Математика, механика, физика, астрономия - Мордухай-Болтовский Д.Д.

Author: Мордухай-Болтовский Д.Д.

Tags: физика математика механика астрономия естествознание государственное издательство физико-математической литературы серия класики естествознания

Year: 1948

Similar

Начала Эвклида. Математика, физика, астрономия

Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия. Книги I-VI. Начала.

Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия. Начала Евклида. Книги VII-X

Избранные труды. Том 1. Математика. Механика. Физика

Text

—' ¦—• •—'
L
КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗ НАНИЯ
1
I
1
I
I
I
I
1
I
I
I
-I
I
I
1
I
1
I
1
I
I
M AT E МАТИ KA
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
ACT РОНОМИЯ
о г и з
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРATуРЫ

гг^дгтд-i
1
1
I
I
I
t
AC
К
3
N.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
1
1
1
1
I
I
1
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
КНИГИ I-VI
Леревод с греческого
и коммеитаргш
А.Д.Мордух ай-Болтов ского
при редакционном
участии
М.Я.Выгодского
И. Н.Веселовского
о г и з
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ЛИ Т Е PAT у PJal
МОСКВА-ЛЕНИНГРАД. 1948

а 1-5-4

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Значение «Начал» Евклида трудно переоценить. В те-
течение двух тысячелетий люди изучали геометрию по «На-
«Началам» Евклида. Все систематические школьные курсы,
геометрии, непосредственно или через промежуточные звенья,
испытывают на себе влияние «Начал». Их перевод на
русский язык является поэтому не только данью класси-
классическому произведению древности, но и событием, весьма
важным для преподавания геометрии в школе.
Перевод «Начал» Евклида сделан мной с греческого
текста издания Гейберга. Я старался быть как можно ближе
к греческому тексту, порой даже в ущерб гладкости изло-
изложения. Так же, как Петрушевский, Энриквес и Хизс, я даю
риторического Евклида, решительно отказываясь переклады-
перекладывать что-либо из «Начал» на современную алгебраическую
символику, как это делают другие переводчики, в том
числе и Гейберг. Такая символика тесно связана с идеями,
совершенно чуждыми Евклиду.
Мой перевод предназначается не только для учителя,
который мог бы удовлетвориться вольным переводом вроде
перевода Ващенко-Захарченко, но и для лиц, ведущих ра-
работу по истории математики, заинтересованных в получении
неискажённого Евклида.
При переводе даны комментарии*); большая часть мате-
материала этих комментариев взята из моего архива, иакоплен-
:'") В связи с изданием «Начал» Евклида на русском языке Из-
Издательство одновременно публикует ряд статей (М. Я. Выгодского,
А. И. Маркушевича и др.), посвященных «Началам». Эти статьи,
помещённые в первом, выпуске «Историко-математических иссле-
исследований» (Гостехиздат,1948), помогут желающим более глубоко изу-
изучить творение Евклида.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
ного в моей многолетней историко-математнческой работе.
Многое является результатом собственных размышлений,
часть взята преимущественно из старинных комментариев,
о которых я буду упоминать в своих примечаниях.
В новейших больших изданиях «Начал», осуществлён-
осуществлённых Энриквесом и Хизсом, я нашёл мало материала, кото-
который мог бы быть мной использован. Характер комментариев
Хизса совершенно другой: Хизс большой знаток истории
текста, но не глубокий знаток старинных комментариев
и учебников.
Между тем, главное содержание моих комментариев
состоит в описании различных евклидовых положений в эво-
эволюционирующем в продолжение 400 лет геометрическом
учебнике. Можно сказать, что я задаюсь целью дать «На-
«Начала» Евклида сначала такими, какими они были в прошлом,
т. е. в их первоначальной форме, а затем такими, какими
они становятся в процессе эволюции математической мысли,
превращаясь постепенно в школьный учебник геометрии.
Конечно, я рассчитываю дать не только 6 первых книг,
но все 15 книг, т. е. все «Начала» полностью, причём также
с комментариями, относя арифметические книги и книгу X
ко второму тому, а стереометрические книги к третьему.
На русском языке мы в прошедшем имели следующие
переводы:
1739. Сатаров. «Евклидовы элементы» (8 книг), сокра-
сокращённые проф. А. Фархварсоном, пер. с латинского.
Спб.
1769. Курганов. «Елементы геометрии» (8 книг), пер.
с французского. Спб.
1784. Пр. С у во р о в н Вас. Н и к и т и н. «Евклидовых сти-
стихий осмь книг», пер. с греческого. Спб. B-ое изд.
1789).
1819. Пе т ру ш е вс к и й. Евклидовых Начал осемь книг,
пер. с греческого. Спб.
1835. Его же. Евклидовых Начал три книги: седьмая,
осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел
древних геометров, пер. с греческого.
1880. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояс-
пояснительным введением и толкованием. Киев.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА '
Ващенко-Захарченко не указывает, сделан ли им пере-
перевод с греческого или латинского языка. Перевод его очень
выьный и местами неправильный. Есть основание предпо-
предполагать, что он сделан с латинского издания Р. Симеона, до-
довольно свободно обращавшегося с текстом Евклида; отсюда
и взяты большей частью его комментарии, которые пополнены
замечаниями переводчика, в общем довольно поверхностными.
Нельзя, однако, отрицать, что издание это, несмотря на
свои недостатки, оказалось очень полезным.
Свой перевод я делал, не имея под рукой перевода
Петрушевского, написанного языком XVIII в. и, конечно,
в настоящее время совершенно неприемлемого. Но озна-
ознакомление с ним уже по выполнении перевода убедило меня
в том, что этот перевод очень хороший; хотя местами по-
понимание Петрушевским текста не согласуется с моим, но
мне кажется, что ему нельзя отказать в хорошем понима-
понимании <Начал».
При чтении текста «Начал» нужно иметь в виду сле-
следующие обозначения.
Числа в круглых скобках ( ) указывают номер соответ-
соответствующего комментария; кроме того, в круглых же скобках
даются ссылки на нужное предложение «Начал», на кото-
которое опирается доказательство в рассматриваемом месте
[напр.: «(предложение 11 книги I)» или просто «(предло-
«(предложение 11)», когда даётся ссылка на предложение той же
самой книги]; нужно иметь в виду, что соответствующие
ссылки сделаны Гейбергом и в самом тексте Евклида не
содержатся. В тексте Гейберга чертежи не нумерованы.
Нумерация их дана нами.
В квадратных скобках [ ] помещены слова, принадлеж-
принадлежность которых Евклиду Гейберг считает сомнительной, но
не настолько, чтобы прямо исключить их из издаваемого
текста.
В угловатых скобках < > помещены добавления перевод-
переводчика,- необходимые для понимания иногда слишком сжатого
текста Евклида.
В кавычках « » помещены термины, представляющие
буквальный перевод специфической научной терминологии
Евклида во избежание недоразумений; например, прямая

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
«из центра», — это выражение стоит там, где мы просто
сказали бы «радиус»; поскольку Евклид последнего тер-
термина не употребляет, то приходится его термин ставить
в кавычки, чтобы читатель не подумал, что здесь идёт дело
вообще о какой-то проходящей через центр прямой.
Звёздочкой *) или цифрой, например '), 2) и т. д.,
обозначаются ссылки на подстрочные примечания.
Я надеюсь, что мои комментарии дадут толчок как
историко-математическои, так и методической работе над
«Началами» Евклида; дальнейшие исследователи возможно
вскроют и мои ошибки, за указание которых я буду весьма
признателен.
Приношу свою благодарность проф. Марку Яковлевичу
Выгодскому за ряд ценных указаний и советов, использо-
использованных мною, и за любезную помощь в пользовании мало-
малодоступными источниками.
Приношу свою благодарность также проф. Ивану Ни-
Николаевичу Веселовскому, затратившему совместно с проф-
М. Я. Выгодским большой труд на редактирование пере-
перевода «Начал» Евклида и комментариев, в процессе которого
был исправлен ряд дефектов.

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
книги
I-VI

КНИГА ПЕРВАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ A)
1. Точка B) есть то, что не имеет частей *).
2. Линия C) же — длина без ширины.
3. Концы же линии — точки.
4. Прямая D) линия есть та, которая равно располо-
расположена по отношению к точкам на ней.
5. Поверхность E) есть то, что имеет только длину
и ширину.
6. Концы же поверхности—линии.
7. Плоская поверхность F) есть та, которая равно
расположена по отношению к прямым на ней.
8. Плоский же угол G) есть наклонение друг к другу
двух линий **), в плоскости встречающихся ***) друг с дру-
другом, но не расположенных по <одной> прямой.
9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол
называется прямолинейным.
10. Когда же прямая, восстановленная на <другой>
прямой, образует рядом углы ****), равные между собой, то
'') Точка у Евклида ег.цгТоу. Аристотель чаще пользуется сло-
словом зтг-ур,-;), чем or)]«Iov, в противоположность Платону. Этим двум
греческим терминам соответствуют латинские signum и punctum,
причём^второй термин более распространён.
**) Евклидово yiioi; (склонение, наклон) Марцианом Капеллой
(V в. п. э.) переводится словом inclinatio — наклонение.
***/ У Евклида «касающихся» (<k:-o|asv«>v).
****)_ Вместо евклидовых <xi Цг^ч -цоч'кх'. Герон употребляет тор-
мин dvTwjijisvai — лежащие напротив друг друга. В русской ли-
литературе установился термин «смежные углы*!'

12 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждый из равных углов есть прямой, а восставленная пря-
прямая называется перпендикуляром *) к той, на которой она
восставлена (§).
11. Тупой угол — больший прямого (9).
12. Острый же — меньший прямого.
13. Граница**) есть то, что является оконечностью
чего-либо A0).
14. Фигура A1)***) есть то, что содержится внутри ка-
какой-нибудь или каких-нибудь границ.
' 15. Круг A2) есть плоская фигура, содержащаяся внутри
одной линии [которая называется окружностью****)], на ко-
которую все из одной точки внутри фигуры падающие [на ок-
окружность круга] прямые равны между собой A3).
16. Центром же круга называется эта точка A4).
17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, про-
проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон ок-
окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между
диаметром и отсекаемой им <частыо> окружности. Центр
же полукруга — то же самое, что и у круга.
19. Прямолинейные A5) фигуры суть те, которые со-
содержатся между прямыми, трёхсторонние *****) — между
тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние
же — которые содержатся между более чем четырьмя пря-
прямыми.
*) У Евклида «отвесная» (/.яЭетщ — без члена). Латинский тер-
термин perpendicularis есть буквальный перевод этого слова; от неги
произошёл н наш обычный термин — перпендикуляр.
**) У Евклида говорится: «бро? lo'iv, 6 tivo? ie-i ягра?». Слово
Еро{ — граница, пограничный камень, и яерсц — край, оконечность,
не соответствуют математическому термину «предел».
Слово opci употребляется и в смысле определения (definiiio;
и в смысле границы (terminus). Для греков определить какой-ни-
какой-нибудь объект — значило отграничить его от других.
***) Греческому слову syr^a отвечают два латинских figura
и forma.
****) Термин «окружность» (jtipissipsia — буквально «обвод») Евклид
употребляет и в смысле дуги и в смысле целой окружности.
*****) У Евклида tp'iKUupa. Переводить словом «треугольный?
нельзя; для этого имеется специальный термин тр^юуоу, который
Евклид и употребляет ниже без особого определения.

КНИГА ПЕРВАЯ
13
20. Из трёхсторонних фигур равносторонний треуголь-
треугольник *) есть фигура, имеющая три равные стороны, равно-
равнобедренный же — имеющая только две равные стороны, раз-
разносторонний **) же—имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный
треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный
же — имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий
три острых угла.
22. Из четырёхсторонних фигур квадрат ***) есть та, ко-
которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник ****)
же — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равно-
равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллело-
(параллелограмм)— имеющая противоположные стороны и углы, равные
между собой, но не являющаяся ни равносторонней пи
прямоугольной.
*) У Евклида ioor.Xsupov Tpqowov — буквально «равносторонняя
треугольная» (подразумевается «фигура»). Здесь и всюду мы бу-
будем переводить просто «треугольник».
**) У Евклида a/a).T]vot;. На русском языке нет подходящего
термина: косой или косоугольный обозначает нечто совсем другое.
Специальное название для разностороннего треугольника показы-
показывает, что этот термин установился в конпе исторического разви-
развития понятия о треугольнике: первоначально рассматривались лишь
правильные треугольники, потом появились равнобедренные и,
наконец (возможно в эпоху Евклида), разносторонние, получив-
получившие даже особое название. В современной школе при господстве
убеждения о необходимости перехода от общего к частному
в специачыгом термине для разностороннего треугольника нет
надобности.
**'¦*) У Евклида «тро^муоу, т. е. просто «четыреугольник». Ясно,
что первым четыреугольником, с которым познакомилась геомет-
геометрия, был квадрат.
****)У Евклида iTsp^nTptst; — наш прямоугольник в общем смысле.
Этот термин встречается у Аристотеля. Интересно, что у Евклида
в «Началах» ни этого термина, ни других («ромб», «ромбоид»)
более уже не встречается. Свойства ромба вообще не изучаются;
вместо «ромбоида» же он пользуется термином «параллело-
«параллелограмм»— буквально «параллельнолинейная» (подразумевается фи-
фигура). Прямоугольники рассматриваются во 2-й и следующих кни-
i'ax и называются «прямоугольными параллелограммами». У Ар-
Архимеда параллелограмм употребляется в смысле нашего прямо-
прямоугольника.

14
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Остальные же четырёхсторонники будем называть тра-
трапециями *) A6).
23. Параллельные **) суть прямые, которые, находясь
» одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны
неограниченно***), ни с той ни с другой «стороны» между
собой не встречаются****) A7).
ПОСТУЛАТЫ *****) A8)
Д j пустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> про-
провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно
продолжать по прямой******)A9).
3. И что из всякого центра и всяким раствором B0)
<может быть) описан круг B1).
4. (Акс. 10.) И что все прямые углы равны между
собой B2).
*) Трапеция (трагсё&оу — буквально «столик») здесь понимается
в смысле четыреугольника общей формы. Герои различает xpaziCia
(наши трапеции) и храт.е?оыЩ (трапецевидные) — трапеции в смы-
смысле последнего определения Евклида. Интересно, что у Гиппо-
Гиппократа Хиосского употребляются трапеции и притом именно в на-
нашем смысле слова. Возможно, что всё определение 22 в конеч-
конечном счёте восходит к первому учебнику геометрии — гншгокра-
товым «Элементам», откуда они и были заимствованы Евкли-
Евклидом непосредственно или через промежуточные обработки «Эле-
«Элементов».
**) i:apaUr,).ot = eu^itai яярШтр.ск; г//ц|леуяц т. е. прямые, про-
проведённые друг подле друга.
***)Ei? ansipov — буквально «в неопределённость». Греки избе-
избегали нашего понятия «бесконечность».
****) eujinitrTouoiv зЩ)ли; — совпадают, сталкиваются, встречают-
встречаются друг с другом, но ни в коем случае не пересекаются.
*****) У Евклида яЕ'т^ятя— требования; соответственно этому
Боэций говорит о «petition и «postulata».
******) У Евклида ея' еидзЕа? — почти что в смысле наречия.
Петрушевский образно переводит это одним словом «впрямь»,
которое в современном языке, к сожалению, получило другой
смысл.

КНИГА ПЕРВАЯ 1-5
5. (Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые,
образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух
прямых *), то продолженные эти две прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньшие двух пря-
прямых B3).
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ B4)
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые**)
будут равны.
3. И если 'от равных отнимаются равные, то остатки
будут равны.
[4. И если к неравным прибавляются равные, то целые
будут не равны.
5. И удвоенные одного н того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой] B5).
7. И совмещающиеся друг с другом равны между со-
собой B6).
8. И целое больше части B7).
[9. И две прямые не содержат пространства B8).]
Предложение 1 B9, 30)
Ни данной ограниченной прямой построить равносто-
равносторонний треугольник.
Пусть данная ограниченная ***) прямая будет АВ
(черт. 1).
Требуется вот на прямой АВ построить равносторонний
треугольник.
') Мы сказали бы «углы в сумме меньшие двух прямых».
Здесь и в дальнейшем мы сохраняем евклидов способ изложения.
**) У Евклида т&оЬ, что вполне точно переводится «целые»,
а не «суммы»; Евклид ие мыслит сложения величин и получае-
получаемых после сложения сумм.
гут) — лучше сказать «ограниченная», чем «конечная>.

16
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Черт. 1.
Из центра А раствором АВ опишем круг BCD (постулат 3),
и далее из центра В раствором ВА опишем круг АСЕ
(постулат 3); и из точ-
точки С, в которой круги
пересекают друг дру-
друга, проведём к точкам
А и В соединяющие
прямые СА, СВ (посту-
(постулат 1)*).
И поскольку точка
А есть центр круга
CDB, то АС равна АВ
(определение 15); далее,
поскольку точка В —
центр круга САЕ, то ВС равна ВА (определение 15). Но
уже было показано, что и СА равна АВ; значит, каждая из
СА, СВ равна АВ. Но равные одному и тому же равны и
между собой (аксиома 1); значит, и СА равна СВ.
Значит, три прямые СА, АВ, ВС равны между собой.
Значит, треугольник ABC равносторонний (определе-
(определение 20) и построен на данной ограниченной прямой АВ
[значит, на данной ограниченной прямой построен равно-
равносторонний треугольник], что и требовалось сделать C1,32).
Предложение 2
От данной точки отложить прямую, равную дан-
данной прямой.
Пусть данная точка будет А, заданная же прямая ВС;
требуется вот от точки А отложить прямую, равную дан-
данной прямой ВС (черт. 2).
*) У Евклида «по "оо Г аг,цг1ои. .. iiz\ та А, В атци!* 1»СсСгй)г&маау
EoSelai at ГА, ГВ — буквально «от точки С... к точкам А, В пусть
будут соединены (несуществующее на русском языке повелитель-
повелительное наклонение страдательного залога) прямые СА, СВт. Этот
оборот нельзя сохранить в русском переводе, где <соединяются>
точки, а не прямые, но, с другой стороны, необходимо оттенить
различие между «проведём> прямую (v^lho) и «соединим> (ens^Eu^&o)).
В дальнейшем у Евклида большей частью употребляется сокра-
сокращённый оборот ?nsCsux^(oaav а' ГА, ГВ — уже без упоминания
о прямых).

КНИГА ПЕРВАЯ
17
Проведём от точки А к точке В соединяющую прямую
АВ и построим на ней равносторонний треугольник DAB
(предложение 1); по прямым DA и DB продолжим пря-
прямые АЕ, BF, из центра В ¦
раствором ВС ииишем круг
СОН (постулат 3) и далее из
центра D раствором DH
опишем круг HKL (посту-
лат 3).
Поскольку теперь точка
\— центр круга СНО, то ВС
А,г(авна ВН (определение 15).
фДалее, поскольку точка D —
центр круга HKL, то DL
равна DH (определение 15),
Чэ а у них DA равна DB. Значит,
/S^ остаток AL равен остатку ВН
"V (аксиома 3). Но уже доказано,
что и ВС равно ВН; значит, каждая из прямых AL и ВС
равна ВН. Но равные одному и тому же равны и между
,, собой (аксиома 1); зна-
•— "* чит, и AL равна ВС.
Значит, от данной
точки А отложена пря-
прямая AL, равная задан-
заданной ВС, что и требо-
требовалось сделать.
Предложение 3
Из двух заданных
неравных прямых от
большей отнять пря-
прямую, равную меньшей.
Пусть данные две
неравные прямые бу-
будут АВ и С, из них большая пусть будет АВ; вот тре-
требуется от большей АВ отнять прямую, равную меньшей
С (черт. 3).
2 Евклид
Черт. 3.
f

18
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
От точки А отложим AD, равную прямой С (предло-
(предложение 2); и из центра А раствором AD опишем круг DEF
(постулат 3).
И поскольку точка А—центр круга DEF, то АЕ равна
AD; но и С равна AD; значит, каждая из АЕ и С равна
AD; так что АЕ равна С (аксиома 1).
Значит, из двух заданных неравных прямых АВ и С
от большей АВ отнята АЕ, равная меньшей С; это и тре-._
бовалось сделать C3). '
Предложение 4
Если два треугольника имеют по две стороны, рае- ¦
ные каждая каждой, и по равному углу, содержащемуся
между равными прямыми, то они будут иметь и осно-.
вание, равное основанию, и один треугольник будет равен
другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторо-
сторонами, будут равны остальным углам каждый каждому.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ и АС равными двум сторонам DE и DF
каждая каждой, а именно, АВ равной DE, а АС равной
DF и угол ВАС равным EDF (черт. 4). Я утверждаю,
В
Черт. 4.
что и основание ВС будет равно основанию EF, и треуголь-
треугольник ABC будет равен треугольнику DEF, и остальные
углы, стягиваемые равными сторонами, будут равны осталь-
остальным углам каждый каждому, а именно, угол ABC углу
DEF и угол АСВ углу DFE. Действительно, если треуголь-
треугольник ABC совмещается с треугольником DEF и кладутся
точка А на точку D, а прямая АВ на DE, то и точка В сов-
совместится с Е вследствие того, что АВ равна DE; а так
как АВ совместилась с DE, то и прямая АС совместится

КНИГА ПЕРВАЯ 19
с DF вследствие того, что угол ВАС равен EDF; так что
и точка С совместится с точкой F вследствие того, что АС
тоже равно DF.
Но В уже совместилась с Е; так что и основание ВС
совместится с основанием EF. Действительно, если при
совмещении точки В с Е, а С с F основание ВС н: сов-
совместилось бы с EF, то две прямые будут содержать про-
пространство (аксиома 9), что невозможно.
Значит, основание ВС совместится с EF и будет ему
равно; так что и весь треугольник ABC совместится со всем
треугольником DEF и будет ему равен, и остальные углы
совместятся с остальными и будут им равны, а именно,
угол ABC углу DEF и угол АСВ углу DFE.
Значит, если два треугольника имеют по две стороны
равными каждая каждой и по равному углу, содержаще-
содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и ос-
основание, равное основанию, и один треугольник будет равен
другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторонами,
будут равны остальным углам каждый каждому, что и тре-
требовалось доказать C4).
Предложение 5
У равнобедренных треугольников углы при основании
равны между собой, и по продолжении равных прямых
углы под основанием будут равны между собой *).
Пусть ABC будет равнобедренный треугольник, име-
имеющий сторону АВ, равную стороне АС (черт. 5), и пусть
по прямым АВ, АС будут продолжены прямые BD, СЕ
(постулат 2).
Я утверждаю, что угол ABC равен углу АСВ, а угол
CBD углу ВСЕ.
Действительно, на BD возьмём произвольную точку
F, от большей АЕ отнимем АН, равную меньшей AF
(предложение 3), и соединим прямыми FC и ИВ.
*) Свойство равнобедренного треугольника, доказываемое
в предложении 5, по свидетельству Прокла, обнаружил ещё Фалес.
2*

20 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь AF равна АН, а АВ равна АС, то
вот две <прямые> FA, АС равны двум НА, АВ каждая
каждой; и они содержат общий угол FAH; значит, осно-
основание FC равно основанию НВ и треугольник AFC будет
равен треугольнику АНВ и остальные углы, стягиваемые
равными сторонами, будут равны
остальным углам каждый каждо-
каждому, а именно, угол ACF углу
АВН, а угол AFC углу АНВ
(предложение 4).
И поскольку вся AF равна
всей АН, и у них АВ равна АС,
то, значит, и остаток fiF равен ос-
остатку СН (аксиома 3). Но доказа-
доказано, что и FC равна НВ; вот две
прямые BF, FC равны двум пря-
мым СН и НВ каждая каждой; и
угол BFC равен углу СНВ, и
Черт. 5. основание у них общее ВС. Зна-
Значит, и треугольник BFC равен
треугольнику СНВ, и остальные углы, стягиваемые равны-
равными сторонами, равны каждый каждому (предложение 4); зна-
значит, угол FBC равен углу НСВ, а угол BCF углу СВН.
Поскольку теперь доказано, что весь угол АВН равен
всему углу ACF, и у них СВН равен BCF, то следова-
следовательно, и остаток ABC равен остатку АСВ (акснома 3) и
они находятся при основании треугольника ABC. Доказа-
Доказано же, что и угол FBC равен НСВ, и оба они под
основанием.
Значит, у равнобедренных треугольников углы при
основании равны между собой и по продолжении равных
прямых углы под основанием будут равны между собой.
Это и требовалось доказать C5, 36, 37).
Предложение 6
Если а треугольнике два угла равны между собой,
то будут равны между собой и стороны, стягивающие
равные углы.

КНИГА ПЕРВАЯ
21
Пусть ABC будет треугольник, имеющий угол ABC,
равный углу АСВ; я утверждаю, что и сторона АВ равна
стороне АС (черт. 6).
Действительно, если <сторона> АВ не равна АС, то одна
из них больше другой. Пусть будет больше АВ; от боль-
большей АВ отнимем DB, рав-
равную меньшей АС, и соеди-
соединим DC.
Поскольку теперь DB
равна АС, а ВС общая, и
вот две <прямые> DB, ВС
равны двум АС, СВ каждая
каждой, и угол DBC равен
углу АСВ; значит, основание
DC равно основанию АВ, и
треугольник DBC будет ра-
равен треугольнику АСВ (пред-
(предложение 4), меньший боль-
большему, что нелепо (аксиома 8).
Черт. 6.
Значит, АВ не будет не равной АС; значит, она ей равна.
Значит, если в треугольнике два угла равны между
собой, то будут равны между собой и стороны, стягиваю-
стягивающие равные углы, что и требовалось доказать C8).
Предложение 7
На одной и той же прямой нельзя построить двух
прямых, равных каждая каждой двум другим прямым
и (сходящихся^ одни в одной точке, другие в дру-
другой, так, чтобы эти прямые находились бы по одну
сторону и имели бы одни и те же концы с первоначаль-
первоначальными прямыми.
Действительно, если возможно, пусть на одной и той
же прямой АВ будут построены две прямые AD и DB,
равные каждая каждой двум другим прямым АС и СВ,
сходящиеся одни в одной точке С, другие в другой D,
нах.жящиеся по одну сторону и имеющие одни и те же
концы, так что СА равнялось бы DA, имеющей с ней тот
же конец А, а СВ равнялось бы DB, имеющей с ней тот
же конец В; соединим CD, ¦ . . ..

22
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь АС равна AD, и угол ACD равеп
углу ADC (предложение 5), значат, угол ADC больше
угла DCB; значит, и подавно угол CDB больше угла DCB.
Далее, поскольку СВ рав-
равна DB, и угол CDB ра-
равен углу DCB. Но дока-
доказано, что он и подавно
больше его; это же не-
невозможно.
Значит, на одной и
той же прямой нельзя по-
построить двух прямых, рав-
равных каждая каждой двум
другим прямым и схо-
сходящихся одни в одной точке, другие в другой, так, чтобы
эти прямые находились бы по одну сторону и имели бы
одни и те же концы с первоначальными прямыми, что и
требовалось доказать.
Предложение 8
Если два треугольника имеют две стороны, равные
каждая каждой двум сторонам, имеют также и основа-
н
Черт. 7.
Черт. 8.
нае, равное основанию, то они будут иметь и угол
равный углу, заключённому между равными прямыми.
Пусть ABC и DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ, АС, равные каждая каждой двум сторо-
сторонам DE, DF, именно, АВ, равную DE, и АС, равную DF;

КНИГА ПЕРВАЯ
23
пусть они имеют также и основание ВС, равное основа-
основанию EF; я утверждаю, что и угол ВАС будет равен углу
EDF.
Действительно, когда треугольник ABC налагается на
треугольник DEF и помещаются точка В на точку Е и
прямая ВС на прямую EF, то и точка С совместится с F
вследствие того, что ВС равна EF; когда же вот ВС
совместилась с EF, то совместятся и ВА и СА с ED
и DF.
Действительно, если основание ВС совместится с осно-
основанием EF, а стороны ВА и АС не совместятся с ED
и DF, но уклонятся в сторону, как, например, ЕН и HF,
то на одной и той же прямой будут построены другие
две прямые, равные этим двум прямым каждая каждой,
< сходящиеся > одни в одной точке, другие в другой
точке, находящиеся по одну сторону и имеющие те же
концы.
Но'они не могут быть построены (предложение 7);
значит, при совмещении основания ВС с основанием EF
будут совмещаться и стороны ВА, АС со сторонами ED
и DF. Значит, они совмещаются; так что и угол ВАС совме-
совместится с углом EDF и будет ему равен.
Значит, если два треугольника име-
имеют две стороны, равные каждая каж-
каждой двум сторонам, и основание, рав-
равное основанию, то они будут иметь и
угол, равный углу, заключённому меж-
между равными прямыми, что и требова-
требовалось доказать C9).
Предложение 9
Данный прямолинейный угол рас-
рассечь пополам.
Пусть данный прямолинейный угол
будет ВАС; требуется рассечь его
попо лам.
Чепт
черт-
Возьмём на АВ произвольную точку D, от АС (черт. 9)
отнимем АЕ, равную AD, соединим DE, построим на DE
равносторонний треугольник DEF (предложение 1) и сое-

24
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
даним AF; я утверждаю, что угол ВАС делится пополам
прямой AF.
Действительно, поскольку AD равно АЕ, AF же общая,
вот две < стороны > DA, AF равны двум ЕА, AF каждая
каждой. И основание DF равно основанию EF; значит,
угол DAF равен углу EAF (предложение 8).
Значит, данный прямолинейный угол ВАС рассечён
пополам прямой AF, что и требовалось сделать D0, 41).
Предложение 10
Данную ограниченную *) прямую рассечь пополам.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ; тре-
требуется ограниченную прямую АВ рассечь пополам (черт. 10).
Построим на ней равносто-
равносторонний треугольник ABC (пред-
(предложение 1) и рассечём угол
АСВ пополам прямой CD (пред-
(предложение 9); я утверждаю, что
прямая АВ рассекается попо-
пополам в точке D.
Действительно, поскольку
АС равно СВ, a CD общая,
вот две стороны АС и CD
равны двум сторонам ВС и CD
каждая каждой; и угол ACD
равен углу BCD; значит и основание AD равно основанию
BD (предложение 4).
Значит, данная ограниченная прямая АВ рассечена в
точке D пополам, что и требовалось сделать D2).
Предложение 11
К датой прямой из заданной на ней точки провести
прямую под прямыми углами **).
)r3TCspiaiijvri—лучше сказать «ограниченная», чем «конечная».
**) Слова, отвечающего перпендикуляру, у Евклида нет.
В предложении 11 он говорит: про? ор&а; ftovia; — под пря-
прямыми углами, а в 12-м хаЭетоу suOsiiv — отвесную прямую.
Из последнего термина произошёл и наш «катет».

КНИГА ПЕРВАЯ
25
Пусть данная прямая будет АВ, а заданная на ней
точка С. Требуется вот из точки С к прямой АВ провести
прямую под прямыми углами (черт. 11).
Возьмём на АС произвольную точку D, отложим СЕ,
равную CD (предложение 3), построим иа DE равносто-
равносторонний треугольник FDE
(предложение 1) и соединим
FC. Я утверждаю, что к
даииой прямой АВ из задан-
заданной иа ней точки С под пря-
прямыми углами проведена пря-
прямая FC.
Действительно, посколь-
поскольку DC равна СЕ, a CF об-
общая, вот две <стороны> DC, —
CF равны двум ЕС и CF,
С Е
Черт. И.
В
каждая каждой; и основа-
основание DF равно основанию FE;
значит, угол DCF равен ECF (предложение 8) и они
смежны.
Если же прямая, восставленная на прямой, образует
смежные равные между собой углы, то каждый из равных
углов будет прямым (определение 10); значит, каждый из
углов DCF и FCE прямой.
Значит, к даииой прямой АВ из заданной на ней точки
С под прямыми углами проведена прямая FC, что и тре-
требовалось сделать D3, 44, 45).
Предложение 12
К данной неограниченной прямой из заданной точки,
на ней не находящейся, провести перпендикулярную пря-
прямую линию*).
Пусть данная неограниченная прямая есть АВ, а дан-
данная не находящаяся иа ией точка С. Вот требуется к дан-
данной неограниченной прямой АВ из данной не находящейся
*) Данное в этом предложении решение задачи приписывается
Проклом Энопиду Хиосскому (геометр V «и. до н. э.).

