, Запасенной в сверхпро-
водящей области, лежащей в пределах лондоновской глубины проник-
новения; Знергии, связанной с наличием сверхпроводящей разности
фаз на контакте.

По аналогии с величиной Ц,введенной выше, Мы можем опреде-
лить плотность р, Характеризующую вращение:

_ эе

Р—9Фл

-Фх

и написать

9% ЭФ

9/ Эх

(10.1.71)

где

^=-рф, .

Уравнение (10Л.7) можно интерпретировать следующим обра-
зом: К представляет собой плотность энергии на единицу длины
в точке %, а У - поток энергии, проходящей через точку х в едини-
цу времени. Заметим, что явная зависимость лагранжиана от време-
ни привела бы к дополнительному слагаемому в (10.1.7) и, ‘таким
образом, К нарушению закона сохранения энергии. Плотность лагран-
жиана (10.1.5), а значит, и уравнение синус-Гордона инвариантны
по отношению к лоренцеву преобразованию независимых переменных
х, г. Если <р(%, t) есть решение уравнения (ЮЛ.2), то ф(%', t')
также будет решением, Цри условии что

, X — urt t — ux

х-^х'— - -. И ...

/1—1/2 /1 — «2
Здесь иг - относительная скорость двух систем отсчета: (%, t) и
(х'> t ').

В настоящее время существует большое число математических
методов получения и анализа солитонных решений уравнения синус?
Гордона. Они включают в себя метод усредненного лагранжиана
Уизэма [ 1049] для ^расчета медленных изменений параметров пе- ’
риодической волны и метод преобразования Бэклунда, Использован-
ный Миурой в 1976 г. Для конструирования солитонных решений из
вакуумного состояния (вводимый при этом интеграл движения мож-
но интерпретировать как скорость солитона [90]). Более того, про-
цедура итераций преобразования Бэклунда позволяет получить иерар-
хию /V-солитонных решений уравнения синус-Гордона, а также допол-
нительные интегралы движения (см. <гакже [ 620]). Решения, йред- '
ставляющие собой произвольное число солитонов, Ьбсуждались также
Хиротой [ 489]. Недавно этот случай проанализировал Кюрри [ 247],
использовав новые мощные математические методы

"Метод обратной задачи рассеяния” [ 1, 67 ] позволяет получить
точное решение уравнения (10Д.2), удовлетворяющее ^заданным на-
чальным условиям. Этот метод можно рассматривать как обобщение
преобразования Фурье. Более точно нелинейная волна представля-'
ется в виде комбинации солитонной и излучательной компонент, при-
чем первая является нелинейным аналогом соответствующей ком-
поненты Фурье в линейной волне. Метод обратной задачи рассеяния
и метод усредненного лагранжиана обсуждали Скотт, Чью и Рейбл
[ 900] в связи с распространением флуксонов в джозефсоновских
контактах. Упомянем также точное решение для длинного джозеф-
соновского контакта, Полученное Костабиле и др. 1 [242], многосоли-
тонную теорию возмущений Маклафлина и Скотта [713], а также
численные решения (для контактов с потерями и искажениями), получен-
ные Накаджимой и др. [741 ], Христиансеном и Олсеном [196]
и Эрне и Парментье [ 321 ]. Мы не будем здесь давать исчерпываю-
щего анализа динамики солитонов в джозефсоновских контактах и
обсудим лишь некоторые результаты, Полученные с помощью пере-
численных выше мощных математических методов.

10.2. Нелинейные стоячие волны в прямоугольных контактах

Мы рассмотрели решения уравнения синус-Гордона, Отвечающие
бегущим волнам с неизменным профилем, распространяющимся с

Кроме работ, цитируемых в настоящей главе, мы также отсылаем
читателя к обзору Захарова и Манакова [ 1080] по теории солитонов.
постоянной скоростью. Трансляционная инвариантность таких реше-
ний (ф = ф(% -ui)) требует для их существования бесконечной длины
контакта. Изучение этого типа решений, несомненно, помогает глуб*
же понять физическую природу распространения нелинейных волн в
джозефсоновских контактах. Более реалистично, (однако, Исследовать
решения, Принимающие во внимание конечную длину контактов и
удовлетворяющие граничным условиям.

Если пренебречь потерями, Для волн в одномерном контакте
длиной L необходимо решить уравнение (10.1.2)

с граничными условиями

Фх(0,/)=Фх(М)=0 , (10.2.1)

которые описывают цепь, открытую на концах, поскольку фхпропо[>
циональна току. Мы будем следовать здесь рассмотрению, Прове*'
денному Костабиле и др. [242]. Как было показано Лэмбом [620],
уравнение (10.1.2) допускает решения вида

<>(x,r)=4tan-1[/(x)g(r)] ,

где в общем случае /*(%) и g(i) - эллиптические функции Якоби, оп-
ределяемые уравнениями

{n2=af4 + (\~b)f2-c ,

(g')2=^4+^2-a

и произвольными константами а, Ъ и с. Качественно решения та-
кого вида были детально описаны Фултоном [364].

В рамках намеченного выше подхода аналитическое решение,
отвечающее плазменным колебаниям, дается выражением

</>=41ап_1[Лсп(Дх|&уг)сп(Ш|А^)] ;

здесь

к 2 = л2р2(1+л2)+1] к2 = л2[я2(1+л2)-1]

f Д2(1+Л2)2 ’ г О2(1+Л2)2

где А, р и Q связаны нелинейным дисперсионным соотношением

1 —А2

(10.2.2)

1+Л2

Пространственная периодичность, обусловленная граничным услови*
ем (10.2.1), Приводит к соотношению

где К(Ау) - полный эллиптический интеграл первого рода; п = 1,
2, ... u число узлов стоячей волны. Временная периодичность описы-
вается нормированной частотой
•

В случае п = 0, Дто на языке механической модели соответствует
всем маятникам, колеблющимся в фазе, решением является функция

<£ = 4tan_1[ylsn(fiz| к)] ,

где А: = Л2иЙ = (14-Л2)“1. При малых отклонениях <р от нуля, т.е.
при А 0, Дисперсионное соотношение (10.2.2), как мы видим, сводит*
ся (в ненормированных единицах) к соотношению

полученному в разд. 1.7 и схематически представленному на
рис. 1.12.

Другое аналитическое решение уравнения (10.1.2) отвечает свя-
занному колебанию вихрь - аптивихрь [364]. Это - так называемое
бризерное колебание, соответствующее либо флуксон-^нтифлуксонной
паре в центре контакта, либо флуксону, связанному с антифлуксоном
на концах контакта. Такие бризерные колебания описываются выра-
жением

</> = 4tan_1{Jdn[j8(x-x0)|/c/]sn(flr|Zcg)} ,
где

,2 [1-/?2(1+Я2)/Л2] , Л2[1-Й2(1+Я2)]

£7-1- ------------------ ; =—-----------------

Д2(1+Л2)2 Й2(1+Я2)2

нелинейное дисперсионное уравнение в этом случае принимает вид
и условие периодичности приводит к соотношению

21 - 436
Р и с, 10.а. <а - бризерное колебание;
б — флуксонное колебание.

с двумя возможными значениями для %0:

/3xQ =K(kj)9h четное для бризеров в центре контакта,

х =0 для Флуксона, связанногос виртуальным

0 антифлуксоном на концах контакта.

Стоит отметить, Uto бризерные колебания возможны лишь при пре-
вышении амплитудой А некоторого минимального значения, в то
время как плазменные колебания возможны с любыми амплитудами
[242].

Еще один тип колебаний соответствует одиночному кинку или
флуксону, распространяющемуся вдоль контакта. При отражении на
конце контакта флуксон превращается в антифлуксон. Решение в
этом случае имеет вид

Ф=41ап-1[Л dn(/?x|fcz)tn(fir|fcg)] , (10.2.3)

(Д2/Л2)( Л2 — 1) — 1 1 _ Л2[й(А2 - 1)- 1] '

02(л2-1) ;

где

kf =

с р = Q/4 и pn = (n/L)K(kj). Флуксонные колебания представляют
особый интерес, Поскольку ср монотонно увеличивается со временем
при любом значении х. Ток смещения может, *гаким образом, Слу-
жить источником энергии для колебаний, Поддерживая их при нали-
чии потерь. Решение (10.2.3) описывает также симметричный слу-
чай мультифлуксонного распространения. Три типа рассмотренных
аналитических решений - плазменные, бризерные и флуксонные коле
бания - изображены соответственно на рис. 10.4, г и 10.Э, й, б.

10.3. .Влияние диссипации и тока смещения

Для описания динамики потока в джозефсоновских структурах
мы использовали выше уравнение синус-Гордона. Однако, имея де-
ло с реальными контактами, мы должны учитывать потери, наличие
тока смещения и нерегулярностей контакта, которые влияют на
движение флуксонов. Мы обсудим в этом разделе установившееся
распространение солитонов в рамках модели, учитывающей ток сме-
щения и диссипацию. В разд. 10.4 рассматривается важное физичес-
кое следствие этих эффектов (а именно наличие ступенек при нуле-
вом поле), а в разд. 10.5 и 10.6 обсуждаются общий метод теории
возмущений вместе с влиянием различных структурных искажений.

Эффект диссипации описывался в уравнении (10.1.1) слагаемым
С первой производной, отвечающим наличию линейного омического
сопротивления. Аналитических решений такого уравнения до сих пор
найдено не было. С другой стороны, как показали Костабиле и Пар
ментье [ 241 ], если диссипация описывается не линейным, а квадра-
тичным членом, оказывается возможным найти стационарные ана-
литические решения. Рассматриваемое уравнение имело вид

y = sin</> ,

(10.3.1)

где член Г| | учитывает потери, а у представляет собой норми-
рованный ток смещения, Сообщающий необходимую энергию для под
держания осцилляций. Решение, Списывающее установившееся дви-
жение флуксонной решетки, есть (см. [241 ] )

где сп - эллиптическая функция Якоби с параметром к, даваемым
соотношением

\ Y + Yo /

---------------

[(1 -п2)2 + Г21/4]

есть произвольная константа интегрирования. В этом решении
arcsin у0 я/2, однако для второго члена не обязательно бе
рется главное значение. В пределе к -» 0 данное решение описывас
распространение одиночного флуксона в бесконечной линии.

Эффекты диссипации и тока смешения в общем виде можно
учесть s рассмотрев уравнение

Y=rsin<{) у (10-3

где слагаемые и описывают протекание нормального 9
ка электронов соответственно вдоль и поперек контакта (продолт
Рис. 10.6. a — полученные с помощью аналогового компьютера результа-
ты для решения с одним импульсом (и = 1) при разных температурах. Зави-
симость нормированного тока смещения у от нормированной скорости
и, - и\/ LC\ б — геометрическое место то чек, отвечающих различным импуль-
сным решениям (п = 1, 2,...* 10) при 4,2 К. (Согласно Джонсону [538].)’
ные и поперечные потери). Величина у, как и раньше, - нормирован-
ный ток смещения. Ограничиваясь решениями типа бегущих волн
Ф = ф(я - ut), можно свести это уравнение к обычному нелинейному
уравнению третьего порядка, которое интегрируется численно. Ре-
шения данного уравнения были получены Джонсоном [538] с помо-
щью компьютера смешанного типа (аналого-цифрового). Результа-
ты указывают на существование волновых решений (10.3.2), отвечаю-
щих распространению пачек квантов потока вдоль контакта. В свою
очередь это приводит к появлению импульсов напряжения. Анализ
машинных расчетов позволил обнаружить большое число солитонных
решений, каждое из которых содержало то или иное целое число
квантов потока в зависимости от начальных условий. Решение с од-
ним импульсом (т.е. отвечающее одному флуксону) может иметь
любую скорость распространения в интервале от 0 до с = (LC)46
(L и С - индуктивность и емкость линии в расчете на единицу дли-
ны). Скорость зависит от величины тока смещения (рис.10.6, а) и
потерь, Причем потери вызывают уменьшение скорости распростра-
нения. Импульсы высших порядков (т.е. содержащие много флуксо-
нов) распространяются лишь со скоростями, близкими к (LC)"l/2. Для
импульсов с более чем одним квантом потоков случае с током сме-
щения скорость может принимать два значения. Геометрическое место то-
чек, отвечающих различным импульсным решениям в плоскости скорость -
ток смещения для контакта свинец - свинец при температуре 4Д К, представ-
лено на рис. 10.6, 'б* Рис. ЮЛ иллюстрирует изменение формы им-
пульса при изменении скорости и тока смешения вдоль траектории решения.
Заметим, что на обоих рисунках (вообще говоря, это справедливо
для любых п) флуксон начинает "расщепляться” с хвостового конца.
Существуют ли такие импульсы в реальных контактах, зависит от
их стабильности. Вопрос стабильности решений первого порядка в
бездиссипативном случае (уравнение синус-Гордона) обсуждался
Скоттом [ 895]. В случае п ± 1 решение вопроса о стабильности ре- '
шений требует дальнейших исследований.

Исследование сложной механической модели уравнения (10.3.2)
и детальное численное изучение его были предметом исследования
более поздних работ [ 148, 742, 743, 1058]. Результаты указывают
на наличие тенденции к притяжению между квантами потока. Это поз-
воляет предположить, что состояния, отвечающие ветви более высо-
ких скоростей на рис. 10.7 (сплошная линия), Являются стабильными,
В то время как ветвь малых скоростей (штриховая линия) нестабильна.
3»10 мм

0,25

А Б В

U 0900 U 0,832 и 0,905

0,295

и 0,970 и 0,890 и 0,910

Y 0,240 Y 0,155 Y 0,188

Рис. 10.7. Изменение формы п ~ 3 (а) и п = 5 (б) импульсов при изменении скорости и тока смещения вдоль
траектории решения. (Согласно Джонсону [538].)
10.4 * Ступеньки нулевого поля

Как уже отмечалось в конце предыдущей главы, токовые особен-
ности на ВАХ наблюдались и в отсутствие магнитного поля. Особен-
ности этого типа появляются в контактах с размерами, превосходящи-
ми Лу . Впервые их наблюдали Чен? Финнеган и Лангенберг [ 192 ], а так*
же Чен и Лангенберг [191 ]. На рис* KL8, а представлены эксперимент

Рис. 10.8. Ступеньки нулевого поля на ВАХ джозефсоновских контактов.

а — экспериментальные V зависимости для структуры Nb -Nb%Oy — РЬ
размером L/Ay ~ 13 (с любезного разрешения Р.Вальо); б — ВАХ, полученные
с помощью (10.4.1) (Согласно Парментье [ 793 J )•
тальные результаты, полученные на контактах Nb — Nb%0^ —РЬ в Ин-
ституте физики Университета Салерно* В гл* 9 мы уже указывали,
что этот эффект можно рассматривать как осцилляцию флуксона
внутри контакта [ 370 L

При расчете этих особенностей Костабиле и др. [242] исполь-
зовали уравнение (10.3.1). Они предполагали Г и у достаточно ма-
лыми, чтобы в качестве <р (%, t) еще можно было использовать вы-
ражение (10.2.3), Которое справедливо, строго говоря, лишь в отсут-

ствие тока смещения и диссипации.

Условие равенства подводимой мощности у<р^ и мощности потерь

г 1<рДфг дает

у=2Л2ЯТ

6£(^) l+(frg)2

K(kf) А2

где К(х) и Е(х) - полные эллиптические интегралы соответственно
первого и второго рода. Напряжение дается соотношением

<10-4Л)

Черточка сверху означает усреднение как по времени, так и по коор-
динате. Получающиеся при этом ВАХ, т.е. зависимости у от V, при-
ведены на рис. 10.8, б [ 793 ]. Обратим внимание на следующее: если
раньше п использовалось для указания номера соответствующей ступеньки
Фиске, то здесь п представляет собой число осциллирующих флук-
сонов. Кривые у - и, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, & основ-
ном совпадают с кривыми V -I для ступенек нулевого поля.

Чен и Лангенберг [ 191 ] измерили также мощность излучения в
рентгеновском диапазоне при различных дзаданных токах смещения.
При таких условиях эксперимента наблюдались тонкая структура на
ВАХ и существенные изменения уровня излучения. С другой сторо- '
ны, теоретически рассеиваемая мощность при чисто флуксонных
осцилляциях должна зависеть от тока смещения слабым монотонным
образом. Наконец, упомянем интересное обсуждение Мкртчяном и
Шмидтом [728] вопроса об излучении одиночного флуксона, Движуще-
гося в неоднородном контакте.

10.5 . Анализ динамики флуксонов методом
теории возмущений

Обсуждавшиеся в предыдущем разделе осцилляции флуксона мож-
но рассматривать как нелинейную стоячую волну, Образующуюся из-
за взаимодействия двух групп равноудаленных флуксонов, распро-
страняющихся в противоположные стороны. Представляет также
интерес рассмотреть движение одиночного флуксона в бесконечно длин-
ной джозефсоновской линии передачи. Оно описывается уравнением
синус-Гордона с учетом структурных возмущений за счет подвода
энергии в систему, диссипации, микрозакороток и т.д. Такие линии
передач, как будет обсуждаться подробнее в гл. 14, можно исполь-
зовать для передачи информации [ 373, 650, 651 ], ёе записи [446]
и обработки [741L

10.5.1. Динамика одиночного флуксона. (Влияние структурных
возмущений на динамику одиночных флуксонов было довольно подроб-
но рассмотрено Фогелем и др. [353, 354]. Метод теории возмуще-
ний, который мы опишем здесь, был развит в работе Маклафлина и
Скотта [712, 713 ] и допускает непосредственное обобщение на мно-
госолитонный случай. Зтот метод включает два этапа. На первом
этапе рассматривают изменения скорости и фазы флуксона, Цто поз-
воляет избежать расходимостей в первом порядке теории возмущений
(т.е. линейного роста со временем). На этом этапе можно непосред-
ственно рассчитать ускорение или замедление флуксона под дей-
ствием структурных искажений. На втором этапе в первом порядке
теории возмущений рассчитывается излучение, вызываемое таким
ускорением или замедлением.

Для использования теории возмущений линию передачи удобно
описывать с помощью системы дифференциальных уравнений перво-
го порядка по времени. Запишем ее в матричной форме:

Э^+sin ф|\фД \£f/

Здесь е/ представляет собой структурное возмущение. Если е мало,
решение можно разложить в степенной ряд:

/ Ф\ { Фо V [ Ф1 \ .

1,1 = 1 + • • • •

\Фг/ \Фол/ \Ф1,Н

Тогда <р0 должна удовлетворять невозмущенному уравнению синус-
Гордона

Фохх~Фо,и~^пфо=О , (10.5.1)

а — линейному уравнению

I "1V - ( Н

\+cos<J>0(x, t) Э, \//
или в более компактной форме

LW=F .

С помощью гриновской функции G(x, t \х'у t') мы можем записать
решение этого уравнения в виде

IV=1 |= f flG(x,t\x',t')F(x',t')dx'dt' .

\ Ф1, t / — оо A)

Строки функции Грина - матрицы G - как функции %* и Г должны
принадлежать собственному пространству оператора1)»2) ,

+___ / дх,х, — со8ф0(х', t') \

L =~1 1 9,. I ’

т.ёе L+ GT = 5(% - %*) 5 (t -t '), Где Счесть транспонированная мат-
рица G. В_случае, если источник 9 I ') не ортогонален к ft(L+),
решение W будет иметь секулярные компоненты, линейно растущие
со временем. Данное обстоятельство является нежелательным, по-
скольку оно обесценивает наше разложение в ряд теории возмуще-
ний при временах порядка 1/е. Для исключения этих секулярных
эффектов поступим следующим образом [568, 712 ]♦

Предположим, Что описывает одиночный флуксон:

где

ф0 = 4 tan

(10.5.2)

В присутствии структурных возмущений как скорость флуксона и,
так и его фаза xQ будут медленно меняющимися (по параметру е)
функциями времени. В результате в первом порядке по возмущению
в источнике появляются дополнительные члены.

Собственному пространству, отвечающему нулевому собственному
значению ядра оператора L+. - Прим, перев. •

$ Дифференцирование уравнения синус-Гордона для ф0(%, г, %, и) сра-
зу дает K(L) - собственное пространство оператора L, так как LdyQ/du =
= Ldy^/dx - 0. Из определения операторов L и следует, что собственное
пространство оператора ZA получается умножением на матрицу /О -1 \
Прим. ред. (j о/
i эф0 ._22$о.

_ _ е ди U е дх0Х°

F^~ 1 Э2ф0 . 1 Э2ф0 .

е dudt U е dxodt Х° |

Наложение условия ортогональности, упоминавшегося выше,

t±9l(L + )

приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для
медленно меняющихся и и xQ„ Предположим, что структурное возму-
щение имеет вид

е/= ~аф, + Рфхх,-у-ц8(х)$1пф ,

где члены, пропорциональные аир, Описывают диссипацию, у - ток
смещения и ц - микрозакоротку, локализованную при х = 0; ‘тогда
уравнения для и и X будут иметь вид

й = 47Гу(1 — «2)3/2 — аи(\ — и2) — зДм +

+ —M2)sech2|-----—---| tanhl--------— | (10.5.3a)

\(1-п2)1/2/ \ (1 -и2)1/2 /

Х—и — ^/it/Xsech2j----- -- -- jtanhl-r (10.5.36)

\ (1 — i/2)l/2 / \ (1 — m2)i/2 /

Эти уравнения получены следующим образом. Обращаемся вначале
к уравнению (10.5.1), <р0 дается выражением (10.5.2). Считая %0 и и
параметрами, можно сразу записать базисные векторы

Уравнения (10.5.3) получаются непосредственно наложением условий
ортогональности.

Рассмотрим решения уравнений (10.5.3) с помощью фазового
анализа на плоскости (и, х). На рис. 10.9 представлена ситуация,
Рис. 10,9. Траектории в плоскости (и, %) для случая флуксона, прибли-
жающегося к микрозакоротке с величиной ц = 0,6, а - 0,033 и Р = 0,
при различных значениях уо Пиннинг происходит при и = 0, и X представ-
ляет собой решение уравнения (10.5.4). (Согласно Маклафлину и Скотту
[712].)

соответствующая значениям параметров а = 0,033, р = 0 и ц = 0,5
[712]. Различные кривые отвечают различным значениям тока сме-
щения у. Мы видим, Что в случае малых величин у каждая траекто-
рия охватывает некоторую данную точку (точку пиннинга). Из
(10.5.3, а) следует, Что для и= й= 0.

+ sech2 Xtanh Х=0 . (10.5.4)

Координаты стационарной точки пиннинга на фазовой плоскости бу-
дут, таким образом, и= 0 и X = XQ9 где Хо — решение последнего
уравнения. Физически эта ситуация отвечает пиннингу потока на
микрозакоротке. Для малых а (меньшая диссипация) возможна боль-
шая величина амплитуды осцилляций около точки пиннинга. В нуле-
вом порядке расчет показывает появление ускорения или замедле-
ния (адиабатического) флуксона, вызываемого структурным возмуще-
нием е/\ Маклафлин и Скотт [713] показали, Что излучение флук-
сонов и плазменные моды контакта можно вычислить, если извест-
на радиационная часть функции Грина G/Дх, t |л/, t Г)Х). Действи-

Кроме собственного пространства Jl^4-), в функции Грина G есть со-
ставляющая, соответствующая колебаниям всех мод в контакте. Эта составляющая 6^ и
описывает излучение флуксонов, в то время как функция G -Gr описывает
собственное движение флуксона. ‘-Прим. ред.
тэльно,

Для ф0 в виде одиночного флуксона [как в (10*9*2) ]

1 f + oogn g12 exp[-j[£(X)(x-x) + w(X)(/-/)pX

G »( x, t\x , t') = -—: / a a --11--------------------------

1 4lTjJ^[g2\ ^22 J X(f-X2)

gii =(f2 +x2 + 2fXtanhx)[>(£2 + X2 -

— 2fXtanhx') —2jfXw(f )sech2x'] ,
gI2 =(f2 +X2 + 2fXtanhx)(f2 +X2 — 2fXtanhx') ,
g21 = [~2 +X2 + 2fXtanhx) + 2jfXw(f )sech2x] x

X jw(f2 +X2 — 2fXtanhx')~2jfXw(f )sech2x'j,
g22 =[~Jw(f2 + ^2 + 2fXtanhx) + 2jfXw(f )sech2 x] X

X (f2+X2 —2fXtanhx') ,

В этих формулах cog) = (2£ + l)/8£ и и = (16£2 + 1)/(16£2 - 1), a
также z 4

x'-X(t') t

\/l—M2(/')

x' определяется тем же самым выражением, если заменить штрихован-
ные переменные на нештрихованные

Представленные формулы позволяют рассчитать излучение флуксона
в общем случае. Дальнейший расчет возможен после конкретизации структур-
ных возмущений в системе. В [5*] рассчитано излучение флуксона, движуще-
гося по кольцевому джозефсоновскому контакту с микрозакоротками, распо-
ложенными на расстоянии а друг от друга. В нулевом приближении фпуксон
движется со скоростью, которая периодическим образом зависит от времени,
частота колебаний соо = 2тги^/а,где ит — средняя скорость флуксона. В пер-
вом порядке по возмущению флуксон излучает на частотах, сдвинутых отно-
сительно coQ , благодаря эффекту Доплера. Прим. ред.
10.5.2. Фпуксон-антифпуксонная аннигипяция. Другой
важный аспект динамики потока - взаимодействие между флуксоном
и антифлуксоном. Оно может проявляться как в неразрушающих столк-
новениях, *гак и в флуксон-антифлуксонной аннигиляции* Эти явления,
кроме фундаментального интереса, Связанного с лучшим пониманием
физики контактов, Открывают возможность создания новых логичес-
ких устройств [741 ] (см* гл. 14)*

Предположим, что е/ = -aq^ -у и что флуксон и антифлуксон
вначале движутся со скоростью

«ос = ,

у 1 4-(4а/тгу)2

где = lim u(t) - скорость, при которой потери мощности из-За
t —> оо

диссипации как раз равны мощности, подводимой током смещения к
солитону. В нулевом порядке столкновение описывается выражением

</> = 4tan

sinh--

t/(z)cosh х — x(t) Д-и2(О

ГДе X=x0(t)+ ('u(t')dt'.

•'о

Маклафлин и Скотт [ 712 ] с помощью расчетов по теории возмущений,
аналогичных приведенным в предыдущем разделе, показали что
хг = 0 (сохраняется симметрия), %0 = 0(a) и

ti = F(y,a, /г, Г) , (10.5.5)

7гу (1 — w2)3/2coshT au3( 1 — и2)cos2 Т
4 ysintfT+w2 sinh2 Т + и2

I ln|(l/w)[(sinh2 Т+ и2У/2 — sinh 7"] |

«2 sinh г/sinh2 Т + и2

с Т = Х[ 1 - u2(t) ]"1/2г Поскольку в нулевом порядке по а Т = и/ у/Х -и^
последнее уравнение можно непосредственно проинтегрировать по Г*
Рис. 10.10. Значения тока смещения у и диссипации а в случае разрушаю-
щих и неразрушающих флуксон-антифпуксонных столкновений,(Согласно Мак-
лафлину и Скотту [712],)

Неразрушающее столкновение между флуксоном и антифлуксоном
приводит к некоторой задержке повремени. В самом деле, в процес-
се столкновения скорость уменьшается до некоторой минимальной
величины, после чего снова увеличивается, поскольку флуксон и
антифлуксон выходят из столкновения с начальными скоростями и^.
В случае разрушающего столкновения скорость падает до нуля, и
флуксон и антифлуксон соединяются в бризер (связанное состояние).
Бризер в свою очередь распадается, излучая фотоны с энергией Л со у .

Численное интегрирование (10.5.1) позволяет непосредственно
получить критическую кривую на плоскости а —у, Отделяющую не-
разрушающие столкновения флуксон - антифлуксон от разрушающих.
Она приведена на рис. 10.10 вместе с данными Накаджимы и др.
[744 ], Полученными интегрированием полного уравнения в частных
производных.

10.6. Влияние движения потока на ВАХ
для постоянного тока

На рис. 10.11 приведена ВАХ широкого (0,6 х 1,7 мм) полосково-
го джозефсоновского контакта типа ’’крест”, обнаруживающая необыч-
ную ветвь, которая начинается из точки максимума тока при нулевом
напряжении. Это так называемый эффект смещения линейного наклона
[82, 84, 898 ], который может быть связан с явлением движения пото-
Рис. 10.11. Типичная ВАХ РЬ -РЬ%Оу - РЬ джозефсоновского контак-
демонстрирующая эффект смещения линейного наклона. Горизонтальная
шкала: 1 мВ/дел.; вертикальная: 500 мА/дел. (Согласно Бароне [82].)|

Течение —I Аннигиляция | Течение

(в)

Рис. 10.12, Полученная с помощью механической аналогии модель облас
тей течения потока и аннигиляции флуксонов. (С любезного разрешения
ЭС.Скотта.)!
ка. При Т< Тс этот наклон почти не зависит от температуры, хотя
при более высоких температурах происходит заметное сглаживание
[ 82 L Эффект смещения линейного наклона наблюдался в контактах
из различных материалов (как в симметричных, так и в асимметричных
контактах) с геометрией как линейного, *гак и скрещенного типа. Впо
следствии этот эффект исследовался в ряде интересных статей (см.,
например, [509, 1071 - 1074 ])а

Скотт и Джонсон [ 898 ] предложили объяснение, Основанное на
взаимодействии движущихся флуксонов с продольным током (т.е. то-
ком, текущим в направлении движения флуксонов), а не с попереч-
ным током, как в случае осцилляции флуксонов, рассмотренном в
разд. 10.2. Понять схему явления наиболее просто, если рассмотреть
Систему с одномерной геометрией (рис. 10.3). Ток, входящий с одно-
го конца, действует на флуксоны с силой, направленной к центру, а
ток, входящий с другого конца, заставляет двигаться к центру анти-
флуксоны.

Качественно этот эффект можно легко наблюдать на механичес-
кой модели длинного джозефсоновского контакта, показанной на
рис. 10Л2, а. При очень медленном вращении рукоятки (что соответ-
ствует малому напряжению) одиночные флуксоны и антифлуксоны
аннигилируют друг с другом вблизи центра контакта, образуя бризе-
рьь Если вращать рукоятку быстрее, вблизи концов контакта появ-
ляются четкие области течения потока. Недавно эту ситуацию доволь-
но детально проанализировал Скотт [897]. В области течения потока
продольный ток i связан с поперечным напряжением v с помощью им-
педанса Z резонатора, образуемого контактом. Поскольку ток течет
на обоих концах, ВАХ имеет вид

i z ] 2 2^ ,

где - максимальная величина тока, достижимая при нулевом напря-
жении (т.е. когда нет течения потока); Множитель 2 учитывает ток,
текущий на обоих концах длинного контакта.

Моделирование процесса, представленное на рис. 10.12, указыва-
ет на существование вблизи центра контакта области аннигиляции.
Распределение фазы в этой области практически хаотическое,посколь-
ку в результате постоянной взаимной аннигиляции флуксонов (при-
ходящих слева) и антифлуксонов (приходящих справа) непрерывно об-
разуются бризеры (т.е. связанные флуксон-антифлуксонные пары).
Мы предполагаем, что в общем случае течение потока описыва-
ется диссипативным уравнением синус-Гордона фхх -фи “аФг =
= sin ф + у. В рассмотрении Скотта и Джонсона [898] и Бароне [82]
предполагалось, Цто а « 1, Т.ё. диссипативные эффекты, хотя они
играют центральную роль в движении потока, во внимание не прини-
мались. В противоположном предельном случае а » 1 уравнение

Фхх-<*Ф'=$тф+у

хорошо описывает течение потока в контактах с металлическим барь-
ером. В самом деле, в этом случае слагаемое с первой производной по
времени, которое описывает диссипативные потери, Связанные с нор-
мальным током электронов через контакт, существенно превосходит
слагаемое со второй временной производной, учитывающее электри-
ческую энергию, запасенную в контакте. Эта ситуация была подроб-
но рассмотрена в статье Вальдрама, ПиПпарда и Кларке [ 1028].

Наконец, заметим, что изучение светочувствительных контактов
(таких, как рассмотренные в гл. 6) может помочь лучше понять дина-
мику потока в джозефсоновских контактахе Действительно, возмож-
ность регулировать светом высоту контактного барьера позволяет
исследовать динамические структуры, параметры которых можно ме-
нять, и провести более контролируемое сравнение теории с экспери-
ментом?

10.7. Двумерные контакты

В заключение необходимо сделать несколько замечаний о дина-
мике потока в случае джозефсоновской ’’поверхности”, описываемой
двумерным уравнением синус-Гордона

Э2ф Э2ф Э2ф .

Это уравнение, так же как и (10. L2), инвариантно относительно пре-
образований Лоренца

X- , X — Ut ; у-+у =у /1 — и2
t- +1’= Г™. ф->ф'=ф . (10.7.2) /1 — и2

Интересно определить, существуют ли решения солитонного типа,
подобные обсуждавшимся выше, в случае уравнения (10с7Л). Для
этой цели можно ограничиться рассмотрением стационарных реше-
ний: в самом деле, равномерное движение всегда можно учесть с по-
мощью преобразований (10 Л *2)* Кроме того, рассмотрим решения,
обладающие круговой симметрией (тее. линии тока, замкнутые на се-
бя) * При этом (ЮЛЛ) сводится к

^ + l^=sin<|> . (10.7.3а)

dr2 г dr

Легко убедиться, что при больших значениях г решения этого урав-
нения имеют асимптотику

ф— — е~г
{г

Используя замену переменных р -> 1/г, запишем (ЮЛЛ) в виде

1_^ф_з1пф (10.7.36)

dp2 Р dp р4

с соответствующим асимптотическим решением (при р -> 0)

ф~А^“1/р • (10.7.4а)

С помощью численных расчетов мы можем найти <р= <р(р) для разных
значений константы К* Эти кривые для шести значений К приведены
на рис* ЮЛ Зе Величины р изменяются в пределах от 0,1 до 10* При
больших значениях К правая часть в уравнении (ЮЛ*3 6) становится
исчезающе малой, и уравнение сводится к

^ + 1^-0

dp2 Р dp

с решением вида

ф-^alogpH- /3 . (10.7.46)

Полученные численными методами кривые заключены между двумя
асимптотическими решениями* Как отмечается в работе, цитирован-
ной в подписи к рис* 10ЛЗ, решения (10*7*3) можно найти лишь в том
случае, когда граничные условия задаются током, подводимым через
закоротку в начале координат1)«

$ В точке г - о полученное решение сингулярно, поэтому ему можно
придать физический смысл, если ввести закоротку в точке г = 0. Такое гра-
ничное условие можно ввести для стационарного решения, но для переменно-
го во времени решения солитонного типа эта закоротка должна двигаться,
и, по сути дела, такое решение уже не соответствует свободному движению
"частицы". — Прим. ред>
Рис, 10.13. Решения уравнения (10.7.3 6) для ряда значений К в (10.7.4).
(Согласно Бароне и др. [ 90].)

Решения уравнения синус-Гордона в двух измерениях изучались
разными авторами* Упомянем из них Бен-Абрагама [ 107], Загродзин-
ского [ 1075, 1076], Лейбрандта [641 ], Грелла и Маринаро [430],
Грелла и Парментье [ 431 ]*
Глава 11

Высокочастотные свойства
и применения эффекта
Джозефсона

11.1 > Простая модель заданного напряжения

В первой главе мы кратко рассмотрели, как внешнее СВЧ излучение
влияет на джозефсоновский контакт. Мы видели, что при напряжениях,
связанных с частотой внешнего облучения сог соотношением

= , (11.1.1)

на ВАХ появляются ступеньки тока. В случае туннельных контактов
легко понять, каким образом такого рода вклад в постоянный ток
возникает [ 541 - 543]. Действительно, когда постоянное напряжение
на контакте равно Vn, существует разность энергий куперовских
пар по одну и другую стороны барьера, равная %eVn. При наличии
внешнего облучения возможен процесс туннелирования куперовских
пар, идущий с поглощением или излучением-фотонов с частотой сог.
Вероятность такого процесса оказывается максимальной при выполне-
нии соотношения (11.1.1).

11.1.1. Ступеньки на ВАХ, вызванные СВЧ облучением. Иссле-
дуем теперь более подробно вопрос о том, какова амплитуда ступенек
тока и каким образом можно вычислить ее зависимость от мощности
внешнего облучения. Исходным будет предположение о том, что внеш-
нее излучение должно приводить к появлению на контакте переменно-
го электрического поля той же частоты (модель заданного напряже-
ния). Мы будем также предполагать, что электрическое поле и плот-
ность тока постоянны во всем образце. Рассмотрим контакт малых
размеров (L « ) и будем считать, что внешнее магнитное поле

равно нулю. При таком предположении эффективное напряжение, при-
ложенное к контакту, есть

ИД) ” И + VCOS4Z ? (11.1.2)

где VQ - постоянное напряжение. Из соотношений Джозефсона (1.4.4)
и (1.4.5) мы получаем выражение для разности фаз
<Af d

<p(z) = <*V + — —smc*V + <P0

7 CO Vq

где мы ввели обозначение

-^17
hV°

Для тока имеем

Это выражение можно записать в виде

[sin( + Фо )cos( я sin ) 4- cos( <*y t + <p0 )sin( a sin vrt)] ,

где

_ v _ 2ev

vr Vq hur '

Воспользуемся разложением Фурье - Бесселя для cos (a sinco0 и

sin (a sin &t ). Справедливы следующие выражения [ 2]:

cos( я sin <*>/) = J0(a) + 2 2 (” 1 J2^( )cos(2 Zc ,

k= i

sin(czcoscor) = 2 2 (~ 1/^ + 1(а)СО8[(2^+i (11.1.3
k = O

где J^(x) - функции Бесселя первого рода целого порядка. Теперь
выражение Для тока принимает вид

Г ОС

J(z)=jJJ0(a)sin(<*)/r + (p0)4-2 2 J2к(а)cos(2&vrt)sin(ay Г + ф0) +

I k=\

-T2 2 ^2А:+l(a)Sin[(2£+ Ос^СО^СдуГ + фо) f

k = 0 J

Используя тригонометрические соотношения, имеем

J(z)=/J J0(a)sin(<*yz + ?0)+ 2 J/(«)[sin[(/<*)r+w/)r + <p0] +

I i= i

+ (- l)/sin[(/cor-io/)r + <p0]]| . (11.1.4)
Поэтому при выполнении соотношений

на контакте имеется компонента постоянного тока, величина которой
есть

Jn=J\Jn ТГ sin<Po- (11.1.5)

\ к0 '

Этот ток складывается с квазичастичным током либо вычитается из

него в зависимости от величины <р0> которая является разностью фаз
между джозефсоновским излучением (J1 (sin caft)) и внешним СВЧ
сигналом. Значение <р определяется током, который пропускается
через контакт. Положительная величина ступеньки тока соответству-
ет туннелированию пар с испусканием фотонов, а отрицательная ве-
личина - процессу туннелирования с поглощением фотонов [ 6271. Мак-
симальная амплитуда n-й ступеньки дается выражением

14(«)1=Л

(11.1.6)

которое является функцией амплитуды приложенного СВЧ напряжения
v и, следовательно, функцией квадратного корня из значения мощнос-
ти СВЧ ноля.

Первые экспериментальные данные, посвященные изучению зави-
симости величины ступенек тока, вызванных СВЧ облучением, от
мощности такого облучения, были получены на контактах А1 -А1О*-
Sn Шапиро с сотр. [ 909] в 1964 г. Однако в этом случае поведение
амплитуда ступеньки не вполне следует функции Бесселя (11.1.6).
Причину такого расхождения можно понять,вспомнив, что выражение
(11.1.6) было получено в предположении об однородности переменно-
го напряжения, приложенного вдоль контакта. Как мы видели (гл. 9),
скорость электромагнитных волн в туннельной структуре меньше,
чем в вакууме. В связи с этим избежать пространственных измене-
ний поля удается лишь при очень малых размерах контакта [ 456].
Другое предположение заключалось в возможности пренебречь частот-
ной зависимостью джозефсоновского тока /гКак мы увидим, это
предположение для туннельных контактов оказывается выполненным
при напряжениях, много меньших энергетической щели сверхпровод-
ника.
Рис ,11 J ,а — кривые "напряжение — ток" для точечного джозефсоновского
контакта Nb -Nb 9 подвергающегося воздействию сигнала на частоте

72 ГГц при Т= 4.2 К и при различных уровнях мощности;

На рис. 11.1, а, б представлены данные [ 432], полученные на то-
чечном контакте Nb -Nb, которые удовлетворительно согласуются
с теорией. Интересно отметить, что связь с волноводом гораздо
проше осуществляется для структур типа точечных контактов.

11'1 '2. Влияние флуктуаций на ступеньки напряжения' Стефен
[ 944, 946, 947] исследовал собственные флуктуации при нестационар-
ном эффекте Джозефсона как в ’’автономном” контакте [ 944, 946],
так и в случае осциллятора в вынужденном режиме [ 947]. В послед-
нем случае контакт подвергался воздействию монохроматического
СВЧ облучения. Сигнал был достаточно силен для того, чтобы джозеф-
соновский осциллятор оказался ’’заперт” по отношению к внешнему
источнику. В этой ситуации флуктуации можно рассматривать так
же, как в обсуждавшемся ранее случае ступеньки при нулевом напря-
жении (гл. 6). Здесь имеет место механическая аналогия рассматри-
ваемого явления с движением броуновской частицы в периодическом
потенциале, максимумы которого соответствуют величине запираю-
щего (внешнего) сигнала. ’’Соскальзывание” из одного минимума
потенциала в другой также будет обусловливать ’’закругление” сту-
пенек (при конечном напряжении). Как и в работе Амбегаокара и
Гальперина [ 15], здесь предполагается, что вязкость велика (можно
пренебречь емкостью). Как уже отмечалось, Ли [ 639] установил
Рис Д1Д, б ~ показано изменение тока при изменении внешнего ВЧ напря-
жения для нескольких ступенек на ВАХ (те же данные, что и на рис. а). Точ-
ки, относящиеся к n-й ступеньке, соответствуют амплитуде функции Бессе»
ля п-го по рядка. Экспери ментальные данные (кружки) совпадают с теорети-
ческими кривыми в двух точках, обозначенных большими кружками. ВЧ напря-
жение на контакте выражено в единицах hv/2e, или 149 мкЦ/дел. (Согласно
Граймсу и Шапиро [ 432].)
правильный критерий для определения предела малой емкости. Бо-
лее того, во внимание был принят также эффект конечности ширины
линии внешнего осциллятора. Подробные результаты экспериментов
(в которых наблюдалось полное размытие ступенек) находятся в хо-
рошем согласии с теорией Стефана; они приведены в работах Козе и
Салливана [ 586], Хенкельса и Вебба [ 4811.

11.2 .Туннельные переходы во внешнем СВЧ излучении

Как следует из микроскопической теории, которая была развита
в гл. 2, ток Джозефсона зависит от частоты. В частности, вблизи
энергетической щели эта зависимость обладает сингулярностью (ри-
делевский пик). Тккое поведение тока сказывается на величине амп-
литуды ступенек и в особенности на их зависимости от мощности
СВЧ облучения.

Ранее было отмечено (гл. 9), что джозефсоновский контакт яв-
ляется структурой типа полости резонатора, причем резонансные
частоты зависят от размера контакта и от свойств диэлектрического
барьера . Длина электромагнитной волны в такой сверхпроводящей
структуре связана с длиной волны Ао в вакууме соотношением [ 958]
х=х°/1^ ’

где t - толщина оксидного слоя, ег - диэлектрическая проницаемость
такого слоя,б/ - введенная ранее эффективная толщина слоя в кон-
такте, в котором присутствует магнитное поле. Типичные значения
величины отношения аА0 оказываются порядка 4 • 10~\ так что
частоте примерно 30 ГГц соответствует длина волны в контакте
А - 0,4 мм. Такие длины волн сравнимы с характерными размерами
контактов, которые обычно используются в экспериментах $.

Обсудим теперь некоторые эффекты, связанные с частотной зави-
симостью джозефсоновской компоненты тока. Учтем также эффекты,
обусловленные пространственными изменениями электромагнитного
поля и плотности тока в контакте. Наше рассмотрение будет ограни-
чено случаем контактов малых размеров. Частотной зависимостью
тока J1 в этом случае будем пренебрегать.

11.2.1. Ридепевский пик. Теория нестационарного эффекта Джо-
зефсона при произвольной временной зависимости внешнего напряже-
ния на контакте была построена в работах Вертхамера [ 1040], Ларки-

$ Новые данные относительно частотной зависимости джозефсоновского
тока см. в работах [4*, 6* ]. — Прим. ред.
на и Овчинникова [ 631]. Эта теория обсуждалась нами в гл. 2. Было
получено общее выражение для тока (2.2.7), справедливое при произ-
вольных изменениях разности потенциалов на контакте. Здесь мы
остановимся на более простой ситуации и предположим, что завися-
щая от времени составляющая напряжения является синусоидальной
функцией времени. Этот частотный случай рассматривался Гамиль-
тоном [453, 4551. Воспользуемся формулой для полного тока (2.2.3),
которая была получена нами при наличии на контакте зависящего от
времени напряжения V(t):

= Im X

^~>0 + I •'-oo

• (11.2.1)

где

л и

а функции S(t) и R'(t) относятся соответственно к квазичастичному
току и току пар. Выражения для этих функций были определены в гл. 2.
Выше уже был исследован случай постоянного напряжения V(t) = VQ=
= const. Предположим теперь, что кроме VQ на контакте имеется пере*'
менная составляющая напряжения v cos cor t. Тогда полное напряже-
ние представляется в виде

V(t)= VQ + ucoswrr .

Выражение для разности фаз Ф(£) определяется с помощью простого
интегрирования:

Ф(/) = ауГ + a sintorr-F0o , . (11.2.2)

где

2е __ _ 2et> _ v

uf~ hv°’ a~hUr~urv0’

Подставляя (11.2.2) в (11.2.1), получаем

I(t)= Im [e~-*a/2)siaa'‘ /"+0O</z'e_’,',[e--/<“//2)'e-z<o/2)sin“,<'_r)5(z/) +
ч^о+ I J-,» L

+ e ~7<ы/г + фо)еЛ"//2)»'е-y(a/2)sinur(r-r')e-ya^'^')l | . (Ц.2.3)
Воспользуемся разложением Фурье следующего вида:
+ 00

ej(a/2)sinwrz _ A ejn“rt , (11.2.4)

п = — 00

Коэффициенты этого разложения выражаются через функции Бессе-
ля целого порядка Jn( х) [ 693]:

. (11.2.5)

Подставляя (11.2.4) и (11.2.5) в (11.2.3) и вводя (как это уже делалось
в гл. 2) фурье-образы величин 5(0 и получаем

Л')=. 2д(()j/(j-ч) +

7)->0 +

—j[(/ + n)wrr + wyZ-i-qp

(11.2.6)

где <р = Ф0 +а.

Введем величины /qp(u), Iqp (оо), / j (со), I j2fa) (2.2.8), выражаю-
щиеся через действительные и мнимые части функций S (со) и К'(^).

Выражение для тока принимает вид

Л0= S J4f)J,(f+

n— — <X) 1= — 00

jsin{[(и+ /)wr+wy]?+<р) j .

+ 14p\ ~/4-)sin(/-n)w,7 4-

+ /J2( ~2 + /«r)cos( [(n + Owr + w/]z + <p) +

(11.2.7)
При <x>r = 0 и v = 0 из (11.2.7) следует формула (2.3.2). В этом пре-
дельном случае, как мы уже видели, не дает вклада в ток.

Выражение для туннельного тока (11.2.7), будучи общим, включа-
ет в себя /^2(так называемый cos <р-вклад), а также содержит вклад от
действительной части квазичастичного тока, возникающий при нали-
чии на контакте переменного напряжения. Вопросы, связанные с нали-
чием и интерпретацией величины 1 затрагивались в работах Ларки-
на и Овчинникова [ 631] и Харриса L 468]. Как это обычно делается,
этим вкладом здесь мы пренебрежем. Пренебрежем также cos<р-вкла-
дом Ij2. После таких упрощений выражение для тока принимает сле-
дующий вид:

/(/,wz)= 2° 2 Jn(f )J/(f КаД'т' +/wr)cos[(/-«)4.?] +
и х l=- oo ' 7

+ y- + /4 jsin[[( л+ /)cor -4-ccy] /4-<p] j . (11.2.8)

Первый член в правой части этого равенства описывает ток квазичас-
тиц, второй - ток пар. Из (11.2.8) можно легко получить выражение
для постоянной составляющей тока. Постоянный вклад в ток от пер-
вого слагаемого в фигурных скобках дают члены, для которых выпол-
няется условие I = и. В итоге постоянный квазичастичный ток опреде-
ляется выражением

W = 2° Jn2(y)zJyZ+n4) . (11.2.9)

Функция ^р(со) имеет разрыв при значении со= 2Д,А 1) . При этом из фор-
мулы (11.2‘.9) сразу следует, что квазичастичная ветвь тока должна
содержать ряд ступенек, которые проявляются при следующих зна-
чениях напряжения Г” :

2Д йч

VQn = — ±n—^
е е

и имеют амплитуду, пропорциональную J^a /2). Наличие подобных
ступенек, связанных с процессами поглощения или излучения фотонов
при одночастичном туннелировании, впервые наблюдали Дайем и Мар-
тин [ 258]• Теоретическому изучению этого эффекта была посвяшена
работа Тьена и Гордона [ 979]. Не зависящий от времени вклад тока
пар определяется из второго слагаемого в фигурных скобках при выпол-
нении условия ч = ±(и + /)ч .

Эта часть тока дается выражением

Ш) = 2 2°

л/=о/=“00 (11.2.10)

!) Имеется в виду случай Т = 0.
где

S(w)=®

со = О

and N = п +1

В результате, приняв во внимание частотную зависимость тока Джо-
зефсона, для максимальной амплитуды N-й ступеньки, индуцирован-
ной СВЧ облучением, будем иметь

где

На рис. 11.2 показаны результаты экспериментов Гамильтона

( 455], в которых изучались продольные точечные контакты Sn -SnO*_
-Sn очень малых размеров [ 154, 155, 456]. На рис. 11.2,& показана
типичная ВАХ таких контактов в том случае, когда внешнее СВЧ об-
лучение отсутствует. При увеличении амплитуды v ВЧ напряжения
(СВЧ мощности) на ВАХ в области напряжений VQ = 2ДД появляются
ступеньки квазичастичного тока (рис. 11.2, . Джозефсоновские

ступеньки, которые появляются вблизи значения Го= 0, фактически
не наблюдаемы. Действительно, поскольку ток через контакт задан,
они не могут быть обнаружены. Число наблюдаемых ступенек увели-
чивается при увеличении мощности СВЧ облучения контакта (рис.

11.2, в), так что ВАХ приобретает форму, напоминающую лестницу
(рис. 11.2, г). Зависимость максимальной амплитуды одной из ступе-
нек джозефсоновского тока (п = 3) и соответствующей ступеньки то-
ка квазичастиц от мощности внешнего облучения показана на рис. 11.3
[ 455]. Сплошные линии соответствуют теоретическим кривым, полу-
ченным с помощью (11.2.9) и (11.2.11). Закон изменения амплитуды
ступенек тока Джозефсона немного отклоняется от обычного закона
I J)| , определяемого формулой (11.1.6). Такие отклонения обус-
ловлены наличием сингулярности в токе 1 (со) и становятся наиболее
заметны при больших значениях мощности внешнего облучения. Описан-
ные эффекты также можно выявить при непосредственном рассмотре-
нии формулы (И. 2.1). Действительно, согласно общим свойствам
функций Бесселя, JN(a)= 0, для всех а < | W| . Это означает, что

Речь по-прежнему идет о случае Т « - Прим. пере в.
<
5^

*
о
Н

Р и с. 11.2. a — изображение на экране
осциллографа кривой V - I для типич-
ного сверхпроводящего контакта
Sn -SnO* _Sn (СВЧ облучение отсут-
ствует); б, в и г — кривые Г' - / при
наличии СВЧ облучения увеличивающей-
ся мощности на частоте 25 ГТ цо Ампли-
туды ВЧ напряжения равны v ~0,6(А/е)
(б), v = 2А/ е (в), v=3&/e (г).(Соглас-
но Гамильтону [445].)

Напряжение (мВ)
Риа . 11.3. Зависимость максимальных амплитуд джозефсоновской ступень-
ки с N = Зи соответствующей квазич астич ной ступеньки, индуцированных
СВЧ излучением, от его мощности. Эсспериментальные точки обозначены
кружкам, теоретические кривые, вычисленные с помощью (11.2О9) и (11J2.11),
- сплошными линиями. (Согласно Гамильтону [ 455].)

наиболее существенный вклад в ток (11.2.11) будут давать члены с

| 1\ < а/2 и \ N -1\ < а /2. Таким образом, при малой мощности об-
лучения (именно при v < 2А /е) аргумент функции 1 (со) оказывается
меньше величины 2Л/Й для всех существенных членов.

Будем считать, что = . С учетом тождества

[ 693] +оо

2 — ^(2х)

/= — 00

(11.2.11) переходит в | J1 j N(a )|, т.е* совпадает с ранее полученным
соотношением (1L1.6). При больших значениях приложенного к кон-
такту ВЧ напряжения (v >, 2&/е) часть вносящих заметный вклад в ток
(11.2.11) членов содержит величину I jjco) вблизи сингулярности, так
что в этом случае уже для любого тока должно иметь место значи-
тельное отклонение от (11.1.6). Значения величины v, при которых на-
личие риделевской сингулярности становится существенным, можно
оценить следующим образом [457]. Пусть М - номер ступеньки, наи-
более близко расположенной к пороговому значению напряжения.
При этом имеет место условие

_ 2А

— . (11.2.12)

Первым существенным членом в суммз (11.2.11), содержащим / (со)
с аргументом, наиболее близким к точке сингулярности, является
член с номером п, где п определяется из условий

С учетом (11.2.12) будем иметь

При таких значениях v наличие риделевского пика начинает про-
являться в области N-й ступеньки тока. Производя точные измерения
зависимости высоты ступеньки от частоты и амплитуды напряжения,
которое имеется на контакте при наличии СВЧ облучения, можно оп-
ределить величину / /Joo) вблизи со= 2Л А. Гамильтон [ 455], Гамиль-
тон и Шапиро [ 457] использовали это обстоятельство для эксперимен-
тальной демонстрации явления риделевского пика. Результаты экс-
периментов [ 455] представлены на рис. 11.4. Они производились на
контактах Sn -SnO^-Sn, обладающих очень малыми размерами. Час-
тота внешнего облучения варьировалась от 20 до 26 ГГц; характер-
ное значение температуры составляло-1 К. Видно (рис. 11.4), что ри-
делевский пик оказывается уширенным, а максимальное значение то-
ка составляет приблизительно 3,0 •,/ (0). Возможные причины тако-
го уширения связаны с анизотропией сверхпроводящей щели, а также
с процессами неупругой релаксации квазичастичных возбуждений.
Скалапино и By [ 877] проанализировали поведение джозефсоновского
контакта при наличии внешнего облучения высокой частоты, принимая
во внимание затухание квазичастиц. Такое затухание учитывалось по-
средством введения мнимой части в зависящий от температуры па-
раметр щели в энергетическом спектре сверхпроводника △ = △1 +
+ М2. Из их теории можно получить следующее приближенное выра-
жение для амплитуды N-й ступеньки тока, справедливое в том числе
тогда, когда ступенька с номером М соответствует напряжению вбли-
зи шели. Имеем [156]
W2A

Рисо 11.4 . Функция I j (со) вблизи риделевского пика (сплошная линия) и экс-
периментальные данные (квадратики и кружки), полученные из измерений
амплитуд джозефсоновских ступенек. Прямоугольник на вставке, ограни-
ченный штриховой линией, соответствует показанной на рисунке области.
(Согласно Гамильтону [ 45б].)

РУЛЧ-4ДО(Г)|
32ДО(Т)

. |Д2| 1

4Д0(^) /

(11.2.13)

где А0(Г) “ действительная часть параметра △ , вычисленная на краю
щели, F(a/2) и FN, у (а/2) - функции параметра а = 2ev>/h&r, выра-
жающиеся через функции Бесселя, Z1 (Т) - зависящий от температуры
критический ток через туннельный контакт (3.2.9), значение
которого мэжно определить, зная величину △0(Т). Заметим, что
в выражении (11.2.13) не учтены эффекты, связанные с анизотропи-
ей щели. Бакнер, Финнеган и Лангенберг [ 1561 использовали зашси-
мэсть тока (11.2.13) от температуры для экспериментального
изучения явления риделевского пика в контактах Sn - Sn, кото-
рые подвергались воздействию внешнего СВЧ облучения с частотой
около 135 ГГц. Эксперименты проводились при постоянной мощности
Т/Тс

Рис. 11.5. Критический ток Джозефсона при наличии СВЧ облучения с
частотой v, которая связана с энергетической щелью сверхпроводящих
электродов контакта при нулевой температуре соотношением Ziv = Др
Внезапньй выброс в токе вблизи Т/Тс -0,58, по всей видимэсти, свя-
зан с нагревом системы при прохождении температуры гелиевой ванны че-
рез Л-точку. Теоретическая кривая построена при IQ = 14,5 мкА, а = 2,37,
и = 1373 ГГц, 5 = 4(| Д2| ./△о)теор . (Согласно Бакнеру и др.[ 15б].)

СВЧ облучения; риделевский пик достигался варьированием темпера-
туры. На рис. 11.5 представлены результаты измерений джозефсонов-
ского тока при отсутствии постоянного напряжения на контакте. Срав-
нение теории с экспериментальными результатами позволяет оценить
характерный параметр затухания 5 = [ А2| /Ао. Дальнейшие исследо-
вания неупругих механизмов, приводящих к уширению риделевского
пика, проводили Бакнер и Лангенберг [153] в контактах Sn - Sn. Ока-
залось, что при низких температурах анизотропия щели вносит наибо-
лее существенный вклад в уширение риделевского пика. При высоких
температурах получено количественное согласие с теорией Скалапи-
но и By, построенной с учетом только процессов неупругой релакса-
ции квазичастиц.

Отметим, что риделевский пик также наблюдался в структурах
типа точечных контактов [977]. Прямые измерения высоты риделевс-
кого пика на точечных контактах Та - Та выполнили Верне и Адде
[ 1009], получив для пика значение 3,5 I j (0). Таким образом, высота
риделевского пика в точечных контактах оказывается приблизитель-
но такой же, как и в туннельных контактах.

11.2.2. Учет влияния конечных размеров контакта. Рассмот-
рим теперь джозефсоновские контакты, размеры которых малы по
сравнению с джозефсоновской глубиной проникновения 9 но сравни-
мы с длиной волны внешнего облучения. Для простоты ограничимся
случаем контактов с продольной геометрией (см. рис. 5.5, а, б) шири-
ну которых обозначим через W, а длину - через L. СВЧ волна рас-
пространяется вдоль контакта; при этом электрическое поле перпен-
дикулярно плоскости контакта. Будем также пренебрегать зависимостью
тока Джозефсона от частоты (Z^1 (со) = J1 = const) • Выберем частоту
внешнего облучения так, чтобы выполнялось условие

где п - целое число, Аг - длина СВЧ волны внутри оксидного барье-
ра. В этом случае в контакте образуются стоячие волны, так что
формулу (11 Л.2) следует обобщить, учитывая зависимость напряже-
ния от координаты вдоль контакта:

K(r)= Ко 4-r(z)cosw/ , (11.2.14)

где

z -координата вдоль контакта1’. Плотность тока J(t) дается выраже-

нием типа (11.1.4), в котором переменную а следует заменить функ-

цией

^cos|
hu,

(11.2.15)

Выражение для амплитуды W-й ступеньки на ВАХ принимает следую-

щий вид:

А)

пыг

Используя соотношение для функций Бесселя [ 2]

J”/2J2„(2xsin у) dy = у J„2(х) ,

такой подход использовали Гамильтон и Шапиро [ 45б], чтобы объяснить
расхождения между теоретическими и экспериментальными зависимостями
величины ступенек, вызванных СВЧ облучением, от мощности такого облуче-
ния.
Напряжение

Рис. 11 6. ВАХ перехода Nb -NbO^-Pb при наличии внешнего СВЧ излуче-
ния -v/Ю ГГц. Ясно видно, что вследствие конечности размеров контакта
четные и нечетные отупеньки имеют различные амплитуды . (С любезного
разрешения р. Вальо, В. Лаккуанити и г. Марулло).

можно показать [ 804, 938], что

О для нечетных N ,
т (г/ \= / eV \

ZWLJ^J для четных N .

' \ гшг /

Такой эффект часто наблюдается на ВАХ контактов РЬ -РЬ и Nb -РЬ.
Четные ступеньки в таких контактах имеют меньшую амплитуду, а
иногда и вовсе исчезают. На рис. 11.б показаны результаты экспери-
ментов на контакте Nb -РЬ. Размеры этого контакта составляли
W = 0,2 мм, L = 0,5 мм, а частота внешнего СВЧ облучения была по-
рядка -10 ГГц. Для типичного значения отношения с /с = 0,038 бу-
дем иметь Лг ^1,1 мм.

При наличии внешнего магнитного поля разность фаз в (11.1.4)
уже зависит от пространственной координаты. Вследствие этого ам-
плитуды ступенек тока не описываются выражениями, полученными
выше. Такая ситуация теоретически исследовалась в работе By, Чи
и Лиу [ 1055].

11.3. Модель заданного тока

Рассматривая свойства джозефсоновских контактов во внешнем
СВЧ поле, мы использовали упрощенный подход, считая напряжение
на контакте заданным. Однако если отвлечься от случая соответст-
вующим образом подобранных цепей, то на практике обычно имеют
дело с ситуацией, при которой импеданс ВЧ источника превышает им-
педанс джозефсоновского перехода. При этом более реалистичным
является подход, основанный на задании значения тока через контакт
(модель заданного тока).

Джозефсоновский контакт можно описывать простой резистив-
ной моделью, которая уже рассматривалась нами в гл. 6. Будем счи-
тать, что помимо постоянной составляющей тока Zjcb контакте при-
сутствует еще и переменная составляющая вида I sinc^. t • Этот слу-
чай обычно называют неавтономным. Подробное обсуждение подоб-
ной ситуации в рамках анализа на фазовой плоскости проводилось в
работе Белых, Педерсена и Соренсена [106]. Уравнение, с помощью
которого определяется временная зависимость разности фаз, в случае
переходов малой емкости выглядит следующим образом:

-~sinfir+ — = 4^" + sin<p , (11.3.1)

А Л dr

где безразмерное время т определяется из

а безразмерная частота есть

Уравнение (11.3.1) можно решить с помощью аналогового компьюте-
ра [ 450, 454, 865]. Для решения этого уравнения в случае малых пере-
менных сигналов некоторые авторы [ 45, 562] применяли теорию воз-
мущений. Бак и Педерсен [ 60] предложили простую аналоговую схему,
в которой учитывается также наличие coscp-вклада. Яо [ 1068] указал
н% возможность аналитического решения уравнения (11.3.1). Используя
подстановку ,

приходим к уравнению на £ , которое решается стандартными метода-
ми разложения в ряд. Величину 5 можно представить в виде ряда, ко-
эффициенты которого удовлетворяют рекуррентной формуле, содержа-
щей три члена. Решение выражается в форме непрерывных дробей
[732].

Решив уравнение (11.3.1), можно определить зависимость величи-
ны ступенек на ВАХ от амплитуды /г( (и, следовательно, от мощности)
Рис. 11.7. теоретические зависимости постоянного тока Джозефсона
(и = 0) и амплитуды первой ступеньки для слабого звена, полученные с по-
мощью электрического аналога. (Согласно Бальзамои Патерно[б5]).

внешнего ВЧ облучения. Как показал Расснер [865], картина поведе-
ния контакта существенно зависит от величины безразмерной частоты
Q. При малых Q зависимость амплитуды ступеньки от мощности ВЧ сигнала
заметно отличается от поведения, описываемого функцией Бесселя и
полученного в рассмотренной выше модели заданного напряжения
(см. разд. 11.1). На рис. 11.7 показаны результаты численных расче-
тов тока при отсутствии на контакте постоянного напряжения, а так-
же амплитуды первой ступеньки на ВАХ при двух различных значе-
ниях величины Q. Эти расчеты были проведены с помощью аналого-
вой ЭВМ. Заметим, что в рамках простой резистивной модели с задан-
ным значением тока через контакт можно объяснить ряд имеющихся
экспериментальных результатов, полученных на мостиках Дайема
малых размеров, а также на точечных контактах. В работе Таура,
Ричардса и Аурахера [ 968] приведены результаты экспериментов
на ниобиевых точечных контактах. При малых значениях Q получен-
ные результаты прекрасно согласуются с имеющейся теорией. Ситу-
ация оказывается несколько более сложной в случае мостиков Дайе-
ма. На рис. 11.8 показаны результаты экспериментов [ 423], посвя-
щенных изучению зависимости амплитуды токовых ступенек от мощ-
ности внешнего облучения в мостиках из олова, приготовленных
"двойным процарапыванием" [ 425]. Как видно, при появлении внеш-
него облучения происходит увеличение тока через контакт. Аналогич-
ный эффект наблюдали в экспериментах по изучению свойств мости-
ков Дайема при наличии переменного тока Вьятт с сотр. [ 1056],
Дайем и Виганд [ 259]. В гл. 7 мы уже упоминали об этом явлении
и его интерпретации. Объяснение эффекта в рамках микроскопичес-
кой теории сверхпроводимости было дано Элиашбергом [ ЗИ]. Сог-
ласно результатам его работы, при воздействии на сверхпроводник
внешнего облучения с частотой, гораздо меньшей характерной энер-
гии разрыва куперовской пары, происходит диффузия квазичастиц
по энергии. При этом их число в области энергий вблизи щели умень-
шается. Такая ситуация описывается введением неравновесной функ-
ции распределения, которая, очевидно, оказывается отличной от рав-
новесной функции Ферми - Дирака. Подставляя такую неравновес-
ную функцию в уравнение самосогласования теории БКШ, приходим к
величине сверхпроводящей щели △, превышающей ее равновесное
значение.

Часто на ВАХ сверхпроводящих мостиковых контактов наблюдают-
ся ступеньки при значениях напряжения, не соответствующих крат-
ным частотам внешнего облучения. Эти так называемые субгармони-
ческие ступеньки (см. разд. 7.6) не могут быть объяснены в рамках
простой резистивной модели с синусоидальной зависимостью тока
от разности фаз (11.3.1). Появление субгармонических ступенек на
ВАХ наиболее просто можно объяснить, предположив, что зависимость
ток - фаза отклоняется от синусоидального закона [ 4251. Гундлах
и Кадлек [ 447] исследовали уравнение типа (11 .3.1), считая, что ток
через контакт является линейной периодической функцией разности фаз.
При этом, как оказалось, довольно просто дать аналитическое реше-
ние этого уравнения, определив ср. Те же авторы [ 551 ] провели срав-
нение результатов, полученных в приближении линейной зависимости
тока от ср в моделях заданного напряжения и заданного тока. Выражение
(11.3.1) не содержим cos ср- вклада. В работе Аурахера, Ричардса и

$ О связи суогармонических ступенек на ВАХ с джозефсоновским излучением
см. [7*]. - Прим. реда
Рис о 11.8. Величина сверхтока и амплитуд первой и второй ступенек для
мостика Дайема в зависимости от амплитуд СВЧ поля. сог/2гг = 9,064 ГГц,
Г = 3,677 К. Сплошные кривые рассчитаны с помощью эквивалентной схемы,
показанной на вставке. Безразмерный параметр Q полагался равным вели-
чине Q = 0,22. (Согласно Грегер-Хансену и Левинсену [ 423].)

Рохлина [ 57] исследовалось влияние cos ф-вклада на зависимость ве-
личины ступенек, индуцированных СВЧ облучением, от мощности та-
кого облучения.
11.4. Излучение электромагнитных волн

Как уже упоминалось в гл. 1 ив начале этой главы, при наличии
конечного постоянного напряжения Fo через контакт протекает
переменный ток. При этом происходит превращение энергии постоян-
ного внешнего поля в энергию переменного тока. В рамках уже исполь-
зовавшейся нами в разд. 11.1 простой модели заданного напряжения
на контакте для переменной составляющей тока имеем

/(/) = /Isin(w/r + <p0) ,

где частота со^ связана с напряжением Fo фундаментальным соотно-
шением 2е

Существование переменного тока Джозефсона экспериментально впер-
вые было зарегистрировано в туннельных контактах по изменениям
ВАХ, индуцированным внешним магнитным полем [352] либо внешним
микроволновым излучением [ 906]. Эти два эффекта подробно обсужда-
лись нами в гл.9 и в начале данной главы.

Можно грубо оценить мощность джозефсоновского излучения, ес-
ли предположить, что вся энергия постоянного тока преобразуется в
излучение. Для системы, ВАХ которой описывается резистивной моделью
в пределе (3^ » 1 (см. рис. 6.3), разумными значениями тока и на-
пряжения могут быть

где 11 - критический ток Джозефсона и RN - сопротивление системы
в нормальном состоянии. В этом случае для максимальной мощности
излучения имеем

N Л *

Для реальных систем rn1 1 — 0,3 △, где △ - энергетическая щель
сверхпроводника, типичные значения которой порядка 10“3 В. Считая,
что/1 М0~3 А, получаем 10~7 Вт. При попытке детектиро-
вать столь малый сигнал возникает проблема согласования излучаю-
щей системы с детектором. В качестве примера рассмотрим джозефсо-
новский туннельный контакт. Как мы уже видели (гл. 9), такая струк-
тура может рассматриваться как линия передачи. Характеристичес-
кий импеданс распространяющихся в структуре электромагнитных
волн дается выражением [ 958]

Zj сЫ°’

1й%йй%айа|

Сверхпроводник Оксид

Рис» 11.9. Схематическое изображение пленочной структуры, использован-
ной Севером для детектирования излучения из джозефсоновского контакта.

где Zo = 377 Ом - импеданс свободного пространства, W - ширина
контакта; другие параметры были определены в разд. 9.1. Для типич-
ных значений с /с = 0,03, / ~ 3 • J0~7 см, W - 10“2 см, ег ~ 4 полу-
чаем

Zj~10-4Zo.

Коэффициент передачи мощности от туннельного контакта к внешней
цепи определяется теорией линии передачи [ 831], а именно

Т_ 4ZsZj
(Zs+z7)2’

где Zs - импеданс детектирующей системы. Предполагая, что Z<,~
Zo, получаем оценку для максимальной мощности джозефсоновского
излучения, которая подводится к детектору:

Р</~4^-Ри~4Х10-,1Вт.

Остроумный эксперимент для качественного исследования излучения
из джозефсоновского перехода был проведен Гевером [385]. В качест-
ве детектора он использовал джозефсоновский туннельный контакт,
расположенный непосредственно над излучающим джозефсоновским
контактом (рис. 11.9). О наличии джозефсоновского излучения свиде-
тельствовало появление особенностей в туннельном токе квазичастиц
через детектор, которые индуцировались СВЧ фотонами [258]. Связь
излучателя с детектором в структуре, подобной той, которую исполь-
зовал Гевер (рис. П.9), может осуществляться через оксидный слой
или непосредственно через промежуточную пленку, если последняя
Рис» 11.10» Расположение контакта в волноводе и блок-схема гетеродинно-
го детектора, на вставке показано распределение электрического поля в
контакте при смещении, соответствующем второй моде. 1 - изоляторы;

2 - балансный смеситель; 3 - усилитель ПЧ и видеодетектор; 4 - гетеро-
дин; 5 — модулятор на звуковой частоте; 6 — к образцу; 7 — построитель ВАХ;

8 - усилитель постоянного тока; э - двухкоординатный самописец; 1U - кон-
такт; 11 — коротко за мы кающий поршень. (Согласно Лангенбергу и др. [6271)

имеет не слишком большую толщину. Этот вопрос теоретически изу-
чался Оуэном и Скалапино [ 777].

