Text
                    

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Под редакцией А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА „ЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 86
ББК 22.1 С23 УДК 51(075.8) Коллектив авторов: В. А. БОЛГОВ, А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М КОГАН, Г. Л. ЛУНЦ, А. С. ПОСПЕЛОВ, С. В. ФРОЛОВ, Р. Я. ШОСТАК, А. Р. ЯМПОЛЬСКИЙ Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб, пособие для втузов./Бол- гов В. А., Ефимов А. В., Каракули» А. Ф. и др.; под ред. А. В. Ефи- *ова п Б. П. Демидовича.— 2-е изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.—368 с. Содержит задачи по интегральному исчислению функций несколь- ких переменных, дифференциальным уравнениям, векторному анализу, основам теории функций комплексной переменной, рядам и их при- менениям, включая ряды Фурье, и операционному исчислению. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения. Для студентов второго и третьего курсов высших технических учебных заведений. Табл. 5. Ил. 48. Рецензент кафедра специальных курсов высшей математики Московского энергетического института 1702050060—082 С 053 (02)-86 63-86 © Издательство <Наука». Главная редакция физике-математич ескоЙ литературы, 1981; с изменениями, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию............................... 1 Из предисловия к первому изданию.............................. 7 Глава 8. Кратные интегралы.................................... 8 § 1. Двойной интеграл..................................... 9 1. Свойства двойного интеграла н его вычисление в декартовых прямоугольных координатах (9). 2. Заме- на переменных в двойном интеграле (15). 3. Прило- жения двойных интегралов (18). § 2. Тройной интеграл.................................... 25 1. Тройной интеграл и его вычис. ;ние в декартовых прямоугольных координатах (25). 2. Замена перемен- ных в тройном интеграле (27). 3. Приложения трой- ных интегралов (30). § 3. Несобственные кратные интегралы..................... 33 I Интеграл по бесконечной об. /и (33). 2. Интеграл от разрывной функции (34). §4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра . . . 35 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (35). 2. Несобственные интегралы, зависящие от па- раметра (39). Глава 9. Дифференциальные уравнения ................ . 43 § I. Уравнения 1-го порядка......................... 43 1. Основные понятия (43). 2. Графический метод по- строения интегральных кривых {метод изоклин) (45). 3. Уравнения с разделяющимися переменными (46). 4. Одн родные уравнения (48). 5. Линейные уравне- ния (50). 6. Уравнение Бернулли (53). 7. Уравне- ния в полных дифференциалах (54). 8. Теорема сущест- вования н единственности решения. Особые решения (56) 9- Уравнения, не разрешенные относительно производной (58). 10. Смешанные задачи на диффе- ренциальные уравнения 1-го порядка (61). II. Гео- метрические и физические задачи, приводящие к реше- нию дифференциальных ур виений 1 го порядка (62). § 2. Дифференциальные уравнения выс их по дт.- в ... 67 1. Основные понятия. Теорема Коши (67). 2. Урав- нения, допускающие понижение порядка (69). 3. Ли- нейные одноро иыс уравнения (76). 4. Линейные неоднородные уравнения (79). 5. Линейные однород- ные уравнения с постоянными коэффициентами (82). 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (84). 7. Дифференциальные уравне- 3*
пия Эйлера (68). 8 Краевые задачи в случае линей- ных дифференциальных уравнений (89). 9. Задачи физического характера (91) § 3. Системы дифференциальных уравнений 92 I. Основные' понятия Связь с дифференциальными уравнениями n-го порядка (92). 2. Методы интегри- рования нормальных систем (95) 3." Физический смысл нормальной системы (98). 4. Линейные одно- родные системы (99). 5. Линейные неоднородные системы (103). § 4. Элементы теории устойчивости..................... 107 I Основные понятия (107). 2. Простейшие типы точек покоя (109). 3. Метод функций Ляпунова (112). 4 Устойчивость по первому приближению (114). § 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференци- альных уравнений...................................... 115 1. Задача Кынн (115) 2. Краевая задача для линей- ного уравнения (122). Глава 10. Векторный анализ ............................... 125 § I. Скалярные и векторные поля. I радиент............ 125 1 Геометрические характеристики скалярных и век- торных полей (125). 2. Производная по направлению н градиент скалярного поля (127). § 2. Криволинейные и поверхностные интегралы .... 129 1. Криволинейный интеграл 1 го рода (129). 2. Поверх- ностный интеграл 1-го рода (131). 3. Криволинейный интеграл второго рода (134) 4 Поверхностный интег- рал 2-го рода (137). § 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей ..... . . 141 1 Дивергенция векторного ноля и теорема Гаусса — Остроградского (141). 2 Вихрь векторного поля. Теорема Стокса (143). 3 Оператор Гамильтона и его применение (145). 4 Дифференциальные операции 2-го порядка (147). § 4 Специальные виды векторных полей................. 148 I Потенциальное векторное поле (148). 2. Солеиои- дальное поле (150). 3. Лапласово (или гармоническое) поле (151) § 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе............................................... 153 1 Криволинейные координаты. Основные соотношения (153). 2. Дифференциальные операции векторного ана- лиза в криволинейных координатах (155). 3. Цент- ральные, осевые и осесимметрнческис скалярные поля (156). Глава 11. Основные понятия теории функций комплексной переменной ............................................... 158 § 1. Этементарные функции............................. 158 1 Понятие функции комплексной переменной (158). 2 . Основные элементарные функции комплексной пе- ременной (162). 3. Предел н непрерывность функции комплексной переменной (165). § 2. Аналитические функции. Условия Коши—Римана , . 166 4
§ 3. • §4 Глава § 1- § 2- § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. Глава § 1- § 2. 1. Производная. Аналитичйость функции(I6G) 2. Свой ства аналитических функций (169). Конформные отображения ......................... 1. Геометрический смысл модуля и аргумента произ- вол! ой (171). 2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная ф икпии (172). 3. Степенная функ- ция (177) 4. Функция Жук вского (179). 5. Показа- тельная функция (181). 6. Тригонометрические и ги- 'псрболические функции (182). Интеграл от функции комплексной переменной . 1 Интеграл по кривой и его вычисление (182) 2 Тео- рема Коши. Инте1ральная формула Коши (186). 12. Ряды и их применение ....................... Числовые ряды................................... 1. Сходимость ряда. Критерий Коши (192). 2. Абсолют- ная и условная сходимость. Признаки абсолютной схо- димости (194). 3. Признаки условной сходимости (201). Функциональные ряды............................. 1. Область сходимости функционального ряда (205). 2. Равномерная сходимость (207). 3. Свойства равно-,, мсрио сходящихся рядов (209). Степенные ряды...............г/................. 1 Область сходимости и свойства степенных рядов (210). 2. Разложение функций в ряд Тейлора (213). 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение (219). Применение степенных рядов.................... 1. Вычисление значений функций (221). 2. Интегриро- вание функций (223). 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости (224). 4. Интегрирова- ние дифференциальных уравнений*с помощью рядов (227). 5. Уравнение и функции Бесселя (231). Ряды Лорана . ............................. . 1 Ряды Лорана. Теорема Лорана (232). 2. Характер изолированных особых точек (236). Вычеты и их применение.......................... 1 Вйчет функции и его вычисление (238) 2 Теоре- мы о вычетах и их применение к вычислению контур ных интегралов (240). 3. Применение вычетов к вы- числению определенных интегралов (242). 4. Принцип аргумента (246). Ряды Фурье Интеграл Ф -рье ... ..... 1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье (247) 2 Двойные ряды Фурье (251) 3 Интег рал Фурье (253). 4 Спектралыые характеристики ря- да и интеграла Фурье (255). 5. Дискретное преобра- зование Фурье (ДПФ) (257). 13. Операционное исчисление .................... Преобразование Лапласа........................ 1. Определение и свойства преобразования Лапласа К. 2 Расширение класса оригиналов (267). тановление оригинала по изображению . . 1. Элементарный метод 268) 2. Формула обращения. Теоремы разложения (270). 171 182 192 192 205 210 221 232 238 247 260 260 268 5
§ 3. Применения операционного исчисления ............ 273 I. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем у равнений с постоянными коэффициентами (273). * 2. Решение линейных интегральны и интегро-диффе- ренциальных уравнений (278). 3. Интегрирование ли- нейных уравнений в частных произ! дных (280). 4; Вычисление несобственных интегралов (282). 5. Сумми- рование рядов (285). 6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей (286). § 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 290 1. /-преобразование и дискретное преобразование Лап- ласа (290). 2. Решение разностных уравнений (296). Ответы................................................... 300
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании второй части настоящего сборни- ка задач наибольшим изменениям подверглись главы 11 и 13. В главе 11 «Основные понятия теории функций комплексной переменной» переработан раздел «Элементар- ные функции», а также значительно увеличено количество задач на интегрирование. Изменена структура главы 13 «Операционное исчисление». В частности, в один раздел помещены все приложения операционного исчисления. В остальные главы добавлены циклы новых задач, исправ- лены замеченные опечатки, уточнены формулировки задач Нумерация задач, как и во втором издании первой части, дана по главам, а ответы на все задачи помещены в конце сборника. Указанную работу выполнили члены авторского кол- лектива Ефимов А. В., Каракулин А Ф., Коган С. М. и Поспелов А. С. Авторы искрение признательны всем лицам, прислав- шим свои замечания к первому изданию сборника, а так- же сотрудникам кафедры специальных курсов высшей ма- тематики МЭИ, ценные указания которых были учтены при окончательном редактировании настоящего издания. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Вторая часть «Сборника задач по математике для вту- зов» содержит такие математические разделы, как интег- ральное исчисление функций многих переменных, вектор- ный анализ, дифференциальные уравнения, основные понятия теории функций комплексной переменной, чис- ловые и функциональные ряды и их применение, опера- ционное исчисление. Предлагаемый в задачнике материал содержит соответствующие разделы программы по курсу высшей математики, утвержденной Минвузом СССР в мае 1979 г. 7
Как и в первой части, каждый параграф начинается с краткого теоретического введения. Задачам, предлагае- мым для самостоятельного решения, предшествуют под- робно разобранные примеры. Ко всем вычислительным задачам даны ответы; для задач, отмеченных одной или двумя звездочками, приведены соответственно указания к решению или решения. Особенностью настоящего сборника является включе- ние в него задач, требующих в процессе решения исполь- зования ЭВМ; эти задачи приводятся в соответствующих разделах. Далее, теория общих функциональных и сте- пенных рядов излагается с использованием теории функ- ций комплексной переменной. Такой подход, на наш взгляд, позволяет лучше понять свойства степенных рядов, представление функций степенными рядами. Для тех вту- зов, в которых изложение теории рядов ведется отдельно в действительной и комплексной областях, в соо1вегствую- щих пунктах § 2 гл. 12 приводятся сначала задачи на ряды с функциями действительной переменной, а в зада- чах § 3 переменную г можно считать действительной, т. е. положить г = х. Как и в первой части, начало решений примеров и задач помечался знаком «, копен — знаком ►, начало указаний к задачам—знаком •.
Глава 8 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойной интеграл 1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. Пусть функция /(х, у) = /(Р) опреде- лена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости Оху, 0={A0!, До2.... До„}—некоторое разбиение области G на элементарные подобласти До*, площади которых также обозначим через До*, а диаметры—через d*. Зафиксируем точки Р* £ До*, k= 1, п. Выражение $«=*£ №№> называется интегральной суммой для функции, f (Р) по области G Если существует предел последовательности интегральных сумм S,, при max d*—> 0 (при этом п—> оо) и если этот предел не зависит 1<*<п ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти До*, ии от выбора точек Рк £ До*, то он называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается через J J f (х, у) dxdy. О Таким образом, И / (х, у) dx dy = 11m V f (Pft) Ao*. П max^O^ Для двойного интеграла, справедливы свойства линейности и аддитив- ности (см. задачу 8.1). Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повтор- ных интегралов следующим способом. Пусть область G (рис. 80) ограничена кривыми y = <pi(x), y=4t(x), х = а, х=Ь, причем всюду на [с, 6] функции <pi (х) и <р2 (х) непрерывны и <₽i (x)«S<p2 (х). Тогда ь Ф, (х) ^f(x,y)dxdy=^dx J f(x,y)dy, (1) О Оф, (х) причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у (х—параметр), а полученный результат интегрируется по х. Заметим при этом, что если кривая <pj (х) (или кривая <р2 (х)) в проме- жутке а^х^Ь задается разными аналитическими выражениями, 9
например, .. f Ф1 (*) при а^х^с, Ф1 (*) = < I <J>f (х) при то интеграл справа записывается в виде й Ф, (X) С ф, (Л) суммы двух интегралов ь Ф, (х) Фж (*) <4*’(х) с фР’(х) Аналогично, если область G ограничена кривыми х=ф!(у), * —Фа(«/). У=с, y=d, причем всюду па (с, d] функции ^i(y) и Фг(0 непрерывны и ф1 (у) < (у) (рис. 81), то <» ф. (0 J р (х. !/) dxdy=^dy J f(x, у) dx. с ф| (0 Двойной интеграл, представленный в виде (1) или (2), называется также повторным интегралом. (2) Пример 1. Расставить баЛи и вычислить двойной интеграл пределы интегрирования двумя спосо- если область G интегрирования G ограничена линиями у — х, и— — , х = 2. х ◄ Форма области С (рис. 82) позволяет применить формулу (I) при Ф1(*) =—. фа (*) = *, с=1, Ь — 2: .2 G 2 dy 1 Г J I 2 dx~ 2 1 10
Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (2), то следует положить d=2. Тогда при при 1 < у 2, Чг (*)=2, Ф1(у)= У У Очевидно, что первый способ вычисления в данном примере целесооб- разнее второго. Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле I 1-р J dy J f (х, у) dx. о Строим область интегрирования G по пределам интегрирования: 4i(P) = —К1—«/2. 4а (!/)=•—У, </=°. «/=1 (рис. 83). Сверху область G ограничена кривой . . ( Y • — х* при —l^x^O, = l 1-х при 0<х<1, а снизу—прямой у = 0. Поэтому имеем 1 i-v J f(x, y)dy = о -VT^v5 ° 1 i-x — \dx J f(x, </)di/+$dx J f(x, y}dy. > -I о oo 8.1. Пользуясь определением двойного интеграла до- казать следующие его свойства: 11
л) линейность: $ $ (f (*> У) ± g (х, y))dxdy=? а y)dxdy±№g(x> y)dxdy с 'о и y)dxdy = K^ f(x, y)dxdy (I£IR); 6 G б) аддитивность: если G = Gj и G2, to y)dxdy= $$/(*. y)dxdy+^f(x, y)dxdy. O G, 6, Вычислить повторные интегралы: I 2 2 xV~3 8.2. dx f (x* + y) dy. 8.3. C dx f . • n 0 b Z 1 У 3 5 8.4. C^f— J J (*+2y)2 I 2 л/2 а(1+сояф) л/2 2cos(p 8.5. dtp J r dr 8.6. d<p r^dr. 0 a cos<p -л/2 0 Для данных повторных интегралов написать уравне- ния кривых, ограничивающих области интегрирования, и построить эти области: 2 х+3 I -2—х1 8.7. 5 dx $ f(x, y)dy. 8.8. , dx J f(x, y)dy. IX - I X* 2 l'4-г/’ I l 2^x* 8.9. ^dy J f(x, y)dx. 8.10. J dx ? f(x, y)dy. 0 i —y 0 y— Для указанных ниже областей G записать двойной интеграл y)dxdy а в виде повторных, взятых в различных порядках: 8.11. G—прямоугольник с вершинами А (1, 2), В (5, 2), С(5, 4), £)(1, 4). 8.12. G — параллелограмм, ограниченный прямыми У^х, у = х—3, у = 2, у^=4. 12
8.13. G—область,-ограниченная кривыми х24- у2 =» 2сг, х2 — ау{а >0, у > 0). 8.14. G—область, ограниченная кривыми у2=^ах, х2 + у2 = 2их, у — 0 (а > 0, у > 0). 8.15. G—область, ограниченная кривыми х2-- у2^*ах, X2 + у2 = 2ах, у = 0 (а > 0, у > 0). 8.16. По какой переменной взят внешний интеграл в повторном интеграле 2 Xs J $ / (х, y)dydx 1 -v~i и какова область интегрирования? Изменить порядок интегрирования в следующих пов- торных интегралах: 6 -3+ К12 + 4Х-Л* 8.17. ( dx J f(x, y)dy. ~~ 2 — 3—V 12 + 4х—х* I 4 I |6-А> 8.18. \ dy J f(x, y)dx. 8.19. dx § f(x, y)dy. -I JZ3-I 0 ) 4TSTJ I U 3 1 8.20. \dy $ /(x, tj)dx+\dy J f(x, y)dx. 0 (/«/0 _ 1 I/"/9 я 2 ' x + 2 2 2 10/3 2 8.21. J dx J f(x, y)dy+ J dx J f(x, y)dy. -2 0 2 | a a + Va3—x3 I 2 j/’/2 8.22. J dx J J (x, y)dy. 8.23. J dy J f(x, y)dx. I 2ах-хг -V 2 Уг~1 73 9 10—x 8.24. Jcfx $ f(x, y)dy+^dx J f(x, y)dy. 3 9/x 7 9/x 8 25. Показать, чго ax a a J dx\ f (x, y) dy = J dy J f (x, y) dx, 0 0 0 у и, пользуясь этой-формулой, доказать фо р м у л у Ди- рихле t X t $ dx $ f (у) dy - $ (/—у) f (у) dy. 0 0 о 13
Вычислить еле дующие интегралы: 8.26. ^(*+y*)dxdy, где область G ограничена кри- с выми у — х, х+у = 2а, х = 0. 8.27. $$ Vxy^^dxdy, где G—трапеция с вершинами G Л(1, 1), В(5, 1), С(10, 2), D(2, 2). 8.28. ху dxdy, где область G ограничена кривыми о х + у = 2, х- + у2 = 2у (х>0). 8.29. уdxdy, где G—треугольник с вершинами 0(0, 0), Д(1, 1), /5(0, I). 8.30. $ (хф-2у) dxdy, где область G ограничена кри- 6 выми у = х2 и у = х. 8.31. (4—у) dxdy, где область G ограничена кри- выми хг = 4у, у=1, х = 0 (х> 0). 8.32. J гДе область G ограничена кривыми о y = xtgx, у—х, х = л/8 (х>л/8). 8.33. l^a2- x2dxdy, где область G ограничена кри- о выми у1—х' = аа, х — а, х — 0, у = 0 (у>0, а > 0). 8.34. J£*+»dxdy, где область G ограничена кривыми у = ех, х«=0, у —2. 8.35* . xaydxdy, где область G лежит в первой чет- G верти, ограничена осями координат и дугой эллипса x—acost, y = bsint (0^/^л/2). 8.36. ^xdxdy, где область G ограничена осью Ох и - о аркой циклоиды х=а (t —sin /), у=а (1 — cos t) (0 i 2л). 8.37. уdxdy, где область G ограничена осями коор- G динат и дугой астроиды х=аcos’ /, у=а sin® t (0t л/2). 8.38* . Найти среднее значение функции f(x, у) = = cos2xcos®у в области G = {(x, у)|0<хг^л/2, 0<t/< С л/2}. 14
8.39*. Оценить величину интеграла I- С С dxdy JJ 94-sin2x-f-sin2(x4-{/)' Ixl+li/IO 8.40. Найти среднее значение функции f(x, у)==3х+2у в треугольнике с вершинами 0(0, 0), Л(1, 0), В(0, 1). 2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции х=ф(и, v) и у=ф(и, и) (3) осуществляют взаимно однозначное непрерывно 'дифференцируемое отображение области Г плоскости O'uv на область G плоскости Оху. Это означает, что существует обратное непрерывно дифференцируе- мое отображение и- t] (х, у) и v~%(x, у) области G на область Г и в области Г отличен от нуля якобиан преобразования, т е. дд> д<р ди dv дф дф ди dv Величины и и v можно рассматривать как прямоугольные коорди- наты для точек области Г и в то же время как криволинейные координаты Если в /(и, г) = * о (и, 0 € г. (4) точек области G. двойном интеграле $ р (*. У) dx dy О замену переменных по формулам (3), то областью ипте- ”, которая произвести : „ ... грирования .полученного интеграла будет уже область Г, при надлежащем выборе функций <р (и, г) и ф (и, о) может оказаться значительно проще области G, и имеет место формула р f (х, у) dxdy=^f (<р (и, v), ф (и, 0) | / (и, г) | du dv. (5) С г Для вычисления интеграла по области Г применяются изложен- ные в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным. р 3. Вычислить y^xydxdy, если область G ограни- О у2=ах, у2 — Ъх, ху — р, xy-q (0 < а < b, 0 < р <q). новым переменным П р н м е чека кривыми Перейдем к Тогда и н v по формулам у2 —их, xy—v. x = u-1/3v2/3, ди 3 ду____l-a/3,,1/3 ди ~~ 3 ’ —i-«-4/3oa/s 3 11 1(и, 0 = У дх _ dv 3 dv 3 4- u1/sv-a/3 о при и > 0. 2 u-i/3r-i/3j 1 Зн ’ 15
Уравнения линий принимают вид и — a, u=b, v — p, v—q. Область G плоскости Оху преобразуется в прямоугольник Г Рис. 84 плоскости O'uv (рис. 84). Применяя формулу (5), получаем ь 9 О Г ар Наиболее употребительными из криволинейных координат явля- ются полприые координаты х —reosep, i/ = rsin<p, для которых /(f ) = |c°s<P -г^Г v I Sin ф Г COS ф I и формула (5) записывается в виде f(x, у) dxdy= / (г cos ф, г sin ф) г dr d<p. (6) G Г Пример 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить двой- ной интеграл J J (*2+Л dxdy, G где область G ограничена окружностью хг-\-у2 = 2ах. 40 Положим х = гсо5ф, «/ = г81Пф и применим формулу (6). Так как Ха + «/а = г2, то J (х2 + «/2) dxdy— г1 dr dtp. о г Уравнение окружности ха+у2 = 2ах преобразуется к виду г — 2а cos ф. Поэтому областью Г является область, ограниченная снизу осью г = 0, сверху косинусоидой г = 2асозф, причем ф£ I—~ I. 16
Следовательно, л/s 2а cos q> л/г С Р О I t* |2ЯС03ф\ । \ г? dr dtp = \ dtp \ г3 dr— \ ( -4-1 J dtp = г -л/s 0 - Л'2 л/з л/s • = 4а4 У cos4<pd<p = 8a4 cos4<p d<p = 8a4-—•ла*. ► -Л/2 о Перейти к полярным координатам и расставить пре- делы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах: За/4 V nt—хя 8.41. $ dx $ f(^x* + yl)dy. ° а V3 , Лзо* , 2 V 4 * а а+1 а*—х* I 1 у 8.42. § dx § / (х, у) dy. 8.43. ^dy § f (х, у) dx. ° lax 0 -• 1 8.44. \\f(x?+y2}dxdy, где область G ограничена линп- о ями x2 + z/2 = K бх, (х2 + г/2)2 = 9(х2—у2), у — 0 (у2>0, x<VD . Перейдя к полярным координатам, вычислить следую- щие интегралы: a I а‘ — х‘ а I а‘-у‘ 8.45. ^dx J e^+^dy. 8.46. । dy J \^аъ— х*— ysdx. О О О 1 ау—у* 8.47. $ Их2 + ^2—9 dx dy, где область G — кольцо между двумя окружностями х2-|-^2 = 9 и x2-f-t/2 = 25. 8.48. К °2—х3—y*dxdy, где область G—часть круга G радиуса а с центром в точке 0(0, 0), лежащая в первой четверти. 8.49. (х2 + У2) dx dy, где область G ограничена кри- выми х2 + ^2 = сх, х2 + ^2 = 2ах, у —0 (у>0).
8.51. JJx/x2 у2 dx dy, где область G ограничена G лепестком лемнискаты (x2-j-z/2)2 = a2 (x2—z/2) (x^O). Перейти к новым переменным и и v и расставить пре- делы интегрирования в следующих интегралах: 8.52. $$/(х, y)dxdy, где область G определена нера- G венствами х>0, z/^О, х+у-^а. Положить и = х+у, ау *= uv. 8.53. y)dxdy, где область G ограничена кри- г, выми х^= ау, х2 — by, у2 = рх, tf = qx (0 < а <Ь, 0 < < р < q). Положить х2 — иу, tf -vx. 3 3 -х .8.54. J dx J f(x, y)dy. Положить u = x + у, v — x—у. о i-x • 8.55. $$ f (x, y)dxdy, где область G ограничена кри- g выми ху = р, xy — q, у—ах, у = Ьх (0 < р < q, 0 < a < 6). Положить и — ху, y = vx. Вычислить следующие двойные интегралы: 8.56. (с>1), где область G ограни- чена эллипсом (перейти к обобщенным поляр- ным координатам г и <р по формулам x = ar cos<p, у = == br sirup). 8.57. e'x+y'‘-dxdy, где область G задана неравен- ствами х^О, у^О, х+у^Л (произвести замену пере- менных х —ы(1—о), у = uv). 8.58. \^xydxdy, где область G ограничена линиями о у—ах3, y = bx3, у2 = рх, y2 = qx (0<a<6, 0<р<<?) (выбрать надлежащую замену переменных). 3. Приложения двойных интегралов. Геометрические при- ложения. П/.ощадь S плоской области G выражается, в зависи- мости от рассматриваемой системы координат, следующими интегра- лами: S -Jpxdz/ G (7) 18
в декартовых прямоугольных коорди- натах, S=^|/|du<to (8) г в криволинейных координатах. Здесь дх дх ди ди ду ду ди до ^0 в области Г. В частности, в полярных коорди- натах х = г cos<р, у~г sin <ji имеем S=^rdrdq>. (9) Г Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = a (I -|-cos <р) и г —a cos ф (с > 0). В плоскости Оху фигура показана на рис. 85. Вычислим по фор- муле (9) площадь верхней части и удвоим: Л/2 л/2 а (1 4 col qi) п а (I 4 со» ф) S = 2^rdrd<p = 2 J dtp г dr-j-2 J dip J tdr = Г О а со» Ф л/2 0 л а(14-со»ф)Х , , С / ,|а(1+со»ф>\ Рф+ \ 'L Иф= a cos ф / J \ 10 / л/2 л'2 Л = а* J (1+2cosqi)«йр-|-л2 J (1+2созф-|-со52ф)</ф = о л/2 = л2(ф+2 51п ф)|” 4~ л2 ^-^4-2 sin ф-J-'^-sln 2ф Если гладкая поверхность имеет уравнение z — f(x, у), то пло- щадь части этой поверхности, проектирующейся в область G плоско- сти Оху, равна «-И / "»> =-т-ла2. ► |л/2 4 Пример 6. Найти площадь части поверхности параболоида y2-j-z2~2ux, заключенной между цилиндром у2 = ах и плоскостью х — а (л > 0). Верхняя половина заданного параболоида описывается уравне- нием г=)/Г2лх—у2. Имеем: dz__ а дг____________ у ’й* — /’2лх—</2 ’ ~ У 2ах—у2 ’ 1 _l_(—V i f Y= I i _ 2лх4-лг '\дх)'\ду) 2лх—у2 2ах—у2 Так как рассматриваемая поверхность симметрична и относительно плоскости Охг, то искомая площадь вычисляется как учетверенная 19
площадь части этой поверхности, лежащей в первом октанте: а У ах «"‘И G =£ (2ах + ^)3/г IW (3 Г За*-а>) = (3^3-1). f> м |о да о Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверх- ностью z—f(x, у), снизу плоскостью 2 = 0 и с боков прямой цилинд- рической поверхностью, вырезающей иа плоскости Оху область G, выражаетс>1 интегралом y^dxdy' (И) С Пример 7. Пакти объем тела, ограниченного поверхностями у=К х. у- 2 \Г х, х-\-г= 4, г = 0. 41 Данное тело является цилиндроидом, ограниченным сверху пло- скостью *4-2 = 4, снизу плоскостью 2 = 0 и с боков прямыми цилинд- рами у~У х и у = 2 У х (рнс. 86, а). Область интегрирования пока- зана па рис. 86, б. Имеем: г 4—х, 4 21'4ё 4 V — (4—x)dxdy — dx (4—х) dy= J (4—х) (2 у/~ х— y/~x)dx= с о о С„ Л 2*3/а г*8'2 = 1(4—*) V *d*-^4—з---------g— о 8.59 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 4ах -J- 4а2 и х + у — 2а (а > 0). 20
8.60 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ху = 4 и *4 У = 5. 8.61 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми У=х244^~’ Х = х = 0 (а>°)- 8.62 *. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми х2-{- у2 = 2ах, х2 + у2 = 2Ьх, у = х, у = 0 (0<а<6). 8.63 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г —а(1—coscp) и г —а (вне кардиоиды). 8.64 *. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (х2 4 у2)2 = 2а2 (х2—у2) и х2 4- Уй -= 2ах. 8.65 *. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (х4 уУ — ах2у, лежащей в первой четверти (а> 0). 8.66 *. Найти площаДь фигуры, ограниченной кривой а2 +42 ) с2 • 8.67 *. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 —ах, у2 — Ьх, ту2 = х3, пу2 — х'' (0<а<£>, 0 < т < п). 8.68 *. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = рх, у2 = ух, у-— ах, у — Ьх (0 < р <_ у, 0 < а < Ь). 8.69 . Найти площадь части плоскости х + у + г — а, вырезаемой цилиндром у2— ах и плоскостью. х = а. 8.70 . Найги площадь части поверхности цилиндра х24-2'2 = а4, вырезаемой цилиндром y2 — a(i—х). • 8.71. Найти площадь части поверхности конуса х2 4- -\-z2 — y2, вырезаемой цилиндром у2 = 2рх (р > 0). 8.72. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами х2 — ау, г2 —а * i плоскостью у*=2а (а > 0). 8.73. Найти площадь части поверхности конуса х2-]-г2 — у2, вырезаемой плоскостями х=0, х-\-у = 2а, У=0. 8.74. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 4- у2 = 2ах, вырезаемой цилиндром г2 — 2а (2а—х). 8.75. Найти площадь части сферы х2 + у2 4- г2 = 2а2, заключенной внутри конуса х2 + у2 — г2. 8.76. Найти площадь части поверхности параболоида г = х2—у2, заключенной между паработоидами z = 3x2 + 4- у2—2 и z = 3x2 + y2—4. ' 8.77. Найти площадь части сферы х2у2 + г2 — а2, вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси Ог, направляющей которого служит трехлепестковая роза r = asin3q>„ 8.78. Найти площадь части винтовой поверхности z = aarctgy, вырезаемой цилиндром х2-[-у2 = а2. 21
8.79. Найти площадь части сферы ха 4- у2 -ф г2 = 1, рас- i<3 положенной между плоскостями г — у и г —у (г О, У>0). 8.80. Найти площадь части поверхности конуса х2 + + ^а=га, вырезаемой цилиндром с образующими, парал- лельными оси Ог, направляющей которого служит кар- диоида г — а (1 cos q>). 8.81. Найти площадь части сферы х2 + у2 + г2 = а2, вырезаемой из нее цилиндром (ха ф- у2)2 — а2 (х2—у2). Найти объемы тел, ограниченных поверхностями: в.И.£+к-1. £+£-1 (а>0). 8.83* . г2—х2 — а2, г2—у2 = а2, г = а/ 2 (а>0). • 8.84. у — х2, г — у, г-\-у—2. 8.85. х2—у2 — 2аг, х3 + у2 —а2, г = 0 (внутри ци- линдра; а > 0). 8.86. х2 + у2—2га = — а2, 2(х2 +у2)—г2 = а2 (а>0). (+ а а 8.87. z = «Л* ь-7, (а > 0, b>Q, с>0). *8.88. х2 + у2 = г2, х2+у2—2га = — а2 (а > 0). К® fJ% 7® У® f7® 7® 8-89- ^+р- + та-= 1. 7г+72= Та- (внутри конуса; а > 0, b > 0, с > 0). 8.90*. г = ху, ху= 1, ху=2, у2 — х, у2 = 3х. 8.91*. г — х2-}-у2, ху—1, ху=2, у = х, у = 2х, г = 0 (х > 0, у > 0). Механические п р и л о ж е и и я. Если пластинка занимает область G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плот- ность у —у(х, у), то масса М пластинки и ее статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу выражаются двойными инте- гралами Af = у (х, y)dx dy, er С сг (|2) Мх~ п УУ<'Х’&dxdy' Му= J J х^х’ y)dxdy. G G Координаты центра масс хну пластинки определяются следую- щим образом: ^xy(x,y)dxdy ^yy(x,y)dxdy — Mv G — Mx g x м = г г j j ' y— м гс ’ (3) W у {X, У) dxdy tidxdV G G 22
Моменты инерции пластинки отно- осей Ох и Оу соответственно сительно равны 1х=П^7^’ ^dxdy' G 1,= $$ *2Т(Х. y)dxdy, 6 инерции пластинки относи; ть- (14) а момент по начала координат (полярный момент инерции) равен /о = П У^ 7 (Х’ У) dx dy = lx + /v G (15) Если пластинка однородна и плотность ее не указана, условимся считать у (х, у) 1. Пример 8. Найти координаты центра масс однородной пла- стинки, ограниченной кривыми ау -х1, х у —2а (а > 0). Линии пересекаются в точках Mi (—2а, 4а), М2(а, а) (рис. 87). Поэтому можно записать: с 2с-х а I [ (2а—х)* х» \]« _36„s. 2 \ 3 5а* Л-2о=5 а ’ 2а-х а Му = J^xdxdy = xdx dy— § х^2а—х—dx = G -2а *• а -2а . х* *• \ » 9 , ах* —=—-j— -—rat 3 4а ] -2а 4 Подставляя найденные значения в формулы (13), имеем Мв— 7 .-М*- 8 S 2 ' у S 5 8.92. Найти массу круглой пластинки радиуса /?, если плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна 6 на краю пластинки. 8.93. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры; ограниченной кардиоидой г = а(1 4-cosq>), О^ф^л, и полярной осью. 8.94. Найти координаты центра масс однородной фи- гуры, ограниченной кривыми у2 —ах, у — х. 23
8.95. Найти массу пластинки, имеющей форму прямо- угольного треугольника с катетами ОВ — а и О А — Ь, если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА. 8.96. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой y-smx и прямой ОА, проходящей через начало коор- динат и вершину А (л/2, 1) синусоиды (х2>0). 8.97. Найти координаты центра масс однородной фи- гуры, ограниченной кривыми ху = а2, у2 = 8ах, х=2а (а>0). 8.98. Найти моменты инерции однородного треуголь- ника, ограниченного прямыми х-\-у— 1, x-j-2y— 2, у—О, относительно осей Ох и Оу. 8.99. Найти координаты центра масс однородной фи- гуры, ограниченной петлей кривой r = asin2q>, лежащей в первой четверти. 8.100. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а (1 ф- cos <|), относительно осей Ох, Оу и относительно полюса. 8.101. Найти моменты инерции однородной фигуры, „ х2 , у2 , ' „ X ограниченной эллипсом -|- = 1, относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат. 8.102* . Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кривыми у2 = ах, у = а, х = 0: а) относительно начала координат, , б) относительно прямой х— — а. 8.103. Найти моменты инерции треугольника, ограни- ченного прямыми х-±у — а, х = а, у = а, относительно осей Ох, Оу и относите чыю начала координат, если плотность пропорциональна ординате точки. 8.104. Найти момент инерции однородной фигуры, ограниченной лемнискатой r2 = cacos2<p, относительно полюса. 8.105. Найти моменты инерции однородного кругового сектора радиуса а с углом а при вершине (совпадающей с началом координат) относи 1ельно осей Ох и Оу, если сектор расположен в первой четверти и одной из своих сторон лежит на оси Ох. 8.106* . Тонкая пластинка Имеет форму кругового кольца с радиусами Rt и R2 (Rt < R2). Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с= |xt/|, плотность посто- янна и равна у. Найти количество теплоты Q, получен- 24
ной пластинкой при ее нагревании от температуры до температуры 8.107* . На тонкой пластинке, имеющей форму пара- болического сегмента, ограниченного осью Ох и парабо- лой ах2 + h2y = А®, распределен электрический заряд с по- верхностной плотностью о = 2x4- У- Найти полный заряд Е пластинки. § 2. Тройной интеграл 1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоуголь- ных координатах. Тройным интегралом от непрерывной функции J (х, у, z) по .ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d/, элемен- тарных областей &Vh, если этот нредет не зависит ии от способа разбиения области Т на элементарные подобласти Лгу, ни от выбора промежуточных точек: п W\f(x, у, z)dxdydz= lira Т ftxk’ Ук> гк) (*) aJJ тех d —> 0 д— । где (ху, у/!, zfc) £Деу. Через Avy обозначается как элементарная область, так и ее объем. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сво- дится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегра- лов. Если, например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью z — (pi (х, у), сверху поверхностью г = фа (х, У) (<Pi (х, У)^ С<р2(х, У)) ис боков прямым цилиндром, сечением которого плоско- стью, пара мольной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл (1) вычисляется по формуле <Р1 (х.У) f (х, у, z) dxdydz = dxdy / (х, у, z) dz. G <Ti (X, у) т Записывая двойной интеграл по области G через одни из повтор- ных, получаем ь у, (х) 5 5 5 ^Х’ d* dydz= § dx $ г а У! (х) Ч>1 (х, у) J f(x, у, Z)dz -= Ч>. (*. У) d хг (у) = J dy J с х, (у) V,(х. у) dx J /(х, у, z)dz. 4>t (X. У) (3) Пример I. Вычислить J г dx dy dz, если область Т огра- т ничеиа плоскостями x-\-y-\-z=l, z — Q, у=0, х—0. 25
Имеем: Расставить пределы интегрирования в тройном инте- грале $$$/(*. У, z)dxdydz для указанных областей Т. т 8.108.Область Т—тетраэдр, ограниченный плоскостями 2х-[-Зу + 4г= 12, z = 0, y = Q, х = 0 8.109. Область Т—внутренность эллипсоида 7^- +fr 4 8.1 Ю.Область Т ограничена поверхностями у*4-2г4 = 4х, х=2. ' 8.1 II. Область Т ограничена поверхностямих*4- yi=zt, г= 1. Вычислить интегралы: х Ух‘+уг 8,112. $ dx J dy J zdz. 0 0 о 3 2* Vxy 8.113. $ dx dy $ 2 dz 0 0 0 a '1 ax 2 (a-*) 8.114. \dx ydy J dz. 0 0 a-x 845. $И(Х+y+z)dxdydz, где область T—тетраэдр, т ограниченный плоскостями х 4- у-[- z=а, х = 0, у = 0, г — 0. 8.116. xyzdxdydz, где область Т ограничена по- т верхностями у = х3, х — уг, г = ху, г = 0. 26
8.117. § § § (*2 + №) dx dy dz, где область T ограничена т поверхностями г —у*—х2, z = 0, у—\. 2. Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном интеграле И S у* dx dy dz т производится замена переменных по формулам х — х(и, V, к), у—у (и, с, tt), г = г(и, v, w), причем функции х(и, v, w), y(u,v,w), г = (и, v, w) осуществляют взаимно однозначное отображение области Г пространства Охуг на область Tj пространства Oytivw и якобиан преобразования не обращается в нуль в области Тц то справедлива формула f (х, у, z) dx dy dz= дх дх дх ди ди dw ду <fu ди dw дг дг дг ди ди dw т И$/{х{и- г. о, н>), у (и, и, ш), г (и, о, щ)) 111 du dv dw. (4) Наиболее употребительными из криволинейных коордичат являются цилиндрические координаты г, <р, г (рис. 88): x = rcos<p, y = rsln<p, г~г, якобиан которых 1 = г, и сферические г (длина радиус-вектора), <р (долгота), 6 (широта) (рис. 89): х = г cos <р cos 0, у = г sin <р cos 0, z = rsin0, якобиан которых 7=r2cos0. Формула (4) принимает 27
соответствен ио вид y,z)dxdydz=^f(r cos ф, г «1п ф, г) г dr dtp dz (5) * Т Т, или ^х> y’^dxdydz= "т = $ 5 S F cos 005 r sin coS r sin 9)f2 cos ® d0- (®) 7, Пример 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить J г У х3 -у3 dx dy dz, где область Т задана неравенствами 0 < х <2, т 0<Cj/<pr2x—х3, 0<z^a (рис. 90). Так как уравнение у=У2х—х3 в цилиндриче- ской системе координат принимает вид г = =2собф (0<«р<л/2), то по формуле (5) Рис. 90 Уx3-\-y3zdxdydz= r3zdrdtpdz^> T T, л 2 2 tos ф а л/2 = рф J r3dr^zdz^\ 000 0 Я/2 2 cos <р г3 dr = 0 4а2 Г 8 -3- ) cos3фdtp = -g- b Пример 3. Перейдя к сферическим координатам, вычислить 5 5$ (xi+y*)dxdydz- если область 7 есть полушар x3-f-y3-f-z3^ Д3, т z5s0 Для области Т> пределы изменения сферических координат суть: 0<ф^2л, О<С0^л/2, О^г </?. Имеем по формуле (6): J $ S dxdydz= J г2 cos2 0- г2 cos 0 dr dtp dQ =» 7 J rt 2л я/2 7? = J ^Ф У cos8 0 dO J r4dr=^n/?s. 00 0 Вычислить интегралы, перейдя к цилиндрическим коор- динатам: 8.118. $ У dydz, где область Т ограничена поверх- т костями х2-| у3 — а3, г —0, z = h. 28
8.119. J zdxdydz, где область T ограничена поверх- т иостями x24-r/! = z2, г —а. УЗ I 3-х2 V 4-х‘-у^ 8.120. J dx dy J dz. 0 0 (Х* + Ка)/3 a/V 2 V а3—у* (хя—у*)/а 8.121. J dy J dx J У x2y2 dz. о у о a Va’-x’ h 8.122. J dx J dy J x2y2 dz. • ~1^~г — W+y’) 2 I 4-x2 2 8.123. J dx 5 ty $ (x2-}-y2)dz. -2 -1“2 U* + »*)/2 Вычислить интегралы, перейдя к сферическим коор- динатам: 8.124. j/x2у24-г*dxdydz, где область Т—внут- т реипость шарового сектора с центром в начале коорди- нат, радиусом а и углом при вершине 2а (0 < а < л), если ось симметрии сектора принять за ось Ог. 8.125. J xyz2 dxdy dz, где область Т ограничена ча- т стью сферы х2 -y2-f-z2—l и координатными плоскостями (х > 0, у > 0, z > 0). 8.126. , где область Т—сферический слой между поверхностями x2-j-y2-t- г2 = а2, х2 + у2 + +-z2==4«2. /я* ; 2 ~Х VH'-x^-y* 8.127. dx J dy J dz. 0 0 Vjt’+J2 a Vo*—л*—у 8.128. Jdx J dy zdz. 0 0 0 R V Д=-х» Vfl‘-x‘-y‘ 8.129. J dx J dy J j/?dz. -Кл»-*» о 29
3. Приложения тройных интегралов. Объел V пространственной области Т равен V = J dxdydz. Масса М тела с переменной плотностью у (х, у, г), заиммакицего Область Т; ЛТ у (х, р, z) dx dy dz. Статические моменты тела относительно координатных плоско- стей: Myt = J ху (х, у, г) dx dy de, г Лгу (х, у, г) dx dy dz, J т Mxu 5 И *Y У' dx dy dZ‘ z = Координаты центра масс тела: — — ^гх — ^хи х=~м> у==—’ г=-лГ* Моменты инерции тела относительно осей координат: = $ $ $ (^+*2) Y (*. У г) dx dy dr, J т ’.-Шу (x, у, г) dx dy dz, r /г=Й S v y’ dx dy d*' r Пример 4. Найти координаты центра масс полушара x*+p*-|-z2 < R2, г 0, если плотность в каждой точке пропорцио- нальна расстоянию от точки до центра. Имеем у(х, у, z) = k}rx2 + yi-f-z2 и вследствие симметрии х=р=0. Вычисления проведем в сферических координатах: Л4Х(; —Л J J J г К х2+р2+г2 dxdydz J J r* sin 0 cos 0 dr dtp d0 = тJ r, 2л я/2 R —k § dtp sin 0 cos 0d0 J r* dr= * knR3, о о M=k У x2+p2-|-z2 dxdydz=k r3 cos 0 dr dtp dO — Jr 2л П/2 R Cl— M..„ 2 J x Л1 5 о о 0 Таким образом, С О, О 30
8.130. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x24-J/2, z —2(х2-|- уг), у — х, у2 — х. 8.131* . При каком значении а объем тела, ограничен- ного поверхностями х2-\-уг — аг, х*-^уг — ах, г — 0, равен данному числу V? 8.132* . Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью (хг-}~ у2-± z2)2 — 2axyz (« > 0). 8.133* . Найти объем тела, ограниченного замкнутой (Л2 U2 Z2 \2 X2 и2 ^г + 'р' + Т2) =^2+р‘- 8.134* . Найти объем тела, ограниченного сферой х2+у* + 22 = 4а2 и параболоидом x2-f-r/2 = 3az (внутри параболоида). 8.135* . Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью (х2 4-1/2 + z2)2 = a3z (а > 0). 8.136. Найти массу и среднюю плотность тела, огра- ниченного поверхностями х3 4- у2—г2 —а2, г = 0, z = а > 0, если плотность в каждой точке пропорциональна аппли- кате z и в плоскости г—а равна у0. 8.137. Найти массу и среднюю плотность кругового конуса с радиусом основания R и высотой И, если плос- кость в каждой точке пропорциональна квадрату расстоя- ния от точки до плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно плоскости основания, и в центре основания равна -у0. 8.138. Найти массу и среднюю плотность тела, огра- ниченного поверхностями х2—y2 = azt х2-\-у2 = а2, z = 0 (г > 0), если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате z, а наибольшее значение плотности уо- 8.139. Найти массу и среднюю плотность сферического слоя между поверхностямих2z/24-z’=a2 их2 |-t/s4-z2=4c2, если плотность в каждой точке пропорциональна квад- рату расстояния от точки до начала координат, а наи- большее значение плотности у0. 8.140. Найти массу и среднюю плотность сегмен- та параболоида вращения с радиусом основания R и высотой Н, если плотность в каждой точке пропорци- ональна корню квадратному из расстояния от точки до плоскости основания сегмента и в вершине сегмента равна у„. 8.141. Найти массу и среднюю плотность шара ра- диуса R, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до одного из диаметров шара и на окружности большого круга, лежащего в плоскости, пер- пендикулярной к этому диаметру, равна у0. 31
8.142. Найти координаты центра масс однородйого тела, ораниченного поверхностями г = ~(у*—х2), z = 0, у = а, у — 0 (а > 0, h > 0). 8.143. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями r/= ^х2, z = y (ft—у), г = 0 (а>0, b > 0, h > 0). 8.144. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями z = -^-(xs + y2), z — H 8.145. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями z~-^-Kx2 + fA г — Н (Н>0, R>0). 8.146. Найти координаты центра масс иолушара х2 + + у2 4- z2 R2, г 0, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до начала ко- ординат. 8.147. Найт момент инерции относительно оси Oz однородного тела плотности у, ограниченного поверхно- стями у = х2, z = 0, z = у (Ь—у) (а > 0, Ь> 0, ft > 0). 8.148. Найти момент нперцип однородного сегмента параболоида вращения плотности у с радиусом основа- ния R и высотой Н относительно его оси вращения. 8.149. Найти момент инерции шара радиуса R отно- сительно его диаметра, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до центра тара, а на поверхности шара равна у0. 8.150* *. Найти ньютонов потенциал U однородного тела плотности у, ограниченного эллипсоидом вращения 4- = 1, в его центре (Ь > а) 8.151* *. Найти силу притяжения, оказываемого одно- родным конусом плотности у, высоты Н и радиуса осно- вания R на материальную точку, расположенную в его вершине и содержащую единицу массы. 8.152. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела плотности у, ограниченного поверхно- стями z = -j- (уг—х2), z = 0, у—±а. 8.153. Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности у с радиусом основания R и высотой Н относительно его оси. 32
§ 8. Несобственные кратные интегралы 1. Интеграл по бесконечной области. Если функция f (х, у) не- прерывна в бесконечной области G, то, по определению, /(*. y)dxdy = lira f(x, y)dxdy, g D~"a D (1) где D—конечная область, целиком лежащая в области G, причем G означает, что область D расширяется произвольным образом точка области G D так, чтобы в иее вошла и осталась в ней любая (исчерпывающее расширение). Если существует ко- нечный предел (1), не зависящий от выбора под- области D и способа расширения D —> G, то не- собственный интеграл f (х, у) dx dy называется 6 сходящимся, в противном случае—расходящимся. Аналогично определяется тройной интеграл по бесконечной области. Если f (х, у)^=0, то для сходимости несоб- ственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел (1) существовал хотя бы для одного исчерпывающего расширения области 6. Пример 1. Вычислять несобственный интсч рал УК У=^ ndxdy х*+у*’ Рис. 91 b О 1 а х где G—область, определяемая неравенствами хЭа 1, у >?. Подобласть Р(рнс. 91) зададим неравенствами Кх<о, х2<р<й, где a -^*-f-oo. b—►-I-'»- Тогда: а = a“m+J'(iarCtg^|x*)dA== b -* + 00 I Вычислить несобственные интегралы: 8.154. W G—область, определяемая нера- венствами к 1, ху 5? 1. 2 Под ред. Л В, Ефимова, Б П. Демидовича 33
8.155. J J » где —область, определяемая нё- G равенством x2 4- у2 1 (внешность круга). 8.156. (х2+у2^-г2)2' где ^—область, определяемая т неравенством х2+уг + г2^ 1 (внешность шара). + оо + ос +оо 8.157. J dx dy J e-vc+y+z> (jz 000 Исследовать сходимость несобственных интегралов. 8 158. sin (х24-у2) dxdy, где G— область, определяе- G мая неравенствами х^О, у^О. 8.159. —где G—область, определяемая неравенством x24-i/2>1 (внешность круга). 2 Интеграл от разрывной функции. Пусть функция f (х, у) не- прерывна в ограниченной замкнутой области G всюду, за исключени- ем точки Р0(х0, Уо) (илп линии £). Если существует конечный предел lira \ ( I (х, у} dx dy, е -+ О J J се где Ge — область, получаемая из G путем удаления произвольной окрестности точки Рв с диаметром, меньшим в (соответственно про- извольной окрестности линии L с «шириной», меньшей к) то этот предел называется несобственным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается через ^f(x, y)dxdy, т. е, G $$/(*• У) dx dy= lira, J p (x, y) dx dy. G ce Интеграл (2) в этом случае называется сходящимся. Если же lim f (х, у) dx dy не существует или равен от, то ! / (х, у) dx dy называется расходящимся. Аналогично определяется тройной интеграл от разрывной функции. Пример 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла П 7 • « > °> гдс б —круг x24V< 1- J J (x2+i/2) G Начало координат является точкой разрыва функции 1/(х2|-[/2)а Удалим из G е-окрестность начала координат (подынтегральная функ- ция положительна). Тогда область GE есть кольцо между окружиостя- 34 (2)
ми радиусов ей Г. Перейдем к полярным координатам (Г—полярный образ области G): С С dxdy С Г г dr dtp У “У г2а При а 1 имеем: г dr dtp —= Ilm г™ е-> -О rI-2“drd<p = lim е-^+о 2л I J dtp J rl~3cldr — 0 e rs(i-a> и l_es<l~“> 2л lim hv;-r- ='n lim —:—-— e-+o2(l— a) |e е-и + 0 1— a ( я > . r=^np,,a<‘- ^4-oo при a > 1. При a = l имеем: г 2л I lim C dip f —=2л lim Inr e -»• + 0 J J г e -* + 0 0 e Итак, при a< I интеграл сходится и равен л/(1—a). ► Вычислить несобственные интегралы 8.160. уу d^d— » где ®—квадрат 0х<1 1, с Г У 8.161. где G —круг лл-Н/2С1- G К 1—X3 — у2 * 8.162. С С In *____dxdff, где G—круг х2 + ^2С 1- о г **+у2 Исследовать сходимость несобственных интегралов: 8.163*. уу (1ХаУ)а * ГДе треугольник О У С х- 8.164. ГСС , где Г-шар х’+е/2+г’^1. (*Ч-г/а+г2) § 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Если функ- ция f(x, у) определена и непрерывна в прямоугольнике а^х^Ь, А^у^В, то интеграл ь F(y) = ^f(x, y)dx (I) а называется интегралом, зависящим от параметра, и является непре- рывной в промежутке [A, SJ функцией. 35
Ф(0 F (//)= J f(x, y) dx (2) <J>(0 также называется ннтегра.ом, зависящим от параметра, и является непрерывной функцией аргумента у в промежутке [Л, В], если [ (х, у) непрерывна в прямоугольнике a^x^b, A^zy^rB <р (у) и ф (у) непрерывны при у£[4, BJ и их значения содержатся в промежутке [а, *1. Пример 1 Вычислить предел /То J 1+^+г/3* -(1+0 Рассмотрим следующий интеграл, зависящий от параметра у; '+» Гак как пределы интегрирования, а также подынтегральная функ- ция непрерывны при любых значениях своих аргументов, то F (у) — непрерывная функция Поэтому 1+V 1 =arotgx|*_j=i. »- Гели I (х, у) и fi,(x, у) непрерывны в прямоугольнике йСх<6, А<у^В, то для интеграла (I) справедлива формула дифференци- рования под опаком интеграла (формула Лейбница) ь ь F' (y}^Ty^fdx = У dx- Р) а а Если в (2) при тех же условиях на f и Д, пределы интегрирования 4>(у) и ф(у) дифференцируемы при у£(А, В), то верна формула. Ж > = J /(*• S') = ’K0 = /(Ф(р). у) Ф' (У) — f((p(y), у)ф'(у)+ f'y(x, y)dx. (4) ч>(0 Пример 2. Найти F’ (у), если c°s у 1 F(y)^ J ^V1~x‘d sin у 3&
Так как подынтегральная функция е1' 1~х* непрерывна в области определения вместе со своей частной производной по у, равной У 1—1 а пределы интегрирования являются также диффе- ренцируемые функциями, то можно воспользоваться формулой (4): F'fo) = _______________ _______________ COS J__________________________________________ =—e‘'v‘-C0S‘«siny—e5'V1-’,n’tfcosi/+ V ' sin у cosy ____ =._(eyl’>n»lsinj/ + e!'lcos»lcos//)+ уТ^еР1 '-X'dx. sin у Если f(x, у) непрерывна в прямоугольнике a<xsS^. то для интеграла (I) справедлива формула интегрирования по пара- метру у под знаком интеграла: в в ъ ь в F (y)dy=^ dy f (х, y)dx=^ dx f (х, у) ду.' (5) А А а а А Пример 3. Вычислить интеграл к 1 уЬ уО , dx (Ь > а > 0). In к о Заметим, что In X Тогда искомый интеграл принимает । Г хь — ха . 1 , i . -------dx= \ dx \ x’Jdtj. Inx----J J 0 О a Подынтегральная функция f(x, y) — x‘J непрерывна в прямоугольник 0<х<1, es£p<&, поэтому можно воспользоваться формулой (5) 1 ь bl ь dx xvdy—^ dy О a a 0 а b xu dy. а вид 1 Ъ {x'Jdx= С—l-dj/=ln М77 • ► J J </+• о + 1 Вычислить следующие пределы: 2 1 8.165. lim х3 cos xydx. 8.166. lira J jZxi + yidx. u-yQ [ y-M g X„ 8.167. lim-г f (f (x-f-h)—f (x))dx, если f (x) непрерывна на отрезке [п, Ь] (a < 0 < х0 < Ь) и f (0) =s 0. 37
Продифференцировать функции: 0 г'+* . 8.168. F (у) = j dx. 8.169. F (у) = j dx. О и-1 Х . у* у 8.170. F (у) — е~^х'dx. 8.171. F(y)=^(x—y)smxydx. У о 8.172. Найти F"y, если ху F(x, У) = $ (х— xly где /(/)—дифференцируемая функция. 8.173. Пусть f (х)—дважды дифференцируемая и F(x) — дифференцируемая функции. Доказать, что функция x + at “(х, t)^(f(x-at) + f(x + at)) + ± J F(y)dy x—at удовлетворяет уравнению колебания струны д2и . д2и dt2 и дх2’ 8.174* . Найти производные от полных эллиптических интегралов л/2 Е (ft) = J И1 — A2 sin2 ф dtp, о Я/2 (0 < k < 1) F (k\ = С -; — k2 sin2 <p и выразить их через функции Е (k) и F (k). Применяя интегрирование под знаком интеграла, вы- числить интегралы: 8.175. ( sin (In — ~ (х2—l)dr. J \ х} 1пл' ’ о I 8.176. Jcos(lnl)^(x-l)dx. о 8.177. Доказать формулы: Л a) jF(x)xdx==£(ft)—(1—й2)Г(Л), о k б) j Е (х) х dx = у ((1 + А2) Е (k)—(1 — k2) F (ft)), о 38
где Е (k) и F (k)—полные эллиптические интегралы (см. задачу 8.174). 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобст- венный интеграл, зависящий от параметра у, т. е. + <ю Г(У)= $ f(x< y)dx> а (С) где функция f (х, у) непрерывна в области а^х < -|-оо, yi^y^yz, называется равномерно сходящимся в промежутке lyt, yt], если дли любого е > 0 существует такое В = В(е), что при всяком 6 2г В (в) + со 5 f(x,y)dx ь <8 при любом Если интеграл (6) сходится равномерно в промежутке [ t г/®], то он представляет собой непрерывную функцию у в этом проме- жутке. Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра. При исследовании равномерной сходимости интегралов, завися- щих от параметра, часто используется следующее утверждение: Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости интеграла (6) достаточно, чтобы существовала такая функция F (х), не зависящая от параметра у, что: а) | f (х, у) | < F (х). если а С х < + оо, + Об б) J F (х) dx < оо. а Функция F (х) называется мажорантой для /(х, у). Пример 4. Доказать равномерную сходимость следующего интеграла: + 30 — № Z 2_L Mdx> —00 < у <4-00. (х24-у2)* I Заметим, что (* уг—х* . _ х J (х«4-{/2)2 x'4V Пусть е >0—произвольное число. Полагая В(е)=—, находим (для любого Ь > В): Т у*-х» л „ С у2—х* j Пт \-rV-:—«х = А-+» J (Х*+У2)2 ь ,, л ь I i*Xd«+y* X2 ь 1 - 1 _» t>24V ь < в е’ 39
что и доказывает, согласно определению, равномерную сходимость указанного интеграла по параметру у па всей оси. ► Пример 5. Установить равномерную сходимость интеграла + «? е~хуcosхdx, 0 < i/0 4/<-)-оо. о Покажем, что функцию F (x)—e~xyt можно взять в качестве мажо- ранты. Действительно, если у > ув, то | е~ху cosx | ^е~ху ^е~ху°. Кроме того, + С0 Г e~xy,dx=------— е~ХУа 1+ =—. J Уе 1о Уо о Следовательно, па основании критерия Вейерштрасса указанный ин- теграл равномерно сходится. ► Для несобственных интегралов с бесконечным пределом, завися- щих от параметра, при выполнении следующих условий: а) функция I (х, у) непрерывна вместе со своей производной fu(x, У} в области ц «С х<оо, j/i*Cy*Cys, + СО 0) I у) dx сходится при любом р£[рь ра], а + « в) 1у(х у) dx сходится равномерно в промежутке [pf, s справедлива формула дифференцирования по параметру (формула Лейбница): * + « + « •4- Г 1(х, y)dx = ( l'b(x y)dx, (7) к) V4 а а аналогичная соотношению (3). При выполнении соответствующих условий формула Лейбница остается верной и для интеграла от разрывной функции, зависящего от параметра. Пример 6. Вычислить интеграл + « С е~ал—е~рх \ ------------cos тх dx (а ав > О, р 5г р0 > 0, т £ Z). о Пусть +р” е~ах~ е~Рг I ------------cos mxdx = F (а, Р). о + со Заметим, что интеграл е~ахcos mxdx равномерно сходится при о 40
а2за#_и равен (проверьте!). Исходный интеграл сходится при любых аЭ»а0 и Рэ»Р0, а подынтегральная функция непрерывна вместе со своей частной производной по а, равной —e-ajfcosmx. Следовательно, условия а), б), в) выполнены, и можно воспользо- ваться соотношением (7). Тогда dF (а, Р) да Г . а \ егах cos тх ах -------- J «2-|-л12 о Отсюда F (a, ₽) = _lln(a»+m8)+C(P). Для нахождения С (£) полагаем в последнем равенстве а=р. Имеем 0=—In (P2-j-m2)4-C (Р). Отсюда с (W—J !"<!>•+”•> и 1 1 В®4-т® F (a, P) = 4(1n(P»+m«)-ln (а»+т®))=^1п . * 8.178. На языке «е-&> сформулировать утверждение: + со интеграл F(y) — § f(x, y)dx сходится неравномерно на огрезке [у,. #,], Исследовать на равномерную сходимость в указанных .промежутках следующие интегралы: 8.179. J ^-«“cosxdx о С J хаЧ-1 о ОО С Ь“* л 8.182. j (—оо < а dx J (х— а)2-|-1 о 2 С_____xadx______ J j/(x-l)(x-2)® 41
8.185. J sin 1$ (0 < a < 2). о 8.186. (0<a<l) J Hx-a| о 8.187. Доказать, что функция U (x> У) = V M & — ® удовлетворяет уравнению Лапласа дги . дги_~ —и- Применяя дифференцирование по параметру, вычис- лить следующие интегралы: + ® р р— ах*_ 8.188. \ ----f-— dx (a > 0, р > 0). о 4 со 8.189. j ——~е Р* sin mxdx (a > 0, Р > 0, /и 0). о + со 8.190. j е-«* dx (a >0). + CD P 1___e~ax 8.191. J-L-JL-dx (a> —I) 0 + 00 8.192* . у e-7*1 cos 6x (y > 0). о 8.193. C —dx (—oo<a<4 oo). J x К1 - ' 1 о 8.194. dx (|a|<l). о 8-195-f-V^?-dx (a|<1)- о 42
Глава 9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения 1-го порядка 1. Основные понятия. Функциональное уравнение F(x, у, /) = 0 (1) или y' = f(x, у), (2) связывающее между собой независимую переменную, искомую функ- цию у (х) и её производную у' (х), называется дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решением (частным решением) уравнения (1) или (2) на интер- вале (а, Ь) называется люб; я функция у — <р(х), которая, будучи подставлена в’это уравнение вместе со своей производной ср' (х), обращает его в тождество относительно х £ (с, Ь). Уравнение Ф (х, с/)=0, определяющее это решение как неявную функцию, называется ин- тегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с фиксироват иой декартовой прямоугольной системой координат уравнение Ф (х, у) = 0 определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального урав- нения. Функция с/ = ср(х, С) называется общим решением уравнения (1) или (2), если при любом допустимом значении сараметра С она яв- ляется частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде i/=<p(x, Си) при некотором значении Со параметра С. Уравнение Ф (х, у, С) = 0, опре- деляющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения. п „ . п i . Sin X Пример I. Проверить подстановкой, что функция —-— есть решение дифференциального уравнения ху’-)~ у = cos х. - .. sinx , cosx sinx , Имеем у ---------, у —----------х*-" ^множив У и У соответст- венно на 1 н х и сложив полученные выражения, получим xc/'+^^cosx. ► Пример 2 Показать, что функция i/=Cx3, C£R, является решением дифференциального уравнения ху'—Зу=0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию «/(!)== 1. (Найти интегральную кривую, проходящую через точку Л10 (1, 1).) ◄ Найдя у'— ЗСх2 и подставив выражения у и у' в дифференци- альное уравнение, при любом значении С получим тождество ЗСх3—ЗСх^^О. Это означает, что функция у = Сз? является реше- нием дифференциального уравнения. Положив х=1, у=1, найдем значение ^параметра С=1, и, таким образом, получим искомое част,- 43
ное решение у х*. Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку Мо (1, 1), является кубическая парабола г/=х3. ► Пусть задано уравнение Ф(х, у, С)=0, определяющее^ па плоскости некоторое семейство кривых, зависящих от значений параметра С. Если составить систему двух уравнений Ф(х, у, С) = 0, Ф'х(х, у, С) = 0, то, исключая из этой системы параметр С, получим, вообще говоря, дифференциальное у равнение заданного семейства кривых. Пример 3. Найти дифференциальное уравнение семейства окружностей х2-}-//2 — 2ах Имеем систему* уравнений хг+рг = 2ах, 2х-^-2уу' —2а. Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим а — х-[-уу' и, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем х2-}-«/2= = 2x(x4~w'), т. с. у*—х2 = 2хуу'. Это и есть искомое дифференци- альное уравнение. ► Показать, что при любом действительном значении па- раметра С заданные выражения определяют решения со- ответствующих дифференциальных уравнений: 9.1. у — х(С—ln|x|), (x—y)dx + xdy = 0. z X X 9.2. у = х С , ху'—у — хех. 'о ' 9.3. 2х-| у— I = Ce-v~x, l)tfx—(4х-|-2у—3)dy = O. В заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию. 9.4. y(ln|x2—1 | + С)= I, у(0)=1. 9.5. у(1— Сх) = 1, у(1) = 0,5. 9.6. у = 2 + С cos х, y(fi) ——1. 9.7. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки экстремума интегральных кривых дифференциаль- ного уравнения y' = f(x, у). Как отличить точки макси- мума от точек минимума? 9.8. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения у' — [(х, у) и, в частности, дифференциальных уравнений: а) У' = У+х*; б) у'= еу—х. 44
Составить дифференциальные уравнения семейств кривых: 9.9. Парабол y = xi~\-2ax. 9.10. Гипербол у — а!х. 9.11. Цепных линий у = а<А\х. 9.12. Гипербол х2—«/2 = 2ох. 9.13. Составить дифференциальное уравнение семей- ства кривых, у которых отрезок любой нормали, заклю- ченный между осями координат, делится пополам в точке касания. 9.14. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, у которых отрезок любой касательной, заклю- ченный между осями координат, делится точкой касания М(х, у) в отношении | AM |:|Л1В| = 2:1, где А точка пересечения каса1ельной с осью Оу, В—с осью Ох. 9.15. Составить дифференциальное уравнение семей- ства кривых, у которых площадь, заключи пая между осями координат, этой кривой и переменной ординатой, пропорциональна четвертой степени этой ординаты. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод иаоклин). Дифференциальное уравнение y' = f(x, у) и плоскости с фик- сированной декартовой нрямоуюлыюй системой координат Оху оп- ределяет поле- направлений равен- ством tga = /(x, у). Изоклиной уравнения (ноля направлений) )га ывается всякая кривая, определяемая уравнением f(x, y) = k при фиксированном k. Для приближенного (графичес- кого) решения уравнения у' =f (х, 1.) построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. Пусть Мв (хе ^ — некоторая начальная ~ и -с ' . п * точка. Изоклина Lo, проходящая i через эту точку, соответствует значению *, равному *0 = f (хо. (/о)- рИс с.о Проведем отрезок Л40Л12 с угловым коэффициентом kB до пересечения в точке Mi с ближайшей изоклиной (тем самым мы заменим дугу интегральной кривой отрезком ее касательной). Далее, из точки Mi (хг, yi) проведем новый отрезок ЛЬ И2 с угловым коэффициентом ki — f(Xi, у^ до пересечения в точке Л12 со следующей изоклиной Lt И т. д. В результате такого построения мы получим ломаную, являющуюся приближенным изображением интегральной кривой, проходящей через начальную точку Л40. Чем гуще взята сеть изоклин, тем более точно можно получить интегральную кривую. Изменяя положение начальной точки 7И0, аналогично можно построить приближенно и другие интегральные кривые. 45
Пример 4 Методом изоклин построить интегральную кривую уравнения у'=2х, проходящую через начало координат. Изоклины данного уравнения—параллельные прямые 2x~k. Пола- гая Л = 0, ±1, ±2, ±3,...; получаем изоклины х=0, х=±1/2, х=±1, х=±3/2 и т. д. Построим их (рис. 92). Отправляясь из начала координат влево и вправо, строим лома- ную ...Л1_3Л1_2Л'1_1Л10Л11Л12Л13..., звенья которой имеют угловые коэффициенты соответственно —2, —1, 0, 1, 2, ...Эта ломаная и есть приближенное изображение интегральной кривой. Рекомендуем читателю построить график соответствующего част- ного решения у=хг и сравнить его с построенной ломаной. ► Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых следующих дифференциальных уравнений: 9.16. у' = х+у. 9.17. у'—1-]-у. 9.18. y=—ylx. 9.19. у' = у—х*. 9.20. = 9.21. = Х+У № *4 Зу 3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в урав- нении У'=КХ, у) функция f(x, у) может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной f(x, у) = f± (х) [3 (у), или в уравнении М (х, у) dx-j-Л’ (х, у) dy=0, коэффициенты при dx и dy представляются в виде М (х, y)=Mt (х) Л1а(у), N (х. y) — ^'i (•*) Л'з (у). Путем деления соответственно на /а(у) и па Afj (х) Л12 (у) эти уравнения приводятся соответственно к виду t . .. 1 , Mi (х) . fAfa(y) Интегрируя левые части этих уравнений по к, а правые по у, при,1 ходим в каждом из них к общему интегралу исходного дифференци- ального уравнения. Пример 5. Решить уравнение dy_ 2х dx~ Зу‘4-1 ' Разделяем переменные: (Зу* -|-1) dy = 2х dx. Интегрируем: J(3y*-{-l)dy= J 2xdx+C, или у’+у—xs=C (общий интеграл уравнения). ► Если в уравнении с разделяющимися переменными у' =[t (х) f2 ) функция ft (у) имеет действительный корень ув, т.е. если /а(у0) —0, то функция у(х)=у0 является решением уравнения (в чем легко 46
убедиться непосредственной подстановкой). Прн делении обеих час- тей. этого уравнения на /2 (у) (при разделении переменных) решение у. (х)=у0. может быть потеряно. Аналогично, при интегрировании уравнения (х) Af2 (у) dx+ + (х) W2 (у) dy = 0 могут быть потеряны интегральные кривые х(у) = х0 и у(х)=у0, где Хо—действительный корень уравнения Л\(х) —О, у0—действительный корень уравнения A42(i/)=0. Поэтому, получив указанным выше методом разделения перемен- ных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при подходящих числовых значениях параметра С) упомяну- тые частные решения'. Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то их следует включить в состав интеграла. Пример 6. Решить уравнение l = *tgX- Разделяем переменные: — = tgxdx. У Интегрируем: In | у | = — In | cos хЦ-Ct, или In | «/cosx| —Ci- Для удобства потенцирования полученного равенства представим параметр Ci в логарифмической форме, положив Ci = ln |С2|, С2 # О (при этом Ci принимает все значения от —оо до -роо). Тогда In | у cos х | = In | Ся | .и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде z/cosx—С21 откуда у = Сг sec х. (3) Заметим теперь, что исходное дифференциальное уравнение имеет, очевидно, еще решение i/ = 0, которое' не входит в запись (3), так , как С2 Ф 0. Введем новый параметр С, принимающий, в отличие от С^, также и нулевое значение. Тогда решение у = 0 войдет в состав общего решения i/ = Csecx С помощью подстановки a(x) = ax-|-fci/(x)+d к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные урав- нения вида y‘ — f(ax+by+d), Ь^О. Решить дифференциальные уравнения: 9.22. у'—х!у. 9.23. улу'-\ №=1. 9.24. уу' + х — 0. 9.25. ху' — 2у. 9.26. (х-|- 1) у'-^ху — Ь. 9.27. I + у2. 9.28. у'=^. 9.29. ул = 9.30. (1 +1/=) xdx-Ь (1 +*2)Ж/ = 0. 47
9.31. xydx-)-]/'!—x2dy — 0. 9.32. ye2* dx—(1 4- e2*) dy — 0. 9.33. 2ex tg у dx 4- (I 4- e*) sec* у dy = 0. 9.34. (1 4- y) (e* dx—e2^ dy)—(1 4- y2) dy = 0. 9.35. (1 + x*) dy_+ у VrT+x2dx—xy dx = 0. 9.36. dy—21 ylnxdx—0. 9.37. / = cos(x + y). 9.38. </'=—1—. 9.39. i/' = (4x + !/+l)2. 9.40. y' = sin(y—x 1). 9.41. y'-\-2y = 3x4-5. 9.42. / = l/(4x-y+\)2. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 9 43. (14-1/*)4х—xydy='O; у(1) = 0. 9.44. (xy2-(-x)dy-l-(x2y—y)dx — 0; у(1)=1. 9.45. у' tg х = у, у (л,2) = 1 4 Однородные уравнения Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно привести к виду или к виду Л1 (х, у) dx-\-N (х, у) dy~O, где М (х, у) и N (х у)—однородные функции одного порядка, существует такое fe£ Z, что М (tx, 1у)=4*М (х, у)ч N (he, (у)=^*М тождественно относительно х, у и I 0. С помощью подстановки у/х—и (х) однородные уравнения (5) преобразуются в уравнения с разделяющимися, переменными. Пример 7. Решить уравнение (5) т. е. (*>У) (4) и у' = — 4-cos —. х 1 х _ _ у du Положим ~ = или У = их- Тогда у ==к4-*^. что после под- становки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными du х-г — oos и. dx Разделяем переменные: du dx cos и к и интегрируем: tg(y+7)=Cx- 48
Получаем общее решение: a = 2arctgCx—-^-+2лл, п g Z. Возвращаясь к функции у, находим: j/ = x^2arctgCx —у4-2лл ) , При делении на cos л были потеряны решения у = х -^--|-л£^, AgZ. Добавляя их к полученному семейству решений, находим общий интеграл в виде f/ = x^2arctgCx+y+n(2n —1) , 0=*(y+nfe) ; л, ► Дифференциальные уравнения вида и' =f( . \ °2*+A,a4/+ (6) По . в случае — приводятся к однородныч уравнениям с помощью ci t>i замены переменных х—u-j-m, y = v-f-n, где тип находятся из системы уравнений aim 4- bt п+ct = О, аат+6ап-|-са = 0. Поскольку здесь dx=du, dy—dv, то уравнение (С) преобразуется-к виду (4) относительно функции п(и): dv du __г f , f aiii-}-t>iV \ _ ~ ' \ atU-j-btU-f-aim-l-bin-l-Ct ] ~ \ OjU 4-frsn ) f at+b^ frtf— = Ф Если в уравнении (6) —-=—i = l и, следовательно, atx-[-b2y= Cj Of = то оно примет вил dy dx =«₽(<h*4-M- Подстановкой и(х)=д1х+&1у(х) это уравнение преобразуется к урав- нению с разделяющимися переменными. Решить дифференциальные уравнения: 9.46. ^ = 1 + ^-. 9.47. 4-sin А у АЛ 9.48. у' = (х—у)/(х + у). 49
9.49. (xa + xy) y' — xVx2—У2 + ху + у2. 9.50. (х—y)dx + xdy— 0. 9.51. уа dx 4- Xs dy — ху dy. 9.52. х(у' х) — у. 9.53. xdy у cos In dx — 0. 9.54. xy' = y + xtg^. 9.55. ху'—у = Ух2—у2. 9.56. (Xs + у2) dy—2ху dx — 0. 9.57. 3%V dy = (4 л6-—у6) dx. 9.58. (2х—у+1) dx + (2y—х— 1)ф = 0. 9.59. (y-\ 2)dx—(2х+у—4)dy = 0. 9.60. (* + «/+ I)dx+(2x + 2y— I)dy = 0. 9.61. (х+у-1)2^=2(1/ + 2)^х. 9.62. j,-_(g£=*! = «±f. MS. /lnS±i-t±i-ln2±i. Х~[~о л~]“О X ] О Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям: 9.64. ху'= у In у; у(1)=1. 9.65. (Иху — х) dy + у dx = 0; у (I) — 1 9.66. (у 4- К*2 4- у2) dx—xdy = 0; у (I) = 0. 5. Лийенныс уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го по- рядка называется линейным, если оно содержит у и у' в первой степени, т. е. имеет вид у'— Р (х) y-\-Q (х). (7) При Q(x) = 0 уравнение (7) принимает вид У' = Р (х)у и называется линейным однородным. Оно является уравнением с раз- деляющимися переменными, и его общее решение имеет вид _ Г ₽<«)*> у = Се^ , (8) где С—произвольная постоянная, а Р (х) dx—одна из первооб- разных функции Р (х). Интегрирование линейного неоднородного уравнения (7) можно провести одним из следующих методов. Б0
а) Метод вариации постоянной. Будем искать реше- ние уравнения (7) в виде f P(x)dx у = C(x)eJ , (9) который получается из (8), если заменить постоянную С на функ- цию С (х). Подставляя выражение (9) в уравнение (7), получим для неизвестной функции С (х) уравнение с разделяющимися переменными: -f P(x)dx C'(x) = Q(x)e > Его общее решение: ч г - Г р (х) dx C(x) = \Q(x)e J dx+C, _ Г _ _ Г Р (*) dx где С—произвольная постоянная, а \ Q (х) е J dx—одна из первообразных. Подставляя полученное выражение для С(х) в фор- мулу (9), находим общее решение уравнения (7): Г Р (х> dx ( р - | Р (х) dx X У=е’ ^C-|-jQ(x)e J dx]. (10) I б) Метод подстановки. Положим у (х)=и (х) и (х). Тогда уравнение (7) приводится к виду pWw) + (^«-<2w)=°- • (И) Выберем функцию и (х) так, чтобы первая скобка в левой части уравнения (II) обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение с разделяющимися переменными' dn п . , л ----------------Р х) U =0 у dx и выбираем какое-либо частное его решение п=ы1(х). Подставляя функцию Ut(x) вместо и в левую часть уравнения (II), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v (х); (x)-Q(x)=0. Находим общее решение этого уравнения v = v(x, С). Перемножая найденные функции «1 (х) и v(x, С), получаем общее решение урав- нения (7): • ’y = Ui(x)v(x, С). Пример 8. Решить уравнение у' =pctg x-}-sln х Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала соот- ветствующее однородное линейное уравнение У' = У dg х. Его общее решение y=Cslnx. Следовательно, общее решение исход- ного уравнения ищем в виде p = C(x)sinx. Подставляем у и У' =С' (х) sin х-}-С (х) cos х в данное уравнение: С' (х) sin х-|-С (х) cos x = ctg х-С(х) sin x-|-sin х, 51
откуда С {х)~ 1, н тогда С(х) — х |-С. Следовательно, общее реше- ние уравнения есть у = (x-j-QsInx. Пример 9. Решить уравнение у' — < Перепишем уравнение в виде dx_2x .__3 dy~ У У2 • dx ™ и заметим, что оно линеиио относительно х и —. Решим его мето- dy дом подстановки. Положим х — uv н приведем уравнение к виду (du 2и\ . (dv 3 \ \dy у J 1 \dy уг J 4 Найдем функцию aj (у), решая уравнение du 2и . dy у и выбирая из его общего решения и=у24-С одно частное решение, например, Ui(y)=y2- Подставляя (у) в уравнение (12), получим: dv - 3 О, или dv _ 3 dy~ у*' Общее решение этого уравнения: v(y, С) = С— Перемножая (у) u v (у, С), получаем общее решение данного урав- нения: х = Су2—? . ► У Решить ди44еренциальные уравнения: 9.67. у' 4- 2ху = хе~х‘. 9.68. У=% + х. 9.69.;/ + //tgx=-^-. 9.70. (1+х2)/ = 2x1/4-(1| х®)а- 9.71. у' + 2у = ёлх. 9.72. у' 4-^ = 2 1пх4-1. 9-73' /=7^+еХ('’с+1)2- 9.74*. / = 4^ 9.75. (1 -bj/2)d.v = (arctg«/—x)dy. 9.76. ху — у 4- х2cos х. 9.77. ху' ху. 9.78. ху' + х2 4- ху = у. 9.79. j/4-/ln2j/ = (x4-2ln«/)/. 9.80. у—у’ = уг+ху'. 52
9.81. (х+2у3) У=У- 9.82* . / + tgy= —. У 1 to V cos у Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 9.83. у' + у tg х — 1/cos х; ’ у (0) = 0. 9.84. у’ — 2у + ёх—х; у (0)= 1/4. 9.85. у’ = у!(2уInу + у—х); у(1) = 1. 6. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется диф- ференциальное уравнение 1-го порядка вила у' -^Р (x)yd-Q (х)_ут, (13) где т 5= 0, т # 1 (при т — 0 уравнение (13) является линейным, а при т=1 — уравнением с разделяющимися переменными). Так же, как и линейное, уравнение Бернулли можно проинте- грировать с помощью подстановки y — uv или свести к линейному уравнению с помощью подстановки z — yl~m. Следует учесть, что при т > 1 может быть потеряно решение у—0. Пример 10. Решить уравнение Полагая y=uv, приводим уравнение к виду (du и \ . (dv xa \ dx к f \dx uv ) Из общего решения и = Сх уравнения dx х выбираем одно частное решение, например, (11) «1 = х. Подставляя ы, в уравнение (14), получаем повое уравнение д^х——-.—0, или . Его общее решение о— С. Перемножая и v, получаем общее решение исходного уравне- ния у -X V !х+ С ► Пример 11. Р шить уравнение ,_у______________________________£ У ' 2х 2у' Это уравнение Бернулли с т = —1. Поэтому полагаем z—ya и приводим уравнение к виду Это уравнение является линейным. Решая однородное уравнение г'= г]х, находим z=Cx. Отсюда методом вариации постоянной, т. е. полагая г—хС (х), получаем общее решение линейного уравнения 53
в виде или, окончательно. г^=х 1п —, х 2 1 С у2 —Л In—. ► X Решить дифференциальные уравнения! 9.86. у + 4ху=2хе~х' Vу • 9.87. dy={yte^—y)dx. 9.88. у' = у (y3cosx+tgx). 9.89. / = yctgx + ^. 9.90*. у =x»cos у+^- У.У1. У — 2f,(X2-l) • 9.92. ху' + у = 2х2у In у-у. 9.93. y'x3siny + 2y = xy'. Найти частные решения уравнении, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 9.94. 3d у = — (1 + 3z/3) у sin х dx\ у (л/2) = I. 9.95. —у x3y^dy = 0\ y(I/2)=l. 7. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида Р (х, y)dx-\-Q (х, y)dy — O (15) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U (х, у), т. е. Р {х, у) =д-^-, Q (х, у) =^-. V ’ Qx ’ t к SI Qy Для того чтобы уравнение (15) было уравнением в полных диф- ференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие д/-г- ™ ду дх Если уравнение (15) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде dU (х, у)~0. Общий интеграл этого уравнения: U (х, у)=С, Где С—произвольная постоянная. Функция U (х, у) может быть найдена следующим образом. Инте- грнруя равенство Р(х, у) по х при фиксированном у н заме- 54
