СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗов. Часть 4. Под общ. ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова, Б.П.Демидовича. 3-е изд
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульных редакторов
Глава 18. Теория вероятностей
2. Алгебраические операции над событиями
3. Аксиоматическое определение вероятности события
4. Классическая вероятностная схема — схема урн
5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
6. Геометрические вероятности
7. Условные вероятности. Независимость событий
8. Вероятности сложных событий
9. Формула полной вероятности
10. Формула Байеса
§2. Случайные величины
2. Распределения, связанные с повторными независимыми испытаниями
3. Распределение Пуассона
4. Нормальный закон распределения
§3. Случайные векторы
2. Нормальный закон на плоскости
§4. Функции случайных величин
2. Характеристические функции случайных величин
3. Законы распределения функций случайной величины
4. Задача композиции
§5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей
2. Предельные теоремы теории вероятностей
3. Метод статистических испытаний
1. Законы распределения и осредненные характеристики случайных функций
2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций
3. Стационарные случайные функции
4. Спектральное разложение стационарных случайных функций
5. Преобразование стационарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами
Глава 19. Математическая статистика
2. Числовые характеристики выборочного распределения
3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора
§2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке
2. Метод максимального правдоподобия
3. Метод моментов
4. Распределения x2, Стьюдента и Фишера
§3. Интервальные оценки
2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра Л распределения Пуассона
3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции p
§4. Проверка статистических гипотез
2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения
3. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции p
4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез
§5. Однофакторный дисперсионный анализ
§6. Критерий x2 и его применение
2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин
3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений
§7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов
3. Использование ортогональных систем функций
4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям
5. Вычисление и статистический анализ оценок параметров линейной модели при коррелированных и неравноточных наблюдениях
§8. Непараметрические методы математической статистики
2. Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни
3. Критерий для проверки гипотезы H0 о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей
4. Критерий серий
5. Ранговая корреляция
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава 19
ПРИЛОЖЕНИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Text
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
4
Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова
Москва
Издательство
Физико-математической литературы
2003

ББК 22.171 С 23 УДК 51(075.8) Коллектив авторов: Э. А. ВУКОЛОВ, А. В. ЕФИМОВ, В. Н. ЗЕМСКОВ, А. С. ПОСПЕЛОВ Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 4: Учеб- ное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспе- лова. — 3-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате- матической литературы, 2003.—432 с.—ISBN 5-94052-037-5 (Ч. 4). Содержит задачи по специальным курсам математики: теории вероятностей и математической статистике. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены ответами, а наиболее слож- ные — решениями. Решение части задач предполагает использование ЭВМ. Для студентов высших технических учебных заведений. Учебное издание ВУКОЛОВ Эдуард Александрович, ЕФИМОВ Александр Васильевич, ЗЕМСКОВ Владимир Николаевич, ПОСПЕЛОВ Алексей Сергеевич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 4 Редактор Е. А. Привалов Компьютерная графика М. Н. Грицук Компьютерный верстка Е. С. Нехаева ИД №01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01 от 05.07.2001 Подписано в печать 20.01.2003. Формат 60x84/16. Печать офсетная с готовых диапозитивов. Усл.-печ. л. 25,2. Уч.-изд. л. 30,5. Тираж 4 000 экз. Заказ № 1315. Издательство Физико-математической литературы 119071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов на ФГУИПП «Вятка». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122. ISBN 5-94052-037-5 (Ч. 4) ISBN 5-94052-033-2 © Коллектив авторов, 2003 © Физматлит, оформление, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие титульных редакторов ........................... 5 Глава 18. Теория вероятностей .............................. 7 §1. Случайные события................................... 7 1. Понятие случайного события. 2. Алгебраические операции над событиями. 3. Аксиоматическое определение вероятности события. 4. Классическая вероятностная схема — схема урн. 5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в класси- ческой схеме. 6. Геометрические вероятности. 7. Условные ве- роятности. Независимость событий. 8. Вероятности сложных событий. 9. Формула полной вероятности. 10. Формула Байеса § 2. Случайные величины...................................... 56 1. Законы распределения и числовые характеристики случай- ных величин. 2. Распределения, связанные с повторными не- зависимыми испытаниями. 3. Распределение Пуассона. 4. Нор- мальный закон распределения §3. Случайные векторы.........-............................. 85 1. Законы распределения и числовые характеристики случай- ных векторов. 2. Нормальный закон на плоскости § 4. Функции случайных величин ............................. 106 1. Числовые характеристики функций случайных величин. 2. Характеристические функции случайных величин. 3. Законы распределения функций случайной величины. 4. Задача компо- зиции §5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории ве- роятностей ................................................. 130 1. Закон больших чисел. 2. Предельные теоремы теории веро- ятностей. 3. Метод статистических испытаний § 6. Случайные функции (корреляционная теория).............. 143 1. Законы распределения и осредненные характеристики слу- чайных функций. 2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. 3. Стационарные случайные функции. 4. Спектральное разложение стационарных случайных функций. 5. Преобразование стационарных случайных функций линей- ными динамическими системами с постоянными коэффициен- тами
4 Оглавление Глава 19. Математическая статистика ........................... 185 § 1. Методы статистического описания результатов наблюде- ний ....................................................... 185 1. Выборка и способы ее представления. 2. Числовые характери- стики выборочного распределения. 3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора. § 2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке........................ 218 1. Точечные оценки и их свойства. Метод подстановки. 2. Метод максимального правдоподобия. 3. Метод моментов. 4. Распреде- ления х2, Стьюдента и Фишера § 3. Интервальные оценки................................... 237 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. До- верительные интервалы для параметров нормально распреде- ленной генеральной совокупности. 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра А распре- деления Пуассона. 3. Доверительные интервалы для коэффици- ента корреляции р § 4. Проверка статистических гипотез....................... 247 1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения. 3. Проверка гипо- тез о коэффициенте корреляции р. 4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез § 5. Одно факторный дисперсионный анализ.............. 279 § 6. Критерий х2 и его применение..................... 286 1. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокуп- ности. 2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин. 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений § 7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов................................................... 298 1. Линейная регрессия. 2. Линейная регрессионная модель об- щего вида (криволинейная регрессия). 3. Использование орто- гональных систем функций. 4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям. 5. Множественная линейная регрессия (случай двух независимых переменных). 6 Вычи- сление и статистический анализ оценок параметров линейной модели при коррелированных и неравноточных наблюдениях § 8. Непараметрические методы математической статистики . 339 1. Основные понятия. Критерий знаков. 2. Критерий Вилкок- сона, Манна и Уитни. 3. Критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. 4. Кри- терий серий 5. Ранговая корреляция Ответы и указания ...................................... 358 Приложения ............................................. 411 Список литературы ...................................... 431
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические раз- делы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы ли- нейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру. Второй том полностью посвящен изложению основ математи- ческого анализа, дифференциальному и интегральному исчисле- ниям функций одной и нескольких переменных, а также диффе- ренциальным уравнениям. В третьем томе собраны специальные разделы математиче- ского анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие раз- делы, как векторный анализ, элементы теории функций комплекс- ной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, ти- повые примеры и циклы задач по теории вероятностей и матема- тической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную пе- реработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположе- ния материала внутри соответствующей главы, ни последователь- ности нумерации примеров и задач. В смысловом отношении авторы внесли только следующие из- менения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело в том, что в настоящее время существует целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раз- дел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен-
6 Предисловие ности и, следовательно, становится необходимой частью образова- ния и подготовки специалистов по инженерным специальностям. Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа по исправлению ошибок, описок и других не- точностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника. А. В. Ефимов, А. С. Поспелов
Глава 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 1. Случайные события 1. Понятие случайного события. Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами (случайных экспериментов}. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Для реально воспроизводимого эксперимента понятие «наблюдаемый резуль- тат» означает, что существует принципиальная возможность зарегистри- ровать данный результат опыта с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, например, визуально). Любой наблюдаемый ре- зультат интерпретируется как случайный исход опыта (случайное собы- тие}. Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя: 1) построение множества элементарных исходов Q, 2) описание поля событий для данного эксперимента, 3) задание вероятностного распределения на поле событий. Под множеством элементарных исходов понимают множество вза- имоисключающих исходов такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход. Любое подмножество данного мно- жества Q интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет поле событий для данного эксперимента. Понятия, связанные с 2) и 3), определяются строго в аксиоматиче- ской теории вероятностей, которая составляет основу всех современных курсов теории вероятностей и их приложений. Множество Q для данного эксперимента может быть дискретным, непрерывным или иметь более сложную структуру. К дискретным отно- сятся конечные или счетные множества элементарных исходов, к непре- рывным— множества типа континуума (любой конечный или бесконеч- ный интервал на числовой прямой является примером множества типа континуума). В дальнейшем мы рассматриваем только такие модели экспериментов, для которых множество элементарных исходов Q либо дискретно, либо непрерывно.
8 Гл. 18. Теория вероятностей Говорят, что событие А произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход си, принадлежащий А (ш G А). Событие, совпадающее с пустым множеством 0, называется невозможным событием, а событие, совпа- дающее со всем множеством Q, — достоверным событием. Два события А и В называются совместными (несовместными), если в результате эксперимента возможно (невозможно) их совместное осуществление. Другими словами, события Аи В совместны, если соот- ветствующие множества А и В имеют общие элементы, и несовместны в противном случае. Построение множества Q (если оно не задано при описании экспе- римента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть одно- значно описаны на основе построенного множества Q. Другими сло- вами, если нас интересуют события А, В, С ит. д., являющиеся наблю- даемыми событиями в данном эксперименте, то множество Q должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиям А, В, Си т.д. Пример 1. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз пра- вильной шестигранной игральной кости. Обозначим X число очков, выпавших на верхней грани кости. Описать множество элементарных исходов Q и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: А = {X кратно трем}, В = {X нечетно}, С = {X > 3}, D = {X < 7}, Е = {А" дробно}, F= {0,5 < X < 1,5}. Выявить пары совместных событий. <] Введем обозначения для следующих наблюдаемых в данном экс- перименте событий: cu* = {X = к}, к — 1,2,.. .,6; оА1) = {X — нечетное число}, оА2) = {X — четное число}. На базе данных исходов можно сконструировать два множества эле- ментарных исходов Qi = {cui,cu2,.. .,си6} и Иг = {сА1), оА2)}. Какое из них больше подходит для формальной модели данного эксперимента? Ясно, что Пг следует «забраковать», поскольку, например, наблюдаемые события cui, <х»2, • • •, <х»б А, В, D, Е не являются подмножествами мно- жества Пг- С другой стороны, все перечисленные события могут быть описаны как подмножества множества Пр Действительно, А = {сиз, сие}, В — цА1) = {(Ui, CU3, CU5 }, С — {и?4, CU5, UJq }, D — {cui, CU2, • • • , CUe} = Qi , E = 0, F — cui. Из написанных равенств, в частности, усматриваем, что исходы оА1) и разложимы на элементы, которые сами являются исходами данного эксперимента. Таким образом, исходы cui, сиг, • • •> си6 более «элементарны», чем исходы оА1) и си^2\ Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов, находим пары совместных событий: А и В, А и С, А и D, В и С, В и D, В и F, С и D, D и F. [> Пример 2. Эксперимент состоит в радиолокационном обнаруже- нии воздушной цели. Наблюдаемый результат — положение светящегося пятна (отраженного импульса от цели) на экране индикатора цели, имею- щего форму круга радиуса 10 см, в декартовой системе координат с нача- лом, совпадающим с центром экрана. Описать множество элементарных
§ 1. Случайные события 9 исходов и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: А = {цель находится в первом квадранте}, В = {цель находится в круге радиуса 5 см, центр которого совпадает с центром экрана}, С = {цель находится в круге радиуса 2,5 см, центр которого сдвинут на 5 см вдоль оси Ох в отрицательном направлении}. Совместны ли пары событий А и В, А и С, В и С? <1 Все интересующие нас в данном эксперименте наблюдаемые со- бытия связаны с регистрацией положения светящегося пятна на экране индикатора. Удобной формой математического описания элементарного исхода являются в данном случае координаты случайной точки на плос- кости, соответствующей, например, центру пятна (предполагается, что пятно представляет собой круг достаточно малого радиуса). Таким образом, множество Q непрерывно и может быть записано в виде Q = {(х, у) | х2 + у2 < 100}. Подмножества, равносильные указанным событиям, имеют вид А = {(ж, у) | х2 + у2 100, х > 0, у > 0}, В = {(ж, т/)|я2 +у2 25}, С - {(ж, у) | (х 4- 5)2 + у2 6,25}. По определению, события совместны, если соответствующие им под- множества имеют общие элементы (пересекаются), и несовместны в про- тивном случае. Поэтому события А и В, В и С совместны, а события А и С несовместны. [> В задачах 18.1-18.10 построить множество элементарных ис- ходов Q по описанию эксперимента и подмножества, соответству- ющие указанным событиям. 18.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат — пара чисел, соответствующих числам очков, выпав- ших в первый и второй раз. События: А = {оба раза выпало чи- сло очков, кратное трем}, В = {ни разу не выпало число шесть}, С = {оба раза выпало число очков, большее трех}, D = {оба раза выпало одинаковое число очков}. 18.2. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый резуль- тат — появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События: А ={герб выпал ровно один раз}, В = {ни разу не выпала цифра}, С = {выпало больше гербов, чем цифр}, D = {герб выпал не менее, чем два раза подряд}. 18.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. На- блюдаемый результат — общее число подбрасываний. События: А = {герб выпал при третьем подбрасывании}, В = {герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании}. 18.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех за- нумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может по- меститься любое число шаров. Наблюдаемый результат — тройка
10 Гл. 18. Теория вероятностей чисел (г,у, &), где i,j,k — номера ящиков, в которые попали со- ответственно первый, второй и третий шары. События: А = = {первый ящик пустой}, В = {в каждый ящик попало по одному шару}, С = {все шары попали в один ящик}. 18.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной ми- шени: —2 х 2, — 1 у 1. Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник ис- ключено. События: А = {абсцисса точки попадания не меньше ор- динаты}, В = {произведение координат точки неотрицательно}, С = {сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу}. Выявить пары совместных событий. 18.6. На отрезке [а, 6] наудачу ставится точка. Пусть х— коор- дината этой точки. Затем на отрезке [а, а;] наудачу ставится еще одна точка с координатой у. Наблюдаемый результат — пара чи- сел (х, у). События: А = {вторая точка ближе к правому концу отрезка [а, 6], чем к левому}, В = {расстояние между двумя точ- ками меньше половины длины отрезка}, С — {первая точка ближе ко второй, чем к правому концу отрезка [а, 6]}. Выявить пары не- совместных событий. 18.7. Иван и Петр договорились о встрече в определенном ме- сте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый прихо- дит в случайный момент указанного промежутка и ждет появле- ния другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат — пара чисел (т, у), где х — время прихода Петра, у — время прихода Ивана (время исчисля- ется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А = {встреча состоялась}. 18.8 (продолжение). В условиях эксперимента задачи 18.7 рас- смотреть следующие события: В = {Петр ждал Ивана все обус- ловленное время и не дождался}, С = {Ивану не пришлось ждать Петра}. 18.9 (продолжение). В условиях эксперимента задачи 18.7 рас- смотреть события: D = {встреча состоялась после И ч 30 мин}, Е = {Иван опоздал на встречу}, F = {встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут}. 18.10* . Проводится матч на первенство страны по футболу меж- ду командами «Динамо» и «Спартак». Интересующие нас события: А = {выиграла команда «Динамо»}, В = {игра закончилась по- бедой одной из команд}, С = {игра закончилась со счетом 3 : 1 в пользу «Спартака»}, D = {в игре забито не меньше трех голов}.
§ 1. Случайные события 11 18.11* . С помощью специального прибора регистрируется на- правление ср и скорость ветра v в данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2°. Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события: А = {(и, <р) |и < 12 км/ч, ср = 343° 35'}, В = {(v, ср) | v = 15,5 км/ч, 340° ср < 350°}, С = {(v, ср) |v > >3,25 км/ч, 48° ср 51°}. 2. Алгебраические операции над событиями. Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. В частности, определены сле- дующие операции и отношения между событиями: АС В (отношение включения множеств: множество А является под- множеством множества В)— событие А влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит собы- тие А. А — В (отношение эквивалентности множеств) — событие А тож- дественно событию В. Это возможно в том и только в том случае, когда А С В и одновременно В С А. А + В (объединение множеств) — сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А или В (не исключающее логическое «или»). АВ (пересечение множеств) — произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий А и В (логическое «и»). Таким образом, события А и В несовместны, если АВ = 0. А — В (множество элементов, принадлежащих А, но не принадле- жащих В)— разность событий. Это событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит. А = Q — А (дополнение множества А до Q)— противоположное со- бытие. Это событие, состоящее в том, что А не происходит (логическое отрицание). Система подмножеств множества Q такая, что в результате при- менения любой из описанных операций к любым двум элементам си- стемы снова получается элемент данной системы, называется алгеброй (или булевой алгеброй — по имени английского математика Дж. Буля (1815 - 1864)). Под наблюдаемым событием понимается такое подмно- жество множества Q, которое одновременно принадлежит и булевой ал- гебре Т. Таким образом, класс наблюдаемых в данном эксперименте со- бытий, вообще говоря, уже класса всех подмножеств множества Q. Если, например, R С Q, но R У, то событие R по определению не наблюда- емо в данном эксперименте. Такое определение наблюдаемого события согласуется с введенным ранее эмпирическим понятием случайного со- бытия как наблюдаемого результата эксперимента. Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех под- множеств Q, включающее пустое множество 0, составляет алгебру. По- этому для таких экспериментов любое подмножество множества Q мо- жет интерпретироваться как наблюдаемое событие. В тех случаях, ко- гда Q — счетное или непрерывное множество, необходимо потребовать,
12 Гл. 18. Теория вероятностей чтобы поле событий, состоящее из бесконечного числа наблюдаемых со- бытий, было замкнуто относительно алгебраических операций над счет- ным числом событий. Система подмножеств множества 9, удовлетворя- ющая этому условию, называется сг-алгеброй, а соответствующее поле событий — борелевским полем событий. Пример 3. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдае- мый результат — число очков на верхней грани. События А, В, С, D, Е, F описаны в примере 1. Описать состав и выяснить смысл следую- щих событий: Е\ — В, Е? = С, Е% = АВ, Е^ = А + В, Е$ = А — В, E6=E + D, E7 = EF. <1 В обозначениях примера 1 напишем состав указанных событий, используя определение соответствующей алгебраической операции: Е± = = {и>2, ^4) ^б} — выпало четное число очков; Е2 = {u>i, СО2, — вы- пало число очков, не большее трех; Ез = {о?з} — выпавшее число очков нечетно и кратно трем; Е4 = {cji, CJ3, CJ5, о>б} — выпавшее число очков или нечетно, или кратно трем; Е$ = АВ = Е3; Eq = 0 + D = D = 9. [> Пример 4. Рассмотрим снова случайный эксперимент, описанный в примере 2. Составляет ли множество всех квадрируемых подмножеств множества 9 алгебру событий? <1 Будем говорить, что область S С 9 квадрируема, если она имеет площадь, понимаемую в смысле меры Лебега. Из свойств меры Ле- бега вытекает, что объединение, пересечение и дополнение конечного или счетного числа квадрируемых подмножеств некоторого квадрируе- мого множества на плоскости являются квадрируемыми множествами. Отсюда следует, что система F квадрируемых подмножеств множества 9 образует сг-алгебру для данного эксперимента 1 2). [> При доказательстве некоторых утверждений в алгебре событий очень полезной оказывается геометрическая иллюстрация событий, трактуе- мых как попадание точки в область, соответствующую этому событию. Условно изображая события в виде различных областей на плоскости, получаем так называемые диаграммы Венна. Пример 5. Доказать, что операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами: а) А + В = В + А, АВ = В А (коммутативность); б) (А + В) + С = А + (В + С), А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность); в) (А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность умножения относи- тельно сложения). <1 Свойства коммутативности а) и ассоциативности б) непосредствен- но вытекают из определения операций сложения и умножения, поскольку события «произошло хотя бы одно из ...» и «произошли все вместе ...» не зависят от порядка участвующих событий. Докажем, что событие (А + В)С тождественно событию АС + ВС. Пусть и € (А + В) С. Это 1) Если квадрируемость области на плоскости понимать в смысле меры Жор- дана, как это обычно делается в курсе математического анализа, то система квад- рируемых по Жордану подмножеств множества Q может не составить ст-алгебру. Однако, если рассматриваются такие простейшие области на плоскости, для ко- торых обе меры совпадают, то использование для определения площадей этих областей интеграла Римана вместо интеграла Лебега не приводит к ошибкам.
§ 1. Случайные события 13 значит, что со £ С и принадлежит по крайней мере одному из событий А или В. Но тогда со принадлежит хотя бы одному из событий АС или ВС, т.е. со £ АС + ВС. Наоборот, пусть со £ АС + ВС. Тогда со £ АС или си £ ВС. Следовательно, си £ С и, кроме того, принадлежит по крайней мере одному из событий А или В, т.е. tu £ (А + В) С. Тем самым тождественность левой и правой частей доказана. Проиллюстрируем свойство в) диаграммами Венна. Пусть события означают: А = {попадание в квадрат}, В = {попадание в круг}, С = = {попадание в треугольник}. Соответствующие области изображены на рис. 1. Горизонтальной штриховкой отмечена область, соответствующая событию АС, вертикальной — событию ВС, косая штриховка соответ- ствует событию АС + ВС. О В задачах 18.12-18.17 доказать справедливость следующих то- ждеств: 18.12. А + А = А, АА = А, А + 0 = А, А0 = 0, AQ = А, А 4- Q — Q. 18.13. А + А = Q, Q = 0, 0 = Q, АА = 0. 18.14. а) А + В = АВ, АВ = А + В (правила де Моргана), б) Обобщить правила де Моргана на произвольное число п собы- тий. 18.15* *. АВ+С = (А+С)(В+С) (дистрибутивность сложения относительно умножения). 18.16. А - В = АВ. _ 18.17* . (А + В) - В = А - АВ = АВ = А - В. Замечание. Этот пример показывает, что «приведение подоб- ных членов» в алгебре событий недопустимо. 18.18. Пусть А, В и С—события, наблюдаемые в экспери- менте, причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.
14 Гл. 18. Теория вероятностей 18.19. Показать, что: а) если А С В, то выполняются соотношения АВ = А, А + В = В; (1) б) из справедливости любого из соотношений (1) следует А С В. 18.20. Пусть А и В — наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что событие А + В можно разложить на сумму несо- вместных событий следующими способами: а)А + В = А + (В — - АВ); б) А + В = АВ + АВ + АВ; в) А_+ В_= А + В А. 18.21* . Показать, что если А С В, то В С А. 18.22. Показать, что если В С А, то (А — В) + В = А. Доказать тождества^ 18.23. (А + В)(А + В) = А._ 18.24. (А + В)(А + В)(А +_В) = АВ. ___________ 18.25. (А + ВС)(В + АС)(С + АВ) = АВС + АВ С. 18.26* . АС - В = АС - ВС. 18.27* . (А - В) + (А - С) = А - ВС. Симметрическая разность двух событий АДВ определяется следу- ющим образом: АДВ = (А - В) + (В - А). Доказать следующие тождества: 18.28. АДВ = (А + В) - АВ. 18.29. АДВ = АВ + АВ. 18.30. АДВ = (АВ)Д(АВ). 18.31. Пусть С = АДВ. Доказать, что АДС = В. 18.32. Найти случайное событие X из равенства X + А + Х + А = В. 18.33* *. Доказать, что А — В = 0 тогда и только тогда, когда А С В. 18.34* . Очередной посетитель входит в зал музея, где уже со- бралось 2п человек, и начинает отыскивать знакомых среди со- бравшихся. Интересующие нас события: А = {среди собравшихся найдется п человек, знакомых посетителю}, В = {среди собрав- шихся найдется п человек, не знакомых посетителю}. Доказать, что события А + В и А - В + В достоверные. Пусть А, В, С — три события, наблюдаемые в данном экспе- рименте. В задачах 18.35-18.37 выразить указанные события в алгебре событий.
§ 1. Случайные события 15 18.35. Ei = {из трех событий А, В, С произойдет ровно одно}, Fi = {из трех событий А, В, С произойдет ровно два}. 18.36. Е% = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно}, 7*2 = {из трех событий А, В, С произойдет не меньше двух}. 18.37. Ез = {из трех событий А, В, С не произойдет ни од- ного}, Ез = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы два}, G = {из трех событий А, В, С не произойдет хотя бы одно}. 18.38. Поражение боевого самолета может наступить или в ре- зультате поражения обоих двигателей (события Di и В^), или в результате попадания в кабину пилота (событие К). Произво- дится длительный обстрел самолета из зенитного орудия. Любое попадание в соответствующий агрегат приводит к его поражению. Пусть событие А = {поражение самолета}. а) Описать множество элементарных исходов. б) Записать А в алгебре событий как непосредственно с по- мощью событий Di, D2 и К, так и через элементарные исходы. в)** Получить из второй записи первую путем допустимых ал- гебраических преобразований. 18.39. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 2. Событие А^ = {элемент с номером к вышел из строя}, к = 1, 2, 3, 4. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий Ai, А2, A3, А4. Рис. 2 Рис. 3 18.40. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 3. Событие Ak = {элемент с номером к вышел из строя}, к = = 1, 2, 3, 4, 5. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий Ai, А2, A3, А4, А5. 18.41. На отрезке [а, 6] наудачу ставятся две точки. Пусть х и у — координаты этих точек. Изобразить на плоскости Оху обла- сти, соответствующие событиям Q, А, В, АВ, А — В, А 4- В, где А = {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу}, В = {расстояние между точками меньше половины длины отрезка}.
16 Гл. 18. Теория вероятностей Пусть заданы п множеств 9i, 92, • ••, 9П, содержащих, вообще го- воря, различное число элементов. Множество вида 9 = {(u?i, си2, . •., соп,) | € Qi, £ 92, ..., шп € 9П} называется прямым произведением множеств Qi, ..., 9П и обозначается О = П1 х П2 х ••• х 9П. Пусть каждое из множеств 9j, i = 1, 2, ..., является множеством элементарных исходов некоторого эксперимента Ei. Тогда составной эксперимент, состоящий в проведении последовательно экспериментов Е\, Е<2, . • • , Еп и наблюдений совместного результата, имеет множество элементарных исходов 9 = 91 х 92 х • •• х 9П и называется последова- тельностью испытаний. 18.42. Произведено три выстрела из орудия по цели. Событие Ak = {попадание при к-м выстреле} (к = 1, 2, 3). а) Выяснить состав множества 9, выразив каждый элементар- ный исход через события б) Записать в алгебре событий следующие события: А ~ {ровно одно попадание}, В = {хотя бы одно попадание}, С = {хотя бы один промах}, D — {не меньше двух попаданий}, Е = {попадание не раньше, чем при третьем выстреле}. 18.43. Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3 брако- ванных, наудачу последовательно и без возвращения извлекается по одной детали до появления бракованной, после чего опыт пре- кращается. Обозначим исход г-го испытания = {бракованная деталь появится при г-м испытании}. Рассмотрим событие А = = {придется производить третье по счету извлечение детали}. а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с по- мощью алгебраических операций над исходами i = 1, 2, ... б) Записать событие А через элементарные исходы и упро- стить запись путем алгебраических преобразований. 18.44. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч. События: Ak — {первый баскетболист попадает при своем к-м броске}, Bk = {второй баскетболист попадает при своем к-м броске}. А = {выигрывает первый баскетболист}, В = {выигрывает вто- рой}. Первый баскетболист бросает первым. Определить состав множества элементарных исходов и записать события А и В в ал- гебре событий. Система множеств {Ei, В2, ... , Ei} называется разбиением множе- ства Е, если выполняются следующие условия: Ei 0, г = 1, 2, ... , I, EiEj = 0, г / j, Ei + JS2 4-... +JS/ — Е.
§ 1. Случайные события 17 Если разбиению подвергается множество элементарных исходов Q некоторого эксперимента, то говорят, что система подмножеств (со- бытий), осуществляющих разбиение, составляет полную группу несов- местных событий. 18.45. Показать, что совокупность элементарных исходов лю- бого эксперимента с конечным множеством Q образует разбиение множества Q. 18.46. Образуют ли события А, В и С из задачи 18.4 полную группу событий? __ 18.47. Показать, что система событий {D\ + Dz, KD^Dz, Di + Dz + К], где Di, Dza К — наблюдаемые события в экспери- менте, описанном в задаче 18.38, образует разбиение множества Q для данного эксперимента. 18.48. Множество элементарных исходов некоторого экспери- мента состоит из четырех исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества? 18.49. Пусть А — произвольное наблюдаемое в некотором экс- перименте событие такое, что А 7^ Q и Л / 0. Показать, что система множеств {А, А} образует разбиение множества Q. 18.50. Пусть Q = {1, 2, 3, ... } — множество натуральных чи- сел. Показать, что система {Si, Sz, S3}, где Si = {х | х = Згг, п = = 1, 2, 3, ...}, S2 = {ж|ж = Зп —1; n = 1, 2, 3, ....}, S3 = {ж|ж = = Зп — 2; n = 1, 2, 3, ...}, образует разбиение множества Q. 18.51. Для некоторого эксперимента множество Q содержит ров- но п элементарных исходов. Показать, что число всех наблюдае- мых событий, содержащихся в поле событий для данного экспери- мента, равно 2П. 3. Аксиоматическое определение вероятности события. Для количе- ственного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события вводится специальная числовая функция Р (А), называемая вероятностью события А. Пусть Т—поле событий для данного эксперимента. Вероятностью Р (А) называется числовая функция, определенная для всех А € Т и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей): 1) Р (А) > 0. 2) Р(П) = 1. 3) Для любой конечной или бесконечной последовательности наблю- даемых событий Ai, А2, •.. , Ап, ... таких, что AiAj = 0 при i ф j, р(5> ' k Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Указанные аксиомы выделяют специальный класс ) =£Р(Л).
18 Гл. 18. Теория вероятностей числовых функций, являющихся вероятностями. В соответствии со смы- слом этих аксиом вероятность есть неотрицательная, нормированная и аддитивная функция множеств, принадлежащих алгебре Т7. Тройку {Q, Т7, Р}, где Т7 — алгебра подмножеств множества Q, Р — числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 1-3, называют вероят- ностным пространством случайного эксперимента. Аксиоматическая теория вероятностей в ее современном виде была создана А. Н. Колмогоровым в 1933 г. Пример 6. Доказать, что если для некоторого эксперимента А С В, тоР(А)^Р(В). <1 Так как А С В, то АВ = А (см. задачу 18.19, а)), поэтому В = = В (А + А) = ВА + ВА = А + ВА, причем оба слагаемых несовместны. В силу аксиомы аддитивности Р (В) = Р (А) + Р (ВА), а в силу акси- омы 1) Р (ВА) 0. Следовательно, Р (В) Р (А). [> Доказать справедливость следующих следствий из определения вероятности события: 18.52 *. Р£0) = 0. 18.53 . Р (А) = 1 — Р (А). 18.54 *. Р (А) < 1. 18.55 **. Р (А+В) = Р (А)+Р (В) —Р (АВ) (формула сложения вероятностей). 18.56 . Р (А 4- В) Р (А) + Р (В). 18.57 . Р (АВ) Р (А) Р (А + В). 18.58 . Доказать, что, если А = В, то Р (А) = Р (В). 18.59 *. Пусть А, В и С — три события из поля событий для данного эксперимента. Показать, что Р ((А - В) + (В - С) + (С - А)) = 1 - Р (АВС) - Р(АВС). 18.60 *. Пусть А и В — наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что Р (АДВ) = Р (А) + Р (В) - 2Р (АВ) = Р (А + В) - Р (АВ). 18.61 . Доказать, что если A D В, то Р(А-В) =Р(А) -Р(В). 18.62 . Доказать, что если А и В — наблюдаемые события в экс- перименте, то справедливо равенство Р (АВ) - Р (АВ) = Р (А) - Р (В). 18.63 . Показать, что для любых наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедливо неравенство 2 Р (АВ + ВС + АС) - (Р (А) + Р (В) + Р (С)). О
§ 1. Случайные события 19 18.64 *. Показать, что для трех наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедлива следующая формула сложения ве- роятностей: Р (А + В + С) = = Р (А) + Р (В) + Р (С) - Р (АВ) - Р (АС) - Р (ВС) + Р (АВС). 18.65 **. Известно, что для данного эксперимента совместное наступление событий А и В с необходимостью влечет за собой наступление события С. Доказать, что Р(С) >Р(А) + Р(В)-1. 4. Классическая вероятностная схема — схема урн. Во многих слу- чаях вероятностное пространство строится на основе проведения анало- гии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента с известным распределением вероят- ностей. Таковы, например, опыты, сводящиеся к классической или гео- метрической схеме, которые подробно рассматриваются далее. Всякий эксперимент, удовлетворяющий тому условию, что соответ- ствующее ему множество Q представляет собой конечное множество равновероятных исходов | т.е. Р (cjJ = Р (oaj) = • • • = Р (шп) = — ), на- \ п/ зывается классической схемой или схемой урн. В силу конечности Q алгебра событий Т7 совпадает с множеством всех подмножеств множе- ства Q (включая и пустое множество). Поэтому любое событие вида А = {cjfcj, Uk2, ..., iOkm } С О наблюдаемо в таком эксперименте, и веро- ятность его осуществления определяется по формуле классической ве- роятности р (= N (А) _ т ( } N(Q) п’ где N (А) = т — число элементов множества А (число всех благопри- ятствующих событию А исходов), N (Q) = п — число элементов множе- ства Q (число всех исходов эксперимента). Классическая схема является математической формализацией опы- тов, в которых элементарные исходы обладают определенной симметрией по отношению к условиям опыта, так что нет оснований считать какой- либо из исходов более вероятным, чем другой. Таким свойством, напри- мер, обладают опыты по извлечению наудачу определенного числа шаров из урны, содержащей заданное количество неразличимых на ощупь ша- ров. (Отсюда и название — схема урн.) 18.66. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?
20 Гл. 18. Теория вероятностей 18.67. Автомат изготавливает однотипные детали, причем тех- нология изготовления такова, что 5% произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А = {деталь бракованная}. 18.68. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти веро- ятности следующих событий: А = {число очков равно 6}, В = = {число очков кратно трем}, С = {число очков четно}, D = = {число очков меньше пяти}, Е = {число очков больше двух}. Подбрасываются две игральные кости. В задачах 18.69-18.71 найти вероятности указанных событий. 18.69. А = {числа очков на обеих костях совпадают}, В = = {число очков на первой кости больше, чем на второй}. 18.70. С = {сумма очков четна}, D = {сумма очков больше двух}. 18.71. Е = {сумма очков не меньше пяти}, F = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}, G = {произведение выпавших очков равно 6}. Подсчет числа элементов тех или иных подмножеств множества Q часто облегчается благодаря следующей формуле. Число элементов пря- мого произведения множеств равно произведению числа элементов со- ставляющих множеств, т.е. N (Qi х Q2 х • • • х fis) = N (Пх) N (Q2) • •. N (Qs). 18.72. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова веро- ятность следующих событий: А = {число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, 13531)}, В = {число кратно пяти}, С = {число состоит из нечетных цифр}. 18.73. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запла- нировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова веро- ятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможно? 18.74. Зенитная батарея, состоящая из п орудий, производит залп по группе, состоящей из m самолетов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти ве- роятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету. 18.75. Пяти полевым радиостанциям разрешено во время уче- ний работать на шести радиоволнах. Выбор волны на каждой станции, производится наудачу. Найти вероятности следующих
§ 1. Случайные событйя 21 событий: А = {при одновременной работе всех пяти радиостан- ций хотя бы две волны не совпадут}; В = {будут использованы различные радиоволны}. 18.76. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи — белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга? 18.77. Каждое из 8 вычислительных устройств обслуживается одним оператором. В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычи- слительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслу- жены. 5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме. Решение вероятностных задач на классическую схему часто облег- чается использованием комбинаторных формул. Каждая из комбинатор- ных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу тп элементов из п различных элемен- тов исходного множества Е = {ei, в2, ..., еп}. При этом в постановке каждого такого опыта строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному Элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исход- ного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа п различных элементов множества Е. Схема выбора, приводящая к сочетаниям. Если опыт со- стоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами следует считать m-элементные подмножества множества Е, имеющие различный состав. Получаемые при этом комби- нации элементов (элементарные исходы) носят название сочетания из п элементов по т, а их общее число N (9) определяется по формуле prn = п- = n(n - 1) ,..(n-m + 1) n m!(n-m)! m! ’ k ; Для чисел С™, называемых также биномиальными коэффициен- тами, справедливы следующие тождества, часто оказывающиеся полез-
22 Гл. 18. Теория вероятностей ными при решении задач: С™ = С™~т (свойство симметрии), Сп+1 — Сп — 1 (рекуррентное соотношение), ----1-С*” = 2П (следствие биномиальной формулы Ньютона). Пример 7. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий: А = {в полученной выборке ровно одно изделие бракованное}, В = {в полученной выборке нет ни одного бракованного изделия}. <1 Занумеруем изделия числами от 1 до 10, и пусть множество но- меров Е\ = {1, 2, ..., 7} соответствует годным изделиям, а множество номеров Е2 = {8, 9, 10} — бракованным изделиям. Согласно описанию эксперимента производится выбор без возвраще- ния и без упорядочивания трех элементов из множества Е = = Е\ U Е2 = {1, 2, ..., 10}. Поэтому N (Q) = С^о = 120. Событию А благоприятствуют только такие исходы, когда один эле- мент выборки принадлежит Е2, а остальные два элемента — множеству Ei. По формуле прямого произведения множеств получаем, что число всех таких исходов N (А) = • Су = 63, поэтому РМ) = *И) = а1 1 1 ЛГ(Я) 40' Событию В благоприятствуют только такие исходы, когда все три отобранных элемента принадлежат множеству Ei, поэтому N (В) = С? = = 35. Отсюда следует, что 18.78. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками? 18.79. Из десяти первых букв русского алфавита наудачу соста- вляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероят- ности следующих событий: А = {в состав нового алфавита входит буква а}, В = {в состав нового алфавита входят только согласные буквы}. 18.80. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 пер- вокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого со- става наудачу выбирают пять человек на предстоящую конферен- цию. Найти вероятности следующих событий: А = {будут вы- браны одни третьекурсники}, В = {все первокурсники попадут на конференцию}, С = {не будет выбрано ни одного второкурсника}.
§ 1. Случайные события 23 18.81. Из урны, содержащей mi+mz шаров, из которых mi бе- лых и m2 черных, наудачу отбирают тп шаров (m min (mi, m2)) и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих собы- тий: А = {все отложенные шары белые}, В = {среди отложенных шаров ровно к белых; к тп}. 18.82 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти взроятности событий: С = {вынут хотя бы один белый шар}, D = {вынуто не менее к белых шаров; к С т}. 18.83. Для уменьшения числа игр 2т? футбольных команд, сре- ди которых 2 призера предыдущего чемпионата, путем жеребьевки разбиваются на две подгруппы (первую и вторую) по п команд в каждой. Какова вероятность qn того, что обе команды-призеры попадут в разные группы? 18.84. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А = {в полученной вы- борке все карты бубновой масти}, В = {окажется хотя бы один туз}, С = {появятся ровно 2 пики}. 18.85. Из урны, содержащей mi шаров с номером 1, m2 шаров с номером 2, ..., ms шаров с номером s, наудачу без возвращения извлекается п шаров. Найти вероятности событий: А — {появится П1 шаров с номером 1, 712 шаров с номером 2, ..., ns шаров с номером s}; В = {не появятся шары с номерами 1 или 2}. 18.86. Два равных по силе противника играют матч из п пар- тий в теннис. Каждая партия заканчивается выигрышем, либо проигрышем одного из участников. Все исходы данного матча считаются равновероятными. Найти вероятность того, что пер- вый игрок выиграет ровно m партий (т п). Схема выбора, приводящая к размещениям. Если опыт состоит в выборе тп элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исхо- дами данного опыта будут упорядоченные ттг-элементные подмножества множества К, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называются размещениями из п элементов по т, а их общее число определяется формулой п I ДГ(П) = А- = С-.т! = ^-^=п(п-1) ...(n-m + 1). (3) В частном случае т = п опыт фактически состоит в произвольном упорядочивании множества Е, т.е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества. При этом N (Q) = А” = п!. Пример 8. Множество Е состоит из 10 первых букв русского ал- фавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть по- лучено в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу соста- вленное слово будет оканчиваться буквой а?
24 Гл. 18. Теория вероятностей <1 N (Q) — число всех 4-буквенных слов в данном опыте — равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств из 10 элементов, т.е. N (Q) = А?о = 10 • 9 • 8 • 7 = 5040. Пусть событие А = {наудачу составленное слово из 4 букв множества Е оканчивается буквой а}. Число элементов множества А равно числу спо- собов разместить на три оставшиеся места по одному символу из 9 (сим- вол а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже определено); таким образом, ДГ (А) = А39 = 9 • 8 • 7 = 504 и ДГ(А) 504 1 “ N (Q) “ 5040 “ 10 ’ > Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке. В зада- чах 18.87-18.89 найти вероятности указанных событий. 18.87. А = {числа будут записаны в порядке возрастания}. 18.88. В = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возра- стания}, С = {числа 3, 6 и 9 будут стоять рядом}. 18.89. D = {на четных местах будут стоять четные числа}, Е = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом рассто- янии от концов, равна 10}. 18.90. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круг- лым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом? 18.91. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если а) число мест равно 8; б) число мест равно 12. 18.92. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: А = {появится число 123}, В = {появится число, не содержащее цифры 3}. 18.93 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {появится число, состоящее из после- довательных цифр}, D = {появится четное число}, Е = {появится число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3}. 18.94. п человек входят в комнату, где имеется всего m стульев (т п), и рассаживаются случайным образом, но так, что все стулья оказываются занятыми.
§ 1. Случайные события 25 а) Показать, что число всех способов рассаживания определя- ется формулой (3). б) Какова вероятность того, что два определенных лица ока- жутся без места? в) Какова вероятность того, что к определенных лиц будут си- деть {к т)? 18.95. п мужчин и п женщин случайным образом рассажива- ются в ряд на 2п мест. Найти вероятности следующих событий: А = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, В = {все мужчины будут сидеть рядом}. 18.96. 10 вариантов контрольной работы, написанные каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются слу- чайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятности следующих событий: А = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными}, В = {варианты 1 и 2 достанутся рядом си- дящим студентам}, С = {будут распределены последовательные номера вариантов}. 18.97. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случай- ным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Ка- кова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовав- шейся очереди окажутся ровно 5 человек? Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторе- ниями. Если опыт состоит в выборе с возвращением тп элементов мно- жества Е = {ei, 62,..., еп}, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные т- элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при т = 4 наборы {ei, ei, 62, ei} и {б2, ei, ei, 61} неразличимы для данного эксперимента, а набор {ei, ei, ез, 61} отличен от любого из предыдущих. Получающи- еся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой ^(Q) = c-Tn_i. Пример 9. В технической библиотеке имеются книги по матема- тике, физике, химии и т.д.; всего по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав зака- занной литературы равновозможен, найти вероятности следующих со- бытий: А = {заказаны книги из различных разделов науки}, В = ~ {заказаны книги из одного и того же раздела науки}. <1 Число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно, очевидно, числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т.е. W) = с^-, = с^. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов
26 Гл. 18. Теория вероятностей отобрать без возвращения четыре элемента из 16, поэтому Р(А) = N (А) _ _ 455 N (Q) “ С{9 ~ 969 Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу спосо- бов выбрать один элемент из шестнадцати, поэтому Р(В) = N(B)_C}6^ 4 N (Q) С}9 969 «0,004. О 18.98. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказы- ваемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал: а) пирожные одного вида; б) пирожные разных видов; в) по два пирожных различных видов. 18.99. Из общего количества костей домино, содержащих числа 0, 1, 2, ..., п, наудачу извлекли одну кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность рп того, что вторую извлеченную также наудачу кость домино можно будет приставить к первой. Найти числовые значения вероятности для п = 6 (обычный набор домино) и п = 9 (расширенный набор). Схема выбора, приводящая к размещениям с повторе- ниями. Если выбор m элементов из множества Е = {ei, e2, ..., еп} производится с возвращением и с упорядочиванием их в последователь- ную цепочку, то различными исходами будут всевозможные т-элемент- ные наборы (вообще говоря, с повторениями), отличающиеся либо соста- вом элементов, либо порядком их следования. Например, при m = 4 мно- жества = {61, 61, 62, 61}, Ll)2 = {б2, 61, 61, 61} И Ll)3 = (61, 61, 6з, 61} являются различными исходами данного опыта. Получаемые в резуль- тате комбинации называются размещениями с повторениями, а их об- щее число определяется формулой 7V(Q) = пт. Пример 10. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпа- ются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шари- ков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой и еще какая-либо лунка)? <1 Занумеруем лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номеру шарика) бу- дет поставлена в соответствие одна из четырех букв алфавита (номер лунки).
§ 1. Случайные события 27 Так, например, слово 1 1 3 1 4 4 2 1 2 3 4 5 6 7 означает, что в первую лунку попали шары №1, №2 и №4, во вторую лунку — шар № 7, в третью — шар Xs 3, в четвертую — шары № 5 и № 6. Таким образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4 лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т.е. JV(fl) = 47. Событие А = {первая лунка окажется пустой} соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой лунки) удален из алфавита. По- этому N (А) = З7 и Р(А) = W) ЛГ(П) «0,133. О 18.100. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычис- лить вероятности следующих событий: А = {ни на одной кости не выпадет 6 очков}, В = {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков}, С = {ровно на 3 костях выпадет 6 очков}. 18.101. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвраще- нием одной из букв алфавита Е = {а, б, к, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово мама? 18.102. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь ав- томатически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова веро- ятность события А = {вошедшему удастся открыть дверь за один час}? 18.103. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера со- стоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: А = {четыре последние цифры телефонного номера одинаковы}, В = {все цифры раз- личны}. 18.104 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {номер начинается с цифры 5}, D = = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}. 18.105. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семи- этажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной веро- ятностью выйти на 2-м, 3-м, ..., 7-м этажах, найти вероятности
28 Гл. 18. Теория вероятностей следующих событий: А = {на втором, третьем и четвертом этажах не выйдет ни один из пассажиров}, В = {трое пассажиров вый- дут на седьмом этаже}, С = {на каждом этаже выйдет по одному пассажиру}, D = {все пассажиры выйдут на одном этаже}. 18.106. К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по одному автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на пе- рекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время все автомобили покинули пе- рекресток. Найти вероятности следующих событий: А = {все автомобили поедут по одной и той же улице}, В = {по определен- ной улице поедут ровно три автомобиля}, С = {по крайней мере по одной из улиц не поедет ни один автомобиль}. 18.107* . п различных предметов случайным образом распреде- ляются по s занумерованным ящикам таким образом, чтобы к-й по счету ящик содержал ровно 0 предметов + П2 4---------F ns = = п). Показать, что число всех элементарных исходов данного опыта (число упорядоченных разбиений из п по s) определяется формулой 18.108. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Ива- нов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четы- рехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер? 18.109. В условиях задачи 18.80 найти вероятность события D = {будут выбраны: 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третье- курсника}. 18.110. 20 футбольных команд, среди которых 4 призера пре- дыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 зануме- рованные подгруппы по 5 команд. Найти вероятности событий: А = {в первую и вторую подгруппы не попадет ни один из призе- ров}, В = {в каждую подгруппу попадет один из призеров}. 18.111. Множество Е состоит из п символов, среди которых щ СИМВОЛОВ 61, П2 СИМВОЛОВ 62, . . • , П8 СИМВОЛОВ es Н-7^2 н-FT!s = = п). Опыт состоит в поэлементном выборе без возвращения всех 71 элементов множества Е и записи слова. а)** Показать, что число всех различных слов, полученных в данном эксперименте, определяется формулой (4). б) Какова вероятность, что в полученном слове первыми щ буквами является символ ei?
§ 1. Случайные события 29 18.112. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: А = {выпадут 3 единицы, две тройки и одна шестерка}, В = {выпадут различные цифры}, С = {выпадут три и только три одинаковые цифры}, D = {выпадут только нечетные цифры}, Е — {выпадут три четные и три нечетные цифры}. 18.113. Из разрезной азбуки выкладывается слово математи- ка. Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово математика? 18.114. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности следующих событий: А = {каждый игрок получит туза}, В = {первый игрок получит все 13 карт одной масти}. 18.115 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С = {все тузы попадут к од- ному из игроков}, D = {двое определенных игроков не получат ни одного туза}. Решить задачи 18.116-18.138, используя подходящие комбина- торные схемы. 18.116. Множество Е состоит из трех различных элементов: Е = {а, 6, с}. Выписать состав Q во всех четырех опытах по вы- бору двух элементов из множества Е без возвращения и с возвра- щением, без упорядочивания и с упорядочиванием. Определить число элементов множества Q (число различных выборок) в ка- ждом из четырех случаев и сравнить результат с тем, который получается по соответствующей комбинаторной формуле. 18.117. Опыт состоит в случайном выборе одного элемента из множества Е\ = {а, Ь} и одного элемента из множества Е2 = = {а, 5, с}. Перечислить состав множества Е = Ei х Е2. Ка- кова вероятность того, что выборка будет состоять из одинаковых элементов? 18.118. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., п, к раз (к п) вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют воз- растающую последовательность. 18.119. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.74, при т > 71 найти вероятность того, что орудия выстрелят по раз- личным самолетам. 18.120. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., п, на- удачу отбирается к шаров и номера вынутых шаров записываются последовательно. Какова вероятность того, что на фиксированном тл-месте (тп к) окажется шар с номером тп, если выбор осуще- ствляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
30 Гл. 18. Теория вероятностей 18.121. На тренировке детской спортивной школы по футболу роли игроков распределяются случайным образом среди одинна- дцати участников. Нужно отобрать одного вратаря, четырех за- щитников, трех полузащитников и трех нападающих. Какова ве- роятность того, что два друга-участника Коля и Миша: а) будут играть в нападении; б) получат разные роли, причем один из дру- зей будет играть в нападении, а другой — в защите? 18.122. В лотерее выпущено п билетов, из которых m выигрыш- ные. Куплено к билетов. Какова вероятность следующих событий: А = {из к билетов хотя бы один выигрышный}, В = {из к билетов ровно один выигрышный}, С = {из к билетов ровно ki выигрыш- ных}? 18.123. Какова вероятность рп того, что в группе из п (п 365) случайно отобранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения? Оценить значение рп для п = 24 и п = 50. 18.124. На заводе работает 30000 рабочих и служащих. По- казать, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми инициалами имени, отчества и фамилии. 18.125. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре равновероятно, опреде- лить вероятности следующих событий: А = {во всех разрядах стоят нули}, В = {во всех разрядах стоят одни и те же цифры}. 18.126 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С = {регистр содержит ровно две одинаковые цифры}, D = {регистр содержит ровно две пары одинаковых цифр}. 18.127 (продолжение). В условиях задачи 18.125 найти веро- ятности событий: Е = {регистр содержит ровно три одинаковые цифры}, F = {регистр содержит три и только три различные ци- фры}. 18.128. 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются слу- чайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было оди- наковое количество фруктов. Найти вероятности следующих со- бытий: А = {в каждом из пакетов по одному апельсину}, В = = {определенный пакет не содержит апельсинов}. 18.129. Из множества чисел Е = {1, 2, ..., тг} выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением? 18.130. Из множества чисел Е = {1, 2, ..., п} выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число заключено между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвраще- ния; б) с возвращением?
§ 1. Случайные события 31 18.131. Каждая из п палок случайным образом ломается на две части — длинную и короткую. Затем 2п полученных обломков наудачу объединяются в п пар, каждая из которых образует новую палку. Найти вероятности следующих событий: А = {все обломки объединятся в первоначальном порядке}, В = {все длинные части объединятся с короткими}. 18.132. Путем жеребьевки разыгрывается шесть подписных из- даний среди десяти участников. Сколько различных распределений подписок возможно, если каждое очередное наименование разыгрывается между всеми участ- никами? Найти вероятность того, что первые шесть человек по- лучат каждый по одной подписке. 18.133 (продолжение). В условиях предыдущей задачи отве- тить на те же вопросы, если каждый участник, получивший под- писку, выбывает из игры. 18.134. Опыт состоит в том, что п различных предметов слу- чайным образом распределяются среди тп человек (тп < п), при- чем таким образом, что каждый может получить любое число пред- метов из имеющихся. Какова вероятность следующих событий: А = {все предметы достанутся одному из участников}, В = {опре- деленное лицо не получит ни одного предмета}. 18.135 (продолжение). В условиях эксперимента предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {определенные mi лиц получат по одному предмету}, D = {определенные щ предметов достанутся одному из участников}. 18.136. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.106, найти вероятности следующих событий: Е = {автомобили разъ- едутся по улицам попарно}, F = {по определенной улице поедут два автомобиля}. 18.137. Условия эксперимента, описанного в задаче 18.106, из- менены следующим образом: на перекрестке запрещены разво- роты. Все остальные направления движения для любого из ав- томобилей равновероятны. Найти вероятности событий Е и F, определенных в предыдущей задаче. 18.138* . Из совокупности всех непустых подмножеств множе- ства Е = {ei, 62, ... , еп} по схеме выбора с возвращением отби- раются два подмножества Еу иЕ?. Какова вероятность того, что они пересекаются? 6. Геометрические вероятности. Формула классической вероятности следующим образом обобщается на случай непрерывных пространств элементарных исходов Q. Пусть Q-квадрируемая область на плоскости. Рассмотрим систему Т квадрируемых подмножеств множества Q. Как отмечалось в примере 4, система У является сг-алгеброй. Пусть условия опыта таковы, что ве-
32 Гл. 18. Теория вероятностей роятность попадания в произвольную квадрируемую подобласть и обла- сти Q пропорциональна площади этой подобласти и не зависит от ее ме- стоположения в Q. При этих условиях для вероятности осуществления любого наблюдаемого в данном эксперименте события А = {(х, у) € 6 Lu? | lu € Т7} справедлива формула геометрической вероятности P(A) = P{(xty'>eu\aJer} = ^ (5) О I) где S (и) — площадь подобласти ш. Формула (5) естественным образом обобщается на случай пространств произвольной размерности: Р(А) = Р{(ж1, ж2, ... , хп) G u|w е = mes (l;) mes (Q) ’ где mes (и) —мера множества и (длина, площадь, объем и т.д. в зави- симости от размерности того пространства, в котором рассматриваются данные множества). Пример 11. На бесконечную шахматную доску со стороной квад- рата а наудачу бросается монета радиуса r < а/2. Найти вероятности следующих событий: А = {монета попадет целиком внутрь одного квад- рата}, В = {монета пересечет не более одной стороны квадрата}. <] Пусть (ж, у)—координаты центра упавшей монеты. В силу бес- конечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяют- ся положением центра упавшей монеты отно- сительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата, можем записать множество элементарных исходов в виде Q = = {(ж, у) 10 ж, у а}. Множество ша, со- ответствующее событию А, имеет вид соа = = {(ж, у) | г ж, у а — г}, т.е. является квадратом со стороной а — 2г. По формуле геометрической вероятности (5) находим Рис. 4 . _ S (а?д) _ (а - 2г)2 ( ’ S (Q) а2 ' Множество ив, имеющее более сложную структуру, изображено на рис. 4. Так как S (а?в) = а2 — 4г2, то, снова используя формулу (5), находим Р(В) = S(uB) S(Q) г2 = 1-4- а2 О 18.139 . Внутри квадрата с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1) и (0, 1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность со- бытия А = {(я, у) | х2 -I- у2 а2, а > 0}.
