Text
                    INTERNATIONAL SERIES IN
PURE AND APPLIED PHYSICS
INTRODUCTION
TO SUPERCONDUCTIVITY
MICHAEL TINKHAM
Gordon McKay Professor of Applied Physics
and Professor of Physics
Harvard University
McGRAW-HILL
BOOK COMPANY
1975


198 М. ТИНКХАМ ВВЕДЕНИЕ В СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Перевод с английского В. К- Корнева, Л. С. Кузьмина М. Ю. Куприянова, Л. А. Масловбй, Р. А. Ченцова Под редакцией доктора физико-математических наук К- К. Лихарева Москва Атомиздат 19S0
УДК 537.312.62 УДК 537.312.62 Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость: Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1980.— Пер. изд.: США, 1975. 310 с. Книга известного американского специалиста М. Тинкха- ма является лучшим в настоящее время учебником по- физическим основам фундаментальной и прикладной сверх- сверхпроводимости. Последовательно рассмотрены свойства сверх- сверхпроводников, начиная с таких традиционных вопросов, как теория Бардина—Купера—Шриффера, теория Гинзбурга— Ландау, сверхпроводники I и II рода, и кончая такими сов- современными проблемами, как эффект Джозефсона и его при- применения и флуктуационные эффекты. Для студентов физических, радиоэлектронных и электро- электротехнических специальностей, а также аспирантов, инженеров, и научных работников, имеющих отношение к явлению- сверхпроводимости. Ил. 68. Библиогр. 378. 20403—055 © McGraw-Hill, 1975 — 55—30 17040G00001 © Перевод на русский язык, 0о4@1)-80 Атомиздат, 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Несмотря на то, что на русском языке издано значительное число книг по общей теории сверхпроводимости, до сих пор среди них не было такой, которая могла бы играть роль учебника по основам этой важной области науки. Пожалуй, первой такой книгой является предлагаемая вниманию читателя книга извест- известного американского специалиста профессора Гарвардского уни- университета Майкла Тинкхама. Автор широко известен своими науч- научными работами в области сверхпроводимости и монографиями «Сверхпроводимость» и «Теория групп и квантовая механика». Научные интересы проф. М. Тинкхама лежат в основном в об- области электродинамических свойств сверхпроводников. В конце 50-х — начале 60-х годов именно эксперименты по поглощению инфракрасного излучения сверхпроводящими тонкими пленками, проведенные М. Тинкхамом и сотрудниками, явились одним из основных подтверждений только что созданной микроскопической теории БКШ. В середине 60-х годов он первым обращает внима- внимание на важность явления релаксации параметра порядка, в том числе при вязком течении вихрей. В конце 60-х годов возглавляе- возглавляемая автором книги группа активно подключается к исследованию эффекта Джозефсона и созданию на его основе уникальных по чувствительности низкочастотных измерительных приборов — сквидов. В 1972 г. М. Тинкхам публикует совместно с проф. Дж. Кларком ряд статей, положивших основу изучению нового эффекта — разбаланса населенности квазичастичной и квазиды- квазидырочной ветвей спектра возбуждений. Как оказалось впоследствии, такой разбаланс возникает чуть ли не при любых неравновесных и нелинейных нестационарных процессах в сверхпроводниках. В последние годы группа проф. Тинкхама ведет активные исследо- исследования в наиболее горячих точках современной науки о сверхпро- сверхпроводимости, в основном в актуальной области неравновесной сверх- сверхпроводимости и нестационарного эффекта Джозефсона. Указанный выше спектр научных интересов автора настоящей книги не мог не отразиться на ее содержании. В результате элек- электродинамические свойства сверхпроводников, их когерентные свойства, макроскопические квантовые эффекты и флуктуацион- ные явления рассмотрены в ней даже подробнее, чем в известных монографиях, переведенных на русский язык. Разумеется, в такой пристрастности автора скрывается причи- причина и ряда недостатков книги. Слишком подробно, например, изла-
гается в гл. 3 теория проникновения магнитного поля в массивные сверхпроводники, а также ряд других разделов, которые пред- представляют в настоящее время в основном исторический интерес. Вместе с тем недостаточно последовательно излагаются основы микроскопической теории; впрочем, последний недостаток частич- частично компенсируется наличием на русском языке таких книг, как сборник статей «Теория сверхпроводимости», монографии Дж. Шриффера под тем же названием, а также недавно вышедшего тома Е. М. Лифшица и Л. П. Питаевского из курса теоретической физики Ландау—Лифшица. Кроме этого, изложение основ исполь- использования сверхпроводников в сильных магнитах (гл. 5) далеко от современного уровня знаний в этой своеобразной области техники. Не упоминается в книге и о сути основных проблем, возникающих при применении сверхпроводников в линиях электропередачи, электрических машинах и транспортных системах с магнитной подвеской. Следует, однако, отметить, что автор сумел во многом преодо- преодолеть указанную выше творческую пристрастность и организовать книгу достаточно логичным и последовательным образом. Именно это делает ее вполне пригодной в качестве первого чтения по тео- теории сверхпроводимости для всех, кто начинает работу или хотя бы соприкасается с исследованиями в этой увлекательной области. Книгу переводил коллектив в составе В. К. Корнева (гл. 3), Л. С. Кузьмина (гл. 6), М. Ю. Куприянова (гл. 2, 5), Л. А. Мас- ловой (гл. 1, 4, 8) и Р. А. Ченцова (гл. 7). Перевод не был легким как из-за отсутствия установившейся русской терминологии в ряде новых разделов, так и из-за своеобразного стиля автора, более близкого к лекционному, чем к используемому в научных статьях и монографиях. Мы не сочли возможным радикально менять этот стиль и ограничились чисто литературными поправками и исправ- исправлением фактических опечаток (список некоторых из них был лю- любезно прислан нам автором книги). Кроме этого, в перевод внесен ряд примечаний. Они относятся в основном к тем частям книги, которые содержат наиболее свежий материал (гл. 6—8); эти замечания отражают успехи, которые были достигнуты в данных областях уже после выхода в свет английского издания. Этой же цели служит добавление при переводе ссылок на новые ориги- оригинальные работы; добавлены также некоторые важные статьи со- советских авторов более ранних лет. К. К- Лихарев
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Для меня было приятным сюрпризом известие о том, что по инициативе моего коллеги и друга К. К- Лихарева был выполнен перевод этого учебника на русский язык и что этот перевод будет опубликован, так что книга станет доступной широкому кругу советских читателей. К. К- Лихарев и его сотрудники провели об- обширные исследования, используя тот же подход, что и я сам, т. е. применение теории Гинзбурга — Ландау к различным конкретным экспериментальным ситуациям. Поэтому я уверен, что их перевод отражает тот дух, в котором была написана книга. Я надеюсь, что этот перевод будет полезен студентам в Совет- Советском Союзе, а также что он в какой-то степени будет способство- способствовать знакомству и улучшению взаимного понимания двух боль- больших групл исследователей явления сверхпроводимости, публикую- публикующих свои работы на русском и английском языках. М. Тинкхам 20 июня 1979 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ Эта книга возникла на основе записей лекций, первоначально написанных для аспирантов Гарвардского университета в течение осеннего семестра 1969 г. Позднее они были переписаны во время моей работы в Кавендишской лаборатории в 1971—1972 гг. и во время повторного чтения курса лекций в Гарварде в 1973 г. Цель лекций и этой книги — дать на современном уровне вве- введение в увлекательное физическое явление — сверхпроводимость, а также в некоторые из ее возможных применений. Главное вни- внимание уделяется описанию большого числа разнообразных физиче- физических явлений и их объяснению возможно более простым способом. Поэтому мы избегали применения термодинамических функций Грина, несмотря на моду на них и несомненную пользу в руках квалифицированных теоретиков. Вместо этого в книге подчерки- подчеркивается способность феноменологической теории давать ясное по- понимание физических явлений, в то время как микроскопическая теория часто используется лишь для вычисления коэффициентов в феноменологических уравнениях.
Надеюсь, что упор на феноменологическую теорию сделает изложение более доступным для экспериментаторов, а также до- дополнит более общее изложение формальных теоретических аспек- аспектов сверхпроводимости, сделанное в большинстве книг, вышедших к настоящему времени. Автором руководила надежда, что приме- применение возможно более простых теоретических методов сделает книгу более ценной для студентов старших курсов и инженеров- технологов, имеющих недостаточную подготовку в области теоре- теоретической физики. Книга в некотором смысле представляет собой более современ- современный и значительно расширенный вариант лекций автора, написан- написанных в 1961 г. Однако за прошедшие годы произошло такое бурное развитие излагаемого предмета, что эти заметки к лекциям в действительности были переписаны дважды от начала до конца. В процессе работы автор часто обращался к прекрасной книге Де Жена «Сверхпроводимость металлов и сплавов» и к двухтом- двухтомному сборнику статей «Сверхпроводимость», вышедшему под ре- редакцией Паркса. Почти все в этой книге в той или иной форме было опубликовано раньше, но некоторые излагаемые проблемы, в особенности флуктуационные эффекты, были разработаны сов- совсем недавно и они поэтому не могли появиться в ранее изданных книгах. Не было попытки дать исчерпывающую и законченную кар- картину излагаемого предмета: такой подход потребовал в свое вре- время двух томов сборника Паркса, упомянутого выше. Вместо этого автор предпочел познакомить читателя лишь с избранными раз- разделами сверхпроводимости, которые отражают его собственное внимание к электродинамическим свойствам сверхпроводников. В конце концов именно эти свойства придают этой области непо- неповторимый колорит. Ограниченность времени при чтении курса лекций наложила жесткие требования на отбор тем и глубину из- изложения материала. Книга начинается с вводного обзора, в котором излагается суть явлений, рассматриваемых в книге, и приводятся некоторые факты из истории сверхпроводимости. Мы советуем читателю рас- рассматривать эту главу только как беглое описание, предназначен- предназначенное для ознакомления с общими понятиями и языком изложения; более подробные объяснения даются в последующих главах книги. Понятно, что читатель не должен утруждать себя попытками сра- сразу уяснить все результаты, которые в этом разделе излагаются лишь поверхностно. Вторая глава посвящена теории БКШ — микроскопической теории, созданной Бардиным, Купером и Шриффером для объяс- объяснения сверхпроводящего состояния. Изложение этой теории при- приводится в начале книги, поскольку без привлечения понятий этой теории никакое серьезное обсуждение явления сверхпроводимости невозможно. К сожалению, эта глава имеет наиболее непривле- непривлекательный вид для чтения по сравнению с любой другой частью книги из-за теоретического формализма изложения, но это не
должно обескураживать читателя. В последующих главах эти ма- математические подробности используются мало, поэтому ее можно лишь бегло просмотреть для понимания основных идей (которые обобщаются в заключительном разделе главы) и обращаться к ней, только если потребуется более детальное понимание отдель- отдельных положений. С третьей главы мы переходим к феноменологическому уровню изложения, который характерен для остальной части книги. Сна- Сначала исследуется влияние нелокальной электродинамики на опре- определение эффективной глубины проникновения магнитного поля в массивный сверхпроводник и тонкую сверхпроводящую пленку; тщательное обсуждение последней темы отражает исторический интерес к ней автора. Затем приводится упрощенная трактовка промежуточного состояния, в котором в присутствии магнитного поля сосуществуют сверхпроводящая и нормальная фазы матери- материала. В главе 4 излагается теория Гинзбурга — Ландау с тех же феноменологических позиций, как это было сделано самими авторами. Эта теория затем применяется к широкому кругу клас- классических проблем, таких как энергия границы домена, плотность критического тока, квантование флуксоида, критические поля пле- пленок и фолы, верхнее критическое поле Яс2, абрикосовское вихре- вихревое состояние и поля образования поверхностных зародышей #сз. Идеи, излагаемые в этой главе, лежат в основе трактовки явлений, обсуждаемых в следующих главах, что дополнительно иллюстри- иллюстрирует возможности метода Гинзбурга — Ландау. В главе 5 более подробно рассматриваются магнитные свой- свойства сверхпроводников II рода. После того как будет рассмотрено равномерное распределение потока, мы сосредоточим свое внима- внимание на обсуждении «крипа» и течения потока под влиянием про- проходящих («транспортных») токов. Таким образом, мы проникаем в суть явлений, ограничивающих применение сверхпроводников II рода в сильных магнитах. Глава завершается обсуждением факторов, которые следует учитывать при конструировании сверх- сверхпроводящих магнитов для создания переменных во времени полей, включая использование для уменьшения потерь скрученных мно- многожильных композитных проводников, с одновременным обеспече- обеспечением термической устойчивости. Глава 6 посвящена эффекту Джозефсона и макроскопическим квантовым явлениям. Эти явления представляют собой одни из самых отчетливых и наиболее фундаментальных характеристик сверхпроводимости и, кроме того, лежат в основе работы чувстви- чувствительных приборов, совершивших переворот в области электромаг- электромагнитных измерений. В нашем изложении отражены обе эти сторо- стороны; в частности, здесь впервые дается подробное описание магни- магнитометров — сквидов. Хотя много лет считалось, что термодинамические флуктуации в сверхпроводниках являются малыми и поэтому ненаблюдаемы- ненаблюдаемыми, появление упомянутых сверхпроводящих приборов сделало О
возможным наблюдение таких эффектов при температурах как выше, так и ниже критической. В главе 7 дается обзор этих явле- явлений как для электрической проводимости, так и для диамагнетиз- диамагнетизма. Например, показано, как флуктуационные эффекты наклады- накладывают предел (хотя и огромный по величине) на время существо- существования незатухающих токов при температуре ниже Тс, а также что эти эффекты вызывают появление «предвестников» сверхпроводи- сверхпроводимости при температуре выше Тс. Поскольку этот раздел сверхпро- сверхпроводимости в основном развился после появления книги Паркса, то наша книга является первой, которая содержит подробное об- обсуждение этой интересной и новой стороны явления сверхпрово- сверхпроводимости. Заключительная глава посвящена вводному обсуждению трех тем: метода Боголюбова, бесщелевой сверхпроводимости и неста- нестационарного обобщения теории Гинзбурга — Ландау. Эти темы выходят за рамки элементарного феноменологического подхода Гинзбурга — Ландау и в большей степени требуют микроскопиче- микроскопического подхода. Тем не менее основные идеи и выводы, касающиеся этих явлений, пришлось изложить при обсуждении проблем, рас- рассмотренных ранее; более того, эти темы составляют основу со- современных исследований проблемы сверхпроводимости. Именно поэтому нам казалось целесообразным завершить эту книгу крат- кратким обзором таких направлений, где последнее слово еще отнюдь не сказано. В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить рецензентов рукописи за конструктивные замечания; особенно цен- ценным явилось чтение рукописи доктором Ричардом Харрисом. Весь- Весьма полезными также оказались замечания студентов, которые пользовались конспектами лекций. При подготовке окончательного варианта рукописи очень ценным для непрерывного продвижения в работе явилось быстрое и тщательное печатание г-жой Патри- Патрицией Маккарти. Автор хотел бы поблагодарить также своих мно- многочисленных студентов, коллег и сотрудников, особенно в Беркли, Орсэ, Гарварде и Кембридже, за создание обстановки, в которой его исследования сверхпроводимости явились таким приятным занятием. Хотя невозможно перечислить всех, я не могу окончить это предисловие без высокой оценки многочисленных плодотвор- плодотворных дискуссий на протяжении ряда лет с М. Р. Бизли, Дж. Клар- Кларком, П. Де Женом, Р. А. Феррелом и Р. Е. Гловером. Если эта книга поможет получить другим такое же удовольствие от за- занятия сверхпроводимостью, какое получил я, то ее назначение будет выполнено. Майкл Тинкхам
МЭРИ, ДЖЕФРИ И КРИСТОФЕРУ Глава 1 ВВОДНЫЙ ОБЗОР Сверхпроводимость была открыта в 1911 г. в Лейдене Камер- линг-Оннесом уже через три года после того, как он впервые по- получил жидкий гелий, необходимый для достижения температуры в несколько.кельвин. В течение нескольких десятилетий ученым, работающим в этой области, не удавалось достигнуть фундамен- фундаментального понимания явления сверхпроводимости, но в последние годы выявилась его весьма полная физическая картина. Цель этой книги — познакомить читателя с такой картиной. Начнем эту главу с обзора основных наблюдаемых электроди- электродинамических явлений и их первоначального феноменологического описания. Затем вкратце обрисуем развитие более поздних кон- концепций, которые являются основными в современном понимании сверхпроводимости. Такой, хотя и краткий, квазиисторический об- обзор развития проблемы будет полезным для ориентировки чита- читателя в тексте последующих глав, в которых дается более подроб- подробное изложение. 1.1. Основные факты Явление, которое наблюдал Камерлинг-Оннес [1], заключа- заключалось в следующем. Электрическое сопротивление различных ме- металлов, таких, как ртуть, свинец и олово, полностью резко исче- исчезало при некоторой критической температуре Тс, своей для каж- каждого металла. Полное исчезновение сопротивления проявляется наиболее наглядно в экспериментах с незатухающими токами в сверхпроводящих кольцах, схема которых показана на рис. 1.1. Оказалось, что такие токи протекают без измеримого уменьшения в течение года после их начального возбуждения. С использова- использованием для обнаружения уменьшения магнитного поля, образован- образованного циркулирующим током, ядерного резонанса была установ- установлена нижняя граница характерного времени спадания тока. Она оказалась равной 105 годам. Фактически же при некоторых об- обстоятельствах можно ожидать абсолютного отсутствия изменений тока и магнитного поля за время не менее 1010'0 лет! Такая иде- идеальная проводимость традиционно считается первым характерным свойством сверхпроводимости. Это свойство является также необ- необходимым условием для большинства возможных применений сверхпроводимости, например в сильноточных линиях передачи или в мощных магнитах. 11
Рис. 1.1. Схематическое изоб- изображение эксперимента с не- незатухающим током Рис. 1.2. Схематическое изоб- изображение выталкивания маг- магнитного потока из внутренней области массивного сверхпро- сверхпроводника. Глубина проникнове- о ния X обычно равна 500 А Другим характерным свойством сверхпроводимости является идеальный диамагнетизм, открытый в 1933 г. Мейсснером и Ок- сенфельдом [2]. Они обнаружили не только отсутствие проникно- проникновения магнитного поля в сверхпроводник (рис. 1.2), что, как мог- могло показаться, объясняется идеальной проводимостью, но и <ивы- талкивание» поля из первоначально нормального образца (при условии его высокого качества), когда он охлаждается ниже тем- температуры Тс. Это явление, конечно, не могло быть объяснено идеальной проводимостью, которая лишь удерживала бы началь- начальный поток внутри образца. Существование обратимого эффекта Мейсснера означает, что сверхпроводимость должна разрушаться критическим магнитным полем Нс, которое термодинамически связано с разностью свободных энергий нормального и сверхпро- сверхпроводящего состояний при нулевом поле или с так называемой энер- энергией конденсации сверхпроводящего состояния. Точнее, Яс опре- определяется приравниванием энергии единичного объема Яс2/8п, свя- связанной с выталкиванием поля, к энергии конденсации. Таким об- образом, -^¦=fn(T)-fs(T). A-1) где fn и fs — свободные энергии Гельмго'льца на единицу объема для двух фаз. Эмпирически было установлено, что зависимость НС(Т) достаточно хорошо аппроксимируется параболическим за- законом (рис. 1.3): 12 ~^J]. A.2)
Рис. 1.3. Температурная зависи- зависимость критического поля Нс от температуры Т НЛО) tt.fr) Нормальный, металл Сверхпроводник Т, Т Вто время как переход при Тс для нулевого поля является фазо- фазовым переходом второго рода, фазовый переход в присутствии поля представляет собой переход первого рода, при котором про- происходит изменение термодинамического состояния системы и свя- связанной с этим скрытой теплоты. В действительности диамагнетизм идеален только для массивных образцов, так как поле всегда про- проникает на конечную глубину К, равную обычно '-'500 А. 1.2. Уравнения Лондонов Указанные два основных электродинамических свойства, кото- которые делают сверхпроводимость таким уникальным явлением, были удачно описаны в 1935 г. братьями Ф. и X. Лондонами [3] с по- помощью двух уравнений, определяющих электрическое и магнитное поля: д at A.3) i = —crot(AJ,), A.4) где величина Л = (l.o) является феноменологическим параметром. Предполагалось, что «удельная плотность сверхпроводящих электронов» п* изменяется непрерывно от нуля при Тс до предельного значения порядка п при Т<^Т,, где п — плотность электронов проводимости. В фор- формуле A.4) мы использовали удобное обозначение магнитной пн- дукцпи в микроскопическом масштабе буквой h, оставив букву. В для обозначения усредненного значения макроскопического поля. Для симметрии обозначений следовало бы использовать таким же образом букву е для обозначения микроскопического локального 13
поля Е, однако будем делать так только в некоторых необходи- необходимых случаях *, для того чтобы не смешивать это обозначение с зарядом электрона е. Условные обозначения обсуждаются в При- Приложении. Первое из этих уравнений описывает идеальную проводимость, так как любое электрическое поле ускоряет сверхпроводящие электроны, а не просто поддерживает их скорость при наличии сопротивления, как это происходит в нормальном проводнике. Второе уравнение Лондонов при соединении с уравнением Макс- Максвелла roth = 4nJ/c A.6) приводит к уравнению i A.7) Это означает, что магнитное поле экспоненциально уменьшается внутри образца с глубиной проникновения XL, т. е. уравнение A.7) описывает эффект Мейсснера. Таким образом, параметр Кь в формуле A.5) может быть определен экспериментально как глу- глубина проникновения поля. Уравнение A.3) можно просто, хотя и не строго, вывести, рас- рассматривая воздействие однородного электрического поля на идеальный нормальный проводник, т. е. на газ свободных электро- электронов со. средней длиной свободного пробега 1 = оо. В этом случае d(mv)/dt = еЕ и S = ne\, откуда следует формула A.3). Этот вывод, однако, несправедлив для полей, пространственно неодно- неоднородных в области проникновения, для которых пригодны урав- уравнения A.3) и A.4). Недостаток вывода заключается в том, что воздействие электрических полей на электронный газ является не- нелокальным, так что ток в точке определяется электрическим по- полем, усредненным по области с радиусом ~1 около этой точки. Следовательно, только поля, однородные в области указанного размера, оказывают такое полное воздействие; в частности, про- проводимость становится бесконечной при /->оо только при полях, заполняющих все пространство. Так как здесь мы имеем дело с границей между областью с наличием поля и без него, то стано- становится ясно, что даже при / = оо эффективная проводимость оста- остается конечной. Для случая переменного тока это хорошо знако- * Фундаментальной причиной асимметрии наших обозначений для Е и В являются уравнения Максвелла rot h = 4itJ/c, rot e = — h/c. Сверхпроводники в состоянии равновесия могут иметь ненулевое значение J,, которое описывается уравнениями Лондонов и приводит к изменению h в масштабе X. Но в равновесии или хотя бы в стационарном состоянии h=0, так что е равно нулю-или, по крайней мере, постоянно. Таким образом, исполь- использование обоих обозначений е и Е не дает преимущества. Различие е и Е ценно только при рассмотрении явлений, зависящих от времени, таких, как движение- вихрей, переносящих поток, в сверхпроводниках II рода. 14
мый предельно аномальный скин-эффект, при котором существует конечное поверхностное сопротивление даже при Z-»-oo. Если вме- вместо этого рассматривать неустановившийся случай, когда магнит- магнитное поле внезапно прикладывается к нормальному металлу с i = oo, то поле будет проникать на глубину, которая увеличивается со временем по закону t1/3. Таким образом, нормальная проводи- проводимость даже с бесконечной средней длиной свободного пробега электронов не может объяснить непрерывного выталкивания по- потока. Более того, невозможно объяснить существование незату- незатухающих токов б кольце, если только не предполагать, что рассея- рассеяние электронов на поверхности является полностью зеркальным. Намного более глубоким является квантовое обоснование урав- уравнений Лондонов, данное самим Ф. Лондоном [4] и придающее особое значение использованию вектора-потенциала А. Замечая, что канонический момент р равен р = т\ + еА/с, и считая, что в отсутствие приложенного поля основное состояние должно обла- обладать (как следует- из теоремы * Блоха) нулевым общим моментом, получаем выражение для локальной средней скорости в присутст- присутствии поля <ул) = —eA/mc' Это выражение должно быть справедливо, если постулировать, что по некоторой причине волновая функция сверхпроводящих электронов является «жесткой» и сохраняет ту форму, которую она имеет для основного состояния, так что <р> = 0. Обозначая удельную плотность электронов, участвующих в этом жестком ос- основном состоянии, через ns, получаем 3S = nse <vs> = — nse2hlmc = — к/Ас. A.8) Продифференцировав по времени обе части равенства, придем к уравнению A.3), а взяв rot, получим равенство A.4). Таким об- образом, формула A.8) содержит оба уравнения Лондонов в ком- компактной и удобной форме. Соотношение A.8), очевидно, не явля- является градиентно-инвариантным, поэтому оно будет верно только при специальном выборе калибровки. Эта калибровка, известная как лондоновская, производится так, чтобы выполнялись условия: divA = 0 (или divJ = O); нормальная компонента А на поверхности должна быть связана со сверхтоком через поверхность соотноше- соотношением A.8) и А-»-0 внутри массивных образцов. Приведенные выше рассуждения Лондона оставляют открытым вопрос о действительном значении л„ но естественный верхний предел для п„ равен полной плотности электронов проводимости п. Если ввести этот предел в формулу A.5), получим /г . A.9) Выбранное обозначение указывает, что выражение A.9) является * Эта знаменитая теорема, по-видимому, так и не была опубликована автором (см. [4, с. ИЗ]). 15
предельным значением для X при Г-vO, так как ожидается, что ns должно плавно падать до нуля при Т-*~ТС. Тщательные измерения глубины проникновения для нормальных и сверхпроводящих об- образцов, выполненные на радиочастотах, показали, что в случае сверхпроводников глубина проникновения К всегда больше, чем Xl@), даже при экстраполяции данных к Г=0. Эту избыточную глубину проникновения можно качественно объяснить в рамках теории Лондона как показатель неполной жесткости волновой функции, так что ns<n; количественное же объяснение требует введения такого дополнительного понятия, как длина когерентно- когерентности go- 1.3. Нелокальная электродинамика Пиппардэ Пиппард ввел [5] понятие длины когерентности, предложив нелокальное обобщение уравнения Лондона A.8). Это было сде- сделано по аналогии со сделанным Чемберсом * нелокальным обоб- обобщением закона Ома при переходе от простой формулы J(r) = = аЕ(г) к более полной: ,, _ За pR[R.E(r')Iap(-g/Q . , где R = r—г'. Эта формула учитывает тот факт, что ток в точке г зависит от значений Е(г') во всех точках с расстояниями 5; / около точки г. Пиппард указал, что сверхпроводящая волно- волновая функция должна иметь подобный характерный размер go, ко- который можно оценить, исходя из принципа неопределенности. Так, в явлении, происходящем при Т ^Тс, главную роль могут играть только электроны с энергиями ~&ГС, отсчитанными от поверх- поверхности Ферми, а эти электроны имеют диапазон значений импульса, равный Ар«kTJvF, где uF — скорость Ферми. Таким образом, Ax^Ti/ApivhvF/kTc, что приводит к характерной длине lo = ahvF/kTc, (i.iO) где а — подлежащая определению численная константа порядка единицы. Для типичных материалов, используемых в качестве сверхпроводников, таких, как олово и алюминий, ^^^^(О). Если Ео представляет собой минимальный размер волновых пакетов, которые могут образовывать сверхпроводящие носители заряда, то со стороны поля А (г), которое не сохраняет своего максималь- максимального значения внутри объема радиуса ~g0 около точки наблюде- наблюдения, следует ожидать уменьшенного воздействия на сверхток. Таким образом, ?0 играет роль, аналогичную средней длине сзо- * Этот подход Чембсрса обсуждается, например, в книге Дж. Займана «Принципы теории твердого тела» (М., Мир, 1974). 16
водного пробега в нелокальной электродинамике нормальных ме- металлов. Конечно, если обычная средняя длина свободного пробега еще меньше ?о, можно ожидать еще меньшего воздействия со сто- стороны приложенного поля. Облекая эти идеи в конкретную форму, Пиппард предложил: заменить выражение A.8) на выражение вида J.(r) = 3_Г R[R.A(r)l^p(-a/B где снова R = r—г', а длина когерентности ? при наличии рассея- рассеяния связана с длиной когерентности для чистого материала выра- выражением вида 1/6= I/go+1//- (U2), Использовав формулу A.11), Пиппард вычислил глубину проник- проникновения для различных значений ?0 и "кг. и сравнил результаты с экспериментальными данными. Он обнаружил [6], что можно согласовать формулу A.10) с экспериментальными результатами как для алюминия, так и для олова при одном и том же значении параметра а, равном 0,15. Позже мы увидим, что микроскопиче- микроскопическая теория Бардина, Купера и Шриффера (теория БКШ) [7] подтверждает полученное Пиппардом выражение, причем числен- численная константа равна 0,18. Для обоих металлов Я, значительно больше, чем \L, потому что А (г) резко уменьшается на расстоя- расстоянии k<g.?o, его воздействие на сверхток ослабляется, и, следова- следовательно, глубина проникновения поля увеличивается. Кроме того,, увеличение К с уменьшением средней длины свободного пробега, предсказанное уравнениями A.11) и A.12), согласуется с данны- данными по сплавам олова с индием при различной средней длине свободного пробега. Таким образом, не считая крайне незначи- незначительных количественных поправок, уравнение нелокальной элек- электродинамики Пиппарда A.11) не только соответствует данным эксперимента с достигаемой в них точностью, но и полностью предвосхищает электродинамическое описание, которое было по- получено на несколько лет позже из микроскопической теории. 1.4. Энергетическая щель и теория БКЩ Следующим важным шагом в развитии понимания сверхпро- сверхпроводников явилось установление существования энергетической щели между основным состоянием и квазичастичным возбужде- возбуждением системы. Эта идея была выдвинута уже давно Даунтом и Мендельсоном [8] для объяснения отсутствия термоэлектрических эффектов и теоретически постулировалась различными авторами. Однако первое количественное экспериментальное подтверждение этого факта появилось после точных измерений удельной элек- электронной теплоемкости сверхпроводников, выполненных Кораком
и др. [9]. Эти измерения показали, что электронная теплоемкость при температуре, значительно меньшей Тс, подчиняется экспонен- экспоненциальному закону, так что ИуТ), A-13) где удельная электронная теплоемкость нормального состояния *Сеп=уТ и а— 10, й—1,5— численные константы. Такая экспонен- экспоненциальная зависимость означает, что существует минимум энергии возбуждения на одну частицу, приблизительно равный 1,5 kTc. Примерно в то же время впервые были проведены измерения поглощения электромагнитных волн в области частот hv~kTc. При использовании СВЧ-техники миллиметрового диапазона [10] оказалось возможным достичь указанной области частот для алю- алюминия, который имеет низкую критическую температуру Гс— 1,2 К и, следовательно, узкую щель, но выполнить измерения при темпе- температуре, намного меньшей критической, не удалось. Работая в дальней инфракрасной области, а также в области СВЧ, Гловер и Тинкхам [11] выполнили более полное исследование тонких свинцовых пленок при значениях температуры, намного меньших Тс - 7,2 К. Указанные измерения, а также подобные эксперименты с пленками из олова можно вполне убедительно истолковать, если использовать представление об энергетической щели шириной в C-=-4) kTc. Этот результат согласовывался бы с результатами измерений теплоемкости, если бы возбуждения всегда происходили парами, как можно было ожидать при их подчинении статистике Ферми. Спектроскопическиие измерения дают значение Ея мини- минимальной полной энергии, необходимой для создания пары воз- возбуждений, а измерения теплоемкости дают значение такой энер- энергии Eg/2 для статистически независимой частицы. К этому моменту Бардин, Купер и Шриффер [7] создали свою теорию электронных пар, составившую целую эпоху в изу- изучении сверхпроводимости; мы рассмотрим ее в следующей главе. Как показано в теории БКШ, даже слабое взаимодействие типа притяжения между электронами, которое возникает во втором порядке теории возмущений из-за электрон-фононного взаимодей- взаимодействия, вызывает неустойчивость основного ферми-состояния элек- электронного газа. При этом образуются связанные пары электронов, занимающие уровни с равными и противоположно направленными моментами и спинами. Эти так называемые куперовские пары имеют пространственную протяженность порядка \й и, грубо гово- говоря, представляют собой сверхпроводящие носители заряда, суще- существование которых постулировалось в феноменологических тео- теориях. Одним из главных результатов теории БКШ было предсказа- предсказание минимальной энергии ЕЙ = 2А(Т), которая требуется для раз- разрушения пары и создания при этом двух квазичастичных возбуж- возбуждений. Было предсказано, что А (Г) увеличивается от нуля при Тс до предельного значения ¦18
, A.14) при T<g.Tc. Этот результат согласуется с измеренными значениями ширины щели; более того, предсказанная в теории БКШ форма края поглощения для частоты выше h\ = Eg также находится в количественном согласии с данными Гловера и Тинкхама. Это со- согласие явилось одним из самых убедительных ранних подтверж- подтверждений микроскопической теории. 1.5. Теория Гинзбурга — Ландау После появления теории БКШ была проведена значительная работа с целью подтвердить предсказания теории в таких явле- явлениях, как ядерная релаксация и поглощение ультразвука, где энергетическая щель и спектр возбуждений играют ключевую- роль. Но наиболее волнующие события в эти годы произошли на другом направлении. Стержнем этого направления явилась теория сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау (ГЛ), которая в основ- основном рассматривала сверхпроводящие электроны, а не возбужде- возбуждения. Уже в 1950 г., за семь лет до появления теории БКШ, Гинз- Гинзбург и Ландау [12] ввели комплексную псевдоволновую функцию ¦ф как параметр порядка для сверхпроводящих электронов, так что локальная плотность сверхпроводящих электронов (опреде- (определенная в уравнениях Лондонов) имела вид л*=1Ч?(*Iя. A-15) Затем, используя вариационный принцип и исходя из предложен- предложенного ими разложения свободной энергии по степеням -ф и \ty, они вывели дифференциальное уравнение для i|) которое весьма близко к уравнению Шредингера для свободной частицы, но только с нелинейным членом. Соответствующее урав- уравнение для сверхтока (*****')Й!Ч1"А A.17)- было также подобно обычному уравнению квантовой механики для частиц с зарядом е* и массой т*. Используя этот формализм, удалось объяснить два факта, которые не были объяснены в тео- теории Лондонов, а именно: 1. Нелинейные эффекты в полях, достаточно сильных, чтобы изменять ns (или [г|з|2). 2. Пространственные изменения ns. Главным успехом теории в первые годы явилась трактовка так называемого промежуточного состояния сверхпроводников, при котором в присутствии поля Я—#с существуют одновременно 19
Рис. 1.4. Граница раздела между сверхпроводящим и нормальным до- доменами в промежуточном состоянии сверхпроводника сверхпроводящие и нормальные области. Граница между двумя такими областями схематически показана на рис. 1.4. Первоначально теория ГЛ казалась полностью феноменологи- феноменологической и ее важность не была оценена в полной мере, особенно в западной литературе. Однако в 1959 г. Горькову удалось пока- показать [13], что теория ГЛ фактически является предельным случа- случаем микроскопической теории БК.Ш (соответственно обобщенной .для учета пространственно неоднородных случаев), справедливым вблизи Тс, где т|з прямо пропорциональна параметру энергетиче- энергетической щели А. С другой стороны, \|з можно считать волновой функ- функцией движения центра масс куперовских пар. Теория ГЛ ныне всемирно признана как блестящее достижение физической интуи- интуиции; она в самой простой форме выражает макроскопическую квантово-механическую природу сверхпроводящего состояния и имеет решающее значение для понимания уникальных электро- электродинамических свойств этого состояния. В теории Гинзбурга — Ландау вводится понятие характерной длины, ныне называемой температурно-зависимой длиной коге- когерентности ; A.18) она характеризует расстояние, на котором функция ijj(r) может изменяться без существенного увеличения энергии. В чистом сверхпроводнике вдали от Тс |(Г)~ ?о, где ?о — длина когерент- когерентности Пиппарда; вблизи Тс, однако, ?(Г) изменяется как (Тс—Г)-1/2, так как а стремится к нулю как {Т—Тс). Таким об- образом, эти две длины когерентности связаны между собой, но все же отличаются друг от друга. Отношение двух характерных длин определяет параметр тео- теории ГЛ x = ty?; A.19) так как величины К и ? вблизи Тс одинаково зависят от темпера- температуры, то это безразмерное отношение почти не зависит от Т. Для типичных чистых сверхпроводников А, —500 А и ?— 3000 А, так что и<§;1. В этом случае, как можно увидеть, существует положи- положительная поверхностная энергия, связанная с границей раздела нормальной и сверхпроводящей областей (доменов) для случая промежуточного состояния. Качественное объяснение состоит про- просто в том, что «энергетическая цена» изменения г|з от ее сверхпро- :20
водящего значения до нуля равна примерно 1Яс2/8я, в то время как уменьшение диамагнитной энергии происходит только на ве- величину Я,Яс2/8я (см. рис. 1.4). Эта положительная поверхностная энергия делает устойчивой доменную структуру с размерами, про- промежуточными между микроскопической длиной | и макроскопиче- макроскопическим размером образца. 1.6. Сверхпроводники II рода В 1957 г., т. е. одновременно с появлением теории БКШ, Абри- Абрикосов [14] опубликовал в высшей степени важную работу, в то время почти пропущенную научной общественностью, в которой он рассмотрел вопрос о том, что произойдет в теории ГЛ, если у, будет не малым, а большим, т. е. если |<Х, а не наоборот. Воз- Возвращаясь к аргументации, использованной выше, мы видим, что это должно привести к отрицательной поверхностной энергии, так что процесс деления на домены будет происходить до тех пор, пока он не ограничится микроскопической длиной \. Подобное поведение сверхпроводников сильно отличается от описанного выше классического, и Абрикосов назвал их «сверхпроводниками II рода» для того, чтобы отличить их от прежнего множества «сверхпроводников I рода». Он показал, что переход от одного типа к другому происходит точно при и= 1/V2- Как было обнаружено Абрикосовым, для материалов с х>1/У2 вместо скачкообразного разрушения сверхпроводимости в фазо- фазовом переходе первого рода при Яс происходит плавное увеличение проникновения потока, начинающееся при первом критическом по- поле Яс1 и доходящее до В = Н при втором критическом поле Н^, как показано схематически на рис. 1.5. Из-за частичного проник- проникновения потока диамагнитная энергия вытеснения поля становит- становится меньшей, так что поле Нс2 (которое оказывается равным У2иЯс) может быть намного большим, чем термодинамическое критиче- критическое поле Яс. Это свойство сделало возможным появление сверх- сверхпроводящих соленоидов для создания сильных магнитных полей. Другим результатом анализа Абрикосова явилось то, что в так называемом смешанном состоянии (или «шубниковской фа- фазе») между Яс1 и Яс2 поток проникает в образец не в форме сло- слоистых доменов, а в виде регулярной структуры трубок потока, каждая из которых- несет квант потока Фо = hc/2e = 2,07-10 ~7 Гс-см=. A.20) Внутри каждой отдельной ячейки структуры существует вихрь сверхтока, сжимающий магнитный поток, локализованный в его центральной области. Абрикосов предсказал существование квад- квадратной решетки таких вихрей; позднее было показано, что он до- допустил численную ошибку, и меньшую свободную энергию должна иметь треугольная структура. Существование такой вихревой структуры было продемонстрировано экспериментально при по- 21
в // / / / f /ilpoda Ipoda / Рис. 1.5. Сравнение проникновения магнитного поля в сверхпроводники I и II рода, имеющих одно и то же термодинамическое критическое поле Отношение В/Яп из этого графика также приближенно показывает изменение R/R.J где R — электрическое сопротивление в случае пренебрежимо малого пмниинга, R^ — сопротивление в нориальном состоя- Нс Н мощи метода магнитного декорирования в соединении с электрон- электронной микроскопией [15]. Конечно, случайные неоднородности в кри- кристалле приводят к «пришпиливанию» (пиннингу)* вихрей в энер- энергетически выгодных местах, так что в некоторых случаях наблю- наблюдается жидкообразная структура вихревых нитей. Как уже было замечено, сверхпроводники II рода не являются идеальными диамагнетиками, и поскольку в центрах вихрей |г|з|2 стремится к нулю, то не удивительно, что в этих центрах отсутст- отсутствует энергетическая щель. Теперь мы, естественно, приходим к .вопросу: не исчезает ли при этом и другой отличительный признак сверхпроводимости — идеальная проводимость. Ответ является не вполне однозначным. В присутствии проходящего («транспорт- («транспортного») тока на вихревые нити потока действует сила Лоренца ЛХФо/с (аналогичная макроскопической плотности силы JXВ/с), которая стремится протолкнуть их поперек тока. Если это проис- происходит, в образце наводится препятствующее такому движению продольное напряжение. В идеальном однородном материале дви- движению потока препятствует только вязкое трение, и сверхпровод- сверхпроводник II рода проявляет сопротивление, сравнимое с сопротивле- сопротивлением в нормальном состоянии, но уменьшенное примерно в В/Нс2 раз. В реальных материалах, однако, всегда присутствуют какие- либо неоднородности, на которых происходит пиннинг потока. Здесь сопротивление отсутствует до тех пор> пока не достигнется конечный ток, такой, что сила Лоренца окажется способной пре- превзойти силу пиннинга. В материалах, используемых . в сверхпро- сверхпроводящих магнитах, пиннинг достаточно велик, что приводит к большим критическим токам. В действительности даже при нали- наличии пиннинга сопротивление не точно равно нулю, хотя и может быть исключительно мало, поскольку тепловые флуктуации могут превосходить силу пиннинга, что приводит к появлению малого сопротивления, вызванного «сползанием» (крипом) ** потока. * От английского «to pin»—-пришпиливать, например булавкой.—Прим. ред. пер. ** От английского «to creep»—-ползти. — Прим. ред. пер. 22
1.7. Фаза, джозефсоновское туннелирование, квантование флуксоида и незатухающие токи — сущность сверхпроводимости Столкнувшись с исчезновением в сверхпроводнике II рода отличительных признаков сверхпроводимости, мы вправе спросить, что же в действительности является наиболее существенной и универсальной характеристикой сверхпроводящего состояния. От- Ответ таков — существование волновой функции \|з(г) многочастич- многочастичного конденсата, которая имеет амплитуду и фазу и которая со- сохраняет фазовую когерентность на макроскопических расстояниях. Этот конденсат аналогичен, но не идентичен известному конден- конденсату Бозе—Эйнштейна, причем куперовские пары занимают место одиночных бозонов, конденсирующихся, например, в сверхтекучем гелии. Так как фаза и число частиц — сопряженные переменные, до- дополнительные друг к другу в дуализме волна — частица, то суще- существует соотношение неопределенности AWAcpSJl, A.21) ограничивающее точность, с которой могут быть определены одно- одновременно iV Иф. Однако так как М~10*Ц то величины N и <р мо- могут быть известны с малой неопределенностью каждая и фазу можно считать полуклассической переменной. Физическое значение фазовой степени свободы было впервые подчеркнуто в работе Джозефсона [16], который предсказал, что пары могут туннелировать через энергетический барьер в туннель- туннельном переходе между двумя сверхпроводниками даже при нулевой разности потенциалов между ними, образуя сверхток с плотностью ./ = ./„ sin (Ф1-qg, A.22) где /о — постоянная величина, a q>* — фаза волновой функции -ф в 1-м сверхпроводнике. Хотя это предсказание первоначально бы- было встречено с некоторым скептицизмом, впоследствии оно было подтверждено с большой точностью. Позднее джозефсоновские переходы удалось использовал» в сверхчувствительных вольтмет- вольтметрах и магнитометрах, а также при выполнении наиболее точных из доступных ныне измерений отношения фундаментальных по- постоянных hie. Возможно, однако, что главное подтверждение существования фазового множителя в волновой функции ijj(r)= I ^ (г) I е1ф <г) за- заключается в свойствах простого сверхпроводящего кольца. В этом случае однозначность t|j требует, чтобы г|з(г) изменялась на 2я при одном обходе вокруг кольца. Так же как соответствующее условие в атоме ведет к квантованию орбитального углового мо- момента в единицах ft, в данном случае это условие требует, чтобы 23
флуксоид Ф' принимал только значения, удовлетворяющие усло- условию пФ0 = п1гс/2е. Флуксоид, величину, введенную Ф. Лондоном, можно определить равенством ^А!^ A.23? 14>1а где Ф= $ A-ds — обычный магнитный поток через контур инте- интегрирования. Если кольцо имеет толщину, много большую А,, то контур интегрирования может быть взят глубже поверхностного слоя, т. е. по области, где Л,->0; тогда равенство A.23) просто означает, что ф' = Ф и квантованные значения гсФ0 принимает сам магнитный поток Ф. Это свойство (квантование потока) было про- продемонстрировано экспериментально в 1961 г. [17, 18]. Если ток /s не является малым, как это имеет место в вихрях для сверх- сверхпроводника II рода, то в выражении A.23) могут быть одинаково важны оба члена. При этом значения самого потока не фиксиро- фиксированы, в то время как непосредственно связанный с фазой волновой функции флуксоид всегда имеет точные квантовые значения. Эта концепция дает основу для понимания квантовой природы незатухающих токов в кольце. Ток может изменяться не на бес- бесконечно малые значения, а лишь квантованными скачками, при которых квантовое число флуксоида изменяется на одну или не- несколько единиц.' В сверхпроводнике такой квантовый скачок требует коллек- коллективного перехода всех вовлеченных в ток пар. Чрезвычай- Чрезвычайно длительное существование незатухающих токов (несмотря на то что они в принципе являются метастабильными) объясняется крайне малой вероятностью такого одновременного квантового скачка почти 10м частиц. До тех же пор, пока такой квантовый скачок не случится, никакого уменьшения незатухающего тока произойти не может. 1.8. Флухтуационные эффекты Предыдущие замечания относительно незатухающих токов по- показывают важность термодинамических флуктуации, вызывающих конечное, хотя и астрономически малое, сопротивление при темпе- температуре ниже Тс. С другой стороны, флуктуации служат причиной того, что и при температуре выше Гс сохраняются некоторые при- признаки сверхпроводимости. Впервые это явление наблюдалось Гло- вером [19], который обнаружил, что проводимость сверхпровод- сверхпроводников из аморфных пленок изменяется как (Г—Тс)~* при прибли- приближении к Тс со стороны более высоких температур. Такой «кюри- вейсовский» вид температурной зависимости был предсказан так- также теоретически примерно в то же время. Несколько позже соот- соответствующий эффект также наблюдался [20] для магнитной вос- восприимчивости чистых магнитных образцов. В' этом случае расхо- расходимость происходит как (Т—Тс)~*/2. 24
Эти измерения и соответствующая теория показывают, что эффекты сверхпроводящего взаимодействия продолжают сущест- существовать, вообще говоря, до произвольно высоких температур, в то время как их практически полное исчезновение происходит при температуре ~2ТС. Таким образом, хотя резкий переход из сверх- сверхпроводящего состояния в нормальное, обнаруженный Камерлинг- Онессом, является достаточно хорошим рабочим приближением для большинства целей, существует не только некоторое сопротив- сопротивление при температуре ниже Гс, но также и следы сверхпроводи- сверхпроводимости при температуре выше Тс. Стоит заметить, что сверхпрово- сверхпроводящий переход является, в общем, намного более резким, чем другие фазовые переходы второго рода (такие, как переходы в магнитных материалах), поскольку длина когерентности ?0 намно- намного больше, чем межатомное расстояние. Из-за этого в сверхпро- сверхпроводниках каждый электрон взаимодействует со многими другими, в то время как в магнитных материалах сильно связаны только несколько соседних электронов, ближайших друг к другу, что при- приводит к большему проявлению флуктуационных эффектов. Закончив этот краткий обзор, перейдем к более подробному изложению, с тем чтобы конкретизировать упомянутые выше ре зультаты.
Глава 2 ТЕОРИЯ БКШ В этой книге будет уделено большее внимание феноменологи- феноменологической, а не микроскопической теории сверхпроводимости. Тем не менее оказывается удобным начать систематическое изложение с разбора основ теории БКШ, поскольку эта теория [1], созданная в 1957 г., полностью изменила наши представления о сверхпрово- сверхпроводимости. Более того, теория БКШ дала основу как для вычисле- вычисления параметров, так и для теоретического обоснования существо- существования, формы и пределов применимости феноменологической тео- теории. Начиная с обзора теории БКШ, мы, возможно, создаем неко- некоторые неудобства для чтения, так как эта глава — одна из наибо- наиболее трудных в книге, главным образом вследствие использования в ней аппарата вторичного квантования. Однако читателя, сомне- сомневающегося относительно своей подготовки в этой области, можно заверить, что разбор теории БКШ будет проведен максимально просто и используемые методы будут объяснены достаточно под- подробно, чтобы новичок смог следить за изложением. Стоит также отметить, что феноменологическая теория, изложению которой главным образом посвящены остальные главы, была предложена для объяснения экспериментальных результатов независимо и за- задолго до их «вывода» из микроскопической теории. Феноменологи- Феноменологическая теория может быть изучена, понята и применена на прак- практике и при ограниченном понимании микроскопической теории. Поэтому, хотя и переставлен порядок, и для логической стройно- стройности изложения вначале дается микроскопическая теория, читатель не должен позволить себе «увязнуть» в этой главе. Если это про- произошло, то он должен тут же перейти к заключению в конце главы и при дальнейшем чтении возвращаться к ней, если возникнет не- необходимость в выяснении отдельных положений. 2.1. Куперовские пары Основополагающая идея о том, что даже сколь угодно слабое притяжение между двумя электронами может привести к образо- образованию связанного состояния, была высказана Купером [2] в 1956 г. Им было показано, что если взаимодействие между элек- электронами носит характер притяжения, то ферми-распределение электронов оказывается неустойчивым по отношению к образова- 26
нию по крайней мере одной связанной пары, как бы слабо это взаимодействие ни было. Этот результат является следствием ста- статистики Ферми, так как хорошо известно, что в трехмерной задаче двух тел связанные состояния возникают лишь при превышении потенциалом взаимодействия конечной пороговой величины. Чтобы понять, каким образом возникают связанные состояния, рассмотрим простую модель, в которой два электрона добавлены к ферми-совокупности электронов при Г=0 с условием, что эти избыточные электроны взаимодействуют друг с другом, а взаимо- взаимодействие с остальными электронами сводится лишь к выполнению принципа Паули. При этом ищется волновая функция лишь этих двух частиц. Из общих соображений, высказанных Блохом, сле- следует, что в состоянии с наинизшим значением энергии суммарный волновой вектор должен быть равен нулю, поэтому исследуемые электроны должны обладать равными и противоположными по направлению волновыми векторами. Это позволяет рассмотреть орбитальную волновую функцию типа '% (ri. гг) = 2 &к ехР (ik" ri) ехР (~ik" г*)« к С учетом антисимметрии полной волновой функции по отношению к перестановке этих двух электронов выражение для t|jo преобра- преобразуется или в сумму членов cosk-(n—r2), умноженных на антисим- антисимметричные синглетные спиновые функции (осфг—P1GC2), или в сум- сумму членов sink- (п—г2), умноженных на одну из симметричных триплетных спиновых функций (оцаг, aiPa+Piaz, P1P2) - В этих вы- выражениях символом а4 обозначено состояние первой частицы со спином, направленным вверх, а |3i —-co спином вниз. Из-за того что взаимодействие имеет характер притяжения, следует ожидать, что синглетные связанные состояния должны обладать меньшей энергией, так как косинусоидальная зависимость орбитальной функции этого состояния от (ri—г2) приводит к большей ампли- амплитуде вероятности для электронов находиться вблизи друг друга. "Поэтому рассмотрим двухэлектронную синглетную волновую функцию вида ¦фо(г1 — гг) = Г У] ?kcosk'(ri — r2)l(aiP2 — Pa)- B-1) Подставляя волновую функцию B.1) в уравнение Шредин- гера нашей задачи, можно показать, что весовые коэффициенты gk и собственные значения энергии Е определяются из решения уравнения [?¦ — ^Ekj gk — V "kk ?к. • \?-Ч k*>kF Здесь ек — невозмущенные значения энергии плоской де-бройлев- ской волны, а VW — матричный элемент потенциала взаимодей- взаимодействия: Vw = Q-1 j V (г) exp [i(k' - к) ¦ г] dr. B.3) 9.7
г — расстояние между двумя электронами; Q — нормировочный объем. Величина VW характеризует потенциал рассеяния пары электронов из состояния с волновыми векторами (к', —к') в со- состояние с волновыми векторами (к, —к). Связанное состояние пары существует, если может быть найден набор gk удовлетво- удовлетворяющий уравнению B.2) и отвечающий собственному значению энергии ?<2?f- Анализ этой ситуации при произвольном значении Vkk' произ- произвести затруднительно, поэтому Купер ввел весьма полезное при- приближение. Согласно этому приближению все матричные элементы Укк' равны (—V) для состояний с энергиями, меньшими некото- некоторой энергии обрезания ftcoc> отсчитываемой от ?р, а для остальных состояний Vkk' равны нулю. В этом случае правая часть уравне- уравнения B.2) является не зависящей от к постоянной, и для gk по- получаем Суммируя по к обе части этого уравнения и сокращая на 2gk, получаем у= 1 BЧ-*)-1 ¦ B-5) V k>kF Заменяя сумму на интеграл и обозначая через N@) плотность состояний с одним спином на поверхности Ферми, преобразуем выражение B.5) к виду 2е — Е В обычном приближении слабой связи, когда N{0)V<g.l, энергия Е может быть представлена в виде Е^2ЕР — 2Йсйсехр{— 2/N@)V}. B.6) Таким образом, на самом деле имеется связанное состояние с отрицательной относительно поверхности Ферми энергией, пол- полностью образованное из электронов с k>kF, т. е. обладающих кинетической энергией, превышающей ?f. Энергия взаимодейст- взаимодействия перевешивает эту избыточную кинетическую энергию, приводя к образованию пар при сколь угодно малой величине V. Отме- Отметим, что выражение для энергии связи не аналитично при У=0, т. е. не может быть- разложено в ряд по степеням V и вследствие этого не может быть .получено по теории возмущений. Этот факт в значительной степени отсрочил появление микроскопической теории. 28
Возвращаясь к волновой функции, видим, что ее зависимость от относительной координаты г = п—г2 пропорциональна величине. cos k ¦ г k>kF В этом выражении отсчет ведется от энергии Ферми, т. е. причем вследствие изменения" знака в знаменателе под Е' теперь, понимается энергия связи относительно величины 2?f- Так как gk зависит только от |к, это решение обладает сферической сим- симметрией, следовательно, эта волновая функция описывает синглет- ное S-состояние. Отметим, что весовой множитель B1k + E')~l принимает максимальное значение 1/Е' при Ек = О, т. е. для элек- электронов, находящихся на уровне Ферми, и что он уменьшается с увеличением ?к- Таким образом, наиболее сильно вовлечены в процесс образования связанных состояний электроны, лежащие в интервале энергий порядка Е' вблизи ?F. Так как при iV@)V<l E'<^.hwc, детали поведения матричного элемента Vw вне интер- интервала энергий ftcoc не должны существенно влиять на полученный результат. Это до некоторой степени оправдывает введенную выше грубую аппроксимацию для VW. Вторым следствием узости диа- диапазона энергий рассматриваемых состояний является вывод о том. что согласно проведенным выше рассуждениям Пиппарда, опи- опирающимся на принцип неопределенности, размер связанной пары не может быть меньше, чем ~hv-plE7. Так как kTc оказывается порядка Е', то размер куперовской пары примерно равен |0 = = ahvT/kTc, что значительно превышает расстояние между части- частицами. Таким образом, в координатном пространстве пары сильно перекрываются друг с другом. 2.2. Природа притяжения Обратимся теперь к изучению происхождения отрицательных ¦, необходимых для существования сверхпроводимости. Если мы возьмем чисто кулоновское взаимодействие V(r)=e2/r и вы- вычислим величину V(q) V (q) = V (к - к') = Vw = u~l\V (r) exp(iq-r) dr, то получим V (а) = ^— = -^- , B.8> где последнее равенство справедливо для единичного нормировоч- нормировочного объема. Очевидно, что в данном случае V(q) всегда поло- положительно. Если теперь учесть диэлектрическую проницаемость среды, то- V(q) уменьшится в s-'^q, со) раз. Наиболее очевидная составная часть e(q, со) определяется эффектом экранирования электронов прозодимости (см., например, работу [3]). В приближении Фер- 23-
ми —Томаса e=l+k2jq2, где 1/Jfe, « 1А —радиус экранирова- экранирования. Используя это выражение, получаем V (q) = 4n*/fo" + Aj). B.9) Таким образом, учет эффекта экранирования электронов позво- позволяет избежать расходимости при q = 0, но оставляет без изменения знак VW • Следовательно, в этой модели сверхпроводимость не должна возникнуть. Отрицательные слагаемые появятся лишь при учете движения ионных остовов. Физически это связано с тем, что первый элек- электрон поляризует среду, притягивая положительные ионы. Этот избыток положительных ионов в свою очередь притягивает второй электрон, приводя тем самым к образованию эффективного при- притяжения между электронами. Если притяжение достаточно велико для того, чтобы пересилить отталкивающее экранированное ку- лоновское взаимодействие, то это приведет к суммарному потен- потенциалу, соответствующему притяжению, и появлению сверхпрово- сверхпроводимости. Исторически идея о важности взаимодействия электро- электронов с решеткой для объяснения сверхпроводимости была впервые высказана Фрёлихом [4] в 1950 г. Это предположение было про- проверено экспериментально открытием [5, 6] «изотопического эф- эффекта», т. е. пропорциональности Гс и Нс величине Af-1/2 для изо- изотопов одного и того же элемента. Так как деформации решетки ограничиваются той же самой жесткостью, которая определяет упругость твердых тел, ясно, что существенную роль должны играть колебательные (фононные) ча- частоты *. Из закона сохранения импульса следует, что если элек- электрон рассеялся из состояния к в состояние к', то образовавшийся фонон должен обладать волновым вектором q = k—k', а характер- характерная частота должна равняться частоте фонона шч. Поэтому ка- кажется правдоподобным, что фононный вклад в функцию экрани- экранирования будет пропорционален (со2 — а1)~1 • Очевидно, что этот резонансный знаменатель приведет к отрицательному знаку при tt)<uq» что соответствует высказанным выше физическим сообра- соображениям; для более высоких частот, т. е. для разности энергий электронов, превышающей fi(oq, притяжение меняется на отталки- отталкивание. Таким образом, энергия обрезания ftcoc куперовских матричных элементов —V, отвечающих притяжению, должна быть порядка энергии Дебая haD=k®r>, которая характеризует обреза- обрезание фононного спектра. Тщательный анализ наилучшего способа изучения связанной системы электронов и фононов был дан в работах Фрёлиха [7] и Бардина и Пайнса [8], однако детальные расчеты, относящиеся к конкретным материалам, еще только начинают давать количест- количественные результаты. Первой попыткой проверки «теоретического * Для экранированного кулоновского взаимодействия характерной частотой является плазменная частота электронов в металле, которая столь высока, что ¦соответствующий отклик можно считать мгновенным. СО
критерия» сверхпроводимости явились вычисления Пайнса [9]г систематически исследовавшего элементы периодической системы. Им была использована модель «желе», в которой твердое тело аппроксимировано электронной жидкостью и точечными ионами в пренебрежении кристаллической структурой, зонами Бриллюена и конечными размерами ионных остовов. Как показано, например, в книге Де Жена [10], при определенных предположениях в модели «желе» можно получить следующий результат: —^. B.10) Первое слагаемое отвечает экранированному кулоновскому взаи- взаимодействию, в то время как второе описывает взаимодействие электронов через фононы среды, приводящее к их взаимному при- притяжению при ш<шч. К сожалению, выражение B.10) из-за своей упрощенности не может быть использовано в качестве критерия сверхпроводимости, поскольку V{q, со) стремится к нулю при ы->0 и всегда отрицательно при co<coq независимо от параметров материалов. Однако это выражение показывает, что фононное взаимодействие имеет тот же порядок величины, что и прямое взаимодействие между электронами; следовательно, на этом пути может оказаться возможным получение отрицательного суммар- суммарного матричного элемента взаимодействия. 2.3. Основное состояние в теории БКШ Как мы видим, ферми-совокупность электронов нестабильна по отношению к образованию связанных куперовских пар, если результирующее взаимодействие между электронами носит ха- характер притяжения. Поэтому в данном случае пары должны кон- конденсироваться до тех пор, пока не будет достигнуто положение равновесия. Это произойдет, когда состояние системы будет столь существенно отличаться от фермиевского (из-за большого числа связанных пар), что энергия связи еще одной добавленной пары будет равна нулю. Очевидно, что рассматривать такое сложное состояние трудно, если не найти простую математическую форму его описания. Такой формой является волновая функция теории БКШ. При написании волновой функции более чем двух электронов схема учета антисимметрии, используемая выше для одиночной куперовской пары, становится очень громоздкой и для описания N электронных антисимметризованных произведений функций удоб- удобнее использовать детерминанты Слеттера размером NXN. Эти детерминанты, в свою очередь, наиболее компактно можно запи- записать на языке операторов вторичного квантования *, в котором * Описание аппарата вторичного квантования можно найти, например, в книгах [51*, 52*]. — Примеч. ред. пер. 31
¦занятые состояния (включая спиновый индекс) отмечают с по- помощью «операторов рождения» ckt*» рождающих электрон с вол- волновым вектором к и спином, направленным вверх. Необходимо также ввести оператор уничтожения Ск+, уничтожающий соответ- соответствующее состояние. В этих обозначениях синглетную волновую функцию, обсуждавшуюся выше, записывают в следующем виде: c'_ki \Fy B.11) Здесь знаком |F) обозначена ферми-совокушюсть электронов, в которой заняты все состояния вплоть до кр. Из этого выражения видно, что пары обращенных во времени состояний всегда заняты •одновременно. Андерсоном [11] было показано, что эта особенность сохраняется и в случае «грязных» сверхпроводников, для описания спаривания в которых необходима более общая схема, так как к не является более хорошим квантовым числом. Эквивалентность выражения B.11) и волновой функции, полученной ранее для син- глетного спаривания, можно проверить путем суммирования двух детерминантов Слеттера размером 2X2 с равными коэффициен- коэффициентами gk И g-k. Поскольку электроны подчиняются статистике Ферми, введен- введенные выше операторы рождения и уничтожения должны удовлетво- удовлетворять антикоммутационным соотношениям для фермионных опе- операторов: [Ска ' Ck'o'J+ = 1Ско • Ск'о']+ = "> где знаком а обозначен спиновый индекс. Оператор числа частиц определяется как и имеет собственное значение, равное единице при действии на занятое состояние и равное нулю при действии на свободное. Применение этого формализма для наших целей требует вы- выполнения лишь элементарных операций, использующих выписан- выписанные правила. Этот аппарат используется для более компактной записи многоэлектронкых волновых функций и действующих на них операторов. Для получения волновой функции БКШ заметим, что наиболее общая N-электронная волновая функция, выраженная через соб- собственные функции оператора импульса и учитывающая куперов- ское спаривание, имеет следующий вид: • • • > kz)cvc-M • • -Cvc-V |фо>' Здесь |фо> —вакуумное состояние, не содержащее частиц; к* и к; — начало и конец той области М волновых векторов к, которая заполнена занятыми состояниями для данного слагаемого в сумме. Коэффициенты g характеризуют вес, с которым входит в эту сум- /32
му произведение из набора N/2 пар операторов рождения. Так как имеется M\l[M — (N/2)]\{N/2)\ « 10A0'0) способов выбора состояния, занятого N/2 парами, в сумме должно быть столько же слагаемых, а значит, и определению подлежит такое же число коэффициентов g(k, ...). Такая задача явно безна- безнадежна. Авторы теории БКШ доказали, что при столь большом числе рассматриваемых частиц хорошим приближением является метод Хартри — Фока самосогласованного или среднего поля, со- согласно которому вероятность заполнения каждого состояния с волновым вектором к считается зависящей только от среднего числа заполнения других состояний. В своей простейшей форме метод требует выполнения закона сохранения полного числа ча- частиц N, поскольку степень занятости состояний описывается ста- статистически. Однако, так как число частиц очень велико, мы не сделаем существенных ошибок, если перейдем к системе, в кото- которой фиксировано только среднее число частиц N. По существу, в этом случае мы работаем с большим каноническим ансамблем. В теории БКШ постулируется следующий вид волновой функ- функции основного состояния: | ty?> = П ("k + WkCkt C-k*) I %>. B-14) где |«k|2+ \vv. |2=I- Как следует из этого выражения, вероятность того, что состояние (kf> —kj) занято, равна |ок|2, а вероят- вероятность того, что оно свободно, равна |«к|2=1 — |ик|2*. Очевидно, что |i|?g) можно выразить в виде суммы |ij>yv>, B.15) в которой каждое слагаемое представляет собой ту часть разло- разложения произведения B.14), которая описывает N/2 пар. Величина |tJ).v ) является частным случаем введенного выше общего выра- выражения B.11), в котором g(k, ...) равно Пк"кПк'Ок'> причем ин- индексы кик' пробегают соответственно по (М—Л72) незанятым и по N/2 занятым состояниям. Если все Нк и и к конечны, то имеется конечная вероятность того, что число частиц N принимает любое значение от 0 до 2М. Однако величины |/-,v|2 имеют резкий максимум при значении NmN, где Ы2. B.16) Хотя справедливость выражения B.16) следует из физического смысла ве- величины vk, все же посмотрим в качестве примера применения аппарата вто- вторичного квантования, каким образом получается это выражение для среднего * Для простоты можно считать, что величины ык и ек действительны; в дальнейшем будет полезно допустить, что они различаются на фазовый множи- множитель exp{icp}, где ср — фаза волновой функции макроскопического конденсата. 2 Зэк. 89.3 33
числа частиц N. Электроны в парах всегда имеют противоположно направлен- направленные спины, поэтому можно написать: ckfckf N = Подставляя в полученное соотношение выражение для = 2 ]? ^ Фо | (^ -f V-k|ckt) cktckt К X П («I + i>Ie_ получаем c-k|) X c^, t) | о\ / При выводе этого равенства было использовано свойство эрмитовости операто- операторов {Лф|т(з) = (9|i4+|iC), а также тот факт, что операция сопряжения про- произведения двух операторов равносильна произведению операторов, сопряженных данным и переставленных местами. Теперь можно переставить порядок сомножителей в произведениях и сгруп- сгруппировать те из них, которые имеют отношение к заданному парному состоянию к или 1, так как, согласно формуле B.12), перестановка четного числа неиден- неидентичных ферми-операторов не приводит к изменению знака. Переходя к вычисле- вычислению этого выражения, можем, считать |ф0) произведением вакуумных состоя- состояний для каждого из волновых векторов к. Это позволяет определять независимо коэффициенты для каждой из пар. Выделяя коэффициент для оператора с 1 = к, получаем | «112 vl |2 C-I При вычислении матричного элемента (фо| |фо) два стоящих в середине сла- слагаемых дадут нуль, так как оба они меняют степень заполненности 1-й пары. Последнее слагаемое создает и затем уничтожает пару, приводя к множителю, равному единице. Более строго, операторы в последнем слагаемом можно пре- преобразовать, используя последовательные парные перестановки и соотношения B.12), к выражениям с\\с— \\с\\с— Ц> \.с1|е1|/Vе—Це—Ц/ и + (. ltclfM с— Цс— U/" Действие каждого из них на состояние | ф0) приводит к появлению множителя, равного единице. Таким образом, каждый из коэффи- коэффициентов при \фк легко приводится к |«iI2+|f]]2=l. Если мы проделаем ту же процедуру при 1 = к, то перекрестные слагаемые, содержащие uk"k> также выпадут, так как дополнительный оператор ck|Ck| не изменяет число частиц. Более того, так как ск^ ]фо) равно нулю, слагаемое с |«к ]2 тоже выпадает, так что остается лишь |ик|г. В результате, как и ожидалось, получаем равен- равенство B.16). Для оценки ширины пика вблизи N необходимо определить дисперсию <(W _ й)г> = <уу2 — 2NN + Й2> = (N2) — N2. Проводя вычисления, аналогичные проделанным выше, имеем Отметим, что полученное выражение отлично от нуля, лишь если изменение Ок от 1 до 0, а иу, от 0 до 1 происходит не резким 34
скачком, а относительно плавно. Кроме того, если сравнить систе- системы с одинаковой плотностью частиц, но с разными объемами,! то как N, так и ((N—TVJ) будут пропорциональны объему, что следует из пропорциональности объему числа состояний к, отно- относящихся к заданному интервалу энергии. Следовательно, Wcp = ((N ~ NJy> « Wu « 101», B.17а) а относительная погрешность в N составляет (8Ncp/N) = ЛГ v* « Ю-10. B.176) Таким образом, возникает ситуация, типичная для многочастич- многочастичных задач статистической физики: при N-+oo абсолютные значе- значения флуктуации возрастают, а относительные-—стремятся к нулю. Хотя при практических расчетах обычно можно не учитывать точно закон сохранения числа частиц, интересно отметить, что при необходимости можно выделить часть |i|)g), соответствующую N частицам, применяя весьма простой метод, предложенный П. Ан- Андерсоном: 2л |^>= ^Фе-^2П(|«к|+|ик|е^с;;)|фо>. B.18) О к Здесь используется то обстоятельство, что в невозмущенном сверх- сверхпроводнике разность фаз между состояниями с числами частиц N, отличающимися на два, произвольна. Интегрируя по всем значе- значениям ф, т. е. делая фазу ф полностью неопределенной, можно добиться точного определения числа N*. С другой стороны, как мы уже видели при фиксированном ф, равном, например, нулю, •6Лгср;« 1010. Полученные результаты иллюстрируют соотношение неопределенностей 1. B.19) Можно провести поучительную аналогию с электромагнитным по- полем. Чтобы получить квазиклассическое электрическое поле Е с хорошо определенной амплитудой и фазой, необходимо иметь до- достаточное число фотонов (как в лазере) для того, чтобы можно было допустить суперпозицию состояний, в которых имеются раз- разные числа заполнения. 2.4. Вариационный метод Мы довольно тщательно изучили структуру xJ>g и выявили ее некоторые интересные особенности. Теперь необходимо установить ее полностью, определив правильные значения для Uk и Ok- Вна- Вначале, следуя оригинальной работе БК.Ш, проведем вариационные вычисления. Позднее мы обсудим другой метод, который приводит к тем же результатам, но в несколько более современной форме. * Интегрирование по ф дает нуль, за исключением тех членов в ряде про- произведений B.18), в которых точно имеется N/2 сомножителей вида exp{i(p}, каждое из которых связано с рождением пары. 2* 35
2.4.1. Определение коэффициентов Проведем вычисления, используя так называемый «гамильто- «гамильтониан спаривания», или «укороченный гамильтониан»: kicktclk|c-ucif B-20> считая, что он включает члены, ответственные за сверхпроводи- сверхпроводимость, хотя и опускает много других слагаемых, которые описы- описывают электроны, не спаренные в состояниях (kf, —k|). Эти сла- слагаемые не дают вклада в волновую функцию основного состояния БКШ, но могут быть важны в других случаях. Для упорядочения среднего числа частиц N включим слагаемые —\iNon, где \i — хи- химический потенциал (или энергия Ферми), a Non— оператор чис- числа частиц. Теперь минимизируем среднее значение суммы, требуя» чтобы Включение оператора —цЛГ0П математически эквивалентно отсче- отсчету кинетической энергии от ц (или EF). Итак, более подробно: где, как и раньше, |k = ek—ц — энергия на одну частицу, отсчиты- отсчитываемая от энергии Ферми. Используя тот же метод вычислений, что и при определении JV, для первого слагаемого сразу имеем Аналогично для слагаемого, отвечающего взаимодействию, непо- непосредственными вычислениями можно получить ^кЛ*г B-22) С другой стороны, это выражение следует из такого факта, что слагаемое с Vki описывает рассеяние из состояния (If, —Ц) в состояние (kf, — kj). Для того чтобы рассеяние имело место, не- необходимо, чтобы в начальном состоянии имелась пара электронов в состоянии 1, а состояние к было свободно, а в конечном состоя- состоянии — наоборот. Амплитуда вероятности такого начального поло- положения равна иур\, з конечного — »?и*, что и приводит к полу- полученному выше результату. Следует также отметить, что матричный элемент энергии взаимодействия Vki не вносит вклада в энергию нормального со- состояния. Это очевидно при 7 = 0, так как в этом случае состояния со 100%-ной вероятностью заняты или свободны и, следователь- следовательно, произведение вероятности занятого состояния на вероятность свободного равна нулю. При Г>0 распределение Ферми не имеет резкой границы и можно предположить, что возможен и ненуле- ненулевой вклад. Однако в нормальном состоянии различные детерми- 36
нанты Слеттера, представляющие определенные числа заполне- заполнения электронов, складываются с произвольной относительной фазой, так что усреднение произведений амплитуд вероятностей (соответствующих мки* и\ vx в упорядоченном БКШ-состоя- нии) даст нуль. Следовательно, описывающий это рассеяние член не дает вклада в среднюю энергию нормального состояния. Полагая для простоты величины иу и цк действительными, из соотношений B.21) и1 B.22) получаем выражение <я|>с1 Ж ~ iiNoa | ipG> = 2 ^ gko* + gj Kk,«ktwiiwi, B.23) которое должно быть минимизировано при условии и? + 1^=1. Это условие удовлетворяется, если положить ик = sin 8k и Ук = cos 8k. B.24) Используя элементарные тригонометрические тождества, пра- правую часть B.23) можно переписать в .следующем виде: k + cos 29k) + -L 2 V" sin 2e^ sin 2 kl и, следовательно, °= -щ^<Ц.а\Ш — iiNon\^a) = — 2|ksin28k . B.25) Дополнительный множитель 2 появляется во второй сумме в связи с тем, что оба индекса к и I пробегают все возможные значения. Таким образом, ^y,. B.26) Теперь введем, величины V 4 У! sin 29 1 B-27) ?k = (A2k + !k)V\ B.28) Скоро будет видно, что они имеют ясный физический смысл, как соответственно параметр энергетической щели и энергия квази- квазичастичных возбуждений. Теперь уравнение B.26) приобретает- ВИД tg 29k = — Ди/gk, B.29а) так что 2ukyk = sin 20k = Дк/?к, B.296) v\ - и\ = cos 20k = - UEk. B.29в) 37
Лишь указанный выбор знаков перед синусом и косинусом (соот- (соотношением B.29а) фиксируется только их относительный знак) приводит к вероятности заполнения и?->0 при ?к-*-°о, что и тре- требуется от физически разумного решения. Для определения Ai подставим выражение B.296) в формулу B.27) и получим условие самосогласования: V Vk>- B.30) Отметим сначала наличие тривиального решения Дк = 0, при- приводящего к результату: Ук=1 для |к<0 и t>k=O для |к>0. Соот- Соответствующая волновая функция |т|з^ есть просто детерминант Слеттера со всеми занятыми вплоть до kF состояниями и описы- описывает нормальную ферми-совокупность электронов при Г = 0. Но можно также ожидать, что если Vki отрицательно, то уравнение B.30) может иметь и нетривиальное решение с меньшей энерги- энергией. Возвратимся к используемой Купером в теории БКШ модели взаимодействия у _ \ —V, если Цк\, \h | <Йсос, Kkl — < (Z.OI) { 0 в остальных случаях, где V — положительная константа. Как было показано выше, мат- матричный элемент Уы связан с энергией ||k—?i|> но для получе- получения простого решения необходимо более строгое ограничение, состоящее в том, что каждая из энергий ||к| и |gi| должна быть меньше ftcoc. Подставляя выражение для Ук! в уравнение B.30), получаем, что ему удовлетворяет решение д B32) 1 0 для ||к| > Ыс- В этой модели Дк=А не зависит от к, поэтому можно уравнение B.30) сократить на эту величину и записать условие самосогласо- самосогласования в виде i=-fS?irl- B-33) к После замены суммирования на интегрирование от —ftuc до йсос с учетом симметрии выражения относительно ±? из условия B.33) получим N (Q)V Таким образом, 1 — =arcsin ——. B.33а) д = *2с 2Йшс ехр {— 1/N @) V}, B.34) sh[l/.V@) V] с rx. v / j. 38
Рис. 2.1. Зависимость чисел запол нения v? в теории БКШ от энергии электронов, отсчитываемой от хими- химического потенциала (энергии Фер- АТС ^ при Т=0 Распределение Ферми при Т'Т0 ми). Для того чтобы сделать замет- , ным обрезание при энергиях, равных ~fc~ -Л П А*~ Ь' ±fi.(i)c, зависимость вычислена для п г- ^к=ск И сверхпроводника с сильной связью NF) V = 0,43. Для сравнения в том же масштабе изображено распределение Ферми для нормального металла при Т = ТС, причем использовано соотношение Д@) = 1,76 kTc причем последнее равенство справедливо в пределе слабой связи N@)V<g.l. Так как оказывается, что в типичном случае величина N@)V примерно равна 0,3 и меньше 0,5 для всех известных сверх- сверхпроводников, приблизительное равенство в выражении B.34) справедливо, как правило, с точностью до 1%. Зная Д, можно просто определить коэффициенты uk и Uk. ко- которые дают волновую функцию БКШ. Удобно исходить при этом из соотношения B.29в) и условия нормировки "? + ^=1- Таким образом, для относительного числа заполнений у? найдем uk = ~T ^^ТЧ —'•• ¦ «ям/. I. \г-6Ь> 2 [ + Ек Как видно из графика v^ (рис. 2.1), эта величина приближа- приближается к единице при энергиях, значительно меньших энергии Фер- Ферми, и стремится к нулю при больших энергиях, что напоминает поведение распределения Ферми в нормальном металле при ко- конечной температуре. Действительно, имеется поразительное сход- сходство между распределением v? для основного состояния БКШ при Г = 0 и распределением Ферми для нормального металла при Т=ТС, которое для сравнения также представлено на рис. 2.1. Из этого сравнения видно, что в отличие от ранних идей Фрёлиха, Бардина и других изменения в металле при охлаждении от Тс_ до Г = 0 нельзя описать через изменение чисел заполнения одно- электронных состояний. В частности, в k-пространстве не образу- образуется щель. На самом деле неупорядоченное частичное заполнение этих состояний с произвольными фазами заменяется на единое квантовое состояние системы. Здесь многочастичные состояния с более или менее теми же одноэлектронными числами заполнения теперь находятся друг с другом в фиксированных фазовых соот- соотношениях. Отметим теперь, что при |кЗ>Л величина v^ уменьшается как ^2. Такая же зависимость была получена ранее для g? в нашем простом рассмотрении одиночной куперовской пары. В действи- 39
тельности, за исключением асимметрии, связанной с искусствен- искусственным предположением об отсутствии изменения большинства ферми-состояний, это рассмотрение дает вполне разумное пред- представление о том, как образуется коррелированное парное состоя- состояние с меньшей энергией. Наконец, отметим, что, как видно из формул B.35), Л является характерной энергией, определяющей диапазон волновых векторов к, вовлеченных в процесс образования куперовских пар. Далее мы увидим, что при 7" = 0 Д=1,76&7"с. Это подтверждает правильность наших оценок характерного раз- размера пары |0~/iuF/A~ hvF/kTc. 2.4.2. Нахождение энергии основного состояния Зная волновую функцию основного состояния |t|jg)i вычислим его энергию и покажем, что она в самом деле меньше энергии ферми-распределения. Из формулы B.23) с использованием выра- выражений B.27) и B.35) имеем Как было отмечено выше, нормальное состояние при Г = 0 соот- соответствует состоянию БКШ с Д = 0, т. е. с ?k = |Ek|. Следовательно, gk. Слагаемые с |k|>?F дадут нуль, так как ?k = 5k- Таким обра- образом, с учетом симметрии относительно энергии Ферми, для раз- разности энергий основных состояний сверхпроводника и ферми- распределения получаем g (ь-^) |_il = 2 ^ 'f ^ ' A2 Заменяя суммирование интегрированием и производя его, в пре- пределе слабой связи находим Д^ V ' Слагаемое, соответствующее разности кинетических энергий, ос- оставлено внутри скобок, чтобы продемонстрировать точное сокра- сокращение его основной части с членом, описывающим потенциальную 40
энергию притяжения. Таким образом, оказалось, что суммарное понижение энергии на множитель ^V(O) V/2»0,l меньше, чем взя- взятое в отдельности увеличение кинетической энергии или чем взятое в отдельности уменьшение потенциальной энергии. Вводя термо- термодинамическое обозначение U(Т) для внутренней энергии системы и учитывая, что А{Т) зависит от температуры, окончательно по- получаем и,@)-ия@) = *-Л@)Д"@). B.36) Это выражение дает энергию конденсации при 7" = 0, которая, по определению, равна Н2с@)/8п, где НС(Т) —термодинамическое критическое поле. Изотопический эффект. Как видно из формулы B.34), пара- параметр Д пропорционален й ыс, а частота шс должна быть пропор- пропорциональна М~1/*. Поэтому из соотношения B.36) должен сле- следовать изотопический эффект (НссоМ~1/а), если значения Л'@) и V одинаковы для разных изотопов. Это предположение справедливо для величины N@), зависящей от чнсто электрон- электронных свойств. Но параметр V определяется как электронами, так и фононами, и его независимость от М менее очевидна. Действи- Действительно, хотя в наблюдаемом изотопическом ¦ сдвиге показатель степени и равен с большой точностью (—1/2) для нескольких классических сверхпроводников, таких, как, например, свинец, эксперименты с другими материалами показали, что он может принимать любые значения, превышающие (—1/2), и даже из- изменять знак. Теоретически было показано [12, 13], что наблюдае- наблюдаемые отклонения объяснимы в рамках более детальной теории взаимодействия электронов с решеткой. Однако проведение же- желаемых априорных расчетов таких свойств, которые зависят от параметров конкретного материала, обычно наталкивается на значительные трудности. Возможно, более полезно решение обрат- обратной задачи: рассматривать измеряемый изотопический эффект как средство получения информации о детальной природе взаимо- взаимодействия, как это было сделано Макмилланом [14]. 2.5. Решение с помощью канонического преобразования Используемый в оригинальной работе БКШ вариационный метод, который мы только что рассмотрели, непосредственно при- применим к вычислению энергии основного сверхпроводящего состоя- состояния относительно энергии нормального состояния. Вместе с тем он оказывается довольно громоздким, хотя и пригодным, для анализа возбужденных состояний. В этом разделе будет описай другой подход, близкий к более сложным современным методам и весьма удобный при анализе возбуждений. Этот дополнитель- 41
ный метод также является разновидностью метода самосогласо- самосогласованного поля, но не требует обращения к вариационным вычис- вычислениям. Заметим, что гамильтониан БКШ, описывающий характерное парное взаимодействие, приводит к основному состоянию, которое представляет собой фазо-когерентную суперпозицию многочастич- многочастичных состояний, образованных из пар блоховских состояний (kf, —kj), занятых или свободных с вероятностью единица. Вследст- Вследствие когерентности такие операторы, как c_k;Ckt . могут иметь в этом состоянии ненулевые собственные значения Ьк в отличие от нормального металла, где фазовые соотношения случайны и опе- операция усреднения приводит к йк=О. Более того, из-за большого числа частиц флуктуации вблизи этих собственных значений должны быть малы. Отсюда следует, что весьма полезно пред- представить такое произведение операторов следующим формальным образом: C-kjCkt = bk + (c-k^Ckt — bk) B.37) и затем пренебречь билинейными величинами в малом флуктуа- ционном слагаемом, заключенном в круглых скобках. Если про- проделать эту процедуру в нашем гамильтониане спаривания B.20), то получится так называемый модельный гамильтониан к1(с^с_к^ + Ъ?_цсц - Ч*,). B.38) в котором величина Ьк должна быть определена самосогласо- самосогласованно: bv = <c_4Ckt>cp. B.39) Отметим, что, производя упрощения, связанные с исключением квадратичных членов по Ск из гамильтониана, получаем его при- приближенный вид, который не удовлетворяет закону сохранения числа частиц. Точнее, в нем содержатся теперь слагаемые, кото- которые рождают или уничтожают пары частиц. Это полностью ана- аналогично обсуждавшейся выше ситуации, в которой волновая функция БКШ, записанная в виде простого произведения с фик- фиксированной фазой, содержала много функций, соответствующих различному количеству частиц. Точнее, число частиц можно было зафиксировать только интегрированием по фазе ф. Возникшая здесь ситуация связана с тем, что величине Ьк приписана опреде- определенная фаза. Во всяком случае, как и раньше, можно обойти этот момент, вводя химический потенциал \i так, чтобы фиксировать N на любом заданном уровне. Теперь, приступая к решению, определим параметр Дк: S S<ut> B.40) Очевидно, что это определение весьма близко к приведенному в выражении B.27) и, как окажется, этот параметр будет опреде- определять щель в энергетическом спектре. В терминах Дк для модель- 42