чая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от у, имеем и (х, У) = J P(*t y)dx+v(y). (17) Затем из равенства j Р (*. У) dx-\-tf' (у) = Q (х, у) находим функцию <р (у) подставив которую в (17), получим функ- цию U (х, у). Очевидно, что искомая функция U (х, у) определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего инте- грала исходного уравнения достаточно выбрать одну нз функций получаемого семейства. Другой метод отыскания функции U (х, у) состоит в вычислении криволинейного интеграла 2-го рода (см. гл. 10, § 2, 4): (х, у) U (х,у)~ J Р (х, у) dx-|-Q (х, у) dy = (х»> у,1 х У У X = J P(x,yB)dx+^ Q(x,y)dy=^ Q(xo,y)dy+ J P(x,y)dx, Уф Уй Xi) где точки Л10 (х0, yj и М (х, у) и путь интегрирования лежат в об ласти непрерывности функций Р (х, у) и Q (х, у) и их частных про- изводных, причем Мо (Хо, г/е)—некоторая фиксированная точка. Пример 12. Решить уравнение у dx-f- (ys-|- In х) dy=0, предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных диф- ференциалах. Проверим условие (16): dy dy \ x / x ’ дх 5? x ' Условие (16) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию U (х, у). Первый способ. Интегрируя по х при постоянном у равенство получим U (х, ^)=-Jydx+<p(y)=j/lnx+<p(y). (18) Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем 1пх, а не 1п | к |, так как исходное уравнение содержит 1пх и, следова- тельно, имеет смывл лишь при х > 0. Подставляя (18) в равенство -^—<1 (х, 4*)=1?+1пх, 65
имеем lnx+ф' (j/)=£s+lnx, откуда ф (У) — -у Положив, например, Ct— 0, находим из (18) и (19) и (*. у) yin*+4^4- Следовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид У In *4- 4 у*-С. Второй способ. (X. I/) U (х, у} = ~х dx+(y3-\-lnx)dy. (*.. v.) Полежим, например, х0=1, yt — 0 Тогда Р (х, уо) = О и у U (х, y)={(y',+hjx)dy у*+у In х. ► Решить дифференциальные уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифферен пиалах: 9.96. (2х+у) dx + (хЧ- 2у) dy = 0. 9.97. (Юху—8у4- 1)с/х4-(5х4—8x4-3) е(у = О. 9.98. (Зх14- бху—2у2) dx 4- (3xs—4ху — Зу2) ау = 0. 9.99. (у 4-^)d-«4-^x —^)е/у = О. <,.100. 9.102. (2х—ye~x)dx e~*dij = 0. 9.103. (2х 4- dx 4- (1 —J ) dy = 0. 9.104. 2xcos8y dx4- (2у—x2s n2y) dy = O. 9.105. ^siny—ysinx4-y) dx+ • 4- x cos y+cos x— ^dy = Q. 8. Теорема существования и единственности решения. Особые решения. Задачей Коши для дифференциального уравнения у' = /(х,у) 56
называется задача об отыскании частного решеч ия этого уравиет ия, удовлетворяющего заданному начальному условию у (х0) = у„ Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении у' = f (х, у) функция I (хг у) непрерывна в некоторой области D плоскости Оху и имеет в этой области ограниченную частную производную fg (х, у), то для любой точки (х#, ув) £ D е некотором интервале х0—Л<х^ «gx0+h существует и притом единственное решение у (х) этого уравнения удовлетворяющее начальному условию у(х0)=ув Геометри чески это означает, что через каждую точку М области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения у' = 1(х, у). Точки области Е), в которых нарушается единственность решения задачи Коши, называются особыми точками дифференциального урав- нения. Решение (интегральная кривая) уравнения у'=[(х, у), в каж дой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши называется оюбым решением (особой интегральной кривой) этого уравнения. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких значениях С (включая н С — ± ос) Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых общим решением // = q>(x, Q или общим интегралом Ф (х, у, С) = 0 является особой интегральной кривой. Она находится путем исключения, если это возможно, параметра С из системы двух уравнений у п> (х С), Ф (х, у, С) О, илн _, 0 = <₽с(х, С) Фс (х у, С)=0. Найденную такч м путем функцию следует подставить в данное диф- ференциальное уравнение и убедиться что она является его решенном. Пример 13. Найти область, в которой уравнение у'=х 1— у3 имеет единственное решение. <4 Здесь f (х у) — х }fl — y2—функция, непрерывная при | у | < ; ху частная производная (х, у) =----- от рапичена при | х | <М V 1— и |р|^а < 1. Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение в любом прямоугольнике D — {(x, у) 11 х < М, |^|<о< < О ► Пример 14. Найти особые решения уравнения Зная его общее решение y = sln (х-}-С), |х-|-С <л/2. Составим систему уравнений j/ = sln (x+Q, 0=cos (x-J-C), ]x+C|<^. Исключая С, найдем две функции 1/=±1, которые, очевидно, явля- ются решениями данного уравнения н не получаются из общего ре- шения ни при каких значениях С. Следовательно, у=±1—особые решения. ► Найти области существования и единственности реше- ния для дифференциальных уравнений! 67
9.106. у' = х*—уа. 9.107. у' 9.108. y' = l + tgi/- 9.109. y' = x8 + Vx—у*. Найти особые решения следующих дифференциальных уравнений, зная общие решения (там, где это указано). 9.110. у’ 9.111. у' = 4хКу—1; У — + С)г4-1. 9.112. ху'а + 2ху'—у — 0; (у—С)2 — 4Сх. 9.113. у = у'а-ху'+~; у^^- + Сх + С\ 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Пусть дифференциальное уравнение F (х, у, у')=0 разрешимо либо относи тельно искомой функции, т. е. имеет вид y=f(x, у1). (20) либо относительно аргумента, т. е. записывается в виде х = /(У, /)• (21) Тогда оно интегрируется путем введения параметра p-tf. Уравне- ния (20) и (21) переходят в алгебраические уравнения, дифференци- руя которые соответственно по х или по у, получим системы урав- нений y—f (х, р), или x = f(y, р), V дх' др dx р ду' др dy ’ Из этих систем находится соответственно общее решение урав нения (20) или (21) в явном или параметрическом виде. Пример 15. Решить уравнение у=у’г-\-ху' —х. Введем параметр р=у*. Тогда У = Р’-Ч-*(д-1)- (22, Дифференцируя это равенство по х, получим „ dp dp р=2р -4-4-р—1+-Х-Т-, н х dx 1 1 dx ’ или dp _ 1 dx 2p-j-x ' Запишем последнее уравнение в форме dx , „ ^'+2Р- Это линейное уравнение, его общее решение: х — СеР —2 (р+1). (23) 58
Подставляя выражение (23) в формулу (22), получим у—СеР(р— 1) — р24-2. (24) Система соотношений (23) и (24) определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме: * =СеР—2(р+1), r/=Cer(p—1)—р2+2. ► Пример 16. Решить уравнение x=i/«+JL. у' Полагая р = у', имеем x = Ps+|. Дифференцируем это равенство по у: Р dy Р Р2 dy ’ или ^(2р-^-о> Jy \ рЧ Отсюда Pi~C и ра=^/Л^-у. Подставляя поочередно оба результата в выражение для х, найдем общее решение у=Сх—С3 и решение ' которое, как легко убедиться, является особым Решить дифференциальные уравнения: 9 114. y — y'* + ty 9.115. у = у‘\/г 1+у'2. 9.116. у = (/ — \)еУ. 9.117. у = ^+2ху'+хг. 9.118. х = у'3—у' + 2. 9.119. x = /cos/. 9 120 х=2у' — 1пу'. 9.121. х = Л + 4>. У » у, Т у, 2 Частным случаем уравнений вида (20) является так называемое уравнение Лагранжа У=х/ (у')+<р(у'), ’ (25) которое при f (у’) у’ называют уравнением Калеро. Введением пара- метра р- у' уравнение (25) приводится к виду «/=*/(р)+ф(р) 59
в случае общего уравнения Лагранжа и к виду р=хр+ф(р) в случае уравнения Клеро. Уравнение Лагранжа имеет особые решения y—xf(po) Ф (Ро). где р0—любой из корней уравнения f (р) р. Уравнение Клеро имеет общее решение р = Сх+ф(С) (2G) и особое решение *= —ф'(р), р = —Ф'(р) р+ф(р). (27) являющееся огибающей семейства интегральных кривых (26). Таким образом, можно сформулировать следующее практи- ческое правило. Заменив в уравнений Клеро символ у' симво- лом С, мы сразу получаем общее решение (2б)._ Дифференцируя его по С и исключая С из системы двух уравнений (общего решения и результата дифференцирования), получаем особое решение (27). Пример 17. Решить уравнение Лагранжа у=ху'*+у'. Полагая' у' — р, найдем Р=хр2+р- Дифференцируя это равенство ио х, получим р = ра4-2хр ' ' dx 1 dx или dx 2р I ~г~=х------j f----г . rfp р—р‘ р—р* Это линейное уравнение имеет общее решение х= (1 J.pja (C+ln|P|—Р). подставляя которое в формулу для у получаем общее решение исход- ного уравнения в параметрической форме: С+1п|р|—р (С+1п| р|-р) р2 , Х~ (1-р)2 ’ У (1-р)2 Кроме того, уравнение имеет особые решения р=0 и P=x-f- 1, соответствующие корням Pt=0 и ра = 1 уравнения р2=р. ► Пример 18. Решить уравнение У=ху' —у1*. 4 Данное уравнение имеет вид (25) при f(y’) = yr, т. е. является уравнением Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее Исключая, далее, параметр С из системы уравнений у — Сх—С4, 0 = х—4С3, 60
получим особое решение 3 У 4*/Т х4/®. > Решить дифференциальные уравнения: 9.122. у = хЦ^-2. 9.123. у = 2ху'+±. 9 124. у = ху’^у'\ 9.125. у-^(ху‘+ у'\пу'). 9.126. у=ху'—у. 9 127. у = ху' + у' + угу'. 9.128. у = ху —& , 9.129. у = ху' 4- cos у'. 10 Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. Определить типы дифференциальных уравнений и ука- зать в общем виде методы их решения) 9.130. sinx3 = e у . 9.131. Ух1—и2 =—~. v у-Зх-\-ху 9.132. 1+х + (1+х2)(е»—e2V) = 0. 9.133. 2т/ (1—л2)—ху—2 хт/2 4-2х3т/2 = О 9.134. T/dx-p(2x— т/2)ф = О. 9.135. ^-—x+y^dx+ 2ху + у-------^)^У=0. 9-136. ydx+(x—2Уху)(]у = 0. 9 137. (x1 + y1-j-l)dy-j-xydx—O. 9.138. y' = sin(T/—х) 9.139. х = arc.cos ———. 9.140. Уу = ^СП * а х2 -р 2х— 1 Решить дифференциальные уравнения) 9.141. т/'.4-хт/ = хэ. 9.142. (х—у) dy—у dx = 0. 9.143. (xcos2z/4~ 1)dx—x'smiydy= 0. 9.144. y' = ytgx — t/2cosx. 9.145. y' — 1 ~ . 9 146. 2ydx-\-(y1—6x)dy = 0. 9.147. (xyexlu -j- y1) dx=хгех1У dy. 9.148 (xy1 -p x) dx -j- (y—x2y)dy — 0. 9.149. (2x3 —xy1) dx + (2y3—x*y) dy = 0. 9.150. xy' 4- у = у1 In x 9.151. 3*4-1/—24-t/'(*—1) = 0. 61
9.152. У'-~~^- 9.153. y'cosx—ysinx—sin2x. 9.154. (2% + lni/)dx + ^y4-sinj/)dy = 0. 9.155. y = xy' — In/. 9.156. y’ = xy^xty3 • 9.157. x—z/sin y jdx+xsin^-dy = O. 9.158. x/ = xae-"4-,2. 9.159. (2xev 4- y*) y' = y&. 9.160* . (1 |-/)dx = (/14-/cosi/—xy)dy. ’-'И- е.|в2. у+^=4Й-- 9I6S- y-/I+2^'+4- 9.164*. (x—2/) dx 4- 3/ (2x—/) dy = 0. 11. Геометрические н физические задачи, приводящие к реше- нию дифференциальных уравнений 1-го порядка В задачах геомет- рии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали пли площади криволинейной тра- пеции, используются геометрическое истолкование производной (угло- вой коэффициент касательной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а также следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали п. подкасатель- ной St и поднормали s„ (рис. 93): Рис. 93 вп = 1УУ' I- Пример 19. Найти уравнение кри- вой, проходящей через начало коорди- нат, если в каждой ее точке М (х, у) подкасательная st в k раз меньше поднормали sn. Пусть y=f(x)—уравнение искомой кривой. Используя выраже- ния подкасательной S/ и поднормали s„, мы сразу получаем диффе- ренциальное уравнение Интегрируя это уравнение и учитывая- начальное условие р(0)= ), получим искомые уравнения У=± Vk -х (две прямые) ► П о и м е р 20. Найти уравнение кривой проходящей через точку (1, 1), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной тра пеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, в два раза больше произведения координат точки М (х, у) кривой (х > 0, у > 0). Согласие условию задачи-имеем X J i/(/)rf/ = 2xj/(x). 1 Дифференцируя это равенство по х, получаем дифференциальное уравнение у=2(г/4-Х|/'), или Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(1) = 1, найдем уравнение искомой кривой. 9.165. _Нанти уравнение кривой, проходящей через точку (К2, 0), если сумма длин ее касательной и подкаса- тельной равна произведению координат точки касания. 9 166. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2), если ее подкасательная вдвое больше абс- циссы точки касания. 9 167. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1/2, —1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания. 9 168. Найти уравнения кривых, у которых длийа отрезка нормали постоянна и равна а. 9.169. Найти уравнения кривых, у которых поднор- маль имеет постоянную длину а. 9.170. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0, 2), если^ площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги. 9.171. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1/2), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отношению абсциссы х конце- вой точки к ординате. 9.172. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0, 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и расстояния от начала координат до точки касания ^ограничиться рассмотре- нием случая — > 0 J . 62 63
9.173. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания. 9.174. Найти уравнение кривой, проходящей через' начало координат, если для любого отрезка [а, л] пло- щадь криволинейной трапеции, ограниченной соответст- вующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты конце- вой точки дуги. 9.175. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами г — 2, <р = 0, если угол а между ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная величина: tga — а. 9.176. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой] ее касательной, равна длине этой касательной. 9.177. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3, 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее< касательной на оси ординат, равна поди рмали. 9.178. Найти уравнение кривой, проходящей через’ начало координат, если середина отрезка се норма-, ли от любой точки кривой до оси Ох лежит на параболе 2у2 = х. 9.179. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 0), если площадь трапеции, образованной ка- сательной, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2. 9.180. Найти уравнение кривой, проходящей через< точку (0, 1), если площадь треугольника, образуемого] осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки ка- сания, постоянна и равна 1. 9.181. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2), если произведение абсциссы точки касания] на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания. 9.182. Найти уравнение кривой, проходящей через] точку с полярными координатами r — п, <р=л2, если площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным полярным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса. Ортогональными траекто, иями для одпопараметрического семей- ства Sf линий у = Ф(х, а) называется другое семейство S2 линий,' которые пересекают линии первого семейства под прямым углом. Пример 21. Найти ортогональные траектории семейства куби- ческих парабол у — ах\ 64
Найдем дифференциальное уравнение данного семейства, исключая а из системы уравнений у— ах3, у’ = 3ах2. Получим у'=3у]х. Дифференциальное уравнение семейства ортого- нальных траекторий есть Его общий интеграл X2-L3j/2=CS является уравнением семейства ортогональных траекторий (эллипсов). ► Найти ортогональные траектории данных семейств кри- вых (а—параметр): 9.183. ay3 — x3. 9.184. у = ах2. 9.185. х2—2у3 = а3 9.186. у=а<*х При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в физических задачах часто применяется метод дифференциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. Такая замена не отражается на результатах, так как дело свалится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Другим мето- дом составления дифференциальных уравнений является использова- ние физического смысла производной как скорости протекания процесса. Пример 22. В резервуаре первонач шьно содержится А кг ве- щества, растворенного в В литрах воды. Затем каждую минуту в ре- зервуар поступает Л1 литров воды и вытекает Д' литров раствора (Л1 >_ Л'), причем однородность раствора достигается путем перемеши- вания. Найти массу вещества в резервуаре через Т минут после паче а процесса. Обозначим через х (/) массу вещества в резерву- ре через I. минут после начала процесса и через (х-фДх)—в момент времени (/-фД0. Заметим, что Дх < О при Д/ > 0 (т. е. раствор «обедняется»). Пусть V (/) —объем смеси в момент /: • Е(0 = В4-Лк—Д’/. Концентрация вещества в момент времени f равняется, очевидно, x/V. За бесконечно малый отрезок времени [1, <4-Д1] масса вещества изменяется на бесконечно малую величину Дх, для.которой справед- ливо приближенное равенство Дх « 'V Д/ Заменяя приращения Дх и Д/ дифференциальное уравнение: В + (Л1—N)t дифференциалами dx и dt, получаем Nx В + (Л1—Л')Г Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными и считая 3 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 65
М > N, найдем общее решение: (В+(Л1—Л) t)M~N Используя начальное условие х=А при / = 0, найдем частное ре- шение: Л’ / В - N в + (Л1—Л') t J Полагая t = T, получим ответ: N (В \.М - Л' В+(М — Х)Т) Случай M = N требует отдельного рассмотрения (см. задачу 9.195). ► 9.187. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (за- кон Ныотопа). Найти зависимость температуры Т от вре- мени I, если тело, нагретое до Тп градусов, внесено в по- мещение,. температура ко-юрого постоянна н равна а гра- дусам. 9.188. Через сколько времени температура тела, на- гретого до 100сС, понизится до 25 °C, если температура помещения равна 20 СС п за первые 10 мин тело охлади- лось до 60 СС? 9.189* . Замедляющее действие трения на диск, вра- щающийся в жидкости, пропорционально угловой скоро- сти вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об.'с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с? 9.190. Скорость распада радия пропорциональна на- личному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается.0,44 мг. Через сколько лет рас- падется половина имеющегося количества радия? 9.191* . Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой v — 0,61 2gh, где h—вы- сота уровня воды над отверстием, g—ускорение свобод- ного падения (принять g= 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 27? =1 м и высотой Н =1,5 м через отверстие в дпе диаметром 2г = 0,05 м? 9.192* . Количество света, поглощаемого при прохож- дении через тонкий слой воды, пропорционально количе- 66
ству падающего света и толщине слоя. Зная, что при про- хождении слоя воды толщиной 2 м поглощается 1/3 пер- воначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м. 9.193. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки? 9.194* . Пуля, двигаясь со скоростью о0 = 400 м/с, пробивает степу толщиной А = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая силу сопротивления степы про- порциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену. 9.195. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мпн, и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однород- ность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется 'в баке через час? 9.196. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе иепре- образоваппого вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1 % первоначальной массы исходного вещества? 9.197* . В помещении цеха вместимостью 10800 мя воз- дух содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы достав- ляют свежий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью 1500 м3 мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый мо- мент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов. 9.198. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, само- индукцией L и напряжением и удовлетворяет уравнению L~ + Ri = u. at Найти силу тока i в момент времени t, если u = £sinw/ и i = 0 при 1 = 0 (L, R, Е, и—постоянные). § 2. Дифференциальные уравнения высших порядков I. Основные понятия- Теорема Коши. Дифференциальное уравне- ние л-го порядка имеет вид ' F (х, у, у’, if.у<«) = 0 (1) 3* 67
или tf» = f(x,-y, у',..., М”"1’). (2) Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется задача отыскания решения у (х), удовлетворяющего заданным началь- ным условиям У (*о) ={/<). у' (х0) ^уо.j/"-1’ (х0) — «/J"-1’. (3) Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функ- ция у -- <р (х, Ci, ..., С„), которая при любых допустимых значениях параметров Cj......С„ является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (3) найдутся по- стоянные Ci, Сг, ..С„, определяемые из системы уравнений: 4/о = ф(хо, Cj, ,,,, Сп), ye--(f'(xc, Cj.....С„), ^"-‘) = <Р<«-1)(х)), Сг...С,,). Уравнение Ф(х, у, Cit .... С„) = 0, (4) определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения Теорема существования и единственности ре- шен н н задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (2) таково, что функция f(x, у, у', ..., в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные част- , df df df , , ные производные , .... , то для любой, точки (xq, yv, Уе.....У1п~”)^Е) существует такой интервал xQ—h < х< х0-|-Л, на котором существует и притом единственное решение этого урав- нения, удовлетворяющее начальным условиям (3). Пример 1. Показать, что функция у •С1ес,х, Сь Сг^К, яв- ляется решением дифференциального уравнения yif = y’i. Имеем у' = if =- Подставив выражения у, у' и у” в данное уравнение, получим тож- дество C^-CiCle^^^C^Y. Следовательно, функция нения. Пример 2. Найти решения уравнения У — С1ес‘х есть решение данного урав- область существования н единственности v X Функция f (х, у, у') и ее частная производная ^=У^У непрерывны при х # 0, у'г^О; частная производная———----— Ф 2хУу’ непрерывна при х 0, у' > 0. 68
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение при х # 0, «/' > 0. ► Найти область существования и единственности реше- ния уравнений: 9.199. у" = х Кх2—1/'. 9.200. у" = у'\пу'. Показать, чго данные выражения при любых действи- тельных значениях входящих в них параметров опреде- ляют решения соответствующих дифференциальных урав- нений: X 9.201. — J“7~^ + cosx-} CjX-i С2; ху" = sin х. о 9.202. ^ = х21пх4-С1Х2 + С2х-| С3; ху"'= 2. 9.203. 6*sin2(C(x-| Q^2C2; у=--е“. 9.204. Cif/ = sin(CiX f Q; yy" + 1 = y'*. Показать, что данные функции являются частными ре- шениями соответствующих дифференциальных уравнений: 9.205. у ~1 (** +1); 1 + У* = 2уу". 9.206. = tf + y'2^2yy". Путем исключения параметров вывести дифференциаль- ные уравнения семейств следующих линий: 9.207. Прямых на плоскости, не параллельных-оси Оу. 9.208. Окружностей постоянного радиуса R. 9.209. Синусоид у= Л sin (х-фа). где Л и а—пара- метры’. 9.210. Парабол с осью, параллельной оси Оу. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Ниже приво- дятся некоторые пилы дифференциальных уравнений ,и-го порядка, допускающих понижение порядка. а) Уравнение вида yl'1> = f(x). Общее решение получается путем л-кратиого интегрирования у = dx dx ... /(x) dx4-Pn-i(x), где Рп-! (х) = С1хи_14-С2х"~2-ф ... 4-С„_1х-|-Сп, нли по формуле I"-1 <« + ₽„_! (х). 1 С Пример 3. Найти общее решение уравнения //"= 2- п его I л \ частное решение, удовлетворяющее начальным условиям f/ ( v ) — = 2 ' У 4/-1’ ◄ Интегрируя первый раз, получаем г/= tg х-фСр Повторное инте- грирование дает у = —In | cos х |-фС1х4-С2- Это и есть общее реше- 69
ине. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение „ „л 1п 2 , для первой производноп х=~^ и соответственно у~— и у'-s=l, полу чим систему двух уравнений с неизвестными и С-2. Решив эту систему, р а идем значения параметров Сг0 и С2 = 0, соответствую- щие искомому частному решению, которое, следовательно, имеет вид у — — In | cos х |. б) У р а вн е н и я в и д a F (х, j/W) = 0, т. с. уравнения, нс содержащие явно искомой функции н се производных до порядка k—1 включительно. С помощью замены - р (л) порядок уравне- ния понижается на k единиц: F (х, р, р', .... р<м~*1) = 0. Прети сло- жим, что для полученного уравнения мы можем найти общее реше- ние р(х)—<р(х, Ci, С„_й). Тогда искомая функция у(х) полу- чается путем Л-кратного интегрирования функции <р(х, Сь ...,С„_Л). Пример 4. Найти частное решение уравнения х*у'" + 2хяу" — 1, удовлетворяющее начальным условиям у (1)=-^- , у' (!)=у, У" (!) = -!. Данное уравнение не содержит у и у'. Положим у"=р, тогда у'" 11 уравнение принимает вид xi<~-\-2x3p= или -р 2 1 • Это линейное уравнение первого порядка. Его общее ре- 1 с шепне р =— • Используя начальное условие i/"(l) = р(1)=—I, получаем Ст*=0. Следовательно, {/" = --!, откуда ^ ==21*+с«- Начальное условие у' (1) = 1/2 позволяет определить С2 = 0. Интегри- руя еще раз, получаем у = — 2х"Ь^'3’ а нз условия 1/(1) = 1/2 сле- дует, что Сз=1. Итак, искомое частное решение есть у— 1 — (равносторонняя гипербола). в) У р а в п е н и я в и д a F (у, у', явно независимой переменной. ., {/"')= 0, не содержащие Подстановкой у'—р{у), у“=р^, порядок уравнения понижается на и т. д. У ~Р[ единицу. Пример 5. 11антн общий ◄ Положим у’ = р(у), у’=р1^, у"' = р /уравнение преобразуется к виду интеграл уравнения у'у"'—Зу"7 = 0. Тогда >2 = 0. Приведя подобные члены н сократив на р2 (при этом следует учесть теряемое решение р = 0, или у—с), падучим 2 =0. Р-Й--2 ауг 70
_ dp dtp dz Положив здесь -^=z, ~щъ=г > придем к уравнению dZ (-4 <> Л рг 3--2г2 = 0. dp Сократив на г при этом следует учесть еще одно решение г=^~— Q, т. е. p = Cj и //=С1х+Сг^ , получим^—~~=0, откуда In | z|—In р2= = In | Ci!, или г=^—.С1р2. Интегрируя последнее уравнение, находим 1 dx ~-—=С1У+Сг, или -^=С1У+С2. __ __________________ ___________ Окончательно получим х — С^+Сгу-рСз, где Ci=------------, С2— — —С-2, т. е. семейство парабол. Заметим, что в общее решение вхо- дят потерянные ранее частные решения. f> г) У р а в н е и и я вида С (х, у, у', ..., у’"-1’)—0, т. е. та- кие уравнения, в которых левая часть может быть представлена как полная производная по хот некоторой функции С (х, у, у'. Интегрируя по х, получим повое уравнение, порядок которого па единицу ниже порядка исходного уравнения. Пример 6. Найти общее решение уравнения (l+*2)«/"-| 2ху' = л3. ◄ Левая часть уравнения есть полная производная по х от функции (1 + х2)у', а припая—от функции , т. е. уравнение можно пере- писать так: ((4-x2)y')' —• Отсюда интегрированием получаем (1-|-*а)/=-^-4-у-или л Л С, , dy 4(14-х2)‘?Х Следовательно, и, окончательно, \ {/ = £> -г3 —4 *+Ci arctg х+ С2, где Это и есть обшее решение. д) У р а в н е пн е Г (х, у, У', ..., //(п>) _0, однородное от- носительно функции и ее производных, т. е. такое, что F (х, ty, ty', ..., — tkf (x, у, у’, ..., y*">), t ?= 0. Подстанов- кой у' =Уг порядок уравнения понижается на единицу. 71
Пример 7. Найти общее решение уравнения хуу"—ху’2—//«/'=0. Положим у' — уг. Тогда у"=у (г24*г') и уравнение принимает вид xi/2 (г24~г')— хугг2—y2z~Cl. Сокращая на у2 (при этом получается решение у = 0), находим г—— , то при- У 2 1 , n dz dx- _ „ ' « —z —0, иди —-----откУда 2~CiX. Так как ходим к уравнению у' —С^.у, нли dy—clXdx, откуда In [ у\ — У + 1п|С2|, или у = С^ес,х , где Ci = Ci/2. Это и есть общее решение, которое содержит н потерянное частное решение у=0. В некоторых случаях найти решение в виде явной нли неявной функции затруднительно однако удастся полечить решение а пара- метрической форме. Пример 8. Найти общее решение уравнения у" (1 -{-2 In у') 1. ^Положим у'—р, y°=-JL. Тогда уравнение примет вид -j~(4*21np)— 1, или dx = (l -}-2 In р) dp, откуда х = — p-f-2plnp+ -|-Ср Так как dy = p dx, то находим dy — p (1 4-2 In/?) dp, откуда у—рг In р4~Сг, и получаем общее решение в параметрическом виде: *=₽(—!4-2!пр)4-С1г г/ = р»1пр4-Сг. > Решить дифференциальные уравнения, используя ме- тоды понижения порядка: 0,211./=^... 9.212. у" = х4- sinx. 9.213. ylv=I/.r. 9.214. ху'" = 2x4-3. 9.215. х2у=у'\ 9.216. y"—2yy'^0. 9.217. у" \-y' tg x'=sin2.r. 9.218. xy”—y'^e'x*. 9.219. 2W" = 14-y'-'. 9.220. yy” + y'3 — y'a. 9.221. y"-| 2xy'* = 0. 9.222. xy"—y’—xsin-^- = 0. 9.223. xy"—y' In -£. 9.224. x3y" -|- x2y' —1 = 0. 9.225. (1— х2)у ' + ху'—2 = 0. 9.226. (1 + «*) y” + y' = 0. 9.227. y"'=2(y''—l)ctgx. 9.228. х2у'"=у"г. 9.229. у'" = /^9.230. (2y 4- у') у" = у'*. 9.231. y"=l//y. 9.232. yey''4-l=0. 9.233. yy" + y-y" = O. 9.234. yy’’-2yy' lny-y'^0. 9.235. y"tgy = 2y'2. 9.236. (y— 1) yn = 2yrI. 9.237. xy'"+y'—x—1=0. 9.238. yy" + y'2 = x. 9.239. y"=-^~X . 9.240. ^" = — » x2 у'2 xz 9.241* . хгуу”—'(у—xy')2. 72
9.242. ху’ (уу"—у’г)—уу’г = xhf. 9.243. хуу" ~\-ху'* = 2yy'. 9.244. 2уу"—Зу'г = 4уг. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие -заданным начальным условиям: 9.245. у” —хе*, г/(0) = 1, у'(0) = 0. 9.246. /" = ^, !/(1) = 0, = /(D = 2- 9.247. у" = ^ + ^-, у(2) = 0, 1/'(2) = 4. 9.248. (l + x=) i/' + y'41 = 0. !/(0) = /(0)= 1. 9.249. у" = е^, //(0) = 0, t/'(0)=l. 9.250. у" cos у-f-y1,’ sin у—у'—0, у (—1)=л/6, у' (— 1)— 2. . 9.251. y"ly' = 2yy'l(\-Yif), у(0) = 0, 1/'(0)==1. 9.252. уу"—у'* = уг, f/(O) = h у'(0) —0. 9.253. уу" = 2ху'1, у (2) = 2, у'(2) ==0,5. 9.254. 2уу" + у2—/* = 0, у (0) = у'(0)= 1. 9.255. Найти интегральную кривую уравнения уу’у’~ = у'3+у"\ касающуюся в начале координат прямой %4-i/ = 0. п 9.256. Найти интегральную кривую уравнения уу + -р у’*—1=0, проходящую через точку Л4о(О, 1) и ка- сающуюся в этой точке прямой х.-|~«/=1. Найти общие решения дифференциальных уравнений в параметрической форме: 9.257. (х + 2у')у"=\. 9.258. у" -2у'у"-\- 3 = 0. 9.259. (2 + /) еи'у"— 1. 9.260. (Зу—2у’) у"—у'а = 0- 9.261. Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале координат, если се кривизна в любой точке равна cos х (—л/2 < х < л/2). 9.262. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая: а) вогнута вверх; б) вогнута вниз. 9.263 *. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке вдвое больше длины отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если известно, что кривая: а) вогнута вверх; б) вогнута вниз. 9.264 . Найти форму гибкой однородной нерастяжимой нити с закрепленными концами, находящуюся в равно- весии под действием силы тяжести, если линейная плот- 73
ность нити равна q (горизонтальная проекция силы натя- жения нити Н — const). Расположить нить так, чтобы вершина кривой совпадала .с точкой (а, 0), где a — Hlqg. 9 265 Гибкая тяжелая однородная нерастяжимая нить в положении равновесия подвергается натяжению, про- порциональному переменной площади се поперечного се- чения. Найти форму нити, если линейная плотность нити равна q (горизонтальная проекция силы натяжения нити Н = const). Расположить нить так, чтобы кривая про- ходила через начало координат и имела в пей горизон- тальною касательную. 9.266 . Тело массы т движется прямолинейно под дей- ствием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. 9.267 *. Мяч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорцио- нально квадрату скорости мяча и равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Припять g = 10 м/с2. 9.268 Тело массы т поднимается вертикально вверх с начальной скоростью р0. Полагая сопротивление воз- духа пропорциональным квадрату скорости тела (коэф- фициент пропорциональности k > 0), найти высоту' подъ- ема тела и скорость, с которой оно вернется в исходное положение, а также время подъема и спуска тела 9.269 *. А\яч массы 400 г брошен вверх со скоростью 20 м/с. Вычислить время подъема мяча н наибольшую высоту подъема, если сопротивление воздуха пропорцио- нально квадрату скорости мяча (коэффициент пропорцио- нальности k > 0), причем оно равно 0,0048 Н при ско- рости 1 м/с. Принять g= 10 м/с2. 9 270 Найти закон прямолинейного движения матери- альной точки массы т под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра (коэффициент пропорциональ- ности /е > 0). В начальный момент точка находится в по- кое н отстоит от центра па расстояние х0. 9.271 . Материальная точка массы т движется прямо- линейно к неподвижному центру, притягивающему ее с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от центра (коэффициент пропорциональности k > 0). Найти закон движения, если оно начинается с состояния покоя, когда точка отстоит от центра на расстояние хв. Опре- 74
делить время, по истечении которого точка достигнет центра 9.272 . Раке га движется вертикально вверх под дейст- вием силы отдачи ог истечения газов. Масса ракеты из- меняется в зависимости от времени по закону/и = /п0<р (/), где = const (закон сгорания топлива). Относительная скорость истечения газов постоянна и равна и0. Началь- ная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. Найти высоту подъема ракеты как функцию времени, если сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть также частный случай, когда/п — /п0(1—at), и вычислить для этого случая, на какую высоту поднимается ракета через 10 с, 30 с и 50 с при но = 2000 м/с иа = 0,01 с~1. Положить g = 9,8 м/с2. 9.273 . Определить, через сколько времени упадет па Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением, обратно пропорциональным квадрату рас- стояния между ними), если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстояние его от центра Земли равно Н. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Уско- рение свободного падения на поверхности Земли посто- янно и равно g. 9.274 *. Тело, находящееся от центра Земли на расстоя- нии = 60,27 /?3 (что соответствует расстоянию ог Лупы до Земли), цадает на Землю из состояния покоя под дей- ствием силы тяжести с ускорением, обратно пропорцио- нальным квадрату его расстояния от центра Земли. Пре- небрегая сопротивлением атмосферы, определить, черев сколько времени оно упадет на Землю. Припять /?3 = = 6,377-10" м, g = 9,8 м/с4. 9.275. Определить скорость, с которой метеор ударяется о Землю, если он падает с неограниченно большого рас- стояния из состояния покоя и если при его движении к Земле ускорение принимается обратно пропорциональ- ным квадрату его расстояния от центра Земли. Припять радиус Земли /?3 = 6377 км, ускорение свободного паде- ния g = 9,8 м/с2. 9 276. По осн Оу в положительном направлении дви- жется с постоянной скоростью v точка А (цель). На пло- скости Оху движется точка М (преследователь) с посто- янной скоростью и (и > о) так, что вектор скорости всегда направлен в точку А. Найти траекторию точки /И (кри- вую погони), если в начальный момент времени / = 0 точка А находилась в начале координат, а точка М— на оси Ох на расстоянии а > 0 от цели. 75
9.277 *. Балка длины /, лежащая концами па двух опорах, находится по, действием равномерно распреде- ленной нагрузки интенсивности q. Найти уравнение изо- гнутой оси балки и ее макщ мальный прогиб, выбрав начало координат в середине ненагруженной балки. 9.278 *. Балка длины Z, заделанная правым концом в cieny, изгибается сит й F, приложе ион к левому концу, и равномерно распределенной пагрс кой интен- сивности q Наши уравнение изогнутой оси балки и ее максимальный про 16. 9.279 *. Балка длины I с заделанным левым концом изгибается i од действ! ем равномерно распределенной нагру'зкп интенсивное!и q Какова должна быть прило- женная к правому концу балки действующая вверх сила F, чтобы прогиб в правом конце балки был равен нулю? 3. Линейные одюродг ые уравнения. Ур вненне вида х Уи'~1 в-i Л)//' -а,,(х)у = О (5) называется ^инейным одюро^ным лиф репциальп гм уравнением п-го порядк Если известно какое-либо частное решение //, (х) уравне- ния (5), т подстано ка (/(х — yt (х) г (х) приводит это уравнение к л иней по ту ypannei ню он ентельно функции г (х) ire содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая г'(х) =« („), подучим линейное однородное уравнение i ря. ка п — 1 тноситсльно функции и (х). Пример 9. Найт1 йщее решение сравнения (х* | 1) У—2хт/'4-2;/=О, убедившись в том. что функция f/i (х) — х есть одно нз его частных решений. ак как J/' (х) = 1 a i/j (х 0 то подст.н нв выражения r/j (х), У| W> y'i W в заданн е уравишие, убеждаемся в том, что функция Л1(х)=х действительн яв яется его частным решением Положим У, хг найдем у'=хг' г, if xz"-}-2z' и подставим выражения у, I/ и у в уравнение. Подучим (г2 -1) (xz"4-2z')—2x(xz' z)4-2xz = 0, или х (х2 1)г’ -2г О Теперь, полагая г' —u, z" = u', приходим к уравнению первого по- рядка относительно и: х(х24-1)и' -2(г=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет внд откуда учитывая и — г', получаем уравнение первого порядка отно- сительно г: dz — Ci 1-|--Ljrfx. 76
Интегрируя последнее уравнение, находима Cf ^х—— С,, атак как у — Х2, то окончательно получаем общее решение исходного урав- нения У^С^х* ) С.2х. Изложенный выше мето обобщается па случай, когда известно А: частных динейно независимых решений уравнения (5) В этом случае путем надлежащих подстановок поря ок уравнения может быть по- нижен па k единиц. 9.280. Доказать теорему: ести $л(х) сеть частгос ре- шение линейного однородного урав! пня у"+р(х)у'-}~ + q(x)y = 0, то функция у2 (х) — ух (х) ---— тоже является решением этого уравнения, а функция у = yt(x) (с\ С, f е~1 р х dx—— есть его общее реше- \ ‘ J У1 (х) ) ние 9.281. Найти общее решение уравнения t/'—бу' 5у— 0, если функция е* есть его частное решение. 9-282. Найти общее решение у равнения у"—2у' — Зу 0, если функция е~х есть его частное решение. 9.283. Найти общее решение уравнения ху“+2у' ху^-0, , sin X если функция ----- есть его частное решение. 9.284. Найти общее решение уравнения (1—х2) у" — — 2лт/' 4 2у — 0, если функция х есть его частное решение. 9.285. Найти общее решение уравнения х'у '4-5xV' 4-2лт/' — 2у — 0, если известны два его частных решения У, = х и yt = 1 х. Опреде шпелем Вронского (вронскианом) системы функций yi (х), у2 (х), ..., уп (х) называется определитель Pi (х) у-2 (х) ... уп (х) >и. .'‘.w..’".t • уГ' И »,’’«) ... »?”<> Если система упкиш j/i (х, у2 х) ... /л(х) иней о <в си на интервале (а, Ь), то ее вронскиан равен нулю всюду на этом интервале Если же хотя бы в одной точке х(1£ (а, Ь) имеем И7 (х0) # 0, то система функций уг (х), у2 х) ...,уп(х) липе!но независима на (а, Ь). Всякая система из п линейно л езавнеимых решет ft i, х), уг(х), .... уп (х) уравнения (5) называется фундаментален й систе- мой решений этого уравнения. Вронскиан ф ндамептальной системы решений отличен (Тг'нмля на всем интервале, где эти решения опре- делены (см задачу 9.$04). Если известна фундаментальи я система решений уравнения (5), то общее решение этого уравне ия имеет 77
вид У W — Gfh (х) Ч--Ч Спуп (х), где С,. С„—произвольные постоянные. Пример 10. Дана система функций х, cos х, sinx. Найти вронскиан системы W (х) и убедиться в том, что на некотором ин- тервале система линейно независима. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого эта система функций является фундаментальной системой решений, и записать общее решение уравнения. Составим вронскиан X «7(Х) = 1 0 cos х sin х —sinx cos X — cosx —sinx Так как W'(x)— x, то система линейно независима на всей осн Ох, за искл1очением точки х=0 и следовательно, образует фундамеп тальную систему решений некоторого линейного однородного’ уравне- ния 3-го порядка в области R\{0} общим решением которого является функция уCiX-|-Сг cos х-|- С3 sin х. Для составления дифференциаль- ного уравнения найдем производные у', у", и'" и исключим произ- вольные постоянные из выражений для у, у. у", у”'. Имеем: у — CjX-|-C2cos x-|-C3sin х, у' — Ci—C2sln x-|-C3cos x, if —' —C2cos x—C3sin x, y'" — C3sln x—Cecosx. Легко видеть, что, умножив первое и третье равенство на —1, а второе и четвертое не х н сложив все четыре равенства, падучим ху'”— у"-1-ху'—у = 0. (6) Уравнение (б) можно было получить и другим путем, если учесть, что решение у искомого уравнения вместе с функциями х, cosx, sinx образует линейно зависимую систему и поэтому вронскиан сис- темы функций у, х, cosx, sinx равен пулю; I у X cosx SIh’xI у' 1 —sinx cosx q I у" 0 —cosx—sin x | I у”' 0 sin x —cos x| Раскрывая определитель, получим то же самое уравнение (6) (про- верить!) Деля обе части уравнения ((>) на х, получаем У'” — 70= °- (7) Уравнение (7) и является искомым линейным однородным дифферен- циальным уравнением. ► Исследовать ра линейную зависимость следующие сис- темы функций: 9.286. х, 1пх. 9.287. sin 2х, sinxcosx. 9.288 е~х, хе~х. 9 289. х, 2х, х2. 78
9.290. tA, xe\ xV. 9.291. sinx, cosx, sin2x. 9.292. ch x, shx. 9 293 e*, e*+1. 9.294. x, 0, e*. 9.295. 1, sinx, cos2x. Зная фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения, составить это уравнение: 9.296. 1, е~х. 9.297. (’“cosx, e“sinx. 9.298. х3, х4. 9.299. 1, х, ех. 9.300. 1, sinx, cosx. 9.301. 2х, х—2, е*-}-!.1 9.302. eix, eix. 9.303. еы, sinx, cosx. 9.304* *. Доказать, что если у, (х), yt(x), ..., у„(х)— решения линейного однородного дифференциального урав- нения порядка п с непрерывными в некотором интервале (а, Ь) коэффициентами и вронскиан W (х) этой системы равен нулю при х0 £ (а, Ь), то W (х)_>0 при а < х < Ь. 9.305* . Дана система функций г/Дх), !/»(х), . , у„(х), причем па некотором интервале вронскиан W (х) этой системы отличен от нуля. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого эта система является фундаментальной системой решений. 9.306. Зная фундаментальную систему решений линей- ного однородного дифференциального уравнения 6х, cosx, sinx, найти его-частное решение, удовлетворяющее на- чальным условиям: у (0) = 3, у' (0) — 4, у" (0) = — 1. 9.307. Зная фундаментальную систему решений линей- ного однородного дифференциального уравнения е\ ё^, езх, найти его частное решение, удовлетворяющее началь- ным условиям: у(0) = 6, у' (0) = 14, у (0) = 36. 4. Линейные неоднородные уравнения. Уравнение вила -J- at (х) У" - 11 Н- ... -Ь а„_ 1 (х) у' + ап (х) у =f (х), (8) в котором f (х) =Ё 0, называется линейным неоднородным диффереп циальным уравнением n-го порядка. Общее решение jравнения (8) определяется формулой У(х) = Уо (х)-Н/(х), (9) где i/o (х) —общее решение соответствующего однородного уравнения (5), а у (х) — некоторое частное решение неоднородного уравнения (8). Пример 11. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение ху"'—у"+хУ'—у=2х3. Известно, что функция х3 есть его частное решение. Требуется найти общее решение этого уравнения. Согласно формуле (9) общее решение неоднородного уравнения составляется как сумма общего решения t/B (х) соответствующего од- нородного уравнения н частного решения у (х) неоднородного уравне- 79
ния. В пашем Случае у0 (х) = С1Х-|-Сг cos x-j-CsSin х (см. пример 10), а у (х) = х3. Следовательно, искомое общее решение есть у.= С,х 4- т CaCosx-J-Casinx-l-x3. Если известно общее решение у0 (х) =Ctyt (х)-4- ... -\-Спуп (х) соответствующего уравнению (8) однородного уравнения (5), то для определения частного решения у (х) уравнения (8) можно восполь- зоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Именно, будем искать частное решение неоднородного уравне- ния (8) в виде у (х)—-Ci (х) pi (x)-f-...-4-С„ (х)//„ (х), где от функций Cj (х), ..., Сл(х) дополнительно потребуем, чтобы они удовлетворяли п Z.I.. dCy (х) Ух —j7~ = 0 для всех k-0, 1........... п—2 (где v=l Ь'v —Ух)- Тогда для функций Cv (х), v=l, 2, .... п, получим си- стему уравнений yi лГ +Уг ~d7 + • • • +*'" dT=0’ ' 1 ' ^2 I I ' ^Сп_______ 71 dx + 72 dx + •••+№ dx ’ (10) (n-i> ^£1 . <n-i> dCi y dc„ _ . y> dx ' j2 dx ' ' “ ‘ IJn dx ~ *)' Определитель этой системы есть отличный от пуля вронскиан фун- даментальной системы решений yt(x), ..., y,t (х), поэтому система имеет единственное решение относительно , v=l, 2, . . и. Пример 12. Зная, что функции уг (Ж)=Л2£2 и у2 (х) об- X разуют фундаментальную систему решений уравнения //"-р — у' -J- + 0 (см. задачу 9.283), найти общее решение уравнения ху'‘+^у’+ху х. (П) Общее решение соответствующего однородного у равнения записы- вается в виде (х)= С! £^-|-Cg^xСчитая С, и С, функциями х, для определения частного решения уравнения (11) составим систему вида (10): г' C0S Х I г-' , \ Sin * гх CiW—-—рС2(х)-------=0, х х Г'* (чД ( cos \ г'' t \ /sinx\z Ci (х) ( —- 1 +С2 (х) { 1 = 1 (уравнение (11) следует привести к виду (8), т. е. разделить все его члены на х). Подставляя С'(х) = — С' (х) во второе уравнение, получаем С W (-^sinx-^cosх _cosx . xcosx-slnx\_ 1W\ X-4 sin X Xs 80
Отсюаа имеем С' =— xsinx, C^ — xcosx. После интегрирования по- лучаем С! (x)=xcosx—sinx-f-Cj, С2 (х) = х sin х+ cos x-f-C2. Положив, например, Ci = C2=O, получим частное решение уравне- ния (11): у(х) = (xcos X—sin х)—-—p(xsin x-f-cos x)—— = 1. Следовательно, общее решение уравнения (11) имеет'вид . , Л , , , , -. , „ cos х , _ sin х , , У (•*•) — Уч (х) + У (х)—Ci ———(- С2 ———1. ► Если правая часть линейного неоднородного уравнения (8) есть сум- ма нескольких функций f (х) = /1 (х) + /2 (х) + ... + fr (х) и У/(х) (<•=!, 2, г) — некоторые чйстиые решения уравнений i/«>+Gi(x).V<"-1>+,..-f-a„_i(x)p'-| о„(х)р = /,(х) (1 = 1,2, ...,/) соответственно, то сумма У (х) =yi (х) (х) + ... +/7Г W есть некоторое частное решение уравнения (8) (п р и н ц и п супер- позиции решений). Пример 13. Проверив, что функция pi =—-|-ех является част- ным решением уравнения у"—2у'—Зу,=ех, а функция уг=—у с3*___ частным решением уравнения у"—2у' — 3у—е2х, найти общее решение уравнения у”—2/—Зу=е * -f- с2х. Согласно принципу суперпозиции частным решением последнего уравнения является функция (/= — ±-ех—у с2* Общее решение со- ответствующего линейного однородного уравнения есть функция ув= — Су?х-\-С.у>~х (см. задачу 9.282). По формуле (9) общее решение данного уравнения имеет вид p = Cie3*-J-C2e-A—ех —е2х. ► 4 3 9.308. Используя решение задачи 9.298, написать об- щее решение уравнения х2у"—бху' -р 12г/ = 3х, предвари- тельно убедившись в том, что функция х/2 есть одно из решений этого уравнения. 9.309. Используя решение задачи -9.303, написать об- щее решение уравнения у'"—2у”-}-у'—2г/=]0езх, пред- варительно убедившись в том, что функция елх есть одно из решений этого уравнения. Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 81
9.310. Проверив, что функции t/i(x)=e* и у2(х)—х образуют фундаментальную систему решений уравнения у" —j у' । у = 0, найти общее решение уравне- ния (х—1)/—ху' + у=~(х— I)2. 9.311. Проверив, что функции t/1(x) = cosx и у2(х) = — х cos х образуют фундаментальную систему решений уравнения у"+2tgxz/4-(2tg2%+ l)i/ = 0, найти общее решение уравнения ctgxi/'4-2i/'4-(2 tgx-]-ctgx)i/=cos2 х. 9.312. Проверив, что функция ух (х) = 5х + 6 является частным решением уравнения у“—6т/'-ф5т/ = 25х, а функ- ция у2 (х) = — е"х—частным решением уравнения у”—6y'-j- -h 5y — 3eiX, найти общее решение уравнения у"—6у' + 5т/ = 25х-|-Зе2х (см. задачу 9.281). 9.313. Проверив, что функция т/1(х) = уег является частным решением уравнения у"' + у' = ех, а функция ул(х)~— sin2x—частным решением уравнения у"'+у = = 6cos2x, найти общее решение уравнения у"'-}-у — = ех 4 6 cos 2х (см. задачу 9.300). 5 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициен- тами. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка п с постоянными коэффициентами У«>+с1у«-1>+...-|-£2„_1/+о„{, = 0, ’ (12) где at (i = l, 2.и)—действительные постоянные. Уравнение Х,п+аДп-1-|-...+о„_11+оп = 0, (13) полученное заменой производных {/’** (ft —0, 1.п) искомой функ- ции степенями X*. называется характеристически.» уравнением для уравнения (12). Каждому действительному корню X уравнения (13) кратности г соответствуют г линейно независимых решений уравне- ния (12): etx, хеКх..( а каждой паре комплексных корней Х = а ± ф кратности s соответ- ствуют s пар линейно независимых решений: еах cos Рх, хеах cos рх.xs- 1tfix cos Рх, sin Рх, хеах sin Рх, ..., xs~1 еа* sin Рх. Таким образом, если характеристическое уравнение имеет k дей- ствительных корней- Xi, ..., Xft кратностей п, ..., гь и / пар комп- лексно сопряженных корней оц-т-фп —ф1( ..., af-j-ifa, —ipz кратностей sr,..., sz (^4-... 4-rft4-2si-J-...-f-2sz = n), то общее решение уравнения (12) запишется в виде У W - Pi (х) ... + Pk (х) /**4- (Qi (х) cos Pzx-f- 4- Ri (x) sin Pix) e“'x-]- ... -|-(QZ (x) cos Pzx-f-7?z (x) sin pzx) e“1*, (14) 82
где Pv(x)—произвольный многочлен степени rv—1, v=I, .k, a Qu (*) 11 Рц(х)—произвольные многочлены степени —1, g — 1...../ Пример 14. Найти общее решение уравнения zf+3i/' + 2i/ = 0. Характеристическое уравнение Х2-|-ЗХ-|-2 = О имеет корпн Zi = —1, л2=—2. Запишем фундаментальную систему решении Уу=е~х. уч~(~гх- Сче.тователыю, общее решение имеет вид y=C1e~*-|-C2e_2jc. ► Пример 15. Найти общее решение уравнения у"+2«/'-1-5«/=0. ’ Характеристическое уравнение X2-f-2k‘-|-5 = 0 имеет корпн If, 2— =—1 ± 2i. Следовательно, функции g1 = e-xcos2x, ys=e~xsin2x составляют фундаментальную систему решений, а общее решение имеет вид у—е~х (Су cos 2x-f-Ci sin 2х). ► Пример 1G. Найти частное решение уравнения у'"—3/-f-3f/' — у=0, удовлетворяющее начальным условиям у (О)—. 1, у' (0) = 2, «/"(0)=3. Характеристическое уравнение X3—ЗХ2-|-ЗХ—1=0 имеет единст- венный корень Z=1 кратности г — 3. Поэтому фундаментальная сис- тема-решений имеет вид yi=ex, уг = хех, //3«=»х2е*. Следовательно, g^(C1 + C2x+Q,x2)e* — общее решение уравнения. Для определения произвольных постоянных найдем производные у' = (Су + С2х+С,х2) е*+(С2+2С3х) <*, У" = (С, + С2х + С3х2) ех + 2 (С2 + 2С3х) ех+2Су>х п используем начальные условия. Получаем: Сг=1. Ci-f-C2=-2, Ci + 2C2+^C3=3, откуда С2=1, С3 = 0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид g = (l-K)e*. > Пример 17. Найтн общее решение уравнении 4//IV-f-4i/"-)-i/ = 0. Характеристическое уравнение 4X4-f-4X2-)-1 =0, или (2??-f-l)2- 0, имеет два комплексно сопряженных корня ±-==’ кратности 2. Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид cos -у=, F £ х cos ——, sin-A=, xsin—Отсюда получаем общее решение: , К 2 V 2 V 2 g=(C14-C2z) cos -^=+(C3-l-C4z)sin^. > 9.314. Известно частное -решение линейного однородного дифференциального уравнения второго поряд- ка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ха- 83
рактеристическое уравнение имеет дискриминант, равный нулю. Найти частное решение этого уравнения, удовлет- воряющее начальным условиям: у (0) = у' (0) — 1. По данным корням характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами составить дифференциаль- ное уравнение и написать его общее решение. 9^315. Хх = 8, л4 = —2. 9.316. Х, = ^=1. 9.317. Ali2 = 3±2i. 9.318. ^ = ^, = 2. 9.319. 0, Х2 = 13 = 4. 9.320. Показать, что общее решение уравнения Н2 у может быть представлено в виде х.= А sin (а/ + <р) или х = A cos (at ф- <р), где А и <р—произвольные постоянные. Найти общие решения дифференциальных уравнений: 9.321. у — 2у'— 2у = 0. 9.322. у"+ Ьу + 13г/ —0. 9.323. у"—6z/'-h9z/ = 0 . 9.324. 'Зт/"—2т/'—8г/ = 0. 9.325. 4г/"—8т/4-5// —0. 9.326. 4z/"-|-4z/4- у = 0. 9.327. у'"—5у"+ Пу'—13// = 0. 9.328. y>v^_4y" + 3y==0 9.329. 9.331. 9.333. ,Д + 8/”+'16/ = 0. 9.334. yv—6y'v + $y'" = 0. 9.335. yVI—2i/v + 3t/iv—4!/"' + 3/—2»'-|-u = 0. 9.336. z/v> 4 2«/v4-f/‘,v = 0. y'v + 2y’"+y"^-0. 9.330. y'v—г/ = 0. ylv + 2/ + y-0. 9.332. y'v—8г/''|. 16//-0 Найти частные решения уравнений по данным началь- ным условиям: 9.337. if— by' -l-4y = 0; у (0) = //' (0) = 1. 9.338. у'’-2у'А-у^0-, 1/(2) = К у'(2) ——2. 9.339. у'"- у'-О- у(0) = 3, у’(0)^-1, /(0)-1. 9.340* . Найт интегральную кривую дифференциаль- ного уравнения if—у —0, касающуюся в точке 0(0,0) прямой у = Х. 9.341. Найти интегральную кривую дифференциаль- ного уравнения у"—4z/'4-3t/=0, касающуюся в точке Л10 (0, 2) прямой 2х—2(/ + 9 —0. 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффици- ентами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное урав- нение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение вида gtn>4-°,i£/<n“l>4-fls'/n_2>4- •• • +оп-1У' -ratly~f (х), (15) где с,- (/ — 1, 2.л)—действительные постоянные, a f(x)^OZ 84
Согласно формуле (9) общее решение уравнения (15) записывается в виде у (х) — уи (х)у(х), где у0 (х)—общее решение соответствую- щего однородного уравнения, а у (х)—любое частное решение урав- нения (15). Общее решение уе(х) дается формулой (14). Для отыска- ния у(х) в общем случае можно воспопьзоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных (с.м. п. 4). Пример 18. Нанги общее решение уравнения у"Ч-у'=хех. Общее решение соответствующего однородного уравнения tjo—Cf-1- 4~С2 cosx4C3 sin х, так как yi—l, jfe = cosx, i/3 = slnx. Для нахож- дения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся ме- тодом вариации постоянных. Система (10) в этом случае принимает вид С' С' cos х-|- Сд sin х — О, —С' sin х4 С.' cos х= О, —С' cos х—С' sin х~ tg х. Умножив обе части второго уравнения на sin х, третьего на cos х и сложив, получим Cj = — sin х. Тогда из второго уравнения следует sln^ X С =--------. Сложив обе части первого и третьего уравнений, най- COS X дем C'=tgx. Интегрирование дает: С± =—ln|cosx|, C2 = cosx, C3 = sinx—hi tg| H-"тр]1 Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = Ci+C2cosx-|-C3slnx— ln|cosx|—sin x-ln tg I |—g-|. ► Методом вариации произвольных постоянных решить следующие уравнения: 9.342. ^ + 3^4-2// = ^. 9.343. У" + 4у--=^. сх 9.344. у-^у’ + у^у—. 9.345. у" + 4у' + 4у = е~2х1пх. В частных случаях, когда функция f (х) в уравнении (15) имеет вид ft (х) = (с!йхт -J-... 4 dm) е>-* или )2 (х) = ((60xm i +... 4-bmi) cos ₽x-f- 4- (c0x"'-4- • •. sin fx) частное решение у (x) можно найги методом неопределенных коэффициентов. Именно, если X. или а ± if не совпадают ни с одним из действительных или соответственно комп- лексных корней характеристического уравнения (13), то у(х) ищется в виде (*) = (Dexm + Dixm “14- ... 4- Dm) е’'~х (16) для f(x) = f1(x) или в виде у (х) = ((Ввх”~ 4-... 4-В™) cos fx4- (С„х™ 4-... 4~Ст) sin 0х) е'^ (17) 85
для f(x)=f2(x). Здесь Dv, Bv и tv—неопределенные коэффициенты, m = max (nij, т2). Если же X или а ± ip совпадают с некоторым корнем уравнения (13) кратности г, то. выражения в правой части (16) или (17) следует домножить на хг, т. с. искать решение соответственно в виде у(х) = xr(Dcxm-|- ... + Dm) е>>* (18) для f(x) = f1(x) или У (х)~хг ((вох"> +... +Вт) cos Рх+(сох'« -|--|-Cm) sin ₽х) е“* (19) для f (х)^/2(х). Пример 19. Найти общее решение уравнения у”—Зу' + 2у = (х2+х) е2х. Характеристическое уравнение соответствующего однородного урав- нения X2—ЗХ-|-2 = О имеет корни Xr= 1, Х2 —2. Следовательно, фун- даментальная система решений имеет внд yi=ex, y2=^eix, а общее решение однородного уравнения есть уе (x) = C1e^-f-C2e2*. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения вос- пользуемся методом пеопредс.' тных коэффициентов. Так как Х = 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное реше- ние будем искать в вт е ^=(Dox2-|-D1x-|-£>2) ё2х. Найдя производные у', у" и подставив^, у' и у” в исходное уравнение, получим (после сокращения на eSjc) 2Dcx2 -I- (6£)u -f- 20,) x -J- (2£>u+3D± + 2D2) ₽. x2 +x. Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим си- стему уравнений для определения неизвестных £)„, Dlt D2; 200=1, 6De-|-2P1=l, 20u-|-30i-,-202 = 0, откуда O0=l/2, Oj = —1, 02=1. Итак, х2—x+lJe3* = -^-(x2—Sx-j-Zje331, и, следователь- но, общее решение уравнения имеет вид У=Уо +У =- Cjf*' 4- С2с2х +у (х2—2х+2) сЯх. Пример 20. Найти частное решение уравнения J/"4-4|/ = 4 (sin 2x-|-cos 2х), уд влетворяющее начальным условиям у (л) = у' (л) — 2л. Характеристическое уравнение Х2-(-4 = 0 имеет корни Xji2 = 0±2i, Общее решение соответствующего однородного уравнения ’есть ув — — Ci cos 2х+С2 sin 2х. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде i/==x(Bcos2x-}-Csln2x), так как 0±2i—корни характеристического уравнения кратности 1. Найдя у’, у" и подставив у, у', у" в исходное уравнение, получим —4В sin 2хЦ-4С cos 2х~ 4 sin 2x-f-4 cos 2х, 86
откуда В =—1, С=1 п, следовательно, у = х (sin 2х—cos 2х). Общее решение будет у=уа-\ y—Cicas 2х-\ С2 sin 2x-fx (sin 2х—cos 2х). Для нахождения С± и С2 воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав общее решение: у' — — 2C1sin2x4-2C2cos2x4-x(2cos-2x4-2sin 2x)+(sln2x — cos 2х). Имеем: 2n=C>—л 2л- 2С2-)-2.1—1 =фС2 = 1/2. Искомым частным решением является функция 1/ = Зл cos 2%+-g- sin 2х-}-х (sin 2х—cos 2х). ► Пример 21. Найти общее решение уравнения у"-4у'-^4у^хе2х. Характеристическое уравнение X2—4X4-4 = 0 имеет двукратный корень Х=2. Общее решение соответствующего однородного уравне- ния есть 1/о~(С14-С2х) е2х. Частное решение данного уравнения будем искать в виде у = = х2 (DnX-J-Dj) е2х, так как показатель экспоненты в правой чести уравнения совпадает с двукратным корнем характеристического_урав- нения. Методом нсопре леиных коэффициентов (т. е. найдя у', у", подставив у, у' и If в исходное уравнение, сократив на е2х н сравнив коэффициенты при одинаковых степенях х) находим Dc = l/6, Di = 0. Сладоватетьно, у=^х\2х, а общее решение принимает вид i/=i/04-i;=(C14-C2x)C2*+-|-A^=(c14-C2x4-lx3)e2*. ► Для каждого из данных неоднородных дифференци- альных уравнений написать вид его частного решения с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэ(1фицнентов не находить): 9.346. у"—8у'4- 16i/ = (l— х)е*х. 9.347. у" + 1 бу = sin (4х 4- а) (а = const). 9.348. у"—4у' = 2 cos2 4х. 9.349. yIV4-4y"4-4y = xsin2x. 9.350. 'у”—4y' = xeix. 9.351. у"—Чу' = (х— I)2. 9.352. у" + 2у' + 5у = ((х -|- 1) cos 2х + 3 sin 2х). 9.353. у"— 4у -j-1 Зу = е2* (х2 cos Зх—х sin Зх). Найти общие решения следующих уравнений: 9.354. у— у = е~х. 9.355. у"—y = chx. 9.356. у" + 3у'—4у —е-4*4 хе~х. 9.357. у"—5у'4-6у= 13sin Зх. 9.358. у"—2гпу’ 4- тп?у = sin их (m#=n). 9.359. у"—2ту' 4- т2у = sin тх. 9.360. у" 4-у = 4х cos х. 9.361. у" 4-4у = cos2 х. 87
9.362. 4z/"— z/ = xs—24x. 9.363. z/" + 5z/' + 6y = e-x+e~2K. 9.364. y"—3y' = e3x—18x. 9.365. y”' +y" = 6x+e~x. 9.366. y’" — 3y"+3y — y = ex. 9.367. ylv + y" = x*+x. 9.368. i/IV—у = хё.+ cos x. 9.369. yN—yxv = xe'c—1. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям: 9.370. у"— 2у'— 2ё\ «/(!) = — 1, /(1) = 0. 9.371. у"'—у' = —2х; г/(0) = 0, у'(0) = 2, /(0) = 2. 9.372. i/"4-4z/ = x; у (0) = 1, у(л/4) = л/2. 9.373. /+у = 4е*; z/(0) = 4, y'(Q) = — 3. 9.374. y"r-y = 8ex- f/(0) = 0, /(0) = 2, /(0) = 4; !/"'(0) = 6. 9.375. y^-y = 8ex-, z/(0) = —1, y' (0) = 0, z/"(0)=l, /"(0) = 0. 9.376. у—2y' + 2y = 4ev cos x; г/(л) = лея, t/'(n) = ё1. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. Уравнение вида . +о„_1х/ +a„y=f (х), х # 0, где о,- (1=1, 2..л) постоянные, есть частный случай линейпбго дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и назы- вается уравнением Эйлера. Введем новую независимую переменную t с помощью подстановки х—е1 (если х > 0) или подстановки х=—е* (если х < 0). Пусть для определенности х > 0. Тогда Px=e~tyi, Ухх=е~21 (yit—Pt), Уххх=с~Я1 (y'ttt—3y/t-J-2yr) и т.д., и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэф- фициентами. Уравнение вида («+/>)" ^">+щ (ox-f-6)"-1 !/"-'>+ • • +лп-1(ох-|-6)р'+ад=/(х), где а, Ь, о; (1=1, 2...n)—постоянные, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ах-\-Ь—е* (в области ax-f-b > 0). Решение однородного уравнения Эйлера • •• +oB-ixy' -\-апу=0 можно (при х > 0) искать в виде у—х\ Подставляя выражения для у', if.......в однородное урав- нение Эйлера, находим характеристическое уравнение для определе- ния показателя степени X. Прн этом, если X—действительный корень характеристического уравнения кратности г, то ему соответствуют г линейно независимых решений х'-, хИпх, x'-(lnx)2, х. (1пх)г-1, а если а ± 10—пара комплексных корней кратности s, то ей соот- ветствуют s пар линейно независимых решений х« cos (Р In х), х“ In х cos (0 In х).ха (In х)5-1 cos (Р In х), х“ sin (Р In х), х“ In X sin (0 in х).х* (1п х)*-1 sin (Р in х). 88 Прим р 22. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера х2у"—Зхг/'-|-5р=Зх2. Положим х=ё1, считая х > 0. Тогда = yxx=e~2t (y'tt—y't)> и наше уравнение примет вид е2<- е-2/ (уу—yt)—3ef •e~tyt-$-5y=3esl, или y"tr—4y't-i-5y^3e2i. Общее решение у0 соответствующего однородного уравнения есть ye—e2t (Ci cos 1-)-С2 sin /), а частное решение у неоднородного урав- нения будем искать в виде y=Ae2t. Тогда у'= 2Ae2t, p’ = 44e2f, и, подставляя у, у', у" в йеодиородпое уравнение, приходим к тождеству Aest = 3e2(, откуда Л=3. Следовательно, y=3e2t, и общее решение неоднородного уравнения есть y—yo+y = e2t (Cf cos Z-f-C2 sin (+3). Возвращаясь к первоначальной независимой переменной х, падучим окончательно у = х2 (Ci cos in х-|-С2 sin 1пх-рЗ). Если учитывать случай х < 0, то общее решение можно записать в виде, охватывающем оба случаи: у=х2 (C| cos in | х|-|-С2 sin In | x|-)-3). Пример 23. Пайгн общее решение однородного уравнения Эйлера (х-|-2)2у"-|-3(х-р2)у' —Зр=О.’ Положим р —(х-|-2)?\ Тогда имеем у’ =X(x+2)'-J, if = = Х(Х—1) (х-|-2)^~2. Подставляем выражения у, у', if в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение Х2-|-2>.—3=0, корпн которого Xi=l, Х2=—3. Следовательно, обшее решение есть функция у=С1(х+2)+^-^-я. >- Найти общие решения уравнений Эйлера: 9.377. х-у +ху' + у = 6. 9.378. хгу" + ху' + 4у = Юх. 9.379. xV—6f/= 121nx. 9.380. х2у"'—Зх//"4-Зу' = 0. 9.381. х2у'" —2у' = 0. 9.382. (2х+ !)= у"—2 (2х+ 1) у’ + 4у = 0. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравне- ний. Во многих физических задачах приходится искать решение дифференциальных уравнений не ио заданным начальным условиям, а по их значениям на концах интервала. Такие задачи получили название краевых (граничных) задач. Общин вид краевых условий для интервала (а, Ь) в случае уравнений 2-го порядка таков: сад («) + ₽о</' («) = Л Uiy (Ь) + 01/ (Ь) = В, (20) где а0, «1, 0в, 01—одновременно не равные нулю заданные постоян- ные. Краевые условия называются однородными, если из того, что функции У1 (х/и у2 (х) удовлетворяют этим условиям, следует, что 89
и их линейная комбинация у (х) = Ctyt (x)-f-C2y2 (х) также удовлет- воряет этим условиям. Краевые условия (20) при Л = В=0, оче- видно, однородны. Краевые задачи ие -всегда разрешимы. При решении краевой задачи сначала находится общее решение данного дифференциального уравнения, и из граничных условий получается система для опреде- ления значений постоянных Съ С,.......'С„, при которых из общего решения получается решение данной краевой задачи. Пример 24. Найти решение уравнения у"-}-у=1, удовлетворя- ющее условиям у' (0) —у' (л) = 0. Исходное уравнение имеет общее решение вида y~Ci cosx-f-C2sinx-f-l. Из граничных условий получаем: у' (0) С20 и у’ (л) — — С2 — 0, так что функции у(х)-—С1 cos х-|-1 удовлетворяет граничным усло- виям при любом Ср ► Пример 25. Найти частное решение уравнения j/"—2 у' 2у — ех, удовлетворяющее краевым условиям У (°)Н У (л/2) = ел/2, у’ (0) ±у' (л/2) = 1. 4 Характеристическое уравнение 7,2—2Х |-2 —0 имеет корни X, 2 = = 1 -1 f. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть уп — ех (Ci cos х |-С2 sin х). Частное .решение неоднородного уравнения бу (см искать в виде у = Лех Подставив у' = Ле* и у" —Аех в данное уравнение, получим Лех=ех, откуда Л«-1. Итак, у — ех, и общее решение исходного уравнения имеет вид у—-ех (Cj cos х-\-С2 sin x-j-1). Найдя У'=ех (С, cos х-\-С2 sin х-|- 1) + е* (- Cr sin х-|-С2 cos х), используем краевые условия. Получим систему уравнений для опре- деления Ci и С2: (С,-1-П+ел'2 (С2+1)-^ал'\ (Сд-| С2-|- 1)-]-ел'« (- Ci+CH- 1)- 1. Решив эту систему, находим гл_1_гп'2 1-2ел’2 С1 -------—----- С 2 —------------, 1+ел - Нел т. е. искомым частным решением является функция ея—1 — ел2 1—2ел/2 У=ех Найти решения дифференциальных уравнений, удов- летворяющие заданным краевым условиям: 9.383. £/"—// = 0; у (0) = 0, у (2л) = 1. ' 9.384. у"—у = 0- у(0) = 0, у(1)=1. 90
9.385. y" + y=O\ t/'(0) = 0, y'(l) = 1. 9.386. у’-у у^О\ /(0) = 0, т/'(л)—1. 9.387. уу" + у’г 1 = 0; у(О)=1. у(1) = 2. 9.388. у" + у=\\ т/(0) = 0, у(л/2) = О. 9.389. уу’-'гу1 //у =0, z/{0)= 1, у( 1) = 0. 9.390 | 2z/ = a-2, у (0) 4- 2у' (0) = 1, y(i)-/(J) = o. 9. Задачи физического характера. 9.391* . Материальная точка массы т движется пря- молинейно под действием силы притяжения к неподвиж- ному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропорциональности /г>0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (коэф- фициент пропорциональности X > 0). В начальный момент расстояние от точки до центра равно а, а скорость на- правлена по прямой, соединяющей точку с центром, и равна и0 Найти закон движения точки при условии, что X® < 4/nfc. 9.392* . Материальная точка массы tn движется, пря- молинейно под действием силы отталкивания or непод- вижного центра, пропорциональной расстоянию ог точки до центра (коэффициент пропорциональности k > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (коэф- фициент пропорциональности л>0). В начальный момент точка находится па расстоянии а от центра, скорость равна v0 и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки. 9.393* . Узкая длинная трубка вращается с постоян- ной угловой скоростью ы вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения ша- рика относительно трубки, если: а) в начальный момент шарик находился на расстоя- нии а от осп вращения, начальная скорость шарика равна нулю; б) в начальный момент шарик на-ходнлея на осн вра- щения и имел начальную скорость ип. 9.394. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней с трением, величина которого R=2tnyw-^ , где ц—коэффициент трения скольжения. Найти закон движения шарика, если в начальный момент шарик на- 91
ходился на расстоянии а от оси вращения и начальная скорость его равна нулю. 9.395* . Тяжелая однородная цепь , переброшена через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее длиной 8 м, а с другой стороны—часть длиной Юм. За какое время Т цепь соскользнет с гвоздя? 9.396* . Груз массой 4 кг подвешен на пружине и уве- личивает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если верхний конец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание у — 2sin 30/ (см) и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебречь). 9.397* . Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с э. д. с. e(/) = £sinco/, ин- дуктивности L, сопротивления R и емкости С, причем R°C—4L < 0, со=/= j/^—Найти ток i в цепи как функцию времени t, если = о==О. 9.398* . Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с э. д. с. e(/) = £sinco/, ин- 1 „ 1 ^цуктнвности L н емкости С, причем со = (случай ре- зонанса). Найти ток i в цепи как функцию времени t, если i|/=0=*|/=o =0. 9.399. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с э. д. с. e(t) = E cos (со/ + ф), индуктивности L и емкости С, причем со = • Найти ток i в цени как функцию времени /, если i |(=0 == 4Я =0. at |/=о § 3. Системы дифференциальных уравнений I. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями л-го порядка. Если система k дифференциальных уравнений, связы- вающая независимую переменную к и k функций уг (к), ..., ук (х), разрешена относительно старших производных этих функций 14Р1> (х), Ук^ W, т-°- имеет вид 4/(!Р1> W = И.....4/(1р,-1), .... ук. W = /2 U уъ . ., y^-V.....ук, ..., у^~1>), (1) и .... ....ук..... S2
то она называется канонической, причем число л = рх р2 -•••+₽* называется порядком системы. Каноническая система (1) при Р\ — ==р2-<=. ,.,=pk=I, т.е. система дифференциальных уравнений 1-го порядка tj'i (x)=fi (х, Vi.f/п), у'Лх) f2(x, ylt yn), Уп(х) — f„(x, у у....y„). называется нормальной системой. Решением системы (2) на интервале а < х < Ь называется сово купность функций У! = ср 1 (х), ..., у„ — фп (х), непрерывно дифферен- цируемых на (а, б) и обращающих у равнения системы (2) в тожде- ства относительно Л 6 (о, Ь). Интегралом нормальной системы (2)'называется функция V (х, у2, ... .Уп). определенная и непрерывная вместе с частными производ- дщ w dy ними -г;— -ч—. . . -ч— в некоторой области D изменения перс- ах diji дуп менных и принимающая при любых х£(о, о) постоянное значение при подстановке в нес произвольного решения системы. Равенство 44*. У1.....У«) = С. где 'Г(х, (/!, ..., уп)—интеграл нормальной системы, а С—произ- вольная постоянная, называется первым интегралам системы (2). Дифференциальное уравнение л-го порядка (/'> = /(x, у, у', . ., у'""1») можно свести к нормальной системе (2) Обратно системы (1) или (2) в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению л-го порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы. Пример 1. Привести каноническую систему дифференциальных уравнений Ут = 2.У1—Зу2, У2 — У1— %У2 к нормальному виду. di/i ^Уг ^Положим — —уз и сать в виде Тогда данную систему можно запи- Ут=Уз. У2 = УИ ys = 2yi—3y2i у\ = Ух—^Уг, которая и является нормальней системой 4-го порядка. ► Пример 2. Привести к нормальной системе дифферепциапьиое у равнение if (х) -ф k2y (х) — 0. ^(Положим у'=2, toiда if — г’, и уравнение приводится к нормаль- ной системе уравнений У ==г, z'~— k-y. 93
Пример 3. Свести систему уравнений У'=У~г- z' = —4у+г, () где у=у(х), z —z(x), к уравнению 2-го порядка и найти решение системы. ^Найдем г(х) из первого уравнения: г—у—у'. Отсюда имеем г'=р' у". Подставив значения г н г' во второе уравнение системы, получим уравнение if—2у'—Зу=0, общим решением которого явля- ется функция у(х)=С1е-^ + Сге«* Отсюда, используя равенство z = y—у', найдем г (х) = (?!«-* + Cje3*+Суе- *—ЗС2е* = 2С1е~х —2С^. Таким образом, при любых постоянных С] н С2 система функций у = С1е~х-\-С2е3х, z — 2Cte~x—2C2e'>x W является решением исходной системы (3). ► Задача Коши для систем! i (2) ставится следующим образом: найти решение Pi(xJ, ..., у„ (х) системы (2), удовлетворяющее началь- ным условиям Pi (х«) — yi, Уг(хп)—У2, ..., уп (х0) = y,i, (5) О о где i/it уп—заданные числа. Теорема Коши. Пусть правые части ft, f2, ..f„ нормаль- ной системы (2) определены в (л-|- 1у мерной области D изменения пе- ременных х, уъ ..., уп. Если в некоторой окрестности Д точки Л^о(хо. Pi. • ••,Уп)£Е> функции fv непрерывны и имеют непрерывные - частные производные —л. по переменным yi,.-.,yH, то существует интервал х0—h < х < х,>-|-Л изменения переменной х, о котором существует и притом единственное решение системы (2), удовлетворя- ющее начальным условиям (5). Общим решением системы (2) называется совокупность функций Pv (х. Ci....С„), v = 1, 2, ..., п, (6) зависящих от п произвольных постоянных, которые при любых до- пустимых значениях постоянных Сь ...,С„ обращают уравнения сис- темы (2) в тождества, и в области, в которой выполнены условия тео- ремы Коши, из совокупности функций (6) можно получить решение любой задачи Коши. Пример 4. Показать, что определенная равенствами (1) систе- ма функций является общим решением системы (3) (см. пример 3). В качестве области D для (3) можно взять область — со < х, у, г< < +«>; при этом для любых х0, у,, и г0 из этой области выполнены условия теоремы Коши. Подставив значения х0, р0, г0 в систему (4), получим систему для определения Cj н С2: Ун — С1е~х" + С2е3х<>, га = 2Cie~x^>—2C2e3x^^, 94
2х | 1 11 2х Определитель этой системы Л=2е ° L J —4е 0 отличен от нуля при любом х„. Следовательно, при любых у„ и г0 числа Ci и С2 . определяются однозначно, т. с. из системы функций (4) можно полу- чить любое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3). Путем исключения параметров а и b найти систему дифференциальных уравнений, определяющих семейства линий в пространстве: (у — ах - b, I ах ф- г = Ь, 9.400. , , . 2 9.401. . . / (х2 + у2 = г.2—2ог. \у2г2 = Ь2. Дифференциальные уравнения или системы заменить нормальными системами дифференциальных уравнений (х—независимая переменная): 9.402. у'"—хуу' + у'3 = 0. 9.403. y,v—yi==0. 9.404. у' = у'-\ г', г" = г -\ и', и" = и'-\ у'. 9.405. г" + г—2у=0, у'" + г—у = х. 9.406. у—2—u = 0, ?'ф-мг = х2, и”'=—ху. Проверить, что функции у(х) и г(х) являются реше- ниями систем дифференциальных уравнений: 9.407. у'=— 1/г, о ,,, , у = е~х/2, г = 2ех'2. г=Иу; 9.408. у' = \—^-, 3 х х , 1 „ ^=3+?‘ г = еХ- г*- Проверить, что функции Y (х, у, г) являются интегра- лами данных нормальных систем: , г У ~ у—г * 9.409. Ч'(х, у, г) = х-\-у г у , Зх—4г У 2г—Зу’ 9.410. Т(х, у, г) = х2 + у2 + г2; - 4{/_2x 2 = —---- 2z—3ij 9.411. Т(х, у, г) = ——у,^у'2' ' J ' У г г =2!у. 2. Методы интегрирования нормальных систем Одним из мето- дов решения систем дифференциальных уравнений является метод ис- ключения неизвестных который сводит систему уравнений к одно- му или нескольким дифференциальным уравнениям-с одной ис- 95