Первое прямое обнаружение эмиссии джозефсоновского излуче-
ния было сделано Янсоном, Свистуновым и Дмитренко [ 1067] ?
Дмитренко и Янсоном [ 287], а также группой сотрудников Универ-
ситета Пенсильвании [ 627, 628], измеренная мощность излучения на
частоте ~9 ГГц составляла величину порядка 10~12 Вт. Схема экспе-
риментальной установки, которая была использована в последних ра-
ботах, изображена на рис. 11.10; эксперименты проводились на тун-
нельных контактах. В таких структурах джозефсоновское излучение
взаимодействует с микрополосковым резонатором, которым являет-
ся туннельный контакт. Максимальное взаимодействие достигается

1> Эта работа является первым сообщением об обнаружении Джозефсонов-
ского излучения. - Прим» ред.
на собственных частотах резонатора, о чем свидетельствует появле-
ние ступенек Фиске на ВАХ контактов (гл. 9). В связи с этим эмиссия
излучения становится максимальной, когда контакт смещен на эти
сингулярности тока. СВЧ излучение из точечных контактов наблюда-
лось в работах Дайема, Граймса [257] и Краснополина, Хайкина
[ 590]. Эксперименты с тонкопленочными мостиками были выполнены
Губанковым, Кошельцом и Овсянниковым [ 435, 436], а также Педер-
сеном с сотр. [ 813, 814]. Во всех этих экспериментах исследовались
джозефсоновские элементы, помещенные в резонатор. В этом случае
при напряжениях, соответствующих собственным частотам резонато-
ра, на ВАХ также наблюдались сингулярности. Выходная мощность
оказывалась максимальной, когда джозефсоновский элемент смещал-
ся постоянным током на эти сингулярности.

Взаимодействие джозефсоновского контакта с полем резонатора
теоретически изучалось в работах Вертхамера и Шапиро [ 1041] и
Смита [ 928]. На рис. 11.11 представлены результаты эксперименталь-
ного исследования тонкопленочных микро мостиков [813]. Мостик по-
мещался вблизи торцевой стенки прямоугольного СВЧ резонатора.
В качестве детектора излучения использовался супергетеродинный
приемник. На кривой dV>/dl отчетливо видны индуцированные сту-
пеньки при 17,5 и 19,9 мкВ (рис. 11, б), соответствующие собствен-
ным частотам резонатора 8,5 и 9,7 ГГц. Зависимость мощности излу-
чения, измеренной при частоте гетеродина vL0 = 8,450 ГГц, от пос-
тоянного напряжения на мостике показана на рис. И .11, в. Видно,
что в детектируемом сигнале имеются пики при напряжениях Vn =
= hvR/2ne9 где - центральная частота приемника, ап- целое
число. Сигнал при напряжении Vn обусловлен наличием n-й гармони-
ки основной джозефсоновской частоты, соответствующей этому на-
пряжению. Поскольку ширина линии излучения была сравнима с рас-
стоянием между боковыми полосами приемника, расщепление пика
не наблюдалось. Максимальная детектируемая мощность в этих экс-
периментах была 10~13 Вт.

Наличие гармоник в излучении джозефсоновского контакта мож-
но объяснить в рамках резистивной модели [ 325, 648, 1022]. Их появ-
ление связано главным образом с большой нелинейностью зависимос-
ти напряжения от времени при заданном токе через переход (см.
рис. 6.6). Генерацию СВЧ гармоник при несколько иных экспериментальных
условиях наблюдал также Шапиро [ 907]. Джозефсоновский контакт
помещался в СВЧ поле малой мощности с частотой v0, а детектировал-
Рис. 11.11..a - ВАХ (частота гетеродина 8450 ГГц, Т= 3,349 К); б - зави-
симость dv/di от V; в - зависимость мощности излучения аг постоянного
напряжения смещения для сверхпроводящего тонкопленочного индиевого микро»
мостика, (Согласно Педерсену и др.[ 81 з!)

ся индуцированный сигнал на частотах 2v0 и 3v0. Интересно отме-
тить, что для согласования контакта с детектором этот автор исполь-
зовал широкополосную нерезонансную систему (каплевидный контакт
из припоя типа описанного в работе [ 266]).

Теоретическое рассмотрение ширины линии джозефсоновского
излучения проводилось в работах Ларкина и Овчинникова [ 632], Сте-
фена [ 944] и Дама с сотр. [ 252]. В модели заданного напряжения на-
личие шума можно учесть, введя шумовое напряжение, которое моду-
лирует джозефсоновское излучение. При малых напряжениях kBT»
>> eVQ (— значение напряжения, соответствующее центральной
частоте) и температуре Т имеем [252]

/ э кпТ \/ 2е \2/ х

(11.4.1)

V№Rd = dV/dr - дифференциальное сопротивление, lq и lj -токи
квдзичастиЦ и пар, kR - постоянная Больцмана. В работе [ 252] те
же авторы сообщили о результатах экспериментов с туннельными
контактами. Было получено качественное согласие этих результатов
с предсказаниями теории. Однако лучшее согласие с выражением
(11.4.1) было достигнуто в экспериментах с точечным контактом
[ 1008].В этих экспериментах контакт подключался к детектору через
нерезонансную систему. Следует отметить, что при измерениях ши-
рины линии излучения весьма важно избегать резонансов в согласу-
ющей системе. Действительно, при включении джозефсоновской сис-
темы в резонатор устанавливается режим с сильной регенерацией,
что приводит к сужению ширины линии джозефсоновского излучения.
Другое, часто наблюдаемое в резонансных системах явление названо
"неджозефсоновской" генерацией [ 435, 626, 1022, 1023]. Частота та-
кой генерации v не связана с напряжением на джозефсоновской сис-
теме V обычным соотношением v = 2eV/h. Нерезонансное детектиро-
вание СВЧ излучения от микромостиков производилось Соренсеном с
сотр. [933]. Согласование мостиков с волноводом осуществлялось с
помощью широкополосного волноводного трансформатора. Результа-
ты экспериментов для двух различных значений температуры представ-
лены на рис. 11.12. На этом же рисунке показан вид зависимости вели-
чин I и dV/dl от Р. Отметим, что структура на этих кривых отсутст-
вует, поскольку в экспериментах использовалась нерезонансная связь.
Как обычно, пики спектра излучения расположены при напряжениях

= hvR/2ne, где п - целое число, a vR - детектируемая частота.
При температурах, близких к критическому значению Тс (рис. 11.12,а),
наблюдается только один пик, соответствующий п = 1. При понижении
температуры ширина линии излучения значительно увеличивается.
Выражение для ширины линии n-й гармоники излучения, полученное
в резистивной модели [657, 1022], выглядит следующим образом:
Рис.11,12. ВАХ и зависимость ВЧ мощности от постоянного напряжения при
двух различных температурах: т = 3,42 К (а) и т = 3,35 К (б). На вертикаль-
ных осях слева и справа отложены соответственно ток и измеряемая ВЧ мощ-
ность. На вставке рис.а показано дифференциальное сопротивление dv/dl
при температуре вблизи Т, . Частота гетеродина ~ 9,199 ГГц, Тс = 3,44 К.
(Согласно Соренсену и др. [ 933].)

+ (11.4.2)

где Т* - эффективная шумовая температура, R - сопротивление джозефсо-
новской системы в нормальном состоянии, Rd - ее дифференциаль-

ное сопротивление, / ч - критический ток, I - значение постоянного
смещения. Зависимость ширины линии для основного пика (n = 1) от
величины Э* = я* [ 1 + 1,/2 (/, /I)2] показана на рис. 11.13. Квадра-
тичная зависимость, предсказываемая выражением (11.4.2), хорошо
Рис. 11.13i Измеренная ширина линии для основного пика (п = 1) в зависи-
мости от R [ 1 + 1-/2 (1 y/i )2]. Горизонтальными линиями при больших
значениях R? показано наблюдаемое изменение Rd в области пика в спект-
ре излучения. Наклон в начальной области зависимости (соответ-

ствующей высоким температурам) определяет эффективную шумовую тем-
пературу Т= 19 ±ЗК. (Согласно Соренсену и др.[ 933].)

выполняется при значениях Т, достаточно близких к Тс . Из рисунка
можно получить значение эффективной шумовой температуры т* =
= 19 ± ЗК. При более низких температурах наблюдается значительное
отклонение от закона (11.4.2) (болыийе значения Rd),

Вармазис, Лукенс и Финнеган [ 1003] измерили СВЧ излучение в
диапазоне 2-12 ГГц от микромостика, подключенного к приемнику
через широкополосную микрополосковую линию. Приведенные в этой
работе экспериментальные данные для мощности и ширины линии СВЧ
излучения не содержат частотной зависимости и не согласуются с
теоретическими результатами, полученными на основе резистивной
модели.

Метод включения джозефсоновских элементов во внешнюю систе-
му с помощью микрополосковой техники впервые использовали Фин-
неган, Вильсон и Туте [ 349, 350]. В частности, этот метод оказывает-

24 - 436
Рис. 11.14. Блок-схема экспериментальной установки для детектирования
джозефсоновского излучения системой двух контактов, 1 — система; 2 —
фильтр нижних частот; 3 - калиброванный аттенюатор; 4 - коаксиальный
изолятор; 5 - гетеродин; 6 - блок согласования; 7 - фильтр нижних частот;
8 - коаксиальный изолятор; 9 - смеситель-предусилитель ; 10 — усилитель
ПЧ ЗОМГц; 11 - осциллограф; 12 - анализатор спектра. (Согласно Финне-
гану и Валетену [ 34б].)

ся полезным при работе с тонкопленочными системами, такими, как
туннельные контакты или микромостики, когда используется техноло-
гия изготовления интегральных схем. Джозефсоновскаяь система
легко изготавливается совместно с микрополосковой передающей ли-
нией, причем сама подложка используется как диэлектрик микроволно-

Рис, И а15о Спектры излучения двух контактов, а — джозефооновская час-
тота одного из контактов (v2) превышает джозеф со но векую частоту друго»
го контакта (v^ на 10 МГц; б — частоты v1 и v2 равны;в — превышает
v2 приблизительно на 10 МГц. ширина линии сигналов определялась полосой
пропускания усилителя промежуточной частоты ( 2 МГц). (Согласно Фин-

негану и Валстену [ 34б].)

вой структуры, Целый ряд элементов интегральных схем, таких,
как фильтры нижних частот и резонаторы, можно приспособить для
использования при низких температурах. На рис, 11,37 в качестве
примера будет показана микроволновая интегральная схема, изго-
товленная Финнеганом, Холдеманом и Валстеном [ 348] в Конструкция
и принцип действия микроволновой интегральной схемы для иссле-
дования тонкопленочных джозефсоновских систем недавно подробно
обсуждались Финнеганом [ 344],

Мощность излучения одного джозефсоновского контакта оказы-
вается слишком малой для большинства приложений. В последнее
время значительный интерес вызывает возможность использовать
в качестве генераторов и детекторов излучения СВЧ диапазона сис-
темы джозефсоновских элементов. При наличии достаточно сильного
взаимодействия между элементами такие системы могут действо-
вать когерентно. Экспериментальные исследования систем контактов,
полученных совместным сжатием малых сверхпроводящих сфер, про-
водили Кларк [ 204 - 207], Саксена, Кроц и Стронгин [ 875]. Вопрос
о поведении системы, состоящей из М последовательно соединенных
контактов, взаимодействующих с резонатором, теоретически рас-
сматривал Тилли [981]. Он показал, что все контакты могут излу»
часть когерентно, причем число излученных фотонов оказывается
пропорциональным М2. Такое состояние ”сверхизлучения” для слу-
чая двух контактов (М = 2) впервые наблюдали Финнеган и Валстен
[ 345]. Исследованные системы состояли из четырех идентичных по-
следовательно соединенных контактов РЬ -РЬОХ — РЬ с размера-
ми 0,8 х 0,3 мм2. Значение основной резонансной частоты vQ, соот-
ветствующей большему размеру 0,8 мм, составляло примерно 9 ГГц
при Т = 4,2 К. Система контактов была смонтирована в 3-сантимет-
ровом волноводе. Для детектирования джозефсоновского излучения
использовался чувствительный супергетеродинный приемник. На
рис. 11.14 представлена блок-схема такой установки.

На рис. 11.15 показаны спектры излучений двух соседних туннель-
ных контактов. Эти контакты были расположены на расстоянии около
1 мм друг от друга и независимо смещались постоянным током на
вторую (п = 2) самоиндуцированную ступеньку тока на ВАХ. Выход
от каждого контакта регистрировался на экране анализатора спект-
ра как две боковые полосы, разнесенные на удвоенную промежуточную
частоту, равную 30 МГц. Когда ток через контакт 2 подобран так,
что частоты излучений обоих контактов равны (рис. 11.15, б), излу-
чения от контактов складываются когерентно. Действительно, изме-
ренная в этом случае мощность 4,2 • 10~11 Вт оказывается больше
суммы мощностей излучения Ру + Р2 от двух контактов, излучающих
независимо: Ру = 1,05 • !10~11 Вт и Р2 = 1Д . ЛО"41 Вт. Однако иногда
взаимодействие между контактами проявляется в исчезновении сиг-
нала от контактов даже в случае совпадения частот из излучений.
Это явление можно объяснить синхронизацией двух излучений со сдви-
гом на тг. Подробный механизм автоподстройки фаз двух джозефсо-
новских осцилляторов неясен. Отметим еще, что когерентное излуче-
нии системы тонкопленочных мостиков наблюдали Линделоф и др.
[ 666], Линделоф и Хансен [665].

Вармазис с сотр. [ 1004] наблюдали настриваемое когерентное
излучение с сужающейся шириной линии от двух идентичных контак-
тов, соединенных через шунтирующее сопротивление. Система пред-
ставляла собой два последовательно включенных микромостика.
Параллельно мостикам к двум внешним концам структуры подключал-
ся резистор из золотой пленки. Без такого шунтирующего сопротивле-
ния эффект когерентного излучения наблюдался-лишь в системах, в
которых расстояние между двумя микромостиками было меньше 2 мкм.

Общую синхронизацию систем сверхпроводящих слабых связей
исследовали экспериментально Палмер и Мерсеро [ 779, 780], а так-
же Жийе, Лукенс и Као [536, 537].Кларк и Линделоф [ 212] для излу-
чения когерентного поведения двумерных многосвязных систем
слабых связей воспользовались аналоговым компьютером. Они также
выполнили измерения на системах, состоящих из 2 х 2, 3 х 3 и
4x4 индиевых микромостиков. Результаты, полученные на системе
3x3, свидетельствуют о синхронизации мостиков. Не вполне понят-
но, однако, является ли эта синхронизация следствием лучшего сог-
ласования импедансов системы и внешнего источника или лучшего
согласования между мостиками.

11.5. Детектирование излучения

Из-за высокой чувствительности к электромагнитному излучению
джозефсоновские слабые связи можно использовать в качестве
низкошумящих детекторов в диапазоне от СВЧ до далекой ИК облас-
ти. Ниже мы кратко обсудим принцип действия основных применяющих-
ся устройств. За подробностями отсылаем читателя к обзорам Ричард-
са [ 835], Адде и Верне [ 5].
Рис, 11,16. Схематическое изображение ВАХ, показывающее, каким образом
при заданном токе через контакт изменения критического тока под действием
падающего излучения изменяется напряжение на контакте. Штриховая кривая
соответствует ЕАХ при облучении, сплошная кривая — ВАХ без облучения.
(Согласно Граймсу и др. [433].)

11 £.1 в Широкополосные детекторы. При наличии внешнего излу-
чения малой мощности критический ток Джозефсона 11 уменьшается
пропорционально квадрату амплитуды внешнего сигнала (рис. 11.7, б).
В модели заданного тока эту зависимость можно записать как

Z1(/rf) = /1(0)(l —y/r2f), (н.5.1)

где Zrf - амплитуда внешнего сигнала, а у - константа. При отсутст-
вии гистерезиса на ВАХ слабой связи изменения критического джо-
зефсоновского тока можно регистрировать, смещая устройство током,
несколько превышающим / ДО), и измеряя постоянное напряжение на
слабой связи (рис. 11.16).

Такое устройство носит название квадратичного детектора; в
нем джозефсоновский элемент впервые использовался для детектиро-
вания излучения вплоть до дальней ИК области спектра [ 433]. На
рис. 11.17 показана схема экспериментальной установки, использо-
ванной в первых экспериментах. Чувствительным элементом в схеме
служил регулируемый точечный контакт. В том случае, когда измеряв
емый сигнал модулировался по амплитуде (например, прерывателем),
выходное напряжение на частоте модуляции было равно

8V=8IRd ——yIK(fi)I^Rd. (11.5.2)

где Rd = dV/dl - дифференциальное сопротивление контакта в ра-
бочей точке ВАХ. При получении (11.5.2) было использовано соотно-
шение (11.5.1). В пределе, когда импеданс источника много больше
Р ис. 11.17. Э<спериментальная установка для детектирования излучения
дальнего инфракрасного диапазона. 1 - источник света; 2 - световод; 3 —
криостат; 4 — сужение; 5 — регулируемый точечный контакт; 6 — прерыва-
тель; 7 ~ самописец; 8 - усилитель с синхронным детектором; 9 — предуси-
литель; 10 - смещение контакта. (Согласно Граймсу и др. [433].)

импеданса слабой связи Rs на высокой частоте, мощность входного
сигнала равна

Р< = Ж(' (11.5.3)

Из (11.5.2) и (11.5.3) следует, что отклик устройства, определенный
как отношение выходного напряжения к мощности входного сигнала,

При высоких частотах, а именно при условии Q = /2еШ 1 » ] за.
висимость критического тока от амплитуды внешнего сигнала приб-
лижается к зависимости типа функции Бесселя, которая была полу-
чена в простой модели заданного напряжения (см. разд. 11.3.1)

/,(iT!)=/, (о) j0( и /,(о)( 1 - -^41

\ \ /ГЦ2 /
Сравнивая последнее соотношение с (11.5.1), получаем выражение для
величины у: e2R2 j

Y= Гй2 = 4/,2(0)Й2 '

где считаем, что v = RI . В результате в этом пределе (Q » 1) от-
клик дается следующей формулой:

5=----^-3

UxRSl2

(11.5.4)

Более подробный анализ характеристик детекторов был предпринят в
работах Кантера и Вернона [ 562], Выставкина с сотр. [ 1022], Охты
с сотр. [ 770], Лихарева и Ульриха [ 657]. Выражение для изменения
постоянного напряжения, индуцированного внешним излучением, при
отсутствии флуктуаций было вычислено Кантером и Верноном во вто-
ром порядке теории возмущений [ 562}:

(11.5.5)

где а>о = (2e/?i)V0, I ь - постоянный ток смещения, VQ = F(t) - усред-
ненное во времени напряжение на слабой связи. Введем теперь выра-
жение для дифференциального сопротивления:

(11.5.6)

Это соотношение непосредственно следует из зависимости V от I ь
для случая » 1 (6.2.8) при отсутствии внешнего излучения.

В двух предельных случаях сог « со0 и cor соо формула
(11.5.5) принимает более простой вид.

а. При сог « соо среднее напряжение, соответствующее ра-
бочей точке, больше напряжения, при котором могла бы появиться
первая индуцированная ступенька тока. Выражение (11.5.5) сводит-

ся к

d2r0

dl2b

(11.5.7)

где было использовано соотношение, непосредственно следующее

из (11.5.6):

^Г-1

~3/2_ 7, <72ИО

R di2 '

зиМЛ2
В этом пределе величина импеданса слабой связи сводится
к дифференциальному сопротивлению Поэтому мощность
входного сигнала в предположении, что коэффициент связи ра-
вен единице, есть

Л = ИГ2^- (11.5.8)

Из (11.5.7) и (11.5.8) получаем выражение для отклика S в преде-

ле « Шо:

1 d2V0
dlb

Поскольку отклик слабой связи пропорционален кривизне ВАХ,
т.е. d 2VQ/dl 2b , можно сказать, что детектирование в этом слу-
чае является ’’классическим”.

б. В случае со^ » со0 (11.5.5) переходит в

тА/'

------------

(11.5.9)

здесь использованы соотношения (11.5.6) и (6.2.8). Поскольку в
этом пределе R^ _> д, выражение для мощности входного сигнала
можно записать следующим образом:

а отклик, выраженный через безразмерную частоту Q = ТЦ.Де/Ц

будет иметь вид

2 IbRQ2

(11.5.10)

Следовательно, при coQ « выражение для отклика оказыва-
ется весьма похожим на выражение (11.5.4), полученное ранее в
простом приближении Q » 1.

в. В случае со^ = соо отклик содержит сингулярность, которая
однако, размывается, если принять во внимание влияние флуктуа-
ций.

На рис. 11 о 18 представлены экспериментальные данные, получен-
ные Кантером и Верноном [ 562] при облучении точечного контакта
на частоте 90 ГГц. Они находятся в удовлетворительном согласии с
теоретическими предсказаниями. Как видно из рисунка, максималь-
ная чувствительность детектора, работающего в области нулевой сту-
пеньки, достигается при соо « со .
х
§
ь
О

Рис. 11,18. ВАХ и зависимости dv/dl и отклика для точечного контакта
на частоте 90 ГГцот напряжения смещения. Стрелками указано смещение,
эквивалентное частоте внешнего облучения. (Согласно Кантеру и Верно-
ну [562].)

Максимальная чувствительность детектора определяется величи-
ной сигнала, при которой отношение сигнал/шум равно единице- По-
лагая, что шум устройства обусловлен только тепловыми флуктуациями
в сопротивлении R, т^е. сопротивлении слабой связи в нормальном
состоянии, представим эффективное шумовое напряжение в виде

1+2(^1 (4*Й™Д")1/2, (И.5.11)

ЯТ/ — “.?

где Av - ширина полосы внешней регистрирующей системы- Для вы-
ражения чувствительности в единицах падающей мощности обычно ис-
пользуется мощность, эквивалентная шуму, определяемая из

N.E.P.= -^- (11.5.12)
В пределе малого напряжения (со0 « «г) из (11.5.10), (11.5.11) и
(11.5.12) имеем ____

^=2у|(А)г(4Л,га)1^ вт

Это выражение фактически означает, что для достижения оптимальной
чувствительности (т.е- максимальной величины 7^) требуются сла-
бые связи с большой величиной Z 1 .

В табл. 11.1 сравниваются экспериментальные данные для детек-
тора на основе контакта Nb — Nb [ 562] и результаты теоретического
анализа свойств детектора с рабочей точкой на ступеньке с п = 1
(т.е. при coQ = сог). Представлены также и экспериментальные данные
для детектора на основе диода ’’супер-Шоттки” [ 702].

Точечные контакты использовались Ульрихом [ 994, 995] в ка-
честве широкополосных детекторов для астрономических наблюдений,
а также Толнером, Андриесом и Шаффером [989] в качестве детекторов
в дальней ИК области спектра. Спектральный отклик устройств этого
типа экспериментально исследовал Толнер [ 986]. Наконец, упомянем
устройство, рассмотренное Зо и Гамильтоном [ 929], в котором взаи-
модействие излучения с точечным контактом осуществлялось через
магнитное поле. Кларк [ 204, 206, 207] исследовал свойства квадрат-

Таблица 1t1. Характеристики видеодетекторов

Характеристи- ческий параметр Джозеф ооновские детек- торы Диоды "супер-Шоттки"
Эксперименты [562] Теория [ 7701 Эксперименты [702]
V, ГГц 90 150 10
I,R, Ю^В 4 9
51 = Sv •
102 Д/Вт 2 60 11
NEP, 10-16Вт/\'Гц ’ 50 4,84 20
Т, К 4 2 1
ных систем контактов, полученных сжатием сверхпроводящих сфер-
Он предложил использовать такие структуры в качестве детекторов
в дальней ИК области спектра.

Системы джозефсоновских контактов могут оказаться полезными
с точки зрения улучшения условий согласования импедансов излуча-
теля и детектора. Отметим, однако, что импеданс квадратных систем
контактов не зависит от их размеров, поэтому более предпочтитель-
но применять такие системы как детекторы излучения многомодовых
генераторов [ 835].

Другая возможность использовать джозефсоновские слабые свя-
зи в качестве широкополосных детекторов заключается в использова-
нии их как болометров. В этих устройствах выходное напряжение пря-
мо пропорционально изменению температуры, которое обусловлено
поглощением излучения- Кларк, Хоффер и Ричардс [ 229] применили
в качестве чувствительного элемента болометра ’’сандвич”РЬ -Си -
А1 -РЬ, воспользовавшись при этом зависимостью критического то-
ка Джозефсона от температуры - Наилучшая чувствительность такого
детектора составляла NEP= 5 • Ю“15 Вт/а/пГс постоянной времени
т = Зс.

11.5.2. Узкополосные детекторы. Джозефсоновские элементы ис-
пользуются также как смесители в гетеродинных детекторах. В та-
ких устройствах детектируемый сигнал на частоте со$ смешивается с
другим сигналом (гетеродина) с незначительно отличающейся часто-
той Результирующий сигнал на промежуточной частоте co/F
регистрируется усилителем промежуточной частоты. Имеются две
возможности использования такого смесителя: с внешним и внутренним
гетеродином. В последнем случае сигнал гетеродина генерируется
самим джозефсоновским элементом. Характеристики джозефсоновского
смесителя подробно обсуждались на языке резистивной модели Аура-
хером и Ван Дузером [ 54 - 56], Тауром, Классеном и Ричардсом
[ 200, 965 - 967], Выставкиным и др- [ 1022]. Теперь кратко обсудим
принцип действия джозефсоновского смесителя с внешним гетероди-
ном — устройства, использующегося наиболее часто. Упрощенная
эквивалентная схема джозефсоновского смесителя изображена на
рис- 11-19- Высокочастотный ток в джозефсоновском элементе равен

Ir[(t) = Jssinwst + ILsinwLot .

Предположим, что амплитуда тока детектируемого сигнала много мень-
ше амплитуды тока гетеродина (Is « / L) и что | со$ - со£О| « coLO-
Рис. 11.19. Простая эквивалентная схема джозефсоновского смесителя.

При таких предположениях высокочастотный ток через джозефсоновс-
кий элемент принимает вид

7rf ( О - [ h + 4COS UIF[ lsin uLOl,
где

^IF ^LO •

Следовательно, действие малого сигнала сводится к модуляции ампли-
туды тока гетеродина на частоте, много меньшей частот сигнала и
гетеродина. Воспользуемся еше раз зависимостью критического то-
ка /1 от мощности внешнего излучения (см. рис. И.7). Амплитуда то-
ка гетеродина 71 выбирается такой, чтобы критический ток Джозеф-
сона уменьшился до значения ^71 (0)/2. В окрестности этой точки ве-
личина 71 (7 f) линейно зависит от амплитуды высокочастотного сиг-
нала. Поэтому будет происходить изменение тока71 на величину
△7 (О с частотой со; и амплитудой, пропорциональной I s . Имеем

cos

где

есть наклон зависимости 71 от 7rf (рис. 11.7) в точке 1т{ = IL. В этом
случае, если джозефсоновский элемент смешен током в область
характеристики между нулевым напряжением и первой индуцирован-
ной СВЧ излучением ступенькой, а также если гистерезис на ВАХ
отсутствует, амплитуда напряжения промежуточной частоты равна

yiF=^dsiSf

где Rd - дифференциальное сопротивление в точке смешения. Заме-
тим, что такой механизм смещения аналогичен широкополосному де-
тектированию, описанному в разд. П.5.1. Полезной количественной
Рис. 1120. Кривые зависимости максимальной величины параметра свя-
зи смесителя а и оптимального импеданса ВЧ источника я^от безразмерной
частоты Q, полученные в рамках резистивной модели. (Согласно Тауру и
др.[96б].)

характеристикой смесителя является КПД преобразования тр опреде-
ляемый как отношение мощности, потребляемой в нагрузке на про-
межуточной частоте Р F, к мощности от источника сигнала Ps . Ве-
личину г| = P{F/PS, вычисленную в рамках резистивной модели для
джозефсоновского элемента, нерезонансно связанного с усилителем
[ 54], можно записать в следующем виде [ 967]:

CiFa2Rd

(11.5.13)

где CJF - коэффициент связи между элементом и усилителем проме-
жуточной частоты, Rd и R - соответственно дифференциальное со-
противление и сопротивление джозефсоновского элемента в нормаль-
ном состоянии. Безразмерный параметр связи а определяется соот-

ношением

э(4/А)

э[(8р£о/л/2),/2] ’

где 1Ъ - постоянный ток смещения. Этот параметр можно вычислить
в рамках резистивной модели. Он зависит от PL0, сопротивления
источника Rs и нормированной частоты Q = tt<x>s /2eRI.На рис. 11.20
представлены данные теоретического анализа [ 966] для значений
Rs f соответствующих максимуму величины а 2 как функции Q. Там
же показана зависимость а ^ах от Предположив, что PLfl ~ ^LO^S
запишем КПД преобразования в виде

4 = C[FS2-^, (11.5.14)

где S _ наклон зависимости /1 от ILO, определенный нами ранее.
Выражение для q (11.5.14) было получено Аурахером и Ван Дузером
[ 54]. С учетом соотношения (11.5.13), как видно из рис. 11.20, опти-
мальные значения КПД преобразования достигаются при Q « 1. Этот
результат также следует из (11.5.14). В самом деле [ 55], 5 2 стремит-
ся к единице при Q 0 и выходит на зависимость (0,581/Q)2 при боль-
ших значениях Q. Величина дифференциального сопротивления огра-
ничена лишь шумами, и при малых Q надлежащим выбором тока гете-
родина IL ее можно сделать очень большой. При больших значениях
нормированной частоты Q Rd достаточно мало (Rd fl) и не зависит
от шума. Следовательно, для достижения оптимальных величин ц па-
раметр fl/1 устройства должен превышать величину ^со^/2^. Другой
полезный параметр при сравнении характеристик смесителя - шумовая
температура , определяющаяся из

Т _ ?nCif

где - шумовая температура усилителя промежуточной частоты.
Если предположить, что источником шума является лишь тепловой
шум нормального сопротивления джозефсоновского контакта R, то
TN можно записать в виде [ 202]

О & d
TN=faT^,
где - безразмерный параметр, который относительно нечувстви-
телен к Rd и окружающей температуре Т. Этот параметр зависит от
рабочей точки на характеристике и нормированной частоты Q.

Первые экспериментальные исследования свойств джозефсоновс-
ких смесителей были выполнены Граймсом и Шапиро [ 432] на точеч-
ных контактах. Более всесторонние исследования проводились Тауром,
Классеном и Ричардсом [ 965 - 967] на частоте 36 ГГц. Использован-
ное ими устройство схематически изображено на рис. 11.21. Точеч-
ные контакты изготавливались из ниобия либо из ванадия. С помошью
Рис. 11.21. Джозефсоновский смеситель в волноводе из ниобия. (Согласно
Тауру и др. [966].)

Рис. 11.22. Ток через контакт: а — без сигнала; б - при наличии сигнала
гетеродина с частотой 36 ГГц, а также КПД преобразования (в) для смесите-
ля на ниобиевом точечном контакте. (Согласно Тауру и др. [ 96б].)т
короткозамыкающего поршня и реактивного штыря осуществлялась
резонансная связь СВЧ излучения с точечным контактом. На рис.
11.22 представлены типичные экспериментальные значения КПД пре-
образования т] как функции напряжения смешения на контакте. Как
можно видеть, наибольшие значения достигаются между ступенька-
ми (где Rd максимально). Наибольшее экспериментальное значение
г) - 4 хорошо согласуется (± 20 %) с результатами теоретических
расчетов, проведенных в рамках резистивной модели.

В табл. 11.2 проведено сравнение типичных экспериментальных
данных смесителя на ванадиевом точечном контакте с лучшими ха-
рактеристиками смесителя на диоде "супер-Шоттки” [703].

Вышеупомянутые авторы [ 965] изучали также гармоническое
смешение. В этом случае частота внешнего гетеродина была много
меньше частоты сигнала. Смешение происходило между сигналом и
гармоникой гетеродина с частотой, близкой к частоте сигнала оо$ 9
которая генерировалась самим джозефсоновским элементом. Теорию
смешения такого рода рассматривали Левинсен и Ульрих [ 645], Клас-
сен и Ричардс [ 200]. Дальнейшие эксперименты по гармоническому
смешению на точечных контактах проводили на частоте 95 ГГц Кан-
тер [ 556] и на частоте 891 ГГц - Блейни [ 122]. Эксперименты по
смешению на ниобиевом мостике переменной толщины были выполне-
ны Вангом и др. [ 1030]. Типичные данные, полученные на смесителях
этого типа, представлены на рис. 11.23. Результаты всех упомянутых

Таблица 11.2. Сравнение характеристик смесителей

Величина Джозе феон овс кий смеситель (точечный контакт) [ 202] Смеситель "супер-Шоттки" (диод)[7ОЗ]
Т, К 1,4 1.
v, ГГц М 1,1
П, 36 9
1,35 0,12
Тм> к 54 13
PLO> нВт 1 20

25 - 436
Г(мкВ)

Ри с.11.23. Характеристики мостика при Т=6,57 К: ВАХ без и при наличии
излучения, дифференциальное сопротивление и выходной сигнал на проме-
жуточной частоте ~ 60 МГц при частоте гетеродина 9,90 ГГц. (Соглас-

но Вангу и др.[Ю30].)

экспериментов в основном находились в качественном согласии с вы-
водами резистивной модели. Однако полученные в экспериментах зна-
чения КПД преобразования оказываются значительно меньше ожида-
емых в теории. Такое расхождение, вероятно, объясняется либо плохим
согласованием СВЧ элементов, либо неидеальностью свойств исполь-
зованных слабых связей.
Результаты экспериментов Ричардса, Классена и Таура [ 836],
Классена и Ричардса [ 201], проведенные соответственно на частотах
140 и 130 ГГц, хорошо согласуются с теорией, так же как и резуль-
таты этих авторов, полученные на частоте 36 ГГц.

Джозефсоновский смеситель с нерегулируемым точечным ниоби-
евым контактом был сконструирован Тауром и Керром [ 362, 963].
Прибор не менял характеристик при циклическом изменении темпера-
туры. Он имел эффективную шумовую температуру Тм 120 К и КПД
преобразования 1 на частоте 115 ГГц. Простое и гармони-
ческое смешение с излучением HCN-лазера на частоте 891 ГГц наблю-
далось Макдональдом и др. [ 708]. Наибольшая частота в эксперимен-
тах по простому смешению к настоящему времени была достигнута
в работе Макдональда и др. [711]. Эти авторы исследовали свойства
ниобиевых точечных контактов при их облучении двумя СО2-лазера-
ми с длиной волны 9,5 мкм (32 ТГц). Полученные данные анализиро-
вались в рамках теории Вертхамера, поскольку частота лазеров была
много больше частоты, соответствующей энергетической щели нио-
бия. И хотя нагрев джозефсоновского контакта при такой частоте
является серьезной проблемой и он может отвечать за появление
сигнала на промежуточной частоте, вполне возможно, что смешение
в этих экспериментах наблюдалось1*. Значительные усилия экспери-
ментаторов были направлены на изучение гармонического смешения сиг-
налов СВЧ гетеродинов с излучениями ИК лазеров [ 123, 676, 709, 710]2
Пель таких исследований - расширить частотную область применения
джозефсоновских смесителей. Поскольку устройства такого рода пред-
назначены главным образом для сравнения частот и при этом смешива-
ется сигналы, имеющие относительно высокую мощность, то ограниче-
ния, накладываемые проблемой согласования оказываются менее жест-
кими .

Наконец, упомянем о возможностях решить проблему согласова-
ния импедансов джозефсоновской слабой связи и внешних цепей с по-
мощью систем последовательно соединенных слабых связей [200,
835]. Такие системы могут оказаться полезными, если в качестве
смесителей использовать тонкопленочные структуры, импедансы ко-
торых слишком малы.

D Авторы работы [ 711] не привели каких-либо доказательств того, что
Джозефсоновское смешение на столь высокой частоте доминирует над клас-
сическим смешением, обусловленным непинегостью ВАХ контакта. — Прим,
ред.

9 См. также [8й. 9*1 - Прим, ред.
11.6. Параметрическое усиление

Из двух выражений (1Л.4) и (1.4.5), справедливых для идеально-
го джозефсоновского элемента, легко вывести соотношение

где V - напряжение на элементе, / - полный ток. Величина Lj опре-
деляется формулой

sin^///,)

/,,(/) = £.--777^' (11.6.1)

1/11

где

- эквивалентная индуктивность. Через /1, как обычно, обозначаем
критический джозефсоновский ток. Следовательно, при нулевом на-
пряжении смещения джозефсоновский элемент обладает свойствами
нелинейной индуктивности, величина которой при нулевом токе равна
Зависимость (11.6.1) показана на рис. 11.24. Как можно видеть,
нелинейные свойства элемента оказываются сильнее при значениях
тока смещения, близких к /1 „ Из-за наличия такой нелинейной реак-
тивности при внешнем облучении джозефсоновского элемента может

Рис. 11.24. Эквивалентная индуктивность джозефсоновского элемента
при нулевом постоянном напряжении как функция сверхпроводящего токав
происходить смешение частот с последующей перекачкой мощности
от одной частоты к другой. При отсутствии диссипации преобразуе-
мая мощность удовлетворяет соотношениям Мэнли - Роу [ 69].

В случае подведения к устройству только двух внешних сигналов
с частотами и cos эти соотношения можно представить в виде

+ ОО + 00

2 2

т = 0 п = — оо

тРт „

____т, п
тип
р л

+ 00 + ОС

2 2

п =0 т- — оо

пРт,п

тып +
р 3

(11.6.2)

где Рт, п - перекачиваемая мощность на частоте + ncos , кото-
рая может быть как положительной, так и отрицательной в зависи-
мости от направления перекачки мощности: к индуктивности или от
нее. Следовательно, джозефсоновский элемент можно использовать
при создании параметрических усилителей. Его свойства аналогичны
свойствам варакторных диодов; теория, развитая для нелинейных ин-
дуктивностей, может быть применена и к джозефсоновским элемен-
там [ 121, 816]. При этом, однако, они существенно отличны от пассивных эле-
ментов. Так, например, джозефсоновский элемент, будучи активным элемен-
том, может преобразовывать мощность постоянного тока в мощность пе-
ременного тока непосредственно. Кроме того, наряду с джозефсоновс-
кой индуктивностью необходимо учитывать и диссипацию в шунтирую-
щем сопротивлении элемента.

Ниже мы остановимся главным образом на свойствах параметри-
ческих усилителей на джозефсоновских слабых связях. В зависимос-
ти от того, используется ли внешняя накачка с частотой сорили само-
накачка джозефсоновской генерацией, параметрические усилители
делятся на два класса. Поскольку лучшие результаты получаются на
устройствах с внешней накачкой, этот класс усилителей изучен более
подробно.

11.6.1 о Параметрические усилители с внешней накачкой джозефсо-
новских элементов. Как обычно, при анализе работы таких устройств
мы предполагаем, что цепь, в которую включена джозефсоновская
индуктивность, короткозамкнута для любой частоты, отличной от час-
тоты накачки, сигнала и холостой частоты оо^, cos и оо. . В зависимое-
ти от соотношения между этими тремя характеристическими часто-
тами возможна реализация различных типов усилителей. Если пред-
положить, что 2сор = cos+ cof. , будем иметь параметрический усилитель,
работающий в дважды вырожденном режиме усиления. Другой ис-
следованный тип устройств - усилитель с одночастотной накачкой,
для которого со^ = cos + со. . Можно показать, что оба типа устройств
относятся к регенеративным усилителям [ 121]. В качестве примера
обсудим устройство, работающее в дважды вырожденном режиме
усиления. В этом случае соотношения Мэнли - Роу (11.6.2) перехо-

ДЯТ С

-^+2—=0,

= (11.6.3)

Ч Ч

Если входная мощность сосредоточена только на частоте накачки, то
Рр положительно, а из (11.6.3) следует, что Р. и Ps отрицательны.
Следовательно, мощность на выходе нелинейного реактивного джозеф-
соновского элемента распределена по сигнальной и холостой часто-
там. Максимальное преобразование мощности между накачкой и сиг-
налом дается соотношением

Р w

S _ __5_

Р ~
р 'Р

Следовательно, поскольку на выходе устройства имеется мощность,
связанная с частотой cos , в случае отсутствия ее на входе усиление
мощности на частоте сигнала может быть бесконечным. Пример ра-
боты устройства такого рода см. на рис. 11.25; здесь показан спектр
отраженной мощности от усилителя на точечном контакте в дважды
вырожденном режиме [964]. Контакт подвергался облучению только
на частоте накачки (центральный пик при ~36 ГГц). На рисунке яс-
но видны два параметрически возбужденных пика на частоте сигнала
и холостой частоте.

Рассмотрим теперь более подробно параметрический усилитель
в дважды вырожденном режиме усиления. Чтобы использовать сим-
метрию джозефсоновской параметрической индуктивности, для ра-
боты контакта выбирают режим с нулевым напряжением смещения.
Поскольку поддерживается соотношение 2со^ = + со , частоты

накачки, сигнала и холостая частота имеют близко расположенные
боковые полосы, и для них можно использовать одну и ту же peso-
Р ис .11 25» Спектр отраженной СВЧ мощности для контакта при наличии из-
лучения на частоте накачки,Отчетливо наблюдается параметрическое воз-
буждение, (С любезного разрешения и. Таура0)

нансную цепь. Это устройство было названо SUPARAMP[ 336]. Тео-
ретический анализ этого усилителя можно провести в приближении
слабого сигнала на основе простой модели заданного напряжения
на джозефооновском элементе [ <ТЗЗ - 335, 796]. Предположим, что
переменное напряжение на джозефсоновском контакте дается выра-
жением

V (t) - t^cos ир t + c5cos( us t T ) 4- Ц cos( ut t + ).

Из джозефсоновского соотношения (1.4.5) для разности фаз имеем

где мы предположили, что постоянное напряжение смещения отсут-

ствует, и определили безразмерные амплитуды сигналов следующим

0бр03°"; 2ev

ap--t—; as= 1.— '> a<-~t—•

р пыр пыл пы,

(11.6.4)
Предположим теперь, что величины напряжения на частоте сигнала и
холостой частоте малы. Это ограничение выражается в виде

as < 1; az < 1,

В таком приближении малого сигнала джозефсоновский ток есть
/(z) = Z1sin(apsinwpz)4-Z1[6fJsin( vst + 6s)

4- az sin( wz7 4- )] cos( apsin vpt).

Воспользовавшись разложением Фурье - Бесселя (11.1.3), получим
выражение дня амплитуд токов на трех характеристических частотах:

lp = -2jlx)x(ap), (11.6.5а)

2е1х

2pI V V*

(11.6.56)

V V*

(11.6.5b)

где использована комплексная символика; J^(%) - функции Бесселя
целого порядка. Заметим, что Vs и V. — комплексные величины, при-
чем в них включены фазовые множители 0$ и Q. , определяющие фа-
зовый сдвиг по отношению к сигналу накачки. Равенства (11.6.56) и
(11.6.5в), относящиеся к напряжениям на сигнальной и холостой часто-
тах, можно переписать через матрицу комплексной проводимости:

У=_,Ж) у=_,Ж2

“ J Lxus si J Lxwx '

у =_,^2 у _

,s J Lxws " J Lxu, '

Следовательно, в токе имеются две составляющие на каждой частоте.
Одна из них - ток через индуктивность /JQ(ap), индуцированный
напряжением той же частоты, где L1 - джозефсоновская индуктив-
ность; другая - ток, индуцированный на частоте сигнала. Такой ток
обусловлен перекрестной связью. Этот процесс регулируется индук-
тивностью ^1’/J2(a^?) и ответствен за параметрическое усиление.
Члены и У*. f называют самосвязанной реактивной проводимостью и У5. и
Yis - реактивной проводимостью перекрестной связи. Через параметр
в аргументе функции Бесселя эти члены сильно зависят от мощ-
ности накачки.

До сих пор мы рассматривали свойства идеального изолированно-
го джозефсоновского элемента. При расчете характеристик реально-
го джозефсоновского параметрического усилителя нелинейный эле-
мент должен быть включен во внешнюю цепь как для подвода к нему
мощности, так и для ее вывода. На рис. 11.26 показана эквивалентная
схема параметрического усилителя, использованная для теоретичес-
кого анализа. Линия передачи ограничивается проводимостью YT, ко-
торая является чисто мнимой, С помощью Go учтено влияние импедан-
сов источника и нагрузки, которые считаются идеально согласован-
ными с импедансом передающей линии ZQ = 1,/GO. В реальных СВЧ
цепях для исключения влияния нагрузки на источник между ними по-
мещается развязка. С и Rj представляют собой емкость контакта и
эквивалентное шунтирующее сопротивление. Индексом k на рисунке
обозначены индексы р, s и i . Прошедшая и отраженная бегущие вол-
ны (рис. 11.26) должны удовлетворять соотношениям

Результирующие значения тока и напряжения на зажимах джозефсо-
новского элемента есть

Iк к Iк 1

Ук-Ук^Ук^

Величины падаюшей и отраженной мощностей на частоте сигнала

Рис, 11.26 . Эквивалентная схема параметрического усилителя в дважды
вырожденном режиме.
определяются из соотношения

ps± чад* i2= 8^i4±go^i2.

(11.6.7)

Усиление сигнала по мощности Fs можно рассчитать как отношение
мощностей падающего и отраженного сигналов:

Г,=

YS~GO

Ys+G0

(11.6.8)

где полную входную проводимость на частоте сигнала мы определили
как Ys = Ts /Vs • Чтобы оценить Ts , нужно получить выражение для
Ys. Это можно сделать, заметив, что полный ток сигнала дается
равенством +/г, (11.6.9)

где / - ток сигнала, текущий через джозефсоновский элемент. Его
можно рассчитать с помощью матрицы комплексной проводимости
(11.6.6). 1Т - значение тока, протекающего через другие элементы;
оно равно 1Т = У5(Ъ+^С+Ут).

Поделив (И.6.9) на и подставив выражения для 1 $ и 1 т, получим
I И*

У, = -^ = У„+6у + Уг+/ЧС+У*-^, (11.6.10)

В случае малой мощности накачки (а ? « 1) реактивная проводимость
перекрестной связи У* оказывается незначительной, и полная прово-
димость джозефсоновского элемента имеет вид

У =G7 w С—-у—j • (11.6.11)

Здесь мы пренебрегли проводимостью оконечной нагрузки и исполь-
зовали выражение для У55 в явном виде.

Из (11.6.И) находим условие резонанса:

из которого следует, что резонансная частота определяется выраже-
нием ? г

Ч2 = -у jo( ар) = wj Jo( ар ).
Если С - собственная емкость джозефсоновского элемента, то ре-
зонансная частота совпадает с плазменной частотой, в выражении
для которой учтена зависимость критического тока Джозефсона /1
от мощности накачки. В общем случае для произвольных значений
а & выражение для V*/Vs в (НибЛО) можно найти, определив выра-
жение для 7* . Эта процедура аналогична уже использованной
нами для вычислений 7$. Подставляя (1Е6Л0) в (IL608), получаем
общее выражение для усиления сигнала по мощности, справедливое
при сор = со- = cbs= со[ 333, 335]:

Г, = 1-^+Г,.,, (11.6.12)

где величина

_ Р,~ _ 4g2fl2J22(aj,)
г,л - т~г - Di

(11.6.13)

названа усилением преобразования сигнала на холостой частоте. Вы-
ражение для D имеет вид

D = fl2(l+g) + (J0(^)-fiBr)2-J2(a/;), (11.6.14)

(11.6.

Йй)
2eJxR

где g и Q - безразмерные параметры, определяемые соотношениями

Go = Rj
S Gj Zo

S2 — wLi \ Gj —

а величина BT определена в работе [ 1025] как
jBT — Rj(juC+YT),

Когда вместо одного джозефсоновского элемента используется сис-
тема N последовательно соединенных одинаковых слабых связей,
безразмерный параметр g следует заменить на

G02V NR,

Zn =

Для улучшения условий согласования устройства с линией передачи
желательно использовать системы слабых связей. Другой важный
аргумент в пользу систем слабых связей связан с необходимостью
уменьшить эффекты насыщения, т.е. с требованием gN » 1 [ 333, 334],
Рис. 11,27. Характеристика SUPARAMP на плоскости двух безразмерных па-
раметров g и Q, Характеристика бесконечного непроходного усиления
(ING) делит плоскость (g, Q) на две области. Выше этой кривой усиление
сигнала Г$ как функция мощности внешней накачки Р^имеет гладкий, до-
вольно широкий максимум. Это обстоятельство иллюстрируют данные, полу-
ченные на системе контактов (вставка а^. С приближением к кривой ing
усиление увеличивается за счет сужения максимума усиления (вставка б).
При значениях (g, Q), находящихся на кривой ing, усиление становится
бесконечным в очень узкой области значений мощности накачки. Под кривой
ING усиление сигнала оказывается неоднозначной функцией мощности на-
качки (вставка в)0 Кривые усиления обладают гистерезисом, и усилитель
в этой области работает неустойчиво 0 Чтобы устройство работало стабиль-
но и имело большой коэффициент усиления, параметры g и Q должны лежать
над кривой ing и вблизи нее. (Согласно Валстену и др0[ 102б]«)

которое легко выполнить, если использовать большое число последо-
вательно соединенных элементов. Величина D присутствует в знамена
телях выражений как для Г5 , так и для f*. s . При D = 0 имеет место
бесконечное усиление, В этом пределе, как можно убедиться с по-
мощью (11,6.12) и (11,6.13), усиление сигнала Ts приближается к уси-
лению преобразования сигнала на холостой частоте Г is .В плоскости
параметров Q и g кривая бесконечного усиления D(Q, g) = 0 выделя»
ет две области. В области под кривой зависимость усиления от мощ-
ности накачки имеет гистерезис, во внешней же области гистерезис
отсутствует. Эта ситуация проиллюстрирована рис. 11.27. Условие
максимального усиления реализуется в возможно более близких точ-
ках к кривой D(Q, g) = 0. Эту кривую часто называют кривой ING
(бесконечное непроходное усиление). В реальных устройствах, как
показано на вставках рис. 11.27, на кривой ING усиление конечно.
В теоретическом анализе SUPARAMP, который уже проводился на-
ми, не были рассмотрены эффекты, связанные с наличием cos ф-вкла-
да в джозефсоновский ток. При этом предполагалось, что е = а /Ф 0=
= 0. Полный вывод, учитывающий также соеф-вклад, был дан Фельдма-
ном [ 333], Фельдманом, Парришем и Кьяо [ 335]. Выражения для

и Г-5 , учитывающие как зависимость от совф-вклада, так и зави-
симость тока Джозефсона от магнитного поля, были получены Вал-
стеном, Руднером и Класоном [ 1026].

Первые предварительные эксперименты по наблюдению парамет-
рических эффектов в туннельных контактах были проведены Цимме-
ром [ 1096]. Устройство помещалось в рутиловый резонатор и рабо-
тало в дважды вырожденном режиме. Первые тщательные эксперимен-
тальные исследования параметрического усилителя такого типа бы-
ли предприняты Парришем и Кьяо [795]. В усилителе использова-
лась система последовательно соединенных мостиков Дайема из оло-
ва. Частота накачки составляла 10 ГГц0 Микрополосковая линия с
системой мостиков нагружалась четвертьволновым открытым отрез-
ком полосковой линии. Схема экспериментальной установки показа-
на на рис. 11.28. Как видно на вставке, элемент настройки, состоя-
щий из открыто заканчивающегося полоска длиной \/12 и ортогональ-
ного к основной полосковой линии, предназначен для закорачивания
нежелательных гармоник. На рис. 11.29 показан типичный спектр
сигнала, полученного на выходе параметрического усилителя. Экспе-
риментальные данные, полученные на системах мостиков, сравнивав
лись с предсказаниями теории, развитой на основе модели заданного
напряжения, которая не вполне адекватно описывает системы такого
рода [ 335]. Однако между экспериментом и теорией было получено
удовлетворительное согласие. В статье 1194] сообщалось об успеш°
ной работе системы мостиков на частоте 33 ГГц. Эксперименты с то-
чечными контактами на частоте 36 ГГц были выполнены Тауром и
Ричардсом [ 964], которые также провели теоретический анализ, спра-
ведливый для систем с заданным током в приближении резистивной
Рис. 11.28 . Схема экспериментальной установки для параметрического
усилителя. Всюду до криостата использовалась обычная волноводная техни-
ка сантиметрового диапазона, а в криостате СВЧ тракт состоял из коакси-
ального кабеля и микрополос ко вых элементов. 1 — осциллограф; 2 — анали-
затор спектра; 3 — усилитель ПЧ; 4 — смеситель; 5 - изолятор; 6 - клистрон
гетеродина; 7 - нагрузка, 77 К; 8 - нагрузка, 290 К; 9 - переключатель;
10 — циркулятор; 11 — закорачивание; 12 —волноводно-коаксиальный переход;
13 - к вакуумному насосу; 14 - аттенюатор; 15 - ЛОВ (сигнал); 16 — клистрон
(накачка); 17 — коаксиальный кабель; 18 — 80 последовательно соединен-
ных контактов; 19 — коаксиально-полосковый переход. (Согласно Пар-
ришу и Кьяо [ 795].)
модели. В таких устройствах с заданным током часто наблюдается
резкое увеличение шума на выходе, обусловленного усилением в
процессах параметрического преобразования.

Как показали Кьяо с сотр. [ 195], такое явление, по-видимому,
связано с фазовой нестабильностью и не имеет места в устройствах
с заданным напряжением. Валстен, Руднер и Класон [ 1025, 1026]
Частоты:
накачки

Холостая 2сор— cos

Сигнала со

Рис „11.29 „ a - спектр сигнала на выходе параметрического усилителя. По
вертикальной оси в логарифмическом масштабе отложена мощность (ЮдБ^/дел.)
по горизонтальной — частота (2 МГц/дел.)в Разрешение составляло 0,1 МГц,
мощность накачки 0,17 мкВт; б - спектр сигнала на входе параметричес-
кого усилителя0 (Согласно Парришу и Кьяо [ 795].)

работали на частоте 10 ГГц с SUPARAMP, изготовленным на основе
последовательно соединенных туннельных контактов (рис. 11.30).

В таком устройстве ВЧ напряжение смешения поддерживалось на каж-
дом контакте с помощью параллельно включенного конденсатора.
Для удобства настройки усилителя использовалось магнитное поле,
параллельное плоскости туннельных контактов. Действительно, по-
скольку величина зависит от магнитного поля, имеется возможность
менять параметр Q (11.6.5) таким способом,, На рис. 1L31 представ-
лена полученная экспериментально зависимость усиления сигнала
от мощности накачки при различных значениях шумовой температу-
Риа .11.30. Включение системы туннельных контактов в СВЧ тракт в микро-
полосковом исполнении. 30 туннельных контактов (8x8 мкм) занимают об-
ласть длиной 0,8 мм между свинцовой 50-омной микропал соковой линией и
заземленной пленкой. На вставке показана часть системы контактов, кото-
рые образованы в местах пересечения сверхпроводящих полосок. (Соглас-
но Валстену и др. [ 102б].)

Риа J1.31 о Усиление сигнала для параметрического усилителя на системе
контактов при различных значениях шумовой температуры на входе. Обраща-
ют на себя внимание сдвиг пика усиления в сторону меньших уровней на-
качки и его уширение при увеличении шумовой температуры0 Для всех четы-
рех кривых Г* . ДЛ/Р0= 0,30± 0,03. (Согласно Валстену и др.[ 1 С2б].)
ры на входе. Согласие между результатами экспериментов с
SUPARAMPna основе туннельных контактов и результатами теорети-
ческого анализа в рамках модели заданного напряжения оказывается
прекрасным. Годалл с сотр. [ 408] сообщили о предварительных резуль-
татах экспериментов с параметрическим усилением на системе кон-
тактов, действующим на частоте 33 ГГц. Ими наблюдалось усиление,
превышающее 13 дБ.

Другая очень интересная конструкция параметрического усилите-
ля с внешней накачкой была разработана группой сотрудников Датско-
го технического университета. Начало этой работе положило открытие,
сделанное с помощью электрического аналога и состоящее в том,
что в туннельном контакте может параметрически возбуждаться сиг-
нал на плазменной частоте со^ , если контакт смещен в точку, соот-
ветствующую ВЧ сигналу с частотой 2со^ [ 811, 910]. Этот эффект
наблюдался в туннельных контактах сначала косвенно [61], а затем
и путем непосредственного детектирования генерированного излуче-
ния на плазменной частоте [ 738]• Устройство такого рода называют
однократно вырожденным параметрическим усилителем. В самом де-
ле, соотношение между тремя характеристическими частотами имеет
вид +<•>

<0^ — (ms । •

Следовательно, в этом случае один квант накачки распадается на
один сигнальный и один холостой квант. Для настройки усилителя тун-
нельный контакт смешается постоянным током. В работе [ 934] в рам-
ках резистивной модели было вычислено усиление преобразования по
мощности сигнала для такого устройства:

Г ,
' D

где теперь знаменатель представляется в виде
£> = й2(1+£2) + й2Л2-.В2.

Частота в безразмерном параметре Q есть со = со /2, т.е. равна поло-
вине частоты накачки. Параметр А описывает расстройку относитель-
но плазменной частоты со^ и определяется соотношением

где со о = 2^ ДС - квадрат плазменной частоты при нулевом токе
смещения. Эта частота связана с со^ соотношением
2 2 • — 1

Vj =0?oCOS sin ‘

в котором 1/Iy есть постоянный ток через переход, нормированный
на максимальную величину критического тока Джозефсона.

Член В ответствен за параметрическое усиление и дается форму-
лой

где - функция Бесселя первого порядка, описывающая зависи-
мость от мощности накачки.

Об экспериментальных результатах, полученных на однократно
вырожденном параметрическом усилителе с частотой накачки 18 ГГц.
сообщали Мигинд, Педерсен и Соренсен [ 738]. В экспериментах ис-
пользовался один туннельный контакт Sn -Ox-Sn, согласованный
с СВЧ трактом с помощью двухсекционного биномиального трансфор-
матора. Частота сигнала и холостая частота равнялись приблизи-
тельно сОр/2 ( - 9 ГГц). На рис. 11.32 представлена выходная мощ-
ность параметрического усилителя как функция частоты. При получе-

Таблица 11.3 . Экспериментальные характеристики джозефсоновских парамет-
рических усилителей

Использованная структура Частота сигнала (ГГц) Усиление сигнала Г5(ДЬ) Ширина полосы (МГц) Шумовая температура (К)
80 микро мости- ков из олова [795] 10 12 ~1 . 103 26
Один ниобиевый то- чечный контакт [ 964] 36 -13 50
30 свинцовых кон- тактов [ 1025] 10 23 12
10 и 40 туннельных контактов [ 102б] ю 20 15 30± 20
Один туннельный контакт [ 739] 35 4-12 15 > 50
РисЛ. 32. Спектры выходных сигналов параметрического усилителя в од-
нократно вырожденном режиме, а - входной сигнал, поданный непосредст-
венно на приемное устройство; б - сигнал после усиления в джозефсоновском
элементе; в - сигнал, отраженный от контакта без параметрического уси-
ления. (Согласно Мигинду и др0[ 7381»)

нии этих данных частота гетеродина в детектирующей системе рав-
нялась 8,67 ГГц, частота сигнала - 8,60 ГГц, а частота накачки -
17,20 ГГц. О параметрическом усилении на частоте 35 ГГц в устрой-
стве с одним джозефсоновским контактом, работающим в однократно
вырожденном режиме, сообщали Мигинд с сотр.[ 739].

Наконец, упомянем о другом режиме работы параметрического
усилителя с внешней накачкой, который теоретически изучался Пе-
дерсеном [805]. Речь идет о невырожденном режиме усиления в об-
ласти нулевого напряжения смещения, при котором плазменный резо-
нанс используется в цепи сигнала, а геометрический резонанс туннель-
ного контакта - в цепи холостого контура. Чтобы составить представ-
ление о характеристиках джозефсоновских параметрических усили-
телей с внешней накачкой, читатель может воспользоваться табл.
11.3, в которой приведены типичные экспериментальные результаты,
полученные с помощью таких устройств.

11.6.2. Параметрические усилители с самонакачкой. В этом
классе устройств для накачки используется собственная генерация в
джозефсоновском элементе, возникающая при отличном от нуля по-
стоянном напряжении смещения. Следовательно, имеет место процесс
преобразования энергии постоянного тока в энергию переменного то-
ка. Расснер [ 864] и Томпсон [ 978] обобщили соотношения Мэнли - Роу
для учета этого процесса. Свойства параметрических усилителей та-
кого класса теоретически изучались в работах [ 1021, 1022] для раз-
личных конфигураций эквивалентных схем. Кантер и Силвер [ 558]
получили параметрическое усиление 11 дБ на частоте 30 МГц. Экспе-
рименты при 9 ГГц проводились Кантером [ 555], который также со-
общил о получении параметрического преобразования вверх с помощью
сходного устройства. Теоретический и экспериментальный анализы
работы невырожденного параметрического усилителя с самонакачкой
провели Выставкин с сотр. [ 1024].

11.7. Измерение отношения 2e/h и эталон вольта

Как мы уже видели в гла 1 и в начале этой главы, при СВЧ облу-
чении джозефсоновского контакта на частоте сог на его ВАХ появля-
ются ступеньки тока. Напряжение, при котором наблюдается n-я сту-
пенька, в соответствии с (11.1.1) прямо пропорционально частоте
внешнего облучения, причем константой пропорциональности является
фундаментальная константа 2&/h* Соотношение (11.1.1) является до-
вольно общим. Оно непосредственно следует из макроскопических
квантовых свойств сверхпроводящего состояния. Это соотношение не
зависит от температуры, магнитного поля и конкретного типа используе-
мой слабо связанной джозефсоновской структуры [ 135, 214, 347, 625,
789]. Следовательно, независимо измеряя напряжение ступеньки и
частоту внешнего облучения сог, можно произвести очень точное оп-
ределение величины соотношения 2e/h [ 788]. Используя этот метод,
Паркер с сотр. [ 789] в 1969 г. определили величину 2е/h в абсолютных
единицах, которая оказалась на 3,8 • Ю-3 % меньше известного ра-
нее значения. Измерение отношения е/h с помощью эффекта Джозефсо-
на оказало сильное влияние на знание физических констант и сыграло
Таблица 11.4. Сравнение значений некоторых фундаментальных физических
констант, полученных с помощью измерения отношения 2e/h [971 ] и пре ж*
них значений этих констант (1963 г.) [ 235]а)

Константы Единццы измерения Прежние значе- ния констант (1963 г.) Новые значе- ния констант (1969 г.) Измене- ние (КГ*%)
Обратная пос- тоянная тонкой структуры а “1 137,0 38(6) 137,03602(21) - 20
Заряд электро- на е КГ^Кл 1,60210 (2) 1,6021917(70) + 57
Масса электро- на т КГ31 кг 9.10908(13) 9,109558(54) + 52
Постоянная Планка h 10-3* Дж-с 6,82559(16) 6,626196(50) + 91

^Данные взяты из работы [ 971].

решающую роль в исправлении значений фундаментальных констант,
проведенном в 1969 г. [971]. В самом деле, ошибки, связанные с та-
ким методом измерения, в то время оказались в 3 - 5 раз меньше,
чем ошибки предыдущих измерений, проведенных в 1963 г. [ 235]. В
табл. И.4 сравниваются прежние величины некоторых физических
констант со значениями, полученными после измерения 2^/Л. Следует
заметить, что постоянная тонкой структуры а определяется также
независимо из квантовой электродинамики и поэтому можно провести
в большей степени непротиворечивое сравнение точности этой теории
с экспериментом. В настоящее время, используя эффект Джозефсона,
можно достичь точности в измерениях отношения 2e>./h лучшей чем
0,02 • % в единицах рабочего эталона волвта.

Из соотношения (11.1.1) следует, что, считая известной величину
константы 2e>/h и измеряя простыми методами частоту внешнего сиг-
нала vn, можно определить напряжение на джозефсоновском устрой-
стве. Заметим, что точность таких измерений может превышать Ю~7%.
Следовательно, нестационарный эффект Джозефсона может служить
для реализации эталона вольта, используемого для сопоставления раз-
личных рабочих эталонов [ 972]. В настоящее время величиной отно-
Рис. 11 33. Среднее значение эталона вольта Национального бюро стандар-
тов (США) в зависимости от времени, измеренное с помощью нестационарно-
го эффекта Джозефсона. Для измерений напряжение эталона, равное 1,81 В,
уменьшалось с помощью делителя напряжения.

шения 2e>/h, принятой в большинстве стран (по предложению Консуль-
тативного комитета по электричеству в октябре 1972 г.), является

«483594,0 ПЖ (11.7.1)

Использование облученного контакта Джозефсона в качестве эталона
вольта дает много преимуществ. Во-первых, при этом необходима
лишь относительная простая экспериментальная техника. Во-вторых,
не требуется сравнение между эталонными элементами различных
стран, которое предполагает перевозку между отдаленными лаборато-
риями. Наконец, появилась возможность проверять с высокой точ-
ностью стабильность эталонных элементов. В качестве примера на
рис. 11.33 представлено среднее значение напряжения нормального
элемента Национального бюро стандартов (США) как функция времени,
измеренное с помощью нестационарного эффекта Джозефсона. Пер-
вое значение напряжения было измерено 14 января 1976 г. Как вид-
но из рисунка, дрейф нормального элемента очевиден. Приведенные
данные подтверждают тот факт, что нормальные элементы ЭДС вооб-
ще имеют тенденцию уменьшаться со временем.

В заключение можно сказать, что использование эффекта Джозеф-
сона для хранения эталона вольта значительно улучшит как точность,
так и относительную точность национальных стандартов. Интересно
отметить, что в принципе возможно определение единиц напряжения
через джозефсоновскую частоту. Разумеется, этот шаг означал бы
Провода
смещения

RG-52/U

Волновод

Контакты
измерв проводов

UG-39/U

Фланец

Медная трубка

Диафрагма

Туннельные
контакты

___________I

Подвижный^
поршень \ZZZ///Z7/\

Провода
сравнения напряжения

Рис ,11,34 . Расположение джозефсоновских контактов в волноводе и схема
криогенной части экспериментальной установки, использованной для измере-
ния отношения 2e/h. Часть проводов цепи смещения не показана. (Согласно
Финнегану и др. [ 347].)

проведение полной ревизии всей Международной системы единиц. Хо-
роший обзор, посвященный измерениям отношения 2e>/h с использова-
нием эффекта Джозефсона, был опубликован Кларком [216].

Для измерения отношения 2е /h и поддержания эталона вольта
используется фактически одна и та же основная экспериментальная
аппаратура. Ниже мы кратко обсудим эту аппаратуру, а также пробле-
мы, связанные с измерениями. На рис. 11.34 показана схема держате-
Рис. 11.35. Типичная система контактов, используемая в эталоне вольта.
Устройство состоит из четырех контактов Nb -NbO^-Pb . (С любезного
разрешения р. Вальо,В. Лаккуанити и Г. Марулло.)

ля образца, использованного Финнеганом с сотр. [ 347]. Джозефсоновс-
кие контакты располагаются в нижней части 3-сантиметрового вол-
новода, погруженного в жидкий гелий. Токовые и потенциальные из-
мерительные провода припаиваются к контактам. Для улучшения со-
гласования контактов с СВЧ излучением на расстоянии А,/4 над ними
помещается диафрагма, которая совместно с закорачивающим порш-
нем, расположенным под устройством, образует низкодобротный ре-
зонатор. Вся криогенная система экранируется тремя слоями мю-ме-
талла для уменьшения влияния земного магнитного поля. В экспери-
ментах используются туннельные контакты с оксидным барьером. Мож-
но также использовать ниобиевые точечные контакты, но это менее
желательно из-за их плохой устойчивости к температурным циклам и
низкой механической стабильности. Обычно используют контакты
РЬ -РЬО^-РЬ в связи с высокой критической температурой РЬ и
хорошими электромагнитными свойствами этих контактов, а также
контакты Nb -NbO* -РЬ по причине чрезвычайной устойчивости к
температурному перецикливанию и способности длительное время со-
хранять свои характеристики (см. гл. 8). Типичный образец (рис. 11.35)
состоит из нескольких (более четырех) туннельных контактов, напы-
Рис. 11 36. Схема цепи постоянного тока смещения и компаратора напряже-
ния; НД — нуль-детекторы.

ленных на стеклянную подложку. Схема цепи постоянного тока сме-
щения и компаратора напряжения показана на рис. 11.36. Туннельный
контакт смещается на n-ю ступеньку тока, индуцированную СВЧ излу-
чением, при этом напряжение на контакте сравнивается с помощью
хорошо калиброванного резистивного делителя напряжений с нормаль-
ным элементом, ЭДС которого равна VR. При сбалансированности
обоих нуль-детекторов имеем

Aj R2 2е R2'

Частоту vr = сог /2тт внешнего СВЧ сигнала можно измерить с точ-
ностью Avr /vr, лучшей, чем Ю"9. Основной источник ошибок свя-
зан с паразитной термо-ЭДС, а также с определением и стабильностью
отношения К1 ZR2. Влияние термо-ЭДС можно скомпенсировать изме-
рением положений обеих ступенек с номером п в положительной и от-
рицательной частях ВАХ (за нулевую можно принять точку, соответ-
ствующую нулевому току и отсутствию внешнего облучения). В каждом
эксперименте одни и те же измерения повторяются определенное
число раз. Для получения окончательных результатов используется
метод наименьших квадратов. Поскольку проведение эксперимента
занимает довольно много времени, следует тщательно стабилизи-
ровать температуру гелиевой ванны. В противном случае характе-
ристики туннельных контактов будут изменяться и потребуется уто-
мительная тонкая регулировка тока. Другой способ уменьшить ошибки
состоит в уменьшении отношения Ry/R2 > т.е. в увеличении выходного
напряжения устройства. Поскольку стабильные СВЧ генераторы наи-
более доступны в 3-сантиметровом диапазоне 10 ГГц), единст-
венный способ использовать меньшие значения отношения Ry /R
заключается в том, чтобы проводить эксперименты при больших зна-
чениях номера ступеньки п либо при большом количестве последова-
тельно соединенных контактов. Например, при работе с одним кон-
тактом на частоте около 10 ГГц при п = 50 необходимо использовать
RJR = 1000, в то время как при двух последовательно соединенных
контактах и п = 250 имеем Rr/R2= 100. Следовательно, таким спосо-
бом можно добиться существенного выигрыша в точности измерений.

Как было показано в разд. 11.1 и 11.2, амплитуда n-й ступеньки
тока индуцированной СВЧ излучением, выражается через амплиту-
ду (и, следовательно, мощность) такого излучения с помощью функ-
ций Бесселя целого порядка. Из свойства этих функций Jn(x) - 0 при
аргументе х^п следует, что для получения большой амплитуды
ступенек тока при больших значениях постоянного напряжения Vn
требуется значительная мощность СВЧ излучения. С другой стороны,
произвольное увеличение мощности СВЧ излучения приводит к неустой-
чивости характеристик контактов, связанных с локальным нагревом
гелиевой ванны. В силу этого необходимо оптимизировать согласова-
ние туннельного контакта с СВЧ трактом. В установке, показанной
на рис. 11*34, оптимальное согласование достигается с помощью за-
корачивающего поршня, имеющего внешнюю регулировку. Из-за на-
личия токовых и потенциальных проводов в волноводе в системе воз-
никают резонансы. Поэтому условия оптимального согласования су-
щественно зависят от конкретного прибора и от размещения измери-
тельных приборов. Лучшие результаты были получены при использо-
вании тонкопленочных интегральных сверхпроводящих схем и микро-
полосковых линий [ 348, 350].

Чтобы обеспечить хорошую связь туннельного контакта с СВЧ
трактом, необходимо сделать импеданс контакта как можно большим
и приблизить его к импедансу волновода (или микрополосковой ли-
нии). Это предполагает использование туннельных контактов с боль-
шим нормальным сопротивлением. Однако нельзя увеличивать
произвольно, поскольку амплитуда индуцированных СВЧ облучением
ступенек 1п пропорциональна 11, а значит, 1/RNN.C другой стороны,
чтобы избежать проблем, связанных с тепловыми флуктуациями и
шумами, 1п должна быть по крайней мере порядка 20 мкА. Типичные
значения нормального сопротивления туннельных контактов для об-
суждаемых устройств лежат в области от 0,1 до 1 Ом. При достиже-
нии оптимальных условий согласования легко получить ’’полезную”
величину ступенек (т.е. 20 мкА) вплоть до напряжений Vn - 10 мВ.
Максимально возможная экспериментальная величина определяется
шумовым размытием ступенек тока на характеристиках. Этот вопрос
обсуждался Козе и Салливаном [ 586].