ного гамильтониана (после переобозначения некоторых индексов) получим следующее выражение: Мм = 5] IkCkoCko — 5] (AkCktC-k; + AkC-kjCkf — AkbD. B.41) Оно представляет собой сумму слагаемых, билинейных по паре операторов, соответствующих состояниям — партнерам по куперов- ской паре. Такой гамильтониан можно привести к диагональному виду простым линейным преобразованием. Как было показано не- независимо Боголюбовым [15] и Валатиным [16], нужное преобразо- преобразование имеет вид B.42) Здесь численные коэффициенты мк и ик удовлетворяют условию |мк|2+ |ик|2= 1, a Yk — новые ферми-операторы. Видно, что опе- оператор уко участвует в уничтожении электрона в состоянии kf и рождении электрона в состоянии —к\. В обоих случаях суммар- суммарный эффект состоит в уменьшении импульса системы на k, a проекции спина (Sz) — на ft/2. Оператор Yki обладает сходными свойствами, т. е. уменьшает импульс системы на (—к) (или уве- увеличивает на к) и переворачивает спин из состояния вниз в состоя- состояние вверх. Подставляя эти новые операторы B.42) в модельный гамиль- гамильтониан B.38), раскрывая до конца умножение операторов и учи- учитывая их некоммутативность, получаем 36 м = ? h [(| ик |* - | vk |«) GkoVko + YkI7kl) + 21 vk 14- . B.43) Теперь, если выбрать мк и ик таким образом, чтобы коэффициен- коэффициенты перед VkiVko и VkoVki обратились в нуль, то гамильтониан приведется к диагональному виду, т. е. к виду, в котором он содер- содержит только константы и слагаемые, пропорциональные числу за- заполнений YkYk- Коэффициенты перед обоими нежелательными слагаемыми равны нулю, если = 0. После умножения на Дк/мк, решения квадратного уравнения и использования введенного выше определения Ек это условие можно записать в виде % = (Й + 1 Ak |')'A - ЕЬ s ?k - Ь. B.44, 43
Положительный знак перед квадратным корнем соответствует устойчивому решению, отвечающему минимуму, а не максимуму энергии. Имея условие нормировки |uk|a + \vk\2 = 1 и зная из условия B.44), что | Vyjuk | = (?k — ?k)/|Ak|, можно найти выра- выражения для коэффициентов которое точно согласуется с результатом B.35), полученным ва- вариационным методом. Хотя фазы uk» Vk и Дк сами по себе произвольны, они связаны соотношением B.44), согласно которому величина AuW«k дей- действительна. Это означает, что фаза Vk относительно ыь должна быть равна фазе Д^ Без ограничения общности можно выбрать коэффициент «к действительным и положительным. В этом слу- случае Vk и Дк должны иметь одинаковые фазы. 2.5.1. Энергия возбуждений и энергетическая щель Если Uk и Vk выбраны из соображений диагонализации мо- модельного гамильтониана B.43), то в нем остаются следующие члены: + ^ Ек (VkoVko + YkiVki)- B-45) = 2 (Бк - Ек Первая сумма постоянна и отличается от соответствующей суммы в нормальном состоянии приТ=0 (?k=|?k|, Ak=0) точно на вели- величину определенной ранее энергии конденсации [см. формулу B.36)]. Вторая сумма описывает увеличение энергии относительно основного состояния, выраженное через операторы YkVk Для Yk-фермионов. Операторы уь описывают элементарные квази- квазичастичные возбуждения (которые часто называют боголюбовски- ми) в сверхпроводящей системе. Очевидно, что энергия этих вез- буждений равна ?к = (Й + |Дк|гI/2. B.46) Таким образом, как и предвидели, Дк играет роль энергетической щели, или минимальной энергии возбуждений, так как даже на сфере Ферми (где ?к = 0) Ек = | Дк | > 0. Более того, обозначение Ек получает теперь свое оправдание, т. е. обозначает энергию элементарного возбуждения с импульсом ft к. Как и в прежних вариационных вычислениях, условие самосо- самосогласования будет удовлетворено, если найденное из полученного решения среднее <c_i|Cit> подставить в формулу B.40). Выра- Выражая операторы Ск через уь и опуская недиагональные члены в квазичастичных операторах y^i и VkiVko (так как они не дают вклада в среднее значение), получаем 44
B.47) При 7 = 0, когда квазичастичные возбуждения отсутствуют, это выражение сводится к равенству B.27). Следовательно, метод канонического преобразования приводит к той же зависимости А@) OTftojc и N@)V, что и вариационный. Однако он оказывает- оказывается гораздо более удобным при обобщении вычислений на случай 2.6. Конечные температуры Так как величина ?к отождествлена с энергией возбуждения ферми-квазичастиц, то вероятность таких возбуждений в положе- положении термодинамического равновесия определяется функцией Ферми / (?к) = (ехр {(*?„}+1)~\ B.48) где |3=1/&7\ Поэтому и в общем случае для Дк из выражения B.47) имеем - 2/(?,)] =- 2 VU A- th -^L. B.49) Используя приближение БКШ Fki = — V, получаем что = Д, а уравнение самосогласования преобразуется к виду V ' Здесь, как и обычно, ?к = (Й + Дк)'/г. Уравнение B.50) опреде- определяет зависимость энергетической щели от температуры А (Г). 2.6.1. Определение Тс , Критической называется такая температура Тс, при которой А(Г)-»-0. В этом случае ?"к—>-jgk | и спектр возбуждений становит- становится таким же, как в нормальном состоянии. Таким образом, Тс можно определить, заменяя в формуле B.50) ?к на |?к| и решая полученное уравнение. После замены суммирования интегрирова- интегрированием, учета симметрии ||к| относительно уровня Ферми и пере- перехода к безразмерной переменной интегрирования уравнение для определения Тс принимает вид 1 с thx , dx. -J N(O)V о 45
All) МО) 1 0 - МО) I 0,2 = 1,7ВкТс I 0,4 I 0,6 I 0,8 \ \ Т То Рис. 2.2. Температурная зависимость энергетической щели в теории БКШ. Эта универсальная зависи- зависимость строго справедлива в пределе слабой связи, однако она является весьма хорошим приближением и в большинстве других случаев Этот интеграл равен 1п(Лрсйсос), где А = 2ехр{у}/л~ 1,13, у — постоянная Эйлера. Следовательно, B.51) ЙГе = рГ= 1,13Лшсехр{— Сравнивая полученное выражение с выражением B.34), видим, что А@) _ 2 1,13 = 1,764. B.52) Итак, энергетическая щель при Т = 0 действительно сравнима с kTc. Численный множитель 1,76 был проверен в многочисленных экспериментах. Оказалось, что экспериментальные значения вели- величины 2Д для различных материалов и различных направлений в ^-пространстве обычно попадают в интервал от 3,0 до 4,5 kTc, что очень близко к найденному из БКШ значению 3,5 kTc. 2.6.2. Температурная зависимость щели Имея уравнение B.50) или его интегральный эквивалент - d\, B.53) Л' @) V можно численно рассчитать зависимость А(Т). Для сверхпровод- сверхпроводников со слабой связью, в которых йюс/&Гс»1, Д(Г)/Д@) явля- является универсальной функцией от Т/Тс, монотонно убывающей от единицы при Г = 0 до нуля при Т = ТС (рис. 2.2). В окрестности Г = 0 температурные изменения экспоненциально малы, потому что> ехр {—Д/&Г}«0, гиперболический тангенс очень близок к едини- единице и не чувствителен к изменению Т. Физически это означает, что Д примерно постоянна до тех пор, пока за счет конечности тем- температуры не возбудится достаточное число квазичастиц. С другой стороны, вблизи Гс зависимость Д(Г) стремится к нулю с верти- вертикальной касательной: ДG)/Д@)« 1,74[1 — G/Tf)]'/*, TxTc. B.54) 46
Пропорциональность параметра порядка (Тс — ТI/» характерна для всех теорий самосогласованного поля. Например, аналогичную зависимость имеет функция М(Т) в теории ферромагнетизма {приближение молекулярного поля). 2.6.3. Термодинамические величины Определив А(Т), мы нашли и зависящую от температуры совокупность энергий возбуждений фермионов Ек = [?k + Az(T)]'/l. Эти энергии определяют числа заполнения квазичастиц /ь = A + -f exp {P^k})1 которые, в свою очередь, позволяют обычным для газа фермионов образом найти электронную энтропию: Ses = -2*Е[A -/01пA -Ш-/kin ft]. B.55) k По известной функции Ses(T) можно найти удельную тепло- теплоемкость dSes __ о dSes T dP ' dT Используя выражение B.55), получаем Ces — Первое слагаемое имеет тот же вид, что и в нормальном металле, и определяется перераспределением квазичастиц по различным энергетическим состояниям при изменении температуры. Второе слагаемое более необычно и описывает влияние зависящей от температуры щели на изменение самих энергетических уров- уровней. Очевидно, что оба слагаемых экспоненциально малы при Г"СГС, когда минимальная энергия возбуждений значительно превосходит kT. Этим объясняется отмеченная выше экспонен- экспоненциальная зависимость A.13). Другой интересный предельный случай — окрестность Тс. В этом случае в формуле B.56) можно заменить Ек наЦи |, так как Д(Г)-»-0. Первое слагаемое при этом перейдет в обычное выражение для электронной теплоемкости нормального состояния Сеп = уТ = Bп2/3) N @) &Т, B.57) 47
Рис. 2.3. Сравнение термодинамических величин в сверхпроводящем и нормаль- нормальном состояниях. Энергия (/„„(О) выбрана равной нулю [графики (в) и (г)]. Поскольку переход из сверхпроводящего в нормальное состояния является фазовым переходом второго рода, величины S, U и F при Т=ТС непрерывны. Более того, поскольку 6F/dT=—S, при Т = ТС совпадают и наклоны зависи- зависимостей Fe, и Fen от Т непрерывное при Г = ГС. Второе слагаемое конечно при темпера- температурах ниже 7"с, где велика производная dA2/dT, и равно нулю при температурах выше Гс. Это приводит к скачку электронной тепло- теплоемкости АС при Т = ТС. Величину скачка легко определить, если заменить суммирование интегрированием <*.-<с..-с„> \,г-"@) V f ] (ji) «- B.58) и учесть тот факт, что df/d\l\=df/dt,, так как дЦдЪ, — четная- функция |. Используя для А (Г) приближенное выражение B.54) с А @) = 1,76 kTc, получим: АС~9,4 M@)k2Tc. Сравнивая полу- 48
чинное выражение с формулой B.57), находим относительную ве- величину скачка — =-^- = 1,43. B.59> Поведение теплоемкости при произвольных температурах схема- схематически изображено на рис. 2.3, б. Определив зависимость Ces(T) численно по формуле B.56), можно проинтегрировать ее и найти изменение внутренней энер- энергии U(Т) при удалении температуры от Тс. При Т = ТС величина U(Т) совпадает со своим выражением в нормальном состоянии f/en@)+.Y^/2. так как удельная теплоемкость в этой точке конеч- конечна. Таким образом, Ues (Г) = Uen @) + -L уТ2с ~ j C74T. B.60> Из полученного выражения B.60) и выражения для энтропии B.55) можно определить свободную энергию: F.es(T) = Ues(T)~TSeS(T). B.61) Предполагая, что воздействием сверхпроводящего перехода на свободную энергию решетки можно пренебречь, термодинамиче- термодинамическое критическое поле определяем из соотношения 4г=^(Т)-^(П B-62) в котором Fen(T) = Uen@)—уТ2/2. Зависимости различных термо- термодинамических величин от температуры изображены на рис. 2.3. Полезные численные таблицы приведены в работе Мюльшлеге- ля [17]. Так как критическое поле НС(Т) может быть измерено с боль- большей точностью, чем типичные термодинамические величины, важ- важно отметить, что любую из них можно получить из другой строгим термодинамическим расчетом, исходя из формулы B.62). Например, параболическая температурная зависимость Нс A.2) не согласуется с экспоненциальным изменением в Ces A.13). Точные измерения отклонения зависимости НС(Т) от параболиче- параболической аппроксимации были проделаны Мапотером [18], проверяв- проверявшим предсказания теории БКШ для термодинамических свойств. 2.7. Функция состояния и плотность состояний Обращая равенства B.42), выразим операторы у^ через опе- операторы рождения электронов с*: Vko = «Xt-ykc-k|. B.63) 49
'Операторы у к рождают, при действии на основное состояние сверхпроводника, квазичастичные возбуждения с двумя спиновы- спиновыми ориентациями. Основное состояние сверхпроводника I^g) есть вакуумное состояние для у-частиц, т. е. определяется соотно- соотношениями Ти|*в> = Тк,|Ч»(г>=0- B.64) Структура |t|jg) в терминах у-частиц не представляет интереса. Однако интересно показать, что выраженное через сь. равенство B.64) справедливо для волновой функции БК.Ш, представленной в виде произведения B.14). Это можно проверить, например, рас- рассматривая выражение Выделяя множитель, включающий k-ю пару, получаем ,ЛГ 4- и и г г* г* 11 и г* и2 г* г* г* "kCkt ^ "к Vk °kf Lkf С-к± "к Uk -к| Uk -k| ckf -kf" Все эти слагаемые дают нуль при действии на |<р0) по следующим причинам. Первое равно нулю, так как оператор уничтожения действует на вакуум, следующие два сокращаются друг с другом, потому что действие оператора Cktc—и на вакуумное состояние дает единицу, а последнее слагаемое выпадает, так как оно дваж- дважды содержит один и тот же оператор рождения без промежуточ- промежуточного оператора уничтожения. Аналогичным образом определяется результат действия на |т|О оператора уы. Таким образом, со- соотношение B.64) проверено и выражение для основного состояния в теории БК.Ш точно совпадает с основным состоянием в методе канонических преобразований. Обратимся теперь к изучению возбужденных состояний. В ка- качестве примера рассмотрим действие оператора у^ на |г|)с): — I v. \2 с , , cl.c* ..)П(и, -Ь v.c*c* ,Л \ сро>. Два средних слагаемых дают нуль по причинам, отмеченным вы- выше. Последнее слагаемое может быть преобразовано с использо- использованием антикоммутационных соотношений для ферми-операторов к выражению \vk |2c?. с_к,с"_к,, в котором произведение с_к:С*_к: можно опустить, так как при действии на |фо) оно дает множи- множитель, равный единице. Объединяя оставшееся .выражение с первым слагаемым, имеем Vko I %> = c't П (и, + », c,'f cl,J | сро>. B.65а) Аналогично 7м I 1>с> = c*_ki П(«, +",c;tclu) | Фо>. B.656) 50
как раз те возбужденные состояния, которые в оригинальной' работе БКШ были названы «одночастичными». Они соответству- соответствуют4 помещению с вероятностью, равной единице, одного из электро- электронов в какое-либо состояние пары (kf, —к\) при одновременном оставлении другого состояния пары свободным с той же вероят- вероятностью, что приводит к выключению этого состояния из многочас- многочастичной волновой функции и соответствующему увеличению энер- энергии системы. Операторы у^ изменяют среднее значение числа частиц на величину («?— vfy, которая пробегает значения от —1 до + 1 при изменении |к от минус до плюс бесконечности. Это суммарное изменение следует из изменения вероятностей м? и у? соответ- соответственно на +1 и —1. Такое поведение должно быть несовместимо, с выполнением закона сохранения числа частиц в изолированной, системе. Возникшее противоречие разрешается, если вспомнить,, что операторы у^ определены только по отношению к основному состоянию, имеющему определенную фазу параметра Лк и, следо- следовательно, большую неопределенность в N. Если все же необходи- необходимо рассмотреть возбужденные состояния в изолированной системе с числом пар частиц в основном состоянии, точно равным Л^/2, то можно использовать операцию типа B.18), позволяющую выде- выделить jV-частичное слагаемое после действия у^ на |x|)g). Отме- Отметим, что у^ | ij>c) не имеет компоненты с четным числом час- частиц и, следовательно, не имеет проекции на N-частичное подпро- подпространство. Вообще, из закона сохранения электронов следует, что возбуждения должны рождаться или уничтожаться парами, как это и ожидается для фермионов (именно по этой причине «спект- «спектроскопическая» щель равна 2Д, а не А). Рассматривая, например, выражение VkOVk'o I ^g) и используя результат B.65а), видим, что результирующее состояние имеет вполне определенную Л^-частич- ную проекцию 2л с* с*., [dq>exp{—i(JV —2)q>/2} П (| "i I + 0 I^k. k' + \щ |exp(iq>)c,Vlu)l<Pb>. B-66> Предвосхищая обсуждение туннельных экспериментов, в кото- которых возбужденные состояния рождаются благодаря реальному удалению или добавлению электрона, отметим, что состояние, возникающее при действии оператора у^0 на /V-электронную сис- систему, описывается выражением Ckt fdcpexp{—Ш'<р/2} П (| щ | + I v\ | exp(icp)dt clit) | cpo>, B.67) Мк в котором N' = N, если электрон добавляется, и N' = N—2, если электрон удаляется. Таким образом, всегда можно выписать точные выражения для различных возбужденных состояний, со- содержащих точно определенное число частиц, хотя это и редко 51
'бывает нужно. Важный качественный момент состоит в том, что для сохранения полного числа частиц можно добавлять к конден- конденсату или удалять из него пары электронов; для сохранения энер- энергии такие электроны должны находиться на уровне химического потенциала \i. Чтобы избежать необходимости работы с точной волновой функцией типа B.66) или B.67), вслед за Джозефсоном [19] вве- введем операторы S и S*, которые соответственно уничтожают или рождают куперовскую пару. Позднее, при изучении эффекта Джо- зефсона, станет ясно, что собственное значение оператора 5 в со- состоянии БКШ с фазой Л (или м*и), равной ф, равно exp{itp}. ¦Оператор р, эквивалентный S, был также введен Бардиным [20]. Теперь можно определить набор модифицированных квазичастич- квазичастичных операторов, которые,с вероятностью, равной единице, рожда- рождают или электрон, или дырку, т. е. либо увеличивают, либо умень- уменьшают число частиц на одну. Для этого вместо операторов двух ти- типов B.63) вводятся операторы четырех типов: C_k|, B.68) Yd<l = «kC-kj. +WkS*Ckt, Yftki = ulSd-bi -f UkCkt- Отметим, что операторы для электронов и дырок связаны соотно- соотношением v;k = SY;k, B.69) отражающим тот факт, что рождение, дырочного возбуждения эквивалентно уничтожению пары и рождению электроноподобного возбуждения. Следовательно, это не независимые возбуждения, а одно и то же возбуждение при различном числе сконденсирован- сконденсированных пар. При исследовании туннельных процессов, в которых электро- электроны перемещаются из одной системы в другую, полезно переопре- переопределить химический потенциал более точно, так, чтобы он отличал- отличался в проводниках, имеющих разные электрические потенциалы. Так как во всех вычислениях энергия системы отсчитывалась от химического потенциала \и, благодаря вычитанию члена |дЛ^0П, снова прибавим его и получим следующее выражение: B.70) Здесь EG — энергия основного состояния, а суммирование ведется по всем возбуждениям. Из выражения B.70) видно, что энергия, необходимая для создания электроноподобного возбуждения, рав- равна Еек = (?к +ц), в то время как для создания дырки требуется Екк=(Еи—ц). В изолированном сверхпроводнике простейшее возбуждение, сохраняющее число частиц, состоит из дырки и
электрона и имеет энергию (Ек + ц) + (Ек- ~ll) = Ek+ Ev > 2Л. B.71) С другой стороны, в туннельных процессах при переходе электро- йа из металла 1 в металл 2 закон сохранения энергии приводит к выражению (?к1-ц1) + (?к.2 + ц2) = 0, т. е. Ей + EV2 = (цх — fi,2) = eV12. B.72) С исторической точки зрения интересно отметить, что в перво- первоначальной форме теории БКШ было необходимо специальным образом рассматривать «возбужденные пары», так как возбуж- возбужденное состояние, образуемое из состояния B.66) заменой (—к|) на k'f, не ортогонально основному состоянию. Однако если воз- возбужденные состояния описываются операторами у^, то уже не требуется привлечения специальных дополнительных математиче- математических процедур и соответствующее ортогональное состояние стро- строится автоматически как Yk.Vko | ^с)- 2.7.1. Плотность состояний Пос'ле того как мы убедились, что квазичастичные возбуждения могут быть просто описаны операторами рождения фермпонов ук, которые однозначно связаны с операторами с* в нормальном металле, можно получить выражение для плотности состояний NS(E) из равенства* Так как в данном разделе рассматривается один сверхпроводник, удобнее положить ц, = 0. Нам главным образом интересен диапа- диапазон энергий I всего лишь в несколько миллиэлектронвольт вблизи поверхности Ферми, поэтому мы можем считать величину Nn(l) постоянной и равной N@). Это непосредственно приводит к сле- следующему простому результату: '?@) а 1 о B.73) так как ?k = A2+Ek- Возбуждения со всеми суммарными волно- волновыми векторами к, даже такие, у которых gk попадают в область щели, обладают энергиями, превышающими Д. Более того, при E = S. имеет место расходимость в плотности состояний (рис. 2.4). Конечно, полное число состояний сохраняется, что следует из од- однозначного соответствия между операторами Yk и ск. Такое соот- соответствие иллюстрируется рис. 2.5, на котором показано соотноше- * Оно следует из равенства в нормальном и сверхпроводящем веществе чи- иел электронных состояний в импульсном пространстве. — Прим. ред. пер. 53
va; Нормаль- Нормальный металл Сберхпрободник ¦ ч -з -2 /С А 2 -1 / -2 -з / 0 - - А П 1 2 t_ A Рис. 2.4. Сравнение плотности состояний сверхпроводника и нормального метал- металла. Все состояния с волновыми веторами к, энергия которых в нормальном ме- металле попадает в область щели, в сверхпроводнике располагаются в области, энергий несколько выше щели Рис. 2.5. Зависимость от ?к энергии элементарных возбуждений для нормаль- нормального и сверхпроводящего состояний; ?к представляет собой кинетическую энер- энергию независимых частиц, отсчитываемую от энергии Ферми ние между энергиями возбуждений в нормальном и сверхпроводя- сверхпроводящем состояниях. Если следовать буквально модели БКШ, то в плотности состояний должен присутствовать узкий пик на энергии обрезания йшС) так как при энергиях, больших этой величины, Д = 0 и ^к^ = lk- В результате этого УУ@)Д2/2йшс избыточных состояний попа- попадут в область энергий ширины Д2/2^шс, что приведет к удвоению N (Е) в этой области. Конечно, этот факт является следствием выбранной модели и не должен приниматься всерьез, так как за- зависит от способа заведомо грубой процедуры обрезания. Как будет показано в следующем разделе, более строгий учет взаимодейст- взаимодействия электронов через фононы «размазывает» это возрастание на весь диапазон энергий ftcoc, так что действительные отклонения от выражения B.73) оказываются порядка (A/ftcocJ или {TJQD)Z, хотя и дают примерно такой же интегральный вклад. 2.8. Туннелирование электронов К настоящему времени наиболее детальную информацию о плотности состояний дают эксперименты по туннелированию электронов. Техника таких экспериментов была впервые описана Гьевером [21], который использовал ее для проверки выражения для плотности состояний и температурной зависимости энергети- энергетической щели, предсказываемых БКШ. Основная идея этих экспе- 54
риментов базируется на том, что существует отличная от нуля вероятность переноса, заряда при квантовомеханическом туннели- ровании электронов через тонкий изолирующий барьер между двумя проводниками. Эта вероятность убывает экспоненциально с толщиной барьера и зависит от характеристик изолирующего материала. Однако все эти характеристики могут быть включены в феноменологический матричный элемент Ткц добавлением к гамильтониану слагаемого вида Мт = Л| jTkqCkoCqo + ЭрМ. СОПр. B.74) okq В нем индекс к относится к одному металлу, а индекс q — к дру- другому. Так как в задаче отсутствуют магнитные возмущения, пред- предположим, что при туннелировании не происходит переворота спи- спина. Слагаемое, выписанное под знаком суммы в выражении B.74) явно, описывает переход электрона из металла q в металл k, a сопряженный член — обратный переход. До тех пор пока не учи- учитываются когерентные процессы джозефсоновского туннелирова- туннелирования, вероятность туннелирования (и, следовательно, ток) пропор- пропорциональна, как обычно, квадрату матричного элемента. Если будем рассматривать, например, электрон, протуннелиро- вавший [согласно выражению B.74)] в сверхпроводник в состоя- состояние kf, то нужно будет, используя формулу B.68), выразить это электронное состояние через соответствующие сверхпроводнику возбуждения уь что даст * * . * /о тк\ Ckt = «kYekO "Г UkVAkl- \6-io) Если сверхпроводник находится в основном состоянии, то второе слагаемое даст нуль и вклад туннелирования в ток будет пропор- пропорционален | «k 12 | T'kq |2- ФиЗИЧеСКИЙ СМЫСЛ МНОЖИТеЛЯ | Uk Iй состоит в вероятности того, что состояние к в волновой функции БКШ свободно и, следовательно, способно принять входящий электрон. Итак, на первый взгляд кажется, что туннельный ток должен зависеть как от природы основного сверхпроводящего состояния, так и от плотности имеющихся возбужденных состояний; однако оказывается, что это не так. Из рис. 2.5 ясно видно, что имеется еще одно состояние с точно такой же энергией ?к. = Ек, но с |к' = —Ек- Заменяя в выражении B.75) к на к', видим, что, так как \и(—g)| = |w(i)|, туннелирование в состоя- состояние к' дает вклад в ток, пропорциональный | «u' |2 | TVq |2 = = | Ук|2 | 7Vq|2- Так как оба вектора к и к' лежат вблизи одной и той же точки поверхности Ферми, разумно предположить, что мат- матричные элементы Tkq и 7Vq приблизительно равны друг другу. Поэтому полный ток, учитывающий эти два канала, пропорцио- пропорционален (| Uk |2 + I Vk 12) | Tkq I2 = | Tkq |2. Таким образом, множители «k и Vk, характеризующие когерентность волновой функции, вы- выпали. Если провести обобщение на случай конечных температур, при которых числа заполнений квазичастичных состояний fk от- отличны от нуля, то оба слагаемых в выражении B.75) дадут вклад, пропорциональный соответственно величинам A —/к), /к. Если сно- 55
ва учесть вклад прямого и обратного туннелирования, то ток окажется пропорциональным просто | 7Yq \\ 2.8.1. Полупроводниковая модель Такое отсутствие факторов когерентности «к и Vk в выражении для туннельного тока делает возможным и удобным его вычисле- вычисление в рамках модели, часто называемой «полупроводниковой». В этом методе нормальный металл описывают известным простым способом: как непрерывное распределение независимых электрон- электронных состояний с плотностью N@), включая энергии, лежащие как выше, так и ниже уровня Ферми. Сверхпроводник представляется как обычный полупроводник с плотностью состояний независимых частиц, определяемой из рис. 2.4, который следует дополнить зеркальным отображением представленной кривой в область от- отрицательных относительно химического потенциала энергий, с тем чтобы при Д->-0 она нужным образом переходила в плотность состояний нормального металла. При Г = 0 заполнены все состоя- состояния до ц, при 7">0 числа заполнения определяются распределе- распределением Ферми. В том, что fk изменяется теперь от 0 до 1, в то время как в предыдущих обозначениях /к изменялось от 0 до 1/2, что определялось положительным знаком ?к, не содержится противо- противоречия. Указанное отличие отражает тот факт, что в данной мо- модели величина /к является мерой отклонения от вакуума, в то время как в прежнем «представлении возбуждений» она характе- характеризовала отклонения от основного состояния системы. В этой модели все туннельные переходы «горизонтальны», т. е. они происходят при постоянной энергии после установления отно- относительного уровня fj, двух металлов, учитывающего приложенную разность потенциалов eV. Это свойство модели позволяет элемен- элементарным образом проводить суммирование всех вкладов в ток, благодаря тому что упомянутые выше различные параллельные каналы не приходится каждый раз рассматривать заново. Так как эта схема существенно упрощает вычисления, используем именно ее для расчета туннельных характеристик переходов раз- различного типа; более детальные теории можно найти в опублико- опубликованной литературе*. Однако необходимо помнить, что эта техни- техника в некоторой степени слишком проста. Она вполне пригодна для нормального металла, но менее надежна при изучении сверх- сверхпроводников, так как не учитывает перемешивания электронных и дырочных состояний, которое имеет место в сверхпроводниках даже при Г = 0. Хотя приведенные выше аргументы в пользу про- простого суммирования токов двух независимых каналов обычно справедливы, может иметь место эффект интерференции между этими токами, приводящий к осцилляцнонной зависимости тун- туннельного тока от напряжения или толщины образца, известный * Тщательное обсуждение вкладов различных каналов было проведено в. работе {22]; более ранние исследования и обзоры см. в работах [23—25]. 56
как эффект Томаша [26]. Это говорит о необходимости осторож- осторожного использования полупроводниковой модели. Конечно, эта мо- модель неприменима также для описания процессов, в которых участвуют конденсированные пары, потому что на диаграмме энергетических уровней основное состояние отсутствует. В приближении независимых частиц туннельный ток из метал- металла 1 в металл 2 может быть представлен в виде 1^2 = A j \T\* —оо Здесь V — приложенное напряжение, eV — возникающая на кон- контакте разность химических потенциалов, a N(?)—нормальная или сверхпроводящая плотность состояний. Множители NJ и №A—/) показывают соответственно числа занятых начальных и имеющихся (т. е. свободных) конечных состояний в единичном энергетическом интервале. Туннельный матричный элемент Т считается в этом выражении постоянным; А — некоторая постоян- постоянная. Учитывая обратный ток, для суммарного тока имеем / = А | Т |2 J #! (Е) Ns (Е -I- eV) [f (Е) ~f{E + eV)] dE. B.76) Используем это выражение для анализа ряда важных случаев. 2.8.2. Туннелирование между нормальными металлами Если оба металла нормальные, то выражение B.76) преобра- преобразуется к виду /„„ = А | Г 1*^@)^@) ] \f(E)-f(E + eV)]dE = —оо = A\T\*N,{V)N^)eV^GnnV. B.77) Видно, что переход оказывается «омическим», т. е. имеет не зави- зависящую от V проводимость Gnn. Отметим, что эта проводимость также не зависит и от температуры. Чтобы продемонстрировать соотношение полупроводниковой модели (модели независимых частиц) с описанием поведения сверхпроводника на языке элементарных возбуждений, посмотрим, каким образом этот простой случай может быть проанализирован другим способом. Во-первых, при Т = 0 все fk=O и возбуждения отсутствуют. Оба металла находятся в своем основном ферми-со- стоянии. Поэтому любой процесс туннелирования должен приво- приводить к рождению двух возбуждений: дырки в одном металле и электрона в другом. Сумма энергий этих двух возбуждений равна, как следует из выражения B.72), eV, а результирующий ток I =А\ Т l2fУ(?) Nn_(E — eV) dE = А | Г \г N1(Q)N2(Q)eV о 57
в точности равен полученному ранее в выражении B.77). При Г>0 ток, связанный с этим процессом, уменьшается, так как всег- всегда присутствуют возбуждения, блокирующие конечные состояния. Этот эффект, однако, полностью компенсируется избыточным то- током, связанным с туннелированием возбуждений, что и приводит к результату, не зависящему от температуры. 2.8.3. Туннелирование между нормальным металлом и сверхпроводником Более интересный случай возникает, если один из металлов является сверхпроводником. Тогда из формулы B.76) имеем Nls(E)\f(E)-f{E + ev)] dE- B-78> В общем случае вычисление этого тока для плотности состояний БК.Ш, позволяющее провести количественное сравнение с экспери- экспериментом, требует применения численных методов, но его качествен' ное поведение можно представить достаточно легко. Как показана на рис. 2.6, а, при Т = 0 туннельный ток отсутствует до тех пор» пока не выполнится неравенство e|V|3?A. Это связано с тем, что разность химических потенциалов должна быть достаточной для рождения возбуждения в сверхпроводнике. Величина тока не за- зависит от зкгака V, так как дырочное и электронное возбуждения имеют равные энергии. При Г>0 всегда существуют возбуждения с энергией, позволяющей им туннелировать при меньших напряже- напряжениях, что приводит к экспоненциально меняющемуся току в облас- области напряжений, меньших V = A/e. Более точное сравнение теории с экспериментом делает воз- возможным изучение зависимости дифференциальной проводимость dl/dV от V. Из формулы B.78) получаем G^ = dV = G Г ^<?)Г */<? + «V)-ldE- B.79) "" J Л\ @) L д (eV) J V Весовая функция —[df(E + eV)/d(eV)] имеет форму колокола с максимумом при Е = —eV, шириной ~kT и единичной площадью под кривой. Поэтому при kT-yQ выражение B.79) переходит в следующее: dL G ns 7=0 dV т=о пп N, @) B-80) Гаким образом, в пределе низких температур дифференциальная проводимость непосредственно соответствует плотности состоя- 58
Рис. 2.6. Характеристики туннельного перехода между нормальным металлом и. сверхпроводником: а. — вольт-амперная характеристика; б — дифференциальная проводимость. Сплошнооп ли- линией показаны зависимости при Г=0, пунктирной—при некоторой конечной температуре ний. При конечных температурах, как показано на рис. 2.6, б, дифференциальная проводимость соответствует плотности состо- состояний, размытой благодаря конечной ширине весовой функции по энергии на величину порядка kT. Так как эта функция имеет экспоненциально спадающие «крылья», оказывается, что диффе- дифференциальная проводимость при V = 0 экспоненциально зависит от ширины щели: в пределе kT<g.A из выражения B.79) следует v=o 2.8.4. Туннелирование между двумя сверхпроводниками Если оба металла являются сверхпроводниками, то выражение для тока B.76) становится равным 7 е J Л\ E + eV [f{E)-f{E + eV)]dE = — [f(E)—[(E + eV)]dE. B.82) Во второй форме записи выражения для тока считается, что из области интегрирования исключены значения энергии |?|<|Ai| и |? + eV| < |Лг|. Для вычисления всей вольт-амперной характери- характеристики (ВАХ) снова требуется применение численных методов, а ее качественные особенности представлены на рис. 2.7. При Г = 0 ток будет отсутствовать до тех пор, пока не выполнится равенство 59
'nn. / / i 1 1 1 1 1 1 / 'SS Рис. 2.7. Туннельная характеристика перехода между двумя сверхпровод- сверхпроводниками. При 7">0 на ней имеются особенности, соответствующие как сумме, так и разности значений двух энергетических щелей. В отсутствие анизотропии щели и уширения уров- уровней за счет эффектов, связанных с конечными временами жизни, зави- зависимость J(v) имеет особенность ло- логарифмического характера при eV= \Л1~А2: A1+Ai eV В этой точке разность потенциалов оказывается дос- достаточной для рождения дырки в одном сверхпроводнике и элект- электрона в другом. Оказывается, что вследствие расходимости плот- плотности состояний в области энергий вблизи щели, даже при конеч- конечных температурах, имеется резкий скачок тока при eV=Ai + &2. В случае Т>0 из-за конечной вероятности теплового возбуждения квазичастиц ток будет протекать и при меньших напряжениях. Он будет резко нарастать, достигая максимума при eV= \A\—До|. Это напряжение точно соответствует энергии, при которой возможно туннелирование возбужденных тепловыми процессами квазичастиц из области пика в плотности состояний в окрестности А\ в область с максимальной плотностью свободных состояний в окрестности Дг. Существование максимума тока приводит к образованию на. ВАХ «участка с отрицательным сопротивлением» [(d//dV)<0] в области напряжений |Ai—Д2| =?eV=?Ai + A2. Этот участок не мо- может быть обнаружен в обычном режиме задания тока, так как при заданном токе / возможны три значения напряжения V и од- одно из них с dI/dV<zO неустойчиво; для обеспечения его устойчиво- устойчивости необходимо использовать источник напряжения *. Существо- Существование на кривых туннелирования особенностей при |Ai—Д21 и Ai-f- + А2 весьма удобно для определения величин Ai(T) и &2(Т)- Та- Таким образом, определение А (Т) методом s—s туннелирования имеет преимущество по сравнению с методом s—п туннелирова- туннелирования, так как существование очень резких максимумов в плотно- плотностях состояний в окрестности щели обоих материалов помогает избавиться от эффектов, связанных с тепловым уширением. * Даже в этом случае участок с отрицательным сопротивлением может давать неустойчивости, приводящие к возбуждению нелинейных колебаний и в результате к отклонению наблюдаемой характеристики от истинной. — Прим. ред. пер. 60
2.8.5. Фононная структура При исследовании кривых туннелирования в материалах с сильным электрон-фононным взаимодействием можно довольно- легко наблюдать особенности, не совпадающие с описанными вы- выше. Они были впервые обнаружены в свинце Гьевером и др. [27], которые заметили, что эти особенности появляются в области энергий, характерных для фононной структуры. С тех пор такие наблюдения, а также их теоретическая обработка были значитель- значительно усовершенствованы. Ключевым моментом явилась работа Шриффера, Скалапино и Вилкинса [28], в которой было показано, что наблюдаемая плотность состояний должна быть равна Ns(E)=N@)Re п-, B.83> где знаком Re обозначена реальная часть последующего выраже- выражения. Этот результат сводится к полученному ранее выражению- B.73), если А действительна и постоянна, как в простой модели БКШ. Однако в теории сильной связи А оказывается комплексной и зависящей от энергии. Получающаяся в результате вычислений фаза А(Е) зависит от энергии, имеет вполне определенный физи- физический смысл и не связана с простой произвольно выбранной, фазой в приближении БКШ. Мнимая часть А соответствует зату- затуханию квазичастичных возбуждений в результате их распада с генерацией реального фонона, поэтому она возрастает при Ет «Лшрл; соответствующее резонансное изменение претерпевает и величина ReA. Естественно, этот факт вряд ли может вызвать удивле- удивление, так как в нашей модели взаимодействие, приводящее к. сверхпроводимости, обусловлено фононной средой. Простое приб- приближение БКШ не учитывает этих деталей, обусловленных запаз- запаздывающей природой взаимодействия, за исключением их грубого- проявления, заключающегося в появлении узкого пика в окрест- окрестности fto)c (см. конец разд. 2.7). Однако оказалось, что более точ- точная теория Элнашберга [29] позволяет провести количественный учет наблюдаемых явлений. Совпадение результатов этой теории и экспериментальных данных для таких материалов, как свинец и ртуть, развеяло все сомнения относительно применимости элект- рон-фононного механизма для объяснения сверхпроводимости этих материалов. Макмилланом и Роуэллом [25, 30, 31] был предложен удач- удачный метод, позволяющий из туннельных измерений определять произведение a?F двух зависящих от энергии сомножителей, кото- которые представляют собой постоянную электрон-фононного взаимо- взаимодействия и плотность фононных состояний. Их результаты доста- достаточно хорошо совпали с величинами а2/7, определенными из экспе- экспериментов по рассеянию нейтронов на фононах. Туннельные изме- измерения позволяют с большой точностью определить такие особен- особенности, как местонахождение сингулярности Ван-Ховена в фонон- 61-
ной плотности состояний, которая проявляется в виде пика на экс- экспериментально снимаемой записи второй производной туннельно- туннельного тока по напряжению. 2.9. Вероятности прохождения и эффекты когерентности Эффект воздействия внешнего возмущения на электроны в ме- металле может быть описан добавлением к гамильтониану слагае- слагаемого, описывающего это взаимодействие: Шг = У, Sk'a', ka Ck'o' ckf B.84) ka, kV Здесь Bk'a'.ka — матричный элемент оператора возмущения, вы- вычисленный по обычным одноэлектронным состояниям нормального металла. В нормальном состоянии каждое из слагаемых этой сум- суммы независимо и квадрат каждого из коэффициентов Bk'a'.ka пропорционален соответствующей вероятности перехода. В сверх- сверхпроводящем состоянии, которое является фазо-когерентной супер- суперпозицией занятых одноэлектронных состояний, такой пропорцио- пропорциональности уже нет. Это приводит к появлению интерференционных слагаемых, отсутствующих в нормальном состоянии. Их появление можно проследить, если выразить слагаемые в выражении B.84) через операторы у, после чего станет ясно, что слагаемые Ск'а' ска и c_k_a c_k'_0- связаны с одинаковыми квази- квазичастичными состояниями. Например, t* + !(¦(• к* к • к' 0 * кО к' к • к 1 * к' 1 ' "k'ykYk'oYki +yk-"kYk'iYk0 B.85а) х <«k,YkMYk0- B-856) Ясно, что матричные элементы этих двух слагаемых в выражении B.84) необходимо сложить до возведения в квадрат, так как при ¦определении интенсивности перехода они складываются когерентно. Это сложение можно провести достаточно просто, если пред- предположить, что коэффициенты i?k'a',ka и B__k_o,-k'-a~ могут отли- чаться лишь знаком, в связи с тем что каждый из них соответст- соответствует процессу, в котором волновой вектор электрона изменяется на к'—к, а его спин на а'—а. Поэтому эти слагаемые можно объе- объединить следующим образом: Вк>а',ко(с:.а,ска±с>_к_ос_к,_о,), B.86) где выбор знака зависит от природы Жи ¦ В работе БКШ было показано, что имеют место два случая. Случай I типичен для электрон-фононного взаимодействия, опре- 62
А- ± «Л') (yl'v'VU-o ± деляющего, например, затухание ультразвука. Являясь результа- результатом взаимодействия электрона с простым скалярным потенциалом деформаций, это затухание зависит только от изменения волново- волнового вектора и не зависит от значения вектора к или проекции спи- спина а. При этом два матричных элемента имеют одинаковые зна- знаки и складываются когерентно. Случай II типичен для взаимодей- взаимодействия электрона с электромагнитным полем, описываемым произ- произведением р-А. Так как это произведение меняет знак при замене к на —к, в выражении B.86) следует поставить знак минус. Ни одно из перечисленных выше взаимодействий не влияет на спин; поэтому а = а'. Если изменение направления спина имеет место, например из-за слагаемого вида /+S_, описывающего сверх- сверхтонкое взаимодействие электрона с ядром, то знаки формально меняются на обратные. Следуя БКШ, учтем такую возможность, введя множитель ваа'> равный + 1 при а' = ±а. Таким образом, после приведения подобных членов и выбора Uk> v к и А действи- действительными выражение B.86) приобретает вид Вк'а'. ко [(uk.Uk ± + (О Для упрощения записи этого выражения при произвольной ориен- ориентации спина были использованы несколько модифицированные Обозначения, СОГЛаСНО КОТОРЫМ уи.а = YkO при a=f И Yka='V-kl при а=\. Из выражения B.87) видно, что множитель &аа' в дей- действительности не влияет на вероятность перехода, а лишь воздей- воздействует на фазу недиагональных матричных элементов, связываю- связывающих различные состояния. Основной вопрос состоит в том, к какому случаю (I или II) принадлежит взаимодействие, т. е. верхний или нижний знак брать, в факторах когерентности при комбинациях u k ник в выражении B.87). Например, одно из слагаемых, описывающих сверхтонкое взаимодействие (IZSZ), не приводит к перевороту спина и, следо- следовательно, дает &аа- =1, а не —1, как для приведенного выше чле- члена I+S-. Тем не менее обе эти ситуации следует отнести к случаю II, так как эти слагаемые нечетны по отношению к операции пере- переворота спина. Обобщая приведенные примеры, можно сделать следующий вывод. Возмущения относятся к случаям I или II, ес- если они соответственно четны или нечетны по отношению в времен- временному обращению электронных состояний, которое меняет местами партнеров в куперовской схеме спаривания. Из выражения B.87) видно, что при вычислении вероятностей перехода квадрат матричного элемента будет умножаться на так называемые факторы когерентности, а именно на (uu' + vv1J при рассеянии квазичастиц и на {vu'±uv'J при рождении или унич- уничтожении двух квазичастиц (при написании этих выражений было проведено очевидное сокращение обозначений). Воспользовавшись для и и v выражениями B.35), можно получить явную зависи- зависимость этих факторов от энергии. Например, 63'
4) 0 -?)]"¦* К ? — четная функция g, и, следовательно, слагаемые, входящие парами, такие, как нечетные по ? и ?', сокращаются при суммиро- суммировании по |к . Поэтому действительный фактор когерентности для рассеяния равен \( ^y B.88а) Аналогичным образом для фактора когерентности, отвечающего рождению или уничтожению пары квазичастиц, имеем ^y B.886) Уместно напомнить, что в «полупроводниковой» модели имеется договоренность о знаке, согласно которой одной из каждой пары рожденных или уничтоженных квазичастиц приписывается отрица- отрицательная энергия, поэтому факторы когерентности как для рассея- рассеяния, так и для рождения пары имеют одинаковый вид: , E,E') = -j (l + J Верхний знак соответствует случаю I, нижний — случаю II. Очевидно, что факторы когерентности сильнее всего сказыва- сказываются при энергиях Е и Е', локализованных вблизи края щели Д, где, в зависимости от знака, выражение B.89) приблизительно равно либо 0, либо 1. Если рассматривать процессы рассеяния при малых энергиях /гса<^Д, то рождения квазичастиц не происхо- происходит и Е и Е' имеют одинаковые знаки. Тогда для процессов, отно- относящихся к случаю I (таких, как затухание ультразвука), /¦"<§; 1, в то время как для процессов, относящихся к случаю II (например, ядерной релаксации), F«l. Ситуация меняется на противополож- противоположную для высокоэнергетических процессов с Йсо ^2Д, при которых происходит рождение квазичастиц, Тогда Fsa 1 для процессов, от- относящихся к случаю I, и F<g.l для процессов, относящихся к слу- случаю II. Если Е и ?'^>Д, то, конечно, различие между двумя слу- случаями будет незначительно и сверхпроводящая когерентность не- несущественна. Эти общие рассуждения делаются более понятными, если рас- рассмотреть примеры вычислений интенсивности перехода. Проводя ге же рассуждения, что и при выводе выражения для туннельного
тока B.76), получим, что суммарная интенсивность перехода меж- между уровнями с энергиями Е и E = E + hm пропорциональна аш = \ | М |2^(Д, E, E + hu>)Ns(E)Ns(E + hu>) x B.90) где М — величина соответствующего одноэлектронного матричного элемента. Так как в дальнейшем нас будет интересовать лишь от- отношение as к соответствующей величине в нормальном состоянии, нам не понадобится информация о величине М. После подстанов- подстановки точных выражений для Na и F и последующих упрощений из выражения B.90) получим a - I М WV»fO) Г I ? (?+*Ц) т А» | Г/(?)-¦/(? +/to)] as - | M| N (U) j В этом выражении считается, что интервалы энергий |/:|<;Д и |? + йсо|<:Д исключены из области интегрирования. В нормаль- нормальном состоянии Д = 0 и полученное выражение сводится к an = = |М |2iV2@)ft(j). Таким образом, искомое отношение равно On ЙШ J [(?+АСО)а— где верхний знак соответствует процессам, относящимся к случаю I, нижний — к случаю II. Используем теперь это общее выра- выражение для изучения некоторых важных частных задач. 2.9.1. Затухание ультразвука Как было отмечено выше, матричные элементы, характеризую- характеризующие процесс затухания продольных звуковых волн, обладают фак- факторами когерентности, относящимися к случаю I, т. е. в выраже- выражении B.91) следует брать верхний знак. Ограничимся рассмотре- рассмотрением только продольных волн для того, чтобы избежать трудно- трудностей, возникающих при изучении поперечных волн. В последнем случае генерируются токи, которые, в свою очередь, приводят к электромагнитному экранированию, в результате чего возникает сложная смесь различных эффектов. Далее заметим, что в типич- типичных экспериментах с ультразвуком его частота не превышает 10э Гц, следовательно, йсо=? 10-2Д @) и, кроме того, йш<?7\ Эти неравенства позволяют нам рассмотреть только простой случай низкой частоты. Переходя в выражении B.91) к пределу Йш-Я), видим, что большинство множителей сокращается: = - Г 3L.dE. 3 Зак. 895 65
Рис. 2.8. Сравнение температурных за- зависимостей коэффициентов поглощения на низких частотах для процессов с факторами когерентности, соответствую- соответствующими случаям I или II (сплошные ли- линии), с зависимостью (Т/Тс)*, пред- предсказываемой для всех процессов в двухжидкостной модели (пунктир). Зависимость для случая I (например, поглощение ультразвука) имеет хорошо определенный низкочастотный предел. Зависимость для случая II (ядерная релаксация или поглощение электро- электромагнитных волн) не имеет определенно- определенного низкочастотного предела без учета анизотропии щели или уширения уров- уровней. Представленная на рисунке кривая соответствует уширению, приблизи- приблизительно равному 0,02 Д@) Здесь интегрирование ведется от —со до —А и от А до со. Таким образом, имеем = Щ (Д) = ? . B.92) Этот очень простой результат в сочетании с предыдущими вы- вычислениями А [Г) предсказывает температурную зависимость за- затухания, показанную на рис. 2.8. В частности, бесконечно большая: производная А(Т) при Т=ТС приводит к тому, что отношение as/an уменьшается с бесконечной производной при понижении Г от Тс. С другой стороны, при Т<^Тс превышение величины as/are над остаточным значением этого отношения, определяющимся не- неэлектронными механизмами, становится экспоненциально малым, так как число термически возбужденных квазичастиц, способных поглощать энергию, стремится к нулю. Если возможно провести эксперимент при достаточно низких значениях температуры Т/Тс и весьма точно определить остаточ- остаточный уровень затухания, то по данным о затухании звука, используя формулу B.92), можно сделать заключение о зависимости А (Г). Действительно, пропуская звук в монокристаллах в различных на- направлениях, Морс и др. [32] одними из первых смогли получить, некоторые данные об анизотропии щели А к относительно кристал- кристаллических осей. Этот метод имеет определенный недостаток: при распространении звука в заданном направлении ks измеряется: среднее значение Дк в плоскости, перпендикулярной этому направ- направлению. Причина состоит в том, что для эффективной передачи энергии от звуковой волны к электронам составляющая скорости квазичастиц, параллельная ks, должна быть равна скорости звука. Так как иявукя<^оялектг,п„а, то наиболее эффективным оказывается затухание на электронах, движущихся почти перпендикулярно ks_ Тем не менее из экспериментов такого типа (см., например, [33]) 66
было получено, что для олова величина 2А@) заключена в интер- интервале от 3,3 kTc до 3,9 kTc. Позднее Филипс [34] тщательно проана- проанализировал детали картины упругого рассеяния в анизотропных сверхпроводниках и сделал вывод о том, что некоторые из более ранних представлений были слишком упрощенными. Упомянутую выше экранировку электромагнитного поля при прохождении поперечных звуковых волн можно использовать для измерения глубины проникновения при температуре, очень близ- близкой к Тс, т. е. там, где KL{T) стремится к бесконечности. Дело в том, что экранирование становится полным, когда Kl(T) оказы- оказывается меньше длины ультразвуковой волны. Поэтому электроди- электродинамическое затухание становится пренебрежимо малым для более низких температур, что приводит к резкому падению затухания при отходе от Тс менее чем на 1%. Используя этот эффект, Фос- хейм [35] из измерений отношения as/an получил, должно быть, наиболее достоверные среди имеющихся данные о величине Кь для индия в области нескольких миллиградусов ниже Тс. Другое осложнение, которое может возникнуть при измерениях затухания ультразвука, связано с электронным механизмом зату- затухания движения дислокаций, вызванного взаимодействием со зву^ ковыми волнами [36]. Этот процесс благодаря пиннингу дислока- дислокаций приводит к появлению нелинейного отклика, что весьма за- затрудняет определение отношения as/aK, если только измерения не проводятся на очень малом уровне сигнала. Мэсон [37] показал, что с учетом этих эффектов можно объяснить аномальные экспе- экспериментальные данные, полученные для свинца C8), предположив значение щели 2Д@) =4,1 kTc, что находится в согласии с резуль- результатами, полученными другими способами. 2.9.2. Ядерная релаксация Матричные элементы для релаксации ядерного спина из-за взаимодействия с квазичастицами имеют фактор когерентности, относящийся к случаю II, что соответствует «суммарному» харак- характеру интерференции в рассматриваемых низкоэнергетических про- процессах рассеяния. Эта интерференция приводит к некоторому уве- увеличению скорости релаксации 1/Г] по сравнению с этой величиной в нормальном состоянии при охлаждении ниже Тс, прежде чем она при дальнейшем уменьшении Т экспоненциально устремится к ну- нулю из-за «вымораживания» квазичастиц с энергиями выше щели. Такое поведение (см. рис. 2.8), подтвержденное экспериментально Хебелом и Слихтером [39, 40], резко отличается от уменьшения с вертикальной производной, полученного для затухания ультразву- ультразвука. Теория спаривания БК.Ш, используя факторы когерентности, естественным образом объяснила это различие, что явилось одним из решающих достижений, подтвердивших правильность этой те- теории. В противоположность этому любая простая «двухжидкост- ная» модель, которая приписывает затухание ультразвука и ядер- 3* R7
ную релаксацию определенной доле «нормальных электронов», должна привести к одинаковой температурной зависимости для всех подобных эффектов. Например, в модели, в которой эмпири- эмпирическая температурная зависимость глубины проникновения Х~г~ ~U — (Т/Тс)ь\ связывается с температурным поведением отноше- отношения njn в теории Лондонов, следует ожидать, что пп[п= (Г/7СL. Как показано пунктирной кривой на рис. 2.8, эта зависимость ка- качественно согласуется с результатом, полученным для затухания ультразвука.,Однако она не может объяснить превышения l/rls. над 1/Т\п, так как для этого потребовалось бы количество нор- нормальных электронов, превышающее их общее число, не считая еще и «сверхпроводящие электроны». Изучим вопрос о релаксации более подробно. Так же как и раньше, рассмотрим предельный случай, когда частоты h^ — hyH много меньше А и kT. Однако в связи с тем, что факторы коге- когерентности относятся к случаю II и as/un-+°° при со—>-0, нельзя по- получить результат так же просто, как раньше. Тем не менее все же возможно перейти от разности функций Ферми к производной по энергии: > ?EjE + H^ + VB)E, B.93) (?*_ A"I/. [(?-f-йшJ — д»]1/. А где коэффициент 2 учитывает тот факт, что интегрирование по от- отрицательной области энергий ?+йсо<!—А дает точно такой вклад, что и интегрирование по положительным энергиям ?^Д. Если те- теперь положить со = 0, то получим выражение «л л которое, как легко видеть, логарифмически расходится на нижнем пределе. Если со остается конечной, то расходимость заменяется множителем типа ln(A/hco), приблизительно равным десяти для типичных значений параметров. Это все еще значительно больше, чем экспериментально наблюдаемое увеличение 1/Г], приблизи- приблизительно равное лишь двум. Для объяснения этого количественного расхождения необходимо привлечь другие соображения. Причина появления расходимости в as может быть прослежена из формулы B.93), содержащей произведение двух членов с резкими расходи- мостями, отражающими особенность в плотности состояний сверх- сверхпроводника. Опуская сомножители, не содержащие особенностей, при йсо<1СД имеем aoc JA/ (E)N {Е + ha)dE « j №{E)dE. Вследствие того, что значение интеграла / N(E)dE при переходе в сверхпроводящее состояние сохраняется, резкая особенность в N(E) должна приводить к превышению f N* (E)dE над 68
J N% (E)dE. Если переоценить реальную остроту пика в плотности состояний, используя слишком простую форму БКШ, то полу- получается слишком большое значение а. Были предложены два объяснения причин, приводящих к уши- рению пика в плотности состояний. Согласно первому из них, анизотропия энергетической щели в реальных кристаллах приво- приводит к изменениям Л на поверхности Ферми. Поэтому особенность в NS(E) размыта по относительному интервалу энергий, типичное значение которого равно 10%- Справедливость такого объяснения была подтверждена экспериментами Масуда [41], изучавшего свойства алюминия, содержащего различное количество приме- примесей. Он обнаружил большее возрастание величины l/Ti в более грязных образцах. Это согласуется с теорией Андерсона для грязных сверхпроводников, в которой показано, что щель должна становиться примерно одинаковой для всех электронов, если в быстро протекающих процессах рассеяния волновой вектор элект- электрона к неоднократно меняется в течение временного интервала Ь/Д. Другое объяснение, предложенное Фибичем [42], состоит в том, что острота пика ограничивается из-за связанной с принци- принципом неопределенностей конечности времени жизни квазичастичных состояний по отношению к распаду на фононы*. Этот механизм не должен зависеть от концентрации примесей, но более важен для сверхпроводников с сильной связью. Некоторые эксперимен- экспериментальные данные, полученные для индия, подтверждают это пред- предположение, и, таким образом, возможно, что каждый из этих ме- механизмов существен при соответствующих условиях. . 2.9.3. Поглощение электромагнитных волн Так как здесь гамильтониан взаимодействия р-А также приво- приводит к факторам когерентности, относящимся к случаю II, для опи- описания поглощения низкочастотного электромагнитного излучения мы можем использовать без какой-либо модификации результаты по ядерной релаксации, полученные в предыдущем разделе. Так как при заданной напряженности поля Е поглощаемая в единице объема электромагнитная энергия равна OiE2, вместо отношения а.,/а„ находим теперь Oislon, где аи — действительная часть комп- комплексной проводимости Oi(co)—iaz(co). Поэтому в пределе fcaxtcAB области температур T^L Tc следует ожидать возрастания отноше- отношения aijcin до значений, превышающих единицу, и последующего экспоненциального спадания до нуля при дальнейшем уменьшении температуры. Как уже отмечалось выше, подобное поведение ка- качественно несовместимо с простой двухжидкостной моделью, в ко- которой пп^п. Однако в отличие от случая ядерной релаксации теперь можно использовать достаточно большие частоты облучения, при кото- * Точнее, по отношению к релаксации по энергиям и дальнейшей рекомби- рекомбинации в пары с испусканием фононов. — Прим. ред. пер. 69
Рис. 2.9. Частотная зависимость коэффициентов поглощения в про- процессах с факторами когерентности, относящимися к случаям I и II. Сплошные кривые соответствуют Г=0, пунктирные —Г«Гс/2 2Щ] рых возможно рождение пар квазичастиц. Процессы рождения происходят при йсо^2Д и протекают параллельно рассмотренным ранее процессам рассеяния. Действительно, при 7"=0 отсутствуют термически возбужденные квазичастицы и единственным процес- процессом, приводящим к поглощению энергии, является рождение пар. Согласно использованному нами в «полупроводниковой» модели правилу знаков, энергия начального состояния ?^—А, а конеч- конечного состояния Е+ТкоГ^Д. Поэтому ai(co)=0 при йо)<2Д. Как показано на рис. 2.9, частота co = 2A/ft определяет край области поглощения. Полагая функции Ферми равными 0 или 1, из выра- выражения B.91) для поглощения при Г=0 можно получить —д =0 Лео J Д—Лео т= dE. B.94) Маттис и Бардин [43] показали, что этот интеграл может быть выражен через полные эллиптические интегралы Е и К следующим образом: r=o — )E(k) — ha J Лео B.95) где k = (Ли — 2Д)/Gгсо -I- 2Л). B.95a( Как видно из рис. 2.9, отношение a\slan возрастает с конечной про- производной от нуля при ftco = 2A и медленно приближается к единице при йсо»2Д. При конечных температурах Д(Г)<Д@) в области ft со<2ДG') также имеется поглощение энергии из-за присутствия термически возбужденных квазичастиц. Для точного описания это- этого поглощения требуются численные расчеты; качественное его поведение при 7>0 показано пунктирной линией. Логарифмичес- Логарифмическое возрастание отношения проводимостей при й.со->-0 имеет ту же природу, что и обсужденное ранее увеличение 1/Гь Первые спектроскопические измерения, которые ясно показали наличие и конечную ширину энергетической щели в сверхпровод- сверхпроводниках' при температурах, значительно меньших Тс, были продела- проделаны Гловером и Тинкхамом [44], проводившими эксперименты с из- излучением в далекой инфракрасной области вблизи края поглоще- 70
ния. Эти первые измерения несколько опередили появление теории БКШ, и вскоре было обнаружено, что они также прекрасно согла- согласуются с формулой B.95). С последующим улучшением техники эксперимента [45, 46] высокое качество полученных данных поз- позволило установить, что обнаруженные в экспериментах с тонкими свинцовыми пленками небольшие отклонения от простой зависи- зависимости БКШ, как и наблюдаемую в туннельных экспериментах фононную структуру, можно объяснить, учитывая эффекты сильной связи. Стоит отметить, что если фактор когерентности соответствует случаю I, то при ftco = 2A as/an возрастает скачком до значений, превышающих единицу, а затем убывает (см. рис. 2.9). Можно убедиться, что с появлением щели площадь под этой кривой сохра- сохраняется, в то время как площадь под кривой, относящейся к случаю II, уменьшается. Однако из правила сумм для силы осциллятора (см., например, [47]) оо Г ах (со) da = ппе?/2т следует, что площадь под кривой о\ (<о) должна иметь одно и то же значение как в сверхпроводящем, так и в нормальном состоя- состоянии. Тинкхам и Феррелл [48] смогли доказать, что «недостающая» в области конечных частот площадь А появляется в виде б-функ- ции при со = 0. Физически наличие б-функции связано с поглоще- поглощением от источника постоянного электрического поля энергии, необходимой для сообщения кинетической энергии ускоряемому сверхтоку. Доказательство основывается на дисперсионных соотношениях Крамерса—Кронига *, связывающих действитель- действительную и мнимую части любой причинной функции линейного откли- отклика. Записанные для комплексной проводимости при временной за- зависимости expjicoO. эти соотношения имеют вид оо со) = — I —^—'- 1- const, B.96а) я J ш'2_ша О сг2(а) = I —2-^— . B.966) о Из формулы B.966) видно, что зависимость Oi=A&(io) приводит к (Т2 = 2Л/лю. Сравним этот результат с уравнением Лондонов A.3), которое эквивалентно равенству а2=1/Лй) = я8е2/пгсо = с2/4лА2а). Видно, что глубина проникновения связана с недостающей пло- площадью А соотношением к~2=8А/с2. Следовательно, принципиаль- принципиально возможно определение свойств сверхпроводников на постоян- постоянном токе по данным высокочастотного спектра поглощения. Грубо * Подробное обсуждение применения правила сумм и методов Крамерса— Кронига в электродинамике сверхпроводников можно найти в написанной авто- автором этой книги главе, посвященной сверхпроводимости, в сборнике [49]. 71
говоря, к сверхпроводимости приводит наличие щели в спектре возбуждений, однако, точнее, более важным является наличие этой недостающей площади под кривой поглощения. Рассмотренный выше пример фактора когерентности, относящегося к случаю I, показывает, что недостающая площадь не является необходимым следствием существования энергетической щели. Таким образом, факторы когерентности являются более существенной чертой сверх- сверхпроводимости, чем щель в спектре. Это утверждение станет еще более ясным, если вспомнить, что полупроводники обладают щелью, но не являются сверхпроводниками постольку, поскольку не имеют недостающей площади. С другой стороны, было пока- показано, что когда сверхпроводники благодаря магнитным примесям становятся бесщелевыми, они сохраняют сверхпроводящие свой- свойства до тех пор, пока существует недостающая площадь под кри- кривой OFi(a))*. 2.10. Электродинамика Только что проведенное простое рассмотрение поглощения элек- электромагнитного поля не дает прямого описания загадочных свойств сверхтока, так как при этом изучались только диссипативные про- процессы. Вместо того чтобы провести рассмотрение отклика сверх- сверхпроводника на произвольное электромагнитное поле, что было бы сложной задачей, ограничимся изучением отклика на постоянное магнитное поле. Этот отклик должен быть недиссипативным, и его анализ будет дополнять проведенное выше рассмотрение: Так как эффект Мейсснера и связанный с ним отклик сверхтекучей компо- компоненты почти не зависят от частоты, до тех пор пока она не дости- достигает значений порядка щели, такое рассмотрение на самом деле применимо к большому числу ситуаций. В интересующем нас случае магнитное поле может быть описа- описано классическим поперечным вектор-потенциалом А (г), причем В = = rot А. Это полное поле, учитывающее эффекты экранирования сверхтоком, который должен вводиться самосогласованным обра- образом. Хорошо известно, что как в классической, так и в квантовой механике в присутствии вектор-потенциала обычный кинетический импульс следует заменить на канонический импульс p=mv + eA/c, где е — заряд электрона. При этом выражение для потенциальной энергии остается неизменным, а для кинетической вместо mv2/2 получаем (р—еА/сJ/2т. Нас интересует вычисление только ли- линейного отклика на слабое поле, поэтому можно разложить выра- выражение для кинетической энергии в ряд и сохранить в нем только члены, пропорциональные А. Заменяя импульс р; на оператор им- импульса (—iftVi), для входящего в гамильтониан оператора возму- возмущения получаем выражение * Такое представление «недостающей площади» под кривой поглощения в качестве первопричины сверхпроводимости представляется ие совсем удачным; правильнее было бы сказать, что ее наличие является признаком этого эффек- эффекта. — Прим. ред. пер. 72
в котором суммирование ведется по всем частицам. Если разло- разложить вектор-потенциал в ряд Фурье по пространственным компо- компонентам q то, так как для поперечного поля, по определению, q-a(q)=0, можно написать k,q Спиновый индекс остается без изменения постольку, поскольку взаимодействие поля с орбитальным движением электронов доми- доминирует. Точное выражение для входящих в формулу B.84) матрич- матричных элементов Вк-а-§ k(J может быть восстановлено из соотноше- соотношения B.97). Из пропорциональности этих матричных элементов величине к следует, как уже отмечалось ранее, что они относятся к случаю II. Согласно формуле B.87), полное выражение для га- гамильтониана взаимодействия можно представить в виде Yk+q, k.q . B.98) В предыдущем разделе мы имели дело с поглощением энергии, обусловленным этим оператором. Теперь рассмотрим индуцирован- индуцированный этим возмущением ток. При наличии отличного от нуля век- вектор-потенциала ток состоит из двух компонент J! и J2, что соответ- соответствует наличию двух слагаемых в выражении v= (p/m)— (e\fmc). Последнее из них приводит к простому результату: J2 = ^-A, B.99) тс который точно соответствовал бы уравнению Лондонов A.8), ес- если бы п можно было интерпретировать как число «сверхпроводя- «сверхпроводящих электронов» ns. Однако в действительности п всегда равно полному числу электронов, а выписанное для J2 выражение сохра- сохраняет свой вид и в нормальном состоянии. Поэтому решающую роль должно играть первое слагаемое в выражении для тока Ji, кото- которое часто называют «парамагнитным», так как оно стремится скомпенсировать диамагнитный ток J2. Нетрудно видеть, что q-ю фурье-компоненту тока можно выразить с помощью оператора Этот оператор, в свою очередь, можно представить в форме, ана- аналогичной выражению B.98), через операторы у. 73
Прежде чем переходить к конкретным вычислениям, удобно для описания отклика тока на различные компоненты векторного потенциала ввести стандартное обозначение J (q) = - (с/4я) К (q) • a (q). B.101) Например, в теории Лондонов \ ^(г) B.102) отклик не зависит от q и KlD) = Kl@) = H2. B.103) Используя определение Яь2@) =тс2/4я/ге2 и выражение B.99), можно записать функцию отклика, учитывающую как Jb так и J2, в следующем виде: К (q, Т) = ЯГ2 @) [ 1 + Я| @) Кг (q. T)\. B.104) Согласно приведенным выше аргументам, следует ожидать, что слагаемое, содержащее К\, должно иметь отрицательный знак. Ограничиваясь рассмотрением изотропных систем и поперечных полей, можем считать, что К(д) является функцией лишь |q|t и в дальнейшем записывать ее просто в виде K(q). Полезно также рассмотреть в общем случае соотношение меж- между функцией К(д) и соответствующим нелокальным откликом в координатном пространстве, описываемом ядром F(R) в выра- выражении J(D-cj R[R-A(r')] f^dr'f B.105) где R = r—г'. Подставляя в формулу B.105) A(r') ~exp{iq-r'}, можно показать, что функции K{q) и F(R) связаны равенством . B.106) Здесь ji(х) = x~zsinх—^-^os^—-сферическая функция Бесселя, обладающая тем свойством, что выражение [3x~l j\(x)~\ представляет собой затухающую осциллирующую функцию, рав- равную единице при * = 0. Поэтому величина К@) = -!*??- \F(R)dR B.106a) Зс .] о зависит от интеграла от F(R), в то время как при q-+oo K(q) стремится к выражению A (q)—-> i-i- I — h(x)dx = ^—, B.1066) 17-юо 3c q J x • cq о 74
которое зависит только от значения F(R) в нуле. Найдем отноше- отношение этих двух величин: ¦ *W-_4.J=-. B.106b) Здесь величина L = F-l@) / F(R)dR определяет характерный раз- размер ядра F(R). Полученные соотношения являются весьма общи- общими; они применимы к связи между J и Е в нормальном состоянии при L = / и к соотношению между J и А в сверхпроводящем состоя- состоянии с длиной L, приблизительно равной, в чем скоро убедимся, размеру пары |0. 2.10.1. Вычисление К@, Т) или KLA) Теперь перейдем к определению температурной зависимости функции К{я, Т) в простом предельном случае q = Q, соответствую- соответствующем бесконечной длине волны. Для полей, медленно меняющихся в пространстве, нелокальная теория переходит в локальную тео- теорию Лондонов, поэтому тем самым мы найдем температурную за- зависимость параметра Кь(Т), который определяется равенством К@, Т) = Ыа(Г). B.107) Другими словами, температурная зависимость К@, Т) совпадает с температурной зависимостью параметра ns в теории Лондонов. Очевидно, что при q = 0 фактор когерентности во втором слагае- слагаемом в формуле B.98) равен нулю, а в первом — единице. Более того, при q = 0 оператор y^+q ОУЫ переходит в оператор числа частиц 'YkoYko, поэтому действие гамильтониана возмущения B.98) просто сводится к сдвигу энергий квазичастичных возбуж- возбуждений: Ек0 -> Ек0 — (eh/mc) к ¦ а @), ( Аналогично упрощается и разложение оператора тока Ji@) по квазичастичным операторам Ji @)=~ Sk ^oYk° ~YiiYki)=ir S(/ko ~/ki)"BЛ09) Во второй строке операторы заменены на их собственные значения /ко и /ki — функции Ферми, соответствующие смещенным энерги- энергиям, описываемым формулами B.108). В пределе малых а@), fko~fki ; поэтому, разлагая fki в ряд Тейлора, для входящей в выражение B.109) разности имеем Подставляя полученное выражение в формулу B.109), для тока получаем JS?ta@)-klk(~^r)-BЛ10) к 75
Рис. 2.10. Температурная зависи- зависимость отношения К@, ТIК@, О) = = л? @)Д? (Г)=п,(г)/Л. получаемая в теории БКШ. Отметим, что К@, Т) есть результат частичной компенсации постоянного диамагнитного слагаемого К2 зависящим от температуры пара- парамагнитным членом /С| Из симметрии этого выражения следует, что Ji@) параллельно а@), а усреднение квадрата проекции к на направление Ji (или а) дает ?р/3, так как среднее значение cos28 по полному телесно- телесному углу равно 1/3. Поэтому величину К\, соответствующую выра- выражению B.110), можно представить в виде 4jlng2 df Так как N@)=3nJ4:EF, полученное соотношение можно переписать в другой форме: Подставляя это выражение в формулу B.104), для полного откли- отклика, учитывающего J! и J2, имеем . B.111) Вначале отметим, что если Д = 0 (нормальное состояние, Т>ТС), то интеграл равен /@)=0,5 и /С@, T>TC)=Q. Это соот- соответствует отсутствию эффекта Мейсснера в нормальном состоянии из-за сокращения парамагнитной Ji и диамагнитной J2 составляю- составляющих тока. Однако, как только выполняется неравенство А>0, ин- интеграл уже не компенсирует точно первое слагаемое, и мы имеем конечное значение параметра Хи{Т), приводящее к эффекту Мейс- Мейсснера в образце с достаточно большими размерами. С уменьшени- уменьшением Т отношение A/kT увеличивается, величина интеграла становит- становится все меньше и в пределе A/kT^ 1 оказывается экспоненциально малой. Таким образом, параметр XL{T), определяемый соотноше- соотношением B.111), при Г-»-0 совпадает с выражением A.9) для XL(Q), что оправдывает использование обозначения. Общая картина за- зависимости К\ (О, Т) представлена на рис. 2.10. Физическая причи- причина существования К\ состоит в том, что возбужденные состояния, соответствующие хвосту смещенного распределения по импульсам в k-пространстве, обладают пониженными энергиями и, следова- следовательно, заселены большим числом квазичастиц. Поэтому возбуж- возбужденные квазичастицы переносят суммарный ток в обратном на- 76
правлении, который частично компенсирует ток J2. Важно осозна- осознавать, что сверхток есть полный отклик, включающий в себя отри- отрицательный вклад квазичастиц. Квазичастичный вклад в ток не равен нулю, так как он отвечает распределению, минимизирую- минимизирующему свободную энергию. При рассмотрении рис. 2.10 необходимо помнить, что рассчи- рассчитанная зависимость KL(T) согласуется с экспериментально наблю- наблюдаемой температурной зависимостью глубины проникновения, лишь если величина отклика на самосогласованный векторный потенциал достаточно точно аппроксимируется откликом на состав- составляющую с q = 0. Чтобы уточнить это утверждение, перейдем к об- обсуждению зависимости K(q, T) от q. 2.10.2. Расчет зависимости K{q, 0) Для простоты изучим зависимость K(q, T) от q только при Т = = 0, хотя эти вычисления легко обобщаются с использованием со- соответствующих методов статистической физики. При Т — 0 электро- электроны должны находиться в основном состоянии БКШ \^>вУ- В этом случае в первом приближении теории возмущений по Ж\ для воз- возмущенного состояния 11|)) получим <*¦¦%¦»> ив. п где суммирование ведется по различным возбужденным состояни- состояниям с энергией Еп. Вычисляя среднее значение оператора Ji(q) в состоянии l^), имеем — 2Re V1 <^о'Jl Первое слагаемое равно нулю, так как все электроны в основном состоянии имеют равные и противоположные волновые векторы. Единственный отличный от нуля вклад во втором слагаемом дает состояние грт содержащее две квазичастицы, рожденные оператор- операторным слагаемым Yk+q.o'Vki B вьФажении B.98). Вследствие того что матричные элементы операторов Ji(q) и Ш\ содержат одина- одинаковые факторы когерентности, получаем Очевидно, что эта сумма определяет ток, параллельный А, кото- который, даже при Г = 0, частично компенсирует диамагнитный ток J2. Величина этой компенсации зависит от q и, как было отмечено выше, стремится к нулю при <7 = 0. 77
Теория Лондоноб Рис. 2.11. Сравнение зависящего от q отклика в нелокальной теории БКШ с не зависящим от q откликом в локаль- локальной теории Лондонов. В обоих случаях приведены кривые для чистых металлов. с бесконечной длиной свободного пробе- пробега электронов Используя те же рассуждения, что и при получении выражения B.111), для функции отклика К из формулы B.112) получаем *}. B.113) j _ ckTck+q J Даже без подробного анализа из полученного выражения видно, что при малом отклонении q от нуля K{q, 0) уменьшается на ве- величину, пропорциональную q%\, где, согласно теории БКШ, Ъд определяется выражением ^ = (йуР)/(яЛ @)). B.114) Это следует из того факта, что для малых q фактор когерентности в числителе выражения B.113) представим в виде^к+q—Ы^("ь— — 0к)/д?к; В области, дающей основной вклад при интегрирова- интегрировании, первый сомножитель имеет порядок hvvq, а второй—1/Д@). С другой стороны, в первом приближении по (<7?о)~!<^1 интеграл в B.113) сокращается с первым слагаемым, и для K(q, 0) полу- получаем выражение f((qt 0) = /С@,0)Cя/4<7|0), <71о>1, B.115) согласующееся с формулой B.106в). Поведение K(q, 0) при про- произвольных значениях q показано, на рис. 2.11. Отметим, что отклик в нормальном состоянии при Г=0 может быть получен с помощью перехода к пределу Д@)-»-0. В этом случае ?о->-°°, так что K(q, 0) =0 пр_и всех q. 2.10.3. Нелокальная электродинамика в координатном пространстве Зная K(q, T) и используя преобразование Фурье, обратное представленному в формуле B.106), можно найти соответствую- соответствующее этой функции ядро в обычном пространстве. Получившийся для этого ядра результат, обозначаемый в теории БКШ /(/?, Т), представлен графически на рис. 2.12. Зависимость J(R, T) очень схожа с экспоненциальной формой ехр{—R/lo}, предложенной Пиппардом [50]. Действительно, функция J(R, T) нормирована в теории БКШ таким образом, что f У(Я, T)dR = lo=Jexp{-R/bo}dR, B.116) о о 78
J{R,J) Рис. 2.12. Схематическое сравнение поведения ядра J(R, T) в теории БКШ при двух температурах: Т—0 и TasTc. Видно, что при изменении температуры от 7" = 0 до TszsTc ра- радиус нелокальности уменьшается на коэффициент, приблизительно рав- равный 0,75 где go определяется выражением B.114). При R = 0 значение / плавно меняется от 1 при Г=0 до 1,33 при Т = ТС, в то время как экспоненциальное ядро в приближении Пиппарда при /? = 0 равно единице для всех температур. За исключением этого небольшого различия, J(R, Т) и ядро Пиппарда практически одинаковы. Используя условие нормировки B.115) и определение B.107), находим из формулы B.106а) постоянную С, и для нелокального соотношения между током и вектор-потенциалом в теории БКШ B.105) получаем следующее выражение: J(r) = Г J(R,T)dr', B.117) где R = r—г'. Оно отличается от формулы Пиппарда A.11) лишь заменой величины ехр{—Rllo} на /(/?, Т). Если величина А (г') постоянна в области изменения J(R, T), то выражение B.117) пе- переходит в уравнение Лондонов: J(r) = - А (г). B.118) Однако, если А(г) значительно меняется на расстоянии порядка go, подобное упрощение несправедливо и необходимо учитывать нелокальность электродинамики. 2.10.4. Влияние примесей До сих пор полученные нами результаты были справедливы для чистого металла, в котором к является хорошим квантовым числом. Это позволяет простым образом сформулировать теорию спарива- спаривания БКШ, что и было сделано. Используя технику функций Гри- Грина, можно построить обобщение микроскопической теории на слу- случай существенного рассеяния на примесях, но мы вместо этого воспользуемся более феноменологическим подходом. По аналогии с соответствующим выражением Чамберса для нелокального от- отклика нормальных электронов на электрическое поле следует ожи- ожидать, что искомое обобщение состоит в умножении ядра J(R, T) на ехр{—R/1}, где / — длина свободного пробега электронов. Это делает электродинамический отклик более локальным, и, если / 79
достаточно мало по сравнению с характерным масштабом измене- изменения А, мы получаем локальное уравнение Лондонов B.118), но с модифицированным (уменьшенным) коэффициентом () Соответствующее значение Яэф определяется выражением _A\dRt B.119) Х^(/. Г) К.Ф. Т.*>) Ь j при выводе которого были использованы соотношения B.106а) и B.116). Заметим, что обозначение Ях.(Т) используется нами только для описания отклика в чистых металлах при 9 = 0. Во избежание вычисления отношения B.119), рассмотрим вна- вначале так называемый «грязный предел» /<С|о, в котором интеграл в числителе сводится просто к / @, 7") /. Тогда 4, Т)Г4'. B-120) Так как /@, 7") изменяется от 1 при Г = 0 лишь до 1,33 при Т= = ТС, последний сомножитель вносит весьма небольшую поправку. Другим удобным приближением является использование вмес- вместо./(/?, 7") экспоненты Пиппарда ехр{—/?/|о}- В этом случае интег- интеграл в выражении B.119) равен |, где Г1 = 1о1+Г\ B.121) и, следовательно, 1/ yiL'. B.122) Это приближение полезно даже при не очень малых значениях /, так как в чистом пределе выражение для Яаф переходит в kL. По- Полученный для Яаф результат довольно часто используется, однако он является приближенным, потому что не учитывает следующего из микроскопической теории в грязном пределе множителя [/@, ГI-1А Отмеченный недостаток легко устраним. Для этого сохраним экспоненциальную аппроксимацию J(R, Т), но вместо ехр{—Rfeo} используем экспоненциальную зависимость /@, 7")ехр{—[/@, 7")//? До]}. Такое выражение согласуется как со следующим из микро- микроскопической теории значением ядра /(/?, 7") при /? = 0, так и с» значением интеграла по R. В новой аппроксимации выражение B.122) заменяется на равенство /. ¦ B-123) В нем модифицированные длины когерентности Пиппарда |' и Ъ'д определяются соотношением JLL L ^°Г> X, B.123а) Ясно, что при /<С|о выражение B.123) должным образом перехо- переходит в выражение B.120), однако оно вполне пригодно и при не 80
¦столь малых /. Таким образом, формулы C.123) дают очень хоро- хорошее приближение для отклика при ^~0 во всем диапазоне изме- изменения входящих в него параметров I и Т. При ?<§;^эф, где Ъ, опре- определяется по формуле B.121), это приближение также дает практически правильный результат для глубины проникновения. Отметим, что при Г = 0 формула B.123) переходит в выражение B.122), а при Т~ТС — в формулу ЧфС Т) = МЛП +0,75(у/)]1/", ТъТс. B.1236) Последнее выражение часто используется в теории Гинзбурга — Ландау, справедливой в окрестности Тс. 2.10.5. Комплексная проводимость. В разделе, посвященном вероятностям перехода и поглощению, мы вывели зависимость отношения действительной части комп- комплексной проводимости в сверхпроводящем состоянии к проводи- проводимости в нормальном состоянии от частоты (формула B.91) с верх- верхним знаком). Теперь, после того как будет получено выражение для низкочастотного бездиссипативного отклика на вектор-потен- вектор-потенциал, можно будет выяснить роль полученного ранее результата для проводимости в более общей картине. Для периодического электромагнитного поля справедливы ра- равенства Е_ 1_ _ЗА icoA с dt с позволяющие установить связь между комплексной проводимостью» и функцией K(q, о), Т). Приравнивая друг другу два выражения, для тока Цд, и, Т) = а(д, и, T)E(q, a) = --E-K(q, «, T)A(q,w), An получаем ^B,T). B.124) Конечно, детальное исследование поведения функций K(q, и, Т) или a(q, ш, Т) будет проведено только в нескольких специальных случаях, однако они в значительной степени позволят судить и о полной картине. В низкочастотном пределе можно получить прос- простое аналитическое выражение для отношения стг/стп при произволь- произвольных значениях температуры ? !?* fio)«A, B.125У которое в предельных случаях переходит в следующие: B.125а>- кТс. B.1256). 81
Рис. 2.13. Комплексная проводимость сверхпроводников в предельно ано- аномальном случае (или грязном преде- пределе) при Г=0. Пропорциональное ft) возрастание мнимой части про- проводимости (J2 в области частот, меньших щели, описывает эффект ускорения сверхтока. Коэффициент при этой зависимости пропорциона- пропорционален «недостающей площади» под кривой ai/ш (см. конец раздела 2.9.3) Сравнивая эти выражения с теорией Лондонов, в которой 0м. = /ЛШ B.126) видим, что они приводят кп,~Д при T<g.Tc и ns~Az при Г«ГС. В связи с тем что, как было показано Горьковым, вблизи Тс фено- феноменологическая ^-функция теории Гинзбурга—Ландау пропор- пропорциональна параметру щели А теории БКШ, последний результат приводит к важному соотношению: ns~ |*|>|2. Теперь зададимся вопросом: какова область применимости вы- выражения для Ст18/ст„, определяемого равенством B.91) или B.95), в рамках более полной картины нелокального (зависящего от q) отклика. Оказывается, что эти выражения справедливы для ядра, описывающего нелокальную электродинамику, в точке /? = 0. На- Например, это имеет место в грязном пределе, когда сомножитель ехр{—R/1} обрезает интеграл раньше, чем /(/?, а, Т) успевает значительно измениться. Это справедливо также и в «предельно аномальном случае» q^0~>h так как здесь соответствующее пре- преобразование Фурье B.1066) дает основной вес в области с разме- размерами порядка к/q в окрестности начала координат. В обоих пре- пределах аи действительно и an = ain. В грязном пределе как а.„ так и ап пропорциональны /; в предельно аномальном случае обе эти величины пропорциональны q-1. Таким образом, в обоих пределах отношение as/an зависит только от со и 7", что позволяет опустить индексы q и I в обозначениях, пока справедливо одно из нера- неравенств: ^0>1 или /<?(,. Можно получить точное выражение для ст2 при 7" = 0, анало- аналогичное соотношению B.95) для о^: — = 4" 0 + -Т-) ?(*')-4 A - —)К(П BЛ27) Здесь *'=(!_#) 1/2, а fc=| BД—*ш)/BД—Аш)|. Зависимость этой функции от частоты представлена на рис. 2.13. Особую важ- важность имеет пропорциональность ст2 величине со в пределе йсо<^ <С2Д. Эта пропорциональность соответствует тому, что K(q, ы) в данном случае практически не зависит от частоты, что и требу- требуется для отсутствия частотной зависимости глубины проникнове- 82
ния. Проще говоря, такая зависимость является следствием рав- равномерного ускорения зарядов, описываемого уравнением Лондо- нов E = d(Ais)/dt. При ftco > 2Д ст2 стремится к нулю быстрее, чем со~'; однако при йсо = 2Д K(q, со) меньше своего значения на по- постоянном токе лишь на коэффициент 2/я. Таким образом, отклик «сверхпроводящей жидкости» не зависит существенно от частоты вплоть до СВЧ-диапазона. В выражение для отклика сверхпроводящей системы на за- зависящее от времени электромагнитное поле входят как дейст- действительная, так и мнимая части ст. Например, легко показать, что в упомянутых выше в разд. 2.9 экспериментах по прохождению излучения через очень тонкие пленки относительная прозрачность равна Здесь п — коэффициент преломления подложки, Zo — импеданс свободного пространства C77 Ом на квадрат в практической си- системе единиц), a d — толщина пленки. Из формулы B.128) вид- видно, что CT2s~<ц-*--*-ао при со->-0, что приводит к полному отраже- отражению излучения. С другой стороны, при^со^>2А ct2s->-0, а СТ18->-ст„ и, следовательно, Ts->-Tn. Как видно из рис. 2.13, в промежу- промежуточном случае ft ш~2Д как ctis, так и 02s меньше стп, что приво- приводит к появлению пика коэффициента прохождения, при котором Ts>Tn. Экспериментальное наблюдение этих характерных особен- особенностей в свое время внесло существенный вклад в подтверждение существования энергетической щели в сверхпроводниках, и в ча- частности количественно подтвердило правильность теории БКШ. 2.11. Заключение В этой главе мы изложили основные выводы теории БКШ: куперовское спаривание, существующее благодаря слабому, обус- обусловленному фононами взаимодействию между электронами, приро- природу основного состояния сверхпроводника и его энергию конденса- конденсации из нормального состояния, возбужденные квазичастичные со- состояния над энергетической щелью, а также температурные за- зависимости щели и термодинамических величин. Затем было по- показано, каким образом эксперименты по туннелированию элект- электронов позволяют детально проверить выражение для плотности возбужденных состояний над щелью и даже доказать количест- количественную правильность учета электрон-фононного механизма для описания сверхпроводящего состояния в целом ряде металлов. Анализ вероятностей переходов для квазичастичных возбуждений и их рассеяния дал дальнейшие подтверждения правильности тео- теории БКШ, так как в рамках именно этой теории были предска- предсказаны и обнаружены сильно отличающиеся температурные зависи- зависимости процессов затухания ультразвука и ядерной релаксации; 83:
-в то же время простые двухжидкостные модели приводят к оди- одинаковым температурным зависимостям для этих двух процессов, ибо не содержат следующих из теории БК.Ш факторов когерент- когерентности. Наконец, мы рассмотрели электродинамику сверхпроводников, вычислив сначала поглощение, возникающее благодаря квазича- квазичастичным процессам, и затем определив бездиссипативный отклик сверхпроводящего тока на вектор-потенциал. Вычисление откли- отклика подтвердило правильность, с точностью до незначительных ко- количественных поправок, пиппардовского обобщения электродина- электродинамики Лондонов. Убедившись в том, что теория БКШ дает микроскопическое обоснование более простой полумикроскопической (или феномено- феноменологической) теории сверхпроводимости, мы теперь готовы к тому, чтобы оставить микроскопическую теорию и для рассмотрения многочисленных особенностей сверхпроводников использовать ука- указанный более простой подход. Такое рассмотрение составляет со- содержание большинства последующих глав.