известной функцией в каждом. Поясним это па примерах (см. так- же пример 3) Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений dy _ dz гг ,dx~ ’ dx у И^ = 1. получим г- 7 и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям *(!)= —g- ^Продифференцируем обе части первого уравнения по х, Z {/*'=—г' Так как из второго уравнения г'——, то у"———но У У из первого уравнения г2 = ($/')4, поэтому система двух уравнений пер- порятка вого порядка свелась к одному уравнению второго у”=-----— , тек уравнению уу" + (у')8 =0. У Левая часть 'Полученною уравнения есть (?/!/')'> откуда ydy^—Cidx и 1 ^=’с,х-|-1с2, Z = ± УС±х + С2. Из первого уравнения системы имеем: г — г<=Т г—т—_ . Система функций у—± УCtx поэтому Т. е. у = —у', т. е. -С2, z=* = Т —образует общее решение заданной системы 2 у С}х-}-С2 фереициальных уравнений. Для нахождения частного решения используем начальные вняр(1)_1,г(1) = -1. Имеем. 1- /СТ+С;, — |---------1- откудаС1=1 С2 = 0. Итак, пара функций у—Ух, г ное решение системы. ► Нс всякую систему дифференциальных уравнений к одному уравнению. Пример 6. Показать, что систему уравнений У'—ху, z'-y-у' = г+ху 1 и есть диф- усло- 2 УСг- Са искомое част- можно свести нельзя свести к одному уравнению. 4 Действительно, подставив во второе уравнение вместо у' его значение ху, получим два не связанных между собой дифференциаль- ных уравнения, каждое из которых содержит только одну функцию: У'^-ху, z' = z; из этих уравнений находим i/ = C1ex’2 и г = С2е*. ► Другим методом интегрирования систем нфференциальных уравнений является метод выделения интегрируемых комбинаций т. е. получения из системы (2) такого уравнения, которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл си- стемы. Если найдены п независимых первых интегралов системы (2), то их совокупность дает общий интеграл этой системы. 96
Пример 7. Найти общий интеграл системы дифференциальных уравнений dy____________________г+е*' dz_______г* е* dx г+е* ’ dx z-f-e* Умножим обе части второго уравнения системы на е~х и сложим их с соответствующими частями первого уравнения и с тождеством — е~хг=^~ е~хг, получим (e~xz}'-f-y'=O, откуда e~xz-\-y=Ci Это первый интеграл системы. Теперь умножим обе части второго уравнения на е~У и стожим г-1-еУ , , с равенствами —ё~Угу —— е~Уг - и х =1, получим (е~Уг)’-1-х'—0, откуда е~Уг-\-х = С3. Это тоже первый интеграл системы. Так как якобиан системы е~хг-|-«/ = С1, е~Уг-\-х =С2 отличен от нуля (проверьте!), то оба первых интеграла независимы между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее реше- ние заданной системы уравнен Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (2) по- следнюю удобнее записать в так называемой симметрической форме: dyi ____________ dt/2 _________dt ________ dx fl(x, yt...y„)~~ fi(x, У! .... yn) fn(x, .............УпГ 1 (7) и использовать следующее свойство равных дробей если — = Ч =31?.= .., = у то при любых at, .... а„ имеет место соот- vn ношение «iWf+a2»24----+a»«n а1-'1 "1“ а2и« +-+ «п^л Числа .......а„ подбираются обычно таким образом, чтобы чисти- тель в (8) был полным дифференциалом знаменателя или же знамена- тель был равен нулю. В соотношении (7) независимая переменная и искомые функции равноправны. Пример 8. Найти общее решение системы уравнений , тг—1х ,_пх—ту IJ — ty—nz’ ~ ly—nz’ Запишем систему в симметрической форме’ dx . dy _______________________ dz _ у—nz тг—lx пх—ту и воспользуемся соотношением (8). Выбираем at=m, а2~п и а3 — 1, тогда имеем d(mx-{-ny+lz) О т’ т. е. d (тх-[пу-}-1г) = 0, откуда . mx-f-ny-j-k—Ci. (9) У7 4 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
9.414. 9.415. 9.416. 9.417. 9.418. 9.419. Лналогичш м бризом, выбирая а1 = 2х, а2 = 2у и а3 —2z приходим к равенству <1 (х2-|~у2-|-г2) = 0, откуда х«4-у2+г2 = С2. (10) Соотношу пя (9) и (10) образуют два первых интеграла системы, неявно определяющих общее'решение. Найти общие решения систем дифференциальных урав- нений: 9 412 I 9 413 d* ‘at у ’ dt х ‘ ' ‘ ху ty tx ' dy_______г dz_________у dx (г у)3 *• dx (z—у)2 dx х — у dy х—у dz , . = -Л =Г=7’ ИГ = х-У+к dy_______2ху dz 2хг 'dx х2—у2 — г2’ dx х2—у2— г2 " it dx dy xt x2 txy— 2t2' _____dx_______dy___dz l + ^z—x—y 1 2 dx y2 dy x2 dt x ’ di у ‘ Найти общее решение системы дифференциальных уравнений, а также частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: 9.420. ^ = -,-^ = -!-; z/(0) = — 1, г(0) = 1. dx г ’ dx у—х 4 ' ’ ' ' 9.421. ^ = -, ? = г/(О) = г(О)= 1. dx yz dx у* ' 4 7 9.422* . Для системы дифференциальных уравнений dx х2—t du , dt= — ’ dt=~x “ ФУнкш<и a) «Pj — t2 + 2xy', 6) <p2 = x2— ty проверить, являются ли соотношения = С (i=l, 2) первыми интегралами этой системы. X 3. Физический смысл нормальной системы. Для простоты огра- ничимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений, причем будем считать, что независимая переменная I есть время: (II) У = 1г(1, х, у). Решение х—<р (/), у =ф(0 этой системы есть некоторая кривая в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной систе- мой координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью, а кривая х=<р(/), у=$(1)—фазовой траекторией системы (11). 98
Сама система (11) называется динамической системой. Динамическая система называется автономной (стационарной), если в правые части уравнений этой системы время t не входит явным обрг хм Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки в любой момент времени t. Решение динамиче- ской системы x—x(t), y—y(t)—это уравнения дВ1жения точки: они определяют положение движущейся точки в любо"! момент вре- мени t Начальные условия задают положение точки в начальный момент: x(t)~x0, у(1Й)=уе. Уравнения движем я определяют также и траекторию движения, будучи уравне! иями этой кривой в параметрической форме. Пример 9. Найти фазовую траекторию автономной динамиче- ской системы • ха х =—, у—х, У проходящую через точку Л40 (2, 3) Продифференцируем второе уравнение по t и подставим выра- • ... „ (у )а жепне х=у и х=у в первое уравнение. Получи»? у —— пли уу—({/)’ = 0, т. е. одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у. Разделим обе части последнего уравнения на у1 и перепин ем его так: ^=0. Отсюда следует, что — = Cj, или — = at \ у ) ' У У откуда </ = С2ес,г- Нвндем y—C-fi^ и подставим во второе уравнение системы; •получим х bCjC^0'*. Итак, система функций х= i 2t> , ^i=C2eC1' есть общее решение нашей системы дифференциальных уравнений. чем через заданную точку Л10 (2, 3) проходит прямая у~-^х. ► Для указанных систем найти фазой де траектории, проходящие через заданные точки Л1„ 9.423. x 1— х2—у\ у — 2х\ М (1,2). 9.424. х=1— х2—-if, у—2ху, МЙ(2, 1). 9.425. х = 2х, у = х-)-2у, М (1, 1). 9.426. х = у—х, у = у—2х; Л1о(1, 1). 4. Линейные однородные системы. Нормальная линейная одно- родная система n-го порядка имеет вид xi ~ aii (0 xi (0 х2 +» • (0 хп. х2=ait (0 xi -J- O22 (0 Хв + • • +а2п (0 хт ............................................. {12> хп = ап1 (0 Xi+«n2 (0 Ха.. -f-ann (0 xni 99
или, в матричной форме, Х(/) = Л (/)*(/), (13), где (Он (О «12 (0 • • О\п (0 \ /*1 (0\ «21(0 «22 (0 ••• «2П (О *2.(0 У «Я1 (О «К2 (0 " • ' «ЯП (0 / \*л (О/ В области непрерывности коэффициентов «,-у (/), /=1, •••. п, система (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и един- ственности решения задачи Кошн Фундаментальной системой решений системы (12) называется со- вокупность произвольных п линейно независимых решений Хк (0 = = (Л*’(0. *i*’(0.... х;,*’(0)т, А=1, 2....«. Если Xk(t), k -1, 2.....п,— фундаментальная система решений И системы (12), то общее решение имеет вид X(t)~ 2 £*-Х*(0> где *= 1 Сх, С2, С„—npoi звольные постоянные. Интегрирование системы (12) обыч о проводится методом исклю- чения (см пример 3) Решить системы линейных дифференциальных урав- нений: 9.427. Л/ _ _ £ L v, * _ _ 2 У г dx х ‘ у dx ~ х»"1" х‘ 9.428. dy ,dz х-г — —у+гх, хг . =—2t/+ dx J ’ dx 9.429. J У ' x X~ t ’ lJ~ f 9.430. 2 • , <4-2 x~ ——x- В частном случае систем с постоянными коэффи- циентами, когда матрица А (/) в правой части (13) не зависит от t для отыскания фундаментальной системы решений Хк (/), *=1 2, ..., л, могут быть использованы ме оды лиисннон алгебры. Из характеристического уравнения <3et(4 —Х£) = 0 (14) находятся различные корпи Хъ Х-2, .... Х3 и для всякого корня X (с учетом его кратности) определяется соответствующее ему частное решение (/). Общее решение системы j меет вид %(/)= 2 САЛ'^)(0. (15) fc = i При этом возможны следующие случаи- а) X—действительный корень кратности 1. Тогда /Л Л'<М(/)„ \^7 100
где У(^—собственный вектор матрицы А, соответствующий собствен- ному значению X (т. е. ДУ<*> = ХУ<Л>, У(*> / О). Пример 10. Найти частное решение однородной системы *i=4*i4-*2> x2=3x1-f-2x2, Х3 = 2Х!-|-ЗХ8 4-4*н удовлетворяющее условиям Xj(0)=6, х2(0)----6, х3(0) 24. *4 Характеристическое уравнение (14) для этой системы имеет вид 0 0 4 —X 4—X det (Д—ХЕ) = 1 2—X 3 = 0. 3 2 Его корни Xi = l, Х2=4, Хз —5, Собственные векторы, например, таковы: у(х«>=/э\ У<х«>=/о\ У(Х*’ = 1 . \ 7/ \1 / \5 , Поэтому Х(х,) = ( —9 V, Х(Л«> =( 0 )е«, X(X’’ I 1 )е*. \ 7/ \ 1 / \ 5 / Отсюда общее решение системы в соответствии с (15] имеет вид / 3\ / ° \ / 1 \ Х(0=Сх( —9 )e«.4-Ct( 0 )с«4-С3( 1 )«•'• \ 7/ \ 1 / \5/ Для нахождения частного решения константы Сх, С2, С3 определяем нз следующей системы: / 6\ / 3\ о /1 3Cj Ь Сз X(0)=(-6)=C1(-9)4-Cg 0 -Ся 1 - х4- Сз , А 24/ \ 7/ \1/ \5/ \ •7CI4-Ci4- 5CS/ откуда Сх = 1, Са = 2, С3=3 Окончательно для искомого частного решения получаем /*i (0\ / 3\ 0 \ / 3 Х(0=( х2 (0 ) = — 9 )е*4- 0 I 3 е' ► \*з(/)/ \ 1/ 2/ \15 б) X—комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характе- ристического уравнения (14) является также сопряжепное_с X чис- ло У. Вместо комплексных частных решений X(0 и Л' (t) сле- дует взять действительные частые решения (/) = Re X1 ’(0 и Х^(0 = 1т Xх (0. Пример 11. Найти общее решение системы *i (0=*i+*a> *2 (0 = —2*1+3*з- 101
Характеристическое уравнение II—а. I -2 1 3—?. =0 имеет комплексно сопряженные корни А1>2=2±/. Для нахождения собственного вектора, соответствующего’ корню X = 2-|-i, получаем систему (-1-i) у?+ ^ = 0, - -2^х»+(1-0^*’=0.. Полагая »аходим </2х>= l-|-i, т. е.. Отсюда пара действительных частных решений имеет следующий вид: Xlx,(Z) = Ref ( , ’ ,V2+'»t^ = ( ,< fii!fcosZ ^== \\l+i/ / \е2( (cost — sin/)/ = ( cos/ \cost— Sint/ ’ A'2x>(t) = Ini (( 1 , c2fs,n< A — \yl+»/ ' \e2'(cos t-ф sin t)/ — / s,n/ \e2I / \ cost J-sin// Окончательно (см. формулу (15)) получаем общее решение X(t)=C2f C°S/ ^e2f-|-C2f sln/ V* = 1\cost—sint/ 3\cos t-l-sin t) f Ci cos /-j-Ca sin t \ “VCi+Qcost + ^-COslntr • в) A—корень кратности r 5s 2. Соответствующее этому корню решение системы (13) ищется в виде вектора /а*,1’+а!а>/ Н-... + ^•(/)=Р,+^,н;-:-;1;а^;1(16) X^'+an’t + .-. + ajr’K-i/ коэффициенты которого а/*, /==1, «... л; г, определяются из системы линейных уравнении, получающейся приравниванием ко- эффициентов прн одинаковых степенях t в результате подстановки вектора (16) в исходную систему (13). Пример 12. Найти общее решение системы (0 = 2X1—х2, х-2 (0 = 4X1+6^. Характеристическое уравнение 2-Х 4 сД|-Р—»-» 102
имеет корень X —4 кратности г = 2. Поэтому ищем решение системы в виде %(*>(/)=(Xl [J) = (“* + е«. \Хе (0 / + Подставляем это выражение в исходную систему и сокращаем па е*С I'M-U faik_l_4 fPik/_f2a* —“2 k I f2Pi—t кРеЛ k«2^ \ Рз / к4^1+с“2/'Гк4Р1Ч fiP=/ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях I, получаем: ₽i+2ai+ аз р2—4«! — 2а2=0, 2Р1-1-Р. -О, -2₽2-4Pi =0. Полагая at = Ci и Pi — Сг, имеем 82 ——2Сг и а3 — —2С1 — С2. Таким образом, общее решение системы имеет вид х (о=х<*> (0=( _ (2С1 _ 2cu ) '’** Решить следующие системы линейных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами. Там, где даны начальные условия, кроме общего решения, найти соответствующее частное решение: 9.431. х = у, у = —2х + 3у. 9.432. х = х-|-Зу, у=ь— х-р5у, х(0) = 3, у(0) = 1. 9.433. х = 3х—2у, у — 4х + 7у, х(0)=1, у(0) = 0. 9.434. х = 2х—Зу, у = 3х—Зу. 9.435. х = х—4у, у — х—Зу. 9.436. х =—х + 2у, у=—2х—5у, х(0) = 0, у(0)=1. 9.437. х=у, у = г, г = х, х(0) = y(0) = z(0) = 1. 9.438. х — у-[г, у — г + х, z — x+y, х(0) = у(0) = 2, г(0) = -1. 9.439. х = х—2у — г, у = —хН-уф-г, г = х—г. 9.440. х—5х-|-2у—Зг, у = 4хф-5у—4г, г = 6х-}-4у—4г. 5. Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неод- нородная система дифференциальных уравнений имеет вид Х1 = Пц (0 х, +«12 (0 х.+ ... +П1„ (0 Х„ + /1 (0, Хг — Оц (0 Xi-j-a.22 (t) хг -р... -1-П2п (0 хп~г/а (0> цу хп = ani (0 Х1-|-он2 (/) х2 + • • • +flnn (0 Хц+Л> (0> 103
где но крайней мере одна из функций [/, (/) не равна тождественно нулю. В матричной форме система (17) имеет вид Х(О = Л(/)Л(/)+Г (0, (18) где F (t) (/1(0. /2 (0. •••» /п(0)Т- Интегрирование системы (17) можно проводить методом исключения (см. пример 3), однако иногда предпочтительнее найти предварительно решение Хс (/) соответству- ющей (18) однородной системы Х-(0=Л(0Х(0 (19) и какое либо частное решение X (I) системы (18). Тогда общее реше- ние системы (18) имеет вид Х(/> -Хо(0+Х(О. (20) Если известна фундаментальная система Х* (z), Л==1, 2, .... и, решений однородной системы (19), то общее решение X (/) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая *(0= 2 Cft(Z)Xs(/). (21) fc= 1 определяем функции Сц(Г) подстановкой (21) в систему (18). Учиты- вая при этом равенства Xk(t)-A(t)Xk(t) = 0, fc = l, 2, .... п, приходим к системе уравнений относительно С*(1): 2 ^(0^(0-Л’(0- (22) Л= 1 Из этой системы находим С'й (/)«=фц (() н, интегрируя, получаем функ- ции Cft(/) с точностью до произвольных постоянных Подставляя нх в (21), получаем искомое общее решение неоднородной системы (18). Пример 13 Зная фундаментальную систему решений *1(0=(1‘ *4 Aa(/) = (~’)e‘ однородной системы *1 = 6*14 Хг, хг = 5хН-2х2, найти общее решение неоднородной системы Xi = 6xi-|-x2-H, х2 = 5X1 4~ 2х2 4 1. ◄ Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для функций Сх (t) и С2 (/) составим систему вида (22) с,(<)( Найдя C2(t)=±=±e-t 104
и проинтегрировав, получим С1(0 = -| Д'+Й)е"7'+Сь С2(0=-§-/е-' + Сг. Таким образом, общее решение системы запишечся в виде Если коэффициенты я,/(/) системы (17) постоянны, т. е. «|у(/)=я/г, i, j — I...п, а функции /,•(/) имеют вид произведений (Р (0 cos р/+ Q (0 sin pi) е«', (23) где Р (Z) и Q(t)—многочлены, то частное решение X (Z) можно найти методом неопределенных коэффициентов, записав X (t) в виде, анало- гичном (23), с учетом совпадения или несовпадения чисел а ± ip с корнями характеристического уравнения. Следует иметь в виду, что если k—наибольшая степень много- членов Р(<) и Q(Z) в (23) и А.=а-ф ip—корень кратности г харак- теристического уравнения, то частное решение X (I) ищется в виде / /VW*+14-VnPt + ---4-Ti, *+1\ X(f)=Rel tr-d W*,’1+T2iP! + --- + T2, ft+i V \ \Vn</*!+1+'Vnif* + • • - -фУл, * + i/ / Пример 14 Найти частное решение системы П = — ха + /г, Так как характеристическое уравнение X имеет К0РИ11 • М, 2=±». ищем частное решение системы в виде суммы многочлена второй степени и функции вида De1: Xi = Ait2Bit Ci-J-Djfi, х2~ А21гB2t-]-С2-\-D2£^, Подставляя sth функции в заданную систему, получим равенства 2 A it + Bi -I- Dtft = — A 2Z« — B2t—С, —О4е« -ф Z2, 2 A 2t -ф В.2 -ф В2е* = А, i2+В it С2+D^t -ф Д Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Z и при ef, по- лучим систему 2Д1 = —В.2 В2 — — C2t Di = ——А 2=О, 2А2 j, B2=Ci, ^2^^1-ф!, Л2=0. 105
i Отсюда Л, = В2 Ct=0, Л2 = 1, B,=2, C,=—2, £)2=l/2, £4 = —1/2, и искомое частное решение имеет вид *1 = 2/—с*. ха=/«-2+Ае« > Пример 15. Найти общее решение системы Х(/) = ЛХ (0+F(0, где л=(« V *,f==(V)<- <4 Характеристическое уравнение |V 4zV’’“6Z+8+‘=(I-3)2~o имеет корень 1=3 кратности 2. Общее решение однородной системы ищем в виде Хо(/)=^^ подставив которое в однородную систему и сокращая на имеем з(а/+₽^. (Р\_72 -»W«<+P\ кт'+бР\б/ v «Дтн-б? Получим систему 3(а/Ч-р) + ₽ = 2(а/ + ₽)-(у/ + 6). 3(уН 6) + б = аН Р4 4(у/ + б), нз которой следует два независимых соотношения а = — у н Р4-а = — 6. Полагая а=С, и р=С2, имеем у = —С, и 6 = — Ci — Сг, т. с. Так как F (t) содержит множитель с31, причем 1 = 3—корень харак- теристического уравнения кратности 2, то ищем частное решение () \A^+B2t + Dje ~\A2t3-]-B2t3+D2t)e ( а не в виде ^е3,\ \ \л2/4-в2; j Подставив X (/) в заданную систему и сократив па e3f, получаем матричное равенство 3 ( Л1/3+В1^ + Т»1/\ , /ЗА1/г-р2В1/-]-О1\ \ Л2Р + В,/2 4- Dtt ЗЛ -|- 2В41 -}- Dt) ~ (2 -1\. //-MX \1 4Дл2/34-В2/Ч^ГА 21 )' которое можно записать в виде равенств Л1/3+В1^+Л1/4-ЗЛ1/Ч2В1/ + О1 = -Лг/3-В2/г-О2/4-/ + 1, — Л, t3— B,t2—D2l 4- ЗЛ2/г4-2В2/ 4- D2 ~ Л j/3 4-В^2 4- olz 4.2/. 106
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем си- стему уравнений ' ’ ' " Л14-Л2=0, Bi -f-/?2—ЗЛ2 = о, D1+D2-2fe2 = -2, Г>2=0. В2=3/2, Ai = —1/2, Л2 = 1/2. Сле- 51Н-ЗЛ1Н-Вг = 0, D1-|-2B1-|-D2=1, Dx = l, Находим D1=l, D2 = 0, Bj = O, довательио, e-t. X(t) = t z \ J_p+3j \ 2’2/ и искомое общее решение запишется в виде / CJ-J-C.—1 X(/)=xu(0-hX(0= 2 , - (G+c2)-|- y f+-J /2 Найти решения следующих систем уравнений: 9.441. х—Зх—2у-}/, у = 3х — 4у 9.442. х = х—у, у — х-|-t/4-е*. 9.443. х = 5х—Зу+к,2‘, у = 3х—у-|-е31. ч 9.444. х = х-|-1/—cos/, у =—2х—у + sin t -|-cos t. 9.445. x — y-\- tg21 — 1, y ——x-J-tg/. 9.446* . x = 2x + 3y, y = 4x—2y. 9.447* . Вещество А разлагается на два вещества Р и Q. Скорость образования каждого из них пропорциональна массе неразложиршегося вещества А. Найти законы изме- нения масс х и у веществ Р и Q в зависимости от вре- мени t, если через час после начала процесса разложения а За л x = -g-, y = -g, где а—первоначальная масса вещества Д. 9.448* . Материальная точка массы т притягивается центром О с силой, пропорциональной расстоянию. Дви- жение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью перпендикулярной к отрезку ОА. Найти траекторию движения. § 4. Элементы теории устойчивости 1. Основные понятия. Пусть задана нормальная система диф- ференциальных уравнений Х1(0=/1(<> Хь х2, ..., х„), X2(t) = f2(t, Xi, хг, х„), in(-)=/n(<. xit ..., х„) 107
с начальными условиями в точке t0. Решение Xo(0 = (<pi(/), ... ,ф„(/))т системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 найдется такое б (в) > 0, что для всякого решения X (/) = (*! (/), ..., хп (0)т той же системы, значения которого в точке /0 удовлетворяют неравенствам I х; М -<р,- (t0) | < б (в), i = 1, 2... (2) для всех t > t„ справедливы неравенства IMO—<М01 < 8. « = 1, 2, .... п. (3) Если же при сколь угодно малом б > 0 хотя бы для одного ре- шения X (0 неравенства (3) не выполняются, то решение Хо (Z) назы- вается неустойчивым. Если' решение Л'о (0 нс только устойчиво, но, кроме того, при условии (2) удовлетворяет соотношению lim <р, (Г) | = 0, ( = 1.2, / -> + <ю то это решение называется асимптотически устойчивым. Пример I. Исследовать на устойчивость решение дифферен- циального уравнения х~ах (а £ R), определяемое начальным усло- вием х0(/0) = С0. Если a 0, то решение имеет вид х0(0=С0е«<'-'о>. Пусть х(0=Сев(,_,о)— произвольное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию | С—Со| < б=в. Тогда при с < 0 полу- чаем । х (1)-Хв (/) | = | Се ° - С„е ° = е а | С-Со | < е, откуда litn |х(0— хи (() | = | С—Со | Jim еаО, /-*+<» I -» + со т. е. решение асимптотически устойчиво. При а > 0 |х(О-хо(0|=ео»-'‘ЧС-Со| может быть сколь угодно большим числом при достаточно больших t Значит, при а > 0 решение неустойчиво. Если с = 0, то решение имает вид х0(/) = Со. Для всякого решения х(/)=С с условием | С—Сп | < 6=е имеем Ix(t)-х0(П| = | С-Со| < в. Но liin |х(0—х0(/)|==|С—Со[ 7 t -» + <» а потому решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво. ► Исследование на устойчивость решения Хо (t) системы (1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального (нулевого) решения—точки покоя некоторой системы, аналогичной системе (1) (см. задачу 9.454). Исследовать на устойчивость решения следующих урав- нений и систем уравнений: 108
9.449. x== Z(x—1), л(0)= 1. 9.450. x=t 1,х(0) = —1 9.451. х=х+у, у = х—у; х(0) = у (0) = 0. 9.452. х ——2х Зу, у = х-фу; х(0) = у(0) = 0. 9.453. х = ах—у, у—ау—г, г—аг—л; х (0) = у (0) = г (0) = 0, a£R. 9.454* . Написать систему дифференциальных уравне- ний, исследование па устойчивость точки покоя которой равносильно исследованию на устойчивость решения А"о(/) системы (1). 9.455. Сформулировать определения устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости для точки покоя системы дифференциальных уравнений. 2. Простейшие типы точек покоя. Для исследования на устой- чивость точки по1 оя системы двух линейных однородных дифферсн- циальнйх уравнений с постоянными коэффициентами х=ппх-|-с12у, |«ii «12 0 Л = I 5е и. 4 У =С21Х-|-О221/, I «21 «22 I надо составить характеристическое уравнение |011 -1 Ь??_(„11_М22)Х+д=0 I «21 «22— и найти его корни Хг и Хг- В таблице 4 1 приведена классификация точек покоя системы (4) в зависимости от корней Хь Ха характери- стического уравнения. Пример 2. Определить характер и исследовать на устойчи- вость точку покоя системы х——2х+си/, У=х-|-У в зависимости от параметра a (a —2). Характеристическое уравнение |~2|~Х (а-1-2)-0 имеет корпи Ад, 2 = — у ± -у 1^9^-4а. Исследуя поведение корней Xj, Х.2 в зависимости от параметра а и используя данные таблицы 4.1, получаем: если а<—9/4 (корни комплексные. Re Xj, 2 < 0) — устойчивый фокус; если —9/4 < а <—2 (корпи действительные и отрицательные) — устойчивый узел; гели —2 < а (корни действительные и разных знаков)—седло, точка покоя неустойчива ► 109
Таблица 4.1 Корни Х|, Лс Характер точки покоя Устойчивость точки покоя Действитель- ные: 11 Устойчивый узел Асимптоти- чески устойчива Al > О, А2 > О Af > О, А2 < О Комплекс- ные Ai = a+i'P. А2=а—ip а < О, Р^О а > О, Р ^0 а = 0, Р^О Седло Неустой- чива Неустойчи- ва Асимптоти- чески устойчива 11сустойчн- ва Устойчива 110
Таблица 4.1 (продолжение) Кории Хи >.а Характер точки покоя Устойчивость точки покои Л Действитель- ный, крат- ности 2: Х1 - Ад — ?. Асимптоти- чески устойчива X > О Неустойчивый узел Неустойчи- ва Определить характер точек покоя следующих систем 9.456. x = x+2z/, ^ = — Зх + j/. 9.457. х = — 2x4-1^, у = — 2х-]~ у. 9.458. х =— х + Зу, у = — х-\ 2у. 9.459. х =— у, у—х—2у. 9.460. х=—6х—5у, у——2х—5у. 9.461. X—— х + 2у, у = —2х—5у. Определить, при каких значениях параметра а точка покои системы устойчива. 9.462. х — ах—у, у^=х-\-2у. 9.463. х =—Зх ау, у = — ах-\-у. 9.464* . Исследовать на устойчивость уравнение упру- гих колебаний х -h 2ах | f>-x = 0 (а > 0). 9.465* . Пусть задана система п линейных дифференци- альных уравнений с постоянными коэффициентами л х,= ‘ = 1, 2. •••> П. /= I 111
Доказать, что если все корни характеристического урав- нения этой системы имеют отрицательную действитель- ную часть, то точка покоя системы асимптотически устой- чива. Если же хотя бы один из корней характеристи- ческого уравнения имеет положительную действительную часть, то точка покоя неустойчива. Используя результат задачи 9.465, исследовать на ус- тойчивость точку покоя каждой из следующих систем: 9 466. х = 2х, у=3х+2у, г — — х—у—г. 9.467. х = — 2х—у, у=х—2у, г = х+3у—г. 3. Метод функций Ляпунова. Этот метод в применении к авто- номной системе xl = fi(x1, .... х«). .................................. (5) Xn~fn (*!• • Хп), где f,-(0.. 0)=0, (=1, 2........ я, состоит в непосредственном исследовании устойчивости ее точки покоя при помощи подходящим образом подобранной функции Ляпунова V (xt...х,.). Верны следующие теоремы Ляпунова: Теорема I (об устойчивости). Если существует дифференци- руемая функция V(Xi. .... х„), удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям'. a) V(xt, .... х„)^0, причем И —С лишь при xt=... =х„=0; л dV V , .^п б) dXi fi(Xl........... f •— I то точка покоя системы (5) устойчива. Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если сущест- вует дифференцируемая функция V (хр..... х„), удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям: а) И(хь ..., хп)>=0, причем V=0 лишь при xt =... =хп — 0, п dV V* dV dV б) - - — 7 , fi (Xi.xnX О, причем - г = 0 лишь при i = t ‘ Xi== • • • ~хп—0, то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива. Теорема 3 (о неустойчивости). Если существует дифферен- цируемая функция V (*j...... х„), удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям: а) V (0.... 0)=0 и сколь угодно близко от начала ксординат имеются точки, в которых V (хх, ... х„) >0; п dV V' дИ dV б) -^- = 2^ -^7 fi(x!...х„)2а0, причем -^-=0 лишь при х^.-.^Хп^О, то точка покоя системы (5) неустойчива. 1.2
Пример 3- С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость точку покоя системы х=—х4-у, ji = —2^®—х В качестве функции Ляпунова возьмем V х24-«/2- Тогда уу = 2х(—x4-j/)-4-2j/(—2^—х)=—2(х24-2у*), и функция V вместе dV с уу удовлетворяет условиям теоремы 2. Значит, точка покоя сис- темы асимптотически устойчива. Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы x=x(2-}-cosx), У=—У- 4 Возьмем функцию И(х, $0=х2 —у*. Тогда ~ — 2х* (2 + cos х) + 4- 2</2 = 2 (2х* + у2+х2 cos х) = 2 х* + 2х2 cos2 у + у2) > 0 всюду, кроме начала координат. Кроме того, сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых V > 0 (иапрп.мер, вдоль пря- мой у—О V~x2 > 0) Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и точка покоя неустойчива ► Общего метода построения функций Ляпунова не существует. В простейших случаях ее следует искать в виде: V=ax2-}-bya, V — ax^+by*, V—ax^by*. подбирая надлежащим образом постоян- ные а > 0 и b > 0. Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы 3 х^—х-\—у-]-Зху3, У = —х—~у~2х2у2. 4 Функцию Ляпунова будем искать в виде V = cx3-|-fcy2, а > 0, b > 0. Тогда имеем: ~ = 2ох ( — х 4- у у+Зху3 ) + 2 by ( — х—-|- — 2х2р2 ; = / 2 \ =— I 2ахг 4- у by2 1 4- (ху+ 2xV) (За —26). Полагая 6=у с. получим, что -y = —c(2x24-j/2)^0 при всяком а > 0 Из теоремы 2 вытекает, что точка покоя системы асимптоти- чески устойчива. ► Исследовать на устойчивость точки покоя следующих систем" 9.488. х——х—у—х3— у2, у = х—у-\-ху. 9.469. л" = у 4- х3, у =—х-[-у3. Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 113
9.470. х = ху*, у — — х*у. 9.471. х = — у + хь, y = x+tf. 9.472. х = у + х*у2 — ~хъ, у= ~2х—2x^—2 L - 9.473. х=— 2х+4ху2, у = у + 2х2у. 4 Устойчивость по первому приближению. Предположим, что правые части системы (5), т. е. функции fi(xt, ...,xn), i= 1, 2, дифференцируемы в начале координат достаточное число раз. Разло- жим их по формуле Тейлора в окрестности начала координат: п fi (Ху, ..., Xt!) — (Xjf, ..., Xn)f z=l где = *.°) t a Ff—члены второго порядка малости отно- сительно Xj, .../х„. Тогда исходная система (5) может быть запи- сана в виде *1 = 2 aijxj+F‘ ' • *"> /= 1 п Хп ~ оп jXj+Fп (xi • • х,.). / -1 Рассмотрим систему */=2в«7х/’ «=1. 2..........п, ь ' = ’ называемую системой уравнений первого приближения для системы (5). Справедливо следующее утверждение: если все корни характе- ристического уравнения системы (6) имеют отрицательные действи- тельные части, то точка покоя системы (6), а также исходной: си- стемы (5) асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы (fi) имеет положительную действительную часть’, то точка покоя системы (С) (и системы (5)) неустойчива. Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы (5) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказываться влияние членов 2-го порядка малости. Пример 6. Исследовать на устойчивость точку покоя системы x = 2x-|-8sin у, у=2—ех—Зу— cos у. Разлагая функции sin у, cos и, ех по формуле Тейлора и выделяя члены 1-го порядка малости, можем переписать исходную систему в виде х=2х+8уЧ-Т1(х, у), у=— x~3y-\-F,(x, у), 114
где Fi, F2—члены 2-го порядка малости относительно х и у. Соот- ветствующая система уравнений первого приближения вида (6) запи- шется следующим образом: х 2х-1~8у, у=—х—3у. Корин ее характеристического уравнения /-г, *=---------------имеют отрицательные действительные части. Следовательно, точка покоя этой, а также исходной систем устойчива. Исследовать на устойчивость по первому приближе- нию точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений: 9.474. х=-|-(ех — 1)—9у, у=уХ—siny. 9.475, x=5x+ycosy, y = 3x-| Zy—tJW. ЪА1Ь. x = 7x + 2siny, у = е*—Зу—1. 9.477. х= — |x+lsin2y, i/= — tj—2х. 9.478. x=ln(4y+e“'Sx), у = 2у—1-|-j/1 —6х. 9.479. x = er+w—cos3x, у= |/4-f-8х —2<?". 9.480. Показать, что исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя системы х = —4у—х3, невозможно. Провести исследование метолом функций Ляпунова. § 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Задача Коши. Задача нахождения частного решения у~у(х) (у(хи)—у,>) дифференциального уравнения y'~f(x, у), называемая задачей Коши, может быть приближенно решена численными мето- дами. Метод Эйлера. Значения искомой функции у—у(х) на от- резке рг0, X] находят по формуле '/л+1=4'л+Л-/(*ь .Vft), (1) где Ук—УМ, xk+i=xk+h(xn=X), k—0, 1 л—1,иЛ=^Ц-^ (шаг). По заданной предельной абсолютной погрешности е на- чальный шаг вычислений Л устанавливают с помощью неравен- ства h2 < е. 115
Метод Эйлера с итерациями. Для вычисления значе- ний функции у- у(х) применяют формулу = Ул -I- J (/ (*ь Ук)+Г (хк, (2) Л = 0, 1..и—1. т=|. 2, .... М, где y^h—yk+t вычисляют по формуле (1). При каждом значении k вычисления продолжаются до выполнения неравенства f <ii+1—Йг+1 I < с, (6) где е—заданная предельная абсолютная погрешность. После этого полагают Уь + у —Ук+i и переходят к нахождению следующего значе- ния у&+2 искомой функции. Если неравенство (3) нс достигается, то уменьшают шаг h и выполняют псе вычисления сначала. По заданной предельной абсолютной погрешности к начальный шаг вычислений h устанавливают с помощью неравенства h3 < е. Апостериорная оценка точности выполняется при Помощи правила Рунге — Ромберга (см. ниже). Пример I. Решить методом Эйлера с итерациями задачу Коши на отрезке (0, 1| для уравнения у'—2х—у с начальным ус- ловием р — —1 при х -0. Шаг выбрать так, чтобы удовлетворялось неравенство ft3 < 0,01. ^Исходя из неравенства Л3 < 0,01, выберем шаг вычислений Л=0,2. „ 1-0 _ г, Тогда п = 'о2'=5' Проводя вычисления с одним запасным знаком, находим по формуле (1) значение р{°‘=—14- 0,2 (2 • 0—(— 1)) = —0,800. Ведем итерационную обработку ух по формуле (2): =— 1 4- (2-0—(—1)-(-2-0,2—(—0,800))=—0,780, у™ = —14——• (2-0—(—1)4-2-0,2—(—0,780)) = —0,782, у? =—14-^.(2.0—(—1)4-2-0,2—(—0,782)) = —0,782. Получаем i/i =—0,782. Вычисляем по формуле (1) значение у2'‘. у^ = —0,782 |- 0,2 (2• 0,2— (—0,782)) = —0,54б. Проводим итерационную обработку: 0 2 у? = -0,7824—^(2-0,2—(—0,782) 4- 2-0,4—(— 0,546)) = —0,529, j42' = —0,7824—^?-(2-0,2—(— 0,782) 4- 2-0,4—(—0,529)) = —0,531, ^> = -0,782+-^-(2-0,2—(—0,782) 4- 2-0,4—(—0,531))= —0,531. Получаем у2——0,531. Аналогично вычисляя, находиму3 — —0,253,yt~0,047,уъ~0,366. Округляя до сотых, получаем ув = —1,00, yt~—0,78, j/2 =—0,53, не
Уз~—0,25, yt — 0,05, уз=0,37. Найденные значения yk совпадают с точностью до I0"2 со значениями частного решения у-е~х-\-2х—2 в соответствующих точках отрезка [0, 1] Метод Рунге—Кутта. Значения искомой функции у~у(х) на отрезке [х0, X] последовательно находят по формулам Ук+1=Ук + &Ук * = 1.....n—1, (4) где &Ук = +2^’ + q?'), f h q^=h-f(xh, yk), qz'=h-f xft+y, q~~ , q?'=h.f(xk+± , ук+Ц-), Ук+rf'l *Л+Т = *л4-Л (*и = Л), h=^2Z±2. По заданной предельной абсолютной погрешности в начальный шаг вычислений /1 устанавливают с помощью неравенства It* < е. Апосте- риорная оценка точности выполняется по правилу Руигс—Ромберга Правило Рунге—Ромберга. Пусть у'^ и уи’"—значе- ния искомой функции, полученные одним из указанных выше методов при шагах вычисления h и 2ft соответственно, а е—заданная абсо- лютная предельная noi решиость. Тогда считается, что достигнута заданная точность вычислений, если выполняется неравенство (5) при всех k и при s—2, 3, 4 соответственно для методов Эйлера, Эйлера с итерациями и Рунге—Кутта. Решением задачи является функция {(//"}. Применяя указанное правило, последовательно вычисляют зна- чения искомой функции с шагом 2ft и с шагом h и сравнивают полу- ченные результаты по формуле (S). Вычисления заканчивают, когда неравенство (5) выполняется при всех k. Пример 2. Решить методом Рунге—Кутга с точностью до 10-3 задачу Коши на отрезке [0, 0,6) для уравнения у' = х-\-у с начальным условием «/=1 при х=0 Исходя из неравенства h* <0,001, выбираем начальный шаг вычислений ft=0,15. Тогда л = 4 Проводя вычисления с одним запасным знаком, находим yt по формулам (4): У1 = 1 + &Уо— * +"g' (</1°' +2?2,,Ч-2?3>> + ?4 '), где (71°’=0,1500, q^ =0,1725, <$” = 0,1742, <$"=0,1986. Имеем: Л = 1+-|- (0,1500+ 2-0,17254-2.0,1742 + 0,1986) = 1,1737. Далее, Уг = 1.1737+1 (<$*> + 2$” +2/1’ +<$'), 117
tpe =0,1986, Qt1’ 0,2247, ^” = 0,2267, gi”=0,2551. Следова- тельно, й= 1,1737+-^- (0,19664-2.0,2247+ 2-0,2267 4-0,2551)= 1,3998. Аналогично вычисляем уз — 1,6667 и yt~ 2,0443. Уменьшим шаг в два раза, т. с. гыберем h = 0,075, теперь п 8. Находим y[h> по формулам (4). JA'*’ = l+a!/o=l+|GiW+ 2?2о,+ 2^0, + Qi0’) = = 1+-L (0,075-1-2-0,0806 + 2-0,0808 + 0,0867) = 1,0808. Аналогично находим остальные значения у‘к'. Результаты вычислений помещаем в таблицу: tfh> „<М кк уГ' = \ ,<’i> — 1 'А> — 1 lA”1 = 1.0808 0 у1,2'" = 1,1737 ^“=1,1737 уз' = \ 2796 0 у^’" = 1,3998 у?’=1,3997 уз' = 1,5350 0,0001 у*'" = 1,6837 у*' = 1,6863 рГ -= 1.8559 0,0001 t//'’ =2,0443 у*" =2,0142 0,6001 • Очевидно, что левая часть неравенства (5) в данном случае не превосходит 0,00002. Поэтому уЦ" с точностью до Ю-4 представ- ляют искомую функцию, т. е. все найденные знаки верные. ► Метод Милна. Значения искомой функции у=у(х) па отрезке [х0, А'] последовательно находят но двум формулам: 4/1 Ук=Ук~1+-^^-{ (-'ft-з. Ук-з)~.</Д-г)4- + 27(х»-Ь Х/л-i)). (G) Ук^Ук-2 + ^(1(хк-2, №-0+4/(x»-f, yk-li + f(Xk, ук)), *=4,5, .... л, h=-X-—-°-, xk Xfc-14-h. Первые четыре значения у0, yt, yt, уз должны быть заданы, для чего </1. 4/2» Уз предварительно находят каким-либо другим методом. Пре- дельная абсолютная погрешность е значения ук приближенного 118
решения определяется равенством 1 - e=2g|W—</д1- (7) Пример 3. Используя полученные в примере 2 методом Рунге— Кутта значения Vi, Уч, Уз, найти методом Милна значение у±. <4 Имеем у, = 1,0000; у, = 1,0808, уг= 1,1737, у3= 1,2796 и h=0,075. Вычисляя у4 и по формулам (6), получаем; 4-0 075 = । Ч----§---(2 (0.075+1,0808) —(0,15+1,1737) + +2(0,225+ 1,2796))== 1,3997, Уь = 1,1737+((0,15+1,1737)4-4 (0,225+1,2796) + О + (0,3 +1,3997)) = 1,3997. Поскольку 4/4—</4=0, из формулы (7) заключаем, что в значении у4 все знаки верные. ► В задачах 9.481—9.499 требуется найти с точностью до 0,0001 решение дифференциального уравнения 1-го поряд- ка с указанными начальными условиями на заданном отрезке: а) методом Эйлера с итерациями, б) методом Рунге—Кутта, в) методом Милпа. 9.481. / = ^-, !/(0)= 1, [О, 1]. 9.482. у'—2у = Зе*, 0(0,3)= 1,415, [0,3,0,61. 9.483. 0'=jc + 02, 0(О) = О, 10, 0,3]. 9.484. у' = у2—х2, 0(1) = 1, |1, 2]. 9.485. 0' = х2 + 02, 0(0) = 0,27, [0, 1]. 9.486. </' + х0(1— 02) = О, 0(0) = 0,5, [0, 1]. 9.487. у' = х2—X0+0S, 0(О) = О,1, [0, 1]. 9.488. 0' = (2у—х)/у, 0(1) = 2, [1, 2|. 9.489. у' = хг + ху + уг + 1, 0(0) = 0, [0, 1]. 9.490. 0' + 0 = х3, 0(1) = —1, [1, 2]. 9.491. у’ = 5су + еУ, 0(0) = 0, [0, 0,1 9.492. у' = 2х0 + х2, 0(0) = 0, [0, 0,5]. 9.493. 0' = x + siny, у(0)= 1, [0, 2]. 9.494. у'=е*—у1, у(0) = 0, [0, 0,4]. 9.495. у' = 2x + cosy, у(0) = 0, [0, 0,1]. 9.496. у' = х3-\-у2, у(0) = 0,5, [0, 0,5]. 9.497. у — ху3—у, у(б)=1, [0, 1]. 9.498. у' = у2-е*—2у, у(0)=1, [0, 1]. 9.499. у’ = ~, 0(1) = О, [1, 2]. 119
В задачах 9.500—9.502 составить на фортране подпро- граммы решения дифференциального уравнения у' = = f (х> У) указанными методами. 9.500. Метод Эйлера с итерациями. Параметры: F, Х0, Y0, Н, N, Y, где F—имя подпрограммы-функции для вычисления значений функции f (х, у), Х0—начальное значение аргумента, Y0—начальное значение функции, Н—шаг вычислений, N—число значений искомой функ- ции у — у(х), Y—массив размера N значений функции у=у(х). 9.501. Метод Рунге—Кутта. Параметры: F, ХО, Y0, Н, N, Y, EPS, где Н — начальный шаг вычислений, EPS — заданная предельная абсолютная погрешность, входной парамор; остальные параметры, как в задаче 9.500. 9.502. Метод Милна. Параметры: F, Х0, Н, N, Y, EPS, где EPS — полученная при вычислениях предельная абсо- лютная погрешность, выходной параметр, N—число зна- чений искомой функции, включая начальное. Остальные параметры, как в задаче 9.500. Первые четыре элемента массива Y должны быть определены перед обращением* к подпрограмме. В задачах 9.503—9.505 составить на фортране про- грамму решения одной из задач 9.481—9.499, используя для этого одну из указанных подпрограмм. 9.503. Подпрограмма, полученная в задаче 9.500. 9.504. Подпрограмма, полученная в задаче 9.501. 9.505. Подпрограмма, полученная в задаче 9.502. Рассмотренные выше методы могут быть использованы при реше- нии задачи Коши для нормальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка и для дифференциального уравнения 2-го поря ка. Пример 4. Методом Эйлера с итерациями решить задачу Коши на отрезке [3, 4J с точностью до 10~а для уравнения i'"=-T+^+1 при начальных условиях 1/(3) = 6, j/'(3) = 3. Исходя из неравенства Л3 < 0,01, выберем шаг вычислений ft = 0,2. Т 4~3 г Тогда n=-g-g-=o. Приводим уравнение 2-го порядка к системе двух уравнений 1-го порядка, введя новую функцию р=у''. + «/. Р). </' = р = (р(х, у, р). Начальные условия для данной системы: у—6, р = 3 при г=3. 120
Сохраняя одни запасной внак, вычислим значения функций Р=Р(х) и у=у(х) в точках Х1 = 3,2, х2~ 3,4, х3 = 3,6, х4=3,8 х6 = 4 по формулам (I) и (2). При Xi —3,2 имеем: рГ”=Ро+Л-Н*о. ус, р0)=3-| 0,2 _~4-A_|_i)=3 133> У™ =Уо+М(Л» Уо. Ри) = Уо-|-Л-р0=--6+0,2.3 = 0,600, Pi'^Po+^if^, У0, Ри)+1(хъ у?>, р?>)) = -4_Lfii/7 3.6 Ч / 3,133 , 6,600'..чч \Д 3 + 3Я Н \ 3,2 + 3,2я *" JJ ~ 3’133, !/1,>-=«/о-|-4{<₽(*о. Уо. Ро)+<₽(*1. у!0’. Pi»))— ^Уо + ^-(ро-\-Р1У) =64-0,1 (3-1-3,133)=6,613. Получаем значения pi =3,133 и yL = 6,613. При ха = 3.4 имеем: p^-^p1+h.f(xl, У1, а) = 3,1334-02^-^-| ^+Q=-3i266( J/s”=.</i4 Л-ф(хь z/ь ₽1) =/., +Л Pi=6,613+0,2-3,133 = 7,240, р?’=а+4</(*1- 1/ь Pi)+/U, уТ, pi°’))= чг«±П|/’/ 3.133 ,6,613 , .4 . / 3,266 , 7,240 , .4 =3,133 + 0,1Ц -зТ4-^-4-1 J+^ 1.1J = 3,266. i/2I) = !/i4 4 ^(-'ь 'Jf Р1)+чЛх2, Уа', Р2В>))== = .</1+4 (Pi |-Pi”) =6,613 + 0,1 (3,133 +3,266) = 7,253. Отсюда получаем значения pi = 3,266 и у2 = 7,253. Проведя аналогичные вычисления при х3 = 3,6, х4=3,8 и лб=4 находим Рз = 3,399 р3 = 7,920, р4 = 3,532, у4~ 8,613, р6 = 3,665, ys = 9,333. Округляя до сотых, получаем ответ: у„=6,00, =6,61, па = 7,25 Уз = 7,92, i/4 = 8,61, i/5 = 9,33. В задачах 9.506—9.511 требуется найти решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка или решение дифференциального уравнения 2-го порядка с точностью до 10~3 при указанных начальных условиях па данном отрезке: 9.506. / = + s(|)=0. г(1)-4, [1. 2]. 121
9.507. у' = (г—у)х, г' - (г ф у) х, у(0) = 1, г(0)=1, [0. 1]. 9.508. y' = cos(t/ + 2z)4-2, г'1, t/(0) = „1, г (0) = 0,05, [0, 0,3]. 9.509. у' ==e-(-v*+224 2х, г' = 2//2фг, у(0) = 0,5, z(0)-1, (0, 0,3]. 9.510. у"—у—(^, */(0) — 0» у'(0) = 0,5, [О, 1]. 9.511. i/’-2/ = xa-l, !/'(!) = —(1.2]. 9.512. Составить на фортране подпрограмму решения методом Рунге- Кутта системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка y' = f(x, у, г), г' = ч(х, у, г) с начальными условиями у (х0) — у0, г(х0) — г0 па отрезке [х0, X]. Параметры F, FI, Х0, Y0, Z0, Н, N, Y, Z, EPS, где F н FI — имена подпрограмм-функций для вычисления значений функций f(x, у, г) и <р(х, у, г), Х0—начальное значение аргумента х — х„, Y0 и Z0—начальные значения функций, Н—начальный шаг вычислений, N—число значений искомых функций у = у(х) и г — г(х), Y и Z—массивы размера N значений функций у = у(х) и z = z(x), EPS—заданная предельная абсолютная по- грешность. 9.513. Используя подпрограмму, полученную при ре- шении задачи 9.512 составить на фортране программу решения одной из задач 9.506—9.511. 2. Краевая задача для линейного уравнения. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения {/Ч-Р (х)у'+у(х) y=f (х), где р (х), q (х) и /(х)—некоторые непрерывные па отрезке [о, 6] функции, состоит в нахождении его решения у — у(х), удовлетворяю- щего граничным условиям ад(а) + «1!/' (а) = 4, РоУ W + Pi/ (Я = В. где а0, ctf, Во, Pf, А, В—постоянные н | а0 |ф| at | Ф 0, |₽01 + +1 Pi I # 0. Эта задача может быть решена численно методом копеч- 122 них разностей, применяя который значения функции р={/(х) нахо- дят из системы линейных уравнений (n-j-l)-ro порядка вида: Pfr+2 2У*4 1+У* । , J/bi—Ук I . . _ /[Я ~гР(ха) ~т~Я(хк}Ук— f (xki< (8) Л = 0, 1..л-2, РоУн+еА п cn-f-l неизвестными yt, yY...уа. Пример 5. Решить краевую задачу для дифференциального уравнения У"+-»’2У+2 = 0 с граничными условиями у(—1) = 0, у(1) = 0 на отрезке [—1, 1] методом конечных разностей, разбив этот отрезок на четыре равные части. Имеем: п = 4, Л = 0,5, уо = 0, у4 = 0. Следовательно, требуется' вычислить трн значения уг=у (—0,5), у, =у (0), у3 =у (0,5). Составляем систему (8), полагая поочередно А = 0, 1, 2: Л=0: : -|-2 = 0, нлн 4 (t/2—yl==—2; *=1; -—^а + У1-|-Х2</24-2»0, нлн 4(i/3—21/2-1-1/!) = —2; * = 2: ——)^+Уа+^Уз-|-2 = 0, пли 4(j/4—2y,4-J/2)-|--l.J/s = — 2. Добавляя^ граничные условия, получаем следующую систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных у0, ylt уг, у3, yt 18уо—311/1 16//2 ==—8, 2У1—4у»+ tys =—I, 16у2—31{/3+ 16i4 =—8, Уо =0, У> = 0- Решая эту систему, находим у0 = 0, И = 0,8, i/2=1,05, у3 = 0,8. В задачах 9.514—9.519 требуется найти решение диф- ференциального уравнения 2-го порядка с указанными граничными условиями методом конечных разностей, разбив заданный отрезок па п равных частей. 9.514. xV—лУ = Зл3; у(1) = 2, у(2) = 9, 11,2], л = 4. 9.515. х~у"-\-ху—у = х\ 1/(1)= 1,333, г/'(3) = 3, [1, 3], п = 7. 123
9 516. у" + ху' + у = 2х-, z/(O)=l, </(!) = О, [О, 1, п= Ю. 9.517. y" + ychx=O-, i/(0) = 0, t/(2,2) = l, [0, 2,2], л = И. 9.518 //” + (а-_1)/ + 3,125г/ = 4х, у(0)=1, i/(1) = »= 1,368, [0, 1], п = 10. 9.519. х2у”—2у*=0, е/(1)—2/(1) = 0, р(2) = 4,5, fl, 2], п = 5. 9.520. Используя подпрограмму решения линейной системы алгебраических уравнений, полученную в задаче 3 265, составить „а фортране программу решения одной из задач 9.514—9 519
Глава 10 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ § 1. Скалярные и векторные поля. Градиент 1. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей. Пусть D—область в пространстве двух, трех нлн п измерений Го- ворят, что в области D задано скалярное поле, если в D задана скалярная функция точки и (Р) и (Xi, хг,.... х„) -= и (г), называемая функцией поля (г — радиус-вектор точки Р (хъ х2.х„)). Если каждой точке P£D поставлен в соответствие вектор а(Р)~а(г то говорят, что в области D задано векторное поле, определяемое век- торной функцией a(P)—a(xi, хг, .... х„) — а(г) Простейшими геометрическими характеристиками скалярных полей являются линии уровня и (х, у)—С в пространстве двух изме- рений, поверхности уровня, нли эквипонтенциальные поверхности, и(х, у, г)~С в пространстве трех измерений и гиперповерхности уровня и (xi, ..., х„) — С в пространстве п >3 измерений. Простей- шими геометрическими характеристиками векторных полей являются векторные липни и векторные трубки. Векторной линией называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление со- ответствующего ей вектора поля. Векторные линии для вектор- ного поля u=<ix/-|-cbJ+nzA определяются системой дифференциальных уравнений dx _ dy dz «х(*. У, z)~a„(x, у, г)^аг(х, у. г) (аналогично для плоских и многомерных полей). Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, прохо- дящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией. Определить вид липин или поверхностей (гиперпо- верхностей) уровня следующих скалярных полей: 10.1. и — у2-]-х. 10.2. и=ху. 10.3. и = у!х. 10.4. u — x-j-y-jz. 10.5. u — x2-r y2—z2. 10.6. n = xa-*-t/2—z. 10.7. + Ю.8. п = х|4-лМ-х2-|-х2. Найти векторные линии следующих полей: 10.9. a — yi—xj. 10.10. a=xt—yj. 10.11. a=yi-\-J. 10.12. «=?г = л74 yj+zk. 10.13. й-[г, с] (с—постоянный вектор). 125
•4 Пусть с =ai-\-bjТогда i j k a = [r, c] — xyz = (cy—bz)i+(az—cx)J[-(bx—aii)k. a b c Дифференциальные уравнения векторных линий полна имеют следу- ющий вид: dx __ dy __ dz су— bz аг—ex bx—ay’ Умножая числитель и знаменатель первой дроби на х, второй—на у и третьей па Z, находим xdx у dy_______г dz сху— Ьхг ~ ауг—сху~~Ьхг — ауг ’ Складывая почленно н используя свойство пропорции, окончательно выводим: dx _ dy___________dz _ xdx-|-ydy4-£d£ cy—bz '~az—cx~'bx—ay~— 0 Следовательно, xdx+y dy-f-г dz — 0, d(x®4-yl+z2) = 0. Отсюда получаем, что л24-у24-г2 = С?. Аналогично, умножая числитель и знаменатель первой дроби на а, второй на Ь. третьей на с и складывая почленно, находим d* dy ______________________ dz _____adx-\-b dy-\-c dz cy—bz ~az—cx ~~ bx— ay 0 Следовательно, a dx-f-b dy-j-c dz=0, нли ax-f-by-j cz=C2. Таким образом, уравнения векторных линий имеют вид: J х«+у«+г» = С? (Ci^O), | ax-f-fcy-|-c2 = Cs. Векторные линии поля а представляют собой окружности, являю- щиеся сечениями сфер х24-у24-г2 = С? плоскостями ах-f-by-j-cz = C2 перпендикулярными вектору с. 10.И. «=4+{+4- 10.15. « = (£/—г)И (г—x)/4-(x—y)fe. 10.16. a—Xjgi + хге2 + х4е4 10.17. Найти векторную линию поля а—— yi-\-xj-\-bk, проходящую через точку Р(1, 0, 0). 1?&
10.18. Найти векторную линию поля а — хЧ— проходящую через точку Р (1/2, —1/2, 1). 10.19. Определить вид векторных трубок: а) в задаче 10.12; б) в задаче 10.15. 2. Производная по направлению и градиент скалярного поля Пусть s = cos со/4-cos P-j + cos y-ft—единичный вектор данного на- правления s, г0 = xo*+W+радиус-вектор точки PQ (х0, у(„ г0). Производная скалярного поля и (Р) в точке Ро по направлению s, , ди обозначаемая через —, определяется соотношением 3“ lim н(гв+тя)—u(r0) ds t -г v т и характеризует скорость изменения функции и (Р) в направлении s. „ ди 11ронзводная вычисляется по формуле I ди I , ди I _ , ди | -дГ |г=г,=17 cos “+^Г |r=ro 0+17|r=ro V- (1) Градиентом скалярного поля и (Р), обозначаемым символом grad и, называется ьектор, проекциями которого иа координатные оси являются соответствующие частные производные функции и (Р), т. е. , ди . , ди . , ди gradu^-g—/ + - /-[-—ft /2) дх J дг ' ’ Аналогично определяется производная по направлению и градиент для л-мерных скалярных полей. Исходя из выражения производной по направлению (1) и определения градиента (2), доказать следующие свой- ства градиента. 10.20. Производная поля по направлению s равна скалярному произведению градиента поля на единичный вектор данного направления, т. е. равна проекции гра- диента на данное направление ~ = (gradu, s) = | grad и | cos <р, где гр—угол между градиентом и вектором s 10 21. Направление градиента есть направление наи- быстрейшего возрастания функции поля. 10.22. В каждой точке поля градиент направлен по нормали к соответствующей поверхности уровня в сто- рону возрастания потенциала поля, т. е. |gradu| = -g-, 127
где п—направление нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля. 10.23. Пусть и = и(х, у, г) и v=v(x, у, г)—диффе- ренцируемые функции, с—постоянная. Доказать следую- щие соотношения: a) grad («4-0- grad и ф- grad v; б) grad (с-{-») = grad ц; в) grad(c«) = cgradu, г) grad («и) — v grad и 4-u grad и (см. пример 4 § 3); д) grad (ип)~ nun~l grad и; е) grad(-g-)=P-^d-^-^t v^O. Найти градиенты следующих скалярных полей: 10.24. ц = |г|. 10.25. « = 1п|г|. 10.26. ц = (а, г); а—постоянный вектор 10 27. и —{а, г)(Ь, г); а, b—постоянные векторы. 10 28. и — | [а, г] |s а -постоянный вектор Пусть г = | г | — Их2 ф- у2 4- г2. Показать, что! 10 29. (grad и (г), г) —и'(г) г 10.30. [grad и (г), rj = O Найти производные от следующих полей в заданных точках по заданному направлению: 10.31. и = х2 + -2 у* в точке Р0(2,—1) по направлению вектора Р0Ри где Р^Ь, 2). 10 32 ц==-~-х2—у у* 4 г в точке Р (2, 1, 1) по па- • х—2 у—J г—1 правлению прямой —j— = = —в сторону возрас- тания поля. 10.33. u—xf+x2—xf+xj в точке Ро (1, 3, 2, —1) по на- правлению вектора a = 2et+е,—2е< 10.34. Найти производную скалярного поля ц=1/|г| по направлению его градиента. 10.35. Найти производную скалярного поля « = -,4- 4—«4-т в точке Р (а, Ь, с) по направлению радиус- вектора этой точки 10.36. Найти угол между градиентами поля ц = ха4- 4-2у2—г2 в точках Р, (2, 3, —1) и Рг(1, —1, 2). 10.37. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля и — хуг в точке Ро(1, 2, 2). 128
10.38. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля и = х2-[-2ху—4yz в точке Ро(1, 1, —1), направленный в сторону возрастания поля. . 10.39. Найти стационарные точки поля и = 2х2—4ху+ + t/2—2//г + 6г.. Убедиться в ортогональности линий уровня полей; 10.40. и = х2—у2, v = xy. 10.41. и = 2x2-l-y2, v = y2/x. Убедиться в ортогональности поверхностей уровня следующих полей: 10.42. и = х2 + у2—z2, v=xz-\-yz. 10.43. u = xi + ^‘—2г2, v = xyz. 10.44. « = х?-|-х2—х?—xj, и—XjXj-hXjXj, w = x,xt—х2х;1. Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания для следующих полей: 10.45. Плоского поля и = х2 — у3. 10.46. Трехмерного поля и = хуг. 10 47. Трехмерного поля и = х2-\-у2—г2. § 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 Криволинейный интеграл 1-го рола. Пусть АВ—дуга кусочно гладкой кривой, и(Р)—заданное на АВ скалярное поле. Д = Д0, Д>, Да, .... Дя21, Л„ = В—произвольное разбиение дуги АВ и Ру,- (V—I, 2, ..., rt)—произвольные точки па частичных дугах Ду^Ду, длины которых обозначим через Asv. Если существует предел после- п довательиостн интегральных сумм 2«(Ру)Дг» при max Да\ -» 0 (ил-» оо), который нс зависит ни от способа разбиения дуги Д В точ- ками Ду, ни от выбора точек Pv в частичных дугах Ду_1Ду, то этот предел называется кршюнинейным интегралом 1-го рода от функции и (Р) по кривой АВ н обозначается через а (Р) ds = и (х, у, г) ds At). ЛН (ds—дифференциал дуги), т. е. \ u(P)ds lim 2u(^v)&Sv- (1) max As 0 AH v v Если функция и (P) непрерывна на АВ, то интеграл (1) сущест- вует. Физически интеграл (1) можно рассматривать как массу кри- вой АВ. Вычисление интеграла (1) сводится к вычислению опреде- ленного интеграла. Например, если уравнение дуги АВ задано в виде 5 Под ред. Л. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 129
*=*(0. у=у(^ г = г(1)> то J и (Р) ds= J и (х (П, у (0, г (/)) К*'4(П+«/'2(П + г,!!(/) dt. АВ '• Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от того, в каком на- правлении проходится дуга АВ, иными словами, и (P)ds= и (Р) (Is. АВ ВА Пример 1. Определить массу М первого витка винтовой ли нии x—acost, y = aslnt, z=ht, если плотность ц (Р) в каждой сс точке пропорциональна длине радиус-вектора этой точки. ◄ Так как fi = kr = k У хгА-у2А~ то в точках винтовой линии P = A Первому витку отвечает изменение параметра t от О до 2л и Л = У х'2+у'2 А г'1 di = ya2A-hadf. Отсюда 2л М k Уа*4-Л2 Уа2+ЛМЛ = о = * У a* A h* ~L~ У a2+h2‘2 +-£ In (М + У </2-Г-Л8/я) ) |2”= \ / |0 = кУа2--К2(пУ0«-Н4л2/|2+^ |ц2л/1 + /~а2+4лг/<Л \ а ) В.задачах 10.48—10.54 вычислить следующие криво- линейные интегралы 1-го рода: 10.48. (ху) ds, где С—контур треугольника АВО с с вершинами А (1, 0), В (0, 1) и О (0, 0). /** 10.49. j у2=р где С —отрезок прямой, соеди- с няющий точки 0(0, 0) и Л (1, 2). 10.50. где С—контур квадрата |х|4-|</| = = а (п > 0). 10 51. §y2ds, где С—первая арка циклоиды х = с = а(/ sin t), у = а (1 — cos t). 10.52. Ух2 4- у1 ds, где С—дуга развертки окруж- с пости х—а (cos tA~t sin /), у=а (sin t—t cos t) (0<^<2n). 130
10.53. С — А". где С—дуга линии х— I, у=Р/]^2, с _ __ г = Р/3 от О (0, 0, 0) до В (I 2, J<2, 2 К2 3). 10.54. (х2 4- у2) ds, где С—дуга логарифмической спи- с ради r = ae,<f от точки А (а, 0) до точки О (0, 0). 10.55. Найти массу всей астроиды x = acos3f, у — = asin‘ t, если плотность у.(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой р. (Р) = k | ху |, где k > 0—коэффи- циент пропорциональности. 10.56. Найти массу всей кардиоиды г = п(1+cos<p), если плотность ц(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой и (Р) — k И г, где k > 0—коэффициент пропор- циональности. 10.57. Найти массу всей лемнискаты r2 = a2cos2q>, если плотность р (Р) в каждой ее точке Р выражается формулой р (Р)~ kr, где k > 0—коэффициент пропорцио налыюстн. 10.58. Найти массу дуги конической винтовой линии х — oe'cosl, y=affs\ni, г — ае', если плотность р в каждой ее точке выражается формулой р = Ле< (гдеЛ> >0—коэффициент пропорциональности), от точки О (0,0, 0) до точки А (а, 0, а). 10.59. Найт, с какой силой масса М, равномерно распределенная вдоль окружности х2-фр2 = о2, г —с, при- тягивает точечную массу т, помещенную в начале коор- динат. 10.60. Найти массу четверти окружности х24-р*=г®, расположенной в первом квадранте, если плотность ее в каждой точке пропорциональна абсциссе этой точки (коэффициент пропорциональности а). 10.61. Найти массу полуокружности х2 у2—г2, рас- положенной в верхней полуплоскости, если плотность ее в каждой точке пропорциональна кубу ординаты этой точки (коэффициент пропорциональности р). 2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть G—кусочно глад- кая поверхность, и (Р) — заданное на G скалярное поле, Glt Ga, .... G„— произвольное разбиение поверхности G иа частичные поверхности, площади которых равны Дсц, Да2.....Да„, и пусть Pv(v —1,2, ... ..., п)—произвольные точки на частичных поверхностях Gv- Если п существует предел последовательности интегральных су ым 2 и (Pv) Aov v= I при max Aov ->0 (и л-> оо), который не зависит ни от способа раз- v - * 5* 131
биения поверхности 6 на частичные поверхности, ни от выбора то- чек Рх на этих частичных поверхностях, то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции и (Р) по поверх- ности G н обозначается через И "(Р) do= и (х, у, г) do G 'б (do—дифференциал площади поверхности), т. е. п {\ti(P)do= lim 2 H(pv)Aov. (2) G тух Aov * 0 ' i Если и (P) непрерывна на G, то интеграл (2) существует. Вычисле- ние итсграла (2) сводится к вычислению обычною двойного интег- рала. Допустим, что прямая, параллельная оси Ог, пересекает по- верхность G лишь в одной точке, т. с. уравнение поверхности имеет вид г - [ (х, у}, и пусть 6 проектируется на плоскость Оху в область £> Элемент da, площади D выражается в виде da, = do cos у, где у — острый угол, который нормаль к поверхности G составляете осью Ог: Таким образом, £[н(х, у, г)да^^и(х, у. г)^Д = С 1> ________________ У, г)/1 +(g)2dxdy. /> Если прямая, параллельная осн Ог, пересекает поверхность G в двух или более точках, то G разбивается на части, каждая из которых пересекается с прямой, параллельной оси Ог, лишь в одной точке. Интегрирование следует выполнять по каждой из полученных частей. Вместо плоскости Оху поверхиостьч-G можно проектировать на плоскости Охг или Оуг. Для двусторонних поверхностей поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от того, но какой стороне поверхности он берется. Физичес- кий смысл поверхностного интеграла 1-го рола зависит от физического характера Данного скалярного поля: он может определять массу, распределенную по данной поверхности, электрический заряд и т. л. Пример 2. Определить статический момент относительно пло- скости "Оху и положение центра масс однородной полусферы G (плотности 1): х2 + у2 ф- г2— /?2 (г,2а0). Имеем Mxy=[Ldo-ff r^-х2-,/2 i+f^y+rgy^. »_ v v *-> * \ '-'Л / \ Ulf 1 G D ' ' где О—круг х!ф-р2с/?2, z = 0. Так как на полусфере xdx-\-ydy-\- -фг ог —0, то дг х дг __ у дх г ’ ду~~ г ’ 132
откуда 1 _l ( — Y+f ДгУ-Кх8+У*+г* R и Мху G D D dx dy = 7?-п/?2 = л:/?3. Определим теперь координаты центра масс полусферы. В силу сим- метрии Далее, так как хо = !7в = 0. площадь Q поверхности полусферы 6 есть 2л/?2, то z0 — Q — 2 - Р Пример 3. На всей поверхности конуса с высотой h и радиу- сом основания а распределены электрические заряды В каждой точке поверхности плотность заряда пропорциональна аппликате этой точки (e=kz). Вершина конуса—в начале координат, егоось направ- лена по оси Ог. Определить суммарный заряд всей поверхности конуса. Суммарный заряд основания конуса равен произведению его пло- щади ял2 па плотность точечного заряда, т. е. kh. Таким образом, £ос1| =/ота2/ь Заряд боковой поверхности 6 определяется интегралом О бок. поп Уравнение поверхности конуса г- — ^(х2-\-у2), 0<z</i. Дифферен- . ft2 , . , . . дг h2 х ог й2 у цируя, находим zdz = ^ (xdx-f-ydy), откуда = и, следовател ьно, л2-| У'2 г2 \'а2+’>2 а , Поэтому Ебок. ппв = k J j" г j* j f х2+уг • Уа dx dy, g ' b где D—круг х2-^у2^аг, г=0 Переходя к полярным получаем: _kh Уд2+ h2 СС ,2.,_ k)i У о2-)- iy f £бок. пои — ^2 координатам, a2 a f r2dr = О О 2 , , — -g- knah D Находим весь заряд: E = £осн + ^бок. BOB — knash -]—knah У a2+ h2 -— =—^(3o + 2 f a2+/i2). > О 133
Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода: 10.62. ^x2yzda, где G — часть плоскости хф- У + 1» с лежащая в первом октанте. 10.63. x2+y2da, где G—часть поверхности ко- o’ нуса x2-|-y2 = z2, 0<г<1. 10.64. J (х2 ф- у2 ф- г2) da, где G—сфера х2ф-у2 ф- г2— 1. о 10 65. ^(хф-у+?Иа, где G—часть сферы х2-}-у2-]-г2— с =а2, лежащая в первом октанте. 10.66. Определить массу, распределенную на части по- верхности гиперболического параболоида 2аг = х2—у2, вырезаемой цилиндром х2 у2 = а2, если плотность в каж- дой точке поверхности равна k | г |, где А>0—коэффи- циент п ропорционалыюстп. 10 67. Определить момент инерции однородной (плотнос- ти 1) боковой поверхности конуса z = V х1Д-у- (О^г^п; относительно осп Oz. 10.68. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности двуполостного гиперболоида г2 = х2 ф- у2 ф- а2 (а^г 2), если плот- ность заряда в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (e—kz). 10.69. Определить массу, распределенную по поверх- ности куба |х|<Гя, |у|^п, | г а, если поверхностная плотность в точке Р (х, у, г) равна /ej/|xyz|, где fe> 0 — коэффициент пропорциональности. 10.70. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности Параболоида 2аг = х2ф у2, вырезаемой из него цилиндром х2ф-у2 = о2, если плотность заряда в каждой точке равна k И г, где Л > 0—коэффициент пропорциональности. 3 Криволинейный интеграл 2-го рода. Пусть на дуге АВ кусочно гладкой кривой задано векторное поле а = а (г) ~ах (х, у, г)/ф av(x, у, z)j а, (х, у, z)k, и пусть Aj-A0> Ль 'А2........A„_lt А„~В—произвольное разбиение дуги АВ на частичные дуги, ?v (v=l,2, ..., п) — произвольные точки на дугах Av-iAv. а Arv— приращение радиус-вектора г (Р) на концах дуги Av-iAv. Тогда, если существует предел последовательности интегральных сумм 131
2 (a(Pv), brj при max|Arv|—>0 (и n—► oo), который не зави- v=i v сит ни от способа разбиения дуги / В на частичные дуги, ни от выбора точек Pv в этих частичных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода по луге АВ н обозначается через (a, dr) = ах dx-{-av dy-(-az dz, АВ АВ т. е. \(a,dr)~ lim У (a(Pv). Arv). (3) ~ m«x| Arv|-»ov=, »»£> Здесь (a, dr) и (a(Pv). Arv)—скалярные произведения векторов. Если вектор-функция а(Р) непрерывна на АВ, то интеграл (3) су- ществует. Интеграл (3) называют также линейным интеграюм вектора а (г). Аналогично определяются линейные интегралы в плоских и многомер- ных векторных полях. Если даны параметрические уравнения дуги АВ: x=x(t), y=y(t), z = z(l), то J (a, dr) = J К(х(0 y(t), z(l))x’(t)+a,,(x(l), y(t), z(t))y’(t) + AB t„ -I «z(x(0. y(t}. Z(l))2'(t))dt. (4) Здесь t0 и G—значения параметра t, отвечающие точкам А н В. В отличие от криволинейных интегралов 1-го рода, линейные интег- ралы (3) зависят от направления, по. которому совершается ннтегри рование вдоль дуги АВ: (a, dr) = — (a, dr). ВА лв Простейший физический смысл линейного интеграла—работа силового полн а = а (г при перемещении в нем материальной точки по кри вой АВ из точки А в точку В. Пример 4 Найти работ} силового поля F—xl-\-yj-\-zk при перемещении материальной точки вдоль первого витка конической винтовой линии х — ае1 cosl, y — ae^int, z — ae1 из точки А (0, 0, 0) в точку В (а, 0, а). Так как dx=ael (cost—sin f) di, dy^ae1 (sin /-}- cos t)dt, dz— -- ae* dt и (F, dr)x dxу dyz dz =ate2t ((cos t—sin t) cos <-f-(sin /-[-cos t) sin /-}- 1) dt 2аге21 dt, то, учитывая, что t——oo в точке А и / = 0 в точке В, имеем о (F dr)=2a2 е«Л=а2. J> ав 135
Замечание. Этот пример можно решить проще, если учесть, че в данном случае (F, <fr)=(r, dr) = yd(г2), причем г=|г|=0 ff точке А н r=a jA 2 в точке В. Имеем: nl 2 а^' 2 (F, dr) J rf(r2)=-y =а2. да 0 о Линейный интеграл ректора а, взятый по замкнутому контуру С, называется циркуляцией ректора поля по данному контуру и обозна- чается символом a-dr. Направление обхода контура указывается С заранее, причем положительным считается обход против часовой стрелки, а отрицательным—по часовой стрелке. Для плоских векторных полей а~ах(х, y)i-\-ay(x, y)J имеет место следующее утверждение: Если векторная функция а.= пх(х, у) i-\-ay (х, y)J непрерывна дах да,. _ вместе с производными — и ~ в замкнутой области G = G(JC, то С С <Чу A dxdy—(£ аЛ dx-\-ay dy о ' д* ' с (формула Грин а). Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл ф (x+y)dx—(x—y)dtj, с где С—окружность х2-)-уя-г2 4 Применяя формулу Грина можем записать: ф (х-1-у) dx-(x-y) dy= (— 1 — l)dxdy = — 2лга, кс так как dxdy есть площадь круга Кс; х2-)-у2 ^г2. *с .10.71. Вычислить работу силового поля F=yi—xj при перемещении материальной точки вдоль верхней по- л2 и2 ловины эллипса 1 из точки А (а, 0) в точку В (—а, 0). 10.72. Вычислить линейный интеграл $ (a, dr), если ci а = уЧА- x!-j, 0(0, 0), Н(1, 1), по следующим путям- а) отрезок прямой СВ; б) дуга параболы х2 — у\ в) дуга параболы у2 = х; г) ломаная О АВ, где Д(1, 0); д) лома- ная ОСВ, где С (0, 1). 136
10.73. Вычислить циркуляцию вектора a = yi—xj вдоль окружности (х—х0)2-| (У~~Уо)2 — в отрицатель- ном направлении. 10.74. Вычислить линейный интеграл (a, dr), если ОА a = zi-[-xj + yk, уравнение дуги О А: г =• ti + t*j,+ 1. 10.75. Вычислить линейный интеграл $ (a, dr), если 0Л - . а — — yzi \-xzj \-xyk, ОА— первый виток винтовой линии х — a cost, у — Osin t, z = hi (0^/^2л). 10.76* *. Вычислить циркуляцию вектора а = г£ + х/+ + yk по окружности ха-|-у2-| га = /?2, х4 = R в по- ложительном направлении относительно орта k 10.77. Вычислить циркуляцию вектора а = yi—zj + xk j^2 __l ^12 вдоль эллипса —^-2--|-za = na, у = х в положительном направлении относительно орта i. 10.78. Вычислить работу силового поля F=2xyi-\- ifj—x2k при перемещении материальной точки вдоль сечения гиперболоида х2ф-у2—2г2 = 2а2_плоскостыо у = х от точки (а, а, 0) до точки (а И2, а И 2, а). Используя формулу Грина, вычислить интегралы: \/ 10 79. f (ха—у2) dx+ (х2-| у*) dy, где С—контур, эб- разовавпый полуокружностью у — \г г2—х* и осью Ох.^ 10.80. ^(х-(- y)'2dx—(х—y)2dy, где С—контур, обра- с зованный синусоидой r/ = sinx и отрезком оси Ох при 0^х^ л. 10 81. р x2ydx—xy2dy. хг >-у'-гг 10.82. /(х \-y)2dx—(x24-t/2) dy, где С—треугольник с с вершинами 0(0, 0), А (1, 0) и В (0, 1). 4. Поверхностный интеграл 2-го рода. Гладкая поверхность 6 в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности G н не имеющему общих точек с ее границей, воз- вращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т. е. выбор направления нормали к поверхности, назы- вается ориентацией поверхности. 137
Пусть G—кусочно гладкая ориснтированная поверхность и а = ах(х, у, г)/4-оу(х, у, z)J-\-a2(x, у, г)Л—векторное поле. Разобьем поверхность G на частичные поверхности Glt G2,...., G„, площади которых обозначим через Aov (v=l, 2, ..., п), а площади частичных поверхностей Gv. снабженных единичными нормалями Яу(Ру) в точках PV£GV, через Aav (т. е. считаем каждую такую площадь вектором длины Aav и направления ^(Р^)). Тогда, если существует предел последовательности интегральных сумм п 2 a (Pv), \ при max Aov—> 0 (и п —» оо), который не зависит v=l V пи от способа разбиения поверхности G на частичные поверхности, ни от выбора точек Pv на этих частичных поверхностях, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-<о рода по поверх- ности 6 н обозначается через (a, de) = ах dy dz ау dx dz -f- аг dx dy, (5) *G G t. e. \\ (a, do)- Li 2 (“(pv)- Aorv). 111 'X bOv-*-0 v -I ' ' ' Vl О V 1 Если поле a(P) непрерывно на G, то интеграл (5) существует. Поверхностный ннтегра 2-го рода называют также потоком векторного поля а (Р) через поверхность G. Его можно интерпрети- рован. как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность G. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверх- ности, а потому и знак поверхностного интеграла 2-го рода. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вы- числению поверхностного интеграла 1-го рода (a, do) = j J (а. п) do= (ах cos а J- ag cos р -) аг cos у) do, (G) С с "о где л—(cosа, cosp, cos«)—единичная нормаль к поверхности, или к вычислению суммы трех двойных интегралов \ J (a, do) — ах (х (у, г), у, г) dydz-j- "о X + J J аи ^х' у (*’ г)’ г) dx Лг ai г dx аУ’ D, , Ъ, где £)], D2 и Di — проекции G соответственно на плоскости Оу г, Охг н Оху, а х(у, г), у(х, г) и г(х, у)—выражения, полученные из уравнения поверхности G разрешением о нослтелыю соответствующих координат. Пример 6. Найти поток вектора г = xi-[-yJ-)-zk через часть № , t/s , г2 поверхности эллипсоида —j/4'^2_=E лежащую в первом ок- танте, в направлении внешней нормали. 138
Имеем в силу (6) n(r’ ")d<I==JJ(х cos а -\-у cos Р+г cos у) da. G о Так как в первом октанте внешняя нормаль эллипсоида со всеми осями координат образует острые углы, то все три направляющие косинуса неотрицательны. Поэтому (г л)«1сг= xffydz-{- J ydxdz-{- zdxdy = G £) j „ 14 , лаЬс = Зи = 3.т.ула6С = -т- (каждый из интегралов по Dlt D2 и Ds определяет объем одной восьмой части эллипсоиде). ► Пример 7. Найти поток вектора a = x2i—y2j-]-z2k через всю поверхность тела x24-^i + z2<3/?2, О^г < V^-J-jr2—R* в на- правлении внешней норманн. <4 Имеем: (а, п) da = J (х2 cos а—у2 cos Р + г2 cos у) da = С G . = х2 cos а da— у2 cos Р do-j- г2 cos у da. с в ”с Заданная поверхность ограничена сверху сегментом сферы х2 — gpa, с боков—частью поверхности гиперболоида х2-|-р2— — г2=Я2, снизу кругом х*+ря< < R2, z=0 (рис. 94). На плоско- сти Оуг и Охг поверхность G про- ектируется дважды с разных сто- рон, .поэтому, в силу симметрии поверхности относительно этих плоскостей, первые два интеграла в записи потока равны нулю: ( Г х2 cos a da— f f у2 cos Р da — 0. этой плоскости круг (область ссг- (об- по- С G На плоскость Оху сферический меит проектируется в крут ласть D'3} х2+у2 С 2R*, часть верхности гиперболоида—в кольцо (область Пз) /?2<х2+р2<2Я2, а нижним основанием служит лежащий в Ds”) x’ + j/2<«2. Но для сегмента сферы cos у > 0, для гипербо- лоида cosy < 0, а на нижнем основании г=0. Поэтому (а, я) da= г2 cos у dcr= G G - (32?2 —х2—р2) dxdy — $ (х2-&2—/г2) dxdy. ®з' D3 139
Для вычисления интегралов перейдем к полярным координатам: 2Л R I 2 (3R-—л2—y2)dxdy—^ dtp J (ЗУ?3—л2) г dr = 4 л/?1, р' О О 2л /? Т 2 С^(х2фу2—R2)dxdy=^ dtp § (г2—R2)rdr~^~. L)“ *° « Таким образом, окончательно находим: f С 7 И (а, л) da = y л/?4. ► В задачах 10.83—10.86 вычислить поверхностные ин- тегралы 2-го рода: 10.83. ^ydxdz, где G— верхняя сторона части плос- кости x4-t/ + z = a, лежащей в первом октанте. 10.84. С , где G — внешняя сторона сферы х2 + у2 + +z2 = а*. loss.-И x2dydz, где G—внешняя сторона части по- 6 всрхности параболоида г — (х2-\-у2), х^ 0, у^О, г^Н. 10.86. ^z2dxdy, где G—внешняя сторона полусферы х2 + у2 + г2 = /?а, 2^0. 10.87. Найти поток вектора а — хЧ -фy2j-|- zk через всю поверхность тела -^-Kx2hz/2C2C# в направлении внешней нормали. 10.88 Найти поток вектора а = 2x1—yj через часть поверхности цилиндра х2~\- у2 = R2, х^0, у^0, ОС z С С^Л в направлении внешней нормали. 10.89. Найти поток вектора a=x4-\-y2j -z2k через часть поверхности параболоида (х2ф t/3) = z, z^.H, в направлении внутренней нормали. 10.90. Найти поток вектора а = хЧ—y2J+ z2k через часть сферы х2-фу2-фг2 — R2, х^0, у^0, 2^0, в на- правлении внешней нормали. 10 91. Найти поток вектора a = xi-\-yj—2zk через всю поверхность куба |х|Ся. |у | Са> 121^а в на- правлении внешней нормали. 140
10.92. Найти поток вектора а = 2x4 4- 3y2J 4- г2й через всю поверхность тела |/\2 4*у2 г У 2R2—х2—у2 в на- правлении внешней нормали. 10 93. Найти поток вектора а — xi + yj4- zk через часть поверхности параболоида г = -^(х-—;/2)» вырезаемую плос- костями x=R, г = 0, х = 0, ориентированной в соответ- ствии с направлением орта k 10.94. Найти поток вектора а = хЧy2jzk через часть поверхности параболоида г=^(х2—у2), вырезае- мую цилиндром х24 у2 — R2, ориентированной в соответ- ствии с направлением орта k § 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных нолей 1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса — (ктрогра;- смою. Дивергенцией (нли расхождением) векторного поля а--а(гг обозначаемой через div а, называется скалярная величина,, равная пределу отношение потока векторного поля а через зимкнутую по- верхность Хр к величине vp объема тела, ограниченного эт< й по- верхноегью, при vp—f 0, т. е. при условии, что поверхность стяги- вается в точку Р: (|| («, de) ip (div ы)р— liin -——. (J, i^-O VP Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощиостт потока векторного лоля, «исходящего» из точки Р, т. е. мощностт источника (яри (<livu)p>0) нли стока (при (div«)p<0), находи щегося в точке Р. В трехмерном евклидовом пространстве дивергенция поля выра жается следующим образом: „ dax,i)ou,diiz Теорема Гаусс а—О строг р адского. Попюк векторного поля а (г) 41 рез замкнутую поверхность 2, лежащую в этом поле в направлении ее внешней нормали, равен тройному интегралу т области V, ограниченной этой i оверхностью, от дивергенции этог> векторного поля, т. е. (jji (а, л) da - J J div a dv. х v Пример 1. Используя теорему Гаусса—Остроградского, найп поток .вектора а — x2i-\-y2j-\-R2zk через всю поверхность Стел, уу т|(х!4-|/2Хг</У в направлении внешней нормали И
«4 Имеем diva —3(х*-|-у2)-}-Я8. Поэтому $ (а, л) <fo= j J J (3 (х2+.у2) + Я2) dv. 77 V Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим ко- ординатам Уравнение поверхности примет вид г=йг2 R2, 2л R II J J J (3 (*г+1/®)+ Я2) dv = $ dtp J (Зт2 J- R2) r dr \ dz^ v 0 0 llr‘ R t R ^2n ^{3r2+R*)(H~^rdr=J^ (Я«+2ЯМ-Зт-) r dr= о 0 ~nHR* 10.95. Найти div (xyi -ф yzj xzk). 10 96. Найти div ~/±7+*— ~ _ I ' (х+и+г)2 10.97. Найш дивергенцию векторного поля a — x2yi-j- + xf/2j + г'к в точке Р(1, 2, —1). 10.98. Найти дивергенцию градиента скалярного поля и = х2у‘г в точке Р(], —1, 1). 10.9<Г Магнитное поле, создаваемое электрическим токо^л силы I, текущим по бесконечному проводу, опре- деляется формулой Н(Р) - Н(х. у) = 21 . Выч’ис- х* I- у* лить div//(P). 10.100. Найти дивергенцию векторного поля а —[с, г где с —постоянный вектор 10.101. Найти div (г [с, г]), где с —постоянный вектор. Используя теорему Гаусса—Остроградского, решить следующие .задачи: 10.102. Доказать, что поток радиус-вектора г через любую кусочно гладкую замкнутую поверхность в на- правлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью. 10.103. Найти поток вектора a^x'U + y'j—z3k через всю поверхность куба 0<z/^a, 0<г<й в на- правлении внешней нормали. 10.104. Найти поток вектора а — rir через всю поверх- ность сферы х- -j-у2 -J- г2 = R2 в направлении внешней нор- мали. 10.105* . Найти поток вектора a—2xi yj—zk, па правленпый в отрицательную сторону оси Ох, через по- верхность части параболоида y2 + z2 = Rx, отсекаемой плоскостью х — R. 142
10.106. Распространить понятие потока и дивергенции на случай плоского (двумерного) поля и сформулировать теорему Гаусса—Острсградского для этого случая. 10.107* . Используя решение предыдущей задачи, пре- образовать циркуляцию вектора по замкнутому контуру L в плоском поле в двойной интеграл по площади, огра- ниченной этим контуром. 10.108. Найти с помощью теоремы Гаусса—Остроград- ского поток вектора a = x2yl xtpj4- xyzk через всю по- верхность тела x24J’»*4-z2C^. x^Q, у>0, z>0 в направлении внешней нормали. 10.109. Найти поток вектора а = x*yi—xy2J4- (х2 4- у2) zk через “век? поверхность тела х24- у2R2, 0г Н в направлении внешней нормали. 2. Вихрь векторного поля. Теорема Стокса. Вихрем векторного поля а—а (г), обозначаемым rote называется вектор, который в каждой точке Р дифференцируемости поля определяется следующим образом: ф (a, dr) (пр rot а)Р = lim —------. s о °Р Здесь s — единичный вектор произвольного направления, 1Р— малый замкнутый контур, окружающий точку Р, лежащий в плоскости, перпендикулярной к вектору s и обходимый в положительном ио отношению к вектору s направлении, оР—площадь области, ограни- ченной контуром 1р- предел ищется при условии, что контур 1Р стя- гивается в точку Р. В трехмерном пространстве rot а через декартовы прямоугольные координаты вектора a = axl-^ayJ -[-a^k выражается следующим образом: Теорема Стокса. Циркуляция дифференцируемого секторно- го поля а по произвольному кусочно гладкому сомкнутому контуру L равна пойму сектора rota через поверхность G, ограниченную этим контуром L: ^(а, L G dr) = П (Г°* а* (2) или в координатной форме $ (Рх dx 4-Су dy 4- аг dz) = dax даг \ dz дх } COS04- dx ду J cos у jda. 113