В случае резонансных туннельных контактов должно выполняться
условие соответствия частоты внешнего сигнала со, одной из собст-
венных резонансных частот полоскового резонатора (см. разд. 9.2).

Для первой резонансной моды из (9.22) получаем соотношение

Ч = (11.7.2)

где L - размер контакта в направлении, параллельном направлению
распространения электромагнитного излучения. При со /2-тг = 10 ГГц
типичные значения L составляют L = 0,2 — 1,0 мм в зависимости от
используемого материала контактов. Основная трудность, возника-
ющая при попытке удовлетворить равенству (11.7.2), заключается в
невозможности точно предсказать вёличину скорости Свихарта, ко-
торая может несколько меняться от устройства к устройству и от
контакта к контакту в одном устройстве. Это обстоятельство может
вызвать трудности, как только для достижения большого выходного
напряжения будут использоваться несколько (более одного) последо-
вательно соединенных высокодобротных контактов. Так, например,
резонансные частоты различных контактов, изготовленных на одной
и той же подложке, могут отличаться на 2 %. Недавно многообещаю-
щие результаты были получены Лаккуанити, Морулло и Вальо [609].
Этим авторам удалось менять резонансную частоту туннельного кон-
такта Nb -NbO* -РЬ с точностью 2 % после определения ее при
4,2 К» Такая процедура осуществлялась с помощью простого измене-
ния размера свинцовой пленки фотографическим методом.

Наконец, отметим, что полезную информацию о величине Q резо-
нансных контактов можно получить, изучая ступени Фиске в магнитном
поле (см. гл. 9) либо определяя частотную зависимость отклика кон-
такта при фиксированной СВЧ мощности на входе. Типичные значения
Q, измеренные при низких температурах, составляют 300 - 450 для
переходов РЬ -РЬО -РЬ и 100 - 250 для контактов Nb -NbOx-Pb
[351, 609]

В настоящее время в большинстве развитых стран эталон вольта
поддерживается с помощью эффекта Джозефсона. В Национальном бю-
ро стандартов (NBS) эталон вольта Соединенных Штатов Америки под-
держивается с 1 июля 1972 г. с помощью устройства, которое состоит
из двух резонансных последовательно соединенных систем контактов
РЬ -РЬОу-РЬ малых размеров и обеспечивает выходное напряже-
ние, равное 10 мВ. Погрешность измерений и точность полученных
с этим устройством результатов составляют соответственно 0,02 х
х 10”4 и 0,04 • ПО"4 %. В Международном бюро мер и весов (BIFM)
применяется фактически та же система, в то время как в Националь-
ной физической лаборатории (NFL) используется одиночный туннель-
ный контакт РЬ -РЬ при напряжении 2,5 мВ. В Федеральном физико-
техническом институте (РТВ) используется нерезонансный контакт
РЬ -РЬ при напряжении 2,5 мВ. Лаборатории, в которых используется
джозефсоновский эталон вольта, перечислены в табл. 11.5.

Некоторые из упомянутых выше устройств (NPL,PTB n т.д.)
являются полностью криогенными. Для них характерно использование
криогенных резисторов с очень малыми температурным коэффициентом
и коэффициентом нагрузки. Резисторы калибруются при низких тем-
пературах с помощью сверхпроводящего компаратора постоянного то-
ка. Этот недавно созданный прибор основан на идеальном диамагнетиз-
ме сверхпроводящего экрана [ 473]. В качестве ну ль-детектора при
различных операциях используется сверхпроводящий квантовый интер-
ференционный детектор (СКВИД) (см. гл. 13), а для изменения режима
работы применяется сверхпроводящее переключение. Сейчас многие
лаборатории национальных стандартов развивают криогенные системы
[ 393], а также улучшенные микрополосковые СВЧ цепи, согласован-
ные с туннельными контактами. Связь контактов с полосковой линией
с помощью тонкопленочного сверхпроводящего резонатора, по-видимо-
му является наиболее многообещающим методом согласования [ 345,
346, 348]. СВЧ фильтры в интегральном исполнении могут напыляться
на подложки одновременно с туннельными контактами, микрополоско-
выми линиями, токовыми и потенциальными проводами, что позволит
минимизировать взаимодействие СВЧ поля с устройством. На рис.
11.37 показана изготовленная в NBS [350] интегральная схема
в микрополосковом исполнении с ’’линейным” туннельным контак-
том РЬ -РЬ в центре. Полосковая линия образована пленкой, осаж-
денной на подложку, и медным основанием под ней. В качестве ди-
электрика используется стеклянная подложка. В цепи токовых и потен-
циальных проводов имеются два многосекционных фильтра нижних
частот, изготовленных напылением золотых пленок.

Существует также много возможностей улучшения методов под-
держания эталона вольта, которые изучаются в настоящее время. Сре-
Рис о 7 7о37. Устройство на СВЧ интегральных схемах (верхняя крышка сня-
та). Видны один продольный джозефсоновский контакт (вблизи центра) и
цепь тока смещения с фильтрами. (С любезного разрешения Т.Финнегана.)

ди других можно упомянуть о проекте, предложенном IEN I 33, 37], в
котором туннельный контакт, смещенный на ступеньку тока, работает
как идеальный источник постоянного напряжения, нагруженный ста-
бильным криогенным резистором. Напряжение от внешнего источника,
калиброванное по рабочему эталону вольта, подается на идентичный
криогенный резистор. Токи, протекающие через оба резистора и на-
ходящиеся в том же отношении, что и напряжения на джозефсоновс-
ком контакте и на нормальном элементе, непосредственно сравнива-
ются компаратором сверхпроводящего тока.

Другое интересное предложение базируется на использовании
так называемого обратного нестационарного эффекта Джозефсона
[ 567, 646]. Этот эффект основан на том, что при СВЧ облучении джо-
зефсеновского туннельного контакта и при нулевом токе смещения
на нем может спонтанно появляться квантованное постоянное напря-
жение. О первых наблюдениях такого эффекта сообщалось Ланген-
Таблица 11* 5 ° Некоторые лаборатории, использующие джозефсоновские устройства для поддержания стандарта
напряжения

Лаборатория Используемая структура Выходное напряжение, МВ Выходная частота, ГГц Примеч ания
Бюро мер и весов (BIPM), Франция Два последовательно соеди- ненных резонансных контак- ю 9 Система при комнатной тем- пературе. Криогенная систе-
та РЬ - РЬ ма и микро полосковая линия в стадии разработки
Национальное бюро
стандартов (NBS), США Тоже 10 9 То же
Национальная лаборатория измерений (NML), Австралия Ниобиевый точечный кон- такт 1 е.з »« н
Национальная физическая лаборатория (NPL), Вели- Один резонансный контакт РЬ -РЬ 2,5 10,3 Криогенная система. Микро- яолосковая линия в стадии
кобритания разработки
Продолжение табл, 11.5.

Центральная лаборатория промышленной электроники (LCIE), Франция Один резонансный кон- такт Nb —РЬ 4,5 10 Система при комнатной температуре. Криогенная система в стадии разработ- ки
Национальный исследователь- ский совет (NRC), Канада Один резонансный кон- такт РЬ -РЬ 2,5 10 То же
Федеральный физико-техничес- кий институт (РТВ), ФРГ Один нерезонансный кон- такт РЬ — РЬ 3 70 Криогенная система
Электротехническая лабораторий (ETL), Япония 1 Два последовательно сое- диненных резонансных кон- 10 такта РЬ — РЬ 10 Система при комнатной температуре
Институт метрологии им. Д.Ф.Менделеева, СССР Один резонансный контакт 4 РЬ - РЬ 8,7 То же
Национальный электротехничес- кий институт (IEN), Италия Один резонансный кон- такт Nb-Pb 5 ю Система при комнатной температуре. Криоген- ная система и микропо- лосковая линия в стадии разработки
бергом с сотр. [ 629]; последующие экспериментальные исследова-
ния были проведены Ченом, Тоддом и Кимом [193]. Достигнутый
уровень напряжения невелик (не более 10(ЬмкВ). Однако поскольку
смещения не требуется, то несколько контактов, проявляющих опи-
санные свойства, можно соединить последовательно и получить боль-
шое значение полного напряжения на системе контактов.

Недавно в NBS был изготовлен образец промышленного джозеф-
соновского эталона вольта [ 496]. В связи с простотой и легкостью
в использовании такая система может оказаться особенно подходящей
для внешних лабораторий национальных стандартов. Одиночный ре-
зонансный джозефсоновский контакт РЬ -РЬО^-РЬ, связанный
с СВЧ излучением на частоте 9 ГГц с помошью микрополосковой
линии, работает при 4,2 К и обеспечивает выходное напряжение 5 мВ.
Точность такого стандарта оказывается лучшей 1 • 10-4 %, а спе-
циальные особенности устройства обеспечивают очень малую дисси-
пацию мощности, что уменьшает бесполезные потери жидкого гелия.
Разработке этого класса приборов придается большое значение, по-
скольку только в Соединенных Штатах, по оценкам, имеется более
6000 лабораторий, нуждающихся в поддержании собственного эталона
вольта [ 495]. Увеличение масштаба использования джозефсоновских
эталонов вольта определяется также уровнем развития криогенных
ожижителей [ 1103], уменьшением до 1 мВт необходимой для контак-
та мощности постоянного тока и СВЧ излучения и применением вы-
сококачественных контактов с большими значениями Т электродов.

В 1975 г. между BIPM и РТВ было проведено сравнение двух
действующих при комнатной температуре систем для измерения на-
пряжения, в 1978 г. действующая при комнатной температуре систе-
ма BIPM сравнивалась с криогенным компаратором NPL [ 472]. Об-
наружение небольших, но важных отклонений на уровне Ю"8 указыва-
ет на необходимость сопоставления джозефсоновских систем изме-
рения напряжения в тех случаях, когда требуется относительная
точность лучше чем 10~7.
Глава 1 2

Сверхпроводящие контуры
с джозефсоновскими контактами

В этой главе мы изучим поведение многосвязных сверхпроводящих
структур, содержащих один или несколько джозефсоновских элементов.
Для того чтобы напомнить о явлении квантования потока, в разд. 12.1
рассмотрены свойства простых сверхпроводящих петель. Сверхпрово-
дящие петли с одним или двумя джозефсоновскими элементами анализи-
руются в разд. 12.2 и 12.3. Структуры такого рода являются основой
СКВИДов и элементов вычислительных машин, которые будут рассмот-
рены в следующих двух главах. Кроме того, они важны также и для ис-
следования физической природы самих джозефсоновских элементов.

12.1. Квантование флуксоида

Сверхпроводящее состояние, как уже отмечалось, характеризует-
ся наличием связанных электронных пар (куперовских пар). Все они
описываются одной волновой функцией (параметром порядка), пред-
ставляющей собой в общем случае комплексную величину вида
(г) = р1/г (г) е1Ф. Плотность пар в некоторой точке г (внутри сверх-
проводника) дается выражением у*(г ) у (г ) = р(г ). Таким образом,
физический смысл имеет только однозначная функция у(г). Отсюда
следует, что фаза <р при обходе по замкнутой петле в сверхпровод-
нике может меняться лишь на величину 2тгп, где п - целое число. Ис-
пользуя соотношение (1.1.2), легко убедиться, что фаза <р связана
с плотностью сверхпроводящего тока J 5 и векторным потенциалом
А уравнением

2тг ( А т , \ .

^7чр=ф- A+Z^-Jd > (12.1.1)

фо \ 2е2р /

где Фо = h/2 е - квант магнитного потока; используется СИ.
Интегрируя по замкнутой петле, имеем

2тгп— (f) V <p*dl= ] d)A*dl+ (£—,
J фо ' 2е2р j

откуда, используя теорему Грина для векторного интегрирования, по-
лучаем

J г г т т

J /в-йа+-Т-ФЛ<<Й = пФ0 , (12.1.2)

JsJ 2е р -т
Рис. 12.1. a — односвязный сверхпроводник; б — многосвязный сверхпровод-
ник; в — сверхпроводящий цилиндр в присутствии внешнего магнитного поля.

где В - магнитное поле, связанное с векторным потенциалом А обыч-
ным соотношением В = V х А. Величина, стоящая в левой части (12.1.2),
носит название флуксоида. Важно отметить, что для системы, нахо-
дящейся в сверхпроводящем состоянии, п - не зависящая от времени
константа. Если замкнутая петля Г окружает односвязную сверхпро-
водящую область (рис. 12.1, а), п может принимать лишь единствен-
ное значение п - 0. При этом (12.1.2) позволяет утверждать, что
внутри объемного сверхпроводника поток магнитной индукции равен
нулю везде,за исключением приповерхностной области, в которой текут
экранирующие токи. Таким образом,соотношение (12.1.2) представля-
ет собой лишь более корректную формулировку эффекта Мейсснера -
Оксенфельда, принимающую во внимание конечную глубину проникно-
вения поля. В случае, когда петля Г включает в себя нормальный
участок или пустое пространство (рис. 12.1, 6), п может принимать лю-
бое целое значение. Из (12.1.2) следует, что флуксоид квантуется в
единицах Фо. Если можно выбрать контур интегрирования вдали от по-
верхности сверхпроводника, где сверхпроводящие токи отсутствуют,
(12.1.2) сводится к виду

ф = уув-(1ог=пф0 , (12.1.3)

позволяющему утверждать, что поток Ф, захваченный сверхпроводя-
щей петлей, квантуется. Впервые эффект квантования потока был пред-
сказан Ф.Лондоном [671] и впоследствии получил экспериментальное
подтверждение в работах Дивера и Фэрбэнка [ 260], а также Долла и
Набауэра [ 294]. Интересно отметить, что, поскольку тогда еще не
существовало представления о куперовских парах, величина кванта по-
тока, предсказанная Лондоном, оказалась вдвое больше величины, на-
блюдаемой экспериментально»

Для иллюстрации поведения сверхпроводящей петли рассмотрим
простую цилиндрическую геометрию, изображенную на рис. 12.1, в.
Предположим, что вначале образец находился при температуре ниже
критической температуры Тс в состоянии с нулевым потоком. Вклю-
чение внешнего магнитного поля Ве вызывает появление сверхпро-
водящего тока i , компенсирующего увеличение потока Фе внутри
цилиндрического отверстия. Однако наличие сверхпроводящего тока
приводит к увеличению свободной энергии. Можно показать, что для
рассматриваемой простой геометрии гиббсовская свободная энергия
(в расчете на единицу длины) дается выражением [ 398]..

/ Ф \ / Ф \2

бМ =Go • (12.1.4)

\Ф0/ \ фо/

Эта зависимость изображена на рис. 12.2, где каждая ветвь соответ-
ствует различным значениям пФ0 потока Ф через цилиндр. При уве-
личении внешнего поля внутренний поток не меняется, т.е. рост
свободной энергии описывается.ветвью с п = const (в нашем случае
п = 0). Переход в состояние с другим числом квантов потока может
происходить лишь при условии равенства свободной энергии сверхпро-
водящего образца его энергии в нормальном состоянии (рис. 12.2),
т.е. когда система теряет сверхпроводящие свойства. В самом деле,
этот процесс требует изменения импульсов всех пар. Конечное состоя-
Р и с.12,2. Гиббсовская свободная энергия ( в расчете на единицу длины)
сверхпроводящего цилиндра (рис. 12.1, в) как функция потока внешнего поля.
Каждая ветвь соответствует постоянному значению пФп полного потока Ф
через цилиндр.

ние не обязательно будет состоянием с наименьшей энергией Данное
наинизшее энергетическое состояние достигается, если то же самое
магнитное поле прикладывается к образцу, находящемуся в нормаль-
ном состоянии, и лишь затем температура понижается ниже Тг. Как
нетрудно видеть из рис. 12.2, состояние с Ф = пФ0 реализуется, если
внешний поток Фс заключен в интервале (п - 1 /2)Фо< Фс<(п+1/2)
х Фо. Соответствующие экспериментальные данные по квантованию по-
тока представлены на рис. 12.3 [ 410 ].

1 ^Переход в состояние с другим п требует большой энергии активации.

В промежуточном состоянии через сверхпроводящую область из отверстия во
внешнее пространство, не занятое сверхпроводником, должна проходить вих-
ревая нить, переносящая избыточный поток во внешнее пространство. Рожде-
ние этой нити и ее движение от одного края отверстия к другому требуют
большой энергии активации. Поэтому состояние с данным значением потока
может сохраняться как метастабильное состояние очень долгое время. —
Прим. ред.
Рис. 13.3. Зависимость захваченного потока от величины магнитного поля,
в котором цилиндр охлаждался ниже температуры сверхпроводящего перехо-
да. (Согласно Гудмэну и Диверу [ 410 ].)

В случае, когда толщина цилиндрической стенки г2 - гх стано-
вится меньше лондоновской глубины проникновения Ад , контурный ин-
теграл в (12.1.2) от плотности сверхпроводящего потока J s отличен
от нуля при любом выборе пути интегрирования. При этом квантуется
флуксоид, а не поток. Основной вклад в условие квантования вносит-
ся интегралом от плотности тока Js. Литтл и Паркс [ 668,790] про-
вели остроумный эксперимент, демонстрирующий квантование флук-
соида в тонкостенном цилиндре. Они измеряли сопротивление R сверх-
проводящих пустотелых микроцилиндров как функцию приложенного ак-
сиального поля Вс при температурах, очень близких к критической. В
этом случае выполняется условие г2 - ц<< м поле внутри ци-
линдра практически совпадает с внешним полем Ве, Чтобы удовлетво-
рить условию квантования флуксоида, зависимость сверхпроводяще-
го тока от внешнего магнитного поля должна быть периодической.
Тинкхам [ 982, 983] показал, что в таком случае возникает соответст-
вующий периодический вклад в свободную энергию системы, что в
свою очередь вызывает периодические изменения в зависимости Тс
от Вс. Типичные результаты для алюминиевых микроциливдров пред-
ставлены на рис. 12.4. Рассмотрение формы поверхности R( Ве, Т )
поможет лучше понять зависимость R от Вс . Кривые на рис. 12.4
Рис, 12.4. Зависимость сопротивления алюминиевого микроцилиндра от приложенного поля. Кривые
соответствуют различным значениям температуры вблизи критической температуры образца. (Сог-
ласно Саккетти и др. [871 ].)
представляют собой сечения этой поверхности плоскостями, соответ-
ствующими различным значениям Т. Более детальная информация
представлена в статье Гроффа и Паркса [ 434].

12.2. Сверхпроводящая петля с одним контактом

Рассмотрим теперь сверхпроводящую петлю с включенным в
•нее одним джозефсоновским контактом (рис. 12.5). При этом по-преж-
нему выполнено условие однозначности волновой функции у. Интегри-
руя (12.1.1) по замкнутой петле, мы получаем

2™ = <p.,-^/Vdl , (12.2.1)

где фу - разность фаз в контакте и предполагается, что на выбран-
ном пути Г плотность сверхтока J $ пренебрежимо мала . Вводя гра-
диентно-инвариантное выражение [ 264] для разности фаз

<р*=ъ ” /Р2А *dl ’

мы добавляем недостающую часть интеграла от А по замкнутому
контуру. В результате сразу получаем соотношение

<р* ~2ттп — 2тг~- 7 (12.2.2)

связывающее разность фаз на контакте с эффективным потоком че-
рез сверхпроводящую петлю. В отсутствие сверхпроводимости внеш*
нее магнитное поле привело бы к возникновению потока через пет-
лю. Условие квантования потока в сверхпроводящем кольце приво-
дит к появлению циркулирующего тока i, стремящегося экраниро-»
вать внешнее поле. Вводя индуктивность петли L, запишем полный
поток в виде .

ф-ф4 D . (12.2.3)

Циркулирующий сверхток i определяется свойствами контакта. В ста-
тическом случае ((7Ф^/ dt - 0), предполагая справедливой обычную
синусоидальную зависимость тока от разности фаз (1.4.4) и используя
(12.2.2 ), мы получаем

i = - /,sin2w^- , (12.2.4)

где — максимальный джозефсоновский ток (т.е. максимальная ве-
личина сверхтока), который может протекать по кольцу для поддержа-
ния постоянного значения флуксоида.

Путь интегрирования проходит как раз через контакт.
12.2.1. Метастабильные состояния. Здесь мы рассмотрим поведе-
ние петли в отсутствие внешнего поля [ 403]. Эффективный поток при

Комбинируя (12.2.3) и (12.2.4), получаем соотношение

-4-=sin^ . (12.2.6)

Ц Фо

Решения этого уравнения соответствуют величинам тока, который
может циркулировать в системе в нулевом внешнем поле. Таким обра-
зом, возможна реализация целого набора метастабильных состояний.
Построив графики левой и правой частей уравнения (12.2.6) как функ-
ции от i /1 j и определив точки пересечения кривых, получим графи-
ческое решение уравнения. Стационарным состояниям соответствуют
не все найденные таким образом величины токов, а лишь, те, для кото-
рых свободная энергия имеет локальный, минимум. Свободная энер-
гия петли с джозефсоновским контактом есть

-^ycos<p;+^£/Е— 2 , (12.2.7)

где первое слагаемое - энергия контакта, а второе - магнитная энер-
гия. Используя (12.2.2) и (12.2.5), перепишем (12.2.7) в виде

Е— — cos/2j + {Li2 .

2е \ Фо/

В нормированных единицах энергия как функция i /1 будет опреде-
лена выражением

£(///,) I i \2 2 / /1

{LI2 “(/J ’ (12.2.8)
-0,8 0 08 yi

Рис. 12.6. a — свободная энергия петли с контактом; б — графическое реше-
ние уравнения (12.2.6). Обе кривые относятся к случаю ре= 2тг£71/ф0 =
= 10 тт. Точками отмечены метастабильные состояния системы, соответству-
ющие локальным минимумам свободной энергии.

где мы ввели параметр (3 с = 2 it LIг/ Фо. На рис. 12.6 представле-
но графическое решение уравнения (12.2.5) при р с = 10 п. Точками
отмечены стационарные состояния. На этом же рисунке приведена
зависимость свободной энергии от тока. При (3 е< Зтг/2 стационар-
ному состоянию соответствует лишь решение с нулевым током.

12.2.2. Внешнее магнитное поле. Из (12.2.3) и (12.2.4) в присут-

ствии внешнего магнитного поля (Фе £ 0) мы получаем соотношения

[912]

В I Ф
ф^ф+2^фо81П(27Тф;

(12.2.9а)

/ Ф i \

Z=-Z1Sin 2тт^+Д- , (12.2.96)

которые дают зависимость тока i и эффективного потока Ф от
внешнего потока Фе. Эти зависимости для двух различных значений
(3 с приведены на рис. 12.7.- Заметим, что кривую зависимости i от
Фе можно получить при каждом данном значении Фе как разность
между кривой зависимости Ф от Фе и штриховой линией ф - Фе. По-
следняя представляет собой диагональ квадрата на рис. 12.7, а, б.
1 0 1 Фе/Фо

Рис. 12J, Зависимость полного потока Ф, циркуляционного тока i и свобод-
ной энергии G от величины потока внешнего поля Фе для сверхпроводящей
цепи индуктивности L с одиночным контактом, а, в, и д: Ре = 2тг£/1/Ф0< 1;
б,г и ре> 1.

Возможны две различные ситуации. В случае Ре< 1 зависимос-
ти однозначны: при увеличении внешнего потока Фе эффективный по-
ток Ф непрерывно увеличивается (рис. 12.7, а).Кроме того, произ-
водная (7Ф/б/Фе периодична по Фе с периодом Ф Аналитическое
выражение для Ф (Фе), удовлетворяющее (12.2.9 а), получено Эрне
и др. [ 3231:

^- = ^+2 Ч(Де)8т(2тгл^) , (12.2.10)

Фо ф0 „=] \ ^о/

где коэффициенты Мп (р е) определяются через функции Бесселя
первого рода Jn( %);

0<де<1 .

Поток через кольцо при этом не квантуется. Это означает, что в ус-
ловии квантования (12.2.2) нельзя пренебречь разностью фаз на кон-
такте (т.е. <р*), играющей важную роль.
При Ре > 1 зависимости становятся многозначными: при увели-
чении Фе реализуются лишь ветви с положительным наклоном (сплош-
ные линии на рис. 12.7, б). Как легко видеть из (12.2.9 а), при этом
наклон с?Ф/б?Фе в точках Фе = пФ0 равен

I аФ \ = 1 = 1

1+£ '

При увеличении [3 с наклон стремится к нулю; область стационарных
состояний приближается к горизонтальным прямым, что отражает бо-
лее эффективное квантование потока.

Гиббсовскую энергию для кольца найдем с помощью соотношения

G=-fidQe . (12.2.11)

Общее выражение для рассматриваемой нами геометрии, спра-
ведливое при произвольных значениях ре t было приведено в [ 912].
Рассмотрим два предельных случая: Ре<< 1 и pe>> 1. При [3 << I
можно считать, что Ф^Фе, т.е. ток i зависит лишь от внешнего
потока Фе. Следовательно,

G=“’^LcOS(27r'S£)+Gc •
2w ( Фо/ с

Вводя параметр р с , мы получаем отсюда

G-Gc 2тгФ, \

—------с— = - Д I cos-^ 4-11 , (12.2.12)

Ф02/4тг2£ Ч Фо / V 7

где Gс гиббсовская энергия незамкнутой сверхпроводящей петли,
т.е. при i - /j. Для частного значения рс эта зависимость пред-
ставлена на рис. 12.7, д._В другом предельном случае (Ре>> 1) мы
предполагаем выполненным условие квантования потока Ф = пФ0. При
этом (12.2.3) сводится к

Фе+ Ы — пФ^ .

Используя последнее соотношение, находим гиббсовскую свободную
энергию ।

G= 2L^e~n^o)2+Gc •

В результате получаем

G~G \2 1 I П 77 \2

i^r2’ <i2-2j3>
Эта зависимость представлена на рис. 12.7, е . Нулевому значению гиб-
бсовской энергии отвечает циркулирующий ток, как раз равный крити-
ческому току ZP В этой точке джозефсоновский контакт переходит в
нормальное состояние, сверхпроводящая петля разрывается и наруша-
ется условие квантования потока. Поток через кольцо скачком прини-
мает другое значение, соответствующее меньшему значению энергии
Гиббса. При специальном выборе параметров сверхпроводящей петли
и джозефсоновского перехода возможна реализация ситуации, когда
переход происходит лишь между соседними состояниями. Тогда Ф ме-
няется лишь на ± Фо. Как будет видно, из следующей главы, именно
этот режим находит применение в магнитометрах. Данные измере-
ний полного потока в зависимости от приложенного поля для сверхпро-
водящей петли со слабой связью приведены в работе Пдммермана и
Силвера [ 1108]. Исследуемый образец представлял собой объемный
ниобиевый цилиндр, в который был вмонтирован точечный контакт с
изменяемыми свойствами. Экспериментальные данные, полученные
для слабых связей с различными критическими точками I хи, следова-
тельно, с различными параметрами [3 е ,. представлены на рис. 12.8.
Для измерения поля использовался магнитометр на СКВИДе (гл. 13).
Оси на рисунке выбраны таким образом, чтобы исключить из регис-
трируемого магнитометром поля ту его часть, которая обусловлена
связью с катушкой возбуждения.

12.2.3. Динамика переходов с изменением потока дпя (3€> 1. Как
мы уже видели, зависимость Ф от Фе при > 1 неоднозначна. Не-
обходимо теперь описать поведение петли в случае, когда внешний по-
ток соответствует границе одной из областей устойчивости, показан-
ных на рис. 12.7, б. Соотношения (12.2.9), справедливые в стационар-
ном случае, больше не выполняются. Напомним,, что при выводе этих
уравнений использовалась простая синусоидальная зависимость джо-
зефсоновского тока от разности фаз .(1.4.4). Больше подойдет для
описания динамических явлений в контактах рассмотренная в разд.
6.2 резистивная модель. Комбинируя (6.2.2) с (12.2.2),получаем сле-
дующее выражение для тока i (t) в кольце:

2е

d2 / Ф \ h 1 d ( Ф \ r . L Ф \
—7 т- “ — т;—г тт- sm 2тт —
dt2' Фо / 2е Rj dt\ Фо ) 1 Фо /

(12.2.14)

где С и /?у - емкость и сопротивление в нормальном состоянии джо-
зефсоновского элемента.

Подставляя (12.2.14) в (12.2.3), получаем
Р и-с. 12.8, Запись выходного сигнала магнитометра Ф/Фо в зависимости
от величины внешнего потока Фе/Фд « Величина LI^ уменьшается по мере
перехода кривых от а к г, и каждая кривая представляет собой полный цикл
по Фе. Ось Ф/Фд = const наклонена, чтобы компенсировать индуктивную
связь между катушкой, создающей поле, и кольцом магнитометра. Цена де-
лений по осям соответствует величине ступеньки, однако абсолютное значе-
ние потока определено лишь с точностью до величины, кратной Фо. Прямая
Ф = Фв соответствует линии единичного наклона при = 0 . (Согласно Цим-
мерману и Силверу [ 1108].)

d2 d \ Ф 1

LC—г+т,4 + 1 — + T-£sin

Ldt /фо 2ттГе

2ттФ \ _ Фе

/ %

(12.2.15)

где - L/ Rj и использовано соотношение. Фо = А/ 2 е. Уравне-
ние (12.2.15) соответствует уравнению движения частицы в синусо-
идально модулированном параболическом потенциале с коэффициен-
том затухания п = 1/ Rj.C. Форма потенциала сходна с зависимос-
тью , представленной на рис. 12.6. При увеличении внешнего пото-
ка частица остается в одном из минимумов до тех пор, пока величи-
на потока не превысит некоторого значения Фе0, после чего она поки-
дает этот минимум. При большом затухании частица остановится в сле-
дующем минимуме. Такая ситуация отвечает изменению потока на один
квант Фп. Анализ проблемы с использованием механической модели
был проведен Салливаном и Циммерманом [ 956]. Чтобы определить
конечное состояние после перехода в петле с одиночным контактом f
Смит и Блэкбурн [ 924] исследовали численные решения уравнения
(12.2.15). Авторы показали,, что число квантов потока, проникающих
в петлю, при больших значениях [3 е есть функция параметра yL = r]y/LCt
и, таким образом, его можно предсказать.При у^ , стремящемся к
нулю, это число выходит на значение ( 1/2тг) р е (рис. 12.9). Экспе-
риментальные результаты, представленные этими же авторами, нахо-
дятся в удовлетворительном согласии с теоретическими предсказа-
ниям^ Однако в работе [ 1032] было показано, что такое детермини-
рованное поведение реализуется при значениях у^ , больших некото-
рого критического значения у0 —2. При. меньшем затухании проникно-
вение потока в петлю имеет недетерминированный характер. В
(12.2.14) вклад coscp не принимался во внимание. Влияние этого вкла-
да на переход с изменением потока изучали Блэкбурн, Смит и Кейт
[119].

Рассмотрим более детально ситуацию, когда переход с измене-
нием потока происходит между .соседними состояниями (АФ = ± Фо).
Будем интересоваться, в частности, временем перехода и выделяе-
мэй при этом энергией. Данная задача была проанализирована Эрне и
Люббигом [ 316]. Зависимость полного потока через петлю от време-
ни найдем из решения (12.2.15). Результаты численных расчетов пред-
ставлены на рис. 12.10 (верхняя часть). При этом использовалось на-
чальное условие Ф = Фп / 4, внешний поток поддерживался постоян-
ным: с?Ф / d t = d2 Ф /а t2 = 0, а затем для индуцирования перехода
поток увеличивали на небольшое значение 5ф с . На том же рисунке
приведена энергия барьера (см. разд. 1.6), которую с учетом (12.2.2)
можно записать в виде

ч /,ФП / ф \

“5— 1— cos|2tt—
2w I фо/J

а также магнитная энергия
Рис. 12.9. a — график зависимости числа квантов потока, входящих в сверх-
проводящую петлю с джозефсоновским контактом, от коэффициента затуха-
ния цепи (р = Ре/2тт);б — универсальная кривая, которая может быть по-
лучена из а. (Согласно Смиту и Блэкбурну [ 924].)
Т1 Т1 +т2

рис, 12.10. Типичная временная зависимость потока через одиночную петлю
с контактом в процессе перехода; на нижней части рисунка приведены соот-
ветствующие зависимости энергии барьера F( t) и магнитнЬй энергии Е^( t).
(Согласно Эрне и Люббигу f 3161.)

Расчет этих кривых был выполнен с использованием численных
результатов для Ф( t) и выражения (12.2.14) для i(t). Как видно
из рис. 12.10, можно выделить.два характерных времени; тх и т2,.В
течение времени тх индуктивная энергия переходит в энергию контак-
та, причем диссипация пренебрежимо^ мала. За время т2 энергия
барьера и магнитная энергия падают до величины энергии следующе-
го , более низкого состояния. Максимальная диссипация происходит
как раз в течение этого интервала времени. Времена тх и т2 вы-
ражаются через параметры системы существенно различным образом,,
Как показали Эрне и Люббиг [ 316 ], в пределе нулевой емкости и в
случае постоянного внешнего потока ( Фв= const) при 2тг4 (Зе< 20 тг
время тх связано с временной константой петли с помощью со-
отношения

Т1

Г[О.47£-1]Фо
0.47& - 1 1П( 46Фе

где 5Фе - изменение потока, используемое для инициации перехода.
Типичная используемая величина имеет вид

«Фе2±2Х 10~2Ф0 .

Интервал т2 связан с характерным временем отклика контакта

ту = Фо/7?у Zp Как можно показать,,т2 при увеличении ре переста-
ет зависеть от р е. При (3 е > 10 тг оно стремится к предельному зна-
чению т\2— 0,3 ту. В рамках той же модели можно рассчитать дисси-
пацию энергии в процессе перехода. При болыийх значениях р с энер-
гия диссипации дается выражением

Ed |2ет 1 16

Для последнего выражения воспользуемся разумной аппроксимацией

Фо2

(12,2.16)

Таким образом, при увеличении р е (при сохранении критического тока
через контакт / j постоянным ) диссипация не растет, но увеличивается
область гистерезиса.

12.3. Сверхпроводящий интерферометр

Рассмотрим сверхпроводящую петлю с двумя слабыми связями,
или, другими словами, два контакта, включенных параллельно. Мы бу-
дем считать конфигурацию ’’симметричной” (рис. 12.11), если два
сверхпроводящих участка, соединяющих слабые связи, обладают оди-
наковой индуктивностью L/2. В общем случае слабые связи харак-
теризуются различными критическими точками. При увеличении тока
/ его величина может достичь значения lc t при котором оба контак-
та будут находиться в нормальном состоянии. При этом на устройстве
возникает падение напряжения К Мы изучим зависимость / с от ве-
личины внешнего магнитного поля Условие однозначности волно-
вой функции при обходе вокруг петли (12.2.2) принимает теперь вид

Ф*-<Р* =2wn-2w^- ,
^0

(12.3.1)

где Ф* и ф* - градиентно-инвариантные разности фаз соответст-
венно на контактах а и 6. Ф - полный поток через петлю, выраже-
Рис. 12.11. a — симметричная двухконтактная конфигурация; б — эквива-
лентность двухконтактной петли с нулевой индуктивностью одному контакту
с плотностью тока, имеющей пики на его концах (нижняя часть рисунка)в

ние для которого, как и ранее, имеет вид

Ф = Фе+Ы5 , (12.3.2)

где L - индуктивность кольца, i s - циркулирующий экранирующий
ток. Последний связан с джозефсоновскими токами, текущими через
связи, соотношением

2,5 = /asin<P*-A>sin<P* • (12.3.3)

Полный /гок; протекающий через прибор

/(<P*,<P*) = /asin<ipa* +4sin<pJ . (12.3.4)

12.3.1. Петля с нулевой индуктивностью. Предположим, что мож-
но пренебречь индуктивностью петли. В этом случае полный поток
равен внешнему

ф~фе .

Используя (12.3.1) и (12.3.4), получаем

I Ф )

= +Jftsin(<p* ~2,r0j • (12.3.5)

Для того чтобы найти Iс(Фе), необходимо определить максимальное
значение тока как функцию разности фаз <р* . Мы воспользуемся, од-
нако, другим подходом. В случае пренебрежимо малой индуктивности
петли двухконтактная конфигурация эквивалентна одному контакту
с плотностью тока, имеющей пики на краях контакта. Такая задача об-
суждалась в гл. 4. Используя введенные там обозначения, запишем
плотность тока в виде

ЛА)~Л Ps/2^X-^Y-^+ Ps/2^x + ~-^-TIPs/2[X Y' )]’ (12-3-6)
где параметр § предполагается равным нулю и ps/2 ( х) - квадрат
волновой функции^ Из соображений общности введен параметр q, учи-
тывающий разницу в критических токах двух слабых связей (рис0 12Л1, б}.
Эквивалентность с двухконтавтной конфигурацией устанавливается не-
посредственно соотношениями

7o=J,5W ,

/fc=J15W(l-T)) = /a(l-TI) ,

Фе=ве4ь-5) ,

<S>j=Besd ,

(12.3.7)

где W - ширина контакта в направлении приложенного поля, d - глу-
бина проникновения магнитного поля (d- XL1 + Л^2 + t), а фу учи-
тывает непосредственную связь между внешним полем В е и контакта-
ми. Максимальный джозефсоновский ток дается модулем фурье-образа
от (12.3.6):

г (1 \ xwr Jlsvhks/1 . l+s , . 2sin ks/2 . . l+s

Ic(k) = WJ, (2-ij)---cask—+ -J7J------------sink—

Перепишем выражение в виде

Sin 77фу
П>_/

I (2 - 7) ) cos 77фе -j Т) sin тгфе I

(12.3.8)

где

Фе Фо’

Ф7

*=%

В предположении, что р = 0, т.е. /а - 1Ь , (12.3.8) сводится к

sin ттф7

Л(фс,ф,) = 2/а

|cos 1Гфе | .

(12.3.9)

В случае, когда поток через контакты пренебрежимо мал, последнее
выражение принимает вид

Л(Фе) = 2/а|СО81Гфе| .

(12.3.10)

Эта зависимость показана на рис. 12.12, а. Таким образом, в случае
двух идентичных контактов критический ток зависит от внешнего по-
тока осцилляционным образом, изменяясь от 0 до 2 I а . Период осцил-
ляций равен кванту потока Фо . В случае различных критических то-
(а) (б)

8 12 16 ф

(В)

4 8 12 16 Фе

(Г)

Рис. 12.12. Критический ток двухконтактной петли с пренебрежимо малой
индуктивностью в зависимости от внешнего потока., а: 1а = /$, Фу = 0, б: 1Л - 1^,
Ф;/Ф^2; в: 1а = 1ь/2, Ф;= 0; г; 1в = 1Ъ/ 2, Ф7 / Ф/х0,2.

ков контактов, как нетрудно получить из (12.3.8),

4( Фе ) = |( Л + 4 ) COS Яфе ~J( Ц-Ц) sin ”Фе I
или

4(Фе)=[42 + 42+244со82^]|/2 . (12.3.11)

Эта зависимость представлена на рис0 12.12, в0 Критический ток ме-
няется в пределах от 11а + 1Ь | до | I а - I ь |. Общие зависимости,
учитывающие проникновение поля в контакт, изображены на рис.12.12, б
и г для случая Фу/Фе ~ s /( L -sН),2.

Первые экспериментальные исследования сверхпроводящих цепей
с двумя джозефсоновскими контактами выполнили Яклевич и др. [ 530,
532]. Изучаемые образцы представляли собой два туннельных контак-
та (рис. 12.13). Типичные экспериментальные данные приведены на
рис. 1.10, 6. Ясно обнаруживаются эффекты, обусловленные разными
значениями критических токов контактов (la ф 1Ь) и проникновением
поля в контакты. Впоследствии Циммерман и Силвер [ 1106, 1107 ]
провели измерения и с использованием точечных контактов.

Как с очевидностью следует из (12.3.9) и (12.2.10) и эксперимен-
тальных результатов, поведение петли с двумя контактами при L = 0
находит объяснение в рамках представлений об интерференции двух
Рис. 12.13. Поперечное сечение пары джозефсоновских контактов, получен-
ных вакуумным напылением на кварцевую подложку г» Тонкий оксидный слой
в разделяет тонкие (*И000 А) оловянные пленки а и би Контакты 1 и 2 соеди-
нены параллельно сверхпроводящими пленками, в результате чего между кон-
тактами образуется замкнутая область А» Измеряется ток, протекающий меж-
ду пленками а и ба (Согласно Яклевичу и др0 [ 530]»)

Рис. 12.14. Поперечное сечение пары джозефсоновских контактов, получен-
ных вакуумным напылением на кварцевую подложку г. Тонкий оксидный слой
в разделяет тонкие (/ИОООА) пленки а и би Контакты 1 и 2 соединены па-
раллельно сверхпроводящими пленками, заключающими в себя соленоид А,
внедренный в формвар ди Измеряется ток, протекающий между пленками а
и б а (Согласно Яклевичу и дрв [ 531 ].)

разностей фаз на контактах. Это квантовое интерференционное яв-
ление связано с макроскопической квантовой природой куперовских
пар» Данный аспект был еще раз продемонстрирован в эксперимен-
тах Яклевича и др. [ 531 ]• В этих экспериментах соленоид был поме-
щен внутри сверхпроводящей петли (рис. 12.14). Поле на сверхпрово-
дящих электродах, таким образом, практически отсутствовало, в то
время как поток через петлю был отличен от нуля. При изменении
потока наблюдалась интерференционная картина, аналогичная той,
которая получалась с внешним соленоидом. Это показывает, что сис-
тема чувствительна именно к векторному потенциалу А. Вблизи сверх-
проводящей петли векторный потенциал отличен от нуля, даже если по-
ле при этом равно нулю. Конечно, физический смысл имеет только
контурный интеграл ф А • dl, и именно на него реагирует система.Та-
кое поведение является квантовомеханическим по своей природе, и
его можно объяснить фактом существования однозначной волновой
функции [ 6,7]о В работе [ 532] описан другой эксперимент, в кото-
ром осцилляции критического тока наблюдались в отсутствие внешнего
магнитного поля. При этом толщина области, окруженной сверхпрово-
дящей петлей, была меньше лондоновской глубины проникновения. Ток,
текущий в этой области, вызывал модуляцию критического тока прибора.
Можно понять данный эффект, заметив, что при такой геометрии для определения
разности <р£ _ ф* в (12оЗо1) необходимо принимать во внимание не
поток, а именно флуксоид, величина которого действительно опреде-
ляется линейным интегралом от плотности тока.

Наконец, в связи со структурами с пренебрежимо малой индук-
тивностью упомянем также теоретическую и экспериментальную ра-
боту Дмитренко, Бондаренко и Нарбута [ 288], посвященную точеч-
ным контактам,,

72.3.2. Метастабильные состояния,, Рассмотрим двухконтактную
петлю в отсутствие внешнего поля и тока (Фе = О, Z =0). Индуктив-
ность L будем считать отличной от нуля. Ограничимся анализом
случая la = lb, Из (12.3.4) следует, что

sin <р* = — sin <р* .

Таким образом, условие однозначности (12.3.1) принимает вид

Ы о

2<р* =2я-и-2я-д— . (12.3.12)

Циркулирующий ток (12.3.3) дается выражением

zs=/osin<p* . (12.3.13)

Объединяя два последних выражения, получаем соотношение
г I Li$ \

\ Фо / ’

перепишем его как

“ — Sin

(12.3.14)

где р е = 2тт LIa /ф0 . На рис. 12.15 представлено графическое решение
(12.3Л4). При больших значениях , как и в предыдущем случае
(петля с одним контактом), возможна реализация целого набора ме-
тастабильных состояний, отвечающих локальным минимумам свобод-
ной энергии системы.

Эти метастабильные состояния впервые были исследованы Голдманом
[ 400, 401]. Образцы состояли из двух индуктивно связанных двухконтакт-
Рис. 12.15. Графическое решение уравнения (12.3Н4). Точками отмечены
метастабильные состояния двухконтактной петли»

Рис. 12.1 & Неоднозначная экспериментальная зависимость критического
тока, наблюдаемая на экране осциллографа при частоте 350 Гц» Ток при К=0
может достигать трех различных максимальных значений до перехода вдоль
нагрузочной характеристики (штриховая линия) на нормальную туннельную
характеристику» (Согласно Яклевичу и др. [532].)

них петель» Одна из них использовалась в качестве магнитометра
(гл. 13) для измерения приложенного поля» Вначале прибор нагревал-
ся до температуры выше критической в присутствии известного маг-
нитного поля. Затем образец охлаждался, и поле выключали. Захва-
ченный поток при этом определялся; из измерений критического тока
оловянной пластинки, помещенной вблизи кольца» В доследующих ис-
следованиях Голдмана, Крейсмана и Скалапино [ 403 ], а также Якле-
вича и др. [ 532 ] применялась более простая техника. В этих экспе-
риментах измерялись ВАХ двухконтактных СКВИДов. При этом, если
прибор находится в одном из метастабильных состояний, в системе
протекает циркуляционный ток» В результате максимальное значение
тока через СКВИД при нулевом напряжении на нем уменьшается. Экс-
периментальные данные [ 532], демонстрирующие существование раз-
личных метастабильных состояний, приведены на рис. 12.16.

Наконец, упомянем работу Вильсона и Гэйли [ 1048] по исследо-
ванию СКВИДа плоской геометрии с контактами Sn - Sn Ох - S п. Она
интересна тем, что в ней предложен метод предварительного отбора
квантового состояния двухконтактного интерферометра.
12.3.3. Асимметричный двухконтактный интерферометр.Спрьве^-
лизость предыдущего анализа ограничена рядом упрощающих предпо-
ложений. Рассмотрим теперь обший случай, когда индуктивность пет-
ли L отлична от нуля и приложено внешнее магнитное поле. Единст-
венным упрощающим условием будет предположение о пренебрежи-
мо малом влиянии поля непосредственно на контакты. Для большей
общности рассмотрим конфигурацию с асимметричным распределе-
нием тока (рис. 12.17,а)0 В этом случае, как было показано Фултог
ном, Дунклебергером и Дайнесом [ 372 J , поток, создаваемый экрани-
рующим током можно записать в виде

Lis=LaIasinq>a-LbIbsinfpb , (12.3.15)

где коэффициенты La и Lb имеют размерность индуктивности. Они
связаны с индуктивностью петли L выражением

L = La+Lb .

Отметим, что в общем случае под L а и L ь нельзя понимать ин-
дуктивности двух плеч интерферометра, но это весьма.полезные па-
раметры. Прибор можно представить теперь эквивалентной схемой
на рис. 12.17, б.

Используя (12.3.15 ) и (12.3.2), получаем из (12.3.1)

2ттп = ч)а ~~<рь +2т7^ + 277^^ sin % — 277-^-^sin. (12.3.16)

Вводя параметры

Фо ; фо ’ Фе Фо ’

Рис. 12.17. а - асимметричная двухконтактная конфигурация; б - экви-
валентная электрическая схема асимметричной конфигурации.
можем записать последнее уравнение в виде

2пп = <ра —<рь + 2ттфе +/?asin<pa — /?bsin<pb . (12.3.17)

Приведем еще раз для удобства выражение (12.3Л J для тока через
СКВИД К \ т

A<Pa,<Pj = ^Sin<Pa+4Sm<Pfe • (12.3.18)

Рассматривая ср е и I как внешние параметры, приходим к систе-
ме двух нелинейных уравнений (12.3Л7) и (12.3.18) относительно
переменных ср а и <р& ° В основном нас интересует зависимость
критического тока 1С от внешнего потока срс« Эта задача сводится
к нахождению максимума величины 7 (фа > Ф& ) при условии, что <ра
и <pfc связаны соотношением (12вЗЛ7)« Решение может быть получе-
но разными способами; их обсуждение и сопоставление проведено Лэнд-
маном [ 622 ]. Наиболее подходящий метод, использованный Цангом и
Ван Дузером в работе [ 992 ], сводится к введению неопределенных
множителей Лагранжа. Следуя работе [ 992], обозначим этот множи-
тель через а и рассмотрим функцию

<Pb’ а) = 1а^ПФа + A>sin<p6 +а(<ра-(Pb +2тгфе +

+ Pasin<pa-Pbsin4>b-2iTn) .

Таким образом, задача сводится к нахождению экстремума 1 ' по пе-
ременным <ра_, <р^ и а с Для этого приравняем нулю производные от
последнего выражения:

^-(<ра,<рл,а)=<ро-<рь + 27гфе+^в8тфв-^8тф*-27гл=0 ,

|^-(фо.Фл,а) = 7асо8фв+а(1+Двсо8фв)=0 ,

а) = Zhcos<p6-a(l+/3fccos<pZ)) = 0 •

Исключая а, получаем два уравнения:

Фе = i ( Vhc - Фас + & sin <f>bc ~ Ра sin <f>ac) , (12.3.19а)

^ = cos‘' 4/(/aCos%c) + ^ ’ (12.3.196)

где дополнительный индекс с указывает, что значения фо и со-
ответствуют критическому току 1с прибора, и введен параметр
/*т = &+&(41 • (12.3.20)

\ /

Положим п равным нулю, поскольку нас интересует квантовое
состояние с нулевым потоком. При фиксированном внешнем потоке
(12.3.19а) и (12.3.196) представляют собой систему двух уравнений
относительно фас и уь с. После того как найдена пара <pe с , <р ь с,
являющаяся решением системы, с помощью (12.3.18 ) определим ток.
Таким образом можно получить зависимость 1С от сре. Возможно
использование и методов численного счета, такого, как, например, ме-
тод многомерных итераций Ньютона - Рапсона [ 622]. Однако, по-
скольку нас интересует зависимость I с(фс) при всех <рс , возможно
использование другого подхода [ 992]. Вначале находим из (12.3.196)
все пары <ра с, <р Ьс. Они образуют некотррую траекторию на плос-
кости <рв , ф6. Затем используем точки этой траектории для нахожде-
ния из (12.3.19 а) <ре и соответствующего критического тока 7с(фе)
из (12.3.18). Аналогичным образом можно найти в критическом сос-
тоянии полный поток ф как функцию внешнего потока Ф . В самом
деле, из (12.3.1) следует, что

Ф Час-ЧЬс । „

Фе 2 77

(12.3.21)

Для простого! случая Zfl = 1 bf рв = р ь= р т = 0(т.е. L= 0) на рис.
12.18, а и б приведены траектория фас — ф^си соответствующий
график e I с (фе ). При этом всегда имеется соответствие между зави-
симостями 1с (фе) и Ф (ф.с) и свойствами траектории.

Отметим следующие общие свойства:

а. Траектория фа с- qbc периодична. С помощью замены

Фвс~*Фвс +2/итг; <pbc^><pbc+2n-rr , (12.3.22)

где m и п — целые, получаем ее различные ветви. Они отмечены4на
рис. 12.18, а парой чисел (т, п). Замена (12.3.22) не меняет величи-
ну 1С (12.3.18) и приводит лишь к сдвигу фе (12.3.19 а) на Аф^п-тть
Различные ветви на рис. 12.18, б соответствуют различному выбору
чисел ( п, т). Напомним, что (12.3.19а) представляет собой как раз
условие квантования потока в критических точках. Таким образом,
эти ветви отвечают состояниям с (п - т) квантами потока Фо в коль-
це.

б. Как легко убедиться с помощью (12.3.196), имеет место свой-
ство антисимметричности:

ФиФас)=_Фг,с(_Фас) • (12.3.23)
Рис. 12.18. Траектории <рлс — ф^с (а) и зависимость критического тока
от приложенного поля (б) для двухконтактной петли с одинаковыми крити-
ческими токами (I а- Ifr) и пренебрежимо малыми индуктивностями (L а =
= L& = 0). На траектории большими буквами отмечены точки, отвечающие
соответствующим точкам на зависимости критического тока от поля.

Отсюда получаем

Ш)=-Ц-Фе) . (12.3.24)

в. Из (12.3.196) следует, что для любых р Т, / а, 1Ь на траекто-
рии значения <рас = 2ттт+тг/2 отвечают значениям <р Ьс = 2 ттт+тт/2.
Критический ток в этих точках дается соотношением 1г = +(1 а ± Iь).
л

%»

-л

-л О л

Ф.

Рис. 12.19. Траектория в плоскости фа, и соответствующая зависимость
критического тока от внешнего поля для симметричной ( La= L^) двухконтпкт-
ной конфигурации с одинаковыми критическими токами (I а а: рд = =

= 0,1 л, рт= 0,2тг; б: ра = = 0,3 тт, р т= 0,6 тг; в: рд = pfc = тг, р? = 2ттв

Максимальная величина критического тока 1с , таким образом, рав-
на 1а + /ь.

На рис, 12,19 для различных значений L представлены теорети-
ческие зависимости 1с от <ре вместе с траектрриями <р ас е- <pfc с .
Кривые относятся к случаю - 1Ъ и симметричной конфигурации
( La = L ь). С увеличением индуктивности падает глубина модуляции Ic(cpj.
Минимальная величина критического тока в петле /111111 реализуется при
Рис. 12.20. Расчетные значения минимального критического тока на гра-
фике 1с ( Фе) в зависимости от индуктивности петли( р Т / 2 тт = I аь/ Ф 0)«
Рассмотрение относится к случаю симметричной конфигурации (La - L ь)
1а — критический джозефсоновский ток, который предполагается одинако-
вым для обоих контактов.

Фс = (2п + 1 )/2 (n = 0,±1, ...). Зависимость /™п от индуктивности петли,
другими словами, от ₽ Т - 2 тт/а Ь/Фо представлена на рис. 12.20.
При р т /J™11 -> 2 1а - Фо/£ [ 1107]. Влияние индуктивности
петли на характеристики симметричного двухконтактного
СКВИДа было подробно изучено теоретически и эксперимен-
тально в работах [ 265, 281]. Исследуемые образцы представляли со-
бой СКВИДы с точечными контактами. Результаты, полученные ав-
торами этих работ, представлены на рис. 12.21. Сплошная линия - тео-
ретическая зависимость, полученная графическим методом. Отметим
также более поздние работы Люма и Ван Дузера [ 682 ] и Карелли и
Модены [174] по исследованию симметричной конфигурации с двумя
мостиками Дайема.

В случае асимметричной конфигурации ( Lb) зависимость
1 с (фе) дает наклонные фигуры (рис. 12.22). Наклон усиливается по
мере увеличения различия La и Lb . Интересно отметить, сравнив
рис. 12.22 и 12.19, б, что траектория <ра с - <?Ьс тем не мзнее оста-
ется прежней. В самом деле, как легко видеть из (12в3, 19, б), зависимость
от <р6с определяется величиной р г Асимметричная двухконтактная конфигура-
ция исследовалась Кларком и Патерсоном [ 223], при этом использова-
лись SNS-контакты РЬ - Си/Al - РЬ, соединенные свинцовой плен-
Рис. 12.21. Экспериментальная зависимость 1с от Ве для симметричной
двухконтактной конфигурации» Наилучшее совпадение теоретической зависи-
мости (сплошная линия) с экспериментальными данными (кружки) было до-
стигнуто выбором I = 185 мкА, = 1» Таким образом, L= 1,8-1 О'"12Гн,
1С = 21 а = 370 мкА, = 84 мкА и ДВ=Ф0/Л= 0,86 Гс; в качестве
площади сечения контакта А использовалось значение 24* 10“~8 см 2» (Со-
гласно Де Брюэну Оботе и Де Вале [ 265].)

кой. Теоретическая зависимость рассчитывалась численными метода-
ми.

Зависимость /с(фе) для наиболее общего случая Iat I b > Lat Lb
изображена на рис. 12.23. Огибающая кривой не слишком отличается
от предыдущего случая (Ia = Ib)f однако форма кривой в метастабиль-
ных областях существенно другая.

Наиболее полный анализ двухконтактной конфигурации представ-
лен в работе Фултона, Дунклебергера и Дайнеса [ 372]. Авторы проведи
теоретическое рассмотрение, справедливое при общем выражении, тока

Рис. 12.22. Теоретическая зависимость максимального критического тока
от магнитного поля (б) и соответствующая траектория <ра, ф^ (а) в случае
асимметричной конфигурации (L^Lb)a Критические точки контактов пред-
полагаются одинаковыми (Ia~Ib )» Значения характерных параметров: ра=0,5Р ,
?>Ь = 0,1 тг и Ру’ = 0,6 тги
Рис. 12.23. Теоретическая зависимость максимального критического тока
от магнитного поля (б) и соответствующая траектория фа, ф^ (а) для асим-
метричной конфигурации в случае контактов с разными критическими токами
Оа*1!,'»' $а = 0.5", Pfc= 0,1 тт, ?>Т = °'51Т и ’b = °.8 !а •

Рис. 12.24. Зависимость положительных и отрицательных значений 1с от по-
ля Ве, полученная для двойного контакта Sn - Sn при температуре вблизи Тс-
(Согласно Фултону и др. [ 372].)

через разность фаз на контакте. В работе приведены эксперименталь-
ные данные для контактов Sn -Sn,w проведено сравнение с теоре-
тическими результатами. Некоторые зависимости для конфигурации
с 1а/ 10 = 0,22 ± 0,005, ₽ т= 0,55 ± 0,03, = (0,052 ± 0,025) тг,

Рь= (0,173 ± 0,10 )тт изображены на рис. 12.24.

В более поздней работе Петерсона и Гамильтона [ 817] содержат-
ся результаты дальнейших экспериментальных и теоретических ис-
следований.
Глава 13

СКВИДы: теория и применение

Описанные нами в гл. 12 системы являются основными элемен-
тами в классе приборов, обычно называемых СКВИДами. В рабо-
чем режиме таких устройств напряжение выходного сигнала - перио-
дическая функция магнитного потока внутри сверхпроводящего коль-
ца, в которое включены одна или две слабые связи. Минимальное
изменение потока, которое можно измерить с помощью таких прибо-
ров, - порядка долей 10~5) кванта потока Фо (фо = 2,07 • 10”15Вб).

В СКВИДе с одним контактом последний оказывается замкнутым
сверхпроводником; поэтому сигнал со СКВИДа снимают с помощью
индуктивно связанного с ним резонансного контура, смещенного вы-
сокочастотным сигналом. По этой причине такого рода устройства
обычно называют ВЧ СКВИДами. В схеме с двумя контактами сла-
бые связи оказываются не замкнуты сверхпроводником, и, следова-
тельно, в этом случае можно получать ВАХ на постоянном токе. В
рабочем режиме устройство смещается током, несколько превышаю-
щим критический, и измеряется падение напряжения на нем. Устрой-
ства этого типа обычно называют ПТ-СКВИДами. Укажем на отлич-
ные обзоры Кларка [218, 219], посвященные обоим типам СКВИДов.
Здесь мы рассмотрим основные принципы работы как ВЧ, так и ПТ-
СКВИДов. Обсудим их максимальную чувствительность и практичес-
кие методы измерения. Далее кратко рассмотрим схему, в которой
в сверхпроводящее кольцо СКВИДа включено резистивное звено
(так называемый ре-СКВИД). Коснемся также основных приложений
устройств, обсуждаемых в этой главе.

$ От английской аббревиатуры SQUID (Superconducting Quantum Inter-
ference Device), что означает сверхпроводящий квантовый интерференцион-
ный прибор (или детектор). В отечественной литературе употребляются так-
же другие названия: русская аббревиатура «СКИП» и «сверхпроводящий
интерферометр» - Прим. ред.
13.1. СКВИЦ с высокочастотным смещением

Основная часть ВЧ СКВИДа — сверхпроводящее кольцо с джозеф-
соновским контактом (разд. 12.2), индуктивно связанное с высокочас-
тотным резонансным контуром.

В зависимости от того, каков вид функции Ф(Фе), реализуются
два существенно различных режима работы устройства [409, 912]. Па-
раметром, характеризующим режим работы системы, является

= 2^/^) (гл. 12).

При 1 поток через кольцо монотонно возрастает с увеличе-
нием внешнего потока Фе (см. рис. 12.7,а). Такой режим работы обычно
называют безгистерезисным.

При р е > 1 зависимость Ф от Фе обладает гистерезисом
(рис. 12.7, б). Когда амплитуда приложенного потока превышает дан-
ную величину, система проходит гистерезисные петли. Поэтому уст-
ройство диссипирует энергию; такой режим работы называют гисте-
резисным.

Мы достаточно подробно рассмотрим оба режима работы СКВИДа:
для случаев Ре « 1 и > 1. Прежде чем перейти к аналитическому
описанию поведения кольца с одним контактом, индуктивно связанно-
го с ВЧ контуром, обсудим некоторые особенности этого поведения,
возникшие из-за включения нелинейного элемента в сверхпроводящее
кольцо.

13.1.1. Влияние параметрической индуктивности. Как мы
уже видели в разд. 11.6, в пределе нулевого смещения джозефсонов-
ский элемент можно описать с помощью параметрической индуктив-
ности. При включении контакта в сверхпроводящее кольцо он начина-
ет воздействовать на полную индуктивность кольца. В случае малого
изменения сигнала, а именно когда амплитуда переменной во време-
ни компоненты приложенного потока мала по сравнению с величиной
кванта потока Фо> выражение для эффективной индуктивности систе-
мы можно получить непосредственно из статических характерис-
тик, обсуждавшихся в разд. 12.2.2.

Действительно, в этом приближении, следуя Силверу и Циммерма-
ну [912, 913], можно определить
Дифференцируя (12.2.3) по i , получим соотношение

^ = -£+—!— di di/dQ * (13.1.2)
Из (12.2.4) следует, ЧТО di lirl' 2тгФ Фо Фо (13.1.3)
Комбинируя (13.1.1) - (13.1.3), получаем
Ал = £ ]-4 ! £сО8(2тгФ/Ф0) (13.1.4)

Из последнего выражения можно определить эквивалентную индуктив-
ность контакта:

^(Ф)=ДСо^Ф/Ф„) • (1315)

Аналогичное выражение для Lj Джозефсон [543] получал другим
способом. Действие параметрической индуктивности проявляется в
СКВИДе, индуктивно связанном с резонансным контуром с индуктив-
ностью LT и емкостью Ст (рис. 13.1). Если L - индуктивность сверх-
проводящего кольца, систему можно описать эквивалентной схемой,
показанной на рис. 13.2 [409]. Слабая связь на этой схеме представ-
лена параметрической индуктивностью Lj и сопротивлением Rj . Мы
будем предполагать сопротивление/^ достаточно малым и не шунти-
рующим емкость слабой связи. На языке резистивной модели (разд. 6.2)
это означает, что параметр [3^ = 1/о^ cRj много больше единицы.
Эффективная индуктивность связанного со СКВИДом резонансного

Рис. 13.1. СКВИД, индуктивно связанный с резонансным контуром (М —
коэффициент взаимоиндукции).
Рис. 13.2. Эквивалентная схема СКВИДа, связанного с резонансным
контуром .

контура, вычисленная с использованием эквивалентной схемы на
рис. 13.2, дается выражением

LT—LT 1—к2

Lj^)+L

(13.1.6)

где к — коэффициент связи, который определяется из М2 = к2LTL, а
ф =Ф/Ф0.

Предположим, что « 1. В таком случае (12.2.9а) можно ап-

проксимировать как ф~ф (13 17)

Следовательно, (13.1.6) переходит в

~ к

Lr 1 l + (l/pecos2iT$e)

^4r(l-K2j8ecos2w</>e) .

Поскольку резонансный контур связан со СКВИДом, его эффектив-
ная индуктивность есть периодическая функция магнитного потока
<ре через кольцо СКВИДа. Такую зависимость можно наблюдать, из-
меряя изменение эффективной резонансной частоты резонансного
контура v' = (LTcT)~^ как функции внешнего магнитного поля [912].

В пределе к2Де« 1 легко получить следующее выражение:

| Аг2 ~ -cos2H>e) •

Теоретическая зависимость Av7v как функция приложенного потока
показана на рис. 13.3 совместно с экспериментальными данными Сил-
вера и Циммермана [912] (кружки). В теоретических расчетах пред-
полагалось, что В к2 ~ 10~2.

9 ге
1 2 з

Фе/Ф0

Рис. 13.3. Экспериментальная зависимость (кружки) эффективной резо-
нансной частоты резонансного контура, связанного со СКВИДом (₽^« 1)
[912]. Сплошной кривой обозначена теоретическая зависимость Av/v, полу-
ченная в том же приближении»

Другой метод наблюдения влияния параметрической индуктивно-
сти в пределе « 1 позднее применяли Паскаль и Саузаде [797].
Эти авторы анализировали спектр шума предварительного усилителя,
подключенного к резонансному контуру. Предварительный усилитель
работал при температуре 4,2 К. Частота, соответствующая пику в
спектре шума, изменялась с внешним потоком .

При > 1 ситуация оказывается заметно иной. В этом случае
статические характеристики устройства обладают гистерезисом, а
вклад L j становится пренебрежимо малым по сравнению со вкладом
индуктивности кольца L. Это обстоятельство легко проверить, при-
няв во внимание для L выражение (13.1.1), а также тот факт, что
при увеличении ветви зависимости i от Фе, отвечающие устойчи-
вым решениям (рис. 12.7,а), переходят в линейно возрастающие функ-
ции. Однако на краях этих участков, там, где происходят переходы
между разными ветвями, форма кривой изменяется. Этот эффект наи-
более заметен при значениях не сильно превышающих единицу.

Эти же аргументы остаются в силе и для зависимости Ф от Фе
(рис. 12.7,0. Действительно, дифференцируя (12.2.3) по Фе, получаем

= l+LJL
d$e </Фе
Рис. 13.4. Измерения Ll^ /ф0 для СКВИДа в гистерезисном режиме
(₽е > 1). (Согласно Паскалю и Саузаде [797].)

Объединяя последнее соотношение с (13.1.1), имеем

аФ = l
d*e Ье![(ф) ‘

Следовательно, наклон кривой Ф(Фе) зависит от величины эффек-
тивной индуктивности устройства Le{{ .Изменение производной
</ф/йФе можно обнаружить [797], смещая резонансный контур медлен-
но изменяющимся пилообразным током, модулированным ВЧ сигна-
лом с малой амплитудой. Напряжение ВЧ сигнала VT, детектируе-
мое на резонансном контуре, пропорционально йф/<й и, следо-
вательно, б/Ф/</Фе. Медленно изменяющийся сигнал пропорциона-
лен квазистатическому потоку. Зависимости VT от Фе и Ф от Фе пред-
ставлены на рис. 13.4. Интересно отметить, что измерения такого ро-
да могут служить способом измерения отношения И1/ф0, т.е. .;еличи-
ны ₽« (рис. 13.5).
d = 250

Рис. 13.5. Экспериментальные кривые для измерения LI^/ф^ = ъо (Со-
гласно Паскалю и Саузаде [797].)

13.1.2. ВЧ СКВИД в безгистерезисном режиме. В случае
< 1 можно получить аналитическое описание одноконтактного
СКВИДа, индуктивно связанного с резонансным контуром с ВЧ сме-
щением [323]. Исходный пункт описания одноконтактного кольца в
динамическом режиме - соотношение (12.2.15). Сделаем подстановку

/ ф \ 2° 4>

^sin=2w 2 M„(£)sin2wn$-
\ vo/ n=i 0

которая непосредственно следует из (12.2.9а) и из справедливого при
Р>е < 1 соотношения (12.2.10).

Вместо рассмотрения общего аналитического решения мы здесь
исследуем упрощенную ситуацию « 1. Этот случай анализировал
Хансма [ 458]. Приведем простое обобщение теории Хансмы, с помощью
которого можно получить выражения как для совпадающих, так и для
не совпадающих по фазе компонент ВЧ напряжения на резонансном
контуре [64].

Связь сверхпроводящего кольца СКВИДа с индуктивностью
контура LT осуществляется через взаимную индуктивность М
(рис. 13.6). Резонансный контур возбуждается ВЧ током

ir —Irsinb)t
частота которого со близка к резонансной частоте контура со0 = А/у/ЬтСт .
ВЧ ток, протекающий через индуктивность LT, равен

=/rsin((o/ + 0)
Рис. 13.6. СКВИД, связанный с резонансным контуром, который смещен
ВЧ сигналом.,

В этом случае поток через кольцо СКВИДа будет состоять из постоян-
ного потока Фас и переменного потока MlT sin(oor + 6), так что пол-
ный поток есть

ФЛ 0 = ф<и + $rf sin( Ut + о)
где Фн = шт.

Предположение « 1 обеспечивает пренебрежение экранирующим
током в кольце, поэтому эффективный поток ф определяется главным
образом внешним потоком . Ток в кольце (12.2.96) дается выраже-
нием

i(t)~ sin

(13.1.8)

При наличии изменяющегося во времени потока Ф (Т) полный ток
в сверхпроводящем кольце содержит вклад, обусловленный сопротив-
лением контакта в нормальном состоянии Rj . Здесь мы будем пред-
полагать, что такой нормальный ток in пренебрежимо мал по сравне-
нию с джозефсоновским током i(t). Это соответствует предположению

1 d$e
Rj dt

Высокочастотный предел рассматривался Нотарисом, Вангом и Мер-
серо [765]. Позднее эту проблему теоретически изучали Бурман и
Яккель [158] и Соренсен [931 ], а также теоретически и эксперимен-
тально - Каллегари и Дивер [ 164].

Выражение (13.1.8) является однозначной функцией; используя
тригонометрические соотношения и разложение Фурье - Бесселя
(11.1.3), его можно переписать в виде

'(')=-Л) siny0

ОО

А>(ф1) + 2 S J2n(<Pi)cos[2«(wz + 0)]
п= 1

+ COS (pQ

2 S J2n+1(<Pi)sin[(2w + 1)(wz + 0)]
. n = 0

(13.1.9)

где JJx) - функции Бесселя целого порядка, а
ф., ф е

= 2 77 ; <р, -- 2 77 ~

° Фо 1 Фо

Такой осциллирующий ток из-за взаимоиндукции М индуцирует напря-
жение на резонансном контуре

= .

Это напряжение в свою очередь вызывает ток через индуктивность,
равный

z\s

где / 1 \

Zs=R+j(wLT--—\ = \Zs\e^ (13.1.Ю)

\ СО V у' /

есть комплексный последовательный импеданс резонансного контура.
Мы предполагаем, что со ~ coQ и что добротность контура Q достаточ-
но велика. Следовательно, при вычислении индуцированного тока
ij (i) в выражении (13.1.9) можно учитывать только компоненту с ос-
новной частотой со. Вклад компонент, соответствующих высшим гар-
моникам, существенно ослаблен. Используя комплексные обозначе-
ния, можно записать индуцированный ток через индуктивность L т
в виде Г • v 1

iz(z)=rlm . (13.1.11)

I J

Тогда полный ток через индуктивность LT определяется выражени-
ем

eJ(b>t + O)

Напряжение VT на резонансном контуре имеет вид

2<о2М/1 , ч я

Fr(r) = InJ j^LTIT-

В пренебрежении вкладом индуцированного тока в первом порядке
справедливы следующие соотношения:

где

— — hR |

1 \ jvCT /

Zp =---------------= \ZP\e’e' (13.1.12)

J“Lr + ^CT+R

есть комплексный параллельный импеданс резонансного контура.
Выражение для напряжения Vr (t) переходит в

Иг(г) = 1т

Л ju>2M2LLT

\ZP\IreJ < +------------cos<p0J1(<f>1)eJ'«’/,-«.)

e-'“'k(13.1.13)

Аналогичное выражение для Vr {t) было получено Силвером и Цим-
мерманом [913]. Первый член в правой части представляет собой
вклад резонансного контура, когда связь со СКВИДом пренебрежи-
мо мала. Из (13.1.13) видно, что в случае резонанса (со = со0)
Qp = 0S =0 и оба члена в скобках сдвинуты по фазе на тт/2. При Q » 1
и w - «0 справедливы следующие приближения [973]:

|Zs|^^(l+S2)‘/2; ^^-tan-'fi ,

(<pLt)2

“КГ

eP^-os

где

(co \

-------1 .

<*>o '

Следовательно, (13.U3) переходит в

K(z)-Im

QvLTIr . -iA wM2LQ z . 9 .

--------—^,an +j---------—— cos<p0J|(<f>! )e2/

(1+62)7 (1+62)7

eJut

С использованием безразмерных единиц

(л) JL

M ;
последнее выражение можно переписать в виде

VD( t)=Im {[ /(8 )e>tan~1 e +JA cos <p0 F( ID, 8) e2>,an~' ’] =

= Im{Ze>“'} , (13.1.14)

где для удобства введены величины

,({)=—

” ttLtL (62 + 1)1/2

F(Jd,S)= э 1 - J,(2^Z(6)) .