Глава 3 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ I РОДА В предыдущей главе было показано, что микроскопическая теория БКШ дает описание нелокальной электродинамики, очень близкое к предложенному феноменологически Пиппардом. В на- настоящей главе мы выведем несколько важных следствий из этих основных электродинамических свойств. Первый шаг будет заклю- заключаться в нахождении закона проникновения магнитного поля в глубь сверхпроводника, который нужно использовать вместо про- простой лондоновской экспоненциальной аппроксимации. Затем мы рассмотрим интересный случай тонких пленок. И наконец, мы раз- разберем так называемое промежуточное состояние, в котором в сверхпроводнике произвольной формы в присутствии магнитного поля сосуществуют сверхпроводящие и нормальные области. Так как в этой главе нам будет необходимо четко разграни- разграничивать разные величины, описывающие магнитное поле, следует обратить внимание на то, что, следуя Де Жену (и многим дру- другим авторам), мы используем символ h для обозначения входя- входящего в уравнение Лондонов локального микроскопического маг- магнитного поля. Это позволяет нам сохранить символ В для обозначения макроскопически усредненного значения h(r). 3.1. Глубина проникновения 3.1.1. Калибровка вектор-потенциала Выше вектор-потенциал был введен более или менее произ- произвольным образом, чтобы упростить два уравнения Лондонов h = — —i с V ' са dt заменив их одним уравнением Js(r) = --^-A(r), C.2) которое затем было обобщено в нелокальное соотношение типа БКШ — Пиппарда. Однако, как хорошо известно, вектор-потенци- вектор-потенциал определяется не однозначно, а с точностью до градиента про- 85
извольной функции. Иными словами, если перейти от А (г) к А'(г) =А(г) + vx(r). T0 магнитное поле h = rot(A) не изменится, так как ротор от градиента всегда равен нулю. Однако это не изменит выражения C.2) для тока. Таким образом, если мы со- собираемся использовать такие выражения, как C.2), которое за- заведомо не инвариантно по отношению к калибровке А, мы, оче- очевидно, должны выбрать только одну определенную калибровку вектор-потенциала. Если .оставаться для простоты в рамках лондоновской аппрок- аппроксимации, требование непрерывности тока (divJs=0) означает, что при любой удовлетворительной калибровке divA = 0, C.3) так как J пропорционален А. Это ограничивает возможные изме- изменения калибровки А только теми, которые даются функциями х(г), для которых VVX=^72X=0> T- е- х(г) должна удовлетво- удовлетворять уравнению Лапласа. Кроме того, условие непрерывности то- тока на границе определяет нормальную компоненту А на поверх- поверхности, и, следовательно, производная функция % по нормали должна обращаться на поверхности в нуль. Единственное решение этой краевой задачи есть x = const для которой VX=O> так что выражение C.3) и граничное условие определяют А единственным образом. Такая калибровка векторного потенциала называется лондоновской. Полезно отметить, что в этой калибровке А обра- обращается в нуль внутри массивного сверхпроводника, где нет ни- никаких токов. В рамках нелокальной электродинамики справедливы те же самые качественные рассуждения, хотя математические детали здесь менее четки. Однако в простейшем случае плоской поверх- поверхности в параллельном магнитном поле (случай, который мы бу- будем рассматривать при определении глубины проникновения по- поля) будет ясно, что только выбор вектора А параллельным по- поверхности, но перпендикулярным к h и обращающимся в нуль в глубине сверхпроводника будет удовлетворять приведенным со- соображениям и граничным условиям. В случае тонкого сверхпроводящего образца требование ра- равенства нулю вектор-потенциала А внутри образца должно быть заменено на другое, зависящее от конкретных условий. Напри- Например, если одно и то же поле приложено параллельно к обеим сторонам тонкой плоской пластины, симметрия требует, чтобы А обращался в нуль в середине пластинки *. В менее симметрич- симметричных ситуациях для определения вида А можно использовать ва- вариационное исчисление, исходя из минимума энергии. Вместо этого, как мы увидим позднее, можно преобразовать теорию к виду, инвариантному по отношению к калибровке вектор-потен- вектор-потенциала. Дело в том, что величина JsMse = (vs)=<p) /m— * В случае противоположных направлений поля по разные стороны пласти- пластины. — Прим. ред. пер. 86
—еА/тс инвариантна по отношению к калибровке; следовательно, изменение калибровки для А должно сопровождаться компенси- компенсирующим изменением <р). Наш подход сейчас заключается в нахождении такой частной калибровки, которая соответствует ра- равенству (р) =0, т. е. волновой функции, сформированной пара- парами с нулевыми импульсами, даже в присутствии А. В случае про- простой геометрии такой выбор обычно является наиболее простым, но в дальнейшем встретятся случаи, для которых могут быть указаны и другие виды калибровки. ЗЛ.2. Предварительная оценка X Прежде чем перейти к получению точного решения для глу- глубины проникновения исходя из нелокальной электродинамики, проведем сначала элементарное рассуждение, которое позволит получить оценку результата для «пиппардовских сверхпроводни- сверхпроводников», для которых |оЗ>Д,г.. Даже в нелокальной электродинамике ожидается примерно экспоненциальный закон проникновения магнитного поля, но, воз- возможно, с некоторой измененной глубиной проникновения X, кото- которую и нужно определить. Если тогда при выбранной калибровке вектор-потенциал внутри мате- материала (z>0) будет равен Ах = ХВоехр(--г/Х), что можно грубо аппроксимировать постоянной величиной А = = ХВ0 внутри некоторого слоя толщиной X. Используя при вычис- вычислении результирующей средней плотности тока нелокальное соот- соотношение B.117), получаем для А среднее значение, отличающееся от лондоновского на коэффициент ~Я/|о> который представляет собой ту часть полного объема интегрирования (—gjj ), в кото- которой существует А (~|2 X). Таким образом, с одной стороны, ~, Ск -7 С другой стороны, применяя уравнение Максвелла, находим- BJX ta} гоПГ ] = Anf/c = -^-. Сравнивая эти равенства, получаем Л»(л?боIЛ. C.4) Таким образом, когда нелокальность важна, т. е. когда %,o>XL, действительная глубина проникновения будет превышать Хь на множитель порядка (ЕоДг,I'3. Конечно, если %,o<CXl, приведен- 87
ные рассуждения неприменимы, так как отклик локален, и Заметим, что выражение C.4) дает представление о темпера- температурной зависимости К. Вблизи Тс все сверхпроводники становятся локальными, так как к(Т)>%0, отсюда к(Т) ~kL{T). При низких температурах, когда A.z,G")<30, получаем \(Т) ~[Ъ.\ (Г)Ы1/3- Та- Таким образом, при той температуре, когда Xl{T)~?,o, будет на- наблюдаться небольшое изменение хода температурной зависимо- зависимости Я. Так как для различных сверхпроводников из-за различия отношений Яг,@)/|0 это происходит при различных значениях от- отношения Т/Тс, то ясно, что универсальной температурной зависи- зависимости к{Т) не существует. Отсюда следует, что нельзя ожидать одинаково хорошей при- применимости ко всем материалам известной эмпирической аппрокси- аппроксимации \(Т) =Л@)[1—(Г/7-е)*]-1Л 3.1.3. Точное решение с помощью фурье-анализа Удобным способом для получения точного решения является применение фурье-анализа к J и А и использование равенства B.101) для получения самосогласованного решения. В случае проникновения магнитного поля Ву, параллельного плоской по- поверхности, Jx и Ах зависят только от г, поэтому требуется лишь одномерное разложение Фурье. Однако, так как наши выраже- выражения для K(q) справедливы только для бесконечной среды, тре- требуется осторожность в обращении с поверхностью. Эта пробле- проблема устраняется с помощью математического искусственного приема, который состоит в том, что для изображения поля, при- приложенного к поверхности, вводится ток внутри бесконечной среды от внешнего источника. Рассмотрим, например, случай, в котором предполагается, что электроны зеркально отражаются от поверхности. Если ввести лист тока * (^)внешн=-^Г5обB), C.5) то это приводит к скачкообразному изменению hy на 2В0- Раз- Разрыв может быть взят симметричным относительно нуля, чтобы поле hy испытывало скачок от —Во до +В0. Теперь, когда вве- введена сверхпроводящая среда, ее диамагнитные токи будут экра- экранировать эти поля на глубине % (которую требуется определить). Заметим, что электроны, прошедшие через эту поверхность z = 0 без рассеяния, имеют прежнюю ориентацию траектории от- * Т. е. бесконечно тонкий слой, в котором протекает ток постоянной линей- линейной плотности /. Одновременно с введением токового листа в плоскости z=0 сверхпроходящее полупространство исходной задачи заменяется на полное сверхпроводящее пространство. — Прим.. ред. пер. 88
Рис. 3.1. Замена зеркально рассеивающей поверхности токовым листом: а — магнитное поле в нормальном (пунктир) и сверхпроводящем (сплошная линия) состояни- состояниях; б— векторный потенциал в'нормальном (пунктир) и сверхпроводящем (сплошная линия) состояниях (в сверхпроводящем состоянии использована лондоновская калибровка); в — элек- электронные траектории. Сплошной линией показана траектория в случае зеркального отраже- отражения; штриховой частью показано продолжение траектории для другой половины простран- пространства при введении токового листа носительно направления векторного потенциала, в точности та- такую же, как и зеркально отраженные от поверхности электроны в действительном случае, поскольку А(—z)=A(z) (рис. 3.1). Таким образом, возбуждаемый сверхток должен быть тем же самым, что свидетельствует об эффективности этого искусствен- искусственного приема. Заменяя поверхность токовым листом в бесконечной среде, можно перейти к использованию функции отклика K{q), выве- выведенной как раз для такой геометрии. .Сначала заметим, что 4л V2A = — rot rot A = — roth = — — J, 'полн 4л (•• внешн i Для фурье-компоненты с волновым числом q это дает Выражая отсюда a (q), получаем общий результат: а / \ _ Dя/с) Л K C.6) Для токового листа C.5) /ВНешн(<7) =— сВ0/4л2, поэтому
Нас больше интересует величина h = rotA, для которой hy(q) = = iqa(q). Интегрируя по всем фурье-компонентам, получаем А(г)= А-Т *Ш dy = -ggg-f ?51п(?2) Idq. C.7) 0 Для данного K{q) уравнение C.7) дает явную зависимость h от z, которая не будет строго экспоненциальной, как в теории Лон- донов, если K(q) не равно константе. Например, h(z), вычис- вычисленное для K{q) по теории Пиппарда или БКШ, в действитель- действительности меняет свой знак (глубоко внутри, где \h(z)\<g.B0). Для получения глубины проникновения, определенной обыч- обычным образом, проинтегрируем равенство C.7): z % = Во f h(г)dz = -*- Г Г JUtoJM- dqdz. О 0 0 При выполнении интегрирования по z можно заменить <7 sin(qz)dz= 1—cos(qz) средним значением, равным единице, так как при z->-oo осциллирующая часть даст в среднем нуль, при последующем интегрировании по q, так что ? ? 0 Соотношение C.8) позволяет рассчитать Язерк для любой модели сверхпроводника, определяющей K(q). Так, например, в лондо- новской теории K(q) = \/kl и ^,зерк = \ В теории Пиппарда Это выражение получено из формулы B.117) при /шп(Я, Т) = = ехр(—R/1) с использованием общего соотношения B.106). Если вместо этого аппроксимировать БКШ-ядро более точно: J(R, T)~J(O, Т) ехр{—/@, T)R/l}, то, как указывалось при по- получении формулы B.123), результат заключается просто в за- замене go на ?о = Iq/J(O, T) в равенстве C.10) и в определении g B.121). Как отмечалось в предыдущей главе, это удобное обобщенное выражение Пиппарда обеспечивает достаточно хоро- хорошее приближение для точных численных результатов, получаемых по теории БКШ, и мы будем его часто использовать. Однако, 90
Рис. 3.2. Схематическое сравне- сравнение локального и предельно ано- аномального приближений (пунк- (пунктир) с точной нелокальной функ- функцией (сплошная линия) отклика K(q) \ Предельно аномальное V \ приближение \ Локальное приближение Точное значение чтобы рассчитать глубину проникновения с помощью формулы C.8) даже с аналитическим выражением C.10) для K(q), тре- требуется численное интегрирование. Детальные численные расчеты глубины проникновения в чистых и грязных сверхпроводниках с использованием точных результатов теории БКШ были проведе- проведены Миллером [1]. Для того чтобы избежать численных расчетов, обратим вни- внимание на два предельных случая, в которых могут быть получены аналитические результаты, хотя истинная ситуация, как прави- правило, заключена между ними. При локальной аппроксимации K(q) заменяется для всех q на константу /С@), приводя, таким образом, задачу к лондонов- ¦скому виду, но в общем случае с измененной глубиной проник- проникновения. Используя обобщенную аппроксимацию Пиппарда - (ЗЛ1) находим, как и ожидали [см. выражение B.123)], что (ЗЛ2) Это приближение хорошо оправдывается в грязных сверхпро- сверхпроводниках (при 1<К(Т)) и даже в чистых сверхпроводниках при значениях Т, очень близких к Тс, когда \v<Cjk{T). Другой аппроксимацией является предельно аномальный слу- случай, в котором K{q) для всех значений q заменяется на свою асимптотическую (при <7->о°) форму K(q)~\lq. Это приближение хорошо оправдывается в случае ta>'|o. так как ПРИ этом основ- основной вклад в интеграл C.8) дают те значения q, для которых справедливо указанное приближение для К. Две различные аппроксимации K(q) показаны на рис. 3.2. Так как обе аппрокси- аппроксимации ни при-каких q не ниже точного значения K(q), обе они будут давать нижние границы для истинного значения Я. Выполним теперь вычисления для предельно аномального слу- случая. Для общности запишем где a = 3n/(ik[lo) в теории Пиппарда. В теории БКШ и в 91
обобщенной теории Пиппарда ?0 заменяется на %'о , и, таким об- образом, а будет больше на множитель /(О, Г). Вводя общеприня- общепринятое обозначение Хоа для значения X в этом пределе, из C.8) по- получаем i - 2 Г т-оо.зерк — \ я J (а, dq /4) + ? о Вводя новую переменную x = q3/a, находим "оо, зерк оо — 2 С х~ i'dx _ а Подставляя значение а, приходим к выражению 8 (X2 9 Bя)'/' предсказана раньше [см. i)Vl. C.13) выражение форма которого была р C.4)] с помощью элементарных рассуждений. Вытекающий из теории БК.Ш поправочный множитель (h/loY'' — У№ Т)]~4' к простому пиппардовскому выражению играет довольно малую роль, поскольку его значение плавно меняется в пределах от 1 при 7 = 0 до 0,91 при Тс. Если рассеяние на поверхности считать не зеркальным, а диффузным, то получаются выражения, которые лишь немного отличаются от приведенных выше формул. При этом специфика вычислений при данной поверхности сводится только к обреза- обрезанию области интегрирования по г' в координатно-пространствен- ном выражении B.117) для функции отклика. Физическая при- причина этого состоит в том, что электроны, пришедшие в точку г от поверхности; не помнят предыдущих воздействий на них со стороны поля. Записывая это условие на языке преобразования Фурье, вместо выражения C.8) получаем следующую формулу: J In [I + К (q)/f]dq о Несмотря на внешнее отличие этого выражения от C.8), из него следует тот же самый результат C.12) для локальной аппрокси- аппроксимации, а для кос получается выражение, отличающееся от C.13) только отсутствием множителя 8/9. Таким образом, эти два пре- предельно различных предположения относительно поверхностного рассеяния приводят к очень близким результатам. Это явля- является удачным обстоятельством, так как реальный характер рас- рассеяния различен, и, по всей вероятности, в действительности не выполняется ни один из этих предельных случаев. Применительно к реальным металлам полученные результаты могут быть полезны при обсуждении численных значений пара- 92
метров различных чистых материалов при температуре значи- значительно ниже критической. Свойства алюминия хорошо аппрокси- аппроксимируются величиной ко°, так как A,L~160A, в то время как go* 15 000 А, так что goAi.~100. Однако для олова A,L~350A и go = 3OOO А, так что Я.«, может служить лишь разумным приближени- приближением. Для свинца XL ~ go/2, и поэтому лондоновская локальная аппрок- аппроксимация в действительности лучше, чем Я». Таким образом, для чистых металлов, чтобы получить правильные количественные результаты, почти всегда необходимо прибегать к численному интегрированию выражений C.8) или C.14). Для сплавов очень, хорошим приближением часто служит локальный предел. 3.1.4. Температурная зависимость Я. Как указывалось выше, в теории БКШ не существует универ- универсальной температурной зависимости \(Т/Тс)/к@) для различных металлов из-за различия отношения ?oAl(O), и, вообще говоря,, в каждом случае требуется численный расчет. Однако эти раз- различия не настолько велики, чтобы не согласовываться с почти универсальной температурной зависимостью, наблюдаемой экспе- экспериментально, особенно если принять во внимание, что измерения не являются абсолютно точными и не могут быть проделаны до Г=0. В случае чистых металлов представляются очевидными два предельных случая: |оДг,(О)=О и ?oAl@)->oo, соответствующие обсуждавшимся выше локальному пределу и предельно аномаль- аномальному случаю. В случае локального предела температурная зави- зависимость сводится просто к зависимости Хь(Т), даваемой выра- выражением B.111). В предельно аномальном случае из формулы C.13) получаем следующее соотношение: КГ) Г *?(Г) Г'-_га(г) = (AIZlthr-LpA(T)lp. C.15) Последнее равенство использует формулу B.125) и позволяет выразить J@, Т) через Xl(T) и Д(Г)—величины, уже опреде- определенные формулами B.111) и B.53), включенные в таблицу Мюльшлегеля [2]. Наконец, в грязном (/<С?о) локальном пре- пределе выражение C.12) упрощается и принимает вид предсказанный выше [см. выражение B.120)], так что ожидае- ожидаемая температурная зависимость будет иметь вид J 17> '-@. Т [ *<°) J На рис. 3.3 дано сравнение этих различных температурных за- 93-
Рис. 3.3. Сравнение температурных зависимостей величины 1/№, пред- предсказываемых теорией КБШ для раз- различных предельных случаев. Пунк- Пунктиром показана эмпирическая зави- зависимость C.18) висимостей с эмпирической формулой «двухжидкостной моде- модели»: ' '~ ¦ = [1 - (Г/Т,)*]-1/* = у (Т/Тс). C.18) 45 Видно, что из всех теоретических формул в наибольшем согласии с формулой C.18) находится температурная зависимость Л«,. Этого и следовало ожидать, поскольку большинство достоверных измерений было выполнено для олова, являющегося типичным представителем чистых сверхпроводников, для которых наиболее подходящей аппроксимацией должна быть Х*>. Напомним, что аппроксимация tao непригодна вблизи Тс, где к(Т) превышает |0. В частности, при точных вычислениях бесконечную крутизну XZ, при Тс нужно заменить конечным наклоном Х?2. Заметим при этом, что из-за различных нормировок XL и Я,» на рис. 3.3 пе- перед сравнением К[2 с Я.^2 наклон Я-Г2 вблизи Тс необходимо увеличить на коэффициент — 0,4 [^о/Я,ь @) ]2/3. При типичном зна- значении ?o/Xl(O) = 1O этот коэффициент увеличивает наклон почти вдвое и делает его близким к наклону эмпирической кривой. Та- Таким образом, полная микроскопическая теория дает температур- температурную зависимость, которая значительно ближе к эмпирическому закону, чем Я,». 3.2. Глубина проникновения в тонких пленках Теория глубины проникновения магнитного поля в тонкие пленки нелокальных сверхпроводников интересна по нескольким причинам. Во-первых, многие ранние измерения Я. (Г) были сде- сделаны на пленках толщиной d~X, чтобы при изменении Т наблю- наблюдалось заметное изменение магнитного момента. При этом возни- возникает вопрос, насколько измеренные таким образом значения Я. соответствуют массивным образцам. Во-вторых, поскольку мно- многие эксперименты по сверхпроводникам в магнитных полях вы- ¦94
полняются на тонких пленках, то желательно как можно глубже- понять механизм взаимодействия магнитного поля с пленкой. На- Наконец, анализ поведения тонких пленок иллюстрирует дальнейшие следствия из нелокальной электродинамики, которые не так оче- очевидны при классическом рассмотрении поля в глубь массивного сверхпроводника. Для простоты ограничимся рассмотрением пленок настолько- тонких, что самосогласованное значение векторного потенциала можно заменить векторным потенциалом невозмущенного прило- приложенного поля. Рассмотрим два случая: случай, когда поле парал- параллельно поверхности, и случай, когда поле перпендикулярно к по- поверхности. Ось х в обоих случаях выберем перпендикулярной к плоскости пленки и пересекающей ее поверхности в точках х = = ±d/2. Пусть в параллельном случае поле будет направлено вдоль оси z (в перпендикулярном — конечно, вдоль оси х)- Тогда в параллельном случае * векторный потенциал, как указы- указывалось выше, выбирается из условия симметрии следующим об- образом: Ад = Нх, Н Ц Плёнке. C.19>- Так как потенциал меняет знак при проходе через пленку, ясно,, что вычисление нелокального отклика тока, который имеет тен- тенденцию усреднять значения А (г') по объему, требует особой осторожности. Выбор векторного потенциала в перпендикулярном случае менее очевиден и требует дальнейшего изучения общего отклика пленки на перпендикулярное поле. Однако поскольку в- этом случае изменения А вдоль оси х не влияют на поле в этом направлении, а толщина пленки взята нами очень малой, то имеет смысл считать А не зависящим от х. Мы предполагаем также, что векторный потенциал изменяется в плоскости yz очень- медленно, с характерной длиной ?, так что можно просто поло- положить** Ад = | А| = const, H _L Плёнке. C.20> Распределения токов для двух различных ориентации пленки от- относительно поля показаны на рис. 3.4. В лондоновской, или ло- локальной, аппроксимации Jy(x) пропорционален Ау(х), как это показано штриховыми линиями. Однако в нелокальной теории эта зависимость, обозначенная сплошными линиями, имеет более сложный вид, к выводу которого мы сейчас и переходим. 3.2.1. Диффузное рассеяние поверхностью Используя координатно-пространственную форму нелокального отклика B.117), можно свести вычисление Jy(x) к одномерному * Имеется в виду случай, когда магнитное поле направлено одинаково и равно по величине с обеих сторон пленки.—Прим. ред. пер. ** В вихревом состоянии А изменяется с характерной длиной Гинзбурга— Ландау 5G"), но вблизи Тс она еще много больше, чем пиппардовская длина ?- 9S
/¦ JM JM \ -—x Рис. 3.4. Распределение плотности тока по толщине пленки, находящейся в магнитном поле: сплошная линия соответстиует нелокальной теории с ?>d; пунктирная линия относится к локальноиу сверхпроводнику (когда 1~А) с тен же самым Лдф; а — случай магнитного ?оля, параллельного пленке; б — случай поля, перпендикулярного к пленке интегралу, выполнив для этого интегрирование по плоскости уг. Ограничив интегрирование по х пределами ±d/2, что соответст- соответствует диффузному рассеянию поверхностью [см. обсуждение, предшествовавшее формуле C.14)], будем иметь /,(*) = - 7 K{\x-x'\)Ay(x')dx', ггуу(*, JJ & После выполнения элементарного интегрирования по углу в ци- цилиндрических координатах с p2=Y2+Z? = R2—X2, обозначая R че- через рХ, К(Х) можно записать К(Х)=- Зс 1 —р-3)У(РХ, Г) dp. C.22) Если теперь использовать обобщенную пиппардовскую аппрокси- аппроксимацию [см. рассуждения, приведшие к формуле B.123)], ¦/(/?,т)(ь,/й)оф(-/г/г'), C.23) то соотношение C.22) можно выразить через интегральную по- показательную функцию Ei\ К (X) = Зсг [Ег (ХЦ') - Е3 (Х/t')]. C.24) 16^ Подставляя вместо интегральных функций их асимптотические выражения, получаем [in(g'/X)-1,077+2X11' , C.24a) SG
вф(^'), Х/Е'-* со. C.246) Таким образом, К(Х) имеет логарифмическую особенность в точ- точке Х=0, а при больших X экспоненциально убывает. Сведя задачу к выражению C.21) и вычислив К(Х), можно теперь рассчитать J(x) для любого заданного А(х'). Вообще го- говоря, так как J(x) будет, в свою очередь, видоизменять А(х'), в общем случае для / и А нужно искать самосогласованное реше- решение. Однако, как говорилось выше, в рассматриваемом случае очень тонкой пленки можно считать, что векторный потенциал А(х) зависит только от приложенного поля. На рис. 3.4 показаны распределения токов, вычисленные с учетом этого для предельно- предельного случая d<^?'. Заметим, что в этом случае Х=^с?<С?', так что предельное выражение C.24а) всегда является хорошим прибли- приближением для К{Х). Теперь, когда найдены распределения токов, ответим на воп- вопрос: насколько хорошо можно характеризовать этот отклик по- посредством лишь одного параметра, играющего роль глубины про- проникновения. Выберем в качестве такого параметра эффективную лондоновскую (или локальную) глубину проникновения ХЭф, да- дающую распределение тока с той же самой энергией, которая яв- является фундаментальной величиной в теориях типа Гинзбурга — Ландау. Если задача линейная, т. е. J~J, то, с одной стороны, работа, совершаемая при установлении распределения тока, равна C.25) Тогда для нелокального случая энергия, приходящаяся на еди- единицу площади пленки, равна W = -?- [[A(x)A(x')K{\x — x'\)dxdx'. C.26) С другой же стороны, для энергетически эквивалентного лондо- новского сверхпроводника /(*) = Vх М- C-27) 4^эф так что из формулы C.25) получаем следующее выражение для энергии, приходящейся на единицу площади пленки: W = (вяХ^) J Л2 (х) dx. C.28) Приравнивая выражения C.28) и C.26), получаем ¦I Зак. 895 д7
При аппроксимации К формулой C.24а) это выражение приоб- приобретает вид Kl з ^A(x)A(x')\n(l'/\x-X'\)dx'dX = , (o.oU/ Поскольку подынтегральные выражения в одномерном и двумер- двумерном интегралах одного порядка, то отношение интегралов имеет порядок области интегрирования d. Таким образом, можно ожи- ожидать результата MW\ C.31) напоминающего выражение C.16) для грязного сверхпроводника со средней длиной свободного пробега l~d. Проделаем более точные вычисления выражения C.30) для случая перпендикулярного поля, когда А(х) является константой и просто выносится из-под знака интеграла. После выполнения интегрирования отношение интегралов даст dln(g/d), откуда* ', rf«E'. C.32a) Если теперь выполнить интегрирование в выражении C.30) для случая параллельного поля, когда А(х)=Нх, то получаем Х-Ф. и = DЗД (ШУ/а, d «I'. C.326) Это выражение отличается от C.32а) на коэффициент ?L = [-i.In(S'A0]V\ C.33) который в рассматриваемом случае d<C?' всегда превышает еди- единицу. Конкретное практическое значение полученных результатов невелико, так как они были получены с помощью выражений» справедливых только в предельном случае очень тонких пленок; более того, они предполагают идеальную геометрию со строго плоскопараллельной диффузионно рассеивающей поверхностью, что совсем нереально для таких тонких пленок. Однако наша за- задача при разборе этого примера как раз и заключалась в том, * Эта формула для наиболее реального случая постоянного по толщине поля особенно важна для приложений. Если, как это обычно бывает на прак- практике, материал не слишком чистый, то в ней можно также принять %'=1. При этом выражение для Я3ф можно [32*] переписать в очень удобном виде: *1ф = (hc*kTc/2xW) dRa, где R q — нормальное сопротивление пленки на квадрат. Таким образом, под- подставляя постоянные и выражение для А при Т — Тс, получаем для важной величины Л_|_=2Я.эф/^ простое выражение [33*]: К± [мкм] и 0,83 Ra [Ом]/(Ге - Г) [К], применимое и при d<l. —Прим. ред. пер. 98
чтобы с помощью всех этих деталей проиллюстрировать невоз- невозможность в рамках нелокальной электродинамики точно харак- характеризовать отклик одним-единственным параметром лЭф. Конеч- Конечно, можно было бы произвольно определить ХЭф через энергию, но дело в том, что этот результат зависит от конфигурации поля, а не только от природы сверхпроводящего образца. Несмотря на невозможность какого-либо точного описания через ?«эф. практиче- практически все-таки можно использовать соотношения типа C.31), чтобы вполне удовлетворительно описывать упрощенный электродина- электродинамический отклик тонкой пленки нелокального сверхпроводника, поскольку выражения C.32а) и C.326) реально отличаются не очень сильно друг от друга. Более того, можно ожидать, что эти различия должны быть значительно меньше для реальных пле- пленок, в которых объемное рассеяние на примесях и зернистая гра- граница не позволят получить большого превышения |' над d и в ко- которых неоднородности поверхности ограничивают длину свобод- свободного пробега в плоскости пленки. Следовательно, логарифмиче- логарифмический фактор C.33) должен быть меньше, чем в идеальной за- задаче. 3.2.2. Зеркальное рассеяние поверхностью Для полноты картины рассмотрим вкратце противоположный подход, который надлежит использовать, если рассеяние на по- поверхности ближе к зеркальному, чем к диффузному. Здесь, как и в нашем рассмотрении глубины проникновения поля внутрь мас- массивного образца, нужно заменить исходную задачу эквивалент- эквивалентной ей задачей, в которой в бесконечную среду введены надле- надлежащие токовые листы. В случае параллельного поля требуется бесконечная последовательность токовых листов переменного на- направления, разнесенных друг от друга на расстояние d, которые в отсутствие сверхпроводящего экранирования дают зависимость h(x) в виде последовательности прямоугольных импульсов и, сле- следовательно, пилообразную форму А(х). Поскольку поле периоди- периодическое, интеграл Фурье переходит в ряд Фурье, который можно достаточно хорошо аппроксимировать первым членом, соответст- соответствующим q=n/d. Тогда отклик в предельно аномальном случае теории БКШ определяется значением K(n/d) = kZ~ [3<2/D?0)], т. е. обобщенным пиппардовским выражением. Приравнивая это значение величине ^ф, получаем соотношение 1 i I S" \ /о ол \ Аэф.зерк.Л =M"~3d~J ¦ C-34а) которое отличается от соответствующего результата для диффуз- диффузного рассеяния (см. выражение C.326)) на множитель C/4)  , очень близкий к коэффициенту 8/9 для массивного образца. В случае перпендикулярного поля ситуация меняется корен- коренным образом. Так как в этом случае А параллельно пленке и по- постоянно по всей ее толщине, переход к эквивалентной задаче, 4* 99
не содержащей границ, дает А, постоянное во всем пространстве Отсюда q = 0, и в случае чистого материала получаем ^эф.зерк, X = ^Ь C.346 в более общем случае X определяется выражением C.12). Этот результат для сверхпроводящей пленки соответствует тому, что зеркальное рассеяние на границе в нормальных пленках не дает вклада даже в обыкновенное электрическое сопротивление. Эк- Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что зеркальное отражение редко играет важную роль в пленках, как в нормаль- нормальном, так и в сверхпроводящем состояниях. Таким образом, наши предыдущие результаты [см. выражения C.32)] для диффузного рассеяния дают более правильное ¦' представление об истинном положении дел. 3.3. Измерения X. Прежде чем закончить обсуждение глубины проникновения, рассмотрим очень кратко некоторые из экспериментальных мето- методов, используемых для измерения этой величины. В самых ранних работах (например, [3, 4]) использовались в основном или большое число коллоидных частиц, или тонкие пленки с очень малым размером d, сравнимым с X. Изменяя тем- температуру [а следовательно, и Х(Т)], измеряли возникающие из- изменения вещественной части магнитной восприимчивости. В той степени, в которой было известно распределение частиц в образце по размерам, эти измерения позволяли сделать выводы относи- относительно- X(d, T), но ясно, что при этом имели место количествен- количественные неточности. Еще в 1940 г. Казимиром было показано [5], что измерения восприимчивости, выполненные на переменном токе, достаточно чувствительны к изменениям глубины проникновения поля Х{Т)—¦ —Х(Т~0) внутрь уединенного массивного образца. Этот экспери- эксперимент был впервые успешно выполнен Лорманом и Шенбергом [6, 7], использовавшими для измерения индуктивный мост, рабо- работающий на частоте 70 Гц. Несмотря на то, что полученная чув- чувствительность была недостаточной, чтобы проследить за измене- изменениями X(Т) намного ниже Тс, в основном их результаты удовлет- удовлетворяли эмпирической зависимости C.18), которая уже была полу- получена в более ранних экспериментах с малыми частицами. Пип- пардом, использовавшим СВЧ-технику для измерения темпера- температурной зависимости резонансной частоты объемного резонатора и тем самым увеличившим частоту до 109—1010 Гц, было полу- получено [8, 9] десятикратное увеличение чувствительности (позво- (позволившее регистрировать изменения X на 2 А). Это дало ему воз- возможность проследить за температурным изменением X вплоть до очень низкой температуры, но при этом потребовалось введение поправки на влияние нормальных электронов, которое становится все более существенным с увеличением частоты. 100
Сопоставляя результаты с толщиной скин-слоя в нормальном состоянии (которая была достаточно хорошо известна из других данных), Пиппард смог измерить не только изменение Х(Т), но и абсолютное значение X, правда с несколько меньшей точно- точностью. После появления теории БКШ Шавлов и Девлин выполнили повторные измерения температурной зависимости К для олова [10], работая на частоте ~105 Гц, где частотная поправка в из- измерениях пренебрежимо мала, а чувствительность (при исполь- использовании частотомера для измерения малых температурных изме- изменений собственной частоты резонансного контура) была все так же велика, как в СВЧ-измерениях Пиппарда. Хотя их результа- результаты в основном соответствовали эмпирическому соотношению А~ у, где г/ = A — Р)~'/г, t = Т/Тс, график зависимости dX/dy от у давал ниже у~\,5 довольно быстрый рост этой величины. Именно такое поведение и было предсказано теорией БКШ вслед- вследствие экспоненциального выключения термических возбуждений из-за влияния энергетической щели. Неполное количественное совпадение между теорией и экспериментом, вероятно, обусловле- обусловлено тем, что теория рассматривает идеально изотропный металл, в то время как реальный металл имеет сложную поверхность Ферми с анизотропией щели и глубины проникновения. Подроб- Подробный обзор результатов различных высокочастотных измерений глубины проникновения и поверхностного сопротивления дан Уолдрамом [11]. Важно отметить, что большинство точных методов фиксируют только изменения А(Г) с температурой. Оказалось очень трудным создать метод, позволяющий сравнительно точно измерять абсо- абсолютное значение Х(Т). Поэтому, когда проводят сравнение теории с экспериментом, обычно сравнивают не Х(Т), а разность [X(Т)—i@)]. В результате этого более четверти «эксперимен- «экспериментальных» значений А@) в действительности являются значениями, найденными из условия соответствия экспериментальных данных теоретической зависимости X(T). Говоря проще, это есть коэф- коэффициент в старом эмпирическом соотношении Х(Т) =Х@) -y(t) су, определенным как указывалось выше. Сравнительно недавно были сделаны попытки определения Х@) путем подгонки эксперимен- экспериментальных данных к кривой, вычисляемой с помощью теории БКШ. Однако такой путь не столь прост, так как связан с чис- численным расчетом функции, имеющей два подгоночных парамет- параметра Я@) и ?0 Даже в простом изотропном приближении. Заметим, наконец, что появление сверхпроводящих квантовых интерферометров, которые будут обсуждаться ниже, увеличило чувствительность измерения магнитного потока на постоянном то- токе, что позволяет осуществить измерение АХ(Т) на постоянном токе с такой же точностью, как и с использованием СВЧ-тех- ники. Сейчас оба эти способа измерения используют для расши- расширения ограниченного числа известных данных по анизотропии 101
глубины проникновения относительно кристаллографических осей. Такие исследования необходимы для дальнейшей проверки теории сверхпроводимости, обобщенной на реальные анизотропные ме- металлы. 3.4. Сверхпроводники в сильных магнитных полях: промежуточное состояние Рассмотрим теперь действие достаточно сильных полей, кото- которые способны разрушить сверхпроводимость, в отличие от сла- слабых полей, просто индуцирующих экранирующие токи, не позво- позволяющие полю проникнуть внутрь образца. Действие таких силь- сильных полей зависит от формы образца. Простейшим случаем яв- является длинный тонкий цилиндр, поверхность которого парал- параллельна полю, поскольку в этом случае поле везде вдоль поверх- поверхности в точности равно- приложенному полю Но. Для образца другой геометрии, когда размагничивающий фактор отличен от нуля, поле, как это показано на рис. 3.5, над частью поверх- поверхности будет превышать приложенное поле Но, вызывая появле- появление некоторых нормальных областей, даже когда величина Но все еще меньше критического значения Яс. Рассмотрим подробно соответствующие этим случаям значе- значения свободной энергии, ограничиваясь сначала простым случаем нулевого размагничивающего фактора. Когда образец (объемом V) нормален, полная свободная энергия Гельмгольца дается выражением F Vf 4- v H° j_ v H° C-35) где /jv_ о — плотность свободной энергии в нормальном состояния при отсутствии поля, а члены с Но описывают энергию поля со- соответственно внутри и вне образца. Когда образец сверхпроводя- сверхпроводящий, то в силу эффекта Мейсснера поле в нем отсутствует и в этом случае Fs - Vfs.о + УввешН20[8п, C.36) где fs, о — плотность свободной энергии в сверхпроводящем со- состоянии. (Размеры образца предполагаем макроскопическими, что позволяет пренебречь эффектом проникновения поля и токами в поверхностном слое глубиной X.) Взяв разность, получаем FN - Fs = V (fr.o - /5.0) + VH20/8n = V (H2J8n) + V (H20/8n). C.37) В последнем равенстве использовано термодинамическое опреде- определение критического поля Яс: fN.o~fs.o =/&8я. C.38) В частности, когда НО=НС, из формулы C.37) получаем fiv-fsb/ =V№n). C.39) С 102
Рис. 3.5. Магнитное поле вокруг сверхпроводящих образцов раз- различной формы: а — размагничивающий фактор близок к нулю: б — размагничивающий фак- фактор равен 1/3 (шар). В случае показан- показанного здесь полного эффекта Мейссне- ра для шара (б) поле на экваторе равно 3/2 от приложенного поля Таким образом, при переходе из сверхпроводящего в нормальное состояние приходящаяся на единицу объема свободная энергия F, увеличивается на величину #?/4л. Откуда же берется эта энер- энергия? С помощью элементарных вычислений можно показать, что эту энергию вкладывает источник постоянного поля, совершаю- совершающий при проникновении поля в образец работу против э. д. с. индукции. Использование свободной энергии Гельмгольца создает опреде- определенные неудобства, связанные с необходимостью учета энергии источника поля. Эта свободная энергия является пригодным тер- термодинамическим потенциалом в том случае, когда' постоянным поддерживается В, а не Н, поскольку при постоянном значении В отсутствует э. д. с. индукции и энергия от генератора тока не потребляется. При постоянном Н правильным термодинамическим потенциа- потенциалом является свободная энергия Гиббса G. Она отлича- отличается от F на величину —V(BH/An), автоматически учитываю- учитывающую работу, совершаемую генератором. Таким образом, будем рассматривать плотность свободной энергии g = / —йЯ/4л:. C.40) Тогда в нормальном состоянии GN = VfN.o- VHl/8n- ^внешЯ^/8л, C.41) так как h = B=H как внутри, так и вне образца. В сверхпрово- сверхпроводящем состоянии внутри образца h=B=0, отсюда Gs C.42) Взяв разность, получаем Git — Gs = fn.a ~ fs.o) — УЯо/8я. C.43) Поскольку требование равновесия фазовых состояний заключа- заключается в равенстве соответствующих им значений термодинамиче- термодинамического потенциала, которым в случае фиксированного Н является 103
G, то из соотношения C.43) и формулы C.38), определяющей Нс, следует, что условием сосуществования в равновесии сверх- лроводящей и нормальной фаз является НО = НС. 3.4.1. Ненулевой размагничивающий фактор Конечно, предыдущее обсуждение было некоторой идеализа- идеализацией, введенной ради простоты. Любой реальный образец имеет ненулевой размагничивающий фактор, в результате чего поле у поверхности отличается от приложенного поля Но, однородного на больших расстояниях от образца. В качестве конкретного при- примера рассмотрим сферический сверхпроводящий образец радиу- радиусом R. Внутри сверхпроводника в макроскопическом масштабе все еще имеем В = 0, по крайней мере для Нй<^Нс. Снаружи поле удовлетворяет уравнению VB = vxB= V2B = 0 C.44a) с граничными условиями В-»-Но при г-> ос, C.446) В„ = 0 при г = R, C.44в) где Вп — нормальная компонента вектора В. Это стандартная краевая задача с решением во внешней области B = H0-T-.^-v/'—V C-45) где 0 — полярный угол, измеряемый от Но. В том, что решение C.45) удовлетворяет всем условиям C.44), включая и Вп = 0, можно убедиться непосредственной подстановкой. Формула C.45) дает для тангенциальной компоненты В на поверхности сферы значение (Be)R = -jHosine. C.46) Отметим, что это значение превышает Но внутри некоторой эк- экваториально расположенной области, соответствующей изменению угла 0 от 42 до 138е. Для экватора В& =ЗЯ0/2, так что поле на экваторе достигнет значения Нс, когда внешнее поле Но будет равно 2HJ3. Поэтому даже для полей На чуть выше этого зна- значения определенные области сферы должны быть нормальными. Однако при этом весь объем шара не может быть нормальным, так как в последнем случае полностью исчез бы диамагнетизм образца и поле стало бы иметь везде одинаковое значение Н= = //0~2//с/3, недостаточное, чтобы предотвратить появление сверхпроводимости вновь. Таким образом, для полей в диапазоне 2НС/3<ПО<НС сверхпроводящие и нормальные области должны сосуществовать; такое состояние исторически получило название промежуточ- промежуточного. 104
Обобщая рассуждения на образец формы произвольного эл- эллипсоида (только для которого хорошо известен размагничива- размагничивающий фактор), можно ожидать существования промежуточного состояния для значений приложенного поля, лежащих в интер- интервале l—r\<HjHe<l. C.47) Размагничивающий фактор г| изменяется от нуля в предельном случае длинного тонкого цилиндра или тонкой пластинки в па- параллельном поле до 1/3 для шара, 1/2 для цилиндра в попереч- поперечном поле и, наконец, до 1 для бесконечного плоскопараллельного слоя в перпендикулярном поле. Так как такой слой в перпенди- перпендикулярном поле всегда обнаруживает промежуточное состояние, рассмотрим данный предельный случай более подробно. Как раз для такой геометрии промежуточное состояние наиболее изучено экспериментально. 3.4.2. Структура промежуточного состояния в плоскопараллельной пластине Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину тол- толщиной d^>K в перпендикулярном поле. Впервые такая задача была разобрана в классической работе Ландау [12]. В этом слу- случае можно считать, что средний поток через единицу площади поверхности пластины равен Во и соответствует значению внеш- внешнего поля на достаточном удалении от пластины, где любые вы- вызванные пластиной неоднородности сглажены (рис. 3.6). Так как в сверхпроводящих областях /i=0, то относительная часть pjv нормального металла должна быть связана с плотностью по- потока в нем hN следующим образом: Pjv = BjhN. C.48) Пренебрегая влиянием поверхностной энергии, получаем /ijy = = //с, как и ожидалось из выражения C.43); позже мы найдем поправки к этому значению. Для нахождения размера и формы сверхпроводящих и нор- нормальных областей необходимо в энергетическом балансе учесть поверхностные энергии. Сгруппируем их в два члена: Fu соответ- соответствующий границе раздела между сверхпроводящими и нормаль- нормальными доменами внутри пластины, и F2, зависящий главным обра- образом от процессов вблизи границы раздела между образцом и внешней средой. Поскольку, как это было до сих пор, теория БКШ ограничи- ограничивается рассмотрением только постоянной плотности сверхпрово- сверхпроводящих пар в пространстве, придется здесь предвосхитить даль- дальнейшее рассмотрение теории Гинзбурга — Ландау (допускающей пространственные градиенты) введением феноменологического выражения для поверхностной энергии, связанной с границей раз- 105
Рис. 3.6. Схематическое изображение магнитного потока, проникающего через нормальные слои пластины, находящейся в промежуточном состоянии. Магнит- Магнитное поле на большом удалении от образца равно Во, а в чередующихся сверх- сверхпроводящих и нормальных областях пластины равно соответственно или нулю, или А„ (~//с) дела N—S. Это выражение обычно дается в величинах длины, которую будем обозначать* б(Т), так что дополнительная энер- энергия, приходящаяся на единицу площади поверхности границы раздела, будет у = Л2в/8я. C.49) Как в дальнейшем будет показано, 6~?—X, т. е. б положительно и для типичных чистых сверхпроводников имеет порядок К)-5— 10~4 см. Физически б представляет собой толщину граничной об- области, которая не является ни полностью нормальной, ни пол- полностью сверхпроводящей. Разумеется, если бы поверхостная энергия была отрицательной, то между макроскопическими объе- объемами этих двух фаз не могло бы быть устойчивого равновесия. Напротив, граница раздела стала бы перемещаться в сторону возрастания отрицательной поверхностной энергии до предела, определяемого толщиной стенок доменов. С подобной ситуацией мы столкнемся в сверхпроводниках II рода, сейчас же будем по- полагать величину у положительной. При данной положительной поверхностной энергии у стенки доменов принимают такую форму, чтобы площадь поверхности была минимальной при прочих равных условиях. В частности, если задана форма нормальных областей на поверхности пла- пластины (что определяет упоминавшуюся выше энергию F*), то * Другим общепринятым обозначением является ДG"); однако, не будем употреблять его, чтобы избежать путаницы с энергетической щелью. 106
стенки доменов с достаточно хорошей точностью устанавливаются перпендикулярно к поверхности пластины по всей ее толщине, по- поскольку любое другое их расположение дало бы увеличение Fi. Менее ясно, какова должна быть двумерная форма доменов, так как для ее нахождения необходима оптимизация соотношения между поверхностной энергией внутри образца (Fj) и энергией поля непосредственно у наружной поверхности слоя (F2). Общее строгое решение здесь не найдено: сравнивались лишь различные модели. Подобные исследования (см., например, [13, 14]) показа- показали, что различие в свободной энергии мало даже для сущест- существенно разных конфигураций нормальных областей (например, та- таких, как слои и трубки), если только оптимизирован масштаб структуры. Это свидетельствует о том, что в зависимости от кон: кретных экспериментальных условий и качества образца могут реализовываться самые различные конфигурации, что было под- подтверждено экспериментально. Сконцентрируем внимание на анализе слоистой модели про- промежуточного состояния, поскольку она обладает аналитической простотой и дает те же результаты, что и действительно наблю- наблюдаемые структуры. В этой модели, как показано на рис. 3.6, име- имеется одномерный ряд чередующихся N и S доменов толщиной Ay и fls с периодом D=DN + DS. Тогда поверхностная энергия F], приходящаяся на единицу площади пластины, будет Fx = 2dy/D = -^- Я?/8п. .C.50) Само по себе это выражение соответствует очень крупномасштаб- крупномасштабным структурам, но, как сейчас увидим, внешний вклад F2 ока- оказывает противоположное воздействие. Ландау и сотрудниками был проведен численный расчет F2, однако удовлетворимся здесь простым физическим рассмотрени- рассмотрением, дающим весьма близкие результаты. Основной вклад в F2 дает излишек энергии неоднородного внешнего магнитного поля сна- снаружи доменной структуры промежуточного состояния относитель- относительно однородного поля в нормальном состоянии или в случае бес- бесконечно тонких доменных областей. Так как относительная часть Pjv объема имеет поле hN, то средняя плотность энергии поля у поверхности в то время как из формулы C.48) следует, что плотность энер- энергии однородного поля / Таким образом, средний излишек плотности энергии у поверхно- поверхности, обусловленный доменной структурой, равен (pn — Р%) hl-/8n = pNpsh%/8n, C.51) где ps=l—Pn — доля сверхпроводящей фазы. Над поверхностью 107
неоднородность поля, дающая излишек энергии, будет существен- существенно уменьшаться на «длине сглаживания» L, которая порядка меньшей из величин Ds и DN. Удобной математической формой записи этого соотношения является следующая: L = (Он1 + DJ1)"' = O/W + Pi"') = DpspN- Аппроксимируя F2 излишком плотности энергии C.51) на дли- длине L по обе стороны от пластины, получаем йМ C.52) Теперь, минимизируя сумму Fx и F2, находим период доменной структуры: D = (d6)Vl Hc/(pNpshN)«(d8)v7(pA-ps)- C.53) Заметим, что порядок величины этого периода D определяется средним геометрическим из макроскопического и микроскопиче- микроскопического размеров: толщины d образца и толщины б доменной стенки. Для типичных значений этих величин D~10~2 см. Другой характерной чертой является то, что число доменов становится малым (D становится большим), когда малы или р,у, или ps, т. е. вблизи Во=0 и В = НС. Экспериментально такая доменная структура наблюдалась (см. обзор [15]) с помощью различных методов, например: A) перемещение по поверхности образца миниатюрного зонда с дат- датчиком на основе магниторезистивного эффекта или эффекта Холла; B) получение порошковой структуры с помощью осажде- осаждения ферромагнитных или сверхпроводящих (диамагнитных) порошков, которые очерчивают области, несущие магнитный по- поток; C) использование магнито-оптического эффекта Фарадея в магнитных стеклах, находящихся в контакте с поверхностью образца. Когда магнитное поле приложено под некоторым углом к нормали, возникает упорядоченная слоистая структура со слоями, направленными вдоль поля, так что площадь доменных стенок, а следовательно и поверхностная энергия являются наи- наименьшими. Измерения, выполненные для таких структур, дают значения параметра б поверхностной энергии, находящиеся в удовлетворительном соответствии с предсказаниями теории Гинзбурга—Ландау. Исторически эти измерения сыграли важную роль в выдвижении их теории на первое место среди феноменоло- феноменологических теорий. Поверхностная энергия, определяя масштаб доменной струк- структуры, понижает критическое поле для промежуточного состояния до величины HcU которая несколько меньше Нс, являющегося критическим значением поля в случае нулевого размагничиваю- размагничивающего фактора. Можно оценить этот эффект, вычисляя поверхност- поверхностную энергию при оптимизированном значении C.53) периода D доменной структуры и добавляя ее к объемной энергии, соответст- соответствующей размерам областей pN и ps. Результирующее среднее 108
значение свободной энергии, приходящейся на единицу объема образца, будет h = psfs.o + P.v (/5.0 + Н2с/8п + h%l8n) + (F2 + FJ/d = = fs.o + р^Я?/8л + Bl/(pN8n) + 4 A — pN) {8/dL' HcB0/8n. C.54) Сначала отметим, что если в этом выражении пренебречь чле- членом, описывающим поверхностную энергию, то, как и следовало ожидать, fi будет иметь минимум при рх = В0/Нс, т. е. при hK~Hc. Когда же учитывается и поверхностная энергия, существует мини- минимум f при рл/ = (В0/Нс) [1-4 F/dL' {BJHC)\~'U. C.55) В слабых полях эта зависимость ведет себя как (В0/Нс), но при больших полях поправки начинают играть существенную роль. Поскольку Нс\ определено как значение Но, для которого р^->-0, т. е. рл-»-1, то, решая квадратное уравнение, получаем Нп = Нс [A + 48/d)'u - 2 (№)'/г] да ч\, d>S. C.56) Численное значение коэффициента при поправке к полю зависит от особенностей конкретной модели со всеми ее приближениями, но основная форма результата должна быть справедливой для самых различных моделей. В заключение обсуждения этой очень упрощенной модели отметим, что плотность потока hN в нормальной области дается соотношением B0/pN. Рассматривая выражение C.55), видим, что ftjv уменьшается от Нс до Нс1 по мере того, как приложенное поле увеличивается от нуля до критического значения. Таким образом, поле в нормальных областях в основном всегда меньше, чем Яс. Хотя этот результат может показаться парадоксальным, он просто отражает роль поверхностной энергии, которой мы пренебрегали, когда в нулевом приближении рассматривали только величины, пропорциональные объему. Уточнения. Предыдущее обсуждение упрощенной модели, давая, конечно, полукачественное предсказание размера доменов и величины Hci, тем не менее обрисовывает наиболее важнце осо- особенности промежуточного состояния. Однако при этом мы не коснулись одной качественно важной особенности, а именно «растекания» потока непосредственно перед выходом из образца. В простейшем случае это растекание выражается в веерообразном расположении нормальных доменов вблизи поверхности образца; в более сложном случае происходит ветвление или гофрирование доменов. Все эти изменения увеличивают поверхностную энергию раздела фаз, одновременно значительно уменьшая энергию поля. Ландау в рамках своей первоначальной слоистой модели учи- учитывал веерообразное расширение доменов у поверхности образца. Его численные расчеты заключались в замене знаменателя 109
PNpstiN/Hc = psBjHc в выражении C.53) некоторой функцией ФEо///С), имеющей качественно близкую зависимость от прило- приложенного поля. Поэтому это уточнение мало влияет на размер домеиов. Из-за веерообразного расширения доменов вблизи поверхности образца плотность потока у поверхности нормальной области меньше, чем внутри ее, как это можно ожидать из нашей модели, где hN<:Hc. Можно также оценить понижение Hci ниже Нс путем рассмотрения устойчивости уединенного изолированного сверхпроводящего домена (последнего, как говорят в этом слу- случае), учитывая, что поверхностное натяжение искривленной гра- границы с окружающим нормальным материалом эффективно помо- помогает магнитному полю разрушить последние остатки сверхпрово- сверхпроводимости. Любопытно, что Ландау был вроде бы неуверен в устойчи- устойчивости такой поверхности и предложил другую модель [16, 17], в которой нормальные домены разветвлялись на два, а если тре- требовалось, то ветвились повторно, для того чтобы поток у поверх- поверхности образца расширялся без падения плотности потока в нор- нормальных областях ниже Нс. Последующее изучение показало, что для образцов разумной толщины даже единственное ветвление дало бы возрастание свободной энергии по сравнению со свобод- свободной энергией в модели без ветвления, поскольку уменьшение энергии поля меньше, чем увеличение поверхностной энергии. Однако позднее для свинца, имеющего особенно низкое значение параметра поверхностной энергии, Соломоном и Харрисом [18J были обнаружены особенности, сходные с ветвящейся структурой Ландау. Обширные экспериментальные наблюдения, выполненные Фабером [19], показали, что сложная лабиринтная структура гоф- гофрированных доменов наблюдается довольно часто. По-видимому, тонкие нормальные слои, плоские внутри образца, по мере при- приближения к поверхности начинают гофрироваться со все возрас- возрастающей амплитудой. Это дает эффективное рассеяние выходящего потока в пределах полосы, ширина которой равна амплитуде гофрирования, дающего большую экономию поверхностной энер- энергии, чем в ветвящейся модели Ландау. Ясно, что подобное гофрирование затрудняет интерпретацию наблюдаемых размеров доменов в терминах параметра поверхностной энергии. Необходимо отметить также, что при определенных условиях вместо слоев можно наблюдать пятна или трубки потока поля. Например, Ландау указывал, что при низких плотностях потока были бы выгодны нормальные трубки, в то время как вблизи Нс более выгодны сверхпроводящие трубки. Трёбл и Эсман [20]' в своих экспериментах наблюдали для свинцовой фольги в пер- перпендикулярном поле регулярный ряд пятен потока поля, в то вре- время как Киргнер [21] в подобных образцах наблюдал и пятна, и извилистые слои, близкие к ламинарной структуре. Картины движения, снятые различными исследовательскими группами (см., например, [22]) с использованием магнито-оптического ме- 110
тода, особенно ясно демонстрируют эволюцию распределения потока в образце по мере увеличения поля: от трубок потока до гофрирования, затем ветвления и, наконец, до сверхпроводящих трубок при сильных полях. Очевидно, что многообразие наблю- наблюдаемых в промежуточном состоянии явлений делает почти невоз- невозможным создание законченной теории. Дополнительные сложности возникают в динамическом промежуточном состоянии, где вся картина зависит от времени; мы не будем здесь разбирать эти вопросы. 3.4.3. Структура промежуточного состояния шара Чтобы продемонстрировать применимость наших результатов к образцам с более сложной геометрией, возвратимся к случаю шара. Как было найдено выше, промежуточное состояние сущест- существует при 2/3<Я0/#с<1. В этом диапазоне объем шара разделен на S- и Л/-слои, которые веерообразно расширяются у поверхности и могут разветвляться или становиться гофрированными, но в дан- данном обсуждении будем игнорировать эти детали. Более того, будем полагать радиус шара достаточно большим по сравнению с толщиной б стенок доменов, чтобы можно было пренебречь раз- различием между Яс1 и Нс. Тогда плотность потока в Af-слоях всегда в точности равна Нс, а доля нормальной фазы рдг есть В/Нс, где В — среднее значение h(r) в слоистой структуре. Именно это среднее значение входит в макроскопические уравнения Макс- Максвелла в качестве величины В везде внутри сферы. С другой сто- стороны, величина максвелловского поля Н в сфере повсюду рав- равна Нс. Это следует из того, что в нормальных слоях H = h = Hc, а тангенциальная компонента Н должна быть непрерывна на ловерхности раздела со средой, находящейся в термодинамиче- термодинамическом равновесии. Таким образом, как и в более привычных физических случаях, поля внутри шара однородны, в то время как снаружи поля являются суммой приложенного поля и допол- дополнительного поля: ~'. C.57) Эта формула имеет такой же вид, как и выражение C.45), кото- которое получено для линейного режима ниже 2//с/3, причем пара- параметр Hi был выбран в том случае равным Нп из условия Вп = 0 при г = /?; в промежуточном состоянии ВпФ0. Определим #t из условий равенства внутренних и внешних значений Вп и Ht: Bn^Bcc^Q = HQcosQ — H1cosQ, C.58) Ht = НС sin 8 = Но sin9 + —Я2 sin 6. C.59) Решая их, находим #1 = 2(ЯС—В)/3, откуда В = ЗЯ„ — 2НС, 2/3 < Н0/Нс < 1. C.60) Ш
"экбатор "бмутр // i / 71 / 1 / п ¦^Внутр Рис. 3.7. Значение В и Я внутри сверхпроводящего шара в прило- приложенном поле Но. Эти величины могут быть измерены снаружи шара путем измерения поля со- соответственно на полюсе и эква- экваторе. Шар находится в промежу- промежуточном состоянии при 2ЯС/3< <НО<НС Таким образом, магнитная индукция шара линейно возрастает от нуля до Йс при увеличении приложенного поля Но от 2HJ3 до Яс, как это показано на рис. 3.7. Поскольку Вп непрерывна, В можно измерить снаружи шара, измеряя В на полюсе F = 0). Аналогично, непрерывность Ht озна- означает, что внутреннее значение Н может быть получено путем измерения поля на наружной экваториальной поверхности: Вэкв = Яэкв- Предсказываемая зависимость этой величины также показана на рис. 3.7. Экспериментальные данные по чистым об- образцам достаточно хорошо соответствуют этим предсказаниям. 3.5. Критический ток сверхпроводящего провода В качестве последнего примера электродинамики сверхпровод- сверхпроводников I рода обсудим появление сопротивления в сверхпроводя- сверхпроводящем проводе с током выше критического. Рассмотрим круглый провод радиусом а, по которому течет ток /. Согласно уравне- уравнениям Максвелла, магнитное поле у поверхности провода равно 21/са. Когда это поле станет равным Нс, провод не сможет быть полностью сверхпроводящим. Согласно правилу Сильсби, по которому критический ток не может превышать* ток, создающий критическое поле около сверхпроводника, получаем следующее выражение для критического тока: 1с = Нсса/2. C.6 lj Если />/с, то поле у поверхности превысит Нс и, по крайней мере, поверхность должна стать нормальной. Однако если поверхностный слой станет нормальным, остав- оставляя сердечник провода полностью сверхпроводящим, то весь ток будет протекать через этот сердечник, обусловливая у его поверх- поверхности еще большее значение поля, которое будет тем. более- больше Нс. Таким образом, устойчивой конфигурации со сплош- * Критический ток реально может быть много меньше, чем определяемый ил этого критерия, особенно если толщина сверхпроводника много меньше л. 112
Рис. 3.8. Структура промежуточного состояния в проводе с током выше 1С- Заштрихованы сверхпроводящие области. Радиус сердечника г, равен а при 1С,- а при /->-оо в идеализированном случае стремится к нулю только асимптоти- асимптотически ным . сверхпроводящим сердечником, окруженным нормальным материалом, существовать не может. Тогда, может быть, образец будет полностью нормальным? В этом случае плотность тока / стала бы однородной по сечению, давая Н (г) = 2/г/са2. Поскольку при г->-0 это выражение будет меньше Нс, то сердеч- сердечник не может быть и нормальным. Эти рассуждения наводят на мысль, что центральная часть (радиусом ri<a) должна быть в промежуточном состоянии, а по окружающему ее нормальному слою тоже должен протекать ток. Последнее условие требует наличия продольного электрического поля, которое совместимо со структурой промежуточного состоя- состояния, если только его слои ориентированы поперек оси. Характер структуры промежуточного состояния диктуется требованием, чтобы в пренебрежении поверхностной энергией- Н(г) было равно Нс для r^rt. Так как H{r) =2I(r)/cr, где /(г)—полный ток внутри радиуса г, нам нужно, чтобы I{r)=crHcj2. Это, в свою очередь, требует плотности тока, равной ±^-^-. C.62) j(r). Однако продольное электрическое поле Е не зависит от г, поскольку rot E = — (\/c)dBjdt=Q, если только мы полагаем струк- структуру статической. Примирить эти требования можно с помощью примерно такой конфигурации, как показанная на рис. 3.8, впер- впервые предложенной Лондоном [23, 24]. В этой структуре относи- относительная длина участка из нормального материала (параллельно оси провода) равна r/п. Если р —удельное сопротивление в нор- нормальном состоянии, тогда для r<ri получаем J (г) = Erjpr. Комбинируя это выражение с формулой C.62), находим, что тх = рсНс/4пЕ. C.63> Так как ток 1г внутри сердечника должен давать на его поверх- поверхности поле Нс, то _ сгхНс _ М*Р 1 2 8л? ' 113-
Ток во внешнем нормальном слое будет 2 р V ' р 16я? .Добавляя это значение к Iit получаем полный ток в проводе . (з.64) + р Решая теперь квадратное относительно Е{1) уравнение и исполь- используя соотношение C.61), находим ^1/'}. C-65) Здесь необходимо выбрать знак плюс, поскольку Е должно воз- возрастать при увеличении /, как этого требует устойчивость. В нор- нормальном состоянии согласно обычному закону Ома Е = р1/яаг. Поэтому можно записать результат в виде наблюдаемого частич- .ного сопротивления: О, если / < 1С, 1 f 1 , rt I Т I Т\ЧЛ\ I Л Г -^ Ж * ' R X {1 +[!_(/,//)»]•/.}, если />/,. Отсюда видно, что половина сопротивления появляется скач- скачкообразно при /с, когда весь провод сразу заполняется структурой возникающего промежуточного состояния. При дальнейшем уве- увеличении тока сопротивление непрерывно возрастает, а область промежуточного состояния сужается во все более и более тонкий сердечник, асимптотическое выражение для радиуса которого имеет вид rJa = IJ2I. В принципе некоторая часть сверхпроводя- сверхпроводящего материала должна существовать в середине провода при всех конечных значениях тока. Однако на практике джоулево нагревание при токах выше /с делает трудным проведение экспе- эксперимента в изотермических условиях для подтверждения этого ¦свойства. Экспериментальные данные находятся в хорошем качествен- качественном соответствии с теоретической зависимостью C.66), изобра- изображенной на рис. 3.9, но существуют определенные количественные расхождения. В частности, типичная величина скачка сопротив- сопротивления лежит ближе к @,7—0,8) Rx, чем к —-Як, предсказанной с помощью упрощенной теории [25, 26]. Это привело к многочис- многочисленным перепроверкам лондоновской модели. Например, Гортер рассматривал динамическую модель [27] с непрерывным движе- движением фазовых границ. Байрдом и Мухерьи было выполнено детальное численное исследование статической модели, близкой к лондоновской. Авторам удалось найти оптимальное отношение периода доменной структуры к диаметру провода (~0,7), а так- .114
0,5 - - Ил. Рис. 3.9. Сопротивление провода R в промежуточном состоянии. (а) — Зависимость R от тока при постоянной температуре. F) — Зависимость R от темпера- температуры при постоянном токе, показывающая уширение перехода и понижение кажущейся тем- температуры перехода. Параметр 6Тс равен Hd/cldT)-1 же удалось найти искривленный профиль доменных стенок, на котором Н = НС и в котором лучше, чем в лондоновской модели, удовлетворяется условие для Н = НС всюду, а не только в сред- среднем по доменной структуре. В рамках этой улучшенной статиче- статической модели они действительно объяснили больший скачок RIRx (до 0,69) при /с, а также улучшили соответствие с экспериментом- в целом при более высоких токах. Комбинируя эти идеи, Андреев и Шарвин [28, 29] осуществили третий подход, в котором рассмат- рассматривается широкий класс движущихся структур. Такой подход также дал увеличение скачка R/RN при /с до примерно правиль- правильного значения, причем это получено за счет других параметров,, отличных от параметров упоминавшейся выше статической теории.. Таким образом, хотя теоретические позиции все еще недостаточно определены, ясно, что лондоновская теория промежуточного со- состояния провода с током является чрезмерно упрощенной. Тем не менее она дает полезную полуколичественную трактовку этой задачи. Данная теория может быть также применена для предсказа- предсказания температурной зависимости сопротивления сверхпроводящего провода вблизи Тс. В этой температурной области 1С~НС~ (Тс—Т)г поэтому можно написать dlc\ ДТ: - dT к Совместно с лондоновской аппроксимацией C.66) это дает ], C.67). где &Т=ТС—Т и 8Тс = 1(с11с№Т)-*. Так, например, если по тонкому проводу диаметром 1 мм протекает ток в 1 А, то первое появление сопротивления должно происходить на 0,03 К ниже Тс. Таким образом, при измерении критической температуры нужно поддер- поддерживать ток настолько малым, чтобы сделать 6ТС пренебрежимо малым по. сравнению с внутренней шириной перехода, обуслов- обусловливаемой неоднородностью образца. Форма резистивного перехода при фиксированном конечном значении тока показана на рис. 3.9,6. 115
Ток может вызывать появление промежуточного состояния и в тонкопленочных сверхпроводниках. Хотя теоретический анализ в этом случае затрудняется наличием краевых эффектов, такая геометрия образца благоприятствует экспериментальному изуче- изучению структуры промежуточного состояния с помощью магнито- магнитооптических методов. Недавно выполненные эксперименты [30, 31] показали, что сопротивление возрастает отдельными скачками, причем каждый скачок сопротивления связан с появлением до- дополнительного канала для движения трубок магнитного потока поперек полоски образца. Тот факт, что структура потока дви- движется, можно продемонстрировать, наблюдая напряжение, инду- индуцируемое в соседней сверхпроводящей пленке, которая образует с первой пленкой структуру типа сандвич. Эти эксперименты дают на основании измерения шумового спектра времена прохождения трубки потока поперек образца порядка 10~3 с. В других экспери- экспериментах, таких, как эксперименты Риндерера [22], были сняты кар- картины движения доменной структуры в условиях, когда скорости были намного меньше. Результаты этих недавних экспериментов показывают, что за резистивные режимы в сверхпроводниках ответственны скорее всего динамические структуры определенного типа. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 5 в связи с дисси- лативными эффектами в сверхпроводниках II рода.
