СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
В четырех частях
Часть 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Под общей редакцией
А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА
3-Е ИЗДАНИЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
/г===к МОСКВА «НАУКА»
I v/ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
1\ГТ7/1 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ББК 22.1
С23
УДК 51(075.8)
Коллектив авторов:
В. А. БОЛГОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, А. В. ЕФИМОВ,
А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН, Е. Ф. ПОРШНЕВА, А. С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК
Рецензент
кафедра специальных курсов высшей математики Московского энергетического института
Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейиаи алгебра и основы математического анализа: Учеб, пособие для втузов/Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов А. В. и др.. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича -3-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1993.—480 с.—ISBN 5-02-014433-9 (Ч. 1).
Содержит задачи по линейной алгебре и аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению функций одной и нескольких переменных. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
Для студентов высших технических учебных заведений.
1602010000-045
053(02)-93
38-91
ISBN 5-02-014433-9 (Ч. 1)
ISBN 5-02-014338-3
Физмагчит, 1981, 19s<>
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию ............................. 7
Из предисловия ко второму изданию .......................... 7
Из предисловия к первому изданию ........................... 7
Глава 1. Введение в анализ ................................. 9
§ 1.	Действительные числа. Множества. Логическая символика ................................................. 9
I.	Понятие действительного числа (9). 2. Множества и операции над ними (11). 3. Верхние и нижние грани (15). 4. Логическая символика (17).
§ 2.	Функции действительной переменной ............... 19
1.	Понятие функции (19). 2. Элементарные функции и их графики (23).
§ 3.	Предел последовательности действительных чисел ..	26
1.	Понятие последовательности (26). 2. Предел последовательности (27).
§ 4.	Предел функции. Непрерывность .................... 29
1.	Предел функции (29). 2. Бесконечно малые и бесконечно большие (34). 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва (36). 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность (38).
§ 5.	Комплексные числа ................................ 39
1.	Алгебраические операции над комплексными числами (39). 2. Многочлены и алгебраические уравнения (46). 3. Предел последовательности комплексных чисел (48).
Глава 2. Векториаи алгебра и аналитическая геометрия ........ 51
§ 1.	Векторная алгебра ................................. 51
1.	Линейные операции над векторами (51). 2. Базис и координаты вектора (54). 3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие задачи аналитической геометрии (57). 4. Скалярное произведение векторов (60). 5. Векторное произведение векторов (64). 6. Смешанное произведение векторов (67).
§ 2.	Линейные геометрические объекты ................... 68
1.	Прямая на плоскости (68). 2. Плоскость и прямая в пространстве (74).
§ 3	Кривые на плоскости	81
1 Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат (81) 2 Алгебраические кривые второго порядка (83) 3 Уравнение кривой в полярной системе координат (92) 4 Параметрические уравнения кривой (96)	5 Некоторые кривые, встречающиеся
в математике и ее приложениях (98)
§4 П	оверхности и кривые в пространстве	102
1 Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной системе координат (102) 2 Алгебраические поверхности второго порядка (105) 3 Классификация поверхностей по типу преобразований пространства (109)
Глава 3 Определители и матрицы. Системы линейных уравнений	114
§ 1	Определители	114
1 Определители 2-го и 3-го порядков (114) 2 Определители и-го порядка (117) 3 Основные методы вычисления определителей n-го порядка (120)
§ 2	Матрицы	124
1 Операции над матрицами (124) 2 Обратная матрица (127)
§ 3	Пространство арифметических векторов Ранг матрицы	130
1 Арифметические векторы (130) 2 Ранг матрицы (133)
§ 4	Системы линейных уравнений	137
1 Правило Крамера (137) 2 Решение произвольных систем (139) 3 Однородные системы (143) 4 Метод последовательных исключений Жордана—Гаусса (146)
§ 5 Некоторые вычислительные задачи чинейной алгебры	148
1 Операции над матрицами (148) 2 Вычисление определителей (151) 3 Системы линейных уравнений (153)
Глава 4 Элементы линейной алгебры	156
§ 1	Линейные пространства и пространства со скалярным произведением	156
1 Линейное пространство (156) 2 Подпространства и линейные многообразия (163) 3 Пространства со скалярным произведением (164)
§ 2	Линейные операторы	168
I Алгебра линейных операторов (168) 2 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора (175) 3 Линейные операторы в пространствах со скалярным произведением (178) 4 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду (182)
§ 3	Билинейные и квадратичные формы	184
1 Линейные формы (184) 2 Билинейные формы (185) 3 Квадратичные формы (186) 4 Кривые и поверхности второго порядка (190)
Глава 5 Дифференциальное исчисление функций одной переменной	194
§ 1	Производная	194
1 Определение производной Дифференцирование явно заданных функций (194) 2 Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически (202) 3 Производные высших порядков (205) 4 Геометрические и механические приложения производной (209)
§ 2	Дифференциал	212
1 Дифференциал 1-го порядка (212) 2 Дифференциалы высших порядков (216)
§ 3	Теоремы о дифференцируемых функциях Формула Тейлора	217
1 Теоремы о среднем (217) 2 Правило Лопиталя — Бернулли (218) 3 Формула Тейлора (223;
§ 4	Исследование функций и построение графиков	226
1 Возрастание и убывание функции Экстремум (226) 2 Направление выпуклости Точки перегиба (230) 3 Асимптоты (232) 4 Построение графиков функций (233)
§ 5	Векторные и комплексные функции действительной переменной	239
1 Определение вектор-функции действительной переменной (239) 2 Дифференцирование вектор-функции (240) 3 Касательная к пространственной кривой и нор мальная плоскость (242) 4 Дифференциальные характеристики плоских кривых (243) 5 Дифференциальные характеристики пространственных кривых (245) 6 Комплексные функции действительной переменной (250)
§ 6	Численные методы функции одной переменной	252
1 Численное решение уравнений (252) 2 Интерполирование функций (258) 3 Численное дифференцирование (265)
Глава 6 Интегральное исчисление функций одной переменной 269
§ 1	Основные методы вычисления неопределенного интеграла	269
1 Первообразная и неопределенный интеграл (269) 2 Метод замены переменной (272) 3 Метод инти -рирования по частям (277)
§ 2	Интегрирование основных классов элементарных функций	279
1 Интегрирование рациональных дробей (279) 2 Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций (285) 3 Интегрирование некоторых иррациональных функций (290)
§ 3	Смешанные задачи на интегрирование	293
§ 4	Определенный интеграл и методы его вычис-
ления	295
1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы (295) 2 Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона— Лейбница (297) 3 Свойства определенного интеграла (299) 4 Замена переменной
в определенном интеграле (302). 5. Интегрирование по частям (304).
§ 5.	Несобственные интегралы ....................... 305
1.	Интегралы с бесконечными пределами (305).
2.	Интегралы от неограниченных функций (307).
§ 6.	Геометрические приложения определенного интеграла ............................................. 310
1.	Площадь плоской фигуры (310). 2. Длина дуги кривой (315). 3. Площадь поверхности вращения (318).
4.	Объем тела (320).
§ 7.	Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики ............... 323
1.	Моменты и центры масс плоских кривых (323).
2.	Физические задачи (325).
§ 8.	Численное интегрирование функций одной переменной .............................................. 330
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ....................................... 337
§ 1.	Основные понятия .............................. 337
1.	Понятие функции нескольких переменных (337).
2.	Предел и непрерывность функции (339). 3. Частные производные (342). 4. Дифференциал функции и его применение (346).
§ 2.	Дифференцирование сложных и неявных функций ................................................. 350
1.	Сложные функции одной и нескольких независимых переменных (350). 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных (353). 3. Системы неявных и параметрически заданных функций (355).
4. Замена переменных в дифференциальных выражениях (358).
§ 3. Приложения частных производных ................. 363
1. Формула Тейлора (363). 2. Экстремум функции (365). 3. Условный экстремум (367). 4. Наибольшее и наименьшее значения функции (369). 5. Геометрические приложения частных производных (372).
§ 4. Приближенные числа и действия над ними ......... 377
1. Абсолютная и относительная погрешности (377). 2. Действия над приближенными числами (379).
Ответы ........................................ 382
Приложение. Краткое описание языка ФОРТРАН-IV (Терещенко А. М.) ........................... 473
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем третьем издании первой части сборника исправлены замеченные опечатки, уточнены формулировки и ответы ряда задач, добавлено приложение «Краткое описание языка ФОРТРАН-IV».
Авторы искренне признательны всем лицам, приславшим свои замечания, а также сотрудникам кафедры специальных курсов высшей математики МЭИ, полезные указания которых были учтены при окончательном редактировании настоящего издания.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание «Сборника задач» несущественно отличается от первого. Наиболее употребительные разделы сборника расширены за счет включения циклов новых задач. Для удобства пользования задачником ответы на все задачи помещены в конце сборника, а нумерация задач, в отличие от первого издания, дана по главам, так что номер каждой задачи состоит из номера главы и порядкового номера задачи в этой главе.
Указанная работа была выполнена членами авторского коллектива Ефимовым А. В., Каракулиным А. Ф., Коганом С. М. и Поспеловым А. С.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Идея создания «Сборника задач по математике для втузов», содержащего задачи по всем разделам курса математики инженерно-технических специальностей вузов, принадлежит Б. П. Демидовичу. Однако преждевременная смерть профессора Б. П. Демидовича помешала ему осуществить
эту работу. Настоящий «Сборник задач», подготовленный авторским коллективом, имеющим большой педагогический опыт работы во втузах,— воплощение в жизнь идеи Б. П. Демидовича.
Общая структура «Сборника задач» предложена редактором А. В. Ефимовым и отражает содержание программы по математике для инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 510 часов и утвержденной Учебнометодическим управлением по высшему образованию Минвуза СССР 14 мая 1979 г. При составлении «Сборника задач» нашел отражение и опыт преподавания курса математики в Московском институте электронной техники, рассчитанного на 600—700 часов.
В сборник включены задачи и примеры по всем разделам втузовского курса математики. С целью закрепления материала школьной программы в нем, кроме того, приведен ряд задач, позволяющих более углубленно повторить основные разделы анализа и векторной алгебры, изучаемые в школе.
Одной из основных особенностей настоящего сборника является включение в большинство глав цикла расчетных задач, решение которых требует использования ЭВМ.
Предлагаемая первая часть сборника «Линейная алгебра и основы математического анализа» включает те разделы математики, которые, как правило, изучаются на первом курсе. Сюда относятся векторная алгебра с элементами аналитической геометрии, линейная алгебра, а также дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных и интегральное исчисление функций одной переменной.
Каждый раздел сборника задач снабжен кратким введением, содержащим как необходимые теоретические сведения (определения, формулы, теоремы), так и большое число подробно разобранных примеров. Начало решения примеров и задач отмечено знаком о, а конец—знаком о. Указания к решениям выделяются знаком • К задачам, номера которых помечены соответственно одной или двумя звездочками, указания или решения даются в разделе «Ответы».
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика
1. Понятие действительного числа. Из курса математики средней школы известно, что всякое неотрицательное действительное число х представляется бесконечной десятичной дробью
[Фл->
где [х]—наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое целой частью числа х, х„е{0, 1,2, ...,9} для любого пеЫ
При этом дроби, у которых х„ = 9 для всех («0—некоторое натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу следующих равенств:
[х],999.
И+t
[х],х1х2...х„о_1999... = [х],х1х2...(х„_1 +1) (n0> 1, х»^ #>9).
Действительное число х рационально, т. е. представимо в виде т
отношения —, m,neZ, в том и только в том случае, когда дробь п
(1)	периодическая. В противном случае число х иррационально.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа х называется неотрицательное число
если х>0, если х<0
Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса математики средней школы.
1.1.	Доказать, что число
0,1010010001 ...10...01...
иррационально. Выписать по три первых члена из послед о-
вательностей конечных десятичных дробей, приближающих это число с недостатком и с избытком.
1.2.	Следующие числа представить в виде правильных рациональных дробей:
а) 1,(2); б) 3,00(3); в) 0,110(25).
1.3.	Доказать, что число 1g 5 иррационально.
«а Предположим, что 1g 5—рациональное число, т. е.
1g 5 =—; m,neZ.
10" = 5, 10m = 5", 2m-5m = 5".
Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение левой части на простые множители, но не входит в аналогичное разложение для правой части, что противоречит единственности разложения целых чисел на простые множители. Поэтому исходное предположение неверно, и, следовательно, число 1g 5 иррационально. t>
Доказать, что следующие числа иррациональны:
1.4.	у/з. 1.5. ^/р, р — простое число, и>1.
1.6.	2 + ТЗ- 1-7. у/2+у/з.
1.8.	log3p, р—простое число.
1.9.	^+яп, neZ, если известно, что л иррационально.
В задачах 1.10—1.13 сравнить указанные числа.
1.10.	V2-V5 и 7з-2-
Предположим, что верно неравенство
Тогда-	х/2-х/5<Тз-2.	(2)
х/2 + 2<х/5 + ч/3,
6+4х/2<8 + 2л/Г5,
2у/2< 1 + 715,
8< 16 + 2715.
Так как последнее неравенство верно, то в силу обратимости выполненных преобразований верно и исходное неравенство (2). с»
1.11.	log1/2| и log1/3i. 1.12. (|)87и (Тр.
1.13.	logIog32| и 1.
10
Не пользуясь таблицами, доказать следующие числовые неравенства:
1.14.	Iog310+41g3>4. 1.15. —L.+_1_>2.
log2 Л 10g5 Л
1.16.	log426>log6 17.
1.17.	Доказать, что модуль действительного числа обладает следующими свойствами:
а)	|х|=тах{х, —х};
б)	|x-j-| = |x|-|r| и
в)	|x+j'I^M + |j’l и k-^|>||x|-|j||
(неравенства треугольника)',
г)
Решить уравнения:
1.18.	|3х—4| = 1/2. 1.19.	=
1.20.	|-х2 + 2х —3|= 1. 1.21.
1.22.	х/(х-2)2=-х+2.
Решить неравенства:
1.23.	|х-2|>1. 1.24. |х2 —7х+12|>х2 —7х+12.
1.25.	х2+2л/(х + 3)2—10^0. 1.26. у—^щ<4—х.
1.27.	У(х+1)Ч-х-1.
2.	Множества и операции иад ними. Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись аеА означает, что объект а есть элемент множества А (принадлежит множеству А); в противном случае пишут афА. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. Запись Ас В (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В; в этом случае множество А называется подмножеством множества В. Множества А и В называют равными (А = В), если АсВ и ВсА.
Существуют два основных способа задания (описания) множеств.
а)	Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов аг, а2. ..., а„, т. е. записывается в виде
Л = {«1, а2, ...,а„}.
б)	Множество А определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают общим свойством а. В этом случае используется обозначение
Л = {хбГ|а(х)}, где запись а(х) означает, что элемент х обладает свойством а.
Пример 1. Описать перечислением элементов множество ^ = {xeZ|(x-3)(x2-l) = 0 и т>0}.
<1 А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения (х—3)(х2—1) = 0 Следовательно, А = {1, 3}. о
Объединением множеств А и В называется множество
A\J В = {х\хеА или хеВ}.
Пересечением множеств А и В называется множество
ЛПВ={х|хеЛ и хеВ}.
Разностью множеств А и В называется множество
Л\В={х|хеЛ и хфВ}.
Если, в частности, А—подмножество некоторого универсального множества Т, то разность Т\А обозначается символом А и называется дополнением множества А (до множества Т).
1.28.	Установить, какая из двух записей верна:
а)	{1,2}е{1,2, {1,2,3}} или {1, 2} с= {1, 2, {1, 2, 3}};
б)	{1, 2} е {1,2, {1,2}} или {1, 2} <= {1, 2, {1, 2}}.
В задачах 1.29—1.34 указанные множества задать перечислением всех своих элементов.
1.29.	^ = {xeR|x3 —Зх2 + 2х = 0}.
1.30.	Л = {хеН|х+-<2 и х>0}.
1.31.	Л = {хеЫ|х2-Зх-4^0}.
1.32.	Л = {xez|^2*<5}.
1.33.	Л = {хеМ|1оё1/2^<2}.
1.34.	y4 = {xeR|cos22x=l и 0<х^2л}.
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
1.35.	{(х, y)eR2|x+y-2 = 0}.
1.36.	{(х, y)eR2|x2-y2>0}.
1.37.	{(х, y)eR2|(x2 —1)(у + 2) = 0}.
1.38.	{x,y)eR2|y>x/2x+l и 2х+1^0}.
1.39.	{(х, y)eR2|y2>2x+l}.
1.40.	{(х, уjeR2|2x+1 =у2+4 и 2x~4j}.
1.41.	{(х, y)eR2|cos2x = cos2y}.
1.42.	{(х, y)eR2|~>-^, х^О, у^О}.
1.43.	Описать перечислением всех элементов множества ЛЦД А^В, А\В и В\А, если
Л = {хеН|х2 + х — 20 = 0}, B={xeR|x2-x+12 = 0}.
12
Запись т | п, где т, п е Z, означает, что число т есть делитель числа п. Описать следующие множества:
1.44.	{xgN|x|8 и х*1}. 1.45. {xgZ|8|x}.
1.46.	{xeN I x|12}n{xeN | x|8}.
1.47.	{xgN I 12|x}A{xgN | 8|x}.
1.48.	Доказать, что:
а)	равенство A(~}B=B верно в том и только в том случае, когда В с А;
б)	равенство A\JB=B верно в том и только в том случае, когда Ас В.
1.49.	Пусть Л=(—1, 2] и В=[1,4). Найти множества A(JB, А(~)В, А\В, В\А и изобразить их на числовой оси.
Приняв отрезок Т= [0, 1] за универсальное множество, найти и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств:
1.50.	{0, 1}. 1.51. (1/4, 1/2). 1.52. (О, 1/2].
1.53.	{1/4} U [3/4, 1).
1.54.	Доказать, что операция взятия дополнения обладает свойством рефлексивности'.
а также связана с отношением включения <= и операциями U и р| следующими законами двойственности'.
если Ас В, то Ат>В'„
A\JB=A(\B и =
1.55.	Доказать, что операции (J и (] связаны законами дистрибутивности:
Иив)Ас=(лпс)и(вАС), (лрв)ис=(лис)А(вис).
Используя результаты задач 1.54 и 1.55, доказать следующие равенства:
1.56.	л\вп(лив)=л.
Так как Я(J2?=Л QB, то левая часть доказываемого равенства принимает вид
(л\в)п(лпв)=(Л\В)U(ЛПв)=Л.
1.57.	А\В=А(~}В.	1.58. A\B = A(JB.
1.59.	Лр(Л\В) = ЛПВ.
Операции (J и f) естественным образом обобщаются на случай произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.
13
Пусть, например, задано семейство множеств А„, //eN. Объединение множеств этого семейства обозначается символом U А и определяется как множество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит по меньшей мере одному из множеств Ап. Пересечение П Ап определяется как множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Ап.
Для заданных семейств множеств Ап, neN, найти (J Ап псН и П А„.
1.60.	An = {xeZI~п^х^п}.
1.61.	Д,={3и—2, Зи—1}.
1.63.	Пусть А —множество всех точек плоскости, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать (словесно) объединение и пересечение всех таких множеств, если:
а)	треугольники произвольные;
б)	треугольники правильные;
в)	треугольники прямоугольные.
Множество X называется счетным, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества N всех натуральных чисел.
Пример 2. Показать, что множество Z всех целых чисел счетно. -=з Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив множество Z следующим образом:
0, 1, -1, 2, —2, 3, -3, ...,
а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности, о
Доказать, что следующие множества счетны:
1.64.	{neN|« = 2k, keN}.
1.65.	{«eN|« = fc2, keN}.
1.66.	{«eN|« = 2'c, keN}.
1.67.	Доказать, что если множество X счетно и Л<=У—его бесконечное подмножество, то множество А также счетно. Используя этот результат, доказать, что множество
{«eZ|«=k2 —к+1, keN}
счетно.
1.68.	Пусть Xt, Х2, ..., Х„, ...—счетные множества. Доказать, что их объединение (J Х„— счетное множество.
• Пусть Х„ = {х„л, х„л,	x„tl, Тогда элементы множества
и Xi можно записать в виде следующей таблицы;
neN
Для того чтобы доказать счетность множества (J Х„, достаточно теперь занумеровать каким-либо образом все элементы этой таблицы.
Используя результат задачи 1.68, доказать, что следующие множества счетны:
1.69.	Q = |xeR|x = — для некоторых т, и^О из z|—множество всех рациональных чисел.
1.70.	Множество всех точек плоскости с рациональными координатами.
1.71.	Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.
3. Верхние и нижние грани. Пусть X—произвольное непустое множество действительных чисел. Число M=maxX называется наибольшим {максимальным) элементом множества X, если МеХ и для всякого хеX выполняется неравенство х^М. Аналогично определяется понятие наименьшего {минимального) элемента m = minl множества X.
Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х^а для всех хеХ. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X. Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup У. Очевидно, supA'=maxA' тогда и только тогда, когда sup Хе А".
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества Х\ последняя обозначается символом infХ
Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множества [О, 1).
-=а Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для всякого хе [0, 1) найдется у е [0, 1) такое, что у>х. Множество верхних граней для полуинтервала [0, 1) — это множество [1, +оо) с наименьшим элементом, равным 1. Поэтому
sup [0, 1)= 1,
причем 1^[0, 1).
С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого множества [0, 1) существует и равен 0. Множество нижних граней — это множество ( —оо, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, который и является точной нижней гранью полуинтервала [0, 1). Таким образом, min [0, l) = inf[0, 1) = 0. о
1.72.	Доказать, что приведенное выше определение точной верхней грани эквивалентно следующему:
Число М есть точная верхняя грань множества X в том и только в том случае, если:
1)	х^М для всех хеХ;
2)	для всякого е>0 найдется элемент хеХ такой, что Х>М-Е.
1.73.	Пусть А=] 1,	...
[23 п
а)	Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.
б)	Каковы множества верхних и нижних граней для множества А? Найти sup А и inf А'.
Для следующих множеств найти max A, min A, sup А и inf А', если они существуют:
1.74.	A=|xeR|x=l, ием|. 1.75. А=[-1, 1].
1.76.	A={xeZ| -5^х<0}. 1.77. A={xeR|x<0}.
1.78.	A=<xeR|x=—; т, «eN и ш<и>.
[и	J
1.79.	Пусть X—множество всех рациональных чисел, удовлетворяющих условию г2 ^2. Показать, что множество X не имеет наибольшего элемента. Найти sup А.
1.80.	Пусть Ac R - произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество —А={х|— хе А} также ограничено и справедливы равенства
sup(—А)= -inf A, inf( —А)= — sup А.
1.81.	Пусть A, FcR—произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество
X+Y={zeR\z = x+y, xeX,yeY} ограничено сверху и
sup(A+ F) = supA+sup У.
1.82.	Пусть AcR — ограниченное сверху и FcR— ограниченное снизу множества. Доказать, что множество
A— F={zeR|z=x —у, хеХ, ye Y}
16
ограничено сверху и
sup (X— У) = sup X — inf У.
4.	Логическая символика. При записи математических рассуждений целесообразно применять экономную символику, используемую в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и употребительных символов.
Пусть а, Р, ... —некоторые высказывания или утверждения, т. е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать истинно оно или ложно.
Запись а означает «не а», т. е. отрицание утверждения а.
Запись а=>Р означает: «из утверждения а следует утверждение Р» (=>—символ ими чикации).
Запись 0№>р означает: «утверждение а эквивалентно утверждению Р», т. е. из а следует р и из р следует а (-» —символ эквивалентности).
Запись а л р означает «а и р» (л — символ конъюнкции).
Запись avP означает «а или Р» (v—символ дизъюнкции).
Запись
\хеХ а(х)
означает: «для всякого элемента хеХ истинно утверждение а(х)» (V квантор всеобщности).
Запись
ЗхбХ а(х)
означает: «существует элемент хеХ такой, что для него истинно утверждение а(х)» (3—квантор существования).
Если элемент хеХ, для которого истинно утверждение а(х), не только существует, но и единствен, то пишут:
3!хеХ а(х).
Пример 4. Используя логическую символику, записать утверждение: «число М есть точная верхняя грань множества Л».
с Утверждение M=supx означает, что выполнены условия:
а)	\хеХ(х^М) (т. е. М — верхняя грань множества X);
б)	(т. е. М—наименьшая из верхних
граней множества X).
Условие б) может быть записано также в следующей эквивалентной форме (см. задачу 1.72):
Ve>0 ЭхеХ (х>М—е). »
Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать принцип математической индукции.
Пусть а—некоторое утверждение, имеющее смысл для всех neN. Введем множество
Л={ибМ|а(И)},
т. е. множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение а истинно. Тогда принцип математической индукции можно сформулировать следующим образом:
((1 еЛ)л (леЛ=>(л+ 1)еЛ))=>Л = И.	(3)
17
Так как запись а (и) означает, что утверждение а истинно для числа HeN, то утверждение (3) можно записать и иначе:
(а(1)л (а(л)=>а(л+l)))=>VneNa(n). с=>
Пример 6. Записать отрицания высказываний: УхеХа(х) и Зле еХа(х).	____
с Отрицание высказывания УхеА'а(х) имеет вид SxeXa(x) (существует элемент хеХ такой, для которого утверждение а(х) ложно) Иначе говоря, для любого утверждения а истинно следующее высказывание:
Аналогично
VreA'a(x)o3reZ а(х).
3xeA'a(x)oVxeX а(х). о
Пример 7. Используя логические символы, записать утверждение: «функция /:	A"<=R, непрерывна в точке де А», а также
его отрицание.
с Исходное утверждение:
Уе>0 Э6>0 VxeX(|x —д| <8=>|/(х)—/(д)| <е)
(для любого е>0 найдется 8>0 такое, что для любого числа хеХ, удовлетворяющего условию |х—д| <8, выполняется неравенство |/(х)— —Дд)| <е). Отрицание этого утверждения:
Эе>0 У8>0 ЗхеХ(|х-д| <8 л |/(х)-/(д)| >е)
(существует е>0 такое, что для любого 8>0 найдется число хеХ, удовлетворяющее условиям |х—д|<8 и |/(х)—/(д)| >е). о
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить, истинны они или ложны (символами х, у, z, а, Ь, с всюду, где это специально не оговаривается, обозначены действительные числа).
1.83. a) Ух3у(х+у = 3); б) ЗуУх(х+у = 3);
в) 3х,_у(х+у = 3); г) Ух,у(х+у = 3).
1.84.	Зх,у(х>у>0лх+у = 0).
1.85.	Ух,y(x<y)o3z(x<z<y).
1.86.	Ух,у(х2^2у2).
1.87.	Ух(х>хох>1 vx<0).
1.88.	Ух(х>2 лх>3<>2<х^3).
1.89.	Зх(х/х2<х).
1.90.	a) V«, b, c(3x(ax2+bx + c = 0)ob2 — 4ac^0);
б) Уд, Ь, с(Ух(дх2 + Лх + с >О)<*Л2—4дс <0 л д>0)
1.91. а) У63дУх(х2 + дх + 6>0);
б) 36УдЗх(х2+дх + 6 = 0к
в) ЗдУ63х(х2 + дх + 6 = 0).
Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания.
18
1.92. а) Число л0 есть решение уравнения /(х)=0.
б) Число х0 есть единственное решение уравнения /(х) = 0.
в) Уравнение /(х)=0 имеет единственное действительное решение.
1.93. а) Множество ограничено сверху.
б) Число т есть наименьший элемент множества X.
в) Множество X имеет наименьший элемент.
1.94. а) Число weZ является делителем числа z?eZ, или в краткой записи: т\п.
б) Если число neZ делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
в) Число peN простое.
§ 2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. Пусть D — произвольное множество действительных чисел Если каждому числу xeD поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число /(х), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Множество D называется областью определения, а множество
E={y6R|j=/(x), xeD}
—множеством значений числовой функции f. Символически функция записывается в виде /: D^E или y=f(x).
Наиболее распространенным является аналитический способ задания функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления значений функции у=/(г) для каждого из значений аргумента х. В этом случае область определения функции обычно не указывают, понимая под нею то множество значений аргумента х, для которого данная формула имеет смысл (естественная область определения функции).
Пример 1. Найти область определения и множество значений функции /(х) = 1/^/1 —х2.
-=□ Естественной областью определения этой функции является множество £> = {х1|х|<1)=( —1, 1), а множеством значений — множество £={у|у>1}=[1, +«>).
Пусть функция f: D~>E такова, что для любых xt,x2eD из условия	следует	В этом случае всякому
числу уеЕ может быть поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число xeD такое, что f(x)—y; тем самым определена новая функция f~l: E^>D, называемая обратной к заданной функции /.
Пусть заданы функции /: X-+Y и g'. Y-+Z. Их композицией (или сложной функцией, полученной последовательным применением функций fug) называется функция h = gj: X-+Z, определяемая равенством
A(x)=g(/(x)), хеХ
L95. Найти функциональную зависимость радиуса R цилиндра от его высоты Н при данном объеме К=1.
1.99. В равнобедренной
В N	С
1.96.	Написать выражение для объема V конуса как функции его боковой поверхности 5 при данной образующей /=2.
1.97.	Написать выражение для площади S равнобочной трапеции с основаниями о = 2 и 6=1 как функции угла а при основании а.
1.98.	С момента покоя /0 тело движется с постоянным ускорением а. Найти зависимость скорости и пройденного пути от времени движения. Как связаны между собой пройденный путь и скорость в момент времени г?
трапеции ABCD (рис. 1) с основаниями а и b и высотой h проведена прямая MN, перпендикулярная основаниям и отстоящая от вершины А на расстояние ]АМ\ = х. Выразить площадь S' фигуры ABNM как функцию переменной х.
1.100.	В шар радиуса R вписан цилиндр. Написагь функциональную зависимость
объема И цилиндра от его высоты Н. Найти область определения этой функции.
1.101.	В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Написать функциональную зависимость площади боковой поверхности S' конуса:
а)	от его образующей /;
б)	от угла а при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла Р при основании конуса.
Найти области определения каждой из полученных функций. 1.102. Найти /(-1), /(-0,001), /(100), если /(x)=lgx2.
1.103.	Найти Д-2), /(-1), /(0), /(1), /(2), если
1.104.	Найти /(1), /(о), /(о+1), Да— 1), 2/(2о), если
1.105.	Найти/(0), Д-х), Дх+1),/(х) +1, /
, если
Найти естественную область определения D и множество значений Е каждой из следующих функций:
1.106.	j = ln(x + 3).	1.107. j=y5^2^.
20
1.108. y = x/sinx/x.
1.110. j=ln(l —2cosx).
1.112. y=lg(5x—x2—6).
1.114. j=2arccos<1~x)
1 — lx
1.109. j=arccos—
Найти множество G, на которое данная функция отображает множество F:
1.116.	у=х2, Г=[-1, 2].
1.117.	|х|, F={x|l^|x|^2}.
1.118.	у =^, F=(0, 1).
1.119.	у = у/х-х2, F=(0, 1).
1.120.	y = log3x, F=(3, 27).
1.121.	у = sin у, F= [0, 1/2).
Найти множество нулей Do = {х|/(х) = 0}, область положительности D+ = {х|/(х)>0} и область отрицательности D- = {х| /(.¥)<0} для каждой из заданных функций:
1.122.	f(x)=l+x. 1.123. /(х)=2+х-х2.
1.124.	Дх)=sin-. 1.125. /(х)=1-^‘1.
Показать, что функция y=f(x) удовлетворяет ствующему функциональному уравнению:
1.126.	/•(х+2)-2/(х+1)+/(х)=0, f(x) = kx + b.
1.127.	Лх)+Г(х+1)=/(х(х+1)), /(x) = log„x.
1.128.	/(х1)Дх2)=/(х1+х2), f(x) = a\
1.129.	/(x1)+/(x2)=f(^±^), Дх)= lg^|.
соответ-
В задачах 1.130—1.133 определить функцию у=/(х), удовлетворяющую заданному условию.
1.130. /(х+1) = х2-Зх + 2.
< Пусть х+1 = /. Тогда x = t — 1 и х2 —Зх + 2 = Г2 —5г+6. Поэтому
f(t)=f(x+V) = x2-3x + l = t2-5t+6. с»
1.131.	/х+^ = х2+у, х#0.
1.132.	/Л=х + 71+х2, х>0.
1.133.	/(aj +x2) = sinx1cosx2 + cosx1 sinx2.
Функция f(x) называется четной (нечетной), если ее область определения симметрична относительно точки х = 0 и /(—х)=/(х)
Какие из указанных в задачах 1.134—1.139 функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными?
1.134.	f(x)=x4 + 5x2.	1.135. /(х)=х2+х.
1.136.	1.137. /(х) = ^±1.
1.138.	f(x)=sinx-cosx. 1.139./(х)= 1g
1.140.	Доказать, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной—нечетная функция.
Функция f(x) называется периодической, если существует положительное число Т (период функции) такое, что VxeD (,/(л + T)=f(x)).
Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими, и определить их наименьший период Т:
1.141.	/(x) = 5cos7x. 1.142. f(x) = cos2 2х.
1.143.	/(х) = х sin х.	1.144. /'(x) = cosx-|-sin(x/3x).
1.145.	/(х) = sinx2.	1.146. /(x) = tg |-2tg |.
Установить, какие из указанных ниже функций имеют обратные, найти соответствующие обратные функции и их области определения:
1.147.	у=ах + Ь. 1.148. у=(х-1)3. 1.149. y=cos2x.
1.150.	у=1п2х.	1.151. у=22.	1.152. /=—.
1.153.	у=х2 + 1-	1+%
<з Для функции у = х2+1 естественная область определения есть вся числовая прямая D = ( — со, + оо), а множество значений—луч Е= [1, -+ оо). Так как для любого оеЕ уравнение х2 +1 = о имеет два различных решения xl(a) = yfa—\ и х2(а) = — ч/°~ 1, то данная функция не имеет обратной. Однако каждая из функций
>! = х2+1, /Э,=[0. +оо), И у2 = Х2+1, £>2 = (-оо,0], имеет обратную, равную соответственно
Xi(>’)=V/T-1 и х2(у)=-у/у-1. »
Найти обратную функцию и область ее определения, если исходная функция задана на указанном промежутке:
1.154.	у=х2—1: а)хе(—со; -1/2); б) хе [1/2, +оо);
1.155.	y=sinx: а) хе [—эт/2, п/2]; б) хе [я/2, Зл/2].
22
1.156.	у=И Xe(-C°’0]’
I 2x, xe(O, +oo).
1.157.	y=cos2x:
a) xe [0; л/2]; б) хе [л/2; л]; в) хе [л; Зл/2].
Найти композиции fog и g-f следующих функций: 1.158./(х) = х2, g(x)=Ji.
(7° Л')(х) =f(g (х)) =f(-Jx) = (Vx)2 = X (g°/)(x)=g(/(x))=g(x2) = y^2 = |x|. I>
1.159.	/(x)=l-x, g(x) = x2.
1.160.	f(x) = ex, g(x) = lnx.
1.161.	/(x) = sinx, xe [—n, n], g(x) = arcsinx.
1.162.	,6(0,+eo)/W=| _X2,
1.163.	Найти fofof если:
a) 7(x)=—J—; 6)/(x)=-^=. y/l+x2
xe(—co, 0], xe(0, + oo).
2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции называются основными элементарными.
1.	Степенная функция: у=х“, aeR.
2.	Показательная функция: у=ах, а>0,
3.	Логарифмическая функция: y = logax, а>0, атИ.
4.	Тригонометрические функции: y = sinx, y=cosx, y = tgx, y=ctgx.
5.	Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции y=f(x) называется множество
Г={(х, y)eR2|xeZ>, у=/(х)},
где R2—множество всех точек плоскости.
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Оху график функции представляется множеством точек Л/(х, у), координаты которых удовлетворяют соотношению у=/(х) (графическое изображение функции).
При построении графиков часто используются следующие простые геометрические рассуждения. Если Г—график функции >’=/(х), то:
1)	график функции yi=—/(х) есть зеркальное отображение Г относительно оси Ох;
2)	график функции y2=f(—х) - зеркальное отображение Г относительно оси Оу;
3)	график функции y3=f(x—a) — смещение Г вдоль оси Ох на величину а;
23
4)	график функции y^ = b +f(x) — смещение Г вдоль оси Оу на величину Ь;
5)	график функции у5=/(ал), а>0, «+1,—сжатие в а раз (при а>1) или растяжение в 1/а раз (при а<1) Г вдоль оси Ох;
6)	график функции y6 = bf(x), b>0, Ь^\,— растяжение в b раз (при />>1) или сжатие в 1/Л раз (при Ь<\) Г вдоль оси Оу.
В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить ее область определения на несколько непересекаю-
щихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них.
Пример 2. Построить график функции у = |х| + |х2 —1|.
<1 Раскрывая модули, можем запи-
хе(-оо, -1], хе(-1,0], хе(0, 1], хе(1, +оо).
График заданной функции есть объединение графиков (парабол), представляющих эту функцию на каждом из четырех промежутков (рис. 2). t>
Следующие элементарные функции записать в виде композиции основных элементарных функций;
1.164.	/’(х) = |х|.	1.165. f(x) = sin (cos yjx).
1.166.	/(x)=2sin<	1.167./(x)=arcsin(e^).
1.168.	/(x) = sin(2*2). 1.169. /(x)=l/ytg2log3x.
Для каждой из следующих функций найти ее график: 1.170. +=х/1п sinx.
Естественная область определения заданной функции есть множество
щ
Z>={x|sinx= 1} = |^ + 2тг^
Поэтому
r-{(i+2A0)lte4 ~
1.171.	+=x + v/l — |cosecx|. 1.172.	|х2 —1| + 2.
1.173.	y=,/cosx-l+|.
1.174.	j’=l+x/sinx+x/—sinx.
24
Построить графики следующих элементарных функций:
1.175.	у=кх + Ь, если:
а) к=2, Ь = 0; б) к = 0, Ь=-2; в) к=-1, Ь= -1/3.
1.176.	у=у0 + а(х—х0)2, если:
а)	а=1, хо = 0, уо=~1;
б)	о = 2, х0 = 1, Уо = 0;
в)	о= —1/2, х0=—2, у0 = 3/2.
„	к
1.177.	у=уо3--, если:
х-х0
а)	к=\, х0=1, №=-1;
б)	к=—2, х0=-1, №=-1/2.
1.178.	y = asin(fcx+a), если:
а)	а=1, к=2, а=л/3;
б)	о=-2, fc= 1/2, а=—л/3.
1.179.	y = atg(fcx+a), если:
а)	а = 3, к= 1/3, а = л/4;
б)	о= —1/2, к=2, а = Зл/2.
1.180.	y=parcsin(x+9), если:
a) р = 4, q= — l; б)/>=—2/3, 9=1/2.
1.181.	y=/?arctg(x+9), если:
a)p= —3, 9 = 5/2; б)/7=2/5, q= -6.
1.182.	y = akx+b, если:
а) о = 2, к=-1, b=i; б) о=1/2, к=2, Ь=-2.
1.183.	y=loga(kx+b), если:
а) а=10, /с =10, Ь=—1; б) а= 1/10, к=Л/2, Ь = 2.
1.184.	у=|2-х| + |2+л-|. 1.185. у=х2+х-|х|.
1.186.	у=х2-6|х| + 9.	1.187. у=|6х2+х|-1.
1.188.	у=(х2 + 2х)	1.189. у = х-1 -у/(х-1)2.
f 1, х>0,
1.192.	y = sgnx = < 0, х=0, ( -1, х<0.
1.193.	у=[х], где [х] — целая часть х.
1.194.	у={х}, где {х}=х—[х]—дробная часть х.
1.195.	y=2|v’-l.	1.196. у=(1/3)|л+,| + 2.
1.197.	y=log1;2 |х —3|. 1.198. j-=|log2(x+l)|.
1.199.	y=arcsin|
1.200.	у = arccos (cos Зх).
1.201.	y = cosx + |sinx|. 1.202. y=|arctg(x—1)|.
25
1.203. j=xsgn(cosx).
1.205. j=sin2
2
1.204. ,=|ctg(x^)|.
1.206. j =sin( arcsin
На плоскости Oxy изобразить множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям:
1.207.	xj=0.	1.208. |j| = |x2-2|х|-3|.
1.209.	|х| + |у| = 1. 1.210. |x+j| + |x-у|=1.
1.211.	||х|-Ы| = 1.
1.212.	|2p-l| + |2j+l|+~= |х| = 4.
§ 3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. Последовательностью действительных чисел называется функция/: N -» R, определенная на множестве всех натуральных чисел. Число /(л) называется л-м членом последовательности и обозначается символом х„, а формула х„=/(л) называется формулой общего члена последовательности (x„)„6N.
Написать первые пять членов последовательности:
1.213.	хл=1 + (-1)"1. 1.214. х„=и(1-(-!)").
1.215.	х„=|^-|. 1.216. х„ = (—l)"arcsm ^~+пп.
2л —3	2
Написать формулу общего члена последовательности:
В задачах 1.223—1.228 требуется найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности (x„)„eN.
1.223.	х„ = 6и—и2 —5. 1.224. хл = е10"-"2-24.
1.225.	хл=^.	1.226. х„ = 3и2 —10и —14.
9+л	2
1.227.	х„ = 2и+^.	1.228. х„=-^.
26
I.	Предел последов»тельности. Число а называется пределом последовательности	т. е. lim х„ = а, если для любого е>0
существует номер N(e) Такой, что при n>N(s) выполняется неравенство |х„—а|<£. При аом сама последовательность называется сходящейся.
Критерий Коши для того чтобы последовательность (х„)„ен имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовал номер 2V(E) такой, что при n>N(y.) выполняется неравенство |х„ + р—х„|<£ $лч любого реК
Последовательность (х„)„еН называется бесконечно малой, если lim х„=0.
Последовательность (хп)пеН называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечное^), что формально записывается в виде lim х„=со, если для любого числа £>0 существует номер N(E) такой, что при n>N(E) выполняется неравенство |х„|> Е. Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), т0 используем запись
х"~ + 00	(Um х" ~ ~~ а )'
Число а называется Предельной точкой последовательности (х„)„ьМ, если для любого £>0 найдется бесконечное число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию |х„—а|<£.
Принцип Больцдно—Вейерштрасса Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наиме>1ьшая) Из предельных точек последовательности (х„)„ен называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается символом lim х„ ( hm х„).
1.229.	Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания:
а)	последовательность ограничена;
б)	последовательность монотонно возрастает;
в)	число а есть Предел последовательности;
г)	последовательность (x„)„cN бесконечно большая;
д)	число а есть Предельная точка последовательности.
1.230.	Найти a=Jim Хп и определить номер Л(е) такой, что |х„-а|<£ при всех" л>д?(е), если:
а) х„ = 0,33...3, е = 1)001; б)	£ = 0,005;
1—У---‘	п
,	1 . кп
в) x„=-siny, е= 0,001;
г) %„ =
5и2 + 7л2-
е = 0,005.
27
Вычислить пределы:
1.231.	lim —.	1
1.232.	lim
n—- co 7—9и
1.233.	lim — 1.
1.234.	lim
1.235.	lim
(и + 2)3 —(и —2): 95и3 + 39и
1.236.
1.237. lim —1-238. lim (V^+2-ри).
1.245.	lim (1-1+...+(-1)"-1^; n — oo \ э 2 j	5
1.246.	Доказать, что если последовательность (x„)„eN бесконечно малая и V«eN(x„^0), то последовательность (l/x„)„eN бесконечно большая.
Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:
1.247.	х„ = 2'/й.	1.248. хп=п'~1Г.
1.249.	x„ = Hsiny. 1.250. x„ = lg(lg«), п >2.
Найти все предельные точки последовательности:
,	чп 2+(—1)"	т
1 -251-	L252- *-=cos т-
1.253.	x„ = arcsinlll.
1.254.	Доказать:
a)	lim х„+ lim 1Ш1	lim х„+ lim у„;
Л—*СО	п—* ОС	п—*00	и—*00	п—* со
б)	lim х„+ lim lim (x„+j’„)< lim x„+ lim y„.
n—(X>	n—*00	И— co	и—*00	и —* co
28
Для каждой из следующих последовательностей (x„)„eN найти inf{x„}, sup{x„},	и ^Нтх,,:
1.255.	х„=1+^. 1.256.	= cos2
1.257.	х„ = (—1)"(2п+1).
1.258.	x.— sin^, и>2. 1.259. х„=2+(~1)'’--. п —2	3	2 п
1.260.	Доказать, что равенство lim x„ = lim х„ является необходимым и достаточным условием существования предела последовательности (x„)„cN.
§ 4. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D. Число а называют пределом функции y=f(x) в точке х0 и пишут lim f(x) = a, если для любого е>0 существует число 8(в)>0 такое, что для любого xeD из условия 0<|х—х0|<8(в) следует неравенство |/(х)— а|<£.
Критерий Коши. Для того чтобы функция y=f(x) имела предел в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало 8(е)>0 такое, что \f(x')—f(x")\<s, как только |х' —х0|<8(е) и |х"—х0|<8(е).
Говорят, что число а есть предел функции y=f(x) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут lim /(х) = а, если для любого £>0 существует число Л(в)>0 такое, что |/(х) —а|<£, как только |х|>Л(в).
В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:
(1)
lim ^14—— lim()(l + х)1/х=е,
где е = 2,71828...— основание натуральных логарифмов.
Наряду с введенным выше понятием предела функции используют также следующее понятие одностороннего предела. Число а называют пределом функции y=f(x) в точке х(, справа (слева) и пишут xJim^/(x) = a ( lim f(x) = a), если для любого в>0 существует число 8(в)>0 такое, что из условия 0<х—х0<8(х) (—8(в)<х—хо<0) следует |/(х) —а|<£. Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности ( lim f(x) и lim f(x)).
29
В задачах 1.261 —1.263, пользуясь только определением предела функции, доказать, что lim f(x) = a и заполнить следующую таблицу:
£	0,1	0,01	0,001
5(E)			
1.261.	/(х)=х1 2, х0 = 2, а = 4.
1.262.	/(х)= 1/х, х0 = 1, «=1.
1.263.	/(х) = 1g х, х0=1, а=0.
Используя логическую символику, записать следующие
утверждения:
1.264.	lim /(х)=оо.
1.266.	"lim /(х) = 0.
1.268.	"limCO/(x) = 0.
1.270.	"lim /(х)=-оо.
1.265. lim /(х)= —оо.
1.267. lim /(х)=4-оо.
1.269. lim /(х)=2.
1.271. Чт /(х)=оо.
Вычислить пределы следующих рациональных выражений:
1.272. lim
1.274. lim
1.276.
1.278. lim -----т, п е N.
х~. 1 Хв-1
1.273. lim
X— 3 X ~ 3
1.275. Нт /-"/  .
X-V2 Х4+Х2+1
1.277. Пт *2.~2*+1.
х-> 1 Х3-Х
1.279. lim^T<
,	8х3—1	х2 — (а+\)х+а
1.280.	Пт —=------.	1.281. lira ------о-------.
( 6х2-5x4-1	Х-.а	х3 —а3
1.282.	lim f— ----—\ 1.283. lim
х—«>\2х2~1	2х+1 /	х-.оо. х2 —3x4-1
1.284.	,to |J,+ '>‘+<Jtt?^>'' t<J+">‘- "‘N
1.285.	lim f 2*+2 +------—Д
x--i \x2-5x4-4 3(x2 — 3x4-2)/
1	i;™ ( 3x2 (2x-l)(3x2 + x + 2)\
1*2o6« 11П1 I	'	-	I.
X-oo ^2x4-1	4x2	/
30
1.287. Доказать, что если Р„(х) = аохп+ ... +а„, Qm(x) = boxm+ ... + bm, то
Р (х)	[° прИ п<т’
lim —-—-=< ao/bo при п = т, х — со О-Лх) I
' 7 I оо при п>т.
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используются следующие приемы: а) введение новой переменной для получения рационального выражения; б) перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот.
3-J/x
Пример 1. Вычислить lim ---------—.
X —81 9—
с Пусть t=ij~x. Тогда
lim -----2= lim -----=
Пример 2. Вычислить lim {yjх1 + 1 — yjхг — 1}.
-a lim (УхГ+7-х/л'2-7) =
(У^+7-У^7)(У^+7+



14
г—--------------------= 0-
Вычислить пределы:
1.288.	Пт —+‘ . 1.289. Пт
1.290.	lim
1.291.	Пт	х>0
ь — о	h
х—10
1.292.	lim х2^Гх. 1.293. lim
*>i Jx— 1	х->0	х
1.294. lim	-----.
+ “ yjЗх+yfbx+yfbx
1.295.	lim AE+Lj. 1.296. lim m; neN. x-o x	*-iir/x-l
31
1.299. * lim^
1.300. Jim (\Zx+Vx+y/x~^G).
1.301.	lim (^/4x2-7x+4-2x).
1.302.	lim x3'2(y/x3+2-y/'x3-2).
Используя замечательный предел (1), вычислить:
1.303.	Iim 1.304. lim x—*0 X	Х-.П tg3x
1.305.	limxctgnx. 1.306. lim 3arcsin -. x — 0	x — 0 4x
,	..	1—cos2x	cosax—cos Px
1.307.	lim ----z—. 1.308. Inn ------=——, a^B.
Л-. О X2	x —0	x2
1.309.	limb—----ctgx]. 1.310. lim tg — sin
x—oysinx }	x—*a	2a 2
1.311.	lim ———1.312. lim f-—Agx.
x n/4 7t — 4x	x —- n/2 \ 2 J
.	,• sin a"	-
1.313.	lim ----, n, meZ.
a . +o sinma
1.314.	lim
1.315.	lim
(1-cosa)2	l+cos5x
—;----r-y~. 1.316. lim ----------.
Доказать следующие соотношения:
1.317*	*. lim loga(^±^ = logae.
1.318*	. lim ^^ = lna. 1.319*. lim (1+x)°~'=fl. x-.O X	x-> О X
При вычислении пределов вида lim и(хУ(х\ где lim и(х)=
lim г(х) = сс, используется замечательный предел (2).
Пример 3. Вычислить lim (——) .
х-со \2 + xJ
<i Имеем
32
Так как
(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функций). с*
Используя замечательный предел (2), а также результаты задач 1.317—1.319, вычислить пределы:
м (Ж"	-321- (йГ
1.322. lim (cosx)1/x\	1.323. lim (l + tg2^)3'* 1	
х—-0	
1.324. lim x(ln(2 + x)-lnx).	1	/1 +х 1.325.	lim - In /	. х—-ОХ	у] l-x
1.326. lim х(а1/Л—1).	1.327. lim
X—♦ CO	x —* 1 X— 1
1.328. lim	.	ax	bx 1.329. lim 	.
x — a	x —0	X
1.330. lim (cos x)1/sinx.	a n. 1- InCOSX 1.331. hm 	
x—►()	.	. sin X
1.332. lim (cosx+sinx)1/x.	1.333. lim ( —
x —0	x —0\ X 1
1.334. Доказать, что lim f(x) = a в том и только в том	
случае, когда для любой последовательности аргументов (хп)леш сходящейся к х(), соответствующая последовательность (/(xn))„tN значений функции сходится к а.
Используя результат задачи 1.334, доказать, что для следующих функций не существует lim /(х):
Х~*хо
1.335. /(х) = cos х, х0 = со. 1.336. /(х) = sin 1/х, хо = 0.
1.337./(х) = х—[х], х0 = со.
2 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	33
Найти односторонние пределы:
1.338.
1.340.
lim
1.342. lim arctgx.
(.344. lim
. ... Я
1.343. lim [1/x ].
1.345.
x
lim --------.
*2n±O COSX—1
1.	346. Доказать, что предел функции y=f(x) во внутренней точке х() области ее определения существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый. и правый пределы и они совпадают.
2.	Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция а(х) называется бесконечно малой при х-»х0, если lim а(л )=0.
Бесконечно малые а(х) и Р(.г) называются сравнимыми, если к	,.	₽(*)	.. а(х)
существует хотя бы один из пределов hm --------- или lim ------.
Пусть а(х) и Р(х) сравнимые бесконечно малые при х->х0, и пусть, для определенности, существует lim - - - = С. Тогда:
х~’хо Р(х)
а)	Если С#0, то а(х) и Р(х) называют бесконечно малыми одного порядка. В частности, при С=1 бесконечно малые а(х) и Р(л) называют эквивалентными и пишут ct~p.
б)	Если С=0, то a(.v) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем р(х), и пишут а=о(Р). Если при этом существует действительное число г>0 такое, что lim - -
*о (Р(х) ) то а(х) называют бесконечно малой порядка г относительно р(л).
Функция ct(x) называется бесконечно большой при х->х0, если lim a(x)=oo. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их классификация.
1.347. Доказать, что если lim = С#0, то найдется х-х0 р(х)
такое число 8>0 и константы Cj и С2, что
1.348. Доказать, что а~₽ в том и только в том случае, когда a—Р = о(а) или а —р=ц(Р).
34
Определить порядок малости а(х) относительно Р(х)=х, при х->0:
1.349. а(х)=Ь^.	1.350. а(х)=^х1-х/73.
1.351. а(х)=-—1.352. a(x) = tgx—sinx.
1.353.	a(x) = sin(4A+2-x/2).
1.354.	a(x) = 3sin3x—х4.
1.355.	а(х)=У1 +^x-l.
1.356.	а(х)=х/1+2х-1-ч/х.
1.357.	a(x) = 3v'* — 1. 1.358. а(х) = 2* —cosx.
1.359.	Доказать, что а(х) —Р(х) имеет 2-й порядок малости относительно х при х->0, если:
а)	а(х)=1/(1+х), Р(х)=1—х;
б)	а(х)= х/а2 + х, Р(х) = а+^-х (а#0);
2а
в)	а(х) = (1+х)п, Р(х)=1+их (hcN).
Приближенно вычислитьследующие выражения:
1.360. 1/1,03. 1.361. ^/253-
1.362. (1,03)5. 1.363. (0,97)4.
1.364. Доказать, что если «(х^аДх) и Р(х)~РДх) при х->х0, то

Используя результат задачи 1.364, вычислить пределы:
1.365. lim-
с Так как arcsin—- - 
1.366. lim—
и 1п(1—х)~(—х) при х-»0, то
arcsin—	-
1.367. lim
4x2 —1
LM8. |lm _	1.369. Ito ,ГПг‘Д .
-.«““"О-2»)	-»аю1п3,.й,г
35
1.371.	lim
x-*n/4	1—Sm2x
Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относительно В(х)=х при х->оо:
1.372.	А (х) = х3+ 150х+10.
1.373.	Л(х) = хД1+3^+5 + |х|.
1.374.	A(x) = Jx + ^. 1.375. A(x)=3/x2-x+y/i.
1.376.	Л(х)=—;----— . 1.377. Л(х)=^5—.
v ' Зх4 + х3 + 2	' ’ х7/3 + 1
3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Функция y=f(x) с областью определения D называется непрерывной в точке х0, если выполнены следующие три условия:
а)	функция y=f(x) определена в точке х0, т. е. xoeD;
б)	существует hm /(х);
в)	lim /(х)=/(х0).
Если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны следующему:
lim Д/(х0, Дх)=0,
At->0 где
Д/(х0, Дх)=/(х0 + Дх)-/(х0)
—приращение функции y=J(x) в точке х0, соответствующее приращению аргумента Дх = х — х0.
Если в точке х0 нарушено хотя бы одно из условий а) — в), то х0 называется точкой разрыва функции y=f(x). При этом различают следующие случаи:
a)	lim /(х) существует, но функция не определена в точке х0 или "нарушено условие lim /(х)=/(х0). В этом случае х0 называется точкой устранимого разрыва функции.
б)	lim /(х) не существует. Если при этом существуют оба односторонних предела lim /(х) и lim /(х) (очевидно, не v->xo+0	V>Y„-0
равные друг другу), то х0 называется точкой разрыва 1-го рода.
в)	В остальных случаях х0 называется точкой разрыва 2-го рода.
1.378.	Используя логическую символику, записать на языке «е-8» следующие утверждения:
а)	функция y=f(x) с областью определения D непрерывна в точке хое£);
б)	функция у=/(х) не является непрерывной в точке х0 е D.
36
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке их естественной области определения:
1.379.	f(x) = xn, hgN.
Используя формулу бинома Ньютона, получаем
д/(х0, Л.т) = (ло+ Ал)"-л^, = С„1л?Г1Ал ( С,^о 2(Ал)2+... +(Дх)".
Отсюда lim А/(л0, Ал) = 0. с=-
1.380.	/(%)=«, «6R-
1.381.	/(x) = logax; а>0, а=£1.
1.382.	/(x) = sinx. 1.383. /(x) = arcsinx.
Задана функция /(л). При каком выборе параметров, входящих в ее определение, /(х) будет непрерывной?
{х2 + х-2	1
х-1	’ Хф ’
А, х=1.
1.386.
(smx+Z>, х>л/2.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
1.389.	,	neN.	1.390. /(x)=^sinx.
1.391. /(х)= 1-xsini.	1.392. /(х)=3^.
1.393. /(«)=(« l)aretgl.	1.394.
1.395. /(x)=3^rl	1.396./(x) = -ln|±^
3x2 + l	x x
1.397. /(x)=^Z±l.	1.398. /(x) = l^.
( 2х, -l^x<l, 1-399./(x)=^x-l,	l<x^4,
[ 1, x=l.
37
1.400.	/(х)=-т—. 21-х+1
1.401. f(x)=\4—2x, 12х-7,

1<л<2,5, 2,5 < л-<4.
{cos х,	— п/2 < х < п/4,
21’ "2	М Х = ”/4’
х Гб- "/4<х<"
1.403. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
4.	Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность. Функция у=Цх) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке xeD. Она называется равномерно непрерывной на множестве D, если для любого е>0 существует число 8(е)>0 такое, что для любых х', x"eD из неравенства |л'-х"|<о(б) следует |/(x')-/(*")l<6-	, ч
Теорема Кантора. Если функция y=f[x) непрерывна на отрезке [a, £], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
1.404.	Доказать, что если у=/(х)—непрерывная на [а, Ь} функция, то она:
а)	ограничена на [а, Ь];
б)	достигает на [а, Ь] своих верхней и нижней граней (теорема Вейерштрасса);
в)	принимает на любом интервале (o', Ь')с [а, Ь\ все промежуточные значения между /(д') и f{b') (теорема Коши).
1.405.	Доказать, что если функция y=f(x) непрерывна на [а, + со) и существует конечный lim f(x), то эта функция ограничена на [а, +°о).
1.406.	Показать, что функция
х=0,
х*0,
принимает на любом отрезке [0, а] все промежуточные значения между /(0) и /(а), однако не является непрерывной на [0, а].
1.407.	Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет ло меньшей мере один действительный корень.
1.408.	На языке «е-5» сформулировать утверждение: функция y—f(x) непрерывна на множестве D, но не является 38
равномерно непрерывной на этом множестве. В качестве примера рассмотреть следующие функции:
а)/(х)=1/х, £> = (0, 1];
6)/(x) = lgx, £> = (0, 10]; B)/(x) = sin", £> = (0, 1].
1.409.	Доказать, что если функция y=f(x) непрерывна на [а, +оо) и существует конечный lim f(x), то эта функция
равномерно непрерывна на [а, +оо).
1.410.	Показать, что неограниченная функция /(х) = = x+sinx равномерно непрерывна на всей оси — оо<х<+оо.
Следующие функции исследовать на равномерную непрерывность на заданных множествах:
1.411.	/(х)=^, £>=[-!, 1].
1.412.	/(л) =In х, D = (0, 1].
1.413.	/(х)=^, £> = (0, л].
1.414.	/(x) = excos-, £> = (0,1 ].
1.415.	/'(x) = arctgx, £> = R.
1.416.	f (x)=y/x, £>=[0, +oo).
1.417.	/(x) = xsinx, £>=[0. +oo).
§ 5. Комплексные числа
1.	Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексными числами называются всевозможные - упорядоченные пары z=(x, у) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(*i, Ti)+(x2, +i) = (*i+*2’ А+Уг),
(*1, +1 )(х-2, у2) = (х1Х2-У1У2, Х1у2 + х2у1).
О)
(2)
Множество всех комплексных чисел обозначается символом С.
Действительные числа х и у называются действительной и мнимой частями комплексного числа z = (x, у) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно.
Два комплексных числа zt =(xb ух) и z2 = (x2, у2) называются Равными только в том случае, когда xi = x2 и yi = y2.
Из определений (1) и (2) следует, что всякое комплексное число (х, у) может быть записано следующим образом:
(х, у)=(х, 0)+(0, 1)(у, 0).
(3)
39
Если теперь комплексные числа вида (х, 0) отождествить1) с действительными числами х, а число (0, 1) обозначить символом i, то равенство (3) принимает вид
z = x+iy
и называется алгебраической формой комплексного числа z=(x, у).
1.418.	Доказать, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:
a)	Zj+ z2 = z2 + z1 (коммутативность сложения)-,
б)	(zi+z2)+z3==z1+(z2 + z3) (ассоциативность сложения);
в)	z1z2 = z2z1 (коммутативность умножения);
г)	(z1z2)z3 = z1(z2z3) (ассоциативность умножения);
д)	zJ(z2 + z3) = z1z2 + zlz3 (закон дистрибутивности).
1.419.	Доказать, что:
a)	Vzj, z2^0 3z(z2z = zj)
^число z называется частным от деления z3 на z2 и обозначается символом —
б)	если z1=x1 + iyt и z2 = x2 + zy2, то
Z1 = Х!Х2+У1У2	. У1Хг-Х1Уг
?2	Х2+У1	Х2+У2
В задачах 1.420—1.429 выполнить указанные операции, представив результат в алгебраической форме.
1.420.	(1—2г) (2 + /)2 + 5г’.
<1 Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число представить в форме
(1 —2i)(2 + i)2 +5i = x + ij’.
Для этого можно воспользоваться непосредственно формулами (1) и (2), однако этот же результат можно получить проще следующим образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в задаче 1.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, с ними можно обращаться как с биномами вида a + ib, учитывая дополнительно, что г2 = (0, I) (0, 1) = (—1, 0) = = — 1. Поэтому
(2 + i)2=4+4z + i2 = 3 + 4i,
(1—2т’)(2+г)2=(1—2г')(3+4г)=3—2г‘—8г’2= 11—2т’,
’) То есть установить взаимно однозначное соответствие (х, между множествами {(х, 0)|xeR} и R. Из (1) и (2) следует, что это соответствие «сохраняет операции»:
(х„ 0)+(х2, 0)=(х,+х2, О^+х,,
(Х1, 0) (х2,0) = (х1х2, 0)<->х1х2.
40
откуда окончательно получаем
(1 -20(2+ i)2 + 51 = 11 -2г + 5г = 11 +3i. t>
1.421. (2 + 30(3 - 0.	1.422. (1+202.
1.423. (1-03-(1 +03. 1.424. (2г —г'2)2+(1 — Зг’)3.
1.425.
Результат может быть получен непосредственно по формуле из задачи 1.419. Заметим, однако, что (1+0(1—0 = 2 есть действительное число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на 1— i, находим:
2-г (2-0(1-0 1-3,J 3.
1+г (1+0(1-/)	2	2 21'
Найти действительные решения следующих уравнений: 1.430. (1 + 0х+(-2 + 50у= -4+ 17г.
1.431.	12 ((2х+i) (1 + 0+(х+у) (3 - 20) = 17+6г.
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432.	(3 - 0Z1+(4 + 20z2 = l+31.
(4+20Z1-(2 + 30z2 = 7.
1.433.	(2 + 0Z1 + (2-0z2 = 6.
(3 + 20Z1 + (3-20z2 = 8.
1.434.	гг,+г2 = г'.
(i + 1) Z1+(1 - 0 z2 = 1 + i.
Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат Оху, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х, у) с абсциссой х и ординатой у.
При этом говорят, что точка М(х, у) изображает комплексное число 2 = х + гу. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох—действительной осью, а ось Оу—мнимой осью.
Число г = х/х2+у2 называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |г|. Модуль числа г равен расстоянию точки М, изображающей это число, от начала координат.
Всякое решение ф системы уравнений
cos <р = х/у/хг+у2, sin <р = у!у/х2+у2	(4)
называется аргументом комплексного числа г = х + гу#0. Все аргументы числа z различаются на целые кратные 2л и обозначаются единым символом Arg г. Каждое значение аргумента совпадает с величиной гр некоторого угла, на который следует повернуть ось
41
Ох до совпадения с радиус-вектором ОМ точки М (при этом ф>0, если поворот совершается против часовой стрелки, и ф<0 в противном случае). Значение Argz, удовлетворяющее условию 0^Argz<2n, называется главным значением аргумента и обозначается символом argz.
В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение Argz, удовлетворяющее условию — ncArgzsgK.
Из соотношений (4) следует, что для всякого комплексного числа z справедливо равенство
z= | z | (cos ф-H'sin ф), называемое тригонометрической формой числа z.
Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число z= — 2+2/73.
<1 Имеем
|z|=V(-2)2+(2v/3)2=4, cos9=-1/2. ыпф=Тз/2,
поэтому главное значение аргумента равно argz=2n/3 и, следователь-/ 2л . . 2л\
но, z=4( cos — + <sm — I. о
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.435. — i 1.436. 1-iJb. \АЗП.
v	2	2
1.438.	-—1~. 1.439*. — cos-+Zsin-. 1+Z	7	7
- .	. Л	П * л *	Л..71
1.440.	sm-4-zcos-. 1.441. 1+cos-+fsin-.
Комплексное число x—iy называется сопряженным комплексному числу z=x + iy и обозначается символом z.
Доказать следующие равенства:
1.442.	z + z = 2Rez и z — z=2ilmz.
1.443.	(z) = z. 1.444. |z| = |z|. 1.445. z1+z2=z1+z2.
1.446.	z1z2 = z1 -z2 и J = ~- 1-447. zz=|z|2.
1.448.	Вычислить:
a)	z,z2 и , если Zt = 1—	z2=x/3+i,
6)	ztz2 и —, если Z! = 3 + 2Z, z2 = 2 + 2i.
1.449.	Пусть p(z)— произвольный многочлен с действительными коэффициентами. Доказать, что для любого zeC верно равенство p(z)=p(z).
42
Решить следующие уравнения:
1.450.	|z| — z=l+2i. 1.451. |z|+z=2 + i.
1.452.	Доказать равенства и выяснить их геометрический смысл:
a)	lzlz2l = lz1l-[z2l,
б)	Argz1+Argz2 = Arg(z1z2), Argz1-Argz2 = Arg^^ (равенства б) понимаются в смысле равенства множеств—см. с. П).
Выяснить геометрический смысл следующих преобразований комплексной плоскости:
1.453.	z-*z—2. 1.454. z->z+(3 — i). 1.455. z->iz.
1.456.	z-^(l-/)z. 1.457. z->-z. 1.458. z-»2z.
1.459.	z->^-_. 1.460. z —> z.
1.461.	Доказать, что:
а)	величина |zj— z2| равна расстоянию на комплексной плоскости между точками и М2, изображающими комплексные числа Zj и z2;
б)	IZj+Zzl^lzJ + IZzI И |Z!-Z2|>| |Z1| —|z2| | (неравенства треугольника). Каков геометрический смысл этих неравенств?
1.462.	Доказать тождества:
a) |zi+z2|2 + |z1-z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) (каков его геометрический смысл?);
б)* |zi| 4* |z21 = |	4-^/z^z^ 14-1	^/z^z^ |.
В задачах 1.463—1.473 дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:
1.463.	Rez>0. 1.464. O«clmz<l. 1.465. |Imz|<2.
1.466.	|z|<l. 1.467. |z+i| = 2.
1.468.	l<|z + 2K 2.	1.469. |z|>l-Rez.
1.470.	|z-Z| = |z+2|. 1.471. 0<argz«Crc/4.
1.472.	|л—argz|<Tt/4. 1.473. z=z.
1.474.	Пусть z^ —1. Доказать, что Re ^-|=0o|z| = 1.
Пусть <p— произвольное действительное число. Символом e'v обозначается коплексное число cos <р + i sin <р. С помощью этого
43
обозначения всякое комплексное число z = \z\ (cos<p + isin<p) может быть записано в показательной форме
г=|2|е,ф.
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.475.	1.476. 5-12/. 1.477. -3 - 4/.
1.478.	— 2 + /. 1.479. sin a — /cos а.
1.480.	sina + /(l — cosa).
1.481.	Доказать, что символ е'*'’ обладает следующими свойствами:
а) e‘2’I"=l (VmgZ); б)
в) е‘9, .е«Р2=е<(9,+92) и f_l = e<(91-9z)
е'Фа
1.482.	Данные числа zt и z2 представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
г г
а)	ZjZ2, —, если z1=2x/3—2/, z2 = 3 —3^/3/;
22
б)	z2z2, —, если Zj = — ^/2 +/^/2, z2 = yj^— iy/&.
1.483.	Доказать формулы Эйлера
е'ф | е |ф .	e'v_e-‘4
costp=-------, sin<p = ------.
1.484.	Доказать формулу Муавра: если z=re‘9, то zn = rnein<?
или, в тригонометрической форме,
z" = г" (cos п Ф + i sin и ф).
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485.	(1 + /)10. 1.486.
(< ,	/Т\2°
. 1.488. (1+/)8(1-/^3)"6.
1.489.	Доказать равенства:
а)	(1 4- /)" = 2П/2 ^cos	/ sin
б)	(x/3-0" = 2"^coSy-/sin^.
44
1.490.	Используя формулы Эйлера; выразить через косинусы и синусы кратных дуг функции:
a) cos3<p; б) sin3(p.
Используя формулу Муавра, выразить через coscp и sincp следующие функции:
1.491.	cos3<p. 1.492. sin3<p.
1.493.	cos4<p. 1.494. sin4<p.
Пусть o = re‘”, п + 0,— фиксированное комплексное число. Тогда уравнение z"=a, neN, имеет в точности п различных решений Zo, z1;z„-i, причем эти решения даются формулой
г №+-*)	ф+2л/с . <р + 2л/с\
zk=!/r е X" » ,=Z/r I cos--Н sin------I,
\	«	«7
к=0, 1,.. ,и-1
(здесь	— действительное положительное число). Числа zt,
к=0, 1, —, и — 1, называются корнями п-й степени из комплексного числа а и обозначаются символом (/а.
Пример 2. Найти все корни 3-й степени из числа а =— 2+21^/э.
^	/ 2л 2лХ
«а Так как а = 4е' з =4 1 cos —+ i sin — 1, то
(Ук=Ус‘(зг+тЬ)=У (cos (y+ у A:) +
/2л 2л XX
+ i sin I y+ у к 11, где k=0, 1, 2.
При fc=0: (У)0=У (cos y + isin
При k=l: (Уп)1 = 3/41 cosy+/sin у I.
При fc=2: (’/^)2=’/4^cosy+ismyj. t>
1.495.	Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Найти все значения корней:
1.496.	1.497. У^Т. 1.498. УЛ.
1.499.	У-1+1 У. 1.500. У У+2Z.
1.501.	У-1-Z.
1.502.	У+1’У.	1.503. У2-21)4.
45
1.504.	Доказать, что квадратные корни из комплексного числа могут быть найдены по формуле
Использование показательной формы комплексных чисел во многих случаях значительно упрощает вычисления.
Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:
5(ф) = 8т<р + 81п2<р+... +sinn<p, <р^2лт, meZ.
с Так как sin ф = 1т <?'ф, то, используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
5(ф) = 1те'ф + 1те‘2ф+ ... +1те‘"ф = 1т(е'ф + е‘2ф+ ... +е‘"ф) =
= 1т
= 1т
. «Ф sin —
sin — sin ф
=-----1те'“ф=--------------.