§ 1. Случайные события 33 18.140 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события В = {(гг, у) | ху < a, a > 0}. 18.141 (продолжение). В условиях задачи 18.139 найти веро- ятности событий: С = {(ж, у) | шах (я, у) < a, a > 0}, D = = {(ж, у) I min (ж, у) < а, 0 a 1}. 18.142 . На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты — крас- ный, затем снова одну минуту — зеленый и полминуты — крас- ный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъез- жает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет пере- кресток без остановки? 18.143 . Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взя- тых отрезков, длина каждого из которых не превосходит /, будет больше /? 18.144 . Луч локатора перемещается в горизонтальной плоско- сти с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе а радиан, если появление цели по любому направлению одинаково возможно? 18.145 . Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно ма- лой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно I (/ > а)? 18.146 . На поверхности шара берут наудачу две точки и соеди- няют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того, что дуга не превзойдет а радиан. 18.147 . Какова вероятность того, что случайно выбранная на глобусе точка лежит: а) за полярным кругом (66°33' северной ши- роты); б) между 60° и 30° северной широты; в) между 10° и 40° западной долготы? 18.148 (задача о встрече). Найти вероятности событий А из задачи 18.7 и С из задачи 18.8. 18.149 (продолжение задачи о встрече). Найти вероятности событий D, Е и F из задачи 18.9. 18.150 . Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равно- возможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа. 18.151 . В случайный момент времени х G [0, Т] появляется радиосигнал длительностью ti. В случайный момент времени У € [0, Т] включается приемник на время Найти веро- ятность обнаружения сигнала, если: а) приемник настраивается мгновенно; б) время настройки приемника равно (t-з < t% < ti).
34 Гл. 18. Теория вероятностей 18.152 *. Значения а и b равновозможны в квадрате |а| С 1, |6| С 1. Найти вероятности следующих событий: А = {корни квадратного трехчлена х2 + 2ах + Ь действительны}, В — {корни квадратного трехчлена х2 + 2ах + b положительны}. 18.153 *. Однородный прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания г случайным образом бросается на горизон- тальную плоскость. Найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность. 18.154 *. На отрезке длины I наудачу выбираются две точки Mi и М2. Определить вероятность того, что из полученных трех отрезков можно построить треугольник. 18.155 *. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сет- кой многократно бросается монета диаметра d, в результате чего установлено, что в 40 % случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки. 18.156 *. На окружности единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный? 18.157 . Даны две концентрические окружности радиусов Г2 > гр На большей окружности наудачу ставятся две точки А и В. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет малую окружность? 18.158 . Из отрезка [—1, 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы? 18.159 * (задача Бюффона). На плоскость, разграфленную па- раллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстояние 2а, наудачу бросается игла длиной 21. Какова веро- ятность того, что игла пересечет одну из параллельных прямых, если I а. 18.159 (1) ( парадокс Бертрана). В круге единичного радиуса наудачу проводится хорда. Какова вероятность, что длина хорды окажется больше длины стороны правильного треугольника, впи- санного в данную окружность? Парадокс заключается в неоднозначности результата, который зави- сит от истолкования слова «наудачу». Рассмотрим следующие варианты. 1) Случайным образом выбирается точка в круге и через нее един- ственным способом проводится хорда перпендикулярно радиусу. 2) Как бы ни была проведена хорда, всегда можно сориентировать вписанный треугольник таким образом, чтобы одна из его вершин со- впала с одним из концов хорды. Фиксируем этот конец хорды, например, в точке (1, 0). Другую точку выбираем наудачу на окружности. 3) Тот же правильный треугольник можно сориентировать так, чтобы одна из его высот была параллельна проведенной хорде. Поэтому счи- таем, что хорда проводится параллельно заданному направлению, на-
§ 1. Случайные события 35 пример оси Ох. Для этого достаточно выбрать наудачу точку на радиусе, ориентированном вдоль оси Оу, и провести единственную хорду перпен- дикулярно радиусу. 7. Условные вероятности. Независимость событий. Ранее было вве- дено понятие вероятности как числовой функции, определенной на поле событий для данного эксперимента и удовлетворяющей трем основным аксиомам (п. 3). Такую вероятность называют безусловной вероятно- стью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнитель- ных условий, кроме фиксированного комплекса условий S, которым ха- рактеризуется эксперимент. Пусть Аи В — наблюдаемые события в эксперименте, причем Р (А) > > 0. Условной вероятностью Р (В/А) осуществления события В при условии, что событие А произошло в результате данного экспери- мента, называется величина, определяемая равенством р (В/Л) = ' (6) Для краткости условную вероятность Р(В/А) называют «вероятно- стью события В при условии А». При Р (А) = 0 условная вероятность Р (В/А) не определена. Нетрудно проверить, что в случае произвольного вероятностного про- странства определенная формулой (6) вероятность Р (В/А), рассматри- ваемая как функция наблюдаемых событий В € Т при фиксированном событии А, удовлетворяет трем основным аксиомам и всем их след- ствиям (см. задачу 18.160). Формула (6), по существу, сводит вопрос о вычислении условной ве- роятности к вычислению двух безусловных вероятностей, определенных в заданном вероятностном пространстве. Пример 12. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. Со- бытия: А = {первый шар белый}, В = {второй шар белый}, С = {по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Р(ВМ),Р(Л/В)иР(А/С). <1 Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой (6). Занумеруем белые шары цифрами 1, 2, 3, а черные — цифрами 4, 5, ..., 10. Согласно описанию эксперимента имеем следую- щую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1, 2, ..., 10} с упорядочиванием, поэтому множество элементарных ис- ходов можно записать в виде Q = {ujij = (г, j) | г = 1, ..., 10; j = 1, ..., 10; г / j}. Отсюда следует, что N (Q) = Af0 = 90, Р (о^) = 1/90 для всех допусти- мых значений г и у. Подмножества, соответствующие событиям А и В, имеют следующий состав: А = {(г, >) | г = 1, 2, 3; j = 1, ..., 10; i/j}, В = {(г, » | i = 1, ..., Ю; > = 1,2,3; i/j},
36 Гл. 18. Теория вероятностей причем, как нетрудно подсчитать, N (А) = 3-9, N (В) = 9-3, 3 3 р'А) = й’ Р<В) = Й5- Событию АВ соответствует подмножество АВ = {(г, J) | г = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; г / у}, следовательно, N (АВ) =3-2, Р(ЛВ) = 10 По формуле (6) отсюда находим РГД/Д1-Р(ЛВ)-2 PU/m-Р(ЛВ> - 2 р(В/Л) - ТмГ - 9 ’ Р'Ж"Ж"5' Далее, по формуле классической вероятности Р(С) = 1-Р(С) = 1_^ = А. Для вычисления вероятности произведения АС заметим, что АВ С С А, поэтому АС = А (А + В) = А + АВ = А (см. задачу 18.19, формула (1)). Отсюда Р(АС) = Р(А) = Наконец, снова используя формулу (6), получаем 18.160. Пусть А, В и С — наблюдаемые события, причем Р (С) > О, Р (АС) > 0. Доказать справедливость следующих фор- мул для условной вероятности: Р(АВ/С) = Р(А/С) Р(В/АС) (формула умножения), Р(А + В/С)=Р(А/С) + Р(В/С)-Р (АВ/С) (формула сложения). 18.161. Показать, что если А, В и С — такие наблюдаемые в эксперименте события, что Р (А) / О, ВС / 0 и А = ВС, то справедлива следующая формула сложения: Р (В + С/А) = Р (В/А) + Р (С/А).
§ 1. Случайные события 37 Р (А) 18.162. Доказать, что Р (А/В) > 1 — . Р \В) 18.163. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А = {выпало простое число очков}, В = {выпало четное число очков}. Вычислить вероятность Р(А/В). 18.164. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит. 18.165. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени ti, равна 0,8, а вероятность того, что он не откажет к моменту времени t% (£г > ^i), равна 0,6. Найти вероятность того, что прибор, не отказавший к моменту времени ti, не откажет и к моменту времени 18.166. Электрическая схема (рис. 5) состоит из элементов, ка- ждый из которых в момент включения с равной вероятностью мо- жет либо проводить, либо не проводить ток. Состояние каждого из элементов не влияет на состояния осталь- ______ — ных. Введем следующие события: С = | / | 3 г~ s= {цепь проводит ток}, Ai = {г-й элемент А-, проводит ток, г = 1, 2, ..., 5}. Вычислить — 3 — Р (А/С) и Р (А2/С). | 18.167* . В семье двое детей. Считая, L£j LLj что рождение мальчика и девочки — неза- висимые и равновероятные события, вы- Рис- 5 числить вероятность того, что оба ребенка — мальчики, если из- вестно, что в семье есть мальчик. 18.168. Из множества чисел {1, 2, ..., N} по схеме случайного выбора без возвращения выбирают три числа. Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образо- ванный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго. 18.169. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблю- даемые события: А = {на трех костях выпадут разные грани}, В = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить Р(В/А) иР(А/В). Событие А называется независимым от события В, удовлетворяю- щего условию Р (В) > 0, если выполняется равенство Р (A/В) = Р(А). События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В). (7)
38 Гл. 18. Теория вероятностей События Ai, А2, ... , Ап называются независимыми в совокупно- сти, если для любого набора из т событий (т = 2, 3, ..., п) выполня- ется равенство P(A*,4*2...A*„)=P(4tl)P(4*2) ...Р(А„), к„е{1, 2, (8) Пример 13. В условиях эксперимента, описанного в примере 12, установить, являются ли независимыми события Аи В, АиС, В иС, события А, Б и С в совокупности. <] Так как все необходимые вероятности вычислены в примере 12, то для решения задачи достаточно проверить, выполняется ли для каждой пары событий критерий независимости (7), а для трех событий А, В и С — критерий (8). Имеем 1 9 Р(ЛВ) = -, Р(Л)Р(В) = —/Р(ЛВ), Io 1UU т.е. события А и В не являются независимыми (в таком случае говорят, что они зависимы). Далее, как установлено в том же примере, Р (АС) = Р (А) / Р (А) Р (С), так как Р (С) / 1. Следовательно, события А и С также зависимы. Наконец, Р (ВС) = Р (В (А + В)) = Р (АВ + В) = Р (В) / Р (В) Р (С), поэтому и события В и С являются зависимыми. События А, В и С не являются независимыми в совокупности, так как согласно критерию (8) для этого необходимо, чтобы все три события были попарно независимы. t> Формулы (7) и (8) позволяют выделять независимые события в тех случаях, когда модель вероятностного эксперимента формализована и ве- роятности всех нужных событий полностью определены. Однако в прак- тических задачах, связанных с проведением реальных экспериментов, далеко не всегда возможно использование данных критериев независи- мости. В таких случаях часто применяют гипотезу о физической неза- висимости событий: считаются независимыми события, не связанные причинно. Так, например, естественно считать независимыми результаты стрельбы из двух орудий при одновременном выстреле по цели или собы- тия, связанные с появлением брака определенного вида изделий, произ- водимых двумя поточными линиями на различных предприятиях, и т. д. 18.170. Пусть А и В — наблюдаемые события в эксперименте, причем Р (А) > О, Р (В) > 0 и событие А не зависит от В. Пока- зать, что справедливы следующие утверждения; а) событие В не зависит от А; б) события А и В независимы. (Тем самым устана- вливается, что свойство независимости двух событий взаимно.)
§ 1. Случайные события 39 18.171. Пусть события А и В несовместны, причем Р (Л) / О и Р (В) ф 0. Доказать, что они зависимы. В частности, отсюда следует, что элементарные исходы любого вероятностного экспе- римента зависимы. 18.172. Пусть события Л и В независимы и не являются не- возможными. Доказать, что они обязательно совместны. 18.173. События Л и В зависимы. Следует ли из этого, что они несовместны? Привести пример. 18.174* . Пусть события Ли В независимы. Показать, что тогда независимы и события Л и В. 18.175. Пусть для двух наблюдаемых в эксперименте событий Л и В выполняются условия Л / Q, Л 7^ 0, Р (Л) > 0, Р (В/Л) = = Р (В/Л). Показать, что события Л и В независимы. 18.176. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: Л = {вынутая карта — туз}, В = {вынута карта черной масти}, F = {вынутая карта — фигура, т.е. является валетом, да- мой, королем или тузом}. Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: Л и В, Л и F, F и В. 18.177. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.169, установить, зависимы или независимы события С = {появится не менее двух единиц} и D = {появится четное число нечетных цифр}. Вычислить условную вероятность Р(В/С). 18.178. Тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, желтый и синий цвета, а четвертая грань содержит все три цвета, бросается наудачу на плоскость. События К, G и S состоят в том, что тетраэдр упал на грань, содержащую соответ- ственно красный, желтый либо синий цвет. Доказать, что указан- ные события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности. 18.179. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 чело- век знают английский язык, 40 — французский и 35 — немец- кий. Английский и французский языки знают 20 студентов, ан- глийский и немецкий — 8, французский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из ауди- тории. Рассмотрим следующие события: Е = {вышедший знает английский язык}, F = {вышедшяй знает французский язык}, D = {вышедший знает немецкий язык}. а) Указать все пары независимых событий. б) Установить, являются ли события Е, F и D независимыми в совокупности. 18.180. Производится два последовательных извлечения по одному шару без возвращения из урны, содержащей mi белых и т2 черных шаров. События: Л = {первый шар белый},
40 Гл. 18. Теория вероятностей В = {второй шар белый}. Показать, что p^ = ^73i = p^’ W где В' = {вынутый шар белый} — событие, наблюдаемое в новом эксперименте, состоящем в выборе наудачу одного шара из урны, состав которой изменен в соответствии с условием события А. Указанный метод вычисления условной вероятности называется ме- тодом вспомогательного эксперимента. <] Так как эксперимент представляет собой схему выбора без возвра- щения и с упорядочиванием, то N (Q) = А^1+тП2, N (АВ) = А^. Следовательно, Р (АВ) = N(AB) = Ami = т^т! - 1) N (О,) Атх+т2 (mi + m2) (m! + m2 - 1) Аналогично находим Р (Л) = Р (АВ + АВ) = Р (АВ) + Р (АВ) = ___ АТП1 | ^1711 Ст2 _ mi(mi + m2 - 1) Ат1+т2 Ат1+т2 (т1 + т2) (ТЩ + Ш2 - 1) ’ Подставляя полученные выражения в формулу (6) для вычисления условной вероятности, получаем Р (В/А) = , mi + m2 - 1 и первая часть равенства (*) доказана. Для доказательства второй части равенства (*) заметим, что согласно условию события А один белый шар удален из урны. Новый (вспомога- тельный) эксперимент состоит в том, что из оставшихся т\ + m2 — 1 шаров наудачу извлекают один шар. Вероятность, что он окажется бе- лым (событие В'), определяется по классической формуле mi~1 ' ’ N(ay mi+rm-i’ что и доказывает вторую часть равенства (*). t> В задачах 18.181-18.185 вычислить указанные условные веро- ятности методом вспомогательного эксперимента. 18.181. Найти вероятность Р (В/А) в условиях эксперимента, описанного в примере 12.
§ 1. Случайные события 41 18.182. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих ша- ров. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не вынут синий шар. 18.183. На шахматную доску наудачу ставятся два слона — бе- лый и черный. Какова вероятность того, что слоны не побьют друг друга при условии, что белый слон попадет на одно из крайних полей доски? 18.184. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех жен- щин — дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтони- ком. Какова вероятность, что это мужчина? 18.185. На шахматную доску наудачу ставят две ладьи. Вычи- слить Р (В/А), если А = {ладьи попали на клетки разного цвета}, В = {ладьи побьют друг друга}. 18.186. Доказать, что для любого эксперимента любое наблю- даемое событие А не зависит от события Q. Объяснить этот ре- зультат. 8. Вероятности сложных событий. Сложным событием называется наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций. Вероятность осуществления того или иного сложного события вычи- сляется по правилам, основу которых составляют: формула умножения вероятностей Р (АВ} = Р (А) Р (В/А) = Р (В) Р (А/В), (9) формула сложения вероятностей Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ). (10) Формула (9) справедлива, если Р (А) > 0, Р (В) > 0, и позволяет вы- числять вероятность совместного осуществления событий А и В в тех случаях, когда условная вероятность считается известной (из дополни- тельных опытов) или определяется методом вспомогательного экспери- мента. Формула умножения для произвольного числа событий записывается следующим образом: Р (ЛА2 ... А„) = Р (А,) Р (A2/Ai) ... Р (А„/А, А2 ... A„-i). (11) Формула (11) справедлива, если все входящие в правую часть условные вероятности определены. Формула сложения для п слагаемых записывается в виде (п \ п А, =52Р(А,)-У2ЕР(ЛМ;)+ к=1 / fc=l i<j +52 Е ЕР + • + (-l)n“‘ p (-41A2 ... An). (12) i<j<k
42 Гл. 18. Теория вероятностей Если события Ai, А2, ... , Ап независимы в совокупности, то веро- ятность осуществления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения (12), а с помощью формулы умножения: Р (Ai 4- А2 + • • • + An) = 1 — Р (Ai 4- А2 4- • • • 4- Ап) = = 1-P(Ai)P(A2) ...Р(АП). (13) Пример 14. В продукции завода брак составляет 5% от общего ко- личества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Ка- кова вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная? <3 Для любой детали из продукции завода вероятность быть брако- ванной равна по условию р = 0,05 = Р (А*), к = 1, 2, ..., 20, где со- бытие Ak — {к-я по счету извлеченная деталь бракованная}. Очевидно, нас интересует событие Ai + А2 + •• • + A2q. В условиях отлаженного технологического процесса можно считать, что события Ai, А2, ... , А2о независимы в совокупности. По формуле (13) получаем 20 Р (Ai 4- А2 4- • • • 4- А20) = 1 - П Р Л) = 1 ~ °’9520 « °>64- > k=i Пример 15. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.179, вычислить вероятности следующих событий: А = {вышедший знает или английский или французский язык}, В = {вышедший не знает ни одного языка}. <3 Так как А = E+F, то, используя формулу сложения (10) и данные задачи 18.179, получим Р (А) = Р (Е) + Р (F) - Р (EF) = 0,5 4- 0,4 - 0,2 = 0,7. Для вычисления вероятности события В = EDF используем пра- вила де Моргана и формулу сложения для трех событий: Р(В) = P(EDF) = P(E4-D4-F) = 1 - Р(Е 4- D 4- F) = = l-(P(E)4-P(n)4-P(F)-P(En)-P(EF)-P(nF)4-P(EDF)) = 0,08. > 18.187. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, на- удачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвраще- нием; б) без возвращения. 18.188. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.176, вычислить вероятность событий BF, AF и ABF. 18.189. Только один из п ключей подходит к данной двери. Найти вероятность того, что придется опробовать ровно к ключей (к С п) для открывания данной двери.
§ 1. Случайные события 43 18.190. Студент может уехать в институт или автобусом, ко- торый ходит через каждые 20 мин, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Какова вероятность того, что сту- дент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут? 18.191. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна pi, для второго стрелка равна р%. Стрел- ки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попада- ния в мишень для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятности следующих событий: А = {ни одного попада- ния в мишень}, В = {ровно одно попадание в мишень}. 18.192. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов, равна 0,2, вто- рой— 0,3 и третий — 0,4. По условиям приема события, состо- ящие в том, что г-й по счету вызов (г = 1, 2, 3) услышан, не- зависимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит радиста. 18.193. Известно, что А и В — наблюдаемые события в экс- перименте, причем Р (В) = 0,4, Р (А/В} = 0,3, Р (А/В) = 0,2. Найти Р (А), Р(АВ), Р(А + В) иР(АДВ). 18.194. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.176, вычислить вероятности событий В + F, F — A, F — АВ. 18.195. В условиях задачи 18.38 найти вероятность поражения самолета, если Р (BJ = Р (В2) = р\, Р (К) = Р2- 18.196. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 40 % участвуют в научной работе на кафедрах и 20 % за- нимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Кор- респондент местной газеты подошел к наудачу выбранному сту- денту. Найти вероятности следующих событий: А = {студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов де- ятельности}, В = {студент занимается одним только спортом}, С = {студент занимается только одним видом деятельности}. 18.197. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова веро- ятность того, что студент сдаст зачет? 18.198. Студенты выполняют контрольную работу в классе кон- тролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для полу- чения положительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано пять различных ответов, из которых только
44 Гл. 18. Теория вероятностей один правильный. Студент Иванов плохо знает материал и по- этому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова веро- ятность того, что он получит положительную оценку? 18.199. Наудачу подбрасывают две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А — {сумма выпавших очков четна}, В — {произведение очков четно}, С = {на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно}, D = {ни на одной из костей не выпало шесть очков}. 18.200. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70 % всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% — для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции от- правляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, пред- назначенных для цветных телевизоров, 40 % отправляется на экс- порт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп предназначен для черно-белого телевизора и будет отпра- влен на экспорт. 18.201. Проводится три повторных независимых измерения не- которой физической величины. Вероятность того, что при одном измерении (любом) ошибка выйдет за пределы допуска, равна 0,1. Найти вероятности следующих событий: А = {во всех проведен- ных измерениях была достигнута заданная точность}, В = {не более чем в одном измерении ошибка выйдет за пределы допуска}, С — {по крайней мере в двух измерениях подряд была достигнута заданная точность}. 18.202. По каналу связи, состоящему из передатчика, ретранс- лятора и приемника, передаются два сигнала: единица и нуль. Вследствие воздействия помех сигналы могут искажаться. На уча- стке передатчик — ретранслятор единица переходит в единицу с вероятностью р\ и в нуль с вероятностью 1 — pi; нуль переходит в нуль с вероятностью qi и в единицу с вероятностью 1 — q^. На участке ретранслятор — приемник вероятности указанных собы- тий соответственно равны р2, 1 — Р2, q2 и 1 — q2- Определить вероятность события А = {кодовая комбинация 10, посланная пе- редатчиком, принята без искажений}. 18.203 {задача де Мере). Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12? 18.204. Вероятность поражения цели при одном выстреле рав- на pi. Сколько надо произвести независимых выстрелов в неиз- менных условиях, чтобы с вероятностью, не меньшей рг, поразить цель хотя бы один раз? Написать общее выражение для наимень- шего числа выстрелов п (pi, Р2) и найти следующие числовые зна- чения: 72 (0,3; 0,9), 72 (0,3; 0,95).
§ 1. Случайные события 45 18.205. Самолет состоит из трех различных по уязвимости ча- стей: 1) кабины летчика и двигателей, 2) топливных баков, 3) пла- нера. Для поражения самолета достаточно одного попадания в пер- вую часть, двух попаданий во вторую часть или трех попаданий в третью. При попадании в самолет одного снаряда он с вероятно- стью pk и независимо от других попадает в к-ю часть (к = 1, 2, 3). Самолет был обстрелян. События: А = {в самолет попало 3 сна- ряда}, В = {самолет поражен}. Найти условную вероятность Р(ВМ). 18.206. В тире имеются мишени двух типов: мелкие (диамет- ра d) и крупные (диаметра 2d). Стреляющему обещан приз, если ОН из трех выстрелов по крайней мере дважды подряд поразит цель, выбирая ее каждый раз по своему усмотрению, но с обяза- тельным условием: не стрелять дважды подряд в мишень одного и того же диаметра. С какой мишени — мелкой или крупной — сле- дует начать состязание стреляющему, если вероятность попада- ния в мишень пропорциональна ее площади? 18.206( 1) (задача Паччоли о разделе ставки}. Двое равно- сильных игроков играют матч до 6 побед в игру типа тенниса (где нет ничьих). Игра прервана при счете 5 : 3 в пользу одного из игроков. В каком отношении следует по справедливости разделить ставку между ними? 18.207. Производится стрельба из зенитного орудия по воздуш- ной цели. Попадания при отдельных выстрелах независимы н имеют вероятность р. Если снаряд попал в цель, то она поража- ется с вероятностью р\. Боевой запас орудия п снарядов. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса. Найти вероятности следующих событий: А = {не весь боезапас будет израсходован}, В = {останутся неизрасходованными не ме- нее к снарядов}. Рассмотрим работу в течение фиксированного интервала времени Т некоторой физической системы, состоящей из п определенным образом соединенных элементов (деталей, узлов и т.п.). Надежность такой си- стемы в узком смысле количественно определяется вероятностью безот- казной работы в течение интервала времени Т. Возникновение отказов системы определяется отказами ее элементов, и, следовательно, надеж- ность системы зависит от надежности элементов. . Различают параллельное соединение элементов системы (резервиро- вание или дублирование) и последовательное. При параллельном соеди- нении отказ системы происходит лишь при отказе всех элементов, а при последовательном — при отказе хотя бы одного элемента. Отказы от- дельных элементов системы могут быть зависимыми или независимыми (в совокупности) событиями, что необходимо оговаривать при математи- ческой формализации соответствующего случайного эксперимента.
46 Гл. 18. Теория вероятностей В следующих задачах приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполага- ется, что отказы элементов являются независимыми в совокупно- сти событиями. Считается известной надежность Pk к-го элемента (соответственно qk = 1 — Pk — вероятность его отказа). Отказ лю- бого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность р каждой из схем. 18.208. 18.209. 18.210. 18.211. 18.212. 18.213. Вероятность отказа прибора после того, как он приме- нялся к раз, равна р(к). Известно, что при первых m примене- ниях прибор не отказал. Какова вероятность того, что при следу- ющих п применениях прибор откажет? 18.214. Иван и Петр поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Иван бросает первым. Найти вероятности р^ и Р2 выигрыша для каждого из игроков, считая, что бросание монеты может продолжаться неограниченно долго. 18.215 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти указанные вероятности, считая, что игра ограничена десятью бро- саниями для каждого из игроков, причем, если герб не появится
§ 1. Случайные события 47 у Ивана вплоть до его десятого броска, то выигравшим считается Петр. Как при этом изменились вероятности? 18.216. Установить, можно ли сделать игру из задачи 18.214 более справедливой, если позволить Петру делать большее число бросков, когда наступает его очередь. Вычислить вероятность вы- игрыша для Ивана, если Петру разрешается делать два броска при его подходе, а общее число бросков не ограничено. 18.217. В театральной кассе к некоторому моменту времени осталось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель поку- пает лишь один билет с равной вероятностью в любой из возмож- ных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятности следующих событий: А = (куплены билеты в разные театры}, В = {куплены билеты в один какой- нибудь театр}. 18.218 (продолжение). В условиях эксперимента предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {все билеты в театр эстрады распроданы}, D = {билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады}. 18.219. За некоторый промежуток времени амеба может погиб- нуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разде- литься на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же проме- жуток времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени? 18.220* (задача о рассеянной секретарше). Некая секретар- ша написала п деловых писем, вложила их в конверты и по рас- сеянности написала адреса случайным образом. Какова вероят- ность рп того, что хотя бы одно письмо попадет по назначению? Оценить рп для п = 5 и п = 10. 18.221. Раскрывается определитель n-го порядка и наудачу вы- бирается слагаемое. Какова вероятность, что данное слагаемое не содержит элемента главной диагонали? 18.222. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с веро- ятностью р, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? 18.223 (продолжение). Все трое членов жюри принимают неза- висимо друг от друга правильное решение с вероятностью р. Ка- ким должно быть р, чтобы данное жюри принимало правильное ре- шение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи?
48 Гл. 18. Теория вероятностей 18.224 (продолжение). Первые двое судей из жюри принимают решение так же, как в условиях задачи 18.222, а третий судья по- ступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения, то он к ним присоединяется, если же реше- ния двух первых судей разные, то третий судья бросает монету. Какова вероятность правильного решения у такого жюри? 9. Формула полной вероятности. Пусть Я1} Н2, ... , Нп — наблю- даемые события для данного эксперимента, причем система множеств {Hi, Н2, ... , Нп} образует разбиение множества Л. Для любого на- блюдаемого в эксперименте события А имеет место следующая формула полной вероятности: п Р(А) = £Р(Я*)Р(А/Я*). (14) k=l События Hk принято называть гипотезами по отношению к событию А. Безусловные вероятности Р (Нь) трактуются как доопытные (априор- ные) вероятности гипотез. Пример 16. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным? <3 Из условия задачи очевидно, что с рассматриваемым событием А = {случайно выбранный транзистор признан дефектным} тесно свя- заны две гипотезы: Hi = {поступивший на проверку транзистор дефект- ный}, Н2 = Hi = {поступивший на проверку транзистор исправный}. Безусловные априорные вероятности этих гипотез легко вычисляются по классической формуле: Р (Hi) = 0,1, Р (Н2) = 0,9. Условные вероятно- сти определены в условии задачи: Р(Л/Я1) = 0,95, Р(А/Н2) — 0,03. Применяя формулу полной вероятности (14), получим Р (А) = 0,1 • 0,95 + 0,9 • 0,03 = 0,122. > 18.225. Прибор, установленный на борту самолета, может рабо- тать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский ре- жим полета осуществляется в 80 % всего времени полета, условия перегрузки — в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях пере- грузки— 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета. 18.226. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Про- дукция первого завода содержит 20 % телевизоров со скрытым де- фектом, второго —10 % и третьего — 5 %. Какова вероятность при- обрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % те- левизоров с первого завода, 20% — со второго и 50% — с третьего?
§ 1. Случайные события 49 18.227. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает a % брака, второй — 0%. Для контроля отобрано пу деталей ЛЗ первого цеха и П2 из второго. Эти щ + П2 деталей смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная? 18.228. Производится п независимых выстрелов зажигатель- ными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попа- дает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью pi, если два снаряда — с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при п выстрелах горючее воспламенится. 18.229. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или тре- тьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют пер- вую, 37,5 % — вторую, 20,9 % — третью и 7,9 % — четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора. 18.230. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.202, сигналы 0 и 1 передаются с равной вероятностью. Вычислить вероятность события С = {принято два одинаковых символа}. 18.231. На рис. 6 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта 77], выбирая каждый раз на развилке дорог дальнейший путь наудачу. Какова вероятность, что они попадут в пункт 772? Рис. 6 18.232. Три стрелка, вероятности попадания которых при од- ном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянны и со- ответственно равны pi = 0,8, р2 = 0,7, рз = 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события А = {в мишени окажется ровно две пробоины}, приняв в качестве гипотез элементарные исходы данного эксперимента.
50 Гл. 18. Теория вероятностей 18.233. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 но- вых и 5 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также нау- дачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? 18.234. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 би- летов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаме- натор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова ве- роятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1? 18.235. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, рас- пределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее — один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы веро- ятность события А = {вынутый шар белый} была максимальной? 18.236* . Для поиска месторождения нефти на заданной тер- ритории организовано п геологоразведочных партий, каждая из которых независимо от других обнаруживает залежь с вероятно- стью р. После обработки и анализа сейсмографических записей вся территория была поделена на два района. В первом районе нефть может залегать с вероятностью pi, а во втором — с вероят- ностью 1 — pi. Как следует распределить п геологоразведочных партий по двум районам, чтобы вероятность обнаружения нефти была максимальной? В ряде случаев выбор системы гипотез не определяется однозначно условиями эксперимента. В таких случаях предпочтение следует отда- вать той системе, для которой условные вероятности вычисляются наи- более просто. Пример 17. Из полной колоды в 52 карты наудачу последовательно и без возвращения выбирают две карты. Какова вероятность того, что второй картой можно покрыть первую? (Это значит, что вторая карта должна быть более старшей картой той же масти.) <1 Пусть А — интересующее нас событие. В качестве первой попытки выберем следующие гипотезы: Hk = {в составе двух вынутых карт ровно к картинок}, к = 0, 1, 2 (к «картинкам» относятся валет, дама, король и туз каждой масти). Ясно, что {Hk} (к = 0, 1, 2) — разбиение множества О, так как вы- полнены все три условия, сформулированные в определении разбиения множества (проверьте!). Кроме того, нетрудно вычислить безусловные вероятности гипотез Р (Нд.). Однако вычисление условных вероятностей P(A/Hk) оказывается делом не менее трудным, чем ответ на первоначально поставленный во- прос о вероятности события Р(Л). Это объясняется тем, что связь со-
§ 1. Случайные события 51 бытия А с данными гипотезами Hk не может быть достаточно просто описана на языке алгебраических операций. Рассмотрим более удачный для решения задачи вариант разбиения {Нк} (& = 2, 3, ..., 14), где Hk = {первая вытянутая карта оценивается в к очков}, при этом значению к = 2 соответствует двойка, к = 3 — трой- ка, . • • , к = 11 — валет, к = 12 — дама, к = 13 — король и к = 14 — туз. Вычислим условные вероятности, применяя метод вспомогатель- ного эксперимента. P(A/Hfc) = Р {вторая вытянутая карта той же масти, причем ее 14 — & достоинство оценивается не ниже, чем в к 4- 1 очко} = ——— в силу □ 1 формулы классической вероятное™. Безусловные вероятности гипотез Р(Я») = - в силу равновероятности событий Hk = {вытянуть карту Произвольной масти, оцениваемую в к очков}. Применяя формулу полной вероятности (14), получим 14 14 Р(А) = £Р(ВДР(Л/Н*) = -£ ’ 1О k=2 k=2 14-к 51 2 17 Еще более простой путь решения получается, если ввести следующее разбиение множества Q в данном эксперименте: {Hk} (к = 1, 2), где Hi = {обе вынутые карты одной масти}, Н2 = {две карты разной ма- сти}. Очевидно, что Р (Л/Н2) = 0, поэтому вторая гипотеза исключается 12 4 из формулы полной вероятности и Р (Н^ = — = — (первая карта мо- 51 17 жег быть произвольной масти, вторая должна быть той же масти, что и первая). Пусть теперь выполнено событие Hi, т.е. обе карты одной ма- сти. Тогда та из них, которую извлекали второй по счету, должна быть старше первой. Но в силу равновероятности исходов cui = {вторая карта старше первой} и си2 = {первая карта старше второй} в этом вспомога- тельном эксперименте получаем Р (A/HJ = 0,5, поэтому 4 1 2 Р(А)=Р(Я1)Р(А/Н1) = -.- = -. О 1 I £ J. I 18.237. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен? 18.238. Из множества чисел Е = {1, 2, ..., п} наудачу после- довательно и без возвращения извлекают два числа. Какова веро- ятность того, что первое число больше второго не менее, чем на я* (0 < m С п — 1)? 18.239. На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, бе- лого и черного. Какова вероятность того, что слоны побьют друг Друга?
52 Гл. 18. Теория вероятностей 18.239 (1). Из полного набора домино, содержащего числа 0, 1, 2, ..., п наудачу отбирают 2 кости. Какова вероятность, что их можно приставить друг к другу? 18.240* *. В урне находится 7 белых и 3 черных шара. Три игрока по очереди извлекают по одному шару, отмечают цвет и возвращают шар обратно. Выигрывает тот, кто первым достанет черный шар. Найти вероятность выигрыша для каждого из игро- ков, если игра может продолжаться неограниченно. 18.241. Студент Иванов знает только 10 из 25 экзаменацион- ных билетов. В каком случае шансы Иванова получить известный ему билет выше: когда он подходит тянуть билет первым или вто- рым по счету? 10. Формула Байеса. Пусть {Hi, Н2, ... , Нп} — разбиение множе- ства Q для данного эксперимента, интерпретируемое как совокупность гипотез по отношению к интересующему нас событию А. Пусть экспе- римент проведен и стало известно, что событие А осуществилось. Ка- кова послеопытная {апостериорная) вероятность осуществления гипо- тезы Hk при условии, что событие А имело место? Ответ дается форму- лой Байеса Р(Нк)Р(А/Нк) Р(Л) Р(Нк/А) = (15) п где Р (А) = Р {Hi)P {A/Hi) — полная вероятность осуществления i=i события А. Формула Байеса позволяет «переоценить» вероятность каждой из ги- потез после поступления новой «информации» относительно осуществле- ния тех или иных наблюдаемых событий. Пример 18. В условиях эксперимента, описанного в примере 16, случайно выбранный из партии транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен? < В обозначениях примера 16 требуется вычислить Р(ЯзМ) (апо- стериорную условную вероятность гипотезы Н2). По формуле Байеса Р (Н !А\ - р р (Л/Яг) - °’9 °’03 ~ П 22! Р~ Р(Л) - "0Д22" ” °’221' Таким образом, апостериорная условная вероятность того, что транзи- стор на самом деле исправный, если известно, что он был признан де- фектным, существенно меньше априорной вероятности гипотезы H%, что явилось следствием поступившей информации. [> 18.242. В урне лежит шар неизвестного цвета — с равной веро- ятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
§ 1. Случайные события 53 18.243. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероят- ностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Из- вестно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сиг- нала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал. 18.244. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испы- тания прибора в течение времени Т зарегистрирован отказ при- бора. Найти вероятности следующих событий: Ау = {отказал только первый узел}, А2 = {отказали оба узла}. 18.245. В условиях эксперимента, описанного в примере 12, найти условную вероятность Р (A/В), считая известной условную вероятность Р (В/А) и применяя формулу Байеса. 18.246. В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду и по весу игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех шести цифр при случайном подбра- сывании; другая неправильная, с неравномерным распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной игральной кости шестерка появляется с вероятностью 1/3, едини- ца — с вероятностью 1/9, остальные цифры выпадают с одина- ковой вероятностью. Наудачу извлеченная из коробки игральная кость была подброшена, и в результате выпало 6 очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость. 18.247. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном вы- стреле для каждого из стрелков соответственно равны pi, Р2 и рз. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины? 18.248. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в Количественном отношении ni : П2 : пз, причем вероятности брака Для этих заводов соответственно равны pi, Р2 и Рз- Прибор, при- обретенный научно-исследовательским институтом, оказался бра- кованным. Какова вероятность того, что данный прибор произве- ден первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)? 18.249. Число бракованных микросхем на 1000 априори счи- тается равновозможным от 0 до 3. Наудачу опробованы 100 мик- росхем, оказавшихся исправными. Какова вероятность, что все схемы исправны?
54 Гл. 18. Теория вероятностей 18.250. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовлен- ных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подго- товлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15 и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный нау- дачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостери- орные вероятности гипотез: Hi = {студент подготовлен отлично или хорошо}, Н2 = {студент подготовлен удовлетворительно}, Н3 = {студент подготовлен плохо}. Особое значение приобретает формула Байеса для таких экспери- ментов, в которых гипотезы Нк непосредственно не наблюдаемы, хотя априорные вероятности Р (Я^) и соответствующие условные вероятности Р(А/Нк),к = 1, ..., п, известны из дополнительных опытов. Такая си- туация может иметь место, например, если отсутствует прибор, позволя- ющий регистрировать факт осуществления данных гипотез, или же если применение прибора для регистрации осуществления гипотез приводит к разрушению предмета наблюдения (разрушающий контроль). Для по- добных экспериментов переоценка вероятностей гипотез после опыта мо- жет быть проведена на основании наблюдаемого события А, тесно свя- занного с гипотезами. Такой подход часто используется в задачах меди- цинской и технической диагностики. Пример 19. Изучается три вида дефектов запоминающих устройств, выполненных на интегральных схемах: дефекты схем обрамления (ги- потеза Hi, Р (Я1) = 0,1), дефекты, вызванные паразитными связями между ячейками (гипотеза Я2, Р (Я2) = 0,6), и дефекты адресных шин (гипотеза Н3, Р (Я3) = 0,3). Диагностика запоминающих устройств производится с помощью набора тестов 71, Т2, ... , Тп, каждый из ко- торых проверяет определенное состояние ячейки памяти. Наблюдаемый результат — состояние выбранной ячейки по отношению к каждому те- сту. Пусть диагностика произведена, и наблюдался некоторый результат (произошло событие А). Известно до опыта, что Р (A/HJ = 0,4, Р (А/Я2) = 0,2, Р (А/Я3) = 0,3. Установить, какая из гипотез имеет наибольшую апостериорную вероят- ность (т.е. какой из дефектов наиболее вероятен). <1 Вычислим сначала полную вероятность осуществления события А. Используя данные задачи и применяя формулу (14), получим з Р(4) = £Р(Я*)Р(Л/ВД = О,25. к=1 Для ответа на вопрос, какой из дефектов имеет наибольшую апосте- риорную вероятность, заметим, что в числителе формулы Байеса стоит слагаемое полной вероятности, относящееся к данной переоцениваемой
§ 1. Случайные события 55 01потезе. Сравнивая эти слагаемые для трех заданных гипотез, полу- чаем, что наибольшую вероятность имеет гипотеза Ну. Р(Н‘2./А'} = 0,12 0,25 = 0,48. [> 18.251. Астрономический объект, за которым ведется наблю- дение, может находиться в одном из двух состояний: Hi или Н?. Априорные вероятности этих состояний P(#i) = 0,6, Р (#2) = ss 0,4. Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Первая обсерватория обычно дает правильные сведения о состо- янии наблюдаемого объекта в 90% случаев, а в 10% ошибается; вторая дает правильные сведения в 80% случаев, а в 20% оши- бается. Первая обсерватория сообщила, что объект находится в состоянии Hi, а вторая — что в состоянии Н2. Найти апостери- орную вероятность состояния Ну 18.252. Расследуются причины неудачного запуска космичес- кой ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) Hi, Н2, Н3 или Ну По данным статистики Р (Hi) = ® 0,2, Р (Н2) = 0,4, Р (Я3) = 0,3, Р (Н4) = 0,1. В ходе расследо- вания обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (со- бытие А). Условные вероятности события А согласно той же ста- тистике равны: Р (А/Hi) = 0,9, Р (А/Н2) = 0,4, Р (А/Н$) = 0,2, Р(Л/Я4) = О,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях? 18.253. По каналу связи передается цифровой текст, содержа- щий только три цифры 1, 2, 3, которые могут появляться в тек- сте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью рис ве- роятностью - (1 — р) принимается за какую-либо другую цифру. Предполагается, что цифры искажаются независимо. Найти веро- ятность того, что было передано 111, если принято 123. 18.254. Методом тестирования отыскивается неисправность в арифметическом устройстве вычислительной машины. Можно счи- тать, что есть 4 шанса из 5, что неисправность сосредоточена в од- ном из 8 микропроцессоров, с равной вероятностью — в любом из Них. Были испытаны 7 из этих микропроцессоров, но неисправ- ность не обнаружена. Какова вероятность обнаружить неисправ- ность в последнем из восьми микропроцессоров? 18.255. Предположим, что надежность определения туберкулеза При рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 % (т.е. 10% носителей туберкулеза остаются неопознанными). Ве- роятность того, что у здорового человека будет ошибочно опреде- лен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию была подвергнута
56 Гл. 18. Теория вероятностей большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный боль- ным, действительно является носителем туберкулеза? 18.256. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем для первой группы из шести орудий вероятности того, что при од- ном выстреле произойдет недолет, попадание или перелет, равны соответственно 0,1; 0,7; 0,2. Для каждого из остальных четырех орудий вероятности тех же самых событий равны соответственно 0,2; 0,6 и 0,2. Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один недолет и один перелет. Какова вероятность того, что стре- лявшее орудие принадлежит первой группе? § 2. Случайные величины 1. Законы распределения и числовые характеристики случайных ве- личин. Случайной величиной X называется действительная функция X — X (о»), определенная на множестве элементарных исходов Q и та- кая, что при любом действительном х множество тех и>, для которых X (w) < х, принадлежит алгебре событий для данного эксперимента. Случайные величины принято обозначать большими буквами латин- ского алфавита, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами. Функция Fx (ж) действительной переменной х, —оо < х < оо, опре- деляемая формулой Fx (х) = Р {X < х], (1) называется функцией распределения случайной величины X. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1- 0 Fx (ж) 1, —оо < х < оо; 2. Fx (-оо) = 0, Fx (+оо) = 1; 3. Fx (ж) —неубывающая функция на всей оси; 4. Fx (ж) непрерывная слева, т.е. lim Fx (х) = Fx (ж0). х—>хо~ 0 Вероятность попадания случайной величины X на произвольный ин- тервал действительной оси [rci, Ж2) определяется формулой Р{Х1^Х <x2}=Fx(x2)-Fx(Xi). (2) Различают случайные величины дискретного типа (сокращенно С.В.Д. Т.) и случайные величины непрерывного типа (сокращенно С.В.Н.Т.). Случайная величина X называется случайной величиной дискрет- ного типа, если множество ее возможных значений {xi, х2, ...} ко- нечно или счетно.
§ 2. Случайные величины 57 Пусть Р {А = Хк} = Рк > 0, 12Pk = 1, где суммирование распро- к страняется на все возможные значения к. Перечень всех возможных значений С.В.Д. Т. и соответствующих этим значениям вероятностей называется законом распределения слу- чайной величины дискретного типа. Зная закон распределения С.В.Д.Т., можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (1), функ- цию накопленных вероятностей: (z) = £ Р {X = Xi}, Xi <х где суммирование распространяется на все значения индекса г, для ко- торых Xi < х. Из этой формулы, в частности, следует, что Fx (хк + 0) - Fx (хк) = Р {А = хк}, хк е {я?!, х2, ... }, т.е. функция распределения С.В.Д.Т. испытывает скачки в точках х, для которых существует положительная вероятность события {X = ж}. Случайная величина X называется случайной величиной непрерыв- ного типа (сокращенно С.В.Н.Т.), если существует такая неотрица- тельная, интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция fx(x), называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех х е R X Fx(x)=V{X <х} = I fx(t)dt. — оо Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами: 1. /х(ж) 0, —сю < х < сю; +оо 2- j fx(x)dx = 1 (условие нормировки); d 3. — Fx(x) = /х(ж) в точках непрерывности функции fx(x). ах Функция распределения С. В. Н. Т. Fx(x) является непрерывной мо- нотонно возрастающей функцией на всей оси, причем Р {А- = х} = = lim (Fx(x + 6х) — Fx(xY) = 0 при всех х € R. Это значит, что 6х—>0 вероятность «попасть в точку» для С.В.Н.Т. равна нулю. Если X — С. В. Н. Т., то вероятность ее попадания на интервал мо- жет быть вычислена как через функцию распределения по формуле (2), так и через плотность распределения вероятностей: «2 Р {xi X < х2} = / /х (я) dx. (3)
58 Гл. 18. Теория вероятностей Случайные величины, помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.). Математическим ожиданием (средним значением по распределе- нию) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X формулой тх = М [X] = ' ^xkPk, к +оо j xfx (х) dx, ь—OQ если Х-С.В.Д.Т., (4) если Х-С.В.Н.Т. Математическое ожидание существует, в частности, если ряд (соответ- ственно интеграл) в правой части формулы (4) сходится абсолютно. Модой случайной величины X непрерывного типа называется дей- ствительное число dx, определяемое как точка максимума плотности рас- пределения вероятностей fx(x). Мода случайной величины дискретного типа определяется как та- кое возможное значение хт, для которого Р {X = хт} = maxP (X = хк}. к Таким образом, мода С. В. Д. Т. есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значении (мультимодальное распределение). Медианой случайной величины X непрерывного типа называется действительное число hx, удовлетворяющее условию Р{Х <hx}=P{X^ hx}, т.е. корень уравнения Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно. Дисперсией случайной величины X называется неотрицательное чис- ло D [X] = Dx, определяемое формулой Dx = M[(X-mx)2] = ' 52 (Хк ~ тх}2Рк, к +оо / (х — тх)2fx(x)dx, если Х-С.В.Д.Т., если Х-С.В.Н.Т. — оо
§ 2. Случайные величины 59 Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой ча- сти равенства сходится. Неотрицательное число ах = у/ Dx называется среднеквадратичным отклонением случайной величины X. Оно имеет размерность случайной величины X и определяет некоторый стандарт- ный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный отно- сительно математического ожидания. (Величину ах иногда называют стандартным отклонением.) Если величина X = const (т.е. X не слу- чайна), то D [X] = 0. Случайная величина X называется центрированной (обозначается X), если тх = 0. Случайная величина X называется стандартизован- ной, если тх = 0 и ох — 1. Начальным моментом т-го порядка (т = 0, 1, 2, ...) распределе- ния случайной величины X (если он существует) называется действи- тельное число ат, определяемое по формуле ат = м[пН ' ^xkPk, к если X — С. В. Д. Т., если X - С. В. Н. Т. Центральным моментом т-го порядка распределения случайной величины X (если он существует) называется число р,т, определяемое по формуле рт = М[(Х-тх)т] = ' “ тх)тРк, к +оо У (х - тх}тfx(x) dx, если Х-С.В.Д.Т., если X - С. В. Н. Т. Из определений моментов, в частности, следует, что а0 = Ро = 1, тх = cti, Dx - crj = = ос2 - т2х. Отметим еще две важные характеристики распределения, связанные с моментами высшего порядка: ах = (коэффициент асимметрии или «скошенности» распре- /т** и X Деления), ех = — 3 (коэффициент эксцесса или «островершинности» & X распределения). Квантилью порядка р (симметричной квантилью порядка р) рас- пределения случайной величины X непрерывного типа называется дей- ствительное число tp (действительное число tp), удовлетворяющее урав-
60 Гл. 18. Теория вероятностей нению р{х<М = р (Р{1*| <;„] = ₽) В частности, из определения медианы следует, что hx — io,5 • Критической точкой порядка р (симметричной критической точ- кой порядка р) распределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число хр (хр), удовлетворяющее урав- нению р{х>хр}=р (Р{т*р]=р). Квантиль и критическая точка заны простым соотношением: одного и того же распределения свя- хр — ti-p Пример 1. Трижды подбрасывается правильная монета. Случайная величина X — число выпавших гербов. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и чис- ловые характеристики тх, Dx и dx. <1 Очевидно, что X — С.В.Д. Т., причем ее возможные значения составляют множество {0, 1, 2, 3}. Для вычисления вероятностей собы- тий {АГ = и} воспользуемся тем, что случайная величина X является функцией, определенной на множестве элементарных исходов случайного эксперимента. В данном случае можем записать О = {а^сйг^з, илйУг^з, ^>1^2^,3j ^1^2^3i ^1^2^з} > ГДС LUj — {при 2-М подбрасывании монеты выпал герб}, i = 1, 2, 3. Заметим, что N (О) = = 23, что соответствует схеме выбора с возвращением и упорядочива- нием. Очевидно, что в силу независимости исходов отдельных подбра- сываний Р {% = 0) = Р = Р (w,) Р (w2) Р (w3) = i . О Для вычисления вероятности события {X = 1} используем аксиому сло- жения и формулу умножения для независимых событий: Р = 1} = Р {u?iCt>2w3 + W1 (л?2^3 + W1 ^2^з} — 3 • — . о Аналогично находим _ 3 Р {АГ = 2} = Р {cJitU2^3 + CO\CiJ2^3 "Ь С^1Ш2Шз} = ~ . 8 Наконец, Р {X = 3} — Р {ол^г^з} - - • о
§ 2. Случайные величины 61 Для большей наглядности закон распределения случайной величины может быть представлен следующей таблицей: Xi 0 1 2 3 P{X = Xi} 1/8 3/8 3/8 1/8 Вычислим функцию распределения. Согласно определению Fx (х) = Р {X < х) = £ Р{* = М = £>{* = *}• к к Хк<х к<х Подставляя сюда найденные выше вероятности, находим '0, если X 5 ^0, 1/8, если 0 < : х 1, Fx(x) = < 1/2, если 1 < ч X $ 2, 7/8, если 2 < С х $ з, k 1, если 3 < С х. Найдем среднее значение тх и дисперсию Dx заданного распреде- ления. По определению математического ожидания С. В. Д. Т. з тх = {X = и} = 3/2. п—0 Дисперсию удобнее вычислять через второй начальный момент, ис- пользуя формулу (см. задачу 18.257) Dx = a2 — т2х. Имеем з а2 = ^п2Р{Х = п} =3 п=0 и, таким образом, Из таблицы распределения усматриваем, что существуют два значе- ния х2 = 1 и хз = 2 таких, что Р {А" = х2} = Р {А = хз} = max Р {X = х^}. к Таким образом, данное распределение бимодально. [>
62 Гл. 18. Теория вероятностей Пример 2. Случайная величина X непрерывного типа может при- нимать ненулевые значения только на отрезке [—1, 1], причем функция распределения вероятностей имеет квадратичную зависимость от х на этом отрезке. Написать выражения для Fx(x) и fx(x). <1 Согласно условию задачи и свойству 2 (с. 56) функция распределе- ния вероятностей должна иметь вид Fx (ж) = ах2 +Ьх + с, .1, если если если ж —1, -1 < х < 1, х > 1. Однако входящие в правую часть числовые константы а, b и с не могут быть произвольными. Они должны быть такими, чтобы выполня- лись все свойства функции распределения. Согласно определению С.В.Н. Т. функция распределения должна быть непрерывна на всей оси. В нашем случае для этого достаточно потребовать выполнения условий непрерывности Fx(x) в точках х = — 1 и х = 1, что приводит к системе уравнений Fx(—1 + 0) = а — 5 + с = Fx(—1 — 0) = О, Fx(l —0) = a + b + c = Fx (1 + 0) = 1. Из этой системы следует, что b = Так как функ- 2’ а~ 2 ~ С’ С G R' ция Fx(x) дифференцируема всюду на интервале (—1, 1), то требование монотонного неубывания ее на всей оси эквивалентно условию A(z) = F'x(x) 0 при х е (-1, 1), т.е. условию (1 — 2с) х + 0 при х G (—1, 1). Последнее условие, как нетрудно убедиться, выполняется лишь при 1 4 3 4 Таким образом, функция распределения случайной величины при- надлежит однопараметрическому семейству вида если ( 0, Fx(a?/c) = если если х > 1, ж —1, — 1 < х <С 1, где 1/4 <С с <С 3/4.