26
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
D
Черт. 12.
на ней точки С провести перпендикулярную прямую линию
(черт. 12).
Возьмём по другую сторону прямой АВ какую-нибудь
точку D, из центра С раствором CD опишем круг EFH
(постулат 3); прямую ЕН рассечём пополам в точке О
(предложение 10)и со-
соединим СН, CG, СЕ
(постулат 1).
Я утверждаю, что
к данной неограничен-
неограниченной прямой АВ из дан-
данной не находящейся на
-ff ней точки С проведена
перпендикулярная пря-
прямая CG.
Действительно, по-
поскольку HG равно GE,
a GC — общая сторо-
сторона, вот две стороны HG, GC равны двум EG и GC каж-
каждая каждой; и основание СН равно основанию СЕ
(определение 15); значит, и угол CGH будет равен углу
EGC (предложение 8), и они смежные.
Если же прямая, восставленная на прямой, образует
равные между собой смежные углы, то каждый из равных
углов прямой, и восставленная прямая называется пер-
перпендикулярной к той, на которой она восставлена (опре-
(определение 10).
Значит, к данной неограниченной прямой АВ из задан-
заданной на ней не находящейся точки С проведена перпенди-
перпендикулярная прямая CG; это и следовало сделать.
Предложение 13
Если прямая, восставленная на' прямой, образует
углы, то она будет образовывать или два прямых или
(вместе У равные двум прямым*).
*) У Евклида 8озЬ брЭаГ; Хаг%, Было бы очень вольно пере-
перевести «в сумме двум прямым». Мы переводим «вместе», чтобы
избежать возможного недоразумения, что каждый из углов прямой.

КНИГА ПЕРВАЯ
27
в
Черт. 13.
Пусть какая-нибудь прямая АВ, восставленная иа пря-
прямой CD, образует углы СВА *) и ABD. Я утверждаю,
что углы СВА и ABD или прямые или < вместе > равны
двум прямым (черт. 13).
Теперь, если СВА равен ABD, то они суть два пря-
прямых. Если же нет, то проведём из точки В под прямыми
углами [к прямой] CD прямую
ВЕ\ значит, углы СВЕ, EBD—
два прямых; и поскольку СВЕ
равен двум СВА, ABE, то при-
прибавим общий угол EBD; зна-
значит, углы СВЕ, EBD равны
трём углам СВА, ABE, EBD. 27-
Д алее, поскольку DBA равен
двум DBE, ЕВА, то прибавим
общий ABC; значит, углы DBA,
ABC равны трём DBE, ЕВА, ABC (аксиома 2). Но
и углы СВЕ, EBD оказались равными тем же самым
трём; равные же одному и тому же равны и между собой;
и значит, углы СВЕ, EBD равны DBA, ABC; но СВЕ, EBD
суть два прямых; и значит, DBA, ABC < вместе > равны
двум прямым.
Значит, если прямая, восставленная на прямой, обра-
образует углы, то она будет образовывать или два прямых
или < вместе > равные двум прямым, что и требовалось
доказать D6).
Предложение 14
Если с некоторой прямой в какой-нибудь её точке
две прямые, расположенные не по одну и ту же сторону,
образуют смежные углы, равные < вместе > двум пря-
мым, то эти прямые по отношению друг к другу будут
по одной прямой **).
Действительно, пусть с некоторой прямой АВ в какой-
нибудь её точке В две прямые ВС, BD, расположенные
¦) У Евклида угол обозначается ие просто ГВА, но йг.Ь
ГВА — под ГВА, т. е. угол, образованный прямыми ГВ и ВА.
**) У .Евклида lit' eu9siai Icovtai аШ^ац if eu&sTai — прямые
будут между собой «по прямой».

23
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
не по одну и ту же сторону, образуют смежные углы
ABC, ABD, равные < вместе> двум прямым; я утвер-
утверждаю, что BD будет по одной прямой с ВС.
Действительно, если BD не будет по одной прямой
с ВС, то пусхь по прямой с ВС будет BE.
Поскольку теперь прямая АВ восставлена на прямой
СВЕ, то, следовательно, углы ABC, ABE равны двум пря-
прямым (предложение 13); но и углы
ABC, ABD равны двум прямым;
значит, углы СВА, ABE равны
углам СВА, ABD. Отнимем общий
угот СВА; значит, оставшийся угол
ABE равен оставшемуся ABD,
меньший большему; это же незоз-
можно. Значит, BE не будет по
прямой с ВС. Подобным вот об-
образом докажем, что < не будет)
и никакая другая, кроме BD; значит, СВ будет по пря-
прямой с BD.
Значит, если с некоторой прямой в какой-нибудь её точке
две прямые, расположенные не по одну и ту же сторону,
образуют смежные углы, равные < вместе > двум прямым,
то эти прямые по отношению друг к другу будут по од-
одной прямой, что и требовалось доказать D7).
Предложение 15
Если две прямые пересекаются, то образуют углы
через вершину *), равные между собой.
Действительно, пусть две прямые АВ, CD пересекаются
в точке Е.
Я утверждаю, что угол ЛЕС равен углу DEB, угол
же СЕВ равен AED (черт. 15).
Действительно, поскольку прямая АЕ, восставленная
на прямой CD, образует углы СЕА и AED, то значит,
углы СЕА и AED вместе равны двум прямым (предложе-
*) У Евклида xati xopu^v соответствует нашим «верти-
«вертикальным» углам. Специального определения этого термина у Ев-
Евклида нет. Согласно Евдему, доказываемая теорема принадлежит
Фалесу.

КНИГА ПЕРВАЯ
29
ние 13). Далее, поскольку прямая DE, восставленная на пря-
прямой АВ, образует углы AED и DEB, то, значит, углы AED
и ОЕВ вместе равны двум прямым (предложение 13).
Но и углы СЕА и AED
оказались равными двум пря- ^
мым; значит, углы СЕА и AED
равны AED и DEB. Отнимем
общий угол AED; значит, ос- О
таток СЕА равен остатку BED
(аксиома 3). Подобным вот об- N
разом будет доказано, что и Черт. 15.
углы СЕВ и DEA равны.
Значит, если две прямые пересекаются, то образуют
углы через вершину, равные между собой, что и требова-
требовалось доказать D8).
[Следствие.
Из этого ясно, что если две прямые пересекают друг
друга, то они при пересечении будут образовывать углы,
равные вместе четырём прямым *).]
Предложение 16
Во всяком треугольнике при продолжении одной из
сторон внешний угол больше каждого из внутрен-
внутренних, (емуУ противоле-
жащих.
Пусть треугольник бу-
будет ABC и пусть одна
его сторона ВС будет
продолжена до D. Я ут-
утверждаю, что внешний
угол ACD больше каждо-
го из внутренних проти-
Черт 16 волежащих углов СВА и
ВАС.
Рассечём АС пополам в?и соединящую BE продол-
продолжим по прямой до F; отложим EF, равную BE (предло-
(предложение 3), соединим FC и проведём АС до И (черт. 16).
*) Это следствие (кйркара), имеющееся не во всех рукописях
Евклида, Гейберг считает позднейшей вставкой. -

30
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь АЕ равна ЕС, a BE равна EF и
вот две <стороны> АЕ, ЕВ равны двум СЕ, EF каждая
каждой; и угол АЕВ равен углу FEC, ибо <он располо-
расположен) через вершину (предложение 15). Значит, и основа-
основание АВ равно основанию FC, и треугольник ABE ра-
равен треугольнику FEC, и остальные углы равны каж-
каждый каждому остальным углам, стягиваемым равными
сторонами (предложение 4); значит, угол ВАЕ равен
углу ECF.
Но угол ECD больше угла ECF (аксиома 8); зна-
значит, угол ACD больше ВАЕ. Таким же образом, <ес-
ли> разделить ВС пополам, будет доказано, что
и угол ВСН, т. е. ACD (предложение 15), боль-
больше ABC.
Значит, во всяком треугольнике при продолжении одной
из сторон внешний угол больше каждого из внутренних
противолежащих, что и требовалось доказать.
Предложение 17
Во всяком треугольнике два угла, взятые вместе при
всяком их выборе, меньше двух прямых.
Пусть треугольник будет ABC; я утверждаю, что в тре-
треугольнике ABC два угла,
взятые вместе при всяком
их выборе, меньше двух пря-
прямых (черт. 17).
Действительно, продол-
продолжим ВС до D (постулат 2).
И поскольку в треуголь-
треугольнике ABC угол ACD внеш-
внешний, то он больше внутрен-
-D него противолежащего ABC
(предложение 16). Приба-
Черт. 17. ним общий угол АСВ; зна-
значит, ACD и АСВ <вместе>
больше, чем ABC и ВСА (аксиома 4). Но ACD и АСВ
<вместе> равны двум прямым (предложение 13); значит,
ABC и ВСА меньше двух прямых. Таким же образом

КНИГА ПЕРВАЯ
31
докажем, что и углы ВАС, АСВ меньше двух прямых, и
также углы CAB, ABC.
Значит, во всяком треугольнике два угла, взятые при
всяком их выборе, меньше двух прямых, что и требова-
требовалось доказать.
Предложение 18
Во всяком треугольнике большая сторона стягивает
больший угол.
Пусть треугольник будет ABC, имеющий сторону АС,
ббльшую чем АВ. Я утверж-
даю, что и угол ABC больше
угла ВС А (черт. 18).
Действительно, посколь-
поскольку АС больше, чем АВ, от-
отложим AD, равную АВ, и
соединим BD.
И поскольку в треуголь-
треугольнике BCD угол ADB внеш-
внешний, то он больше внут- Черт. 18.
реннего ему противолежа-
противолежащего DCB (предложение 16). Но угол ADB равен углу
ABD, поскольку и сторона АВ равна AD (предложение 5);
значит, и угол ABD больше АСВ; значит, и подавно угол
ABC больше АСВ (аксиома 8).
Значит, во всяком треугольнике большая сторона стя-
гивает больший угол, что и требовалось
доказать D9).
Предложение 19
Во всяком треугольнике больший
угол стягивается и большей стороной.
Пусть треугольник будет ABC, имею-
имеющий угол ABC, больший угла ВС А.
Я утверждаю, что и сторона АС больше
стороны АВ (черт. 19).
Действительно, если это не так, то АС или равна АВ
и меньше. Но теперь АС не равна АВ, ибо тогда и
Черт. 19.

32
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угол ABC был бы равен АСВ (предложение 5); но он не
<равен>. Значит, АС не равна АВ. Но также АС и
не меньше АВ, ибо тогда и угол ABC был бы меньше АСВ
(предложение 18). Но он не <меньше>; значит, АС не
меньше АВ.
Доказано же, что <АС> и не равна <Л5>; значит, АС
больше АВ.
Значит, во всяком треугольнике больший угол стя-
стягивается и большей стороной, что и требовалось дока-
доказать E0).
Предложение 20
Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе
при всяком их выборе, больше оставшейся.
Пусть треугольник будет ABC. Я утверждаю, что
в треугольнике ABC две стороны, взятые вместе при вся-
всяком их выборе, больше третьей,
а именно, ВА и АС больше ВС,
АВ и ВС больше АС, ВС и СА
больше АВ (черт. 20).
Действительно, проведём ВА
до точки D, отложим АО, равную
СА (предложение 3), и соеди-
соединим DC.
Поскольку теперь DA равна
АС, то и угол ADC равен углу
ACD (предложение 5); значит,
угол BCD больше угла ADC
(аксиома 8); и поскольку треугольник DCB имеет
угол BCD больше угла BDC, а больший угол стяги-
стягивается и большей стороной, значит, DB больше ВС (пред-
(предложение 19). Но DA равна АС; значит, ВА и АС <вме-
сте> больше ВС; подобным вот образом докажем, что
и АВ и ВС <вместе> больше СА, а ВС и СА <вместе>
больше АВ.
Значит, во всяком треугольнике две стороны, взятые
вместе при всяком их выборе, больше, чем третья; это и
требовалось доказать E1).
Черт. 20.

КНИГА ПЕРВАЯ 33
Предложение 21
Если в треугольнике на одной из сторон от концов
восставлены будут внутрь две прямые, то восстав-
восставленные прямые (вместе^ будут меньше двух остальных
сторон треугольника, но будут заключать больший угол.
Действлтельно, пусть в треугольнике ABC на одной
из сторон ВС будут от концов В, С восставлены внутрь
две прямые BD и DC; я утверждаю, что BD и DC <B5ie-
сте> меньше остальных двух сторон треугольника ВА и АС,
но заключают угол BDC, больший, чем ВАС (черт. 21).
Действительно, прове-
проведём BD до Е. И пос-
поскольку во всяком тре-
треугольника две стороны
<вместе> больше остав-
оставшейся (предложэние 20),
то значит, в треугольни-
треугольнике ABE две стороны АВ
и АЕ больше BE; приба- церт 2\
вим общую прямую ЕС;
значит, ВА и АС <вместе> больше BE и ЕС (аксиома 4).
Далее, поскольку в треуголгнике CED две стороны СЕ
и ED <вместе> больше CD, то прибавим общую DB; зна-
значит, СЕ и ЕВ больше CD и DB.
Но ВА и АС по доказанному больше, чем BE и ЕС;
значит, и подавно ВА и АС больше BD и DC.
Далее, поскольку во всяком треугольнике внешний
угол больше внутреннего и противолежащего (предложе-
(предложение 16), то значит, в треугольнике CDE внешний угол
BDC больше CED. Вследствие того жз тогда и в тре-
треугольнике ABE внешний угол СЕВ больше ВАС. Но угол
BDC по доказанному больше СЕВ; значит, и подавно BDC
больше ВАС.
Значит, если в треугольнике на одной из сторон от
концов восставлены будут внутрь две прямые, то восставлен-
восставленные прямые <вместе> меньше двух остальных сторон тре-
треугольника, но заключают больший угол, что и требовалось
Доказать. , „„,._
3 Евклид J^C****

34
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 22
Из трёх прямых, которые равны трём данным [пря-
[прямым], составить треугольник; нужно, однако, чтобы две
(прямые, взятые, вмегтеу, при всяком их выборе были бы
больше оставшейся [вследствче того, что в > всяком тре-
треугольнике две стороны, (взятые вместе} при всяком их
выборе, больше оставшейся].
Пусть три данные прямые будут А, В, С, из них две
<взятые вместе> при всяком их выборе пусть будут больше
оставшейся, а имен-
именно, А и В больше
С; А и С больше В,
и затем В и С боль-
больше А; требуется вот
из прямых, равных
А, В, С, составить
треугольник (черт.
22).
Проведём какую-
нибудь прямую DE,
ограниченную в D
и не ограниченную в
сторону Е, и отло-
отложим DP, равную Л,
затем FH, равную В, и НО, равную С (предложение 3);
и из центра F раствором FD опишем круг DKL (посту-
(постулат 3); затем из центра Н раствором НО опишем круг
KLG (постулат 3) и соединим KF и КН. Я утверждаю,
что из трёх прямых, равных Л, В, С, составлен треуголь-
треугольник KFH.
Действительно, поскольку точка F — центр круга DKL,
то FD равна FK (определение 15); но FD равнаЛ. И, зна-
значит, KF равна А (аксиома 1).
Затем, поскольку точка Н—центр круга LKQ, то HG
равна НК (определение 15); но НО равна С (аксиома 1);
значит, и КН равна С. Но и FH равна В; значит, три прямые
KF, FH и НК равны трём прямым Л, В, С.
Черт. 22.

КНИГА ПЕРВАЯ
35
Д
Значит, из трёх прямых KF, FH, НК, которые равны
трём заданным прямым А, В, С, составлен треугольник
KFH, что и требовалось сделать E2).
Предложение 23
На данной прямой при данной её точке поставить
прямолинейный угол, равный данному прямолинейному
углу.
Пусть данная прямая будет АВ, точка же на ней А и за-
заданный прямолинейный угол ОСЕ; требуется вот на дан-
данной прямой АВ, при точке её А, построить прямолинейный
угол, равный данному (черт.
23) прямолинейному углу
ОСЕ.
Возьмём на каждой из
прямых CD и СЕ какие-ни-
какие-нибудь точки О и Е и соеди-
соединим DE; и из трёх прямых,
которые равны трём CD,
DE, СЕ, составим треуголь-
треугольник AFH (предложение 22),
так, чтобы CD была равна
AF, СЕ равна АН и затем
DE равна FH (предложе-
(предложение 22).
Поскольку теперь две
прямые DC, СЕ равны двум Черт. 23.
прямым FA и АН каждая каж-
каждой, и основание DE равно основанию FH, то, значит, угол
DCE будет равен углу FAH (предложение 8).
Значит, на данной прямой АВ при точке её А построен
прямолинейный угол FAH, равный данному прямолинейному
углу DCE, что и требовалось сделать E3).
Предложение 24
Если два треугольника имеют две стороны, равные
двум сторонам каждая каждой, но заключённый меж-
между равными сторонами угол <б одному больше, (чем в
3*

36
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Черт. 21
другому, то и основание <s первому будет больше основа-
основания <so второму.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
АВ, АС, равные двум сторонам DE, DF каждая каждой,
а именно, АВ, равную DE, АС, равную DF, угол же при
А пусть будет больше угла при D; я утверждаю, что и
основание ВС больше основания EF (черт. 24).
Действительно, по-
поскольку угол ВАС больше
угла EDF, построим на
прямой DE при точке
её D угол EDH, равный
углу ВАС (предложе-
(предложение 23), отложим DH,
равную каждой из АС и
DF (предложение 3), и
соединим ЕН и FH. По-
Поскольку теперь АВ равна
DE, АС же DH, и вот две
прямые ВА, АС равны двум ED, DH каждая каждой; и
угол ВАС равен углу EDH; значит, и основание ВС равно
основанию ЕН (предложение 4). Далее, поскольку DF
равна DH, и угол DHF равен углу DFH (предложе-
(предложение 5); значит, угол DFH больше EHF; значит, и подавно
угол EFH больше EHF. И поскольку EFH есть треуголь-
треугольник, имеющий угол EFH больший, чем EHF, больший же
угол стягивает большая сторона (предложение 19), значит,
и сторона ЕН больше EF. Но ЕН равна ВС; значит, и
ВС больше EF.
Значит, если два треугольника имеют две стороны,
равные двум сторонам каждая каждой, заключённый же
между равными сторонами угол <в одном) больше, <чем
в другом), то и основание <в первом> будет больше ос-
основания <во втором), что и требовалось доказать E4).
Предложение 25
Если два треугольника имеют две стороны, равные двум
сторонам каждая каждой, основание же <s одному
больше, чем основание <s другому, то и угол, заклю-

КНИГА ПЕРВАЯ
37
Черт. 25.
кЫный между равными прямыми <s первом'}, больше
угла <so второму.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ, АС, равные двум сторонам DE, DF каж-
каждая каждой, а именно, АВ, равную DE, и АС, равную DF;
основание же ВС пусть будет болице основания EF; я ут-
утверждаю, что и угол ВАС больше угла EDF (черт. 25).
Действительно, если
это не так, то он или ра-
равен ему или меньше; но
равным углу EDF угол
ВАС не будет; ибо <тог-
да> и основание .бСбыло
бы равно основанию EF
(предложение 4); но оно
не <равно>; значит, и
угол ВАС не равен углу
EDF. Но также угол
ВАС не будет и меньше
угла EDF; ибо <тогда>
к основание ВС было бы меньше основания EF (предложе-
(предложение 24), но оно не <меньше>; значит, и угол ВАС не
меньше EDF. Но доказано, что он и не равен; значит,
угол ВАС больше угла EDF.
Значит, если два треугольника имеют две стороны,
равные двум сторонам каждая каждой, основание же
<в одном) больше, чем основание <в другом), то и угол,
заключённый между равными прямыми <в первом>, больше
угла <во втором), что и требовалось доказать E5).
Предложение 26
Если два треугольника имеют два угла, равных двум
углам каждый каждому, и одну сторону, равную одной
стороне, либо заключающейся между равными углами,
либо стягивающей один из равных углов, то она будут
иметь и остальные стороны равными остальным сто-
сторонам [каждая каждой] и оставшийся угол оставше-
муся углу. ¦ - *

38
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть будут два треугольника ABC, DEF, имеющих
два угла ABC, BCA равные двум углам DEF, EFD каж-
каждый каждому, а именно, угол ABC углу DEF и уГол ВСА
углу EFD; пусть также они имеют одну сторону, равную
одной стороне, сперва пусть заключающуюся между рав-
равными углами, а именно, <сторону> ВС, <р;вную> EF
(черт. 26). Я утверждаю, что они будут иметь и остальные
стороны равными остальным сторонам каждая каждой, а
именно, АВ <стороне> DE, АС <стороне> DF и оставшийся
угол оставшемуся углу, а именно, угол ВАС углу EDF.
Действительно, если АВ не равна DE, то одна из них
будет большей. Пусть большая сторона будет АВ; отло-
отложим ВН, равную DE, и соединим НС.
Поскольку теперь ВН равна DE, а ВС равна EF, то вот
две стороны ВН, ВС равны двум DE, EF каждая каждой;
и угол НВС равен углу DEF; значит, основание НС равно
основанию DF, и треугольник НВС равен треугольнику
DEF, и остальные углы равны остальным углам, стягива-
стягиваемым равными сторонами (предложение 4); значит, угол
НСВ равен углу DFE. Но угол DFE предполагается рав-
равным углу ВСА; значит, и угол ВСН равен ВСА, т. е.
меньший большему, чего не может быть (аксиома 8). Зна-
Значит, не может АВ быть не равной DE; значит, она равна.
Но и ВС равна EF; вот две стороны АВ, ВС равны двум
DE, EF каждая каждой; и угол ABC равен DEF; значит,
основание АС равно основанию DF и оставшийся угол ВАС
равен оставшемуся углу EDF (предложение 4).

КНИГА ПЕРВАЯ 39
Но вот пусть далее будут равны стороны, стягиваю-
стягивающие равные углы, как АВ и ОЕ; я утверждаю далее, что
и остальные стороны будут равны остальным сторонам,
а именно, АС равна OF, ВС же EF, и, кроме того, остав-
оставшийся угол ВАС <равен> оставшемуся углу EOF.
Действительно, если ВС не равна EF, то одна из них
будет большей. Если это возможно, пусть большей будет
ВС; отложим ВО равной EF и соединим АО.
И поскольку ВО равна EF, АВ же DE, и вот две сто-
стороны АВ, ВО равны двум DE, EF каждая каждой; и за-
заключают равные углы; значит, основание АО равно осно-
вию DF и треугольник АВО равен треугольнику DEF, и
остальные углы будут равны остальным углам, стягиваемым
равными сторонами (предложение 4). Значит, угол BOA
равен углу EFD.
Но угол EFD равен углу ВСА; вот в треугольнике
АОС внешний угол BOA равен внутреннему и противоле-
противолежащему ВСА, чего быть не может (предложение 16). Зна-
Значит, ВС не будет не равной EF; значит, она равна. Но и
АВ равна DE, вот две стороны АВ, ВС равны двум DE,
EF каждая каждой и заключают равные углы. Значит,
основание АС равно основанию DF, и треугольник ABC
равен треугольнику DEF, и оставшийся угол ВАС равен
оставшемуся углу EDF.
Значит, если два треугольника имеют два угла, ргвных
двум углам каждый каждому, и одну сторону, равную од-
одной стороне, либо заключающейся между равными углами,
либо стягивающей один из равных углов, то они будут
иметь и остальные стороны равными остальным сторонам
[каждая каждой], и оставшийся угол оставшемуся углу,
что и требовалось доказать E6, 57).
Предложение 27
Если прямая, падающая на*) дее прямые, образует
ног,"оестлежащие углы,, равные между собой, то прямые
будут параллельны друг другу.
*) У Евклида 2|«tirr<o — впадаю, падаю на, .'....

40
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть прямая EF, падающая на две прямые АВ и CD,
образует накрестлежащие углы AEF и EFD, равные между
собой; я утверждаю, что АВ параллельна CD (черт. 27).
Действительно, если это не так, то АВ и CD продол-
продолженные сойдутся или со стороны В, D или со стороны
А, С. Продолжим их и пусть они сойдутся со стороны В, D
в точке Н. Вот в тре-
а ?¦/ д угольнике HEF внеш-
внешний угол AEF равен
внутреннему ему про-
противолежащему EFH;
это же невозможно
С F/ j^' (предложение 16); зна-
/ чит, АВ, CD продол-
продолженные не сойдутся со
Черт. 27. стороны В, D. Таким
же вот образом дока-
доказано, что не <сойдутся они> и со стороны Л, С; прямыэ же,
которые ни с какой стороны не сходятся, параллельны
(определение 23); значит, АВ параллельна CD *).
Значит, если прямая, падающая на две прямые, обра-
образует накрестлежащие углы, равные между собой, то пря-
прямые будут параллельны, что и требовалось доказать E8).
Предложение 28
Если прямая, падающая на две прямые, образует
внешний угол, равный внутреннему противолежащему
с той же стороны, или внутренние односторонние (углы
вместе), равные двум прямым, то прямые будут парал-
параллельны между собой.
Пусть прямая EF, падающая на две прямые АВ, CD,
образует внешний угол ЕНВ, равный внутреннему проти-
противолежащему <с той жесторонырасположенному) углу HOD,
*) Кеплер первый мыслит параллельные прямые как пересе-
пересекающиеся в бесконечности. Введение понятия о бесконечно уда-
удалённой точке приписывается Дезаргу, хотя его понимание и не
совпадает с современным.

КНИГА ПЕРВАЯ 41
или внутренние односторонние углы ВНО, HQD, <вместе>
равные двум прямым; я утверждаю, что АВ параллельна
CD (черт. 28).
Действительно, поскольку угол ЕНВ равен углу HGD,
но угсп ЕНВ равен АНО (предложение 15), то значит,
и АНО равен HOD (аксиома 1);
н они накрестлежащне; значит, АВ
нараллель'на CD (предложение 27).
Далее, поскольку ВНО и HGD /J-
<вместе> равны двум прямым, так-
также и углы АНО и ВНО равны
двум прямым (предложение 13),
то значит, АНО и ВНО <вместе>
равны ВНО и HQD (аксиома 1).
Отнимем общий угол ВНО; зна-
значит, остаток АНО равен остатку
HOD (аксиома 3); и они накрест-
накрестлежащие; значит, АВ параллельна
CD (предложение 27).
Значит, если прямая, падающая на две прямые, обра-
образует внешний угол, равный внутреннему противолежащему
с той же стороны, или внутренние односторонние <углы
вместе>, равные двум прямым, то прямые будут парал-
параллельны между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 29
Прямая, падающая на параллельные прямые, образует
накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний
угол, равный внутреннему, противолежащему с той же
стороны, и внутренние односторонние углы, (вместе)
равные двум прямым.
Пусть на параллельные прямые АВ, CD падает прямая EF;
я утверждаю, что она образует накрестлежащие углы АНО,
HOD равные и внешний угол ЕНВ, равный внутреннему
противолежащему углу HOD, и внутренние односторонние
углы ВНО, HOD, <вместе> равные двум прямым (черт. 29).
Действительно, если угол АНО не равен HOD, то один :
из них больший. Пусть будет больший АНО.

42
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
V
-в
Прибавим общий угол BHG; значит, AHG и BHQ <вме-
сте> больше BHG и HGD.
Но AHG и BHG <вместе> равны двум прямым (пред-
(предложение 13) [и], значит, BHG, HGD <вместе> меньше двух
прямых. Прямые же, про-
продолжаемые неограничен-
неограниченно, сходятся со стороны,
<где углы> меньше двух
прямых (постулат 5), зна-
значит, АВ, CD, продолжа-
продолжаемые неограниченно,сой-
неограниченно,сойдутся; но они не схо-
сходятся вследствие того,
что предполагаются па-
параллельными; значит, не
может AHG быть не рав-
\
Черт. 29.
ным HGD; значит, он равен. Но угол AHG равен углу ЕНВ
(предложение 15); и значит, ЕНВ равен HGD (аксиома 1).
Прибавим общий угол BHG; значит, ЕНВ и BHG <вме-
сте> равны BHG и HGD. Но ЕНВ и BHG <вместе> равны
двум прямым (предложение 13); и значит, BHG и HGD
<вместе> равны двум прямым.
Значит, прямая, падающая на параллельные прямые,
образует накрестлежащие углы, равные между собой, и
внешний угол, равный внут-
внутреннему противолежащему,
и внутренние односторонние
углы, <вместе> равные двум
прямым, что и требовалось
доказать E9, 60, 61, 62, 63).
Н!
У
-в
F
Предложение 30
С-
-D
<Прямые>, параллель- /
ные той же прямой, парал- / Черт. 30.
лельны и между собой.
Пусть каждая из АВ, CD параллельна EF; я утвер-
утверждаю, что АВ параллельна CD (черт. 30).
Действительно, пусть па них падает прямая НК.

КНИГА ПЕРВАЯ 43
И поскольку на параллельные прямые АВ, EF упала
прямая НК, то значит, угол АНК равен углу HGF (пред-
(предложение 29). Далее, так как на параллельные прямые EF,
CD упала прямая НК, то угол HGF равен HKD (предло-
(предложение 2f;.. Доказано же, что и угол АНК равен HGF,
и значит, угол АНК равен углу HKD; и они накрестле-
жащие. Значит, АВ параллельна CD (предложение 27).
[Значит, параллельные той же прямой, параллельны
и между собой]; это и требовалось доказать F4).
Предложение 31
Провести через данную точку прямую линию, парал-
параллельную данной прямой.
Пусть данная точка будет А, данная же прямая ВС
(черт. 31); требуется вот через точку А провести прямую
линию, параллельную пря-
прямой ВС.
Возьмём на ВС какую-
нибудь точку D и соеди-
соединим AD; и построим на
прямой DA при её точке
А угол DAE, равный уг-
углу ADC (предложение 23);
и продолжим по одной пря-
прямой с ЕА прямую AF.
И поскольку прямая AD, падающая на две прямые ВС,
EF, образовала накрестлежащие углы EAD, ADC, равные
между собой, то значит, EAF параллельна ВС (предло-
(предложение 27).
Значит, через данную точку А проведена прямая линия
EAF, параллельная данной прямой ВС, что и требовалось
сделать.
Предложение 32
Во всяком треугольнике по продолжении одной из
сторон внешний угол равен двум внутренним и проти-
противолежащим, и внутренние три угла треугольника (вмес-
(вместе} равны двум прямым.