Глава 4 ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ Микроскопическая теория БК.Ш, изложенная в гл. 2, дает отличное объяснение известных фактов в тех случаях, когда она применима, а именно когда энергетическая щель Д постоянна в пространстве. Однако во многих случаях принципиальное зна- значение имеет пространственная неоднородность. Например, при обсуждении промежуточного состояния сверхпроводников I рода нужно учитывать границу между сверхпроводящей и нормальной фазами. Этот тип пространственной неоднородности становится преобладающим для смешанного состояния сверхпроводников II рода. В этих случаях применение только микроскопической теории становится затруднительным и в большей степени следует полагаться на «более макроскопическую» теорию Гинзбурга—¦ Ландау (ГЛ) [1]. Эта теория в том виде, в каком она была впервые предло- предложена, явилась триумфом физической интуиции. В ней вводилась псевдоволновая функция г|>(г) как комплексный «параметр по- порядка», причем квадрат модуля этой функции |я|)(г)|2 должен был представлять локальную плотность сверхпроводящих электро- электронов, ns(r). Теория была развита на основе применения вариацион- вариационного метода к предложенному разложению плотности свободной энергии по степеням |Цз|г и | \71|з|2, что приводит к двум связан- связанным дифференциальным уравнениям для i|j(r) и вектор-потен- вектор-потенциала А (г). В результате появилось обобщение теории Лондонов на случаи, когда ns изменяется в пространстве, а также на случаи нелинейного поведения в полях, достаточно сильных для того, чтобы изменять плотность сверхпроводящих электронов ns. Однако в ней сохраняется локальное приближение электродина- электродинамики Лондонов. Несмотря на вполне успешное объяснение явле- явлений промежуточного состояния, где необходимость теории, учиты- учитывающей пространственную неоднородность сверхпроводимости, была очевидной, теория Гинзбурга—Ландау в общем не при- привлекла широкого внимания в западной литературе из-за своего феноменологического характера. Положение изменилось в 1959 г., когда Горьков [2] показал, что теория ГЛ получается в строгом виде как предельный случай микроскопической теории, сформулированной соответствующим образом на языке функций Грина, что позволяет учесть прост- пространственную неоднородность. Было показано, что условиями применимости теории ГЛ являются достаточная близость темпе- 117
ратуры к .критической температуре Тс и требование, чтобы прост- пространственные изменения функций г)? и А были не слишком быст- быстрыми. В такой трактовке теории ГЛ функция т|)(г) оказывается пропорциональной параметру щели Л(г), причем обе функции являются, вообще говоря, комплексными. Вначале предполага- предполагалось, что величина |Д(г)|, найденная из решения заново интер- интерпретированных уравнений ГЛ, является просто щелью из теории БКШ, которая может изменяться как в пространстве, так и под воздействием приложенных магнитных полей. Это привело к тому, что в течение некоторого времени экспериментальные данные трактовались подобным переупрощенным образом. Однако сейчас становится ясно, что решение уравнений ГЛ для данной проблемы является лишь полезным первым шагом для понимания спектра плотности возбуждений. Оказывается, что поле, токи и градиенты действуют как «разрушители пар», не только уменьшая вели- величину Д, но и размывая резкую границу щели БКШ. Подробное обсуждение этих эффектов будет отложено до гл. 8. Наибольшая ценность теории заключается в объяснении- макроскопического поведения сверхпроводников, при котором общая свободная энергия важнее деталей спектра возбуждений. Например, она вполне подходит для предсказания критических полей и пространственной структуры i|j(r) в неоднородных ситуа- ситуациях. Теория также обеспечивает качественную основу для пони- понимания необычного поведения сверхтока как следствия проявления квантовых свойств в макроскопическом масштабе. Хотя в принципе сейчас и можно было бы дать вывод теории ГЛ, следуя Горькову, но это потребовало бы математического- аппарата, превышающего уровень нашего изложения. Вместо этого будем сначала следовать Гинзбургу и Ландау, феноменоло- феноменологически постулируя теорию на интуитивной основе, а затем ис- используем результаты микроскопической теории (или эксперимен- экспериментов) для нескольких простых случаев, чтобы определить значения параметров, входящих в теорию ГЛ. 4.1. Свободная энергия в теории Гинзбурга — Ландау Основным постулатом теории ГЛ является следующий: если значения функции ¦ф малы и она медленно меняется в простран- пространстве, то плотность свободной энергии / может быть разложена в ряд вида A 4 = /„„+ a DЛ> 2 Очевидно, что при г|э = О это выражение сводится к свободной энер- энергии нормального состояния /я0 + Лг/8п, где /л0 (Л =/„о @) —У?2. Рассмотрим теперь три оставшихся члена ряда, описывающих сверхпроводящие эффекты. 118
<ct>0 la<0 He. Bit Рис. 4.1. Свободная энергия Гинзбурга—Ландау для Т>ТС (а>0) и для Т<Тс(а<.0). Жирные точки указывают положения равновесия. Для простоты величина г|) взята действительной В отсутствие полей и градиентов имеем выражение которое можно рассматривать как разложение в ряд по степеням |\jjjz или ns и в котором оставлены только первые два члена [1]. Этих двух членов достаточно, пока мы остаемся вблизи фазового перехода второго рода при температуре Тс, когда квадрат пара- параметра порядка |г|)|2 стремится к нулю. Анализ выражения D.1) показывает, что для пригодности теории необходимо, чтобы вели- величина р была положительной, в противном случае свободная энер- энергия принимала бы минимальное значение при бесконечно .больших значениях |i|)|2, когда разложение в ряд, конечно, несправедливо. В зависимости от того, является ли а положительным или отрицательным, возможны два случая, показанные на рис. 4.1. Если а положительно, то свободная энергия имеет минимум при |т];|г=0, что соответствует нормальному состоянию. Однако, если а<0, при l^r-l^l'e-o/p D.3) возникает минимум свободной энергии. Обозначение грм является общепринятым, поскольку функция т|; достигает этого значения бесконечно глубоко внутри сверхпро- сверхпроводника, где происходит экранирование от любых поверхностных полей или токов. Если это значение г|; подставить снова в выра- выражение D.2), используя определение термодинамического крити- критического поля, получаем fs-fn^ ~ Я?/8я = — «»/2р. D.4) Очевидно, что функция а(Т) должна меняться с положительной на отрицательную при температуре Тс, так как, по определению, 119
Т.-. — максимальная температура, при которой для |г|з|2=^О полу- получается более низкое значение свободной энергии, чем для |г);]2 = 0. Производя разложение функции аG") в ряд Тэнлора около зна- значения Тс и оставляя только основной член, находим a{t) = a'(t—l), а'>0, D.5) где t = T/Tc. Заметим, принимая во внимание соотношение D.4), что это допущение согласуется с линейным изменением Нс по закону A—t), если р примерно постоянно вблизи Тс. Подставляя эти температурные изменения а и р в выражение D.3), получаем, что вблизи Тс ц,|»~A_*). D.6). Это согласуется со связью |if|z с плотностью ns сверхпроводя- сверхпроводящих электронов в теории Лондонов, так как вблизи Тс ns~k-2~(l—t). Для того чтобы перейти к количественным соотношениям, рассмотрим оставшийся в ряду D.1) член, зависящий от полей и градиентов. Если записать т|э в виде |гр|е14', этот член примет физически более понятный вид: ]¦ D.7> Первый член дает избыточную энергию, связанную с градиентами модуля параметра порядка, как, например, в стенке домена, вто- второй член дает кинетическую энергию, связанную со сверхтоком, в калибровочно-инвариантной форме. В лондоновской калиброке ф постоянно и этот член просто равен величине е"Аг ] if [2/2m*c2. Приравнивая это значение к плотности энергии Л2/8яА,Эф. для лондоновского сверхпроводника C.28), получаем Я.«ф = Tl* . D.8) При отождествлении ns и |i|)|z это' выражение согласуется с обычным определением лондоновской глубины проникновения, за исключением присутствия обозначенных звездочкой эффектив- эффективных значений массы и заряда. Член, описывающий плотность кинетической энергии, можно затем переписать в виде п — m"v2sj, где скорость сверхтока дается выражением s 2 J --^-. D.9) Следует отметить, что, определяя энергию, связанную с вектором- потенциалом, в простой форме D.7), мы тем самым ограничиваем теорию приближением локальной электродинамики. Соответст- Соответственно для описания нелокального сверхпроводника потребовалось бы выражение вида C.26). 120
Теперь обратимся к феноменологическим параметрам, отме- отмеченным звездочками. В первоначальной формулировке теории ¦предполагалось, что е* и т* имеют обычные значения заряда и массы электрона. Однако оказалось, что экспериментальным дан- данным лучше соответствует е* = 2е. Микроскопическая теория спа- спаривания же определенно утверждает, что заряд е* точно равен 2е — заряду пары электронов. Далее, в приближении свободных электронов* естественно положить т* = 2т и «* = —ns, где ns — число одиночных электронов в конденсате. При этих допущениях п*е"/т* = п^/т, так что лондоновская глубина проникновения при спаривании не изменяется. В реальных метал- металлах ситуация более сложная. Зонная структура и фононные эффекты «одевания» частиц приводят к тому, что эффективная масса для одиночного электрона в нормальном состоянии отли- отличается от массы свободного электрона; обычно различие доходит до 50%. Кроме того, наиболее важной областью применения теории ГЛ являются грязные сверхпроводники, в которых ЯЭф да я! (?„//) ^ Xl. Такое возрастание глубины проникновения может быть формально приписано либо увеличению массы т*, либо уменьшению ns. Может показаться, что независимое опре- определение массы можно провести в эксперименте [3], в котором сверхпроводник вращается с угловой скоростью ш, а измеряется получающийся магнитный момент. Однако, используя аргументы общего характера, основанные на теореме Лармора, Олбен пока- показал [4], что магнитный момент должен быть таким же, как момент, вызванный благодаря магнитному полю HL= Bтс/е)ы, где отно- отношение е/т есть отношение е/т для свободного электрона. Такое равенство было на самом деле обнаружено Брикманом [3]. Дру- Другими словами, эксперименты по вращению не добавляют ничего к имеющейся информации, получаемой из чисто магнитных из- измерений. Из-за невозможности измерения т* можно приписать ей про- произвольное значение, и, вероятно, наиболее разумно выбрать ее равной удвоенной массе свободного электрона (эта произволь- произвольность подчеркивалась Де Женом, который говорил, что она с та- таким же успехом может быть взята равной массе Солнца!). При фиксированной величине т*— 2т все изменения л, вызванные температурой, зонной структурой, фононами, примесями или даже нелокальной электродинамикой, учитываются в соответствующей величине jifoo [=/г* = — ns. Даже при Г = 0 это число уже, не будет соответствовать суммарному числу электронов на атом. Вместо этого ns с данной точки зрения есть просто мера той части силы осциллятора в правиле сумм** * Имеется в виду отсутствие не спаривания, а ферми-жидкостных эффек- эффектов. — Прим. ред. пер. ** О правиле сумм см. конец разд. 2.9. — Прим. ред. пер. 121
D.10) которая локализована при ш = 0 в виде члена (яп8е2/2/п)б(ш) и описывает диамагнитный отклик сверхтекучей жидкости. Верхняя граница ns даже при низких температурах опреде- определяется силой осциллятора для электронов в нормальном состоя- состоянии, которая распространяется на частоты до скоростей столкно- столкновений 1/т для q = 0 и до qvY для q=?0, даже если т->°о. В частности, в пространственно-однородных полях можно ожидать для ai обычной частотной зависимости Друде: ^(@0) пеН1т , D.10а) в то время как при т->-оо получается результат Линхарда [5]: __J?!_\ D.106) для ox?C9yF и равенство ai = 0 для Gi^gw- Естественно, оба эти выражения удовлетворяют правилу сумм D.10). Качественно часть силы осциллятора, в нормальном состоянии локализованная на частотах ниже частоты энергетической щели ыя = 2Д//1, при переходе в сверхпроводящее состояние переходит в ns, в то время как для частот выше энергетической щели она практически не должна измениться. Если рассмотреть сверхпроводник с локаль- локальной электродинамикой, когда можно использовать аппроксима- аппроксимацию д = 0, то из формулы D.Юа) видно, что почти вся сила осцил- осциллятора должна проявляться как ns в чистом металле, где <вгт>1; в этом случае ns^n, а K~kL- Однако, если металл настолько грязный, что выполняется условие шйт<1, отношение ns/n должно уменьшаться до величины порядка сойт~//|о- В результате в гряз- грязных сверхпроводниках X/KL = (n/n,I/' « (?оО1/а — результат, полученный выше более строго B.123). Если, наоборот, рассмот- рассмотреть чистый нелокальный сверхпроводник, то равенство D.106) означает, что ns (q)/nfa ag/qvF^ l/q?,0- Эта, зависящая от qr часть сверхтекучего отклика является отражением спадания K(q) как \/q, которое показано на рис. 3.2. Взяв типичное значение q~l/k для токов на глубине проникновения магнитного поля, получим, что Я?/А,2 = njn да АДо или Л «г (Л.^.5о)*'" • как было полу- получено выше [см.. выражение C.13)] более строго. Для применения теории ГЛ, которая является локальной, нужно взять такое га,-, чтобы его среднее значение соответствовало действительной глу- глубине проникновения, а не kL. Проведенное выше обсуждение напо- напоминает нам о силе применения правила сумм с учетом энергети- энергетической щели при проведении простых физических оценок эффек- эффективной плотности сверхпроводящей жидкости в различных, ситуациях. 122
некий D.3), D.4) н D 8) При 2 <*"** Ь1* ' a А,„ и //, либо бер рн б в ю Поскольку истинная электродинамика сперхпровод ов яв близко к Г„ где %1.(Т)>Ъя, либо в достаточно грязных обра а в которых 1~-КХ(Т), оо ве Только при этих условиях теория Г. яв яе я в е но о 1м™™'[сч/формулы (з'.23^иеA31)Гд^™"г"хД«с™вых иис Нс -(l_i*) и Г2 —(J -(*) а формулу D11], можно но- лучить следующие температурные зависимости- |^F~l-(^ 4A-0. Поэтому сбычно Ьсчитают, что ^l1 " а'иеняютсИТ кпк (Г-/), рительноТм обсуждении! Однако более полные выражения D.7) приводят к мысл|Т о том, что теорию можно обобщить на более
Замечая, что е* = 2е, и считая условно, что т* = 2т, можно теперь найти параметры теории ГЛ путем решения системы урав- уравнений D.3), D.4) и D.8). При этом получаются следующие результаты: | ^ ]»s я-S-=J-= _=!?!_ = _!!!fL_i D.11a) ? ^=^), D.116) где е и m — заряд и масса обычного свободного электрона, а ?.Яф и Яс либо берутся из эксперимента, либо вычисляются из микроскопической теории. Поскольку истинная электродинамика сверхпроводников яв- является нелокальной, ясно, что такое описание в терминах эффек- эффективной лондоновской глубины X справедливо либо достаточно близко к Тс, где kL(T)>%0, либо в достаточно грязных образцах, в которых ?^/<А,(Г), т. е. там, где нелокальность несущественна. Только при этих условиях теория ГЛ является действительно точ- точной. К счастью, оказывается, что качественные выводы теории ¦имеют широкую область применимости: полуколичественные результаты обычно можно применять даже тогда, когда нелокаль- иость является значительной. При этом нужно использовать эф- эффективные значения Хцф, которые мы рассчитывали для тонких пленок [см. формулы C.29) или C.31)]. Для чистых массивных ¦образцов, как отмечалось выше, вероятно, наиболее разумно брать для Я,Эф экспериментальное значение. Если при этом попытаться применить теорию при температурах много ниже Тс, тс из-за нелокальности электродинамики получим Я,ЭКсп>^г,- Следует отметить, что, если подставить эмпирическое выраже- выражение Нс'~ A—t2) и к~2 —'A—/*) в формулу D.11), можно по- подучить следующие температурные зависимости: и~ l~li «I— t, D.12) 6 « const. A + *2)8 Поскольку теория является строго справедливой только вблизи Тс, принято оставлять лишь основную зависимость от температуры. Поэтому обычно считают, что |ф|2 и а меняются как A—t), а р берут равным константе, как предполагалось в нашем предва- предварительном обсуждении. Однако более полные выражения D.7) приводят к мысли о том, что теорию можно обобщить на более широкую область температур, и ряд экспериментов подтверждает этот вывод. 123
(-% -A' Эти ipiu. саотнетств! ip микроскоп) A.15)" нуя I,- - ^ - раны гран! границе pa p такт, она p p межуточпо Д Р 6 р Л д Для луч фф Тогда А = поскольку $ф фф Отсюда следует естественное определение характерной длины из- 1|И1шардоцской длиной ?, которой мы пользой ал ись при обсужде- ?П4 -1-Г-°- Ч-1В)
¦Смысл ЦТ) как характерной длины изменения ty (или /) стано- становится еще более очевидным при линеаризации выражения D.18), при которой полагаем f(х) — l+g(x), где g(x)<?l. Тогда полу- получаем с точностью до первого порядка по g .или так что g(x)~exp[±V2xll(T)}. D.19) Последнее выражение показывает, ¦ что малое отклонение г|з •от 1|}<„ будет действительно спадать на характерной длине по- порядка ?(Г). Итак, поскольку теперь понятен смысл длины |(Г), посмот- посмотрим, каково ее значение. Подставив выражение для а D.116) в определение ?(Г) D.17), получим ® D.20) 2У2 пНс(Т)Ьдф{Т) ' где Фо— так называемый квант магнитного потока, который будет играть важную роль в дальнейшем изложении. Утверждение, что длина ЦТ) связана с пиппардовской длиной Ео и теорией БКШ, ¦следует из существования соотношения У), D-22) которое вытекает из полученных ранее результатов теории БКШ: |0 = йиР/лД @) и #?@)/8я = -— N@) А\@), если допустить, что связь между N@) и п такая же, как для свободных электронов. Объединяя формулы D.20) и D.22), можно записать 1{Т) = я Яе@) ^(°) ,4 23) 4 23) so 2уз НС(Т) Яэф(Г) • К ' ¦Отсюда следует, что вблизи Тс • %(Т) = O,74so/A—tLi — для чистых сверхпроводников; D.24а) S (Т) = 0,855 (|00'Л/A — tL' —для'грязных сверхпроводников. D.246) Точные коэффициенты здесь получены из точных результатов теории БКШ в пределе Т^ТС, а именно Hc(t)=l,73Hc@)(l~t), D.25) ^V ¦ D.26а) [2A—0]'" J26
Грязный предел = к @ Выражение D.24а), определяющее |(Г) для чистых сверхпро- сверхпроводников, справедливо только в очень узком температурном интер- интервале вблизи Тс, для которого справедлива локальная электро- электродинамика; вне этого интервала соответствующее эффективное- значение | будет зависеть от конфигурации образца. Уравнение D.246) для грязных сверхпроводников остается справедливым для гораздо более широкого интервала температур, поскольку в этом случае локальная аппроксимация справедлива всегда. Полезно также ввести знаменитый безразмерный параметр' Гинзбурга—Ландау х, который определяется как отношение двух характерных длин: ... Ъ*(Т) _2у2Я//е(Г)Яэф(Г) "¦ ЦТ) ф. • У- г Используя эмпирические приближения Нс — A—t2) и Я,~2—A— t*),. видно, что х должно изменяться как A + f2)-1. Конечно, это только грубая аппроксимация, но с уверенностью можно сделать вывод,, что величина х непрерывна при Тс и хотя изменяется с температу- , рой, но медленно. Используя численные результаты, полученные- выше, получаем для х следующие значения для чистого и гряз- грязного пределов вблизи Гс: х = 0,96ЯдA)/?0 — чистый предел; D.27а> х = 0,715A,L@)// — грязный предел. D.276)- В типичных чистых сверхпроводниках x^Cl, но в грязных сверх- сверхпроводниках х может быть намного больше единицы. Как будет подробно показано позже, значение х=1/У2 разделяет сверхпро- сверхпроводники I и II рода. 4.3. Вычисление параметра энергии в области границы' Теперь мы имеем все необходимое для вычисления параметра поверхностной энергии у = //сб/8л, который был использован при обсуждении промежуточного состояния в гл. 3. Одномерные изменения ty(x) и h(x) в области границы схематически показаны на рис. 4.2, где сопоставлены противоположные случаи x^Cl и xS>l. Качественно видно, что при х<;1 поверхностная энергии положительна, поскольку существует область толщины ~ (?—Я,),, из которой магнитное поле выталкивается, давая вклад в поло- положительную диамагнитную энергию и не давая вклада в полную энергию конденсации, связанную с tJj™. Для случая х^> 1 происходит обратное и возникает отрица- отрицательная поверхностная энергия. Теперь перейдем к количествен- количественному рассмотрению, используя теорию ГЛ. Будем искать решения 127
39 «1 Рис. 4.2. Схематическая диаграмма изменения h и г|) на границе доменов. -Случай x<t;] относится к сверхпроводнику I рода (положительная энергия гра- границы); случай х^1 относится к сверхпроводнику II рода (отрицательная энергия границы) дифференциальных условиями уравнений D.13) и D.14) с граничными > = 0 и А-=Яе = ^со и Л = О при х ->¦ — оо, при х -> + с». Поскольку задача одномерная, можно считать функцию if действительной. Это упрощает уравнения, так как исключаются перекрестные члены у и А, и, кроме того, второе уравнение при- приводится к простой форме J — \ty(x) |2A. Тем не менее полные реше- решения могут быть получены только численно. Начнем с формального упрощения выражения для поверхностной энергии. Во-первых, нужно осознать, что подходящей энергетической величиной является свободная энергия Гиббса, поскольку в за- задаче фиксировано значение Н (равное #с), в-то время как вели- величина В зависит от местоположения границы (домена). Как ука- указывалось при обсуждении, которое привело к формуле C.43), плотность свободной энергии Гиббса при Нс имеет одно и то же значение в сверхпроводящем и нормальном материале, а имен- именно /so, значение свободной энергии Гельмгольца для сверхпровод- сверхпроводника в отсутствие полей и токов. Таким образом, поверхностная энергия, которую мы ищем, есть превышение G над той свободной ¦энергией Гиббса, которая была бы, если бы ее плотность была равна /so везде, т. е. 2т* + (h aHcY ]dx. D.28) оТС J :128
Использован тот факт, что fn0 — /s0 = Я?/8п. Это выражение можно еще упростить, так как при умножении дифференциального уравнения ГЛ D.13) на i|>* и интегрировании его по частям полу- получается тождество Вычитая его из D.28), получаем выражение D.28) в более крат- краткой форме ] [^^1]^ D9) причем у должно быть равно (Н2с/8л) б. Используя равенства D.11), записываем в окончательном виде Это выражение ясно показывает, что, как уже указывалось выше, величина б определяется балансом между положительной диамаг- диамагнитной энергией и отрицательной энергией конденсации, обуслов- обусловленной сверхпроводимостью. Для оценки величины D.30) приходится находить численные решения для h(x) и ty(x), за исключением предельных случаев. Для этих случаев были получены следующие точные результаты: б== 1. D.316) Эти результаты подтверждают наш качественный вывод, что вели- величина б должна быть порядка (?—к). Чтобы показать, что переход от положительной поверхности энергии к отрицательной происходит точно при х=1/У2, необхо- необходимо специальное рассмотрение. Оно было проведено Гинзбургом и Ландау в их оригинальной статье, причем они заранее предви- предвидели, что обычное слоистое промежуточное состояние должно появиться только при малых значениях у.. Но до появления статьи Абрикосова [7], имевшей кардинальное значение, никто не ожи- ожидал столь существенно отличного поведения сверхпроводников, которое возникает из-за отрицательной поверхностной энергии при больших х. Его статья положила начало учению о сверхпро- сверхпроводниках II рода, — такое название Абрикосов дал материалам с х>1/у2. Поскольку они подробно рассмотрены в следующей главе, здесь лишь отметим, что отрицательная поверхностная 5 Зак. 895 129
энергия вызывает деление несущих магнитное поле (нормальных) областей до тех пор, пока не достигается квантовый предел, при котором каждый квант потока, фо=Ас/2е, пронизывает образец в виде отдельной трубки потока. Эти трубки потока образуют регулярную решетку, причем -ф = 0 на оси каждой из трубок. В от- отличие от промежуточного состояния сверхпроводников I рода, это так называемое «смешанное» состояние сверхпроводников II рода имеет место в значительном диапазоне полей, даже если размаг- размагничивающий фактор образца равен нулю. 4.4. Критический ток тонкого провода или пленки Кратко рассмотрев вычисление граничной энергии, для кото- которого, как сразу видно, требуются численные методы, вернемся назад и рассмотрим ряд важных более простых примеров, для которых возможны точные аналитические решения. Но прежде получше познакомимся с теорией Гинзбурга—Ландау, а затем перейдем к более сложным проблемам. Наиболее простыми случаями являются те, при которых воз- возмущающие поля и токи так слабы, что везде |itj|=rj)oo и теория ГЛ переходит в теорию Лондонов. Более интересным классом примеров является тот, в котором сильные поля или токи отклоняют значение \\р\ от |-фоо|, но при этом |гр| имеет одно и то же значение во всех точках. Это проис- происходит в случае, когда образец представляет собой тонкую про- проволоку или пленку, так ориентированную по отношению к внеш- внешнему полю, что любое изменение |ip| должно было бы происходить на расстояниях порядка толщины d<dG"). В этом случае член в выражении для свободной энергии, пропорциональный (v|^|J» давал бы чрезмерно большой вклад при любых заметных измене- изменениях т|э. Поэтому таких изменений не происходит и можно взять функцию i|)(r) в виде |ip|exp(iq>), где |г|з|—постоянная величина. В этом случае выражение для плотности тока и свободной энер- энергии принимает простой вид: Хотя обычно принято считать т* = 2т, оставим более общее обо- обозначение, которое позволяет, если требуется, использовать другие нормировки i|>, а также как напоминание об условной природе параметра /и*. Применим теперь эти уравнения к случаю тока с постоянной плотностью, текущего через тонкую пленку или тонкий провод. Поскольку энергия из-за полевого члена Л2/8л меньше, чем кине- кинетическая энергия тока, на множитель порядка отношения попереч- поперечного сечения проводника к А,2, то в достаточно тонком сверхпро- 130
Рис. 4.3. Зависимость величин [ -ф [z и У, от скорости сверхтекучей компоненты v3 воднике можно этим членом пренебречь. Теперь для данного значения vs минимизируем выражение D.33), чтобы найти опти- оптимальное значение |i|i|2. В результате получаем где вторая часть равенства определена через величины | и m*vs, которые не изменяются при изменении обозначений. Соответствую- Соответствующий ток равен ( ^), D.35) Как показано на рис. 4.3, /s имеет максимальное значение, когда dJs/dvs = O, а именно когда m'vs/2 = | а |/3 и 11|) 12/т|).„ = 2/3. Отождествим этот максимум тока с критическим током. Таким образом, где снова вторая часть равенства полностью записана через основ- основные используемые параметры. Отсюда следует указанная пропор- пропорциональность Jc вблизи Тс величине A—tK/2. Соответствующий критический импульс равен рт^ <4-37) Критическая скорость сама по себе является условно определяе- определяемой величиной, поскольку она зависит от условного выбора т*. Можно заметить, что в качестве независимой переменной выбрана vs, а не /s со | я|? 12as. Это не было случайным выбором, это даже необходимо, так как здесь используется свободная энер- энергия Гельмгольца. Выбор такого потенциала оправдан лишь в том случае, если отсутствуют наведенные э. д. с, вызывающие энерге- энергетический обмен с источником тока. Это соответствует фиксации величины vs, поскольку необходима конечная э.д.с, чтобы изме- 5* 131
нить эту скорость. Если хотим использовать в качестве независи- независимой переменной ток, то необходимо произвести над свободной энергией преобразование Лежандра, как было сделано в формуле C.40) при рассмотрении магнитной энергии. При вычитании соот- соответствующего члена нужно учесть, что в настоящем случае ра- работа, совершаемая генератором, есть m*vs-Js/2e, поэтому полу- получаем плотность потенциала Гиббса: g = f--~^. D.38а) или где, для того чтобы исключить vSl использована формула D.32). Минимизация этого выражения по отношению к |гр|2 для данной плотности тока /s приводит к кубическому уравнению для |т|>|2. Решение его совпадает с тем, которое найдено выше, хотя его и труднее получить алгебраически. Это решение можно записать, например, в виде ?|-; D.39) 2 максимальное значение тока достигается при 1i|j|2 = (ос/Р)= 2 = — jj?,_ при этом /s имеет критическое значение /с, найденное выше [см. соотношение D.36)]. Интересно сравнить этот критический ток ГЛ с критическим током теории Лондона, который найдем, приравнивая плотность кинетической энергии плотности энергии конденсации: ±пМ = ^»А—ъ;. D-40) откуда Jc — сЯс/4лЯ. Это превышает более точный результат теории ГЛ D.36) на мно- множитель C"|/6/4)= 1,84, потому что в нем не учитывается уменьше- уменьшение |т|з|2 с ростом тока, следующее из нелинейной теории. Представляет интерес также сравнить выводы теории ГЛ с вы- выводами микроскопической теории, для чего, конечно, необходимо провести численные расчеты, за исключением ряда частных слу- случаев. Бардин [8] дал очень полезный обзор таких расчетов. Вблизи Тс результаты теории ГЛ, как и ожидалось, совпадают с результатами микроскопической теории, однако в пределе нуле- нулевой температуры ситуация совершенно иная. При наличии одно- однородной скорости us уровни энергии квазичастиц сдвигаются на &k-vs. Это можно видеть из формулы B.108), замечая, что скорость еа@) /тс вызывается постоянным вектор-потен- 132
циалом а@). Таким образом, для некоторых состояний ширина щели достигает нуля, когда A /f\\ fc D.41) Ниже этой «скорости распаривания» вклад в сверхток дают все электроны и плотность тока /., строго пропорциональна vs. Выше этой скорости распаривания появляются отдельные возбуждения, ширина щели резко уменьшается, и максимально возможный ток лишь на 2% больше, чем ток при скорости, когда начинается распаривание. Результирующая кривая Js{vs) при Г=0 поэтому идет из начала координат линейно, а затем круто спадает, что заметно отличается от результата теории ГЛ, который показан на рис. 4.3 и справедлив вблизи Те*. Наиболее прямое экспериментальное подтверждение этих ре- результатов возможно, если оба поперечных размера проводника могут быть сделаны малыми по сравнению как с А,, так и с |. В этом случае можно без опасения считать как Js, так и |гр|2 по- постоянными вдоль поперечного сечения проводника, как это пред- предполагается в теории. Одними из первых тщательных эксперимен- экспериментов на образцах такого типа были эксперименты Ханта [9], кото- который работал с очень узкими полосками тонкой напыленной плен- пленки. Недавно несколько групп ученых проводили эксперименты с нитевидными монокристаллами олова («вискерами») диаметром ~ 1 мкм, обычно имеющими гладкую поверхность, которая явля- является почти идеальной для нашей цели. Поскольку внимание авто- авторов этих экспериментов концентрировалось на флуктуационных эффектах, вызывающих электросопротивление даже при токах ниже /с, вычисленного выше, отложим обсуждение их результатов до последней главы. Из-за экспериментальных трудностей многие другие измерения критических токов проводились на тонких пленках, которые не являются узкими по сравнению с X или ?. В этом случае измерен- измеренный критический ток /с обычно много меньше, чем ток, вычислен- вычисленный по формуле D.36), по многим причинам. Во-первых, довольно трудно изготовить пленки однородными по толщине и структуре* Во-вторых, более серьезной причиной является концентрация сверхтока на краях пленки. Эта концентрация следует из уравне- уравнений электродинамики, поскольку плотность внешнего магнитного потока выше там, где линии потока ближе всего подходят к по- полоске. Этот эффект приводит к неоднородной плотности тока, а также придает особое значение свойствам краев, где пленка обыч- обычно тоньше и менее совершенна, чем в середине полоски**. Эту трудность можно частично преодолеть тремя способами. * Квазилинейная зависимость J,(v,) при 7"= 0 имеет место лишь в чистых сверхпроводниках. Для грязных образцов, к которым относится большинство тонких пленок, даже при Т—>-0 зависимость J,(v,) близка к даваемой теорией ГЛ. — Прим. ред. пер. ** См. книгу Бремера (общий список литературы). — Прим. ред. пер. 133
: 1. Можно сделать полоску достаточно узкой, так чтобы про- произведение чолщины d и ширины w было меньше, чем X2, в этом случае плотность тока /s будет почти однородной, даже если w>k C3*). 2. Можно использовать систему со сверхпроводящим экраном, когда изучаемая пленка напыляется на более толстый проводник с тонким изолирующим слоем. При такой геометрии нижний сверхпроводящий слой действует на магнитное поле, так что си- силовые линии этого поля становятся параллельными пленке, что, в свою очередь, приводит к однородному распределению тока. 3. Можно использовать цилиндрические пленки, у которых нет краев и симметрия гарантирует однородную плотность тока при условии, что обратный ток также идет по соосному концентриче- концентрическому проводнику. Любой из этих способов, если он достаточно тщательно реали- реализован, позволяет достичь критических токов, отклоняющихся от теоретических значений не больше чем на 10% *• Более «микроскопическую» проверку теории можно провести путем туннельных измерений, которые позволяют определить ве- величину щели Д как функцию J при /</с. Согласно формуле D.34), |гр|, а следовательно Л, будет сначала уменьшаться как J2, переходя при больших токах к более сложной зависимости. Свидетельство этого уменьшения |т|з|, основанное на росте дифференциальной проводимости при нулевом напряжении, было впервые обнаружено Левиным [10]; намного более определенные результаты, основанные на измерении полной спектральной плот- плотности состояний, были впоследствии получены Митеску [11]. 4.5. Квантование флуксоида и эксперимент Литтла и Паркса Литтлом и Парксом [12] был. проведен остроумный экспери- эксперимент, в котором внешними условиями фиксируется не ток, а вели- величина m*vs и который ясно демонстрирует, что квантуется именно флуксоид.а не поток. Эксперимент заключается в измерении пе- перехода по сопротивлению тонкостенного сверхпроводящего ци- цилиндра в аксиальном магнитном поле. Из этого можно сделать вывод о смещении \ТС(Н) критической температуры, зависящем от магнитного потока, окружающего цилиндр. В этом разделе проведем анализ [13] этого эксперимента в рамках теории Гинз- Гинзбурга — Ландау. 4.5.1. Флуксоид Анализируя состояние многосвязанного сверхпроводника в при- присутствии магнитного поля, Ф. Лондон ввел понятие флуксоида Ф', связанного с каждым отверстием (пли нормальной областью), проходящим через сверхпроводник. * См., например, описание экспериментов в работе [34*]. — Прим. ред. пер. 134
Он определил флуксоид следующим образом: )ф.*, D-42) где O=/h-dS= tjiA-ds — обычный магнитный поток через кон- контур интегрирования. Легко видеть, что Ф' = 0 для любого пути, который не окружает отверстия и внутри которого заключен только сверхпроводник, для которого справедливо первое из уравнений Лондонов C.1). Отсю- Отсюда следует, что Ф' имеет одно и то же значение для любого пути вокруг данного отверстия. Аналогично, если существует времен- временное изменение поля ft, то изменение тока Js, вызванное согласно второму уравнению Лондонов, как раз достаточно, чтобы сохра- сохранить величину Ф' постоянной (если, конечно, это изменение не является таким сильным, чтобы перевести сверхпроводник в нор- нормальное состояние). Эти два закона сохранения означают, что флуксоид Ф' имеет единственное постоянное значение для всех контуров, окружающих любое данное отверстие. Действительно, Лондон указал [14], что значения флуксоида Ф' должны быть ограничены рядом дискретных значений, равных целому числу, умноженному на квант потока hc/e*. Это легко показать, приме- применяя квантовое условие Бора — Зоммерфельда к уравнению D.42), откуда следует ф'=1"^ Ф(m'Vs+^г") "л = "^ Фр"л = п¦?"=лФ°' D>43) Не зная, что в теории сверхпроводимости будут фигурировать пары электронов, Лондон предположил, что е* равно е. Теперь известно, что е* = 2е, так что квант потока имеет значение Фо = — = 2,07-' Гс • см2. D.44) Экспериментально это было показано [15, 16] путем измере- измерений потока, заключенного в полых цилиндрах с достаточно тол- толстыми стенками, в которых полный поток и флуксоид неразличи- неразличимы, поскольку в выражении D.42) vs стремится к нулю во всех точках под поверхностным слоем. Не следует думать, что строгость концепции кванта потока ограничивается приведенными выше рассуждениями, в которых используются полуклассический язык Бора—Зоммерфельда и не- неточные уравнения Лондонов. С точки зрения теории ГЛ эта кон- концепция основана на существовании однозначного комплексного сверхпроводящего параметра порядка ijj. Однозначность требует, чтобы фаза ф изменялась на целое число, умноженное на 2л при полном обходе по замкнутому контуру, так что D.45) вместе с выражением D.9) это приводит к результатам, найден- найденным выше. Таким образом, квантование флуксоида является мак- 135
роскопическим аналогом квантования углового момента в атомной системе. Поэтому не удивительно, что представление о квантах потока является мощным инструментом для анализа многих проблем, когда сверхпроводники пронизываются магнитным полем. 4.5.2. Эксперимент Литтла — Паркса Применим теперь концепцию флуксоида для анализа экспе- эксперимента Литтла—'Паркса. Пусть R — радиус тонкостенного цилин- цилиндра, Н — приложенное магнитное поле. Можно не делать разли- различия между приложенным полем и полем внутри цилиндра, по- поскольку ищем зависимость ТС(Н); при TfaTc |if]z->-0, так что и поля являются одинаковыми. Теперь, используя определение D.42) с Ф — пЯ?Н и Ф' = пФ0, найдем скорость сверхтока: "--%-)• <4-46) m*R Для потока, фиксированного данным полем Я, энергия токов в цилиндре будет наименьшей при таком целом п, при котором vs минимальна; соответственно этот выбор и позволяет системе оставаться сверхпроводящей при наиболее высокой температуре. С выбранным таким образом п скорость vs будет периодической функцией отношения Ф/Фо, как показано на рис. 4.4. Если ско- скорость vs найдена, можно использовать формулу D.34) для на- нахождения изменения функции |гр|2. В частности, переход проис- происходит, когда |т|5|2=0, т. е. когда 1 _ { m*tPs У _ 1 / ф_ р - v а 1 ~ *• г ф. Используя соотношение D.24) для коэффициента пропорцио- пропорциональности между ?-г и A—t), найдем, что относительное пониже- понижение температуры Тс определяется выражением (Я) Тс 0,55 ——(п ) —для чистого сверхпроводника; 0,73-^—(п 1 —для грязного сверхпроводника. D.47) Максимальное уменьшение критической температуры Тс проис- происходит, когда п—Ф/Ф0=1/2. В этой точке отношение АТ/ТС дости- достигает значений, равных O.Hg^/?2 и 0,18?0'/#2 соответственно для случаев чистого и грязного сверхпроводников. Используемые в эксперименте образцы обычно являются грязными оловянными пленками, напыленными на органические нити диаметром ~ 1 мкм. Беря типичные значения /? = 7-10--Г) см, go = 2-10~5 см, 136
/ 7^ -о. Фп и т.д. n=0 A,A,A -2 -1 Рис. 4.4. Зависимость величин v, и v , от потока, пронизывающего отверстие цилиндра, в эксперименте Литтла — Паркса. Падение Тс и, следовательно, увеличение сопротивления в реальном эксперименте пропорционально v\ и, таким образом, имеет гребенчатую форму нижней кривой /=10-6 см, находим, что ДГс|тах«0,8-10-3«3-10-3 К, что легко проверить непосредственным измерением. Для такого диаметра период равен Ф0/:лс/?2= 14 Гс. Мы несколько идеализировали задачу, считая, что измеряется зависимость ТС(Н). В реальном эксперименте измеряется перио- периодическое изменение сопротивления пленки при изменении поля Н. Этот метод использует для упрощения измерений конечную шири- ширину перехода по сопротивлению. Величину AR(H) можно пересчи- пересчитать в Д7"С(Я), используя измеренное значение производной dR/dT в области перехода. Однако эти измерения нельзя считать вполне количественными, поскольку, как оказывается, форма пе- перехода изменяется с изменением поля Н. Поэтому полученная зависимость АТС(Н) до некоторой степени зависит от выбора уровня сопротивления внутри области перехода. Другая слож- сложность состоит в апериодическом квадратичном смещении крити- критической температуры Тс как функции поля Я, которое иногда на- наблюдается и может быть вызвано наличием непараллельности поля оси образца. Тем не менее недавнее усовершенствование экс- экспериментов и их анализ [17] устранили большинство этих проб- проблем и привели к достаточно удовлетворительному согласию с теорией. 137
4.6. Параллельное критическое поле тонких пленок Если сначала сосредоточить внимание на нахождении критиче- критического поля и предположить, что тонкие пленки имеют фазовые переходы второго рода, при которых |if|2->-0 и лЭф(Я).-»-оо, то можно пренебречь экранированием и записать: Ау = J Л (*') dx' « Их, D.48) где Я— приложенное поле. Последнее выражение является также хорошей аппроксимацией, даже вдали от фазового перехода для пленок толщиной d<X. Нужно заметить, что здесь использована та же лондоновская калибровка, которую мы использовали ранее C.19) при вычислении значения А^ф для слабого поля в пленках с нелокальной электродинамикой. При такой калибровке фаза <р, так же как и амплитуда |гр|, является постоянной. Таким обра- образом, из соотношения D.9) получаем vs = — 2еА/т'с, так что потенциал Гиббса на единицу площади пленки есть d/2 d/2 G= I (f~^)dx= J | —d/2 —d/2 ,1 * / 2eHx \2 , (ft — НУ Я3 I , -\ m* I ] ib 2 4- dx = + T <*-">' dx. D.49) J ОЛ d/ —d/2 Теперь, как уже говорилось, в тонкой пленке можно аппроксими- аппроксимировать М с помощью Я (как это сделано в равенстве Ау = Нх), так что последний член можно опустить *. Минимизируя остав- оставшееся выражение для G относительно |ip|2 и используя формулы D.11), находим D.50) где К теперь обозначает соответствующее значение ХЭф для малого поля. Таким образом, пленка становится нормальной, т. е. |il)|2-»-0, когда Я=Ясц, где Нс]1 =2У!ГВДЛ D.51) Это параллельное критическое поле может превышать термодина- * Легко показать, что отброшенный член меньше члена, пропорциональ- пропорционального d3, который мы оставляем, на множитель порядка d2e2|xj)|2/"ic2<^ 1. 138
мическое критическое поле во много раз, если величина d/X до- достаточно мала. Физическая причина заключается в том, что тон- тонкая пленка с большой глубиной проникновения поля имеет малую диамагнитную энергию в фиксированном приложенном поле по сравнению с равным объемом массивного сверхпроводника. Переписывая формулу D.50) через поле Ясц, получаем Ш21У1=1-AР!Н2С11), D.52) Вспоминая о пропорциональности т|> и Д, из выражения D.52) видно, что энергетическая щель в тонкой пленке будет непрерыв- непрерывно уменьшаться до нуля при возрастании параллельного магнит- магнитного поля до величины Ясц. Такое поведение качественно под- подтвердилось в экспериментах по электронному туннелированию [18]. Однако позже было показано [19, 20], что спектр возбуж- возбуждений БКШ постепенно подавляется полем до тех пор, пока при Я»0,95 Нс и он не станет бесщелевым, хотя пленка остается сверхпроводящей, если судить по ее сопротивлению. Такая «бес- «бесщелевая» сверхпроводимость, впервые рассмотренная Абрикосо- Абрикосовым и Горьковым [21], оказывается вообще характерной для сверхпроводников, подвергнутых воздействиям (обычно магнит- магнитным), неинвариантным по отношению к обращению времени. Де- Детальное обсуждение этого вопроса проведено в разд. 8.2. 4.6.1. Относительно толстые пленки Что будет, если пленка окажется не очень тонкой? Пока она является достаточно тонкой, чтобы в ней наблюдался фазовый переход второго рода, выражение D.51) остается точным*, по- потому что при Ясц (т|)|2->-0 и, следовательно, А,Эф(Я)->-оо и й?/Хэф(Я)-»-0. Таким образом, вопрос заключается в том, насколько тонкой должна быть пленка, чтобы в ней при Ясц наблюдался фазовый переход второго рода. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть полное выражение для свободной энергии, учитывая и то, что экранирующие токи будут приводить внутри пленки к соотношению А<Я. Пока d<^.\, можно сохранить приближение, при котором ве- величина |i|)| является постоянной в пленке. Тогда h подчиняется простым уравнениям Лондонов с величиной ЯЭф, зависящей от поля: *5ф (Н) = 1 бпе21 ф |"/mV. D.53) * Конечно, если отношение &1\ не очень мало, то должны быть маленькие поправки, поскольку в этом случае величина [tp| не всегда постоянна по тол- толщине пленки, как это предполагалось выше. Вариационные вычисления показы- показывают, что эта поправка превышает значение #с || ¦ даваемое формулой D.51), на относительную величину порядка d2/100|2. Эта поправка не превышает 3% до тех пор, пока пленка обладает достаточной толщиной (dtst\,S>\{T)), чтобы допускать совершенно другое решение, при котором |i|>| имеет максимум около поверхности. Этот случай будет рассмотрен в разд. 4.10.2. 139
Рис. 4.5. Зависимость величины i|j от магнитного поля для пленок различной толщины (а) и величина скачка i|j при переходе первого рода для толщины ^ (б). Предполагается, что повсюду В результате получаем обычную симметричную комбинацию экс- экспоненциальных решений, удовлетворяющую граничным условиям h=H на обеих поверхностях, так что h^(//> D.54a) Соответствующий вектор-потенциал равен Л„ = Нкай (Я) 5Ьд:Азф(Я) D.546) После подстановки этой формулы в выражение для G и опреде- определения условия минимума получается несколько неудобное для решения трансцендентное уравнение. После небольших преобразо- преобразований * выясняется, что максимальная толщина, при которой имеет место переход второго рода, равна \ D.55) где X — значение Ядф(Я) в нулевом поле. При толщине, меньшей У5А,, величина Нс\\ строго определяется выражением D.51), но уменьшение |ijj[2 до нуля при приближении Як Ясц не является, вообще говоря, таким простым, как показывает формула D.52). При d>y5A, переход становится переходом первого рода, со скач- скачкообразным падением |т|з|2 до нуля, как при переходе массивного образца в магнитном поле. Однако, если d немного превышает У5А,, |т|з|2 существенно уменьшается еще до того, как происходит переход. Эти результаты схематически показаны на рис. 4.5. * Более подробно см., например, работу [6]. Эти результаты впервые были получены в оригинальной статье Гинзбурга и Ландау. 140
4.7. Линеаризованные уравнения Гинзбурга — Ландау Рассматривая приведенные выше примеры, мы ограничивались тонкими пленками или проволоками толщиной d<^|G"), так что величина |т|)| заметно не изменялась. Ясно, что такое ограничение не позволяет рассмотреть большинство интересных случаев, на- например массивные образцы, а также пленки в полях, не парал- параллельных их поверхности. Теперь рассмотрим эти случаи, но, чтобы избежать немедленного столкновения с полными сложностей ре- решениями двух связанных нелинейных дифференциальных уравне- уравнений в частных производных, сначала изучим решения линеаризо- линеаризованных уравнений ГЛ. Такие уравнения получаются при опуска- опускании члена PItJjI2!)? в уравнении D.13), что соответствует опуска- опусканию члена—P|i|)[4 в формуле D.1). Это допущение будет оправ- оправданным только в том случае, если |'ф|2'С'ф^=—а/р, потому что, когда i|)»i|>,x>, член, содержащий р, имеет тот же порядок вели- величины, что и член, содержащий а, который мы оставляем. Таким образом, линеаризованная теория пригодна, только когда магнит- магнитное поле уменьшает i|> до значений, много меньших, чем ijw Ис- Используя определение D.17), связывающее а с ?, можно записать линеаризованную форму дифференциального уравнения D.13) в виде /2яАу ^2^ _}j!__ 5g Дальнейшее существенное упрощение связано с тем фактом, что в формуле D.56) можно считать А = АВНешн, поскольку все экранирующие эффекты, обусловленные сверхтоками, пропорцио-. нальны |i|>|2 и, следовательно, приводят к членам более высокого порядка, опускаемым в линейном приближении. Таким образом, в этом приближении второе уравнение ГЛ D.14), дающее выра- выражение для тока, становится независимым от первого, которое оп- определяет т|з; это приводит к значительным математическим упро- упрощениям. Заметим теперь, что уравнение D.56) аналогично уравнению Шредингера для свободной частицы с массой пг* и зарядом е* = 2е в магнитном поле h = rotA, причем величина —а=|а| играет роль собственного значения энергии. Это свойство позво- позволяет использовать различные решения и методы, хорошо извест- известные из квантовой механики, непосредственно в теории сверхпро- сверхпроводимости. В частности, можно определить поля, при которых существуют решения линеаризованных уравнений ГЛ, а следова- следовательно решения полных нелинейных уравнений ГЛ, имеющие бес- бесконечно малую амплитуду, просто приравнивая величину 1/|2(Г) к зависящему от поля собственному значению оператора в левой части уравнения D.56). Значения поля, определенные таким образом, соответствуют критическим полям фазового перехода второго рода или, если переход является переходом первого рода, 141
соответствуют полю образования зародышей, которое устанавли- устанавливает предел степени переохлаждения. Теперь рассмотрим несколь- несколько важных примеров.применения этого метода. 4.8. Образование зародышей в массивных образцах; поле Нс2 Сначала решим проблему образования сверхпроводящих заро- зародышей в массивном сверхпроводнике в присутствии поля Я, на- направленного вдоль оси z. Удобно выбрать калибровку в виде Ад = НХ. Положение начала координат несущественно, поскольку рассмат- рассматривается бесконечный образец. Возводя в квадрат левую часть уравнения D.56), получаем ?(^)Ч-т* D'57) Поскольку эффективный потенциал зависит только от х, то разум- разумно искать решение в виде T|? = eiVeIV/(je). D.58) Подставляя это выражение в уравнение D.57) и группируя члены, получаем -ГМ + (^fJ(*-*оO = (¦?¦-*)Л <4-59) где xQ = kyQ>j2nH. D.59a) Таким образом, введение множителя eihyy только смещает местоположение минимума эффективного потенциала. Это несу- несущественно для решаемой задачи, но станет важным, когда мы будем иметь дело со сверхпроводимостью вблизи поверхностей ограниченных образцов, а также когда будем искать решения, не- локализованные во всем пространстве. Решения уравнения D.59) можно получить сразу, замечая, что оно после умножения на h2/2m* переходит в уравнение Шре- дингера для гармонического осциллятора массы т* с упругостью Bлй#/ФоJ/*- Таким образом, эта задача формально совпадает с задачей нахождения квантовых состояний обычной заряженной частицы в магнитном поле, которая приводит к так называемым уровням Ландау, разделенным циклотронной энергией Нас. В ре- результате собственные значения гармонического осциллятора по- получаются равными Учитывая уравнение D.59), их нужно приравнять величине (ft»/2m*) (Г2 — kl). Таким образом, 142
¦2яBя+1) D.60) Очевидно, что Н имеет максимальное значение при kz = 0 и п = 0. Это значение, обозначаемое Яс2, равно Оно является максимальным полем, при котором могут образо- образовываться! зародыши сверхпроводимости внутри большого образца при уменьшении внешнего поля. Соответствующая волновая функ- функция будет что можно проверить подстановкой ее в уравнение D.59). Связь величины Н^ с термодинамическим критическим полем Яс становится ясной, если выразить Яс2 через Яс, используя выра- выражения D.20) и D.27). В результате получаются три эквивалент- эквивалентных выражения для Яс2: Из последнего выражения для Яс2 видно, что значение х=1/У2 действительно разделяет материалы, для которых Нс2>Нс (сверх- (сверхпроводники II рода), и материалы, для которых Нс2<Нс (сверх- (сверхпроводники I рода). Поскольку зародыши сверхпроводящей фазы образуются при поле Ha, эти неравенства означают, что при уменьшении поля сверхпроводники II рода переходят в сверхпро- сверхпроводящее состояние при ЯС2>ЯС; при этом имеет место фазовый переход второго рода, т. е. |т|з|2 нарастает непрерывно от нуля. Напротив, сверхпроводники I рода могут переохлаждаться, т. е. оставаться в нормальном состоянии даже ниже Яс, в идеальном случае до тех пор, пока не будет достигнуто поле Нс2<.Нс. В этом случае происходит образование зародышей, сопровождающееся необратимым, резким скачком величины |т|з|2 до значения i^. Эти свойства сверхпроводников I и II рода иллюстрирует рис. 4.6. Практически образование зародышей на дефектах обычно огра- ограничивает степень переохлаждения, которая реально наблюдается в сверхпроводниках I рода, меньшими значениями, чем теорети- теоретические значения, определяемые по Яс2. Тем не менее почти иде- идеальные по структуре образцы малых размеров могут оставаться нормальными до теоретического предела *. Например, Федер и Маклахлан [22] нашли значение и = 0,062 для индия, наблюдая его переохлаждение до поля Яс2«0,09 Я. * Чтобы избежать образования зародышей на поверхности при H рассмотренного в следующем разделе, поверхность образца должна быть по- покрыта нормальным металлом. 143
MV 0 HC2 Hq Н Сверхпроводник I рода (х<4=) Сверхпроводник Ирода Рис. 4.6. Различие в поведении параметра порядка вблизи поля #с2 в сверх- сверхпроводниках I и II рода. Заметьте гистерезисное поведение сверхпроводника I рода и обратимое поведение сверхпроводника II рода 4.9. Образование зародышей у поверхностей; поле Нсз Поскольку реальные сверхпроводники имеют конечные раз- размеры, нужно рассмотреть ситуацию вблизи поверхностей. Дейст- Действительно, Сан-Жам и Де Жен [23] показали, что сверхпрово- сверхпроводимость может образовываться на границе металл — изолятор в параллельном поле Яс3, которое в 1,695 раза больше, чем Яс2. В интервале от Яс2 до Яс3 существует сверхпроводящий поверх- поверхностный слой толщиной ~|(Г), в т0 время как внутри образца т|з = О. Посмотрим, как это происходит. Граничные условия для т|з на границе с диэлектриком имеют вид В случае H||z, где z — нормаль к поверхности, этому условию удовлетворяет выбор i|> в виде D.58) со значением kz=0 (тем самым, которое давало Я^), поскольку при нашем выборе калиб- калибровки вектор А направлен вдоль оси у, которая находится в плос- плоскости поверхности. Таким образом, значение Яс2, найденное выше, точно определяет поле образования зародышей около поверхности, нормальной к полю. Теперь рассмотрим поверхность, параллельную полю, напри- например плоскость yz. В выбранной нами калибровке Ах=Ап = 0, так что граничное условие приобретает простой вид: = 0. D.64) дх на поверхности dx на поверхности Собственная функция D.61) удовлетворяет этому условию, если величина х0 равна 0 или оо; в обоих случаях собственные значе- значения соответствуют Я^. Однако теперь можно получить и собствен- собственную функцию с меньшим собственным значением, все еще удов- 144
Рис. 4.7. Образование поверхностных и внутренних зародышей при Нсг (о) И поверхностных зародышей при Нс3 (б) летворяющую условию D.64), если kz выбрать так, чтобы поме- поместить х0 (положение минимума эффективного потенциала), на расстояние порядка | от поверхности. К этому приводят следую- следующие качественные соображения. Представим, что потенциальная яма с центром в точке х0 дополнена своим зеркальным изобра- изображением снаружи поверхности (рис. 4.7,6"), образуя, таким обра- образом, потенциал, симметричный относительно поверхности. Теперь собственная функция с низшей энергией симметричного потенциа- потенциала сама является симметричной, и, следовательно, на поверхности ds/dx=0, так что граничное условие D.64) выполняется. Конечно, половина функции }{х), находящаяся вне поверхности образца, не имеет физического смысла и должна в конце решения быть от- отброшена. Из рассмотрения ясно, что эта новая «поверхностная» собственная функция должна иметь меньшее собственное значе- значение, чем «внутренняя» собственная функция, потому что она по- появляется в более низкой и широкой потенциальной яме, чем про- простая парабола с центром в х0. Точное решение показывает, что это собственное значение меньше на множитель, равный 0,59, что дает Нсг = 1,695Яс2 = 1,695 (/2~ кНс), D.65) ™ 0,59 Этот точный результат был получен с помощью табулированных функций Вебера. Однако простое вариационное приближение (предложенное Ч. Киттелем) дает уже вполне хорошее прибли- приближение; оно иллюстрирует полезность вариационных методов при работе с теорией. Наметим основной ход этих вычислений, не оста- останавливаясь на деталях. Основываясь на выражении D.61), выбе- выберем пробную функцию равной ур = / (х) exp (ikyy) = exp (—ax2) exp (ikyy). D.66) Если координата х отсчитывается от поверхности образца, эта функция автоматически удовлетворяет граничному условию D.64). Параметры а и kv определим вариационным методом из условия минимума потенциала Гиббса на единицу площади по- поверхности. В линейном по т|з2 приближении потенциал можно записать 145
D-67) Подставляя выражение D.66) в это уравнение и дифференцируя выражение под знаком интеграла, получаем = {2ла)-Ч:{ D.68) После подстановки этого значения х0 величина G—Gn стано- становится функцией а, Я и Ь,(Т). Минимизируя эту функцию а, полу- получаем значение а как функцию Я для данного |. Однако линейная теория справедлива только для точки перехода, когда G — Gn. Это дает второе условие, позволяющее определить критическое поле, а также оптимальное значение а при этом поле. Окончательные результаты имеют вид а - -L- jc - —1— D-69) Это значение Яс3 только на 2% меньше точного результата D.65). Двучленная вариационная функция вида f(x) = A+с*2)ехр(—ах2) привела бы практически к полному согласию с точным резуль- результатом. Итак, в магнитном поле, параллельном поверхности, зародыши сверхпроводимости образуются в поверхностном слое толщиной ~|, если поле на 70% больше значения, при котором образуются зародыши в объеме материала. Это означает, что образец может нести поверхностный сверток в широком диапазоне полей, при которых отсутствует объемная сверхпроводимость, измеряемая, например, по кривой намагничивания. Теоретическое открытие поверхностной сверхпроводимости Сан-Жамом и Де Женом дало разумное объяснение большому числу экспериментальных данных о сохранении сверхпроводимости в сильных полях, которые рань- раньше объяснялись существованием неоднородностей в образце. Интересным следствием этих результатов является то, что именно величина Яс3, а не Яс2. должна ограничивать диапазон переохлаждения сверхпроводника I рода, так как слой поверхно- поверхностной сверхпроводимости будет инициировать переход во внут- внутренних областях. В экспериментах Федера и Маклахлана [22], упомянутых вы- выше, величины Яс3 и Яс2 измерялись как поля переохлаждения, для чего некоторые образцы покрывали слоем нормального ме- металла. Покрытые образцы переохлаждаются до Яс2, потому что нормальное покрытие изменяет граничные условия для г|\ так что условие D.64) заменяется условием dty/dx=—1|>/6, которое менее благоприятно для образования зародышей. Покрытие нормальным Мб
металлом препятствует поверхностной сверхпроводимости из-за того, что электронная пара, образованная на поверхности, имеет тенденцию перейти в нормальный металл, где она разрушается. Другими словами, контакт с нормальным металлом служит ме- ханизмЪм разрушения пар, который таким образом локально уси- усиливает ^действие магнитного поля, подавляя поверхностную сверх- сверхпроводимость. Для материалов с и, равной от 1/1.695У2 до 1/У2, т. е. в об- области 0,42<х< 0,707, справедливо неравенство Яс2<Яс<Ясз. Сверхпроводники I рода со значениями к в этой области не долж- должны проявлять переохлаждения при Яс, несмотря на тот факт, что в объеме образца происходит при этом поле переход первого рода. Такие сверхпроводники называют иногда «сверхпроводниками 1 :—рода». Такая классификация весьма условна, поскольку ситуа- ситуация зависит от природы граничных условий на поверхности образ- образца, а не от внутренних свойств объема материала. 4.10. Образование зародышей в пленках и фольгах При обсуждении поля образования зародышей поверхностной сверхпроводимости Яс3 молчаливо предполагалось, что среда по- полубесконечная; это позволило пренебречь всеми поверхностями, кроме одной. Теперь рассмотрим образование сверхпроводимости в пленке, где нужно рассматривать обе поверхности. Обсудим, во- первых, угловую зависимость критического поля достаточно тон- тонкой пленки (^<С|(Г)), в которой величину |т(з| можно считать постоянной по толщине. Затем рассмотрим пленку промежуточной толщины d«| (не только из-за самостоятельного интереса этой задачи, но потому, что она дает простое введение к проблеме вих- вихревого состояния массивных образцов). 4.10.1. Угловая зависимость критического поля тонких пленок Выше было отмечено, что критическим полем образования за- зародышей сверхпроводимости около поверхности, нормальной к магнитному полю, должно быть Я^, так как соответствующая собственная функция имеет везде di|>/dz=0, следовательно, авто- автоматически удовлетворяет граничному условию нулевой нормаль- нормальной производной. По этой же причине Яс2 будет также давать значение поля Ясх— перпендикулярного критического поля тол- толстой пленки. Для этого только необходимо подставить в уравне- уравнение D.62) соответствующее эффективное значение к, которое бу- будет зависеть от толщины d, если пленка очень тонкая. Однако часто удобнее рассматривать зависимость А^ф от толщины, про- проанализированную в разд. 3.2, и использовать промежуточное вы- выражение в формуле D.62). 147
Другой предельный случай — параллельное критическое по- поле — рассматривался для тонких пленок в разд. 4.6. Эти два слу- случая для тонких пленок сильно отличаются, поскольку Нс ц значи- значительно больше, чем Нс±. Поэтому интересно найти угловую за- зависимость, которая связывает эти два предельных случая. Впер- Впервые исследуя эту проблему, Тинкхам [13] использовал простые физические соображения, основанные на квантовании флуксоида, и получил, что #с(8) неявно определяется из соотношения Нс (9) sin 9 Г Яс(9)соз0у = ь Заметим, что Яс (8) имеет острый пик при 8 = 0, так как dH Я •2 е=о ). D.70а) Эти результаты впоследствии [24] подтвердились при использо- использовании для тонких пленок линеаризованных уравнений ГЛ. Про- Проведем в общих чертах эти вычисления. Выберем систему координат с центром в середине пленки, при- причем пусть ось х направлена по нормали к пленке. Магнитное поле выбирается таким образом, чтобы оно лежало в плоскости xz и составляло с плоскостью пленки угол 8. Вектор-потенциал для удобства выбирают так, чтобы он имел только одну компоненту у, т. е. Ау = Н (xcosQ — zsin8). D.71) Тогда, подставляя это выражение в уравнение D.56), получаем дифференциальное уравнение в частных производных, решить ко- которое с соответствующими граничными условиями D.63) трудно, потому что в этих координатах оно не разделяется. Однако можно смело полагать, что г|з не зависит от у, поскольку у не входит в дифференциальное уравнение. Кроме того, если d<C|, то можно считать функцию г|з независимой от х, как это сделано в разд. 4.6; при этом автоматически удовлетворяется граничное условие для нормальной производной к поверхности. Таким образом, в пределе d-*-0 будем искать функцию одной переменной i|)(z). Эта задача может быть решена вариационным методом при использовании выражения D.67) с соответственно измененными пределами ин- интегрирования. Варьируя полученное выражение, приходим к обычному диф- дифференциальному уравнению: М /ИЛИ со. 8 УП DJ2) L ?а V Уз ф0 У J v ' Это уравнение можно было получить непосредственно из общей формы уравнения D.56) с вектор-потенциалом А, определяемым уравнением D.71), если положить dty/dx = dty/ду = 0 и сделать естественную замену х и х2 на их средние значения <д;>=0 и 2РЦ2 148
Так как уравнение D.72) имеет ту же структуру, что и урав- уравнение D.59), можно использовать найденное выше решение. Та- Таким образом, собственная функция имеет вид . г пНггsin8 I ,, „. ¦Ф <» ехр у J. D.73) Приравнивая теперь соответствующее собственное значение опе- оператора в левой части уравнения D.72) к коэффициенту при \{э в правой части этого уравнения, получаем уравнение D.70). Таким образом, в пределе очень тонкой пленки уравнение D.70) является точным. Точность этого приближения можно проверить, рассмат- рассматривая более общую вариационную пробную функцию, допускаю- допускающую вариацию в направлении оси х. Как показывают оценки, по- поправки к полю Яс и имеют порядок сР/100 ?2, тогда как поправки к |d#c(9)/d9| e=o имеют порядок сР/5?2. Следовательно, пока <2/?<&1, простые результаты для крайних значений (#сц. Нс±) и для угловой зависимости должны быть вполне точными. Несколь- Несколько более точное выражение для случая, когда d\\ не слишком мало, было дано в работе [25]. Сан-Жам [26] нашел точные чис- численные решения для начального наклона угловой зависимости при 6 = 0. Его результаты достаточно хорошо совпадают с простой аппроксимацией D.70а) для &<\, но выявляют особенности из- изменения в поведении при критической толщине dc«l,8|, при ко- которой предпочтительнее становятся решения приповерхностного типа. Приступим к рассмотрению образованияя зародышей в та- таких пленках промежуточной толщины. Для простоты ограничимся случаем пленки в параллельном магнитном поле. 4.10.2. Образование зародышей в пленках промежуточной толщины Начнем с толщины &^\ и рассмотрим, что происходит, когда d увеличивается. Во-первых, нужно теперь ослабить требование независимости ¦ф от х. Как отмечалось выше, одним из способов сделать это яв- является вариационный метод. Например, можно взять эту зависи- зависимость от х в виде 1 + ccosBnx/d), которая удовлетворяет граничному условию dty/dx=0 при x=±d/2, и выбрать коэффициент с таким, чтобы минимизировать свободную энергию. В результате получим, что с>0, т. е. зна- значение i|> уменьшается вблизи поверхностей пленки, где величина 1/2 m*vl/2 велика, что ясно и из качественных рассуждений. Как отмечалось выше, такое улучшенное приближение для i|> приводит к несколько более высокому значению критического поля, а именно 149
\ 1 * 0 2 Рис. 4.8. Два эквивалентных асимметричных решения для зародышей в пленке промежуточной толщины. Пунктирные линии с центром в точке ±Х0 показы- показывают эффективный потенциал, возникающий благодаря магнитному полю Значение поправочного члена никогда не превышает 3%, так как при d>dc« 1,8 g это симметричное решение заменяется на приповерхностное решение Сан-Жама и Де Жена, соответственно видоизмененное из-за присутствия двух близких поверхностей. Посмотрим теперь, как это происходит. При анализе образования зародышей на одиночной поверхно- поверхности было найдено, что оптимальным выбором ky (или *0) является такой, при котором минимум эффективного потенциала распола- располагается на расстоянии ~| от поверхности. Ясно, что качественное изменение типа решений на двух поверхностях должно произойти, когда эти поверхности приближаются друг к другу настолько, что оба минимума энергий подходят друг к другу, т. е. при некоторой критической толщине dc~2g. При d<da самое низкое собственное значение (соответствующее наивысшему критическому полю) по- получается для ky = xo=Q, так что минимум эффективного потенциа- потенциала находится в середине плоскости пленки. Собственными функ- функциями при этом являются симметричные решения, полученные в предыдущем разделе. Однако для d>dc оптимальное положение д:0 смещается из центра, поскольку оптимальным становится рас- расстояние у одной из поверхностей. Трудно предсказать детали пе- перемещения х0 при dc без численного решейия. Результаты таких вычислений [26—28] заключаются в том, что ниже dc=l,81|, xo=k = O, а выше dc эти величины отходят от нуля с бесконечной начальной производной. Очевидно, что, когда хоф0, должно быть два эквивалентных положения минимума при х=±]хо\, с kv—±\ky\, причем оба они имеют собственные функции линеаризованного уравнения ГЛ с- точно одинаковыми собственными значениями. Эти функции схе- схематически показаны на рис. 4.8. Любое из них можно использо- использовать для вычисления критического поля, как это было сделано Сан-Жамом и Де Женом для произвольных значений d/g. Однако, как только поле становится немного ниже, чем поле образования зародышей Нс3, величина -ф становится конечной и тогда начинает играть роль нелинейный член в полных уравнениях ГЛ. Это при- приводит к снятию вырождения и образованию связанных решений,. 150
поскольку член р[г|з|4 делает невыгодными волновые функции с резкими максимумами в малом объеме. Таким образом, нужно ожидать, что решением является линейная комбинация двух асимметричных решений с одинако- одинаковым весом, т. е. + ехр(— ikyy)f(— х) = = cos Л,у [/(*) + /(-*)]+ + i sin V [/(*)-/(-*)]• D-75) Вследствие «интерференции» двух решений вдоль плоскости (х=0) имеются узловые точки, в которых coskyy = 0. Эти точки раз- разделены интерзалами _ Я — Ф0 Фп D.76) Рис. 4.9. Вихреваи структура в сверхпрово- сверхпроводящей пленке промежу- промежуточной толщины, полу- полученная суперпозицией двух асимметричных решений, показанных на_ рис. 4.8. Значки ±, ±i соответствуют фазово- фазовому множителю exp (iq>) для 1|з. Стрелки указы- указывают направления век- вектора у<р, которому про- пропорционален ток /, ku 2x0H H(d—dc) Здесь приближенное равенство выпол- выполняется, если х0 определяется как d/2—dJ2, так что при d>dc минимумы потенциальной энергии остаются на постоянном расстоя- расстоянии от поверхностей, как это примерно и происходит в действительности. Ес^и вы- вычислить фазу выражения D.75), окажется, что она изменяется на 2л вдоль окруж- окружности около каждого из этих узлов, обра- образуя вихри тока, показанные на рис. 4.9. Таким образом, благодаря суперпозиции двух существенно одномерных решений найдено двумерное решение с током, цир- циркулирующим вокруг узлов величиной |ф|. Когда пленка становится толще, два поверхностных решения расходятся и расстояние между вихрями Ду уменьшается. Соглас- Согласно численным решениям, после того как достигается определенная точка, форма вихрей становится более сложной. Однако одновре- одновременно уменьшается перекрытие волновых функций i|)±. Наконец, энергетическая связь двух поверхностных решений становится не- незначительной по сравнению с kT и каждое из них переходит в не- независимое, рассмотренное выше. 4.11. Абрикосовские вихри при Нс2 Точно так же как для достаточно тонкой пленки существуют, два вырожденных поверхностных решения линеаризованного урав- уравнения ГЛ при #с3, в одномерном сверхпроводнике при Hci имеется бесконечное число внутренних решений. Эти решения имеют вид 151
f [^]. D-77) где k обозначает ky, a xh = k4>0/2nH. D.77a) Каждое из решений описывает сверхпроводящий слой в плоскости х=х0, в котором |т|з| распределено по функции Гаусса. Все tyh яв- являются ортогональными из-за различных факторов exp(i%). Каж- Каждое из этих решений в равной степени точно справедливо при ЯС2, и все они дают одно и то же значение Яс2. Однако, так же как в случае тонкой пленки, когда Я становится меньше Нсг на любую конечную величину, решение нелинейных уравнений, соответству- соответствующее минимуму свободной энергии, должно быть таким, чтобы заполнять всю область образца и при этом минимизировать не только члены, соответствующие магнитной и кинетической энер- энергиям, но и величину p|i|>|4. В случае пленки два решения автоматически обеспечивали пе- периодичность в направлении у. Поскольку в данном объемном ре- решении мы ожидаем, что энергетически выгодной будет также пра» вильная решетка вихрей, а не случайное их распределение, в него нужно тоже заложить периодичность. Ввести периодичность легко, ограничивая уровни k в формуле D.77) дискретным набо- набором kn=nq. D.78) В этом случае решение имеет период Ay = 2n/q. D.79) Это ограничение также автоматически обеспечивает периодичность поля по х, так как, согласно формуле D.77а), решения с гауссо- гауссовым профилем имеют центры при _k^_ = J^_ D80) Поэтому, если все трп входят с равными весами, период в направ- направлении х равен Ах = j% ^ 2пН Из формулы D.81) видно, что НАхАу = Фо, D.82) так что каждая ячейка периодической решетки несет один квант потока. Хотя это равенство выведено для случая Н=Нс2, оно будет верно также для Н<Нс2, если заменить Я на В. Это следует из условия квантования флуксоида, так как благодаря симметрии ток J., на границе между двумя одинаковыми ячейками вихревой структуры равен нулю. 152
В более общем случае можно рассмотреть функцию 4>t = J] Сп% = J] С„ ехр (i/ад) ехр [- (х - *„)№]. D.83) п п Она является общим решением для линеаризованных уравнений ГЛ при #С2 и благодаря своей форме периодична по у. Она также будет периодична по х, если Сп является периодической функ- функцией п, так что для некоторого v Cn+v = Cn- Например, если все Сп равны, т. е. v = l, получается квадратная решетка Абрикосова. Этот случай был рассмотрен выше количественно; он приводит к формуле D.81). Если v = 2, a Ci = iCa, то получается треугольная решетка. При #с2 возможны все решения типа D.83). Для того чтобы определить, какое из них будет наблюдаться в действительности, необходимо учесть нелинейные члены и провести некоторые чис- численные расчеты. Как заметил Абрикосов, параметр, определяющий сравнительное преимущество различных возможных решений, есть Рл = <*!>/<*!>•¦ D.84) Этот параметр, очевидно, не зависит от нормировки i|>. Он равен единице, если т|> постоянно, и становится все большим для функ- функций, которые являются более резкими и локализованными. Напри- Например, если ур приблизительно постоянно в относительной части f объема и приблизительно равно нулю в остальной части, то Ра» /»1 Объяснение, почему важна именно эта величина, можно полу- получить следующим образом. Во-первых, представим, что величина г|з изменяется в пространстве для того, чтобы удовлетворять внешним условиям, но что эти изменения так медленны, что градиентными и токовыми членами выражений для энергии можно пренебречь. Тогда свободная энергия может быть аппроксимирована двумя членами D.2). Чтобы сделать возможной раздельную подгонку формы и амплитуды т|з, запишем if (г) = с% (г). Подставляя это вы- выражение в формулу D.2) и минимизируя по отношению к с2, на- находим, что са= — (а/C) <Х2)/(Х4). Подставляя это выражение снова в формулу D.2), получаем Если х — постоянная величина, то рА=1 и все сводится к обычно- обычному выражению для энергии конденсации D.4). Если % не постоян- постоянна, то Ра>1| и, чем более Ра увеличивается, тем менее выгодной становится энергия. Снова возьмем крайний случай решения, локализован- локализованного только в части / объема образца, где .0а«Z, и увидим, что энергия конденсации составляет лишь часть f от того 153
значения, которое было бы получено в случае решения, заполняю- заполняющего все пространство, и для которого Рл~1- Этот результат очень физичен и показывает, что если в свободной энергии прини- принимается в рассмотрение член с |г|з| в четвертой степени, то любое решение линеаризованного уравнения, распределенное в простран- пространстве, будет несомненно предпочтительнее локализованного реше- решения. Более реалистичный вариант формулы D.85) можно получить, включая в свободую энергию тот член в выражении D.7), который связан с градиентом |i|>|, но по-прежнему исключая члены с тока- токами и вектор-потенциалами, которые требуют более сложных само- самосогласованных решений. Если проделать это и повторить вычисле- вычисления, указанные выше, возникнет дополнительный множитель, в результате чего формула D.85) заменится следующей: <'• -'¦>=- (ж) р" t1 - ? ^Ч • D-86) Этот дополнительный множитель стремится к нулю в точке фазо- фазового перехода второго рода, где % удовлетворяет линеаризованному уравнению ГЛ. Таким образом, величина pj1 опять является мерой эффективности волновой функции к понижению вклада не- нелинейных членов, и энергия конденсации по-прежнему увеличи- увеличивается по квадратному закону с температурой ниже точки фазо- фазового перехода второго рода. Этот переход, однако, смещен из точ- точки Тс (где а->0) к более низкой температуре, при которой образо- образование зародышей может возникать в присутствии градиентов. Эту температуру можно определить, приравнивая к нулю последний множитель в формуле D.86), т. е. из выражения D"87) Хотя это здесь и не доказано, качественные особенности формулы D.86) сохраняются и в тех важных для нас случаях, когда суще- существенную роль играют члены в выражении для энергии, обуслов- обусловленные магнитным полем и током. Возвращаясь теперь к оптимизации выражения D.83), видим, что она эквивалентна нахождению набора значений Сп, для ко- которого минимальной является величина Ра, так как последний множитель в выражении D.86) одинаков для любой линейной комбинации решений с тем же Яс2. Численные расчеты показы- показывают, что для квадратной решетки Абрикосова Ра=1,18, в то вре- время как для треугольной решетки, упомянутой выше (с iC2n+i = * Чтобы прочувствовать эти числа, заметим, что они соответствовали бы ячейкам, в которых «нормальные> ядра с 1K=0 занимали бы ~15% площади ячейки, а области с г|э=const— остальную часть. В действительности 1|з стре- стремится к нулю в центре каждого вихря плавно. 154
©00 О 0 О О Q^ 0 м- Рис. 4.10. Схематическое изображение квадратной и треугольной Пунктиром выделены единичные базисные ячейки решеток. = C2n = const) Pa= 1,16*. С учетом такой небольшой разницы ста- становится понятным, почему небольшая ошибка при вычислениях смогла первоначально привести Абрикосова к заключению, что квадратная решетка является более устойчивой. В более поздней работе [29] эта ошибка была исправлена и было показано, что в действительности из всех возможных периодичных решений наи- наиболее выгодное значение рА имеет треугольная решетка. Интересно, что результат согласуется с результатом, получен- полученным из простых рассуждений, основанных на факте, что треуголь- треугольная решетка, в которой каждый вихрь окружен гексагональной структурой других вихрей (рис. 4.10), является наиболее тесно упакованной. При таком размещении расстояние между соседями равно тогда как в квадратной решетке (при наличии четырех соседей). аа=(Ф0!В)/г . D.886) Таким образом, для данной плотности потока ад>ар . При- Принимая во внимание взаимное отталкивание вихрей, разумно счи- считать, что предпочтительной будет структура с максимальным раз- разделением ближайших соседей. Эксперименты [30—32], в общем, подтверждают наличие тре- треугольной решетки, хотя в некоторых материалах, как оказывается, взаимодействие с основной кристаллической структурой иной сим- симметрии преобладает над малым энергетическим различием между такой решеткой и случайным расположением вихрей. Это может приводить к наблюдению квадратной или даже прямоугольной 155
решетки. Кроме того, дефекты, достаточные для полного разру- разрушения правильной решетки, могут давать и неоднородности ма- материала образца, что приводит к наблюдению «жидкообразной», а не кристаллической решетки вихрей. Так как детали структуры вихревой решетки не важны для большинства применений, не будем обсуждать детали решения Абрикосова. Вместо этого в следующей главе рассмотрим основ- основные результаты, полученные им, и обсудим их физические след- следствия, в значительной степени используя то упрощение, что еди- единичная ячейка вихревой решетки может быть аппроксимирована круглой с той же площадью. Это упрощение аналогично замене действительной ячейки Вигнера — Зейца на сферическую того же объема при вычислении энергетических зон электронов в твердых телах. Типичные численные значения таких величин, как Рл в мо- модели круглой ячейки, отличаются от значений в гексагональной ячейке, примерно настолько же, насколько гексагональная ячейка отличается от квадратной, т. е. на несколько процентов [35*]. Конечно, для любого решения линеаризованного уравнения ГЛ внутри бесконечной среды величина Я^ должна быть одной и той же.