(82 + 1)1/2

Следовательно, синфазная и сдвинутая по фазе на тт/2 компоненты
напряжения на резонансном контуре имеют вид

Re[ Z]=/(8) cos(tan_ 18) — A cos <р0 F( ID, 5) sin(2 tan-18) ,

Im[Z]=7(8)sin(tan-18)+24cos<p0F(/D,8)cos(2tan-18) .

На рис. 13.7 изображено векторное представление отклика СКВИДа
на плоскости х = Re[Z], у = Im [Z]. Рассмотрены различные значе-
ния параметра 5. Для каждого значения 5 показаны два предельных
случая = пф0 (треугольники) и Фд, = [(2п + 1)/2]Ф0 (крестики).
Каждый отрезок прямой соединяющий эти два предельных случая,
соответствует фиксированной величине тока ID. Вектор, соединяю-
щий начало отсчета с серединой каждого отрезка прямой, соответст-
вует отклику СКВИДа при Ф^ = Фо/4. Поскольку в этом случае
c°s<p0 = 0, такой вектор соответствует отклику резонансного конту-
ра в пренебрежении связью со СКВЙДом. Для величины А было выб-
рано значение А = 0,2. Хорошо видно, что при 5 = 0 (т.е. w = со0)
вклады от СКВИДа и от резонансного контура сдвинуты по фазе на
тт/2. Ситуация является симметричной относительно 5 = 0, хотя за-
висимости Ф^ обратные.

Если напряжение на резонансном контуре измеряется амплитуд-
ным детектором, то величиной, представляющей интерес, оказывает-
ся модуль (13.1.14):

|^| = [/2(8)+Л2^2(/д,8)со52<р0-27(8)^F(7D)8)cos<p0sin(tan-18)] .
lm[Z]

Рис. 13.7. Отклик ВЧ СКВИДа в безгистерезисном режиме, представлен-
ный в комплексной плоскости при различных значениях параметра расстрой-
ки б = 2Q(co/«0 — 1). Каждый отрезок прямой соответствует фиксиро-
ванному значению амплитуды ВЧ тока смещения. Величина А полагалась
равной 0,2о
На рис. 13.8 показана зависимость | от ID при различных зна-
чениях 5. Для каждого 6 приведены две кривые, соответствующие

с = пфо и $dc = + 1 /2) Фо. При заданном значении lD глубина

модуляции постоянного поля &VD является функцией параметра рас-
стройки 8. Эта зависимость приведена на рис. 13.9 для А = 0,2 и
ZD = 0,4. Амплитуда напряжения на резонансном контуре является
периодической функцией постоянного поля, приложенного к СКВИДу.
На рис. 13.10 показана зависимость | VD | от при lD = 0,2 и
ID =0,4 для двух различных значений параметра расстройки 8. Инте-
ресно отметить, что при резонансе (т.е. при 8 = 0) период осцилляций
I *п(Ф(1с) I составляет Фо/2 вместо Фо. Такое ”аномальное”поведе-
ние СКВИДа недавно наблюдали экспериментально Эрне и Лютер
[320]. В предположении F(lDf 5) - 1 глубина модуляции, как можно
убедиться с помощью (13.1.15), оказывается порядка А. Следователь-
но, максимальное изменение напряжения есть

’ (13U6)

где мы использовали приближение К 2Q - тт.

Если ограничение « 1 не выполнено, можно получить выра-
жение, аналогичное (13.1.13), которое будет справедливым при всех
₽е 1. В этом случае напряжение на резонансном контуре определя-
ется соотношением [314]

где С(ф0, фД выражается через функции Бесселя:
ос 21 (пВ 1

« = 1 пре

При Де «1

G(<p0,<Pj)~2cos<p0J1(<Pi) >

и мы приходим к (13.1.13).

Тщательные экспериментальные исследования ВЧ СКВИДа в без-
гистерезисном режиме были проведены Рифкином и др. [842,843].
В этих работах использовался точечный ниобиевый контакт, вклю-
ченный в кольцо тороидальной конфигурации (разд. 13.4). Измерен-
ная полная индуктивность кольца составляла 1,0 • 10-10 Гн. Благо-
(в) /л

0,40

0,20

0,00

1,40 —

1,20 —

1,00 —

0,80 —

0,60 —

Рис. 13.8. Теоретическая зависимость | VD | от вычисленная с по-
мощью (13о1 о15) при различных значениях параметра расстройки бв Две кри-
вые соответствуют двум предельным случаям Ф^с = (п + 1/2)Ф0 и 2пФ0.
а) 5 = 0; б) 5 = 0,5; в) б = 1; г) б = —1„ Величина А так жр, как и на
рис. 13.7, равна 0,2о Обозначения те же, что на рис. 13.7; а - совпадение
точек + и △ 0

2Йi.LiXi-lj 1 1 1.Ll.1J

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

(Г)
Рис. 13.9. Максимальная модуляция потока &VD как функция 6 при фикси-
рованном значении амплитуды ВЧ тока.

Рис. 13.10. Теоретическая зависимость максимального напряжения на ре-
зонансном контуре | VD | от внешнего постоянного потока Ф^с при различ-
ных значениях амплитуды ВЧ тока, а) 5 = 1; б) 5 = о.
даря такой малой величине L имелась возможность получить значение кри-
тического тока слабой связи до 3 мкА, в то время как условие « 1
было выполнено. Резонансный контур настраивался на частоту 30 МГц
и смещался током ВЧ источника, соединенного с контуром коаксиаль-
ным кабелем из нержавеющей стали через небольшую емкость. Схема
экспериментальной установки показана на рис. 13.11,а. На рис. 13.11,б
представлена зависимость напряжения на резонансном контуре от
внешнего потока. Приведенные данные относятся к случаю « 1.
Кружками обозначены результаты, полученные в этом приближении
из теории Хансмы [458] . Если условие р^ « 1 не выполняется, экра-
нирующим током пренебречь уже нельзя, и приближение ф - ф оказы-
вается несправедливым. Теоретический анализ работы ВЧ СКЙИДа с
учетом экранирующего тока проводился в работах Рифкина и др.

[842, 843], Соренсена [931], Эрне, Халбома и Люббига [323]. В этом
случае кривые | VD | - Ф(1с и | VD | - ID уже не симметричны отно-
сительно случая 5 = 0. Далее заметными оказываются эффекты, свя-
занные с конкретным типом диссипативных членов в проводимости
слабой связи. Как показал Хансма [458, 459], в этом случае стано-
вится существенной интерференционная проводимость квазичастиц
и пар (разд. 1.7). Представив этот член в виде е50созф, можно по-
казать, например, что модуляция напряжения как функция 5 уже не
имеет нулевых значений при 5 = 0, а принимает положительное или
отрицательное значение в зависимости от знака е. Нисенофф и Вольф
[760] сообщили об экспериментах по наблюдению эффекта, связанно-
го с наличием совф-вклада. Эти данные представлены на рис. 13.12
(крестики) совместно с теоретической зависимостью, полученной
Эрне, Халбомом и Люббигом [323] с учетом созф-вклада в обобщении
на случай 6^ 1,

13.1.3. ВЧ СКВИД в гистерезисном режиме (р^ > 1). Если
величина Ре больше единицы, статические характеристики Ф(Фе) уже
неоднозначны (рис. 12.7,0; поэтому обсуждавшийся до сих пор ана-
литический подход в этом случае становится неприменимым. Пробле-
му описания СКВИДа, индуктивно связанного с резонансным конту-
ром, можно решить, прибегнув к помощи численных методов либо ана-
логового компьютера [ 917]. Работа ВЧ СКВИДа в гистерезисном ре-
жиме была полуколичественно описана различными авторами [392,
409, 657, 721, 759, 798, 1007, 111 1, 1036]. Мы будем следовать прос-
Р и с. 13,11. а — схема экспериментальной установки для исследования ВЧ СКВИДа в безгистерезисном
режиме; 1 - ВЦ осциллограф; 2 — синхрониматор; 3 — аттенюатор; 4 - ВЧ вольтметр; 5 — ВЧ усилитель;

6 - детектор, б - сравнение экспериментальной зависимости | Ир । от Ф^с (сплошная кривая) с теоре-
тическими результатами (кружки). (Согласно Рифкину и др. [843]о)
Рис 13.12. Сигнал, соответствующий первому максимуму модуляции по-
тока, как функция параметра расстройки 5 = 2Q [q/coq - 1 ]в Приведены
экспериментальные данные работы [760] (крестики) и теоретическая зави-
симость (кружки), учитывающая вклад cos q>0 а - наилучшее согласие
между вычислениями и экспериментом имеет место в приближении Ф — Фе;
б - результаты расчета с использованием первых 10 членов разложения
функции Ф(Ф^ ) в ряд (12.2.10) [ 323].

тому описанию Циммермана, Тьена и Хардинга [1111 ] с помощью дис-
сипации энергии в резонансном контуре.

Предположим, что сверхпроводящее кольцо описывается зависи-
мостью ф от Фе, показанной на рис» 13.1 Зя, причем графики,отвеча-
ющие устойчивому состоянию, для простоты изображены горизонталь-
ными линиями. Переключение СКВИДа происходит только между со-
седними квантовыми состояниями, т.е. АФ = ± Фо. Если, как и преж-
де, L — индуктивность СКВИДа, Rj - сопротивление слабой связи в
нормальном состоянии, то время переключения будет tl = L/R^ . Ре-
зонансный контур из индуктивности Ltvl емкости Ст, возбужденный
ВЧ током cos cot на резонансной частоте, индуктивно связан со
СКВИДом, причем коэффициент взаимной индукции равен М (рис. 13.13,в).
Будем считать, что выполняется условие со/2тг « 1/т£ . Для типич-
ных значений L - 10 Гн и Rj = 3 Qm имеем 1/tl 3 ГГц. В нор-
'М ал ином потоке режима работы устройства со/2тт — 20 ч- 30 МГц. Ве-
Рис. 13.13. ВЧ СКВИД в гистерезисном режиме (ре = 2irLZ Х/Фо >
а - зависимость внутреннего потока Ф от внешнего потока Фе для сверх-
проводящего контура с джозефсоновским контактом; б - схема СКВИДа,
связанного с резонансным ВМ контуром; в — эффективный зависящий от
времени поток, приложенный к СКВИДу. Амплитуды А и В относятся к
• ситуации, при которой проходятся соответственно одна и две гистерезис-
ные петли; г - зависимость напряжения на резонансном контуре V от
амплитуды ВМ тока Zrf. Две кривые соответствуют случаям Ф^с = пФ0
(ветвь АВЕ) и Ф^с = (2и + 1)Ф0/2 (ветвь ACD), На врезке показана зави-
симость внешнего потока, имеющая характерную треугольноподобную фор-
му и обладающая периодом, равным кванту потока Фо.

личина внешнего потока t при котором происходит первый переход
между состояниями Ф = 0 и Ф = Фо, равна

ФС^Ы, (13.1.17)

где - критический ток слабой связи. Пусть Q - добротность резо-
нансного контура, тогда ВЧ поток через кольцо СКВИДа дается со-
отношением

ФгГ =MQItlcoswt .

Рассмотрим случай,, когда к СКВИДу приложен также постоянный
внешний поток 0dc = Фо/2. ВЧ напряжение на резонансном контуре
является линейной функцией (рИс. 13.13,в), пока выполняется
соотношение , ф ,

/гГ<л=(Фс-^)/л/е.

Амплитуда ВЧ напряжения определяется выражением

Krf=wLr0/rf •
Максимальная величина этой амплитуды, при которой сохраняется та-

кой режим, равна

(13.1.18)

При lt{ > I. проходят переходы в состояние Ф = Фо и обратно в со-
стояние Ф = 0. В результате этих переходов происходит диссипация,
и из резонансного контура извлекается энергия. Следовательно, амп-
литуда ВЧ тока уменьшится, и должно пройти несколько ВЧ периодов,
пока восстановится прежняя величина амплитуды. Рассеиваемая

энергия зависит от количества произошедших переходов. Поскольку
при прохождении одной гистерезисной петли происходит только два пе-
рехода, то полная диссипация энергии ДЕ равняется удвоенному вы-

ражению (12.2.16):

ДЕ=±

2ФсФр~ Фо2
L

(13.1.19)

где было использовано (13.1.17).

Время накопления энергии в контуре зависит от добротности Q
резонансного контура и величины . На практике ВЧ сигнал имеет
низкочастотную пилообразную амплитудную модуляцию. При увели-
чении I rf среднее значение напряжения на резонансном контуре

остается постоянным (на рис. 13.13,г это соответствует ступеньке
от А и С) до тех пор, пока Zrf = Zc . В этой точке осуществляется
прохождение одной гистерезисной петли за каждый ВЧ период, при
этом энергия ДЕ поступает из резонансного контура. При дальней-
шем увеличении 1^ амплитуда Tzr{ снова начинает возрастать ("подъ-
ем" от С до D на характеристике F { _ /rf см. на рис. 13.13,г). Ког-
да ток 1т1 достигает величины, при которой под действием ВЧ моду-
ляции система проходит более чем одну гистерезисную петлю, мы
приходим в область новой ступеньки. Вторая ступенька заканчивает-
ся, когда система в течение каждого ВЧ периода проходит три гисте-
резисные петли. Ее длина равняется удвоенной длине первой ступень-
ки. Зависимость 7г{ _ Zrf для случая Фас = 0 на рис. 13.13,г показа-
на сплошной линией. Первая ступенька в этом случае появляется при

— uLT
V
в М ‘

(13.1.20)

Она имеет длину, вдвое превышающую длину первой ступеньки для
случая Фас = ф0/2. Первый подъем соответствует прохождению сис-
темой двух гистерезисных петель за каждый ВЧ период. Зависимость
^rf “ hi для значений постоянного потока 4>dc, находящихся между
О и Фо/2 (или, что эквивалентно, между пФ0 и (п + 1 /2)Ф0) попадает
в область между двумя кривыми, изображенными на рис. 13.13,г. Фик-
сируя величину 1т{ на одной ступеньке и изменяя внешнее поле, по-
лучаем, что К { "треугольным образом" зависит от постоянного пото-
ка с периодом, равным кванту потока Фо (рИс. 13.13,г). Амплитуду
этих осцилляций легко вычислить, вычитая (13.1.20) из (13.1.18):

М 2

(13.1.21)

На линейных ветвях "треугольноподобной” зависимости F f от Odc
изменение F f при малых приращениях внешнего постоянного потока

5ф(1с Равно

SFrf _ ub

5Фас~ М

(13.1.22)

Для типичных значений со/2тт = 20 МГц, LT = 0,2 мкГн, L - 10~9 Гн
и К= 0,2 получаем чувствительность ~18 мкВ/Ф0. Из последнего
выражения видно, что, уменьшая М (т.е. уменьшая коэффициент связи
К между СКВИДом и катушкой индуктивности L т резонансного конту-
ра; как обычно, М2 = K2LtL), можно достичь сколь угодно большой
чувствительности. Очевидно, однако, что К нельзя делать слишком
малым, поскольку для работы СКВИДа необходимо осуществлять его
связь с резонансным контуром. Поэтому должен существовать ниж-
ний предел для к2.

Симмондс и Паркер [917], используя аналоговый компьютер,
пришли к выводу, что оптимальная связь реализуется при условии
K2Q >, 1. В рамках только что описанной модели это условие можно
получить [392], потребовав, чтобы точка С на графике Izrf _ 1т{ на-
ходилась справа от точки В (рис. 13.13, г). Иными словами, длина
первой ступеньки Zc - /А (для Odc = Фо/2) должна превышать отре-
зок 1В - 1А. Однако мы уже видели, что избыток мощности, посту-
пающий в резонансный контур при прохождении первой ступеньки, ра-
вен w

С АГ 2тт

Далее легко убедиться, что

‘в А 2MQ
Поэтому при учете (13.1.18) и (13.1.19) из условия

вытекает, что .,2Л

' ЛЛ *•( I «тг

Оптимальные условия работы СКВИДа в этом режиме обсуждались
в работах [797, 1006].

Используемая нами простая модель предсказывает скачки в на-
чальной точке каждой ступеньки на зависимости F f i f. Высота
этих скачков должна равняться половине расстояния от максимума до макси-
мума амплитуды пилообразной модуляции ВЧ напряжения. Однако эти скач-
ки оказываются гораздо меньше величины LV и никогда не наблюда-
лись экспериментально. По этой причине на рис. 13.13,г мы ими пре-
небрегли .

Проведенный выше анализ работы системы справедлив только
в том случае, если рассеяние энергии в резонансном контуре за один
период намного меньше рассеяния энергии в СКВИДе при прохожде-
нии гистерезисной петли.

На рис. 13.14 показана схема типичной экспериментальной уста-
новки, предназначенной для работы СКВИДа в гистерезисном режиме.
Для возбуждения резонансного контура и питания самого СКВИДа
используется коаксиальный кабель из нержавеющей стали. СКВИД и
резонансный контур находятся в жидком гелии при 4,2 К. ВЧ напря-
жение на резонансном контуре усиливается низкошумящим усилите-
лем, демодулируется, интегрируется и подается на ось "Y” осцил»
лографа. В качестве входного каскада обычно используется пред-
усилитель на полевых транзисторах, а в качестве детектора - диод.
Когда переключатель находится в состоянии ’’ступеньки” ВЧ смеще-
ние дополнительно модулируется по амплитуде сигналом от звуко-
вого генератора. Поэтому сигнал на этой частоте пропорционален
амплитуде ВЧ тока. Если же переключатель находится в состоянии
’’треугольники”, то для создания квазистатического поля в СКВИДе,
которое необходимо для наблюдения характерной треугольноподобной
зависимости, используется низкочастотный сигнал. На рис. 13.15,а
показана характерная ’’лестничная” зависимость для устройства, ра-
ботающего на частоте 27 МГц. Две кривые отвечают двум предельным
Осциллограф

Рис. 13.14. Типичная экспериментальная установка, обеспечивающая ра-
боту ВЧ СКВИДа. 1 - модулятор; 2,3 - генератор; 4 - ВМ усилитель.

случаям, соответствующим значениям внешнего потока Ф(1с = 2пФ0/2
и фдс = (2п + 1)Ф0/2. Треугольноподобная зависимость показана на
рис. 13.15,6. Разные кривые соответствуют различным значениям
амплитуды ВЧ тока Zrf.

13.2. СКВИД со смещением по постоянному току

Интерферометр с двумя контактами (разд. 12.3) - основной элемент
так называемого ПТ-СКВИДа. В процессе работы устройство смеща-
ется током и измеряется напряжение на нем. При значениях тока сме-
щения, превышающих критический ток 1С, напряжение на СКВИДе
является функцией от внешнего поля. Принцип работы ПТ-СКВИДа
подробно рассматривали Де Вале и Де Брюэн Оботе [281] и позднее
Теше и Кларк [974. 975]. Для определения отклика устройства не-
Ф.|е "ПФ0 Фао=[п + И2]Ф

1 ‘

ВЧ управление, Zrf б Постоянное поле9 Ф^с

Рис. 13.15. Отклик ВЧ СКВИДа в гистерезисном режиме, а - зависимость
детектируемого напряжения на резонансном контуре Ff от амплитуды ВЧ
тока смещения /ff. Две кривые соответствуют двум предельным случаям
значений внешнего потока: <t>dc = пФ0 и Ф^с = (2п + 1)Ф0/2; б - зависи-
мость детектируемого напряжения на резонансном контуре от внешнего маг-
нитного поля о Различные кривые соответствуют различным значениям ВЧ
тока смещения 1^, (Согласно Циммерману [10981)

обходимо рассчитать зависимость тока от напряжения для кольца
с Двумя контактами при наличии внешнего потока Ф^. Такой интер-
ферометр описывается эквивалентной схемой, изображенной на
рис. 13.16,г. Поскольку нас интересует поведение системы при конеч-
ном напряжении, нужно рассматривать полную эквивалентную схему
для случая двух контактов. Будем использовать простую резистив-
ную модель, обсуждавшуюся в гл. 6.

Предположим, что параметр [3^ - l/ozjRC много больше единицы.
Это означает, что емкость С каждого контакта полностью шунтиро-
вана малым сопротивлением R. Как мы уже видели, при таком усло-
вии ($j » 1) ВАХ одиночного контакта обратима и не имеет гисте-
резиса. То же самое происходит и в случае интерферометра из двух
контактов. Смещение СКВИДа осуществляется постоянным током I.
Обозначим зависящие от времени токи в двух плечах интерферомет-
ра через i^t), Тогда справедливы следующие соотношения:
(Г)

Рис. 13.16. ПТ-СКВИД. а - типичная зависимость сверхпроводящего то-
ка от магнитного поля для контура с двумя джозефсоновскими контакта-
ми; б - ВАХ в двух предельных случаях Фе = иФ0 и Фе = (2п + 1)Ф0/2;
в - зависимость детектируемого напряжения от внешнего магнитного по-
ля при различных значениях постоянного тока смещения [265]; г - эквива-
лентная схема интерферометра с двумя джозефсоновскими контактами.

II IS If

(13.2.16)

где is - ток, циркулирующий в кольце интерферометра. Токи i'i(t) и
t2(t) связаны с напряжениями на контактах Va и Vb и со сверхпрово-
дящими токами следующими равенствами:

/1(O=/asin<]pa(r)+-^ , (13.2.2а)

** п
i2(t)=Ibsm<pb(t)+£ (13.2.26)

Временная зависимость уа и <рь задается обычными соотношениями:

2е

-W = TV‘ ’ (13.2.3а)

<*Ф* 2е ,

~Л=ТИ‘ ' (13-2.36)

Предположим, что оба плеча интерферометра обладают одинаковы-
ми собственными индуктивностями (L„ =L ь = L /2). Полное напря-
жение V, возникающее на СКВИДе, связано с Va и Vb соотношения-
ми Ldi. ' z

И=Иа + у-^ , (13.2.4а)

V=Vb + l^ ’ (13.2.46)

в которых мы пренебрегли взаимной индуктивностью между двумя
плечами интерферометра. Из (13.2.4), (13.2.3) и (13.2.1) при I = const

следует, что И,)=А'„(,) , (13.2.5)
где ф(<)= ф.(»+ф,(» . (13 2 5а)

Используя (13.2.2) и ( 13.2.4), можно записать (13.2.1а) и (13.2.16)

в виде И t) /=/0[81ПФа(г) + 51п<р/)(г)]+2 R , (13.2.6а)

‘s = 7o[sinФа(0 ~sinФг>(0] + ’ (13.2.66)

где мы предположили, что 1а = 1Ь = /0.

Для упрощения вычислений, следуя авторам работы [281], в вы-
ражении (13.2.66) пренебрегаем вкладом квазичастиц. Последние со-
отношения переходят в

/=2/osta(b±)cos( | ,2^2 , (13.2.7а)

<s=220cos(^6t^)sin(^^j • (13.2.76)
Из (12.3.1) имеем

где Ф = Фя + Lig есть эффективный поток через кольцо СКВИДа,
Фе — внешний поток.

После простых преобразований (13.2.7а) и (13.2.76) можно пере-
писать в виде

~ф 2V(t)
/=270sin<p(/)cos-$- + -—— > (13.2.8а)

Ф* = — sin?r-^-cos<p(/) > (13.2.86)

Фо Фо

где |3Т = 2тг£/0/Ф0. В пренебрежении индуктивностью кольца
L (13.2.86) сводится к (Вт -> 0)

Ф —Фе ,
которое при подстановке в (13.2.8а) дает
/=/с(Фе)мпФ(г)+|А^1 , (13.2.9)

где „ ч тгф

4(Фг)=270со8-ф-

и было использовано равенство (13.2.5).

Уравнение (13.2.9) исследовалось в гл. 6. В настоящем случае
оно дает _

0<|/|</с(Фе) = 2/0|со8 77фе| , И(г) = о ,

|/|>4(Фе), Й(О=у//2-/с2 • (13.2.10)

Когда пренебречь индукцией кольца нельзя (Рт =/ 0), ситуация стано-
вится более сложной. При 11 | 4 I с , как и раньше, V(t) = 0. Зависи-
мость 1с от Фе остается той же, что и в гл. 12. При | Г | > /с(Фе)
для данной величины внешнего потока Фе Из (13.2.8в) можно опреде-
лить полный поток Ф как функцию <p(t). Поэтому из (13.2.8а) также
можно выразить v(t) через <р(г). Напряжение Р(г) периодически (с
периодом 2тт) зависит от <р. Из (13.2.5) следует, что

^'^ТеГ^Те ' <,3-2Л1>
Отсюда ясно, что V(t) - периодическая функция t с периодом Т, кото-
рый задается соотношением

h dtp

T=2ef0 К(<р)' (13.2.12)

Усредняя напряжение по периоду Т, можно вычислить его величину,
среднюю по времени:

F(r)=l/’ГГ(ОЛ=—— (13.2.13)

Т Jq Г2т dtp

Л> Иф)

Из этого выражения можно также определить зависимость V - Фе
при заданной величине тока Z. На рис. 13.16 представлены зависи-
мости 1с - Фе и V - Фе, полученные численно Де Брюэном Оботе и
Де Вале _[ 265]. Приведенные кривые относятся к случаю ~3тт.
Кривые V - Ф^ соответствуют двум различным значениям тока I .
На том же рисунке показана зависимость V - I при различных зна-
чениях внешнего потока Фе = ПФО иФе = (п+ 1/2)Ф0.

Экспериментальные данные, полученные в работе [265] на капле-
видных контактах [772], представлены на рис. 13.17,а. Отклик по на-
пряжению для тонкопленочного планарного ПТ-СКВИДа, сконструиро-
ванного недавно Кромаром и Карелли [243], показан на рис. 13.17,6.
Устройство состоит из двух резистивно шунтированных контактов из
сплава свинца, включенных в многокольцевую систему. Порядок ве-
личины максимальной модуляции напряжения на зависимости V от Фе
можно оценить следующим образом. В обычных практических устрой-
ствах параметр [3 т много больше единицы, поэтому максимальная
величина модуляции критического тока Llc <^Ф0/Ь (разд. 12.3.3).
При этом максимальная величина изменения напряжения на СКВИДе
имеет вид

р ФЛ

ДИ^у-^ , (13.2.14)

где R — сопротивление каждой слабой связи в нормальном состоянии,
L - индуктивность кольца. При токе смещения Z, несколько превышаю-
щем 1с 9 зависимость V - Фе можно аппроксимировать треугольнопо-
добной зависимостью. На линейных ветвях этой зависимости отклик
системы по напряжению на малое изменение внешнего потока оФс
(в)

Рис. 13.17. Зависимость напряжения от внешнего магнитного поля для
ПТ-СКВИДа при различных значениях постоянного тока смещенияа а - слу-
чай двух каплевидных контактов из припоя [265]; б — тонкопленочная пла-
нарная структура с двумя резистивно шунтированными контактами из спла-
ва свинца (с любезного разрешения П,Карелли).
лается соотношением

_ А

ЗФе “ 2L

(13.2.15)

Для типичных значений R ~ 1 Ом и L - 10 ~9 Гн подучаем чувстви-
тельность ~ 1 мкВ/Ф0.

13.3. Шумы и максимальная чувствительность

Только что описанные нами ВЧ и ПТ-СКВИДы используются
главным образом в качестве детекторов магнитного потока. В связи
с этим весьма важно оценить уровень шумового потока таких уст-
ройств в рабочих условиях: он определяет минимально обнаружимый
внешний поток. Шумы в этих устройствах связаны с различными ис-
точниками. Существует собственный шум СКВИДа; имеет место шум,
вносимый цепью, непосредственно связанной со СКВИДом, а также
шум предусилителя; наконец, имеются внешние шумы, создаваемые,
например, нормальным кожухом, окружающим устройство, или шумы
радиоисточников и электрических машин. Можно получить простую
оценку собственного шума устройств обоих типов, если предположить
что источник флуктуаций в СКВИДе - джонсоновский шум в нормаль-
ном сопротивлении R слабой связи, включенной в сверхпроводящее
кольпо [ 1098]0 При температуре Т и полосе частот 5co/2n средне-
квадратичное значение шумового напряжения на R есть

(8V^=2kBTR~ ,

Z77

где kB постоянная Больцмана. Это напряжение индуцирует флук-
туирующий квазичастичный ток в кольце. Среднеквадратичная величи-
на этого тока равна

/ с г2 ч __ ^kBTR8co

" 7r(7?2+w2L)

и средний квадрат шумового потока имеет вид

= (13.3.1)

ТТ/х у 1 -Г СО L, / 1\ J
где L - индуктивность кольца.

Интегрирование этого выражения по всем частотам дает полный
шумовой поток

=kBTL . (13.3.2)
При <Ф^> > Ф02 периодичность отклика устройства будет полностью
стираться шумами. Наложив это ограничение, из (13.3.2) можно полу-
чить следующее условие для допустимых величин индуктивности
СКВИДа: .

L<^ (13.3.3)

В пределе низких частот со « L/R из (13.3.1) следует, что

(AL Тйи \}/2

(13.3.4)

Это выражение представляет собой так называемый классический
предел для минимально обнаружимого магнитного потока. При ти-
пичных значениях L = Ю“10 Гн, Я = 5 0миТ = 4К чувствитель-
ность СКВИДа составляет 3 • 10~7 Ф0Д/Гц'.Эта величина на несколь-
ко порядков меньше максимальной чувствительности реальных уст*
ройств, поскольку существует ряд других механизмов, дающих вклад
в собственный шум устройства. Ниже мы рассмотрим более подробно
проблемы шумов в обсуждавшихся устройствах различного типа.

13.3.1. ВЧ магнитометры. Рассмотрим сначала ВЧ СКВИД в
гистерезисном режиме (₽е > 1). Такая система наиболее часто при-
меняется в устройствах для измерения магнитных потоков.

Выше (разд. 13.1.3) мы предполагали, что переходы между со-
седними квантовыми состояниями происходят при фиксированном
значении внешнего потока Фс , однако в реальных СКВИДах тепло-
вые флуктуации препятствуют этому. Как показал Куркиярви [ 603],
распределение значений внешнего потока, при которых происходит
скачок, имеет ширину ст и максимум вблизи величины Ф', отличной
от Фс . Величины Ф' и ст зависят от того, каким образом Фе из-
меняется со временем, а также от параметров СКВИДа. При
(^Фе/Л)/Ф0 = const « R/L (L - индуктивность кольца, R - сопро-
тивление слабой связи) имеем [603]

где ст0 для обычных устройств приблизительно равна единице, а Т -
температура СКВИДа. При L - 10~9 Гн, Т ~4 К и Llr ~ ф0 имеем
ст - 0,13Фо. Распределение вероятности переходов изучалось экспе-
Рис. 13.18. Отклик ВЧ СКВИДа при наличии собственного шума.

риментально [522, 523], при этом была подтверждена теория Курки-
ярви. Неопределенность в значении потока, при котором происходят
переходы, имеет два важных следствия [606]. Во-первых, появляет-
ся шумовое напряжение на резонансном контуре, давая в низкочас-
тотном пределе поток, эквивалентный шуму

<йф2>|/2..П7 /2Г l±!L\2/il^\'/2rr(hL\2/3 йз 3 61

-0,7^ и а"а°|2д ) ( и ) L/wJ ’ ( }

где оо/2тг - частота ВЧ накачки резонансного контура. Последнее вы-
ражение описывает ’’собственный” шум устройства. При 00/211= 20 МГц и ра-
нее вычисленной величине а - 0,13Фо получаем <5ф52>^-3*10”5Ф()/^/Гц?
Во-вторых, собственный шум увеличивает закругление краев ступеней
и обусловливает их наклон на кривой Vrf - zrf (рис. 13.18). Индуциро-
ванный наклон ступеньки пропорционален амплитуде собственного шу-
ма. В связи с этим максимальная амплитуда напряжения ДГ (13.1.21)
становится равной

ДГ = (1-а)^/^ , (13.3.7)

где а = ДЕ /дго - отношение увеличения напряжения вдоль ступень-
ки к разности напряжений между двумя последовательными ступень-
ками (рис. 13.18). Как показали Яккель и Бурман [520], это отноше-
ние а непосредственно связано с собственным шумом соотношением

1 / W ^/2^Ф,2>1/2
0,7O0l2J г-

(13.3.8)
Следовательно, существует возможность по кривой у f / экспе-
риментально измерять собственный шум устройства.

Другой важный источник шума, уровень которого можно оптими-
зировать, но нельзя устранить, является резонансный контур. Джон-
соновские шумовые токи в сопротивлении нагрузки вызывают флук-
туации ВЧ тока в рабочей точке. Из-за конечного наклона ступенек
это приводит к флуктуациям детектируемого напряжения F f. Как
показал Куркиярви [604], шум резонансного контура связан с собст-
венным шумом устройства. Через поток он выражается следующим
образом:

<6Ф£>1/2 / квТЬ\'/г, , ч-1/2<5Ф,2>1/2

К -4Нт- (к2е) zм ’ (13.3.9)

где Т — эффективная температура резонансного контура, Q — его
добротность, к - константа связи, определенная, как обычно, равен-
ством к2 = M/(LLT). Вообще Т оказывается больше 4 К; например,
типичное значение Т может быть около 200 К. Используя величину
L ~10~9 Гн и полагая, что - 1, имеем

<^>1/2^32<Дф,2>|/2 .

/Гц /Гц

Подробный анализ вопросов, связанных с шумами и их оптимизацией
в ВЧ СКВИДах в гистерезисном режиме был проведен Яккелем и Бур-
маном [ 520]. В частности, эти авторы показали, что вид токофазово-
го соотношения для слабой связи в сверхпроводящем кольце также иг-
рает существенную роль.

Для ВЧ СКВИДа в безгистерезисном режиме (|3 е < 1) зависимость
Ф от Фе обратима, и поэтому скачков потока не происходит. При [Зе « 1
собственный шум был рассчитан Даниловым и Лихаревым [ 253]. Та-
кой шум обусловлен главным образом джонсоновским шумом в экви-
валентном шунтирующем сопротивлении R слабой связи. При боль-
ших величинах добротности резонансного контура Q и в низкочастот-
ном пределе имеем

L Ы,Т Г/г
где ю/2тг - частота ВЧ тока смещения. При w « R / L последнее
выражение переходит в

<йф2у/2 1,22 f 4^77? I'/2

/Гц ~ Л J (13‘310)

Интересно сравнить это выражение с соотношением (13.3.4). Единст-
венное отличие заключается в наличии множителя 1,22/[Зе, который
при , несколько меньших единицы, также оказывается порядка еди-
ницы. Следовательно, собственный шум ВЧ СКВИДа в этом режиме
близок к классическому пределу. Полагая Т= 4,2 К, R = 5 Ом и
L = 10-10 Гн (величина, необходимая для удовлетворения условия

< 1 при токе - 3 мкА), имеем < 5Ф?>1/2/ т/ГпТ- (1,24/р J х

х ю-7Фамч

Заметим, что выражение (13.3.10) было получено в предположении

« 1; однако, по крайней мере качественно, оно остается справед-
ливым и при 1 [ 157, 253]. Шум резонансного контура можно рас-
считать в рамках теории Куркиярви [ 604]. Единственное отличие в
данном случае (£е < 1) состоит в том, что наклон кривой - ;rf не
определяется собственным шумом СКВИДа. Спектральная плотность
шумового напряжения дается формулой [ 157]:

(6ИГ2)*/2
|/Гц

/ ивте ||/2
\ ^Л>1 / /®f \ wQ^LT]

(13.3.11)

где Те - эффективная температура резонансного контура, со - час-
тота ВЧ накачки, d \ VD\ / d \ lD\ - наклон кривой | VD | - | ID | в
рабочей точке, соответствующей выбранной величине ВЧ тока смеще-
ния. Поток, эквивалентный шуму в случае (3^ « 1 равен

(6Ф2)1/2 _ МИР| \ Z 2квТе \'/2 М

/Гц ' 2AwLT

где были использованы соотношения (13.1.16) и Л =K2Qpg/K> При-
равнивая наклон d \ VD | /d | lD | величине ooLTQ/^/б2 + 1, кото-
рая в пределе к 2 -♦ 0 соответствует связи между СКВИДом и резо-
нансным контуром, будем иметь

<м4>|/2।», (133|21
где использовано обычное соотношение М = к y/LLTf в котором L -
индуктивность СКВИДа.

13.3.2. ПТ-магнитометры. В этих устройствах источником
собственного шума является джонсоновский шум в сопротивлении,
шунтирующем джозефсоновский элемент. Этот шум приводит к двум

следствиям: во-первых, он вызывает шумовое напряжение на двух

слабых связях интерферометра, а во-вторых, он индуцирует шумовой
поток в сверхпроводящем кольце. Обычно второй эффект слабее пер-
вого, так что им можно пренебречь. Подробный анализ шумов в ПТ-
СКВИДах был дан Теше и Кларком [974, 975]. Здесь мы последуем

более простому подходу Кларка с сотр. [228]. Начнем с рассмотре-
ния выражения для спектральной функции шумового напряжения Sv(0)
резистивного шунтированного контакта. В отсутствие гистерезиса

(|3j » 1) в низкочастотном пределе и при Z1Ф0/тгАв Т » 0 имеем

[655]

1Ш2

2 Л

4fcBTrj(4) , (13.3.13)

где rD(lb ) = (dV/dI)Ib - дифференциальное сопротивление слабой
связи при заданном токе смещения Ib , а 1Г - критический ток.

Используя (13.3.13), в случае двухконтактного интерферометра
приходим к выражению для шумового потока интерферометра

_ S.1/2(0)

<Й7

4kBL2T \ г£>( Л) з

г / г

где г - нормальное сопротивление. Полагая, что характеристика
V - I слабых связей описывается простой параболической зависи-
мостью, полученной нами в разд. 13.2 при L = О (13.2Д0), имеем

rD(I)=r-—==

Jl2~l2

так что (13.3.14) переходит в

(&Ф2>|/2
ЛП

\ ,,\'/2(4kBL2T\'/2 ib
21Ч \ г I ГТ~

(13.3.15)

где ib = ih /ic . для реальных значений L = 10 9 Гн, г - 5 Ом, Т = 4 К
и гъ = 1,1 получаем
Рис. 13.19. а - схема ПТ-СКВИДа; б — различные согласующие цепи»
1 - цепь согласования; 2- усилитель»

<6Ф2>'/2 , ф0

-——— 1,5 X 10 ~6——

/п? /гП

Типичная схема ПТ-магнитометра показана на рис. 13.19,а. Ток
смещения 1Ъ или ток /ф, индуцированный потоком, модулируется пе-
ременным током. Переменный сигнал, возникающий на устройстве,
детектируется. Для улучшения условий согласования низкоомного
СКВИДа (импеданс которого определяется дифференциальным сопро -
тивлением rD) с предусилителем используется дополнительная согла-
сующая цель. Наиболее простые схемы, используемые для этой цели,
такие, как резонансный контур, резонансный трансформатор и транс-
форматор, изображены на рис. 13.19,5. Резонансный LC-контур ис-
пользовался Кларком, Гоубау и Кетхеном [226 - 228], и его характе-
ристики подробно обсуждены в указанных работах. Типичная спект-
ральная функция шума для такого ПТ-СКВИДа показана на рис. 13.20.
Все эти три согласующие цепи теоретически анализировались Данило-
вым и др. [254]. Суммируя полученные результаты, можно сделать
вывод о том, что вклад шумов согласующей цепи и предусилителя
можно существенно уменьшить и довести до уровня собственных шу-
мов соответствующим выбором таких параметров, как коэффициент
преобразования напряжения N7 и добротность Q. Следовательно, мини-
мальная чувствительность может быть очень высока и сравнима с
чувствительностью ВЧ СКВИДа в безгистерезисном режиме.
Частота (Г ц)

Рис. 13.20. Спектральная функция шума для ПТ-СКВИДа на туннельных
контактах, (Согласно Кларку и др, [227].)

13.3.3. Предельная чувствительность практических уст*
ройств. В реальных устройствах внешней поток связывается со
СКВИДом через сверхпроводящую катушку (разд. 13.5.2). Пусть Ls -
индуктивность этой катушки, Ms - коэффициент взаимной индукции
катушки и СКВИДа с индуктивностью L, Ks = ms /\[LL~s - коэффи-
циент связи. Можно показать [199], что минимальное отношение шу-
ма к сигналу при оптимальных условиях связи пропорционально вели-
чине £У\ЙФ^>,/2 _ <«ф^>,/2

=------Гг----~’ (13.3.16)

кЛ

где < 5ф£>1/2 - полный шум СКВИДа. Следовательно, для достиже-
ния наилучшего соотношения сигнала к шуму необходимо свести к мини-
муму величину £ SN. Как заметил Классен, параметр esn очень удобен
при сравнении характеристик всех типов магнитометров, работающих
в низкочастотном режиме.

В табл. 13.1 перечислены типичные значения шумового потока и
показателя качества для различных СКВИДов. Об определении мини-
мальной чувствительности СКВИДов с помощью принципа неопределен-
ности недавно сообщалось Фоссом [1014].

В обычных условиях работы ВЧ СКВИДа в гистерезисном режиме
частота варьируется между 20 и 30 МГц. Однако, как ясно из (13.1.21),
выходной сигнал пропорционален частоте накачки. Поэтому некоторые
авторы предполагали, что увеличение частоты может в принципе при-
вести к увеличению отношения сигнала к шуму. К настоящему време-
Таблица 13.1. Шумовой поток, показатель качества и другие характерис-
тические параметры различных СКВИДов»

Тип СКВИДа (Зф2)И (ф0/’/гй) L (Гн) Ls (Гн) , ( 5Фт> esw~ , (Дж/Гц)
ПТ цилиндричес кийа) 3,5* Ю-5 1•1O“9 356-10~9 0,61 1,4* Ю-29
ПТ планар- ный6) 1,6- 1О~7 6,2- 1O~12 1,6- 10~6 0,43 9,6- 10~32
Тороидальный 19 МГцв) Двухдырочный 19 МГц1") 7- 1О~5 4 • Ю-5 4-10~10 2- 10~6 18-10-6 0,83 10,4- 10~29 2,5- 10-29
430 МГц”) 4-1О-6 5- 10~10 20- 10“6 0,40 1,7- 10-30
9 МГц®) 7-10~6 3-1O~10 28-10~6 0,7 1,4- 10-30
а) [572^. В) б)[243]. Г) SHE Corporation Mod. 330 X. [322]. fl) [6741. 8) [4971

ни проведено большое количество экспериментов с ВЧ устройства-
ми, работающими в интервале частот от сотен мегагерц [ 210, 211, 240,
301, 674, 675, 1104] до нескольких гигагерц [497, 553, 818, 829]. Одна-
ко ( и это также ясно из табл. 13.1) отношение сигнала к шуму обычно
улучшается не слишком сильно. Это отчасти связано с тем, что увели-
чение частоты приводит к увеличению шума усилителя, так что может
появиться необходимость использования усилителей, охлажденных до
гелиевых температур.

13.4. Практическая реализация сверхпроводящих
интерфеоментов

Чувствительным элементом СКВИДов, как мы видели, является
сверхпроводящее кольцо, в которое включены одна или две слабые
связи. Обычно такое кольцо изготавливают, либо напыляя тонкие
металлические пленки, либо из массивного металла. В тонкопленочных
структурах используютря слабые связи типа мостиков Дайема, мости-
ков на эффекте близости или резистивно шунтированных контактов.
В объемных металлических устройствах из-за высокой критической
температуры (> 4,2 К) и подходящих механических характеристик
наиболее широко используется ниобий. В этом случае в качестве
слабых связей применяют точечные контакты.

13.4.1. Одноконтактные устройства. На рис. 13.21 представ-
лены различные типы ВЧ СКВИДов. Тонкопленочные структуры
(рис. 13.21,о) впервые применили Мерсеро [721] и Нисенофф [759].
Тонкопленочное сверхпроводящее кольцо было получено вакуумным
осаждением металла на вращающийся диэлектрический стержень
(обычно из стекла или кварца) диаметром 1-2 мм.Слабая связь созда-
валась благодаря удалению лишнего материала механически или мето-
дом фоторезиста. В некоторых устройствах вместо простого мости-
ка Дайема использовался мостик на эффекте близости Нотариса. Та-
кие мостики позволяют работать с устройством при температурах,
намного меньших критической температуры пленки, из которой состо-
ит сверхпроводящее кольцо. Более того, их легче изготовить, посколь-
ку они имеют большие размеры (10-50 мкм). Тонкопленочный СКВИД
большого диаметра с ВЧ смещением изучался Фалько и Паркером [327].

На рис. 13.21,6 показан объемный СКВИД, эквивалентный обсуж-
давшемуся выше тонкопленочному СКВИДу. Эта конструкция была раз-
работана Циммерманом, Тьеном и Хардингом [1111]; она состояла из
массивной ниобиевой скобы. В качестве слабой связи использовался
точечный контакт, который создавался между двух ниобиевых винтов.
Контакт обычно настраивался в гелиевой ванне до получения необхо-
димой величины критического тока. На рис. 13.21,в показано весьма
популярное двухдырочное симметричное устройство с точечным кон-
тактом, разработанное Циммерманом с сотр. [1100, 1111]. Устройст-
во очень стабильно в отношении термических циклов, если защитить
его от попадания влаги. Точечный контакт в этой структуре можно
регулировать при комнатной температуре. Этот СКВИД обладает чув-
ствительностью только к разности потоков в двух отверстиях и по-
этому прекрасно защищен от нежелательных внешних полей. Обычно
ВЧ катушка резонансного контура помещается в одно отверстие, а из-
меряемое поле связывается с другим отверстием с помощью транс-
форматора потока (разд. 13.5.2). Недавно двухдырочные СКВИДы
Н—1 см—

(6)

(В)

Рис. 13.21. Различные конфигурации одноконтактных интерферометров.

а — тонкопленочный СКВИД; б — СКВИД с точечным контактом [ 1111 ];

в - двухдырочный СКВИД с точечным контактом [ 1111]; г - тороидальный
СКВИД с точечным контактом [843].

(Г)

были реализованы в планарной конфигурации. При этом в качестве
слабой связи использовались резистивно шунтированные туннельные
контакты [ 306], а сверхпроводящее кольцо изготавливалось из мате-
риала с высокой критической температурой [359, 1053, 1054]. Другая
очень интересная объемная структура - тороидальный СКВИД, схе-
Рис. 13.22. Одно- и двухцилиндровая конфигурации с одинаковой пло-
щадью поперечного сечения А.

матически изображенный на рис. 13.21, г [411, 842, 843]. Преимущест-
ва такого СКВИДа - полная самоэкранировка и возможность полу-
чать весьма малые значения (~ 10“10 Гн) собственной индуктивно*
сти. По этим причинам такая система использовалась для изучения
характеристик ВЧ СКВИДа в безгистерезисном режиме [843]. При
малой величине L условие « 1 может выполняться для умеренных
значений критического тока слабой связи-порядка нескольких микро-
ампер.

Если измеряемое магнитное поле непосредственна связано со
СКВИДом, чувствительность по полю определяется главным образом
площадью А сверхпроводящего кольца. Однако увеличение чувстви-
тельности нельзя достигнуть, просто увеличивая эту площадь, по-
скольку это приведет к увеличению индуктивности СКВИДа. Из соот-
ношения (13.1.21), которое можно переписать в эквивалентной форме:

ясно, что увеличение L приведет к уменьшению выходного напряже-
ния СКВИДа. Остроумный способ преодоления этой трудности был
предложен Циммерманом [1097], который разработан многоконтурный
СКВ ИД, состоящий из нескольких сверхпроводящих колец, соединен-
ных параллельно через одну слабую связь.

Простой пример многоконтурного устройства - обсуждавшийся
выше двухдырочный СКВИД (рис. 13.21,$). Рассмотрим две цилиндри-
ческие структуры, показанные на рис. 13.22. Предполагаем, что они
имеют одинаковую длину I и одинаковую полную площадь поперечно-
Рис. 13.23. Полуконтурный, одноконтурный и двухконтурный СКВИДы с ВЧ
смещением, имеющие одинаковые размеры. Показаны соответствующие за-
висимости выходного напряжения от магнитного поля при одинаковом для
всех трех структур коэффициенте связи с ВЧ катушкой. (Согласно Циммер-
ману [ 10971)

го сечения А. Индуктивность двухцилиндровой конфигурации опреде-
ляется выражением

L = N2Lo ,

где Lo = ц0Л// - индуктивность одного цилиндра и W =1/2. Следова-
тельно, такая структура с формальной точки зрения эквивалентна одно-
му цилиндру с той же площадью сечения Лис дробным числом конту-
ров /V = 1/2. Для лучшего понимания поведения многоконтурных струк-
тур на рис. 13.23 схематически изображены полуконтурный, однокон-
турный и двухконтурный СКВИДы. Предполагается, что полные разме-
ры и ВЧ связь одни и те же для каждой конфигурации. Поскольку L
пропорционально /V, то амплитуда напряжения АР оказывается пропор-
циональной X/N. Периодичность по полю также пропорциональна вели-
чине 1 /N. Соответствующие зависимости выходного напряжения от
магнитного поля изображены также на рис. 13.23. Интересно отметить,
что малая чувствительность по полю, связанная с наклоном кривой
&V _ н, одинакова во всех конфигурациях. Физически этот результат
можно понять, вспомнив, что чувствительность по полю, по нашему
предположению, пропорциональна эффективному объему, который счи-
тается одинаковым для всех трех структур.
Здесь следует сделать замечание относительно периодичности по
потоку в многодырочных структурах, поскольку разные авторы полу-
чают различные результаты.

Из обсуждения, проведенного в гл. 12, ясно, что периодичность
по потоку в любом СКВИДе (будь то СКВИД с одним или несколькими
отверстиями либо многоконтурный СКВИД) равна величине кванта по-
тока Фо. Это следует из рассмотрения интеграла от фазы (12.1.1) по
замкнутому сверхпроводящему контуру, содержащему джозефсонов-
ские контакт или контакты. Учет в расчетах какой-либо лишней части
площади сверхпроводящего контура или замена площади сверхпроводя-
щего контура, измеряющего поток, площадью внешней сигнальной ка-
тушки может привести к недоразумениям. В последнем случае "перио-
дичность по потоку" может иметь любую величину; при этом теря-
ются элегантность и простота формулы (12.1.2). В случае многодыроч-
ного СКВИДа из рассмотрения области, ограниченной любым одним из
отверстий и контактом, получаем, что периодичность в точности рав-
на Фо, даже если отверстия имеют разные и произвольные геометри-
ческие искажения. С другой стороны, если взять полную "конструк-
тивную площадь", то периодичность может быть приблизительно (но
не точно) равна МФ0, поскольку поток просачивается между отверсти-
ями или перекрывается отверстиями в зависимости от геометрии. При
использовании многоконтурной конфигурации размеры устройства мож-
но увеличить, не увеличивая величину индуктивности. Таким способом
можно повысить чувствительность к магнитному полю и в то же время
отношение сигнал/шум оставить прежним. На рис. 13.24 показан
СКВИД с восемью отверстиями.

Объемная система с 24 отверстиями была недавно изготовлена
Циммерманом [1101]. Энхольм, Сойни и Вийк [306] реализовали пла-
нарную конфигурацию с восемью сверхпроводящими контурами, соеди-
ненными параллельно через один резистивно шунтированный туннель-
ный контакт Nb - NbOx - Pb.

13.4.2. Двухконтактные интерферометры. Исторически рань-
ше других появились интерферометры, состоящие из двух туннельных
контактов [530, 531]. Такие системы уже обсуждались нами в гл. 12.
Однако устройства такого рода оказались не пригодными для исполь-
зования в качестве магнитометров: поскольку площадь сечения кон-
тура квантования мала, связь с внешним полем осуществляется до-
вольно сложно, а ВАХ системы имеет значительный гистерезис. Пер-
| I I I I I I I I I I I | 1 | 1 1 L 1 1 11 It 1

Рис. 13.24. Восьмидырочный СКВИД» (С любезного разрешения Дж» Е» Цим-
мермана,)

выми структурами, нашедшими практическое применение в качестве
ПТ-СКВИДов, были интерферометры с точечными контактами (рис. 13.2 5,а)
[912, 1107, 1108]. Устройство изготавливалось из массивного ниобия и пред-
ставляло собой два полукольца, изолированных в месте разреза майла-
ровой прокладкой. После скрепления полуколец в одно из них вворачи-
вались два ниобиевых винта так, чтобы создать два точечных контакта
с плоскими поверхностями второго ниобиевого полукольца. Настройка
контактов проводилась при гелиевой температуре, причем повторная
(а)

(б) (И

Рис. 13. 25. Различные конфигурации двухконтактных интерферометров.

а - СКВИД с точечными контактами [912]; б - СКВИД из ниобиевой фоль-
ги [ ЮЗ]; в - каплевидный СКВИД из припоя [213]; г - тонкопленочный
СКВИД [267].

настройка СКВИДа требовалась только после определенного числа
термических циклов.

Объемная металлическая структура иного типа показана на
рис. 13.25,6 [ЮЗ]. В этом случае точечный контакт создавался при
сжатии двух пластинок из ниобиевой фольги, разделенный майларовой
прокладкой, в которой было сделано небольшое отверстие.
Среди ранних вариантов СКВИДов весьма значительно отличает-
ся от других так называемый СЛАГ (сверхпроводящий нуль-детектор
с низкой индуктивностью), разработанный Кларком [213]. Этот интер-
ферометр изготавливался погружением ниобиевой проволоки диамет-
ром 0,1 мм в жидкий припой (сплав Sn - РЬ). В результате на прово-
локе образовалась капля припоя размером в несколько миллиметров.
Естественный слой оксида на поверхности ниобия служил изолятором
между ниобием и каплей. Однако на краях капли создавались две сла-
бые связи. Сверхпроводящая петля в таком интерферометре образо-
валась кольцевым слоем оксида ниобия. Устройство полностью экра-
нировано от внешних помех, и поэтому поток может вводиться внутрь
сверхпроводящей петли лишь при пропускании тока через ниобиевую
проволоку.

Интересно отметить, что на протяжении длительного времени
значительных усилий к совершенствованию двухконтактных систем
не прилагалось. Первый довольно сложный магнитометр постоянного
тока был реализован в 1967 г. Форгаксом и Варником [356, 357]. Ин-
терес исследователей в большей степени фокусировался на однокон-
тактных интерферометрах и на ВЧ магнитометрах. В последнее вре-
мя устройства этого типа снова оказались в центре внимания. Раз-
личные авторы разработали ряд планарных структур [267, 575, 781,
838]. Однако из-за малой площади сверхпроводящей петли планарные
структуры в большей степени пригодны для использования в качестве
гальванометров, а не магнитометров. На рис. 13.25,г схематически
показано одно из таких устройств, разработанное Деккером и Мерсе-
ро [267].

Кларк, Гоубау и Кетхен [226, 227] предложили тонкопленочную
структуру, в которой в качестве слабых связей используются рези-
стивно шунтированные контакты. Сверхпроводящим кольцом служила
пленка сплава свинца с индием (5% In) длиной 10 мм, напыленная на
внешнюю поверхность кварцевой трубки диаметром 3 мм (рис. 13.26).
В кольцо были включены два туннельных контакта Nb - РЬ площадью
~10“2 мм2. Для получения безгистерезисной ВАХ контакты шунтиро-
вались золотой пленкой. Для минимизации индуктивности и уменьше-
ния утечки потока на наружную поверхность СКВИДа наносилась эк-
ранирующая свинцовая пленка, которая изолировалась от нижних пле-
нок слоем цемента. На рисунке также показана согласующая схема,
которая представляет собой резонансный контур с резонансной часто-
Рис. 13.26. Цилиндрический ПТ-СКВИД с резонансным контуром и катуш-
кой модуляции. 1 - модуляция и катушка обратной связи; 2 - кварцевая
трубка; 3 - свинцовая полоса; 4 — туннельные контакты; 5 — золотой шунт;
6 - ниобий; 7 - провода; 8 - к предусилителю. (Согласно Кларку [227].)

той, равной частоте сигнала низкой модуляции. Поскольку характерис-
тики ПТ-СКВИДа на шунтированных контактах, изготовленного Кларком
с сотр., сравнимы и до некоторой степени даже лучше характеристик
СЧ СКВИДов (табл. 13.1), в настоящее время предпринимаются новые
попытки для создания устройств такого рода. Кетхен с сотр. [573]
разработал тонкопленочный градиентометр. Были созданы планар-
ные СКВИДы с малой площадью, в которых использовались шунти-
рованные туннельные контакты Nb - NbO* _ РЬ площадью 100 мкм2
[583] и контакты с барьером из GeSn площадью 3 мкм2 [504]. Кет-
хен и Фосс [571] использовали разработанную в лаборатории IBM ме-
тодику изготовления логических схем из сплава РЬ [ 429] и создали
низкошумящие ПТ-СКВИДы на туннельных контактах площадью 10 мкм2.
В последнее время для создания СКВИДов на основе туннельных контак-
тов площадью 1 мкм2 с обоими ниобиевыми электродами [ 1017] и с
ниобиевыми наномостиками [1016, 1018] использовалась электронная
литография (разд. 8.4.4). Во всех реализованных до настоящего време-
ни планарных конфигурациях, вообще говоря, не очень хорошо осуще-
ствлялась связь СКВИДа с первичной катушкой сверхпроводящего
трансформатора (разд. 13.5.2). Кромар и Карелли [243] в Националь-
ном бюро стандартов изготовили планарный ПТ-СКВИД с хорошей
связью (Ks ~ 0,43). Циммерман [ 1097] при использовании многокон-
турного СКВИДа с 68 параллельно соединенными петлями большой
индуктивности достиг компромисса между малой полной индуктив*
ностью и хорошей связью.

13.5. Методика измерений

ВЧ и ПТ-СКВИДы, действующие в гистерезисном режиме, приме-
няются для измерения изменений магнитного потока. Согласно резуль-
татам разд. 13.3, максимально достижимая чувствительность к потоку
оказывается порядка 10~6 Ф0/7Гц, где Фо = 2,07- 10~15 Вб
(2,07- 10~7 Гс- см2) - квант потока. При использовании устройства
в качестве магнитометра его чувствительность к магнитному полю до-
стигает 10-14 Т/уТц? Обычно в качестве детектирующей системы
используется потокозапирающая система, а связь измеряемого потока
со СКВИДом осуществляется через "сверхпроводящий трансформатор"
потока.

13.5.1. Потокозапирающая система. Основная характеристика
ВЧ и ПТ-СКВИДов, которая делает возможным их использование в ка-
честве практических инструментов для измерения изменений магнит-
ного потока, - отклик выходного напряжения, периодически зависящий
от внешнего потока. Для того чтобы увеличить чувствительность и
"линеаризовать" отклик устройства, используется низкочастотная
(1 - 50 кГц) модуляция потока. Переменная модуляция создается с по-
мощью синусоидального или прямоугольного сигналов, которые генери-
руют в СКВИДе поток с полной амплитудой порядка Фо/2. В ВЧ уст-
ройстве такая модуляция производится на боковой полосе частоты ВЧ
накачки, которая выделяется на выходе амплитудного детектора. Обыч-
но используется схема с обратной связью, представленная на рис. 13.27.
Синхронный детектор выделяет только компоненту на частоте модуля-
ции сигнала. На рисунке показано ВЧ устройство, однако аналогич-
ную схему можно использовать также и для ПТ-СКВИДа. Действитель-
но, в первых ПТ-устройствах использовался ПТ-СКВИД с потокозапи-
рающей системой [356, 357]. Чтобы кратко описать принцип действия
схемы, показанной на рис. 13.27, предположим, что первоначально
цель обратной связи разомкнута. Если внешнее поле создает в СКВИДе
поток Ф^ = (п + %)Ф0, соответствующий минимуму на зависимости
Krf от Фе (рис. 13.28,а), то низкочастотный сигнал на входе синхрон-
ного детектора будет иметь лишь компоненту на частоте 2wm. При
Рис. 13.27. Упрощенная схема ВЧ СКВИДа потокозапирающей системы.

1 — генератор ; 2 - ВЧ генератор; 3 - ВЧ усилитель; 4 - детектор;

5 — синхронный усилитель; 6 - интегратор; 7 - СКВИД.

увеличении или уменьшении внешнего статического поля рабочая точ-
ка сдвигается на квазилинейный участок кривой Р(Фе), и амплитуда
компоненты на первой гармонике, индуцированной модуляцией, увели-
чивается. Эта компонента имеет максимальное значение в двух точ-
ках Фд и Фв, соответствующих внешнему постоянному потоку
Фе = (п + 3/4) Фо и Фе = (п + 1/4)Ф0.

Рис. 13.28. а - отклик напряжения для СКВИДа при ВЧ модуляции пото-
ка; б - выходное напряжение на частоте модуляции в зависимости от
внешнего потока. т
В этих точках амплитуда второй гармоники равна нулю. Заме-
тим, что сигналы в токах Фд и фв сдвинуты по фазе на 180°. На
рис. 13.28/ показан сигнал на постоянном токе на выходе интегра-
тора (рис. 13.27) как функция внешнего потока Ф^. При Фе - (п + 1/2)Фо
выходное напряжение линейно относительно внешнего поля. При замы-
кании цепи обратной связи выход интегратора через резистор соеди-
няется с катушкой модуляции. В равновесных условиях цепь обратной
связи будет поддерживать поток в СКВИДе, соответствующий мини-
муму либо максимуму на кривой V - ф^ в зависимости от знака об-
ратной связи.

При изменении внешнего потока происходит изменение тока об-
ратной связи в катушке модуляции, которое создает противополож-
но направленный поток в СКВИДе, компенсирующий изменение пото-
ка 5Ф^. Изменение напряжения на сопротивлении обратной связи RF
при этом пропорционально 5Ф ,

Использование обратной связи, помимо возможности обеспечить
выходной сигнал, пропорциональный изменению потока, обладает еще
и тем преимуществом, что позволяет свести к минимуму влияние низ-
кочастотного шума предусилителя, дрейфа температуры или каких-ли-
бо других параметров СКВИДа (критический ток слабой связи и т.п.).

Важная характеристика системы - максимальный динамический
диапазон, т.е. максимально возможная "скорость циркуляции" в петле
СКВИДа при замкнутой цепи обратной связи. Пусть _ макси-
мальное напряжение на выходе интегратора; тогда максимальное
изменение потока, которое можно измерить, представляется в виде

где MF - коэффициент взаимной индукции между СКВИДом и катуш-
кой модуляции. (Для схемы рис. 13.27 Мр = м.) Типичным значением
динамического диапазона является (5Ф^)тах — ±500Фо.

"Скорость циркуляции” определяется максимальной скоростью,
с которой цепь обратной связи может генерировать в СКВИДе компен-
сирующий поток. Ее величина зависит от частоты модуляции сот.
Если система оптимизирована, то максимальная "скорость циркуляции"
задается выражением [392]

d / ЗФе \ ~ 77

ТбЧи

32 - 436
Величина частоты модуляции в реальных устройствах обычно находит-
ся в интервале между сот/2тг - 1 кГц и /2тг - 50 кГц, что соответ-
ствует "скорости циркуляции” ^103 - 104 Ф0/с. Подробное обсужде-
ние работы СКВИДа с обратной связью читатель может найти в статье
Гиффарда, Вебба и Уитли [392].

13.5.2. Сверхпроводящие трансформаторы. Чтобы увеличить
чувствительность к магнитному полю, изолировать СКВИД от облас-
ти, в которой находится исследуемый образец, а также в случае на-
столько больших размеров образца, что он не может быть помещен
непосредственно в СКВИД, очень большое значение имеют сверхпрово-
дящие трансформаторы потока. Трансформатор потока обычно пред-
ставляет собой сверхпроводящую проволочную петлю (чаще всего
используется изолированная ниобиевая проволока диаметром 100 мкм).
Обозначим через индуктивность приемной катушки, которая свя-
зана с внешним полем и через L s индуктивность вторичной катушки,
связанной со СКВИДом (рис. 13.29,а). Если к приемной катушке
приложен поток АФ, то в трансформаторе возникает циркулирующий
ток iSf поскольку в связи с квантованием потока полный поток в замк-
нутом сверхпроводящем контуре должен оставаться неизменным.

Рис. 13.29. Сверхпроводящие трансформаторы, а - трансформатор маг-
нитного потока; 5 - градиометр первой производной; в - градиометр вто-
рой производной.
Пусть /V - число витков в приемной катушке, и будем считать, что
каждый виток связан с потоком одинаковым образом; тогда экрани-
рующий ток будет равен

А^ДФ

Поток, достигающий СКВИД, есть

kJLL. хт АЛ.

Дфе=мл= L +Д~Адф ’

(13.5.1)

где Ms =k.s \/LsL - коэффициент взаимной индукции между вторич-
ной катушкой L s и СКВИДом с индуктивностью L. Отметим между

прочим, что последнее соотношение справедливо также и для измене-
ний статического поля. Чтобы определить условия, при которых до-
стигается максимальное преобразование потока, следует найти мак-
симум выражения (13.5.1). Вычисляя производную по L легко ви-
деть, что максимум имеет место при Ц = Lp [1097]. Следовательно
оптимальное значение коэффициента преобразования есть

= /А

ДФ 2 'у Ls

(13.5.2)

При наличии сверхпроводящего трансформатора минимальное разреше-
ние по потоку системы определяется величиной потока в приемной ка-
тушке Lp, который генерирует во вторичной катушке поток, рав-
ный полному шумовому потоку < 6ф£> 1/2 СКВИДа. Таким образом, при
оптимальных условиях связи (L^ = Ls ) из (13.5.2) следует, что мак-
симальная чувствительность по потоку есть

△Ф
т

2jL,
N-

(13.5.3)

Заметим, что величина АФ^ пропорциональна параметру e 5/v (13.3.16),
который был введен нами в разд. 13.3.3 для сравнения характеристик раз-
личных СКВИДов.

Подробное обсуждение оптимальных условий связи для сверхпро-
водящих трансформаторов было проведено Классеном [199].

Отметим еще, что для приложений, в которых необходимы боль-
шие значения индуктивности приемной катушки, условие согласова-
ния (Lp = Ls ) трудно достижимо. В самом деле, величина Ls обычно
ограничивается геометрическими размерами внутреннего объема
СКВИДа. Один из способов преодолеть эту трудность (по крайней
мере частично) заключается в использовании ферромагнитных сер-
дечников для вторичной катушки Ls [180, 181].

Для первичной катушки можно использовать и другие конфи-
гурации. В том случае, если она состоит из двух идентичных кату-
шек, отстоящих на расстоянии Дх и намотанных в противоположных
направлениях, она будет чувствительна лишь к градиентам поля в
направлении оси z и нечувствительна к однородному полю в этом
направлении. Эта конфигурация носит название ’’градиометр первой
производной” и была впервые введена Циммерманом и Фредериком
[П04], а также Розеном, Индуе и Морзе [857]. В реальных устрой-
ствах две обмотки приемной катушки могут быть не вполне идентич-
ными или параллельными; поэтому нужно принимать меры для их ба-
лансировки. Это можно сделать, либо введя в одну из катушек мас-
сивный сверхпроводник, либо используя дополнительные небольшие
катушки, ориентированные в различных направлениях. Все эти про-
цедуры были описаны Винном и др. [ 1057 ]. При этом приемные ка-
тушки оказываются сбалансированными до 10 -4%. Чувствительность
градиометров первой производной может доходить до 10~13 Т/(м • \/Гц)
(10-11 г/(см • vW)).

Можно получить градиометр второй производной [75, 79, 139, 773],
который будет чувствителен к изменениям второй производной поля
вдоль оси z, если приведенную катушку составить из двух противопо-
ложно включенных трансформаторов градиометра первой производ-
ной (рис. 13.29,3). В этом устройстве так же, как и в градиометре,
оптимальные условия связи достигаются при согласовании приемной
и вторичной катушек. В связи с этим чувствительность градиометра
к магнитному полю оказывается меньше, чем магнитометра (с той же
величиной индуктивности приемной катушки). Действительно, маг-
нитная энергия в первичной катушке распределена теперь по всем
индуктивностям, из которых эта катушка состоит. Например, в гра-
диометре первой производной коэффициент уменьшения будет равен
1Д/2? Как было отмечено Циммерманом [1101 ], этого неудобства
фактически можно избежать, если использовать несимметричные кон-
фигурации, когда площадь каждой катушки одинакова, однако индук-
тивности различны.
13.6. Резистивный СКВИД

В другом, очень интересном классе СКВИДов небольшая часть
сверхпроводящего кольца, в которое включен джозефсоновский эле-
мент, заменена нормальным металлом. Такие устройства обычно
называют резистивными СКВИДами (или ре-СКВИДами). Схематичес-
ки это устройство с точечным контактом показано на рис. 13.30. Ре-
зистивный участок создан из сплава Си - Ge и включен в ниобиевый
блок, из которого сделано сверхпроводящее кольцо.

Такие структуры первоначально предназначались для поддержа-
ния фиксированного напряжения смещения на джозефсоновском кон-
такте, использовавшемся в качестве генератора излучения [1110],
если такая структура включена в ВЧ схему. Таким же образом, как и ВЧ
СКВИД (см. разд. 13.1), ее поведение формально совпадает [315] с
поведением устройства, содержащего сверхпроводящее кольцо, в
случае постоянно увеличивающегося потока. На рис. 13.31 схемати-
чески изображен ре-СКВИД, связанный с типичной электронной схе-
мой. Здесь мы кратко обсудим свойства систем, содержащих ре-
СКВИДы. За подробностями отсылаем читателя к работам Силвера,
Циммермана [913] и Парка [784, 785].

73.6.1. Резистивный СКВИД со смещением постоянным на-
пряжением. Эквивалентная схема ре-СКВИДа без ВЧ смещения пред-
ставлена на рис. 13.32. Напряжение смещения в данном случае есть
Ко = /0К0. Применяя закон Кирхгофа, получаем соотношение

Vo-i(t)R0-L^-V(t) = 0 , (13.6.1)

где i(t) и F(t) - зависящие от времени значения тока и напряжения
в джозефсоновском элементе. Используя фундаментальное джозефо
новское соотношение (1.4.5) и предполагая, что циркулирующий ток
i (t) определяется лишь током пар через точечный контакт, уравнение
(13.6.1) перепишем в виде [ИЮ]

~(l+j8ecos<p)-w0(l-asin<p)=0 ,

где <р - разность фаз на джозефсоновском элементе и

le/h

L/.

Фо
Рис. 13.30. Ре-СКВИД. Прибор сде-
лан из ниобия, а резистивный участок
— из сплава меди. (Согласно Циммер-
ману и др0 [1111 ].)

Рис. 13.31. Схематическое изображение ре-СКВИДа. 1 - ВЧ генератор;
2 - ВЧ усилитель; 3 - выпрямитель.

Джозефсо-
новский
элемент

Рис. 13.32. Эквивалентная схема
ре-СКВИДа.

_ А _ Roi'

а I V 1

7о ко

“° 2е/Л 2чТ Фо ’

Фо — квант потока.

Можно проинтегрировать уравнение (13.6.1) и получить точное
выражение для тока i (t):

l~aI\ f Г.----?[., &ea I. '

IA~«»I I I "o \ A

(13.6.2)
Заметим, что это выражение справедливо лишь при « = li/l0< 1,
поскольку лишь в этом случае можно пренебрегать квазичастичной
проводимостью G = 1/R.j . При а » 1 в уравнении (13.6.1) разумно
пренебречь членом i(t)R0; тогда оно перейдет в

к0=ь^ + г(г) •

Такой случай был проанализирован Маккамбером [705], который при
этом также предположил, что квазичастичная проводимость конечна.
В другом предельном случае (а -> 0) выражение (13.6.2) переходит в
j-=±sin(woz-&^-j . (13.6.3)

Сравнивая последнее выражение с (12.2.96), можно убедиться, что
это решение идентично решению для сверхпроводящего кольца при
наличии внешнего потока Фе = v^t. При (Зе « 1 осцилляции прибли-
жаются к синусоидальным с частотой coQO Увеличение а приводит к
уменьшению частоты таких осцилляций в уП - а 2' раз. Как при усло-
вии > 1, так и в том случае, когда а стремится к единице, в токе
через джозефсоновский элемент возрастает число гармоник. Устрой-
ство с резистивным кольцом, смещенное постоянным напряжением,
можно использовать как генератор электромагнитного излучения.
Схема, которая применяется для детектирования такого излучения,
показана на рис. 13.31. В этом случае ВЧ сигнал на резонансный кон-
тур не подавался. Когерентное излучение на частотах 30 МГц и 10 ГГц
детектировалось Циммерманом, Коуэном и Силвером [1110]. Исполь-
зуемое устройство имело следующие значения характерных парамет-
ров: Rq - 26 мкОм, L - 10"1ОГн. Циммерман и Силвер [ 1109] сооб-
щили о наблюдении осцилляций, соответствующих многоквантовым
переходам. В случае резистивного кольца джозефсоновский шум в со-
противлении есть причина появления дополнительного напряжения, ко-
торое прибавляется к внешнему напряжению У. Ширина линии излуче-
ния устройства, определяемая таким шумовым напряжением, пред-
ставляется в виде [163]

с 4тгквТК0
------------ •
Фо2

Справедливость последнего выражения была подтверждена Силвером,
Циммерманом и Кампером [914] в экспериментах с осцилляциями в
резистивном кольце на частоте 30 МГц.
13.6.2. Резистивный СКВИД с ВЧ смещением. Предположим, что
резонансный контур, связанный с ре-СКВИДом, возбуждается ВЧ
током Zrf sinco^ (см.. риСо 13.31). В этом случае в кольце появляет-
ся изменяющийся во времени поток

Фе — M/rfsina>jr ,

где М - коэффициент взаимной индукции между катушкой резонансного
контура и СКВИДом. Как показали Хардинг и Циммерман [462], реак-
ция такого устройства на модуляцию потока очень похожа на реакцию
сверхпроводящего кольца СКВИДа.