§ 2. Случайные величины 63 Так как производная функции Fx(x/c) существует всюду, кроме то- чек х = — 1 и ж = 1, где она терпит разрыв первого рода, то полагаем 10, если х — 1, (1 - 2с) х + если -1 < х 1, 2 1, если х > 1, причем 1/4 с 3/4. Нетрудно убедиться (проверьте!), что все свойства функции плотно- сти распределения в этом случае выполняются. > 18.257. Доказать, что для дисперсии сг^. случайной величины X справедлива формула 2 2 (7Х = а2 - гпх- 18.258. Закон распределения случайной величины X дискрет- ного типа задан следующей таблицей: Xi 1 2 3 4 Pi 1/16 1/4 1/2 3/16 Найти тх и Р {X > 2}. 18.259 (продолжение). Для случайной величины из предыду- щей задачи найти Dx и dx. 18.260 (продолжение). Для случайной величины из задачи 18.258 построить график функции распределения Fx(x). 18.261. Производится один опыт, в результате которого собы- тие А может появиться с вероятностью р и не появиться с веро- ятностью q = 1 — р. Пусть X — индикаторная случайная ве- личина — принимает значение 1, если событие А произошло, и Значение 0, если событие А не имело места. Описать закон рас- пределения случайной величины X, функцию распределения, вы- числить математическое ожидание. 18.262 (продолжение). Для случайной величины из преды- дущей задачи найти дисперсию, третий центральный момент и рпределить значение вероятности р, при котором дисперсия мак- симальна. 18.263. В условиях примера 2 найти константу с, если плот- ность распределения вероятностей непрерывна в точке х = 1, и Изобразить график функции распределения Fx (rr). Вычислить для Полученного распределения тх и hx. 18.264 (продолжение). Для случайной величины из предыду- щей задачи вычислить Р {X > 0} и Р { — 1/2 < X 1/2}.
64 Гл. 18. Теория вероятностей 18.265. Функция распределения случайной величины X дис- кретного типа имеет следующий вид: '0, если х $ $2, 0,3, если 2 < С х 3 ^х(т) = < 0,5, если 3 < С х :4 1, если х: >4. Вычислить Р (X 3,5} и Р {|Х| < 2,5}. 18.266 (продолжение). Описать закон распределения случай- ной величины X из предыдущей задачи и найти тпх и Dx • 18.267. Два стрелка независимо друг от друга делают по од- ному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка pi, для второго р2- Случайная величина X — сум- марное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Опи- сать закон распределения данной случайной величины и найти тх и Dx. 18.268. Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайная величина X принимает значение 1, если хотя бы на одной игральной кости выпадет цифра шесть; принимает значе- ние 0, если шестерка не выпала ни на одной грани, но хотя бы на одной из граней появилась цифра 5, и принимает значение — 1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины X, вычислить функцию распределения и найти мате- матическое ожидание и моду распределения. 18.269. Случайная величина X распределена по закону, опре- деляемому плотностью распределения вероятностей вида fx(x) = С COST, О, если если — 7г/2 X |т| > 7г/2. 0/2, Найти константу с, вычислить Р {|Х| < тг/4}, тх и Dx. 18.270 (продолжение). Квантилью какого порядка для данного в предыдущей задаче распределения является точка х — тг/4? 18.271. Функция распределения С.В.Н. Т. X задана в виде Fx(x) = 0, т2/4, 1, если если если х 0, 0 < х 2, х > 2. Вычислить Р {X 1}, тх, hx, Dx. 18.272. Производятся последовательные независимые испыта- ния пяти приборов на надежность. Надежность каждого из при- боров равна р. Каждый следующий прибор испытывается только
§ 2. Случайные величины 65 $ том случае, когда предыдущий оказался надежным. Описать за- кон распределения случайной величины X — числа испытанных в данном эксперименте приборов — и вычислить dx и тх. 18.273. Выразить центральный момент n-го порядка через на- чальные моменты n-го и меньших порядков. 18.274. Выразить начальный момент n-го порядка через цен- тральные моменты n-го и меньших порядков и математическое ожидание. 18.275* . Случайная величина X принимает только целые не- отрицательные значения. Доказать, что сю fe=l 18.276* . Случайная величина X непрерывного типа неотрица- тельна, имеет конечное математическое ожидание и ее закон рас- пределения задан функцией распределения Fx(x). Показать, что математическое ожидание такой случайной величины может быть +сю записано в виде тх = f [1 — Fx(rr)] dx. о 18.277. Пусть X — С.В.Н. Т. с унимодальным законом рас- пределения. Обозначим = М [(X — dx)2] (центральный момент второго порядка относительно моды), = М [(X — /гх)2] (цен- тральный момент второго порядка относительно медианы). Пусть, кроме того, dx hx. Показать, что для равенства этих моментов cz х dx + hx необходимо и достаточно, чтобы тпх =--------. В задачах 18.278-18.311 изучаются некоторые классические распределения дискретного и непрерывного типов. 18.278. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, слу- чайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случай- ная величина X — число белых шаров в выборке. Описать закон распределения. Полученное распределение относится к семейству гипергеометриче- ских. 18.279 (продолжение). Для случайной величины из предыду- щей задачи найти тх и Dx. 18.280. Для сборки прибора требуется 4 однотипных детали. Всего имеется 10 деталей, из которых только 6 доброкачественные. Наудачу отбирают 5 деталей (одну деталь «про запас»). Найти вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора.
66 Гл. 18. Теория вероятностей 18.281. Производится тираж спортлото «6 из 45». Некто купил одну карточку и заполнил ее. Какова вероятность того, что он правильно угадал к цифр (к = 6; 5)? Случайная величина X непрерывного типа называется распределен- ной равномерно на отрезке [а, Ь] (при этом для краткости говорят: X подчиняется закону 7? (а, Ь)), если ее плотность распределения вероят- ностей постоянна на данном отрезке: ' 0, если х $ [а, Ь\, fx(X)=} 1 ----, если х G а, о]. I о - а Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых на- удачу ставится точка на отрезке [a, b] (X — координата поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных физиче- ских величин с округлением (X — ошибка округления). 18.282. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что слу- чайная величина X — время ожидания автобуса на остановке — распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания. 18.283 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величины X и вычислить ве- роятность того, что время ожидания превысит 3 мин. 18.284. Случайная величина X распределена по закону R (а, Ь). Найти выражения для тх и сгх через параметры распределения а и Ь. 18.285. Азимутальный лимб имеет цену делений один градус. Какова вероятность при считывании азимута угла сделать ошибку в пределах ±10 мин, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов? 18.286. Шкала рычажных весов, установленных в лаборато- рии, имеет цену деления 1 г. При измерении массы химических у=/[х) компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округ- 1/а лением в ближайшую сторону. Какова уХХ. вероятность, что абсолютная ошибка / определения массы: а) не превысит ве- X__________х личины среднеквадратичного отклоне- -а [о а х ния возможных ошибок определения рис 7 массы; б) будет заключена между зна- чениями ах и 2сгх? 18.287. Случайная величина X распределена по закону рав- нобедренного треугольника в интервале (—а, а) (закон Симп- сона), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид, изображенный на рис. 7.
§2. Случайные величины 67 Написать выражение для fx(x\ вычислить функцию распре- деления вероятностей. 18.288 (продолжение). Для случайной величины, распреде- ленной по закону Симпсона, найти математическое ожидание, дис- персию, моду, медиану и коэффициент эксцесса. Случайная величина X называется распределенной по показатель- ному (экспоненциальному) закону с параметром Л- > 0 (при этом для краткости говорят: X подчиняется закону Ех(А)), если она непрерыв- ного типа и ее плотность распределения вероятностей задается формулой О, если х < О, fx(x) = Ле Хх, если х > 0. Показательное распределение часто встречается в теории массового об- служивания (например, X — время ожидания при техническом обслужи- вании или X — длительность телефонных разговоров, ежедневно реги- стрируемых на телефонной станции) и в теории надежности (например, X — срок службы радиоэлектронной аппаратуры). 18.289. Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной X, распределенной по показательному за- кону с параметром Л. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 18.290 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в те- чение времени t = тх. Квантилью какого порядка для данного распределения является значение тх‘? 18.291. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной стан- ции является случайной величиной X, распределенной по пока- зательному закону со средним временем ожидания, равным £о- Найти вероятности следующих событий: 4 = B = {X^2t0}. 18.292* . Пусть X — время безотказной работы радиоэлектрон- ной аппаратуры. Примем, что вероятность выхода из строя ап- паратуры в течение времени Дж с точностью до величины о (Дж) равна Л Дж (Л > 0) независимо от времени ж, в течение которого аппаратура уже проработала до рассматриваемого интервала вре- мени Дж. Вычислить функцию распределения случайной вели- чины X. 18.293. Случайная величина X распределена по показательному Закону с параметром Л. Вывести рекуррентную формулу, выража- ющую центральный момент (А: + 1)-го порядка через центральный момент к-го порядка и математическое ожидание, и с ее помощью вычислить коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса по- казательного распределения.
Гл. 18. Теория вероятностей 18.294. Случайная величина X распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей Fx(x) = b + carctg — при — оо < х < +оо. Выбрать коэффициенты а, b и с таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа. 18.295 (продолжение). Вычислить плотность вероятности рас- пределения Коши. Существуют ли математическое ожидание и моменты более высокого порядка у данного распределения? 18.296 (продолжение). Найти моду, медиану и квантиль tp по- рядка р = 0,75 распределения Коши. 18.297. Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неиз- менных условиях случайная величина R — расстояние от точки попадания до центра мишени — подчиняется закону распределе- ния Рэлея с плотностью распределения вероятностей при х < 0, где ст > 0 — параметр, характеризующий распределение. Постро- ить эскиз графика плотности вероятности fR(x), проверить усло- вие нормировки и вычислить характеристики mR и DR. 18.298 (продолжение). Для случайной величины R, распре- деленной по закону Рэлея, вычислить dR, hR и aR и выяснить взаимное расположение характеристик mR, dR и hR. 18.299. Скорость V молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения Максвелла с плотностью распределения вероятностей ГО при х 0, при х > 0, < V 7Г где параметр распределения (3 > 0 определяется температурой и массой молекул. Выразить среднее значение и наиболее вероят- ное значение скорости молекул, а также дисперсию распределения через физический параметр (3. 18.300. Случайная величина X подчиняется закону арксинуса с плотностью распределения вероятностей ' 0, если |а;| > а, Найти функцию распределения и вычислить mx, Dx.
§ 2. Случайные величины 69 18.301 (продолжение). Для случайной величины, распределен- ной по закону арксинуса, вычислить dx, hx и xq,75- 18.302. Случайная величина X непрерывного типа распреде- лена по закону Лапласа с параметрами т € R и о > 0, если ее плотность распределения вероятностей задается формулой —оо < х < +оо. Выразить характеристики тх и <тЛ- через параметры распределе- ния. 18.303. Случайная величина X распределена по закону Лапласа с параметрами т = 0, сг > 0. Построить функцию распределения и вычислить вероятности = Р {|Х| < ксг} для к = 1, 2, 3. 18.304* (продолжение). Для случайной величины из предыду- щей задачи вычислить характеристики ах и ех. 18.305. Случайная величина X подчиняется закону распре- деления Парето с параметрами а > 0 и xq > 0, если она С. В. Н. Т. и ее функция распределения вероятностей имеет вид ' 0, если х С хц, а , если 4 \ X 7 Выяснить, при каких значениях параметра а для данного распре- деления существуют тх и Dx и вычислить их. 18.306 (продолжение). Вычислить для распределения Парето характеристики dx и hx, а также квантиль tp порядка р = 0,75. 18.307 . В некоторых капиталистических странах действует за- кон о налогообложении, распространяемый на тех частных пред- принимателей, годовой доход которых превосходит некоторый уста- новленный законом уровень rrg. Считая, что годовой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, является случайной вели- чиной X, распределенной по закону Парето с параметрами а = 4, — 1000, найти вероятности следующих событий: А = {hx X < тх}, В = {\Х - тх\< сгх}. Критической точкой какого порядка для данного распределения является математическое ожидание тх? Случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами а > 0 и b > 0 (для краткости говорят: X подчиняется закону Г (а, Ь)), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид: {0 при х 0, Ъа 1 h ——гха ге Ьх при х > 0, Г (а)
70 Гл. 18. Теория вероятностей где +оо Г (а) = / ta 1е 1 dt (5) —- гамма-функция Эйлера. Рассмотренное ранее показательное распределение с параметром А является частным случаем гамма-распределения с параметрами а = 1, b = А > 0. Другой частный случай гамма-распределения с параметрами а = = п/2 (п — натуральное число), b — 1/2 называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы (пишут у2(п)). Распределение у2(п) играет большую роль в математической статистике (см. гл. 19, § б). Если X подчиняется закону у2(п), то ее плотность распределения вероятностей записывается в виде если х О, ------rzrr- хп/2 ге Х//2, если х > 0. 2"/2Г(?) (6) 18.308 *. Случайная величина X распределена по закону Г (а, Ь). Найти тх, Dx, ах, ех. 18.309 *. Случайная величина X распределена по закону х2(4). Вычислить тх, Dx и hx. Критической точкой какого порядка является значение тх1 Случайная величина X непрерывного типа подчиняется закону рас- пределения Вейбулла с параметрами п 6 N, а Е К, Ъ > 0, если ее плотность распределения вероятностей записывается в виде если х а, । п / х — а -г I —:— ехр < —-— > , если х > а. о \ о ) I \ о 1 I Распределение Вейбулла в ряде случаев характеризует срок службы ра- диоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксима- ции различных несимметричных распределений в математической ста- тистике. 18.310 *. Случайная величина X подчиняется распределению Вейбулла с параметрами n, а, b > 0. Вычислить математическое ожидание и моду распределения.
§ 2. Случайные величины 71 Случайная величина X непрерывного типа имеет бета-распределе- ние с параметрами а > 0 и Ь < 0, если ее плотность распределения вероятностей записывается в виде fx (х) = < Г(а + Ъ) Г(а)Г(Ь) Xй-1 при 0 < х < 1, в остальных случаях. О Частным случаем бета-распределения при а = b = 1 является равномер- ное распределение на отрезке [0, 1]. 18.311 *. Случайная величина X подчиняется бета-распределе- нию с параметрами а > 0 и b > 0. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 2. Распределения, связанные с повторными независимыми испыта- ниями. Ряд классических распределений связан с экспериментом, в ко- тором проводятся последовательные независимые испытания и наблю- дается результат совместного осуществления тех или иных исходов ка- ждого испытания. Последовательные испытания называются независимыми, если ве- роятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («ус- пех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «не- успеха» (1— р = q) в каждом испытании (схема испытаний Бернулли). Наглядным примером таких испытаний является последовательный вы- бор с возвращением шаров из урны, содержащей mi белых и m2 чер- ных шаров. Если X — число появлений белых шаров в выборке из п mi + m2 шаров, то Р{Х = Ц = РМ(!’) = СУ(1-?Г‘, * = 0,1............п, (7) mi где р =----------вероятность появления белого шара при одном из- mi + Ш2 влечении. Числа Рп<ь(р) интерпретируются как вероятности получить ровно к успехов в п независимых испытаниях с двумя исходами. Фор- мула (7) называется формулой Бернулли, а соответствующее распреде- ление случайной величины X — биномиальным распределением (или распределением Бернулли). Для краткости говорят, что X распределено по закону В (п, р). Основные характеристики биномиального распределения: 2 <7 - Р 1 — 6pq тх = пр, ах - npq, ах = -—= , ех =------------. y/npq npq
72 Гл. 18. Теория вероятностей Пример 3. Вероятности рождения мальчика и девочки в первом приближении можно считать равными 0,5. Какова вероятность того, что среди 2п наудачу отобранных новорожденных будет хотя бы один маль- чик (событие Ai); число мальчиков и девочек одинаково (событие Аг); мальчиков будет больше, чем девочек (событие Аз)? Получить числовые значения искомых вероятностей для 2/г = 10; 2п = 100. <] Пусть X— число мальчиков среди 2п новорожденных. Случай- ная величина X подчиняется распределению В (2п, 1/2), т.е. согласно формуле (7) Р{Х = 4} = С‘„(|) , 4 = 0,1.2п. Вероятность события Ai проще всего найти, перейдя к противополож- ному событию: Р (Ai) = 1 - Р (Ai) = 1 - Р {X = 0} = 1 - Вероятность события Аг записывается непосредственно: Р (Л2) = Р {X = n} = C2n„ (1 У" . Для подсчета вероятности события Аз заметим, что распределение Бернулли В (2п, 1/2) симметрично относительно значения х = п. Дей- ствительно: Р{Х = П - 4} = Р2п,„_* (0 = C?-‘ Q) = = Pin.n+k (|) = Р {X = п + 4} для всех к = 1, 2, ..., п— 1. Кроме того, нетрудно проверить, что это зна- чение является наиболее вероятным, т.е. dx = п (мода распределения). В силу симметрии распределения выполняется равенство Р {X > n} = Р {X < п) = | (1 - Р {X = п}). чения полученных вероятностей. При 2п = 10 результат получается
§ 2. Случайные величины 73 непосредственно: Р(Л,) = 1- (|) «0,9990, Р(Л2) = С% (1) «0,2461, Р(Л3) = |(1-Р(Л2)) « 0,3770. /1\ 100 При 2п = 100 непосредственное вычисление величин ( - \ и (7ц)0 становится затруднительным. /1\ 100 Для вычисления 1-1 применяем логарифмирование по основа- /1 \ юо 1 = 10®, откуда х = 1001g - « —30. Таким образом, P(Ai) = 1 — IO"30 « 1. Для вычисления Cfn0 = применяем формулу Стирлинга для 50! 50! п! при больших значениях п: нию 10: п\ « v27rnnne п Тогда /1\100 1 Р(Л) = С& X «-—у= « 0,0798. \>/ 5 V 2тг Далее находим Р(Л3) = |(1-Р(Л2))« 0,4601. t> 18.312. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, веро- ятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна р — 1/4. Спортс- мен сделал 5 выстрелов. Найти вероятности событий: А = {ровно одно попадание}, В = {ровно два попадания}. 18.313 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {хотя бы одно попадание}, D — {не менее трех попаданий}. 18.314. Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно. Вероятность для любой лампочки пере- гореть при повышении напряжения в сети равна 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.
74 Гл. 18. Теория вероятностей 18.315. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность следующих событий: А = {сумма очков, рав- ная 7, выпадет дважды}, В = {сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере 1 раз}. 18.316 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {каждый раз выпадет сумма очков, большая 7}, D — {ни разу не выпадет сумма очков, равная 12}. 18.317. Проводится одно испытание с вероятностью успеха, рав- ной р. Пусть X — случайное число успехов в данном испытании (индикаторная случайная величина согласно определению из за- дачи 18.261). Описать закон распределения X, вычислить тпх и Dx. 18.318. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 40-го размера, равна 0,4. В обувной отдел вошли трое покупателей. Пусть X — число тех покупателей, которым потребовалась обувь 40-го размера. Вычислить Р {X 2}. 18.319 (продолжение). Найти функцию распределения случай- ной величины X из предыдущей задачи. 18.320. В ячейку памяти ЭВМ записывается 8-разрядное дво- ичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с рав- ной вероятностью. Случайная величина X — число единиц в за- писи двоичного числа. Найти вероятности событий: А = {X = 4}, В = {X > 4}. 18.321. Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Случайные величины: X — число семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек, Y — число семей, имеющих двух маль- чиков и двух девочек. Считая, что вероятности рождения маль- чика и девочки одинаковы, найти М [X] и М [У]. 18.322. Два равносильных шахматиста договорились сыграть матч из 2п результативных партий. Ничьи не учитываются и считается, что каждый из участников может выиграть очередную партию с вероятностью 0,5. Выигравшим матч считается тот, кто победит в большем числе партий. В каком матче больше шансов выиграть любому из участников: в 1\1атче из 8 результативных партий или из 12? 18.323. Устройство состоит из 8 независимо работающих эле- ментов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р — 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми. 18.324. Производится обстрел учебной цели из орудия. Вероят- ность попадания в цель при одном выстреле равна р. Поражение цели может наступить при к попаданиях (к = 1, 2, ...) с вер о-
§ 2. Случайные величины 75 Ясностью, равной 1 — tk (0 < t < 1). Вычислить вероятность поражения цели при п выстрелах. 18.325. На контроль поступила партия деталей из цеха. Из- вестно, что 5 % всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 об- наружить хотя бы одну нестандартную деталь? 18.326. Путем длительных наблюдений установлено, что в дан- ной местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Что вероятнее: из восьми наудачу взятых дней сентября будет два дождливых или три дождливых дня? 18.327. Доказать рекуррентную формулу для биномиальных вероятностей’. рп-гп Рп,т+1\Р) — Рп,т\Р) q тЦ И с ее помощью установить, что наиболее вероятное число успе- хов (dx = М) в серии п независимых испытаний удовлетворяет неравенству пр — q С М пр -ip. 18.328. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано 9 приборов. Случайная величина X — число отказавших за время испытаний приборов. Найти наиболее вероятное число отказав- ших приборов. 18.329 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события А = {X тг1х}- 18.329 (1). В последовательности п независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании произошло ровно 2 ус- пеха. Какова вероятность, что успехи произошли в соседних ис- пытаниях? 18.330. Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании повторяются до тех пор, пока не появится успех, после чего прекращаются. Обозначим X число проведен- ных испытаний до первого успеха включительно. Описать закон распределения случайной величины X и найти Р {X 3} (полу- ченное распределение называется геометрическим с параметром Р>0). 18.331 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти тх и Dx • 18.332. Вероятность появления брака на автоматической ли- нии равна 0,001. Линия работает без переналадки до появления первого бракованного изделия. Сколько изделий в среднем произ- водит данная автоматическая линия между двумя переналадками?
76 Гл. 18. Теория вероятностей Какова вероятность того, что число произведенных изделий окажется больше Зтх? 18.333* . Вероятность попадания стрелка в мишень в неизмен- ных условиях постоянна и равна р. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Обозначим X число выданных стрелку патронов в данном эксперименте. Найти mx, Dx. dx. 18.334. Проводятся последовательные испытания по схеме Бер- нулли. Вероятность успеха в одном испытании равна р. Вычи- слить вероятность события А = {все к успехов в п испытаниях появятся подряд}. 18.335 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: В = {к-й по счету успех насту- пит в ттг-м по счету испытании (ш к)}, С = {к-й по счету успех наступит прежде, чем наберется m неуспехов}. 18.335( 1). В автобусе едут п пассажиров. Каждый из пасса- жиров может выйти на следующей остановке с вероятностью р. Кроме того, в автобус могут войти к пассажиров с вероятностью р^ (к = 0, 1, 2, ..., ттг; m п). Принимая модель независимости по- ведения каждого из пассажиров от остальных, найти вероятность события А = {после остановки в автобусе снова будут ехать п пас- сажиров}. 18.336. Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р повторяются до получения ровно к успехов. Описать закон распределения и найти среднее значение числа про- веденных испытаний в данном эксперименте. (Указанное распре- деление называется «отрицательным биномиальным» с параме- трами к € N и р > 0) 18.337. Вероятность получения отметки цели на экране обзор- ного радиолокатора при одном обороте антенны равна 1/6. Цель считается обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова веро- ятность, что цель будет обнаружена не более чем за 5 оборотов антенны? Если вероятность осуществления события А от испытания к испы- танию меняется, то формула Бернулли становится неприменимой. Пусть Pk = Рк(А) — вероятность «успеха» в к-м испытании в последователь- ности независимых испытаний (<& — 1 — Pk — вероятность «неуспеха» в к-м испытании). Тогда вероятность Рп, т осуществления ровно т успе- хов в п независимых испытаниях равна коэффициенту при хт в разло- жении по степеням х производящей функции Gn(x) = JJ(Qfc +Pk%) = 52 Рп,тХт. к=1 m=0 Искомые коэффициенты Рп,т вычисляются дифференцированием по х
§ 2. Случайные величины 77 производящей функции Сп(т): 1 dmGn(x) т\ dxm (8) Пример 4. Обозначим X число успехов в последовательности п не- зависимых испытаний с вероятностью успеха в к-м испытании, рав- ной pk- Вычислить среднее число успехов и дисперсию величины X. Получить аналогичные характеристики биномиального распределения в частном случае pk = Р для всех к = 0, 1, ..п. <] Пользуясь определением производящей функции, можем написать п = т — 771=0 dGn(x) dx Второй начальный момент находим аналогично: а2 = У т2Рп_,„ = (xG'n(x)) = G'n(l) + G"(l), * «= п п п / п к 2 п GnC1) = Pl^Pk + Р2^Рк + " ' + РпИ Рк = (12Рк) “52^- k^n k~l k—1 Отсюда В частном случае pi = р? = • • • = рп — Р из этих формул следует, что ~ пр, Dx = npq. > 18.338. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каж- дом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина X — число попаданий в цель при двух выстрелах. Описать закон распределения. 18.339 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти и Dx. 18.340. Пусть случайная величина X — число попаданий при 4 выстрелах в условиях задачи 18.338. Найти среднее число по- паданий и дисперсию числа попаданий. 18.341 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить вероятности событий: А = {ровно одно попадание}, В = {по крайней мере одно попадание}.
78 Гл. 18. Теория вероятностей 18.342. Прибор состоит из пяти элементов. Отказ к-го элемента за время Т независимо от остальных элементов происходит с ве- роятностью pk = 0,2 + (к — 1)-0,1. Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа отказавших за время Т элементов; б) вероятность того, что за время Т откажет хотя бы один из эле- ментов прибора. 18.343. Вероятность перегорания первой, второй и третьей лам- пы соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,3. Если перегорает одна лампа, то прибор выходит из строя с вероятностью 0,5, а если две или три — то прибор заведомо выйдет из строя. Найти веро- ятность выхода прибора из строя. 18.344* . Проводятся последовательные независимые испыта- ния с двумя исходами, причем вероятность успеха в к-м по счету испытании равна pk (qk — 1 — Pk — вероятность неуспеха). До- казать рекуррентную формулу для вероятности осуществления к успехов в т испытаниях: Рт,к ~ Рm—l,k Qm Рт~1,/с —1 Рту т = 2, 3, ...; к = 1, 2, ..., т — 1, Рт, т ~ Р1Р2 • • • Рту ТП — 1, 2, . . . , Рт,0 = QIQ2 • • -Яту т=1, 2, ... 18.345* . Последовательно посылается 4 радиосигнала. Вероят- ность приема каждого из них не зависит от того, приняты или нет остальные сигналы, и равна соответственно 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4. Вычислить вероятность того, что будет принято ровно два радио- сигнала. Пусть каждое из п независимых испытаний имеет N взаимоисклю- чающих исходов cji, cj2, ... , ljn соответственно с вероятностями pi, (N \ У2 Pk = 1 1 у не меняющимися от испытания к испытанию. k=i / Обозначим Xn<k (к = 1, 2, ... , N) число появлений исхода шь. в п ис- пытаниях. Тогда вероятность совместного осуществления составного ис- хода всех п испытаний, состоящего в том, что исход cji появится т\ раз, исход cj2 — т-2 раз, ..., исход — mN раз (mi + m2 -I-F mN = n), выражается формулой P {Xn, 1 = mi, Xn, 2 = m2, .. у Xn,N — mN} — — ________________ТП2 mN t I f Pl P2 Pn mJ m2! ... mN' (9) — * n; m\, m2, , mN Описанная схема последовательности испытаний с N исходами назы- вается полиномиальной схемой, а формула (9) определяет вероятности
§ 2. Случайные величины 79 полиномиального распределения. Распределение Бернулли (7) является частным случаем полиномиального распределения при N = 2, р2 = == 1 - pi = qi. Пример 5. В урне содержится 8 белых, 5 красных и 2 черных шара. Производится 5 извлечений с возвращением по одному шару. Рассма- триваются события А = {появился следующий состав шаров: 3 белых и по одному остальных цветов}, В = {появилось ровно 3 белых шара}, С = {появилось 3 белых шара и по одному остальных цветов, причем белые шары появились подряд}. Определить их вероятности. <] Событие А соответствует полиномиальной схеме при п = 5, N = 3, р! = 8/15, р2 = 5/15, рз = 2/15, поэтому Р(Л) = Л;з.м = « Й Й = I Й)’ 53 °’1348' Событие В соответствует биномиальной схеме со значениями N = 2, Р! = 8/15, <?1 = 7/15, поэтому / о \ / о \ 3 Р(В) = Р5.зУ = Ci’ (-) 7 V — « 0,3304. 15 J Событие С соответствует комбинированной схеме, в которой в каких- либо трех последовательных испытаниях белый шар выпал трижды, а в остальных двух испытаниях по одному разу выпали черный и красный шары, поэтому Р(С) = ЗР3,з(^}р2;о,1,1 = \ 15/ / 8 \3 2! / 8 \° 5 2 ~3’ \15/ ' 0! 1! 1! 415/ ' 15 * 15 1 / 8 \ - • - « 0,0404. > 2 \15 / 18.346 . Произведено три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность при одном выстреле попасть в «десятку» равна рю = 0,3, вероятность попасть в «девятку» равна Рэ = 0,4, вероятность не попасть ни в девятку, ни в десятку равна Ро = 1 — Рю — Р9 = 0,3. Найти вероятности следующих событий: А ~ {одно попадание в «десятку» и одно в «девятку»}, В = {ровно два попадания в «десятку»}. 18.347 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = {будет набрано не менее 29 очков}. 18.348 . Каждый из десяти аспирантов группы случайным обра- зом и независимо от остальных выбирает один из четырех дней наступающей недели (понедельник, вторник, среду или четверг) для работы в библиотеке в отделе текущей периодики. Найти ве- роятность следующих событий: А = {в понедельник в библиотеку
80 Гл. 18. Теория вероятностей явится один аспирант, во вторник — два, в среду — три, в чет- верг — четыре аспиранта}, В = {в понедельник появятся 3 аспи- ранта, а во вторник 7}. 18.349 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {пятеро из аспирантов появятся в биб- лиотеке в первые два дня недели и пятеро — в следующие два дня}, D = {в понедельник и вторник не появится ни один аспирант}. 18.350 . Два равносильных шахматиста играют матч из 12 пар- тий. В каждой партии возможно три исхода: cui = {выиграл пер- вый игрок (проиграл второй)}, — {ничья}, из = {выиграл второй (проиграл первый)}. Пусть Р (ал) = Р М = 0,2, Р (щ2) = 1 - Р (ал) - Р (щ3) = 0,6. Найти вероятности следующих событий: А = {первый игрок вы- играл 3 партии, проиграл 3 партии и остальные свел вничью}, В = {один из игроков выиграл 4 партии и проиграл 3 партии}. 18.351 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = {сыграно 2 результативные партии}. 3. Распределение Пуассона. Случайная величина X называется рас- пределенной по закону Пуассона с параметром А > 0, если ее возмож- ные значения равны 0, 1, 2, ..., а соответствующие вероятности опре- деляются формулой \k P{X — k] — —e~x. (10) Характерной особенностью распределения Пуассона является совпадение математического ожидания и дисперсии, причем тп,х = Ох — А. Распределение Пуассона может быть получено из биномиального рас- пределения путем предельного перехода при п —> оо, р —> 0 при условии пр = А = const и в этом случае интерпретируется как закон «редких» явлений. Если п достаточно велико, а р мало, то формулу Пуассона (10) часто используют в качестве приближения вместо точных биномиальных формул для вероятностей к успехов в п испытаниях. В таблицах ПЗ и П4 приведены вероятности распределения Пуассона и суммарные вероятности для распределения Пуассона соответственно. Пример 6. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для к студентов данного факультета? Вычислить указанную вероятность для значений к = 0, 1, 2, 3. <] Так как п = 500 1 и р = Р {родился 1 сентября любой из студентов факультета} = —- 1, то можно считать, что случайное
§ 2. Случайные величины 81 число студентов X, родившихся 1 сентября, подчиняется закону распре- деления Пуассона с параметром Л = 1,36986. Поэтому по формуле (10) ро = Р {X = 0} = е~х « 0,2541. Далее находим рекуррентно: рх = р {X = 1} = е~х = Хр0 « 0,3481, А2 * А р2 = Р{Х = 2} = - е-Л = -Р1 « 0,2385, Рз = Р {X = 3} — 0,1089. О Значения искомых вероятностей, соответствующих биномиальному рас- пределению В (500, 1/365) и вычисленных с четырьмя верными зна- ками после запятой по рекуррентной формуле задачи 18.327, таковы: Ро = 0,2537, pi = 0,3485, рг = 0,2389, рз = 0,1089. > 18.352 2). Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р — 5 • 10~4. Найти вероятности следующих со- бытий: А = {за время Т откажет ровно 3 элемента}, В = {за время Т откажет хотя бы один элемент}, С = {за время Т отка- жет не более 3 элементов}. 18.353. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, ровно 120. Найти вероятности следующих событий: А = {за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова}, В = {за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов}. 18.354 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {за одну секунду на АТС поступит ровно три вызова}, D = {за три секунды на АТС поступит не менее трех вызовов}. 18.355. Случайная величина X — число электронов, вылетаю- щих с нагретого катода электронной лампы в течение времени t, А •— среднее число электронов, испускаемых в единицу времени. Определить вероятности следующих событий: А = {за время ti число испускаемых электронов будет меньше ?л, 6 N}, В = {за время ^2 вылетит четное число электронов}. 18.356. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Най- ти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа. 18.357. Радиостанция ведет автоматическую передачу цифро- вого текста в течение 10 мкс. Работа ее происходит при наличии 2) Считаем, что в задачах 18.352-18.357 соответствующая случайная величина Имеет распределение Пуассона.
82 Гл. 18. Теория вероятностей хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов кото- рой в одну секунду составляет 104. Для срыва передачи доста- точно попадание двух импульсов помехи в период работы станции. Вычислить вероятность срыва передачи. 18.358. Число элементарных частиц, регистрируемых прибо- ром, случайно и образует пуассоновскую случайную величину со средним значением п частиц. Каждая регистрируемая частица может нести заряд с вероятностью р и быть нейтральной с веро- ятностью 1 — р. Определить закон распределения числа заряжен- ных частиц, регистрируемых прибором, и найти среднее значение и дисперсию полученного распределения. 18.359. При испытании легированной стали на содержание угле- рода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент угле- рода превысит допустимый уровень, равна р — 0,01. Считая при- менимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью р = 0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз. 18.360 (продолжение). Ответить на вопрос предыдущей задачи, если требуется, чтобы указанный эффект наблюдался не менее двух раз. 4. Нормальный закон распределения. Случайная величина называ- ется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параме- трами т € R и а > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид , . . 1 f (х — т)21 jx(x) = —7= exp <-----——— >, -оо < х < +оо. (И) сгу2тг I J Параметры т и <т совпадают с основными характеристиками распреде- ления: Для краткости говорят, что случайная величина X распределена по за- кону N (т, ст), если ее плотность вероятностей записывается в виде (П). Если X распределена по закону 7V (О, I), то она называется стан- дартизованной нормальной величиной. Функция распределения стан- дартизованной гауссовской величины — оо называется функцией нормального распределения. С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N (т, <т): (Х2 ~ — т\ —----- - Ф —--------- • (У ) \ a J
§ 2. Случайные величины 83 Значения функции Ф (х) приведены в приложении (таблица П1). При решении задач на нормальное распределение часто требуется исполь- зовать табличные значения функции нормального распределения. По- скольку для этой функции справедливо соотношение Ф (—ж) = 1 — Ф (ж), достаточно иметь табличные значения функции Ф (х) только для поло- жительных значений аргумента. Для вероятности попадания на сим- метричный относительно математического ожидания интервал справед- лива формула Р{|Х-тх\ <е} = 2Ф (-) - 1. \(7 / Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению цп+2 = (п + 1)ст2/1п, п = О, 1, 2, ... (12) Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как /ii =0). Пример 7. Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала. Случайные ошибки измерения X подчиняются нормаль- ному распределению со стандартным отклонением 10 мм. Найти ве- роятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превос- ходящей по абсолютной величине 15 мм. <1 Так как по условию систематические ошибки отсутствуют, то тх = s= 0 мм. «Стандартное отклонение» — это другое название для средне- Квадратического отклонения, часто используемое на практике. Поэтому = 10 мм. Для искомой вероятности попадания в симметричный интервал ис- пользуем формулу (15\ — — 1 = 2Ф (1,5) — 1. О’ J Но таблице П1 находим Ф (1,5) « 0,9332. Таким образом, Р{|Х| < 15} « 0,8664. > 18.361. Случайная величина X нормально распределена с па- раметрами т = 1, ст — 2. Выразить ее функцию распределения Через функцию Ф (т). 18.362. Случайная величина X распределена по закону 7V(m, ст). Пользуясь таблицей функции нормального распределения, вычис- лить вероятность того, что отклонение величины X от ее ма- тематического ожидания не превзойдет величины ка (ответ полу- пить для трех значений к = 1, 2, 3).
84 Гл. 18. Теория вероятностей 18.363. Измеряемая случайная величина X подчиняется за- кону распределения N (10,5). Найти симметричный относительно тпх интервал, в который с вероятностью/) попадет измеренное зна- чение. Рассмотреть следующие числовые значения: а) р = 0,9974; б) р = 0,9544; в) р = 0,50. 18.364. Химический завод изготовляет серную кислоту номи- нальной плотности 1,84г/см3. В результате статистических ис- пытаний обнаружено, что практически 99,9 % всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти веро- ятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0,01 г/см3. 18.365. В нормально распределенной совокупности 15 % значе- ний х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения. 18.366. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, ес- ли отклонение X контролируемого размера от номинала не пре- вышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением а. Считая, что для данной технологии ст = 5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат. 18.367 (продолжение). В условиях предыдущей задачи выяс- нить, какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98? 18.368. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых пре- вышает 940 г? 18.369* . Деталь изготавливается на станке. Ее размер X пред- ставляет собой случайную величину, распределенную по нормаль- ному закону со средним значением 20 см и стандартным отклоне- нием 0,2 см. Какую относительную точность изделия можно га- рантировать с вероятностью 0,95? 18.370. Браковка шариков для подшипников производится сле- дующим образом: если шарик проходит через отверстие диаме- тра с/г, но не проходит через отверстие диаметра di < d^, то шарик считается годным. Если какое-либо из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Считается, что диаметр шарика X — случай- ( di + dz ,, , A ная величина, распределенная по закону TV I —-—, a [d'2 — di) I, где параметр а (0 < а < 1/2) определяет точность изготовления шариков. Определить вероятность того, что шарик будет забрако- ван.
§ 3. Случайные векторы 85 18.371 (продолжение). В условиях предыдущей задачи опреде- лить, какую точность изготовления следует установить (т.е. ка- рим следует выбрать параметр а), чтобы брак составлял не более 2% всей продукции? 18.372. Случайная величина X подчиняется закону TV (1, ст). Известно, что Р {X < 2} = 0,99. Вычислить М [X2] и Р {X2 > 2}. 18.373. Случайная величина X распределена по закону #(т,ст). Вычислить pi =Р{Х хп2} ир2 = Р {^ni X хп2}, где жП1 и хп2 —точки перегиба кривой плотности распределения вероятностей. 18.374* * (продолжение). Пусть (а, 6) — интервал, не содержа- щий тпх. В условиях предыдущей задачи определить, при каком ст вероятность Q (сг) = Р {а X < Ь} будет наибольшей? 18.375 (продолжение). В условиях задачи 18.373 вычислить дервый абсолютный центральный момент М (|Х — тА-|). 18.376. Случайная величина X распределена по закону #(—1,1). Вычислить ах и ех. 18.377* (продолжение). Для случайной величины X из преды- дущей задачи найти М [X4] и М [X6]. § 3. Случайные векторы 1. Законы распределения и числовые характеристики случайных век- торов. Пусть для данного эксперимента определены случайные величины Xi = Ari(o>), Х2 = Х2(а>), ..., Хп = Хп(со), cj € Q. Каждому элементар- иому событию а> можно поставить в соответствие п-мерный случайный лектор (п-мерную случайную величину) Х(о;) = (Х1,Х2,...,Хп), задающий отображение Q —> Rn. Функцией распределения n-мерного случайного вектора или функ- цией совместного распределения случайных величин Xi, Х2, ... , Хп Называется неслучайная функция п действительных переменных xj, • • ., хп (функция точки (a;i, х2, ... , хп) в n-мерном евклидовом про- странстве Rn), определяемая как вероятность совместного выполнения п неравенств Fx(x) = FX1,X2..Хп (zi, х2, ... , хп) = Р {Xi x^f Х2 x2i ..., Хп хп). В частном случае, для двумерного случайного вектора (X, Y), имеем По определению Fx Y(x, у) = Р {X < х, Y<y}.
86 Гл. 18. Теория вероятностей Функция распределения FXfY(x, у) обладает следующими свойствами,- 1. lim FXtY(x, у) = lim FXY(x, у) = 0. 2. lim FXtY(x, у) = FY(y), lim FXiY(x, y) = Fx(x). x—>+oo y-+4-oo 3. lim Fx Y (ж, у) = 1. x—> + OO J/—>-f-OO 4. Функция FX'Y(x, у) — неубывающая функция своих аргументов. 5. Функция FXY(x, у) непрерывна слева по каждому из аргументов. Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно озна- чает, что функции распределения отдельных компонент двумерного слу- чайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих компонент. Вероятность попадания случайной точки на плоскость (X, У) в пря- моугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью функции распределения по формуле Р {хх X < х2, yi Y < у2} = = Fx<Y{xx, yi) + Fx<Y(x2, у2) -FXiY(xi, у2) — Fx Y(x2, yi). Двумерный случайный вектор (X, Y) называется случайным век- тором дискретного типа (сокращенно С. В.Д.Т.), если множество его возможных значений G (ж, у) не более чем счетно. Перечень возможных значений пар компонент {(xi, ijj)\(xi, yj)) G G G(x, у)} и соответствующих каждой такой паре вероятностей Pij = Р {X = Xi, Y = yj}, удовлетворяющих условию YYph = 1> г 3 где суммирование распространяется на все возможные значения индек- сов i и j, называется законом распределения С. В. Д. Т. Одномерные законы распределения отдельных компонент С.В. Д.Т. выражаются через вероятности совместных значений р^, по формулам Pi. = Р{Х = Xi} = ^Pij> Р-з = р {у = Уз) == S W 3 i где суммирование распространяется на все возможные значения индек- сов i или j. Пусть (X, Y) — двумерный случайный вектор дискретного типа, G (х, у) — множество его возможных значений. Условным законом рас- пределения случайной компоненты X при условии, что компонента Y приняла определенное значение yj, называется совокупность {х^х; G G G (х, yj)} возможных значений компоненты X и соответствующих
§ 3. Случайные векторы 87 Ijjim значениям условных вероятностей Р {X = Xi/Y = yj}, определяе- jifbix равенством (см. § 1, формула (6)) P{X = X,/y = V]}=P{X-^_Y-^} =Pf. (2) г V ~ Уз J P-j Если (X, У) — С. В. Д. Т. и G — произвольная область на плос- кости, то р{(х,Ю е<?} = £5>У. i j W (xi. Vj )€G Двумерный случайный вектор (X, Y) называется случайным векто- ром непрерывного типа (сокращенно С. В. Н. Т.), если функция распре- деления FXt у (х, у) непрерывна на всей плоскости и существует такая неотрицательная интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по каждой из координат функция fx< Y (х, J/), называемая плотностью рас- пределения вероятностей случайного вектора (X, У), что Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами: 1- fx.y (х, у) 0, (ж, у) G R2. 2. (s, t)dt = 1 (условие нормировки). 3. Если (ж, ?/)—точка непрерывности плотности fXY (х, у), то d2FXtY (х, у) дх ду 4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент слу- чайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности: (х, у) dx. (4) — оо Если (X, У) —С.В.Н.Т., то вероятность попадания случайной точки * произвольную квадрируемую область G на плоскости определяется по формуле р{(х, У) е G} = // fx. Г (х, у) dx dy. (5)
88 Гл. 18. Теория вероятностей Пусть {X, Y) — двумерный С. В. Н. Т. Условной плотностью рас- пределения вероятностей случайной компоненты X при условии, что компонента Y приняла определенное значение у такое, что /у(?/) > О, называется неотрицательная функция fx(x/y) действительной перемен- ной ж, определяемая при всех х G R следующей формулой умножения для плотностей: (6) Аналогично, при всех у Е R и всех х 6 R таких, что fx(x) > О, Случайные величины Xi, Хг, ... , Хп называются независимыми (в совокупности), если для любого набора событий {Xi Е В}, i = = 1, 2, ..., п, где Bi, В2, ... , Вп — подмножества числовой прямой, выполняется равенство Р {Xi € Bi, Х2 € В2, ..., Хп € Вп} — = p{Xi ев1}р{х2ев2} ...р{хпевп}. Теорема. Случайные величины Xi, Х2, ... , Хп независимы то- гда и только тогда, когда в любой точке х G Rn имеет место ра- венство Fx{x) = FX1<X2..Хп (xi, Х2, , хп) = FX1(xi) FX2(x2) .. • FXn(xn). Из этой теоремы, в частности, следует, что для независимости ком- понент случайного вектора непрерывного типа (Xi, Х2, ... , Хп) необ- ходимо и достаточно, чтобы в любой точке х 6 Rrt fx{x) = /Х1,Х2..Хп (жь Х2, ... , хп) = fXi(xi) fX2(x2) ••• fxn(xn). Если же (Xi, Х2, • •• , Хп) — С.В.Д.Т., то соответствующее условие независимости его компонент записывается в виде Р {Xi = xi, Х2=х2, ..., Хп = хп} - = P{Xi=Xi}P{X2=x2} ...Р{Хп=хп] для всех (xi, Х2, -.. , xn) Е Rn. Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие чис- ловые характеристики. Начальным моментом порядка к + з случайного вектора (X, Y) называется действительное число ctk,s> определяемое формулой если (X, Y) -С.В.Д.Т. —. +оо г 3 II Хкys fx,y {х, y)dxdy, если (X, Y) -С.В.Н.Т., — оо
§ 3. Случайные векторы 89 Начальный момент существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, otk,o = ₽ M[Xfc], ao,s = М [У5] — соответствующие начальные моменты от- дельных компонент. Вектор с неслучайными координатами (mx, mY) = («1,о> «о, 1) на- зывается математическим ожиданием случайного вектора (X, У) или центром рассеивания. Центральным моментом порядка k + з случайного вектора (X, У) называется действительное число pk,s, определяемое формулой если (X, У) -С.В.Д.Т. Цк,» ~ ' “ т^к^Уз ~ mY?PiV г 3 (ж, у) dxdy, если (X, У) — С. В. Н. Т. Центральный момент рь,з существует, если ряд (соответственно ин- теграл) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, /*2,0 = Dx, //0,2 = Dy Центральный момент //ij называется ковариацией и обозначается KxY- Таким образом, по определению KXY = р1>х = М [(X — тх) (У — my)] = М [ХУ] — mxmy. Нормированная ковариация pXY = - — - называется коэффициентом о xoY корреляции двух случайных компонент X и У случайного вектора. Коэффициент корреляции удовлетворяет условию Jpxy| и опре- деляет степень линейной зависимости между X и У. Случайные ве- личины, для которых pXY =0, называются некоррелированными. Из независимости случайных величин X и У вытекает их некоррелирован- ность (обратное, вообще говоря, неверно). Пусть (X, У) — С.В.Д.Т. Условным математическим ожиданием Случайной величины X при условии, что У приняла одно из своих воз- можных значений ijj, называется действительное число yj, обозначаемое *®кже М [Х/У = yj] и определяемое формулой y} = M{X/Y = yj] = '^xiP{X = Xi/Y = yj], (7) i Р {X = Xi/Y = yj} — условная вероятность, определяемая форму- лой (2), а суммирование в правой части распространяется на все воз- можные значения индекса г.
90 Гл. 18. Теория вероятностей Условным математическим ожиданием случайной величины X при условии У называется случайная величина У, обозначаемая также М[Х/У], возможные значения которой yj определяются формулой (7), а соответствующие вероятности равны Р{У = »Я = Р{Г = »;•}. Имеет место следующая формула полного математического ожида- ‘Н'ЦлЯ * М[Х] = М[М[Х/У]] = £М[Х/УУ = Й]Р {У =»,}. (8) 3 Пусть (X, У) — С. В. Н. Т. Условным математическим ожиданием случайной величины X при условии У = у называется действительное число, обозначаемое М [X/Y = ?/] и определяемое формулой +оо М [X/Y = ?/] = У xfx (х/у) dx, — ОО где fx(x/y) — условная плотность, определяемая формулой (6). Фор- мула полного математического ожидания, аналогичная (8), имеет вид 4-оо м [X] = М [М [Х/У]] = I fy (!/) М [Х/У = у] dy. (9) — ОС Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумер- ного случайного вектора (X, У) без труда обобщаются на случай п-мерно- го случайного вектора (Xi, Х2, ... , Хп). Так, например, вектор с неслу- чайными координатами (mi, m2, ... , тп), где — математическое ожидание случайной величины Xi, определяемое формулой mi = М [Xj] = 4-00 ~ // / Xi^X1'X2......Хп Х2' ” ’ Xn^dX1 dX2 ••• dXv' — 00 называется центром рассеивания случайного вектора (Xi, Х2, ... , Хп). Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора (Xi, Х2, ..., Хп) называется симметрическая действительная матрица, эле- менты которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент: где Kij = М [XjXj] = Kji — ковариация г-й и j-й компонент. Очевидно, Кц = М [Х?] = Di — дисперсия г-й компоненты.
§ 3. Случайные векторы 91 Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называ- ется нормированная ковариационная матрица где Pij — —-----коэффициент корреляции г-й и j-й компонент. О’ 2 (Tj Пример 1. Дважды бросается игральная кость. Случайные вели- чины: X — число появлений шестерки, Y — число появлений четной цифры. а) Описать закон распределения случайного вектора (X, У). б) Установить, зависимы или независимы компоненты X и Y. в) Описать законы распределения отдельных компонент. г) Вычислить вероятность М{Х Y}. <3 Для описания закона распределения дискретного случайного век- тора (X, Y) необходимо определить множество всех возможных пар зна- чений (xi, и соответствующие вероятности. Результат удобно пред- ставлять в виде следующей таблицы: Xi yj Р{Х = хО 0 1 2 л 1 1 1 25 и 4 3 9 36 1 1 10 1 0 6 9 36 1 1 2 0 0 36 36 Р{У = ^} 1 4 1 2 1 4 1 В первом столбце указываются возможные значения случайной ве- личины X, а в первой строке — возможные значения У; в последнем Столбце и в последней строке указываются безусловные вероятности воз- можных значений соответственно X и У. В каждой клетке таблицы, Стоящей на пересечении г-й строки и j-ro столбца, указываются веро- ятности совместного осуществления события {X = У = yj}, т.е. Ptf = P{X = ^, У = yj}. Множество Q для данного эксперимента состоит из равновероятных Исходов следующего вида: Ю = {(*, 3) К 3 = У • • •, 6};
92 Гл. 18. Теория вероятностей число элементов данного множества N (Q) = б2 = 36 (схема выбора двух элементов из множества {1, 2, ..., 6} с возвращением и упорядо- чиванием). Заметим также, что данный эксперимент можно рассматри- вать как повторение двух независимых испытаний с одним и тем же множеством элементарных исходов в каждом опыте Qi = {1, 2, ..., 6} для i = 1, 2. Поэтому множество Q является прямым произведением Qi х Q2, что соответствует приведенной выше записи. Случайные величины X и Y определены на множестве Q и ставят в соответствие каждому элементарному исходу одно из своих возможных значений 0, 1 или 2 (множества возможных значений для обеих компо- нент совпадают). Для данного опыта проще всего сначала описать законы распределе- ния отдельных компонент X и Y, т.е. ответить на вопрос в). Событию {X = г'}, i = 0, 1, 2, соответствует множество таких исходов из Q, у которых встречается ровно г шестерок. Вероятность данного события равна вероятности получить ровно i успехов в двух опытах по схеме Бернулли с вероятностью успеха в данном опыте, равной р = 1/6. поэтому по формуле (7) § 2 /1 \ (1 \ г ( 5 \ 2-г Р{Х = г} = Р2.;(ц) =СЦ§) (j) ’ ^ = 0,1,2. Аналогично, используя соответствующую схему Бернулли для вычисле- ния вероятностей событий {Y = j}, j = 0, 1, 2, получим /1\ /1\J /1\2—J 1 р{у = Л = л,у(5) =^(2) (2) > = 0’1’2- Таким образом, заполняем последний столбец и последнюю строку та- блицы. а) Описание закона распределения случайного вектора дискретною типа (X, Y) можно осуществить в такой последовательности. Заметим, прежде всего, что Рю = Р20 = Р21 = О, так как данные вероятности относятся к невозможным событиям (соот- ветствующие этим событиям множества элементарных исходов пусты). 2 Используя условие нормировки «по столбцу» ^Р.о=Р-о = Р{Г = 0}. 1=0 находим, что poo = Р {X = 0, Y = 0} = 1/4. Аналогичное условие нормировки «по строке» дает р22 = Р {X = 2, Y = 2} = 1/36. Нетрудно убедиться, что достаточно вычислить еще одну какую-ли- бо вероятность из четырех оставшихся p;j, после чего все остальные вероятности в таблице восстанавливаются из условия нормировки. Вы- числим, например, рп. Вычисления можно провести двумя способами. Первый способ. Непосредственно вычисляем вероятность совмест- ного осуществления двух событий: {X = 1} и {У = 1}. Очевидно.