Глава 5 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ II РОДА В предыдущей главе было установлено, что при и>1/"|/2, т. е. в сверхпроводниках II рода, уравнения ГЛ имеют решения с |т|>|>0 до тех пор, пока магнитное поле Н<Нсг. Например, реше- решение Абрикосова D.83) соответствует правильной решетке вихрей тока вокруг узлов i|>. Каждая элементарная ячейка решетки со- содержит суммарный магнитный поток Фа = Нс/2е. Целью данной главы является исследование поведения сверх- сверхпроводников II рода во всем интервале изменения магнитных по- полей от нуля до #с2- Это позволит определить Hci — поле, при до- достижении которого происходит проникновение вихрей в бесконеч- бесконечно длинный тонкий образец с нулевым размагничивающим факто- фактором, а также всю кривую намагничения, которая описывает уве- увеличение В от нуля при #С1 до Я при Яс2. Затем будет рассмот- рассмотрено действие силы Лоренца, возникающей благодаря транспорт- транспортному току, на поток в сверхпроводнике II рода и показано, как это может привести к электрическому сопротивлению,, связанному с ползучестью («крипом») и с течением вихрей. В заключение рассмотрим противоречия технического характера между терми- термической стабильностью и малостью потерь на переменном элек- электрическом токе в практически использующихся магнитах. 5.1. Поведение в окрестности Hrl: структура изолированного вихря Когда поток начинает входить в сверхпроводник II рода, то он вносится туда решеткой вихрей, сильно разнесенных в мате- материале. Пока расстояние между вихрями значительно превосходит X, их перекрытие и взаимодействие между ними будет пренебре- пренебрежимо малым, так что каждый из вихрей может быть рассмотрен отдельно. С учетом аксиальной симметрии такой ситуации задача сводится к нахождению самосогласованного решения уравнений ГЛ для -ф(г) и h(r). Зная их, можно вычислить избыточную сво- свободную энергию на единицу длины вихревой линии е( и отсюда найти Hci. Действительно, по определению, при H=Hci свободная энергия Гиббса должна иметь одно и то же значение независимо от того, есть ли первый вихрь в образце или нет. Таким образом, при Н—На s 1без вихрей s Юдин вихрь 157
или, так как G = F—(Я/4л) / hdr, s " 1 4п J si 4л ' где L — длина вихревой линии в образце. Следовательно, E.1) К сожалению, вычисление ф, h и е4 для произвольных значе- значений и требует численного решения уравнений ГЛ. Поэтому зна- значительное внимание обычно уделяется экстремальным сверхпро- сверхпроводникам II рода, в которых и=А./?^1, так как в этом случае можно получить полезные аналитические результаты. Упрощение возникает вследствие того, что г|) возрастает от нуля до предель- предельного значения (равного 1|з<х>, если мы имеем дело с изолированным вихрем) в области сердцевины («керна») радиуса порядка ?. Поэтому в большей части вихря (радиуса порядка А,»?) мате- материал будет себя вести как обычный лондоновский сверхпроводник. Однако, прежде чем сделать это упрощающее предположение, посмотрим, насколько можно приблизиться к общему решению уравнений D.13) и D.14). Удобно ввести волновую функцию вихря 4> = 4>jMexp{ie}, E.2) которая является аксиально симметричной и удовлетворяет сле- следующему требованию: изменение фазы т|з при обходе полной окружности равно 2л, что соответствует наличию одиночного кванта магнитного потока, связанного с вихрем. Такой выбор фа- фазы 1|з фиксирует калибровку А*: А = А (г) 9, E.3) причем A(r) = — \r'h{r')dr'. E.3а) Вблизи центра вихря это дает: A(r) = (h@)r}/2, E.36) в то время как на больших расстояниях от центра изолированного вихря Ах = Ф„/2лг, E.3в) * Отметим, что такая калибровка существенно отличается от лондоновской, в которой 1|з — действительная функция, J«A я А убывает экспоненциально с увеличением расстояния от вихря. В лондоновской калибровке А (г) должно заменяться на А'{г) =А{г)—А„=А(г)—Фо/2лх. Поскольку rot @/г) = 0 (за исключением линии л=0), то А и А' дают одинаковые значения для h(r), J(r) и | i|j (г) |. Здесь лучше использовать А (л), поскольку эта величина не имеет осо- особенностей, хотя эквивалентные результаты могут быть получены при любом выборе калибровки. 158
поскольку общий магнитный поток, заключенный в вихре, равеи Ad 2A (? ф Подставляя волновую функцию E.2) в уравнении ГЛ D.13), после упрощений получаем, что f удовлетворяет уравнению . . 2L ) = 0. E.4> г dr V dr J J V ' Ток имеет только компоненту в направлении 8, и из соотношения. D.14) для него получаем , с dh(r) _ ее 4л dr 4л dr 1 г dr E.5) Задача теперь сводится к решению системы двух нелинейных дифференциальных уравнений относительно f(r) и А (г). Посколь- Поскольку это, вообще говоря, требует численных методов, сначала про- проанализируем предельные случаи, которые можно исследовать ана- аналитически. Вначале посмотрим на центр вихря (г->0). Используя выра- выражение E.36), перепишем уравнение E.4) в виде *}]0- <5-6> Предположим, что при г ж 0 решение ведет себя как /»сЛ л>0. Тогда уравнение E.6) преобразуется к виду _ <ЯМ0)г Jcrn_n2crn-^ = о. При г-*-0 главный член пропорционален A—п2)гп. Из равенства его нулю получаем, что л=1, т. е. f в окрестности начала коорди- координат пропорционально г*. Из структуры выражения E.6) видно, что в разложение / входят только нечетные степени г. Вычисляя коэффициент перед следующим членом разложения, для f(r) по- получаем выражение которое показывает, что, как и следовало ожидать, f(r) выходит на постоянное значение при л»2|. Для определения нормировоч- нормировочной постоянной с необходимо включить в рассмотрение член /3, который не играл роли при учете членов порядка /. Однако ясно, что для того, чтобы линейное разложение E.7) сшивалось с даль- дальним решением f-*-l, постоянная с для изолированного вихря дол- * Легко показать, что если вихрь содержит m квантов магнитного потока, то i|3r4>exp{imO} и ;(r)cv>rm при г->0. 159
Рис. 5.1. Структура изолированного абрикосовского вихря в сверхпровод- сверхпроводнике с к~&. Максимальное значение h(r) приблизительно равно 2#с1 OS жна быть порядка 1/2?. Разумная аппроксимация для f во всем диапазоне изменения г такова: / = th(vr/g), E.8) где v — константа порядка единицы. Эта зависимость изображена на рис. 5.1. 5.1.1. Приближение больших х Поскольку f увеличивается почти до единицы на расстоянии порядка I, при Я»? (т. е. х>1) можно построить очень удобное приближение. Везде, за исключением области керна вихря радиу- радиуса |, можно рассматривать f как постоянную, близкую к единице, при этом для полей и токов справедливы уравнения Лондонов. Таким образом, вне керна DяЯ2/с) rot Js -f h = 0. E.9) Если бы это соотношение было справедливо везде, то флуксоид для любого пути интегрирования по замкнутому контуру был бы равен нулю. Исправим это обстоятельство введением в уравнение E.9) члена, учитывающего присутствие керна: DяЯ*/с) rot J, + h = SDA (г). E.10) Здесь z — единичный вектор вдоль оси вихря; 62(г)—двумерная дельта-функция от точки локализации керна. Заметим, что урав- уравнение E.10) может быть получено непосредственным вычислением ротора от выражения E.5). Используя уравнение Максвелла roth = — J, E.11) с из соотношения E.10) получаем Я* rot rot h + h = *D0S2 (r). E.12) Поскольку divh = 0, полученное уравнение можно записать в виде ?^Дг). E.13) Это уравнение имеет точное решение * И- где Ко — функция Ханкеля нулевого порядка от мнимого аргу- 160
мента *. Функция Ko(r/h) убывает как ехр{—гД} на больших расстояниях и расходится как \п(к/г) при г->-0. Конечно, эта рас- расходимость на самом деле обрезается при r«g, где |г|з|2 начинает уменьшаться до нуля. Следовательно, h(r) действительно являет- является регулярной функцией в центре вихря (см. рис. 5.1). Более точ- точно известны два предельных выражения для E.14): . E.146) Эти выражения могут быть проверены непосредственно решением задачи в соответствующих пределах. Например, логарифмическое поведение E.146) является результатом соотношения Jocvs = = hm*r, которое следует из квантования флуксоида при г<СЯ, когда магнитный поток, заключенный в кольце радиуса г, много меньше Фо. 5.1.2. Энергия вихревой линии Теперь найдем линейное натяжение нити, т. е. свободную энер- энергию Ei на единицу ее длины. Пренебрегая керном, получим только вклад от энергии поля и кинетической энергии тока: = -L- f (Л2 + Я2 | rot h I2) dS. E.15) an J Это выражение можно преобразовать с помощью векторных тож- тождеств к виду ^ = -L- f (h-f- b2rotroth)hdS + — &[h x roth]-ds = ^ ^»1 E.15a) где контурные интегралы берутся по внутреннему и внешнему периметру области интегрирования. Поскольку интегрирование исключает область керна, первое слагаемое не дает в них вклада. Второе слагаемое стремится к нулю на бесконечности, но дает конечный вклад при обходе керна: к* г, dh о 1 8я L dr h Используя соотношение E.146), получаем dh/dr = (?>o/2iik2r, так что выражение для ei сводится к формуле * В отечественной литературе функция Ко чаще называется функцией Макдональда или модифицированной функцией Бесселя второго рода. — Прим. ред. пер. 6 Зак. 895 161
вя) ft (I) л* (Ф„/8л) ft @), E.16) где ft(g)«ft@), так как в керне вихря* f->-0 и, следовательно, /s->-0. Вновь используя формулу E.146), но опуская коэффи- коэффициент 0,12 как незначительную поправку ввиду приближенного характера процедуры обрезания при г«?, получаем е1 = (Ф0/4лЯJ1пх. E.17) Так как ei зависит от размера керна только логарифмически, полученный результат должен быть достаточно надежным, не- несмотря на грубый учет керна. _ Используя соотношение D.20), а именно Фо = 2у2лЯ?#с, полу- полученный результат можно переписать в более физичных обозна- обозначениях: Н2 ех = —MnPlnx. E.17а) 8л Это выражение показывает, что энергия нити того же порядка, что и энергия конденсации в керне вихря, но больше ее на коэф- коэффициент, примерно равный 41пх. Таким образом, для хЗ>1 по- погрешности, связанные с грубым учетом керна, должны быть незначительны. Однако видно, что et имеет порядок полной энергии поля А2/8я, проинтегрированной по области порядка лЯ2. Так как й^Фо/лЯ2, получающаяся при интегрировании величина Ф0/8я2л2 отличается от ei E.17) только отсутствием коэффициента (/2I ) Теперь, после определения линейного натяжения еь можно подставить его значение в формулу E.1) и получить поле вхож- вхождения первого вихря: е« Л@)^1пх ^1пх E.18) 2 Таким образом, если не обращать внимания на коэффициент 1пх«1, получаем Яс/ЯС1 = Я<.2/Яс=у2х. Следовательно, Нс при- приблизительно равно среднему геометрическому полей Нс\ и Нс2. 5.2. Взакмодеиствие между вихревыми линиями Если продолжать считать, что х^>1, можно легко определить энергию взаимодействия между двумя вихрями, так как в этом приближении среда линейна и можно использовать принцип су- суперпозиции. Так, магнитное поле равно -r1|) + ft(|r-ra|)], E.19) где вектора п и г2 задают положение кернов двух вихревых линий, * Интересно отметить, что если керн не исключать из области интегриро- интегрирования, то соотношение E.16) все равно должно появиться, но уже из первого слагаемого выражения E.Г5а). 162
a h(r) определяется выражением E.14). Энергия может быть вычислена подстановкой выражения для поля E.19) в соотноше- соотношение E.15). Используя те же векторные преобразования, что и при выводе формулы E.16), для суммарного увеличения свобод- свободной энергии на единицу длины получаем AF = (Ф„/8я) [Ах (rj + К W + К (г,) + А, (г2)] = = 2 (Фо/8я) А, (г,) + (Фо/4я) Ai (г,). Первое слагаемое равно сумме собственных энергий вихревых линий, второе — определяемая нами энергия: их взаимодействия: р Фр"г (Гг) 0 ь»- { ri2 \ /с оп\ 4п Как отмечалось выше, на больших расстояниях эта величина убывает как гТ2/гехр{—Ги/Mt а на малых расстояниях логариф- логарифмически растет. В обычном случае, когда направление магнитного потока в обоих вихрях совпадает, взаимодействие носит характер отталкивания. Можно определить силу этого взаимодействия, вычисляя про- производную от Fi2. Например, сила, действующая на второй вихрь в направлении х, равна так как, согласно уравнениям Максвелла, rot h= Dn/c)J. Записывая выражение для силы, действующей на второй вихрь, в векторной форме, получаем /i = (Ji(rJxOo)/c, E.22) где направление Фо параллельно направлению вектора плотности магнитного потока. Делая очевидное обобщение на случай про- произвольной решетки вихрей, находим следующее выражение для действующей на вихрь силы: f = (J. х Ф0)/с, E.23) где J, уже равно суммарной плотности тока от всех других вих- вихрей (и даже включает в себя плотность некоторого суммарного «транспортного тока») в точке расположения керна рассматри- рассматриваемого вихря. Из выражения E.23) следует, что вихревая линия может на- находиться в статическом равновесии в любом заданном положении, лишь если сумма сверхпроводящих скоростей от всех других ис- источников равна нулю в каждой его точке. Это условие может выполняться, если каждый из вихрей будет окружен симметрич-- ной вихревой решеткой, как, например, в случае рассмотренных выше квадратной и треугольной решеток. Однако необходимо от- отметить, что квадратная решетка отвечает неустойчивому равно- равновесию, так что малые смещения вихрей в такой решетке имеют 6* 163
тенденцию к нарастанию, в то время как треугольная решетка является устойчивой [1] и вполне реальной, поскольку она обла- обладает наименьшей энергией. Далее, результат E.23) показывает, что даже на треугольную решетку будет действовать некоторая сила со стороны любого транспортного тока, в результате чего она будет двигаться, если только вихри не «запиннингуются» в местах неоднородности среды. Так как вихревое движение приводит к диссипации энергии и появлению продольного электрического поля, этот момент является решающим при определении полезности ис- использования сверхпроводников II рода при конструировании сверх- сверхпроводящих соленоидов, в которых неизбежно должны сосущест- сосуществовать сильные поля и токи. Но вернемся к обсуждению этого вопроса несколько позже. 5.3. Кривые намагничивания Теперь, после того как определена энергия одиночного вихря и энергия взаимодействия между двумя вихрями, можно найти кривую намагничивания от поля вхождения первого вихря до окрестности Яс2. Между критическими магнитными полями Нс\ и #С2 можно выделить три характерные области. 1. Поля, очень близкие к Яс1. Здесь Фо/В^'к2, вихри располо- расположены друг от друга на расстояниях, превышающих X. В этом слу- случае важно учесть влияние на вихрь лишь нескольких соседей. 2. При промежуточных значениях В, таких, что ^•СФо/В'СЛ,2, в области взаимодействия с выделенным вихрем находится многэ соседних и для вычислений требуется более сложная процедура суммирования. Однако пренебрежение деталями кернов все еще является достаточно хорошим приближением. 3. В полях* приблизительно равных #С2, Фо/5~§2, т. е. керны вихрей почти перекрываются. Этот случай требует более деталь- детального рассмотрения керна. Здесь уже нельзя использовать простой принцип суперпозиции, однако хорошим приближением является решение Абрикосова D.83) для линеаризованных уравнений ГЛ вблизи Яс2. В первых двух областях магнитных полей приращение энер- энергии Гиббса на единицу объема можно записать в следующем виде: Здесь использован тот факт, что отношение В/Фо равно числу вихрей на единицу поверхности, перпендикулярной к направлению поля. При фиксированном Н величина В должна принимать зна- значение, минимизирующее G. Поскольку 2 Рц положительна и воз- растает с увеличением В, очевидно, что при минимум G достигается при В = 0, что согласуется с предыдущими выводами. Если Н слегка превышает Нс\, то вихри будут входить до тех пор, пока увеличение энергии взаимодействия между ними 164
не ограничит этот процесс. Формально приравнивая нулю произ- производную dG/dB, W4-/ тег Л ^* Ь KJU получаем следующее уравнение для определения В: дВ ^ '' 4я E.25) 5.3.1. Малая плотность вихрей Вначале рассмотрим первую область магнитных полей. Пред- Представим себе упорядоченную вихревую решетку, в которой каждый вихрь имеет z ближайших соседей, расположенных друг от друга на расстоянии а=с(Ф0/ВI/2. Коэффициент с определяется из выражения D.88) и, например, для квадратной (z = 4) и треуголь- треугольной (z = 6) решеток соответственно равен: ср=1, сд =1,075. Учитывая экспоненциальное падение F^ с расстоянием, прене- пренебрежем вкладами в сумму от всех вихрей, за исключением бли- ближайших соседей. Тогда, используя соотношение E.20), получаем E.26) Вследствие того что эта сумма меняется экспоненциально с из- изменением а и линейно с изменением z, можно убедиться в том, что треугольная вихревая решетка будет несомненно обладать меньшей энергией при достаточно больших а (т. е. если В доста- достаточно мало). Используя выражение для суммы E.26), можно сразу вычис- вычислить ее производную по В (учитывая также и зависимость а(В)}) и, подставив результат в уравнение E.25), определить зависимость В(Н). Принимая во внимание преимущественно экспоненциальную зависимость F^ от аД=с(Ф0/ВI/2Я, можно ожидать, что разность Я— Не\ будет меняться примерно как ехр{—а/к}, так что В должно быть пропорционально квадрату логарифма от Я—Hci. В рассматриваемом случае эти качественные соображения оказы- оказываются справедливыми, и основной вклад в величину В при Я^ #ci определяется следующим выражением: feF- <6-27) Заметим, что величина В как функция Я непрерывна при Не\, что соответствует фазовому переходу второго рода, но возрастает в этой точке с бесконечной начальной производной. Физическая
причина этого быстрого роста следующая: как только Я стано- становится больше #С1, так что возможно вхождение первого вихря, ничто не сдерживает вхождения и большего числа вихрей до тех пор, пока расстояние между ними не станет порядка X. Поскольку #с1 ж (Ф0/4лА2) In х, взаимное отталкивание не будет существен- существенным, пока В не возрастает от нуля до некоторой значительной части ЯС1. В действительности экспериментальные данные [2, 3] показывают, что в некоторых системах В увеличивается скачком на конечную величину точно при Н = НС\, что соответствует фазо- фазовому переходу первого рода. Так как наличие фазового перехода первого рода находится в противоречии с предсказаниями обычной теории ГЛ, этот пере- переход стал предметом интенсивного изучения. Основное качествен- качественное условие существования такого перехода заключается в том, чтобы вихри при некоторых конечных расстояниях между ними обладали бы меньшей энергией, чем при бесконечно далеком удалении друг от друга, несмотря на их отталкивание на малых расстояниях. Кажется вполне вероятным, что подобная ситуа- ситуация может возникнуть при возможных изменениях поля, которые сопровождают экранирование в нелокальной электродинамике, справедливой для сверхпроводников с не очень большими значе- значениями у. [см. обсуждение перед формулой C.8)]. Из теории ГЛ, в которой используется локальная электродинамика, этот эффект полностью исключен. В действительности детальные вычисления Эйленбергера и Бютнера [4], проведенные в рамках микроскопи- микроскопической теории, показали наличие осцилляционно затухающей ком- компоненты в изменениях Д(г) и А(г) при х<Л,7. Хотя такое пове- поведение можно предположить в качестве объяснения локального потенциала притяжения, эти вычисления подверглись критике со стороны Клири [5]. Весьма подробный анализ был недавно про- проведен Джакобсом [6], использовавшим несколько отличную тех- технику вычислений. Из результатов этих работ следует, что с ис- использованием общих микроскопических теорий будет возможно определить условия на х, температуру и длину свободного про- пробега электронов, для которых при H—Hci наблюдается скачкооб- скачкообразное вхождение вихрей с конечной плотностью. Поскольку эти вопросы остаются открытыми на момент написания данной книги, не будем более углубляться в изучение данной проблемы *. 5.3.2. Промежуточные плотности потока Если плотность потока заключена в интервале Фо/Х2 ^ B<g.Hc2, что соответствует Яс1 <В«С#с2, можно продолжать использовать для описания электродинамики модифицированное уравнение Лон- донов, но необходимо внимательно учесть взаимодействие с боль- большим числом соседей. Наиболее удобно использовать для этого * См. обзор [41*].— Ярил. ред. пер. 166
фурье-анализ. Так как вихревая решетка периодична, локальную плотность вихрей в плоскости, перпендикулярной к полю, можно представить в виде ряда Mr)=2ftQexp{iQ-r}. E.28) Q Здесь вектор Q пробегает значения двумерных векторов обратной вихревой решетки. Например, для квадратной решетки значе- значения Q равны ^ w). E.29) В треугольной решетке единичные векторы транслйции не орто- ортогональны и ситуация является несколько более сложной. Если выбрать вектора трансляции в координатном пространстве рав- равными ± у), E.30) то Q будет линейной комбинацией целых чисел, умноженных на величины которые определяются из условия выполнения необходимого равен- равенства ai-Qj = 2n8ij. Однако пока сохраним общность наших рас- рассуждений, пригодных для любой периодической решетки. Определим коэффициенты Aq, потребовав, чтобы h(x, у) удов- удовлетворяло модифицированному уравнению Лондона E.12) h + Яа rot rot h = Ф^2 б2 (г — г<). E.32) с в котором суммирование ведется по радиус-векторам вихрей. После подстановки в уравнение E.32) ряда E.28) получаем 2 (Aq + ВД„) ехр {iQ • г} = В 2 exp {iQ • г}. E.33) Q Q При получении правой части равенства начало координат было выбрано в центре одного из вихрей, и кроме того, использован тот факт, что площадь элементарной ячейки равна Фо/В. Разре- Разрешая уравнение E.33) относительно Aq, находим Ао = Я/(Ц-ВД, E.34) так что <iQ> . E.35) Q Зная А(г), можно определить увеличение свободной энергии на единицу длины (по-прежнему пренебрегая структурой кернов): F = F* = -L j [h* + к* | roth |«]dS. 167
Используя те же векторные преобразования, что и при выводе выражений для энергии E.16) и E.20), полученное соотношение можно преобразовать к более простому виду: Здесь А (г,) — суммарное магнитное поле в керне вихря, т. е. сумма собственного поля и поля, созданного в этой точке другими вих- вихрями. Так как все А(г;)=А@) и плотность вихрей на единицу поверхности равна В/Фо, можно, воспользовавшись выражением E.35), переписать увеличение F на единицу объема следующим образом: _шт^&_у 1 E36) Как видно, эта сумма расходится, так как число векторов Q из- изменяется как Q6Q при изменении Q на 6Q. Следовательно, тре- требуется провести обрезание суммы при больших значениях Q. Это разумно сделать, вводя Qma;x~l/5, поскольку фурье-компоненты с номерами, превышающими 1/|, преимущественно определяются из ложной логарифмической расходимости h(r) при г-уО, которая следует из уравнения E.32) в области керна, где |г|з|2 стремится к нулю. Не проводя точного вычисления зависящей от структуры вих- вихревой. решетки суммы в выражении E.36), используем ее для формального определения свободной энергии Гиббса G = F— — В#/4я. В рассматриваемом случае равновесное значение В на- находится из условия dG/dB = 0. Это приводит к общему соотно- соотношению """]• E-37) Если В = 0, то полученная сумма сводится к значению A/2)А@), совпадающему с полем Нс\. Сравнивая полученный результат с выражением E.18), нетрудно убедиться, что такое совпадение действительно имеет место. При произвольных значениях В суще- существенны оба слагаемых, и их нужно определять, суммируя соответ- соответствующие ряды. Поскольку слагаемое с Q=0 является основным в том случае, когда вихри сильно перекрываются и поле почти однородно, полезно выделить его точно. После выполнения этой процедуры равенство E.37) можно переписать в следующем виде: н = в ji + ± 2 [A + ед-1 + A + ед-*]1. E.38) Суммирование в полученном выражении ведется по Q>0. Если # то вихри сильно перекрыты, второе слагаемое под знаком суммы оказывается пренебрежимо малым по сравнению с первым и может быть опущено. В этом же приближении можно аппрокси- аппроксимировать первую сумму интегралом от QmiTl до Qmax с весом 168
(Фо/2лВ) |Q|d|Q|. Для учета выделенного слагаемого с Q = 0 по- положим Qmin'^Ji.B/Oo, a Qmax^l/S- Тогда соотношение E.38) с точностью до численного множителя можно аппроксимировать выражением с1 [In (Н„/В)]/1п х, E.39) которое разумно согласуется с экспериментальными данными для полей, значительно превышающих Нс\. 5.3.3. Окрестность Н^ Вблизи #С2 вихри расположены так тесно, что их керны зани- занимают большую часть объема. Поэтому необходимо отказаться от простого приближения модифицированной теории Лондонов и вер- вернуться к анализу полных уравнений ГЛ. К счастью, малость вели- величины "ф/фоо в окрестности Нсч позволяет использовать схему разло- разложения, основанную на решении Абрикосова для линеаризованной задачи D.83). Оказывается, что для получения хорошего при- приближения можно использовать решение линеаризованного уравне- уравнения, взяв лишь периодичность решетки, соответствующую не Нс2, а В(Н). В этом случае т|з(г) можно описывать каким-либо простым амплитудным параметром, например <ф2)- Не будем воспроиз- воспроизводить здесь вычисления, с помощью которых Абрикосов показал, что плотность вихрей меньше приложенного поля на величину, пропорциональную |i|>|2; в результате намагниченность М= (В—¦ — Я)/4л оказывается пропорциональной (T|J(r)). Поскольку при фазовом переходе второго рода вблизи Яс2 {^(г)) уменьшается до нуля линейно с (#с2 — п), то намагниченность М должна вести себя так же. Точным результатом является следующий: В = Н + 4пМ = Н — (Нп~ Я)/[Bк2 — 1) РД E.40) где Рл = 0Р4)/0|>гJ— параметр, введенный выше [см. соотно- соотношение D.84)] для описания непостоянства -ф в пространстве. Как уже отмечалось, параметр рА не зависит от амплитуды -ф и опре- определяется только конфигурацией используемого частного решения линеаризованных уравнений ГЛ. Для наиболее важного случая треугольной решетки Ра~1,16, для квадратной рА~1,18. Заметим, что полученное приближенное выражение E.39) в пределе В «#«#с2 согласуется с точным результатом E.40), если 2 и если учесть, что рА~1- Из термодинамического соотношения следует, что решетка с наименьшим значением рА является более устойчивой. Убедиться в этом можно, интегрируя соотношение E.41) от значения магнитного поля, равного Яс2, при котором сверхпроводник переходит в нормальное состояние и Gs(Hez) 169
¦4ЛМ Рис. 5.2. Сравнение кривых намагничи- намагничивания трех сверхпроводников с одина- одинаковым значением критического термо- термодинамического поля, но с разными ве- величинами х. При x<l/V2 имеем сверх- сверхпроводник I рода, который испытывает при Нс фазовый переход первого рода, а при >«>l/"J/2 — сверхпроводник II рода, который испытывает фазовый переход второго рода в полях Нс1 и Нсг (отмеченные значения этих полей отно- относятся к случаю большего х). Площадь под кривой во всех случаях равна #*/8я всегда равно Gn(Hc2), до некоторого меньшего значения поля. В результате получаем О Нс1 Нс . E.42) Из полученного выражения видно, что, чем меньше величина рА, тем меньшее значение принимает Gs(H<c.Hc2), что и было пред- предсказано ранее [см. формулу D.86)]. Таким образом, треугольная решетка более устойчива, чем квадратная, как вблизи Яс2, так и вблизи Яс1. Важной особенностью выражения E.40) является присутствие фактора Bхг—1) в_знаменателе. Этот фактор стремится к нулю при значении х=1/У2, которое служит критерием для разделения сверхпроводящих материалов на сверхпроводники I и II рода. Это вполне естественно, поскольку при Н=НС сверхпроводники I рода испытывают фазовый переход первого рода, при котором 4л\М\ возрастает скачком от 0 до Яс. Изменение формы кривой намагничивания с изменением и схематически показано на рис. 5.2. Однако, несмотря на это изменение формы, площадь под кривой во всех случаях равна энергии конденсации Н2с/Ъл. Это можно доказать интегрированием выражения E.41) с учетом того, что F=G при Я = 0 и Gs = Gn при Н=Нс2. Поэтому, независимо от ве- величины у., можно записать - J" MdH = Fn @) - F, @) = Д?/8я. E.43) Различные соотношения, выведенные или просто приведенные выше, позволяют определить величину х по экспериментальной кри- кривой намагничивания несколькими способами. Очень близко к Тс, где простые уравнения ГЛ можно строго вывести из микроскопи- микроскопической теории, можно ожидать, что все эти определения будут согласовываться, но при низких температурах между ними могут быть небольшие расхождения. Маки [7] первым, теоретически 170
исследовал эти отклонения с микроскопической точки зрения; он ввел обозначения иь хг и хз для величин, определяемых из экспе- экспериментальных данных по трем соотношениям: Hc2=V2n1Hc, E.44а) т /«-.2_1)-lpjlt E44б) . E.44в) При более строгом рассмотрении равенство E.44в) должно быть заменено на точное численное соотношение между Нс\/Неи х, впервые полученное Харденом и Арпом [8], которое переходит в выражение E.44в) при больших к. Эта пионерская работа Маки была значительно расширена Эйленбергером [9], который пока- показал, что разное температурное поведение величин х* должно зави- зависеть не только от отношения Ifeo, но и от степени анизотропии рассеяния на примесях. Грубо говоря, это различие в Xj отражает разную степень чувствительности разных магнитных свойств сверх- сверхпроводника по отношению к степени нелокальности электродина- электродинамики. Только при 7"->-Tc истинная электродинамика становится пол- полностью локальной и тогда все х, стремятся к общей предельной величине, обычно обозначаемой просто х без индекса. Несмотря на все эти усложнения, полученные результаты для простой по- постоянной величины х остаются справедливыми в полуколичествен- полуколичественном смысле, поскольку в сверхпроводниках II рода разные х,- отличаются от х менее чем на 20%. 5.4. Пиннинг, крип и течение потока В настоящее время наиболее полезным с практической точки зрения применением сверхпроводников II рода является создание сверхпроводящих соленоидов, которые могут благодаря незату- незатухающему постоянному электрическому току поддерживать стацио- стационарное магнитное поле порядка 100 000 Гс. Получение полей та- такого порядка в охлаждаемых водой медных соленоидах сопро- сопровождалось бы постоянными потерями энергии 2 МВт, что приводит к проблемам, связанным с охлаждением. Кроме того, такие соле- соленоиды не обладали бы практически бесконечной стабильностью сверхпроводящих магнитов. Изготовление сверхпроводящих магнитов — нелегкая задача. Сверхпроводящий материал должен не только обладать критиче- критическим полем, значительно превышающим создаваемое, но и быть способным проводить в этом поле большой ток без сопротивления. Первое требование хорошо выполняется во многих грязных сверх- сверхпроводниках, так как ^Ь^^^ E.45) 171
При большой Тс и небольшой скорости Ферми wF малость длины свободного пробега в таких хрупких материалах, как V3Si и Nb3Sn, может привести к величине Н&, превышающей 250 000 Э. Много материалов с гораздо более хорошими механическими свой- свойствами обладают Яс2 порядка 100 000 Э. Практически задача состоит в нахождении материала, способ- способного нести сильный ток в присутствии такого сильного проникаю- проникающего поля без рассеяния энергии. Любая заметная диссипация приводит к нагреванию, которое, в свою очередь, еще больше сни- снижает критические параметры, что ведет к катастрофическим скач- скачкам потока. Причиной диссипации является сила Лоренца F = J х В/с, E.46) действующая со стороны тока на двигающийся через сверхпро- сверхпроводник магнитный поток. Это выражение для силы было получено ранее [см. формулу E.23)], но было записано в форме f = J X Ф„/с, учитывающей ее действие на одиночный вихрь. Сила Лоренца вызывает движение вихрей в направлении, перпендикулярном к току. Если они движутся, например, со скоростью v, то при этом немедленно индуцируется электрическое поле E = Bxv/c, E.47) параллельное J. Оно действует как омическое напряжение и свя- связано с рассеянием энергии. Исследуя этот вопрос более тщательно, можно записать урав- уравнение Максвелла, связывающее плотность тока с ротором магнит- магнитного поля в двух формах. Классическая форма имеет вид rotH = Dn/c)JBHelUl E.48а) где Лвнеш представляет собой только вводимые извне токи и не включает токи, возникающие в результате равновесного отклика среды. Например, выше было показано, что в сверхпроводнике I рода, находящемся в статическом промежуточном состоянии, магнитное поле везде равно Нс и JBHera=O. Кроме того, уравнения Максвелла можно записать в микроскопической форме, рассмат- рассматривая среду так же, как вакуум: roth = Dn/c)J. E.486) Здесь J теперь уже полный ток, включающий равновесный отклик среды. В случае промежуточного состояния это уравнение описы- описывает изменения h в пределах от hn до 0 как результат действия микроскопических экранирующих токов, текущих в слоях толщи- толщиной порядка лондоновской глубины проникновения в каждом из сверхпроводящих доменов. В конечном счете В оказывается рав- равной среднему от h по ламинарной (или другой) структуре. Если теперь обратиться к случаю идеального сверхпроводника II рода, находящегося в смешанном (т. е. вихревом) состоянии 172
без заданного транспортного тока, то Н вновь везде равно прило- приложенному полю, поскольку ЛВнеш=0, в то время как B = h умень- уменьшается от Н до Вравн(Н) в поверхностном слое глубиной порядка К, в котором имеется микроскопический поверхностный ток J. Поскольку рассматриваемая ситуация является по определе- определению равновесной, ясно, что суммарная сила, действующая на любой вихрь и даже на тот, который подвержен воздействию со стороны этого поверхностного тока, равна нулю. Из этого примера следует, что плотность тока, которая определяет суммарную, вы- вызывающую движение вихря силу, можно считать равной не полной плотности тока J, а только ее неравновесной части. Договоримся обозначать эту часть Лвнеш, хотя в некоторых случаях она может отражать только неравновесное состояние изолированной системы. Таким образом, плотность силы, вызывающей движение вихрей, равна X В]/с = [(rot H) х В]/4я. E.49) Эта эффективная плотность силы а отличается от определенной выражением E.46) отсутствием в ней существующих в среде рав- равновесных сил, которые не приводят к смещению вихревой линии относительно этой среды. Хотя с принципиальной точки зрения и важно делать такое тщательное различие между В и Н и между J и Лвнеш. необходимо сознавать, что в большинстве применений сверхпроводников II рода с большими х справедливо равенство В»Н. Можно сказать, что микроскопические экранирующие токи, связанные с равновесной намагниченностью 4пМ, оказываются гораздо меньше полезных транспортных токов. Поэтому в после- последующих рассуждениях будем для простоты пренебрегать разли- различием между В и Н и между J и JBHem. Приведенные соображения удобно иллюстрировать примером полого сверхпроводящего цилиндра, содержащего захваченный магнитный поток, который поддерживается циркулирующим в его стенках током (рис. 5.3). Эта модельная задача может быть рас- рассмотрена как идеализация сверхпроводящего соленоида, работаю- работающего в режиме постоянного тока, т. е. с контактами, замкнутыми сверхпроводящим шунтом. Если толщина стенок цилиндра d мала по сравнению с его радиусом R, то, пренебрегая кривизной сте- стенок, можно свести задачу к одномерной. В этом случае уравнение Максвелла E.48а) может быть записано в следующем виде: dH 4я . Здесь Я и /внеш направлены соответственно вдоль осей z и у. В соответствии с этим, на единицу длины каждого вихря дейст- действует внешняя сила, равная f= (Ф0/4л) \dH/dx\. После суммирова- суммирования по положениям всех вихрей это выражение приводит к сле- следующему значению объемной плотности силы: а = . E.50) in dx V 173
B(r) Рис. 5.3. Магнитный поток, захваченный в полном цилиндре из сверхпроводника II рода: а — геометрия образца; б — профиль плотности магнитного потока В приближении ВтН величина а равна градиенту магнитного давления В2/8я (отклонение от этого приближения связано с той частью магнитного давления, которая действует на идеальную среду, а не на запиннингованные на дефектах материала вихри). До тех пор пока сила а не скомпенсируется какими-либо другими силами, следует ожидать движения сквозь стенку вихрей, каждый из которых несет с собой один квант магнитного потока. Это движение сопровождается уменьшением захваченного внутри ци- цилиндра магнитного потока и соответствующим уменьшением /. Из- Изменение потока приводит к индуцированию в кольце э.д. с, совпа- совпадающей по направлению с током и равной E.51) = 2л#? = — — — = — с dt с Здесь Е — локальное электрическое поле; v — направленная на- наружу скорость движения плотности магнитного потока В. Оче- Очевидно, что этот результат эквивалентен E.47). Его также можно получить применяя преобразования Лоренца для перехода от системы координат, движущейся с вихрем, к лабораторной си- системе. Несмотря на то что соотношение E.51) было выведено в резуль- результате применения закона электромагнитной индукции к нестацио- нестационарной ситуации, оно верно и в случае движения с постоянной. 174
скоростью, когда В и J поддерживаются неизменными в микро- микроскопическом масштабе внешними источниками энергии, а вихри движутся через среду с постоянной скоростью*. В обоих случаях генерация электрического поля сопровождается рассеянием энер- энергии с мощностью, равной E-J. Это приводит либо к уменьшению магнитной энергии, запасенной в полом цилиндре, либо, в случае движения с постоянной скоростью, к постоянному отбору энергии от внешних источников. Выражение E.51) для э.д. с. <g может быть переписано в бо- более полезной и интересной форме, если выразить магнитный поток Ф в единицах кванта потока: Ф = лФ0. Тогда *_ \_d^__*o_dn__hv_ E>52) в ~ с dt ~ с dt ~ 2е ' V где (о/2л — частота, с которой вихри вытекают наружу, или, что эквивалентно, скорость, с которой уменьшается число флуксоидов в цепи. Поскольку интегральное изменение фазы волновой функ- функции |\|)|exp{iq>} при обходе замкнутого контура равно Д<р= фуфХ Xds = 2jr/z, где п — число флуксоидов, можно переписать соотно- соотношение E.52) в следующей форме: 2её = еЧ = h -^- = йш. E.52а) dt Это так называемое джозефсоновское частотное соотношение, которое будет обсуждаться более подробно в следующей главе. Из приведенных рассуждений можно заключить, что (в полях, превышающих #с!) сверхпроводник II рода будет обладать сопро- сопротивлением и не будет способен поддерживать незатухающий ток, если отсутствуют какие-либо механизмы, препятствующие движе- движению вихрей под действием силы Лоренца. Такой механизм назы- называют пиннингом**, поскольку благодаря ему вихри «пришпилива- «пришпиливаются» в фиксированных точках материала. Пиннинг возникает в результате любой пространственной неоднородности материала. Действительно, локальные изменения |, % или Нс из-за примесей, границ зерен, полостей и т. д. приводят к локальным изменениям свободной энергии на единицу длины линии потока магнитного поля еь в результате чего некоторые места локализации вихря предпочтительнее других. Наиболее эффективны неоднородности с размерами порядка Я или |,-т. е. 10~8—10~5 см, а не с размерами порядка межатомных расстояний. В последнем случае их действие сводится к рассеянию электронов, т. е. ограничению длины их сво- свободного пробега I. Если пиннинг достаточно силен, то движение вихрей может быть настолько мало, что сверхпроводник с боль- большой степенью точности будет вести себя как идеальный проводник. Однако всегда будет присутствовать термически активированный * Интересный анализ схожей ситуации, возникающей при движении нор- нормальных доменов в промежуточном состоянии, бил дан в работе [10]. ** См. примечание на с. 22. — Прим. ред. пер. 175
крип потока, при котором вихри «прыгают» с одного пиннингую- щего центра на другой, причем в некоторых случаях этот процесс может идти с заметной интенсивностью. Если сила пиннинга мала по сравнению с силой, вызывающей движение, то вихри движутся почти равномерно со скоростью, ограниченной вязким трением. Этот так называемый режим «течения» потока обычно приводит к «сопротивлению из-за течения потока» р^, сравнимому с сопро- сопротивлением материала в нормальном состоянии р„. Таким образом, для практических применений необходимо полностью исключить движение потока, а интенсивность крипа по возможности свести к минимуму. 5.5. Идеальное течение потока Вначале рассмотрим идеальный случай отсутствия пиннинга и определим, какие свойства следует ожидать в случае идеального движения потока, при котором движение вихрей тормозится только вязким трением. Можно начать с феноменологического описания, предположив существование коэффициента вязкого трения т\, та- такого, что плотность вязкой силы на единицу длины движущегося со скоростью vL вихря равняется —r\vL- Приравнивая ее силе Лоренца E.46а), получаем следующее соотношение между током и скоростью: Объединяя это равенство с соотношением E.47), получаем связь пространственно-усредненных полей: Таким ооразом, в случае г\, не зависящего в В, pf должно быть пропорционально В. Подобный анализ сводит проблему к определению коэффи- коэффициента вязкости т|, который может быть выражен в энергетиче- энергетических единицах, если учесть, что рассеиваемая на единице длины вихря мощность равна W = —FvL = i\vl. E.54) Однако необходимо разобраться, как в действительности проис- происходит диссипация энергии в движущемся вихре. К этой проблеме есть два общих подхода: относительно простая модель, впервые предложенная Бардиным и Стефеном [11], и более строгий анализ, проведенный несколько позднее Шмидом [12], Кароли и Маки [13], Томпсоном и Хью [14] на основе временного обобщения уравнений ГЛ *. Вначале ограничимся изучением первой модели, так как она дает ясную картину механизма диссипации. Более- сложный подход в общих чертах излагается в гл. 8. • См. примечание на с. 290. — Прим. ред. пер. 176
5.5.1. Модель Бардина — Стефена Эта модель справедлива для сверхпроводников с локальной электродинамикой. В ней предполагается, что в вихре имеется конечный керн из нормального материала радиуса порядка | и что диссипация происходит благодаря обычным резистивным про- процессам в этом керне. Так как предположение о нормальном керне лежит в основе этой модели, а не является просто упрощающим предположением, важно тщательно изучить, насколько хорошо она оправдывается. Основой для концепции нормального керна послужило вычис- вычисление спектра квазичастичных возбуждений в содержащих вихри чистых сверхпроводниках, проведенное Кароли, Де Женом и Мат- риконом [15, 16] в рамках микроскопической теории. Ими было показано, что хотя Tjj(r)->-0 только при г = 0, возрастая в области керна примерно как i|>,x> (г/1), в вихре существует конечная плот- плотность низколежащих возбуждений, которая имеет примерно такой же вид, как у цилиндра из нормального металла с радиусом, при- приблизительно равным g. Это говорит о том, что если \р резко из- изменяется в пространстве,-то параметр Д (г) остр (r) уже не должен соответствовать действительной локальной энергетической щели: В гл. 8 этот вопрос будет обсуждаться еще раз. Аналогичную оценку размера нормального керна можно полу- получить в рамках теории ГЛ. Для этого определим радиус, при кото- котором скорость движения конденсата в вихре vs=h/m*r достаточна для обращения |ij>j в нуль. Из соотношения D.34) Таким образом, в этой модели гкерна = 5- Однако необходимо под- подчеркнуть, что такое использование соотношения D.34) неправо- неправомерно, так как оно справедливо лишь в случае однородного рас- распределения скорости в сверхпроводнике. Как уже было отмечено раньше, точное решение уравнений ГЛ для одиночного вихря по- показывает, что вопреки полученному выше соотношению вели- величина т|з отлична от нуля везде за исключением начала координат г=0. Подходя к вопросу с еще одной точки зрения, вспомним о сдвиге в спектре элементарных возбуждений (на vs-pF), использованном при выводе формулы D.41) (этот сдвиг будет еще обсуждаться в разд. 8.1). Опять-таки эта формула справедлива только для однородного случая, но если качественно применить ее к кон- конкретной точке и взять A/Acx>~th(r/g), vs = h/m*r, то получается, что внутри области размером порядка | возможны бесщелевые возбуждения. Наконец, отметим, что так как #c2 = Oo/2ng2, то при Н = Нс2 нормальные керны радиусом g занимали бы примерно половину объема образца. Итак, вновь получается качественно разумная 177
Рис. 5.4. Схематическое изображение электрического поля в окрестности движущегося вихря. Пунктирной ок- окружностью радиуса а обозначен пе- периметр керна. Скачок нормальной компоненты е при г=а приводит к образованию на границе керна ко- конечной плотности поверхностного за- заряда. В более точной модели ска- скачок должен размываться ¦ситуация, так как при Н=Нс2 имеет место фазовый переход вто- второго рода в полностью нормальное состояние. Учитывая все эти оценки, можно сделать следующий вывод: приближение квазинормального керна должно приводить к разум- разумным результатам, особенно при расчете спектра возбуждений, несмотря на то что такой керн на самом- деле не существует. Для определенности и простоты выберем сильно упрощенную модель, в которой при ami имеется резкая граница между полностью нормальным керном и сверхпроводящим материалом. При этом условии рассмотрим движение вихря, используя закон Ома внутри керна и уравнения Лондонов вне его. Из первого уравнения Лондонов можно определить микроско- микроскопическое электрическое поле е вне керна: ->«-?(-?¦)- m* Пв ¦wj- <5-55> Например, если vL направлено вдоль оси х и угол 8 отсчитывается от того же направления, то из уравнения E.55) получаем V 2яе ) дх \ г Это поле, конфигурация которого показана на рис. 5.4, совпадает с полем линейной цепочки электрических диполей и в области своего существования г>а имеет нулевое среднее значение. По- Поэтому полное среднее электрическое поле должно даваться лишь кернами, вихрей. Из требования равенства тангенциальных компо- компонент е вне керна E.55а) и внутри его следует, что электрическое поле в керне однородно: E>56) Зная евнуТр, для мощности, рассеиваемой на единице длины керна, получаем 178
- E.57> Согласно теории Бардина и Стефена, имеется дополнительный, равный полученному, вклад в диссипацию, связанный с протека- протеканием, нормальных токов по переходной области вне керна. Наи- Наиболее просто это можно проверить в окрестности Тс. Действи- Действительно, интегрирование е2 по внешней области с использованием формулы E.55а) дает 00 2я «М Г Г el{r)rdrdQ = а О Таким образом, если ais»on, что справедливо при ТжТс, то энер- энергии, рассеиваемые внутри керна и вне его, точно равны друг другу. Были предложены и другие механизмы диссипации. Так, на- например, еще до появления теории Бардина и Стефена, Тинкхамом [17] было показано, что диссипацию, сравнимую с наблюдаемой,, можно было бы объяснить, сделав предположение о существовании конечного времени релаксации т волновой функции в теории ГЛ, в течение которого она подстраивается к меняющейся во времени конфигурации поля движущегося вихря. При 7 = 0 х~1~А@I^ а при стремлении Т к Тс тг1 уменьшается пропорционально A—t). Эти качественные соображения были подтверждены последующими работами [12, 13], в которых временное обобщение уравнений ГЛ выводится из микроскопической теории. В настоящее время это представляется наиболее строгим подходом к рассматриваемой задаче. Другой механизм диссипации был предложен Клемом [18]. Им было показано, что диссипация возникает из-за необратимого' потока энтропии, текущего от заднего края вихря к его перед- переднему краю. Этот поток обусловлен увеличением энтропии на пе- переднем краю вихря, где сверхпроводящий материал переходит в нормальный, и обратным процессом на заднем краю. На данный момент еще не ясно, до какой степени все эти механизмы адди- аддитивны, а до какой степени они просто дают независимые способы изучения одного и того же процесса *. Сохраняя простоту подхода, будем следовать результату Бар- Бардина и Стефена, которые учитывают основные качественные черты процесса, хотя при этом необходимо помнить, что это весьма упрощенная модель. Поэтому добавим в формулу E.57) множи- множитель, равный двум, с тем, чтобы учесть диссипацию вне керна, и, приравняв полученный результат выражению E.54), получим: ф2° ^_М^ E.58> * К настоящему времени создана количественная теория вязкого движения вихрей в сверхпроводниках II рода; см. примечание на с. 290. — Прим. ред. пер. 179'
Рис. 5.5. Противотоковая компонента электрического тока в окрестности запин- нингованного вихря: а —однородный транспортный ток /т и противоток представлены отдельно друг от друга: б — распределение суммарного тока; полный ток в керне вихря равен нулю Подставляя величину ц в уравнение E.53), для сопротивления движущегося вихря находим р, 2яа*5 / а V В В При написании последних приближенных равенств в соотноше- соотношениях E.58) и E.59) использован тот факт, что по оценкам радиус керна а должен быть приблизительно равен |. Если просто поло- положить а=?, то р/ плавно сшивается с рп при Н=Нс2, что разумно, поскольку при этом значении Н происходит фазовый переход вто- второго рода. И на самом деле, экспериментальные данные для тем- температур T<g.Tc хорошо согласуются с полученным простым резуль- результатом E.59) во всем диапазоне магнитных полей. Отметим, что эта простая формула не справедлива при стати- статическом распределении нормальных кернов, хотя в образце имеется относительная доля нормального металла, равная В/Нс2. В стати- статическом случае ток просто обтекал бы нормальные керны и тек бы только по сверхпроводящим участкам. Существенным является движение вихрей. При таком движении [с ц, определяемым выра- выражением E.58)] оказывается, что плотность (нормального) тока в керне точно равна плотности приложенного транспортного тока, вызвавшего движение. Следовательно, транспортный ток течет прямо через движущиеся керны, приводя к диссипации. Если ско- скорость вихря не совсем та, которая нужна, например вследствие других, упомянутых выше вкладов в ц или сил пинннига, то эти две плотности токов не равны друг другу. Это приводит к появ- появлению «противотоковой» компоненты в токе, складывающейся с однородным транспортным током, как показано на рис. 5.5. Физи- Физический смысл этой циркуляционной компоненты заключается в уменьшении плотности тока в керне по сравнению с плотностью 180
транспортного тока 1т- Очевидно, это приведет к меньшей дис- диссипации в керне, т. е. к меньшему электрическому сопротивлению. В пределе стационарного керна сопротивление вообще отсутствует. 5.5.2. Возникновение сопротивления провода В качестве иллюстрации применим эти идеи к не имеющей большой практической значимости, но весьма наглядной задаче о протекании по изолированному проводу из сверхпроводника II рода тока, достаточного для достижения на поверхности про- провода поля, превышающего Нс\. При //>//ci на поверхности будут зарождаться, стягиваться и аннигилировать в центре провода кру- круговые вихревые кольца, приводя к появлению электрического сопротивления. Посмотрим, насколько наблюдаемое явление дол- должно отличаться от поведения сверхпроводника I рода, рассмотрен- рассмотренного в разд. 3.5 в рамках лондоновской модели статического промежуточного состояния. Критический ток появления сопротивления будет равен 1л = \нлса, E.60) где теперь а — радиус провода. Этот ток 1с1, вообще говоря, до- довольно мал, поскольку #ci<#c. Если одиночный кольцевой вихрь зародился на поверхности, то как он будет стягиваться? Прирав- Приравнивая скорость изменения энергии кольцевого вихря рассеиваемой мощности, получаем (?)' '?-*• ("О Таким образом, каждый кольцевой вихрь стягивается до аннигиля- аннигиляции за время Т = -^— = -2а — . E.62) 2Б1 на р„с* При получении формулы E.62) были использованы определе- определения критических магнитных полей HcU #c2 и коэффициента вязко- вязкости т). Для типичных значений, входящих в соотношение E.62) величин, ТжМ)-5 с. Одним из следствий уравнения E.61) является то, что dr/dtocr-1, и поэтому время, затраченное на прохождение любого заданного приращения 8г, пропорционально dtjdr или г. Следовательно, так же как и в случае теории Лондонов для ста- статического промежуточного состояния, В[г)осг. Проведенное выше рассмотрение справедливо только в непо- непосредственной близости к Id, где можно пренебречь взаимодейст- взаимодействием между кольцевыми вихрями в проволоке, поскольку В^О. Для вывода более общих соотношений приравняем силу, вызы- вызывающую движение, силе вязкого трения: jojc = r\v. Направленная внутрь радиальная скорость кольцевого вихря v 181
может быть заменена на сЕ/В, где Е— индуцированное продольное электрическое поле, а В (г), как обычно, локальное значение вели- величины h(r) после усреднения по вихревой решетке. Затем, так же как и при выводе выражения E.49), можно заменить J на c/4nrotH. После этих преобразований получаем J-±(rH) = ^^. E.63) Здесь В и Я направлены по окружности, а ? — вдоль провода. Рассматривая вначале случай 7» 1С\, можно положить Я«ЯС1 во всем объеме провода. Это значение магнитного поля не нахо- находится в противоречии с малой плотностью вихрей, поскольку dB/dH-+cx> при H=Hci. Тогда д(гН)/дг будет просто равно Яс1, и соотношение E.63) может быть переписано в следующем виде: В (г) = АщсЕг/ФоНа, E.64) т. е., как и было отмечено выше, В пропорционально г. Для опре- определения Е и, следовательно, сопротивления приравняем значение величины В на поверхности величине B(HS), где Я8=2//са — зна- значение поля Я на поверхности. Зависимость В(Я„) была получена в разд. 5.3. Если воспользоваться также выражением E.58) для т), то можно окончательно выразить Е в единицах этой величины в нормальном состоянии: -f = т-=4IF-. /ж/«- E-65) ?п *<п *"сг При токе, равном 1С\, отношение RjRn возрастает с бесконечной производной, что определяется формой зависимости В(Н) при Н=НЛ. Другой простой предельный случай достигается при значи- значительно больших токах (вблизи /с2), где вполне разумно при всех значениях радиуса положить В = Н. Тогда уравнение E.63) может быть проинтегрировано (после умножения обеих частей на г2), что дает Я2 = В2 = 8т\сЕг/ЗФ0. E.66) Заметим, что теперь В и Я пропорциональны г1/2, в то время как в окрестности /ci Я постоянно, а В изменяется как г. В обоих случаях произведение ВН пропорционально г с очень близкими друг к другу коэффициентами. Как и раньше, относя электриче- электрическое поле к значению поля в нормальном состоянии при том же токе, находим . E.б7) И наконец, если />/С2, Hs>Hc2, то внешняя оболочка проводника должна быть полностью нормальной, а внутренняя, согласно со- соотношению E.67), должна обладать эффективным сопротивле- сопротивлением C/4)р„. Объединяя эти две проводимости параллельно, для эффективной средней проводимости получаем A + /"i/За2) р^1, где 182
Рис. 5.6. Возникновение сопротивле- ния провода из идеального сверх- сверхпроводника II рода в отсутствие линнинга (сплошная кривая). Для 0,5 - сравнения пунктиром показан тот же график для провода из сверхпровод- сверхпроводника I рода с тем же значением Нс Ipoda 1 i I ^-11 рода 'С Г\ — радиус внутренней области. Требуя выполнения равенства 7/(г,)=ЯС2, находим следующее выражение: Используя его, можно легко определить зависимость сопротивле- сопротивления от тока при />/С2- В пределе больших токов — = 1 — Г—V . / > /я- E-69) /?„ 16 \ I J ' " с2 к ' Следовательно, точно так же как в сверхпроводнике I рода, рас- рассмотренном в разд. 3.5, частично сверхпроводящее ядро при пре- пренебрежении тепловыми эффектами исчезает только при /-*-<». На рис. 5.6 полученные результаты объединены графически и сравнены с зависимостью R/Rn от тока / для провода из сверх- сверхпроводника I рода с тем же значением Яс. С практической точки зрения важно лишь отметить, что R становится порядка /?„, как только ток / «езначительно превысит критический ток IcU который, как правило, значительно меньше /с сверхпроводников I рода. Следовательно, сверхпроводник II рода с идеальными характери- характеристиками вихревого.движения не представляет большого интереса, как не имеющий потерь проводник тока. Для переноса большого сверхтока необходим пиннинг. 5.5.3. Экспериментальные исследования течения потока Для проверки рассмотренных выше идей были проведены мно- многочисленные эксперименты. Основополагающим был эксперимент Кима с соавторами [19], в котором измерялось сопротивление полоски сверхпроводника в перпендикулярном к ее поверхности магнитном поле. Именно эти экспериментальные результаты сти- стимулировали развитие теории вихревого движения. Однако из-за обманчиво простой формы результата р/р„« В/Нс2 не исключа- исключалось, что разумное совпадение с экспериментом могло быть слу- случайным и что можно предложить иное их объяснение (не затра- затрагивающее модели движения магнитного потока). Исходя из этих соображений и несмотря на то что визуальное изучение движения доменов в сверхпроводниках I рода, находящихся в промежуточ- промежуточном состоянии, делало весьма вероятной гипотезу о движении отдельных вихрей в сверхпроводниках II рода, для более точной 183
проверки идеи движения потока были проделаны другие остро- остроумные эксперименты. Остановимся лишь на двух из них*. Первым был трансформатор постоянного тока, предложенный Гьевером [21]. Он состоит из двух сверхпроводящих пленок, раз- разделенных тонким слоем диэлектрика. Гьевер обнаружил, что при пропускании через одну «первичную» пленку тока, достаточного для возникновения напряжения, связанного с движением потока, точно такое же напряжение появляется на «вторичной» пленке даже в случае отсутствия в ней тока. Именно такой результат следует из картины течения потока, поскольку движущееся в пер- первичной пленке пятно потока должно тянуть за собой аналогичное пятно во вторичной, приводя тем самым к появлению напряжения. Трансформатор перестает действовать, если происходит проскаль- проскальзывание между двумя решетками вихрей **, связанное или с боль- большим расстоянием между пленками, или со слабой модуляцией потока в пространстве. Никаких разумных объяснений такого по- поведения трансформатора постоянного тока с привлечением только стационарной резистивной структуры в первичной пленке дать нельзя. Другим классом экспериментов является изучение частотного спектра шума, сопутствующего в сверхпроводниках постоянному напряжению на постоянном токе. Начало таких экспериментов было положено работой Ван Ойджена и Ван Гурпа [23], которые заметили, что если вихри двигаются через сверхпроводник шири- шириной W со скоростью vL = cEfB, то в действительности напряжение должно представлять собой сумму большого числа квазипрямо- квазипрямоугольных импульсов длительностью т« W/vL. Если это так, то должен существовать спектр «дробовых» шумов с частотой обре- обрезания ш порядка т~1 и амплитудой, которая является мерой числа вихрей, движущихся как независимые дискретные образования. Эксперименты подтвердили существование такого шума со спект- спектром, хорошо совпадающим с ожидаемым. Однако, кроме того, в них обнаружилось, что при больших полях или токах движу- движущиеся образования несут поток больший, чем один квант Фо; как правило, ~ 1000 таких квантов движутся как единое целое. Ве- Вероятно, этот результат объясним наличием пиннинга, который вынуждает поток двигаться «связками» вихрей, чтобы суммарная сила, действующая на связку, была достаточной для преодоления сил пиннинга. Эти эксперименты позволяют также сделать вывод о том, что часть вихрей остается запиннингованной, в то время как остальные должны двигаться несколько быстрее, чем они дви- двигались бы в случае общего движения. Таким образом, концепция движения потока является в общих чертах правильной, хотя де- дефекты в реальных образцах существенно усложняют описанную выше идеализированную картину. * Более полный обзор см., например, в работе [20]. ** Недавно в печати появилась особенно тщательная работа по этому воп- вопросу [22]. 184
S.S.4. Заключительные замечания о движении потока В проведенном выше обсуждении неявно предполагалось, что вихри под действием силы Лоренца двигаются строго в перпен- перпендикулярном току направлении. Это противоречит поведению вих- вихрей в жидкости, где в первом приближении они дрейфуют вдоль направления тока. Если несущий магнитный поток вихрь движется с конечной компонентой скорости вдоль JT, то это приведет к эф- эффекту Холла, т. е. к возникновению поперечного напряжения, определяемого тем же произведением BXv^/c, которое было по- получено ранее E.47). Выше мы пренебрегли такой возможностью, так как большинство экспериментальных данных свидетельствует о малости угла Холла. В действительности модель Бардина — Стефена дает эффект Холла точно такой же, как в нормальном металле, помещенном в магнитное поле, совпадающее с полем в керне вихря. Однако, так как большинство исследуемых сверх- сверхпроводников II рода являются или сплавами, или интерметалли- интерметаллическими соединениями с довольно малой длиной свободного про- пробега электронов, то угол Холла оказывается мал и его довольно трудно достоверно измерить. Так, например, любая структурная асимметрия, остающаяся после изготовления образцов (такая, как направление прокатки), будет приводить к движению вихрей вдоль определенного направ- направления. Такое «направленное движение» приведет к мнимому углу Холла, не имеющему принципиального значения. Другой проблемой, связанной с качеством образца, является пиннинг, который присутствует во всех реальных образцах. Нали- Наличие пиннинга приводит к необходимости задания конечных (иногда больших) токов, прежде чем будет иметь место какое-либо тече- течение потока. Поэтому реально невозможно измерить линейную зависимость электрического сопротивления от магнитного поля, по- полученную в идеализированной теории. Делались попытки умень- уменьшить пиннинг тщательным отжигом. Кроме того, оказалось, что эффекты пиннинга могут быть уменьшены наложением на по- постоянный ток переменного [24]. Однако до сих пор нет полной уверенности в том, насколько аккуратно измерялись фундамен- фундаментальные свойства материала. Тем не менее заметные успехи сде- сделали возможным сравнение с теорией. Так, например, оказалось, что угол Холла в сплавах (см., например, [25]) превышает эту величину в нормальном состоянии при Нс2, что противоречит тео- теории Бардина — Стефена. Маки [26] показал, что объяснение этого эффекта может быть получено в рамках временного обобщения теории Гинзбурга — Ландау. Другим аспектом движения потока является перенос движу- движущимися вихрями вместе с магнитным потоком также и энтропии. Грубую оценку этой перенесенной энтропии для одиночного вихря можно получить простым учетом избытка энтропии нормального керна по сравнению с тем же объемом сверхпроводящего мате- материала, хотя вблизи #с2, где вихри сильно перекрыты, конечно, 185
требуются более строгие оценки. Существование переноса энтро- энтропии приводит к существованию термоэлектрических эффектов, та- таких, как эффект Эттингаузена. Другими словами, в равновесном состоянии термически изолированного проводника должен возник- возникнуть поперечный температурный градиент, параллельный направ- направлению движения вихрей и приводящий к обратному потоку энтро- энтропии, равному переносимому вихрями. Эти дефекты изучались осо- особенно тщательно Соломоном и Оттером [27, 28] и позднее Ви- Видалом [29]. По всей видимости, уже достигнуто разумное теоре- теоретическое объяснение количественных результатов таких экспери- экспериментов. В качестве последнего замечания отметим, что близкие к идеальным данные по сопротивлению движения потока можно получить в присутствии сил пиннинга по измерениям в сантимет- сантиметровой области частот. Дело в том, что сила пиннинга (—k$x) про- пропорциональна амплитуде смещения вихря из положения равнове- равновесия, в то время как сила вязкого трения равна tiu = t]co6*. Следо- Следовательно, на частотах выше характерной частоты соо=&/т] сила пиннинга становится пренебрежимо малой. Джитльман и Розен- блюм [30] смогли обнаружить этот переход от режима пиннинга с сопротивлением, равным нулю, к режиму движения потока с хо- хорошо определенным pf. В их экспериментах переход происходит на частотах ~ 107 Гц. Следовательно, измерения поверхностного сопротивления сверхпроводников II рода на СВЧ-частотах (~1010 Гц) не осложняются эффектами пиннинга*. 5.6. Модель критического состояния Перейдем теперь к другому предельному случаю, в котором пиннинг достаточно велик для того, чтобы предотвратить любое заметное движение вихрей и появление связанного с ним электри- электрического сопротивления. Хотя силы пиннинга и силы, вызывающие движение, действуют на индивидуальные вихри, удобно развить более макроскопический подход, поскольку движение индивидуаль- индивидуальных вихрей сильно затрудняется их взаимным отталкиванием, которое, как мы видели, стремится навязать массиву вихрей пра- правильную структуру. Поэтому в том случае, когда плотность вы- вызывающей движение силы превзойдет имеющиеся в том же объеме силы пиннинга, следует ожидать движения «связок» потока. Это находится в согласии с упомянутыми выше экспериментами Ван Ойджена и Ван Гурпа по измерению шумов. Поскольку объемная плотность силы « = Лвнеш X В/С, E.70) условием отсутствия диссипации является требование, чтобы ве- величина а ни в одной точке не превосходила критической плотности силы пиннинга ас. * Но, как отмечал сам автор (см. разд. 3.3), осложняются возникновением! потерь в сверхпроводящих областях между вихрями. — Прим. ред. пер. 186
¦'Внушр B(r) а 5 Рис. 5.7. Критическое состояние в полом сверхпроводящем цилиндре. В случае (а) толщина стенок достаточна для захвата всего начального потока. В случае (б) стенки слишком тонки для такого захвата. Для простоты показаны про- профили поля, следующие из модели Бина, в которой величина Jc*x.dB/dr постоян- постоянна. Величина Jc взята одинаковой в обоих случаях Значение этого утверждения станет понятным, если вернуться к обсуждению процессов в полном сверхпроводящем цилиндре, рассмотренном выше (см. разд. 5.4). Предположим, что в началь- начальный момент внутри цилиндра задано большое поле Во (например, с помощью помещенного в отверстие соленоида магнита, который затем выключается). Если В0>Нси переносящие магнитный поток вихри начнут немедленно проникать в стенку и уменьшение по- потока, покинувшего отверстие, приведет к индуцированию в ней тока. Поскольку эта плотность тока равна /е = (c/4n)dH/dr, то в месте резкого скачка Н(г) от значения Во до. О на границе ци- цилиндра эти токи будут очень сильны. Подстановка в формулу E.70) комбинации больших магнитных полей и больших токов должна привести к а>ас. В этом случае вихри будут продолжать проникать далее в стенку, стремясь уменьшить в ней градиент Н. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока везде не вы- выполнится условие i? = _Lfli» «-!(_»><«,. E.71) 4я dr dr\toi)cK 4я dr Такое положение называется критическим состоянием. В зависимости от соотношения между Во и толщиной стенки критическое состояние, как показано на рис. 5.7, может быть до- достигнуто одним из двух способов: а) а падает до значений, мень- меньших ас, прежде чем поток проникнет через всю стенку наружу так, что весь внутренний поток остается в отверстии и в стенке; 6) если толщина стенки недостаточна для сохранения полного внутреннего потока, то поток выходит через стенку до тех пор, пока условие а^ас не выполнится для оставшегося потока в каждой точке. Очевидно, максимальное значение В, которое мо- 187
бнвш Рис. 5.8. Профили плотности магнитного потока внутри пластины, помещенной в нарастающее (а) и уменьшающееся (б) внешнее магнитное поле. Н, — мак- максимальное магнитное поле, от которого может быть экранирована середина пластины. Заметьте наличие противоположно направленных магнитных полей при Явнеш = —HJ2 жет быть поддержано внутри (при 5 = 0 снаружи), определяется интегрированием приближенного выражения E.71): ВпсШ = J ac[B(r)]dr, E.72) внутр в котором учтена возможная зависимость ас от локального значе- значения плотности потока (так же как и от температуры и т. д.). Если предположить, что ас равно константе, то из формулы E.72) видно, что максимальное значение магнитной индукции В, которое удерживается в полом цилиндре, возрастает пропорцио- пропорционально квадратному корню из толщины стенок. Учет этого факта важен при конструировании сверхпроводящих соленоидов: тол- толщина намотки должна увеличиваться примерно как квадрат поля в отверстии *. Так как толщина намотки, как правило, превышает радиус внутреннего отверстия, масса необходимого сверхпроводя- сверхпроводящего материала растет примерно как квадрат толщины стенки, или как В* (при постоянной длине). Поэтому даже в полях, мень- меньших #с2 (в этом поле ас уменьшается до нуля), размеры, а следо- следовательно, и стоимость сверхпроводящих соленоидов должны ра- расти очень быстро с ростом возможных значений поля в отверстии. Это действительно так. Например, коммерческие магниты одной серии, рассчитанные на ПО, 125 и 130 кГс, имеют массу, соответст- * Поскольку в выражении E.72) предполагается оптимальное распределе- распределение плотности тока по координате г, действительные характеристики соленоида будут, вообще говоря, хуже оценки E.72), даже если применить многожильные обмотки, что обеспечивает улучшенное распределение I(f). 188
венно равную 48, 110, 130 фунтам A фунт~0,45 кг), что близко к полученной выше зависимости 54. Очевидно, что при уменьшении В до 0 величина ас не может оставаться постоянной, так как это привело бы к бесконечному значению критического тока при нулевом поле. Отмеченное за- затруднение не возникает при использовании другой простой мо- модели, предложенной Бином [31] несколько раньше более полной работы Кима и др. В этой модели /c=const или асос\1В, и про- профили плотности магнитного потока есть просто прямые линии с тангенсом угла наклона, равным 4я/с/с> что упрощает качествен- качественное рассмотрение. Например, на рис. 5.8, а показаны профили потока, проникающего в толстую пластину толщиной d с увеличе- увеличением внешнего магнитного поля Н. Из рисунка видно, что поле Н, = 2JIJ4/C E.73) является максимальным внешним полем, от которого может быть экранирована середина пластины. С уменьшением приложенного поля вплоть до смены его направления происходит последова- последовательное изменение профилей поля, представленное на рис. 5.8, б. Видно, что после уменьшения поля до нуля в пластине может оставаться захваченным довольно значительный магнитный по- поток. Можно даже реализовать ситуацию, в которой во внутрен- внутреннем объеме образца происходит смена направления магнитного потока. В этом случае можно было бы ожидать некоторой анни- аннигиляции вихрей противоположной полярности. Однако при доста- достаточно сильном пиннинге такой процесс протекает лишь в узком слое, в котором происходит смена направления В. Как очевидно из представленной. картины, при магнитном перецикливании по- подобных «жестких» сверхпроводников наблюдается большой ги- гистерезис и связанная с ним необратимость перемагничивания. На- Например, если внешнее поле периодически меняется во времени с амплитудой Hm<^Hs, то видно, что площадь петли гистерезиса § BdH и, следовательно, рассеиваемая за период энергия Q бу- будут возрастать как Н3т. Кроме того, если Hm^>Hs, то QocHm. Эти гистерезисные потери ограничивают ценность сверхпроводников II рода для применений на переменном токе, к этому вопросу вернемся еще в разд. 5.8. 5.7. Термически активированный крип потока При конечных температурах тепловое движение может при- привести к скачкам линий потока с одного центра пиннинга на дру- другой под действием сил, вызванных градиентом плотности магнит- магнитного потока. Результирующий крип* потока проявляется двояко: A) он приводит к медленным изменениям захваченного магнит- магнитного поля и B) к измеримому сопротивлению при протекании * См. примечание на с. 23. — Прим. ред. пер. 189
тока. Прежде чем углубляться в детали, кратко сравним между собой эти два следствия крипа. Если магнитный поток захвачен в полом сверхпроводящем ци- цилиндре или в сверхпроводящем соленоиде, работающем в режиме незатухающих токов, то с течением времени он может заметно уменьшиться. В этом состоит отличие этих систем от макроско- макроскопических образцов из сверхпроводников I рода, в которых подоб- подобных изменений обнаружено не было. В действительности, даже в сверхпроводниках II рода крип потока происходит очень медленно и не поддается обнаружению, пока градиент "плотности потока не очень близок к критическому значению. Так как наличие крипа будет приводить к уменьшению градиента, этот процесс будет -идти все медленней и медленней. Действительно, как будет по- показано, его временная зависимость является логарифмической. Это означает, что величина крипа за промежуток времени от 1 до 10 с. будет точно такой же, как за период от 1 до 10 лет! При обычных условиях работы сверхпроводящего соленоида в режиме незату- незатухающих токов градиент плотности магнитного потока достаточно далек от критического, что гарантирует пренебрежимо малую интенсивность крипа*. Если крип потока происходит через проводник, несущий ток, т. е. под действием силы, вызванной этим током, то появляется про- продольное электрическое сопротивление, пропорциональное средней скорости крипа. За исключением значительно меньшей скорости движения, это явление аналогично рассмотренному выше сопро- сопротивлению течения потока. . Интересно сравнить минимально наблюдаемую скорость крипа в двух случаях. В магнитных измерениях с помощью незатухаю- незатухающих токов в сверхпроводниках ** можно легко обнаружить дви- движение, в результате которого поток за день проходит расстояние, равное-ширине проводника @,1 мм), следовательно, Упцп~ ~10~7 см/с. При измерениях сопротивлений с помощью обычной (т. е. не сверхпроводниковой) аппаратуры минимальное измеримое ¦напряжение обычно 10~7 В/см. При В~10* Гс это напряжение соответствует минимально обнаружимой скорости порядка 10~3 см/с. Поэтому, вообще говоря, измерения с использованием незатухающих токов обладают большей чувствительностью.- 5.7.1. Теория Андерсона и Кима для крипа потока В теории Андерсона и Кима [32, 33] предполагается, что крип потока происходит в виде скачков связок линий потока между со- соседними центрами пиннинга. Считается, что при скачках связки движутся как единое целое, так как радиус отталкивающего взаи- * В некоторых сверхпроводящих соленоидах конечная скорость затухания тока обусловлена сопротивлением в соединениях между отдельными проводами. ** Имеются в виду сквиды (см. гл. 6). — Прим. ред. пер. 190
Рис. 5.9. Схематическое представление перескоков связок вихрей через барьеры в соседние центры пиннинга (по ординате отложена относительная. величина полной свободной энергии как функция положения центра связки вихрей): а —средняя сила равна нулю; б — средняя сила, возникающая благодаря току (или dB/dx)r делает более предпочтительными скачхи в направлении «вниз с горки» модеиствия между вихрями, примерно равный X, как правило, пре- превосходит расстояние между вихревыми линиями. Для частоты скачков предполагается справедливым обычное выражение R = aoexp{~FolkT}, E.75> в котором ©о — некоторая характерная частота колебаний линии потока, не известная точно, но предположительно заключенная в интервале частот от 105 до 1011 с. Величина Fo есть активаци- онная свободная энергия, или высота барьера, т. е. увеличение' свободной энергии системы при нахождении связки в неустойчи- неустойчивой точке между двумя устойчивыми положениями, в которых эта энергия имеет локальные минимумы. При отсутствии градиента плотности потока скачки с равной вероятностью происходят во- всех направлениях и средняя скорость крипа равна нулю. Так как различные длины, такие, как X, go, /, расстояние между пиннинг-центрами, ширина пиннинг-центров и т. д. входят в тео- теорию в комбинациях, которые точно неизвестны и зависят от де- деталей модели, для всех этих длин введем единый микроскопиче- микроскопический масштаб L«10~5 см*. Такой подход упрощает обсуждение пространственных зависимостей и дает возможность сделать пра- правильные оценки по порядку величины, тем самым позволяя по- построить максимально простую теорию. Теперь введем градиент плотности потока, который, как это- схематически показано на рис. 5.9, перекашивает пространствен- пространственную зависимость энергии, облегчая скачки в направлении умень- уменьшения градиента плотности потока по сравнению с противополож- • Детальный теоретический анализ экспериментальных данных по крипу потока, который позволяет провести более точную, чем используемая здесь, классификацию всех этих параметров, был выполнен в работе [34]. 191.
ным направлением. Изменение высоты барьера определяется ра- работой, совершенной движущей силой по его преодолению. Поскольку плотность силы равна а, то сила, действующая на связку потока поперечным сечением L2 и длиной L, равна aL3, по- поэтому работа по ее перемещению на расстояние L равна AF = L* Для суммарной частоты скачков в направлении действия силы « это приводит к выражению }({?}-ехр{-.?}). E.76) что равносильно суммарной скорости крипа, равной Ь^-. E.77) Величина и0=(Оо^~103±3 см/с равна скорости крипа, которая имела бы место при отсутствии барьера. Теперь необходимо, хотя бы грубо, оценить высоту барьера /•"о- Выражение для Fo полезно представить в следующем виде: F0 = PL*(H2c/8n). E.78) Коэффициент р учитывает относительную модуляцию энергии кон- конденсации в объеме L3 за счет пиннинга. Коэффициент р мал, по- поскольку любые сильные пиннинг-центры (такие, как пустоты), как правило, занимают только малую часть объема, а любые протя- протяженные центры пиннинга (например, области внутренних на- напряжений) вызывают только относительно небольшие изменения ¦сверхпроводящих свойств. Для оценки порядка величины поло- положим р ж 10-з и Яс«2000 Э, тогда /У&«1200К, поэтому Fo гораздо больше kT. Взяв эти оценки, получаем Vo = v0 exp f- -?Ц« 103±3 ехр (- Щ * ю8*'-""". E.79) Из этого выражения видно, что даже большая неопределенность в vo = aQL полностью затушевывается небольшими изменениями энергии пиннинга и можно, по существу, забыть обо всех мно- множителях, за исключением экспоненциального ехр{—F/kT]. Прове- Проведенные выше оценки показывают, что в интересующем нас тем- температурном интервале от 1 до 10 К Vo может изменяться от ~ Ю-500 до Ю-м см/с. Поэтому суммарная скорость крипа и = F=2Vosh(aZ>/&r) является практически ненаблюдаемой, если только сомножитель sh(aL*/kT) не слишком велик. Если же он велик, то 2sh{aL4kT) ~ехр{аЬ^кТ} и для v просто находим v = Vo (T) exp {-if-} = v0 exp {-=^±^} . E-80) Если не выполнено неравенство ai4^/^, то из уравнения E.80) следует, что при 7=0 скорость крипа и = 0. Следовательно, плот- плотность критической силы при Т = 0 равна E.81) 192
Этот параметр был уже использован нами ранее при обсуждениях критического состояния. Воспользуемся полученным равенством и исключим L* из уравнения E.80): р = ВЬЯр(-/Г"(Г)-/?'@I^@)]- ( кТ Так как для обнаружения крипа требуется наличие некоторой минимальной скорости umtn, можно определить эффективное зна- значение ас(Т) как такую величину а, которая приводит к появле- появлению этой минимально обнаружимой скорости крипа. Из получен- полученных выше выражений видно, что E.83) Теперь, так как Нс и характерные длины стремятся к постоянным значениям при 7->0, при T<g.Tc можно записать F0(T)zz ~F0@)(l—fit2), где t=T/Tc и р порядка единицы. Поэтому вы- выражение E.83) можно представить в виде E.84) где y=[kTJFo(O)]\n(vo/vmm) ~0,1 для выбранных нами типичных значений величин. Из этого выражения видно, что при достаточно низких температурах ^\/р«0,1 в выражении E.84) преобла- преобладает линейное по t слагаемое. Эта линейная температурная зави- зависимость Ос(Т) возникает из-за множителя kT в экспоненте, опи- описывающей термическую активацию. Как выяснили Ким и Андер- Андерсон, предложенный механизм является практически единственным, способным объяснить большие вариации ас при очень низких температурах, где Яс, ? и X выходят на постоянные значения. Бо- Более того, порядок производной da/dT, полученной таким способом, находится в разумном согласии с экспериментальными результа- результатами Кима и др. [35]. Однако если наши численные оценки при- приближенно справедливы, то из формулы E.84) ясно, что везде, за исключением низких температур (обычно меньших 1 К), темпера- температурная зависимость ас должна определяться изменением силы пиннинга (отраженным членом fit2), а не изменением скорости крипа (характеризуемым слагаемым yt). Это находится в согла- согласии с выводами, полученными Кэмбеллом и др. [36] из сравнения температурных зависимостей Jc с обратимой кривой намагничива- намагничивания различных материалов. Теперь рассмотрим временную зависимость крипа. Из-за ма- математической сложности полного рассмотрения для начала про- простым способом докажем, что следует ожидать логарифмической зависимости ас от времени. Основная идея доказательства состо- состоит в том, что движущая сила примерно пропорциональна индук- индукции В, еще захваченной в отверстии рассматриваемого нами по- полого цилиндра. Поэтому, принимая во внимание экспоненциальную зависимость скорости крипа от движущей силы, можно ожидать, что 7 Зак. 895 193
dB .. „_.._, и л Eg5) dt где ? теперь обозначает время. Это уравнение действительно имеет логарифмическое решение: В = const — Bo Int. E.86) Теперь проведем более строгое рассмотрение. Опять будем пренебрегать различием между В и Н, обозначая их локальную величину через В. Для простоты рассмотрим одномерную задачу: В направлено вдоль z; ySz и скорость движения линии потока v — вдоль х. Закон сохранения числа линий магнитного потока теперь принимает вид дВ д (Bv) dt дх E.87) Скорость v связана с параметром плотности силы а соотношением E.83), которое удобно переписать в другом виде: и = Уоехр{а/а1}, E.88) где, как и в формуле E.71), а = — °-(Л-). E.89) дх \ 8л J ч ' а аь согласно выражению E.83) и предыдущим оценкам величины F0/k = l200 К, примерно равно ИоЛО) ^««@). E_90) МО) „зоо Дифференцируя по времени соотношение E.89) и переставляя порядок дифференцирования по времени и координате, получаем да д_ д В2 д В дВ_ _ _с? В Г д (Bv) ^ dt дх dt 4л дх 4л dt дх 4л дх В2 \frv б2 Т7 'д2 .( а ) /с П1Ч « =, Va exp J— . E.91) 4л дх2 An ° дх2 V\ at J V ' Пренебрежение пространственной производной от В по сравнению с производной от v оправдывается тем обстоятельством, что зави- зависимость результата от пространственных производных В примерно в ac@)/ai«300 раз слабее, чем явная зависимость от В. По тем тем же причинам можно считать величину B2Va/4n постоянной С. Возникающее при этом уравнение удовлетворяется простым ре- решением С exp {a/Oi} = (ax2 + bx + c)g (t). E.92) Оно удовлетворяет дифференциальному уравнению E.91), если g(t) является решением уравнения dg _ 2ag2 dt «! 194
Интегрируя, находим Чтобы не вводить постоянную интегрирования, отсчитываем время от начального момента, при котором g = oo и который соответству- соответствует бесконечно быстрому начальному крипу. Подставляя получен- полученное значение g(t) в выражение E.92) и логарифмируя, находим a1lnt, E.93) где F(x) не зависит от t. В действительности, так как крип бес- бесконечно медлен, пока а не очень близко к ас, в рассматриваемой области пространства F(x) должно примерно равняться ас. Поэто- Поэтому выражение E.93) можно приближенно заменить на следую- следующее: а = ас — ocjln/. E.93a) Применяя это выражение к задаче о магнитном потоке, за- захваченном в полом сверхпроводящем цилиндре с толщиной стенок d, в котором а » В1иутр/8пA, видно, что (-j±-\ntj, E.94) где Вс приблизительно равно Ввнутр» приводящему к критическому состоянию. По оценкам E.90), ai/ac~ 1/300. При использова- использовании выражения E.94) необходимо помнить, что бесконеч- бесконечная расходимость при 2=0 появилась из-за специального выбора начала отсчета времени и что это простое выражение справедливо только для относительно малых пространственных изменений В. Поэтому не надо придавать значения тому факту, что выражение E.94) меняет знак по прошествии достаточного периода вре- времени. Полученный результат и необычная логарифмическая зави- зависимость от времени были хорошо подтверждены эксперименталь- экспериментально. Например, в первых экспериментах Кима, Хемпстеда и Стрнада [37] с магнитным потоком, замороженным в трубках из NbZr, наблюдалось логарифмическое спадание потока на отрезке времени от 10 до 5000 с после резкого изменения внешнего маг- магнитного поля. В типичном случае, показанном на рис. 5.10, наблю- наблюдалось падение захваченного поля 5Внут~400 Гс со скоростью порядка 5 Гс за каждую временную декаду. Сопоставляя эту вели- величину с оценкой E.94), видим, что она соответствует ai/ac = = D00 In 10)-1 я; 1/900. С учетом сделанных выше сильных при- приближений и грубых оценок совпадение по порядку величины с по- полученным значением 1/300 является удовлетворительным. Интересно экстраполировать логарифмическую зависимость захваченного поля от времени и посмотреть, насколько долго воз- возможно существование незатухающих токов. Подставляя в выра- выражение E.93а) значение а = Bl^p/und, видим, что перемена знака произошла бы при ^=exp{ac/ai}«=exp{900} ~ 10400 с« 10390 лет. 7* 195
Рис. 5.10. Затухание «незатухающе- «незатухающего» тока в полом цилиндре из сверх- сверхпроводника II рода (по данным ра- работы [37]) Конечно логарифмическая зависимость не является точной при столь большом изменении В. Например, когда В станет меньше HcU утечка магнитного потока должна прекратиться, поскольку в этом случае линии потока не могут стационарно находиться в объеме сверхпроводника. Тем не менее проведенная оценка дает представление о временных масштабах явления. Таким образом, с практической точки зрения циркулирующие токи являются не- незатухающими, хотя в принципе они где-то в будущем и должны затухнуть. На практике сверхпроводящие магниты работают в режиме незатухающих токов при достаточно малых а. Это необ- необходимо для того, чтобы затухание тока было совершенно неза- незаметно в течение нескольких дней. При этом состояние сверхпро- сверхпроводника эквивалентно такому, которое было бы при начальном значении а=ас, но по прошествии очень большого промежутка времени после начального момента, так что «следующая ^ времен- временная декада» представляет собой исключительно большой период времени. 5.7.2. Тепловая неустойчивость Диссипация энергии, связанная с крипом потока, может при- привести к катастрофическим последствиям, если она выходит из- под теплового контроля, в результате чего материал быстро нагре- нагревается и вся запасенная в магните энергия внезапно переходит в тепловую. Для предотвращения этого эффекта необходимо, чтобы система обладала тепловой устойчивостью, т. е. если в некотором объеме образца произошло увеличение температуры на 6Т, то эта приращение в дальнейшем должно спадать до нуля, а не продол- продолжать нарастать. Условие устойчивости состоит в следующем: для заданного 6Т отток тепла в окружающий материал должен пре- превосходить рост диссипации, связанной с ускорением крипа. Начнем с изучения эффекта воздействия увеличения темпера- температуры дТ на рассеиваемую в единице объема мощность Р. Так как величина а есть объемная плотность силы, то умножение ее на скорость движения вихрей определит интенсивность совершае- совершаемой работы. В результате диссипативных процессов в кернах ли- 196
ний потока эта работа полностью идет на нагревание системы. По- Поэтому для Р можно написать следующее простое равенство: P = av = av0 exp {—(Fo — aL^/kT}. E.95) Из этого выражения при типичных значениях величин, исполь- использованных ранее, получим следующую оценку: X^=_?l_J^_ ^L_=_inJL ^l-«100. E.96) Р дТ kT КГ d(kT) va d{kT) V Таким образом, малое увеличение температуры приведет к значи- значительному большему увеличению нагрева, и если охлаждение не очень эффективно, то возникнет неустойчивость. Для исследования теплового баланса используем уравнение теплопроводности: С-^^КуТ+Р, E.97) в котором С — удельная теплоемкость, К — коэффициент тепло- теплопроводности, а Р — подводимая к единице объема мощность. В стационарном состоянии Т(г) является решением уравнения KV2T+P=Q. Теперь предположим, что в небольшом объеме су- существует флуктуация температуры бГ>0. Вопрос заключается в следующем: будет ли слагаемое KV2FT) достаточно отрица- отрицательным для того, чтобы с избытком превзойти по абсолютной ве- величине (дР/дТ)дТ и обеспечить тем самым отрицательный знак у d(8T)ldt, а значит и устойчивость. Для флуктуации, локали- локализованной в объеме г, слагаемое /CV2F71) по порядку величины будет равно —(К/г2)8Т. Объединяя эту оценку с оценкой E.96), получаем СШ1=(-Х- + Л™.)ВГ. E.98) dt \ г* Т J у Таким образом, условие устойчивости имеет вид К/г2 > 100Р/Г. E.99) Из этого условия видно, что требования являются наиболее жест- жесткими, когда г принимает максимально возможное значение, т. е. когда в отсутствие внутреннего охлаждения оно порядка размера всего магнита. Полезный способ оценки величины Р/Т следует из рассмотрения стационарного превышения температуры ДГ над температурой термостата. Из уравнения КУ2Т+Р=0 получаем, что —К(АТ)/г2 + Р=0. Используя это соотношение для упрощения условия E.99), находим АТ/Г^10-а. E.100) Итак, для предотвращения теплового выхода из-под контроля магнит должен всегда работать в таких условиях, когда стацио- стационарное рассеяние энергии из-за крипа потока настолько мало, что результирующее изменение температуры не превышает 1%. 197
В действительности магниты обычно работают в условиях, в кото- которых термически активированный крип потока пренебрежимо мал и пределы на их характеристики определяются из других сообра- соображений, обсуждение которых будет проведено в следующем раз- разделе. Проведенный анализ показывает, что в правильной конструк- конструкции должна быть предусмотрена хорошая теплопроводность и хо- хороший контакт с гелиевым резервуаром. Материалы с большим Нс2, использующиеся в магнитах, обычно имеют малую длину сво- свободного пробега электронов и, следовательно, низкую теплопро- теплопроводность, что делает их потенциально неустойчивыми. На практике эта тенденция к неустойчивости почти всегда устраняется в ре- результате покрытия сверхпроводника металлом типа меди. Такой слой меди по сравнению со сверхпроводником является диэлектри- диэлектриком, но обеспечивает прекрасный теплоотвод за счет уменьшения объема, приходящегося на провод. 5.8. Сверхпроводящие магниты для переменных полей Кроме обеспечения тепловой устойчивости, наличие медного покрытия будет также приводить к демпфированию изменений магнитного поля вихревыми токами Фуко. Это улучшает стабиль- стабильность магнита по отношению к флуктуациям, но зато ограничивает скорость, с которой могут происходить требуемые изменения поля без чрезмерного рассеяния энергии. Ввиду потенциальной важ- важности сверхпроводящих магнитов для создания импульсных (в ускорителях частиц) и переменных (на промышленных частотах) полей значительные усилия были направлены на нахождение спо- способов производства магнитов, обладающих устойчивостью и в то же время допускающих быстрые изменения поля. В настоящее вре- время наиболее перспективно использование композитных проводни- проводников, состоящих из тонких сверхпроводящих нитей — как прави- правило, ~30 мкм в диаметре, — внедренных в матрицу из нормаль- нормального металла. Подробный анализ такой системы был проведен в работе [38]. В этом разделе будет дано краткое изложение такого анализа. Фундаментально важным оказывается соотношение между скоростями движения тепла и магнитного потока в материале маг- магнита. Из уравнения теплопроводности E.97) можно определить коэффициент тепловой диффузии: E.101) Физический смысл этого параметра состоит в том, что он опре- определяет время, необходимое для диффузии тепла на расстояние L, приводящей к выравниванию температурного градиента: tT = L*lDT. E.101а) Из уравнений Максвелла можно вывести аналогичное соотноше- 198
ние, описывающее диффузию магнитного поля, с коэффициентом диффузии, равным DM = с2р/4л = 109р/4я, E.102) где оба приведенных выражения эквивалентны, если р измеряется соответственно в единицах СГС или в омах на сантиметр. Тогда время, необходимое для диффузии потока на расстояние L, ока- оказывается порядка . E.102а) В чистых металлах при температуре 4 К типичные численные зна- значения этих коэффициентов таковы: Dr = 103 см2/с, Dm=1 cm2/c, т. е. тепло движется гораздо быстрее магнитного потока. Однако в сплавах (таких, как сверхпроводящие материалы в нормальном состоянии или нормальные металлические сплавы) эти численные значения, грубо говоря, меняются местами: магнитный поток дви- движется гораздо быстрее, чем тепло. Отметим, что в композитных нитевидных проводниках DM (Си) »DT сердцевины) ~ 1 см2/с. Учитывая множитель L2 в соответствующих оценках времен, ви- видим, что это приводит к тому, что тепло может уходить от ните- нитевидных сердцевин быстрее, чем магнитный поток успевает диф- диффундировать через матрицу из чистой меди от одной нити к дру- другой. Такое эффективное локальное охлаждение нитей способству- способствует высокой стабильности композитных материалов. 5.8.1. Скачки потока Теперь, заменив анализ крипа потока, проведенный в предыду- предыдущих разделах, более простым, изучим стабилизацию скачков по- потока*. При этом для описания свойств сверхпроводника используем модель критического состояния Бина с плотностью критического тока /с, ниже которой сопротивление отсутствует, а выше которой материал является нормальным. Поскольку крип важен в неболь- небольших интервалах температур и полей, в практически важных слу- случаях такое упрощение является оправданным. Для простоты вычислений рассмотрим одномерную модель, в которой сверхпроводящие слои толщиной d расположены парал- параллельно полю. Координату х будем отсчитывать по оси, нормальной к поверхности слоев, от середины одного из проводников. Огра- Ограничимся обычным случаем достаточно тонкого проводника, в ко- который магнитное поле проникает полностью, т. е. предположим, что H>Hs=2nJcd/c, где Hs — экранирующее поле, определяемое выражением E.73). В этом случае для магнитной индукции В по- получаем В(х) = Н- Dя/с) Je(±d-\x\y E.103) * См, также обзор [41*]. — Прим. ред. пер. 199
При написании этого симметричного выражения с одинаковым значением Н на обеих поверхностях считалось, что полем транс- транспортных токов, текущих по исследуемому проводнику, можно пренебречь. Теперь предположим, что произошло небольшое флуктуацион- ное увеличение температуры на 8Т, приводящее к уменьшению критического тока на bJc={dJJdT)ST. Уменьшение тока вызывает изменение В(х), что приводит к появлению электрического поля Е. Как было показано многими авторами, рассеиваемая мощ- мощность Q, связанная с такой неравновесностью тока, может быть представлена в виде произведения /с на возникшее электрическое поле. Усредняя по единичному объему, для выделившего тепла получаем 8Q = (л/Зс2) &JC&JC. E.104) Результирующее увеличение темпратуры равно 6T'=6Q/C, где С — удельная теплоемкость. Если 8Т'<^8Т, то процесс приводит к конечному значению 8Т, меньшему первоначального, и система оказывается устойчивой относительно таких флуктуации. Из при- приведенных выше соображений следует, что такая ситуация реали- реализуется в случае & <JE!?_ (jz^Is. V1 E.105) Поскольку считалось, что в процессе развития флуктуации тепло не покидает рассматриваемый объем, выражение E.105) является условием адиабатической устойчивости. Таким образом, оно явля- является достаточным критерием устойчивости, так как отвод тепла в медную матрицу будет способствовать уменьшению флуктуации. Для типичных значений параметров нитей из NbTi критерий ста- стабильности приводит к следующему ограничению их диаметра: rf=S0,01 см. Экспериментальные результаты находятся в согласии с этим заключением. На практике для уменьшения потерь з импульс- импульсных полях диаметр нитей d выбирают даже еще меньшим, чем требует критерий устойчивости, что гарантирует безопас- безопасность работы. Интересно найти полное количество выделившегося тепла при уменьшении тока Jc до нуля, т. е. при полном скачке потока. Ин- Интегрируя соотношение E.104), получаем Q= (л/6с2) <L4l. E.106) Предполагая удельную теплоемкость С постоянной, при типичных значениях параметров для увеличения температуры получаем A7=Q/C«3X 104 d2(K)- Для любого достаточно большого диа- диаметра нити d, не удовлетворяющего критерию стабильности E.105), AT будет сравнимо с температурой Т. При столь большом увеличении температуры С(осГ3) будет значительно увеличи- увеличиваться, приводя к возможности выполнения критерия E.105), и 200
рост флуктуации прекратится прежде, чем /с уменьшится до нуля. Такие «частичные скачки потока» приводят к некоторому измене- изменению внутренних экранирующих токов без прерывания транс- транспортного тока. Динамический критерий стабильности можно вывести таким же общим способом, но с учетом характерного времени изменения магнитного потока, а также скорости диффузии тепла в медь. Результат такого расчета совпадает с формулой E.105) с точно- точностью до множителя, по порядку величины равного отношению коэффициентов диффузии DT(сердцевины)/DM(Си), который, как было отмечено выше, обычно порядка единицы. При получении этого результата предполагалось, что температура меди не воз- возрастает. Такое предположение несправедливо для магнитов, ох- охлаждаемых с торцов, так как тепло должно распространиться на значительное расстояние, прежде чем достигнет гелиевой ванны. Как было отмечено Вильсоном и др. [38], в этом случае в критерий стабильности войдут другие параметры системы. 5.8.2. Скрученные композитные проводники Проведенные выше рассуждения показали, что композитные проводники, состоящие из большого числа сверхпроводящих ни- нитей, заключенных в медной матрице, должны обладать прекрасной стабильностью относительно скачков потока. Теперь обратимся к случаю переменных во времени полей, когда через медную мат- матрицу наряду с тепловым потоком будет протекать и электрический ток. В этом случае возможны два механизма потерь: потери, свя- связанные с вихревыми токами в меди, которые зависят от скорости изменения поля, и гистерезисные потери в сверхпроводнике, кото- которые, естественно, не зависят от этой скорости. Как было детально показано, использование тонкой проволоки с изолированными друг от друга витками позволяет снизить потери, связанные с нор- нормальными вихревыми токами. Поэтому гистерезисные потери, как правило, преобладают. Оценим их величину. Возвращаясь к модели с тонкими сверхпроводящими слоями, внутри которых поле определяется выражением E.103), видим, что В(х) = Н, и, следовательно, величина индуцированного элек- электрического поля, согласно закону Фарадея, равна Еу=Нх/с. При- Приравнивая, как и раньше, локальную мощность диссипации энергии в единице объема Р величине JCE и усредняя по толщине сверх- сверхпроводящего слоя, для единицы объема получаем P = Q = JeHd/4c. E.107) Таким образом, тепло, выделяющееся при любом заданном из- изменении АН, как и следовало ожидать для гистерезисных потерь, не зависит от скорости этого изменения. Для диссипации энергии за полный цикл, в результате которого поле изменилось на ±Д# 201
относительно рабочей точки, можно написать выражение Q = =JcdAH/c. Из этого результата следует, что если использовать до- достаточно тонкие сверхпроводящие нити, то эти потери можно зна- значительно уменьшить. При выводе соотношения E.107) предполагалось, что перемен- переменное поле полностью проникает в нить. Это предположение спра- справедливо в тех случаях, когда магнитное поле изменяется в широ- широком диапазоне, например когда в магните поле Я меняется от нуля до Яшах- Однако оно не выполняется при работе в режиме постоянного поля с одновременным наложением на него перемен- переменного поля малой амплитуды ДЯ<Я8. В этом случае необходимо учитывать пространственную неоднородность распределения пе- переменного магнитного поля. В результате получается более точ- точное выражение для потерь при перецикливанип на величину ±ДЯ относительно рабочей точки: ^, E.108а) Принятое ранее приближение E.107) эквивалентно сохране- сохранению лишь первого слагаемого в выражении E.108а). При ДЯ= = Я8, т. е. при наименьшем значении переменного поля, при ко- котором еще происходит его полное проникновение в сверхпроводник, поправочный член в формуле E.108а) уменьшает первое сла- слагаемое в три раза. При этом значении переменного поля анало- аналогичный результат следует из выражения E.1086), в дальнейшем потери уменьшаются как (АНK. Таким образом, истинные потери энергии могут быть гораздо меньше, чем оцененные по формуле E.107). Далее замечаем, что, как следует из выражения E.108), Q->-0 как при d->-0, так и при d-^-oo, т. е. диссипация максимальна при промежуточных значениях d. Это можно объяснить, вводя безраз- безразмерную толщину Р = 2nJcd/cAH = did, = Я./ДЯ, которая является отношением d к такой толщине пластины ds, при которой еще происходит проникновение в нее изменения поля АН. Используя введенное обозначение, перепишем формулы E.108) в следующем виде: Q= (ДЯJ(ЗР-2р2)/6л, р < 1, E.109а) Q = (ДЯJ/6лр, р > 1. E.1096) Эти выражения имеют максимальное значение <2 = 3(ДЯJ/16я при р = 3/4 и стремятся к нулю как при р->-0, так и при р-»-оо. Та- Таким образом, есть две стратегии уменьшения Q: делать р либо достаточно малым, либо достаточно большим. При типичных па- параметрах материалов для обеспечения термической устойчивости 202
диаметр нитей не должен превышать 200 мкм, а сделать их тонь- тоньше ~ 10 мкм весьма трудно. Оказывается, что для типичных зна- значений плотностей критического тока и указанного диапазона из- изменения d в полях Д#<500 Э более толстые нити дают меньшие потери, в то время как нити небольшого диаметра предпочти- предпочтительнее для создания переменных полей большой амплитуды, на- например в импульсных магнитах. То, что нити должны действовать одновременно и независимо друг от друга, накладывает важное ограничение на применимость выражения E.108). Предположение об их независимости выпол- выполняется, если каждая нить электрически изолирована от своих со- соседей. Однако медная матрица обеспечивает хороший электриче- электрический контакт между всеми нитями в одном проводнике. Это при- приводит к существенному изменению распределения тока при боль- больших скоростях изменения поля, так как возникающие разности по- потенциалов могут привести к протеканию тока через медь от одной нити к другой. В этом случае говорят, что нити «связаны», а эф- эффективный диаметр не равен больше диаметру одной нити. На- Напротив, он может возрасти до размеров всего массива большого числа (от 10 до 100) нитей проводника, и эффективность множе- множественности тонких нитей теряется. Эта деградация рабочих харак- характеристик при больших скоростях изменения поля, как было впер- впервые отмечено П. Ф. Смитом, может быть существенно уменьшена скручиванием проводников с шагом, меньшим некоторой харак- характерной длины 1С, который зависит от скорости изменения поля и других параметров. Обратимся к анализу упрощенной модели, которая позволяет продемонстрировать наличие таких свойств у скрученных проводников и определить характерную длину. Рассмотим два тонких сверхпроводящих слоя толщиной d, шириной W и конечной длиной 21, разделенных прослойкой толщи- толщиной d' из нормального металла с удельным электрическим сопро- сопротивлением р, причем для простоты вычислений предположим, что l^>d'^>d. Такая конфигурация представлена на рис. 5.11. Далее предположим, что параллельно ширине пленок W приложено маг- магнитное поле Н, изменяющееся с постоянной скоростью Н. Теперь применим закон Фарадея к различным замкнутым контурам и оп- определим индуцированную э. д. с. и результирующие токи. Вначале определим потери, связанные с вихревыми токами в нормальном металле, в отсутствие сверхпроводников. Если отсчи- отсчитывать координату х от середины слоя нормального металла, то EyttHx/c и ЕХ<^ЕУ. Локальное значение рассеиваемой мощности в этом случае равно Я=/? = ?2/р. Усредняя по координате х, для среднего значения рассеиваемой в единице объема мощности получаем Р = ПЧ'2П2рс2. E.110) Если положить величину d' равной полному диаметру компо- композитного проводника, то можно оценить потери, обусловленные вих- 203
Шерхпроводник Рис. 5.11. Ламинарная модель композитного проводника, состоящего из боль- большого числа нитей. Как показано в тексте, применение закона Фарадея к замк- замкнутым цепям, одна из которых представлена на рисунке пунктиром, позволяет приблизительно определить токи и конфигурации э. д. с. в различных случаях ревыми токами, в отсутствие сверхпроводников. Чтобы получить представление о величине этих потерь, рассмотрим в качестве при- примера магнит с намоткой из провода диаметром 0,05 см и удельным сопротивлением р = 0,01рси C00 К). В этом случае РдаЮ-12 Я2, где под Я2 следует понимать среднее значение этой величины по объему катушек магнита. Даже при таких больших скоростях из- изменения, как 103 Гс/с, для магнита с объемом катушек 103 см3 эти потери составят всего 10~3 Вт.- Однако при работе на переменном токе, когда Я=соЯтах, эти потери на технических частотах могут стать весьма значительными. Например, на частоте 60 Гц и при Ятах=Ю4 Гс для магнита с объемом катушек 103 см3 Р равно 104 Вт, что является недопустимо большой величиной при охлаж- охлаждении до 4 К- Для уменьшения этой величины до разумных значе- значений нужно использовать более тонкий провод и заменить медную матрицу сплавом с более высоким удельным сопротивлением при низких температурах. Однако снизить таким образом потери бо- более чем в 103 раз трудно. Из приведенных рассуждений можно сде- сделать следующее заключение. Потери, связанные с наличием вих- вихревых токов в нормальном металле, можно уменьшить до прене- пренебрежимо малых значений в диапазоне сравнительно небольших скоростей изменения поля, но при скоростях порядка 104 Гс/с они будут настолько значительны, что справиться с ними будет труд- трудно *. * Может показаться странным, почему такие потери не порождают пробле- проблему отвода тепла в обычных трансформаторах. Основное отличие заключается в том, что даже для полей в железном сердечнике В»104 Гс поля в катушках из медных проводов составляют 10 Гс, поэтому потери на вихревые токи про- происходят в основном в сердечнике. Их уменьшают разбиением сердечника на слои толщиной 0,04 см; кроме того, р кремнистой стали примерно в 500 раз превы- 204
Теперь учтем наличие сверхпроводящих слоев. Применим за- закон Фарадея к замкнутому контуру, проходящему, как показано на рис. 5.11, через оба сверхпроводящих слоя. До тех пор пока плотность тока в сверхпроводящих слоях меньше критической плотности /с, все индуцированное напряжение падает на участке, проходящем через нормальный металл, приводя к плотности тока между слоями, равной /1=#г//ср. Интегрируя по координате у, получаем, что полный ток, текущий на длине Дг/=/с с одного слоя на другой, становится равным критическому току этого слоя при E.111) Таким образом, если /</с, то предположение об отсутствии па- падения напряжения в сверхпроводнике оказывается самосогласо- самосогласованным и циркулирующие токи не приводят к рассеянию энергии в сверхпроводнике. Однако потери на вихревые токи в нормаль- нормальном металле сильно возрастут, так как э. д. с. самоиндукции падает на значительно более коротких расстояниях. Вследствие этого мно- множитель d'2 в выражении E.110) надо заменить на B1J. Однако при 1~>1С плотность тока в центре сверхпроводника должна была бы превзойти /с, что указывает на то, что сделан- сделанное предположение об отсутствии диссипации уже не является са- самосогласованным. Реальная физическая ситуация состоит в том, что в центральной части слоев, т. е. на расстояниях, больших 1С от краев, плотность сверхтока постоянна и равна /с. Поэтому ток не будет вытекать из сверхпроводника в нормальный металл, и, следовательно, падение напряжения в нем будет отсутствовать. Таким образом, вся э. д. с. будет приложена к центральной части сверхпроводника, приводя к появлению в ней напряженности элек трического поля, равной Hd'[2c. Возникающая при этом плотность рассеиваемой энергии равна JcHd'l2c, т. е. точно тому же значе- значению, которое получилось, если бы прослойка из нормального ме- металла была заменена массивным сверхпроводником. Если усред- усреднить возросшие потери в меди на участках длиной 1С вблизи каж- каждого из концов структуры, в которых компонента плотности тока Jx в нормальном металле изменяется как (Н/ср)[у—(I—/е)], то ока- окажется, что плотность потерь равна 2/3 плотности энергии, рас- рассеиваемой в центральной части сверхпроводника. Таким образом, при 1>1С теряется весь выигрыш от использования сверхпроводя- сверхпроводящих слоев. При скоростях изменения магнитного поля от 10 до 104 Гс/с длина 1С заключена, как правило, в диапазоне от 10 до 100 см. Ясно, что в работающих магнитах длина намотки значительно пре- превосходит 1С. Однако, как было отмечено Смитом, можно нарушить шает р меди при 4 К. Все это уменьшает плотность рассеиваемой энергии при- примерно в 1000 раз, т. е. настолько, что становится возможным теплоотвод при комнатной температуре. 205
связь между нитями, если скрутить провод с шагом, значительно меньшим 1С. При этом каждый раз, когда нити меняются местами в пространстве, происходит смена знака индуцируемой э. д. с, что позволяет поддерживать индуцированные в сверхпроводнике токи на уровне ниже /с. В этом случае диссипация определяется поте- потерями, обусловленными вихревыми токами в нормальном металле. Чтобы прямо применить полученные выше для двух плоских слоев результаты к проводу, содержащему большое число слоев из нитей, потребовались бы специальные предположения о гео- геометрии провода. Тем не менее можно оценить эффективную длину ic', приравнивая полный индуцированный вихревой ток полному критическому току нитей, расположенных по одну сторону от цент- центра провода. Если под d' понимать теперь диаметр связки нитей в проводе и предполагать, что фактор заполнения равен 1/2, можно получить следующее обобщение выражения E.111): l'c = cJcd'p/2H = d'fjU. E.112) Таким образом, следует ожидать уменьшения избыточных потерь в /2//с2 раза по сравнению с потерями в массивном сверхпровод- сверхпроводнике диаметром d'. Отметим, что при таком определении 1С и 1С шаг «скрутки» на 2л обозначен 4/. Если теперь сложить дополнительные потери, обусловленные связью между нитями, с потерями для полностью изолированных нитей, определяемыми выражением E.107), то выражение для полной энергии, рассеиваемой в единице объема, можно переписать в удобной форме: P = JcHd^o, E.113) где d^^d', />?, E.113а) /< С E.1136) Отметим, что при получении результата E.113) учитывалось лишь основное слагаемое в выражении E.108а), что справедливо при малых d и больших АН. Как и следовало ожидать, Р пропорцио- пропорционально Hd при малых значениях Н, когда нити не связаны друг с другом, и пропорционально Hd' при больших Н, когда нити пол- полностью связаны. В промежуточной области между этими двумя случаями Р растет как Н2, так как 1~2осН. Величина Р квадра- квадратично зависит от Я и в том случае, когда преобладают потери,, определяемые выражением E.110) и связанные с вихревыми то- токами в нормальном металле. Это произойдет, когда H^pcJJd' ^ ^ 107 Гс/с. Следовательно, в практически используемом в на- 206
стоящее время диапазоне значений Я потери в основном опреде- определяются выражением E.113). Для типичных значений параметров значение этой рассеивае- рассеиваемой мощности заключено в интервале от 10~6 до 10~5 Я Вт/см3 в зависимости от размеров нити и степени их связи. Отмечая, что сверхпроводником заполнена только часть объема и что среднее значение Я по намотке, как правило, не превышает половины сво- своего значения во внутреннем отверстии, видим, что потери могут быть малыми — порядка 10~7 Я Вт/см3. Эта оценка получена для полного объема намотки; Я — поле в отверстии. Такой уро- уровень уже достигнут [39]. Как итоговый показатель качества магнитов определим от- отношение энергии, запасенной в магнитном поле, к энергии, рас- рассеиваемой в процессе включения и выключения поля. Для про- простоты рассмотрим соленоид длиной L, радиусом R, с толщиной обмотки D при D<g.R<^.L. Тогда запасенная энергия равна Ета шяЯ2Ь(Н2/8л). Считая нити независимыми, воспользуемся для оценки рассеиваемой энергии выражением E.107). Сокращая фак- фактор 2, связанный с включением и выключением поля, с фактором 1/2, дающим отношение среднего поля по обмотке к полю в от- отверстии, для полной рассеиваемой за цикл энергии находим Д? = =>2nRLD(JcHd/4c). Беря нужное отношение и замечая, что Я= =4nJD/c, получаем E/AE = (J/Jc)(R/d). E.114) Таким образом, при /»/с для доступных в настоящее время ма- материалов при i?~2 см искомое отношение порядка 1000. И дей- действительно, уже в ранних экспериментах [40] были достигнуты отношения E/AE<Zl00 даже при работе ниже /С. Для сравнения то же отношение для магнита с катушками из нормального ме- металла, обладающего конечным сопротивлением, дается следую- следующим выражением: Е/АЕяп/At, E.115) где x = L/R — постоянная времени магнита, а At— длительность импульса. Замечая, что величина т примерно равна 2nDR/c2p (это дает ~10 с для типичных размеров и значений сопротивле- сопротивления чистых металлов при низких температурах), видим, что сверх- сверхпроводящие катушки должны быть более эффективными, чем ох- охлаждаемые катушки из нормального металла, при длительностях импульсов, превышающих 0,01—0,1 с. Именно по этой причине в настоящее время разрабатывают сверхпроводящие катушки для генерации интенсивных импульсных полей, требуемых в ускорите- ускорителях частиц. Возможно, что эти разработки откроют путь и к дру- другим применениям сверхпроводящих магнитов для создания силь- сильных переменных полей.