44
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть треугольник будет ABC, продолжим одну его
сторону ВС до D; я утверждаю, что внешний угол ACD
равен двум внутренним и против^ежащим CAB, ABC, и что
внутренние три угла треугольника ABC, BCA, CAB
<вместе> равны двум прямым
(черт. 32). Действительно,
проведём через точку С пря-
прямую СЕ, параллельную АВ.
И поскольку АВ парал-
параллельна СЕ и на них пала
АС, то накрестлсжащие углы
ВАС, АСЕ равны между со-
собой (предложение 29). Да-
Далее, поскольку АВ парал-
параллельна СЕ и на них пала прямая BD, то внешний угол
ECD равен внутреннему и противолежащему ABC (пред-
лажёйие 29). Но АСЕ по доказанному равен ВАС; зна-
значит, весь угол ACD равен двум внутренним и противоле-
противолежащим углам ВАС и ABC.
Прибавим общий угол АСВ; значит, углы ACD и АСВ
(аксиома 2) равны трём углам ABC, BCA, CAB.
Но ACD и АСВ равны двум прямым (предложение 13);
и значит, АСВ, СВА, CAB <вместе равны> двум прямым.
Значит, во всяком треугольнике по продолжении одной
из сторон внешний угол равен двум внутренним и проти-
противолежащем <вместе>, и внутренние три угла треугольника
<вместе> равны двум прямым; что и требовалось доказать
F5, 66).
Предложение 33
Прямые, соединяющие с одной и той же стороны
равные и параллельные (прямые}, и сами равны и
параллельны.
Пусть равные и параллельные <прямые> будут АВ, СО
и пусть их соединяют с одной и той же стороны прямые
AC, BD; я утверждаю, что и АС и BD равны и парал-
параллельны (черт. 33).
Соединим ВС. И поскольку АВ параллельна CD и на
них упала ВС, то накрестлежащие углы ABC, BCD равны

КНИГА ПЕРВАЯ
45
между собой (предложение 29). И поскольку АВ равна
CD, а ВС общая, то вот две стороны АВ, ВС равны дв;> м
CD, ВС; и угол ABC равен углу BCD; значит, и основа-
основание АС равно основанию BD, и треугольник ABC уьвсн
треугольнику BCD, и осталь-
остальные углы равны остальным
углам каждый каждому (пред-
(предложение 4), стягиваемым
равными сторонами; значит,
угол АСВ равен CBD.
И поскольку прямая ВС,
падающая на две прямые АС,
BD, образовала равные меж- Черт. 33.
ду собой накрестлежащие уг-
углы, то значит, АС параллельна BD (предложение 27). Но
она же по доказанному и равна ей.
Значит, прямые, соединяющие с одной и той же сто-
стороны равные и параллельные <прямые>, и сами равны и
параллельны, что и требовалось доказать.
Предложение 34
В {образованных> параллельными линиями площадях *)
противоположные стороны и углы равны между собой
и диаметр**) разделяет их пополам.
Пусть <образованная> параллельными линиями площадь
будет ACDB, диаметр же её ВС; я утверждаю, что в
параллелограмме ACDB противоположные стороны и углы
*) У Евклида стоит кара\\-$.6->рщ1-у.оч )raptov — буквально па-
раллельнолинейная (по образцу 4и9о-;ра|1цоу — прямолинейная) пло-
площадь— часть плоскости, ограниченная двумя парами параллель-
параллельных прямых. В дальнейшем говорится просто «параллелограмм».
**) У Евклида у Siajis-poc; — поперечник. Этот термин одина-
одинаково относится и к параллелограмму и к кругу; он показывает, что
первые геометры мыслили параллелограмм (точнее прямоугольник)
вписанным в круг. До Евклида термин *диаметр> употребляется
Гиппократом и Платоном (в <Меноне»). Наш термин <диагональ>
(Sia-pvw? — через углы, подразумевается, проходящий) встречается
у Евклида только один раз в нашем смысле этого слова. Тот же
смысл имеет это слово у Герона.

46
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равны между собой и диаметр ВС делит его пополам
(черт. 34).
Действительно, поскольку АВ параллельна CD и на них
упала прямая ВС, то накрестлежащие углы ABC, BCD
равны между собой (предложение 29). Далее, поскольку
АС параллельна BD и на них упала ВС, то накрестлежа-
накрестлежащие углы АСВ и CBD равны между собой (предложение
в 29). Вот ABC, BCD два
~~ треугольника, имеющих
два угла ABC, BCA, рав-
равных двум углам BCD,
CBD каждый каждому, н
одну сторону, равную од-
v " ной стороне между рав-
Черт. 34. ными углами, а именно,
общую сторону ВС; и зна-
значит, они будут иметь и остальные стороны, равные осталь-
остальным каждая каждой, и оставшийся угол, равный оставше-
оставшемуся углу (предложение 26); значит, сторона АВ равна CD,
АС же BD и ещё угол ВАС равен углу CDB. И поскольку
угол ABC равен BCD, a CBD углу АСВ, значит, весь
угол ABD равен всему ACD (аксиома 2). Но угол ВАС,
как уже доказано, равен CDB.
Значит, в <образованных> параллельными линиями пло-
площадях противоположные стороны и углы равны между со-
собой. Вот я утверждаю, что и диаметр делит их пополам.
Действительно, поскольку АВ равна CD и ВС общая, то
вот две стороны АВ, ВС равны двум CD, ВС каждая
каждой; и угол ABC равен углу BCD (предложение 29),
и значит, основание АС равно DB (предложение 4), и [зна-
[значит], треугольник ABC rastH треугольнику BCD.
Значит, диаметр ВС делит пополам параллелограмм
ABCD, что и требовалось доказать F7).
Предложение 35
Параллелограммы, находяшиеся на том же основании
и между теми же параллельными, равны между соб<й.
Пусть ABCD, EBCF будут параллелограммы, находя-
находящиеся на том же основании ВС и между теми же парал-

КНИГА ПЕРВАЯ
47
дельными AF и ВС; я утверждаю, что параллелограмм
ABCD равен *) параллелограмму EBCF (черт. 35).
Действительно, поскольку ABCD есть параллелограмм,
то прямая AD равна ВС (предложение 34). Вследствие
того же вот и EF рав-
равна ВС (предложение Д. __D Е F
34); так что и АО рав-
равна EF (аксиома 1), и
DE общая; значит, вся
АЕ равна всей DF (ак-
(аксиома 2).
Но и АВ равна DC
(предложение 34); вот
две стороны ЕА, АВ
равны двум FD, DC
каждая каждой; и угол FDC равен углу ЕАВ (предложе-
(предложение 29) внешний внутреннему; значит, основание ЕВ
равно основанию FC, и треугольник ЕАВ будет равен тре-
треугольнику DFC (предложение 4). Отнимем общую часть
DHE; значит, остаток-трапеция ABHD равна остатку-тра-
остатку-трапеции EHCF (аксиома 3); прибавим общий треугольник
НВС; значит, весь параллелограмм ABCD равен всему па-
параллелограмму EBCF (аксиома 2).
Значит, параллелограммы, находящиеся на том же осно-
основании и между теми же параллельными, равны между
собой, что и требовалось доказать F8).
Предложение 36
Параллелограммы, находящиеся на равных основа-
основаниях и между теми же параллельными, равны между
собой.
Пусть ABCD, EFHG будут параллелограммы, находя-
находящиеся на равных основаниях ВС и FH и между теми же
¦•¦) У Евклида Vso? — равный.
Поскольку у Евклида фигура рассматривается как часть
плоскости, то и равенство фигур понимается как равенство
заключённых в них частей плоскости — их площадей.

43
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
параллельными АО и ВН; я утверждаю, что параллелограмм
ABCD равен параллелограмму EFHG (черт. 36).
Действительно, соединим BE, CG. И поскольку ВС
равна FH, но № равна EG (предложение 34), и значит,
ВС равна ?G (аксиома 1). Они же и параллельны. И со-
соединяют их ЕВ, GC; прямые же, соединяющие с одной
Черт. 36.
s стороны равные и параллельные, и сами равны и парал-
параллельны (предложение 33) [и ЕВ, GC, значит, равны и парал-
параллельны]. Значит, EBCG параллелограмм. И он разен ABCD
(предложение 35); ибо он имгет с ним то же основание
ВС и находится между теми же параллельными ВС, AG
(предложение 35).
Вследствие того же самого вот и EFHG равен тому
же EBCG, так что и параллелограмм ABCD равен парал-
параллелограмму EFHG (аксиома 1).
Значит, параллелограммы, находящиеся на равных осно-
основаниях и между теми же параллельными, равны между
собой, что и требовалось доказать.
Предложение 37
Треугольника, находящиеся на том же основании и
между теми же параллельными, равны между собой.
Пусть треугольники ABC, DBC находятся на том же
основании ВС и между теми же параллельными AD, ВС;
я утверждаю, что треугольник ABC равен треуголь-
треугольнику DBC.

КНИГА ПЕРВАЯ
49
Черт. 37.
Продолжим AD в обе стороны (черт. 37) до Е и F и
через В проведём прямую BE, параллельную СА (предло-
(предложение 31), а через С проведём CF, параллельную BD
(предложение 31). Значит, каждая из <фнгур> ЕВСА и
DBCF—параллелограмм; и онн равны (прздложение 35),
ибо находятся на том р
же основании ВС и меж- ?_ А --
ду теми же параллель-
параллельными ВС и EF; и поло-
половина параллелограмма
ЕВСА есть треугольник
ABC, ибо диаметр АВ
делит его пополам
(предложение 34); по-
половина же параллело-
параллелограмма DBCF — тре-
треугольник DBC, ибо диаметр DC делит его пополам (пред-
(предложение 34); [половины же равных равны между собой]
(аксиома 6). Значит, треугольник ABC равен треугольнику
DBC.
Значит, треугольники, находящиеся на том же основа-
основании и между теми же параллельными, равны между собой,
что и требовалось доказать.
Предложение 38
Треугольники, находящиеся на равных основаниях и
между теми же параллельными, равны между собой.
Пусть треугольники ABC, DEF находятся на равных
основаниях ВС, EF н между теми же параллельными BF
и AD; я утверждаю, что треугольник ABC равен тре-
треугольнику DEF (черт. 38).
Действительно, продолжим AD в обе стороны до И
и G и через В проведём ВН, параллельную СА (предло-
(предложение 31), а через F проведём FG, параллельную DE (пред-
(предложение 31). Значит, каждая из <фигур> НВСА, DEFG —
параллелограмм; и НВСА равен DEFG (предложение 36),
ибо они находятся на равных оснозаниях ВС и EF и меж-
между теми же параллельными BF и HG (предложение 36); и
4 Евклид

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
половина параллелограмма НВСА есть треугольник ABC
(предложение 34), ибо диаметр АВ рассекает его пополам;
половина же параллелограмма DEFG— треугольник FED
(предложение 34), ибо диаметр DF рассекает его пополам.
ВС ? ?
Черт. 38.
[Половины же равных равны между собой] (аксиома 6);
значит, треугольник ABC равен треугольнику DEF.
Значит, треугольники, находящиеся на тех же основа-
основаниях между теми же параллельными, равны между собой,
что я требовалось доказать. ;
Предложение 39
Равные треугольники, находящиеся на том же осно-
основании и с той же стороны, находятся и между теми
же параллельными.
Пусть ABC, DBC будут равные треугольники, находя-
. щиеся на том же основании ВС и с
¦ той же его стороны (черт. 39); я
утверждаю, что они находятся в тех
же параллельных. Действительно,
соединим AD; я утверждаю, что
AD параллельна ВС.
Действительно, если это не
так, то проведём через точку
А прямую АЕ, параллельную
Черт. 39. ВС (предложение 31) и соединим
ЕС. Значит, треугольник ABC
равен треугольнику ЕВС (предложение 37), ибо он
находится с ним на том же основании ВС и между теми

КНИГА ПЕРВАЯ
51
же параллельными (предложение 37). Но ABC равен DBC;
и значит, DBC равен ЕВС (аксиома 1) — больший мень-
меньшему; это же невозможно (аксиома 8); значит, не будет
АЕ параллельна ВС.
Подобным же вот образом докажем, что и никакая
другая <прямая> кроме AD; значит, AD будет парал-
параллельна ВС.
Значит, равные треугольники, находящиеся на том же
основании и с той же стороны, находятся между теми же
параллельными, что и требовалось доказать.
Предложение 40*)
Равные треугольника, находящиеся на равных основа-
основаниях и с той же стороны, находятся и между теми
же параллельными.
Пусть ABC, CDE будут равные треугольники на рав-
равных основаниях ВС, СЕ и с той же стороны (черт. 40);
я утверждаю, что они
находятся и между /?,
теми же параллель-
параллельными.
Действительно, сое-
соединим AD; я утвер-
утверждаю, что AD парал-
параллельна BE. act
Действительно, если
это не так, проведём Черт. 40.
через А прямую AF,
параллельную BE (предложение 31), и соединим FE.
Значит, треугольник ABC равен треугольнику FCE
(предложение 38), ибо они находятся на равных основа-
основаниях ВС и СЕ и между теми же параллельными BE и AF
(предложение 38). Но треугольник ABC равен треуголь-
треугольнику DCE; и, значит, треугольник DCE равен треуголь-
*) Это предложение является позднейшей добавкой, как это
установил Гейберг на основании найденных вновь египетских
папирусов уже после выхода его издания Начал.
4*

52
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
нику FCE (аксиома 1), больший меньшему, это же невоз-
невозможно (аксиома 8); значит, не будет AF параллельна
прямой BE. Подобным же вот образом докажем, что и ни-
никакая другая <прямая>, кроме AD; значит, AD парал-
параллельна BE.
Значит, равные треугольники, находящиеся на равных
основаниях и с той же стороны, находятся между теми же
параллельными, что и требовалось доказать.
Предложение 41
Если параллелограмм имеет с треугольником одно а
то же основание и находится между теми же парал-
параллельными, то параллелограмм будет вдвое большим
треугольника.
Пусть параллелограмм ABCD с треугольником ЕВС
имеет одно и то же основание ВС, и пусть он находится
между теми же парал-
параллельными ВС, АЕ; я
утверждаю, что парал-
параллелограмм ABCD бу-
будет вдвое большим тре-
треугольника ВЕС (черт.
41).
Действительно, сое-
соединим АС. Вот тре-
треугольник ABC равен
треугольнику ЕВС
(предложение 37), ибо он с ним на том же основании ВС
и между теми же параллельными ВС, АЕ (предложение
37). Но параллелограмм ABCD вдвое больше треугольника
ABC, ибо диаметр АС делит его пополам (предложение 34);
так что параллелограмм ABCD вдвое больше и треуголь-
треугольника ЕВС.
Значит, если параллелограмм имеет с треугольником
одно и то же основание и находится между теми же па-
параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше тре-
треугольника, что и требовалось доказать F9).
В

КНИГА ПЕРВАЯ ^3
Предложение 42
Построить *) равный данному треугольнику парал-
параллелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данный треугольник будет ABC, данный же пря-
прямолинейный угол D; требуется вот построить равный тре-
треугольнику ABC параллелограмм в угле, равном прямоли-
прямолинейному углу D (черт. 42).
Рассечём ВС пополам в Е (предложение 10), сое-
соединим АЕ, построим на прямой ЕС при её точке Е угол
CEF, равный D (предложе-
(предложение 23); и через А прове-
проведём АН, параллельную ЕС
(предложение 31); через С
же проведём СН, параллель-
параллельную EF (предложение 31);
значит, FECH есть парал-
параллелограмм. И поскольку BE
равна ЕС, то и треугольник
ABE равен треугольнику
ЛЕС (предложение 38), ибо
они находятся на равных
основаниях BE, EC и между теми же параллельными ВС,
АН (предложение 38); значит, треугольник ABC вдвое
больше треугольника ЛЕС. Но и параллелограмм FECH
вдвое больше треугольника ЛЕС (предложение 41), ибо
имеет с иим то же основание и находится с ним между
теми же параллельными; значит, параллелограмм FECH
равен треугольнику ABC и имеет угол CEF, равный дан-
данному D.
Значит, построен равный данному треугольнику ABC
параллелограмм FECH в угле CEF, который равен углу D,
что и требовалось сделать.
*) У Евклида ооот^оаоЭси — составить; термин, применяющийся
к треугольнику и параллелограмму.
При построении квадрата (предложение 46) Евклид употреб-
употребляет слово dvafpi'Jw ir.6 — начертить на. Эту разницу подчерки-
вает Прокл.

54
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 43
Во всяком параллелограмме «.дополнения* *) рас-
расположенных по диаметру параллелограммов равны меж-
между собой.
Пусть будет параллелограмм ABCD, диаметр же его
АС, по АС же пусть будут параллелограммы EG, FH,
так называемые же «дополнения» — ВК,КО,я утверждаю,
что дополнение ВК равно дополнению KD (черт. 43).
Черт. 43.
Действительно, поскольку ABCD — параллелограмм,
диаметр же его АС, то треугольник ABC равен треуголь-
треугольнику ACD (предложение 34). Далее, поскольку EG —
параллелограмм, диаметр же его АК, то треугольник АЕК
равен треугольнику AGK (предложение 34). Вследствие
того же вот и треугольник KFC равен треугольнику КНС
(предложение 34). Поскольку теперь треугольник АЕК
равен треугольнику AGK, a KFC равен КНС, то треуголь-
треугольник АЕК вместе с КНС равен треугольнику AGK вместе
с KFC (аксиома 2); и весь треугольник ABC равен всему
ADC; значит, остающееся «дополнение» ВК равно остаю-
остающемуся «дополнению» KD (аксиома 3).
Значит, во всяком параллелограмме «дополнения» рас-
расположенных по диаметру параллелограммов равны между
собой, что и требовалось доказать.
*) У Евклида Bapajcb)pa>jiaTa. Термин объяснён в тексте пред-
предложения.

<N
00
КНИГА ПЕРВАЯ
Предложение 44
55
К данной прямой «.приложить» *) равный данному тре-
треугольнику параллелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данная прямая будет АВ (черт. 44), данный же
треугольник С, данный же прямолинейный угол D; тре-
требуется вот к данной прямой АВ «приложить» параллело-
7
G Д L
Черт. 44.
грамм, равный данному треугольнику С, в угле, равном D
(черт. 44).
Построим равный треугольнику С параллелограмм
BEFH в угле ЕВН, который равен D (предложение 42)-
и поместим его так, чтобы BE была по одной прямой
с АВ, доведём FH до G, через А проведём АО, парал-
параллельную как ВН, так EF (предложение 31), и соединим GB
И поскольку на параллельные AG и EF упала прямая GF
значит, углы AGF и GFE <вместе> равны двум прямым
(предложение 29); значит, BGH и HFE <вместе> меньше
двух прямых; со стороны же углов, меньших чем два пря-
прямых, продолженные неограниченно <прямые> сходятся-
значит, GB, FE при продолжении сойдутся. Продолжим
их и пусть они сойдутся в К; через точку К проведём KL
параллельную как ЕА, так FG (предложение 31), н про-
продолжим GA, НВ до точек L, М.
*) У Евклида ларофаХеТу — буквально «пршащ*1МЬ

56
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, GLKF будет параллелограмм, диаметр же его
GK, no GK же два параллелограмма АН, ME, так назы-
называемые же «дополнения» LB, BF; значит, LB равно BF (пред-
(предложение 43). Но BF равно треугольнику С; и значит,
LB равно С. И поскольку угол НВЕ равен АВМ, а ИВЕ
равен D, то значит, и АВМ равен углу D.
Значит, к данной прямой АВ приложен равный тре-
треугольнику С параллелограмм LB в угле АВМ, который
равен D, что и требовалось сделать.
Предложение 45
Построить равный данной прямолинейной фигуре
параллелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данная прямолинейная фигура будет ABCD,
данный же прямолинейный угол Е; требуется вот построить
равный прямолинейной фигуре
ABCD параллелограмм в угле,
равном Е (черт. 45).
Соединим DB и построим
равный треугольнику ABD па-
параллелограмм FO в угле GKF,
который равен Е (предложение
42); и приложим к прямой HG
равный треугольнику DBC па-
параллелограмм НМ в угле HGM,
который равен Е (предложе-
(предложение 44).
И поскольку угол Е равен
каждому из GKF, HGM, то
значит, и GKF равен HGM (ак-
(аксиома 1). Прибавим общий
угол KGH; значит, FJ<G, KGH <вместе> равны КОН,
НОМ (аксиома 2). Но FKG, КОН равны двум прямым
(предложение 29); значит, и КОН, НОМ равны двум пря-
прямым (аксиома 1). Вот при некоторой прямой НО в точке
её G две прямые КО, GM, расположенные не по одну
и ту же сторону, образуют смежные углы, равные <вместе>
двум прямым; значит, КО будет по одной прямой с GM
(предложение 14).

КНИГА ПЕРВАЯ 57
И поскольку на параллельные KM, FH упала прямая
GH, то накрестлежащие углы МОН, GHF равны между
собой (предложение 29). Прибавим общий угол GHL;
значит, углы MGH, GHL <вместе> равны GHF, GHL
(аксиома 2). Но MGH, GHL <вместе> равны двум прямым
(предложение 29); значит, и GHF и GHL равны двум
прямым (аксиома 1, предложение 29); значит, FH будет
по одной прямой с HL (предложение 14). И поскольку FK
равна и параллельна GH, но ОН <равна и параллельна>
также и ML, то значит, и KF равна и параллельна ML
(аксиома 1, предложение 30); и соединяют их прямые КМ,
FL; и значит, KM, FL равны и параллельны (предложение
33); значит, KFLM—параллелограмм. И поскольку треуголь-
треугольник ABD равен параллелограмму FG, a DBC параллело-
параллелограмму НМ, то значит, вся прямолинейная <фигура> ABCD
равна всему параллелограмму KFLM (аксиома 2\
Значит, построен равный данной прямолинейной фигуре
ABCD параллелограмм KFLM в угле FKM, который равен
данному Е, что и требовалось сделать G0).
Предложение 46
На данной прямой надстроить *) квадрат.
Пусть данная прямая будет АВ, требуется иа прямой
АВ надстроить квадрат (черт. 46).
Проведём к прямой АВ от её точки
А под прямым углом <прямую> АС (пред-
(предложение 11) и отложим AD, равную АВ \р_
(предложение 3); и через точку D парал-
параллельно АВ проведём DE (предложение 31),
через же точку В параллельно AD прове-
проведём BE (предложение 31).
Значит, ADEB есть параллелограмм; J
значит, АВ равна DE, a AD равна BE
(предложение 34). Но АВ равна AD; Черт. 46.
значит, четыре <прямые> ВА, AD, DE,
ЕВ равны между собой; значит, параллелограмм ADEB
равносторонний. Я утверждаю вот, что он и прямоугольный.
*) У Евклида ауа-ур<г?си — см. примечание к предложению 43.

53
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, поскольку на параллельные АВ, DE
упала прямая AD, значит, углы BAD и ADE <вместе>
равны двум прямым (предложение 29). Угол же BAD пря-
прямой; значит, прямой и ADE. В <образованных> же парал-
параллельными линиями площадях противоположные стороны
и углы равны между собой (предложение 34); значит,
и каждый из противоположных углов ABE, BED прямой;
значит, ADEB прямоуголен.
Доказано же, что он и равносторонен; значит, он квад-
квадрат (определение 22) и надстроен на АВ, что и требо-
требовалось сделать G1).
Предложение 47
В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей прямой угол*), равен (вместе взятыму
квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Пусть ABC—пря-
ABC—прямоугольный треуголь-
треугольник, имеющий прямой
угол ВАС; я утверждаю,
что квадрат на ВС ра-
равен <вместе взятым>
квадратам на ВА и АС
(черт. 47).
Действительно, над-
надстроим на ВС квадрат
BDEC, а на ВА, АС
надстроим <квадраты>
НВ, ОС (предложение
46); и через А прове-
проведём AL, параллельную
как BD, так и СЕ (пред-
L Е ¦ ложение 31); соединим
Черт. 47. ^^, FC- И поскольку
каждый из углов ВАС,
ВАН прямой (определение 10), то вот на некоторой
*) Точный перевод евклидова VJ nXsupa т-rjv op&rj» fa)y'ay
' "' -отсюда наш термин «гипотенуза».
Н

КНИГА ПЕРВАЯ
59
прямой ВА при её точке А две прямые АС, АН, рас-
расположенные не по одну сторону, образуют смежные уг-
углы, <выесте> равные двум прямым; значит, СА будет
по <одной> прямой с АН (предложение 14). Вследствие
того же вот и ВА будет по одной прямой с АО. И по-
поскольку угол DBC равен углу FBA (аксиома 1), ибо
каждый из них прямой, то прибавим общий угол ABC;
значит, весь угол DBA равен всему FBC (аксиома 2).
И поскольку DB равна ВС, a FB равна ВА (определе-
(определение 22), то вот две стороны DB, ВА равны двум сторо-
сторонам ВС, FB каждая каждой; и угол DBA равен углу FBC;
значит, и основание (предложение 4) AD равно основанию
FC, и треугольник ABD равен треугольнику FBC (пред-
(предложение 4). И удвоенный треугольник ABD есть парал-
параллелограмм BL (предложение 41), ибо они имеют то же
основание BD и расположены между теми же параллель-
параллельными BD, AL (предложение 41). Удвоенный же треуголь-
треугольник FBC (предложение 41) есть квадрат НВ; ибо они
имеют то же основание FB и расположены между теми
же параллельными FB и НС; [но удвоенные равных вели-
величин равны между собой (аксиома 5)]; значит, и паралле-
параллелограмм BL равен квадрату НВ. Подобным же вот обра-
образом, соединяя АЕ, ВК, будет доказано, что и параллело-
параллелограмм CL равен квадрату ОС; значит, весь квадрат BDEC
равен двум квадратам НВ и ОС вместе взятым. И BDEC
есть квадрат, надстроенный на ВС, а НВ, ОС—на ВА,
АС; значит, квадрат на стороне ВС равен <вместе взятым>
квадратам на сторонах ВА, АС.
Значит, в прямоугольных треугольниках квадрат на
стороне, стягивающей прямой угол, равен <вместе взя-
взятым) квадратам на сторонах, заключающих прямой [угол];
что и требовалось доказать G2, 73).
Предложение 48
Если в треугольнике квадрат на одной стороне ра-
равен (вместе взятыму квадратам на остальных двух
сторонах, то заключённый между остальными двумя
сторонами треугольника угол есть прямой.

60
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть в треугольнике ABC квадрат на одной стороне
ВС равен <вместе взятым> квадратам на сторонах ВА и
АС; я утверждаю, что угол ВАС прямой (черт. 48).
Действительно, проведём от точки А под прямым уг-
углом к АС <прямую> AD (предложение 11), отложим AD,
равную ВА, и соединим DC. Поскольку DA равна АВ, то
и квадрат на DA равен квадрату на
АВ. Прибавим общий квадрат на АС;
значит, квадраты на DA, АС равны
квадратам на ВА, АС (аксиома 2).
Но квадратам на DA, АС равен
квадрат на DC (предложение 47),
ибо угол DAC прямой; квадратам же
на ВА, АС равен квадрат на ВС,
ибо так предполагается; значит, квад-
квадрат на DC равен квадрату на ВС,
так что и сторона DC равна ВС; и
поскольку DA равна АВ, АС же об-
общая, то вот две стороны DA, АС равны двум ВА, АС;
и основание DC равно основанию ВС; значит (предложе-
(предложение 8), и угол DAC [будет] равен ВАС. Угол же DAC
прямой, значит, прямой и ВАС.
Значит, если в треугольнике квадрат на одной стороне
равен <вместе взятым> квадратам на остальных двух сто-
сторонах, то заключённый между остальными двумя сторонами
треугольника угол — прямой, что и требовалось дока-
доказать G4).
D
Черт. 48.

КНИГА ВТОРАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. О всяком прямоугольном параллелограмме говорят,
что он заключается между двумя прямыми, образующими
прямой угол.
2. Во всякой же <образованной> параллельными линия-
линиями площади каждый из <расположенных> на её диаметре
параллелограммов вместе с двумя сдополнениями» будем
называть ^гномоном» A).
Предложение 1
Если имеются две прямые и одна из них рассечена
на сколько угодно отрезков *), то прямоугольник, за-
заключающийся между**) этими двумя прямыми, равен
(вместе взятыму прямоугольникам, заключённым между
нер ас сечённой прямой и каждым из отрезков B).
Пусть две прямые будут А, ВС и пусть ВС рассечена
как-либо в точках D, Е; я утверждаю, что прямоугольник,
заключающийся между А и ВС, равен вместе взятым прямо-
*) У Евклида тцгцита — отрезки: подразумевается отрезан-
отрезанная часть некоторой ограиичеиной (icsicspaoiiivri) прямой. Евклид
различает эти два понятия; для нас, подразумевающих под тер-
термином <прямая> всегда иеограиичеииую прямую, это различение
уже не имеет смысла.
**) Евклидово бжб — под, или предлог нашего творительного
падежа, нельзя переводить <на>. Прямоугольник ABCD по
Евклиду ие построен на АВ и ВС, но ^заключается между»
или даже «содержится между АВ и ВС>.

62
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угольнику, заключённому между А и BD, <затем> между А
и DE, и ещё между А и ЕС (черт. 1).
В самом деле, проведём BI от В под прямыми углами
к ВС (предложение 11 книги 1), отложим ВН, равную А,
и проведём через Н парал-
параллельную ВС прямую HQ (пред-
(предложение 31 книги I), через
же D, Е, С параллельные ВН
прямые DK, EL, CG.
Вот <прямоугольник> BG
равен ВК, DL, ЕО. И BG
есть прямоугольник между А
и ВС, ибо он заключается
между НВ и ВС, ВН же рав-
равна А; ВК же прямоугольник
между А и BD, ибо он заклю-
Черт. 1.
чается между НВ и BD, ВН же равна A. DL же пря-
прямоугольник между А и DE, ибо DK, то-есть ВН (по 34
предложению книги I), равна А: И ещё подобным же
образом EG прямоугольник между А и ЕС; значит, пря-
прямоугольник между А и ВС равен прямоугольникам между
А и BD, между А и DE, и ещё между А и ЕС.
Значит, если имеются две прямые и одна из них рас-
рассечена на сколько угодно отрезков, прямоугольник, заклю-
заключённый между этими двумя прямыми, равен <вместе взя-
тым> прямоугольникам, заключённым между не рассечённой
прямой и каждым из отрезков, что и требовалось доказать.
Предложение 2
Если прямая линия как-либо рассечена, то прямо-
прямоугольники, заключённые между целой линией и каждым
из отрезков, равны вместе квадрату на всей линии.
В самом деле, пусть АВ как-либо рассечена в точке С
(черт. 2). Я утверждаю, что прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС, вместе с прямоугольником, заключённым
между ВА и АС, равен квадрату на ВС.
Действительно, надстроим на АВ квадрат ADEB (пред-
(предложение 46 книги 1) и проведём через С параллельную

КНИГА ВТОРАЯ
63
каждой из AD, BE прямую С/ (предложение 31 кни-
книги I).
Вот АЕ равна AI и СЕ. И АЕ квадрат на АВ, AI же
прямоугольник, заключённый между ВА и АС, ибо он
заключается между DA и AC; AD же
равна АВ (определение 22 книги I); а
СЕ <прямоугольник> между АВ и ВС,
ибо BE равна Д?. Значит, прямоуголь-
прямоугольник между ВА и АС вместе с пря-
прямоугольником между АВ и ВС равен
квадрату на АВ.
Значит, если прямая линия как-
либо рассечена, то прямоугольники,
заключённые между целой линией и
каждым из отрезков, равны вместе
квадрату на всей линии, что и требовалось доказать C).
Предложение 3
Если прямая линия как-либо рассечена, то прямо-
прямоугольник, заключённый между всей прямой и одним из
_ отрезков, равен прямоугольнику,
заключённому между отрезками,
и квадрату на ранее упомяну-
упомянутом отрезке.
В самом деле, пусть прямая
АВ (черт. 3) как-либо рассечена
в точке С; я утверждаю, что
прямоугольник, заключённый ме-
между АВ и ВС, равен прямоуголь-
прямоугольнику, заключённому между АС и
СВ, вместе с квадратом иа ВС.
Черт. 3.
Действительно, надстроим на СВ квадрат CDEB (пред-
(предложение 46 книги I), продолжим ED до / и через А парал-
параллельно каждой из CD, BE проведём AI (предложение 31
книги I). Вот <площадь> АЕ равна ДО и СЕ; и АЕ —
прямоугольник, заключённый между АВ и ВС, ибо он
заключается между АВ, BE, BE же равна ВС; AD же—•
прямоугольник между АС и СВ, ибо DC равна СВ; DB

64
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
д
в
к
же квадрат на СВ; значит, прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС, равен прямоугольнику, заключённому
между АС, СВ вместе с квадратом на ВС.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
прямоугольник, заключённый между всей прямой и одним
из отрезков, равен прямоугольнику, заключённому между
отрезками, и квадрату на ранее упомянутом отрезке, что
и требовалось доказать D).
Предложение 4
Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат
на всей <.прямойу равен квадратам на отрезках вместе
с дважды <.взятым> прямо-
прямоугольником, заключённым между
отрезками.
В самом деле, пусть прямая
линия АВ как-либо рассечена в
точке С. Я утверждаю, что квад-
квадрат на АВ равен квадратам на
АС, СВ вместе с дважды <взя-
тым> прямоугольником, заключён-
заключённым между АС, СВ*) (черт. 4).
Действительно, надстроим на
АВ квадрат ADEB (предложение
46 книги I), соединим BD и че-
через С, параллельную каждой из AD, ЕВ, проведём СН,
через же Н, параллельную каждой из АВ, DE, проведём GK
(предложения 30 и 31 книги I). И поскольку С/ параллельна
AD и на них упала BD, то внешний угол СНВ равен вну-
внутреннему и противолежащему ADB (предложение 29 кни-
книги I). Но угол ADB равен ABD, поскольку и сторона ВА
равна AD (предложение 5 книги I); и значит, угол СНВ
равен НВС, так что и сторона ВС равна стороне СН
(предложение 6 книги I); но СВ равна НК (предложение 34
книги I), СН же равна KB; и значит, НК равна KB; зна-
D
Черт. 4.
*) У Евклида, гш 81; оно t5v АГ, ГВ щ\г\о^\.чч> dpfbfiovico.
Точнее было бы <дважды между АС и СВ заключённым прямо-
прямоугольником).