Получим уравнение, определяющее временную зависимость разности
фаз ф на джозефсоновском элементе. Следуя Эрне [315], будем исхо-
дить из уравнения для падения напряжения в резистивном кольце
(13.6.1), которое с учетом внешнего потока Ф^(0 может быть записа-
но в виде

+ • (13.6.4)

Предположим, что поведение контакта можно описать с помощью ре-
зистивной модели (рис. 6.2). Соотношение ток — фаза имеет вид

,[ф(1)]=/15,„т+-±А^ + с^^£ . (13.6.5)

Интегрируя (13.6.4), получаем

/(г)= ,(0)-А

L Jo 12еЛ' Л'

dt',

где были использованы фундаментальное джозефсоновское соотно-
шение (1.4.5) и равенство т = L/RQ0 Интеграл в последнем выраже-
нии можно преобразовать к виду

e-А f'dt’e'/] А = А (,) + ф (,)_ * (0)_фе(0)-

Jq [ Ze at at Ze ze

Если ограничиться рассмотрением лишь стационарных состояний
с периодическим напряжением на контакте, то будет иметь место

соотношение

ОО

<р(г)=~^Й7+ 2 <PnSin(Wn, + 5n) •
п = 1
При условиях cojT » 1 и сот » 1 для ре-СКВИДа получаем уравне-
ние

LC$ + + у+ ^фе(0+ v(Ko-V)' (13.6.6)

Сравнивая последнее уравнение с (12.2.5), можно убедиться, что

а) Система с резистивным кольцом в динамическом режиме
описывается уравнением, тождественным уравнению для
СКВИДа со сверхпроводящим кольцом.

б) Действие постоянного напряжения смещения VQ эквивалент-
но наличию в сверхпроводящем кольце СКВИДа линейно воз-
растающего внешнего потока

феч=(г0-я0Г)'

Присутствие члена RQi объясняется тем, что ток в контакте
имеет не исчезающую постоянную составляющую. Полагая L и RQ
равными своим типичным значениям: £-10~9ГниЯо = 10“5 Ом,
можно получить, что нижний предел частоты, при которой (13.6.6)
все еще будет справедливо, соответствует величине порядка несколь-
ких килогерц. Свойства ре-СКВИДов с ВЧ смещением эксперименталь-
но исследовались Циммерманом, Тьеном и Хардингом [1111]. На
рис. 13.33 показана зависимость от / г£ для устройства, смещен-
ного ВЧ напряжением с частотой со/2тт = 30 МГц. Сопротивление нор-
мальной области равнялось RQ = 18 мкОм^так что условие со1» R$/L
выполнялось. Соответствующие кривые Ff(zr{) для сверхпроводяще-
го кольца той же геометрии представлены на рис. 13.33,в. При нали-
чии заданного значения напряжения на нормальном участке кольца от-
клик резистивного СКВИДа осциллирует между двумя предельными
характеристиками, соответствующими ср = 0 и <р = тг (т.е. ф^ = пФд и
Фе = (и+ 1/2)Фо). Поведение такого рода четко выявляется на
13.33,а. В этом случае постоянное напряжение было обусловлено тер-
мо-ЭДС в электронной схеме. Кривая, показанная на рис. 13.33Л,
была получена, когда для компенсации термо-ЭДС прикладывалось
постоянное напряжение. В этом случае при увеличении I rf система
переходит от точки А к точке В на кривых рис. 13.33,#. Наблюдающие-
ся осцилляции связаны с джонсоновским шумом в резистивном участ-
ке кольца с сопротивлением 18 мкОм. Амплитуда таких осцилляций
оказывается максимальной, если система смещена в точку С, нахо-
Рис. 13.33. ВЧ характеристики для ре- СКВИДа [1111 ]0

дящуюся в середине плато. Поведение ре- СКВИДа без постоянного
тока смещения исследовали с помощью компьютерного моделирова-
ния Парк и Кендалл [786] в пренебрежении влиянием шумового на-
пряжения на сопротивлении RQ, Эксперименты на резистивных систе-
мах тороидальной конфигурации проводили Парк, Фаррелл и Кендалл
[787]. Поведение СКВИДа этого типа не зависело от частоты, даже
если он был сделан целиком из нормального металла, за исключени-
ем ниобиевого точечного контакта. Этот факт — следствие того, что
динамическое поведение СКВИДов определяется взаимодействием
тока слабой связи / = sin ср с индуктивностью кольца L.

13.7. Практические применения СКВИДов

Описанные нами устройства нашли прменение в различных облас-
тях. Наиболее часто используются ВЧ и ПТ-СКВИДы. Область приме-
нения СКВИДов увеличивается, и в настоящее время существует не-
сколько небольших фирм, производящих коммерческие устройства.
СКВИДы использовались в качестве магнитометров и градиомет-
ров в геофизике. С их помощью проводились измерения флуктуаций
магнитного поля на поверхности Земли [225].

Чрезвычайно высокая чувствительность таких приборов позволила
провести детектирование изменений магнитного поля, связанных с
сердечной и мозговой деятельностью человека. Другая важная область
применений СКВИДов - измерения вариаций магнитной восприимчи-
вости. Эти приборы обладают большой универсальностью в лабора-
торных применениях. Здесь они используются в качестве вольтметров
и амперметров с высокой чувствительностью, а также при измерениях
очень малых сопротивлений. Поразительный пример применений
СКВИДов в фундаментальных исследованиях - их использование в ка-
честве сверхчувствительного приемника в антенне для детектирования
гравитационных волн [13]. Ре-СКВИДы использовались как генерато-
ры электромагнитного излучения, а также в шумовой термометрии
для измерений температуры в диапазоне 10~5 К [554].

Ниже мы кратко обсудим некоторые наиболее важные применения
СКВИДов. За подробностями отсылаем читателя к Трудам конферен-
ций IC SQUID (1976, 1980), к Трудам конференции FTSE (1978)^, а
также к цитированным в них работам.

13.7.1. Измерение тока, напряжения и сопротивления. Если
поток в СКВИДе создан током, который протекает через индуктивность,
связанную с этим устройством, система работает как гальванометр
(рис. 13.34,а). Если ток вызывается напряжением, приложенным к ин-
дуктивности через резистор, то выходной сигнал СКВИДа пропорцио-
нален приложенному напряжению и система является вольтметром
(рис. 13.34,0. Если напряжение индуцировано током через сопротив-
ление Rx) прибор можно использовать как омметр (рис. 13.34,в). Галь-
ванометры с чувствительностью до 10 ~9 А/Гц были реализованы Клар-
ком [213], а также Деккером и Мерсеро [267].

Недавно Барбанера с сотр. [76] разработали устройство, способ-
ное измерять переменные токи с возможной чувствительностью 10“14 А.
С помощью настроенного входного контура можно осуществлять изме-
рение переменных токов вплоть до 8 • 10~15 А при ширине полосы 1 Гц

$ Расшифровку аббревиатур смв на с. 560,— Прим. ред.
[133] . Измерение напряжения и сопротивления проводили Люкенс, Вар-
буртон и Вебб [681 ], а также Гиффард, Вебб и Уитли [392]. Типичная
схема вольтметра представлена на рис. 13.35. Входное напряжение VQ
магнитометра, индуцированное током рассогласования /£ в катушке
Ц , используется для получения тока обратной связи 1F = VQ /Rf. За-
писывая закон Кирхгофа для входного контура, будем иметь

их + я,/£=я2-^ •

При достижении баланса /£ = 0, и поэтому выходное и входное напря-
жения связаны следующим соотношением:

Обычно Rf » R2f Так что имеет место усиление напряжения. Послед-
нее выражение справедливо лишь в пределе нулевой частоты.

Для синусоидального сигнала с частотой со соотношение между
выходным и входным напряжением имеет вид [256]
Рис. 13.35. Схема вольтметра с использованием СКВИДа0

H = _________1________

R2 \+ju(TF+rTRT/KgR2)

где = 1р/Ie ~ коэффициент усиления по току системы, RT = /?1 + /?2>

а т^, и тт - постоянные времени соответственно цепи обратной связи и
входного контура. В пределе TTRT/KgR2 « tf ширина полосы опре-
деляется величиной г Предельная чувствительность прибора опре-
деляется шумовым напряжением, которое в низкочастотном пределе
дается соотношением

«. Г В

где < Ф^>1/2 - шум на входе СКВИДа, L ~ индуктивность СКВИДа,
К - константа связи между Li и L. Здесь мы предположили, что
RT - Rr. Выбирая обычные величины для <Ф^>1/2 - 10—4Ф0/

L ~ 10~9 Гн и полагая R{ ~ Ю Ом, при условии - 1 с находим

/й?

Подробный анализ шумовых характеристик сверхпроводящих вольтмет-
ров в сравнении с обычно используемыми предварительными усилите-
лями проводили Дэвидсон, Ньюбауэр и Бизли [256]. Этот анализ пока-
зал, что вольтметр на основе СКВИДа предпочтителен для сопротив-
лений источника ниже 10 Ом при гелиевых температурах.

13.7.2. Измерение магнитной восприимчивости. СКВИДы
можно использовать для изучения магнитной восприимчивости очень
слабо магнитных материалов или образцов, содержащих малое коли-
чество магнитных примесей. С помощью измерителей восприимчи-
вости проводились измерения электронного и ядерного магнетизма
твердых тел при низких температурах и в малых магнитных полях
[392, 409, 490, 491 ].

СКВИД-измеритель магнитной восприимчивости применялся
Мерсеро с сотр. [ 182, 493] для исследований по магнитохимии метал-
лопротеинов в биологических образцах. Магнитный момент иона ме-
талла в молекуле связан с расположением его ближайших соседей.
Из измерений восприимчивости в зависимости от температуры и маг-
нитного поля можно получить информацию о геометрической струк-
туре молекулы. Поскольку металлопротеин обычно содержит только
один или несколько металлических ионов на молекулу с молекуляр-
ной массой порядка Ю5, а также поскольку он доступен лишь в ма«
лых количествах (порядка нескольких десятков миллиграммов), не-
обходимо иметь приборы с очень высокой чувствительностью. Сверх-
проводящие измерители восприимчивости, по-видимому, наиболее
многообещающие приборы для таких измерений. В самом деле, по
крайней мере в случае измерения слабых полей их предельная чувст-
вительность может превосходить на один или два порядка чувстви-
тельность стандартных измерительных устройств. Кукаускас, Вин-
сент и Дивер [246] получили разрешение 10~10 ед. СГСМ для образ-
ца объемом 1 см3 в поле 100 Гс. Чердонио и Мессана [179] добились
разрешения 6« 10“пед. СГСМ для образца объемом 0,5 см3 в поле
200 Гс.

Обсудим теперь кратко измерительную систему восприимчиво*
сти Чердонио и сотр. [183]. На рис. 13.36 изображена схема экспе-
риментальной установки, разработанной этими авторами. Постоян-
ное магнитное поле Не создавалось сверхпроводящим соленоидом.
Максимальное используемое поле имело величину, значительно мень-
шую критического поля Нс1 сверхпроводящей проволоки. Образец
вводился в одну из приемных катушек сверхпроводящего градиомет-
ра, вторичная катушка которого была связана с ВЧ СКВИДом. Ког-
да образец двигался через приемные катушки, происходило измене-
ние магнитного потока, величина которого зависела от расположения
образца. Выходной сигнал магнитометра и сигнал, пропорциональный
положению образца относительно катушек, подавались соответствен-
но на оси у и х двухкоординатного самописца. Типичные эксперимен-
тальные кривые для различных значений температуры представлены
Рис. 13.36. Схема экспериментальной установки для измерения магнитной
восприимчивости, включающая детектирующую и записывающую системы. А —
термометры; В - магнит; С - приемные катушки; D - образец; Е — нагре-
ватели; F — свинцовый экран; G— экран из мю-металла. (Согласно Чердо-
нио и др. [ 183].)

на рис. 13.37. Два пика отвечают расположению образца в центрах
двух астатических катушек, образующих приемную катушку СКВИДа.
Необходимо следить за остаточным сигналом, обусловленным дер-
жателем образца. Система калибруется с помощью образца с извест-
ной магнитной восприимчивостью. Величина обоих пиков в выходном
сигнале магнитометра измеряется цифровым вольтметром, а из сум-
марной величины пиков, определяющей число квантов потока МФ0, на-
Положение образца (см)

Рис. 13.37. Типичные зависимости сигнала магнитометра (в единицах кван-
та потока)от положения образца из 0,475 М раствора NiCl в кварцевом дер-
жателе при различных температурах. (Согласно Чердонио и др, [ 183],)

ходится значение магнитной восприимчивости образца с помощью со-

отношения

N=!He(2nXM + Q),

где J - константа калибровки, Не — приложенное магнитное поле,
п - полное число молей, хм — молярная магнитная восприимчивость,
Q - вклад в сигнал от держателя образца.

Для уменьшения шумов, связанных с вибрациями, вся система
помещалась на антивибрационную платформу, а для защиты от элект-
ромагнитных помех эксперименты проводились в экранированной ком-
нате. В этих условиях была достигнута чувствительность Дх = 2,2 • 10~
СГСМ/см3 при значении поля Не = 11,25 Э в температурном интервале
между 100 и 300 К9

Улучшенный вариант описанной установки недавно был разработан
Чердонио с сотр. [ 184]. В этой системе в процессе движения через
приемные катушки СКВИДа образец совершал колебания с небольшой
амплитудой на частоте 5 Гц. Сигнал от СКВИДа-магнитометра пода-

9 ед.
вался на синхронный усилитель, опорным сигналом для которого слу-
жил сигнал от генератора на частоте 5 Гц. Отношение изменения маг-
нитного потока к амплитуде осцилляций можно непосредственно свя-
зать через калибровочную константу со значением объемной воспри-
имчивости.

13.7.3. Применение в медицине. Очень интересная область
применения сверхпроводящих магнитометров - измерение магнит-
ных полей, создаваемых человеком. С помощью магнитометров уже
наблюдались магнитные поля, создаваемые сердечной деятель-
ностью (магнитокардиограмма, МКГ), деятельностью мышц (магнито-
миограмма, ММГ), мозговой деятельностью (магнитоэнцефалограмма,
МЭГ). Отличные обзоры работ в этой области принадлежат Коэну
[233] и Вильямсону, Кауфману и Бреннеру [1046, 1047]. На рис. 13.38
представлены типичные значения магнитных полей, полученные при
биомагнитных исследованиях человека [233]. Для сравнения там же
указаны предельные значения чувствительности СКВИДов, феррозон-
довых магнитометров, а также интенсивность некоторых внешних по-
мех. Сверхпроводящие магнитометры при снятии МКГ предложили
использовать Коэн, Эдельсак и Циммерман [234]» Данные, полученные эти-
ми авторами, приведены на рис. 13.39. В экспериментах использовал-
ся СКВИД с простым одновитковым сверхпроводящим трансформа-
тором потока (рис. 13.29, а). Чтобы свести к минимуму влияние маг-
нитного поля Земли, измерения проводились в экранированной ком-
нате, спроектированной Коэном [231] в Национальной магнитной ла-
боратории им. Ф. Биттера Массачусетского технологического инсти-
тута. Приблизительно сферическая экранированная комната (рис.
13.40) изготовлена из трех слоев материала с высокой магнитной
проницаемостью, обеспечивающих магнитное экранирование, и двух

ммг

МЭГ м*г

уз Т Г~Т"

10‘’4 1(Г’3 10“’2 10"’’ 10"’°

Городской шум
Поле Земли

Ю’9 Ю'8 Ю'7 Ю'6 КГ5 Ю'4

Тесла

СКВИД Флуксометры

Рис. 13.38. Типичные значения магнитных полей, создаваемых человеком»

33 - 436
Рис. 13.39. Вверху: МКГ, полученная в экранированной комнате с помощью
магнитометра на основе точечного контакта: видна Т-волна; P-волна, по-ви-
димому, маскируется шумом детектора о Внизу: для сравнения приведена ЭКГ
хорошего медицинского качества, снятая у того же человека на следующий
день0 Анализ кривых дает оценку шума около 1 • 10~9 Гс0 (Согласно Коэну
и др0 [234]»)

слоев алюминия, образующих электрический экран. Статическое по-
ле в комнате уменьшено до нескольких нанотесл (1 нТ = 10~5 Гс)
с градиентами порядка 1 нТ/м. Для сравнения укажем, что амплиту-
да медленно изменяющегося сигнала МКГ имеет величину около
3- Ю”11 Т (3• 10”7 Гс). Впоследствии использование градиометров
[857, П04] позволило обойтись без столь дорогих приспособлений,
так что не многие лаборатории имеют экранированную комнату,
аналогичную комнате МТИ. Так, например, группа Технологи-
ческого университета Отаниеми (Финляндия) проводит измере-
ния в деревянном коттедже, расположенном в пригороде в 70 м от
жилого квартала [870]. Применение градиометра первой производной
в качестве приемника позволило обойтись без экрана. Эта группа при-
менила методы снятия МКГ для обнаружения сердечной деятельности
эмбриона [8, 563]. Интересно отметить, что магнитометр является
внешним зондом и может быть расположен вблизи брюшной полости
матери, что позволяет лучше исследовать сердцебиения самого плода.
Как убедились на опыте Опфер с сотр. [773], использование градиомет-
ра второй производной (рис. 13.29,#) позволяет проводить качествен-
ные измерения в городских условиях. Аналогичная система использо-
валась в биомагнитных исследованиях без магнитной экранировки в
Институте электроники твердого тела в Риме [75, 77, 78, 856]. На
Рис. 13.40. Экранированная комната Национальной магнитной лабооатории
Массачусетского технологического института. (С любезного разрешении
Д. Коэна).
(б)

Рис. 13.41. а- магнитная кардиограмма одного из авторов настоящей кни-
ги (Дж, Гк)5 б - типичная МКГ, снятая в 36 точках тела здорового человека.
Сигнал записывался с помощью градиометра второй производной в Институ-
те электроники твердого тела Национального исследовательского совета
(Рим), (С любезного разрешения С, Барбанеры, П, Карелли, И, Модены и
Дж, Л, Романи,)
рис. 13.41,а приведена МКГ одного из авторов этой книги, которая
показывает, как с помощью градиометров можно компенсировать
внешний шум. Магнитокардиограмма была сделана в вышеупомянутом
институте. В качестве приемника использовался градиометр второй
производной. При измерениях экраны отсутствовали, и единственное,
что было необходимо, — устранить металлические застежки и содер-
жимое левого кармана рубашки.

На рис. 13.41,6 приведена типичная МКГ, снятая в 36 точках тела
здорового человека. Такие МКГ обычно снимались во время часов пик
у здоровых и больных людей [79].

Представляет интерес возможность получать низкочастотное экра-
нирование (при умеренной стоимости) с помощью толстостенных камер
из немагнитных материалов с хорошей проводимостью [1101]. Большин-
ство приведенных МКГ было сделано при измерении лишь одной компо-
ненты магнитного поля сердца вокруг грудной клетки. Недавно Вилкс-
мо и Фейрбенк [1043] в Стэнфордском университете спроектировали
систему, с помощью которой можно снимать векторные магнитокардио-
граммы. Они использовали градиометр, приемная катушка которого
состояла из двух контуров, повернутых на угол 55° по отношению к ее
оси. С помощью 120 простых последовательных вращений можно из-
мерять три ортогональные компоненты поля. Для приведения данных
в систему координат, связанную с пациентом, используются линейные
преобразования. Измерения проводились в экранированном замкнутом
пространстве, данные записывались и обрабатывались миникомпьюте-
ром. [1044].

Чувствительность сверхпроводящих магнитометров настолько ве-
лика, что позволяет проводить изучение гораздо более слабых биоло-
гических сигналов. В самом деле, величина нейромагнитных полей, со-
здаваемых спонтанной мозговой деятельностью, порядка нескольких
пикотесл (1 пТ = 10~8Гс), тогда как амплитуда откликов на магнит-
ное возмущение может быть еще на порядок меньше. Ранее такие сиг-
налы измерялись в экранированных помещениях [232, 233]. Использо-
вание все более и более сложных и пространственно разнесенных градио-
метров позволило исследовать такие явления без магнитных экранов.
Так, Вильямсон с сотр. [139, 1045] изучают нейромагнитные поля в
городских условиях, начиная с 1975 г.

Подобное изучение нейромагнитных сигналов, появляющихся при
возбуждении органов зрения и слуха, проводилось также в Хельсинки
[9] . В Институте электроники твердого тела в Риме систематически
исследуется спонтанная деятельность мозга нормальных и больных
людей с помощью одновременной записи магнитоэнцефалограмм и
электроэнцефалограмм [78].

Исследование нейромагнитных полей проводится в зависимости
как от времени, так и от частоты. Пример такого рода анализа для
здорового человека приведен на рис. 13.42. При помощи фурье-анали-
за высокого разрешения легко убедиться, что электрический и магнит-
ный сигналы отличаются друг от друга. Это обстоятельство позволяет
считать, что электрическая и магнитная активности мозга человека
по крайней мере частично не коррелируют между собой. Следователь-
но, за эти два явления могут отвечать различные механизмы.

13.7.4. Геомагнетизм. Одно из многообразных применений
СКВИДов - измерение поверхностного импеданса Земли посредством
одновременного детектирования флуктуаций магнитного и электричес-
кого полей. Эта область в настоящее время привлекает значительный
интерес и весьма перспективна, что связано как с исследованием неф-
тяных и геотермальных источников, так и с изучением сейсмической
активности. Методика измерения поверхностного импеданса включа-
ет в себя определение тензора импеданса Z в зависимости от часто-
ты с помощью соотношений

Ex(U)=ZMHx(u) + Zxy(U)Hy(^,

Ey(U)=Zyx(U)Hx(U)+Z„(a)Hy(U),

где Е.(со) и НДсо) - фурье-образы флуктуаций горизонтальных и орто-
гональных между собой электрического и магнитного полей E^t),
H-(t ) (i = х, у), являющихся реальными величинами, которые долж-
ны быть измерены. Далее можно провести измерения вертикальной
составляющей H(f), что также даст весьма полезную информацию.

Не входя в детали, отметим, что роль СКВИДов заключается в
успешной замене традиционных катушек индуктивности, обычно ис-
пользуемых в магнитометрах для увеличения чувствительности. В
этом направлении можно использовать трехосные СКВИД-магнито-
метры, как это описано в работе Кларка, Гэмбла и Гоубау [225]
(обзор более ранних исследований содержится в работе Фредерика и
др., ссылка на которую см. в [225]).
Сигнал, произв. ед.

о,о Время, с 8,оооо 5,оооо Частота, Гц 25,000

Рис. 13.42. Одновременно снятые в Институте электроники твердого тела Национального исследовательского совета (Рим) МЭГ (а)
и ЭЭГ (в) здорового человека, а также их фурье-анализ (б, г)0 (С любезного разрешения Дж. Л. Романи).
Кларк с сотрудниками с помощью метода наименьших квадра-
тов провел анализ и сравнение данных, полученных при использова-
нии новой методики, основанной на применении дополнительного
контрольного магнитометра. Высокая чувствительность, достигну-
тая в этих измерениях, улучшает контроль за медленными вариация*
ми магнитного поля Земли, что можно будет использовать для пред-
сказания землетрясений.
Г лава 14

Элементы вычислительных
машин

Одно из хорошо известных направлений прикладных исследова-
ний - постоянное развитие компьютерной техники» Достигнутый в
последние три десятилетия прогресс в технологии полупроводнико-
вых интегральных схем привел к резкому увеличению мощности
компьютеров» В различных лабораториях исследуются также новые
подходы к проблеме, основанные на иных технологических решени-
ях; в частности, эффект Джозефсона стимулировал новые идеи и от-
крыл новые перспективы» Как мы увидим в этой главе, различные
типы контактов находят применение в цифровой джозефсоновской
технике» Мы будем до некоторой степени следовать истории разви-
тия этой области, начиная с первых попыток сконструировать эле-
менты компьютеров с использованием свойств сверхпроводника.

14.1. Криотроны

Идея использования сверхпроводников в вычислительных устрой-
ствах возникла довольно давно. Бак [ 151] предложил использовать
в компьютерах новый элемент, названный криотроном, который
работал как сверхпроводящий переключатель тока» Простая систе-
ма такого рода показана на рис» 14» 1, а. Сверхпроводник S, дейст-
вующий как вентиль, можно переводить в нормальное состояние маг-
нитным полем, которое создается током 1С в управляющей обмот-
ке. Постоянная времени этого устройства составляет десятки мик-
росекунд.

Ньюхаус и Бремер [751] описали созданный на основе тонкопле-
ночной технологии сверхпроводящий элемент, обладающий большим
быстродействием. Устройство состояло из двух пересекающихся
изолированных тонких полосок (рис» 14.1, б) - вентиля (шириной
Wg ) и управляющего электрода (шириной Wc)» К сожалению, и в этом
случае проблема усиление - быстродействие также осталась
нерешенной, поскольку увеличение усиления достигалось ценой уве-
личения времени переключения» В самом деле, увеличение отноше-
ния Wg/Wc, которое необходимо для достижения большего усиления,
(б)

Рис, 14,1, a — сопротивление вентиля в зависимости от управляю-
щего тока для криотрона с обмоткой из проволоки Та -Nb при 4,2 К;
б — схема крестообразного (поперечного) криотрона. (Согласно
Ньюхаусу [750]).

приводит также к увеличению постоянной времени L/R(L — полная ин-
дуктивность цепи с током, R - сопротивление вентиля)* Дальней-
ший прогресс был достигнут в работе Бреннемана [136], который ис-
пользовал продольную конфигурацию (продольный криотрон)* В
этом устройстве ширины вентиля и управляющего электрода были оди-
наковыми (W = Wc•; рис* 14*2, а)* Основное преимущество продоль-

Рис, 14.2, а — схема продольного криотрона; б — сравнение харак-
теристических кривых продольного и поперечного криотронов.
(Согласно Бреннеману [ 13б].)

ного криотрона по сравнению с крестообразным состоит в значитель-
ном увеличении Rt так как при переключении в нормальное состоя-
ние переходит весь вентильный электроде Уменьшение величины L
также достигается за счет увеличения Wc (вплоть до Wg )в
На рис- 14-2, б приведены кривые усиления продольного и крес-
тообразного (поперечного) криотронов при заданной величине отно-
шения Wg/Wc ( = 1)- Ясно видно, что кривая, относящаяся к устройст-
ву с линейной геометрией, имеет больший наклон (большее усиле-
ние)- Таким образом, смещая вентиль дополнительным управляющим
электродом, можно получить дифференциальное усиление (отношение
△ Zg/А1С) вплоть до 10-

Хотя криотронная технология [750], использующая также методы
литографии высокого разрешения, в течение ряда лет казалась весь-
ма многообещающей, с ее помощью не удалось достигнуть доста-
точно хороших результатов- Первое поколение криотронов имело серь-
езные недостатки [137], связанные с фазовым переходом сверхпро-
водник - нормальный металл, который лежит в основе их функциони-
рования- Скорость переключения криотрона ограничивается двумя
факторами: наличием скрытой теплоты фазового перехода сверх-
проводник - нормальный металл и конечной скоростью распростра-
нения границы между фазами- В заключение нашего краткого очер-
ка о состоянии проблемы "до джозефсоновского туннелирования"
напомним об использовании сверхпроводящего туннелирования в пе-
реключающих элементах, предложенных Гевероми Мегерле [388]-

14.2. Эксперименты Матисоо

Двузначный вид ВАХ джозефсоновского контакта, а также воз-
можность переключения под действием внешнего магнитного поля
между состоянием с нулевым напряжением и состоянием квазичас-
тичного туннелирования привели к идее создания нового логичес-
кого элемента* Криотрон такого рода получил название туннельного
криотрона [695]- При работе этого устройства (рис- 14.3,а) не
возникает проблем, связанных с фазовым переходом из сверхпроводящего
состояния в нормальное-

14.2.1. Туннельный криотрон. В 1966 г- Матисоо [694] сооб-
щил о первых экспериментальных наблюдениях переключения тун-
нельного контакта между двумя устойчивыми состояниями V - 0
и V = 2&/е с временами переключения, меньшими 1 нс- Остановим-
ся теперь на некоторых аспектах этих пионерских экспериментов*
Измерения проводились на продольных туннельных контактах
Sn-SnxO —Sn с размерами 0,13 х 0,13 мм2 при максимальном джо-
зефсоновском токе порядка 1 мА (при 1,7 К)- Свинцовая пленка под
туннельным контактом существенно уменьшала индуктивность пле-
Sn и

тельной установки; в — сигнал на экране осциллографа, соответствующий
напряжению на переходе Sn-Snxoy - Sn ниже порога (нижняя кривая) и
переходу из состояния туннелирования пар (нулевое напряжение) в состоя-
ние квази частичного туннелирования (конечное напряжение). Масштаб гори-
зонтальной оси — 0,4 нс/дел., вертикальной оси — 1 мВ/дел.; н = 0,
Т= 1,7 К . (Согласно Матисоо [69 4].) а
нок. Схема измерительной установки показана на рис. 113, б. В своих экспе-
риментах Матисоо наблюдал изменение характера туннелирования,
т.е. переход из состояния с нулевым напряжением в состояние ква-
зичастичного туннелирования и наоборот. На рис. 14.3, в показано
отражение первого процесса на экране осциллографа. Измеренное
время переключения криотрона не превышало временное разрешение
аппаратуры и составляло 0,8 нс. Измерения времени переключения
при обратном переходе дали величину порядка 1 нс. Большее зна-
чение времени обратного перехода обусловлено не столь резко вы-
раженным порогом. Действительно, для переключения туннельного
контакта из квазичастичного состояния в состояние с нулевым на-
пряжением требуется достичь величины Р, приблизительно равной
Ь/е. Как мы увидим далее, такое ’’обратное” переключение обла-
дает весьма сложными, особенностями. В соответствии с предска-
занием Матисоо в последующих экспериментах [ 549, 1088, 1089] бы-
ли найдены значительно меньшие значения времени переключения.

На практике для управления процессом переключения на тун-
нельный контакт, покрытый изолятором, напыляется управляющая
сверхпроводящая пленка. Магнитное поле, создаваемое управля-
ющим током 1С * изменяет максимальный джозефсоновский ток

. Когда такой пороговый ток становится меньше вентильного то-
ка Zg , происходит переключение криотрона в состояние) с конеч-
ным напряжением, равным 2L/е , или, более точно, на пересече-
ние характеристики, соответствующей квазичастичному туннелиро-
ванию с характеристикой внешней нагрузки (см. разд. 14.4). Зави-
симость вентильного тока Zg , при котором происходит переключе-
ние, от управляющего тока 1С (т.е. характеристика управления) для
продольной конфигурации криотрона, показана на рис. 14.4, а [695]. Экенери-
ментальные значения, представленные на рисунке, получены при совпа-
дающих импульсах контрольного и вентильного токов. Отметим, что
вид зависимости является типичным для случая длинных джозефсонов-
ских контактов (в данном частном случае L/\j~ 10). Имеющаяся
асимметрия в характеристике обусловлена наличием экранирующей
плоскости. Причард и Шроэн [826] исследовали поперечный криотрон
с ’’окном” в вентиле для симметричного подвода вентильного тока
и получили зависимость I (Iс ), которая представлена на рис. 14.4, б.
Здесь мы не будем подробно останавливаться на интерпретации
этих результатов, поскольку соответствующее обсуждение, касаю-
I (мА) 4 (мА)

(а) 16)

Рис. 14.4. а — ток вентиля в зависимости от управляющего тока для крио-
трона продольной конфигурации с экранирующей плоскостью [б9б]: б — то
же для криотрона с ’’окном” [ 82б].

щееся действия внешнего и собственного магнитных полей в джозеф-
соновских контактах, влияния экранирующей плоскости и т.п. уже
проводилось в гл. 4 и 5.

14.2. 2. Триггерная схема. Основной режим работы криотро-
нов в плане обработки и запоминания информации - управление то-
ком» Этот режим исследовался в работах Матисоо [696, 697], который
рассмотрел триггерную схему из двух параллельных туннельных
криотронов, подключенных к источнику постоянного тока Оригиналь-
ная триггерная схема Матисоо представлена на рис. 14» 5» С помо-
щью соответствующих управляющих токов подводимый к триггеру
ток может переключаться от одной ветви сверхпроводящего контура
к другой, действуя попеременно на оба джозефсоновских контакта»
Таким образом реализуется бистабильный логический элемент. Раз-
личные этапы работы устройства грубо можно описать, как это сде-
лано на рис. 14.6. Рассмотрим сначала тонкопленочный сверхпроводя-
щий контур. При условии полной симметрии (равные индуктивности)
Рис. 14.5. Триггерная схема с туннельными криотронами. Контакты обоз-
начены заштрихованными квадратиками. Под сверхпроводящим контуром
расположена изолированная от него (обычно при помощи слоя SiO толщи-
ной несколько тысяч ангстрем) экранирующая плоскость. (Согласно
Матисоо [б9б].)

ток делится поровну между двумя ветвями контура. Сказанное бу-
дет справедливо и в случае двух включенных в цепь (рис* 14*6, а) идентич-
ных джозефсоновских контактов А и В. Подводимый к устройству ток ZQ раз-
деляется на две части и течет через два параллельных контакта, находящихся
в состоянии с джозефсоновским током (состояние с нулевым напряже-
нием). Предполагается, что критический ток Джозефсона удовлет-
воряет условию Zo и Пропустим теперь через управляющий электрод
контакта А импульс тока 1са , магнитное поле которого уменьшит
критический ток Джозефсона до величины, меньшей Zo/2. В резуль-
тате произойдет переключение контакта А из состояния V = 0 в
Fo = 2Д/е , т.е* в единственно возможное состояние при токе
Zo/2. Таким образом, t из-за появления сопротивления (в контакте Л)
ток через контакт А уменьшится, а через контакт В-увеличится.
Следовательно, происходит перераспределение тока между ветвями
триггера. Как только величина тока уменьшится до 1т , контакт А
переключится обратно в джозефсоновское состояние с меньшим
значением тока (1т) по отношению к первоначальному состоянию
(рис. 14.6, б,в)Л Даже если импульс управляющего тока прекращает-
ся, система останется в этом новом состоянии, которое из-за сохра-
нения потока в сверхпроводящем контуре также является стабиль-
ным. Подавая импульс тока на управляющий электрод джозефсонов-
ского контакта В, можно произвести симметричную операцию. Итак,
в такой цепи можно переключать ток от одной ветви к другой с по-
Рис, 14,6 . Радгичные этапы работы двух туннельных криотронов в триг-
герной схеме.

мощью внешнего управляющего импульса. Управляющий ток может
переключать значительно больший вентильный ток, что весьма
важно для работы логической системы малой мощности. Усиление
такого устройства определяется отношением переключаемого тока
к управляющему току, необходимому для осуществления перехода
между состояниями вентиля с нулевым и конечным напряжением.

34 - 436
Чтобы оценить время отклика на управляющее воздействие,
можно измерить время, на протяжении которого контакт А нахо-
дится в резистивном состоянии (в это время ток переключается к
контакту В). Если мы находимся в условиях, когда величина проте-
кающего тока ls достаточна для переключения В (т.е. ls =
= 1Q _ im> , то время отклика на управляющее воздействие опре-
деляется запаздыванием между переключениями двух вентилей. В
последней цитированной работе использовались оба метода, и в обо-
их случаях переключение тока величиной 20 мА происходит за время
△Z 2 нс, что давало время перехода джозефсоновского элемента
меньшее чем 0,8 нс.

14.3. Времена срабатывания

Как мы видели, при описании триггера следует принимать во
внимание два характерных времени: время переключения джозеф-
соновского элемента и время отклика на управляющее воздействие*
Для грубой оценки времени переключения из состояния с V = 0 в
состояние с Ро = 2^/е можно использовать скорость заряда емкос-
ти джозефсоновского контакта С до разности потенциалов Ео
от источника постоянного тока 1 . Простая эквивалентная схема
джозефсоновского контакта изображена на рис* 14*7, а. Предполо-
жим, что в области напряжений 0< V< 2&/е сопротивление кон-
такта равно R (рис* 14*7, 0, тогда как средняя величина сопротивле-
ния есть R = (2Л)(А ЛШ). Следовательно, V стремится к величи-
не 1&R с постоянной времени, равной ЯС, т*е.

И(О = ^Л(1-е-'/ЛС).

Однако из-за сильного изменения сопротивления вблизи 2А,/е напря-
жение в большой области токов остается равным V = g так что
время переключения джозефсоновского элемента есть

/ У \
z=-AClog^l-

и поскольку Fo « Zg R, то

V С

. (изд)

Отсюда видно, что достигнуть увеличения скорости переключе-
ния можно, уменьшив емкость джозефсоновского контакта и увели-
чив Zg (поскольку Ро задается величиной энергетической щели
сверхпроводника)*
Рис. 14.7. а — эквивалентная схема джозефсоновского туннельного кон-
такта; б - ВАХ контакта.

При оптимальных размерах структуры этого можно достигнуть
уменьшением толщины туннельного барьера t * Действительно, ем-
кость контакта пропорциональна t""1, джозефсоновский же ток экс-
поненциально растет с уменьшением t * Таким образом, необходимо
удовлетворить одновременно двум условиям: иметь минимальные
размеры контакта и максимальную плотность тока* Используя при-
ближенное соотношение (14*3*1), можно грубо оценить порядок величи-
ны времени переключения* Для типичных значений VQ = 1 мВ,С = 10 “10 Ф,
/g = 10 мА имеем t ~ 10 пс*

В экспериментах Заппе и Гребе [1088, 1089] для длинных контак-
тов было получено время переключения порядка 60 пс* Джутци и др*
[ 549], исследовавшие контакты малых размеров (1x3 мкм), опреде-
лили величину времени переключения ~38 пс* Экспериментальные зна-
чения оказались больше ожидаемых, но связано это было с ограничен-
ной разрешающей способностью приборов* Отметим, что в настоя-
щее время можно уменьшить время переключения на восемь поряд-
ков по сравнению с исторически более ранними ("неджозефсоновс-
кими") криотронами*

Чтобы оценить время отклика на управляющее воздействие, рассмотрим
теперь простую эквивалентную схему для тока переключения, показан-
ную на рис. 14*8* В этом случае источник постоянного напряжения
VQ последовательно соединен с дифференциальным сопротивлением
контакта* Через L обозначена индуктивность контура. Следователь-
Рис. 14.8. Простая эквивалентная
схема триггера.

но, ток в цепи имеет вид

Отметим, что величина VQi/ Rd намного превышает величину пе-
реключаемого тока △/, поскольку при VQ дифференциальное со-
противление контакта Rd мало (типичные значения меньше 10 “3 Ом)»
Таким образом,

Если мы, например, воспользуемся типичными значениями
Z = 10 мА, Ео = 1 мВ и L = 5* 10 ~11 Гн, то для времени отклика на
управляющее воздействие получим значение порядка 500 пс, которое
согласуется с известными в литературе экспериментальными дан-
ными [694, 696, 1088]»

14.4. Различные режимы переключения криотронов

Обсудим теперь некоторые аспекты переключения одиночного вен-
тиля в условиях различной внешней нагрузки. В частности, рассмот-
рим уже упоминавшийся вопрос обратного переключения системы из
состояния с конечным напряжением в состояние с нулевым напряже-
нием на джозефсоновском контакте» Довольно грубо можно сказать,
что контакт претерпевает такой переход, как только мгновенное зна-
чение напряжения, которое является суммой постоянного и перемен-
ного слагаемых, обратится в нуль»

Когда вентиль находится в резистивном состоянии, таком, что
линия нагрузки пересекает квазичастичную характеристику при нап-
ряжениях, меньших Vm (рис» 14»9), то джозефсоновский контакт пе-
реключается обратно в состояние с нулевым напряжением вне зави-
симости от величины управляющего тока lc , Такой режим "самосбро-
са", как мы видели в гл» 6, объясняется нестабильностью ВАХ при
напряжениях, меньших Vm . Второй режим работы осуществляется в
Рис. 14.9. Резистивные состояния для раз-
ных режимов переключения.

том случае, когда сопротивление нагрузки больше некоторой вели-
чины Rl (рис. 14.9). При этом джозефсоновский контакт не переклю-
чается в состояние с нулевым напряжением, а остается в состоянии
с конечным напряжением, соответствующим пересечению линии на-
грузки с квазичастичной ветвью. Такой процесс обычно называют режимом
"запирания". Сброс или переход джозефсоновского элемента в сверхпро-
водящее состояние в этом случае происходит при уменьшении вентиль-
ного тока Zg до величины, при которой линия нагрузки пересека-
ется с квазичастичной ветвью в области " самосброса" криотрона.
При промежуточных значениях нагрузки (Rr < R < RL) криотрон
работает в "открытом" режиме. В этом случае сброс системы проис-
ходит, как только выключается управляющий ток Iс . Эго обстоятельство
объясняется тем, что выключение управляющего тока означает уве-
личение критического тока Джозефсона и, следовательно, увеличе-
ние амплитуды осцилляций переменного джозефсоновского напряже-
ния. Разумеется, такие осцилляции имеют место также и в двух пре-
дыдущих случаях; однако в "открытом" режиме мгновенное напря-
жение достигает нулевого значения, что и обусловливает пребывание контак-
та в состоянии с нулевым напряжением. Динамические характеристики пе-
реключения, соответствующие этим трем режимам работы, которые описы-
ваются мгновенными значениями I и V, приведены в подробной работе Лама,
Чена и Ван Дузера [684] и фундаментальных работах Заппе [ 1082, 1084,1087] и
Хенкелса [ 480]в Обсуждение динамики переключения на языке резис-
тивной модели с шунтирующей емкостью также содержится в рабо-
те Чена, Ульриха и Ван Дузера [186]* При этом учитывается влия-
ние выводов, связывающих джозефсоновский элемент с нагрузкой.

При изучении вопросов, связанных с процессом переключения,
следует также обратить внимание на то, что в реальных контактах
возможно возбуждение саморезонансных мод, которые проявляются
в виде пиков тока, наложенных на квазичастичную характеристику.
Как мы видели в гл. 9, амплитуда таких ступенек тока может быть
довольно большой по сравнению с максимальным током при нулевом
напряжении, в особенности если речь идет о длинных контактах

> Ау ). В том случае, когда линия нагрузки пересекает такие сту-
пеньки, могут возникать сложности, связанные с процессами сбро-
са» Подбирая конфигурацию контакта [700], можно избежать появ-
ления этих ступенек тока. Другая возможность связана с разработ-
кой джозефсоновских контактов с полупроводниковыми барьерами.
Такие структуры обладают низкими значениями Q, что может спо-
собствовать устранению сингулярностей тока» Быстродействующие
схемы в "открытом" режиме обсуждались Ченом, Ламом и Ван
Дузером [185]. Кроме того, Бароне, Руссо и Вальо [89] сообщили о
предварительных результатах, касающихся возможности использо-
вания контактов со светочувствительными полупроводниковыми
туннельными барьерами.

Другое явление, возникающее при переключении контакта из со-
стояния с конечным напряжением в состояние с нулевым напряжени-
ем (особенно в контактах малых размеров), заключается в так назы-
ваемом эффекте "пробоя" [362, 369]. Он имеет место в том случае,
когда для быстрого сброса уменьшают ток до отрицательных значе-
ний ("перевозбуждение"), так что | Ig | > | Ц В этом случае напря-
жение на переходе, изменяясь, может принимать отрицательные зна-
чения вдоль квазичастичной ветви, "пробиваясь через" состояние
V = 0.

Из рассмотрения триггерной схемы рис. 14.10 понятно, что
операция управления током будет определяться только что описан-
ными свойствами процесса переключения вентилей и параметрами
сверхпроводящего контура. Этот вопрос обсуждался в ранней рабо-
те Гюэре [ 442]. В первом приближении можно пренебречь одним кон-
тактом (скажем, В) и принимать во внимание контакт А и индуктив-
ность контура. Ясно, что даже при таком предположении можно наг
блюдать осцилляционное поведение системы. Вероятность запирания
Рис. 14.10. Схема триггера.

в состоянии V = 0 будет связана с наличием нулей (напряжения) при
LC-осцилляциях. Это, разумеется, вызовет сложности при управле-
нии током. Величина передаваемого тока будет зависеть более или
менее случайно от конкретного пути, по которому происходит скачок
V к нулю. Возможно, что, как только среднее значение напряжения
< V > на переходе уменьшится до величины < VA > < < VL >, произой-
дет ’’пробой1’, поскольку в схеме имеется элемент, накапливающий
энергию (индуктивность L), который ’’заставит” контакт перейти в
состояние с напряжением противоположной полярности. На рис. 14.11

Рис. 14.11. Падение до нуля среднего напряжения на контакте при t = tQ,
когда амплитуда огибающей становится меньше 7min. (Согласно Гюэре
[442].)
показана зависимость < VA> от времени. Величина запирающего
напряжения VL показана как огибающая затухающей синусоиды. Ко-
эффициент затухания имеет видт] = £С2,/4С.

Рассмотрим теперь влияние джозефсоновской индуктивности,
которой мы до сих пор пренебрегали. В этом случае эффективная
индуктивность эквивалентной схемы будет задаваться комбинацией
L и соединенной параллельно с ней джозефсоновской индуктивно-
стью Lj „ Величина L является константой и определяется геомет-
рией контура. Полный ток в системе связан с величиной потока
Ф следующим образом (см. гл. 12):

LI=LIX sin2Tr— +Ф,

и; следовательно, эквивалентная индуктивность есть

L‘~7~ 1 + (Л/1/Ф)8т2тг(Ф/Ф0) '

Коэффициент затухания, таким образом, принимает вид

=___________3__________

1 + (Ы1/Ф)5т2тт(Ф/Ф0) '

Присутствие в знаменателе синуса приводит к возможности из-
менять режим работы системы от режима с докритическим затуха-
нием (qe < 1), при котором величиной L можно пренебречь, до ре-
жима со сверхкритическим затуханием (ц > 1), когда учитывает-
ся джозефсоновская индуктивность. Гюэре [442] исследовал этот
вопрос и, принимая во внимание влияние джозефсоновского тока,
пришел к выводу, что изменение индуктивности контура всего на
0,25% может привести к сильным изменениям в процессе переклю-
чения тока. Как показано в работе [ 442], это связано с эффектом
квантования потока, который является существенным даже при рас-
смотрении контуров с большой индуктивностью (случаи большого
числа квантов потока).

14.5. Интерференционные переключающие устройства

Увеличение степени интеграции в логических схемах означает
дальнейшее уменьшение размеров электродов и полосковых линий и
соответственно увеличение значений их импедансов. В конечном
счете при данных значениях напряжения на контакте это накладыва-
ет жесткие ограничения на величины токов. Поэтому весьма важной
Рис. 14.12. Конструкции, эквивалентные схемы и характеристики управ-
ления двух- и трехконтактных интерферометров.

является разработка переключающих устройств с малыми управляю-
щими токами» В соответствии с этим целесообразным является ис-
пользование интерференционных устройств, обладающих более вы-
сокой чувствительностью к магнитному полю» В отдельном продоль-
ном вентиле (длинный контакт, т»е» L > Лу ) зависимость критичес-
кого тока от магнитного поля фиксирована и определяется разме-
рами контакта, тогда как в интерферометрах чувствительность к
магнитному полю не зависит от размеров джозефсоновского кон-
такта, что обусловливает большую гибкость при конструировании
сверхпроводящих контуров. Отметим, что в интерференционных ус-
тройствах можно получить значительное уменьшение емкости, при-
чем предельное ее значение будет определяться минимальным
размером джозефсоновского контакта, который может быть реали-
зован при имеющейся технологии. Зависимость вентильного тока
Zg , при котором происходит переключение, от 1С (характеристики
управления) для двух интерферометров, конструкции и простые
эквивалентные схемы каждого из них представлены на рис. 14.12.
Форма зависимости I от 1С таких устройств определяется только
величиной произведения LlQ . Его увеличение повышает чувстви-
тельность Z j к магнитному полю.

Как уже упоминалось ранее, уменьшение произведения L/o в
двухконтактном интерферометре приводит к снижению чувствитель-
ности устройства. С другой стороны, увеличение LJQ с целью по-
вышения чувствительности приводит к возрастанию перекрытия полу-
волн колебаний, отвечающих зависимости I (1с ) на рис. 14.12.
Последнее обстоятельство означает уменьшение области (на плос-
кости 1С - Ig ), в которой логические устройства переключаются
в состояние с конечным напряжением, и заставляет использовать
их при больших величинах токов. Эта трудность успешно преодоле-
на в трехконтактном интерферометре, впервые описанном Заппе
[1084]. В этом случае расстояние между полуволнами колебаний на
характеристике управления значительно увеличивается [954].
Значения токов срабатывания трех джозефсоновских элементов в
этой конфигурации относятся друг к другу как 1:2:1. Схемы с та-
кими интерферометрами, работающие в "открытом’' режиме и в ре-
жиме ’’запирания”, подробно обсуждались как с теоретической, так
и с экспериментальной точек зрения в работах [1084, 1087].

Фарис и Дэвидсон [332] предложили устройство другого типа, в
котором переключение между полуволнами колебаний и открытой
областью выше квантовых мод не происходит, но используются край-
не асимметричные критические точки под этими модами (см. ниже).
14.6. Элементы памяти

Постоянство циркулирующего тока в сверхпроводящих кольцах
[828] обусловливает возможность создания новых элементов памя-
ти [ 16, 209, 695].

14.6.1. Триггер как эпемент памяти. На практике работа
таких устройств основана как на свойстве переключения джозефсо-
новского контакта, так и на явлении квантования потока в сверхпро-
водящем кольце. Можно довольно грубо разделить элементы памя-
ти на две категории в зависимости от величины критического тока
Ц и индуктивности кольца L. В устройствах первой категории вы-
полняется условие их» Фо, так что дискретный характер величи-
ны потока является несущественным из-за большого числа квантов
потока в кольце. Во второй категории Е/1~Ф0 , и в элементе запа-
сается одиночный кванг потока.

Обсуждавшаяся в разд. 14.2.2 триггерная схема представляет
собой потенциальную реализацию элемента памяти; хранение инфор-
мации осуществляется так, как это показано на последнем рис.
14.6. Направление циркулирующего тока по или против часовой стрел-
ки соответствует состояниям триггера 1 или 0 в двоичной системе.
Довольно давно Анаккером [ 16, 17] подробно обсуждалась возмож-
ность применения таких структур в высококачественных компьюте-
рах. Предложенный им элемент памяти состоял из двух контактов,
предназначенных для записи информации, и одного — для считыва-
ния информации без ее нарушения (рис. 14.13). Залпе [ 1085] успеш-
но реализовал такой элемент памяти, используя сверхпроводящий
контур с размерами ^0,5 х 0,6 мм. Время переключения тока в
таком устройстве составляло около 600 пс. Скорость повторения
записи превышала 1 ГГц, а диссипация энергии за цикл записи была
меньше 2 фДж. За подробностями работы устройства мы отсылаем
читателя к работе [ 1085]. Брум, Джутци и Мор [ 146] создали миниа-
тюрный джозефсоновский элемент памяти. Его площадь составляла
5x5 мкм 2 и плотность критического тока Джозефсона равнялась
30 кА/см. Верхняя граница времени переключения тока на протяже-
нии операции записи составляла 80 пс. Этот элемент памяти отлича-
ется от обсуждавшегося ранее не только размерами, но также и кон-
струкцией; это различие относится, в частности, к новому техничес-
кому решению записывающих линий.
Рис. 14.13. Элемент памяти, включающий в себя джозефсоновские вентили
на туннельных контактах (BQ и Вдля записи и неразрушающего считыва-
ния (S). (Согласно Анаккеру [ 1б].)

14.6.2. Запоминающие устройства на одиночных квантах потока.
Специфические свойства перекрывающихся вихревых мод, возникающих
в других джозефсоновских устройствах, открывают возможность для
иного подхода к хранению информации [ 443I, J44, 446, 1083]* В этом
случае один бит информации может храниться в виде вихря. Обратим-
ся к системе, изображенной на рис. 14.12, а» Статическое поведение
таких структур подробно обсуждалось в гл. 12. При условии
[3 е = 2тг /Фо « 1 характеристики управления Zg (1С ), как показано

на этом рисунке, состоят из полуволн, соответствующих перекрываю-
щимся вихревым модам. В областях перекрытия возможны два сос-
тояния, отвечающие значениям потока пФ0 и (n + 1)Фо. Для описа-
ния работы устройства обратимся к первой области перекрытия, в
которой вихревые состояния 0 и 1 будут отвечать двум состояниям
элемента памяти 0 и 1 (рис. 14.14).

Когда информация запасается в элементе, устройство смещается
в область характеристики, соответствующую управляющему току
/с ь. Предположим, что ячейка находится в состоянии 0. Чтобы запи-
сать 1 (WR1), следует изменить управляющий ток таким образом,
чтобы пересечь характеристику управления, отвечающую моде п = 0.
В результате этой операции величина потока в кольце меняется на
единицу (Фо).
При возвращении управляющего тока к начальному значению
/сЬ, система 11 движется" обратно к первоначальной точке в зоне пе-
рекрытия, однако элемент памяти находится теперь в состоянии
п = 1. Наоборот, если первоначально система находилась в состоя-
нии п = 1, то предыдущая операция не окажет никакого влияния на
состояние элемента, поскольку рабочая точка остается под характе-
ристикой управления, соответствующей вихревому состоянию п = 1.
Очевидно, для записи 0 (WR0) необходима та же процедура, за ис-
ключением того, что знак изменения управляющего тока следует по-
менять на обратный. Отметим, что при обсуждаемом нами процес-
се записи информации, связанном с двумя различными вихревыми
состояниями элемента, на устройстве появляется всплеск напряже-
ния, как только происходит пересечение характеристики управления.
Это напряжение спадает за время, которое зависит от особенностей
устройства, и составляет десяток пикосекунд. Используя в качест-
ве датчика джозефсоновский контакт малых размеров, можно обна-
ружить этот всплеск напряжения, обеспечивающий механизм считы-
вания.

Когда переход между вихревыми состояниями происходит при
величине тока вентиля Zg , большей критического значения 1СТ
(см. рис. 14.14), пересечение характеристики управления неизменно
"приводит" элемент памяти в состояние с конечным напряжением.
Этот эффект наблюдался и был объяснен Фултоном, Дунклебергером и
и Дайнсом [ 372]. Он служит основой для другого возможного метода
считывания информации [ 1083]. Подробности о работе только что
описанных элементов памяти и экспериментальные данные чита-
тель может найти в статье Гюэре, Мора и Вольфа [ 446]. Полный об-
зор элементов памяти на одиночных квантах потока, обсуждавшихся
до сих пор, дан в подробной статье Вольфа [ 1050].

Очевидно, что наиболее простой структурой, в которой происхо-
дит перекрытие вихревых мод, является одиночный "длинный" джо-
зефсоновский контакт (см. гл. 5). Следовательно, такие системы
также можно использовать в качестве памяти одиночных элементов
на квантах потока. Однако по ряду причин более предпочтительны
по сравнению с одноконтактными элементами конфигурации с двумя
контактами. В самом деле, как мы видели, соответствующие разным
модам характеристики управления таких систем имеют почти оди-
наковую форму. Это открывает большие возможности при использо-
вании таких систем для считывания.
Рис. 14.14. Вихревые состояния и вихревые переходы в двухконтактном
СКВИДе, использованном для хранения ин|юрмации в форме кванта потока
Приведены также результаты расчета на ЭВМ процесса переключения на-
пряжения для переходов вихрь — вихрь и вихрь — напряжение.) (Согласно
Вольфу [ 1050].

Другой тип элементов памяти на одиночном кванте потока был
недавно предложен Лихаревым [650] (см. также обзор Лихарева и
Ульриха [ 657]). В этом устройстве, названном "параметрическим
квантроном", используется сверхпроводящее кольцо; замкнутое на
одиночный контакт (рис. 14.5, а, б). Как мы видели в гл. 12, зависи-
мость внутреннего потока Ф.от внешнего (подмагничивающего) по-
тока Фе определяется величиной характерного параметра . Если
больше единицы, то при фиксированном значении Фе может су-
Рис. 14,15. Параметрический квантрон. Эквивалентные схемы прос-
того (а) и параметрического (б) квантронов; в — зависимость Ф
от Фе для квантронов; г — возможная конструкция параметрического
квантрона с использованием в качестве джозефсоновского венти,ля
мостика переменной толщины. (Согласно Лихареву [650].)
шествовать несколько стабильных состояний, соответствующих раз-
личному числу квантов потока в кольце. Если же Ре меньше едини-
цы, то зависимость Ф(Фе ) однозначна (рис. 14.15, в). Рассмотрим
конфигурацию, изображенную на рис. 14.15, г. Управляющий ток
обеспечивает равенство нулю полного потока в кольце. Его роль со-
стоит в уменьшении величины критического сверхтока контакта и ,
следовательно, величины ₽е. С этим связано название устройства
"параметрический квантрон". Внешний поток Фе создается током / .
Предположим, что величина приложенного управляющего тока та-
кова, что Ре < 1. При Фе = Фо/2 система будет находиться в состоя-
нии Ф = Фо/2. Увеличив несколько ток /, можно сместить квант-
рон в состояние, соответствующее точке Ло на безгистерезисной
кривой. При выключении управляющего тока параметр ре увеличит-
ся и станет большим единицы. При этом система перейдет в точку
Рис. 14О16. Эквивалентная схема "вихревэго челнока”, обсуждавшегося
в работе Андерсона и др. [зо].

Л t, соответствующую стабильному состоянию Ф = Фо на гистере-
зисной кривой. Как ясно из рисунка, для приведения квантрона в со-
стояние с нулевым Ф можно произвести симметричную операцию.

Эти два стабильных состояния (Ф^О и Ф~Ф0) являются состояни-
ями 0 и 1 в двоичной системе памяти. Как было отмечено в работе
[657], одна логическая операция в таком устройстве должна сопро-
вождаться очень малой диссипацией энергии.

В действительности логический элемент, работающий на осно-
ве замораживания одного кванта потока, уже предлагался Андерсоном
в ином контексте [27]. В связи с применением в качестве регистра
сдвига [ 373] широко обсуждался так называемый "вихревой челнок"
[30, 365]. В этой системе каждый квант потока соответствует биту
информации. Эквивалентная электронная схема для "вихревого
челнока" представлена на рис. 14.16. Его параметры таковы, что
выполняется условие r г

так что в катушке индуктивности между двумя соседними элементами мо-
жет содержаться один квант потока. Ток смещения /в порядка 0,7 / t
"передвигает" квант потока из одного кольца в другое. Для типич-
ных значений плотности джозефсоновского тока 2 • 10 2 А/см 2 при
площади перехода 10 х 10 мкм2 (что достаточно легко достижимо
при помощи современной фоторезистной технологии) имеем I х =
0,2 мА и L = 10 -11 Г. Эти величины дают время передвижения кван-
та потока на один период порядка нескольких десятков пикосекунд
и диссипацию энергии при сдвиге на один период ^10 ~19 Дж. Дру-
гая возможная реализация регистра сдвига на одиночном кванте по-
тока, в котором параметры периодически изменяются вдоль струк-
туры, недавно была предложена в работах [651, 630]. Иной вид
11 манипуляции” вихрей был также предложен в работе Накаджимы,
Онодеры и Огава [741], в которой с помощью численных расчетов изу-
чалось взаимодействие вихрей и антивихрей в джозефсоновской
передающей линии в связи с реализацией логических функций
И, ИЛИ и НЕЭ Наконец, джозефсоновские вихри (играющие роль
переносчиков заряда в условном транзисторе) рассматривались в
конфигурации ” вихревого транзистора” Лихаревым и др. [462L

14.7. Примеры джозефсоновских логических и
запоминающих схем

В процессе создания компьютера, полностью основанного на
джозефсоновской технологии, были реализованы довольно сложные
схемы, включающие уже обсуждавшиеся нами различные устройст-
ва. Здесь мы обсудим два основных класса схем: логические и
запоминающие схемы.

Рассмотрим сначала основные логические схемы, которые иссле-
довались в последние несколько лет и все еще продолжают оставать-
ся объектом изучения в настоящее время. Они включают в себя
схемы с джозефсоновскими вентилями, способными осуществлять
основные логические функции(И, ИЛИ, НЕ и СДВИГ). Легко понять
принцип работы таких систем. Сверхпроводящие линии располагают-
ся таким образом, чтобы переключение вентиля происходило, напри-
мер, лишь когда на все входы сигналы подаются одновременно (И),
т.е. если величина суммы управляющих токов (фактически рек
зультирующего магнитного поля) оказывается достаточной для уп-
равления контактом джозефсоновского элемента в вентиле. Отметим,
между прочим, что переключить вентиль можно также с помощью
дополнительного (к току смещения Zg) тока в элементе [374]. Под-
робности конструкции различных логических схем на джозефсоновс-
ких вентилях можно найти в работах Херрела [483, 484]'

Херрел [485] создал весьма сложную сверхпроводящую логичес-
кую схему. Она содержит умножитель на 4 бита (умножитель "сложе-
ния и сдвига”), время действия которого с учетом ограничений изме-
рительной аппаратуры составляло около 27 нс, но на самом деле, по-
видимому, оно было ~12 нс. Среди созданных и испытанных в послед-
нее время логических схем мы отметим схемы с трехконтактными
джозефсоновскими интерферометрами, действующими в "запертом”
режиме (разд. 14.4)[ 581]; см. также работы [255, 486]. Схема этого
устройства, которое по существу является уже обсуждавшимся в
Рис. 14.17 0 Схема трехконтактного интерферометра Заппе [ 48б].

разд. 14.5 трехконтактным интерферометром Заппе, представлена
на рис. 14.17 с условным обозначением на вставке. Резисторы пред-
назначены для введения затухания, необходимого, как предполага-
ли Заппе и Ландман [ 1090, 1091], для устранения самоиндуциров энных
резонансных ступенек тока. В самом деле, резонансные свойства
джозефсоновских интерферометров оказываются такими же, как и в
случае длинных контактов. ВАХ ячеек в устройстве имеют много син-
гулярностей, обусловленных геометрическими резонансами. Теорети-
ческие и экспериментальные исследования этого явления проводились
Заппе и Лэндманом [ 1090, 1091]. Гюэре [ 445] построил простую тео-
рию, позволяющую рассчитать амплитуды резонансных особенностей
ВАХ. Микрофотография реальной интерференционной .логической схе-
мы показана на рис. 14.18. На рис. 14.19 представлены схемы трех
различных логических вентилей: ИЛИ,И и НЕ. Первая операция (ИЛИ)
осуществляется с помощью одиночного интерферометра с двумя уп-
равляющими линиями, так что переключение происходит, когда задей-
ствуется любая из этих линий. Для выполнения логической функции И,
как видно из рисунка, используется схема с двумя параллельно сое-
диненными интерферометрами, каждый из которых имеет одну уп-
равляющую линию. Вентиль И открывается только при наличии на
входе обоих управляющих сигналов. Вентиль НЕ состоит, как показа-
но на рисунке, из вентиля ИЛИ, который играет в основном роль
схемы задержки и в комбинации с вентилем И осуществляет функцию
в' минной инверсии. Нагрузочный множитель по выходу логичес-
Рис. 14.18. a ~ микрофотография части логического элемента ИЛИ
интерферометра, сделанного в Исследовательском центре фирмы IBM»
Цепь включает в себя шины подвода мощности (1), гасящее сопротивление
(2), делитель тока (3), управляющую линию (4), интерферометр (5), сопротив-
ление нагрузки (6) и выходную шину (7); б — интерферометры, включенные
в элемент И. (С любезного разрешения Д.Дж. Херрела и М. Клейна. За
подробностями отсылаем читателя к работам [ 581J и [48б].)
Рис. 14.19. Логическое семейство, а — две входные схемы ИЛИ; б — две
входные схемы И; в — временной инвертер. (Согласно Клейну и Хер-
репу [581].)

кого вентиля (рис. 14.19, а) подключается последовательно через
ограниченные сверхпроводящие линии. Средняя логическая задерж-
ка на каскад при вентильных операциях может составлять несколь-
ко десятков пикосекунд. Уже в упомянутой работе Клейна и Хер-
рела была получена величина 55 пс. Анализ результатов этой рабо-
ты дает оценку продолжительности полного машинного цикла
tm^ 5 нс. Диссипация мощности составляла около 2,6 пВт на один
вентиль, что позволило оценить среднюю плотность потока энергии
для всего типа БИС, которая оказалась меньше чем 10 мВт/см2.

Из последних достижений джозефсоновских логических устройств
отметим очень высокие показатели логических схем нового поко-
Рис. 14.20, Созданная в лаборатории фирмы IBM в Цюрихе система [149],
состоящая из 2048 ячеек памяти ОКП с управляющими схемами и дешифра-
торами. (С любезного разрешения FL Вольфао)

ления, названных логическими схемами с инжекцией тока [ 380 - 382].
Среди прочих характеристик этих схем укажем логическую задерж-
ку М3 пс на каскад в цепочке из двух входных вентилей ИЛИ при дис-
сипации энергии 2,6 мкВт.

Из разработок запоминающих схем упомянем некоторые послед-
ние работы, выполненные в лабораториях фирмы IBM. Хенкеле и
Заппе [482] продемонстрировали полностью раскодированное джозеф-
соновское запоминающее устройство. В их экспериментах было про-
ведено успешное исследование запоминающего устройства с произ-
вольным порядком выборки при неразрушающем считывании информа-
ции 8x8 бит. Вся схема была размещена на плате размером 6,35 х
х 6,35 мм2, причем использовались вентили продольной конфигурации.
Отдельные ячейки в основном не отличались от описанных впервые
Заппе (разд. 14.6). Обращение к ячейкам памяти осуществлялось с по-
мощью трех дешифраторов . Полное время циклов обращения к памя-
ти находилось в интервале между 5 и 3,5 нс.

Схемы на ячейках с одиночными квантами потока (ОКП), которые
обсуждались ранее, представляют собой другой тип запоминающих
схем. На рис. 14.20 показана система, состоящая из 2048 ОКП ячеек
памяти вместе с необходимыми дешифраторами и управляющими схемами
(всего около 4500 джозефсоновских контактов) [ 149]. 2048 ячеек рас-
положены в нижней части интегральной схемы. Верхнюю половину
схемы занимают 2048 буферных ячеек. Эта запоминающая схема бы-
ла специально создана для демонстрации памяти емкостью на 16 К.
Экспериментальные результаты показали, что время выборки такой
информации равно^15 нс, а время цикла обращения к памяти ~ 30 нс.
Более того, энерговыделение схемы должно составлять около 40 мкВт.

14.8. Характеристика систем и требования к ним

В гл. 8 обсуждались различные технологические методы изготов-
ления джозефсоновских контактов и сложных схем. Поэтому мы не
будем здесь снова останавливаться на вопросах изготовления туннель-
ных барьеров или на тонких литографических методах формирования
джозефсоновских структур. Вместо этого мы обсудим такие аспекты
джозефсоновских цифровых устройств, как быстродействие, диссипа-
ция мощности, теплоотвод и требования криогеники. На рис. 14.21
представлена зависимость времени отклика джозефсоновского тун-
нельного контакта в случае ограничения величиной RN с , относящей-
ся к контакту из сплава свинца, от плотности критического тока.
На этом же рисунке указаны величины RN С, нормированные на соб-
ственное (квантовое) время переключения контакта Tf. , и приведены
значения толщин барьера [471].

Заметим, что сигнал, распространяющийся со скоростью света,
проходит расстояние 3 мм за 10 пс. С другой стороны, это время по
порядку величины соответствует предполагаемому времени логичес-
кой задержки. Следовательно, чтобы не превышать это время задерж-
ки, следует, по крайней мере в принципе, стремиться к тому, чтобы

Среди других схем упомянем об успешной реализации Фарисом [331]
дешифратора для джозефсоновских запоминающих устройств-
Jc (А/см2)

Рис. 14.21. Время отклика для туннельного джозефсоновского контакта
(в случае ограничения величиной R^ с) как функция плотности критическо-
го тока. (Согласно Харрису и Гамильтону [471].)

максимальные размеры всей логической схемы были не большесм.

Таким образом, для осуществления ультрабыстрых логических
операций помимо высокой скорости действия самого устройства
необходимо обеспечить малость размеров этих элементов и высокую
степень интеграции, чтобы уменьшить задержку при передаче инфор-
мации между отдельными элементами. При существующей полупро-
водниковой технологии степень интеграции ограничена величиной
Время задержки

Рис. 14О22* Схема диссипации мощности в логическом вентиле в зависимос-
ти от времени задержки распространения сигнала для джозефсоновских и
полупроводниковых устройств. Квадратики и кружки относятся соответст-
венно к полупроводниковым и джозефсоновским устройствам. Светлыми
символами обозначены результаты измерений, темными — теоретические
экстраполяции,, Заштрихованная область соответствует "неджозефсоновс-
ким" устройствам, (а) - [549]; (в) [бвЪ (с) [485]; (d) [1045]; (е) [581]

энерговыделения. На рис. 14.22 показана зависимость диссипации
мощности в одном логическом вентиле от времени задержки распро-
странения сигнала для для джозефсоновских контактов и различных
полупроводниковых устройств (область, соответствующая таким ус-
тройствам, заштрихована). Устройства с переносом заряда на ар-
сениде галлия (TED) обладают сравнимым быстродействием. Одна-
ко даже в этом случае джозефсоновские системы обладают сущест-
венным преимуществом перед полупроводниковыми устройствами,
которое выявляется при сравнении уровней выделения мощности.
В первом случае энерговыделение может быть меньше 1 мкВт на вен-
тиль, что на несколько порядков меньше предельных величин диссипа-
ции, достигнутых в полупроводниковых устройствах [134].
Таблица 14.1. Жидкое охлаждение

Хладагент *тах9 (Вт/см ) Т чип
Вода 100 -138 °C
Фреон 20 — 32° С
Г елий 0,6 ~ 4,6 К
Сверхтекучий гелий 8 — 2К

Высокая степень интеграции в свою очередь ставит проблему
теплоотвода. Для сравнения основных аспектов принятой технологии (т.е.
кремниевой) и в принципе возможной джозефсоновской технологии
обратимся к табл. 14.1 [ 18], в которой представлены значения мак-
симальной плотности потока мощности (^тах) и температура платы
интегральной схемы (Тчип) для различных охладителей. Ртах
фактически представляет собой предельно возможную величину отво-
димой мощности» Вода обладает наиболее благоприятным значением
максимальной мощности, однако соответствующая температура платы
слишком высока. Если один вентиль выделяет мощность 10 мВт, то
при плотности монтажа кремниевой схемы, составляющей 2 • 10 8
ячейка/см2, величина Ртах превысит допустимый предел 20Вт/см2.
Наоборот, в случае одинаковой плотности джозефсоновских вентилей
2 • 103 ячейкц/см2, как мы видим, диссипация мощности для жидкого
гелия при 4,6 К составляет всего 3% от Ртах, а при температурах
ниже Л-точки - 2 %.

В связи с необходимым применением жидкого гелия в потенци-
альных джозефсоновских компьютерах следует заметить, что воз-
можности современной технологии вполне удовлетворяют низкотем-
пературным требованиям, несмотря на обычные проблемы, присущие
реальным криогенным системам, или проблемы, возникающие при
термоциклировании до комнатной температуры.