Пон этом единичный вектор п нормали к поверхности G направлен в такую сторону, чтобы обход контура L но.м по отношению к п направлении Пример 2. Проверить ответ задачи Стокса. •4 Так как а = zi-f-xj-j-yk, то rota — I происходил в положитель- 10 76 при помощи теоремы / ft За поверхность G, ограниченную контуром L, примем-сам круг, образоваг иый сечением шара х2-у24-г2^Д2 плоскостью х<-| у z — R Центр круга )^~2 ; его радиус Rt R J/ у . Единичный вектор иор- \ 3 3 ’ 3 мали л -т=(« /4-Л)- 2 _ Так как (rota, п) — ~— = К 3 , то находим ,2 2л/?2 (£(a, rfr)-CC(rota, n)do^3 Плт=/Зл/?1 Пример 3. Найти циркуляцию вектора a—yl- 2zJ ( xftвдоль эллипса, образованного сечением гиперб юта 2х2—у24-г3 /?а плос- костью у х, в положительном направлении относительно орта i Отпет проверить при помощи теоремы Стокса Параметрические уравнения за апног > эл 2ипса х Rcost, у Rcost, z R sin t Для обхода в заданном направлении параметр t надо из- менять от 0 до 2л. Следовательно, (a, dr)— $ у dx—2zdy-\-xdz = 2л = R'1 (— sin t cos t -f-2 sin3t4- cos* /) dt — 3л/?2. о Применим теорему Стокса. Имеем rot а —2/— /—ft За поверх- ность G. ограниченную контуром L примем часть секущей плоскости, лежащей внутри элли ica. Е шиичный вектор нормали, направленный 1 3 в нужную сторону, имеет вид л -y=(Z—/). Поэтому (rota, я)=—=и V 2 х У2 n(rota nJdo-JLCCda —= nab К2 JP /2 Но так как эллипс имеет полуоси а= R 1Л2 и b = R, то (rot а, п) </о = Зл/?2. ► a 10.110. Найти rot хуг (xi 4- yj zk). 10.111. Найти rot(P(x, y)i Q(x, y)J)._ 10.112. Показать, что магнитное поле Н (Р) (ем. за- дачу 10.99) в области своего определения является без- вихревым. 144
10.113. Найти ротор поля [о, с], если a — x2i i/2j—x2k и C = i—J \ 2k. 10 114. Найти rot--^-'/y+^_rot-^- /Ф2 , i2 г2 I г I 10.115* . Жидкая среда вращается с у гловой скоростью ®=юж»-|-(о£,у-г «огЛ вокруг оси, проходящей через начало координат. Най и вихрь подя скорос~ей этой среды. 10.116. Вывести формулу Грина (см. ответ к задаче 10 107), применяя теорему Стокса к двумерному век ор- ному полю а = axi 4- aflJ 10.117. Пользуясь формулой Грина, убедиться в том, что площадь Q плоской области D, ограниченной кусочно гладким контуром L, можно найти при помощи любою из трех следующих интегралов: Q= ^xdy, Q— — §ydx, Q — -^&xdy—ydx. L L L 10.118. Используя последнюю формулу предыдущей задачи, иайти площади фи! ур, ограниченных следующими кривыми а)* петлей Декар Юва листа х3 у'— Зпху = 0, б) эволютой эллипса х —cos8/, у -~-sm i (а и b — полуоси эллипса, с=И«‘—Ь2). 10 119. При помощи теоремы Стокса пайти циркуляцию вектора a=z2l + xsj + y2k по сечению сферы №-ф//г+г2—/?а плоскостью = в положительном направлении относительно орта k 10.120. Найти циркуляцию вектора a = zi xj tfk по сечению гиперболоида 2х2—y2-\-z2=R2 плоскостью х-[-у — 0 в положительном направлении относительно орта I. Проверить ври помощи „терраны Стокса. 10.121. Найти циркуляцию векторе а = уЧ ф- xyj 4- (х2 у2) k по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида х24- у2 — Rz плоскостями х = 0, t/ = 0, z-R в положительном направлении относительно внешней нор- мали параболоида. Проверить при помощи те ремы Стокса. 3. Оператор Гамильтона и его применение. Все о ерации вектор- ного анализа можно выразить npif помощи оператора Гами. ь на — символического вектора v (читается — набла) опре, е немого равенством . д ,д д V = »vt т *— • дх ду ‘ дг 145
Применяя известные операции умножения вектора на скаляр, ска- лярного и векторного произведения двух векторов, находим: . .ди , .ди .ди 4^-=(». gradn) = (s, v«) = (®> V)«: US i J к d_ d_ d_ dx dy dz ax ay аг = [V. a] По аналопш с производной по направлению от скалярной функции вводится ПОПЯП1С производной по направлению единичного век- os тора s от векторной функции а (г). Именно, -^-=(s, V)a = (s, £rttlox)/-Hs, firaduyjy-hfs, gradojftc ds r ds J ds i Производные по направлению произвольного (не единичного) век- тора с отличаются от производных по направлению единичного век-, тора только тем, что в них входит дополнительный скалярный мно- житель | с (с, \)и = (с, grad и), (с, f)a~(c, grad Од.)/-Ь (г, grad а^)/-)- (с, grad аг) k. С помощью оператора Гамильтона удобно выполнять дифференциаль- ные операции векторного анализа над сложными выражениями (про- изведение двух или более скалярных функций, произведение скаляр- ной функции на’вектор, скалярное и векторное произведения векто- ров и т. п.). Следует лишь помнить, что это оператор дифференциро- вания произведения. Пример 4. Найти градиент произведения двух скалярных функ- ций и и V. 4 Имеем • grad (ш) = v (uv) = v ('«') 4- V («I) (стрелка указывает функци >, на которую «дейс вует» оператор). Но V (иг) = VV« = v grad и, I • V (нг) = и у v — и grad и. Таким образом, grad uv = t' grad и -f- и grad v. 146
Пример 5. Найти rot [а, с|, где с—постоянный вектор. Так как по известной формуле векторной алгебры^[а, [Ь, с]] = — (а, с) Ь—(а, Ь)с, то, учитывая соотношение [у, [а,' <л]=0, имеем: 4 * \/ * I rot [а, с) = [у, [а, с]] = [у, [а, cJJ + [y. [а, с„ = (у, с)а—(у, а)в. 4 t Но (у, с)а = (с, у) а, а это есть производная вектора а по направ- лению вектора с. Далее, (V, а) с = с (у, a) cdiva Таким образом, rot [а, с] = (с, у) а—cdiva. ► Выполнить следующие дифференциальные операции (с — постоянный, а и b—переменные векторы): 10.122. Найти div (си) и div(au). 10.123* *. Найти grad а с) i grad (а, b). 10.124. Найти div а, с и div [а b 10.125* . Найти rot с '), rot (ан) и rot а b 4. Дифференциальные операции 2-го порядка. Можно образовать пять ди<|'ф?ренциал1>ных операций 2-го порядка: 1) div grad н=(у, у)ц—у2и —Аа (л 1 •сиан функции); • 2) rot grad и- [ у, у] и; 3) grad div а у (у, а 4) div rota —(у, [у, al), 5) rot rot a = |у, [У. a|] Кроме гою, операцию ve можно применяться к векторным полям, т. е. рассматривать операцию у2а. Вторая и четвертая операции приводят к нулю: rotgradir — [г, у]н = 0, div rot a = (y, [у, a|) = 0. Это следует из векторного смысла оператора у: в первом случае фор- мально мы имеем векторное произведение двух коллинеарных векторов, а во втором—смешанное произведение компланарных векторов. 10.126. Получить выражения для div grad и = V2a, grad div а = V V a , rot rota = V V, a , V a = Г-а i V uj X2azk через производные скалярного или векторного потей. 10.127. Найти grad div а, если а =хл1 + y3jzsk. 10.128. Найти rot rot а, если a = xy2i-\-yz2j-\-zx2k. 10.129. Найти V2a, если а — (у2 + z2) xl ф- (х2 ф- г2) yj 4- ф- (№ ф- у2) zk 10 130. Найти div grad (ни). 10.131. Найти grad div (ас) и grad div (ud) (с — постоян- ный, а—переменный вектор). 10.132. Найти rot rot (ас) 147
§ 4. Специальные виды векторных полей 1. Потенциальное векторное поле. Векторное поле а —а (г) на- зывается потенциальным, если вектор ноля а является градиентом некоторой скалярной функции и — и(Р): а (г) = grad u (Р). (1) Функцию н (Р) в эт и случае называют потенциалом векторного поля. Нсоб.хо, 1мым и достаточным условием потенциальности дважды дифференцируемого в о. носвязиой области поля а (г) является ра- венство нулю ихря этого по 1я: rot а — 0. (2) Пример 1. Проверить, что вихрь трехмерного векторного поля а = grad и тождественно равен нулю (функцию и (Р) предполагаем дважды дифференцируемой). т .д ди . ди дц 1ак как а-grad н—t ——к. то, учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, поручаем rot я rot grad и i Ь й 0. ► В п 4 предыдущего параграфа это равенство било волучсно с ис- пользованием свойств симьоличсского вектора набла Потенциальное поле обладает следующими свойствами. 1 В области непрерывности потенциала поля линейный интсгра i от вектора поля, взятый между двумя точками поля, не зависит от пути интегрирования и равен разности значений ютенцинла пол в конце и начале пути интегрирования в в в \ (я, dr) — J (grad и, dr) dti — u (В)—и (Л) А А А (использована . егко пр веряемая ф< рму ia (grad u, dr) — du). 2. Циркуляция вектора потя по любому замкнутому контуре, целиком лежащему в облас и непрерывности поля равна пулю. 3. Ес. и по е а потенциально то потенциал поля и (Р) в пре из вольной точке Р может быть вычислен по формуле (3). Р и(Р)=-(a, dr) + C, (4) А причем С и (Л), что легко получается полстановк! и в (4) вместо переменной точки Р фиксированной точки А Для вычисления интеграла (4) можно выбрать любой путь—проще всего в ка>?с ве так го п^ти выбрать ломаную со звеньями парал- лельными осям координат, соединяющую точки А и Р. За точку Z удобно принимать начало координат (ос. и оно лежит в области н прерывности поля). Пример 2. Найти потенциал поля a~2xyi)-(x2—2uz)J—y2k. 148
<1 Убедимся, что поле потенциально: = = —9„ д<1у ду dz J’ dz дх ’ дх ду Следовательно, rot a s 0. За путь интегрирования примем ломаную ОАВР, еде О (0, 0, 0), А (X, 0, 0), В (X, Y, 0), Р (X, У, Z) Находим. Л [В р и(Х, У, Z) = (a, dr)-j-C = (а ) (a dr) (а, dr)-J-C, ОАВР о а в («, dr) = 2ху dx±(x*—2yz) dy—у2 dz. Так как на [ОЛ] имеем у — г = 0, dy=dz — 0, 0<х<Л, то А (a, dr) = 0. о Аналогично на [ЛВ] имеем х«=Х, dx=0, г = 0, dz = O, поэтому в У §(а dr)= X3 dy=X3Y. АО - На [ВР] имеем х—Х, у—У, dx=dy—0, 0<г< Z, значит, Р 7. $ (a. dr) $ У2 iz= У-Z. в о Таким образом, и(Х, У, Z) = X2Y— Y2Z-f-C Возвр щаясь к перемен- ным х, у, г, получаем и(Р) = х2у—Ц2г-)-С Замечание. Изл женпый метод отыскания потенциала потя применяется при решении таких эквивалентных рассмотренной задач математического анализа, как восстансвтенне функции двух, трех ип переменных по их и тным д 1фференциалам, а также при интегриро- вании дифференциальных уравнений в по них иффе>енциалах. Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей: 10.133. а = (Зх2у—у’) i + (х'—Зху2) j. 10 1.34 п — sin2*cos2t/'* со 2xs У COS2 X sin2 у МП2 X COS2 J/ 10.135. a=^(yz—xy)i4-(XZ—^ yz^ j (xy-\-ifz)k. 10.136*. a= -—+ ЛЪ’+f-—4U- \ г x2 / \* У J X У г/ 149
10Л37* а = (4—4—¥V + (4~4-“rV+ \ У2 Z2 x3 J 1 \ X2 Z2 U* J J \ X2 1 y2 2s ) 10.138 **. Доказать, что во всюду непрерывном потен- циальном векторном поле векторные линии не могут быть замкнутыми. Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых поле теряет свойство непрерывности (так называемые особые точки), то циркуляция по замкнутому коитуру, окружающему такую точку, мо- жет быть отлична от пуля. В этом случае циркуляция по контуру, обходящему данную особую точку один раз в положительном направ- лении, не зависит от формы контура и называется циклической по- стоянной относительно данной особой точки. Аналогичными свойствами обладают трехмерные ноля с особыми линиями, вдоль которых поле теряет свойство непрерывности. 10.139 . Убедиться в потенциальности поля а = -•{ , . Определить его особую точку и ее циклическую посто- янную. 10.140 *. Доказать сформулированное выше свойство о том, что циркуляция по замкнутому контуру, окружаю- щему особую точку, не зависит от формы контура. 10.141 *. Воспользовавшись формулой (4) для опреде- ления потенциала поля, убедиться в том, что потенциал плоского поля, имеющего особые точки, будет многознач- ной функцией. 2. Солсиоидальное поле. Векторное поле а а (г) называется сояеноидальным, если Дивергенция этого поля равна нулю: diva = 0. Для трехмерного поля это условие можно переписать в виде .. да ж да ga d i v a = -v- 4—4- 0. dx dy 1 дг (5> В таком поле в силу теоремы Гаусса—Остроградсиого равен нулю поток вектора .поля через любую замкнутую поверхность. Исключение может быть только в случае наличия в таком поле особых точек (в которых вектор поля не определен и дивергенция поля, ес -и ее определять в такой точке при помощи формулы (1) § 3, отлична от нуля). В этом случае поток через замкнутую поверхность можег быть отличен от нуля, но будет иметь одно и то же значение для всех замкнутых поверхностей, окружающих данную группу особых точек. Пример 3. Доказать, что для любого дважды дифференцируе- мого трехмерного векторного поля а — а (г) поле вихрей соленоидалыю. Имеем \ ду дг / ’ \ дг дх JJ 1 \ дх ду f 150
Учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, получаем В п. 4 предыдущего параграфа .это соотношение доказано с по- мощью оператора набла. 10 142. Доказать, что в соленоидалы ом поле поток век- тора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю. Проверить соленоидальность следующих полей: 10.143. а = (х2у+ у*) i + (лл—ху2)J. 10-144^. а хуЧ № yj - - (№ -)- у2) zk. 10.145. a = -i | -у- i — + ^1'- k. у г xzJ ху 10.146. а = -|- (-у2~у2.)-г* . —— 1гх2+у* 10.147*. Доказать, что в солепоидалыюм поле поток ректора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значенне. 3. Лапласово (или гармоническое) поле. Векторное иоле назы- вается лапласовым (пли гармоническим), если оно одновременной по- тенциальное и солеиоидалыюе, т. с. если rot а 0 и div а 0. (6) Пример 4. Доказать, что потенциал и двумерного или трехмер- ного лапласова поля является гармонической функцией двух или трех ( д2и , д2и _ д*и , д2и , д*и переменных т. е. -5-т+^т=0 или -уф,-. _1_ =о ) . V. дх2 ду* дх* ду2 1 дг2 J «4 Действительно имеем , .. д2и д2и п div a =div grad u=-——(——-=0 dx2 * dy* для двух переменных, . дги . д2и д2и п <liv а = di v grad и = 4- р —-=0 ду2 ‘ дг- для трех переменных. Пример 5. Показать, что потенциал поля сил тяготения, воз- никающего в пространстве, окружающем некоторую точечную массу, равен k r (k > 0—коэффициент пропорциональности) и что ноле сил тяготения лапласово. * Поместим начало координат в центре притяжения. Топа а = grad — = А grad- - 1 k- г У\2+у2-хг2 (х2+^+2«)Я/е г-! Но это—вектор силы притяжения. Действительно, он направлен к центру притяжения, поскольку — г/г—единичный вектор радиус- 151
вектора точки Р (г), направленный к началу координат, а его модуль равен k,'r2, т. е. обратно пропорционален квадрату расстояния от центра притяжения. Покажем, что diva =—Adivy3-=O. Имеем: ______________________ kx ах~~ (х2+р2 + гг)»/-2 ’ дах _ . х2+у2+г2—3хг __k I/2 4 г2—2х2 ~3х~ ~~k (х2+у2+г8)6’2 г2 Аналогично д°у , х8 + г8—2у2 даг_____ . х2 |-у2—2г2 аГ И ’ 7>г А 7. ’ и потому -^-+^+-^=-4 -I- г2 - 2х8) -|- (х8+г8—2р2) + дх 1 ду 1 дг г* ' ’ у ' -Р(х2-рр2—2г8)) = 0. Итак, поле сил тяготения лапласово. |> 10.148. Доказать, что плоское векторное поле, потен- циалом которого служит функция и = In г (г == |/\8 | у2), лапласово. 10.149*. Для гармонических в области G функций и и w доказать следующие формулы Грина: а) = yyj(gradu, grad w) а dv (первая формула Грина), б> #(ы-й-ц'5г)Но==0 s (вторая формула Грина), в) $ -- da = 2 у У у (grad и, grad w) dv S о (третья формула Грина). Являются ли гармоническими следующие функции: 10.151. и = г—х=]7х2-\-у2—х. 10.152. ц = Ах + Ву+С. 10.153. и = Ах* + 2Вху-[-Су2. 10.154. ц = Л№ + ЗВх2//4-ЗСху8 + Оу3. 152
10.155. w — Ax-\-By-\-Cz + D. 10.156. и — а,,х24- a22i/2 + a33z24-2a12xi/4-2a13xz4-2c23z/z. 10.157. и = ош? -ф a222t/3 + a333z3 + 3«112х2// + За113х2е + + Зс J22xi/2 + Зя223//2г + За133хг2 + За233уг2 + 6c123xi/z. § 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 1. Криволинейные координаты. Основные соотношения. В прост- ранстве задана система координат, сслн каждой точке Р поставлена в соответствие тройка чисел qlt q2, qs, причем различным тройкам чисел отвечают различные точки пространства. Числа qlt q2, qs на- зываются координатами (или криволинейными координатами) точки Р = Р (<7i> <7а. <7з)- Наиболее употребительными являются следующие системы координат: 1) Декартова прямоугольная система координат. Здесь qi=x— абсцисса точки Р, q2--y—ордината и t/3 = z—аппликата. 2) Цилиндрическая система координат. Здесь за qx принимается расстояние г от точки Р до оси г, qi = r (OsC г < -f- <»), <7г = Ф — угол, составленной проекцией радиус-вектора ОР иа плоскость Оху с по- ложтелрним направлением осн Ох (О«С<р < 2л), a?3 = z—аппликата точки Р. При этом цилиндрические координаты связаны с декартовыми прямоугольными координатами при помощи формул х — г cos«p, у~ г sin гр, z= z п, обратно, Кх2 + «/2, tgq =-^-. 3) Сферическая система координат. Здесь q^—r—длина радиус- вектора точки Р (0«Sr < 4-ос), — угол между положительным направлением оси Ог и радиус-вектором ОР точки Р (0< л) '), qs — if — угол между положительным направлением оси Ох и проекцией радиус-вектора ОР на плоскость Охи (О «С <р .< 2л). Имеют место формулы: х— г sin 0 cos <р, p = rsinOsinq>, г = г cos 6 и, обратно, r= p/'x24-I/24-Z2. COS 6—’ CL. . 2 = , tg<p=—. /х24-р24-22 * Линия, вдоль которой изменяется только одна координата qlt называется координатной qi-линией, а единичный касательный вектор к этой линии, направленный в сторону возрастания qlt—единичным координатным ортом в точке P.iqi, q2, </з)- Аналогично опреде- ляются q2- и 93-линии и единичные орты е$г, е9,- Если векторы eq eQtl eq* попарно ортогональны в любой точке пространства, то соответствующая система криволинейных координат 91- <?2. <?з называется ортогональной. *) Иногда за координату q2 сферической системы принимают угол между радиус-вектором ОР и плоскостью Оху (см. § 2 гл. 8). 153
Пусть Р (fo, q2, q2)—произвольная точка пространства, (<7i+ -- Л?1. ^2, <7з) -точка, лежащая на q2-линии точки Р, и | PPt |—дли- на дуги РР1- Тогда число Z.1 = lim 1^11 Де, _> о Д<71 называется коэффициентом Ламе координаты в точке Р. Анало- гично определяются коэффициенты Ламе 1.2 и Ls координат q2 и q3. Сели точка Р (х, у, г) имеет криволинейные координаты qA ~ = <71 (*. У< г). qt —Чг (* У. г), q3 — q? (х, у, г), то дифференциалы радиус- векторов dr?v координатных линий и дифференциалы их дуг ds?v оп- ределяются с помощью равенств , . дх , . ду . .dz . 9v = * Ч ?v4 J d^ fy, dq' Г . 1 ft дх V 1 / dy V । ( dz \2 j , , V (.к) Чч) +(^) (v= 1, 2, 3), где Lv—коэффициенты Ламе. Множество точек Р (q-i, q2, q3), для которых одна из координат постоянна, называется координатной поверхностью. Дифференциалы площадей координатных поверхностей опреде- ляются но формулам dCqA^= L.2I.3dq2dq3. dciqt LiL2dq2dq3t dOg3 L^L2dq^dq2t а дифференциал объема du — L]L2I.3 dq2 dq2 dq Найти вид координатных линий и координатных по- верхностей II построить их в произвольной точке для следующих случаев: 10.158. Для декартовой прямоугольной системы коор- динат. 10.159. Для цилиндрической системы координат. 10.160. Для сферической системы координат. Вычислить коэффициенты Ламе: 10.161. В декартовой прямоугольной системе координат. 10.162. В цилиндрической системе координат. 10.163. В сферической системе координат. Найти дифференциалы дуг координатных линий, диф- ференциалы площадей коорДипатпых поверхностей и диф- ференциал объема: 10.164. В декартовой прямоугольной системе координат. 10.165. В цилиндрической системе координат. 10.166. В сферической системе координат. 154
2. Дифференциальные операции векторного анализа в криволи- нейных координатах. Указанные операции определяются следующими формулами: , 1 grad м=-ц- ди , 1 би 1 ди д<Н е<1'+~Ц 'Цд^е‘‘* AlV a~LlL2Ls{dql (12Дэ°«^+а?2 (Л11за«>>+д?3 (здесь a -aq ^, + ^,^ + «5,^). Го1 а=1^Т е<ъ +тт; (^-(^1в4.) - ~б^ ^за^') е^+~цц- ^ач^>~ (^х)] *4». Ди= \ги = Для цилиндрических координат г, <р и г найти выра- жения: 10.167. ’ gradu. 10.168. Ди. 10.169. diva. 10.170. rota. Для сферических координат г, 0, ф найти выражения’ 10.171. gradu. 10.172. Ди. 10.173. diva. 10.174. rota. Пример 1. Перейти к цилиндрическим координатам в выра- . xi+yj—zk . , , женин векторного поля а=- - и манги diva н rota. Так как в данном случае xi-\-yj = г, то rer — ге, а= '________~ . V г2-[-г2 По формулам, полученным прн решении задач 10.169 к 10 170, на- ходим: J_ ( д(гаг) । . даЛ r \ dr -d<f г J div a ___£ /2r(r3 Hz2)—r3 ~ r \ p-f-z3)3'2 ( 1 daz da \ / Qa rot a= —-r-=—~ I eT + ( \ r d(f dr / \ dz , 1 ^(ra,p) *• r \ dz dif J z (^pz2)—z2\ 2z2 r (r2+z2)3/2 (r24-z2)3 3 2rz (r2+z2)3'2 10.175. Вывести формулы: v j- 1 d(LyLft) 1 г i r i a) div ev = £1ДаГз- dq—; 6) rotev==—j—[grad£v, ev]. 155
10.176. Используя формулы, выведенные при решении задачи 10.175, найти diva и rota для единичных коорди- натных векторов цилиндрической системы координат: а) а — ег, б) a — ev\ в) а — ег. 10.177. Решить задачу, аналогичную 10.176, для сфе- рической системы координат: а) a = er; б) а — е0; в) а—е . 10.178. Найти все гармонические функции вида: а) н = /(г); б) и = Д<р); в) u = f(z) (г, <р, z—цилиндрические координаты). 11.17$. Найти все гармонические функции вида: а) м = /(г); б) u = f(0); в) u = f(<p) (г, 0, <р—сферические координаты). 11.111. Перейти к сферическим координатам в выраже- 2 1/(г2—х2—и2) , нии скалярного поля и — — ™ ' и наити и, grad a и V2a. 10.111. Перейти к цилиндрическим* координатам в вы- ixyz-j-lx2—у2) ражспни скалярного поля a = у и найти и, V X2 -у2 grad, а и V2a- 11.112. Перейти к сферическим координатам в выраже- нии векторного поля a — -, — и найти a, diva l^x2 -у2+г2 и rota. 11.113. Перейти к цилиндрическим координатам в вы- ражении векторного поля a = хг1-\-у j — z V :2ф у' k и найти «, diva н го а. 3 Центральные, ос выг н ос симм т иче кие скалярные поля. Скалярное поле называется центральным, если функция поля и=и (Р) зависит только от расстояния точки Р поля от некоторой постоянной точки—его центра. Если на -1ло координат поместить в центр поля, то функция и примет вид и=и(г) = и р/'*2+р2+ г2). При исследовании таких полей целесообразно пользоваться сфери- ческими координатами. Поверхностями уровня такого поля будут сферы с центром в центре поля, и потому эти поля часто называют сферическими. Скалярное поле называют осевым, если функция поля и (Р) за- висит только от расстояния точки поля Р от некоторой оси. Если принять эту ось за ось Oz и обозначить расстояние от точки Р до исе через г, то функция и примет вид и = и (г) = и (Ух2+у2)- При исследовании таких нолей целесообразно пользоваться цилинд- рическими координатами. Поверхностями уровня таких полей явля- 156
ются круговые цилиндры, осн которых совпадают с осью поля. Эти поля называют также цилиндрическими. Если функция и(Р) скалярного поля принимает один н те же значения в соответствующих точках всех полуплоскостей, проходящих через одну и ту же прямую (ось поля), то таксе поле называют ссе- симметрическим. Поверхности уровня такого поля — поверхности вра- щения, оси которых совпадают с осью поля. Есдн ось поля принять за ось Ог, то при исследовании таких полей целесообразно пользо- ваться либо сферическими, либо цилиндрическими координатами Функцию и — и(Р) можно в этом случае представить либо в виде и=и (г, 0) (в сферических координатах) либо в виде и = и (г, г) (в цилиндрических координатах). Замечание Градиенты центральных, осевых и осесимметри- ческих полей образуют векторные поля того же характера—централь- ные, осевые и осесиммстрические. Найти градиенты и лапласианы следующих полей. 10.184. « = /(г), г — Кх2-|-у2 + г2. 10 185. u = /(r), г = 10 186. и = р(г, 0) (г 0—сферические координаты). 10.187. « = £(/•, г) (г, z—цилиндрические координаты).
Глава 11 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § I. Элементарные функции 1. Понятие функции комплексной переменкой.' Множество точек Е расширенной комплексной плоскости (г) — С (J {оо} называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется областью к обозначается через D, G и т. п. Область D называется односвяз- ной, если ее граница является связным множеством: в противном случае область Г) называется мномвязной. Если каждому комплексному числу г, принадлежащему области D, поставлено в соответствие некоторое комплексное число w, то говорят, что в области Г> определена комплексная функция w—f(z). Пусть г — x-j-iy и w=«+ic. Тогда фрикция w — f(z) может быть представлена с помощью двух действит (ьпых функций и—и (х, у) и t=v(x, у) действительных переменных х и у (z) = и + iv = и (х, у)+iv (х, у), где « (х, y)^Ref (г), v (х, у) = Ini / (г). Пример 1. Указать область, определяемую условием | г | — — I m г < I. ______ <4 Так как |z | = |^х24~1/2 и Im г — у, то получаем неравенство- < I пли 1+г/. Из последнего неравенства следует, что у >—1. Возводя обе части неравенства в квадрат, находим х2-\-у2 < 1 Следоватсдьно, искомая область определяется неравенством у > — (х2— 1), т. е. представляет собой ' открыюе множество точек, ограниченное графи- ком параболы у—-^ (х2— 1) и содержащее точку 0(0, 0). Пример 2. Пайти действительную и мнимую части функции /(z) = iz2—z. Полагая z = x-j-iy, находим I (г) = и (х, у) + к- (х, у) = i (х-Ь iy)2 — (x—iy) = = i (х2 — у2-\-2ixy) — (х — iy) = — х (1 -|-2у) 4- i (х2—у2-\-у): 158
Таким образом Rc/(z)=«(x у)=— х(1 4-2у), Iiiif(z)=v(x, у) = ж»—у*-[-у > Описать области, заданные следующими соотноше- ниями, и установить, являются ли они односвязными: 11.1. | г—z0|<R. 11.2. 1<|г—1|<2. 11.3. 2 < | г—i | <-|-оо. 11.4. 0< Re(2tz) < 1. 11.5. |z —ze|>R. 11.6. 0<|г-Н <2. 11.7. Im(iz)< 1 11.8. Re—> у. Указать иа комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих указанным соотношениям: 11.9*. Im-£±L = o. 11.10. |z—i| + |z + i[<4. 11 11. Re-^|Uo. 11.12. |z-5|—|z + 5|<6. 11.13. argl=£j. = 6. 11.14*. ar&4=4 = 0. Записать с помощью неравенств следующие открытые множества точек комплексной плоскости: 11.15. Первый квадрант. 11.16. Левая полуплоскость. 11.17. Полоса, состоящая из точек, отстоящих от мни- мой оси па расстояние, меньшее трех. 11.18. Внутренность эллипса с фокусами в точках 14-1, З4-1 и большой полуосью, равной 3 11.19. Внутренность угла с вершиной в точке г0 раст- вора я/4, симметричного относительно луча, параллель- ного положительной мнимой полуоси. Для следующих функций мнимую части: 11.20. f(z) = iz4-2za. 11.22. /(2) = l±i. i — г 11.24. f(z) —Re(za + 0+ 4- i Im (za—ij. Определить функцию w=f(z) по известным действи- тельной и мнимой частям 1126. и(х, у) = х + у, v(x, у) = х—у. найти действительную и 11.21. /(z) = 2t—z4-»za. 11 23. /(г) = £ + ±. 11.25. f(2) = ^±£±± Еслиг = лг4-«у и z=x—й/, то у (z4-z) и р = — у (г— г). 159
Тогда и(х, у) = х ' у=А(г + г)--^-(г-г) = -Ц-!-г4—Ц- г; v(x, у)=х-у=:^-(г-1-г)+~(г-1)=-^—г+-~-Г. Следовательно, f(z) = u(x, y)-f-iv(x, = 1г+-Ц^-17=== = ('4-i+-4J- 1 г+(-Ц2-+-Ц±‘) г-(1+0^ Таким образом f (г) — (I{) г Рассмотренный в задаче метод позволяет в общем случае полу- чить для функции комплексной переменной выражение, зависящее от г и г. ► 11.27. и(х, у) = х1—у2—2у— 1, v(x, у) = 2ху+2х. И.28. 11.29. и(х, у) = -~ , v(x, у) = ^-. * у Функция w~f(z) называется однолистной в области D, если любым различным значениям г2 /- г2. взятым нз области D, соответ- ствуют различные значения функции f (zt) # f(z2). Найти области однолистности следующих функций: 11.30. f(z) = z*. ◄ Пусть zt —pie’4' и г2 = рге‘ч*. Найдем условие, при котором г1~ г1> хотя zi г2. Имеем p2eZ2,fl ^р2?12'*'". Отсюда заключаем, что Pi=p2 а 2<р2 = 2фЛ-2Лл (fc = 0, 1). Так как г2 # г2, то <р2 = <р1-|-л. Таким образом, область однолистности функции ш=г2 не должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а аргу- менты отличаются на л, т. е. областью однолистности является любая полуплоскость, иапример Re г > 0 или Im г > 0 11.31. f(z) = zn, «еМ. 11.32. f(z) = e\ 11.33. /(г)=--е8'Л 11.34. = Геометрически заданную на D функцию f (г) можно рассматривать как отображение области D плоскости (г) на некоторое множество G плоскости (а?), являющееся совокупностью значений f (г), соответст вующих всем z Q D. Пример 3 Исследовать отображение, осуществляемое линей- ной функцией w= az-\- Ь. 160
Это отображение можно рассматривать как композицию трех простейших отображений Действительно, положим кд = |а|г, w2 — el arg awi. Тогда нетрудно видеть, что ш=щ3ои,гогг.'1. Из геометрического смысла произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отображение кд есть отображение растяжения (сжатия при 0< |а|< 1), отображе иие кд представляет собой поворот всей плоскости (кд) относительно начала на угол <j- arg а и, наконец, отображение а,3 есть парал- лстьный перенос плоскости к-2 из вектор, изображающий комплекс- ное число b ► Найти образы указанных точек при заданных отобра- жениях 11.35. zc=l + t, w=z3+t. 11.36. г0 = -^-, u- = (z-i)s. 11.37. zc=l — ьу = —-. 2 г 11 33. г0 = 3—2t, u> = 4. г 11.39. Найти образы координатных осей Ох и Оу при отображении Для отображений, задаваемых указанными функциями, найти образы линий х = С, |г| = /?, argz = a и образ области | г | < г, I m г > 0: 11.40. ю = г2. 11.41**. ш = —. г Один из наиболее употребляемых способов задания функций — задание с помощью формулы—в случае функций комплексной пере- менной часто приводит к многозначным функциям Говорят, что в области D определена многозначная функция ы={ (г), если каждой точке г £ D -постав юно в соответствие несколько комплексных чисел w г/ 2 ,— Пример 4 Найти все значения функции w —%---------у г в точке гд = i. Так как |»|=1 и argt = -g-, то в соответствии с определением корня n-й степени из комплексного числа (см. § 5 гл. 1) находим wk=^—e 2 (2 +2*”Z k=0, 1. 6 Под ред. А. В. Ефимова» Б. П Демцдовича 161
Таким образом, Найти все значения следующих функций в указанных точках: 11.42 . и = г4-р/7, z0 = —1. 11.43 . w = z^i. ^г-i 11.44 1-K7, z0 = -i. ./ 11.45 . i /7, 2(1 = —1. Найти Arg/7), если z = re"‘,t 11.46 . /(z) = A 11.47. /(z) = z’. 11.48 . /.(?) = i/z’+l. 11.49. /(z) = KTZZ8. 11.50 . /(z) = /2»—4. 11.51. f (z) = 1/г-2 " ' ' ' V г+1 ’ 2. Основные элементарные функции комплексной переменной Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) назы- ваются основными элементарными: , чмиччныу пазы 1. Дробно-рацнональная функция о^+о^-Ч-'.-.+оя М'я+М«-* + ... +«,„’ "> m6N. Частными случаями .-/той функции являются: а) линейная функция аг |-t>, б) степенная функция г”. n£N; в) дробно-линейная функция вг+& cz+d ’ °’ с’ с # 0, ad—bc / 0; a, b£C, a / 0; г) функция Жуковского 2. Показательная функция e’=e*(cosf/+isinj+ 162
3. Тригонометрические функции sin cos z=-§- (e'z-f-e-i2), . Sin 2 . COS 2 tgZ =------. Ctg2 = —:---. COS 2 b Sin 2 4. Гиперболические функции shz—-^-(e2—e~z), cha=-^- (ег^-е~г), sh 2 th 2 = -r—, ch 2 „ ch z cth2 = -r—. sh2 5. Логарифмическая функция Ln z — In | г | + i (arg г -|- 2Лл). Функция Ln г является многозначной. В каждой точке г, отличной от пуля и оо, опа принимает бесконечно много значений. Выражение 1п | z | -|- i arg г называется главным значением логарифмической функ- ции и обозначается через 1п г. Таким образом, 1л1г = 1пг+2АлГ. С. Общая степенная функция 2n=eflLnz, ngC. Эта функция многозначная, се главное значение равно ealnz. Если й = —, n£N. то получаем многозначную функцию—корень л-й сте- пени из комплексного числа: ч I 1 , аге 2 + 2Лл V п/~ — (ln|2|+t(arg2 + 2far)) и/—'—--------- г" = V г—е = I |г|е 7. Общая показательная функция a*=ezLna, ogC. Главное значение этой многозначной функции равно ezlne. В даль- нейшем при а >® полагаем аг=ег|па. 8. Обратные тригонометрические функции Arcsin г, Arccos г, Arctg г и обратные гиперболические функции Arsh г, Arch г, Arth г. Определения этих многозначных функций рассмотрены в примере 7 и задачах 11.70—11.74. Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функ- циями, и простейшие свойства этих функций будут рассмотрены позднее (в § 3); здесь ограничимся только вычислением конкретных значений этих функций. Пример 5. Вычислить sin i. Имеем: . е"—е-1—е1 . е1—е 1 . . . Sin I =-тгт-=-— = t----= t sh 1. 2i 2i 2 Пример 6. Вычислить ch (2—3i). 6* 163
<4 Имеем- ch (2—3i) = p2 —Э| 1_л —2 < Si j —------2------=у (e2 (cos 3 — i sin 3) -|- e~2 (cos 3 -J-1 sin 3)) => = cos3ch2—isin3sh2. ► Пример 7. Найти аналитическое выражение для функции Arccosz при любом комплексном г. Вычислить Arccos2. Так как равенство w=Arccosz равносильно равенству cosw=г, eiw+e-iw то можем записать г=-----g----. Отсюда находим eaiw_ 2zc<w +1= 0. Решая это квадратное относительно e‘w уравнение, получаем eiw=2+K га~1 (здесь рассматриваются оба значения корня). Из этого равенства находим «а = 1.п (гУ г2—1), т. е. и,=Arccosz=— iLn (z-[- У za—1). Отсюда получаем Arccos2 = — i Ln (2 ± У3) = — i In (2 ± У 3)ф-2Лл. ► 11 52. Используя данное выше определение функции ег, доказать, что ег имеет чисто мнимый период 2л(, т. е. ег4-гл1 = ег. Выделить действительную и мнимую части следующих функций: 1153 . w = e,-z. 1154. ui = e(z+*)s. 11.55. w — sin (z—i). 11.56. u) = sh (z +2t). 11.57 uy=tg(z-| 1). 11.58. u> = 3vz. Доказать тождества: 11.59. sin iz = i sh z. 11.60. cos iz — ch z. 11.61. tgzz = ithz. Вычислить значения функций в указанных точках: 11.62. cos(1-| i)- И-63. chi- П-64- sh(—2-|-i). 11 65. Ln(— 1 11 66. Ini 11.67. Lni#. ’ У 2 11.68. etg ni. 11.69. th л/. Получить аналитические выражения для указанных ниже функций и для каждой из них пайти значение в соответствующей точке гв (см. пример 7): 11.70. i«; = Arcsinz, z0 = i. И 71. w = Arctgz, z0 = i/3. 164
11.72. w — Arsh z, zft = i. 11.73. да = Arch z, z = -1. 11.74. да = Arthz, z0=l—i. Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках: 11.75. w— sin z, z„ = л -J-1 In 3. 11.76. да = г3ег, Zp— — ni. 11.77. да=1 + ch3 z, z0 = iln2. 11.78. w= th z, z = l+tn. Найти все значения степеней: 11.79. 2'. 11.80. (—1)'. 11.81. (1+tV. 11.82. (— I)’~. 11.83. (3—4i)l+/. 11.84. (—3+4i)1+«. ll.es. 11.86. /Q+ 2 J \ 2 2 у Решить уравнения: 11.87. ег—1 = 0. 11.88. etx = cosях (x£R). 11.89. In (z—i) = 0. 11.90. shiz = — 1. 3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Число A ?= оо называется пределом функции f (г) при г—г0 и обозна- чается А= lim f (г), если для любого е>0 найдется 8 = 6 (?) > 0 г-» г, такое, что для всех г / г0, удовлетворяющих неравенству.) г—г01 < б, выполняется неравенство |/(г) —Л|<₽-. Говорим, что lim /(?) = », если для любого R > 0 найдется г-*-гв 6 = 6(1?) > О такое, что для всех г г0 таких, что |z—г0 | < 6, выполняется неравенство ' |/(г)1>«- Стедует иметь в виду, что для данной функции [(г) существование предела по любому фиксированному пути (г —»z0) еще не гаранти- руег существование предела /(г) при г—♦ гл. Примере. Пусть / (г) =’ f 4 --Y Показать, что lim f (г) \ г г / г"*'и не существует. Для предела при г —>0 по любому лучу ге<ф имеем 1- 1 / ге^ ге“^\ 1пПа<г1 )=sln2<p, г-*0 21^ге-«Ф ле«Ф / т е. эти пределы различны для различных направлений—они'запол- няют сплошь отрезок [— 1, 1], и, следовательно, lim _L г-*-О 2i не существует. ► 165
Функция f (г) называется непрерывной в точке гв, если она определена в этой точке и Jim /(z) = /(z0). г->-г0 Функция /(г), непрерывная в каждой точке области D, назы- вается непрерывнои-ъ этой области. Функция f (г) называется равномерно непрерывной в области D, если аля любого е > 0 найдется 6 = 6 (е) > 0 такое, что для любых точек Zj и г2 из области D таких, что |zt—гг | < 6, выполняется неравенство | f (г,)—f (г2) | < е. 11.91 Используя логическую символику, записать дан- ное выше определение непрерывности функции в области. пределы: 11.93. Нга-^Ц. «- о ch ,г Вычислить следующие П.92, г->.- г-i 11.94 . lim 1UJ1 . л.- chz + «shz я eiz i Z> 4 2 Доказать непрерывность на всей комплексной пло- скости следующих функций: 11.96. a/ = z.’ 11.97. tc-= z\Rez. 11.98. w~ e*. 11.99. tt> = cos|z|. Как доопределить данные функции в точке г = 0, чтобы они стали непрерывными в этой точке: 11100 /(z) = ^i. 11.Ю1. /(г) =51^ 11.102. /(г) = е-’1г1. 11.103. /(z) = z/|z|. 11 104. Доказать, чго функция f(z) = e~l z непрерывна в полукруге 0< |z|<2 1, | arg г л,2, но не является равномерно непрерывной в этом полукруге, а в любом секторе 0<|г|'^1, | arg г | < л/2 она равномерно непрерывна. § 2. Аналитические функции. Условия Коши — Римана 1. Производная. Аналитичность функции. Если в точке z£D существует предел н Hz+AzWjfz) ' Дг-. О Az ' ’ то он называется производной функции / (г) в точке г и обозначается । через f (г) или . а2 । Если в точке г £ D 'функция f (г) имеет производную /'(г), то говорим, что функция f (г) дифференцируема в точке г. Функция f (z), дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную /' (г), иазы- 166
вается ана штической в области. D Будем также говорить, что /(г) аналитическая в точке г0 £ D, если f (г) является аналитической в некоторой окрестности точки г0. Для того чтобы функция /(г) = н(х, #)4-к(х, у) была аналити- ческой в области О, необходимо и Достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и (х, у) и v (х, у), удовлетворяющих условиям Коши —Римана ди(х, у)_до(х, у) дх ду ' ди (х, у) __до(х, у) ду ~ дх ’ илн, в полярных координатах, ди (г cos ф, г sin ф)____________1 дч (r cos ф, г sin ф) * “Г dlf ’ (2) ди (г cos ф, г sin ф) _ 1 ди (г cos ф, г sin ф) дг г дф При выполнении условий (1) или (2) производная f (г) может быть записана соответственно: ,, .\ ди , .до до .ди ди .ди ди до Z (г) ~дх~^ дх~ду "ду дх 1 ду ду дх’ или , Г (ди ,.до\_ 1 ( до ди \ .. г \ дг + дг ) г \ 5ф ду / Формулы дифференцирования функций комплексной переменной аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной. Пример 1. Доказать, что функция /(г)=е22 аналитична н найти f (т). Имеем с22 = etx (cOS 2у-|- i sin 2у), т. с. и(х, у)—егх cos 2//, i'(x, у) =e2Jf sin 2у. Поэтому ~ = 2е2х cos 2у, ~ = —2е2х sin 2у, дх ду = 2е2х sin 2у, =2с2* cos 2у. дх ду Следовательно, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по первой нз формул (3) (е22)' = 2е2х cos2y+i2e2x sin 2у=2е2х (cos 2y+> sin 2y) = 2cf2r. >> Пример 2. Показать, что функция w — Z* аналитична во всей комплексной плоскости (кроме г—оо) <9 Действительно, имеем г — ге^ н ш = г» = г ’е1гф — г3 cos Зф + ir9 sin Зф,
причем — = Зг2 cos 3<p, = З/-2 sin 3<р, иг 1 dr , * Зи о а . Зо -у- = —Зг381пЗф, = 3г3 COS Зф, Оф Зф т. е. при любом конечном г~ге1Ч> выполнены условия (2). Применяя первую из формул (4), имеем f' (г) = (г3)' = - (3ra cos Зф + »3/2 Sin 3<р) = Зга. Пример 3. Показать, что логарифмическая функция tv—Ln г аналитична во всех конечных точках, кроме г==0, причем (Lnz)'=y. Так как Ln г = In г + i (ф + 2/гя), то имеем: — —— — — I п г ' dip ’ Зф ~дг т. е. выполнены условия (2), и по первой из формул (4) находим Аналитические функции находят применение при описании раз- личных процессов. Пример 4 Рассмотрим плоское безвихревое течение идеаль- ной несжимаемой жидкости. Пусть vx (х, у) и гу (х, ^—компоненты вектора скорости ® течения вдоль осей х и у, и пусть V(z)=ox(x, y)—iiy(x, у) — комплексная скорость течения. Показать, что V (г)— аналитиче- ская функция. Из несжимаемости жидкости следует, что дивергенция вектора скорости тождественно равна пулю, т. е. Далее, течение является безвихревым , тогда и только тогда, когда ротор его вектора скорости равен нулю, т. е. оу ду (7) Но равенства (6) и (7) являются условиями Коши—Римана для функции (5), т. е. комплексная скорость P(z) является аналитиче- ской функцией комплексной переменной z — x-\-iy. Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции: 11.105*. w = z. 11.106*. w= Rez. 11.107. w=zlmz. 11.108. w=z Rez. 11.109**. w=|z|. 11.110. u>=[z — l |2. 168
11.111*. Предполагая выполненными условия Коши — Римана (1) в декартовых прямоугольных координатах, доказать справедливость условий Коши—Римана (2) в полярных координатах и справедливость формул (4) \ вычисления производной в- полярных координатах. Проверить выполнение условий Коши—Римана (1) или (2) и в случае их выполнения найти /'(г): • 11.112. f(z) = e”. 11.113. /(z) = shz. ’11.114. /(г) = гя, п$2- 11.115. /(z) = cosz. 11.116. / (г) = In (г2).-11.117. /(z) = sin-J. 11.118*. Пусть I (г) — аналитическая функция в области D. Доказать, что если одна из функций и (х, y) = Ref (г), v (х, у) = 1 m f (г), r(x, f/) = |/(2)|, 0(х, у) = arg'f(z) сохраняет в области постоянное значение, то и f(z)^a & const в D. 2. Свойства аналитических функций. Ряд свойств, характерных для дифференцируемых функций действительной переменной, сохра- няется и для аналитических функций. 11.119. Доказать, чю если / (г) и g (г)—аналитические в области D функции, то функции [(z)±g(z), f(z)g(z) также аналитичны в области D, а частное l(z)/g(z) — аналитическая функция ьо всех точках области £), в ко- торых g(z)=£0. При этом имеют место формулы (/ (г) ± g (г))' = /' (г) ± g' (г), (J (г) g (z)Y = /' (г) g(z) + f (z) g’ (z), (1^) \' = f g (г) \g(z)J £a(z) 11.120. Пусть /(г)—аналитическая в области О функ- ция с областью значений G = (г) | z € D}, и пусть функ- ция <р (ю) аналитична в области G. Доказать, что^(г)^ = ф(/(2))—аналитическая в области D функция. Используя утверждение задачи 11.119, найти области аналитичности функций и их производные: » 11.121. /(z) = tgz. 11.122. /(z) = z e~< 11.123. 11.124. f(2) = ^±±. 1 pz "•l25- "-126- 11.127. ДОЛ 11.128. Дг)~ ST- 169
11.129. Доказать, что действительная и мнимая части аналитической в области D функции f(z)^u(x, у) + + 1У(-х. У) являются гармоническими в этой области функ- циями, т. е. их лапласианы равны нулю: . Л„ д2и . д2и л А , д2с л Д ~ Ди“дх»+а^ = 0- 11.130. Получить выражение лапласиана Ли в поляр- ных координатах (и = и(г, ср)). Заметим, что заданием действительной или мнимой части ана- литическая в области D функция определяется с точностью до произ- вольной (комплексной) постоянной Например, если и(х, у)— дейст- вительная чаедь аналитической в области D функции f(z), то (х ») v(x, y) = Im/(z)= J — u’/dx+u'^ dy, (*o. i/o) где (x0, i/0)—фиксированная точка в области D и путь интегрирова- ния акже лежит в области D. Пример 5 Проверить, что функция и = х2 — у2—5*+j/4-2 является действительной частью некоторой аналитической фуi кции / (г) и найти f (г). Й+^-2-s.b их2 оу2 во всей плоскости, то и (х, у) — гармоническая функция, а тогда и, X ,J t-(x,y)= J (2{/—l)rfx-f-(2x—5)^=^(2y0-l)dx+C(2x—5)d//= = (2{/o — 1) (*'—*«) + (2x—5) (y—yc) = 2xy—x—5y-l-5y(,^xt)—2xoyo, г. e. v(x, у) = 2ху~х—5у+С и / (г)—х2—у2 — 5х-уу-)-2 + Ц2ху—х—Ъу+С) = = (**—2ixy—y2) — 5 (х + iy) -J- (— xi+у) 2 -f- Ci = = z2 — 5г— й + 2-l-Ci. Пример 6. Показать, что функция вида « (*, У) = a (Xs +у2) + bx+cjH d, a 0, не является действительной (нли мцнмой) частью никакой аналити- ческой функции Действительно, это следует из соотношения д2и , й2и , „ 170
Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: 11.131. и(х, у) = х'—Зху*, Os^|z|<-|-oo. 11.132. v(x, у) — 2е* sin у, О^|.г|<н оо. *11.133. и(х, у) — 2ху- 3, 0^|г|<- оо. 11.134. v(x, j/)=arctg * , 0 < |z| <- оо. J1.135. и(х, у)^~—^—2у, 0<|г|< + оо. 11.136. и (х, у) — хг— у2 + ху, 0 | г | < -|- оо. 41.137. v (х, у) — ху, 0 | г | < - оо. § 3. Конформные отображения 1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть w — f(z)—аналитическая в точке г0 функция и /' (г0) 0. Тогда Л = |/’(г(1)| геометрически равен коэффициенту растяжения в точке 20 при отображении w = f(z) (точнее, при k > 1 имеет место растя- жение, а при k < 1—сжатие). Аргумс it производной <p = arg f (zc) геометрически равен углу, па который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой гладкой кривой L, проходящей через точку г0, чтобы получить касательную в точке ю0 = /(2|>) к образу этой кривой при отображении о>—f(z). При этом, если <р > 0, то пово- рот происходит против часовой стрелки, а если <р < 0, то по часовой. Таким образом, геометрический смысл модуля и аргумента производной состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию (zu) О, Л=|Г(г(1)| определяет коэффициент преобразования по-обия беско- нечно малого линейного элемента в точке zn, a <p = argf (г0) — угол поворота этого элемента. Пример 1. Найти коэффициент растяжения k и угол поворота <р в точке 20 = 1—i при отображении w—za—z Так как w' = 2z—1 и w" 1 — 21, то Л = | 1—2i |= К 5 и <p = arg(l—2i) = —arctg 2. ► Найти коэффициент растяжения k и угол поворота <р для заданных отображений ю = /(г) в указанных точках: 11.138. ^ = г2, z0=K2(l t). 11.139. w = z\ z0 = i. 11.140. w = z3, z0 — 1 i. 11.141. w = z3, z0=l 11.142. te> = sinz, zc = 0. 11.143. w — ie-z, z0 = 2ni. Выяснить, какая часть комплексной плоскости рас- тягивается, а какая сжимается при следующих отображе- ниях’ 11.144. w= 1/z. 11.145. гв = ег-1. 11.146. te> = ln(z+1). 11.147. а) = гй-\-2г. 171
Найти множества всех тех точек г0, в которых при следующих отображениях коэффициент растяжения £=! 11.148. w=(z— I)2., 11.149. w=z*—iz. 11.150. w = 11.151. w = — г3. 1—«г Найти множества всех тех точек г0, в которых при следующих отображениях угол поворота <р = 0; 11.152. w= — ~. 11.153*. г 1—<г 11.154. w=z2-$-iz. 11.155. w — z2'— 2г. 2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функ- ции. Взаимно однозначное отображение области D плоскости (г) на область G плоскости (w) называется конформным, если в каждой точке области D оно обладает свойствами сохранения углов и пос- тоянства растяжений. Критерий конформности отображения. Для того чтобы отображение области D, задеваемое функцией w — f(z), было конформным, необходимо и достаточно, чтобы f (г) была однолист- ной и аналитической в области D функцией, причем [' (г) / О всюду в D. В дальнейшем образ облает D при отображении функцией w — f(z) обозначается через Е либо через / (О). Пример 2. Показать, что отображение, осуществляемое функ- цией а> = г’, конформно в области D = {г | 1 < | z | < 2, 0 < ап* г < 2л/3}. Необходимо проверить, что заданная функция является аналити- ческой, однолистной в Г) и что всюду в D /' (г) / 0. Аналитичность функции а>=г' показана выше (см. пример 2 § 2), соотношение ю' =3г2 0 для любого г£О очевидно. Однолистность следует из того, что область D содержится в угле с вершиной в начале коор- динат и в», пчпной 2луЗ (см. задачу 11.31). Выяснить, какие из заданных функций w — f(z) опре- деляют конформные отображения указанных областей D: 11.156. и!=(г-Н)2, £)={г| 1 < l2+Jl < 3, 0 < arg г < Зл/2}. 11.157. 1е-=|г|2, £)={г||г|< 1} 11.158. w=e*, D— {г|0< 1тг<2л}. 11.159. и) = 1(г + у), 0={г||<И< 11.160. w=(z— I)3, О = {г||г- 1|<1}. 1 Отображение, осуществляемое линейной функцией w — az-^-b, рассмотрено выше (см. пример 3 § 1). Ойо представляет собой ком- позицию растяжения (u>j = | а | г), поворота (юг = аг® аоУ]) и парал- лельного переноса (и>з=а>2-ф-6). Обратная к линейной функции также есть линейная функция z=—и>—Так как wr=a^0, то 172
отображение w конформно во всей расширенной плоскости, причем имеет две неподвижные точки zj = — (при а/ 1) п г2 — со. Пример 3. Выяснить, существует ли линейная функция, отображающая треугольник с вершинами 0, 1, i в плоскости (г) на треугольник с вершинами 0, 2, 1-f-i в плоскости (az). 4| Заметим, что треугольник с вершинами 0, 1, i подобен треуголь- нику с вершинами О, 2, 1+», причем вершина в точке ?i = 0 соот- ветствует вершине в точке юр 1+». вершина в точке z2 — 1—вер- шине в точке ю2 = 0 и вершина в точке z3^i—вершине в точке Юз—2. Выполним последовательно преобразования: . sn i — a) wt—e 4 г—поворот около начала координат на угол а — 5л,'4 против часовой стрелки; 6) ге2 —У" 2гг>1 — гомотетия с коэффициентом k- У 2; в) Юз=юг + (1-|-|)— параллельный перенос на вектор, изображаю- щий комплексное число 1-J-Z. В релульггпе треугольник с вершинами 0, 1, г отображается па треугольник с вершинами 0, 2, 1+<‘, а осуществляющая это отобра- жение целая линейная функция имеет вид . в.п [л=ю3ою2о «ц - У 2е 4 г-|-(1 Н) = r_ f i/""2 l/"2\ = К -------‘ V^+H-'^n+OCI -z). ► 11.161. Доказать, что отображение, осуществляемое целой линейной функцией, имеет две неподвижные точки (совпадающие, если й = 1). Для указанных ниже отображений найти конечную неподвижную точку г„ (если она существует), угол пово- рота «р и коэффициент гомотетии А: 11.162. & = 2г+1. 11.163. w>==tz + 4. i— -i — 11.164. w — e 4 г—е 4. 11.165. w = az-[-b. Дробно-линейная функция ю--.аг.+ * , ad—1с 0, с О, cz-f-tl осуществляет конформное отображение расширенной плоскости (г) па расширенную плоскость (ш). При этом под углом меж-у кривыми в точке г— оо понимается угол в точке 2*^0 между об раз ал; и этих кривых, полученных путем отображения г*=—. Простейшей дробно- линейной функцией (отличной от линейной) является функция 1 ю=—, которая может быть представлена в виде композиции ипвер- 1 енп относнтслы о единичной окружности ют=— и комплексного г 173
сопряжения K>2=t®i- Простейшая дробно-линейная функция отобра-' жает окружности плоскости (г) в окружности плоскости (го) (пря.мая линия считается окружностью бесконечною радиуса). Так как-общая дробно-линейиая функция представляется в виде композиции ли- нейной функции c£.'i = cz+d. простейшей дробно-линейной гц2=— „ „ Ьс—ad , а и снова линейной ш3—*—-—шг-)-—, то она также отображает окружность в окружность. Дробно-линейная функция к?—щ(г) вполне определяется зада- нием образов трех точек. Именно, если гу —* ь?у, z2 —-г- го2 и z3 —> о3, то ац—ац, и>3—и>2_г—zt — г2 ги—щ3—ггд г—г2 г5—гу' 1 ' Замечание. Если одна из точек Zy, г2 или z3 либо а>у, ш2 или и3 является бесконечно удаленной, то в формуле (1) все разно- сти, содержащие эту точку, следует заменить единицами. Пример 4. Найти образ окружности х2~\-уг=2х при отобра- 1 женин w= —. г 1 - 1 - Полагая г = х+щ, имеем х=у (z-J-z), у=-^т(г—z). Подставив эти значения в уравнение в окружности, находим 2х«г-г-(г-|-г) — О, 1 и после замены г—— имеем w WW Ю Щ т. е. K>-|-tci—1. Если w— u-f-ft', то ии-|-К1=2ц. Таким образом, окружность х2+У2—2х — 0 преобразуется в прямую /г =1/2, парал- лельную мнимой оси. ► Пример 5. Пайги дробно-линейное отображение, переводящее точки —1, I, i’+ 1 в точки 0, 2i, 1—i. Используя формулу (1), имеем ю—0 1—i—2i z-f-1 t’+l—i »—2i 1—i—0 z—i t'+l+l’ откуда w 1 z-j-1 w—2i 5 z—i и Найти 1 w z 11.166. Окружности хй -}- у" — у!3. образы следующих линий при отображении 174
11.167. Прямой у =— х/2. 11.168. Прямой у — х—1. 11.169. Окружности 2(/+1 =0. 11.170. Доказать, что проходящая через начало коор- динат окружность A (x2-j-y2)-l-2Bx~l-2Cy=0 преобразуется функцией w — — в прямую, а любая прямая Вх+Су + + Д = 0—в окружность, проходящую через начало коор- динат. Найти дробио-линейное преобразование по заданным условиям: 11.171. Точки i, 1, 1 -J-i переходят в точки 0, oo, 1. 11.172. Точки 1 и I неподвижны, а точка 0 перехо- дит в оо. 1 5 3 11.173. Точки и 2 неподвижны, а t перехо- дит в оо. 11.174. Доказать, что дробно-линейное преобразова- п? + b п иие cz_^d имеет две неподвижные точки. При како.ч условии эти точки совпадают? Когда бесконечно удален- ная точка является неподвижной’ Точки ?, и ?2 называются симметричными относительно прямой, если они лежат на перпендикуляре к этой прямой но р*-шые сто- роны от нее и на равных расстояниях. Точки и ?а называются симметричными относительно окруж- ности, если они лежат на одном луче, выходящем из центра этой окружности, по разные стороны от нее и так, что произведение рас- стояний от этих'точек до центра равно квадрату радиуса. Точки М и N, симметричные относительно прямой или окруж- ности в плоскости (?), отображаются дробно-линейной функции’ в точки М' и N', симметричные относительно образа этой прямой или окружности в плоскости (а/). 11.175. Найти точки, симметричные с точкой 1 -|-Z относительно окружностей: a) |z| = 1; б)* |z —i| = 2. 11.176. Для отображения w = найти образ точки, симметричной точке 1—i относительно: а) прямой у = х\ б) окружности |г—11 = 3. Пример 6. Найти отображение круга | г | < 1 на круг | w | < 1 такое, чтобы точка г—о. (| а | < 1) отображалась в центр круга и; = 0. Запишем дробно-л инейное отображение в виде Так как точка г—а переходит в точку ю=0, то ?0 = а, а так как симметричной с точкой ш=0 является точка и»==оо, то ?i является 175
симметричной с точкой г = а относительно окружности |г|== 1, т. е. zt = — . Поэтому а — г—а W = gCZ=--. аг —1 Далее, точки окружности I г | = 1 переходят в точки окружности to | = 1, а поэтому при z—e,<f имеем Но р<ф —а а (е1ф— а) (е~‘ф— а) 1 -f-| а Is—е|фа—e~i<pa __ е^а—1 (е,<Га—1) (е~,фа—1) |а|1-|-1—е'ч'а—e~iva Следовательно, |£а|=1. т е. £а = еш, и искомое отображение имеет вид w=el° к (2) га— 1 Для отображения (2) единичного круга на себя найти параметры а и 0 по заданным условиям; 11.177. и1 (1/2) = О, argu/.(l/2) = 0. 11.178. щ(0) = 0, arg и/ (0) = л/2 11.179. w (zn) — 0,- arg w' (z„) = д/2. 11.180. Доказать, чго функция № = Ima>0, (3) z —a осуществляет отображение верхней полуплоскости на еди- ничный круг. Определить параметры а и 6 в формуле (3) по задан- ным условиям: 11.181. w(i)—0, argw'(i) —— л/2. 11.182. u)(2i) = 0, arg а/ (2i) = л. 11.183. tj(zo) = O, arg w’ (z0) — л/2. Найти образ E области D при заданном дробно-ли- лейном отображении: 11.184. D={z|Rez>0, Imz>0}; w = • 11.185* . £> = z|0<argz<-j]> ; te> = . 11.186* . D — 11 | z | ^2, O^argz^Z ; w= 1 . 11.187. D=={z||z|<l, Im z > 0); = 176
11.188. £> = {г 0<Rez<l}; 11.189. D—двуугольник (круговая луночка), заклю- ченный между окружностями |г—1|=1, |г—г|=1; 11.190* *. Найти область D в плоскости (г), которая при отображении ш = преобразуется во внутренность круга [ а/1 < г плоскости (и1). 3. Степенная функция. Отображение, осуществляемое степенной функцией w=zn (h£N nS»2), является конформным в расширен- . ной комплексной плоскости всюду, кроме точки z = 0 (ш'|г=0 = = ггг"-1 |г=с = 0) Угол О = |г —p<argz<fr-----*— ПРИ J,1°- бом k=0, 1, .... п—1 отображается степенной функцией взаимно однозначно на всю плоскость (к?) с разрезом по положительной части I 21<п действительной оси I причем лучу arg г ——— соответствует верхний, а лучу argz=2^‘ ‘^—Нижний край разреза^ . Обратная функция i (v+2l!n\ w=i/\=i/re ' " ', где fc_=O. I.........л—1, r = | г |, <pr= arg г, явтястся, как известно, многозначной. Ес однозначная ветвь (выде- ляемая заданием образа одной из точек) отображает плоскость (г) с разрезом по нсотрнцатетыюй части действительной оси на соответ- ствующий сектор . _ f I 2Лл ’ 2 (к 1) п CargaX-i—L-------- , I | л nJ k—фиксировано Пример 7. Нвйти отображение внутренности двуугольника с вершинами Zj и гг, образованного окружностями и Cj на еди- ничный круг. Преобразование wL = — отображает точку z=^-~^ в точку wt= 1, точку г— Zj — в пуль, а точку г~-гг—в бесконечность. Таким образом, отрезок, соединяющий точки г± и г.., отображается на поло- жительную действительную полуось. Дуги окружностей, образующие двуугольник, отображаются в лучи argtt't = an и —fin. Сле- довательно, область D отображается на сектор Z?i = {a'i -₽л<‘ < arg к'] <ал} (ср. с задачей 11 189). Повернем этот сектор на угол рл, т е. произведем преобразование =е£ряи>1,' н возведем получен- ную функцию в степень Сектор отобразится в верхнюю полуплоскость. Функция _ -0а'3-^ 0 ьу3 — its 177
осуществ. яст отображение полуплоскости на единичный крут. Вели- чины к.'з и 6 опреде. яготся дополните; ьным заданием отображения точки г0 в точку и —О и условием arg w' (г )=- у. Окончательно, w=а'4 о к-'з о и'г о Ц-Т (рис. 95). ► Найти функцию, отображающую заданную область D плоскости (г) на верхнюю полуплоскость (в ответах ука- зана одна из функций, осуществляющих указанное отоб- ражение, причем если функция многозначна, то имеется в виду одна из ее однозначных ветвей)! 11.191. 0 = {г 11.192. D — {z |г|<1, |г—1|<1}. —л/4 < arg г < л/2}. 11.193. D = {z г < 1, 1тг>0}. 11.194. 11.195. 11.199. 11.197. 11.19». 11.199. 11.299. 11.291. D = {z D—{z D={z D—{2 D=\z D-{z г | > 1, Im г > 0}. I г | < 2, 0<argz<n/4}. z|>2, 0 < arg г < Зл/2}. г| < 2, Im г > 1}. г|< 1, |г-Н’ < И- г| < 1, * + » > И- г| > 1, I* + * < И- D—плоскость (г), разрезанная по отрезку 11.292. D—плоскость (г), разрезанная по отрезку, со- единяющему точки 1- i и 2-}-2i. 11.293. D—плоскость с разрезом по лучам (—оо, —/?] и [7?, + оо), Р > 0. 11.294. D—полуплоскость 1m г >0 с разрезом по от- резку, соединяющему точки 0 и ih (h > 0). 178
л 1 / , 1 \ 1 2а— 1 4. Функция Жуковского Имеем i =-g-l Z'~F] w ~ 2 —г2~' Следовательно, функция Жуковского1) конформна в расширенной плоскости всюду, за исключением точек Zii2=±l и г3 = 0. Она осуществляет отображение как внешности, так и внутренности еди- ничного круга плоскости (г) ил плоскость (tc) с разрезом по отрезку [—1, Ц. Полная плоскость (г) отображается на двулистную риманову поверхность, склеенную крест-накрест по разрезам [—1, 1]. Обратная функция г=к> к2— 1 двузначна, причем каждая ветвь осуществляет отображение плоско- сти (гд) с разрезом по отрезку [—1, 1J па внутренность или на внеш- ность единичного круга в плоскости (г). Пример I. Найти образ полярной сетки р = const н ср—const при преобразовании плоскости (г) с помощью функции Жуковского. Полагая z ре1* имеем О) = и + iu=-i + -^е_,ф)=-|(р+^со5ф+1у(р—losing). Следовательно, н и* у2 cos2 ср sin2 <р | z | = р yt 1 отобра- и при р < 1. Лучи Из этих равенств заключаем, что окружности жаются в эллипсы плоскости (») с полуосями а = при р > 1 или fr=— fr— ф = const в плоскости (г) преобразуются в плоскости (и») в_ гиперболы с полуосями а = | cos ф | и b = | sin ф |. ______ Заметим, что фокусные расстояния с—У а2—Ь2 эллипсов (4) и Ci=yа2-\-Ь2 гипербол (5) равны 1, т. е. (4) п (5)—семейства софокусных эллипсов и гипербол. ► Пример 9. Найти отображение плоскости (г) с разрезами по отрезку, соединяющему точки 0 и 47, и по отрезку, соединяющему точки '21 и 2-}-2i, на внутренность единичного круга | ш | < 1. 2) Конформное отображение, 1 / , 1 ' ~ 2(г 1 г осуществляемое функцией w == , было использовано впервые Н. Е. Жуковским в ка- честве метола получения одного класса аэродинамических профилей, названных профилями Жуковского. Профили Жуковского отобра- жаются на круг, для которого можно легко решить задачу обтекания, а это дает возможность исследовать обтекание крыла самолета. 179
Искомое отображение w находим в виде композиции пяти отобра- жений. Функция — z—2/ переводит точку z = 2i в начало коорди- 1 V нат, а функция w3 — е 2 ti‘i осуществляет поворот плоскости (а.’]) на угол л/2. Точка г = 4/ переходит в результате этих отображений в точку w2 =—2, точка z — 2i—в точку щ2==0, точка z—-2-f-2i— в точку щг = 21, а точка г—0—в точку и2==2. Далее, в результате отображений и w3/4 разрез отображается в отрезок [—1, 1| плоскости и, наконец, отображает внешность отрезка [—1, 1] па внутренность единичного В задачах 11.205 —11.207 найти образы заданных обла- стой при отображении к;==у[г-|—j. 11.205 . Внутренности круга |г| < R при R < 1 п внеш- ности круга |г| > R при R > 1. 11.206 . Внутренности круга |г|< 1 с разрезом по отрезку [1/2, 1J. 11.207 . Внутренности круга |z| < 1 с разрезом по от- резку [—1/2, 1]. 11.208 *. Найти отображение круга |г|< 1 с разрезом по отрезку [1/3, 1J на круг |к>|< 1. 11.209 *. Найти отображение области D = {z| Im г > 0, |г| > R} (верхняя полуплоскость с выкинутым полукру- гом) на верхнюю полуплоскость.^ 11.210 *. Отобразить внешность эллипса 4--^- = 1 (с > Ь) на внешность единичного круга. 180
5. Показательная функция. Функция ш=ег однолистна в любой полосе шириной менее 2л, параллельной действительной осн. Она отображает полосу —со < —л<(/г^л в полную плоскость (to) с разрезом по действительной отрицательной полуоси. Вся пло- скость (г) отображается на бескон'ечиолпстпую риманову поверхность. Обратная функция г==Ьпьу = 1пи)-|-2лп1, л = 0, £1, ....однозначна на этой римаповой поверхности, а ее главное значение 1пгь = 1п |и>|+ -|- i arg w определяет конформное отображение всей плоскости (ш) с разрезом (—оо, 0J на полосу —л< Imz< л шириной 2л, па- раллельную действительной оси. Пример 10. Найти отображение полосы шириной II, 0<Rez<//, параллельной мнимой оси, на единичный круг пло- скости (ш). Искомое решение получим, например, с помощью композиции отображений: {— о Л ,,, /Л Wa -—• ЕС?з wf=e г, Wi — -jT Ш1, =е —1——. " Юд—ЬЛ При последовательном выполнении этих отображений заданная* по- лоса преобразуется- в области, показанные на рис. 97. ► Найти образ Е области D при отображении w — e*'. 11.211. О = 11.212. О = 11.213. D = 11.214. D = 11.215. D = 11.216. Найти г z \г г z Сражении = — л < Im г < 0}. | Im z | < л/2}. 0 < I m г < 2л, Re z > 0}. 0 < I m z < л/2, R e z > 0}. 0<Imz<n, 0<Rez<l}. образы прямых x = C и у —С при ото- Найти образы следующих областей при отображении u»=lnz, tt)(i) = y’ 11.217. {z|Imz>0}. 11.218. {г 11 г | < 1, 1шг>0}. 181
11.219. {z||z| < 1, г£[0, 1]}. 11.220. {z|z£[—сю, — l]U[0, + oo]}. 6. Тригонометрические и гиперболические функции. Функция giz Л g—iz п t£?=cosz=-----—----однолистна в иолуполосе —л<х^л, у>и и отображает эту полуполосу иа плоскость (ш) с разрезом (—со, 1], Римапова поверхность этой функции более сложная, чем у предыду- щих, так как склеивание листов происходит отдельно по лучу (—оо, —1) и по отрезку [—1, 1]. Функция to=sinz сводится к предыдущей с помощью соотноше- ния sin z = cos ские функции: shz =—i sin iz, ch z — cos iz. . К sin г и cos г сводятся и гнперболиче- 11.221 **. Найти образ £ пслуполосы£={г|0<Еег<л, 1шг>0} при отображении w = cosz. 11.222 . Найти образы прямых х = С, у = С при ото- бражении w = chz. 11.223 . Найти образ £ прямоугольника D={z|—л< < Re г < л, — h < Im г < h, h > 0} при отображении U) = COSZ. § 4. Интеграл от функции комплексной переменной 1. Интеграл по кривей и его вычисление. Пусть I—дуга направ- ленной кусочно гладкой кривой в плоскости (г), точки Z/,^1, k--0, 1, ..., п, разбивают дугу I на частичные дуги, на каждой из которых выбрано по одной точке А—1, ...,п. По определению полагаем \f(z)dz — lim (О / max | A zk |-<-0 , при условии, что предел в правой части (1) существует и ис зависит ни от способа разбиения дуги I на частичные дуги, ин от выбора точек Если функция /(г) непрерывна на I, то интеграл (1) су- ществует. Если f (г) — и (х, //) + iv (х, у), то вычисление интеграла (1) сводит- ся к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода С f (z) dz = С и (х, у) dx—v (х, у) dy i \ v (х, у) dx |- и (х, у) dy. (2) it i Пример 1. Пользуясь определением (1), вычислить Rezdz, I где I—радиус-вектор точки 1 -|-i. ’ Разбиваем радиус-вектор точки l-|-i иа п равных частей, т. е. полагаем ь k 1 2ft=—4-i—, Azft = —(1-f-i), Л-0, 1, .... n, 182
и. пусть ёй=г*. Тогда интегральная сумма запишется в виде £ Rezk&zk = £ . j+i==1±£ V 1=1+1.. n n £{ « "2 2 Следовательно, CR„*_ 1И (+)(»+n_l±£. k J 2n 2 Пример 2. Используя представление интеграла в форме (2) и правила вычисления криволинейных интегралов 2-го рода, вычис- лить интеграл | z ) г dz, где I— верхняя полуокружность |z|=l с I ~ обходом против часовой стрелки. Имеем |z|zdz = К х2 + (/2 (X rfx + J, dj/) j_ ; С /*»+ {/»(— ^dX-J-X/fy). I I I Переходя к параметрическому уравнению кривой х —cos/, (/ = sin/, 0</<л, и учитывая, что У~х2-\-у2*=1 г/= 1 в точках кривой, получаем л я р г I г dz = J (—cos / sin /4-sIn / cos /) di+i V (sin2 /-|-cos2 /) d/=n/.> i о о Если дуга / задана параметрическим уравнением z — z(l), причем начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям пара- метра I — 1В н / = /1 соответственно, то t, $ f (г) dz = р (г (/)) z' (!) dt. (3) 6) Пример 3. Используя формулу (3), вычислить интеграл (г-|- г) dz, где /—дуга окружности | г | = 1, я/2 < arg г < Зл/2. i Положим г (/)==е'’г, л/2«г/< Зл/2. Тогда z' (/) = ie‘> и, используя формулу (3), находим: Зя.2 (г4-г) dz = V (е«4-е’-'') d/= / ( J_ean j_A 1зл/2 = го- l Л/2 \ 1 J |n/2 Непосредственным суммированием вычислить следую- щие интегралы: 11.224. ^Inizdz, где I—радиус-вектор точки 2—i. i 11.225. | z | dz, где I—радиус-вектор точки —2—3/. 183
11.226. Доказать, что при изменении направления пути интегрирования интеграл изменит знак, т. е. \f(z) dz — — $ f(z)dz. i+ i~ 11.227. Доказать, что если fl£ и аг—постоянные, то («Ji (г) + a2fa (г)) dz=at\ К (г) dz + аД f-2 (г) dz. i ' 1 11.228. Доказать, что если кривая интегрирования I является объединением кривых 1г и /2, то 'j f (г) dz = $ f (г) dz + J f (z) dz. i /. 11.229* . Доказать, чго имеет месго оценка \f(z)dz $ |/(г) | ds, где ds—дифференциал дуги. Вычислить интегралы по заданным контурам: 11.230. $(2z+l)zdz, /== {z’| | z.| = 1, 0^argz<n}. i 11.231. Jlmzdz, /={(х, 1/)||/ = 2Д i 11.232. $ (iza—2г) dz, / = {г 11 г | = 2, 0 С arg г < л/2}. i 11.233. $ Re(z-bze)dz, /={(х, t/)|p = 2xI, 0<х<1}. I 11.234. $(г2—z)dz, / = {г||г| = 1, л < arg z < 2л). i 11.235. §ze*dz, I—отрезок прямой от точки г0=1 i до точки г1 = /. 11.236. §e*dz, /—отрезок прямой от точкиг0 = л до i точки zt = — in. 11.237. Jzlm(z2)dz, / = |>fRez=l, |Imz|<10}. i 11.238. ^Re(cosz) sin zdz, /={z |Rez=n/3, |Im z|^l/2}. i 184
11.239. ycoszdz, I—отрезок прямой от точки г0 = л i ДО ТОЧКИ ?i = y4-l. 11.240. J shzdz, I—отрезок прямой от точки z0 = In 2 г до точки Zj = ln 10+га'In 5. 11.241. Im г* Re г3 dz, 1 = {(х, у) |у= Зх\ 1}. i 11.242. J -Lrdz, /.=‘{z||z|= 1, 0 arg г л/2}. i Пусть в области D задана многозначная функция а>=/(г). Однозначная функция к?=<р(г), аналитическая в области D, назы- вается однозначной ветвью функции /(г), если для любой точки г0££> значение <р (г0) принадлежит множеству значений функции f (г) в точке г = г0, т. е. Ч> (ги)£{/(г0)}. Многозначная в области D функ- ция может иметь как конечное число однозначных ветвей (например, w— /г ), так н бесконечное (например, ta=Lnz). Т< 1ка г комплексной плоскости, обладающая тем свойством, что обход вокруг псе в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой ветвления (разветвления) рассматриваемой многозначной функ- ции. Так, точками ветвления многозт чиой функции w—г яв- ляются* точки z=0 и г= со. В каждой из своих точек ветвления многозначная функция принимает только одно значение, т. е. раз- личные однозначные ветви функции в этих точках совпадают. При интегрирований многозначной функции необходимо выделять ее однозначную ветвь. Во всех задачах ниже это достигается зада- нием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Вычислить интегралы но заданным контурам: 1, —л/2 arg z^ л/2}, о * ”" Функция jr/ г является многозначной: у (ф+2*л) Л = 0, 1, 2, , 1 у 3 где <p = argz. Условию у 1 =—2’ + 1'2— УД°в-1етворяет та одно- значная ветвь этой функции, для которой Л=1. Действительно, 165
при k~l (и так как arg 1—0) 4-Ю+2Л» 2л , 2n 1 КЗ “/ 1 = е3 ’ =е 3 =cos-3- + isin-g-=—g-. Полагая теперь г (<р) =е^ (—л,'2 < ф < л-'2) па кривой I, находим _ — (Ч> + 2 л) “/г = е 3 , г' (<р) — ie и, следовательно. 11.244. / = {г||г| = 1, 0<аг§г<л}, 'j/1 = L i v_г 11.245. J/г dz, /={г||г|=1, л/2 С arg г < л}, П=-1. 11.246. /={г|]г|=1, O^argz< л/2}, i Ln 1 = 2ni. 11.247. ^Lnzdz, / = {г||г|=1}, Lnf = yi. i 11.248. J znLnzdz,zi€N, 1 = {z||г| = 1}, Ln(—1) = лй i 2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Если функция / (г) аналитична в односвязной области D, ограниченной контуром Г, и у — замкнутый-контур в D, то (4) v Если, дополнительно, функция / (г) непрерывна в замкнутой области D = D(jr, то ^1 {ri)dn]=Q Г (теорема Коши). 186
Если функция] /(г) аналитична в многосвязной области D, ограниченной контуром Г и внутренними по отношению к нему контурами Yj, .... yk, и непрерывна в замкнутой области D~D\J ЦГ+11?Г U-- Ut*’ где знаки в верхних индексах означают на- правления обходов (рис. 98), то $ /01) *1 = 0 (5) k г+U U vx7 т= 1 (теорема К о ш н для много- Рис. 98 связной области). Если функция /(г) определена и непрерывна в односвязной об- ласти D и такова, что для любого замкнутого контура у с О v то при фиксированном z0£D функция Z ф № = $ w rfT) *о является аналитической в области D функцией, для которой Ф' (г)=/(г). Функция Ф(г) называется первообразной или неопределенным интегралом от [----------- ---- f (z), то " • г --г-----Г*-- ..... ’'Wil / (г)> причем если Г (г)—одна из первообразных для г„ р(т|)4т] = Г (г»)—Г (г1). Если /(г) аналитична в области D, zu£D и ус£>______контур, охватывающий точку z0, то справедлива интегральная фор- мула Коши /(го)=2^^^Т/”- (6) При этом функция f (г) имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы 1<т (г)==^Г $ л= 1, 2, ... (7) v Пример 4. „Доказать, что если f (г)—аналитическая и ограни- ченная в выпуклой области D фрикция, то для любых двух точек Zi и г2 из этой области имеет место оценка J f 01) dr} < max If (г)]1гг—211. zeD •< Из выпуклости области следует, что если г^О, z2£D, то и от- резок, соединиюший эти точки, также принадлежит области D 187
Из теоремы Коши следует, что в качестве пути интегрирования можем взять именно этот отрезок, а потому, применяя оценку зада- чи 11.229, имеем Zj 7(’1)Л1 s£max|/(z)| ге D z. ds = | г2—211 max | f (z) |. zeD Пример 5. Вычислить шхгеграл о если путь интегрирования не охватывает ни одну из точек z^r 2=i f- Так как подынтегральная функция 7 (2) = "$ является анали- тической всюду, кроме точек 2ii»=±i, то интеграл F (г) и' ее смысл во всех точках, кроме z=£ I, и при условии, что путь интегриро- вания не проходит через эти точки. Следовательно, если путь интегрирования не охватывает ни одну из точек 2i.s=± i, то в ка- честве одной из первообразных для функции можно взять однозначную функцию К (z)-arets г, и, учитывая, 4Toarctg0 = 0, имеем arde г~ J i-i-i]» ► о Пример G. Вычислить интеграл Запишем интеграл'в виде и, используя формулу Коши {6), находим Пример 7. Вычислить интеграл г= $ ^=T)dz‘ 1 г-2 1 = 3 Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтег- ральной функции обращается в нуль в точках 2i = 0 и za=l, то рас- смотрим многосвязную область D, ограниченною окружностью 188
Г —{г 11 z—2 1 — 3} и внутренними контурами Yi = {г 11 г I ==р} и Тг—{г 11 г~ 1 I — р} (0 < р < 1/2). Тогда в этой области D функция f (г)= гз у является аналитической, и по формуле (5) можем записать: ф f (г) dz-Ь- £ f(z)dz+ £ f (г) <fe=0, Г+ va- откуда следует, что • 1 - $1) d2 = $ iqJ-Г 1} * + $ ?1+ V? Применяя теперь соответственно формулы (7) и (6), находим ег V* и f -Brj2=2^-J-L=l=2.^. . ,?а Таким образом, l=ni(2e—5). Вычислить интегралы: 11.249. $e*tfz, /={(х, у)\у = хя, i 11.250. jsinzdz, Z = {z|z = Z« + ZZ, 1/2^/^3/2}. 11.251. z’coszdz, I—отрезок прямой от точки z„ = Z ДО ТОЧКИ Zj= 1. 11.252. JtgzJz, /={(х, у)\х=у\ O^t/^1}. И 253*. j (z—z0)"dz, п—целое число, /={z||z—zc = = /?}. 11.254. (г—zn)ndz, п—целое число, Z={z||z—г0|= ~ R, Im (г—г„) > 0}. 11.255. Вычислить интеграл J (г—IJcoszJz по произ- • i вольной кривой Z, соединяющей точки г0 = л и Zj — ~-i. 189
f dz 11.256* . Какие значения принимает интеграл J-----р, 1 2 Т если в качестве I брать произвольные кривые, соединяю- щие точки г0=1 и z^-y-f Вычислить интегралы (обход контуров против часо- вой стрелки): 11.257. а) § T=2ldz’ б) $ 1^2idz- ]Z =1 1И=4 11.258. а) / ^idz> б) f T=^idz' |zl=4 Bl = ! 11.259. a) (f) 6) (f) в) f p^ • lzl^l/21"1'2 |г-(| = 1' + |z + i|=l Л2 Л2 sin -=- j? s n "2 11.260. а) Ф 72Trrd2: б) т l^dz' |2-1| = 12 |z|=4 ti-261. / jot- "-2e2- $ |z| = 3 ' |z| = 4 £ sh-J(z+O И.263. p Z2_2z~~dz- 11 264. "J мп гу4-'-и. |z| = 2 11.265.^ (z_1)S (г+(), , де; a) С={г||г-1|=1};. б) C= {г||г+ 11= 1}; в) С=Дг||г] = Я, R =/= Il- li. 266. <j) u-267- Ф ^dz- |г + П = 1 1 ' |г| = > Sin 11-268. Н.26Э. $ |z-21=3 1/z 11.270. f icos^dz. 11.271. f -^^dz. |z|=l/2 |z-2| = l 41.272. Доказать теорему о среднем: если функция f (г\ аналитична в круге |z—z„\<R и непрерывна в замкпу- 190
том круге |z—z0|</?, то значение функции в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности, т. е. 2л = 2^ j Нг0 + /?e‘e)cf6 = ~ . f(T])ds, О |4-Zol=/? где cfs—дифференциал дуги. 11.273*. Известно, что если [ (z)z£ const—аналитиче- ская в области D и непрерывная в замкнутой области D=D\jL функция, то max | f (г) | достигается только на 26 D границе области (принцип максимума модуля). Доказать, что если, кроме того, Vz€D/(z)y=0, то и min|/(z)j ге D достигается также па границе. 11.274. Используя формулу (6) для /'(а), доказать тео- рему Лиувилля! если f(z)— аналитическая и ограничен:- ная во всей плоскости (г) функция, то f (г) == const.