КНИГА ВТОРАЯ 65
чит, <площадь> СНКВ равносторонняя. Вот я утверждаю,
что она и прямоугольная. Действительно, поскольку СИ
параллельна ВК [и на них упала прямая ВС], то значит,
углы КВС и НСВ <вместе> равны двум прямым (предло-
(предложение 29 книги I). Угол же КВС прямой; значит, прямой
и ВСН; так что и противоположные углы СНК, ИКВ пря-
прямые (предложение 34 книги I).
Значит, СНКВ — прямоугольна. Доказано же, что она
и равносторонняя; значит, она квадрат; и она на СВ.
Вследствие того же вот и GI *) квадрат; и он на GH,
т. е. на АС (предложение 34 книги I); значит, GI, КС
квадраты на АС, СВ. И поскольку АН равно НЕ (предло-
(предложение 43 книги I), и АН прямоугольник между АС и СВ,
ибо НС равна СВ; и значит, НЕ равен прямоугольнику
между АС и СВ; значит, АН и НЕ <вместе> равн"ы дважды
<взятому> прямоугольнику между АС, СВ. И GI, СК суть
квадраты на АС, СВ; значит, четыре площади GI, CK, АН,
НЕ равны квадратам на АС, СВ и дважды <взятому> пря-
прямоугольнику, заключённому между АС, СВ. Но GI, CK, АН,
НЕ в целом есть ADEB, который будет квадратом на АВ;
значит, квадрат на АВ равен квадратам на АС, СВ и дважды
взятому прямоугольнику, заключённому между АС, СВ.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, квад-
квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе
с дважды <взятым> прямоугольником, заключенным между
отрезками, что и требовалось доказать E, 6, 7, 8).
[Следствие
Вот из этого ясно, что в квадратных площадях парал-
параллелограммы на диаметре суть квадраты].
Предложение 5
Если прямая линия рассечена на равные и неравные
(.отрезкиу, то прямоугольник, заключённый между не-
неравными (отрезками"} всей прямой, вместе с квадратом
*) Отметим недостаток евклидовой символики: двумя буквами
он обозначает и отрезок, и прямоугольник (беря буквы двух
противоположных вершин). Там, где это может привести к не-
недоразумению, мы будем прибавлять слово «прямоугольнику
5 Евклид

66
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на отрезке между сечениями равен квадрату на по-
половине.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассече-
рассечена на равные части в С, на неравные же в D; я утверж-
утверждаю, что прямоугольник, заключённый между AD и DB
вместе с квадратом на CD, равен квадрату на СВ
(черт. 5).
Действительно, надстроим на СВ квадрат CEIB, соеди-
соединим BE и через D параллельную каждой из СЕ, BI про-
D
В
и
К ' L
( 6
М /
а /
i
м
Е Н
| Черт. 5.
ведём ОЯ, через же О — параллельную каждой из АВ, EJ,
далее проведём КМ (предложения 30, 31 книги I) и далее
через А параллельную каждой из CL, ВМ проведём АК.
И поскольку «дополнение» CG равно «дополнению» G1
(предложение 43 книги I), прибавляем общую DM; значит,
вся СМ равна всей DI. Но СМ равна AL, поскольку и
АС равна СВ; и значит, AL равна DI. Прибавим общую CG;
значит, вся АО равна гномону MNX. Но AG прямоуголь-
прямоугольник между AD и DB, ибо DO равна DB; и значит, гно-
гномон MNX равен прямоугольнику между AD и DB. При-
Прибавим общий LH, который равен квадрату на CD; значит,
гномон MNX и LH <вместе> равны прямоугольнику, за-
заключённому между AD, DB и квадрату на CD. Но гномон
MNX и LH в целом квадрат CEIB, который на СВ; зна-
значит, прямоугольник, заключённый между AD, DB <вместе>
с квадратом на CD, равен квадрату на СВ.

КНИГА ВТОРАЯ
67
Значит, если прямая линия рассечена на равные и не-
неравные <отрезки>, то прямоугольник, заключённый между
неравными <отрезками> вместе с квадратом на отрезке
между сечениями, равен квадрату на половине, что и тре-
требовалось доказать (9, 10).
Предложение 6
Если прямая линия рассечена пополам и к ней
«яо прямой» приложена какая-либо другая прямая, то
ff-
D
L
( в
N /
'X
м
?
Черт. 6.
Н
прямоугольник, заключённый между всей прямой с прило-
приложенной и самой приложенной, вместе с квадратом на
половине равен квадрату на (прямой}, составленной из
половины и приложенной.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассечена
пополам в точке С, к ней же «по прямой» приложена
какая-либо другая BD (черт. 6); я утверждаю, что прямо-
прямоугольник, заключённый между AD, DB вместе с квадратом
на СВ, равен квадрату на CD.
Действительно, надстроим на CD квадрат СЕЮ, со-
соединим DE и через точку В, параллельную каждой из
ЕС, DI, проведём ВН, через же точку G, параллельную
каждой из АВ, EJ, проведём КМ, и ещё через Л, парал-
параллельную каждой из CL и DM, проведём АК.
Поскольку теперь АС равна СВ, то и AL равна CG.
Но CG равна О/ (предложение 43 книги I); и значит, AL
5*

68
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равна GI. Прибавим общую СМ; значит, вся площадь AM
равна гномону NXO. Но AM есть прямоугольник между AD
и DB, ибо DM равна DB; и значит, гномон NXO равен
прямоугольнику между AD и DB. Прибавим общую LH,
которая равна квадрату на ВС; значит, прямоугольник,
заключённый между AD и DB, вместе с квадратом на СВ,
равен гномону NXO и LH.
Но гномон NXO и LH в целом квадрат СЕЮ, кото-
который на CD; значит, прямоугольник, заключённый между
AD и DB вместе с квадратом на СВ, равен квадрату
на CD.
Значит, если прямая линия рассечена пополам и к ней
«по прямой» приложена другая какая-либо прямая, то пря-
прямоугольник, заключённый между всей прямой, с прило-
приложенной и самой приложенной вместе с квадратом на по-
половине, равен квадрату на <прямой>, составленной из
половины и приложенной, что и требовалось доказать
A1, 12).
Предложение 7
Если прямая линия как-либо рассечена, то вместе
взятые квадрат на всей и квадрат на одном из отрез-
g ков равны дважды взятому пря-
прямоугольнику, заключённому между
всей прямой и упомянутым отрез-
.1 ком, и квадрату на другом от-
отрезке.
В самом деле, пусть некоторая
прямая АВ рассечена как-либо в точ-
точке С; я утверждаю, что квадраты на
АВ и ВС <вместе> равны дважды
J взятому прямоугольнику, заключён-
заключённому между АВ и ВС, и квадрату
на СА (черт. 7).
! Н
К /
/м
/ \
1
/
Черт. 7.
Действительно, надстроим на АВ квадрат ADEB и вы-
вычертим ту же фигуру *).
*) В тексте тб siw*, т. е. известную, определённую фигуру,
ту же самую, что в предыдущих предложениях: проведём диа-

КНИГА ВТОРАЯ 69
Поскольку теперь прямоугольник АН равен НЕ (пред-
(предложение 43 книги I), то прибавим к обоим CI; значит,
весь прямоугольник Al равен всему прямоугольнику СЕ;
значит, Al и СЕ равны дважды взятому А1. Но AI, СЕ
составляют гномон KLM и квадрат CI; значит, гномон
KLM и CI равны дважды взятому Al. Но удвоенное AI
есть дважды взятый прямоугольник между АВ, ВС, ибо
BI равна ВС; значит, гномон KLM и квадрат CI равны
дважды взятому прямоугольнику между АВ, ВС. Прибавим
общий DH, который является квадратом на АС; значит,
гномон KLM и квадраты ВН, HD равны дважды взятому
прямоугольнику, заключённому между АВ и ВС, и квад-
квадрату на АС. Но гномон KLM и квадраты ВН, HD в це-
целом составляют ADEB и С/, которые являются квадратами
на АВ и ВС; значит, квадраты на АВ и ВС равны дважды
взятбму прямоугольнику, заключённому между АВ и ВС
вместе с квадратом на АС.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
вместе взятые квадрат на всей и квадрат на одном из
отрезков равны дважды взятому прямоугольнику, заклю-
заключённому между всей прямой и упомянутым отрезком, и
квадрату другого отрезка, что и требовалось доказать
A3, 14).
Предложение 8
Если прямая линия как-либо рассечена, то учетве-
учетверённый прямоугольник, заключённый между всей. <пря-
мойу и одним из отрезков, вместе с квадратом на
оставшемся отрезке равен квадрату, надстроенному на
всей прямой и упомянутом отрезке, как на одной
(прямой}.
метр BHD, ведём прямые AD, BE, параллельные САГ, и пря-
прямые АВ, DE, параллельные G/. Важно отметить, что соответ-
соответствующую фигуру надо искать не в 6-м, а в 4-м предложении.
Вставка предложений 5 и 6 разорвала естественную связь
предложений 4, 7 и 8, образующих единое целое и, без
сомнения, бывших таковым у какого-то из предшественников
Евклида.

70
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
М
X
/
/
/ н
!
/
У"
")
р/
'G L
Черт. 8.
В самом деле, пусть некоторая прямая АВ как-либо
рассечена в точке С (черт. 8); я утверждаю, что учетве-
учетверённый прямоугольник, заключённый между АВ и ВС
вместе с квадратом на АС, равен квадрату, надстроенному
на АВ и ВС, как на одной прямой.
л пап Действительно, продолжим BD
по прямой [к прямой АВ], отложим
BD, равную СВ, надстроим на AD
N квадрат АЕЮ и вычертим дважды
ту же фигуру *).
Поскольку теперь СВ равна
BD, но СВ равна НК, BD же
равна KN, и значит, НК равна KN.
Вследствие того же вот и QP
равно РО. И поскольку ВС рав-
равна BD, НК же равна KN, то зна-
значит, и <площадь> СК будет равна
KD, HP же равна PN. Но СК
равна PN, ибо они «дополнения» в параллелограмме
СО (предложение 43 книги I); и значит, KD равна HP;
значит, четыре <площади> DK, СК, HP, PN равны
между собой. Значит, все четыре будут учетверён-
учетверённое СК.
Далее, поскольку СВ равна BD, но BD равна ВК,
то-есть СН, СВ же равна НК, то-есть HQ, значит, и СН
равна HQ. И поскольку СН равна HQ, QP же равна РО,
то и <площадь> АН равняется MQ (предложение 36 кни-
книги I), a QL <площади> PL
Но MQ равна QL, ибо они «дополнения» в паралле-
параллелограмме ML; и значит, АН равно PI; значит, четыре
площади АН, MQ, QL, PI равны между собой; значит,
все четыре <вместе> — учетверённое АН. Доказано же,
что и четыре СК, KD, HP, PN <вместе> учетверённое СК;
значит, эти восемь <площадей>, которые заключают гно-
гномон STY, —• учетверённое АК. И поскольку АК есть пря-
*) Т. е. построим не один гномон, как в предложении 7, а
два — при точке Q и при точке К, т. е. проведём диаметр DE и
прямые EL, СО, параллельные DI, АЕ, и MN, ХО, параллельные
AD, EI.

КНИГА ВТОРАЯ 71
моугольник между АВ, BD, ибо ВК равна BD, значит,
четырежды <взятый> прямоугольник между АВ и BD ра-
равен учетверённому АК.
Доказано же, что учетверённое АК есть и гномон STY;
значит, учетверённый прямоугольник между АВ и BD ра-
равен гномону STY. Прибавим общий XG, который равен
квадрату иа АС; значит, учетверённый прямоугольник, за-
заключённый между АВ и BD вместе с квадратом на АС,
равен гномону STY и XG. Но гномон STY и XG в целом
составляют квадрат АЕЮ, который будет на AD; значит,
четырежды <взятый> прямоугольник между АВ и BD вместе
с квадратом на АС равны квадрату на AD; BD же равна ВС,
Значит, четырежды <взятый> прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС вместе с квадратом на АС, равны квадрату
на AD, т. е. квадрату, надстроенному на АВ и ВС как
на одной <прямой>.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
учетверённый прямоугольник, заключённый между всей
<прямой> и одним из отрезков, вместе с квадратом на
оставшемся отрезке равен квадрату, надстроенному на всей
прямой и упомянутом отрезке, как на одной <прямой>,
что и требовалось доказать.
Предложение 9
Если прямая линия рассечена на равные и на не-
неравные •(части'}, то квадраты на неравных отрезках
всей (прямой> (вместе"} вдвое больше квадрата на по-
половине вместе с квадратом на (прямойу между сече-
сечениями.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассечена
на равные части в С, на неравные же в D; я утверждаю,
что квадраты иа AD и DB <вместе> вдвое больше квад-
квадратов на АС и CD (черт. 9).
Действительно, из С под прямыми углами к АВ про-
проведём СЕ (предложение 11 книги I) и отложим её равной
каждой из АС и СВ, соединим ЕА и ЕВ и через D, па-
*> раллельную ЕС, проведём DI, а через I, параллельную АВ,
проведём Ш и соединим AI, И поскольку АС равна СЕ,

72
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
то и угол ЕАС равен ЛЕС (предложение 5 книги I).
И поскольку угол при С прямой, то значит, остальные
углы ЕАС и ЛЕС <вместе> равны одному прямому (пред-
(предложение 32 книги I); и они равны; значит, каждый из
углов СЕА и САЕ есть половина прямого.
Вследствие того же вот и каждый из углов СЕВ,
ЕВС—половина прямого; значит, весь угол АЕВ прямой.
И поскольку угол HEI половина прямого; угол же ЕШ
прямой; ибо он равен
внутреннему противоле-
противолежащему ЕСВ (по предло-
предложению 29 книги I); значит,
остающийся угол EIH
есть половина прямого;
значит, угол HEI равен
EIH; так что сторона ЕН
равна HI (предложение 6
книги I). Далее, посколька
угол при В — половину
прямого, угол же IDB прямой, ибо он опять равен внутренне-
внутреннему и противолежащему углу ЕСВ (по предложению 29 кни-
,ги I); значит, остающийся угол BID — половина прямого; зна-
значит, угол при В равен DIB; так что и сторона ID равна
стороне DB (предложение 6 книги I). И поскольку АС равна
СЕ, то и квадрат на АС равен квадрату на СЕ; значит, квад-
квадраты на АС и СЕ составляют удвоенный квадрат на АС.
Квадратам же на АС и СЕ равен квадрат на ЕА, ибо угол
АСЕ прямой; значит, квадратна ЕА вдвое больше квадрата
на АС. Далее, поскольку ЕН равна HI (предложение 34
книги I), то и квадрат на ЕН равен ^квадрату на HI; зна-
значит, квадраты на ЕН, HI вдвое больше квадрата на HI.
Квадратам же на ЕН, HI равен квадрат на EI; значит,
квадрат на EI вдвое больше квадрата на HI. Но HI
равна CD; значит, квадрат на EI есть удвоенный квадрат
на CD. Но и квадрат на ЕА есть удвоенный квадрат на АС;
значит, квадраты на АЕ и EI <вместе> в два раза больше
<вместе взятых) квадратов на АС и CD. Квадратам же на
АЕ и EI <вместе> равен квадрат на А/, ибо угол AEI
¦ прямой (предложение 47 книги I); значит, квадрат на AI

КНИГА ВТОРАЯ
73
вдвое больше <вместе взятых) квадратов на АС и CD.
Квадрату же на AI равны квадраты на AD и DI, ибо
угол при D прямой; значит, квадраты на AD и DI вдвое
больше квадратов на АС и CD. Но DI равна DB;
значит, квадраты на AD и DB вдвое больше квадратов
на АС и CD.
Значит, если прямая рассечена на равные и на нерав-
неравные <части>, то квадраты на неравных отрезках всей <пря-
мой> <вместе> вдвое больше квадрата на половине вместе
с квадратом на <прямой> между сечениями, что и требо-
требовалось доказать A5, 16, 17, 18).
Предложение 10
Если прямая линия рассечена пополам и к ней япо
прямой-» приставлена какая-нибудь другая прямая, то
квадрат на всей прямой с приставленной и квадрат на
приставленной (вместе взя-
тыёу вдвое больше квадрата
на половине и квадрата,
надстроенного на половине и
приставленной как на одной
прямой.
В самом деле, пусть какая-
либо прямая АВ рассечена
пополам в С, к ней же «по
прямой» приставлена какая-
нибудь другая прямая BD
(черт. 10); я утверждаю, что квадраты на AD и DB
<вместе взятые) вдвое больше квадратов на АС и CD.
Действительно, из точки С под прямыми углами к АВ
проведём СЕ, отложим её равной каждой из АС, СВ и
соединим ЕА и ЕВ; и через Е, параллельную AD, про-
проведём EI, через же D, параллельную СЕ, проведём ID.
И поскольку на параллельные прямые ЕС и ID упала не-
некоторая прямая EI, то значит, углы CEI и EID <вместе>
равны двум прямым (предложение 29 книги I); значит,
углы IEB и EID вместе меньше двух прямых; прямые же,
продолженные в сторону углов, меньших двух прямых,
Черт. 10.

74
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
сходятся; значит, ЕВ, ID, продолженные в сторону В и О,
сойдутся. Продолжим их и пусть они сойдутся в Н; со-
соединим АН, И поскольку АС равна СЕ, и угол ЕАС равен
ЛЕС (предложение 5 книги I); и угол при С прямой; зна-
значит, каждый из углов ЕАС, АЕС—половина прямого
(предложение 32 книги I). Вследствие того же вот и
каждый из углов СЕВ, ЕВС— половина прямого; значит,
угол АЕВ прямой. И поскольку угол ЕВС — половина
прямого, то значит, и угол DBH половина прямого (пред-
(предложение 15 книги I). Но и угол BDH прямой, ибо он
равен углу DCE; они накрестлежащие (предложение 29
книги I); значит, остающийся угол DHB половина прямого;
значит, угол DHB равен DBH, так что и сторона BD
равна стороне HD (предложение 6 книги I). Далее, по-
поскольку угол EHI — половина прямого, угол же при /
прямой, ибо он равен противоположному углу при С
(предложение 34 книги I); значит, остающийся угол IEH—
половина прямого (предложение 32 книги I); значит, угол
EHI равен IEH, так что и сторона HI равна стороне EI.
И поскольку [ЕС равна СА и] квадрат на ЕС равен квад-
квадрату на СА; значит, квадраты на ЕС и СА <вместе> вдвое
больше квадрата на СА. Квадратам же на ЕС и СА равен
квадрат на ЕА (предложение 47 книги I); значит, квадрат
на ЕА вдвое больше квадрата на АС. Далее, поскольку
IH равна EI, и квадрат на IH равен квадрату на IE, зна-
значит, квадраты на HI и на IE <вместе> вдвое больше квад-
квадрата на EI. Квадратам же на HI и IE <вместе> равен
квадрат на ЕН (предложение 47 книги I); значит, квадрат
на ЕН вдвое больше квадрата на EI. Но EI равна CD
(предложение 34 книги I), значит квадрат на ЕН вдвое
больше квадрата на CD. Доказано же, что и квадрат на
ЕА вдвое больше квадрата на АС, значит, квадраты на АЕ
и ЕН <вместе> вдвое больше <вместе взятых) квадратов
на АС и CD. Квадратам же на АЕ и ЕН равен квадрат
на АН (предложение 47 книги I); значит, квадрат на АН
вдвое больше квадратов на АС и CD. Квадрату же на АН
равны <вместе взятые) квадраты на AD и DH; значит,
квадраты на AD и на DH вдвое больше квадратов
на АС и CD. Но DH равна DB; значит, квадраты

КНИГА ВТОРАЯ
75
на AD и DB <виесте> вдвое больше квадратов на АС
и CD.
Значит, если прямая линия рассечена пополам и к ней
«по прямой» приставлена какая-нибудь прямая, то квадрат
на всей прямой с приставленной и квадрат на приставлен-
приставленной <вместе взятые) вдвое больше квадрата на половине
н квадрата, надстроенного на половине и приставленной
как на одной прямой, что и требовалось доказать A9).
„
Предложение 11
Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник,
заключённый между целой и одним из отрезков, был
равен квадрату на оставмемся от-
резке *).
Пусть данная прямая будет АВ
(черт. 11); вот требуется АВ рассечь
так, чтобы прямоугольник, заключённый
между целой и одним из отрезков, был
равен квадрату на оставшемся отрезке.
Надстроим на АВ квадрат ABDC ?
(предложение 46 книги I), рассечём АС
пополам в точке Е, соединим BE, про-
продолжим СА до /, отложим EI, равную
BE, надстроим на AI квадрат Ю и
продолжим НО до К; я утверждаю,
что АВ рассечена в G так, что прямо-
прямоугольник, заключённый между АВ, BG, она делает равным
квадрату на AG.
Действительно, поскольку АС рассечена пополам в Е
и к ней прикладывается IA, то значит, прямоугольник,
заключённый между С/, IA, вместе с квадратом на АЕ,
равен квадрату на El (предложение 6). El же равна ЕВ;
значит, прямоугольник между С/, 1А, вместе с квадратом
G
С К D
Черт. 11.
*) Это так называемое золотое сечение или деление в сред-
среднем и крайнем отношении, когда линия делится так, что больший
отрезок является средней пропорциональной между всей линией
и меньшим отрезком. Современное решение читатель может найти
в любом учебнике геометрии.

76
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на АЕ, равен квадрату на ЕВ. Но квадрату на ЕВ равны
квадраты на ВА и АЕ <вместе>; ибо угол при А прямой
(предложение 47 книги I); значит, прямоугольник между
С/, IA, вместе с квадратом на АЕ, равен <вместе взятым)
квадратам на ВА и на АЕ. Отнимем общий квадрат на АЕ;
значит, остающийся прямоугольник, заключённый между
CI, IA, равен квадрату на АВ. И прямоугольник между
CI, IA есть IK, ибо AI равна IH; квадрат же на АВ есть AD;
значит, IK равно AD. Отнимем общий АК, значит, оста-
остаток 10 равен GD. И GD есть прямоугольник между АВ,
BG, ибо АВ равна BD; IG же есть квадрат на AG; зна-
значит, прямоугольник, заключённый между АВ и ВО, равен
квадрату на GA.
Значит, данная прямая АВ рассечена в G так, что
прямоугольник, заключённый между АВ, ВО, она делает
равным квадрату на GA, что и требовалось сделать B0,21).
Предложение 12
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей тупой угол, больше (вместе взятых4} квад-
квадратов на сторонах, содержпщих тупой угол, на дважды
взятый прямоугольник, заключённый между одной из
сторон при тупом угле, на которую падает перпенди-
перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи
отрезком при тупом угле.
Пусть тупоугольный треугольник будет ABC, имеющий
тупой угол ВАС, и пусть из точки В на продолженную СА
будет опущен перпендикуляр BD.
Я утверждаю, что квадрат на ВС больше квадратов
на ВА и АС <вместе> на дважды взятый прямоугольник,
заключённый между СА, AD (черт. 12).
Действительно, поскольку прямая CD рассечена как-
нибудь в точке А, то значит (по предложению 4), квадрат
на DC равен квадратам на СА и AD и дважды <взятому>
прямоугольнику между СА, AD. Прибавим общий квадрат
на DB] значит, квадраты на CD и DB <вместе> равны
квадратам на СА, на AD, на DB и дважды <взятому>
[прямоугольнику, заключённому] между СА, AD. Но квад-

КНИГА ВТОРАЯ 77
ратам на CD и DB равен квадрат на СВ, ибо угол при D
прямой (предложение 47 книги I); квадратам же на AD
и DB <вместе> равен квадрат на АВ; значит, квадрат на
СВ равен квадратам на С А и АВ и дважды <взятому>
прямоугольнику, заключённому „
между СА, AD; так что квадрат
на СВ больше квадратов на СА
и АВ на дважды <взятый> пря-
прямоугольник, заключённый между
CA, AD.
Значит, в тупоугольных тре-
треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей тупой угол, больше L-
<вместе взятых) квадратов на
сторонах, содержащих тупой угол, Черт. 12.
на дважды <взятый> прямоуголь-
прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле,
на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим
перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле, что
и требовалось доказать.
Предложение 13
В остроугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей острый угол, меньше (вместе взятых),
квадратов на заключающих острый угол сторонах на
дважды взятый прямоугольник, заключённый между
одной из сторон при остром угле, на которую падает
перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром
внутрь отрезком при остром угле.
Пусть остроугольный треугольник будет ABC, имеющий
острый угол при В, и пусть из точки А на ВС будет про-
проведён перпендикуляр AD (черт. 13); я утверждаю, что
квадрат на АС меньше квадратов на СВ и ВА <вместе>
на дважды <взятый> прямоугольник, заключённый между
CB, BD.
Действительно, поскольку прямая СВ рассечена как-
нибудь в точке ?>, то значит (по предложению 7), квад-
квадраты на СВ и BD равны удвоенному прямоугольнику,

78
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
в
D
Черт. 13.
заключённому между СВ, BD и квадрату на DC. Прибавим
общий квадрат на DA; значит, квадраты на СВ, на DB,
на DA <вместе> равны дважды <взятому> прямоугольнику,
заключённому между СВ, BD, и квадратам на AD и DC.
Но квадратам на BD и DA равен квадрат на АВ, ибо
угол при D прямой (предложение
47 книги I); квадратам же на AD и
DC равен квадрат на АС; значит,
квадраты на СВ и АВ <вместе>
равны квадрату на АС и дважды
<взятому) прямоугольнику между СВ,
BD, так что один только квадрат на
АС меньше квадратов на СВ и ВА
на дважды <взятый> прямоугольник, -
заключённый между СВ, BD.
Значит, в остроугольных тре-
треугольниках квадрат на стороне, стя-
стягивающей острый угол, меньше
<вместе взятых) квадратов на заключающих острый угол
сторонах на дважды <взятый> прямоугольник, заключённый
между одной из сторон при остром угле, на которую па-
падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром
внутрь отрезком при остром угле, что и требовалось дока-
доказать B2, 23, 24, 25).
Предложение 14
Построить квадрат, равный данной прямолинейной
фигуре.
Пусть данная прямолинейная <фигура> будет А; вот
требуется построить квадрат, равный прямолинейной фи-
фигуре А (черт. 14).
Построим равный прямолинейной фигуре А прямоуголь-
прямоугольный параллелограмм BD (предложение 45 книги I); если
теперь BE будет равно ED, то заданное было бы выпол-
выполнено. Действительно, построен равный данной прямолиней-
прямолинейной фигуре А квадрат BD; если же нет, то одна из BE,
ED будет большей. Пусть большей будет BE, продолжим
её до / и отложим Ef, равную ED; рассечём BI пополам
в Н (предложение 10 книги I); из центра Н раствором

КНИГА ВТОРАЯ
79
одним из ВН или HI опишем полукруг BGI, продолжим
DE до О и соединим HG.
Поскольку теперь прямая BI рассечена на равные <от-
резки> в //, а на неравные в Е, то (предложение 5)
значит, прямоугольник, заключённый между BE, El вместе
с квадратом на ЕН, равен
квадрату на HI.
HI же равна HG; значит,
прямоугольник между BE,
El вместе с квадратом на
ЕН равен квадрату на НО.
Квадрату же на НО равны
квадраты на QE и ЕН <вме-
сте> (предложение 47 кни-
книги I); значит, прямоугольник
между BE, El вместе с
квадратом на НЕ равен квад-
квадратам на GE и ЕН. Отни-
Отнимем общий квадрат на НЕ;
тогда остающийся прямо- Черт. 14.
угольник, заключённый ме-
между BE, El, равен квадрату на EG. Но прямоугольник
между BE, El есть BD, ибо El равна ED; значит, парал-
параллелограмм BD равен квадрату на GE.
BD же равен прямолинейной фигуре А. И значит,
прямолинейная фигура А равна квадрату, который будет
надстраиваться на EG.
Значит, построен равный данной прямолинейной фигу-
фигуре А квадрат, <именно тот>, который будет надстраиваться
на EG, что и следовало сделать B6, 27).

КНИГА ТРЕТЬЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Равные круги суть те, у которых диаметры равны
или <прямые> из центра *) равны A).
2. Утверждают **), что прямая касается ***) круга,
если она встречает круг, но при продолжении не пере-
пересекает круга B).
3. Утверждают, что круга касаются друг друга, если
они, встречаясь, не пересекают друг друга.
4. Утверждают, что в круге прямые равноотстоят
от центра, если прямые перпендикуляры, проведённые к
ним из центра, равны.
5. Утверждают, что отстоит больше та, на которую
падает больший перпендикуляр C).
6. Сегмент круга ****) есть фигура, заключающаяся меж-
между прямой и обводом *****) круга.
*) У Евклида нет термина срадиус»; вместо него он поль-
пользуется выражением i) Ix той xiv-rpoo (подразумевая ^уцгу-г)—проведён-
^уцгу-г)—проведённая).
**) УЕвклида li-^txax. Термин Щщ повидимому, употребляется
в том же смысле, как при изложении хода доказательства, где
Xs'y<o значит <я утверждают Так как определение носит явно
аксиоматический оттенок, то не следует переводить «говорят»
(Гейбарг) или <называется> (Петрушевский).
**¦) у Евклида ffdtruo|i<u — дотрагиваюсь сверху, в противо-
противоположность более общему тат<о — трогаю, которое в этом опре-
определении и в следующем переводится просто <встречает>.
****) TV>jiia — буквально «отрезок», латинское segmentum яв-
является буквальным переводом греческого термина.
***¦*) Слово vepvftptia у Евклида употребляется как в смысле
полной окружности круга, так и её части — дуги. Ввиду того, что

КНИГА ТРЕТЬЯ 81
7. Угол же сегмента тот, который заключается между
прямой и обводом круга D).
8. Угол же в сегменте будет угол, заключающий-
заключающийся между соединяющими прямыми, если взять какую-
нибудь точку на обводе сегмента и соединить её пря-
прямыми с концами той прямой, которая является основа-
основанием сегмента.
9. Если же заключающие угол прямые отсекают какой-
нибудь обвод, то говорят, что угол на него опирается*).
10. Сектор же круга **) есть фигура, которая, если
построить при центре круга угол, заключается между пря-
прямыми, заключающими этот угол, и отсекаемым ими об-
обводом.
11. Подобные сегменты кругов суть вмещающие рав-
равные углы или в которых углы равны между собой (опре-
(определение 8).
Предложение 1
Найти центр данного круга.
Пусть данный круг будет ABC; вот требуется найти
центр круга ABC.
Проведём как-нибудь в нём некоторую прямую АВ,
рассечём её пополам в точке D, из D под прямыми углами
к АВ проведём DC (предложение 11 книги I), провдлжим
до Е и рассечём СЕ пополам в / (черт. 1). Я утверждаю,
что / есть центр [круга] ABC.
Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть
будет Н <центром>; соединим НА, HD, НВ. И поскольку
это обстоятельство очень характерно для изложения Евклида, мы
в дальнейшем будем пользоваться термином «обвод», предста-
представляющим буквальный перевод греческого mpufspm (icspi -f-
4-ip*'po|iai — несусь кругом).
*) У Евклида $ф,у.1чш — производная форма от paivio —
шагаю, ступаю. Форма Щтул обозначает, что я ступил и стою
неподвижно.
**) У Евклида тоцЕб?, т. е. резец. Латинское sector представ-
представляет буквальный перевод этого слова.
О Евклид

82
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
AD равна DB, a DH общая, то вот две прямые AD, DH
равны двум HD, DB каждая каждой; н основание НА равно
основанию НВ (ибо <обе> «из
центра»*); значит (предложе-
(предложение 8 книги 1), угол ADH равен
HDB. Если же прямая, восстав-
восставленная на прямой, образует смеж-
смежные углы, равные между собой,
то каждый из равных углов пря-
прямой (определение 10 книги I);
значит, угол HDB прямой. Но
и IDB прямой; значит, IDB равен
HDB — больший меньшему, что
невозможно. Значит, Н не есть
центр круга ABC. Подобным обра-
образом докажем, что и никакая дру-
другая точка, кроме /.
Д
В
Черт. 1.
Значит, точка / есть центр [круга] ABC.
Следствие
Из этого вот ясно, что если в круге какая-либо пря-
прямая рассекает другую прямую пополам и под прямым уг-
углом, то на секущей прямой находится центр круга — это
и требовалось сделать **) E).
Предложение 2
Если на обводе круга взять какие-либо две точки, то
прямая, соединяющая эти точки, попадёт внутрь круга.
Пусть круг будет ABC и па обводе его взяты какие-либо
две точки А, В. Я утверждаю, что соединяющая А с В
прямая попадёт внутрь круга (черт. 2).
Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть
упадёт вне <круга>, как АЕВ; возьмём центр круга ABC
(предложение 1), н пусть он будет D; соединим DA, DB
и продолжим DIE.
*) Т. е. радиусы.
**) 8«sp eSei itGiYjoou. Эти слова представляют заключение пред»
ложепия 1 и должны предшествовать следствию.