149. Выводы и перспективы

В этой главе мы проиллюстрировали основные этапы развития
понятия криотрона с самого начала до сегодняшнего дня. Мы наде-
емся, что нам удалось донести до читателя по крайней мере "аро-
мат” возможностей технологии джозефсоновских устройств в плане
приложений к компьютерной технике.
Как мы уже видели, наиболее серьезный фактор, ограничиваю-
щий быстродействие джозефсоновских устройств,- это их собствен-
ная емкость. Однако высокоразвитая технология создания струк-
тур с микрометровыми и субмикрометровыми размерами (см. гл. 8) t
а также возможность получения контактов с высокими плотностями
критического тока (<; Ю4 А/см 2) должны позволить снизить времена
переключения до величины порядка 1 пс. Возможно, достижимыми
окажутся субпикосекундные значения ЕС-постоянной времени контак-
тов в случае приближения к собственному (не ограниченному величи-
ной RC) времени переключения т,- джозефсоновского контакта. Эта
величина, по-видимому, находится из принципа неопределенности
А ЕА , где A t = т•, а АЕ = 2А (см., например, работы[469, 7 07]).

В случае систем с большим числом каскадов "общее" быстро-
действие зависит также от времени осуществления связи между эле-
ментами системы. Это снова приводит к необходимости уменьшения
размеров каскадов схемы и повышения степени интеграции в систем
ме 1}. По существу микроминиатюризация сверхпроводящих устройств
может быть достигнута с помощью всех достижений полупроводни-
ковой технологии. При существующей технологии фактором, ограни-
чивающим увеличение степени интеграции схем, является теплоотвод.
Как мы выдели, энерговыделение при работе джозефсоновских уст-
ройств крайне мало. Следовательно, три основных связанных между
собой показателя, а именно высокая скорость переключения, ма-
лые размеры и малое энерговыделение, по-видимому, оказываются
очень обнадеживающими. Несмотря на требующееся криогенное
оборудование, джозефсоновская технология является возможным кан-
дидатом на использование в компьютерах будущего* 2).

Разумеется, конкретное обсуждение перспектив этой новой тех-
нологии заслуживает большого внимания и требует тщательного ана-
лиза с точки зрения соотношения стоимости и технических характе-
ристик. Такое обсуждение коммерческих вопросов, связанных с ис-
пользованием джозефсоновских устройств, выходит за рамки компе-
тенции авторов. Они могут лишь сделать предсказание, которое нахо-
дится на полпути между осторожностью и оптимизмом.

В своей недавней работе [ 19] Анаккер продемонстрировал сверхаы-
сокоскоростной джозефсоновский компьютер с высокой степейэю интегра-
ции в трехмерной конфигурации.

2)Подбор статей, посвященных различным аспектам исследований фирмы
IBM в области джозефсоновской компьютерной технологии, содержится в
недавнем специальном выпуске журнала IBM Journal of Research and
Development (VoL 24, No, 2, March 1980).
Приложение

Системы единиц

П.1. Замечания о системах единиц

В настоящей книге затрагивается очень широкий круг вопросов
(от микроскопической теории до современных применений), поэтому
необходимо было тщательно выбирать подходящие единицы измерения.
Использование единиц СИ при рассмотрении микроскопической тео-
рии было бы так же непрактично, как и использование единиц СГСЭ
при описании инженерных применений. Поэтому во избежание искусст-
венного единообразия мы придерживались системы СГСЭ в главах с
первой по девятую и СИ - в главах, посвященных применениям. Для
удобства читателя мы приводим ряд выражений для основных физи-
ческих величин в обеих системах единиц.

П.2. Таблицы для перевода

Таблица 1, Перевод основных физических величин3)

Величина

Символ

СИ

Квант потока Фо

Джозефсоновская глуби-
на проникновения Х7

Скорость Свихарта с

Плазменная частота _ с

WJ А,

Нижнее критическое р

поле

Градиент фазы в v <р

сверхпроводни ке

Емкость на единицу
площади

h
2е

/ h \'/2

\ ^oeJ\d /

( 1 у/2

4/MW, \'/2

И 2nd I

Система
СГСЭ

2е

/ Ас2 \'/2

( %ireJ\d )

2Фо/7724/Х7

‘о \ 2е2р

Ег

4тг t

а^е — заряд электрона; h — постоянная Планка; с — скорость света в ваку-
уме; и0 — магнитная проницаемость вакуума; е0 — диэлектрическая проницае-
мость вакуума; ег — диэлектрическая проницаемость вещества: d= t+ Al
— глубина проникновения магнитного поля; Al - лондоновская глубина про-
никновения; t - толщина оксидного барьера: С — емкость на единицу площади;
J1 - критическая плотность тока Джозефсона; А — векторный потенциал.
Таблица 2. Перевод символов и формул [52б]

Символы, обозначающие массу, длину, время, силу и другие не специфичес-
ки электромагнитные величины, при переводе не изменяются □ Чтобы перевести
уравнение из системы СГСЭв СИ, следует заменить нужные символы из колонки
"СГСЭ" на соответствующие символы из колонки "СИ". Можно также осущест-
вить обратный перевод. Поскольку символы, обозначающие длину и время, не
изменяются, величины, которые отличаются друг от друга только степенью дли-
ны и/или времени, сгруппированы вместе, где это возможно.,

Величина СГСЭ СИ
Скорость света с (goeo) 1,/2
Электрическое поле (а также потенциал, напряжение) Е(Ф,Г) У4^Е(Ф,П
Электрическое смещение Плотность заряда (а также заряд, плотность тока, ток, поляризация) D ЛР) J —о У €о —1— 1 I РА
у 4тге0 / 4тг
Магнитная индукция В V Ро
Магнитное поле н
Намагниченность м V 4тг
Проводимость О а 4тге0
Диэлектрическая проницаемость е 8 *0
Магнитная проницаемость М JL Мо
Сопротивление (импеданс) /?(Z) 4tt80R(Z)
Индуктивность L 4iT8qL
Емкость С —с 4тге0
Таблица 3. Физические постоянные (СИ)

Диэлектрическая проницаемость
вакуума

Магнитная проницаемость вакуума

Скорость света3)

Заряд электрона3)

Масса покоя электрона 3)

Квант магнитного потока3)
Постоянная Планка 3)

Постоянная Больцмана3)

е0 = 8.854 • 10“12Ф/м

Цо= 4тг* 10“7 Г/м
с = 2,99792 • 108 м/с
е = 1,60219 • 10 ”19 Кл
т = 9,1095 • 10~31 кг
Фо= 2,06785 • 10 “1б Вб
h = 6,6262* 10 -34 Дж/с
П = — = 1,05459 • 10“34 Дж/с
2тг

kB = 1,3806 • 10 "23 Дж/К

а) Значения соответствуют результатам измерений 1969 г. [971].

Таблица 4. Перевод единиц [52б]

Физическая величина Символ СИ СГСЭ
Длина 1 Масса т Время t Сила F Работа W | Энергия и Мощность Р Заряд q Плотность заряда р Ток 1 Плотность тока J Потенциал V Электрическое поле Е Поляризация Р Электрическое смещение D 1 метр (м) Ю 2 сантиметров (см) 1 килограмм (кг) 10 3 грамм (г) 1 секунда (с) 1 секунда (с) 1 ньютон (Н) 10 5 дин 1 джоуль (Дж) 10 7 эрг 1 ватт (ВТ) 107эрг/с 1 кулон (Кп) 3 * 109статкулон 1 Кл/м 3 3 • 10 3 статкулон/см 3 1 амтер (А) 3 • 10 9 статампер 1 А/м 2 3 • 105 статампер/см2 1 вольт (В) ~— статвольт 300 1 В/м -1— . 1 о"4 статвольт/см 3 1 Кл/м 2 3* 105 дипольный момент/см 1 Кл/м 2 12тг* 105 ед. СГСЭ
Сопротивление R 1 Ом ..1- . ю~11с/см
Продолжение табл. 4.

Физическая величина Символ СИ СГСЭ
Проводимость ст 1 Ом/м 9 • 109с -1
Емкость С 1 фарада (Ф) 9 • 10исм
Магнитный поток Ф 1 вебер (Вб) 108Гс • см2
Магнитная индукция В 1 Вб/м 2 10 4 гаусс (Гс)
Магнитное поле н 1 амп ер-ви ток/м 4тг- 10 эрстед О
Намагниченность м 1 А/м 1 я -— . Ю магнитный 4 тт момент/см 2
Индуктивность L 1 генри (Г) 2- • 10 -11 ед. СГСЭ 9
Литература
Сокращения

LT 8 Proceedings of the 8th International Conference on Low
Temperature Physics, London, September 1962 (R.D. Da-
vies, Ed.), Butterworths, London, 1963.

LT 9 Proceedings of the 9th International Conference on Low
Temperature Physics^ Columbus, August 1964 (J. G . Daunt,
D. 0. Edwards, F.J. Milford, and M. Yaqub, Eds.), Ple-
num, New York, 1965.

LT 10 Труды X Международной конференции no физике низких
температур (Москва, СССР, август 1966)/Под ред.
М.П.Малкова. - М.: ВИНИТИ, 1967.

LT 11 Proceedings of the 11 th international Conference on Low
Temperature Physics, St. Andrews, 1968 (J.F. Allen,
D.M. Finlayson, and D .M. McCall, Eds.), University of
St. Andrews, St. Andrews, 1968.

LT 12 Proceedings of the 12th International Conference on Low
Temperature Physics, Kyoto, September 1970 (E. Kan-
da, Ed.), Keigaku, Tokyo, 1971.

LT 13 Proceedings of the 13th International Conference on Low
Temperature Physics, Boulder, August 1972 (K. D. Tim-
merhaus, W. J. O’Sullivan, and E. F. Hammel, Eds.),
Plenum, New YorK, 1974.

LT 14 Proceedings of the 14th International Conference on Low
Temperature Physics, Otaniemi, August 1975 (M. Kru-
sius and M. Vuorio, Eds.), North-Holland, Amsterdam,
1975, Vol. 4.

LT 15 Procceedings of the 15th International Conference on Low
Temperature Physics, Grenoble, August 1978, ]*Phys*,
Colloque C-6 Suppl., 39 (8) (1978).

SPSD Proceedings of the Symposium on the Physics of Super-
conducting Devices, Charlottesville, April 1967, Univer-
sity of Virginia, Charlottesville, 1967.
FTSE Proceedings of the Conference on Future Trends in
Superconductive Electronics, Charlottesville, March 1978
(B.S. Deaver, Jr., C.M. Falco, J.H. Harris, and S.A. Wolf,
Eds.), AIP Conf. Proc. no.44, American Institute of Phy-
sics, New York, 1978.

ICSS-69 Proceedings of the International Conference on the Scien-
ce of Superconductivity, Stanford, August 1969 (F. Chil-
ton, Ed.), Physica, 55, 1971.

DEJJ Proceedings of the Conference Internationale sur la
Detection et Г Emission d’Ondes Electromagnetiques par
des Jonctions Josephson, Perros-Guirec, September 1973
(H.A. Combet and B.T. Ulrich, Eds.) Rev *Phys. Appl.,
9 (1) (1974).

IC-SQUID 76 Proceedings of the International Conference on Superconduc-
ting Quantum Devices, Berlin (West), October 1976.
SQUID, Superconducting Quantum Interference Devices and
Their Applications (H.D. Hahlbohm and H. Liibbig, Eds.),
W. de Gruyter, Berlin, 1977.

IC-SQUID 80 Proceedings of the International Conference on Supercon-
ducting Quantum Devices, Berlin (West), May 1980 SQUID’
80 Superconducting Quantum Interference Devices and Their
Applications (H.D. Hahlbohm and H. Liibbig, Eds.), W. de
Gruyter, Berlin, 1981.

ASC72 Proceedings of the Applied Superconductivity Conference,
Annapolis, May 1972, IEEE Pub. no. 72CH0682-5-TABSC,
Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York,
1972.

ASC74 Proceedings of the Applied Superconductivity Conference,
Oakbrook, September 1974, IEEE Trans • Magn; MAG-11
(2) (1975).

ASC76 Proceedings of the Applied Superconductivity Conference,
Stanford, August 1976, IEEE Trans. Magn^, MAG-13 (1)
(1977).

ASC78 Proceedings of the Applied Superconductivity Conference,
Pittsburgh, September 1978, IEEE Trans. Magn., MAG-15
(1) (1979).

ASC 80 Proceedings of the Applied Superconductivity Conference,
Santa Fe, September 1980-IEEE Trans. Mag. (в печати).
NASI 67 Nato Advanced Study Institute, Riso, July 1967, Tunneling
Phenomena in Solids (E. Burstein and S. Lundquist, EdsJ,
Plenum, New York, 1969.

NASI 73 Nato Advanced Study Institute, Entreves, September 1973,
Superconducting Machine and Devices: Large System Appli*
cations (S. Foner and B.B. Schwartz, Eds.), Plenum, New
York, 1974.

NASI 75 Nato Advanced Study Institute, Cardone, Riviera, Septem-
ber 1976, Superconductor Applications: SQUIDs and Machines
(В. B. Schwartz and S. Foner, Eds.), Plenum, New York,
1977.

NASI 80 Nato Advanced Study Institute, Acquafredda di Maratea,
1980. Nonequilibrium Superconductivity, Phonons and
Kapiza Boundaries (К. E. Gray, Ed.), Plenum, New York,
1981).

1. Ablowitz VI.J., D.J. Каир, A. C. Newell, and H. Segur. The inverse
scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems. Studies
Appl.Math., 53, 249 - 315 (1974).

2. Abramowitz M. and I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions.
9th ed., Dover, New York, 1970, p. 361.

3. Абрикосов A.A. - ЖЭТФ, 1957, т. 32, c. 1442.

4. Абрикосов А.А., Горьков Л.IL - ЖЭТФ, I960, Tt. 39, cu 178L

5. Adde R. and G. Vernet. High frequency properties and applications
of Josephson junctions from microwave to far-infrared. NASI 76, (1976),
chap. 6.

6. Aharonov Y. and D. Bohm.Significance of electromagnetic potentials
in the quantum theory. Phys. Rev t, 115, 485 — 491 (1959).

7. Aharonov . and D. Bohm. Further considerations on electomagnetic
potentials in the quantum theory. Phys. Rev b 123,1511 — 1521 (1961).

8. Ahopelto J., P.J. Karp. T.E. Katila, R. Lukander, and P. Makipaa,
An UHF SQUID gradiometer for biomagnetic measurements. LT 15,
4, 262 265 (1975).

9. Aittoniemi K., R. Hari,T. Katila, M.L. Kuusela, and T. Varpula.
Magnetic fields of human brain evoked by long auditory stimuli. In
Proceedings of the 3rd National Meeting on Biophysics and Medical
Engineering in Finland Lappeenranta (Finland), June 1979.

10. Albrecht G., K. Bliithner, K. Dettman, and P. Pertsch. Properties of
tunnel junctions with niobium and vanadium base films. In Procee-
dings of the 5th International Cryogenic Engineering Conference,
E7, 121 - 123 (1974).

11. Алфеев B.H. Полупроводники, сверхпроводники и параэлектрики
в криоэлектронике. - Мо: Советское радио, 1979.

12. Алфеев В.Н. и др. - ФТП, 1979, т. 13, с. 164.

13. Amaldi Е. and G. Pizzella. Search for gravitational waves. In Rela-
tivity Quanta and Cosmology, Johnson Reprint Corporation, 1,9 —
139 (1979).

14. Ambegaokar V. and A. Baratoff. Tunneling between superconductors.
Phys* Rev. Lett., 10, 486 - 489 (1963). Errata, Phys. Rev. Lett.,
11,104 (1963).

15. Ambegaokar V. and B.J. Halperin. Voltage due to thermal noise in
the d. c. Josephson effect. Phys. Rev. Lett., 22, 1364 — 1366
(1969).

16. Anacker W. Potential of superconductive Josephson tunneling techno-
logy for ultrahigh performance memories and processors. IEEE Trans.
Magn., MAG-5, 968 - 975 (1969).

17. Anacker W. Josephson tunneling devices — A new technology with potential
for higji performance computers. In Proceedings of the Fall Joint Computer
Conference, Vol. 41, AFIPS Press, Montvale, 1972, 1269 — 1277.

18. Anacker W. Josephson junctions as computer elements. In ESSDERC
Proceedings of Conference Series No. 32, Institute of Physics,
London, 1977, 39 - 55.

19. Anacker W. Computing at 4 degrees Kelvin, IEEE Spectrum, 16, 26 —
37 (1979).

20. Anacker W., K.R. Grebe, J.H. Greiner, S.K. Lahiri, K.C. Park, and
H.H. Zappe. Lead alloy Josephson junctions. U.S.Patent 3,733,526,
May 15, 1973.

21. Anderson J.T. and A.M. Goldman. Thermal fluctuations and the Joseph-
son supercurrent. Phys. Rev. Lett., 23, 128 — 131 (1969a).

22. Anderson J.T. and A.M. Goldman. Thermal fluctuations and the Joseph-
son supercurrent, ICSS 256 — 264 (1969h).

23. Anderson P.W. Theory of dirty superconductors. J. Phys. Chem. Solids,
11, 26 - 30 (1959).
24. Anderson Р. W. Special effects in superconductivity. In Lectures on
the Manybody Problem, Ravello, 1963 (E. R. Caianiello, Ed.). Vol. 2,
Academic, 1964, pp. 113 — 135.

25. Anderson P. W. Flow of superfluid helium. Rev. Mod. Phys., 38,298 —
310 (1966).-

26. Anderson P.W. The Josephson effect and quantum coherence measurements
in superconductors and superfluids. In Progress in Los Temperature
Physics (C. J. Gorter, Ed.), Vol. 5, North-Holland, Amsterdam, 1967,
pp. 1 - 43.

27. Anderson P.W. How Josephson descovered his effect. Phys. Today,

23, 20 (1970).

28. Anderson P. W. and A.H. Dayem. Radio-frequency effects in super-
conducting thin film bridges. Phys. Rev. Lett., 13, 195 — 197 (1964).

29. Anderson P.W. and J. M. Rowell. Probable observation of the Josephson
superconducting tunnel effect. Phys .Rev. Lett., 10, 230 — 232
(A‘963).

30. Anderson P.W., R. C. Dynes, and T.A. Fulton. Josephson flux quantum
shuttle. Bull. Am. Phys. Soc., 16, 399 (1971).

31. Anderson P.W., N.R. Werthamer, and J. M. Luttinger. An additional
equation in the phenomenology of superconductivity resistive effects.
Phys. Rev ., 138, АП57 - A1159 (1965).

32. Андреев А.Ф. - ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1823.

33. Andreone D., E. Arri, G. Boella, and G. Marullo. A novel cryogenic
voltage standard. IEEE Trans. Instrum. Meas., IM-25, 512 — 515
(1976).

34. Andreozzi F., A. Barone, M. Russo, G. Patemo, and R. Vaglio. Mea-
surements of the de Josephson current in light-sensitive junctions.

Phys. Rev., В18, 6035 - 6040 (1978).

35. Andronov A.A. and G.E. Chaikin. Theory of Oscillation. Princeton
University Press, Princeton, 1949.

36. Arnold G.B. Theory of tunneling in superconductors. Phys. Rev.,

В17, 3576 - 3588 (1978).

37. Arri E. Proposal for a cryogenic voltage comparator for 2e/h measu-
rement. Alta Freq., 45., 53K — 55E (1976).

38. Arrington C.H. and B.S. Deaver, Jr. Superconducting weak links formed
by ion implantation. Appl. Phys. Lett., 26, 204 — 206 (1975).

39. Artemenko S. N. and A.F. Volkov. Stationary electric field in super-
conductors with nonzero energy gap. Phys. Lett., 55A, 113 — 114
(1975).
40. Артеменко СЛЕ, Волков А0Фс, Зайцев А.В. - Письма ЖЭТФ, 1978,
т.27, с. 122.

41. Артеменко С.Н., Волков А.Фе, Зайцев А.В. - Письма ЖЭТФ, 1978,
т.28, с.637.

42. Артеменко С.Н., Волков АеФ., Зайцев А.В. - ЖЭТФ, 1979, т.76,
с. 1816.

43. Artemenko S.N., A.F. Volkov, and A.V. Zaitsev. On the excess cur-
rent in microbridges S-c-S and S-c-N. Solid State Comm., 30, 771 —
773 (1979 b).

44. Асламазов Л.Г. - ЖЭТФ, 1978, т. 75, cu 1778о

45. Асламазов Л.Г., Ларкин А.И. - Письма ЖЭТФ, 1968, т,9, с. 150.

46. Асламазов Л.Г., Ларкин А.И. - ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 766.

47. Асламазов Л.Г. Ларкин А.И. - ЖЭТФ, 1976, т. 70, с. 1340.

48. Aslamazov L. G. and A.I. Larkin. The critical current of supercon-
ducting contacts in a microwave fied. Phys. Lett., 67A, 226 — 228
(1978a).

49. Асламазов Л.Г., Ларкин А.И. - ЖЭТФ, 1978, с. 74, с. 2184.

50. Асламазов Л.Г., Фистуль М.В. - Письма ЖЭТФ, 1979, т. 30, с. 233.

51. Асламазов Л.Г., Ларкин А.И», Овчинников Ю.Н. - ЖЭТФ, 1968, т. 55,
с.323.

52. Aspen F. a^d A.M. Goldman. Superconducting tunnelling junctions
with In О barriers. Cryogenics, 16, 721 - 722 (1976).

53. Auracher F. and T. Van Duzer. Influence of the current-phase relation-
ship on the LV characteristics of superconducting weak links.
Appl. Phys. Lett., 21, 515 - 518 (1972a).

54. Auracher F. and T. Van Duzer. Numerical calculations of mixing with
superconducting weak links. ASC 72, 603 — 607 (1972b).

55. Auracher F. and T. Van Duzer., Mixing in superconducting weak
links: Numerical calculations and experimental results. DEJJ, 233 —
241 (1973a).

56. Auracher F. and T. Van Duzer. RF impedance of superconducting
weak links J. Appl. Phys., 44, 848 - 851 (1973b).

57. Auracher F., P.L. Richards, and G. I. Rochlin. Observability of qua-
siparticle-pair interference current in superconducting weak links.
Phys.Rev. B8.4182 - 4185 (1973).

58. Baechtold W. A flip-flop and logic gate with Josephson junctions.
IEEE Int. Solid State Circuits Conf., February 1975. Digests of
Technical Papers,18, 164 — 165 (1975).

59. Bak C.K. An electric equivalent scheme of a Josephson junction.
DEJJ 15-18 (1973).
60. Вак С.К. and N.F. Pedersen Josephson junction analog and quasi-
particle-pair current. Appl. Phys. Lett., 22, 149 — 150 (1973).

61. Bak C.K., B. Kofoed, N. F. Pedersen, and K. Saermark. Parametric
excitation of plasma oscillations in a Josephson tunnel junction.

J. Appl. Phys., 46, 886 - 889 (1975).

62. Baker K. and G. Paterno. Numerical calculation of the zero bias con-
ductivity for a superconducting tunnel junction in the presence of
depairing. CNEN Internal Rep. LNF-7240, February 1972.

63. Балкашин О.П., Янсон Ю.К. - Физика низких температур, 1976,
т. 2, с. 289.

64. Balsamo Е.Р. and G. Paterno. R.F. SQUID in the dispersive mode.
In Proceedings of XV International Congress of Refrigeration, Vene-
zia, 1979 (edited by the Organizing Committee), the Istituto Tecnica
del Freddo C.N.R., Padova, Vol. 1; 275 - 279 (1979).

65. Balsamo E.P. and G. Paterno. Electrical analog simulation of a
superconducting Josephson weak link. CNEN Internal Report (1981).

66. Balsamo E.P.,G. Paterno, A. Barone, P. Rissman, and M. Russo.
Temperature dependence of the maximum (de) Josephson current. Phys,
Rev., В10, 1881 - 1884 (1974).

67. Balsamo E.P., G. Paterno, A. Barone, M. Russo, and R. Vaglio.
Supercurrent interference patterns in a tunneling junction structure.
IC-SQUID 76, 193 - 197 (1976a).

68. Balsamo E.P., G. Paterno, A. Barone, M. Russo, and R. Vaglio, Tem-
perature and magnetic field dependence of the critical current in
Sn-Sn 0 -In Josephson junctions, Phys. Status Solidi (a), 35, K173 —
175 (19?6b).

69. Balsamo E.P., G. Paterno, A. Barone, M. Russo, and R. Vaglio. Influen-
ce of barrier nonuniformities on the resonance amplitudes of high
Q Josephson tunnel junctions. LT 15, 571 — 572 (1978).

70. Bano W. T. Superconducting tunneling devices. Thin Solid Films,
34, 225 - 228 (1976).

71. Baratoff A. Tunneling between superconductors the Josephson effect.
Ph. D. Thesis, Cornell University, Ithaca (1964).

72. Baratoff A. and L. Kramer. Order parameter relaxation and Josephson
effects in superconducting weak links. IC-SQUID 76, 51 — 62c
(1976).

73. Baratoff A. and L. Kramer. Dynamics of gapless superconducting weak
links. LT 15, 548 - 549 (1978).
74. Baratoff A., J.A. Blackbum, and В. В. Schwartz. Current-phase rela-
tionship in short superconducting weak links. Phys. Rev. Lett., 25,
Ю96 - 1099 (1970).

75. Barbanera S., P. Carelli, I. Modena, and G.L. Romani. A gradiometer
for the study of magnetic fields generated by the human heart in a
magnetically unshielded environment: Preliminary results. /. Phys.
E: Sci. Instrum11, 297 - 298 (1978a).

76. Barbanera S.,P. Carelli, I. Modena, and G.L. Romani. A SQUID
device for ac current measurements down to 10“14 A. J. Appl. Phys.,
49, 905 - 909 (1978b).

77. Barbanera S., P. Carelli, R. Leoni, G.L.Romani, F. Bordoni, I. Modena,
R. Fenici, and P. Zeppilli. Magnetocardiographic study of some human
cardioelectrophysiological phenomena: preliminary observations.

IC-SQUID 80, (1980a, в печати).

78. Barbanera S., P. Carelli, R. Fenici, I. Modena, and G.L. Romani,
Use of a superconducting instrumentation for biomagnetic measure-
ments performed in a hospital. ASC 80, (1980b, в печати).

79. Barbanera S., P. Carelli, R. Leoni, G.L. Romani, F. Bordoni, I. Mo-
dena, R. Fenici, and P. Zeppilli. Biomagnetism measurements in
unshielded, normally noisy environments. IC -SQUID 80, (1980c).

80. Bardeen J. Tunneling from a many-particle point of view. Phys. Rev.
Letta 6, 57 - 59 (1961).

81. Bardeen J., L. N. Cooper, and J.R. Schrieffer. Theory of superconduc-
tivity. Phys. Rev „ 108, 1175 - 1204 (1957).

82. Barone A. Flux flow effect in Josephson tunnel junctions. J. Appl. Phys.
42, 2747 (1971).

83. Barone A. Thermal effect in l-l characteristics of large Josephson
junctions. Phys. Status Solidi (a), 13, K93 — 95 (1972).

84. Barone A. and W. J. Johnson. Some aspects in the preparation and
measurements of Josephson junctions. Vuoto Sci. Tec., 2, 215 — 225
(I960).

85. Вароне А., Овчинников Ю.Н., - ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 1463.

86. Barone A. and M. Russo. Observation of light induced Josephson current
through "thick" CdS barriers. Phys. Lett., 49A, 45 — 46 (1974).

87. Barone A., W. J. Johnson, and R. Vaglio. Current flow in large Josephson
junctions. J. Appl. Phys., 46, 3628 - 3632 (1975).

88. Barone A., P. Rissman, and M. Russo. Effect of preparation parameters
on light sensitivity in superconductive tunnel junctions. DEJJ, 73 — 77
(1973).
89. Barone А., М. Russo, and R. Vaglio. Light-sensitive Josephson
junctions: Ten years ago, ten years from now, FTSE, 340 — 344
(1978).

90. Barone A., F. Esposito, C.J. Magee, and A. C. Scott. Theory and
application of the sine-Gordon equation. Riv, Nuouo Cimento, 1,
227 - 267 (1971).

91. Barone A., G. Paterno, M. Russo, and R. Vaglio. Experimental re-
sults on temperature and magnetic field dependence of light induced
Josephson current. LT 14, 88 — 91 (1975a).

92. Barone A., G. Paterno, M. Russo, and R. Vaglio. Light-enduced tran-
sition from '’small” to "large” Josephson junctions. Phys, Lett,,
53A, 393 - 394 (1975b).

93. Barone A., G. Paterno, M. Russo, and R. Vaglio. Differentiation
and interference phenomena in single Josephson junctions. Phys,
Status Solidi (a), 41, 393 - 401 (1977).

94. Бароне А», Патерно Дж., Руссо M., Вальо Р. — ЖЭТФ, 1978,
т. 74, с. 1483.

95. BaroneА.Д. Di Chiara, G. Peluso, and M.Russo.Preparation para-
meters and characterization of vanadium based Josephson junctions.
IC-SQUID 80 (1980).

96. Barr D.W., R.J. Mattauch, L.-K. Wang, and B.S. Deaver, Jr. Millimeter
wave response of Nb variable thickness bridges.FTSE, 345 —348
(1978).

07. Basavaiah S. and R. F. Broom. Characteristics of in-line Josephson
tunneling gates. ASC 74, 759 — 762 (1974).

98. Basavaiah S. and J. И. Greiner. Capacitance and ellipsometrically
determined oxide thickness of NB-oxide-Pb Josephson tunnel juncti-
ons. J. Appl. Phys 9 47, 4201 - 4202 (1976).

99. Basavaiah S. and J. И. Greiner. An investigation of the thermal cyc-
ling of Pb-alloy Josephson tunneling gates. J, Appl .Phys ,, 48,
4630 - 1633 (1977).

100. Basavaiah S., J. M. Eldiidge, and J. Matisoo. Tunneling in lead-lead
oxide-lead junctions. J. Appl .Phys , 45, 457 — 464 (1974).

101. Basavaiah S., M. Murakami, and C. J. Kircher. Strain relaxation
effects in Pb-alloy Josephson tunnel junctions. LT 15, 1247 — 1249
(1978).

102. Beasley M.R. Improved materials for superconducting electronics.
FTSE, 389 - 396 (1978).
103. Beasley М. R. and W. W. Webb. Operation of superconducting inter-
ference devices in appreciable magnetic fields. SPSD, 1 —8 (1967)
paper V.

104. Bedard F. and H. Meissner. Measurements of contact resistance
between normal and superconducting metals. Phys. Rev., 101, 26 —
30 (1956).

105. Belykh V. N., N. F. Pedersen, and О. H. Soerensen. Shunted-Joseph-
son-junction model. I. The autonomous case. Phys. Rev., В16,
4853 - 4959 (1977a).

106. Belykh V.N., N. F. Pedersen and О. H. Soerensen Shunted-Josephson-
junction model. II. The non-autonomous case. Phys. Rev», В16,
4860 - 4871 (1977b).

107. Ben-Abraham S.I. Exact solution to the sine-Gordon equation in
two space dimensions. Phys .Lett., 55A, 383 — 384 ( 1979).

108. Benacka S., L. Bezakova, S. Gazi, and S. Takacs. Properties of
long superconducting variable thickness bridges. I. DC and AC
Josephson effect. Czech J .Phys. B, 28, 192 — 202 (1978a).

109. Benacka S.7 L. Bezakova, S. Cazi, and S. Takacs. Properties of
long superconducting variable thickness bridges. II. Influence of
static magnetic field. Czech .J. Phys • B, 28, 203 — 215 (1978b).

110. Bermon S. and R. M. Mesak. Observation of cylindrical cavity modes
in circular Josephson weak-link junctions. J. Appl. Phys v 42,
4488 - 4492 (1971).

111. Bernard W. and H.B. Callen Irreversible thermodynamics of nonlinear
processes and noise in driven systems. Rev. Mod. Phys* 31, 1017 —
1044 (1959k

112. Bishop A. R. and S. E. Trullinger. Josephson junction threshold
viewed as a critical point. Phys .Rev v B17, 2175 — 2182 (1978).

113. Biswas A. C. and S. Jha. Effect of thermal noise on the d.c. Joseph-
son effect. Phys.Rev.f B2, 2543 - 2547 (1970).

114. Blackburn X A. and M.A. H. Nerenberg. Relative self-phase in
resonant Josephson junctions. Phys. Lett * 46A, 15 — 16 (1973).

115. Blackburn J.A. and M.A.H. Nerenberg. Relative self-phase in re-
sonant Josephson junctions. Phys. Lett., 46A, 15 - 16 (1973).

116. Blackburn J.A. and H. J. T. Smith. Flow penetration into doubly
connected loops containing two Josephson junctions. J. Appl. Phys.,
48, 2961 - 2964 (1977).
117. Blackburn J. A., J. D.Leslie, and H. J. Smith. Self-resonant current
peaks in Josephson junctions./. Appl • Phys42, 1047 — 1054
(1971).

118. Blackburn J. A., B.B. Schwartz, and A. Baratoff. Single and mul-
tiple superconducting weak-link systems. /. Low Tempt Phys „
20, 523 - 543 (1975).

119. Blackburn J. A., H. J. T. Smith, and V. Keith. Probing the phase-
dependent conductance and nonequilibrium properties of Josephson
junctions by means of flux entry into weakly closed loops. Phys •
Rev., B15, 4211 - 4213 (1977).

120. Blackburn J. A., H. J. T. Smith, and N. L. Rowell. Proximity effects
and the generalized Ginzburg-Landau equation. Phys .Rev * В11,
1053 - 1058 (1975).

121. Blackwell L. A. and K. L. Kotzebue. Semi conductors-Di ode Parame-
tric Amplifiers .Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1961.

122. Blaney T.G. Heterodyne laser radiation detection at 891 GHz
using Josephson point contact. DEJJ, 279 — 284 (1973).

123. Blaney T. G. and D. J. E. Knight. Direct 825th harmonic mixing of
a 1 GHz source with an HCN laser in a Josephson junction. J. Phys.
D: Appl.Phys., 7, 1882 - 1886 (1974).

124. Blaquiere A. Nonlinear System Analysis. Academic, New York,
1966.

125. Bloch F. Josephson effect in a superconducting ring. Phys • Rev.,
B2, 109 - 121 (1970).

126. Blocker T. G., R. K. Watts, and W. C. Holton. Advanced imaging
techniques for submicrometer devices. FTSE, 280 — 288 (1978).

127. Bogoliubov N. N. and Y. A. Mitropolsky. Asymptotic Methods in
the Theory of Non-Linear Oscillations .Hindustan, Delhi, and
Gordon and Breach, New York. 1961.

128. Бондаренко С.И., Дмитренко C.M., Нарбут Т.П. - ФТТ, 1972,
т.Н, 0.354.

129» Bondarenko S.I., E.I. Balanov, L.E. Kolinko, and T. P. Narbut.
A superconducting point contact having the properties of a Joseph-
son junction. Cryogenics, 10, 508 — 510 (1970).

130. Бондаренко C.JL и др. - ЖТФ, 1976, т.46, с. 2440.

131. Bonifacio R., М. Milani, and М. Scully. Use of a coherent-state
formalism in superconductivity and Josephson-junction calculations.
Nuovo Cimento, В50, 152 - 160 (1979).
132. Boone В. G., С. Н. Arrington, III, L.-K. Wang, and B.S. Deaver, Ir.
Properties of new types of niobium weak links. ASC 76, 735 — 738
(1976).

133. Bordoni F., P. Carelli, 1. Modena, and G. L. Romani. Narrow-
band ultra-low current measurements with a r.f. SQUID. LT 15,
1213 - 1214 (1978).

134. Bosch B. G. Gigabit electronics. A reviev. Proc* IEEE, 67, 340 —
379 (1979).

135. Brachen T.D. and W. 0. Hamilton. Comparison of micro wave-indu-
ced constant-voltage steps in Pb and Sn Josephson junctions. Phys .
Rev., B6, 2603 - 2609 (1972).

136. Brennemann A.E. The in-line cryotron. Proc. IEEE, 51, 442 — 451
(1963).

137. Brennemann A. E., J. J. McNichol, and D. P. Seraphim. Delay times
for switching in-line cryotrons. Proc. IEEE, 51, 1009 — 1014
(1963).

138. Brenner D., L. Kaufman, and S. J. Williamson. Applications of a
SQUID for monitoring magnetic response of the linear brain* ASC
76, 365 - 368 (1976).

139. Brenner D., S. J. Williamson, and L. Kaufman. SQUID system for de-
tecting evoked magnetic fields of the human brain. LT 14, 266 —
269 (1975).

140. Broers A. N. Electron beam fabrication. J. Vac .Sci. Tech* 8, 550—
551 (1971).

141. Broers A. N. and M. Hatzakis. Microcircuits by electron beam. Sci.
Am., 227,34 - 44 (1972).

142. Broers A.N. and R. B. Laibowitz. High resolution electron beam lit-
hography and applications to superconducting devices. FTSE, 289 —
297 (1978)

143. Broers A. N., W. Molzen, J. Cuomo, and W. Wittels. Electron
beam fabrication of 80 A metal structures. Appl. Phys • Lett 29,
596 - 598 (1976).

144. Broom R. F. Some temperature-dependent properties of niobium tun-
nel junctions. J. Appl Phys * 47, 5432 — 5439 (1976).

145. Broom R.F. and P. Wolf. Q factor and resonance amplitude of Joseph-
son tunnel junctions. Phys .Rev., В16, 3100 — 3107 (1977).
146. Broom R. F. W. Jutzi, and T. 0. Mohr. A 1.4 mil2 memory cell with
Josephson junctions. ASC 74, 755 — 758 (1974).

147. Broom R. F., W. Kotyczka, and A. Moser. Modeling of characteris-
tics for Josephson junctions having nonuniform width or Josephson
current density. IBM J• Res. Develop• , 24, 178 — 187 (1980).

148. Broom R. F., R. Jaggi, R. B. Laibowitz, and W. Walter, Thin-film
Josephson junctions with niobium electrodes. LT 14, 4, 172 — 175
(1975).

149. Broom R. F., P. Gueret, W. Kotyczka, T. 0. Mohr, A. Moser,
A. Oosenbrug, and P. Wolf. Model for a 15 ns 16 К RAM with Joseph-
son junctions. In IEEE International Solid State Circuits Conferen-
ce, February 1978, pp. 60 — 62; in IEEE J. Solid State Cir., SC-14,
690 - 699 (1979).

150. Bube R. H. Photoconductivity of Solids .Wiley, New York (1960).

151. Buck D. A. The cryotron — A superconductive computer component.
Proc. IRE, 44, 482 - 493(1956).

152. Buck D. A. and K. R. Shoulder. An approach to microminiature prin-
ted systems. In Proceedings of the Eastern Joint Computer Conferen-
ce, (special publication, T114), 1958.

153. Buckner S. A. and D. N. Langen berg. Riedel singularity in tin-tin
oxide-tin tunnel junctions. J. Low Temp. Phys .22, 569 — 596
(1976).

154. Buckner S. A., J. T. Chen, and D. N. Langenberg. Electrodynamic
and noise properties of very small Josephson tunnel junctions. LT
12, 453 - 454 (1970a).

155. Buckner S. A., J. T. Chen, and D. N. Langenberg. Current-voltage
characteristics of small Josephson tunnel junctions. Phys• Rev.
Lett., 25, 738 - 741 (1970b).

156. Buckner S. A., T. F. Finnegan, and D. N. Langenberg. Riedel sin-
gularity in Sn-Sn oxide-Sn Josephson tunnel junctions. Phys .Rev.
Lett., 28, 150 - 154 (1972).

157. Buhrman R. A. Noise limitation of rf Squid’s. IC-SQUID 76, 395 —
431 (1976).

158. Buhrman R. S. and L. D. Jackel. Performance factors in rf SQUIDs,
high freguency limit. ASC 76, 879 — 882 (1976).

159. Buhrman R. A., S. F. Strait, and W. W. Webb.Stable superconducting
point-contact weak links. J. Appl .Phys., 42, 4527 — 4528 (1971).
160. Buhrman R. A., J. E. Lukens, L. D. Jackel, S. F. Strait, J. M. War-
laumont, and W. W. Webb. SQUID techniques. I. Obtaining reliabili-
ty in Point-contact SQUID’s. J. Appl. Phys., 45 , 4045 — 4048
(1974).

161. Bulaevskii L. N., V. V. Kuzii, and A. A. Sobyanin. On possibility
of the spontaneous magnetic flux in a Josephson junction containing
magnetic impurities. Solid State Comm., 25, 1053 — 1057 (1978).

162. Burger J. P. and D. Saint-James. Boundary effects and small specimens.
In Superconductivity (R. D. Parks, Ed.). Vol. II, Marcel Dekker, New
York, 1969, Chap. 16.

163. Burgess R. E. Quantization and fluctuations in superconductors.
SPSD, Hl - 12 (1967).

164. Callegari A. and B. S. Deaver, Jro Temperature dependence of micro-
wave SQUID response. J. Appl. Phys * 48, 5328 — 5333 (1977).

165. Callegari A., H. A. Atwater, and B. J. Deaver, Jr. Phase dependent
conductance of superconducting point contacts at microwave frequ-
encies. Phys • Lett., A59, 55 — 58 (1976).

166. Callen H. B. and T. A. Welton. Irreversibility and generalized noise.
Phys. Rev., 83, 34 - 40 (1951).

167. Calogero F. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse
spectral transform. Proceedings of the International Conference on
Mathematical Problems in Theoretical Physics, Rome* June 1977
(G. Dell’Antonio, J. Doplicher, and G. Jona Lasinio, Eds.), in
Lecture Notes in Physics 80, 235 — 269 (1978).

168. Canavello B. J., M. Hatzakis, and J. M. Shaw. Process for obtaining
undercutting of photoresist to facilitate lift-off. IBM Tech .Disc.

Bull., 19, 4048 - (1977).

169. Cardinne P. and J. E. Nordman. A simple technique for fabrication
of tunnel junctions using Nb wire. Rev. Phys .Appl* 8, 467 -- 470
(1973).

170. Cardinne P., B. Manhes, and J. E. Nordman. Recents progres dans la
fabrication de jonctions Josephson. Utilisation de niobium obtenu par
pulverisation cathodique. Rev. Phys. Appl., 8, 463 — 466 (1973).

171. Cardinne P., B. Manhes, and M. Renard. Josephson and Giaever effects
with a semiconducting barrier of variable height. ASC 72, 565 — 560
(1972).

172. Cardinne P., M. Marti, and M. Renard. Jonctions Josephson a barrier
semicondu trice. Rev .Phys. Appl., 6, 547 — 550 (1971).
173. Cardinne Р., J. Nordmann, and M. Renard. On the use of low barrier
potential materials to improve high frequency coupling to Josephson
tunnel junctions. DEJJ, 167 — 171 (1973).

174. Carelli P. and I. Modena. .Josephson-like behavior in double Dayem
bridge stuctures. J. Appl •Phys ., 47, 4649 — 4652 (1976).

175. Caroli C., R. Combescot, P. Nozieres, and D. Saint-James. Direct
calculation of the tunneling current. 7. Phys. C: Solid State
Phys., 4, 916 -929 (1971a).

176. Caroli С., R. Combescot, D. Lederer, P. Nozieres, and D. Saint-Ja-
mes. A direct calculation of the tunneling current. II. Free electron
description. J. Phys .C: Solid State Phys ., 4, 2598 — 2610 (1971b).

177. Caroli C., R. Combescot, P. Nozieres, and D. Saint-James. A direct
calculation of the tunneling current: IV: Electron-phonon interaction
effects. J. Phys, C: SolidState Phys,, 5, 21 — 42 (1972).

178. Caswell H. L., J. R. Priest, and Y. Budo. Low-temperature properties
of evaporated lead films. J. Appl .Phys ., 34, 3261 — 3266 (1963).

179. Cerdonio M. and C. Messana. Superconducting magnetometer for
high resolution susceptibility measurements. ASC 74, 728 — 731
(1974).

180. Cerdonio M., F. F. Ricci, and G. L. Romani. Toroidal SQUID with
ferromagnetic core superconducting transformer. J. Appl Phys.,
48, 4799 - 4802 (1977).

181. Cerdonio M., G. L. Romani, and S. Pace. SQUID operation with fer-
romagnetic core superconducting d.c. trans formers. Cryogenics,
15, 278 - 282 (1975).

182. Cerdonio M., R. H. Wang, G. R. Rossman, and J. E. Mercereau. Mag-
netochemical measurements of biochemical compounds with a super-
conducting magnetometer. LT 12, 4, 525 — 534 (1972).

183. Cerdonio M., C. Cosmelli, G. L. Romani, C. Messana, and C. Grama-
ccioni. Superconducting magnetometer for high resolution suscepti-
bility measurements. Rev. Sci. Instrum ., 47, 1 — 5 (1976).

184. Cerdonio M., F. Mogno, G. L. Romani, C. Messana, and C. Gramaccio-
ni. Oscillating sample superconducting magnetometer. Rev. Sci.
Instrum b 48, 300 - 306 (1977).

185. Chan H. W., W. Y. Lum, and T. Van Duzer. High speed switching and
logic circuits using Josephson devices. ASC 74, 770 — 773 (1974).

186. Chan H. W., В. T. Ulrich, and T. Van Duzer. Switching dynamics of
Josephson junction logic circuits. IC-SQUID 76, 555 — 565 (1976).
187. Chandrasekhar S. Stochastic problem in physics and astronomy. Rev*
Mod. Phys „ 15, 1 -89 (1943).

188. Chang J. J. and D. J. Scalapino. Hot superconductors: The physics
and applications of nonequilibrium superconductivity. NASI 76,
447 - 485 (1976).

189. Chaudhari P. Hillock growth in thin films. J* Appl • Phys*, 45,
4339 - 4346 (1974).

190. Чейшвили О.Д. - ФТТ, 1968, т. 11, с. 185.

191. Chen J. T. and D. N. Langenberg. Fine structure in the anomalous
d.c. current singularities of a Josephson tunnel junction LT 13,
3, 289 - 292 (1972).

192. Chen J»T., T. F. Finnegan, and D. N. Langenberg. Anomalous d.c.
current singularities in Josephson tunnel junctions. ICSS,
413 - 420 (1969).

193. Chen J.T., J. Todd, and Y. W. Kim. Investigation of microwave in-
duced de voltages across unbiased Josephson tunnel junctions.
Phys. Rev*, B5, 1843 - 1849 (1972).

194. Chiao R. Y. and R. T. Parrish. Operation of the SUPARAMP at 33
GHz. J. Appl .Phys., 47, 2639 -2644 (1976).

195. Chiao R. Y., M. J. Feldman, D. W. Peterson, B. A. Tucker, and
M. T. Levinsen. Phase instability noise in Josephson junctions.
FTSE, 259 - 263 (1978).

196. Christiansen P. L. and О. H. Olsen . Fluxons on a Josephson line
with loss and bias.Wave Motion, 2, 185 — 196 (1980).

197. Christiansen P. V., E. B. Hansen, and C. J. Sjostrom. Negative
self-inductance in superconducting thin wires and weak links.
J. Low Temp. Phys., 4, 349 - 389 (1971).

198. CirilloM., R. D. Parmentier, and B. Savo. Mechanical analog studies
of a perturbed Sine-Gordon equation. Physica D (1981, в печати).

199. Claassen J.H. Coupling considerations for SQUID devices J. Appl.
Phys., 46, 2268 - 2275 (1975).

200. Claassen J.H. and P.L. Richards. Performance limits of a Joseph-
son junction mixer. J. Appl. Phys *, 49, 4117 — 4129 (1978a).

201. Claassen J.H. and P. L. Richards. Point-contact Josephson mixers
at 130 GHz. J. Appl. Phys., 49, 4130 - 4140 (1978b).

202. Claassen J.H., Y. Taur, and P. L. Richards. Noise in Josephson
point contacts with and without rf bias. Appl. Phys. Lett*, 25,
759 - 761 (1974).
203. Claeson Т. Gapless superconductor tunneling experiment. NASI 67,
443 - 459 (1967) .

204. Clark T.D. Experiments on coupled Josephson junctions. Phys* Lett*,
27A, 585 - 586 (1968).

205. Clark T.D. Generation and detection experiments using point con-
tact junction arrays. ICSS, 432 — 438 (1969).

206. Clark T. D. Electromagnetic properties of point-contact Josephson
junction array. Phys • Rev», В8, 137 — 162 (1973a).

207. Clark T.D. Detection and emission of radiation by arrays of junctions.
DEJJ, 207 - 216 (1973b).

208. Clark T. D. Frequency dependence of the a. c. Josephson effect in
small Dayem bridges. Phys *Rev* Lett*, 37, 368 — 371 (1976).

209. Clark T.D. and J. P. Baldwin. Superconducting memory device using
Josephson junctions. Electron* Lett*, 3, 178 — 179 (1967).

210. Clark T. D. and L. D. Jackel. Low noise,permanenty adjusted UHFSQUID
magnetometer. ASC 74, 736 — 738 (1974).

211. Clark T. D. and L. D. Jackel. Simple, low-noise uhf SQUID magneto-
meter. Rev* Sci* Instrum46, 1249 — 1252 (1975).

212. Clark T. D. and P. E. Lindelof. Collective synchronization of arrays
of superconducting thin film microbridges. App. Phys* Lett*, 29,
751 - 753 (1976).

213. Clarke J, A. superconducting galvanometer employing Josephson tun-
neling. Phil .Mag*, 13, 115-127 (1966).

214. Clarke J. Experimental comparison of the Josephson voltage-frequen-
cy relation in different superconductors. Phys. Rev* Lett*, 21,
1566 - 1569 (1968).

215. Clarke J, Supercurrents in lead-copper-lead sandwiches. Proc *Roy*
Soc *, A308, 447 - 471 (1969).

216. Clarke J. The Josephson effect and e/h* Am* J* Phys *, 38,
1071 - 1095 (1970).

217. Clarke J, Finite-voltage behavior of lead-copper-lead junctions.

Phys* Rev*, B4, 2963 - 2976 (1971).

218. Clarke J. Low-frequency applications of superconducting quantum
interference devices. Proc * IEEE, 61, 8 — 19 (1973).

219. Clarke J. Superconducting quantum inteference devices for low fre-
quency measurements. NASI 76. 67 — 124 (1976).
220. Clarke J, and T. A. Fulton. Origin of low-voltage structure and asym-
metry in the I-V characteristics of multiply connected superconduc-
ting junctions. /. Appl, Phys 40, 4470 — 4476 (1969).

221. Clarke J, and G. Hawkins. Low frequency noise in Josephson junctions.
ASC 74, 841 - 844 (1974).

222. Clarke J, and G. Hawkins. Flicker (1//)noise in Josephson tunnel
junctions. Phys. Rev., B14, 2826 - 2831 (1976).

223. Clarke J. and J. L. Paterson. Josephson junction amplifier. Appl.

Phys. Lett., 19, 469 - 471 (1971).

224. Clarke J. and R. F. Voss. l//noise from thermal fluctuations in
metal films. Phys, lett., 33, 24 — 27 (1974).

225. Clarke J., T. D. Gamble, and W. M. Goubau. SQUIDS and magneto-
tellurics with a remote reference. FTSE, 87 — 94 (1978).

226. Clarke J., W.M. Goubau, and M. B. Ketchen. A reliable d.c. SQUID
made with tunnel junctions. ASC^ 74, 724 — 727 (1974).

227. Clarke J», W. M. Goubau, and M. B. Ketchen. Thin-film d. c. SQUID
with low noise and drift. Appl. Phys. Lett., 27, 155 — 156 (1975).

228. Clarke J., W.M.Goubau, andM.B. Ketchen. Tunnel junction d.c.

SQUID: Fabrication, operation and performance. J. Low Jemp. Phys.,
25, 99 - 144 (1976).

229. Clarke X, G. I. Hoffer, and P. L. Richards. Superconducting tunnel
junction bolometers, DEJJ, 69 — 71 (1973).

230. Clarke J., W. E. Tennant, and D. Woody^ Impedance matching a
Josephson galvanometer by means of a superconducting transformer.
]. Appl. Phys., 42, 3859 -3865 (1971).

231. Cohen D. Large volume conventional magnetic shields. Rev. Phys.
Appl., 5, 53 - 58 (1970).

232. Cohen D. Magnetoencephalography: detection of the brain’s electri-
cal activity with a superconducting magnetometer. Science, 175,
664 —666 (1972).

233. Cohen D. Measurements of the magnetic fields produced by the hu-
man heart, brain and lungs. ASC 74, 694 — 700 (1974).

234. Cohen D., E. A. Edelsack, and J. E. Zimmerman. Magnetocardio-
grams taken inside a shielded room with a superconducting point-
contact magnetometer. Appl. Phys. Lett., 16, 278 — 280 (1970)*

235. Cohen E. R. and J. W. M. Dumond. Our knowledge of the fundamental
constants of physics and chemistry in 1965* Rev. Mod. Phys., 37,
537 - 594 (1965).
236. Cohen М.Н., L. М. Falicov, and J. C. Phillips. Superconductive tun-
neling. Phys• Rev. Lett', 8, 316 — 318 (1962).

237. Cohen-R. A.r R.W. Mountain, H. I. Smith, M. A. Lemma, D.L. Spears,
and S. E. Bernacki. Fabrication procedure for silicon membrane
X-ray lithography masks. M.I.T. Lincoln Lab., Lexington, Tech.
Note 1973/78, September 20, 1973.

238. Consadori F., A.A. Fiee, R.E. Frindt, and S. Gygax. Construction
and properties of weak-link detectors using superconducting layer
structures. Appl. Phys. Lett., 18, 233 — 235 (1971).

239. Coon D.D. and M.D. Fiske. Josephson ac and step structure in the
supercurrent tunneling characteristic. Phys.Rev., A138/744 - 746
(1965).

240. Corrucini L.R. Helical resonator for VHF SQUID operation. Rev.
Sci. Instrum., 44, 1256 - 1257 (1973).

241. Costabile G. and R. D. Parmentier. Analytic solution for fluxon pro-
pagation in Josephson junctions with bias and loss. LT 14, 4,
112 - 115 (1975).

242. Costabile G., R. D. Parmentier, B. Savo, D.W. McLaughlin, and
A.C.Scott, Exact solutions of the sine-Gordon equation describing
oscillations on a long (but finite) Josephson junction. Appl. Phys.
Lett., 32, 587 - 589 (1978).

243. Cromar M. W. and P. Carelli. Low noise tunnel junction d.c. SQUIDs.
Appl. Phys. Let. (1981, будет опубликовано).

244. Cucolo A. M., S. Pace, and R. D. Parmentier. Surface effects on
the tunneling characteristics of Nb-Pb Josephson junctions. Phys.
Status Solidi (a), 42, Kill - 114 (1977).

245. Cucolo A. M., S. Pace, and R. Vaglio. Measurements of physical
properties of superconductors by Josephson devices. Proceedings
of XV International Congress of Refrigeration, Venezia 1979 (edited
by the Organizing Commitee), the Istiiuto Tecnica del Freddo del
C.N.R., Padova, Vol. 2, 224 - 227 (1979).

246. Cukauskas E. I., D. A. Vincent, and B. S. Deaver. Jr. Magnetic
susceptibility measurements using a superconducting magnetometer.
Rwu. Sci. Instrum., 45, 1 —6 (1974).

247. Currie J.F. Aspects of exact dynamics for general solutions of the
sine-Gordon equation with applications to domain walls. Phys.
Rev., A16, 1692 - 1699 (1977).

37 - 43G
248. Daalmans G. M. and J. Zwier. Alternatives in fabricating submicron
niobium Josephson junctions. FTSE, 312 — 316 (1978).

249. Daalmans G. M., T. M. Klapwijk, and J. E. Mooij. Superconducting
microbridges in Delft. ASC 76, 719 — 723 (1976).

250. Dahm A. J. and D. N. Langenberg. Nonlinear effects in the Josephson
plasma resonance. J. Low Temp. Phys., 19, 145 - 167 (1975).

251. Dahm A. J., A. Denestein, T. F. Finnegan, D.N. Langenberg, and
D.J. Scalapino. Study of the Josephson plasma resonance. Phys.
Rev. Lett., 20, 859 - 863 (1968). Errata. Phys. Rev. Lett., 20,
1020 (1968).

252. Dahm A. J., A. Denestein, D. N. Langenberg, W. H. Parker, D. Rogo-
vin, and D. J. Scalapino. Linewidth of the radiation emitted by a
Josephson junction. Phys. Rev. Lett., 22, 1416 — 1420 (1969).

253. Данилов B.B., Лихарев K.K. - ЖТФ, 1975, т0 45, с. 1110.

254. Danilov V. V., K.K. Line width, D.V. Sniguiriev, and E. S. Soldatov.
Limit characteristics of two-junction magnetic flux detector. ASC
76, 240 - 241 (1976).

255. Davidson A. A. Josephson lach. IEEE J. Solid State Cir., SC-43,
583 - 590 (1978).

2&6. Davidson A., R. S. Newbcwer, and M. R. Beasley. An ultra-low-noise
preamplifier using superconducting quantum devices. Rev. Sci.
Instrum., 45, 838 - 846 (1974).

257. Dayem A. H. and С. C. Grimes. Microwave emission from supercon-
ducting point-contacts. Appl. Phys. Lett., 9, 47 — 49 (1966).

258. Dayem A. H. and R. J. Martin. Quantum interaction of microwave
radiation with tunneling between superconductors. Phys. Rev.
Lett., 8, 246-& 248 (1962).

259. Dayem A. H. and J. J. Wiegand. Behavior of thin-film superconducting
bridges in a microwave field. Phys. Rev., 155, 419 — 428 (1967).

260. Deaver B. S., Jr. and W. M. FairbanH. Experimental evidence for
quantized flux in superconducting cylinders. Phys. Rev. Lett.,
7, 43 - 46 (1961).

261. Deaver B. S., Jr., R. G. Boone, and R. Rifkin. Nonequilibrium effects
in superconducting weak links. Phys. Lett., A57, 186 — 188 (1976).

262. Deaver B. S., Jr., R. Rifkin, and R. D.Sandell. A simple phenomeno-
logical model of the Josephson effects in superconducting weak-links.
J. Low Temp. Phys., 25, 409 — 419 (1976).
263. Deaver В. S., Jr., R. D. Sandell, and D. A. Vincent. A simple pheno-
menological approach to the phase-dependent conductivity of a super-
conducting weak link. Phys. Lett; A 46, 411 — 412 (1974).

264. De Bruyn Ouboter R. Macroscopic quantum phenomena in super-
conductors. NASI 76, 21 — 65 (1976).

265. De Bruyn Ouboter R. and A. T. A. M. De Waele. Superconducting
point contacts weakly connecting two superconductors. In Progress
in Low Temperature Physics (C.J. Gorter, Ed.). North-Holland, Amster-
dam, 1970. chap. 6. pp. 243 — 290.

266. De Bruyn Ouboter. R., M. H. Omar. P. T. Arnold, T. Guinan, and
K. W. Taconis. Oscillations in the voltage between two weakly
connected current carrying superconductors, as a function of the
applied magnetic field. Physica, 32, 1448 — 1458 (1966).

267. Decker S. K. and J. E. Mercereau. Superconducting thin-film quan-
tum galvanometer. Appl. Phys. Lett., 23, 347 — 349 (1973).

268. Decker S. K. and J. E. Mercereau. Noise measurements on proximi-
ty effect bridges. ASC 74, 848 - 851 (1974).

269. Decker S. K. and J. E. Mercereau. Noise measurements in supercon-
ducting proximity bridges. Appl. Phys. Lett., 27, 466 — 469 (1975).

270. De Gennes P. G. Self-consistent calculation of the Josephson
current. Phys. Lett., 5, 22 — 24 (1963).

271. De Gennes P. G. Boundary effects in superconductors. Rev. Mod.
Phys., 36, 225 - 237 (1964).

272. De Gennes P. G. Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin,
New York, 1966.

273. De Gennes P. G. and E. Guyon. Superconductivity in "normal" me-
tals. Phys. Lett., 3, 168 — 169 (1963).

274. De Gennes P. G. and S. Mauro. Excitation spectrum of superimpo-
sed normal and superconducting films. Solid State Comm., 3,
381 - 384 (1965).

275. Dettman F. Hysteresis of vanadium-insulation-lead Josephson tun-
nel junctions. Phys. Status Solidi, (a) 28, K, 21 — 24 (1975).

276. Dettman F. Properties of quantum interference with V-VO^-Pb tun-
nel junctions. Phys. Status Solidi, (a)49, 193 — 298 (1978).

277. Dettman F. and G. Albrecht. The influence of vanadium oxide on
the properties of Josephson tunnel junctions. Phys. Status Solidi,
(a)53, 541 - 548 (1979).
278. Dettman F., К. Bliithner, P. Pertsch, P. Weber, and G. Albrecht.
A study of V-VO^-Pb Josephson tunnel junctions. Phys .Status
Solidi, (a)44, 577 - 581 (1977).

279. Deutscher G. and P. G. De Gennes. Proximity effects. In Super-
conductivity (R. D. Parks, Ed.). Vol. 2, Marcel Dekker, New York,
1969, chap. 17, pp. 1005 - 1034.

280. Deutscher G. and M. L. Rappaport. A granular photo-superconduc-
tor. Phys. Lett» 71 A, 471 - 472 (1979).

281. De Waele A.T.A.M. and R. De Bruyn Ouboter. Quantum-interference
phenomena in point contacts between two superconductors. Physi-
ca, 41, 225 - 254 (1969).

282. Di Chiara A., G. Peluso, and M. Russo. Vanadium-based light-sen-
sitive Josephson junctions. Phys. Lett., 73A, 218 — 220 (1979).

283. Di Rienzo A., D. Rogovin, M. Scully, R. Bonifacio, L. Lugiato,
and M. Milani. Superconductivity and quantum optics. In Procee-
dings of NATO Advanced Study Institute on Coherence in Spectro-
scopy and Modem Physics, Villa Le Pianore, Italy, July 1977
(F. T. Arecchi, R. Bonifacio, and M. 0. Scully, Eds.), Plenum,
New York, 1978, p. 231.

284. Divin Yu. Ya. and F. Ya. Nad. On conduction mechanism of high-
quality superconducting point contacts. LT 15, 599 — 601 (1978).

285. Divin Yu. Ya. and F. Ya. Nad. Dependence of the excess current
in superconducting point contacts on temperature and voltage. Pis.
Zh. Eksp; Teor. Fiz., 29, 567 - 570 (1979). JETP Lett., 29,
516 - 519 (1979).

286. Дмитренко И.М., Янсон И.К. - Писъма ЖЭТФ, 1965, т. 2, с. 242.

287. Дмитренко ЮТ, Янсон И.К. - ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 1741.

288. Дмитренко И.М., Бондаренко С.И., Нарбут Т.П. - ЖЭТФ, 1969,
т. 57, с. 1513.

289. Дмитренко ПАЕ, Янсон И.К., Свистунов В.И. - Писъма ЖЭТФ,
1965, т. 2, с. 17.

290. Дмитриев В.М., Христенко Е.В., Шапиро С. - Физ. конденс. сост.,
1973, т.28, с. 3.

291. Дмитриев В.М. и др. - Физ. конденс. сост., 1973, т. 28, с. 128.

292. Dolan G. J. Offset masks for lift-off photoprocessing. Appl. Phys.
Lett., 31, 337 - 339 (1977).

293. Dolan G. J. and L. D. Jackel.Voltage measurements within the none-
quilibrium region near phase-slip centers. Phys. Rev. Lett., 39,
1628 - 1631 (1977).
294. Doll R. and M. Nabauer. Experimental proof of magnetic flux quan-
tization in a superconducting ring. Phys . Rev • Lett 7, 51 — 52
(1961).

295. Donaldson G. B. and H. Faghihi-Nejad. RF sputter anodization of
lead-indium. FTSE, 407 - 411(1978).

296. Dunkleberger L. N. A stencil technique for the preparation of thin
film Josephson devices. Bell Laboratories, Rep. TM-76-1151-25,
1976.

297. Dunkleberger L. N. Stencil technique for the preparation of thin-
film Josephson devices. J. Vac .Sci. Tech., 15, 88 — 90 (1978).

298. Dupart J. M. and J. Baixeras. New effects observed in the dynamical
behaviour of wide S-N-S junctions in series. LT 14, 4, 132 — 135
(1975).

299. Dupart J. M. and J. Baixeras. Series arrays of superconducting-nor-
mal-superconducting junctions in the Pb-Sn lamellar eutectic alloy.
Appl.Phys. Lett., 30, 123 - 125 (1977).

300. Dupart J. M., C. Bodin, and T. Pech. Reliable point contact prepara-
tion and adjustment for SQUIDs. Cryogenics, 15, 227 (1975).

301. Duret D., Bernard P., and D. Zenatti. A uhf superconducting magneto-
meter utilizing a new thin film sensor. Rev. Sci. Instrum., 46,
474 - 480 (1975).

302. Dynes R. C. and T. A. Fulton. Supercurrent density distribution
in Josephson junctions. Phys. Rev., B3, 30 15 — 30 23 (1971).

303. Dziuba R. F., B. F. Field, and T. F. Finnegan. Cryogenic voltage
comparator system for 2e/h measurements. IEEE Trans• Instrum .
Meas., IM-23, 264 - 267 (1974).

304. Eck R. E., D. J. Scalapino, and B. N. Taylor. Self-detection of the
ac Josephson current. Phys .Rev • Lett., 13, 15 — 18 (1964a).

305. Eck R. E., D. J. Scalapino, and B. N. Taylor. Tunnel junction rf
modes driven by the ac Josephson current. LT 9, part A.

415 - 420 (1964b).

306. Ehnolm G. J., J. K. Soini, and T. Wiik. Thin film SQUIDs using
superconducting tunnel junctions. LT 14,4, 234 — 237 (1975).

307. Eilenberger G. Transformation of Gor’kov equation for type II super-
conductors into transport-like equations. Z. Phys. 214, 195 — 213
(1968).

308. Eldridge J. M. and J. Matisoo. Measurement of tunnel current densi-
ty in a inetal-oxide-metal system as a function of oxide thickness.
LT 12, 427 - 428 (1970).
309. Eldridge J. M. and J. Matisoo. Fabrication of variable current density
Josephson junctions. U.S. Patent No. 3. 816, 173,June 11, 1974.

310. Элиашберг Г.М. - ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 1005.

311. Элиашберг Г.М. - Письма ЖЭТФ, 1970, т. 11, с. 186.

312. Элиашберг Г.М. - ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 1254.

313. Emmanuel A., G. В. Donaldson, W. Т. Band, and D. Dew-Hughes.
Barriers formation in lead-based tunnel junctions studied by surface
techniques. ASC 74, 763 - 765 (1974).

314. Erne S. N., частное сообщение (1978a).

315. Erne S. N. On the theory of the resistive-SQUID-thermometer. In
Proceedings of the 5th International Conference on Noise in Physi-
cal System (D. Wolf, Ed.)$ Springer, Berlin, Heidelberg, New York,
1978b, pp. 260 - 265.

316. Erne S. N. and H. Liibbig. Dynamics of flux transitions in the SQUID
for the hysteretic case. IC-SQUID 76, 579 — 585 (1976).

317. Erne S. N. and H. Liibbig, частное сообщение, 1979

318. Erne S. N. and H. Liibbig. A solution of the Werthamer equation for
superconducting tunneling junctions at vanishing temperature (T = 0).
J. Appl. Phys., 51, 4927 - 4929 (1980a).

319. Erne S. N. and H. Liibbig. Influence of self-coupling in small Joseph-
son tunnel junction on the lower threshold of the hysteretic I-V
characteristic. ASC 80 (1980b).

3 20. Erne S. N. and H. Luther. Anomalous behavior of the rf-SQUID in
the non-hysteretic case: de flux dependence of the output signal
with period (fo/2. LT15, 1208 - 1209 (1978).

321. Erne S. N. and R. D. Parmentier. Microwave oscillators based on
the resonant propagation of fluxons in long Josephson junctions.
J. Appl.Phys., 51, 5025 - 2029 (1980.

322. Erne S. N. and G. L. Romani, частное сообщение, 1980.

323. Erne S. N., H. D. Hahlbohm and H. Liibbig. Theory of rf-biased
superconducting quantum interference device for nonhysteretic regime.
J. Appl. Phys., 47, 5440 - 5442 (1976).

324. Esposito F. Computation of V-I characteristecs of Josephson junctions in the
presence of fluctuations. Laboratorio diCibernetica CNR, Arco
Felice, Italy, Internal Report LC78<April 23, 1978.

3 25. Fack H. and V. Kose .Maximal output power of point-contact Joseph-
son junctions. J. Appl. Phys., 42, 322 — 323 (1971).
326. Falco С. М. Phase-space of a driven, damped pendulum (Josephson
weaklink). Am .J. Phys., 44, 733 - 740 (1976).

327. Falco С. M. and W. H. Parker. Operating Characteristics of thin
film r.f. biased SQUID’s J. Appl. Phys., 46, 3238 - 3243 (1975).

328. Falco С. M., W. H. Parker, and S. E. Trullinger. Observation of a
phase-modulated quasi-particle current in superconducting weak links.

Phys .Rev. Lett., 31,933 — 936 (1973). Erratum. Phys . Rev . Lett
31, 1476 (1973).

329. Falco С. M., W. H. Parker, S. E. Trullinger, and P.K. Hansma.
Effect of thermal noise on current-voltage characteristics of Joseph-
son junctions. Phys. Rev., B10, 1865 — 1873 (1974).

330. Faraci G., G. Giaquinta, and N. A. Mancini. Superconducting tun-
nel junctions with a nonconventional insulator. Phys. Lett., 30A,
400 - 401 (1969).

331. Faris S. M. Loop decoder for Josephson memory arrays. IEEE J.

Sol. State Circ., SC-14, 699 - 707 (1979).

332. Faris S. M. and A. Davidson. Josephson edge detector, a novel
switching element. IEEE Trans. Mag., MAG-15, 416 — 419 (1979).

333. Feldman M. J. Theory of the unbiased Josephson junction paramet-
ric amplifier. Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley
(1975).

334. Feldman M. J. The thermally saturated SUPARAMP. J* Appl Phys.,
48, 1301 - 1310 (1977).

335. F eldman M. J., P. T. Parrish, and R. Y. Chiao. Parametric amplifi-
cation by unbiased Josephson junctions. J. Appl. Phys., 46,
1031 - 4042 (1975).

336. Ferrell R. A. and R. EZ. Prange. Self-field limiting of Josephson
tunneling of superconducting electron pairs. Phys. Rev. Lett., 10,
479 - 481 (1963)

337. Fetter A. L. and M. J. Stephen., Fluctuations in a Josephson junc-
tion. Phys. Rev., 168, 475 - 480 (1968).

338. Feuchtwang T. E. Tunneling theory without the transfer Hamilto-
nian formalism. I. Phys .Rev., B10, 4121 — 4134 (1974a).

339. Feuchtwang T. E. Tunneling theory without the transfer Hamilto-
nian lormalism. II. Resonant and inelastic tunneling across a
junction of finite width. Phys. Rev., ВЮ, 4135 — 4150 (1974b).
340. Feuchtwang Т. Е. Theory of tunneling without transfer Hamiltonian:
Relation between continuum and discrete formalisms, and equivalen-
ce with elementary theory for .noninteracting systems. Phys. Rev .,
В12, 3979 - 3983 (1975).

341. Feuchtwang T. E. Tunneling theory without the transfer Hamiltonian
formalism. IV. The abrupt (zero-width) three-dimensional junction.
Phys. Rev., B13, 517 - 530 (1976). Errata. Phys. Rev., B13,
3665 (1976).

342. Feuer M. D., D. E. Prober, and J. W. Cogdell. Fabrication of sub-
micron Josephson microbridges using optical projection lithography
and liftoff technique. FTSE, 317 - 321 (1978).

343. Feynman R. P., R. B. Leighton, and VI. Sands.The Schrodinger
equation in a classical context: A seminar on superconductivity.
In The Feynman Lectures on Physics. Vol.HI, Addison-Wesley,
1965, chap. 21.

344. Finnegan T.F. Versatile mecrowave integrated circuit holder for
thin film superconducting devices.]. Phys . E: Sci’. Instrum., 13,
49 - 52 (1980).