sin —
Привести к виду, удобному для логарифмирования: 1.505. cos<p + cos2<p + cos3<p+ ... +cos«<p.
1.506.	cos <p + cos 3<p + cos 5<р + ... + cos (2л — 1)<р.
1.507.	sin<p + sin3<p + sin5<p+ ... + sin(2« — 1)<р.
2.	Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (полиномом или целой рациональной функцией) п-й степени называется функция вида
p„(z) = o„z" + o„-1z"”1+ ... +0^ + 00,	(5)
где zeC, а0, а1,...,а„ — коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем а„^0, neN. Уравнение
a„z”+a„~iz”^1 + ... +a1z+ao = 0, а„*0,	(6)
называется алгебраическим уравнением п-й степени. Число z0, для которого p„(zo) = 0, называется корнем многочлена (5) или уравнения (6).
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).
Число z0 является корнем многочлена р„ (z) в том и только в том случае, когда p„(z) делится без остатка на бином z—z0, т е.
p„(z)=(z-z0)</„.1(z),
где q„-l(z) — многочлен (и—1)-й степени. Если p„(z) делится без остатка на (z—z0)k, k^ 1, но не делится на (z—z0)k, то z0 называется корнем кратности к многочлена p„(z); при этом
p„(z)=(z-z0)k q„_k(z),
cps q„_k(zo)*0.
46
Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: многочлен п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Если коэффициенты многочлена (5)—действительные числа и zo = Ao + <To — его комплексный корень, то сопряженное число 20 = х0 — iyo—также корень этого многочлена, причем корни 20 и z0 имеют одинаковую кратность (см. задачу 1.449).
Пусть многочлен p„(z) имеет корни zt, z2, ...,zm (т^п) кратностей соответственно к1г к2,...,кт (kt+k2+ ... +кт — п). Тогда его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тождество
/>„(z) = a„(z-z1)‘'(z-z2)^...(z-zm)\
Если при этом коэффициенты многочлена—действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряженным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Пример 4. Найти корни многочлена z6 + 2z3+l и разложить его на множители
«а Так как z6 + 2z3 +1 = (z3 +1)2, то корнями этого многочлена являются корни 3-й степени из — 1:
Л	. л 1	х/3
z2 = cos - + ism - = - + / 2 ’ л	. л 1 у/З
z3 = cos --/sin - = --/
При этом каждый корень имеет кратность к=2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид
Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим разложение на множители с действительными коэффициентами
z6 + 2z3+l=(z+l)2(z2-z+l)2. i>
Решить квадратные уравнения:
1.508.	z2 + 2z+5 = 0. 1.509. 4z2-2z+l=0.
1.510.	z2 + (5-2/)z+5(l-0 = 0.
1.511.	z2 + (2z-3)z+5-i=0.
Решить двучленные уравнения:
1.512.	z3 —1=0.	1.513. z3+l=0.
1.514.	(z+1)4-16 = 0. 1.515. (z+1)4+16 = 0.
Решить биквадратные уравнения:
1.516.	z4+18z2 + 81=0. 1.517. z4 + 4z2 + 3 = 0.
1.518.	z4+9z2 + 20 = 0.
1.519.	z4-(l+z)z2 + 2(l+z) = 0.
Решить трехчленные уравнения:
1.520.	z6 + 4z3 + 3 = 0. 1.521. z8 + 15z4-16=0.
47
1.522*	. Показать, что все корни уравнения
\ 1-ix	'
действительны и различны.
Следующие многочлены разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
1.523.	z4-l. 1.524. z4+l. 1.525. z4 + z2 + l.
1.526.	z4 4- 4z 3 +11 z 2 4-14z + 10; известен один корень
1.527.	z5 + z4+z3— z2—z— 1; известен двукратный корень
1.528.	z4+6z3 + 9z2 + 100; известен корень z1 = l+2z.
3.	Предел последовательности комплексных чисел. Число а называют пределом последовательности комплексных чисел (z„)neN и пишут lim z„ = a, если для любого е>0 существует номер N(e) такой, что
при л>Л'(г:) выполняется неравенство |z„ —а|<е.
Последовательность (z„)„bN называют сходящейся к бесконечности и пишут lim z„=oc, если для любого £’>0 существует номер N (Е)
такой, что при n>N(E) выполняется неравенство |z„|>£.
1.529.	Пусть x„ = Rez„ и y„ = Imz„. Доказать, что lim z„ = = а^со тогда и только тогда, когда lim x„ = Rea и lim y„ = Ima.
1.530.	Пусть lim z„ = a^oo и lim w„ = b^oo. Доказать, что:
a) lim (zn + w„) = a + b; 6) lim z„w„ = ab.
1.531.	Пусть lim z„ = a^cc и lim w„ = b^0. Доказать, что lim Z-=-.
Вычислить
1.532. lim
1.534. lim
пределы:
LS33.
1—zn lim ---
1.536. lim
lim (3+7.V.)
Л—»co (2 —/)и2+1
1.538. lim (2z)".
1.539.
1 - " lim -e1"4
48
1.540.	lim ( ----+ ... ч—— |.
„-co \5i 25	(5i)7
1.541.	lim f l-k.
“ *=03‘
1.542.	lim | n sin-+i | 1 +- ) ).
Л— CO у п у nJ J
1.543.	nlim
1.544.	lim (1+^Y.
л—»oo \	П )
Доказать, что следующие последовательности ограничены, но расходятся:
1.545.	zn = in. 1.546. z„ = (-l)" + i|^.
1.547.	z„ = ^l+0e'T 1.548. z„=l (z" + (-l)")-
Показать, что следующие последовательности неограни-чены, но не сходятся к бесконечности:
1.549.	?„=«(!+/")- 1-550. zn=(e^-i)\nn.
1.551.	Пусть r„ = |z„| и <p„ = argz„. Доказать, что lim zn = a (0<|а|<со) тогда и только тогда, когда lim г„ = |а| и lim (p„ = arga (при надлежащем выборе области главных значений аргументов).
Результат задачи 1.551 часто используется при вычислении пределов комплексных последовательностей.
Пример 5. Пусть <р—действительное число (фт^О). Доказать,
/	|ф\"
lim( Н----I =со5ф + /8Ш<р = е,ф.
•о Рассмотрим две действительные последовательности:
49
Вычислим их пределы:
Отсюда получаем
1пп_ +—^ = * ’(cos<Р +«sin ф) = <?‘ф. t>
1.552.	Пусть z = x+iy. Доказать (см. пример 5), что lim ^1+-) = ex(cosy+isiny)=ex+ly=ez.
Доказать сходимость следующих последовательностей и найти их пределы:
1.553.	zn=zn, |z|<l. 1.554. z„=«z", |z|< 1.
1.555.	z„ = l+z+...+z", |z|<l.
1.556.	^=^, |z|>l.
1.557.	Вычислить lim +Z» + -+Z1, если |Z1|<1 и |z,|<l.
И-.00 I+Z2 + —+Z2
1.558.	Пусть lim z„=a^oo. Доказать, что
lim Z1+Zz—' + -" = a. n-»co	и
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Векторная алгебра
1. Линейные операции иад векторами. Вектором (геометрическим вектором) а называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а (получен приложением вектора а к точке А). Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |е| = |ЛВ|. Вектор нулевой длины называется ну /евым вектором и обозначается символом 0.
Векторы а и b называются равными (а=Ь), если множества представляющих их направленных отрезков совпадают.
В ряде задач часто бывает удобно не различать вектор и какой-либо представляющий его направленный отрезок. Именно в этом смысле, например, следует понимать выражение «построить вектор».	__
Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор Ь. получим некоторый направленный отрезок ВС Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и b и обозначается а + Ь (рис. 3).
Произведением вектора а на действительное число >. называется вектор, обозначаемый Ха, такой, что:
1)	|Хе| = |Х|-|е|;
2)	векторы а и Ха сонаправлены при Х>0 и противоположно направлены при Х<0.
2.1.	Доказать, что операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
а)	а+0=а ;
б)	а1+а2 = а2 + а1 (коммутативность);
в)	«j +(e24-e3)=(ei4-e2)+e3 (ассоциативность);
г)	У«Э!Й(«+Й = О)
(вектор й называется вектором, противоположным вектору в, и обозначается символом —а);
Д) Va1,a23!a3 (а,+а3 = а2)
(вектор а3 называется разностью векторов а2 и «1 и обозначается символом «2 —«1)-
2.2.	Доказать равенства:
а)	—л=(—1)«;
б)	а2-а1=а2+(-а1);
в)	где а0 — орт вектора а, т. е. вектор единичной
длины, сонаправленный с вектором «(«#0).
2.3.	В параллелепипеде АВСРА'В’С’Р' векторы т, п, р представлены ребрами АВ, АР, АА' соответственно. Построить векторы:
а) т+п+р; б) 1/2т+ 112п— р; ь)—т—п+112р.
2.4.	Даны векторы а1 и а2. Построить векторы 3at, 1/2а2, <h+2a2, 1/2ау-а2.
2.5.	Доказать, что:
а)	операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
0« = ХО = 0, (X1X2)fl = X1(X2fl);
б)	операции сложения векторов и умножения их на числа связаны следующими двумя свойствами дистрибутивности:
Х.(я1+я2) = ^«1 + Х.«2 и (X.1 + X.2)fl = X.1fl+X.2fl.
2.6.	Доказать равенства:
a)	a+ll2(b — я|=1/2(яЧ-М;
б)	а— 1/2\а+Ь)=1/2(а—Ь).
Каков их геометрический смысл?
2.7.	АР, BE и CF—медианы треугольника АВС. Доказать равенство АР + BE + CF= 0.
2.8.	АК и ВМ—медианы треугольника АВС. Выразить через р = АК и q = BM векторы АВ, ВС и С А.
2.9.	В параллелограмме АВСР обозначены: АВ~а, АР = Ь. Выразить через а и b векторы МА, МВ, МС и МР, где М—точка пересечения диагоналей параллелограмма.
2.10.	В треугольнике АВС АМ=аАВ и CN=$CM. Полагая АВ —а и АС=Ь, выразить AN и BN через векторы а и Ь.
2.11.	ABCPEF— правильный шестиугольник, причем АВ=р, BC=q. Выразить через р и q векторы СО, РЕ, EF, FA, АС, АР и АЕ.
2.12.	М—точка пересечения медиан треугольника АВС, О—произвольная точка пространства. Доказать равенство ОМ=1/3 (ОА + ОВ+ ОС).
2.13.	В пространстве заданы треугольники АВС и А'В'С: М и М' — точки пересечения их медиан. Выразить вектор ММ' через векторы АА', ВВ' и СС.
52
2.14.	Точки Е и F—середины сторон [+£>] и [ВС] четырехугольника ABCD. Доказать, что EF='/2(АВ+ DC). Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.
2.15.	В трапеции ABCD отношение длины основания [ЛО]^ к длине основания [ВС] равно X. Полагая АС=а и BD = b, выразить через а и b векторы АВ, ВС, СР и DA.
2.16.	В треугольнике АВС АМ=аАВ и AN=$AC. __________
а)	При каком соотношении между а и 0 векторы MN и ВС коллинеарны.
б)	Пусть а и 0 таковы, что векторы MN и ВС неколлинеарны. Полагая ВС=р и MN=q, выразить векторы АВ и АС через р и q.
Система векторов а1,...,а„ называется линейно зависимой, если существуют числа . ,Х.„ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и Х1я1 + ... + к„я„=0. В противном случае система называется линейно независимой.
2.17.	Доказать следующие геометрические критерии линейной зависимости:
а)	система {щ, я2] линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы ау и я2 коллинеарны, т. е. их направления совпадают или противоположны;
б)	система {я,, я2, я3] линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы я15 я2 и я3 компланарны, т. е. параллельны некоторой плоскости;
в)	всякая система из п ^4 векторов линейно зависима.
2.18.	На стороне [+D] параллелограмма ABCD отложен вектор АК длины lAKI^/sfADI, а на диагонали [+С]— вектор AL длины |Л£| = 1/6|+С|. Доказать, что векторы KL и LB коллинеарны и найти X такое, что KL = 'K - ЕВ.
2.19.	Разложить вектор s = a + b+c по трем некомпланарным векторам: р = а + Ь—2с, q=a — b, r = 2b+3c.
2.20.	Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: p = a+b, q=b—c, r=a—b+c, s = b+1l2c.
2.21.	Даны четыре вектора я, b, с, d. Вычислить их сумму, если известно, что я+6+с = а</, 6+с+</=0яи векторы а, Ь, с некомпланарны.
2.22.	Доказать, что для любых заданных векторов я, Ь и с векторы а + b, b+с и с —я компланарны.
2.23.	Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать, что векторы а+26—с, За—b+с, —а+5Ь—Зс компланарны.
53
2.24.	Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить значения X, при которых векторы Ха+Ь+с, а+ХЬ+с, a+b+Хс компланарны.
2.25.	Даны три некомпланарных вектора а, b я с. Вычислить значения X и ц, при которых векторы Ха+рЛ+с и a+Xb+рс коллинеарны.
2.	Базис и координаты вектора. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов еь е2, е3 называется базисом в множестве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть единственным образом представлен в виде
a = Xie1 + X2e2 + X3e3;	(1)
числа %i, Х2, Х3 называются координатами вектора а в базисе S3=(ei, е2, е3). Запись (1) называют также разложением вектора а по базису &.
Аналогично, упорядоченная пара е2, е2 неколлинеарных векторов называется базисом S3=(ei, е2) в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис ®=(е) в множестве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому . направлению.
Если вектор а есть линейная комбинация векторов л1,...,лп с коэффициентами Хь ...,Х„, т. е.
а= X Xi«k,
то каждая координата Х;(л) вектора а равна сумме произведений коэффициентов Хь ...,Х„ на одноименные координаты векторов Я1,...,я„:
У,(в)=£хЛДвк), 1=1, 2,3.
Базис S=(ei, е2, е3) называется прямоугольным, если векторы е2, е2 и е3 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения
ei=i, e2=j, e3=k.	(2)
Проекцией вектора я на вектор е называется число пр„я = |я|со5<р, где <р = (<це)— угол между векторами а и е (0 sg <р ?£ п).
Координаты X, Y, Z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты i, J, к соответственно, а длина вектора я равна
\a\ = jX2+Y2 + Z2.	(3)
Числа
cos а—cos (a, i)=  —
JX2+Y2+Z2
54
COS P=COS («3)=—===, 7a'2+y2+z2
cos у=cos (ak)=— — -
x/X2+Y2+Z2
называются направляющими косинусами вектора а.
Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (проекциями) его орта а0 =—а.
1«1
2.26.	Задан тетраэдр О АВС. В базисе из ребер О А, О В и ОС найти координаты:
а)	вектора РЕ, где D и Е—середины ребер О А и ВС;
б)	вектора OF, где F—точка пересечения медиан основания АВС.
2.27.	В тетраэдре О АВС медиана [Л£] грани АВС делится точкой М в отношении ]AM]:]ML] = 3:7. Найти координаты вектора ОМ в базисе из ребер ОА, ОВ, ОС.
2.28.	Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов ОА, ОВ и ОС найти координаты:
а)	вектора ОМ, где М—точка пересечения диагоналей параллелограмма;
б)	вектора ОК, где К—середина стороны [Л£>].
2.29.	В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: |АВ}/}С£)|=Х. Найти координаты вектора СВ в базисе из векторов АВ и AD.
2.30.	В треугольнике ABC АМ=аАВ, AN=РАС (а, 0#О, 1;а0#1), О—точка пересечения (СМ) и (BN). В базисе из векторов ОМ и ON найти координаты:
а)** вектора АО',
б) векторов АВ, ВС и СА. _______ ____ ____ ___ _____
2.31.	В треугольнике АВС АК=аАВ, ВМ=РВС, CF=yCA. Пусть Р, Q и R—точки пересечения прямых (BF) и (СЛ), (СЛ) и (AM), (AM) и (BF) соответственно. В базисе из векторов АВ и АС найти координаты векторов АР, BQ и CR.
2.32.	Дан правильный пятиугольник ABCDE. В базисе из векторов АВ и АЕ найти координаты:
а)	векторов АС и AD.
б)	векторов ВС, CD и DE.
55
2.33.	Дан треугольник ABC, AM=2I3AB, AN=3/2AC Прямая (MN) пересекает (ВС) в точке К.
___а) Найти координаты вектора АК в базисе из векторов АВ и АС.	_ ____ ________ ____
б) Доказать, что векторы p = AB+KN, q=BC+NM и г=СА + МК коллинеарны и определить коэффициент у в равенстве p = yq.
2.34.	В тетраэдре ABCD [ZW] — медиана грани BCD и Q—центр масс этой грани. Найти координаты векторов DM и AQ в базисе АВ, АС и AD.
В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы представлены своими координатами в некотором прямоугольном базисе. Запись а(Х, Y, Z) означает, что координаты вектора а равны X, Y и Z, т. е. a=Xi+Yj+Zk.
2.35.	Заданы векторы вД—1, 2, 0), я2(3, 1, 1), я3(2, 0, 1) и « = «!—2я2+1/зЯз- Вычислить:
а)	|«т | и координаты орта я1>0 вектора я^
б)	cos (яi,J);
в)	координату X вектора я;
г)	пр,я.
2.36.	Заданы векторы е( — 1, 1, 1/2) и я(2, —2, —1). Убедиться, что они коллинеарны, и найти разложение вектора а по базису 93 = (<?).
2.37.	На плоскости заданы векторы et(—1,2), е2(2, 1) и я (0, —2). Убедиться, что 93=(еь е2)— базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора а по базису 93.
2.38.	Показать, что тройка векторов (1, 0, 0), <?2(1, 1, 0) и е3(1, 1, 1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора я= — 2г—к в базисе ® = (₽i, е2, <?3) и написать соответствующее разложение по базису.
2.39.	Заданы векторы я = 2г + 3/, b=—3j—2k, c = i+j—k. Найти:
а)	координаты орта я0;
б)	координаты вектора я— 1/2Ь+с;
в)	разложение вектора а+Ь—2с по базису 93=(г,/, к);
г)	пр, (я — Ь).
2.40.	Найти координаты орта я0, если я (6, 7, — 6).
2.41.	Найти Z(a), если 2Г(я) = 3, У(я)=—9 и |я| = 12.
2.42.	Найти длину и направляющие косинусы вектора р = За-5Ь+с, если я=4/+7>+ЗА, b=i+2j+k, c = 2i-3j-k.
56
2.43.	Найти вектор х, коллинеарный вектору a = i— 2j— 2к, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |х| = 15.
2.44.	Найти вектор х, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если |х|=2х/3.
2.45.	Найти вектор х, образующий с ортом j угол 60 , с ортом к—угол 120°, если |х| = 5х/2.
2.46.	При каких значениях а и 0 векторы я=-2< + 3/ + аЛ и b—fii—6j+2k коллинеарны?
2.47*	. Найти вектор х, направленный по биссектрисе угла между векторами a = 7i—4j — 4k и b=-2i—j+2k, если |х| = 5Тб.
2.48.	Заданы векторы: я(1, 5, 3), 6(6, -4,-2), с(0, -5, 7) и </( — 20, 27, —35). Требуется подобрать числа а, 0 и у так, чтобы векторы оса, 06, ус и d образовывали замкнутую ломаную линию, если «начало» каждого последующего вектора совместить с «концом» предыдущего.
2.49.	В тетраэдре ОАВС плоские углы трехгранного угла с вершиной О — прямые. Точка Н—основание перпендикуляра, проведенного из вершины О к плоскости грани АВС. Найти координаты вектора ОН в базисе из векторов О А, О В и ОС, если 1ОА{ = а, \ОВ\ = Ь, |ОС| = с.
3. Декартовы прямоу, ольные координаты точки. Простейшие задачи аналитической геометрии. Говорят, что в трехмерном пространстве введена декартова прямоугольная система координат (О, если заданы.
1) некоторая точка О, называемая началом координат',
2) некоторый прямоугольный базис S3 = (<,/, 6) в множестве всех геометрических векторов.
Оси Ох, Оу и Oz, проведенные через точку О в направлении базисных ортов i, j и к, называются координатными осями системы координат <0, %X/ = Oxyz.
Если М—произвольная точка пространства, то направленный отрезок ОМ называется радиус-вектором точки М. Координатами точки М в системе <О, называются координаты ее радиус-вектора ОМ как геометрического вектора в базисе ®, т. е.
х(М) = Х(0М), y(M)=Y(0M), z(M) = Z(OM)
Если Л/2 (х2, у2, z2) и М2 (х2, )’2, z2)—две произвольные точки в пространстве, то координаты вектора М^Мг равны
X=x2-xt, Y=y2-yt, Z=z2 —Zj.	(4)
Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается формулой
р(М!. М2) = I	1 = x/(x2 - Xi)2 + (у2 - n)2 +(z2 - Zi)2.
57
При решении задач аналитической геометрии целесообразно максимально использовать методы векторной алгебры.
Пример 1. Заданы вершины >4(1,0, —1), В(2, 2, 1) и точка Л'(— 1, 2, 1) пересечения медиан треугольника АВС Найти координаты вершины С.
<1 Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления координат вершины С достаточно найти координаты вектора А С Пусть BF— медиана, проведенная из вершины В. Тогда
^=2AF=2(BA + BF} = 2^AB+^BE^	(5)
(здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану BF в отношении 2:1). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вычисляем координаты векторов АВ(1, 2, 2) и ВЕ(—3, 0, 0), откуда на основании (5) получаем АС( — 7, 4, 4) н, наконец, вновь используя формулу (4), находим координаты точки С:
х(С)=х(+) + Х(+С)= —6; у(С)=у(Л)+Г(ЛС)=4;
z(C)=z(A) + Z(A(^=3. о
Пусть на прямой / заданы точки Л/1; М2 и М, причем М2^М2 Рассмотрим векторы М2М и ММ2. Так как они коллинеарны, то найдется такое действительное число X, что М1М='к-ММ2. Число X называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М2М2, причем оно положительно, если точка М находится внутри отрезка М2М2, отрицательно (и X# —1), если М находится вне М2М2, и равно 0, если М=М2.
Пример 2. Зная координаты точек М2(х2, у2, zt) и М2(х2, у2, z2) и отношение X, в котором точка М делит направленный отрезок М2М2, найти координаты точки М	____ _________
<i Пусть О—начало координат. Обозначим: ОМ1=г1, ОМ2=г2, ОМ=г. Так как
Л/1Л/=г-г1, ММ2 = г2-г,
r-r,=X(r2-r), откуда (так как X# —1)
г2+Хг2 г~ 1+Х
Полученная формула и дает решение задачи в векторной форме Переходя в этой формуле к координатам, получим
^%1 + Хх2	^У1+Ху2 _zt+Xz2
1+Х ’ У 1+Х ’ z 1+Х ’	( '
2.50.	Точка М(1, —5, 5) задана своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат <(7,18 = =(i, j, к)у. Найти координаты этой точки в системе (О', ®' =
если:
58
a)	OO' = —2i+j—k и i' — i, j'=j, k' = k,
6)	0=0 и i'=—j, j' = k, k' = i,
в)	OO'=j и	j' = -~_(i-j), k'=k
(предварительно убедиться, что 23'—прямоугольный базис).
2.51.	Даны три вершины А(3, — 4, 7), В(-5, 3, -2) и С(1, 2, —3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
2.52.	Даны две смежные вершины параллелограмма А ( — 2, 6), В (2, 8) и точка пересечения его диагоналей М (2, 2). Найти две другие вершины.
2.53.	Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К (2, —4), М (6, 1), 7V( —2, 3).
2.54.	На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3, —3) равно 5.
2.55.	На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1, —4, 7) и В(5, 6, —5).
2.56.	Даны вершины треугольника Л(3, —1, 5), В (4, 2, —5) и С(— 4,0, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
2.57.	Отрезок с концами в точках А(3, —2) и В (6, 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
2.58.	Определить координаты концов отрезка, который точками С (2, 0, 2) и £)(5, —2, 0) разделен на три равные части.
2.59*	. Заданы точки А (1,2,3), В(2, -2, 1), С(3, 0, 3) и £>(16, 10, 18). Е—точка пересечения плоскости ОАВ (О— начало координат) с прямой, проведенной через точку D параллельно прямой (ОС). Найти координаты точки Е.
2.60*	. Заданы точки А (2, 5, 2) и В (14, 5, 4); С—точка пересечения координатной плоскости Оху с прямой, проведенной через точку В параллельно прямой (О А). Найти координаты точки С.
2.61.	Даны вершины треугольника А(1, —1, — 3), В(2, 1, —2) и С( —5, 2, —6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
-о Найдем разложение вектора АЕ по базису из векторов АВ и АС.
Пусть е1 = ЛВ/|ЛВ| и e2 = ACf\AC\— орты векторов АВ и АС. Тогда вектор АЕ сонаправлен с вектором е=ех+е2 (ср. с задачей 2.47), т. е. существует число Х>0 такое, что
59
С другой стороны,
АЕ=АС+СЕ = АС+рСВ = АС + р(АВ — АС) =
= цАВ + (1-ц)АС, ц>0.	(8)
Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора АЕ по базису из векторов АВ и АС. В силу единственности разложения вектора по базису имеем
-=-=В и -2-=1-и.	(9)
|Л5| |ЛС|
Решая систему (9), находим
?	1	|ЛВ|-|ЛС|
1/1ЛС1 + 1, ABI lABI+IACl’
так что формула (7) принимает вид
___ |ЛС| 	 |ЛВ| _________ АЕ= ~А В+   АС. |ЛВ| + ИС|________________________IABI + IAC]
(10)
Из условий задачи находим-
ЛВ(1,2, 1) и |ЛЁ| = 7б, ЛС(-6, 3, -3) и |ЛС| = 37б, и на основании (10) получаем ________________________ 3___ 1 — АЕ=-АВ+~АС, 4____________________________4
откуда
^(“1? °) и l^l=|V>0-
2.62.	Треугольник задан координатами своих вершин Д(3, — 2, 1), В(3, 1, 5), С(4,0,3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
2.63.	Даны вершины треугольника Л (1,0, 2), В(1, 2, 2) и С(5, 4, 6). Точка L делит отрезок АС в отношении 1=1/3, [СЕ] — медиана, проведенная из вершины С. Найти координаты точки М пересечения прямых (ЕЕ) и (СЕ).
4.	Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением ненулевых векторов и я2 называется число
(«1, Я2)=|Я1||Я2|СО8(Я17Я2).
Для скалярного произведения наряду с обозначением (яья2) используется также обозначение а^.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) Я1±я2оЯ1Я2=0 (условие перпендикулярности векторов),
2) если <р = (Я1, я2), то
0 sg (р < п/2«»Я1 я2 > 0 и п/2<(р^п-=-Я1Я2<0
60
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1)
2)	(ка1)а2 = К(а1а2)-,
3)	a(bi+b2) = ab1+ab2.
Если векторы яДХь Yt, ZJ и а2(Х2, Y2, Z2) представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно
a1a2=X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами
ага2 XiX2+ YlY2 + ZlZ2 cos а,, а2)=--= —	---—	---.
' l«ill«2| Jxl+Yl + Zl^Xl+Yl + Zl
2.64.	Доказать справедливость алгебраических свойств скалярного произведения.
2.65.	|«i| = 3, |я2| = 4, («1, я2) = 2л/3. Вычислить:
a)	al = Я1Я1;
б)	(Зя1-2я2)(я1 + 2я2);
В) (Я1+Я2)2.
2.66.	|fli| = 3, |я2| = 5. Определить, при каком значении а векторы Я1+ая2 и Я1 —ая2 будут перпендикулярны.
2.67.	Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=p — 3q, b = 5p + 2q, если известно, что \р\=2^2, |?| = 3 и (Х^) = л/4.
2.68.	Определить угол между векторами а и Ь, если известно, что (а—6)2 4-(я 4-26)2 = 20 и |я| = 1, |6|=2.
2.69.	В треугольнике ABC AB=3ei — 4<?2, BC=ei + 5e2. Вычислить длину его высоты СН, если известно, что ei и е2— взаимно перпендикулярные орты.
2.70.	Вычислить пра+А(2я—Ь), если |я| = |6|=1 и
(О) =120'.	_ ________________
2.71.	Известно, что AB=2ei — 6е2 и AC=3ei+e2, где ei и е2 — взаимно перпендикулярные орты. Определить углы треугольника АВС.
2.72.	Найти угол, образованный единичными векторами ei и е2, если известно, что векторы я = <?14-2е2 и b = 5ei— 4е2 перпендикулярны.
2.73.	Найти угол а при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
2.74.	К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней I
куба, проходящим через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих трех сил.
2.75.	Задан прямоугольник A BCD и вне его произвольная точка М. Доказать равенство МА- МС=МВ- MD. Вывести отсюда, что \MA\2 + \MC\2 = \MB\2 + [MD\2.
2.76*	. ABCD—равнобочная трапеция, АВ=а—основание, AD = b—боковая сторона, угол между АВ и AD равен л/3. Выразить через а и b векторы DC, СВ, АС и DB.
2.77.	Зная, что |я| = 3, |6| = 1, |с| = 4 и я+6+с=0, вычислить яб+бс+ся.
2.78.	Даны векторы Я1(4, —2, —4) и я2(6, —3, 2). Вычислить:
а) Я1Я2; б) (2я1 —Зя2)(я1+2я2); в) (Я1 —я2)2;
г) |2я1-я2|; д) прЯ1я2; е) пра2Я1;
ж)	направляющие косинусы ^вектора ах,
3)	ПРа1+а2(Я1 — 2я2); и) cos(flf?fl2).
2.79.	Даны точки Л (2, 2) и В(5, —2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы AMB—nfl.
2.80.	Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами А(—1,-2, 4), В(-4, -2,0) и С(3, -2, 1).
2.81.	Для заданных векторов а, b и с вычислить пр, (2я—36):
а)	я=— i+2j+k, b=3i+j+k, c = 4i+3j;
б)	a = i-2j+3k, b=-3i+2j-k, c = 6i+2j+3k.
2.82.	Доказать, что четырехугольник с вершинами А( — 3, 5, 6), В(1, -5, 7), С(8, -3, -1) и D(4, 7,-2)—квадрат.
2.83.	Найти косинус угла ср между диагоналями (АС) и (BD) параллелограмма, если заданы три его вершины А(2, 1, 3), В(5, 2,-1) и С(-3, 3, -3).
2.84.	Вычислить работу силы F=i+2j+k при перемещении материальной точки из положения А(— 1, 2, 0) в положение В(2, 1, 3).
2.85.	Даны векторы я(1, 1) и 6(1, —1). Найти косинус угла между векторами х и у, удовлетворяющими системе уравнений 2х+у = а, х+2у—Ь.
2.86.	Векторы я, 6 и с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора с, если b=j+k.
<i Если c=Xi+Yj-iZk, то из условия задачи следует, что вектор с удовлетворяет системе уравнений
ca = X+Y = ab=\,
62
cb=Y+Z = ab=\, |c|2 = A'2-|-r2-l-Z2 = |fl|2 = |/>|2 = 2
решая эту систему, находим Хх = —1/3, У2=4/3, Z2 = —1/3 или Х2 = 1, У2=0, Z2=l о
2.87.	Лучи [ОА), [Off) и [ОС) образуют попарно равные углы величины л/3. Найти угол между биссектрисами углов j_AOB и LffOC.
2.88.	Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору в (2, 1, — 1) и удовлетворяющего условию ах = 3.
2.89.	Вектор х перпендикулярен векторам at (2, 3, — 1) и а2 (1, — 2, 3) и удовлетворяет условию x(2z—j+k)= — 6. Найти координаты х.
Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор ае, который коллинеарен е, причем разность а—а, перпендикулярна вектору е.
Аналогично, ортогональной составляющей вектора а в плоскости Р называется вектор яР, компланарный плоскости Р, причем разность я—яР перпендикулярна этой плоскости.
2.90.	Для вектора в (—1,2, 1) найти ортогональную составляющую вдоль базисного орта j и ортогональную составляющую в плоскости векторов i и к.
2.91.	Заданы векторы е (1, 1, 1) и а(—1,2, 1). Найти:
а)	ортогональную составляющую вектора а вдоль вектора е;
б)	ортогональную составляющую вектора а в плоскости Р, перпендикулярной вектору е.
2.92.	Заданы вершины треугольника Л(— 1, —2,4), В ( — 4, —1, 2) и С( —5, 6, —4); [BZ>] — его высота, проведенная через вершину В. Найти координаты точки D.
2.93*	. Заданы векторы е\ (1, —2,0),	е2(1, 1, 1) и
а ( — 2,0, 1). Найти ортогональную составляющую вектора в плоскости векторов е2 и е2.
Если базис ® = (е,, е2, е,) — прямоугольный, го координаты произвольного вектора я=А'1е| +Х2е2 + Х3е3 в этом базисе могут быть вычислены по формуле
Х, = яе„ ( = 1,2,3
В частности, формула (11) позволяет легко найти связь между координатами одного и того же вектора в различных прямоугольных базисах.
Пример 3 Пусть базис ®' = (/', j') получен из базиса ® = (/, j) поворотом последнего вокруг точки О на угол <р>0(мы считаем, что <р > 0, если поворот произведен против часовой стрелки, и <р<0 в противном случае) (рис 4). Установить связь между координатами вектора я в базисах ® и ®'
63
Рис. 4
о Пусть a = Xi+YJ. Тогда
X' = ai' = ХН' + Yji', Y' = aj' = Xij' + Yjj'. (12)
С другой стороны, имеем:
Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид
X' = A'cos<p-l- Уsin <р, Y'= — Xsincp-b Tcoscp. t>
2.94.	Вывести формулы преобразования координат точек плоскости при переходе от системы координат <О, ® = (z, /)> к системе <О', ®' = (z”,/)>, если OO' = x0i+y0j, а базис ®' получен из базиса ® поворотом на угол <р>0 вокруг точки О.
2.95.	Написать формулы преобразования координат векторов при переходе от базиса ® = (i, j, к) к базису ©' = (/', j’, к'), если
i'=cos(pT+sm(p-j, j'= — sinzp-z’+cosip j, k'=—k.
2.96.	В прямоугольном базисе ® = (z, j, к) вектор а имеет разложение а=- 2i+j— к. Убедиться, что тройка векторов
также образует прямоугольный базис ®' = (/', j', к'), и найти в этом базисе координаты вектора а.
2.97.	Проверить, что тройка векторов «1(1, -2, 0), е2(0, 1, 1) и ез(1, 2, 2) образует (косоугольный) базис. Выразить скалярное произведение векторов ai, а2 через их координаты в этом базисе, если
ai=X^el + X^e1+Xl3l}e3 и а2=Х^е1+Х^е2+ХТе3.
5. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов е2, е3 называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от ех к е2 и от е2 к еъ кяхупя происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка («!, е2, е3) называется левой.
Векторным произведением вектора щ на вектор а2 называется вектор, обозначаемый символом [я,, я2] (или А|Хя2), определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора [ai, а2] равна площади параллелограмма, построенного на векторах а, и я2, т. е. ([яь я2]| = [я1| • |a2|sin (яь я2);
64
I 2) вектор [«j. я2] перпендикулярен плоскости векторов at и я2;
3)	упорядоченная тройка at, а2, [at, а21 правая.
Из определения векторного произведения следует, что
Н	oilk^foi, О2] = 0.
В, Алгебраические свойства векторного произведения:
В 1) [яь я2]=-[я2, я,];
г 2) [Х.Я!, я2] = Х[Я1, я2];
3)	[я,+я2, Ь]=[яьЬ]+[я2, Н-
Если flt (Уь У2, Zt) и я2(ЛГ2, У2, Z2)— векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения [а,, я2] в том же базисе имеет вид
[я,, a2] = (YlZ2^ZlY2)i}(ZlX2~X,Z2)J+(ZlY2-Y1Y2)k, или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка; см. § 1 гл. 3)
[яь я2]=|х1 У. Z,|.	(13)
2.98.	|ai|=l, |а2| = 2 и («1, в2) = 2л/3. Вычислить:
а) |[в1.в2]|, б) |[2ai+a2, ai+2a2]l; в) |	+ 3а2, Зщ-а2 Ц.
2.99.	Какому условию должны удовлетворять векторы ai и а2, чтобы векторы а2 +в2 и а2 — а2 были коллинеарны?
2.100.	Упростить выражения:
а)	[», j+k]-[j, i+k]+[k, i+j+k],
б)	[a + b+c, <•] + [a+b+c, А]+ [Ь—с, а],
в)	[2а+й, с—а]+ [Ь+с. а+Ь],
г)	2i [j, k] + 3j[i, k] + 4k[i, j].
2.101.	Доказать, что [a—b, a + b] = 2 [а, Л] и выяснить геометрический смысл этого тождества.
2.102.	|а| = |Л| = 5, (а,Ь) = п/4. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а—2Ь и За+26.
2.103.	Векторы а, b и с связаны условием я+Л+с=0. Доказать, что [я, Л]= [Л, с]= [с, а]. Каков геометрический смысл этого результата?
2.104.	Доказать, что при любых векторах а, р, q и г векторы [а, р], [а, q] и [а, г] компланарны.
2.105.	|а| = 2, |А| = 5, (аГл) = п/6. Выразить через векторы а и b единичный вектор с0, перпендикулярный векторам в и Л и такой, что:
а)	тройка (в, Ь, со) правая;
б)	тройка (Ь, со, а) левая.
2.106.	Заданы векторы «1(3, —1, 2) и а2(1, 2, —1). Найти координаты векторов:
а) [«1, а2]; б) [2а2+а2, а2]; в) [2ai—e2, 2ai+a2],
3 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	65
2.107.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4) и С(4, 3,2).
2.108.	В треугольнике с вершинами Л(1, —1,2), В(5, —6,2) и С(1, 3, —1) найти высоту h = lBD\.
2.109.	Определить, при каких значениях аир вектор ai+3J+pfc будет коллинеарен вектору [а, Ь], если e(3, —1, 1), 6(1, 2, 0).
2.110.	Для заданных векторов а(2, 0, 3), Л( —3, 5, 4), с(3, 4, — 1) вычислить проекцию вектора [a, b ] на вектор (а, Ь)с.
2.111.	Для заданных векторов a(2, 1, —1), 6(1, 2, 1), с (2, —1, 3), </(3, —1, 2) вычислить проекцию вектора а+с на вектор [b~d, с].
2.112.	Найти вектор [а, а+6] + [а, [а. 6 ]], если а(2, 1, —3),
*(1,-1, 1). _ _________________________
2.113.	Найти вектор [АВ+АС, [ВС, АВ ]], если Л (2, 2, 3), В(1, 0, 4), С (2, 3, 5).
2.114.	Три ненулевых вектора а, b и с связаны соотношениями а— [Л, с], 6= [с, а], с=[а,Ь]. Найти длины этих векторов и углы между ними.
2.115.	Сила F=2i—4j + 5к приложена к точке Л (4, —2, 3). Определить момент этой силы относительно точки 0(3, 2, -1).
2.116.	Дайы три силы: Fi (2, — 1, -3), f2(3, 2, — 1) и F3(—4, 1, 3), приложенные к точке Л(—1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О (2, 3, — 1).
2.117.	Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы_2е1 — е2 и 4ei — 5е2, где ei и е2— единичные векторы и (ei, е2) = п/4.
2.118.	Найти координаты вектора х, если известно, что он перпендикулярен векторам ai(4, —2, —3) и а2(0, 1,3), образует с ортом j тупой угол и |х| —26.
2.119.	Найти координаты вектора х, если он перпендикулярен векторам «1(2, —3, 1) и а2(1, — 2, 3), а также удовлетворяет условию x(i+2j—7fc)= 10.
2.120.	При каких условиях уравнение e2=[ai, х] имеет решение относительно х? Сколько существует решений?
2.121.	Найти составляющую вектора a(—1, 2, 0), перпендикулярную плоскости векторов е,(1,0, 1) и е2(1, 1, 1).
2.122.	Как изменится выражение (13), если координаты векторов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли верна эта формула в случае косоугольного базиса?
66
2.123*	. Вектор [а, [Л, с]] называется двойным векторным произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство
[а, [Л, с]] = Л(й,с)-с(й, Ь).
6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов яь я2, я3 называется число [яь я2]я3.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1)	если V объем параллелепипеда, построенного на векторах Я1; я2 и я3, то
( V, если тройка (яь я2, я3) правая, [Я]. я2]я3 = \
( — И, если тройка (яь я2, я3) левая;
2)	для того чтобы три вектора яь я2, я3 были компланарны, необходимо и достаточно выполнение условия [яь я2]я3 = 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т. е.
[яь я2]я3=[я2, я3]я, = [я3, а,]а2.
Это свойство позволяет ввести обозначение [яь я2]я3=Я|Я2я3 (результат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в правой части). Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде
2.124.	Векторы fli, а2, а3 образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и |«i| = 4, |а2| = 2, |й3| = 3. Вычислить Й1Й2ЙЗ-
2.125.	Векторы^й, Ь, с образуют левую тройку, |я| = 1, |Л| = 2, |с| = 3 и (aJ>) = 30°; da, сА_Ь. Найти abc.
2.126.	Заданы векторы at(l, —1, 3), а2(—2, 2, 1) и яз(3, —2, 5). Вычислить а2а2а3. Какова ориентация троек:
а) (ац, й2, й3); б) (й2, fli, йз); в) (й1, йз, й2)?
2.127.	Установить, образуют ли векторы а,, а2 и й3 базис в множестве всех векторов, если:
а)	й1(2, 3, -1), й2(1, -1,3), й3(1,9, -11);
б)	«! (3, —2, 1), й2(2, 1, 2), й3(3, -1, —2).
2.128.	Доказать, что |й1й2й3| < |«i 11«2| |я3|; в каком случае имеет место знак равенства?
2.129.	Доказать, что при любых а, b и с векторы а—Ь, Ъ—с и с —а компланарны. Каков геометрический смысл этого факта?
2.130.	Доказать тождество
(й + Л+с)(й-2Л + 2с)(4й+Л + 5с) = 0.
67
2.131.	Доказать, что если а [а, 6J + P \Ь, с] + у [с, а] = 0, причем хотя бы одно из чисел а, Р и у отлично от нуля, то векторы а, b и с компланарны.
2.132.	Вычислить объем тетраэдра О АВС, если ОЛ = 3/4-4/; OB=—3j+k, OC=2j+5k.
2.133.	Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2, -3, 5), В(0, 2, 1), С(—2, -2, 3) и £>(3, 2, 4).
2.134.	В тетраэдре с вершинами в точках A(l, 1, 1), В(2, 0, 2), С(2, 2, 2) и £>(3, 4, —3) вычислить высоту h = \DE\.
2.135.	Проверить, компланарны ли данные векторы:
a)	a=-2i+j+k, b=i-2j+3k, e=14i-13J+7fc;
б)	a=2i+j—3k, b = 3i—2j+2k, c=i—4j+k.
2.136.	При каком X векторы а, b, с будут компланарны?
а)	а(Х, 3, 1), 6(5, -1, 2), с(-1, 5, 4);
б)	а(1,2Х, 1), 6(1, X, 0), е(0, X, 1).
2.137.	Доказать, что четыре точки Л (1,2, —1), В(0, 1, 5), С(—1, 2, 1) и £>(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
2.138.	Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, если известно, что она лежит на оси Оу, а объем тетраэдра равен v:
а)	4(—1, 10,0), В(0, 5, 2), С(6, 32, 2), и = 29;
б)	Л(0, 1, 1), В(4, 3, -3), С(2, -1, 1), v=2.
2.139.	Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
2.140.	Доказать тождества:
a) (a+c)b(a+b)= — abc; б) (a—b)(a—b—c)(a+2b—c) = 3abc; в) (а + 6)(6 + е)(е+а) = 2а6с; г) Va, Р(в6(с+аа+рб)=а6с).
§ 2. Линейные геометрические объекты
1. Прямая иа плоскости. Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) Ях|Ву + С=0 — общее уравнение прямой;
2) А{х—хо)+В(у—уо)=0—уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, уо) перпендикулярно нормальному вектору п(А, В);
х—хо_3—}о—уравнение ПрЯМОй, проходящей через точку I т
М0(х0, j’o) параллельно направляющему вектору q(l, т) (каноническое уравнение прямой);
I Л—Лот-*!,	,	.
4)	<	zel—оо, +-со),—параметрические уравнения пря-
( y=y0+ml, мой, которые в векторной форме имеют вид
r=rvyqt,
68
где r0(x0, >’о)—радиус-вектор точки М0(х0, у0), q(l, т)—направляющий вектор прямой;
5)	- + у = 1 —уравнение прямой в отрезках, где а и b — величины а о
направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно;
6)	xcosa+j cosp—р = 0 — нормальное уравнение прямой, где cosa и cosP — направляющие косинусы нормального вектора л, направленного из начала координат в сторону прямой, а р>0—расстояние от начала координат до прямой.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 6) путем умножения на нормирующий множитель
Если прямая L задана уравнением вида 6), а М(х, у)—некоторая точка плоскости, то выражение
8(М, L)=xcosa+j’cosp— р
задает отклонение точки М от прямой L. Знак 8 (Л/, L) указывает на взаимное расположение точки М, прямой L и начала координат, а именно: если точка Af и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, то 8(М, L)>0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от прямой L, то 8(М, L)<0. Расстояние р(М, L) от точки М до прямой L определяется равенством р(М, L) = |8(Af, L)|.
Пример 1. Написать уравнение прямой L', параллельной двум заданным прямым Lp. х+2у—1=0, L2. х-}-2у + 2 = 0 и проходящей посередине между ними.
<1 1-й метод. Так как вектор л(1, 2), нормальный к заданным прямым L] и L2, является в то же время нормальным и к прямой L', то дос! аточно найти какую-нибудь точку Млежащую посередине между Li и L2. Из уравнений для и L2 находим любые две точки Л/je/.j и M2eL2, например такие: MJ1, 0) и М2( — 2, 0). Тогда точка М'(—1/2, 0), делящая оiрезок МгМ2 пополам, лежит посередине между Lt и L2. Поэтому уравнение прямой £' имеет вид
2-й метод. Произвольная точка М принадлежит L' в том и только том случае, когда р(Л/,) = р(Л/,/.2), т. е.
|8(/И, L,)| = |8(M, L2)|.	(1)
Для того чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно заданных прямых Lr и L2. Нормальные уравнения этих прямых таковы:
Так как нормали пг и л2 из точки О в сторону Li и L2 противоположно направлены, то точка О находится в полосе между и L2.
69
Поэтому соотношение (1) принимает вид 8(Л/, Lt ) = 8(М, Ь2),

2
y/f ^5У ^5
Г: х+2у+|=0.
В задачах 2.141—2.143 требуется:
1)	написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;
2)	привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
2.141.	Прямая L задана точкой М0(х0, y0)eL и нормальным вектором п(А, В):
а)	Мо(-1, 2), л (2, 2);
б)	Мо(2, 1), л (2, 0);
в)	Мо(1, 1), л(2, -1).
2.142.	Прямая L задана точкой М0(х0, y0)eL и направляющим вектором q(l. т):
а)	Мо(-1, 2), 9(3, -1);
б)	м0(1, О, ч(о, -1);
в)	Мо(-1, 1), q(2, 0).
2.143.	Прямая L задана двумя своими точками ЛГ1(%1, yi) и М2(х2, у2):
a)	Mi(l, 2), М2(-1, 0);
б)	Mt(l, 1), М2(1, — 2);
в)	MJ2, 2), М2(0, 2).
2.144.	Заданы прямая L и точка М. Требуется:
1)	вычислить расстояние р(Л/, L) от точки М до прямой L;
2)	написать уравнение прямой L', проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;
3)	написать уравнение прямой L", проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
a)	L: -2х+у-1=0, М(-1, 2);
б)	£: 2у+1=0, М(1, 0);
в)	L: х+у+1=0, М(0, -1).
Пусть заданы две прямые L, и L2. Возможны два случая их взаимного расположения:
1)	Lt и Л2 параллельные прямые, в частности, они совпадают;
2)	и L2 пересекаются.
В задачах 2.145—2.149 исследовать взаимное расположение заданных прямых £t и £2. При этом в случае 1) найти
70
расстояние p(£t, L2) между прямыми, а в случае 2)—косинус угла (£i, £2) и точку Мо пересечения прямых.
2.145.	£f -2х+у- 1 =0, £2: 2у+1=0,
2.147.	Ц: х+у-1=0,	£2: 2х-2у+1=0,
2.148.	Lt: х+у—1=0,	L2: | =
2.149.	Ь2: -х + 2у+1=0, £2: 2х-4у-2 = 0.
2.150.	Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Требуется:
1)	написать уравнение стороны (ЛВ);
2)	написать уравнение высоты (CD) и вычислить ее длину Л=|С£>|;
3)	найти угол ср между высотой (CD) и медианой (ВЛ/);
4)	написать уравнения биссектрис £t и £2 внутреннего и внешнего углов при вершине А.
Исходные данные:
а)	А(1, 2), В(2, — 2), С(б, 1);
б)	А(2, —2), В(6, 1), С(—2, 0).
2.151.	Показать, что точка М(— 1, 2) принадлежит прямой £: x = 2t, у= — 1— 6г. Найти соответствующее этой точке значение параметра t.
2.152.	Вычислить расстояние от точки М(\, 1) до прямой £: х= -1+2/ y=2 + t.
Если прямая задана общим уравнением Лх+Ву + С=0 и при этом В + 0 (т. е. прямая не параллельна оси Оу), то эта прямая может быть описана уравнением с угловым коэффициентом вида y=kx+h.
Пример 2. Написать уравнение прямой L', проходящей через точку М (2, 1) под углом л/4 к прямой L: 2х + Зу+4 = 0.
«з Углом между прямыми L и L' называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см. задачу 2.156)
tg(£i7/2) =
где к —угловой коэффициент прямой L' Из этого уравнения находим kt=-, к2=—5. Следовательно, задача имеет два решения. Используя координаты точки М, мы можем записать для 71
каждого случая уравнение с угловым коэффициентом:
или в общем виде
х-5у+3 = 0, 5х+у—11=0.
2.153.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку Мо (2, 4) и отстоящей от точки А (0, 3) на расстояние р = 1.
2.154.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л/о(1, 2) и удаленной от точки А(—2, -5) вдвое дальше, чем от точки Z?(l, 8).
2.155.	Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии ^/10 от точки А (5, 4) перпендикулярно прямой 2х+6у —3 = 0.
2.156.	Доказать, что если прямые и Ь2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то
tg(O2)= 1-^-М |1+М2|
2.157.	Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом <p = arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.
2.158.	Найти уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс от начала координат отрезок длины 2 и образующей с прямой 2х —у + 3 = 0 угол 45’.
2.159.	В уравнении прямой 4х + 'ку — 20 = 0 подобрать X так, чтобы угол между этой прямой и прямой 2х — Зу + 6=0 равнялся 45°.
2.160.	В равнобедренном треугольнике АВС заданы вершина С(4, 3), уравнение 2а — у — 5 = 0 основания (АС) и уравнение х—у = 0 боковой стороны (АВ). Написать уравнение стороны (ВС).
2.161.	Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки А(— 1, 2) на расстояние р = х/34 и составляет с осью Ох угол, вдвое больший угла, составляемого с осью Ох прямой 2х — бу+ 5=0.
2.162.	Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М (8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
2.163.	Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым и Ь2 и проходящей посередине между ними, если:
a)	Lt: Зх—2у—1=0, Ь2.	=
72
*+7	?+2
б)	Зх—15у—1=0, £2: —г = —.
2.164.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л/(2, 1) под углом л/4 к прямой £: х=1 + г, 2 —2/3Л
2.165.	Даны две противоположные вершины квадрата Л(1, 3) и С(— 1, 1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сгорон.
2.166.	Известны уравнение одной из сторон квадрата х+Зу —3=0 и точка пересечения диагоналей Л’( — 2, 0). Написать уравнения остальных его сторон.
2.167.	Точка А (5, —4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х — Ту—8 = 0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
2.168.	Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина Л(1, 3) и уравнения двух медиан х-2у+1=0 и у-1=0.
2.169*	. Доказать, что прямая 2х+у + 3 = 0 пересекает отрезок [Л/^г], где Mt(—5, 1) и М2 (3, 7).
2.170.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л/о(—2, 3) на одинаковых расстояниях от точек Mi (5, -1) и Л/2(3, 7).
2.171.	Установить, лежат ли точка Л£о(1, —2) и начало координат в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных пересекающимися прямыми £( и £2, если:
a)	£х: 2х—у — 5 = 0, £2: Зх+у+Ю = 0;
б)	£j: х-2у-1=0, £2: Зх-у-2 = 0.
2.172.	Установить, какой из углов—острый или тупой,— образованных прямыми Зх—5у—4=0их + 2у + 3 = 0, содержит точку М (2, —5).
2.173.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2, 6), а также уравнения высоты х—7у+15 = 0 и биссектрисы 7х+у+5 = 0, проведенных из одной вершины.
2.174.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2, —7), а также уравнения высоты Зх+у+11 =0 и медианы х+2у + 7 = 0, проведенных из различных вершин.
2.175.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А (3, — 1), а также уравнения биссектрисы х—4у+Ю=0 и медианы 6х+10у—59 = 0, проведенных из различных вершин.
2.176.	Даны уравнения 5х + 4у = 0 и Зх—у = 0 медиан треугольника и координаты ( — 5, 2) одной из его вершин. Найти уравнения сторон.
73
2.177.	Даны уравнения у+ 4 = 0, 7х+4у + 5 = 0 биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение 4х+Зу = 0 стороны, соединяющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух других сторон треугольника.
2.178.	а) Доказать, что точка Н пересечения высот треугольника лежит на одной прямой с точкой М пересечения его медиан и с центром W описанной окружности.
б)	Проверить утверждение п. а) для треугольника с вершинами в точках А (5, 8), В ( — 2, 9), С (—4, 5). Определить, в каком отношении X точка Н делит направленный отрезок MN.
___2.179. В треугольнике Л(-3, -1), В(1, -5), С(9, 3), АМ = ЗМВ, AN=2NC. Показать, что точка пересечения прямых (BN) и (СМ) лежит на медиане, проведенной из вершины А.
2.	Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость Р в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1)	Ax + By-\-Cz + D = fi— общее уравнение плоскости;
2)	А (х—х0) + В(у—y0)+C(z—zo)=0 — уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно нормальному вектору п(А, В, С);
3)	- + - + - = ! — уравнение плоскости в отрезках, где а, Ь, а b с
с—величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Oz соответственно;
4)	xcosa+ycosp + zcosy—р = 0- -нормальное уравнение плоскости, где cos a, cosp, cosy — направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости, а р>0 расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем умножения на нормирующий множитель
______sgn£>
Ц Ja2+b2+c2'
Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а М(х, у, z) — некоторая точка пространства, то выражение
8(Л/, P)=xcosa+ycosp + zcosy—р
задает отклонение точки М от плоскости Р. Знак 8 (Л/, Р) указывает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости Р, то 8 (Л/, Р)>0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то 8(М, Р)<0.
Расстояние р(М,Р) от точки М до плоскости Р определяется равенством р(М, Р)=|8(Л/, Р)|.
74
Прямая L в пространстве может быть задана: 1) общими уравнениями
f Atx + Biy + Ciz +Dt=0,
( А2х+ B2y + C2z + D2 = 0, где коэффициенты At, Bt. Ct не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2, что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей;
2) параметрическими уравнениями
Г х = х0 + It,
X J’=V’o + w/,
I z = z0 + nt, или в векторной форме r(t)=r0 + qt. где r0(x0, у0, z0)—радиус-йектор некоторой точки, принадлежащей прямой, a q(l, т, п]—направляющий вектор прямой;
3) каноническими уравнениями
что равносильно заданию прямой как линии пересечения трех плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости.
Пример 3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки Л/1 (I, 1, 1) и Л/2(0, 2, 1) параллельно вектору с(2, 0, 1). с Задача имеет единственное решение, так как векторы Л/1Л/2(—1, 1, 0) и в (2, 0, 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости может быть взят вектор
л = [ЛДЛ/2, в]= 1-1 1 0 I =i+j-2k.
I 2 011
Уравнение плоскости имеет вид (v-1) + (у —1)—2(z—1)=0, или х+у —2z = 0. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
Другой способ. Точка М (х, у, z) принадлежит искомой плоскости Р в том и только в том случае, когда векторы Л/, Л/, М2М2 и а компланарны. Следовательно.
___________р-1 J-1 2-1 I Л/1Л/-Л/1Л/2я=	-1	1	0	-0,
12	0	11
откуда х+у—2z=0.t>
Пример 4. Прямая L задана общими уравнениями
| х+у-z = 0, ( 2х-у+2=0.
Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.
с Точка М (0, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (проверьте!) и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор ? = [«!, л2].
75
где Л1(1, 1, — 1) и л2(2, —1, 0)—нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является заданная прямая. Таким образом,
и канонические уравнения прямой таковы:
Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений — 2л+у —2 = 0, — Зх+z—2 = 0, -3y+2z+2=0,
описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Оху. Oxz и Oyz соответственно (уравнения прямой в проекциях). В частности, --------- «----------------- ----------
уравнение — Зх+z—2=0 есть уравнение проекции заданной прямой на плоскость Oxz.
Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые
Найти расстояние p(Liy L2) между прямыми и написать уравнения общего перпендикуляра L к этим прямым.
Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L, параллельно прямой L2 (рис. 5). Точка Mi(0, 1, —2) лежит на прямой Li и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор
j-4k.
Уравнение плоскости Р:
— 2х—(у—1)—4(z+2)=0, или, в общем виде. 2x+y+4z+7=0.
Расстояние р(£,, L2) равно расстоянию от любой точки прямой L2, например, от точки М2(— 1, —1, 2), до плоскости Р. Нормальное уравнение плоскости Р имеет вид
=0,
76
\откуда
\	,	I 2	1	8 ' 7 I 12
\ p £,,L2 =|8(M2.P)|= —+ —---------------
\	Iv/lT ^21 ./Л >/211 >/21
Для того чтобы составить уравнения общего перпендикуляра Д, нййдем уравнения плоскостей Р, и Р2, проходящих через заданные прямее L3 и L2 соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем: Mi(0, 1, -2)еР, и =	л]=|’-10>4-2*1Рь откуда
Pi х— 10y+2z+14 = 0. Диалогично, Л/2(—1, — 1, 2)еР2 и л2 = [?2, л] = = —9i+6j+3k.LP2 откуда Р2: Зх—2у—z + 3—О. Следовательно,
J х—10y + 2z+11 =0, { Зх—2у—z + 3 = 0
—общие уравнения прямой L=PiC\P2. »
2.180.	Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение плоскости Р', проходящей через точку М параллельно плоскости Р, и вычислить расстояние р(Р, Р'), если:
а)	Р: ~2x+y~z+l=0, М(1, 1, 1);
б)	Р: х—у—1=0, Л/(1, 1, 2).
2.181.	Написать уравнение плоскости Р', проходящей через заданные точки Mi и М2 перпендикулярно заданной плоскости Р, если:
а)	Р: -x+j-l=0, Л/2(1, 2, 0),Л/2(2, 1, 1);
б)	Р: 2х—у+д+1=0, Mi(Q, 1, 1), Л/2(2, 0, 1).
2.182.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам аг и а2, если:
а)	М(\, 1, 1), в!(0, 1, 2), а2(~ 1, 0, 1);
б)	М(0, 1, 2), в!(2, 0, I), в2(1, 1, 0).
2.183.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi и М2 параллельно вектору а, если:
а)	ММ, 2, 0), М2(2, 1, 1), в(3. 0, 1);
б)	ЛЛ(1, 1, 1), М2(2, 3, -1), e(0, -1, 2).
2.184.	Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М2 и М3, если:
a)	MJ1, 2, 0), М2(2, 1, 1), Л/З(3, 0, 1);
б)	ЛА(1, I, I), Л/2(0, -1, 2), Л/3(2, 3, -1).
Пусть заданы две плоскости Pi и Р2. Возможны два случая их взаимного расположения:
1) ЛИ2, в частности, плоскости совпадают;
2) Pi и Р2 пересекаются по некоторой прямой.
В задачах 2.185—2.188 исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом в случае I) найти расстояние p!'Pt, Р2) между плоскостями, а в случае 2)— косинус угла между ними.
2.185.	Pi. -x + 2y-z+l=0, Р2: y + 3z-l=0.
2.186.	Pi. 2х—у+г—1=0, Р2; -4х+2у-2г-1 =0.
77
2.187.	Pj: x—y+l=O, P2: j-z+l=O.	/
2.188.	Pf. 2x —y-z+l=O, P2: -4x+2y+2z-2=0.	/
2.189.	Вычислить объем пирамиды, ограниченной ijftoc-костью Р. 2х—3j+6z—12 = 0 и координатными плоскостями
2.190.	Написать уравнение плоскости, проходящей /через точку Л/о(1, 7, —5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
2.191.	Три грани тетраэдра, расположенного во втором октанте (х<0, j>0, z>0), совпадают с координатными плоскостями. Написать уравнение четвертой грани, зная длину ребер, ее ограничивающих: |ЛР| = 6, 156’1 = ^/29, |/1С| = 5, и найти длину высоты [ОН] тетраэдра.
2.192.	Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями Pt и Р2, если:
а)	Рр- x-3j + 2z-5 = 0, Р2: 3x-2j-z+3 = 0;
б)	Pt: 2х—y+5z-3 = 0, Р2: 2х~ 10j + 4z-2 = 0.
2.193.	Написать уравнение плоскости, равноудаленной от двух заданных плоскостей и Р2, если:
а)	Рр 4х —у-2z —3 = 0, Р2: 4x-y-2z-5 = 0;
б)	Рр 5х—3j+z + 3 = 0, Р2: 10x-6j + 2z + 7 = 0.
2.194.	Установить, лежат ли точки Aft (2, —1, 1) и Л/2(1, 2, —3) в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных плоскостями Pj и Р2, если.
а)	Рр Зх-y + 2z-3 = 0, Р2: x-2j>-z + 4 = 0;
б)	Рр 2х—y + 5z-1=0, Р2: Зх-2j + 6z-1 =0.
2.195.	Известны координаты вершин тетраэдра: Л (2, 0, 0), В(5, 3, 0), С(0, 1, 1), £>(-2, —4, 1). Написать уравнения его граней.
2.196.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(1, 1, —1) и перпендикулярной к плоскостям 2х-у + 5г+3 = 0 и x+3y-z-7 = 0.
2.197.	Прямая L задана общими уравнениями. Написать для этой прямой канонические уравнения и уравнения в проекциях (см. пример 4), если’
f2x-y+2z-3 = 0,	fx+2j-3z-5 = 0;
) ’ [x+2j-z-l=0;	) '[2x-y + z + 2 = Q.
2.198.	Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку Л/о(2, 0, —3) параллельно:
а)	вектору q(2, —3, 5);
„ х—1 у+ 2 z+1
б)	Прямой —=	=---
в)	оси Ох; г) оси Oz;
78
Эх—y+2z—7 = 0, х+Зу—2z—3 = 0;
д) прямой
че) прямой
2.199.	Написать уравнения прямой, проходящей через две анные точки М2 и М2, если:
:Z--- и точка М(0, 1, 2)ф
б) ЛЛ(3, -1, 0), Л/2(1, 2.200. Заданы прямая L: фЬ (проверить!). Требуется:
а)	написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;
б)	написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой £;
в)	написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую £;
г)	вычислить расстояние р(Л£ £);
д)	найти проекцию точки М на прямой £.
2.201.	Заданы плоскость Р: х+у—z+I=0 и прямая £: ~0~ = 2=~Т~’ пРичем (проверить!). Требуется:
а)	вычислить sin(P^£) и координаты точки пересечения прямой и плоскости;
б)	написать уравнение плоскости, проходящей через прямую £ перпендикулярно к плоскости Р;
в)	написать уравнения проекции прямой £ на плоскость Р.
2.202.	Пусть заданы две прямые:

т2
Доказать, что прямые L2 и Ь2 лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если выполнено условие
mi
т2
2.203.	Используя результат задачи 2.202, убедиться, что прямые Z.] и принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости. Исходные данные:
б) Ц:
-2_z+3
i —2
79
2.204.	Найти расстояние между параллельными прямымд х-1 у+1 2	X —7 Т-1 2-3	/
---= ---= - И —---= —--= —--.
3	4	2	3	4	2	/
2.205.	Найти расстояние от точки А (2, 3, —1) до заданной прямая L:
a) (2x-2y+z+3=0, б) (х=Зг+5, (Зх-2y+2z+17 = 0;	[z=-2z-25.
2.206.	Доказать, что прямые
параллельны и найти расстояние р(£п L2).
2.ло	7. Сое 1 явить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости х— 3y + 2z+l=0 с прямыми
х—5 _y+l_z-3	х-3_у+4_z-5
'V~T2’~'ZT И ~4~ —
2.208.	При каком значении X плоскость 5х—3_y+Xz+l=0 будет параллельна прямой
Jx—4z—1=0, (j-3z+2=0.
х—4 y-j-1 z
2.209.	Найти уравнения проекции прямой	]
на плоскость х—Зу—z+8=0.	j
2.210.	Определить уюл между прямой	5
J x+y+z—2=0, (2x+y-z-l =0
и плоскостью, проходящей через точки Л (2, 3, —1), В(1, 1, 0), С(0, — 2, 1).
2.211.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(7, 1, 0) параллельно плоскости 2х + 3у—z—15=0
х y—i z—3 и пересекающей прямую
2.212.	Написать канонические уравнения прямой, которая проходит через точку Л/о(3, —2, —4) параллельно плоскости
Зх — 2у — 3z—7 = 0 и пересекает прямую
80
2.213. Доказать, что расстояние между скрещивающимися пряными г(г)=Г1+?1Г и L2. r(t) = r2 + q2t может бьпь вычислено по формуле
p(£1,£2) = l(-^)glg21.
щ ь 21 I tor, ?2]|
Для заданных прямых £2 и £2 требуется:
а)	доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т. е. являются скрещивающимися;
б)	написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь2 параллельно £г
в)	вычислить расстояние между прямыми.
г)	написать уравнения общего перпендикуляра к прямым
2.214.
2.215.
2.216.
2.217.
2.218. Куб ABCDA'B'C'D' задан своими вершинами Л(0, 0, 0), В(1, 0, 0), С(1, 1, 0), D(0, 1, 0), Л'(0, 0, 1), В'(1, 0, 1), С'(1, 1, 1), D'(0, 1, 1). Выполнить следующие задания:
а)	написать уравнения прямых (А'С) и (ВС');
б)	вычислить расстояние между прямыми (Л'С) и (ВС');
в)	написать уравнения общего перпендикуляра к прямым (Л'С) и (ВС');
г)	написать уравнение плоскости, проходящей через точки В, Q и Н, где Р—центр грани ABB'A, Q делит ВС' в отношении 1/3 и Н расположена на ребре (ВВ') так, что Длина вектора PH+HQ минимальна;
д)	определить угол между полученной в п. г) плоскостью и диагональю куба (BZ)').
§ 3. Кривые на плоскости
1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Говорят, что кривая Г в системе координат Оху имеет Уравнение
С(х,у)=0,
(1)
если выполнено следующее условие: точка М(х, у) принадлежит кривой Г в том и только том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, F(x, у) = =f(x)—y, то уравнение (1) может быть записано в виде
У=Л*),	(2)
и в этом случае кривая Г совпадает с графиком функции f(x).
В настоящем параграфе изучается связь между геометрическими свойствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее простых случаях.
Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек А( — а, 0), В(0, а) и С(а, 0) равна За2.
Пусть Г — кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М(х, у)еГ в том и только том случае, когда
р2(Л/, А) + р2(М, В)+р2(М, С) = 3а2,
(х+а)2+у2+х2 + (у-а)2+(х-а)2+у2 = 3а2.
2
После простых преобразований получаем х2+у2—-ау — 0, или, выделяя полный квадрат,
Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью радиуса а/3 с центром в точке Мо(0, а/3). t=>
В задачах 2.219—2.232 требуется установить, какие кривые определяются заданными уравнениями, и построить эти кривые.
2.219.	х + |у|=0. 2.220. |х|+у-х=0. 2.221. х2-ху = 0.
2.222.	ху+у>2=0. 2.223. х2-/ = 0.	2.224. ху = 0.
2.225.	у1-9 = 0. 2.226. х2-х-6 = 0.
2.227.	x2y-7xj+10j = 0. 2.228. х2+/=4.
2.229.	х2 + (у + 3)2 = 1.	2.230. х2 + 1у2 = 0.
2.231.	2х2 + у2 + 2 = 0.	2.232. х2 +1 у2 -11 = 0.
2.233.	Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точек Л/ДЗ, 2) и М2(2, 3).
2.234.	Написать уравнение кривой, разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек М^— а, 0) и Л/2(а, 0) равна с.
2.235.	Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния до оси Оу
2.236.	Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек 3, 0) и Л/2(3, 0) равна 50.
82
2.237.	Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки — 1, 1) вдвое меньше расстояния до точки Л/2(—4, 4).
2.238.	Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек Fi(—2, 0) и F2(2, 0) равна 2^/5.
2.239.	Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1(—2. —2) и F2(2, 2) равен 4.
2.240.	Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки F(2, 2) и от оси Ох.
2.241.	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет окружность, найти ее центр С и радиус R:
а)	х2+у2—4л+6у-3 = 0;
б)	х23-/-8х=0;
в)	х2+у2 + 4у = 0.
2.242.	Написать уравнение окружности в каждом из следующих случаев (обозначено: С—центр окружности, R-радиус, М, М2, М2, М3—точки на окружности):
а)	С(2, -3), R = l;
б)	М (2, 6), С(-1, 2);
в)	Л/](3, 2), М2(— 1, 6)—концы диаметра окружности;
г)	С(1, — 1), прямая 5х— 12у+9 = 0—касательная к окружности;
д)	Л/(1, 2), окружность касается координатных осей;
е)	А/х(3, 1), М2(-1, 3), CeL. Зх—у —2 = 0;
ж)* М2(-1, 3), ЛГ2(0, 2), М3(1, -1).
2.243.	Написать уравнение диаметра окружности х2+у2 + +4х—бу — 17 = 0, перпендикулярного прямой 5х+2у — 13 = 0.
2.244.	Вычислить кратчайшее расстояние от точки Мо до окружности Г, если:
а)	Л/о(6, -8), Г: х2+у2 = 9;
б)	Мо(-1, 2), Г. х2-Ьу2 —10х—14у—151 =0.
2.245.	Определить, как расположена прямая относительно окружности—пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:
а)	2х-у-3 = 0, х2+у2 —Зх+2у—3=0;
б)	х —2у—1=0, х2+у2 — 8х + 2у+12=,0;
в)	х-у+10=0, х2+у2-1=0.
2.	Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид
Ax2 + 2Bxy+Cy2 + Dx+Ey + F=^0,	(3)
83
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (в противном случае Г—прямая, г. е. алгебраическая кривая первого порядка).
В обшем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).
Если же кривая Г невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение)'.
-^-+^=1, а^Ь>0,	(4)
^-^=1, a,t»O,	(5)
о2 Ь1
у2 = 2рх, р>0.	(6)
При этом кривая Г называется соответственно элчипсам, гипербочой или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение имеет вид (4), (5) или (6), называется канонической системой координат для заданной кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду подробно рассматривается в п. 4 § 3 гл. 4. Целью настоящего пункта является изучение основных геометрических свойств невырожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравнений.
Эллипс с каноническим уравнением —2+^5= К а^Ь>(\ имеет форму, изображенную на рис. 6.
Параметры а и Л называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки А,(~а, 0), А2(а, 0), В] (0, — Ь) и В2(0, Л)—его вершинами, оси симметрии Ох и Оу—главными осями, а центр симметрии О — центром эллипса.
Точки F|( —с, 0) и F2(c, 0), где с = ч/г? — Л2^0, называются фокусами эллипса, векторы F2M и F2M—фокальными радиус-век-84
торами, а числа г1 = |2-1Л7| и r2 = \F2M\— фокальными радиусами точки М, принадлежащей эллипсу. В частном случае а = Ь фокусы р и F2 совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет
х2 У2
виД-^4-^т=1, или х2+у2—а2, т. е. описывает окружность радиуса а2 а2
является окружностью).
Прямые D2: x~—aie и D2: х=а/е, перпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются
директрисами эллипса.
2.246.	Построить эллипс 9х2+25у2 = 225. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
2.247.	Написать каноническое уравнение эллипса, если:
а) а = 3, Ь = 2; б) О=5, с=4; в) с = 3, е = 3/5; г) Ь = 5, е= 12/13; д) с = 2 и расстояние между директрисами равно 5; е) е=1/2 и расстояние между директрисами равно 32.
2.248.	Написать уфавнение эллипса с полуосями а и b и центром в точке С(х0, Уо), если известно, что его главные оси параллельны координатным осям.
2.249.	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти ею центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
a)	5x24 9i2--30x4 18v4 9 = 0;
б)	16х2 + 25у2 + 32х—ЮОу—284 = 0;
в)	4х2 + 3у2-8x4- 12у —32 = 0.
2.250.	Доказать следующие утверждения:
х2 V2
а)	Если М(х, у)—произвольная точка эллипса —^+^=1, а^Ь. то фокальные радиусы этой точки равны
т1(Л/) = о + ех, г2(М) = а — ех
(см. рис. 6). Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки М эллипса выполняется равенство
г i (Л/) + т2 (Л/) = const = 2п.
б)_____Пусть заданы точки F2( — с, 0) и F2(c, 0), с^0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию | Ft М14-		х2 ,,2
+|F2М| = const = 2а, есть эллипс -^-4^=1, где Ь2 = а2 — с2.
а Ь
85
2.251.	Доказать следующие утверждения:
X1 у1
а)	Если М(х, у)—произвольная точка эллипса
а>Ь, г2(М) и г2(М)—фокальные радиусы этой точки, а р(М, £>t) и р(М, D2)—ее расстояния до директрис, то выполняется равенство
Г1(Л/)	г2(М)
-' - = -7 ~~=const=е.
р(Л/, £»,) р(М, П2)
б)	Пусть заданы точка F(c, 0) и прямая D: x—d=0, d>c>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих усло-
IFWI ,	.	v2 у2
вию	——- = const = e<l, есть эллипс —И—;==1, где а=ае
р(М, D)	a1 h2
и Ь2 = аг — с.
2.252.	Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки (2, ч/3) и М2(0, 2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М, и расстояния этой точки до директрис.
2.253.	На эллипсе 9\'2 + 25у2=225 найти точку, расстояние от которой до фокуса F2 в четыре раза больше расстояния до фокуса F2.
2.254.	Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если сумма расстояний от нее до точек F2(— 1, — 1) и Г2(1. 1) остается постоянной и равной 2^/3.
2.255.	Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если расстояние от нее до точки F(3, 0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у— 1 =0.
2.256.	Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:
а)2х-у-3 = 0, ^4=1, х2 v2
6)	2х+у-10 = 0, —-К—=1,
в)	Зх+2у—20=0.
2.257.	Написать уравнение касательной к эллипсу
X2 у2
^+-=1 в его точке М0(х0, у0)-
«а Пусть сначала yyFO, т. е. точка Мо не совпадает ни с одной из вершин -4i(—а, 0) и А2(а, 0). В этом случае уравнение.
86
неявно определяет функцию у=у(х), ~а<х<а, график которой проходит через точку М0(х0, у0) и совпадает с соответствующей (верхней при 1о>0 или нижней при уо<0) половиной х2 у2(х)
эллипса Дифференцируя по л тождество ---------найдем, что
а b
производная у’(хв) равна
,, . Ь2х0
У *о =-----2~
а2у0
Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке М0(х0, у0) имеет вид
или, с учетом равенства
Ь2
(7)
Если же v’o=0 (и, следовательно, х0= ±а), то уравнения касательных к эллипсу имеют вид л=±о, т. е ив этом случае формула (7) остается верной. t>
2.258.	Составить уравнения касательных к эллипсу х2 j2
—+—=1, параллельных прямой Зл+2_у + 7 = 0.
2.259.	Составить уравнения касательных к эллипсу х2 + 4у2 = 20, перпендикулярных прямой 2х —2_у—13 = 0.
2.260.	Доказать, что касательные к эллипсу ^+^=1,
а2 Ь2
проведенные через концы одного и того же диаметра,
параллельны.
2.261.	Написать уравнения касательных, проведенных из /10 5\	х2 у2 ,
ТОЧКИ /II у, - I к эллипсу —+ у=1.
2.262. На эллипсе —+ — =
18 8
1 найги точку Мо, ближайшую
к прямой 2х —Зу+25 = 0, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой.
2.263.	Доказать, что касательная к эллипсу в его произвольной точке М составляет равные углы с фокальными радиус-векторами Р\М и F2M этой точки.
2.264*	. Из левого фокуса эллипса -—Ь^-=1 под тупым 45 20
утлом а к оси Ох направлен луч света, причем tga=— 2. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.
87
Гипербола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 7.
х2 у2
—-^=1, о, й>0, а2 b
Рис. 7
Параметры а и b называются полуосями гиперболы, точки ЛД—а, 0) и А2(а, 0)—ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу — действительной и мнимой осями, а центр симметрии О—центром гиперболы.
Прямые у=±-х являются асимптотами гиперболы. а
Точки Ft[—с, 0) и Г2(<,0), где с=ч/а24-Л2>0, называются фокусами гиперболы, векторы и F2M—фокальными радиус-векторами, а числа	и г2 = |Г2Л/|— фокальными радиусами
точки М, принадлежащей гиперболе.
Число с=- = /14—у (1 <е< 4- со) называется эксцентриситетом а а
гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном случае а=Ь гипербола называется равносторонней; ее эксцентриситет равен 6 = ^/2, а угол между асимптотами равен тг/2.
Прямые Dt- х = — а/е и D2: х = а/е, перпендикулярные действительной оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются директрисами гиперболы.
2.265.	Построить гиперболу 16.x'2 —9у2 = 144. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
2.266.	Построить гиперболу 16х2 —9у2= —144 (сопряженную к гиперболе задачи 2.265). Какова каноническая система координат для этой гиперболы? Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
2.267.	Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а=2, Ь = 3; б) Ь=4, с = 5; в) с = 3, е = 3/2; г) а = 8, е = 5/4;
88
д) с=10 и уравнения асимптот у= ±^'» е) е = 3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.
2.268.	Написать уравнение гиперболы с полуосями а и b и центром в точке С(х0, Jo), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и Оу соответственно.
2.269.	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:
а) 16х2 —9г2 —64х—54г—161 =0;
16) 9х2 —1 бу2+90х +32 т —367 = 0;
в) 16х2 —9у2 —64х—18у+199 = 0.
2.270.	Доказать следующие утверждения:
а) Если М(х, у)—произвольная точка гиперболы
—=!, то фокальные радиусы этой точки равны
ri(M] = a+ex, г2(М)= — а+ех, если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и
Г1(Л/)= — а — ех, г2(М) = а—ех,
если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки М гиперболы выполняется равенство
— г2 (М) | = const=2а.
б) Пусть заданы точки Fi(-c, 0) и F2(c, 0), с>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию ||FiAf| — ________
— |Г2Л/|| = const=2а, а>0, есть гипербола ——^2=1, где Ь2 = с2 — а2.
2.271. Доказать следующие утверждения:
а)	Если М(х, у)—произвольная точка гиперболы
—~=1, гДМ) и г2(М)—фокальные радиусы этой точки, а р(М, Di) и р(Л7, D2)—расстояния от нее до директрис, то выполняется равенство
гДМ) _ г2(М) р(М, Dt) р(М, D2)
—const— е.
89
б)	Пусть заданы точка F(c, 0) и прямая D\ x~d—G. c>d>(). Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию ' = const = е>1, есть гипербола	—, = 1, где a = de
р(Л/, D)	а Ь2
и Ь2 = с2—а2.
2.	212. Убедившись, что точка М( — 5, 9/4) лежит на гипер-X'2	I’2
боле ———=1, найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния до директрис.
г2 у2
2.273.	Найти точки гиперболы — =1, находящиеся на расстоянии 7 от фокуса Fx.
2.274.	Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки Fr(— 3, —4) и F2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3,6.
2.275.	Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е=х/5. фокус F(2, —3) и уравнение соответствующей директрисы Зх—>’ + 3 = 0.
2.276.	Показать, что кривая, заданная уравнением ху=\ или у—1/х, есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис.
2.277*	. Написать уравнение касательной к гиперболе х2 у2
—=1 В ее точке М0(х0, у0).
2.278.	Составить уравнения касательных к гиперболе х2 V2
------=1, параллельных прямой 10х—Зу + 9 = 0.
16 64
2.279.	Составить уравнения касательных к гиперболе ^-=1, перпендикулярных прямой 4х + 3у—7=0.
х2 V2
2.280.	Доказать, что касательные к гиперболе —г-?=1,
а b
проведенные через концы одного и того же диаметра, параллельны.
2.281.	Написать уравнения касательных, проведенных из точки А( — 1, —7) к гиперболе .v2—_у2 = 16.
х 2 у2
2.282.	На гиперболе	найти точку Мо, ближай-
шую к прямой Зх + 2у+1=0, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой.
90
2.283. Доказать, что касательная к гиперболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокальными радиус-векторами FXM и F2M этой точки.
2.284*. Из правого фокуса гиперболы ^-=1 под
углом а (л<а<3/2л) к оси Ох направлен tga — 2. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением у2 — 2рх, р>0, имеет форму, изображенную на рис. 8.
Число р называется параметром параболы, точка О — ее вершиной, а ось Ох— осью параболы.
Точка F(p/2, 0) называется фокусом параболы, вектор I'M— фокальным радиус-вектором, а число r=\FM\ — фокальным радиусом точки М параболы.
Прямая D: х=—р/2, перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии pj2 от вершины параболы, называется ее директрисой.
луч света, причем

Рис. 8
2.285.	Построить следующие параболы и найти их параметры:
а) у2 = 6х; б) х2 = 5у;
в) у2= — 4х; г) х2= — у.
2.286.	Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
а)	парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и р = 1/2;
б)	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М (4, —8);
в)	фокус параболы находится в точке F(0, —3).
2.287.	Написать уравнение параболы, если известно, что вершина ее находится в точке А(х0, г0), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола расположена относительно прямой х = х0:
а)	в правой полуплоскости;
б)	в левой полуплоскости.
2.288.	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
а) у2=4х-8; б) х2 = 2-у;
в) у = 4х2-8х + 7; г) у= -~^х2 + 2х-7;
91
Д)х=--у2+у; е) х=2у2 — 12у + 14.
2.289.	Доказать следующие утверждения:
а)	Если М(х, у)—произвольная точка параболы у2 = 2рх, г(М)—ее фокальный радиус, а р(Л/, D)—расстояние о г точки М до директрисы (см. рис. 8), то выполняется равенство
г(Л/)
-T-i—Ц = const = 1.
p(Af, D)
б)	Пусть заданы точка F(/>/2, 0) и прямая D: х=—р/2. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию
|FM| . ,	2 п
--------= const—1, есгь парабола у — 2рх.
2.290.	Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=12х, если у(М) = 6.
2.291.	Написать уравнение параболы, если известны:
а)	фокус F(4, 3) и директриса D: у+1=0;
б)	фокус F(2, —1) и директриса D: х—у—1=0.
2.292.	Написать уравнение касательной к параболе у2 = 2рх в ее точке М0(х0, у0).
2.293.	Написать уравнение касательной к параболе у 2 — 8х, параллельной прямой 2х + 2у—3 = 0.
2.294.	Написать уравнение касательной к параболе л'2 = 16у, перпендикулярной прямой 2x+4j’+7 = 0.
2.295.	Написать уравнения касательных к параболе у2 = 36х, проведенных из точки А (2, 9),
2.296.	На параболе у2 = 64х найти точку Л/о, ближайшую к прямой 4х + 3у—14 = 0, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой.
2.297.	Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокальным радиус-вектором точки М и с лучом, исходящим из точки М и сонаправленным с осью параболы.
2.298.	Из фокуса параболы у2 = 12х под острым углом а к оси Ох направлен луч света, причем tga = |. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят, что на плоскости введена полярная система координат <О, м>, если заданы:
1) некоторая точка О, называемая поносом;
2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый полярной осью.
92
Полярными координатами точки М^О называются два числа: полярный радиус г(М) = \ОМ\>0 и полярный угол ф(М)—угол, на который следует повернуть ось и для того чтобы ее направление совпало с направлением вектора ОМ (при этом, как обычно, ф(Л/)>0, если поворот осуществляется против часовой стрелки, и <р(А/)<0 в прогивном случае) Запись М(г, <р) означает, что точка М имеет полярные координаты г и ф.
Полярный угол <р(Л/) имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида 2ти, neZ). Значение полярного угла, удовлетворяющее условию 0<<р<2л, называется главным. В некоторых случаях главным значением полярною угла называют значение <р, удовлетворяющее условию —Жф^л.
Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная система координат Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система <О, н>, причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координатами произвольной точки М^О дается формулами
х=гсоБф, j=rsin<p; г=ч/х2+у 2, tg9=y/x. (7)
Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид Е(г, ф)=0 или г=/(ф). Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением г=6со8ф. с Прежде всего заметим следующее: если точка М (г, <р) принадлежит заданной кривой, то для этой точки созф = г/6^0, и, следовательно, вся кривая расположена в секторе — л/2 < ф < л/2.
Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения г = 6соБф на г, получаем г —6г cos ф, откуда на основании формул перехода (7) имеем х2+у2 = 6х, или (х—3)2+у2 = 9. Таким образом, заданная кривая—окружность радиуса 3 с центром в точке Мо с координатами хо = 3, Уо = ° или ''0 = 3, Фо = °-
ПримерЗ. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат.
с Если прямая L проходит через полюс и ее угловой коэффициент по отношению к полярной оси равен к, то уравнение этой прямой имеет вид tgф = fc.
Пусть теперь прямая L не проходит через полюс. Напишем нормальное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе координат
х cos ot-I-у cos Р — р = О
и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем (учитывая, что cosP = sma):
г cos ф cos а + г sin ф sin а — р = 0, г cos (ф — а) = р,
Или
соз(ф —а)'
93
Рис. 9	Рис. 10
Уравнение (8) и есть искомое уравнение прямой в полярной системе координат. Оно может быть получено и непосредственно из следующего очевидного факта. Me£<=>npnr=rcos(<p — a) = const=p (рис. 9). t>
Пример 4. Пусть Г—эллипс, ветвь гиперболы или парабола, F—фокус этой кривой, D—соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой Г в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой (рис. 10).
<i Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем (см. задачи 2.251, 2.270 и 2.289):
р(М, Л
Me Го ,	; = const = е,	(9)
р(М,В)
где е — эксцентриситет кривой (е<1 для эллипса, е>1 для гиперболы и е = 1 для параболы).
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через pje (р параметр кривой, называемый полуфокальным диаметром).
Тогда из рис. 10 следует, что р(М, F) — r и р(М, £>) = -+ rcoscp. Подставляя эти выражения в (9), получаем
--rrcostp
откуда
Г=~--------.	(10)
I —ecostp
Уравнение (10) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы,
Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
2.299.	у = х.	2.300. у =1.
2.301.	х+у—1=0. 2.302. х2+у2 = а2.
2.303.	х2—у2 = а2. 2.304. х2+у2 = ах.
94
Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:
2.305.	г = 5.	2.306. tg ф = -1.
2.308. rsin<p=l.
2.307. rcosQ = 2.
2.311. r=2ncosQ.
2.312. г = la sin ф.
2.314. sin г =1/2.
2.316. г2=а2 со8 2ф.
2.313.	sin ф= 1/5/5.
2.315.	г2 sin2<p = 2a2.
2.317.	Написать в полярных координатах уравнения:
а)	прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 3;
б)	луча, исходящего из полюса под углом л/З к полярной
оси;
в)	прямой, проходящей через полюс под углом я/4 к полярной оси.
2.318.	Написать в полярных координатах уравнение окружности, если:
а)	радиус R = 5, окружность проходит через полюс, а ее центр лежит на полярной оси;
б)	радиус К=3 и окружность касается в полюсе полярной оси.
2.319.	Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
а) r=4cos<p; б) г=38Щф; в) г=—58Щф;
г)	r = 6cos^j—ф^; д) r=8sin^p—
> е) r = 8sin^—ф^.
|| 2.320. В полярной системе координат вывести уравнение
кружности радиуса R с центром в точке С(г0, ф0).
I	X2 V2
I 2.321. Для эллипса —+77=1 написать полярное уравне-	25 16
ие, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс,  полюс находится:
В а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
Г	х2 у2
2.322.	Для правой ветви гиперболы —-----=1 написать
16	9
полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
95
2.323.	Для параболы у2 = 6х написать полярное уравнение считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
2.324.	Написать канонические уравнения следующих кривых 2-го порядка:
9	9	3
а) г=--------- б) г=---------; в) г=--------.
5—4costp	4—5costp	1—costp
X2 v2
2.325.	Вывести полярное уравнение эллипса -j+p=l при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится в центре эллипса.
X2 V2
2.326.	Вывести полярное уравнение гиперболы р=1 при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится в центре гиперболы.
2.327.	Вывести полярное уравнение параболы г 2 = 2рх при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится в вершине параболы.
4.	Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции ф(?) и Ф(/), непрерывные на некотором промежутке I числовой оси (промежуток / может быть интервалом (а. Ь), отрезком [а, b ], а также одним из полуинтервалов (а, b ] или [а, Ь), причем не исключаются случаи, когда а——<х> и (или) 6=+оо). Уравнения
х=ф(г). у=ф(О. tel.	(10)
называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра tel точка М(ф(г), ф(?)) принадлежит кривой Г и. наоборот, для всякой точки М(х, у) кривой Г существует такое значение параметра tel, что ,v=<p(z) и у=ф(/). Исключением параметра t из (10) уравнение кривой может быть представлено в виде F(x, у) = 0.
Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в полярных координатах.
Пример 5. Показать, что параметрические уравнения x=acosr, y=asmz, /е[0, 2л), определяют окружность х2+у2 = а2.
<i Если точка М(х.у) такова, что х=асоь1 и y=asinz для некоторого значения te [0, 2 л), то
x2yy2 = a2cos2 r+a2sm2 t=a2,
т. е. точка М(х, у) принадлежит окружности х2 + у2 = а2.
Верно и обратное: если точка М(х,у) принадлежит окружности
х2+у2 = а2, то. полагая t = (OM,i), te [0, 2л), получим x = ncos/ и y = nsmr t>
Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением r = 2/?sin<p. Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра полярный угол ф.
96
Нетрудно убедиться, что заданная кривая—окружность радиуса Л с центром в точке С (О, Л). Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах:
r=2/fsm/, ф = /, /е[0, л).
Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах получаются, если в формулы перехода x=rcos<p. y=rsm<p вместо г и <р подставить их выражения в виде функций параметра t. В итоге получим
x = r(r)cosq>(/)=/?sin2/,
у = г(/)чшф(/) = Я(1 — cos2f), /е[0, п). с-
2.328.	Составить параметрические уравнения луча Г={(х, у)|х—у+1=0, у>0}, принимая в качестве параметра:
а)	абсциссу х; б) ординату у;
в)	расстояние р(М, Mfi) от точки Л/еГ до вершины Мо луча;
г)	полярный угол, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось сонаправлена с осью Ох.
2.329.	Составить параметрические уравнения отрезка с концами в точках Л/, (1, 1) и М2(2. 3), принимая в качестве параметра:
а) расстояние р(Л/, Мх); б) расстояние р(М, М2).
2.330.	Составить параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке Л/о (х0, у0). принимая в качестве параметра t угол между осью Ох и вектором М0М, отсчитываемый против часовой стрелки.
2.331.	Составить параметрические уравнения окружности х 2 +у 2 = 2Rx, принимая в качестве параметра полярный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох. а полюс находится:
а) в начале координат; б) в центре окружности.
В задачах 2.332—2.340 требуется исключением параметра t найти уравнения заданных кривых в виде F(x, у) = 0 и построить эти кривые.
2.332.	х=-1+2/, у=2 —/, /е(—оо, + оо).
2.333.	x=t2-2/+1, у=г-1, /е(—оо, + оо).
2.334.	х= —1+2cos/, y=3+2sinz, te [0, 2л).
2.335.	х=a cos t, у=b sin t, te [0, 2л).
2.336.	x= 1+2sec/, y=-l+tg/, /е(-л/2, л/2).
2.337.	x=^/+0, j,=|(/-0. te(0, +oo).
2.338.	x = 2Rcos2/, y=/?sin2t, /е [ —л/2, л/2).
2.339.	x = Rsin2/, у=2/?sin2/, te [0, л).
2.340.	x=-2pctg2/, y=2pctg/, /е(0, л/2].
I Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	97
2.341.	Составить параметрические уравнения эллипса
принимая в качестве параметра t угол между
осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки.
2.342.	Составить параметрические уравнения гиперболы
1,	принимая в качестве параметра t угол между осью Ох
и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки.
2.343.	Составить параметрические уравнения параболы у2 — 2рх, принимая в качестве параметра:
а)	ординату у;
б)	угол между осью Ох и вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки;
в)	угол между осью Ох и фокальным радиус-вектором FM, отсчитываемый против часовой стрелки.
5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее приложениях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер, приведены уравнения и указаны основные геометрические свойства ряда специальных кривых (алгебраических и трансцендентных), встречающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений этих кривых может быть предложен в качестве задач повышенной трудности при изучении курса аналитической геометрии. Достаточно детальное изучение формы кривых может быть выполнено с привлечением методов дифференциального исчисления.
1.	Спирали', спираль Архимеда г=а<р (рис. 11), гиперболическая спираль r=ajty (рис. 12), логарифмическая спираль r = av (рис. 13); стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее возрастанию ф.
2.	Лемниската Бернулли (х2Уу2)2 = 2а2(х2 — у2) (рис. 14), или г2 = 2а2соз2ф (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: |F,M| |F2M| = const = н2, где Р\(~а, 0), Б2(а, 0).
3.	Циссоида y2(2R — x) = x3 (рис. 15), или г = 2/^фзтф (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: для всякого луча ф = ф0 (ф0б(-п/2, п/2)) |ОЛ/| = |5С|.
98
и
O^a^l
Рис. 13
4.	Конхоида x2y2 + (x+a)2(x2-b2) = 0 (рис. 16), или г = -^—±Ь (полюс помещен в точку А( — а, 0). Характеристическое свойство: для всякого луча ф = ф0 (фое(-л/2, л/2)) | ВМ| = | ВЛ'| = const=/>.
5	Строфоида	х2 ((х+а)2+у2) = а2у2	(рис. 17), или
т=---- +с^ф (полюс помещен в точку А(—а, 0)). Характеристичес-
СО5ф
кое свойство: для всякого луча Ф = ФО	(фсе( —л/2, л/2))
\ВМ| = | B1V| = | ОВ\.
6.	Улитка Паскаля (х2 +у2 — 2ах)2 = Ь2(х2 +у2) (рис. 18), или г=2асо?ф±Л (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: для всякого луча ф = ф0 (<рое( —л/2, л/2)) | ВЛ/| = | ВЛ'| = = const = b.
7.	Четырехлепестковая роза (л'2+у 2)3 = 4а2х2у 2 (рис. 19), или г=а|5ш2ф| (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок [/IB] постоянной длины 2а, движущийся так, что концы ею все время находятся на координатных осях.
8.	Астроида x = acos3 t, y-asm3t, te [0, 2л), или х2:3 +у2'3 = а213 (рис. 20). Характеристическое свойство: всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра [РМ ] к отрезку [АВ ] постоянной длины а, движущемуся так, что концы его все время находятся на координатных осях.
9.	Эвольвента (развертка) окружности х = а (cos t -I-1 sm t), y = «(sint — (cost), / e [0, + oc) (рис. 21). Характеристическое свойство: каждая точка М этой кривой есть конец нити, которая, оставаясь натянутой, разматывается с окружности х2 +у2 — а2 (в начальный момент конец нити находится в точке А (а, 0).
10.	Циклоида (t —sin г), у = =«(1-	4-х) (рис. 22).
Рис. 14
99
100
101
Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по оси Ох (в начальный момент точка М находится в начале координат).
11.	Эпициклоида x—(a + b)cast~ a+b	. а+Ь
—a cos----t, y=VJ+6)sint—asm----г.
re [0, +oc) (рис. 23). Характеристическое свойство: кривая совпадает с тра-т*у*а=0 екторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения рис 7g	по окружности х2 +у2 — Ь2, оставаясь
вне ее (в начальный момент точка М находится в положении А(Ь,0). В частном случае а=h соответствующая кривая называется кардиоидой.
Ь — а
12.	Гипоциклоида	x=(b — a)cos t + acos-t,	У = (Ь—a)sin t—
—asm------t. te [0, -t-oo) (рис. 24). Характеристическое свойство: ври-
a
вая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по окружности хг+.г2=6 , оставаясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положении А (Ь, 0). В частном случае а = ЫА эта кривая совпадает с астроидой.
13.	Полукубическая парабола у3=ах2 (рис. 25).
14.	Петлевая парабола av2 = x(x — a)2 (рис. 26).
8a3
15.	Локон Аньези у=—^--z (рис. 27).
х2+4а2
16.	Декартов лист х3+у3 — Заху = 0 (рис. 28).
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
1- Уравеиения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Говорят, что поверхность S' в системе координат Oxyz имеет уравнение
F(x,y,z)=0,	(1
если выполнено следующее условие: точка М(х, у, z) принадлежит поверхности S в том и только том случае, когда ее координать х, у и z удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности Г(х, у, z)=fix, у)-г, то уравнение (1) может быть записано в виде
(2)
и в этом случае поверхность S' совпадает с графиком функции двух переменных f (х, у ).
Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия пересечения некоторых поверхностей У, и S2 (определяемых неоднозначно), т. е. заданием системы двух уравнений
F,(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0.	(3)
102
Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждая точка которой расположена вдвое ближе к точке А (2, 0, 0), чем к точке fi(—4, 0, 0). S- Если S—поверхность, заданная условиями задачи, то М(х, у, z)eS в том и только том случае, когда р(М, В)=2р(М, А) или ^-+4)2yy2yz2 = 2^(x-2)2+y2+z2.
Отсюда получаем
(a. + 4)*+^+z2=4((v_2)2+j,2 + z2),
3x2~24x + 3y2 + 3z2 = 0
или, выделяя полный квадрат в слагаемых, содержащих х, (л—4)2+y2+z2 = 16.	(4)
Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него видно, что заданная поверхность S есть сфера радиуса 4 с центром в точке Л/о (4, 0, 0). о
Пример 2. Исследовать форму кривой Г, заданной уравнениями f (л—l)2+y2+z2 = 36, } y+z = 0.
Определить вид ее проекции на плоскость Оху.
«а Кривая Г задана как линия пересечения сферы (л— l)2+y2 + z2 = 36 с плоскостью y+z=0 и, следовательно, есть окружность. Так как центр сферы С (1,0, 0) лежит в плоскости сечения y + z=0, то центр окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы, т. е. Л=4.
Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху. Исключая z из системы (5), получаем (л—1)2 + 2у2 = 36, или (х—I)2 у2
——-----= ОТС1°Ла заключаем, что искомая проекция—эллипс,
главные оси которого сонаправлены с осями Ох и Оу, центр находится в точке С (1,0), а полуоси равны а = 6, h=3y/2. о Установить, какие геометрические образы определяются заданными уравнениями:
2.344.	z+5 = 0.	2.345. x-2y + z-1=0.
2.346.	x2+y2 + z2 = 4. 2.347. (х-2)2+у2+ (z + 1)2= 16.
2.348.	2x2+y2 + 3z2=0.	2.349. x2+4z2 = 0.
2.350.	x2 + 2y2 + 2z2 + 7 = 0. 2.351. x2-4z2 = 0.
2.352.	xz=0. 2.353. xyz=0.
2.354.	x2 - 4x=0. 2.355. xj-y2 = 0.
2.356.	Вывести уравнение поверхности, разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек Ft (2, 3, — 5) И F2(2, —7, —5) равна 13.
2.357.	Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек Fx(— а, 0, 0) И F2 (а, 0, 0) равна постоянному числу 4а2.
2.358.	Вывести уравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F^O, 0, —4) и F2(0, 0, 4) Равна 10.
103
2.359.	Вывести уравнение поверхности, модуль разнос iи расстояний от каждой точки которой до точек Ft (0, — 5, 0) и F2 (0, 5, 0) равен 6.
2.360.	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет сферу, найти ее центр С и радиус R:
?) х2+у2 + z2 —6z=0:
б)	v2-<-y24 z2—4х —2v-f-2z—19=0.
2 361. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев (обозначено: С—центр сферы, R—радиус, М, М2, Л/2, Л/3—точки на сфере):
а) С(-1, 2. 0), й = ?_; б) М(2, -1. -3), С(3, -2. 1);
в)	Mi (2, -3, 5) и Л/2(4, 1, -3)—конпы диаметра сферы;
г)	С(3, —5, —2), плоскость 2х —у—3z4-11=0 касается сферы:
д)	MJ3, 1, -3),	Л/2( —2, 4, 1),	М3(-5, 0, 0), СеР.
2x4 y-z4 3 = 0.
2.362.	Составить уравнение сферы, центр которой лежит на прямой
Г 2х+4у—z —7 = 0,	<
I 4x+5y+z-14 = 0
и которая касается плоскостей	х + 2у — 2z — 2 = 0	и
x + 2y-2z4 4 = 0.
2.363.	Составить уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями
Зх — 2y + 6z — 8=0, х = 0, у=0, z=0.
2.364.	Составить параметрические уравнения диаметра сферы x2+y2+z2— 2х — 6y+z—11=0, перпендикулярного к плоскости 5х—y + 2z—17 = 0.
2.365.	На сфере (х- l)24(y+2)24-(z-3)2 = 25 найти точю Мо, ближайшую к плоскости Зх—4z+19 = 0, и вычислил расстояние от этой точки до плоскости.
2.366.	Определить, как расположена плоскость относительно сферы (пересекает, касается или проходит вне ее), если плоскость и сфера заданы уравнениями:
a) z = 3, х2 +у2 +z2 — 6х+2у—10z + 22 = 0;
6)j=l, x2+y2+z2+4x—2у —6z + 14=0;
в) х = 5, x2+y2 + z2 — 2x+4y — 2z —4=0.
2367. Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями:
104
2.368.	Найти центр и радиус окружности:
, i x2+y2+z2 = l0y,
| x+2y + 2z—19 — 0;
f (х—3)2+(y-r2)2 + (z—1)2 = 100, ь> | 2x~2y~z + 9 = 0.
Ф Центр окружности есть проекция центра сферы на плоскость.
2.369.	Найти проекцию на плоскость z = 0 сечения сферы х2+у 2 + z2=4(x — 2у — 2z) плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к прямой х — д, y+z = <J.
2.370.	Точки Л(3, —2,5) и Й( —1,6, -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1, —4, 1). Составить уравнения этой окружности.
2.371.	Составить уравнения окружности, проходящей через три точки Л/ДЗ, -1, -2), М2(1, 1, -2) и ЛГ3(-1, 3, 0).
2.	Ал1ебраические поверхности второго порядка. Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность Л, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz+2Fyz + Gx + Hy+Iz + K=0, (6) где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю (в противном случае 5—алгебраическая поверхность первого порядка, т. е. плоскость).
Может оказаться, что уравнение (6) определяет так называемую вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостvh). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием декарюьой прямоугольной системы координат ее уравнение ((>) может быть приведено к Омлоы/ из указанных ниже видов, называемых каноническими и определяющих тип поверхности.
х2 у2 z2
1. Эллипсоид: -^+~Ч—т=1 (рис. 29).
' а2 Ь2 с2 2.	Гиперболоид а)	однополостный: --7+77-а- Ь2 X1 V2 б)	двуполостный:	— х2 3.	Конус второго порядка: — 4.	Параболоид	? а)	эллиптический: —+ —== а2 b б)	гиперболический: 5.	Цилиндр второго порядка а) эллиптический: ~+~^ =	Z2 —j=l (рис. 30, а); Z2 -1 (рис. 30, б). +^j-^=0 (рис. 31). b с z (рис. 32, ц); = z (рис. 32, б). 1 (рис. 33, а);
105
Рис. 31	Рис. 32
Рис. 33
106
б)	гиперболический:	1 (рис. 33, б);
в)	параболический: у2 = 2рх, р>() (рис. 33, в).
Общие методы приведения уравнения (6) к каноническому виду опираются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4 § 3 гл. 4. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка с использованием их канонических уравнений.
Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений.
Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением
16 25
<1 В сечении поверхности горизонтальной плоскостью z = A имеем кривую Г*, проекция которой на плоскость Оху определяется уравнением
16+25 2
(8)
Уравнение (8) при А >2 не имеет решений относительно (х, у). Это означает, что соответствующее сечение пусто, т. е. рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости z = 2. При А<2 уравнение (8) определяет эллипс с полуосями a=4x/2—h и Ь=5 у/2—h, вырождающийся в точку х=у=0 при h=2. Заметим, что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями z = h^2, подобны между собой ^-= const = -^, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно и монотонно возрастают.
Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз поверхности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если рассмотреть сечения координатными плоскостями Оху и Oyz. Сечение плоскостью Oxz: у = 0 дает кривую х2=16 (2 —z), т. е. параболу с параметром р = 8, вершиной в точке л = 0, z=2 и ветвями, направленными в сторону убывания значений z. Наконец, сечение плоскостью Oyz: л = 0 дает параболу ,	25
у =25(2 — z) с параметром р =—, вершиной в точке у=0, z=2 и аналогично направленными ветвями.
Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изобразить заданную поверхность (рис. 34).
Заданная поверхность есть эллиптический параболоид. Преобразование координат
x46(2-z]
107
(которое сводится к сдвигу начала в точку (0, 0, 2)—вершину параболоида и обращению направления оси Oz) приводит его исходное уравнение (7) к каноническому виду
16	25
Установить тип заданных поверхностей и построить
их:
2.372.
2.373.
2.374.
2.376.
16
2.378.
2.380.
9	4 25
x2+y2-z2	.	------
х2 +y2 = 2az, а#0. 2.377. x2—y2=2az, а^О.
36
2.379. x2 = 2az, а#0.
z=2+x2+y2.
2.381.------—= 6z.
2.382. x2+y2-z2=4.
2.384*. Доказать, что
уравнение z=xy определяет конус с вершиной в начале координат.
2.385*	. Доказать, что уравнение z=xy определяет гиперболический параболоид.
2.386.	Назвать и построить поверхности:
2.387.	Составить уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида y2 + z2 = x плоскостью х + 2у — z=0.
2.388.	Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями:
2z,
а) 1
I 3x-y + 6z —14 = 0;
-2z,
х-2у + 2 = 0.
2.389. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
• Перейти к параметрическим уравнениям прямой.
2.390.	Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку, найти ее координаты:
108
a) T+y = 2j,
2x—2y—z—10 = 0;
8T + 36-9 “1;
5x + 2z + 5 = 0;
4x—3j+12z—54=0.
2.391.	Доказать, что плоскость 2x— 12v—z +16=0 пересекает гиперболический параболоид x2—4y2 = 2z по прямолинейным образующим (т. е. прямым, целиком лежащим на этой поверхности). Составить уравнения этих образующих.
2.392.	Доказать, что плоскость 4х—5у— 10z — 20 = 0 пе-х2 у2 Z2
ресекает однополостный гиперболоид —+ —=1 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих образующих.
3. Классификация поверхностей по типу преобразований пространства. Выделяют три класса поверхностей: цилиндрические, конические и поверхности вращения,— инвариантных относительно преобразований соответствующего типа.
Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, инвариантная относительно преобразований параллельного переноса Т (tq), определяемых любым вектором, коллинеарным некоторому вектору q (/, т, п). Из этого определения следует, что если точка Мо (х0, у(), z0) принадлежит цилиндру 5, то и вся прямая х-х0 у-у0 Z-Zo
—j——-------=----- также принадлежит этому цилиндру.
Принята следующая терминология, всякая прямая, коллинеарная вектору q (Z, т, и), называется осью цилиндра S; прямые х-х0 У~Уо z-z0
—-—=-------=-----, М0(х0, у0, z0)eS, целиком принадлежащие ци-
I т п
линдру, называются его образующими', всякая кривая Г, лежащая на цилиндре и пересекающая все ею образующие, называется направляющей этого цилиндра.
Пусть q(l, т, п)—любой вектор, коллинеарный оси цилиндра S, а направляющая Г задана уравнениями
Fi (х, у, z) = 0, F2 (х. у, г) = 0.
Точка М (х, у, z) принадлежит цилиндру 5 в том и только в том случае, когда существует число t такое, что точка с координатами x + tl, y-ytm, zFtn лежит на образующей Г, т. е.
FJx+tl, yFtm, z+ln)=0, '	(10)
F2{x+tl, y+tm, z+tn) = 0.
Исключая параметр t из системы (10), получим соотношение вида F(x, у, z)=0, которое и является уравнением заданного цилиндра.
Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого совпадает с координатной осью Oz, а направляющая задана уравнениями F(x, у) = 0, z—/1 = 0.
109
<1 Полагая q=k (0, 0, 1), получим систему (10) в виде F (х, у) = 0, z + t — h = 0. Этот результат означает, что точка М (х, у, z) принадлежит цилиндру в том и только том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют уравнению F(x, у) = 0 при произвольном значении координаты z Следовательно, уравнение F(x, у) = 0, описывающее проекцию направляющей на плоскость Оху, и есть уравнение заданного цилиндра, с-
Построить заданные цилиндрические поверхности:
2.393. y2+z2 = 4.
2.395. х2+у2 = ах.
2.397. z=4—л-2.
2.399. х2-z2 = 0.
2.401. xz=4.
2.396. x2 = 6z.
2.398. x2-xy=0.
2.400. y2 + 2z2 = 0.
2.402. y2+z2=-z.
2.403.	Составить уравнения трех цилиндрических поверхностей, описанных около сферы x2 + y2+z2—2ax=0 с осями, параллельными соответственно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) оси Oz.
2.404.	Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность
P2+(j+2)2+(x-1)2 = 25, (x2+y2+z2 = 16
на плоскость: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
2.405.	Найти уравнение проекции окружности
(х+ l)2+(y+2)2+(z-2)2 = 36, x2+(y + 2)2+(z—1)2 = 25
на плоскость: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
2.406.	Составить уравнение поверхности, каждая точка которой одинаково удалена от прямой х=а, у = 0 и плоскости Oyz. Построить поверхность.
2.407.	Составить уравнение цилиндра, если:
а)	ось коллинеарна вектору q (1, 2, 3), а направляющая задана уравнениями у2=4х, z = 0;
б)	ось коллинеарна вектору q(l, 1, 1), а направляющая задана уравнениями х2+у2=4х, z = 0.
2.408.	Сфера x2+y2+z2 = 4z освещена лучами, параллельными прямой х = 0, y = z. Найти форму тени сферы на плоскости Оху.
2.409.	Построить тело, ограниченное поверхностями у2=х, z=0, z = 4, х=4, и написать уравнение диагоналей грани, лежащей в плоскости х = 4.
Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, инвариантная относительно преобразований гомотетии Н (к, Л/о) с произвольным коэффициентом к и центром в некоторой точке Мо (хо, у0, z0), называемой вершиной конуса. Из этого определения
ПО
следует, что если точка 1И1 (хь уь Zi) принадлежит конусу, то вся Х-Х, .)’->! z-z,
прямая ----=--------=------, проходящая через эту точку и вер-
-V]—Хо .Vi —У’о г1~~о
шину Мо и называемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая кривая Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие, называется направляющей этого конуса.
Пусть задан конус 5 с вершиной Мо (х0, у(|, zo) и направляющей Л(х,у,;)=0. F2(x,y,z)=0.
Точка М (х, у, z) принадлежит конусу S' в том и только том случае, когда существует число I такое, что точка с координатами x + t(x—Хо), y + f(y—у0), z+t(z~z0) лежит на образующей Г, т. е.
• f Л(х+г(х-х0), у + ф’-Уо). с + ф-со)) = О, ( F2(x+r(x-x0), у + ф’-у0), z+r(z-zo))=0.
Исключая параметр t из системы (II), получим уравнение конуса в виде F(x, у, z) = 0.
Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке Л/о (xG, у0, z0), а направляющая задана уравнениями F(x, у) = 0, z—/1 = 0.
Система (И) при этих условиях принимает вид f F(x + t(x-x0), у+ф-уо))=0, ( z + l(z-zo)-/i = 0.
/1-Z (/i-z0)-(z-z0) h-z0
Из второго уравнения t=----=------------- -	-----1, что после
z-Zq z-z0 z~z0 подстановки в первое уравнение дает
гГх0+(/1-z0) —-—, у0+(/1-ф ——^=0.	(12)
\	z —z0	z— Z0J
Уравнение (12) и есть уравнение заданного конуса. В частном случае xf,=y() = z(l = 0 (вершина конуса находится в начале координат) уравнение конуса принимает вид
г(^/1|, /1^=0.	(13)
Заметим, что уравнение (13) однородно относительно х, у и z (т. е. не меняется при замене л, у и z на rx, ty и tz при произвольном t т^О), а уравнение (12) однородно относительно х—х0, у—у0 и z—zQ.
2.410.	Пусть функция трех переменных F(x, у, z) однородна относительно х9 у и z, т. е.
W03.seR(F(/x, ty, tz) = tsF(x, у, z)).
Показать, что уравнение F(x, у, z)=0 определяет конус с вершиной в начале координат, причем для любого h кривая
есть его направляющая.
III
2.411.	Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями:
х2+у2=а2,
x2+(y—6)2 + z2~25,
а)
z = h;
Построить соответствующие конусы.
2.412.	Составить уравнение конуса, если заданы координаты вершины Мо и уравнения направляющей:
а)	Л/о(0, —а, 0), х2 = 2ру, z = h;
б)	Л/о(0, 0, с), J+p=l, ?=о;
в)	Л/о(0, —а, 0), x2+y2+z2 = a2, y+z = a;
г)	Л/о(3, -1, —2), x2+y2-z2 = l, x—y + z = 0.
Построить соответствующие конусы.
2.413.	Построить конус, определить его вершину и направляющую в плоскости z=h, если конус задан уравнением:
a) x2+(y-h)2-z2 = 0; б) x2 = 2yz.
2.414.	Составить уравнение кругового конуса, для которого оси координат являются его образующими.
2.415.	Составить уравнения проекций линии пересечения сферы x2+y2 + z2—a2 с конусом х2+у2 — z2=0 на координатные плоскости:
а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
2.416.	Источник света, находящийся в точке Мо(5, 0, 0), освещает сферу x2+y2 + z2=9. Найти форму тени на плоскости Oyz.
Поверхностью вращение называется поверхность, инвариантная относительно поворотов R (гр, и) на любой угол <р вокруг некоторой фиксированной оси и. Эта поверхность может быть получена вращением вокруг оси и кривой, получающейся в сечении поверхности любой плоскостью, проходящей через эту ось
Примерб. Вывести уравнение поверхности, образованной вращением кривой F(x, z)=0, у — 0 вокруг оси Oz (рис. 35).
-а Сечение поверхности произвольной плоскостью z—z0 есть окружность с центром в точке С(0, О, z0) радиуса х0, причем F(x0, zo)=0. Поэтому для произвольной_точки М (х, у, z) этой окружности имеем: z=z0 и р(Л/, Oz) = x/x2+y2 = x0. Подставляя эти равенства в соотношение F(x0, zo) = 0, получаем
(14)
112
Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности вращения t>
2.417.	Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой z=x2, >’=«:
а> вокруг оси Oz; б) вокруг оси Ох. Достроить обе поверхности.
2.418.	Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой z=y, х = 0:
а) вокрут оси Оу; б) вокруг оси Oz.
Рис. 35
Построить обе поверхности.
2.419.	Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oz:
а)	кривой z—e~x2, j’ = 0;
б)	кривой Z=~7, j=0.
Построить обе поверхности в левой системе координат. д.2 y2 + z2
2.420.	Показать, что	—=1 есть уравнение повер-
а Ъ
хности вращения с осью вращения Ох. Написать уравнение кривой в плоскости z = 0, вращением которой получена эта поверхность.
X 2 4- у 2 z 2
2.421.	Показать, что -—5--j=l есть уравнение повер-
хности вращения. Найти ее ось вращения и уравнения какой-нибудь кривой, вращением которой образована эта поверхность.
Глава 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определители
1. Определители 2-го и 3-го порядков. Квадратная таблица
, . .	011 «12 I
detX=	=«ii«22 —«iiOii-
) Ozi а22 I
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определителем 3-го порядка называется число
1011 012 о13
«21 «22 «23 =«11 «22Озз + О21Оз2«1з +
031	«32	«33
4“ «12 «23 «31 “ «1 3«22 «31 — «12 «21 «33 — «11 «23«32 *	0)
Определители 3-го порядка обычно вычисляются с использованием следующего правила Саррюса: одно из трех слагаемых,
входящих в правую часть (I) со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы А, каждое из двух других —произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы (рис, 36, п), а слагаемые, входящие в (I) со знаком минус, строят cJ таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали (рис. 36, б).
составленная из четырех действительных (или комплексных) чнсе i, называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2 . о порядка, соответствующим матрице А (или просто — определите.,( и матрицы А), называется число
114
Вычислить определители 2-го порядка:
Решить уравнения:

3.8.
sin 8л:

3.10*. Доказать, что при действительных a, b, с, d корни I а-х c+di I
уравнения	=0 действительны.
3.11. Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны (т. е. чтобы элементы одной строки получались из соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число). То же верно и для столбцов.
Вычислить определители 3-го порядка:
115
Решить уравнения:
3.19.	I з х -х I 3.20. I х х+1 х + 2 I
2	-1	3 =0.	х+3 х+4 х+5 =0.
| х+10	1	1 j	I х+6 х+7 х+8 I
Решить неравенства:
3.23.	Доказать следующие свойства определителя 3-гс порядка, используя его определение:
а)	если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (т. е. транспонировать матрицу), то определитель не изменится;
6)	если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;
в)	если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки (столбца) определителя равны, то он равен нулю;
г)	если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором—вторые слагаемые;
д)	если одна строка (столбец) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
Используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 3.23, доказать следующие тождества (определители не развертывать):
3-24.	at+bix	ai—btx	с i	«1	6i	Ci
a2 + b2x	a2 — b2x	c2	= — lx	a2	b2	c2	.
| o^ + b^x a$—b2x c3 |	| o3 b2 c3 |
3.25.	at + biX	aix+bi	Ci	6i	Ci
I	a2 + b2x	a2x+b2	c2	I	— (1—X^) I	o2	b2	c2
|	a3 + h3x	a2x+b2	c3	|	|	e3	b2	c2
116
3.26*	- I 1 a a3 I	Ilea2
1 b A' I =(a + /> + c) 1 b b2 | 1 c c3 J	J 1 c c2
Вычислить следующие определители, используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 3.23:
3.29.	sin2 a	cos 2a	cos2 a 3.30. sin2 a	1	cos2 a
sin2p	cos2p	cos2P	.	sin2p	1	cos2 p
I sin2 у cos2y cos2 у |	| sin2 у 1 cos2 у
3.31.	Проверить, что определитель I л- у z
I X2 у2 z2 на х-у, y-z и z-jc.
3.32.	Проверить, что определитель
делится на л+у и на х2 — ху+у2.
3.33.	Построить график функции

1.	Определители л-го порядка. Всякое взаимно однозначное отображение л множества {1,2,..., и} первых п натуральных чисел иа себя называется подстановкой п-го порядка.
Всякая подстановка может быть записана в виде
Че a _ л(ук) — образ элемента ike {1, 2,п} при отображении л. фиксированной подстановки л существует много различных ^особое записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов
117
верхней строки. В частности, запись вида
называется канонической.
Говорят, что пара элементов (i,j) образует инверсию в подстанов-ке л, если i<j, но а,>аг Число а (л) всех инверсных пар определяет четность подстановки: подстановка называется четной, если л(л) -четное число, и нечетной, если л(л) — число нечетное.
Пример 1. Определить четность подстановки
<1 Перейдем к канонической записи (3)
и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1,4), (2,3), (2,4). (3,4), то з(л) = 4 и л —четная подстановка с»
Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной ма-
(или определителем матрицы А), называется число

где сумма берется по всем подстановкам л и-го порядка.
Для определителя и-го порядка выполняются основные свойства, аналогичные свойствам а) — д) из задачи 3.23.
3.34.	На множестве {1, ..., 6} найти подстановку л, если л (к) является остатком от деления числа Зк на 7. Определить ее четность.
3.35.	На множестве {1, ..., 8} найти подстановку л, если л (к) является остатком от деления числа 5к на 9. Определить ее четность.
Определить четность подстановок:
118
3.39.
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками:
3.40.	«43«21«35«12«54-	3.41. «61«23«45«36«12«54-
3.42.	«27«36«51«74«25«43«62- 3.43. «33«16«72«27«55«61«44-
3.44.	Выбрать значения i и к так, чтобы произведение
«62«.5«33«1 4«46«21
входило в некоторый определитель со знаком минус.
3.45.	Выбрать значения I и к так, чтобы произведение
«47«63«1 l«55«7k«24«31
ВХОДИЛО
3.46.
в некоторый определитель со знаком плюс. Найти члены определителя
содержащие х4 и х3.
Пользуясь только определители:
определением, вычислить следующие
3.47.
0	0	в1.„
о	а2,„
^3,п-2	Оз,и
3.48.
Оп>1 ... Ои,п-2 ^л,л-1 ®п.п
«11	«12	«13	«14	«15
«21	«22	«23	«24	«25
«31 «32	000
«41	«42	0	0	0
«51 «52	000
3.49.	Как изменится определитель, если:
а)	к каждой строке, кроме последней, прибавить послед-
нюю строку;
б)	из каждой строки, кроме последней, вычесть все Доследующие строки;
119
в)	из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку;
г)	его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»;
д)	первый столбец переставить на последнее место, а остальные передвинуть влево, сохраняя их расположение.
3. Основные методы вычисления определителей ичо порядка. Метод понижения порядка определителя основан на следующем cooi ношении (i фиксировано);
где	deM= £ alk		А °’*’,		(4)
	0.1	- О.Л-1	Ol.k+l	- О1п	
А «•*’=(-1)1+‘		1,1	... Ок-1. t 1,1	- «,+ !.*	* а +1 L,	- О.+ 1.»	(5)
			(1 Ь + 1	- ат	
называется алгебраическим дополнением элемента atk и представляет собой (с точностью до знака (— 1)' + к) определитель (и—1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и fc-ro столбца, на пересечении которых стоит элемент alk.
Соотношение (4) называется разложением определителя по ей строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу. Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).
Пример 2. Вычислить определитель
<1 Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу Имеем
I 0 — 1 -6	0 I	I _1 о I
D- °	“ .(-!)- 4-	10 “15 20
12 4 J 21	। 4	2|
Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме элемента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель второю порядка.
= —4( —90 + 540)= -1800
120
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 3. Вычислить определитель
Вычитая первую строку из всех остальных, получаем
Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.
Пример 4. Вычислить определитель Вандермонда
D„ =
-а Покажем, что при любом и (и ^2) определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей а,—ал 1 </</<«. Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррентных соотношений.
Действительно, при и = 2 имеем
1	* = п2-01.
|«1 о2|
Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда порядка и —1, т. е.
А,-1 = П («-«Л 1	I
Преобразуем определитель D„ следующим образом: из последней и-й строки вычитаем . (и—1)-ю, умноженную на и, вообще, последовательно вычитаем из fc-й строки (к —1)-ю, умноженную на et.
121
Получаем
o„-ot e„2-O!O„
0 a” l—aIa2 2 a"3	«1О3 1 ... a* *— сца"’
последний определитель по первому столбцу и вынесем
Разложим _____„_____ __________ .— ___,__j ______,j - _______
из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид
Р„=(о2-в1)(о3-а1)...(в1,-а1)
о2	«з	о4	...	ап
02	aj	04	...	а2
„п—2 „п-2 „п — 2	„п~2
а2 а3 ол ... о„
Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индукции, окончательно выводим:
P„=(o2-oi)(o3-ot)...(o„-oi)	{а,—а,)= П (а.~«Л
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу:
11021	1-1521
3.50. О 2 0 . 3.51.	0 7 0
1 2	0 3	I	I	1 2	О I
12	10	1	I	9	10	11 I
1	I	Х5-‘-!	:	U
122
123
Вычислить определители порядка п приведением их к треугольному виду:
	1	2	3 ... и		3 2 2 ... 2
	-1	0	3 ... и		2 3 2 ... 2
3.67.	-1 —2	0 ... п	. 3.68.	2 2 3 ... 2
	-1 —2 -3 ... 0		2 2 2 ... 3
3.69. Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями ay=mm(/, j).
3.70. Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями aij = max (i, j).
Вычислить определители порядка п методом рекуррентных соотношений:
3.71.	01	1	... 1			. 3.72.	2 1 1 2 0 1	0	.. 2	..	..	0 ..	0 ..	0	
	1 О1 1 0	0 а2	...	0 ...	0					
	1 0	0	о_		0 0	0 .	.. 2	
3.73. Вычислить			определитель					
		о"Г	1 а2 1	Оз 1	-	оГ*			
		с?	«2	Оз	ai			
			о2	Оз	а„			
3.74. Доказать, что для любого определителя выполняется								
соотношение								
V л № j) (det А, к—i, ={ о, м.
где — алгебраическое дополнение элемента (см. (5)).
§ 2. Матрицы
1. Операции над матрицами. Матрицей размера тхп или (тхл)-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел ау, i= = 1, 2, ..., т, у=1, 2, ..., и,
IO11 012 - О1»\ °21	°22	—	а2„ I
ami ат2 ... ат„1 состоящая из т строк и п столбцов.
124
Суммой А + В (тх п)-матриц А=(а,^ и Й=(ЛЧ) называется матрица С=(су) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А и В:
c,j=atJ+bij, i=l, 2, т, у=1, 2, п.
Произведением а А матрицы A={a,j) на число а (действительное или комплексное) называется матрица В=(Ьц), получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на а:
b,J = aa,l, i=l, 2, ..., т, 7=1, 2, ..., п.
Произведением АВ (т х п)-матрицы Л =(«,,) на (п В=(Л,7) называется (т х к )-матрица С=(с,Д элемент стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме
соответственных элементов i-й строки матрицы А и j-ro столбца матрицы В:
c,j= У, aivbyj, i=l, 2, ..., т, 7=1, 2, ..., к.
3.75.	Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами:
а)	Л +	Л+(В+С)=(Л + В) + С;
б)	(а+р)Л=аЛ + рл, а(Л + Я)=аЛ+аВ, (аР)Л=а(рл);
в)	А(ВС) = (АВ)С, A(B+Q=AB+AC.
хк}-матрицу которой су, произведений
Вычислить линейные комбинации матриц А и В:
3.76.	ЗЛ+2Д А^ j J),
3.77.	(1+/)Л+(1-г)В, Л = Г	J, В=|
Вычислить:

125
3.85.
3.86.
3.88.
cos a —sin а sin а cos а
Найти значение многочлена f(A)
от матрицы А:
3.90.	/(л) = Зл2—4, А
3.92.	/(л) = Зл'2 —2л + 5, Л =
Вычислить АВ—В А:
3.93.	А
3.94.	А=\
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Найти все матрицы, перестановочные с данной:
3.96.
3.99.	Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны нулевой матрице =
3.100.	Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны единичной матрице Е={	)
126
3.101.	Как изменится произведение АВ матриц А и В, если: а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы А,
б)	к i-й строке матрицы А прибавить j-ю строку, умноженную на число а,
в)	переставить i-й и j-й столбцы матрицы В,
г)	к i-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец, умноженный на число а?
Матрица /11 называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие Яу=Яд для всех i, j, где atJ и a,j—элементы матриц А и Ат соответственно.
3.102.	Доказать следующие соотношения:
а) (ЛТ)Т = Л; б) (Л + Я)Т = ЛТ+ВТ; в) (Л5)Т = 5ТЛТ.
Вычислить ААЛ и А'А для заданных матриц А:
3.103. (\	2	1	3\	3.104. ( 2	0	2	0
V	-1	5	-\)	\ о	-2	0	-2	0/
Квадратная матрица В называется симметричной, если J3T = J3. Квадратная матрица С называется кососимметричной, если СТ-—С.
3.105. Доказать, что любую матрицу А можно представить, и при этом единственным образом, в виде А-В+С, где В—симметричная, а С—кососимметричная матрицы.
2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) в противном случае Если А—невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А '1 такая, что
АА~1 = А~1А = Е,
где Е -единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица А ~1 называется обратной к матрице А.
Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.
Метод присоединенной матрицы. Присоединенная матрица Av определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А (см формулу (5) из § 1). Таким образом,
Справедливо юда следует,
равенство
A v А=АА v = det>l • Е.
что если А—невырожденная матрица, то
det Я
127
Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти А~1, если /1	2 -1)
-=□ Имеем dcM = —4 Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:
Поэтому
А'= 1—7	9	— 5|	и Л-1= —- Л v—I 7/4	-9/4	5/4
\-6	10	-б/	4	\3/2	-5/2	3/2/
Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
1)	перестановка строк (столбцов);
2)	умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3)	прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
Для данной матрицы Л и-го порядка построим прямоугольную матрицу Гл=(Л|£) размера их2и, приписывая к Л справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу Гл к виду (£|В), что всегда возможно, если Л невырождеиа. Тогда В=Л .
Пример 2. Методом элементарных преобразований найти Л -1 для
I3 2
<1 Образуем матрицу Гл:
Обозначив через у2, ,о _.с________
ними следующие преобразования: 1 2
строки матрицы Г\, произведем над
128
24
В результате последовательно получаем
/3	2	1	|	1	0	0\	/1	2/3	1/3	I	1/3	О	01
4	5	2	|	0	1	0 -	0	7/3	2/3	-4/3	1	0 -
\2	1	4	I	О	0	1/	\0	-1/3	10/3	I	-2/3	0	4/
/1 0	1/7	I	5/7	-2/7	01 /10	0	|	3'4	-7'24	-1/241
-О 1	2/7	-4/7	3/7	0 = 0 1	0	-1'2	5'12	-1/12 .
10 0	24'7	I	-6/7	1/7	1/ ‘00	1	I	-1/4	1/24	7/24/
Следовательно, (3/4 _7/T4 —1'241 -1/2	5/1? -1'1? . о
-1/4	1'2Д	7/24/
Методом присоединенной матрицы найти обратные для следующих матриц:
3.106.
3.107.
—sin а
sin а
3.109.
. 3.112.
3.113.
3\/5	1/^/5	-1/^/5 -ЗД/5
-3/^
Методом элементарных преобразований найти обратные для следующих матриц:
5 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	129
3.119.
10 о
2
О 1
3.120.
'ООО ... О и!
Решить матричные уравнения:
3.126. Доказать следующие равенства:
а) М J;
б) (АВ)~1—В~1А~1;
вНл-ТЧП-1.
Вычислить значение функции g(x) при х = А:
3.127. g(x) = x2 — 3x+2x~1—х~2, A = ^q Q.
\1 1 0J
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы
1. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность из п действительных (комплексных) чисел называется действительным (комплексным) арифметическим вектором и обозначается символом
Х = (*1> Х2> -> *")'
130
Числа xt, х2, .... х„ называются компонентами арифметического вектора х.
Над арифметическими векторами вводятся следующие операции.
Сложение: если
х=(хь х2,...,х„), у=(ь, у2,
ТО
X+J = (%1+J1, X2+j2,	xrt + v„).	(1)
Умножение на число: если X—число (действительное или комплексное) и х=(х1, х2, ..., х„)—арифметический вектор, то
Хх=(Ххь Хх2, Хх„).	(2)
Множество всех действительных (комплексных) арифметических «-компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1) и умножения на число (2) называется пространством арифметических векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается действительное пространство арифметических векторов, обозначаемое символом R".
Система арифметических векторов {хь ..., х,} называется шнейно зависимой, если найдутся числа Хь ..., не равные одновременно нулю, такие, что XjX] + ...+Xsxs=O (где 0=(0, 0, ..., 0)—нулевой вектор). В противном случае эта система называется линейно независимой.
Пусть Q—произвольное множество арифметических векторов. Система векторов ® = (еь .... ея) называется базисом в Q, если выполнены следующие условия:
a)	ekeQ, k=\, 2 ..., s;
б)	система ©=(е1,es) линейно независима;
в)	для любого вектора xeQ найдутся числа	такие, что
Х= i hek.	(3)
Формула (3) называется разложением вектора х по базису ®. Коэффициенты Хь .., 1я однозначно определяются вектором х и называются координатами этого вектора в базисе ®.
Справедливы следующие утверждения-
1) Всякая система векторов geR" имеет по меньшей мере одпн базис; при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозначаемого rang б или г (б).
2) Ранг всего пространства R " равен п и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса R" можно взять следующую систему:
«1=(1, 0,	0,	...,	0),
е2=(0, 1,	0,	...,	0),
е3=(0, 0,	1,	...,	0),	(4)
е„=(0, 0, 0, ..., 1).
Этот базис принято называть каноническим.
131
Зафиксируем произвольный базис ® = (еь е„) в пространств R". Тогда всякому вектору х можно поставить во взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.
Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обозначение, хотя следует помни 1ь, что координаты век юра совпадают с его компонентами только в каноническом бизнес.
Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в координатной форме выглядят следующим образом:
г =	= Y	(ozk = xk+yk, к-1, 2, ..., и),
y=hoY=).-X (<=-yt = Xxt, fc=l, 2, ..., и).
3.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обладают следующими свойствами:
la) x+j=j + x;
16) (x+j)+z = x+(j>+z);
1в) х+0 = х;
1г) Vx,j 3!z (x=j+z) (вектор z называется разностью векторов х и у и обозначается так: z = x— j);
2а) Х(рх)=(Хц)х для любых чисел А и р;
26) 1 х^х;
За) A(x+j)=Ax + Aj;
36) (А+ц)х = Ах + рх.
Заданы арифметические векторы; ак=(4, 1, 3, —2), а2=(1, 2, -3, 2), а3=(16, 9, 1, -3), а4=(0, 1, 2, 3), a5=(h -L 15, 0). Найти следующие линейные комбинации:
3.131.	Зя1+5я2—л3. 3.132. Я14-2й2— ^4— 2й5«
3.133.	2fli+4e3 —2я5. 3.134. 1/2а1 + За3 — 1/2я4.+я5.
Заданы те же. что и выше, арифметические векторы аг, а2, а3, 04., а5. Найти вектор х из уравнения:
3.135.	2х+я1 —2я2 —я5=0.
3.136.	ак — За5 + х+«3=0.
3.137.	2(а1-х) + 5(а4+х)=0.
3.138.	3(а3 + 2х)-2(а5-х)=0.
3.139.	Доказать, что линейно зависима всякая система векторов:
а)	содержащая два равных вектора;
6)	содержащая два вектора, различающихся числовым множителем;
в)	содержащая нулевой вектор;
132
г)	содержащая линейно зависимую подсистему.
Выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
3.140.	х1=(-3, 1, 5), х2=(6, -3, 15).
3.141.	xt=(l, 2, 3, 0), х2=(2, 4, 6, 0).
3.142.	Xj=(2, -3, 1), х2 = (3, -1, 5), х3 = (1, -4, 3).
3.143.	Xj=(l, Z, 2 — i, 3 + i), x2 = (l-Z, 1+Z, 1-3Z, 4-2Z).
3.144*	. Показать, что система арифметических векторов <-!=(!, 1, 1, 1, 1), е2=(0, 1, 1, 1, 1), е3 = (0, 0, 1, 1, 1), С4.=(0, 0, 0, 1, 1), е5=(0, 0, 0, 0, 1) образует базис в R .
Найти координаты заданного вектора х в базисе ® = (еь ..., е5) из задачи 3.144:
3.145*	*. х = (1, 0, 1, 0, 1).
3.146.	х=(5, 4, 3, 2, 1).
3.147.	Доказать, что если векторы а2, а3 линейно зависимы и вектор а3 не выражается линейно через векторы и «2, то векторы «) и «2 различаются лишь числовым множителем.
3.148.	Доказать, что если векторы ai, а2, ..., ак линейно независимы, а векторы а15 а2, ..., ак, b линейно зависимы, то вектор b линейно выражается через векторы ак, а2, ..., ак.
3.149.	Доказать, что упорядоченная система векторов аь а2, ..., не содержащая нулевого вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие.
2.	Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера тхл выбраны произвольно к строк и к столбцов (к^т'т(т, п)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к, определитель которой называется минором к-го порядка матрицы А.
Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля,— базисным минором.
Строки (столбцы) матрицы А размера т х п можно рассматривать как систему арифметических векторов из R" (соответственно R"1).
Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (столбцов); при этом система строк (столбцов) матрицы, содержащая базисный минор, ооразует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы.
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-ro порядка Л/, огличпый от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (fc-t-i)-to порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М; если все они равны нулю, то ранг ма!рицы равен к. В противном случае среди окаймляющих миноров наидчея ненулевой минор (й+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
133
Пример 1. Найти ранг матрицы
«а Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
Минор 3-го порядка
I 2 -4	3 1
М3= 1 —2	1,
10	1—11
окаймляющий минор Л/2, также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие М3, равны нулю:
Поэтому ранг А равен трем. с=-
Метод элементарных преобразований основан на том факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 2) матрицы не меняют ее ранга (см. задачу 3.158) Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме Он, а22, ..., ar, (r^min(n?, и)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен г.
Пример 2. Найти ранг матрицы
/О 2-4)
О 5-10
2	3 О
с Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь
134
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы. t=*
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
3.154. /1 2 3 0 —1\	3.155. /1+/	1-1 2+Зг \
0 1110.	/	1	2 I
\ 1 3 4 1 -1 I	1-1 — 1—1 3 — 2/ ‘
1 4	-41	10 + 21/
Чему равен ранг матрицы А при различных значениях к?
3.158.	Показать, что элементарные преобразования не
меняют ранга матрицы.
Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:
3.159.	(25 31 17	43	1 3.160. /47	-67 35	201	155 I
175 94 53	132	26	98 23	- 294	86 .
I 75 94 54 134 ‘ I 16 -428	1	1284 52 /
1 25 32 20 48 /
3.161.
124	19	36	72	-38 1
49	40	73	147	-80
73 59 98 219 -118 Г 47	36	71	141	— 72/
3.162.
17	-28	45	11	39
24	-37	61	13	50
25	—7	32	-18	-11
31	12	19	-43	-55
42	13 29 -55 —68,
3.163.	/1	2 31	3.164. / -1	3	3—41
4 5 6	14—7—2 I
17	8	9 1	-3	5	1	0]
\ 10	11 12/	\-2	3	0	1 /
135
Вычислить ранг матрицы:
3.171.	Доказать, что если произведение матриц АВ определено, то rane(^B)<min {rang A, rang В}.
3.172.	Пусть А—невырожденная матрица, а матрицы В и С таковы, что АВ, СА определены. Доказать, что rang (A R)=ran е В и rang (СА) = rang С.
3.173.	Доказать, что если сумма матриц А+В определена, то rang (А + В) < rang А + rang В.
Понятие ранга матрицы используется иля исследования линейной зависимости системы арифметических вектопов.
Пример 3. Выяснить, является ли система арифметических векторов «1=(2, — 3, 1), л2=(3. —1, 5), я3 = (1, —5, —3) линейно зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.
<1 Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются
Ранг А, как нетрудно видеть, равен 2 Следовательно, исходная система арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также равен 2 (по теореме о базисном миноре). Минор 2-ю порядка
отличен от нуля и потому может быть принят за базисный. Отсюда следует, что арифметические векторы at и а2 образуют базис исходной системы.
136
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
3.174.	Xj—(1, 1, 1, 1), х2 = {1, -1, -1, 1), х3=(1, -1, 1, -1), х4=(1, 1, -1, -1).
3.175.	xj=(4, -5, 2, 6), х2=(2, -2, 1, 3), х3=(6, -3, Й, 9), х4 = (4, -1, 5, 6).
Найти ранг системы векторов:
3.176.	-1, 0, 0), «2 = (0, 1, -1, 0), «з = (1, 0,
1, 1), «4 = (0, 0. 0, 1), й5 = (3, -5, 2, -3).
3.177.	«i=(l, i, -1, -i, 1), «2 = (1, -i, -1, i, 1), «з = (1,
Найти все значения X, при которых вектор х линейно выражается через векторы at, а2, а3:
3.178.	«1=(2, 3, 5), а2 = (3, 7, 8), «3 = (1, -6, 1), х = (7, -2, X).
3.179.	«1=(3, 2, 5), «2 = (2, 4, 7), «3 = (5, 6, X), х = (1, 3, 5).
3.180.	О1=(3, 2, 6), о2=(7, 3, 9), «3=(5, 1, 3), х=(к, 2, 5).
Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов:
3.181.	«1=(5, 2, -3, 1), «2 = (4, 1, — 2, 3), «3 = (1, 1, -1, — 2), «4 = (3, 4, -1, 2).
3.182.	«1 = (2, -1,	3, 5), «2 = (4, -3, 1,	3),	«З = (3,	-2,
3,	4), «4=(4, -1, 15,	17), «5= (7, -6,	-7,	0).
3.183.	«,=(!, 2, 3,	-4), «2 = (2, 3,	—4,	1),	«3 = (2,	-5,
8,	-3), «4 = (5, 26, — 9, -12), а5 = (3,	-4,	1, 2).
Найти ранг и все базисы системы векторов:
3.184.	«1 = (1, 2, 0, 0), «2 = (1, 2, 3, 4), «З=(3, 6, 0, 0).
3.185.	«1=(1, 2, 3, 4), «2 = (2, 3, 4, 5), «З = (3, 4, 5, 6), «4=(4, 5, 6, 7).
3.186.	в! = (2, 1, -3, 1), «2 = (4, 2, -6, 2), «з = (6, 3, — 9, 3), «4 = (1, 1, 1, 1).
§ 4. Системы линейных уравнений
1.	Правило Крамера. Пусть задана система п линейных уравнений с п неизвестными вида
или, в матричной форме, АХ=В, где
Правило Крамера. Если в системе (1) det/l=A:#0, т. е. матрица А имеет обратную А “1, то система (1) имеет, и притом единственное, решение
Х—А~1 В, или, в покомпонентной записи,
где Л,-—определитель, получаемый из определителя А заменой ьго столбца на столбец свободных членов.
Пример 1. Решить систему уравнений
Зх!+2х2+х3 = 5, 2xt- х2 +х3 = 6,
X! + 5x2	= —3.
Матрица Л = | 2
2 1 I
— 1 11 невырожденная, так как det А = —2^0.
5 0/
Присоединенная матрица Av имеет вид
-13
Следовательно,
е. *1=2, х2 = —1, х3=1.
Следующие системы решить по правилу Крамера:
3.187. Зх— 5у=13, 2х + 7у = 81.
3.189. 2<тх —ЗЛу = О, 3ax—6by = ab.
3.191. 2х+ у =5, х +3z=16, 5у— z =10.
3.188. Зх—4у=- 6, Зх+4у=18.
3.190. 7x+2y+3z=15, 5х— Зу +2z=15, 10x-lly+5z = 36.
3.192. х+ у —2z=6, 2x + 3y-7z=16, 5х+2у + z = 16.
138
3.193.
4xi +4х2 + 5х3 + 5х4 = О, |2xi + 3хз — х4 = Ю, \xi+x2-5x3	=-Ю,
\ Зх2 + 2х3	= 1.
3.195*	. Доказать, что
3.194.
2X1— х2 + 3хз + 2х4 = 4, 3xi +Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6, 3x1— х2 — х3 —2х4 = 6, Зх1~ х2 +3хз— х4 =6.
для любых различных чисел xi,
х2, х3 и любых чисел ji, у2, уз существует, и притом
только один, многочлен y=f(x) степени <2, для которого
/(x1)=j,-, г=1, 2, 3. Когда степень этого многочлена <2 (равна 1, равна 0)?
По заданным условиям найти многочлен /(х):
3.196.	/(1)= — 1, /(—1) = 9, /(2)=—3.
3.197.	Л(Х1)=8,Ь i, ;=1, 2, 3, 8O = |J’
Решить системы уравнений:
3.198.	5xi+8x2+ х3 =2, 3x1—2х2 + 6хз= —7, 2xi+ х2 — хз = — 5.
3.200.
2xi+2x2— Хз + х4 —4, 4xi +3х2— хз +2х4 = 6, 8xi + 5х2 —Зх3+4х4= 12, 3xi +3х2 —2х3 + 2х4 = 6.
3.202.
2х1 + 5х2 +4х3 + х4 -20 = 0, Xj+ Зх2 +2х3+ х4 —11=0, 2xt + 10х2 + 9х3 + 9х4-40 = 0, Зх,+ 8х2 +9х3 + 2х4 —37 = 0.
3.199.	2xi-Зх2+ хз = —7, Х1+4х2 + 2х3= -1, Х1-4х2	= —5.
3.201.
2х 1 + Зх2 +11хз + 5х4 = 2, xi+x2+ 5х3 + 2х4=1, 2xi+х2+ Зхз + 2х4=—3, xi+x2+ Зхз+4х4=—3.
3.203.
Зх3+4х2+ х3 +2х4 + 3 = 0, Зх! + 5х2 + Зх3 + 5х4+6=0, 6xj + 8x2+ х3 +5х4 + 8 = 0, 3xj + 5x2 + 3x3 + 7x4 + 8 = 0.
2.	Решение произвольных систем. Пусть задана система т линейных уравнений с п неизвестными общего вида
(2)

или, в матричной форме,
АХ=В,	(3)
Если В=О, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
139
Решением системы (2) называется всякий «-компонентный вектор-, столбец X. обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соответствующий решению X арифметический вектор xeR" также будем называть решением системы (2)).	/
Система называется совместной, если у нее существует ifo крайней мере одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Теорема Кронекера — Капелли. Для того чтобы система (2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
rang А = rang А,	(4)
где А = (А\В) расширенная матрица системы.
Пусть ran g А — rang А = г, т. е. система совместна. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых г (1 ^r^min(m, п>) стпоках и столбцах матрицы А. Отбросив последние т — г уравнений системы (2), запишем укороченную систему:
o1Ixl + ... + olrxr+ol,r+lxr+l + ...+«1„x„=ft1, ............................................... (5) arlXl +... + arrxr+artr+ixr+1 +... + а,„х„ =br,
которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х1; .... хг базисными. а хг+1, ..., х„ свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Получаем систему относительно базисных неизвестных:
а11х1 + ... + а1гхг = Ь1-а1,г+1хг+1-...-а1„х„,
arlx, +... + аггхг =Ьг-аГ'„ + ххг¥1
которая для каждого набора значений свободных неизвестных Xr+i= Ci..хп — с„-г имеет единственное решение xt(сь ..., с„_г), ...
... , xr(Ci, ..., с„_г), находимое по правилу Крамера. Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной систем имеет вид
Формула (6). выражающая произвольное решение системы в виде вектор-функции от и —г свободных неизвестных, называется общим решением системы Q).
Пример 2. Установить совместность и найти общее решение системы
2х2-Зхэ+ х4=1, 2xj +Зх2—4х3 —2х4 = 3.
140
Выпишем основную и расширенную матрицы системы:
Так \как rang А = rang А = 2 (проверьте!), то исходная система со
вестные хь х2— базисные, х3, х4—свободные, а укороченная система имеет вид
Полагая х3=сь х4=С2 и решая укороченную систему относительно базисных неизвестных, получаем
Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:
3.204.	х-^у= 1,	3.205. fix- 5у=У5,
fix- 3y = v5.	х-^=5.
3.206. 2х— у+ z=-2,	3.207. x+2y-4z = 1,
3xt —2х2 —5х3 + х4= 3,	х 1Т" х2 —6х3—4х4 = 6,
2x1—Зх2+ х3 + 5х4=—3,	3x1— х2 —6х3—4х4= 2,
xi+2xz —4х4=—3, 2xi + 3x2 + 9x3 + 2x4= 6, Xi— х2—4х3 + 9х4 = 22.	3xi+2x2 + 3x3-|-8x4= —7.
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
141
3.211.
3.210.
2х3+7х2+Зх3 + х4=6, 3xt—5х2+2х3+4х4=2, 3xt+ 5х2+2х3 + 2х4=4, 7x1—4х2+ х3 + Зх4=5, 9xi+4x2+ х3 + 7х4=2. 5xi + 7x2—4х3—6х4 = 3.
3.212.
3.213.
9л'1 — Зх2 + 5х3+ 6х4= 4, Зх1 + 2х2 + 2х3+2х4 = 2, , 6х1 — 2х3 + Зх3+ 4х4= 5, 2xi + 3x2 + 2x3 + 5x4 —3, / 3X1— х2 + Зх3 + 14х4= —8. 9xi+ х2+4х3 — 5х4= 1, j
2xi+2x2 + 3x3+4x4 = 5, 7xi+ х2 + 6х3 — х4=7.
3.214.	xi+ х2 + Зх3 —2х4 + Зх5 = 1, 2xi+2x2+4x3— х4+Зх5 = 2, 3xi + Зх2 + 5х3 —2x4 + 3xs = 1, 2xi+2x2 + 8x3 — Зх4 + 9х5 = 2.
3.215.	2x1— х2+ х3+2х4+ 3x5=2, 6X1 —Зх2+2х3+4х4+ 5х5 = 3, 6х j — Зх2 + 4х3 + 8х4+13х5 = 9, 4xt —2х2+ -*++ х4+ 2х3 = 1.
3.216.	12xi + 14х2- 15х3+24х4 + 27х5 = 5, 16xi + 18x2 — 22x3+29x4+37xs = 8, 18х 1 + 20х2—21х3 + 32х4 +41х3 = 9, lOxi + 12х2— 16x3 + 20x4 + 23xs = 4.
3.217.	24х3+ 14х2 + 30х3 + 40х4+ 41х5 = 28, 36xi+21х2+45х3+61х4+ 62х5=43, 48xi+28х2 + 60х3 + 82х4+ 83х3 = 58, 60х 1 + 35х 2 + 75х з+99х4 + 102х 5 = 69.
Исследовать совместность и найти общее решени висимости от значения параметра Л.:
3.218.	3.219.
5X1—Зх2 + 2х3+ 4х4 = 3, А.Х1+ х2+ х3+ х4=1, 4X1 —2х2 + Зх3+ 7х4=1, Х1 + Ъс2+ х3+ х4=1. 8x1—6х2— х3— 5х4 = 9, Xi+ х2+Лх3+ х4=1, 7xi — Зх2 + 7х3+ 17х4 = Л.. Xi+ х2+ х3 + ?.х4=1.
3.220.	2X1— х2 + Зх3+ 4х4= 5,
4X1—2х2 + 5х3+ 6х4= 7, 6X1—Зх2 + 7х3+ 8х4= 9, Xxi—4х2 + 9х3 + 10х4=11.
142
Л 3.221. (1 + Х)х!+ х2 +	х3 = 1,
\	х2+(1+Х)х2 +	х3 = 1,
\	X1 + х2 + (1+>.)х3 = 1.
\3. Однородные системы. Однородная система АХ—О всегда совместна, так как имеет тривиальное решение Х=О. Для сущест-воваиия нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r = rang/1<« (при т = п это условие означает, что \let/l = 0).
Пусть (JcR"—множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из и —г векторов е, е„_г. Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из § 3) система вектор-столбцов Е1; ..., Е„_г называется фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид
Х=с 3Е3 +...+сп~3Ек_г,
где Cj, ..., с„_г—произвольные постоянные.
Базисные решения Е1; ..., г могут быть получены методом, изложенным в п. 2, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.
Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующей однородной системы уравнений.
Зх3 + х2 — 8х3 + 2х4 + х5 = 0, 2х3 — 2х2— Зх3 — 7х4 + 2х5 = 0, х, + 11х2-12х3 + 34х4-5х5 = 0, xt — 5х2+ 2х3—16х4+Зх5=0.
о Матрица коэффициентов
-22
-8
-3
— 12
2
2
— 7
34
-16
имеет ранг г—2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор

Тогда укороченная система имеет вид
3xi+ х2=8х3—2х4—
2xi —2х2 = Зх3 + 7х4—2xs,
откуда, полагая х3 = с3, х4 = с2, х5 = с3, находим
7	25	1
~8C1+~8C2~2Ci'
143
Общее решение системы
X(cj, с2, с3)=
19 _3
ТС1“8'
7	25
Ил оощего решения находим фундаментальную систему решений -19/8 j	/ -3/8	/
-7/8 1	25/8
, +2=+(о, i,o)= о
+,=+(1,0.0)=
I 1/2
-1/2
Е3 =+(0,0,1) = О I О
С использованием фундаментальной системы общее решение может оьпь записано и виде л (ч, с2, с3}=с1Е1-гсгЕ3.+суЕъ. t>
3.Z22. Доказать, чю всякая линейная комбинация решений однородной сис.смы дровнсииИ Также является ее решением.
Найги фундамсн зольную систему решений и общее решение сЛСДуЮЩИл vMVIVrti.
3.223. %1+2л2— Хз = о, 2Х1+УХ2 — Злз=О.
3.225. 3xi+2x2 + х3 = 0, 2xi +5л2 + Зхз=0, Зх1+4х2+2хз=и.
3.224. Xi—2х2 —Зх3 = 0,
— 2х 1-+-4х2+6х3=0.
3xi —2х2+2хз=0.
3.227.
xi + 2x2+ 4х3— Зх4=0, Зх1+5л2+ 6хз— 4x4=0, 4х]+5x2— 2хз+ Зх4 = 0, 3xi +8х2-|-24хз — 19х4=0.
3.228.
2X1—4хг+ 5х3+ Зх4 = 0, 3x1—6х2+ 4хэ+ 2x4=0, 4X1 — 8х2 + 17х3 + 11х4=0.
3.229.	3xi+2x2+ хз + Зх4 + 5х5 = 0, 6х1+4х2 + Зхз + 5х4+7х5=0, 9х 1 + 6х 2 + 5х з + 7x4 + 9х з = 0, 3xi+2x2	+4x4 + 8xs=0.
144
Г3.230. %!	4-х3 4-xs =0,
х2 -х4	4-Х6 = 0,
I	Х1-Х2	4-xs-Х6 = 0,
\	Х2 + Х3	4-х6 = 0,
} Х1	-Х4+¥з	=0
31231. 5x14-6x2 — 2x3 + 7x4+4xs = 0,
I 2xi4-3x2- х34-4х44-2х5 = 0, .	’	7x14-9x2 —3x34-5x44-6xs = 0,
5x14-9x2 —Зх34- х44-6х5 —0.
3.232.	3xi4- 4x2 4- Хз4-2х44-Зх5 = 0, 5xi4- 7х24- х34-Зх44-4х5 = 0, 4X14- 5х24-2х34- x44-5xs=0, 7x14-10x24- хз4-6х44-5х5=0.
3.233*	. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц /30	-24 43	50	-5 \	/4	2 9	-20 -3 \
А = 9 -15	8	5	2 1, £= 1-112	13	4
\ 4	2	9 -20	-30/	\9	—15 8	5	2/
фундаментальную систему решений для системы уравнений
Зх14-4х24-2х34- х44- 6v5=0, 5xi 4-9х24-7хз4-4х44- 7xs = 0, 4x14-3x2— хз— x44-11xs = 0,
Xi 4-6х24- 8х34-5х4— 4xs=0.
Определить значения параметра а, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
3.234.	a2xi4-3x24-2хз = 0, 3.235. 2xt4- х24-Зх3 = 0, axi— х24- хз = 0,	4т1— х24-7х3=0,
8xi4- х24-4х3 = 0.	Х14-нх24-2х3 = 0.
Если задана неоднородная система АХ=В, то ее общее решение м хст оыть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ=О и произвольного частного решения неоднородной системы.
Найти общие решения неоднородных систем, используя Фундаментальную систему решений соответствующих однородных:
3.236.	2xi4- х2— Хз— х44- xs = 1, Xi- х24- х34- х4 — 2х5 = 0, Зх14-Зх2 —Зхз —3x44-4xs = 2, 4x14-5x2 —5х3 — 5х44-7х5 = 3.
145
3.237.	2xi — 2x2+ Хз — х4 + *5=1, %i+ 2x2— хз + Х4 — 2X5=1, 4X1 —10х2 + 5хз —5х4+ 7x5=1, 2xi — 14хг + 7хз —7х4+ 1 lxs= — 1.
3.238.
Х1— Х2+ Х3 — Х4 + Х5— Хб= 1,
2X1— 2хг + 2хз+х4—х5 + х6= 1.
3.239.	Х1+2х2 + Зхз+4х4 + 5х5 = 0, Xi— 2x2 — Зхз—4х4 — 5х5 = 2, 2хг + Зх з+4х4 + 5xs = — 1.
4. Метод последовательных исключений Жордана—Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой
столбцов расширенная			матрица		системы (2)	может	быть приведена
к виду	/1	0	... 0	а',	+ 1 «1„	ь\	
	0	1	... 0	а 2. г	+ 1 - а'гп	Ь’2	
	0	0	1	а' .	+ 1	... а'	Ь'г	(7)
	0	0	... 0	0	... 0	b'r+l	
	10	0	... 0	0	... 0	Ь'„ 1	
Матрица (7) является расширенной матрицей системы
+ а\ r+1xr+1 + ... + a'l„x„ = b'l,
+ a'2r+iXr+1 + ...+a'2„x„ = Z>2,
которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.
Если хотя бы одно из чисел Ь'г+1, .... Ь'т отлично от нуля, то системы (8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны Если же b'r+l = ...=b'm=O, то система совместна и формулы (8) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных хг, ..., хг через свободные неизвестные хг+1, ..., х„.
Пример 4. Методом Жордана—Гаусса найти общее решение системы
Xj—2х2	+ х4= — 3,
3xj- х2 —2х3	=1,
2xi+ х2 —2х3 — х4=4, X!+Зх2 —2х3 —2х4 = 7.
146
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы
квивалентной исходной. Считая xt, х2 базисными неизвестными, л3 и х4 свободными, получаем общее решение в виде
Методом Жордана — Гаусса исследовать совместность
и найти общее решение следующих систем:
3.240.
Xj+ 2х2+ Зх3 + 4х4 = 0, 7%1 + 14х2 + 20х3 + 27х4 = 0, 5xi + Юх2 + 16х3 + 19х4= —2, 3xi+ 5х2+ 6х3+13х4=5.
3.241.
Х1+Х2	=1,
-^i + x2+x3	=4,
х2+х3+х4	=—3,
х3+х4+х5 = 2, x4+xs=_i
3.242.	105x1 -175х2 - 315х3 + 245х4 = 84, 90xi - 150х2 -270х3 + 210х4=72, 75x1-125х2 - 225х3 +175х4 = 59.
147
3.243.
8%j + 12x2 = 20, <4x1+21x2 = 35, 9х3 + 11х4 = 0, 16х3 + 20х4=0, 10х5 + 12х6=22, 15x5 + 18^ = 33.
3.244.
7%!— 5х2 — 2х3 — 4х4=8, — Злд + 2хг + х3 + 2х4 = — 3, 2%1 — х2— х3— 2х4=1, — Х[ + х3 + 24х4=1, — х2 + А'з+ 2х4=3.
§ 5. Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры
1.	Операции над матрицами.
В задачах 3.245—3.248 составить на фортране указанные подпрограммы.
3.245.	Подпрограмма сложения двух матриц размера иг хи. Параметры: А, В, С, М, N. где А и В—двумерные массивы размерности MxN, содержащие исходные матрицы, С—двумерный массив размерности MxN для результирующей матрицы.
3.246.	Подпрограмма умножения матрицы размера тхп на число а. Параметры: А, М, N, ALFA, где А—двумерный массив размерности MxN. содержащий исходную матрицу перед обращением к подпрограмме и результат после выполнения вычислений, ALFA = <7.
3.247.	Подпрограмма перемножения двух матриц. Параметры: А, В. С, L, М, N, где А, В и С—двумерные массивы размерностей LxМ, MxN и LхN соответственно, содержащие исходные матрицы и результат.
3.248.	Подпрограмма транспонирования квадратной матрицы. Параметры: А, М, где А—двумерный массив размерности МхМ с исходной матрицей в начале вычислений и с результатом после вычислений.
3.249.	Даны матрицы
(0,625
1,25
0,625
-0,625
— 3,125' 0
1,25
0,625 >
( 0,625 -3,125 0,625 \
1,25	0	-1,25 j
0,625	1,25	0	Г
-0,625 0,625	3,125/
Найти АВ, ВЛ и АС. 148
3.250.	Даны матрицы
(2,5	-1.25	3.75 — 5	\	/2,8 6,4 3,6 1,8 \
4,125	-2,75	5,5	-4,125 |	1 2	5,6	2,4	1 |
8,125	-4,875	-3,25	1,625 I’	й 1 1,2	3,2	3	1.2 Г
5,25	-5,25	-1,75	3,5 /	\0,8 0,8 0,6 0.4/
Найти матрицы АВ, В А и Аг В\
3.251.	Используя подпрограммы, полученные в задачах 3.245—3.248, составить на фортране программу решения задач 3.249—3.250, а также одной из задач 3.78—3.86 и 3.90—3.92.
Метод обращения матрицы с помощью элементарных преобразований (рассмотренный в п. 2 § 2) может быть описан следующим образом:
1 0 ... 0 bfl b\"} ... />‘"„‘1
0 1 ... 0	*22 - *2"’’
0 0 ... 1	Ь1^ Ь™ ... Ь(£
где (b,,)= Е—единичная матрица, а элементы матриц («,?*) и (.6^’) связаны соотношениями
149
я}**=а}* 1>-Д^2т)ак* i=l, 2, ..., fc-1, fc + 1, ..., и, °"	j=k+	а£>=ал,
61*’ = b$	U, i=l, 2, ..., fc-1, k+1, ..., n,
3.252.	Составить на фортране подпрограмму обращения матрицы методом элементарных преобразований. Параметры: А, В, N, где А и В — двумерные массивы размерности NxN с элементами исходной и обращенной матриц соответственно. Сохранение массива А после вычислений не предусматривается.
В задачах 3.253—3.256 для заданных матриц А найти А
( 0,24	0,84	0,68	0,88 \
-0,84	0,24	-0,88	0,68 |
-0,68	0,88	0,24	-0,84	Г
-0,88 -0,68	0,84	0,24/
(-0,96875	0,0625	0,125	0,25	0,51
0,0625	-1,875	0,25	0,5	1 '
0,125	0,25	-3,5	1	2
0,25	0,5	1	-6	4
3.255. л |
126,4 35,2
44	61,6
16,5 22
(27,5 38,5
9,9 13,21
16,5 23,1 I
6,6 8,8 Г
11	15,4/
3.257.	Используя подпрограмму, полученную в задаче 3.252, составить на фортране программу решения задач 3.253—3.256, а также одной из задач 3.114—3.117 и 3.121" 3.126. При решении матричных уравнений в задачах 3.121 2.126 использовать подпрограмму задачи 3.248.
150
2.	Вычисление определителей. Определитель
а„/0


представим в виде
Л„=Лц Л„-1.
Элементы определителей Д„, Д„ ь где |«Й1
связаны соотношениями
и й<1к °/0 ПРИ всех к для Д„_1+1/0. Поэтому
Д.^ай... 4ГП... 4ГП
Если alt *’=0, то следует, учитывая изменение знака, поменять местами первую и некоторую другую строки определителя Д„_1+1 так, чтобы левый верхний элемент, называемый ведущим, не был равен нулю. Для повышения точности вычислений ведущим элементом нужно выбирать наибольший по модулю из всех элементов первого столбца каждого из определителей к=0, 1, ..., п —2.
Пример 1. Вычислить определитель
151
1	о
0,4375 1,75
О	4
° I 1,43751
П=5'м'1^
1,4375 I
-5 6’4'4 jo,4375 °S75|-5 М 4 ,да5-Ж “
3.2»8. Составить на фортране подпрограмму-функцию вычисления определителя порядка п. Параметры: A, N, где А—двумерный массив размерности NxN.
Вычислить определители:
3.259.
1,6 8,1
0,8 2,7
0,8 1,8
1464.1 62,5 240,1
133.1 12,5	34,3
24,2	5	9,8
5,5	2,5	3,5
24,7	5,5	10,3
3.260.
2,5	22,5	27,5
1,1	5,9	12,1
-2,5	27,5	-12,5
-1,1	13,1	-5,5
2,5	32,5	5
1,1	9,3	11,2
3.261.
2,15	1,14	1,23	1,48	1,05
4,3	1,71	2,87	3,7	2,73
6,45	2,85	4,51	5,92	4,41
4,3	-3,99	2,87	2,59	0.42
2,15	2,28	2,05	1,11	2,1
3.262. 1	11,697	1,5588	2,2361	1,3856 1
	2,9394 4,1243	3,1623	— 2,7713
	3 7947 6,9714	5	1,9596
	12,4	4,4091	3,1623	3,0984 j
3.263.	11,575	2,4	-0,5	-0,75 I
	2,1	-2,4	1,5	1,2
	1,75	-1.6	1,33	0,7
	10,84	-0,96	0,5	0,36 1
3.	264. Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 3.258, составить на фортране программу решения задач 3.259—3.263 и одной из задач 3.55—3.60.
152
3.	Системы линейных уравнений. Метод Жордана — Г а у с-с а (см. п. 4 § 4) в случае системы
£ ацх}—Ь„ 1=1, 2, п,	(1)
заключается в последовательном исключении неизвестных, причем после исключения (к— 1)-го неизвестного остаются уравнения
£	= i=k. к +1, п,	(2)
где
п=а<м	, к = о, 1.....п -1, а<0>=at],
b<°>=b..
a'S
Точность вычислений увеличивается, когда ведущие элементы имеют наибольший модуль в первом столбце матрицы системы (2).
При к = п в системе (2) остается одно уравнение, из которого вычисляется х„. Этим завершается прямой ход вычислений. Обратный ход состоит в последовательном нахождении хк по найденным ранее хк+1.	х„, к = п—\, п—2,	1
Пример 2 Решить методом Жордана — Гаусса систему урав-невий
5л,- х2 + х3 = 9,13,
2.V,- х2-5х3 = 25, -Л1+4х2- х3 = 43.
<з Последовательно исключая л, и .х2 и выбирая ведущими элементами наибольшие по модулю в соответствующих столбцах, получаем
х1-0.2х2 + 0,2х3 = 1,826, x1-0,2.v2 +0,2x3= 1.826, (*) - 0,6х2 + 4,6х3 = 21,348,	3,8х2 — 0,8л3 = 44,826,
3,8л2 - 0,8х3 = 44,826,	- 0,6х2 + 4,6х3 = 21,348,
х2 —0,2105х3 = 11,7963, (*)
4,4737х3 = 28,4258,	х3 = 6,3540.
Из уравнений, помеченных звездочкой, находим вначале х2 = 13,1338, потом л, =3,1820. о
3.265.	Составить на фортране подпрограмму решения квадратной системы линейных уравнений методом Жордана — Гаусса. Параметры: А, В, N, где А—двумерный массив элементов матрицы системы, В—одномерный массив, солер-
153
жащий свободные члены до обращения к подпрограмме и решение системы после вычислений, N — порядок системы
Решить следующие системы линейных уравнений:
3.266.	3,2*j + 5,4*2+4,2*3+ 2,2*4 =2,6,
2,1%!+ 3,2х2+3,1хэ + 1,1х4=4,8, 1,2*j + 0,4*2 — 0,8*3 — 0,8*4 = 3,6, 4,7*t +1 0,4*2 + 9,7 *3 + 9,7*4 = - 8,4.
3.267.	6,087*1 - 3,913*2 + 7,547*3 +1,734*4 = 3,21, 1,739xj + 0,869*2 +1,887*3 + 0,73*4 =6,35, 2,174*! —1,305*2 + 2,83*3 +1,04*4 =1,5, 4,5*! - 1,305х2 + 1,887*з+0,541*4= ~ Ь27.
3.268.	2,67*i + 5,1*2 +3,31*з+ 5,64*4+4,76*s = 6,19, 4,44*i+7,5x2 +4,67*3 + 5,7*4 +6,14*s = 6,95, 5,33*i + 9,8*2 +8,67*з + 4,8*4 +7,33*s= 12,2, 3,56*i + 5,3*2 + 4,15*з + 3,69*4 + 3,25*5 = 5,97, 1,78*i + 4,17*2 + 2,67*з + 4,69*4 + 3,75*s = 4,42.
3.269.	Используя подпрограмму, полученную в задаче 3.265, составить на фортране программу решения одной из задач 3.266 3.268, 3.190—3.194, 3.198—3.203, 3.208, 3.209.
Метод итераций. Если для системы (1) выполняются неравенства
l«„l > Z KI, 1 = 1,2, ..., п,	(3)
то ее решение +=^ • j удовлетворяет соотношению X- lim А"1*, т. е. *,= lim *[ч, 1=1, .... и, где компоненты вектор-столбца Х{К> определяются равенствами
*? = ₽.,
JC<‘+1>=pi+ £	1==1> 2, ..., п, к=0, 1, ...,
в которых $, — bJau, а„ = 0, ау= — а^/а,,.
Пр и м е р 3. Решить методом итераций систему
5*1 + 0,12х2 + 0,09х3 = 10, 0,08*!+ 4*2-0,15*3 = 20, 0,18*!-0,06*2 + 3*з=-4,5.
с Система удовлетворяет условиям (3), и на главной диагонали матрицы располагаются наибольшие по модулю элементы строки-
154
Приведем систему к нормальному виду: xt = 2 — 0,024х2 —0,018х3, хг = 5 - 0.02х,+0,03х3, лу= —1,5— О.Облу+О.ОЗлу.
( 2 \
Выберем нулевое приближение Л'<0*=1	5 | и найдем Л'"’, Х<2\ Х,Э):
х\" = 2 —0,024 • 5—0,018 •(—1,5)= 1,907,
К	х<2*>= 5 - 0,02-2+0,03 (-1,5) = 4,915,
К	х^-1,5- 0,06 2+0,02-5	=-1,52;
*	х[2)= 2 —0.024-4,915— 0,018 •(—1,52)= 1,90940,
х<22> = 5 - 0,02 1,907+0,03 (-1,52) = 4,91626, х<32>=-1,5- 0.06 1,907 + 0,02-4,915	=-1,51612;
43>= 2 -0,024 -4,91626 — 0,018 (-1,51612)= 1,9092999, хф = 5 - 0,02-1,90940 + 0,03 (-1,51612) = 4,9163284, - 1,5- 0,06-1,90940 + 0,02-4,91626	=-1,5162388.
Первые три знака после запятой в Х(2) и Х(3* одинаковы, поэтому с точностью до 10 "3 решением системы является вектор
/ 1,909 \ ЛГ= 4.916 . t> I -1,516/
3.270.	Составить на фортране подпрограмму решения линейной системы уравнений методом итераций. Параметры: А, В, X, N, EPS, где А—двумерный массив элементов матрицы системы, В—одномерный массив, содержащий свободные члены, X- одномерный массив с решениями системы, N — порядок системы, EPS—предельная абсолютная погрешность.
Решить методом итераций системы:
3.271.	4,1 х, + 0,1 х2 + 0,2л3 + 0,2х4 = 21,14, 0,Злу + 5,Зл2+0,9л-3 —0,1х4 = —17,82, 0,2xt + 0,Зл2 + З,2л3 + 0,2л4 = 9,02, 0,1лу + 0,1х2+0,2х3- 9,1х4= 17,08.
3.272. 2,4л1+0,2л2 —0,Зл3— 1,1х4 + 5,8л5 = 23,84,
0,Злу + 0,1 х2 +1,1 х3 +1 0,2х4 + лу = 38,85, 0,5х2 -6,2л2 + 0,1л3+ 1,5лу — 1,2лу = 17,23, 0,lxt + 2,lx2 + 5,lx3+ 0,2л4—0,Зл5= 6,56, 2,5xj+0,1x2 + 0,2x3+ 0,Зл4+0,4лу = 6,63.
3.273.	Используя подпрограмму, полученную в задаче 3.270, составить на фортране программу решения задач 3.271 й 3.272.
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1.	Линейные пространства
и пространства со скалярным произведением
1.	Линейное пространство. Множество У называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия
1)	В У? введена операция сложения элементов, т. е. Vx, уеУ определено отображение
<x,/>-ze^
(обозначение: z=x+y), обладающее следующими свойствами:
la) х+у^у+х; 16) (x+y) + z—x+(j+z); 1в) 3<)е У'Ухе .^(х+О^х) (элемент 0 называется нулевым)-, 1г) VxeA'3( —х)еjf(x~f-(—х) = 0) (элемент — х называется противоположным элемешу х).
2)	В У введена операция умножения элсменюв на действительные (комплексные) числа, т. е. VkeR (>.еС), VxeJ/' определено отображение
<Х, х>-уе^
(обозначение: у=Хх), обладающее свойствами-
2а) 1-х=х; 26) Х(цх)=(Лр)х.
3)	Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
За) >дх+у) = Лх + Ху; 36) (Л4-р)х=Ах+рх.
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство J22 называется действительным, если в У операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами:
4.1.	Множество 'Г3 всех геометрических векторов (операции над геометрическими векторами определены в § 1 гл. 2).
4.2.	Множество R" всех арифметических и-компонентных векторов х = (х,, ..., хп) (операции над арифметическими векторами определены в § 3 гл. 3).
4.3.	Множество .J/‘n всех многочленов	'
р(г) = а„_1Г"“1 + -+аП + ао
степени ^п-1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
156
4.4.	Множество Cla b] всех функций /(г), непрерывных на отрезке [а, Ь], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.
4.5.	Множество .Жт. „ всех матриц размера т х п (операции над матрицами определены в § 2 гл. 3).
Выяснить, являются ли следующие множества линейными пространствами:
4.6.	Множество V1 всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.
4.7.	Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.
4.8.	Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию |х|>а, где а>0 —фиксированное число.
4.9.	Множество всех сходящихся последовательностей.
4.10.	Множество всех расходящихся последовательностей.
4.11.	Множество всех функций, интегрируемых на отрезке к Ь].
4.12.	Множество всех преобразований поворота трехмерного пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси.
Система векторов (х,, ..., xs}c^!? называется линейно зависимой, если найдутся числа Л1; ..., не равные одновременно нулю и 1акие, что X1Xi + ...-rXsx4=0; в противном случае эта система называется линейно независимой.
Пусть — произво.11ьное множество векторов линейного пространства. Упорядоченная система векторов ® = (ej, ..., es) называется базисом в Q, если:
а) к=1, 2, ..., 5;
। б) система ® — (е1; ..., es) линейно независима;
№ в) для любого xeQ найдутся такие числа лу, ..., xs, что
	х= £	0)
" Формула (1) называется разложением вектора х по базису ®.
Коэффициенты лу, ..., xs однозначно определяются вектором х и называются координатами этого вектора в базисе ®.
Если множество	обладает базисами, то все они состоят
из одинаковою числа векторов, называемого рангом Q (и обозначаемого rang б). В частности, если все пространство .7' имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается где п—dim ,2’ — число векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства. В противном случае пространство it' называется бесконечномерным.
Пусть „ — произвольное «-мерное пространство, ®=(^i, ..., с„)—фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору xeJ^„ взаимно однозначно соответствует столбец его координат
157
в этом базисе.
При этом линейные операции над векторами в координатной форме выглядят следующим образом:
Z = x+j°Z = A'+ Y,
у = кх <s>y=XX
Пусть ® = (et, .... е„) и	, е'„)—два различных базиса
в Каждый из векторов базиса ®' разложим по базису SJ:
e'k — tikei + - + 6i)ien-e>£'j = ( : I, /г=1, 2, п.
\1Л/
Матрицей перехода Т^ .,^ от базиса ® к базису ®' называется матрица

А-й столбец которой есть столбец Е'к координат вектора е'к в базисе ®. Если х произвольный вектор из X и X’—столбцы его координат в базисах ® и ®' соответственно, то имеет место равенство
Х' = (Т^У'Х	(2)
(формула преобразования координат при преобразовании базиса).
Пример 1. Найти координаты геометрического вектора х=— i+2j+k в базисе ®', состоящем из векторов ei=i+j, e'2=j+k, e3 = i+k
Выпишем координаты векторов е\, е2, е'3 в исходном базисе
4D' Ц?). £i=(i).
Отсюда матрица перехода 7® ,<в имеет вид
° 1\
= 1 1 О
\0 1 1/
Обращая матрицу и используя формулу (2), находим
т. е. х = 2е'2—е'3. с=-
158
4.13.	Пусть Q произвольная система векторов из Подсистема {et, es}cQ называется максимальной линейно независимой подсистемой в Q, если {ег,	es}—линейно
независимая система и всякая расширенная система е3, es, х, где х—произвольный вектор из Q, линейно зависима. Доказать, что всякий базис в Q есть максимальная линейно независимая подсистема в Q, и наоборот.
4.14.	Если заданы произвольные к векторов х15 ..., хк, то из них можно построить не более к линейно независимых комбинаций. Используя этот результат, доказать: если © и ®'—два различных базиса в системе Q, то они состоят из одинакового числа векторов (т. е. имеет смысл понятие ранга системы Q).
4.15.	В пространстве 1'~3 заданы векторы
e'i=i+j, e2=i—j, e'3=-i+2j—k.
Доказать, что система ®' = («i, е'2, е3)—базис в yz’3, и написать матрицу перехода	где ® = (е1=/, e2=j,
е3=к). Найти координаты вектора x=i—2j+2k в базисе ®'.
Пусть ® = (i, j, А) и ®' = (Г, j', к')—прямоугольные базисы в 'к~3. В задачах 4.16—4.18 найти матрицу перехода и выписать столбец координат вектора x=i—2j+k в базисе ®'.
4.16.	Базис ®' получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов ®.
4.17.	Базис ®' получен перестановкой i'—j, j'=k, k'=i.
4.18.	Базис ®' получен поворотом базиса ® на угол Ф вокруг орта I.
4.19.	Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов х1 = — i+2j, x2 = 2i—j+k, х3— —4i+5j—k, x4 = 3i-3j+k.
4.20.	В пространстве R4 заданы векторы ei = (l, 2, — 1, — 2), е'2 = (2, 3, 0, -1), Z3 = (l, 2, 1, 4), е'4 = (1, 3, -1, 0). Доказать, что система ®'=(«i, е2, е3, е4)—базис в R4, и написать матрицу перехода Т<в_я-, где ®—канонический базис в R4 (см. § 3 гл. 3). Найти координаты вектора х=(7, 14, — 1, 2) в базисе ®'.
4.21.	Доказать, что система арифметических векторов *1 = (1, 2, 0, 4), х2 = (—1, 0, 5, 1), х3 = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида X1x1+X2x2 + A.3x3 = 0. Найти ранг и все базисы этой системы.
159
4.22.	Доказать, что система матриц вида
/О ..ООО .. 01
образует базис в пространстве всех матриц размера тхп. и, следовательно, dim	— пт. Чему равны координаты произвольной матрицы Л —	в этом базисе?
4.23.	Доказать, что система многочленов 1, ц г2, .... г"”1 образует базис в пространстве всех многочленов степени 1 и, следовательно, dim^„==п (этот базис называется каноническим). Найти координаты:
а)	многочлена — Зг2+1 в каноническом базисе пространства
б)	многочлена /2—2/ в каноническом базисе пространства ^4.
4.24.	Доказать, что система многочленов f3 + /2 + f+l, /2 + /+1, t+1, 1 линейно независима.
4.25.	Доказать, что система многочленов /3 + 1, — t2 + 2t, t2 — t образует базис в пространстве й^3. Выписать в этом базисе столбеп координат многочлена — 2t2 + t— 1.
4.26.	Доказать, что при произвольном г0 система многочленов 1, 1 — /0, (t— fo)2,	(1 —образует базис в
4.27.	Найти матрицу перехода от канонического базиса
1,	I, /2, ..., t”~l к базису 1, r-Zo.	(t-tn)”-1 в
4.28.	Найти координаты многочлена г2 —/4-2 в базисе 1. t-1. (г-1)2.
4.29.	Доказать, что пространство 2? всех многочленов бесконечномерно. Вывести отсюда, что пространство функций /(/), непрерывных на отрезке [а, Ь], также бесконечномерно.
В задачах 4.30- 4.34 в произвольном пространстве 2£п векторы e't, е'2  е'„ и х заданы своими координатами в некотором базисе ®. Доказать, что система ®'=(ei. .. ..., е'„) базис в 22 „, и найти столбец X' координат вектора х в этом базисе.
4.30.
=(:)• г,-):].
160
4.31.
4.32.
4.33.
0/О\	/ -1\	/1\
, Е'2 = \г , Е'3= 1 -г, Х= 1 .
'о/	\	1'	\1/
4.35.	Доказать следующие утверждения:
а)	матрица перехода	всегда
и Тъ ®_®-) \
невырождена.
б)	если Т= ......... -	невырожденная матрица и
V„i - tJ
®=(еп	е„)—некоторый базис в пространстве !£„, то
система векторов
e'^t^ej + ... + tme„, i=l, 2, п,
также образует базис в
4.36.	Доказать, что если ®, ®' и ®"— базисы в то справедливо матричное равенство
7"®^ л— Tgi-.®-'
В задачах 4.37, 4.38 в произвольном пространстве векторы «!, е2, е„ и е\, е'2, ..., е'„ заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы ®=(ei, ..., е„) и ®'=(«i, ..., е'„)—базисы в У„, и, используя результаты задач 4.35 и 4.36, написать матрицу перехода Т®^-.
4.37.
6 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1
161
Пусть if и if' —два действительных (или комплексных) линейных пространства. Отображение <р: if^if' пространства if на пространство if' называется изоморфизмом, если:
а)	ф взаимно однозначно;
б)	<р(Хх)=Хф(х) и <р(_г-Гу) = <р(х) + ф(у) для любых х, уч if и для любого числа X.
Если существует изоморфизм if на if', то пространства if и if' называются изоморфными: if^if'.
В задачах 4.39—4.41 *) установить, является ли изоморфизмом заданное отображение У '3 на R3.
4.39.	<y(xi+yj+zk} = (2x-y, z, x+y + z).
4.40.	q>(xi + y/+zAj = (x + y—1, 2z, 3y).
4.41.	<p(xi+y/ + zA) = (x+y, —y + 2z, x + 2y~2z).
4.42.	Отображение <p:	произвольного пространства
£f„ на пространство R” арифметических векторов имеет вид
ф(х1е1 + ...+хяел)=(х1,

где ® = (ei, .., е„)— некоторый базис в пространстве if„, а А = (аи)—невырожденная матрица порядка и. Доказать, что это отображение -изоморфизм и, следовательно, что
4.43.	Доказать, что множество всех комплексных чисел с обычным сложением и умножением на действительные числа образует линейное пространство, изоморфное пространству R2. Написать матрицу перехода от базиса ® = (1, /) к базису ®' = (1 + /, — i) в этом пространстве, и для числа — 2+Зг написать разложение по базису ®'.
’) Для обозначения координат геометрических векторов в прямоугольном базисе (г, j, к) условимся в этой главе использовать строчные буквы х, у, z, в отличие от прописных букв, используемых в главе 2, так как здесь прописными буквами мы будем обозначать вектор-столбцы
162
2.	Подпространства н линейные многообразия. Подпространством линейного пространства ££ называется такое подмножество которое обладает свойствами:
а)	х, je^'=>x+/6JZ';
б)	хе JZ”=>Xxe^” для всякого числа X.
Если Я?'— некоторое подпространство в Л7, то множество векторов
_Z' + x0 = {xe.Z|х=х' + х0, х'е^7' для некоторого хое^) называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства на вектор х0.
4.44.	Доказать, что всякое подпространство У" линейного пространства У также является линейным пространством (при этом dimJSf'^dimJS?).
В задачах 4.45—4.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространствами в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность.
4.45.	Множество всех геометрических векторов из f'V а) компланарных фиксированной плоскости;
б)	удовлетворяющих условию (х, а) = 0, где а—фиксированный вектор;
в)	удовлетворяющих условию |х|=1.
4.46.	Множество всех векторов из R” вида:
а)	х = (0, х2, 0, х4, х5,	х„);
б)	х = (1, х2, 1, х4, х5, ..., х„).
4.47*	. Множество всех векторов произвольного пространства координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям:
а) х1=х„; б) х14-х24-.-4-х„ = 0, в) Xi-x2 = l;
г) a11x14-...4-ainx„=0,
-^1 4" - 4“ йтпХп О,
или, в матричной форме, АХ=О, где А — заданная матрица размера техн.
4.48.	Множество всех матриц А порядка и. удовлетворяющих условиям.
а) ЛТ = Л (симметричные матрицы}; б) det/1 = 0.
4.49.	Множество всех функций	(см. задачу 4.4),
удовлетворяющих условиям:
а)	/(«о)=0 Для некоторого Гое[а, Ь];
б)	f(to)= 1 Для некоторого гое[а, Ь1;
в)	f(t) = a„-1t”~1 + ...+ait + a0, т. е./(т)—многочлен степени не выше и—1.
163
Пусть Q произвольная система векторов из линейного пространства j/2.
Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов ^(С)={*|х=Х1х1 + ...+Х,х4, х„ х,е0}.
4.50.	Доказать, что,
a)	—подпространство в У;
б)	dim jS? (Q)=rang Q, причем в качестве базиса в ^(Q) можно взять любой базис системы Q.
4.51.	Найти размерность линейной оболочки ^(х15 х2) арифметических векторов Xj=(l, 0, 2, — 1), х2 = (0, — 1, 2, 0). Показать, что х = (1, —1, 4, — 1)е5?(х1, х2).
Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов:
4.52.	Х!=(1, 0, 0, -1), х2=(2, 1, 1, 0), х3 = (1, 1, 1, 1), х4 —(1, 2, 3, 4), х5=(0, 1, 2, 3).
4.53.	х1=(1, 1, 1, 1, 0), х2 = (1, 1, -1, -1, -1), х3=(2, 2, 0, 0, -1), х4=(1, 1, 5, 5, 2), х5=(1, -1, -1, 0, 0).
4.54*	. Показать, что линейная оболочка системы многочленов Зг2 — 1, 2t2 + t, —t совпадает с пространством ^з всех многочленов степени <2.
Пусть V—произвольная система геометрических векторов. Геометрическим образом системы Р назовем множество точек, являющихся концами векторов из V, при условии, что все векторы исходят из начала координат
4.55.	Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки £?(«) и многообразия	если
а= ~H+j—k и Л=2/—j.
4.56.	Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки £T(ai, а2) и многообразия a2)+b, если al=— i+j+k, a2 = lj—k и b=i+k.
4.57.	Задана система уравнений:
*1+ х2 — Зх3- х4+ х5 = 1,
3X1— х2+ х3 + 4х44-Зх5 = 4, л'1 — 5х2 — 9х3 — 8х4+ х5 = 0.
а)	Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R5.
б)	Сдвигом какого пространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства.
в)	Найти какой-нибудь вектор сдвига.
3.	Пространства со скалярным произведением. Действительное линейное пространство 6 называется евклидовым пространством.
164
если каждой паре векторов х и у из S поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным ироимеОением векторов х и у, причем выполнены следующие условия
У, л)+к2, у), = Х(х, у), Хен;
Длиной вектора х называется число
Вектор х, длина которою равна единице, называется нормированным. Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо
|(х, у)|2<(х, х)(у, у), которое позволяет следующим образом определить угол между ненулевыми векторами:
(*’ -v)
Ненулевые векторы х, уев называются ортогональными, если (х, у]=-0.
Базис ®={ei, ..., е„) «-мерного евклидова пространства в„ называется ортонормированкым, сели
Если в пространстве 6„ задан произвольный базис (/i, /2, —, Л)> то векторы
где с!" 1*=—-—образуют ортогональный базис в этом простран-
Комплексное линейное пространство JU называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из '// поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у, причем выполнены следующие условия.
+Х2, Л=(х., у)+(х2, у);
, у)=Х(х, у), ХеС;
x)5j0, причем (х, х)=О»х^О.
2)
3)
4)	, , „ , .	, , ,
В унитарном пространстве не определяется угол между векторами. Однако все остальные определения и результаты, сформулированные выше для евклидова пространш»а, остаются справедливыми и для унитарного пространства.
Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются пространствами со скалярным проимеде/Шем.
165
4.58.	Доказать следующие свойства скалярного произведения в унитарном пространстве:
а) (х, У1+у2)=(х,	у2); б) (х, Ху) = л(х. у);
в) (Xi-x2, j)-(xt, у)-(х2, j); г) (х, 0) = 0.
4.59.	Доказать, что базис ® =(еъ ..., е,) в унитарном пространстве °11„ является ортонормированным в том и только в том случае, когда выполнено любое из следующих условий:
а)	если x = xie1 + ... + xne„ и у=у\е2	то
(х, .у)=Х1У1 + ...+ХпУп;
б)	если х = х1е1 + ... + х„е„, то х*=(х, «*), к=\, п.
4.60.	Доказать, что любая система попарно ортогональных векторов линейно независима
4.61.	Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать следующие неравенства треугольника:
a) |x+j’|<|x| + |j|; 6) ||x|-|j||^|x+j|.
4.62.	а) Доказать, что в пространстве R" формула
(х, j)=x1J1 + ... + x„y„,	;
где x=(xi, ..., х„) и у=(>1, ..., у„), задает скалярное произведение (получаемое евклидово пространство арифметических векторов в дальнейшем будем также обозначать символом R ”).
б)	Показать, что в евклидовом пространстве R” канонический базис (см. § 3 гл. 3) является ортонормированным.
в)	Написать неравенство Коши—Буняковского для евклидова пространства R".
г)	Написать неравенства треуюльника в евклидовом пространстве R".
4.63.	Пусть х = (хь х2) и _у=(у1, у2) -произвольные векторы арифметического пространства R2. Показать, что скалярное произведение в R2 можно определить следующими способами:
а)	(х, у^гх^ + Зх^;
б)	(х, p)=xi3'i+xi3'2 4-x2j', +x2j’2.
Вычислить скалярное произведение векторов х=(1, —2) и 1) каждым из указанных способов.
4.64.	Доказать, что в пространстве многочленов степени <n—1 скалярное произведение многочленов
p(r)=a0 + aif+	if""1
и
q(t)=b0+bit+...+b„-it" 1
можно определить способами:
а)	(р, g)=aobo + a1bi + ... + a„_ibn-i,
166
б)	(р, q)= £ p(tk)q(tk), 11, —, t„—произвольные попарно различные действительные числа.
Вычислить скалярное произведение многочленов p(t}= 1 + r+r2 и q(t) = ,—2t2 + 3ti каждым из указанных способов (и = 4), если в случае б) п = -2, г2=-1, h=l, U = 2.
4.65.	а) Доказать, что в пространстве C[atC] соотношение:
(A g) = if(t)g(t)dt
задает скалярное произведение
б)	Написать неравенство Коши—Буняковского для этого пространства.
в)	Написать неравенства треугольника для этого пространства
Применить процесс ортогонализации к следующим системам векторов евклидова пространства R” (со скалярным произведением из задачи 4.62, а)):
4.66.	/1=(1, — 2, 2), /2 = (-1, 0, -1), /3=(5, — 3, -7).
о Полагаем e1=f1=(l, — 2, 2). Вектор е2 ищем в виде e2=f2 —
Так как (Д, Ci)=-3, (е1,г1)=9 то c™=(f2, ^/(«ц, е,)= -1/3. Следовательно, е2=(—2/3, —2/3, —1/3). Наконец, вектор находим в виде следующей линейной комбинации:	—с V1 е, — с(22,е,. Вычис-
ляя скалярные произведения (//, е,)= — 3, (/3, е2)~1, (е2,е2)=1, находим значения коэффициентов Л2,=у3, eAl(ely et) = —1/3, 42)=(/з, е2]/{е2, е2)= 1 Следовательно, е, = (б, —3, — 6). с»
4.67.	/1=11. 1, 1, 1), /2 = (3, 3, -1, -1),/3=(-2, 0, 6, 8).
4.68.	/1=(1, 2, 1, 3), /2 = (4, 1, 1, 1), /З = (3, 1, 1, 0).
4.69.	/1 = (1, 2, 2, -1),/2 = (1, 1, -5, 3),/З=(3, 2, 8, -7).
4.70*	./1={2, 1, 3, -1),/2 = (7, 4, 3, -3),/3=(1, 1, -6, 0), А=(5, 7, 7, 8).
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в евклидовом пространстве R”:
4.71.	/>(1, 2, 2, -1), /2=(1, 1, -5, 3),/З = (3, 2, 8, -7).
4.72.	/=(2, 1, 3, -1), /2=(7, 4, 3, -3), /3=(1, 1, -6, 0), А=(5, 7, 7, 8).
Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве R ” и дополнить их до ортогональных базисов:
4.73*	.	=(1, —2, 1, 3), е2=(2, 1, -3, 1).
4.74.	е1=(1, 1, 1, 1, 1), е2=(1, 0, 0, 1, -2), е3 = (2, 1, -1, 0, 2).
4.75.	Ci=(2/3, 1/3, 2/3), е2=(1/3, 2/3, -2/3).
4.76.	«!=(!, 1, 1, 2), е2=(1, 2, 3, -3).
167
4.77.	Пусть L—линейное подпространство в Доказать, что:
а)	любой вектор xeS„ однозначно представим в виде x=y+z, где уек и z ортогонален к L (у называется ортогональной проекиией вектора х на L, a z—ортогональной составляющей х относительно L):
б)	если®=(е15ек)—базисД гоу = £ с,е„ где коэффици-
енты с„ z= 1, 2,к, однозначно находятся из системы уравнений
Е (*г	2’ - к>
a z — x— у.
Используя результат задачи 4.77, найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z вектора х на линейное подпространство L евклидова пространства R”:
4.78.	х=(—3, 5. 9, 3), L натянуто на векторы. е1 = =(1. 1. 1, 1), ег=?(2, -1, 1. 1), е3=(2, -7, -1, -1).
4.79.	х={4. —1, —3, 4), L натянуто на векторы: ек = =(1. 1. 1. 1). е?=(1, 2, 2, -1).	0, 0, 3).
4.80.	х = (5, 2, —2, 2), L натянуто на векторы: ек = = (2, 1, 1, -1). е2=(1, 1, 3. 0), е3 = (1, 2, 8, 1).
4.81.	Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда |х— у 12 = |х| 2 + |у| 2-
4.82*	. Доказать, что теорема Пифагора остается справедли-вой и в унитарном пространстве: если векторы х и у ортогональны. то | х —у |2 = 1 х |2 +1 у | 2. Показать вместе с тем, что обратное к теореме Пифагора утверждение в этом случае неверно.
§	2. Линейные операторы
1. Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линейном пространстве Л называется всякое отображение А: пространства Л' в себя, обладающее свойствами
А (Хх)=лЛг
И Л(х+у)=Лх+Лу.
Пусть А линейный оператор в конечномерном пространстве и ®=(еь .... ?„) некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Аек, к=1...п, по базису ®-
Аек = а1кек + ... + а„ке„ к=\,...,п.
168
Тогда матрица
назыьаегся матрицей оператора А в базисе ® Матрицу оператора б;,дем иногда обозначат также символом [/1] или	если
существенно, о к„хом базисе идет р„ щ.
Заданием магрицы откр^юр определяется однозначно, а именно, если у=Ах, то Y—aX, тл,с A’, Y—е.олбцы координат векторов х, у и А — матрица операт ора А в базисе S.
Пусть А и А‘ -матрицы оператора А в базисах ® и !В', а Т=Т^-..д —матрица перехода от oa3Mva ® к базису Ж Тогда формула преобразования Матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид
А'=Т~'АТ.	(1)
Пример 1. В базисе ®=Ц', j, к) написать матрицу оператора проектирования Рл на плоскость a: x+y + z = O.
«^Оператор проектирования на плоскость а определяется равенством Ртх = л^ где хо — ортогональная проекция вектора х на плоскость а. Имеем
где л — нормальный вектор плоскости а. В рассматриваемом случае n=i+j+k и, следовательно,
PJ=j--n =
откуда
2/3
Г1/3 Ь/з
-1/3
2/3
-1/3
-]/з|
-1/3 .
2/3/
Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве У, вводятся следующие операции:
&) сложение операторов-	(Л + В)х = Лх-1-Вх;	при этом
[Л + В] = Л + В;
б; умножение операторов на числа: (ХЛ)х=А(Лх); при этом [Х.Л ] —Х/1;
в) умножение операторов: (лВ)х = Л (Вх); при этом [АВ] = АВ.
Обратным к оператору А называется оператор А ~1 такой, что А А ~г—а ~'А=Е, где Е—единичный оператор, реализующий тож
169
дественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным) в том и только том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [л-]=л-
В задачах 4.83—4.89 установить, какие из заданных отображений пространства в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе »=(/, j, к).
4.83.	Ах = 7.х, X—фиксированное число.
4.84.	Ах = 7.х + а, X и а фиксированы.
4.85.	Ах—(х, е)е, где е—заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения.
4.86.	Ах —[а, х], а фиксированный вектор.
4.87.	Ах = (а. х)х, а—фиксированный вектор.
4.88*	*. U(e, <р)—отображение, состоящее в повороте на угол <р вокруг оси, задаваемой единичным вектором е.
4.89.	Если x=xi+yj+zk, то
Hx = (y+z)/+(2x+z)y+(3x-y+z)fc.
В задачах 4.90 -4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе.
4.90.	Ах=(х2+х3, 2х1 + х3, Зл'!— х2 + х3).
4.91.	Ах = xt, х2 + 1, х3 + 2).
4.92.	Ах —(0, х2—х3, 0).
4.93.	Ах — (х3 + 2х2 +2х3, —Зх2-Ьх3, 2xi~|-3x3).
4.94.	Лх = (3х1+х2, Xj—2х2 —х3, Зх2 + 2х3).
4.95.	Лх = (Зх!+5х3, Х!+х3+1, Зх2 —6х3).
В пространстве R3 заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С] линейного оператора С=АВ—ВА и его явный вид в каноническом базисе R3:
4.96.	Ах = (2х2, — 2х14-Зх2 + 2х3, 4xt — х2 + 5х3), Вх = ( — 3xt + x3. 2х2 + х3, - х2 + Зх3).
-«Так как Ле,=(0. —2. 4), Аег = {2, 3, —1), Ле3 = (0. 2. 5) и = 3, 0, 0), Л>2=(0, 2. -1), Ве3=(1, '1, 3), то
гому
[C] = AB-BA = I 6
\-26
По определению матрицы линейного оператора в каноническом
R" ее столбцы являются наборами компонент • образов
базисе
базисных векторов, т. е.
Cet=(-4, 6, -26), Се2=(11, -1, -1), Се3=(-3, -2, 5).
Отсюда находим
С(х1е1 + х2е2 + х3е3) = х1Се1 + х2Се2+х3Се3 =
= (—4xi + 11х2 — Зх3, 6xt~х2 —2х3, — 26X1—х2 + 5х3).
4.97.	Лх = (7?1+4х3, 4х2 —9х3, Зх1+х2), Вх = (х2 — 6х3, Зх!4-7х3, xt + x2 — х3).
4.98.	Лх = (2х1—х24-5х3, xt+4x2—х3, Зх3 — 5х2 + 2х3), Вх = \х1 4-4х2 + Зх3, 2xi + хз> Зх2— х3).
4.99.	Лх = (3х1+х2 —2х3, 3xi —2х24-4х3, — 3xi + 5x2—х3), Вх = \2х1+х2, х14-х24-2х3, — Xi 4-2х2+х3).
4.100.	4x=(3xl+x2+x3, 2xi +х2 + 2х3, Xj4-2x2 + 3x3), Bx=(xi+x2-x3, 2xl—x2+x3, xt+x2).
В задачах 4.101—4.105 найти матрицы указанных линей-
операторов А, действующих в
пространстве
из задачи 4.18
4.101. Ах = [а, х], а—фиксированный вектор.
в базисе
Пусть a = a!i+a2j + a3k. Тогда матрица линейного оператора в базисе ®=(»,/, Л) имеет вид (см. задачу 4.86):
№=
о
«з
-а2
-«з 0
а2
-Я1 0
Матрица перехода из базиса ® в базис ®' была найдена в задаче 4.18:
0 cos<p sin<p