КНИГА ТРЕТЬЯ
Поскольку теперь DA равно DB, то, значит, и угол
DAE равен DBE (предложение 5 книги I); и поскольку в
треугольнике DBE продолжена одна сторона ЛЕВ, то, зна-
значит, угол DEB будет больше
DAE (предложение 16 книги I).
Угол же DAE равен DBE;
значит, DEB больше DBE.
Больший же угол стягивается
большей стороной (предложе-
(предложение 19 книги 1); значит, DB
больше DE. DB же равна DI.
Значит, DI больше DE, мень-
меньшая большей, что невозможно.
Значит, соединяющая А с В
прямая не попадёт вне кру-
круга. Подобным вот образом
докажем, что и не на самый обвод; значит, внутрь.
Значит, если на обводе круга взять две какие-либо
точки, то прямая, их соединяющая, попадёт внутрь круга,
что и требовалось доказать.
Предложение 3
Если в круге некоторая (проходящая} через центр
прямая другую, не (проходящуюу через центр прямую
сечёт пополам, то сечёт её и под прямыми углами; и
если сечёт её под прямыми углами, то сечёт её и пополам.
Пусть круг будет ABC и в нём некоторая (черт. 3)
<проходящая> через центр прямая CD другую, не <прохо-
дящую> через центр прямую АВ сечёт пополам в точке /;
я утверждаю, что она сечёт её и под прямыми углами.
Действительно, возьмём центр круга ABC (предложе-
(предложение 1), и пусть он будет Е, соединим ЕА, ЕВ.
И поскольку AI равна IB, IE же общая, то две <сто-
роны> равны двум; и основание ЕА равно основанию ЕВ;
значит, угол AIE равен углу BIE (предложение 8 книги 1).
Если же прямая, восставленная на прямой, образует смеж-
смежные углы, равные между собой, то каждый нз равных уг-
углов прямой (определение 10 книги 1). Следовательно,
6*

84
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждый из углов AIE, BIE прямой. Значит, прямая CD,
проходящая через центр, секущая пополам прямую АВ, не
проходящую через центр, сечёт её и под прямыми углами.
Но вот пусть CD сечёт АВ
под прямыми углами; я утверждаю,
что она сечёт её н пополам, т. е.
что AI равна IB.
Действительно, если сделать
те же самые построения, то по-
поскольку ЕА равна ЕВ и угол
EAI равен EBI (предложение 5
книги 1). Но н прямой угол AIE
равен прямому BIE; значит, су-
существуют два треугольника EAI,
EIB, имеющих два угла равными
двум углам и одну сторону,
равную одной стороне, <именно>,
общую их сторону EI, стягивающую один из равных углов;
значит, и остальные стороны они будут иметь равными
остальным сторонам (предложение 26 книги I); значит, AI
равна IB,
Значит, если в круге некоторая <проходящая> через
центр прямая другую, не <проходящую> через центр пря-
прямую сечёт пополам, то сечёт её под прямыми углами, и
если сечёт её под прямыми углами, то сечёт её и пополам,
что и требовалось доказать.
Предложение 4
Если в круге секут друг друга две прямые, не про-
проходящие через центр, то они не секут друг друга по-
пополам.
Пусть будет круг ABCD и в нём две прямые AC, BD,
не проходящие через центр, секут друг друга в Е; я ут-
утверждаю, что они не секут друг друга пополам (черт. 4).
Действительно, если возможно, пусть они секут друг
Друга пополам, так что АЕ равна ЕС, a BE равна ED;
возьмём центр круга ABCD (предложение 1), пусть он
будет /, и соединим IE.

КНИГА ТРЕТЬЯ
85
Поскольку теперь некоторая проходящая через центр
прямая IE другую, не проходящую через центр прямую
АС сечёт пополам, то она сечёт
её и под прямыми углами; зна-
значит, угол IEA прямой; далее,
поскольку некоторая прямая IE
сечёт другую прямую BD по-
пополам, то она сечёт её и под д\
прямыми углами; значит, угол
IEB прямой. Доказано же, что
и IEA прямой; значит, IEA
равен IEB, меньший большему,
что невозможно. Значит, АС
и BD не секут друг друга Черт. 4.
пополам.
Значит, "если в круге секут друг друга две прямые, не
проходящие через центр, то они не секут друг друга
пополам, что и требовалось доказать.
Предложение 5
Если два круга секут друг друга, то у них не бу-
будет один и тот же центр.
Пусть два круга ABC, CDH секут друг друга в точках В,
С. Я утверждаю, что у них не
будет один и тот же центр
(черт. 5).
Действительно, если воз-
возможно, пусть он будет в Е;
соединим ЕС и проведём как-
нибудь Е1Н. И поскольку
точка Е — центр круга ABC,
ЕС равна EI. Далее, посколь-
поскольку точка Е центр круга CDH,
ЕС равна ЕН\ доказано же,
Черт. 5. что ЕС равна и EI; значит,
н EI равно ЕН, меньшая
большей, что невозможно. Значит, точка Е не будет
центром кругов ABC, CDH,
'Н

86
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, если два круга секут друг друга, то у них
не будет один и тот же центр, что и требовалось до-
доказать.
Предложение 6
Если два круга касаются друг друга, то у них не
будет один и тот же центр.
Пусть два круга ABC, CDE касаются друг друга в
точке С. Я утверждаю, что у
них не будет один и тот же
центр (черт. 6).
Действительно, если возмож-
возможно, пусть будет /; соединим 1С и
проведём как-нибудь 1ЕВ.
Поскольку теперь точка / есть
центр круга ABC, то 1С равна [В.
Далее, поскольку точка / есть
центр круга CDE, то 1С равна IE.
Доказано же, что 1С равна IB; и
Черт. 6 значит, IE равна IB, меньшая
большей, что невозможно. Зна-
Значит, точка / не будет центром кругов ABC, CDE.
Значит, если два круга касаются друг друга, то у них
не будет один и тот же центр, что и требовалось дока-
доказать F,7,8).
Предложение 7
Если в круге на диаметре взята некоторая точка, ко-
которая не будет центром круга, и из этой точки выходят *)
к кругу несколько прямых, то наибольшей будет та, на
которой центр, наименьшей же — её остаток. Из других
же более близкая к (проходящей) через центр всегда
больше более удалённой, и только <«о> две равные пря-
прямые выйдут из этой точки н. кругу ¦(по однойу с каж-
каждой стороны, от наименьшей.
*)
надаю).
— более точно было бы «уй$емляются> (ntittu —

КНИГА ТРЕТЬЯ
87
н
Пусть круг будет ABCD, диаметр же его AD и на AD
взята некоторая точка /, которая не будет центром круга
(черт. 7), центр же круга пусть будет Е, и из / пусть вы-
выходят к кругу ABCD несколько прямых IB, 1С, IH, я
утверждаю, что наибольшей будет IA, а наименьшей ID,
из других же IB больше 1С, а 1С больше IH.
Действительно, соединим BE, СЕ, НЕ. И поскольку
во всяком треугольнике две стороны <вместе> больше
оставшейся (предложение 20 книги I), то, значит, ЕВ
<вместе с> EI больше BI. АЕ
же равна BE [значит, BE, EI
равны Al\\ значит, AI боль-
больше BI. Далее, поскольку BE
равна СЕ, IE же общая, то вот
две BE, EI вместе равны двум
СЕ, EI. Но и угол BEI боль-
больше угла CEI; значит, и осно-
основание BI больше основания CI
(предложение 24 книги 1).
Вследствие того же вот и CI
больше IH.
Далее, поскольку HI, IE
<вместе> больше EH, EH же
равна ED, то, значит, HI, IE больше ED. Отнимем общую
EI; значит, остаток HI больше остатка ID. Значит, наи-
наибольшей будет прямая IA, наименьшей же — ID, при-
причём IB больше 1С, а 1С больше IH.
Я утверждаю также, что из точки / выйдут к кругу
ABCD только <по> две равные прямые <по одной)
с каждой стороны от наименьшей ID. Действительно, по-
построим на прямой EI при сё точке Е угол IEG, равный
IEH (предложение 23 книги 1), и соединим IG. Поскольку
теперь НЕ равна EG, EI же общая, то вот две <сто-
роны> НЕ, EI равны двум GE, EI; и угол HEI равен
углу GEI; значит, основание IH равно основанию /G. Вот
я утверждаю, что другой, равной IH, не выйдет к кругу
из точки /. Действительно, если возможно, пусть выйдет
к кругу такая IK. И поскольку IK равна IH, но IG [рав-
[равна] /Я, то, значит, МГ равна /G, т. е. ближайшая к центру

°Ь НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равна более удалённой; это же невозможно*); значит, из
точки / не выйдет к кругу никакой другой равной HI
прямой; значит, только одна.
Значит, если в круге на диаметре взята некоторая
точка, которая не будет центром круга, и из этой точки
выходят к кругу несколько прямых, то наибольшей будет
та, на которой центр, наименьшей же.— её остаток, из
других же более близкая к <проходящей> через центр
всегда больше более удаленной и только <по> две
равные прямые выйдут из этой точки к кругу <по од-
одной > с каждой стороны от наименьшей; это и требова-
требовалось доказать (9).
Предложенное/
Если взята вне круга некоторая точка и из этой
точки проводятся к кругу несколько прямых, из кото-
которых одна через центр, а другие как-нибудь, то из пря-
прямых, направленных к вогнутому обводу, наибольшая та,
которая через центр, а из других более близкая к про-
проходящей через центр всегда больше более удалённой, из
прямых же, направленных к выпуклому обводу, наимень-
наименьшая та, которая находится между данной точкой и
диаметром, а из других более близкая к наименьшей
всегда меньше более удалённой и только <но> две рав-
равные прямые выходят из этой точки к кругу <«о одной}
с каждой стороны наименьшей.
Пусть круг будет ABC, и пусть вне круга ABC взята
некоторая точка D и из неё проводятся несколько прямых
DA, DE, Dl, DC, и пусть DA будет через центр. Я ут-
утверждаю (черт. 8), что из прямых, направленных к во-
вогнутому обводу AEIC, наибольшая та, которая через центр —
*) В этом месте в некоторых рукописях стоит следующий
абзац, который Генберг не относит к первоначальному тексту
Евклида, помещая его в приложении:
«Или и таким образом. Соединим ЕК- И поскольку НЕ
равна ЕК, EI же общая, и основание IH равно основанию IK,
то, значит, угол НЕ/ равен углу KEI. Но угол HEI равен углу
ОЕГ, и, значит, он равен углу А"ЕУ — меньший большему; что
невозможно».

КНИГА ТРЕТЬЯ
89
DA, DE же больше DI, D1 же больше DC, из прямых
же, направленных к выпуклому обводу GLKH, наименьшая
DH, которая между точкой и диаметром АН, более же
близкая к наименьшей DH всегда меньше более удалён-
удалённой, <а именно), DK меньше DL, DL же меньше DG.
Возьмём центр круга ABC, и пусть он будет М; со-
соединим ME, MI, МС, МК, ML, МО.
И поскольку ЛМ равна ЕМ, прибавим общую MD;
значит, AD равна ЕМ, MD. Но ЕМ, MD <вместе> больше
ED (предложение 20 книги 1); и
значит, AD больше ED. Далее,
поскольку ME равна MI, MD же
общая, то, значит, ЕМ, MD рав-
равны IM, MD; и угол EMD больше
угла IMD. Значит, основание ED
больше основания ID. Таким же
вот образом докажем, что и ID
больше CD; значит, наибольшая
DA, DE же больше DI (пред-
ложение 24 книги I), DI же
больше DC.
И поскольку МК и KD <вме-
сте> больше MD (предложение
20 книги 1), МН же равна МК,
то, значит, остаток KD больше
Черт. 8.
остатка HD; так что HD меньше KD; и поскольку в
треугольнике MLD на одной из сторон внутри восставле-
восставлены две прямые МК, KD. то значит, МК, KD <вместе>
меньше ML, LD (предложение 21 книги 1); МК же равна
ML; значит, остаток DK меньше остатка DL. Таким же
вот образом докажем, что н DL меньше DG; значит,
наименьшая DH, DK же меньше DL и DL меньше DG.
Я утверждаю, что только <по> две равные прямые на-
направляются из точки D к кругу <по одной) с каждой
стороны наименьшей DH.
Построим на прямой MD и при её точке М угол
DMB, равный углу KMD (предложение 23 книги 1), и
соединим DB. И поскольку МК равна MB, MD же общая,
то вот две <стороны> KM, MD равны двум ВМ, MD

90 - НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждая каждой; и угол KMD равен углу BMD; значит,
основание DK равно основанию DB (предложение 4 кни-
книги 1). Я утверждаю, что никакая другая равная DK прямая
не выйдет к кругу из точки D. Действительно, если воз-
возможно, пусть выйдет и будет DN. Поскольку теперь DK
равна ON, но DK равна DB, и значит, DB равна DN,
<т. е.> более близкая к наименьшей DH равна более
удалённой, что, как доказано, невозможно*).
Значит, не более двух равных прямых выходят к кру-
кругу ABC из точки D по одной с каждой стороны наимень-
наименьшей DH.
Значит, если взята вне круга некоторая точка и из
этой точки проводятся к кругу несколько прямых, из ко-
которых одна через центр, а другие — как-нибудь, то из
прямых, направленных к вогнутому обводу, наибольшая та,
которая через центр, а из других более близкая к прохо-
проходящей через центр всегда больше более удалённой; из
прямых же, направленных к выпуклому обводу, наимень-
наименьшая та, которая находится между данной точкой и диа-
диаметром, а из других более близкая к наименьшей всегда
меньше более удалённой, и только <по> две равные пря-
прямые выходят из этой точки к кругу по одной с каждой
стороны наименьшей, что и требовалось доказать.
Предложение^
Если внутри круга взята некоторая точка и из этой
точки к кругу выходят более чем две равные прямые,
то взятая точка есть центр круга.
Пусть круг будет ABC, точка же внутри его D, и из
D к кругу ABC выходят более чем две равные прямые:
*) В этом месте в некоторых рукописях находятся следую-
следующие слова, которые Гейберг удаляет из основного текста: «Или
и иначе. Соединим MN. Поскольку КМ равна MN, MD же об-
общая, и основание DAT равно основанию DN, то, значит, угол KMD
равен углу DMN. Но угол fCMD равен углу BMD; и, значит,
угол BMD равен углу NMD — меньший большему; это же не-
невозможно».

КНИГА ТРЕТЬЯ
91
DA, DB, DC; я утверждаю, что точка D есть центр круга
ABC (черт. 9).
Действительно, соединим АВ, ВС и рассечём их попо-
пополам в точках Е и /, и соединяющие ED, ID продолжим
до точек Н, К, G, L.
Поскольку теперь АЕ равна ЕВ, ED же общая, то
вот две <стороны> АЕ, ED равны двум BE, ED и осно-
основание DA равно основанию DB;
значит, угол AED равен углу
BED (предложение 8 книги 1);
значит, каждый из углов AED,
BED прямой (определение 10
книги I); значит, НК сечёт АВ
пополам и под прямыми угла-
углами. И поскольку если в .круге
некоторая прямая сечёт неко-
некоторую прямую пополам и под
прямыми углами, то на секу-
секущей находится центр круга,
значит, на НК находится центр
круга. Вследствие того же вот и на GL находится центр
круга ABC. И никакой другой общей <точки>, кроме D,
не имеют прямые НК, GL; значит, точка D есть центр
круга ABC.
Значит, если внутри круга взята некоторая точка и из
этой точки к кругу выходят более чем две равные прямые,
то взятая точка есть центр круга, что и требовалось дока-
доказать A0, 11).
Предложение 10
Круг не сечёт круга более чем в двух точках.
Действительно, если возможно, пусть круг ABC сечёт
круг DEI больше, чем в двух точках В, Н, I, G; и со-
соединяющие прямые BG и ВН пусть будут разделены попо-
пополам в точках К и L; и проведённые из К и L под пря-
прямыми углами к BG, BH прямые КС, LM пусть будут про-
продолжены до точек А, Е (черт. 10).
Поскольку теперь в круге ABC некоторая прямая АС
сечёт некоторую прямую BG пополам и под прямыми

92
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
углами, то, значит, на АС находится центр круга ABC
(следствие предложения 1). Далее, поскольку в том же
самом круге ABC некоторая прямая NX сечёт некоторую
прямую ВН пополам и под
прямыми углами, то, значит,
на Л^ находится центр кру-
круга ABC.
Доказано же, что он и
на АС, и прямые АС и NX
нигде не встречаются, кроме
как в О; значит, точка О
есть центр круга ABC.
Таким же вот образом
докажем, что О есть также
центр и круга DEI; значит,
у двух взаимно пересекающихся кругов ABC, DEI один
и тот же центр О; это же невозможно (предложение 5).
Значит, круг не сечёт круга более, чем в двух точках,
что и требовалось доказать A2).
Предложение 11
Если два круга касаются между собой изнутри и
взяты их центры, то соединяю-
соединяющая их центры прямая при
продолжении упадёт в точку
касания кругов *).
Пусть два круга ABC, ADE
касаются друг друга изнутри в
точке А и взяты круга ABC —
центр /, круга же ADE—-центр
Н; я утверждаю, что прямая,
соединяющая Н с /, при про-
продолжении упадёт в А (черт. 11).
Черт. 11.
*) У Евклида Ы тт]у oavaip-J]v iceoelToi — строго говоря не в точку
касания, а в место или область касания (ouvaevj — просто «сопри-
косновение>).

КНИГА ТРЕТЬЯ
93
Действительно, пусть это не так, но, если возможно,
пусть она упадёт, как IHG; соединим AI, АН.
Поскольку теперь АН, HI <вместе> больше IA, то-есть
/О, то отнимем общую IH; значит, остаток АН больше
остатка HG. АН же равна HD; и значит, HD больше
НО — меньшая большей, что невозможно; следовательно,
соединяющая / с Н прямая не упадёт во вне; значит, она
упадёт в точку А касания.
Значит, если два круга касаются между собой изну-
изнутри и взяты их центры, то соединяющая их центры пря-
прямая при продолжении упадёт в точку касания кругов,
что и требовалось доказать A3).
Предложение 12
Если два круга касаются друг друга извне, то прямая,
соединяющая их центры, пройдёт через точку касания*).
Пусть два круга
ABC, ADE касаются
друг друга извне в
точке А и пусть взя-
взяты круга ЛВС центр /,
круга же ADE центр Н;
я утверждаю, что пря-
прямая, соединяющая / с
Н, пройдёт через точку
касания А (черт. 12).
Действительио.пусть
это не так, но, ее- ерт' ~"
ли возможно, пусть она пройдёт как ICDH; соединим
Л1, АН.
Поскольку теперь точка / центр круга ABC, то IA
равна 1С. Далее, поскольку точка Н центр круга ADE,
то АН равна HD. Доказано же, что и IA равна 1С; зна-
значит, IA, АН <вместе> равны 1С, HD; так что вся IH
*) У Евклида izaifij —• внешнее касание в противоположность
oyvasfYj предыдущего предложения, в котором говорилось о вну-
внутреннем касании.

94
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
больше IA, АН; но она и меньше (предложение 20
книги I), что невозможно. Значит, соединяющая / с Н
прямая не пройдёт вне точки касания А; значит, через
неё.
Значит, если два круга касаются друг друга извне, то
прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку ка- |
сания, что и требовалось доказать. |
Предложение 13
Круг не касается круга более чем в одной точке,
как изнутри, так и извне.
Действительно, если возможно, пусть круг ABCD ка-
касается круга EBID сперва из-
изнутри больше, чем в одной
точке, в D, В (черт. 13).
И возьмём круга ABCD
центр Н, EBID же центр G.
Значит, прямая, соединяющая
Н с G, упадёт в В и D
(предложение 11). Пусть она
упадёт как BHGD. И по-
поскольку точка Н есть центр
круга ABCD, то ВН равна HD;
Черт. 13. значит, ВН больше GD; зна-
значит, подавно BG больше GD.
Далее, поскольку точка G центр круга EBID, то BG
равна GD; доказано же, что она и подавно больше, что
невозможно; значит, круг касается круга изнутри не более,
чем в одной точке.
Я утверждаю вот, что то же и извне.
Действительно, если возможно, пусть круг АСК касается
круга ABCD извне больше, чем в одной точке, в А, С; со-
соединим АС.
Поскольку теперь у кругов ABCD, АСК взяты на об-
обводе каждого две какие-нибудь точки А, С, то прямая,
соединяющая эти точки, упадёт внутри каждого (предло-
(предложение 2); но она упала внутри ABCD и вне АСК (пред-
(предложение 3), что нелепо; значит, круг не касается круга

КНИГА ТРЕТЬЯ
95
извне более чем в одной точке. Доказано же, что так же
и изнутри.
Значит, круг не касается круга более чем в одной
точке, как изнутри, так и извне, что и требовалось до-
доказать A4).
Предложение 14
В круге равные прямые равно отстоят от центра
и равноотстоящие от центра равны между собой.
Пусть будет круг ABCD и в нём равные прямые АВ, CD;
я утверждаю, что АВ, CD равно отстоят от центра (черт. 14).
Действительно, возьмём центр
круга ABCD и пусть он будет Е,
и из ? к АВ и CD проведём
перпендикуляры El и ЕН и со-
соединим АЕ, ЕС.
Поскольку теперь некоторая 8[
проведённая через центр прямая
El некоторую не проходящую
через центр прямую АВ сечёт под
прямыми углами, то она сечёт её
и пополам (предложение 3). Зна-
Значит, AI равна IB; значит, АВ уд-
удвоенная AI. Вследствие того же вот и CD удвоенная СИ,
и АВ равна CD; значит, и AI равна СИ. И поскольку АЕ
равна ЕС, то н квадрат на АЕ равен квадрату на ЕС.
Но квадрату на АЕ равны квадраты на Л/, El <вместе>,
ибо угол при / прямой (предложение 47 книги I); квад-
квадрату же на ЕС равны квадраты на ЕН, НС <вместе>,
ибо угол при Н прямой; значит, квадраты на Л/ и IE
<вместе> равны квадратам на СН, НЕ, из которых квад-
квадрат на Л/ равен квадрату на СН, ибо Л/ равна СН;
значит, остающийся квадрат на IE равен квадрату на
ЕН; значит, EI равна ЕН. В круге же равноотстоящими
от центра называются прямые, если проведённые из цен-
центра к ним перпендикуляры равны (определение 4); значит,
АВ, CD равно отстоят от центра.
Но вот пусть прямые АВ, CD равно отстоят от цен-
центра, т. е. El равна ЕН. Я утверждаю, что и АВ равна CD.

96
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, сделав те же самые построения, подоб-
подобным же образом докажем, что АВ вдвое больше AF, a CD
вдвое больше GH; и поскольку АЕ равна СЕ, то квад-
квадрат на АЕ равен квадрату на СЕ; но квадрату на АЕ
равны квадраты на El, IA <вместе> (предложение 47
книги 1), квадрату же на СЕ равны квадраты на ЕН, НС
<вместе>. Значит, квадраты на El, IA <вместе> равны
квадратам на ЕН, НС; из них квадрат на EI равен ква-
квадрату на ЕН, ибо ЕЛ равна ЕН; значит, остающийся ква-
квадрат на AI равен квадрату на СИ; значит, AI равна СН;
и удвоенная AI будет АВ, удвоенная же СН будет CD;
значит, АВ равна CD.
Значит, в круге равные прямые равно отстоят от цен-
центра и равноотстоящие от центра равны между собой, что и
требовалось доказать A5).
Предложение 15
В круге наибольшая (прямая') — диаметр, аз других
же всегда более близкая к центру больше более удалённой.
Пусть круг будет ABCD,
диаметр же его AD, центр же
Е, и пусть более близкая к
диаметру AD прямая будет ВС,
а более удалённая IH; я ут-
утверждаю, что наибольшей бу-
будет AD, ВС же больше IH
(черт. 15).
Действительно, проведём из
центра Е к ВС, IH перпен-
перпендикуляры EG, EK. И посколь-
поскольку ВС ближе к центру, IH
же дальше, то, значит, ЕК боль-
больше EG (определение 5). От-
и проведённую через L под
Н
N
Черт. 15.
ложим EL, равную EG,
прямыми углами к ЕК прямую LM продолжим до ./V и
соединим ME, EN, IE, ЕН. И поскольку EG равна EL,
то и ВС равна MN (предложение 14). Далее, поскольку
ЛЕ равна ЕМ, ED же равна EN, то, значит, AD равна

КНИГА ТРЕТЬЯ
97
ME, EN <вместе взятым>. Но ME, EN <вместе> больше
MN (предложение 20 книги I) [и AD больше MN], MN
же равна ВС; значит, AD больше ВС. И поскольку две
стороны ME, EN равны двум IE, EN, и угол MEN больше
угла 1ЕН, то значит, основание MN больше основания
Ш (предложение 24 книги I). Но доказано, что МЫ равна
ВС [и ВС больше 1Н\. Значит, наибольшая <прямая> — диа-
диаметр AD, и ВС больше IH.
Значит, в круге наибольшая <прямая> — диаметр, из
других же всегда более близкая к центру больше более
удалённой, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Прямая, проведённая под прямыми углами к диа-
диаметру круга в <его> концах*), упадёт вне круга, и в
пространстве между прямой и обводом не поместится **)
никакая другая прямая, а
угол полукруга больше вся-
всякого прямолинейного ост-
острого угла, а остаток
меньше.
Пусть ABC круг около
центра О с диаметром АВ; я
утверждаю, что прямая,
проведённая из А под пря-
прямыми углами к АВ в кон-
концах, упадёт вне круга
(черт. 16).
Действительно, пусть
это не так, но если воз-
возможно, пусть она упадёт внутри, как АС; соединим DC.
Поскольку DA равна DC, то и угол DAC равен ACD
(предложение 5 книги I). Угол же DAC прямой; значит,
и угол ACD прямой. Вот в треугольнике ACD два угла
DAC, ACD <вместе> равны двум прямым, что невозможно
*) axpov — край, конец, вершина.
**) oh napsunsosixai — не впадёт между.
< Евклид

эо НАЧАЛА ЕВКЛИДА
(предложение 17 книги I). Значит, прямая, проведённая из
точки А под прямыми углами к ВА, не упадёт внутри круга.
Подобным же вот образом докажем, что и не по об-
обводу; значит, <она упадёт> вне.
Пусть она упадёт, как АЕ; вот я утверждаю, что в
пространстве между прямой АЕ и обводом CGA не поме-
поместится никакая другая прямая.
Действительно, если это возможно, то пусть поместится
как /Л; проведём из точки D к /Л перпендикуляр DH. И
поскольку угол AHD прямой, угол же DAH меньше пря-
прямого, то значит, AD больше DH (предложение 19 книги I).
DA же равна DG; значит, DG больше DH, меньшая —
большей, что невозможно. Значит, в пространстве между
прямой и окружностью никакая другая прямая не поме-
поместится.
Я утверждаю, что и угол полукруга, <то-есть> заклю-
заключённый между прямой ВА и обводом CGA, больше всякого
прямолинейного острого угла, остаток же, заключённый
между обводом CGA и прямой АЕ, меньше всякого пря-
прямолинейного острого угла.
Действительно, если существует некоторый прямоли-
прямолинейный угол, больший угла, заключённого между прямой
ВА и обводом CGA, или меньший угла, заключённого
между обводом CGA и прямой АЕ, то в пространстве
между обводом CGA и прямой АЕ поместится прямая, ко-
которая образует заключённый между прямыми угол, боль-
больший угла, заключённого между прямой АВ и обводом
CGA, или меньший угла, заключённого между обводом
CGA и прямой АЕ. Но <такая прямая) не помещается.
Значит, не будет острого заключённого между пря-
прямыми угла, большего угла, заключённого между прямой
ВА и обводом CGA, или меньшего угла, заключённого
между обводом CGA и прямой АЕ A6, 17).
Следствие
Вот из этого ясно, что прямая, проведённая к диаметру
круга в концах под прямыми углами, касается*) круга
*) {(роттгтои — т. е. касается снаружи.

КНИГА ТРЕТЬЯ
[и что прямая касается круга только в одной точке, по-
поскольку доказано, что прямая, соединяющая две его точки,
упадёт внутри его], что и требовалось сделать *).
Предложение '17 J
Из данной точки к данному кругу провести каса-
касательную прямую линию. .
Пусть данная точка будет А, данный же круг BCD;
вот требуется из точки А к кругу BCD провести каса-
касательную прямую линию (черт. 17).
Действительно, возьмём центр круга Е, соединим АН,
и из центра Е раствором ЕА опи-
опишем круг AIH, и из D под пря-
прямыми углами к ЕА проведём DI
и соединим Е/, АВ; я утверждаю,
что из точки А к кругу BCD
проведена касательная АВ.
Действительно, поскольку
Е — центр кругов BCD, AIH, то
значит, ЕА равна El, ED же
равна ЕВ; вот две <стороны>
АЕ, ЕВ равны двум IE, ED;
и они заключают общий угол
при Е; значит, основание DI
равно основанию АВ, и треугольник DEI равен тре-
треугольнику ЕВА, и остальные углы равны остальным (пред-
(предложение 4 книги I); значит, угол EDI равен углу ЕВА.
Угол же EDI прямой; значит, и угол ЕВА прямой. И
BE есть <прямая> «из центра»; прямая же, проведённая
к диаметру круга под прямыми углами в концах, касает-
касается круга (предложение 16, следствие); значит, АВ касает-
касается круга BCD.
Значит, из данной точки А к данному кругу BCD
проведена касательная прямая линия АВ, что и требова-
требовалось сделать A7, 18, 19,20).
*) Свойство перпендикулярности касательной к радиусу
было известно уже другу Платона Архиту Тарентскому A-я по-
полов, ша IV в. до н. э.).
Черт 1/.