345. Finnegan T.F . and S. Wahlsten. Observation of coherent microwave
radiation emitted by coupled Josephson junctions. Appl. Phys.

Lett., 21, 541 - 544 (1972).

346. Finnegan T. F. and S. Wahlsten. Electromagnetic properties of
small .Josephson junctions coupled to microstrip resonators .Physi-
ca, 948,219 - 222 (1978).

347. Finnegan T. F., A. Denestein, and D. N . Langenberg. AC-Joseph-
son effect determination of e/h\ A standard of electrochemical poten-
tial . Phys. Rev., B4, 1487 - 1522 (1971).

348. Finnegan T. F., L. B. Holdeman, and S. Wahlsten. Microwave phe-
nomena on thin film Josephson junctions coupled to a contiguous
microstrip resonator. ASC 76, 392 — 395 (1976).

349. Finnegan T. F ., J. Wilson, and J. Toots. Interactions in small sys-
tem of coupled Josephson junction, at microwave frequencies,
DEJJ, 199 - 205 (1973).

350. Finnegan T. F., J. Wilson, and J. Foots. Coupling between Joseph-
son junctions and microstriplines. ASC 74, 821 — 824 (1974).

351. Finnegan T. FL, J. Wilson, and J. Toots. High frequency properties
of stable Nb-Nb oxide-Pb Josephson tunnel junctions. IC-SQUID
76, 381 - 394 (1976).
352. Fiske М. D. Temperature and magnetic field dependence of the
Josephson tunneling current. Rev. Mod. Phys 36, 221 — 222 (1964).

353. Fogel M. B., S. EL Trullinger, A.R.Bishop, and J.A. Krumhansl.
Classical particle-like behavior of sine-Gordon solitons in scatte-
ring potentials and applied fields. Phys. Rev. Lett., 36,
1411 - 1414 (1976).

354. Fogel M. B., S. E. Trullinger, A. R. Bishop, and J. A. Krumhansl.
Dynamics of sine-Gordon Solitons in the presence of perturbations.
Phys.Rev., B15, 1578 - 1592 (1977).

355. Folens G., K. Schwidtal, and Y. Bruynseraede. Study of superconduc-
ting proximity effect in the aluminium-lead system by electron
tunnelling. Thin Solid Films, 34, 255 — 258 (1976).

356. Forgacs R. L. and A. Warnick. Lock-on magnetometer utilizing a
superconducting sensor. IEEE Trans. Instrum. Meas., IM-15,
113 - 120 (1966).

357. Forgacs R. L. and A. Warnick. Digital-analog magnetometer utili-
zing superconducting sensor. Rev. Sci. Instrum., 38, 214 — 220
(1967).

358. Fu C. Y. and T. Van Duzer. Thermally cyclable lead-alloy Joseph-
son junctions. Bull .Am • Phys. Soc ., 21, 339 (1976).

359. Fujita T. S. Kosaka, T. Ohtsuka, and Y. Onodera. Fabrication and
performance of NbN thin film planar SQUIDs. ASC 74, 739 — 742
(1974).

360. Fulde P. Tunneling density of states for a superconductor carrying
a current. Phys. Rev., A137, 783 - 787 (1965).

361. Fulde P. and K. Maki . Gapless superconductivity induced by metallic
contacts. Phys .Rev. Lett., 15,675 — 677 (1965).

362. Fulton T. A . Punchthrough and the tunneling cryotron . Appl. Phys .
Lett., 19, 311 - 313 (1971).

363. Fulton T. A. Externally shunted Josephson junctions. Phys. Rev.,
B7, 1189 - 1193 (1973).

364. Fulton T. A. Equivalent circuits and analogs of the Josephson ef-
fect. NASI 76, 125 - 187 (1976).

365. Fulton T. A. and L. N. Dunkleberger. Experimental flux shuttle.
Appl. Phys .Lett., 22, 232 - 233 (1973).

366. Fulton T. A. and L. N. Dunkleberger. Origin of hysteresis in the
l-V curves of point-contact junctions. J. Appl. Phys., 45,
2283 - 2285 (1974a).
367. Fulton Т. A. and L. N. Dunkleberger. Lifetime of the zero-voltage
state in Josephson tunnel junctions. Phys • Rev „ B9, 4760 —4768
(1974b).

368. FultonT.A. and R. C . Dynes . Current-phase relations in supercon-
ducting bridges .Phys .Rev. Lett., 25, 794 - 797 (1970).

369. Fulton T. A. and R. C. Dynes . Switching to zero voltage in Joseph-
son tunnel junctions. Soled State Comm., 9, 1069 — 1073 (1971).

370. Fulton T. A. and R. C. Dynes . Single vortex propagation in Joseph-
son tunnel junctions. Solid State Comm., 12, 57 — 61, (1973).

37 1. Fulton T. A. and D . E. McCumber. DC Josephson effect for stoong-
coupling superconductors. Phys. Rev., 175, 585 — 586 (1968).

372. Fulton T. A., L. N. Dunkleberger, and R. C. Dynes. Quantum in-
terference properties of double Josephson junctions. Phys. Rev.,
B6, 855 - 875 (1972).

373. Fulton T. A., R. C. Dynes, and P. W. Anderson.The flux shuttle .
A Josephson junction shift register employing single flux quanta.
Proc. IEEE, 61, 28 - 35 (1973).

374. Fulton T. A., J. H. Magerlein, and L. N. Dunkleberger. A. Josephson
logic design employing current-switched junctions. ASC 76,
56 - 58 (1976).

375. Галайко В.П., Свидзинский A.B., Слюсарев В.A. - ЖЭТФ, 1969,
т. 56, с. 835.

376. Galfo С. Н., L.-K. Wang, and В. S. Deaver, Jr. Properties of varia-
ble thickness bridges on GaAs substrates. FTSE, 349 — 353 (1978).

377. Галкин А.А. и др. - Писъма ЖЭТФ, 1968, т. 8, с. 521.

378. Галкин А.А. и др. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 651.

379. Garno J.P. Oxidation of lead tunnel barriers in a humidity-control-
led oxygen-regulated atmosphere. J. Appl. Phys. 48, 4627 — 4629
(1977).

380. Gheewala T.R. Josephson logic circuits based on nonlinear current
injection in interferometer device. Appl. Phys. Lett., 33,
781 - 783 (1978).

381. Gheewala T. R. A 30-ps Josephson current injection logic (CIL).
IEEE J. Solid State Cir., SC-14, 787 - 793 (1979).

382. Gheewala T. R. Design of 2,5-micrometer Josephson current injec-
tion logic (CIL). IBM J. Res. Develop., 24, 130 - 142 (1980).

383. Giaever I. Energy gap in superconductors measured by electron
tunneling. Phys. Rev. Lett., 5, 147 — 148 (1960a).
384. Giaever I. Electron tunneling between two superconductors . Phys*
Rev. Lett., 5, 464 - 466 (1960b).

385. Giaever I. Detection of the ac Josephson effect. Phys. Rev. Lett.,
22, 904 -906 (1965).

386. Giaever I. Photosensitive tunneling and superconductivity. Phys.

Rev. Lett., 20, 1286 - 1289 (1968).

387. Giaever I. and K. Megerle. Study of superconductors by electron
tunneling. Phys. Rev., 122, 1101 - 1111(1961).

388. Giaever I. and K. Megerle. The superconducting tunnel junction
as an active device. IRE Trans .Electron Devices, ED-9,
459 - 461 (1962).

389. Giaever I. and H. R. Zeller. Subharmonic gap structure in super-
conducting tunnel junctions. ICSS, 455 — 461 (1969a).

390. Giaever I. and H. R. Zeller. Tunneling into and through evaporated
semiconducting films. J. Vac. Sci. Tech., 6, 502 — 508 (1969b).

391. Giaever I. and H. R. Zeller. Subharmonic structure in superconduc-
ting tunneling. Phys. Rev., B1, 4278 — 4288 (1970).

392. Giffard R. P., R. A. Webb, and J. C. Wheatley. Principles and methods
of low-frequency electrical and magnetic measurements using an
rf-biased point-contact superconducting device. J. Low Temp. Phys.,
6, 533 -611 (1972).

393. Gilabert A. Effect de proximite entre un metal normal et un supracon-
ducteur. Ann. Phys., 2, 203 - 252 (1977).

394. Gilabert A., J. P. Romagnan, and E. Guyon . Determination of the
energy gap of a superconducting tin-lead sandwich by electron tun-
neling. Solid State Comm., 9, 1295 - 1297 (1971).

395. Gilabert A., J. P. Romagnan, and E. Guyon. Tunneling and Joseph-
son experiments in normalsuperconducting sandwiches. LT 13, 3,
312 - 315 (1972).

396. Gilabert A., C. Van Haesendonck, L. Van den Dries, and Y. Bruynser-
aede. Temperature dependence of the maximum d.c. Josephson
current in superconducting proximity junctions. Solid State Comm.,
31, 109 - 111 (1979).

397. Гинзбург В.Л. - ДАН СССР, 1958, т. 118, с. 464.

398. Гинзбург В.Л. - ЖЭТФ, 1962, т. 42, с. 299.

399. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. - ЖЭТФ, 1950, т. 20, с. 1064.

400. Goldman А. М. Persistent currents and flux quantization in super-
conducting rings interrupted by Josephson junctions. LT 9, part A,
421 - 433 (1964).
401. Goldman А. М. Macroscopic quantum effects in superconducting rings
interrupted by Josephson junctions. Ph. D. Thesis, Stanford Univer-
sity, Stanford (1965).

402. Goldman A. M. and P. J. Kreisman. Meissner effect and vortex
penetration in Josephson junctions. Phys. Rev., 164, 544 — 547
(1967).

403. Goldman A. M., P. J. Kreisman, and D. J. Scalapino. Metastable cur-
rent-carrying states of weakly coupled superconductors . Phys,
Rev. Lett., 15, 495 - 499 (1965).

404. Головашкин А.И., Лыков A.H. - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 214.

405. Головашкин А.И. и др. - Письма ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 565.

406. Golovashkin A. I., A. N. Lykov, V. I. Novikov, and В. G. Zhurkin.

AC Josephson effect in Nb3Sn thin film bridges. J. Phys. Lett.,
40, L77 - L79 (1979).

407. Голуб A.A. - ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 341.

408. Goodall F., F. Bale. S. Rudner, T. Claeson, and T. F. Finnegan.
Parametric amplification in Josephson tunnel junction arrays at
33 GHz. ASC 78, 458 - 461 (1978).

409. Goodkind J. M. and D. L. Stolfa. The superconducting magnetic flux
detector. Rev .Sci .Instrum 41, 799 — 807 (1970).

410. Goodman W. L. and B. S. Deaver, Jr. Detailed measurements of the
quantized flux states of hollow superconducting cylinders. Phys.
Rev. Lett., 24, 870 - 873 (1970).

411. Goodman W. L., V.W. Hesterman, L. H. Rorden, and W. S. Goree.
Superconducting instrument systems. Proc. IEEE, 61, 20 — 27
(1973).

412. Горьков Л.П. - ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 735.

413. Горьков Л.П. - ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 1918.

414. Горьков Л.П., Элиашберг Г.М. - ЖЭТФ, 1968, т. 54, с. 612.

415. Gor’kov L. Р. and G. М. Eliashberg. Dynamical properties of gap-

less superconductors. J. Low Temp. Phys., 2, 161 — 172 (1970).

416. Gorter C. J. and H. B. G. Casimir. On Supraconductivity. Physica,
1, 306 - 320 (1934).

417. Gou Y. S. and R.I. Gayley. Self-resonant modes in high-Q-Josephson
tunnel junctions. Phys. Rev., В10, 4584 — 4592 (1974).

418. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, ряоов
и произведений. - 5 изд. - М.: Наука, 1941.
419. Graeffe R. and T. Wiik. Preparation o£ Josephson junctions by plasma
oxidation of Nb. J. Appl. Phys., 42, 2146 - 2147(1971).

420. Gray К. E. ISS depth profile analysis of anodized niobium. Appl.
Phys. Lett., 27, 462 - 464 (1975).

421. Grebe К., I. Ames, and A. Ginzberg. Making of deposited thin films
by means of an aluminiumphotoresist composite. J. Vac. Sci. Tech.,
11, 458 - 460 (1974).

422. Greenspoon S. and H. J. T. Smith. Study of the superconducting pro-
ximity effects by Josephson tunneling. Gan. J. Phys., 49, 1350 — 1360
(1971).

423. Greger-Hansen P. E. and M. T. Levinsen. Normal-state resistance
as the determining parameter in the behaviour of Dayem bridges
with sinusoidal current-phase relations. Phys . Rev. Lett., 27,
847 - 849 (1971).

424. Greger-Hansen P. E. and G. R. Pickett. Subharmonic energy gap
structure and gap-enhancement by the Josephson radiation in small
Dayem bridges DEJJ, 145 - 152 (1973).

425. Greger-Hansen P. E., M. T. Levinsen, and G. F. Pedersen. A sinu-
soidal current-phase relation for superconducting thin-film micro-
bridges. J. Low Temp. Phys., 7, 99 — 117 (1972).

426. Greger-Hansen P. E., E. Hendriks, M. T. Levinsen, and G. F. Pe-
dersen. Equivalent circuits for small Dayem bridges. ASC 72,
597 - 607 (1972).

427. Greiner J. H. Josephson tunneling barriers by rf sputter etching in
an oxygen plasma .J. Appl. Phys., 42, 5151 — 5155 (1971).

428. Greiner J. H. Oxidation of lead films by sputter etching in an oxy-
gen plasma. J. Appl. Phys., 45, 32 — 37 (1974).

429. Greiner J. H.,S. Basavaiah, and I. Ames. Fabrication of experimen-
tal tunneling circuits. J. Vac . Sci. Tech., 11, 81 — 84 (1974).

430. Grella G. and M. Marinaro. Special solutions of the Sine-Gordon
equation in 2 + 1 dimensions. Lett. Nuovo Cimento, 23, 459 — 464
(1978).

431. Grella G. and R. D. Parmentier. Solutions of the Sine-Gordon equa-
tion in 2 + 0 dimensions. Lett. Nuovo Cimento, 25, 294 — 296
(1979).

432. Grimes С. C. and S. Shapiro. Millimeter-wave mixing with Joseph-
son junctions. Phys. Rev., 169, 397 — 406 (1968).

433. Grimes С. С., P. L. Richards, and S. Shapiro. Josephson-effect far-
infrared detector. J. Appl Phys., 39, 3905 — 3912 (1968).
434. Groff R. P. and R. D. Parks. Fluxoid quantization and field indu-
ced depairing in a hollow superconducting microcylinder. Phys, Rev,,
176, 567 - 580 (1968).

435. Губанков B.H., Кошелец В.П., Овсянников Г.А. - Писъма ЖЭТФ,
1975, т.21, с. 489.

436. Gubankov V. N., V . Р. Koshelets, and G. A. Ovsyannikov. Experi-
mental investigation of the microwave-impedance peculiarities of
superconducting thin-film bridges. ASG 76, 228 — 232 (1976a).

437. Губанков B.H., Кошелец В.П., Овсянников Г.А. - ЖЭТФ, 1976,
т. 71, с. 348.

438. Губанков В.Н., Кошелец В.П., Овсянников Г.А. - ЖЭТФ, 1977,
т.73, с. 1435.

439. Gubankov V. N., V. Р. Koshelets, and G. A. Ovsyannikov. Nonequili-
brium phenomena in variable thickness bridges of submicron dimen-
sions. LT 15, 535 - 536 (1978).

440. Губанков B.H. и др. - Писъма ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 292.

441. Губанков В.Н. и др. - ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 2301.

442. Gueret Р. Flux-quantization effects in large inductance loops contai-
ning Josephson junctions. J,Appl,Phys., 44, 1771 — 1773 (1973).

443. Gueret P. Experimental observation of the switching transients re-
sulting from sungle flux quantum transitions in superconducting
Josephson devices. Appl. Phys . Lett,, 426 — 428 (1974a).

444. Gueret P. Storage and detection of a single flux quantum in Joseph-
son junction devices. ASG 74, 751 — 754 (1974 b).

445. Gueret P. A simple theory of resonance amplitudes in Josephson
interferometers. Appl, Phys, Lett,, 35, 889 — 891 (1979).

446. Gueret P., T. 0. Mohr, and P. Wolf. Single flux-quantum memory
cells. ASG 76, 52 - 55 (1976).

447. Gundlach К. H. and J. Kadlec, a.c. Josephson-like effect with linear
periodic current phase relation./. Low Temp, Phys,, 26, 603 — 612
(1977).

448. Gundlach К. H. and J. Kadlec. Resistively shunted Josephson tunnel
junctions. Solid State Comm,, 25, 1149 — 1151 (1978).

449. Guthmann G., J. Maurier, M. Berlin, J. Bok, and A. Libchaber. Dyna-
mic behavior of superconducting microbridges. Phys,Rev,, В11,
1909 - 1913 (1975).

450. Hahlbohm H. D., H. Liibbig, and H. Luther, Possible influence of
the voltage dependence of the Josephson tunnelingcurrent/ [V, <p] on the
corresponding currenUvoltage characteristic. LT 14, 4, 140 — 143 (1975).
451. Hahlbohm Н. D., A. Hoffmann, Н. Liibbig, Н. Luther, and S. Seeck.
Calculation of rf-induced current-voltage characteristics of a measu-
red Josephson tunnel junction. Phys • Status Solidi (a), 13,
607 - 612 (197 2).

452. Haise M. R. and J. C. Taunton. Measurement of the cos q> term in
Josephson tunneling IC-SQUID 76, 171 — 178 (1976).

453. Hamilton C. A. R.F. induced effects in Josephson tunnel junctions.
Ph. D. Thesis, University of Rochester, Rochester (New York)
(1971), не опубликовано»

454. Hamilton C. A. Analog simulation of a Josephson junction. Rev.

Sci. Instrum., 43, 445 — 447 (1972a).

455. Hamilton C. A. Frequency dependence of the Josephson current.

Phys. Rev., B5, 912 - 923 (1972b).

456. Hamilton C. A. and S. Shapiro. RF-induced effects in superconduc-
ting tunnel junctions. Phys .Rev В2, 4494 — 4503 (1970).

457. Hamilton C. A. and S. Shapiro. Experimental demonstration of the
Riedel peak . Phys. Rev. Lett., 26, 426 — 428 (1971).

458. Hansma P. K. Superconducting single-junction interferometer with
small critical currents. J. Appl. Phys., 44, 4191 — 4194 (1973).

459. Hansma P. K. A new method for fabricating niobium oxide barrier
Josephson junctions .J. Appl. Phys ., 45, 1472 — 1473 (1974).

460. Hansma P. K. and G. I. Rochlin. Josephson weak links: Shnnted-
junction and mechanical-model results. J.Appl,Phys., 43,
4721 - 4727 (1972).

46L Hansma P. K., G. I. Rochlin, and J. N. Sweet. Externally shunted
Josephson junctions: Generalized weak links. Phys. Rev., B4,
3003 - 3014 (1971).

462. Harding J. 1. and J. E. Zimmerman. Quantum phase fluctuations in
resistive circuits containing weakly superconducting junctions.
J. Appl. Phys., 41, 1581 - 1588 (1970).

163. Harris E. P. Preparation of superconducting weak links in molyb-
denum films, by ion implanation. ASC 74, 785 — 788 (1974).

464. Harris E. P. Properties of superconducting weak links produced by
ion implantation. J. Vac. Sci. Tech., 12, 1383 — 1386 (1975).

465. Harris E. P. Transition from Josephson behavior to depairing behavi-
or in ion-implanted molybdenum weak links. Solid State Comm.,

20, 449 - 451 (1976).

466. Harris R. E. Cosine and other terms in the Josephson tunneling
current. Phys.Rev., В10, 84 — 94 (1974a).
467. Harris R. E. Comments on the roles of the cosine term and the reacti-
ve part of the quasiparticle term in the Josephson tunneling cur-
rent. ASC 74, 856 - 857 (1974b).

468. Harris R. E, Josephson tunneling current in the presence of a time-
dependent voltage. Phys .Rev v B11, 3329 — 3333 (1975a).

469. Harris R. E. Intrinsic response time of a Josephson tunnel junction.
Phys. Rev., B13, 3818 - 3821 (1976a).

470. Harris R. E. Numerical evaluation of the response of a Josephson
tunnel junction in an arbitrary circuit. J. Appl. Phys%, 48,
5188 - 5190 (1977).

471. Harris R. E. and C. A. Hamilton. Fast superconducting instruments.
FTSE, 448 - 458 (1978).

472. Hartland A., T.J. Witt, D. Reymann, and T. F. Finnegan. An interna-
tional direct comparison of two Josephson-effect voltage standards.
IEEE Trans .Instrum. Meas., IM-27, 470 — 474 (1978),

473. Harvey I. K. A precise low temperature de ratio transformer. Rev.
Sci. Instrum., 43, 1626 - 1629 (1972).

474. Hasselberg L. E., M. T. Levinsen, and M. R. Samuelsen. Theories
of subharmonic gap structures in superconducting junctions. Phys.
Rev., B9, 3757 - 3765 (1974).

475. Hasselberg L. E., M.T. Levinsen, and M.R. Samuelsen . Subharmo-
nic gap structure and subharmonic Josephson steps./. Low Temp.
Phys., 21, 567 - 587 (1975).

476. Hatzakis M., B. J. Canavello, and J. M. Shaw. Single-step optical
lift-off process. IBM J. Res . Develop. 24, 452 — 460 (1980).

477. Hauffe K. Oxidation of Metals. Plenum, New York, 1965.

478. Hauser J. J. Gapless superconductivity induced by the proximity
effect. Phys. Rev., 164, 558 - 565 (1967).

479. Hawkins G. and J. Clarke. Nb’ Nb thin-film Josephson junctions.

J. Appl. Phys., 47, 1616 - 1619 (1976).

480. Henkels W. H. An elementary logic circuit employing superconduc-
ting Josephson tunneling. ASC 74, 860 — 863 (1974).

481. Henkels W. H. and W. W. Webb. Intrinsic fluctuations in the driven
Josephson oscillator. Phys. Rev. Lett. 26, 1164 — 1167 (1971).

482. Henkels W. H. and H. H. Zappe. An experimental 64-bit decoded
Josephson NDRO random access memory. IEEE J. Solid State Cir.,
SC-13, 591 - 599(1978).

483. Herrel D.J.A Josephson tunneling logic adder. ASC 74, 864 — 867
(1974a).
484. Herrel D. J. Femtojoule Josephson tunneling logic gates. IEEE
J .Solid State Cir^ Sc-9, 277 - 282 (1974b).

485. Herrel F. J. An experimental multiplier circuit based on superconduc-
ting Josephson devices. IEEE J. Solid State Cir., SC-10,
360 - 368 (1975).

486. Herrel D. J., P. C. Arnett, and M. Klein. High-performance Joseph-
son interferometer latching logic and power supplies. FTSE,
470 - 478 (1978).

487. Hida K. and Y. Ono. Theory of the cos cp term in the Josephson tun-
neling current. J. Low Temp. Phys., 29, 355 — 367 (1977).

488. Hilsh P. Zumverhalten von Supraletern im kontakt mit Normalleitern.
Z.Phys., 167, 511 - 524 (1962).

489. Hirota R. Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple
collisions of solitons . /. Phys . Soc . (Japan), 33, 1459—1463

(1972).

490. Hirschkoff E. C., 0. G. Symko, and J. C. Wheatley. Magnetization
of dilute Cu-Mn alloys at very low temperatures. Phys. Lett., 33A,
19 - 20 (1970).

491. Hirschkoff E. C., 0. G. Symko, and J. C. Wheatley. Magnetic behavi-
our of dilute Cu(Mn) alloys at very low temperatures. J.Low. Temp.
Phys., 5, 155 - 176 (1971).

492. Hoel L.S., W.H.Keller, J.E.Nordman, and A.C.Scott. Niobium
superconductive tunnel diode integrated circuit arrays. Solid State
Electron., 15, 1167 - 1173 (1972).

493. Hoenig H. E., R. M. Wang, G. R. Rossman, and J. E. Mercereau.
Magnetochemical studies with a new ultrasensitive superconducting
quantum magnetometer. ASC 72, 570 — 574 (1972).

494. Hojgaard Jensen H. and P. E. Lindelof. Comparison between the
resistively shunted Josephson junction model incorporating a volta-
ge-dependent current-phase relation and experiments on supercon-
ducting thin-film microbridges. J. Low Temp. Phys., 23, 469 — 476
(1976).

495. Holdeman L. B., and С. C. Chang. Josephson voltage standards: An
application for cryocoolers ? In Applications of Closed-Cycle Cry-
ocoolers to Small Superconducting Devices (J.E. Zimmerman and
T. M. Flynn, Eds.) N.B.S.,Washington, 1978, pp. 243 — 245.

496. Holdeman L. В., B. F. Field, J. Toots, and С. C. Chang. Prototy-
pe for a commercial Josephson-effect voltage standard. FTSE,
182 - 186 (1978).
497. Hollenorst J. N. and R. P. Giffard. High sensitivity microwave
SQUID. ASC 78, 474 - 477 (1978).

498. Holm R. and W. Meissner. Messungen mit hilfe von flussingem helium
XIII. kontaktwiderstand zwischen supraleitern und nichtsupralei-
teitern. Z . Phys. 74, 715 - 736 (1932).

499. Howard R. E. A refractory lift-off process with applications to high
TC superconducting circuits. Appl .Phys • Lett. 33, 1034 — 1035

(1978).

500. Howard R. E., D. A. Rudman, and M. R. Beasley. Josephson proper-
ties of Nb3Sn/Pb tunnel junction. Appl. Phys • Lett., 33, 671 — 673
(1978).

501. Howard R. E., E. L.Hu, L. D. Jackel, L. A. Fetter, and R. H. Bosworth.
Small area high-currentdensity Josephson junctions. Appl. P^ys.

Lett. 35,879 - 881 ( 1979).

502. Hsiang T. Y. and D. K. Finnemore. Superconducting critical currents
for thick, clean superconductor normal metal-superconductor juncti-
ons. Phys. Rev. B22, 154 - 163 (1980).

503. Hu E. L., L. D. Jackel, and R. W. Epworth. Josephson tunneling
through Ge-Sn barriers. FTSE, 380 — 388 (1978).

504. Hu E. L., L. D. Jackel, R. W. Epworth, and L. A. Fetter. Experi-
ments on Ge-Sn barrier Josephson junctions. ASC 78, 585 — 588
(1978).

505. Huang C. L. and T. Van Duzer. Single-crystal silicon-barrier Joseph-
son junctions. ASC 74, 766 — 769 (1974a).

506. Huang C. L. and T. Van Duzer. Josephson tunneling through locally
thinned silicon wafers. Appl. Phys. Lett., 25, 753 — 756 (1974b).

507. Huebener R. P. and H. L. Watson. Voltage steps in the current-indu-
ced resistive state of thin-film type-I superconductors . Phys. Rev.,
B9, 3725 - 3729 (1974).

508. Hunt T. K. and J. E. Mercereau. Quantum phase correlation in small
superconductors. Phys. Rev. Lett. 18, 551 — 553 (1967).

509. Irie F., K. Hamasaki, and K. Yoshida. Current-steps in large Joseph-
son tunnel junctions. LT 15, 1236 — 1237 (1978).

510. Ishii C. Josephson current through a junction with normal metal
barrier. LT 12, 435 - 436 (1970).

511. Ishii C. Thermodynamical properties of Josephson junction with a
normal metal barrier. Prog. Theor. Phys., 47, 1466 — 1481 (1972).

512. Иванченко Ю.М., Зильберман Л.А. - Письма ЖЭТФ, 1968, т. 8,
с. 189.
513. Иванченко Ю.М., Зильберман Л.А. - ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 2395.

514. Иванченко Ю.М., Свидзинский А.В., Слюсарев В.А. - ЖЭТФ, 1966,
т. 51, с. 194.

515. Ivanov Z. G., М. Yu. Kupriyanov, К. К. Likharev, and О. V. Snigirev.
Boundary conditions for the Usadel equations and properties of
dirty S-N-S sandwiches. LT 15, 556 — 557 (1978).

516. Ивлев Б.И. - ЖЭТФ. 1978, т. 75, с. 1771.

517. Ivlev В. I. Nonequilibrium phenomena in superconductors. Physics
Reviews - Sov. Sci. Rev. A (I. M. Khalatnikov, Ed.), Vol. 1, pp.
85 - 132 (1979).

518. Ивлев Б.И., Элиашберг Г.М. - Письма ЖЭТФ, 1971, т. 13, с. 464.

519. Ivlev В. I., S. G. Lisitsyn, and G. М. Eliashberg. Nonequilibrium
excitations in superconductors in high-frequency fields. J. Low
Temp. Phys., 10, 449 - 468 (1973).

520. Jackel L. D. and R. A. Buhrman. Noise in the rf SQUID. J. Low
Temp. Phys., 19, 201 - 246 (1975).

521. Jackel L. D., R. A. Buhrman, and W. W. Webb. Direct measurement
of current-phase relations in superconducting weak links. Phys. Rev.
BIO, 2782 - 2785 (1974).

522. Jackel L. D., J. Kurkijarvi, J. E. Lukens, and W. W. Webb. Intrinsic
fluctuations in a superconducting ” flux detector” ring closed by
a Josephson junctions: Theory and experiment LT 13, 3, 705 — 708
(1972).

523. Jackel L. D., W. W. Webb, J. E. Lukens, and S. S. Pei. Measurement
of the probability distribution of thermally excited fluxoid quantum
transitions in a superconducting ring closed by a Josephson junc-
tion. Phys. Rev., B9, 115 - 118 (1974).

524. Jackel L. D., J. M. Warlaumont, T. D. Clark, J. C. Brown, R. A. Buhr-
man, and M. T. Levinsen. Superconducting weak-link current-phase
relations. Appl .Phys .Lett., 28, 353 — 355 (1976a).

525. Jackel L. D., W. H. Henkels, J. M. Warlaumont, and R. A. Buhrman.
Current-phase relations as determinants of superconducting thin-
film weak-link I-V characteristics. Appl. Phys. Lett., 29,
214 - 216 (1976b).

526. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. John Wiley, New York,
1967.

527. Jacobson D. A. Ginzburg-Landau equations and the Josephson effect.
Phys. Rev., A138, 1066 - 1070 (1965).
528. Jahn М. Т. and Y. Н. Као. Temperature dependence and microwave
enhancement of the critical current of superconducting microbridges.
J. Low Temp. Phys., 13, 175 - 183 (1973).

529. Jahnke E. and F. Emde. Tables of Functions. 4th ed., Dover, New
York, 1945.

530. Jaklevic R. C., J. Lambe, A. H. Silver, and J. E. Mercereau. Quan-
tum interference effects in Josephson tunneling. Phys. Rev. Lett.,
12, 159 - 160 (1964a).

531. Jaklevic R. C., J. J. Lambe, A.H. Silver, and J. E. Mercereau. Quan-
tum interference from a static vector potential in a field-free region.
Phys .Rev. Lett., 12, 274 - 275 (1964b).

532. Jaklevic R. C., J. Lambe, J. E. Mercereau, and A. H. Silver. Macro-
scopic quantum interference in superconductors. Phys. Rev., A140,
1628 - 1637 (1965).

533. Janik R., L. Morelli, N. C. Cirillo, Jr.,$J. N. Lechevet, W. D. Gre-
gory, and W. L. Goodman. Effects of laser irradiation on weak link
devices. ASC 74, 687 - 689 (1974).

534. Janocko M. A., J. R. Gavaler, and С. K. Jones. Observation of micro-
wave induced steps in the I-V characteristics of Mo-Re Dayem brid-
ges at temperatures above 12 K. ASC 72, 608 — 612 (1972).

535'. Janocko M. A., J. R. Gavaler, and С. K. Jones. Observation of the
Josephson effect in Nb3Ge Dayem bridges. ASC 74> 880 — 882
(1974).

536. Jillie D. W., J. E. Lukens, and Y. H. Kao. Observation of microwave
syncronization of thin film nicrobridge arrays. ASC74,
671 -673 (1974).

537. Jillie D. W., J. E. Lukens, and Y. H. Kao.Voltage locking in two
coupled microbridges Josephson junctions. ASC 76, 578 — 580
(1976).

538. Johnson W. J. Nonlinear wave propagation on superconducting tun-
neling junctions. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison
(1968).

539. Johnson W. J. and A. Barone. Effect of junction geometry on maxi-
mum zero-voltage Josephson current. Ji. Appl. Phys., 41,
2958 - 2960 (1970).

540. Josephowicz J. and H. J. T. Smith.Tunneling in junctions with CdS
barriers. J. Appl. Phys., 44, 2813 - 2815 (1973).
541. Josephson В. D. The relativistic shift in the Mossbauer effect and
coupled superconductors. Dissertation for the annual election of
fellows, Trinity College, Cambridge (1962a).

542. Josephson B. D. Possible new effects in superconductive tunnel-
ing. Phys • Lett*, 1» 251 — 253 (1962b).

543. Josephson B. D. Coupled superconductors. Rev *Mod • Phys*, 36,
216 - 220 (1964).

544. Josephson B. D. Supercurrents through barriers. Adv* Phys*, 14,
419 - 451 (1965).

545. Josephson B. D. Superconducting barriers: The plasma resonance
and related properties. In Quantum Fluids (D. F. Brewer, Ed.). North
Holland, Amsterdam, 1966, pp. 174 — 179.

546. Josephson B. D. Weakly cfbupled superconductors. In Superconduc-
tivity (R. D. Parks, Ed.). Vol. 1, Marcel Dekker, New York, 1969,
chap. 9, pp. 423 — 448.

547. Josephson B. D. The discovery of tunneling supercurrents. Rev* Mod*
Phys*, 46, 251 - 254 (1974).

548. Jutzi W. An inductively coupled memory cell for NDRO with two
Josephson junctions. Cryogenics, 16, 81 - 88 (1976).

549. Jutzi W., T. 0. Mohr, M. Gasser, and H. P. Gschwind. Josephson
junctions with 1 ц m dimensions and with picosecond switching
times. Electron* Lett*, 8, 589 — 591 (1972).

550. Kadanoff L. P. and G. Bayrh. Quantum Statistical Mechanics * Benja-
min, New York, 1962.

551. Kadlec J. and К. H. Gundlach. Current versus voltage source model
in Josephson effect. Phys* Lett*, 63A, 149 — 150 (1977).

552. Kamper R. A. and M. Simmonds. Broadband superconducting quantum
magnetometer. Appl* Phys * Lett *, 20, 270 — 272 (1972).

553. Калашчик Л.И. и др. - ЖТФ, 1972, т. 42, с. 1296.

554. Kamper R. A. and J. Е. Zimmerman.Noise thermometry with the
Josephson effect. J* Appl* Phys*, 42, 132 — 136 (1971).

555. Kanter H. A novel parametric negative-resistance effect in Joseph-
son junctions. Appl* Phys* Lett*, 23, 350 — 352 (1973a).

556. Kanter H. Josephson junction mixer using an external local oscil-
lator. DEJJ, 255 - 262 (1973b).

557. Kanter H. Low noise parametric upconversion with a self-pumped
Josephson junction. ]* Appl* Phys *, 46, 2261 — 2263 (1975).

558. Kanter H. and A. H. Silver. Self-pumped Josephson parametric am-
plification. Appl* Phys * Lett*, 19, 515 — 517 (1971).
559. Kanter Н. and F. L. Vernon, Jr. Shot noise in Josephson point con-
tacts. Appl. Phys • Lett., 16, 115 — 117 (1970a).

560. Kanter H. and F. L. Vernon, Jr.Noise voltage in Josephson juncti-
ons. Phys. Lett., 32A, 155 - 156 (1970b).

561. Kanter H. and F. L. Vernon, Jr.Current noise in Josephson point
contacts. Phys .Rev. Lett., 25, 588 — 590 (1970 c).

562. Kanter H. and F. L. Vernon. High-frequency response of Josephson
point contacts. J. Appl. Phys., 43, 3174 — 3183 (1972).

563. Kariniemi V., J. Ahopelto, P. J. Karp, and T. E. Katila. The fetal
magnetocardiogram. J. Perinat. Med., 2, 214 — 216 (1974).

564. Karulkar P. C. and J. E. Nordman. Fabrication of Nb-NbO^-Pb Jo-
sephson tunnel junctions using rf glow discharge oxidation. J. Appl.
Phys., 50, 7051 - 7059 (1979).

565. Karulkar P. C. and J. E. Nordman. Study of thin Nb oxide films.,
J. Vac. Sci. Technol. Yl, 462 - 465 (1980).

566. Kasatkin A. L. and A. F. Volkov, Theory of the Josephson effect
in Notarys Mercereau bridges, Report on ASC 74 (1974), не опубли-
ковано.

567. Kautz R. L. On a proposed Josephson-effect voltage standard at
zero current bias. Appl. Phys. Lett., 36, 386 — 388 (1980).

568. Keener J. P. and D. W. McLaughlin, A Green’s function for a linear
equation associated with solitons. J. Math. Phys., 14, 2008- 2013
(1977).

569. Keller W. H. and J. E. Nordman. Sputtered thin-film superconductor-
semiconductor tunnel junctions. J. Appl.Phys., 42, 137 (1971)
(abstract only).

570. Keller W.H. and J.E.Nordman. Niobium thin-film Josephson junctions
using a semiconductor barrier. J. Appl. Phys., 44 , 47 32 — 47 38 (1973).

571. Ketchen M. B. and R. F. Voss. An ultra-low-noise tunnel junction
d. c.SQUID. Appl. Phys. Lett. 35, 812 - 815 (1979).

572. Ketchen M. B. , J. Clarke, and W. M. Goubau. Present status and
future of the d. c. SQUID. FTSE., 22 - 27 (1978).

573. Ketchen M. B., W. M. Goubau, J. Clarke, and G. B. Donaldson.
Superconducting thin-film gradiometer. J. Appl. Phys., 49,
4111 —4116 (1978).

574. Kirschman R. K. and J. E. Mercereau. Current noise in weak super-
conductors. Phys . Lett 35A, 177 — 178 (1971).

575. Kirschman R. К., H. A. Notarys, and J. E. Mercereau. Advances in
superconducting quantum electronic microcircuit fabrication. ASC
74, 778 -781 (1974).

576. Kirschman R. K., J. A. Hutchby, J. W. Burgess, R. P. McNamara,
and H. A. Notarys. Comparative studies of ion-implant Josephson
effect structures. ASC 76, 731 — 734 (1976).

577. Klapwijk T. M. and J.E. Mooij. Extension of the operating range
of superconducting microbridges .ASC 74, 858 — 859 (1974).

578. Klapwijk T. M. and T. B. Veenstra. Superconducting Al microbrid-
ges with reduced self-heating. Phys* Lett., 47A, 351 — 352 (1974).

579. Klapwijk T. M., M. Sepers, and J. E. Mooij. Regimes in the behavior
of superconducting microbridges . J. Low Temp . Phys., 27,
801 - 835 (1977)

580. Klapwijk T. M., J. N. Van den Bergh, and J. E. Mooij. Radiation-
stimulated superconductivity. J. Low Temp. Phys., 26, 385 — 405
(1977).

581 . Klein M. and D. J. Herrel. Sub-100 ps experimental Josephson
interferometer logic gates. IEEE J. Solid State Cir., SC-13,
577 - 583 (1978).

582. Kleinsasser A. W. and R. A. Buhrman. High-quality submicron nio-
bium tunnel junctions with reactive ion-beam oxidation. Appl. Phys.
Lett., 37, 841 - 843 (1980).

583. Koch R. and J. Clarke. Small area tunnel junction d.c. SQUID.

Bull. Amer. Phys. Soc., 24, 264 (1979).

584. Kofoed B. and K. Saermak. A note on superconducting weak-links.
Phys. Lett., 49A, 91 - 92 (1974).

585. Kose V. Recent advances in Josephson voltage standards. IEEE
Trans. Instrum. Meas. IM-25, 483 — 489 (1976).

586. Kose V. E. and D. B. Sullivan. Influce of external noise on microwa-
ve-induced Josephson steps. J• Appl. Phys., 41, 169 — 174 (1970).

587. Kramer L. and A. Baratoff. Lossless and dissipative current-carrying
states in quasi one-dimensional superconductors. Phys. Rev. Lett.,
38, 518 - 521 (1977).

588. Kramer L. and R. J. Watts-Tobin. Theory of dissipative current-car-
rying states in superconducting filaments. Phys. Rev. Lett., 40,
1041 - 1044 (1978).

589. Kramers H. Brownian motion in a field of force and the diffusion
model of chemical reactions.Physica, 7, 284 — 304 (1940).

590. Краснополин Н.Ю., Хайкин M.C. - Писъма ЖЭТФ, 1967, т. 6, с. 129.

591. Kubas chewski О. and В. Е. Hopkins. Oxidation of Metals and Alloys.
Butterworths, London, 1962.
592. Кулик И.О. - Письма ЖЭТФ, 1965, т. 2, с. 134.

593. Кулик И.О. - ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 1211.

594. Кулик И.О. - ЖЭТФ, 1966, т. 50, с. 799.

595. Кулик И.О. - ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1952.

596. Кулик И.О. - ЖТФ, 1967, т. 37, с. 157.

597. Кулик И.О., Омельянчук А.Н. ~ ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 2139.

598. Кулик И.О., Омельянчук А.Н. - Письма ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 216.

599. Кулик И.О., Омельянчук А.Н. - ФНТ, 1977, т. 3, с. 945.

600. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих
туннельных структурах. - М.: Наука, 1970.

601. Kupriyanov М. Yuo, К. К. Likharev, and L. A. Maslova. The Js(q>)
relationship, Abrikosov vortices, and Josephson vortices in variable
thickness bridges. LT 14, 4 10 4 - 107 (1975).

602. Курдюмов H.H. - Письма ЖЭТФ, 1976, т. 2, с. 973.

603. Kurkijarvi J. Intrinsic fluctuations in a superconducting ring closed
with a Josephson junction.Phys. Rev., B6, 832 — 835 (1972).

604. Kurkijarvi J. Noise in the superconducting quantum flux detector.

J. Appl. Phys., 44, 3729 ~ 3733 (1973).

605. Kurkijarvi J. and V. Ambegaokar. Numerical calculations of thermal
noise-voltage in a Josephson junction of finite capacitance. Phys.
Lett., 31A, 314 - 315 (1970).

606. Kurkijarvi J. and W.W. Webb. Thermal fluctuation noise in a superconduc-
ting flux detector. ASC 72, 581 - 587 (1972).

607. Kuroda К., T. Waho, and A. Ishida Ellipsometric study on rf-plasma
oxidized tunnel barriers for In/Pb/Au-alloy Josephson junctions.
J. Appl. Phys., 51, 4513 - 4517 (1980).

608. Kuznetsov P. I., R. L. Stratonovich, and V. I. Tikhonov .Non-line ar
Transformations of Stochastic Processes . 1st English ed., Perga-
mon, Oxford, 1965.

609. Lacquaniti V., G. Marullo, and R. Vaglio. A. C. properties of
Nb-Nb^O^-Pb Josephson tunnel junctions. ASC 78, 593 ~ 594 (1978).

610. Lahiri S. K. Stress relief and hillock formation in thin lead film.

J. Appl. Phys., 41, 3172 - 3176 (1970).

611. Lahiri S. K. Metallurgical considerations with respect to electrodes
and interconnection lines for Josephson tunneling circuits J. Vac.
Sci. Tech., 13, 148 - 151 (1976).

612. Lahiri S. K. and S. Basavaiah. Lead alloy Josephson tunneling gates
with improved stability upon thermal cycling. J. Appl. Phys., 49,
2880 ~ 2884 (1978).
613. Lahiri S. К. and О. C. Wells. Reversible hillock growth in thin
films. Лрр/. Phys. Lett., 15, 324 - 325 (1969).

614. Lahiri S. K., S. Basavaiah, and C. J. Kircher. Lead alloy Josephson
junctions with Pb-Bi counterelectrodes. Appl. Phys. Lett., 36,
334 - 336 (1980).

615. Laibowitz R. B. Properties of Nb Josephson microbridges. Appl.
Phys . Lett v 23 , 407 - 408 (1973).

616 , Laibowitz R. B. and J. J. Cuomo. Tunneling sandwich structures using
single-crystal niobium films./. Appl. Phys41, 2748 — 2750

(1970).

617. Laibowitz R. B. and A. F. Mayadas. Josephson junctions with NbAl
composite electrodes.Tpp/. Phys. Lett., 20, 254 — 256 (1972).

618. Laibowitz R . В., С. C. Tsuei, J. C. Cuomo, J. F. Ziegler, and
M.Hatzakis. Fabrication and Josephson properties of Nb3Ge. ASC
74, 883 - 884 (1974).

619. Laibowtz R ~ В., A. N. Broers, J. M. Viggiano, J. J. Cuomo, and
W. W . Molzen . Fabrication and properties of superconducting Nb
nanostripes . Bull. Am. Phys. Soc., 23, 357 (1978).

620oLamb G. L., Jr. Analytical descriptions of ultrashort optical pul-
se propagation in a resonant medium. Rev. Mod. Phys., 43/
99 - 124 (1971).

621. Lambe J., A. Ho Silver, J. E. Mercereau, and R. C. Jaklevico Micro-
wave observation of quantum interference effects in superconductors.
Phys .Lett., 11, 16 - 17 (1964).

622. Landman B. S. Calculation of threshold curves for Josephson quan-
tum interference devices. ASC 76, 871 — 874 (1976).

623. Langenberg De N. Physical interpretation of the cos <p term and im-
plication for detectors . DEJJ, 35 — 40 (1973).

624c Langenberg, D. N. Nonequilibrium phenomena in superconductivityo
LT 14, 223 - 263 (1975).

625. Langenberg D. N., W. H . Parker , and B. N. Taylor . Experimental
test of the Josephson frequency-voltage relation. Phys .Rev
150, 186 - 188 (1966a).

626. Langenberg D. N., W. H. Parker, and B. N. Taylor- ”Non-Joseph-
son” radiation from Josephson tunnel junctions e Phys. Lett* 22,
259 - 260 (1966 b).

627. Langenberg D. N., D. J. Scalapino, and B. N. Taylor. Josephson-
type superconducting tunnel junctions as generators of microwave
and submillimeter wave radiation. Proc. IEEE, 54, 560 — 575(1966).
628. Langenberg Do N., D. J. Scalapino, B. N. Taylor, and R. E. Eck.
Investigation of microwave radiation emitted by Josephson juncti-
ons. Phys .Rev. Lett., 15, 294 — 297 (1965).

629o Langenberg D. N , D. J. Scalapino, В» N . Taylor, and R. E. Eck .
Microwave-induced de voltages across Josephson junctions. Phys.
Lett., 20, 563 - 565 (1966).

630. Лапир Г.М., Лихарев K.K., Семенов B.K. - ЖТФ, 1977, т. 47,
с. 1069.

631. Ларкин А.И., Овчинников Ю.Н. - ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1535.

632 0 Ларкин А.И., Овчинников Ю.Н. - ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 2159.

633. Latyshev Yu .1. and F. Ya. Nad .Enhancement of the critical cur-
rent of superconducting bridges by microwave radiation ..ASC 74,
877 - 879 (1974).

634. Латышев Ю.И., Надь Ф.Я. - Писъма ЖЭТФ, 1977, т. 26, с. 488.

635. Latyshev Yu. I. and F. Ya. Nad. Nonequilibrium phenomena in super-
conducting Al bridges under the microwave radiation LT 15, 531 —
532 (1978).

636. Латышев Ю.И., Надь Ф.Я. - Писъма ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 54.

637 .Lavenda В., частное сообщение, 1979.

638. Lebwol Р. and М. J. Stephen. Properties of vortex lines in super-
conducting barriers. Phys .Rev., 163, 376 — 379 (1967).

639. Lee P. Ao Effect of noise on the current-voltage characteristics of
a Josephson junction. J. Appl. Phys* 42, 325 — 334 (1971).

640. Lee Y. W. Statistical Theory of Communication .Wiley, New York,
1960.

641. Leibbrandt G. Exact solutions of the elliptic sine equation in two
space dimensions with applications to the Josephson effect. Phys.
Revv B15, 3353 - 3361 (1977).

642. Leplae L., F. Mancini, and H. Umezawa. New approach to the Joseph-
son effect. Lett .Nuovo Cimento, 4, 963 — 968 (1970).

643. Laplae Lo, Ho Umezawa, and F. Mancini. Derivation and application
of the boson method in superconductivity. Phys .Rep., 10, 151 —
272 (1974) о

644 . Levinsen M. T. Electromagnetic properties of the Dayem bridge .
DEJJ, 135 - 144 (1973).

645. Levinsen M. T. and Bo T. Ulrich. Perturbation treatment of mixing
in Josephson junctions. ASC 74, 807 — 810 (1974).
646 e Levinsen М. Т., R. Y. Chiao, М. J. Feldman, and В. A. Tucker. An
inverse ac Josephson effect voltage standard. Appl, Phys • Lett,,
31,776 - 778 (1977).

647э Levinstein H. J. and J. E. Kunzler0 Observation of energy gaps in
[i-tungstens and other superconductors using a simplified tunneling
technique .Phys, Lett,, 20, 581 — 583 (1966).

648 . Likes R. S. and С. M . Falco . Power spectrum of radiation from a
Josephson junction Appl ,Phys 48, 5370 — 5371 (1977).

649. Лихарев K.K. - ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 1700.

650. Likharev К. К. Dynamics of some single flux quantum devices: I.
Parametric quantron. ASC 76, 242 — 244 (1976a).

651. Likharev K.K. Dynamics of some single flux quantum devices:
II. Inhomogeneous flux schuttle. ASC 76, 245 — 247 (1976b).

652. Лихарев K.K. - Письма ЖЭТФ, 1976, т. 2, с. 29.

653. Лихарев К.К., частное сообщение,

654. Likharev К. К. Superconducting weak links . Rev, Mod, Phy s,, 51,
101 - 159 (1979).

655. Лихарев K.K., Семенов B.K. - ПисъмаЖЭТФ, 1972, т. 15, с. 625.

656. Лихарев К.К., Семенов В.К. - Радиотехника и электроника, 1973,
т. 18, с. 2390.

657. Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими кон-
тактами. - М.: Изд-во МГУ, 1978.

658. Likharev K.K. and L. A. Yakobson. Dynamic properties of variable
thickness bridges. ASC 74, 860 — 865 (1974).

659. Лихарев K.K., Якобсон Л.А. — ЖТФ, 1975, т. 45, с. 1503.

660. Лихарев К.К., Якобсон Л.А. - ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 1150.

661. Likharev К. К., G. M.Lapir, V. К. Semenov, and L. А. Yakobson.
Some properties of variable thickness bridges. Report on ASC 74
(1974) (не опубликовано).

662. Likharev К. К., V. К. Semenov, О. V. Snigirev, and В. N. Tedorov.
Josephson junction with lateral injection as a vortex transistor. ASC
78 , 420 - 423 (1978).

663. Lim C. S., J. D. Leslie, H. J. T. Smith, P. Vashishta, and J. P. Car-
botte. Temperature variation of the de Josephson current in Pb-Pb
tunnel junctions. Phys ,Rev, B2, 1651 — 1656 (1970).

664. Lindelof P. E. Non-equilibrium effects in constricted superconduc-
tors. LT 15, 1411 - 1420 (1978).

665. Lindelof P. E. and J. B. Hansen. Coherent behavior of two inter-
acting Dayem bridges . J, Low Temp, Phys , 29, 369 — 396 (1977). >
666. Lindelof Р. Е., J. В. Hansen, J. Mygind, N. F. Pedersen, and
O.H. Sorensen. Coherent Josephson radiation from an array of two
Dayem bridges. Phys .Lett * 60A, 451 — 452 (1977).

667. Lipson S. G. and M. M. Stupel. Induced superconductivity in ger-
manium films. Phys. Lett., 33A, 493 — 494 (1970).

668. Little W. A. and R. D. Parks. Observation of quantum periodicity
in the transition temperature of a superconducting cylinder. Phys.
Rev. Lett* 9, 9 - 12 (1962).

669. Lo S. C. and A. D. S. Nagi. Josephson tunnel effect and the order
parameter of superconducting alloys containing paramagnetic impuri-
ties with local states within the gap. Phys .Rev., B9, 2090 — 2096
(1974).

670. London F. Macroscopical interpretation of supraconductivity. Proc .
Roy.Soc, 152, 23 - 24 (1935).

671. London F. Superfluids • Vol. I, Wiley, New York, 1950.

672. London F. and H. London. The electromagnetic equations of the
superconductors. Proc. Roy. Soc м A149, 71 (1935a).

673. London F. and H. London. Supraleitung und Diamagnetismus.
Physica, 2, 341 (1935b).

674. Long A. P., T. D. Clark, and R. Jo Prance0 Varactor tuned ultrahigh
frequency SQUID magnetometer. Rev• Sci.Instrumv 51, 8—13
(1980).

675. Long. A., T. D. Clark, R. J. Prance, and M. G. Richards. High-
performance UHF SQUID magnetometer. Rev. Sci .Instrum., 50,
1376 - 1381 (1979).

676. Lourtioz J. M., R. Adde, G. Vernet, and J. C. Henaux. Harmonic
mixing with Josephson point contacts. Rev. Phys .Appl., 12,
487 - 492 (1977).

677. Lubberts G. and S. Shapiro. Cadmium selenide films deposited at
high substrate temperature as tunneling barriers between tin elecho-
des.J.Appl. Phys , 43, 3958 - 3963 (1972).

678. Liibbig H. Progress in physics of Josephson junctions .IC-SQUID
80 (1980) (в печати).

679. Lugiato L. A. and M. Milani. On the quantum mechanical descrip-
tion of Josephson junctions. Nuovo Cimento В55» 417 — 434 (1980).

680. Lukens J. E., R. D. Sandell, and C. Varmazis. Fabrication of micro-
bridge Josephson junctions using electron beam lithography. FTSE,
298 - 311 (1978).
681. Lukens J. E., R. J. Warburton, and W. W. Webb. Versatile supercon-
ducting femtovolt amplifier and multimeter. J. Appl, Phys», 42,
27- 30 (1971).

682. Lum Wo Y. and To Van Duzer0 New configuration for a superconduc-
ing weak link./» Appl. Phys», 46, 3216 - 3218 (1975).

683. Lum W. Y. and T. Van Duzer. Resonances in semiconductor-barrier
Josephson junctions. J» Appl »Phys , 49, 4560 — 4563 (1978).

684. Lum W. Y., H. W. Chan, and T. Van Duzer. Memory and logic circuits
using semiconductor-barrier Josephson junctions. ASC 76, 48 — 51
(1976).

685. Lum W. Y., H. W. K. Chan and T. Van Duzer. Switching measure-
ments on Josephson memory loops. /. Appl. Phys», 49, 4302 — 4303
(1978).

686. MacVicar M. L. A. Amorphous carbon films: Conduction across me-
tal/carbon/metal sandwiches. J. Appl. Phys., 41, 4765 — 4768
(1970).

687. MacVicar M. L. A., S. M. Freake, and C. J. Adkins. Thin semicon-
ductiig films as tunneling barriers. J. Vac. Sci .Tech.,6, 717 —719
(1969).

688. Magee C. J. and M. Russo. Some aspects in the preparation of light-
sensitive superconducting tunnel junctions. Vuoto Sci» Tec», 7, 4 —
13 (1974).

689. Mahutte С. K., J. D. Leslie, and H. J. T. Smith. Self-field limiting
of Josephson tunnel current. Can. J. Phys», 47, 627 — 629 (1969).

690. Maki K. Gapless superconductivity. In Superconductivity (R. D. Parks,
Ed.). Vol. 2, Marcel Dekker, New York, 1969, chap. 18, pp.

1035 - 1105.

691. Manley J. M. and H. E. Rowe. Some general properties of nonlinear
elements — Part I. General energy relations. Proc» IRE, 44, 904 —
913 (1956).

692. Maple M. B. Paramagnetic impurities in superconductors. In. Magne-
tism (G. T. Rado and H. Suhl, Eds.). Vol. V? Academic, New York,
1973, pp. 289 - 325.

693. Mathews J. and R. L. Walker. Mathematical Methods of Physics.
Benjamin, New York, 1965.

694. Matisoo J. Sub-nanosecond pair tunneling to single-particle tunnel-
ing transition in Josephson junctions. Appl. Phys. Lett», 9, 167 —
168 (1966).
695. Matisoo J. The tunneling cryotron — A superconductive logic element
based on electron tunneling. Proc. IEEE, 55, 172 — 180 (1967a).

696. Matisoo J. Measurement of current transfer time in a tunneling cryot-
ron flip-flop. Proc. IEEE, 55, 2052 - 2053 (1967o).

697. Matisoo J. Critical currents and current distributions in Josephson
junctions. J. Appl. Phys., 40, 1813 — 1820 (1969).

698. Matisoo J. Josephson tunnel junctions. ASC 72, 535 — 543 (1972).

699. Matisoo J. Josephson computer technology. LT 15, 1590 — 1597
(1978).

700. Matisoo J. and H. H. Zappe. Techniques for minimizing resonance
amplitudes of Josephson junction. U. S. Patent 3,906, 538, Sept. 16,
1975.

701. Matsuda A., T. Inamura, and H. Yoshikiyo. Study of Nb-based Joseph-
son tunnel junctions. J. Appl. Phys., 51, 4310 — 4316 (1980).

702. McColl M., M. F. Millea, and A. H. Silver. The superconductor-
semiconductor Schottky barrier diode detector. Appl. Phys .Lett
23, 263 - 264 (1973).

703. McColl M., R. J. Pedersen, M. F. Bottjer, M.F. Millea, A. H. Silver,
and F. L. Vernon, Jr. The super-Schottky diode microwave mixer.
Appl. Phys. Lett., 28, 159 - 162 (1976).

704. McCumber D.E. Tunneling and weak-link superconductor phenomena
having potential device applications. J. Appl. Phys.9 39, 2503 —
2508 (1968a).

705. McCumber D. E. Effect of ac impedance on de voltage-current charac-
teristics of superconductor weak-link junctions. J. Appl. Phys.,
39, 3113 - 3118 (1968b).

706. McDonald D. G., E. G. Johnson, and R. E. Harris. Modeling Joseph-
son junctions. Phys.Rev., B13, 1028 — 1031 (1976).

707. McDonald D.G., R. L. Peterson, and B.K. Bender. Design of a
Josephson-junctio picosecond pulser. J. Appl. Phys., 48, 5366 —
5369 (1977).

708. McDonald D. G., V. E. Kose, К. M. Evenson, J. S. Wells,
and J. D. Cupp. Harmonic generation and submillimeter wave
mixing with the Josephson effect. Appl Phys. Lett., 15, 121 — 122.
(1969).

709. McDonald D. G., A. S. Risley, J. D. Cupp, and К. M. Evenson. Harmo-
nic mixing of microwave and far-infrared laser radiation using a
Josephson junction. Appl Phys. Lett 9 18, 162 — 164 (1971).
710. McDonald D. G., A. S. Risley, J. D. Cupp, К. M. Evenson, and
J. R. Ashley. Four-hundreth-order harmonic mixing of microwave and
infrared laser radiation using a Josephson junction and a maser.
Appl. Phys. Lett , 20, 296 - 299 (1972).

711. McDonald D. G., F. R. Petersen* J. D. Cupp, B.L. Danielson, and
E. G. Joshnson. Detection mechanisms in superconducting point con-
tacts at frequencies of 44 times the energy gap. DEJ], 273 (1973)
(abstract only).

712. McLaughlin D. W. and A. C. Scott. Fluxon interaction. Appl. Phys.
Lett., 30, 545 - 547 (1977).

713. McLaughlin D. W. and A. C. Scott. Perturbation analysis of fluxon
dynamics. Phys .Rev., A18, 1652 — 1680 (1978).

714. McMillan W. L. Tunneling model of the superconducting proximity
effect. Phys. Rev., 175, 537 - 542 (1968a).

715. McMillan W. L. Theory of superconductor-normal-metal interfaces.
Phys. Rev., 175, 559 - 568 (1968b).

716. McMillan W. L. and J. M. Rowell, Tunneling and strong-coupling
superconductivity. In Superconductivity (R. D. Parks, Ed.) Vol. 1,
Marcel Dekker, New York, 1969r chap. 11, pp. 561 — 613.

717. Mehbod M., W. Thijs, and Y. Bruynseraede. Electron tunneling through
semiconducting barriers. Phys. Status Solidi (a), 32, 203 ^211
(1975).

718. Meissner H. Measurements on superconducting contacts. Phys. Rev.,
109, 686 - 694 (1958).

719. Meissner H. Superconductivity of contacts with interposed barriers.
Phys. Rev,, 117, 672 -680 (1960).

720. Mercereau J. E. Macroscopic quantum phenomena. In Superconducti*
vity (R. D. Parks, Ed.). Vol. 1, Marcel Dekker, New York, 1969,
chap. 8, pp. 393 — 421.

721. Mercereau J. E. Superconducting magnetometers. Rev. Phys . Appl.,
5, 13 - 20 (1970).

722. Mercereau J. E. Physical processes in proximity microbridges,
DEJJ, 47 - 52 (1973).

723. Meyer J. D. Spannungsstufen in den U(T)-Ubergangskurven und
U(l)-Kennlinien stromtragender Zinn-Whisker. Appl .Phys ., 2, 303 —
320 (1973). J

724. Meyer J. and G. v. Minnigerode. Instabilities in the transition
curve of current-carrying one-dimensional superconductors. Phys.
Lett., 38A, 529 - 530 (1972).
725. Minnigerode G. v.Zur Kontaktwirkung in supraeleitenden Doppl-
schichten aus Cu/Pb. Z. Phys 192, 379 — 408 (1966).

726. Miles J. L. and P. H. Smith. The formation of metal oxide films
using gaseous and solid electrolytes. J. Electroch. Soc %, 110,
1240—1245 (1963).

727. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Van Nostrand, Princeton,
1962.

728. Mkrtchyan G. S. and V. V. Shmidt. On the radiation from inhomo-
geneous Josephson junction. Solid State Comm., 30, 791 — 793
(1979).

729. Mooij J. E. and P. Dekker. Static properties of two and three-dimensi-
onal superconducting constrictions. J. Low Temp. Phys v 33, 551 —
576 (1978).

730. Moore D. F., J. M. Rowell, and M. R. Beasley. Superconductive
tunneling into niobium-tin thin films. Solid State Comm., 20, 305 —
308 (1976).

731. Mori M., S. Kodama, and H. Ozaki. The d. c. Josephson effect for
superconducting proximity systems. LT 15, 6561 — 6562 (1978).

732. Morse P. M. and H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics.

Vol. 32, McGraw-Hill, New York, 1953, p. 555.

733. Moser A. Logic gates with shaped Josephson junctions. IEEE J.

Sol.St. Circuits SC 14, 672 - 679 (1979).

734. Muhlschlegel B. Z. Die thermodynamischen funktionen des sppra-
leiters. Z. Phys., 155, 313 - 327 (1959).

735. Mullen L. 0. and D. B. Sullivan. Fabrication of tunnel junctions
on niobium films. J. Appl. Phys., 40, 2115 — 2117 (1969).

736. Murakami M. and 0. J. Kircher. Strain relaxation in Pb alloy Joseph-
son junction electrode material. ASC 78, 443 — 445 (1979).

737. Mygind J., N. E. Pedersen, and 0. H. Soerensen. Direct detection
of the parametrically generated half-harmonic voltage in a Joseph-
son tunnel junction. Appl. Phys., Lett., 29, 317 — 319 (1976).

738. Mygind J., N. F. Pedersen, and О. H. Soerensen X-band singly
degenerate parametric amplification in a Josephson tunnel junc-
tion. Appl. Phys. Lett., 32, 70 — 72 (1978).

739. Mygind J., N. F. Pedersen, 0. H. Soerensen, B. Dueholm, and

M. T. Levinsen. Low noise parametric amplification at 35 GHz in
a single Josephson tunnel junction. Appl. Phys. Lett. 35, 91 — 93
(1979).
740. Nagi S. A. D. and S. C. Lo. Josephson tunnel effect in superconduct-
ing alloy with local states within the gap. Phys* Lett., 42A,
387 - 388 (1973).

741. Nakajima K., Y. Onodera, and Y. Ogawa. Logic design of Joseph-
son network. J .Appl Phys., 1620 — 1627 (1976).

742. Nakajima K., Y. Sawada, and Y. Onodera. Nonequilibrium stationa-
ry coupling of solitons. J. Appl .Phys., 46, 5277 — 5279 (1975).

743. Nakajima К., T. Yamashita, and Y. Onodera. Mechanical analogue
of active Josephson transmission line. J. Appl. Phys., 45, 3141 —
3145 (1974).

744 .Nakajima K., Y. Onodera, T. Nakamura, and R. Sato. Numerical ana-
lysis of vortex motion on Josephson structure. J. Appl. Phys 45,
4095 - 4099 (1974).

745. Nam S. B. Theory of electromagnetic properties of superconducting
and normal systems. I. Phys .Rev., 156, 470 — 486 (1967a).

746. Nam S. B. Theory of electromagnetic properties of strong-coup ling
and impure superconductors. Phys. Rev., 156, 487 — 493 (1967b).

747. Nerenberg M. A. H. and J. A. Blackburn. Self-resonance in cylindri-
cal Josephson junctions. Phys .Rev., B9, 3735 ~ 3738 (1974).

748. Nerenberg M. A. H., P. A. Forsyth, Jr. and J. A. Blackbum. Exci-
tation of cavity modes in rectangular Josephson junctions. J. Appl.
Phys., 47, 4148 - 4150 (1976).

749. Neugebauer C. A. and R. A. Ek vail. Vapor-deposited superconductive
films of Nb, Ta and V. J. Appl Phys 35, 547 — 553 (1964).

750. Newhouse V. L. Applied Superconductivity . Wiley, New York, 1964.

751. Newhouse V. L. and J. W. Bremer. High-speed superconductive
switching element suitable for two-dimensional fabrication. J. Appl.
Phys. 30, 1458 - 1459 (1959).

752. Newhouse V. L., J. W. Bremer, and H. H. Edwards. An improved film
cryotron and its application to digital computers. Proc .IRE, 48,
1395 - 1404 (1960).

753. Ngai K. L. Interaction of ac Josephson currents with surface plas-
mons in thin superconducting films. Phys .Rev., 182, 555 - 568
(1969).

754. Nicol J., S. Shapiro, and P. H. Smith. Direct measurement of the
superconducting energy gap. Phys. Rev. Lett * 5, 461 — 464 (1960).

755. . Niemeyer J. Eine einfache methode zur herstellung kleinster
Josephson-elemente. PTB-Mett., 84, 251 — 253 (1974).
756. Niemeyer J. and V. Kose. Effects in high critical current density
Josephson tunnel junctions. IC-SQUID 76, 179 — 191 (1976a).

757. Niemeyer J. and V. Kose. Observation df large de supercurrents at
non zero voltages in Josephson tunnel junctions. Appl. Phys • Lett*
29, 380 - 382 (1976b).

758. Niemeyer J. and G. v. Minnigerode. Effects of nonmagnetic and mag-
netic impurities in the normal metal layer of SNS junctions. Z. Phys.,
B36. 57 - 66 (1979).

759. Nisenoff M. Superconducting magnetometers with sensitivities
approaching IO*”10 Gauss. Rev. Phys . Appl * 5, 21 — 24 (1970).

760. Nisenoff M. and S. Wolf. Observation of a cos <p term in the current
phase relation for ’’Dayem”-type weak link contained in an rf-bias-
ed superconducting quantum interference device. Phys. Re,.,
B12, 1712 - 1714 (1975).

761. Nordman J. E. Thin-film Josephson junctions using getter-sputtered
niobium. J. Appl. Phys* 40, 2111 - 2115 (1969).

762. Nordman J. E. and W. H. Keller. Controlled fabrication of Nb super-
conductive tunnel junctions with anomalous negative resistance
Phys. Lett., 36A, 52 - 53 (1971).

763. Notarys H. A. and J. E. Mercereau. Dynamics of small superconduc-
tors. ICSS-69, 424 - 431 (1969).

764. Notarys H. A. and J. E. Mercereau. Proximity effect bridge and super-
conducting microcircuitry. J. Appl. Phys . 44, 1821 — 1830 (1973).

765. Notarys H. A,,R.H. Wang, and J. E. Mercereau. Weakly supercon-
ducting circuits. Proc • IEEE, 61,79 — 84(1973).

766. Octavio M., W. J. Skocpol, and M. Tinkham. Improved performancfe
of tin variable-thickness superconducting microbridges. ASC 76,
739 - 742 (1976).

767. Octavio M., W. J. Skocpol, and M. Tinkham. Nonequilibrium-enhan-
ced supercurrents in short superconducting weak links. Phys. Rev.,
B17, 159 - 169 (1978).

768. Ohta H. Sensitivity of Josephson junctions in video detection of
microwave and millimeter-wave radiation. J. Appl .Phys * 43,
5161 - 5163 (1972).

769. Ohta H. A self-consistent model of the Josephson junction. IC-
SQUID 76, 35 - 49 (1976).

770. Ohta H., M. J. Feldman, P. T. Parrish, and R. Y. Chiao. Sensitivi-
ty of Josephson-effect millimeter-wave radiometer. DEJJ, 61 — 64
(1973).
771. Omar М. Н. and R. de Bruyn Ouboter. Oscillations on the voltage
between two weakly connected current-carrying superconductors
as a function of the applied magnetic field. Physica, 32, 2044 —
2050 (1966).

772. Omar M. H., W. H. Kraan, A. T. A. M. de Waele, and R. de Bruyn
Ouboter. On the existence of a corrugated surface representing
the relationship between current, voltage and magnetic field for
weakly-connected superconductors. Physica, 34, 525 — 533 (1967).

773. Opfer J. E., Y. K. Yeo, J, M. Pierce, and L. H. Rorden.A supercon-
ducting second-derivative gradiometer. IEEE Trans . Magn., MAG-10,
536 - 539 (1974),

774. Ovchinnikov Yu. N. Penetration of an electrical field into a super-
conductor. J. Low Temp, Phys., 28, 43 — 60 (1977).

775. Owen S. and J. E. Nordman. Application of integrated circuit techno-
logy to the fabrication of large numbers of niobium based Josephson
junctions. ASC 74, 774 - 777 (1974).

776. Owen C. S. and D. J. Scalapino. Vortex structure and critical cur-
rents in Josephson junctions. Phys. Rev., 164, 538 — 544 (1967).

777. Owen C.S. and D. J. Scalapino. Inductive coupling of Josephson
junctions to external circuits. J. Appl. Phys., 41, 2047 — 2056
(1970).

778. Paley S., J. Wilson, and R. I. Gayley. Studies of the Josephson
junctions of anomalously high supercurrent. Phys • Rev., В12,
157 - 162 (1975).

779. Palmer D. W. and J. E. Mercereau. Coherent effects in large arrays
of superconducting bridges. Appl. Phys .Lett., 26, 467 — 469
(1974).

780. Palmer D. W. and J. E. Mercereau. Mode locking in arrays of super-
conducting weak-links. Phys. Lett., 61A, 135 — 137 (1977).

781. Palmer D.W., H. A. Notarys, and J. E. Mercereau. Quantum inter-
ference effects in high-transition-temperature thin-film materials.
Appl Phys. Lett., 25, 527 - 528 (1974).

782. Pankove J. J. New effect at superconducting contacts. Phys. Lett.,
21, 406 - 407 (1966).

783. Papoulis A. The Fourier Integral and its Applications. McGraw-Hill,
New York, 1962.

784. Park J. G. The physics of resistive SQUIDs modulated at low frequen-
cy. J. Phys. F: Metal Phys , 4 2239 - 2263 (1974).
785. Park J. G. Resistive devices. NASI 76, chap. 10 , 415 — 446 (1976).

786. Park J. G. and J. P. Kendall. Resistive SQUIDs in the absence of
modulation current. LT 14, 4, 164 — 167 (1975).

787. Park J. G., D. E. Farrel, and J. P. Kendall. The response of a toroi-
dal resistive SQUID to modulation by magnetic flux. J. Phys. F:
Metal Phys., 3, 2169 - 2173 (1973).

788. Parker W. H., B. N. Taylor, and D. N. Langenberg. Measurement
of 2аЛ using the ac Josephson effect and its implications for
quantum electrodynamics. Phys *Rev. Lett*, 18, 287 — 291 (1967).