0 1
—sin ср I coscp/

о

° sincp I, COS ф J
171
то, используя формулу (I), находим
[Я]#=Г^В [Я]г-Т8_в =	I
/1	0	° \ / 0	-а3 аЛ /1 О О Ь
= 1 0	cosip	— sin ip II u3	0	—Оз || 0 cosip	sinip
\0	sin ip cosip/\ — а2	at 0 / \0	— sinip	cosip,
О
а3 cos <р — а2 sin <р — о3 sin <t> —о2 cos <р
4.102.	Ах = Хх, X — фиксированное число.
4.103.	Ах = (х, е)е, где е -заданный единичный вектор.
4.104.	Ах = (а, х) х, а—фиксированный вектор.
4.105.	A = U(e, фо) из задачи 4.88, Фо = ~;	cosa =
= cos p = cos у=Ц=. х/3
4.106. В 56 4 задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе ® = (е15 е2, е3, е4) равна
Найти матрицу этого оператора в базисах:
a)	®' = (ei, е3, е2, е4);
б)	= ei+e2, et + e2 + e3, et + е2+е3+е4).
4.107.	В 56 3 заданы два базиса:
®': Ci = 8ej—6е2 + 7е3, е2=— 16^+7^2 — 13^3,
«3=9^!—Зе2+7е3, ®": е’[=е2-2е2+е3, е’1 = Зе1-е2 + 2е3.	+ е2 + 2е3.
Найти матрицу оператора А в базисе Ж", если его матрица в базисе ®' имеет вид
-18
-22 — 25

4.108.	В пространстве .56 2 оператор А в базисе ®'_ e\=ei+2e2, е'2 = 2е1+3е2 имеет матрицу 0 Оператор В в базисе ®": e]^=3ci + e2, е'^Дс^+гег имеет матрицу I 4 6 j. Найти матрицу оператора А + В в базисе ®".
172
4.109.	Пусть p(t) = a„-ltn~l + ...+a1t+a0—некоторый многочлен и А -линейный оператор. Рассмотрим оператор р{А), • определяемый равенством
\	р(А) = а„_1Ап~1 + ... + а1А + а0Е.
Найти матрицу оператора р(А), если p(t) = 3t2 — 2г4-5, а опе-?	- л Л ~2\
ратор А задан матрицей Л=1 дГ
4.110.	В пространстве задан линейный оператор дифференцирования О=—. Найти матрицу этою оператора в базисе:
а)	1, z, Z2,	Z”-1;
64 1	\	('"'о)""1 , .R
б)	1, (r-М,	z°gR-
Доказать операторное равенство Dn = O (О—нулевой оператор: Ох = 0).
4.111.	В пространстве .?4 задано отображение
Hp(z) = f K(t, о
где K(t, т) многочлен от двух переменных, степень которого по Z не превосходит 3. Доказать, что А — линейный оператор в ^*4. найти его матрицу в базисе 1, z, z2, Z3 для случая, когда K(t, t) = z+t.
4.112.	В пространстве ,^4 задано отображение Ahp(t)=p{t+h),
где h—некоторое фиксированное число. Доказать, что Ah—линейный оператор, и найти его матрицу в базисе 1, t, t2, t3.
4.113.	В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования В=^{ и оператор А — ех' умножения на функцию е“. Проверить равенство DA-AD = \A.
В задачах 4.114 4.119 требуется установить, какие из заданных линейных операторов в У^з являются невырожденными, и найти для них явный вид обратных операторов (е—фиксированный вектор единичной длины, а x=xi+yj+zk).
4.114.	Ах = Кх, X—фиксированное число.
4.115.	а) Ах = (х, е)е, б) Ах = [е, х].
173
4.116.	a) Ax=x~(x, e)e; 6)* Ax = x — 2(x, e)e. /
4.117.	/lx = (y+z)i+(2x4-z)y+(3x-y + z)A.	/
4.118.	Ax=2zi+(x-z)j+(2x+3z)k.	/
4.119.	A=U(e, ф)—оператор поворота на угол ф вокруг оси, заданной вектором е.	(
Установить, какие из заданных линейных операторов в R3 являются невырожденными, и найти явный вид обратных
операторов:
4.120.	Ах=(х1 — х2+х3, х3, х2).
4.121.	Ах=( х2А~2х3, —х2, 2х2— х2).
4.122.	Ах = (х1+2х2+2х3, 2xi + x2 —2х3,
2xi-2x2 + x3)
Множество ТА всех векторов Ах,	называется образом
оператора А. Множество NA всех векторов хеУ, для которых Ах=0, называется ядром оператора А. Образ и ядро линейного оператора являются подпространствами в При этом размерность образа r^ = dim ТА называется рангом, а размерность ядра n^ = dimN4—дефектом оператора А. Справедливо равенство Гл+пА=п, где и -размерность пространства У.
4.123.	Описать образ и ядро следующих линейных операторов, действующих в пространстве У'’3:
а) Ах = (х, е)е,	б) Ах=[х, а], л#0.
4.124.	Описать образ и ядро оператора дифференцирования D, действующего в пространстве
В задачах 4.125—4.127 для указанных линейных операторов, действующих в пространстве R3, определить ранг и дефект, а также найти базисы образа и ядра.
4.125.	Лх=(х1+2х2+х3, Xj—х3, xt + x2).
Для представления арифметических векторов и заданного линейного оператора воспользуемся каноническим базисом в R3. В этом базисе матрица оператора имеет вид
По определению уеТА в гом и только том случае, когда найдется вектор xeR3 такой, что у=Ах или. в координатной записи,
Равенство (2) означает, что образ ТА совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы А. Следовательно, ранг оператора А совпадает с рангом его матрицы, т. е. равен двум, а в качестве базиса ТА может быть выбран любой из базисов
174
Отсюда следует, что ядро NA совпадает с подпространством решений однородной системы (3), т. е. дефект оператора А равен пА=п — гА = 3—2=1, а в качестве базиса в NA может быть выбрана фундаментальная система решений системы (3). например.
I 4
£= -1 .
4.126.	Ах=(2х1—х2—х3, х1 — 2х2+х3, Xj+х2—2х3).
4.127.	Дх = (х1 4-х24-х3, х3+х2 + х3, х14-х2 + х3).
4.128.	Доказать, что оператор А невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства.
2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Пусть число X и вектор хеУ, х/0, таковы, что
Лх = Хх.	(4)
Тогда число X называется собственным числом линейного оператора А, а вектор х собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу X.
В конечномерном пространстве векторное равенство (4) эквивалентно матричному равенству
(Л-ХЕ)У=О, XVO.
(5)
Отсюда следует, что число X есть собственное число оператора А в том и только том случае, когда det(>4 — Х£’)=0, т. е. X есть корень многочлена p(X) = det(/l— ХЕ), называемого характеристическим многочленом оператора А. Столобец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу X, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (5).
Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы оператора Роху проектирования на плоскость Оху в пространстве УК. <i 1) Геометрическое решение. Равенство РоХ}х=Хх, х/0, означает, что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху коллинеарна самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях.
а)	Вектор х^О компланарен плоскости Оху. Для всех таких векторов РОхух=х, т. е все они являются собственными векторами оператора Роху, соответствующими собственному числу Xt = l.
б)	Вектор х^О ортогонален плоскости Оху. Для всех таких векторов POxjx=0 = 0-x, т. е все они являются собственными векторами оператора РОху, соответствующими собственному числу Х2 = 0
175
В итоге заключаем, что оператор РОху имеет два собственных числа: Х] = 1 и Х2 = 0. Соответствующие им собственные векторы:
Х1 = 1:	Л»# О,	/
Х2 = 0: x^>=zk,	/
2) Аналитическое решение. Матрица оператора Poxi в/ прямоугольном базисе	к) имеет вид	/
j1 0 °|	I
Р= О 1 0 .	/
|о О О/
Характеристическое уравнение:
I 1-Х	0	01
det(F-X£j= 0	1-Х 0	= -Х(1-Х)2=0,
I 0	0 -X I
откуда Х( = 1 и Х2=0—собственные числа оператора
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному числу X! = 1 При Х=1 система (5) принимает вид
,р-£,4 ? -14
Фундаментальная система решений:
а общее решение:
Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собственному числу Xj =1, имеют вид x^=xi+yj,
где х и у—произвольные числа, не равные одновременно нулю. Аналогично рассматривается случай Х2=0. При этом получим №=zk.
где z—произвольное число, отличное от нуля.
В задачах 4.129 -4.133 найти собственные числа и собственные векторы операторов в тГ3. Решить эти задачи геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной с выбором какого-либо базиса в У'3 (см. пример 2, геометрическое решение). После этого в задачах 4.129—4.131 провести аналитическое решение.
4.129.	Ах = ах, а—фиксированное число.
176
(x, i)r—оператор проектирования на ось Ох.
4130. Ax = l
4.131. Лх =
4.132.	A = U(e, (р)—оператор поворота на угол <р вокруг
оси, заданной вектором е.
4.13л Их = х — 2(х, е)е оператор зеркального отражения
в плоскости с нормальным вектором е.
В задачах 4.134—4.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
4.134. Я =
. 4.135. 1 =
4.137. 1 =
4.139. А =
[ 7 -12 б\
10 -19 10 112 -24 13
4.140. А=\ 1 2 1 .	4.141. 1=1 1	-5 .
4.144.	В пространстве 'i'"2 геометрических векторов на плоскости задан оператор поворота U(tp) на угол (К<р<2л вокруг начала координат. Проверить (геометрически и аналитически), что при <р#0, к этот оператор не имеет собственных чисел. Этот пример показывает, что линейный оператор в действительном пространстве может не иметь собственных чисел (и собственных векторов).
4.145.	В комплексном пространстве £?2 оператор 1 = 1 (ф) задан матрицей
cos<p — sin<p\ „
1, 0<ф<2л
4sin о cos <р J
Найти его собственные числа и собственные векторы. Сравнить полученные результаты с результатами задачи 4.144.
4.146*	. Пусть оператор А, действующий в комплексном пространстве задан в некотором базисе матрицей с действительными элементами. Доказать, что:
177
а)	если X—собственное число, то X — также собственное число;	/
б)	если X—столбец координат собственного ректора, соответствующего собственному числу X, то X /столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу X.
4.147*	. В комплексном пространстве найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного вещественной матрицей
4.148.	Показать, что если х—собственный вектор оператора А, соответствующий собственному числу X, то он является собственным вектором оператора р(А) = = а„-гА "~1 + ... + а1А + апЕ, соответствующим собственному числу />(Х).
4.149.	Доказать, что:
а)	оператор А имеет обратный в том и только в том случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел;
б)	если оператор А имеет обратный, то Л и И 1 имеют одни и те же собственные векторы Как связаны между собой собственные числа этих операторов?
3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произведением. Пусть А линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (х, у). Линейный оператор А* называется сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполняется равенство
Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и единствен.
Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу Л=(<7М), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет матрицу А *=(<?*), где a^~aJt (матрица А* называется сопряженной к матрице А). В частном случае евклидова пространства А* = АТ.
Пример 3. Линейный оператор Л:<?3-><?3 в базисе

® (£'i. е2, е3) ортонормирован. Найти матрицу сопряженного оператора А * в базисе 93
178
-а ТакХкак базис 23' не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы воспользоваться утверждением о связи матриц операторов А и А *, необходимо найти матрицу [А ]ч,. Имеем
'т т -'Н ; "1
V 2 °!	2\ 3 -1 -у
следовательно,
12-3 7] I 2	6	6\
[4=75U-[4-^=P —4 6 , [Л*],в = |-3 -4 -5|.
Отсюда окончательно получаем:
1-36 —37 -Ц
[Л *] tyi [А *]	= 30	30	141. о
\ 26	27	9/
4.150.	Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному А * обладает следующими свойствами:
а)	(И*)* = И.
с Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов х и у,
(Ах, у) = (х, А*у)=(А*у, х)=(у, (Л*)*х) = ((Л*)*х, у)=((Л*)* х, у), т. е (Ах, у) = ((Л*)* х, у). Отсюда, в силу произвольности векторов х, у, получаем А=(А*)* (показать подробнее!) i>
б)	р+й)* = Л* + й*, в) (АВ)* = В*А*; г) (аЛ)* = аЛ*;
д) (Л-1)*=(И*)“1, если А невырожден.
Линейный оператор А в базисе 23' = (ci, ..., е'„) имеет матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе 23', если векторы с'г, .. е'„ заданы столбцами своих координат в некотором ортонормированном базисе 23 = =(ci,	е„):
4.15L Л-(; J), r.-(j), £>(]).
179
В пространстве многочленов задано скалярное/произ-ведение
(/,	= aobo + aibl + а2Ь2,	(6)
где f(t) = a0 + alt+a2t2. g(t) = b0 + blt + b2t2. Найти матрицы ,,	.. d
оператора дифференцирования Р=-- и сопряженного опера-
тора D* в базисе ®:
4.154.
4.155.	«=(>.,. р-0.
4.156.	Найти сопряженный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол а вокруг начала координат против часовой стрелки.
4.157.	Пусть Оху—декартова прямоугольная система координат на плоскости и Л- оператор проектирования на ось Ох параллельно прямой I: ах+Ьу = 0 (о#0). Найти матрицу сопряженного оператора А*.
4.158.	Пусть Оху—декартова прямоугольная система координат на плоскости и А — оператор отражения точек плоскости относительно прямой I: ах+Ьу = 0. Найти матрицу оператора А*
Понятие сопряженного оператора может быть использовано при исследовании совместности неоднородной системы линейных уравнений. Пусть АХ=В—матричная запись такой системы, причем т = п. Тогда X и В—столбцы координат соответствующих арифметических векторов в каноническом базисе евклидова пространства R", а квадратной матрице А в этом же базисе соответствует некоторый линейный оператор A: R"-»R". Система А*Х=О, где А* матрица сопряженного оператора А* в каноническом базисе, называется сопряженной однородной системой. Верна следующая теорема Фредгольма: для того чтобы система АХ=В была совместна, необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбец В бы i ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы.
4.159*	*. Доказать теорему Фредгольма.
Используя теорему Фредгольма, исследовать совместность следующих систем линейных уравнений:
4.160. 3xl+2x2+ х3= — 1, 7xt + 6х2 + 5х3 = 5, 5х!+4х2-|-Зх3 = 2.
4.162. 2х1+х2-2х3 = 1, Xj—2х2+Х3=1, — 2xj + х2 + х3 = 1.
4.161. х1+х2+х3=0,
Xj+Xj + Xj^I, Xj + х2 + х3 — — 1.
4.163. х1+х2 + х3 = 1,
Х1 + Х2-|-Х3=1, Х1+х2 + х3 = 1.
180
4.164*	. Доказать альтернативу Фредгольма: либо система АХ=В совместна при любой правой части В, либо сопряженная однородная система Л*Х=0 имеет ненулевые решения.
4.165.	Какие из систем линейных уравнений, указанных в задачах 4.160—4.163. совместны при любой правой части?
Линейный оператор Н в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если Н=Н*. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор А был эрмитовым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированием базисе его матрица А—(ач) удовлетворяла соотношению ач = а„ (a,} = aJt). Такие матрицы называются эрмитовыми (симметричными).
Линейный оператор V в унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если
VV* = IZ*IZ= Е, т. е. (/* = V \
Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированием базисе его матрица А=(аи) удовлетворяла соотношению А' = А* (/Г' = ЛТ). Такие матрицы называются унитарными (ортогональными).
4.166.	Доказать следующие свойства самосопряженного оператора:
а)	собственные числа действительны;
б)	собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
4.167.	Доказать следующие свойства унитарного оператора:
а)	собственные числа по модулю равны единице;
б)	для того чтобы линейный оператор был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонор-мированный базис снова в ортонормированный базис;
в)	унитарный оператор сохраняет скалярное произведение;
г)	унитарный оператор сохраняет длины векторов.
4.168.	Показать, что в пространстве следующие операторы являются симметричными:
а)	Ах = 'кх, X—фиксированное число:
б)	Лх=(х, е)е, |<?|= 1;
в)	Ах = х—(х, е)е, |е|= 1.
4.169.	Показать, что в пространстве многочленов со скалярным произведением (6) следующие операторы являются симметричными:
a)	6)
181
4.170.	Показать, что в пространстве 'С'2 оператор U[e, <р поворота на угол ф вокруг оси, заданной единичным вектором е (см. задачу 4.88), является ортогональным
4.171.	Показать, что операторы задачи 4.168 являются ортогональными.
4.	Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Если оператор А, действующий в пространстве имеет п линейно независимых собственных векторов е2, ..., е„, соответствующих собственным числам Хь Х2, ..., Х„, то в базисе из этих векторов матрица оператора А имеет диагональный вид
Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если
«а Характеристическое уравнение 11-Х 2
det(/l-ХЕ)= 0	2-Х
0 о
= (X—2)(1 —Х2)=0
имеет корни Xi=2, Х2 = 1, Х3=—1. Следовательно, матрица может быть приведена к диагональному виду. Находим соответствующие
— х1 + 2х2	=0,
-2х1-2х2-Зхз=0.
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора E1=Q., 1, —2)т. Аналогично, при Х= 1 система (5) принимает вид
(Л-Е)Х=
2
0 о
Из этой системы находим второй собственный вектор Е2 = (1, 0, — О-
182
Наконец, при Х= —1 из системы
(А + Е)Х=\

находим третий собственный вектор £3 = (0, О, 1)т.
Найденные векторы Е2, Е3 образуют искомый базис, в котором матрица А линейного преобразования имеет следующий диагональный вид:
В задачах 4.172—4.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найги этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
4.178.
4.180*. Вычислить Ат, если:
Вычислить:
4.181.
183
Матрица А самосопряженного оператора всегда приводи ici к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарно^ оператора, се можно представить в виде
где I матрица унитарного опера юра, осуществляющего переход ог исходною оазиса к базису из собственных векторов оператора A, a D—диагональная матрица вида (7).
Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданною в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно):
§ 3. Билинейные и квадратичные' формы
1. Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве У задана линейная форма, если каждому вектору х<=У поставлено в соответствие число f(x). причем выполнены условия
/(х+у-)=/(х)+/(г),	х,уе<?,
f(Kx)=Kf(x), хе&, XeR.
Доказать, что в пространстве Jj? функция /(х), хе У, является линейной формой:
4.192.	/(х)=|х(фй, ^ = С[а.ь), х=х(г);
4.193.	/(х) = х(<0), ^ = C[e.ftJ, х=х(1), /ое
184
4.194.	/ (х) = (х, «),	«е / 3—фиксированный век-
тор-
4.195.	f(x) = abx, J^ = lT3, а, Ье/~3—фиксированные векторы.
4.196.	/(x) = x'(f0),	x = x(r), toe[a, b],
4.197.	Пусть в пространстве !£ фиксирован базис е„) Пусть, далее, /(е,) = о,-, г—1, 2, п, где /(х)—линейная форма в У1.
, а) Доказать, что f(x) = alx1 + ... + а„х„. где хь .... х„ —координаты вектора х в базисе 93.
б)	Обозначим .4?* множество линейных форм /(х), в котором введены операции сложения и умножения на число следующим образом:
g=fi+f2, если Vxe^(^(x)=/i(x)+/2(x)); h — 'kf, если Ухе^(А(х) = А./(х)).
Доказать, что У*—линейное пространство.
в)	Доказать, что dim УТ* = п (пространство S’* называется сопряженным к пространству ST).
4.198.	Доказать, что:
а)	если xeR", х=(%!, ..., х„), то формула /(х) = Х! определяет линейную форму;
б)	всякую не равную тождественно нулю линейную форму Дх), xeR”, надлежащим выбором базиса можно привести к виду f(x) = Xi, где Xj—первая координата вектора х в этом базисе.
2.	Билинейные формы. Числовая функция А(х, у):
заданная на действительном линейном пространстве У, называется билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по х, а при фиксированном х—линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А(х, у)=Л(у, х), х, уеУ'. Если в пространстве фиксирован некоторый базис ®=(e1R ..., е„), то матрица А = (аи), atJ = A(e„ е}), называется матрицей билинейной формы А (х, у) в базисе S.
Доказать, что в пространстве SA функпия А (х. у)является билинейной формой:
4.199.	Л (х, у)=Л (х)/2(у), где Д, f2—линейные формы в ь ь
4.200.	А(х, у)= ff/ф, t)x(s)y(t)dsdt, где ^ = С[О>Ь], *=х(г)еСм, у=-у(/)еС[а b], K(s, t)—некоторая непрерывная Функция двух переменных.
185
4.201.	А(х, у| =	аих1Уь гДе х, yeR", А=(аь}^
некоторая матрица.
4.202.	Пусть в пространстве У£п фиксирован базис ®=(ci,	е„), А(х,у)—билинейная форма в У£п и Л(е;, ej =
= ais- Доказать, что:
а)Л(х,у) = X ^хм, где хь yj (i, j=l, 2,	п)~.
координаты векторов х и у в базисе ®;
б) если А'=(а'у)~ матрица билинейной формы Л(х,у) в базисе ®'=(е'15	е'„), то Л' = ТтЛТ, где Г=ГИ^Й-
матрица перехода от базиса ® к базису ®'
Пусть в пространстве R3 задана билинейная форма Л(х, у). Найти ее матрицу в базисе ®=(еь ег, е3), если:
4.203.	А(х, у)=х1у1+2х2у2 + Зх3у3, е,=(1, 1, 1), е2 = = (1, 1, -1), е3=(1, -1, -1);
4.204.	Л(х, у)=х1у2+х2у3 + х3у1, е1=(1, 0, 0), е2=(1, 1, 0), е3 = (1, 1, 1).
В пространстве R" задана билинейная форма Л(х, у) в базисе ® Найти ее матрицу в базисе ®', если:
4.205.	/г = 4, Л (х, у) = х1У2 + х2у3+х3у4,

4.206.	и = 2, Л(х, у) = х1У1 + х1У2+х2У1-х2у2,
4.207.	Доказать, что скалярное произведение (х, у) в евклидовом пространстве Л является билинейной формой.
3. Квадратичные формы. Пусть А (х, у)- симметрическая билинейная форма. Форма Л(х, х), которая получается из Л(х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом Л(х,у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х,х)
Если в действительном линейном пространстве фиксирован некоторый базис ® = (е1; .., е„), то квадратичная форма А(х, х) в этом базисе имеет вид
Л(х,х)=	(D
где Л=(<7у)—матрица квадратичной формы и х = х1е1-г... + х„е„.
186
Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы ве содержит произведений xtXj	т. е.
Л (л, х) = £ V?-	(2)
Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если Х;=±1, 0, f= 1, 2, п, то получаем нормальный вид квадратичной формы 4(х, х).
Для всякой квадратичной формы существует такой базис ®'. в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма 4(х, х) в базисе ® имеет вид (1) Если все коэффициенты а„ (при квадратах х?), 1=1, 2, ..., п. равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2<712Х|Х2. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами
xi=x'l+x'2, х2=х'1-х'2, X,=xJ, 1 = 3, ..., п.
Тогда 2а12х1х2 = 2а12(х'12—x'22) = 2T712.vi2 —2д12х'22, и так как, по предположению, 0’11=0'22=0, то коэффициент при x'i отличен от нуля.
Таким образом, всегда найдется такой базис ®, в котором в записи (1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.
В дальнейшем считаем, что <7ц#0. (Если «и=0, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы е2-	е„, что также является некоторым преобразованием
базиса.)
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую лу, т. е.
<7i = <1ц xl + 2<712Х1 х2 +... + 2elnXi х„
Дополним эту сумму до полного квадрата:
Ci = “(«iiXi-t-...-i-ai„xB)2-Y, ап
где у есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от хь Если теперь сделать замену
x'i =ПцХ1+ ... + а1их„, x'i = xt, i=2, ..., и, то квадратичная форма в новом базисе примет вид
Л(х, х)= —— х',4 £ a'ijx'.x'j^—x'i+At аП ,.,= 2	tfll
В полученной форме выделено слагаемое —х\ , а оставшаяся часть ап
является квадратичной формой в 5f.-i. Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы 4i(x,x), и т. д.
187
Пример 1 Методом Лагранжа привести к каноническое,, виду квадратичную форму
А(х, x) = 2xlx2-f-4xix3-xl-8x$.
< 1-е преобразование- х1=х'2, x2 = x'i, х3=х’3. Тогда получим А = -х'1 + 2х\х'2+4х'2х'3-8х'3 .
2-е преобразование: х"=-х\+х2, х2 = х'2, х3 = х'3 Получим новое выражение для квадратичной формы:
А—— х’[ +х2 +4х2х3—8х32.
3-е преобразование: х?=х2, х'2=х2+2х3, х3=х3, и форма принимает канонический вид:
А(х, x)=-x72+xf-!2xf.
При этом
+ 2х3,
Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве R“. Так как ее матрица А = (ау) симметрична, то она может оыть представлена в виде A = UDU7, где D -диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа ма1рицы А, а V—ортогональная матрица (см. пп. 3 и 4 § 2) Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса %$'=(ек, .., е„). в котором матрица А имеет диат опальный вид D, и, следовательно, квадратичная форма—искомый канонический вид. Соотвеютвующее преобразование координат определяется соотношением
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму А (x, x) = 6xf + 5%2 + 7х3 — 4х1х2 + 4х|х3, заданную в евклидовом пространстве R3, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.
с Матрица квадратичной формы имеет вид
(Обратить внимание, как получаются элементы atJ (т#/) из явного вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть ^£=3, >.2 = 6, Х3 = 9. Соответствующие ортонормированные собственные векторы:
«!=( 2/3,	2/3,	-1/3),
е'2=(—1/3,	2/3,	2/3),
е'3=( 2/3, -1/3,	2/3),
188
0 следовательно,
ч( j1 -)• н(-’ J1)
В базисе	е'2, е'2) заданная квадратичная форма имеет вид
Я(х, x) = 3x'12 + 6x'22 + 9x'32, а соответствующее преобразование координат:
x1=(2x'1-xi + 2x'3)/3,
х2 = (2х'1+2х'2-х'3)/3, х3 = (—х'1+2х2 + 2х’3)/3. i>
4.208.	Доказать, что всякая квадратичная форма А(х, х) в евклидовом пространстве Sn может быть записана в виде Л(х, х) = (Ах. х), где (х, у)—скалярное произведение в <?„ и А—некоторый линейный оператор.
4.209.	Доказать, что полярная билинейная форма Л(х, у) однозначно определяется своей квадратичной формой А(х, х).
Методом Лангранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:
4.210.	xf+ 5х1-4хз + 2х1х2-4х1х3.
4.211.	х2х2+х2х3+х3х2.
4.212.	4х1+х2+хз-4х1х2 + 4х1х3 —Зх2х3.
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
4.213.	11х? + 5х1+2хз + 16х1х2+4х1х3 — 20х2х3.
4.214.	xi + xi + 5x3 — 6х1х2 + 2х1х3 — 2х2х3.
4.215.	xi +х2 +х3 + 4х2 х2 + 4х3 х3 + 4х2 х3.
4.216.	17xi + 14х24-14х3 —4х!Х2—4х1х3 —8х2х3.
Квадратичная форма А(х, х), определенная в действительном линейном пространстве .2',,, называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого хе^?„ (х#0)
Л(х,х)>0	(<0).
Пусть A=(a,j)~ матрица квадратичной формы Л(х, х) и
последовательность главных мнноров матрицы А.
Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для ^ого чтобы квадратичная форма А (х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее Шприцы А были положительны, т. е. Dk>0, й=1,2, ...,п.
189
4.217*	. Доказать: для того чтобы квадратичная формс1 Л(х. х) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства (— 2, п.
В задачах 4.218 4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:
4.218.	Xi+26x2 + 10xjX2.
4.219.	-xf + 2^1x2-4xt
4.220.	хк — 1 5х2 4-4х । х2 — 2xk х3 + 6х2Хз.
4.221.	12xk х2 — 12xj х3 + 6х2 х3 — 11х2 — 6х2 — 6х3.
4.222.	9х j + 6х 2 + 6х 3 +12х k х2 — 1 Охз х3 — 2х2 х3.
4.223.	2%4+х1х2 + х1х3 — 2х2х3 + 2х2 х4.
4.224.	Х1+4х2+4хз + 8х4 + 8х2х4.
4.225.	Доказать, что квадрат длины вектора |х|2 в п-мерном евклидовом пространстве Sn является положительно определенной квадратичной формой.
4.	Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве R" называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Л(т, х) + 2(Л. х)+с=	пмх,х,+2 У fekxk + c = 0,
(3)
где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных
Задача классификации гиперповерхностей второго порядка состоит в нахождении такого базиса в R", в котором левая часть уравнения в новых переменных х'ь х'2, ..., х'„ имеет наиболее простой вид Для этого сначала ищется такое ортогональное преобразование,
что в новых переменных квадратичная форма Л(х, х) = У «,2х,т7 имеет канонический вид. В новом базисе уравнение (3) записывается следующим образом:
У hxt+2 У b'kx'k-t-c = 0, причем не все X*, /=1, 2, , п, равны нулю. Если Лк#0, то переносом начала координат можно уничтожить линейный член.
ккхк A-2f>kxk —Xkl xk+—- I ———Xkxk——. \	'к) Кк	At
После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию переменных, если это необходимо)
х,х';2+. .+xx2+fe;\ix:+1+z«+c”=o.	(4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперповерхности второго порядка
Множество точек плоскости R2, удовлетворяющих уравнению (3), называется кривой второго порядка. В этом случае каноническое
190
уравнение (4) может принимать один из следующих видов (в переменных х, у):
1)	+ W + f =0
2)	X1r2 + fey = 0
3)	Мх2 + С =0
Пример 3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка.
Зх 2 + 1 Охр+ Зг2 - 2х - 14у -13 = 0, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна 0 5^. Ее собственные числа: Х,=8 и Х2 = —2, собственные векторы-е, =(——,—— е2 = (— Выполняя преобразование
\Т2 72/	\Т2	^2/
х~(х'+У),
получаем
8х'2-2У2-^=х'+-^У-13 = 0
72 72
Так как и Х2 отличны от нуля, то по каждой из новых переменных х' и у' можно выделить полный квадрат:
соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим
8.x"2 —2у"2 —8 = 0, или х"2-1у'2 = 1.
Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы. Результирующее преобразование координат имеет вид

191
а каноническая система координат — (О',	е2), где
О' (2, -1),
В задачах 4.226—4.231 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
4.226.	9х2—4ху + 6у2+ 16х —8у —2 = 0.
4.227.	х2 —2ху+у2—10х—6у+25 = 0.
4.228.	5х2-М2ху —22х—12у—19 = 0.
4.229.	4х2 -4ху+у2 — бх + Зу—4=0.
4.230.	2х2 + 4ху+5у2 —6х —8у—1 =0.
4.231.	х2-4ху+4у2 — 4х —Зу—7 = 0.
4.232.	Кривая второго порядка определяется уравнением.
а) х2 —2у+Х(у2 —2х)=0; б) х2 + 2Хху+у2-1=0.
Определить ее тип при изменении параметра X от — оо до + оо.
Множество точек евклидова пространства R3, удовлетворяющих уравнению (3), называется поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих видов (в переменных х, у, z):
1)	X1x2 + X2y2 + X3z2 + c=0
2)	X1x2 + X2y2 + fe=0
3)	Xix2 +X2y2 +c=0
4)	X!X2 + Z>y=0
5)	Xtx2+c=0
(X,X2X3#0). (X,X2#0), (XtX2^0), (Xt#0), (X,/0).
Поверхности типов 3)—5) являются цилиндрами (эллиптическим, гиперболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении плоскостью z=0).
Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка
4х 2 + 4у2 — 8z2 — 1 Оху+4 vz+4zx -16х -1 бу - 8z + 72=0.
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
<□ Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна
Выполнив преобразование
=—-=(3x'+y' + 2./2z’), 3^2
192
y = -^F (-3x'+y' + 2y/2z'), 3^2
Z = _L(	-4У+./И.
получаем
9x'2 —9y'2 —72z' + 72 = 0.
Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной
— 72z' + 72 = — 72(z'—1) = — 72z".
Второе преобразование координат имеет вид
х"=< У'=У, z"=z'-l.
откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида
Результирующее преобразование координат таково:
В задачах 4.233 -4.240 написать каноническое уравнение поверхности второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
4.233.	7х 2 + бу2 + 5z2 - 4ху - 4yz - 6л - 24у +18z+30 = 0.
4.234.	2х 2 — 7у2 — 4z2 + 4ху + 20yz - 16zx + 60х - 12 у + 12z --90 = 0.
4.235.	2х 2 + 2у2 - 5z2 + 2ху - 2х - 4у - 4z+2 = 0.
4.236.	2х 2 + 2у2 + 3z2 + 4ху + 2yz + 2zx—4х + бу — 2z+3 — 0.
4.237.	4x2+y2 + 4z2—4ху+4yz—8zx — 28х 4- 2у +16z+45=0.
4.238.	2х 2+5у2 + 2z2 - 2ху - 4xz+2yz+2х - 10у - 2z -1 = 0.
4.239.	х 2 + 5у2 + z2 + 2ху+2yz + 6zx—2x+6y+2z=0.
4.240.	х2 — 2у2 + z2 +4xy+4yz — lOzx + 2x + 4y — lOz —1=0.
7 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1
Г л а в a 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная
1. Определение производной. Дифференцирование ииио заданных функций. Пусть А/(х0, Ах)=/(х0 + Ах)—/(х0) приращение функции y=f(x) в точке v0, соответствующее приращению аргумента Ах. Производной 1-го порядка (или первой производной) функции > = /(х) в точке л'о называется предел
ГЫ-	(!)
Дх-0 Ах
Числа
еч \ г А/(л0, Ах)
/_(х0)= lim ----------
Дх-*-0	Д*
И
r't \ г М^о.Ах)
Дх-»+О Ал
называются соответственно teeou и правой производными функции j’=/(x) в точке х0 Для существования производной /'(х0) функции Дх) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в этой точке существовали и совпадали, т. е.
Л(х0)=Л(х0).
Пример 1. Найти Д(0) и f'+(0) для функции Дх)=|х|.
<1 Имеем по определению
л(0)= шп	I™ z^=_i
дг_—о Ах дс-,-0 Ах
и
Д(0)= lim -—-= lim —=1.
дх_+о Ах дх-»+о Ах
Заметим, что функция /'(х) = |х| не имеет производной в точке хо = 0.
Производная функции /(х), рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием.
Таблица производных основных элементарных функций.
1.	(ха)' = яхо1, а#0.
2.	(ах)' = ах In а, а>0; (ех)' = ех.
194
3.	(log„x)' = log„e-, a>0, a^l; (lnx)' = -.
4.	(sinx)' = cosx.
5.	(cosx)'= — sinx.
6-
8.	(arcsinx)' = —(arccosx)' = ^__
9.	(arctgx)' = —(arcctgx)'=-	.
Правила дифференцирования функций.
I. Пусть С—постоянная и f(x), g(x)—дифференцируемые функции. Тогда:
1. (С)'=0.	4. lfg)'=f'g+fg'.
(/+?)'=/'+g'- 5.	g^O.
3. (С/)'=СЛ	e
П. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0, а функция z=g(y) имеет производную в точке Уо—/(хв). Тогда сложная функция z—g(f(x)) в точке х0 имеет производную, равную z'(x0)=g'(y0)f'(x0)	(2)
(правим дифференцирования сложной функции).
Пример 2. Найти производную функции z = log3(arcsinх).
-я Полагая z=log3y и j=arcsin х, имеем
z'(_)>) = log3e-~
/(х) =
Отсюда, согласно (2), получаем
arcsin х
Найти Д/(х0, Дх), если:
5.1.	/(х)=х3, х0=1, Дх = 0,1.
5.2.	/(х) = хЛ, *о = О, Дх = 0,25.
5.3.	/(x) = lgx, хо = 1ОО, Дх=-90.
Найти Д/(*о, Д*) как функцию Дх, если: 5.4./(x) = sinx, х0 = л/2.
’<! Имеем
195
5.5/	(х) = х2, х0=-1.
5.6.	f(x\ = ex, х0=1.
5.7.	/(x) = log2x, х0=1.
Пользуясь только определением производной, найти f'(x}: 5.8. /(x)=ctgx.
<1 Имеем:
, v г ctg(x+Дх)—ctgx	sin(-Ax)
Дд-»О	Дх	Дл-И)А*51ПХ81П(х + Дх)
- nm ———г—---г-;——
дЛ_»о sm х sin (х+Ax) sin х
5.9.	/(х)= 1/х2. 5.10. /Ы=ЧД-
5.11.	/(х)=2*.	5.12. j(x)=log2x.
5.13.	Известно, что /(0)=0 и существует предел
Доказать, что этот предел равен /'(0)
5.14*	. Доказать, что если f(x) имеет производную в точке х0, то limх^-0^ X--^- =^f(xo)-xof’(xo).
v-.x0 х-х0
Для заданной /(х) найти /1 (х0) и f’+ (хп):
5.15.	/(х)=|х-1 | + |х+11, х0=±1.
мб.д«)-{’;1+2х**;>=•
<□ Имеем
Л(1)= hm ^-/(1). lim izl=I
Х-.1-О х—1	Х-.1-0Х— 1
A(l)= lim /(IL lim	Mm (x-l)=0.
v-И+О X—1	x-H+0 X—k	x-H+0
«’•HL ">»:xo=0' 5.18. f(x) = Jl-e~x\ xo = 0. f0’ Л = 0’ x -0 5.19./(x)=j_Z_ x^O, Xo~"-
196
5.20*. Показать, что функция
непрерывна при х = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной
Найти производные следующих функций:		
5.21.	у=3-2х+-х4	5.22. y=
	3	Cl
5.23.	1 1 1	5.24. >’ = “•
5.25.		5.26. y=(x2 —l)(.x2—4)(x2+9).
5.27.	1 + Зх2	5 28 y—	1
		х3 + Зх-Г
5.29.	а	5.30. y = ^.
	’ Ух5 b	c+dx
5.31.	2 1 У~2х-1~х'	532. 2—Jx
5.33.		5.34. y = 3^/x2-2^/x3.
5.35.		5.36. y=_±___L
5.37.	>=x3ctgx.	5.38. y=^-. .VP
5.39.	cos .V	5.40. j=4/xsinx.
	У 1 + sm х	
5.41.	y = x^/x2(21nx--3x).	5.42. j = 3xJIog2x+^.
5.43.	y = 2sinx—3tgx	„ ..	sin x—cos x 5.44. y=	.
		sin x +COS X
5.45.	y=x3l2^+a.	5.46. y=
		\]l+x2
5.47.	. 3x J’ = sin~.	5.48. у=6 cos у.
5.49.	y=(l+4x2)3.	5.50. y=^/(l + 3x2)3.
5.51.	y=sin2^.	5.52. у=x/1 + sin 4x—-У1 — sin 4x.
197
5.53. у = х arcsin In х.
5.55. j=<J/(l +sin2x)3.
5.57. j = ex/3cos2|.
5.54. J=cos20-^.
5.56. y=x2e~2x.
5.58. y=-
5.73. j’ = log2ln2x.
5.70. j =2'/sinZx.
5.72. j> = Inxlgx—lnalognx.
5.59. y=lntg
Найти производные гиперболических функций;
5.77.
shx=--------(гиперболический синус),
5.78.
(гиперболический косинус),
5.79.
SDJ
th х = —— (гиперболический тангенс).
5.80.
cth х=—(гиперболический котангенс).
Логарифмической производной функции }’=/(*) называется производная от логарифма этой функции, т. е.
Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной
Пример 3. Найти производную функции у= /—----------
198
о Так как функция определена при te [О, 1](J(2, + °о), то
1пу=-(1пх+1п|х—1| —1п|х —2|).
Отсюда (см. пример 5.117)
Пример 4. Найти производную сложно-показательной функции
о Логарифмируя, получим ^так как 14— > 0J 1пу=xln^l +-^.
Отсюда находим производные левой и правой частей
Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:
5.81.	5.82.
(х+1)3	V X5
5	83 v =	х/* + 2
>-1)2(2х+1)‘
5.84.	у = х3 /-------=.
V (х+2)Ух-2
5.85.	у = хх.	5.86. у = х1Х.
5.87.	у^хГх'х.	5.88. у = (1пх)1/х.
5.89.	y = (sinx)arcb,nx. 5.90. у = х<
5.91.	у=Ц£ 5.92*. у = хх2+х2‘+2х\
199
Вводя промежуточные переменные, вычислить производные заданных функций:
5.93	*. у = In (cos2 х+./1 + cos 2 х).
5.94	. y = (arccosx)2ln(arccosx).
_	arcsin(e“H	1— a2x
5.95	. y=---—	_2 2 •	5.96. y=-j-j-—^arctga .
5.97	*. Пусть
.	Jx2 + 2x, x^O,
\ax+b, x>0.
Найти коэффициенты а и b так, чтобы функция f(x) была непрерывна и дифференцируема в любой точке.
5.98.	Пусть
Л/-Л|х| Lax2 + b, |х|<1.
Найти коэффициенты а и b так. чтобы функция /(х) была непрерывна и дифференцируема в любой точке.
Найти производные следующих функций:
5.99.	5.100. y=Jx+Jx+y/x.
5.101.	y = m+</(l -х)т(1 +х)".
5.102.	у = sin (cos 2 x) cos (sin 2 x).
5.104.	«.l»0.
5.103. y =--------.
cos" mx
5.105.	у=1п(1пплих).
5.107. j =log2 sin ^2nx + ;
5.109. y = logxe.
5.111. r = 4/?in21
5.113. y = ln(shx)+^~.
5.115. y = e“*shax.
5.117. y=ln|x|.
5.108. y = arctg(tg2x).
5.110. у = (sinx)cosx. __
5.112. y = Jcosx-a',cosx.
5.114. y= arctg(thx|.
5.116. y = arccos(l/chx).
с Функция у = 1п[х[ определена VxeR, x^0, и
f Inx, ln|x|=<	.
I ln(-x).
200
Отсюда
(ln|x|')=
х>0
х<0
х*0. »
5.118.	у=arcsin—. 5.119. y=|sin%|. l-v|
5.120.	y = |arctgx|.
5.121.	у = [л]л, где [л]—целая часть числа х.
-а Функция у=[х]х определена VveR Если keZ, то у=кх при хе [к, к + 1). Поэтому
у’=к. хе(к. к+1),
а в точках х = к, keZ:
fL(k) = k-\, Д(А)=А.
5.122. у=
5.124. у=
х^О, х>0.
м>
5.123.
1,
{in(i+4
х<0,
л>0.
5.125.	v=-1_3-L2L
'	l-xV(3+x)2
5.126.	у=(х-а^(х-а2)“+..(х-ап)а».
5.127.	у=ах“.	5.128. y=(log,ttf.
5.129.	у = sin (sin (sin л)). 5.130. у=(1/л)1/х.
5131 1пЗ sinx+cosx
5.132. у = 3^£
1 sin3«x
3 cos3for
5.133.	Доказать, что производная четной функции—функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
5.134.	Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая.
5.135*	. Найти f'(x0), если /(х)=(х—х0)<р(х), где функция ф(х) непрерывна в точке х0.
Пусть ф(х) и ф(х)- дифференцируемые функции. Найти производные следующих сложных функций:
5.136.	у = ч/ф2(х)+Ф2(х). 5.137. y=arctg^.
5.138.	у = ф(х)"’,х), ф(л)>0.
5.139.	у = 1оёфМф(л), <р(х)>0, ф(л)>0, <р(л)^1.
201
•с Перейдем к натуральным логарифмам:
. 1п<р(х)'
Отсюда находим
’’	1п2ф(х)	1пф(х)\Ф(х)	ф(х)7
Пусть /(х) произвольная дифференцируемая функция. Найти у:
5.140.	т=/(1пх).
5.141.	у=1пЮ
5.142.	y=f(ex)efM.
«а Имеем y'=f'(ex)exe/M+f(ex)eIMf'(x)=eI{x)(exf(ex)+f'(^f(ex)). с-
5.143. j
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. Говорят, что функция у =./(%), хе(а, Ь), неявно задана уравнением F[x, j) = 0, если для всех хе(а, Ь)
F(x,.f(x)) = 0.	(3)
Для вычисления производной функции y=f(x) следует тождество (3) продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно Г(х).
Пример 5. Уравнение х2+у2=1 неявно определяет на интервале (—1, 1) две функции:
Найти их производные, не используя явных выражений (4)
Пусть j(x)—любая из этих функций Тогда, дифференцируя по х тождество
л2+у2(х)=1,
получим
Отсюда
2х+2у(х)у'(х)=0.
уДх)	J’2W У1(х)
202
П р и м 6 Вывести правило дифференцирования обратной функции.
Если x=fx' (j), \ еЕ,— функция, обратная к y=f(x), xeD, то для всех уеЕ выполнено равенство
КГЧу))-у=0-
Иначе говоря, обратная функция jc=/'“1(j) есть функция, заданная неявно уравнением
ЛМ-Е=о.
Для вычисления производной функции	дифференцируем
(5) по г:
/'(х(Е))л'(г)-1=0,
откуда
Х'(у} Г(х«
При неявном задании функций, а также для сложных функций будем для производной использовать также обозначения типа у’х там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференцирование.
5.144. Найти значение в точке х=1, если
х3-2х2у2 + 5х+у-5 = 0, у(1)=1.
5.145. Найти у’х в точке (0, 1), если еу + ху = е.
Найти	[ у'х для следующих	функций, заданных неявно:
5.146.	^=1 a2 h2 ’	5.147. х4+у4 = х2у2.
5.148.	Л/х+ч/у=Л/й, й>0.	5.149. 2у1пу=х.
5.150.	ех sin у—еу cos х=0.	5.151. sin(xy)+cos(xy)=0.
5.152.	2х+2у = 2х+у.	5.153. х—y = arcsinx — arcsiny.
5.154.	arctg -=1п ч/х2+у2.	5.155. xy = arctg-.
5.156.	ху=ух.	5.157.	•
5.158.	Доказать, что функция у, определенная уравнением	
ху—1пу=1, удовлетворяет также уравнению у2+(ху 1)у'=0.
Найти производные функций, обратных к заданным: 5.159. y = shx.
<i Имеем по определению shx=----------. Так как (shx)' =----->0
для всех xeR, то функция shx монотонно возрастает на всей действительной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую
203
arshx. По правилу дифференцирования обратной функции получаем
Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем
(arshx)'=-/==. =-
5.160*	. j=chx. 5.161. v=arcsin2\
5.162.	у = 2х2-х, хе(1/2' + ос).
Пусть у = а(х)—функция, обратная к заданной у=/(х).
Выразить а'(х) через х и а(х), если:
5.163.	у=хх.
-а Учитывая, что
(хЛ)' = хх1п(х+1),
получаем:
, _ ! _ 1 1
Л лх(1пх+1) у(1па(у)+1)’
так как х=и(у’). В обычных обозначениях
Я'(л) = х(1па(х)+1У "
5.164.	у=х + ех.	5.165. у=1/2х+х3.
5.166.	y=x+log2x. 5.167. y = xlnx.
Пусть заданы функции
х = <р, у=ф(г), te(a, р).	(6)
Если при этом x = <p(z) на интервале (а, Р) имеет обратную z = <p-1(x), то определена новая функция
у(х) = ф(<р-1(х)),	(7)
называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6). Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования обратной функции (пример 6), получаем
Ф! y’t
yx=v,-ix=-=^	(8)
<р, х;
Пример 7. Найти у'х, если
x=cos2z, j=sinZ, te(O, n/2).
«а Так как <р! = — 2 cos z sin z, i|<;=cosz, то по формуле (8) находим
204
Для функций, заданных параметрически, найти у'х:
5.168.	x±2t, y=3l2—5t, te(—<x>, + од).
5.169.	л=у3 + 2, y = 0,5f2, fe(—оо, + оо).
5.170.	*=“, >=(tZ1) ' f#~’’
5.171.	x=2~‘, y=22t,	+ oc).
5.172.	x=<7coscp, y=Z?sintp, <pe(0, л).
5.173.	x = tg/, у=sin2t+2cos2t, te( — n/2, л/2).
5.174.	x — arccos — 1—, y = arcsin—J=. fe(0. + oo).
./l+r2	-71+/2
5.175.	.r=ln(l+«2), y=t—arctg/, te(0, 4-co).
5.176.	x = 3 log2 ctg t, >’ = tgz+ctgr, fe(0, л/2).
5.177.	x = arcsin (t2-1). y=arccos|, fe(0, ^/2).
5.178.	ze(l, +oo).
5.179.	r=os'hr, y=bcht, <e(0, +oo).
Найти y'x в указанных точках: 5.180. х = /1п/, у=—, г=1. 5.181. x=t(t cost—2sinf), y=r(/sinf+2cosz), -71' 5.182. x=e'cosf, y = e'sinr, t=njf>.
3. Производные высших порядков. Производной 2-го порядка от функции y=f(x) называется производная от ее первой производной, т. е.
rw=b'(x))'.
Вообще производной п-го порядка (или и-й производной) называется производная от производной порядка и—1, т. е.
d"y dx"'
Для производной н-го порядка используется также обозначение Пример 8. Найти у", если у = 1п(х + ^/1+х2).
->ч Имеем >•'=	Следовательно.
205
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
5.184.	y = cos2x.	5.185. y = arctgx2.
5.186.	y = log2^/l-x2 5.187. у = е~х\
5.188.	5.189*. >=/
5.190.	Найти у'(0), j"(0), у"'(0), если y(x) = e2xsin Зх.
5.191.	Найти у'"(2), если y = ln(x—1).
5.192.	Найти y’v(l), если у = х31пх.
5.193.	Найти >’(0). /(0), >’"(0), если y = 2s,nxcos(sinx).
Пусть /(и)—дважды дифференцируемая функция. Найти у' и у", если:
5.194.	y=f(l/x2). 5.195. у=1п/(ех).
Пусть и(х) и г(х)—дважды дифференцируемые функции.
Найти у', у", если:
5.196.	y = uv (и>0).
«а Имеем lnj=rlnu Отсюда находим
/ V
— = v In ы-|—и ,
5.197.	y = x/u2 + v2. 5.198. у=1п^.
Найти формулу для л-й производной заданных функций: 5.199. у = хт, wcN. 5.200. у = акх, кеП.
5.201*	. y=sinx. 5.202. y = lnx.
5.203*	. y = cos2x. 5.204. у=рД
Разлагая в линейную комбинацию более простых функций, найти указанные производные от заданных функций:
5.205.	У=-^—у, найти у(л).
«а Преобразуем выражение к виду
2х________1	1
r2-l-x-f-l х-1
206
Так как \
\	(щ) =(-,^”!(х±1)“~7Т
(докажите!), то'
"!(й^+о^й- ~
5.206.	у = —— ---> найти у,50).
х —Зх+2
5.207*	. ^=^=- найти У(20)-
Пусть ы(х) и v(x) имеют производные до и-го порядка включительно. Тогда для производной и-го порядка их произведения u(x)v(x) справедлива формула Лейбница
(иг)<", = и,"’» + ии<"“1’гЧ-^^и<"'2’г"+... + иг<",= £ Ck„u<"~k'vw, 12	1=0
...	...	.	п(п~ 1)...(и — /г+1) nl
где ит = и, г<0,= г и С* = — --——---=—;--------биномиаль-
Г2-... -к Щп-ку.
ные коэффициенты (по определению 01 = 1).
Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных порядков от заданных функций:
5.208.	y=(x2+x+l)sinx, найти у(15).
5.209.	у = (х2 — х)ех, найти у(20).
5.210.	y = sinx e-x, найти у(5).
5.211.	y=xlog2x, найти у(10).
5.212.	y=xshx, найти у(100>.
5.213*	. Показать, что (еах cos ЬхУл)~глеах cos (bx+иср), где
—-,	b b
г=у/а +b , tgcp=-, sm<p=-.
5.214.	Доказать, что (хи-1 е>1/х)(и, = (— 1)” 4^.
5.215.	Вычислить значение и-й производной функции
Зх + 2 у=—=----- в точке х = 0.
х2-2х+5
<i По условию имеем
у(х)(х2-2х + 5) = Зх + 2.
Продифференцируем это тождество и раз, применяя формулу Лейбница. Тогда (для п>2) получим
У"’(х)(х2-2х+5) + И/"-1>(2х-2) + ^^/»-^(х)-2 = 0,
207
откуда при х=()
5уw (0) - 2пу <” - *’ (0) + п (п -


Мы получили рекуррентную формулу для определения и-й производной в точке л=0 (л >2). Значения у (0) и У (0) найдем непосредственно:
J(O)=7> УМ-
19
Затем, полагая последовательно п=2, 3, 4, ..., с помощью рекуррентной формулы получим значения производных высших порядков. Например,
56

2	56 3-2 19	234
Применяя метод, описанный в задаче 5.215, найти производную 4-го порядка в точке х=0 от заданной функции:
5.216.	«0. 5317. ,=УЙ±1
cx+d	x2-x+l
5.218.	Показать, что функция y = arcsinx удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — х2)у"=ху'.
5.219.	Показать, что функция y=Cte2x + С2хе2х+ех удовлетворяет дифференциальному уравнению у" — 4у'у4у = е\
5.220.	Показать, что функция y = e-icosx удовлетворяет дифференциальному уравнению y,IV)+4y=0.
5.221.	Показать, что функция y=x''(cos(inx)+sinllnx)) удовлетворяет дифференциальному уравнению л-2у" + + (1 —2и)ху'+(1 +и2)у=0.
В задачах 5.222—5.226 найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно:
5.222.	у/х2+у2=аелгс'^, а>0.
с Дифференцируя уравнение, определяющее функцию у(х), получаем
Отсюда
у/^+у2
х2+у2'
(9)
и, следовательно,
(10)
208
Дифференцируя \(9) и используя найденное для у' выражение (10), получаем у'\2^-^^\ »
5.223.	у2 = 2рх. 5.224. у=1+хс<
5.225.	y=tg(x+y). 5.226. ех~у = ху.
5.227.	Вывести формулу для второй производной функции, обратной к заданной функции у=/(х).
5.228.	Доказать, что если (а+Ьх)еу,х—х, то х3у" = =(ху'-у)2.
Найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:
5.229.	х=1п/, у=?, te(O, +ос).
о Имеем