Глава 6 ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В 1962 г. Джозефсон * [1] высказал смелую гипотезу, что тун- туннельный переход должен пропускать не только обычный туннель- туннельный ток квазичастиц, который впервые наблюдал Гьевер (см. разд. 2.8), но и сверхток при нулевом напряжении из-за туннели- рования сконденсированных пар. Далее он предсказал, что если на переходе поддерживать постоянную разность потенциалов V, то ток будет переменным с частотой \ — 2eV/h. Хотя к этим предсказаниям первоначально отнеслись скепти- скептически**, они получили полное экспериментальное подтверждение. Сейчас стационарный эффект Джозефсона уже используется в очень чувствительных гальванометрах и магнитометрах, а на не- нестационарном эффекте основаны точные измерения отношения h/e. Более того, сейчас ясно, что фундаментальные идеи Джозеф- Джозефсона применимы к любой достаточно точно локализованной «сла- «слабой связи» в сверхпроводящей цепи, а не только к туннельному переходу с изолирующим барьером, который рассматривался пер- первоначально. Например, слабой связью может служить короткое су- сужение в поперечном сечении сверхпроводника, точечный контакт между сверхпроводниками или тонкий слой нормального металла, а не диэлектрика, как в туннельном переходе. 6.1. Джозефсоновские соотношения между током и фазой Из-за общности явлений не будем давать строгий микроско- микроскопический вывод для какого-нибудь частного случая, например для туннельного перехода. Вместо этого будем следовать феноменоло- феноменологическому подходу, который был использован при выводе теории Гинзбурга—Ландау, обращаясь к микроскопической теории в ос- * В качестве прекрасного более позднего обзора можно рекомендовать обзорную статью Джозефсона B]; описание истории открытия дано в его Нобелевской лекции [3]. ** Казалось, что если амплитуда вероятности туннелирования для одного электрона равна ехр{—ad}«d, так что вероятность туннелирозания равна ехр{—2ad}, то вероятность туннелирования для двух электронов должна состав- составлять ехр{—4ad}«Cexp{—2ad}, в результате чего туннелирование пар должно быть пренебрежимо малым. В таком рассуждении не принята во внимание коге- когерентность процесса туннелирования пар, из-за которой ток пар оказывается пропорциональным первой степени амплитуды вероятности туннелирования пары ехр{—lad), т. е. тому же самому фактору, что для некогерентного одночастич- ного туннелирования. 208
новном лишь для нахождения значений параметров. На феномено- феноменологическом уровне джозефсоновский переход заменяется «черным ящиком», через который протекает ток с плотностью, определяе- определяемой теми значениями функций массивных сверхпроводников по обе стороны перехода г|\ которые они имеют на переходе: / = = /(^ь ^z). Определим функциональную зависимость f. Для начала рассмотрим переход как предел обыкновенного' сверхпроводящего слоя толщиной d при одновременном стремле- стремлении d и |\|з|2 к нулю таким образом, чтобы получить конечные результаты. Следуя уравнению D.32) и принимая х за направле- направление тока через слабую связь, получаем 2еК / dq> 2nA. где ф есть фаза функции г|з(л:) = | i|j | exp {icp (я)}. Предполагая, что> величина \ty\2, так же как Jx, сохраняется постоянной по тол- толщине d, можно переписать это выражение в виде Jx = Joy, F.2> где /о является постоянной, характеризующей переход (в нашем случае 2е h |г|з 2fm*d), a 2 7 = Фа — Ф! ^-\Ajlx F.3> является «калибровочно-инвариантной разностью фаз» между точками 1 и 2 на противоположных сторонах перехода. Заметим, что член с вектор-потенциалом стремится к нулю при d->-0, если только А при выбранои калибровке не обращается в бесконечность на переходе. Выражение F.2) было бы справедливо для длинного проводника, в котором фазу <р(х) можно рассматривать как ве- величину непрерывную вдоль проводника, однако оно явно неудов- неудовлетворительно для локализованной слабой связи, в которой опре- определена только полная разность фаз у, так как разность фаз между двумя точками определена с точностью до 2л. Этому условию- удовлетворяет не соотношение F.2), а формула типа Jx = Josiny, F.4) которая согласуется с соотношением F.2) для малых значений л, но в которой Jx является периодической, что соответствует усло- условию неотличимости у + 2п от у. Именно в форме F.4) это вы- выражение было получено Джозефсоном для случая слабосвязан- слабосвязанного туннельного перехода; в более общем случае возможен про- произвольный ряд Фурье из синусов ky. Действительно, для некото- некоторых видов слабых связей наблюдались малые отклонения от за- закона F.4) [4] *. * Для слабой связи (т. е. джозефсоновской структуры с непосредственной проводимостью) формула F.4) была получена из уравнений ГЛ Асламазовым и Ларкиным [57*]; см. также обзор [58*].—Прим. ред. пер. 209'
Туннельный ток в нормальном состоянии iriToTnapУ этичный туннельный ток Ступеньки ~ .Шапиро Рис. 6.1. Сравнение максимального джозефсоновского туннельного тока пар при нулевом напряжении с ква- квазичастичным туннельным током и с туннельным током, когда оба сверх- сверхпроводника находятся в нормальном состоянии. Пунктирная кривая пока- показывает ступеньки Шапиро, которые возникают при воздействии СВЧ-по- ля (см. разд. 6.4). Интервал между ступеньками составляет ДУ= =Av/2e 2А eV Для случая туннельного перехода при Т = 0 Андерсон [5] на- нашел, что /0=лА/2е/?п, где /?„ — сопротивление туннелирования через единицу площади перехода в случае, когда оба металла на- находятся в нормальном состоянии*. Этот результат был обобщен Амбегаокаром и Баратофом на произвольные температуры [6]. Для двух идентичных сверхпроводников для /0 получаем лД (Г) ,, Д (Т) th- 2kT F.5) причем, как оказалось, температурная зависимость /о имеет та- такой же вид, как для а2/ап в однородном сверхпроводнике B.125). Заметим, что для Т<?.ТС максимальный сверхток, допускаемый соотношением F.4), должен быть всего в л/4 раза меньше квази- квазичастичного тока при напряжении eV=2A, соответствующем энер- энергетической щели. Это предсказание очень хорошо подтверждается экспериментально (рис. 6.1), причем отклонение максимального значения сверхтока от теоретического значения часто составляет всего несколько процентов. Для типичных переходов максималь- максимальной сверхток порядка 1 мА. Если вместо туннельного перехода рассматривается слабая связь, сформированная короткой узкой перемычкой, коэффици- коэффициент перед sin у обычно сравним по величине с критическим то- током IC—JCA, где /с — критическая плотность тока, А — площадь поперечного сечения слабой связи. В очень коротких мостиках** близость концов мостика к массивным сверхпроводникам может увеличивать /с. Однако тепловые эффекты при конечных значени- значениях напряжения могут вызывать значительное уменьшение эффек- эффективного значения /0 по сравнению с током, необходимым первона- первоначально для достижения резистивного состояния [8]. Таким обра- * Такой же результат был получен в оригинальной работе Джозефсона, но с численной ошибкой в коэффициенте. ** Обсуждение зависимости тока от фазы в коротких слабых связях можно найти в работе [7]. 210
зом, указанная формула для значения /0 является точной лишь в. случае туннельного перехода. До сих пор обсуждалось поведение сверхтока слабой связи.- Однако при конечном напряжении V на переходе появится также диссипативный «нормальный» ток, переносимый квазичастицами, который обозначим G0V. Около Тс величина Go близка к прово- проводимости в нормальном состоянии Gn, которую переход имеет при температурах несколько выше Тс. Для туннельного перехода эта проводимость падает по мере уменьшения Т, как обсуждалось в разд. 2.8 в связи с туннелированием Гьевера; в других слабых связях проводимость G может изменяться иначе. Джозефсон отметил, что кроме этой простой квазичастичной проводимости имеется другой член, зависящий от фазы, который может быть записан как (GHHTcos у) V; он отражает интерферен- интерференцию между парным и квазичастичным токами. Итак, для УфО и для произвольного типа слабой связи формулу F.4) можно обобщить: / = /0 sin v + (Go + GraT cos у) V, F.4a) где Go и Ghht. в свою очередь, могут быть функциями V. Экспери- Эксперименты Педерсена и др. [9] по туннельным переходам, Фалко и др. [10] по тонкопленочным слабым связям и Винсента и Дивера [11] по точечным контактам продемонстрировали существование этого парноквазичастичного интерференционного члена, и все экспери- эксперименты показали, что Gum/Go——1- В последнее время этот резуль- результат привлек большое внимание, так как оказывается, что микро- микроскопическая теория [12—13] дает положительный знак для этого соотношения. Однако можно привести простые аргументы, осно- основанные на соотношениях Крамерса—Кронига*, которые показы- * М. Тинкхам и М. Р. Бизли (не опубликовано) рассмотрели предельный случай низкого напряжения, в котором задача может быть линеаризована. В случае, когда на переходе задано малое переменное напряжение V(co)coscof и нулевое постоянное напряжение, разность у, как показано ниже [см. выраже- выражение F.276)], лишь незначительно отклоняется от рабочей точки уц. Тогда член /о sin у будет иметь вид /(ш) = Be/0/ftco) -cos y0 V(co)sin at. Этот сверхток может быть представлен мнимой проводимостью Y® = Be/o/fao)cos Yo, по виду напоминающей аг/а,, ~ 1/ю B.125). Более того, уже отмечалось в связи с соот- соотношением F.5), что температурная зависимость коэффициента 10 такая же, как О2/ап. Сопряженной величиной для y\ по Крамерсу—Кронигу (см. фор- формулу B.96) и ее обсуждение) является член У ° = (ле/о/Й.) cos уоб(со), который описывает поглощение энергии, идущей на создание кинетической энергии джозефсоновского сверхтока. Если теперь постулировать, что отклик сверх- сверхжидкости срезается при Йсо>2Д, как это происходит с Сг/о*,,, соотношения Крамерса—Кронига B.96) показывают, что между ш = 0 и 2A/ft должен быть отрицательный вклад в Yi, такой, чтобы его интеграл по частоте скомпенсиро- скомпенсировал Y j.- Это правильно объясняет наблюдаемый отрицательный знак и порядок величины интерференциального члена ОинтСову в формуле F.4а). Как этот результат может быть -согласован с микроскопическим теоретиче- теоретическим предсказанием положительного знака? Если бы перед уменьшением 211
вают не только необходимость существования члена с cosy, но и дают правильный знак и порядок величины. Таким образом, эта ситуация пока является весьма неясной и необходимы дальнейшие исследования, чтобы решить спорные вопросы. В дальнейшем будем обычно пренебрегать этим членом, так как его влияние заметно лишь при детальном анализе отдельных экспериментов. Даже простой член G0V не играет роли в равновесных свойствах при нулевом напряжении, которые включают стационарный эффект Джозефсона. 6.2. Воздействие магнитного поля Когда сверхпроводящее туннелирование наблюдалось впервые, его ошибочно объясняли возникновением в изолирующем слое сверхпроводящих закороток малых размеров. Ошибка такого объяснения была выявлена после наблюдения очень сильного подавления максимального сверхтока даже слабыми магнитными лолями в противоположность тому, что можно было бы ожидать для сверхпроводящих закороток. Рассчитаем на основе соотноше- соотношения F.4) зависимость тока от магнитного поля. Рассмотрим туннельный переход, нормальный к оси х с раз- размерами в плане Y и Z, в магнитном поле Н, параллельном оси г. Положим, что толщина изолирующего барьера равна d, а тол- толщины двух сверхпроводящих электродов много больше X. Далее предположим, что туннельные токи пренебрежимо малы по срав- сравнению с диамагнитными экранирующими токами. Выберем калиб- калибровку для А такую, что А=Ау(х)у, и hz = dAy/dx. При этом выборе калибровки ф является функцией только у, так. как величина 2Я А 66> имеет только компоненту по оси у, и как вектор А, так и вектор vs для экранирующих токов, дающих эффект Мейсснера в двух сверхпроводниках, направлены по оси у. Зависимость этих вели- до нуля на более высоких частотах У2 имело положительную особенность на частоте щели, как было предсказано в работах Риделя [14] и Верт- хамера [15], то соотношения Крамерса—Кронига давали бы положительный знак. Но пока не ясно, должен ли риделевский пик существовать в зависимости У2 от частоты при частоте приложенного сигнала Йш = 2А; на самом деле осо- особенность наблюдается при приложенном напряжении eV=2h, а в этих экспери- экспериментах постоянное напряжение равно нулю, а переменное — очень мало. Поэто- Поэтому теоретический анализ в данном случае неприменим, так как он рассчитан для условий, которые существенно отличны от условий эксперимента. (В настоящее время этот вопрос выяснен — см. работу [59*]. Оказывается, что обычная теория эффекта Джозефсона дает положительный знак члена с cos ф и что следующие из нее результаты находятся в согласии с дисперсион- дисперсионными соотношениями Крамерса — Кронига [60*]. Однако учет даже малых отклонений от стандартной теории приводит к изменению знака этой компонен- компоненты одновременно с соответствующим изменением компоненты, сопряженной с ней по Крамерсу—Кронигу. — Прим. ред. пер.) 212
чин от х приведена на рис. 6.2. Так как q>(r/) не зависит от х, можно определить его при лю- любых х. Это удобно сделать на такой глубине в сверхпроводни- сверхпроводниках, где vs=0, hz=0, Ay=A(oo). Тогда из формулы F.6) полу- получаем, что dq>/dy= Bп/Фо)Ау, от- откуда 4>(у) = <р@) + Bя/Ф0) А(<*>)у. F.7) Соответственно, разность фаз* на переходе -А^оо^у. F.8) Удобно переписать это выраже- выражение в ясной калибровочно- инвариантной форме. Это удает- удается сделать, используя тот факт, что & A-ds представляет собой поток, заключенный внутри пути интегрирования, следовательно, [А2(оо)—А1(оо)]у = Ф(у) есть поток, заключенный между О и у в барьере и в областях про- проникновения поля в сверхпровод- сверхпроводники. Итак, формулу F.8) мож- можно преобразовать к виду -i A vsy~Jsy X x —ч Г Рис. 6.2. Пространственная зави- зависимость плотности сверхтока, магнитного поля и вектор-потен- вектор-потенциала в барьере и прилегающих областях двух сверхпроводников, образующих джозефсоновский пе- переход 2лФ (у) _ 2лЯ BЯ, + d) у Ф„ ~~ Фп F.9) Это выражение содержит только калибровочно-инвариантные величины. Как пример калибровочной инвариантности полученных результатов, пока- покажем, как у вычислялось бы в лондоновской калибровке, при которой Ау(х) спадает до нуля на границе сверхпроводников и везде является действительным, в результате чего ф! = ф2 = 0. При произвольном преобразовании калибровки от А к A' = A + VX F.10а) ¦ф преобразуется к |j' = г|з ехр (! 0). F.106) * Заметим, что в выбранной калибровке интеграл от Axdx в формуле F.3) равен нулю, так как Ах = 0. При этом получаем у = фг—фь чт0 и используется в формуле F.8). 213
Так, если хотим, чтобы т|/ было действительным, в то время как \|j допускает изменение фазы F.7), необходимо выбрать F.11a) где i=l,2, так что в любом сверхпроводнике At = Aj—/lt- (оо) у. F.116) Заметим, что в отличие от Ау величина А изменяется почти скачком на величину Л2 (оо) —Ai (оо) на барьере толщиной d. Но, для того, чтобы вычис- вычислить у F.3), необходимо знать величину Ах на барьере. В первоначальной калибровке Ах везде равнялось нулю. Из выражения F.10а) следует, что Ax=dy^/dx. Согласно формуле F.Па), величина Ах равна нулю в обоих сверх- сверхпроводниках, но в барьере она должна быть достаточно большой, так что 2 2 —— dx = Хг — Xt = \АХ (оо) — Ла (оо)] у + + (Ф0/2л)[ф1@)-ф2@)], F.12) Подставляя это выражение в F.3) и учитывая, что Ф1 =ф2 =0, получаем то же самое значение у, которое приведено в формуле F.8). Этот пример пока- показывает, что y действительно является калибровочно-инвариантной величиной, как и указывалось ранее. Проанализируем теперь следствия, которые вытекают из вы- выражения F.9) для пространственного изменения относительной фазы у- Так как у изменяется линейно по оси у, а плотность тока F.4) является периодической функцией у, очевидно, что токи в различных частях площади перехода могут взаимно уничтожаться, создавая нечто вроде дифракционной картины. Точнее, полный ток через переход равен У/2 У/2 1 = 2 f J(y)dy = ZJ0 j" i -У/2 -У/2 w__ F13) где VZ— площадь перехода, a (& = HY{2h+d)—полный поток, заключенный в переходе. При заданном Ф ток / зависит от раз- разности фаз -у(О) в центре перехода. Эта разность фаз устанавли- устанавливается таким образом, чтобы ток в переходе был равен току, заданному внешним источником, так же как в сверхпроводящем проводе градиент фазы устанавливается в соответствии с задан- заданным током. Но, так как значения sin по модулю не могут превы- превышать единицы, выражение F.13) показывает, что максимальный сверхток через переход в зависимости от приложенного поля равен ¦"тих ¦шах sin (яФ/Ф„) яФ/Фв 214 F,14)
Рис. 6.3. Зависимость максимального сверхтока через джозефсоновский пе- переход от потока в переходе. Оче- Очевидно сходство с оптической одно- щелевой дифракционной картиной (дифракция Фраунгофера) -а- -2 Эта предсказанная «дифракционная картина», показанная на рис. 6.3, была тщательно экспериментально проверена, что убеди- убедительно доказало правильность теории этого эффекта. В каждой узловой точке Ф равняется целому числу квантов потока Фо, и относительная фаза у изменяется от одного конца перехода до другого на 2лп, где п — целое, вызывая исчезновение полного тока. Если не считать туннельный ток пренебрежимо малым, то мож- можно обнаружить новые особенности джозефсоновскнх переходов. Оказывается, джозефсоновский ток стремится экранировать маг- магнитное поле снаружи от перехода, проявляя слабый эффект Мейсснера. На средней линии перехода экранирование поля описы- описывается соотношением —-= Jx=—Josmy. F.15) ay с с Замечая, что Ф(у) в уравнении F.9) определяется выражением у Bк -\- d) Г h(y')dy', где h(y) уже нельзя брать равным приложен- приложенному полю Н, получаем Дифференцируя это соотношение и используя формулу F.15), находим 1 ^4=-^sin7, F.16) где Kj = [сФ0/8яЧ0BК + d)}'\ F.17) Величина Xj для типичных значений параметров порядка 1 мм. Очевидно, что, если у^1> она играет роль глубины проникнове- проникновения, так как в этом случае уравнение F.16) принимает вид 7T=JT F<18) j и имеет экспоненциальные решения вида у- ехр{+ y/Xj}. Такие экспоненциальные решения, когда у, h и /х экспоненциально 215
уменьшаются до нуля при удалении в глубь перехода, возможны только в случае, когда внешнее поле на конце перехода много меньше 4nJokj/c. Когда величина у не ограничена малыми значе- значениями, то природу получаемых решений легче понять, если заме- заметить, что уравнение F.16) имеет ту же форму, что и дифферен- дифференциальное уравнение для маятника, с точностью до замен у ->¦ t, 7 -*¦ 9 и XJ -> coo = glL, где 0 — угол отклонения маят- маятника от верхнего положения равновесия и ш0—его собственная частота. При такой замене решение F.9) для у, полученное в пренебрежении влиянием джозефсоновского тока на магнитное поле, соответствует движению маятника, вращающегося с такой большой кинетической энергией, что гравитационное ускорение является несущественным. В уравнении F.16), это соответствует Kj-*-oo, следовательно, d2y/dy2=0, величина dy/dy постоянна и ток вдоль оси у изменяется по синусоиде. Учет конечной ширины пере- перехода У означает, что решение аналогично такому решению для маятника, при котором за конечное время Т маятник совершает столько оборотов, сколько осцилляции делает функция у(у). Если теперь рассмотреть маятник, двигающийся с энергией, меньшей, чем в предыдущем случае, но еще недостаточной, чтобы иметь ненулевую кинетическую энергию в верхнем положении рав- равновесия, движение 6@. и следовательно изменение у (у) будут периодическими, но не гармоническими. Это приводит к несинусо- несинусоидальному периодически меняющему знак распределению тока ]{у). Наконец, предел эффекта Мейсснера соответствует маятнику, двигающемуся с энергией, едва достаточной, чтобы проходить через верхнюю точку, так что, начиная движение с начальной угловой скоростью (dQ/dt)o при начальном угле 60, он замед- замедляется почти экспоненциально по мере подъема, очень медленно проходит через верхнюю точку, где 6 мал, и затем экспонен- экспоненциально ускоряется вниз по другую ее сторону, восстанавливая начальную угловую скорость при угле —8о. Если угловая ско- скорость в верхней точке пренебрежимо мала по сравнению с началь- начальным значением, то величины Qo и (dd/dtH связаны законом сохра- сохранения энергии и не являются независимыми. Возвращаясь к за- задаче о джозефсоновском переходе, соответствующие начальные условия можно представить 2л# \3/о, , ... dy Jq ;.2 Отсюда получаем cos То = 1 — (сН/Ш0^)*/2. F.19) Таким образом, для слабых полей величина у0 (значение \у\ на краях перехода) определяется равенством ¦у0 = 216
Рис. 6.4. Схематическое изображение сверхпроводящего квантового интерфе- интерферометра. Крестики А и В показывают две слабые связи, например точечные контакты. Остальная часть схемы обра- образуется массивными сверхпроводниками. Максимальный сверхток / через две па- параллельные ветви является периодиче- периодической функцией потока Ф в кольце Для самых сильных полей, которые могут быть экранированы, величина -уо оказывается равной я, а поле определяется величиной Я1 = 8х[/0^/с, F.20) которая обычно ~ 1 Э. Это поле Я4 приблизительно* соответст- соответствует величине Я4 в сверхпроводнике II рода, так как для любого большего поля мейсснеровское состояние уже невозможно. Продолжая аналогию с массивными сверхпроводниками, отметим, что максимальный сверхток, который может пропускать широкий переход, ограничивается как раз величиной /0 в поверх- поверхностном слое толщиной ~Xj по периметру перехода. Любой боль- больший ток будет приводить к магнитным полям, .большим #i, и, •следовательно, к установлению периодического «вихревого» со- состояния, которое в присутствии транспортного тока становится диссипативным. Дальнейшее обсуждение ситуации будет прове- проведено ниже. 6.3. Сверхпроводящие квантовые интерферометры Увеличением площади, на которой поток эффективно вызывает фазовые изменения, можно получить интерференционную картину, дающую лучшее разрешение по магнитному полю, чем даваемое формулой F.14). Это можно легко сделать, используя два отдель- отдельных джозефсоновских перехода, включенных в сверхпроводящее кольцо [16—18], как показано на рис. 6.4. Такое же улучшение разрешения может быть получено при использовании одиночного перехода в сверхпроводящем кольце, но тогда интерференционную картину можно обнаружить, только измеряя импеданс кольца на переменном токе, так как на постоян- постоянном токе кольцо с переходом всегда представляет собой коротко- замкнутую цепь. Для простоты будем рассматривать вначале лишь двухконтактный интерферометр постоянного тока, обсужде- обсуждение высокочастотного случая отложим до разд. 6.6. Так как обычно в эксперименте используются точечные кон- контакты, упростим анализ, сделав предположение, что магнитный * Точнее, экранирование при #i является лишь метастабильным. Как было показано Джозефсоном путем расчета полной свободной энергии, максимальное значение Н, для которого экранирование будет термодинамически устойчивым, разно Hc, = 2Ht/n. 217
Рис. 6.5. Зависимость максимального сверхтока через симметричный двухкон- двухконтактный сверхпроводящий интерферометр (сквид), показанный схематически на рис. 6.4 (от потока Ф в кольце интерферометра. — Прим. ред. пер.). поток через каждый переход пренебрежимо мал*. Если сделать еще одно упрощение, предполагая, что оба перехода имеют оди- одинаковое значение /0, то можно записать полный ток через парал- параллельную цепь в виде sinyB). F.21) Используя те же аргументы, что и при выводе уравнения F.9), можно получить, что уА и ув не являются независимыми разно- разностями фаз, а связаны соотношением F.22) где теперь Ф — полный поток через кольцо. Находя максимальное значение тока /, получаем /шах = 2/0| С08(яФ/Фо) | F.23) при разности фаз на двух переходах — я + лФ/Ф0. Как показано на рис. 6.5, максимальный ток /Шах имеет наи- наибольшее значение, когда в кольце находится целое число квантов потока, и равен просто сумме критических токов двух переходов. Когда в кольце находится полуцелевое число квантов, значение Лпах уменьшается до нуля. В общем случае, если переходы имеют различные значения /0, при полуцелых значениях Ф/Фо величина /шах уменьшается до ненулевого минимального значения \1оа—1ов\- Если площадь петли магнитометра равна ~ 1 см2, период интерференционной картины соответствует изменению поля примерно на 10~7 Гс. При площадях 0,1 см2 (которые наи- наиболее типичны на практике) возможно наблюдение интерферен- интерференционной картины с таким высоким отношением сигнал—шум, что разрешение будет порядка 0,001 периода. Другими словами, мож- можно измерять изменение потока ~ 10~10/Гс-см2, соответствующее изменению поля ~ 10~э Гс. В связи с очевидными потенциальными- * Если это не так, то на резкую интерференционную картину от двух переходов наложится плавная однощелевая дифракционная картина от каждого одиночного перехода. 218
возможностями для применений сверхпроводящие интерферо- интерферометры подробно описаны в литературе, причем для интерферо- интерферометра обычно используется название «сквид»*. Зиммерман и Мерсеро [19] впервые применили сквид в каче- качестве магнитометра, чтобы обнаружить вхождение отдельных вихрей Абрикосова в тонкий ниобиевый провод. Позднее сквид был использован Бизли и др. [20] для наблюдения характерной временной зависимости крипа потока в жестких сверхпроводни- сверхпроводниках, обсуждавшейся в разд. 5.7. Одним из недавних применений сквида в сверхпроводимости, использующих его полную чувстви- чувствительность, было измерение Голлубом и др. [21] увеличения диа- диамагнетизма нормального состояния при температуре выше Тс из-за термодинамических флуктуации (к этой теме вернемся в следующей главе.).** В дополнение к практическому использованию для чувстви- чувствительных измерений, успешная работа этих сверхпроводящих интерферометров дает наиболее непосредственное и убедительное доказательство того, что квантовая фазовая когерентность функ- функции ф распространяется на макроскопические расстояния, или, используя обратное выражение Казимира, «на многие мили гряз- грязного свинцового провода». 6.4. Нестационарный эффект Джозефсона Если два сверхпроводящих электрода находятся под различ- различным электрическим потенциалом, то переход пары электронов с одной стороны на другую сопровождается изменением энергии на 2eV. Если этот процесс является действительно сверхтекучим процессом, свободным от диссипации, указанная энергия должна выделиться где-нибудь в другом месте как элементарная пор- порция (так что процесс должен быть в принципе микроскопически обратимым). Фактически она должна появляться в виде фотона энергии /iv = 2eV. F.24) Другой путь получения этого результата состоит в том, чтобы заметить факт изменения фазы квантового состояния во времени по закону ехр{—iEt/h). Туннельный ток возникает при переходе между состоянием, в котором пара находится с одной стороны, и состоянием, в котором она находится с другой стороны. Таким образом, как и при внутриатомных переходах, относительная фаза двух состояний будет вызывать колебания на частоте биений, * От английского SQUID — Superconducting Quantum Interference Device.— Прим. ред. пер. ** В настоящее время сквиды используются гораздо шире, чем об этом говорит автор; обзоры этих применений можно найти в сборниках [61*] и :[62*]. Основы теории сквидов и других устройств, основанных на эффекте Джо- Джозефсона, см. в монографии [63*].—Прим. ред. пер. 219
соответствующей разности энергий F.24), давая ток, осцилли- осциллирующий на той же частоте. Нестационарный эффект Джозефсона был впервые обнаружен Шапиро*, который отметил, что при облучении СВЧ-сигналом на вольт-амперной характеристике джозефсоновского туннельного перехода появились «ступеньки» тока. Эти ступеньки, схемати- схематически показанные на рис. 6.1, появляются точно при напряжениях, которые равны целому числу /iv/2e. Через два года эффект Джозефсона также смогли наблюдать по излучению из джозеф- джозефсоновского перехода [24—25], однако обнаружить очень слабый излучаемый сигнал довольно трудно из-за плохого согласования импеданса перехода с импедансом свободного пространства. При наблюдении ступенек эту трудность можно преодолеть, подавая достаточно сильный СВЧ-сигнал. Перед дальнейшим обсуждением этой темы необходимо более точно сформулировать, что означает разность потенциалов V в формуле F.24), так как эта формула лежит в основе очень точ- точных измерений** отношения h/e с помощью джозефсоновского туннелирования. Грубо говоря, это, конечно, просто разность электростатических потенциалов двух сверхпроводников: ?Д—U2- Однако такая разность не является градиентно-инвариантной. Чтобы получить градиентно-инвариантную величину, рассмотрим выражение V ез Г Eds = U, — U2 — — Г 2 J с ,) at 1 i для которого путь интегрирования проходит по направлению тун- туннельного тока. Но даже такая модификация не является вполне корректной, так как учитывает работу, проделанную над электро- электроном только электрическими силами. Хорошо известно, что равно- равновесие может быть поддержано равновесием электрических и дру- других сил, таких, как сила тяжести или сила градиента концентра- концентрации с сопутствующей диффузией. Все эти силы будут учтены, если заменить U на ц/е, где \i — электрохимический потенциал. Дру- Другими словами, если dA/dt = 0, то именно равенство значений \i, а не U в обеих точках обеспечивает отсутствие движения электро- электронов из одной точки в другую и именно разность значений ц между течками определяет полное изменение энергии при перемещении электрона. Так как все обычные вольтметры (за исключением электростатических) имеют электрические контакты, допускаю- допускающие перемещение электронов, они реально измеряют разность значений \i, а не U. Таким образом, можно сделать вывод, что величина V в формуле F.24) означает * См. последние работы [22, 23] и приводимые там ссылки. ** См., например, [26]. 220
--fjf-*. F.25> ¦_ Hi — Мч В заключение следует предостеречь от следующего. В равен- равенстве F.25) предполагалось, что \i в каждом сверхпроводнике является однозначно определенной величиной. Однако это не- несправедливо в тех областях, в которых нормальный ток преобра- преобразуется в сверхпроводящий ток [27—30], как, например, в точках,, где токовые выводы из нормального металла присоединяются к сверхпроводящим. В такой неравновесной ситуации пары и ква- квазичастицы эффективно имеют слегка различные значения ц. Так как джозефсоновская частота определяется разностью элек- электрохимических потенциалов спаренных электронов \ip, в то время как вольтметр с нормальными выводами измеряет разность потен- потенциалов квазичастиц \iqP, это различие является потенциальным источником погрешностей. Однако, так как потенциал цр имеет постоянное значение внутри каждого сверхпроводника, а потен- потенциал \iqv релаксирует к этому значению на расстоянии нескольких микронов, эта погрешность химического потенциала получается чрезвычайно малой, даже если присоединять выводы для измере- измерения напряжения в окрестности самого туннельного перехода. 6.4.1. Основные уравнения Теперь получим основные дифференциальные уравнения для изменения полей и токов в переходе. В отличие от стационарного случая, рассмотренного ранее, ток теперь изменяется как во вре- времени, так и в пространстве. Как и раньше, пусть переход рас- расположен в плоскости yz, статическое магнитное поле направлена вдоль оси г, а изменение фазы происходит по оси у (рис. 6.6). Тогда, в дополнение к уравнениям Максвелла, основное уравнение будет "М#> 0 = ^osinY(f/. 0i F.26) где разность фаз у (как следует из формулы F.9)] удовлетворяет уравнению A_=_^L B1+ d)h, F.27a) а также уравнению ±L = fo(t) = -^- , F.276) dt K h которое представляет собой просто обобщенное уравнение F.24) на случай частоты, меняющейся во времени. В первом приближении, как и в стационарном случае, прене- пренебрегаем вкладом джозефсоновского тока в магнитные поля. Тогда 22 Ь
Внешний ток Ажозефсонов- ские токи Иейсснеровс- кие тока и во всех точках /г = Я и У=У0 и решением выписанных выше уравнений является функция У (У, t) = где и ?„ = со0 F.28) F.29) Такое выражение для у обус- обусловливает периодическое рас- распределение тока точно такой же формы, как в стационар- стационарном случае, за исключением того, что оно двигается в на- направлении у с фазовой скоростью F.30) Таким образом, вихри, обра- образованные периодическими то- токами через барьер, двигаются через переход с этой ско- скоростью. Аналогия с режимом течения потока в сверхпро- сверхпроводнике II рода очевидна. Теперь давайте установим, как распределение джозефсо- новских токов связано с элек- электромагнитными полями в переходе. Пусть е° и h° означают локальные значения е и h в барьере; h проникает в сверхпроводники на расстояние Я, а е отлично от нуля только в барьере. Тогда, интегрируя уравнение Максвелла rote = —(l/c)dh/dt по узкой площади, показанной пунктирной линией на рис. 6.6, получаем F,31а) Рис. 6.6. Схема длинного джозефсонов- ского перехода. При наличии напряже- напряжения на переходе волна осциллирующе- осциллирующего джозефсоновского тока движется со скоростью v0 в направлении у. Мейс- снеровские токи экранируют внутрен- внутреннюю часть сверхпроводников от прило- приложенного поля. Контур, показанный пунктиром, используется при получении уравнения F.31а) из закона электро- электромагнитной индукции 21 ду dt Кроме того, в нашем случае проекция уравнения Максвелла для ротора h на ось х имеет вид ~^— — "ж "Г — — . F.316) с dt К ' где Jx — джозефсоновскии ток F.26) и е — диэлектрическая по- постоянная барьера. Используя производную по времени от уравне- 222
ния F.316) и пространственную производную от уравнения F.31а;, получаем />-^-_J--f_W = -*LBJt+d)-^1 F.32) ^ ду* с> дР j с"- ' dt K ' где V = e°xd— напряжение на переходе, и ? = тAГ+т~)~1<<с2- F-33) Так как Х — 500А, в то время как d~10A, очевидно, что для типичного значения е = 4, с^с/20. Итак, в области перехода могут распространяться очень медленные электромагнитные волны. Например, электромагнитные волны частотой v~1010 Гц, которые имеют в свободном пространстве длину волны 3 см, имели бы в переходе длину волны только 1 мм. Именно это несоответствие делает таким трудным вывод электромагнитной энергии из пере- перехода. Удобно преобразовать уравнение F.32) к такой форме, в которой в качестве переменной фигурирует лишь фаза у. Это можно сделать, используя уравнения F.26) и F.276), чтобы ис- исключить Jx и V, и затем проводя интегрирование по времени. Полученное уравнение имеет вид 6.4.2. Примеры Вначале заметим, что если джозефсоновская связь очень слаба,, так что A.J-VOO, то решение уравнения F.34) представляет собой просто плоские волны с фазовой скоростью с. Эти электромагнит- электромагнитные волны будут сильно связаны с джозефсоновскими токами, если их скорость соответствует скорости движения вихревой кар- картины F.30). Учитывая сохранение энергии, результирующее уве- увеличение поглощения энергии должно проявиться в виде пика в зависимости постоянного тока, потребляемого переходом, от приложенного напряжения Vo; этот пик возникает, когда vQ=c, т. е. когда Vl = dBX + d)H2/E. F.35) Именно такой пик наблюдали Эк и др. [31]; он стал одной из первых демонстраций нестационарного эффекта Джозефсона без приложения внешних полей*. Близким эффектом являются сту- ступеньки Фиске на вольт-амперной характеристике [32—33]. Эти ступеньки появляются, когда частота джозефсоновских токов- совпадает с частотами различных мод в электромагнитном резо- резонаторе, образованном переходом. * Имеется в виду высокочастотное электромагнитное поле. — Прим. ред. пер. 223.
Другой простой частный случай уравнения F.34) получается при рассмотрении решений, в которых фаза у однородна по пере- переходу. Тогда это уравнение вновь по форме становится аналогич- аналогичным уравнению движения маятника: -|f+(o2sinv=O, F.36) где aj определяется равенством ш? = c%j = SitedJJeh. F.37) Отметим, что если подставить Jo=2eh\ty\2[m*d, как предполага- предполагалось при эвристическом выводе формулы F.1), то получим, что частота со/ = 4яBеJ|т(з|2/ет* является плазменной частотой заря- заряженного газа частиц с зарядом 2е, массой т* и плотностью частиц |\|>|2. Так как ток /0 мал по сравнению с /с для массивных сверхпроводников, то величина |\J)|2 мала по сравнению с плот- плотностью электронов в металле. Следовательно, эта «джозефсонов- ская плазменная частота» со/ много меньше обычной плазменной частоты для металлов, лежащей в ультрафиолетовой об.;::.ти. Реально, плазменная частота coj обычно находится в СВЧ-диапа- зоне; колебания такой частоты наблюдались экспериментально Дамом и др. [34]. В этих экспериментах использовался тот факт, что если у не мало, то резонансная частота, определенная уравнением F.36), может быть «отстроена» от значения coj. Например, аналогия с маятником показывает, что если фаза у испытывает большие колебания около нуля, то ее временная зависимость будет негар- негармонической и собственная частота изменится. Более удобным тестом для проверки уравнения F.36) является зависимость резо- резонансной частоты от заданного значения постоянного тока. При плотности постоянного тока Ja значение у Должно быть равно Yo = arcsin(/a//o), если рассматривать только переходы, малые по сравнению с Kj, так что можно пренебречь эффектом Мейсснера в переходе, из-за которого фаза у0 может меняться в пространстве. После линеаризации около этой рабочей точки уравнение F.36) принимает вид *M 0, F.38) так что плазменная частота управляется током в соответствии с уравнением со2 = ш» cos [arcsin (Ja/J0)] = ш» [ 1 — (JJJO)* ]2 . F.39) Из этого, соотношения видно, что величина со4 должна умень- уменьшаться линейно с J* . Это свойство было использовано Дамом и др., чтобы окончательно идентифицировать наблюдаемые ими сигналы с джозефсоновским плазменным резонансом. :224
Теперь рассмотрим решения уравнения F.34), линеаризован- линеаризованные около точки у—О, но изменяющиеся как в пространстве, так и во времени по закону exp{i(co?—ky)}. Такие решения сущест- существуют, если (—&2+со2/?) = hj2. Это дисперсионное соотношение можно переписать в виде (со/ю.,J = 1 + Я3#. F.40) Таким образом, джозефсоновская плазменная частота со/ представляет нижний предел частот, которые могут распростра- распространяться в плоскости перехода. В качестве любопытного замечания отметим, что для со = 0 соотношение F.40) преобразуется к равен- равенству k—±'\l%j. Это приводит к экспоненциальным решениям, даю- дающим эффект Мейсснера, который рассматривался ранее F.18). 6.5. Основные соотношения между фазой, числом частиц, энергией и током После ознакомления с эффектом Джозефсона на феноменоло- феноменологическом уровне кратко рассмотрим его в более общем виде. Это сделает более ясными некоторые фундаментальные взаимосвязи между фазой и числом частиц и между энергией и током. При выводе волновой функции B.14) теории БКШ было отме- отмечено, что фаза величины vy. относительно фазы и к была произ- произвольной, если только она такая же, как фаза Дк( = Д), чтобы удовлетворить соотношению B.44). Поэтому можно записать волновую функцию БКШ, в которой эта фаза имеет фиксирован- фиксированное значение ф, в следующем виде: I *р> = П ( 1 Uk | + | «к | e<fC:k|) | Фо>. F.41) к Как отмечалось в разд. 2.3, эта волновая функция дает боль- большую неопределенность в числе электронов N, хотя подходящим выбором химического потенциала \i можно установить нужное среднее значение N. Далее, было отмечено, что можно было бы установить состояние с точным числом частиц N, образуя супер- суперпозицию 2я !¦#> = ~ j <*рехр(- iJV<p/2) №„>. F.42) о Преобразование, обратное к F.42), имеет вид ^Ы. F.43) Поэтому состояния с определенными значениями N и ф связаны фурье-преобразованием того же вида, что связывает собственные функции сопряженных операторов, таких, как импульс и коорди- 8 Зак. 895 225
ната в квантовой механике. Следовательно, выполняется соотно- соотношение неопределенностей: ААГАф^1, F.44) которое ограничивает точность, с которой JV и ф могут быть опре- определены одновременно. Однако, так как типичное значение N рав- равно ^-lO20, это неравенство может быть выполнено, даже если и AN/N и Лф порядка TV-1/2 ~ 10~10. Например, это возможна при подстановке в интеграл весовой функции Гаусса ехр{—[(ф—фJ/(ДфJ]}- Итак, дано обоснование полуклассической точки зрения, в которой N и <р определяются с точностью 10~10. Рассмотренная выше фаза <р представляет собой разность фаз амплитуд вероятности для состояний, которые отличаются на одну пару электронов. Из формулы B.44) следует, что она яв- является тогда и фазой Л. Является ли она также фазой волновой функции t|> в теории ГЛ? Так как выше не был проведен формаль- формальный вывод теории ГЛ из микроскопической теории, здесь нельзя привести строго доказательства ответа. Отметим лишь, что в этом выводе, как оказывается, волновая функция яр (г) входит в виде ( ^opt (r)tyopi (r)}, т. е. представляет локальное среднее значе- значение пары операторов уничтожения. Следовательно, ее фаза будет разностью фаз амплитуд состояний двух частиц, которая точно равна величине, названной нами <р. Так как Н<р и N* = N/2 (т. е. число пар)—полуклассические канонически сопряженные переменные, можно записать для них уравнения движения Гамильтона: = -Ж==-2^- = -2р F.45а) dN* dN r v ' 2 dt dN* dN = -LSLm F.456) dt d(h<f>) h d<p v Здесь гамильтониан Ж заменен свободной энергией F, а не сред- средним значением энергии Е, так как работа, совершенная над систе- системой в изотермическом процессе, есть dF, а не dE. Следовательно, именно F представляет собой нужную «энергетическую функцию» для механики статистической системы*. Из формулы F.45а) сле- следует, что фаза изолированного сверхпроводника изменяется во времени как ехр{—i2\i,t/h}, что само по себе физически не прояв- * Для пояснения этого утверждения рассмотрим пример изотермического сжатия 1 моля идеального газа от объема Vi до ]/г. Так как внутренняя энергия U зависит только от Т, то Д?/=0. Работа, совершенная над газом, равна AW= = — § PdV=RT\n(Vi/V2), но эта энергия уходит из газа (к тепловому резерву- резервуару с температурой 7") в виде тепла, понижая энтропию газа. Это увеличивает его свободную энергию F=U — TS на величину AF=—TAS=AW. Таким обра- образом, если нужно провести энергетическое рассмотрение для изотермической системы без учета теплового резервуара, то в качестве энергии рассматриваемо» систему необходимо использовать F, а не U. 226
ляется. Аналогично для изолированного сверхпроводника из фор- формулы F.456) не вытекает никаких следствий, так как JV = const, a dF/dy = 0. Для того, чтобы получить наблюдаемые следствия движения фазы, необходимо привести один сверхпроводник в достаточно близкий контакт с другим, чтобы появилась энергетическая связь F&. Так как общий сдвиг фазы не должен влиять на энер- энергию, Fi2 может зависеть только от относительной фазы у=фг—ЧН- Тогда уравнение F.45а) дает джозефсоновское частотное соотно- соотношение, т. е. ^JiJSL-^-L^-,^. F.46) at л Vfn ™ ; dt dt at л Аналогично, как следует из уравнения F.456), ток между двумя сверхпроводниками равен Zi2 j^L j^2 1 dFn = 1 dF12 _ 1 flf ц 2e dt dt h Лр! Й Зф2 h Это выражение делает ясным эквивалентность существования джозефсоновского соотношения тока и фазы наличию энергии связи Fi2(y), зависящей от фазы. Когда Flz имеет мини- минимум, dFiz/dy = 0 и ток отсутствует. Это точно соответствует ситуа- ситуации в массивном сверхпроводнике, в котором самое низкое по энергии — это состояние без тока. Формулу F.47) можно использовать для того, чтобы вывести джозефсоновское соотношение между током и фазой, замечая, что энергия FiZ(y) должна быть периодической четной функцией у: периодической, так как у определяется с точностью до 2л, и чет- четной, так как энергия должна быть неизменной при замене т|з на г|з*. Итак, можно разложить Fi2 в ряд Фурье по косинусам у. Когда берется производная по у, входящая в формулу F.47), получается ряд синусов, в котором основным членом является F.4). Возможно, более целесообразно обратить эту процедуру и ис- использовать соотношение для измеряемого тока F.4), чтобы полу- получить энергию связи, а именно F12 (V) = const — (ft/o/2e) cos у. F.48) Полезно выразить эту энергию связи через температуру То, кото- которая определяется из равенства kTo—hIoj2e. Если это сделать, найдем 7у/0 = Щек = 2,4 ¦ 107 К/А. F.49) Итак, при работе в области температуры жидкого гелия необхо- необходимо, чтобы Го было больше ~10~7А, для того, чтобы связь была достаточно сильной и способной поддерживать фазовую когерент- когерентность через переход в присутствии теплового шума. Если /0 меньше этого значения, эффект Джозефсона будет размываться случайными флуктуациями фазы у и переход будет казаться 8* 227
«нормальным». Аналогично фазовую когерентность в переходе мо- могут нарушать любые шумовые сигналы, попадающие на переход из внешних цепей, находящихся при более высокой температуре, или в результате электрических наводок. 6.6. Магнитометры на сквидах В ходе обсуждения эффектов Джозефсона уже было указано на два наиболее известных его применения: магнитометры, на сквидах и точное определение отношения fife (или, наоборот, точ- точный стандарт вольта). При этом обсуждался только сверхток через джозефсоновские переходы. Однако, так как почти все практические применения эффекта Джозефсона предполагают конечное напряжение на переходе для сопряжения с внешней элек- электроникой, в переходах всегда будут происходить также диссипа- тивные процессы. В этом разделе проводится более подробное обсуждение действия джозефсоновских магнитометров, принимая во внимание диссипацию. 6.6.1. Типичные значения параметров Диссипативные процессы могут быть вызваны нормальными электронами в металлической слабой связи или квазичастичным туннелированием в туннельном переходе; они могут также возни- возникать из непосредственного излучения фотонов или фононов джозефсоновским током. Чтобы не иметь дело с этими частными случаями в отдельности, аппроксимируем их, включая в сопротив- сопротивление R, параллельное сверхтоку. Почти во всех случаях R будет иметь тот же порядок величины, что и сопротивление слабой связи при температуре выше Тс, обычно ~ 1 Ом. Это шунтирую- шунтирующее сопротивление соответствует члену G0V в формуле F.4а) с Gq=\IR. Для простоты не будем рассматривать член GhhtCosy* так как он не меняет главных выводов. Для анализа действия джозефсоновских приборов часто удоб- удобно описывать отклик сверхтока его эквивалентной индуктив- индуктивностью Lj. Если определить Lj дифференциальным соотношением V = LjdI/dt, где /=/osinY и dy/dt = 2eV/h, то Lj = hl2elocasy. F.50) Если вместо этого определить L3 приравниванием полного увели- увеличения энергии перехода к LjI2/2, то cosy следует заменить на cos2(y/2). Хотя индуктивность L3 зависит от фазы y. ее поря- порядок величины дается величиной fc/2e/0— значением Lj при y~0. В единицах СИ Ij/0cosY=A/2e = (Do/2rt = 3,3-10-16 Вб. Поэтому для /с— Ю^6 А индуктивность равна Lj~3-10~10 Гн. Если взять соотношение между /0 и Rn для туннельного пере- перехода, то найдем, что отклик сверхтока, который описывается LJr 228
преобладает для таких частот или напряжений, что для 2еУ=йш»Л переход ведет себя как активный элемент*, что можно было бы ожидать из общих соображений. Однако на прак- практике в точечных контактах значение /0 обычно (хотя не всегда) ниже на один или два порядка теоретического значения для тун- туннельного перехода с тем же нормальным сопротивлением. Теперь давайте сравним джозефсоновскую индуктивность Lj с индуктивностью кольца, в которое включен переход. Если кольцо радиусом г сделано из провода радиусом а, то его индук- индуктивность равна (опять в системе СИ) I ^ 4л- 10-V In (r[a). F.51) Для диаметра кольца 3 мм индуктивность имеет порядок 3-10~9 Гн; это обычно несколько больше, чем Lj. Чтобы сохранить квантовый режим работы прибора, значение этой индуктивности должно быть относительно низким. Для объяснения этого отме- отметим, что можно применить теорему о равном распределении энер- энергии флуктуации по степеням свободы к потоку, содержащемуся в кольце. Согласно этой теореме, среднее квадратичное значение флуктуации определяется соотношением F4DJ/2L = ЛЯ72. Если амплитуда этих флуктуации превышает Фо/2, квантовая периодичность приложенного потока будет размываться случай- случайным потоком тепловых токов. Это приводит к условию L ^ Фо/4АТ, F.52) так что при рабочей температуре 4К индуктивность L должна быть меньше, чем2х10~8Гн. Так как эффективная шумовая температура может быть на порядок больше, чтобы обеспечить надежную работу, индуктивность L обычно выбирают еще меньше A0-° Гн). Итоговой величиной, представляющей интерес, является отно- отношение L/o/Фо. Если оно больше единицы, сверхток через слабую связь может экранировать весь квант потока в кольце перед своим разрушением, при котором возникает резистивное состоя- состояние перехода и становится возможным скачок потока. Это может привести к гистерезису и усложнить использование прибора при некоторых применениях. Кроме того, так как в переходе может происходить диссипация, разумно предположить, что ток, цирку- циркулирующий в кольце, принимает из ряда разрешенных квантовых значений именно то, которое минимизирует энергию. Поэтому гистерезис в правильно сконструированных устройствах не приво- приводит к неопределенности рабочих характеристик. Фактически ток /о всегда должен быть выбран достаточно большим, чтобы удовле- * В действительности на высоких частотах в импедансе туннельных перехо- переходов преобладает емкость между двумя сверхпроводниками. Так как в случае то- точечных контактов емкость не сказывается, не будем дальше ее рассматривать. 229
творить требованиям, вытекающим из формулы E.49) для сохра- сохранения фазовой когерентности на переходе*: /0 ^ 2пкТ/Фй, F.53) так что при рабочей температуре 4К ток /0 должен превышать 2-10-7 А. Учитывая более высокие шумовые температуры, /0 опять обычно выбирается равным, по крайней мере, Ю^6 А. Из практи- практических соображений приборы обычно работают с Ыо/Ф0^1. В этом случае неравенство F.53) переходит в условие F.52). 6.6.2. Двухконтактный сквид постоянного тока В качестве первого примера расскажем о роли, которую играет шунтирующее сопротивление, и проведем более детальный анализ работы двухконтактного сквида постоянного тока, описанного в разд. 6.3. Ранее было показано, что критический ток устройства является периодической функцией потока, заключенного в кольце. Более удобно, однако, работать с устройством на постоянном токе в резистивном состоянии, при котором периодической функцией Ф/Фо является напряжение на приборе. Давайте проанализируем это состояние. Полный сверхток через контакт по-прежнему подчиняется соотношениям F.21) и F.22). Однако в резистивном состоянии задаваемый постоянный ток / превышает этот сверхток. Поэтому излишний ток должен переноситься нормальной проводимостью двух переходов, в результате чего получаем / = /, + 2VIR или V = R[I — /0 (sin у А + sin ув)]/2. Используя тригонометрическое тождество, вспоминая соотноше- соотношение F.22) для разности фаз уА—•ув = 2пФ/Ф0 и определяя V= ("Ya+Yb)/2, записываем V = r\i/2 — /„cosf—)sinvl. F.54) Для /<2/0 это уравнение определяет значение у, дающее чисто сверхпроводящее решение с V=0, рассмотренное в разд. 6.3. Однако для больших токов такое решение невозможно, и К>0. В этом случае у изменяется во времени в соответствии с джозеф- соновским соотношением y=2eV(t)h. На первый взгляд кажется, * Когда переход замкнут кольцом, такой критерий является слишком стро- строгим, так как в этом случае флуктуации разности фаз возбуждают ток не только через переход (характеризуемый джозефсоновской индуктивностью), но и через индуктивность кольца. В результате знаменатель формулы F.53) нужно заме- заменить выражением типа (Фо+2яА/о). Для всех значений L, которые достаточно малы, чтобы удовлетворить неравенству F.52), простая формула F.53) не бо- более чем в два раза отличается от более точных условий. 230
что сверхток будет просто усредняться до нуля по периоду пере- переменного тока. Но при более внимательном рассмотрении видно, что усредненное по времени значение siriY не равно нулю, так как у изменяется медленнее, когда V мало, придавая большее значение этой части периода. Количественно это выражается со- соотношением V = (Ь —— dt = —— F.55а) 2е Т У dt 2е Т v в котором период негармонического цикла Т определяется как 2л 2л Л- = JL f _^_ F55б) б dyldt 2e J v(v) Интегрируя*, находим V = R [(//2J — II cos2 (пФ/Ф0)]'Л. F.56) Так как cosz(nO/O0) =[l + cosBnO/Oo)]/2, ясно видно, что V периодично по Ф с периодом Фо. _ Из формулы F.56) следует, что V имеет максимальное зна- значение //?/2 в случае полуцелого числа квантов потока. Если /<2/0, то минимальное значение У равно нулю, а если />2/0, то минимум, очевидно, равен 1Щ\—B/o//J]Vz/2 и достигается при целом числе квантов потока. Итак, периодическое изменение V пс_Ф имеет максимальную амплитуду при /=2/0, когда AF= = Утах—Vmin = IoR. Для туннельных переходов эта величина долж- должна быть порядка напряжения щели Л/е=«10-3 В. Для точечных контактов обычно наблюдаются значения порядка 10~5 В. К /2/ /?// р Когда /^2/о, ЛУ=/д/?//, так что ЛУ падает довольно медленно, даже когда ток смещения настолько велик, что устройство всегда находится в резистивном состоянии. 6.6.3. Влияние экранирования В приведенном выше выводе было сделано упрощающее пред- предположение, что можно пренебречь как самоиндуцированным пото- потоком, вызванным экранирующим током /s, циркулирующим по кольцу, так и потоком, обусловленным током смещения /. Для простоты анализа предположим, что токовые выводы присоеди- присоединены симметрично к кольцу, так что взаимная индуктивность между цепью задания тока и кольцом равна нулю. В этом случае второй эффект отсутствует**. Однако пренебрежение экранирую- * Систематическое рассмотрение этого и многих других примеров приведено в работе [35]. ** Если это утверждение несправедливо, то в периодическом отклике поя- появится асимметрия, которая может быть использована для увеличения чувстви- чувствительности прибора [36]. 231
щим влиянием циркулирующего тока если и оправдывается, то только в крайних случаях. Тем не менее качественные результаты остаются в основном теми же. Это становится очевидным из следующего рассмотрения. Уравнения F.54) и F.55) справедливы в общем случае, если Ф включает не только подаваемый извне поток Фх, но и экранирую- экранирующий поток Ф8, т. е. в добавление к формуле F.54) запишем со- соотношение Ф = ф, + Ф8 F.57) и Ф5 = LIS = LIQ (sin у в — sin yA)l2 = — L/o sin (яФ/Ф0) cos у. F.58) Уравнение F.58) означает, что поток Ф8 может оставаться тем же самым*, если Фх изменяется на целое число квантов потока. Тогда множитель со5(Фя/Ф0)=со5[л;(Фж+Фв)/Ф0] в формуле F.54) также не изменится при таком изменении Фх и V останется периодическим по Фх с неизменным периодом, несмотря на учет Ф8. Влияние учета Ф5 состоит только в усложнении формы зависимости V(y), поэтому для интегрирования выражения F.556) необходимо применить численные или графические методы. Так, выражение F.56) становится несправедливым и заменяется на качественно аналогичную зависимость с тем же периодом. Хотя в данном случае нет необходимости в точном решении связанных трансцендентных уравнений, определяющих соотноше- соотношение между Ф и Фх, полезно найти некоторые характеристики ре- режима с нулевым напряжением, когда течет только сверхток. Подставляя в формулу F.54) У=0, получаем sin Y = //2/0со5(лФ/Ф0). Подставляя это выражение в формулу F.58) и используя соотно- соотношение F.57), чтобы исключить Фв, приходим к уравнению Фх — Ф = ± Ll'o sin (яФ/Ф0), F.59) Г'</о- F.59а) При заданных значениях / и Фх эти соотношения определяют ряд возможных значений Ф. Можно выделить важный особый случай, когда Ф достаточно близко к пФ0. В этом случае можно заменить sin(n©/®o) на ± (я/Ф0) (Ф—пфо), тогда выражение F.59) можно преобразовать к виду Ф — ПФ0= Ф*-ПФ» ; Ф —пФ^ф^. F.60) 1?//Ф В случае слабого экранирования (пЫ'0/Ф0<^1) единственным • Если LIo/Фо^ 1, то, как это видно из формулы F.58), поток Ф, много- многозначен. Однако в рассматриваемом здесь резистивком состоянии перехода пред- предполагали, что Ф. всегда принимает значение, дающее наименьшую энергию, т. е. значение, для которого |/, | или |Ф.| минимальны. 232
решением уравнения F.60) является Ф^Ф*, а п — ближайшее целое число к фж/ф0. Если, однако, имеется сильное экранирова- экранирование, то приблизительно Ы'о/Фо значений п с обеих сторон Фх/Ф» будут все еще давать Ф—пФо<Фо/2, образуя тем самым само- самосогласованные решения. Все эти решения метастабильны, кроме решения с ближайшим к Ф*/Фо значением п. Максимальный сверхток через устройство всегда определяется этим наиболее стабильным решением, так как измерение /с тре- требует, по крайней мере, кратковременного перехода кольца в нор- нормальное состояние, что разрушает любое метастабильное состоя- состояние, позволяя сформироваться более стабильному. Таким образом, когда измеряется критический ток, Ф никогда не отличается or квантового значения на величину большую, чем Фо/2 A + пЫ0'/Ф0). Это означает, что в присутствии сильного экранирования глубина периодической модуляции /с в этом устройстве равна не 2 /0, как было бы в пренебрежении экранированием [см. F.23)], а намного меньше. Вычисление этой уменьшенной глубины модуляции требу- требует в общем случае численных методов, но оно существенно упро- упрощается в пределе сильного экранирования, когда можно допустить,, что Ф всегда неотличимо от квантового значения. Тогда макси- максимальный экранированный поток равен Ф0/2. Этому потоку соответ- соответствует ток d>o/2L, так что для заданного тока токи двух переходов должны равняться 1/2±Ф0/2Ь. Так как ни через один переход ток не может превышать /0, максимальный полный ток равен 2/0— —ФоД-, что следует сравнить с величиной 2/<>, когда Ф = пФ0. Итак, в этом пределе сильного экранирования глубина модуляции со- составляет Д/о^ Фо/Ь~ 10-6 А, независимо от величины тока /0. Так как детальный анализ резистивного состояния, учитываю- учитывающего экранирование, значительно сложнее анализа, приводящего к выражению F.56), ограничимся здесь замечанием, что периоди- периодическая по потоку модуляция напряжения на критическом токе бу- будет порядка /?Д/с/2. Для случая слабого экранирования эта моду- модуляция приближенно равна /0R в соответствии с нашим анализом на основе формулы F.56). Для случая сильного экранирования она будет меньше на множитель порядка Фо/21оЬ. Таким образом, обычно целесообразно работать с /0, не намного большим Ф0/21, чтобы оптимизировать амплитуду сигнала. 6.6.4. Использование трансформатора потока В реальных применениях сквида для физических измерений обычно желательно использовать сверхпроводящий трансформа- трансформатор* (или «передатчик потока»), чтобы связать представляющие * Такой трансформатор представляет собой первичную катушку (обычно одиночную петлю) индуктивности Li, помещенную в измеряемое поле и соеди- соединенную со вторичной катушкой L2 (обычно содержащей большое число витков), помещенной внутрь кольца сквида. Вся цепь делается из сверхпроводника. — Прим. ред. пер. 233
интерес изменения потока с кольцом сквида. Преимущества этого устройства заключаются в следующем [37]. 1. Это устройство позволяет сквиду работать при подходящей постоянной температуре и низком окружающем магнитном поле вне зависимости от условий на другом конце трансформатора по- потока, где находится исследуемый образец. В такой конструкции сквид был использован с образцами, на которые подавались маг- магнитные поля до нескольких килогауссов, и с температурой намного большей Тс для ниобия, из которого сделан сквид. 2. Трансформатор потока позволяет так располагать сквид, чтобы облегчить регулировку слабых связей. 3. Чувствительность сквида может быть легко уменьшена на один или два порядка величины вставлением в сверхпроводящую цепь трансформатора потока «понижающей индуктивности». Это позволяет исследовать явления, в которых величины, представляю- представляющие интерес, меняются на несколько порядков величины, как, на- например, вблизи фазового перехода. 4. Облегчается введение отрицательной обратной связи, посред- посредством которой магнитометр на сквиде преобразуется в прибор типа нуль-детектора. Преимущество такого включения состоит в том, что работа прибора становится независимой от точной формы периодической зависимости У(ФХ), так как рабочая точка «привя- «привязывается» к резкому участку этой зависимости, погашая любые дальнейшие изменения измеряемого потока равным и противопо- противоположным изменением в цепи обратной связи. 5. Появляется свобода в выборе площади и числа витков во входной катушке трансформатора потока, что облегчает оптими- оптимизацию всей конструкции. Основной принцип, определяющий работу трансформатора, состоит в том, что поток через полный контур трансформатора остается постоянным, как этого требует квантование магнитного потока. Так, если приложенное магнитное поле в первичной ка- катушке изменяется на АВи то связанное с ним изменение потока предотвращается установлением в цепи трансформатора тока Л/, величина которого определяется из равенства N1A1AB1 + LAI + LAI = 0. Тогда изменение поля во вторичной катушке равно дд = l^L = hMi дп ЩА NA^L + L) Для данных размеров катушки Li = C,Af? , где с хорошей степенью точности С,осг2/(^ + /1); здесь г{ — радиус, а /, — длина t-й катуш- катушки. Отсюда следует, что для данных размеров катушки величина ДВ2 максимальна, если отношение числа витков N\IN2 выбрано так, чтобы Li = L2; в этом случае половина входного потока оказы- оказывается в L2. При оптимизированном отношении витков получаем дд2 i_ луц ^ i_ tj_ fjj_±_h_ &Bt ~~ 2 ЛЛЛ ~ 2 гг \ гг + /г 234
где во второй части равенства использовано упомянутое выше равенство для С,-. Таким образом, для данных размеров вторичной катушки, оп- определяемых сквидом, изменение потока для данного АВ^ пропор- пропорционально r^ri + liI!2, т. е. пропорционально корню квадратному из объема первичной катушки, заполненного измеряемым полем. Этот результат мог быть предсказан непосредственно из равенст- равенства индуктивностей, так как Ы2/2 = A/8я) J B2drmB2V/8n и через обе катушки проходит одинаковый ток. 6.6.S. Одноконтактный высокочастотный сквид Разновидностью сквида, которая обладает рядом практических преимуществ, является устройство на одиночном точечном контак- контакте, описанное Зиммерманом и др. [38] и показанное на рис. 6.7. Вся конструкция выточена из единого куска ниобия; контакт сде- сделан в виде заостренного ниобиевого винта. Так как в конструкции используется только один металл, эффекты теплового расширения происходят одинаково во всех его кусках и прибор может неодно- неоднократно подвергаться перецикливанию между комнатной и гелиевой температурами без существенной деградации. Геометрия прибора обеспечивает такую жесткую фиксацию точечного контакта, что он относительно нечувствителен к механическим сотрясениям. И наконец, наличие массивной ниобиевой оболочки, полностью окру- окружающей два отверстия, обеспечивает то, что полный поток в двух отверстиях Ф1 + Ф2 постоянен и равен тому значению, которое было в нем захвачено при переходе устройства в сверхпроводящее состояние. Все это делает сквид нечувствительным к однородным внешним полям и, следовательно, к магнитным наводкам. Он чув- чувствителен только к разностным полям, которые сдвигают поток из одного отверстия в другое. Такое поле обычно обеспечивается ис- использованием описанного выше трансформатора потока с выход- выходной катушкой, помещенной в одно из отверстий сквида. Если забыть о таких преимуществах, как механическая ста- стабильность и нечувствительность к однородным окружающим по- полям, симметричный сквид с двумя отверстиями эквивалентен коль- кольцу с одиночной слабой связью, содержащему разностный поток ф = ф2—Ф]. Для измерения потока в кольце используется связь кольца с резонансным контуром, через который пропускается ток постояннной амплитуды от генератора на какой-нибудь удобной частоте радиодиапазона, например на 30 МГц (рис. 6.8). Свойства таких высокочастотных сквидов были изучены Сильвером и Зим- Зиммерманом [39]. Как добротность Q, так и резонансная частота контура изменяются связью со сквидом и зависят от потока через кольцо. Это позволяет с помощью различных схем использовать напряжение на резонансном контуре для получения электрическо- электрического сигнала, который периодичен по Ф/ф0. Такие устройства были 235
Рис. 6.7. Схематическое изображение симмет- симметричного одноконтактно- одноконтактного радиочастотного сквида Заостренный ниобиевый бинт S ниобиевая цилиндричес- цилиндрическая оболочка Массивный ниобиебый цилиндр предложены Зиммерманом и др., а позднее достижения в оптими- оптимизации этого устройства подробно излагались в работе Гиффарда, Вебба и Уитли [40]. Прекрасный общий обзор был написан Веб- бом [41]. Уравнения, описывающие одноконтактный сквид, проще, чем полученные выше для двухконтактного сквида, так как ис- используют только одну фазовую переменную у и один циркулирую- циркулирующий ток. Разность фаз определяется соотношением у = 2пФ1Ф0, а циркулирующий ток равенством F.61) Тогда, так как У=Ф, получаем уравнение, аналогичное уравнению F.59), но учитывающее также резистивный член: Ф, — Ф = LI0 sin BлФ/Ф0) + LOIR. F.62) В этом уравнении Фх включает как внешний измеряемый поток, так и «опрашивающий» высокочастотный поток, необходимый для измерений. Если заменить sinBji®AD0) линейным приближением, как это было сделано при выводе формулы F.60), получим -?- (Ф - пФ0) at LJ1) (Ф - лФ0) = ^ (ф* - L где в этом линейном приближении Lj = Фо/2л/о. Таким образом, экранирование на низких частотах описывается соотношением Ф — ^0 I 1 1 + 2я?/0/Ф„ F.64) вполне аналогичным формуле F.60). Время релаксации отклика на малые изменения Ф* очень мало (~Lj/R) и приблизительно составляет от 10~10 до 10~12 с. Однако для больших приращений поля, связанных с изменением квантового числа п, линейное приб- приближение нарушается, как можно видеть из формулы F.62), ха- характерная постоянная времени равна просто обычной постоянной времени L/R и составляет 10~9—10-10 с. Для типичных рабочих 236
г Рис. 6.8. а — Схема, используемая для радиочастотного сквида. В контур по- подается радиочастотный ток постоянной амплитуды Л, а напряжение на кон- контуре VT управляется внешним полем, б — Соотношение между VT и Л для случаев целого и полуцелого числа квантов потока в сквиде. При промежу- промежуточных значениях потока ступени напряжения (плато) наблюдаются при значе- значениях VT в промежутках между показанными значениями. Ширина плато ДЛ и расстояние между их крайними положениями AVT вычисляются в тексте частот aLj/R<^_l и сквид действует пЪдобно короткозамкнутому витку без потерь за исключением того момента, когда нарушается ¦сверхпроводимость в переходе и изменяется квантовое состояние. Обычно сквид слабо связан с высокодобротным резонансным контуром, на который подается ток постоянной амплитуды, доста- достаточной, чтобы вызывать в кольце циркулирующие токи, которые превышают критический ток /0. Энергию, передаваемую за период из индуктивности к переходу, можно представить в виде AW = § IVdt --= L~l § (Фх ~Ф)dФ = L~l § Ф^Ф, F.65) так как для любого замкнутого цикла §ф4ф=0. Написанное вы- выражение представляет суммарную энергию, отбираемую от резо- резонансного контура и рассеиваемую в сопротивлении перехода за период. Оценим эту энергию в простом приближении полного эк- экранирования, при котором Ф всегда находится как раз на кванто- квантовом уровне. Тогда, если (Ф0/21)</0< (ЗФ0/2/,) и поэтому Ф никог- никогда не изменяется в момент скачка более чем на один квант, можно записать соотношение F.65) в виде .„_ Фо ^, L ^d л где Фх|(я) и Фж + (я) обозначают соответственно значения Фх, при которых Ф изменяется от пф0 до (л+1)ф0 и наоборот. Так как ф-с t (л) =пфо+Ыо (в то время как Фж;(л) = (п+1)Фо—LIQ), каждый член в сумме вносит вклад BL/0—ф0) и можно потери для каждого одноквантового гистерезисного цикла записать AW = 2/0Ф0 — Фо/I, /0 > Ф„/21. F.66) Эти потери не будут зависеть от рабочей частоты до тех пор, пока <ox=coL//?<^cl. Если cot^I, изменения потока при соответствующих значениях Ф^ больше нельзя рассматривать как мгновенные. Тогда 237
анализ, учитывающий только потери на гистерезис, становится несправедливым и потери за цикл падают как 1/ыт. Теперь посмотрим, как существование этого механизма потерь влияет на измеряемую величину, а именно на напряжение на ре- резонансном контуре как функцию подаваемого высокочастотного тока и постоянного потока Ф в кольце. Для простоты предполо- предположим, что ток h подается точно на резонансной частоте контура и добротность контура Q велика, чтобы можно было сделать стан- стандартные приближения. Пусть LT есть индуктивность в резонансном контуре, связанная взаимной индуктивностью М с индуктивностью сквида L. Тогда ток / в сквиде связан с током 1Т через индуктив- индуктивность LT соотношением MIT=LI, в котором сделано пренебрежение импедансом перехода. Следовательно, магнитная энергия, накоп- накопленная в сквиде, связана с полной энергией W в резонансном контуре (включая энергию в емкости) соотношением — LP = — J^- LTI2T = — kW < W. F.67) В этом выражении и в последующем обсуждении для всех высоко- высокочастотных величин используются амплитудные значения, так как они физически наиболее существенны. Величина k представляет собой коэффициент связи между двумя цепями, который обычно имеет значения, много меньшие единицы. Энергия, накопленная в резонансном контуре, может быть выражена через непосредственно измеряемое напряжение VT в виде W=Vj/2a2LT. Приравнивая входную мощность потерям, получаем выражение для W в установившемся состоянии: УгЛ/2 = a>W/Q + Ш1М, F.68) где At— время между гистерезисными циклами. В отсутствие по- потерь на гистерезис VT = (nLTQI1 и W=W0=Q2LTI^/2. Гистерезис становится возможным, когда W превышает критическое значение Wc, при котором Фж в сквиде становится больше критического зна- значения. Когда 1\ возрастает выше значения, определяемого равенст- равенством Wo= Wc, то действительное усредненное по времени значение W «замирает» примерно на уровне Wc—AW/2mWc и формула F.68) просто определяет, насколько быстро W достигает значения Wc, чтобы дать новый цикл гистерезиса. Поэтому, до тех пор пока 1\ увеличивается настолько, что гистерезисный цикл будет проис- происходить на каждом периоде высокочастотного сигнала, напряжение на контуре VT остается на значении Vt,c=(uBWcLtL2 (см. рис. 6.8, б). Положив в формуле F.68) \t=2n/a>, получаем длину та- такого «плато»: - F.69) На конце плато (ступеньки) VT опять начинает расти с увеличе- увеличением /] до нового порогового значения, при котором в сквиде воз- возникает еще одна гистерезисная петля за цикл. Оказывается, что, 238
если значение Ф/Фо точно целое, гистерезисные петли возникают парами с одним и тем же пороговым значением, так что длина плато в два раза превышает длину, даваемую формулой F.69). В случае полуцелого Ф/Фо все плато двойные, за исключением пер- первого. Однако во всех других сучаях длина плато всегда дается формулой F.69). Теперь посмотрим, как напряжения плато зависят от среднего потока Ф — величины, которая должна измеряться. Для того что- чтобы произошел скачок, пиковое значение Фа;= (Ф—пФ)+Фя^ долж- должно превышать произведение LI0. Для предельных случаев Ф = = пФд и Ф=(гс+1/2)Ф0 получаем соответственно Q)RF = LIa и Фт? = Ы0—Фо/2. Используя соотношение Фя^=Л1/г = = (M/(uLt) VT, находим соответствующие напряжения на колеба- колебательном контуре: VT = aLrLIjM и (a>LTLI0M){l — Фо/21/о). Для типичного случая Ыо=Фо они отличаются в два раза. В любом случае изменение напряжения на контуре между урав- нями двух плато равно ДУГ = (оФ^т/2М. F.70) На первый взгляд кажется, что, уменьшая М, т. е. уменьшая связь между сквидом и контуром, можно этот сигнал сделать про- произвольно большим. Но, чтобы выражение F.70) действительно описывало наблюдаемую периодическую модуляцию напряжения на контуре при изменении потока, эти плато должны наблюдаться при том же токе накачки 1\. Это возможно, только . если длина плато F.69) больше, чем изменение б/i в пороговом токе, соответ- соответствующем изменению VT, даваемому формулой F.70), а именно ё11=АУт/а>ЬтС} = Ф0/2МB. Из формулы F.69) находим, что длина нижнего плато равна Д/] = 2МФо/я?г/,. Поэтому условие A/i >-б/[ сводится к требованию ИЗ > я/4 да 1. F.71) Если связь становится ниже этого значения, напряжение сиг- сигнала опять уменьшается пропорционально взаимной индуктивно- индуктивности М. Таким образом, условие оптимальной связи имеет вид k2Qtvl. Хотя этот результат получен с использованием очень уп- упрощенной модели, он, по всей вероятности, подтверждается на эксперименте и при машинных расчетах, использующих более точные модели*. Если оптимальная связь &2Q=1 и 1/0 = Ф0, напряжение сигна- сигнала F.70) можно переписать в виде L Wj; F.72) в последнем выражении учтено, что рабочая частота ограничена * Результат оказывается [63*] действительно верным, если работать на первом плато и при точной настройке частоты накачки. — Прим.. ред. пер. 239