789. Parker W. H., D. N. Langenberger, A. Denestein, and B. N. Taylor.
Determination of e h using macroscopic quantum phase coherence
in superconductors, I. Experiment. Phys .Rev *, 177, 639 — 664
(1969).

790. Parks R. D. and W. A. Little. Fluxoid quantization in a multiply con-
nected superconductor. Phys .Rev., 133A, 97 — 103 (1964).

791. Parks R. D., J. M. Mocheland, and L. V. Surgent, Jr. Critical-field
behavior at a microscopic superconducting bridge Phys. Rev* Lett.,
13, 331 - 333 (1964).

792. Parmenter R.H. Theory of superconducting contacts. Phys .Rev.,
118, 1174 - 1182 (1960).

793. Parmentier R. D. Fluxons in long Josephson junctions. In Solitons
in Action (K. Lonngren and A. C. Scott, Eds.). Academic, New York,
1978, pp. 173 - 199.

794. Parmentier R. D. and G. Costabile. Fluxon propagation and d. c.
current singularities in long Josephson junctions. Rocky Mountain
J.Math., 8. 117 - 124 (1978).

[ Имеется перевод: Парментье Р.Д. Флюксоны в распределенных
джозефсоновских контактах. — В кн.: Солитоны в действии / Под
ред. К.Лонгрена, Э.Скотта. - М.: Мир, 1981. ]

795. . Parrish Р. Т. and R. Y. Chiao. Amplification of microwaves by
superconducting microbridges in a fourwave parametric mode. Appl.
Phys. Lett., 25, 627 - 629 (1974).

796. Parrish P. T., M. H. Feldman, H. Ohta, and R. Y. Chiao. Four pho-
ton parametric amplification DEJJ,229 — 232 (1973).

797. Pascal D. and M. Sauzade. Experimental determination of optimum
operating conditions of a superconducting interferometer. J. Appl.
Phys ., 47, 3085 - 3090 (1974).

798. Paterno G. Techniques for very low magnetic fields: Superconduc-
ting magnetometer. In Proceedings of the 6th International Conference
on Magnet Technology (MT*6), Bratislava, August 1977, Alfa
Bratislava, 1978, pp. 917 — 928.

799. Paterno G. and J. Nordman. Self-resonant modes in Nb-NbO^-Pb
Josephson junctions. J• Appl• Phys b 49, 2456 — 2460 (1978).

800. Paterno G. and R. Vaglio. On the magnetic field dependence of de
Josephson current in tunneling junctions. CNEN, Rep. LNF-75»/20(R),
October 1975.

801. Paterno G. and R. Vaglio. On the theory of resonant modes in Joseph-
son junctions. CNEN, Centro di Frascati, Rep. 79.4, 1979. Available
from: CNEN — Edizioni Scientifiche, С. P. 65 — 00044 Frascati, Ro-
me, Italy.

802. Paterno G., M. V. Ricci, and N. Sacchetti. Experimental test of
the microscopic theory of a current-carrying superconductor by mea-
surement of the zero-bias conductivity of tunnel junctions. Phys •
Rev. B3, 3792 - 3796 (1971).

803. Patemo G., P. Rissman, and R. Vaglio. Temperature dependence
of the maximum Josephson current for NB-NBO -Pb. J. Appl .Phys.,
46, 1419 - 1420 (1975).

804. Pech T. and J. Saint-Michel. Design of stable thin-film Josephson
tunnel junctions for the maintenance of voltage standards. ASC 74,
817 - 820 (1974).

805. Pedersen N. F. Zero-voltage nondegenerate parametric mode in
Josephson tunnel junctions. J. Appl Phys v 47, 696 — 699 (1976).

806. Pedersen N. F. and K. Saermark. Analytical solution for a Joseph-
son junction model with capacitance Physica, 69, 572 — 578 (1973).

807. Pedersen N. F. and О. H. Soerensen. An introductory course in
the compound pendulum. Am. J. Phys*, 45, 994 — 998 (1977).

808. Pedersen N. F., T. F. Finnegan, and D. N. Langenberg. Magnetic
field dependence and Q of the Josephson plasma resonance. Phys .
Rev., B6, 4151 - 4159 (1972a).

809. Pedersen N. F., T. F. Finnegan, and D. N. Langenberg. Evidence
for the existence of the Josephson quasiparticle-pair interference
current. LT 13, 3, 268 - 271 (1972b).

810. Pedersen N. F., M. R. Samuelsen, and K. Saermark. Parametric
excitation of plasma oscillations in Josephson junctions. J. Appl.
Phys., 44, 5120 - 5124 (1973a).

811 . Pedersen N. F., M. R. Samuelsen, and K. Saermark. Parametric excita-
tion of plasma oscillations in Josephson junctions. DEJJ ,223 — 225
(1973b).
812• Pedersen N. F., О H. Soerensen, and J. Mygind. Temperature depen-
dence of the cos cp conductance in Josephson tunnel junctions deter-
mined from plasma resonance experiments. Phys .Rev^> В18,
3220 - 3230 (1978).

813. Pedersen N. F., 0. H. Soerensen, J. Mygind, P. E. Lindelof,
M. T. Levinsen, and T. D. Clark. Direct detection of the Josephson
radiation emitted from superconducting thin-film microbridges. Appl.
Phys . Lett., 28, 562 - 564 (1976a).

814. Pedersen N. F., 0. H. Soerensen, J. Mygind, P. E. Lindelof,
M.T. Levinsen, T. D. Clark, and M. Danielsen. Microwave
generation and complex microwave responsivity measurements on
small Dayem bridges. ASC 76, 248 — 251 (1976b).

815. Pedersen N. F., J. Mygind, 0. H. Soerensen, and B. Dueholm.
A simple qualitative determination of Josephson tunnel junction
parameters near the transition temperature. LT 15, 1232 — 1233
(1978).

816. Penfield P., Jr and R. P. Rafuse. Varactor Applications. MIT Press,
Cambridge, 1962, pp. 160 - 177.

817. Peterson R. L. and C. A. Hamilton. Analysis of thereshold curves
for superconducting interferometers. J. Appl .Phys*, 50, 8135 —
8142 (1979).

818. Pierce J. M., J. E. Opfer, and L. H. Rorden.A broadband thin-film
SQUID magnetometer pumped at 10 GHz. IEEE Trans. Magn
MAG-10, 599 -602 (1974).

819. Pippard, A.B. The surface impedance of superconductors and nor-
mal metals at high frequencies. III. The relation between impedance
ana superconducting penetration depth. Proc .Roy .Soc* A191,
399 - 415 (1947).

820. Pippard A. B. Rev. Mod .Phys 36, 225 (1964), discussion 34.

821. Pippard A. B. The historical context of Josephson’s discovery.
NASI 76, 1 - 20 (1976).

822. Poulsen U. K. Quasiparticle interference current in Josephson
junctions. Phys .Lett., 41 A, 195 — 196 (1972).

823. Poulsen U. K. On the cos cpterm in Josephson’s expression for
the tunneling current. DEJJ, 41 — 44 (1973a).

824. Poulsen U. K. A theoretical treatment of tunneling currents in super-
conducting junctions Technical University of Denmark, Lyngby,
Internal Rep. 121, 1973b.
825, Prange R. E. Tunneling from a many-particle point of view. Phys*
Rev*, 131, 1083 — 1086 (1963). See also: Lectures in the Many
body Problem, Ravello 1963 (E. R. Caianiello, Ed.). Vol. 2, Acade-
mic, 1964, p. 139.

826. Pritchard J. P. and W. H. Schroen. Superconductive tunneling device
characteristics for array applications. IEEE Trans * Magn*, MAG-4,
320 - 323 (1968).

827. Pritchard J. M., Jr., and W. H. Schroen. Process for preparation of
tunneling barriers. U. S. Patent 3.673,071, June 27, 1972.

828* Quinn D. j. and W. B. Ittner, Resistance in superconductor. J* Appl*
Phys33, 748 - 749 (1962).

829 . Rachford F. J. and j. Cukauskas. High Tc refractory thin-film mic-
rowave SQUID’s. Appl. Phys * Lett 9 35, 881 - 884 (1979).

830 . Radhakrishnan V. Photosensitive tunneling in superconductivity.
Can* J. Phys 48, 630 - 631 (1970).

831 • Ramo S., J. R. Whinnery, and T. Van Duzer. Fields and Waves in
Communication Electronics * Wiley, New York, 1967.

832 • Reible S. A. Pulse propagation on superconductive tunnel trans-
mission lines. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison,
1975.

833. Reiger T. J., D. J. Scalapino, and J. E. Mercereau. Charge conserva-
tion and chemical potentials in time-dependent Ginzburg-Landau
theory. Phys. Rev* Lett*, 27, 1787 - 1790 (1971).

834. Reiger T. J., D. J. Scalapino, and J. E. Mercereau. Time-dependent
superconductivity and quantum dissipation. Phys * Rev *, B6, 1734 —
1743 (1972).

835 . Richards P. L. The Josephson junction as a detector of microwave
and far-infrared radiation. In Semiconductors and Semimetals,
(R. K. Willardson and A. (J. Beer, Eds.). Vol. 12, Academic, New
York, 1977, chap. 6.

836 . Richards P. L„ J. H. Claassen, and Y. Taur. Josephson effect
mm-wave receivers. LT 14, 4, 238 — 241 (1975).

837. Richter J. and P. Seidel. Theoretical studies of the influence of
barrier inhomogeneities on the behavior of Josephson junctions.
Exp* Tech .Physk, 26, 217 - 228 (1978), in German.

838. Richter W. and G. Albrecht. Thin film superconducting quantum
interferometers. Cryogenics, 15# 148 — 149 (1975)»
839. Rickayzen G. Theory of Superconductivity .Vaiey-Interscience,
New York, 1975, chap.10.

840. Riedel E. Zum tunneleffekt bei supraleitern in mikrowellenfeld.

Z. Naturforsch., 19A, 1634 - 1635 (1964).

841. Rifkin R. and B. S. Deaver, Jr Current-phase relation and phase-
dependent conductance of superconducting point contacts from rf
impedance measurements. Phys .Rev., B13, 3894 — 3901 (1976).

842.. Rifkin R., D. A. Vincent, P. K. Hansma, and B. S. Deaver, Jr.
Detailed measurements of the response of an rf SQUID in the regime
lc < фо /2тг. ASC 74, 873 - 876 (1974).

843. Rifkin R., D. A. Vincent, B. S. Deaver, Jr., and P. K. Hansma.

R. F. SQUID’s in the nonhysteretic mode. Detailed comparison of
theory and experiment./. Appl. Phys., 47, 2645 — 2650 (1976).

844 0 Rissman P. Photosensitivity in superconducting tunnel junctions
with cadmium selenide barrier. /. Appl. Phys., 44, 1893 — 1894
(1973).

845. Rissman P. and T. Palholmen. Preparation and lifetest of niobium
Josephson junction tunnel diodes and arrays. Solid State Comm.,
17, 611 - 615 (1974).

846. Rochlin G.I. and P. K. Hansma0 Inexpensive mechanical model of
a Josephson weak-link. Am. J. Phys., 41, 878 — 887 (1973).

847. Rogovin D. The Josephson junction as a macroscopic radiating
atom. Ann. Phys., 90, 18 - 47 (1975a).

848 . Rogovin D. Electrodynamics of Josephson junctions Phys. Rev.,
B11, 1906 - 1908 (1975b).

849. Rogovin D. Josephson tunneling: an example of steady-state super-
radiance. Phys. Rev., B12, 130 — 133 (1975c).

850. Rogovin D. Further studies on the two-level-atom picture of the
Josephson effect. Phys .Rev., В13, 1980 — 1991 (1976).

851. Rogovin D. and D. J. Scalapino. Power spectrum for superconducting
tunnel junction. Bull. Am. Phys. Soc., 13, 475 (1968).

852» Rogovin D. and D. J. Scalapino. Tunnel junction current fluctuations.
ICSS, 399 - 404 (1969).

853. Rogovin D and D. J. Scalapino. Fluctuation phenomena in tunnel
junctions. Ann. Phys., 86, 1 — 90 (1974).

854 . Rogovin D. and M. 0. Scully. Does the two-level atom picture of
a Josephson junction have a theoretical foundation in B.C.S.? Ann
Phys ., 88, 371 - 396 (1974).
855. Romagnan J. P., A. Gilabert, J. C. Noiray, and E. Guyon. Study of
superconducting tin-lead proximity sandwich by Josephson tunneling.
Sol. State Comm., 14, 83 - 86 (1974).

856. Romani G. L. Superconducting instrumentation for biomagnetism.
Int. J. of Refrigeration, 2, 215 - 219 (1979).

857. Rosen A., G. T. Induye, and A. L. Morse. Magnetic recordings of
the heart’s electrical activity with a cryogenic magnetometer.
J. Appl. Phys., 42, 3682 - 3684 (1971).

858. Rowell J. M. Magnetic field dependence of the Josephson tunnel
current. Phys. Rev. Lett., 11, 200 — 202 (1963).

859o Rowell N. L. and H. J. T. Smith. Investigation of the superconducting
proximity effect by Josephson tunneling. Can. J. Phys „ 54, 223 —
226 (1976).

860. Rubinstein J. Sine-Gordon equation о J. Math. Phys., 11, 258 — 266
(1970).

861. Rudner S., T. Claeson, and S. Wahlsten. Temperature and magnetic
field variations in the resistance, cos</> conductance, and effective
capacitance of small Josephson junctions. Solid State Comm., 26,
953 - 956 (1978) о

862. Русинов А.И. - Письма ЖЭТФ, 1969, т. 9, с. 146.

863. Русинов А.И. - ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 2047.

864 о Russer Р. General energy relations for Josephson junctions. Proc.
IEEE (Lett.), 69, 282 - 283 (1971).

865o Russer P. Influence of microwave radiation on current-voltage charac-
teristic of superconducting weak links. J. Appl. Phys., 43, 2008 —
2010 (1972).

866о Russo M. Fotosensibilita in giunzioni tunnel superconduttrici. Atti
Congresso Cibernetica, GRC, Casciana Terme, Pisa, 1971, pp.
424 - 435 .

867. Russo M. Self-resonant modes in light-sensitive Josephson tunnel
junctions. Phys. Lett., 61 A, 191 — 192 (1977).

868. Russo M. and R. Vaglio. Self-resonant modes in Josephson junctions
exhibiting a nonuniform maximum current distribution. Phys> Rev.,
В17, 2171 - 2174 (1978).

869e Рыбальченко Л.Ф., Бондаренко С.И. - ЖТФ, 1978, т. 48, с. 578.

870. Saarinen М., Р. J. Karp, Т. Е. Katila, and Р. Siltanen. The magnetocar-
diogram in cardiac disorders. Cardiovasc. Res., 8, 820 — 834 (1974).

871O Sacchetti N., Mo V. Ricci, and G. Paterno. , не опубликовано, 1973.
872. SamuelsenM. R., не опубликовано, 1978.
873 Sandell Re D., G» J. Dolan, and J. Е» Lukens0 Preparation of variab-
le thickness microbridges using electron beam lithography and ion
etching. IC-SQUID 76, 93 - 100 (1976).

874 0 Satterthwaite Co B., Me Go Craford, FL N. Peacock, and Ro P. Ries0
Do C. pair tunneling between two superconductors at finite voltages.
LT 9, Part A, 443 - 445 (1964).

875 Saxena A., J. E. Crow, and M. Strongino Coherent behavior in Joseph-
son junction arrays. LT 13, 3, 696 — 700 (1972).

876. Scalapino D. J. Current fluctuation in superconducting tunnel junc-
tions. SPSD, G1 - G19 (1967).

877. Scalapino D. J. and T. M. Wu. Radiation-induced structure in the
de Josephson current. Phys. Rev. Lett., 17, 315 — 318 (1966).

878. Schlup W. Possible influence of the quasiparticle-pair interference
term on the current-voltage characteristics of oxide barrier
Josephson junctions,, Solid State Comm v 12, 631 — 634 (1973).

879. Schlup W. A. I-V characteristics and stationary dynamics of a
Josephson junction including the interference term in the current
phase relation. J. Phys. C. Solid State Phys 7, 736 — 748 (1974).

880 e Schlup W. A. Solution of the Werthamer equation at finite tempera-
tures . Phys .Rev., В18, 6132 - 6138 (1978a).

881 о Schlup W. A. Adiabatic and pendulum approximations to the retarded
Josephson equation. ]. Appl. Phys 49, 3011 — 3017 (1978b).

882. Schmid A. Superconductors out of thermal equilibrium. LT 15, 1360 —
1367 (1978).

883о Schmid A. and G. Schoel. Linearized kinetic equations and relaxation
processes of a superconductor near Tc. J. Low Temp. Phys., 20,
207 - 227 (1975).

884. Schmid A., G. Schon, and M. Tinkham. Dynamic properties of super-
conducting weak links. Phys. Rev., B21, 5076 — 5086 (1980)o

885. Schroen W. Physic of preparation of Josephson barrierso J. Appl.
Phys., 39, 2671 - 2678 (1968).

886. Schroen W. and J. P. Pritchard, Jr. Maximum tunneling supercurrents
through Josephson barriers. J .Appl,Phys ., 40,2118 — 2122 (1969).

887 . Schulz-Du Bois Е» 0. and P. Wolf. Static characteristics of Joseph-
son interferometers. Appl. Phys ., 16, 317 — 338 (1978).

888. Schwidtal K. Type I and type II superconductivity in wide Joseph-
son junctions о Phys. Rev., B2, 2526 — 2532 (1970).

889. Schwidtal Ko De and ac Josephson effect in sputtered Nb-NbO^-Pb
junctions . J. Appl. Phys ., 43, 202 — 208 (1972) 0
890. Schwidtal К. and R. D. Finnegan. Barrier-thickness dependence of
the de quantum interference effect in thin-film lead Josephson junc-
tions e J. Appl. Phys ., 40, 2123 - 2127 (1969).

891. Schwidtal K. and R. De Finnegan. Maximum de Josephson current
in РЬ-РЬОЛ“РЬ junctions Phys, Rev.. B2, 148 — 154 (1970).

892о Schwidtal K. and C. F. Smiley, Magnetic field and Q dependence of
self-induced current peaks in resonant Josephson tunnel junctions 0
LT 13, 4, 575 - 579 (1972).

893. Schyfter M., J. Maah-Sango, N. Raley, R. Ruby, В. T. Verich, and
T. Van Duzer. Silicon-barrier Josephson junctions in coplanar and
sandwich configuration .ASC 76, 862 — 865 (1976).

894 . Scott A. C. Steady propagation of long Josephson junctions, Bull.
Am. Phys. Soc., 12, 308 (1967).

895*Scott A. C. A nonlinear Klein-Gordon equation. Am.]. Phys., 37,
52 - 61 (1969).

896. Scott A . C . Active and Nonlinear Wave Propagation. Wiley-Interscien-
ce, New York, 1970.

897. Scott A. C. Magnetic flux annihilation in large Josephson junctions.
1978 . Proc. Conference on Stochastic Systems (J. Ford, Ed J, Como,
June 1977.

898 . Scott A. C . and W . J. Johnson. Internal flux motion in large Joseph-
son junctions c Appl. Phys • Lett., 14, 316 — 318 (1969)»

899. Scott Ao Co, F. Y. F. Chu, and D. W. McLaughlin. The soliton: A new
concept in applied science. Proc. IEEE, 61, 1443 — 1483 (1973).

900. Scott A. C., F. Y. F. Chu, and S. A. Reible<, Magnetic flux propaga-
tion on a Josephson transmission line . J. Appl. Phys., 47, 3272 —
3286 (1976).

901 о Scott W.C. Hysteresis in the de switching characteristics of Joseph-
son junctions. Appl. Phys . Lett., 17, 166 — 169 (1970a).

902. Seifarth H. and W. Rentsch. V-VxO^-Pb Josephson tunnel junctions
of high stability. Phys. Status Solidi, (a) 18, 135 — 146 (1973)O

903o Seraphim G. R. S. Weak links between superconductors. Ph. D.
Thesis, St. Catherine’s College, Oxford University, Oxford (1970)0

904 * Seto J. and T, Van Duzer . Supercurrent tunneling junctions' with
tellurium barriers. Appl.Phys . Lett., 19, 488 — 491 (1971).

905. Seto J. and T. Van Duzer. Theory and measurements on lead-tel-
lurium-lead supercurrent junctions. LT 13, 3, 328-*- 333 (1972).
906. Shapiro S« Josephson currents in superconducting tunneling: The
effect of microwaves and other observations. Phys. Rev. Lett.,
11, 80 - 82 (1963Л

907. Shapiro S. Microwave harmonic generation from Josephson junctions.
J. Appl. Phys 38, 1879 - 1884 (1967).

908. Shapiro S P. H. Smith, J. Nicol, J. L. Miles, and P. F» Strong.
Superconductivity and electron tunneling. IBM J. Res. and Develop.*
6, 34 - 43 (1962).

909o Shapiro S., A. R. Janus and S» Holly» Effect of microwaves on
Josephson currents in superconducting tunneling. Rev . Mod. Phys. >
36, 223 - 225 (1964).

910. Shen LoYoL» Superconductivity of tantalum, niobium and lanthanum
studied by electron tunneling; Problems of surface contamination,.
In Superconductivity in d and f band metals (D. H. Douglass, Ed.).
AIP Conference Proceedings No. 4, American Institute of Physics,
New York, 1972.

911 о Shiba H. Classical spins in superconductors . Prog. Theor .Phys.,
40, 435 - 451 (1968).

912. Silver A. H. and J. Е» Zimmerman. Quantum states and transitions
in weakly connected superconducting rings. Phys .Rev., 167,
317 - 341 (1967)»

913. Silver A»H. and J. E. Zimmerman» Josephson weak-link devices.
In Applied Superconductivity (V» L. Newhouse, Ed.). Vol. 1, Acade-
mic, New York, 1975, chap» 1, pp . 1 — 112»

914. Silver А» Н», J. E. Zimmerman, and R» A.Kamper» Contribution of
thermal noise to the line-width of Josephson radiation from super-
conducting point contacts » Appl. Phys . Lett., 11, 209 — 211 (1967).

915. Silvert Wo Variational solution of the superconducting proximity
effect for arbitrary mean free path. Solid State Comm., 14, 635 —
638 (1974).

916» Simmonds M. and W» Н» Parker. Thermal fluctuations in superconduc-
ting weak links. Phys .Rev.Lett., 24, 876 - 879 (1970)»

917O Simmonds M. В» and Wo H. Parker. Analog computer simulation of
weakly connected superconducting rings .J. Appl. Phys 42, 38 —
45 ( 1971)»

918. Skocpol W. J» Critical currents of superconducting microbridges.
Phys .Rev., В14, 1045 - 1051 (1976).

919. Skocpol Wo J. High-frequency properties of micro bridge and point
contact Josephson junctions. FTSE, 335 — 339 (1978)»
920с Skocpol Wo J., M. R. Beasley, and M. Tinkham0 Phase-slip centers
and nonequilibrium processes in superconducting tin microbridges.
J» Low Temp. Phys 16, 145 — 167 (1974a).

921c Skocpol Wo J., M. R. Beasley, and M. Tinkham0 Self-heating hotspots
in superconducting thin-film microbridges 0 ]. Appl. Phys., 45,
4054 - 4066 (1974b).

922O Smith Ho Io Fabrication techniques for surface-acoustic-wave and
thin-film optical devices. Proc .IEEE, 62, 1361 — 1387 (1974)»

923. Smith H. I., D. L. Spears, and S. E. Bernacki. X-Ray lithography:
A complementary technique to electron beam lithography. J. Vac.
Sci. Tech., 10, 913 - 917 (1973).

924. Smith H. J. T. and J. A. Blackburn. Multiple quantum flux penetra-
tion in superconducting loops. Phys. Rev., B12, 940 — 942 (1975).

925. Smith H. J. T.and N. L. Rowell. Proximity effects and the genera-
lized Ginzburg-Landau equation. Phys. Rev., B11, 1053 — 1058 (1975).

926. Smith P. H., S. Shapiro, J. L. Miles, and J. Nicol. Superconducting
characteristics of superimposed metal films . Physt Rev. Lett., 6,
686 - 688 (1961).

927. Smith T. I. Observation of persistent currents in a superconducting
circuit containing a Josephson junction. Phys . Rev • Lett., 15,
460 - 462 (1965).

928. Smith T. I. Superconducting microwave cavities and Josephson
junctions. J. Appl. Phys., 45, 1875 - 1878 (1974).

929. So С. K. and W. 0. Hamilton. Untuned Josephson detectors of micro-
wave and millimeterwave radiation. J. Appl. Phys., 48, 2037 — 2042
(1977).

930. Soerensen O.H., не опубликовано, 1971.

931. Soerensen 0. H. Analysis of the ac-SQUID with low inductance and
low critical current./. AppL Phys., 47, 5030 — 5037 (1976).

932. Soerensen 0. H., T.F. Finnegan and N. F. Pedersen. Study of the
geometrical resonances of superconducting tunnel junctions. Appl.
Phys. Lett., 22, 129 - 131 (1973).

933. Soerensen О. H., J. Mygind and N. F. Pedersen. Measured tempera-
ture dependence of the cos ф conductance in Josephson tunnel jun-
ctions . Phys . Rev. Lett., 39, 1018 - 1021 (1977).

934. Soerensen 0. H., J. Mygind, and N. F. Pedersen. Microwave paramet-
ric amplifiers using externally pumped Josephson junctions.

FTSE, 246 - 253 (1978).
935- Soerensen О. Н., В. Kofoed, N. F. Pedersen, and S. Shapiro. Micro-
wave dependence of subharmonic gap structure in superconducting
junctions. Phys . Rev., 89, 3746 — 3756 (1974).

936. Soerensen 0. H., J. Mygind, N. F. Pedersen, V. N. Gubankov,
M. T. Levinsen and P. E. Lindelof. Nonresonant detection of Joseph-
son radiation from thin-film microbridges. J. Appl. Phys ., 48,
5372 - 5374 (1977).

937. Solymar L., Superconductive Tunnelling and Applications, Chapman
and Hall, London, 1972.

[ Имеется перевод: Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпро-
водниках и его применение. - М.: Мир, 1974. ]

938. Somervuo Р. and У . Sirkeinen. Simple method of determining the
external signal voltage in Josephson junctions. J.Appl .Phys
46, 1415 - 1416 (1975).

939. Song Y. Origin of " capacitance” , in superconducting microbridges.
J. Appl. Phys., 47, 2651 - 26 55 (1976).

940. Song Y. and G. I. Rochlino Transition from bulk-like behavior to
Josephson-junction-like behavior in superconducting microbridges.
Phys .Rev. Lett., 29, 416 - 419 (1972).

941. Spears D. L. and H. I. Smith High-resolution pattern replication
using soft x-rays . Electron • Lett., 8, 102 — 104 (1972a).

942. Spears D. L. and H. I. Smith. X-ray lithography — A new high resolu-
tion replication process. Solid State Tech ., 15, 21 - 26 (1972b).

943. Spears D. L ., H . I. Smith, and E. Stern. X-ray replication of scanning
electron microscope generated patterns. In Proc .5th International
Conference on Electron and Ion Beam Science and Technology,
Houston 7 — 11 May 1972 (R. Bakish, Ed.) published by The Electro-
chemical Society, Princeton, N. J., 1972, pp. 80 — 91.

944. Stephen M. J. Theory of a Josephson oscillator. Phys . Rev. Lett.,
21, 1629 - 1632 (1968).

945. Stephen M. J. Lectures on Josephson tunneling. In Superconductivity
(Wallace, Ed.). Vol. I, Gordon and Breach, New York, 1969a, pp .
297 - 326 .

946. Stephen M. J. Noise in the a. c. Josephson effect. Phys . Rev.,
182, 531 - 538 (1969b).

947. Stephen M. J. Noise in a driven Josephson oscillator. Phys . Rev.,
186, 393 - 397 (1969c).

948. Stewart J. L. The power spectrum of a carried frequency modulated
by Gaussian noise. Proc. IRE, 14, 1539 — 1542 (1954).
949. Stewart W. C. Current-voltage characteristics of Josephson junctions.
Appl. Phys .Lett12, 277 - 280 (1968).

950. Stewart W.C. Current-voltage characteristics of superconducting
tunnel junctions. J. Appl. Phys , 45, 452 — 456 (1974).

951. Strassler S. and H. R. Zeller. Subharmonic structure in superconduc-
ting tunnel junctions. Phys .Rev., B3, 226 — 228 (1971).

952. Стратонович Р.Л. - Радиотехника и электроника, 1958, т. 3,
с. 497.

953. Stratonovich R. L. Topics in the Theory of Random Noise . Gordon
and Breach, New York, 1967.

954. Stuehm D. L. and C. W. Wilmsen. Geometrical dependence of the
maximum de Josephson current. J. AppLPhys ., 42, 869 — 870
(1971).

955. Stuehm D. L. and C. W. Wilmsen. Diffraction patterns and vortex
structure of asymmetrical and cross Josephson junctions. J. Appl.
Phys., 45, 429 - 433 (1974).

956. Sullivan D. B. and J. E. Zimmerman. Mechanical analogs of time
dependent Josephson phenomena. Am . J. Phys., 39, 1504 — 1517
(1971).

957. Свидзинский А.В., Анцыгина Т.Н., Братусь Е.Н. - ЖЭТФ, 1971,
т. 61, с. 1612.

958. Swihart J. С. Field solution for a thin-film superconducting strip
transmission line. J. Appl. Phys ., 32, 461 — 469 (1961).

959, Taguchi I. and H. Yoshioka. Josephson effect like behavior of point
contacts between normal and superconducting metals. ]. Phys. Soc .
(Japan), 27, 1074 (1969).

960. Taguchi I. and H. Yoshioka. Properties of superconducting point
contacts. J. Phys. Soc. (Japan), 29, 371 - 379 (1970).

961. Taur Y. Josephson junctions as microwave heterodyne detectors.

Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley (1974).

962. Taur Y. and A. R. Kerr. Progress on millimeter wave Josephson
junction mixers. FTSE, 254 — 258 (1978a).

963 . Taur Y. and A. R. Kerr. Low-noise Josephson mixers at 115 GHz
using recyclable point contact. Appl. Phys • Lett., 32, 775 — 777
(1978b).

964. Taur Y. and P. L. Richards. Parametric amplification and oscilla-
tion at 36 GHz using a point-contact Josephson junction.

J. Appl Phys., 48, 1321 - 132> (1977).
965« Taur Y., J. Н. Claassen, and Р. L. Richards. Conversion gain and
noise in a Josephson mixer. DEJJ, 263 — 268 (1973).

966. Taur Y., J. H. Claassen, and P. L. Richards. Conversion gain in a
Josephson effect mixer. Appl. Phys. Lett., 24, 101 — 103 (1974a).

967. Taur Y., J. H. Claassen, and P. L. Richards. Josephson junctions
as heterodyne detectors . IEEE Trans .Mier . Theory Tech., MTT-22,
1005 - 1009 (1974b).

968. Taur Y., P. L. Richards, and F. Auracher. Application of the shunted
junction model to point-contact Josephson junctions. LT 13, 3, 276 —
280 (1972).

969. Taylor B. N., E. Burstein, and D. N. Langenberg. Electron tunneling
between identical superconductors. Bull»Am» Phys .Soc., 7, 190
(1962).

970. Taylor B. N., D. N. Langenberg, and W. H. Parker. The fundamen-
tal physical constants. Sci .Am., 223 (4), 62 — 78 (1970).

971. Taylor B. N., W. H. Parker, and D. N. Langenberg. Determination
of e/h using macroscopic quantum phase coherence in superconduc-
tors: Implications for quantum electrodynamics and the fundamental
physical constants. Rev .Mod. Phys ., 41, 375 — 496 (1969).

972. Taylor B. N., W. H. Parker, D. N. Langenberg, and A. Denestein.
On the use of the ac Josephson effect to maintain standards of elec-
tromotive force. Metrologia, 3, 89 — 98 (1967).

973. Terman F. E. Radio Engineering. McGraw-Hill, New York, 1951.

974 • Tesche C. D. and J. Clarke. A computer model for noise in the d. c.
SQUID. ASC 76, 859 - 861 (1976).

975» Tesche C. D. and J. Clarke. D. c. SQUID: noise and optimization.

J. Low Temp. Phys. 29, 301 - 331 (1977).

976. Tholfsen P. and H. Meissner. Flux flow in thin type-I superconduc-
ting films. Phys. Rev., 185, 653 -663 (1969).

977. Thome H. and Y. Couder. High frequency Josephson effect and Riedel
anomaly at the gap frequency. LT 14, 4, 156 — 159 (1975).

978. Thompson E. D. Power flow for Josephson elements. IEEE Trans.
Electron Dev., ED-20, 680 - 683 (1973).

979. Tien P. K. and J. P. Gordon. Multiphoton process observed in the
interaction of microwave fields with the tunneling between super-
conductor films. Phys . Rev., 129, 647 — 651 (1963).

980. Тихонов В JI.-Автом, телемех,f 1959, т. 20, с. 1188. См. также: Nonlinear
Transformations of Stochastic Processes (P.I. Kuznetsov, R. L.
Stratonovich, and V.L Tikhonov, Eds). Pergamon, Oxford, 1965,
pp. 298 - 309.

98L Tilley D. R. Superradiance in arrays of superconducting weak links.
Phys. Lett., 33A, 205 - 206 (1970).

982. Tinkham M. Consequence of fluxoid quantization in the transitions
of superconducting films. Rev. Mod . Phys 36, 268 — 276 (1964).

983 Tinkham M. Introduction to superconductivity .McGraw-Hill, New
York, 1975.

984. Tinkham M. Junctions — Types, properties and limitations. FTSE,
269 - 279 (1978^.

985. Tinkham M., M. Octavio, and W. J. Skocpol. Heating effects in high-
frequency metallic Josephson devices: Voltage limit, bolometric
mixing, and noise. J. Appl. Phys., 48, 1311 — 1320 (1977).

986. Tolner H. Spectral response of point-contact Josephson junctions.

J. Appl. Phys ., 48, 691 - 701 (1977).

987- Tolner H. and C. D. Andriesse . Microwave response of Josephson
junctions in the presence of strong fluctuations. Phys. Lett.,
49A, 255 - 256 (1974a).

988. Tolner H. and C. D. Andriesse. High impedance point contact
Josephson junctions. ASC 74, 866 — 869 (1974b).

989. Tolner H., C. D. Andriesse, and H. H. A. Schaeffer. Wide-band
detection with high impedance Josephson junctions. Infrared Phys.,
16, 213 - 223 (1976).

990. Tredwell T. J. and E. H. Jacobsen. Phonon-induced increase in the
energy gap of superconducting films. Phys .Rev., B13, 2931 —
2942 (1976).

991. Truong V. K. and J. Baixeras. Comportement type Josephson d’un
alliage eutectique lamellaire In2Bi - In(Bi) formant une structure
SNS periodique. LT 15, 195 - 203 (1978).

992. Tsang W.-T. and T. Van Duzer. D. C. analysis of parallel arrays
of two and three Josephson junctions. J. Appl.Phys ., 46, 4573 —
4580 (1975).

993 . Tsuboi T. Photosensitive tunnel junctions and photosensitive gra-
nular films with Те or Se barriers. Phys. Lett., S6A, 472 — 474
(1976).

994. Ulrich В. T. Josephson junctions in astronomy. LT 12, 867 — 869
(1970).

40 - 436
995 . Ulrich В. T. Josephson junction detector for astronomical applica-
tions . DEJJ, 111 - 118 (1973).

996 . Ulrich В. T. and T. Van Duzer. Fabrication of Josephson junctions.
NASI 76, 321 - 353 (1976).

997. Usadel K. D. Generalized diffusion equation for superconducting
alloys. Phys.Rev. Lett., 25, 507 - 509 (1970).

998. Vaglio R. Approximate analysis for stationary current flow in two-
dimensional Josephson tunnel junctions. J. Low Temp. Phys.,
25, 299 - 315 (1976).

999, Van den Dries L., C. Van Haesendonck, Y. Bruynseraede, and A.
Gilabert. Thickness dependence of the maximum D. C. Josephson cur-
rent in superconducting proximity junctions. Phys. Lett., 72A,
45 - 47 (1979).

1000. Van Duzer T. Junction fabrication techniques. IC SQUID 76,
63 - 92 (1976).

1001. Vant-Hull L. Effects of fluctuations on junction characteristics.

In Proceedings of the Conference on Fluctuations in Superconduc-
tors , Asilomar Conference Grounds, Pacific Grove, California,
March 1968 (W. S. Gorel and F. Chilton, Eds.), pp. 291 — 203.
Stanford Research Institute, Palo Alto, 1968.

1002. Vant-Hull L. L. and J. E. Mercereau. Normal Josephson junctions
and quantum coherence. Phys. Rev. Lett., 17, 629 — 631 (1966).

1003 . Varmazis C., J. E. Lukens, and T. F. Finnegan. Broadband genera-
tion of tunable Josephson radiative at microwave frequencies.
Appl. Phys. Lett., 30, 660 - 661 (1977).

1004 , Varmazis C., R. D. Sandell, A. K. Jain, and J. E. Lukens. Genera-
tion of coherent tunable Josephson radiation at microwave frequency
with narrowed linewidth. Appl. Phys .Lett., 33, 357 — 359 (1978).

1005 . Басенко C.A., Жарков Г.Ф. - ЖЭТФ, 1978, т. 75, с. 180.

1006 . Vasil’ev В. V., V. V. Danilov, and К. К. Likharev. On some
aspects of superconducting quantum interferometer optimization.
ASC 74, 743 - 748 (1974),

1007 . Васильев D.B., Данилов B.B., Лихарев K.K. - ЖТФ, 1976, т. 46,
с. 2409.

1008 . Vernet G. and R. Adde. Linewidth of the radiation emitted by a
Josephson point .contact. Appl. Phys . Lett., 19, 195 — 197 (1971).

1009 . Vemet G. and R. Adde .Direct observation of the Riedel singularity
in a superconducting point contact. Appl. Phys. Lett., 28, 559 —
561 (1976).
1010.Vincent D. A. and B. S. Deaver, Jr. Observation of a phase-depe-
ndent conductivity in superconducting point contacts . Phys . Rev.
Lett., 32, 212 - 215 (1974).

ЮП . Волков А.Ф. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1500.

1012 . Волков А.Ф. - ФТТ, 1973, т. 15, с. 1364.

1013. Волков А.Ф. - ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 756.

1014. Voss R.F. Uncertainty principle limit to the energy sensitivity
of SQUID’s and other linear amplifiers . Appl. Phys. Lett., 38,
182 - 184 (1981).

1015. Voss R. F. and J. Clarke. Flicker (1//) noise: Equilibrium tempera-
ture and resistance fluctuations. Phys. Rev., В13, 556 — 573
(1976).

1016. Voss R. F., R. B. Laibowitz, and A. N. Broers. Niobium nanobrid-
ges d . c . SQUID. Appl. Phys . Lett. 37, 656 - 658 (1980).

1017. Voss RJF., R. B. Laibowitz, and S. I. Raider. All-Nb low-noise
d. c. SQUID with 1 ц m tunnel junctions. J. Appl. Phys. 51,
2306 - 2309 (1980).

1018. Voss R. F., R. B. Laibowitz, M. B. Ketchen, and A. N. Broers.

Ultra low noise d. c. SQUIDs. IC SQUID 80, (1980, будет опубликовано).

1019. Vrba J. and S. B. Woods. Tunneling into weakly coupled films of
tin and aluminum in proximity II from the tin side. Phys. Rev.,
В 4, 87 - 94 (1971a).

1020* Vrba J. and S. B. Woods. Tunneling into weakly coupled films of
aluminum and tin in proximity. Phys. Rev., B3, 2243 — 2252 (1971b).

1021. Выставкин А.Н. и др. - Радиотехника и электроника, 1970, т. 15,
с. 2404.

1022 . Vystavkin A. N., V. N. Gubankov, L. S. Kuzmin, К. К. Likharev,
V . V. Migulin, and V. К. Semenov. S-c-S junctions as nonlinear
elements of microwave receiving devices. DEJJ, 79 — 109 (1973).

1023. Vystavkin A. N., V.N. Gubanllov, L. S. Kuzmin, К. K. Likharev,
V. V. Migulin, and V. K. Semenov. Non-Josephson radiation from
the cavity containing superconducting point contact junction.
ASC 74, 834 - 837 (1974).

1024. Vystavkin A. N., V. N. Gubankov, L. S. Kuzmin, К. K. Likharev,
V. V. Migulin, cxTid V. K. Semenov. One-frequency parametric
amplifier using self-pumped Josephson junction. ASC 76, 233 — 236
(1976) .
1025. Wahlsten S., S. Rudner, and T. Claeson. Parametric amplification
in arrays of Josephson tunnel junctions . Appl. Phys . Lett*, 30,
298 - 300 (1977).

1026. Wahlsten S., S. Rudner, and T. Claeson. Arrays of Josephson tun-
nel junctions as parametric amplifiers. J. Appl* Phys *, 49, 4248 —
4263 (1978).

1027. Waho T., K. Kuroda, and A. Ishida. Aging phenomena of plasma
oxidized Pb-alloy Josephson junctions. ]* Appl * Phys * 51, 4508 —
4512 (1980).

1028. Waldram J. R., A. B. Pippard, and J. Clarke. Theory of current-volta-
ge characteristics of SNS junctions and other superconducting
weak links. Phil* Trans *Roy*Soc *, A268, 265 — 287 (1970)

1029. Wang L. K., D.J. Hyun, and BJS. Deaver, Jr. Heating and flux flow in niobium
variable-thickness bridges. ]* Appl* Phys*, 49» 5602 - 5609 (1978).

1030. Wang L. K., A Callegari, and B. S. Deaver, Jr., D. W. Barr and
R. J. Mattauch. Microwave mixing with niobium variable thickness
bridges. Appl* Phys* Lett*, 31, 306 - 308 (1977).

1031. Wang T. C. Current-density distribution in Josephson tunnel
junctions. J* Appl* Phys *, 50, 2859 - 2862 (1979).

1032. Wang T. C. and R. I. Gayley. Erratic behaviour of superconducting
loops with Josephson junctions. Phys * Rev*, B15, 3401 — 3404
(1977).

1033. Wang T. C. and R. I. Gayley. High-frequency losses in tin Joseph-
son tunnel junctions. Phys *Rev*, В18, 293 — 300 (1978).

1034. Watson, H. L., R. T. Kampwirth, and R. P. Huebener. Current-indu-
ced magnetic-flux structures in a type-I superconducting constric-
tion. J* Appl* Phys* 45, 3634 - 3637 (1974).

1035 . Watts-Tobin R. J. and L. Kramer. Theory of the phase-slip state
in superconducting filaments .LT 15, 554 — 555 (1978).

1036 . Webb W. W. Superconducting quantum magnetometers. IEEE Trans *
Magn*, MAG-8, 51 - 60 (1972).

1037 . Weihnacht M. Influence of film thickness on de Josephson current.
Phys* Status Solidi, 32, K169 - 172 (1969).

1038. Weitz D. A., W. J. Skocpol, and M. Tinkham. High-frequency beha-
vior of " ideal” superconducting point contacts . Phys *Rev* Lett*,
40, 253 - 256 (1978).

1039 . Werthamer N. R. Theory of the superconducting transition temperatu-
re and energy gap function of superposed metal films. Phys *Rev*,
132, 2440 - 2445 (1963).
1040. Werthamer N . R. Nonlinear self-coupling of Josephson radiat эп
in superconducting tunnel junctions. Phys .Rev., 147, 255 — 263
(1966).

1041, Werthamer N. R. and S. Shapiro. Analog-computer studies of Joseph-
son radiation effects. Phys. Rev., 164, 523 — 535 (1967).

1042. Whittaker E. T. and G. N. Watson. A Course of Modem Analysis .
Cambridge University Press, Cambridge, 1952.

1043 . Wikswo J. P., Jr. and WOM. Fairbank. Application of superconduc-
ting magnetometers to the measurement of the vector magnetocar-
diogram. ASC 76, 354 - 357 (1976).

1044. Wikswo J. P., Jr., G. E. Crawford, W. H. Barry, W. M. Fairbank,
and D.C. Harrison. Computer data acquisition and signal proces-
sing techniques for magnetocardiography. In Proceedings of the
Conference: Computers in Cardiology, St Louis, October 1976.

1045. Williamson, S. J. and L. Kaufman. Magnetic field of the cerebral
cortex. IC SQUID 80, (1980,в печати).

1046. Williamson S. J., D. Brenner, and L. Kaufman . Biomedical applica-
tions of SQUIDs. FTSE, 106 - 116 (1978).

1047 . Williamson S. J., L. Kaufman, and D. Brenner. Biomagnetism. NASI
76, 355 - 402 (1976).

1048 . Wilson J. and R. I. Gayley . Behaviour of multiple-quantum-state
superconducting ring with Josephson tunnel junctions .Solid State
Comm., 11, 1183 - 1185 (1972).

1049 . Witham G. B. Linear and Nonlinear Waves . Wiley-Interscience,
New York, 1975.

1050. Wolf P. SQUIDs as computer elements. IC-SQUID 76, 519 — 540
(1976).

1051. Wong T. W., J. T. C. Yeh, and D. N. Langenberg. Quasiparticle-
injection-induced superconducting weak links. Phys . Rev. Lett.,
37, 150 - 153 (1976).

1052. Wong T. W., J. T. C. Yeh, and D. N. Langenberg. Controllable
superconducting weak links. ASC 76, 743 — 746 (1976).

1053. Wu С. T. and C.M. Falco. High-temperature Nb3Sn thin-film
SQUIDs. Appl. Phys . Lett., 30, 609 - 613 (1977).

1054. Wu С. T. and C.M. Falco. Fabrication and properties of high-
temperature weak links and SQUIDss J. Appl. Phys .,49, 361 — 365
(1978).
1055. Wu Н. S., К. Т. Chi, and F. S. Liu. The effect of the magnetic field
on the height of microwave-induced step of a Josephson tunneling
junction. Presented at LT 15, 1978 (unpublished).

1056. Wyatt A. F. G., V. M. Dmitriev, W. S. Moore, and F. W. Sheard.
Microwave-enhanced critical supercurrents in constricted films.
Phys. Rev. Lett., 16, 1166 - 1169 (1966).

1057. Wynn W. M., С. P. Frahm, P. J.Carroll, R. H. Clark, J. Wellhoner,
and M. J. Wynn . Advanced superconducting gradiometer/nagneto-
meter arrays and a novel signal processing technique. ASC 74,
701 - 707 11974).

1058» Yamashita T. and Y. Onodera. Magnetic field dependence of
Josephson current influenced by self-field . J.Appl.Phys., 38,
3523 - 3525 (1967).

1059. Yamashita T. and L. Rindereer .Magnetization and pinning effect
of a Josephson junction. J. Low Temp .Phys., 21, 153 — 167
(1975).

1060, Yamashita T., M. Kunita, and Y. Onodera. Magnetic field dependen-
ce of Josephson current modified by self-field. J. Appl. Phys %,
39, 5396 - 5400 (1968a).

1061 .Yamashita T., M. Kunita, and Y. Onodera. Josephson current limi-
ted by self-field. Japan ] .Appl. Phys ., 7, 288 - 290 (1968b).

1062 . Янсон И.К. - ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 1497.

1063. Янсон И.К. - Труды ФТИНТ, 1970, № 8, с. 19.

1064 . Yanson I. К. and L. F. Rybal’chenko. Tunnel effect in films of
vanadium and its oxides. Phys. Status Solidi, (a) 28, 663 — 671
<1975).

1065 .Янсон И.К., Рыбальченко Л.Ф. - ФНТ^ 1977, т. 3, с. 44.

1066 . Янсон И.К., Свистунов В.М., Дмитренко И.М. - ЖЭТФ, 1964, т. 47,
с. 2091.

1067. Янсон И.К., Свистунов В.М., Дмитренко И.М. - ЖЭТФ, 1965, т.48,
с. 976.

1068о Yao S.-S. Analytical solution of resistively shunted Josephson
junctions. Presented at LT 15, 1978 (не опубликовано).

1069» Yeh J. T. C. and R. A. Buhrman. Superconducting lead variable-
thickness microbridges. J. Appl. Phys., 48, 5360 - 5361 (1977).

1070. Yeh, J. T. C. and D. N. Langenberg.Light-induced superconduc-
ting weak-links. Appl. Phys. Lett., 32, 191 — 192 (1978).
1071. Yoshida К. and F. Irie .Frequency conversion in a long Josephson
junction with a moving vortex array .Appl. Phys 'Lett*, 23, 469 —
470 (1975).

1072. Yoshida K. and F. Irie. Driving of a single vortex m a long Joseph-*
son junction. Phys • Lett•, 61 A, 253 — 255 (1977).

1073. Yoshida F. Irie, and K. Hamasaki. Current-voltage characteris-
tics of large Josephson tunnel junctions .Phys .Lett., 63Д,
144 - 146 (1977).

1074. Yoshida K., F. Irie, and K. Hamasaki. Flux flow characteristics
of a large Josephson junction, J. Appl. Phys49, 4468 — 4474
(1978).

1075. Zagrodzinski J. The solutions of the two dimensional sine-Gordon
equation. Phys .Lett., 213 — 214 (1976).

1076. Zagrodzinski J. Particular solutions of SGE in 2 + 1 dimensions.
Phys. Lett A72, 284 - 286 (1979).

1077. Заикин А.Д., Жаркой Г.Ф. - ЖЭТФ, 1980, т. 78, с. 721.

1078. Зайцев P.O. - ЖЭТФ, 1965, т. 48, с. 1759.

1079 Зайцев P.O. - ЖЭТФ, 1966, т. 50, с.1055.

1080. Zakharov, V. Е. and S. V. Manakov. Soliton theory. Physics Reviews-
Sov. Sci. Rev. A (I. M. Khalatnikov, Ed.), Vol.l, pp. 133 — 190
(1979).

1081. Zappe H. H. Evaluation of tunnel junction barriers using the mag-
netic field dependence ot the de Josephson current. IBM, Research Rep.
RC 2974 (13854), July 23, 1970.

1082. Zappe H. H. Minimum current and related topics in Josephson tun*
nel junction devices. J. Appl. Phys., 44, 1371 — 1377 (1973).

1083- Zappe H. H. A single flux quantum Josephson junction memory
cell. Appl. Phys. Lett., 25, 424 - 426 (1974).

1084. Zappe H. H. Quantum interference Josephson logic devices. Appl.
Phys. Lett., 27, 432 - 434 (1975a).

1085. Zappe H. H. A subnanosecond Josephson tunneling memory cell
with nondestructive readout. IEEE J. Solid State Cir., SC-10,
12 - 19 (1975b).

1086. Zappe H. H. Determination of the current density distribution in
Josephson tunnel junctions. Phys • Rev•, В11, 2535 — 2538 (1975c).

1087. Zappe H. H. Josephson quantum interference computer devices.
ASC 76, 41 - 47 (1976).
1088. Zappe Н. Н. and К. R. Greebe. Ultra-high-speed operation of
Josephson tunneling devices.IBM J. Res. Develop», 15, 405 — 407
(1971).

1089. Zappe H. H. and K. R. Greebe. Dynamic behavior of Josephson
tunnel junctions in the subnanosecond range. J» Appl .Phys.,
A4, 865 - 874 (1973).

1090. Zappe H. H. and B. S. Landman. Analysis of resonance phenome-
na in Josephson interferometer devices. J. Appl. Phys., 49, 344 —
350 (1978a).

1091. Zappe H. H. and B. S. Landman. Experimental investigation of
resonances in low Q Josephson interferometer devices. J. Appl.
Phys . 49, 4149 - 4154 (1978b).

1092. Жарков Г.Ф., Васенко C.A. - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 665.

1093. Зильберман Л.А., Иванченко ЮЛ. - ФТТ, 1970, т. 12, с. 1922,
1094. Зорин А.Б., Лихарев К.К. - ФНТ, 1977, т. 3, с. 148.

1095. Зильберман Л.А., Иванченко Ю. М. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 2286.

1096. Zimmer Н. Parametric amplification of microwaves in superconduc-
ting Josephson tunnel junctions. Appl .Phys . Lett., 10, 193 —
195 (1967).

1097, Zimmerman J. E. Sensitivity enhancement of superconducting
quantum interference devices through the use of fractional-turn
loops. J. Appl. Phys., 42, 4483 - 4487 (1971).

1098. Zimmerman J. E. Josephson effect devices and low-frequency
field sensing. Cryogenics, 12, 19 — 31 (1972a).

1099. Zimmerman J. E. A review of the properties and applications of
superconducting point contacts. ASC 72, 544 — 561 (1972b).

1100. Zimmerman J. E. Superconductive quantum interference device
having two cavities isolated by a superconductive weak link. U.S.
Patent 3,758, 854, September 11, 1973.

1101. Zimmerman J. E. SQUID instruments and shielding for low-level
magnetic measurements J. Appl .Phys ., 48, 702 — 710 (1977).

1102 . Zimmerman J. L.^частное сообщение (1978a).

1103. Zimmerman J. E. Cryocoolers for superconductive electronics.
FTSE, 412 - 420 (1978b).

1104. Zimmerman J. E. and N. V. Frederick. Miniature ultrasensitive
superconducting magnetic gradiometer and its use in cardiography
and other applications. Appl, Phys . Lett., 19, 16 — 19 (1971).
1105. Zimmerman J. E. and J. E. Mercereau. Compton wavelength of
superconducting electrons. Phys • Rev* Lett*, 14, 887 —888 (1965).

1106. Zimmerman J. E. and A. H. Silver. Quantum effects in type II
Superconductors. Phys * Lett *, 10, 47 — 48 (1964).

1107. Zimmerman J. E. and A. H. Silver. Macroscopic quantum interferen-
ce effects through superconducting point contacts. Phys .Rev*,
141, 367 - 375 (1966a).

1108. Zimmerman J. E. and A. H. Silver. Flux entry in macroscopic super-
conducting rings. Solid State Comm*, 4, 133 — 136 (1966b).

1109. Zimmerman J. E. and A. H. Silver. Coherent radiation from high-
order quantum transitions in small-area superconducting contacts.

Phys. Rev* Lett*, 19, 14 - 16 (1967).

1110. Zimmerman J. E., J. A. Cowen, and H. Silver. Coherent radiation
from voltage-biased weakly connected superconductors. Appl*
Phys* Lett*, 9, 353 - 355 (1966).

1111. Zimmerman J. E., P. Thiene, and J. T. Harding. Design and opera-
tion of stable rf-biased superconducting point-contact quantum,
devices, and a note on the properties of perfectly clean metal
contacts. J* Appl. Phys*, 41, 1572 - 1580 (1970).

1112. Зорин А.Б., Лихарев K.K. - ФНТ, 1977, т. 3, с. 148.

1113. Зорин А.Б. и др. - ФНТ, 1979, т. 5, с. 1138.

1*. Nikita М., К. Nakamure, S.Kubo, М. Igarashi, М. Kakuchi and О. Kogure.
Fabrication and I - У characteristics of high-TcNb3Ge microbridges.
Part 1. Jap. J. Appl. Phys*, 21, L10 - L12 (1982).

2*. Kogure О., M. Kakuchi, K. Sukegawa, M. Nikita and M. Igarashi. Sub-
micron fabrication of Nb3Ge microbridges with electron-beam resist
chloromethylated Poly-a-Methylstyrene. Part 2. Jap. J* Appl. Phys.,
21, 206 - 207, 1982.

3*. Веденеев С.И., Степанов В.А. Свойства низкоомных сверхпровс
дящих контактов из ниобия. - Ф.ТТ, 1982, т.24, с. 125.

4* Weitz D.A., W. J. Skocpol and М. Tinkham. Far-infrared frequency
dependence of the ac Josephson effect in niobium point contacts Phys.
Rev., В18, 3282 - 3292 (1978).
5* Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений. В кн.:
Солитоны в действии: Пер. с англ./Под ред. К. Лонгрена и Э. Скот-
та. - М.: Мир, 1981.

6*. Зайцев А.В. К теории эффекта Джозефсона в сверхпроводящих кон-
тактах при больших напряжениях. - ФТТ, 1983, т. 25, с. 927.

7*. Беленов Э.М., Веденеев С.И., Мотулевич Г.П., Усков А.В. Ис-
следование субгармонической структуры на вольт-амперных ха-
рактеристиках сверхпроводящих точечных контактов. - ЖЭТФ,
1979, т. 76, с. 791.

8*. Басов Н.Г., Беленов Э. М., Веденеев С.И., Губин М.А., Никитин В.В.,
Степанов В.А. Синтез частоты Д20-лазера (А = 84 мкм) с помо-
щью сверхпроводящего нелинейного элемента - Квант, электро-
ника, 1983, т. 10, с. 574.

9*. Blaney T.G., N.R. Cnoss, D.J. Е. Knight, G.J. Edwards and P.R.
Pearce. Frequency measurement at 4, 2 5 THz (70,5 цт) using a Joseph-
son Harmonic mixer and phase-lock techniques. /• Phys. D* Appl.

Phys., 13.1365 - 1370 (1980).
ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА....................... ..........5

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ...................................6

ПРЕДИСЛОВИЕ о .................... ..............................о 7

Глава 1. Феноменологическая теория слабой сверхпроводимости ........ 11

1.1. Квантовая макроскопическая система................. . . .11

1.2о Связанные сверхпроводники............. ... .... • • . • ... .14

1.3. Одноэпектронное туннелирование . .... ....... ........14

1.4. Соотношения Джозефсона................................19

1.5. Влияние магнитного поля • .......................... 27

1.6. Свободная энергия барьера . .. ......... ........... 31

1.7. Электродинамика джозефсоновского контакта ............32

1.8. Другие джозефсоновские структуры................... .36

Г лава 2. Микроскопическая теория .................... ........... 39

2.1. Формализм туннельного гамильтониана...................39

2.2. Общее выражение для полного тока.................... 44

2.2.1. Выражение для полного тока во временном представлении . .46

2.2.2. Выражение для полного тока в частотном представлении . . 4В

2.3. Туннельный ток при постоянном напряжении на контакте...49

2.4. Выражения для токов I ...........°.......50

2.4.1. Квазичастичные вклады Iи I........................ . .51

2.4.2. Вклады Ij 1 и Ij 2, зависящие от фазы............53

2.5. Туннельный ток в приближении теории БКШ ........... .54

2.6. Трудности, связанные с вкладом "cosср"................64

Глава 3. Величина и температурная зависимость критического тока ...... 67

3.1. Джозефсоновский ток при V = ..........................67

3.2. Приближение теории БКШ.............................. 66

3.3. Влияние сильной связи............................... 73

3.4. Влияние парамагнитных примесей.................... ..76

3.5. Методики измерений.................................. 64

Глава 4, "Малые" контакты в магнитном поле...................... 88

4.1. Джозефсоновская глубина проникновения.................88

4.4. Малые контакты................................... 89

4.3. Однородное распределение туннельного тока.............93

4.3.1. Прямоугольный контакт.......................... 93

4.3.2. Цилиндрические контакты........................ 95

4.3.3. Случай произвольной ориентации магнитного поля...96

4.4. Неоднородная плотность туннельного тока............ .98

4.4.1. Различные профили плотности тока............. ..99

4.4.2. Структурные флуктуации....................... .111

Глава 5. "Большие" контакты: статические эффекты, обусловленные собст-
венным магнитным полем...................0 ................ . .*117

5.1. Приближенный анализ..................................117
5.2. Анализ Оуэна и Скалапино . . . . . . 0 0 • . . . . - . . . . . . . . . а . . • 121

5.3. Влияние геометрической конфигурации контакта . . . . □ . . . . . . <,135

Глава 6. Вольтамперные характеристики (ВАХ) 0 0 0 0 0 • . <> . □ . « - . . . . . . . 146

6.1. ВАХ для слабых связей различных типов . . . . . . . . . . 0 . . □ . . . 146

6.2. Резистивная модель контакта: автономный случай........147

6.2.1. Механическая модель........ . . . . . <> . . . - . . . . . . . . . .149

6.2.2. Случай малой емкости контакта (Р^ » 1) . „ . . 0 0 0 . e в 0 „ 152

6.2.3. Анализ на фазовой плоскости.................... 154

6.2.4. ВАХ контакта конечной емкости ................. 158

6.3. Туннельный контакт с заданным током...................163

6.3.1. Адиабатическое приближение .................... 164

6.3.2. Общий случай ...... .......................... 166

6.4. Влияние тепловых флуктуаций ........................ .171

6.4.1. Случай пренебрежимо малой емкости контакта . . t ...... 176

6.4.2. Случай конечной емкости контакта ................. 184

6.4.3, Случай большой емкости контакта................ 188

6.4.4. Другие подходы к рассмотрению влияния шума на свойстве
контактов......................................... .189

Г лава 7. Другие типы сверхпроводящих слабых связей.............193

7.1. Контакты с металлическим барьером • 193

7.1.1. Эффект близости .................................193

7.1.2. Контакты S -N -S ............................. . 196

7.1.3. Структуры 5 -/ -N -S о □ ...... 199

7.2. Контакты с полупроводниковым барьером ...............° «204

7.2.1. Прослойки различных полупроводниковых материалов ..... 204

7.2.2. Контакты со светочувствительным полупроводниковым
барьером .□••••.•••.0...00..0 оо.о.о.о. .207

7оЗо Мостиковые контакты ............ ....... ........ 214

7.3.1. Статический случай .........................218

7.3.2. ВАХ ...................................... 223

7.3.3. Интерпретация токовых состояний ............226

7оЗЛ. Некоторые аспекты неравновесной сверхпроводимос-

ти 00.0 ..•••0О......0О 00000000000...0 233

7.4. Слабые связи типа точечных контактов .............236

Глава 8. Технология изготовления джозефсоновских структур....239

8.1. Джозефсоновские туннельные контакты...........239

в.2о Электроды туннельных структур............... 240

8.2.1. Мягкие металлы......................... 241

8.2.2. Сплавы мягких металлов......................242

8.2.3. Жесткие материалы (переходные металлы).... 245

8.3. Оксидные барьеры ............................... 247

8.3.1. Термическое окисление ............... ° .... - 248

8пЗ.2. Окисление в тлеющем разделе . » .250

8.3.3. Окисление в тлеющем ВЧ разряде.............. 252
8.4о Формирование контактов • • в . . . • . . . . . . . • . . . • . . . • . . 254

8.4.1. Металлические маски.........................255

8о4.2о Фотолитография . . 0 о □ о • . . □ о . • . . о о о . . . о . . . 0 255

8.4.3. Метод съема металлической пленки . . . о. □ 0 . 0 . . о о 257

8.4.4. Электронная литография . . о . . о о 0 . о . . . . . . . . . • 260

8.4.5. Рентгеновская литография . . . 0 0 о . . о о . • . . □ . «, . 262

8о5. Простые методы изготовления джозефсоновских контактов
с оксидным туннельным барьером........................263

8.5.1. Изготовление контактов термическим испарением . . . 263

8.5.2. Получение базовых пленок контактов катодным
распылением ............................ о .. . 265

8.5.3. Другие виды структур с оксидными барьерами ..... 266

8.6. Полупроводниковые барьеры ................................................267

8.6.1. Различные полупроводники . . .................................... 268

8.6.2. Светочувствительные барьеры ................ 269

8.6.3. Контакты с монокристаллическими барьерами ...... 273

8.7. Сверхпроводящие мостики................................................ .274

8.8. Сверхпроводящие точечные контакты . .......279

Г пава 9. Резонансные моды в туннельных структурах ............ .282

9.1. Джозефсоновский контакт в качестве линии передачи................. . 282

9.2. Резонансные моды контактов с малой добротностью ...... 285

9.3о Бесконечно длинная структура ....... ............... 296

9.4. Неоднородное распределение плотности тока . 0 о 0 .. о □ о о . . 299

9.5. Резонансные моды в контактах с высокой добротностью .... 302

Г лава 10. Динамика флуксона . о . . . е .... . 0 . . . . ..... . □ . « . о . . 312

10.10 Уравнение синус-Гордона ...... .................. 312

10.1.1 . Решения типа бегущей волны .... 0 □ 313

10.1.2 . Функция энергии ......................... 317

10.2. Нелинейные стоячие волны в прямоугольных контактах .... 319

10.3. Влияние диссипации и тока смещения ... 0 . 322

10о4о Ступеньки нулевого поля ......... . ..... . . . ..... . 327

10.5. Анализ динамики флуксонов методом теории возмущений . . . 328

10.5.1. Динамика одиночного флуксона ............... 329

10.5.2. Флуксон-антифлуксонная аннигиляция .......... .334

10.6. Влияние движения потока на ВАХ для постоянного тока . . . .335

10.7. Двумерные контакты ........................... 338

Г пава 11 в Высокочастотные свойства и применения эффекта Джозефсс-

на у О.О. ..00.00 о.оооооооОеоо..о.о.оо..оо..о. 341

11о1о Простая модель заданного напряжения . . □ о .... ...... . 341

11.1.1. Ступеньки на ВАХ8 вызванные СВЧ облучением . . . .341

11.1.2. Влияние флуктуаций на ступеньки напряжения ..... 344

11.2. Туннельные переходы во внешнем СВЧ излучения ... .... . 346

11.2 .1. Риделевский пик . . . . ..... 0 ..... ... о ..... . 346

112.2. Учет влияния конечных размеров контакта . . . . . о . 356

11.3о Модель заданного тока .. о .... 0 ... 0 ...... о . . ..... 357

11.4. Изучение электромагнитных волн . 0 . . ........ ..... . 362
11о5о Детектирование излучения 0 о 0 . □ . 0 . . . 0 * . » . □ □ о 0 □ □ □ . О373
11.5.1. Широкополосные детекторы в о . . . . . . 0 о 0 . . . . . . О374
11.5.2. Узкополосные детекторы в . . . . . . в „ а . . □ □ . - . . о 380

11 в6о Параметрическое усиление . . . . □ . □ о . □ □ . . 0 . 0 . о . . . □ . 388
11.6.1. Параметрические усилители с внешней накачкой джо-
зефсоновских элементов . 0 . . . . . . . . . . . . . . о . . □ 389

11.6.2. Параметрические усилители с самонакачкой . . . 0 0 . о 0 . ..404
11.7. Измерение отношение 2e/h и эталон вольта . □ . . . . . □ 0 0 . 404

Г пава 12. Сверхпроводящие контуры с джозефсоновскими контактами . »417
12.1 о Квантование флуксоида ооооооо.оооооо.ооо.0оооо. 417

12.2. Сверхпроводящая петля с одним контактом . . . . . . . 0 . . . . .423
12о2о1о Метастабильные состояния . . . . ................... 424

12.2.2. Внешнее магнитное поле . . . . 0 . . . . □ . . . . . . . □ . 425
12.2.3. Динамика переходов с изменением потока

ДЛЯ В > 1 42R

I OQQOOOOeQQQaOOO oQ *00000000 О Q О • teVz

12.3. Сверхпроводящий интерферометр . . . . о . . □ . . . . . . . . о . о 433
12.3.1. Петля с нулевой индуктивностью . 0 0 . 0 0 . □ □ . . о . . 434
12.3.2. Метастабильные состояния . . . . 0 . . . . . . . □ □ . 0 о 0 438
12оЗоЗо Асимметричный двухконтактный интерферометр 0 0 0 „440

Г пава 13. СКВИДы: теория и применение о о 0 0 □ 0 □ 0 □ □ □ □ 0 ° □ □ 0 0 о 0 □ 448
13о1о СКВИД с высокочастотным смещением о □ □ в о 0 0 с & о о . о 0 .449
13.1.1 □ Влияние параметрической индуктивности о u 0 . . 0 0 □ О449
13о1о2о ВЧ СКВИД в безгистерезисном режиме 0 о 0 . . 0 . 0 □ .454
13.1.3. ВЧ СКВИД в гистерезисном режиме (рв > 1 ) 0 0 0 о u О463
13.2. СКВИД со смещением по постоянному току u q 0 0 о 0 .0 . о о v 470
13о3. Шумы и максимальная чувствительность оо . ......... . 477
13о3.1о ВЧ магнитометры u u . о u 0 . о 0 0 0 о . о „ о . . > 0 u 478

13.3.2. ПТ-магнитометры .... 0 ....... 0 ... о . 482

13.3.3. Предельная чувствительность практических ус-

ТрО ИСТВ 0.00.000. 000 ... ........ ООО о. о. с 484
13.4о Практическая реализация сверхпроводящих

интерферометров o.o.uco.ooe.eoo. оо.о.оо.оооо ° *- 485
13.4о1. Одноконтактные устройства ... 0 ....... 0 . о .. t 486
13.4,2. Двухконтактные интерферометры о о 0 . . . о . . . . . . 490
13.5о Методика измерений ... u ......... с 0 . 0 0 .... о .... - 495
13.5.1. Потокозапирающая система . . ........ . . . . . « . »495
13.5.2, Сверхпроводящие трансформаторы ....... ..... . 498
13 об о Резистивный СКВИД . ............. ..... ...... . о.501

13.6.1. Резистивный СКВИД со смещением постоянным на»
пряжением . . ? . . . 0 . . . . . . . . . □ □ . . . о . о . . . . . 501

13.6.2. Резистивный СКВИД с ВЧ смещением . . . . . о . о □ . 504
13.7. Практические применения СКВИДов , ...... 0 ...... 0 . о 506

13.7.1. Измерение тока, напряжения и сопротивления ..... 507
13.7.2. Измерение магнитной восприимчивости .... о ... . 509
13.7.3. Применение в медицине ............... о .. о . 513
13.7.4. Геомагнетизм и .... г ............... - 518
Г пава 14, Элементы вычислительных машин 0 0 0 0 « □ 0 <, □ □ в <> <> ° □ ° ° » ° 521
1 4о1 о КрИОТрОНЫ OOOOOeeOQOUOOOtOOOOOOOOOOOOOuOOOOO 521
14о2о Эксперименты Матисоо 0 о 0 о о о о о 0 о 0 о □ <. □ » « о □ ° □ ° о □ « 524

14»2о1а Туннельный криотрон о 0 о о 0 о в 0 □ 0 0 □ 0 0 0 о □ » □ о □ О524

14о2о2о Триггерная схема

14о30 Времена срабатывания 0 0 „ 0 0 о 0 в о 0 о 0 о 0 u . 0 0 . 0 0 о 0 в о „ 530

14О4О Различные режимы переключения криотронов в о 0 0 о 0 0 о 0 0 О532

14о5о Интерференционные переключающие устройства u 0 о о о 0 о о о 536
14о6о ЭЛеМеНТЫ памяти оо ооооооооооооооо оооооооооооо о539
14с6о1о Триггер как элемент памяти 0 о » о 0 □□□□»□<, 0 « • « 539
14о6о2о Запоминающие устройства на одиночных квантах

ПОТОКа оаооаоаосоооооооаооаеооооооооооо 540

14о7с Примеры джозефсоновских логических и запоминающих

схем OOOoOOuOQQOOOOOOOOOOOOOQOOOQO оеоооооо 545
14о8о Характеристика систем и требования к ним □ □ 0 « . « . о о о . « 550
14и9о Выводы и- перспективы . 0 0 » в . о 0 0 0 0 □ . □ о 0 □ » о □ □ 0 о о 0 553

Приложение, Системы единиц о о о о . о 0 0 о . 0 □□□□ о 0 □ Q о □ . 555

II о 1О Замечания о системах единиц . 0 0 . о . . . о 0 0 . 0 □ □ о • □ □ □ □ 555

II о 2а Т абпицы для перевода ооооьоо»ооооо ос«о«ооеооооо 555

ЛИТЕР АТУР А оооо оаооо»в«оовв*в»«оооиоооооооово«*ооо 560
Антонио Бароне, Джанфранко Патерно

ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА: физика и применение

Научный редактор Л.И.Третьякова

Мл.научн. редакторы В.И.Аксенова, В.Н.Цпаф

Художник В.А.Скерсис

Художественный редактор В.А.Захаров

Технический редактор Т.А.Алюлина

Корректор Р.Л.Вибке

ИБ № 3955

Подписано к печати 26.06.84.

Формат 60x90/16.

Бумага офсетная № 1.

Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем 20,00 бум.л.

Усл. печ. л. 40,00 Усл.кр.-отт. 40,00.

Уч.-изд.л. 35,93. Изд. № 2/3220.

Тираж 2700 экз. Зак. 436 Цена 5 р. 80 к.

Набрано в издательстве ’’Мир" на участке оперативной полиграфии
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли.

300600, Тула, проспект им. В.И.Ленина, 109.