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Черт. 18.
Предложение 18
Если некоторая прямая касается круга и центр
соединён прямой с касанием, то соединяющая прямая
будет перпендшсулярной к касательной.
Пусть некоторая прямая DE касается круга ABC
(черт, 18) в точке С, возьмём центр / круга ABC и сое-
соединим / с С прямой /С; я
утверждаю, что /С перпенди-
кулярна к DE.
Действительно, если это
не так, то проведём из / к
DE перпендикуляр /И.
Поскольку теперь угол /НС
прямой, то значит, угол /СИ
острый (предложение 17 кни-
книги I); больший же угол стяги-
стягивается и большей стороной
(предложение 19 книги I); зна-
значит, /С больше /И; 1С же
равна IB, значит, /В больше /И, меньшая большей, что
невозможно. Значит, Ш не будет перпендикулярна к DE.
Подобным пот образом докажем, что и никакая дру-
другая прямая, кроме /С; значит, 1С перпендикулярна к
DE.
Значит, если некоторая прямая касается круга и центр
соединён прямой с касанием, то соединяющая прямая будет
перпендикулярна к касательной, что и требовалось до-
доказать.
Предложение 19
Если некоторая прямая касается круга и из точки
касания под прямыми \члпми к касательной проведена
прямая линия, то центр круга будет на проведённой
прямой.
Пусть некоторая прямая DE касается круга ABC в
точке С, и пусть через С под прямыми углами к DE
проведена СА; я утверждаю, что центр круга находится
на АС (черт. 19).

КНИГА ТРЕТЬЯ
101
С
Черт. 19.
Действительно, пусть это не так, но, если возможно,
пусть он будет /; соединим С/.
Поскольку [теперь] некоторая прямая DE касается кру-
круга ABC и центр соединён с точкой касания прямой /С, то
значит, 1С перпендикулярна к
DE (предложение 18); значит,
угол ICE прямой. Прямой же
и угол АСЕ; значит, угол ICE
равен АСЕ, меньший больше-
большему, что невозможно. Значит, /
ие есть центр круга ABC.
Подобным вот образом до-
докажем, что и никакая другая
<точка>, кроме как на АС.
Значит, если некоторая
прямая касается круга и из
точки касания под прямыми
углами к касательной проведена прямая линия, то центр кру-
круга будет на проведённой прямой, что и требоналось доказать.
Предложение 20
В круге угол при центре вдвое больше угла При обзоде,
если эти углы имеют основанием тот же самый обзод.
Пусть круг будет ABC и угол при центре его пусть
будет ВЕС, при окружности же
ВАС, пусть они имеют основа-
основанием тот же самый обвод ВС; я
утверждаю, что ВЕС вдвое больше
ВАС (черт. 20).
Действительно, соединяющую
АЕ продолжим до /.
Поскольку теперь ЕА равна
ЕВ, то и угол ЕАВ равен ЕВА
(предложение 5 книги i); значит,
углы ЕАВ, ЕВА <вместе> вдвое
больше ЕАВ. Угол же BE/ равен
<вместе взятым) углам ЕАВ, ЕВА (предложение 32 кни-
книги I); и значит, угол BE/ вдвое больше ЕАВ. Вследствие

102
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
того же вот a IEC вдвое больше ЕАС; значит, весь
угол ВЕС вдвое больше всего угла ВАС.
Вот проведём далее другую ломаную *) и пусть дру-
другой угол будет BDC; соединяющую DE продолжим до
Н. Подобным вот образом докажем, что угол НЕС вдвое
больше EDC; у инх угол ИЕВ вдвое больше НОВ; зна-
значит, остаток ВЕС вдвое больше BDC.
Значит, в круге угол при центре вдвое больше угла
при обводе, если эти углы имеют основанием тот же
самый обвод, что и требовалось доказать**).
Предложение 21
В круге углы в одном и том же сегменте равны
между собой.
Пусть круг будет A.BCD и в одном и том же сегменте
BABD пусть будут углы BAD и
BED. Я утверждаю, что углы
BAD, BED равны между собой
(черт. 21).
Действительно, возьмём центр
круга ABCD и пусть он будет /,
и соединим В! и JD. И поскольку
угол BID находится при центре,
угол же BAD при обводе и <оба
они> имеют в основании тот же
обвод BCD, то значит (предло-
(предложение 20), угол BID вдвое боль-
больше BAD. Вследствие того же вот
угол BID вдвое больше и угла BED; значит, угол BAD
равен углу BED.
Значит, в круге углы в одном и том же сегменте
равны между собой, что и требовалось доказать B1),
*) У Евклида необычайно сжато: улуИзЪи* Ц nabv — вот сло-
сломаем снова (подразумевается другую прямую). Этот техниче-
технический термин встречается у Аристотеля Analyt. posterlora I, 10.
*"*) Предложениями 20 и 21 пользуется ещё Гиппократ Хиоо-
ский в теории квадратуры луночек.

КНИГА ТРЕТЬЯ
В
Предложение 22
У четырёхсторонников, <,вписанныху в кругах, про-
противоположные углы <(вместеу равны двум прямым.
Пусть круг будет ABCD и четырёхсторонник в нём
ABCD; я утверждаю, что про-
противоположные углы <вместе>
равны двум прямым (черт. 22).
Соединим AC, BD.
Поскольку теперь во вся-
всяком треугольнике три угла
равны двум прямым (предложе-
(предложение 32 книги I), то значит, в
треугольнике ABC три угла
CAB, ABC и ВСА равны двум
прямым. Но угол CAB равен
BDC, ибо они в одном и том
же сегменте BADC (предложе-
(предложение 21); угол же АСВ равен ADB, ибо они в одном и том
же сегменте ADCB. Значит, весь угол ADC равен ВАС,
АСВ <вместе взятым>. Прибавим общий угол ABC; зна-
значит, ABC, ВАС, АСВ <вместе> равны ABC, ADC. Но
углы ABC, ВАС, АСВ равны двум прямым. И значит,
ABC, ADC вместе равны двум прямым. Подобным же
вот образом докажем, что и углы BADt DCB <вместе>
равны двум прямым.
Значит, у четырёхсторонников, <вписанных> в кругах,
противоположные углы <вместе> равны двум прямым, что
и требовалось доказать*) B2).
Предложение 23
На той же прямой, с той. же стороны нельзя по-
построить два подобных и. неравных сегмента кругов.
*) Обратная теорема, состоящая в том, что указываемый
Евклидом признак является достаточным для возможности епи-
сания четырёхугольника в круг, принадлежит Птоломею. В эле-
«ентариую геометрию эта теорема внесена Л. Бертраном A778).

104
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, если возможно, то пусть на той же
прямой ЛВ с той же стороны будут построены два по-
подобных и неравных сегмента кругов (черт. 23).
Продолжим ACD и соединим СВ и DB,
Поскольку теперь сегмент АСВ подобен сегменту ЛОВ,
подобные же сегменты кругов суть вмещающие равные
Черт. 23.
углы (определение И), то значит, угол АСВ равен углу
ЛОВ, т. е. внешний внутреннему, что невозможно (пред-
(предложение 16 книги I).
Значит, на той же прямой с той же стороны нельзя
построить два подобных и неравных сегмента кругов, что
и требовалось доказать B3).
Предложение 24
На равных прямых подобные сегменты кругов равны
между собой.
Пуст ь на равных прямых АВ, CD будут подобные
сегменты кругов АЕВ, CID; я ут-
утверждаю, что сегмент АЕВ равен
сегменту C/D (черт. 24).
Действительно, если совмещать
сегмент АЕВ с C/D и поместить
точку Л в С, а прямую АВ на СО,
то и точка В совместится с О вслед-
вследствие того, что АВ равна CD.
Но при совмещении же АВ с
CD и сегмент АЕВ совместится с
CID. Действительно, если прямая
Черт. 24.
АВ совместится с CD, сегмент же АЕВ не совместится с
С/Д, то он попадёт или внутрь его или наружу, или сместится

КНИГА ТРЕТЬЯ
105
вбок *), как CHD, и круг пересечет круг более чем вдв)я
точках, что невозможно (предложение 10). Значит, при
совмещении прямой АВ с СО и сегмент ЛЕВ не будет
не совмещаться с CID; значит, он совместится и будет
ему равен (аксиома 7 книги I).
Итак, на равных прямых подобные сегменты кругов
равны между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 25
К данному сегменту круга пристроить круг, сегмен-
сегментом которого он является.
Пусть данный сегмент круга будет ЛВС (черт. 25);
вот требуется к сегменту ЛВС пристроить круг, сегмен-
сегментом которого он является.
Черт, 25.
Черт. 26.
Черт. 27,
Рассечём АС пополам в D, проведём из точки D под
прямыми углами к ЛС прямую DB и соединим ЛВ; зна-
значит, угол ABD или больше угла BAD или равен, или
меньше.
Пусть он сперва будет больше; построим на прямой ВА
при ее точке Л угол ВАЕ, равный ABD (предложение
23 книги I), продолжим DB до ? и соединим ЕС. По-
Поскольку теперь угол ABE равен ВАЕ, то значит, и пря-
прямая ЕВ равна ЕЛ (предложение 6 книги I). И поскольку
АО равна DC a DE общая, то вот две <стороны> AD
*) У Евклида просто xa?aXLUt ~ сместится, уклонится (от-
(отсюда астрономический термин «параллако).

206 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
я DE равны двум CD и DE каждая каждой; и угол ADE
равен CDE, ибо каждый из ннх прямой; значит, основа-
основание АЕ равно основанию СЕ (предложение 4 книги I).
Но АЕ, как доказано, равна BE; и значит, BE' равна СЕ;
значит, три прямые АЕ, ЕВ и ЕС равны между собой;
значит, круг, описанный из центра Е раствором, равным
одной из прямых АЕ, ЕВ, ЕС, пройдЁт и через осталь-
остальные точки и будет пристроенным (предложение 9). Зна-
'шт, к данному сегменту круга пристроен круг. И ясно,
что сегмент ABC меньше полукруга, так как центр Е ока-
оказался вне его.
Подобным же образом, если угол ABD равен BAD,
прямая AD сделается равной каждой из BD, DC, три
прямые DA, DB, DC будут равны между собой (пред-
(предложение 6 книги I) и О будет центр пристроенного круга
и вот ясно, что ABC будет полукругом (черт. 26).
Если же угол ABD меньше BAD и на прямой ВА
при ее точке А построим угол, равный углу ABD
(предложение 23 книги I) (черт. 27), то центр попадёт
внутрь сегмента ABC па DB и вот ясно, что сегмент ABC
будет больше полукруга.
Значит, к данному сегменту круга пристроен круг, что
и требовалось сделать.
Предложение 26
В равных кругах равные углы опираются на рап-
рапные обводы, стоят ли они при центре или же при об-
обводах.
Пусть равные круги будут ABC, DEI и пусть в них
ВИС, EGI будут ратные углы при центрах, а ВАС, ED1
при обводах; я утверждаю, что обвод ВКС равен обводу
EIJ (черт. 28).
Действительно, соединим ВС, Е/.
И поскольку круги ABC, DEI равны, то равны Пря-
Прямые, исходящие) «из центров»; вот две <прямые> ВИ.
ИС равны двум EG, GI; и угол Н равен углу при G;
значит, основание ВС равно основанию Е/ (предложение 4
книги I). И поскольку угол при А равен углу при D, ti>

КИНГА ТРЕТЬЯ
аначнт, сегмент ВАС подобен сегменту EDI (определение 11);
и онн на равных прямых ВС и Е1\ на равных же прямых
подобные сегменты кругов равны между собой (предложе-
(предложение 24); значит, сегмент ВАС равен EDI. Но и весь
Черт. 28.
круг ABC равен всему кругу DE/, значит, остающийся
обвод ВКС равен обводу EU.
Значит, в равных кругах равные углы опираются
на равные обводы, будут ли они находиться при центре
или же при обводах, что н требовалось доказать.
Предложение 27
В равных кругах углы, опирающиеся на разные об-
sodu, равны между собой, стоят ли она при центрах
или же при обводах.
Пусть в равных кругах ABC, DEI будут опираться
на равные обводы BCt El при центрах Я, G углы
ВНС и EG/, при обводах же углы ВАС, EDI; я утвер-
утверждаю, что угол ВИС равен EG/, угол же ВАС равен ED/
(черт. 29).
Действительно, если угол ВИС не равен углу EG/, то
один из них больше. Пусть будет больше ВИС, и по-
построим на прямой ВИ при её точке И угол ВИК, равный
EG! (предложение 23 книги I). Равные же углы опираются
на равные обводы, если онн будут при центрах (предло-
(предложение 26); значит, обвод ВК равен обводу Е/. Но Е1
равен ВС; а значит, ВК равен ВС, т. е. меньший боль-

103
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
шему, что невозможно. Значит, не будет угол ВИС не
равен EGI; значит, ранен. И угол при А будет по-
половиной угла ВИС, угол же при D — половиной EG/
Черт. 29.
(предложение 20); значит, и угол при А равен углу
при D.
Значит, в равных кругах углы, опирающиеся на рав-
равные обводы, равны между собой, стоят ли они при цен-
центрах или при обводах, что и требовалось доказать B4).
Предложение 28
В равных кругах равные прямые отделяют равные
обводы, больший равный большему, меньший же мень-
меньшему.
Пусть равные круги будут ABC, DEI и в этих кругах
пусть будут равные прямые АВ, DE, отделяющие обводы АСВ,
DIE большие, и АИВ, DGE меньшие; я утверждаю, что
больший обвод АСВ равен большему обводу DIE, мень-
меньший же АИВ равен DGE (черт. 30).
Действительно, возьмём центры кругов К, L и соеди-
соединим АК> KB, DL, LE.
И поскольку круги равны, то равны и <прямые, про-
проведённые) из центров (определение I); вот две <прямые>
АК, KB равны двум DL, LE; и основание АВ равно осно-
основанию DE; значит, угол АК.В равен углу DLE (предло-
(предложение 8 книги I). Равные же углы опираются на равные
обводы, если они стоят при центрах (предложение 26);

КНИГА ТРЕТЬЯ
109
значит, обвод ЛИВ равен DOE, Но и целый круг ABC
равен целому кругу DEI; значит, и остающийся обвод АСВ
равен остающемуся обводу DIE.
С
Черт. 30.
Значит, в равных кругах равные прямые отделяют рав-
равные обводы, больший равный большему, а меньший мень-
меньшему, что и требовалось доказать.
Предложение 29
В равных кругах равные обводы стягивают равные
прямые *).
Пусть равные круги будут ABC, DEI и в них выделены
D
Черт. 31.
равные обводы ВИС, EG1 (черт. 31) н соединены ВС, Е1\
я утверждаю, что ВС равна Е1.
*) В тексте та; Год; irspiBspELa; itsai suBgtat onaTsEyoasiv. Тео-
Теорема обратная 28-й, но формулирована очень близко к 28-й; мы
употребили бы страдательный оборот «стягиваются>.

по
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, возьмём центры кругов и пусть они
будут К, L\ соединим ВК, КС, EL, LJ.
И поскольку обвод ВИС равен обводу EGIt то и угол
ВКС равен ЕЦ (предложение 27). И поскольку круги ABC,
DEI равны, то будут равны и «прямые из центров» (опре-
(определение 1); вот две <стороны> ВК, КС равны двум EL,
LI и заключают равные углы; значит, основание ВС равно-
основанию Е[ (предложение 4 книги I).
Значит, в равных кругах равные обводы стягивают
равные прямые, что и требовалось доказать B5).
Предложение 30
Рассечь данный обвод пополам.
Пусть данный обвод будет ADB; вот должно обвод
ADB рассечь пополам (черт. 32).
Соединим АВ и рассечем в С пополам (предложение
10 книги I); из точки С под прямыми углами к прямой ЛИ
проведем CD и соединим AD
п DB.
И поскольку АС равна СВ,
CD же общая, то вот две.-
<прямые> AC, CD равны двум
ВС, CD и угол ACD равен уг-
углу BCDt ибо оба прямые; зна-
значит, основание AD равно основанию DB (предложение 4
книги I).
Равные же прямые отделяют равные обводы, больший
равный большему и меньший меньшему (предложение 28);
и каждый из обводов AD, DB меньше полукруга; значит,
обвод AD равен обводу DB.
Значит, данный обвод рассечён пополам в точке D, что
и требовалось сделать.
Предложение 31
В круге угол, (заключённый} в полукруге, — прямой,
в большем сегменте — меньше прямого, в меньшем же —
больше прямого; и кроме того, угол большего сегмента
больше прямого, меньшего же—-меньше.

КНИГА ТРЕТЬЯ
lit
Пусть круг будет ABCD, диаметр же его — ВС, а'центр
Е (черт. 33); соединим АВ, AC, AD, DC; я утверждаю,
что в полукруге ВАС угол ВАС прямой; в большем же
чем полукруг сегменте ABC угол ABC меньше прямого,
в меньшем же чем полукруг сегменте ADC угол ADC
больше прямого.
Соединим АЕ и продолжим ВА до /.
И поскольку BE равно ЕА, то и угол ABE равен ВАЕ
(предложение 5 книги 1). Да.-гее, поскольку СЕ paRFia EAt
то и угол АСЕ равен САЕ;
значит, весь угол ВАС равен
двум ABC, ACB. Но и угол
/АС <как> внешний угол тре-
треугольника ABC равен двум
углам ABC и АСВ (предложе-
(предложение 32 книги 1); значит, и
угол ВАС равен /АС; значит,
каждый <из них> прямой (опре-
(определение 10 книги 1); значит, в
полукруге ВАС угол ВАС
прямой.
И поскольку в треугольнике ABC два угла ABC, ВАС
<вместе> меньше двух прямых (предложение 17 кни-
книги 1), угол же ВАС прямой, то значит, угол ABC мень-
меньше прямого; и он <заключён> в сегменте ABC, боль-
большем полукруга.
И поскольку ABCD есть четырёхсторонник в круге,
у четырёхсторонников же в кругах противоположные углы
<вместе> равпи двум прямым [и значит, углы ЛВС, ADC
равны двум прямым (предложение 22)], и угол ABC меньше
прямого; значит, остающийся угол ADC больше прямого;
и он <заключён> в сегменте ADC, меньшем полукруга.
Я утверждаю, что и угол большего сегмента, заклю-
заключённый между обводом ABC и прямой АС, больше пря-
прямого, угол же меньшего сегмента, заключённый между об-
вовдм AD[C] и прямой АС, меньше прямого. И это само
собой очевидно. Действительно, поскольку угол между
прямыми ВА, АС прямой, то значит, угол, заключённый
между дугой ABC и прямой АС, больше прямого. Далее,

112
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
поскольку угол между прямыми AC, AI прямой, то значит,
угол, заключённый между прямой СА и обводом AD[C]^
меньше прямого. Значит, в круге угол, <заключённый> в
полуокружности, прямой, в большем сегменте — меньше пря-
прямого, в меньшем же [сегменте] — больше прямого н, кроме
того, угол большего сегмента больше прямого, угол же
меньшего сегмента меньше прямого, что и требовалось до-
доказать B6).
[Следствие
Вот нз зтого ясно, что когда один угол треугольника
равен двум остальным, то он будет прямым вследствие того,
что и внешний для него угол будет равен тем же самым
двум углам; когда же смежные углы равны, то они прямые.]
Предложение 32
Если некоторая прямая касается круга и от точки
касания внутрь круга проведена некоторая секущая круг
прямая, то угла, которые эта прямая образует с ка-
касательной, будут равны углам
в накрестлежащих сегментах
круга.
Пусть некоторая прямая EI
касается круга ABCD (черт. 34)
в точке В и пусть от точки В
внутрь круга ABCD проверена
некоторая секущая его прямая
BD. Я утверждаю, что углы,
которые BD образует с каса-
касательной EL будут равны углам
в накрестлежащих сегментах
круга, то-есть что угол IBD
равен углу в сегменте BAD,
угол же EBD равен углу в сегменте DCB.
Действительно, проведём из В под прямыми углами
к El прямую ВА% иа обводе BD возьмём какую-либо точку
С и соединим AD, DC, СВ. И поскольку некоторая прямая
EI касается круга ABCD в В, и от точки касания под
В
Черт. 31.

КНИГА ТРЕТЬЯ
прямыми углами к касательной проведена ВА, то значит,
центр круга ABCD будет находиться на ВА (предложение
19). Значит, ВА есть диаметр круга ABCD; значит, угол
ADB, <как> находящийся в полукруге, будет прямим (пред-
(предложение 31). Значит, остальные углы BAD, ABD вместе
равны одному прямому (предложение 32 книги I). Но и
угол А В/ прямой; значит, угол А В/ равен BAD, ABD
<вместе>. Отнимем общий угол ABD; значит, остающийся
угол DBI равен Находящемуся) в накрестлежащем сег-
сегменте круга углу BAD. И поскольку ABCD четырёхсто-
четырёхсторонник в круге, то противоположные его углы <вместе>
равны дзум прямым (предложение 22).
Но и углы DBI, DBE <вместе> равны двум прямым
(предложение 13 книги I); значит, DBI, DBE равны BAD,
BCD, из которых BAD равен, как доказано, DBf; значит,
остающийся угол DBE равен < находящемуся) в накрест-
накрестлежащем сегменте DCB углу DCB.
Значит, если некоторая прямая касается круга и от
точки касания внутрь круга проведена какая-нибудь секу-
секущая круг прямая, то углы, которые эта прямая образует
с касательной, будут равны углам в накрестлежащих сег-
сегментах круга, что и требовалось доказать B7).
Предложение 33
На данной прямой описать сегмент круга, вмещаю-"
щий угол, равный данному прямолинейному углу.
Пусть данная прямая будет АВ, данный же прямоли-
прямолинейный угол тот, который при С (черт. 35); требуется вот
на данной прямой АВ построить сегмент круга, заключаю-
заключающий угол, равный углу, который при С.
Вот [угол] прн С или острый, или прямой, или тупой;
пусть он сперва будет острый; и, как на первом чертеже *),
построим на прямой АВ н при точке А угол BAD, равный '
углу при С (предложение 23 книги /); значит, и угол ВАО '
будет острым. Проведём к DA под прямыми углами АЕ,
*) Т. е. на черт. 35.
8 Евклид

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
разделим АВ пополам в /, проведём из точки / к АВ под
прямыми углами IH и соединим ИВ.
И поскольку А1 равна IB, lH же общая, то вот две
<прямые> А!, !И равны двум BI, IH и угол АЩ равен
[углу] ВШ; значит, основание АИ равно основанию ВИ
(предложение 4 книги I). Значит, круг, описанный из центра
Н раствором НА, пройдёт и через В. Опишем его, и пусть
он будет ABE; соецииим ЕВ. Поскольку теперь в конце
диаметра АЕ прямая AD
будет под прямыми угла-
углами к АЕ, то значит, AD
касается круга ABE (пред-
(предложение 16, следствие);
поскольку теперь круга
ABE касается некоторая
прямая AD и из точки
касания А во внутрь круга
ABE проведена некоторая
прямая АВ, то значит,
угол DAB равен Нахо-
Находящемуся) в иакрестле-
жащем сегменте углу АЕВ
(предложение 32). Но угол DAB равен углу при С; и
значит, угол при С равен углу АЕВ.
Значит, на денной прямой АВ описан сегмент круга
АЕВ, вмещающий угол АЕВ, равный данному углу при С.
Но вот пусть угол Сбудет прямым (черт. 36); и пусть
требуется снова на АВ описать сегмент круга, вмещающий
угол, равный прямому [углу] при С. [Снова] построим угол
BAD, равный прямому углу при С, как это имеется на
втором чертеже *), рассечём АВ в I пополам и из центра I
раствором каким-нибудь из lA, IB опишем круг ABE. Значит,
прямая AD касается круга ABE вследствие того, что угол
при А прямой (предложение 16, следствие). И угол BAD
равен углу в сегменте АЕВ, ибо и он прямой как находя-
находящийся в полукруге (предложение 31). Но и угол BAD равен
углу при С. И значит, угол в АЕВ равен углу при С.
Черт. 35.
*) Т, е. иа черт. 36.

If НИМ ТРГ.ТЬП
Значит, снова на АВ описан сегмент Kpyia, вмещаю-
вмещающий угол, равный тому, который при С.
Но вот пусть угол при С будет тупой (черт. 37); и '.
построим на прямой АВ при точке А равный ему угол BAD,
как имеется на третьем чертеже *), под прямыми углами
к AD проведём АЕ, снова рассечём АВ пополам в /, под
прямыми углами к АВ проведём /И и соединим ИВ.
- И поскольку снова AI равна /В и /// общая, то вит
дне <прямые> Al, IH равны двум В!, Ш\ и угол А\И ра-
равен углу ВШ\ значит, основание АИ равно основанию ВН
(предложение 4 книги I); значит, круг, описанный нз центра
И раствором ИА, пройдёт также через В.
Пусть он пройдет как АЕВ. И поскольку к диаметру
АЕ в конце прямая AD будет под прямыми углами, то зна-
значит, AD касается круга АЕВ (предложение 16, следствие).
И от точки касания в А проведена АВ; значит, угол BAD
равен углу, построенному в накрест л ежащем сегменте
(предложение 32) круга AGB. Но угол BAD равен углу
при С. И значит, 'угол в сегменте AQB равен тому, кото-
который при С.
*) Т. е. аа черт 37.

IIS
П.ЧЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, ва данной прямой АВ описан сегмент круга AGB,
вмещающий угол, равный тому, который при С, что и тре-
требовалось сделять,
Предложение 34
От данного круга отнять сегмент, вмещающий угол,
равный данному прямолинейному углу.
Пусть данный круг будет ABCt а данный прямолиней-
прямолинейный угол тот, который при D; требуется вот от круга ABC
отнять сегмент, вмещающий
угол, равный данному пря-
прямолинейному углу, который
прн D (черт. 38).
Проведём к ABC каса-
касательную EJ в точке В и по-
построим на прямой 1В при
её точке В угол IBC, рав-
равный углу, который при D
^предложение 23 книги I).
Поскольку теперь круга
ABC касается некоторая
прямая EJ и от касания в В
проведена ВС, то значит,
угол 1ВС равен углу ВАСУ построенному в пакрестлежангем
сегменте (предложение 32). Но угол JBC равен тому, кото-
который при D; и значит, в сегменте ВАС угол равен тому
[углу], который при D,
Значит, от данного круга ABC отнят сегмент ВАС, вме-
вмещающий угол, равный данному прямолинейному углу, ко-
который при D, что п требовалось сделать.
Черт. 3
Предложение 35
Если в круге две прямые пересекают друг друга, то
прямоугольник, заключённый между отрезками одной,
равен прямоугольнику, заключённому между отрезками
другой.
Пусть в круге ABCD две прямые АС и BD пересекают
друг друга в точке Е\ я утверждаю, что прямоугольник,

КНИГА ТРЕТЬЯ
заключенный между АЕ, ЕС, равен прямоугольнику, заклю-
заключённому между DE, ЕВ (черт. 39).
Если теперь AC, BD проходят через центр так, что Е
есть центр круга ABCD, то очевидно, что прн равенстве
АЕ, ЕС, DE, ЕВ н прямоугольник, заключенный между АЕ,
ЕС, равен прямоугольнику, заключённому между DE, ЕВ.
Так вот, пусть AC, DB не проходят через центр; возь-
возьмём центр круга ABCD н пусть он будет / н из / к пря-
прямым AC, DB проведем перпендикуляры IH, Ю и соединим
IB, 1С, /Е (черт. 40).
Черт. 39.
И поскольку некоторая прямая HI, <проходящая> через
центр, сечёт под прямыми углами некоторую прямую АС,
не проходящую через центр, то она сечёт её пополам (пред-
(предложение 3); значит, АН равна НС. Поскольку теперь пря-
прямая АС рассечена в И на равные, а в Е на неравные части,
то значит, прямоугольник между АЕ, ЕС вместе с квадра-
квадратом на НЕ равен квадрату на НС (предложение о книги II).
Прибавим [общий] квадрат на HI; значит, прямоуголь-
прямоугольник иа АЕ, ЕС вместе с квадратами на НЕ, HI равен
квадратам на СН, HI. Но вместе взятым квадратам на ЕН,
HI равен квадрат на IE, квадратам же на СН, HI равен
квадрат на 1С (предложение 47 книги I); значит, прямо-
прямоугольник между АЕ и ЕС вместе с квадратом на IE равен
квадрату на 1С. 1С же равна IB; значит, прямоугольник ме-
между АЕ, ЕС вместе с квадратом «а Е1 равен квадрату иа IB.

11S НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Вследствие того же вот и прямоугольник между DB,
ЕВ вместе с квадратом на IE равен квадрату на 1В. До-
Доказано же, что и прямоугольник между АЕ, ЕС вместе
с квадратом на IE равен квадрату на IB; значит, прямо-
прямоугольник между АЕ, ЕС вместе с квадратом на IE равен
прямоугольнику между DE, ЕВ вместе с квадратом на IE.
Отнимем общий квадрат на IE; значит, остающийся прямо-
прямоугольник, заключённый между АЕ, ЕС, равен прямоуголь-
прямоугольнику, заключённому между DE, ЕВ.
Значит, если в круге две прямые пересекают друг
друга, то прямоугольник, заключённый между отрезками
одной, равен прямоугольнику, заключённому между отрез-
отрезками другой, что и требовалось доказать B8).
Предложение 36
Если вне круга взята некоторая точка, и из неё на
круг падают две прямые, и одна из нах пересекает круг,
другая же касается, то прямоугольник, (заключённый}
между всей секущей и внешним отрезком, содержащимся
между этой точкой и выпуклой частью обвода, будет
равен квадрату на касательной.
Пусть вне круга ABC взята некоторая точка D, пусть
от D на круг ABC падают две прямые DC [A], DB; и
пусть ОСА пересекает круг ABC, DB же его касается; я
утверждаю, что прямоугольник, заключённый между AD
н DC, равен квадрату на DB.
Значит (черт. 41), прямая [D] СА или проходит через
центр или нет. Пусть она сперва проходит, и пусть /
- центр круга ABC; соединим IB; значит, угол IBD прямой
(предложение 18). И поскольку прямая АС рассечена попо-
пополам в / и к ней прибавляется СО, то значит, прямоуголь-
прямоугольник между AD и DC вместе с квадратом на 1С равен
квадрату на ID, 1С же равен IB; значит, прямоугольник
между AD, DC вместе с квадратом иа IB равен квадрату
. на /О. Квадрату же на ID равны квадраш на IB и BD
<внесте> (предложение 47 книги I); значит, прямоугольник
. между AD, DC вместе с квадратом на IB равен квадра-
квадратам иа IB, BD. Отнимем общий квадрат на IB, значит.

КНИГА ТРЕТЬЯ
119
остающийся прямоугольник между АО и DC равен квад-
квадрату на касательной DB.
Но вот пусть ОСА (черт. 42) не <проходит> через центр
круга ABC; возьмем центр Е н нз Е проведем на АС пер-
перпендикуляр Е! и соединим ЕВ, ЕС, ED; значит, угол EBD
прямой (предложение 18). И поскольку некоторая <прохо-
дящая> через центр прямая El некоторую не <проходя-
шую> через центр прямую АС сечйт под прямыми углами,
драту ...* —~.
адраты на ЕВ,
) у D прямой; зна-:
чит, прямоугольник между AD, DC вместе с квадратом на-
ЕВ равен квадратам иа ЕВ, BD. Отнимем общий квадраг

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на ЕВ; значит, остающийся прямоугольник между AD, DC
равен квадрату на DB.
Значит, если вне круга взята некоторая точка и из неб
на круг падают две прямые, и одна из них пересекает круг,
другая же касается, то прямоугольник, Заключённый>
между всей секущей и внешним отрезком, содержащимся
между этой точкой н выпуклой частью обвода, будет равен
квадрату на касательной, что н требовалось доказать B9,
30, 31, 32).
Предложение 37
Если вне круга взята некоторая точка и из этой-
точки на круг падают две прямые, и одна из них пере-
пересекает круг, а другая лишь падает, прямоугольник
оке между всей секущей
и внешним отрезком, со-
содержащимся, между этой
точкой и выпуклой ча-
частью обвода, равен квад-
квадрату на падающей, то
падающая касается кру-
круга.
Пусть вне круга ЛВС
взята некоторая точка D
и из D на круг ABC
падают две прямые DCA,
DB и DCA пусть пересе-
пересекает круг, DB же лишь
падает, и пусть прямоугольник между AD, DC равен ква-
квадрату на DB. Я утверждаю, что прямая DB касается круга
ABC {черт. 43).
Действительно, проведём DE, касающуюся круга ABC
(предложение 17), возьмём центр круга ЛВС, и пусть он
будет /; соединим IE, IB, /О, Значит, угол IED прямой
(предложение 18).
И поскольку DE касается круга ABC, DCA же пересе-
пересекает, то значит, прямоугольник между ЛД DC равен ква-
квадрату на DE (предложение 36). Но и прямоугольник между
AD, DC равен квадрату на DB; значит, квадрат на DE
Черт. 43.