§ 3. Случайные векторы 93 qTo событию {Х = 1,У = 1} благоприятствуют только такие исходы (i, У) У которых либо на первом месте стоит шестерка, а на вто- ром месте любая нечетная цифра, либо наоборот. Поэтому {X = 1, у = 1} = {(6, 1), (6,3), (6,5), (1,6), (3,6), (5,6)}. Отсюда по формуле классической вероятности получаем ЛГ({Х = 1, У = 1}) 1 Р“ IV (Q) 6' Второй способ. Используем формулу умножения вероятностей Р{Х = 1, Y = 1} = Р{Х = 1}Р{У = 1/Х = 1}. Условную вероятность находим методом вспомогательного эксперимента: Р{У = 1/Х = 1} — Р {при одном подбрасывании выпала нечетная ци- фра из состава {1,2,3,4,5}} = 3/5 согласно формуле классической веро- ятности. Учитывая, что Р {X = 1} = 10/36, получаем Оставшиеся клетки таблицы заполняем с помощью условия норми- ровки, например, в такой последовательности: 1 1 1 Ро1 “ 2 6 ~ 3 ’ _ 10 1 _ 1 Р12 " 36 ~ 6 ~ 9 ' Наконец, _ 25 1 1 _ 1 Р°2 ~ 36 3 4 ~ 9 б) Компоненты X и Y зависимы, так как, например, Й1=Р{Х = 1, У = 1} = 1/Р{Х = 1}.Р{У = 1} = ^.1 = ±. и ои ои в) Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством, Р{Х^У} = Р{(Х, Y)eG}, Где G — {(ж, у) | (ж, у) е R2, х у}. Так как (X, У) — С. В. Д. Т., то по формуле (3) получаем 2 2 {х у} = 52 52 Pij = р00+Р10+Рп + Р20+Р21 + Р22 = Gi Уз) 1114 -4 + 6 + 36-9‘t>
94 Гл. 18. Теория вероятностей Пример 2 (продолжение). Описать функцию распределения век- тора из примера 1. <] Согласно определению функции распределения Fx.v (X, У) = Р{Х < х, У < у} = Р {(X, У) е G*,,}, Рис. 8 где Gx,y = {(£, ^)|(£, rj) е R2, £ < х, г] < у}. Область Gx,y заштрихована на рис. 8 и представляет собой бесконечный прямо- угольник с вершинами в точках (—сю, —сю), (—сю, у), (х, у) и (ж, —сю). При каждом фиксированном значении точки с координатами (ж, у) значение Fx,y (xt, у^ равно сумме вероятностей тех возможных значений вектора (xi, yj), ко- торые попадают внутрь указанного прямо- угольника. Результат удобно представить в виде следующей таблицы: X У У ^0 0<у^1 Ky^2 2<y x CC 0 0 0 0 0 0 < x 1 0 1/4 7/12 25/36 1 < x 2 0 1/4 3/4 31/36 2 < x 0 1/4 3/4 1 Пример 3 (продолжение). Вычислить основные характеристики тх mY, Dx, DY, KXY, Pxy случайного вектора из примера 1. <] По формулам для начальных моментов первого порядка имеем 2 2 2 2 2 тх = «1,0 = У2 52 ipii= 52 * 52 = 52ipi-= з ’ г=0 j—0 г—О j=0 i=0 2 2 2 2 2 mY = Q0,i = 5252 = 52 52 = 52 = L i=0 j=0 j=0 i=0 j—o Дисперсии удобно вычислять через второй начальный момент: 2 Dx = Р2,о = «2,о - ГП2Х = i2pi. - m2 i—0 2 Dy = Po, 2 = «0,2 - rn2 = У2 j2P-j - j=0 5 18 ’ 1 2 ‘
§ 3. Случайные векторы 95 Для вычисления ковариации используем аналогичную формулу через на- чальный момент ai, 1: KXY = «1,1 2 2 mxmY = У "У ijpij — mxm i—0 jzzO Коэффициент корреляции определяется как нормированная ковариация, поэтому _ К XY _ KXY _ 1 Pxr~ ax<7y ~ Si' > Пример 4 (продолжение). Описать условный закон распределения случайной величины X из примера 1 при условии Y = 2 и вычислить условное математическое ожидание М [X/Y = 2]. <1 Условный закон распределения случайной компоненты X при усло- вии, что компонента Y приняла значение, равное 2, находим, используя формулу (2): Dfv • / v Р {-У Y 2} Р12 . • л 1 о Р{Х = ./У = 2} = р{у^-2} =- = 4р.2, . = 0,1,2. Результат оформим в виде таблицы Xi 0 1 2 £Р{Х = х,/Г = 2} i=0 Р{Х = Xi/Y = 2} 4/9 4/9 1/9 1 При этом условное математическое ожидание М [Х/Y = 2] = 2/3. > В задачах 18.378-18.403 рассматриваются случайные векторы Дискретного типа. 18.378. Закон распределения случайного вектора (X, У) дис- кретного типа определяется следующей таблицей: Xi Vi -1 0 1 1 0,15 0,3 0,35 2 0,05 0,05 0,1 а) Найти безусловные законы распределения отдельных ком- понент X и У. б) Установить, зависимы или нет компоненты X и У? в) Вычислить вероятности Р {X = 2, У 0} и Р {X > У}.
96 Гл. 18. Теория вероятностей 18.379 (продолжение). Построить функцию распределении Fxy (т, у), оформив результат в виде таблицы, и найти тпх и ту. 18.380 (продолжение). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора из задачи 18.378. 18.381 (продолжение). Для случайного вектора из задачи 18.378 описать условный закон распределения случайной вели- чины Y при условии X = 1 и найти условное математическое ожидание М \Y/X = 1]. 18.382 . В условиях примера 1 вычислить вероятности и Poi, не используя условие нормировки. Чему равна вероятность Р{Х + У > 1}? 18.383 . Один раз подбрасывается игральная кость. Случай- ные величины: X — индикатор четного числа выпавших очков (X = 1, если выпало четное число очков, и X = 0 в противном случае), Y — индикатор числа очков, кратного трем (У = 1, если выпало число очков, кратное трем, и У — 0 в противном случае). Описать закон распределения случайного вектора (X, У) и без- условные законы распределения компонент. 18.384 (продолжение). Вычислить момент /^2,2 для распреде- ления случайного вектора предыдущей задачи. 18.385 . Иван и Петр наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X — число белых шаров у Ивана. У — число белых шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (А-, У) и безусловные законы распределения компонент, если выбор шаров производится без возвращения. 18.386 (продолжение). Решить задачу 18.385 при условии, что выбор шаров осуществляется с возвращением. В каком случае вероятность события {X > У} больше: в опыте из задачи 18.385 или в данном опыте? 18.387 . Случайная величина X принимает значения 0, 1 или 2 с вероятностями соответственно 0,2; 0,7 и 0,1, а не зависящая от нее случайная величина У — значения —1, 0, 1 соответственно с вероятностями 0,3; 0,5; 0,2. Описать закон распределения случай- ного вектора (X, У) и вычислить функцию распределения в точках (1,5; -0,5) и (0,5; 4). 18.388 . По цели производится два независимых выстрела. Ве- роятность попадания в цель при первом выстреле равна р1? при втором р2- Случайные величины: X — число попаданий при пер- вом выстреле, У — число попаданий при втором выстреле. Найти функцию распределения Fxy (т, у). 18.389 . Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, на- удачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X — число белых шаров в выборке, У — число черных ша-
§ 3. Случайные векторы 97 ров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (X, Y) и ВЫЧИСЛИТЬ Рху- 18.390 . Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна р. Случайные величины: X — число выстрелов до первого попадания (включительно), Y — число промахов. Описать закон распределения случайного вектора (X, У). Найти центр рассеива- ния данного распределения и значения и Оу. 18.391 (продолжение). Вычислить вероятность события {X ^У + 1}. 18.392 (продолжение). Вычислить коэффициент корреляции для компонент случайного вектора из задачи 18.390. 18.393 . Функция распределения случайного вектора (X, У) дис- кретного типа имеет вид, определяемый таблицей X У У < 1 Л /Л со со Л «с /Л СП 5 < у х 2 0 0,25 0,25 0,25 2 < х < 4 0 0,25 0,3 0,4 4 < х 0 0,4 0,75 1 Описать закон распределения случайного вектора (X, У) и най- ти центр рассеивания. 18.394 . Бросаются две одинаковые игральные кости. Случай- ные величины: X — индикатор четности суммы выпавших очков (т.е. X = 1, если эта сумма четна, и X = 0 в противном слу- чае), У — индикатор четности произведения выпавших очков (т.е. У = 1, если это произведение четно, и У = 0 в противном случае). Описать закон распределения случайного вектора (X, У). 18.395 (продолжение). Построить функцию распределения слу- чайного вектора из предыдущей задачи. 18.396 (продолжение). Найти ковариационную матрицу случай- ного вектора из задачи 18.394. 18.397 . Число X выбирается случайным образом из множества Целых чисел {1, 2, 3}. Затем из того же множества выбирается Наудачу число У, большее первого или равное ему. Описать закон распределения случайного вектора (X, У) и определить, зависимы Или независимы случайные компоненты X и У. 18.398 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти Коэффициент корреляции рХу-
98 Гл. 18. Теория вероятностей 18.399 (продолжение). В условиях задачи 18.397 описать услов- ный закон распределения компоненты X при условии Y = 3 и вычислить М [X/Y = 3]. 18.400 *. В продукции завода брак вследствие дефекта а состав- ляет 3%, а вследствие дефекта /3 — 4,5%. Годная продукция со- ставляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обла- дает дефектами обоих типов. 18.401 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти коэффициент корреляции дефектов а и /3. 18.402 *. В продукции завода брак вследствие дефекта а состав- ляет 6%, причем среди забракованной по признаку а продукции в 4% случаев встречается дефект Дав продукции, свободной от дефекта си, дефект /3 встречается в 1 % случаев. Найти вероятность встретить дефект (3 во всей продукции. 18.403 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить коэффициент корреляции дефектов а и /3. Пример 5. Плотность распределения вероятностей случайного век- тора (X, У) непрерывного типа задана следующим образом: ГО, х2 + у2 а2, fx, y (х, у) = < ____________ ( с \/а2 — (х2 + у2}, х2 + у2 < а2. Определить константу с и вычислить Р{(Х, У) 6 G}, где G = — {(^5 У) I х > 0, у > 0}.— первый квадпант плоскости Оху. <] Константу с находим из условия нормировки, которое в данном случае записывается в виде с fl J^^dxdy = l. х2+у2^а2 Переходя к полярной системе координат, находим 2тг а f , [ Г~2---Та с'2™3 * * , с / dtp I г v о — f dr =------= 1, J J о о о 3 откуда следует, что с = -—- . Вероятность попадания в область G для случайного вектора (X, У) непрерывного типа определяется, согласно формуле (5), как двойной ин- теграл от плотности, взятый по области G-, поэтому тг/2 а Р {(X, У) е G} = [ dtp [ г V а'2-г2 dr=-. > 2яа6 J J 4 о о
§ 3. Случайные векторы 99 Пример 6 (продолжение). Вычислить центр рассеивания и ковари- ационную матрицу случайного вектора из примера 5. <3 В силу осевой симметрии функции плотности очевидно, что (гпх, тУ) = (0, 0). Отсюда следует, что для данного распределения Рх = 02,0, Dy — ао,2, и KXY = 01,1- Записывая соответствующие моменты в полярной системе координат, получаем Так как выражение для ао,2 сводится к тому же интегралу, то DY — = а2/5. Ковариация находится следующим образом: 2тг a 2 г г _____________ Kxy = ~—7 / sin о? cos tp dip / г3 уа2 — г2 dr = 0. 2тга6 J J о о Таким образом, ковариационная матрица имеет вид а2/5 О О а2/5 В задачах 18.404-18.422 рассматриваются случайные векторы непрерывного типа. 18.404 . Плотность распределения вероятностей случайного век- тора (X, У) имеет следующий вид: /х.у (х, у) = < с(х + у) О при О С х С 1, 0 у С 1, в остальных случаях. Определить константу с и вычислить Р (X + У < 1}.
100 Гл. 18. Теория вероятностей 18.405 (продолжение). В условиях предыдущей задачи опреде- лить безусловную плотность распределения компоненты X и уста- новить, зависимы компоненты X и Y или нет. 18.406 (продолжение). Для случайного вектора из задачи 18.404 вычислить центр рассеивания и функцию распределения Fx(x). 18.407 . Плотность распределения вероятностей двумерного слу- чайного вектора (X, У) имеет следующий вид: fx,y (х, у) = < с(ху + у2) 0 при 0 а; 2, 0 С У С 2, в остальных случаях. Вычислить значение постоянной с и вероятность Р {X + У < 2}. 18.408 (продолжение). Найти центр рассеивания случайного век- тора из предыдущей задачи. 18.409 . Функция распределения случайного вектора (X, У) не- прерывного типа задана в виде Fx,y (х, у) = ' 0, если х < 0 или у < 0, _ | (sinrr + sin г/ - sin(rr 4- ?/)), если 0 х < д/2, о < у < 7г/2, < 1, если х > 7г/2 и у > д/2. Вычислить вероятности pi = Р {(X, У) G G4} и pz — Р{(Х, У) е G Gz}, где области Gi и Gz изображены на рис. 9 и 10 соответ- ственно. 18.410 (продолжение). Вычислить плотность распределения ве- роятностей случайного вектора из предыдущей задачи и найти его центр рассеивания.
§ 3. Случайные векторы 101 Говорят, что случайный вектор (X, У) непрерывного типа распреде- лен равномерно в области G С К.2, если G — квадрируемая область и плотность распределения вероятностей такого вектора имеет вид 0, если fx.Y (я, у) = < 1 5(G)’ если (ж, У) <£ G, (ж, у) е G, где S (G) — площадь области G. 18.411. Случайный вектор (X, У) распределен равномерно вну- три прямоугольника G = {(ж, у) | — 1 С х 2, 1 С у С 2}. Полу- чить выражения для плотности распределения /х>у (я, ?/), функ- ции распределения FXiy(a;, у) и установить, зависимы или нет компоненты X и У. 18.412 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить центр рассеивания (тх, тпу) и дисперсии Dx и DY- 18.413 (продолжение). В условиях задачи 18.411 вычислить ве- роятности pi ~ Р {(X, У) е Gi}, г = 1,2, где Gi = {(т, у) 10,5 < С х < 1,5, 1,5 О 2,5}, G2 = {(ж, у) | х2 + (у - 1,5)2 < 0,25}. 18.414. Случайные величины X и У независимы и распреде- лены по законам R(—1, 1)и В(0, 2) соответственно. Найти выра- жение для плотности fXtY (ж, у), вычислить вероятность события А = {(т, ?/) Е G}, где область G — треугольник с вершинами в точках (—1, 0), (0, 1), (1, 0). 18.415. Случайный вектор (X, У) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (—1, 0), (1, 2) и (1, 0). Вы- числить центр рассеивания данного распределения. 18.416. Случайный вектор (X, У) равномерно распределен в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями ко- ординат. Установить, зависимы или независимы его компоненты. 18.417 (продолжение). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора из предыдущей задачи и выяснить, коррели- рованы или некоррелированы его компоненты. 18.418 (продолжение). Для случайного вектора из задачи 18.416 Г а2} вычислить вероятности pi = P{XY > 0} и р2 = Р < X2 4- У2 < — > 18.419. Точка М наудачу ставится в круг G = {(т, у) | х2 + у2 < <. а2}. Исследовать вопрос о коррелированности или некоррели- рованности, а также зависимости или независимости случайных координат X и Y точки М.
102 Гл. 18. Теория вероятностей 18.420. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y имеет следующий вид: ' 0, если min (х, у) < 0, FXyY (х, у) = min(x,y), если 0 < min(х, у) < 1, 1, если min (я, у) 1. Найти одномерные законы распределения компонент и решить во- прос об их зависимости или независимости. 18.421. Случайные величины X и Y независимы и распре- делены следующим образом; X — по закону Ех(2), У —по за- кону R{—2, 2). Найти вероятности следующих событий: А = = {(X, У) G Z>i}, В = {(X, У) G D2}, где Dr = {(z, у) | 0 < х 2, 0 у 1}, D2 = {(ж, у) | у > х - 2}. 18.422. Случайные величины X и У независимы и распреде- лены каждая по показательному закону с параметрами соответ- ственно Ai и Х2. Найти Р {X Af1, У А^х}. 2. Нормальный закон на плоскости. Говорят, что двумерный случай- ный вектор (X, У) распределен по нормальному {гауссовскому) закону, если совместная плотность распределения вероятностей случайных ком- понент имеет вид 1 f 1 Г (х — тх)2 fxrw) = ехрГ^О 1“^— _ 2^ху (ж -тх) (у -mY) {у - 1 1 (7ХСГУ 0-2 J ’ где (тх, ту) — центр рассеивания, сгх, оу — среднеквадратичные от- клонения случайных компонент вектора (X, У), pXY — коэффициент корреляции. Для нормального закона справедливо следующее правило: Если компоненты двумерного нормального вектора некоррелиро- ваны (pXY = 0), то они и независимы, так как в этом случае , , . 1 Г fx.Y (х, у) = 0-~- exPS — Z7T6T х 67 у ( \2 \х — тх) {у - mYy 2(Ту + = fx{x)fY{y). (11) При этом оси координат Ох и Оу называются главными осями рас- сеивания. Если к тому же ах = aY = а, то рассеивание называется круговым. В общем случае (pXY 7^ 0, сгх 7= сгу) эллипсом рассеивания называется эллипс, в каждой точке которого плотность имеет одно и то же постоянное значение. Эллипс, в точках которого плотность постоянна и равна fx Y (х, у) = const — ----------------: 2тгстхсту \/1 —рху f А2 1 еХР1 2(1-р2у)/
§ 3. Случайные векторы 103 описывается уравнением (х - тх)2 <4 2рху (ж - тх) (?/ - ту) (ТХ(ТУ (У-ту)2 = А2. С помощью преобразования поворота системы координат плотность нор- мального распределения всегда может быть приведена к каноническому виду (11) с главным эллипсом рассеивания, описываемым уравнением 2 - + (У~ту)2 = д2 гг 2 Пример 7. Случайный вектор (X, У) подчиняется каноническому нормальному распределению с параметрами mx = mY = 0, сгх, оу. Вы- числить вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D\, ограниченную главным эллипсом рассеивания с полуосями а = Лсгх, b = XaY. <1 Уравнение эллипса ж2 г/2 (Л<7Х)2 + (А<7У)2 ~ ’ Р{(Х, У)еРл}= JI fX.r(z, y)dxdy. Dx Для вычисления интеграла перейдем к полярной системе координат: х = axr cos 92, у — aYr sin9р. Якобиан этого преобразования I = oxoYr. При этом уравнение эллипса преобразуется в уравнение окружности радиуса А. Поэтому 2тг А Р {(X, У) G Dx} = [ dtp [ re~r2/2 dr = 1 - е^2. > 2тт J J о о Пример 8. Двумерный случайный вектор распределен по нормаль- ному закону с совместной плотностью вероятностей, определяемой фор- мулой (10). Найти безусловную плотность вероятностей компоненты X, условную плотность fy^y/x) и условное математическое ожидание М[У/Х = Ж]. <1 По формуле (4) +оо /х(ж)= / fx, у (х, у) dy, — 00
104 Гл. 18. Теория вероятностей У ~ mY m —— = v, и обозначим для краткости р = pXY. Тогда V 2 (Ту где /х, y (z, у) определяется формулой (10). Сделаем замену переменных: х — тпх —=— = и, \П(УХ fx(x) = ________1 2 7Г(7х V ( U2 \ = ехр - ----------тх х >2 \ 1 - Р2 J /( 1 9 2puv \ , ехр - ------ v2 + ------j dv. ( 1 - р2 1 - р2 / Дополняя до полного квадрата в показателе экспоненты под знаком ин- теграла, получим интеграл Пуассона: и2 — р2и2\ 1 — /92 / ( \2 \Х — ТПх) I 2ст2 J 1 — р2 J Условную вероятность находим по формуле (6): 1 ______ ( 1 oY /2? ехр t" 2 (1 - <,? Это значит, что fY(y/x) представляет собой гауссовскую плотность с па- раметрами, имеющими смысл условного математического ожидания и условной дисперсии: М [У/Х — ж] — mY + Pxy -У (ж — mx), D [У/Х = ж] = ст2 (1 — P2x°Y (12) Уравнение (12), определяющее условное математическое ожидание как функцию х, называется уравнением (линейной) регрессии Y на X. > 18.423. Случайная точка на плоскости (X, У) распределена по каноническому нормальному закону с центром рассеивания (шх, w) = (0, 1) и среднеквадратичными отклонениями сгх = = 1, сгу = 2. Вычислить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами (—1, 1), (2, 1), (2, 3) и (—1, 3). 18.424. Случайная точка на плоскости (X, У) распределена по круговому нормальному закону {pxy = 0, сгх = (Ту = сг = 1)
§ 3. Случайные векторы 105 с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероят- ности следующих событий: А = {У > X}, В = {|У| > X}, C={Y <ЗХ}. 18.425 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить вероятность событий D = {|X| < 1} и Е = {X <1, У < 2}. 18.426. Координаты точек на плоскости независимы и распре- делены по законам N (а, <т) и N (5, сг). Найти радиус круга с центром в точке (а, 5), вероятность по- падания в который равна 0,997. 18.427. Случайная точка (X, У) распределена по круговому нормальному закону с параметрами тпх = тпу = 0, сгх — °y — 2. Найти вероятности попадания случайной точки в области Gi, i = Г 7Г ) = 1, 2, где Gi = Hr, 9?) | 0 < г < 2, 0 < <р < - > (сектор), (г, 9?) — I о) полярные координаты точки, Gr2{(^, у) |4 х2 + у2 9} (кольцо). 18.428 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности попадания случайной точки в область G% = {(z, у) | | |гг| + \у\ < 3} (квадрат). 18.429* . Случайная точка на плоскости (X, У) распределена по круговому нормальному закону-с параметрами тх = ту = 0, = сту = 1. Найти вероятности попадания случайной точки в области Gi, i = 1, 2, где G\ — треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1), G2 — треугольник с вершинами (0, 0), (1, 1), (2, 0). 18.430 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности попадания случайной точки в области G3 — трапе- ция с вершинами (1, 0), (2, 0), (2, 2), (1, 1), G4 — треугольник с вершинами (2, 0), (2, 2), (1, 1). 18.431. Заданы следующие характеристики двумерного нор- мального вектора: тх = —2, ту = 3 и ковариационная матрица „ _ /16 12\ Л “ Ц2 25J • Записать выражение для плотности распределения вероятностей /х.у (z, у) и вычислить вероятность попадания в главный эллипс рассеивания с полуосями a = 2ax, b = 2сгу. 18.432 (продолжение). В условиях предыдущей задачи напи- сать уравнение регрессии У на X. 18.433. Случайный вектор (X, У) подчиняется нормальному распределению с параметрами тх = — 1, ту = 1, сгх = 1, ау = 2, Рху = 0. Написать уравнение главного эллипса, ограничиваю- щего область G, вероятность попадания случайной точки (X, У) в которую равна 0,9.
106 Гл. 18. Теория вероятностей 18.434. Закон распределения двумерного случайного вектора опи- сывается плотностью распределения вероятностей следующего вида: fXY(x, у) = ^е-^+2х^2'!/2. 7Г Записать выражение для безусловной плотности /x(z) и указать значения основных параметров совместного распределения. 18.435. Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели, зона поражения которой представляет собой круг радиуса г с центром в начале координат. Рассеивание точки попадания сна- ряда — нормальное круговое с параметрами тпх = тпу — 0, = = <jy ~ 2г. Сколько выстрелов надо произвести, чтобы поразить цель с вероятностью, не меньшей 0,95? § 4. Функции случайных величин 1. Числовые характеристики функций случайных величин. Если X — дискретная или непрерывная случайная величина с известным законом распределения и Y = tp(X'), где — неслучайная функция, то матема- тическое ожидание и дисперсия случайной величины Y в случае, если они существуют, могут быть найдены по формулам mY = М [У] = £>ЫР{Х = ж*}, к Ч-оо У 9?(ж) fx(x)dx, ч —ОС если X — С. В. Д. Т., если X —С.В.Н.Т.; (1) [ (хк) - my)2 Р {X = хк}, если к Dy =М [У2] = < +г° / (<£ (я) — ту)2 /х(^) dx, если ч —сю X - С.В.Д.Т., X - с.в.н.т. Аналогичные формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины У, ко- торая является неслучайной функцией X. Таким образом, для вычи- сления числовых характеристик неслучайной функции случайной ве- личины не надо знать закона распределения зависящей от X случай- ной величины У, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X. Сформулированное правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных переменных. Например, если
§ 4. Функции случайных величин 107 1 = р (X, У), то г 3 уД?{Х = Хг, Y—yj}, если (X,Y) - С.В.Д.Т., mz = М [Z] = < УУ y)fXY (x,y)dxdy, если (X,Y) - С.В.Н.Т. Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следу- ющие свойства математического ожидания и дисперсии: 1. Для любых случайных величин (к — 1, 2, ... , п) М 2_^akXk+b = / а&М [Х^] + b (свойство линейности). .k=l J к=1 2. Если X 0, то М [X] 0. 3. Если X 0 и М [X] = 0, то Р {X = 0} = 1. 4. Для любых случайных величин Х^ (к = 1, 2, ... , п) D o-kXk + & — Qfc D [Xfc ] + 2 aiOjKij, .к=1 . к=1 i,j=l i,j=l i<j где Kij = М [Xilj]. В частности, D [аХ + bY + с] = a2D [X] + 62D [У] + 2abKXY. 5. М [ХУ] = М [X] М [У] + Кху. 6. М2[ХУ] М[Х2]М[У2] (неравенство Коши-Буняковского). 7. Если X и У независимы, то D [ХУ] = D [X] D [У] + mjD [У] + m2 D [X]. Свойство 1 может быть записано в более общей форме в матричных обо- значениях: 1*. М [АХ В + С] = AM [X] В + С, где X — случайный n-мерный вектор-столбец, М [X] — неслучайный п-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны математическим ожиданиям случайных компонент вектора X, А, В и С — постоянные матрицы порядков соответственно тхп, пхритхр. (Свойство 1 является частным случаем свойства 1* при т = р = 1.)
108 Гл. 18. Теория вероятностей Пример 1. На вход измерительного прибора поступает случайный вектор (X, У) со следующими характеристиками: тх = —1, mY = 1, ах = 2, aY = 3, pXY = 0,5. На выходе прибора измеряется величина Z = = (X — У)2. Определить математическое ожидание случайной вели- чины Z. <] Воспользуемся свойствами 1 и 5 математического ожидания: М [Z] = М [X2 + У2 - 2ХУ] = М [X2] + М [У2] - 2М [ХУ] = = Dx + m2 + Dy 4- m2 — 2 (mxmY + KXY) — 11. > Пример 2. На окружность радиуса г наудачу ставятся две точки, которые затем соединяются между собой и с центром окружности. Найти математическое ожидание площади полу- ченного треугольника. <] Так как в данном опыте важно лишь взаимное расположение точек на окружно- сти, то можно считать, что первая точка имеет фиксированные координаты (г, 0). Тогда положение второй точки, случайно поставленной на окружности, полностью определяется случайным углом Ф между положительным направлением оси Ох и радиус-вектором, проведенным во вторую точку, как показано на рис. 11. Поскольку все значения угла Ф равновозможны в пре- делах от 0 до 2тг, то можно считать, что случайная величина Ф распределена по закону R(0, 2тг). Поэтому /ф (</>) = 0, 1 2тг ’ если 0 (0, 2тг), если tp 6 (0, 2тг). При фиксированных точках А и В площадь треугольника О АВ записы- вается в виде г2 S = у I sin Ф|. По формуле (1) для С.В.Н.Т. имеем 1 г 1 г2 / г2 М [S] = - г2 / | sin <^| — dtp = —- / sin tp dtp = — . > 2 J 2тГ Z7T J 7Г о 0 18.436. Один раз брошены две игральные кости. Случайная величина S — сумма выпавших очков. Вычислить среднее значе- ние и дисперсию случайной величины S.
§ 4. Функции случайных величин 109 . 18.437. Случайные величины X и Y независимы и имеют сле- дующие характеристики: тх = 1, ту = 2, сгх — 1, сгу — 2. Вы- числить математические ожидания случайных величин U = X2 + + 2У2 - XY - 4Х + У + 4, V = (X + У - I)2. 18.438. Случайная точка (X, У). характеризуется центром рас- . х ( Ъ -2 \ сеивания (—1, 1) и ковариационной матрицей I 9 . I. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = == 2Х - 4У + 3. 18.439. В прямоугольник с вершинами (0, 0), (2, 0), (2, 1) и (0, 1) наудачу ставится точка. Обозначим (X, У) случайные коор- динаты этой точки. Вычислить М [X ± У], М [X2 + У2] и М [XY]. 18.440 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить D [X ± У] и D [ХУ]. 18.441. Случайные величины X и У независимы и имеют оди- наковое распределение с математическим ожиданием т и диспер- сией сг2. Найти коэффициент корреляции случайных величин U = aX + (3Y и V = аХ - /ЗУ. 18.442 (продолжение). Показать, что случайные величины Z — = Х + У nW — X — У, где X и У описаны в условии предыдущей задачи, некоррелированы. 18.443. Случайная величина X дискретного типа распределена по закону, определяемому таблицей Xi — 1 0 1 Рг 1/6 1/3 1/2 Найти коэффициент корреляции между X и X2. 18.444. Случайные величины X и У независимы и распреде- лены: X по закону /НО, 2), У — по закону N (1, 2). Вычислить П[Х-У] иМ[ХУ2+Х2У]. 18.445. Случайная величина X распределена по закону N(—1, 2), а не зависимая от нее случайная величина У распре- делена по закону /?(—1, 3). Вычислить М [Z] и D[Z], где И = = Х + У-ХУ. 18.446* . Случайная величина X распределена по закону 3V(1, 1). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора У = (X, X2, X3). 18.447* . Случайная величина Ф — угол поворота азимуталь- ного лимба прибора — может принимать конечный набор значе-
по Гл. 18. Теория вероятностей 2% ний <рк = к---(к = О, 1,2, ..., п) с равными вероятностями. На п выходе прибора измеряется случайная величина Y = sinO. Найти М [У] и О[У]. 18.448. Случайная величина Ф принимает дискретные значе- ния ^ = — (& = 0, 1, ...) с вероятностями, убывающими в гео- метрической прогрессии. Найти М[У] и D [У], если У = sinO. 18.449 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М [Z] и D [Z], если Z = cos Ф. 18.450. На окружность радиуса г наудачу ставятся две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной длины L хорды, соединяющей эти точки. 18.451. На отрезок АВ длины I наудачу ставится точка М и проводится окружность радиуса AM. Найти М [L] и D [L], где L — длина окружности. 18.452 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М[5] и D [S'], где S — площадь круга. 18.453. На отрезок [0, /] наудачу ставятся две точки А и В. Найти М [S'], где S — площадь квадрата со стороной R = |А19|. 18.454 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М [R] и D [R]. 18.455. На экране индикатора радиолокационной станции кру- гового обзора отраженный импульс от цели представляется в виде светящейся точки с координатами (д?, у). При поиске очередной цели светящаяся точка появляется случайным образом в любом месте круга радиуса а. Найти математическое ожидание и диспер- сию расстояния R от точки до центра экрана. 18.456. На смежные стороны прямоугольника со сторонами а и b (а > Ь) наудачу и независимо ставится по одной точке. Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата расстояния R2 между ними. 18.457. Шарики для подшипников изготовляются из стали с плотностью р = 7,8 г/см3. Они считаются годными, если прохо- дят через отверстие диаметром = 10,1мм и не проходят через отверстие диаметром di = 9,9 мм. Технология изготовления ша- риков такова, что диаметр шарика можно считать нормально рас- „ „ dy + с?2 пределеннои случайной величиной с параметрами тх = —-— , (h - di „ Ox — —; • Наити математическое ожидание массы шарика Z 5 с тремя верными знаками после запятой.
§4. Функции случайных величин 111 - _ - . 18.458 (продолжение). В условиях предыдущей задачи допу- стим, что диаметр шариков распределен равномерно в пределах доля допуска (по закону Я(</1, (/2)) с теми же значениями di, я р. Найти математическое ожидание массы шарика Z с тремя верными знаками после запятой. 18.459. Проводятся последовательные испытания по схеме Бер- нулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной р. Слу- чайная величина Z — относительная частота успехов в п испыта- ниях. Вычислить M[Z] и D[Z], выразив Z через сумму индика- торов успеха в одном испытании и воспользовавшись свойствами операций математического ожидания и дисперсии. 18.460* . Автоматическая линия производит детали, удовлетво- ряющие стандарту с вероятностью q и не удовлетворяющие стан- дарту с вероятностью р = 1 — q. Перестройка линии производится после получения к нестандартных деталей. Случайная величина Z — число деталей, сошедших с автоматической линии между двумя перестройками. Вычислить mz и Dz. 18.461* . Проводятся последовательные независимые испыта- ния по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испыта- нии, равной р. Назовем «серией успехов» такую конечную цепочку последовательных испытаний, в которой каждое испытание закон- чилось успехом, а испытание, предшествующее цепочке, и испы- тание, следующее за ней, — неудачей. Пусть Zn — число серий успехов в п испытаниях. Найти М[ИП]. 18.462* . Случайная величина Z представима в виде Y Z = Y,xb’ где (к = 1, 2, ...) — попарно независимые, одинаково распре- деленные случайные величины с математическим ожиданием т и Дисперсией сг2, a Y — С. В. Д. Т., множество значений которой есть {1, 2, ..., N} (N конечно или бесконечно) с известными вероятно- стями их реализаций рь = Р {У = к}, к = 1, 2, ... Показать, что справедливы следующие формулы для моментов М [Z] и М [Z2]: N N М [Z] = m прп, М [Z2] = Урп(па2 + п2т2). п=1 П=1 18.463* . Бросается игральная кость. Пусть выпало к очков. После этого та же кость подбрасывается к раз. Случайная величи- на Z — сумма выпавших при этом очков. Найти М [Z] и D [Z].
112 Гл. 18. Теория вероятностей Y 18.464* . Пусть Z = Xk, где Xk, к = 1, 2, ..., подчиняются к=1 закону N (гп, а) и независимы в совокупности, Y распределена по геометрическому закону с параметром/). Вычислить mz и Dz. 18.465. Пусть для случайной величины X существует началь- ный момент 4-го порядка, т.е. М[Х4]. Используя неравенство Коши-Буняковского, доказать, что тогда существуют и начальные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков. 18.466. Показать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса не зависят от начала отсчета и масштаба при линейном преобразова- нии, т.е. если Y = Х(Х — а), то aY = ах, eY = ех. 18.467* . Пусть Xi, Хъ, ... , Хп — стандартизованные случай- ные величины, одинаково коррелированные между собой (т.е. pij = = р для. всех i 7^ j). Показать, что р ---- . п — 1 18.468* . Пусть X и Y — две стандартизованные случайные величины с коэффициентом корреляции pXY = Р- Доказать, что 1 $ М[max(X2, У2)] $ 1 + ,/1 -р2. 18.469* . Опыт состоит в том, что точка Х\ наудачу выбирается из отрезка (О, 1), затем точка Х% наудачу выбирается из отрезка (Xi, 1), ..., точка Хп наудачу выбирается из отрезка (Хп_\. 1). Найти М [Хп]. 18.470. Два равносильных шахматиста договорились сыграть между собой матч на следующих условиях. Общее число партий не ограничивается, за каждую выигранную партию победитель по- лучает одно очко, за ничьи очки не присуждаются. Выигравшим матч считается тот, кто первый наберет 6 очков. Определить сред- нее число партий, сыгранных в данном матче, если вероятность выиграть очередную партию любому из игроков равна р (р < 1/2), а вероятность ничейного исхода равна 1 — 2р. <1 Обозначим X число партий, сыгранных в матче, Xk (к — 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных от (к — 1)-й победы кого-либо из участников до к-й победы кого-либо из участников (последнее — вклю- чительно), Zm (m = 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных до до- стижения m-й результативной партии включительно. Очевидно, Zm = тп = ^2Xk- Так как вероятность результативной партии равна 2р, то Xk fc=i (при любом к) подчиняется геометрическому распределению (см. задачу 18.330) с параметром 2р, поэтому М [Ад,] = —. Согласно свойству 1)
§ 4. Функции случайных величин 113 т математического ожидания М [Zm\ = М [Xfc] = — . Обозначим Y к=1 р пиело результативных партий, сыгранных в матче. Множество возмож- gjjx значений случайной величины Y: {6, 7, , 11}. Очевидно, собы- тие {У = 6 + к} (к = 0, 1, ..., 5) означает, что один из участников выиграл матч, набрав 6 очков при общем числе результативных пар- р!Й 6 + к. Таким образом, Р {Y = 6 + к} = Р {матч выиграл первый участник при общем числе результативных партий 6 + к} + Р {матч вы- играл второй участник при общем числе результативных партий 6 +к} = s; 2Р {составить наудачу (6 + /с)-буквенное слово из алфавита с двумя буквами {Я, В} (П— выиграл первый, В — выиграл второй), причем Ck слово должно содержать 6 букв П и оканчиваться буквой 77} = rt? (* = 0, 1, Найдем условное математическое ожидание с _1_ ь М [Х/Y = 6 + А] = М [Z6+t] = -±- • По формуле (8) § 3 полного математического ожидания М[Х] = М[М [Х/У]] = = £Р{У = 6 + ЧМ[Х/У = 6 + Ч = £ = fc=O fc=o Поскольку возможные значения X — натуральные числа, то ) в каче- стве М [X] нужно взять ближайшее натуральное число, не меньшее чем . Например, при р = - имеем М [X] = 19. > 4,6465 Р 18.471*. В п почтовых ящиков, установленных в данном рай- оне города, случайно и независимо опускают по одному письму в течение длительного времени. а) Найти математическое ожидание М [Хп] общего числа пи- СеМ, опущенных до момента, пока не останется пустых ящиков. б) Получить числовые значения при п = 2; 5; 10; 100. . 2. Характеристические функции случайных величин. Если Z = X + "* 'Y — комплекснозначная случайная величина, где X и У — действи- тельные случайные величины, то М [Z] = М [X] + i М [У]. Характеристической функцией Ex(t) случайной величины X на- 3Ь1Вается комплекснозначная неслучайная функция действительного ар-
114 Гл. 18. Теория вероятностей гумента i, определяемая равенством ЕЛ(() = М[е“х] = < Р{ЛГ = я:*}, к + оо У ettx fx(x)dx, — ОО если X — С.В.Д.Т., если Х-С.В.Н.Т. Свойства характеристической функции: 1. Ех(0) = 1, |Ex(t)|^l. 2. Если Ех (£) — характеристическая функция случайной величины X и Y = аХ + 6, то Ey(t) = eitbEx(at). 3. Если существует m-й абсолютный момент М [|Х|m], то существуют производные характеристической функции Ех (<) до m-го порядка включи- тельно, причем dkEx(t) dtk = ikotk, t=o где a/c = M [Xfc], к = 1, 2, ... , m. п 4. Если Y = £xfc, причем {ЛД} (к = 1, 2, ..., п) независимы к=1 в совокупности, то EY(t) = ЕХг (f) EX2(t) ... EXn(t). 5. Ex(t) — Ex(—t) = E-x^t}, где черта означает операцию комплекс- ного сопряжения. В частности, отсюда следует, что если Ex(t) — дей- ствительная функция, то она обязательно четная. 6. По характеристической функции Ex(t) однозначно восстанавли- вается функция распределения Fx(x). Если же X — С. В. Н.Т. (т.е. для нее существует плотность) и функция Ex(t) абсолютно интегрируема, то +оо ЛМ = -!- [ e~il*Ex(t)dt. Z7T J — оо Характеристической функцией случайного вектора Х\,Х2,..- ... , Хп называется комплекснозначная неслучайная функция п действи- тельных переменных i2, • • • , tn, определяемая равенством ^х 1 х2.хп (<1 , t2, • • • » tn) — М I П ехр < i I к=\ Пример 3. Случайная величина X подчиняется закону распределе- ния N (0, 1). Найти ее характеристическую функцию.
§ 4. Функции случайных величин 115 <3 По определению характеристической функции &(*) = М[ехр{г7Х}] = +оо exp{itx} exp — оо Переход от интегрирования по контуру L = (—оо — zt, +оо — it) к ин- тегрированию по вещественной оси оправдывается аналитичностью по- дынтегральной функции в части нижней полуплоскости, ограниченной действительной осью и прямой L, и возможностью деформировать кон- тур интегрирования в области аналитичности согласно теореме Коши. > Пример 4. Указать, какие из нижеприведенных функций действи- тельной переменной t не являются характеристическими функциями и почему. £1(‘) = ГГ7’ = ^(i)=sin6t, 1 + t 1 + E4(t) = cosbt, E5(t) = 1 - it. <3 He являются характеристическими функциями Ei(t), Es(t) (не выполняется свойство 5) и E^(t) (не выполняется свойство 1). > Пример 5. Найти характеристическую функцию случайной вели- чины X, распределенной по закону Пуассона с параметром А, и с ее помощью вычислить тх и Dx. <3 По определению характеристической функции 00 \к 00 (\pit\k Ях(£) = У^ ettk е~Х — е~Х У^ = е-АеАе* = еА<е’ &=О к—О Ло свойству 3 имеем и, = Я;(«)|(=о = еА(е“'1)А«е“|,=0 = Ai, сЛСДовательно, тх = ai = А.
116 Гл. 18. Теория вероятностей Далее, по тому же свойству г2а2 = В;(4)|,=о = iA(l + Xieil) ei,+А<е“ ~1> |(=0 = г2Л (1 + А), т.е. &2 = Л (1 + Л). Таким образом, Z)x = а2 — т2х = А + А2 — А2 = А. О 18.472. Случайная величина X дискретного типа может прини- мать только два возможных значения: —1 или 1, с равными ве- роятностями. Вычислить характеристическую функцию данного распределения. 18.473. Случайная величина X дискретного типа распределена по закону, определяемому таблицей Xk -2 0 2 Pk 1/4 1/2 1/4 Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить дисперсию сг£. 18.474. Проводятся последовательные независимые испытания с двумя исходами. Случайные величины: — индикатор успеха в к-м испытании, X — число успехов в п испытаниях. Постро- ить характеристическую функцию для и, используя ее свойст- ва, найти характеристическую функцию случайной величины X, если вероятность успеха от испытания к испытанию не меняется и равна р. 18.475 (продолжение). Найти характеристическую функцию случайной величины X из предыдущей задачи, если вероятность успеха в к-м испытании равна рь- 18.476. Случайная величина X распределена по биномиальному закону с параметрами пир. Найти ее характеристическую функ- цию. 18.477 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти тх и Dx, используя характеристическую функцию. 18.478. Случайная величина X распределена по геометриче- скому закону с параметром р > 0 (см. задачу 18.330). Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить матема- тическое ожидание тх. 18.479. Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены с характеристической функцией E(t). Пусть Z = = Х -Y. Найти Ez(t).
§ 4. Функции случайных величин 117 18.480. Пусть для случайной величины X непрерывного типа существует М [|Х|]. Показать, что 18.481. Пусть X— случайная величина непрерывного типа с вещественной характеристической функцией. Показать, что Ex(t) = J costxfx(x)dx. — 00 18.482 (продолжение). В условиях предыдущей задачи пока- зать, что тх = 0. 18.483* (продолжение). В условиях задачи 18.481 известно, что дисперсия случайной величины существует и равна ст2. Показать, t2a2 что Ex(t) 1------~ • 18.484. Случайная величина X подчиняется показательному распределению с параметром А. Найти ее характеристическую функцию. 18.485 (продолжение). Используя найденную в предыдущей за- даче характеристическую функцию показательного распределения, вычислить основные его характеристики: тх, Dx и ах. 18.486. Случайная величина X подчиняется равномерному за- кону распределения на отрезке [а, 6] (закону 7? (а, 6)). Найти ха- рактеристическую функцию. 18.487* . Случайная величина X подчиняется закону Коши с параметрами с€йо>Ос плотностью распределения вероят- ностей ЛИ = - т---------7~2~7~'2 • тг (ж — с)2 + az Найти ее характеристическую функцию. Семейство законов распределения, описываемых функциями распре- деления F ( —т—I, гДе К (х) — фиксированная функция распределе- \ о J ния, а € R, b > 0, называется видом распределения. При этом пара- метр а называется параметром сдвига, b — масштабным множите- лем. Из этого определения вытекают два простых следствия: Следствие 1. Семейство законов распределения, описываемых плотностями f , где f (ж) — фиксированная плотность распределения вероятностей, а € R, Ь > 0, является видом распре- деления.
118 Гл. 18. Теория вероятностей Следствие 2. Семейство законов распределения, описываемых характеристическими функциями eltaE (bt), где а € IR, Ь > О, Е (t) фиксированная характеристическая функция, является видом рас- пределения. Пример 6. Характеристическая функция случайной величины X ей — 1 имеет вид Ex(t) = —----. Какому закону распределения она соответ- it ствует? <1 Характеристическая функция случайной величины X, распреде- ленной по закону R(a, b), имеет вид (см. задачу 18.486) pitb _ pita Сравнивая полученную характеристическую функцию с заданной, нахо- дим b = 1, а = 0. По следствию 2 заключаем отсюда, что заданная харак- теристическая функция соответствует закону распределения Я(0, 1). > 18.488. Пусть X — случайная величина непрерывного типа с функцией распределения F%(z). Найти характеристическую функ- цию случайной величины Y — Fx(X) и указать, какому распре- делению она соответствует. 18.489. Пусть X — случайная величина непрерывного типа с функцией распределения РДа?). Найти характеристическую функ- цию случайной величины Y = — In Fx(X) и указать, какому рас- пределению она соответствует. 18.490. Случайная величина X распределена по закону N (0, 1). Найти характеристическую функцию случайной величины У = = аХ + т и установить вид закона распределения. 1Q ЛП1 Г Л 7 + %2 + • • • + Хп 18.491. Случайная величина Z = -------------------, где п {Xfc}, k = 1, 2, ... , п, независимы в совокупности и одинаково распределены по закону Коши с параметрами с = 0 и а = 1. Ис- пользуя аппарат характеристических функций, установить вид за- кона распределения случайной величины Z. 18.492. Дана характеристическая функция непрерывной слу- чайной величины X: Е^ = 1Ь- Найти выражение для плотности распределения вероятностей и установить вид закона распределения. 18.493. Пусть X подчиняется закону N (0, 1). Найти характе- ристическую функцию случайной величины У = XЕ 2 и показать, что она распределена по закону с одной степенью свободы.
§ 4. Функции случайных величин 119 18.494* . Найти характеристическую функцию случайной вели- чины Zn — X* 4- %2 + • • • + где все Xk подчиняются закону jy (О, 1) и независимы в совокупности, и с ее помощью установить, что Zn подчиняется закону х2(п). 18.495 (продолжение). Используя найденную в предыдущей за- даче характеристическую функцию, вычислить основные характе- ристики распределения х2(п) — математическое ожидание и дис- персию. 18.496. Случайная величина Y = X + т, где X подчи- няется закону распределения Лапласа с параметрами тх = 0 и их z=. . Найти характеристическую функцию EY(t) и с ее по- мощью вычислить mY и DY. 18.497. Случайная величина X непрерывного типа имеет ха- рактеристическую функцию вида Ex(t) = 1 - |i|, О, |t| < 1, KI > 1. Найти ее плотность распределения вероятностей. 3. Законы распределения функций случайной величины. Если X — С.В.Д. Т. и Y = tp (X), где — неслучайная функция, то У — также С.В. Д.Т., причем ее возможные значения уь — p(xk)- Если при этом все yk различны (например, функция р(х) строго монотонна), то Р{У = ук] = Р{Х = Xfc}. Если же среди yk имеются одинаковые значения, то р{г=»о= L r>{^' = x,} г; (х,)=ук (т.е. необходимо сложить вероятности тех значений жг, для которых ^(®») = Ук)- Если X — С.В.Н. Т. и Y = (/?(Х), причем <р(х) — монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, то У — также С.В.Н. Т., причем «р 1 (у) FY(y) = P{Y <у} = I fx(x)dx, —ОО fAv) = П(г/) = (у)) (2) ^Де (р 1 — обратная функция к р (ж). Если же (х) — немонотонная Функция, то К(!/) = £ / A(x)dx, (3)
120 Гл. 18. Теория вероятностей где ДД?/) означает г-й интервал на оси Ох, на котором <р(х) < у. Плот- ность fY(y) получается дифференцированием FY(y) по у. Пример 7. Случайная величина Ф принимает с равной вероятно- стью любое из конечного числа значений ерь = кя/п, к = 0, 1, ..., п. Найти закон распределения случайной величины Y = sin®. <1 В силу равновероятности возможных значений Ф имеем Р {Ф = = —-j—p По условию yk = sin—. Так как значению у о = 0 соответствуют два возможных значения Ф: — 0 и tpn = тг 2 ’ то Р {Y = уо} = Р {Ф = 0} + Р {Ф — тг} = ——j-. Аналогично, р(у = У1 =sin-) = Р(ф= -) +Р(ф= —-тг) = и т.д I п) I nJ I п J п + 1 Таким образом, при нечетном п закон распределения случайной вели- чины Y описывается следующим образом: Аг = 0, 1, ..., п — 1 2 При четном п Р если к = 0, 1, ..—- ’ ’ ’ 2 , п если к — — . t> Пример 8. Случайная величина X подчиняется закону распределе- ния N (ш, а). Найти плотность распределения вероятностей случайной величины Y = (X — ш)3. <1 Плотность распределения вероятностей случайной величины X по условию нормальна, т.е. , \ 1 (х) = —т= ехр л/2? (х — ш)2 2сг2 Функция у = (ж) = (х — ш)3 монотонно возрастающая всюду, поэтому справедлива формула (2) для fY(y). Обратная функция tp~l(y) и ее про- изводная имеют вид Чу) = тп 4- Чу) dy 1 Подставляя это в формулу для определения fY(y), получим fy (У) = 1 1 —7= ----7= ехр сг\/2я 3 —оо < у < +оо. [>
§ 4. Функции случайных величин 121 Пример 9 (продолжение). Для случайной величины X из преды- дущего примера найти плотность распределения случайной величины ^=(Х-т)2. <] Функция z — tp (аг) = (х — т)2 имеет два интервала монотонности: ^оо, пг) и (т, оо), в каждом из которых определена обратная функция х = m-y/~z при х<т(г>0)их = m+^/~z при х > т (z > 0). Поэтому удобнее сначала найти функцию распределения (см. формулу (3)) z О, z > О, ГДеЖ1(г) и Т2(г) — точки пересечения прямой z — const с ветвями пара- болы z — (ar-m)2, т.е. Т1(г) = т — y/~z, X2^z) = m + д/Т, следовательно, при z > О Л(2)= OT/eXP dX + 771 — \/~Z (х - т)2 1 2ст2 / dx. Применяя формулу дифференцирования определенного интеграла по па- раметру (формулу Лейбница), получим выражение для плотности рас- пределения вероятностей при z > 0: г / \ dFz(z} 1 с z "I d ,—. — =--------гЕ= ехР 1 "ТЗ Г Т (т " V z)+ dz ay 2л I 2ст2 J dz 1 f z "1 d , i—. +—5= exp f - m + <7V2tt t 2cr2 J dz Окончательно получим если z 0, A(^) = < если z > 0. > 18.498. Случайная величина X принимает значения = ктг/8, 1, ..., 8, с вероятностями Р {X = х^.} ~ {к + 1)/45, к — О, !;•••, 8. Описать закон распределения случайной величины Y ~ ^cos2X. 18.499. Шесть раз бросается правильная монета. Случайная величина X — модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры в данном эксперименте. Описать закон распре- деления.