Заметим, что в данном случае параметр t легко исключить из заданных уравнений, полагая t=ex. Следовательно, выражение для у"х как функции ог х имеет вид у'^х=:9е3х. с»
В общем случае, если л = <р(7), у= ф(/), то у"х вычисляется по формуле
|фЧО ФЧО I
„ Ф'ЧОфЧО-Ф'ЧОФЧО |ф"(0 Ф'ЧО|
ГфЧ/))3	(фЧО)3
5.230.	х = sec t, y = tgf, te(O, п/2).
5.231.	x=arcsin/, y=ln(l-z2), te(-l, 1).
5.232.	x=arctg/, y=ln(l+f2), ze( — oo, +00).
5.233.	x = «cos3/, y=«sin3/, zg(O, n/2).
5.234.	Показать, что функция у(х), заданная параметрически уравнениями x=sinz, y = ae,',* + be~t'/z, te(—n/2, л/2), при любых постоянных а и b удовлетворяет дифференциальному уравнению (1— х2)у",— ху'х = 2у.
4.	Геометрические и механические приложения производной. Значение производной /4*0) функции y=f(x) в точке л„ равно угловому коэффициенту к = tg ф касательной ТТ' к графику этой функции, проведенной через точку М0(х0, у0), где уо=/(*о) Фис. 37) (геометрический смысл производной).
Уравнение касательной ТТ' к графику функции у=/(л) в его точке (х0, у о) имеет вид
У~Уо=/'(хо)(х-хо).
209
Прямая NN’, проходящая через точку касания Мо перпец. дикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции y=f(x} в этой точке Уравнение нормали
(л•-х0) +f' (х0) ( У - Уо)=0.
Написать уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в данной точке, если:
5.235.	у = .х2 —5х+4, х0=-1.
5.236.	у—х3 + 2х 2—4.x — 3, х0 = — 2.
5.237.	y = Jx, .х0 = 4.
5.238.	y = tg2.x, хо = 0.
5.239.	у=1п.х, х0=1.
5.240.	у = е1-х\ .х0= —1.
5.241.	Написать уравнения касательной и нормали в точке Мо(2. 2) к кривой х=^1, у = ~yz+^,
5.242. Написать уравнения касательных к кривой
x = tcost, y = tsint, /е( —оо, +оо),
в начале координат и в точке / = л/4.
5.243.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой .х3+у2 + 2.х—6 = 0 в точке с ординатой у0 = 3.
5.244.	Написать уравнение касательной к кривой х5 + у5 —2.ху=0 в точке M0(l, 1).
5.245.	Под каким углом график функции у-ех/2 пересекает прямую х = 2?
5.246.	В какой точке Мо кривой _р2 = 2.х3 касательная перпендикулярна к прямой 4.x—3^+2 = О?
5.247.	Найти коэффициенты b и с в уравнении параболы у = х2 -ybx+c, касающейся прямой у = х в точке M0(l, 1).
5.248.	Показать, что касательные к гиперболе
в точках ее пересечения с осями координат параллельны между собой.
5.249.	Составить уравнение нормали к графику функции у=— ^/х+2 в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
5.250.	Составить уравнение такой нормали к параболе у = х2 — 6.x+ 6, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
5.251.	В точках пересечения прямой х—_у+1=0 и пара' болы у = х2 — 4.x+5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордо0’ стягивающей указанные точки пересечения.
210
5.252.	Показать, что нормали к развертке окружности x=«(cos/H-/siru), y=«(sin/~/cos/) являются касательными к окружности к2+у2 = а2.
Углом со между кривыми y=fi(x) и y—f2(x) в их общей точке Мо (х0, Уо) называется угол между касательными к этим кривым в точке Мо.
5.253.	Доказать, что tgto=/2^
• +/1 (xo)f 2 (Ло)
Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:
5.254.	у = х2 и у = х3.
5.255.	у = (х—2)2 и у = 4х—х2 + 4.
5.256.	у=sin х и y=cosx, хе [0, 2 л].
5.257.	х2+у2 = 8ох и у2=—~.
2а—х
5.258.	Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых касательной к кривой х1/2+у1/2 = а112 на осях координат, для всех ее точек равна а.
5.259.	Показать, что отрезок касательной к астроиде х2/3 + у2/3 = о2/3, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а.
5.260.	Найти расстояние от начала координат до нормали к линии у=е21с + х2. проведенной
5.261.	Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет постоянную длину.
Если кривая задана в полярных координатах уравнением г=г(ср), то угол 0, образованный-Касательной ТТ' и радиус-вектором ОМ точки касания ношением
в точке с абсциссой х = 0.
Рис. 38
М (рис. 38), определяется соот-
Г (ф) tge=-^.	(П)
5.262*	*. Вывести формулу (11).
5.263.	Найти угол 6 между касательной и радиус-вектором точки касания для логарифмической спирали r~ael“i’.
5.264.	Найти угол 6 между касательной и радиус-вектором точки касания для лемнискаты r2 = fl2cos2<p.
211
Если x = x(f)— функция, описывающая закон движения dx .
риальнои точки, то первая производная ~~^~х есть скорость, а втс и?
производная -~^ = х— ускорение этой точки t (механический смысл первой и водных).
в момент времени второй пр о из.
5.265.	Закон движения материальной точки по прямой имеет вид	— 4г3 + 16г2.
а)	В какие моменты времени точка находится в начале координат?
б)	В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?
в)	В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
5.266.	Найти скорость гармонического колебания с амплитудой а, частотой со и начальной фазой ср = О.
5.267.	Тело массой 4 движется прямолинейно по закону x—t1 4-1+1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени 1 = 5.
5.268.	В какой момент те [0, 2л] надо устранить действие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании x=cos3z, продолжала двигаться равномерно со скоростью г = 3/2.
5.269.	Точка движется по логарифмической спирали г=с°ф. Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с постоянной скоростью со.
5.270.	Точка движется по окружности r=2а cos ср. Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью со.
5.271.	В какой точке эллипса 16х2 + 9у2 = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
5.272.	Радиус шара изменяется со скоростью г. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара?
5.273.	Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время Г=8 с. Найти угловую скорость со в момент времени г=32 с после начала движения
§ 2.	Дифференциал
1.	Дифференциал 1-го порядка. Функция у=/(х) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение Ду(х0, Дх) может быть представлено в виде
Ду (х0, Дх) = А Дх+о (Дх).	(О
212	Ц
Главная линейная часть АЛх приращения Ду называется дифферен-ииалом этой функции в точке х0, соответствующим приращению и обозначается символом dy(x0. Дх).
Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная Г(х0); при этом справедливо равенство A=f'(x0).
Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы н употребляли это выражение в § 1.
Выражение для дифференциала имеет вид dy(x0. dx)=f (x0)dx, где принято обозначение dx—&x. Из формулы (1) следует, что если Г(хо)/0, то при Ах-»0 приращение функции и ее дифференциал щ в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно малыми, что позволяет записать приближенное равенство:
\yxdy при |Ax|<sl.	(2)
Пример 1. Найти приближенно значение объема V шара радиуса г= 1,02 м.
о 1ак как У(г) = -пг , то,
формулу (2), получаем:
Р(1,02) = Г(1) + ДГ(1, 0,02)~
^И(1)+Г(1)0,02=
=- K+4n O,O2ss4,43 м3. »
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал dy(x0, Дх) равен приращению ординаты касательной ТТ' к графику функции y=f(x) в точке М0(т0, у0) ПРИ приращении аргумента, равном Дх (рис. 39)
г0=1, zir=o,uz и используя
Рис. 39
5.274.	Используя формулу dy=y'dx и правила вычисления производных (см. § 1. п. 1). доказать следующие свойства Дифференциала:
a)	J(C) = 0, где С—постоянная;
б)	</(C1«+C2t>)=CJ<fo+C,rfp;
. ,, .	,	,	. ,/ и\ vdu—udv
в)	d(uv) = udv + vdu; г) d -)=-5-.
\VJ
5.275.	Пусть z(x)=z(y(x))—сложная функция, образованная композицией функций у=у(х) и z = z(y). Доказать, что
dz (х, dx )=z' (у) dy (х, dx),
т- е. выражение для дифференциала сложной функции через Дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz(x, dx) = z'x(x)dx (это
213
утверждение называется инвариантностью формы 1-го диф. ференциала)
5.276.	Доказать, что для линейной функции у приращение Ду и дифференциал dy совпадают.
5.277.	Найти приращение Ду и дифференциал dy функции у=х3, соответствующие значению аргумента х0 = 2 и дву^ различным приращениям аргумента (4x^ = 0,! и (Дх)2 = 0,01.
5.278.	Найти приращение Д5 и дифференциал dS площади S квадрата, соответствующие приращению Дх стороны х. С помощью рисунка геометрически истолковать AS, dS и разность AS—dS
5.279.	Материальная точка М движется прямолинейно по закону	где t- момент времени, а 5—пройденный
путь за промежуток времени от 0 до t. Дать механическое истолкование дифференциала пути ds, соответствующего промежутку времени At — t2 — tl.
5.280.	Используя результат предыдущей задачи и формулу (2), найти приближенно путь As, пройденный точкой М за промежуток времени от тг = 3 до т2 = 4, если закон движения точки М задан формулой s=lyarctgf Сопоставить ответ с точным значением As.
5.281.	Для функций: а) /(х)=хя и б) <p(x) = sinx найти значения аргумента х, при которых дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при Ах -> 0.
5.282.	Дан отрезок [х0, х0 + Дх ] изменения аргумента х функции y=f(x); Ay и dy—соответствующие приращение и дифференциал функции у. Возможны ли равенства: а) dy — ^Ay, б) dy = Ay, в) dy = ^Ay на всем этом отрезке?
5.283.	Ребра куба увеличены на 1 см. При этом дифференциал dV объема V куба оказался равным 12 см3. Найти первоначальную длину ребер.
5.284.	Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным 6л см2. Найти первоначальную величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении Ax = dx:
5.285.	xja 2 — х 2 + а 2 arcsin-— 5. а
5.286.	sinx—xcosx+4.
5.287.	х arctg х—In ^/1 + х 2.
214
5.288.	xlnx-x+1.
5.289.	x arcsin х+^/Т^Р-З.
При вычислении дифференциалов неявно заданных функций удобно использовать основные свойства дифференциала, перечисленные в задачах 5.274 и 5.275.
Пример2. Найти dy, если функция у=у(х) задана неявно уравнением
с Перепишем (3) в виде тождества
1пф=хЬ’2(х)
и вычислим. дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим
'(‘"О
d(x 2у 2) = x2d(y2)+y2 d(x 2)=2х 2у dy+2ху 2 dx.
Приравнивая полученные выражения, получаем
~dy---^dx—2x2ydy+2xy2dx.
Из этого уравнения, линейного относительно dy, находим окончательное выражение для dy через х, у и dx:
у 1 + 2хУ
Отсюда, в частности, может быть получено и выражение для производной неявной функции:
Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций у=у(х):
5.290.	у5+у-х2 = 1.	5.291. х4+у4 = х2у2.
5.292.	х2/3 + у2/3 = а2'3.	5.293. еу=х+у.
5.294.	j’ = x + arctgr. 5.295. _y=cos(x + y).
5.296.	arctg-=In^/x2 + у2. 5.297. cos(xy) = x.
В задачах 5.298—5.302 произвести указанные приближенные вычисления, используя замену приращения Ду подходящей функции у=/(х) дифференциалом dy этой функции при малой абсолютной величине приращения Дх аргумента х.
5.298.	Вычислить приближенно: a) arcsin 0,05; б) arctg 1,04; в) In 1,2.
215
5.299.	Обосновать приближенную формулу
V* 4- Л-V Ж i/x 4—
-Ч/Р
и вычислить по этой формуле ^/25
5.300.	Найти приближенное значение функции /(х)=е’2'’ при х=1,2.
5.301*	. Найти приближенное выражение для приращения А V объема V прямого кругового цилиндра с высотой h при изменении радиуса основания г на величину Аг.
5.302*	. По закону Клапейрона объем V, занимаемый газом, давление газа р и абсолютная температура Т связаны формулой pV=RT, где R—газовая постоянная. Найти приближенное выражение для приращения АГ объема V при изменении давления р на величину Ар, считая неизменной температуру Т.
2.	Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал dy(x, &lx)=f (х)Д1х как функцию х при фиксированном — v Предполагая, что функция y--f(x) дважды дифференцируема в точке х, найдем дифференциал от dy(x, Д,л) при Дх = Д2х:
d(dy(x, Д,х))|х Дх=Д2Х=/”(х)Д1хД2х.
Значение полученного выражения при Д1х = Д2х = </х называется вторым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции у=/(л) и обозначается символом d2y(x, dx).
Таким образом,
d2y=f"[x)dx2.
Аналогично
rZ3y=rZ(rZ2y)=/'"(x)rfx3,
d”y = d[d"~> y)=fM(x)dxn
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций: 5.303. = a sin (Ах 4-с).	5.304. у = 3~х2.
5.305.	j’ = (sinx)/.x.	5.306. y = ax2 + bx + c.
5.307.	у = 1 /(х 2 - 3x4-2).	5.308. у = УГРР arcsin х.
5.309.	у = In (х 4- ^/1+ х2). 5.310. у=arcsin (a sin х).
5.311.	Доказать, что второй дифференциал сложной функции z(x)=z(y(x)) выражается формулой
d2 z = z "у dy 2 4- z 'у d2y.
о Для первого дифференциала имеем (см. задачу 5.275) dz=z'yd). откуда, дифференцируя еще раз (по х, но используя инвариантность формы первого дифференциала), получим:
d2z = d{dz) = d{z'ydy)—z'yd(dy) + dy d\z’y)=z'yd2yyz'yydy2. i>
216
Этот пример показывает, что дифференциалы 2-го порядка (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы, свойственной дифференциалам 1-го порядка (см. задачу 5.275).
Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций у = у(х):
5.312.	ху+у2=1.	5.313. [x-a)2 + (y-b)2 = R2.
5.314.	х3+у3=у.	5.315. .r=y-asiny.
§	3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора
1.	Теоремы о среднем.
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a. b ]. дифференцируема при хе (а, Ь) и f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка ^е(а, Ь) такая, что —
Точки, в которых f (л) = 0, называются стационарными точками функции f(x).
Теорема' Лагранжа. Если функция f(л) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема при хе (а, Ь), то существует по крайней мере одна точка t,e(a, b) такая, что
f(b)-j(a)=j’^)(b~a)
f(x) и g(x) непрерывны хе(а, Ь) и g'(A)#0 для мере одна точка %е(а; Ь)
Теорема К о hi и. Если функции на отрезке [л. b ], дифференцируемы при всех хе (а, Ь), то существует по крайней такая, что
(формула Лагранжа)
(формула Коши).
g(b)—g'(a) g'(E,)
5.316.	Функция./(.¥) = (5—.V2 )/х 4 имеет на концах отрезка (—1, 1] равные значения (проверьте!). Ее производная /"(л) равна нулю только в двух точках х=±х/1Ь (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля?
5.317.	Показать, что функция f(x) = x2~ 1 па отрезке [—1,1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные точки этой функции,
5.318.	Пусть /(х) = х(х—1)(х —2)(х—3). Доказать, что все три корня уравнения /'(х) = 0 действительны.
5.319*	. Доказать, что уравнение 16л-4 —64х + 31 =0 не Может иметь двух различных действительных корней на интервале (О, 1).
5.320*	. Доказать, что уравнение е*-1+х—2 = 0, имеющее корень л = 1 (проверьте!), не имеет других действительных корней.
5.321*	. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то
функция F{x) = {f{x)-J{a)}{b~a)~{f{b)-f{a)){x~a) имеет по крайней мере одну стационарную точку на интервале (й> b)
5.322.	Записав формулу Лагранжа для функции /(x) = v Зх3 + Зх на отрезке [0, 1], найти на интервале (о, ц соответствующее значение
5.323.	Доказать, что если производная /'(х) тождественно равна нулю на интервале (а, Ь), то функция f(x) постоянна на этом интервале.
5.324.	Доказать, что если /'(х)>0(/'(х)<0) на интервале (а, Ь), то функция j (х) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале.
Функция /(v) удовлетворяет условию Липшица на интервале (а, Л), если существует такое KeR, К>(), что
для любых jq, \-2e(a,b)
5.325.	Доказать, что если sup /'(х) = М, то функция f(x) на интервале («, Ь) удовлетворяет условию Липшица с константой К, равной М.
5.326*	. Пусть /(к) и ф(х) дважды дифференцируемы на интервале (а, Ь). Доказать, что если/"(х) = <р"(х) на (а, Ь), то /(х) и <р(х) отличаются на линейное слагаемое.
5.327.	Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на [а. b ], то где /н = ДпГ (х).
5.328.	Записав формулу Коши для /(х) = 2х3 + 5х-г1 и g(x) = x2+4 на отрезке [0,2], найти значение
2.	Правило Лопиталя — Бернулли. Раскрытие неопреде-0 со ленностей типа - и — Пусть при х-*а функции J(x) и q>(M обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке х = а, и в этом случае говорят. 0
что оно представляет собой неопределенность типа - или соответ
ственно —. Однако это отношение может иметь предел в точке
х = а, конечный или бесконечный. Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности Одним из способов раскрытия 0 со
неопределенностей типа - и — является правило Лопиталя
Бернулли, основанное на следующей теореме, носящей их имя.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности U точки х=а функции f(x) и <р(х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки х~а, и пусть <р'/х)#0 в U. Если функции f(x) и <р(х) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно
218
большими при х->а и при этом существует предел отношения
уд. производных при х-*а, то тогда существует также и предел f(x)	.с
отношения - ~ самих функции, причем
r f(x) r f(x) hm---------= lim —-—-
Y_*c<p(x) x^a Ф (x)
Правило применимо и в случае; когда а= со. е2л—1 /
Пример 1. Найти Нт------------ те. раскрыть неопределенность
r..,oarctg5.v \
типа
<1 Используя формулу (1), получаем:
е2х—1	2е2х	2
hm-------= lim-----------= -.
х-0 arctg 5х л_,о 1	5
1+25х2
поскольку е2х~» 1 и у "“* * при
О
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида - или
— может потребовать неоднократного применения правила Лопи-таля Бернулли
Пример 2. Найти lim ^т. е. раскрыть неопределенность типа —У о Применяя дважды формулу (1), получаем:
21пх	2
1п2х	“	2	1пх	2	,	х „
hm —5- = lim —=- — - hm	—г	= ~	™	—т =0
х > + <4 X3 v-^ + a. Зх 3 г_ + со	X3	3	А > + л	Зх2
На каждом этапе применения правила Лопиталя — Бернулли следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

т. е. раскрыть неопределен-

Используем формулу
tgx-smx lim-------= hm
= - lim
219
Освободим знаменатель дроби от множителя cos2x, поскольку 01) имеет предел 1 при х-»0. Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя 1 4-cos х 4-cos2 * имеющего предел 3 при х->0. После этих упрощений получаем ’
tgx—sinx 1—cosx lim-----т--= lim-----j—.
Применяем снова (1):
tgx-sinx hm-----5---= hm
1—cosx	sinx
----5— = lim ——.
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя—Бернулли, ь-
Раскрыть неопределенности типа - или
- V lncos2x
5.329. hm —-------.
5.330. lim^^.
5.331. lim
т^п,
5.332. lim
a^b,
•*d.
i- Insinax
5.333. hm-
x_0 In sm bx
5.334.

5.335. lim
1- Incosax
5.336. hm---------.
5.337. lim
5.338. hm
5.339. lim——.
5.341. lim ------~
x^0 sin2 5x
5.340. lim - -- - -
X-.0 ln(l+x)
5.342. Ит^=Л
К sin4x
5.343. lim
5.344. lim
5.345. lim
14-21nsinx'
tgT
5.346. lim —-----r.
5.347.
Iim — r-3+0 He
5.348. hm

220
раскрытие неопределенностей типа 0-сои со — со.
для вычисления linV(x)<p(x), где f(x)—бесконечно малая, а ф(х) — бесконечно большая при х->а (раскрытие неопределенности типа д-сс), следует преобразовать произведение к виду -^2— Гнеоп-,	, l/tpW \
0\	ф(х) (
ределенность типа -1 или к виду —I неопределенность типа
* ) и далее использовать правило Лопиталя—Бернулли.
Пример 4. Найти lim sin (х— 1)-tg — (раскрыть неопределен-х—*1	2
ность типа 0 • со)
о Имеем:
пх sinfx—1)	. cosfx—1)
lim sin (x — 1) • tg—= lim--= lim-----------— =
л_|	2	л-_1 ЛХ x-1 n 1
sm —
2	. n . 2ях 2
=------limcoslx—1 sin — =---.
л ,	J 2 я
Для вычисления lim (/(x)—<p(.v)), где J(x) и <p(x)—бесконечно большие при x-^a (раскрытие неопределенности типа со — со), следует преобразовать разность к виду f(x)\ 1——— I, затем раскрыть \ /(*) /
ф(лЭ	<»	ф (xj
неопределенность ——	типа —.	Если lim-—то
/(х)	СО	х^а
Iim(/(x) —ф(х)) = ос. Если же lim--= 1, то получаем неопределенно	х^а f(x)
ность типа со • 0, рассмотренную выше.
5. Найти lim (х—1п3х) (раскрыть неопределенность
типа со — c о Имеем-
lim (х —ln3x)= lim xl
Так как

311,2Х'х	In2.
lim -----------= 3 lim-------
= 3 lim -----------=6 lim ---------=6 lim
221
lim (x —ln3x)= Ч-co. d-
Раскрыть неопределенности типа 0-co или со —оо:
5.349. Jim х (е1/х—1).	5.350. Jim^ctgx—
5.351. lim х"е~х. 5.352. lim xln3x.
5.353. lim (л —х) tg |.	5.354. lim (ex + e"x-2) ctgx.
5.355. lim x2e 1/x*.	5.356. lim (x— 1) ctgn(x — 1).
5.357. lim x sin	5.358. Jim ^Inx-lnfx-1).
Раскрытие неопределенностей типа 0°, co0, 1 "° Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения (f(x)vtx}, где f(x) есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае -бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел, равный еди Иице. Функция же <р(х) в первых двух случаях является «ссконечно малой, а в третьем случае —бесконечно большой.
Поступаем следующим образом Логарифмируя предварительно у=(/(х))ф<х’, получаем равенство
lny = <p(x) In f (х)
12)
и находим предел In у, после чего находится и предел у. Во всех трех случаях In у в силу (2) является неопределенностью типа О со (проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше.
Пример 6. Найти lim ^1+-^ (раскрыть неопределенность типа 1 “).
<1 Введем обозначение у = ^1 Ч—Тогда In у = 2х In ^1 Ч—является неопределенностью типа со • 0. Преобразуя выражение In у к виду
222
йходим по правилу Лопиталя -Бернулли
Следовательно.
lim у= hm ( 1+-| =е2- о
х —+ оо х — + со \	XJ
Раскрыть неопределенности типа 0°, со0, 1“:
5.364. limoxsmx.
5.366. lim (л —2x)cosx. * —2~°
5.368. lim х1/х.
5.370. lim (ctgxj1/ln*.
5.372. limxv|1’4
5.374. lim (cos2x)3/x*.
5.376. lim | 2--j .
5.378. Jim^y.
5.365. lim^ (arcsin x)le x.
5.367. lim -.-„7^—г;-x_+o?"le n
5.369. Iim^(x + 2X)1M.
5.371. lim (tgx)2x”.
5.375. lim (ex + x)1/x.
P 3. Формула Тейлора. Если функция y=f(x) имеет производные до (щ-1)-го порядка включительно в некоторой окрестности 1/6(а)= = {х||х—д|<8} точки а, то для всякого xeU6(a) справедлива формула Тейлора (порядка и)
/М=/(«)+ф (х-п)+ф (х-п)2 + ... 4^ (х-д)"+«„+1(х),
где
°<e<i
(остаточный член в форме Лакгракжа) Таким образом, формула Тейлора порядка п позволяет представить функцию у=/(х) в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена.
223
В частности, при д=0 имеем
мЖЖч /"Чо) ..Л+1,(М ,+1
И ) П ,?	2,	+ -+ п, - + (п+1),
О<0<1 (формула Маклорена).
5.379.	Многочлен 2х3—Зх2 + 5х+1 разложить по степеням двучлена х+1.
5.380.	Для многочлена х4+4х2—х+3 написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке д=1. Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение 0, соответствующее следующим значениям аргумента: а) х=0; б)х=1; в)х=2.
5.381.	Пусть Р(х)— многочлен 4-й степени, Р(2)= —1. Р'(2) = 0, Р"(2) = 2, Р"'(2)=—12, P(,v,(2) = 24. Вычислить Р(-1), Р'(0) и Р"(1).
Для заданных функций написать формулу Маклорена и-го порядка:
5.382.	у = ех.	5.383. j’=sinx.
5.384.	j = cosx.	5.385. y = ln(l+x).
5.386*	. у=arctg х. 5.387. у = (1 + х)“.
Используя формулы Маклорена. полученные в задачах 5.382—5.387, написать первые и членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для следующих функций:
5.388*	. у=е~^. 5.389*. y = sin2x. 5.390. y=siny.
5.391.	y = ln(4 + x2). 5.392. у=У8+Р.
5.393.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у — х/(х— 1) в точке а=2. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
5.394.	Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции )’=tgx в точке а=0. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени.
5.395.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = arcsin х в точке д = 0. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
5.396.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y=l/v6r в точке а=1. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
Формула Тейлора широко используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вычислить значение функции f(x) в точке х0 с абсолютной погрешностью, не превосходящей е, если известно значение этой функции и ее производных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что
f(x0}xf(a)+~^ (х0-а}+ ... +-—(х0
224
i де n0—минимальный из номеров п, для которых

Пример]. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001.
<1 Применяя формулу Маклорена к функции f(x)=e\ получаем
’	1 + 1' + 2'+-+н!> + 1)!’
Наименьшее значение и, удовлетворяющее условию где 0<0< 1, равно н0 = 6. Следовательно,
е«1 -I---1---Ь
1! 2!
+“у=2,718. с
7-^--<0,001,
5.397.	Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,001, приближенные значения следующих чисел:
a) sin 1; б) ^/ё; в) In 1,05; г) ^/ЗЗ.
5.398.	Выяснить происхождение приближенных равенств:
б) уГТ7«1+|х-1.Л |х|<1, и найти их предельные абсолютные погрешности.
Остаточный член
в форме Пеано
в формуле Тейлора может быть записан
К„+1(х)=о(|х-а|"),
использование которой полезно при вычислении пределов.
Пример 8. Найти lim —------j.

3(1—cosx) lim ---—------.
Заменяя cosx его разложением по формуле Маклорена cosx = = 1 ——-4-о(х3), получаем
3 Т +	3	,42
- hm -----hm —г-,
8 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1
поскольку —-|-сцх2)~ — пРи
Окончательно

х—1—sm(2x—2) х— 1 4-sin(3x — 3)
Пример 9. Найти lim
-а По формуле Тейлора
sin(2x-2)-sin2(x-l)=^y-^+o(|x-l|),
sin(3x—3)=-^-уу—^+о(|х—1|).
Следовательно,
— sin(2x—2) 4-sin(3x—3)


-(x-l)-0(|x-l|) 4(x—l)+o(|x—1|)'
Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т. е. переходя в числителе и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х->0, получаем

х—1 —sin(2x—2)	-(х-1)
х—1 4~sin(3x —3)x-i 4(х-1)
5.399.	Показать, что разложение по формуле Маклорена для функций sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ex— 1 и ln(l+x) можно записать в виде х+о(|х|) и что при х->0 все эти функции эквивалентны бесконечно малой а(х) = х (и, следовательно, эквивалентны между собой).
5.400.	Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы.
..	х/14-x-^/l-x	1-cosx	tgx—sinx
a) lim ------; о) lim —в) lim —5----------------—.
х—*0	X	х —О х2 + х3 х—О х3+х4
§ 4. Исследование функций и построение графиков
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция у=/(х) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а, Ь). если из неравенства х2<х2, где х., х2е(а, Ь), следует неравенство f(xi)<f(x2) (соответственно /(х<)>У (х2)).
Если функция У(х) дифференцируема на интервале (а, Ь) и/'(х)>0 при всех хе (а, Ь\ то функция f(x\ возрастает на (а, 6); если же /'(х)<0 при всех хе(а, 6), то /(х) убывает на этом интервале.
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками. в которых /'(х) = 0 или /'(х) не существует.
226
Если существует такая окрестность U0(x0) точки х0, что для всякой точки х^х0 этой окрестности выполняется неравенство /"(r)>/(Y<i) (или А(х)</(v())), то точка х0 называется точкой минимума (.максии>лга) функции y~f{x), а число f(x0)—минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума Если х0—точка экстремума функции f(x), то /'(х(,) = 0 или /'(х0) нс существует, т. е. х0 критическая точка этой функции.
Обратное, вообще говоря, неверно
Достаточные условия экстремума непрерывной функции. 1) Пусть функция /(х) дифференцируема в некоторой окрестности (х0—8, г0+8) критической точки х0, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (х0 — 8, х0) и (х0, х0 + 8) производная /'(•') имеет противоположные знаки, го х0 -точка экстремума, причем, если /г'(х)>0 при хе(х0 — 8, х0) и /'(х)<0 при хе(х0, х0+8), то х0 точка максимума, а если /'(х)<0 при хе(х0-8, х0) и г(х)> >0 при хе(х0, х04-8), то х0— ючка минимума. Если же /'(х) при ¥б(л0 — 8, х04-8), х^х0, сохраняет знак, то точка х0 не является точкой экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в критической точке т0 и в некоторой ее окрестности. Если f"[xo)<0, то х0 -точка максимума функции f(x), если /"(vo)>0, то х0 точка минимума. Если же j"(xo) — 0, то требуются дополнительные исследования.
Пример 1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции /(*)=- 2--.
Находим производную:
рЦ”2 при хе(-со, 0)U(0, 1), /,(х)=Ъ-х
---у- при хе(1, + со).
Приравнивая ее нулю, получаем х = 2. Таким образом, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не существует) являются: л i-О, х2=1, х3 = 2. Они разбивают область определения /(х) на четыре интервала монотонности; (-00, 0). (0. 1), (1, 2) и (2, -)-оо). Так как f'(x)>0 при хе(—со, O)(J(h 2) и /"'(х)<0 при хе(0, 1)0(2- +оо), то f(x) возрастает на интервалах ( —оо. 0) и (1, 2), убывает на интервалах (0, 1) и (2, + со), в точке х3=2 достигает максимума (/(2)= 1/4), а в точке х2 = 1 минимума (/'(1) = 0). Полученные результаты удобно свести в следующую таблицу:
Таблица 4.1
х	(-СС, 0)	0	(0. 1)	1	(1. 2)	2	(2. +х)
f(x)	*	+ со		0		4	
/'(у)	>0	не сущ.	<0	нс сущ.	>0	0	<0
227
Заметим, что в рассматриваемом примере первое достаточное условие позволяет определить характер каждой из критических точек данной функции. В то же время второе достаточное условие неприменимо в точке х2, так как в этой точке не существует первая производная. i=-
5.401	*. Доказать следующее обобщение второго достаточного условия экстремума. Пусть х0 критическая точка функции f(x), и первая из не равных нулю производных этой функции в точке х0 имеет порядок к. Если к—четное число, то х0 является точкой экстремума, причем точкой максимума, если /w(xo)<0, и точкой минимума, если /t'I>vrv)>0. Если же к—нечетное число, то экстремума в точке х0 нет.
5.402.	Исследовать на экстремум в точке х0 функцию /(х)=(х—х0)*ф(х), где и ф(х) непрерывна в точке г0, причем ф(хо)#0.
5.403*	. Пусть
/М=1о.	х=0.
(хе“1/х2, х#0,
*-о.
Доказать, что функция f(x) имеет в точке хо = 0 минимум, а функция g(x) не имеет в точке х0 экстремума, хотя
/'“'(0)=^(0) = 0, /reN.
Для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума:
5.404.	y=xv/l-x2.
2л2 —1	х
5.405.	у=-—.	5.406. у=-—.
х'	tax
5.407.	у=х—2sinx.	5.408. y=x-21nx.
5.409.	у — tax — arctgx. 5.410. y = excosx.
5.411.	у=xx.	5.412. j =ch3x+l
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции /(х) на данном отрезке [а, Ь] достигается или в критических точках, или на концах этого отрезка.
Определить наибольшее М и наименьшее m значения следующих функций на указанных отрезках (а если отрезок не указан, то во всей области определения):
5.413.	у= -Зх4 + 6х2; [-2, 2]. 5.414. у=х+2х/х; [0, 4].
у___1	1 ___уЦ_
5.415.	[0, 4]. 5.416.	[0. 1].
228
5.418.	у=arctg --; [О, 1].
х2 — 1
5.419.	У=р—J- 5.420. y=xe~xZ/2.
Доказать следующие неравенства:
5.421*. ех>1+х, х-/0. 5.422. cosx
х#0.
ех+е~х	х2
5.423.-—- >!+—, х^О
2	2
5.424.	sinx + tgx>2x, хе(0, л/2).
5.425.	Два тела движутся с постоянными скоростями uj м/с и v2 м/с. Движение происходит по двум прямым, образующим угол л/2, в направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на расстоянии а м, а второе—на расстоянии b м. Через сколько секунд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим?
5.426.	Для доставки продукции завода Я в город А (рис. 40) строится шоссе NP, соединяющее завод с железной дорогой АВ, проходящей через юрод А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода 7V в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей?
500кп
Рис. 40
Рис. 41
5.427.	Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом (рис. 41). Задан периметр р этой фигуры. При каких размерах х и у окно будет пропускать наибольшее количество света?
5.428.	Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле а наклона боковых
стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
5.429.	В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины — на боковых сторонах Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
5.430.	Периметр осевого сечения цилиндра равен бо. Найти наибольший объем такого цилиндра.
5.431.	Цилиндр вписан в конус с высотой h и радиусом основания г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
5.432.	Найти наименьший объем конуса, описанного около шара радиуса г.
5.433.	Найти наибольший объем конуса при заданной длине / его образующей.
5.434.	Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса г.
5.435.	На параболе у=х2 найти точку N. наименее удаленную от прямой у = 2х—4.
5.436.	В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью Определить его основание х и высоту у.
5.437.	Отрезок длины а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, постро-j)с енных на этих частях, была наименьшей.
5.438.	Коническая воронка, радиус ос-м	нования которой R, а высота Н, наполнена
\ водой. В воронку погружается шар. Каким должен быть радиус шара г, чтобы объем 0	воды, вытесненный из воронки погруженной
К	частью шара, был наибольшим?
—--------—	5.439. Определить наименьшую высоту
h-=\OB\ двери вертикальной башни ABCD, Рис. 42 чтобы через эту дверь в башню можно было внести жесткий стержень MN длины /, конец которого N скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни \AB\ = d<l (рис. 42).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале (о, Ь), если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции у=/(х) в любой точке хе (а, Ь).
Если же на интервале (а, Ъ) всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 43 график функции y=f(x) является выпуклым вниз на интервале (а, х0) и выпуклым вверх на интервале (х0, Ь)).
230
Рис. 43
Если функция дважды дифференцируема на (а, Ь) и f" (л)>0 (/"(х)<0), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.
В простейших случаях область определения функции / (л) можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых ["(х)=0, либо f"{x) не существует. Точка (т0, /(х0)), в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба (см. рис 43).
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности U0(x0) точки х0, в которой /"(хо) = 0 или f"(x0) не существует. Если при этом в интервалах (х0 — 8, х0) и (х0, х0 + 8) производная f"(x) имеет противоположные знаки, то х0—точка перегиба.
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции	-™
о Находим вторую производную:
I

2(3— х) .	. .
хе( —оо, 0)(j(0, 1),
хе(1, +оо).
Следовательно, критическими точками первой производной являются точки л,=0, х2—1, х3 = 3. При этом в точках х, и х2 вторая производная не существует (в частности, f'L (1) = 4, a	4),
а в точке х3 она равна нулю.
Получаем четыре интервала выпуклости: (—оо, 0), (0,1), (1,3), (3, +сс). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интервалов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на интервалах (— оо, 0), (0, 1), (3, +оо) и выпуклым вверх на интервале (1, 3). Следовательно, точки х2 и х2 являются точками перегиба графика функции, ах, не является. Полученные результаты Удобно свести в следующую таблицу:
231
Таблица 4.2
X	(-», С)	0	(0. 1)	1	(1. 3;	3	(3. +=о)
/W	вниз	+ ОС	вниз	п	вверх	2 9	вниз
	>0	не । сущ.	>0	не	<0	0	>0
Найти интервалы выпуклости графика функции j =f (.у), точки перегиба и угловые коэффициенты к касательных в точках перегиба:
5.440. у=х7 + 7х+1.	5.441. j=x4 + 6xz.
5.442. у=^/(х-2)5 + 3.	5.443. у = l/x+lГ-1.
5.444.	5.445. у=хе2х+1.
5.446.	r = xln|x|.	5.447. у=х31пх+1.
5.448.	При каких значениях а и b точка (1, 3) является точкой перегиба кривой у — ах3 + Ьх21
5.449.	При каком выборе параметра h кривая вероятности у~е-2х2, h>G,
имеет точки перегиба с абсциссами х=+6?
5.450.	Показать, что кривая у — имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
5.451*	Показать, что точки перегиба кривой j. = xsinx лежат на кривой у2 (4+х2) = 4х2.
3.	Асимптоты. Пусть для функции р=/(х) существует такая прямая, что расстояние от точки M(x,f(x)) графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М от начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.
Если при этом координата х точки М стремится к конечному числу а, то полупрямая х = а (у>0 либо 1'<0) является вертикальной асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты в точке х = а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов
lim f(x) был равен бесконечности.
Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.
Если же координата х точки М стремится к 4-оо или — оо, то имеем наклонную асимптоту у = кх + Ь, для существования которой необходимо и достаточно существование двух пределов lim ^-^ = к и lim (f(x)—kx) = b.
232
При этом указанные пределы могут быть различными при х-> 4- оо (для правой наклонной асимптоты) и при х-> — оо (для левой наклонной асимптоты).
Пример 3. Найти асимптоты графика функции у =—2—L
с Так как функция непрерывна на всей оси. кроме точки х = 0, то вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке.
Имеем-
hm г^+0
и, следовательно, прямая х = 0— вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты. Так как
lim----------=0 = к и
~> + ъ х

то прямая у=О-л 4-0 = 0 является одновременно и правой и левой наклонной (в данном случае горизонтальной) асимптотой, е»
Найти асимптоты графиков указанных функций:
5.452.	5.453. у=*/х*^х\
5.454.	у = 7|л-2-3]/х. 5.455. у=Зх4-arctg5х.
5.456.	у=1^+2х.	5.457. у=^.
5.458.	i’ = xln^c+^J.	5.459. y = xarcsecx.
5.460.	Доказать, что график целой рациональной функции у = йохя + н1х"“1 + ... + с„_1х+с„, п^2, не имеет никаких асимптот.
4.	Построение графиков функций. Для построения графика функции y—f{x) с непрерывной второй производной (всюду в области определения функции кроме, быть может, конечного числа точек; сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые особенности функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу. точки разрыва и т. п. Затем, используя первую и вторую производные, находим точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпуклости, а также асимптоты.
Пример 4. Построить график функции j=-—^2.
Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х=0, всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х=1. Ее исследование проведено в примерах 1—3. Результат этого исследования полезно свести в одну таблицу—объединение таблиц 4.1 и 4.2. При этом следует вычислить и записать в соответствующую клетку
233
таблицы/'(3)= —1/27—угловой коэффициент касательной к графику функции в точке перегиба. Рекомендуется также вычислить/’_(!) = 1 и / + (1)=1 угловые коэффициенты левой и правой касательных в точке (1,0) графика Эти данные помогают точнее построить график функции, приведенный на рис. 44. с>
Пример 5. Построить график функции у=\/ х(х—\)2.
-а Функция определена и непрерывна на всей действительной оси и обращается в нуль в точках х = 0 и х= 1.
Находим первую производную
Приравнивая ее нулю, получаем л= 1/3. Таким образом, критическими точками функции являются: х,=0, х2=1/3, х3=1 (в точках х,=0 и х3 = 1 производная не существует). Эти точки разбивают область определения на четыре интервала монотонности ( —оо, 0), (0,1/3), (1/3, 1), (1, Too). Так как у'(х)>0 при xe(-oo, 0)(J(0, 1/3)(J(l, +оо), то у(х) возрастает на интервалах (—со, 1/3) и (1, +оо). Аналогично рассуждая, находим, что у'(х)<0 при хе(1/3, 1) и, следовательно, функция на этом интервале убывает. В точке х2 = 1/3 функция достигает максимума	тах (1/3)=- Зх//4л0,529^, а в точке
х3 = 1—минимума (j’m,n(l) = 0).
Находим теперь вторую производную у'
тическими точками первой производной являются лл=0 и х3 = 1 (вторая производная в этих точках не существует). Получаем три интервала выпуклости исходной функции: ( —оо, 0), (0, 1) и (1, + <»). В первом интервале функция выпукла вниз (так как у">0 при л<0), а во втором и третьем—выпукла вверх (у"<0 при х>0.
:. Кри-
234
кроме точки х = 1). Следовательно, (0,0) является точкой перегиба 'графика функции (с вертикальной касательной).
' Результаты проведенных исследований сводим в таблицу (табл. 4.3)
Таблица 4.3
х	(-ОО.0)	0	(0. 1,3)	1/3	(1/3.1)	1	(1. +«.)
У'	>0	не суш.	>0	0	<0	не суш.	>0
у"	>0	не суш.	<0			не сущ.	<0
У		0				0	вып. вверх
	вниз		выл. вверх				
Для уточнения поведения функции в окрестности точки х=1 заметим, что (1)= — оо, f'+ (1)= +оо, т. е. в точке (1,0) графика функции левая и правая касательные совпадают, образуя вертикальную касательную.
Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна на всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определения наклонных асимптот находим сначала
а затем
hm (у(х)-х)= hm (Ух(х-1)2-х)=
Х. + -Л	х-» + со	, , v
= lim —==------------==----------= -2/3.
х^+оо Ух2 Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты совпадают и определяются уравнением 2 График функции приведен на рис. 45. е» Построить графики следующих функций: 5.461. Л 125 5.462. у = \2(х2-3)2.	(x-l)4+xV%(x-l)2+x2 И	/ — // 5 о\ 1/3/ 1	X Рис. 45 235
5.463. j = -x3(x2-5). 5.465. y=~~.	5.464. y=_ 2(x—I)2’ 5.466. v2—1 ’
5.467. y=-^~. 5.469. у = _У__.	5.468. y=—L_ x3 + 2’ 5.470. y=-^.
5.471. y = -^.	5.472. У = ~4~-
5.473. v=__L_ 2-л-3 ’	5.474. y = ^±.
5.475. y = -*L х3+Г	5.476. З-УТМ-З/СТ.
5.477. y=\/r^~2^. 5.479. y =	!	 .	! v^zr	MTS. >— S.4S0.
5.481.
5.482.	.’’=Vx3+14-V?	’-1.
5.483.		5.484.	2L-_
	1 *	
		
5.485.	'г==ц7р+т	5.486. y=—У__
5.487.		5.488. y=—
		
5.489.	_'Zx3 + 2	5.490. y =	x
		
5.491.		5.492. j =	A-2
5.493. j		vTvZny
	,=з/[7т-ц.	5.494. y=x/|PZ^|3
5.495. j	=sinx+cosx.	5.496. y=	
		sin x+cos x
5.497. у	’ = x arctg x.	5.498. y=- + arcctgx
5.499. j	, = e2x-x2	5.500. y=xe-^/2
5.501. у	~	~~ 1 Iх	5.502. y=le~’/x2 X2
236
Л505. у = (х—2)е~1,х.
5.^7. у=(х2+1)е~х2/2.
5.509. у = х2е~х2/2.
5.504. у=-е~1/х2.
5.506. у=(2х—1)е2/х.
5.508. у — х2е.2‘х.	___
5.510. у=1п(х-уч//х2+1).
5.513. у = х21пх
5.515. у=х21п2х.
5.517. y=xln2 |л|.
5.519. у=~ In2 |х|.
5.521*. у=х1/х, х>0.
5.523*. У=~-
Построить кривые, зад;
5.524. x = te‘, y--=te~\ t>.
5.514. У=~т-
5.516. у—х2/1п | х |.
5.518. у=1п|х2-11.
5.520. у=х\ х>0.
5.522. у = (1+х)1/х, х>-1.
иные параметрически: R.
Проведем вспомогательные вычисления:
Так как xJ = O при t~ — 1 ч х«(—1) = 1 'е>0. то xmln= —1/е. Так как yJ = O при Г=1 и у«(1)= --<0, то ути = - Отсюда следует, что кривая расположена в области {(х,	>)|хе
еГ-1/е, +сс), уе(—оо, 1/е]}. Из выражения для производной у’х определяем критические точки G = l(v'x(l)=0) и г,= = —l(yi(—1) не существует). Критические точки первой производной находим из выражения для второй производной y'i.:	(y;v(x/2) = 0),
(yU-V2) = 0) и 's=-l (у «(-I) не су-шествует). _ Следовательно, Л(-х/2/е’'2,	-v'^72) и
B(4/2ev2, x/2/ev'z)—точки перегиба.
237
Наконец, находим асимптоты. Если /-> — со, то х-»0, а у-* — •», т е. х = 0— вертикальная асимптота Отметим, что при приближении точек кривой к этой асимптоте их координата по х остается отрицательной. Если t-* + co, то х-» + х>, а у->0, т. е у=0—горизонтальная асимптота. Точки кривой при приближении к ней имеют положительную координату по у.	/
Результаты исследования сводим в таблицу (табл. 4.4) и телае.м все необходимые выводы в правой ее колонке. Кривая приведена на рис. 46. с*
Таблица 44
		У	У.		Поведение кривой
	<0	<0	<0	<0	Выпукла вверх, убывает, х=0 — вертикальная асимптота
-х/2				>0	Точка перегиба
(-V2, -О	<0	<0	<0	>0	Выпукла вниз, убы-
-1	е	-е	не сущ	не сущ.	Точка возврата
(-1, 1)			>0	<0	Выпукла вверх, воз-растаег, точка (0, 0) лежит на кривой
1	е	1	0		Максимум
О,	>0	>0	<0	<0	Выпукла вверх, убывает
				0	Точка перегиба
+оо)	>0	>0	<0	>0	Выпукла вниз, убывает, у=0—горизонтальная асимптота
238
к 5.525. x=z2-2z, y—t2 + 2t, teR.
\ 5.526. x=t + e~', j' = 2z + e-2', ZeR.
\5.527. x = «cos3z, j =Gsin3r, ze[O, 2л).
$.528. v=z3 —3л, y = t3~6 arctg z, zeR
Построить следующие кривые, заданные в полярной системе координат:
5.519.	r = «sin3<p.
5.530.	г = д(1 -t-costp).
5.531.	г = х./л/ф.
5.532.	г 2 = 2п 2 cos 2<р.
§ 5. Векторные и комплексные функции
действительной переменной
1. Определение вектор-функция действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной Zef><rR поставлен в соответствие вектор a(t)e1 3, то говорят, что на множестве D задана вектор-функция a=a(t) действительной переменной Z.
Задание вектор-функции a=a(z) равносильно заданию трех числовых функций flx(z), fly(z), oz(z) -координат вектора а:
a—ax(t)i+ay[t)j+az(l}k,
или. кратко, o = (flx(z), o,.(z). flz(z)) Если векгор а является радиус-вектором точки М(х, у, z), то соответствующую вектор-фуикцию принято обозначать.
r=r(z)=x(t)i+y (t)j-y-z(t)k.
Годографом вектор-функции г—r(Z) называется линия, описываемая в пространстве концом вектора г Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор-функпии. Параметрические уравнения годографа:
x=x(z), y=y(z), z = z(z).
Пример I Найти годограф вектор-функции
1-Z2. 2Z
+ ,6R
«з Имеем параметрические уравнения годографа
239
Следовательно, годографом вектор-функции г (г) является окружность
из которой исключена точка (-1, 0, 1), получающаяся в пределе при Z-»±co. О
Найти годографы вектор-функции:
5.533.	r=(2z-l)z+(-3z+2)j+4z&, zeR.
5.534.	ze[0. 1].
5.535.	r=4chzr—j + 3shz/c, zeR.
5.536.	r=3z/+(2z-z2)j, ZeR.
5.537.	r=cosZ z + sinZ7+zXf, ZeR.
5.538.	r=2cos3 z-/+2sin? t j, ze[0, 2л].
5.539.	r = ti+i2j+t3k, zeR.
5.540.	r = cos2Z-/+sinZcosZ j+sinZ-A, Ze[0, 2л].
5.541.	r=5cosz-/+4sinZ7+2A:, Ze[0, 2л].
5.542.	r=(shz— l)- + ch2z-j+3*, zeR.
2.	Дифференцирование вектор-функцин. Производной вектор-функции a = a(t) по аргументу г называется новая вектор-функция
da Ла	a(t + &t) — alt)
—= hm —= lim ----------------— -------.
rfz д,_^0 Az	*'
Az
Если o(r)=(flx(z). zzA(z), az(t)), to
da ldax[t) day(t) daz{t)\ dt \ dt ’ dt ’ dt J
Если r=r(z)=(x(z), v(z), -(/)), то производная — есть вектор, направленный по касательной к годографу вектор-функции r(t) в сторону возрастания аргумента Z.
dr
Если t—время, то — =о есть вектор скорости конца вектора г.
Правила дифференцирования вектор-функции (a = a(t)^ b = b(t))
1) —=0, где с—постоянный вектор
2) -(««) =
da
' dt’
где а—постоянный скаляр.
3)
da db dt~ dt
d,	dtp	da
4)	—(<pa)=—a+<p—, где <p=<p(f)—скалярная функция or Z. dt	dt	dt
240
d, , (da \ ( db\

Л	ЯЯ <7q>	. .
7J —«(<p (;)) = ---, где <p = 4>(/) скалярная функция от t.
dt	dtp dt
5.543. Доказать, что (a,~j = O, если |«|=const.
5.544. Дано уравнение движения r=3ti—4tj. Определить
траекторию и скорость движения.
5.545.	Дано уравнение движения r = 3ti + (4z —Z2)j. Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов т=0, г—1. t = 2, t = 3.
5.546.	Дано уравнение движения r=2(z — sinf)j+ +2(1— cost)j Определить траекторию и скорость движения Построить векторы скорости для моментов т=л/2. т = л.
5.547.	Найти единичный касательный вектор годографа векгор-функции r = e2‘i (т + 8)4/3у при т=0.
5.548.	Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции г — (t3 + т); +12j при t = — 1.
5.549.	Найти производные вектор-функций:
а)	г=sin т • /+ cos2 т j+sin / cos / • к;
6)	r=TcosT r+rsin/ j+tk;
в)	r=(T + cosr)i+Tj+sin/-A.
5.550.	Найти производные вектор-функций:
a)	r = e‘i+cosT7+(/2 + l)A в точке (1, 1, 1);
б)	г=т3т + (Т+1)2;+Л/т2+1й при т=-2.
5.551.	Найти — (а. Ь}. если
dt
a=ti-l2j+t3k, b = i-r-tj+t2k.
5.552.	Найти — [а, b], если a = i+tj+t2k, b = ti+j+t2k. dt
5.553.	Найти —, если a = tti+u2j+u3k, где w = sinT. at
Если r=r(/)=(v(T), y(t), z(t)). TO
dt2 dt\dt J \dt2 dt2 dt2 J
Если t— время, то ——= k>— вектор ускорения конца вектора г
741
5.554.	Найти вторые производные вектор-функпий:
a)	r=cost-i+elJ+(t2 + l)k,	,
б)	r=ft‘+Zcosr-j+/sin?A	/
при произвольном t и при t=0.
5.555.	Дано уравнение движения: r=2(z—sin/)f+ + 2(1— cos t)j. Определить ускорение движения. Построить векторы ускорения для моментов / = тс/2, t — n.
5.556*	. Дано уравнение движения: r = 3ti+(4t — t2)j. Определить ускорение w движения и его тангенциальную и>т и нормальную ип составляющие в любой момент t и при г —0.
5.557.	Дано уравнение движения: r=l/2t2i+' /3(2t+l)3l2j. Определить ускорение движения и его тангенциальную и нормальную составляющие в любой момент t и при / = 0.
3.	Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость.
Уравнения касательной к пространственной кривой х = л(т), z=z(t) в точке М0(х0. у0, z0), которой соответствует значение параметра t0, имеют вид
dxI dy I dzl
^1>=«о Л|г=,о
где х, у, z—текущие координаты точки касательной. Уравнение нормальной плоскости в той же точке:
Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии r=(flcosf, о sin Г, bt) образует постоянный угол с осью Oz.
•о Найдем вектор, касательный к годографу вектора г
— = (—osint, flcost, b).
Отсюда
т. е. у—const, е»
Пример 3. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой x=t2— 1, j=t+l, z=f3 в точке Мо(0, 2, I)--о Данной точке соответствует значение параметра г=1. Имеем
242
Подставляя значение /=1, получаем
— I =7	=1 —I
Уравнения касательной:
Уравнение нормальной плоскости:
2(х—0)+1-(у—2)+3(z—1)=0,
2x+y + 3z-5=0. о
Для каждой из следующих кривых написать уравнения касательной и уравнение нормальной плоскости в данной точке:
5.558. л =4 sin2/, у = 4 sin /cos/, z = 2cos2/ при /=л/4.
5.559.	х=-/2, у=-/3, z = -/4 при / = 2.
2 J 3	4	'
5.560.	x = acht, y=asht, z = at при / = 0.
5.561.	х2+у2=10, y2 + z2 = 25 в точке Л/о(1, 3, 4).
5.562.	2x2 + 3v2 + z2 = 9,	3x2 + v2-z2 = 0 в точке
Л/о(1, -1,2).
4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. Пусть кривая в плоскости Оху является годографом вектор-функции r=i-(.s) = (x(s), j (.s)), где .s—длина дуги кривой.
Кривизной кривой в точке Л/(, называется число
|где <р угол поворота касательной, соответствующий дуге М0М Крис. 47) данной кривой, а Да— длина этой дуги Величина R=\[K (называется радиусом кривизны.
Кривизна К определяется со-
отношением
243
2)	если кривая задана уравнением в неявной форме’) F(x, у) = 0, то
3)	если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то
4)	если кривая задана в полярных координатах уравнением Г=»(<₽), ТО
1г2 + 2г'2 —гг”|
I (г2 + г'2)3/2 ’
Окружностью кривизны i соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Q, когда Р-*М и Q-+M.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответствующей точке М, а центр окружности кривизны {центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны равны
/(и-И у , i+r1
Эволютой кривой называется линия, описываемая центром кривизны при движении точки по кривой Формулы для координат центра кривизны определяют параметрические уравнения эволюты.
Пример 4 Найти уравнение эволюты параболы у2=2(х+1).
о Имеем 2уу' — 2, т. е. у' = ~. После повторного дифференцирования у у’2	1
получаем у'2 +гу"=0, откуда у"=— -—=—j. Находим координаты центра кривизны:
х х , уОу), 3
У" 2	-1/у3 2У '
1+у'2 , 1+Г\ з
 У" Л -Uy3 ~У ’
') Здесь используются частные производные функции двух переменных; определение см. в п. 3 § 1 гл. 7. ’
244
т€м самым найдены параметрические уравнения эволюты:
Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в виде
27
Вычислить кривизну данной кривой:
5.563.	у = х2 в начале координат и в точке М(\, 1).
5.564.	х2 + 9у2 —9 в вершинах эллипса А(3,0) и Z?(0, 1).
5.565.	х2—ху+у2= 1 в точке М(1, 1)
5.566.	x = t2. y~t—1/3t3 при Г=1.
р.567. x=1/2Z2, y=l/3t3 в точке М(1/2, \!3).
15.568.	r = a(l—coscp) в любой точке и при <р = л.
15.569.	r2 = a2sin2<p при <р = л/4.
|Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных кривых:
V 5.572. x = a(t — sin/), У’ = а(1 — cost).
~ 5.573. a) r2=a2cos2<p; б) г=аф.
5.574*.	Вершиной кривой называется такая ее точка, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти вершину кривой у=е~х.
5.575.	Найти вершину кривой у = 1пх.
Вычислить координаты центров кривизны и написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в указанных точках-
5.576.	v = ~—у в точке Л/(0, а). а2 + хг
5.577.	у = е'х2 в точке Л/(0, 1).
5.578.	у = хех в точке М{— 1, — 1/е).
5.579.	у = sinx в точке М (л/2, 1).
5.580.	x = a(t—sin/), у — а(1— cos/) в точке М(па, 2d).
Найти эволюты кривых:
5.581.	а) у = х3; б) х2-у2=а2: в) х2'3+у2'3 = а2'3.
5.582.	x = aln——л/п2— у2-
5.583.	x=2t, y = t2 — 2.
5.	Дифференциальные характеристики пространственных кривых.
Во всякой неособой течке М (х, у, ~) пространственной кривой r=r(t) Можно построить три взаимно перпендикулярных вектора:
245
dr
T=~^ (направляющий вектор касательной),
(направляющий вектор бинормали}.
N=\B, Г] (направляющий вектор главной нормали) или соответ, ствующие им основные единичные векторы:
Т	В	N
:, В=—, v=—, in’ |ВГ |лгГ
которые можно вычислить также по формулам:
₽ = [t, V].
Трехгранник с вершиной в гонке Мо, ребрами которого служат касательная, главная нормаль и бинормаль, называется естественным трехгранником (триэдром) пространственной кривой. Гранями его являются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы Т и /V), нормальная (проходит через векторы N и В), спрямляющая (проходит через векторы В н Т).
Уравнения главной нормали имеют вид
где х, у, z—текущие координаты точки главной нормали, Nx, Ny, Nz—координаты вектора ZV.
Уравнения бинормали:
Уравнение соприкасающейся плоскости: йЛ(х-хо) + ^Лг-Уо) + й2(г-7о) = 0.
Уравнение спрямляющей плоскости.
Nx(x-x0)+Ny(y-y0)+Nz(z-z0)=Q.
Пример 5. Найти основные единичные векторы т, v и р кривой х=1—sin/, у=cost, z=t в точке М, которой соответствует значение параметра / = 0. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой точке. < Имеем
r=(l—sin r)i+cos tj+tk,
—= —cos t-i— sm t-j+k,
d2r
---7=Sin / I —COS tj.
dt2
246
При t = 0 получим
dr dt
-iyk,
d2r
dt2"
N=[B, T] =
Следовательно,
Так как при /=0 имеем л =
-уравнения касательной:
=---уравнения главной нормали;
уравнения бинормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
то удобнее вместо векторов — и —- рассматривать векторы dt dt
dr=(dx, dy, dz) и d2r=(d2x, d2y, d2z), причем можно считать одну из переменных v, у, z независимой и ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей кривой
в ее точке М(1, 1, 2).
о Дифференцируя данные уравнения и считая х независимой переменной, получим:
xdx—ydy+zdz = 0
dx2 ‘-dy2+yd2y[ dz2 + zd2z — 0, dx2~dy2—yd2ytdz2 + zd2z-d).
247
При х=1 j=l, z = 2 имеем
dy = O, dz=—~dx d2y = (), d2z =—dx2
2	8
Следовательно, dr=^d.v 0,	°’ —Заменим
эти векторы векторами, им коллинеарными, (2 0, -1) и (0 О -1), откуда
Т= (2, 0, -1),
В-|г О — 11 = 2/, N=|o 2	о|=2(-;-2Л)
1о о -11 h о -11
Отсюда находим
у —1=0- уравнение соприкасающейся плоскости,
2х—z=0—уравнение нормальной плоскости,
x+2z— 5=0 уравнение спрямляющей плоскости о
Найти основные единичные векторы т, v, р и составить уравнения касательной, главной нормали и бинормали данных кривых
5.584.	х=е‘, y=e~l, z=t при 1=0
5.585.	x = t—sint, /=1— cost, z = 4sin- при / = л
5.586.	x = 2t, j=lnt z=t? при t=l
5.587.	v=v, z = 2r2 в точке х=1
5.588.	Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х = т2 + 1, у = cost, z = e‘ в точке (1, 1, В
5.589.	Написать уравнения плоское! ей, образующих естественный трехгранник кривой x=t!yj2, y=tjyj2, z=lnsint при / = л/2
5.590.	Найти векторы т, у, ₽ и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х =(t+1)2, j = f3, z = x/12+l в точке (1, 0, 1)
5.591.	Найти векторы t, v, ₽ и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трехгранник j x2+y2-i z2—14, кривой <	в точке (1 2, 3)
(x+2v-z = 2
Кривизна пространственной кривой определяется аналогитио кривизне плоской кривой Ес "и кривая задана уравнением r=r(s) то
к=1=|^|
R 1а2|
248
В случае общего параметрического задания кривой имеем
Кручением (второй кривизной} пространственной кривой в точке М называется число
Р n^m&s
где 0 — угол поворота бинормали, соответствующий дуге MN. Величина р называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны. Если r—r(s), то
dr cPr d\
_ J| ds ds2 ds3
4 1*1 |£2rl2
</р
где знак минус берется в том случае, когда векторы — и v имеют одинаковое направление, и знак плюс—в противоположном случае. Если г=г(т), где г—произвольный параметр, то dr d2r d3r dt dt2 dt3
“W
Пример 7. Найти кривизну и кручение кривой x=e'cosT, y=e‘smT, z — е1 в любой точке.
<i Имеем
»•=(<?'cos/, e'sinT, е'),
—=(е' (cos t—sin t), e'(sin r+cos t), e‘),
2e‘ sin t, 2<?'cost, e‘\,
dt2 '	'
d3r
--=(—2e'(sm z-rcos/), 2c1 (cos/—sin t), e‘).
Отсюда
j	k
e' (sin T + cos t) e' 2e‘ cos t	e'
=e2' (sin t—cos t, —(sin T+cos r), 2),
249
dr d2r d3r	e'(cost-smt)	e'(sinZ+cosz)	e‘	I
— • —	— 2e‘sin(	2e'cosZ	e‘	= 2e3‘
! 1 Z	J	— 2c’(sinz+cosz)	2e'(cosz—sinz)	e'	|
Следовательно,
e2’. /(sin Z-cos z)2 + (sm z i-cosz)2 + 4	_
K=------—— - ==-- e ,
e3\/((sint — cosz)2 + (sinz + cosz)2 + l)3	3
________________2e3‘_______________c'1
e4‘((sinf—cosz)2+(sint+cosz)2+4) 3
Вычислить кривизну и кручение кривых:
5.592.	х = е‘, у~е~\ z=tx 2 в любой точке и при /=0.
5.593.	x = t, y=t2, z—t3 в любой точке и при г=0.
5.594.	x = 3z — Z3. v=3z2. z = 3z+/3 в любой точке и при t— 1.
5.595.	x = 2z, y=lnt, z = t2 в любой точке и при z=l.
5.596.	v=—, z=— при х=\. '	2	3
5.597.	2х=у2, z = x2 в любой точке и при у=1.
2
5.598*.	Дано уравнение движения r — ti+t2j+~ t3k. Определить ускорение w движения, тангенциальную и\ и нормальную w\ составляющие ускорения в любой момент t и при 1=1.
6.	Комплексные функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной ZeZZcR поставлено в соответствие определенное комплексное число z=xyiy, то z(z) называется комплексной функцией действительной переменной t с областью определения £>:
z=z(z)=.v(z)-h>(z).
Задание комплексной функции z=c(z) равносильно заданию двух действительных функций x=x(z), y=>’(z), или заданию вектор-функции r(z) = (x(z), y(z))	'
Пример 8. Построить кривую, заданную уравнением z(Z)= —co<z<+a
-а Так как z(r) = e'“(cosp/ + zsin[3z), то |z(z)| = ea‘ и argz(l) = Pz. Полагая <р = [Щ находим, если [ЗУ О, f=j. Следовательно, r = |z(i)( = = ei,’> ( —со<<р<+ со), и мы получили уравнение логарифмической спирали (гл. 2, § 3, п. 5, а также рис. 13, слева), если а[1у0. При а = 0—окружность т=1, при [3 = 0—луч <р=0. с»
Производной комплексной функции z(z) называется комплексная функция z'(z)= lim ——-------=x'(t)+iy'{t). На комплексные функции
250
действительной переменной распространяются обычные правила дифференцирования (см. п. 1 § 1).
Пример 9. Доказать, что (е1,)' = Хс1', где Х = а + (Р — произвольное комплексное число.
с Пусть z(/)=e’’'=e,’+,B)', тогда .v(z) = e’'cos Р? и у (z)=e’‘sin рт Отсюда находим:
л-'(f) = ае” cos рг — Ре’1 sin р y(f) = ae”sin pz+Pe“'cospz. Следовательно,
z' (/) = х' (/) + iy' (t)=(ае“' cos Р t — Ре“‘ sin Р t) +• i (ас” sin p t +• Pc” cos P t) = = ae“* (cos p t + i sin P /) +• iP e” (cos P t + i sin P t) =
= аe,“+l|5)'-t-iPe(“+‘,”' = (а^-^P)e<“ + ‘|5,' = Xe,'.
 Построить кривые, заданные уравнениями z=z(t), и найти
5.599.	z = t2 + it, te(—aj, +со).
5.600.	z=l — i+te’t, (е(—оо, + оо).
5.601.	z = 2ei!, (е[0, л].
5.602.	z = Зe“4-4’~,', (е(—оо, 4-эо).
5.603.	z=(2 + i)e' + (2~i)e~‘. te(-oo, 4-со).
5.604.	z = r2 + i(4, (е(—со, +оо).
5.605.	z=t+i— ie~n, (e[0, 2л].
5.606.	z=«e“(l — it), «eR, (e(— oo, 4-co).
5.607*	. Известно, что z=z(t) определяет закон движения точки на плоскости. Найти компоненты скорости и ускорения по направлению касательной к кривой z=z(/) и перпендикулярному к нему.
5.608	*. Точка z пробегает окружность | z | = R с постоянной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор скорости точки и', движущейся вместе с z по закону ir=/(z).
Пусть £> =——оператор дифференцирования, т. е Dz(t) — z’(t). dt
Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами p(D) = aBD"-r...+a1D + a0 определяется следующим образом:
р(/))2(г) = 0„2("’(г)-|-...-1-а1г'(0 + а02(г).
5.609*	. Доказать следующие свойства линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами:
а)	р(П)е’л=р(А.)е>‘';
б)	p(D)(e,‘z(t))=e,tp(D + A.)z((), где z(t)- произвольная комплекснозначная функция, п раз дифференцируемая при любом (е(—оо, +оо).
251
Для заданных функций вычислить указанные линейные комбинации производных:
5.610.	х"(/) + Зх'(?)+л:(/), если x(t)-ie~‘cosi.
<1 Заметим, что x(?) = Re(?e(~ 1 + ,)‘)- Поэтому х" (?)+Зх'(?)4_ (-x(z) = (D2 + 3D+l)x(/) = Re(D2 + 3£»+l)/e<1^‘l‘. Используя результат задачи 5.6096), находим:
(£>2 + ЗО+1)?е,~1+‘” = е(~1+,|‘((£> + ?-1)2 + 3(£>з-?-1)+1)г =
= e,-1+‘,l(O2 + 2(z—l)Z)4-(z—l)2 + 3D + 3(i—!) + !)? =
= е<_ 1+‘!l(D 2+(1+2z)Z>+( —2 + z’))? = e<_l+,)'((l —2?) + z'(2-|-?)) =
-е ‘(((l-2?)cos?-(2 + ?)sin ?) + ?((!-2?)sin?+(2 + ?)cos?)).
Отсюда получаем:
х” (?) + Зх' (?) + г (z) = Re (£>2 + 3D +1) ze<'1 +1»'=
= е "’((1— 2?)cos?—(2+?)sin?). t>
5.611.	x"'(?)-t-46x(z); x(/) = r2'eos3z.
5.612*	. x"(?)-x'(z)+s/4a(z); x(z) = et/2sin?.
5.613.	x"(z)+2x'(/)+2x(z); x(/) = e'sm2z + e''cosz.
5.614.	x"'(?)—x(z); x(t)=/3sin?.
5.615.	x"(r) — 2x'(?) + 5x(z); x-(z) = e‘sin2r4/l + z2.
5.616.	l/2x"(t)-x'(t)+x(tY x(?)=(l+Z2)e‘cosZ.
§	6. Численные методы функции одной переменной
1. Численное решение уравнений. Корень ^g(z?, b) уравнения /(х)=0 изо шрован на отрезке [а. Ь], если на этом отрезке не содержится дру1 их корней указанного уравнения. Отрезок [а. Ь] называется отрезком изоляции корня.
Метод хорд. Пусть на отрезке [а, Ь] изоляции корня уравнения /(х) = 0 выполняются условия:
а)	функции /(х), /'(х) и /"(х) непрерывны;
б)	f[a) f (b) <0;
в)	функции /'(х) и f"(x) не изменяют своего знака Определим числа х„ («=1, 2, 3, ...) равенствами
Ж-7(х„-,)
х0 = Ь, если /(«) /(х1)<0, х0 = а, если f(a) f(x t> 0.
Тогда последовательность (x„)„eN сходится к корню при и для всех натуральных п выполняются неравенства
где т= min |/'(х)| и M= max |/'(х)|.
252
Пример 1. Найти корни уравнения л • arctgх—1=0 методом хорд с точностью до 0,0001.
-а Построив графики функций у=arctgх и у=1/х, по расположению точек пересечения заключаем, что указанное уравнение имеет два корня Е,, и ^2, равных по абсолютной величине и различных по знаку. Найдем положительный корень выбрав отрезком изоляции этого корня отрезок [1,^3]. Для функции f[x)=x  arctg х— 1 имеем
/(ОлЦ-.П-1).- 0,2146019 0,8137992 <0, поэтому условия а), б) и в) выполняются. Так как /"(х)>0 при хе[1>х/3], то	где
„,=/•'(])=Л Ц = 1,2853981, Д/=/-'(х/'3)=^+-^-= 1.4802102.
и —---- = 0,1515577. Чтобы определить знак произведения /(1) /(Х|),
найдем Xj. Поскольку
Лх/з) и, следовательно, /(l)-/(xt)>0, то числа х„ следует вычислять по формуле
Сведем вычисления в таблицу:
	г. .	Лч ,)			>)
1 2 3	1,1527608 1,1618415	-0,2146019 -0.0129601 -0,0006758	-0,1527608 -0,0090807 -0,0004730	1,1527608 1,1618415 1,1623145	0,0231520 0,0013762 0.0000716
Последний столбец определяет предельную абсолютную погрешность'). Таким образом. = 1.1623 + 0.0001 и Е,2=— 1.1623+0.0001. &
') Здесь и во всех приведенных далее расчетных задачах промежуточные вычисления проводятся с таким числом десятичных знаков, которое обеспечивается используемой ЭВМ.
253
Метод касательных. Пусть на отрезке [а, //] изоляции корня Е, уравнения /(.х)=0 выполняются указанные выше условия а), б) и в) и числа х„(п=1, 2, 3, ...) определяются равенством
/к-»)
причем
/(а)-/(с)<0, /(о) •/(<•)> О, где /(е)=0,
Г а, если х0= < 6, если
(b-a)f(a)
Тогда последовательность (.v„)„=N сходится к корню Е при н-кх. и для всех натуральных и выполняются неравенства
u<l/k)l