КНИГА ТРЕТЬЯ 121
равен квадрату на DB\ значит, DE равна DB. Но н IE
равна /В; вот две <прячые> DE, Е/ равны двум DB, В!\
и основание у них общее /D; значит, угол DEI равен углу
DB! (предложение 8 книги I).
Угол же DEI прямой; значит, н угол DBI прямой.
И продолженная /В есть диаметр; прямая же, проведённая
к диаметру круга в его конце под прямыми углами, ка-
касается круга (предложение 16, следствие); значит, DB ка-
касается круга ABC. Подобным же вот образом докажется
и если центр оказался бы на АС.
Значит, если вне круга взята некоторая точка и из
этой точки на круг падают две прямые, и одна нз них
пересекает круг, а другая лишь падает, прямоугольник же
между всей секущей н внешним отрезком, содержащимся
между данной точкой и выпуклой частью обвода, равен
квадрату на падающей, то падающая касается круга, что
и требовалось доказать.

КНИГА ЧЕТВЕ РТА Я
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Говорят, что прямолинейная фигура вписывается
р прямолинейную фигуру, если каждый из углов вписы-
вписываемой фигуры касается каждой стороны той, в которую
она вписывается.
2. Подобным же образом говорят, что фигура описы-
описывается около фигуры, если каждая сторона описываемой
касается каждого угла той, около которой она описывается.
3. Говорят, что прямолинейная фигура вписывается
я круг, если каждый угол вписываемой касается обводз
круга.
4. Говорят, что прямолинейная фигура описывается
около круга, если каждая сторона описываемой касается
обвода круга.
5. Подобным же образом говорят, что круг вписы-
вписывается в фигуру, если обвод круга касается каждой сто-
стороны фигуры, в которую ои вписывается.
6. Говорят, что круг описывается около фигуры, если
обвод круга касается каждого угла фигуры, около которой
он описывается.
7. Гозорят, что прямая вставляется*) в круг, если
концы её находятся на обводе круга.
Предложение 1
В данный круг вставить прямую, равную заданной,
не большей диаметра круга.
*) ivapjiriCeeOat — буквально <прилаживаться, приспособляться»

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
123
/
Черт. 1.
Пусть данный круг будет ABC, данная же прямая,
не большая диаметра круга, пусть будет D. Вот требуется
в круг ABC вставить прямую, равную прямой D (черт. 1).
Проведём в круге ABC
диаметр ВС. Если теперь ВС
равна D, то предложенное
уже выполнено; действитель-
действительно, в круг ABC вставлена
равная D прямая ВС. Если
же ВС больше D, то отло-
отложим равную D прямую СЕ
и из центра С раствором СЕ
опишем круг EAI и соеди-
соединим СА.
Поскольку теперь точка
С есть центр круга EAI, то
СА равна СЕ. Но СЕ равна D; и значит, СА равна D.
Значит, в данный круг ABC вставлена прямая СА, рав-
равная заданной прямой D, что и требовалось сделать A).
Предложение 2
В данный круг вписать треугольник, равноугольный
данному треугольнику.
Пусть данный круг будет ЛВС, данный же треуголь-
треугольник DEI (черт. 2); вот требуется вписать в круг ABC
треугольник, равноугольный данному треугольнику DEL
Проведём к кругу ABC касательную НО в точке А
(предложение 17 книги III) и построим на прямой АО
при точке её А угол ОАС, равный углу DEI, на прямой
же АН прн точке ев А угол НАВ, равный [уму] DIE
(предложение 23 книги I), и соединим ВС.
Поскольку теперь круга ABC касается некоторая пря-
прямая АО и от касания в точке А внутрь круга проведена
прямая АС, то значит, угол ОАС равен углу ABC в на-
. крсстлежащем сегменте круга (предложение 32 книги Ш).
Но угол ОАС равен углу DEI; и значит, угол ЛВС равен
DEI. Вследствие того же вот и угол АСВ равен углу DIE;
и значит, остающийся уголВЛС равен остающемуся углу EDI

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
. (предложение 32 книги I) [значит, треугольник ЛВС рав-
равноуголен треугольнику DEI и впнсыпастся в круг ЛВС].
Значит, в данный круг вписывается треугольник, рав-
равноугольный данному треугольнику, что и требовалось сде-
сделать B).
Предложение 3
Около данного круга описать треугольник, разно-
угольный данному треугольнику.
Пусть данный круг будет ЛВС, данный же треугольник
DEI; вот требуется околг ¦-*"¦-" ^D/1™—-
[ИИ I U Кrlrlt И ill}.
И поскольку LM, MN и NL касаютс

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
125
разделяется на два треугольника (предложение 32 книги 1)
и углы КАЛ] и КВМ прямые, то значит, остальные углы
АКВ и АМВ равны <внесте> двум прямым. Но и DEH
и DEI равны двум прямым {предложение 13 книги I);
значит, углы АКВ, АМВ раины DEH, DEI, из которых
АКВ равен DEH; значит, остающийся угол АМВ равен
остающемуся DEI,
м И
Черт. 3.
Подобным же вот образом доьажется, что и угол LNB
равен DIE; значит, остающийся угол MLN равен [остаю-
[остающемуся] EDI. Значит, треугольник LMN равноуголен
треугольнику DEl\ и описывается около круга ABC.
Значит, около данного круга описывается треугольник,
равноугольный данному треугольнику, что и требовалось
сделать C).
Предложение 4
В данный треугольник тисать круг.
Пусть данный треугольник будет ABC; вот требуется
в треугольник ABC вписать круг (черт. 4).
Рассечем пополам углы ABC и АСВ прямыми BD и CD
(щ едложение 9 книги I), и пусть они встретятся друг
с другом в точке D (постулат 5 книги I); из D проведем
к прямым АВ, ВС, СА перпендикуляры DE, DI, DH.

гсе
НАЧАЛА. ЕВКЛИДА
И поскольку угол ABD равен CBD, прямой же угол BED
равен прямому BID, то вот два треугольника EBD, IBD,
имеющих два угла, равные двум углам, и одну сторону,
равную одной стороне, стягивающую один из равных уг-
углов, а именно, общую их <сторону> BD; значит, и осталь-
остальные стороны они будут иметь равными остальным (предло-
жение 26 книги I): зна-
значит, DE равна DI. Вслед-
Вследствие того же вот и DH
равна DI. Значит, три
прямые DE, DI, DH рав-
равны между собой; значит,
круг, описанный из центра
D раствором одним из
DE, DI, Dfi, пройдёт и
через остальные точки и
Черт. 4. коснётся прямых АВ, ВС,
СА вследствие того, что
углы при точках Е, /, Н прямые. Действительно, если
бы он их пересекал, то прямая, проведённая под прямыми
углами к диаметру круга в конце его, попадала бы внутрь
круга; что, как доказано, невозможно {предложение 16 кни-
книги III); значит, круг, описанный из центра D раствором од-
одним из DE, DI, DH, не пересечёт прямых АВ, ВС, СА; зна-
значит, он коснётся их и будет кругом, вписанным в треуголь-
треугольник ABC; пусть он будет вписан <и пройдёт> как IHE,
Значит, в данный треугольник ABC вписывается круг
EJfi, что и требовалось сделать D).
Предложение 5
Около данного треугольника описать круг.
Пусть данный треугольник будет ABC; требуется же
около данного треугольника ABC описать круг.
Рассечём прямые АВ, АС пополам в точках ОЛ Е
{предложение 10 книги I), и из точек D, Е под прямыми
углами к АВ, АС проведём D] и Е1\ вот они встретятся
нли внутри треугольника ABC или на прямой ВС или за
ВС (черт. 5, 6, 7). . - ...

книга четв!ртля
127
Пусть сперва они встретятся внутри в / (черт. 5);
соединим IB, 1С, IA. И поскольку AD равна DB, DI же
общая и под прямыми углами, то значит, основание Л/
равно основанию IB (предложение 4 книги I). Подобным же
Черт. 5.
Чцл. Ь.
вот образом докажем, что и С! равна Л/, так что и ]В
равна 1С; значит, три прямые /Л, IB, 1С равны между
собой. Значит, круг, описанный из центра / раствором
одним из /Л, IB, 1С, пройдёт и
вот образом докажем
"г значит, тр
начит, круг, .. ..,
одним из /Л, IB, 1С, пройдёт и
через остальные точки и будет
кругом, описанным около тре-
треугольника ABC. Пусть он будет
описай <и пройдёт) как ABC.
Но вот пусть DI и EI встре-
встретятся иа прямой ВС в точке /, как
имеет <место> иа втором черте-
чертеже; соединим Л/. Подобным же
вот образом докажем, что точка /
есть центр круга, описан ного
около треугольника ABC. Черг. 7.
Но вот пусть D! и EI встре-
встретятся вне треугольника ABC опять в /, как имеет <место)
на третьем чертеже; соединим Л/, BI, CI. И поскольку
опять AD равна DB, DI же общая и под прямыми углами,
то оначит {предложение 4 книги I), основание Л/ равно
основанию BI. Подобным же вот образом докажем, что
н-С/ равна А!; так что и BI равна 1С; значит [опять],

128
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
круг, описанный из центра / раствором одним из IA, 1В,
1С, пройдёт и через остальные точки и будет описанным
около треугольника ABC.
Значит, около данного треугольника описывается круг,
что и требовалось сделать E).
[Следствие]
И ясно, что когда центр круга попадает внутрь тре-
треугольника, то угол ВАС, <как> оказавшийся в сегменте,
большем полукруга, будет меньше прямого; когда же
центр круга попадает на прямую ВС, то угол ВАС, <как>
оказавшийся в полукруге, будет прямым; когда же центр
круга попадает вне треугольника, то угол ВАС, <как>
оказавшийся в сегменте, меньшем полукруга, будет больше
прямого {предложение 31 книги III). [Так что и когда
данный угол окажется меньшим прямого, то DI, El попа-
попадут внутрь треугольника, когда же прямым, то на ВС,
когда же ббльшим прямого, то вне ВС, что и требовалось
сделать.)
Предложение 6
В данный круг вписать квадрат.
Пусть данный круг будет АВСО\ вот требуется в
круг ЛВСО вписать квадрат
{черт. 8).
Проведём в круге ABCD
два диаметра АС, ВО под
прямыми углами друг к другу и
соединим АВ, ВС, CD, DA.
И поскольку BE рЗвна ED,
ибо Е центр, ЕА же общая
и под прямыми углами, то зна-
значит, основание АВ равно осно-
основанию АО (предложение 4
книги I). Вследствие того же
вот и каждая из ВС, СО рав-
равна каждой изЛЗ, AD; значит,
четырёхсторонник АВСО равносторонний. Вот я утвер-
утверждаю, что он и прямоугольный. Действительно, поскольку

КШ1ГЛ ЧЕТВЕРТАЯ
129
прямая ВО есть диаметр круга ABCD, то значит, BAD—
полукруг; значит, угол BAD — примой (предложение 31
книги Ш), Вследствие того же вот п каждый из углов
ЛВС, BCD, CDA будет прямым; значит, четырёхсторонник
ЛЯСО — прямоугольный. Доказано же, что он и равио-
сгиронннй; значит, он квадрат (определение 22 книги I);
и вписывается в круг ЛЯСО.
Значит, в данный круг вписывается квадрат ABCD,
чгс» и требовалась сделать.
Предложение 7
Oh'o,io данного к руга описать квадрат,
\\\<.\ь данный круг будет ABCD; вот требуется около
крvI a ABCD описать квадрат (черт. 9),
Проведём в круге ЛЯСО два диаметрч АС и Я1) иод
через
н
|к-и -I, Я. С. I)
ка-
!И
\л центра
А прове-
фнман
прямыми yi.'KFMH лру! к j.\py\'\
проведём к кругу \ВСП \<и ¦
сательные /Я, //О. GK, KI
(следствие мремложешт ]в
книги III).
Поскольку' j'eife
сается круга ABCD
IS к' точке касания
дена соединяющий
fo значит, углы при А нря\|Ы1
(предложение 18 KHiirn III).
Вследствие того же во г \\ угли
при точках В, С, D прямые. И
тюскольку угол ЛЕВ прямой,
прямой же и угол ЕВЙ, зна-
значит, НО параллельна АС (предложение 29 книги I).
Вследствие того же вот и АС параллельна 1К- Так что и HG
параллельна /К (предложение 30 книги I). Подобным же
rot образом докажем, что и каждая из HI, GK будет
параллельна BED. Значит,, <фигуры> НК, НС, АК, IB,
ВК суть параллелограммы; значит (предложение 34 книги I),
И! равна OK, HG же равна IK. И поскольку АС равна
ВО, но и АС равна каждой из HG, /К, ВО же равна
9 Жнк-ша
?
D
Черт. 9.

1йи НАЧАЛА РВКЛПДА
каждой из Hi и GK (предложение 34 книги I) [и значит,
каждая из //О, IK равна каждой из HI, GK\\ значит, че-
четырёхсторонник IHQK равносторонний. Вот я утверждаю,
что и прямоугольный.
Действительно, поскольку НВЕА параллелограмм и угол
ЛЕВ прямой, то значит, и АНВ прямой (предложение 34
кннги I). Подобным же бот образом докажем, что и угли
при О, К, ! прямые. Значит, IHGK прямоугольный. Дока-
Доказано же, что и равносторонний; значит, он квадрат {опре-
{определение 22 книги I) и описывается около круга
ABCD.
Значит, около данного круга описывается квадрат, что
и требовалось сделать.
Предложение 8
В данный квадрат вписать круг.
Пусть данный квадрат будет ABCD; пот требуется в
квадрат ABCD вписать круг (черт. 10).
Рассечём каждую из AD и
АВ пополам в точках Е и /,
и через Е параллельно каждой
из АВ, CD проведём EG
(предложен[1я 31, 30 книги ]),
через же / параллельно каж-
каждой из AD, ВС проведём 1К\
значит, каждая из <фигур> АК,
KB, АО, GD, АН, НС, ВН,
HD будет параллелограммом, и
противоположные их стороны,
^ очевидно, равны (предложение
34- книги I). И поскольку AD
равна АВ и половина AD есть
АЕ, половина же АВ есть Л/, то значит, АЕ рав-
равна А!, так что и противоположные <стороны> равны;
значит, и Ш равна НЕ. Подобным же вот образом дока-
докажем, что и каждая из HG, НК равна каждой из /Я, НЕ;
значит, четыре <прямых> НЕ, Hi, HG, HK равны между
собой. Значит, круг, описанный из центра Н раствором
G
Черт.

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
131
одним из Е, I, О, /С*), пройдёт п через остальные точки
и коснётся прямык АВ, ВС, CD, DA вследствие того, что
углы при Е, 1, G, К прямые; действительно, если бы крут
пересекал АВ, ВС, CD, DA, то прямая, проведённая под
прямыми углами к диаметру круга в его ко|ще, попадала
бы внутрь круга, что, как доказано, нелепо {предложение
16 книги III). Значит, круг с центром И, описанный ра-
раствором одним из Е, /, G, К, не пересекает прямых АВ, ВС,
CD, DA; значит, он их касается и будет вписанным в
квадрат ABCD.
Значит, в данный квадрат вписывается круг, что и тре-
требовалось сделать.
Предложение 9
Около данного кзйдрата описать круг.
Пусть данный квадрат будет ABCD; вот требуется
около квадрата ABCD описать круг (черт. И).
Действительно, пусть соединяющие AC, BD пересекают
друг друга в Е.
И поскольку DA равна АВ, АС же общая, то вот две
<прямые> DA, АС равны двум
ВА, АС; и основание DC равно
основанию ВС; значит, и угол
DAC равен углу ВАС; значит,
угол DAB рассечён прямой АС
пополам. Подобным же вот
образом докажем, что и каж-
каждый из углов ABC, BCD, CDA
рассечён, прямыми AC, DB по-
пополам. И поскольку угол DAB
равен ABC, и половина угла
DAB будет ЕАВ, половина же
ABC будет ЕВА, то значит,
ЕАВ равен ЕВА, так что
Черт. 11.
сторона ЕА равна ЕВ (предложение 6 книги I). Подобным
же вот образом докажем, что и каждая из [прямых] ЕА,
ЕЯ равна каждой из ЕС, ED. Значит, четыре прямые ЕА,
*) Сокращённое обозначение вместо НЕ, HI, HG, НК..

132
НАЧАЛА КПКЛИДЛ
ЕВ, ЕС, ЕВ равны между собой. Значит, круг, опи-
описанный из центра Е раствором одним из ЕА, ЕВ, ЕС. ЕВ,
пройдёт и через остальные точки и будет описан-
описанным около квадрата ABCD. Пусть он описан <н прой-
лёт> как ABCD.
Значит, около данного квадрата описывается круг, что
и требовалось сделать.
Предложение 10
Построить равнобедренный треугольник, имеющий
каждый из углов при основании вдвое большим остаю-
остающегося.
Отложим некоторую прямую АВ и рассечём её в точке С
так, чтобы прямоугольник, заключённый между АВ п ВС, был
равен квадрату на СА (пред-
(предложение 11 книги II) (черт. 12);
и из центра ,4 раствором АВ
опишем круг ВВП и вставим и
круг ВВЕ прямую BD, равную
прямой АС, не большей диа-
диаметра кругл BDE (предложе-
(предложение 1); и соединим AD, ВС,
и около 1 реутольника ACD
опишем круг ЛСО (предложе-
(предложение о),
И поскольку прямоугольник
между АВ, ВС равен квад-
квадрату на /1С, АС же равна ВВ, то значит, прямоугольник'
между АВ, ВС равен квадрату на ВВ. И поскольку вне
круга ACD взята некоторая точка б, и от этой точки В
упали на круг ACD две прямые ВА, BD, и из них одна
пересекает, а другая только встречает <круг>, и прямо-
прямоугольник между ABt ВС равен квадрату на ВВ. то зна-
значит, <прямая> ВВ касается круга АСВ (предложение 37
книги Ш). Поскольку теперь BD касается, из точки же
касания в D проведена ВС, то значит, угол ВВС равен
углу DAC в Пакрестлежащем сегменте круга (предложе-
(предложение 32 книги Ш). Поскольку теперь угол ВВС равен DAC,
прибавим общий угол CDA; значит, весь угол ВВА равен
Черт. ]2.

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ 133
двум углам CDA, DAC. Но углам CDA, ВАС равен внеш-
внешний BCD (предложение 32 книги 1); и значит, угол BDA
равен BCD.
Но угол BDA равен CBD, поскольку и сторона AD
раина АВ (предложение 5 книги I), так что и угол DBA
равен BCD. Значит, три угла BDA, DBA, BCD равны
между собой. И поскольку угол DBC равен BCD, и сто-
сторона BD равна стороне DC (предложение 6 книги 1). Но
BD предполагается равной СЛ, и значит, СА равна CD;
так что и угол CDA равен углу DAC (предложение 5
книги 1); значит, CDA, DAC <внесте> в два раза больше
DAC. Угол же BCD равен CDA, DAC и значит, BCD
вдвое больше CAD, Угол же BCD равен каждому из BOA,
DBA', и значит, каждый из BDA, DBA вдвое больше DAB.
Значит, построен равнобедренный тре/гольник ABDt
имеющий каждый из углов прл основании вдвое большим
остаю цепки, что и треб.жалось сделать.
Предложение 11
В cia-шчй К'руг вписать равносторонний и равноуголь-
равноугольный пятиугольник.
Пусть данный [фуг будет ABCDE; вот требуется впи-
вписать в круг ABCDE равносторонний и равноугольный пя-
пятиугольник (черт. 13).
Возьмём *) равнобедренный треугольник IHG, имеющий
каждый из углов при Н и О вдвое большим учла при /
(предложение 10), и впишем в круг ABCDE треугольник
ACD равноугольный с треугольником IHG так, чтобы углу
при / был равен CAD, а каждому из углов при Н и G
были бы равны каждый из АСО, CDA (предложение 2);
II значит, каждый из ACD, CD А будет вдвое больше CAD.
Вот рассечём кажтий из углов ACD м CDA пополам пря-
прямыми СЕ и DB (предложение 9 книги I) и соединим АВ,
ВС, \CD], DE, ЕА.
Поскольку теперь каждый из углов ACD и CDA вдвое
больше CAD, и они рассечены пополам прямыми СЕ, DB,
*J У Евкшда l/./i-.zihv ~ им южим, выставим на вид.

134
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
то значит, пять углов DAC, АСЕ, ECD, CDB, BDA равны
между собой. Равные же углы опираются на равные обводы
(предложение 26 книги Ш); значит, пять обводов АВ, ВС,
CD, DE, ЕА равны между собой. Но равные обводы стя-
гивчются равными прямыми (предложение 29 книги III); зна-
значит, пять прямых АВ, ВС, CD, DE, EA равны между со-
собой; значит, пятиугольник ABCDE равносторонний. Во г
я утверждаю, что и равноугольный. Действительно, по-
поскольку обвод АВ равен обводу DE, то прибавим общий
BCD; значит, весь обвод ABCD равен всему обводу EDCB.
И на обвод ABCD опёрся угол AED, на обвод же EDCB
угол ВАЕ; и значит, угол ВАЕ равен AED (предложе-
(предложение 27 книги III). Вследствие того же вот и каждый \\д
углов ABC, BCD, CDE равен каждому из ВАЕ и AED;
значит, пятиугольник ABCDE равноугольный. Доказано же,
что он и равносторонний.
Значит, в данный круг вписывается равносторонний и
равноугольный пятиугольник, что и требовалось сделать F).
Предложение 12
Около данного круга описать равносторонний и рае-
ноугольный пятиугольник.
Пусть данный круг будет ABCDE; требуется же около
круга ABCDE описать равносторонний и равноугольный
пятиугольник.

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
135
Вообразим *), что А, В, С, D, Е будут угловые точки
вписанного пятнугольника (черт. 14) (предложение 11), так
чю обводы ЛВ, ВС, CD, DE, ЕА равны; и через А, В,
С, D, Е проведём касательные к кругу HG, GK, KL, LM,
MN (предложение 17 книги Ш), возьмём центр / круга
ABCDE (предложение 1 книги III) и соединим IB, IK, 1С,
II, ID.
И поскольку прямая KL касается круга ABCDE в С, из
центра же / к точке касания в С проведена соединяю-
соединяющая /С, то значит, 1С пер-
перпендикулярна к KL (пред-
(предложение 18 книги III); зна-
значит, каждый из углов при
С — прямой. Вследствие того
же вот и углы при точках
В и D прямые. И поскольку
угол ICK прямой, то значит,
квадрат иа IK равен квад-
квадратам на 1С, СК <вместе>
(предложение 47 книги I).
Вследствие того же вот и
квадратам на IB, ВК будет
равен квадрат на //<", таи что
Черт. 14.
квадраты на 1С и СК равны квадратам на IB и ВК, из кото-
которых квадрат на 1С равен квадрату на IB; значит, остающийся
квадрат на СК равен квадрату на ВК. Значит, ВК равна СК.
И поскольку IB равна 1С и IK общая, то вот две <прямые>
В!', IK равны двум С/, !К; и основание ВК равно основа-
основанию СК; значит, угол В!К равен [углу] KIC (предложе-
(предложение 8 книги I); угол же BKI равен IKC (предложение 32
книги I); значит, угол BIC вдвое больше угла KIC, BKC
угла IKC. Вследствие того же вот и угол CID вдвое
больше CIL, DLC угла ILC. И поскольку обвод ВС
равен CD, то и угол В!С равен CID (предложение 27
книги III). И угол BfC вдвое больше угла KIC, DIC
угла НС; значит, н ЮС равен Л/С, и угол ICK равен ICL.
*} У Евклида
1 уме.
&ш —разумею, понимаю, представляю

136 НЛЧЛТЛ ЕВКЛИДА
Вот будут два треугольника !КС и ILC, имеющих два утла,
равных двум углам, и идпу сторолу, равную одной сто-
стороне, именно, их общую 1С; значит, они будут иметь и
остальные стороны ранными остальным и остающийся угол,
равным остающемуся (предложение 26 книги I); значит,
прямая КС равна С/., угол же [КС равен ILC.
И поскольку КС равна CL, то значит, KL вдвое
больше КС. Таким же вот образом будет доказано, что
и GK вдвое больше ВК И ВК равна КС; и значит, GK
равна KL. Подобным же вот образом будет доказано, что и
каждая из <прямых> GH, ИЛЬ ML paBiia каждой из GK>
KL; значит, пятиугольник HGKLM равносторонний. Бот
я утверждаю, что и равноугольный. Действительно, по-
поскольку угол [КС равен ILC, и по доказанному угол GKL
вдвое больше угла IKC, KLM же вдвое больше угла [LC,
то значит, и угол GKL равен KLM. Подобным же во:
образом будет доказано, что и каждый из углов KGH,
GHA1, HML равен каждому из GKL, KLA1; значит, пять
углов HGK, GKL, К1Л1 ШН, MHG ранцы между собой.
Значит, пятиугольник HGKLAI равноугольный. Доказан,!
же. что пн и равмосторпмний, и опнсыиастся около круга
ABCDZ.
[Значит, около дайною кр\|а описывается равноуголь-
равноугольный и равносторонний пятиугольник], что и требовалось
сдел;пь.
Предложение 13
В данный пятиугольник, являющийся равносторонним
и равноугольным, вписать круг,
Пусть данный иятиуюлышк равносторонний л равно-
уюльный будет ABCDE; вот требуется вписать в пяти-
пятиугольник ABCDE крут (черт, 15).
Рассечём каждый из углов BCD, CDE пополам прямыми
С[, Of', и из точки /, в которой встречаются друг с дру-
другом прямые С/ и D[r проведём соечпняющие иря.\;ые IB,
[А, Ш. И поскольку ВС равна CD, CJ же общая, то вот
две <прячые> ВС. 1С равны двум DC, С[; и угол ВС[
равен углу DCI; значит, оснозание В! равно основанию DI
(предложение 4 книги I), и тремольшк ВС! равен гри-
I

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
137
\мольнику DC!, tf остальные углы равны остальным, стяги-
стягиваемым равными сторонами; значит, угол CBI равен CD!.
И поскольку угол CDE вдвое больше CD!, угол же CDE
равен ABC, CDI же равен CBI и, значит, угол СВА вдвое
больше СВ1; значит, угол АВ! равен IBC; значит, угол
ЛВС делится прямой В! пополам. Подобным же вот обра-
образом будет доказано, что и каждый из углов ВАЕ, АЕО
делится пополам прямыми IA, IE. Вот проведём из точки /
к прямым АВ, ВС, CD, DE, EA перпендикуляры !Н, Ю,
IK, !i, IM. И поскольку угол
GCI равен KCf, прямой же
угол ЮС равен [прямому]
!КС, то вот два треугольника
ЮС, IKC, имеющих два угла,
равных двум углам, и одну
сторону, равную одной сторо-
стороне, — их общую 1С, --стяги-
--стягивающую одни из равных углом:
значит, они будут иметь и
остальные сгоро'пы равными
оаальным; аначит, перпенди-
перпендикуляр Ю равен перпендикуля-
перпендикуляру IK Подобный же вот образов будет доказано, что и
каждая из <прямых> IL, 1Л1, IH равна каждой из /G, !К\
значит, пять прямых Ш. 10, IK, IL, !М равны между собой.
Значит, круг, описанный из центра / раствором одним из ///,
Ю, IK, IL, IM, пройдёт и через остальные точки и коснётся
пряных АВ, ВС, CD, DE, EA вследствие того, что углы
при точках И, G, К, L, М прямые. Действительно, если он ну
коснётся их, но пересечёт их, то произойдёт, что прямая, про-
проведённая в ког.це диаметра под прямыми углами, упадет
внутрь кр^га, чю по доказанному нелепо (предложение 16
книги III). Значит, круг, описанный из нентра / раствором
одним из IH, Ю, IK, II, IM, не пересечёт прямых АВ,
ВС, CD, DE, EA; значит, пн их коснётся. Пусть он опи-
описан <и будет) как HGKLM.
значит, в данный пятиугольник, являющийся равносто-
равносторонним и равноугольным, вписывается кр\т. что и требо-
требовались сделать.

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 14
Около данного пятиугольника, являющеюся равно-
равносторонним и равноугольным, описать круг.
Пусть данный пятиугольник, являющийся равносторон-
равносторонним и равноугольным, будет ABCDE; вот требуется около
пятиугольника ABCDE описать круг (черт. 16).
Вот рассечём каждый из углов BCD и CDE пополам
прямыми С/, DI и от точки /, в которой встречаются пря-
прямые, к точкам В, А, Е проведём соединяющие прямые IB,
/A, IE, Подобно во г предыдущему будет доказано, что и
каждый из углов СВА, BAE, AED
делится пополам <соответственно>
прямыми IB, IA% IE. И поскольку
угол BCD равен CDE а полови-
половина BCD есть ICD, половина же
CDE угол CDI, и значит, ICD
равен JDC; так что и сторона 1С
равна стороне ID (предложение 6
книги I). Подобным же вот об-
образом будет доказано, что и каж-
каждая из прямых IB, IA, IE равна
каждой из 1С, ID; значит, пять
прямых IA, IB, 1С, ID, IE равны
между собой. Значит, круг, описанный из центра / раство-
раствором одним из IA, IB, 1С, ID, IE, пройдёт п через
остальные точки и будет описанным. Пусть он описан и
будет ABCDE.
Значит, около данного пятиугольника, являющегося рав-
равносторонним и равноугольным, описывается круг, что и
требовалось сделать.
Предложение 15
В данный круг вписать шестиугольник равносторон-
равносторонний и равноугольный.
Пусть данный круг будет ABCDEI; вот требуется впи-
вписать в круг ABCDEJ шестиугольник равносторонний и
равноугольный (черт. 17).
Черт. 16.

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
139
Проведём диаметр AD круга ABCDE! и возьмём центр
круга И, из центра D раствором DH опишем круг EHCG,
соединяющие прямые ЕН и СИ продолжим до В и / и
соединим АВ, ВС, CD, DE, El, IA. Я утверждаю, что
ABCDEl шестиугольник равносторонний и равноугольный.
Действительно, поскольку точка И есть центр круга
ABCDE!, то НЕ равна HD. Далее, поскольку точка D
центр круга EHCG, то DE равна DH. Но, как доказано,
НЕ равна HD\ и значит, НЕ рав- G
на ?D; значит, треугольник EHD
равносторонний; н значит, трн его
угла EHD, HDE, DEH равны
между собой, поскольку ведь в
равнобедренных треугольниках
углы при основании равны между
собой (предложение 5 книги I), и
три угла треугольника <вместе>
равны двум прямым (предложение
32 книги I); значит, угол EHD —
треть двух прямых. Подобным же
нот образом будет доказано, что
и угол DHC третья часть двух
прямых. И поскольку прямая СН,
восставленная на EBt образует
смежные углы, равные двум пря-
прямым (предложение 13 книги ]),
то значит, и оставшийся угол СНВ—треть двух пря-
прямых; значит, углы EHD, DHC, СНВ равны между собой,
так что и их углы через вершину *) ВНА, АН!, !НЕ
(предложение 15 книги I) равны [углам EHD, DHC,
СНВ\, Значит, шесть углов EHD, 'DHC, СНВ, ВНА,
АН!, IHE равны ^ежду собой. Равние же углы опираются
иа равные обводы (предложение 26 книги III); значит,
шесть обводов АВ, ВС, CD, DE, El, IA равны между
собой. Равные же обводы стягиваются равными пря-
прямыми (предложение 29 книги III); значит, шесть этих пря-
прямых равны между собой; значит, шестиугольник ABCDEf
*) Т. е. вертикальные.