122 Гл. 18. Теория вероятностей 18.500. Один раз брошены две одинаковые игральные кости. Случайная величина X — сумма очков на верхних гранях игралы. ных костей. Описать закон распределения. 18.501* . Доказать, что две непрерывные случайные величины X и У, связанные между собой линейной зависимостью У = = аХ 4- Ь, подчиняются закону распределения одного и того же вида. В частности, указать закон распределения случайной вели- чины У = (X — т)/о и определить mY и сгу, если X подчиняется закону N (т, ст). 18.502. Известна функция распределения Fx(x) случайной ве- личины X непрерывного типа. Найти функции распределения случайных величин У = 9А"2 —4, Z = |А —1|, V — е~2Х, выразив их через функцию распределения случайной величины X. 18.503 (продолжение). Используя результат предыдущей зада- чи, найти плотность распределения вероятностей случайной вели- чины Z — |А — 1|, если X подчиняется закону N (1, ст). 18.504* (продолжение). Пусть W = Fx(X). Вычислить плот- ность распределения вероятностей случайной величины W и уста- новить вид закона распределения. 18.505. На плоскости Оху через точку (а, 0) (а > 0) наудачу проводится прямая линия. Найти плотность распределения веро- ятностей ординаты У точки пересечения прямой с осью Оу. 18.506. Через точку, наудачу выбранную на окружности ради- уса 1 с центром в начале координат, проводится касательная к окружности. Найти плотность распределения вероятностей длины отрезка касательной, заключенного между осями координат. 18.507. Случайная величина X распределена равномерно на ( I 1\ „ „ интервале I —I- Наити плотности распределения вероятно- \ £ / стей функций У1 — ЗА3, У2 = a sin f — А \, а > 0. 18.508. Случайная величина А распределена по показательному закону с параметром Л. Найти плотность распределения вероят- ностей случайных величин У = \Лх, Z = X2, U = l-e~xx. 18.509. Случайная величина А подчиняется закону распреде- ления Коши с параметрами с = 0, а — 1 (см. задачу 18.487)- Найти плотности распределения вероятностей следующих случай- ных величин: У1 = ЗХ - 2, У2 = — ЗХ - 2
§ 4. Функции случайных величин 123 18.510 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти ргдотности распределения вероятностей случайных величин Уз = — arctgX, У4 = 4Х2. 7Г 18.511. Указать закон распределения случайной величины У = In — ), если случайная величина X подчиняется закону рас- \£о/ пределения Парето (см. задачу 18.305) с параметрами а > 0 и зд > 0- Случайная величина Т имеет распределение Стпъюдентпа с п 6 N степенями свободы (Т распределена по закону St(n)), если она непре- рывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид г (п+ Ц 1 I I / /2\-(п+1)/2 Д г/п<(1 + - —00 < t < +00. Распределение Стьюдента играет важную роль в математической ста- тистике в связи со следующим утверждением, сформулированным в за- даче 18.512. 18.512* . Пусть случайная величина X распределена по закону #(0, 1), а независимая от нее случайная величина У распределена по закону х2(п). Тогда случайная величина распределена по закону St(n). Доказать это. 18.513. Случайная величина Т подчиняется закону распределе- ния St(n). Определить наибольшее натуральное значение т, для которого существует момент М [|Т|т]. Если (X, У) — случайный вектор с заданным законом распределе- ния и Z = <р (X, У), где р (х, у) — произвольная неслучайная функция, то ?x(z) = P{Z <z} = ЕЕ Pij, если (X, У) - С.В.Д.Т., i j tp(Xi,yj)<Z /[ fX Y(x,y)dxdy, если (X, У) — C.B.H.T. k <p(x,y)<z (4)
124 Гл. 18. Теория вероятностей Найдя функцию распределения Fz(z), далее по известным правилам можно найти закон распределения случайной величины Z. В частности, плотность вероятности fz(z) для случая непрерывного вектора (X, У) находится дифференцированием Fz(z) по z, если в точке z функция Fz(z) дифференцируема. Пример 10. Случайный вектор (X, У) дискретного типа распреде- лен по закону, определяемому таблицей Xi Уз 0 1 2 -1 0,05 0,06 0,05 0 0,05 0,30 0,15 1 0,09 0,15 0,10 Описать закон распределения случайной величины Z = |У| — |.y|. <1 Для каждой пары возможных значений (я^, yj) вычислим соот- ветствующее значение z (xi, yj) = \yj| — |жг| и результат оформим в виде таблицы. (xi, yj) (-1,0) (-1Д) (-1,2) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) z(Xi, yj) -1 0 1 0 1 2 -1 0 1 P{X = Xi, Y = yj} 0,05 0,06 0,05 0,05 0,3 0,15 0,09 0,15 0,1 Из анализа таблицы заключаем, что множеством возможных зна- чений случайной величины Z является множество {—1, 0, 1, 2, 3}. Ве- роятности реализации соответствующих значений получаем по правилу сложения вероятностей. Например, Р {/ = -1} = Р {X = -1, У = 0} + Р{Х = 1, У = 0} = 0,05+ 0,09 = 0,18. Окончательный результат оформляем в виде таблицы распределения Zk -1 0 1 2 Pk 0,14 0,26 0,45 0,15
§ 4. Функции случайных величин 125 Пример 11. Случайный вектор (X, Y) распределен равномерно в круге радиуса а с центром в начале координат. Найти плотность распре- деления вероятностей случайной величины Z = Y/X. <1 Согласно условию плотность распределения вероятностей случай- ного вектора (X, У) имеет вид ( 1 A, Y (х, у) - < 7га2 ’ 10, если если (ж, у) е Da, (х, у) 0 Da, где Da = {(ж, у) | X2 + у2 о2}. Найдем сначала функцию распределения случайной величины Z. По определению, учитывая формулу (4), находим Fz(z) = P{Z<z} = ptt:<z jj fx,v (х, yjdxdy, Gz (5) где Gz = {(ж, у) \у/х < z} — область на плоскости, зависящая от зна- чений действительной переменной z. Для фиксированного значения z эта область показана на рис. 12 и 13 штриховкой. Рис. 13 Рис. 12 Учитывая, что (ж, у) отлична от нуля только в круге Da, из (5) находим Fz(z) =-^ [f dxdy = ~ f f dxdy =-^ S (Kz), лa2 JJ ла2 J J ла2 GzC\Da Kz Где Kz —один из секторов, составляющий область Gz QDa, выделенную На рис. 12 и 13 двойной штриховкой. Так как в случае z > 0 площадь сектора S(KZ) = ± \ 2 1 + а)а = - + arctgzj а2,
126 Гл. 18. Теория вероятностей то получаем Fz(z) = - (arctgz + 7Г X 2 при z > 0. Аналогично, при z < 0, как видно из рис. 13, „ . s 1 Fz(z) = - ( - -barctgz 7Г X 2 Дифференцируя функцию распределения по z, получаем независимо от знака z Л(г)=м=1 1 dz 7Г 1 + Z2 что соответствует закону распределения Коши. [> 18.514. Случайный вектор (X, Y) дискретного типа распреде- лен по закону, определяемому таблицей Уз -1 0 1 2 -1 0,05 0,03 0,15 0,05 1 од 0,05 0,25 0,05 Описать законы распределения случайных величин U = = \Y-X\nV = Y2-X2. 18.515. Случайные величины X и Y независимы и подчиня- ются одному и тому же индикаторному распределению Описать законы распределения случайных величин Z — X 4- Y и V = XY. 18.516. Вычислить функцию распределения случайной вели- чины Z = XY, если случайный вектор (X, Y) распределен по закону, определяемому таблицей Xi Уз -1 0 1 0 0,1 0,2 0,1 1 0,2 0,3 0,1
§ 4. Функции случайных величин 127 18.517. Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены по закону У? (О, 1). Найти плотность распределения случайной величины Z = Y/X2. 18.518. Случайный вектор (X, У) распределен по закону, опре- деляемому плотностью распределения вероятностей . , ч f (х + у) при 0 х 1, 0 у 1, fx,Y (X, у) = < [О в остальных случаях. Найти плотности распределения вероятностей функций Z = = X + Y, U = XY. 18.519 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти плотность распределения вероятностей gu v(u, ц), где U = X2, У = У2. 18.520. В круг радиуса г наудачу ставится точка. Описать за- кон распределения расстояния от этой точки до центра круга. 18.521. Случайные величины X и У независимы и одинаково распределены по закону N (0, ст). Установить, по какому закону распределена случайная величина R = v X2 + У2 . 18.522. Случайные величины X и У являются стандартизован- ными и независимыми нормальными величинами. По какому за- кону распределена случайная величина Z = X/Y? 18.523. Случайная точка (X, У) распределена по нормальному Закону с параметрами тх = ту = 0, ax > 0, сгу > 0, pXY = = 0. Написать плотность совместного распределения вероятностей Полярных координат точки (R, Ф). 18.524* . Пусть X и У — две независимые случайные величины Непрерывного типа. Доказать, что случайные величины Хп и Уп (п ё N) также независимы. 18.525* . Случайные величины X и У независимы и одина- ково распределены с функцией распределения F (х). Найти функ- ции распределения случайных величин U = min{X, У} и V = » max {X. У}. 18.526 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти Совместную функцию распределения FUtV (и, v). 18.527* . Случайные величины X и У независимы и распре- делены каждая по закону R (а, 6). Найти плотность fUyV (u, и) Совместного распределения вероятностей случайных величин U = * min{X, У}, V = max{X, У}.
128 Гл. 18. Теория вероятностей 4. Задача композиции. В одном из важных частных случаев функци- ональной зависимости Z = (X, У) = X + Y возникает задача опре- деления закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, на- пример, (X, У) — С. В. Н. Т. с известной плотностью совместного рас- пределения компонент /х, у (я, у) и Z = X + У, то +оо — оо 4-оо (ж, z - х) dx = У /х, Y (z - У, у) dy. — ОО (6) Если (X, У) — С.В.Д.Т., то закон распределения С.В.Д.Т. Z = = X + Y записывается в виде P{Z = zt}= УУ Р{^ = ^. У = i j где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие Xi + yj = . В частности, если (X, У) — С.В.Д.Т. с независимыми компонен- тами, то P{Z = 2t} = yP{A' = rr,}P{y = zlt-;Ci}. (7) i Если (X, У) — С.В.Н.Т. с независимыми компонентами, то формула (6) приводится к свертке двух плотностей: 4-оо 4-00 fz(z)= У fx (ж) fY (z - ж) dx = У fx (z - у) fY (у) dy. (8) — оо —оо Задача определения закона распределения суммы независимых случай- ных величин носит название задачи композиции. Описанные выше формулы (7) и (8) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (8) удобно применять в тех случаях, когда плотности распре- деления вероятностей компонент описываютя одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи композиции основан на при- менении свойств 4 и 6 характеристической функции. Так как Ez(i) = = Ex(t) EY(t), то, найдя Ez(t), можно по характеристической функ- ции восстановить закон распределения случайной величины Z (согласно свойству 6). Закон распределения W определенного вида называется композици- онно устойчивым, если из того, что две независимые случайные вели- чины X и У подчиняются закону распределения данного вида, следует.
§ 4. Функции случайных величин 129 что их сумма X + Y подчиняются закону распределения W того же вида (см. определение вида распределения на с. 117). 18.528 . X и Y — независимые случайные величины, распре- деленные по одному и тому же закону, определяемому таблицей 0 1 2 Pi 1/2 3/8 1/8 Описать закон распределения суммы Z = X 4- Y. 18.529 . X и Y — две независимые случайные величины, под- чиняющиеся одному и тому же закону геометрического распреде- ления (см. задачу 18.330) с параметром р. Найти закон распреде- ления их суммы Z = X + Y. 18.530 . Доказать композиционную устойчивость закона Пуас- сона и найти mz и Pz, где Z = X + Y, X и Y — независимые пуассоновские случайные величины с параметрами соответственно Ai и Л2. 18.531 . Доказать композиционную устойчивость закона В (п, р) при фиксированном р. 18.532 . Доказать композиционную устойчивость нормального закона N (т, сг). 18.533 *. Решить задачу композиции двух равномерных распре- делений на отрезке [—1, 1]. Найти плотность распределения веро- ятностей суммы и указать, какому закону она соответствует. 18.534 . Известно, что X — случайная величина непрерывно- го типа с функцией распределения Fx(x), Y — независимая от X случайная величина, подчиняющаяся закону распределения R(a, b). Найти плотность распределения вероятностей случайной величины Z = X + У. 18.535 *. Измеряется некоторая физическая величина X, рав- номерно распределенная на отрезке [—3, 3]. Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от X помехи У, распределенной по нормальному закону с параметрами = 0, сгу — 2. Написать плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины Z = X + У. 18.536 . Решить задачу композиции двух показательных рас- пределений с параметрами, равными соответственно Aj и А2. Най- ти плотность распределения вероятностей суммы Z — А" 4-У непо- средственно, вычислив сначала функцию распределения, а затем Плотность. 18.537 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти Плотность распределения вероятностей Z, используя аппарат ха- рактеристических функций.
130 Гл. 18. Теория вероятностей 18.538 * (продолжение). В условиях задачи 18.536 найти плот- ность распределения вероятностей Z в частном случае Ai = А 2 = А (композиция двух одинаковых показательных распределений). Случайная величина X непрерывного типа распределена по закону Эрланга п-го порядка (п € N) с параметром А > 0, если ее плотность распределения вероятностей описывается формулой f 0, если х 0, Л(ж) A(Az)n _Аа. ---:—е Л , если х > 0. ' п! Из решения задачи 18.538 вытекает, что композиция двух одинаковых показательных распределений с параметром А есть распределение Эр- ланга первого порядка. 18.539 *. Показать, что композиция п одинаковых показатель- ных распределений с параметром А есть распределение Эрланга (п — 1)-го порядка с параметром А. 18.540 *. Доказать композиционную устойчивость распределе- ния х2(п). В частности, показать, что сумма двух независимых распределений х соответственно с щ и степенями свободы есть снова распределение х1 с п\ 4- П2 степенями свободы. у 18.541 *. Случайная величина Z представима в виде Z — k=i где Xk — попарно независимые случайные величины, одинаково распределенные по показательному закону с параметром А, а У подчиняется геометрическому закону распределения с параметром р. Указать закон распределения случайной величины Z. § 5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 1. Закон больших чисел. Следующие утверждения и теоремы соста- вляют содержание группы законов, объединенных общим названием за- кон больших чисел. Если случайная величина X имеет конечный первый абсолютный момент М [|Л"|], то Vs > 0 Р{|Х| :>£} М. £ В частности, если X 0 и существует тх, то Т{Х>е}^ — Е (первое неравенство Чебышева).
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 131 Если существует M[X2], то при любом е > 0 справедливы второе неравенство Чебышева в нецентрированной форме: М [.№] £2 и второе неравенство Чебышева в центрированной форме: Последовательность случайных величин X}, Х2, ... , Хп,... назы- вается сходящейся по вероятности при п -> оо к случайной вели- чине X (краткое обозначение: Хп А X при п -> оо), если Уе > О lim Р{\Хп-Х\^е} = Ъ. Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если случайные величины в последовательности Ху, Х2, •.. , Хп,... попарно незави- симы, а их дисперсии удовлетворяют условию lim 4ED[X*) = O, (1) г—>00 И,2 ' к=1 то\/е > О 1 п 1 п lim п-»оо п П k=l k=i (2) Другими словами: при выполнении сформулированных условий после- довательность средних арифметических п случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожи- даний. В частности, если дисперсии попарно независимых случайных величин Xk, к = 1, 2, ... равномерно ограничены (т.е. D [Л*] сг2 для к = 1, 2, ...), то выполняется (1), а следовательно, и (2). Теорема Маркова (закон больших чисел в общей формулировке). Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательно- сти Ху, Х2 ..., Хп, ... удовлетворяют условию , 1 lim — D п—>00 п2 (3) имеет место утверждение (2).
132 Гл. 18. Теория вероятностей Пример 1. Дана последовательность случайных величин Xi, Хг,..., удовлетворяющих условиям: 1) Хк имеют конечные вторые начальные моменты, причем М [Х£] < <*2 Для всех к = 1, 2, ... 2) Каждая из случайных величин в последовательности зависит лишь от случайных величин с соседними номерами. а) Доказать, что к этой последовательности применима теорема Мар- кова. б) С помощью неравенств Чебышева оценить сверху вероятность Р Xk + Хк+1 2 тк +mfc+i 2 СТ/; 4- СГ/с+1 <1 а) Покажем прежде всего, что из конечности второго начального момента следует конечность математического ожидания. Пусть для опре- деленности X — С.В.Н.Т. Тогда согласно неравенству Коши-Буняков- ского (свойство 6) математического ожидания (см. с. 107) имеем Таким образом, |М [Xt] | а, к = 1, 2, ... Отсюда следует, что после- довательность дисперсий D [AT], D [АТ], ... равномерно ограничена, так как D [Xt] = М [A’,2] - М2[А',;] s; М |A\2] + М2[Л',;] = 2a2. Для доказательства утверждения, что к указанной последовательно- сти Xi, Х2, • • • применима теорема Маркова, достаточно проверить вы- полнимость условия (3). Согласно свойству 4 дисперсии (с. 107) имеем п п—1 + 2 У? .к=1 г=1 2 ( о п 2 I 2о? — [па2 4- 2а > j A,i+i — п2 \ ] пг при п —> оо, и, следовательно, теорема Маркова применима, б) Так как Хк 4- X,+i 2 тк 4- mk+i 2 Хк 4- Хк+1 _ D [Хк 4- Xfc-ц] 2 “ 4
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 133 то согласно второму неравенству Чебышева в центрированной форме имеем Xk + Xk+1 _ mk + mk+1 2 2 + (?k+l D[Xk + Xk+l] 4(<Tfc + <7fc+i )2 D [Xfc] + D [Afc-ц] 4- 2pk,k+iakcrk+i < (ak + <т&-ц)2 _ 1. 4 (crfc 4- crfc+i)2 " 4 (<7fc 4- ak+l)2 4 ' 18.542. Случайная величина X имеет характеристики mx = 1, ax = 0,2. Оценить снизу вероятности событий А = {0,5 X < < 1,5}, В = {0,75 < X < 1,35}, С = {X < 2}. 18.543. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина X — проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события А = = {X 80км/ч}, если путем многолетних измерений устано- влено, что М[|Х|] = 16 км/ч. 18.544 (продолжение). В условиях предыдущей задачи оценить вероятность события Л, если в результате проведения дополни- тельных измерений установлено, что сгх = 4 км/ч. 18.545 (продолжение). Оценить вероятность события А, если к данным задач 18.543 и 18.544 добавить условие, что закон распре- деления случайной величины X симметричен относительно мате- матического ожидания тх. 18.546. Число X солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху веро- ятности событий А = {X 150}, В = {X 200}. 18.547. С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности Pk = Р{|Х — тх\ ксгх} для k — 1, 2, 3, если X подчиняется закону N (тх, огх). Сравнить с точными значениями этих веро- ятностей, полученными в задаче 18.362. 18.548. Пусть tp (х) — монотонно возрастающая и положитель- ная функция, причем существует М [р (X)], где X — некоторая неотрицательная случайная величина. Используя первое неравен- ство Чебышева, показать, что для всех е > 0 ми*)] Ч> (е) 18.549* . Показать, что если для некоторой случайной величины X существует М ], где (3 > 0, то Р {X > е} е~^ М [е^х] . Р{Х>6}<
134 Гл. 18. Теория вероятностей В задачах 18.550-18.552 заданы законы распределения попарно независимых случайных величин, образующих случайную после- довательность {An}, п = 1, 2, ... Выяснить, применим ли к этим последовательностям закон больших чисел. 18.550. xni -хЛГ 0 у/~П Р {Хп = Xni} £ п 1 S 1 to 1. п 18.551. —па 0 па Р {Хп = Xni} 1 2п2 1-Л п2 1 2п2 18.552. Xni —па па 1 2П Р {Хп = Xni} 0 1 “ 2П-! 18.552. Xni — \/lnn \/lnn Р {Хп = Xni} 1/2 1/2 18.554. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, от- правляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события А = {по истече- нии месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов}, если информация о дисперсии отсутствует. 18.555 (продолжение). Оценить вероятность события А из пре- дыдущей задачи, если дисперсия равна 4. 2. Предельные теоремы теории вероятностей. Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в п не- зависимых испытаниях по схеме Бернулли сходится по вероятности при п —> оо к вероятности успеха в одном испытании. Центральная предельная теорема (в упрощенной форму- лировке Ляпунова). Если случайные величины в последовательности {Xn} (n = 1,2,...) независимы, одинаково распределены и имеют ко- нечные математическое ожидание тх и дисперсию а*, то для лю- бого действительного х X
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 135 где Yn = fc=i — стандартизованное среднее арифметиче- у/п ское п случайных величин в последовательности. Следствиями центральной предельной теоремы являются следующие две предельные теоремы, относящиеся к схеме Бернулли: Пусть Хп — число успехов в п независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях npq (ПГ12 — Пр\ Р {mi < Хп < т2} = Ф — \ \/nPQ ) {интегральная теорема Муавра-Лапласа) и, кроме того, Р {Хп = т} = 1 = ехр / V 2ттрд [ т — пр где хт = —...... {локальная теорема Муавра-Лапласа). у/npq Пример 2. В одном из экспериментов Пирсона по моделированию на вычислительной машине опытов с подбрасыванием правильной мо- неты из общего числа 24000 «подбрасываний» герб выпал 12012 раз. а) Какова априорная вероятность получить данный результат? б) Сколь вероятно при повторении эксперимента получить такое же или еще большее отклонение относительной частоты успехов от вероят- ности успеха в одном опыте? <] Пусть Хп — число выпадений герба при п подбрасываниях пра- вильной монеты. По условию задачи п = 24000, р = q = 1/2. Так как npq = 6000 1, то применимы обе теоремы Муавра-Лапласа. а) По локальной теореме Муавра-Лапласа Р {Хп = 12012} « 1 л/2тг • 6000 6ХР н 12 \2] \/6000/ J « 5,088 -10“3. PQ т = — . Так как в опыте Пирсона п б) Случайная величина — Хп имеет смысл относительной частоты п успехов в п опытах, причем D — X, [п было получено отклонение относительной частоты успехов от вероятно- сти успеха в одном опыте, равное 12012 24000 | = 0,0005,
136 Гл. 18. Теория вероятностей то согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа Р 1 1 — Хп-- п 2 0,0005 < 0,0005 } « 2 - 2Ф / 0,0005 \ V ™ / = 2- 2Ф (0,1549) « 0,8668. > 18.556. Проводятся последовательные испытания по схеме Бер- нулли. Вероятность осуществления события А в одном испыта- нии р = 0,6. Считая применимыми предельные теоремы Муавра- Лапласа, вычислить вероятности следующих событий: В = {событие А произойдет в большинстве из 60 испытаний}, С = {число успешных осуществлений события Л в 60 испытаниях будет заключено между 30 и 42}. 18.557 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события D = {событие А осуществится 36 раз в 60 ис- пытаниях}. 18.558. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятно- сти следующих событий: Л = {в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок}, В = {будет сделано ровно 7 ошибок}. 18.559. Вероятность рождения мальчика р = 0,512. Считая применимыми локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапла- са, вычислить вероятность события Л = {среди 100 новорожден- ных будет 51 мальчик}, В = {среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек}. 18.560 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = {разница между количеством мальчиков и количеством девочек из 100 новорожденных не превысит 10}. 18.561. Складывается 103 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10“3. Предполагая, что ошибки от округления не- зависимы и равномерно распределены в интервале (—0,5 • 10“3, 0,5 • 10“3), найти интервал, симметричный относительно матема- тического ожидания, в котором с вероятностью 0,998 заключена суммарная ошибка. 18.562* . Случайная величина X — результат измерения не- которой физической величины, закон распределения которой не- известен. Определить, какую максимально возможную относи- тельную точность измерения можно гарантировать с вероятно-
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 137 стью, не меньшей 0,95, при следующих данных: а) известно, что Шх — 0,1, сгх = 0,02 и проводится одно измерение; б) проводится 5 измерений и в качестве результата X берется среднее арифме- тическое измеренных значений. 18.563 (продолжение). Решить предыдущую задачу, если бе- рется среднее арифметическое 100 измерений и считается допусти- мым воспользоваться предельным законом распределения суммы согласно центральной предельной теореме. 18.564. Отдел технического контроля проверяет качество нау- дачу отобранных 900 деталей. Вероятность р того, что деталь стан- дартна, равна 0,9. Случайная величина X — число стандартных деталей в партии. Найти наименьший интервал, симметричный относительно тх, в котором с вероятностью, не меньшей 0,9544, будет заключено число стандартных деталей. 18.565. В страховой компании застраховано 10000 автомоби- лей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате ава- рии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 руб. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 руб. Найти веро- ятность события А = {по истечении года работы страховая ком- пания потерпит убыток}. 18.566 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события Вт = {страховая компания получит при- быль не менее т руб.}, если т = 40000, 60000, 80000. 18.567. 500 раз подбрасывается игральная кость. Какова ве- роятность того, что относительная частота выпадения шестерки окажется в интервале \---0,05; - + 0,05 |? \6 6 ) 18.568. В опыте Бюффона монета была подброшена 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно при повторении опыта получить такое же или еще большее отклоне- ние относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте? 18.569. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероят- ностью, не меньшей 0,975, утверждать, что относительная частота выпадения герба попадет в интервал (0,4; 0,6)? Получить оценку указанного числа, используя второе неравенство Чебышева. 18.570 (продолжение). Получить оценку указанного в предыду- щей задаче числа подбрасываний монеты, считая применимой ин- тегральную теорему Муавра-Лапласа. 18.570( 1). В жюри, состоящем из нечетного числа судей, каж- дый судья независимо от остальных принимает правильное реше- ние с вероятностью р = 0,7. Каково должно быть наименьшее
138 Гл. 18. Теория вероятностей число членов жюри, при котором решение, принимаемое боль- шинством голосов, будет правильным с гарантированной вероят- ностью 0,99? 18.571* . В урне содержатся белые и черные шары в отноше- нии 3 : 2. Производятся последовательные опыты по извлечению одного шара с возвращением, причем каждый раз фиксируется цвет вынутого шара. Каково минимальное число извлечений, при котором с вероятностью, не меньшей 0,9948, можно ожидать, что отклонение относительной частоты появления белого шара от ве- роятности его появления в одном опыте не превысит величины £ = 0,05? 18.572. Случайная величина X распределена по закону Пуас- сона с параметром Л. Показать, что предельной формой закона рас- г, Х~Х пределения стандартизованной случайной величины Z = — V X при Л —> оо является нормальный закон N (0, 1). <1 Так как X — пуассоновская величина с параметром Л, то ее характеристическая функция имеет вид (см. пример 5 § 4) Ех (£) = = ехр{А(ег* — 1)}. Величина Z линейно выражается через X: Z = = —j= X — V~X, поэтому по свойству 2 характеристической функции V X Ez(t) = e~u^ Ех (-4= j = е“г7х/ГеЛ (eil^ - 1) . Разложим выражение в скобках в ряд Тейлора по степеням —j= с точ- V X ностью до членов второго порядка малости: it/л/Т . £ I2 (12\ е 1И87а’2А+ОЫ' Подставляя это разложение в выражение для Ez(t), получим Ez^ = e-itXeX[it/>/X-t2/(2X) + o(t2/X)] = e-t2/2eXo{t2/X) e~t2/2, А—>оо что соответствует виду характеристической функции стандартизованного нормального распределения (см. пример 3 §4). Так как характеристиче- ская функция однозначно определяет закон распределения (свойство 6), отсюда следует утверждение, сформулированное в задаче. > Из решения задачи 18.572 вытекает, что при достаточно больших значениях параметра Л можно приближенно аппроксимировать пуассо- новское распределение нормальным. 18.573. Оценить вероятность события А из задачи 18.554, если предполагается, что число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром Л = 5.
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 139 18.574. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно Л = == 20 = тх. Найти вероятности следующих событий: А = {X >20}, Н = {10^Х<30}. 18.575. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Ка- кова вероятность, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, окажется не менее 10 % носящих очки? 18.576. Рассматривается среднее арифметическое Y 100 неза- висимых пуассоновских случайных величин Хп с параметрами Лп = п. Найти Р {| Y — mY\ < Ai}. 18.577. Пусть Хп подчиняется закону распределения х2(п). По- казать, что случайная величина асимптотически распределена по закону N (0, 1), т.е. X FYn(x) —> —^= / e~t2^ dt при n —> оо. V 2n J —оо <] Так как Хп распределено по закону х2(™)> т0 согласно «про- исхождению» распределения %2 (см. задачу 18.494) существуют такие попарно независимые нормальные стандартизованные случайные вели- п чины Zk (к = 1, 2, ...), для которых Хп = ^2 Поскольку k=i попарно независимы, то и Z% попарно независимы (к = 1, 2, ...) (см. за- дачу 18.524). Кроме того, для дисперсии любой из величин Z% имеем D [Zj2] = М [Zi] - М2 [Z2] = w - Д = 34 - 4 = 24 = 2, т.е. дисперсии случайных величин Zk (к = 1,2,...) конечны. Сле- довательно, для случайных величин Xn (n = 1, 2, ...) выполнены все условия центральной предельной теоремы Ляпунова, поэтому стандар- тизованная случайная величина Yn асимптотически распределена по за- кону N (0, 1). > 18.578. Случайная величина X распределена по закону х2(200). Используя асимптотическую нормальность X, оценить вероятность события А — {X 250}. 18.579* *. Случайная величина X распределена по закону St (ti). Доказать, что при п —> оо плотность распределения вероятностей случайной величины X сходится при любом значении аргумента х К плотности распределения вероятностей закона N (0, 1) при том Же значении х.
140 Гл. 18. Теория вероятностей 18.580. Случайная величина Т распределена по закону St (60). Найти приближенно квантиль fo,9 (60), используя нормальное при- ближение, и сравнить с точным значением, полученным с помо- щью таблицы П6. 3. Метод статистических испытаний. Предельные теоремы теории вероятностей и их следствия лежат в основе вычислительного метода, известного как метод статистических испытаний (метод Монте- Карло) , который часто применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, не выражающихся через элементарные функ- ции, для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка, при решении краевых задач для уравнений в частных произ- водных и во многих других задачах численного анализа, где обычные численные методы (такие, как метод сеток) приводят к чрезмерно боль- шому объему вычислений. Идею метода статистических испытаний проиллюстрируем на при- мере приближенного вычисления определенного интеграла от функции <р(х). Пусть ь ь I = ср(х) dx = ----- / (b — а)(р (х) dx. J о — a J а а Значение интеграла I можно рассматривать как математическое ожида- ние функции случайной величины Y = (Ь — а)(р (X), где X распределена по закону R(a, b). Пусть Xk (к = 1, 2, ...) — независимые случайные числа, распределенные по закону R(a, b) (существуют стандартные про- граммы на ЭВМ, вырабатывающие так называемые «псевдослучайные» числа, которые обычно используют в качестве Xk). Случайную величину Л = П к=1 (4) можно рассматривать как приближенное значение интеграла I. Если дисперсия D [ip (X)] существует, то из закона больших чисел следует, что In I при п —> оо (следовательно, вероятности больших отклонений 1п от M[In] = I малы при больших п), а из центральной предельной теоремы (в силу независимости (Xk) (к = 1, 2, ...) и ограниченности дисперсий D [<р (Xfe)]) вытекает, что случайная величина In- /щи п асимптотически (при больших п) распределена по закону N (0, 1). Пусть д = К-1 I — относительная погрешность вычисления инте- грала I. Так как распределение случайной величины U известно (стан-
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 141 дартизованное нормальное), то можно найти такое минимальное зна- чение относительной погрешности, которое гарантируется с заданной вероятностью р. Обозначим это значение <5min- По определению, Р {<5 < <5min} = Р или Pd/7|<J,nin—-/тГ>=р. Отсюда следует, что ^min 1 (Ту где t(i+p)/2 — квантиль порядка —-— для нормального распределения N (0, 1). Так как <ту конечно, то (Tmjn может быть сделано сколь угодно малым при увеличении п. Пример 3. Какой объем п выборки необходимо взять в методе статистических испытаний для того, чтобы при вычислении значения гамма-функции Эйлера Г (5/4) можно было с вероятностью, не мень- шей 0,95, считать, что относительная ошибка вычисления будет меньше одного процента? <] Воспользуемся выражением для гамма-функции Эйлера в виде определенного интеграла: Путем замены переменных е 1 = х данный интеграл приводится к ко- нечному промежутку: 1 Г(г) = f In2-1 dx. J \х / о Обозначим через I искомое значение гамма-функции: /=г®=/,п1/4©dx- Очевидно, I представимо в виде I = М [У], где Y = (X) — 1п1/М И X равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Вычислим величину
142 Гл. 18. Теория вероятностей сгу/| 1\. Используя известную формулу, выражающую дисперсию через второй начальный момент, получим 1 7?^ = D In1/4 /_М = М[^2(Х)]-М2ИХ)]= f ln1/2 dx-I2. о Отсюда следует, что Оу !’:Л[Х(Х'Л in V р dx - 1. Используя известное свойство гамма-функции: Г (z 4- 1) = гГ (z) и учи- тывая частное значение г(1/2) = 1/7F (интеграл Пуассона), получим значение интеграла в правой части: Чтобы найти точное значение величины сгу/|7|, необходимо знать точное значение интеграла I, а оно только еще вычисляется. В этом состоит известная трудность при оценивании погрешности в методе ста- тистических испытаний. Обычно вместо точного значения величины I используют ту или иную ее приближенную оценку снизу (а для ау по тем же причинам часто используют оценку сверху), при этом получают несколько завышенное значение величины сгу/|7|, что приводит к бо- лее «осторожным» оценкам для относительной ошибки. Используя для данного примера таблицы гамма-функции 3), найдем, что с точностью до 5 • 10-5 искомое значение Г (5/4) = 0,9065, и, таким образом, сгу/| 11 = = 0,280. Далее, по условию задачи Р {<5 < 0,01} 0,95, или Р /17^| < 0,01 у/~п | 0,95. Отсюда следует, что I сгу j V п to,975 • q = 54,88; следовательно, наименьший объем выборки, обеспечивающий относи- тельную погрешность вычисления Г (5/4) не более 1% с вероятностью не менее 0,95, nmin = [54,882 4- 0,5] = 3012, где [яг] означает целую часть числа х. О 3)См., например: Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.— М.: Наука, 1977. С. 55.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)143 7Г/2 18.581. Вычисление интеграла j' cosxdx производится мето- о дом Монте-Карло на основании 1000 испытаний. Какую макси- мальную относительную погрешность вычисления можно гаран- тировать с надежностью 97,22 %? 18.582* . Сколько требуется провести статистических испыта- ний при вычислении значения функции нормального распределе- ния Ф (1), чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, гарантировать величину относительной погрешности в пределах 2 %? 1 18.583. Вычисление интеграла I = х2 dx производится мето- о дом Монте-Карло на основании 104 независимых испытаний. Вы- числить вероятность того, что относительная погрешность вычи- сления не превзойдет 1 %. 18.584* . Вычисление числа тг производится методом статисти- ческих испытаний, состоящих в п независимых случайных броса- ниях иглы длины I на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 21 (см. задачу Бюффона 18.159). Измеряется число пересечений иглой любой из параллельных прямых. Найти наименьшее число испытаний, которые требуется провести, чтобы с вероятностью 0,9996 относи- тельная погрешность определения числа тг была не более 3 %. § 6. Случайные функции (корреляционная теория) 1. Законы распределения и осредненные характеристики случайных функций. Пусть Gt — некоторое множество действительных чисел. Если каждому значению t 6 Gt поставлена в соответствие случайная вели- чина X (t), то говорят, что на множестве Gt задана случайная функ- ция X (t). Множество Gt при этом называется областью определения случайной функции. Название случайный процесс относится к классу случайных функций, у которых параметр t играет роль времени. Случайная величина X (to), соответствующая значению случайной функции при фиксированном значении аргумента t = to € Gt, назы- вается сечением. Каждое испытание дает конкретную функцию x(t), которая называется реализацией (траекторией) случайной функции. п-мерным законом распределения случайной функции X (t), зави- сящим от п действительных параметров ti, t2, • • • , tn, называется закон совместного распределения п сечений (X(tr), X(t2),...,X(tn)).
144 Гл. 18. Теория вероятностей В корреляционной теории описание характерных свойств случай- ных функций строится на основе не более чем двумерных законов рас- пределения. Одномерная функция распределения значений случайной функции X (£) при фиксированном t представляет собой функцию рас- пределения сечения X (f): F1(x/t) = P{X(t)<x}. Соответствующая одномерная плотность существует, если сечение X (t) — С.В.Н.Т., причем в точках дифференцируемости функции Fi(x/t) справедливо равенство f dF^x/^ Mx/t) = ~дг~- Если сечение X (t) — С. В. Д. Т., то одномерный закон распределения описывается перечнем вероятностей Р{Х (0 =Xk(t)} =pk(t) =Fi(xk+i/t) -Fi^Xk/t), = 1, t e Gt . k Двумерной функцией распределения F2(x, y/h, f2) называется функ- ция совместного распределения двух сечений случайной функции (X (£i), X (^г))> £1, £2 € Gt: F2(x, y/tr, t2) =P{X (*i) < x, X (f2) < y}. Соответствующая двумерная плотность существует, если случайный вектор (X (£i), X (f2)) — С. В. Н. Т., причем если в точке (ж, у) функция F2(x, y/t\, t2) дважды дифференцируема, то f , и + \ d2F2(x, y/tt, t2) Мх’ Vlt" =----------dl&y------ Зная двумерную плотность, можно по общему правилу (см. формулу (4 §3) вычислить одномерную плотность сечения X (£): +оо fi(x/t} = У f2(x, y/ti,t2)dy. (1) — 00 Если случайный вектор (X (£i), X (f2)) — С.В.Д.Т., то двумерный закон его распределения описывается перечнем вероятностей Р {X (*i) = ^(ii), X (t2) = yj(t2)} =pij (ii, t2), ^^Pij (^1, ^2) — lj ^1> ^2 в Gt • i, j
§6. Случайные функции (корреляционная теория) 145 Основными характеристиками случайных функций являются матема- тическое ожидание, дисперсия и автоковариационная функция. Математическим ожиданием и дисперсией случайной функции X (t) называются такие неслучайные функции mx(t) и Dx(t) = которые для каждого фиксированного значения t равны математиче- скому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения. Таким обра- зом, если, например, X (t) — С.В.Н.Т. при t 6 Gt и написанные ниже интегралы абсолютно сходятся, то 4-оо тх (f) = М [X (£)] = У xfx(x/t)dx, 4-оо Г>х (t) = а2 - D [X (i)] = М [X2(<)] = У [х - тх (£)]2 fx (x/t) dx. — ОО Автоковариационной функцией называется такая неслучайная функция Kx(tx, i2) двух действительных аргументов tx и t2, которая для каждой пары фиксированных значений tx и t2 равна ковариации соответствующих сечений Kx(ti, h) = М[(Х ((,) -m.v(tj))(x (t2) -mx(t2))] = 4-00 4-00 = У j (xx - mx(tx})(x2 - mx(t2}} f2(xx, x2/tx,t2)dxxdx2. — 00 —00 Нормированная автоковариационная функция Px(tx, £2) — Kx (ti, t2) <Tx(ti)ax(t2) называется автокорреляционной функцией. Основные свойства автоко- вариационной (автокорреляционной функции): 1. Kx(tx,t2) = Kx(t2,tx)(px(tx, i2) = px(t2, tx)) (свойство сим- метрии). 2. | Kx(tx, t2) I ax(tx)ax(t2) (| px(tx, t2) | 1). 3. Функция Kx(tx, t2) неотрицательно определенная. Это значит, что для любого натурального п, любых вещественных значе- ний хх, х2, • • • , хп и любого набора значений аргументов tx, t2, ... , tn из области определения функции Kx(t', t") имеет место неравенство п п Кх&, tj) XiXj 0. i=i j=i Взаимной ковариационной функцией связи двух действительных случайных функций X (t) и Y (t) называется неслучайная функция KXY(tx,t2) = M[X(tx)Y(t2)], где X (tx) и Y (t2) — центрированные сечения случайных функций.
146 Гл. 18. Теория вероятностей Взаимная корреляционная функция связи (нормированная автоко- вариационная функция связи) определяется равенством Pxy^I, t2) = (*1 > ^2) &Х (^1) fy (£2) В дальнейшем для краткости часто будем опускать приставку «авто» в на- звании «автоковариационная функция» в тех случаях, когда речь будет идти о характеристиках самого процесса X (t). Пример 1. Задана двумерная плотность случайного процесса X (t) в виде . 1 ( (х 4-sinti)2 4- (3/Ч-sin*2)21 Л(х, у/ti, t2) = — exp < ±. Z7T ( Z J Вычислить основные характеристики процесса mx(t), Dx(t) и Kx(ti, t2). <] Найдем сначала одномерную плотность процесса. Из формулы (1) получаем fi(x/t) = У f2(x, y/t, t2)dy = —00 1 [ (х 4- sint)2 1 f f (г/4-sin £2)2 ) . = 2ГХР{-^~2-Ч / 6XPГ 2 И С помощью замены и = у 4- sin t2 приходим к интегралу Пуассона t , 1 [ (х 4-sinti)2) f f u2) , /1(^/0 = exp j------------------ / exp - — > du = — ОО 1 f (x 4- sinti)2 ) /27 I 2 J Отсюда, в частности, следует, что сечения X (ti) и X (t2) при ti t2 независимы, так как Л(х, у/h, t2) = fi(x/tT)f2(y/t2). Для математического ожидания процесса по определению имеем +оо 4-оо f г ( j 1 f f (х 4-sint)2) , mx(t) = I xji(x/t) dx = ~у= / xexp<--^-------------—— > dx. .1 у/ 2тг J ( 2 J
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 147 Используя в интеграле замену переменных и — х 4- sin t, получаем mx(t) = 1 if ( u21 . [ ( u21 | ^== / и exp < — —- > du — sin t / exp <------> du \ = — sin t. 27Г \ J I 2 J J \ 2 J / \—oo —oo / По определению ковариационной функции Кх (ti ,t2) = М [X (i,) X (t2)] = M [X (tj) X (i2)] - mx (t,) mx(i2). Так как при ti £2 сечения процесса независимы, то M[X(ii)X(i2)] =M[X(h)]M[X(i2)] = sin^ sint;, откуда следует, что Kx(ty, i2) = 0 при ti i2. Если же = <2 = t, то по определению x2fi(x/t) dx — m2x(£). Подставляя сюда выражение для плотности j\(x/t) и проводя замену переменных, получаем „ / . 1 / 9 f (a? 4-sin ^i)2) , .о Dx(t) — J я? exP [---------------2-----J " Sm2 = —oo 1 2тг {2 \ г г 2 х U 1 , _ . , / Г IT I . — — > dи — 2 sin t / и ехр < — — > du + 2 f ( U2 1 | о 4- sin t / exp < — — > du I — sin t = 1. t> 18.585 . Двумерный закон распределения случайной функции X (t) описывается плотностью fate, У/h, t2) = _____________1_______f (x- vtj)2 _ (y - vt2)2 - 2% ^(1+ф(1 + «2) eXP I 2 (1 + t?) 2(1+ (2) J ’ Где v > 0. Найти основные характеристики: Dx(t) и ^2)-
148 Гл. 18. Теория вероятностей 18.586 . Случайная величина является частным случаем такой случайной функции, у которой отсутствует зависимость от t. Пусть X (t) = X для всех t G R, причем X — С. В. Н. Т., подчиняющаяся показательному распределению с параметром А = 2. Найти mx(t), Dx(t) и F2(x, y/tx, t2). 18.587 . Случайный процесс X (£) имеет вид X (t) = Vt2 (t > 0), где V — случайная величина, равномерно распределенная на [0, 3]. Найти одномерную функцию распределения и одномерную плот- ность этого процесса. 18.588 . Случайная функция X (t) задана в виде X (£) = Vt + 4- b, где V — С. В. Н. Т., подчиняющаяся закону N (?п, <т), а b — неслучайная константа. Найти одномерную плотность j\(x/t) и основные характеристики процесса: mx(t), сгх(£), JFCX (ti, t2). 18.589 . Случайная функция X (£) задана в виде X (£) = U + Vt, где U и V — независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону распределения N (т, ст). Используя свой- ства математического ожидания и дисперсии, вычислить mx(t,), Dx(t) и Kx(ti, t2). 18.590 (продолжение). В условиях предыдущей задачи запи- сать одномерную плотность j\(x/t\ 18.591 . Заданы плотности fu(u) и /у(ц) независимых случай- ных величин U и V. Записать одномерную плотность fi(x/t) про- цесса X (t) = U + Vt при t > 0. 18.591 (1). Случайная функция X (£) задана в виде X (£) = = РИехр{—Vt}, где случайный вектор (W, V) подчиняется кру- говому нормальному распределению с центром в точке (0, 0) и /2 0\ ковариационной матрицей К = (q 2)- Найти mx(t), Dx(t) и Kx(tx, t2). 18.592 . Заданы ковариационные функции Кх (ti, t2) и KY (Л, t2) и математические ожидания mx(i) и mY (£) двух независимых слу- чайных процессов X (£) и Y (£). Найти ковариационную функцию процесса Z (t) = X (t) Y (t). 18.593 . Показать, что если две случайные функции X (£) и Y (£) независимы при любом фиксированном t и имеют нулевые мате- матические ожидания, то автоковариационная функция их про- изведения равна произведению автоковариационных функций от- дельных сомножителей.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)149 18.594 . Доказать следующее свойство автоковариационной функции: если Y (t) = ф (t) X (i), где </? (i) и ф (t) — неслу- чайные функции, то KY(tu h) = W1)^(^)^х(М, ^)- (Отсюда, в частности, следует, что прибавление к случайному про- цессу неслучайной функции не изменяет автоковариационной функции.) 18.595 . Дана ковариационная функция случайного процесса X(i): ‘2) = l + («i —12)2 ' Найти ковариационную функцию и дисперсию процесса Y (/) = e~t2 X (t) 4- sin2i. 18.596 . Случайный процесс Z (i) задан в виде Z(t) =X(t) + tY (t)+«2, где X (t) и Y (t) — некоррелированные случайные процессы с ха- рактеристиками mx(t) = 4, Kx(t\, t2) = 9e~2l<2-<11, mY(t) = 1, KY(ti, t2) — 4е-21*2“411. Найти mz(t) и Dz(t). 18.597 (продолжение). В условиях предыдущей задачи процессы X (t) и Y (t) коррелированы, причем Xxy(ii,t2) = 6e-2lt2~‘11. Найти корреляционную функцию pz(£i, ^г)- 18.598 . Заданы случайные функции X (£) = —U sin t 4- V cos t, Y (t) = U cos t 4- V sin t, где U и V — некоррелированные стандартизованные случайные Величины. Найти автокорреляционные функции px(ii, £2) и ^2) процессов X (£) и Y (£), а также корреляционную функ- цию связи pXY(ti, t2).
150 Гл, 18. Теория вероятностей 18.599 . Случайный процесс X (£) задан в виде X (t) = 99 (t, У), где ср (£, у) — произвольная неслучайная функция двух действи- тельных аргументов, t — действительный параметр (время), а У — С. В. Н. Т. с известной плотностью распределения fY(y\ За- писать выражения для основных характеристик процесса: mx(t), Цх(0> -^х(^ь ^2)- 18.600 . Реализации случайного процесса X(t) формируются следующим образом. В начальный момент времени значение функ- ции с равной вероятностью рав- но либо 4-1, либо —1. Смена значений функции может про- исходить лишь в фиксирован- ные моменты времени = к (к — 1, 2, ...), в каждый из ко- торых независимо от предыду- щих значений происходит оче- редной розыгрыш одного из двух равновероятных значений: 4-1 или —1, которое и сохраня- ется до следующего момента времени t^+i = к 4-1. Одна из воз- можных реализаций процесса изображена на рис. 14. Определить основные характеристики: mx(t), Dx(t) и Kx(t, t + т). 18.601 . Случайный процесс X (t) представляет собой случай- ную ступеньку X (£) = Ат) (t — Т), где 1, 0, — единичная функция Хевисайда, А — случайная амплитуда с характеристиками тА > 0, сгА; Т — случайное, независимое от А время начала ступеньки, распределенное по закону с плотностью /т(/). Найти mx(i) и Kx(t, t + r) при г > 0. Случайный процесс X (£) называется нормальным (или гауссовским) процессом, если одномерные и двумерные законы распределения любых его сечений нормальны. 18.602 . Случайное гармоническое колебание задано в виде X (£) = A coscot+B sin cut, где со — неслучайная частота, а случай- ные амплитуды А и В независимы и подчиняются каждая закону распределения N (0, ст). Найти одномерную и двумерную плотно- сти процесса. 18.603 . Случайный процесс Z(t) задан в виде Z(t) = aX(t) 4-
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 151 ками mx(t) = t, mY(t) = l + t2, КХЩ t2) = > КУ^’ h) = 9e^(<2)2> 1 + 2 (ti - i2)z а ковариационная функция связи процессов X (t) и Y (t) имеет вид Кху(^Ь h) — 4cosw(f2 — h)- Написать одномерную плотность процесса Z (t). 18.604 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти автокорреляционную функцию pz(ti, 18.605 *. Угол крена корабля X (t) представляет собой нормаль- ный случайный процесс с характеристиками тх = 0, Kx(t,t + +т) = <т2рх(т). Известно, что в момент времени угол крена корабля составлял X (t\) = а градусов. Какова вероятность того, что в момент i2 = й + т угол крена будет больше, чем /3 градусов? Процесс X (£), определенный при t 6 Gt = [а, b], называется про- цессом с независимыми приращениями, если для любых to, ti, tn таких, что а to tn Ь, случайные величины X (to), X (ti) — X (to), ..., X (tn) — X (tn_\) независимы. Случайный процесс с независимыми приращениями называется од- нородным, если закон распределения случайной величины X (t) — X (t0) не зависит от to, а определяется лишь длиной интервала (i0, С- Пример 2 (пуассоновский процесс). Случайный процесс N (t) удо- влетворяет следующим условиям: 1) N (t) определен при всех t^O, причем Р {N (0) = 0} = 1. 2) N (t) — однородный по времени. 3) N (t) — процесс с независимыми приращениями. 4) В случайный момент времени происходит приращение значения функции N (t) на единицу, причем для любого момента времени t 0 P{N(t + At)-N(t) = 1} = XAt + o(At), P{N(t + At) - N (t) = 0} = 1 - XAt + о (At), P{N(t + At) - N (t) 2} = о (At), тде A — постоянное для данного процесса число. На рис. 15 показана одна из реализаций пуассоновского процесса. Найти одномерный закон распределения случайной функции N (t). <] Обозначим AN (t) = N (t + At) — N (t) случайное приращение про- цесса за время At и положим pn(t) = P{N (t) — n}, n = 0, 1, 2, ... За- дача состоит в отыскании значений вероятностей pn(t) для п — 1, 2, ... И всех t > 0.
152 Гл. 18. Теория вероятностей Для данного процесса событие {N (t) = п} означает «число еди- ничных приращений за время t равно п». Выразим сложное событие {N (t + Ai) = п} в алгебре событий следующим образом: {N(t + At) =n} = ^{N(t) = n-fc){AN(t) = к}. к=0 По условию 3) N (t) — процесс с независимыми приращениями. По- лагая i0 = 0, ii = t, t2 = t + At (At > 0), получаем по определению, Рис. 15 что случайные величины N (ti) — N (to) = N (t) и N (t2) — N(ti) = = AN (t) независимы. Поэтому пары событий {N (t) = n — к} и {AN (t) = к} независимы при Vfc = 0, 1, ... Применяя формулы сло- жения и умножения вероятностей и используя условия 4), получим pn(t + At) = y^pn_fc(t)P{AN (t) = к} = pn(t) (1 - AAt + о (At)) + k=Q +Pn-i(t) (AAt + o(At)) + y^pn_fc(t)P {AN (i) = k}. k—2 Учитывая, что 0 pn_fc(t) 1, к = 0, 1, ..., n, оценим последнюю сумму: n 0 (*) = *}< k=2 < £P{AN(t) = k} £P{AN(t) = k} = P{AN(t) 2} =o(Ai) k=2 k=2 в силу последнего из условий 4). После элементарных преобразований окончательно получаем pn(t + At) -Pn(t) = -AAt (pn(t) -pn_i(t)) 4-о (At).
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)153 Деля обе части на А/ и переходя к пределу при Д£ —> 0, получим диф- ференциальное уравнение для искомых вероятностей = ~хрМ + Apn-i (£), п = 1, 2, ..., (2) с начальными условиями Рп(0) = 0, п = 1, 2, .. Ро(0) = 1. Уравнение (2) решаем рекуррентно, считая, что на n-м шаге значение pn-i(i) уже известно. При п = 0 решением задачи РМ = -Аро(^), Ро(0) = 1 является функция po(t) = e~xt. При п 0 согласно интегралу Дюамеля (см. ч. 3, гл. 14, § 1, п. 1) t рМ = А У е"Л(<-т)рп_1(т)с/т, о откуда по индукции получаем РМ = т- e~xt, n = 0, 1, ... TV. Параметр А трактуется как среднее число единичных приращений в еди- ницу времени. > К пуассоновским процессам относятся процесс радиоактивного рас- пада (N (t) — число атомов, распавшихся за время t, At — среднее число атомов, распадающихся за время £), поток заявок на АТС (N (t) — число Вызовов на АТС за время t, X — число вызовов в единицу времени), сбои радиоэлектронной аппаратуры (N (i) — число элементов аппаратуры, вышедших из строя за время t, А — среднее число отказов в единицу времени) и т.д. 18.606. Пусть X (i) процесс с независимыми приращениями, Удовлетворяющий условию X (£) =0 при t 0. Доказать, что Дисперсия Dx(t) является неубывающей функцией t. 18.607. Процесс N (£) представляет собой простейший пуассо- новский поток отказов радиотехнической системы с интенсивно- стью 0,002 отказа в час. Найти вероятность того, что за 100 часов наступит не менее 3 отказов.
154 Гл. 18. Теория вероятностей 18.608 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что за 200 часов работы системы поступит чет- ное число отказов. 18.609. АТС обслуживает 6000 абонентов, каждый из которых в среднем занимает линию связи в течение одной минуты в час. Какое минимальное число каналов п надо иметь на АТС, чтобы вероятность того, что число поступивших в течение одной минуты вызовов превысит число каналов, была не более 0,003? 18.610. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса Пуассона N (£), определенного в примере 2. 18.611. X (£) —- пуассоновский процесс с параметром А. Опи- сать условный закон распределения Р {X (/2) = m/X = 71}, 771, П £ N; ^2 > Ч- 18.612* . Вычислить автоковариационную функцию процесса Пуассона X (£) с параметром А. 18.612 (1). Пусть X (/) — пуассоновский процесс с параметром А > 0. Обозначим Q (т) = Р {X (t + т) — X (/) >0}, т 0. Показать, что Q (£ + ту) = Q (£) + Q (77) - Q (£) Q (ту). 18.613. Случайный процесс X (£) есть величина интервала вре- мени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса N (t) с параметром А. Найти одномерную плотность слу- чайного процесса X (/). 18.614* . Число отказов радиоэлектронной аппаратуры представ- ляет собой пуассоновский поток с интенсивностью 5 • 10-4 отказа в час. Найти вероятность безотказной работы аппаратуры в те- чение 200 часов, а также математическое ожидание и дисперсию времени безотказной работы аппаратуры. 18.615. Случайный процесс X^(t) есть величина интервала времени между тг-м скачком пуассоновского процесса с параме- тром А, зарегистрированным в момент времени t и (тг-|-А;)-м скач- ком того яге процесса. Найти одномерную плотность случайного процесса X^k\t). Какому закону распределения соответствует по- лученная плотность? Каноническим разложением действительной случайной функции X (t) называется ее представление в виде п х (£) = mx(t) + (3) fc=i где </?fc(t) (k = 1, 2, ...) — неслучайные действительные так называ- емые «координатные» функции, Vk (к = 1,2,...) — центрирован- ные попарно некоррелированные случайные величины с дисперсиями Dk (к = 1, 2, ..., п).