постоянной времени сквида L/R. Интересно сравнить это напря- напряжение с амплитудой сигнала сквида постоянного тока, которая ограничивается величиной ~ IQR ~ Ф0И/2Ь. Таким образом, полу- получаем оценку их отношения: °LL\ F.73) Первый фактор представляет ожидаемый коэффициент транс- трансформации в резонансном трансформаторе с отношением импедан- сов aLTQ/R; для типичных значений оно приблизительно равно 102. Второй фактор, обычно принимающий значения между 0, 1 и 1, отражает потери при выборе режима, если рабочая частота ниже максимально возможной. Сочетание этих двух факторов обычно приводит к выигрышу по напряжению примерно в 10 раз по сравнению со сквидом постоянного тока*. Так как даже более высокий импеданс контура имеет порядок лишь 104 Ом, такое повышение напряжения выгодно. Фактически при работе на плато динамический импеданс кон- контура намного ниже, чем в ненагруженном состоянии. Если бы напряжение на плато было точно постояннным, как считалось выше, дифференциальный импеданс был бы равен нулю. В дейст- действительности на типичных наблюдаемых плато дифференциальный импеданс ниже, чем импеданс контура, на один или два порядка величины. Этот конечный наклон вызывается тем, что эффектив- эффективный критический ток слабой связи зависит от того, как быстро происходит переход. Такая зависимость обусловлена воздействием тепловых флуктуации (эта тема будет обсуждаться в следующей главе). Низкий дифференциальный импеданс цепи контура делает устройство относительно нечувствительным к шумам, попадающим от источника накачки или сигнального усилителя, а также увели- увеличивает полезную сигнальную мощность выходного сигнала. Эти особенности являются дополнительными преимуществами высоко- высокочастотного сквида. 6.6.6. Предел чувствительности На практике предел чувствительности магнитометра на сквиде обычно определяется шумом усилителя, находящегося при ком- комнатной температуре, или внешним шумом, попадающим в криос- тат. Тем не менее полезно найти внутренний предел собственных шумов, определяемый тепловым шумом в сквиде. В сквиде постоянного тока, все время работающем на резистив- ном участке, хорошим приближением будет замена кольца сквида классической цепью, состоящей из сопротивления R'=2R и индук- индуктивности L. Среднеквадратичное напряжение теплового шума в * В последнее время, применяя сходные методы согласования с усилителем, удалось [64*] поднять чувствительность сквидов постоянного тока до такого же уровня. — Прим. ред. пер. 240
единичной полосе AkTR' тогда дает средний квадрат шумового- тока 4kTR'/(R'2+(o2L2). Этот ток, в свою очередь, определяет шу- шумовой поток со среднеквадратичным шумовым значением » полосе В FФ)а = 4kTL*B/R', F.74) которое записано для случая a><^.R'IL, характерного для измере- измерений квазистатических значений потока. Для L=10~9 Гн, /?' = = 2 Ом и В = 1 Гц это дает классический предел чувствительности типичного устройства: 8Ф/Ф0«0,5-1(Г5. F.75) Реальные устройства обычно имеют чувствительность на один или два порядка меньше приведенного значения. Шумовой анализ высокочастотного сквида отличается от ана- анализа сквида постоянного тока тем, что сквид бывает эффективно резистивным только в течение короткого времени (~t=L/R), необходимого для изменения состояния потока. Только в это вре- время сквид чувствителен к точному значению внешнего поля и толь- только в эти моменты важны флуктуационные нормальные токи. Это уменьшает эффективное время усреднения* на фактор порядка u>x=aL/R и является причиной того, что выражение F.74) заме- заменяется на FФJ = AkTLBla. F.76) Таким образом, теоретическая чувствительность высокочастотного сквида улучшается с увеличением частоты, приближаясь к значе- значению для сквида постоянного тока, когда ш возрастает до значения RIL, при котором сквид чувствителен к внешнему полю все время, а скачки потока еще статистически независимы. Для типичных значений ш = 2-108 с-1 и L=10~9 Гн ожидаемая предельная чув- чувствительность тогда равна 6Ф/ФО«2-1О-В. F.77> Значительно более строгое рассмотрение шума в высокоча- высокочастотном сквиде, вызванного тепловыми флуктуациями, было дано Куркиярви [43]. В проведенном анализе он получает конечный наклон плато напряжения, показанный на рис. 6.8, б, который отражает статистическую природу квантовых переходов в кольце из одного состояния в другое. Этот процесс подобен процессу, который является причиной конечного сопротивления сверхпрово- сверхпроводящего провода при токе ниже /с (см. разд. 7.1). В этом более строгом анализе при выводе формулы F.69) строго определенный критический уровень энергии контура Wc (или соответствующее критическое значение внешнего потока (Фх) заменяется на стати- * За исключением верхнего по Л конца плато получение информации о внешнем поле происходит реже чем один раз за цикл, и в начале плато частота ее получения стремится к нулю. Поэтому выражение F.76) может давать завышенную оценку чувствительности. 241
стическое распределение точек перехода, ширина которого отра- отражает влияние шума на процессы измерений. Несмотря на значи- значительно большую сложность рассуждений и то, что конечные формулы сильно отличаются от F.76), конечные численные ре- результаты для типичных значений параметров очень близки к значению F.77). Экспериментально получены чувствительности, менее чем на порядок отличающиеся от этого предела. Расхождение между теоретическими пределами и значениями, реально наблюдаемыми на практике, может быть в основном от- отнесено просто к шуму находящегося при комнатной температуре усилителя, на который подается напряжение со сквида. Качество усилителя часто характеризуется (см. прекрасное описание в статье [44]) его шум-фактором F = (V2s + Vl)/Vl F.78) где V\ =4kTsRsB — средний квадрат напряжения теплового шума на сопротивлении источника сигнала Rs при температуре Ts в полосе В, а V* — приведенный к источнику средний квадрат шумового напряжения, которое добавляется усилителем. Если F^ 2, шумы усилителя превышают собственные шумы источника, что приводит к ухудшению разрешения сквида. Так как V% не зависит от Ts, можно переписать формулу F.78) в виде F = 1 + (TJTS), где шумовая температура усилителя, определенная как Г„ = 300Х X (^зоо—1) К, есть такая температура источника, при которой мощность шумов усилителя вдвое превышает полную шумовую мощность. Эффективный шумовой фактор для источника, находя- находящегося при температуре 4К, тогда равен Ft=l+-?f-(Fm-l), F.79) и, чтобы учесть ухудшение чувствительности, обусловленное влия- влиянием усилителя, находящегося при комнатной температуре, нужно увеличить идеальные пределы чувствительности по напряжению на фактор F\12 выше предела теплового шума. В сквиде постоянного тока с /?s=l Ом при использовании звуковых частот шум-фактор F300 обычно порядка 4. Следователь- Следовательно, F\12 «15 и вместо оценки F.75) можно ожидать разрешения 0,8-10~4 Фо. Реальные конструкции имеют немного худшее разре- разрешение, возможно, из-за дополнительных флуктуации потока, вно- вносимых в сквид внешними низкочастотными шумовыми токами. На более высоких частотах и более высоких уровнях импедан- импеданса контура высокочастотного сквида ~104 Ом существуют усили- усилители на полевых транзисторах с /•"Зоо~2, для которых F\12 «9. С таким шум-фактором формула F.77) дает предел разрешения ~2-10~4 Фо, весьма близкий к действительно наблюдаемым вели- величинам. 242
При оценке этих численных результатов следует отметить, что в обоих типах сквидов импедансы так низки, что шум усилителя близок к своему значению при закороченном входе и, следователь- следовательно, почти не зависит от импеданса источника. Поэтому характери- характеристики улучшаются, когда импеданс источника сигнала, и следо- следовательно напряжение повышаются. Например, на звуковых часто- частотах при /?„ = 8-105 Ом существуют стандартные усилители, имеющие шум-фактор при комнатной температуре Fm=\,00l7r соответствующий шумовой температуре всего 0,5 К- Таким обра- образом, даже для Г = 4К шум-фактор был бы равен 1,1, так что усилитель вносил бы дополнительный шум. Но, чтобы полностью реализовать преимущества такого усилителя, необходимо повысить импеданс источника сигнала. Это можно сделать, используя трансформатор. Однако, если трансформатор находится при ком- комнатной температуре, он вносит добавочный тепловой шум, обус- обусловленный конечным сопротивлением обмоток. Эту трудность можно преодолеть, охлаждая трансформатор до температуры жидкого гелия. Таким путем могут быть получены шумовые тем- температуры порядка 2К [45] для звуковых частот при импедансе источника 1 Ом и шум-факторе F4 всего 1,5 даже при низком импедансе источника. При такой схеме возможно исследование характеристик, определяемых флуктуациями при 4К, даже исполь- используя усилитель, работающий при комнатной температуре [63*]. 6.7. Другие приборы, использующие эффект Джозефсона- Высокая чувствительность сквидов к магнитному потоку, про- проанализированная в предыдущем разделе, позволяет проводить чувствительные измерения других электрических величин, таких как напряжение, сопротивление и индуктивность. Такие примене- применения описаны в работах [46, 47]. Вопрос о применениях для шумо- шумовой термометрии при сверхнизких температурах также обсуждал- обсуждался авторами последней работы [48], а использование магнитометра на сквиде в экспериментах по ЯМР при низких температурах для наблюдения изменения ядерной намагниченности образца описано- в работах [49, 50]. Не будем повторять здесь их описания; обсу- обсудим лучше другие два случая применений эффекта Джозефсона, в которых используются устройства, сильно отличающиеся от описанных. Во-первых, это гальванометр типа «слаг»*, который является модификацией сквида постоянного тока. Во-вторых, это использование джозефсоновских устройств в качестве детекторов высокочастотного излучения. 6.7.1. Гальванометр типа «слаг» Такой прибор был впервые описан Кларком [51], а вскоре после этого применение его в качестве потенциометрического * Слаг — от английского SLUG—Superconducting Low-inductance Undulating Galvanometer. — Прим. ред. пер. 24S
вольтметра было освещено в работе [52]. Он состоит из капли припоя, нанесенной . на ниобиевый провод (рис. 6.9), причем между "оипай ними, по крайней мере, pQ"Sn в двух местах возникают слабые связи. В результате критический ток между двумя сверхпроводниками становится периодической функцией тока /, текущего Рис. 6.9. Схеиатическае изображе- ПО ниобиевому проводу ние датчика слага из-за потока, который ОН создает на глубине проник- проникновения в двух сверхпроводниках между контактами. Так как область проникновения потока очень мала, индуктивность L тоже мала, обычно порядка lO1 Гн, с чем н связано название устрой- устройства. Из геометрии перехода можно видеть, что эта же самая площадь определяет взаимную индуктивность М между током / и петлей сквида. Отсюда находим ток, необходимый для созда- создания кванта потока: А/ = Фо/М « Ю-4 А. F.80) Для получения Ысжфо ток /с должен иметь тот же порядок величины. Из-за малой индуктивности чувствительность по потоку полу- получается очень хорошая: от 10~3 до 10 Фо- Тем не менее она соот- соответствует чувствительности по току только ~ 10~7 А. Отсюда вид- видно, что слаг не так чувствителен при измерении тока, как обычный гальванометр. Его главное достоинство состоит в большой чувст- чувствительности по напряжению, так как очень малое напряжение от источника с низким сопротивлением Rs может вызывать в сверх- сверхпроводящем проводе большой ток. Из-за приблизительного равен- равенства L и М оказывается, что изменение тока в проводе Д/ вызы- вызывает практически равное изменение Д/с критического тока устрой- устройства. При надлежащем выборе внешних цепей это изменение 1С приводит к изменению выходного напряжения AV~RIC, где R— сопротивление перехода. Таким образом, устройство имеет усиле- усиление по напряжению (и мощности) порядка R/Rs. Например, если /?~0,1 Ом, а /?а — 10—8 Ом, то получается усиление ~10?, которое увеличивает напряжение от уровня 10~15 В до уровня 10~8 В, на котором его можно измерить с помощью обычной неохлаждаемой электроники. Следует отметить, что если индуктивность цепи L имеет типичное значение порядка 10~8 Гн, то постоянная времени L/R становится слишком большой при значениях Rs ниже 10~8Ом. Однако это очевидное ограничение на полезное усиление стано- становится менее сильным при использовании для ускорения отклика цепи отрицательной обратной связи. 244
Особенно впечатляющим было применение слага Кларком [53] для проверки с высокой точностью того факта, что ступеньки напряжения при облучении джозефсоновских переходов из разных материалов имеют одну и ту же величину при одинаковой частоте облучения. В этом эксперименте цепь тока была полностью сверхпроводящей, т. е. /?« = 0. В результате любая разность потен- потенциалов между двумя ступеньками вызывала бы циркулирующий ток через слаг, причем ток ограничивался бы только индуктивно- индуктивностью цепи. Так как никакой заметный ток не наблюдался в тече- течение 30 мин, то, используя экспериментально полученную чувстви- чувствительность слага @,3 мкА), оказалось возможным установить верхний предел для разности потенциалов в ~2-1О~17 В. На ос- основании этого можно сделать вывод, что разность химических потенциалов на обоих переходах имела одну и ту же величину с точностью 10~8. Это является сильным аргументом в пользу предположения о том, что нет никаких «твердотельных» поправок к значению h/e, определенному в экспериментах [26], и что е* есть точно 2е, где е — заряд свободного электрона. 6.7.2. Джозефсоновские детекторы * Применение джозефсоновских устройств для детектирования излучения было впервые продемонстрировано Граймсом и др. [54]. Они показали, что устройство на джозефсоновском точечном контакте при рабочей точке на крутой части вольт-амперной ха- характеристики близ ступеньки тока работало как очень чувстви- чувствительный детектор СВЧ-излучения, вплоть до субмиллиметрового диапазона волн. Об этом также косвенно свидетельствует тот факт, что магнитометры на сквидах не могут хорошо работать до тех пор, пока полностью не экранированы от радиочастотных по- помех. Подобные устройства могут быть использованы как широко- широкополосный детектор, как резонансный детектор и как гетеродинный смеситель. Здесь лишь кратко упомянем об этих применениях, отсылая читателя для детального ознакомления к специальной литературе **. В широкополосном режиме детектирование осуществляется за счет того, что высокочастотные токи уменьшают максимальный усредненный сверхток. Такое уменьшение обусловлено тем, что высокочастотное напряжение сигнала Vs вызывает модуляцию * Под этим термином автор имеет в виду не только обычные квадратичные видеодетекторы, но и вообще любые СВЧ приемные устройства. — Прим. рев. пер. ** Полезный краткий обзор был дан в работе [55]. Особенно полный и вполне современный обзор можно найти в «Трудах Международной конферен- конференции по детектированию и излучению электромагнитных волн джозефсоковскими переходами», Перрос-Гирек, Франция, сентябрь 1973 г., опубликованных в жур- журнале «Revue de Physique Appliquee», январь 1974 г. (За время, прошедшее с момента выхода в свет английского издания, в этой области получено очень много новых результатов. Можно рекомендовать сборники, добавленные к общему списку литературы, а также монографию [63 *]. — Прим. ред. пер.) 245
8y = 2eVs/hd)s разности фаз у, в результате чего в первом прибли- приближении /osiiry можно заменить на /0 <cos бу> sin Vo« /0 [ 1 — (SyJ/2] sin у0. Если сигнал настолько силен, что фазовая модуляция становится достаточно большой по сравнению с единицей, это простое квад- квадратичное уменьшение заменяется функцией Бесселя /0BeV,/ft(u), как это происходит при обычной частотной модуляции радиосиг- радиосигналов. Таким образом, можно получить напряжение, очень чув- чувствительное к интенсивности падающего излучения. В этом режи- режиме чувствительность детектора становится сравнимой с чувстви- чувствительностью сверхпроводящего болометра, работающего при температуре жидкого гелия, хотя и превышает ее совсем незначи- незначительно. Как резонансный детектор, это устройство очень чувствительно к частотам, лежащим около частоты, удовлетворяющей джозеф- соновскому соотношению hv = 2eV, где V — напряжение на перехо- переходе. Оказывается, что в этом режиме чувствительность детектора может превышать чувствительность лучших инфракрасных боло- болометров на один-два порядка. Работа этих детекторов усложняется тем, что для получения лучших характеристик необходимо, чтобы джозефсоновская частота совпадала с резонансной частотой одной из мод резонатора, окружающего детектор. Более того, в опреде- определении чувствительности играет роль и частота, соответствующая энергетической щели сверхпроводника. Систематическое излуче- излучение, проведенное Ричардсом и Стерлингом [56], показало, что ширина полосы инфракрасного отклика точечного контакта в резонаторе может быть много уже, чем полоса самой резонансной моды, что говорит о наличии некоторой положительной обратной связи, типа используемой в регенеративных радиоприемниках. Из-за механической неустойчивости точечных контактов эти детек- детекторы еще не получили широкого распространения. Однако они, очевидно, имеют хорошую перспективу в качестве настраиваемых узкополосных квантовых детекторов далекого инфракрасного диапазона, где из-за слабости доступных источников излучения весьма важно повышение чувствительности приемных устройств*. * Автор книги совсем не упоминает о той области применений эффекта Джо- зефсона, объем исследований и разработок в которой в последнее время особен- особенно велик. Это — сверхпроводниковые ЭВМ на основе джозефсоновских пере- переходов. Для начального ознакомления с этими работами можно порекомендо- порекомендовать обзор [65*] и монографию [63*]. — Прим. ред. пер. 246
Глава 7 ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ Излагая теорию Гинзбурга — Ландау и ее приложения, мы до сих пор рассматривали только такие волновые функции tJj, которые минимизируют свободную энергию системы. Однако благодаря термодинамическим флуктуациям система в те или иные моменты времени может описываться и другими функциями tJj, причем любая функция ф, которая повышает свободную энергию хотя бы на величину ~kt, будет обладать заметным статистическим ве- весом. Эта идея уже была использована, например, при рассмотре- рассмотрении термически возбужденного крипа линий магнитного потока, который приводит к появлению конечного электрического сопро- сопротивления при температурах ниже Тс. В этой главе более подробно рассмотрим простой случай тонкой проволоки из сверхпроводника I рода, для того чтобы выяснить, насколько точно равно нулю ее сопротивление при температуре ниже Тс. Это эквивалентно друго- другому вопросу: каково время жизни метастабильного состояния сверх- сверхпроводящего кольца, по которому протекает «незатухающий» ток, по отношению к квантовым скачкам, приводящим к уменьшению квантового числа флуксоида на одну или несколько единиц. Затем рассмотрим область температур выше Тс, в которой термодинами- термодинамические флуктуации приводят к эффектам, имеющим сверхпроводя- сверхпроводящую природу, так как (rj>2) =5^0, хотя (ij>) =0. 7.1. Появление электрического сопротивления в тонкой проволоке Согласно теории Гинзбурга — Ландау, для существования не- незатухающего тока в сверхпроводящем кольце необходимо, чтобы контурный интеграл (S^cp-ds имел постоянное значение, кратное '2я. Это соответствует постоянству квантового числа флуксоида. Если вместо этого рассмотреть сверхпроводящую проволоку, по которой пропускается ток, вводимый через нормальные контакты, то ее идеальная проводимость требует обращения в нуль разности потенциалов на концах проволоки. В духе идей Джозефсона мож- можно сказать, что разность фаз <pi2 сверхпроводника на концах про- проволоки должна сохранять постоянное значение, которое зависит от силы тока. Если говорить более точно, фи будет флуктуировать вокруг постоянного среднего значения, так как сверток должен «флуктуировать для компенсации джонсоновских шумовых нор- 247
мальных токов* и обеспечения постоянства полного тока. В ре- результате на любой частоте, отличной от нуля, будет наблюдаться шумовое переменное напряжение, соответствующее действитель- действительной части импеданса сверхпроводника на переменном токе, воз- возрастающей с частотой как со2. Таким образом, в действительности сверхпроводник является идеальным проводником в лучшем случае только на постоянном токе. Поэтому, исследуя появление сопротивления у сверхпроводника ниже Тс, ограничимся случаем постоянного тока. Однако даже в этом случае сохраняется неко- некоторая неточность, связанная с тем, что любое реальное измерение выполняется за конечный промежуток времени; а раз так, упомя- упомянутые выше флуктуации на переменном токе полностью не ус- усредняются и V не будет точно равно нулю, хотя и может быть неизмеримо мало. Определение нулевого сопротивления на посто- постоянном токе, приемлемое с экспериментальной точки зрения, состо- состоит в том, что ф12 не должно иметь измеримого среднего значения, пропорционального пропускаемому постоянному току. В терминах разности фаз это означает, что величина <pi2 не должна содержать измеримой монотонно нарастающей части. Напротив, если сопротивление имеется, усредненное по флук- туациям значение <pi2 будет со временем возрастать, что, каза- казалось бы, несовместимо со стационарностью состояния. Это кажу- кажущееся противоречие объясняется существованием «скачков фазы» (phase slips) —событий, при которых когерентность фазы в неко- некоторой точке сверхпроводника в какой-то момент нарушается, в результате чего оказывается возможным восстановление когерент- когерентности фазы. Эти события можно считать пространственно-локали- пространственно-локализованными, если изменение фазы при скачке кратно 2л, так как однородный набег фазы по длине провода на 2пп вне области скачка не имеет физического смысла. Фактически можно ограничиться простым случаем скачка фазы на 2я, так как ока- оказывается, что скачок на несколько 2я легче всего реализуется как несколько элементарных скачков, по 2л каждый. Для сохранения стационарного состояния такие события должны происходить со средней частотой 2eV/h. Если V постоянно, <р12 монотонно воз- возрастает со скоростью 2eV/h, но в некоторые моменты, при каждом скачке, быстро уменьшается на 2я. Таким образом, <р12 представляет собой пилообразную функцию, что эквивалентно монотонному нарастанию по модулю 2я. Переходя от этих качественных соображений к количественно- количественному расчету частоты скачков фазы, определяющей сопротивление**, удобно ограничить рассмотрение случаем одномерного сверхпро- сверхпроводника. Возьмем проволоку, диаметр которой d<gc|, так что из- изменения tJj в поперечном сечении невозможны энергетически. * В отечественной литературе о них чаще говорят как о шумовых токах Найквиста. — Прим. ред. пер. ** Точнее, к нахождению связи этой частоты (и следовательно, величины V) с величиной сверхтока /,. — Прим. ред. пер. 248
Рис. 7.1. Графическое представление комплексной волновой функции ГЛ одно- одномерного сверхпроводника, по которому протекает ток: а — однородное решение; б — неоднородное решение перед скачком фазы В этом случае т? является функцией лишь одной координаты х, направленной вдоль проволоки. Будем также считать, что d^X, так что магнитной энергией можно пренебречь по сравнению с кинетической. Если не учитывать влияние флуктуации, то |ф(*)| постоянен и получим задачу, которая рассматривалась в разд. 4.4, в котором было получено нелинейное соотношение D.35) между плотностью сверхтока и скоростью, а также выражение D.36) для критической плотности тока. При плотности тока, большей критической, резко включаются диссипативные процессы, и сопротивление быстро достигает нормального значения. Попробуем описать резистивные эффекты при /</с, т. е. в условиях, когда в отсутствие флуктуации наблюдалась бы идеальная проводимость. Этот режим впервые был подробно рассмотрен Ланджером и Амбегаокаром [1]. Для того чтобы наглядно представить изменения комплексной функции ty(x) во время скачка фазы, удобно изобразить величину ]ip(jc) |ехр[1ф(л;)] в полярных координатах в плоскости, перпен- перпендикулярной к оси х. Тогда найденные в разд. 4.4 обычные реше- решения, имеющие вид фоехр (igx), можно будет изобразить в виде спиралей радиусом 2\|з0 с шагом 2nfq (рис. 7.1,а). Это есть ста- стационарные равновесные решения, соответствующие протеканию сверхпроводящего тока при нулевом напряжении. Как изменится эта картина, если между концами проволоки существует падение напряжения? Разность фаз на концах проволо- проволоки, согласно уравнению Джозефсона, возрастает со скоростью 2еУ di G.1) Представим, что один конец спирали закреплен, а другой за- закручивается с постоянной скоростью, так что спираль становится более плотной. Эта картина отражает возрастание сверхпроводя- сверхпроводящего тока в соответствии с лондоновским уравнением Е = = d(\Js)/dt. Таким образом, при наличии напряжения величина q возрастает с такой скоростью, что полная разность фаз <pi2 = <7? 249
на длине проволоки удовлетворяет соотношению G.1). В локаль- локальном описании это эквивалентно уравнению dvs _ еЕ п „. Но, как известно, существует критическая скорость vc, выше которой простое однородное решение отсутствует. Таким образом, нарисованная выше картина должна нарушиться, когда vs до- достигнет vc, а может быть и раньше. Процессы скачков фазы, пред- предложенные Ланджером и Амбегаокаром, позволяют сохранить стационарное состояние с vs<vc при наличии ненулевого напря- напряжения V за счет аннигиляции витков спирали во внутренних участках проволоки с той же скоростью, с которой на конце проволоки накручиваются новые витки. В результате энергия, которая подается в проволоку со скоростью IV, рассеивается в виде тепла, а не превращается в кинетическую энергию сверхпро- сверхпроводящего тока, которая иначе быстро превысила бы энергию конденсации. Не будем здесь вдаваться в подробности расчета, а отметим лишь некоторые узловые моменты. Во-первых, до тех пор если пренебречь нормальным током (а он не равен нулю, если ЕФО), из условия постоянства тока h(x) следует постоянство \$(х) \2vs(x)- Другими словами, если г|)(х) = |ф(*) |ехр[1ф(jc)], то возможные изменения комплексной функции г|з(я) ограничены соотношением ) Г -^ = COnst CSD /. G.3) В частности, если |г|з| в какой-то области становится очень малым, dq>/dx в этом месте должно сильно возрасти (см. рис. 7.1,6). Как впервые отметил Литл [2], с приближением к преде- пределу |*|)|-vO сравнительно нетрудно добавить или убрать один виток. Ланджер и Амбегаокар сумели найти в фазовом пространстве такую траекторию, соединяющую два однородных решения для раз- различных чисел витков, при которой разделяющий их энергетический барьер имеет минимальную высоту. В точке перевала этого барье- барьера свободная энергия Гинзбурга — Ландау, по определению, не должна изменяться при малых изменениях г|з, и поэтому -ф долж- должно удовлетворять обычным уравнениям Гинзбурга—Ландау, вы- выведенным вариационным методом из условия 6^ = 0. Используя соотношение G.3), им удалось найти следующее выражение для высоты энергетического барьера в точке перевала: _ 81/2 Н2С Af0-—^-—^, G.4) где А —¦ площадь поперечного сечения сверхпроводника. Это впол- вполне естественный результат, так как AF0 — энергия конденсации отрезка сверхпроводника длиной ~?; к нему можно прийти, 250
учитывая, что ф не может резко измениться на длине, меньшей ?, и, следовательно, для нарушения когерентности фаз на концах проволоки в нормальное состояние должен перейти отрезок про- проволоки по крайней мере такой длины. Далее, необходимо ввести в рассмотрение влияние протекаю- протекающего через проволоку тока, благодаря которому скачки фазы в одном направлении более вероятны, чем в другом. В отсутствие тока скачки фазы на ±2л равновероятны; они приводят к возник- возникновению флуктуирующего шумового напряжения, но постоянная компонента при этом равна нулю. Однако при заданном (внеш- (внешним источником) напряжении V возникает стационарный ток, величина которого такова, что частота скачков Acpt2=—2л пре- превышает частоту скачков Acpi2=—2я на 2eV/h в секунду. Различия в частоте скачков вызваны разной величиной энергетического барьера 8F для скачков в обоих направлениях, а эта разница обусловлена различием в работе электрических сил J IVdt, совершаемой при таком процессе. С учетом выражения G.1) для скачка фазы на 2л разность энергий составляет 6F = AF+ — AF- = Л//2е. G.5) Как показал Маккамбер [3], все эти рассуждения могут быть без изменений применены к случаю обычных условий эксперимен- эксперимента, когда используется источник постоянного тока, а не постоянно- постоянного напряжения. Чтобы завершить построение теории, необходимо ввести часто- частоту попыток (или «масштабный множитель») Я, и тогда средняя суммарная частота скачков фазы будет равна dt [ \ kT J *\ kT J) = 2Q exp (— AF0/kT) sh (8F/2kT). G.6) Подставляя сюда вместо 6F выражение G.5) и приравнивая dqiixldt значению частоты согласно соотношению Джозефсона, получаем V = (hQ/e) exp (— AFJkT) sh (hl/iekT). G.7) В пределе очень малых токов гиперболический синус можно заменить его аргументом. В результате получаем закон Ома, при- причем R = VII = (ЯИЧ2/2ЛИ1) exp (— AFJkT). G.8) Однако такое приближение справедливо лишь при /^/о, где I0 = 4ekT/h; IJT яв 0,013 мкА/К. G.9) В этом режиме число скачков с Дф] = +2я и Дф1 = —2л примерно одинаково и ток является небольшим возмущением. При больших токах преобладают скачки такого направления, которое соответ- соответствует уменьшению числа витков спирали. В этом случае полезно аппроксимировать формулу G.7) выражением 251
V = (Ш/2е) exp (— AFjkT) exp (I/Io). G.10) В полной теории найдено, что входящий сюда сомножитель AF0 убывает относительно значения G.4) как /2. В этом режиме сверх- сверхпроводник ведет себя как нелинейное сопротивление. Пока остается еще открытым вопрос о величине множителя Я. Очевидно, он должен быть пропорционален длине провода, так как следует ожидать, что скачок фазы может произойти независимо в любом месте по длине провода. В результате падение напряжения при заданном токе будет пропорционально длине провода, поэтому сопротивление является экстенсивной переменной. В первоначаль- первоначальной работе Ланджера и Амбегаокара частота попыток Q была весьма произвольно принята равной nAL/x, где т — время релак- релаксации для электронов в нормальном состоянии и п — плотность электронов. Затем Маккамбер и Гальперин [4] вновь исследовали эту задачу на основе временного обобщения теории ГЛ и нашли, что масштабный множитель зависит от температуры и имеет вид Я = (LH) (AF0/feT)V. A/Tj), G.11) где ljx, = 8k(Tc—Г)/яй — характерная скорость релаксации для сверхпроводника в этой теории (см. разд. 7.5 и 8.3). Такой вид Q разумен, потому что Ц\ представляет собой число неперекрываю- неперекрывающихся участков, в которых могут происходить флуктуации. Мно- Множитель (AF0/kT) Ч2 учитывает поправку на перекрытие флуктуа- флуктуации, происходящих в различных местах, и количественно не играет большой роли. Этот масштабный множитель Q Маккамбера — Гальперина обычно в 1010 раз меньше, чем по Ланджеру—Амбе- гаокару, и стремится к нулю с приближением к Тс. Несмотря на то что поправочный множитель очень велик, его отсутствие вна- вначале не было замечено, так как он соответствует изменению по шкале температур всего на несколько тысячных градуса из-за экспоненциальной зависимости напряжения от &F0/kT, согласно формуле G.7). Наиболее прямой и надежной проверкой правильности этих идей явились эксперименты Лукенса, Уорбуртона и Вэбба [5], а также Ньюбауэра, Бизли и Тинкхама [6]; те и другие были выполнены на оловянных вискерах. Последние представляют собой монокристаллические образцы цилиндрической формы, обычно диаметром ~0,5 мкм и длиной в несколько десятых миллиметра, выращенные методом сдавливания сандвича из луженной оловом стали, типа используемой в консервных банках. Даже для образ- образцов столь малого диаметра AF0/kT^6- 10еA—03Л так что вероят- вероятность скачка фазы становится астрономически малой за предела- пределами интервала — 0,001 К вблизи Тс, в котором A—t) ^ 0,003. Из рис. 7.2 показано, что между теорией ЛАМГ (Ланджера—Амбе- (Ланджера—Амбегаокара — Маккамбера — Гальперина) и экспериментальными данными [6] существует очень хорошее согласие. Можно ожидать, что теория ЛАМГ перестает быть справедливой — а это действи» тельно так — при температуре очень близкой к Тс, где непримени- 252
Рис. 7.2. Уменьшение сопротивления сверхпроводящего оловянного виске- ра ниже Тс (точки — измерения Ньюбауэра и др. [6]). Сплошная кривая—теория ЛАМГ с единст- единственным подгоночный параметром Т?. Пун- Пунктирная кривая—теория ЛАМГ без учета параллельного нормального проводящего канала. Ступенька при /?/fln~10-', по-ви- по-видимому, связана с контактными явлениями ю-1 ю-2 10'3 ю-" ws - - 1 I Si /Г ( • Эксперименталь- Экспериментальные данные /?„-0,50м 1 1 1,0 0,5 Tc-r,10'sK ма используемая в теории модель изолированных скачков фазы в сверхпроводящей среде, так как при Тс стремятся к нулю и часто- частота попыток, и высота энергетического барьера. В этом случае, может быть, правильнее идти со стороны нормального состояния и рассмотреть возникающие в нем сверхпроводящие флуктуации, а не наоборот*. Но если сопротивление упало заметно, теория ЛАМГ оказывается в точном количественном согласии с экспери- экспериментом в области изменения R на шесть порядков величины. Сту- Ступенька вблизи /?//?„ = Ю~6, где сопротивление падает медленнее, чем по теории, а затем снова падает быстро, изменяется от образ- образца к образцу и, по-видимому, связана с эффектами в контактах. Ввиду превосходного согласия теории и эксперимента интерес- интересно использовать теорию для экстраполяции ее результатов на об- область сопротивлений, недоступную для измерений. При самой" низкой температуре, показанной на рис. 7.2, падение напряжения на сопротивлении при измерительном токе 0,2-10~6 А примерно- равно 10~13 В; это соответствует ~ 100 скачкам фазы на 2я в се- секунду. Экстраполируя эти результаты в сторону низких темпера- температур еще на 0,001 К, получаем частоту скачков 10~" с-1 или один скачок в 1000 лет; экстраполяция еще на 0,001 К дает один скачок в 109 лет. Таким образом, на отрезке в 0,003 К происходит переход от нормального сопротивления к режиму, при котором нельзя ожидать события, порождающего конечное сопротивление, за вре- время существования Вселенной! Разумеется, в случае более толстой проволоки сопротивление должно исчезать еще быстрее. Если принять во внимание эти временные масштабы, станет ясно, что результаты, полученные путем усреднения по времени, надо использовать с осторожностью. Согласно равенству G.8), * Попытка развить теорию, пригодную для подхода к Тс сверху, содержится, например, в работах [7—9]. 253
при всех ненулевых температурах сверхпроводник имеет конечное сопротивление, хотя оно становится астрономически малым при температурах много ниже Тс. Но это относится к сопротивлению, статистически усредненному за промежуток времени, достаточно большой для возникновения многих скачков фазы. Если бы про- проволока была бесконечно длинной, усреднение не вызвало бы каких-либо проблем и можно было бы измерить любое малое сопротивление. Однако в случае проволоки конечной длины быст- быстро достигается ситуация, когда нельзя ожидать ни одного про- проскальзывания фазы за время, достижимое в эксперименте. В этом случае сопротивление, измеренное на постоянном токе, окажется строго равным нулю, а не просто малым. Таким образом, дискрет- дискретная природа скачков фазы дает ключ к пониманию перехода от ¦очень малого сопротивления к нулевому. 7.2. Сверхпроводимость при температуре выше Тс в системах нулевой размеренности В теории ГЛ Тс определяется как температура, при которой коэффициент а (Г) (в главном члене а|т|>|2 разложения свободной энергии) меняет знак. Таким образом, выше Тс F имеет минимум при [т|>|=0. Однако флуктуации, повышающие свободную энергию на величину ~kT, могут происходить и здесь, так как вероятность уменьшается лишь как ехр(—FfkT). Это приводит к существова- существованию выше Тс сверхпроводящих эффектов, вызванных флуктуация- ми. Амплитуда этих флуктуации максимальна для малых объемов, так как все возрастание энергии должно быть лишь порядка kT. Полезным начальным ориентиром при решении этой задачи может служить рассмотрение частицы, малой по сравнению с ?, так что можно считать величину \|з постоянной по объему частицы V. Такой случай можно назвать пределом нулевой размерности. Тогда свободная энергия ГЛ, отсчитываемая от свободной энергии в нормальном состоянии, равна (в отсутствие каких-либо полей) где a = ao{t— 1). Ниже Тс отсюда следует обычный результат: минимальное значение свободной энергии равно F0 = -—V = ~-^-(l-tfV = ~—V; G.13) достигается оно при Флуктуации около г|H можно оценить, вычисляя &F , „ л . „ _цу у 15) 254
и полагая (F — Fo) = — -^- (8г|зJ « kT. G.16) 2 дфа -ф0 Отсюда следует Фо AF Г72Т7 '^ /1 _ t\* V ' ' если использовать численные значения параметров для олова.. Видно, что флуктуации вызывают очень малое относительное из- изменение if, за исключением случаев, когда температура очень близка к Тс или образец очень мал. Поэтому применение в преды- предыдущих главах этой книги «среднего поля» \|>0, вообще говоря, вполне оправдано. Однако, используя очень маленькие частицы (d<1000A), можно «прощупать» так называемую критическую область, где (бф/фJ не обязательно мало и где результаты, осно- основанные на модели среднего поля, становятся неточными. В этой связи важно отметить, что кажущаяся расходимость выражения G.17) при Тс в действительности обрезается ангармоническими членами в разложении свободной энергии, так что даже при Гс(бг|)J имеет конечное значение ^1'. G.18) Теперь обсудим ситуацию выше Тс. Здесь а>0, и из формулы G.12) видно, что минимальная свободная энергия F0 = 0 (по отно- отношению к нормальному состоянию) и достигается при фо = О. Флук- Флуктуации ограничены величиной — 1)F. G.19) \р=0 которая, как видно, отличается лишь множителем 2 от своего значения G.15) для температуры, отстоящей на ту же величину вниз от Тс. Соответствующий уровень флуктуации здесь равен <Т— G.20) Он опять-таки того же порядка, что и для флуктуации ниже Тс, но, так как 0р0 теперь равно нулю, все сверхпроводящие эффекты возникают лишь из-за флуктуации. Заметим, что Eт|>J при Г-уГ,. расходится как (Т—Тс)~1, как в обычном законе Кюри— Вейсса в статистической теории парамагнетизма. Эта расходи- расходимость очень близко от Тс обрезается членом с четвертой степенью,, что приводит к формуле G.18). Действительно, приравнивая G.J2) к-kT и точно решая уравнение, получаем выражение T>TC, G.21) которое в предельных случаях сводится к формулам G.20) и G.18). 25S
Критическая область Рис. 7.3. Температурная зависимость плотности ' пар (и восприимчивости) одномерного сверхпроводника вбли- вблизи Г,- Попробуем ответить на вопрос, каким образом можно наблю- наблюдать эти сверхпроводящие флуктуации выше Тс. Наиболее прямой путь _ измерение магнитной восприимчивости мельчайших частиц, так как х зависит от К, зависящего, в свою очередь, от <т|з2>. Точнее, для сферических частиц радиусом /?<Я уравнения Лон- донов приводят к магнитной восприимчивости ?^*?<*•>*"¦ G-22) 40я А,2 40л Если R<lu, появляется добавочный множитель — /?/go. который учитывает влияние нелокальной электродинамики. Таким образом, «ели <VZ) дается выражением G.21), то с понижением темпера- температуры х должно возрастать как {t—\)~l, но затем, при вступлении в критическую область, этот рост должен замедлиться; наконец, ниже Тс, где флуктуации подавляются полной сверхпроводимостью, X и <i|>2> должны возрастать как A—0- Эти зависимости пока- показаны на рис. 7.3: Точно такое поведение х наблюдали Бурман и Гальпе- Гальперин [10], измерявшие х мелких порошков алюминия. Они нашли, что для образца, содержащего самые мелкие частицы (/?«25ОА), критическая область в согласии с теорией занимает интервал 0,95<*<1,05. В .целом они получили такое количествен- количественное согласие между экспериментальными данными и точными рас- расчетами на основе теории ГЛ*, что можно сделать вывод об удов- удовлетворительности выражения для свободной энергии G.12) как внутри, так и вне критической области (если речь идет о системах нулевой размерности). Однако при Т<* 1,5 Тс х падает ниже пред- предсказанного значения. Это неудивительно, так как нужно ожидать, что теория Гинзбурга—Ландау надежно выполняется лишь вбли- вблизи Тс. * См например работу [11], в которой произведено усреднение по фг с •точными 'статистическими весами, вместо простого приравнивания прироста свободной энергии величине kT, как это сделано здесь. 256
7.3. Пространственная зависимость флуктуации Рассмотренный только что случай нулевой размерности прост и допускает довольно точный теоретический анализ. Однако этот анализ нельзя непосредственно применять в условиях обыч- обычного эксперимента, когда один (или более чем один) размер об- образца превосходит ?, так как величина -ф не может считаться постоянной по всему образцу. Тем не менее качественно эти идеи могут быть перенесены на другие случаи, если считать макроско- макроскопический образец состоящим из мелких независимых частиц, размер которых определяется радиусом корреляции флуктуации, этот радиус обычно порядка %. Например, так как \а\ =h,2/2m*?>2, аналогично из формул G.20) и G.22) можно получить, что диа- диамагнитная восприимчивость массивного сверхпроводника при температуре выше Тс пропорциональна кТ\{ТIФ^\ этот простой результат подтверждается точными расчетами, приведенными ни- ниже. Теперь обсудим подробнее пространственную зависимость флуктуации. Прежде всего рассмотрим случай массивного образца при температуре, настолько превышающей Тс, чтобы можно было пре- пренебречь членом четвертого порядка в выражении для свободной энергии. Тогда плотность свободной энергии ГЛ по отношению к нормальному состоянию может быть записана в виде 12 G.23) Так как а>0, оба члена положительны, следовательно, свободная энергия должна быть больше, чем в нормальном состоянии, для любого значения ф, отличного от нуля. Соответствующее линеари- линеаризованное уравнение ГЛ имеет вид ^t-У л = — ETlSL ^ = L-Tjj. G.24) Так как l/?2 = 2m*|a|/ft2, знак этого выражения изменился по срав- сравнению с уравнением D.56) из-за изменения знака а. Рассмотрим вначале случай А = 0 и разложим т|з(г) в ряд Фурье: k Подставляя это выражение в формулу G.23), интегрируя по еди- единичному объему и используя ортогональность членов ряда Фурье, находим ~ ' М * G.26) Если приписать энергию kT каждой из независимых мод, т. е. каждому значению к, то (для единицы объема) 1/, 9 Зак. 895 257
р/и^Гр snoiiu для юметишй ¦. более быстрых, чга это Пространственной отображение этих тависящих от к амплитуд ожно получить, рассматривая корреляционную функцию Ц«|» я формулой G.22). Из симметрии этпй формул г(«) --^j'j "t^g" am нтурно еграла; д резу луча Таким образом, н режиме флуктуации локальные значения if коррелиронанн н& расстояниях ~?(Г), как и предполагалось выше. Расходимость выражения G.30) при R-+0 не вызиипа при fe~ )/|{П) тметим, 'jto, вообще говоря, будет удобнее работ
¦= **. -Ж G.27) * k Аа . й3 + 1Д2 ' Отсюда видно, что фурье-компоненты, описывающие изменения ¦ф на расстояниях, меньших ?, как и следовало ожидать, входят с меньшим весом. Однако плотность распределения мод изменя- изменяется как k2dk, так что для получения конечного значения суммы по к в выражении <^|>2>=2к|г|)к |2 необходим более сильный закон спадания |-фк|2. Можно предположить, что переход к такому спа- спаданию должен иметь место при &да 1/? @), так как теория ГЛ несправедлива для изменений г|з, более быстрых, чем это. Пространственное отображение этих зависящих от к амплитуд можно получить, рассматривая корреляционную функцию ехР (~ * ¦ г) $ IV exp (ik' ¦ г') >; G.28) здесь угловые скобки означают усреднение. Заменяя координаты г, г' на среднюю и относительную: г = (г + г')/2 и R = r'—г, можно переписать выражение G.28) в виде g (г, г') = /JJ Ч^, ехр [ i(k + k'} • Я jexP[- i (k - k') ¦ r]\. k,k' Усреднение по средней координате г дает нуль, за исключением случая k = k', где оно дает единицу. Таким образом, 8(т, r')= g(R)= I]|^l2exp(ik-R), G.29) k где |г|5к|2 задается формулой G.22). Из симметрии этой формулы (а также из ее физического смысла) ясно, что g(R) зависит только от R. Заменяя сумму интегралом, находим = _^Г г- Г ехр (!W cos Ь) V A2 JJ fe2+l/? Интеграл по & берется элементарно, а по fe легко вычисляется методом контурного интеграла; в результате получается n G30) 2яА2 Таким образом, в режиме флуктуации локальные значения \|з коррелированы на расстояниях ~?,(Т), как и предполагалось выше. Расходимость выражения G.30) при /?->0 не вызвана физическими причинами; она связана с тем, что интегрирование по k выполнено до бесконечности, т. е. не проведено обрезание при ft ~ 1/| @). Теперь посмотрим, как повлияет на эти результаты присутствие магнитного поля. Прежде чем выбрать определенную калибровку, отметим, что, вообще говоря, будет удобнее работать с ортонорми- 258
рованными собственными функциями псевдогамильтониана Ж, определяемого следующим образом: Сравнивая это выражение с G.24), видим, что собственные функ- функции для ev =0 удовлетворяют линеаризованному уравнению ГЛ. Однако выше Тс все ev положительны, и г|зг используются просто в качестве базисных функций. Возвращаясь к рассуждению, ис- использованному в разд. 4.8 при выводе выражения для Нс2 (где выступает тот же оператор, что в G.31), если отвлечься от знака члена 1/?2), видим, что ? (? ) ( i)c, G.32) где ыс = 2еН/т*с есть циклотронная частота пар в приложенном поле. Если разложить произвольную функцию ty(r) по этим базисным функциям ty (г) = 5]Cv^v (г) G.33) v и вычислить, используя равенство G.23), свободную энергию, то, применяя интегрирование по частям и используя ортогональность i|\. , найдем, что F = 2v|cv|zev. Приписывая каждой нормальной моде энергию kT (так же, как это делалось в отсутствие поля), получаем, что | cv |2 = kT/ev. Теперь можно вычислить корреляционную функцию: fg(r, г') = {it*(r)ij; (г')) = 5] c*cV' (т[>* (r)ijv (г')) G.34) v,v' и посмотреть, каким образом выражение G.30) видоизменяется под действием поля. Здесь уже необходимо выбрать определенную калибровку. Так как данная физическая задача характеризуется осевой симметрией относительно направления поля, удобно вы- выбрать А = — [Нхг] = — Ялр, 2 2 *' где ф — единичный вектор. Так как имеется также инвариантность относительно переноса вдоль поля в направлении г, собственные функции должны иметь вид ^v ='/,„„ (p)"exp(imp)exp'(iA:zz), G.35) где р= (х2-\-у2)Ч2. Подставляя такое выражение в дифференциаль- дифференциальное уравнение G.31), находим, что асимптотическое поведение fmn для всех тип дается формулой /(p)->/i(p)"exp(-ap2), p->oo, G.36) где /i(p) —полином и а = лЯ/2Фо. Это экспоненциальное обрезание Va 9* 259
G 221 Далее можно оценит объеме V го формуле G 20). К» —п"И1"</">1Й1', G.41) (И) ) фа
т-тс, к Рис. 7.4. Обусловленный флуктуациями прирост диамагнитного момента индия по данным Голлуба и др. [13—15] (в качестве нулевого принято значение М при высоких температурах, где М не зависит от 7"): а — слабые поля; б — сильные поля - К несчастью, ширина перехода (~5-10~3 К) в большинстве сверхпроводников II рода затемняет детали пове- поведения вблизи Тс2, так как линейно нарастающая основная намаг- намагниченность при температуре всего на несколько миллиградусов ниже Тс2 намного превосходит тот флуктуационныи диамагнетизм, который наблюдается при температуре на несколько миллиграду- миллиградусов выше Тс2. Некоторые типичные данные для In приведены на рис. 7.4. В левой части рисунка показаны результаты для сравнительно слабых полей; М' возрастает с ростом Н, но слабее, чем по линей- линейному закону. В правой части рисунка приведены данные для более сильных полей; здесь М' убывает с ростом Н, так как более силь- сильные поля быстро подавляют флуктуации. Обратите внимание на скачок у левого конца кривой для Я = 34,9 Э. В этой точке Мг возрастает скачком на пять порядков .величины до значения, соответствующего эффекту Мейсснера, но, так как это переход первого рода, перед скачком нет никакой расходимости. Как сле- следует из рисунка, зависящий от температуры диамагнетизм может наблюдаться до температуры ~2ТС. Для сравнения этих результатов с теорией, очевидно, необхо- необходимо обобщать формулу Шмида G.42) на случай конечных полей, что было впервые проделано в работе [16]. Точный расчет в рам- рамках теории ГЛ был выполнен Прэйнджем [17]. Он нашел, что М' действительно должно расходиться как (Т—Гс2)~1/2 и что, если использовать нормированные переменные, оно должно описывать- описываться универсальным соотношением, а именно М'/НЧ'Т = fp(x), G.43) 262
где /Р — функция единственного параметра х—[(Т—ТС)/Н]Х X {dHczldT) Tc. Когда графики в этих переменных были настроены для нескольких материалов, данные не ложились на универ- универсальную теоретическую кривую, а систематически попадали ниже нее, особенно для более сильных полей. Этот факт вначале вызвал беспокойство, так как показывал серьезное расхождение между строгим следствием теории ГЛ и экспериментальными фактами. Объяснение этому расхождению было впервые предложено Пэттоном, Амбегаокаром и Уилкинсом [18]. Они отметили, что теория ГЛ, поскольку она основана на разложении свободной энергии по производным г|), применима лишь при рассмотрении медленных изменений в пространстве. В результате того что векторный потенциал, так же как и оператор градиента, входит в выражение канонического импульса, применимость теории ГЛ ограничена также и достаточно слабыми полями. Следовательно, можно ожидать, что она будет плохо описывать коротковолновые флуктуации [^s(O)], которые являются преобладающими намно- намного выше Тс, и флуктуации в сильных магнитных полях. Например, при Т=2Т,. ?(Т)~!@), тогда как даже при Тс размер флуктуации в поле —Яс2@), как показывает формула G.40), также порядка ?@). Такого рода общие соображения привели авторов к попытке скорректировать расчет Прэйнджа путем обрезания коротковолно- коротковолновых флуктуации. В результате они пришли к обобщению формулы Прэйнджа G.43): М'1НЧ'Т = /paw (*, HIHs ), G.44) где х — та же приведенная температурная переменная, что и рань- раньше, a Hs — зависящий от материала масштаб поля, подлежащий определению в конкретной модели. Голлуб и др. проверили эту идею, нанеся на график, как по- показано на рис. 7.5, данные для многих материалов, измеренные при Тс (где *=0) в зависимости от Н. Согласно формуле Прэйн- Прэйнджа G.43), величина М'(Г^/Я'/^Тс должна быть универсальной численной постоянной для всех материалов. С ростом Н данные все более отклоняются от этого значения вниз и при этом, как видно из рис. 7.5, ложатся на универсальную зависимость от нормирован- нормированной переменной H/Hs, входящей в формулу G.44). Величина Hs определяется для каждого материала как поле, при котором из- измеренное значение М (Тс) падает до половины значения Прэйнд- Прэйнджа. Конкретный вид уменьшения М', предсказанный в работе [18], оказался правильным качественно, но не количественно. Вскоре после того как эта универсальная зависимость была продемонстрирована экспериментально, Ли и Пэйн (ЛП) [19] и независимо Куркиярви, Амбегаокар и Эйленбергер (КАЭ) [20] получили теоретическую кривую (она показана на рис. 7.5 пунк- пунктиром), дающую хорошее согласие с опытом. Этот теоретический результат основан на микроскопической теории Горькова для чистого предела. При разработке теории неожиданно большую роль сыграли эффекты, связанные с нелокальной электродинами- 9* 263
Прэйндж (теория гл) х \п(н3=2,1а) о ЫЬ(Н^ЮОз) a In-8%П т Ш-16ХП (Hs=iJO а РЬ-5%П (Н3-72 ЛП-КАЭ X хЧ Ч, | I j ] | I 1 | И [ 1 1 l i 11 11 I I 1 1 I I 111 J NX I I 1 I 11 °0,01 0,1 Рис. 7.5. Универсаль- Универсальная зависимость М'(Т)/НЧ*ТС от HIH.. Сплошная кривая — эмпирическая кривая, проведенная через экспериментальные точ- точки Голлуба и др. Пунк- Пунктирная кривая — теория ЛП—КАЭ для чистого предела, ?о//а=О (см. текст). Горизонтальная прямая — расчет Прэйн- джа (теория ГЛ) 10 Н_ кой. Фактически они уменьшают Hs примерно на порядок величи- величины по сравнению со значением, которое можно было ожидать на основании качественных соображений, говорящих о том, что Н„ должно быть порядка #с2@). Заметим, что эта нелокальность имеет место, несмотря на то что поле В всюду однородно (в отли- отличие от обычного появления нелокальных эффектов только в слу- случае, когда поля ограничены тонким слоем глубины проникнове- проникновения). Хотя В однородно, А неоднородно, а именно характер изме- изменения А существен для нелокальной электродинамики. Экспериментально выяснилось, что у сплавов величина Я5/Я2с@) приближается к предельному значению ~ 1/2. Инту- Интуитивно это кажется разумным, так как при малых значениях сред- средней длины свободного пробега I нелокальные эффекты должны пропадать. Однако оказалось, что расчеты ЛП—КАЭ, основанные на прямом применении теории Горькова, дают неограниченный рост Hs/Hc2@) при уменьшении /. Однако расчет, выполненный Маки и Такаямой [21], дал конечный предел при 1-+Q, что, по- видимому, находится в удовлетворительном согласии с экспери- экспериментом. Как показал Маки [22], результаты ЛП—КАЭ искажены из-за учета нулевого члена, отражающего лишь свойства нормаль- нормального металла. Можно подытожить это обсуждение, сопоставив два различ- различных режима. В сверхпроводнике II рода можно наблюдать диа- диамагнетизм флуктуационного происхождения, если приблизиться вплотную к 7"с2. Диамагнетизм в этом случае определяется длин- длинноволновыми модами с очень низкой энергией, которые дают расходимость при Тс2 и хорошо описываются теорией ГЛ. Следо- Следовательно, можно ожидать, что теория Прэйнджа (или ГЛ) будет хорошо работать вблизи Тс2. Как показывают измерения Голлуба 264
и др., на таких образцах сверхпроводников II рода, как Pb + 5% T1, это действительно так. Однако при более высоких температурах заметно возбуждены все флуктуационные моды; при этом стати- статистические веса больше у коротковолновых мод, плохо описывае- описываемых теорией ГЛ, поэтому должны появляться — и действительно появляются — большие расхождения. Очень приятно, что эти рас- расхождения послужили толчком к разработке микроскопической тео- теории, которая привела к значительным успехам в их объяснении. 7.4.1. Диамагнетизм в двумерных системах Если сверхпроводник имеет форму пленки толщиной ? флуктуации могут приводить к существенному изменению пере- переменных только по двум координатам в плоскости пленки. Такая система представляет собой «двумерный сверхпроводник». Вели- Величину флуктуационного диамагнетизма легко оценить, пользуясь формулой G.41). Полагая, что радиус корреляции равен ~g в плоскости пленки и d в перпендикулярном направлении, находим, что объем такой флуктуации V~n?2d, так что %~—nkT^yjOyd. Из-за того что объем, в котором происходят флуктуации, не сфе- сферический, определение (г2) требует осторожности. Можно вос- воспользоваться следующим физическим рассмотрением. Плотность энергии /#2/8я можно записать в калибровке Лондонов также в виде J-A/2coo42. Но j>A-ds = BA, где А — площадь сечения флуктуации, перпендикулярного к полю. Таким образом, Ата tuBjI/s, где s — периметр этого сечения. Так как в случае слабого флуктуационного магнетизма ВтаН, получаем X'—M/sJ. Для сферы этот фактор равен просто (гг), а для флуктуации в фор- форме диска <г2>эФ~Е2 Для #х и (гг)эф~ (d/2J для Н ц. Это общее рассуждение качественного характера в случае параллель- параллельного поля можно подтвердить, обратившись к формуле D.54а), описывающей экранирование параллельного поля в тонкой пленке. Для d<j\, находим h/H = B/H =1+4лх, где х=— d2/l2K2cod2, как было найдено выше. Таким образом, по порядку величины (|/d) x3D оо TJ{T - Те), G.45а) тогда как X'и да — kTd№l % (d/l) /3d <*> const. G.456) Здесь через х'зв обозначено выражение G.42). Отсюда заключаем, что %' практически ненаблюдаемо, так как оно слишком мало и не зависит от температуры. Однако Xj_ будет в l/d раза больше, чем %'3D для единицы объема; но, так как объем уменьшается как d, что приводит к полной восприимчиво- восприимчивости, не зависящей от толщины и равной лишь восприимчиво- восприимчивости объемного образца толщиной ~|. Для отдельной пленки этот малый момент опять было бы трудно наблюдать. Однако если изготовить из таких пленок многослойную «этажерку», 265
можно получить больший объем. Таким путем можно проверить предсказанное различие в температурной зависимости х'^оэ {Т— —7C)-V2 согласно G.45а) и x'sd^ G—Тс)~^ согласно G.42). В действительности существуют сверхпроводящие слоистые соединения, например TaS2, в которые могут быть «встроены» (интерколлированы) органические соединения, например пиридин, отделяющие каждый металлический слой (d»6A) от его сосе- соседей. В идеальном образце эти слои связаны между собой только туннелированием джозефсоновского типа через пиридиновую про- прослойку, и можно было бы предположить, что это приведет к двумерному поведению. Фактически же, как показали Лоуренс и Дониак ([23]; см. также [24]), каждая слабая джозефсоновская связь обусловливает поведение, которое вблизи Тг лучше описы- описывается не как двумерное, а как трехмерное с анизотропной эффек- эффективной массой. В частности, оказывается [25], что температурная зависимость восприимчивости, связанной с флуктуациями, не осо- особенно отличается от восприимчивости трехмерных систем, по крайней мере при температурах, не намного превышающих Тс. 7.5. Зависимость флуктуации от времени Диамагнетизм — свойство равновесное, поэтому его можно бы- было рассчитывать, пользуясь лишь усредненными по времени величинами |я)>к|2. Однако, когда рассматривается какое-либо неравновесное явление, например электропроводность, нужна модель, описывающая зависимость переменных от времени. Дейст- Действительно, вклад каждой флуктуации в проводимость выше Те пропорционален времени ее существования, ибо оно определяет период, в течение которого может происходить ускорение носите- носителей в приложенном поле. Такая модель дается временным обоб- обобщением уравнений Гинзбурга — Ландау (TDGL), разработанным рядом авторов (см., например [26—29]; недавно опубликован кри- критический обзор [30]). Согласно этой модели, которая будет рассмотрена более детально в следующей главе, ^-функция сверх- сверхпроводника релаксирует к своему мгновенному равновесному значению по экспоненциальному закону; выше Тс это значение равно нулю. При этом, если пренебречь электрическим и магнит- магнитным потенциалами, линеаризованное уравнение TDGL является простым обобщением уравнения G.24): .-J- = L A - ?2V2) 1>, Т > Тс. G.46) dt т0 Параметр ro = nh/8k(T — Tr) G.47) представляет собой зависящее от температуры время релаксации для однородной (&=0) моды. Согласно G.46), моды с более вы- высокой энергией (&>0) затухают более быстро с временем релакса- релаксации 266
l/xk = A + k%*)/x0. G.48) Сами по себе эти уравнения говорят о том, что (выше Тс) любое ifk , отличное от нуля, будет экспоненциально затухать за время Tft. Для сохранения найденного выше отличного от нуля среднего значения \tyk |2 [см. формулу G.27)] привлекают так называе- называемую ланжевеновскую силу — полностью случайный (с «белым спектром») источник, который описывает взаимодействие между сверхпроводящими электронами и остальной частью термодинами- термодинамической системы, с которой она находится в равновесии. Интенсив- Интенсивность этой силы определяется из требования сохранения соответ- соответствующего значения (К'П2), вычисленного выше [см. формулу G.27)] на основе лишь равновесной статистической механики. Добавляя в правую часть уравнения G.46) силу Ланжевена .Fk и выбирая значение F^ таким образом, чтобы получилось пра- правильное среднее по времени находим G.49) Легко проверить (используя теорему Винера — Хинчина, см., на- например, [31]), что этот спектр т|зк в пространстве частот соответ- соответствует экспоненциальному спаданию временной корреляционной функции <Гк @) *« @> = < Ч* 12> ехр (- tlxh). G.50) Наконец, подставляя в формулу G.49) выражения для (|i|>k|2> G.27) и для хк G.48) и производя упрощения, получаем Учитывая, что а(Т)ос(Т—Тс), вся зависимость от Т, так же как и от k и ю, сосредоточена в последнем множителе. 7.6. Флуктуационная проводимость при температуре выше Тс В отсутствие сверхпроводящих флуктуации нормальная прово- проводимость (на постоянном токе) выражается формулой ап = neh/m, G.52) где т — среднее время рассеяния нормальных электронов и п — их число в единице объема. По аналогии можно ожидать, что флук- флуктуации приведут к добавочному члену а' « BеJ/т' ^ < | ^k 12> tft/2, G.53) так как обычные процессы рассеяния не действуют, пока флук- 267
туация не затухнет, а [ -фк |2 затухает вдвое быстрее, чем -фк. Если использовать значения <|i|Jk|2> и т& из формул G.27) и G.48) и проинтегрировать по пространству, указанный рецепт дает ре- результат, отличающийся от результата точного расчета лишь не- небольшим численным коэффициентом. В частности, оказывается правильно найденной температурная зависимость а'ос G*— —Гс)^4"^/2, где d{ = \, 2, 3) —число измерений системы. Так как расчет с/ вполне доступен для изложения и дает некоторые дополнительные знания о предмете, рассчитаем теперь а' точно в рамках линеаризованных уравнений ГЛ. Это просто сделать, пользуясь формализмом Кубо, который связывает коэф- коэффициенты линейного отклика с флуктуациями в невозмущенной системе, как того требует флуктуационно-диссипативная теорема. Ограничимся случаем однородных полей и токов; при этом общей исходной точкой будет формула Кубо ахх (со) = -L 7 </х @) Jx (*)> cos atdt. G.54) kT I Тем, для кого этот подход непривычен, возможно, полезно будет заметить, что этот интеграл дает спектр величины Jx(t); в таком случае равенство G.54) эквивалентно формуле Найквиста для шумового тока в единичной полосе частот: ]х (со) =4kTaxx((a). Если рассмотреть куб единичного объема, эта формула будет эквивалента еще более привычному выражению для напряжения теплового шума сопротивления R в полосе В, а именно V— = 4kTRB. Предположим теперь, что флуктуации тока нормальных ква- квазичастиц не изменяются под влиянием сверхпроводящих флуктуа- флуктуации. Это не вполне справедливо в непосредственной близости к Тс, где флуктуации велики. Таким образом, при вычислении ахя включаем в формулу G.54) только флуктуирующий сверхток. При $ = 2ki|?kexp(ik-r) этот ток равен = -^ У Bк + q) ^к+ч exp (iq ¦ r). G.55) k,q Если ограничиться однородными (q = 0) токами в направлении х, выражение G.55) сведется к Jx = —^- V kx | Tj?k la. G.56) Теперь нужно вычислить автокорреляционную функцию тока 2 *А1Ы0IаКкч012)>. G.57) Так как ярk и трк' статистически независимы, перекрестные члены 268
при усреднении выпадут и выражение G.57) можно переписать в виде Подставляя сюда выражение для экспоненциального затухания корреляционной функции G.50) и выполняя косинус-преобразова- косинус-преобразование Фурье G.54), получаем -!- V *5<|Ъ|->" И?_ G.59) Обращаясь к специальному случаю постоянного тока (м = 0) и подставляя выражения G.27) и G.48) для (l^k]2) и тл, окон- окончательно находим „¦ @) = ^- —L- V ^ , G.б0) к 7.6.1. Трехмерный случай В случае трехмерного объемного образца k можно считать изменяющимся непрерывно, что позволяет заменить суммирование интегрированием. Усредненное по сфере значение k2x равно А2/3; при этом плотность состояний на единицу объема равна 4л&2<2?/BлK. После элементарного интегрирования получаем а' @) U =— ^— ( — У'. G.61) к п 32 А|@) V Т — Тс ) к ' где, как обычно, ЦТ) =?@) [Т/(Т—ТС)]Ч2. Учитывая, что прово- проводимость изотропна, нижние индексы опускаем. Хотя эта формула формально расходится с приближением к Гс, входящий в нее коэффициент меньше нормальной проводимости ап на множитель порядка (kTc/EF) (\/kFl) « 10~7. Таким образом, относительное изменение проводимости в любом разумном интервале температур выше Тс будет очень малым. Отметим, что этим флуктуационная проводимость отличается от флуктуационной диамагнитной вос- восприимчивости [см. формулу G.42)], где коэффициент сравним с фоном диамагнетизма нормального состояния и где могут наблю- наблюдаться большие относительные изменения х- 7.6.2. Двумерный случай Теперь рассмотрим случай пленки, достаточно тонкой, чтобы было оправдано двумерное приближение, т. е. пленки, толщина которой d-Cg. Именно для этого случая было выполнено наиболь- наибольшее число экспериментальных работ. В этом случае изменения г|з
ш направлении, перпендикулярном к пленке, ограничены дискрет- лым набором стоячих волн с &T=vn/d, где v = 0, 1, 2 и т. д. Если пленка достаточно тонкая, так что все члены, кроме v = 0, выпа- выпадают, суммирование G.60) переходит в двумерное интегрирова- интегрирование в плоскости пленки. Среднее значение k\ тогда равно k2/2, а множитель с плотностью состояний становится равным 2zikdk/{2ziJd. Выполнив интегрирование, получаем удивительно простой результат: а' @) [2В = —- -—. G.62) Заметьте, что эта формула не содержит никаких подгоночных па- параметров (если не говорить о Тс). Важно также понять, что тол- толщина пленки d не является критичной, так как величиной, факти- фактически измеряемой в эксперименте, является не удельная проводи- проводимость, а проводимость на квадрат a'd. Формула G.62) была впервые выведена Асламазовым и Ларкиным [32]; она находится в превосходном согласии с экспериментальными данными Гловера [33] для тонких аморфных пленок. Такие пленки особенно выгодно применять, так как они имеют большое нормальное сопротивление (малую нормальную проводимость). Эта нормальная проводи- проводимость подключена параллельно флуктуационной проводимости G.62), имеющей универсальную величину, не зависящую от нор- нормального сопротивления. Таким образом, чем меньше нормальная проводимость, тем большую часть полной проводимости состав- составляет фл^ктуационная проводимость. Прежде чем перейти к детальному сравнению формулы G.62) с экспериментальными данными, важно представить себе погреш- погрешность, связанную с отбрасыванием в сумме G.60) всех членов, кроме члена с kj==O. Интегрирование по k в плоскости пленки может быть выполнено для произвольного k_i\ при этом значение интеграла уменьшается на множитель A+&^?2)-'. Таким обра- образом, для конечных die, необходимо умножить G.62) на фактор оо — = V! 1- • G-63) а2О v=0 Таким образом, пока d=S?, простой результат для двумерного слу- случая точен с погрешностью 10%. Однако, если d3>?, эту сумму можно вычислить путем интегрирования; в результате получается <2/2? — как раз такой множитель, который, требуется для возврата к формуле для трехмерного случая G.61) от формулы для дву- двумерного G.62). Вследствие температурной зависимости ? поведе- поведение пленок при уходе выше Тс может изменяться от двумерного к трехмерному. Оказалось, что экспериментальные данные согла- согласуются с таким переходным поведением, которое описывается фор- формулой G.63). ¦270
7.6.3. Одномерный случай Для полноты обзора всех важных частных случаев рассмотрим теперь случай тонкого провода, площадь поперечного сечения которого А-^.%2, в результате чего можно применить одномерное приближение. В этом случае непрерывное распределение имеет только компонента k вдоль проволоки (kx). Оставляя в выражении G.60) лишь член с нулевым поперечным импульсом, получаем множитель для плотности состояний dkxj2nA. Интегрируя по kx от —оо до +оо, находим с уменьшающими поправками порядка (J/k212K!2 при конечной площади А. Как и в двумерном случае, измеряемой величиной является проводимость а'А, поэтому для проверки этих теорети- теоретических предсказаний точное определение площади А не требуется. Тем не менее согласие между теорией и экспериментом па оловян- оловянных кристаллах-вискерах, которые использовались в эксперимен- экспериментах, рассмотренных в разд. 7.1, не слишком хорошее из-за суще- существенного влияния аномальных членов (поправка Маки), которые будут рассмотрены ниже. 7.6.4. Аномальные эффекты в проводимости, вызванной флуктуациями В то время как первоначальное сравнение формулы G.62) Асламазова — Ларкина (АЛ) с экспериментальными данными Гловера с соавторами (см., например [34]) по тонким пленкам показало превосходное согласие теории с экспериментом, более поздние измерения (см., например [35]) дали значения а', иногда превосходящие предсказанные теорией АЛ в 10 раз. Такие боль- большие значения обычно обнаруживались в чистых (т. е. обладаю- обладающих малым сопротивлением) пленках алюминия; флуктуационная проводимость пленок свинца и висмута была, как и раньше, близ- близка к значению АЛ, а пленки олова имели значения а', примерно в четыре раза большие, чем по теории АЛ. Примерно в то же время, когда экспериментально было обна- обнаружено аномально большое возрастание проводимости, Маки [36] заметил существование еще одного слагаемого (или еще од- одной диаграммы Фейнмана) при теоретическом расчете, которое было упущено в работе АЛ. Оказалось, что физически эта «по- «поправка Маки» отражает возрастание проводимости нормальных электронов, вызванное сверхпроводящими флуктуациями. Анало- Аналогичное возрастание а' по сравнению с ап при Лш<А</гГ известно при температуре чуть ниже Тс при наличии слабой, но устойчивой сверхпроводимости. Действительно, рассмотрение выше формулы B.93) показало, что при oj = 0 а' логарифмически расходится, если 271
пик плотности состояний БКШ не ограничен эффектами, связан- связанными с временем жизни либо анизотропией щели. Хотя аналогия между этим эффектом и поправкой Маки является довольно по- поверхностной, в случае одномерных и двумерных систем слагаемое Маки, как оказывается, дает бесконечную проводимость при всех температурах выше Тс. Как показал Томпсон [37], эта нефизичная расходимость уст- устраняется учетом любого эффекта, приводящего к разрыву пар, например присутствием магнитного поля или магнитных приме- примесей, которые существенно ограничивают время жизни куперовских пар. Добавление этого так называемого слагаемого Маки—Томп- Маки—Томпсона к рассмотренному выше слагаемому АЛ позволяет объяснить большое число данных, особенно по пленкам в магнитном поле. Еще позднее Пэттон [38], а также Келлер и Коренман [39] исследовали эту проблему заново и показали, что конечная про- проводимость, связанная со слагаемым Маки, получается даже для простой модели БКШ, без каких-либо внешних факторов, веду- ведущих к разрыву пар, если тщательно рассчитать так называемые вершинные поправки. Эти теории объясняют наличие эффективно- эффективного фактора, вызывающего разрыв пар, амплитуда которого про- пропорциональна сопротивлению пленки на квадрат Rq. Однако, для того чтобы объяснить различие в данных по а, полученных на разных материалах с одинаковым RD, особенно в случае пленок малого сопротивления, даже с учетом этих усовершенствованных теорий требуется ввод внутреннего механизма разрыва пар. Ин- Интенсивность этого механизма разрыва пар обычно характеризуют параметром тсо, равным относительному понижению Тс под его влиянием. Данные для алюминия согласуются с тс0=2-10~4, тогда как данные для олова — с тсо~О,О2. Для материалов с сильной связью типа свинца и висмута величина тсо, как оказалось, может достигать 0,1; это обстоятельство, а также большие #п> по-види- по-видимому, объясняют согласие данных Гловера с простой теорией АЛ без поправок Маки — Томпсона. Характер изменения тсо в различ- различных материалах согласуется с предположением Аппеля [40], что разрыв пар тепловыми фононами должен привести к icQco соЯG/воJ, где Я — константа электрон-фононного взаимодейст- взаимодействия и во — дебаевская температура; однако детальная теория здесь пока отсутствует. Для ознакомления с дальнейшими деталя- деталями, характеризующими состояние проблемы избыточной флуктуа- ционной проводимости, отсылаем читателя к обстоятельному обзору Крейвена, Томаса и Паркса [41], содержащему рассмотре- рассмотрение многих различных режимов. 7.6.5. Проводимость на высоких частотах Измерения частотной зависимости проводимости а' допускают более конкретную проверку теории TDGL, чем описанные выше простые измерения на постоянном токе, так как из формулы G.59) 272
ясно, что при ш > т~! значение а' будет- уменьшаться. При количе- количественном рассмотрении это означает, что каждый член суммы в уравнении G.60) должен быть до интегрирования по k умножен на [1 -г (cuTfe/2J]". Если ограничиться двумерным случаем, инте- интегрирование все еще может быть выполнено точно и дает В первом множителе можно узнать результат для случая постоян- постоянного тока. Если выражение в квадратных скобках разложить в ряд по низким частотам, найдем ( J G.66) Таким образом, как и ожидалось, проводимость исчезает, когда и превосходит некоторое среднее т^, которое, в свою очередь, несколько больше то в силу зависимости tk от к. Другой интерес- интересный предел —это температура точно равна Тс, когда то=оо. В этом случае выражение G.65) для любой конечной частоты сво- сводится к следующему: «'WlrrF-F- ffl>0- G-67) Заметим, что это выражение совпадает со значением а'@) на постоянном токе, взятым при (Т—Тс) = h ш/16 k. Ясно, что эта флуктуационная проводимость конечна даже при Тс для всех частот, кроме нулевой. Эти предсказания теории были проверены в экспериментах [42], где измерялось прохождение СВЧ-излучения через тонкие пленки свинца. Авторы смогли выполнить измерения на частотах 24, 37 и 69 ГГц, а также на постоянном токе. При температурах ниже Тс полученные данные по прохождению СВЧ-излучения хо- хорошо согласуются с обычной комплексной проводимостью Матти- са — Бардина [ai(co)—?02@0) ], следующей из теории БКШ, рас- рассмотренной в разд. 2.10. Выше Тс данные хорошо совпадают со значением прозрачности, следующим из соотношения G.65) для сть при а2=0. Было обнаружено возрастание проводимости при Тс, обратно пропорциональное со, как и следовало ожидать из урав- уравнения G.67), и достигающее ~11% для низшей из применявших- применявшихся частот. Хорошее согласие теории с экспериментальными дан- данными по зависимости а' и от частоты, и от температуры показыва- показывает, что модель TDGL является правильной, по крайней мере для свинцовых пленок с большими сопротивлениями. Частотная зави- зависимость проводимости в случаях, когда существенны слагаемые Маки, требует дальнейшего исследования.