Mi = max (f"(x)|
Пример 2. Найти положительный корень уравнения x-arctgx—1=0 методом касательных с точностью до 0,0001.
<i Как и в предыдущем примере, отрезком изоляции является отрезок Г1, ^/3]. Поскольку для функции /(х)=х • arctgx—1 имеем с— 1 _ Т/3__77!} = 1 1527608 > 0 и /(1)/(с)>0, то числа х„ вычисляем Лх/з)-Я1)
по формуле
/к-0 7'к->)’
x0 = V3-
Функции f'(x), f"(x) и значение т= 1,2853981 найдены в примере
1. Далее, ЛЛ =/''(!) = 0,25, потому что/"'(х)= — --на отрезке
изоляции Наконец, —-=0.0972461.
2m
Результаты вычислений сведем в таблицу:
		/К ,)	Г(х. ,)	-К-л.-.)		
2	1,7320508 1,1822646	0,8137992 0,0270628	1,4802102 1,3617976	0.5497862 0,0198728	1,1822646 1,1623918	0,0534645 0,0000384
Следовательно, корень уравнения ^=1,16239 + 0,00004. о
Убедиться в том, что уравнения не имеют действительных корней
5.617. 2х-х-72 = 0	5.618. X2 —arctgx+-l=0.
5.619. (л2 + 2л+-2)2=0. 5.620.	~1 +
254
5.621.	x4-х2 + 1=0.
5.622*	*. Корень £ уравнения /(х) = 0 изолирован на отрезке [«,&], функция /(х) непрерывна и f(a)f(b)<0 Составить на фортране подпрограмму уменьшения отрезка изоляции в 2" раз, используя последовательное деление отрезка пополам. Параметрами выбрать величины F, А, В, N, где F—идентификатор подпрш раммы-функции для вычисления значений функции /(х), А и В—концы исходного о > резка изоляции до вычислений и концы полученного отрезка изоляции после вычислений, N—показатель степени в выражении 2", характеризующем уменьшение отрезка изоляции.
5.623.	Решить уравнение х3+х2 —3 = 0 комбинированным методом, применяя метод хорд и метод касательных и сравнивая результаты
Построив графики функций у=х3 и у=3 —х2, приходим к выводу, 4io указанное уравнение имеет один действительный корень на отрезке [1, 2]. Уменьшим отрезок изоляции в 4 раза, используя зк год половинною деления. Для /(х)=х3+х2—3 имеем /(1)= — 1 <0 и /(2)=9>0. Найдем /(1,5)=—>0, поэтому более узким отрезком изоляции является отрезок [1, 1,5]. Найдя /(1,25)=0,515625>0, получим отрезок [1, 1,25]. Так как
Mv'=i 16494g4>o и /(1)/(с)>0, /(1,25)—f(l)	и \ )
то, применяя метод хорд, необходимо использовать формулу
а, применяя метод касательных,—формулу
=	(«=1. 2, 3, ...), х0 = 1,25.
Результаты вычислений сведем в две таблицы: а) для метода хорд:
п	3» 1	/(«.-О	-(«.-х. 0	х.
1	1	_j	-0,1649484	1,1649484
2	1,1649484	-0,0619384	-0,0091209	1,1740693
3	1,1740693	-0,0031786	-0,0004651	1,1745344
255
б) для метода касательных
п	V. ,	/(«. .)			
2	1,25 1,1782609	0.515625 0,0240767	7,1875 6,5214179	0,0717391 0,0036919	1,1782609 1,1745690
При вычислении методом хорд получили возрастающую последовательность (х„) приближений корня Е,:
1 <1,1649484--1,1740693<1,1745344<...<₽.
а при вычислении методом касательных убывающую последовательность (3?„):
^<...<1,1745690 <1,1782609 < 1,25.
Совпадающие десятичные знаки членов обеих последовательностей являются точными для корня Е,. По заданной предельной абсолютной погрешности е шачение и, при котором достигается необходимая точность, находится из неравенства
при этом Е, = -(х„ + л„)±е. Таким образом,
Е= 1,17455 + 0,00003. о
Вычислить одним из указанных методов с точностью до 0,0001 действительные корни уравнений: а) методом хорд, б) методом касательных, в) комбинированным методом:
5.624.	х3+2х-8 = 0.	5.625. х3+х+1=0.
5.626.	л'4 — Зх 2 + 4.x — 1 = 0.	5.627. х 3 + 2х - 30 = 0.
5.628. х—Зх2 + х—1 =0.
5.630. х3 —5х+1=0.
5.632. (х+1)3-х = 0
5.634. х4- 4х+1=0.
5.636. х=<УГ-х.
5.638. х3 + 60х —80 = 0.
5.640. x = 101gx.
5.642. х2=-1пх.
5.644. 4х = 2*.
5.646. х+sin х —1=0.
5.648. x2 = cosx.
5.629. х3 —2х —5 = 0.
5.631. 2х3 — 5х2 + 7х-2 = 0.
5.633. х4 —2х—2 = 0.
5.635. х5+х+1=0.
5.637. х = 2+^/х.
5.639. Xs —х—2 = 0.
5.641. х=2—Igx.
5.643. х2 = 1п(х+1).
5.645. х2=ех + 2.
5.647. х—cosx = 0.
5.649. x = arctg^x.
5.651. x2 + lnx-4 = 0.
5.650.	In х=arctg х.
5.652.	x2 • arctgx-1=0.
5.653.	Составить на фортране программу решения следующей задачи: найти методом хорд корни уравнения ех~2 — х = 0 с точностью до 0,0001.
<i Программу следует представить как совокупность трех программных единиц: основной программы, подпрограммы-функции
256
нахождения корня уравнения f(x) = 0 методом хорд на отрезке изоляции корня [а. b ], подпрограммы-функции вычисления значений функции f{x).
Подпрограмма-функция вычисления значении функции.
FUNCTION FIX)
F-EXP(X —2.) —X
RETURN
END
Подпрограмма-функция нахождения корня методом хорд. Параметры: F, А, В, S, EPS: F- имя подпрограммы-функции вычисления значений функции f(x), А и В— концы отрезка изоляции корня, S — наименьшее значение \f (х)| на отрезке изоляции, EPS предельная абсолютная погрешность.
FUNCTION CHORD(F,A,B,S.EPS)
FA-F(A)
FB = F(B)
X = A —IB —A)*FA/(FB —FA)
FX = F(X)
IF(FA*FX.GT 01 GO TO 2
X = X -^X - A)*FX i (FX - FA) ПТЛВзУх)/S.GT.EPS) GO TO 1 CHORb=X
RETURN
2 X = X —(B —X)*FX/(FB —FX) FX = F(X) IF(ABS(FX)/S.GT.EPS) GO TO 2 CHORD=X
RETURN
END
Операторы FA = F(A), FB = F(B) и FX = F(X) используются в указанной подпрограмме для того, чтобы избежать лишних вычислений значений функции f(.x); при исполнении программы запись F(X) влечет обращение к подпрограмме-функции и вычисление соответствующего значения этой функции.
Основная программа. Анализируя поведение функции f(x) = = ел2 —л и ее производной f'(x)—ex~2 — 1, заключаем, что уравнение е*“2 — ¥ —0 имеет два корня на отрезках [0, 0,3] и [3, 3,2]. Поскольку f"(x) — e*~2>0, то f'(x) возрастает, и выполняются неравенства —0,864665 = е“ 2—1 </Дх)^е-’’7—1 =—0,817316 для хе[0.	0,3],
1,718281 =е-1«'(х)^е!-2-1 =2,320116 для хе [3. 3,2]. Поэтому |/'(х)|>0,8173 в первом случае и |У'(х)|> 1,7182 во втором. Эти числа вместе с концами отрезков изоляции и заданной предельной абсолютной погрешностью определяют значения параметров, т. е., как говорят, являются фактическими параметрами для подпрограммы CHORD. Основная программа имеет вид:
EXTERNAL F
ROOT 1 = CHORDfF,0.0,0.3,0.8173,0.0001)
ROOT2 = CHORD F.3.,3.2,1.7182.0.000D
WRITE(3,1) ROOT!, ROOT2
1 FORMAT (' КОРНИ УРАВНЕНИЯ', F6.4,' и ', F6.4) STOP
END
9 Пол ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	257
Составить на фортране подпрограммы-функции для нахождения указанным методом корня уравнения /(х)=0 на отрезке изоляции [a, Z?]. Параметры: F, А, В, S, EPS; F—имя подпрограммы-функции вычисления значений функции f(x), А и В- концы отрезка изоляции корня, S— параметр, определенный ниже, EPS—предельная абсолютная погрешность. Параметр FD—имя подпрограммы-функции вычисления f’(x).
5.654.	Метод хорд. Параметры: F, А, В, S, EPS, S=^— т где Л/ = тах|/’(х)| и лн = пнп|/'(х)| для хе[а, Z?].
5.655.	Метод касательных. Параметры: F, FD, А, В, S, EPS, S=^, где Mi=max|/"(x)| и m=min|/'(x)| для хе[а, 6].
5.656.	Комбинированный метод. Параметры: F, FD, А, В, EPS.
5.657.	Для уравнения f(x)—0 одной из задач 5.624—5.652 составить на фортране подпрограмму-функцию вычисления значений функции f(x)
Составить на фортране программы решения одной из задач 5.624—5.652 указанным методом:
5.658.	Метод хорд. Использовать решения задач 5.654 и 5.667.
5.659.	Метод касательных Использовать решения задач 5.655 и 5.657.
5.660.	Комбинированный метод. Использовать решения задач 5.656 и 5.657.
2.	Интерполирование функции. Пусть функция у=/(х) в узлах интерполяции л*б[а, b], к-d, 1, ..., и, принимает значения f(xk)=yk, тогда разделенные разности определяются равенствами:
ДДа,х4+1)=^-^,
хк+1,
х , Ay(xt, лт+1)-Ду(лт+1, xt+2)
Хк — Хк + 1
Ду(Хь Xk+i, ..., Хц+,-1, Xk + l) =
Хк+1, , Хк+|-1)-Ду(Хк+Ь	Хк+1) ,к+1^пу
Хк-Хк+1
а интерполяционный полином функции Дх) на отрезке [a, Z>] имеет вид
Р»(х)=То+ £ (x-x0)(x-x1)...(x-xJt-1)Aj'(.x0, хь ...,лт);	(1)
258
при этом в случае существования непрерывной производной /,п+1)(х) на [а, 6] выполняется неравенство
1++М+^|п?-«.)|.	р>
где
Пример 3. Найти ^/2 с точностью до 10-4, построив для функции f(x)=yjx интерполяционный полином на отрезке [1,69, 2,25]. с Выберем п — 2 и узлы интерполяции х0=1,69, х, = 1,96, х2 = 2,25. Оценим точность по формуле (2). Так как /(,V)(x) =-х7/2<0,
16
функция /'"'(л)=-л '/2 убывает на отрезке /=[1,69, 2,25]; поэтому
1И3=тахГ'М=Г'(1,69)=|(?^-^=0,1009984.
Тогда для разности г2(х)=/(%)— р2(х) получим неравенство 1г2(х)|<^|(х-1,69)(х-1,96)(х-2,25)|, откуда следует выполнение неравенства
| г 2 (х) I <	0,31 • 0.04  0.25 = 0,0000521
и достижение заданной точности
Найдем коэффициенты интерполяционного полинома, вычислив разделенные разности и поместив результаты вычислений в таблицу:
k			М4.	ц,,)	Мч,ч+.,ч«)
0	1,69	1,3	1,3-1,4 _	= 0,3703703 = 0,3448275	0,3703703-0,3448275 _
1 2	1,96 2,25	1,4 1,5	1,69-1,96“ 1,4-1,5 _ ±96 —2,25 ~		1,69-2,25 = -0,0456121
Полином имеет вид
р2 (х)=1,3 + 0,3703703 (х-1,69)-0,0456121 (х-1,69) (х-1,96),
р2 (2)= 1,3+0,3703703 0,31 -0,0456121 0,31 -0,04=
= 1,3 + 0,1148147 -0,0005655= 1,4142492.
Отсюда
.^/2 = 1,4142 ± 0,0001.
259
Конечные разности А,, (1 = 1. 2. равенствами:
/=0. 1. 2. ..Л определяются
Л‘у, = Ау, =у,, i — у„ A2y, = Ay, + i — Ау,,
Д*у,=Д*-1у1+1-Д,‘-1у1.
Для равноотстоящих узлов xk = x0-rkh (к = 0, 1, ..., л) с шагом интерполяции Л>0 интерполяционный полином (1) приобретает вид
р.м_Л+£М^)д.Л.
(21- вид
~*0 h
и А‘г0—конечные разности к -го порядка, а неравенство
1Дл)-Л(х)|<7^71”+1 П ('-*) •
1"т1). |с = о I
Пример 4. Функция у=/(х) задана таблицей
л 1,0	1,1	1,2	1,3
2,7854	2,8330	2,8761	2,9151
Определить, каким аналитическим выражением можно представить указанную функцию на отрезке [1, 1,3], и вычислить /(1,15)
•<з Аналитическое выражение, позволяющее вычщлить значения функции /(з), не данные в таблице, будем искать в виде полинома, значения которого совпадают с заданными значениями функции, т. е. в виде полинома рз(х), удовлетворяющего соотношениям р3 (хк)=/(хк) при 1 = 0, 1, 2, 3. Единственным полиномом с такими свойствами является интерполяционный полином р3 (л), определяемый равенством (3). Найдем конечные разности, сведя вычисления а следующую таблицу:
	л.	Л(А		ДЪь
1,1 1,2 1.3	2,7854 2,8330 2,8761 2.9151	0,0476 0,0431 0,0390	-0,0045 -0,0041	0,0004
Применяя формулу (3) при 1 = 0,1, л = 3 и х0=1, получим р3 (л) = 2,7854 + 0,476 (% -1) - 0,225 (х-1) (х -1,1) т
+ 0,0666 (х -1) (х -1,1) (х -1,2).
260
Тогда
р3 (1.15) = 2,7854+0.476 • 0.15 - 0,225 -0,15- 0,05 +
+0,0666 • 0,15 • 0,05 (- 0,05) = 2,7854+ 0,0714 - 0,0017 + 0,0000 = 2,8551.
Для вычисления/(1,15) заметим, что /(1,15)=р3 (1,15), и предельной абсолютной погрешностью равенства f\x)=p„(x), если производная /<"+1,(х) неизвестна, считается модуль последнего из слагаемых, входящих в сумму (3). Поэтому /(1,15)=2,8551.
5.671	*. Доказать равенство
Aky.= i CS(-l)v№+l-_v,
где	, 01 = 1.
v!(k—v)!
5.672	*. Доказать равенство
где и„=П (*-*•)•
5.673	. Для функции /(x)=cos — х построить интерполяционный полином, выбрав узлы хо=0, xt = l, х2 = 2, х3 = 3. _	л
Вычислить cos—.
10
5.674	*. Для функции /(х) = 1пх построить интерполяционный полином, выбрав узлы x(J = 9, Xj = 10, х2=12, х3=15 и используя значения In 2 = 0,693147, In 3=1,098613 и In 5 = 1,609438. Вычислить In 11.
Функция y=J(x) задана таблицей. Найти значения этой функции при указанных, не входящих в таблицу значениях xt и г2 аргумента х.
5.675.
х I 1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
у 1 1,042	1,061	1,087	1,119	1,160 Xi = 1.26, х2=1,58. 5.676.	1,212	1,274	1,350
х I 1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5
у 1 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 Хх = 1,89, х2 = 2,43.	2,841	3,071	3,324
261
5.677.
х	I 0,75	0,80	0,85	0,90	0,95	1,00	1,05	1,10
у	j 0,742	0.789	0,835	0.880	0.924	0.967	L008	1.046
X] =0,83, y2 = 0,97.
5.678.
x ) 1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00	2,05
у | 1,2322 1,2097	1,1789	1,1389	1,0888	1,0281	0,9558	0,8713
%! = 1,74, x2=l,97.
5.679.
x 12,70	2,75	2,80	2,85	2,90	2,95	3,00	3,05
у I 1,5827 1,4865 1,3721 1,2383 1,0838 0,9071 0,7069 0,4817 Xi = 2,72, x2 = 2,93.
5.680.
x I 10	15	20	25	30	35	40	45
> I 0,985 0,966 0,940 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707 Xi =23, x2 = 41.
5.681.
у | 1,029	1,389	1,649 1,800 1,852 1,822	1,739 1,632
Xj = l,3, x2 = 4,0.
5.682.
X 10.13	0,18	0.23	0.28	0,33	0,38	0,43	0,48
у j 0,1296 0,1790 0,2280 0,2764 0,3242 0,3712 0,4173 0,4626 x1=0,20, x2 = 0,41.
5.683.
у | 0,1198 0,0897 0,0660 0,0477 0,0339 0,0236 0,0162 0,0109 Xi = 1,25, x2 = 1,76.
262
5.684.
x I 50	55	60	65	70	75	80	85
I °,285 0,319 Д2230,042 -0,148 -0,273 -0,283 -0,178 X1 = 58, x2 = 79.
5.685.	Вычислить значения интегрального синуса Si(x) =JS—ZJf при x=0,26 и при х=0,45, используя таблицу о
его значений:
х 10,17	0,22	0,27	0,32	0,37	0,42	0,47	0,52
Si(x) |о,16973	0,21941	0,26891	0,31819	0,36720	0,41591	0,46427	0,51225
5.686.	Вычислить значения интеграла вероятностей
Ф(х)=-|= I e~*2dt при х = 0,27 и при х=0,58, используя о
таблицу его значений:
х 10,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75
Ф(х) |0,05637	0,16800	0,27633	0,37938	0,47548	0,56332	0,64203	0,71116
5.687.	Применяя интерполирование, решить уравнение xlnx-1=0.
На отрезке 1= [1,6, 1,9] изоляции корня для функции у=л1пх— 1 имеем:
1,6	1,7	1,8	1,9
у ]-0,2479952 -0,0979324 0,0580148	0,2195226
Функция y=xlnx—1 на отрезке I возрастает, поскольку у'=1пх+1>0 при хе! Следовательно, существует обратная функция х=Ч>(у), для которой, считая теперь у аргументом и х значением функции, построим интерполяционный полином х3 (у). Данный прием называется обратной интерполяцией. Поместив результаты вычислений в таблицу, получим:
к	У	л			
0 2 3	-0,2479952 -0,0979324 0,0580148 0,2195226	1,7 1,8	0,6663876 0,6412426 0,6191651	-0,0821705 -0,0695452	0,0270049
263
Отсюда искомый полином имеет вид
х3 (>’)=’ Л + 0,6663876 (v + 0,2479952) -
- 0,0821705 (у+0,2479952) (у+0,0979324) +
+ 0,0270049 (у+0,2479952) (>’+0,0979324) (у-0,0580148).
Для нахождения корня нужно положить у=0. Получаем
х3(0)= 1.6 + 0.1652609-0.0019956-0,000038= 1.7632273.
Следовательно, корень равен 1,76323 ± 0,00004. где предельная абсолютная погрешность полагается равной абсолютной величине последнего слагаемого в выражении для х,(0).
5.688.	Пользуясь таблицей значений функции y=f(x), найти значение х0, при котором f(x0) = 0,569:
х I 1,50	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85
у |-1,125 -0,926 -0,704 -0,458 -0.187 0.109	0.432	0,782
5.689.	Пользуясь таблицей значений функции _у=/(х), найти значение х0, при котором /(.х0) = 4,498:
х	1 1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
у	j 2.431	2,928	3,497	4.144	4,875	5.696
5.690.	Используя таблицу, методом обратного интерполирования решить уравнение shx = 4,9370
' 1 2	2.2	2.4	2,6
у 1 3.6269	4,4571	5,4662	9.6947
5.691. Используя таблицу, методом обратного интерполирования решить уравнение tgx= 1,767:
60°	61	62°
у I 1.732	1.804	1.881
Составить на фортране указанные подпрограммы:
5.692.	Подпрограмма вычисления разделенных разностей Д1’(Х1, х2, ..., хк), к=\, 2, ..., п, Ду(xj)=j’(xj). Параметры: X, Y, N, где N — число элементов массивов X и Y, содержащих соответственно значения аргумента и значения функции. Результат вычислений содержится в массиве Y.
5.693*	. Подпрограмма вычисления конечных разностей к=1, 2, ..., и—1 Параметры Y и N, где Y—массив, содержащий N элементов—значения функции при входе и конечные разности при выходе из подпрограммы.
5.694*	. Подпрограмма-функция вычисления значений интерполяционного полинома для функции, заданной таблично. 264
Параметры: X, Y, N, KEY, ARG, где X — массив значений аргумента, Y—массив значений функции, если KEY = O, И массив разделенных разностей, если KEY^O, N—размерность массивов X и Y, ARG -значение аргумента полинома
5.695.	Подпрограмма вычисления значений интерполяционного полинома функции, заданной таблично. Параметры: X, Y, N, KEY, ARG, Р, EPS, где X -массив значений аргумента, Y—массив значений функции, если KEY = 0, и массив разделенных разностей, если KEY^O, N- размерность массивов X и Y, ARG — значение аргумента полинома, Р—значение полинома, EPS модуль последнего слагаемого, входящего в интерполяционный полином.
5.696.	Подпрограмма-функция вычисления значений интерполяционного полинома функции, заданной таблично, при равноотстоящих узлах интерполирования. Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X- начальный узел интерполирования, Н--шаг, Y массив значений функции, если KEY = 0, и массив конечных разностей с соответствующими коэффициентами, если KEY #0, N- величина массива, ARG -значение аргумента полинома.
5.697.	Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 5.696. решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.675—5.686.
5.698.	Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 5.694, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.687 5.691.
5.699.	Используя подпрограмму, полученную в задаче 5.695, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.688, 5.689.
3. Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул:
=	х1)+((х-хо)+(л-л1))Ау(хо, Xi, х2) +
+((т—х0)(х—л\) + (х—x0)(x —х2)+
+ (х-Л1)(х-х2))Ду(х0, Х1, Х2, Хз)+-., при этом погрешность приближенного равенства f'(x)—p'„(x} равна производной от погрешности г„(х)=/(л)— р„(х).
В случае равноотстоящих узлов х4==х4_1+Л (к=1. ..., л). xte[a. 6] и f(xk)—yt справедливы соотношения
1/ 2t-l 3z2 —6Г+2
/ (x)=t -I Ду<,+ —Д2у0 +--------Д3у<> +
Л\ 2	6
265
где t=j(x—x0). Формулы (5) и (6) содержат соответственно по л и л — 1 слагаемому.
Пример 5 Материальная точка М движется прямолинейно. Закон движения 5=/(г) представлен с помощью таблицы (т—время в секундах, 5—путь в метрах)
Применяя формулы (5) и (6), получаем:
»-ГМ.1(24ЯО.5-1).6+'*5Ц^^.о)-21 Мо>> ₽
Функция /(х) задана таблицей. Вычислить значения производной /'(х) в указанных двух точках х, и х2:
5.700.
х 11,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5
f(x) j 1,44013	1,54722	1,67302	1,81973	1,98970	2,18547	2,40978	2,66557
х1==2,03, х2 = 2,22.
5.701.
х 11,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
/(x) 11,0083	1,1134	1,2208	1,3310	1,4449	1,5634	1,6876	1,8186
xi = l,14, x2=l,42.
5.702.
x 12.8	2.9	3.0	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5
Дх) 13,92847	4,41016	4,93838	5,51744	6,15213	6,84782	7,61045	8,44671
jq = 3,02, x2 = 3,31.
5.703.
x 10,75	0,80	0,85	0,90	0,95	1,00	1,05	1,10
f(x) (0,2803	0,3186	0,3592	0,4021	0,4472	0,4945	0,5438	0,5952
Xj = 0,82, x2=l,03.
5.704.
x 11,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8
f(x) 10,8802	0,9103	0,9340	0,9523	0,9661	0,9764	0,9838	0,9891
Aj = 1.34. x2=1.65.
Вычислить значения f'(x) и /"(x) в указанной точке: 5.705.
x	I	1	2	3	4	5	6
Дх)	|	1	5	21	55	113	201
x=2.
5.706.
x	I	0	1	2	3	4	5
Дх)	I	1	3	19	85	261	631
*=2,5.
Составить на фортране указанные подпрограммы:
5.707*	. Подпрограмма-функция вычисления значений пер-
вой производной полинома и„(/) = Ц (/—к). Параметры: N, Т. к = 0
5.708*	. Подпрограмма-функция вычисления значений вто-
рой производной полинома и'„(/)= П (/ —^)- Параметры: к = О
N, Т.
5.709.	Подпрограмма-функция вычисления значений первой производной интерполяционного полинома
/Мх)~.’о+ L	А Го, t-——.
Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X—начальный узел интерполирования. Y массив значений функции при
KEY = 0 и массив, содержащий величины у0,
(А =!,...,«) при KEY5^0, ARG—значение аргумента, при котором вычисляется производная, N есть и+1.
5.710.	Подпрограмма-функция вычисления значений второй производной интерполяционного полинома Параметры те же, что в задаче 5.709.
5.711.	Используя подпрограмму-функцию, составленную в задаче 5.709, написать на фортране программу решения одной из задач 5.700—5.704.
5.712.	Используя подпрограммы-функции, составленные при решении задач 5.709 и 5.710, написать на фортране программу решения одной из задач 5.705, 5.706.
Г л а в a 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ФУНКЦИЙ
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
1. Первообразная н неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной функции /(л), заданной на некотором множестве X, если F'(x) = f(x) для всех хеХ. Если F(x)—первообразная функции /(х), то Ф(х) является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Ф(y) = F(.x) + C. где С—некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом Jf(x)</x. Таким образом, по определению
j/(.x)rfx={F(x)+C},	(1)
где F(x)—одна из первообразных функции J(x), а постоянная С принимает действительные значения.
В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без явного обозначения множества справа, т. е. в виде
J/(x)dx = F(x)+C,
при этом С называют произвольной постоянной.
Свойства неопределенного интеграла.
1.	Q/(.x)rfxJ=/(x).
2.	j/'(x)Jx=/(x) + C.
3.	Je/(.x)t/.x=« J/(x)dx. a^O.
4.	[(/.(х)+ЛМ)Л= p,(%)dx+J/2(x)dY.
Таблица основных неопределенных интегралов.
к 1. JxVx=^+C
269
— =ln|x| + C.
3.	Jax</.x=--t-C (a>0, a^l); Jex</.r=ex + C.
4.	Jsinx</.x= —cosx+C.
5.	Jcosx</.x=sinx+C.
6.	I dX2 =tgx-t-C.
Jcos2x
f dx
7.	-r^- = -ctgx+C. Jsm2x
8.	|—- =ln tg4 + C=ln|cosecx-ctgx| + C. J sinx	| 21
10. [	= -arctg-+C (a^O).
Jx2 + fl2 a a
12.	I J—— = arcsin- + C, |x|<|a|.
J 7^3?	«
13.	f	=1п|х+ч/х2-о2|+C, |jc| >|cz| >0.
Jx/x2-6z2
14.	f dX =ln(x+x/x2 + a2)+C (а#Ю). Jx/x2 + o2
15.	Jshxdx=chx+C.
16.	Jchx</.x=shx+C.
17.	f-^-=thx+C. Jch2x
18.	f—r- = — cthx + C. Jsh2x
Найти первообразные следующих функций:
6.1.	2х7.	6.2. 4 ^/х. \б.З. | + ^.
6.4.	* +5*	6.5. ^±9... 6.6. 1—2 sin2 4
х	Ху/х	*
6.7.	-=L=.	6.8. е2-3х.	6.9. -!=•
Ja+bx
6.10.	-4—-	6-п-	6Л2- l~8sin22xcos22x.
cos24x	х— 1
6.13.	I cos2-+2sin-cos-sin2- | .
\	2	2	2	2 )
6.14.	cos(a+x)cos(a—x) + sin(a+x)sin(a — x).
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основных интегралов и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.
Пример 1 Вычислить J—j—-j
f dx _ f dx __ fl-x2 + x2 " Jx2-x4-Jx2(l-x2)~ Jx2(l-x2)rfX_
Cdx f dx 11 |l+x| -]Н"^+2,ЛЫ+С' °-
Используя таблицу основных интегралов, найти следующие интегралы:
?71
J(2x+3cos x)dx.

[*3-2ctg2x
--------г--dx.
I cos2 X
cos2 Ysin'
sin2-dr.
6.29*. a)
i2xdx.
6.31.
6.32.
sin----cos ) dx.
6.33.
6.35.
—dx.
6.37.


6.41. a) fctg2xdv: 6; fcth2vJx
dx.
2. Метод замены переменной. Существуют следующие два варианта лого метода.
Пусть требуется вычислить интеграл	Предположим, что
существуют дифференцируемая функция u=<p(.r) и функция g(u) такие, что подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано в виде
/(x)dx^g((p(x))<p'(x)dx=g(u)du
(указанное преобразование называется подведением и = <р(х) под знак дифференциала). Тогда
J/(x)A= 1«(<о(х))<р'(х)й?х=|^(м)й?м1^ф(х),
т. е. вычисление интеграла )’/(л)Лс сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке «=<р(х).	\
Пример 2. Вычислить интеграл\|sinxcosxA
с Имеем:
Пример 3. Вычислить интеграл
«а Имеем:
f 2л+1 л

= 1п|«|	4-С=1п|х2 + х—3| 4-С. t>
Операция подведения функции <р(х) под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную к=<р(х). { dx
Пример 4. Вычислить интеграл I=^.
<а Произведем замену переменной по формуле
«=3x4-1.
Тот да du — 3dx, r e.
dx= - du
Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции « = Зх+1. с*
Вь1числить_интегралы с помощью подходящей замены:
6.44. jjl+xdx.	6.45. J(3-4 sin x)1/3cosxrfx.
6.46. fchxshxrfx.	6.47.
273
6.50. f——* -dx. Ja—btgx	/	cos—- 6.51. 	^—dx. J 2 — 3 sin ~ •J2
6.52. fctgxdx.	6.53. f34xrfx.
6.54. Jcos(ax+Z>)dx.	6.55. Jsin(lnx) —.
«.S6. p,	M /'«у cos^x 4j
	6.59. J * Лх.
6.60. Jx • 5-x2dx.	6.61. Мц. Jl-4x2
6«-	6.63. Г-/* J 75-Зх2
6.64. f— J 79x2-1	,	1 sinxr/x 6.65. 1		. J x/cos2x+4
6-66‘ fSrr	6.67. J y/x*+\
6.68. f-^5-. Ja2+b2x	6.69. jc|^>
6.70. fch2xshxdx.	‘-71-
6.72. Jtgxdx.	6.73. fcth4xdx.
6.74. j^dx.	6’75’ fw^-n- Jch2(x2 + 1)
k74, f(e-6)%2-(o+6)	(0<Z>«7). 6.78. j4x2 + 7
274
275
6.108*. 1^-^—.	6.109. I d~ .
Jsmxcosx	Jctgx/3*
6.110. Jthczxrfx.	6.111. Jtg2(ax+6)dx.
6.112. f x2cig2(x3 —3)dx.	6.113. f esecxtgxsecxJx.
б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл f/(x) dx, где функция /(х) определена на некотором множестве X. Введем новую переменную ' и формулой
х = ф(«): U-+X,
где функция <р(ь) дифференцируема на некотором множестве V и осуществляет взаимно однозначное отображение U на X, т. е. имеет обратную
«=ф-1(х): X-*U.
Подставив х=<р(м) в исходное подынтегральное выражение, получаем Дх)</х=Дф(и))ф' (u)du=g(u)du.
Далее, справедливо равенство
1/(х)йх=(/(ф(М))ф'(м)А|„=ф Чх1 = к1"МИ„=Ф
т. е. вычисление интеграла f/(x)«/x сводится к вычислению интеграла jg(u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке м=ф_1(х).
Пример 5 Вычислить интеграл J--------dx
-=а В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции А'= [0, + ос). Произведем подстановку
х=ф(м) = м2, м<е[0,-Ссо).
Тогда dx = 2udu, м = ф”1 (х) = ,/х, откуда
dx = 2	Л = 2((н2-м+2)А-4 [—=
Jl+Vx J«+1	J«+1
= 2^«3-|м2 + 2«)-41п(м+1)+С|1/= - = 20х3/2-^х+2х1/2^-
-41n(x/x+1 )+С. с»
Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
776
6.117.	J - dx, x=ln/
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
6.118.	fх(5х-l)19dx.	6.119.	J-^-dx.
6.120.	jy^t_2 --dx.	6.121.	j—^dx.
6.122.	f-i=.	6.123.	f—^=.
Jv'3 + e‘	Jx^T^+T
3.	Метод интегрирования по частям. Если «(х) и г(х)—дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:
$u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-$v(x)u'(x)dx,
или в краткой записи
f и dt — uv — f v du.	(2)
Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx можно так представить в виде udv, что стоящий в правой части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений и и dv может оказаться проще исходного ингеграла. При этом за и удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании. Например, если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функцию, то к и следует отнести многочлен, а оставшееся выражение к dv При этом формула (2) может применяться неоднократно.
Пример 6. Найти fx2cosxdx
Полагаем и = х2 и dv=cosxdx. Тогда du = 2xdx и r = J cosxdx=smx (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т. е. в качестве г берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем
f х 2 cos х dx = х 2 sin x — j 2x sm x dx.
К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям, причем к и снова относим многочлен (т. е. 2х). Имеем: « = 2х, dv — sinxdx. Отсюда
du=2dx и v — jsinxdx = — cosx.
Применяя формулу (2), получаем окончательно: fx2cosxdx=x2sinx —(—zxcosx—f (— cosx)2dx)=
= x2sin x + 2x cosx—2sinx + C. t>
Если подынтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за и, так как в результате дифференцирования эти функции упрощаются
277
Пример 7. Найти jlnxdx.
«а Полагаем u=lnx, dv=dx. Тогда du=— и v=$dx=x Подставив в формулу (2), находим
lnxdx=xlnx— J х—= xlnx—х+С. с=-
Иногда после двукратного применения формулы интегрирования по частям приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т. е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.
Пример 8. Найти fеах sin bxdx.
-о Полагаем и = е“х, dv = sinbxdx. Тогда du = aeaxdx, v—-cosbx.
Подставив в (2), имеем
sin bxdx— — е°х cos bx H— I e“x cos bx dx. b	bj
1
Теперь полагаем u — e“x, dv—cosbxdx. Тогда du=ae“xdx, v = -sinbx и
Гeaxsmbxdx — —e“xcosbx+-(—smbx-- |e“xsinbxdx|.
J	b b\b b J	)
В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла sin bxdx Решая это уравнение, находим
(а2\ Г	a sin bx—b cos Dx
l+-Jj^sin,xJx=e«—-------------+C1,
или
f	e“x(asmbx — bcosbx)
e°x sm bx dx=------------- + C. t>
J	a2+b2
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
6.124.	JarccosxJx.	6.125.	JxcosxJx.
6.126.	fxlnxJx.	6.127.	J^Jx.
6.128.	f(x2 — x+ l)lnxdx. 6.129.	fx2sinxJx.
6.130.	jx2e~xdx.	6.131.	Jx3exJx.
6.132*	. jx3e x2dx. 6.133.
6.134.	fxarctgxJx. 6.135. | Jx.
J cosJ X
278
6.136.	p°xcosZ>xJx. 6.137. Jearccosxrfx.
6.138.	f In (x+^/1 + x 2) Jx. 6.139. fx3lnxJx.
6.140.	jx3xdx.	6.141. f(x2 — 2x + 3)cosxdx.
6.142.	6.143.	f cos (In л ) dx.
Применяя различные методы, найти интегралы:
6.144*	.	§e'xdx.	6.145.	f x(arctgx)2Jx.
6.146.	J^^^tZx.	6.147.	fxctg2xdx.
6.148.	6.149*. \—^—dx.
J e*	Ж+’)2
6.150*	*. Вывести рекуррентную формулу для интеграла f dx „
- y—z----Наити I2 и Л.
JU +° )”
Найти интегралы:
6.151*	*. $Jx2 + adx.	6.152**. ^~L==dx.
6.153.	fx arcsin xdx.	6.154. J—dx.
6.155. fx2arctgx<Zx.	6.156.
6.157*. ^y/a2-x2dx.
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование про-Pm(x) b„xm+...+b1x+b0 извольной рациональной дроби -------------—=------------------
б„(х) а„хп+...+а!х+аС1 с действительными коэффициентами в общем случае производится следующим образом. Ри(х)
Если т^п. т. е. исходная дробь — — - неправильная, то следует предварительно выделить в этой дроби иелую часть, т. е. представить ее в виде
е„(х)’
(о
279
где Л7т_„(х) и	—многочлены степеней пг—и^О и г соогвет-
ственно, причем г<п, з. е. дробь —— правильная.
Выделение пелой часта в дроби ——- производится делением
числителя на знаменатель «уголком».
Пример 1. Выделить целую часть дроби
-=з Дробь неправильная, так как т — 6>п — 3. Для выделения целой части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде:
и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй, получаем в частном х3 + 2х2 + 6х+Ю, а в остатке 17х2 —10х + 1. Следовательно,
17х2 — 10х+ 1
и выделение целой части закончено, с*
Как показывает формула (1), операция выделения целой части сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную й М*)
дробь ——, пкп, следует предварительно разложить ее в сумм)
так называемых простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом. Пусть знаменатель 2fl(x)=e„x” + ... + eIx+e0 имеет действительные корни otj,..., а( кратностей st,з, и комплексно-сопряженные пары корней ..., кратностей tt, ..., rt соответственно (л', + ...4 ,v( + 2/| + ... + 2/1 = m), т. e. справедливо разложение
где
Тогда разложение дроби J”- -- в сумму простейших имеет вид
В™х+С*'
В?х+С”
(2)
280
Коэффициенты Л*/’, В\]> и C'f в этом разложении определяются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х у многочлена Р„(х) и многочлена, который получается в числителе правой части (2) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопределенных коэффициентов) Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным подходяще подобранным числам (в первую очередь значениям действительных корней знаменателя
(х+2)2
Пример 2. Дробь ----------— разложить в сумму простейших.
х(х-1)2
с Искомое разложение имеет вид
(х + 2)2 Л В , С
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождественное равенство
(3)
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях систему уравнений:
откуда получаем А =4 В= разложение имеет вид:
Следовательно, искомое
Можно определить коэффициенты А, В, С другим способом, полагая последовательно в тождестве (3) х=0, х=1 и, например, х= —1: при х = 0 находим Л =4, при х=1 получаем С=9, а при
При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать оба способа, т. е. найти А =4 при х=0. С=9 при х=1, а В определить из равенства коэффициентов при х2 в (3), т. е. из равенства
Формула (2) показывает, что интегрирование произвольной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:
2> <‘-2’ ’• -
3)	- р2-4?<0
x2+px+q
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере.
Пример 3. Найти
dx.
281
«а В рассматриваемом случае дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, отрицателен: р2—4^=1—4=—3<0, т. е. имеем дробь третьего типа. Так как (х2+х+1 )' = 2х+1. то числитель дроби преобразуем следующим образом:
(это преобразование называется выделением в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому
Оставшийся интеграл находится выделением полного квадрата в квадратном трехчлене:
2	2х+1
=—— arctg———(С.
В результате заданный интеграл равен
^1^=^ln(x2 + x+l)-v/3arctg2i~l + C с-
4)	р2—4д<0, Л = 2,3,...
(х2+рх+ч)к
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на примере.
Пример 4. Найти
,dx.
с Здесь р2—4д=4—12= — 8<0, т. е. имеем простейшую дробь четвертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:

2(х2+2х+3)
282
Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене:
Далее используем метод интегрирования по частям:
В общем случае к >2 рассмотренный в примере 4 прием позволяет свести вычисление интеграла f( 1 + и1 2)~кdu к вычислению интеграла f(l +и2) k+ldu, т. е. дает рекуррентный метод вычисления интегралов этого типа.
Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей
в целом на следующем примере.
-а Дробь	правильная, ее разложение в сумму простейших
дробей имеет вид
1 _А Вх+С Рх+Е
Имеем
1 =А (х2 + 1)2 + Bjc2 (х2 +1) + Сх(х2 +1 ) + Dx2 + Ех.
Полагая х-0, находим А = 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х. получаем 0 = А+В, 0 = С, 0 = 2/t + B+D. 0 = С+Е, т. е.
B=-l, С=0, Z)=-l и Е=0.
283
Следовательно, dx (Y1

Заметим, что разложение дроби -д—-- на простейшие можно получить и не применяя метода неопределенных коэффициентов, а именно
6.178.
р + 8
6.179.
’ 5х—13
1(х2-5л + 6)2
dx.
284
6.180.	6.181. - dX2—.
Jx4-1	Jx4+2x2 + l
Найти интегралы, не применяя метода неопределенных коэффициентов:
6.182*. |х4-+^2х-г-	6-183*-
б'ы- Мчз- 4185*-ЫЬг
6-,8<- И?	б’,87‘
6Л88- ](ГЙРЛ'	6Л№>-
2. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций, а) Интегралы вида f sin'"xcos"xdx
Если хотя бы одно из чисел т или п — нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 x+cos2 х = 1 оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному
Если же т и п — четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью трш онометрических формул:
. 2	1—cos2x
sin х- -	,
Sin X COS X — - sin lx. 2
Пример 7. Найти j sin2 x cos4 x dx Имеем-
sin2 xcos4 x dx = I (sin x cos x)2 cos2 x dx =
1—cos4x
eZx=-j sin22xtZx+-j sin22x-cos2x</x= if,	x sin4x sin32x
— | sin2 2x t/sin 2x=---——I------------r
16 J	16	64	48
285
Если m + n=—2k, fceN, т. e. m + n является целым четным отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки tgx = f и ctgx=t
Пример 8. Найти Jsin1/3 х cos 13/3 х dx.
1 13
Так как -—— = — 4, то вычисление интеграла сводится к интегрированию степеней тангенса:
dx
sm1/3 x cos 13/3.
TJ ‘В	-1g, Л-Г—
Для вычисления интегралов вида ftgmx</x, Jctgmxt/x, где 2, 3, используются тригонометрические формулы
Пример 9. Вычислить fctg4xrfx. с Имеем:
= - f ctg2 xdctgx-1
c-1)dx= ctg3x
В общем случае интегралы вида f sm’"xcosnxrfx, где т и п—целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям
f dx
Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для -—
и с ее помощью найти
с Имеем
Тогда
Полагаем
формулу для J-
Г . smx sinx---dx+l2k-l-
I	COS2’X
-----zr—, и интегрированием по частям получаем 2Acos x
sinx 1 j* dx ~2kcos2kx~2k] cos2fc~
286
I1K+1
(рекуррентная формула).
В частности, при fc=l имеем
f dx sin x	1 Г dx sin х 1, ,	, „
Z3= ——=-—--------------=-——+-ln| tgx+secx| + C.
J cos~ x 2cos2 x 2 J cos x 2cosz x 2
Найти интегралы:
6.190. Jsin3xJx.
6.192. fcos7xJx
6.194. Jsin2xcos2x<Zx.
6.196.
J sin6 X
6.198. f— dx._
J sinxcosx f„2M. rHL
J sinxcosX
6.202. ftg3xJx
6.191.
J cos8X
6.193. Jcos4|fifx.
6.195. fcos2xsin4xdx.
6.197.	fe^dx.
J cos6x
6.199.	f 7 /-
J Sin* ЛГ COS X
6.201.	f-4-.
J cos6X
6.203.	ctg3 ~+ctg40 dx.
6.205. fcos5xdx
6.207. Jsin62xJx.
6.211. j cosxcos22xdx.
б) Для интегрирования произведении синусов и косинусов
различных аргументов применяются следующие тригонометрические
287
формулы:
cos a cos р=- (cos (а—р)+cos (а+Р)),
sin а sm Р = - (cos (а—Р) — cos (а+Р)),
sinacosp = -(sin(a —p)+sin(a + p)).
Пример 11 Найти fcos9xcos5xrfx.
о Имеем
’	1 Г	11
cos9xcos5x<7.v = - I (cos4x+cos 14x)rfx=-sin4x+—sin 14x+C.
Найти интегралы:
6.212.	j sin3xcos5xdx. 6.213. J sin 1 Ox sin \5xdx.
6.214.	cos-cos-t/x. 6.215. sin-cos — dx.
J 2	3	J 3	3
6.216.	f cosx cos2 3xdx. 6.217. J sin x sin lx sin 3x dx.
в) Интегралы вида
J Я (sin x, cosx) dx.
где R(u, v) рациональная функция двух переменных, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента t под
становкой tg- = /. При этом используются формулы
Если под интегралом smx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx = t.
Пример 13. Найти |.
Р Р	Jl- 5sin2x
288
<i Разделив числитель и знаменатель на cos2 х и используя подстановку tgx=/, получим:
f dx Г rftgx Г dt
J 1—5sin2x J l+tg2x-5tg2x J 1 —4f2
Найти интегралы:
6.218.	I—-—.	6.219. f---------------.
J3cosx+2	J 3—2sincosx
6.220*	.	6.221. f—
J 1 + sin x	J 4 sm2 x—7 cos2 x
„f sinx ,	....... f sin2v
6.222.	I—j-----------dx. 6.223.--------5— dx
J cos x —zcosx+5	Jl+4cos x
6.224.	f-4-•	6.225*. C-----$--------;.
J 2 —sinx	J (sinx+4)(smx—1)
6.226.	6.227. [—-----------------------——-----------j-.
JI— ctgx	J sm2x+8smxcosx+12cos2x
г) Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причем используются следующие формулы:
ch2x-sh2x=l,
ch2x = -(ch2x+ 1),
shxchx = ^sh 2x, sh2x=-(ch2x—1),
- th2x=
ch2x’
cth2x— 1
sh2x
Найти интегралы: 6.228. fch23x(/x.
6.230. f sh2xch2xc/x.
6.232. f -2--
J sh2xch2x
6.234*.
J chx—1 6.236. fcth3x</x.
10 Под ред. Л. В. I
6.229. fsh’2xrfx.
6.231. (ch4 x dx.
Whs-
6.235. j x/chx4-l dx.
6.237. fth4xrfx.
1ва, Б. П. Демидовича, ч. I
2R0
3.	Интегрирование некоторых иррациональных функций, а) Интегралы вида
где Я(х, у, z, ...)—рациональная функция своих аргументов, ти п1ч т2, п2, ...—целые числа, вычисляются с помощью подстановки ах+Ь	_ w	„ тг т2
- —~t\ где s—оощии знаменатель дробей —, —,...
cx+d	*	пг п2
Пример 14. Найти I—~—......-.—t___
](^Тз-1К/^Тз
Производим подстановку x+3 = f4. Тогда dx=4t*dt, и, следовательно,
f _____________= 4 f-^L=4 f-^-=4 f(Lzl2±l^ =
Л'-Ф2 J'-i J «-i
= 4(r+ln|r-1 |)+C=4(^+3 + ln|^/T+3- 1| + C. »
Найти интегралы:
6.238.	f----d-^=. 6.239. U±=.
3(5+х)УГ+^	J^/2a—3
6.240.	f-	6.241.	f-dx.
J y/x-^/x	J (x+a)(l+^/x+a)
6.242.	6.243.	f—.
6.244.	I	—— —.	6.245.	|- E^-dx.
J (^+4)^	J*V*+1
б) Вычисление интегралов вида
f R(x, ^Jax2 + bx + c)dx,
где R- рациональная функция двух аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей заменой переменной и = х+— исходный интеграл приводится к интегралу одного из следующих трех типов:
О \R(u,Jl2-u2)du,
2) Jl2 + u2)du,
3) \R(u,4^T2)du.
290
Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подстановкой соответственно
1)	u = /sint или H =
2)	u = llgt или u = /shr,
3)	u = lsect или u=lcht
приводятся к интегралам вида f 2?(sin t, cos t)или f7?(shz, ch t)dt. Пр имер 15. Найти f^/x2 — a2 dx.
=—(sh/chz—z)+C=-x/x2—a2——Inlx-f-^/x2—a2| + C.o-
Пример 16. Найти
J x/(x2 + 4x+7)3
<i Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, имеем
Г dx f du
г...	—г-- =	, где и=х+2.
J/(x2 + 4x+7)3 JV(«2 + 3)3
Производя теперь подстановку u = y/3lgt, du= '—-dt, ч/и2+3 = cos2 t
= y/bscct, получаем:
Г dx f х/з If
—— —  ------= -------------dt = - cos tdt =
J v^v2 + 4x+33’ J cos2zx/33sec3z 3J
следует предварительно выделить в числителе производную квадратного трехчлена.
Пример 17. Найти	—--	 — dx.
J Vl-4x-x2
--- Имеем
Заметим, что в этом примере нет необходимости производить тригонометрическую подстановку, так как выделение полного квадрата сразу приводит к табличному интегралу. t> f	dx
Интегралы вида ...................    (г	= 1. 2) сводятся
J (тх+п)'у/ах2 + Ьх4 с
к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
>пх+п=~. t
= — arcsin	+ С- —arcsin ——+ С= —arcsin %+-L+ C. t>
у/2	y/2	Xy/2
Найта интегралы:
292
6.260. ^l-'2x-x2dx.	6.261. fv'(3-2x-x2)J</x.
6.262. f-^=.	6.263. f^Udx.
Jv^2+n5 J 2_____________________
6.264. j 7x2-2x+10dx. 6.265. ^4x-x2dx
6.266. f dx. 6.267. f- —л'2-. dx.
J *2	J y/x2—a2
6.268. —- — .	6.269. L/(x2-l)3</x.
J V(x2 + 9)3
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование
Найти интегралы.
6.270. Г /-t3- dx.
J т2 + 2х+4 “Ч<Ж5>-
6.276.		.
J Х./6 + 41ПЛ- 1п2х
6.278.	$Xy/x2-4dx.
М=тЛ-
6.271.
6.273.
6.275.
6.277.
dx
(a3-I)2’
6.279.	fxVx2+4x-5rfx.
6.280.	j4/x2+4x + 5(/x.
6.282.
6.283.
6.284. f
J \/x—xA+1
6.286. f S‘n X- dx.
J 1—sinx
6.300. (th5.v</x. f
6.304. Jxe2*dx.
6.308. fearcsinxcbc.
6.303. fsin2(lnx)</x.
6.305. jxe X’dx.
6.307. f (ОХ~-^- dx.
j axbx
6.309.	\Jex-\dx
, f arcsinx 1+x2	f arcsine*
6.310.	J---2—	- dx. 6.311. J ——— dx.
6.312.	J X t^CtfX dx. 6.313. fx(l+x2)arctgxdx.
6.314.
‘ln(l+x+x2)
(1+x)2 X'
6.315. fxln(4+x4)r/x.
6.316.	Jxdx.
6.317.	|—^==ln —^==dx
6.318.	fx'(l+lnx)</x. 6.319.
§	4. Определенный интеграл и методы его вычисления
Рис. 48 предел не зависит ни от
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Если функция f(x) определена на отрезке а^х^Ь и а = л0<х1<л-2< ... ...<х„-1<х„ = Ь—произвольное разбиение этого отрезка на п частей (рис. 48), то интегральной суммой функции f(x) на [a, b J называется сумма вида
S„=if&)bxt,
где xk-t ^^к^хк, Ахк = хк —Хь-!, k—i, 1, 3,..., п. Геометрически S„ есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания Дх* и высоты f(^k).
Если определенная на отрезке [а, b ] функция f (х) такова, что существует конечный предел последовательности интегральных сумм при условии, что наибольшая из разностей Дхь стремится к нулю, причем этс
способа разбиения отрезка [a, Z?] на отрезки [xt_b xt], ни от выбора точек с,к на этих отрезках, то функция / (v) называется интегрируемой на отрезке [а, Ь], а сам предел называется определенным интегралом от функции /(х) в пределах от а до Ь и обозначается символом \f(x)dx. Таким образом,
f f (х) dx = lim £ f(^k) Дхк.
Непрерывная на отрезке [а, Ь ] функция /(х) интегрируема на этом отрезке.
Геометрически определенный интеграл (1) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком Функции у=/(х), осью Ох и прямыми х = а и х — Ь, причем площади, Расположенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а пощади, расположенные ниже оси Ох,— со знаком минус
Пример 1. Вычислить fx2<7x, рассматривая определенный интеграл как предел интегральных сумм.
<1 1-й спо co б. Разделим отрезок интегрирования [1, 2] на и равных частей длины Лх=~. Точки деления
х„=2.
В качестве точек выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда
/(х0)=1, f(xi) = (l+0 ’ ^*2>==(1+0 ’	•
Следовательно,
=^(и2 + (и+1)2 + (и + 2^ + ... +(2и-1)2)=^ £ к2-YA2)
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел
' и(и+1)(2и+1)
.?,*	—i—
находим
_ 1 /(2и-П2л(4и-П (и-1)и(2и-1)\_ 14п2-9и-И
" п3 \	6	6	) би2
откуда
f	14д2 —9и+1 7
J "--о би2 3
2-й способ Разобьем отрезок [1.2] на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию.
х0=1, Xt=q. х2 = 97, ...,х„-1 = 9"“1, х„ = <7"-2,
где q = 2lln Точку выберем на левом конце к-го отрезка Тогда
/(х0)=1, /(л1) = <У2, /(х2) = </4,...,/(х„_1) = 92<"->,
ЛХ1=9-1, A.x2=q2-q = q(q-l). Дл3 = 92 («-!), ..., A.x„ = q"~' (q-W’
Sn=l(q-l) + q3(q-l) + q6(.q-l)+ .. + q3,"~Aq- 1) =
= (g-l)(l+q3 + q*+ ...	») = (9_ ]) £±_1=_2^± =
9-1 9+9+1
23 —T	7_____
-22/» + 2V»+i~22/" + 21/”+1
Следовательно,
I x2dx~ Inn —----=-.
J «-<-22"42"H 3
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих инты р^льныл сумм:
5	л/2
6.320*. f(l+x)<bc. 6.321*. J cosxdx.
6.322*. j exdx. 6.323*.
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона—Лейбница. Если г’(х)— одна из первообразных непрерывной на [а, b ] функции J(x), го справедлива следующая формула Ньютона — Лейбница:
(x)dx = F(x)\b = F(b) — F(a).
Пример 2. Вычислить
<1 Имеем
-~—=J	- = 1п|1пх|| =1п(1пе2) — 1п(1пе) = 1п2»0,69.
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить интегралы-
2
6.324. f x3dx.
6.326. f(3xz-2x+l)dx.
6.328. |2+^*</х.
6.330. j sin x dx.
л/2
6.327. Icfi+ffidx.
6.329. ]^/^ldx.
6.331.
f dx
J COS2X
-n/4
297
6.332. fexdx.	6.333. f2xdx. 0
6.334. |.	6.335. [
2	J2x-r
j''"'-	n/4 6.337. f sin2<pc/<p. 0
п/3	
6-338. f tg4xdx.	6.339. jsh3xc/x.
п/6	
6.340. f— ~	 J 4х2+4х+5‘	6.341. f	—	
	j y/x2 + 2x+2
4	
6.342. ^~dx. 3	6-343- J	dx.
2 6.344. J dx.	6.345.	dx
6.346. f	—	 J Y(l+ln2^)-	6.347. f cos3 a dx. 0
1/3	
6.348. f ch 2 Зх с/х.	6.349. f—	
°	J ^-2^-8’
6.350. f dx	6-35L [^dx. J 2x+l
J V2+3x-2x2’	
3/4	0
6.352. f	*2 + 3л	
J (x+l)(x2+l) d 	
с. помощью определенных интегралов найти пределы
6.354.	. lim —I 1+cos —+cos2 —+ ... +cos(«— 1) — I.
'л— и 2«y 2лг 2и	2nJ
6.355.	lim -( /1Д+ /1+^+...+ /1+Л n \ П	\ n)
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
6.356.	У=\хг, j=0, х=2, л=3.
6.357.	y^Jx, у = 0, х=1, л- = 8.
6.358.	_у = 6-л--2х2, у=х+1.
6.359.	у = ~, у = 2у/х.
6.360.	y = cosx, v=0, х= —	х= — -.
л	z	2	4
6.361.	у = е\ j=0, л=1, х=2.
6.362.	у = |, у = 0, х=2, х = 3.
6.363.	х+у = 4.
3. Свойства определенного интеграла. 1) Если /(х)>0 на отрезке [а, Ь], то J/(x)dx>0.
2)	Если /(х)^я(-т) на [а, Ь], то $f(x)dx^$g(x)dx.
3)	|f/(x)dx|<|/(x)|dx.
4)	Если f(x) непрерывна на [a, b ], т—наименьшее, М—наибольшее значения j (х) на [а, b ], то
m(b~a)^f(x)dx^M(b-a)
(теорема об оценке определенного интеграла). Пример 3. Оценить интеграл
299
5)	Если/(х) непрерывна, a g(x) интегрируема на [a. b}; g(x)^O. т и М наименьшее и наибольшее значения f(x) на [а, b ]. то
m$g(x)dx^f(x)g(x)dx^M]g(x)dx
(о боб шейная теорема об оценке определенного интеграла)
6)	Если f(x) непрерывна на [а, 6]. то существует такая точка с е (д, А), что справедливо равенство
f ЛХ)<Л=/(с)№-а)
(теорема о среднем значении).
Число
/(<)=77— |/U)dx b-aj
называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b ].
7)	Если fix) непрерывна, a g(x) интегрируема на [о. А] и g(x)>0, то существует такая точка се (с, Ь), что справедливо равенство
\f(x)g(x)dx=f(c)]g(x)dx
(обобщенная теорема о с вел нем).
81 Если /2(х) и gi(х) интегрируемы на [а, А], то |f/(x)g(x)Jx| ^yjlf2(x)dx]g4x)dx
(неравенство Коши Б у н я к о в с к о г о).
9)	Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Если функция fix) четная, то f f(x)dx = 2$f(x)dx. Если функция fix) нечетная, то f f(x)dx=O
10)	Если функция fix) непрерывна на отрезке [а, А], то интеграл с переменным верхним пределом
Ф(х) = }/(/) Л
является первообразной для функции fix), т. е.
Ф'(х) = (1/(?)Л)'=/(х). хе [а, А].
11)	Если функции <р(х) и ф(х) дифференцируемы в точке хе(а, Ь) и f(t) непрерывна при <p(a)^.t^(b), то
(7 7(0 dt)'x =/(ф (х)) ф' (х)-/(ф (г)) Ф' (х).
300
Пример 4. /(v)=fe 'dt. Найти /'(x)
-а Используя свойство 11) и учитывая, что <р(х) = 0, т. е. ср'(х) = 0, имеем \
Г(х)=е~<х‘>2(х2)' = 2хе~х'
6.364.	Определить знаки интегралов, не вычисляя их:
a)* f \fxdx; б) j x3exdx; в) f xlnxdx.
-2	-1	1/3
6.365.	Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше:
а)ЫЬ"л" f?; 6Фши
в) Je“*coszxdx или Jе~х*cos2xdx. о	о
6.366.	Найти среднее значение функции на данном отрезке:
а)	х3, 0<х^1; в) cosx, 0<х<я/2;
б)	’/х. O^x^l; г) cos3x, 0<х^л/2.
6.367.	Сила переменного тока меняется по закону 7=70sin^^f+<py где Т—период. Найти среднее значение силы тока за полупериод.
6.368.	Оценить интеграл J х/8 + х3г/х.
-1
2я
6.369.	Оценить интеграл I ———-----.
J x/5+2sinx о
6.370.	Оценить интеграл j\/(l+x)(l+x3)Jx, пользуясь: о
а)	обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б)	неравенством Коши—Буняковского.
6.371.	Оценить интеграл j'x/(?+x3)xdx, пользуясь: о
а)	обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б)	неравенством Коши — Буняковского.
6.372.	Найти: а) б) если /= | — dx (0<a<P).
«р aa	J х
30!
6.373. Найти точки экстремума функции
Найти производные следующих функций:
6.374. Ф(х)=|—'Л. 6.375. Ф(х) = | sin(z2)k
О	1/JC
О	х3
6.376. O(x) = J—===. 6.377. Ф(х)=|^ (х>0).
6.378. Доказать, что
4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция /(л) непрерывна на отрезке [о, 6], а функция x=<p(z) непрерывно дифференцируема на отрезке [z15 Z2 ], причем u = <p(z1), /) = ip(z2), то
f/(x)«Zr=f/(<p(z))<p'(z)zZz
П p и м e p 5. Вычислить -------2— z/x
ч'2/2
<1 Применим подстановку x=sinz. Тогда dx=coszz/z, • ч/2 я	, л „
r=arcsmx, Zj = arcsin-^-=- и Z2 = arcsin 1=-. Следовательно.
интеграл \х\/\—х2 dx вычислить с по-о
x=sin Z?
6.379. Можно ли мощью подстановки
Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок:
6.380. f---%-----. Зх—2 = z2.
J 1+узГ^2
1
302
303
6.398.	Убедиться в том, что
5.	Интегрирование но частям. Если функции и^и(х), v = v(x) и их производные и'(х) и г'(х) непрерывны на отрезке [а, b ], то
(формула интегрирования по частям).
Примерь. Вычислить f In лdx.
о Положим и = 1пл, dv—dx, тогда du- — , v-x. Имеем
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
6.399.	6.400. f dx.
о	J v'1
о
6.401.	Г6.402. Пп2тг/л
J cos2 Л-	]
"/6
л/4 ,	f /Р+4
6.403.	J c"sin4xrZx. 6.404. I -—-—dx.
6.405.	Jxlnxc/x. 6.406. f.v arctg xdx.
я/4	я/2
6.407.	J x2cos2.r dx. 6.408. j ex cosxdx.
о	0
6.409.	Показать, что для интеграла
n/2	n/2
I„= J sin"xr/x= f cos''xr/.т, zieN, о	0
верна рекуррентная формула In = -—Z„_2. Вычислить Z7 и Z8.
304
6.410.	1Доказать, что для интеграла
In = ]xne Xdx,
пеН,
верна рекуррентная формула 1п=-----Вычислить 1Л.
§ 5. Несобственные интегралы
1. Ии го ралы с бесконечными пределами. Если функция f(x) непрерывна при а^х< + оо, то по определению
f/(x)<Zx=JimJf(x)dx.	(1)
Если существует конечный предел в правой части формулы (1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел ие существует, то—расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (1) в случае /'(л)>0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямой х=а и осью Ох (асимптотой)	&
Аналогично определяется интеграл f f(x)dx. Далее, по определению
f f(x)dx = f	$f(x)dx,	(2)
где с, — оо<с<+оо,— произвольно, причем интеграл в левой части равенства (2) считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части.
Признаки сходимости и расходимости приведем только для интегралов вида (1).
1)	Если F(x)~ первообразная для f(x) и существует конечный предел lim F(x) = /(+oo), то интеграл (1) сходится и равен
f /•(x)dx=F(+co)-F(«);
если же lim F(x) не существует, то интеграл (1) расходится.
2)	Пусть при а^у<+оо 0</(x)^g(x). Если j g(x)dx сходится, то сходится и f f(x)dx. причем f f(x)dx^ f g(x)dx. Если \f(x)dx расходится, то расходится и f g(x)dx (признаки сравнения).
3)	Если при а^у<+оо /(л)>0, g(x)>0 и существует конечный f(x)	+ а	+"
предел lim -----^0, то интегралы f f(x)dx и f g(x)dx сходятся
305
или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).
4)	Если сходится f | /(х) | dx, то сходится и f f(x)dx (последний
интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
Пример I. Вычислить f е ix dx
<1 Имеем’
f e~ixdx- lim (е ixdx = lim f--e'3x| =
о	3	|0/
4л^(1-е’ЗЬ)4
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида
которые сходятся при а>1 и расходятся при а<1.	*
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл J -~zdx
<i При х-» + оо имеем
хЗ/2
Так как интеграл J расходится (а=1/2<1). то и заданный интеграл также расходится, о
Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):
6.411.	[* .	6412. [ *
J	J х^
+еа
С dx	+”
6.413.	—----------6.414. f е 2xcosxdx.
J х2+6х+И	"
6.415.	f	6.416. f -----dx.
J -v2 + 4	J x2(l+x)
306
6.417.
Г	+"
6.423. j 3	6.424. J е Xdx.
2
Исследовать на сходимосгь интегралы:
2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция f(x) непрерывна при а^х<Ь и hm °/(х)= со, то по определению
}/(х)Л= ШпоТ/(х)Л.
(3)
Если существует конечный предел в правой части формулы (3), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (3) в случае f(x)>0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямой х=а и вертикальной асимптотой х—Ь.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае hm /(.¥)=со.
307
В случае, когда се (а, Ь) — точка разрыва и функция f(X) неограничена в любой окрестности точки с,
f/(x)dx= lin^ f f(x)dx+Jmo f f(x)dx.	(4)
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1.
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида
f dx f dx
расходятся при а > 1 (сравните случае бесконечных пределов ин-
которые сходятся при а<1 и с аналогичными инте1 ралами в тегрирования).
ПримерЗ. Исследовать на
сходимость интеграл
При^’
(эквивалентные бесконечно большие), так как
1пх х— 1	1
lim — ---= lim----— l>m —-= 1.
х~11/(.Х-1) «-НПГ X-11/X
Интеграл Jрасходится как интеграл типа (5) при а=1.
f dx
Следовательно, расходится и —, »
J 1пх
П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл
«а Задача состоит в том, чтобы установить характер поведения подынтегральной функции при х->+0. В числителе при х-> + 0 имеем 2х2 + х/х=х,/2(2х3/2-|-1)~х,/2.
В знаменателе воспользуемся формулой Маклорена для функции tg.x -18х-х = ^х-|-|г3+д(х3)^-х=|х3 + д(х3)~|г3.
Следовательно, при х-»+0
2х2 + х/х х1'2	1
tgx-x ^1!3Х2~
308
Так как интеграл I расхолится. то расходится и заданный
сходимость интегралы:
6.442.
6.444.
6.446.
6.448.
6.450.
6.452.
Исследовать на
Доказать,
6.449. j
6.451.
что при а>0 определяющий гамма-
функцию Г (а) интеграл Эйлера Г(а)= J е х ха 1 dx сходится, о
и установить следующие соотношения:
309
а)	если а = л—целое число, го Г(щ-1) = и!;
б)	Г(а+1) = аГ(а) для любого а>0;
»)♦ r(i)=7S;
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y=j (л) (/’(л)>0), двумя прямыми х = а и х = Ь и осью Ох, или площадь криволинейной трапеции. ограниченной дугой графика функции y=f(x), a^x^b (рис. 49). вычисляется по формуле
S=$f(x)dx.
(1)
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функции y=fi (-г) и У=/г (л), fi(x)^f2(x), и двумя прямыми х = а, х = Ь (рис. 50), определяется по формуле
5=К/2(л)-Л(л))А.
(2)
Простейшие задачи на применение формул (1) и (2) были приведены в § 4 (задачи 6.356—6.363).
Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью хг+у2 = 8 и параболой
с Найдем точки пересечения кривых (рис. 51), решив систему уравнений
Получим точки (2, 2) и (2, —2). Используя симметрию относительно
310
У '
Рис. 51	Рис. 52
оси Ох, найдем искомую площадь 5 как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами параболы y — ^Flx, 0<х<2, и окружности у=,/8—х2, 2<х<х/8:
S=2( j J	=
=20+2л-2-л^=2л+р
Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (1) и (2), ио по переменной у (считая х функцией от у), в частности,
S=i(f2(y)-fi(y))dy	(3)
П р и м е р 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой (у—2) — х— 1, касательной к ней в точке с ординатой у0 = 3 и осью Ох.
<з Форма фигуры (рис. 52) не позволяет непосредственно применить формулы (1) или (2). Однако если рассматривать фигуру относительно оси Оу, то можно применить формулу (3). Итак, пусть у независимая переменная. Уравнение параболы запишем в виде х=у 2 —4у + 5. Найдем уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид. х-х0 = х^(у-у0). Так как х>2(у-2). то х^=х'|г=3=2. Найдя, далее, абсциссу точки касания л0=2, получаем уравнение касательной
л — 2 = 2(у~ 3), или х=2у—4.
Полагая в (3) ft (у) 2у—4, f2(y)=y2~4у + 5, имеем:
S=f ((y2-4>’ + 5)-(2>'-4))rfy = f (у2-6у + 9)ф =
= Н>'-3)2>=|(>-3)Т=9. -о	5 |о
311
Заметим, что применение формул (I) и (2) при решении примера 2 потребовало бы вычисления суммы трех интегралов:
$= j Gx+2)^+j (G%+2)"(2+^rr))‘/x+j
ПримерЗ. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у=1/х2, осью О> и прямой i=l и лежащей правее этой прямой, с Искомая площадь (рис. 53) выражается несобственным интегралом
Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x = x(t), y=y(t), прямыми х=а, х = Ь и осью Ох, то площадь ее вычисляется по формуле
•$=( y(z)x'(z)A=f y(t)dx(t),	(43
где пределы интегрирования находятся из уравнений a = .x(t,), b=x(t2) (y(t)^O на отрезке [zt, z2 ]).
Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от до t2 должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).
Рис. 53
Рис. 54
П р и м е р 4. Найти площадь петли кривой
x=a(t2 — 1), y=b(4l—t3)	(а>0, fe>0).
-а Найдем точки пересечения кривой с координатными осями. Имеем: х=0 при t=±l; у=0 при t=0, 1=±2. Следовательно, получаем следующие точки: (О, ЗА) при Z=l; (0, — 3fe) при /= —1; (—а. 0) при Z=0; (За, 0) при t= ±2. Точка (За, 0) является точкой самопересечения кривой. При 0$z$2 у>0; при —2$Z^0 у<0 (рис. 54).
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:
5=2 f yzZ.x = 2f y(z)x'(z)zZz=2f b(4t—t3}a-2tdt=
=4ab$ (4z2 — ti)dt = 4ab(-t3 — — 'j =^--ab. > о	V 5/|0 15
312
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции г=г(<р) и двумя лучами <р=-а, <р = Р, где <р и г — полярные координаты, или площадь криво «инейного сектора, ограниченного дугой графика ф}нкиии г = г(<р), а<<р<р, вычисляется по формуле
Рис. 55
П р и м е р 5. Найти площадь лунки, ограниченной дугами окружностей r = 2acostp, r=2«sin<p, 0$ф$л/2. а>0.
-с Окружности пепесекаются при <р=я/4, рассматриваемая фигура (рис. 55) симметрична относительно луча <р=л/4. Следовательно, ее площадь можно вычислять так:
-cos 2<р)<7<р==
<р—sm 2<р
6.453.
6.454.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой прямыми х = е, х = е2, у=0.
Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
6.455. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
6.456. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
6.457. Найти площадь фигуры, 27	х2
ограниченной
кривыми
6.458.	Найти площадь фигуры, у2 = 2рх и у2^-(х-р)3 (р>0). Р
6.459.	Найти площадь фигуры, стями х2+у2 = а2, х2+у2 — 2ау=а2
6.460.	Найти площадь фигуры.
«3	Я2Л'
у=—----y=-s------г и осью Оу.
а~ + х2	а2+х2
6.461.	Найти площадь фигуры, _________ _
параболой (х—«)2 = 2р(у—h) и касательной к ней в точке
ограниченной
кривыми
ограниченной и прямой у—а. ограниченной кривыми
окружно-
ограниченной осью Оу,
313
6.462.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у=ех—1, у=е2х — 3, х=0.
6.463.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболой j=3 + 2x—х2 и осью Ох.
6.464.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у=arcsin х и прямыми х=0, y = it/2.
6.465.	Найти площадь верхней лунки, ограниченной окружностями х2+у2 = а2 и г2+у2+2ау = а2.
6.466.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (х-1)(/+2)=2 и х+у = 2.
6.467.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 1пх, касательной к ней в точке х = е и осью Ох
6.468.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x+2), j=21nx, >>=0.
6.469.	Найти площади каждой из двух частей, на которые круг х2+у2^2ах разделен параболой у2 =2ах—а2.
6A1Q. Найти площадь лунки, ограниченной гиперболой х2—у2—а2 и параболой j2=-ax.
6.471.	Найти площадь гиперболического сегмента с высотой h и основанием 2г (действительная полуось гиперболы равна а).
6.472.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой а2у2=—— и ее асимптотой.
2а—х
6.473.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2— у2 —а2, (х2 — а2}ъу2 — аь и осью Ох (х>0).
6.474.	Найти площади каждой из двух частей, на которые круг х2у-у2^2ах разделен гиперболой 4х2 —3j2 = «2.
6.475.	Найти площадь эллиптического сегмента с высотой h и основанием 2г (большая полуось эллипса равна а, основание сегмента параллельно малой оси).
6.476.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми а3	а2х
у = -----г, у = —:-- и осью Ох
а2 + х2 а2 + х2
6.477.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у2=--*—- и ее асимптотами.
а2 — х2
ЬА1Ъ. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x=acos3/, j=asin3/.
6.479.	Найти площадь петли кривой х=-/(3 —/2), y=t2.
6.480.	Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=2(t — sin/), у=2(1—cos/) и осью Ох.
314
6Т481. Найти площадь петли кривой x=a(t2 + 1), y=b(t3—3t).
6.482.	Найти площадь петли кривой x = 2t~i2, y=2t2—t3.
6.483.	Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=a(l +sin<p).
6.484.	Найти площадь одного лепестка кривой r=<7sm2cp.
6.485.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=«sin 5<р.
6.486.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r = fltg<psec<p, г = 2а cos <р и полярной осью.
6.487.	Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти* ограниченной кривыми r=«tg<p, г=—— и полярной COStp осью.
6.488.	Найти площадь фигуры, ограниченной двумя последовательными витками логарифмической спирали г=еф, начиная с <р = 0.
6.489.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r2 = 2cos2q>, г=1 (г>1).
6.490.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = «cos 3<р.
6.491.	Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли r2-o2sin2<p.
6.492.	Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью r=x/3sm<p и кардиоидой г=1— costp (вне кардиоиды).
2.	Длина дуги кривой. Рели гладкая кривая задана уравнением y=f(x), то длина / ее дуги равна
Нз/НТР*-
гле а и b — абсциссы концов дуги.
Если же кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t)	то
/=р(х;)2+(>;)2*.
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(/), y=v(r), z=z(z),	t2:
i-i v«)2+(>;)2+(z;)2’^
Если задано полярное уравнение гладкой кривой г=г(ф), а<ф<р. то
/=jV^F)W
315
Примерб. Найти длину дуги полукубической параболы у2=х’ от начала координат до точки (4, 8).
-л Имеем:

Пример? Найти длину астроиды х=a cos1t, у = a sin 31
-а Имеем:
лд= — 3acos2 rsint, у ; = За sin2 tcost,
>а 2 cos4t sin21+9a2 sin** I cos 21 dt =
sin 2 / sinrcosfr/z=3a ——I
откуда l=ba. c=-
Примере. Найти длину кардиоиды r=«(l—coscp) (д>0).
-=з Имеем-
r'=asinrp.
cos <p)2 4- a2 sin2 ф dtp =
f ,/2(1—cosip)d<p = 2af sin^d<p=4a,
откуда /= 8п. с»
6.493.	Найти длину дуги параболы у=х2 от х=0 до х=1.
6.494.	Найти длину дуги кривой р=|(3 — х)^/х между точками ее пересечения с осью Ох.
6.495.	Найти длину дуги полукубической параболы у2=-~- (х—р)2. лежашей внутри параболы у2 = 2рх
27р
6.496.	Найти длину дуги кривой у —a In (nt2— х2) (а> 1). лежащей выше оси Ох.
6.497.	Найти длину замкнутой кривой 8а2у2=х2(а2— х2).
6.498*	. Найти периметр лунки, образованной окружностями: х2+у2 = 2ах и х2+у2 = 2Ьу [а>Ь>0).
6.499.	Найти длину дуги цепной линии j’ = -ch2x от
х = 0 до х=3.
316
6.500.	Найти длину дуги кривой у=~ In sin or х =1,2
10 х=3/2.
I 6.501. Найти длину дуги полукубической параболы Р = -(х— р)3, отсекаемой прямой х=2р (р>0).
6.502.	Найти длину дуги кривой х=а(3 cos z—cos3z), Jy=n(3 sinz—sin3z) от z = 0 до z=^ (н>0).
6.503.	Найти длину дуги кривой x = e'cosz, y=z'sinz от .1 = 0 до z=l.
6.504.	Найти длину петли кривой x=z2, j> = z^|—z2^. z6	z4
6.505.	Найти длину дуги кривой х=—, У=2 —— между точками ее пересечения с осями координат.
6.506.	Найти длину пегли кривой x = a(t2 + l), у~а- (z3 — 3z) (п>0).
6.507.	На циклоиде x=a(t — sinz), y=n(l-cosz) найти точку, которая делит длину первой арки циклоиды в отношении 1:3, считая от начала координат (д>0).
6.508.	Найти длину дуги логарифмической спирали r=eav, находящейся внутри окружности г-1 (а>0).
6.509.	Найти длину дуги кардиоиды г = 2(1 — cosip), находящейся внутри окружности г=1.
6.510*	. Найти длину всей кривой r = acos3|’ (о>0).
6.511.	Найти длину дуги спирали Архимеда »=5<р, находящейся внутри окружности г— Юл.
6.512.	Найти длину всей кривой r = nsin4^ (а>0).
Найти длины дуг пространственных кривых:
6.513.	x=ai2, y = a^z-i-| z3^, z=a^z—|z3^ от z = 0 до z=y3 (u>0).
6.514.	x=e‘cosz, y = e‘sinz, z=e‘ между плоскостями ~=0 и z = a (а>0).
6.515.	х2 = 4у, 9z2=16xy между плоскостями х=0 и .х = 4.
6.516.	x=ciyjt cosz, у-a J~t sinz, z=at от z=0 до произвольного z>0 (п>0).
317
6.517.	х = t—sin t, у = 1 — cos t, z—4 cos - между двумя
точками пересечения кривой с плоскостью Oxz.
3.	Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией у=/(л), а^х^Ь, вычисляется по формуле
2х=2л|/(х)71-(Л(х))24х.
Если дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t\ то
ех=2л Ь(п 7(х'М)2+(у'(о)2л.
Если дуга задана в полярных координатах г = г(<р), сгХф^Р. то
Сх = 2л J г sin <р x/rT+(r')2 dtp.
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь поверхности вращения выражается интегралом
2 = 2л f Rdl,
где R— расстояние от точки на кривой до оси вращения, di дифференциал дуги, А и В—пределы интегрирования, соответствующие концам дуги При этом R и di должны быть выражены через переменную интегрирования.
П р и м е р 9. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 + г 2/3 = а 2/3 вокруг оси Ох
-а Имеем.
у=(д2/3—х2/3)3/2,
/=| (й2/3 _х2/3)1/2 (_|
I а2/3—х2/3	а1'3
71+‘ Х2/3 =!?'г
Следовательно,
ех=2 -2л|(«2'3-х2'3)3'2-— 4х=4лд1/3 J(c2/3—х2/3)3/2х-1/3«/х=
3 (д2'3-х2'3)5'2 “ 12	,
= -4ло1/3----------------- =у па2. о
ПримерЮ. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a{t—sinr), y=a(l— cos г) вокруг оси Ох.
318
Имеем:
x;=o(l-cos z),
y't=a sinZ,
v/(a;)2+(j’I)2=V4,2(1~cos/)2+o2 sin2? = ° x/2(l—cosz)=2asin -
Qx=2n Jc(l-cosz)-2asm | dt-
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r=2a(l+cos<p) вокруг полярной оси. «а Имеем:
rf— — 2а sin <р.
Jг2+(г')2 = y/ia1 (\ +cos<p)2+4c2 sin2q> = 4c cos j, и, далее,
f	Ф
Qx=2n 2tf(l+cos<p)sin<p-4tfcos-d<p= о
, f л Ф Ф 128 ,
= 64no	cos — sin — dv> — -~ na . t>
6.518.	Найти площадь поверхности (называемой катеноидом), образованной вращением дуги цепной линии у=- ch2x, 0sgxsg3, вокруг оси Ох.
6.519.	Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса 4х2+у2=4 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
6.520.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой _у = |х3 от х=— 1 до х— 1.
319
6.521.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой у=~у/х(х—12) между точками ее пересечения с осью Ох.
6.522.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу дуги полукубической параболы 9ау2=4х3, отсекаемой прямой х — а.
6.523.	Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9ау2 = х(3а —х)2 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
6.524.	Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой у=е~х12, 0^х<+сс, вокруг оси Ох.
6.525.	Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х — а(3 cos/—cos3f). у = а (3 sin/ —sin 3/), ()<-/< л/2, вокруг: а) оси Ох; б) оси Oj.
6.526.	Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = п(/2 + 1). у=~(3 — I2) вокруг оси Ол.
6.527.	Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sint), v=a(l — cos/) вокруг ее оси симметрии.
6.528.	Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги эвольвенты окружности x—a(t sin/4-cos/). y=a(sin/— tcosf), (ЮО, вокруг оси Ox.
6.529.	Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности г = 2а sin ф вокруг полярной оси.
6.530.	Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r = «(l+cos<p) вокруг касательной в ее вершине (2 а, 0).
6.531.	Доказать, что площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты г2 = а2 sin 2ф вокруг полярной оси. равна площади поверхности сферы радиуса а.
6.532.	Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой r=asec2^,	вокруг полярной оси.
4.	Объем тела. Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является непрерывной функцией на отрезке [а, b ], то объем тела вычисляется по формуле
E=fS(x)rfx.	(6)
Пример 12. Найти объем тела, основание которого—круг радиуса а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высоты h.
320
Выберем систему координат так, чтобы плоскость Оху совпадала с плоско-сГЬю круга, начало координат—с его центром, а ось Ох содержала фиксированный диаметр (рис. 56). Получим уравнение окружности в виде
х2+у2=а2.
Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть равнобедренный треугольник с основанием 2у=2 у/а2 — х2
S(х)Ц - 2 х/а2~х2 h—h х/аг — х2
Выражение для функции S(x) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=Цх), а^х<Ь, вращается вокруг оси Ох или осп Оу, то объемы тел вращения вычисляются соответственно по формулам:
Vx=n}/2(x)dx,	(7)
r, = 2Kfx|/(x)|rf.T, й>0.	(8)
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой т=т(<р) и лучами ф = «, ф = Р- вращается вокруг полярной оси. то объем тела вращения равен
sin <р dtp.
Вычисление объемов тел значительно проще производится с помощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только простейшими задачами
Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у—^/2рх и у= =—— (х—р)3'2. вращается .вокруг оси Ох Найти объем тела вращения.
«а Найдем точки пересечения кривых-
yfZpx——— (х—р)3/2, или 2р2х=4(х— р)3; х’Р
очевидно, уравнению удовлетворяет значение х = 2р, и тогда у=2р. 11 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, ч. 1	321
Рис. 57
Используя формулу
2p
т. е. имеем точку пересечения (2р. 2р), рис. 57. Искомый объем есть разность двух объемов: объема полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой
у=^[2рх (0<х<2/>),
и объема Р2, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной полукуби-2
ческой параболой у=—^	Р^12 (Р^х^2р)
(7), получаем:
2р	2р	2р
ИХ=Р\ — 1/2 = л j yjdx—it Jyldx=n-2p Jxdx—л-- J (x—p)3dx=
x2l2p 4л (х-р)л l2₽
= 2лр-—-----------— =4лр3-лр3 = Злр3. о
z Io P 4 Io
Пример 14. Фигура, ограниченная кривой x=«cosr, y = csin2/ (0</<л/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения.
Очевидно, что	и 0<у=Сй, а также что у = 0 при Г=0
и при Г=л/2, т. е. рассматриваемая фигура является криволинейной трапецией. Далее, при / = 0 х = а, при г = л/2 х = 0. Следовательно, искомый объем выражается формулой (8). Имеем:
Иу=2л j x(t)y(t)dx = 2n J ccos/ csm2/(-asint)dt=
x/2	„/2
=nc3 Jsin22/dr=^- J(l~cos4t)rfr=^-o	о

Пример 15. Кардиоида r=c(l— cosrp) вращается вокруг полярной оси Найти объем тела вращения.
2 f	„	2	, (l-cosrp)41" 8	,
И=-л с3(1 — cos<p)3 smip d<p=- па3 --------------— =-лс3.
3 J	3	4	|0 3
6.533,	Найти объем тела, основание которого — область плоскости Оху, ограниченная астроидой x=acos3t, y = asin3t, а сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрат.
6.534.	Найти объем клина, отсеченного от прямого кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом а к плоское ги основания. 322
6.535.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у=х2 и 2х+2у 3 = 0.
6.536.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = е~2х— 1, 1, х=0.
6.537.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у=х, y=x + sin2x
6.538.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = '^+2х+2 и у=2.
6.539.	Найти объем тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2а и высотой h вокруг высоты
6.540.	Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривой x = at2, y — a\nt (a>G) и осями координат, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу
6.541.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x = acost, y — asin2t и осью Ох (0<х<а).
6.542.	Найти объем тела, образованного вращением астроиды x = acos3Z, у = a sin31 вокруг прямой х = а.
6.543.	Найти	объем	тела,	образованного	вращением
кривой r = osin2<p вокруг полярной оси
6.544.	Найти	объем	тела,	образованного	вращением
лемнискаты r2 = a2cos2(p вокруг полярной оси.
6.545*	. Найти объем тела, образованного вращением _	„	sin.г
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у=------------
и осью Ох.
§ 7. Приложения определенного интеграла
к решению некоторых задач механики н физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением у=/(х),	и имеет плотность1) р —р(.г),
то статические моменты этой дуги Мх и Му относительно координатных осей Ох и Оу равны
Afx = f Р(х) f(x) ^l+(f'(x))2 dx,
му = f Р W х yi + f/'fx))2 dx,
’) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и р=1.
323
моменты инерции 1Х и Д относительно тех же осей Ох и (Jj вычисляются по формулам
4=f р(л)х2 V«+(/'W)2^
а координаты центра масс х и у— по формулам jpWx v “iww dX,
м 1 f ,
где I—масса дуги, т. e.
/=fp(x)Vl+(/'(x))2dx.
sh 2),
Пример]. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей О л и Оу дуги цепной линии y=chx при
=shl—2 j xe/(chx)=shl—2
П р и м е р 2. Найти координаты центра масс дуги окружности № a cos f, >=asinf, расположенной в первой четверти.
<□ Имеем: {=-Л—, О^Г^-, xj= — osint, >; = ocosr,
о2 sin* t + a2 cos2
324
Отсюда получаем:
МЛ = о2 f cost Л = о2 sint	= «2,
о	|о
п.2	|я/2
Му=а2 f sint dt- — a2 cos/ = о2,
Му	а2	2а _ а2 2а
I ли,2 л ’ ло/2 л
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги ни длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
<□ Вследствие симметрии х = 0. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 4ли2, а длина полуокружности равна ла. По теореме Гульдена имеем
4ло2 = ло 2лр.
„	2а	f 2а\
Отсюда _) =—. т. е. центр масс С имеет координаты С( 0. —]. t> ТГ	\ л)
6.546.	Найти статический момент синусоиды j=sinjc (0<х<л) относительно оси Ох.
6.547.	Найги статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой у = ех (OsC.x^l).
6.548.	Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды x=a(t—sint), у=а(1 —cos t).
6.549.	Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.
6.550.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу всей дуги окружности г = 2 a coscp, лежащей выше полярной оси.
6.551.	Найти центр масс дуги цепной линии y=ach-(QMa).
6.552.	Найти центр масс всей дуги астроиды x=acos3t. у--a sin3/, расположенной выше оси Ох.
6.553.	Найти декартовы координаты центра масс дуги кардиоиды r = a(H-costp) (О^ср^л).
6.554.	Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр масс ду1и астроиды x = ucos3t, y = asin3t. лежащей в первой четверти.
2.	Физические задачи. Некоторые применения определенною интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
325
П ри м ер 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=2t+3t2 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
<□ Так как путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени [сь t2 ], выражается интегралом
то имеем:
S=f(2?+3t2)cZf = (t2 + t3)| =150 (м). i>
Пр и м е р 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой А, на высоту Л? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
«а Работа переменной силы /(х). действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, b ], выражается интегралом
A=jf(x)dx.
Согласно закону всемирного тяготения сила F, действующая на тело массы т, равна
F=k”^-,
где М—масса Земли, г—расстояние массы т от центра Земли. к —гравитационная постоянная. Так как на поверхности Земли, т. е
при г=Л, имеем F=mg, то можем записать mg=k Отсюда
находим kM=gR2. а потому
Следовательно, искомая работа равна
Отсюда при й -> + со имеем
fclim A=mgR. i>
П р и м е р 6. Вычислить кинетическую энергию однородного кругового конуса, вращающеюся с угловой скоростью со вокруг своей оси, если заданы радиус основания конуса R, высота Н и плот-
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью со, равна - /со2, где I—момент инерции тела относительно оси вращения. За элементарную массу dm примем
326
Рис. 58
Рис 59
массу полого цилиндра высоты h с внутренним радиусом г и толщиной стенок dr (рис. 58). Тогда dm = 2nrhydr (0^r^.R). Из подобия треугольников OCD и ОАВ имеем
Следовательно,
drn — 2nyll^\ — —rdr.
и элементарный момент инерции di равен
dl= dm • г 2 = 2луН ^1	г 3 dr.
Таким образом, момент инерции всего конуса есть
и кинетическая энергия конуса равна

Пример?. С какой силой жидкость плотности у давит на вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой Л, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверхности?
i> Согласно закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности у давит на плошадку S при глубине погружения II. равна
P=ygHS.
Вводя систему координат, показанную на рис. 59, рассмотрим элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине х и имеющую основание b и высоту dx. Из подобия треугольников С АВ и CDE имеем

327
следовательно,
dS^bdx=-(h—x)dx. dP~ygx dS~-^— (h- x)dx. h	h
Таким образом, сила давления жидкости на всю пластину равна
6.555.	Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью t’o, без учета сопротивления воздуха равна v = v0 — gt, где 1—протекшее время, g—ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимается тело?
6.556.	Точка оси Ох совершает гармонические колебания около начала координат со скоростью r=r0cos(co/+(p), где t—время, г0, со, (р- постоянные. Найти закон колебания точки и среднее значение абсолютной величины скорости за период колебаний.
6.557.	Два тела движутся по одной и той же прямой: первое со скоростью 1>! = 3?2— 4i (м/с), второе со скоростью i'2 = 4(z + 3) (м/с). Если в начальный момент они были вместе, то в какой момент и на каком расстоянии от начала движения они опять будут вместе?
6.558.	Скорость движения точки i=0,l/eOO2f (м/cY Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки (t>(/2) = 0).
6.559*	. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину па 5 см, если сила в 1 Н растягивает ее на 1 см?
6.560.	Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом основания R и высотой Н. Плотность песка у.
6.561.	Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности у из котла, имеющего форму параболоида вращения, обращенного вершиной вверх. Радиус основания R, высота Н.
6.562.	Вычислить работу, которую надо затратить при постройке пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды Н, сторона основания а, плотность материала у.
6.653.	Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности у из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вверх. Радиус основания R, высота Н.
6.564.	Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности у из цистерны, ограниченней поверхностями: y2 = 2pz, х= ±а, z—p (р>0).
328
6.565*	. Электрический заряд е0, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (/>, 0). Определить работу ,4 силы отталкивания F Чему равна работа при удалении заряда е в бесконечность?
6.566*	. Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром объема Ио = 0,2м3 с упругостью р0= IO33O Н/м2. Какую работу надо затратить, чтобы при постоянной температуре (изотермический процесс) объем пара уменьшить в 2 раза?
6.567*	. Определить работу, произведенную при адиабатическом сжатии воздуха, имеющего начальные объем К0 = 8м3 и давление ро=10000 Н/м2 до объема Г| = 2м3.
6.568.	Найти кинетическую анергию однородною шара радиуса R и плотности у, вращающегося с угловой скоростью со вокруг своего диаметра.
6.569.	Найти кинетическую энергию пластинки, имеющей форму параболического сегмента и вращающейся вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью со Основание сегмента о, высота й, толщина пластинки d. плотность материала у.
6.570.	Найти кинетическую энергию треугольной пластинки, вращающейся вокруг основания с угловой скоростью от Основание пластинки о, высота й, толщина /, плотность у.
6.571.	Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности у с радиусом основания R и высотой Н, вращающегося с угловой скоростью со вокруг своей оси.
6.572.	С какой силой жидкость плотности у давит на вертикальную треугольную пластинку с основанием а и высотой й, погруженную в нее так, что вершина находится па поверхности, а основание параллельно поверхности?
6.573.	Конец трубы, погруженной в жидкость плотности у, закрыт круглой заслонкой. Определить силу давления на заслонку, если ее радиус R, а центр находится на глубине Н.
6.574.	Найти силу, с которой жидкость плотности у давит на вертикальную стенку, имеющую форму полузллипса, большая ось которого находится на поверхности жидкости. Большая полуось эллипса а, малая Ь.
6.575.	Найти силу давления жидкости плотности у, заполняющей круговой цилиндр, на боковые стенки цилиндра, если радиус основания R, высота //.
6.576.	Найти массу стержня длины /=5м, если линейная плотность стержня меняется по закону у=14-0,1х3 (кг/м), где х—расстояние от одного из концов стержня.
6.577*	. Найти количество тепла, выделяемое переменным током 7=70cosoH в течение периода 2л/ю в проводнике с сопротивлением R.
329
6.578*	. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания 5=100 см2 и высотой /7=20 см, вытечет через отверстие на дне площадью 50 = 1 см2?
6.579*	*. При установившемся ламинарном (струйном) течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения v в точке, находящейся на расстоянии г от
оси трубы, дается формулой г= — (а2 — г2), р -разность 4р/
давлений жидкости на концах трубы, ц—вязкость жидкости, I—длина трубы. Определить расход жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы
в единицу времени.
6.580*	. С какой силой полукольцо радиуса R и массы М притягивает материальную точку т. находящуюся в его центре?
6.581.	За какое время вода вытечет из конической воронки, имеющей высоту Н = 50 см, радиус верхнего основания /? = 5см, радиус нижнего основания г=0,2 см?
6.582.	Определить расход жидкости через водослив прямоугольного сечения. Высота водослива h, ширина а, вязкость
жидкости ц
§	8. Численное интегрирование функций одной переменной
Численное интегрирование состоит в нахождении интеграла \f(x)dx от непрерывной функции f(x) по квадратурной формуле
\f{x)dxK
где коэффициенты апк— действительные числа и узлы хк принадлежат [я, h], k=\, 2, ..., п. Вид суммы .$'„(/) = £ a„kf(xk) определяет метод численного интегрирования, а разность 7?„(/) = f/(x)<A —.$’„(/) погрешность метода.
Для метода прямоугольников
£ f(xk),	(1)
Л=----- (шаг разбиения), х0 = а—xk=xk_,+h (k=l, 2, ..., и).
и	2
330
Для метода трапеций
£/(,.)).	<2,
h—a
h=-----, х0 = а, xk=xk^l+h (fc=l, п).
Для метода Симпсона
^f(a)+f(h)+4 if(x2k^) + 2^f(x2^,	(3)
b—и
хо = а, xk = xk_k+h	(fc=l, 2, ..., 2n).
Правые части формул прямоугольников (1), трапеций (2) и Симпсона (3) яаляются интегральными суммами и при Л->0 стремятся к данному интегралу Однако при фиксированном Л каждая из них отличается ог соответствующего интеграла на величину R„(f) По заданной предельной абсолютной погрешности е>0 подбирается параметр п, или, что то же самое, шаг h, при котором выполняется неравенство
1К(/)1<е
Величины R„(f) (в предположении существования входящих в них производных) характеризуются равенствами
R„(f) =	£е[°, Для метода прямоугольников,
Л„(/) =	£,e[<rz, /? ], для метода трапеций,
/?„(/) =—j^y/<IV)(^)/i4,	для метода Симпсона.
Пример 1. Найти 1п2 с точностью до 10 4 из соотношения * dx
In 2= j —. вычислив интеграл методом Симпсона.
°5 Х	1 Г1 1
<1 Для подынтегральной функции _/(*)= ~ на отрезке -, 1 , имеем
/'Iv>(x)=^, откуда |/,lv,(x)| <24-25. Учитывая, что а= Ь=1, /; =—, получаем
4п
1«п(/)1<—'—24 25f—) , или |Л„1/)|<—J—.
2180	\4п /	"Ш1 120н4
Для достижения заданной точности необходимо выполнение неравенства
1	,п-4	4	103
----т < 10	• или п >	, 120л4	12
что будет иметь место при и4 >100. Поэтому следует выбрать и = 4. Найдя h = — =0,0625, мы заведомо сможем вычислить значения функции с точностью до 10'4. Получим таблицу'):
хо = 0,5 X) =0,5625 *2 = 0.6^50 х3 = 0,6875 *4 = 0.7500 х5 = 0.8125 х6 = 0,8750 *7 = 0,9375 *8=1	/•(*о)=2 /(*>)= 1	/(*,)= 1,7777777 /(*3)= 1,4545454 /(х5)= 1,2307692 /(*7)= 1,0666666	Л*2)=1.6 /(х4)= 1,3333333 /(*4=1,1428571
	а, =3	ст2 = 5,5297589	гт3 = 4,0761904
Подсчитав сумму
0 = 0) +4о2+2о3 = 33,271415
и -=0.0208333, по формуле Симпсона (3) получаем результат:
1п2 = 0.6931.
Другой способ оценки погрешности метода численного интегрирования состоит в том, что используется асимптотическое равенство
(/)= 4 о(„ а	Л
где
nv+1=Xnv (Х>1), v=1,2, 3, ..., и т=2 для методов прямоугольников и трапеций, ш = 4 для метода Симпсона. Вычисления по формулам для нахождения суммы Sn(f) производятся при и = Д), п2, п3, .... до тех пор, пока не будет выполнено соотношение
|\,.(/)-М/~)1 <с	(4.
V-1
Указанный способ называется правилом Рунге. Критерием его применимости является соотношение
|5„	Д/-)Г
Число Х>1 выбирается любым, однако предпочтительно равным 2 или 3.
Пример 2. Вычислить методом трапеций с точностью до 10'4 интеграл
') См. сноску на с. 253.
332
Выберем /7, = 10. /<2 = 20 и вычислим значения подынтегральной функции У(х)=— - з соответственно в узлах х[1, = х0+к/тх = — (1=1, 2, .... 10) и Д2’ = л0 + 1/г2=^ (1 = 1, 2,	20) (см. табл. 6.1).
Таблица 6.1
H*’=o	Л4’>1	Д2’=о х<2)=0,05	/(x(!29 = 0,9999376
х(1>=0,1	/(Д’) = 0,9995004	х?>=0,1	
		Д2’=0,15	/(х ^2’) = 0,9983168
х(2*’ = 0,2	/(xV’)=0,9960238	Д2' = 0,2	
		х?>=0,25	/(Д’) = 0,9922778
х(,” = 0.3	Дх'/9 = 0,9867674	х<<?' = 0,3	
		х'72’ = 0,35	/(х<72’) = 0,9792281
xV»=0.4	/(.Д 9 = 0.9694584	х£> = 0.4	
		Д’= 0,45	/(х(>2')=0,9573324
.4»=0.5	Дх'5’’) = 0,9428091	х'й=0.5	
		xff=0,55	Дх,й9 = 0,9259358
4”=o,6	/(x^’) = 0.9068453	х'й=0,6	
		хй = 0,65	/(хй) = 0.8857451
х^*’=0,7	Дх(7”)=0.8629030	Д2=0.7	
		х<й=0,75	Дх'125’) = 0,8386278
х$>=№	/(х<81’) = 0,8132501		
		x'Z^O.85	/(xV9) = 0.7871027
Хо’ = 0.9	/(Д’9 = 0.7605057	х<й = 0,9	
		xfiJ=0.95	Дх'й) = 0,7337535
х'А}=1	Дг<11„9=0,7071068	хй=1	
	ст, =9,0916166		ст2= 9,0982576
Сначала находим сумму .$„=<7!-Л, =0,9091616, где ст! —	°-	+ £ Дх"’) и Й!=—. Применяя снова формулу
трапеций (2), найдем
= (ст L + ст2) h2 = 0,9094937,
1 ’°'
где h2 =— и <т2 = £/(х->2’-1). Из соотношений x^' = x{2i, к=0,
1, ..., 10, видно, что для нахождения .$„ нет необходимости заново вычислять каждое из 21 значений функции, а к найденным ранее значениям, вошедшим в сумму сть следует добавить 10 новых значений, образующих сумму гт2. Полагая в левой части неравенства (4) 1=2, т — 2, учитывая значения .$„ и S„z, получаем
-!= 0,0001106.
333
Поэтому с точностью до 10 4 имеем
= 0,9094.
Пример 3. Составить на фортране программу вычисления
* dx
нтеграль-
<1 Задание для ЭВМ целесообразно составить в виде трех программных единиц: основной программы, подпрограммы-функции, вычисляющей значения подынтегральной функции, и подпрограммы-функции, которая осуществляет вычисление интеграла методом прямоугольников.
Основная программа:
EXTERNAL F
S = RECT (O.,1.,F,2O)
WRITE (3, 1) S
1 FORMAT (' ИНТЕГРАЛ = ' F6 4) STOP END
Подпрограмма-функция для вг ной функции:
FUNCTION F(X)
F= l./SQRT(l.+X**3) RETURN END
Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла методом прямоугольников:
FUNCTION REST(A,B,F,N)
Н = (В—A)/N
RECT = 0
Х = А —Н/2
DO 1 1=1,N
1 RECT = RECT + F(X)
RECT = RECT*H
RETURN
END	t=-
B задачах 6.583—6.606 вычислить указанные определенные интегралы с точностью до 10“4 одним из следующих методов: а) методом прямоугольников, б) методом трапеций, в) методом Симпсона.
6.583. f
J у/5-4-4х
334
6.587.
6.589. f J\+x5dx.
0,5
6.597. fe^dx.
6.599. f'^U.
J 1+л2
6.601.
о y/x
6.603. f x/ sin x sin - dx.
J v	Э
o	z
0,6
6.605.
0,4
6.588. jyi+Pdx.
6.590. f-=^-
J Jl+x*.
6.592. jy=7-
6.594. jxln(l+x)Jx.
6.596. fex3dx. о
6.598. j£.
2
3,1416
6.600. f ln(5 + 4cosx)dx.
6.602.	J ^/xcosxdx. о
6.604.
6.606.
В задачах 6.607—6.613 составить на фортране подпрограммы для вычисления определенных интегралов, применив указанные методы и выбрав названные параметры, обозначив через А, В и F соответственно начало отрезка интегрирования, его конец и идентификатор подпрограммы-функции, вычисляющей значения подынтегральной функции
6.607.	Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла методом прямоугольников, параметры: А, В, F,
335
N, где N—-число отрезков, на которые разбивается исходный отрезок [А, В ].
6.608.	Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла методом трапеций, параметры: А, В, F, N.
6.609.	Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла методом трапеций, параметры. А, В, F, EPS, где EPS — предельная абсолютная погрешность.
6.610.	Подпрограмма-функция вычисления определенного ил (страна методом Симпсона, параметры: А, В, F, N.
6.611.	Составить на фортране подпрограммы-функции для вычисления значений подынтегральных функций в задачах 6.583—6.606.
6.612.	Составить на фортране программу решения задач 6.583 b 606, используя подпрограммы, полученные при решении задач- а) 6.608 и 6.611; б)* 6.607 и 6.611; в) 6.610 и 6.611
6.613*	. Составить на фортране программу решения задач 6.583 6 606, используя подпрограммы, полученные при решении задач 6.609 и 6.611.
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1. Понятия функции нескольких переменных. Всякий упорядоченный набор из п действительных чисел хь...,л„ обозначается (%!, или />(х1,...,х„) и называется точкой «-мерного арифметического пространства R", числа	называются координатами точки
Р —Р\хх,,). Расстояние между точками Р(хь и Р‘(х\, ...,х'„) определяется формулой

Пусть BcR"—произвольное множество точек п-мерного арифметического пространства Если каждой точке Р(х1гv,Je£> поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число f(P)=f{xi,...,x„), то говорят, что на множестве D задана чиповая функция f-. R"->R от п переменных хь Множество D ьазывае1ся областью определения, а множество £= {ие R|z.=/(P), PeD} областью значений функции u=f(P).
В частном случае и = 2 функция двух переменных z—f(x, р) может рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном геометрическом пространстве с фиксированной системой координат Oxyz. Графиком этой функции называется множество точек	у {
Функция определена при
Следовательно, —	при х>0
и	— х при х<0. Область определения функции изображена
на рис. 60 (содержит границы, за исключением начала координат), с»
337
<1 Имеем:
ЛЗ, -2)=:
7.1.	Выразить площадь S треугольника как функцию длин двух его сторон х и у, если его периметр равен 2р. Найти область определения этой функции.
7.2.	Выразить объем V кругового конуса как функцию площади S его боковой поверхности и длины / образующей. Найти область определения этой функции.
7.3.	Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию длин ее сторон, если х и у—длины оснований, z—длина боковой стороны. Найти область определения этой функции.
Найти области определения
(А = const):
2=х/Л2^=
функций двух переменных
7.4.
— R2.
= x/log0(x2+y2).
7.14. z = arccos——.
7.16. z = arcsin	+ arcsin (1 — y).
2-R2'

Найти области определения функций трех переменных: 7.19. и = Jx2+y2 + z2-R2 (R = const).
7.20.
w=arcs
н=1п(1—;
338
Найти области определения функций п переменных:
7.22.	и=у/1-х21+у/1-х^ + ...+у/1-х2.
7.23.	и=
У О1 02 О„
7.24.	Дана функция Дх, = Найти /(2, 1), /(1,2), /(3, 2), Да, а), Да, -а).
7.25.	Дана функция Дх, у)- ^Ху Найти /(—3, 4)
7.26.	Найти f(x), если	(х>0).
7.27.	Пусть г = х+у+Дх—у). Найти функции f и z, если z=x2 при у=0.
7.28*	*. Найти Дх, у), если f(x+y,y^ = x2-у2.
7.29.	Даны функции: Дх, у)-х2+у2, <р(х, у)=х2—у2. Найти: а) /(ф(х,у), у2); б) ср(Дх,у), ф(х, у)).
7.30.	Даны функции: ф(х. y) = excosy. ф(х. y)=exsiny. Доказать:
а)	ф2(х, й-ф2(х, у) = ф(2х, 2у);
б)	2ф(х, у)ф(х, у) = ф(2х, 2у).
7.31.	Даны функции: Дх, у) — х2— у2, <p(x) = cosx, ф(х) = = sinx. Найти: а) /(ф(х). ф(х)): б) ф(/(х. у)).
2.	Предел и непрерывность функции. Число А называется пределом функции и=ДР) при стремлении точки Р(х1; х2,...,х„) к точке Р0(аг, а2,...,а^, если для любого е>0 существует такое 8>0, что из условия
О<р(Р, Ро) = ^(х1-а1)2+ +(хп-о„)2<8
следует
|/(хь х2,...,х„)-Л|<е.
При этом пишут:
А = йгп/(Р)= lim /(х1( х2,...,х„).
Пример 3. Выяснить, имеет ли функция х-»0, у-»0?
предел при
339
с Пусть точка Р(х, у) стремится к точке /ДО. 0). Рассмотрим изменение х и у вдоль прямой у = кх. Получаем
Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного к, и поэтому функция предела не имеет, е»
Функция u=f(P} называется непрерывной в точке Ро, если выполнены следующие три условия:
1)	функция f(P) определена в точке Ро:
2)	существует lim f(p);
3)	plirn ДР)=/-(РоГ
Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если в точке Ро хотя бы одно из условий 1)	3) нарушено, то Ро называется точкой разрыва функции
ДР). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т д.
Пример 4. Найти точки разрыва функции
с Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому она имеет поверхность разрыва — плоскость 2х + 3у—z+4 = 0. е»
Найти пределы:
7.32.	lim---7.33.	lim^^.
х-оЗ-^Уу + 9	х-о ху
7.34.	hm 8'П*\	7.35.	lim (1+x2-f-y2)iT+yi.
Y — О У	Y—O
у—О	у—О
7.36.	lim (x2+j'2)sin~z~j—
7.37.	Показать, что при х-»0 и у-»0 функция z= —— может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого приближения точки (х, у) к точке (0, 0), при котором limz = 3. limz = 2. limz=l, limz=—2.
7.38.	Показать, что для функции fix, г)=— — не суще-
	' х+у
ствует lim f(x, у), вычислив повторные пределы
lim / lim/(x, у)\ lim f lim Дх, у)
x-ОУ т—О	I	г—01 х—0
340
к 7.39. Показать, что для функции f(x, у)= —2	----—
Существуют и равны между собой повторные пределы
М( • >’)-
тем не менее lim f(x, у) не существует.
х—о г—о
7.40. Выяснить, имеет ли функция sinln(x4+y2) предел при х-»0, у-»0?
№ 7.41. Выяснить, имеет ли функция	предел при
В 7.42*. Показать, что функция
{-т—Ц, если x2+y2jtQ, Х+У
0, если х=у = 0
в точке (0,0) непрерывна вдоль каждого луча x = Zcosa, у— t sin a (0</<+a), проходящего через эту точку, т. е.
lim/bcosa. rsina) = f(0, 0). однако эта функция не является t— o’
непрерывной в точке (0, 0).
7.43. Показать, что в точке (0, 0) следующие функции непрерывны по каждой из переменных х и у, но разрывны по совокупности переменных:
{ху	,	,
—----—-, если X1 +_у 2 # 0,
(x2+y2Y
0, если jc=j’ = O;
{-. —л-?, если х2+у2#0, (х+у)’
0. если х=у = 0.
Найти точки разрыва функций двух переменных:
7.44. z = --. 7.45. z = —-г '
(х—1)2 + (у+1)2	sin2Ttx + sin2ny
'	7.46.z=-----!---.	7.47. z = ln(l—х2—у2).
smxsmy
341
7.48. z=-.---
(v+y)(y2-x)
7.49.
Z (x2+>2-l)(x2-y2-l)’
Найти точки разрыва функций трех переменных:
3. Частные производные. Пусть (лу, лу, х„) —произвольная фиксированная точка из области определения функции и = /(хт, х„) Придавая значению переменной хк (Л= 1, 2, и) приращение Дх4, рассмотрим предел
Нт /(*!>	+	х„)- f(xt, Xt, х„)
&хк^0	Дл1
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной функции по переменной хк в точке (ху, х„) и обозначается — или /ijxi, х„)
Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме хк, рассматриваются как постоянные).
Пример 5. Найти частные производные функции
z=arctg~-
«а Считая у постоянной, получим
dz дх
Считая х постоянной, получим
-СГ
dz
Функция и=/(ху, х2, х„) называется однородной функцией степени т, если для любого действительного числа Г#0 справедливо равенство
/(/Х„ ГХ2, ..., rx„) = rm /(x1, х2, . ., х„).
342
Если однородная степени т функция u=f(xk, х2, ..., х„) имеет частные производные по каждой из переменных, то выполняется соотношение (теорема Эйлера)
Х2’ -- -Гп) + л'2Л2(¥1' х2, , Л'п) +
...+х„Д(х1. х2, .... x„) = mf(xl. х2.х„).
Пример 6. Проверить теорему Эйлера, если
Дх,у) = Ах2 + 2Вху+Су2.
-а Имеем
f(tx, ty) = A(tx)2 + 2B(tx)(ty) + C(ty)2 = t2f(x, у) Следовательно, т=2;
f'x(x, у) = 2(Ах+Ву), f'„(x, у)-2(Вх + Су), xf'x(x, y)+yfy{x, y) = 2x(Ax+By) + 2y(Bx+Cy) = 2f(x, у). Частными производными 2-го порядка функции u=f(xk, х2, ..., х„) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:
д / ди \ д2и dx,\dxj дхкдх,

..., хк,
и т. д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные Порядка выше второго.
Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны.
Пример 7 Найти частные производные 2-го порядка функции z=arctg-.
с Имеем (см. пример 5)
дх х2+у2
dz ду
х2+у2
Дифференцируем вторично: d2z д ( у1 \	2ху
дТ2 = дх\Д+д)^ДГ+уТ]2’
=	____у \	1-(х2+у2)-2у-у	у2-х2
дхду дД х2+у2/	(х2+у2)2	(х2+у2)2’
d2z д/ х \	1-(х2+у2)-2х-х_ у2-х2
дудх дх\х2+у2)	(х2+у2)2	(х2+у2)2
343
'	«	д2г d2z \
мы здесь убедились в том, что —— =------ I
дхду дудх / d2z д / х \ 2ху ду2 ~ ду\х2+у2) " ~ Р+гТ'
Найти частные производные 1-ю и 2-го порядков or заданных функций:
7.57. z=
7.59. z=^
7.60.
+/).
7.62. z = arcsin -=-=_=.
7.63. и=
7.64. и-
7.65.	w=xy2z3/4 + 3x-4y + 22-r+l.
7.66.	Найти /ДЗ, 2), /ДЗ, 2), ЛДЗ, 2), f"xy{3, 2), А(3, 2), если f(x, у)=х3у+ху2 — 2х+Зу- 1.
7.67.	Найти /Д1, 2), /Д1, 2), f”x(l, 2), ЛД1, 2), A(l, 2),
если
7.68.	Показать, что	=	если z=xsin(ax+by).
дхду дудх	'
7.69.	Показать, что	=	если z=cos-arccos-.
дхду дудх	х у
7.70. Найти
7.71. Найти
Лх,(0, 1), Л;,(0, 1), АДО, 1), АДО, 1), если
дли	1
——-, если и = In —=====. дхдуд^дч
7.72. Найти
дьи дх3ду3 ’
если H=x3siny+y3sinx.
344
7.73.	Найти если w= (x-x0)₽(j-Уо)’-
В задачах 7.74—7.77 проверить теорему Эйлера об однородных функциях.
7.74.	z=x3+x2y-y3. 7.75. z=^~.
7.76.	z — arctg -.	7.77. и = J+A+.^=.
Х 3Jx2+y2 + z2
7.78.	Вычислить
дх дх дх dr dtp дб ду ду ду дг dtp дб dz dz dz dr dtp dO если x=r cos 0 cost?, у=rcos Osin (p, z — r sin 0.
/ dz \2 dz
7.79.	Показать, что I — | 4-l-x+z = 0. если z=4e y +
\dx/ dy + (2т+4у-3)е->’-х-1.
_	_	d« du du 3
7.80.	Показать, что -------1--H---=-------, если
dx dy dz x+y + z
и = In (x3 +_y 3 + z 3 — 3xyz).
du du du du	x—j
7.81.	Показать, что-1---1-----1--=0, если н=------F
dx dy dz	dt	z—f
7.82.	Показать, что функция u = A sinXxcosaXz удовлетворяет уравнению колебаний струны
д2и 2d2w
к	дН=й д^2' '
I	1
I 7.83. Показать, что функция и—---------==е удовлет-
|	2а J та
воряет уравнению теплопроводности
ди 2дги
dt ° дх2’
345
7.84. Показать, что функция н= -— — —  J(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и д2и д2и
дх2 + ду2 + dz2
7.85*. Показать, что функция
{——j, если х2+у2^0, X +у
О, если х=у = 0,
имеет частные производные f'x(x, у) и fy(x, у) в точке (0,0), хотя и разрывна в этой точке.
7.86*. Показать, что для функции
{ху ——если х2+у2=£0,
X +у
0, если х=у = 0, значение второй смешанной производной в точке (0, 0) зависит от порядка дифференцирования, а именно: fxy(Q, 0)= — 1, Лх(0,0)=1.
4. Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции u=f\x\, х2,	х„) в точке P(xL, х2,	х„), соответствующим
приращениям аргументов Дхь Дх2, Дх„, называется разность
Л«=/(Х1 + Дх,, х2+Дх2, ..., х„1-Дх„)-/(л'1, х2, ..., х„)
Функция u=f(P) называется дифференцируемой в точке (х,, х2, ..., х„), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
Дк = Л1 Дху + Л2Дх2 + ... + Л„Дх„ + о(р),
где р= х/Дх2 + Дх| + ... + Дх2, Ль Л2,	, Л„—числа, не зависящие
от Дхь Дх2, ..., Дх„.
Дифференциалом du 1-го порядка функции u=f{xt, х2, ..., х„) в точке (х2, х2, ..., х„) называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно Axi, Дх2, ..., Дх„, т. е.
du — Л j Д Xi + Л 2 Д х2 +... + Л„ Дх„.
Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:
dxi=iixl, dx2 — i\x2, ..., </х„ = Дх„
Для дифференциала функции	u=f(xy,	х2,	.... х„) справедлива формула
, ди	ди	ди
du=—dxi + -—dx2 + ...+—dxn.	(1)
дх^	дх2	дхп
346
Функции и, v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:
d(u-t-v) = du + dv, d(uv) — vdu + udv.
Пример 8. Найти полное приращение и дифференциал функции f(x,y) = x2y в точке [х, у).
-а	/(х+Дх, у+Ду) = (х+Дх)2(у+Ду),
Д/(х, у)=(х+Дх)2(у + Ду)-х2у=
= 2хуДх+х2Ду+2хДхДу+уДх2 + Дх2Ду,
df(x, 1') = 2хуДх + х2Ду. t>
Пример 9. Найти дифференциал функции
-а 1-й способ. Имеем
/(W)=^=.
Jx2+y2
df xz df yz df 1 d^ = ~(x2+y2)3’2’	=	=
По формуле (1) получаем
df(x,y,z)_ {x2+y2}3l2dx {x2^2]3l2dy+ ^___dz
(x2+y2)dz — z(xdx+ydy)
2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем:
,,,	.	^2+pdz-z-d3/x2+y2
df(x, у, z\ =-------^—2---------=
у/х^У2 (x2+y2)dz-z(xdx+ydy}
-	-	(х2+у2)3'2
При достаточно малом р = х/Дл?+Дх2 + ... + Дх2 для дифференцируемой функции u=f{xt, х2, ..., х„) имеют место приближенные равенства
/(xj+Axj, х2 + Дх2, ..., х„4-Дх„)«/(х„ х2, ..., х„) + <//(х„ х2, ..., х„). Пример 10. Вычислить приближенно
Т(4,05)2+(3,07)2.
347
-а Искомое число будем рассматривать как значение функции Дх,у) = Дх2+у2 при х = х0 + Дх, у=у0 + Ду, если х0 = 4, у =з Дх=0,05, Ду = 0,07. Имеем:
/(4, 3)=V42 + 32 = 5, \ л/-/	\ xdx+ydy
Д/(х, y)*df(x, у)=- 7^—7,
дд4,
Следовательно,
V'(4,05)2 + (3,07)2 5 + U,08 = 5,08. >
Дифференциалом 2-го порядка а~и фцнкиии u = f(xl,x2,...,xn) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функЦия переменных х2, ..., х„ при фиксированных значениях dxt, d\2,	, dx„:
d2u — d(du).
Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:
d3u = d(d2u).
Вообще, dmu=d(dmlu).
Дифференциал /и-го порядка функции и-/(х1г х2, ..., х„), где Xt,x2,...,xn—независимые переменные, выражаемся символической формулой
/ Э д	д	\т
dmu=l——dxt+-—dx2 + ...-l------<Zx„| и,	(2)
\дх1	дх2	oxn	)
которая формально раскрывается по биномиальному закону
Например, в случае функции z=/(x, у) двух независимых переменных х и у для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы
a2z	a2z	d2z
d2z~dx2 + 2-^-dxdy + ^dy2,	(3)
дх2	дхду	ду2
d3z=~ dx3 + 3	dx2dy + 3 ~~ dxdy2+~dy3. (4)
дх дх2ду	дхду2	ду3
Пример 11. Найти d2z, если z = еху.
-с Имеем (по правилам дифференцирования) dz=exy ^(ху)—еху(у dx+x dy).
Дифференцируем вторично, учитывая, что dx и dv не зависят от х и у (т. е. считая dx и dy постоянными):
d2z — exyd(xy)-(y dx+x dy)+exy -d(y dx + x dy) =
=exy(y dx+x dy)2+exy2 dx dy=exf((y dx+x dy)2+2 dx dy)
348
7.87.	Найти полное приращение и дифференциал функции z=x2 —ху+у2, если х изменяется от 2 до 2,1, а у—от 1 до 1,2.
7.88.	Найти полное приращение и дифференциал функции z=lg(x2+y2), если х изменяется от 2 до 2,1, а у—от 1 до 0,9.
Найти дифференциалы функций:
7.89.	z = ln(y + vI2+y2) 7.90. z = tg^.
7.91.	z=lncosi.	7.92. и=(ху)2.
7.93.	f(Xl, x2,xit х4)=хХ2~х' 1пх4.
7.94.	Найти df{\, 2, 1), если f(x, у, с) = —х-~.
Вычислить приближенно:
7.95.	(2,О1)3-03. 7.96. <(L02)3+(l,97)3.
7.97.	sin 28' - cos 6 Г
7.98.	Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R = 2,5 м, высоту Н—4 м и толщину стенок 1=1 дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.
7.99.	Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: а-1 м, 6 = 3 м, с = б м. Наши приближенно величину изменения длины диагонали параллелепипеда, если а увеличится на 2 см, b на 1 см, а с уменьшится на 3 см.
7.100.	В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, г =10 см, высота h = 30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, г—на 3 мм и h уменьшить на 1 мм?
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (_г, у, z— независимые переменные):
7.101.	г = х3+Зх2у-у3. 7.102. z = ~~-.
7.103.	z = Jx2+2xy. 7.104. z=yiyfi2+y2.
7.105.	z=(x+y)exy. 7.Ю6. z = xln|.
7.107.	z = arctg—.	7.108. u=xy+yz+zx.
X+y
7.109.	u = exyz.
7.110.	Найти d3z, если z = ey sinx.
7.111.	Найти d3u, если w = .K3+y3+z3 — 3xyz.
7.112.	Найти d6u, если u = ln(x+y+z).
7.113.	Найти dn'u, если u=e“x+by^z.
349
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1.	Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. Если u=f(x1,x2,...,x„)—дифференцируемая функция переменных Xj, х2, ..., х„, которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
-^=<Pi(4 y2 = <Pz(4 — *n=<P„(')’
то производная сложной функции ц=/(<р1(/), <р2, <рп(/)) вычисляется по формуле
du ди dx, ди dx2 ди dx.
—=-------+ ----------~+---!!. (1)
dt dXi dt дх2 dt дх„ dt
В частности, если t совпадает, например, с переменной х(, го «полная» производная функции и по X! равна
du	ди ди dx2	ди dx„
dxt дхг дх2 dxY	дх„ dx1
du
Пример I. Найти —, если u=xyz9 где х=г2+1, у=1пГ, z=tgr. dt
с По формуле (1) имеем
^=yz-2/'+xz--+xysec2f=2t Inr tgr+—ty^^+(?2 + l)lnrsec2r. t>
Пример 2. Найти — и —, если z=vx, где у = <р(х). дх dx	’	'
dz
с Имеем —=у*1пу. По формуле (2) получим
<7z
— =ух\пу + хух *-<р'(х).
Пусть u=f(x1,x2,...,xn), где	t2,?m), х2 =
= <p2(h, h, •••>	— *„ = Ф„('1, <2,	(Ч- G, — ^—незави-
симые переменные). Частные производные функции и по r15 t2, t„ выражаются следующим образом:
ди	ди	дх{	ди	дх2	ди	дхп
dt-i	dxt	dtt	дх2	dt!	дхп	dtt ’
ди	ди	дхг^ди	дх2	ди	дхп
dt2	дх!	dt2	дх2	dt2	дхл	dt2
При этом выражение (1) из § 1 для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифференциала)
350
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида (2) из § 1
Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой
Пример 3. Найти dz и d2z, если z=f(u,v}, где и = (х2—у2)/2,
«а Имеем dz=f'udu+f'vdv, где du=xdx—ydy, dv = ydx + xdy. Следовательно,
dz=fu-(xdx-ydy)+f; (ydx+xdy) = (xf^ +yf;)dx+(xf;-yft)dy.
Дифференцируем вторично:
d2z=d(fi)-du+fl  d(du)+d(ft)-dv+ft  d(dv)=
=(f2du+f^dV)du+f;d2u+(f^du+f^dV)dv+f;-d2v,
где d2u=dx2—dy\ d2v=2dxdy. Следовательно,
d2z=(x dx - у dy) +/„" (у dx+x dy)) (.v dx - у dy) +/„' (dx 2 - dy 2)+
+ (/„; (л:dx-y dy)+f" (ydx + xdy)) (ydx + xdy)+fj  2 dxdy= 42 (x dx - у dy)2 +ft, (у dx + x dy) (xdx - у dy) +f’ (dx 2 - dy1) +
+f2 (xdx-ydy)(ydx + xdy)+f“Jydx + xdy)2 + 2fl'dxdy = =f2(x2dx2-2xydxdy+y2dy2) + 2f2(xy(dx2-dy2) + + {x2-y2)dxdy) +УХ (У 2 dx 2 + 2 xy dx dy + x 2 dy 2) +/„'( dx 2 - dy 2) + + 2f4xdy = (x2f^ + 2xyf:v+y2f^+f:)dx2 + 2(xyf^ + (x2-y2)f2-- xyf2 +f! )dxdy + (y 2- 2xyft' + x 2f£	) dy 2,
7.114.	Найти —, если z=e2x~3y, где x = tg/, y — t2 — t. dt
dz
7.115.	Найти —, если z=xy, где x=ln/, p = sm/. dt
7.116.	Найти —, если z = arctg-, где x=e2'+l, y — e2t — 1. dt	x
7.117.	Найти —, если w=—, где x=e‘, y = ln/, z = /2 —1 dt	л
7.118.	Найти и 4ч если z = ln(ex + ey), где у=~х3 + х. дх dx	3
7.119.	Найти — и —, если z = arctg^-^, где г=е<х+1)2. дх dx	у
7.120.	Найти — и —, если z = w2lnr, где w = -, v = x2 + v2. дх ду	л-
7.121.	Найти dz, если z — u2v — v2u, где u = xsmy, r=ycosx.
7.122.	Найти — и если z=f(u, г), где	,
дх ду	'	'	л+у
v=x2 — Зу.
351
7.123.	Наити — и —, если z—f(u, г), где н = 1п(.х2 —у2) сх су	" ’
v = xy2.
7.124.	Найти dz, если z = /(w, v), где i/=cos(xy), v = x5~7у.
7.125.	Найти dz, если z—f[u, и), где w = sm-, v = xjy.
7.126.	Найти du, если и=[(х, у, z], где x=s2 + t2, y=s2—t2, z=2st.
7.127.	Найти — и —. если u = f(xx, х2, _хЛ. х4), где дх2	’
x3=g{xl, х2], xt=h(xi. х2. -ъ).
7.128.	Показать, что функция z=y <p(cos(x— у)) удовлет-& C/Z Z воряег уравнению -+—=-•
7.129.	Показать, что функция z=xf^-^—x2—y2 удовлетворяет уравнению х~+у~=z~х2 — у2.
7.130. Показать, что функция
удовлетворяет
1 < z \tz z уравнению 4--—=-^. хсх усу у
7.131. Показать, что функция
"-Г2*Ч'’('+г'+
+ -x2yz+f{y—х. z—х) удовлетворяет уравнению
ди си ди
—+—+~=xyz. сх су CZ
7.132.	Найти —Д, —Z—,	если z=f(u, г), где и — ху,
сх1 схсу ду^
г=х/у.
С2и
7.133.	Найти у-г-, если u—f(x. у, z), где z = <p(x. у).
7.134.	Найти все частные производные 2-го порядка от функции u=f(x, ху, xyz).
7.135.	Показать, что функция и=хф(х+у)+уф(х+у) удо-сги _ д2и с2и
влетворяет уравнению -7-7— 2у-у+— = 6.
7.136.	Показать, что функция н=<р(лу)+ф^-^ удовлет-
>ё2и	,д2и	ди	си „
воряет уравнению х ——^+л-—у——0.
дх2 ду2	дх	су
352
7.137.	Найти d2u, если u=f(t), где t = x2 У у2 +z2.
7.138.	Найти d2u, если u—f[ax, by, cz).
7.139.	Найти d2z, если z=j(u,v), где w = .xsiny, r=j cosx.
2.	Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. Пусть уравнение f(x, j) = 0, где f—дифференцируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию х. Первая производная этой неявной функции у=у(х) в точке хп выражается по формуле
<fr|	Л' (х0, Го)
rfx|K=x0 fy(xo, Уо)
при условии, что 4'(т0, Го)^0, где у0=у(л-0), f(x0, го) = 0
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (5).
dy d2r
Пример 4. Найти — и —если
dx dx
1 +ху- 1п(ех>, + е х>,)=0.
с Обозначим левую часть данного уравнения через f(x, у). Тогда
По формуле (5) получаем
dy	2ve~x>	v
dx	2xe~xi	x
Дифференцируем вторично, учитывая, что у есть функция х: d2y df у\ Xdx У J Л( K)^2v dx2~dx\ xj x2	x2 x2' I>
Пусть уравнение F(x2, x2, ... x„, w) = 0, где F—дифференцируемая функция переменных x,, x2, ..., x„, и, определяет и как функцию независимых переменных х2. х2, ..., х„. Частные производные »той неявной функции tt=u(xt, х2,	х„) в точке	х2, ..., х”) вычис-
ляются по формулам
(Л=1,2, ...,и)	(6)
при условии, что	х?,..., Л-О,н°)^0, где	и° = и(М°)
и F(M°, w°) = 0.
Можно также найти частные производные функции и следующим образом: вычисляем полный дифференциал функции F(xb х2, ... ..., х„, и), приравниваем его нулю:
и выражаем отсюда du.
12 Пол ред. А. В. Ефимова, Б. П Демидовича, ч 1	353
dz dz
Пример 5. Найги — и —, если
«а 1-й способ. Обозначим левую часть данного уравнения через F(x, у, z). Тогда
г;(х, ьИ=зх2-Зуз, ТДл, у, z)=6y2-3xz-2, fz'(x, у, z) = 3z2 — 3xy.
По формулам (6) получаем:
dz	F*(x,y,z)	3x2 — 3yz х2— yz
dx	Fi(x,y,z)	3z2 — 3xy xy—z2
dz F?(x,y,z)	6y2 — 3xz — 2 6y2 — 3xz — 2
dy Fz(x,y,z) 3z2 — 3xy 3(xy-z2)
2-й способ. Дифференцируем данное уравнение:
3 х 2 dx + 6 у 2 dy + 3 z 2 dz — 3 у z dx — 3 xz dy—3 xy dz—2 dy = 0.
Отсюда выражаем dz:
3(x2—yz)dx+(6y2 — 3xz — 2)dy dZ=	3[xy — z2)	’
Сравнивая
с формулой	dx-y — dy, получаем
dz ~dx
dz 6y2 — 3