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 155 Если случайная функция X (£) представлена каноническим разложе- нием (3), то ее автоковариационная функция записывается в виде п Kx(ti, t2) = ^Dk<pk(ti)<pk(t2). (4) Выражение (4) называется также каноническим разложением автоко- вариационной функции. Если в представлении случайной функции п = (5) k=l случайные величины Uk коррелированы, то такое представление не явля- ется каноническим разложением, и поэтому представление (4) для ав- токовариационной функции будет несправедливо. Однако с помощью линейного преобразования можно привести выражение (5) к канониче- скому виду. В основных чертах указанная задача аналогична приведению били- нейной (или квадратичной) формы к каноническому виду, рассматрива- емому в курсе линейной алгебры. Пример 3. Случайный процесс X (i) задан выражением (5), где М [СТ*] = тк # 0, к = 1, 2, ..., п, /D1 А"12 ... #1П\ ту I ... I К = | I — автоковариационная матрица, \ DnJ причем Kij = М [£ЛЦ;] 7^ 0 для i j. Очевидно, представление (5) не является каноническим разложением. Требуется с помощью линейного преобразования привести выражение (5) к каноническому виду. <1 Прежде всего центрируем случайные величины Uk с помощью тождественного преобразования: X (f) “ -f- - mk) V’fcW = ™x(t) + ^Цкфк^- k~i k—i Заметим, что данное выражение может быть записано в виде скалярного произведения X (t) = UTф (t), (6) гДе U и ф (t) — векторы-столбцы, а символ Т означает транспонирование.
156 Гл. 18- Теория вероятностей В векторном обозначении автоковариационная матрица записыва- ется следующим образом: Ku=M[UU1']. Пусть V = AU — новый вектор случайных величин. Выберем мат- рицу А таким образом, чтобы случайные компоненты 14 вектора V были попарно некоррелированы. Имеем Kv = М [VVT] = М [AUUTАт] = AM [UUT] Ат = AKV Ат = Dv, (7) где Dv — диагональная матрица дисперсий новых компонент: (При выводе (7) использовано свойство 1* (§4, п. 1) математического ожидания.) Из равенств (7) заключаем, что матрица А преобразования «коорди- нат» приводит автоковариационную матрицу Ку к диагональному виду. Поскольку матрица Ку вещественная симметрическая (свойство 1 авто- ковариационной функции), то, как доказывается в курсе линейной алге- бры, искомая матрица Оц «12 ... Я1п a2i а22 •• • а2п flnl ап2 • • • о,пп строится следующим образом: к-я строка матрицы А представляет со- бой к-&. ортонормированный собственный вектор матрицы Ку, соответ- ствующий собственному значению А&. Собственные значения А^ (к = = 1, 2, ..., п) матрицы Ку являются корнями уравнения det {Ку - XI) = О, где I — единичная матрица, причем все Ад. 0 {к = 1, 2, ..., п), по- скольку матрица Ку вещественная симметрическая. Если указанная матрица А уже построена, то Dv Аг
§6. Случайные функции (корреляционная теория)157 причем порядок расположения собственных значений соответствует рорядку записи собственных векторов а*, в матрице А. Остается вы- брать новый вектор координатных функций <р (t) из условия неизменно- сти скалярного произведения (6). Учитывая, что ортогональная матрица неособенная, имеем X (t) = итф (t) = (А-1 Айрф (t) = (А(7)т (А-1 )т ф (t) = (t), где V = AU — преобразованный вектор, а V И = (А-1 )т ф («) = (Ат)т ф (I) = Аф (t). (8) Здесь учтено, что А~1 = Ат в силу ортогональности матрицы А. Заме- тим, что задача имеет не единственное решение. Результат зависит от способа формирования ортогональной матрицы А. Кроме того, можно по- ложить D [14] = 1 (k = 1, 2, ..., п), если выбрать новые координатные функции в виде p'k(t) = Pk(t). > Пример 4. Случайная функция X (t) задана выражением X(t) = LM + L72cos£, М[С7!] = 1, М [U2] = -1, к _ ( 9 -12\ ~ <—12 25 ) • Привести данную случайную функцию к каноническому виду. <3 Центрируем функцию: X (t) = t — cost -f- U\t + U2 cost = mx(t) + + (t7T^ (0), где U = ([7i, U2)T, (t) = (t, cosf)T. В данном примере Удобнее воспользоваться не ортогональным преобразованием, а методом [агранжа (аналогичен методу Лагранжа приведения билинейных форм к каноническому виду). Для этого тождественно преобразуем выражение для ковариационной функции: Kx(tl, Ы = erft\t2 + aia2pti cos [2 + critr2f2 cosii + costi cos[2 = = (criii + a2p cosfi)(crif2 + a2p cosi2) + cr^ (1 - p2) cosii cosf2. Заметим, что p ~ Обозначим cticf2 5 <pi(i) = (?it -f- a2p cost, — (9) <p2(i) = cr2 у 1 - p2 cost и положим D [Vi] = D [V2] = 1. Матрица преобразования А, усматривае- мая из системы (9), имеет вид Л - у 0 <т2 \/1 — р2 J \0 3 J '
158 Гл. 18. Теория вероятностей 0\ ЗУ ; величин 3[/i 4Ui + 3[>2. (Ю) M[V1V2] = - ( ol \ Однако в отличие от случая, рассмотренного в примере 3, матрица А не ортогональна. Потребуем, чтобы скалярное произведение Ui[) не изме- нялось при линейном преобразовании. Тогда аналогично формулам (8) получим, что если = Аф (£), то V = (А)"1^. Вычисляя обратную матрицу, находим С4ТГ‘ = £ (1 таким образом, новый вектор случайных т/ _ 1 /3 0\ (иЛ _ 1 Проверим некоррелированность Ц и V?: 12М[^1 + 9М[йсу) =0. Таким образом, получаем каноническое разложение X (t) = t - cost + Vppi(t) 4- V2(^2(t), где Vi и V2 определяются уравнениями (10), а координатные функции ipitt) и — уравнениями (9). t> 18.616*. Случайный процесс X (t) задан следующим выраже- нием: X (/) = U' ф где U = щ ] — случайный вектор с вектором математических ожиданий mv = 1 1 / и ковариаци- /2 1\ онной матрицей Kv = L 2/5 вект°Р координатных функций 0 = Найти каноническое разложение процесса X (i) и записать автоковариационную функцию. 18.617*. Случайный процесс X (£) задан представлением X(t) = = f+L/i cosf+i/2 sinf, где M [СМ = 1, М [[/2] = 2, Kv = Y \U,D оО / Найти канонические разложения процесса и автоковариационной функции. 18.618*. Случайный процесс задан выражением з X (f) = mx(t) + ^2 UiMf), k=\
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)159 где Uк — центрированные случайные величины с ковариационной матрицей /4 4 0 \ Ку = 4 8 —4 . \0 —4 4 J Найти канонические разложения процесса X (t) и его автоковари- ационной функции. 2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. Го- ворят, что случайная функция X (t) сходится в среднеквадратичном при t -> to к случайной величине Xq (краткое обозначение: Xq = = l.i. т.Х (£)), если t —>to ИтМ{[Х (£)-Хо]2} = 0. t—>io Случайная функция X (i) называется непрерывной в среднеквадратич- ном в точке to, если l.i.m.X(t) =Х0 = X(t0). Для непрерывности в среднеквадратичном случайной функции X (t) на интервале t 6 (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы mx(i) было непрерывно при t 6 (а, 6), а автоковариационная функция Кх(1у, i2) была непрерывна на диагонали t2 = ti = t е (а, b). Из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероят- ности. Обратное неверно. Производной случайной функции X {t} называется случайная функ- / х dX (t) ция Z (t) = —-—, определяемая как предел в среднеквадратичном от- dt ношения приращения случайной функции к приращению неслучайного аргумента: г(0=^)=1л.т.^±^ш. (11) v 7 dt At-ю At v 7 Для дифференцируемости случайной функции X (£) на интервале (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы математическое ожидание тх (t) было Дифференцируемой функцией на (а, 6) и ковариационная функция Kx((ty, £2) имела вторую смешанную производную по t\ и t2 на диа- гонали ti = t2 = t € (а, 5). Интегралом в среднеквадратичном от случайной функции X (t) в пределах от а до b называется величина f I X (t) dt = LLm. У^Х (sk) Ask, max |Aj»fe| 40 k=l
160 Гл. 18. Теория вероятностей где «о = «1, «2, • • • , $п — Ъ — точки деления отрезка (а, Ь), Дза; = = sj. — Sk-i- Если один из пределов интегрирования переменный, то ре- зультатом интегрирования будет случайная функция этого переменного предела. Например, у(0 = t У X (s) ds а 1. i. m. n —> оо max | As*. | —* 0 n ^X (sk) Xsk. k=i (12) SO — dy Sfi — t Если mx(i) и ATx(ti, i2) — соответственно математическое ожидание и автоковариационная функция случайного процесса X (£), то dX (t) dmx (i) dt t У mx (s) ds; a д d Kz{ti, t2) = — Kx(tu t2); tl <2 KY(t1,t2) = Уdsi У 7Tx(si, s2) ds2, a a где случайные функции Z (t) и Y (t) определяются соответственно форму- лами (11) и (12). Если X (t) — каноническое разложение вида (3), то вопрос о диффе- ренцируемости или интегрируемости канонического разложения по су- ществу сводится к вопросу о дифференцируемости или интегрируемости координатных функций и математического ожидания в обычном смысле. Приведенные выше выражения для автоковариационной функции мо- гут быть записаны универсальным образом в следующих обозначениях. Пусть Y (£) = L®X (£), где L® — линейный однородный оператор (это значит, что удовлетворяет двум условиям: + x2(ty) = + L°tx2(t) (аддитивность), L°t (czi(£)) = cL®xi(t) (однородность), где xi (i) и x2(t) — любые неслучайные функции (реализации случайного процесса), ас — неслучайная константа). Тогда my(i) = L°mx(i), t2) = L^L^Kxtti, t2). (13)
§6. Случайные функции (корреляционная теория) 161 Пример 5. На ЯС-цепочку, изображенную на рис. 16, подает- ся случайное напряжение X (t) с характеристиками mx (t) = 2t и — 4<i<2- Найти математическое ожидание, автоковариаци- онную функцию и дисперсию напряжения Y (t) на выходе 7?С-цепочки. <] Дифференциальное уравнение, описы- вающее связь между входным и выходным на- пряжениями 7?С-цепочки, составляется на ос- нове законов Кирхгофа и имеет вид + (Зу (t) = (Зх(х), 0=-^->О. at г£С Решая данное дифференциальное уравнение при нулевом начальном усло- вии методом вариации постоянной, получим Q- (У о с 4= Г(/) -6 Рис. 16 X{t) к у (t) = f3e j e$T x (t) dr. 0 Таким образом, случайный процесс Y (i) является результатом приме- нения к случайному процессу X (£) линейного однородного оператора t L®x = е$т х dr. Поэтому согласно формулам (13) о ту(£) = /Зе j е^т тх(т) dr = 0е -2 j те(3т dr = о о =2Н(1-е -0t ti <2 KY(ti, = 4/32е-/?^1+<2^ У е^51 si ds\ J e0S2 s^ds^ = о 0 «2 - - е“Л2) ' Дисперсия процесса на выходе 1 12 DY(t) = KY(t, t) =4 t--(l-e-^) A' 18.619. Случайная функция задана каноническим разложением X (t) = t + 14 cos Z + V2 sin С D[Vi] = 1, D[V2] = 2.
162 Гл. 18. Теория вероятностей Вычислить математическое ожидание, дисперсию и ковариацион- z х dX (t) ную функцию процесса Z (t) = ——— . 18.620 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычи- слить математическое ожидание, дисперсию и ковариационную t функцию процесса Y (t) = f X (s) ds. о 18.621. Случайный процесс X (t) задан каноническим разло- жением X (i) = 1 + Ш + Vt2 с характеристиками Dv = 3, Dv = 1. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию про- изводной данного процесса. 18.622 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти t математическое ожидание и дисперсию процесса Y (t) = X (s) ds. о 18.623* . Исследовать вопрос о непрерывности и дифференци- руемости в среднеквадратичном пуассоновского процесса, опреде- ленного в примере 2 и имеющего характеристики, полученные при решении задач 18.610, 18.612. 18.624. На вход дифференцирующего устройства поступает слу- чайный процесс с математическим ожиданием mx(t) = 3t2 4-1 и автоковариационной функцией кх (ti, t2) = а2е““ I~'21 (1+ a | - t2 |). Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном? Найти дисперсию процесса на выходе дифференцирующего устрой- ства. 18.625* . Случайная функция X (t) задана выражением X (t) = V cos cut, где V — случайная величина с характеристиками mv = 2, ov — 3. Найти характеристики случайной функции y(t) = X(/)+3^. 18.626. Ковариационная функция случайного процесса X (t) имеет вид Kx(ti,i2)=Uxe"“(‘2“il)2 cos№-ii), а > 0, 0 > 0. Определить дисперсию производной процесса X (t).
163 § 6. Случайные функции (корреляционная теория) 18.627. Известны характеристики случайного процесса: mx(t) = З/2 +2t + 1, Kx(tlt t2) = 2e-(‘2-il)2. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса „, ч dX (t) , Y (0 = « + t2. 18.628. На вход интегратора, работающего по принципу у (t) = t = у* х (s) ds, где х (s) — произвольная реализация случайного о процесса на входе, поступает случайный процесс X (<) с автоко- вариационной функцией Kx(t\, <2) = 4 cosu^i cosu^ и матема- тическим ожиданием mx(t) = 14- sin2 art. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса Y (t) на выходе интег- ратора. 18.629. На вход интегратора, описанного в предыдущей задаче, поступает случайная ступенька (см. задачу 18.601) со следующими характеристиками: А распределена по закону N (0, ст), Т — по закону Ех(А). Найти дисперсию процесса Y (<) на выходе интег- ратора в произвольный момент времени t > 0. 18.630. Задана ковариационная функция Kx(t\, <2) случайного процесса X (£). Показать, что взаимная ковариационная функ- t ция случайных процессов X (<) и Y (t) = J X (s) ds может быть о 12 представлена в виде A"xy(ti, <2) — Kx(t\, s') ds, а взаимная ко- о „ . . _ . . dX (t) вариационная функция процессов X (t) и Z (<) = ——— в виде Kxz(t\, h) = -^7-Kx(ti, t?)- CTC2 18.631. Ковариационная функция случайного процесса X (t) за- дана в виде Kx(ti, £2) = 4- <i<2 4- 2^. Найти взаимную кова- риационную функцию KXY(ti, <2) случайных процессов X (<) и t о
164 Гл. 18. Теория вероятностей 18.632. Ковариационная функция случайного процесса X (£) за- дана так же, как в задаче 18.631. Найти взаимную ковариацион- .Л / X / X dX(t) ную функцию процессов X (t) и Z (t) = ——— . 18.633. Задана автоковариационная функция Kx(ti, t-z) дважды дифференцируемого случайного процесса X (£). Найти ковариа- ционную функцию связи между процессами X (t) и У (/), если У (£) = tp (t) X (t) + i/> (t) X"(t), где </?(/) и (t) — заданные не- случайные функции времени. 18.634. X (t) — гауссовский процесс с характеристиками mx(t) = 1, Kx(ti, t2) = Г -Л" Ti' 1 + - hr Записать плотность распределения вероятностей случайного век- тора (% щдш 3. Стационарные случайные функции. Случайная функция X (t) на- зывается строго стационарной (стационарной в узком смысле), если ее n-мерные законы распределения инвариантны относительно сдвига во времени на произвольную величину т. Например, если случайная функция непрерывного типа X (t) строго стационарна, то /п(^1, 3-2 5 ••• , Xn/h -|- Т, t% + Т, ..., tn + т) — fn (Х\, . • ., Хп/ ti, . . ., tn). Если случайная функция строго стационарна, то ее математическое ожи- дание и дисперсия не зависят от времени, а автоковариационная функ- ция Kx(t, t + т) зависит лишь от разности моментов времени, т.е. от т. Обратное заключение в общем случае неверно. Случайная функция X (t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия не зависят от t, а автоковариационная функция Kx(t, t + т) зависит лишь от разности аргументов Kx(t, t + т) = Кх(т). Для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности со- впадают. Автоковариационная функция стационарной в широком смы- сле случайной функции обладает следующими свойствами (следствия об- щих свойств автоковариационной функции): 1) Кх(т) = Кх(—т), KX(Q)^Q. 2) \Кх(т)\ ^Хх(О) =DX. 3) Функция Kx(ti — i2) неотрицательно определенная. Если X (t) — стационарная в широком смысле дифференцируемая случайная функция . dX (t) __ , . и Y (t) = —:—, то Y (г) — также стационарная в широком смысле dt случайная функция, причем mY = О, с/2 Ку(т) = -—Кх(т). dT2
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 165 Для дифференцируемости стационарной в широком смысле случай- ной функции необходимо и достаточно существование второй производ- ной автоковариационной функции при т = 0. Так как для стационарной в широком смысле случайной функции X (i) имеем dX (t) dt D d2 = КГ(О) = -—Кх(т) dr1 т = 0 то условие дифференцируемости фактически равносильно условию ко- нечности дисперсии производной от стационарной случайной функции. Средним по конечному промежутку времени от реализации ста- ционарного случайного процесса X (£) называется число (вообще говоря, случайное), определяемое соотношением т ~ У x(t) dt. о Стационарный случайный процесс X (£) называется эргодическим относительно математического ожидания, если выполняется условие lim (х (i))o = ™х Т—нх> + оо ! xfi (x/t) dx, — оо где предел в левой части понимается в обычном смысле (т.е. если сред- нее по бесконечному промежутку времени от одной реализации (любой) равно среднему по множеству реализаций (среднему по ансамблю)). Ана- логично определяется эргодичность относительно автоковариационной функции. Стационарный случайный процесс называется эргодическим отно- сительно автоковариационной функции, если выполняется условие lim (х (i) х (t + r))J = Kx(r) = Т-+оо Ч-oo = У (xi — тх) (х2 — тх} f2(xi, X2/t, t + т) dxi dx2- —oo Две стационарные случайные функции X (t) и Y (i) называются стацио- нарно связанными, если их взаимная ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов. Пример 6. Случайный процесс X (i) представляет собой случайное гармоническое колебание X (i) = A cos (cji + Ф),
166 Гл. 18. Теория вероятностей где А > 0 — случайная амплитуда с плотностью распределения веро- ятностей /д(а) (равна нулю при а < 0) такая, что существует второй начальный момент М[А2 ], Ф — независимая от А случайная фаза коле- бания, равномерно распределенная на отрезке [—д, тг]. Найти автокова- риационную функцию процесса и дать ответы на следующие вопросы: 1) Является ли данный процесс стационарным в широком смысле? 2) Дифференцируем ли данный процесс один раз? 3) Является ли он эргодическим относительно математического ожи- дания? <1 1) Запишем X (£) следующим образом: X (£) = АсозФ coscjZ - Asin Ф sin cot — Vi cos cot — V2 sin cot. (14) Учитывая независимость АиФ, имеем М [Vi] = М [A cos Ф] = М [А] М [cosФ] = гпа — / cos <р dtp = 0, где гид = / a,f a (a) da. Аналогично устанавливается, что и М [Ц] = 0. Найдем ковариацию случайных величин Vi и V2: К12 = М [Vi V2] = М [А2 созФ ыпФ] = М [А2] • | М [sin 2Ф] = 0. Поэтому выражение (14) является каноническим разложением. Следова- тельно, по формуле (4) Kx(ti, £2) = О [Г1] coscoti coscoi2 + D [V2] sinwii sinwi2. Применяя свойство 7) дисперсии произведения независимых величин, можем написать D [Vi] = В[АсозФ] = D [А]В[созФ] 4- ш^В[созФ] + М2[созФ] D [А] = = В[созФ](В[А] +шд) = М[А2]В[созФ]. Но +оо М [А2] — / a2fA(a)da.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)167 Таким образом, D [Vi] = - М[А2]. Аналогично получается D[Va] = = -М[А2]. Поэтому автоковариационная функция t2) = = -М[А2]coso;(t2 — ii) зависит лишь от разности моментов времени. Кроме того, М[Х (£)] = 0 в силу доказанной центрированности случай- ных величин Vi и V2. Отсюда следует, что процесс X (£) стационарный в широком смысле. 2) Проверим достаточные условия дифференцируемости: cj2coscjt| _ 1т=0 М[Аг] — конечная величина, поэтому процесс дифференцируем. 3) Вычислим среднее по конечному промежутку времени от одной реализации: т /ai cos (cji 4- ) dt = (sin (o>T + ) 4- sin ). col 0 Отсюда lim (x (a:))o = 0 = mx, T—toa поэтому процесс X (i) эргодический относительно математического ожи- дания. 18.635. Является ли пуассоновский процесс X (t) с параметром А стационарным в широком смысле? 18.636* . Случайный процесс X (t) задан следующим образом: X (t) = Vi cos cut 4- V2 sinu>t, w > 0, t e R, где Vi и V2 — независимые случайные величины, принимающие с равной вероятностью лишь два возможных значения 4-1 и —1. Найти автоковариационную функцию процесса и убедиться, что X (t) стационарен в широком смысле, но не является стационар- ным в узком смысле. 18.637* . Найти математическое ожидание и ковариационную Функцию процесса Y (t) = X (t 4-1) — X (t), если X (t) — пуассо- новский процесс с параметром А. Является ли Y (t) стационарным в широком смысле? 18.638. Задана автоковариационная функция Кх(т) стационар- ного случайного процесса X (£). Вычислить среднее значение квад- рата приращения процесса за время т.
168 Гл. 18. Теория вероятностей 18.639. Случайный процесс X (t) задан следующим канониче- ским разложением: п X (t) = mx 4- Uk cos ujkt 4- Vk sincjfct, k=o где Uk и Vk — центрированные некоррелированные случайные ве- личины, причем М [Вг47у] = М = DjSij, = 0 для всех г, j — 0, 1, ..., п. Показать, что данный процесс является стационарным в широком смысле, и найти автоковариационную функцию и дисперсию процесса. 18.640. Случайный процесс X (t) представляет собой суперпо- зицию гармонических колебаний вида п х w = 52 Ак cos ^kt+Фа;)’ Aj=O где {Ак}, к = 0, 1, 2,..., п, — центрированные некоррелирован- ные случайные амплитуды (M[AjAj] = Didij), {Фд.} — независи- мые от любой из случайных величин Ai случайные фазы, распре- деленные по одному и тому же закону с четной плотностью /ф(</э) и некоррелированные между собой. Вычислить дисперсии процес- х dX (t) СОВ X (t) И ----. dt 18.641 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычис- t лить дисперсию процесса X (s) ds. о 18.642. Показать, что два случайных гармонических колебания X (t) = A cos (art 4- Ф) и Y (t) = В cos 4- Ф), где А и В — две случайные амплитуды с ковариацией К, а Ф — независимая от А и В случайная фаза, равномерно распределенная на отрезке [—тг, тг], являются стационарно связанными. 18.643. Стационарный случайный процесс X (t) представляет собой случайное гармоническое колебание X (t) = A cos (оА 4- Ф), описанное в примере 6. Является ли данный процесс эргодическим относительно автоковариационной функции? 18.644. Является ли случайное гармоническое колебание X(t) = a cos (ait 4- Ф), где а — постоянная амплитуда, а Ф — равномерно распределенная на отрезке [—л, л] случайная вели- чина, эргодическим процессом относительно автоковариационной функции?
§6. Случайные функции (корреляционная теория) 169 18.645. X (t) представляет собой случайный импульсный сиг- нал, реализации которого строятся следующим образом. В неко- торый случайный момент времени Ту появляется прямоугольный импульс длительностью to со случайной амплитудой А], распреде- ленной независимо от Ту с характеристиками т^1 = 0, о-^1 — ст. В момент времени Ту + to данный импульс заканчивается, и по- является следующий импульс длительностью to со случайной ам- плитудой Аг, распределенной одинаково с Ау, но независимо от А у и Т^, и т.д. Одна из реализаций данного процесса изображена на рис. 17 (при этом считаем, что начало процесса (момент Ту) в иде- альной модели импульсного сигнала находится в минус бесконеч- ности). । ।--------1 । । । ________L—— -*kla f,+(/r+l)/0 ;________i : Рис. 17 Найти характеристики процесса: mx(t) и Kx(ty, ^)- Является ли данный процесс стационарным в широком смысле? <1 Зафиксируем момент времени наблюдения t. Пусть t Е где t/; — момент начала k-ro импульса. При этих значениях t наблю- дается случайная величина А^, которая по условию центрирована для любых k Е N. Поэтому М[Х (i)] = 0. Пусть — t + т (т 0). В силу произвольности момента наблюдения t и случайности моментов времени tk можно считать, что промежуток времени Т от момента t до момента окончания k-ro импульса (t^ + to) является случайной величи- ной, распределенной по закону Л(0, t0). Поэтому г z. (<т2Р{т < П+0-Р{О Л, М[Х(ОАЛ + Л = (о 0 т < to, т to- В силу равномерности распределения Т получаем Тот факт, что ковариационная функция зависит лишь от разности мо- ментов времени наблюдения, свидетельствует о стационарности процесса X (t) в широком смысле. >
170 Гл. 18. Теория вероятностей 18.646* . Телеграфным сигналом называется случайный про- цесс X (£), который с равной вероятностью может принимать лишь два значения +1 и —1, причем число перемен знака за время т = t2 — ti не зависит от предыстории процесса до момента 1\ и представляет собой пуассоновский процесс N (г) с параметром Л. Одна из реализаций телеграфного сигнала изображена на рис. 18. Вычислить автоковариационную функцию телеграфного сигнала. Рис. 18 18.647* . Фототелеграфным сигналом называется случайный процесс, реализации которого строятся следующим образом. Зна- чения сигнала изменяются скачком в случайные моменты вре- мени tk, к = 0, 1, 2, ... Число скачков за время т > 0 представ- ляет собой пуассоновский процесс с параметром А. В интервале (t/c-i, tk) между двумя скачками X (£) может принимать лишь два значения 0 или 1 с вероятностями 1 — р и р. Значения X (t) в различных интервалах независимы. Найти автоковариационную функцию сигнала. Является ли фототелеграфный сигнал стацио- нарным в широком смысле? 18.648* . Случайный процесс X (t) задан следующим образом: X (t) изменяет свои значения в случайные моменты времени, при- чем число «скачков» процесса за время т представляет собой пуас- соновский процесс с параметром А. В промежутках между каж- дыми двумя скачками значения процесса X (t) не меняются и представляют собой независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями <т2. Най- ти основные характеристики процесса: mx(£), Dx(t) и Kx(ti, tz)- 18.649* . Исследовать вопрос о непрерывности и дифференци- руемости в среднеквадратичном телеграфного сигнала, определен- ного в задаче 18.646. В задачах 18.650-18.652 заданы автоковариационные функции стационарных случайных процессов. В каждом случае требуется установить, сколько раз дифференцируем данный процесс. 18.650. Кх(т) = ст2 е~а2т\ а > 0.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)171 18.651. Кх(т) = ст2е QITI (1 + а | т | 4- ^а2т2 j, a > 0. \ о / 18.652. Кх(т) = о2хе~а^ ОС cos (Зт — -- sin/3|r| а > 0, (3 > 0. 18.653. На вход радиотехнической цепи, состоящей из после- довательно соединненых дифференцирующих устройств и сумма- тора (рис. 19), поступает случайный стационарный сигнал X (t) с нулевым математическим ожиданием и автоковариационной функ- цией Кх(т). Найти автоковариа- ционную функцию случайного сиг- нала Y (t) на выходе сумматора. 18.654. Показать, что взаимная ковариационная функция KXY(t. tr) стационарной случайной функции X (t) и ее производной Y (t) = dX (t) = ——— удовлетворяет условию KXY(t, t1) = —KXY(t', t). Рис. 19 18.655. Показать, что если стационарный случайный процесс X (t) дифференцируем, то он стационарно связан со своей произ- водной. Найти ковариационную функцию связи KXY(t[. £2), где v 7 dt 18.656 *. Стационарный случайный процесс X (t) имеет авто- ковариационную функцию Кх(т) — ст2е ^coscjt 4- — sinu> | т | Найти ковариационную функцию связи процессов Х(()иУ(/) = ^. 18.657 . Известна автоковариационная функция стационарного случайного процесса X (i): Кх (т) = о2е~а f 1 + «| 'г | + “ ск2т2^ . Определить ковариационную функцию связи между . . _ _ . . d2X (t)
172 Гл. 18. Теория вероятностей 18.658 . На вход интегрирующего устройства, работающего по t принципу у (£) = т (s) ds, где х (£) и у (£) — реализации соответ- о ственно входного и выходного процессов, поступает стационарный случайный процесс X (£) с автоковариационной функцией Кх(т). Показать, что t2 KXY(tb ^2) = У Kx(ti -r)dr. 18.659 * (продолжение). В условиях предыдущей задачи пока- зать, что t 18.660 *. Задана автоковариационная функция стационарного случайного процесса X(t): Кх(т) — 4e~2lTL Найти дисперсию t случайной функции Y (£) = j X (s) ds. о 18.661 *. Стационарный случайный процесс X (£) имеет автоко- вариационную функцию Кх(т) = cr2e_Q'Tl. Выяснить, является t ли он стационарно связанным с процессом Y (£) = j X (s) ds. о 18.662 *. Показать, что если X (t) — нормальный стационар- ный в широком смысле дифференцируемый случайный процесс, ЛЛ Z X dX (t) то процесс Y (t) = —-— также нормальный стационарный в ши- ас роком смысле. Найти характеристики mY, KY(r) и Dy, если Кх (г) = о*хе~а ।т । ^cos /Зт + ~ sin /31 г (а и /3 — положительные константы). 18.663 . Нормальный стационарный случайный процесс X (t) имеет характеристики mx = 1, cos3r + ? sin3 I т | ) . О / Вычислить Р dX (f) dt
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 173 18.664 *. Стационарный нормальный процесс X (t) имеет харак- теристики тх = 0, Кх(т] = о^е~а т (а > 0 — постоянная ве- личина). Найти двумерную плотность совместного распределения \ Т Z / \ (t) вероятностей случайных процессов X (t) и Y (А) = —~— в один dt и тот же момент времени. 4. Спектральное разложение стационарных случайных функций. Ста- ционарная в широком смысле случайная функция X (г), заданная во всей области определения t € Gt каноническим разложением вида п X (t) = тпх + ^2 Uk cosшkt + Vk sincjfcC (15) fc=O где Ut и Vk — центрированные случайные величины, удовлетворяющие условиям м[цу;] = м[^од = ад0-, M[I4Uj] = 0 для всех г, j = 0, 1, ..., п, называется случайной функцией с дискретным спектром. Автокова- риационная функция такого процесса имеет вид (см. задачу 18.639) п Кх(г) = У2 cos О) kt. fc=O (16) Представления (15) и (16) называются спектральными разложениями соответственно случайного процесса и автоковариационной функции. Дисперсия процесса есть сумма дисперсий отдельных гармоник на ча- стотах си/. (А: = 0,1,... , и): п Dx=Kx(0) = Y.D<‘- k-0 Если число слагаемых п бесконечно велико, а частоты cjfc кратны основ- ной частоте т.е. = кац = , то разложение (16) представляет со- бой, по существу, ряд Фурье по косинусам кратных дуг функции Кх(т) на отрезке [—Т, Т] (в силу четности периодически продолженной на всю ось функции Кх(т) ряд содержит только косинусы). Стационарные случайные функции, рассматриваемые лишь на ко- нечном промежутке t € [—7, У], всегда могут быть представлены в виде спектральных разложений (15) и (16). Если автоковариационная функция Кх(т) не является периодиче- ской, то стационарный случайный процесс X (t) не может быть на всей
174 Гл. 18. Теория вероятностей оси —оо < t < оо представлен в виде разложения (15) и (16) и, следова- тельно, не является при всех действительных t процессом с дискретным спектром. Стационарная случайная функция X (i) называется случайной функ- цией с непрерывным спектром, если существует такая действитель- ная неотрицательная функция S'x(w), определенная на всей оси частот —оо < о; < +оо и называемая спектральной плотностью, что справед- ливы интегральные формулы Винера-Хинчина Кх(г) = j S'x(w) coscordco, о (17) 4-оо 2 Г Sх (cj) = — / Kx(r) cos cor dr. тг J 0 (18) Для справедливости представлений (17)—(18) достаточно, чтобы кова- риационная функция А'х(т) была абсолютно интегрируема на полуоси. Таким образом, автоковариационная функция и спектральная плотность стационарной случайной функции с непрерывным спектром связаны друг с другом взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье. Из формул (17)—(18) и свойств ковариационной функции Кх(т) вытекает, что Sx(co)—четная функция: Sx(—со) = Sx(co). В силу четности по- дынтегральных функций в формулах Винера-Хинчина, последние могут быть также записаны в экспоненциальном виде: 4-оо Л\(т) = | [ Зх(ш)е"тЛи, —ОО 4-оо SxM = - [ Кх(т) e~iuT dr. Я J — оо (19) (20) Как следует из (17) и (19), дисперсия стационарного процесса с не- прерывным спектром может быть выражена в виде интеграла от спек- тральной плотности: 4-оо 4-оо DX=KX(O) = f Sx(co)dco=^ I Sx(u)dco. (21) о Условия Sx(co) 0 и Sx(~co) = Sx(co) для всех действительных со являются необходимыми условиями стационарности в широком смы- сле случайного процесса X (t). Полезными характеристиками стаци- онарных случайных функций с непрерывным спектром являются эф- фективная ширина спектра Хш и средний интервал корреляции Хт
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)175 (эффективная длительность автокорреляционной функции), опреде- ляемые следующим образом: +оо 1 Г 2сг2 Ди; ~-----------/ Sx (и;) да) =--------- maxSxM J maxSxM IU __00 ш 4-оо 4-оо Г 2 Г Дт = 2 / |px(r)|dr=— / \Kx(r)\dr. J °X J О О Геометрически средний интервал корреляции Дт (соответственно эф- фективная ширина спектра Ди;) равен основанию прямоугольника с вы- сотой px(G) = 1 (maxSx(u;)), площадь которого равна площади под кривой |рх(т)| при —оо < г < Ч-оо (площади под кривой S'x(cj) при —оо < со < 4-оо). Из этих определений и формулы (20) вытекает, что величина Дт и Ди; связаны между собой неравенством Дт Ди; 2тг (22) (обычно называемым «соотношением неопределенности»). Смысл соот- ношения (22) можно кратко выразить в виде следующего правила: чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем больше интервал корреляции его сечений, и наоборот. Пример 7. Автоковариационная функция стационарной случайной функции X (t) задана в виде Кх(т) = <T2e~Qlri, —оо <т < 4-оо, а > 0. Найти спектральную плотность Sx(a>) и эффективные характеристики Дт и Ди;. <] При вычислении Sx (со) удобнее в данном случае использовать фор- мулу (20): 4-оо S^(w) = - [ Kx(T)e^rdT = 7Г J ст2 2а тг и;2 4- а2 Пользуясь определениями, находим эффективную ширину спектра 2<т2 2сг2 Деи =-----------= тга max Sx (to) Sx (0)
176 Гл. 18. Теория вероятностей и средний интервал корреляции л 2 2 Дт ах Таким образом, в данном примере неравенство (22) обращается в равен- ство. О Пример 8. Белым шумом называется стационарный в широком смысле случайный процесс с постоянной спектральной плотностью на всех частотах —оо < go < +оо. Белый шум физически неосуществим, поскольку его дисперсия в соответствии с формулой (19) бесконечна. Пусть X (£) — стационарный в широком смысле процесс со спектраль- ной плотностью S'x(cu) следующего вида: S'x(w) = (До Л I (Д | < (До, I (Д I (До (низкочастотный белый шум}. Найти автоковариационную функцию данного процесса и выяснить, является ли низкочастотный белый шум дифференцируемым. <1 По формуле (17) имеем + оо Wo [ с , \ , Dx [ sinwoT / 5х(^) cos got doo =---- / cos got doo = Dx------ J OOq J GOqT 0 0 Так как | Кх(т}\Т=0 = < +оо, то процесс дифференцируем. О 18.665. Пусть X (t} — произвольный стационарный в широком смысле случайный процесс. Доказать «соотношение неопределен- ности» (22). 18.666. Стационарный в широком смысле процесс X (t) таков, что его автоковариационная функция принимает лишь положи- тельные значения. Показать, что для такого процесса неравен- ство (22) обращается в равенство. В задачах 18.667 и 18.668 заданы автоковариационные функ- ции некоторых случайных процессов. В каждом из этих случаев найти спектральную плотность и, проверив ее свойства, убедиться, что заданный процесс не является стационарным в широком смы- сле. 18.667. Кх(т) = при при |т|>Т.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)177 18.668. Кх(т) = < т2 1----2 при |т|^т0, т0 О при | Т | > Tq. 18.669. Спектральная плотность стационарного в широком смы- сле случайного процесса X (£) имеет следующий вид: С Л А _ J -------- при < | О) | < CJ2 (^2 > CJ1 > 0), \ CJ2 — [О в остальных случаях (полосовой белый шум). Вычислить автоковариационную функ- цию Кх(т). 18.670 (продолжение). В условиях предыдущей задачи рас- смотреть случай Ш2 —> о>1. Какому случайному процессу соответ- ствует этот предельный случай? В задачах 18.671-18.674 определить ковариационную функцию, дисперсию и эффективную ширину спектра стационарного про- цесса, имеющего заданную спектральную плотность. 18.671. Sx(u>) = - 6 > 0, а > 0. 7Г аг + сг b а3 18.672. Sx(<j) = - -- 7Г ((J2 + СГ )2 18.673. Sx(u) = a > 0, w0 > 0. a 11----у \ 0, | | (Jo- 18.675. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и средний интервал корреляции стационарного случайного процесса X (t) с ковариационной функцией 2 2 Кх(т) = Dxe т , а > 0. 18.676. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра стационарного случайного процесса X (t) с ковариацион- ной функцией Кх(т) = Dxe~QlTl cos/Зт. 18.677. Показать, что дисперсия процесса Y (t) — , где X (t) — дифференцируемый стационарный в широком смысле слу- чайный процесс со спектральной плотностью 8х(ш), может быть Записана в виде Ь > 0, a > 0. 18.674. Sx(u) = < o)2Sx(u)) do). о
178 Гл. 18. Теория вероятностей 18.678*. Доказать, что условие j u>2Sx(u>) du> < с < оо о является необходимым и достаточным условием дифференцируе- мости стационарного в широком смысле случайного процесса X (t) со спектральной плотностью Sx(pj). Решить вопрос о дифферен- цируемости стационарных процессов со спектральными плотно- стями, заданными в задачах 18.671-18.674. 18.679. Найти дисперсию процесса п.| = ^й. at где X (t) — стационарный процесс из задачи 18.672. 18.680. Стационарный процесс X (t) имеет спектральную плот- ность Sx(u). Найти спектральную плотность процесса Y (t) = аХ (t)+ Ь —£-!. at В задачах 18.681-18.684 найти спектральную плотность, эф- фективную ширину спектра, а также проверить условие диффе- ренцируемости следующих процессов. 18.681. X (t) — импульсный сигнал длительности to (см. за- дачу 18.645). 18.682. X (t) — фототелеграфный сигнал (см. задачу 18.647). 18.683. X (t) — стационарный случайный процесс с автокова- риационной функцией Кх(т) = Дхе-“1т1(1+«]г|), а>0. 18.684. X (t) — стационарный случайный процесс с автокова- риационной функцией Кх(т) = crje-Q'т। ^cos/Зт + sin/З | т | 18.685. На вход линейного устройства, состоящего из линии задержки на время ti и вычитающего устройства (рис. 20), посту- пает стационарный случайный процесс X (t) с математическим ожиданием тх и ковариационной функцией Кх(т), Найти мате- матическое ожидание и ковариационную функцию процесса Y (t) == = X (t + ti) — X (t) на выходе устройства. Сохраняется ли стаци- онарность процесса на выходе?
§6. Случайные функции (корреляционная теория)179 18.686 (продолжение). На вход линейного устройства, описан- ного в предыдущей задаче, поступает стационарный случайный процесс, характеризуемый спектральной плотностью S'x(cd). Най- ти спектральную плотность SY(cj) процесса на выходе устройства. 18.687. На вход фильтра, состоящего из двух последовательно включенных линейных устройств, описанных в задаче 18.685 (рис. 21), поступает стационарный сигнал X (£) с ковариацион- ной функцией Кх(т). Определить дисперсию процесса на выходе фильтра. 18.688 (продолжение). В условиях задачи 18.687 входной сиг- нал X (£) характеризуется спектральной плотностью Sx(u>) = 7!* Q>0. a v тг Найти дисперсию сигнала на выходе фильтра. 18.689* . Найти спектральную плотность случайного сигнала Z (t) = X (t)Y (£), где X (t) и Y (t) — два независимых теле- гоафных сигнала с параметрами Ai и А2 соответственно. 5. Преобразование стационарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами. Линейной динамической системой с постоянными коэффициентами называется система, описываемая линейным дифференциальным уравнением с по- стоянными коэффициентами dn dn~x \ f dm \ andF+a'n~1dF::T + '“+aoJ У^= \bmdi™+‘" +b°J где x (i) — реализация входного случайного стацонарного процесса, У(£) — реализация процесса на выходе системы. Передаточной функцией линейной динамической системы называ- ется функция комплексной переменной р, определяемая формулой Ьтрт + + • • • + bo
180 Гл. 18. Теория вероятностей Функция Н (р), как видно из определения, есть отношение преобразо- ванных по Лапласу выходного сигнала к входному сигналу, определя- емых из уравнения (23) при нулевых начальных условиях. Свойства сигнала на выходе линейной динамической системы полностью опреде- ляются свойствами передаточной функции Н (р) и свойствами входного сигнала. Говорят, что линейная динамическая система удовлетворяет условию устойчивости, если функция Н (р) не имеет полюсов в пра- вой полуплоскости комплексной плоскости р. Если на вход устойчивой линейной динамической системы с посто- янными коэффициентами подается стационарный входной сигнал, то по прошествии достаточно большого времени с момента начала воздействия (именно, при t т0, где то — характерное время релаксации переход- ных процессов) сигнал на выходе системы будет близок к стационарному в широком смысле процессу. Если X (£) — входной стационарный сигнал с характеристиками тх и Sx(co), то соответствующие характеристики выходного процесса Y (/) в стационарном режиме (т.е. при t то) будут оо mY = — тх по и = |H(iw) |2 SxH. (25) Функция | Н (icu) |2 называется амплитудно-частотной характе- ристикой системы. Дисперсия стационарного процесса на выходе системы в силу фор- мулы (25) равна DY = /* И du = | [ |Я(^)|2 Sx(u)du. (26) Для конечности дисперсии необходима и достаточна сходимость несоб- ственного интеграла в формуле (26). Достаточным, например, является условие, чтобы порядок оператора дифференцирования входного сигнала в формуле (23) был не выше порядка дифференцирования выходного сигнала (т.е. условие т п). Пример 9. На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением y"(t) + 5t/'(i) + 4г/ (t) = x'(t) + 4х (i), поступает стационарный случайный процесс с математическим ожида- нием тх = т и ковариационной функцией а) Проверить условия конечности дисперсии на выходе и устойчиво- сти системы.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 181 б) Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию стационарного процесса на выходе системы. <] а) Так как m = 1 < п = 2, то условие конечности дисперсии выполнено. Преобразуя по Лапласу данное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями, находим передаточную функцию системы: Я(₽) = р-^м- Полюса передаточной функции р\ = -4, р2 = -1 имеют отрицатель- ные действительные части, следовательно, условие устойчивости системы выполнено. б) Учитывая, что Н (р) -дробно-рациональная функция, находим амплитудно-частотную характеристику системы по формуле | Н (iu) |2 = Н (геи) Н (-геи) = ——- . Учитывая, что для процесса с ковариационной s= <72e-Qlrl спектральная плотность Sx (си) = ст2 мер 7), получим по формуле (25) функцией Кх(т) = 2a 1 ---------- (см. при- гг си2 + а2 _ Sx(u} _ 2 2а_____________1________ си2 4-1 тг (cu2 -I- а2) (си2 + 1) Ковариационную функцию выходного сигнала находим с помощью пря- мого преобразования Фурье: 4-оо Ky(t) = j У SY (cu)eiWT — ОО du = ст2 4-оо а Г егыт du тг J (си2 + а2) (си2 + 1) —ОО Последний интеграл вычисляем с помощью теории вычетов, замыкая контур интегрирования в верхней (при т > 0) или в нижней (при т < 0) полуплоскости. Например, при т > О \ • I лу(т) = ах — 2лг < выч 7Г I 1 + a В силу четности автоковариационной функции получим окончательно Ку(т) = e~a।тL 1 + a
182 Гл. 18. Теория вероятностей Дисперсия сигнала на выходе равна ^х 1 + а Таким образом, дисперсия на выходе системы в 1 + а раз меньше диспер- сии на входе. Это объясняется тем, что данная динамическая система является, по существу, интегрирующей цепью, а операция интегрирова- ния процесса сглаживает шум. Р> 18.690 . На вход линейной динамической системы, описывае- мой уравнением поступает стационарный сигнал с характеристиками mx — 1, К’х(т) = e~2lTL Найти mY и DY на выходе системы. 18.691 . На вход интегрирующей .КС-цепочки (рис. 16), описы- ваемой дифференциальным уравнением yf(t) + &У (0 = fix (0, (3 = > 0, it с поступает стационарный низкочастотный белый шум X (0 с ха- рактеристиками тх = 0, ст2 = 2 и частотой отсечки Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе системы. 18.692 * (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти дисперсию Dy в случае идеального белого шума на входе (т.е. рас- сматривая входной процесс как предельный случай низкочастот- ного белого шума с постоянной спектральной плотностью Sx(cl>) = = с2 при всех о>). 18.693 *. Напряжение на входе интегрирующей КС-цепочки, описанной в задаче 18.692, представляет собой стационарный слу- чайный процесс со спектральной плотностью Sx(w) = <72e~Q ш . Найти отношение дисперсии выходного напряжения У (£) к диспер- сии входного напряжения. Чему равно это отношение в частном случае (3 = а = 1? 18.694 . Случайный стационарный процесс X (£) со спектраль- а2 ной плотностью Sx(c3) = 7—5---гтх (а > 0, а > 0) поступает (o>z + от)2 на вход дифференцирующей цепочки. Рассматривая дифференци- рующую цепочку как простейший пример линейной стационарной .z Z ч dX (f) системы, найти дисперсию стационарного процесса У (f) = —-— м 2 / 2 и отношение дисперсий сгу/сг^.
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория)183 18.695 . На вход линейной динамической системы, описывае- мой уравнением y'(t) 4- by (t) = x'(t) 4- 2x (£), поступает стационарный случайный процесс с ковариационной функцией Кх(т) = су2хе~^^ И математическим ожиданием тпх = 5. Найти математическое ожидание, спектральную плотность и дисперсию стационарного рлучайного процесса на выходе системы. 18.696 . На вход идеального полосового фильтра с амплитуд- но-частотной характеристикой 1, если < | ш | < |Н(М12 = О, если со | < или | ш | > поступает случайный телеграфный сигнал. Найти дисперсию про- цесса на выходе фильтра. 18.697 *. На вход линейной динамической системы, описывае- dx(t) мой уравнением у (t) = px(t) 4-, поступает стационарный сигнал с ковариационной функцией Кх(т) = ахе~а Iт । (1 4- а | т |). Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и дисперсию, характеризующие стационарный сигнал на выходе Системы. 18.698 *. Работа электрической цепи (рис. 22) описывается диф- ференциальным уравнением y'W + 72/W = Lj На ее вход поступает низкочастотный белый шум, описанный в Рис. 22 Примере 8. Найти дисперсию случайного процесса на выходе в ста- ционарном режиме работы цепи.
184 Гл. 18. Теория вероятностей 18.699 *. Случайный сигнал V(f), возникающий при прохожде- нии случайного стационарного сигнала X(t) через КС-фильтр (рис. 23), определяется дифференциальным уравнением У W + 0У W /3= >0. it О Найти дисперсию процесса Y(t), если на вход .КС-фильтра посту- пает импульсный сигнал, определенный в задаче 18.645. 18.699 * (продолжение). На вход КС-фильтра, описанного в за- даче 18.699, поступает стационарный случайный процесс с кова- риационной функцией Кх(т) = е-А1т1(1 4- Л | т |), Л > О, А 7^ 0. Найти дисперсию процесса Y(t) на выходе фильтра. 18.700 *. На вход резонансного контура, описываемого диффе- ренциальным уравнением y”(t) 4- 20y'(t) 4- w%y (f) = x (f) (o?o > /3), поступает идеальный белый шум (Кх(са) = с2 при —сю < и> < ею). Определить дисперсию стационарного случайного сигнала У(£) на выходе системы.
Глава 19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА § 1. Методы статистического описания результатов наблюдений Статистическая обработка данных в настоящее время прово- дится с использованием компьютеров. Современные пакеты ста- тистических программ (ПСП) позволяют использовать при ана- лизе данных не только огромное число алгоритмов и процедур статистического анализа, но и проводить их проверку, заполнять пропущенные значения, формировать определенные подмножества данных, обрабатывать данные представленные в нечисловом виде, моделировать выборки из генеральной совокупности практически с любым заданным законом распределения. Перечислим наибо- лее популярные пакеты статистических программ: Statistics., Stat- graphics, Stadia, SPSS и другие. Большой набор функций для ста- тистической обработки данных содержат пакеты Matlab и Excell. Описание ПСП и примеров их использования можно найти в специальной литературе, например [13-16]. Использование ПСП значительно упрощает использование ста- тистических методов. Читателю мы рекомендуем использовать ПСП при решении почти всех задач, связанных с выполнением расчетов и построением графиков. Более того, на стадии обучения работе на ПСП следует решить на компьютере примеры из тео- ретических разделов задачника, сравнить ответы и проанализи- ровать результаты. При использовании ПСП выполняется только расчетная часть решаемой задачи. Выбор метода с учетом кон- кретных условий, учет ограничений при использовании тех или иных статистических процедур, интерпретация полученных ре- зультатов требует, конечно, знания теории математической стати- стики. 1. Выборка и способы ее представления. Математическая статистика Позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распреде- лений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности Наблюдений над ними — выборке. Выборка понимается следующим образом. Пусть случайная вели- чина X наблюдается в случайном эксперименте 8. Повторим экспери- мент 8 п раз, предполагая, что условия проведения эксперимента, а
186 Гл. 19. Математическая статистика следовательно, и распределение наблюдаемой случайной величины X не изменяются от эксперимента к эксперименту. Этот новый составной экс- перимент связан с n-мерной случайной величиной — случайным векто- ром (Xi, Хз, ..., Хп), где Xj — случайная величина, соответствующая j-му эксперименту. Очевидно, Xj, j = 1, 2, ..., п, — независимые в со- вокупности случайные величины, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и случайная величина X. Закон распределения случайной величины X называется распреде- лением генеральной совокупности, а случайный вектор (Xi, ..., Хп) — выборочным вектором. Числа Xi, ..., хп, получаемые на практике при n-кратном повторении эксперимента 8 в неизменных условиях, предста- вляют собой реализацию выборочного вектора и называются выборкой (ti , ..., хп) объема п. Выборку (ж1, Х2, ..., хп) при необходимости можно рассматривать как точку выборочного пространства, т.е. множества, на котором за- дано распределение выборочного вектора (Xi, Хз, ..., Хп). Аналогично определяется выборка в случае, когда случайный эксперимент 8 свя- зан с несколькими случайными величинами. Например, выборка объ- ема п из двумерной генеральной совокупности есть последовательность (ж1, у1), ..., (тп, уп) пар значений случайных величин X и Y, прини- маемых ими в п независимых повторениях случайного эксперимента 8. Результаты наблюдений Xi, Х2, ..., хп генеральной совокупности X, записанные в порядке их регистрации, обычно трудно обозримы и не- удобны для дальнейшего анализа. Задачей статистического описания выборки является получение такого ее представления, которое позволяет выявить характерные особенности совокупности исходных данных. Вариационным рядом выборки Xi, хз, ..., хп называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т.е. запи- сываются в виде последовательности^1), х^2\ ..., , где л^1) х^ ^ ... ^ х^. Разность между максимальным и минимальным элемен- тами выборки х^ — ш называется размахом выборки. Пусть выборка (л?1, хз, ..., хп) содержит к различных чисел zlt z2, ..., Zk, причем Zi встречается щ раз (г = 1, 2, ..., к). Число пг к называется частотой элемента выборки Zi. Очевидно, что = п. г=1 Статистическим рядом называется последовательность пар (zi, щ). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы z^, а вторая — их частоты. Пример 1. Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Определить размах выборки. <1 Объем выборки п — 15. Упорядочив элементы выборки по вели- чине, получим вариационный ряд 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Размах выборки w = Ю- 2 = 8.