Глава 8 ДОПОЛНЕНИЕ Эта заключительная глава посвящена обсуждению некоторых тем, которые были обойдены, чтобы не прерывать обсуждения бо- более простых вопросов. Вначале будут обсуждаться уравнения Бо- Боголюбова, которые описывают спектр возбуждений в пространст- пространственно неоднородных сверхпроводниках. Затем будет рассмотрено изменение спектра возбуждений под действием магнитных возму- возмущений, приводящее в конечном счете к бесщелевой сверхпроводи- сверхпроводимости. И в заключение обсуждается нестационарная сверхпрово- сверхпроводимость: во-первых, ее описание- в рамках теории ГЛ, а во-вторых, случай, когда скорость релаксации определяется неупругими процессами. 8.1. Метод Боголюбова: обобщенное самосогласованное поле При обсуждении микроскопической теории БК.Ш был рассмот- рассмотрен только случай чистых материалов, для которых импульс к является хорошим квантовым числом и спариваются состояния kf и —kj. В 1959 г. Андерсон показал [1], что более общее описа- описание, применимое также и к грязным сверхпроводникам, есть спаривание двух произвольных состояний, взаимно обращенных во врехмени. Электронные собственные функции в грязных сверхпро- сверхпроводниках являются некоторыми функциями ш„(г), которые суще- существенно отличаются от плоских волн. Однако, если в гамильтониа- гамильтониане нет магнитных или других членов, неинвариантных по отноше- отношению к обращению времени, состояния wn(r) и ш*(г) являются вырожденными и могут спариваться при условии, что спиновая часть волновой функции также обращена'во времени. Андерсон показал, что для подобного спаривания можно ожидать отсутствия сильной зависимости таких равновесных свойств, как Тс, Нс и А от длины свободного пробега электронов. Этот результат относится к сверхпроводникам, существенно однородным в масштабе ?0) несмотря на присутствие рассеиваю- рассеивающих центров. Более общая задача возникает в тех случаях, когда параметр порядка меняется в пространстве, например на границе раздела с другим материалом или при наличии вихрей. Для реше- решения этой задачи можно использовать уравнения Боголюбова, которые являются обобщением обычных уравнений многочастич- многочастичной теории Хартри — Фока на случай учета не только обычного скалярного потенциала U(r), но и ответственного за сверхпрово- сверхпроводимость «потенциала спаривания» Л (г). Поскольку Де Жен [2] 274
в своей книге приводит подробное рассмотрение этого метода,, ограничимся кратким описанием некоторых результатов, придер- придерживаясь в основном обозначений Де Жена, чтобы облегчить ссыл- ссылки на его работу. Для рассмотрения изменения переменных в пространстве оп- определим обобщение преобразований Боголюбова следующим об- образом: где W — операторы уничтожения координатных собственных функ- функций, а не импульсных, как операторы с кб , которые были исполь- использованы в гл. 2; и и v — функции, определяемые из требования, диагоналытости гамильтониана X W (г, а) + A (r) W* (rf) V* (ф + A* (r) Y (rf) W Щ dr, (8.2> где А (г) = К <ВД) ? (r{)> =Vj\vn (г) ыв (г) A - 2/„), (8.3). что находится в прямой аналогии с рассуждениями по поводу уравнений B.38) и B.40). Диагоналыюсть приводит к требова- требованию, чтобы и и v подчинялись уравнениям Боголюбова: — Ж ои (г) + А* (г) и (г) = Ev (г), (8.4> где a U (г) включает в себя обычное кулоновское взаимодействие электронов, а также потенциалы ионных остолоп и любые другие электростатические потенциалы, усредненные по Хартри — Фоку. Прежде всего отметим, что если Л равно нулю, то уравнения (8.4) расцепляются: Жои = Ей, Se'ov = —Ev, (8.6) и тогда и(т) и и (г) становятся обычными собственными функция- функциями электронов и дырок в нормальном состоянии, обладающих энергиями ±Е относительно уровня Ферми. В общем случае не- необходимо постараться решить системы связанных уравнений (8.4) и добиться самосогласования, вычисляя Л (г) из набора и и и при помощи равенства (8.3). 275
8.1.1. Грязные сверхпроводники В качестве первого примера рассмотрим задачу Андерсона об однородном грязном, но немагнитном сверхпроводнике. Тогда собственные функции ш„ нормального состояния удовлетворяют соотношению Wown = tnwn, (8.7) где ?„ —собственные значения, отсчитанные от химического потен- потенциала ц,. В чистых металлах ш„ являются блоховскими функция- функциями с хорошо определенными к. В общем случае допускается, что это точные, хотя и неизвестные решения при наличии произволь- произвольных центров упругого рассеяния. В предположении однородности металла в масштабе go величину Д(г) можно считать константой. В этом случае равенства (8.4) выполняются, если положить вели- величины ип(т) и vn(r) пропорциональными ш„ (г), т. е. un(r) =unwn(r) и vn(r) =vnwn(r), где ип и vn теперь просто числа. Тогда систе- система (8.4) приобретает вид: = 0. (8.8) Решение этой системы дает еп = (?+\а\*У; (8.9) как и в обычной теории БКШ. Более того, если вернуться к на- нахождению самосогласованных значений Л, то получим хорошо известный результат, определяемый выражением SI-bMI' th-H^.. (8.10) Еп 2 V ' n Если предположить, что рассеяние не меняет плотности состояний, то снова получим результат B.50) (для того чтобы показать это подробно, надо приложить некоторые усилия для нормализации wn и определения V). Таким образом, при переходе от чистого образца к грязному не ожидается значительных изменений Тс или А, что согласуется с экспериментальными данными. 8.1.2. Однородный ток в чистых сверхпроводниках При обсуждении вопроса о критическом токе в тонких прово- проволоках в связи с формулой D.41) было отмечено, что при таком токе энергии квазичастиц сдвигаются на vs-p. Этот результат можно получить, используя настоящий метод. Если пары имеют импульс центра масс* 2q, то Д = | Д | exp(i2q-r). (8.11) * Отметим здесь, что, следуя Де Жену, импульс центра масс обозначен 2q, а не q, как в остальном тексте. Кроме того, принимаем, что m* = 2m. 276
Из формулы (8.3) видно, что это соотношение выполняется, если k + q)-r]. (8.12) Заметим, что при дфО спариваются уже состояния, не обращен- обращенные точно во времени. Подставляя (8.11) и (8.12) в уравнения Боголюбова (8.4), получаем (-l^q-'Ek)Vk+\A\Uk = 0. (8.13) Решая уравнения (8.13) относительно энергий возбуждений Еу, находим Так как |к = (h2k2/2m) — \l, находим а поскольку 9 <? &f, to |k+q -f- ?k_q я; 2?k. Таким образом, формула (8.14) упрощается: где vs=feq//7z — скорость сверхтока и ?к = (?к + | А |2I/а — энергия возбуждений в отсутствие тока. Чтобы обеспечить самосогласование, в ферми-функциях в фор- формуле (8.3) следовало бы использовать эти сдвинутые значения энергии. Однако при низких температурах величина fn близка к нулю при всех Еп, не равных нулю, поэтому величина |Л| не будет сильно уменьшаться с появлением тока, даже когда мини- минимальная энергия возбуждения (8.17) уменьшится. Этот пример дает простое подтверждение того факта, что потенциал спаривания Л не обязательно равнозначен энерге- энергетической щели в спектре возбуждений. Оказывается, возможно довольно просто реализовать бесщелевую сверхпроводимость в случае скорости, чуть большей значения A/pf- Тогда для не- небольшого числа значений к, направленных противоположно vs, могут существовать возбуждения и с нулевой энергией, точно так же как и в нормальном состоянии. Но, так же как и в нор- нормальном состоянии, статистика Ферми ограничивает число частиц в этих состояниях до /л~1/2. Обращаясь к уравнению самосогла- самосогласования (8.3), видим, что эти несколько состояний почти не дают вклада в поддержание потенциала спаривания; однако остальные участки поверхности Ферми вносят почти такой же вклад, как в. -отсутствие тока. При детальном исследовании самосогласован- 277
ного решения было выяснено [3], что существует небольшая область значений vs выше A/pf, где ?'mjri=0, тогда как А^О. Таким образом, еще существует когерентное конденсированное состояние с макроскопическими квантовыми свойствами, которое описывается волновой функцией ipcoAco exp 2iq-г, и следовательно, еще можно ожидать сохранения сверхпроводящих свойств. Однако расспаривание, возникающее при us>A/pF, делает максимальное значение сверхтока лишь примерно на 1% превышающим ток при &s = A/pf- Для больших значений vs dJs[dvs<0, т. е. режим нестабилен и его экспериментальная реализация затруднительна. 8.1.3. Возбуждения в вихрях Из теории ГЛ (см. разд. 5.1) известно, что при наличии вихрей в сверхпроводниках II рода величина A(z, r, 8) имеет вид | А(г) | exp iB, где |А(л)| растет от нуля в центре вихря до А», причем большая часть этого роста приходится на расстоя- расстояние ~?(Г). Решение уравнения ГЛ для А (л) является точным вблизи Тс, когда gG)^>|@), т. е. выполняется требование теории об относительно медленном изменении А (г). Однако при низких температурах, когда А изменяется на расстоянии порядка 1@), теория ГЛ дает только качественное описание явлений. Какова же природа квазичастичных возбуждений при быстро меняющихся А? На этот вопрос первыми дали ответ Кароли, Де Жен и Матри- кон [4]; обзор этого решения дан в разд. 5.2 книги Де Жена. В своей работе авторы используют уравнения Боголюбова, но рас- рассматривают приближение х^>1, в результате чего магнитное поле в сердцевине вихря пренебрежимо мало. Так как кроме условия х^>1 авторы сделали, предположение, что материал чистый (импульс сохраняется), результаты плохо применимы к реальным материалам. В важной работе Бардина и др. [5] эти вычисления были распространены на все значения х, для чего находились самосогласованные решения с использованием вариационного вы- выражения для свободной энергии. Качественно их результаты подобны выводам, сделанным в работе [4]. На больших расстояниях от центра вихря (г^>|) весьма хоро- хорошим приближением оказывается применение выражения (8.16) для сдвига энергетического спектра, причем us=ft/2mr=ft/m*r. Как было показано в разд. 5.5, это выражение приводит к бес- бесщелевой сверхпроводимости в области керна г«?. Для того чтобы учесть влияние быстрого пространственного изменения в этой области, нужно решить уравнения Боголюбова. Результаты работ [4, 5] сводятся к тому, что действительно существует группа низко- лежащих возбуждений с волновыми функциями и(г) и v(r), локализованными около керна. Самое низкое из них лежит на уровне всего лишь —A1/?f—10~*Ac»^ kTc, так что щель фак- фактически отсутствует. Поскольку оказалось, что плотность уровней в вихре грубо соответствует плотности уровней в цилиндре из 278
нормального металла радиусом ~?, этот результат можно счи- считать микроскопическим подтверждением качественных представле- представлений о «нормальном» керне вихря. 8.2. Магнитные возмущения и бесщелевая сверхпроводимость В предыдущей части было показано, что спектр возбуждений сверхпроводника меняется в присутствии тока и в узком диапа- диапазоне тока перед разрушением сверхпроводимости спектр стано- становится бесщелевым. Причина такого изменения спектра состоит в том, что добавление импульса общего дрейфа q спаренных электронов к собственным импульсам к и —к сообщает им разные кинетические энергии ?k+q и ?к-ч , уменьшая таким образом вы- вырождение gu и ?_к, которое было точным из-за симметрии к об- обращению времени. Действительно, прослеживая вывод формулы (8.17) из формулы (8.14), видим, что уменьшение щели (Л—Emin) точно равно половине максимального расщепления вырождения импульсом дрейфа. Как уже говорилось, этот результат применим только к чистым сверхпроводникам, для которых к — хорошее квантовое число. Однако, как будет видно ниже, изложенная основная идея обладает большой общностью. Когда рассматривалась (разд. 8.1.1) андерсоновская теория грязных сверхпроводников, т. е. неоднородных сплавов со средней длиной свободного пробега J<go. было отмечено, что спаривание состояний, вырожденных по отношению к обращению времени, приводит к такому же выражению для Тс и плотности состояний БКШ, что и для чистых сверхпроводников. Однако Абрикосов и Горьков [6] (АГ) показали, что магнитные примеси (разрушаю- (разрушающие симметрию к обращению времени) приводят к сильному подавлению Тс и изменению плотности состояний. Именно в огра- ограниченной области концентраций, предшествующей полному разру- разрушению сверхпроводимости, плотность состояний принимает бесщелевой вид. Последующие работы Маки [7, 8] и Де Жена [9—11] показали, что результаты Абрикосова и Горькова для плотности состояний и подавления Тс можно перенести на случай воздействия многих других распаривающих факторов, которые снимают вырождение по отношению к обращению времени. Такой перенос результатов возможен при наличии быстрого рас- рассеяния, как в грязном сверхпроводнике, которое гарантирует «эргодичность» поведения электронов. Примерами таких возмуще- возмущений, кроме магнитных примесей, являются внешние магнитные поля, электрический ток и механическое вращение. Было установ- установлено также, что и ' пространственные градиенты параметра порядка, например около границы с нормальным металлом или на поверхности вихря в сверхпроводниках II рода, разрушают пары и могут привести к бесщелевой сверхпроводимости. Факти- Фактически бесщелевая сверхпроводимость оказывается скорее прави- правилом, чем исключением, во всех случаях, когда вызванный возму- 279
щением переход в нормальное состояние является переходом второго, а не первого рода. Так как общая теория этого явления наиболее естественно описывается в рамках формализма функций Грина, развитого Горьковым, а этот метод выходит за рамки этой книги, ограни- ограничимся кратким обзором нескольких главных результатов и их экспериментальных подтверждений. Для более детального озна- ознакомления отсылаем читателя к обзорам Маки и Де Жена [2, 12]. 8.2.1. Подавление Тс магнитными возмущениями В теории АГ и ее приложениях к другим магнитным возмуще- возмущениям распаривающее воздействие характеризуется энергетической разностью 2а, которую оно сообщает электронам при обращении времени. Для чистых металлов в присутствии дрейфового им- импульса q эта энергия распаривания представляет собой просто постоянную энергию расщепления уровней к и —к. Однако в эрго- дическом случае акты рассеяния происходят настолько" быстро, что энергия расспаривания постоянно меняется, имея тенденцию к самоусреднению. Разумным временным масштабом такого усреднения служит время, необходимое для того, чтобы относи- относительная фаз.а двух электронов, обращенных во времени, приобрела в результате возмущения случайный характер. Наиболее ясно это просматривается в формулировке Де Жена, в которой эффектив- эффективная энергия распаривания 2а обозначена й/тк, где хк и есть упо- упомянутое время. Очевидно, что разность энергий h/хк, действующая в течение времени %к, произведет сдвиг фазы на величину порядка единицы. Эту мысль можно пояснить следующим примером. Рассмотрим влияние магнитного поля на частицу грязного сверхпроводника, столь малую, что в нее не могут войти вихри. Главным членом магнитного возмущения является (e[mc)pk -А, поэтому разница в его энергетическом воздействии на электроны к и —к состав- составляет Be/mc)pk -А. Так как фаза изменяется во времени по закону ехр(—iEt/h), изменение разности фаз равно At Если время рассеяния т мало по сравнению с (dy/di)*1, то между столкновениями фаза изменится на малую величину (d(pfdt)x, поэтому для изменения фазы примерно на единицу надо проинтегрировать величину dq>/dt по многим отрезкам траекто- траектории. Так как направление Vk при каждом рассеянии меняется произвольно, разность фаз в таком случайном процессе растет как квадратный корень числа свободных пробегов. За время t разность фаз окажется порядка {dcpfdt) (/тI/2. Время хк, требуе- требуемое для того, чтобы эта разность достигла ~ 1, = -Log, Г_^у<Л2> =D(-^-Y<i4»>, (8.19) 280
где D = — vfI =— Vfx— коэффициент диффузии электронов 3 jj 3 (напомним связь между двумя обозначениями силы расспарива- ния: 2а=й/тк). Оказывается, что подавление Тс таким распаривающим фак- фактором описывается следующим выражением: Тсо т\2 J т \ 2 где введены обозначения Тс = Тс(а), Tc0=Tc(Q), a = T'(Z)/T{Z)—логарифмическая производная гамма-функции. Разложение -ф в ряд вблизи значения 1/2 дает результат * (Тс0 - Тс) = па/А = (л/8) h/xK, (8.20а) т. е. для слабого распаривания подавление Тг пропорционально а. Сверхпроводимость полностью разрушается (Гс = 0) при 2а = П/хк = 1,7ШС = Абкш @) = Аоо. (8.206) Полная зависимость Тс от силы распаривания или, наоборот, тем- температурная зависимость критической силы распаривания приве- приведена на рис. 8.1. Заштрихованный участок обозначает область значений параметров, для которой предсказывается существова- существование бесщелевой сверхпроводимости. Как подчеркивали Маки и Де Жен, если все эргодические возмущения по своему влиянию на Тс эквивалентны магнитным примесям, то функция ас(Т) должна быть универсальной, т. е. при- применимой к каждому из этих возмущений. Если для. нахождения критического поля рассмотреть линеаризованное уравнение ГЛ, то окажется, что 2а — это наименьшее собственное значение этого уравнения, записанного в виде Г3- — %- A Y А = 2аД. (8.21) \. i пс J Заметим, что результат (8.19), полученный выше, является част- частным случаем этой формулы, так как для малых частиц вели- величина А постоянна. Используя решения, найденные в гл. 4, можно записать следующие выражения для а: в массивном сверхпроводнике II рода в вихревом состоянии а = DeH/c, (8.22а) в поверхностном слое a = 0,59DeH/c, (8.226) в тонкой пленке в параллельном поле а = De*H2d?/&Hc2, (8.22в) в тонкой пленке в перпендикулярном поле а = DeH/c, (8.22г) в малой частице а = 2De2 (A2)/Hc2. (8.22д) Ю Зак. 895 281
Модель распаривания Двужидкостная модель Рис. 8.1. Универсальное функциональ- функциональное соотношение между параметром распаривания а и приведенной темпе- температурой Тс показано сплошной линией. Штриховкой обозначена бесщелевая об- область. Значения 2а для разных магнит- магнитных возмущений даются выражениями (8.22а)—(8.22ж). Пунктирная кривая обозначает график 2а/ДОо=A—t2)/(l + -И2), где t = T/Tc0. Это соотношение показывает результат вычислений кри- критического поля ГЛ, построенных на двухжидкостной температурной зависи- зависимости А.@« A—*4)-1/2, Яс@~П->2). и следовательно ас~|~г(/) ~"кгН.\ ~ ~A-/2)/A + /2) [см. формулу (8.23)] Интересно отметить, что угловую зависимость D.70) крити- критического поля тонкой пленки можно получить, если сложить выра- выражения (8.22в) и (8.22г), использовать для каждого случая соот- соответствующую компоненту полного поля и положить сумму рав- равной ас(Г). Отметим также, что критические поля, найденные из формулы D.56), согласуются с критическими полями, найденными из уравнения (8.20), если определить длину когерентности, зави- зависящую от температуры, следующим образом: I* (Г) = Dh/2ac (Т) = DxKc (Г). (8.23) Таким образом, линеаризованное уравнение ГЛ можно использо- использовать в любой области вплоть до 7 = 0 (для грязных сверхпровод- сверхпроводников, для которых верна настоящая теория), хотя обычно теория ГЛ справедлива только вблизи Тс. По этой причине результаты теории ГЛ оказываются применимы в более широком температур- температурном интервале, чем можно было бы ожидать. Все упомянутые выше распаривающие силы действуют на орбитальное движение электронов. Исходные вычисления АГ от- относились к магнитным примесям, связанным со спином электрона обменным взаимодействием вида /(r)S-s, где S —спин примеси, a s — спин электрона проводимости. С точностью до числового коэффициента энергия распаривания определяется выражением 2a^xJ2/EF, (8.22e) где х — относительная плотность примеси, а величина / усреднена по атомному объему. Действие внешнего магнитного поля на электронные спины также, должно приводить к эффектам распаривания. Этому эф- эффекту соответствует значение dq>/dt, равное 2[хвЯ/й=е///тс, а время распаривания есть т6о-—время, необходимое для того, чтобы из-за распаривающего возмущения произошел переворот спина. Если эти величины подставить в формулу (8.19), получим 2а « rs1>e2hH2/m2c2. (8.22ж) 282
Этот результат применим только для достаточно сильного спин- орбитального рассеяния: т5оеЯ/ягс<с1. В другом пределе спин- орбитальным рассеянием можно пренебречь. Тогда случайное усреднение отсутствует, энергия распаривания равна просто 2а = 2цв//, и возбуждения с нулевой энергией могут существовать при цвН = &. Однако, как было отмечено в работе [13, 14], еще до того, как достигнуто это поле, может иметь место переход пер- первого рода при \iBH = Ам/У2 (Т = 0). Это ограничивает критиче- критическое поле материалов с пренебрежимо малым спин-орбитальным взаимодействием величиной Нр — &,0fy2\iB. При АО=1,76&ГС это приводит к значению Яр/Гс= 18 400 Гс/К. (8.24) У многих практически применяемых сверхпроводников II рода Нсг^ Нр, что подтверждает важность усредняющего действия спин-орбитального рассеяния в уменьшении распаривающей силы зеемановского расщепления спиновых уровней. Когда одновременно действуют несколько механизмов распа- распаривания, их действие обычно описывается простой суммой вкладов каждого из них в а. 8.2.2. Плотность состояний При интерпретации ранних работ по исследованию различных свойств (теплопроводности [15], поглощения СВЧ-волн [16], элек- электронного туннелирования [17]) сверхпроводящих пленок в магнит- магнитных полях предполагалось, что плотность состояний адекватно описывается спектром БКШ со щелью А (Я), зависящей от поля. Однако величины А (Я), рассчитанные в таком предположений для разных типов измерений, не согласовывались друг с другом, особенно при низких температурах. Это несоответствие можно было бы объяснить, если бы щель размывалась низколежащими возбуждениями, появляющимися в ней еще до того как полностью исчезнет пик в спектре на краю энергетической щели. Как отмечалось выше, как раз такое поведение действительно было предсказано для некоторого диапазона сил магнитных возмущений. Предсказанная плотность состояний, вычисленная в работе [17], показана на рис. 8.2. На этой диаграмме энергии нормированы на А, так называемый параметр щели, который является мерой энергии спаривания при температуре Т при нали- наличии распаривания с интенсивностью а. Этот параметр не эквива- эквивалентен минимальной энергии возбуждения (щели в энергетиче- энергетическом спектре) QG. Различие между ними иллюстрирует рис. 8.3, на котором сравниваются зависимости Qc и А от а (при Г = 0). На этом рисунке также приведена кривая TJTc0, та же самая, что и на рис. 8.1. Отметим сильное отклонение от теории БКШ. в которой Qg@) =A@) = \,76kTc и все три величины при исполь- использованной нормировке вели бы себя одинаково. Наконец, на 10* 283
NS(E) N(O) 0,5 Рис. 8.2. Плотность состояний как функция приведенной энергии, вычисленная в работе [15] для нескольких значений нормированной силы распаривания а/Д. На этой диаграмме А должно пониматься как ДG", а) рис. 8.4 показана температурная зависимость Л/Лоо для разных значений 2а/Доо- На этом рисунке заштрихована бесщелевая об- область, в которой а!2=А. Детальные вычисления, приводящие к изложенным выше ре- результатам, весьма трудоемки, поэтому весьма интересен подход Де Жена [12], относящийся к бесщелевому режиму с fiG = O и A/ckCI- Он показал, что для этого режима потенциал спарива- спаривания А можно учесть во втором порядке теории возмущений, чего нельзя сделать в отсутствие сильного распаривания. При этом энергии возбуждений меняются от ||| при Д = 0 до А««- (8-25> Обратите внимание, что при [||3>а имеет место результат БКШ для обычного сверхпроводника Е « \ % | + Д2/2 \%\ яй (Aa-f g2)*'1. Однако при |?|<С<х величина Е приближается к значению ||| (l+A2/2az), пропорциональному |||, так что щель в спектре отсутствует. Из формулы (8.25) можно легко вычислить плот- плотность состояний и найти, что с точностью до членов порядка ?13 * ? gV, Д«а. (8.26) N@) dE Заметим, что для ?<a NS(E)<N(O), но величина Ns остается конечной, что соответствует отсутствию щели, а при ?>а NS(E)>N(O). Такая зависимость NS(E) напоминает пик плотности состояний над щелью в сверхпроводниках БКШ, но с одним важ- 284
0,8 0,6 0,4 0,2 QG A i \ \ @) 00 v. Ш 0 0,2 0,4 0,6 0,8 2a_ 0 AD0 Рис. 8.3. Уменьшение щели в спектре возбуждений Qc и параметра щели Д при 7=0, а также температуры перехода Тс с ростом силы расспаривания а (по данным работы [15]) Рис. 8.4. Температурная зависимость потенциала спаривания (параметра щели) А для разных сил распаривания а .[15]. В заштрихованной области, определен- определенной соотношением а>Д, щель Qc в спектре возбуждений равна нулю ным отличием: энергетический масштаб определяется величи- величиной а, а не Д. Более того, эта теория применима только при малых Д, т. е. вблизи перехода в нормальное состояние; таким образом, величина а должна быть близка к ас(Т). Это приводит к важному выводу о том, что энергетический масштаб отклоне- отклонения NS(E) от N@) есть функция только Г, а не Д. Другими сло- словами, величина Д определяет только амплитуду отклонений NS(E) от N@), но не распределение состояний по энергиям. Наиболее точное сравнение теории с экспериментом дают тун- туннельные измерения плотности состояний. Впервые они были проведены при достаточно низких температурах Вулфом и Дей- фом [19] на свинцовых и индиевых пленках, содержащих магнит- магнитные примеси. Авторы обнаружили хорошее согласие с теорией для редкоземельной примеси (Gd), но для примесей Fe и Мп щель заполнялась гораздо быстрее, чем предсказывалось. Эти разли- различия были отнесены за счет того, что 4/-электроны Gd весьма близки к локализованным магнитным моментам, предполагаемым теорией АГ, тогда как Зс?-электроны Fe и Мп сильно взаимо- взаимодействуют с электронами проводимости, и следовательно, менее локализованы. Наиболее чистую проверку теории обеспечивают туннельные эксперименты с тонкими пленками в параллельном магнитном поле, так как они исключают вопрос о степени локализации маг- магнитного момента. Более того, поле можно изменять как угодно, тогда^ как достигнуть однородного распределения примесей чрез- чрезвычайно трудно, а каждая концентрация требует изготовления нового образца. Тщательные туннельные эксперименты в магнит- 285
ном поле были выполнены Левиным [20], а также Миллстейном и Тинкхамом [21]. В последних экспериментах, например, исполь- использовались пленки из олова, а также сплавов индия и олова толщи.- ной <2~1000А и со средней длиной свободного пробега /» 300ч-1200 А. Таким образом, величина / была меньше, но срав- сравнима с длиной когерентности ? = 2300 А. Средняя пленка сандвича была из А1 с примесью Мп для поддержания нормального состоя- состояния. Для охлаждения применялся 3Не, и измерения плотности состояний проводили при температуре 0,36 К, т. е. примерно Гс/10. Даже при такой низкой температуре тепловое сглаживание, вызванное размытием распределения Ферми, приводит к значи- значительному отличию дифференциальной проводимости (dl/dV) от истинной плотности состояний*. Таким образом, для получения действительно точных данных надо прежде всего учесть в теории это тепловое сглаживание, а уже потом сравнивать эксперимен- экспериментальную кривую с теоретической. После того как это было сде- сделано, было получено полуколичественное согласие эксперимен- экспериментальной кривой o(V) с теорией Абрикосова—Горькова, тогда как любые попытки подогнать данные измерений под плотность со- состояний БК.Ш оказались совершенно безрезультатными. Однако даже при учете теплового размытия кривой АГ оста- оставалось некоторое расхождение экспериментальных данных с тео- теорией, причем это расхождение явно выходило за рамки экспери- экспериментальной погрешности. Оказалось, что пленки приходят в бес- бесщелевое состояние в полях, значительно меньших @,91) 1/2//с и, предсказанных теорией. Возможное объяснение этого несоответст- несоответствия было предложено в работе Ларкина [22], который рассмотрел очень частный случай маленькой сверхпроводящей сферы в маг- магнитном поле, причем он предположил, что имеется только зер- зеркальное поверхностное рассеяние, а объемное рассеяние отсутст- отсутствует, и нашел, что в этом случае спектр становится бесщелевым в поле ~0,4//с, что значительно ниже экспериментальных резуль- результатов. Авторы работы [23] обобщили подход Ларкина, введя объем- объемное рассеяние. Варьируя параметр //|0 от 0 до оо, они смогли вычислить кривые плотностей состояний, показанные на рис. 8.5, для случая, когда магнитное поле равно половине критического. Предельный случай /=0 соответствует кривой, рассчитанной в работе [18] (см. рис. 8.2), тогда как предел / = оо соответствует результату Ларкина. Качественно различие между этими кри- кривыми можно объяснить так: при отсутствии рассеяния некоторые электроны испытывают очень сильные возмущения магнитным полем и переходят в бесщелевое состояние уже в слабых полях, тогда как при быстром рассеянии электроны ощущают на себе усредняющую силу возмущения, которая оказывает гораздо мень- меньшее воздействие. Возвращаясь к сравнению с экспериментом, * Из сравнения формул B.79) и B.80) видно, что нормированная диффе- дифференциальная проводимость o(V) = Gnt(V)/Gnn дает среднее значение N.(E)/N(d) в энергетическом интервале в несколько kT около точки eV. 286
Рис. 8.5. Плотность состояний как функция энергии Е, вычисленная в работе [23] для раз- разной длины свободного пробега, при магнитном поле, равном половине критического поля для малой сферы [1:/ = 0; 2:/= (я/10) ?0; 3:/ = 5:/=оо]. Кривая 1 со- соответствует вычислени- вычислениям, сделанным в работе [15] (см. рис. 8.2), осио-. ванным на теории АГ [6]. Кривая 5 соответ- соответствует пределу, рассмот- рассмотренному Ларкиным [22] отметим, что наилучшее согласие с измерениями было достигнуто, когда значение 1Ца для различных пленок выбиралось в пределах от 0,3 до 1, и с точностью до коэффициента порядка 2, совпадаю- совпадающим со значениями этого отношения, измеренными независимыми методами. Учитывая неточность этих измерений и идеализирован- ность теоретической модели, такую степень согласия теории с экспериментом можно считать вполне удовлетворительной. В заключение интересно заметить, что температурная зависи- зависимость Не [или, что равнозначно, зависимость ТС(Н)], найденная Миллстейном и Тинкхамом [21], находится в количественном согласии с результатами АГ. Можно задаться вопросом, почему на этой характеристике не сказывается рассмотренное выше влия- влияние длины свободного пробега. Ответ весьма прост: величина ТС(Н) есть интегральная характеристика и менее чувствительна к деталям модели, чем «более микроскопический» параметр NS(E). 8.3. Нестационарная теория Гинзбурга—Ландау Так как теория Гинзбурга—Ландау исключительно хорошо описывает свойства сверхпроводников, находящихся в состоянии термодинамического равновесия вблизи Гс, было бы естественно искать ее нестационарное обобщение в виде дифференциального уравнения для пространственной и временной зависимостей пара- параметра порядка А. Многие исследователи [24—29] пытались раз- разрешить эту проблему; недавно опубликован критический обзор этих работ [30]. Из него следует, что построить нелинейное неста- нестационарное уравнение Гинзбурга—Ландау (TDGL), обладающее какой-либо общностью, очень трудно. Горьков и Элиашберг [31] отметили, что эта трудность происходит как раз из-за существо- существования на краю щели особенности в плотности состояний. Указан- Указанная особенность приводит во временном представлении к появ- 287
лению слабо затухающих осциллирующих откликов. В разд. 8.2 было показано, что магнитные примеси и другие распаривающие факторы сильно ослабляют особенность плотности состоя- состояний БК.Ш, и при достаточной силе распаривания спектр стано- становится бесщелевым. В этом режиме энергию можно разложить в ряд по Д/а и а[а, где а = й/2тк—¦ обычный параметр распарива- распаривания, описанный выше. Используя этот подход, Горьков и Элиаш- берг получили единственный строгий вариант нелинейного неста- нестационарного уравнения ГЛ, справедливый при разумных значениях полей и частот; однако применимость этого уравнения ограничи- ограничивается случаем бесщелевых сверхпроводников. Шмид [24] еще раньше ввел аналогичные уравнения, не налагая этого ограниче- ограничения, но, очевидно, вне бесщелевого случая их нельзя получить строго. Результат Горькова и Элиашберга удобно записать в норма- нормализованном виде, предложенном Хью и Томпсоном [32], а именно в виде системы уравнений: (-^--|гА)'4 = 0, (8.27) , (8.29) которую нужно дополнить еще уравнениями Максвелла, связы- связывающими скалярный и векторный потенциалы ср и А с плотно- плотностями заряда и тока р и J. Здесь D — коэффициент диффузии в нормальном состоянии; т|з — электрохимический потенциал, деленный на заряд электрона; Д — параметр щели, деленный на свое равновесное значение в отсутствие полей Д0=я&[2 (Т?—Т2)] ; Г —температура, а Тс — критическая температура (в присутствии магнитных примесей); таким образом, в отсутствие полей Д=1. Зависящая от температуры длина когерентности ? в данном слу- случае равна feFD/Ts), ts — время спинового рассеяния, зависящая от температуры глубина проникновения поля Я, равна йс(8яат5)^1/2/До, A,tf — радиус экранировки Томаса—Ферми. Надо отметить, что для вывода этих уравнений необходимо пренебречь нагревом, к которому приводит рассеяние энергии меняющихся во времени полей и токов. Как отметили Горьков и Элиашберг, это ограничивает применимость теории узкой областью вблизи Тс, если только плотность парамагнитных примесей не очень высока. Так как работа с этой системой нелинейных уравнений в част- частных производных очень трудоемка, ограничимся простым упоми- упоминанием некоторых достигнутых результатов. В своей работе [29] Горьков и Элиашберг рассмотрели отклик парамагнитных спла- сплавов на сильно меняющееся магнитное поле. Они нашли прибли- приближенное решение для случая скин-эффекта в массивном образце, определив, например, значение третьей гармоники излучения, 288
вызванного нелинейными поверхностными токами. Затем они ис- исследовали случай тонкопленочного образца толщиной d, помещен- помещенного в осциллирующем поле, которое имеет одинаковое значение на обеих сторонах пленки и параллельно ей. В этом простом слу- случае удалось найти точное решение задачи, которое при частотах, намного больших и намного меньших характерной релаксацион- релаксационной скорости т~', приводит к физически приемлемым результатам. Действительно, было получено, что при ют<^1 параметр порядка адиабатически следует за колебаниями поля, т. е. А(О/Ао= = [1—Az(ON2, где А = /////Сц. Этого и следовало ожидать, исходя из формулы D.52), так как Л пропорционально ^ теории ГЛ. В высокочастотном пределе, как оказывается, нужно заменить А2(/) на среднее значение h2(t). Было найдено, что характерная частота релаксации, разделяющая эти два режима, равна 1/т = егй2Нс\\/ЗсгН. Сравнивая это выражение с формулой (8.28в), видим, что т как раз равно %к- Таким образом, используя фор- формулу (8.22а), вблизи Тс получаем c~ T). (8.30) Это выражение совпадает с выражением G.47) для времени ре- релаксации, использованным при обсуждении флуктуационной про- проводимости. Следуя за пионерскими работами Шмида и Кароли и Маки, Томпсон с сотрудниками использовали эти уравнения для ана- анализа динамической структуры движения вихрей в сверхпроводни- сверхпроводниках II рода, находящихся в смешанном или в динамическом вихревом состоянии; эта структура качественно обсуждалась в разд. 5.5. При этом решение Шмида—Кароли—Маки получается следующим образом: предполагается существование однородного электрического поля, связанного с однородно перемещающейся абрикосовской решеткой вихрей; затем решается уравнение (8.27) для Д, формула (8.28) используется для вычисления J(r), а получающееся отношение средней плотности тока </> к ис- исходному однородному полю Е дает эффективную вихревую прово- проводимость. Томпсон и Хью показали, что для этого решения у-ЗфО, и поэтому должен возникать электрический заряд, который создает неоднородное поле Е до тех пор, пока не установится новое стационарное состояние. Существенной чертой такого со- состояния является противоток Зь, который течет по керну вихря, а возвращается по его периферии. Этот ток протекает без потерь, хотя течет по самому керну. Данный результат показывает, что введенное в теории Бардина и Стефена представление о «нормаль- «нормальном» керне является приближенным. Параметр порядка на самом деле равен нулю только вдоль осевой линии вихря, поэтому ни отсутствие щели, ни наличие низколежащих возбуждений не пре- препятствуют протеканию в области керна сверхтока. Один из коли- количественных результатов состоит в том, что нормированное сопротивление R = Pf/pn, связанное с течением вихрей, для сверх- 289
проводников с большим содержанием парамагнитных примесей должно при изменении В от 0 до Нс2 меняться по кривой с поло- положительной кривизной, а не по линейному закону E.59). Вычис- Вычисленная в начальной точке производная dR/d(BIHc2) равна 0,33*, а при В = НС2 эта производная равна 5,2. Экспериментальные дан- данные в общих чертах подтверждают вид этой кривой, хотя при проведении опытов имеются серьезные затруднения в выделении идеального, свободного от пиннинга поведения. Возможно, наилучшей экспериментальной проверкой для урав- уравнения TDGL является измерение флуктуационной проводимости выше Тс, рассмотренной в разд. 7.6. Хотя выше Гс сверхпроводник всегда является бесщелевым, но и в этом случае, как говорилось выше, остается несоответствие с данной моделью, если только так называемые члены Маки не будут подавлены каким-либо распа- распаривающим воздействием. 8.3.1. Электрон-фононная релаксация Весьма часто оказывается необходимым исследовать релакса- релаксационные процессы в сверхпроводниках, не.содержащих магнит- магнитных примесей. В этих случаях теория Горькова—Элиашберга неприменима. При отсутствии магнитного распаривания достиже- достижение равновесия между квазичастицами и конденсатом (процессы рождения и рекомбинации), а также равновесия внутри квази- квазичастичной подсистемы возможно лишь посредством неупругого электрон-фононного взаимодействия. Вблизи Гс оба эти процесса характеризуются временем т2 неупругого рассеяния нормальных электронов на фононах, хотя должны возникать некоторые раз- различия, зависящие от того, каким именно образом возникла релак- сирующая неравновесность. Самый прямой способ для оценки этого времени дает электронная низкотемпературная теплопровод- теплопроводность, конечность которой связана с фононным рассеянием (элек- (электропроводность не дает возможности оценить время рассеяния, так как рассеяние под малыми углами на фононах с низкой энер- энергией не вносит существенного вклада в электрическое сопротив- сопротивление, хотя и значительно влияет на распределение тепловой энергии). Просто, хотя и менее достоверно, можно оценить время рассеяния из проводимости при комнатной температуре, при кото- которой эффективность фононов и для электрического й для теплового сопротивления одинакова. Если предположить, что спектр фоно- фононов описывается простым дебаевским законом, а электроны обра- образуют ферми-газ, то из высокотемпературного времени рассеяния Тзоо можно найти величину т2 (Г е) = Стзоо (ЗООЙ/Т?), (8.31) * Более полные результаты независимо получены в работе [45*]. Полная зависимость от поля в приближении теории ГЛ найдена в работе [46*]. Обсуж- Обсуждение микроскопических теорий вязкого течения вихрей можно найти в обзоре [47*]. — Прим. ред. пер. 290
где коэффициент С равен 1/93 [33] для обычной тепловой квази- квазичастицы и 1/8,4 [34] для квазнчастпцы, расположенной на поверх- поверхности Ферми, где характерные изменения энергии при рассеянии гораздо меньше. В любом случае т2(Гс), грубо говоря, изменяется по закону (Эв/ГсK. Для олова эта величина имеет порядок 10-ю—Ю-э с, для свинца она много меньше, а для алюминия — много больше. Так как более конкретные результаты зависят от конкретного вида релаксационного процесса и этот вопрос еще находится в стадии разработки, ограничимся качественным обсуждением уже полученных результатов. Один из важных первых шагов был сде- сделан Шмидом [35], который рассмотрел случай малого отклонения от пространственно-равновесной плотности пар. Для простейшего случая, когда и отклонение и фон пространственно однородны, он нашел, что время релаксации при Д> 1/г2 равно x^T2(Tc)(l-tr1/4 = T/Tc. (8.32) При обратном соотношении Л и тг3 размытие энергетических уров- уровней в результате столкновений превышает ширину щели, спектр становится практически бесщелевым и происходит.возврат к вре- времени (8.30), характеризующему бесщелевой сверхпроводник. Последний случай обычно имеет место лишь при A—2)^ 10~3, следовательно, в обычном случае температурная зависимость дается формулой (8.32). Шмид также показал, что если неравно- неравновесная плотность меняется в пространстве, то скорость релакса- релаксации возрастает, стремясь к максимальному значению ~ 1/ta. Предсказание (8.32) недавно было подтверждено Петерсом и Мейсснером [36], которые измерили частотную зависимость нели- нелинейности кинетической индуктивности сверхпроводящего оловян- оловянного микромостика в диапазоне от 30 до 1000 МГц. Кларк [37] получил весьма похожую зависимость от темпера- температуры для времени релаксации т разбаланса числа возбуждений в дырочной (&<&f) и электронной (k>kp) зонах спектра возбуж- возбуждений. Этот разбаланс (обозначаемый обычно Q) создается в результате преимущественного туннельного инжектирования квазичастиц на одну из ветвей. ^Существование стационарного разбаланса было доказано с помощью измерений, с применением сверхпроводящего гальванометра, разности химического потен- потенциала сверхпроводящих пар и потенциала квазичастиц. Резуль- Результаты подробной теории [38, 39] релаксационных процессов нахо- находятся в удовлетворительном согласии с экспериментами. Для такого процесса температурную зависимость xq можно просто пояснить следующим образом. Рассеяние с электронной ветви на дырочную запрещено правилами отбора, которые не затрагивают квазичастиц смешанного типа с энергиями, лежащими между Д и ~2Л; доля рассеяния, обеспечиваемая такими состояниями, равна по порядку A/kTc— A—t)i/2, что и приводит к температур- температурной зависимости tq^TzU—t)^/2. 291
Недавно Скочпол, Бизли и Тинкхам показали [40], что возник- возникновение удивительно регулярных ступенек на вольт-амперных характеристиках сверхпроводящих микромостиков можно объяс- объяснить образованием локализованных центров скачков фазы. В каж- каждом из таких центров параметр порядка совершает релаксацион- релаксационные осцилляции [41, 42] на джозефсоновской частоте, которая соответствует напряжению на данном центре. Это напряжение, в свою очередь, определяется квазичастичным током, который должен течь для того, чтобы мостик мог переносить суммарный ток, больший критического тока мостика /с. В соответствии с этим анализом с каждым центром связан эффективно нормальный участок длиной 2Л, где Л=(—Vzxrf)*/3— введенная еще в ра- О боте [43] длина диффузии квазичастиц, до того как они подверг- подвергнутся неупругому рассеянию. Этому случаю, как показывает эксперимент, соответствует не зависящее от температуры время ti{Tc), а не функция типа (8.32). Возможно, это различие возни- возникает из-за того, что разбаланс квазичастиц имеет место преиму- преимущественно в области энергий вблизи Д, где процессы перемеши- перемешивания ветвей ничем не сдерживаются*. Попытка сформулировать более общее кинетическое уравне- уравнение для неравновесных сверхпроводников была сделана Галайко [44]. Он обнаружил, что релаксация системы к равновес- равновесному состоянию происходит в два этапа. Вначале, когда происхо- происходит быстрое квантовое разупорядочение системы, образуется самосогласованное поле конденсата; в результате становится справедливым квазичастичное описание возбуждений. Затем распределение квазичастиц и параметр порядка медленно изме- изменяются из-за соударений между возбуждениями. Он считает так- также, что временным масштабом последнего процесса является время неупругого рассеяния т2 в нормальном состоянии. Однако не ясно, вытекают ли из подхода Галайко какие-либо феномено- феноменологические формулы большой общности. Таким образом, вопрос о нестационарном обобщении теории ГЛ остается открытым и до сих пор представляет большой интерес**. * Более поздние тщательные эксперименты показали (см., например [44*]), что Л все же имеет следующую из теории слабую температурную зависимость Л ™(ТС—Т) Ч^. — Прим. ред. пер. ** В настоящее время общепринято, что для обычных сверхпроводников с конечной щелью в спектре возбуждений простое временное обобщение теории ГЛ построить нельзя. Обсуждение вопроса о нестационарных нелинейных явле- явлениях в сверхпроводниках см., например, в работах [48*—52*]. — Прим. ред. пер.
ПРИЛОЖЕНИЕ Единицы и обозначения При написании этой книги использована гауссова система единиц СГС {исключение составляют несколько формул, которые для удобства приложений записаны в практических единицах, причем каждый такой случай специально оговорен в тексте). Этот выбор единиц удобен тем, что система СГС использу- используется почти во всей литературе, на которой основывается данная книга. Более того, в ней большое удобство представляет равенство В = Н в вакууме, а также запись электрического поля, связанного с изменением плотности потока, в ес- естественном виде E=(v/c)XB. Читателям, чувствующим себя неуверенно в сис- системе СГС, можно порекомендовать для перехода к единицам СИ или практиче- практической системы единиц приложение к книге Jackson «Electromagnetic Theory», Wiley, New York, 1962 или приложение к книге W. К. Н. Panofsky and M. Phil- Phillips, «Classical Electricity and Magnetism», Addison—Wesley, Reading, Mass. 1962*. Так как в данной области науки магнитные поля оказываются поистине вездесущими, для облегчения обсуждения были введены специальные условные обозначения. В основном использованы обозначения Де Жена (и многих других авторов), где h(r)—-обозначение локальной магнитной индукции или плотности потока, которая может изменяться на расстояниях порядка К. Символ В сохра- сохранен для обозначения значения h, усредненного по этой микроскопической об- области, но способного изменяться в макроскопическом объеме образца. Разумеется, в нормальном металле и в вакууме микроскопических измене- изменений h нет (диамагнетизмом Ландау и парамагнетизмом Паули пренебрегаем), так что B=h. В этом случае также В=Н**, поэтому в данном случае все три символа обозначают одно и то же и взаимозаменяемы. Для массивного сверхпроводника в мейсснеровском состоянии h уменьша- уменьшается до нуля на глубине проникновения Я под действием сверхтока в скин-слое, которое описывается уравнением Максвелла roth=4nJnonH/e. (П.1) Следовательно, В = 0 внутри образца, с другой стороны, Н подчиняется уравне- уравнению Максвелла , (П. 2) где Лвнешн не включает токи, возникающие в результате отклика среды на изме- изменение поля, например токи, описываемые уравнениями Лондонов. Следовательно, Н = 0 и тангенциальная компонента поля на всей глубине скин-слоя постоянна и сохраняет значение Ht ( = Bt = ht), которое она имеет на внешней поверхности образца. Если образец эллипсоидальный, то Н во всем объеме однородно и равно экваториальному значению Я(. Конечно, истинное значение Ht в общем случае превышает внешнее однородное поле На в A— т])-1 раза, где т)—диамагнитный фактор образца (см. формулу C.47) и ее обсуждение). В сверхпроводниках I рода, находящихся в промежуточном состоянии, достигаемом при Ht=Hc, значение h непрерывно меняется от Яс в нормаль- * См .также, например, Бурдун Г. Д., Калашников Н. В., Стоцкий Л. Р. Международная система единиц. М., Высшая школа, 1964. — Прим. ред. пер. ** Это справедливо лишь для образцов цилиндрической формы в продоль- продольном магнитном поле. — Прим. ред. пер. 293
ных областях до нуля в сверхпроводящих. Величина В, которая является усреднением h по этой ламинарной структуре, постоянна внутри эллипсоидаль- эллипсоидального образца. Для того чтобы обеспечить сосуществование нормального и сверхпроводящего состояний, необходимо выполнение условия |Н|=ЯС. В случае смешанного состояния сверхпроводников II рода, находящихся в магнитном поле, величина h меняется на микроскопических расстояниях порядка размера вихря, тогда как величина В является усреднением h по этой структуре. В идеальном равновесном случае значение | Н | снова рацио значе- значению Ht на экваториальной поверхности. В тех случаях, когда имеется транс- транспортный ток или нарушение равновесности за счет пиннинга, Н является меняю- меняющейся величиной, так как rotH теперь не равен нулю. Эта ситуация более подробно освещается в тексте в связи с формулой E.48). Для соблюдения симметрии в обозначениях введем микроскопическое элект- электрическое поле е (г), так чтобы величина Е являлась его макроскопическим усреднением. Так как rote=—h/c, e однородно в статическом случае и равно нулю в равновесии. Таким образом, различие между е и Е проявляется реже, чем между h и В, которые могут возникать и из-за равновесного сверхтока, поэтому в большинстве случаев пользовались обозначением Е вместо е, чтобы не путать с зарядом электрона. Обозначение е вводится только для описания распределения электрического поля вблизи движущегося вихря. В этом случае макроскопическая усредненная величина Е сильно отличается от е и дает физически важную величину — резис- тивное напряжение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К гл. 1 1. Kamerling Onnes H. — Leiden. Comm., 1911, p. 120b, 122b. 2. Meissner W., Ochscenfeld R. — Naturwissenschaften, 1933, Bd 21, S. 787. 3. London F., H. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1935, v. A149, p. 71. 4. London F. — Superfluids. v. 1. John Wiley, N. Y., 1950. 5. Pippard A. B. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1953, v. A216, p. 547. 6. Faber T. E., Pippard А. В. —Proc. Roy. Soc, 1955. v. A213, p. 336. 7. Bardeen J., Cooper L. N.. Schrieffer J. R. — Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1175. 8. Daunt J. C, Mendelssohn K- — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1946, v. A185, p. 225. 9. Corak W. S., Goodman В. В., Satterthwaite С. В., Wexler A. — Phys. Rev., 1954, v. 96, p. 1442; 1956, y. 102, p. 656. 10. Biondi M. A., Garfunkel M. P., McCoubrey A. O. — Phys. Rev., 1956, v. 101, p. 1427. 11. Glover R. E., Tinkham M. — Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 243; 1956, v. 104, p. 844. 12. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1950, т. 20, с. 1064. 13. Горькое Л. П. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1959, т. 36, с. 1918. 14. Абрикосов А. А. — Журн. эксперим. и теор. физ,, 1957, т. 32; с. 1442. 15. Essmann U., Trauble H. — Phys. Lett., 1967, v. 24A, p. 526. 16. Josephson B. D. —Phys. Lett., 1962, v. 1, p. 251. 17. Deaver B. S., Fairbank W. M. — Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 43. 18. Doll R., Nabauer M. — Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 51. 19. Glover R. E., Ill —Phys. Lett., 1967, v. 25A, p. 542. 20. Gollub J. P., Beasley M. R., Newbower R. S., Tinkham M. — Phys. Rev. Lett., 1969, v. 22, p. 1288. К гл. 2 1. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. — Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1175. 2. Cooper L. N. — Phys. Rev., 1956, v. 104, p. 1189. 3. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М., Мир, 1974. 4. Frohlich H. —Phys. Rev., 1950, v. 79, p. 845. 5. Maxwell E. — Phys. Rev., 1950, v. 78, p. 477. 6. Reynolds С A., Serin В., Wright W. H., Nesbitt L. В. —Phys. Rev., 1950, v. 78, p. 487. 7. Frohlich H. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1952, v. A215, p. 291. 8. Bardeen J., Pines D. —Phys. Rev., 1955, v. 99, p. 1140. 9. Pines D. —Phys. Rev., 1958, v. 109, p. 280. 295
10. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М., Мир, 1968. 11. Anderson P. W. — J. Phys. Chem. Sol., 1959, v. 11, p. 26. 12. Morel P., Anderson P. W. — Phys. Rev., 1962, v. 125, p. 1263. 13. Garland J. W. —Phys. Rev. Lett., 1963, v. 11, p. 114. 14. McMillan W. L. — Phys. Rev., 1968, v. 167, p. 331. 15. Боголюбов H. H. — Nuovo cimento, 1958, v. 7, p. 794; Журн. эксперим. и теор. физ., 1958, т. 34, с. 58. 16. Valatin J. G. — Nuovo cimento, 1958, v. 7, p. 843. 17. Miihlschlegel В. —Z. Phys., 1959, Bd 155, S. 313. 18. Mapother D. E. —Phys. Rev., 1962, v. 126, p. 2021. 19. Josephson B. D. —Phys. Lett, 1962, v. 1, p. 251. 20. Bardeen J. — Phys. Rev. Lett., 1962, v. 9, p. 147. 21. Giaever 1. —Phys. Rev. Lett., 1960, v. 5, p. 147, 464. 22. Tinkham M. —Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 1747. 23. Cohen M. H., Falicov L. M., Philips J. C—Phys. Rev. Lett., 1962, v. 8, p. 316. 24. Douglass D. H., Falicov L. M. — In: Gorier С J. (ed.). Progress in Low Temperature Physics. Amsterdam, North-Holland, 1964, v. 4, p. 97. 25. McMillan W. L., Rowel 1 J. M. — In: Parks R. D. (ed.) Superconductivity, chap. 11. N. Y., Marcel Dekker, 1969. 26. Tomash W. J. — Phys. Rev. Lett, 1965, v. 15, p. 672; 1966, v. 16, p. 16. 27. Giaever I., Hart H. R., Megerle K-— Phys. Rev., 1962, v. 126, p. 941. 28. Schrieffer J. R., Scalapino D. J., Wilkins J. W. — Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 336; Phys. Rev., 1966, v. 148, p. 263. 29. Элиашберг Г. М. — Журн. эксперим. и теор. физ, 1960, т. 38, с. 966. 30. McMillan W. L., Rowell J. M. — Phys. Rev. Lett., 1965, v. 14, p. 108. 31. Rowell J. M., Kopf L. —Phys. Rev, 1965, v. 137, p. A907. 32. Morse R. W.— In: Mendelson K. (ed.), Progress in Cryogenics Lond. Hey- wood, 1959, v. 1, p. 219. 33. Claiborne L. T, Einspruch N. G.—Phys. Rev. Lett, 1965, v. 15, p. 862. 34. Phillips W. A. —Proc. Roy. Soc, 1969, v. A309, p. 259. 35. Fossheim K. — Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 81. 36. Tittman B. R., Bommel H. E. — Phys. Rev, 1965, v. 151, p. 178. 37. Mason W. P. —Phys. Rev., 1966, v. 143, p. 229. 38. Love R. E., Shaw R. W., Fate W. A. — Phys. Rev, 1965, v. 138, p. A1453. 39. Hebel L. C, Slichter С P.—Phys. Rev, 1957, v. 107, p. 901; 1959, т. 113, p. 1504. 40. Hebel L. C— Phys. Rev., 1959, v. 116, p. 79. 41. Masuda Y. — Phys. Rev, 1962, v. 126, p. 1271. 42. Fibich M. —Phys. Rev. Lett, 1965, v. 14, p. 561. 43. Mattis D. C, Bardeen J. — Phys. Rev, 1958, v. Ill, p. 412. 44. Glover R. E., Tinkham M. — Phys. Rev., 1956, v. 104, p. 844. 45. Ginsberg D. M., Tinkham M. —Phys. Rev, 1960, v. 118, p. 990. 46. Palmer L. H, Tinkham M. — Phys. Rev, 1968, v. 165, p. 558. 47. Kubo R. —J. Phys. Soc. Japan, 1957, v. 12, p. 570. 48. Tinkham M., Ferreel R. A. —Phys. Rev. Lett, 1959, v. 2, p. 331. 49. Tinkham M.—In: de Witt C, Dreyfus B, de Gennes P. G. (ed.) Low Tem- Temperature Physics. N. Y, Gordon and Breach, 1962. 50. Pippard А. В. —Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1953, v. A216, p. 547. 296
51*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., Наука, 1974. 52*. Реймс С. Теория мыогоэлектронных систем. М., Мир, 1976. К гл. » 1. Miller P. В. —Phys. Rev., 1959, v. 113, p. 1209. 2. Muhlschlegel В. — Z. Phys., 1959, v. 155, p. 313. 3. Shoenberg D. — Proc. Soc. (Lond.), 1940, v. A175, p. 49. 4. Lock J. M.—Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1951, v. A208, p. 391. 5. Casimir N. B. G. — Physica, 1940, v. 7, p. 887. 6. Laurmann E., Shoenberg D.— Nature, 1947, v. 160, p. 747. 7. Laurmann E., Shoenberg D. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1949, v. A198, p. 560. 8. Pippard А. В. —Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1947, v. A191, p. 399. 9. Pippard A. B. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1950, v. 203, p. 98. 10. Schawlow A. L., Devlin G. E. — Phys. Rev., 1959, v. 113, p. 120. 11. Waldram J. R. — Advan. Phys., 1964, v. 13, p. 1. 12. Landau L. D. — Phys. Z. Sowjet, 1937, v. 11, p. 129. 13. Andrew E. R. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1948, v. A194, p. 98. 14. Goren R. N., Tinkham M. —J. Low Temp. Phys., 1971, v. 5, p. 465. 15. Livingston J. D., De Sorbo W. — In: Parks R. D. (ed.). Superconductivity, chap. 21. N. Y., Marcel Dekker, 1969. 16. Landau L. D. —Nature, 1938, v. 141, p. 688. 17. Landau L. D. —J. Phys. USSR, 1943, v. 7, p. 99. 18. Solomon P. R., Harris R. E. —Phys. Rev., 1971, v. B3, p. 2969.' 19. Faber T. E. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1958, v. A248, p. 460. 20. Trauble H., Essman U. — Phys. Stat. Sol., 1968, v. 25, p. 395. 21. Kirchner H. —Phys. Lett., 1968, v. 26A, p. 651. 22. Solomon P. R., Harris R. E. —Proc. 12th Intern. Conf. on Low Temp. Phys., Kyoto, Japan, 1970, p. 475. 23. London F. Une Conception nouvellc de la supraconductibilite. Paris, Hermann & Cie, 1937. 24. London F. Superfluids, v. 1. N. Y., Wiley, 1950. 25. Baird D. C, Mukherjee B. K. — Phys. Lett., 1967, v. 25A, p. 137. 26. Mukherjee В. К-, Allen J. F., Baird D. С — Proc. 11th Intern. Conf. on Low Temp. Phys., St. Andrews, 1968, p. 827. 27. Corter С J. — Physica, 1957, v. 23, p. 45. 28. Андреев А. Ф., Шарвин Ю. В. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1967, т. 53, № 10, с. 1499. 29. Andreyev A. F. — Proc. 11th Intern. Conf. on Low Temp. Phys., St. Andrews, 1968, p. 831. 30. Huebener R. P., Kampwirth R. Т. —Solid State Comm., 1972, v. 10, p. 1289. 31. Huebener R. P., Gallus D. E. — Phys. Rev., 1973, v. B7, p. 4089. 32*. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М., Мир, 1968. 33*. Лихарев К. К-— Журн. эксперим. и теор. физ., 1971, т. 61, с. 1700. К гл. * 1. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д.— Журн. эксперим. и теор. физ., 1950, т. 20, с. 1064. 2. Горькое Л. П. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1959, т. 37, с. 1918. 297
3. Brickman N. F. —Phys. Rev., 1969, v. 184, p. .460. 4. Alben R. —Phys. Lett., 1969, v. 29A, p. 477. 5. Lindhard J. — Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-fys. Medd., 1954, Bd 28, N 8. 6. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М., Мир, 1968. 7. Абрикосов А. А. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1957, т. 32, с. 1442. 8. Bardeen J. —Rev. Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 667. 9. Hunt Т. К- —Phys. Rev., 1966, v. 151, p. 325. 10. Levine J. L. — Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 154. 11. Mitescu С D. Doctoral thesis. California Institute of Technology. Pasadena, 1966. 12. Little W. A., Parks R. D. — Phys. Rev. Lett., 1962, v. 9, p. 9; Phys. Rev., 1964, v. 133 p. A97. 13. Tinkham M. — Phys. Rev., 1963, v. 129, p. 2413. 14. London F. Superfluids, v. 1, p. 152, N. Y., Wiley, 1950. 15. Deaver B. S., Fairbank W. M.— Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 43. 16. Doll R., Nabauer M. — Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 51. 17. Groff R. P., Parks R. D. — Phys. Rev., 1968, v. 176, p. 567. 18. Meservy R., Douglass D. H., Jr. — Phys. Rev., 1964, v. 134, p. A24. 19. Levine J. L. — Phys. Rev., 1967, v. 155, p. 373. 20. Millstein J., Tinkham M. — Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 325. 21. Абрикосов А. А., Горькое Л. П. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1960, т. 39, с. 1781. 22. Feder J., McLachlan D. S. —Phys. Rev., 1969, v. 177, p. 763. 23. Saint-James D., Gennes P. G.—Phys. Lett, 1963, v. 7, p. 306. 24. Harper F. E., Tinkham M. — Phys. Rev., 1968, v. 172, p. 441. 25. Yamafuji K., Kawashima T. Irie F. —Phys. Lett., 1966, v. 20, p. 123. 26. Saint-James D. — Phys. Lett., 1965, v. 16, p. 218. 27. Fink H. J. —Phys. Rev., 1969, v. 177, p. 732. 28. Schultens H. A. — Z. Phys., 1970, Bd 232, S. 430. 29. Kleiner W. H., Roth L. M., Autler S. H. — Phys. Rev., 1964, v. 133, p. A1226. 30. Essmann U., Trauble H. —Phys. Lett, 1967, v. 24A, p. 526. 31. Seeger A. —Comments Solid State Phys., 1970, v. 3, p. 97. 32. Essman P. — Phys. Lett, 1972, v. 41 A, p. 477. 33*. Лихарев К- К-— Изв. вузов. Радиофизика, 1971, т. 14, с. 909. 34*. Андрацкий В. П. и др. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1973, т. 65, с. 1591. 35*. Ihle D. —Phys. Stat. Sol., 1971, v. 47B, p. 423. К гл. 5 1. Fetter A. L., Hohenberg P. C, Pincus P.— Phys. Rev., 1966, v. 147, p. 140. 2. Kumpf U. —Phys. Stat. Sol., 1971, v. 44, p. 829. 3. Auer J., Ullmaier H. — Phys. Rev., 1973, v. B7, p. 136. 4. Eilenberger G., Buttner H.—Z. Phys., 1969, Bd 224, S. 335. 5. Cleary R. M. — Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 940. 6. Jacobs A. E. — Phys. Rev., 1971, v. B4, p. 3016, 3022, 3029; J. Low Temp. Phys., 1973, v. 10, p. 137. 7. Maki K. —Physics, 1964, v. 1, p. 21, 127. 8. Harden J. L., Arp V. — Cryogen., 1963, v. 3, p. 105. 9. Eilenberger G. — Phys. Rev., 1967, v. 153, p. 584. 298
10. Solomon P. R., Harris R. E. — Phys. Rev., 1971, v. B3, p. 2969. 11. Bardeen J., Stephen M. J. — Phys. Rev., 1965, v. 140, p. A1197. 12. Schmid A. — Phys. Kondens. Mater., 1966, v. 5, p. 302. 13. Caroli C, Maki K. — Phys. Rev., 1967, v. 159, p. 306, 316; 1967, v. 164, p. 591; 1968, v. 169, p. 381. 14. Hu C. R., Tompson R. S. —Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 110. 15. Caroly C, De Gennes P. D., Matricon J. — Phys. Lett., 1964, v. 9, p. 307. 16. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М., Мир, 1968. 17. Tinkham М. — Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 804. 18. Clem J. R. —Phys. Rev. Lett., 1968, v. 20, p. 735. 19. Kim Y. В., Hempstead С F., Strnad A. R. — Phys. Rev., 1965, v. 139, p. A1163; Phys. Rev Lett., 1964, v. 12, p. 145. 20. Parks R. D. (ed.) Superconductivity, chap. 19. N. Y., Marcel Dekker, 1969. 21. Giaever I. — Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 825. 22. Ekin J. M., Serin В., Clem J. R. — Phys. Rev., 1974, v. B9, p. 912. 23. van Ooijen D. J., van Gurp G. J. — Phys. Lett., 1965, v. 17, p. 230. 24. Cape J. A., Silvera I. F. —Phys. Rev. Lett., 1968, v. 20, p. 326. 25. Weijsenfeld С H. — Phys. Lett, 1968, v. 28A, p. 362. 26. Maki K- —Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 1223. 27. Solomon P. R., Otter F. A —Phys. Rev., 1967, v. 164, p. 608. 28. Solomon P. R. — Phys. Rev., 1969, v. 179, p. 475. 29. Vidal F. —Phys. Rev., 1973, v. B8, p. 1982. 30. Gittleman J. I., Rosenblum B. — Phys. Rev. Lett., 1968, v. 16, p. 734. 31. Bean С. Р. — Phys. Rev. Lett, 1962, v. 8, p. 250. 32. Anderson P. W. —Phys. Rev. Lett., 1962, v. 9, p. 309. 33. Anderson P. W., Kim Y. В. —Rev. Mod. Phys., 1964, v. 36, p. 39. 34. Beasley M. R., Labusch R., Webb W. W. —Phys. Rev., 1969, v. 181, p. 682: 35. Kim Y. В., Hempstead С F., Strnad A. R. —Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 2486. 36. Campbell A. M., Evetts J. E., Dew-Higes D. —Phill. Mag., 1968, v. 18, p. 313. 37. Kim Y. В., Hempstead С F., Strnad A. R. — Phys. Rev. Lett, 1962, v. 9, p. 306. 38. Wilson M. N.. Walters С R., Lewin J. D., Smith P. F. —J. Phys., 1970, v. D3, p. 1518. 39. Spurway A. H., Lewin J. D., Smith P. F. — J. Phys., 1970, v. D3, p. 1572. 40. Dahl P. F., Morgan G. H., Sampson W. В. —J. Appl. Phys., 1969, v. 40„ p. 2083. 41*. Минц Р. Г., Рахманов А. Л. — Усп. физ. наук, 1977, т. 121, с. 499. К гл. ft 1. Josephson В. D. —Phys. Lett, 1962, v. 1, p. 251. 2. Josephson B. D. — Advan. Phys., 1965, v. 14, p. 419. 3. Josephson B. D. —Rev. Mod. Phys, 1974, v. 46, p. 251. 4. Fulton T. A., Dynes R. C —Phys. Rev. Lett, 1970, v. 25, p. 794. 5. Anderson P. W. — Lectures at Ravello Spring School, 1963. 6. Ambegaokar V., Baratoff A. —Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 486; Phys. Rev. Lett, 1963, v. 11, p. 104. 7. Baratoff A., Blackburn J. A., Schwartz В. В. ¦— Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1096. 299
8. Skocpol M. J., Beasly M. R., Tinkham M. — J. Appl. Phys., 1974, v. 45, p. 4054. 9. Pedersen N. F., Finnegan T. F., Langenberg D. N. — Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 4151. 10. Falco С M., Parker W. H., Trullinger S. E. — Phys. Rev. Lett., 1973, v. 31, p. 933. 11. Vincent D. A., Deaver B. S., Jr.— Phys. Rev. Lett., 1974, v. 32, p. 212. 12. Langenberg D. N. —Rev. Phys. Appl., 1974, v. 9, p. 35. 13. Poulsen U. K. — Rev. Phys. Appl., 1974, v. 9, p. 41. 14. Riedel E.—Z. Naturforschung, 1964, Bd 19a, S. 1634. 15. Werthamer N. R. — Phys. Rev., 1966, v. 147, p. 255. 16. Jaklevic R. C, Lambe J., Mercereau J. E., Silver A. N. —Phys. Rev., 1965, v. 140, p. A1628. 17. Zimmerman J. E., Silver A. N. — Phys. Rev., 1966, v. 141, p. 367. 18. Silver A. N., Zimmerman J. E. — Phys. Rev., 1967, v. 157, p. 317. 19. Zimmerman J. E., Mercereau J. E. — Phys. Rev. Lett, 1964, v. 13, p. 125. 20. Beasley M. R., Labusch R., Webb W. W. — Phys. Rev., 1969, v. 181, p. 682. 21. Gollub J. P., Beasley M. R., Tinkham M. —Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1646. 22. Shapiro S. — Phys. Rev. Lett., 1963, v. 11, p. 80. 23. Hamilton С A. — Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 912. 24. Янсон И. К-, Свистунов В. М., Дмитренко И. М.—Журн. эксперим. и теор. физ., 1965, т. 48, с. 976. 25. Langenberg D. N., Scalapino D. J., Taylor В. N., Eck R. E. — Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 294. 26. Parker W. H., Langenberg D. N., Denenstein A., Taylor B. N. — Phys. Rev., 1969, v. 177, p. 639. 27. Rieger T. J., Scalapino D. J., Mercereau J. E. — Phys. Rev. Letters, 1971, v. 27, p. 1789. 28. Yu M. L., Mercereau J. E. — Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 1117. 29."" Clarke J. — Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 1366. 30. Tinkham M., Clarke J. — Phys. Rev. Lett, 1972, v. 28, p. 1366. 31. Eck R. E., Scalapino D. J., Taylor B. N.— Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 15. 32. Fiske M. D. —Rev. Mod. Phys., 1964, v. 36, p. 221. 33. Coon D. D., Fiske M. D. — Phys. Rev., 1965, v. 138, p. A744. 34. Dahm A. J., Denenstein A., Finnegan T. F., Langenberg D. N., Scalapi- no D. J.— Phys. Rev. Lett. 1968, v. 20, p. 589. 35. De Waele A. Th. A. M., De Bruyn Ouboter R. — Physica, 1969, v. 41, p. 225. 36. Clarke J., Peterson J. L. — Appl. Phys. Lett, 1971, v. 19, p. 469. 37. Gollub J. P. Diamagnetism Due to Fluctuations in Superconductors. — Techni- Technical Report, 1970, N 3, Div. of Eng. and Appl. Phys., Harvard Univ. 38. Zimmerman J. E., Thiene P., Harding J. T. — J. Appl. Phys., 1970, v. 41, p. 1572. 39. Silver A. N., Zimmerman J. E. — Phys. Rev., 1967, v. 157, p. 317. 40. Giffard R. P., Webb R. A., Wheatley J. С — J. Low Temp. Phys., 1972, v. 6, p. 533. 41. Webb W. W.— IEEE Trans., 1972, v. MAG—8, p. 51. 42. Simmons M. В., Parker W. H. — J. Appl. Phys., 1971, v. 42, p. 38. .43. Kurkijarvi J. — Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 832; J. Appl. Phys., 1973, v. 44, p. 3729. 300
44. Letzter S., Webster N. — IEEE Spec, 1970, v. 7, N 8, p. 67. 45. Prober D. E. — Rev. Sci. Inst., 1974, v. 45, p. 849. 46. Lukens J. E., Warburton R. J., Webb W. W. — J. Appl. Phys., 1971, v. 42, p. 27. 48. Webb R. A., Giffard R. P., Wheatley J. G. — J. Low Temp. Phys., 1973, v. 13, p. 383. 49. Day E. P. —Phys. Rev. Lett., 1970, v. 29, p. 540. 50. Meredith D. J., Pickett G. R., Symko O. G. —Phys. Lett., 1972, v. 42A, p. 13; J. Low Temp. Phys., 1973, v. 13, p. 607. 51. Clarke J. —Phil. Mag., 1966, v. 13, p. 155. 52. McWane J. W., Neighbor J. E., Newbower R. S. — Rev. Sci. Instr., 1966. v. 37, p. 1602. 53. Clarke J. — Phys. Rev. Lett, 1968, v. 21, p. 1566. 54. Grimes C. C, Richards P. L., Shapiro S. —Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, p. 431. 55. Richards P. L., Auracher F., Van Duzer T. — Proc. IEEE, 1973, v. 61, p. 36. 56. Richards P. L., Sterling S. A. —Appl. Phys. Lett., 1969, v. 14, p. 394. 57*. Асламазов Л. Г., Ларкин А. И. — Письма в журн. эксперим. и теор. физ., 1969, т. 9, с. 150. 58*. Лихарев К- К.—Успехи физ. наук, 1979, т. 127, с. 185. 59* Зорин А. Б., Кулик И. О., Лихарев К- К., Шриффер Дж. — Физ. низких температур, 1979, т. 5, с. 1138. 60*. Harris R. Е. — Phys. Rev., 1975, v. В11, p. 3329. 61*. Superconducting Quantum Interference Devices and their Applications. Eds by H. D. Hahlbohm, H. Lubbig. West Berlin, Walter de Gruyter, 1977. 62*. Future Trends in Superconductive Electronics (Eds by B. S. Deaver Jr., С M. Falco, J. H. Harris, S. A. Wolf. AIP Conf. Proceedings, N 44, N. Y., 1978). 63*. Лихарев К. К., Ульрих Б. Т. Системы с джозефсоновскими контактами. М., Изд. Моск. ун-та, 1978. 64*. Clarke J.— In: Superconductor Applications: SQLJID's and Machines (eds by B. B. Schwartz, S. Foner). N. Y., Plenum Press, 1977, p. 67. €5*. Zappe H. H. —Jap. J. Appl. Phys., 1977, v. 16 (suppl), p. 247. К гл. 7 1. Langer J. S., Ambegaokar V. — Phys. Rev., 1967, v. 164, p. 498. 2. Little W. A. — Phys. Rev., 1967, v. 156, p. 398. 3. McCumber D. E. — Phys. Rev., 1968, v. 172, p. 427. 4. McCumber D. E., Halperin B. I. — Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 1054. 5. Lukens J. E., Warburton R. J., Webb W. W. — Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1180. 6. Newbower R. S., Beasley M. R., Tinkham M. — Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 864. 7. Masker W. E., Marcelja S., Parks R. D. —Phys. Rev., 1970, v. 188, p. 745. 8. Tucker J., Halperin B. I. — Phys. Rev., 1971, v. B3, p. 378. 9. Londergan R. J., Langer J. S. —Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 4376. 10. Buhrman R. A, Halperin W. P. — Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 692. 301
11. Miihlschlegel В., Scalapino D. J., Denton R. — Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 1767. 12. Schmid A.—Phys. Rev., 1969, v. 180, p. 527. 13. Gollub J. P., Beasley M. R., Newbower R. S., Tinkham M. — Phys. Rev. Lett. 1969, v. 22, p. 1288. 14. Gollub J. P. Beasley M. R., Tinkham M. — Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1646. 15. Gollub J. P., Beasley M. R., Callarotti R., Tinkham M. — Phys. Rev., 1973, v. B7, p. 3039. 16. Schmidt H. — Z. Phys., 1968, Bd 216, S. 336. 17. Prange R. E. — Phys. Rev., 1970, В 1, p. 2349. 18. Patton B. R., Ambegaokar V., Wilkins J. W. — Solid State Commun, 1969, v. 7, p. 1287. 19. Lee P. A., Payne M. G. — Phys. Rev. Lett., 1971, v. 26, p. 1537; Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 923. 20. Kurkijarvi J., Ambegaokar V., Eilenberger G. — Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 868. 21. Maki K., Takayama H. — J. Low Temp. Phys., 1971, v. 5, p. 313. 22. Maki K. — Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 648. 23. Lawrence W. E., Daniach S. — Proc. 12th Intern. Conf. on Low Temp. Phy- Physics, Kyoto, Japan, 1970 (Keigaku Puhl. Co., 1971, p. 361). 24. Tsuzuki Т. —J. Low Temp. Phys., 1972, v. 9, p. 525. 25. Prober D. E., Beasley M. R., Schwall R. E. Неопубликованная работа. 26. Schmid A. — Phys. Kondens. Mat., 1966, v. 5, p. 302. 27. Caroli C, Maki K-—Phys. Rev., 1967, v. 159, p. 306, 316. 28. Abrahams E., Tsuneto Т. —Phys. Rev., 1966, v. 152, p. 416. 29. Woo J. W. F., Abrahams E. — Phys. Rev., 1968, v. 169, p. 407. 30. Cyrot M. — Repts Progr. Phys., 1973, v. 36, p. 103. 31. Киттель Ч. Элементарная статистическая физика. М., Изд-во иностр. лит., 1960. 32. Aslamasov L. G., Larkin A. I. — Phys. Lett., 1968, v. 26A, p. 238. 33. Glover R. E. III.— Phys. Lett., 1967, v. 25A, p. 542. 34. Naugle D. C, Glover R. E. III. —Phys. Lett., 1968, v. 28A, p. 110. 35. Crow J. E., Thompson R. S., Klenin M. A., Bhatnagar A. (Kyoto) K. — Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 371. 36. Maki K. —Progr. Theor. Phys., 1968, v. 39, p. 897; 1968, v. 40, p. 193. 37. Thompson R. S. — Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 327. 38. Patton B. R. —Phys. Rev. Lett., 1971, v. 27, p. 1273. 39. Keller J., Korenman V. —Phys. Rev. Lett., 1971, v. 27, p. 1270; Phys. Rev., 1972, v. B5, p. 4367. 40. Appel J. —Phys. Rev. Lett., 1968, v. 21, p. 1164. 41. Craven R. A., Thomas G. A., Parks R. D. —Phys. Rev., 1973, v. B7, p. 157. 42. Lehoczky S. L. (A.), Briscoe С V. —Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 695. 43*. Хоэнберг П.— Успехи физ. наук, 1970, т. 102, с. 239. К гл. 8 1. Anderson P. W. — J. Phys. Chem. Sol., 1959, v. 11, p. 26. 2. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов, гл. 5 и 8. — М., Мир, 1968. 302
3. Bardeen J. — Rev. Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 667; Rogers К. Т. — Unpub- Unpublished Ph. D. Thesis, University of Illinois, 1960. 4. Caroli C, de Gennes P. G., Mattricon J. — Phys. Lett., 1964, v. 9, p. 307. 5. Bardin J., Kummel R., Jacobs A. E., Tewordt L. — Phys. Rev., 1969, v. 187, p. 556. 6. Абрикосов А. А., Горькое Л. П. — Журн. экспернм. и теор. физ., 1960, т. 39, с. 1781. 7. Maki К. —Prog. Theor. Phys. (Kyoto), 1963, v. 29, p. 333; 1964, v. 31, p. 731; 1964, v. 32, p. 29. 8. Maki K., Fulde P. — Phys. Rev., 1965, v. 140, p. A1586. 9. De Gennes P. G. — Phys. Kondens. Materie, 1964, v. 3, p. 79. 10. De Gennes P. G., Sarma G. — J. Appl. Phys., 1963, v. 34, p. 1380. 11. De Gennes P. G., Tinkham M. — Physics, 1964, v. 1, p. 107. 12. Maki K-— In: Parks R. D. (ed.) Superconductivity, chap. 18. N. Y., Marcel Dekker, 1969. 13. Clogston A. M. — Phys. Rev. Lett, 1962, v. 9, p. 236. 14. Char.drasekhar B. S. — Appl. Phys. Le'tt., 1962, v. 1, p. 7. 15. Morris D. E., Tinkham M. — Phys. Rev., 1964, v. 134, p. Al 154. 16. White P. H., Tinkham M. — Phys. Rev., 1964, v. 136, p. A203. 17. Meservey R., Douglass D. H.—Phys. Rev., 1964, v. 135, p. A24. 18. Skalski S., Betbedes—Matibet O., Weiss P. R. — Phys. Rev., 1964, v. 136, p. A1500. 19. Wolf M. A., Reif F. — Phys. Rev., 1965, v. 137, p. A557. 20. Levine J. L. — Phys. Rev., 1967, v. 155, p. 373. 21. Millstein J., Tinkham M. — Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 325. 22. Ларкин А. Г. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1965, т. 48, с. 232. 23. Strassler S., Wyder P. — Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 319. 24. Schmid A. — Phys. Kondens. Materie, 1966, v. 5, p. 302. 25. Caroli C, Maki K-— Phys. Rev., 1967, v. 159, p. 306; 316; 1967, v. 164, p. 591. 26. Abrahams E., Tsuneto Т. —Phys. Rev., 1966, v. 152, p. 416. 27. Woo J. W. F., Abrahams E. — Phys. Rev., 1968, v. 169, p. 407. 28. Thompson R. S. — Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 327. 29. Горькое Л. П., Элиашберг Г. М. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1968, т. 54, с. 612. 30. Cyrot М. — Repts Progr. Phys., 1973, v. 36, p. 103. 31. Элиашберг Г. М. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1969, т. 55, с. 2443. 32. Ни С. R., Thompson P. S. —Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 110. 33. Займан Дж. Электроны и фононы. М., Физматгиз, 1963. 34. Tinkham М. — Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 1747. 35. Schmid A. — Phys. Kondens. Mat., 1968, v. 8, p. 129. 36. Peters R., Meissner H. — Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 965. 37. Clarke J. —Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 1363. 38. Tinkham M., Clarke J. —Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 1366. 39. Tinkham M. — Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 1747. 40. Skocpol W. J., Beasley M. R., Tinkham M. — J. Low Temp. Phys., 1974, v. 16, p. 145. 41. Notarys H. A., Mercereau J. E. — Physica, 1971, v. 55, p. 424. 303
42. Reiger T. J., Scalaplno D. J., Mercereau J. E. —Phys. Rev. Lett., 1971, v. 27, p. 1787; Phys. Rev., 1972, v. B6, p. 1734. 43. Pippard А. В., Shepherd J. G., Tindall D. A. — Proc. Roy. Soc. (Lond.), 1971, v. A324, p. 17. 44. Галайко В. П. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1971, т. 34, с. 203; 1973, т. 37, с. 922. 45*. Куприянов М. Ю., Лихарев К. К- — Письма в журн. эксперим. и теор. физ., 1972, т. 15, с. 349. 46*. Данилов В. В., Куприянов М. Ю., Лихарев К. К. — Физ. твердого тела, 1974, т. 16, с. 935. 47*. Горькое Л. П., Копнин Н. Б. — Усп. физ. наук, 1975, т. 116, с. 413. 48*. Dolan G. J., Jackel L. D. — Phys. Rev. Lett., 1977. v. 39, p. 1628. 49*. Элиашберг Г. М. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1971, т. 61, с. 1254. 50*. Larkin A. I., Ovchinnikov Yu. N. —J. Low Temp. Phys., 1973, v. 10, p. 407. 51*. Аронов А. Г., Гуревич В. Л. — Физ. твердого тела, 1974, т. 16, с. 2636. 52*. Кулик И. О. — Физ. низких температур, 1976, т. 2, с. 962.
ОБЩИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Приводимый список литературы не является исчерпывающим, но он вклю- включает многие из часто цитируемых работ, причем кратко выделены индивидуаль- индивидуальные особенности каждой из них. Так как литература по прикладным вопросам особенно сильно распылена, приводим отдельный список таких работ. Фундаментальная физика: книги Blatt J. M. Theory of Superconductivity. N. Y., Academic Press. Inc., 1964.— В книге рассматривается подход к сверхтекучему состоянию с точки зрения квазихимического равновесия. De Gennes P. G. Superconductivity in Metals and Alloys. N. Y., W. A. Benjamin, Inc., 1966. (Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. Пер. с англ. М., Мир, 1968.) — Блестящее физически мотивированное изложение. Kuper С. G. Introduction to the Theory of Superconductivity. Oxford, Clarendon Press, 1968. — Более элементарное изложение. London F. Superfluids, vol. 1. N. Y., John Wiley and Sons, Inc., 1950. Обсуж- Обсуждается теория Лондона и ее философская основа; содержит на с. 152 знаменитое предсказание квантования потока, сделанное за десять лет до его эксперимен- экспериментального открытия. Lynton E. A. Superconductivity, 3rd. Lond., Methuen and Co., Ltd., 1969. (Лин- тон Э. А. Сверхпроводимость. Пер. с англ. М., Мир, 1971.). — Хороший, ясный обзор. Rickayzen G. Theory of Superconductivity. N. Y.: John Wiley and Sons, Inc., 1965. — Хороший обзор. Roys-Innes A. C, Rhoderick F. H. Introduction to Superconductivity. N. Y., Per- gamon Press, 1969. (Роуз-Инс А., Родерик Е. Введение в физику сверхпроводи- сверхпроводимости. М., Мир, 1972.)—Вводное изложение примерно на том же уровне, что и настоящая книга. Saint-James D., Sarma G., Thomas F. J. Type III Superconductivity. N. Y., Perga- mon Press, 1969. (Сан Жам Д., Сарма Г., Томас Е. Сверхпроводимость II рода. М., Мир, 1970.)—Детальный обзор указанной темы, теория дается на уровне уравнений Гинзбурга — Ландау. Schrieffer J. R. Theory of Superconductivity. N. Y., Benjamin W. A., Inc., 1964.— Хорошее описание теории одним из ее основателей, включающее главу о функ- функциях Грина, не рассмотренных в настоящей книге. Shoenberg D. Superconductivity. N. Y., Cambridge University Press, 1952. (Шен- (Шенберг Д. Сверхпроводимость. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1953.) — Классический обзор, особенно подробно описывающий экспериментальные ре- результаты; написан до появления теории БКШ. * Теория сверхпроводимости. 'Сб. статей./Под ред. Н. Н. Боголюбова. М., Изд- во иностр. лит., 1960. * Кулик И. О., Янсон И. К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннель- туннельных структурах. М., Наука, 1970. * Гейликман Б. Т., Кресин В. 3. Кинетические и нестационарные явления в сверхпроводимости. М., Наука, 1972. * Коэн М., Гладстоун Г., Йенсен М., Шриффер Дж. Сверхпроводимость полу- полупроводников и переходных металлов. М., Мир, 1974. 305
* Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение. М., Мир, 1974. * Буккель В. Сверхпроводимость. М., Мир, 1975. * Кемпбелл А., Иветс Дж. Критические токи в сверхпроводниках. М., Мир, 1975. * Тилли Д. Р., Тилли Дж. Сверхтекучесть и сверхпроводимость. М., Мир, 1977. * Булаевский Л. П. и др. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Фундаментальная физика: обзоры Anderson P. W. The Josephson Effect and Quantum Coherence Measurements in Superconductors and Superfluids. — In Gotter C. J. (ed.). Progress in Low Tem- Temperature Physics, vol. 5. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1967.—- Следует отметить глубокое рассмотрение указанного вопроса. Bardeen N. J. Theory of Superconductivity. — In: FlOgge S. (ed.). Handbuch der Physik. Bd 15. Berlin, Springer-Verlag OHG, 1956. — Мастерский, обзор состоя- состояния теории накануне появления теории БКШ. Bardeen J., Schrieffer J. R. Recent Development in Superconductivity. — In: Got- Gotter (ed.). Progress in Low Temperature Physics, vol. 3. Amsterdam: North-Hol- North-Holland Publishing Company, 1961. (Бардин Дж., Шриффер Дж. Новое в изучении сверхпроводимости. М., 1962.) — Обзор начального периода после появления те- теории БКШ. Dewitt С, Dreyfus В., De Gennes P. G. (eds). Low Temperature Physics. N. Y., Gordon and Breach, Science Publishers, 1962. — Содержит лекции, прочитанные в Высшей летней школе в 1961 г., включая написанную Тинкхамом, которая была издана позже под названием «Сверхпроводимость». Хотя этот обзор напи- написан давно, в нем мало материала, успевшего устареть. Кроме того, приведено более подробное, чем в данной книге, описание применения правила сумм и состояний Крамера—Кронига. Douglass D. H., Falicov L. M. The Superconducting Energi Gap. In: Gorier С J. (ed.). Progress in Low Temperature Physics, vol. 4. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1964. — Расширенный обзор экспериментальных данных и их теоретических истолкований. (Имеется русский перевод в сб.: Сверхпрово- Сверхпроводимость. М., Наука, 1967.) Glover R. E. III. Superconductivity Above the Transition Temperature. — In: Gor- ter С J. (ed.). Progress in Low Temperature Physics, vol. 6. Amsterdam: North- Holland Publishing Company, 1964. r—Обзор работ по флуктуационной избыточ- избыточной проводимости выше Тс. Parks R. D. (ed.) Superconductivity. Vols I, II. N. Y., Marcel Dekker, Inc., 1969.— Это двухтомное издание, написанное коллективом авторов; каждый из них пи- писал о проблеме, в которой является специалистом. Этот труд представляет собой один из наиболее исчерпывающих обзоров состояния предмета на 1968 г. Serin В. Superconductivity, Experimental Part.— In: Fliigge S. Handbuch der Physik. Bd 15. Berlin: Springer-Verlag, OHG, 1956. — Обзор экспериментального состояния проблемы на 1956 г. Wallace P. R. (ed.). Superconductivity. Vols I, II. N. Y., Gordon and Breach, Science Publishers, 1969. — Еще один двухтомник, содержащий лекции, прочи- прочитанные в Объединенном институте сверхпроводимости при Макгильском уни- университете в 1968 г. Это не столь исчерпывающий труд, как сборник Паркса. Издание содержит целый ряд опечаток, однако лекции могут быть полезны в качестве учебного пособия. Прикладные вопросы Foner S., Schwartz В. В. (eds). Superconducting Machines and Devices: Large System Applications. Proceedings of a summer school. N. Y., Plenum Press, Ple- Plenum Publishing Corporation, 1974. — Обширное описание работ во многих стра- странах по сверхпроводящим линиям электропередачи, электрическим машинам, транспортным системам и т. д. Gregory W. D., Mathews W. N., Edelsak E. A. (eds.). The Science and Technology of Superconductivity. In 2 vols. Proceedings of a summer school. New York: Plenum Press, Plenum Publishing Corporation, 1973.— Труды летней школы. 306
Newhouse V. L. Applied Superconductivity. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1964. — Хороший обзор, который, к сожалению, написан до периода исполь- использования сверхпроводимости II рода и устройств, основанных на эффекте Джо- зефсона. Ргос. IEEE, Special Issue on «Applications of Superconductivity», January, 1973, vol. 61, N 1. (Имеется русский перевод: ТИИЭР, специальный выпуск применения сверхпроводимости, янв. 1973, т. 61, № 1.) Research Advisory Institute. Device Applications of Cryogenics, 1971; publication A 729697, avalable through the National Technical Information Service, U. S. Dept. of Commerce, Springfield, Va. 27151. — Очень подробный обзор слаботочных устройств, включая устройства, использующие эффект Джозефсона; написан специалистами по этому вопросу. Обзор дополняет упомянутый выше обзор, изданный Фонером и Шварцем. * Бремёр Дж. Сверхпроводящие устройства. М., Мир, 1964. * Foner S., Schwartz В. В. (eds).- Superconductor Applications: SQUID'S and Machines. Proceedings of a summer school. N. Y., Plenum Press, 1977. * Deaver B. S., Jr., e. a. (eds). Future Trends in Superconductive Electronics. AIP Conf. Proc. N 44, N. Y., 1978. * Труды конференций по прикладной сверхпроводимости (Applied Superconduc- Superconductivity Conferences). Конференция 1974 г.: IEEE Trans, on Magn., 1975, vol. 11, p. 90—290. Конференция 1976 г.: IEEE Trans, on Magn., 1977, v. 13, p. 1—897. Конференция 1978 г.: IEEE Trans, on Magn., 1979, v. 15, p. 1—875.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие к русскому изданию 7 Предисловие к английскому изданию 7 Глава 1. Вводный обзор : : 11 1.1. Основные факты 11 1.2. Уравнения Лондонов 13 1.3. Нелокальная электродинамика Пиппарда 16 1.4. Энергетическая щель и теория БКШ 17 1.5. Теория Гинзбурга — Ландау 19 1.6. Сверхпроводники II рода 21 1.7. Фаза, джозефсоновское туннелирование, квантование флуксоида и незатухающие токи — сущность сверхпроводимости ... 23 1.8. Флуктуационные эффекты 24 Глава 2. Теория БКШ 26 2.1. Куперовские пары 26 2.2. Природа притяжения 29 2.3. Основное состояние в теории БКШ 31 2.4. Вариационный метод 35 2.4.1. Определение коэффициентов 36 2.4.2. Нахождение энергии основного состояния 40 2.5. Решение с помощью канонического преобразования .... 41 2.5.1. Энергия возбуждений и энергетическая щель 44 2.6. Конечные температуры ... 45 2.6.1. Определение Тс 45 2.6.2. Температурная зависимость щели 46 2.6.3. Термодинамические величины . 47 2.7. Функция состояния и плотность состояний 49 2.7.1. Плотность состояний 53 2.8. Туннелирование электронов 54 2.8.1. Полупроводниковая модель 56 2.8.2. Туннелирование между нормальными металлами ... 57 2.8.3. Туннелирование между нормальным металлом и сверхпро- сверхпроводником 58 2.8.4. Туннелирование между двумя сверхпроводниками .... 59 2.8.5. Фононная структура 61 2.9. Вероятности прохождения и эффекты когерентности ... 62 . 2.9.1. Затухание ультразвука 65 2.9.2. Ядерная релаксация 67 2.9.3. Поглощение электромагнитных волн 69 2.10. Электродинамика : : : 72 2.10.1. Вычисление К@, Т) или kL (T) 75 2.10.2. Расчет зависимости K(q, 0) 77 2.10.3. Нелокальная электродинамика в координатном пространстве 78 2.10.4. Влияние примесей 79 2.10.5. Комплексная проводимость 81 2.11. Заключение . 83 308
Глава 3. Магнитные свойства сверхпроводников I рода .... 85 3.1. Глубина проникновения 85 3.1.1 Калибровка вектор-потенциала 85 3.1.2. Предварительная оценка А, 87 3.1.3. Точное решение с помощью фурье-анализа 88 3.1.4. Температурная зависимость Я, 93 3.2. Глубина проникновения в тонких пленках 94 3.2.1. Диффузное рассеяние поверхностью 95 3.2.2. Зеркальное рассеяние поверхностью 99 3.3. Измерения X 100 3.4. Сверхпроводники в сильных магнитных нолях: промежуточное состояние . 102 3.4.1. Ненулевой размагничивающий фактор 104 3.4.2. Структура промежуточного состояния в плоскопараллель- плоскопараллельной пластине : : 105 3.4.3. Структура промежуточного состояния шара 111 3.5. Критический ток сверхпроводящего провода 112 Глава 4. Теория Гинзбурга — Ландау 117 4.1. Свободная энергия в теории Гинзбурга — Ландау .... 118 4.2. Дифференциальные уравнения Гинзбурга — Ландау .... 124 4.2.1. Длина когерентности Гинзбурга — Ландау . . . 125 4.3. Вычисление параметра энергии в области границы .... 127 4.4. Критический ток тонкого провода или пленки 130 4.5. Квантование флуксоида и эксперимент Литтла и Паркса . . . 134 4.5.1. Флуксоид 134 4.5.2. Эксперимент Литтла — Паркса 136 4.6. Параллельное критическое поле тонких пленок 138 4.6.1 Относительно толстые пленки 139 4.7. Линеаризованные уравнения Гинзбурга — Ландау .... 141 4.8. Образование зародышей в массивных образцах; поле Яс2 . . • 142 4.9. Образование зародышей у поверхностей; поле Нс3 144 4.10. Образование зародышей в пленках и фольгах 147 4.10.1. Угловая зависимость критического поля тонких пленок . 147 4.10.2. Образование зародышей в пленках промежуточной толщины 149 4.11. Абрикосовские вихри при Нс2 151 Глава 5. Магнитные свойства сверхпроводников II рода . . . . 157 5.1. Поведение в окрестности Нс[: структура изолированного вихря . 157 5.1.1. Приближение больших к 16№ 5.1.2. Энергия вихревой линии 161 5.2. Взаимодействие между вихревыми линиями 162 5.3. Кривые намагничивания . . 164 5.3.1. Малая плотность вихрей 165 5.3.2. Промежуточные плотности потока 166 5.3.3. Окрестность Нс2 169 5.4. Пиннинг, крип и течение потока 171 5.5. Идеальное течение потока ... 176 5.5.1. Модель Бардина — Стефена 177 5.5.2. Возникновение сопротивления провода 181 5.5.3. Экспериментальные исследования течения потока . . . 183 5.5.4. Заключительные замечания о движении потока .... 185 5.6. Модель критического состояния 186 5.7. Термически активированный крип потока 189 5.7.1. Теория Андерсона и Кима для крипа потока 190 5.7.2. Тепловая неустойчивость 196 5.8. Сверхпроводящие магниты для переменных полей . . . . 198 5.8.1. Скачки потока 199 5.8.2. Скрученные композитные проводники 201 309
Глава 6. Эффект Джозефсона и макроскопические квантовые явления 208 6.1. Джозефсоновские соотношения между током и фазой . . . 208 6.2. Воздействие магнитного поля 212 6.3. Сверхпроводящие квантовые интерферометры 217 6.4. Нестационарный эффект Джозефсона 219 6.4.1. Основные уравнения 221 6.4.2. Примеры 223 6.5. Основные соотношения между фазой, числом частиц, энергией и током 225 ¦6.6. Магнитометры на сквидах 228 6.6.1. Типичные значения параметров 228 6.6.2. Двухконтактный сквид постоянного тока 230 6.6.3. Влияние экранирования 231 6.6.4. Использование трансформатора потока 233 6.6.5. Одноконтактный высокочастотный сквид 235 6.6.6. Предел чувствительности 240 6.7. Другие приборы, использующие эффект Джозефсона .... 243 6.7.1. Гальванометр типа «слаг» 243 6.7.2. Джозефсоновские детекторы . . 245 Глава 7. Флуктуационные эффекты 247 7.1. Появление электрического сопротивления в тонкой проволоке . 247 7.2. Сверхпроводимость при температуре выше Тс в системах нулевой размерности 254 7.3. Пространственная зависимость флуктуации 257 7.4. Флуктуационный диамагнетизм при температуре выше Тс . . 260 7.4.1. Диамагнетизм в двумерных системах 265 7.5. Зависимость флуктуации от времени 266 7.6. Флуктуационная проводимость при температуре выше Гс 267 7.6.1."Трехмерный случай 269 7.6.2. Двумерный случай 269 7.6.3. Одномерный случай 271 7.6.4. Аномальные эффекты в проводимости, вызванной флук- туациями 271 7.6.5. Проводимость на высоких частотах 272 Глава 8. Дополнение 274 8.1. Метод Боголюбова: обобщенное самосогласованное поле . . . 274 8.1.1. Грязные сверхпроводники 276 8.1.2. Однородный ток в чистых сверхпроводниках 276 8.1.3. Возбуждения в вихрях 278 8.2. Магнитные возмущения и бесщелевая сверхпроводимость . . 279 8.2.1. Подавление Тс магнитными возмущениями 280 8.2.2. Плотность состояний • 283 8.3. Нестационарная теория Гинзбурга — Ландау 287 8.3.1. Электрон-фононная релаксация 290 Приложение. Единицы и обозначения 293 Список литературы . . . 295
список опечаток Стра- Страница 32 38 12 G2 63 75 82 95 915 97 120 135 138 207 225 227 251 258 260 302 305 306 Строка ,-я сверху формула B.33а) формула B.38) юрмула ^2.856) формула B.87) формула B.109) 1-я сверху "j-я ciicpxv формула C.22) 22-я сверху 7-я снизу 3-я сверху формула D.49) 10-я сверху формула F.41) 5-я снизу 5-я снизу 18-я сверху формула G.37) [35] 19-я снизу 6-я сверху IInilC4.1T.1HO arc sin ь сс:нс "k'"k ± Vk поля (р-»-Ц--)У(Р,У. T)rfP J ~ J Jh-rfS p дфг = -{- 2л и Аф, — — 2я г Bhatnagar Л. (Kyoto) К. Туре III Проблема высокотемператур- высокотемпературной сверхпроводимости. Должно бить arc sh * • "k»k'VkiVk'i wk'"k ^ yk'yk ^]4/ko-U а, (со) проникновения поля l У~ Л JhdS a 1 ^ |z + — | vf I4 H |Фо> /о Дф12^ + 2л и Дф12-= — 2я г Bhatnagar А. К. Туре II Проблема высокотемператур- высокотемпературной сверхпроводимости, М., Наука, 1977. Зак. 5493/S95