Глава 12 РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ § 1. Числовые ряды 1. Сходимость ряда- Критерий Коти. Выражение * со кг+иг+• • •+*л+• • • = 2 ,<п’ . «=1 (’) где —заданная числовая действительная или комплексная последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы Si = Uj, S«—Hi-f-Uj, ..., S„ = i<i +u,+...+ «n, ... (2) называются частичными суммами ряда (Т). Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) S— Яш 5„, то ряд (1) называется сходящимся, а число п-»<* S—суммой ряда (1). Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 су- ществовало N = А' (е) такое, что для всех п > N и р ~ 1, 2, ... вы- полнялось неравенство \Sn+p—| = | ипД1 + “л + * + • •• + “«+₽! < е- Необходимый признак сходимости Если ряд (1) сходится, то . lira и„~0. fl-t-CP Пример 1. его сумму. Так как дробь СО Показать, что ряд ———г- сходится и найти г л—Л п (п +1) п=I 1 представима в виде _1__________1 Х(х+1) X *4-1 ’ то частичную сумму ряда можно записать следующим образом: 3 __L_1__L+J_+ +_J________+__J____= " 1.2^2-3 '3-4 ‘~ (л — 1) п п (п+1) 1_!____1+1_____L-i_____L 2Г2 3^3 —1 п'п п + 1 л+Г 192
Следовательно, Um S„ = lim fl-----r^ = 1» Л->се П->эо \ П-j- I J т e. заданный ряд сходится и его сумма равна 1 ► СО * Пример 2. Исследовать на сходимость ряд 2 qn и в случае п—о сходимости найти его сумму. Имеем S„ = l+H-92+---+?n~l- Если q—1, то S„=n, т.е. lim S„ = oo, и, следовательно, ряд рас- п-»а> ходится. Пусть теперь q Ф 1, тогда 1 qn . П~ \-q~\-q \-q’ Положим q = reicf, тогда q" = г"с1п«1. При 0 < г < 1 имеем lim 9"= !im гпе<"41 =0, Л-►ОС Я-*О6 т.е. lim g'.-=0, откуда lim S„ =-—!------------Если же г > 1, то и-»» 1—q П-+Х 1~~Ч дп гп —► оо и. следовательно, конечного предела нт —— , а значит, п->-» 1 — q и предела последовательности частичных сумм не существует. Наконец, при г—1 и Ф5=0 (mod 2л) предел Um eln<f = lim (cos n<p4-isin л<р) П-*-0С Л->00 также не существует. а потому и предел lim Sn \ Л1-*« J 00 Таким образом, ряд 2 qn, члены которого составляют бесконеч- ! =0 ную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q, сходится при | <71 < 1 и его сумма равна _____ н расходится при ► Пример 3. Доказать, что гармонический ряд ,+4‘+у+"-+7+ •=^14 П=я I расходится, хотя его члены стремятся к пулю при п—> оо. Рассмотрим разность частичных сумм с номерами 2н и п. Имеем 52л-5'-=^РГ+^+2'+- '+2?Ф Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2п, получаем s2„~sn > i+i+"-+i=ni=i-- 7 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 193
Это неравенство означает, что при р = п для гармонического ряда не выполняется критерий Коши н, следовательно, ряд расходится. ► Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы: со со 12.1. У ! 12 2 у. 2 . («+!)(« +2) ' ^-‘4ла— 9 п=1 п=2 со ос 12.3. У 12 4 У 2п+— ^(2я-1)(2п+1)* ^Л(Я2_1) ‘ СО 00 12.5* • ,2.0. ЕЦ£- /1=1 п=0 . Используя критерий Коши ил’и необходимый признак сходимости ряда, установить расходимость следующих рядов: со се 12.7. 2, г 1 -г- ,2-8- Х-Нк- nT?K«(« + i) в^я+2 12.9. 2(-1)п. 12.Ю. 21^ "-1 ЛП1 v„ схо- сходится и 12.4. 12.12. „=1 К " + *« 12.13. Доказать, что если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то его сходимость не нарушится. ОС 12.14. Доказать, что если ряды 2 ип и 2 , П=1 п= 1 дятся и их суммы соответственно и и и, то со ряд 2 (ып+ип)> пРичем его сумма равна u + v. Привести ZJZS I пример, когда обратное утверждение не имеет места. 12.15. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость этого ряда (но втияет па сумму!). 2. Абсолютная н условная сходимость. Признаки абсолютной схо- димости. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т. е. сходится ряд |И1|+|н*Ц-... + |и„1+...= 2 (3) п=1 194
Если ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Признак сравнения рядов. Если члены ряда (1) для всех п > No (No^ 1) удовлетворяют условию | ип причем ряд □О 2 Ь„ сходится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если же для п > Ли- шены ряда (1) удовлетворяют условию 0 < сп -С | ип |, причем ряд 2 сп расходится, то ряд (3) расходится, т. е. ряд (1) не сходится п= I абсолютно. 00 Пример 4. Зная, что ряд V———г;сходится (см. пример 1). d П (П -J- 1II H=sl установить сходимость ряда 2, 1 л2‘ Так как то, учитывая неравенства (« + О2 < п (п+1) ’ ” Л 1 по признаку сравнения убеждаемся в сходимости ряда 2^ ► 1 На практике более эффективным оказывается следующий ОО Предельный признак сравнения. Если ряд 2 vn Г = 1 сходится абсолютно и существует конечный предел lim = = <?<+«>, то ряд (1) также сходится абсолютно.'Если же члены рядов ип и vn — действительные положительные числа и О < lim — < + оо, П-т Vn 05 СО то ряды v„ либо оба сходятся, либо оба расходятся. и=1 »=1 Пример 5. Исследовать на сходимость ряд у Зп2—2 п4+5п * п= 1 (4) 7* 195
Так как ряд У сходится (см. пример 4) и так как л= 1 .. Зя1—2 1 _ , _ lim - —=3^°, п -> у я* + 5/1 nz то ряд (4) также сходится. |> Пример 6. Исследовать на сходимость ряд У 2”+-5 1 З/i2—2я' «= 1 (5) Так как • 2n + 5 . 1 _ 2 ос 3/12 — 2п* п 3 ’ а гармонический ряд У -jj- расходится (см. пример 3), то и ряд (5) п= I расходится. ► , Признак Даламбера. Если ч«ены ряда (1) таковы, что существует конечный предел lim п-> з то при 0<(<1 ряд (I) сходится абсолютно, при 1>1—расхо- дится, а пр < = 1 требуется дополнительное исследование. Пример 7. Исследовать иа сходимость ряд СР у £ Д-а 2' =/, “п | (С) <1±£ н 2" + 1 uni < 1. п » пп _л -> ос 2 п 2 Таким образом, ряд (6) сходится. ____ Признак Коши. Пусть lim Тогда, < 1, то ряд (1) сходится абсолютно, если I > 1—ряд (1) ходится, а при 1=1 требуется дополнительное исследование. Пример 8. Исследовать на сходимость ряд /2и+5 У"-1 п3 Имеем , если рас- Имеем ип = 2п , поэтому 2----- П lim {^(*„1= Нт п—> со n-i-св \оП — I/ Следовательно, данный ряд сходится. 2 196
При использовании признака Коши бывает полезна следующая формула Стирлинга: ____ е «1= У 2mR1 -е12п, О<0<1. Пример 9. Исследовать па сходимость ряд 2п-п! Z-t пп ’ п=1 Имеем: lim = lim fgHCffigL (_1\пе17?Л — п->» п-±а>\ пп \е ) / 2 А 2 = — lim (2лл)2п •е12Л =—< 1, е л-»а е т. е. ряд сходится ► Интегральный признак Коши. Пусть функция f(х) положительна и монотонна при х > 1, и пусть для всех п £ hl имеет место равенству /(л) = |‘«п|. Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е. ряд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несобственным интегралом + 00 J f(x)dx, а?»1. а Пример 10. Выяснить, при ОО 1 — • *4 пр л= I каких значениях параметра р Так как функция f (х) удовлетворяет условиям интеграль- ного признака Коши, то исследование сходимости ряда Дирихле 4- со сводится к исследованию сходимости интеграла К-н» 1 *' + со b lim lnb = -f-oo при р = 1, Ь-> + ОО т1-? 1 lim -------ч----=+ оо при 0 < р < 1, Ь-> + <х I—р * Р lim (—!---------——— )=—?— при р> 1. Ь-*+а>\р—1 (р—1)Ь₽ Х/ р—1 Отсюда заключаем, что ряд Дирихле сходится при р > 1 и расхо- дится при р^ 1. 197
12.16. Доказать, что всякий абсолютно сходящийся ряд является рядом сходящимся. 12.17. Доказать, что члены сходящегося ряда можно группировать, не меняя их порядка, произвольным образом. 12.18. Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять произвольным образом; при этом-сумма ряда не изменится. Используя признак сравнения или предельный приз- нак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды: 12.19. 12.21. <ю у 1 1220 у . п- 1 оо 3/1-2 ’ х-(2л —I)2 00 12 22 - =L= • “1 V «(«+D(«+2) п = 1 Зл3 — 1 ‘ 12.23. 12.25. 12.27. СО X п= 1 со л^З со ^2 . * л Sin — , л п‘ tg“ - ь п III л ух н = I со 12.26. У J/n2 arctg^. 1 СС 12.28. У е~п\ л = I 12.29. се Е л= I 2" («+1)3" . ,2.30. £ Л «= 1 Пользуясь признаком Даламбсра, исследовать на схо димость следующие ряды: 12.31. 12.33. у «*+5 2" п— 1 -+—+ 1 ТЬ4 Г ,2-32' .?,£• , 3-5 ... (2»+1> , • • • +1.4 ... (Зл—2) I" • " 12.34. СО у й7 • п= 1 < 12.3^. л= I 12.36. сю <?2n+1 ~ni~- п= I 00 У 1-3-5- ... (2л-1) 1г.о/. 22и(л—1)1 п = 2 ' ' _ СО 12.38. уч sin in 3" * 1 12.39. У ,.Я" л! (е —0" 198
Испочьзуя признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: 12.40. ±(>+4-Г- Л=1 ' * Л=1 4 ' ОС со 12.42. Li(n4)”’ »«•*». п=1 ' 7 Л=1 4 7 со сю 12.44. £ « (4я-з ) • ,2-45- Е « „ ) • Л= 1 ' Л=1 4 z СС 12.46. V „ ( k \* ( k \k/3 ип> где ( 2Я-]-1 J ’ 11'21г \ 3fe 17 п=1 4 ' / ' ' оо * ОС 12.47. у ( ”+2Z У 12 48 5' + \(l+')«+3 7 • ™ 4'п )• п =1 и=1 ' ' Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: 12.49. со со У-Д-- 12.50. V_> . СО со 12.51. У * 12 52 У' ! ~ п 111 п ' п in п (hi In л)2 п=2 п=3 ' ' Исследовать на сходимость ряды: 12.53. У f_L±SV 12 54 y_L-ln'I±l- n = l ' 1 1 л = 2 ' n CD CO 12.55. L4-'12-56- ^7r- n=1 П =1 co co 12.57. co oo 12.59. 2-i^- £('ЧГ- n = 1 1 n = 1 12.61. lnn 100-103 . 100.103.106 . WU 1 1-5 1 1-5-9 + • • • 4_ 100'103 ••• (97-1-Зл) , ”• 1 1-5-9 ... (4л—3) 1 " 12.62. , . 1-11 . 1.11-21 . . 1-11.21 .. (Юл—9) . 1 1 31 । 5! 1 ••• । (2л—1)! । •"
12.63. 1 , 1-5 , 1-5-9 , , 1-5-9 ,..(4n-3)J_ 2 *"2-4-6 + 2-4-6-8-Ю'г • • • 1 (4п—2)!! СО 12.64. у V п+1-V п-1 «3 4 х ’ п— 1 1 п (п-1) 12.65. LQ + , л = 2 ? 12.66. £ (in-^-l^sln-Ь-)). /1=1 ' 12.67. £(S)T- 12-68, £sin^' « 05 12.69. In 1 +^» 12.70. —jn n jn Jri n • n=i 4 ' n=3 12.71. 12.72*. n=i ncl 2-5 2-5-8 2-5-8 ... (3n—I) . 12.73. 2 HfTg'l'П5^+• • • + 1.5.9 ... (4n—3) 12.74. £-^. 12.75. fl In 1+4)’ ,.-=! “ R=1 /1=1 «=> 1 1-4 , 1-4-7 12.78. j г jqo. [02 100-102.104 1.4-7 ... (3n—2) • •' + 100 02 •• (98 !-2n) 1 О -7П 1 п А 1 12-79- ДпЧ-Г- Л=1 1Z oU. * 7» Л— ? /—\ * ,^2«(/«-/«) 05 -4 1/— ,2‘8L S n ’ 12’82‘ (3n+D(2/n-ij ‘ 05 12.63. 12.85. £^ rt= 1 12.84. £<Ц^. .2.66. £-^. (П —.) / n 05 12.87. Исследовать на сходимость ряд n=2 1 tlp (In n)a при различных действительных значениях р и а. 200
05 12.88. Исследовать на сходимость ряд У —-------5й п₽(1пп) (1п1пл)р при различных действительных значениях р, а и £. 12.89. Убедиться в том, что признак Даламбера непри- v1 2ft-i 2s меним к ряду >, и„, где — » utk — зГ> тогда л = 1 как признак Коши показывает, что этот ряд сходится. 3. Признаки условной сходимости. Признак Лейбница. Пусть члены ап внакочередующегося ряда Ci —Ог+«з—«4+---+(— 1)'!+1сл+--. (7) действительны, монотонно убывают, т. е. at > а2> ... > ап> .... (8) и lim ап — 0. ( ) 71 05 , *• Тогда ряд (7) сходится, причем для его суммы S имеет ме„то оценка S < 0\. Пример II. Исс. сдовать на сходимость ряд 00 У (~в"+1 Я = 1 1 п ’ Так как а„ — — > ^rj=n„+i, то выполнены условия (8) и (9), и л=1, 2, .... и lim •^-=0, я-» «> п данный ряд сходится. Ряд и< абсолютных величин членов, т. е. 1 \ ряд У _ расходится. \ дедова- 05 тслыю, ряд У (— l)n+1 — сходится условно. ► W = I Признак Абеля—Дирихле. Пусть члены последова- тельности (Ь„) монотонно убывают: > Ьг > .. ->Ьа> ... и lim bn~G, а частичные суммы Sn — ai-^-a2 ап, п — 1, 2, .... п—►СС * ограничены в совокупности, т. е. 2 ак < М для всех п £ М. СО Тогда ряд У апЬп сходится. Пример 12. Исследовать на схо. имость ряд fe=i k 201
<1 Очевидно, что в точках х = тл все члены ряда равны нулю, т. е. при х — тя ряд сходится и его сумма равна пулю. Пусть теперь х 0 (mod л). Подсчитаем сумму Л п У, sinfcx=---------У 2 sin 4 sin kx 2 sin 4 £ 2 2sln| Отсюда заключаем, что для любых n —1, 2, ... их^О (modn) V , 2 • Д.бШЛх --------ТТ‘—1----Г Л=1 2 sln-^- sln"2 Далее, последовательность монотонно убывает и ,iiiu°——0. Таким образом, при х?=0 (modn) выполнены условия признака СО Абеля—Дирихле, и потому ряд У, сходится. Следовательно, Л=1 ряд сходится при любом X. ► Исследовать па абсолютную и условную сходимость следующие ряды: - 12.90. £(-!>"“ з^т- 12-9I- 12.92. £(-l)"5V4- '2-93- £ (-О” (з^)"- л=1 ____ п = 1 12.95. 12.96. £<-1У,.з.8..^-В- л=2 л=1 I2-S7- £ • 12-98' £ n=3 v п=1 202
12.99. У (—12.100. У (—1) п=1 л=2 12.101. У С-^. 12.102. У (-1)"^. Л=1 П=1 со 12.103. У (—1)" --' ... ....... п_ п In п In In п № 02 sin — 12104. 12.105*. X -Л. п-1 ' 7 Л=1 12.106. £ 12.107. £ ~ п. л = 1 п — 1 ' 12.108. У 12.109. £^5^- Л=1 ' Л=1 < ОО Убедиться в том, что к рядам 2 ип с указанными № 1 ниже членами (A£N) нельзя применить признак Лейбница. Исследовать эти ряды на сходимость другими способами 12.110 *. , и2к=------r—L /Л-Н-Н 2ft Kfe+1 —1 12.111 . u2ft_i = 3fe_|_2 • li2k~ ~3£_r 12.112 . и1(ь_1 = -^-, 2ft 3k 2k 12.113 . Uzk-1~ 2k 1 ’ = ^2* 12.114 *. Доказать, что из сходимости рядов 2 I ап I2 и П=1 со 2 | Ь„ |2 следует абсолютная сходимость ряда 2 Л=1 л=1 СО ,03 Произведением по Коши рядов V ап и У Ьп называется ряд п=1 п=1 оо 2 сп, члены которого получены по формулам ТЮ. 1 с»= 2 akbn-k+i. « € N. *=i 203
Исследовать на сходимость произведение по Коши следующих рядов: 00 со 12.115**. £4 И £1. Л=1 Л=1 со СО 12.116*. L А и S П—1 п—1 со со 12.И7*. Е4- л=1 Л=1 12.118*. £ и п- I П=1 00 12.119. Доказать, что если ряд 2 ап сходится абсо- п Ч | лютно, а ряд 2 Ьп сходится, то произведение по Коши л= 1 сходится. Пусть (o*)*eN—произвольная числовая последователь- ность, S„= 2 «ft—частичные суммы сходящегося ряда h=0 2 *а /?„ = 2 иь—остаток этого ряда. Проверить ft=0 ft=n+l справедливость соотношений (называемых преобразова- ниями Абеля}'. 12.120. 2 wkvk — 2 (о/i vk+i) $k vi^Q~\~vn^n' k=i ft-i 12.121. 2 = 2 (^ft—vk+1)(Sk—Sm) + k=.m + \ k=tn+\ + Vn (^n Sm)- 12.122. 2 адг= 2 (fft-»ft-i)^fc-i+ k~m+ 1 +2 + vnRn. 12.123. Доказать, что для остатка Rn знакочередую- щегося ряда (7), удовлетворяющего условиям признака Лейбница, справедливо неравенство | Rn | < «n+i. 204
§ 2. Функциональные ряды 1. Область сходимости функционального ряда. Пусть функции /п(г), определены в области D. Выражение со fi (г)+/г (г)+.+/п (г)+• •• = 2 Z€D> 0) п= 1 называется функциональным рядом. Если для числовой ряд ОС 2 fп (г<>) сходится, то говорим, чю функциональный ряд (I) Л’ = 1 сходится в /почке г0. Если в каждой точке г^сО числовые ряды 2 f п (г) сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области Di- п= 1 ( Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области Dlt необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 и любого z£Di существовало N = M (в, г) такое, что \fnH (z)~i~fn + 2 (г) + • • • +/n+je (г) I < е для всех п > N (е, г) и Для определения области абсолютной сходимости функциональ- ного ряда il) следует воспользоваться либо признаков Да ламберт, либо признаком Коши. Именно, если • lim п -*«* I /п\г) I пли Нш ^/|/и(гУ1 = /(г), то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство / (г) < 1, а для определения области расходимости—функциональное неравенство /(z)>l. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках полу темой области, т. е. в точках, опнсыввсмых уравнением ,/(г)=1, требуется дополнитсяьное исслеловя н ие. Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда у (-1>Л+1 цЗ" V (х+2)" ’ xgR, х>— 2. •rf Так как |/„(х)| =---- — и х > — 2, то, применяя признак пЗпК(х+2)« Коши, имеем — 5 Л ’ .. 1 « lim I/ —-—г . 1пп -------------—-7=. — —7-— г П3п^(х4-2)н п-*~3(ж-|-2)1 2 / п 3Мт2 Следовательно, ряд сходится, если * — < 1, т. е. при х > _Г7 9 ' 205 7 1
CD При x=—Ц получаем знакочередующийся ряд , (—l)n+1 —, Л = I который сходится по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда—полуинтервал [—17/9, 4*оо). ' Найти области сходимости рядов (xgR). Исследовать ряды на абсолютную сходимость. 12.124. £(-1)"п-*. 12.125. 12.126. оо со 12.127. >2.128. X"'- Л=1 ' 1 Л=1 12.129. 12.130. X 5F. п=1 ' ' Л = 1 12.131. 12.132. £ 12.133. £ Л=1 "=1 л=1 Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда ел П ЛЕ I z£C. Применяя признак Даламбера, можем записать неравенство 11 in п ОО (л + ,1) (г - О'-I (г—/)"+1л I 1 I г-1I < I. откуда заключаем, что ряд сходится абсолютно вне круга радиуса I с центром в точке i, т. е. при |г—«| > 1. На окружности |z — i| = I ряд, очевидно, расходится. Найти области абсолютной сходимости указанных ниже рядов (г^С): СО со 12-134. 12-13S. L „-ИПГ- СО 00 поп , J- >2.136. >2.137. — . л=1V 1 л=1 сс оо 12.138 . 12.139. У nent. , Л=1 п=1 -оо оо 12.140 *. У (—1)«п-г. 12.141*. У г—. л=1 n=l V 1 ' 206
12.142*. 12.143*. £ 2. Равномерная сходимость. Сходящийся в области D, функцио- нальный ряд (1) называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого е > 0 найдется N = N (е) такое, что для остатка ряда (1) Л„(г)= 2 fk (а) Л=п+1 ' при всех п > W (е) и zgDx имеет место оценка I Rn (г) | < е. Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы функциональный ряд (1) был равномерно сходящимся в области Dlt необходимо и достаточно, чтобы дЛя любого е > О существовало ,V = .V (е) такое, что для всех п > N (е) и г £ Dj вы- полнялись неравенства I/п+1 (г)Н'/и+г (г) +• • •+/n+j» (г) I < е> /’=1,2, ... Пример 3. Найти область сходимости ряда 2 (гп-гп + ‘), л= О сумму ряда и показать, что во всей области сходимости ряд схо- дится неравномерно. Так как частичные суммы ряда имеют вид S,.(2)=S (г*-г*+>) = 1-г«+1< л=о то можем заключить, что lim S„ (г) существует только при | г | < 1 л-к» и в точке г = 1, т. е. областью сходимости ряда является область О1«={г| |г| < 1 и г = I), причем сумма ряда равна {1 при г < 1, О при 2=1. Остаток ряда Rn (z) = S (z) —Sn (г) имеет вид D , . I zn+1 при |г| < I, " Z Г 0 при г= 1. Отсюда заключаем, что существуют t0 >0 и Д'(е0) такие, что для любого п > N (е0) найдется г„ такое, что | г„ | < 1, но | R„ (zn) | > е0. Так, например, выбирая е0= 1/4 и г„ =—— е , <fn—произвольно, grl + l s. имеем | Rn (г„) |=-^-‘ > • Это означает, что во всей области схо- димости Di равномерной сходимости пет. Заметим, однако, что 207
в любой области Dr = {z 11 г | «Sr < 1} ряд будет сходиться равно- 1п 6 мерно, так как для любого е > О найдется W = W (е)=|^-у такое, что для всех г£Е>г и п > Л'(е) имеем | (г) | = | г |n+1<r"+I<e. ► Пр'изнак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд (1) сходится в области Dlt и пусть существует сходящийся знаке- ’ °0. положительный числовой ряд 2 ап такой, что для всех г^П1 и для п=। п > No члены ряда (1) удовлетворяют условию Ifn (г)(^аи. Тогда ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в области D^. СО Ряд 2 °п называется мажорирующим для ряда (1). п= 1 со V"1 %п Пример 4. Найти область сходимости ряда > и показать, п = I что в этой области ряд сходится равномерно. «0 Воспользуемся признаком Даламбера Имеем 11щ | + I п-'“|(п+1)>г«| 1 ь Следовательно, в круге |г|< I ряд сходится. На границе круга, т. с. при |г| = 1, получаем сходящийся ряд: со 00 у вг=у ^<Оо. п* п.1 П= I 11=1 Значит, исходный ряд сходится в замкнутом круге | г | < 1. Но так как для всех | г | < 1 I г1п 1 1Мг)1=-^-<-2. то ряд сходится абсолютно и равномерно. Найти область сходимости и область равномерной сходимости указанных рядов (xgR, г С С): □о С» 12.144. £ (-1)"/Г*. 12.145. 21 п —I л =1 Ы.146. 12.147. £ <=А-. л—1 4=1 12.148. 12149- л=I п—1 со со 12.150. 12.151. Л = 1 Л=1 208
12.152* . Доказать, что ряд У , xgR, сходит- ся абсолютно во всех точках, но не равномерно в любом промежутке, внутри или на границе которого находится точка х = 0. « 2 12.153. Доказать, что ряд У ( —1)”(1^х2)„> п=0 сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси, тогда как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (ряд задачи 12.152) па всей числовой оси сходится неравномерно. 12.154. Используя принцип максимума модуля анали- тической функции, доказать, что если члены ряда (1) являются аналитическими в области D функциями и не- прерывными в замкнутой области D = D-| Г и если ряд 1) сходится равномертю на 1, то он сходится равномерно в замкнутой области D (вторая теорема Вейер- шт р а с с а). 12.155. Найти область сходимости и область равномер- ной сходимости, я также сумму ряда « 3 Свойства рлпночерио сходящихся рядов. Сформулируем рял свойств в виде зятяч. 12.156. Доказать, что если члены равномерно сходяще- гося в области функционального ряда (1) умножить на одну и ту же ограниченную в области О/фупкцию <р(г), то равномерная сходимость ряда нс нарушится. 12.157. Доказать, что если функции /„(г) непрерывны в области и ряд (1) равномерно сходится в этой области, то его сумма f (г) непрерывна в области Ог 12.158. Доказать, что если функции /„(г) непрерывны в области О, и ряд (1) равномерно сходится в этой области, то его можно почленно интегрировать по любой кривой I, целиком лежащей в области Du т. е. имеет место равенство Под ред. Л. В. Ефимова. Б. П. Демидовича 20»
12.159* . Доказать, что если на отрезке [a, ft] функ- ции fn(x) дифференцируемы, функциональный ряд сс X/nW сходится, а ряд из производных X Гп W n=I "=* равномерно сходится, то исходный ряд можно почленно дифференцировать, т. е. имеет место равенство i гм \Л=1 / Л=1 Для равномерно сходящихся рядов из аналитических функций имеет место Теорема Вей ерш трасс а. Если члены функционального ряда (1). т. е. функции fn(z), являются аналитическими в области D функциями и в любой замкнутой подобласти D^D ряд (1) сходится равномерно, то: а) сумма ряда (I), т. е. функция f(z), является аналитической в области D-, б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т е. справедливы равенства Л«(г)=^ ^’(г), -*=1. 2, ...» г£О; (2) п— 1 в) в любой замкнутой' подобласти D1C.D полученные в резуль- тате дифференцирования ряды (2) сходятся равномерно. 12.160. Используя утверждение задач 12.157, 12.158* и теорему Морера (теорема, обратная теореме Коши)! доказать утверждение а) теоремы Всйерштрасса. 12.161. Воспользовавшись формулой Коши для произ- водной и утверждением задачи 12.158, доказать.утвержде- ние б) теоремы Всйерштрасса. § 3. Степенные ряды 1. Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд С0-}-С1 (г—2о)4-Са (z—z0)2-|-... -|-crt (z z0)«-|- ... = сп (г z^rl л = 0 (1) называется степенным по степеням (г—г0). В частности, ряд Со + CiZ -ф с2г2 + ... ф- спгп с„га (2) л=0 является степенным по степеням г. С помощью замены г—zB = Z ряд (1) сводится к ряду (2). Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке г = Zi#0, то он абсолютно сходится для всех г таких, что | г | < | гг |, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге 210
| z К г < 1 ?j I- Если же ряд (2) расходится в точке г — г3, то он расходится и для всех г таких, что | г | > | z21. Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке г0), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т. е. из условий Л г | lim I или Нт У|с„г«| =|г| lim У lc„l < 1. л “* » п -> оо F Отсюда для вычисления радиуса 7? круга сходимости получаем соотношения Пример 1. Исследовать на сходимость ряд (г+2)» (г+2)' (г4-2)»« (г-|-2)2" 13 I" 4-32 _ «23п т"-------Х-i ' п»-3« • п— I Применим признак Даламбера: _ (z-4-2)2'* _ (г+2)»<" + ’> " ne-3" ’ "+1 (п-|-1р.З"+1 II .... I (г-1-2j* ,+11п2?311 „ - «Ч- V3" + 1 (г Ь2)а« юда заключаем, что ряд сходится в круге |г-|-2| < У 3. Далее, на границе круга, т. е. при |z-|-21 = p''~ 3, имеем (z-j-2)2'1 1 л2-3" Л» » п= I это означает, что ряд абсолютно сходится в замкнутом круге |z4-2|^V 3, причем сходимость в этом замкнутом круге равно- мерная. —1г+212 Нт _ /г+2р 3 „'"„(л-f-l)2----3 12.162. Сформулировать теорему Абеля для ряда (1). 12.163* . Установить, что степенной ряд (1) обладает следующими свойствами: а) в круге сходимости |г—z01 < R сумма степенного ряда f (г) является функцией аналитической; б) в круге сходимости |г—г0|</? степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем продифференцированные ряды имеют тот же самый круг сходимости |г—г0| < R; 211
в) ряд (1) можно почленно интегрировать по любой, кривой, лежащей в круге сходимости, причем интеграл зависит только от начала и конца кривой интегрирова- ния, а ряд, полученный из ряда (1) в результате ин- тегрирования от z0 до г, имеет тот же круг сходимости | г — z0| < R. 12.164* . Пусть степенной ряд (1) сходится в круге i2_________2 I < R, /? > О, и /(г)—сумма этого ряда. Показать, что значения производных./(п> (г) в точке г0 можно вы- разить через коэффициенты ряда (1) по формулам /<«,(г0) = п!с,;, n = 0, 1, ... Найти области абсолютной сходимости и области рав- номерной сходимости следующих рядов (г £ С). Заменяя в этих рядах (кроме 12.179, 12.181, 12.187-12.189) г на xgR, исследовать их па абсолютную и равномерную схо- димость. /1=1 п —1 л=1 12.168. ' 2и+Г(г—4)n PH-1)/I" («+’>) 12.169. 00 £ 1 2" (г-2)-" n 00 7 12.170. X ( * 1- 1 П (2n -|-l)3n 12.171. CO 5' z" 12.П2. £ (4- 11=1 ' 1 -) Z". n=l 12.173. V 3» (г-4-1)” 00 . 12.174. V (я!)г г" (2d)l • n— 1 к (3d—2) 2" П - I a 12.175. У (— l)nlnz". л = 1 12.176. L(-l)n3^ 1 12.177. ,2-178- £ n=l n=‘ y.-’ i2_3)2n+l 12.179. У n! (z — i)‘. 12.180. У (2n-|-1) ’ n=l "=1 212
12.181. £ ^±52. 12.182. У (3«-|- 1)(г —1)« л= 1 • 00 12.183. У (—1) П=1 (г-3)" (2л +1) 4" л=2 19 1 Q7 О 12-187. гп л2". In п ' 12.186. У 12.188. 12 IRQ ('"Ь 0" (г-|-О" 12.109. („+,)(„+2) • (г-1)". 12.193. 12.195. 12.197. 12.199. п= 1 2зл-1 8"+1л In3 п ’ л = 2 л! п— 1 п - 1 оо 12.192. У £ г". 2'1 (г—З)2'1-1 л = 1 у (г-3)2" л2" 1п2 п ‘ У п!г"'. Х” 2я п! 2я ’ Л=1 2" л! г~п л(л+1) 12.196. У 12.194. У (г4;32п. 19 1QR пП оо 12.200. У 2п'г"=. /1 = 0 12.201. £ М"’ 12.202. У ВД2. п п2 Л=1 П=1 2. Разложение функций в ряд Тейлора. Имеет место следующая Теорема Тейлора. Функция f (z), аналитическая в круге lz“Zol < R, однозначно представима в этом круге своим рядом Тей- лора /(г)= 2 сп(г—г0)", п = 0 коэффициенты которого определяются по формулам *) С 1 С Ил) „-0 1 п „I 2л/ ’ -----w+idTl. n~°’ (n-20)" + »dl1’ 1) Здесь и далее для записи криволинейных интегралов по зам- кнутому контуру (контурных интегралов) мы используем обычный знак интеграла. 213
Следствие. Если функция f (г) аналитична в области D и zogD, то в круге | г—гв | < R (zB, D), где R (zB, D) — наименьшее расстояние от точки г0 до границы области D или до ближайшей точки г', в которой f (г) не аналитична, / (г) может быть представлена в виде степенного ряда f (?) = 2с" (г-го)"> (3) » = 0 коэффициенты которого определяются по формулам С . 'W. <4 ,,-о. 1.... "' °’ nl 2л1 J (т]- z0)n“ Щ-г. |=г г<Я(г0, D) Если го = 0, то ряд Тейлора называют также рядом Макларена. Пример 2. Разложить функцию / (z) = sh г в ряд по степеням г (т. е. в ряд Маклорена). —- С “ Так как sh г——-------- является аналитической во всей плоско- сти, то по теореме Тейлора се ряд Маклорена будет сходиться к пей во всей плоскости. Имеем (shz)<2’V1) = ch г, n=0. 1,..., а (sh г)*'2"> = sh г, л £ N „ Л2"’(°) A f‘2« + l>(0) I Следовательно. с2п = =0, а с2я+1 = (2„£|);' = ’ ** искомое разложение имеет вид Замечание. Если рассматривать ряд Тейлора функции / (х) действительной переменной, т. е. ряд л=0 то для справедливости равенства (3) (при г—х и гв = хи) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора Rn (х) стре- мился к нулю при п —* со. Остаточный член может быть записан, например, в форме Лагр ижа r„ (х)=л"+1) (Хо+°где нли в форме Коши Ra (x)^(x~X1')n^1(1~e)n/<"+» (х0+е (х-х0)), или в какой-либо другой форме. ПрнмерЗ. Разложить в ряд Тейлора по степеням х функцию е*.. Функция f(x)=ex бесконечно дифференцируема и (е*)<">=е^ Следовательно, /1">(0)=|. Формула Тейлора с остаточным денем в 214
Пример 6. Разложить в ряд по степеням z функцию /(*) = z2—2z+19 (г-3)2(2гЧ-5) ' >4 Разложим [(г) иа элементарные дроби. Имеем ^(г) 2г + 5+(г-3)2' По формуле суммы геометрической прогрессии и Замечая, что ( 2 ' \'_ 2 \ г—3 . (г—З)2 ’ и учитывая утверждение б) задачи 12.163, получим 2 у (н+ 1)г« — 3 Х-» з«+А ’ Л = о 2 —имеем 2 (г-зр Складывая ряды J у пгп~ " 3 2- з« п= 1 ЛЛЯ 2Г“5 и /1 = 0 4 Пример 7. Разложить в ряд по степеням х (х£К) функцию X = j — du- о 00 ◄ Зная разложение функции sinu = ^ (—1)й а-о женне в)), "Имеем „’*+1 (2k 1)! (см. разло- < п* U'R “ ’ Чгл-1-ijJ 217
а потому, используя свойство в) задачи 12.163, получаем о * = ° о со г2й + 1 — X l)ft (2fe+ I)! (2fe+ 1) ’ R fc=0 Используя теорему Тейлора (формулу 1>йлора с оста- точным членом в какой-либо форме для функции дейст- вительной переменной), разложить в ряд по степеням г следующие функции, проверив тем самым справедливость соответствующих соотношений из а)—е): 12.203. ег. 12.204. cos г. 12.205. sin?. 12.206. (1 + ?)“. 12.207. 2г. 12.208. sin (г—12.209. cos2?. Написать первые три ненулевых члена разложения в ряд по степеням г следующих функций: 12.210* . tgz. 12.211. —. 12.212. th?. 12.213. <?2cosz. ° cos г Используя разложения основных элементарных функ- ций а)—ж), а также возможность почленного дифферен- цирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням ? и указать области сходи- мости полученных рядов1): 12,214. е~Л 12.215. sin2 ?. 12.216. . 12.217. ----4-|-2 3- 4Z 12.218. ^27^-. 12.219. у==-- 12.220*. . 12.221. : ?- ат • 12.222. (1 — 12.223. ch?. l-j-г—2г2 --- ' ' 12.224. sin 2г ф 2г cos 2г. 12.225. sin 2г cos 2?. 12.226. ln(l-|-z — 2г2). 12.227. ,1п(г2 + ЗгЧ-2). 12.228. In (г -f- К 1 + г*). 12.229. arctg?. 12.230. arcsinz. 2 Z 12.231. 12^32. о о 12.233*. гсО5г.-51пг, 12.234*. zsln2-i+^A. г2 г- Разложить функции в ряд по степеням г—г0 и опре- делить области сходимости полученных рядов: 12.235. г3—2г2—5г —2, г0 = —4. 12.236. -р—, г0 = 2. х) См. также задачи 12.289—12.294. 218
12.237. -fi., г. = 3>. 12.238. ?_^ + 5 . г._3. 12-239- z*|-H-2’ 2. =-4. 12,240. j/7, z„=l. 12.241* . 1, z0 = 2. 12.242. е»*-«г+\ г0=2. 12.243. гЛ-^2, г0=1. 12.2^ sin (г2 + 4г), г„ =—2. 12.245* . In (5г4-3),'г0= L 12.246. In (г2+ 62 +12), ?0 = —3. Найти области сходимости указанных рядов и их суммы: 12.247. 2 (—!)"(«+1)(«4-2)г". 12.248. 2л(г + 1)п. п=0 л=1 СО 12.249. 21 ЦтГГ-- ,2-250- 2 (-1)па-2п-2?2п, а=/=0. п=0 1 п=0 12.251. 2 (—!)"(«+ 1) г2". п=0 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Сфор- мулируем теорему единственности: Если функции f (г) и у (г) аналитичны в области D и на мно- жестве различных точек (гп)пец, имеющем предельную то ку a£D, выполняются равенства f(zn) = g(z„), ngN, то f(z)=o(z) всюду на D. Пусть функция f (г) аналитична в области D, а функция g(z) аналитична в области Dt такой, что пересечение D[]Dl = D2 содер- жит последовательность различных точек (ги)ле[^. имеющую по край- ней мере одну предельную точку aCD2. Пусть, кроме того, / (г) = » (г) для г $р2. Тогда функция ' Г(2)=П(г) Для г££), ’ |g(z) для zgDi\£)s называется аналитическим предо, ясением функции f (г) с области D на область DjXDj. Пример 8. Доказать, что если функция /,(г) непрерывна в об- ласти D, содержащей точку г = 0, и если f ( — ]= ”. для \ л / п я = по + 1, Ло + 2, ..., то / (г) не аналитична в области D (ло^! — целое)'. ◄ Так как / (г) непрерывна в D, то на отрезке действительной оси она также непрерывна, а в соседних точках х=— и х=—?—. п л -|- I п > пе, она принимает значения разных знаков. Поэтому существуют точки , JL^ , в которых /(х„) = 0, причем хп—> 0. Сле- довательно, в точках xn£D функция f (г) совпадает с аналитической Функцией g (г) s 0, а так как / (г) 0, то f (г) не может быть ана- литической функцией. ► 219
Пример 9. Доказать, что функция (I —z)2”^ + (1-г)«+.‘ ' является аналитическим продолжением функции f (г) = 1-}-2z+22z2+-• •+2"г" +• •• «4 Определим область сходимости рядов для g (г) и f (г). Имеем: lim У\2пгп |~2|г| < 1, л~*оо т е. ряд для g (г) сходится в области D1 = {z| Re г < 1/2} (см. задачу 12.143), а ряд для f (г)—в области О2 = {г| г| < 1/2}. Определим суммы этих рядов в указанных областях: j { 1 । 2 । 2^ । 1 1 1 = TZZJ 1 +т=г^(1—г)2^ • ) ~= 1 —г “ г 1—2г 1 —г Так как £)2czDi и в области D2 справедливо тождество / (г) =g (г), то функция g(z) является аналитическим продолжением функции / (г) с области D2 нж область Di- 12.252. Доказать, что при любом а=/=0 и |д|=/= 1 функ- циональное уравнение f(z)~f (аг) не имеет решения, ана- литического в точке z —0 и ее окрестности, отличного от f (г) ~ const. 12 253*. Доказать теорему единственности в том случае, когда V? £ D g(z) = 0, т. е. доказать следующую теорему; если аналитическая в области D функция f (г) обращается в нуль в точках (zfc)Ae^, лежащих в области D и таких, что lim zk = а £ D, то VzG D f (г) = 0. к-*-ос 12.254. Будет ли аналитической в точке г==0 и ее окрестности функция f(z), если она при всех целых п>п0 Г / I \ . пп _ удовлетворяет соотношению / — =sm—? Найти аналитические в окрестности точки г —0 функ- ции /(г), удовлетворяющие условиям: 12.255./(1) = ^, n€N. -1 12.255.= £20
12.257. Показать, что функция £(г)=У яв- n = 0 ’ ляется аналитическим продолжением функции f (г) — ~2 • Найти аналитическое выражение этих функ- п=С ций в обшей части областей сходимости рядов. 12.258. Показать, что функция g (г) = In (2 + 2i) 4. \ г 1 (г 1—2i)w (—Ч ~t (2-|-2«)« является аналитическим продол- жением функции / (г) = . (—1)"у. Найти аналитическое п = 1 выражение этих функций в общей части областей сходи- мости рядов § 4. Применение степенных рядов 1. Вычисление значений функций. Разложения а) — ж) из § 3 позволяют получать значения соответствующих функций в заданных точках с любой точностью. Пример 1. Найти число е с точностью до 10-ь. Подставив х=1 в разложение функции ех, имеем «^4+ S ТГ- /<=0 Л«=П + 1 Оценим остаток ____!___<_L V .. 1 „ ("+!)•••k п! . . (п + 1)*-л /<=п+1 ' 1 ' ч i ____I лг+1 ' 1 ~ «1 . 1 п!п' п + 1 п Сае- вательно, равенство е= j — имеет предельную абсолютную *=о погрешность, равную — । . Найдем п, для которого ------< 0,00001 л! п СО или nl п > 100000. Получаем п ^8. Вычисляя 2 + ^, и округ- п„ к = 2 ляя, находим ответ с требуемой точностью е—2,71828. 221
12.259. Определить, сколько нужно взять членов в раз- ложении функции In (14-х), чтобы вычислить In 2 с точ- ностью до 10~4. 12 260. Определить, сколько нужно взять членов ряда в разложении функции cos х, чтобы вычислить cos 10° с точностью до 10-4. 12.261. С какой предельной абсолютной погрешностью можно вычислить /36 = (324-4)*/» = 2 '1 -}-1 взяв три члена биномиального ряда? 12.262. При каких х многочлен х—/^120 дает зпа’ ченне функции sinx с точностью до 10-4? 12.263. Какова предельная абсолютная погрешность равенства при вычислении /3? Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до 10"4 12.264. /ё. 12.265. 1. 12д266. sin-J. 12.267. sin 12°. 12.268 cosl. 12 269*. sin 1000. 12 270*. /520. 12.271* . /15. 12.272*. /700. 12.273*. In 2. 12,274. arctg . & |Z 3 O* 22* (fel)3' 12.275. 12.276. fc=0 shl. 12.277. chi. В задачах 12.278—12.287, используя разложения в сте- пенные ряды, требуется составить на фортране подпро- граммы-функции для вычисления значений указанных функций с заданной предельной абсолютной погрешностью. Использовать параметры X, EPS, где X — аргумент, EPS—предельная абсолютная погрешность. Имена под- программ выбрать не совпадающими с именами соответ- ствующих стандартных подпрограмм-функций. 12.278*. z/=sinx. 12 279. t/ = cosx 12 280*. z/ = e*. 12.281*. z/ = (14-x)a- 12.282. z/=ln(14"*)- 12.283*. у = In | 12.284. y = arctg x. 222
12.285. у=!/0(х) (см. задачу 12.275). 12 286. i/ = shx. 12.287. t/ = chz. 12 .288. Составить на фортране программу решения од- ной из задач 12 264—12.277, применяя подпрограммы- функции, полученные при решении задач 12.278—12.287. В программе предусмотреть сравнение результатов, вы- численных с помощью составленной'подпрограммы-функции и с помощью стандартной подпрограммы-функции, входя- щей в библиотеку обязательных подпрограмм. 2. Интегрирование функций. Разлагая подынтегральную функцию f (t) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании х степенных рядов, представить интеграз ^f(t)dt в виде степенного о ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью нрн любом значении х из интервала сходимости полученного ряда. Пример 2. Разложить функцию е_,1Л в степенной ряд по о степеням х. * 00 ft Используя разложение е* = , получим Л=0 /ал е“"= — л=о на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим О Разложить указанные функции в степенные ряды по степеням х- о jnd-p/2) dt 12 290 -------- i 9 1/ о 12 291. cos t-dt. 12.292. о о dt 12.293. (см. задачу 12.275). 12.294. о о 223
Вычислить интегралы с точностью до 10~*з 12.295. С ln(1 + °dL 12.296. | ^~^-dt. о о 0.5 0.6 12.297. e~‘*dt. 12.298. { y7l + xadx. о О 0,8 1 12.299. 12.300. [—^dx. I i -f-Л , «J * 0 ° В задачах 12.301 — 12.305, используя разложения в сте- пенные ряды, составить на фортране подпрограмму-функ- цию для вычисления указанных интегралов с заданной предельной абсолютной погрешностью. Параметры: Xj EPS, где X—верхний предел интегрирования, EPS — предельная абсолютная погрешность. X х 12.301. Si(x)'= V^dL 12.302. erf х = f е~*'dt. J ‘ V я о о о х х. 12.303. С(1-НТ<« (s>°, а^О). 12.304. О о 12.305. j ?п dt. о 12.306. Используя подпрограммы-функции, полученные] при решении зацач 12.301 —12 305, составить на фор- тране программу решения одной из задач 12.295—12 300. 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости. При нахождении суммы числового ряда вычисляют его частичную сумму, для которой величина остатка ряда не превосходит заданной абсолютной погрешности. Используя известные разложения в степен- ные ряды, сумму числового ряда в некоторых случаях можно выра- зить в виде значения функции в определенной точке. Доказать указанные равенства: со 12 407 У ____________!__________ 1 - (а+/г) (а+/г+ 0 а+п со 19 ЧОЯ* У ______________-______________________-_________ («+*) (а+Я-1) («+Л+2)' 2 (а+n) (а-И+1) • 224
00 ’ “(а + *)(а+^+1) («Ч-Л+р) — •••(«+«+₽—1) СО 12.310 *. У (— 1)"+1 ± = In 2. П=1 со i2.3ii -.X(-i)"2vb“T- «= о ‘ Найти суммы рядов, не вычисляя частичных сумм: ОС СО СО >2.312. Е 12.313. Е.(~ О"^.. 12-314. £ 1. П= 1 HsO ' п— j ,2-3'5- Ё ,2-3,e- S<йрг; 00 X 12.317. £ (- 1)"^. 12.318. Е £. и«0 п«=0 При нахождении суммы чистового ряда требуется брать большое число членов, если остаток этого ряда медленно стремится к нулю. Такой рял следует преобразовать в ряд, остаток которого стремится к пулю быстрее. Данное преобразование называется убыстрением сходимости рята. Одним из методов убыстрения сходимости является метод Куммера. Неизвестная сумма А схадящегося ряда оо 4 2п* и k= । вычне (яется по формуле со л=?в+2 <я*— Ai= I со где В—известная сумма ряда 2 Ьь такого, что существует предел Ряд 2 (я^ qbiij (3) А=1 сходится быстрее, чем исходный ряд (1), т. е. остаток ряда (3) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем остаток ряда (1) ® Под ред. А, , Ефимова, Б,П, Демидовича 225
co Пример 3. Найти сумму ряда —L. с точностью до 10“3. k2 Л = 1 <4 Выясним, сколько членов данного ряда нужно взять для дости- жения требуемой точности. Оценивая остаток (см. задачу 12.307), получаем ------ со сь со < ^-D=? л(Л+1)=7Г < °’001, S=nH k=n + l fc=n ' 1 ' откуда с:сдует, что п > 1000, т. е. для достижения указанной точ- ности требуется взять 1001 член исходного ряда. Улучшим сходимость ряда. Положив в формуле (2) afc="F’ 6ft== Л(Л4-1) ’ 9=1’ = *2(ft-f-l)’ находим (см. задачу 12.307 при а = 0 и и=1); со оо со со V-L=y +У ... 1 =,.у__________________________L_ J Гб 1 К — * fl i f{ — 1 Применим формулу (2) для преобразования ряда 7 . положив теперь V(TFW + 2) ’ 1 и — 4bk = ki Тогда, учитывая (4), имеем (см. вадачу 12.308 при а = 0 и п=1): СО со со У 1 -1 иУ д_9 V * = 1 *2 “ JTl *(*+П(*+2Г ^ ^(Л+ЩЛ + а- оо ₽ 1 +2^+2 L ft2(ft+i)(ft + 2)j со Вычисление суммы ряда У л свелось к вычислению суммы ряда fe= I со У________?_____ ^ **(*+!) (Л+2)- Оценивая остаток ОС со у __________1—____< у 1_____________________ *=^4 *а (*+° (ft+2) (к~')k<*+(*+2)~ сс = У____________1_______________1 Х-пй(й+1)(Л+2) (Л-4-3)—3« п+1)0+2)’ 226
получаем < 0,00Ь 2, откуда л® >2000 и 666,7, или л 5s 9, т. e. требуемая точность достигается при л = 9. Следовательно, а 9 S т“'+|+2Е ₽ето+д=1+0’25+2-0-1975-1’645’ = 1 k= 1 со Применив преобразование (2) еще раз к ряду / , , Лт *) Iй+*) можно было бы еще бо ее улучшить сходимость. ► В задачах 12.319—12.323, применяя преобразование Куммера, найти суммы указанных рядов с точностью до 10~‘, взяв для этого не более 10 членов получившегося ряда. Использовать соотношения 00 СО L-^=up) и L(-nn-i-^-=(i-27^-)up)(P>i). Н=1 л«=1 ' ' Значения дзета-функции t,(p) взять из таблицы р С(Р) 2 3 4 5 6 7 8 1,6449340668 1,2020569032 1,0823232337 1,0369277551 1,0173430620 1,0083492774’ 1 ,0040773562 12.319*. оо со е „41- Л=1 ‘ Пав 1 О0 00 12.321*. Е ,.;2 ^.322-. £ ( !)"’ „ (J+3J. со 12.323*. Зл+2’ И = I 12.324. Составить на фортране программу решения одной из задач 12.319—12.323. 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью Рядов. Степенные ряды широко применяются при решении днфферен- Чиа^ьцых уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений
показано, что решение у (х) представимо в виде степенного ряда оо со У (>) (X—хв)к = (х— х0)й, (5) л=о fe=0 коэффициенты которого можно определить с учетом заданного урав- нения различными способами. а) Пусть требуется найти решение уравнения j/" = f (х, у, у'), удовлетворяющее условиям «/(х0) = 4/0, У* (xB)~yj, причем функция /(х, у, у') в точке (х0, ув, уг) имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты у<к) (х0) ряда (5) определяются путем последовательного/ дифференцирования исходного уравнения и под- становки в него х0 и найденных уже значений у' (х0), у" (х0), ... Пример 5. Найти решение уравнения у"~х2у, удовлетворяю- щее условиям 4/(0) = 0, у' (0)=1. Имеем 4/(0)=0, у1 (0) = 1, из заданного уравнения находим z/"(0)=0. Далее, дифференцируя уравнение, имеем у"'=х-у, + 2ху, yi V = хгр" 4X4/' + 2у, pv = X V "-I-бхр"+6/, {/<* t 2’=X2p<*>-|-2ftxf/<«-1> + ft (/4—1) 4/*-2>, и при х=0 получаем отсюда ?/«+2>(0) = fe(fe— 1)р<«-2>(0), k = 2, 3, ... Так как у (0)—у” (0)—у'” (0) = 0 и р'(0) = 1, то (0) = 4/4"+2> (0) = 4/а"+3> (0) = 0 и ^<«п+5) (0) = (4п + 2) (4п + 3) t/*n и > (0) = = 2-3-6-7 ... (4л4-2) (4л+3), л g fJ Следовательно, «/(х) = У 2-3-6-7... (4л-1-2) (4/i4-3) +1 По признаку Даламбера полученный ряд сходится для любых xgR, т. е. определяемая этим рядом /функция у(х) является решением заданного уравнения при любых х. ► Найти решения уравнений, удовлетвор яющие заданным условиям: 12.325. у” = хгу, у (0) = у' (0) — 1. 12.326. у = — х-у — 2ху 4-1, у (0) = у (0) = 0. Найти первые 5 членов разложения решения диффе- ренциального уравнения в степенной ряд; 12.327. у' = 2cosх—ху\ г/(0) = 1. 12.328. / = -2ху, t/(0) = /(0)=l. 12.329. у" = у cos х-j-х, у(0) = 1, у' (0) = 0. 228
б) Если исходное дифференциальное уравнение линейно относи- тельно искомой функции и ее производных, причем коэффициент при старшей производной в точке х:) отличен от нуля, то решение сле- дует искать в виде ряда (5).с неопредетениыми коэффициентами а*, k=0, 1,... Законность такого метода вытекает из утверждения, доказываемого в аналитической теории дифференциальных уравнений, которое мы приведем для уравнения 2-го порядка. Теорема 1. Если в дифференциальном уравнении Рч (*) if+Pi (*) У' + Pi WV=f (*) (6) функции р„ (х), pi (х), р2 (х) и I (х) аналитичны в окрестности точки х0 и ро (х0) # 0, то существует решение уравнения (6), пред- 50 ставимое в виде степенного ряда у(х) = 2 ак (х—х0)Л. * А?=0 Пример 6. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения j/"—х/+«/=1, удовлетворяющее условиям у (O)=tZ (0) = 0. СО Ищем решение в виде ряда у (х) = 2 д*х*, в котором в силу *=о условий у (0)'= / (0) = 0 имеем а1) = а1 = О. Следовательно, у(х} = СО .= 2 OfeX*. Подставив это выражение в уравнение, получаем fc=2 CD СО X 2 л(^—1)оЛх«-г— 2 /данйч- 2 Л=2 Q«2 *=’•' Отсюда находим, что 2-1 -п2=1, т. е. и (/г-j-1) (fe-J-2) ofc+s = (<r—1) а* для Л = I, 2, ... Так как cf=O, то n2m+i=0 для всех т=0, 1.....а для /п=1, 2, .... получ м рекуррентную формулу k =2т. (2m—1)л2т г (га +1,— (2//1 + 1) (2z/i -|- 2) ’ ст=1, 2..... из которой выводим равенства (2m —1)11 + 2)! ’ Следовательно, искомое решение имеет вид У (*)=-у+ X ffissl х2я1 + 2 (2m 4-2)! причем полученный ряд сходится при всех х g R. ► Используя степенные ряды, проинтегрировать сле- дующие дифференциальные уравнения: 12.330. + + !/(0) = /(0)=0. 12.33L у"—ху’ + у = х, i/(0) = i/(0) = 0. 12.332. y’-j-xy' -\-у — х, j/(0) = 0, у' (0)=1. 229
в) Если коэффициент при старшей производной в линейном урав- нении в точке хе обращается в нуль, то следует воспользоваться следующей теоремой. Теорема 2. Если в дифференциальном уравнении Ро (х) t/’+piixjy' + pt(x)y^0 (7) функции рв (х), р! (х) и рг (х) аналитичны в окрестности точки х0, причем точка х0 является нулем порядка s функции рв (х), нулем порядка не ниже s—1 функции рг (х) и нулем порядка не ниже s—2 функции р3 (х), то решение уравнения (7) в окрестности точки х0 существует и представляется в виде обобщенного степенного ряда У W = (* -*о)г 2я* А—о где ай # 0 и г g R. Пример 7. Найти решение (в виде обобщенного степенного ряда) уравнения ху’+у'+ху — О, удовлетворяющее начальным условиям у (0)=1, z/'(0) —0. Коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям теоремы 2, поэтому ищем решение в виде обобщенного степенного ряда У (х) = х' 2 2 “/‘х*+г> а» * °- fe=0 А = 0 Имеем «/=2 (*+г)«а*а Л=0 «г= 2 (*+') (*-| Л = 0 Подставляя эти ряды в уравнение, получаем А=0 *=0 + 2 ^й+г+,=°. fe=0 т. с. /•4x'-1+(r+l)saix^+ 2 ((fe+ОЧЧ а*_^х*+^»=0. k=2 Отсюда следуют равенства г2йо=0, (/•4-1)яо1 = 0, (£ + г)2я*+«л-2 = 0. По условию Од 0. Следовательно, г—О, а тогда 01 = 0 и А2а,=— Oft-s, k = 3, 4, ... Из этих равенств заключаем, что aICT+1=0 для ьсех т=0, 1, ... Учитывая начальное условие р(0) = 1, заключаем, что<з0=1, и имеем 230
рекуррентную формулу . _ ^2ГП — 9 2т ~~ (2<п)2 ’ из которой получаем агт = (—1)“ ((2т)!!)2=(—В” 2ara (т!)2 • Следовательно, искомое решение запишется в виде оо ул *«*► Найти общее решение дифференциального уравнения в виде обобщенного степенного ряда: 12.333*. х/ + 2/ + х1/ = 0. 12.334. 4х/ + 2у' у = 0. 5 Уравнение и функции Бесселя. Частным случаем уравне- ния (6), коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 2, является уравнение Бесселя х V -ф ху' + (х2—v2) у =? 0. (8) Его решениями являются цилиндрические функции Бесселя первого рода порядка v f х V» “ _ Io-) M-aSV£1-1)« t \ > (v. (9I /< = 0 и для нецелых v (.0) — 0 Если же v—целое число, v=n, то вторым частным решением урав- пения Бесселя (8) является функция Неймана (или Вебере), опреде- ляемая нз соотношения ., . . .. /v(x)cosvrt—/у(х) V -» п БШ VJI являющаяся цилиндрической функцией второго рода порядка п. Постоянная h|>v> в формулах (9) и (10) берется обычно следующая: 2'Г(у4-1) 4 СС где T(v)= e_Jfxv 1 dx—гамма-функция Эйлера, о (Н) 231
12.335. Используя представление (9) для lv(x), дока- зать следующие соотношения: ^(xVv(x)) = xv/v_1(x), d / А (х) \ _ /v+l (*) dx\ х* )~ xv (12) (13) 12.336. Исходя из соотношений (12) и (13), вывести соотношения (х) + Д+i (х) = у Д(х). Д-1 (•*) Д+1 (x) = 2/v (X). 12.337* . Используя представление (9) и значение oj'’ из (11), выразить /-i/«(x) и Лдг (х) через элементарные функции. 12.338. Доказать, что если Д. (х)—решение уравнения (8), то Д,(ах) является решением уравнения лУ' + х/-|-(а2№—v2) у=0. (14) Записать общее решение уравнения (14). Используя результат задачи 12.338, найти общие ре- шения уравнений: 12.339. x//*-f-z/' + 4xy=0. 12.340 9хгу" + 9лт/' + (36х2— 1) у = 0. 12.341. ^у"-\-ху' + (3хг—4) i/ = 0. 12.342. x2y" + x/ + (9x2-^)t/ = 0. § 5. Ряды Лорана 1 Ряды Лорана. Теорема Лорана. Рядом Лорана называется ряд 2 сп(г~ге)"; (1) Л — — 00 при этом ряд 1 /1(г) = 2 го)" , ns — со называется главной частью ряда Лорана, а ряд /г (г)= 2 сп(г—гс)” л=0 232
— правильной частью. Если lim р/|с_„|= г < 7? = i z-7=f • и -> сс lim |/ | сп | 71 - > ОО г то областью сходимости ряда (1) является кольцо K = {z|0<r< < | г—z0|< /?}. В этом кольце Л сумма ряда (г) = Л (г)+/а (г) является функцией аналитической, причем коэффициенты ряда сп связаны с функцией f (z) посредством формул '"-я S ...... й |Ц-г„| = Г' где г < г < R Пример 1 Найти область сходимости и сумму ряда Лорана V п , у л(г—I)”"1 2" (г—1)" + 1 3“ Л=1 П= I Применяя признак Коши к каждому из этих слагаемых, имеем п / п 1 Am<. V 2"|г—1|"+‘ = 2|г-1| < 1 Я _________ г тЛп | г—1 |п“г | г—11 . Лп-У---------з*----=~з~ <L Отсюда заключаем, что областью сходимости исходного ряда является кольцо К = {г| 1/2 <J 2—1 | < 3}. Замечая, что слагаемые являются производными от рядов СО ОО у -1 „ У X- >" (г— 1У» 1 3“ ’ /1=0 л=0 можем записать, что в кольце Л Таким образом, суммой данного ряда является функция Ч 9 1 ,(г)=(4—г)а (2г—3)» ’ у < I г~1 । < 3. ► 233
Лорана. Если функция f (z) аналитична в кольце < R, то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана Теорема /(z) = 2 cn(2~2о)"’ коэффициенты которого вычисляются по формулам (2) Следствие Пусть / (г) анали- тична в мпогосвязпой области D, огра- ниченной контуром Г и внутренними контурами уГ, у7, .... у,п (рис. 99). Если точка гв лежит внутри (или на границе) одного из внутренних кон туров у и величина r = max | z0—ij | меньше расстояния R от z0 до остальной части границы области D или до точки, в которой f (г) не аналитична, т. е. Os£r= max |z0—»] | < R= min lzo — ,ll> чеуу fleruv.u.. и v_jUvv+1U. . Uvm то в кольце г < | z—z0 | < R функция f (г) может быть представлена ее рядом Лорана /(г)= 2 п(г0)(г—z0)", r<\z—z0\<R, п= - ® коэффициенты которого сп (г0) определяются по формулам (2). Рядом Лорана для функции f (г) в окрестности точки г = оо называется ряд (3) /(г)= 2 с"г" |,ли 2 с«(г—а)" п= —» \ п= — а> сходящийся и некотором кольце г<|г|<-}-оо (соответственно г< |г—и f < -J-оо). при этом главной частью ряда Лорана является СО ' ' “ х " ряд 2с<^1 п— 1 • О сп \ О 2 сп(г—а)" ), а правильной—ряд 2 cnz" /1=1 / п= - со Пример 2 Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию Так как аналитичность функции нарушается в точках г = 0 и г— 1, то областью сходимости ряда Лорана будет кольцо 0 < | г | < 1. Замечая, что при п —2 функция | г —— аналитична в круге | г | р < 1, можем записать, что 1 С C"~2ni J I г 1=Р 234
Далее, применяя формулу Коши для функции <р (г) — у—г и *е про- изводных, для п^— 1 можем записать I С <р(г) Ф" + 1(о) 1 (п+1)! 1 . С”“2ЙГ .) z^"2 («4-1)1 («4-1)!(1 — г)"+2|г=о - | z I =Р Таким образом, для 0 < | г | < 1 >4> л=0 т. е главная часть содержит один член, а правильная—бесконечное число членов ► Вычисление контурных интегралов (2), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются искусственные приемы. Так, в примере 2 функцию f (г) можно было бы представить в виде суммы дробей, т. с. .. . 1 1,1 2(1—г) z 1—г’ причем первое слагаемое является уже разложением в ряд Лорана по степеням г, а второе слагаемое есть сумма геометрической про- грессии со знаменателем г, т. е. имеем разложение (4). Найти области сходимости и суммы следующих рядов со 12-343. V—kp-,. 12.344 О г-п+3 12.345. У -я~. 12.346. ляО Ля: — ОР Найти области сходимости рядов: V / (г + 0ап 12.347. 2-\ 2" (л 4-1) 3n(z-H)'J' Ляг 1 V ( г-21" I п2п \ 12.348. \3« (л8+1) * (z—20п/ * п= I >2.340. Ё ^. >2.350. Ё ^)". Л=г 1 Л — 1 .2.35..i(i)"+t(i)“. Я=1 ' ‘ П=1 Найти все разложения указанных функций в ряды Лорана по степеням г—z0 и установить области сходи- мости полученных разложений: 235
12-352-Ц^Т)’ 2 =L 12-353*- z« = °°- . *2-354- (г—2) (г+3) ’ z4~2‘ 12-355- (г_2) (г + 3) • zo~ —3- 12.356. z0=oo. 12.357. , 2o= 1. г0 = 2. 12.359*. г0 = оо. 12.360. —^, z0 = —1. 12.361. ^^5, z0=oo. 12.362. ^, z0 = i. 12.363.^, z0=oo. 12-364*‘ z» = Z- 12’365*- (?TF z°=o° 12.366. zo = O. 12.367. z0=oo. 12.368. sinj^ • 2o = 2- 12.369. z2e“, zo = O. 12.370. z2ez , z0 = oo. 12.371. cos^—z0 = 2. 12.372. z°=L 12-373- z2-Z-z—8* Zo = L ^•374.^<+1), z„ = 0. 12-375.(г-5_4‘г2_1),го==0. 12.376. Найти три первых члена разложения функции f (г) = sin-j-~ в ряд Лорана в окрестности точки z0=oo. Какова область сходимости этого ряда? 2. Характер изолированных особых точек. Точка г0 называется правильной точкой для аналитической в области D функции f (г), если ОО существует степенной ряд 2 с„ г9) (г—г0)° с радиусом сходимости! и=0 г (г,) > 0, такой, что в общей части круга схо имости | г—г01 < г (гп) и области D сумма этого ряда cfZl, (г) совпадает с /(г). Точки, не являющиеся нрави. иными, называются особыми. Точка г0 называется изолированной особой точкой функции / (г), если f (г)—однозначная аналитическая функция В кольце 0< |г—гс|<R, а г0 — особая точка. Аналогично точка г0= оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если f (г)—однозначная аналитическая функция в коль- це г < |г| <оо и г= со—особая точка. Изолированная особая точка г0 функции f (г) называется: устранимой особой точкой, если существует конечный предел lim f (г) = а + оо; г-г. 236
полюсом порядка 1, если для функции g (г)=——точка г0 яв- ляется нулем порядка, т, т. е. g (г) имеет вид #(г) = (г—z0)m<p(z), <р (Zo) 0 (очевидно, что если г0—полюс, то lim /(г) = ос); г->г0 существенно особой, если lim / (г) не существует. г->*„ Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удоб- 1 нее проводить путем замены г = —, с помощью которой бесконечно удаленная точка г=со переходит в точку т) = 0. Пример 3. Найти все особые точки функции /(г) = ~Г— 11 определнть их характер. 4 Особыми точками являются точка г —0 и точки, менатсль обращается в нуль. в которых зна- Имеем ег 4-1=0 или ег =—1=еглт»+я(, т. е. ег 4-1=0,если — = (2т4-1)л/, mgZ, причем эти точки являются пулями l-ro по, 1 рядка. Следовательно, в точках гт = ттг——гт—:, mf Z, функция /(г) I) JU имеет полюсы 1-го порядка. Точка г=0 не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов, ибо lim zm—0. 12.377 *. Доказать, что отсутствие в разложении (1) главной части, т. е. равенство пулю всех коэффициентов сп с отрицательными номерами (п =—1,—2, ...), явля- ется необходимым и достаточным условием того, что точ- ка z0 является ycipaniiMofi особой точкой функции /(z). 12.378 *. Доказать, что наличие в главной части раз- ложения (1) не более т~^\ членов, причем с_га=/=0, а с_п = 0 для л^ш-f-l, есть необходимое и достаточное условие того, что точка гв является полюсом порядка т для функции /(z). 12,379 *. Доказать, что если гв—существенно особая точка функции f(z), то существует последовательность точек (z„), liez„^=z0, такая, что lim f (г„) = оо. 12.31Ц )*. Опираясь на результат задачи 12.379, дока- зать, чго если z0—сущес1веино особая точка функции /(г), то для любого комплексного числа Л у=оо сущест- вует последовательность точек (z„ (Л)), lim z„ (Л) = ze, та- кая, что lim / (г„(Л)) = Л. 12.381 . Установить области сходимости правильной и главной частей разложения Лорана (3) в окрестности бесконечно удаленной точки. 237
Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер: 12.382 . 12.383. ,(,/$-»• ,2'384' ТЕ7- 12.385. р+|)(1_2^(г+1у 12.386. ^stn г_|}. Л 12.387. j, D.^--12-388-^- *2-389- 12.390. tg2z. 12.391. I2-392- cos^q-^.. 12.393. tg-Ц. 12.394. tg(zrl>. 12.395. -—г-. ° г— 1 г — 1 < 12.396. 12.397. -J-_. г3 ег—о Для заданных ниже функций выяснить характер бес- конечно удаленной особой точки (уаранимую особую точ- ку считать правильной): 12.398. 12.399. . 12.400.^. 12.401. 1—Z + 2Z1 12.402. е~г. 12.403. cosz. I J_ i 12.404. e* +2z2—5. 12.405. ег'. 12.406. а3-2'. 12.407. e-”4-3z3—z + 8. § 6. Вычеты и их применение 1. Вычет функции и его вычисление. Ес и функция /(г) анали- тична в некоторой окрестное?! точки гв, за исключением может быть самой точки ге, то вычетом функции /’(г) относительно точки г0, обо- значаемым res [f (г) z0) или выч [/ (г г0], называется число, равное значению интеграла ? тде С—некоторый простой замк- С путый контур, лежащий в области аналитичности /(г) и содержащий внутри себя только одну особую точку г0. Б качестве С удобно брать окружность г0| = р доста чпо малого радиуса р Вычет фу !кцни совпадает с коэффициентом с_! разложения f (г) в ряд Лорана по степеням г—г , т. е. выч [/(г); z0]=c_1 = -^U- j f (rfl df}. • ' |П-г01=Р Если г0=оо— изолированная особая точка функции /(г), то выч [/(г); 5 CR 233
где Cr = {t) I И — /?}, R достаточно велико и обход контура—по ча- совой стрелке. Заметим, что если /(2)= 2 Сп2П' ' < lzl < + “> '--й S *'........................ Itll=p>c выч[/(г) со] = —с_1. Если г0—юлюс 1-го порядка функции f (z), то выч [/ (г); гп]= lim (г—г0)/(г), причем, если / (г) представима в виде /(г) = • где Ф<2в)^°> Ч’(г0) = 0, ф' (г0) / 0, то . d Если z0—полюс порядка nt ^2 функции / (г) то выч I/ (z); zo)= Д". ------------------------ Пример 1 Найти выч J г/—-g ; 3i j . <4 Так как точка z0 = 3i является полюсом Г _Л ... «<г dzm~l JLmM(’-30 (г + ЗОСг-'З^ Пример 2 Найти выч ьыч 1-го порядка, то е1- 3‘ “6? бе3* ВЫЧ cos 2г , | Г — 1 является полюсом 3-го порядка, поэтому IV cos2z _ ' (2-I)3 =-L]im(— 2acos2z)=—2 cos 2. > 2 2-U 1 dz2 1 2; 2 . Пример 3 Найти выч , . Точка ги = 2 является существенно особой, поэтому для нахож- дения вычета найдем коэффициент c_i разложения ег“ в ряд Лора на по степеням г—2) Так как 3.1 =,+^2+2! то Г_« = 3. Следовательно, 2 3 выч I e2* 2 ; 2 239
Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер: <2.382. 12.383. ,2M4'S- 12.383. (2+|)(г2я^+о:- I2-386- 2<SM(!_1)- л 2 — — ,2-зет- iT+D-ie-O' |2-388' S' *2-389- 12.390. tg2z. 12.391. ^3?' 12-392- cosI+2?- 12.393. 12.394. . 12.395. ‘~^s-. 12.396. 12.397. Для заданных ниже функций выяснить характер бес- конечно удаленной особой точки (устранимую особую точ- ку считать правильной): ,2-3M sS- |2-398- $7^4 l2-4««-rS- 12.401. 1—z + 2z*. 12.402. е~г. 12.403. cos г. । 2 __1 12.404. е7 +2га—5. 12.405. ег*. 12.406. е3~27. 12.407. e-^-f-Зг’—г -8. § 6. Вычеты и их применение 1. Вычет функции и его вычисление. Если функция f (г) анали- тична d некоторой окрестности точки г0, за исключением может быть самой точки г0, то вычетом функции f (г) относительно точки г0> обо- значаемым res [/ (г); г0] или выч [f (z); z0], называется число, равное значению интеграла ) (ц) dr], где С—некоторый простой замк- С путый коигур, лежащий в области аналитичности / (г) и содержащий внутри себя только одну особую точку г0. В качестве С удобно брать окружность |т] — гс|=р достаточно малого радиуса р. Вычет функции совпадает с коэффициентом c_j разложения / (?) в ряд Лорана но степеням г—ги, т. е. выч[/(г); z0]=c_i = -j^- Л (п) ЙП- • ' |П-?о|=Р Если г0= оо—изолированная особая точка функции f (z), то выч [/(г), »] = 2Н7 М’1)<4 СЯ 238
где Cfl = {4 1141 = /?}> R достаточно велико и обход контура — по ча- совой стрелке. Заметим, что если -I- СЛ /(г)= 2 CnZ". г < |г| < 4-со, Л= — СР г = JL С 2+llL dr), п = о, ±1, .... ч2л« J 4ПТ1 |Т)| = Р>' выч [/(г); «>] = —с_1. Если г0—полюс 1-го порядка функции / (г), то выч [/ (г), г0]= lim (г—г0)/ (г), причем, если / (г) представима в виде /(z) = ^j, где <р (г0) # О, 4Uo) = O. 4>'(г<1) °. то . (С 12» I Если гс—полюс порядка т^2 функции f (г), то выч (/(г); zd = (^7iji lim dm -1 ((z—z0)m f (г)) dzm~t Пример I. Найти выч | > 3‘ Так как точка z0 = 3i является полюсом 1-го порядка то р eiz „1 , , е1г е‘ 3‘_____ выч J z»+9 ; 3J г1^(г“3‘ (?+31) (г-3‘)~ 6i — 6с3 Пример 2. Ниити выч I (z"fj3 ’ Ч ' Точка г0=1 является полюсом 3-го порядка, поэтому Г cos 2г ,1 I , cP /, cos 2г \ ВЬ1Ч[(^1р; ° (z-D\ — ’ Пт (—2s cos 2z) =—2 cos 2. 2 z-»l Пример 3. Найти выч 1 e2-2 ; 2 J. •4 Точка гп = 2 является существенно особой, поэтому для нахож- дения вычета найдем коэффициент c_j разложения ег в ряд Лора- на по степеням (г—2). Так как /5-1+^5+я(^2)’+— °<1г-21< + ”' то r_i = 3. Следовательно, выч [е2- 2 ; 2] =3. 239
Найти вычеты указанных ниже функций относительно каждого из ее полюсов, отличных от^оо: 12.408. 12.409. . 12.410. 12.411. г3(г2+4)а • 12.412. г t]*_c2^ • 12.413.----Ц-. 12.414. --. sinz—(г—-} (г—1) ,2-4,5-(Н?- ,2-4|6-?^й- ,2-4П- ^г- 12.418. clg’z. 12.419.^. 12.420. . 12 421 1 12 422 —- 12 423 ----- . г(1—гг) ‘ г2—г5‘ 1 ’ (г—2)"' Найти вычеты функций относительно точки го = О: — I 1 12.424. ег . 12.425. cos-. 12.426. sin — . г z Найти вычеты функций относительно точки г0— ooi 12.427. sin 1. J2.428. |г_,),1(г=+ъ-. 12.429*.-^. 12.430. ^4. 12.431. г cos2-. 12.432. — sin 1. г”—1 г г —I г 2 Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контур- ных интегралов. Первая теорема о вычетах Если функция f(z) анали- тична в области D, еа исключением изолированных особых точек Zf, гг, ..., zjv, лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого контура CcD, охватывающего точки zi, гг, ..., г.у, С N J f (»)) d'l =2ni, 2 пьгг [/ (г);- гЛ]. с+ *=1 Вторая теорема о вычетах. Если f (г) аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых то- чек 21, г2, ...» и z^~<x>s то N 2 ВЬ1Ч [/ (г) г/г1 = 0. Ai=l С ег Пример 4. Вычислить интеграл \ dz, где С = • с+ = {г!|г|= 3}. 4 Так как внутри контура С находятся две особые точки подын- тегральной функции — полюсы I-го порядка ?ii2=±2i, то, применяя 240
первую теорему о вычетах, можем записать Вычислить интеграл Пример 5. 4 Подынтегральная функция имеет десять особых то- (2fe+ 1) nt - е 10 t k — 0, 1, .... 9, являющихся простыми полюсами, лежащими на единичной окружности. Так как разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид то —<_,«= выч j г10 + j : со I =0. Поэтому, применяя вторую теорему о вычетах, можем записать, что (2Л+ Таким образом. э / — 2л t выч i«=0 I гю+( IU е Используя теоремы о. вычетах, вычислить следующие интегралы: 12.433. где с = {211г—4='}• где С = {г ||г—2| = 2]. 12.435. j ГДе СН2Нг1=1Ь с+ Нод ред. А. В. Ефимова, Б, П. Демидовича 241
12.436* . f где C={z||z>4}. J z I J C* 12.437. I ’ где С={а1М=П. «-на- c+ туральное число и 0 С | а | < 1 < | b |. 12.438* . । (г_,о^(г-7г ’ где С={г1И = 1Ь «-на- с+ туральное число и 0^|о| < |fc| < 1 12.439. j sin j dz, где C= {z | |z| — r > 0}. с ► 12.440. j (г_1Д>!-ц» где C={z||z =Л< 1}. c+ 12.441. £ildz, где C={z||z| = 4}. c + 12.442. У ^sin-^ydz, |2|= л ' 2. 12.443. zne~ dz, «GN- |zl = R 12 444. f 12-445. f .„.z-ft--. ’ J z2(z—i) J sin3 г cos z |z-<|=2 1*1=5 ,2-«6' f 7^+\- |2-il=l p / 1 i \ , 12 447. \ (sin-^-+e* coszldz. I г 1=1 12.448. j ztgnzdz. 12.449. j • |z|=I |z|=l 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. 2Я а) Интегралы вида /?(sinx, cos х) dx, где R—символ рациональ- 0 « иой функции, с помощью замены г—е!х приводятся к контурным интегралам от рациональных относительно г функций. Пример С. Вычислить интеграл Пуассона 2л о
Производя замену z=e'x, dz — ieix dx = iz dx, cosx , 1 г+Т Z2+1 == , получаем e _________dz___________ • C _________‘,г______ /(P)= J . / гг+1 2\~ ' J — рг2Н-Ргг+г— p l4=i -----l-P2J |г|=1 f dz 1*1=1 P(z-P)(z-j Так как при любом р, |pl^ I. внутри круга (г| < 1 находится только один корень знаменателя подынтегральной функции, то при | р | < 1 имеем: ,, ч 2nP /(/>) —----выч Р 2л 1—р2 * _____1_____ (г-р)(г—1) а если | р| > 1> то Таким образом, при |р|< 1, при |р I > I ► (2л Р2-! + CD б) Интегралы вида ^f(x)dx, где f (*) — функция, непрерывная — оо па (—оо, -|-оо), аналитическая в верхней полуплоскости, за исклю- чением конечного числа особых точек zi, г», ..., г/у, лежащих в ко- нечной части верхней полуплоскости, и удовлсгворяющая для доста- точно больших | г | условию м м>о, б>0. В этом случае . + <ю N f f(x)dx=2ni 2вычИ(г): г*Ь Д *=1 4-со п гт Р dx Пример 7. Вычи лить интеграл \ Л21 сл? 243
В верхней полуплоскости функция f (г) = ' g jo имеет одни по- jM люс 2-го порядка в точке г0 = 3», и | / (z) I «£ т-для достаточно I * I больших |z|. Поэтому + СС j (*2+9)»=2я‘ ВЫЧ [(z2 + 9)2 : 3‘] = — со _ . d f, 1 \ I „ . d 7 1 \ I '"2я<Л ((г~3° (z2+9)2 J L = 3i~2jltS Gz+ЗО2) |г=з.“ 4ni I 4л» л _~(г+302|2=з._"~(602-54' Замечание. Формула (1) справедлива н в том случае, когда функция {(г) имеет вид /(г)=е,аг /’ (г), где а > 0, а функция F (г) аналитична па действительной оси, в верхней полуплоскости имеет лишь конечное число особых точек г/, ..... и limf(z) = 0. г >« Пример on С х sin х ' 8. Вычислить интеграл j ах. — w Подынтегральная функция является мнимой частью функции xeix ——=—гтл* значения которой совпадают со значениями на деист- х2 — 2х+ 10 внтелыюй оси функции f (г) =?г_____22 +10**** Функция F (г) = z * , = -5—22_р_ (о имсст в верхнем полуплоскости полюс 1-го порядка в точке г0 = 1-|-Зт и limF(z) = 01 т. е. выполнены сформулирован- ные в замечании условия, а потому можем записать: j ^^TTodx =2ntBm [?-Х+Т0: '+31]- • •»<ю (,+30е<»^^л 7 2(14-37—1) 3 ( Н ° - = -^-e_?(cos 1—3 sin 1 + i (3 cos 1+sin 1)). d Таким образом, + 00 + co C xsinx . , f x£‘x . ле-3 j xa_2x+I0dx-'lnl J x2—2x+10d*“" 3 (3cos * + sln *)• — co —oo Заметим, что одновременно мы вычислили интеграл + 00 +5 (* xcosx (* хе‘х , л«-3, , _ . _ \ --п--\ -ч--------------п—Г-Гп^Х — —Z—(cos 1 — 3 sin I). J х2—2x4-10 J Xs—2х+10 3 ' ' — сю — со Используя один из рассмотренных выше методов, вы- числить определенные интегралы. 244