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 187 Различными в заданной выборке являются элементы z\ = 2, z2 = 3, гз = 4, zi — 5, z§ — 7, ze = 10; их частоты соответственно равны ni = 3, П2 = 1, пз = 2, П4 = 3, ^5 — 4, tiq = 2. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы: Zi 2 3 4 5 7 10 щ 3 1 2 3 4 2 Для контроля правильности записи находим = 15 J). > Для каждой из приведенных ниже выборок определить размах, а также построить вариационный и статистический ряды. 19.1. И, 15, 12, 0, 16, 19, 6, И, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3. 19.2. 17, 18, 16, 16, 17, 18, 19, 17, 15, 17, 19, 18, 16, 16, 18, 18. 19.3. В группе на занятии по статистике проводится экспери- мент по регистрации номера месяца рождения каждого из студен- тов (опрос проводится, например, по списку группы). Построить вариационный и статистический ряды полученной выборки. 19.4. Из художественного произведения некоторого автора (с числом страниц, большим ста), используя таблицу случайных чисел (таблица П12), выбрать случайным образом 20 страниц. На каждой из выбранных страниц, используя ту же таблицу, выбрать Строку, содержащую некоторое предложение либо его начало. Та- ким образом случайно выбираются 20 предложений, и в каждом из Них подсчитывается число слов. Построить вариационный и ста- тистический ряды полученной выборки и определить ее размах. При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы (разряды), представляя результаты опытов в виде группированного ста- тистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на к непересекающихся интервалов. Вычисления значительно упрощаются, если эти интервалы имеют одинаковую длину , w о « —. Во всем дальнейшем изложении рассматривается именно этот к случай. После того как частичные интервалы выбраны, определяют ча- стоты — количество щ элементов выборки, попавших в г-й интервал (элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к по- следующему интервалу). Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины Zi интервалов группировки, а в нижней — частоты Пг (г = 1, 2, ..., к). Наряду с частотами одновременно подсчитываются также накоплен- i ные частоты относительные частоты п^п и накопленные отно- j=i Здесь и в дальнейшем в суммах вида У, т будем опускать верхний и г = 1 ййжний индексы.
188 Гл. 19. Математическая статистика сителъные частоты 2__^njlni г = 1, 2, ..., А:. Полученные результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной вы- борки. Следует помнить, что группировка выборки вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интерва- лов. Пример 2. Представить выборку 55 наблюдений в виде таблицы частот, используя 7 интервалов группировки. Выборка: 20,3 15,4 17,2 19,2 23,3 18,1 21,9 15,3 16,8 13,2 20,4 16,5 19,7 20,5 14,3 20,1 16,8 14,7 20,8 19,5 15,3 19,3 17,8 16,2 15,7 22,8 21,9 12,5 10,1 21,1 18,3 14,7 14,5 18,1 18,4 13.9 19,1 18,5 20,2 23,8 16,7 20,4 19,5 17,2 19,6 17,8 21,3 17,5 19,4 17,8 13,5 17,8 11,8 18,6 19,1 < Размах выборки w = 23,8 — 10,1 — 13,7. Длина интервала груп- пировки b — 13,7/7 « 2. В качестве первого интервала удобно взять интервал 10-12. Результаты группировки сведены в таблицу 1.1. > Таблица 1.1 Номер Границы Середина Часто- Накоп- Относи- Накопленная интер- интер- интер- та п. ленная тельная относитель- вала i вала вала Zi частота частота 7 = 1 п3/п нал частота г ^2nj/n 7 = 1 1 10—12 И 2 2 0,0364 0,0364 2 12-14 13 4 6 0,0727 0,1091 3 14-16 15 8 14 0,1455 0,2546 4 16-18 17 12 26 0,2182 0,4728 5 18-20 19 16 42 0,2909 0,7637 6 20—22 21 10 52 0,1818 0,9455 7 22-24 23 3 55 0,0545 1,0000 В задачах 19.5, 19.6 найти размах выборки, число и длину интервалов, а также составить таблицу частот (границы первого интервала указываются). 19.5. Время решения контрольной задачи учениками 4-го клас- са (в секундах): 38 60 41 51 33 42 4о 21 53 60 68 52 47 46 49 49 14 57 54 59 77 47 28 48 58 32 42 58 61 30 61 35 47 72 41 45 44 55 30 40 67 65 39 48 43 60 54 42 59 50 Первый интервал: 14-23.
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 189 19.6. Продолжительность работы электронных ламп одного типа (в часах): 13,4 14,7 15,2 15,1 13,0 8,8 14,0 17,9 15,1 16,5 16,6 14,2 16,3 14,6 11,7 16,4 15,1 17,6 14,1 18,8 11,6 13,9 18,0 12,4 17,2 14,5 16,3 13,7 15,5 16,2 8,4 14,7 15,4 11,3 10,7 16,9 15,8 16,1 12,3 14,0 17,7 14,7 16,2 17,1 10,1 15,8 18,3 17,5 12,7 20,7 13,5 14,0 15,7 21,9 14,3 17,7 15,4 10,9 18,2 17,3 15,2 16,7 17,3 12,1 19,2 Первый интервал: 8,4-10,4. Пусть (ti, Х2-, • •., хп) — выборка из генеральной совокупности с функцией распределения Fx(x). Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значе- ния з?1, х-2, .., хп с вероятностями 1/п. Соответствующая функция рас- пределения называется эмпирической (выборочной) функцией распре- деления и обозначается F* (х). Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных частот соотношением Fn W = 7 Е (1) Zi <х где суммируются частоты тех элементов выборки, для которых выпол- няется неравенство Zi < х. Очевидно, что F* (х) = 0 при х С х^ и F* (я?) = 1 при х > х^пК На промежутке (я/1), л/п)] F* (я;) представляет собой неубывающую кусочно постоянную функцию. Аналогично формуле (1) определяется эмпирическая функция рас- пределения для группированной выборки. Значение эмпирической функции распределения для статистики опре- деляется следующим утверждением. Теорема (Гливенко). Пусть F* (я:) — эмпирическая функция рас- пределения, построенная по выборке объема п из генеральной сово- купности с функцией распределения Fx(x). Тогда для любого х € € (-оо, +оо) и любого е > 0 lim Р (\F* (х) - Fx(x) \ < г) = п—»оо Таким образом, при каждом х F* (я:) сходится по вероятности к Fx (я:) и, следовательно, при большом объеме выборки может служить прибли- женным значение.м (оценкой) функции распределения генеральной сово- купности в каждой точке х. В ряде случаев для наглядного представления выборки используют гистограмму и полигон частот. Ристограммой частот группированной выборки называется ку- сочно постоянная функция, постоянная на интервалах группировки и П{ . принимающая на каждом из них значения —, г = 1, 2, ..., к соответ- о ственно. Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки п.
190 Гл. 19. Математическая статистика Аналогично определяется гистограмма относительных частот. Площадь соответствующей ступенчатой фигуры для нее равна единице. При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения fx (х) генеральной совокупности. Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках / rii \ . . I Zi, — , г = 1, 2, ..., к, а полигоном относительных частот — ло- К о / маная с вершинами в точках I Zi, -у ), i = 1, 2, ..., к. Таким образом, \ по/ полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием по оси Оу в п раз. Если плотность распределения генеральной совокупности является достаточно гладкой функцией, то полигон относительных частот явля- ется более хорошим приближением плотности, чем гистограмма. Пример 3. Построить гистограмму и полигон частот, а также гра- фик эмпирической функции распределения группированной выборки из примера 2. <1 По результатам группировки (см. таблицу 1.1) строим гистограмму частот (рис. 24). Соединяя отрезками ломаной середины верхних осно-
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 191 ваний прямоугольников, из которых состоит полученная гистограмма, получаем соответствующий полигон частот (рис. 25). Так как середина первого интервала группировки z\ — 11, то F* (т) = == 0 при х 11. Рассуждая аналогично, находим, что F* (т) = 1 при х > 23. На полуинтервале (И, 23] эмпирическую функцию распреде- ления строим по данным третьего и последнего столбцов таблицы 1.1. F* (х) имеет скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки. В результате получаем график F* (т), изображенный на рис. 26. > В задачах 19.7-19.10 построить графики эмпирических функ- ций распределения, гистограммы и полигоны частот для выборок, представленных статистическими рядами. 1Q 7 Zi I 15 16 17 18 19 1а *7' ~пг I 1 4 5 4 1Q Я z> 12 3 4 5 6 7 8 1У'1 3 4 6 5 2 Г 19.9. Г раницы интервалов 10-20 20- 30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 4aci 19.10 Грани- 'ОТЫ 1 2 7 18 12 8 2 цы ин- терва- лов 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32-34 Часто- ты 4 3 3 2 4 7 12 5 19.11. Измерения емкости затвор — сток у 80 полевых тран- зисторов дали следующие результаты: 1,9 3,1 1,3 0,7 3,2 1,1 2,9 2,7 2,7 4,0 1,7 3,2 0,9 0,8 3,1 1,2 2,6 1,9 2,3 3,2 4,1 1,3 2,4 4,5 2,5 0,9 1,4 1,6 2,2 3,1 1,5 1,1 2,3 4,3 2,1 0,7 1,2 1,5 1,8 2,9 0,8 0,9 1,7 4,1 4,3 2,6 0,9 0,8 1,2 2,1 3,2 2,9 1,1 3,2 4,5 2,1 3,1 5,1 1,1 1,9 0,9 3,1 0,9 3,1 3,3 2,8 2,5 4,0 4,3 1,1 2,1 3,8 4,6 3,8 2,3 3,9 2,4 4,1 4,2 0,9 Построить гистограмму и полигон относительных частот по этой выборке, предварительно проведя группировку. В качестве длины
192 Гл. 19. Математическая статистика интервала взять следующие значения: а) b = 0,3; б) b = 0,6: в) Ь= 1,2. В задачах статистического анализа сложных систем, например при разработке систем автоматического проектирования (САПР), широко ис- пользуется метод моделирования выборки из генеральной совокупности с заданным законом распределения. Пусть случайная величина X имеет функцию распределения Fx(x\ Как известно из теории вероятностей (см. задачу 18.504), случайная ве- личина Y — Fx(X) имеет равномерное распределение Я(0, 1). Отсюда следует, что случайная величина X может быть получена из равномерно распределенной случайной величины Y по формуле X = F*1 (У), где F”1 —функция, обратная к Fx (заведомо существующая для случайных величин непрерывного типа). Метод моделирования выборки из генеральной совокупности с зако- ном распределения Fx(x) реализуется следующим алгоритмом: Xi = F;1 j = l,2,...,n, (2) где , уз, ..., уп — выборка из генеральной совокупности с равномер- ным распределением F(0, 1), являющаяся последовательностью случай- ных чисел. Алгоритм (2) получения выборки из генеральной совокупности с за- коном распределения Fx(x) поясняется на рис. 27. Случайные числа у\, у2, ..., уп можно получить, выбрав случайным и разделив каждое выбранное число на 100. При наличии любого вычи- слительного устройства случайные числа у\, у2, ч Уп генерируются с помощью формулы Vj+i = {Wj}, j е N, (3) где {а} — дробная часть числа а, а т — простое число, большее десяти. образом п чисел из таблицы П12 Рис. 27 В качестве начального значения т в формуле (3) можно выбрать произвольное число из интервала (0,1) с ненулевыми разрядами в десятичной системе счисления. От удачного выбора начального значения у\ зависит качество последовательности У1, У2, ;Уп- 19.12. Шкала вольтметра имеет цену делений 1 В. При изме- рении напряжения отсчет делается с точностью до ближайшего целого деления. Считая, что ошибка округления имеет равномер- ное распределение, получить методом моделирования выборку объ- емом п = 20. Построить вариационный ряд и гистограмму частот полученной выборки. 19.13. Методом моделирования получить выборки объемом п = = 10 из генеральной совокупности с показательным законом рас- пределения Ех (А) с Ai = 1, Аг = 2, Аз = 3.
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 193 19.13. Методом моделирования получить выборки объемом п = •= 10 из генеральной совокупности с показательным законом рас- пределения Ех(А) с Л1 = 1, Лг = 2, Аз = 3. 19.14. Автомобили подъезжают к автозаправочной станции по- следовательно, причем время между прибытием двух автомобилей имеет показательное распределение с параметром Ai = 1. Если очереди нет, автомобиль заправляется сразу, в противном случае он становится в очередь. Время заправки автомобиля имеет по- казательное распределение с параметром А2 = 2. Используя вы- борки, полученные в задаче 19.13, составить таблицу, содержащую время подъезда для каждого из пяти последовательно прибывших автомобилей, время начала и конца заправки, продолжительность ожидания в очереди, общее время на ожидание и обслуживание. 19.15. Пусть ti — время наработки на отказ г-го элемента схе- мы., Известно, что ti распределено по закону Ex(Ai), i = 1, 2, 3. Используя выборки, полученные в задаче 19.13, построить эмпи- рическую функцию распределения времени наработки на отказ для схемы на рис. 28. Рис. 29 Рис. 28 19.16 (продолжение). В условиях предыдущей задачи постро- ить функцию распределения времени наработки на отказ для схе- мы на рис. 29. 19.17. Время безотказной работы (в месяцах) телевизионной трубки имеет нормальное распределение JV(24, 3). Магазин про- дал 15 телевизоров. Методом моделирования получить выборку времени безотказной работы трубок у проданных телевизоров. По- строить гистограмму и оценить наиболее вероятное число трубок, потребующих замены в течение 10 лет. Для получения выборки из генеральной совокупности, распределен- ной по закону АДО, 1), можно воспользоваться алгоритмом, основанным на любом из следующих соотношений: Uj ~ ^/—21п?/7_1 cos27rj/j, j = 2, 3,..., n, Vj = 1/—21пг/7_! sin27rj/y, (4) (5) где, как и выше, yi, У2, .., уп — выборка из генеральной совокупности с равномерным распределением Н(0, 1).
194 Гл. 19. Математическая статистика 19.18. Случайные величины X на Y независимы и имеют нор- мальные распределения 7V(10, 2) и 7V(9, 1) соответственно. Ис- пользуя соотношения (4) и (5), получить выборки объема п = 20 и оценить вероятность того, что min{X, У} < 10. 19.19. Пусть X и У — независимые случайные величины, рас- пределенные соответственно по законам 7V(0, 1) и 7V(0, 3). Ис- пользуя соотношения (4) и (5), получить выборки объема п = 50 для X и У. 19.20. Используя результат предыдущей задачи, получить вы- борку объема п = 50 для случайной величины Z = | X | + | У | и построить гистограмму частот. 19.21. Используя результат задачи 19.19, получить выборку объема п = 50 для случайной величины V = | X — У | и построить гистограмму частот. 19.22. Пусть I — индикаторная случайная величина события А = {|Х|<1}, т.е. fl, ш<1, 10, |Х|>1, где X — случайная нормально распределенная величина из задачи 19.19. Используя выборку, полученную в этой задаче, найти ча- стоту события {I = 1} и сравнить полученный результат с точным значением вероятности этого события. 19.23* *. Доказать теорему Гливенко. 2. Числовые характеристики выборочного распределения. Пусть X]. ^2, • •хп — выборка объема п из генеральной совокупности с функ- цией распределения Fx(x). Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной случайной величины, принимающей значе- ния xi, ж2, •хп с вероятностями, равными 1/п. Числовые харак- теристики этого выборочного распределения называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками. Следует отметить, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения ге- неральной совокупности. Чтобы подчеркнуть это различие, выборочные характеристики в дальнейшем будем обозначать теми же символами, что и в главе 18, но со значком * наверху. Некоторые выборочные характе- ристики имеют традиционные обозначения, например, х — выборочное среднее. Пример 4. Получить формулы, определяющие выборочные мате- матическое ожидание и дисперсию для негруппированной выборки объ- ема п. <1 Математическое ожидание дискретной случайной величины опре- деляется по формуле (см. главу 18, § 2, формулу (4)) п Шх = j-i
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 195 Так как для выборочного распределения pj = 1/п, то Выборочной модой d*x унимодального (одновершинного) распреде- ления называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей ча- стотой. Выборочной медианой называется число А*, которое делит вариа- ционный ряд на две части, содержащие равное число элементов. Если объем выборки п — нечетное число (т.е. п = 21 -I-1), то А* = т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же п = 21, то h*x = Пример 5. Определить среднее, моду и медиану для выборки 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. <1 Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Выборочное среднее х = ^(1 + 1-|-2 + 3-1-4 + 5-|-6 + 8) = 3,75. о Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, следовательно, мода dx = 1. Так как п = 8, то медиана hx = - (3 + 4) = 3,5. О Вычислить моду, медиану, среднее и дисперсию следующих выборок: 19.24. 7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3. 19.25. 3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3. 19.26. а) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 9; б) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 12. Сравнить полученные числовые результаты для выборок а) и б). 19.27. Доказать, что выборочные начальные и центральные мо- менты порядка s, s = 1, 2, ..., для негруппированной выборки объема п определяются следующими формулами: 1 п as ~ ~ j=i 1 n I ь J=1
196 Гл. 19. Математическая статистика 19.28. Доказать, что выборочные начальные и центральные мо- менты порядка з, 8 = 1, 2, ..., для группированной выборки объ- ема п определяются следующими формулами: 1 к 1 к а* = - Л = ~ ^n^Zi - a^y. г=1 1=1 19.29. Доказать, что для выборочной дисперсии справедлива следующая формула: п* * —2 СХ.2 X . 19.30. Доказать справедливость следующих соотношений: Й = й;-зф; + 2а;3, nl = - 4аз«; + 6а5«;2 - 3aj4. В задачах 19.31-19.33 определить среднее, моду, медиану и дисперсию группированных выборок. 19.3 19.3 19.3 19.3- а) 5 1. Границы интервале в 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 Частоты 2. Границы интервалов С 1 2 4 2 1 1 -4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 Частоты 3. Границы интервалов 113 2 1 1 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 Частоты 4. Доказать 2 (Xi -х)- 8 14 40 26 6 4 следующие свойства выборочного среднего: 0; б)* ^2(xi — х)2 < — а)2, где а G R, а / х. 19.35**. Доказать следующее свойство выборочной медианы: < ^2|жг-а|, где o€R, a/h*x. 19.36. Предположим, что в результатах наблюдений случай- ной величины X присутствует одна и та же систематическая погрешность а. Какое влияние оказывает эта систематическая по- грешность на величины выборочных среднего, моды, медианы и дисперсии?
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 197 (3) 19.37. Как изменятся выборочные среднее, мода, медиана и дисперсия, если результаты наблюдения подвергнуть преобразо- ванию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить одновременно в к раз? Результаты задач 19.36 и 19.37 используются для упрощения вычи- слений выборочных среднего и дисперсии группированной выборки. Для этого группированную выборку преобразуют следующим образом: ttj — ~ i — 1? 2, ..., А:, где d*x—выборочная мода, а 6 — длина интервала группировки. Соот- ношения (3) показывают, что в выборку z^, z?, ..., Zk внесена систе- матическая ошибка d*, а результат подвергнут преобразованию мас- штаба с коэффициентом к = 1/6. Полученный в результате набор чисел ui, U2j •••, Wfc можно рассматривать как выборку из генеральной сово- купности U = - (х — d*). Тогда выборочные среднее х и дисперсия D* исходных данных связаны со средним й и дисперсией D* преобразован- ных данных следующими соотношениями: х = bu + d (4) Dx=b2D^. (5) Пример 6. Вычислить среднее и дисперсию группированной вы- Границы интервалов 134-138 138-142 142-146 146-150 150-154 154-158 Частоты 1 3 15 18 14 2 <1 Длина интервала группировки 6 = 4, значение середины интер- вала, встречающегося с наибольшей частотой, d* = 148. Таким образом, преобразование последовательности середин интервалов выполняется по формуле (3): *i-148 . , „ Wi =----, г = 1, 2, ..., 6. Таблица 1.2 г Zi Ui Tli Tli Tli TliU2 n;(ut + I)2 1 136 -3 1 -3 9 4 2 140 —2 3 -6 12 3 3 144 -1 15 -15 15 0 4 148 0 18 0 0 18 5 152 1 14 14 14 56 6 156 2 2 4 8 18 Е - — 53 -6 58 99
198 Гл. 19. Математическая статистика Вычисления удобно свести в таблицу (см. таблицу 1.2). Последний стол- бец таблицы 1.2 служит для контроля вычислений при помощи тожде- ства Пг(щ + I)2 = £ + 2 £ niUi + У Подставляя в тождество данные последней строки таблицы 1.2, получим 58 + 2 • (-6) + 53 = 99. Следовательно, вычисления выполнены правильно. По формулам (1) и (2) находим й = ~ ~ -0,113, р. = М^и1>108. По формулам (4) и (5) окончательно вычисляем х « (-0,113) • 4 + 148 « 147,548, Г>* «42 • 1,103 « 17,728. О Для приведенных в задачах 19.38-19.40 выборок выполнить следующие задания: 1) вычислить среднее и дисперсию, предварительно проведя группировку выборки с заданной длиной интервала; для упроще- ния вычислений преобразовать данные по формуле (3); 2) вычислить среднее и дисперсию негруппированной выборки, используя заданные значения. Сравнить результаты вычислений. 19.38. Положительные отклонения от номинального размера у партии деталей (в мм): 17 21 8 20 23 18 22 20 17 12 20 11 9 19 20 9 19 17 21 13 17 22 22 10 20 20 15 19 20 20 13 21 21 9 14 11 19 18 23 19 п = 40, Ь = 2, Е^ = 689, Е = 12 635. 19.39. Время восстановления диодов из одной партии (в нано- секундах): 69 73 70 68 61 73 70 72 67 70 66 70 76 68 71 71 68 70 64 65 72 70 70 69 66 70 77 69 71 74 72 72 72 68 70 67 71 67 72 69 66 75 76 69 71 67 70 73 71 74 п = 50, 6 = 3, £^ = 3492, £®? = 244342.
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 199 19.40. Время реакции (в секундах): 8,5 7,1 6,7 6,2 2,9 4,4 6,0 5,8 5,4 8,2 6,9 6,5 6,1 3,8 6,0 6,0 5,6 5,3 7,7 6,8 6,5 6,1 4,2 4,7 5,6 5,4 5,3 7,4 6,7 6,4 6,1 4,5 6,0 5,8 5,6 5,1 п = 36, Ь=1, ^Жг = 213,8, £т2 = 1316,82. 19.41. В условиях задачи 19.12 найти размах выборки, а также выборочные медиану, среднее и дисперсию. Сравнить получен- ные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик. 19.42. Поезда метро идут строго по расписанию с интервалом в 3 минуты. Методом математического моделирования получить выборку времен ожидания поезда для 10 студентов, каждый из ко- торых выходит на перрон в случайный момент времени. Найти размах выборки, выборочные медиану, среднее и дисперсию вре- мени ожидания. Сравнить полученные результаты со значениями соответствующих теоретических характеристик. 19.43. Для получения значения случайной величины X, имею- щей биномиальное распределение В (п, р), можно воспользоваться следующим методом: получить п случайных чисел у\, у%, ..., уп и положить X равным числу случаев, когда yi < р, i = 1, 2, ..., п. Методом математического моделирования найти число выигры- шей в игре с игральным автоматом в 10 сеансах, если вероят- ность выигрыша в каждом сеансе равна 1/2. Получить выборку результатов для пяти серий игр по 10 сеансов. Найти выборочные моду, среднее и дисперсию числа выигрышей. Сравнить получен- ные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик. 19.44. В условиях задачи 19.17 найти выборочные среднее и дисперсию и сравнить с соответствующими теоретическими зна- чениями. 19.45. Определить среднее и дисперсию выборочного распреде- ления из задачи 19.19. 19.46. Определить среднее и дисперсию выборочного распреде- ления из задачи 19.16. 19.47. Проводятся испытания 10 приборов одного типа. Время наработки на отказ приборов данного типа подчиняется распре- делению Ех(А). Методом математического моделирования найти выборочные среднее и медиану, а также минимальное и макси- мальное значения времени наработки на отказ при Л = 1. (Вос- пользоваться выборкой из задачи 19.13.)
200 Гл. 19. Математическая статистика Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам а* = __Гз— х те)3/2’ (6) е (7) Вычисление выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса для группированной выборки значительно упрощается, если данные пред- варительно преобразовать по формуле (3). При этом используют следу- ющие формулы: 1 (Л-)3/2 Для контроля подсчета сумм щи\, 7 = 1,2, 3, 4, вычисляют отдельно правую и левую части тождества У^пг(г/г+1)4 = ^ni+4^niUi+6^niU?+4^niU-+^PniU-. (10) Результаты вычислений оформляют в виде таблицы. Пример 7. Вычислить среднее, дисперсию, коэффициенты асимме- трии и эксцесса для следующей группированной выборки: Границы интервалов 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 Частоты 2 4 8 12 16 10 3 <1 Длина интервала группировки b = 2. Значение Zi, встречающееся с наибольшей частотой, d* = 19. Поэтому преобразование (3) имеет вид щ = Zj - 19 г = 1,2, .., 7. 2
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 201 Вычисления оформим в виде таблицы 1.3. Таблица 1.3 i Zi И/ ", Ui “i "i uf Uj + 1 (I +'«) V + a" 1 11 -4 2 -8 16 32 -64 -128 256 512 -3 81 162 2 13 -3 4 -12 9 36 -27 -108 81 324 -2 16 64 3 15 -2 8 -16 4 32 -8 -64 16 128 -1 1 8 4 17 -1 12 -12 1 12 -1 -12 1 12 0 0 0 5 19 0 16 0 0 0 0 0 0 0 1 1 16 6 21 1 10 10 1 10 1 10 1 10 2 16 160 7 23 2 3 6 4 12 8 24 16 48 3 81 243 Е - - 55 -32 - 134 - -278 - 1034 - - 653 TljUj п - -0,532 - 2,436 - -5,054 — 18,8 - — — Контроль вычислений по тождеству (10) дает 55 _|_ 4 . (-32) + 6 • 134 + 4 • (-278) + 1034 = 653. Наконец, воспользовавшись формулами (1), (2), (4), (5), (8) и (9), нахо- дим характеристики выборочного распределения: —32 х = 19 + 2 • —- « 17,8, 55 D* = 134 7. « 2,10, D*x « 22 • 2,10 = 8,40, а* = [-5,054 - 3 • (-0,582) • 2,436 + 2 • (-0,582)3] « -0,393, 4 = ТТл2^18,8'4 • (“°’582) • (-5>054)+ z,10z +6 • (—0,582)2 • 2,436 - 3 • (-0,582)4] - 3 « -0,303. > 19.48. Из формул (6) и (7) для выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса получить соотношения (8) и (9) для их вычисления.
202 Гл. 19. Математическая статистика В задачах 19.49-19.54 вычислить среднее, дисперсию, коэффи- циенты асимметрии и эксцесса для заданных выборок, предвари- тельно преобразовав их по формуле (3). 19.49. Распределение скорости автомобилей на одном из участ- ков шоссе (км/ч): Границы интервалов 61-65 65-69 69-73 73-77 77-81 Частоты 1 4 5 8 14 Границы интервалов 81-85 85-89 89-93 93-97 97-101 Частоты 9 6 1 1 1 19.50. Суммарное число набранных баллов в соревнованиях: Границы интервалов 49-52 52-55 55-58 58-61 61-64 64-67 67-70 Частоты 3 6 И 19 30 21 10 19.51. Распределение предела прочности образцов сварного шва (Н/мм2): Границы интервалов 28-30 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 42-44 Частоты 8 15 15 12 15 20 10 5 19.52. Распределение отклонений напряжения от номинала (мВ): Границы интервалов 0,00-0,02 0,02-0,04 0,04-0,06 0,06-0,08 Частоты 9 15 29 35 Границы интервалов 0,08-0,10 0,10-0,12 0,12-0,14 0,14-0,16 Частоты 32 19 8 3 19.53. Время выполнения упражнения (с): Границы интервалов 8,95-9,05 9,05-9,15 9,15-9,25 9,25-9,35 Частоты 4 8 11 7
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 203 Границы интервалов 9,35-9,45 9,45-9,55 9,55-10,05 Частоты 5 3 2 19.54. Горизонтальное отклонение от цели (м) для 200 испыта- ний ракет: Границы интервалов -40--30 -30--20 -20--10 -10-0 Частоты 7 И 15 24 Границы интервалов 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Частоты 49 41 26 17 7 3 Пусть яГ), ..—вариационный ряд выборки объема п. Если пр — не целое число, то выборочной квантилью х* порядка р (0 < р < < 1) называется /с-й член вариационного ряда, где к = [пр] 4-1. Если же пр — целое число, то соответствующая квантиль т* не определена (она может принимать любое значение из интервала ж^+1))). 19.55 . Вычислить выборочные квантили порядков р = 0,1; 0,5; 0,9 по данным, приведенным в задаче 19.40. 19.56 . Методом моделирования получить выборку объема п = = 55 из генеральной совокупности с распределением ЛГ(О, 1). Опре- делить выборочную медиану и выборочные квантили порядков р = = 0,1; 0,25; 0,75; 0,9. Сравнить полученные результаты с соответ- ствующими теоретическими значениями. 19.57 (продолжение). Решить предыдущую задачу для распре- деления Л7(10, 2). 19.58 (продолжение). Решить задачу 19.56 для распределения Ех (2). 3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумер- ного случайного вектора. Пусть (a;,, yt), i = 1, 2, ..., п, — выборка объ- ема п из наблюдений случайного двумерного вектора (X, У). Предва- рительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости с выбран- ной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания. Распределением двумерной выборки называется распределение Двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения (ж;, yi), i = 1,2, ...,п, с вероятностями, равными 1/п. Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие число- вые характеристики двумерного случайного вектора дискретного типа (см. гл. 18, § 3, п. 1).
204 Гл. 19. Математическая статистика Пример 8. Вычислить выборочные средние, дисперсии и коэффи- циент корреляции для выборки, приведенной в таблице 1.4. Построить диаграмму рассеивания. <j Вычисление указанных выборочных характеристик удобно выпол- нять в следующей последовательности. Сначала вычисляют суммы 52 Жг, ^Xiyi, $>+2,£)2. Для контроля правильности вычислений используется тождество 52(^+^)2 = 52*?+2 52ад+52^2- Таблица 1.4 X У X У X У X У X У 8,35 3,50 10,50 6,00 11,35 9,50 12,15 6,00 12,85 9,50 8,74 1,49 10,75 2,50 11,50 6,00 12,25 8,05 13,15 9,02 9,25 6,40 10,76 5,74 11,50 9,00 12,35 5,01 13,25 6,49 9,50 4,50 11,00 8,50 11,62 8,50 12,50 7,03 13,26 10,50 9,75 5,00 11,00 5,26 11,75 10,00 12,76 7,53 13,40 7,51 10,24 7,00 11,25 8,00 12,00 9,00 12,85 6,01 13,50 10,00 13,65 9,50 14,50 10,00 13,75 8,51 14,75 12,00 14,00 11,00 15,25 12,50 14,23 8,40 16,00 11,50 14,26 10,00 16,00 13,00 14,51 9,50 16,25 12,00 Выборочные средние отсюда находятся по формулам (см. также за- дачу 19.59) = “52Жг’’ ^=ao,i = ^52^- (и) П ’ П Затем вычисляются суммы квадратов отклонений от среднего и произ- ведений отклонений от средних: (У.,)’ Qx = ~ж)2 = 12 *< - • ~ ~ ’ (12) (у»2 q, = Е(^ - »)2 = Е»2 - • „ > <13’ ть (12*0 (12^) Q*y = 12(** ~х^ (yi ~ уУ>= Y^Xiyi ~ ~—п—(14)
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 205 Отсюда _ 1 _ 1 Ux — Qxi Uy ~ ~~Qyi n n __ /ъ,1 Qxy у/ DxDy QxQy (15) Объем выборки n = 42. Предварительно вычислим 52 я; = 522,23, 52 yi = 336>41’ 52 x2i = 6652>25’ = 2987,80, 52 = 4358>626- Тогда по формуле (11) х = 12,434, £ = 8,011. По формулам (12)—(14) находим 522,232 Qx = 6652,25-------и 158,8182, 336 412 Qy = 2987,80 - -4’2— « 292,5958, = 4358,626- 522’23;?36’41^ 175,Ш2. Окончательно из соотношений (15) получаем 158,8182 292,5958 _ Л___ ~42...- « 3,7814, D* = ......j-- « 6,9666, 175,1912 г — — ...— ~ 0,813. V 158,8182 -292,5958
206 Гл. 19. Математическая статистика Диаграмма рассеивания приведена на рис. 30. О 19.59. Показать, что выборочные начальные и центральные мо- менты порядка k + s (к, s 0) по выборке (a?i, г/J, i = 1, ..., п, определяются формулами ам = Ч» = и, в частности, °1,° =*= ~UXi’ "o,i=y = ^52^’ = 1 - г)2, 2 = £>; = 1 £(yi - у)2, Д1,1 = k*XY = 19.60. Показать, что для вычисления выборочной ковариации по двумерной выборке объема п можно использовать формулу kXY = ~ХУ- 19.61. Показать, что для элементов выборки системы двух слу- чайных величин выполняется равенство Ехг^ ~У) = ^yi(xi-x).
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 207 19.62. Показать, что выборочный коэффициент корреляции по выборке (xi, yi), i = 1, ..п, вычисляется по формуле ________52 - х) (а - у) (521®; -г)2) (52ь - Й2) Вычислить коэффициенты корреляции и построить диаграммы рассеивания для следующих выборок: 19.63. 19.65. X 8 10 589 1ПйЛ х 9 10 12 5 У X 13 12 3 1ЛЬ1‘ у 10 2 7 5 6 4 7 3 У 8 2 6 4 19.66* . Известно, что для некоторой выборки Dx = 16, Dy = 9. Каково наибольшее значение ковариации? 19.67. Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин (х{, у^), i = 1, 2, ..., п, выполнено линейное преобразо- вание щ = axi + b, Vi = cyi + d, i = 1, 2, ..., n. Показать, что выборочные ковариации и коэффициент корреляции связаны со- отношениями k* v - ackXY (ас > 0), ruv = rXY. Используя подходящее линейное преобразование, вычислить выборочный коэффициент корреляции для следующих выборок: 19.68. X 55 71 53 67 81 75 59 89 65 81 У 206 116 221 113 32 128 248 113 284 215 19.69. X 65,8 68,3 72,7 66,1 73,1 71,8 73,1 66,5 У 166,0 115,2 157,8 152,5 149,3 181,0 173,2 120,4 X 69,3 73,4 67,3 73,6 67,9 69,7 69,7 У 124,5 163,2 125,2 173,3 146,7 157,9 134,5 Выборочная линейная регрессия У на X по выборке (xi, yi), i = = 1, ..., п, определяется уравнением у =/3q +/З^х = у + г
208 Гл. 19. Математическая статистика Коэффициенты (3q и (3* называются выборочными коэффициентами ре- грессии. Они вычисляются по формулам _ " £><-(£>) (5» _ «а Ж = У -0{х. (17) Аналогично определяется выборочная линейная регрессия X на Y: x = /3q + 0{*у = х + г (у ~у), коэффициенты /3'0* и 0'^ которой находятся по формулам - (УлО (Vyi) П № = —------------(18) С fry. (19) Для контроля правильности расчетов используют соотношение /W = IH- (20) Прямые у = 0п + 0*х, х = (Зд + 01 у пересекаются в точке с координатами (х, у). Пример 9. Вычислить выборочные коэффициенты линейной ре- грессии X на Y и Y на X по выборке примера 8 (таблица 1.4). Нанести прямые регрессии на диаграмму рассеивания. <1 Воспользуемся результатами вычислений в примере 8. По форму- лам (16) и (17) находим Л’ = « 1,103, /з; = 8,011 - 1,103 • 12,434 « -5,705. 15о,о1о2 Таким образом, прямая регрессии Y на X имеет уравнение у = -5,705 + 1,103а:. Аналогично по формулам (18), (19) находим + = ~ 0,5", Л* = 12,434 - 0,599 • 8,011 « 7,637. 292,5958
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 209 Отсюда прямая регрессии X на У имеет уравнение х = 7,637 4- 0,599г/. Проверка по формуле (20) дает У 1,103 • 0,599 и 0,813, что совпадает со значением г, вычисленным в примере 8. Прямые ре- грессии нанесены на диаграмму рассеивания на рис. 30. > В задачах 19.70-19.72 вычислить коэффициенты корреляции, определить и нанести на диаграмму рассеивания прямые регрес- сии У на X и X на У по данным выборкам. 19.70. X 8 10 5 8 9 у 13 12 3 19.71. X 9 10 12 5 у 6 4 7 3 19.72. х 10 2 7 5 у 8 2 6 4 19.73. Предел выносливости стали при изгибе У (Н/мм2) оце- нивается на основании другой ее характеристики — предела упру- гости при кручении X (Н/мм2). По опытным данным для 12 ма- рок стали найти уравнения линейной регрессии У на X и X на У и вычислить коэффициент корреляции между этими характери- стиками. Результаты измерений: х 51 67 84 81 101 109 71 97 109 51 105 89 у 25 30 43 44 57 58 43 46 62 45 55 45 52 = 1015, 52 = 553’ 52 = 90667’ 52 У? = 26807, 52 ХМ = 48888' 19.74. По данным измерений двух переменных х 66 70 75 80 82 85 90 92 95 98 у 60 78 65 87 74 70 78 95 88 90 вычислить коэффициент корреляции и найти уравнение линейной Регрессии У на X.
210 Гл. 19. Математическая статистика 19.75. Элементы выборки системы двух случайных величин преобразованы так же, как в задаче 19.67 (ас > 0). Как изменятся выборочные коэффициенты и /3* линейной регрессии? 19.76 (продолжение). Записать уравнения регрессии для вы- борки (щ, i = 1, ..., п, где 1 / -X 1 / -X W ~xh = - -4==-= [yi ~ у). VDy 19.77. По данным 1953 г. 2) количество телевизионных точек и численность населения в десяти городах США характеризовались следующими числами (в десятках тысяч), приведенными в та- блице 1.5. Нанести данные на диаграмму рассеивания, вычислить коэффициенты выборочной корреляции: а) для первых девяти го- родов (без Нью-Йорка), б) для всех десяти городов. Сравнить ре- зультаты вычислений. Найти коэффициенты линейной регрессии Y на X для десяти городов и нанести уравнение регрессии на диаграмму рассеивания. Объясните полученные результаты. Таблица 1.5 Города |Денвер Сан-Антонио Канзас-Сити Сиэтл Цинциннати Буффало Новый Орлеан Милуоки Хьюстон Нью-Йорк i Население, х 45 46 47 48 51 58 59 65 67 802 Количество установлен- ных телезизоров у 12 12 29 25 38 35 16 43 22 345 19.78. Пусть Z и X — независимые случайные величины с рас- пределениями 1) и N(mx^ сгх) соответственно. Доказать, что случайная величина У, связанная с Z и X соотношением У = ту + рХУ — (X - тпх) + У1 - p2XY cjyz, & х имеет нормальное распределение ЛГ(ту, <7у), причем коэффици- ент корреляции между X и У равен pXY. 19.79. Используя метод моделирования и результат предыду- щей задачи, получить выборку объема п = 20 из двумерной нор- мально распределенной генеральной совокупности с параметрами тх = 1, <jx = 1, mY — 4, <jy — 1, pXY = 0,8. Предварительно вычислив выборочные коэффициенты /3$ и /3% линейной регрес- сии У на X, нанести полученные данные и прямую регрессии 2) Миллс Ф. Статистические методы.— М.: Госстатиздат, 1958.
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 211 у = ft* + /3*х на диаграмму рассеивания. Найти выборочное сред- нее и дисперсию остатков, т.е. разностей (У1~(А’ + ДЧ)), 1 = 1,2, ..,20. Двумерную выборку большого объема представляют в виде корре- ляционной таблицы. С этой целью группируют реализации величин X н У по интервалам длины Ьх и Ьу, а в клетки таблицы записывают число пар исходной выборки (т.е. частоты) для каждой комбинации ин- тервалов. Эту процедуру можно также выполнять непосредственно по диаграмме рассеивания, нанося на нее сетку горизонтальных и верти- кальных прямых, взятых с постоянными шагами Ъх и Ьу. Наблюдения, которые попали на верхнюю и правую границы рассматриваемого пря- моугольника, относятся соответственно к соседним верхнему и правому прямоугольникам. В дальнейших вычислениях используются середины интервалов и соответствующие частоты. Обозначим середины интерва- лов через Xi, i = 1, 2, ..., к и yj, j = 1, 2, ..., I, а соответствующие k i частоты через очевидно, ее Tlij = n. 1=1 j—1 Полагаем k i ^ij H-j > ^lij Hi'' i=l j=l середин интервалов Xi и yj введем Для упрощения вычислений вместо числа л * и,. = ~, i = 1, 2, ..., k, = j = 1,2,.... г, где d*x и dy — середины наиболее часто встречающихся интервалов. Определение выборочных числовых характеристик распределения по корреляционной таблице выполняется в следующей последовательности. к I к I Сначала ВЫЧИСЛЯЮТ суммы У^ПуМг, ^~^n.jVj, У^ Tl.jVj, к I г=1 7=1 г=1 7=1 ЕЕ nijUiVj. Затем определяют следующие суммы: »=1 7=1 \2 ( > Пг-Щ 1 Qu = у m.ul- , (21) п (? n.jVj) Qv = y n.jV] - ---->- , (22) J n n лд (Еп‘и<)(Епл) Qiw = > , > ,nijUiVj - -----------------. (23) i=l 7=1
212 Гл. 19. Математическая статистика Выборочные средние, дисперсии и коэффициент корреляции находят по формулам - . Yn-u<, . , x — bx 1 dx j У by dy, n n (24) p* = £>* = b2 x x n ’ Y y n ' Quv V QuQv (25) (26) Коэффициенты /3* и /3^* линейной регрессии Y на X и X на Y вы- числяют по формулам n* by Quv P1'b~x Qu ’ /Э/* _ bx Quv 1 ~ Qv' (27) (28) Коэффициенты /Зд и /3'0* находят по формулам (17) и (19). Пример 10. Проведя группировку выборки примера 7, вычислить выборочные средние, дисперсии, коэффициент корреляции, а также вы- борочные коэффициенты линейной регрессии X на Y и Y на X. <] Выберем bx = 1, Ьу = 2. Прямоугольная сетка, соответствующая этим значениям, нанесена на диаграмму рассеивания (рис. 30). Непо- средственно по диаграмме строим корреляционную таблицу (таблица 1.6). Находим d*x = 11,5, dy = 9 и вычисляем значения щ и Vj по формулам Xi — 11,5 щ =------------ i = l,2,...,9, ___Vi 9 .____ Vj 2 > 3 — 1, 2, ..., 7. Вычисляем следующие суммы: ^2ni-ui = 43, ^^u.jVj = -15, y'nj.Uj = 215, 9 7 = 87, У У njjUjVj = 80. t=i j=i По формулам (21)—(23) находим 432 ( —1512 Qu = 215 - —- « 170,976, Qv = 87 - —« 81,643, 42 42 Quv = 80 - « 95,357.
Таблица 1.6 Границы и середины интервалов для у V3 Границы и середины интервалов для х П .j n.jVj 71 .JV? 8-9 8,5 9-10 9,5 10-11 10,5 11-12 11,5 12-13 12,5 13-14 13,5 14-15 14,5 15-16 15,5 16-17 16,5 Ui -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0-2 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 16 2—4 3 -3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 -6 18 4-6 5 —2 0 2 1 1 1 0 0 0 0 5 -10 20 6-8 7 -1 0 1 2 1 4 2 0 0 0 10 -10 10 8-10 9 0 0 0 0 5 3 3 2 0 0 13 0 0 10-12 11 1 0 0 0 1 0 2 3 0 1 7 7 7 12-14 13 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 Zlj. 2 3 4 8 8 7 6 1 3 м II £ = -15 £ = 87 ni.Uj 2 3 4 8 8 7 6 1 3 со II и ni-uj 2 3 4 8 8 7 6 1 . 3 Е = 215
214 Гл. 19. Математическая статистика По формулам (24)-(26) вычисляем т = 1-^+ 11,5» 12,52, £ = 2.Ц^4-9»8,28, D* = I2 • 170,976 42 » 4,071, 81,643 = 22 • « 7,775, 95,357 У 170,976-81,643 и 0,807. Выборочные коэффициенты регрессии вычисляем по формулам (27), (28), (17) и (19): К = 1 95,357 170,976 «•=1 95,357 81,643 » 0,58, = 8,28 - 1,12 • 12,52 и -5,74, = 12,52 - 0,58 • 8,28 « 7,72. Таким образом, уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид у — -5,74 4- 1,12т, а уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид х = 7,72 4- О,58з/. Расхождение полученных результатов с результатами примеров 8 и 9 обу- словлено группировкой. > 19.80. В таблице 1.7 приводятся результаты лабораторного ана- лиза 64 образцов сланцевых пород на содержание двуокиси крем- ния (SiC>2) и двуокиси алюминия (AI2O3) (в условных единицах). Вычислить коэффициент корреляции между этими признаками, предварительно сгруппировав эти данные в корреляционную таб- лицу. Таблица 1.7 SiO2 AI2O3 SiO2 AI2O3 SiO2 AI2O3 SiO2 А120з 57,8 17,2 53,8 16,3 48,8 16,4 50,7 21,5 54,6 17,9 53,6 17,2 53,5 15,9 53,1 21,3 54,8 18,8 51,5 15,8 52,8 15,9 52,9 20,3 51,7 19,9 54,0 15,0 52,9 14,8 51,3 20,1 61,1 16,0 50,4 14,4 52,1 19,8 52,7 17,2 62,3 17,8 53,0 15,3 47,3 18,7 46,6 15,6 52,2 18,8 53,3 16,6 49,8 20,2 46,5 16,0 49,2 19,3 51,6 14,9 49,3 17,6 51,3 15,5 53,9 16,1 50,9 14,7 50,1 19,2 51,0 19,2 60,0 14,8 49,6 16,1 54,4 18,2 47,5 18,5 56,2 17,0 52,2 19,5 49,0 16,8 47,7 19,0 55,2 17,8 50,5 15,6 48,9 18,2 44,9 16,6 53,3 19,9 51,1 18,1 51,3 19,7 49,4 16,0 57,9 17,1 52,2 19,5 51,6 19,6 48,9 18,6 54,0 15,5 49,2 15,7 46,2 19,1 48,8 19,4 52,6 17,6 49,3 13,2 50,4 20,2 50,6 18,9
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 2U Вычислить коэффициент корреляции и найти уравнения пря- мых регрессии Y на X и X на Y по данным в следующих корре- ляционных таблицах (задачи 19.81-19.84): 19.81. У X 40-50 50-60 60-70 70-80 10-11 2 И 3 2 11-12 1 19 2 4 12-13 3 6 27 6 13-14 2 3 3 8 19.82. У X 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 10-20 5 7 0 0 0 0 20-30 0 20 23 0 0 0 30-40 0 0 30 47 2 0 40-50 0 0 10 11 20 6 50-60 0 0 0 9 7 3 19.83. 30-50 50-70 70-90 90-110 110-130 130-150 150-170 50-70 5 0 0 0 0 0 0 70-90 2 3 4 0 0 0 0 90-110 0 1 7 6 0 0 0 110-130 0 0 1 8 4 0 0 130-150 0 0 1 1 5 2 0 150-170 0 0 0 0 0 5 0 170-190 0 0 0 0 0 0 2 190-210 0 0 0 0 0 0 2
216 Гл. 19. Математическая статистика 19.84. У X 7,0-7,2 7,2-7,4 7,4-7,6 7,6-7,8 7,8-8,0 2,15-2,45 5 4 0 0 0 2,45-2,75 0 12 8 1 0 2,75-3,05 0 0 5 5 0 3,05-3,35 0 0 4 7 0 3,35-3,65 0 0 0 12 1 3,65-3,95 0 0 0 0 1 В задачах 19.85-19.90 найти числовые характеристики системы двух случайных величин и коэффициенты регрессии Y на X и X на Y по данным выборкам. 19.85. X у 19.86. X у 19.87. X У 0 0,321 1,0 0,22 0,00 15 0,1 0,282 1,5 0,23 0,05 16 0,2 0,266 2,0 0,31 0,10 24 0,3 0,245 2,5 0,43 0,15 17 0,4 0,232 3,0 0,56 0,20 26 0,5 0,227 3,5 0,82 0,25 30 0,6 0,214 4,0 1,06 0,30 31 0,7 0,208 4,5 1,25 0,35 36 0,8 0,201 5,0 1,72 0,40 32 0,9 0,200 5,5 2,28 0,45 40 1,0 0,199 6,0 2,67 0,50 42 1,1 0,202 6,5 3,26 0,55 41 1,2 0,203 7,0 3,72 0,60 51 1,3 0,209 7,5 4,32 0,65 45 1,4 0,215 8,0 5,11 0,70 46 1,5 0,223 8,5 5,98 0,75 53 1,6 0,234 9,0 6,64 0,80 57 1,7 0,262 9,5 7,02 0,85 62 10,0 8,32 0,90 59 0,95 63
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 217 19.88. x у 19.89. X у 19.90. X У 0 0,051 3,0 0,422 0,1 0,96 1 0,082 3,2 0,405 0,2 0,83 2 0,151 3,4 0,415 0,3 0,81 3 0,240 3,6 0,438 0,4 0,90 4 0,352 3,8 0,467 0,5 1,И 5 0,383 4,0 0,521 0,6 1,12 6 0,448 4,2 0,546 0,7 1,32 7 0,502 4,4 0,600 0,8 1,60 8 0,692 4,6 0,640 0,9 1,70 9 0,702 4,8 0,712 1,0 1,90 10 0,798 5,0 0,832 1,1 2,36 11 0,875 5,2 0,871 1,2 2,77 12 0,956 5,4 0,988 1,3 3,28 13 1,160 5,6 1,268 1,4 3,31 14 1,249 5,8 1,408 1,5 4,35 15 1,482 6,0 1,500 1,6 4,78 16 1,723 17 1,986 19.91. Построить диаграммы рассеяния для каждого из четы- рех приведенных в таблице (с. 218) множеств данных 3). Для ка- ждого набора данных найдите и нанесите на диаграмму рассеяния график линейной регрессии у их. Прокомментируйте полученные результаты. 19.92. Получить выборку объема п = 100 из генеральной сово- купности, имеющей биномиальное распределение D (10; 0,3). По- лученные данные представить в виде статистического ряда. По- строить эмпирическую функцию распределения и гистограмму ча- стот. Найти выборочные среднее, дисперсию, коэффициенты асим- метрии и эксцесса. 19.93. Получить выборку объема п = 100 из генеральной сово- купности, имеющей нормальное распределение Х(5, 2). Выпол- нить группировку полученных данных. Построить гистограмму частот. Найти выборочные среднее, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. 19.94. Решить предыдущую задачу по данным 100 реализаций случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределе- ние Ех (3). Ans combe F.J. Graphs in Statistical Analysis, American Statistician, 17-21, 1973.
218 Гл. 19. Математическая статистика Таблица к задаче 19.91. №п/п Xi У1 x2 y2 Хз Гз x4 y4 1 10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,58 2 8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76 3 13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,71 4 9 8,81 9 8,77 9 7,114 8 8,84 5 11 8,33 11 9,26 11 7,814 8 8,47 6 14 9,96 14 8,10 14 8,84 8 7,04 7 6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,25 8 4 4,26 4 3,10 4 5,39 19 12,5 9 12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,96 10 7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,91 11 5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89 X 9,0 9,0 9,0 9,0 У 7,50 7,50 7,50 7,50 Qx 110,0 110,0 110,0 110,0 Qy 41,27 41,27 41,23 41,23 Qy 55,01 55,00 54,97 54,99 19.95. Получить выборку объема п = 100 из двумерной нор- мально распределенной генеральной совокупности с параметрами тпх = 3, mY = 5, =: 1, (Гу = 2, рХУ 0,8. Найти выбороч- ные средние, дисперсии и коэффициент корреляции. Вычислить коэффициенты линейной регрессии X на Y и Y на X. § 2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке 1. Точечные оценки и их свойства. Метод подстановки. Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределе- ния наблюдаемой случайной величины X по данным выборки. Во мно- гих случаях вид распределения X можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параме- тров этого распределения. Пусть Fx (х, в) — функция распределения
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 219 случайной величины X, содержащая один неизвестный параметр 0, а xi, Х2, ..., хп — выборка наблюдений этой случайной величины. То- чечной оценкой в неизвестного параметра 0 называется приближенное значение этого параметра, полученное по выборке. Очевидно, что оценка в есть значение некоторой функции элементов выборки, т.е. О = 0(a?i, а?2, ..., xnY Любую функцию элементов вы- борки называют статистикой. Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика 0 (a?i, Х2, • • •, хп} для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра в, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Xi, Х2, ..., Хп), одной из реализаций которого является данная вы- борка xi, Х2, . • •, хп. Так как закон распределения каждой из случай- ных величин Xi, i = 1, 2, ..., п, есть Fx(x, в), являющаяся функцией параметра 0, то и распределение статистики 0(а?1, Х2, ..., хп) также за- висит от неизвестного параметра 0. Качество оценок характеризуется следующими основными свой- ствами: 1. Состоятельность. Оценка 0 = вп = 0 (zi, ..., хп) называется состоятельной оценкой параметра 0, если 0П сходится по вероятности к 0 при п —> оо. Последнее означает, что Vs > О P[|0~n-0|<s]->l при п —> 00. Состоятельность оценки Оп во многих случаях может быть устано- влена с помощью следующей теоремы. Теорема 1. Если М[0П] —> 0 и D [0П] —> 0 при п —> оо, то Оп — состоятельная оценка параметра в. 2. Несмещенность. Оценка 0 называется несмещенной оценкой параметра 0, если ее математическое ожидание равно оцениваемому па- раметру, т.е. М [0] = 0. Разность М [0] — 0 называется смещением. Для несмещенных оценок систематическая ошибка оценивания равна нулю. Простейший метод статистического оценивания — метод подста- новки или аналогии — состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения вы- борки — выборочную характеристику. Пример 1. Пусть xi, Х2, . хп — выборка из генеральной сово- купности с конечными математическим ожиданием т и дисперсией ст2. Используя метод подстановки, найти оценку т. Проверить несмещен- ность и состоятельность полученной оценки. <1 По методу подстановки в качестве оценки т математического ожи- дания надо взять математическое ожидание распределения выборки —
220 Гл. 19. Математическая статистика выборочное среднее. Таким образом, получаем m = х = Чтобы проверить несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки т, рассмотрим эту статистику как функцию вы- борочного вектора (Xi, ..., Хп). По определению выборочного вектора имеем: М [Xj] = m и D [XJ = ст2, i = 1, 2, ..п, причем Xi — незави- симые в совокупности случайные величины. Следовательно, п М[Х]=М г=1 D[X] = D iy'Xi n = i£M[X.] = * ** « I = ^£dm = 1 — nm = m, n 1 2 er2 — na1 = — nz n Отсюда по определению получаем, что X — несмещенная оценка m, и так как D [X] —> 0 при п —> оо, то в силу теоремы 1 X является состоятельной оценкой математического ожидания m генеральной сово- купности. > 19.96. Пусть Х2, •.хп — выборка наблюдений случайной величины X. Используя метод подстановки, найти оценки следую- щих числовых характеристик случайной величины X: дисперсии, медианы, асимметрии, эксцесса. 19.97* . Пусть х%, ..хп — выборка из генеральной сово- купности с конечным начальным моментом а2Ь Используя метод подстановки, найти оценку начального момента сц. Показать, что полученная оценка является несмещенной и состоятельной. 19.98* . Предположим, что выборка •••, хп получена из генеральной совокупности с конечными математическим ожида- нием m и дисперсией сг2. Показать, что выборочная дисперсия Dx = 1“ %)2 71 является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупно- сти, и найти ее смещение. 19.99 (продолжение). В условиях предыдущей задачи показать, что несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности за- дается статистикой 19.100* *. Показать, что оценки D*x и s2, полученные в задачах 19.98 и 19.99 соответственно, являются состоятельными оценками дисперсии генеральной совокупности.