2Л 12.450. С ,dx а>1. J a + cos х ’ о 2л г* fl v ,2 i5‘- j|a + i.COS>P • « >»><>• о 2л . _ (* cos®3x , . , 12.452. jT-2acoSx4-^dx> °>L -о 2 л .-п С cosxdx „ , , , 12.453. \ —g—----------— , 0 < а < 1. j I — 2astnx-t-a~ * 2л 12.454. С a>b>0. J a+frcosx’ о л 12.455. Jjctgfx—a)dx, Ima>0. о + CD + CD ,2-4s6- S 7TTd*- ,2-457- J 73ТГГ’ — CD —CD 12.458. j (ж«4-аг)(х»+&2)-« G>°. b>°- о 12.459. j o>0. I) + CD + CD *2.460. V . > , *rf* . 12.461. ( 444^- J (x*-|-4x-|-i3)2 J xe+1 — 00 —CD + ® 12.462. C . fl>°. fc>°- J (a+^x2)4 ’ 9 — CD 4- CO +00 <n С xsinx , iQ лсл C xcosx , 12.463. \ .—r-on-dx. 12.464. \ --r-;dx. J x2-f-4x-|-20 J x“+«4-l ’ — co —oo + CD 12.465. C \ST-^- dx, a > 0, b > 0. j x84~£a 12.466. C (y-Ь l)sln 2x . J x=-j-2%+2 — CD 24o
+ сю 19 С (x3 + 5x)sinx , 12467 • J TTW — сю 12.468. -!—il^y-sinxdx. J x4+13x- 36 — 00 l2 W9- 12 47°- f 7 ТД-4 Jx о 0 4 Принцип аргумента. Пусть функция f(г) в области D, огра- ниченной простым замкнутым контуром С, имеет конечное число N нулей и конечное число Р полюсов, где каждый пуль и каждый полюс считаются столько раз, какова их кратность, причем на контуре С ие имеет ни пулей, пн полюсов. Тогда разностьti>=N—Р равна числу оборотов радиус-вектора' w = /(z) при обходе точкой г контура С. Если I (г) — аналитическая в D функция, то Р~0 и w = M Пример 9. Найти число нулей многочлена р(г) —г3—Зг-f-l, лежащих в правой полуплоскости. Рассмотрим контур С, состоящий из полуо’кружиости Ср радиуса R, лежащей в правой полуплоскости, и отрезка мнимой оси [— iR, iR], и для достаточно большого R применим к этому контуру принцип аргумента. Так как Р(г) = * • (2) то очевидно, что при обходе точкой г контура Ср против часовой стрелки arg г получает приращение л, а потому arg (г3) получит при- ращение Зл (Со отображается вкривуюо)=/?3е , —Зл/2<ф«£Зл/2) Так как второй сомножитель в (2) для достаточно больших R близок к 1, то и приращение аргумента этого множителя мало. Пусть теперь г—it, т. е. точка г движется но мнимой оси от точки iR до точки — iR. Тогда p(it)=« + fo=l—t(P + 30, т. е. и=1, о = — t3—3/. Это означает, что при изменении t от R до—R при R—>-|-оо arg р (it) изменяется на я (or—л/2 до л/2). Таким образом, общее приращение argp(z) при обходе контура равно 4л, а это означает, что N = 2, т. е. в правой полуплоскости многочлен p(z) = z3 — 3z-|-l имеет два нуля. ► Для данных многочленов найти количество корней, лежащих в 'правой полуплоскости! 12.471 *. p(z) = zl + 2z3 + 3z2 + z + 2. 12.472 . p(z) = 2z4 —3г3 + 3г* —Z4-1. 12.473 . p(z) = z44-z3 + 4z24-2z-|-3. 12.474 *. Доказать, что если функции f (z) и <р (г) ана- литичны в замкнутой области D — D-\ r и для точек т}С Г справедливо неравенство |ф(т])| < |/(т])|, то число 246
нулей функции F (г) = f (z) + q> (г), лежащих в области D, совпадает с числом нулей функции / (г) (теорема Руше). 12.475 *. Доказать основную теорему высшей алгебры: многочлен рп (z) — aozn-i-aIzn~1 . -|-а„ степени и имеет в плоскости (z) точно п нулей. Опираясь на теорему Руше (задача 12 474), начти число нулей данных функций в указанных областях: 12.476 *. F (z) = гБ + 2г28г +1: а) в круге |г|< 1; б) в кольце 1 | г | < 2. 12.477. F(z)=zs—5г 4-1: а) в круге | г | < 1; б) в кольце 1 | г | < 2; в) в кольце 2 | г | < 3. § 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 1 Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Три- гонометрическая система функций 1, posx, sinx, cos2x, sin2x...cosnx, sln/ix, ... является ортогональной на отрезке [—л, л] (как, впрочем, и на всяком отрезке длины 2л), т. е. интеграл по этому отрезку от про- изведения любых двух различных функций этой системы равен нулю. /Л V Если f (х) g L (— л, л) ( т. е. | f (х) \dx < -f- оо j , то сущест- \ -л ' вугот числа л я ’ у f (х) cos Ах dx, Ь^ — — У f(x)slnkxdx, А = 0, I,.. , -л -л называемые коэффициентами Фурье функции f (х); ряд СО S(x)=-y-P^2 (flfcCOS Aix+dfcSin/tt) (1) fc=i называется рядом Фурье функции f (х). Члены ряда (1) можно запи- сать в виде гармоник a*cos kx+bh sin Лх=Л* cos (kx—<p*) с амплитудой Ak Ko3 + bl , частотой (ok — k и фазой <pft = arctg — . Для функции /(x), такой» что г(х)£Ь(—л, я), справедливо равенство Парсеваля 247
Если же f (х) g L ваются в виде 1/2 I 2 2лАх , „ —j—dx, pft = ak=zT J -1/2 а ряд Фурье—в виде 2лАх . а 1 а/, cos—--f-PftSin , то коэффициенты Фурье записы- 1/2 С . 2лАх \ f (х) sin -1/2 j- dx, (2) 2nkx ~т~ Д. \ «« s (x) = -g- Последпий ряд--называется рядом Здесь 1 dx, . алЛх 1 • (3) Фурье в комплексной форме. А=0, ± 1, 1'2 1 С " ск -[ \ И*)е -1/2 и для А 5= О «й—<Рл ск —----------------------- с- к f (xj называется кусочно гладкой на отрезке [a, fc], если 1 f (х) и ее производная f (х) имеют на [a, А] конечное aii + ftk 2-----» v- к — 2 k' Суммы рядов (1) н (3) имеют соответственно периоды 2л и I. Функция f (х) называется кусочно гладкой на отрезке [a, fc], если сама функция / (х) и ее производная f' (х) имеют на [а, Ь] конечное, число точек разрыва 1-го рада. Теорема Если периодическая функция f (х) с периодом I ку- сочно гладка на отрезке [—1/2, 1/2], то ряд Фурье (3) сходится к значению f (х) в каждой ее точке непрерывности и к значению у (/(x-|-0)-f7(x—0)) в точках разрыва, т. е. 2Л*Х 4(/(*1-0)+Нх-0))= X с*е 1 0) Л=^«о Если, дополнительно, f (х) непрерывна на всей оси, то ряд (4) схо- дится к f(x) равномерно. Пример I. Разложить в ряд Фурье функцию / (х) =- sign х, — л < х л,^ и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница <0 у (~1)п 2п-рг / а=о * 4g Так как функция нечетная, то (см. задачу 12.479) = О, А •, 1, ..., л 2 С . . 2 / cos пх |-ч \ Ь>,=.— \ sign хsin пхdx =—--------= * л J л\ п|о/ о 2 i —тт при п= 2т—1, = —(I—cos /in) = у л (2т—1) m С М- пп \ 0 при п 2т, 248
Спедователыю, при —л < х < л 4 V1 sin (2m—1)х signx==— 7 , --£----г-i—, s л 2m—1 m= 1 откуда при x — л/2 получаем = 4_ у (-1)«+1 л 2m—I ' т= I т. е. У (-1)”1 . _ л 2т-|-1 4 • т — П 1 12.478. Доказать, что если /(х) имеет период I, то при любом a£R а + 2 I 1/2 $ f (х) dx = § f (х) dx = J f (х) dx. а 0 -1/2 12.479. Записать выражения коэффициентов Фурье (2) для четной и нечетной функций па [—1/2, 1/2]. Разложить периодическую с периодом I функцию в ряд Фурье, построить графики его первых частичных сумм So (х), \ (х), Sa (х) и 5Э (х) и найти значение 5 (х„) суммы полученного ряда в заданной точке х0: {1 при 0 < х < л, а .г,1 — 2п,хв — л. О при — л < х < О, 12.481. /(x) = -^y^-при 0 < х < 2л, / = 2л, х0 = у. 12.482. f(x) = |x| при х£(—1, 1), 1—2, х0 = 1. Разложить в ряд Фурье следующие функции .периода I: 12.483. f(x) = |cosx], —л<х<л; 1 — 2п. 12.484. /(х) = х2, —л < х < л; / = 2л. ( — 1, —т<х^0, 12.485. f(x)={ 0<х<т; / = 2т. 12.486. f(x) = |sinx|, —л^х^л; / = 2л. 12.487. f(x) = 2x, 0<х<1; /=1. 12.488. Дх) —10—х, 5<х<15; /=-10. 12.489. f(x) = sin«x, —л < х < л, / = 2л. 12.490. f (х) = cos ах, —л < х < л, / = 2л. 12.491. f(x) = shnx, -л<х<л, / = 2л. 12.492. /(x)==chflx, —л<х<л, /==2л. 249
Доопределяя необходимым образом заданную в про- межутке (0, а) функцию до периодической, получить для нее: а) ряд Фурье по косинусам, б) ряд Фурье по синусам. . 12.493. /(х) ех, х£(0, 1п2). ( 1, 0 < х^л,'2, 42.494. Цх) = (0 „/2<х<„. IX, 0<хС1, • 12.495. /(х), \2_х 1<х<2. 12.496. f(x) = xsinx, х£(0, л). * 12.497. f(x)-x\ х£(0, 1) . 12.498. /(х)ь=хН х£(0, л). 12.499. f(x) у—х, %С(0, л). 12.500. f(x)-x, х£(0,/). 12.501. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12.482, найти суммы следующих рядов: а) 2- (2П-Ы)1 ’ 2-4 (4Л-Ь I)2 (4* 3)2‘ п=0 Л=0 12.502. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12 497, найти сумму ряда 2 (— 12.503. Используя равенство Парсеваля для функции задачи 12.481, найти с му ряда 2 -дг • п -1 12.504* . Зная выражение ядра Дирихле sln-^y--х W = у +L cos kx =--------~ ’ Л=1 2sin 2 найти выражение ядра Фейера Д'„(х): п П rn(x)=^L (!-^i)cos/^ 1 Л=0 *=l 4 12.505. Используя равенство Парсеваля для функции ей • задачи 12.484, найти сумму ряда X, уг . л= 1 12.506. Зная выражение для ядра Дирихле (см. зада- чу 12.504), получить интегральное представление для част- 250
ных сумм п S„ (f, X) = ~ 4- X, {ak cos kx 4- bk sin kx) k i яда Фурье функции f(x) периода 2л. 12.507. Зная выражение для ядра Фейера (см. задачу 12 504), получить интегральное представление сумм Фейера п <*« (Л х) = ~ X sk (f> х) k-0 функции f(x) периода 2л. 12.508**. Используя полученное в задаче 12 507 выра- жение для сумм Фейера on(f, х), показать, что для непре- рывной на оси функции f (х) в каждой точке хб[— л, л] справедливо соотношение lim о„(/, x) = f(x). п -* СО 2. Двойные ряды Фурье. Если функция f(х, у) имеет период I по переменной х, период h по переменной у, непрерывна и имеет df df d2f непрерывные частные производные и в прям уголыш ке К = {(х, у) |—I 2 < х < 1/2, —h2<y< h/2), то /(х, у) предста- вима двойным рядом Фурье X'1 , / 2лтх 2япу , I (х> у) ~ / J ^т, п ат, пcos j cos |- m, n = 0 4 , 2лтх 2nny , 2nmx , 2nny , 4- bm> n Sin 2 COS —jp-4-Си n cos j sln 1-------Г , 2лтх , 2nny \v — sin —i где * (1/4 при zn=n —О, 1/2 при m > 0, n—0 или m = 0, n > 0, 1 при m > 0, n > 0 и при zn0, 0 n~lh Ji f(x, у) cos 2nmx I cos 2nny , , —~dxdy. Ьт, 4 Hi к /(X, i/)sln 2nmx I cos 2siny h dxdy, cm^ 4 n~ Ih Й f (x, y) cos 2nmx I sin - 2япу h dx dy, dm, " ~ih к и /(x, y)sin 2nmX I sin 2nny II dxdy. К 251
в комплексной форме ряд Фурье для f(x, у) записывается в форме Их, У} = т, • \ тх Л)^у, т,п^. К Пример 2. Разложить в двойной ряд Фурье функцию f (х, у)— »*kii в квадрате —л < х < л, —л < у < л. Принимая во внимание четность пли нечетность подынтегральных функций, находим •л,п = —-и/cos тх cos nydxdy= к л л =—J- ycosnydy \ х cos тх dx = 0, mt n^O; л2 J J — Л —Л я Л Ьт и=-тг V ycnsnydy \ х sin mxdx — ^ т9 п^О; и лз j J — Л -Л Л Л ysinnydy^ xcosmxdx—0, т, n-2s0; -я - т Следовательно, при х £ (— л, л), у £ (— л, л) СО х// = 4 У, (-1)“+" т, п= 1 sin тх sin пу inn Разложить в двойной ряд Фурье следующие функции. 12.509. f(x, 4/) = ху при 0 < х < 2л, 0 < у < 2л, = 2л. 12.510. f(x, у) = ^— ^—”При — л <х<я, — л < < у < л, / = й = 2л. 252
1^5 ./(х, //)=х2//при —1 <х< 1,—2<у<2 /—2 Л=^4. 12.512. f(x, у) = х^-~у у при—1 <х< 1, — я<у< < л, 1 = 2, h — 2n. 3. Интеграл Фурье. Если функция f (!) абсолютно интегрируема на (— со, + со), т. е. f(t) £ L (— оо, + со), и кусочно гладка иа каждом конечном отрезке действительной оси, то она представляется в виде интеграла Фурье /(o=4(/(z+O)+/(z-°))= N + оо = lim f 7(v)e2mvZ dv= f / (v)e2n/v/ dv, (5) Л'-*+сеЛ Л где + Сй 7(v)= J f(f)e-tnMdt: (6) — co Преобразование (6), .которое будем обозначать $ [/], называют пря- ным, а (5)—обратным преобразованием Фурье, выряженным в ком- плексной форме. В действительной форме эти преобразования записы- ваются в виде: +•« +о0 о(со)ь= — f (!) cosco! dt, i>(co) = J- / (!) sin со! с// (7) — СО — Д) (прямое) и + сю f(0 = J (а (со) cos со/4- (со) sin со!) dco (8) о (обратное), со = 2nv. . Если функция f(t) четная, то (7) и (8) записываются в следую- щей симметрической форме: __ +00 Scl/l=/c(®)= J /(/)cosco!d! (9) 0. и __ +-СО f(t) = У 7с (со) cos со/Ло (Ю) о и называются парой косинус-преобраеований Фурье. Если же /(/) нечетная, то имеем пару синус-преобразований Фурье + СО 8s [/1 = К («) = j/" — f/(/) sin co! dt 0 253
u f(0 = — j fs (со) sin <в/ dco. о Пример 3. Найти преобразование Фурье для функции f (0 = — е~а'11, а > 0. Подставляя заданную f (0 в (6), получаем + ° +“ ?(v)=^ e-aMle-2"«v/d/= e-(2Hiv-a)<d/+ J е-(зл(У+а)/Л== 0 J e-(’«iv+a) / 1 + “__ 1 g (a- 2mv) t a—2niv |0 1 _ 2a b c»4-2j ~~a24-4a2v2 ’ a—2ra'v t. e. 2а a2+4n2v2 ’ Подставляя это выражение в (5), получаем + ® , а Г dv = — B[*-a a > 0. С -inivt „-all 1_о„ 1 ------------ е -2aJ а2+4л2У2 ------- dco = a2+co2 / cos mt . am. 2a ___________ л J a2+<o2 о (*) Последнее равенство следует что из того, N sin co/ . ?+^-da=N dco = 0. sin co/ a2+<o2 -A Пример 4. Найти преобразования Фурье для функции f(t)=e~at\ a>0. ◄ Так как функция f(t} четная, получим пару косниус-преобразо- „„нпйКфурье. Поэтому воспользуемся формулами (9) и (10). Исполь- зуя результат задачи 8.192, получаем Sei*'**'1! e-ai1 cos со/ dt = 0 CO* T” 1 r= e ~-2a 4CC И W* e ia cos co/dco =—Д= I У ла J «a 1 e о Найти преобразование Фурье в комплексной форме для функций: 254
12.513. /(/) = sign(Z—a)—sign (t—b), b>a. 12.514. HQ-pO-T-) "₽"KI<«. I 0 при 11 > a. {cosat при |/|<л/д, n a>0, О при 111 > л a. Hn /Sign/ ПрИ |Z|<1’ 12.516. f {t)—\ A i . . 10 при 111 > 1. Найти пару косинус- или синус-преобразований Фурье указанных функций: 12.517* . f(0 = -5-Ui. а > 0. 12.518* . /(П = -тт7з. «>0. 12.519. f(t) = te-‘\ 12.520. f(0 = e-au'cos₽/, a>0. 12.521. Доказать, что преобразование (6) является не- прерывной функцией, причем lim /(v) = 0. 4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье. Спек- тральной функцией S (V*) ряда Фурье или спектральной плотностью называется отношение коэффициента Фурье функции f (х) периода I 1/2 Л/2 A All А 1 vk=—, k£Z, к приращению частоты Avft=—у-------------^-= , т. е. 1/2 С й„. * -/2 Амплитудным спектром р (vft) называется модуль спектральной фут к- ции, а фазовым спектром Ф(т>)—взятый с обратным знаком аргу- мент спектральной функции, т. е. p(vft) = |S(vfc)| = Z|c(vfc)| И ®(v*) = — argS(vft). На графиках р (vfc) и Ф (ук) обычно строят только ординаты р и Ф в точках vk и спектр называют линейчатым. Пример 5. Найти спектральную функцию ряда Фурье и по- строить амплитудный и фазовый спектры для функции f0 при х£(—2, —1), /(*)={ 1 при х£(- 1, 1), /(л-|-4) = /(л). V 0 при х£(1, 2), 251
0 1 1 3 2 »к 2 2 -Я' - Рис. 100 Имеем vft = fe/4 и 2 S(v*) = $ ZMe-2^dx = । -* 1 e^-e-2nlV» _sin2nvft . nvj 2i nv/i Следовательно, „ , | sin 2nvb I p(vft) = |S(vfe)|^ 1 n|v^l, Ф (v*) = — arg S (v*j = J 0, если sin 2nvfe 0, = | —л, если sin 2nv* < 0. Графики p(v*) и O(vft) представлены на рис. 100. ► Спектральной функцией интеграла Фурье называется прямое ^образова- ние Фурье S(v)=7(v) = +J fdye-^dt. (П) Величина p(v) = |S(v)| называется амплитудным спектром, а вели- чина <D(v)=— argS(v)—фаэояым спектром. 12.522. /(0 = Найти спектральные функции S(vfc) или S(v) и по- строить амплитудные и фазовые спектры следующих функций! 0 при t € (—2Г, —Т), -1 при1€(-Л ( ), f л-4Т)-~ f (t) 1 при / С (0, Т), + 1^- 0 при t € (Т, ^Г), При /(/+3,=/(°- при I € (1> 2 0 12.523. /(0 = ( 1 12.524./(0 = | 0 при 111 < а, при 111 > а, а > 0. ( соз nt при U | 1/2, 12.525*,/(0 = | 0 npHiq-,1/2. 256
12.526. /(/) = 1 Ц-1 при t £ (—1, 0), Г—t при t £ (0, 1), 0 при 111 >1. 12.527. = \ 2 ПРИ 2)’ \0 при (£(—0)U(2, +°o). 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Аналитическое вы- числение преобразования Фурье (спектральной функции) (11) и обрат- ного преобразования (5) вызывает, как правило, значительные труд- ности Разработаны метода их численной реализации, одним из ко- торых является так называемое дискретное преобразование Фурье'. У fUk)e~ " , п=0, 1.......2.V-1, (12) fe=0 Т I где = (Г—длина заданного интервала) и v„ = n-y. Обрат- ное к (12) преобразование имеет вид 2JV-1 . zikn f(tk)=xk = ± У упе " , Л=0, 1.......2Л—-I. (13) п=0 Преобразования (12) и (13) яполпяются с помощью так называемых быстрых алгоритмов (ЬПФ), состоящих в том, что если 2\! = rlr„... ...гп, гу— целые>2, то матрица преобразования (12) (пли (13)) /11 1 ... I \ </ 1 q g2 ... g2*-i \ Ц7 = 1 д2 9* ...дл<2Л'-« I, \1 q-N~x д2!2'7-1)..^2-4'"1»* / -I— ( i — \ где q—e N \g=e Л' для (13)/, представляется в виде произведе- ния п квадратных матриц порядка 2N, W=W'„Wn^i...W.W1. (14) имеющих каждая по rv-2N отличных от нуля элементов. Умножение матрицы ITv (v—1, 2...... п) па вектор-стот ец Z = (z0, Zj, ... .... г2^_!)т за счет отбрасывания умножения на нули может быть про- изведено за rV‘2N операций комплексного умножения на множители gft и сложения. Всё ДПФ (12) вычисляется тогда за (ri+r2+... г„) 2Л таких операций и умножения конечного, результата на множитель Т 2N. Если 2N— 2а (г! = г2=... =гп = 2), то в качестве матрицы Wm— *=(сй7/)' /=1> 2.....2". Для разложения (14) можно взять мат- рицу, элементы которой выражаются следующим образом (q — =е - )•. пусть v = 0, 1, ..., 2П-,Я — 1 и ц = 1, 2, .... 2'”-1, ® Под ред. А, В, Ефимова Б, П, Демидовича 257
тогда . (т) , —1 с v 2,л+ц. Н tv-a®+Jm~, + n v-2a-I+|x ’ 2n-s+v-a“-» + u= ‘47гя’ + гт-, + Н. n-? + v-2'n-, + n = =^11-1)2”-“ (15) c<m>=0 /ия осталыых nap (fe, /). К, / 12.528. Выписать матрицы Wlf Wi и coo ветствую- щие формулам (15) при 2А = 23 = 8 12.529. П\с ь Х = (х0, хп х.)т Сост вить произ- ведения z«>=v^Lwi(WlX) и z,3,= =.WfZi}=W WjITjX). Сравнить полученный результат с произведением IV X. Для конечной последовательности комплексных чисел (х0, Xj, ,.. .... x.v-i) ДПФ по формуле (12) можно представить в виде , Л - 1 «tunk Уп- W " (« = 0, 1, .... N-1), . А=0 а обратное ДПФ (ОДПФ)—в виде д,- 1 tninfc **= 2 у,,е л' {k=0' *’ •••• W-I)- n=0 Обозначим кратко ДПФ и ОДПФ соответственно y = g[X] и х = 3-ЧП где Х = (х0, Х£..x,v-i)T, У = (Уо. У1..j/.v-i)T. 12.530. Составить па фортране подпрограмму вычис- ления прямого и обратного преобразований Фурье с ис- пользованием быстрого алгоритма. Параметры: N, L, KIND, А, В, АА, ВВ, где L—число элементов исходной последовательности (и преобразования), N — показатель степени в равенстве L = 2N, KIND естьД-либо I (0 при вычис ении ДПФ и 1 при в числении ОДПФ i, А и В — входные массивы размера L для действительной и мни- мой частей исходной последовательности, АА и ВВ—вы- ходные массивы размера L для действительной и мнил и частей л че н >го пр обр зования. В задачах 12.5 1—12.535 состави' ь на фортране под- про!рамму получения комплексной последовательности (xlt Xi, ..., Xjjs), полагая xk = x(tk) + i 0 для указанных функций x = x(0, t G [1, 128], tk = k=\,2, ..., 128. Пара,- метры: А, В, где А и В—массивы из 128 элементов для действител: н й и мнимой частей пос. едовательности. 258
[О, / € i 1, 32] и [97, 128], 12.531. х = 25. 12.532. j 20> /€[33, 96]. 12.533. х = j /(128—/). [ t, Ш1.64], 12.534. *=|128_^ /е[е5> 128у 12.535. x-t. 12.536. Используя подпрограммы, полученные при ре- шении задач 12.530 и 12.531 — 12.535, для одной из после- довательностей (х,, x'j, .... х12Я) составить на фортране программу следующих преобразований: а) найти У = § [X]; б) для т = 24, 32, 40 из последовательности 0/„|п = = 1, ..., 128) получить последовательность (уп | п = 1, ... ..., 128), элементы которой определяются равенствами (Уп< п==1» 2, •••• 54—tn, 654-т, .... 128, Уп~~о, п = 64—tn-\-1, ..., 65т—1; в) найти Х = $-1[У]; г) сравнить последовательности (хА) и (х*), найдя их разности. 259
Глава 13 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Преобразование Лапласа 1. Определение и свойства преобразования Лапласа. Преобразо- ванием Лапласа функции /(/), (которая, вообще говоря, может принимать и комплексные значения), называется функция F (р) комп- лексной переменной р, определяемая следующим равенством: (1) F(p)= J e-P</(/)d<. Оригиналом называется всякая4 функция f (/), удовлетворяющая следующим условиям: ]) /(f)=~0 при t < 0, причем принимается, что / (0) = /(-|-0); 2) существуют такие постоянные о и М, что | f (0 | < Ale0' при t > 0 (2) (величина с0— info называется показателем роста функции /(/)): 3) на любом конечном отрезке [0, У| функция / (/) может иметь лишь конечное число точек разрыва, причем только 1-го рода. Если f (/)—оригинал, .то стоящий в правой части равенства (1) интеграл Лапласа сходится абсолютно- и равномерно в полуплоскости Re р »= о > о<,. При этом функция F (р) является аналитической в по- луплоскости Re р > о0 и называется изображением функции [ (/). Соответствие между оригиналом / (/) и его изображением F (р) символически записывается в виде F (р)== f (О- .П ример 1. Найти показатель роста многочлена f(t) = , ,. .-[-От/Ц-По Заметим, что для любого о > • 1» +«,!+г,д>. кОКИЯМ?т ~ Значит, для любого п > • существует такое число Л1 = Л1(о), что выполняется неравенство: | gtt-г-а0 | < Л! (•) е°*. t > 0. Следовательно, р0 = -inf • = • Заметим, что при • = о0 = ® неравенство (2) не выполняется. ► Пример 2. Найти изображение функции Хевисайда ( 1, /3»*, 260
Так как роста Со =0> функция Хевисайда является оригиналом с показателем то ' + ® . +® ,fl(0 = e-ptdt-^-^e-Pf о о Всю у в дальнейшем под заданной с помощью формулы функ- цией /(0 будем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда |}(0. т е. считать /(0= ° ПРИ 1 < °- Проверить, являются ли следующие функции ориги- натами, и найти их показатели роста. 13.1. 13.2. = 0</^b 13.3. f(0 = <r‘. ’3-4 13.5. Ц/) = 1п(< + 1) 13.6. = 13.7 f(O = lsinJ-. 13.8. = Используя формулу (1), найти изображения для сле- дующих оригиналов: 13.9. f(0 = 1, —1, 0, 0</ < 2, 2</ <3, 3</. 13.10 I, 0^1 <2, 1(4 — /), <4, 0, 4</. 13.11. 13.12. 13.13. (t, 0</<т, ^Z) = b,T^L. [ t(2 —t), Q^t < “I 0, 2^/ 2, {t, 0</<l,' 1, l^/<2, 3-t, 2^t<3, 0, 3^t. sin/, 0</ < " 2 ’ 13.14. f(t) = V v • V/ V/ К |<N К I'M 1 C сч | К 3л " T ’ С 2л, 0, 2л ^t. 261
Свойства преобразования Лапласа: 1. Свойство линейности. Для любых постоянных Сд., 1, 2...п, п п 2 = 2 CkFk(P)> Rep > max {Of, a,........o„}. k=l k=l 2. T e о p e м а подобия Для любой постоянной а > О f(ai) = ~F , Rep>ao0. 3. Теорема смещения. Умножению оригинала на са,7 a£R, соответствует смещение аргумента изображения на а. т. е. е^Ч (t) = F(P—a). Re(p—а) > а0. 4. Теорема запаздывания. Запаздыванию оригинала на т соответствует умножение изображения иа е~Рх, т. е. т)(<—4 = <’~рх F (Р). Rep>a0. • 5. Дифференцирование оригинала. Если /(0 •• ее производные /(/<> (/), k~ 1, 2, ..., являются оригиналами, то для любого k = 1, 2, ..., п 7(Л) (I) = p*F (0)+р»-2Г (0) +... +/<л-П (0)). В частности, /' (0 = pF (р)—/ (0), Re р > о0. 6 . Интегрирование оригинала: t \ Rep>a0. о 7 Д и фф е р с н ц п р о в а и н е изображения. Умножению оригинала на множитель t соответствует умножение изображения на —1 п дифференцирование его по аргументу р: t"f (/) = (—l)nF^\p), n=l, 2, ... /(/) является 8. Интегрирование изобар а ж с и и я. Если ориjнналом, то со -j-/ (O = p&)rff. о < 9. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Если f (t, a)==.F (р, а) и функции н OCt (Z2 /(/, a) det, рассматриваемые как функции переменной tt являются а, оригиналами, то Q j Of (t, a) dF (p, a) f t n «1. at 262
10 Теорема Бореля об изображении свертки. Свертке оригин^тов t t fi*ft = J fi (t) ft (t—x)dx=^ ft (/—t) fi (t) dx о о ‘ соответствует произведение изображений, т. е. fi*ft= Pi (р) Ft (р). 11. Интеграл Дюамеля. Если f (i) == F (р) и g (/) = G (р), то PF (р) G(p) = f(O)g (0 + (/'*g) (/) =g (0) f (/) +(g'»f) (/). Зная изображение функции Хевисайда т] (/) == ~ (см. пример 2), можно с помощью перечисленных выше свойств 1—11 построить таблицу изображений основных функций. № /(О F(P) № fin » F(P) 1 Л1(0 1 P 6 sin pf _L_ p2+p2 2 t" 'пГ J 1 pH + 1 7 ch pt ' F P2-P9 з 1 8 fl p—a P2-P2 4 tn eat 1 a p—a nl (p—a)"+1 LUO p* (p—«)2+fl2 5 Д 10 fl P2+T2 t; ып p» (p_a)2+P2 С помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы основ- ных изображений можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике. Пример 3. Найти изображение функции sin31. Имеем по формуле Эйлера , ,, Хе'*— е-‘*\3 1 /3(е«—в-*'*) е3'’'—e~sit\ Sin3 / = ( --jr: — —- — —-------------------—---- 1 = \ 2i } 4 \ 2t 2i ) q I = -r- sin t—r sin 3/. Используя свойство линейности и формулу 6 таблицы, находим: 3 ._. 3 1 1 3 _ 6 S 4 * р3+1 4 ' р3 +9 (р2+1)(р2+9)- Пример 4. Найти изображение функции Z® cos 2t. 263
Используя формулу Эйлера и формулу 4 таблицы изображений, получаем: 1 " ] 1 — 12р P.cos +€-«') = (р_2—+ {р (7W • Заметим, что изображение указанной функции можно было бы получить и другим способом, а именно, дважды дифференцируя изо- бражение для cos 2/. ► _ , Р sin т , . Пример 5 Найти изображение функции Si t = \ ат (эту о функцию называют интеграл ным синусоя). Используя теорему интегрирования изображения находим t J у- 1 Р * р Отсюда по теореме интегрирования оригинала получке i . SiZ=V— Jt = — aretgp^ > J T P \ * 1 0 t Пример 6. Найти изображение функции cos (t—т)dr о 4 Используя теорему Бореля об изображении свертки, получаем t cos (t — т) е~™ dx - cos tte —£) - Г» о Пример 7. Пайти изображение оригинала f (0, если sln< ПРИ ( о при /5эл. -4 Используя функцию Хевисайда и учитывая что T)(f—л)~ ) при О л, функцию /(/) запишем в виде f (f) = sln t 4-1] (t—л) sin (/—л). Пользуясь формулой 6 таблицы и теоремой запаздывания, получаем I , ”Р . J е~лр f ps -I Ут''- Р1 1 13,15*. Доказать следующие теоремы о связи «началь- ных». и «конечных» значений оригинала и изображения. Если f(t) = F(p), то а) /(0)= \im*pF(p) и (если существует конечный' lim НО —/(+°°)) б) Н+°°)= lim PF (Р)- p-f о 264
изображения заданных функций 13.16. Доказать следующие соотношения1 : , /” R £ РФ"1). а) cos f г— (р«+Рг)" ’ 6) Дзтр/= Й«г+Й^1 Найти 13.17. 13.19. 4-Р4-1. e-43e-sf+/?. 13.18. /2 —у/ 13.20. 2 sin / — cos — 13.21. cos21. 13.22. sin2 (/—fl). 13.23. sh31. 13.24. ch in/. 13.25. _sh 3Z cos 2/. 13.26. / ch 2/. 13.27. sin / — tcost. 13.28. -l(ch/sin/4-sh /cos/) 13.29. 12е~г. ' 13.30. tse-f. 13.31. e2' cos t. 13.32. e f in2/. 13.33. /2ch2/. 13.34. /Л 1 in /. t t-t 13.35. te~( sh t. t 13.36*. e 11 r dr. 0 i 13.37. (t—t)2 cos 2т dr. 0 t 13.38. J Te/-tsin(/— r)dr. 0 t 13.39*. 0 13.40. -dr 0 13.41. 13.43. f^dr. J T 0 13.42*. J 0SPT~C0S^dT. 0 о Найти изображения дифференциальных выражений при заданных начальных условиях. 13.44. xlv(/) |-4/" (/)4-2/(/)-3/ (/)—5;х(0)=/ (0)= =х"(0) = /"(0) = 0. *) Здесь обозначения Re и Im подчеркивают тот факт что дей- ствительная и мнимая части соответствующего комплексного много- члена берутся условно, т. е. р считается вещественным числом. 265
13.45. *'"(0 + 6х"(0 + *'(0—2*(0; х(О) = х'(О) = О, /0) 1 1 13.46.’ *"(/) + 5х'(0—7х(0 + 2; х(0) = а, х'(0) = 0. Используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций: 13.47. т)(/ —Ое*-1. 13.49*. !](/ —1)^. ( 1 при 13 5|- '<')={ Ollpl, 13.48. Т)(Г- 13.50*. п 0< / < т, Sin* ЦГ — г -^Ysin t. (единичный импульс, действующий в течение промежутка времени от t — 0 до t — т). f 0 при t < Т, 13.52 /(0=1 1 при < Г-}-т, ( 0 при t^T -\-х (запаздывающий единичный импульс). Y t при 0< t < т, h при т ^ / < 2т, 13.53 . /(0=1,. * — — (I — Зт) при 2x^.1 < Зт, О при t Зт. (sin t при 0 t < л/2, — cost при л/2</<л, О при (^л. 13 55 f «>-4 h ПР” 1 5* ( Д lte~u~i} при (>1 ад НА- J sin/ прИ °<*< П’ 13.56 . /(О-*! 5Ь^__Я) при t^n. 13.57 **. Доказать, что если /(0 —периодическая функ- ция с периодом I, то Используя результат задачи 13.57, найти изображения периодических функций (аналитические формулы опреде- ляют заданные функции на периоде [0, /]): 13.58 . /(000 п "РИ05'ЛТт 1-Т ' v ’ (0 при т t < / ; (периодическая последовательность единичных импульсов).
13 59. /(Z) = sin0/ при 0</<л/Р; l = nft> (т. е. f (0 = 1 sin р|). 13.60 13.61. 13.62. 13.63. H0 = { /(*) = { sin t 0 h — h при при при при 0 t < л . / <Т; 0<Z<c, с t < 2с; Г = Т. /=2<?. /(/) = А/ при 0^2/< с; I —с. у t при 0 t < с, — t при с t < 2с; / = 2с. 13.64. f(Z) = cos₽< при 1 = 13.65. /(Z) = |sinZ|, / —2л. 2. Расширение класса оригиналов. Класс оригиналов можно рас- ширить, включив в пего функции, которые могут быть иеограни- чены в окрестности конечного множества точек, ио такие, что интег- рал Лапласа от них тем не менее в некоторой полуплоскости Rep > а0 сходится абсолютно. К числу таких обобщенных оригина- лов относится степенная функция /(/) = /ц при р>— 1, функция In t и некоторые другие. В частности, к такому классу oiносится всякая функция f(t), которая в некоторых точках t=*tk (k= 1,2 . .,n) является бесконечно большой порядка, меньшего единицы, т. е. такая, что 11m (I — tА) r,!f (/) = 0 при некотором rk < 1, и если вне некоторых окрестностей точек th опа удовлетворяет условиям, при которых функцию можно считать оригиналом. Пример 8. Найти изображение F (р) функции /(0 = 1р, р >-1. + 00 Имеем F(p) = ( е~РЧ^ dt или, после подстановки pt — т, 0 f (₽)=<,т=£тйгГ • • о - 1 0 Итак’ г (р +1) “ р^+* ► 1) Здесь под функцией комплексной переменной 1/рй+1 пони- мается та из ветвей этой многозначной функции, которая на вещест- венной положительной полуоси комплексной плоскости (р) принимает вещественные значения, т. е. l,'pu+1=e_fH-n> in р. Аналогичное заме- чание относится к изображениям функций t^eat, t^eai In t, № cos pt, tHsln p/. 267
Замечание. Если р—целое положительное число, то Г (ц 1) = ц1, и мы приходим к формуле 2 таблицы пдображспий. Пример 9. Найти изображение функции/(/) = № In t, р> —1. Из соответствия параметру р получаем с помощью дифференцирования по ГФ-!-') ,„,_Г <и+1> ~р— р^1 г' (р+1) ‘г (р +1) In р 'В частности, положив р —О, с учетом того, что Г (1)-*-!, Г'(1)-=—У (7 = 0,577215 ...—постоянная Эйлера), получаем In 1 == 7+In Р Р Найти изображения функций: 13-66- НО—rfey* !’>-»• «3-67-Д0 = —ТГ’ ’i>“L 13.68. /(/) = е<х'1п/ 13.69. /(0== Г(Д-,-со5р/, (1> —1. 13.70. sin Р> — 1- 13.71. /(0 = cosfMln I. \Ъ.Т2. f (/) = sin₽( In/. / 0 при 0 t < a, § 2 Восстановление оригинала по изображению 1. Элементарный метод. Во многих случаях заданное изображе- ние можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко вос- станавливается непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и" таблицы изображений Для преобразования изображения широко используется в этом случае метод разложения рациональной дроби в сумму простейших. Пример 1. Найти оригинал для функции f (Р)=р2+2р+5- Первый способ. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее, используя табличное изображение для sin f)l и теорему смещения, получаем. 1 1 1 2 .1 рс+2р+5=(р+1)2+4 У (р+ l)s+4~2 е S,n * 268
Второй способ. Раскладывая дробь в сумму простейших и ис- пользуя изображение для , получаем pS+2p+5 4i U-(~ 1+2') р—(—1—21)7^- i / \ I pSit______p-Vt 1 = — '£<-i+:»'—et-i-2i>t — _e-z---------—-h-g-'sin 2/. > 41 j 2 2l 2 Пример 2. Найти оригинал для функции F (р) — г-^_-ур. <4 Первый способ. Раскладывая дробь в сумму простейших, полу- чаем 1 1 - Ч 1____________I—J_______I- = (р2+1)2 (р-ОЧр+О2 4 \Р-‘ р+< (р-02 (р+‘)2Л i (icif — ie-'t-l tei,+^~ii)—^ (Sln t—tcost). Второй способ. Заметим, что i _ i ( 1 у (p2+i)2 2p^«+i;’ причем согласно теореме о дифференцировании изображения Применяя теперь теорему об интегрировании оригинала, находим Srp?— •= Нтот ,Л"4 w”с°‘ п‘ о * Третий способ. Используя теорему Борсля об изображении сверт- ки, получаем 1 1 у (sin t—t cost). У—- = sin bsin t — V s + Г t t t =sin/ J cost sin idr—cost § о 0 p^e~ *P Пример 3. Найти оригинал для функции р Р2 -4 Найдем сначала оригинал для дроби , причем в отличие от двух предыдущих примеров разложение дроби в сумму простейших произве ем в множестве действительных чисел. Имеем: р2__________Р^_______ 1 р3+1 (р+1)(р2—р+0 3 \Р 1 ( 1 р~"2 А . 1 -3 P+T+2f._i V , 3 -3 2р —1 р2—p+i e-'4-2e"2cos i-g—f )• 269
А теперь, применяя теорему запаздывания, учтем сомножитель е~ Р. Окончательно находим: ^Г2 = 1п(«-2)^-<'-г>+2е^(/-2) cosfg- (/-2)1 > Найти оригиналы для заданных функций. 13.74. 13.76 (Р>)2 ’ 1 IO. /и 13 77 (рЧ-1) (р-3) ’ 1 р2 |-4р+3- р» + 2р=+р 13.78. 1 13.79. 4-3 р2(р*-Н)’ Ps-|.4p«4-5p 13.80. р 13 81. Р (р2—4)(р2 Н)' (р24-4)а‘ 13.82. р Р3+! • 13.83. Р Р*-| 4 ’ 13 84 е~2Р Р2, 13.85. е~^Р (Р+ О3 ‘ 13.86. 1 л_е~Р 1 З'’"1р 13.87 р 2ре~Р р-2 + р ’ РаЧ-9 ' Р2 + 4 р2—4 2. Формула о5ращепия. Теоремы разложения Если f (f) ори- гинал и F(P)—его изображение, то в любо^ точке непрерывности f (!) справедлива формула обращения Меллина <i + i« S F(p)eptdp, где интегрирование производится по любой прямой Re р 0» 0о* 3 а м.с ч а н и е. Во всякой точке t0, являющейся точкой разрыва функции f (t), правая часть формулы Меллина равна { (t<i 0)+ + f Uo+0)^ Непосредственное применение формулы обращения часто затруд- нительно, и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее. _ , _ . . Первая теорема разложения. Если функция г (Р) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение о ряд по степеням l/р имеет вид л = 0 Г то функция = С(0 = ° при t ^°) п= 0 является оригиналом, имеющим изображение F (р). 270
Вторая теорема разложения. Если изображение F (р) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек ръ ps, ..., рЛ, лежащих в конечной части плоскости, то /(0= 2 выч (р); PkY k- 1 - \ Если, в частности Е (р)=^—«\гДе Рщ(Р) и Q„ (р)—много- члены степеней т и п' сСотвегствен^н(п • > Рг—корпи многочлена Qn(p) с кратностяип, соответственно равными 4, 4. (44Л + ---4Л = «). то f(0 = £-— 1\ч-^ (/„-IM lim 0) ГЛ I'A '» P-*Pk dp К Если все коэффициенты многочленов Рт (р) и Qn (р)—действитель- ные числа, то в правой части (1) полезно объединить слагаемые, относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них. В частном случае, когда все корпи pt, р«, .... рп многочлена Qn (Р) простые, используя формулу для вычисления вычета относи- тельно полюса первого порядка (см. с. 239), получим Qn(Pi<) fc (2) Пример 4- Найти оригинал функции F(p) = — е р . Первый способ. Разложение функции F (р) в окрестности точки р = оо имеет вид г </» - j 3 - 7 L <- О- ф7=£ (-D'Tjjk • п= 0 11=0 Поэтому, в соответствии с первой теоремой разложения, оригиналом для F (р) является функция f (0 = ^ , (—1)" п=0 ' ’ (/0—функция Бесселя первого рода с пулевым индексом) Второй способ. Воспользуемся второй теоремой разложения. Для этого надо найти вычет функции — е^е р относительно ее едннст- р I венной особой точки р-=0 (это существенно особая точка), т. е. коэф- фициент при 1 р разложения этой функции в ряд Лорана в окрест- ности точки р — 0. Имеем Х(’р — 2!р8 n!p': + i+"')* 271
Выделиз в произведении рядов члены, содержащие 1/р, найдем: f (0 = выч I — еР(е Р; Р 0]=1-/+(ёр+--+(-1)и(ИТ-+---== = /„(2/7). > В этом примере решение, использующее первую теорему разло- жения, оказалось более простым, чем решение при помощи второй теоремы разложения. I Пример 5. Найти оригинал для функции F (р) = Воспользуемся второй теоремой разложения. Функция F (р) имеет два полюса 3-го порядка р=-± Pi, и се оригинал определяется ра- венством г ept 1 Г еР1 • о ' / G) = зыч ру ₽«J + [(^Гру; -Р'] - = 2Ке(вь-и[(^у;Р'])- Имеем: ПЫЧ [(р2 + Р2)3 : Н ~р,)3 (Р2+Р£):* ) ~ 1 • d‘ I сГ> А - “ 2 dp*Up+po1/ 1 / fiept 12<*р» \_ “Тр1^ U + ₽*)’ (р+РО4+(' + ₽')7 3/<’Р‘7 , Зеб" ~ I6p¥— 1GP1 + 16p*i (при дифференцировании мы воспользовались формулой Лейбница для производной произведения). Выделив действительную часть этого выражения и удвоив се, получим /2 sin pl 31 cos Р>/ , 3 sin р/ — ~ врз ~ 8Р1 "Г 8р’ Пример 6. Найти оригинал для функции F (р) = «_ [• Знаменатель дроби здесь имеет только простые корни Pi,j=±l, р3 4=4- I. Поэтому в соответствии с формулой (2) получаем f (0=^ " = Т ~е 7^+рР “ 1 1 eil—e~‘F 1 ., . , л J = 2 “Л-------2 —2i— -2 (sh '~Sln °: ► Этот пример можно было решить, исходя из разложения 1 1 ( 1 1 А р4 -12 \р2 —I р24-1 Пользуясь первой теоремой разложения, найти ори. гиналы для заданных функций- 272
13.88. -cos — . 13.89. sin-. P P P 13.90. —ln£—. 13.91.-е'-'я». 2p p — 1 p 13.92* . — p — 1 Пользуясь второй теоремой разложения или с по- мощью разложения на элементарные дроби, найти ори- гиналы для заданных функций: 13.93. F (р) =pS^4pj.5 • 13.94. F (р) = ])(р_2)(р«+4)' 13.95. F. где Q(P)=-(P~Pi)(P—• •(₽—Р») и все числа рк попарно различны. 13.96. Р(р) — (Р4_|)з- 13.97. F (P)=(ps.|_I)2(p2_4y 13.98. F(p)=.^i. 13.99. Р(р)=^. 13.Ю0. F (Р) -^. 13.Ю1. F(p)=,7^-i. 13.Ю2. F (р) • 13-103. F (P^^rri • 13.104. /?(Р) = (р*_1)(р4-;л) • § 3. Применения операционного исчисления 1, Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами. Для того чтобы найти решение х (/) линейного дифференциального уравнения с постоянными (1) коэффициентами (где f (/)—оригинал), удовлетворяющее качельным условиям х (0) =х0, х’ (0) = х'о...........’> (0) = х£п-,), . (2) следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т. е. от уравнения (1) с условиям» (2) перейти к оператор- ному уравнению (р" + Я1Р" -1 + •.. 4- ап) X (р) Q (р) = F (р), где X (р) — изображение искомого решения, Г (р)~изображение функции f (f), a Q (р) — некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных ха, хо, .... Хо”-” и который тождест- венно равен пулю, если хь = хо—...=х<ол-1) —0. Решив операторное уравнение относительно X (р): у F(p)-Q(p) {Р’~ L(p) 273
(L (p) = pn +<JiP"_,+ . • +an — характеристический многочлен дан- ного уравнения) и найдя оригинал для X (р), мы получим искомое решение х(0. Если считать хв, хо, xBn~‘’ произвольными посто- янными, то найденное решение будет общим решением уравнения (1). Совершенно аналогично решаются и системы линейных дифференци- альных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо одного операторного уравнения мы получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций. Пример 1. Найти общее решение уравнения x*+2x'+x=te_<, а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям *о=1. *о=2. -4 Пусть х (0 = X (р), тогда х' (1)=.рх (р)~хв, х? (t) = psX (р) — рхв —х'о. По таблице изображений находим te~* = ” операторное уравнение имеет вид (p2+2p-f-l)X(p)—(р + 2) хи — хо =^ -ур- Отсюда находим (₽)- (р +1)1 °1 (р+1)’ 4 (р +1)4' Для отыскании оригинала в данном случае проще всего представить X (р) в следующем виде: v, . (₽+ 0 +1 । 1 ' । । {р)~ (Р+1)2 Xv+(p+1)2Xo+(p+1)1 I I . хв ~(р+1)*ф(р+1)2'грН-Г ’ Пользуясь таблицей изображений, находим общее решение *(0=-Jr/3e-r + (xu+xo) fe-'+xee-*. ol Обозначив х0=С1, хо + хо = С2, его можно записать в виде *(0=4 <se-‘+(Ci+C20e-‘. О Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям *(0=4^-‘+41+30е-‘. > О Пример 2. Проинтегрировать уравнение х" + х=/(0 нулевых начальных условиях, если при 2 . _ , п Ж — t при 0 < t < у | при 5 я> (^0 • при 274
4 Запишем f (/) с помощью единичной функции Хевисайда: Пользуясь теоремой запаздывания, отсюда находим л ---z- р 2 1 —2г 1 -|-е-яР Н0 = Г(р)=------------------------ Так как начальные условия нулевые, то, полагая х (t) — X (р)> ПРИ ходим к операторному уравнению из которого после несложных преобразований находим _ J_________!__=i____sint то, снова применяя теорему запазды- ! ак как . ваиия, находим x(0==i((f-sin0-2n^-'5) ?)“Sln(/-"2) ’ ' + 4(/-n)((/-n)-sln(/—л)). т. с* я ( £(/-sin/) ПР" 0<'<2’ * I х(/) = 1 -Л(— sin /—: 2 cos/ — /+«) при у</<л, 1 — — cos/ ири />п- ► I п Пример 3. Найти решение системы x'-\-y=et, х-| у’— е~* при начальных условиях х (0) хп, у (°) лУо- , (п _л Пусть х (/) = X (р). У (П У (Ру тогда хJ Г рХ (р) Х°’ У 10 ’ — рУ (Р)—Уо< и получаем операторную систему pX(p)-xB + Y (P)==^q-. р¥ (Р) — Уо + X (р) — । • 275
Решая систему, найдем Vi \ Р 1 г ₽2+] —1*0 р2_ 1 Уб + (р2_ 1)2 ’ V/p\ — Р и | ~Р Y{P’ р*— I Ро+ р2— 1 (P2-1)2 и, следовательно, J x(O = *oCh/—ув sh Z-|-/ch t, I !/(O = £/och< + (l —*o)sh’/ —/shf. > Найти общие решения дифференциальных уравнений: 13.105. х" + 9х = cos 3L 13.106. х"—4х' -j- 4х = e2t. 13.107. x" + 2x'==Ze"2f. 13.108. х" + х' —2x = ef. 13.109. x" + x' = e_,sinZ. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: 13.110. х" х = 0; х(0) = 0, х'(0) = — 1, х"(0) = 2. 13.111. х"+2х' + х = е~‘; х(0)=1, х'(0) = 0. 13.112. x" + 3x' = e-J(; х(0) = 0, х'(0) = — 1. 13.113. х"—2х' + 2х== sinх (0) = 0, х'(0) = 1. 13.114. х"+ 4х= sin 2Z; х (0) == 1, х' (0) = —2. ‘ 13.115. х"—9x = shZ; х(0)=—1, х'(0) = 3. 13.116. х'".—х(0) = 1, х'(0) = х" (0) = 0. , 13.117. x,v—x = shZ; х(0)-/(0) = /(0)= 0, х"'(0)=1. 13,118. х'"-|-Зх"4-Зх/+х=/е_/; х(0)=х' (0) = х"(0)=0. Пайти при пулевых начальных условиях решения следующих дифференциальных уравнений: 13.119. x' + x = /(Z), где 1 при <2. м;-10при />2. 13.120. х"4-х = /(/), где . f cost при 0^Z<n, 0 при Z>n. 13.121. х"—x' = /(Z), где ,,, ( е~‘ при 0 t < 1, /(()=1о прн />1. 13.122. х" + х—/(/), где (1 при 0 t < 1, —1 при 1 < t < 2, О при t 2. 276
13 123**. С помощью интеграла Дюамеля доказать сле- дующее утверждение: если хД/)—решение уравнения а . 4-anx= 1 при нулевых начальных усло- виях (х (0) = х (0) = ... - х1"-1’ (0) = 0), то решением урав- нения x(n,-|-a1x(n-n+-..-+anx = H0 при тех же началь- ных условиях является функция х (/) = х, (т) f (t—x)dt — (0 f (0) + J f (T) V 'r) 6 0 (f (/)—произвольный оригинал). Замечание. Результат задачи 13.123 позволяет iаходить ре- шение линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- эффициентами при нулевых начальных условиях, нс находя изоора- жения правой части этого уравнения. Пользуясь результатом задачи 13.123, пайти решения следующих дифференциальных уравнений 13 124 х х ——-—• 13.125. х"—X — —-------— • х х е,+3 ]+et 13.126. х" — х'=—j-y. 13.127. х'4 х = 2 + созГ 13.128. х" + х = е~‘*. Найти общие решения систем дифференциальных урав- нений «, 13.129. х"+«/ = /, 13.130. ^ + y=sht—sin/, t/'—x' = 0. y" + x' = cht—cost Найти решения систем дифференциальных уравнений, при заданных начальных условиях. 13.131. <+f/ = 0. х(0)='1, у(0) = -1. х+у =0; 13.132. 2х"4-х—у' = — 3sin t, х -г у' = sin t x(0) = 0, x'(0)=h //(0)^0- 13.133. x"—/ = 0, x—y" = 2sin/; x(0) = — 1, / (0) = У(0) = 1/(0)^=1- 13.134. x"— y=0, .x —y" — 2cos/; X(O)= /(0) = 0, xr(0)=y(0) = 2. 277
13.135. Г—у— е‘, х' + у"—у = 0; х(0)=1, у(0) = 1, х'(0) = у'(0) = 0. 13.136. x"+y' = 2sin(, у" + г = 2 cos t, г"—х = 0; к(О) = г(0) = у' (0) = 0, х'(0) = у(0) = — 1, г'(0)=1. Проинтегрировать при нулевых начальных условиях системы дифференциальных уравнений: 13.137. х"-у' = ГЛ1), у’ + где Л (/) = | 1 при 0^ t < л, 0 при t ^л, t при 0^1 < л/2, л—t при л/2 t < л, 0 при л. 13.138. х"--у = 0, у"-х = где f(t) = 1 при 0< t < л, —1 при л t < 2л, 0 при t 2л. М0 = 2. Решение линейных интегральных и интёгро-дифференцналь- иых уравнений. Используя теорему свертывания, можно легко найти изображения решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода (а в простейших случаях по найденному изображению найти и само решение) в том случае, когда ядром в соответствующем урав- нении служит функция вида K(t —т), где К (/)—оригинал. Этот метод применим и к интегро-дифференциальным уравнениям с таким же ядром. Пример 4. Найги решение уравнения Вольтерра l-го рода t cos (t—х)х(х) dx = i cos t. о Пусть х (/) == X (р); так как . . р , , . р2—1 J cos (t—т) х (т) dx = о (по теореме свертывания), то приходим к рА'(р) Р2—1 р2+1 (р2+1)2’ V, \ Р2—1 2Р (^~Р(Р!+1)~Р2 + Таким образом, x(/) = 2cos/— 1. операторному уравнению откуда 2^ р 278
Пример 5. Найти решение уравнения x*4-x=sint + t + sin (/—т)х(т)Л при начальных условиях х(0) = 0, / (0) —1. о Полагая х (/) = X (р), имеем Г(/)=Р2Х(р)-1, sln/=—-р , С , • Х(р) J Sin (I—т) х (т) dx == уу • о Получаем операторное уравнение 1 ,Х(р) (Р24-1) Х(р) —!—р2_|_ 1+р2_|. 1 > или ‘ ((Р2+Пг-1) X (р)=₽Ч-2. Отсюда находим X (р)=^ и х (/) = /. ► Решить следующие интегральные и интегро-дифферен- циальные уравнения: t 13.139. J ch(/—T)x(T)dx = ch t—cost. • о t 13.140. 3 $ sh(t — T)x(T)dT = x(t)—e~*. о t 13.141. ^“’sinV—т)х(t)<7t = x"—x' + ef (1 —cost); x(0) = x'(0) = l. p 1 13.142. \ sh (t—t) x (t) dt — —x -J- t sh t; х(0)=1, /(0)«=0. Проинтегрировать уравнения Абеля: t e x (т) dr 13.143. |Т7=^ = Я- b 13.144. 0<«<l, ₽>-! 0 279
3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных. Применение операционных методов для интегрирования линейных уравнений в частных производных рассмотрим на примере. Пример 6. Найти решение уравнения ^-[-z = sin xcos удовлетворяющее условиям z(0, у) —sin у, z{x, 0) = 0 (х f 10, -}-со), У € [0, Ч- °0))- Переходим к операторному уравнению относительно аргумента у, полагая z (х, y)==-Z (х, р). Отсюда ^==pZ(x, р) — z(x, 0) = pZ(x, р), ^L==^{pZ(x. p)) = pZx(x, р) (по теореме о дифференцировании операторных соотношений по пара- метру). Получаем операторное уравнение: х I ?/ х psihx ( . р pZx(x, p) + Z(x, так как cosy=-£— Р т1 \ Р ‘ Интегрируя полученное дифференциальное уравнение по аргументу х, находим Z (х, р) =СХ (р) е р -1--^?— sin 1)2 COS X. В силу начального условия Z(x, 0) = 0 и теоремы о связи началь- ного значения оригинала и конечного значения изображения мы должны иметь lim pZ(x, p) = Z(x, 0) = 0, откуда находим lim рС^р^ Р“*® р-юо = 0, причем если Ст (р) =ф (j/), то <р (0)^-0 (в силу той же тео- ремы). Запишем теперь Z (х, р) в следующем виде: Z(x, p)^pCi(p)±e р +-^4^ sinx-1 ° cosx Но так как _ х_ pCi (р) == <р' (у), —е р =±lv (2 у) (см. решение примера 4 нз §'2), Р . 1 . Р2-1 ___2==4,СО5{/, то находим: у г (* У) — § ф' (О /0 (2 Кх (у—/)) Л-ру ysm r/slnx— о 1 X ________________ —J (sin t/4-ycosy)cosx- \ ф' (0 /0 (2 )Sx(y— t))dt— о 1 1 —-g- sm у cos x— у cos (x-{-j/) 280
(первое слагаемое получено по те >еме свертывания оригиналов). Так как /0 (0) = 1, то, полагая х = 0, находим: v 1 ’ г (0 = ysinj/--2-j/cosj/= о 1 1 = <Р (У)—sin У—2 У C°S У=Sin У 3 1 г (по начальным условиям); поэтому ср ({/)='2’sin j/4-'g-j/cosj/, ср' (у) = _2cosj/—g- у sin у, и окончательно находим v z(x, 1/) = У ^2cos t—-i-i sini j/0 (2 /х(|М)М“ —i-sin j/cosx—i-у cos (x 4-j/). (► Проинтегрировать следующие линейные уравнения в частных производных: 13.1'45. §—-^-4-* = cosx; z(0, у)~у, гДО, у) = 0. 13.146. a2z = /(x); z(0, у) = — у, гДО, у) = 0. 13:147**. Уравнения длинной линии в случае отсут- ствия потерь (линейное сопротивление-/? и утечка G рав-. ны нулю) имеют вид: ди (х, 0_ ; й/ (х, 0 - дх ~ dt ’ (3) di (х, 0 р ди (х, 0 дх ~ дх ’ где u(x, t)—напряжение, i (х, t)—ток в точках линии в момент времени t, L—индуктивность и С—емкость, отнесенные к единице длины. Найти решения уравнений (3), удовлетворяющие начальным условиям и (х, 0) = i (х, 0) = 0 (4) и * гр ани чному условию и(0, /) = q (t) = E sin wf. 281
13.148. В уравнениях длинной линии п случае линии без искажений, величины R, L, С и G связаны соотношениями -J-= •£" = '’• Найти решения урав- нении (5), удовлетворяющие начальным условиям (4) и граничному условию «(О, о = ?(О=£,(п(О—М*—т)), т>0. 4. Вычисление несобственных интегралов. Один из способов + «> вычисления несобственных интегралов вида f.(J) di основан на при-, б мснснни теоремы операционного исчисления о связи «конечного» зна- чения оригинала и «начального» значения изображения: если <р (Z) = Ь~Ф(р) и существует конечный предел lim ф (0=<₽ (+ со), то( f -+ +00 lim <р (/) = <р (+ оо) = lim рФ (р) (см. задачу 13.15). i -+ + » р -* о Из этой теоремы н соотношения §f(t)dt=±F(p) (f(t) = F(p)) о (6) при условии сходимости интеграла • f (/) dt следует соотношение о + сс J f(O<H = F(O). б + « (* sm t Пример 7. Вычислить интеграл 1 —j—al- о Так как sin t = то по теореме интегрирования изображе- ния имеем —arctg р, sin I , С t ‘ J р поэтому по формуле (1) находим (* sin t dt _ л J i о 282
Пусть функции f (t, и) и Ф (/) = <г (и) f (t, и) du являются ори- о гиналами и f(i, u) = F(p,.u). Тогда, применяя теорему об нитегри- рованни по параметру, будем иметь Ч-О0 ф(/) = У(р) = § <р (u) F (р. и) du. О Поэтому, если интеграл,* определяющий 4f (р), можно вычислить, то 4- оС для отыскания интеграла jj 41 (и) f (I, и) du достаточно найти ориги- о нал для У (р), т. с. Ч- оо + со £ u)du= <p(u)F(p, и) du. (7) о о + ® С cos tu dii Пример 8. Вычислить интеграл \ а,_|_ыг— о .4 Имеем cos tu =' ПоэтомУ <по Ф°РмУле (7)) V cos tu da _.+е pdu__________________Р С ---------------^-Л = J ^ + п~“ J (р2+«2) (а2-|-и2) р2-аг J \а2+«2 о о 0 р л / 1 1 \ л I , =р2—а2"2 £"а р 2ар-|-а‘ Но —-—= e~at. Отсюда р+а ’ + <ю Р cost и du л { J а2Ч-и2 —' 2а ‘ ~ о Еще один способ вычисления несобственных интегралов при по- мощи операционного исчисления дает lt\—F in\ и Теорема Парсеваля. Если fi(.t) = Fi(Ph Тг(Ч — га(Р) и функции Fi (р) и F2 (р) аналитичны при Re р 5= 0, то + 00 +“ f fi (и) F2 (и) du = $ Fl (0 h (c) dv. (8) 6 о При этом из сходимости одного из этих интегралов следует сх и< мость другого1). 1) Если для одной из функций Ff (р) или F, (р) условие анали- тичности выполнено лишь при Rep>0. то сходимость одного з интегралов может не иметь места 283
f e~a sin pu , n Пример 9. Вычислить ----------------au, a > u. 0 -d Имеем e~at sin flt == - JL /та» V(O~~Z- Полагая fi ( ) = ) I *P r = e-““ sinf^ f2(«)=-^-, имеем i O') = (0 = П сЯ Поэто iv по фор. 1 ле (8) ос + х> + 00 Г sin flu da С f n (e) dv „ f* d- J ------и--------J (^+a)2+fl*~P J O' «)2 + P‘ О О о (t] ( )= 1, так как v > 0). H 4 oo ( 7----X2~LR2^arctg J (t’ + a)2+P 0 ₽ С’Ч-ct I** ® st * ct »„ _+_|c arctg y= arctg—. Таким образом, У e-^sinpii dn = arotg £, a > 0. ► J и о Вычислить несобственные интегралы, используя фор- мулу (6) ]3 ]49 у а_ р 0 О 13.150 . J №~а \ntdt, а >0, р> —1. oJ Вычислить несобственные интегралы, используя фор мулу (7): 13.151." j 13.152. С е~{“г(!и. о б Вычислить I есобственные интегралы, используя тео рему Парсеваля (формула (8)): 13.153. e-au_e-₽« ----=—du о., р > о. 13.154. V inau-дпра^ а, р>0; J «Г« + 00 _ п _ л р-ах1_ 13.155*. I ---------dx, а, Р > 0. о 284
5. Суммирование рядов. Методы операционного исчисления могут быть использованы при суммировании «ледовых и функциональных РЯА°П ример 10. Пусть f (f) = F (р) (область аналитичности F (Ру. СО Re p^k). Доказать, что сумма S ряда 2 (± 0" f (п) может быть найдена по формуле „V e~Kif(t)dt /ох s = (±i)ft \ —-——• () J 1 -F ‘ о +„“ (± !)**?—** 4g По условию F (р) = е~Р* f (0 dt. Имеем: j ^ e-t о =\' (± Поэтому А—* + а» +00 о * j S о 1 X (± 1)пе-’“di- rt -к 2 ( п=к f с-»'нол=2 1)nf 0 rt^k Используя формулу (9), найти суммы следующих чи- словых рядов: w * х” 2 13.156 .X------13157 *• 2-arctg^ «“-j СО з 13..5 8-. L №*• Ъ ^-^1- а— I Ппимеп 11 Петь f(/)==F(p) (область аналитичности F (р) Rep-L₽0)- Пусть, кроме того. Ф (*, ^-производящая функция бес- к< > ечпой последовательности функций ф„ (х), т е. Ф(<> *)= 2 п 0 Доказать, что. сумма S (х) сходящегося на [а Ы функцио альн го ряда 2 Г W может быть иайдеиа 110 Ф°РмУле п=о S(x)= J Ф(е-4, x)f(t)dt. 0°) о 285
Имеем? Н Д> +«> зз V Ф(е-», x)f(l)dt = f f(t) % ?n(x)e-"‘di = О 0 n=0 •= 2 <₽" W J e“"‘/ W df= S f« W F{n) =s (x) ► n=0 о n=0 •Используя формулу (10), с помощью подходящей производящей функции просуммировать следующие ряды: ОО 13.160*. Х(-1)"^г-г- л = 0 14 1В1* У ЬЗ...(2п-1) ж*”*1 13.161.2-4. ..2п ' 2л-|-1 ’ Л=1 ОО . 13.162**. У л-е(о, л). п= 1 00 13.163*. У, (—л£(0, л). П= 1 6. Применение операционного исчисления при расчете электри- ческих цепей Методы операционного исчисления широко исполь- зуются при расчетах процессов, протекающих в электрических цепях. Пусть i (/) н и (t), соответственно, ток и напряжение в цепи. 11риме- ненне операторного метода основано на справедливости законов Кирхгофа для операторных тока / (р) = i (/) и напряжения U (р) = и (/). На основании закона Ома для основных элементов электрической цени могут быть записаны следующие соотношения: «Л (0 = /?«(/) для сопротивления Л, для индуктивности L и t “с (0 = -£ j ‘ (Т) Зт4-ис (0) о для емкости С. Переходя к изображениям, отсюда получаем Ur(p)=R' (р), UL(p)=pLI (p)—Li(0), Vc(p)=-^f(p)+y4C(0). Используя закон Ома в операторной форме, для произвольного участка цепи можем записать </(р) = 2(д)/(р), (И) 286
где Z(p)—операторное сопротивление указанного участка цепи. Для частков е сопротивлением R, индуктивностью L или емкостью С при нулевых начальных условиях операторное сопротивление имеет, соответственно, вид: 2ft(p)-R. ZL(p)=Lp, Zc(p)^-^-. При ненулевых начальных условиях к нме ютимся в цепи источникам э.д.с. добавля- ются дополнительные источники. Величины э д.с. дополнительных источников определя- ются запасами энергии в индуктивности и емкости и равны в операторном виде, со- ответственно, Li(0) и —-^-ис(0). Соотношение (11) является основным для расчетов веданного участка цепи в операторной форме. Пример 12. Найти ток i(t) в цепи, изображенной на рисунке 101 при подключении постоянной э.д.с. е (()=£• Начальные условия нулевые. Так как е (/) = £==£/₽, то, используя соотношение” (11), находим: Z(p)/(p) = £/p, (12) где операторное сопротивление Z (р) цепи, изображенной на рис. 101, имеет вид Z (p) = Zl (.P) + Zc (p) + ZR (p)=Z.p4--Qj-+^, в силу нулевых начальных условий Подставляя полученное выра- жение для Z (р) в (12), находим ,,, Е Е -Е pZ{p) Lp* + Rp+± L 1 , R V .( 1 R2 V (I3> 2£ ) ‘ЦТС’ 4L2 ) Для отыскания оригинала i (/) следует рассмотреть три случая в зависимости от вида корней квадратного выражения (13). Пусть >-^Т> тогда ло формуле трехчлена в правой части 10 таблицы изображений находим £ 1 R2 , i{‘)==--/ 1 R*~e SlnV £С-4МЛ L V Тс~"ИТ „ 1 R2 П«ТЬ Тс = 4Р ' таблицы: тогда воспользуемся £ t i(t)=±-te 2L . формулой 3 той же 287
Наконец, если -ftt <-77Т> то комбинируя формулы 8 и 3, LC ъЬ* находим: ' W -----------Ге~^‘ sh L ► L У ТС“ТСГ 13.164. Найти ток i(f) в 7?С-цепи (последовательно включены сопротивление R и ёмкость С) при подключе- нии постоянной э.д.с. e(t) = E, если ис(О) = ио. 13.165. Найти ток i (/) в 7?£-цепи (последовательно включены сопротивление R и индуктивность L) при под, ключенни постоянной э.д.с. е — 13.166. Найти ток i(t) в цепи, изображенной на рис. 101, -при подключении постоянной э.д.с. e(t) = E, если «с(°) = «о- Для изображенных на рис. 102—105 электрических цепей определить напряжение на указанном элементе цепи при подключении постоянной э.д.с/ e(t) = E (там, где необходимо, положить цс(0) = 0): 13.167. рис. 102. uL (/) = ? 13.168. рис. 103. ы£(/) = ? 13.169. рис. 104. ил*(0 = ? 13.170. рис. 105. цс(0 = ? 288
При расчете электрических цепей, когда воздействие на схему представляет собой функцию произвольного вида, полезно использо- вать интеграл Дюамеля (см. § 1, свойство 11 преобразования Лапласа). Сначала определяется переходная характеристика цепи—закон изме- нения напряжения или тока при подаче па вход схемы единичного воздействия е (/) =Т) (0. В этом случае, из соотношения (И) находим операторный ток /±(р)=—„ —, где Z (р)—операторное сопротнвле- р& \Р) ние всей цепи. Если теперь на вход схемы подается произвольное е (/), то опе- раторный ток / (р) имеет вид: где U (р) = е (/)• Применяя формулу Дюамеля, окончательно находим: t i (I) =е (0) ix (0+5 ч' СО 0 (*—О л = о Г = е (0) 0 (0 + ^ ^ ((—О (О л=е (°)lt +е' * 1‘б <14> о Пример 13. Найти ток в /?£-цепи при подключении э.д.с. е(0=^'. Сначала определяем переходную характеристику цепи, в данном случае ток ц (/), возникающий в Д£-цепи при подключении э.д.с. е(О = г](О- Имеем (см. отвег к задаче 13.165) 17 -#-7 0(0=-^-7-е L ) Для определения тока i (0 воспользуемся формулой (14). Пред- варительно вычислим второе слагаемое: , 10 под рсд. А. В. Ефимова, Б. П, Демидовича 289
13 171. Найти ток в /?£-цепи при включении синусои-! дальней э.д.с е (/)=-£ sin coL 13.172. Найти ток в 7?С-цепи, в которую при нулевых —— t начальных условиях подключена э.д.с. e[t) — Ete CR . 13.173. К электрическому контуру, изображенному на -—I рис. 101, подключена э.д.с. вида е(1) — Е^е iL (1 R2 \ -Тгг>-тг2-). Найти ток в контуре (начальные условия нулевые). § 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 1. Z-преобразование н ди кретиое преобразование Лапласа. Z-пре- образованием числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности (сл) называется функция комплексной переменной F (г), определяемая следующим образом: ОО п=0 (1) Если последовательность (о„) удовлетворяет условию | аП | < Меа,‘ (М >0, а—постоянные), то функция F (г) будет аналитической в области |г| > е*, т. е. вне круга с центром в нулевой точке н радиусом R — ea. Формула (1) дает разложение F (г) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (являющейся правильной точкой F (г)), поэтому для восстановления последовательности (а„) ио ее Z-преобра- зованию надо F (г) любым способом разложить в ряд Лоране в окрест- ное ги бесконечно удаленной точки; в частности, можно воспользо- ваться формулой для определения коэффициентов этою разложения (см формулу (2) § 5 гл 12) С (С—контур, внутри которого лежат все особые точки функ- ции F (г) *). Пример 1. Восстановить (о„) по ее Z-преобразованию F (г) = ________1 ~ (г—a) (z— Ь)‘ *) Формула (2) является фактически формулой обращения Z-npe- образования. 2S0
г i i /' i « 1___z_J_____ Имеем: (2_Q)(z_fc) a—b\z—a z~b ) (a—b)z* a \ z lx I «2, о — hn „ „ on-l_bn-l ____L_\ =-----V2 * * 5 --—. Таким образом, an~----—г---- b a-bL z"+i a~b 1---/ n = 0 г / при П^1, Яо = О. ► Введем вместо последовательности (ап) решстчатую-функцию f (n), полагая an — f (и). По-прежнему f (п) удовлетворяет условию f (п) | < < Меап, и примем дополнительно, что f (п) = 0 при п < 0; такие ре- шетчатые функции будем называть дискретными оригиналами. Диск- ретное преобразование Лапласа функции f (я) мы получим, если в Z-преобразовании положим г=еЧ-. Г* (q) 2 f е’"°- п=0 Связь меж ту дискретным оригиналом f (я) и его изображением F* (q) обозначают символом f (я) Н Г* (<?) (иногда пишут I (q) = D [/ (n)J. Изображение F*(?)—функция комплексной переменной с периодом 2л при этом в основной полосе —л< 1ш?<л оиа аналитична при Ре q > а. Таким образом, все ее особые точки лежат в этой полосе слева от прямой Re<? = a. Из формулы (3) вытекает следующая формула обращения диск- ретного преобразования Лапласа: . . T + ni f(n) = 2Hf f F*(q)en<ldq. (4) Пример 2. f(n) = a", найти F* (q). “ 1 e? 4 Имеем Я.(<7) = 22 аПе~"Я = ’’ а ПОТОМу и» О а -- ----. Полагая с=1, получим 1":=,П(п)г":’7а—Г- ► е?—а е 1 Свойства дискретного преобразования Лапласа (всюду ниже пред- полагается f j (л)Fj (q)): 1. Линейность. 2 C/y(n)^2 /^1 /=1 2. Формула смещения. eanf (n)r^F* {q—a). 3. Формулы запаздывания н опережения. а) f(n-*).-e-ft’f‘(«), / k~l \ б) f(n+k)^^(F*(q)~^ f(r)e-r4 291 Ю*
4. Дифференцирование по параметру. Если f(n, x)~F*(q, х), то - - 5. Дифференцирование и интегрирование изоб- ражения. d* a) nRf(n).^(-l)'i^f*(<?), 6) {F*(s) ~f (0)) ds °- я 6. Изображение конечных разностей оригинала. к-\ {п)т^ F* (q)—e4 2 И— I)*-''"1 brf (0). г=0 7. Изображение конечных сумм оригинала. Если g (л) = У. f (k), то g (л).— . fc=0 8. Умножение изображений. Если fi (и) * f2 (л) = 2 fi (r) /2 («—') r=0 (это—так называемая «свертка» оригиналов), то fi (л) * fs («) К (<?)• ^2 (q)- Приведем таблицу изображений основных решетчатых функций: » Ns f (n) F* W) 1 П 1 — J С' П~°’ 0, п # 0 С ( 1, л>0, еЧ 2 = { 0, п < 0 е'/—1 - еч 3 ап еч—а 4 е^п еч ffl — еа еЧ 5^ п (е’1— 1)г гт2 е? (ё<7-Р 1) (е«—I)3 292
№ f (п) Г* (q) 7 л[2} Л(Л—1) ^2 e'l 2! 2 '* (еч— I)3 8 л1*1 л(л—1)...(л—fe-f-l)_ kl “ й! С" еч (г* —l)fcxl 9 Sin Рл еч sin р г*?—2е'/cos Р-Н 10 cos Рп еЧ (еч—cos Р) t’2J —2Нсо5Р-Н 11 sh рл еч sh Р ега—2e-?chp+l 12 ch Рл ' еЧ(еЧ—ch Р) е^.—ЧеЧ ch Р + 1 13 ntfcI Ь ец + /га (гЧ— е«)*' 1 13' л^1 ь — й = С^п (С?_ U)S+1 Пример 3. Найти изображение функции /(«)=₽’" sin Рл. Применяем теорему смещения (свойство 2) и, используя формулу 9 таблицы изображений, находим е2" sin Рл — Г (q—а) = e«-csS|np e<?+«sin Р •' ~ сг w-«>—cos Р4- I ~егЧ—2еЧ cos р' В частности, . 1 „ о оеЧ sin 6 °" 81п Р« = е» Jn<>sin-Рл г- A-2^ioS-p+? ' ► Найти изображения следующих решетчатых функций: 13.174. /(n)=eancosPn. 13.175. / (п) — а" cosfJn. 13.176. 13.177. /(/|) = пг-а". ' 13.178*. /(n)=±L^l=CU. 13.179*./(n)=(n^W=Ckn+m. 13.180**. ДИ)=!5!11П. ft Пример 4. Найти решетчатую функцию f (л) по ее изображе- на нию дрг • -4 Первый способ. Разложим на простейшие дроби функцию f*(<?) 1 е« ~ (е«а—9)а * 293
1 z—3 г ^(г+3)« еЧ -Зп еЧ—3 ' ’ Зе? - пЗп, положив e9 = z: 1 1 (г2—9)2 36 Таким образом, 1 ( ЗеЧ ЗеЧ _ , еч \ (ег7—9)2 — 108 (е«—З)2 + (е<М З)2 е?—3+е«4-ЗЛ Но по формулам 3 и 13' таблицы изображений имеем! (ев—З)2 "" ’ (е« + 3)2: 3)”‘ Отсюда после элементарных преобразований находим: еч . 3»-a(n — I) (1—(—!)«) (е2У_9)2- 4 Второй способ. Переходим к Z преобразованию (полагая еЧ=г)\ -z^ ыл= 2~ • Используя формулу обращения (2) и приме- няя теорему о вычетах, получаем 2ni (г2—9)2 г‘~1с,г С [Zn 1 Г Zn “I -^=9)2-•. 3]+выч [д?=9)Г: -3]. Но Г гп „1 „ d { zn \ ( nzn~l 2гп \ BU4 I (г2 Ч-: 31 “г-^З dz \ z-f-З)2; ~г 1(г+3)2 (г+З)3/ _(п— 1).3Л-3 ’ 4 Аналогично Г г" Ч] ! ПЛ^-ОЗ"-3 выч [ (г«—9)« 3] - < ’) 4 Суммируя эти вычеты, приходим к прежнему результату. Найти решетчатые функции по их изображениям 13.181. F* (д) = (ев_ jj (егв_4) • 13.182. F (?) = е4в_|_ । 13.183*. /Г>(?) = е»4+е^+2’ и-1 Пример 5. Найти сумму Sn = 2 cos fc=0 Используем свойство 7 дискретного преобразования Лапласа: f 1п\ — g7(eg—cos P) ' ' e2^—2e«cos f-f-1 = ^(<7), 294
поэтому . F*(q) еЧ(еЧ—cos р) еч—1 ~{еЧ— 1)(е2«—2е« cos Р-|-1)' Разлагая на простейшие множители дробь (е?—cos Р)/(ев — 1) (e2<i—2еЧ cos Р-}-1) л добавляя множитель еч, находим е<7 (е«—cosP) _ 1 (е« — I) (е2«—2еч cos Р + 1) ~ Т е« е<1— 1 g<7 (ед —2 cos р —1)\ eS7 _2; « COS p-f- 1 )' Но еч 1 — I] (п) (формула 2 таблицы изображений). Следовательно, еЧ (еЧ— 2cosP — 1) еЧ (еЧ— cos Р) ez|__2c4 cos p-f-1 егя — 2ечcos р -f-1 еч (1 -l-cos Р) , " е2<]_2г1?cos р-|- 1 о 1-j-cosp , о — COS Рп----——-2- sin Р«. Sin Р Таким образом, 5«=у (’1 (я)—cos ₽« -I- ctS 4"sIn ) = sin-|—f-sin ~ * p sin cos ~ 1 P 2 sin A sin -|- (n>i). ► Найти следующие суммы: п-1 .[г] n-I 13.184. У — = у Q. 13.185. У 2ftsinAp; к- Г k*= t Л - I 13.186* . Sfc2(H—ky. = J Пример 6. Найти сумму степенного ряда 00 / \ S(/) = y ( cos-^+sin^j п = 0 Данный ряд сходится при |/1 < 1, так как lim ^/|си| =1. За- /!-► СО меняя t на приходим к дискретному изображению функции- с , . пл . . пя /(n) = cos-^-4-sin —: СО / ч г-ж / ч 1 . ПЛ \ f (?)=2- (c0S_4"+sln_rJe ’• ЛЯ О 295
Но е® ( ев—cos-т-] ев sin-г ия . \ 4 1 . tm . 4 cos -j- —-----------------— ; sin-у- —-------------------- егв—2евсОБ-^—1-1 е2в—2ев cos-^--}-l 4 4 (см. формулы 9 и 10 таблицы изображений). Поэтому Н«)= _ < ев (сЧ 4-ев пп . ил . V 2 2 е2в I = COS—.—f-sin—-;--------------~------------=-------—------ . 1 4 4 е2в—)Л2ев_l 1 е2в—у<2 ев-}-1 Отсюда; возвращаясь к аргументу t, находим | t~2 1 ’ S (/)-------~-------------------------. > t~2— /21-1-}-! l — t^2-i-i2 Найти суммы следующих степенных рядов: 13.187. £ sin-^Г‘. | п= 0 13.188. (cos Др-—sin-Др^/". п = 0 2. Решеии разностных уравнений. Пусть дано уравнение + + 1)-{-...-}-аАх(п) = ф(п) (5) № (о6, at.....оА—постоянные) с заданными (или произвольными) на- Ж чальными условиями; х(О)=хо, x(l) = xt...х(Л—l) = xA_j. Пра- вая часть уравюния (5)—решетчатая функция <р(п)— предполагается оригиналом. • Полагая х (n) — X* (д) и применяя формулу опережения (свой- • ство 3, б)), составляем операторное уравнение (оно линейно относи- JS телыю Х*(?)) и определяем из него X* (</). Затем одним нз спосо- бов, изложенных в п. 1, по изображению найдем искомое решение х (п). |] Если исходное уравнение было задано не через последовательные | значения неизвестной функции, а через ее конечные разности, т. е. I имеет вид | b0Aftx(n)-|-biA*_1x(n)4-...-|-ЬАх (и) — <р (п), (6) I то вследствие громоздкости формул для отыскания изображений ко- I печных разностей решетчатых функций (n. 1, свойство 6) его следует I предварительно преобразовать к виду (5) при помощи известных фор- -11 мул, связывающих конечные разности функции с ее последователь- ! ними значениями: | А'* (и) - I = х(п4-г) — <2х(л-|-г—1)-}-С7х(п-|-г—2)4- ...+(— l)'x(n). (7) | Аналогично решаются и системы разностных уравнений. Пример 7. Решить уравнение х„+2—х„+1-^-хп =0, х0 = 1, ' х,=2.
Полагаем хп т* * X* (q), По формуле опережения находим: х„ + 1 ~еч (X* (<?)-х0)=в® (X* (<?)- 1)=е®Х* (0-е®, хп+2 е2® (X* (?) - х0 - Х1е~ Ч) = е2® (X* (<?) -1 - 2е~ ®) = = е2«Х*(<7)—е2®—2е«. Внося эти выражения в исходное уравнение, приходим к оператор- ному уравнению (e29_e?_|_i) х*(^) = е2® + е®. Таким образом, у, - , _ е2®+е< Л W~e24_e?+1- 1 1 1 ГТ- Л Так как cos—=— , С л sm-g , то X* (q) запишем в следующем виде: еЧ—cos Х*(<?)=-^--------'-7 п е2«_2ев.-1-J-1 е2в—2e«cos-y-|-l 2 о Отсюда по формулам 10 и 11 таблицы изображений п. 1 находим пп . , ил „ , 2п-|-1 X„ = COS-g—|-У 3 sin-g- = 2sln—--Л. п т Л П— 1 Замечание. Записать ответ в форме хп = 2 cos —g— л нельзя, так как в этом случае получим xQ—O^k 1 (по условию равенства пулю решетчатой функции от отрицательного аргумента). Пример 8. Решить уравнение x„+2—4x„+i-| 4х„ = 3" при произвольных начальных условиях х0, ii. 4 Полагая ха r-= X* (q) и используя приведенные при решении при- мера 1 изображения • хпл !.—е«Х* {q)—X(fi4t х„+2 г-=е2«Х* ((/) — х^‘—Х1е‘1, Приходим к операторному уравнению еч (е2®—4е®-}-4) X* (q)—xue2®—fa—4х„) e®=^—g поскольку по формуле 3 таблицы n. 1 3".—g ходим . Отсюда иа- еч х* (е«!_2)«+(Х1 4*°) (е«—2)2-г(е«—3) (е«—2)2' 1 Разлагая дробь (е<г_3) '(С/_12р на 11Р00761™116’ имеем е2® е® е« ,. е® X* (q) = Xo ^e_2j2“И*!-’4хо— В (е«_2)2—ев—З^е®—3‘ 297
Но pff pQ —- 3« —-________________- 2« ei—3 ' el—2' ’ 2e« . „ 2e2« (ev—2)2' n’2"’ (еЧ—2)*~(П+^2П+1 (последнее соотношение следует нз предыдущего по формуле опереже- ния). Переходя от X* (q) к оригиналу, находим: х„= х0 2“ +4-п. 2"—2" 4-3" = д*1.~^’~1я.2" + (х),-1) 2«Ч13« = (С14-С1л) 2'>4-3«.> Пример 9. Решить систему разностных уравнений ^+2—^ = 0. J/b+s4**b =0 при начальных условиях xo=j/o = l. Х£=уг 2, ^ = 0. Полагаем хпт^X* (q), yn~Y*(q) и по формуле опережения имеем: хя+»~'е*в (** (9)—*о—Хуе-^ — е^Х* (q)—e24—У 2е“, Уп+г.^^ч (У* (4)—ya—yie~q)^eiciY* (q)—e2«. Получаем систему операторных уравнений е*чх* (q) — У* (q) = е*ч 4- У 1еЧ, €=“!}'• (q)+X* (q)—e24. Так как е^ч4-1 = (егч4-У 2e4-j-l)(eta—У 2e®4-0, то решениеэтой системы запишется в виде е^4-1/' 2е3|?4-с*17 _ е2<? — е«?4-1 ~ег<1— у2еЧ-1-1 ' . = е'Ч—е^—У'^еч__ егЧ— У~2 еч w е*ч 4-1 ~е2ч— у 2 еЧ 4-1' Применяя формулу опережения, имеем: ,л eff-eesln-2- ------е— = К 2--------------^У 2 sin («4-1)^-, е2е__ y2e4-i-l--------------------------e^<?—2e«cos-5-4-1 ’ 4 е2ч—У 2е«4-1 е-ц—2еЧ cos -5-4-1 4 1 пп , пл -/-Т5 (п 4- О п — cos-5—sin—-=у 2cosi— 4 4 4 Следовательно. ,/--н (п-|-!)л (п4-1)л - х„=У 2 sfn i, у„= У 2 cos 4 > 298
Решить следующие линейные разностные уравнения: 13.189. х„+2—Зх„+1— Юх„ = 0; х„ = 3, х2==—1. 13.190. х„+2 + х„+1 + х„ = 0; х0=1, хх==—1. 13.191. х„+2—КЗх„+1Ч-х„ = 0; >'0 = -2 • xi= 2 " 13.192. х„+г-Зхп+1 + 2х„ = 0; начальные условия про- извольные. _ п _, 13.193. х„+8—Зх„+-2 + Зх„+1—х =2 '.Xo-Xi-O, х2 1. 13.194. х„+2-5х„+1-|-6х„ = 2.4«; начальные условия произвольные. Решить системы линейных разностных уравнений: 13.195. x,1+i Хп . х0 = 3, #в = 0> Уп+1 » ’ 13.196. 5хп+1—12х„—!/„ = 0, 6х„—13i/„ = 0; начальные условия произвольные. 299
ОТВЕТЫ ГЛАВА 8 8.2. 3 . 8.3. -g-. 8.4.-у In-jj . 8.5. — (л+ 4) 8.6.-|-л. 8.7. у=х, y=zx+3, х=1, х=2. 8.8. у=хг, у—2—ха, х=±1. 8.9. х-\-у=% i=/4—у\ у = 0, у=2. 8.10. у = У х, у = У2—х*, х=0, х= 1. 5 4 4 5 4 х 8.Н. pxp(x,f/)<ty= J dy^f(x, y)dx. 8.12. V dx f f (x, y) dy -f- 12 2 1 2 2 0 < 7 4 4 e+3 + J dx p (x. y) dy+ J dx J f (x, y)dy=^dy f (x, y) dx. 4 2______ 5 Xr~3 _________ 2 у a I 2flf—Xя a I ay 8.13. f (x, y)dy—§ dy J f(x, y)dx + "° *’/o 0 _j al 2 1 2a*-i/« a Vox 5 f(x,y)dx. 8.14. ^dx f (x, y) dy + “ - Г 2u« 0 0 2a !• a a+Va'-y1 a 1 2ax-x’- + $d* J f&.y)dy=^dy J f (x, y)dx. 8.15.px f f(x,y)dy+ ° 0__________0 v'la о i 2o l’o.i-л1 a/2 (a - lzas-4j/«) 2 + J dx J f(x, y)dy~ $ dy J f(x,y)dx±. 0 0 0 a-l g/2 fl +1 g - — y* a a + V a* — y* + $ dy . J f (x, y) dx+ dy J f (x, y) dx. 8.16. По ° (a + l?^4^)/2 о 2 0_j переменной x; область интегрирования ограничена линиями у=—уГх, 1 2+Г 7-6i/-i/s у = х^, х=1, х=2. 8,17. dy J f{X, y)dx. ____ ~7 2-1 7-6j/-j/s 0 l'x+1 1 V i -x 8.18. J dx J f (x, y) dy-[~ dx J i(x,y)dy. ~l ~Vx+L o -vT^7 300
2 2-1'4-у1 2- 8.19. J dy f{x,y)dx-\-^dy oo o 4 VlO-j/’ + J dy J f (x, y) dx. 2 о V 16-j/» J f(x, y)dx-k 2+V 4—1/* 1 3V^ 8.20. J dx J f(x, y)dy. о x ®p3 lZ4 + {/« 8.21. j dy J f(x,y)dx. 0 21/-2 2a V2<4/-j/» + J dy J f(x, y)dx. a 0 1 -V2jc 1 Vx+f + J dx J f(x,y)dy+^dx J 6 -1 x+1 0 V~ a a — Va1—y2 8.22. J dy J f (x, y) dx -r 0 0 ____ 0 Vx + 1 8.23. J dx J f(x,y) dy-]~ -1 Ti • 3 10 —4/ f (x, y) dy. 8.24. J dy J f (x, y) dx. 1 9/V . 4 8.26. 4tA 8.27. 112/9. 8.28. 1/4. 8.29. о 4 8 32. л2/128« 8.33. — a3. 8 34. e. 8 35. о 1/3. 8.30. 9/20. 8.31. 68/15. 15“3fc2- § § x?y dx dy — G a f(x) 0 islnZ = Jx2d* J ydy= J a2 cos* t (— a sin i) dt ydy, где последний О 0 л/2 9 интеграл получается из предыдущего путем замены x=acost. О 8.36. Зл2а3. 8.37. -рг= а3. 8.38. 1/4. • Средним значением функции f (х, у) в области G называется число /ср = у f (х, у) dx dy, где G 's —площадь области G. 8.39. 1,63 < / < 2. • По теореме об оценке двойного интеграла mS ‘J}dxdy< MS, где т—наименьшее, G М____наибольшее значения функции в области G, S—площадь области G. л/u aV 3 Sin <р л/2 a cos q> 8.40.5/3. 8.41. J dtp J f W r dr + dtp f(r)rdr. О О Л/6 0 stnip Л/2 2cslntf Л/4 cos‘<f 8.42. dtp J /(rcostp, r sin tp) r dr. 8.43. dtp [ (r costp, л/4 c cos ф 0 0 sin2 <p 1 sln<p Зл/4 ”sfnq> л cos'v rsln tp)r dr+ f dtp 4 /(/-costp, r sin tp) r dr-j- dtp J /(rcostp, Л/4 0 Зл/4 0 301
л/6 V 6 cos<p л/2 3l'cos2<p г sin <р) г dr. 8.44. dtp f(r2)rdr-[- dtp f (r®)r dr. О 0 л/6 о 8 45. y !)• 846. 4 °8’ 8 47' Т"' 8'48' 8 49 И™*' 8.50. ^(Зл-2). 8.51. «*• 8-52. ± j dv ,‘^и du. 0 0 b q 3 6-u . . 1 8 53. у du § f(i/u2v, i^uv2)dv. 8.54. у J du § f ( —~ , a p 1 -« a b _ '±Z£V.8.55. 1 \du f/f тЛKwY-.8.56.2TOb(c-K^='i)- 2 / 2 J J \ F t> /v P a c 54 8.57. (e—l)/2. 8.58. ~ (a~3'6—b~or6) (g8'6— p8 '*). 8.59. — ci1. 4 c о 8.60. -i (15— 16 In 2). 8.61.'a2 (л— 1). 8.62. -1 (fca—a*)(n+2). • Перейти к полярным координатам. 8.63. ^а2(8—л). 8.64 (л—1)а2 • Перейти к полярным координатам. 8.65. а2/2Ю. • Сделать замену переменных: x=rcos2<p, j/ = rsln2<p <р < . 8.66. -^д-. • Перейти к 8 обобщенным полярным’координатам. 8.67. —«Б/4)(пя'*—тя'4). ( р2\ ^3 — fi3\ • Сделать замену переменных: у2 — их, vy2^-x*. 8.68.-. 4 • Сделать замену переменных: у2==их,, y = vx. 8.69. -- а2. г 8.70. 8 /2а2. 8.71. 2/2лр2. 8.72. ^о2. 8.73. 4 /"2а2. 8.74. 16а2. О о 8.75. 4ла2(2— / 2). 8.76. ^(ZJ—5V5). 8.77. 2а2 (л—2). 8.78. па2(/2+1п(1 + /2)). 8.79. л,'6. 8.80. 3/2ла2. 8.81. 2а2(я-|-4—4/"2). 8.82. у «б2- 8-83. ^-а3(2— /2). • Интег- рировать в плоскости Оуг. 8.84. 16 15. 8.85. а3/2. 8.86. 4 ла3 (3— /"2). 8.87. nabc fl —-V 8.88. 4 га? (2— / 2). •j \ С I J 2 __ 1 8.89. —лаЬс (2—/ 2). 8.90.-=-1пЗ. • Сделать замену переменных о Z и—гху, у2—сх. 8.91. 9/8. • Сделать замену переменных и = ху, v—yix. 8.92. 8.93. ЛЪ—4с3, Л1,. = 4лг;3. 8.94. •*=4а> 2 3 я о о — а л , л2 . — 141а </- 2-- 8.95. е . 8.96. Мх- Му-\— . 8.97. 20(7__31п2). »=8-р=ТЕЙ- 898- '«-1'12' '«=7'12- 899 ‘“’=ТК- 302
21 49 . , 35 . „ , nab3 , na“b 8.100. /хЦ^л«\ 1у=^па\ 10 = -^па\ 8.101. 7Х = —,/у=—, /0=-^ (a2-j-b2). 8.102. а)-^с4;б) — а4 »/x=_o=Jj (x+a)3dxdy. G 8.103. Ix~~-, Iy=^ka3, l0=^kas, где fe—коэффициент 2a—sin 2a 4 пропорциональности. 8.104. лс*8. 8.105. lx — _ a , ftx+sln 2a flt 8,ioe. Л1). • Q = v(«i—G)x 16 A p P 4«/i2 X JJ \xy\dxdy. 8.107. ---------- • E = (2x-j-y)dxdy. 6 12 —2x 12-2Л-30 6 8 4 8.108. dx dy J f(x, y, z)dz. 0 0 о z) dz. 2 2 V И(4л-И)/2 8.110. px J dy J /(x, У, z) dz. ° -2 ИГ -И(4х— у* 1/2 I Pt-x> । 8 111. dx dy J /(x, y, z) dz. -1 _ rT=x* /л' + v* 8 112. 1/6. 8.113. 81/4. 8.114. o4/12. 8.115. c4/8. 8.116. 1/96. 8.117.4 15.8.118. |o’/i. 8J19’ ^T' 8J20- ЙЛ’ 8J21‘ °4/!0’ 8 122. nah. 8.123. л. 8.124. ra»4sins5-. 8.125. 1/105. 8.126. бла 15 3 8.127. ^!(2-K2). 8.128.^. 8.129. £ nR^. 8.130. 8.131. 8.132. • Перейти к мулам: I =аЬсгг cos 0 ( • Перейти к у/"32. • Перейти к цилиндрическим координатам. а3 45. • Перейти к сферическим координатам. 8.133. n“«bc/4. И1И к обобщенным сферическим координатам по фор- х=ar cos <р cos 0, y^br sin <р cos 0, z = CTSln0. При ^этом SsO, 0^<р<2л, 8.134. g-Jw1. цилиндрическим координатам. 8.135. ла3{3. • 3 9 Перейти к сферическим координатам. 8.136, М —-j пува3, TcP=Jg То- 303
8.137. Л4=-|- ityeR*H, Tcp=-|-Yc- 8.138. /И=^лу0а3, уср=^лу0. 8.139. М=Ллуо03, Тср=^То- 8.140. М =1 ny0R*H, уср=-^7о. 8.141. Д4=у л2у0/?3, Тср=-^яу0. 8.142. ^0, у с, 8.143. (о, фь, y/i). 8.144. (о, 0, у я) . 8.145. (о, О, -^Н^. 8.146. Го, 0, 2- rY 8.147. 8.148. 4-яуВД4. 8.149. 2.nyBR\ 8.150. In f~+ 1/" • ◄ Ньюто- у Ь2___а2 \а ' а* ) новым потенциалом тела Т в точке Л40 (х0, ув, гв) называется интеграл Ш, '. dxdy dz У(х, у, г)-------, где у(х, у, г) —плотность тела, ' = } (X—х0)2+(//—й)2+(г—г0)г. -га т dx dy dz V tf-W+z* Перейдем к Имеем: U=y^d^dz = т цилиндрическим координатам: 2л Ь ТУ^ JJJ p<r2-|-z2 j J j Г'Гг+г3 Г1>2-а3 * (4+ /?-’)• ► S'15'- (КгР+Л'-И). где k—постоянная закона тяготения. Приняв вершину конуса за начало координат, а его ось—за ось Oz, получим уравнение конуса ».» R2 я г> • в виде х -f-y ~~/рг • Вследствие симметрии результирующая сила притяжения будет направлена вдоль оси Ог и выразится интегралом ^^га^-гаи Г т г dx dy dz (х2+^+г2)3/3 . Перейдем к ци- 2л я н лнндрнческим координатам: Fг = Ay С «ftp С г dr С zdz — JJJ (гг_ьгг)3/2 б о Н v ~ 7 2nvkll _____________ 8 ’ К 1 = + ► 8.152. isyha*. 8.153. jq^R2. 8.154. 1/4. 8.155. п/2. 8.156. 4л. 8.157. 1. 8.158. Расходится. 8.159. Сходится при а > 1. 8.160. 4. 8.161. — л. 8.162. л/2. 8.163. Схо- дится при а<1. • Изолировать прямую у = х узкой полоской и 304
1 л-8 С С dxdy (“ и f . . 8.164. Сходится при положить dx J (х-у)«' G 0 0 а < 3/2. 2 8.165. 15/4. 8.166. 3/7. 8.167. f (хе). 8.168. — ln(l+V). 8.169. 8.170.2^’-^- у*+у У —У у* У — С хге~ух*йх. 8.171. (х(х—у) cosху—sinx//) dx. 8.172. х (2—3//2)Х * х 0 1 X / И)+^ / (j)+x2y (1 ~У*> Г {ху)' 8Л74’ Е (E~~F}' pt_____£______£1 • При вычислении F' показать, что ? ~ Л(1—Л2) k • Я/В . Яр® j (l-ft2sln2q>)-3 2d<l’=T^ \ (1-Л281п2ф)‘/2Лр, для чего ис- 0 • ° 1 пользовать следующее тождество: (1 — Л2 sin2 ф) 3 2 = X X (1 -fc2 sin2 Ф)1/2 ~ (sin ф cos ф (1 —Л2 sin2 ф)~*/2). 8.175. aretgy. 8.176. у In 2. 8.178. F (у) сходится -неравномерно на [1/1. .'/гЬ если этот интеграл сходится при любом //£[{/ь 1/«1. ио существует е > 0 такое, что для любого В > а пайдется у=у(В) £ [I/1.I/2]. Для + о> 5 f(x’ у) ах -=se- 8Л79- Сходится равномерно. 8.180. Схо- . В лится неравномерно. 8.181. Сходится равномерно.. 8.182. Сходится равномерно. 8.183. Сходится неравномерно. 8.184. Сходится равномерно. 8.185. Сходится неравномерно. 8.186. 8Л88. у In £•. 8.189. arctg arotg . /---_.в’ 8.191. |п (! + «)• 8.192 у у у е которого Сходится равномерно. 8.190. arotg Р • Продифференцировать dF _ б интеграл по параметру?/ и решить уравнение — 4V 8.193. у In (а + / 1+<х2)- 8->94. л (К 1-а2—0- 8.195. л 1п 1 + К1—а2 2 305
ГЛАВА 9 9.4. «/(ln| 1 — х2|+1) = 1. 9.5. у(1+х)=1. 9.6. «/=2-3 cos х. 9.7. f(x,y)=O, < О-max. > О-min. 9.8. У)-^=°: а) ^+х’+Зх2 = 0; б) «/ = In (х+ К*2 + 4) — In 2. 9.9. х2-\-у=ху’. 9.10. xj/'-L«/=0. 9.11. y' = ythx. 9.12. 2x^'=x2+f/2. 9.13. УУ' — х. 9.14. х#'+2# = 0. 9.15. у' = . 9.22. «/2 — _х2 = с. 9.23. у3 + Xs — Зх = С. 9.24. у2-'гх2 = С. 9.25. «/=Сх2. 9.26. y=C(x-f-l)e-*. 9.27. arcig у — arosin х = С; х — ± 1. 9.28. ех4-е-4'=С. 9.29. у sin у + cos у—х cos x+sin х — С. 9.30. arotgj/4-у 111 (1+*2)=С. 9.31. у = Се*,1-А>; х= ± 1. 9.32. у = = С У 1~ьД. 9.33. (l-|-e*)2tgj/ = C. 9.34. ех—е2У—2 In | 1+f/1— (У—О2—с у=—\. 9.35. у = С(1-Ьх2)е-агс!1пА. 9.36. Уу + 4-х(1 —1пх)=С, f/ = 0. 9.37. tg^^—х=С, x+f/=(2/s+l)n, k£ Z. 9.38. 4x-f-2y-|-1 =Ce24/. 9.39. arctg у (4x-]-«/-L 1)—x=C. 9.40. (2x+C)ftg-l-(y—x— 1) —1) = 1, У-x— l=-^+2ta, k £ Z- \ z / * 9.41. 4«/—6x—7 = Ce-2* 9.42. 3 In j/4x-y-|J + 2 V 4x—H-l—2 —Зр/ 4x—«/+1-|( 4-x-l-C, 4x—f/4-9 = 0, 4x—y—7 = 0. 9.43. x2.—f/2=U 9.44. у (x2 + «/2)-|-ln|-^|=l. 9.45. f/ = slnx. 9.46. у — = XxK21n|x|4-C. 9.47. j/ = 2x (arctg Сх+лЛ), $/ = (2*+l)nxj *gZ.9.48. x2—2xy~ y2 = C. 9.49. arcsin y—— J^x2—y2 — In | x | = Gj y= ± x. 9.50. xes"A = C, x = 0. 9.51. ev/x=Cf/, y=0. 9.52. e-^/x=Cx. 9.53. In —=2arctg (In | x |-|-С)^ y = xe2kn, k £ Z. 9.54. «/=xarcsinCx, yr knx, k £ Z\{0}. 9.55. y = xsin(ln|x|-|-C), f/=±x. 9.56. j = = C(f/2—x2), «/=±x. 9.57. у3 = х3+Сх^у3-\-4х3), y = —f/4 x. 9.58. x2—xy-]-y2+x— y=C. 9.59. x+y— 1 — C G/ + 2)2, y- —2. 9.60. x+2#4-3 In | x+y—2 | = C, x-]-y = 2. 9.61. f/+2=| у + 2 = Ce-arC‘B^3. 9.62. sin^_^=C(x+l). 9.63. lng|-l=^-. __ 1 9.64. y--^xe^x. 9.65. In | у Ц-2 /x/«/=2. 9.66. y=—(x2—1| 9.67. y=e-*2 j . 9.68. y=x2+Cx3. 9.69. f/ = sln x+C cos J 9.70. «/=(x+C)(l-|-x2). 9.71. n = Ce-2jf+4-«B*. 9-72. j/=xlnx-J О 306
+ 9.73. у = (*4- 1)а (е*+С). 9.74. х = Су-|-1у\ у = 0. • За- писать уравнение в виде —; опо линейно относительно х и 9.75. *=arctgy—14-Ce-arctgi/. 9.76. y=xslnx-|-Cx. 9.77.у= =<ех (С+1п | х|). 9.78. у=х(Се-*—1). 9.79. х=Су+1п2у, у = 0 9.80. у = (х+1)(х—arctgх+С). 9.81. х=Су+у®, у=0. 9.82. sin у= = Се *-|-х^ 1. • Положить sin у = г. 9.83. y*=sinx. 9.84. у=е2*— — еХ + -2х+Т' 9-85’ *=Р1пу+т-- 9.86. y=e-2*-2fc+lx2y, х/ \ л. j у—0. 9 87. у=^——у=0. 9.88. у=(со5хрЛС—3tgx) \ у=0. 9’89‘ 2~cosx-|-C * У=0' 9’9<К *а-Се’1ПР-2<sin *Н-‘> • Записать уравнение в виде g=^-cosp+sln2у д_сГ|15=ц 9.92. ху (С—In2 у) = 1. 9.93. х2 (С—cos у)=у, у=0. 9.94. уЗ= 1 (3—2^osn 9.95. х2=1/(у+3у2). 9.96. x2-l-xy-i-y2=C. 9.97. 5х2у—8ху-|-х-|-Зу=С 9 98. х3-1~Зх2у—2хуг—у3=С. 9.99. ху——-к— —С 9.100. — * У У У2 — 2у~С. 9.101. Их2—у2+ху———С. 9.102. х2+уе~х = С. 9.103. х2-|-уе*'У = С. 9.104. x2cos2 у+у£=С. 9.105. х sin у+у cos х + 4 ,П|^"|=С‘ 9-Ю6. Вся плоскость Оху. 9.107. у # х. 9 108. уф 9.109. х>у2. 9.110. у=0. 9.111. у=1. 9.112. у=—х. 9.113. у=х2/4. 9.114. х=2р+6р2-|-С, у = р2-|-4р2; у=.О (особое решение). 9.115. х=2 |<р2-|- 1 -in (1-{- |<р2+ 1)4-1п р-|-С, у = = Р V 1 + р®; Р=0 (особое решение). 9.116. х=еР-|-С, у=(р—1)еР. 9 117. у = Сх- -^-(С2—х2), у=—Xе (особое решение). 9.118 х = ~ Р8 Р4"2> Р='^'Р1—^4"^-- 9.119.x=pcosp, y=p2cosp—psinp— '. 9.120. х=2р—Inp, у = р2—р+с. 9.121. х==Су+С8, (оербое решение). 9.122. у^1сх2+^, у=±х (особые ~ру1 ’• Р=°. У-x-f-l (особые решения). 9.125. х = Ср— In р—2, у==уСр2—р. 9.126. у = Сх—~, у2=—4х (особое решение). 9.127. ух=СхЧ-С+ ]Гс, у----- (особое ре- шение). 9.128. у—Сх—ес, у=х(1пх—1) (особое решение). 9.129. у= = Cx4-cosC, y=xarosin х-|-1^1—х2 (особое решение). 9.130. Ли- нейное; y=uv. 9.131. Однородное; у—их. 9.132. С разделяющимися С 2 решения). С 9.123. х= (I -р)-' У==~"2 р2+ Ср2 (1- 307
переменными. 9.133. Уравнение Бернулли; y=uv. 9.134. Лниеннов относительно х; x=--tiv. 9.135. Уравнение в полных дифференциалах. 9.136.-Однородное; х^иу. 9.137. Уравнение Бернулли относительно] х. x—ttv. 9.138. Приводящееся к уравнению с разделяющимися пе-1 ременными; и=у—х. 9.139. Линейное; y = uv. 9.140. Уравнение Бер-d пуллн; y=±uv. 9.141. у = х2^2^-Се~х‘2. 9.142. In |f/|+-i-=C, {/=oj 9.143. jx1 cos 2y+x=C. 9.144.. (^J-Ckcbs9’145’ У== = р/с+’Зх—Зх2 . 9.146. x = j y2+Ctf, y — 0. 9.147. In |x|+ex/&=C, z=0: 9.148. l+f/2 = C(l—'x2), x=±l. $.149. x*—x2y2+yi = C. 9.150. y=l/(l + lnx+Cx),£ = O(x > 0). 9.151. (3x+2y—l)(x—l)=C.. 9.152. arctg —=ln y^x2 + f/2 + C. 9.153. 2{/cosx+cos2x=C. 9.154. х2+х'1п £/—cosy=C. 9.155. y=--Cx— InC, y= 1 + In x (особое решение). 9.156. x = 1/(Се-'Л2 + 2—j/2). 9.157. ln|x|—cos-^-=C» 9.158. еУ^х21пСх. 9.159. x=Cy2-y2 (y+1)е~У; y=0. ' _____ dx . yx 9.160. x/l+f/2—sin y — C. • Записать уравнение в B,Wc^+f^ = = . 9.161. x-{-arctg—=C: x = 0. 9.162. C-|-ln|slnx| »’+r x — etgx) ; {/=-0. 9.163. y=C2-l-Cx—j, (ocoCoe решение). 9.164. (x+f/3)3 = C(j/®—x); x=j/®. • Положить f/=zl/3. 9.165. y — = ±ln|x2— 1 |. 9.166. 1) i/2 = 4x, 2) xy2 = 4. 9.167. j/=±^7p 9.168. (x-l-C)2 + </2-«2. 9.169. p2=^± 2a (x-hQ. 9.170. 2 chy. 9.171. //2w-x2/(x2-l-3). 9.172. t/2=a6x4-9. 9.173. 1) ^ = 4(x— 1), 2) 9.174. y2==4x. 9.175. r=2e'f'-a. 9.176. x2-|-f/2=2i/. 4 9.177. x=f/(3±lny). 9.178. i/2=2x+1 — e2x. ’9.179. y=——x2. 9.180. x=±.(4----И- 9.181. у-^х^Ьх2 — 1. 9.182. = + \ У J z 9.183. 2х2-}-3{/2 —C2. 9.184. x2-\-2y2^C2. 9.185. y = C,.x2. 9.186. x + + j/2 = C. 9.187. 7’ = a+(7’u—a)e-«. 9.188. Через 40 мнп. 9.189. w=5-(3/5),/l20 (об.-'с); через б мни 18 с. • Уравнение имеет вид — fee. 9.190. Через 1575 лет. 9.191. За 6 мин 5 с. • Урав- нение имеет вид wv (ft) dt ——5 (ft) dh, где ic—площадь отверстия, v(h)—скорость истечения воды, ft—уровеш етж 5 (ft) — площадь поперечного сечения icocvjia, t—время. 9.192. 0,0878. • равнение имеет вид dQ=*— kQdh. 9.193. к50с; ж15м. 9.194. 1^0,0011 с. «> Уравнение имеет вид т^~~ ^ '2‘ в-*®®- 0,5 кг. 9.196. а) 56,5 г; б) 7,84 ч. 9.197. 0,06%. •’Уравнение имеет вид (0,01х—0,0004) 1500 dt— =-10800-0,01 dx, где х—объемная доля (в %) углекислоты в воз- 308
£ / момент времени t 9 198. ---rz—Rsinud—L(ocosco/+ R- + L2co2 \ -4- духе в + Lax 9.199. у' < х2. 9.200. у' ХО. 9.207. {/" = 0. 9.208. 'Я2- 9.209. у"+у=О. 9.210. у'"=0. 9.211. i/=(Ci+arctgx)x—1пК 1+х2+С2. 9.212. f/=^-slnz+C1x+C2.9.213. y=j InH+C^C^+Csx-l-C,. 9.214. i/ = ^-x2ln|x| + 4-x34-C1x2+C2x+C3. 9.215. Cjz/=CiX— Z iJ X2 -IntCxx+lH-Cj, y=^+C, y = C. 9.216. y = Ct tg (Qz+C.J, 2C1x4-C2 = ln|-—— , y(C—x)=l, y=C. 9.217. j/==C1slnx+ -}-C2—x — ySln2x. 9.218. y=C1x24-C24-e* (z—1). 9.219. 4Ciy = = 4 + (C1z+C2)2. 9.220. J/=x+C! hi|y|+C2. y = C. 9.221^ y = =CfarctgCtx+C2, 4,==2к1п|гй§|+С2’ Г'=С-Т- 9.222. C^=(C?xe+l)arctgC1x—Ciz+C2, 2y=knx2+C (A=Q, ±1, ±2, ...). 9.223. {/ = 7?-eC,Jf+1 (x-^+C2, y^+C. 9.224. у = = i+Ci hi I z I + C2 9.225. y=C2 (x ^x^-i — In t x+ Kx2-! |)-|-x2+ -h C2. f/=Ci (x /T=72 + arcslii x)-|-x2-|-C3. 9.226. y=Cx (x—e~x)+Ct. 9.227. 2y=CiCos2x+(l+2C1)x2 + C2x+C3. 9.228. t2y=C1x2 — — 2Ci (x-f-Cx) In | x+Ci H-C2x+Cs. 9.229. у=Сл~(x+Cj In | х-|-Сх |-f- -J-CgAr, y—CjX-p^2* 9.230. x = 2Cip—lnjp|-|-C2, у — Cip2— p\ y=Ce~x; y=C. 9.231. x=±(KT-2Cj) j/ Vy+C^C^ 9.232. VCa2+l/Ci = C2 ± x. 9.233. C{y+ 1 = ± ch (Сцх+ C2), С1У—l=sin In I lny~C1 IlnfZ + p! :схх+с2), 2f/=(x+C)2, £/=0. 9.234. In^Cj tg (Cxx+C2). =2Cix+C2, (C—x)ln#=l, y—C. 9.235. etgу=С2-|-С1х. filX___ 9.238. -±ec^ 9.236. у=1 + т;-•1; тг 9.237. У=Л (x34-6x-) + C1x In | x | + C2x+C3. C 1-V 7|- C 2 1 f/2=^-|-C1x+C2. 9.239. y=C1x+^. 9.240. y=C2 (xec‘x— -|-C3. 9.241. y=C2xe~cilx. • Уравнение однородно отно- 4-(xI+C1)3/2 ентельно у, у', У. 9.242. у=С2ег I . .9.243. y2=Cl}?+Ct. 9.244. у=---. 9.245. у=(х— 2) е«+х+3. 9.246. у=— 41п2х+ г cos2(x + Ci) 2 + 4х2-2х+4-- 9-247. у=-|-х2К2х-^- 9.248. у = 21п|х+1| — Z Z о о 309
— *4-1. 9.249. y=— ln|z—1|. 9.250. In | tg {дЧ~^) |=2 (z + 9.251. y—tg*. —л»'2 < x < л/2. 9.252. у—ек '2. 9.253. (3—x)tf = = 8(xl2). 9.254. y=l-psin*. 9.255. y—1—e*, y——l+e-x. 9.256. y=l—x. 9.257. x = C1eP—2p— 2, y=C1(p—l)e/>—p2+C2. Й.258.*=^У1Ч-^Ч-С1. f/=l+A+c2. 9.259. x=(p+l)^+C1> y== ргер^-С2. 9 260. z=3C,p24-ln | p| + C2, y~2C1f^ + p, y=C. 9.261. y=± Ineos*. 9.262. a) у = £-ch (C1*4*C2) прн у" > 0; 6) (x+C2)2-|-p2 = Cf при у" < 0. 9.263. а) 4(Ci£—1)==С?(*4-С2)2 при у" > 0; б) x = Ci{t—sin ПЧ-С2, у = у (1 — cos t) при у" < 0. вычислить с помощью подстановки y — Ci sin2у . . 9.265. еу,а=--------, где а = — . 9.260. v = cos x/ct qg ^Lt I, *=" Inch / « 16,6 м/с. о Использовать ответы к задаче 9.266, положив P=mg. 9.264. у —a ch 9.267. 1,89 с, 9 268. Время подъема Тп ; высота подъ- 1 1+~^Р скорость спуска ^„=^0 У - . , 2 / r mp~t-RVo т 1 1Л m 1„ Kmg Ч-К* Исп Q9fiQ |7r„ время спуска 7СП = у У 9.269. 1,75 с, 16,3 м/с. • Использовать ответы к задаче 9.268. 9.270. х = = 1/4ч-А'2- 9-271- VxS—^/2* т=3^ ]/ "Г • Г- mxt г тхч г к 9.272. х= — Сч-“о 1пГ^/Г;х=-т+^((1~«01п(1-а/)+а/), х (Ю) = 0,54 км, х (30) = 5,65 км, х (50) = 18,44 км. 9.273. ]Л^T(V^(W-«)+-^arcsin (|-^)ч-^-И 9.274. r; 116 ч • Использовать ответ к задаче 9.273. 9 275. rj 11,18 км с. где k = 5Z^p 384 * в£/у"=-|-^-^----х2^, где Е—модуль КЗнга, / — момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Ох. 9.278. Ely — 310
(Fl2 . qP\ Fx3 qx* FP qP FP qP 2^G/X 6 24 3 8’ Е,Утг*~ з 8 ‘ ПХ^ • EIy" = — Fx-—, где E—модуль Юнга, 1—момент инерции поперечного сечения балки относительно осн Ох. 9.279. F=3/6ql. • EItf = F (/-х)-9 ^^2 ., EIy=F (f~^3---------------' + (Fl2 qP \ FP ql* —-----c”)* g—где F~'МОДУЛЬ Юнга, 7—момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Ох. 9.281. у — = Cie’’* + C2e«. 9.282. 1/=С1е3*4-С2е-х. 9.283. у=С1^у^-|- 4-C2'^L£. 9.284. у=Сг (4-xln l-P-N —1^4-C2x. 9.285. ^=Схх4- \ £• I 1 “ XI J C C -I—-4—-- . 9.286. Линейно независима. 9.287. Линейно зависима х 1 х- 9.288. Линейно независима. 9.289. Линейно зависима. 9.290. Линейно независима. 9.291. Линейно независима. 9.292. Линейно независима. 9.293. Линейно зависима 9.294. Линейно зависима. 9.295. Линейно независима. 9.296. /4-/=0. 9.297. if—4if-\-5y=O. 9.298. у" — 6 12 — -у’-\--^у = 0. 9.299. у’"—if = 0.9.300. /"4-/ = 0. 9.301. у'"— —tf=O. 9.302. у"—8/4-15«/ = 0. 9.303. у'"—2/4-/—2// = 0. 9.304. Из равенства (^(х^^О следует, что однородная система линейных алгебраических уравнений с неизвестными aj, а2.....а„ «11/1 (*о) 4- «21/2 (х0) 4“ • • • 4- о-пУп (х0) = 0, «14/1 (Хо) 4- «21/2 (Хс) 4- • • • 4- «п£/п (Хо) = 0, (*) «11/1‘п - “ (хи) 4 ^у-/11 - « (х0) 4- • • • -к «л1/л,я ~ ” (х0)=о • • • * имеет такое решение aj, ......ап, что не все а/ равны пулю. Функция у (х),= а’й (x)4-a2jra (х)4-... 4-а*«/„ (х) является решени- ем данного линейного однородного уравнения и, как это следует из равенств (*), удовлетворяет начальным условиям </(х0) = 0, / (х0) = = 0, .... /и-1’(хс) — 0. Но таким же начальным условиям удовлет- воряет и функция у~0, тоже являющаяся решением данного урав- нения (функция у=^0 есть решение любого линейного однородного дифференциального уравнения). Отсюда на основании теоремы Коши о существовании н единственности решения заключаем, что а*уг (х)4- 4- ... 4- апУп (х) = 0 на (а, Ь), т. е. система функций ух (х), ..., у„ (х) линейно зависима на (а, Ь). Но тогда вронскиан IV (х) этой системы равен нулю всюду на (о, Ь), что н требовалось доказать. ► 9.305. У У' 1/1 (х) У1 (х) 1/2 (х) 1/2 (х) Уп (х) Уп (х) = 0. • Всякое решение у{т(х) ^(х) ... ^л’(х) у искомого уравнения вместе с функциями уг (х), у2 (х), .... уп (х) образует линейно вавиенмую систему. 9.306. у- e*-|"2cosx4'3sinx. 311
9.307. ^=e*+2e2jf+3e3x- 9 308- У-C1*s-|-'C2*44-j-*. 9.309. z/=< = Cie2*-|-C2 sln*4-C3 cos*4-e3*. 9.310. у=С1ея-\-С2х—*3—1. 9311, y=CiCos x-f-C2x cos x—sin*cos*. 9.312. y — Cieix-\-C2ex-[- + 5*4-6—e2*. 9.313. i/ = Ci4-C2sin*-|-Cscos*4-y- ex—sin 2*. 9.314. у=е**(1 + (1—Л)х). 9.315. у''—у'—Gy^O, у=С1е3*4-С2е-2л. 9.316. if—2/-f-ji = 0, </ = (G4 C2x)ex. 9.317. yn—6/4- 13j/ = 0, y=^(Ci cos 2*-|-C2 sin 2*) e3*. 9.318. y"'—6/4-12/—8z/=^=0, у = = (C1-|-C2*4-C3*2)e2*. 9.319. /"-8/4-16/ = 0, 0=C1 + 4-(C24-Cs*)e4*. 9.321. f/ = C1e11-’Z3 ,Jt4-C2e(1 + 1/=”*. 9.322. z/ = = e~Sx (Ct cos 2*4-C2 sin 2*). 9.323. z/=e3v (Cj4-C2*). 9.324. z/ = = С1е2ж4-С2е“*х/3. 9.325. y = ex (ci cos y4~C2 sin у j. 9.326. у = = (Ci4-C2x). 9.327. у — Cje^-J-e2-* (C2 cos 3*4-Cs sln3*). 9.328. y — CL cos*4-C2sln*4-Cscos У3*4-С).ч1п K3*. 9.329. у = = Ci4-C2*4-(C34-C1x)e--,t. 9.330. y-Cl-|-C2*4-C3e*4-C4e-*. 9.331. у—Ci cos*|-C2sln*4-*(C3COS*4-C4sln*). 9.332. f/ — (Ct4- 4- С2х) eix -|- (С3- С^)е~2х 9.333. tr = C1-|-C2 cos 2*4-С3 sin 2* + -j- х (С4 cos 2*-|- Сь sin 2*). 9.334. у •= Сг -|- С2* -[- Сз*2 4- е*х (С4 -|- С„х). 9.335. 1/ = (С14-С2*)сх4-(Сз+С4*) cos*4-(C04-Ccx) sin *. 9.336. у = = С14-С2*4-С3*24-С4*8--е-*(С54-С0*). 9.337. у-ех. «’.338. у= = (7—3*)е*~2. 9.339. z/==24-e-x- 9.340. ^ = sh*. • Начальные 5 1 условия у(0) = 0, у' (0)=1. 9.341. у=-—ех—^-е3*. 9 342 У — =Cie-*4-C2e-2x4-(e-*4-e-2-,f)ln(eJf4-l).9.343.f/=(C1—ln|sln*|)cos2*4- 4-^Cs—*—ctg * J sin 2*. 9.344. у— ^Ci C±x 4- —x2 4- 4-*arcslny ex. 9.345. £ = ^Сг4-С2*4-у *2 In *- у *2^ е~2х. 9 346. (4*34-й*2) e4x. 9.347. * (Л cos 4*-f-B sin 4*). 9 348. Л*4- 4-В cos 8*4-С sin 8*. 9.349. (Л*-}-В) sin 2*-(-(С*4-В) cos 2*. 9.350. (Л*24-В*)е4*. 9.351. Л*® |-В*г4-С*. 9.352. е* ((Л* |-В) cos 2* + 4-^*4-0)510 2*) 9 353. *с2х((Л*2-)-В*4 C)cos3*-|-(B*24-B*4-B)sln3*). 9.354. £/=Cie’4-(c2—9.355. у=СА ch*4-С2sh*4--^^ . 9.356. у=С1е*4-С2е-4*—— (4+^ е~х- 9-357* У^Су^х 4- . D . V v м<> / 4-Сге3*4-у (5cos3*—S1O3*). 9.358. у = (С4 4- С2*) етх 4- (/п2—и2) sin п*4-2л1л cosn* _ I 4----------(m24-n2)2--------’ 9‘359’ 4/ = (ci + c2*)emx+2^2cos/n*. 9.360. у—CiCos *4-C2sln*4-*(*sin*-|-cos*). 9.361. y—CiCos2x-\- 4- С2 sin 2*4- -g- (1 4- * sin 2*). ^362. у = CieXl 2 -f- C->e ~x/i—x3. 312
9.363. z/=xCie-2*+C2e-3*-(-l^*+xe-2* 9.364. ^=C1 + C2e3* + 4--g-^3x4-2x+3x2. 9.365. r/=Ci4- CgX-[- (Сз-f- x) e~*-|-x3—3x2. / x3 \ 9-366. y= Ci4-C2x4-C3z2 4—g- ) ex. 9.367. y—Ci-\-C2x-lrCg cos x4* X2 -hC4sln *+-—(zs-l-2x—12). 9.368. f/^C1e*4-C2e-*4-C3cosx4- 4-C1slnx4~|-(x—3) <?*-ySlnx. 9.369. J/=C14-C2x4-Csx*4-C4x» + + 24+(-g-—4x+cJe’. 9.370. 2e*4-e—1. 9.371. у = = e*—e~x+x8. 9.372. f/=-^-4-cos 2x+^nsln2x. 9.373. y = 2cosx— — 5slnx4-2e*. 9.374. y=2xex. 9.375. t/ = cos x4-2slnx4-e-*—3ex 4- 4-2xe*. 9.376. y=ex((2x—n— l)sinx—ncosx) 9.377. y=Ct cos In jc|-|- 4-C2 sin In | x |. 9.378. J/ = Ci cos (2 In | x|)4-C2 sin (21n | x [)4-2x. 9 379. z/ = C1x’4-^ 2lnz-|-y. 9.380. у = Cj 4- C2x« 4- C3x*. 9.381. J/ = Ct4-C2ln|x|4-Csxs. 9.382. £=(2x4- 1) (Ct + C2 In 12x4-1 |) 9.383. l/ = -sh2n 'shx- 9.384. t/=—9.385. y=—£2-5 (единствен- ное решение) 9.386. Нет решений. 9.387. (х—2)24-f/2 —5. 9.388. у — = 1— sin х— cosх. 9.389. f/= |/". 9-390. x24~x2lnx. 9.391. x=e-a( (aeosp/H-^qp? skip/), где B=l, P = — 1/ a'2 • • Уравнение имеет вид m-^-A-k^-A-kx—G. ~ m at* ' at 9.392. x=e~«' ( a ch p/4-5£+A sh pt 1 где a=X, ₽« if a^A . \ P / 2m V rm d-^x dx • Уравнение имеет вид m-^-=kx—к—. 9.393. a) r^achwl; 6) r = —short. « Уравнение имеет внд A^=<o2r. 9.394. г = a> — ae-uutl сЬ<оУ14-р2 /4—-~Р ' 8hml/'14->»« Л, 9.395. 7 = 3 \ K14-H2 / — —-^г 1п (94- У80) ~ 3 с. • Уравнение имеет вид 44-——s = У g dt2 9 К . W = V* Где 5“~ПУТЬ» пройденный за время t концом опускающейся n one 2g sin 30/ — 60 У a sin У pt части цапи. 9.396. х—-^-----------------°Мсм). • Если х d^x отсчитывать от положения покоя груза, то 4^-=4g—/г (x^-j-x—y—I), 313
где Хо—расстояние точки покоя груза от начальной точки подвеса пружины, Z—длина пружины в состоянии покоя, поэтому k(x0—l)=4g г (Рх » и, следовательно, 4-^-==—k (х—у), где k— 4g, g —981 см/с*. _R_ 9 397. i—e ‘iL 1 Я2, LC 4L* t-------Х -I-/?2 2 dP E _______ Cco 1 —sin 1 Я2 К LC 4L2 Lco^ coso>/ + /? sinco/ j . • Дифференциальное уравнение . 9.3SS. . Инеем de i d2i i 1 . ^=£<0 cos со/. Дифференциальное уравнение цепи: L^-(—^-i = = £cocosco/. Общее решение соответствующего однородного уравне- ния: й — Ci cos ,L^-t4-Ca sin -^=-1. Частное решение линейного / LC К LC_ неоднородного уравнения имеет вид i = t (Л cos со/-}-В sin со/). Тогда Л<о sln со/-}-Всо cos <о/) +Л cosco/+Bsln со/, = t(—Л(о2со8<о/—B<o2slnw/)4-(—2Л(1>51п«<4-2в<осо8(оО- Подстав- г <Pi . „ 1 п ляя в уравнение выражения i и н учитывая, что Lap——=[), получим тождество L(—2Лсо sin со/-|-2Всо cos со/)« £w cos со/, откуда Л=0, В=-Д-. Следовательно, i = 1 sin —г . Общее решение: 2L zb yf [£ ’’=C1 cos 777 <+<?2 sln 77c *+ i1 sln 777 * Вь1ЧИСЛЯЯ -----sln -.7- t + cos * — t -| ~= t cos —~ /LC /LC /LC /LC 2L /LC /1 E 1 -p-^j-sln — t н используя начальные условия, найдем C1=C2 — L). Е 1 Искомое частное решение: /=-„7-/510—/. ► 9.399. / = 2z- / LC Е Е = —-----cos ф sin со/ 2J- / cos (со/ + ф). 9.400. x24f/2 = z®—2г(у—ху'), х-\-уу'~гг'—г'(у—ху'). 9.401.'ад'-|- 4-гг'=0, /4-2хгг'=х2г'2. 9.402. du._r:. 9.403.^ = 1 1 1 г и xyz—z^ 1 dy du dv dw _ 4/44 dx dy dz du dv dw = -^==. —=—=—5-. 9.404. — = ~=—==-—=—j—=--------—~ = и v w y~ 1 v w t v+а» w-f-t = _^_. 9.405. ^=^=^=^=^=- 9.406. ^=Л= 1 v и 2y—г w x^y—1 1 t Я- 9.404. 314
dz dt du dv dw x2 — иг z-f-u v w —xy 9.412. C1x2 = 2/4-C2, t/2 = = C1(2/+C2). 9.413. za = l« +Ci, ^=la+C2. 9.414. г3 = (С2^-У2' В’415, *=1п1Сз(С1<+С=)1- У = 1п|С,(С11 + + C2)|-cl, z^Cj+lH+Ci,. 9 416. x2+^4-z2 = Clf/, z^C^y. 9.417. x=C1l, у=С^-}--^-. 9.418. z—2y—Clt 2 У z—x—y-\-y=-C2. 9.419. x2=Cie2<-|-C2e-W, j/2=Cie2'-C2e-2f. 9.420. у=х-\-т^— e~c'x, ^1^2 z = C2ecix; y=x—ex, z=e~x. 9.421. z = C1y, У3=-^—f-C2; z=y, 3 i,3 = — x2-J-1 • 9.422. а) Да; б) нет. • Соотношение <р(/, х, у) = С является первым интегралом системы x} = /i(l, х, &), y't — fzft, х, у) тогда и только тогда, когда -|p+/i(f, х, yj^-j-f-iU, х, у)~-=0. 9.423. 2e27*'=**+(j/—I)2. 9.424. 2</34-3j/(x2— 1)—8^0. 9.425.^ = = х(14-1пКГ*])-_9-426. (j/-*)2+x2=l. 9.427. ^=С1х, + ‘ а 4~ -pC2x1-i 2, z=xV 4~,Cl(2-|-K'2)-|-*_l 2-1С2(2-К’2). 8-428. у= = C1-\-Cix, г = 2С2+^. 9.429. х=С1/4'у. // = -Ci/4-^. 9.430. х=~. У=С^-^-. 9.431. x = Cie<4-C2e2f,//=С1е«4-2С2е2». 9.432. x=3Cie®*4-C2e«, y=C1e2t4-C2e4f; x=3e2t, y=e2t. 9.433. x = — e3t (Ci cos 2t 4- C2 sln 2t), у = e4t ((C4 — C2) sin 2t—(Ci 4- C2) cos 2t); x=er*(cos2<—sin 21), y = 2ee<sln2t 9.434. х—ё~21 (Ci cos 3t -f* 4- C2 sln 31), y=± e~2* ((4Ci—3C2) cos 314- (SCj 4-4C2) sin 30- 9.435. x = (2C1/4-2C24-l)e-r, y = (Cil4-C2)e-C 9 436. x^(Cj<4- + C2)e-M, f/=^-C114-^—C2^e-3‘; x=21e~3', 4/= (1 —2/)₽-M. 9.437. X-Cie<4-e_//2 ^Cacos Z4-C3sin-t^/^, у 4- + 4 e-/''2((Cs 3-C2) cos -1^-1-(C2 Г 34-C3) sin /) , z= - 4-y e~ '/2( (C2 К 3 -C3)sln t - (С3КЗ 4- C2)cos : x у = г=е1. 9.438. x=Cle2t-\-Cie~t, y^C\e2‘+C-je~t, г = Схё^~ — (C2-l-C3)e-<; x=e*'4-e-', y=e2‘4-e-‘, z=e2‘—2e~‘. 9.439. x~ = 6’14-3^, {/ = —2С2е2‘+Сзе-*, z=C14-C2e2«—2С^~К 9.440. x = ^е^ + С.^+Сзе3*, у=С1е14-2Сзе3‘, z = 2Cie'-|-C2e2/4 2C3e3C 9.441. x = 2Cic2'4-C2e-3‘—|-/-A, z/=Cie2‘4-3C2c-3'—1. 9.442. x=(Ci cos T4-C2 sin t— 1) e*, z/=(CiSin t—C2cos 0fif- 9.443. x = = (Cj+C^H-J-b^-^) eM’ У=(С1-з+С21+4-2^)е2‘. 315
9.444. x=C1cos Z4-C2sin<—t’cost, ^=(C2—C4) cos 1—(Cj+ 4-C2)sin /-|-/(cos/-J-sin /). 9.445. x~Ci cos t-f-CsSln <+tg t, У~* =—Ci sin/*фС2 cos 1-|-2. 0.. .«• —--i / । . + C; sin 2t, // = 2 (CJp2f-rC2e-2f)—2 (C3 cos 2/-4-C4 sin 21). • Искать решение системы в i/=3a(l—2~')/4. (а—х—у), 9.446. *=3(С1е«4-С2е“20+Сзcos2t + виде х=Ае**, y'^BeXt. 9.447. 'x=e(1 -2-»)A • Система дифференциальных уравнений! у = k2 (а—х—у). 9.448. х=a cos -у=-1, «=1Ц2151п_Л_/; -*--4-^=1. • Дифференциальные урав- ” k уГт а нения движения: тх =— k2x, ту——k2y. 9.449. Неустойчиво. 9.450. Устойчиво. 9.451. Неустойчиво. 9.452. Асимптотически устойчиво. 9.453. Асимптотически устойчиво, если а < —-1/2; устойчиво, если а =—1/2, и неустойчиво при а > —1/2. 9.454. г, = = —фЯ-fiK. *t+<Pi(O......... <р„(О)^Л(/, гь .... г„), i = = 1, 2, ..., п. • Преобразовать систему (1) к новым церемонным, полагая г|-=х|—<р,-, / = 1, 2.п. 9.455. Точка покоя х, —0 (/= = 1, 2, .... п) системы дифференциальных уравнений устойчива, если для любого е > 0 найдется 6 (е) > 0 такое, что из неравенства " -Д •> 2 ** (zo) < 62 (е) следует 2 Ю < е ПРП вссх 1 tf>' Если’ кроне i=l i=1 п того, выполнено соотношение lim то точка покоя 1 -* + “ < -1 системы асимптотически устойчива. Точка покоя неустойчива, если найдутся в > 0 и номер i такие, что при любом 6 > 0 из неравенства | X, (4,) | < 6 следует [ х, (1) | > е для некоторого t > tj 9.456. Неустой- чивый фокус. 9.457. Седло. 9.45S. Неустойчивый фокус. 9.459. Устой- чивый узел. 9.460. Устойчивый узел. 9.461. Устойчивый узел. 9.462. Ни при каких а. 9.463. | а | gs 2. 9.464. а < б, | а | | 0 [—случай боль- шого «отрицательного трения», точка покоя—неустойчивый узел; а < 0, |а | < |0 |—случай «отрицательного трения», точка покоя — неустойчивый фокус; ct=O, точка покоя устойчива — центр; а > 0, I « | < | 0 |, точка покоя —устойчивый фокус; а > 0, | а | | 0 |, соп- ротивление среды велико, точка покоя—устойчивый узел. • Заме- нить уравнение эквивалентной нормальной системой х—у, у = = —2а//—02х. 9.465. • Использовать запись частного решения однородной системы при , различных значениях характеристического корня. 9.466. Неустойчива. 9.467. Устойчива. 9.468. И=х2-|-//2; устой- чива. 9.469. V = Xе+ </-; неустойчива. 9.470. И = Х*+!/*; ’ устойчива. 9.471. V=х2-ф//2; неустойчива. 9.472. У = 2х2+у2; устойчива. 9.473. V= — у2—х/2х2; неустойчива. 9.474. Устойчива. 9.475. Неустойчива. 9.476. Неустойчива, 9.477. Устойчива. 9.478. Устойчива. 9.479. Не- устойчива. 9.480. V— 3x2-f-4y2; асимптотически устойчива. 9.481. х). //(1)= 1,3280. 9.482. у(0,6) = 4,4828. 9,483. //(0,3) =0,0451. 9.484. у (2) =—0,8407. 9.485. j/(l)=0,7899. 9.486. f/(l) = 0,3305. 9.487. //(1) = 0.3635. 9.488. //(2)-3,4547. 9.489. у (1) = 3,7190. 9.490. у (2) = 2,3683. 9.491. //(0,1) = 0,1057. 9.492. у (0,5) =0,0461 1) В ответах к задачам 9.481—9.499, а также 9.506—9.511 при- ведены значения искомого решения в конце заданного отрезка. 316
9.493. у (2) = 4,2489. 9.494. у(0.4) =0,4647. 9.496. z/(0,5)— 0,6842. 9.497. f/(l) = 0,4388. 9.499. у (2) = —0,7895. 9.500. SUBROUTINE EULER(F,X0, *Y0,H,N,Y) DIMENSION Y(N) H3 = H**3 X = X0—H U = Y0 K=0 3 X = X + H FUNC=F(X,U) YI = U4-H*FUNC 1 Y2=U+(FUNC+r(X,Yl))*H/2. 9.501 SUBROUTINE RK(F,X0,Y0,H, *N,Y,EPS) DIMENSION Y(N) M=1 KIND=0 DO 1 1 = 1,N 1 Y(l)=0 2 X = X0 U = Y0 DO 4 J=1.N DO 3 K = I,M Q1=F(X,U)4.H Q2 = F(X + H/2.,U+Q1/2.)i<H Q3 = F(X + H'2.,U+Q2,'2.)»H Q4 = F(X + H,U4-Q3)*11 9.502. SUBROUTINE MlLN(F,X0, •H,N,Y,EPS) DIMENSION Y (N) Ml =N — 4 EPS = 0. X X0 Fl =F(X-bH,Y(2)) F2 = F(X+2.!H,Y(3)) F3 = F(X4-3.*H,Y(4)) DO 1 K=LN1 YW = Y (K) + (2.*F1—F2+ 9.503. В задание для ЭВМ а) подпрограмма SUBROUTINE EULER(F,X0.Y0,H,N,Y) б) подпрограмма функция ( FUNCTION F(X,Y) (к задаче 9.492) F = 2.*X*Y4-X=iX RETURN 9.495. у (0,1) = 0,1098. 9.498. у (I) = 0,3679. IF(ABS(Y2—Y1).LT.H3) GO *TO 2 Y1 = Y2 GO TO I 2 K = K+1 Y(K)=Y2 U = Y2 IF(K-I T.N) GO TO3 RETURN END DY = (QI +2*Q2+2*Q3+Q4)/6. U=U+DY 3 X = X + H A = ABS((U—Y(J))/15.) Y(J) = U IF(A.GT.EPS) K1ND=1 4 CONTINUE IF(KlND.EQ.l) GO TO 6 RETURN 5 H = H,2. M = M*2. KlND=0 GO TO 2 END •2.*F3)*4*H/3. Y(K + 4)-Y(K + 2)+(F2+ *4.*F3+F(X4-4 .»H,YW)»H/3. A = ABS( Y W — Y(K + 4))/29. EPS= AMAXl(A.EPS) Fl =F2 F2=F3 ► F3 = Y (K+«) 1 Х=Ж4-Н RETURN END входит три программных единицы: в) основная программа EXTERNAL F DIMENSION Y(20),A(40) CALL EULER(F,0.,0.,0.025,20,Y) CALL EULER(F,0.,0.,0.0125,40,A) END 31Z
В=о 2 FORMAT (5(1Н .8F12.6),' DO 1 К-1,20 «-ПОГРЕШНОСТЬ = '.F10.8) C = ABS(Y(K)-A(2*K—1))/7. STOP 1 В —AMAXl(B.C) END WRITE (3,2) А,В 9,r04. Задание для ЭВМ к задаче 9.498: а) подпрограмма SUBROUTINE RK(F,X0,Y0, »Н,N.Y,EPS) • б) подпрограмма-функция FUNCTION F(X,Y) ’ F=Y«A4EXP(X)—2.»Y RETURN END в) основная программа EXTERNAL F DIMENSION Y(10) CALL RK(F,0.,l.,0.1,10,Y, «•IE—4) WRITE (3,1) Y 1 FORMAT (1H ,5F15.6) STOP END 9.505. Задание для ЭВМ к задаче 9.499: а) подпрограмма SUBROUTINE M1LN(F,XO,H,N,Y,EPS) б) подпрограмма-функция Fl NOTION F(X,Y) F=1./(Y*Y —X)' RETURN END в) основная программа EXTERNAL F DIMENSION Y(21) . _ DATA Y(l),'0.63212/,Y(2)/0.652562/,Y(3)/0.677129/,Y(4)/0.705863/ CALL M1LN(F,1.,0.05,21,Y,EPS) WRITE (3,1) Y.EPS 1 FORMAT (3(111 ,71'12.6),' ПОГРЕШНОСТЬ = ',F8.6) STOP END 9.506. V(2)=0,25, z(2) = 0,375. 9.507. ?/(l) = l,261, z(l)=2,346. 9.508. у (0,3)= 1,505. z (0,3) = 0,577. 9.509. у (0,3) = 0,638, z (0,3)=l,563. 9.510. у (1)= 1,359. 9.511. у (2) = — 1,833. 9.512. SUBROUTINE RKD(F, *FI,X0,Y0,Z0,H,N,Y,Z,EPS) DIMENSION Y(N),Z(N) KlND=0 M=1 DO 1 I = 1,N Y(I)=0. 1 Z(I)=0. 2 X=X0 U=Y0 V=Z0 DO 4 J=1,N DO 3 K=1,M Q1Y=.F(X,U,V)»H Q1Z=F1(X,U,V)*H Q2Y=F(X-i-H/2.,U+ SQ1Y/2.,V+Q1Z/2.)*H Q2Z=FI(X+H/2.,U+ ..-Q1Y,'2.,V+Q1Z/2.)*H 318 Q3Y=F(X-|-H/2.,U’+ e.Q2Y/2.,V-|-Q2Z/2.)*H Q3Z=FI(X+H/2.,U+ 8:Q2Y/2.,V+Q2Z/2.)-sH Q4Y=F(X+H,U+ sQ3Y,V-|-Q3Z)«H Q4Z=FI(X4-H,U + *Q3Y,V+Q3Z)*H DY=-(Q1Y + 2«,Q2Y + *2*Q3Y4-Q4Y)/6. DZ=(Q1Z+2*Q2Z+ t2*Q3Z+Q4Z)/6. U=U4-DY V=V-|-DZ 3 X=X+H A=ABS((U—Y(J))/15.) B=ABS((V—Z(J))/15.) Y(J)=U Z(J)=V
1F(A.GT.EPS.OR.B.GT. 5 H=H/2 *EPS) KIND—1 M=M»2 4 CONTINUE K1ND=O - IF(KIND.EQ.l) GO TO 5 GO TO 2 RETURN END 9.513. Задание для ЭВМ к задаче 9.509: а) подпрограмма SUBROUTINE RKD(F,FI,X0,Y0,Z0,H,N,Y,Z,EPS) б) подпрограмма-функция FUNCTION F(X,Y,Z) F=EXP(— l.*(Y*»2+Z**2))+2*X RETURN END в) подпрограмма-функция FUNCTION F1(X,Y,Z) FI=2.*Y*»2+Z RETURN END г) основная программа EXTERNAL F,F1 DIMENSION Y(20),Z(20) CALL RKD(F,Fl,0.,0.5,L,0.1,20,Y,Z,lE-4) WRITE (3,1) Y,Z 1 FORMAT (III .10F10.4) STOP END 9 .Б14. 04=2,953, «/2=4,375, 03=6,359. 9.515. 01=1,926, 02= =2,593, «/З=3,333, 04=4,148, 0e=5,O37, «/0=6. 9.516. 04=0,874, 02=0,743, 03=0,611, 04=0,482, 06=O,362, 0„=O,253, 0,=0,161, 0e=O,O87, 0o=O,O33. 9.517. 0I=2,O19, 02=3,956, 0H=5,72O, 0,= =7,212, 0b=8,316, 0„=8,9O8, 0,=8,855, 0e=8,O44, 08=6,413, 0Ift=3,998. 9.518. 0!=1,17, 02=1,31, 0S=1,42, 04=1,5O, 0e=l,64, 03=1,66, 07=1,63, 0e=l,58, 0e=l,49. 9.519. 0O=2, 0i=2,273, 02=2,674, 0з=3,185, 04=3,796. 9. 520. Задание для ЭВМ к задаче 9.518: а) подпрограмма SUBROUTINE EXCLUS(A,B,N) б) основная програм а’ DIMENSION А(11,11),В(11) READ (1,1) Л,В 1 FORMAT (9F8.4) CALL EXCLUS(A,B,11) WRITE (3,2) В 2 FORMAT (' '.9F8.3) STOP END ГЛАВА 10 10.1. Линии уровня—параболы у2=С—х. 10.2. Липни уровня— гиперболы ху=С (при С=0—совокупность ’ координатных осей). 10.3. Линии уровня—прямые у=Сх. 10.4. Поверхности уровня—па- раллельные плоскости х+0-}-г=С. 10.5. Поверхности уровня—одно- полостные н двуполостные гиперболоиды х2-\-у2- г =±С2 (при С=0—конус х2-|-02—z2=0). 10.6. Поверхности уровни—парабо- лоиды вращения х2+02=г+С. 10.7. Гиперповерхности уровня—четы- рехмерные параллельные плоскости Х1-Ьх2+*з+*4=С. 10.8. Гипер- поверхности уровня — четырехмерные сферы xl + z2 4-x|+x4=C2. 10.9. Окружности х*-|-02=С2. 10.10. Гиперболы ху—С (при С’=0 — 319
совокупность координатных осей). 10.11. Параболы </2=2(х4~С). 10.12. Прямые -у—. 10.14. Линин пересечения гиперболичес- ких цилиндров у2—х2-=С1 с такими же цилиндрами г2—х2=С2. 10.15. Окружности, являющиеся линиями пересечения сфер х24* 4-п2+г2=С? с плоскостями х+^+г=С8. 10.16. Прямые четырехмер- ного пространства, перпендикулярные к оси Охз и ее пересекающие: ii- =^-=4L; х3—С. 10.17. x=cos/, u=sln.l, z=bt. 10.18. — — /1/2/4 x ---—=l> a) Конические поверхности с вершинами в начале координат, направляющими которых служат заданные замк- нутые кривые; б) тороидальные поверхности, образованные окруж- ностями с центрами на прямой х=у—г, лежащими в плоскостях x+j/-rz=C, сечениями которых служат заданные замкнутые кривые. 10.24. —. 10.25. — . 10.26. а 10.27. а (Ь, г) + Irl ^х2+у2-г2 |гГ- 4-Ь(а, г). 10.28. 2|а|2г—2(а, г)а. 10.31. 13/5. 10.32. 4/f 5- 10.33. 14/3. 10.34. 1/1Г Is. 10.35. 6/J- =,-4/^41. 10.37. — = 2^6, П=~4 дп К Х(2Ц-3/-2Л). 10.39. Р(3, 3, —3). 10.45. ху=С. 10.46. cos <р= -4=Х / а2-|-/>2+с2 10.36. = (2/+/+*). Ю-38. ^=.. X2_V2=C1, x»-z«=Cs. 10.47. 10.48. 2-1-1. 10.49. In Vе 5+3 2 10.50. 0. 10.51. 256 , ТЁ-а- I 10.52, у Ц1-| 4яв)з/*—1]. 10.53. pj 10.54. ~С—. 10.55. ^Ма*. 10.36. 2Ала/2а. 10.57. /ела2. 10.58. . 10.59. - - ~ ок,- . 2 (а2 -J-c2)3'2 10.60. аг2. 10.61. 4₽г4. 10.62. 3/360. 10.63. 2|<2л/3. 10.64.4л. О 10.65. 4 ла3. 10.66. ^(^2+1). 10.67. . 10.68. -^~Х Z ID Z о х(ЗКЗ—1). 10.69. у Аа». 10.70. ^-а2К«(3 / 2-In (14-V 2))- 10.71. nab. 10.72. a) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г) 1; д) 1. 10.73. 2л/?2. 2лР2 10.74. 91/60. 10.75. 2л2а2/1. 10.76. -yV • 4 z^R—x—y, х* + у2 + V 3 + (/? —х—y)2 = R2, или х2хуу'2 = R (*4 у). Положим y=tx. _ Я 04-0 Я(Н-'2) „ R Тогда имеем: , ?/ = т±-^=1? - -ру-^ , г = t ~—1~-[27 ['/г • Значению /=0 соответствует точка A (R, 0, 0), зна- чениям t = ±00 —точка В (0, R, 0), значению t = —1— точка С (0,0, /?). Обходу в положительном направлении относительно оси Ог соответ- 320
ствует обход ВСАВ, т. е. изменение / от —оо через —1 иОдо-фоо п л ₽(Р+2/) .. . R(2/-[-l) . /?(/2—1) Л Далее, dx df/ (1 4. /-j-/2)2dt' dz (1 4/_|_/2)z dt- n . . , . Rz (l+2/+3/2-|-2/®+/*) M R2 dt Получаем zdx+xdy+ydz^----------1 ------> dt= + co +00 I ( f Ц г Г dt Г a 1 ‘ 2 1 2P2 откуда^ (a, dr)=R2 -___=y?a I .. fy=yf< V J л ! ( * - О I — CD —CD 4 Z / .2/4-1 +« 2iiR2 X arctg —d— =—== . ► xr3}3 _« / з 10.79?*fc 10.80. -4л. 10.81. 10.84 2 ла. 10.85. 4tf/?s/15. 10.88. nR2H 4 10 89 nR2H2/3. 10.93. — R2If/3. 10.94 0 10 77. 2ла». 10.78. 2—0 a8. —лД/2. 10.82. —1/3. 10.83. a8/6. 10.86 л/?4/2. 10.87. л/?2Н/3. 10.90. л/?4/8. 10.-91 0 10.92. nR* 10.95. хА-У+z 10.96. — 2!(x+y+z)"'3. 10.97. 14. 10.98. 1. 10.99. 0. 10.100. 0. 10.101.0. 10.103. а2. 10.104.4л/?2. 10.105. —л/?8. • Замкнуть поверхность, добавив основание параболического сегмента, и вычесть соответствующую ему часть потока. 10.106. Если а=ах/+ -\-avJ, то поток вектора а через дугу АВ определится формулой J (a, ri)ds= axdx—aydy. Теорема Гаусса—Остроградского для АЯ ля плоского поля: (f) (a, n)ds~(fiaxdy—audx= L Q С С /да.. дах\ I I ( —Д----- \dxdy (формула Грииа). • I I \ дх ду J Q Положить в предыдущей формуле (задача 10.106) ах=а„, аи——ах. 10.108. iy . 10.109. . 10.110. X (г2—у2) l+y {^-z2)J+z (y2—x2}k. 10 107. 10.111. 10.113. — 2yl-\-2xJ—2(3x+2y)k 10.114. 0. 10.115. rot v = 2ы. • Скорость v точки Р(г), вращающейся с угло- вой скоростью (о вокруг оси, проходящей через нвчало координат, равна [ы, г]. 10.118. а) а2. • Перейти к параметрической форме, положив у — tx', пыле соответствует изменение t от 0 до -фоо. б)4л^ 10.119. 4 •’’R3 Ю.120. 4 л/?4 10.121 4-. 10.122. div(cw)= 8 с2 3 2 3 —(с, grad к), div (a, a) = u div а+(а, grad и). 10.123. grad (а, с) = = [с, rot а] + (с, v) a, grad (а, &) = [&, rota]-f-[a, rot b]+(b, v) а+ +(а, v) b Найдем предварительно (с, rota]. Имеем: [с, rot а]= = k. 1V. а]|=(«, a)v—(с. v)a = V(«. а)—(с, V)« Отсюда V (а, с) — [с, rot а] + (с, ъ)а далее, grad а Ь) = ^(а Ь)+у (Ъ а) t и используем предыдущий результат. ► 10.124. div [а,с]=(с, rot а), div [а, Ь]=(Ь. rota)—(a, rot Ъ). 10.125. rot (cu) = [grad и, с], rot (auj~u rot a-[-[grad и, а], rot [а, ft] = (fe, v)а—(я, V) ft-фа div ft— —ft div а • См. решение примера 5. 10 126. div grad u~ = d8u . iFu . d2u ... . . d(diva) . . d(diva) , = 3x2+^+^- ««ddiva = v<v, a)=_L__l/ + -2^_y + 11 Под рсд. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 321
rotrota=[v, [v, a]] = v(v. a)— v2a =grad d ve- — y2a, v2a= v2“x^+ V2fl«/+ v2^*- W.127. fir = 6(xi yj-\-zk). 10.128. 0 10.129. 4r=4(xZ + yj 4 zh) 10.130. и div grad v |- I -|-2(gradu, grad r) + v div grad и 10.131. grad div (uc) = (c, v)gradtz, grad div (ua)=u grad div a+div a grad u+(grad u, rot a]4-(grad u, V)a+ + (a v)gradu. 10.132. rot rot (uc) = (c, v)grad« — cv2«- 1 0.133. xby—xtf+C. 10.134. 2yrcos2xsln2f/ +sin2xcos2t/4-C. 10 13Ь. xyz~^-+~-+C. 10.136. ^+4-+т-+с- * За начальную точку А принять точку (1, 1, 1) или любую другую точку, не ле- жащую на осях координат. 10.137. ~г+рг—• См. указа- ние к предыдущей задаче. 10.138. Есди бы во всюду непрерывном потенциальном поле могли существовать замкнутые векторные линии то циркуляция по такой линии не могла бы быть равной нулю, так как произведение (a, dr) вдоль всей линии сохраняло бы постоянный внак, н поэтому ф (a, dr) 0. ► 10 139. Особая точка 0(0, 0), ци- клическая постоянная равна 2л. 10.140. • Взять два произвольных замкнутых контура, обходящих данную особую точку: АМА и BNB. Соединить точки М н N отрезком прямой и к сложному контуру : AMNBN МА применить формулу Грина. 10.141. • Использовать при определении потенциала пути, обходящие по нескольку раз и в раз- личных направлениях особые точки. 10.147. • Применить теорему Гаусса—Остроградского и учесть, что иа боковой поверхности трубки (а, л) = 0. 10.1491 • Применить теорему Гаусса—Остроградского и I учесть, что для гармонических функций ^2и — 0. 10.150. Нет. | 10.151. Нет. 10.152. Да. 10.153. Только при Л-(-С=0. 10.154. Только если ДЧ-С=В4-О=0. 10.155. Да. 10.156. Только при Дц+вм+ям=0- ш 10.157. Только если flnf4-ni22-f-Oi»s = aiia*f*a2224-e233=eii34_fl243'b -)-аззэ=0- 10 158. Линии х: ; линии у. = f=; линии a* X~qX =^~о'"’~'Т' 10 ,59’ Лннии г: ф = фс. 2= 2 (лучи, исходящие из точек оси Ог, лежащие в горизонтальных плоскостях); линии ф г = г , г—гв (окружности с центрами иа осн Ог радиуса г0, лежащие в плоскостях z=z0); линии г: г=г0, Ф = Фо (прямые, па- раллельные оси Ог). 10.160. Линии г: 0=00 ф = ф0 (лучи, исходящие из начала координат); линии 0: т=т0. ф = фо (полуокружности радиуса г0 с центром в начале координат, лежащие в полуплоско- стях ф=ф0, проходящих через ось Ог, т. е. меридианы). Линии <р: г—гв, 0=0О (окружности радиуса rosln0o с центром на оси Ог, лежащие в горизонтальных плоскостях, т. е. параллели). 10.161 Lx— = Lv~Lx=l. 10.162. Lr=Z.,= l, L<p=r. 10.163. Z.r=l, £0=г, I Lq> = rsin0. 10.164. dsx=dx, dsv~dy, dsz=dz;dax~dydz,davi=dxdz, d(jx=dxdy; dv=dx dy dz. 10.165. dsr—dr, dsv=r dtp, dsx—dz, dor—r dtpdz, dCq^drdz, dcg=rdrd<f>; dv=rdrd<pdz. 10.166. dsr=dr, ds&~rdf), dsv=r sin 0 dtp; dar — r2 sin0 d0 dtp, do0=r sin 0dr d<p, do =rdrdf); du — r* sin 0 dr df) dtp. 10.167. —-4— r 4-^ et T dr T 1 r dtp ф 1 dz * 322
10.168. — ( 10.169. A A? <ra^-L-J^g. 4- r \ dr г dtp2 ' dz2J r \ dr ' dtp ' +r^\ 10.170. fA^._^^r+f^_^Vffi + dz / r dtp dz r dz dr ) Ф 1 1 д(гйф) dar\ du . 1 du . 1 du r dr dtp)**' ,0J7L d7 r+r de rsme лА'₽- 1Л 170 1 ( • a d ( г д“ \ I д ( . А ди \ I 1 d*u\ 1 1’2. "a -A 1 Sin 0 — Г2 —— ) -|~— I sin 0 -57г- ) -4 —ГГ 5—» J . rasin0\ dr dr 00 dO у 1 sin0 dip2/ 10.173. —~( sin 0 -A (r*a ) 4- r -A (an sin 0) + r —- . r2 sin 0 \ dr ' r' d0 ' 0 ' dtp ] ,n 1 / d . n. daH \ 1 1 dar d 10.174. I 55 (Оф sin 0) —_1 )6>r4-1 —^-(гвф) ) e0+ r sin O^df)'v dip/ r\sin0d<p r ч/ v A -A rra \—Az e 10.176. a) dive. = A rote =0;6) dive =0, r dr ' e> dO r r r ' Ф e 2 rote =—; B)divez—0, Totez = 0. 10.177. a) diver=—, roter»=0, .. ctgO . еФ . . n , ctgO I 6) dive0=—f—, rotee=-^; в) divev = 0, rote(p»=-^-eJ——ee 10.178. a)u = Cilnr+C2;6) u=£?i<p+Cs; в) u = CiZ-j-Ca. 10.179. a) «= =y!+C2;6)u=CilntgA-|-Ct;B)«=Ciq)-}-C». 10.180. «=r*sin2<pcos20, grad u = 2r ^sin 2<p cos 20er—sin 2<p sin • V2u2sin 2ip(1—2ctg40) 10 181 «=«sln2<p4-r cos 2<p, grad и = =® (z sln2<p-|-cos 2<p) er4-2(zcos 2ip—sin 2<р)еф4-/-sin 2<pez. v2^ = = —"yr • 1®«182. а = Б1п0рф, diva=0, rota=A(2cos0er—sin0eo). 10 183. a=rz(er—ez), diva = 2z—r, rota = (r4-z)e 10 184.gradu= = Г(г)ег =-f (r) A , ?2п = Г(/-)+^АА-А 10.185. grad u = f'(r)er = = f'(r)y, ^2и = Г(г) + -^. 10.186. gradu=^er4-A^Aeei „ d-F . 2 dF , 1 d2F . ctg0 dF ,n dF dF V2u=-4-5-j-5———2 ‘ST • Ю.187. grad w=-5—er4-5—ez, r2 1 r dr r2 of)- 1 r2 df) e dr r dz * d2F 1 dF d2F v u~~ dr2 + r dr + dz2 ’ ГЛАВА 11 11.1. Внутренность круга с центром в точке га радиуса R; одро- связна 11.2. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке z0 —«; двусвязна. 11.3. Внешность круга радиуса 2 с центром в точке z0 = i с выколотой бесконечно удаленной точкой; двусвязна. 11.4. Внутренность горизонтальной полосы, заключенной межд прямыми у = —1/2 и //=0 одиосвязна 11.5. Внешность круга радиуса R с центром в точке г0; односвязна. Бесконечно удаленная 323
точка г ос является внутренней точкой этой области. 11.6. Внут- ренность круга с выколотым центром z0=—i радиуса 2- двусвязна. 11.7. Открытая полуплоскость, определяемая прямой и содер- жащая начало координат. 11.8. Внутренность круга радиуса 2 с цен- тром в точке (2, 0); односвязна 11.9. Прямая х—(/4-1 = 0. • Запи- сать г~1~! в виде ц.10 Внутренность 2-i |z—1|2 д-2 £/2 эллипса -=—|~£-==1. 11.11. Окружность |г[=2, кроме точки г=—21. о 4 11.12. Часть плоскости, лежащая справа от левой ветви гиперболы —.—-Т7г=1 11.13. Прямая проходящая через точки и г2, с вы- 9 16 резанным отрезком, соединяющим эти точки. 11.14 Внутренность отрезка, соединяющего точки —i и i. • Воспользоваться равенством arg(—z)=n4~arg2- П-15. Rez>0, Imz>0. 1116. Rez<0 11.17. | Rez| < 3 11.18 z-(l-f-Q|-b|z-(34-i) < 6. 11.19. Зл/8 < < arg (z—z0) < 5л/8. 11.20. « = 2х2—2уг+у, v=4xy-j-x. 11.21. u = X2—~(1 -t/)8 = -2xp-x, v=32-F4-*«-p«. 11.22. h = - *2-3rX-^-t o = 2*(J + y) I123 _____У u=_x4__________±_ *a + (l + l/)a ’ У *4-!^’ 'x‘+l/2 11.24. u-x2—y2, o=2xf/—1. 11.25. «=57^-—^xy-\-y+x2—уЧН1), v=г-Л-_ (2ху+у-х2+у2-х-1). 11.27. Z®4-2(Z-1. 11.28. z-j-l. if) 4z 11 29. —---. 11.31. Любая область, лежащая внутри угла с вер- г*—г2 t шиной в начале координат и раствора не более п/п. 11 32. Любая область, лежащая в полосе, параллельной действительной оси и ши- риной не более 2л. 11.33. Любая область, лежащая в полосе, парал-‘ лелыюй мнимой оси и шириной не более 2я/3. 11.34. Любая область, лежащая либо внутри единичного круга (| z < 1), либо вне его ( z| > 1) • Равенство Zj-|——=za4—— при Zj Ф га возможно только Zj га 1 2 1 в случае, когда г2=—. 11.35. 31. 11.36. —1/ 11.37 —~4—g-1- / о О 5 12 11.38. -=—Yq( 11.39. Ось Ох отображается в окружность «2-|-о2 = 1. Io 1 о Ось Оу отображается на ось Ои. При этом точка г = 1 переходит в точку и>= оо, а точка г— оо — в точку 1. 11 40 Прямая х=С отображается в параболу v2=4C2(C2—и); окружность |г|=7? — в окружность | и>| = R2, проходимую дважды; луч argz=a—в луч argw=2a; полукруг |г| < г, Im z >0—в круг | w | < г2 с разрезом но отрезку положительной действительной оси. 1141 -4 Точки, лежащие на прямой х — С, записываются в виде z = C4“l*/< а потому 1 С • У С у W~C+iy~ С2 + у2~* С2 \ у2 -Отсюда и~С2-\-у2 V ' С2+у2^ u!4-v*=—-—. Следовательно, образом прямой х—С является- С*4-(/ О 324
окружность -f-t*'———0 Образом окружности |z =/? является окружность |w|=-i-. Луч arg г=а, т.е луч (0 oo.gfa) отобра- зится в идущий из бесконечности луч (0, оо •«-!“). Полукруг г < г, Im г > 0, отобразится в нижнюю полуплоскость с вырезанным полу* 1 1^*2 - кругом |w|< —, Imw<0. 11.42. w0=-^- (1 — У 2 4-1 , Щ1=-^Д(—1 — У 24-1), wt= — У 2-f-t), u>s = = ^-(1-/2-!). 11.43. u>0=—1±L_, Щ1 = к<24-уг2 ^coSy-f'^Siny , ш2 = — У 2+У~2 [cosy -f- 4-lsiri^, ф1=л—arctg(/"2—1) ws = |/’2—У 2 (cos^4-. 4-1 sln , w«=— K.2— У 2 cos J 4-i sin . q>2=arctg(K 24-1). /11.45. Wi = 0, t02=14-i, uis = —(14-i). 11 46 2(ф4-£л), k£z. 11.47. 3<p4-2ta, k£'£. 11.48. -1(||;4-2я(п4-3*)), л=0, 1, 2, k£z t sln u, 14- г cos <r W sini|i = —___ . / . ... , cos Ф= т п . x--------. 11.49.V, У14- г* 4- 2г cos tf У14-r24-2rcos<p 4-n(n4-2Xi), n==0, 1, 81пф= 1 , cosu— V 64 4- r2 — 16r cos <p -к4-я(п4-2Л), л=0, I, bgz, sln U^=- r cos (p —8 У 64 -г*—16rcos<p r4sln2<p r2cos2 —4 ,, _7 it У164-Г*—8r2cos2<p У 164-r4—8rscos2<p 4-я(п4-2Л), n = 0, 1, kP%, sini)= 51n— У\)r2 sin2 <p4-(rs—2 — rcosq j2 2—2—riosw _ ----------------- 11.53. Кеш=е1~* cos y. cos it = —----------------- У r3 sin2 «p4-(r2—2—rcosip)2 Imw=—el“*slni/. 11.54. Rew=exa_ 1~^,a cos 2x(l—y), lmw = = ~ ’ sln2x(l—y). 11.55. Rew=sinxch(l—у), 1тш = =—cosxsh(l—y). 11.56. Ret0=slixcos(i/4-2), Imw = chxsin(1/4-2). D sln 2(14-x) sh2i/ ew~~ ch2i/4-cos2(14-x) ’ mt£) ch2i/4-cos2(l-|-x) ‘ У X ’ 11.58. Rew = 3*a+s',cos-5-7—5, Imw=—3x,+y‘ sln A. x24-(^’ x24-</2 11.62. ch 1 cos 1—ish 1 sip J. 11.63. cos 1 11.64. —sh 2 cos l-f-lch 2sin 1. 11.65. (2Л4-1)л«, ftgg. 11.66. 11.67. (2*4-y 4 A6Z. 325
11 68. icthn. 11 69 0. 11.70. Arcsin z = —iLn (‘z+V 1—z2), Arcsin /=. = 2fat— 1). Arctg-j=fox-|-y In 2, k$Z- Arshi = 2Л-|—=-) ni, k£Z- Arch(-l) = (2*+l)xf, *€Z 11. 11.71. Arctg z=— — Ln 11.72. Arsh z = Ln (z+/’z2+ 1), 11.73. Arch z=Ln (z-|-l^z53—I). Arth z=~ Ln -Щ, Arth (1 - r)= „lln5+-|arctg2+(^4-7>-)It‘. *GZ- 11.75. |»| = y, argw = = Ц.76. |w|=«4, argu> = 0. 11.77. |w| = y(3+cos ln4), argaa=0. 1178. |w| = th 1=^t~T • arg14' —°- 11 79. (cos In 2 4- e -j- 1 -H sin In 2) e~2nn, ngZ- 11-80. e<2ft+,”\ k£Z- 11.81. e(Sft"T) (cos^+tslniy), *€Z. 11.82. е^<2»+*)Ж, AgZ. 11.83.5е’'С'>!'г+а*,Я( cos(ln5—arctg-|)+tsln(ln5—arctgy^, arctg-~-+ (2* + i)n / ( 4\ . k£z 1184. — 5e 3 (cos (hi 5 —arctg—j-f- / 4 \ \ "—~ (1 + -|-i sin (in 5—arctg-g J , ££z. 11.85. e * , *gz. 1186. z"(I + lt ftgz. HOT. 2 = 1 y+2far).*ez. 11.88. x—0. 11 89. z=14-L 11.90 г = л4-2Лл, k£Z- П 9L f(г) не- прерывна в D, если ye > 0 yz£D g6 = 6(e, z) > 0 ((| Дг | < 6 Л г + Дг£П)=£ /(гЦ-Дг)—/(z)| < е). 11.92. —2г. 11.93. 1. 11 94. оо. П.95. — 14-i. 11.100. f(0) = 0. 11.101. /(0)=0. 11.102. f(0) = 0. 11.103. 11m f(z) не существует. 11.105. Не дифференцируема ни в г-»- 0 одной точке. • lim — не существует. 11.106. Не дифференцируема Л21.0 Дг ни в одной точке. • При Д1/ = ЛДх имеем lim ~—А*. — д lim —1 £ , ' дг-»о Д*4-1Д1/ д*-*0 1-Н« т. е. предел ие существ}гет. 11.107. Дифференцируема только в точке z = 0. 11 108. Дифференцируема только в точке г=0. 11 109. Не дифференцируема ни в одной точке. <| В точке г = 0 lim ~ z- = lim — ие существует. Если же г # 0, Дг-»о Дг дг->о Дг то, обозначая, |z| = r, Az = Ape,,f, имеем. -—i—т~;—~—' = 326