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 221 19.101. Пусть хп — выборка из генеральной совокупно- сти с известным средним m и неизвестной дисперсией сг2. Пока- зать, что несмещенной оценкой сг2 будет статистика «о = “ n 19.102. В качестве оценки математического ожидания m ге- неральной совокупности по выборке ®i, ..хп предлагается взять статистику mi = х\. Проверить несмещенность и состоятельность этой оценки. 19.103. Рассмотрим две выборки объемов щ и П2 из одной ге- неральной совокупности со средним m и дисперсией сг2. Пусть Xi, si и S'2 — несмещенные оценки средних и дисперсий, опре- деленные по этим выборкам. Показать, что объединенные оценки, вычисляемые по формулам — _ niA~i + П2Х2 Щ + П2 ’ S2 = (nl ~ 1) + (™2 ~ 1) ^2 П1 + П2 - 2 будут несмещенными и состоятельными оценками m и сг2. 19.104 *. Случайная величина X имеет распределение с плот- ностью равной еа~х при х а и 0 при х < а. Для оценки неизвестного параметра а по выборке ®i, Х2, •.., хп наблюдений случайной величины X предлагается выбрать статистику а = a/1) = min хг. Проверить несмещенность и состоятельность этой оценки. 19.105 *. Пусть a?i, а?2, . •., хп — выборка из генеральной сово- купности, имеющей равномерное распределение R (0, 1). Показать что статистика где и х^ — соответственно наименьший и наибольший эле- менты выборки, является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания т. 19.106 *. Пусть (ж1? yi), (х2, у2), • • •, (хп, Уп) — выборка из дву- мерной генеральной совокупности. Методом подстановки найти Оценку ковариации. Показать, что полученная оценка является Смещенной и состоятельной. Найти несмещенную оценку.
222 Гл. 19. Математическая статистика 19.107 *. Пусть 0 — несмещенная оценка параметра 0. D [0] < < оо. Показать, что 02 является смещенной оценкой 02, и вычи- слить смещение. 19.108 . Показать, что выборочное среднее, вычисленное по вы- борке из генеральной совокупности, имеющей распределение Пуас- сона с параметром Л, будет несмещенной и состоятельной оценкой этого параметра. 19.109 . В результате проведения п независимых экспериментов в одних и тех же условиях случайное событие А произошло х раз. X а) Показать, что относительная частота h = — появления со- п бытия А будет несмещенной и состоятельной оценкой вероятности события А: Р (А) = р в одном эксперименте. б) Определить такое значение р, при котором дисперсия ст2 будет максимальна. 19.110 . Пусть 0 — состоятельная оценка параметра 0, а (0) — непрерывная функция в области изменения 0. Доказать, что (0) — состоятельная оценка (0). 19.111 *. Пусть Xi, Х2, ..хп — выборка из генеральной со- вокупности с конечным математическим ожиданием m и диспер- сией ст2. Показать, что является смещенной и состоятельной оценкой параметра ст. 19.112 *. Доказать теорему 1 о состоятельности оценки. Для оценки параметра 0 может быть предложено несколько несме- щенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки 0 считают ее дис- персию D [0]. Пусть 01 и 02 — две различные несмещенные оценки параметра 0. Если D [0i] < D [02], то говорят, что оценка 01 более эффективна^ чем оценка 02. В предположении, что распределение случайной величины X и ста- тистика 0 удовлетворяют некоторым условиям регулярности (А*) 4), для дисперсии несмещенной оценки 0 параметра 0 выполняется неравенство Крамера-Рао: 4)См., например: Чистяков В. И. Курс теории вероятностей.— М.: Наука, 1982. С. 180.
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 223 где 1П(0) — информация Фишера, содержащаяся в выборке объема п относительно неизвестного параметра 0. Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения fx(x, 0) In(0)=nM d \2‘ Если же X — дискретная случайная величина, то 1П (0) = пМ д \2' — 1пр(Х, 0)\ о0 1 где р(т, 0) = Р [X = ж]. Условия регулярности (А*) выполняются для обычно используемых статистик нормального, биномиального и пуассоновского распределений. Несмещенная оценка 0О параметра 0, дисперсия которой достигает 1 своего наименьшего возможного значения , называется эффектив- 1п{и) ной: D^oI = Ыё)' (4) Несмещенная оценка 0 = тивной оценкой параметра 0, 0П называется асимптотически эффек- если Z„(^) D [<9П] (5) Если условия регулярности (А*) не выполняются, то может суще- ствовать несмещенная оценка параметра 0, дисперсия которой меньше, Чем нижняя граница в неравенстве (1). Такая оценка называется сверх- эффективной. Пример 2. Пусть a?i, х%, ..., хп — выборка из нормально распре- деленной генеральной совокупности АГ(т, ст). Показать, что выборочное среднее х является эффективной оценкой параметра т. <1 В примере 1 было показано, что х — несмещенная оценка параме- ^2 тра т, причем D [X] = —. Используя (2), найдем информацию Фишера п *п(пг). Имеем fx(x, т) = 1 ( (х — т)2 1 —}==— ехр <-----——— > : yj 2тг ст [ 2ст2 J , , . . (ж - т)2 . . г—~ . In fx (х, т) =-----------—------In (V 2тг ст). 2ctz
224 Гл. 19. Математическая статистика Следовательно, д In fx (т, m) _ x — m dm a2 Математическое ожидание случайной величины равно: (X - m)2 = JjM[(X-m)2] = 1 2 = ± сг4 a2 ' Таким образом, In (m) = nM п a2 Так как условие (4) выполнено, т.е. D[X] = — = ——то для нор- п _ In(m) мально распределенной генеральной совокупности х является эффектив- ной оценкой математического ожидания m. t> 19.113. Пусть О = 0(xi, ..., хп) является оценкой неизвест- ного параметра О по выборке объема п. В качестве меры близости оценки 0 к истинному значению 0 выберем величину средней ква- дратической ошибки М [(0 — 0)2]. Показать, что м [(0 - 0)2] = D [0] + (М [0] - 0)2. 19.114. Показать, что выборочное среднее является эффектив- ной оценкой параметра Л распределения Пуассона. 19.115. Показать, что относительная частота появления собы- тия А в п независимых испытаниях является эффективной оцен- кой вероятности р появления события А в одном испытании. 19.116. Пусть ®i, ..., хп — выборка из нормально распреде- ленной генеральной совокупности 2V(m, сг). Найти информацию Фишера 1п (сг2). 19.117 (продолжение). В условиях предыдущей задачи при из- 2 вестном математическом ожидании т оценивается дисперсия сг . Показать, что статистика •so = "52^ ~т^ п *—' является эффективной оценкой сг2. 19.118*. Пусть д?1, ..., хп — выборка из генеральной совокуп- ности, имеющей равномерное распределение R (0, 1). Показать,
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 225 что статистика m = - + х^) является более эффективной оценкой математического ожидания, чем выборочное среднее. 2. Метод максимального правдоподобия. Метод максимального прав- доподобия является одним из наиболее распространенных методов на- хождения оценок неизвестных параметров распределения генеральной совокупности. Пусть X — непрерывная случайная величина с плотно- стью распределения /х(т, 0), зависящей от неизвестного параметра 0, значение которого требуется оценить по выборке объема п. Плотность распределения выборочного вектора (Xi, ..., Хп) можно записать в виде и Л,.. ...ХП(Ж1, ..., хп, 0) = JJ fXi.(Xi, 0). 1=1 (6) Пусть, наконец, хп — выборка наблюдений случайной величины X, по которой находится оценка неизвестного параметра. Функцией правдоподобия L (0) выборки объема п называется плот- ность выборочного вектора (6), рассматриваемая при фиксированных значениях переменных , ..., хп. Функция правдоподобия является, таким образом, функцией только неизвестного параметра 0, т.е. п ив) = Пм*..0)- (7) 1=1 Аналогично определяется функция правдоподобия выборки дискрет- ной случайной величины X. Пусть X — дискретная случайная вели- чина, причем вероятность Р [X = ж] = р (х, 0) есть функция неиз- вестного параметра 0. Предположим, что для оценки параметра 0 полу- чена конкретная выборка наблюдений случайной величины X объема п: Xi, ..., хп. Функция правдоподобия L (0) выборки объема п равна веро- ятности того, что компоненты выборочного вектора Xi, ..., Хп примут фиксированные значения a?i, ..., хп, т.е. п п lw = Пн*=н = Ibfe в>- (») 1=1 1=1 Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра 0 принимается значение 0, доставляю- щее максимум функции правдоподобия. Такую оценку называют МП-оценкой. В случае дискретного распределения наблюдаемой слу- чайной величины X МП-оценка неизвестного параметра 0 есть такое значение 0, при котором вероятность появления данной конкретной вы- борки максимальна. Аналогичную интерпретацию МП-оценки можно Дать и в случае оценки параметра распределения непрерывной случайной Величины. Для упрощения вычислений, связанных с получением МП-оценок, в некоторых случаях удобно использовать логарифмическую функцию Правдоподобия, т.е. lnL(0).
226 Гл. 19. Математическая статистика При выполнении некоторых достаточно общих условий МП-оцен- ки состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормально распределены. Последнее означает, что при увеличении объ- ема выборки п для МП-оценки вп неизвестного параметра 0 выполняется условие lim Р п—>оо X = [ е-< /1 2 dt = Ф (ж). 2л- J где Ф(з:) — функция распределения нормального закона N(0, 1). Если для параметра в существует эффективная оценка, то метод мак- симального правдоподобия дает именно эту оценку и другой МП-оценки не существует. Пример 3. Найти МП-оценки математического ожидания т и дис- персии сг2 нормально распределенной генеральной совокупности. <] Пусть з?1, X2i ..., хп — выборка наблюдений случайной величины X с плотностью распределения fx(x, т, сг2) = ~r=L_— exp V 2тг сг Найдем функцию правдоподобия L (ш, сг2). По формуле (7) имеем 1 f (Xi - m)2 =- exp <------------- 2тг сг I 2сг2 2 (2тг)п/2СГп еХР < 2сг2 Логарифмическая функция правдоподобия отсюда равна , г , 2ч п , п п , 2 - т)2 lnL(m, сг2) = -- 1п2тг - - In сг2 - - - - ---. Z Z ZCTz Используя необходимые условия максимума InL(m, сг2), получим си- стему уравнений для нахождения МП-оценок: Э1п£ (m, сг2) 1 —= = dlnL(m, сг2) п 1 “"2^2+ =0- (9)
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 227 Из первого уравнения системы (9) находим m = — Xj = х. Подста- n вляя это значение во второе уравнение, получаем ст2 = - > (xi — х)2 = п = -°х- Отметим, что выборочное среднее х является несмещенной и состоя- тельной оценкой m (см. пример 1), а также эффективной оценкой в слу- чае нормально распределенной генеральной совокупности (см. пример 2). Выборочная дисперсия D* является состоятельной и смещенной оцен- кой ст2 (см. задачи 19.98 и 19.100). t> Пример 4. Найти МП-оценку параметра Л распределения Пуассона. <1 Пусть xi, ..., хп — выборка наблюдений случайной величины X, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параметром Л, т.е. P[X = zj = ^e~A, где х принимает неотрицательные целочисленные значения, х = 0, 1, 2, ... Функция правдоподобия L (Л) выборки объема п определяется по формуле (8): Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: In L (Л) = — In (а?!!.хп\) + ^^2 xij In А — Хп. Используя необходимое условие экстремума, получим уравнение для опре- деления МП-оценки: dlnb(A) ~dx~ = — ~п = 0- Отсюда следует, что А = — Xi = х. п Полученная МП-оценка является несмещенной и состоятельной оцен- кой А (пример 1), а также эффективной оценкой этого параметра (задача 19.114). > 19.119* . Найти МП-оценку параметра <т по выборке объема п из Нормально распределенной генеральной совокупности с известным Математическим ожиданием тп. Показать, что полученная оценка Является смещенной.
228 Гл. 19. Математическая статистика 19.120. Пусть х — наблюдаемое значение случайной величины, имеющей биномиальное распределение В (п, р), или, другими сло- вами, х — число «успехов» в п независимых испытаниях, при- чем р — вероятность «успеха» в одном испытании. Найти МП- оценку параметра р. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной. 19.121. Пусть х — число автолюбителей, заправившихся на данной станции в течение п часов. Предположим, что число ав- толюбителей, подъезжающих на заправку, есть случайная вели- чина X, имеющая распределение Пуассона с параметром nA, где А — ожидаемое число заправляющихся автолюбителей в течение одного часа. Найти МП-оценку параметра А. Показать, что полу- ченная оценка является несмещенной, состоятельной и эффектив- ной. В задачах 19.122 и 19.123 по выборке Xi, Х2, ..., хп объема п найти МП-оценки параметров указанных распределений. Пока- зать, что полученные оценки являются несмещенными и состоя- тельными. 19.122. Показательное распределение Ех(1/А). 19.123. Нормальное распределение N (m, 1). 19.124. Независимые случайные величины Х\, Х%, . •., Х^ имеют биномиальные распределения соответственно В (rii, р), В (п2, р), , В (пь р). Пусть Ti, Т2, ..., х^ — значения, кото- рые приняли эти случайные величины в некотором эксперименте. Найти МП-оценку параметра р. Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.125* . Пусть Т1, ..., хп — выборка из генеральной совокуп- ности, имеющей равномерное распределение R (а, 6). Найти МП- оценки параметров а и b по выборке. 19.126. Случайная величина X имеет плотность распределения {кх при х € [0, 2/к ], ______________________ 0 при х [0, \/2/к ]. Найти МП-оценку математического ожидания X по выборке объ- ема п. 19.127. При помощи п различных приборов получены п изме- рений случайной величины X. В предположении, что X имеет нормальное распределение, а дисперсия г-го измерения известна и равна ст?, i = 1, 2, ..., п, найти МП-оценку математического ожидания m случайной величины X. Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.128. Длина I объекта измерялась независимо друг от друга двумя приборами. Оба прибора дают при измерении случайные
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 229 ошибки, имеющие нормальное распределение со средним, равным нулю, и дисперсиями и а|. Найти МП-оценку Д если первым прибором сделано ni измерений, а вторым — П2 измерений. 19.129. Отказ прибора произошел при k-м испытании. Найти МП-оценку вероятности отказа р при одном испытании и вычис- лить ее математическое ожидание. 19.130* . Для того чтобы событие А произошло ровно х раз, было проведено п испытаний (п х\ Найти МП-оценку вероят- ности р появления события А в одном испытании. 3. Метод моментов. Для получения оценок неизвестных параметров ^1,^2) • • • 1 6а распределения генеральной совокупности X часто исполь- зуется метод моментов, состоящий в следующем. Пусть fx{xi 6i, 62, ..., 6S} — плотность распределения случайной ве- личины X. Определим с помощью этой плотности s каких-либо момен- тов случайной величины X, например первые s начальных моментов, по формулам am(0i,...,0s)=M[Xm] = +00 = У xmfx(x, 6i, ..., е8} dx, m=l, 2, ...,s. —ОО По выборке наблюдений случайной величины найдем значения соот- ветствующих выборочных моментов: 1 ” am = ~^2x?^ ш = 1, 2, ...,s. 1=1 Попарно приравнивая теоретические моменты am случайной вели- чины X их выборочным значениям получаем систему s уравнений с неизвестными 6^, ..., 6S: &m(6i, . . . , 6g} — &т> — Д 2, . . ., S. Решая полученную систему относительно неизвестных 6\, ..., 6S, нахо- дим оценки 61, ..., 6S неизвестных параметров. Аналогично находятся оценки неизвестных параметров по выборке наблюдений дискретной случайной величины. Пример 5. Методом моментов найти оценки неизвестных параме- тров а и Ъ для Г-распределения с плотностью 0, ha Л^ха-1е-Ьх
230 Гл. 19. Математическая статистика <1 Для нахождения оценок параметров а и b по методу моментов воспользуемся начальным моментом первого порядка (математическим ожиданием) и центральным моментом второго порядка (дисперсией): cei (а, 6) = a m=-, (10) /т2(а, Ь) = ст2 = (11) По выборке Х\, ..хп из генеральной совокупности, имеющей Г-распределение, находим значения соответствующих выборочных мо- ментов: ctj = X = (12) (13) Приравнивая (10) и (12), (11) дующую систему уравнений: и (13) соответственно, получаем сле- a _ ь= х' решая которую, находим a = х 15* ' ж2 19.131. В п независимых испытаниях событие А произошло х раз. Методом моментов найти оценку вероятности р появления события А в одном испытании. В задачах 19.132-19.135 по выборке х\, х?, ..., хп объема п найти оценки параметров указанных распределений, используя метод моментов. 19.132. Пуассоновское распределение с параметром Л. 19.133. Нормальное распределение N (т, ст). 19.134. Показательное распределение Ех(А). 19.135. Распределение х2(к). 19.136. Используя таблицу случайных чисел (таблица П4), либо метод моделирования, получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала [0, 10]. Методом моментов найти оценки пара- метров равномерного распределения, используя эти данные. 19.137* . Рассмотрим п систем с временами работы до первого отказа соответственно Х-[,...,Хп. Предположим, что Xi,... ..., Хп — независимые в совокупности и одинаково распределен- ные случайные величины с показательным распределением Ех (А).
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 231 Пусть, наконец, хг. i = 1, 2, ..., n, — измеренные значения вре- мени отказа г-й системы (в часах). Используя метод моментов, найти оценку вероятности Р [Xi 1] того, что первая система будет работать бесперебойно в течение часа. 4. Распределения х2, Стьюдента и Фишера. Распределения основ- ных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределен- ной генеральной совокупности, связаны с распределениями д;2(А:), Стью- дента Т (к) и Фишера F &2)- Квантили этих распределений при- ведены в Приложении (таблицы П5, П6, П7). Приведем определения и некоторые свойства этих распределений. Распределением х2 с к степенями свободы называется распределе- ние случайной величины х2(&), равной сумме квадратов к независимых нормально распределенных по закону N(0, 1) случайных величин Ui, i = 1, 2, ..., к, т.е. распределение случайной величины X2(fc)=^ + ... + ^. Распределение X2 с к степенями свободы там, где это не вызывает недо- разумений, будет обозначаться также х2(к). Плотность распределения /х2(т) определяется формулой О, х О, /Х2(т) = < 1 x(k-2)/2e-x/2^ 2*/2Г \2 / х > 0. График функции /ха(а:) приведен на рис. 31. Среднее и дисперсия рас- пределения х2(^) равны соответственно: М[х2(&)] = /г, О[х2(^)] = 2/г. Распределение х2 часто используется в статистических вычислениях, в частности, в связи со следующей теоремой.
232 Гл. 19. Математическая статистика Теорема 2. Пусть Xi, х2, • хп — выборка из нормально распре- деленной генеральной совокупности N (т, сг), ах = — / xt и s2 = 1 п — ----- — ж)2 — соответственно выборочное среднее и выбо- рочная дисперсия. Тогда статистики X и S2 — независимые слу- п - 1 _2 1 чайные величины, причем статистика ——S имеет распределение X2 1)- Заметим, что если y2(&i) и у2^) — независимые случайные ве- личины, имеющие распределение у2 с ki и к2 степенями свободы соот- ветственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение у2 с fci + &2 степенями свободы: Х2(^1) + Х2(к2) = X2(fci + к2). Распределение х2(к) при больших значениях к (к > 30) с достаточной для практических расчетов точностью аппроксимируется нормальным р аспр еделением. Это свойство используется для приближенного выражения кванти- лей Хр(к) распределения х2(к) через квантили ир нормального распре- деления N(Q, 1). Обычно используют следующие две формулы: Х2р(к) ~ | (up + >/2^ — 1 )2, (I-------------\ з 1 2 2 \ 1-9к+Ча) Формула (14), применяемая при к 30 и р 0,5, дает относительную по- грешность в пределах 1 %, а формула (15) применяется для вычисления квантилей малого порядка. Пример 6. Вычислить квантили Хо,о1(Ю)> Хо,95(40), Xo,oi(4O)- <1 Из таблицы П5 находим Xo,oi (Ю) = 2,56. Для вычисления кван- тили Хс,эб(40) воспользуемся формулой (14). Так как u0,95 = 1,645 (см. таблицу П1), то Хо195(40) а (1,645 + \/2 • 40 - 1 )2 « 55,47. По формуле (15), используя значение mq,oi = ~ «о,99 = —2,326, полу- (I—’—\ 3 2 / 2 \ 1 ~ оТдп - 2’326V oTTn «22,14. > Распределением Стьюдента с к степенями свободы называется распределение случайной величины Т (fc), равной отношению двух неза- висимых случайных величин U и у х2(к)/к, т.е. (14) (15) 2
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 233 где U имеет нормальное распределение JV(O, 1). Распределение Стью- дента с к степенями свободы будет также обозначаться Т (fc). Распреде- Рис. 32 ление Стьюдента с к степенями свободы имеет плотность /т(ж) (рис. 32): — ОО < X < +оо, среднее М [Т (fc)] = 0 и дисперсию D [Т (fc)] = --- , к > 2. Плот- к — 2 ность распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат, следовательно, для квантилей tp(k) имеет место соотношение tp(k) = — £1 — Р(к). При больших к (fc > 30) для квантилей tp(k) распределения Стью- дента выполнено приближенное равенство tp(k) и ир. Более точная фор- мула имеет вид /, .2 и2\-1/2 (16) Пример 7. Найти квантили £0,05(8) и £о,эо(40). По таблице П6 находим £0,95(8) = 1,86; £0,05(8) = -£0,95(8) = —1,86. Квантиль £о,эо(40) определим, используя формулу (16). Так как цо,эо = = 1,28 по таблице П1, то (о -1/2 / 1 \ 1 282 \ Р-Гдо) -2^40) Я 1’307' Точное значение квантили £о,эо(40) по таблице П6 равно 1,303. О
234 Гл. 19. Математическая статистика Распределением Фишера с к\ и к2 степенями свободы называется распределение случайной величины F (fci, fc2)5 равной отношению двух независимых случайных величин x2(fci)/fci и х2(^2)/&2, т.е. F(fc15fc2) = X2(fci)/fci Х2(к2)/к2 Распределение Фишера с ki и к2 степенями свободы будет также обозна- Рис. 33 чаться F (fci, к2). Распределение Фишера с fci и к2 степенями свободы имеет плотность /f(-t) (рис. 33): (fci+A:2)/2 х > О, среднее M[F] = ------, к2 > 2. к2 - 2 Квантили распределения Фишера порядка р и 1 — р связаны следую- щей формулой: kty (17) Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределения у2, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения T\k) = F(l,k), F (к, оо) = Х2(к) к (19) Х2(1) = U2. (20)
§ 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 235 При ki 1 и &2 1 квантили распределения Фишера можно вы- числить, используя приближенную формулу р /. . \ ~ ^2 12(ki + к2 — 2) к? FP(Ai,fe)~ fc2_2y fcl(fc2-4) Up + ki-2' (21) Пример 8. Вычислить квантили F0oi(3,5), Fo9o(4,100) и Fo,05(60, 120). <1 Используя соотношение (17) и таблицу П7, получаем ^‘^=?d(w)=^K0’035' Далее, используя соотношение (19) и таблицу П5, находим Z7 (л 1 Хо,э(4) 7,78 Fo.9o(4,100) и —-Л— = —— = 1,945. 4 4 Наконец, по формуле (21), используя значение ц0,05 = -«о,95 = —1,645, получаем По таблице П7 значение квантили Fo,o5(60, 120) равно Го,оз (60, 120) = 1 = “ °’699' > Fq,95(120, 60) 1,43 Используя таблицы квантилей и свойства распределений, опре- делить квантили: 19.138. Х§,05(8) и Х§,99(130). 19.139. io,01 (7) и to,95(1Ю). 19.140. Го,05(2, 3), Го,99(Ю0, 5) и Fo,oi(60, 90). 19.141* . Используя свойства распределений %2, Стьюдента и Фишера, доказать соотношение (18). В задачах 19.142-19.145 изучаются свойства статистик, вычи- сляемых по выборке %2, •••> хп из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение ?/(т, ст). __ 2 __ 19.142. Показать, что выборочное среднее X = — } Xi имеет п нормальное распределение .ZV(m, cr/yfn}.
Гл. 19. Математическая статистика 236 1 \ 19.143. Найти распределение статистики Sq = — — m)2. 19.144* . Найти математическое ожидание и дисперсию стати- стики . Показать, что статистика S2 является асимптотически эффектив- ной оценкой дисперсии а2. X — тп 19.145. Показать, что статистика Т (п — 1) = -——==• имеет S/ у/ п распределение Стьюдента с п — 1 степенью свободы. Найти мате- матическое ожидание и дисперсию Т (п — 1). В задачах 19.146-19.149 рассматриваются две независимые вы- борки объемов щ и П2 из генеральных совокупностей с распреде- лениями 7V(mi, (Ti) и TV(m2, ^2)- Xi и Х2 — выборочные сред- ние, a S2 и S2 — выборочные дисперсии, вычисляемые по этим выборкам. 19.146. Показать, что статистика F (гц — 1, П2 — 1) = —-—г S2M имеет распределение Фишера с ni — 1 и П2 — 1 степенями свободы. 19.147. Показать, что если математические ожидания mi и m2 генеральных совокупностей известны, а оценками дисперсий <т2 и являются статистики Sqi и Sq2, где — mJ2, ^01/а1 i = 1, 2, то статистика F(?2i, 722) = —5-- имеет распределение S22/a2 Фишера с Hi и 712 степенями свободы. 19.148. Показать, что если дисперсии генеральных совокупно- „ 2 2 2 стей известны и равны erf = — 67 , т0 статистика Xi - Х2 - (mi - m2) / 11 □• /---1-- V «1 П2 имеет распределение ЛГ(О, 1). 19.149. Предположим, что дисперсии обеих генеральных сово- купностей равны а2 = а2 = 6x2, н0 значение ст2 неизвестно и оце- (m-i)S? + (n2-i)S| нивается при помощи статистики S = —’------------------. ni + п2 - 2 Найти распределение статистики S2 и вычислить ее дисперсию.
§ 3. Интервальные оценки 237 Показать, что оценка неизвестной дисперсии с помощью стати- стики S2 более эффективна, чем оценка, вычисляемая по одной из выборок. mien и - V П1Х1+П2Х2 19.150. Найти распределение статистики X =--------- П1 + п2 19.151. В условиях задачи 19.149 показать, что статистика Xi - Х2 ~ (rni - имеет распределение Стьюдента с п\ + тг2 — 2 степенями свободы. 19.152. Методом моделирования получить 25 выборок объема 15 из генеральной совокупности с нормальным распределением 7V(3, 3). Для каждой выборки найти выборочное среднее х. По- лученные данные представляют 25 выборочных значений стати- стики X. Выполнить следующие задания: 1) Найти распределение рассматриваемой статистики. 2) Представить выборочные значения в виде гистограммы ча- стот. 3) Найти оценки математического ожидания и дисперсии дан- ной статистики и сравнить их с теоретическими значениями. 19.153 (продолжение). Для каждой из выборок предыдущей за- 1 п дачи найти выборочную дисперсию по формуле Sq = - >> - г=1 — т)2, где п = 15, a m = 3. Используя выборочные значения статистики Sq, выполнить задания к задаче 19.152. 19.154 (продолжение). Решить задачу 19.153 для выборочной дисперсии s2 =----- 7 (xi — х)2. п — 1 19.155 (продолжение). Решить задачу 19.153 для статистики X — тп S/y/n' § 3. Интервальные оценки 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Довери- тельные интервалы для параметров нормально распределенной генераль- ной совокупности. При статистической обработке результатов наблюде- ний часто необходимо не только найти оценку 0 неизвестного параме- тра 0, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вво- дится понятие доверительного интервала.
238 Гл. 19. Математическая статистика Доверительным интервалом для параметра О называется интервал (01, 02), содержащий (накрывающий) истинное значение в с заданной вероятностью р = 1 — а, т.е. Р [Oi < е < 02] = 1 - а. (1) Число 1 — а называется доверительной вероятностью, а значение а — уровнем значимости. Статистики = 0i(a?i, ..., хп) и 02 = — $2(^1, •••) хп), определяемые по выборке a?i, ..., хп из генеральной совокупности с неизвестным параметром 0, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. Условие (1) означает, что в большой серии независимых экспери- ментов, в каждом из которых получена выборка объема п, в среднем (1 — а) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра 0. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интер- вального оценивания, зависит от объема выборки п и доверительной ве- роятности 1 — а: при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице — увеличивается. Выбор доверительной вероятности опреде- ляется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 — а, равные 0,90; 0,95; 0,99. При решении некоторых задач применяются односторонние довери- тельные интервалы, границы которых определяются из условий Р [в < 02] = 1 — Qi или Р [01 < 0] = 1 — а. Эти интервалы называются соответственно левосторонними и право- сторонними доверительными интервалами. Чтобы найти доверительный интервал для параметра 0, необходимо знать закон распределения статистики 0 = 0(a?i, ..., а;п), значение ко- торой является оценкой параметра 0. При этом для получения довери- тельного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки п и заданной доверительной вероятности 1 — а в качестве оценки 0 пара- метра 0 следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку. Один из методов построения доверительных интервалов состоит в сле- дующем. Предположим, что существует статистика Y = У (0, 0) такая, что: а) закон распределения У известен и не зависит от 0; б) функция У (0, 0) непрерывна и строго монотонна по 0. Пусть, далее, (1 — си) — заданная доверительная вероятность, а уа/2 и У1-а/2 — квантили распределения статистики У порядков а/2 и 1 — а/2 соответственно. Тогда с вероятностью 1 — а выполняется неравенство Уа/2 < У Ф, 0) < yi-a/2. (2) Решая неравенство (2) относительно 0, найдем границы 01 и 02 довери- тельного интервала для 0. Если плотность распределения статистики У
§ 3. Интервальные оценки 239 симметрична относительно оси Оу, то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распределение несимметрично, то длину, близкую к наименьшей. Пример 1. Пусть ti, а?2, •.., хп — выборка из нормально распреде- ленной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания тп при условии, что дисперсия генеральной 2 совокупности известна и равна ст , а доверительная вероятность равна 1 - си. < В качестве оценки математического ожидания тп возьмем выбо- — 1 ТТ рочное среднее х = — > хг. для нормально распределенной генераль- п ной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой тп (см. пример 3 из §2). Выборочное среднее X в данном случае имеет нормальное распределение 2V(m, a/yfnY _ тт X - тп Рассмотрим статистику U = —, , имеющую нормальное распре- (т/\/п деление 7V(0, 1) независимо от значения параметра тп. Кроме того, U как функция тп непрерывна и строго монотонна. Следовательно, Р [uq/2 <U < Ui_q/2] = 1 - а, где ua/2 и ui-a/2 — квантили нормального распределения N(0, 1). Решая неравенство < и1-а/2 относительно тп, получим, что с вероятностью 1 — а выполняется следу- ющее условие: X------j= Ux_a/2 < тп < X-------j= Wa/2- \J п ' n ' Так как квантили нормального распределения связаны соотношением uq/2 — —щ_а/2, полученный доверительный интервал для тп можно записать следующим образом: X - —7= Щ_а/2 < ТП < X + -7= Ui-a/2- > \/п ' v п ' В задачах 19.156-19.175 предполагается, что выборка объема п получена из генеральной совокупности, имеющей либо нормальное распределение Х{тп, ст), либо распределение, достаточно близкое к нормальному. 19.156. Показать, что если дисперсия генеральной совокупно- сти <г неизвестна, а в качестве оценки дисперсии используется
240 Гл. 19. Математическая статистика статистика s2 = ----~ ж)2, т0 ПРИ доверительной вероят- п — 1 ности 1 — 0! доверительный интервал для математического ожида- ния тп имеет вид х - ~^= h-a/2^ - 1) < гп < х 4- t^a/2(n ~ 1), у/П 1 у/П 1 где £1-а/2(^ — 1) — квантиль распределения Стьюдента с п — 1 степенью свободы. Выборочные оценки в задачах 19.157-19.160 определялись по результатам п наблюдений. Используя эти данные, а также ре- зультаты примера 1 и задачи 19.156, найти 90% и 99 %-ные дове- рительные интервалы для математического ожидания (среднего) следующих характеристик: 19.157. Емкость конденсатора, если х = 20 мкФ, п = 16, сред- неквадратичное отклонение известно и равно 4 мкФ. 19.158. Время безотказной работы электронной лампы, если х = 500, п = 100, среднеквадратичное отклонение известно и равно 10 ч. 19.159. Диаметр вала, если х = 30мм, п = 9, s2 = 9 мм2. 19.160. Содержание углерода в единице продукта, если х = 18 г, п = 25, s2 = 16г2. 19.161. Методом моделирования получить 10 выборок объема 25 из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределе- ние 7\Г(5, 1). Для каждой выборки найти доверительный интервал для математического ожидания т, считая, что дисперсия гене- ральной совокупности известна и равна 1. Доверительную веро- ятность принять равной 0,9. Какая часть из полученных интервалов накроет параметр m = 5? 19.162 (продолжение). Решить предыдущую задачу, считая, 2 м. что дисперсия сг генеральной совокупности неизвестна. 19.163 (продолжение). Решить задачи 19.161 и 19.162 при до- верительной вероятности 0,99. 19.164* . Пусть из одной генеральной совокупности получены две выборки объемов и п2 соответственно. Выборочные оценки средних и дисперсий по этим выборкам равны Xi, Х2^ S'2, S'2. Объединенные оценки среднего и дисперсии по выборке объема П1 4- п2 вычисляются по формулам — _ П]Х1 4- п2Х2 С2 _ (П1 “ 1) si + (п2 - 1) Si л*- } и щ 4- п2 m 4- П2 - 2 Показать, что если дисперсия генеральной совокупности известна и равна сг2, то доверительный интервал для среднего определяется
§ 3. Интервальные оценки 241 следующим образом: -ZV сг — о X------1.^ U^~a/2 <m < X 4- —- - - - ; V П1 4- П2 v rii 4- П2 если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, ст2 = S2, то доверительный интервал для среднего определяется так: __ $ X - - ^i_Q/2(ni + П2 - 2) < тп < V Hi 4- п2 ' __________________________ $ < X 4- ,-------: tl-a/2(nl 4- п2 - 2). yni 4-^2 ' Для уточнения характеристик, приведенных взадачах 19.157-19.160 проделаны повторные эксперименты и получены но- вые выборочные оценки. Используя объединенные выборочные оценки (см. задачу 19.164), найти 90% и 99 %-ные доверительные интервалы для среднего (задачи 19.165-19.168). 19.165. Емкость конденсатора, если п = 9, х = 18 мкФ. 19.166. Время безотказной работы электронной лампы, если п = 64, х = 480 ч. 19.167. Диаметр вала, если п = 16, х = 29мм, s2 = 4,5мм2. 19.168. Содержание углерода в единице продукта, если п — 9, х = 18,8 г, s2 = 20г2. 19.169* . Показать, что если m известно, а оценка дисперсии равна ст2 — s2 = — ^(ж* — m)2, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности 1 — а имеет вид 2 2 nsQ 2 ns0 Х?-а/2(”)<<Т < где Хр(п) — квантиль распределения х2 с п степенями свободы. 19.170. Показать, что если m неизвестно, m = х, а <т2 = s2 = = ---------- ^2(^4 — х)2, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности 1 — а имеет вид (п — 1) S2 2 (п — 1) S2 Х?-а/2<П “ U a - 1) ' При решении задач 19.171-19.173 используются доверитель- ные интервалы для дисперсии, полученные в задачах 19.169 и 19.170. 19.171. По данным задачи 19.167 найти 90% и 95 %-ный дове- рительные интервалы для дисперсии.
242 Гл. 19. Математическая статистика 19.172. По данным задачи 19.168 найти 90% и 99 %-ный дове- рительные интервалы для дисперсии. 19.173. Результаты 10 измерений емкости конденсатора при- бором, не имеющим систематической ошибки, дали такие откло- нения от номинала (пкФ): 5,4; —13,9; —11; 7,2; —15,6; 29,2; 1,4; —0,3; 6,6; —9,9. Найти 90 %-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения. 19.174. Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определенная по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна х = 10 кОм. а) Считая, что дисперсия измерений известна: ст2 = 1кОм2, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах 10 + 0,1 кОм. в) Сколько измерений нужно произвести, чтобы с вероятно- стью 0,95 утверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах 10 + 0,1 кОм? 19.175. Для определения вертикального угла ориентира исполь- зуют среднее арифметическое нескольких замеров угла при по- мощи секстанта. Для углов, измеряемых секстантом, с. к. о. при- нимается равным (Т = 1,5'. Найти количество замеров, которое нужно произвести, чтобы: а) погрешность результата с вероятностью 0,99 не превосхо- дила V; б) погрешность результата с вероятностью 0,95 не превосхо- дила 1,5х. В задачах 19.176-19.182 рассматриваются две независимые вы- борки объемов п\ и П2 из генеральных совокупностей с распреде- лениями 7V(mi, <Т1) и N(m2, (Тг)- +1 и Х2 — выборочные средние, а з2 и s2 — выборочные дисперсии, вычисляемые по этим выбор- кам. 19 .176*. Показать, что если дисперсии обеих совокупностей из- вестны, то доверительный интервал для разности средних тп\ —m2 определяется формулой: / 22 . / ^l °2 (Я1 - Х2) ~ иГ-а/2\ — + — < 7711 - т2 < ' V 771 772 - ч / ^2 < (Ж1 - Х2) + Щ-а/2\ — + — • 7 У 771 772 19.177*. Пусть сг2 = <7.2 = ст2, величина <т2 неизвестна, а в ка- 2 честве оценки а используется статистика s2 = (П1 - !)51 + (™2 - 1)^2 771 + 772 -2
§ 3. Интервальные оценки 243 Показать, что доверительный интервал для разности средних mi — тп2 определяется формулой (Xi - Х2) - ti_a/2{Tli + 712 - 2)sа/ — + — < ' V Щ 712 < тщ -m2 < (a?i - х2) + ti~a/2(ni + n2 - 2)sJ — + — . V ni n2 19.178. Рассматривается случайная величина Z = X — У, где X и У — независимые случайные величины. Выборочные оценки для X и У определялись по результатам щ = 16 и п2 = 36 наблю- дений соответственно. Найти 95 %-ный доверительный интервал для математического ожидания Z, если х = 10, у = 4, ст2 и (jy известны и таковы: ст* = 1, (Ту = 4. 19.179. Амплитуда колебаний определялась двумя лаборантами. Первый лаборант по 10 наблюдениям получил среднее значение амплитуды Xi = 81мм, а второй по 15 наблюдениям — среднее значение х2 = 84 мм. В предположении, что дисперсии измере- ний известны и равны ст^ = 64 мм2 и сг^ = 81мм2 для первого и второго лаборанта соответственно, найти 99 %-ный доверитель- ный интервал для разности средних Xi и Х2. Можно ли считать, что результаты лаборантов действительно различаются? 19.180. Из большой партии диодов были взяты две выборки с интервалом в один месяц. Результаты измерения времени вос- становления у диодов первой выборки (нс): 51, 62, 53, 52, 63. Вы- борочное среднее и дисперсия времени восстановления для 7 дио- дов второй выборки: х2 = 60,3, з2 = 36,06. а) Найти 95 %-ный доверительный интервал для среднего по данным первой выборки. б) Найти 99 %-ный доверительный интервал для изменения среднего в течение месяца в предположении, что дисперсия вре- мени восстановления диодов за этот период времени не измени- лась. Можно ли считать, что среднее времени восстановления не изменилось? 19.181*. Показать, что доверительный интервал для отношения дисперсий определяется формулой s2 ст2 s2 —2 •^а/2(^’2 У ^1 1) < 2 < ~2 ^1 — а/2(^2 1, 1), 52 a2 s2 где Fp{n2 — 1, ni — 1) — квантиль распределения Фишера с п2 — 1 и ni — 1 степенями свободы порядка р. 19.182. Найти 90 %-ный доверительный интервал для отноше- ния дисперсий по данным задачи 19.180.
244 Гл. 19. Математическая статистика 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бер- нулли и параметра Л распределения Пуассона. Если распределение гене- ральной совокупности не является нормальным, то в отдельных случаях по выборкам большого объема можно построить доверительные интер- валы для неизвестных параметров приближенно, используя при этом предельные теоремы теории вероятностей (см. главу 18, § 5) и вытекаю- щие из них асимптотические распределения и оценки. Пример 2. Пусть в п независимых испытаниях успех наступил х раз. Найти доверительный интервал для вероятности р успеха в одном испытании. <1 Эффективной оценкой вероятности успеха р в одном испытании является относительная частота р = h = x/h (см. задачу 19.115). По те- ореме Муавра-Лапласа (гл. 18, § 5, п. 2) относительная частота h имеет асимптотически нормальное распределение N(p, pq/n}, где q = 1 —р. Рассмотрим статистику U = (h—p)/y/pq/n, которая, следовательно, имеет асимптотически нормальное распределение 7V(0, 1) независимо от значения р. При больших п тогда имеем h - р у/Р<1/п Отсюда получаем, что с вероятностью « 1 — а выполняется неравенство (3) Заменяя значения р и q в левой и правой частях неравенства (3) их оценками p=hnq = l — h, получаем, что доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли приближенно имеет вид , /Л(1-/г) , h(l-h) h-u^a/2\ --------- <P<h + ui_a/2\ —------•> (4) ' V n ' V п ' ПримерЗ. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. а) Найти 95 %-ный приближенный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии. б) Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля бракованных де- талей по всей партии отличается от частоты появления бракованных де- талей в выборке не более чем на 1 %? <1 а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборке равна р = = h = 10/100 = 0,1. По таблице П1 находим квантиль Ui_q/2 = 110,975 = = 1,96. По формуле (4) 95 %-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей в партии приближенно имеет вид 0,041 < р < < 0,159.
§ 3. Интервальные оценки 245 б) Представим доверительный интервал (4) в виде неравенства .. . Ih(l-h) \h-p\< u^a/2\ --------, ' V п которое выполняется с вероятностью « 1 — а — 0,95. Так как по условию задачи | h - р\ 0,01, то для определения п получим неравенство lh(l — h) WQ,975 \ ---- 0,01. V П Отсюда следует, что li967wHwr^o,oi V п и п (0,3 • 196)2 = 3457,44. Значит, минимальный объем выборки п = 3458. О 19.183. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзи- сторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95 %-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии. 19.184. С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причем 10 оказалось бракованными. Найти 90 %-ный доверительный интервал для вероятности появле- ния бракованного подшипника. Сколько подшипников надо про- верить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что вероятность появления бракованного подшипника не отличается от частоты более чем на 5 %? 19.185. В 10 000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95 %-ный доверительный интервал для вероят- ности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0,99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не более чем на 1 %? 19.186. При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 поврежденных. Найти 90 %-ный доверительный интервал для доли поврежденных ящиков во всей партии. 19.187. Из урны, содержащей неотличимые на ощупь черные и белые шары в неизвестной пропорции, случайным образом из- влекается 100 шаров (с возвращением). Найти: а) 90%-ный и б) 95 %-ный доверительные интервалы для доли черных шаров, если среди вынутых шаров оказалось 30 черных.
246 Гл. 19. Математическая статистика 19.188. Для проверки утверждения о том, что вероятность от- каза прибора р равна 0,01, было проведено испытание 100 при- боров, при этом один из приборов отказал. Построить 95 %-ную верхнюю границу одностороннего доверительного интервала для р по этим данным. 19.189* . Пусть Xi, ..., хп — выборка из генеральной совокуп- „ 2 ности с конечным математическим ожиданием m и дисперсией a . Показать, что если сг2 известна, то доверительный интервал для m при достаточно больших п приближенно имеет вид _ a _ a х ~ u_a/2 —r= < m < x + • ' yj П ' yj П 19.190* . Пусть Xi, xn — выборка из генеральной совокуп- ности, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параме- тром Л. Показать, что при достаточно больших п доверительный интервал для параметра Л приближенно имеет вид г - щ-а/2 < А < х + U1_o/2 У1". 19.191. На каждой из 36 АТС города в период с двух до трех часов было зафиксировано в среднем 2 вызова. Считая, что число вызовов для каждой АТС имеет распределение Пуассона с одним и тем же параметром Л, приближенно найти доверительный интер- вал для Л с доверительной вероятностью 0,9. 19.192. Среднее число сбоев в сутки для 100 ЭВМ одного типа равно 2,3. В предположении, что число сбоев имеет распределение Пуассона с параметром Л, приближенно найти 95 %-ный довери- тельный интервал для Л. 3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р. Пусть выборка (Ti, з/г), г = 1,2, ..., п, получена из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение, иг — выборочный ко- эффициент корреляции, вычисляемый по формуле (12) § 1. При доста- точно больших п статистика 1 1 4- Г Z=- In—= Arthr 2 1 — г имеет приближенно нормальное распределение N \ Arth г, —7-1 ) . \ /п^З/ Доверительный интервал для Arth р имеет вид Arth г--j- Z-2- < Arth р < Arth г + . (5) Доверительный интервал для р вычисляется с помощью таблиц гипербо- лического тангенса р = th 2 (см. таблицу П8).
§ 4. Проверка статистических гипотез 247 П р и м е р 4. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, г = —0,64. Найти 90 %-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции р. <1 Из таблицы П8 находим Arth(-0,64) = -Arth0,64 = -0,76. Так как ио,95 = 1,645, то доверительный интервал для Arth р по формуле (5) имеет вид -0,76 - -7^45.< Arth р < -0,76 + -U6-45 х/10 - 3 р /То77 т.е. -1,38 < Arthp < -0,14. Снова обращаясь к таблице П8, получим 90 %-ный доверительный ин- тервал для коэффициента корреляции: -0,881 < р < -0,139. О Построить доверительные интервалы для коэффициентов кор- реляции двумерной нормально распределенной совокупности по следующим данным: 19.193. г = 0,687, п = 50, 1 - a = 0,95. 19.194. г = 0,71, п = 28, 1 - a = 0,95. 19.195. г = -0,65, п = 12, 1 - a = 0,99 и 1 - a = 0,95. 19.196. г = 0,14, п = 300, 1 - a = 0,99 и 1 - a = 0,95. 19.197. г = -0,36, п = 28, 1 - a = 0,99 и 1 - a = 0,95. 19.198. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляции по выборке, полученной в задаче 19.79 при 1 — a = 0,9. § 4. Проверка статистических гипотез 1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. Во многих случаях резуль- таты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной сово- купности. В частности, такого рода задачи возникают при сравнении различных технологических процессов или методов обработки по опре- деленным измеряемым признакам, например, по точности, производи- тельности и т.д. Пусть X — наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная ве- личина. Статистической гипотезой Н называется предположение от- носительно параметров или вида распределения случайной величины X. Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х-, в противном случае гипотеза Н называется сложной. Например, простой гипотезой является Предположение о том, что случайная величина X распределена по нор- мальному закону 7V(0, 1), если же высказывается предположение, что случайная величина X имеет нормальное распределение ДГ(т, 1), где
248 Гл. 19. Математическая статистика а тп Ь, то это сложная гипотеза. Другим примером сложной ги- потезы является предположение о том, что непрерывная случайная ве- личина X с вероятностью 1/3 принимает значение из интервала (Г, 5); в этом случае распределение случайной величины X может быть любым из класса непрерывных распределений. Часто распределение случайной величины X известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параме- тров этого распределения. Такие гипотезы называются параметриче- скими. В этом параграфе (за исключением п. 5) рассматривается про- верка параметрических гипотез. Методы проверки гипотез другого типа (например, о виде распределения, независимости и др.) приводятся в § 6 и § 8. Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обознача- ется Hq. Наряду с гипотезой Но рассматривают одну из альтернатив- ных (конкурирующих) гипотез Hi. Например, если проверяется гипо- теза о равенстве параметра в некоторому заданному значению 0О, т.е. Но’- в = во, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: Н^: в > во’, н[2^: в < во’, н[3^: в во’, Н^: в = в1, где #1 —заданное значение, вг в0. Выбор альтернатив- ной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Но, называется критерием X. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины X, необходимо вы- брать подходящую статистику, называемую в этом случае статисти- кой Z критерия X. При проверке простой параметрической гипотезы Но: в = во в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра в, т.е. в. Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в со- ответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анали- зом выборки фиксируется некоторая малая вероятность а, называемая уровнем значимости. Пусть V — множество значений статистики Z, a VK Q V — такое подмножество, что при условии истинности гипо- тезы Но вероятность попадания статистики критерия в VK равна а, т.е. P[ZeVK/H0] = a. Обозначим ze выборочное значение статистики Z, вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется следующим образом: от- клонить гипотезу Но, если ze G VK’, принять гипотезу Но, если ze € € Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости. Множество VK всех значений статистики критерия Z, при которых принимается реше- ние отклонить гипотезу Hq, называется критической областью-, область У\Т4 называется областью принятия гипотезы Hq. Уровень значимости а определяет «размер» критической области VK. Положение критической области на множестве значений статистики Z зависит от формулировки альтернативной гипотезы Hi. Например, если проверяется гипотеза Но’ в = во, г альтернативная гипотеза Hi форму- лируется как Hi: в > во (в < во), то критическая область размещается
§ 4. Проверка статистических гипотез 249 на правом (левом) «хвосте» распределения статистики Z, т.е. имеет вид неравенства Z > zi-Q(Z < za), где Zi-Q и zQ — квантили рас- пределения статистики Z при условии, что верна гипотеза Но- В этом случае критерий называется односторонним, соответственно правосто- ронним и левосторонним. Если альтернативная гипотеза формулируется /7|:0>0О Яр0<Оо Н(. 0*0О Рис. 34 как Hi: О 7^ Оо, то критическая область размещается на обоих «хвостах» распределения Z, т.е. определяется совокупностью неравенств Z < za/2 и Z > zl_a/2’, в этом случае критерий называется двусторонним. На рис. 34 показано расположение критической области VK для раз- личных альтернативных гипотез. Здесь fz(z/Ho) — плотность распре- деления статистики Z критерия при условии, что верна гипотеза HQ, V\Vk — область принятия гипотезы, P[Z Е V\VK] = 1 — a. Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы: 1) сформулировать проверяемую (Но) и альтернативную (Hi) гипо- тезы; 2) назначить уровень значимости а; 3) выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы Но', 4) определить выборочное распределение статистики Z при условии, что верна гипотеза Но', 5) в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы опре- делить критическую область VK одним из неравенств Z > zi~a, Z < za или совокупностью неравенств Z > Zi_q/2 и Z < za/2;
250 Гл. 19. Математическая статистика 6) получить выборку наблюдений и вычислить выборочное значе- ние 2е статистики критерия; 7) принять статистическое решение: если ze Е VK, то отклонить гипотезу Но как не согласующуюся с ре- зультатами наблюдений; если ze Е V\V'k, то принять гипотезу Но, т.е. считать, что гипо- теза Но не противоречит результатам наблюдений. Замечание. Обычно на этапах 4-7 используют статистику, кван- тили которой табулированы: статистику с нормальным распределением Н(0, 1), статистику Стьюдента, статистику х2 или статистику Фишера. Однако интерпретацию решения и вычисление вероятностей ошибок, допускаемых при проверке гипотез, удобно проводить для статистики, являющейся непосредственной оценкой параметра т.е. статистики 0. Пример 1. По паспортным данным автомобильного двигателя рас- ход топлива на 100км пробега составляет Юл. В результате измене- ния конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомоби- лей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее рас- ходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило х = 9,3 л. Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним m и дисперсией сг2 = 4 л2. Используя критерий значимости, проверить гипо- тезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива. <3 Проверяется гипотеза о среднем (т) нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку гипотезы проведем по этапам: 1) проверяемая гипотеза Но : m = 10, альтернативная гипотеза Ну. m < 10; 2) выберем уровень значимости a = 0,05; 3) в качестве статистики критерия используем оценку математиче- ского ожидания — выборочное среднее X; 4) так как выборка получена из нормально распределенной генераль- ной совокупности, выборочное среднее также имеет нормальное распре- сг2 4 деление с дисперсией — = —. При условии, что верна гипотеза Hq, п 25 математическое ожидание этого распределения равно 10. Нормирован- тг *-Ю ная статистика критерия U = —имеет нормальное распределение N(0,1). 5) альтернативная гипотеза Hi: m < 10 предполагает уменьшение расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний кри- терий. Критическая область определяется неравенством U < uQ. По таблице П1 находим Uo,o5 = — Uo,95 = -1,645; 6) выборочное значение нормированной статистики критерия равно 9,3 - 10 17. ив = —7== = —1,75; УЖ
§ 4. Проверка статистических гипотез 251 7) статистическое решение: так как выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области, гипотеза Но отклоняется: следует считать, что изменение конструкции двигателя привело к умень- шению расхода топлива. Граница хк критической области для исходн