Дре1(р Отсюда пай- образом, д1пп р --——lil Не существует. 11.110. Дифференци- руема только в точке z=l. 11.111. • Использовать правила диф- ференцирования сложной функции двух переменных и (х, у) = — и (г cos if, г sin ф), v (х, (/) =t) (г cos ф, rsinq.) и условия (i): ди ди дх , ди ду dv dv dv dv аГ=аГ-дГ+д^' d7=^cos<P-arsln4) и ^•=-<i7rsiI,,f + . dv ди 1 dv ' dyrCOS^’ T‘ e’ ~dr'~~ * Thp ‘ Аналогично проверяется второе из равенств (2). Для получения равенств (4) следует выразить х и — , дг дг д<р (Хр через производные по г и ф, производные ~ ролу- чить из равенств г= У"х2-{-у9, ф=агс1Ву и подставить найден- ные выражения в (3). 11.112. (е^у — Зе1*. 11.113. (shz)'=chz. 11.114. (z")'—nzn~l (кроме точки 2 = 0 при отрицательных л). 11115. (cos г)'=« —sin г. 11.116. (In (z2))' = 2/z 11.117. (sin4 =4 COSy. 11.118. • Воспользоваться условиями Коши—Римана. 11.121. Вся плоскость, кроме точек 2=^Л+у^л> ^€Z; (tgz)' = = •—L—. 11.122. Вся плоскость; f (г)=е-г (1— г). 11.123. Вся cos^ Z , . , (1—22)COS2 — 2(14-Z2)sinZ плоскость, кроме точек zt> а = ± В / (г) ----------—----------------. 2ег 11.124. Вся плоскость, кроме точек zv = 2nvi, vg z; I (г) = --rrj . (ez 1) 11.125. Вся плоскость, кроме точек zv = — v, v £ z; f (z) — cos 2z. ez <г__j) 11.126. Вся плоскость, кроме точки z=0; /'(z) = ——-• П-127, Вся плоскость, кроме точек гд—nkit fcgz; /'(г)= — 4^' Вся 327
плоскость, кроме точек г&= k ; л, /г^Е; /'(*)— ।_______sin2г ‘ 11.130. ди=^+1^-4-±-^-. ,, i3k А“^°- v^' У^3хгУ- — ifl+C, 1(г)=(х+1у)*-\-С1*=&+С1. 11.132. Дг/sO, и (х, у) = = 2e*cosf/+C, /(z) = 2ex(coS{/+tsint/)4-C = 2e24-'C 11.133. $и=0, v (х, y)=—xa+ya+C,f (г) — —i (x2—ya+2ixy)+3-j-Ci= — iZs+3+Ci. 11.134. ЛсзО, u(x, y)=-g ln(x4+f/2)-HC, f (г) = у1п (№4-V) + H-( arctg-^-4-C = ln|2|4-iargz+C = lnz4-C. 11.135. Д«а0, v(x,y)= = -^^+2x+C’ f(z)^^-2y+2ix+Ci~±+2iz + Ci. 11 136. Д«зз0, v(x, y)~~ у (Xs— y2)+2xy+C, f(z)=zs--^z2+Ci= * 1 11.137. Atiio, u(x, y) = ^(xs—y2) + C, f(z) — 1 о . 1/2. 11.150. |г+Л=К2. 11.151. |z| = l/K3. 11 138. £ = 4, <р = я'4 11.139. fe=2, <р = л/2. 11.140. k = 6, <p = л/2. 11.141. k — 3, <p = 0. 11.142. fe=l, <p = 0. 11.143. k=2, <р=л/2. 11.144. Сжимается область |г| > 1, а растягивается область |г| < 1. 11 145. Сжимается полуплоскость Rez< 1, а растягивается по луплос- кость Re г > I. 11.146. Сжимается область | г+1| > 1, а растягивается область |г+1| < 1. 11.147. Сжимается внутренность крута | z-j- 11 < < 1/2, а растягивается внешность этого круга. 11.148. |г—1|=1/2. 11 149. 11.152. (г | Im (1 —i) г = 0), т. е. прямая у=х. 11.153. {г|1ш(1 + 0Х Х(«Ч-г) = 0}, т. е. прямая x-f-{/+l=O. • Использовать равенство arg. ~‘-д =-^-- 2arg(<-|-2) = 0 и соотношение —^-=arg(—1 —1). 11.154. Луч 0 < х < + со, у = — 1/2. 11.155. Луч 1<х<4-оо,^ = 0. 11.156. Отображение конформно. 11.157. Отображение не конформно. 11.158. Отображение конформно. 11.159. Отображение конформно. 11.160. Отображение не конформно. II 162. г0 = —1, а=0, k = 2. 11.163. zo = 2(14-i), а=у, Л=1. 11.164.гй=—у—yetg^-, а=” , ft—1. 11.165. При 1 Zq=~— 1 —а мая 0 = — 3. 11.167 Прямая и—2v = 0. -j р»—ц — и = 0. 11 169. Окружность 11.171. 11.172. t&=(l+1)2-~.‘ г—1 г а—d ± (а—d)a4-4bc . п 11.174. Z11S=---- '2с------’ г’~г2 при (а~d) 4-46с=0. Бесконечно удаленная точка является неподвижной только при 328 a = arg a, fe = |a|. 11.166. Пря- 11.168. Окружность и- 4- U^v2 + 2u + 2v+ 1 =0. 11.173. ц>=(5-3,?£-~4. . 4г—о—3i
с=0, т. е. для линейной функции. 11.175. а) 4 • Точка 1-Н и центр круга I лежат на прямой 11.178. а)и,|гв_1 + .=-’+* ; б)И|г=1_,<=ЛЦ=р- 11-177. е = л. 11.178. а=0, 0=—у. 11.179. а=гь, 6=^-. 11.181. a=t, 6=0. 11.182 a = 2i, 0 = -у-- П-183. а=гв, 0=л. 11184. £ = = {ьу||ш|<1, 1тш<0) (нижняя полуокружность). 11185. Е — = ^ю||а*— Т'} J > ’ 1тк,<о} (рис. * Л'4 Рис. 106 Д/ 0 < х < + « преобразуется по внешность отрезка 0<и< , причем точки верхней полуплоскости (г) отображаются в точки нижней полуплоскости (и). Прямая у—х=0 отображается в . окружность 1+Lw-|-Lz£ й=0, т. е. в окружность |/""2 1 1 с Центром в точке и>о = ту —-g-'• И 186. Е < 1 —— < argto—1)^о1. • Окружность |z|=l отображается 4 в окружность |w— 11 = 1, окружность |z| = 2—в окружность |а> — — 1|=2., отрезок 1<х<2—в отрезок у=еи<2, а прямая у—х—в прямую и-]-о = 1 (рис. 107). 11 187. £={a>|Inia>>0, Рею>0} 329
Поскольку W I < г, то из соотношения лу (1—г) = г получаем |z| < г 11—z|. Возводя обе части этого неравенства в квадрат, за. пишем полученное неравенство в виде гг < г2 (1—z) (1—г), получаем откуда (г2—1)гг—г2 (z+z)-f-r2 > 0. Если г < 1, то из (*) имеем — г2 — Г2 гг+ь^Т2 (г+2) < Т=72' (**) Но гг+т_гз (г + г) = (г+ i_ri ) г+ 1_г» у (1 —Г2)2 Г2 Далее, так как (1 + 'fZ—Т» = (Г—7гр» то из <**) мучаем г+Т^2<(т^Г т- е- D = {2'|2+-i^7r|<T=72 (внутренность крута). Аналогично г1 - г2 г»__j (г +г) > | • т- е’ г» Г2 ---Г8—1 — (дЗ27'1)11' ' Следовательно, > (внешность крута). Наконец, чаем г-|-г < 1, т. е. D=<z|Rez< в случае г > 1 найдем гг г2 2 Г»—1 > Г (г2— 1)» -т£т|> если г = 1, то из (*) полу- _П 2 J (полуплоскость). П.191. z2=l+,^. п.192. «,= Я1 4 / X Я = e3 г3. 11.193. ttxUg-J . ц.194. ш = —11.195. w = z*+ 16 \« z«—16 ) * 11.196. 11.197. w=* /z + Кз-» у \ г— У 3—iJ ’ 11.198. w—— / Зг+О+.у \ 2z— V 3 + « ) ' 11.200. [0= 2г+КЗ+|'У/а 2г-К‘3+«/ ’ 2г+/~3+»у . 2г— Гз-i / 11.199. 11.201. w = 830
11.202. w ]/ £+2i—z • 11.203. ai = 11.204. z2+hs. 11.205. Как внутренность круга | z | < R при R < 1, так и внешность круга |г > R при R > 1 отобразятся на внешность эллипса -j—--ГТа^Т--ГТ5 = 1' ,1,206, Плос- т(*+£) TH"*) кость с разрезом по отрезку [— 1, 5/4]. 11.207. Плоскость с разрезом по лучам (—оо, —5/4], [1, -]-ее). 11.208. Один из ответов: w = =4(2+4)“т+ V г+7)~тУ~1 (причем выбиРается та ветвь, которая точку г=0 переводит во внутренность круга 1 I 1 \ 3w,— 1 3 , |ш|<1). • -»!=—( z+~], wa = —, ш3=-а’2) в/4=ш3 + + Р^'к'з—1, w=to4ooy3owaott)i. 11.200. * Произ* вести преобразование подобия wt — ^- и для отображения ша «= Производя где с«= = — ---I проследить за преобразованием границы области. 2 \ ш/ / 11.210. а»=—т-т(г+ У г2—с2), U-j~u преобразование подобия u>i=-~- и определяя R из условий 4- f R4--TT^— ~~ • находим = И — 1 2 \ R / с 2 \ к / а и ша=-^-ша. 11 211. £ = {ti>| 1mш < 0}. 11.212. £ = {ад| Re ад > 0} 11.213. E = {w |ш|> 1,ш£]1, +«>)} 11.214. £=<^ад |ад|> 1, 0<argw< < j. . 11.215. £={ад| 1 < |ад| < е, 1m ад > 0} 11.218. Если w=*pe‘% то прямая х=С отображается в окружность р=ес проходимую бес- конечное число раз, а прямая у=С—в луч ip—С. 11.217. £={ш|0< <1пш<4 11.218. £ = {w|Retz>< 0, 0 < 1тш< л}. 11.219. £ = = (ш| Reto < 0, 0 < 1тад < 2л] 11.220. £ = {ад10 < 1тш.< 2л, ад П-1-1Л для и > 0} 11.221. £ = {ш| 1тад < 0} < Представить cos г=» = -i- (е1г-^-е~,г) в виде композиции отображений vui = iz, wг^^ew^, 4- ) (Рис- •08) ► Н.222. Прямые х»С преобразуются 2 \ а . в эллипсы -54--тз, = 1. гДе а*=—(ес+е“с)г = (сЬ С)2, Ь2 = а* о* 4 1 и® =а — (ес—e-c)2 = (shC)a, а прямые у = С—в гиперболы — £1^ -----5-=г=1. 11.223. Так как область D содержит точки с симметрич- slna С иыми мнимыми частями, то область значений £ имеет два прообраза: ада=» 331
каждый из прямоугольников £>i~{г|—л< Rez< л, —Л< Imz<0} 1 Dz = {г | л < Re г < л, 0 < 1m г < //} отобразится на нижнюю полови //2 т;2 ну внутренности эллипса —-------------1--------------- if у < о. + 1(ел_е-А)2 Рис. 108 «1.224. -1+2». 11.225.-£213(2+3/). 11.229. • Оценить интегральную сумму (1) и, учитывая, что Дг^ < As^, перейти к пре- делу при maxAsfc—>0. 11.230. —4 |-/л. 11.231. 4+2/. 11.232. —— + П.гЗЗГ^-у. 11.234. —2. 11.235. (2sin 1—е) + I (1-2 cos 1). 11 236. — i(l+e«). ц.237. -1^2. -- 3 11.238. ±L_(i+shl). 11.239. ^±((я2_4)_4л0. 11.240. 11.242. 101 (—1),п6—15 , , „ 20(л«+1) (1~л 2п'}- П-241. 51 2304 . “Т“35"'- И-244. / 3+0. 11.245. У 2(1 —>/?+/). 11.246. —. Ц 247. -2л. 11.248. (— + 6 1 ’ л+Г 11.249. е (г cos 8—cos l) + «>(csin8—sin 1). 11.250. f cos — ch J- 4 9 „ 9 3 \ /93 I I \ \ 1 — cos Ych 2j+'4sln-4 sh-g—-sin-^ sh 2 J . 11.251. (2cosl—sinl)+ + i(3sh 1—2cli 1). 11.252. — In sh2 I +cos 1 + i arctg (tg I • th 1). 11.253. (f) (z—Zu)n dz J ° • Произвести |г-£|=Я l 2Ш "P" n'-‘- 332
замену переменной z—z0 = Rel6. 11.254. (z—zc)" dz = |z-z0 |=R 0< arg (г-г0)«п r ni при n~—1, О при n = 2fe+l, k£z, k £ — 1. _ Зл 3л \ -• 2/?aft+1 o. 11.25a. ^2 2 ” 2 ) -2ft+T ПрИ " 2A- /3л \ j e2 ~\) 11.256. ^(l + 4fe), fe£ Z »B качестве пути инте- грирования взять часть окружности г=-^- + -уе1Ч! либо при 0<qXn/2, либо при —Зл/2 < <р 0 и добавить любое число оборотов. 11.257. а) 0; б) — 8лг. 11.258. а) 2га; б) 0. 11.259. а) 0; б) л; в) — л. 11 260. а) л!; б) 2л«. 11.261. 0. 11.262. 0. 11 263 л 11.264.0. 11.265. a) б) — в) 0. 11.266. —nshl. 11.267. 2л/. о о i — Л® 11.268. - 4- л (п+2) К 2. 11.269 —^-shl. 11.270. л’г 11.271. 0. О z 11.273. • Рассмотреть функцию ф(г)=у-^. ГЛАВА 12 3 (х?—-е®—1 12 1 1/4. 12 2 23 45. 12.3. 1/2 12.4. 11 12 12.5. ---г——-. • 2 (Зе—1) (3—с) g-n.l.gn • Использовать формулу Эйлера сов1л =---------%---. 12.6. 1 + 1. 12.19. Расходится. 12.20. Сходится. 12 21. Сходится. 12 22. Сходится. 12.23. Расходится. 12.24. Расходится. 12.25. Сходится. 12.26. Схо- дится. 12.27. Расходится 12.28. Сходится. 12.29. Сходится. 12.30. Схо- дится. 12 31. Сходится. 12 32. Расходится 12.33. Сходится 12.34. Сходится. 12.35. Расходится. 12.36. Сходится. 12.37. Сходится. 12.38. Сходится абсолютно. 12.39. Сходится абсолютно.' 12 40. Схо- дится. 12.41 Расходится 12.42. Расходится. 12.43. Схо ится. 12.44. Сходится. 12.45. Сходится. 12.46. Сходится. 12.47. Схо ится абсолютно 12.48. Сходится абсолютно. 12.49. Сходится. 12.50. Рас- ходится. 12.51. Расходится. 12.52. Сходится. 12.53. Схо ится. 12.54. Сходится. 12.55. Сходится. 12.56. Сходится. 12.57. Расходится. 12.58. Сходится. 12.59. Сходится. 12 60. Сходится 12.61 Сходится. 12.62. Сходится. 12.63. Сходится. 12.64. Сходится. 12.65. Сходится. 12.66. Расходится. 12.67. Сходится. 12.68. Сходится. 12.69. Сходится. 12.70. Расходится. 12.71. Расходится. 12.72. Расходится. • ип ц пл>1. 12.73. Сходится. 12.74. Сходится. 12.75. Расходится. 12.76. Сходи ся. 12.77. Расходится. 12.78. Расходится. 12.79. Сходится. 12.80. Схо- дится. 12.81. Сходится. 12.82. Расходится. 12 83 Расходится. 12.84. Сходится абсолютно 12.85. Расходится. 12.86. Сходится абсолютно. 12.87. Если р > 1, то ряд сходится при всех а, а если р < 1, то расходится. Если р= 1, то ряд сходится при а > 1 и рас- ходится при 1. 12.88. Если р > 1, то ряд сходится при любых а и в, а если р < 1, то расходится. Если р=1, то ряд сходится при а > 1 и любых Р и расходится при а < 1. Если же р = а=1, то ряд сходится при Р > 1 н расходится при Р<С 1- 12.90. Сходится услов- 333
но. 12.91. Сходится абсолютно. 12.92. Расходится. 12.93. Сходится абсо- лютно. 12 94. Расходится 12.95. Сходится условно. 12.96. Сходится абсолютно. 12.97. Сходится абсолютно. 12.98. Сходится абсолютно при а > 1, условно—при 0<а«£1 и расходится при a«gO. 12.99. Абсолютно сходится. 12.100. Условно сходится. 12.101. Абсо- лютно сходится при всех agR. 12.102. Расходится. 12.103. Сходится условно. 12.104. Сходится абсолютно. 12.105. Сходится условий. • Рассмотреть частичные суммы с номерами 8п, в которых сгруппи- ровать члены с номерами 8fe-J- 1 и 8Ц5, 8fe-f-2 и 8k + 6, 8А-}-3 и 8fe-|-7. Убедиться в существовании предела lim Sgn- Далее, как и П>сю при доказательстве признака Лейбница, воспользоваться соотношением lim —sin-^-=0. 12 106 Сходится условно. 12 107. Расходится. п -> оо п 12.108. Абсолютно сходится. 12.109. Расходится. 12.110. Расходится. • Рассмотреть частичные суммы с четными номерами. „12.111. Схо- дится условно. 12.112. Сходится абсолютно. 12.113. Расходится. 12.114. • Воспользоваться неравенством | a-b ] <4- (|а|*4-|б|*). 12 115. Сходится -4 Оценим сп Имеем Е *=И*' , / ГЛ1Е ] , , п \ \ *=1 Ш / 22 Полученные слагаемые являются членами сходящихся со « - ах ► 12 116. Сходится. • Для П=1' П=1 | ^2 *" п» • рядов оценки п Ся=у —-j воспользоваться разложением дроби иа про- СТеИ'и,,е fe2(n-fe+l)=(n-H)*s+('l+ О2 п J зать, что числа Ьп =(—l)n +1 \ —j- монотонно убывают по fl 1 к k=l абсолютной величине. 12.117. Расходится. • Воспользоваться разло- жением дроби из предыдущей задачи на простейшие и оценить члены "1 ” d«=^H‘FC,,,,3y- ,2-’18- РасХ°ДИТСЯ. • с„=^——> J *=1 л=1 > при п^2 1 1 -k и пока- 12.124. (0, + оо); абсолютно сходится при х(*(1, -|-со). 12 125 R; сходимость всюду абсолютная. 12.126 Расходится во 1 334
всех точках. 12.127. R\{—3}; сходимость всюду абсолютная. 12.128. (— оо, —1); сходимость всюду абсолютная. 12.129. (—1, —1/2]U U(l/2, 1); сходится абсолютно при х£(—1, —l/2)LI(l/2, J). 12.130. [О, 4-oo)U{fen|fe=—1, —2, ...}; сходимость всюду абсолют- ная. 12.131. (—2, 2); сходимость всюду абсолютная. 12.132. (О, -]-со); сходимость всюду абсолютная. 12.133. [1/е, е); сходится абсолютно при х(Е(1/е, е). 1£.134. |z—2|>1. 12.135. | г-)-11 > 1. 12 186. z—3i | >К2- 12 137 Полуплоскость Rez>0. 12.138. (г|—л/4 < arg г < л/4 и Зл/4 < arg г < 5л 4). 12 139. Rez< 0. 12.140. Re г > 1. • Сравнить выражение |(—1)"л-г| с членом n~J> ряда Дирихле. 12.141. Im г > 0. • Воспользоваться тем, что дробно- линейная функция w=el° отображает верхнюю полуплоскость г—г0 во внутренность единичного круга. 12.142. | я | > 1 • При а| > 1 функция w=eK отображает внешность единичного круга (|z| > 1) 1 —аг иа внутренность (|ю| < 1). 12.143. |z/(l—z) I < 1, т. е. Rez < 1/2. • См. задачу 11.190. 12.144. Сходится при xg(0, +<ю), равномерно сходится при x0a, -J- оо) для любого а > 0. 12.145. Сходится при xg(—оо, —3)U I—I. +<»), равномерно сходится прих^(—оо, —3—6}(J U[—1, -|-оо) для любого О > 0. 12 146. Равномерно сходится иа всей оси. 12.147 Сходится на всей оси, кроме точек х——1, —2, ... Сходится равномерно на множестве, получающемся из оси после уда- ления интервалов (—б*— k, —fe+Cft), где б* и б* сколь угодно малы. 12.148. Rez<0; 'Сходимость всюду равномерная 12.149. |z—1|<1; сходимость всюду равномерная. 12.150. Сходится при Rez> 1, равномерно сходится при Rez^a> 1. 12.151. Схо- дится вне круга |аЧ-21 > *> равномерно сходится вне любого круга ® Я V ч X* |z4-2|^a> 1. 12.152 • Вычислить Rn(x)= / _ и по" /г-п+ I казать, что UmR„(x) = l yt Rn(0) = 0. 12.155. Ряд сходится в области, состоящей из внутренности единичного круга |z[ < 1, точки г=1 и внешности единичного круга z >1; ряд равномерно сходится в объединении замкнутого крута | z | < 1—у и замкнутой внешности круга |г|5г1Ч-б для любых у, б > 0. Сумма ряда S (z) = {1/2 при | z | > 1, —1/2 при | z | < 1, 12 159. • Воспользоваться утверждением 0 при z = 1. задачи 12 158. 12 162. Если степенной ряд (1) сходится в точке z=zx & г0, то ои абсолютно сходится в круге | z—z0 | < | Zi—z0 | и равномерно схо- дится в любом замкнутом круге | г—z0 | <r < Zi—z0 |. Если ряд (1) расходится в точке z=zs, то ои расходится и вне крута |z—г0 | > > | za—z0 |. 12 163. • Для доказательства утверждений а) и б) вос- пользоваться теоремой Абеля и теоремой Вейерштрасса, а для дока вательства утверждения в)—теоремой Абеля, утверждением задачи 12.158 и учесть, что lim 1/ —-т-т = lim Р^|бл1- 12-164. • Вос- п -* ©О Г П-f- 1 п & пользоваться утверждением б) задачи 12.163. 12.165. Сходится гбео- лютио и равномерно в области | г— 11 2. 12.166. Сходится абсолютно 335
и равномерно в области |z-f-l |<^,2. 12.167. Абсолютно сходится, еслиж |г + 2|< 1; равномерно сходится, если |z-|-2|«Sr< 1. В точках ' *•=—3 и ж=—1 сходится условно. На отрезке —3<СЖ—1 сходится j равномерно. 12.168. Абсолютно сходится в области |г—4| < 1/2; рав- номерно сходится в области | г—4 | «Sr < 1/2. В точке х — 9/2 сходится j условно, в точке 7/2 расходится. На любом отрезке 7/2 < г*Сх*^9/2 сходится равномерно. 12.169. Сходится абсолютно в области |г—2-|< «й МУ 2; равномерно сходится в области г—21 < г < 1/|/" 2. В точ- ках 2 ± расходится 12.170. Сходится абсолютно в области |z—3| < У 3; равномерно сходится в области |г—3 | «S г < Уз В точках_х«=3 ± У 3 сходится условно, и иа отрезке 3—У 3<xg: «сз+/ 3—равномерно. 12.171. Сходится абсолютно в области |г| <3, равномерно сходится в области |z < 3, в точке х=—3 сходится условно, а в точке х=3 расходится. 12.172. Сходится абсолютно в области | г| < 1, сходится равномерно в области |z|«^r < 1, в точ- ках расходится. 12.173. Сходи ся абсолютно в области z-|-l|< < У 2/3, сходится равномерно в области | z-f- 11 < г < У2/3, сходится 1/"2 1/"2 условно в точке х--l-f--^— и расходится в точке х — 1 + -^—. О о 12.174 Сходится абсолютно в области | z | < 4 сходится равномерно в области |г|<г< 4, в точках х= ±4 расходится. 12.175. Сходится абсолютно в области |z| < 1. Сходится равномерно в области |г|< <r< 1; расходится на окружности |z|=l. 12 176 Сходится абсо- лютно в области z| < 1; сходится равномерно в области |z|«i/' < 1; расходится на окружности | z | — 1. 12.177. Сход| тся абсолютно во всей плоскости, равномерно—в любой ограниченной области. 12.178. Схо- дится абсолютно в области \г—11 < 8 сходится равномерно в обла- сти |г—1 |<г < 8; в точках х — —7 и х~9 расходится. 12.179. Рас- ходится во всех точках, кроме уточки г0 —/ 12.180. Сходится абсо- лютно в областн_ | г—31 < У 3, сходится равп< ме| i о в л сти |г—3|<г< У 3, в точках х— 3± У~3 расходится. 12.181. Схо- дится абсолютно во всей плоскости равномерно—в. любой ограни- ченной области 12.182. Сходится абсолютно в области |г—1|< 1. сходится равномерно в области \г— 1|^г<1; на окружности J |г —1| — 1 расходится. 12.183. Сходится абсолютно в области ' |г—3| < 4; сходится равномерно в области г—31 г < 4, в точке ] х — 7 сходится условно, в точке л = —I расходится. На любом от-Я резке —1 < Z^xsg7 сходится равномерно. 12.184. Сходится абсо- 4 лютно во всей плоскости, равномерно сходится в любой ограниченной области. 12.185. Сходится абсолютно в области | г | <2; сходится рав- ' номерно в области |г < 2 В точке х=—2 расхо. ится, в точке 1 х — 2 сходится условно. На любом отрезке —2 < 1^х^2 сходится 1 равномерно. 12.185. Сходится абсолютно и равномерно в области 7 I z |2. 12.187. Сходится абсолютно в области |г—2* | < 2, сходится 1 равномерно в области |г—2i|<r<2. 12.188. СхоДится абсолютно во всей плоскости, равномерно—в любой ограниченной области. 12.189. Сходится абсолютно и равномерно в области |z4-i|<-pj—. 12 190. Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно—в любой ограниченной области. 12 191. Сходится абсолютно в области |z—11< - < 9/4 сходится равномерно в области | г— 1 | г < 9/4 в точках 336
х — —5/4 и x— 13/4 расходится. 12.192. Сходится абсолютно в обла- сти | z | < е; сходится равномерно в области | г | < г < е; в точках х— ± е расходнтся^12.193. Сходится абсолютно и равномерно в обла- сти |z—3| <11/р^ 2. 12.194. Сходится абсолютно и равномерно в области I z-f-3|<с 1. 12.195. Сходится абсолютно и равномерно в области |г—3|су 2. 12.196. Сходится абсолютно в области |z-|-3| < 1; сходится равномерно в области |z-f-3|<r < 1 в точках к——2 и х — —4 расходится. 12.197. Сходится абсолютно в области | г| < 1; сходится равномерно в области |г|<;т < 1; расходится на окружности |г|=1. 12.198. Сходится только в точке z = 5. 12.199. Сходится абсолютно и равномерно в области |г|^1. 12.200. Сходится абсолютно в области |г| < 1/2; сходится равномерно в области | z | < г < 1/2; расходится на окружности | г! = 1/2. 12.201. Сходится абсолютно и равномерно в области [г—21^1 12.202. Сходится абсолютно и равномер! о в области |г+1|<1. СО 12 207. У 1 (z In 2)". |г| <4-оо п=0 со п (п + 1) К2 2 12.208. п=0 |г|< + оо 12 209 1-Ц L |г| < + “ 12-210. г + 2 , , 16 . . . л «г. +-gj-z3+ gj- ze+..., | г | < у . • Радиус сходимости этого ряда оире деляется путем применения следствия из теоремы Тейлора. 12 211. 1+4г»+4г*+"-'г1<У- >2.212. г-4г3+^гь+..-. Л/L “ 01 01 I г| < 12.213. 1 + z-J г’ —j? г4+.|г| < + со. 12.214. 1-га+ Z 0* “i со + Я- • +<-'>" -5Г+.-. М <+». тЪ <- ' W' Пж I |г| <4-оо. 12.216.У (_1у.«_Г,|г| <2. 12.217. £ л=0 п=0 |г|<|. 12.218. V. |,|< 27. 12 219 — (1__—__I_*? г4-}-. 4-(_1)" 1*^'‘1)г8п.[ \ iz.zu. 3^i 18-Г2.18» 4 nl 18” I 21 < 3.12.220. £ ^+lz”. | Z| < 2. • g£+Ls=_(324- n=0 12.221.^ (1+(—1)"2"+1)2«, |z| <y. 12.222. n=0 n=0 |z| <+«0. 12.223. У |z|<+oo. 12.224. У (-l)«(2n4-2)X 12 Под ред. А. В. Ефимова, В. П. Демидовича 337
’ IгI <+“•,2-225- Е (-(SHnjT24"^’ 1 2 1 <+°0- п= О 12.226. У f-1)"412"—1 гП) |2| < 2.; при х=4-сходится условно. п & & п= 1 со 12.227. 1п2 + £ (— l)n+1(14-2-«)-^-, |г| < 1; при х=1 сходится л= 1 (2zi_В I 2ал+* условно. 12.228. г + У (-1)” - д'- , | г | < 1; при х = ±.1 п= 1 се _z2n+1 абсолютно сходится. 12.228. < (—1)" ’ lzl < *’ При * п = 0 --Л (9/1_п ! I 2а" +1 сходится условно. 12.230. z+У —oTi"9—ГТ ’। г' < *’ при Х = п= 1 ” г»м • 1 = ± 1 абсолютно сходится. 12.231. (— 1)” 2"л! (2л+1)’ п=0 се SK-l-rf П.232. X 1-|>,2(2п+1),(2„+ТГ п=0 v 2“- in <+-• • Г|= 1 * 12.234. £ (-,); <2"- у-!. И <+.. . п= 1 - ^1—^-^у. 12.235. —78+ 59 (г+4)—14 (г+4)2 + (г+ 4)8.1 се 12.236. J (-1)в41(г-2)", |г-2|< 1. 12.237. У п=о „=0 1 } се г—3£| < | 1—3i|=/l0. 12.238. —’ lz—31<2- А=0 4 +‘ “ 1 12.239. У З-"-1) (г+4)п, | г+4 | <2. 12.240. 1 +v (г—1)+ п=> СО СС +S (-1)п+12~5' '£'1~4~ (г~1)п’ |г~ч <L ,2-241- У (-i)n+j>3 п=2 п= 1 338
. । ^ (< 2- • 7s- - lUX- ’2-2<5'•L' s • 4 n = 0 co |z|<4-00. 12.243. e£ (-*)" 7^ ((*-*)’"+ (*-1)2n + 1).|z| <4-00. 1=0 co 12.244. У, (—1)” 1=0 s I ‘ I <+”• 12.245. 31n2+^ (-1)"*1 5Л^1-. |z-l|<-g- * In(5z+3)= n= 1 co = In 84-ln (1H-|(Z-1)). 12.246. ln4+£ (-1)"*1 n— 1 |z+3|< 2. 12.247. |z| < 1; ц^.' 12.248. |z+ 11 < 1; 12.249.1 z—31 < 1. _1п^4 „^приг^З, Оприг-З. 12.250. |z| <|a|; Z------------------d I a'+z1' 12.251. |z| < 1; 1 (l+z4)2’ 12.253. • Представив f (г) в виде ряда по степеням (г—а), т. е. в виде /(г) = 2 с« (г—а)п>113 НС,,РС" 5*" п=о рышюсти f(z) в точке г=а убедиться в том, что св-0. Это-означает. что f(z)—(z—а) 2 cn(z—а)''-1=(г—а)/1(г), где ft (г)—аналити- я= 1 ческая в круге |г—а| < R функция и fi(Z|,) —О, Л—1, 2,... Отсюда вывести заключение, что с, —0 и т. д. 12.254. Пет. 12.255. f (?) = = г/(г-|-2). 12.256./(г) = г2. 12.257. _g(z) = /(z)= 1,(2—г) в общей части кругов |г|<2 и |г—« | < К 5. 12.258. g(z) = Hz) = ln (1+?) в общей части кругов | г | < 1 и | г— 1 —2i | < 2 У 2. 12.259. 10000 при х=1 нли 10 при х =— 0,5. 12.260. Два члена, 1 / тх \ пре сльная абсолютная погрешность е < jg =0,0000386 <0,0001. 12.261. 0,0002. 12.262. I х | < 0,9067. 12.263. 0,002. 12.264. 1,6487. 12.265. 0,3679. 12.266. 0,5878. 12.267. 0,2094. 12.268. 0,5403. 12.269. 0,8269. • Учитывая, что 1000 = 318-3,1415926+1,5707963 — — 0,5971963, приводим аргумент к величине 0,5971963£[0, л,4) и на- ходим sin 1000 = sin (1,15707963 — 0,5971963) = cos 0,5971963. 12.270.8,0411. • р/520 = (5124-8)1/а =вГ1+^у/3-12.271.3,8730. о yr15= V16—1=4 (1—1)1/2. 12.272. 5,1437. • у/700 = ~ (625 + 75) 1/4 = 5 (1 V/4. 12.273. 0,6931. • Использовать раз- 12’ 339
14-Х V'' x2n+l 1 ложение ln-p-1—=2^ при x=-^-. 12.274. 0,5236. n=0 ’’’ 12.275. 0,9385. 12.276. 1,1752. 12.277. 1,1276. 12.278. FUNCTION S(Y,EPS) PI—3.141593 PI2= 1.570796 X = X —X1UPI 1 IF(X.GT.PI2) X = PI —X S = 0 FACT=1. SX = 1. IF(X.LT.O) SX = —1. X = ABS(X) IF(X.LE.PI) GO TO 1 XI =X/PI N =X1 N1 = N/2 M N —Nl*2 IF(M.NE.O) FACT=—1 XU- N SM = X T —— 1. T = T+1. A = 2*T A=(A | 2.)*(A+3.) S = S+SM SM = SM*(—l.)*(X»X)/A IF(ABS(SM).G1 L S) GO TO 2 S = (S+SMHSX*FACT RETURN END • Так как sin x=sign (x)-sin | x |, то можно считать, что x^O. Пусть x nn+Xj, где n = [x/n| и Xi g JO, л), тогда sin x = sin (nn -J- xi) = = cos nn sin xi = (—l)"sinxj. При этом, если Xig(n/2, л), то пола- гаем sin х=(—1)" sin (л—sin х2, где x2g О.-тг). 12.279. FUNCTION C(X.EPS) Р12 =6.283185 Y=ABS(X) 1F(Y.LE.PI2) GO TO 1 N=Y/P12 A=N Y=Y—PI2*A 1 Y=Y +1.570796 C = S(Y,EPS) RETURN END 12.280. FUNCTION F.(Y,EPS) REAL»8 El/2.7182818284590 */,E2/0.3678794411714/,E3,E4 X = Y IX = X X1 = IX X —X — XI E4 = l. E= 1. B- ABS(X) JX = IABS(IX) IF(JX.LT.l) GO TO 3 E3 = El IF(IX.LT.O) E3=E2 • Оценка остатка: DO 1 1 = 1, JX 1 E4 = E4*E3. 3 EM=1. T=0. 2 T=T+1. EM =EM*X/T E =E + EM FPS1 ABS(EM)*B/T IF(EPSl.GT.EPS) GO TO 2 EM = EM4 E = E*EM RETURN ' END 340
Число e*=et*i.-e**,|xi |< 1, гдее'*1 = е-е . .е при [х]5э0, е'^= при х < 0. 12.281. FUNCTION BINO.M *(Х,ALFA,EPS) IF(ABS(X).GT.l) GO TO 2 BINOM=1. B=l. T=0. 1 A = ALFA—T T = T+1. В ;B*A*X/T B1NOM = BINOM+B • Оценка остатка: | /?„ (x) | < —v—- e-e.-. .e И Раз ---,---. [t] раз IF(B.GT.l) GO TO 1 EPSI =ABS(B)/(l — ABS(A)* ♦ABS(X)/T) IF(EPSl.GT.EPS) GO TO 1 RETURN 2 WRITE (3,3) 3 FORMAT (' РЯД PACXO »ДИТСЯ ') RETURN END ek"l______j___!_______. 12 282. FUNCTION ALN(X.EPS) ALN=0. A =—1. 1 T = T+I. 12.283. FUNCTION ALNl(X.EPS) IF(ABS(X).GE.l) GO TO 2 T = 0. A1.NI=X A X ] T = T + 1. X2 = X**2 A—A*X2 T2 = T*2. • Оценка остатка: I Un (x)|< 12.284. FUNCTION ARCTG(X.EPS) IF(ABS(X).GT.l) GO TO 2 T=0. ARCTG=X A= X 1 T = T+1. X2 = (—l.)*X**2 A=A*X2 T2 = T*2. 12.285. FUNCTION BO(Y.EPS) X = Y/2 A = (—l.)*X*A ALN=ALN + A/T IF(ABS(A/T).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END В АДТ2+1.) Al Nl=ALNl + B EPS! — ABS(B)/(1 —X2) IF( PS1.GT.EPS) GO TO 1 RETURN 2 WRITE (3.3) 3 FORMAT (' ABS(X).GT.l ') RETURN END |x|2« + > (2n+l)(l-x2) ’ ARCTG = ARCTG+A/(T2+1.) EPSI =ABS(A**X2/(T24-3.)) IF(EPSI.GT.EPS) GO TO I RETURN 2 WRITE (3,3) FORMAT (' ABS(X).GT.l ') RETURN END B0=l. A=l. 311
т=о. 1 Т=Т+1. А = А*(— 1.)*(Х*Х)/Т*»2 ВО=ВО+А 12.286. Одна из двух подпрограмм: FUNCTION SH(X.EPS) SH —(E(X,EPS)—E((— l.)*X,EPS))/2. RETURN end 1F(ABS(A).GT.EPS) GO ТО 1 RETURN END FUNCTION SH(X,EPS) T = 0. SH=0 A=X 1 T = T-|-1. T2 = T*2. FA = (X**2)/T2*(T2+ 1 ) 12.287. FUNCTION CH(X.EPS) CH = (E(X ,EPS) + E((-1 .)*X ,EPS))/2. RETURN END 12.288. Задание для ЭВМ к задаче 12.268: а) подпрограмма FUNCTION S(X.EPS) 6) подпрограмма FUNCTION C(X,EPS) б) основная программа R = C(1.,0.0001) R1=COS(1.) WRITE (3,1) R.Rl 1 FORMAT (' COS! 2F8.4) STOP END 12.289. £ (~Пп+,-§-. 1= 1 SH = SII + A A = A*FA IF(FA.GT.l) GO TO 1 EPSI =A/(1 — FA) IF(EPSl.GT.EPS) GO TO 1 RETURN END к задаче 12.272: а) подпрограмма FUNCTION BINOM(X,ALFA, •EPS) б) основная программа R = BI NOM(0.12,0.25,0 0001) R=5 *R Rl=SQRT(700.) R1=SQRT(R1) WRITE (3.1)R,R1 FORMAT (' 700**(l/4)=> *',2F8.4) STOP END xln + 1 12.290. —1)” (2n_|_ j)| (4n+3) n=0 12 291 У (-1)» X*n-- 12 292 У (-1)» (2w + P2l^"+2-. 12.291. (2л)1(4м4-1) 2- 1 U 2".n!(3n4-l) ‘ n-Q n=0 12.293. £ ( — 22fc+r (Jfe+j), A1« 12.294. £ (— 1)" (2л + ]) (2/г+1)1‘ k=0 n—0 12.295. 0,2800. 12.296. 0,1991. 12.297. 0,4802, 12.298. 0,6225. 12 299. 0,7714 12.300. 0,9461. 12.301. FUNCTION SI(X,EPS) SM-X SI-X T=0. X2=X*X 1 T=T4-1. 342
Т2 = Т*2. SM = SM»(—1)*Х2/(Т2+ *2.)*(T2+3.) A = SM/(T2-f-3.) 12.302. FUNCTION ERF(X.EPS) ERF=X X2=X*X AM=X T = l. 1 T = T+l. T2 = T»2. 12.303. FUNCTION BINT(X.S. ♦ALFA.EPS) XS = X**S BINT=X B = X T = 0 1 T = T-f-l TS = T*S+1. C= XS*(ALFA+ 1.—T)/T 12.304. FUNCTION ATG(X.EPS) X2=(— l.)*X*X A = X ATG=X T=0. I T = T+1. T2 = (T*2.+I.)**2 12.305. FUNCTION ALIN(X.EPS) A=-1 AL1N=O. T = 0. 1T=T+L T2 = T»T S1=SI + A IF(ABS(A).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END AM —AM*(— l.)*X2/T A = AM/(T2—1.) ERF = ERF+A IF(ABS(A).GT.EPS) GO TO 1 ERF=1.128379*ERF RETURN END B = B*C A _ c/TS B1NT = BINTH-B/TS IF(ABS(A).GT.l) GO TO I A = B/(J.-A) EPSI = ABS(A) IF(EPSl.GT.EPS) GO TO 1 RETURN END A = A*X2 B = A/T2 ATG = ATG+B. IF(ABS(B).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END A —A*X*(—1.) B = A/T2 ALIN = ALIN + B 1F(ABS(B).GT.EPS) GO TO I RETURN END 12.306. Задание для ЭВМ к задаче 12.297: а) основная программа R =0.886227^ERF(0.5,0.0001) WRITE (3.1) R 1 FORMAT (' '.F8.4) STOP END б) подпрограмма-функция FUNCTION ERF(X.EPS) Задание для ЭВМ к зачаче 12.298: а) основная программа R - BINT(0.6,2.,0.333333, ♦9.0001) WRITE (3,1) R I FORMAT (' ИНТЕГРАЛ • = ',F8.4) STOP END б) подпрограмма-функция FUNCTION BINT(X,S,ALFA, ♦EPS) 12.308. • (a+*)(a+*4-l)(“+*+2) 2 \(a+*)(a+*+0 343
— 12.309. • См. задачу 12.308. 12.310. • Раз- (a+*4-l)(a+ «+2)/ ложение в степенной ряд функции In (1 -J-*) при jr= 1. 12.311. • Раз- ложение в степенной ряд функции arotg х при х— 1. 12.312. 1п2. 1 12.313. /0 (2). 12.314. е—1. 12.315. — 1п2. 12.316. sin 1.12.317. cos-^g— CD 12.318. е1. 12.319. 1,0707. • У - (2)— С(4) + £ (6) — ? (8)+ n*-f~ I п=1 +Х жту- ,2-52«- ’•3226- • L «=1 п=1 +Ё Н£-£+44)-,2-22,<’да'- п=1 п=1 .-««♦♦ЁгйЧЛУ '2-з»-«да- • ,2-323 0-1249- • 1'-,>"ч,жт5- _|,„2-2(|-|)?(2)+^(1_|){я_»(1_4){«| + (—1)0+1 | • 12.324. Программа к задаче 12.322 л«= 1 использовать равенство £ (- 1)" « п (fl^)^4 ПС 1 (l—g-)t(2)- -7 (' -т)£ w+y (*4) < <4’~£2 <-’“тйч ' ‘ п-1 при а = 5, 6=3. о — EPS = 0.0002 S - 0.822467/А— В»0.901543 »/А*»2-|- В»*2»0.947033/А»*3 D=l. С = 0. Т = 0. 1 Т = Т4-1 D = D*(— 1.) SM=1 /(Т**4*(А*Т+В)) C = C-)-D*SM . IF(SM.GT.EPS) GO TO 1 S = S + B**3*C/A»*3 WRITE (3,2) S 2 FORMAT (' СУММА *РЯДА =',F8.4) STOP END 344
12.325.' ,W-f 0 2-3-6-7. ..(4n-|-2) (4nj-3) *«„+1V X£R. 12.326. p(x) = (4^+1)! ) = L °‘4'/7q:J j^.+ 1))a (3"+4) *3fi+2’ *€R- »2.327.p(x) = l + 2x- n=O x* 2 5л3 Зх4 . ooc . . . X* X4 , x* , 2— 3~ 4 +••• *2’328’ * + x 3 6 ^*45 i*® yS jc® 5x® 12.32». pM_,+i.+A.+-__ 12.330. f/(*) = m=1 m =1 X^+‘> x£R. 12.332. yW = *+4 ’(fennr*a"+1’ *eR* m= 1 12.333. у (x) = Cf --n * + C2 C°$ * • Общее решение должно содер- жать две произвольные Тюстояииые, поэтому из равенств г (r-f-1) ао==О и (г-|_])(л-}-2)с1 = 0 выбираем г——I, тогда а0 ft 0 и aj # 0. 12.334. у (x) = Cf cos V"x+C2 sin Y x- 12.337. 1J/2 (x)= sin x, 7-i/s (x)= j/^-^-cos x. • Использовать равенство = = К Л. 12.338. j/(x) = Ci/T(ax)+Ca/_v (ax), если v—не целое число и у (х) = С2/п (ax)CSW„ (ax), если у=п— целое число. 12.339. y(x)=CI70(2x)+C1W0(2x)._ 12.340. у (х) = С,/ 1/8 (2х) + +С2/_1/8(2х). 12.341. у (х)=С!^ (х К 3)+CsN2(x V 3). 12.342. у (х)= = С\11уь (Зх)-|-С2/ -i/ь (Зх). 2__9 21 12.343. z—2| > =. 12.344 |z-|-i| > 2;-.. . 12.345. 0 < Z — О (Z — I) < |z] < + <»• z3e>«. 12.346. 1 < | z—i| < + »; 12.347. 1/3 < < |2+i| < у 2. 12.348. 2 < | z—21 | < 3. 12.349. | z | > 1/e. 12 350. |z+l|>I/4. 12.351. l/2<|z|<K3. 12.352.—^------ <J0 00 _£(-])„ (z-l)", 0<| 2-l|<l; £ (-l)»41(g_ _-,l< n=0 < | z— 1 | <+«. 12.353., | z |> 1. •Произвести замену г=1/т) и п=2 345
разложить по степеням т] ,2354-5U=2)-iS (-,)*( 5 )’ k =0 0<|г-2|<5;£(-| г-2|> 5. 12.355. k =0 -4.Х (Ч3)*' «<|‘+3|Л: i»+3i>5. 4=0 4=0 12.356. |г|> 2- *2-357- -7=й~2^ 4 = 0 4=0 00 3 0<|г-1|<1; ^.|г—Ч > 1 12.358.—^ + 4=0 + 2У (-(г-2)« + (г-2)“+|), 0<|г-2|<1; — g~ + 4=0 + 2Ё (<^=-5=5>пт>)’ |г-2|>'- *2-35’- !’?Д- k «яО "• ' 1 < ]г| <_|-оо. • После замены г=1/т) воспользоваться равенством f_J_V 12.360. L--:,,г —1.12.361.г—14- \1—ij (I— ’I)1 (г-Н)1 (H-l) = 1 4=0 о < I г-11 < 2; £ =^. I z-i\> 2. 12.363. £ 4=0 ' 4=0 | г | > 1. 12.364. / 1 уч Л«*(г—i)*~l ~4(г—I)2”"4 2-л 2* 0 < | г—1| < 2; 1 „ 2* г 2" *)* /2_,)4+1 • 2<1г 4<т®о. • (га_|_ 1)» ~ к =0 1 / 1 V _ . = —I -=—; | . Для второго разложения воспользоваться заменой 2 \ г8-|- 1 / 00 г— = -и 12.365. (-l^hH.KIzK + c, • = k =0 —4(-?тт)- ,2Л“- L<-1'"тяг- о<1м<+«. 346
12.367. £(—!)«£—, 0<|г|<+«>. 12.368. У(—1)"х ш"=о п=о Х(2л+1)!(г—2)2"м ’ ° < 1 г~21 < + ,2-369' X > n=0 О <| г | <+«. 12.370.£ -*га.0<|г|<+оо. 12.371. ^(-J)»x и=0 ' п=0 v 42д ( cos 1 , 4 sin 1 1 \ Х(2л)! V (г—2)4л "*< (2л +1) (г—2)«"+« ) ’ ° < г~2 I < + 00 • 12.372. £ (-1 )* (г_ 1)А ( ] ),| г_] | < i £ bLgg_. 1 % * = о ' fe = 0 + Хт7=7рт> »<U—11<2; ^ьЁптп(1+2*),|г-1|>2. fc=i ,fe=0 it Ъ-Ч < К5; 4(|з+г')Хl~i)-o»7:)'\ п< х fc=l ксО 1 ’ J <|z-i| <К17;^£((3+2П(2-0*-Н-(-1)*~*(3-2|) (4-0*-i)X л«=1 . 12.374. л=о 4 ' \*=о *=0 / у X ^Sr (’ -4*), I г I > 2. 12.375. 1 £ г2* ( 15-ч±Г) , |2| < 1; *=0 л л=о ~з(X г2<*+1) +Х 4А+1 )' ' < Iг I < 2; -д-2г<л4-1) » 1г1 >2. xfc=0 k=0 J *«:О 12.376. A-j-.,., 1 <|г|< + <». 12.377. • Рассмот- С J (П-г0)"+1 1П-г„/=р реть интеграл иостью f (г), di] и воспользоваться ограни ен- вытекающей из существования предела lim /(г). 12.378. • Использовать следующее утверждение: если g(z)=(z—Ц)тХ. X<₽(?), m^l, <р(го)^О и ф (г)—аналитическая функция в окрест- ности точки го, то в некоторой окрестности точки г0 справедливо 347
12.460. 12.461. |л. 12.462. 12.463. ^-*-Х X(sin 24-2cos 2). 12.464. Г ^3 stay—cos y'j . 12.465. 12 466. яг - 2 cos 2. 12.467. -5-(е'Ч-е-8) 12.468 яХ X(e-24-e-s). 12.469. уу£“9- 12 470. л • 12.471. 2 корня. •₽(«) при изменении t от -|-оо до — оо приращения ие получает. 12.472. 2 кор- ни. 12.473. 3 корня. 12.474. • Воспользоваться тем, что arg fg= =argf+argg и arg 14-TTv) при обходе точкой г контура L прира- < 1. 12 475. • Рассмотреть фуик- .....Jnef- „ и <р (г) = о1г"-14--4-а„ на окружности |г| = К " ' । круге 121 < 1 один Положить f(2) — ^2 круге |г| < 1 один кольце 2 < | г | < 3 в в =arg f+arg g и arg ' +-ру- тения не получает, ибо | ~у^у | пни /(г) = овгп । . ... достаточно большого радиуса R. 12.476. а) в нуль; б) в кольце I < | г | < 2 четыре нуля. • п случае а) и /(г) = гь в случае б). 12.477. а) нуль; б) в кольце 1 | г | < 2 нулей нет; в) два нуля. //2 12 479- Для четной Рд=О, a* = 4-j f(x) о Z/2 четной: a* = 0, pfc=-i С f(x)sln-^-£lx(fe=0, 12.480. f (х) = 2itkx cos—— dx, a •иля Iie" = = | (рис. 109). 12.481. f (x) = m = 1 = ysinfcx, s/n\ я 1|0) I24g2 f(x)=y- ___£V COS^2.?~1)X , S(l) = l (рис. 111). 12.483.-4- Я- Zu (2m—I)2 ’ v 4 n 1 m= 1 -t. — У (.~7.P cos2fex. 12.484. Д—h4 У — cos &x. “ л Zu 4k~— 1 3 Zu fc=i *=t 12.485. ly ‘.sln.<2fe+1^. л Zu 2k -|- 1 г fc=o 12.486. 2 4 уз cos 2kx n л 4A* — 1 I 12.487. /гпх co oo <Jin------ 1—— У s,n 2fa(* . 12.488. — V (— l)ft-------- л Zu k n j—i ’ k . k=i k=l ,,, 2sin ал v'' < Asin/гх 12.489.- > (—1)*—sZTfa" ’ если а—не Челое: sin ах, если k= 1 350
Рис. in 351
„гп, юлпа 2 sin ал / 1 . z ixt. acosfexX °€ 2* *2.490.---—f y-4*2^ (—0* a»_ki I если я—не целое; \ k= 1 / cosax, если a£z. 12.491. _2sh?n у (—I)*-1 fo1”-** -. л Zu 1 ’ a24-fe2 12-492’ (-^^>)..2,493.a)Tlr+21n2x \ *=1 / vV 2cosfejt—1 „ fenx „ „ 2 cos fen—1 . knx x2-In22+fe2n* t0ST77- б) 1п2г+л2л2 s,n TnT' *=1 к-1 12.494. а) 4-4--V (£gs(4*4-l)x_ cos (4fe-|-3)x \ 4 у 1 'г7лЦ, 4fe-(-1 4fe4-3 J 'л2ийХ k=0 k=l Ь 1 л 03 Xsin2-y-sln fex. 12.495. а) у^-L_ cos (2fe-1) лх. fc=i 1 *=o k=2 -4 COS x. S) | slnx- £ f sln 2fc. 12.497. a) y+^-X xL^cos^. 6) (b^+^=l))slnA. *=1 fc=l ' 12.498. a) n——±—cos(2fe_])x. 6) £ —^’^sinfex. fc=o fe=l - <® oo 12.499. a) (at-iU cos (2*~ ’>*• 6) ^2 у sin 2fex. 12.500. a) ^-X fc=i fr=i x^(-l)^i^Sb^-. 6) *=1 Jf2 yrl 12.501. a) ; 6) " 32 K2 I 41 1 (2fe— l)nx 2 л» Zu (2fe—I)2 C0S I ' k= i • Рассмотреть ряд в точке «о = 1/4. 12.502. nJ/]2. 12 503. лг/6. 12.504. • Умножив и разделив 3)п(х) на 2sin-^-f получим ^„(х)=-------------Л 2(n+ l)sln у fe=o „ х 2fe+ ] 2sln -g-sin—-—x 2slnf =--------*-------- V (cos fex-cos (fe+1) = 4 («4-1) sin2 у ^0 4 (n + 1) sin2 у 352
1 sin2— ”+l 2sin«| jr4 . 12.505. 12.506. =4'J(f(x+0+/(x-0) . 2« + l. sln —к—t , ----^—;—dt. 12.507. ——— 2SlnX л(л + ,) • 2«+Г sin—3-1 >----—dt= 2sia2 Sln 2-f 2stna -g- j------rdi=1' il 2slnaT di. 2 12.508. ^Учитывая, что ——г-К X л (п+ I) можем записать On(f. x)—f(x) = n -^-гт-. \(f(*+i) + f (*-0-2/ W)--------r 2sln>-|- sln* t - dt — л о o 1 f <F <*+')+/ (*-0-2f W)---- dt + n(n + UJ 2sln*y • i r sln’ 4-^in \ (f (*+---------------------dt = li + h. n(n+*)^ 2sin* L По заданному e > 0 выберем 6 столь малым, чтобы для 0< t < S выполнялось неравенство: |f(*+O+f(*—0—2f (х) | < е. Тогда 2’"<"+») 2ш.± 2' Далее, в силу непрерывности f (х) имеет место неравенство | f (х)|<сЛ1 при х£[— л, я]. Поэтому n 1 n(«+ 1) dl = 2МЛ1 (n + 1) 61' б , 2Л4л2 1 в , . Выбирая п столь большим, чтобы g2 • -—। > находим | /»I < 12.509. f(x, у)=лг—2л X < e/2, t. e. V1 sln mx XL — m=l л sinny У sinmxsinny 12 610j тп m. n= L 353
Я1 Л V’’ (—])"» , = 4 + 2 z^—~sinmx m= 1 1 L (—П п Xsin mxsin ny. 12.511. v’’ I—nza+n sin ny-\- > 1---L---x mn n,n=l (—I)" *1 . япу , 16 —— ----sin —2—1--y’ -Г лз X n ш, л = 1 lj/n + n+i nny —5-------cos nmx sin к . m2n 2 12.512 f z \ 2л /(*» ^=-3- X * X т= 1 12.513. m (__]ря + л+1 -------r----sin nmx cos ny. mns---------u er i . ,, ... 2slnnv(5—с) g [sign (i—a)—sign (/ fe)] =---------<e-niv«i+b)_ 4nv 4n?v a -»—т-va sin-s— npnv# —, fl2—4этЧа 2a 2n л a « ‘'PHV=2S- 12.514. g |/j=A . 12.515. g |Л= 12.516. g [Н = ?Л1п2 nv 1 JUV £<аа _--- аа+Й = — j е~аа cos w/ dw. • Для вычисления о соотношение (») из примера 3 па с. 254. 12.518. gJ-A- 1 = [fl’lrj + сю / с ' ц2—slnco/dco ® Использовать соотношение , где интеграл gc £ | использовать вычислен в зада- CO1 4-00 (1)» •ie 12.517.12.519.g9[/e-*2]=-^e *, fe-'*= 1/Z f _и c~ T 2/2 Г я J 2/2 Xsln w/ dtfl. 12.520. gc[e~“'n cosfk]= * 4- CO 2 а (а2 +-Р2+и«) л (а!+(Р+и)2)(а2+(р-«)2)’ e-ai/icos P*=~У о a2 + P2-| «02 («24(P+«)2)(a2+(P -<o)2) 12.522. 5 (vft) = - Д sin2 xvkT, vk - A , p (уЛ) = 2 sin2 ^Г> j / 0 при k = 4n, ®(^) < ПрИ k^4n, (рнс. 112). 12.523. S(vA)= sin2nv -i(l—cos2.tva) k , x 21 sinnvA I • „ ------------’ v*= 3 ’ P(V*>= n|vA| ’ Ф= 1 = {о'АпрРи A-3* 2’ Ф^+2>: (P”c- Н3). 12.524. S(v) = 354
355
sfln 2nav |sin2nav| = P(v>=Sr|v| » (рис. 114). 12.525. S(v) = <D(v)= < P(v) = | 0, если S(v);&C, —л, если S(v) < 0 cos nv I Рис. 115 _ J 0, если S(v)5»0, ~ €сли $ (v) < о 'рис‘ 115)' * При вйчислепии интеграла 1/2 J cosnfe-^lv/rf/ функцию cos sit представить по формуле Эйлера. -1/2 356
112.526. S (v) = —, p (v)==—j-, ф (v)=0 (рис. 116). 12.527. S(v)= sin 4nv+« (cos 4nv—1) , k 2 , , „ . -------------------• P I sin2лvI. <D(v) = -argS(v)= I 0, если v=0 и v=l/2, ( . 1 _ . = j -2nv, если 0 < v < 1/2, ® (/+У )=Ф (v) <РИС’ 117>- 12.528. ^i = fl 0 0 0 I I о 0 0 —1 0 10 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 .0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 10 0 0 I 0 0 0 —1 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 .0 0 0 1 0 fl о о 0 1 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 —1 0 10 0 0 0 0 10 0 '.0 0 0 1 о 0 0 O'! 0 0 0 * 1 о 0 —10 0 0 10’ 0—1 0 0 0 1 о о —i; 0 0 0 'I q* 0 0 0 0 0 —q1 0 0 0 10’ 0 0 g2 0—10 0 0 —q3) 0 0 O'! q 0 0 0 g2 0 0 0 qs о о 0 • —q 0 0 О —g2 0 0 0 —q3) 12.529. ’(•^b+Xi) I" (xa+xe)^ *o— (Xo—x1)+g!(x1—x«) *1 + *S (XO + X«)— (Xg + Xe) Xl—x6 , ’Z‘2> = (x0— xj—qs (x, —x6) Xt- xa (Xl + xs)4- (Xs + x^ Xt — Xa (Xi—Xs)+g2(xs—x7) xs4-x? (*14-X5)— (Хз+х7) 1*3—X7, l(xi—x5)—g2 (xs—Xi)J Z<»> = f(xo+x4+ xa+ *e)+( *i+ *в+ *з+ (*o—*4+«®*2—g!xe)+( qxi— qx6 +gaxs — g3x7) (x0+*4— *2— *e)+(fl!xi+fle*5 — g®xs— qs»i) (*0—*4—«a*2+fl®*e) + to3*X — q3Xt — д*з+ ?*j) (*o+x«+ *a+ x6)—( xt + x6 + xs+ x7) (x0—x4+g2x2—g2xe)—( qxi — qxs +q3x3—q3Xt) (x0+x4— Xt— xj—(g2xi +g’x5 — g%— q*x7) ,(x0—x3— q3xa+qxxe)—(q3xt — qaxA — gxs+ qx7), 12.530. SUBROUTINE FASTFT ♦(N,L,KIND,A,B,AA,BB) DIMENSION A(L),B(L), *AA(L),BB(L) INTEGER V M=1 357
1 к-о 2 V-0 3 J = (2**M)»K+V4-1 I = (2**(M —1))»K+V+1 C=3.141593*FLOAT(V) » [2,*(M-1)) IF(KIND) 7,7,8 7 SI = SIN(C) GO TO 9 8 SI=—SIN(C) 9 CO=COS(C) NI=2**(N—1)+1 JM = J + 2*»(M—I) AO = A(NI) BO = B(NI) AA(J) = A(I)+AO*CO+ ♦BO*SI BB(J) = B(I)—AO»SI-L *BO*CO 12 531. SUBROUTINE F730(A,B) DIMENSION A(128),B(128) DO I I =-1,128 A(I)=25. 1 B(l) = 0. RETURN END AA(JM) = A(I) — *AO»CO— BO*SI BB(JM) = B(I)+ *AO*SI —BO*CO v=v+i IF(V—2**(M—1)) 3,4,4 4 K = K+1 IF(K—2**(N—M)) 2,5,5 5 M = M-f-l DO 13 I = 1,L A(I)=AA(I) 13 B(I) = BB(I) IF(M—N) 1,1,6 6 IF(KIND) 10,10,12 10 DO 11 I = 1,L AA(I) = AA(I)/L 11 BB(I) = BB(I)/L 12 RETURN END 12.532. SUBROUTINE F731(A,B) DIMENSION A(128),B(128) DO 1 1=1,32 A(I) = 0. * A(I+96) = 0. 1 B(I) = 0 DO 2 1 = 33,96 A(l) = 20. 2B(I) = 0 RETURN END 12.533. SUBROUTINE F732(A,B) DIMENSION A(128),B(128) DO 1 1 = 1,128 T= I A(I) = T*(128.—T)/32. I B(I) = 0. RETURN END 12.534. SUBROUTINE F733(A,B) DIMENSION A(128),B(128) DO 1 1= 1, 4 T=1 A(I) = T A(l + 64) = 64.— T B(l)=0. 1 B(I+64) = 0. RETURN END 12.535. SUBROUTINE F734(A,B) DIMENSION DO I 1 = 1,128 A(I)=I 12.536. DIMENSION A(128),B(128). *AT(128),BT(I28),Ai(128), *B1(128),A2(128),B2(128) CALL F734(A,B) WRITE (3,10) 1 B(I)=0.’ RETURN END 10 FORMAT (30H0 ИСХОДНАЯ •ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ) WRITE (3,1) A,В 1 FORMAT (' ', 16F7.2) DO 2 1=1,128 A1(I) = A(I) 358
2 B1(1) = B(I) CALL FASTFT(7, *128,0,Al,Bl,AT,ВТ) WRITE (3,11) FORMAT 6H0 ДПФ ) 11 WRITE (3,1) AT,ВТ M = 24 5 CONTINUE DO 6 1 = 1,M AT(64—1)=0. BT(64—1) = 0. AT(64+I) = 0. 6 BT(644-I)=0. DO 4 1 = 1,128 Al I) = AT(I) 4 B1(I) = BT(I) CALL FASTFT (7, »128,1,A1,B1,A2,B2) WRITE (3,12) M 12 FORMAT ('M= £,16) DO 7 1=1,128 A1(I) = A(I)—A 2(1) 7 B1(I) = B(I) —B2(I) WRITE (3,1) Al,Bl M=M+8 IF(M—40) 5,5,8 8 STOP END ГЛАВА 13 1. Да; 3. 13.2. Нет. 13.3. Jia; Q. 13.4. Да; 0. 13.5. Да; 0. 13.6. Да; 0. 13.7. Да; 0. 13.8. Нет. 13.9. L(l+e-’P—2е~*Р). 13.10. гД-(2—2ре-2/’—Зе-»/’+е-4Л- 13.11. — е-рт(1 — 1 Р 2 1 + -j (1- е"'”). 13.12. — (р—1 +«-«/> (р+1)).; 13.13. -^(1-е-Р- р* р н —е-пр). 13.15. 4—4р+ р* 1з-17- • ,зл8- w Л- -4р*+8р2-4р+2 (P2+D(4P2+D ' I/O (р cos 2а- 3(ра —13) ' 2 ---. 13.30. р« + 4 13.25. 13.29. 13.32. 13.18. Воспользоваться теоремой подобия. * 1 +—+—V- ' р+2 ' ps 13.22. jfl- • 13.24. 13.19. 13.21. —2 sin 2а) V 13.23. 7 Р*+4 (р2-4)2 6 (Р —2)< ’ 2р(р»+ 12) (р2—4)3 р(р* + 4) ‘ 6 (Р2-1)(р»-9) . 13.27, 13.33. (p+D(Ps + 2p + 5) • ’ • 5* Ра (Р + 2)а • 3'3 ‘ Р2 (2р+ 1) * 1Q ОО Р* (Р?+Па* м рЧ-4’ 13.31. £ Р . р«—4р-|-5 13 34 2(Р+П " ’ ’ (р2+2р+2)« • —L (х-т) •— е * Tdt=e 2 * t. 2 13.37. - . а , .. . 13.38. 1 . 13.39. — J-ln (1---4-J. р2(р2Н 4) р2(ра —2р + 2) 2р \ Ря 1 • Воспользоваться теоремой интегрирования изображения, а затем теоремой интегрирования оригинала. 13,40. — In I 1 +— 1. 359
13.41. -тг- In ; . 13.42. In —. • Воспользоваться тео- 2p p— 1 2p p2+Ps ремой интегрирования no параметру, а затем теоремой интегрирования оригинала. 13.43. -i- In ——. 13.44. 4р8+2р2—Зр) X (р) —~. 2 X 13.45. (р3+6р2+р—2)Х(р)—1. 13.46. (р?+5р—7)Х(р)+——ар—а? 13-47. —г. 13.48. „ ...... 13.49. ~-----пГ"- * Ч (<~ D р—1 2р(р=4-1) _ (₽~ ) = «1(1-1) ((1-1)е*-»+е«->). 13.50, Xsint=r)^ t—-jQKj—sln^ <—y)+cos У 13.51. -^-(1—e_₽T). 13.52. у (1— e-P^e-PT. 13.53. -A (1— e~Pt—е-2₽т_ре-зрт)] i / / £2:\ /1 -P \ 13-Б4-7^т(,-е-а)(1-^!)- *3-55- Н7-Т(Ь)| ,3-56- ^n+^ZT- ,3-57- ◄ Положим fo(O = { °<J < Z’ Тогда fo(O=f (0—T)(/_ Of (t—0 (поскольку /(/)=/(/—/) при t^l в силу периодичности). Переходя к изображениям, отсюда находим Ft(p) = F (р) — e~PlF(p), где FB (р) = е~Р*1 (/) dt. Слсдова- о телыю, F (р) = — ° —-----!—- {e~P*f (1) dt. 13.58. —!~с рт j 1—е~Рг 1 — е~Р* J р(1—е~Рт) 13,5®' p2-fp»cth'^p• 1 -Lp-рл «3-«>- ^-+1Г(1_С-7Й- *3-6*- A th р ср 2 ’ 13.62. JL---- ср2 р(1—е~Рс) .13.63. th 13.64. ср2 2 р4~Р^ 20 ртГ 13.65. Cth p” . 13.66. р2 1 13.69. 13.71. (р—а)^+1 -а)). 13.68. _У+1п(Р~°) / Р—а 1 (p+PO^+tP-PO^1 .„_п 2 (р2+р2)М+1 • ,л/”- TP4~yln (p’ + P’O + P arctg А 2____________________Р (Р2+Ра)( 13 67 — 1 f Г,(В+!) ” (р-а)Д+Ч Г (р+1) (у—постоянная Эйлера). 1 (р+РОц+1-(р-РО^^ 2» (р2+Р2)’л+1 13.72, Р2+Ра р arctg 4—Рт —| In (ps+ р2) р л. Ра+Р’ 1 360
>3 74. te*. 13 75 2-(e3i_e-i). 13.76. е-м sh f. 13.77. 1—e-t_fe-t. 3 1 13.78. f—sint. 13.79. -=-(l — e~stcos t—4 sin t). 13.80. — (ch 2t—cost), о 5 13.81. 4-/sin 4t. 13.82. ’f^fcos^t+^s^^-iA 4 3\ \ 2 1 у з 2 / / 13.83. ysh t sin t. 13.84. i) (t—2)Xt—2). 13.85. -i i)(t—2) (t—2)2e-«~2>. 13.86. e2f+i) (t—l)+i)(t—4)sin3(t—4). 13.87. cos 2t—2r] (t—1) x CO t (JQ x'i /2л+ 1 p sh T /2л L-адг- n=0 0 n=0 13.92. eV0 2 Vt~). • Применить теорему смещения к оригиналу, полученному в примере 4 из §2. 13.93. e-2f(cost—2sint). Ill 1 13.94. —cos 2/—— sin 2/. 13 95. Vя 6 15 10 5 Zu 1 13.96. 4-(ch t—cos t)—4 (sh t—sint). 13.97. -^i cos t~~sint + 0 0 IU DO -}-4sSh2t. 13.98. 4" t (sh f—sin t). 13.99. -ich t-Нг chcos Dv 0 о о z 2 13 1 13.100. y^cost+^tsint. 13.101. —(e2t—e«). 13.102. t—2sht + 4-tcht. 13.103. -4(ch2t—ch t). 13.104. 4: (ch tcos t)—^chfcost. o JO 5 13.105. x(t)=C1cos3t+C2sln3t4-g-sln3t. 13.106. x(t) = =(c1+Cat+-^y«. 13.107. xfO^Ci+^Cs-^) e-2‘ 13.108. x(t)« =( e* + Cje_2t. 13.109. x(t)=Cf-|-Cae“*-|-i-e_* (cos f—sin t). 13.110.x(t) =es (-4^sln^l^—cos )4-e-t. 13.111. x(t) = \y^3 2 2 1 1 v' = (1+Z+T’)e“1, *3J12, xw=4(e~9t~*)—,3J,3-*(0“’ 2 1 7 = -=-(1—e*) cos f-f--=-(l+6et) sin t. 13.114. x(t) — cos 2t—=-sin 2f — D D о i 25 1 ~~cos2L 13.115.x(0=H7sh3^—ch3f—~sht 13.116. x(0=34-/4- 4 24 8 /II + (t—2)eC 13.117. x(t) = lcht-lSlnt. 13.118. x(f)=^-«-l. 13 119. x(t) = l—e-l—T)(t—2)(1—13.120. x(t) = ysln* + 361
+ 1Ч(/-л)(/-л)81п(/-л). 13.121. X(0=ch/-l-l4(f-t) X X (ch(l—1)—1). 13.122. x(l) = 2 f sln22т] (/—1) sln2-|- /________________fl \ -}-•»](<—2)sln2—g—J. 13.123. Уравнению x*'” + °i*<n“,,+ ...4-o„_ix'4-a„x=l при нулевых начальных условиях соот- ветствует операторное уравнение L (р) Xj (р) =— , где Xj (р) = X! (/), a /.(p)=pn4-aiPn“i-}--»-+en-t/’+an — характеристический много- член уравнения. Отсюда Цр)~— . Уравнению ₽Х t (р) x’e,-}-ei*<”_x’ (-.•• + °n-ix'4-e„x=/(0 при нулевых начальных условиях соответствует операторное уравнение L (р) X (p) — F (р), где Х(р) = х(/), а Р(р) ==/(/). Отсюда X (р)=-^-^- = рХ1 (p)F (р). ь \Р/ С помощью интеграла Дюамеля (см. § 1, свойство II) получаем г I к (/) =х, (0) [ (/) + J х! (т) f (t — т) dt = J x't (т) f (t—т) dz (так как о о t х1(0)=0), или х(/)=/(0)х,(0 + $ Г (т)х1(/-т)А.> 13.124. х(/)= о = * (е1_1)_ ' е1+±е« 1п±±1. 13.125. x(0 = l(e<-l-te‘) + О J « + sh t In . 13.126. х (/)=е«—1 — (14-1п 2) (еЦ-1)+(<?Ч-1) 1» (е'+1). 2е’ 13.127. х(/) =sln /( t--arctg ( —) ) -}-cos t In . \ j<3 X К3 3 i 13.128. х (/) = J sln т dz (этот интеграл не выражается через о элементарные функции). 13.129. х(/)=С\-|-Сг sln Z-|-Ct cos t-f-t, у (/)= = sln/—Cj cos 4» . 13.130. xesCj-|-Og shchy^= = C4—Cssh/—Ct eh /-|-ch1-J-cos t. 13.131. x(()=e*i y(f) =— e*. 13.132. x (0 = 1 cos t, y(t) = — t sln t. 13.133. x(0 = sln t—cos t, у (f)= = sln l-f-cos t. 13.134. x (l) = sln l-|-sh t, у (t) = cos l-J-ct. t. 13.135. x(t)= t2 = у (t) = t—e1. 13.136. x(/)=—sln t,y(l) = — cos/, z(0=sln(. 13,137. x(0 = (l + /-sln/-cos0-211(<— — sin ^/-i^4-n(/ — л)(—1 (t — n)-}-cos(/—л)—sln(/—л)), y(t) = (1 — / + sln t — cos /) — ~ W 1—cos (t —+ + л)(1-}-(/—л)—sln(/ — л) — cos(/ — л)). 13.138. x(/) = = у (chj cos t — 2) — t] (/ — л) (ch (/ — n) cos (t — л) — 2) + 362
+ 2л) (ch (/—2n)-}-cos(/—2л)—2), y(t) =-l(ch/—cos t) — — ’1 (*—л) (ch (t—л)—cos (/—л))+у i](/—2л) (ch (/—2л)—cos (/—2л)). 13.139. 2 sin/. 13.140. ch 21—± sh 2/. 13.141. e*. 13.142. ch/. 1 Г/1__a) /a+P-i 13.143. —. 13.144. . 13.145. 2(x „)=,cosx + X -J-xsinx. 13.146. 2(x, y)=-^ysha(x—/)/(/)d/. 13.147. и (x, t) = о _ ^q (t-x / LC)=E sin co (t-xVLC), l(x,t) = 1/ q(t—xVL£)= r L == E -j- sin co (/—хУLC), / > хУLC. Предполагая, что и (x, /) и i (x, /) и нх ции переменной / являются оригиналами, == и (х, /), / (х, р) = / (х, /), получим dU (х, р) . , д1 (х, р) ----'—— — — Lpl (х, р), —' f / = производные как фуик- и обозначая U (х, р)== операторные уравнения -------------к/, ———=— CpU (х, р) с граничными условиями q (/)=== U (0, р) = Q (р) = - ЛЮ . Исключая / (ж, р) из пер- d2U (х, р) и считая р параметром, находим ------------------------r-i--' => dx2 + e(p)e-₽r7Zx. решение вого уравнения = LCpaU (х, р). Отсюда U (х, р) = А (р) ер ^LCx Из физических соображений следует, что при х U (х, р) ограничено, а потому при Rep>0 коэффициент при пер- вом слагаемом должен быть равен нулю, т. е. Л(р)=0. Далее, из условия U (О, Р)=^5^^5 следует, что U (х, P)~p2^°(02e P VlCx , С Еа -р VlCx п Тр^е • ПР"- i(x, /) >2-J. со» ,, ч I su а тогда / (х, р) = — ---- Lp меняя теорему запаздывания, находим отсюда искомое решение. 13.148 и (х, /) = £e-vVZ?x (Ч (/—х /ЕС)—ч (/—ж /Её—т)) ; ^-Ee~vVLCx (т](/— хУТС)—1](/ —х/Её — т)). 13.149. 1п^+^. 13.150. ^(^^--Ina). . Использо- вать решение задачи 13.67. 13.151. ^е~а1 13.152. -I- 1/ . 13.153. ]/"^(/Р—/а) . 13.154. /2^(/а—’Zf). 13.155. /лХ Х(/Р—/а) • В заданном интеграле предварительно положить х2=«. 13,156. 2. Имеем у-=/shА=1. Поэтому по фор- 363
муле (9) S = С ------L_L_ /sh — d/ = J- С te *dt «= J 1-e-f 2 2 J 0 0 (t __________t\ |+a> te 2 +2e 2 ) |o =2. ►13.157.-ул. ^arctg^=arctg^-i-j— 1 ,, , 1 . sin t . 1 . sin t . 1 —arotg —-^r-. Hoarctg — = ——, arctg —— = e~‘ arctg -—-= n-f-1 p t p+1 t p—Г 9 arc«gp = /(0 = . . sin t , . j=er—— (по теореме смещения). Следовательно, тельио, по формуле (6) t gt p e~t в—------sin/; k=l. Поэтому по формуле (9) S= \ ------------X ‘ 1—e~f 0 t e*—e-t P 14-e_* 1 e~t I X--------sin t di = I —t_ sin / dt. Ho —-— sin / = arotg----(- t J » t ’ p 1 3 +arotg т (₽)• F (0) = arotg (+ co)+arotg 1 =-j-n. Следова- p i 4 + oo -—/—sin tdt=^-n. ► 13.158. 4-- i 4 2 - * 1 1 я • (P2+1) (P2’+2p+2) “ F+T “ p»+2p + 2 • ,3J59- У . 3 1 1 * arct£ пЗ-]-Зл-|-1 °* arot£~^~—arotg ; см. решение задачи 13 57 13.160 arotg*. • Положить ф (/,*)== — * 1 + *"/ 43.161. aroslnx « Положить Ф (/, x) д —13.162. - x-. К1 — хЧ 2 Используем производящую функцию Ф(/, х)==-;—U-Sln У. , . »= I—21 cos х+/а С» = У /"sinnx. Имеем Ф(е-*, х) =-------е ,tslnx-----; —=«(/) = l-2e-»cosx+e-’« р- и/(0. г) (0 = • при /^0. Находим по формуле (10): 7’(х)=» С в-tslnxd/ f°° е-*<1/ «= \ ---------— «в sin X \ ----------------------- =3 1“2е~* cos х-) в-г( J (е~*—cos x)a-|-slns х . e"*t—cosxl+o> I » —arotg------—— =— arotg (— ctg x)+arotg - — COS X —-------, и, так sin x sin х 1 как — arotg (— ctg x) = arotg (ctg x) =£—x, arotg -. I 2 sin x = arotg (tg-£)=|, to 7(x)=^-x + | = 2L=^. I 13.163. —In ( 2 cos —-I . • Использовать разложение —COS x ± \ I ^1/ 14-2/cosx4-/’ 364
= У, (— 1)" tn cos nx, ПОЛОЖИВ Ф (t, x) = 1--, * . *— №.164. 13.166. £~“o- c>? ‘ R E—Uq ,/4 R*e V LC 4L2 t sin 13.165. ,/1 Rrt V LC 4L2 при 1 R2 . LC > 4Z.2’ при 1 R2 LC 4/.2 ’ L te ----e~ sh 1/ J_1 1 Z R2 1 V 4L2 LC V 4L2 LC 1 u 1 , Г 1 Lt \ Li 1 -----ZTS brK 4№ L2 Л ПРИ £,<4^- V 4R* L2 J 13.168. H<L+C> .13.169.£( l-e 2C«« (cl) LTp t- L L \ \ ZL t\ 2 Л). 13.170. 2C/?2 )) \\^C 3 Г/Т+4сг_г. 4LRC 4LCRr X 4C2^ Х'"’^ + я’,~5^*Т' L +/?sln^-L“cos“/< __)_ _ Я. t 13.172. ^-e CR 1-y j. 13.173. , £-^- e L /21 — t2- C~41 I 3G5
ZSX7&. ,3-ro- <»•» +^, “’|зга- efm + I) Q • По свойству 3, a). 13.179. еЧ (еЧ—i co P) e2» 2ae P * 1 (e<J—1)*+1 • при m < k; e<m+l) q (e«—l)*+i " 13.180. arctg m—I - Cre*m~r) ч при m^k. • По свойству 3,.б). г - к ---sln А - . Применяем формулу интегрирования oG-гпс К ,sl изображения (свойство 5,6)): sin Р« . С еЧ sin р dq____________ n J e2“J—2e«cos Р+1 — С e»slnPd<7 „ е7—cosP|® _,„ slnp “J 9(e<j_ cosP)«+sln2P “ arOg slnp L асееЧ~ cos P / ' . еч—cos P|® n eq— cos p , sin p \ (так как arctg S|n p ~ 2 arC,g sin P ~ tge4—cos?/► 1 1 I 2n-2(34-(—l)n-*)—ln~* 13.181. /(„)=_! in+12« + l(-2)« = i ( -§ ------- • 13.182. f(/i)=sin^cos^i^n. 13.183. f (n) = (/ 2)n+4os^ii n. • Использовать формулы для изображения функций ап sin f и a"cospn (пример 3 и задача 13.175). 13.184. 1)1 *' 2 5—4 cos р п (п*— 1) 30 ’ 13 185. 13 186 (slnp — 2я-1 sin/»р2" sin (л— 1) Р) при п>»1. • Использовать формулу умножения изображений. 13.1в/. £___ t 2 I2— t Г 3+1' 13.188. = Л(5я+1 + (—2)п+4). 13.190. х„ = 2(п + 1) л 3 13.189. х„= 13.191. х„== = sin^+gP..?. 13.192. х„ = (2х0-х1)1'Ч-(х1-х0)2я=С1+С8.2«. 13.193. х,г=2л—(п+1). 13.194. х„=(х,—2х0—2)Зп+(1—Xj Зх0)2" + + 4Я=С1-3"+С2.2"+4Я. 13.195. х„ = (—1)" | 2«+3«, »„=2(-1)я — — 2п—3”. 13.196. х„ +?5>±4!o.3»=C1.2«+Cs.3", О и уп = . 2" + .Зув+6хь - 3« = — Сг • 2«+»+С2.3"+1. 366
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Специальные разделы математического анализа Подредакцией А В ЕФИМОВА, Б П ДЕМИДОВИЧА Редактор Ф И.. Китер Художественный редактор Г. М. Коровина Технический редактор В. 11. Кондакова Корректор И Д Кришталь ИВ № 12973 Сдано в набор 25 08.86 Подписано к печати 02(4 86 Фермат 84x108/32. Бумага тип М> 3 Гарнитура литературная. Печать высо- ная. Усл. печ. л. 19.32 Усл. нр.-отт. 19,53. Уч.-изд. л: 25.88. Тираж 139 000 виз. Заказ М 4861. Цена 1 руб. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физнко математической литературы 117071 Москва Б-71. Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова» - Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054 Моснва, Валовая, 28 Отпечатано в типографии издательства «Коммуна», г. Воронеж, пр. Революции, 39.