1W НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равное)оронний. Вот я утверждаю, что и равноугольный.
Действительно, поскольку обвод /А равен отоду ED, при-
прибавим общий обвод ABCD; значит, вся /ABCD равна вес-й
EDCBA; и на обвод /ABCD опёрся угол IED, на обвод
же EDCBA угол AIE; значит, угол AIE равен DE/ (пред-
(предложение 27 книги Ш). Подобным же вот образом буде1
доказано, что и остальные углы шестиугольника ABCDEI
поодиночке равяы каждому из углов А/Е, IED; значн|,
шестиугольник ABCDEI равноугольный. Доказано же, что
он и равносторонний и вписывается в круг ABCDEI.
Итак, в данный круг вписывается шестиугольник равно-
равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.
Из этого вот ясно, что сторона шестиугольника р.чвна
прямой «из центра круга» *).
Подобным же образом, как для пятиугольника, если про-
провести через деления по кругу касательные к кругу, то около
круга опишется равносторонний и равноугольный шести-
шестиугольник, следуя тому, что сказало о пятиугольнике (пред-
(предложение 12). И ещё на основании <док.Ш1е/|ьств>, подобных
изложенным для пятиугольника, в данный шестиугольник
(предложения 13, 14) впишем и <около него> опишем круг,
что и требовалось сделать.
Предложение 16
В данный круг вписать пятнадцшпиугольник равно-
равносторонний и равноугольный.
Пусть данный круг будет. ABCD; вог требуется и круг
ABCD вписать шпнадцатиуголышк равносторонний и равно-
равноугольный (черт. 18).
Впишем в круг ABCD сторону АС равностороннего тре-
треугольника, в него вписанного (предложение 2), и сторону
АВ равностороннего пятиугольника: значит, каких равных
¦<t) Т. е. радиусу, для оболычеини которого греки не имели
иального rep шит; слово с radius — луч» ивсдеио позднее.

КИНГА ЧГТШ.РЗЛП
141
имей*) будет в кр>ге ABCD инитдцать **), таких в об-
коде ЛВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе
же АВ, являющемся пятой частью круга, будет три; зна-
значит, в остающемся обводе ВС равных <долей> будет две.
Рассечём ВС пополам в Е (предложение 30 книги III);
.значит, каждый из обводов BE
и ЕС будет пятнадцатой частью
круга ABCD.
Значит, если, соединив БЕ
и ЕС, б\дем вставлять в круг
ABCD одну за другой равные
им прямые (предложение 1), ю
получим вписанный в круг пнт-
надцатиуголышк равносторон-
равносторонний и равноугольный, что и
требовалось сделать.
Подобным же образом, кик
для пятиугольника, если при-
привести через деления по кругу
касательные к кругу, то опишется около круга мятнадпаги-
утолышк равносторонний и равноугольный (предложение 12).
Ещё же на основании доказательств, подобных тем, что
для пятиугольника, мы впишем в данный пятнадцатиуголь-
иик и опишем <около него> круг (предложения 13 я 14),
что и требовалось сделать G, *8, 9, 10).
*) У Евклида Tfiv-ascwv, т. е. «отрезков».
*:Н) cicov ара sctiv 6 АВГ& хик)о? faav tjA^aTaiv htanivu—до-
словцо «значит, каких равных долей был бы круг ABCD <в>
пятнадцать». Мы сказали бы: «если весь круг ABCD равняется
пятнадцати долям, то o6boi ABC будет равняться пяти таким
долям и т. д.».
Черт. IS.

КНИГА ПЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Часть есть величина <от> величины, меньшая <от>
большей, если она измеряет большую.
2. Кратное же — большая <от> меньшей, если она
измеряется меньшей.
3. Отношение есть некоторая зависимость *) двух одно-
однородных величин по количеству A,2, 3, 4).
4. Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга E, 6, 7, 8).
5. Говорят, что величины находятся в том же отно-
отношении'- первая ко второй н третья к четвёртой, если рав-
нократные первой и третьей одновременно больше, или
одновременно равны, или одновременно меньше равнократ-
мых второй н четвёртой каждая каждой при какой бы то
ни было кратности, если взять их в соответственном по-
порядке (9, 10, 11, 12).
6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть на-
называются пропорциональными **).
*) У Евклида oyjaiz — собственно говоря, состояние (habitus)
от Ее/л* — удерживать (усиленное еуш — иметь).
**) avdlofo; — соразмеримый, согласный, сходный. У Евклида
просто dvaXofc?, что по форме не является прилагательным, хотч
употребляется и в значении чего-то похожего на прилагатель-
прилагательное. Хизс (Heath) толкует ivdlayav как avd Що-* — в отношении
или, ешё лучше, в пропорции, Нашему слову <пропорция> у
Евклида соответствует <Ьа>.о?1а, употребляющееся у Аристотеля
и в более широком смысле (например, Никомахова этика V, 6;
Физика IV, 3).

КНИГА ПЯТА* 14Л
7. Если же из равнократных краткое первой превышает
кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного
четвёртой, то говорят, что первая ко второй имеет большее
отношение, чем третья к четвёртой.
8. Пропорций же состоит по меньшей мере из трёх
членов A3).
9. Когда же три величины пропорциональны, то гово-
говорят, что первая к третьей имеет двойное отношение пер-
первой ко второй *).
10. Когда же четыре величины пропорциональны, то
говорят, что первая к четвёртой имеет тройное отношение
первой ко второй и так далее, всегда, пока существует
пропорция **).
11. Соответственными величинами называются преды-
предыдущие <по отношению к> предыдущим, последующие же
<к> последующим.
12. Переставленное отношение есть взятие <отноп1е-
ния> предыдущего к предыдущему и последующего к по-
последующему ***).
13. Перевёрнутое отношение есть взятие <отнО[петш>
последующего как предыдущего к предыдущему как к по-
последующему ****).
*) В данном случае речь идё'г о непрерывной пропорции
а; Ь = Ь: с.
Евклид хоч
его термин «двойное (Si-Hgigv) отношение» следует понимать как
отношение, повторённое два раза множителем.
**) У Евклида ш? 5v ^ iva/oyia онар^т). Гейберг переводит
qualiscunque data est proportio — какой бы ни была про-
пропорция,
***) У Евклида ЬаШ$ З^о? — отношение накрест (латинский
термин permutata ratio или permutandoi; если ab^=c:d то
a:c~b:d.
****) У Евклида avancuxv Що<; — отношение наоборот (Inversa
ratio или invertendo); если a;b~c:d, то b\a~d\c.

144
НАЧА,1\ ГВК.ЧИЛЛ
14. Присоединение отношения есть взятие <отяоше-
ния> предыдущего с последующим как одного <4.ienaN
к этому самому последующему *).
То. Выделение отношения есть взятие <отношения>
избытка предыдущего над последующим к этому самому
последующему **).
16. Переворачивание отношения есть взятие <othoijil'-
ния> предыдущего к избытку предыдущего над последую-
последующим **;Е),
17. По равенству отношение бынает при задании не-
нескольких величин и равного им количества других, нахо-
находящихся, взятые попарно, в том же самом отношении,
когда как первая к последней в <ряду> первых величин,
1 ак будет п первая к последней н <ряду> вторых величии;
л л и иначе: взятие <отношепия> крайних, с пропуском
i-редних *:;:*:::)_
18. Перемешанная же пропорция бывает, кшда при
задании трёх величин и других равных им по количеству
получается, что как в <ряду> первых величин предыдущий
к последующей, так п в <ряду> вторых, величин преды-
предыдущая к последующей, как же в <ряду> первых величин
последующая к какой-то <третьей>, так в ряду вторых
какая-то <третья> к предыдущей ***^Л).
'й| У Евктида z-Jvb::ii Wp-i— conipositio ratlunN, или со-
сокращенно 2-j-AH-r.: — compotiendo; ес.ш a;b—:c;d, го ia-^-Ьу.Ь— -¦
= {c-\-d);d.
**) У Евклида haiptz-ч /б-^а — subtractio rationis, или со-
кращённо StsWvTL ~ dirimendo, separando или divisim; если a;b~-
--c:d, то (a^b):b=(c — dy.d.
*¦**) У Евклида zvaa-.pw-ti Хб-^ач ~ conversio rationis, сокра-
сокращённо avacTpiiavTt — convcrtendo; если а:Ь — c\d, то а:(а—&) —
—-с:{с — d).
****) У Евклида ы Vjsu /.o-fo; —ex aequo или ex aeqnali. если
aibic-'AzBiC, то a:c~A:C.
s****) у Евклида T:Tapa-;ji:v7j ача)о-Aя — perlnrbata proportio.
если даны три величины а, Ь, с н три других А,В, С таких,что
а:Ь -В:С Ь;с-^А;В,

КНИГА Г.ЯТАЯ Н5
Предложеиие 1
Если будет несколько ветчин, равнократнчх каждая
каждой каким-нибудь (дру?им, взятыму в равном коли-
количестве величинам, то ско 'ько раз одна из (г.ервыху ве-
величин будет кратна одной, (из вторыху, столько же
раз будут и все (первые величины вместе^ кратны всем
фпорыму.
Пусть будет несколько величин АВ, CD, равнократных.
каждая каждой каким-нибудь <другим, взятым) в равном
количестве величинам Е, /; я утверждаю, что сколько раз
АВ кратна Е, столько же раз и АВ, CD <вместе> будут
кратны Е, I (черт. 1).
/7
• Черт, 1.
Действительно, поскольку равнократны АВ для Е и СО
для /, то значит, скольку в АВ будет величин, р вных Е,
столько и в CD равных /. Разделим АВ на равные Е ве-
величины АН, НВ, a CD на равные / величины СО, OD;
вот колич^тво величин АИ, НВ будет равно количеству
величин СО, OD. И поско;ьку АН равно Е, СО же /,
то значит, АН равно Е, и АН, СО равны Е, I. Вот
вследствие того же НВ равн.» Е, и НВ, GD равны
Е, I; значит, сколько в АВ равных ?", столько и в
АВ, CD равных Е, /; значит, сколько раз АВ крат-
кратна Е. столько же раз и АВ, CD <вместе> будут крат-
кратны Е, I.
Значит, если будет несколько вз.-ичин, равн.жратных
каждая каждой каким-нибудь (другим, взятым) в равном
количестве величинам, то сколько р.;з одна из <первых>
величин будет кратна одной <из вторых), столько же раз
и все <лервые вместе) будут кратны всем (вторым), что
и требовалось доказать A4).
10 Евклид

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 2
Если первая -^ве^ичинау столько же раз кратна вто-
второй, сколько и третья четвёртой, и пятая столько же
раз кртпна второй, сколько и шестая четвёртой, то
составленная первая и пятая будут столько же раз
кратны второй, сколько третья и шестая Qcpamhuy
четвёртой.
Пусть первая <величина> АВ столько же раз кратна
второй С, сколько третья DE четвёртой /, пусть же и
Черт. 2.
пятая ВИ столько же раз кратна второй С, сколько и
шестая EG четвёртой /; я утверждаю, что и составлен-
составленные первая и пятая АН будут столько же раз кратны вто-
второй С, сколько третья и шестая DG <кратны> четвёртой /
(черт. 2).
Действительно, поскольку одинаково кратны АВ от С
и DE от /, то значит, сколько" в АВ <величин>, равных С,
столько же и в DE, равных /. Вот вследствие того.же и
сколько 9 ВИ будет равных С, столько же и в EG рав-
равных /; значит, сколько во всём АИ равных С, столько и
во всём DG равных /. Значит, сколько раз АИ кратна С,
столько р-з н DG кратна I. Значит, и составленные первая
и пятая АИ столько же раз будут кратны второй С,
сколько раз и третья и шестая DG кратны четвёртой /.
Значит, если первая столько же раз кратна второй,
сколько и третья четвёртой, и пятая столько же раз кратна

КНИГА ПЯТАЯ 147
второй, сколько и шестая четвёртой, то составленные пер-
первая и пятая будут столько же раз кратны второй, сколько
третья и шестая кратны четвёртой, что и требовалось до-
доказать.
Предложение 3
Если первая (ввличичау столько же раз кратна
второй, сколько и третья четвертой, и в?яты. равно'
кратные первой и третьей, то «яо равенству* аз взятых
каждая будет одинаково кратна каждой: одна — второй,
другая же четвёртой,
Черт. У.
Пусть первая <величика> А будет столько же раз
кратна второй Д сколько и третья С четвёртой D, и пусть
взяты El и HG равнокрлтные А к С (черт. 3); я утверждаю,
что Е\ будет столько же раз кратна Д сколько и HG
кратна О.
Действительно, поскольку одинаково кратны EI от А
и HG от С, то значит, сколько в Е{ равных А, столько
и* в HG равных С. Разделим EJ на равные А величины ЕК,
К/, з HG на равные С величины ML, LG; вот коли-
количество ЕК, KI будет равно количеству ML, LG.VL поскольку
одинаково кратны А для В а С для D, ЕК же равно А,
a HL рашо С, то значит, одинаково кратны будут ЕК
для В и ML для D. Вот вследствие того же одинаково
кратны будут А7 для В и LG для D. Поскольку теперь
первая ЕК столько же раз кратна второй Д сколько и
третья HL кратна четвёртой Dy и пятая К! столько же раз
1С*

1 to НАЧАЛА ЬВК/ШДА
кратна второй В7 сколько и шестая LG кратна четвёртой Д
то значит, и сложенные первая и пятая El будут столько
же раз кратны второй В, сколько и третья и шестая HG
кратны четвёртой D (предложение 2).
Значит, если первая столько же раз кратна второй,
сколько и третья четвёртой, и взяты равнократные первой
и третьей, то «по равенству» из взятых каждая будет
одинаково кратна каждой: одна — второй, а другая — чет-
четвертой, что и требовалось доказать.
Предложение 4
Если первая /со второй имеет то же самое отноше-
отношение, что и третья к четвёртой, то и равнократные
первой и третьей /с равнократным второй и четвёртой,
при любой кратности будут иметь то же. самое отно-
отношение, взятые в соответственном порядке.
Пусть первая Л ко второй В будет ш'еть то же самое
отношение, что и третья С к четвёртой D, \i пусть взяты
Et I равнократные от Л, С, от В, D же другие какие-
нибудь равпократиые //, G; я утверждаю, что будет как
Е к И, так и / к G.
Действительно, возьмём от Е, I равнократные К, I-,
а от Н, G другие, какие угодно, равнократные М и N
(черт. 4).
И поскольку одинаково кратны ? от Л, / же от С, н
от Е, I взяты равнократные К, L, то значит, одинаково
кратны К от Л и L от С (предложение 3). Вот вследствие
того же одинаково кратны М от В и N от D. И поскольку
будет, что как Л к В, так и С к D, и взяты от А, С рав-
равнократные К, L, от Bt D же другие какни угодно равно"-
кратные М, N, то значит, если К превышает М, то и L
превышает N, и если равны <.первые>, ю равны <и вто-
рые>, и если меньше <первыэ>, то меньше <и вторые>
¦ (определение 5). И К, L суть равнократные от Е, I, a M,
N другие кйкие угодно равнократные от М, G; значит,
будет, что как Е к И, так и / к G (определение 5).
Значит, есл|1 первая ко второй и\1еет то же самое
отношение, что и третья к четвёртой, то и равнократные

КНИ1А ПЯТАЯ
149
первой и трегьс-й к равнократным второй и четвертой при
любой кратности будут иметь то же самое отношение,
Черт. 4.
взятые в соответственном порядке, что н требовалось до-
доказать.
Предложение 5
Если величина сто?ько же раз кратна 0ругой) ее-
личине, ско гьтео отнимаемое *) кратчо отнимаемому,
то и остаток будет столько же раз крапггн остлтку,
сколько раз и целое кратно целому.
*) Употребленный в тексте термин щщ*Ыч обозначает так-
также и «вычитаемое», однако я намеренно избегаю этого термина,
поскольку Евклиду чужда всякая зрнфметизация геометрии.

150 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть величина АВ булет столхко же раз крата ве-
величине CD, сколько отнимаемое АЕ <кратно> отнимае-
отнимаемому С1\ я утверждаю, что и остаток ЕВ будет столько
же раз кратен остатку ID, сколько раз целое АВ кратно
целому CD (черт. 5).
Действительно, каким кратным будет АЕ от CI, таким
же кратным сделаем и ЕВ от СИ.
И поскольку одинаково кратны АЕ от CI и ЕВ от НС,
то значит, одинаково кратными будут АЕ от CI и АВ от
Черт. 5.
HI (предложение 1). Полагаются же одинаково кратными
АЕ от CI и АВ от CD. Значит, АВ одинаково кратно каж-
каждой из HI, CD; значит, HI равно CD. Отнимем общую CI;
значит, остаток НС равен остатку ID. И поскольку оди-
одинаково кратны АЕ от CI и ЕВ от НС, НС же равна DI,
то значит, одинаково кратны АЕ от CI и ЕВ от ID. Пред-
Предполагается же, что одинаково кратны АЕ от CI и АВ от CZ);
значит, одинаково кратны будут ЕВ от ID, и Л5 от
CD. Значит, и остаток ЕВ будет столько же раз кратен
остатку ID, сколько раз целое АВ кратно целому CD.
Значит, если величина столько же раз кратна величине,
сколько отнимаемое кратно отнимаемому, то и остаток
будет столько же раз кратен остатку, сколько раз и целое
кратно целому, что и требовалось доказать.
Предложение 6
Ес.ш две величины равнократны двум <другим)> вели-
величинам и какие-нибудь отнимаемые равнократны тем же
самым, то и остатки будут или равны им или одина-
одинаково им кратны.
Пусть две величины АВ, CD будут равнократиы двум
величинам Е, I u отнимаемые АН, СО пусть будут равно-

КНИГА ПЯТАЯ
151
кратными тем же самым Е, I; я утверждаю, что и остатки
ИВ, GD или будут равны Е, I, или одинаково им крашы
(черт. 6).
Действительно, пусть сперва ИВ будет равна Е;
я утверждаю, что и GO будет равна /.
Действительно, положим *) СК, равную /. Поскольку
одинаково кратны АИ от ? и СО от /, ИВ же равна Е,
КС же /, то значит,
одинаково кратны АВ д „ и-—•— ? <3
от Е и KG от /. Пред-
Предполагается же, что ?. «
одинаково кратиы АВ
от ? и CD от /; зна- н с , ? . . ^j
чит, одинаково кратны
/СО от / и СО от /. г
Поскольку теперь каж-
каждая из KG, CD одина- Черт. 6.
ково кратна /, то зна-
значит, KG равно CD. Отнимем общую CG; значит, остаток
КС будет равен остатку GD. Но / равю КС; значит, и
GO равно /. Так что, если ИВ равна Е, то и GD будет
равна /.
Подобным же вот образом докажем, что если ИВ
было бы <каким-нибудь> кратным Е, то GD будет таким
же кратным /.
Значит, если две величины равнократны двум величинам
и какие-нибудь отнимаемые равьикратны тем же самым,
то и остатки будут или равны им или одинаково им
кратны, что и требовалось доказать.
Предложение 7
Равные к тому же имеют то же отношение и это
то же (имеет, то оке отношение-} к равным.
Пусть равные величины будут А и В, а какая угодно
другая величина С; я утверждаю, что каждая из А, В
*) Евклидово XBio&to нельзя переводить «отложим», ни о ка-
каком переносе отрезка раствором циркуля Евклид здесь и не
думает.

152
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
имеет к С одно и то же отношение, <также> и С к каж-
каждому из Л, В (черт. 7).
Действительно, возьмём от Л, В равнократные D, Е,
а от С другое к^кое угодно кратное /,
Поскольку теперь одинаков.) кратны D от Л и ? от В,
Л же равна В, tj значит, и D равна Е. Но / какая угодно
другая геличина. Значит, если D превышает /, то и Е
превышает /, и если равна, то равна, и если меньше, то
меньше. И D, Е равникратны А, В, I же какое угодно
Черт. 7.
другое кратное С\ значит, будет, что как А к С, так и
В к С (определение 5),
[Вот] я утверждаю, что и С имеет одно и то же отно-
отношение к каждому из Л, В.
Действительно, при тех же построениях подобным же
образом докажем, что D равна Е; I же какая-io дру-
г;я величина; значив если / больше -D, то она больше
и Е, если равна, то равна, и если меньше, то меньше.
И / есть кратное С, a D, Е какие-то другие равно-
равнократные Л, В; значит, 6} дет, что как С к А, так и
С к В.
Значит, равные к тому же имеют то же отношение, и
эти то же <HMteT то же итнишсние> к равным, что и тре-
требовалось доказать A5).
Следствие
Вот из этого ясно, что если какие-нибудь величины
пропорционал!ны, то они будут припорциональны и «об-
«обращая» *), что и требовалось диказать.
*t См. определение 13. Евклид хочет сказать, что если

КНИГА ПЯТАЯ
Предложение 8
Из неравных величин большая имеет к тому же
большее отношение, чем меньшая, и это то же к мень-
меньшей имеет большее от юшнае, чем к большей.
Пусть неравные величины будут ЛВ и С и пусть
большак будет ЛВ, D же другая <какая угоню величина);
я утверждаю, что ЛВ имеет к D болилее отношение, чем
С к О, и ч о D к С ?
имеет большее отно- Д —> ¦ >fi
шеиие, чем к ЛВ
(черт. 8). С———.
Действительно, по- //
скольку ЛВ больше С\ '' ' ™ *"*" "
то положим BE рав- д
ной С; еот меньшая "' " ~~~~
из ЛЕ, ЕВ, повторно ^ __^__
мая кратной, когда-ни-
когда-нибудь будет больше D l ¦ ¦
(определение 4). Пусть
сперва ЛЕ будет мень- М-——i
ше, чем ЕВ; будем
повторять кратной N ———• > > ¦
ЛЕ *), и пусть ей Че 8>
кратное !Н будет боль-
больше D, и сколько раз IH будет кратным ЛЕ, столько же
раз сделаем и HG кратным ЕВ, К же кратным С; и возь-
возьмём L удволшог О, Ai же утроенное, и так далее уве-
увеличивая на единицу, пока получаемая кратная D Fie сде-
сделается первой превосходящей К. Возьмём <ее'> и пусть
N будет учетверённым D и первым превосходящим К.
Поскольку теперь К меньше N первого <её превосхо-
дЯ'цего), то, значит, К не меньше М. И поскольку оди-
одинаково кратны /Н от ЛЕ и HG от ЕВ, то значит, оди-
одинаково кратны Ш от ЛЕ и IG or ЛВ. Одинакова же кратны
*) В тексте icjW5'ias).aoti;Su> 'Ь ЛЯ, что значит также «умно-
«умножается». Однако в данном случае переводить так нельзя, ибо
появляется чуждый Евклиду арнфметяческиЙ термин. Я перевожу
«будем повторять кратной» с ударением па первом слове.

154
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Ш от АЕ и К от С; значит, одинаково кратны /G от АВ
и К" от С. Значит, /G, К одинаково кратны АВ, С. Далее,
поскольку одинаково кратны HG от ЕВ и К от С, ?Й же
равна С, то значит, и HG равна Л'. Но К не меньше Ж;
значит, и HG не меньше М. Но /// больше D; значит,
все /G больше вместе взятых D и Ж. Но вместе взятые
D, Ж равны N, поскольку М утроенное D, вместе же взя-
взятые М, D в четыре раза больше D и N тоже в четыре
в
Черт. У.
Но /G бол
значит, вместе взятые М, D равны N.
>илйше М, D; значит, /G превышает N; К же не
превышает ;V. И /G, К одинаково кратны от АВ, С; N
какое угодно другое кратное D; значит, АВ имеет к D
большее отношение, чем С к D (определение 7).
Бот я утверждаю, что и D имеет к С большее отно-
отношение, чем D к АВ (черт. 9).
Действительно, прн тех же самых построениях подоб-
подобным же образом докажем, что N превосходит К, но N
не превосходит /G. И N есть кратное D, a /G, К другие
какие угодно равнократные АВ, С; значит, D имеет к С
большее отношение, чем D к АВ (определение 7).
Но вот пусть АЕ будет больше ЕВ. Бот меньшее ЕВ
при повторении кратным будет когда-нибудь больше D.

КНИГА ПЯТАЯ 155
Будем его повторять кратным, и пусть HG будет кратное
ЕВ и большее О; и каким кратным HG будет от ЕВ> та-
таким же кратным сделаем и IH о г ЛЕ, а К от С. Подоб-
Подобным вот образом докажем, что /О, К одинаково кратны
от АВ, С; и возьмём подобным же образом N кратное ?>,
и первое превосходящее 1И\ так что IH снова не будет
меньше М. Но HG больше D; значит, всё /О превышает
?>> М, то-есть N, Но К не превышает N, поскольку и /И,
будучи больше HG, то-есть К, не превышает N. И точно
так ж*, следуя вышеизложенному, мы завершаем доказа-
доказательство.
Значит, из неравных величин большая имеет к тому же
большее отношение, чем меньшая; и это то же к меньшей
имеет большее отношение, чем к большей, что и требо-
требовалось доказать.
Предложение 9
¦^Величины}, имеющие к одному а тому же то же
самое отношение, равны между собой; и те, к которым
одно и то же имеет то же самое отношение, равны.
Пусть каждая из
,4, В имеет к С тоже 4.*4 ' в> "*
самое отношение: я
утверждаю, что А рав-
равна В (черт. 10). С '
Действительно.если ~ Черт. 10.
не так, то каждая из
Л, В не имела бы к С того же самого отношения; они же
имеют; значит; А равна В (предложение 8).
Пусть вот далее С имеет к каждой нз А, В то же
самое отношение; я утверждаю, что А равна В.
Действительно, если не так, то С не имела бы к ка-
каждой из Л, В того же самого отношения (предложение 8);
она же име-ет; значит, Л равна В.
Значит, имеющие к одному и тому же то же самое
отношение равны между собой; и те, к которым одно и
то же имеет то же самое отношение, jmphw, что и
вдлось дмказзть.

J56 НАЧАЛА ЯЬКЛИДА
Предложение 10
Из (веяичинУ, аме'ощих отношение к одному и тому
же, будет бочыие та, которая имеет большее отноше-
отношение; та же, к которой одно и то же имеет большее
отношение, будет меньше.
Пусть А имеет к С большее отношение, чем В к С;
я утверждаю, что А больше В (черт. И).
Действительно, если не так, то А или равна В или
меньше. Но равной В теперь А не будет; ибо <тогда>
каждая из А, В имела бы к С то же самое отношение
(предложение 7). Они же не имеют; значит, А не равна В.
Но также А не будет и меньше В; ибо тогда А имела бы
¦ ¦ Черт. II.
к С меньшее отношение, чем ВкС (предложение 8). Она
же не имеет; значит, А не меньше В. Доказано же, что она
и ие равна; значит, А буд.т больше В.
Пусть вот далее С имеет к В большее отношение, чем
С к Л; я утверждаю, что В будет меньше А.
Действительно, если не так, то она или равна, или
больше. Но равной А теперь В не будет; ибо <тогда> С
имела бы к каждой из А, В то же самое отношение. Она
же не имеет; значит, А не будет равна В. Но также В
не будет и больше А, ибо тогда С имела бы к В меньшее
отношение, чем к А. Она же не имеет; значит, В не
больше А. Доказано же, что она и не равна; значит, В бу-
будет меньше А.
Значит, из имеющих отношение к одному и точу же
будет больше та, которая имеет большее отношение; и та,
к которой одно и то же имеет большее отношение, будет
меньше, что и требовалось доказать.

КНИГА ПЯ1АН ^t
Предложение 11
(Отношения), тождественные *) одному и тому же
отношению, тождественны и друг другу.
Пусть будет, что как А к В, так и С к D, и как С
к D, так и Е к I; я утверждаю, что как А к В, так и ?
к / (черт. 12).
Действительно, возьмём от Л, С, Е равпократные
Я, О, Л\ а от В, О, / какие угодно другие равнократные
/., М, N.
И поскольку будет, что как А к Я так и С к D, н
от ,4, С взяты равнократные //. G, or fi, D же какие
Черт. 12.
угодно другие равнокрачЕше L-, М, то значит, если И пре-
превышает Z, то и G превышает А1, и если равна, то равна,
и если недостаёт, то недостаёт (определение 5).
Далее, поскольку .будет, что как С к D, так и Е к /,
н от С, Е взяты равнократные О, Л'., от D, / же какие
угодно другие равнократные М и N, то значит, если G
превышает М, то и /С превышает N, и если равна, то
равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Но
если G превышала Л4, то и И превышала L, и если равна,
то равна, и если меньше, то меньше; так что, если//пре-
если//превышает L, то и К превышает Ny и если рав ia, то рлвна,
и если меньше, то меньше (определение 5). И Н, К. рав-
равнократные от Л, Е, a L, N какие-нибудь другие рав'-широт-
рав'-широтные от Д /; значит, будет, что как А к В, tlk и Е к I.
Значит, тождественные одному и тому же отношению
тождественны а друг другу, что и требовалось доказать A6).
"¦') У Евклида «с; i'j-sl» буквалшю *ге же самые».

l0S НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 12
Если неаоль'со величин пропорциональны, то будет,
что как одна из предыдущих к одной аз последую-
последующих, так и все предыдущие (вместе} ко всем после ¦
дующим.
Пусть несколько величин А, В, С, D, Е, I пропорцио-
пропорциональны: как А к В, так иСкОи?к/;я утверж-
утверждаю, что будет как А к В, так и А, С, Е к В, D, I
(черт. 13).
Черт. IS.
Действительно, возьмём от А, С, Е равнократные Я, G,
КУ от В, D-, I же какие угодно другие равнокрагные
L, М, N.
И поскольку будет, что как А к В, так и С к О и
Е к Д и взяты от А, С, Е равнократные И, G, К, от
?, D, 1 же какие-нибудь другие равнократиые Z,, Л/, N,
то значит, если И превышает /,, то и G превышает М,
и К превышает Nt и если равна, то равны, и если меньше,
то меньше. Так что и если И превышает L, то и И, G, К,
npei ышают L, Mt N, и если равна, то равны, и если меньше,
то меньше. И И, а также И, О, К будут равнокрагные
от А и А, С, Е, поскольку если будет несколько величин,
равнократных каждая каждой каким-нибудь <другим, взя-
тым> в равном количестве величинам, то сколько раз одна
из <первых> величин будет кратна одной <из вторых),
столько же раа будут и все кратны всем (предложение 1).
Вот вследствие того же и L и Z,, М, N будут равнокра-

КНИГА ПЯТАЯ 1ЙУ
тны В и В, D, /; значит, будет, что как Л к В, так и
А, С, Е к В, О, /.
Итак, если несколько величин пропорциональны, то
будет, что как одна из предыдущих к одной из последую-
последующих, так и все предыдущие ко всем последующим, что и
требовалось доказать.
Предложение 13
Если первая ко второй имеет такое же отношение,
как третья к четвёртой, а третья к четвёртой имеет
отношение большее, чем пятая к шестой, то первая ко
второй будет иметь большее отношение, чем пятая
к шестой.
Пусть первая А ко второй В имеет такое же отноше-
кие, как третья С к четвёртой D, а третья С к четвёртой
М ,
в
Черт. И.
ократные от С, Е, а от D, I какие угодно друг

160
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
раз //кратно С, столько же раз пусть будет и М больше А,
а сколько раз К кратно D, столько раз пусть будет и .V
кратно В.
И поскольку будет, что как А к В, так и С к D, и,
взяты от А, С равнократиые М, И, от В, D же какие
угодно другие равнократные N, К, то значит, если М пре-
превышает /V, то и И превышает К, и если равна, то равна,
и если меньше, то меньше (определение 5). И же превы-
превышает К; значит, и М превышает N. G же не превышает L;
н М, G суть равн жратные от Л, Е, a A/, L какие угодно
другие равнократные от В, /; з:гачит, А к В имеет большее
отношение, чем Е к /.
Значит, если первая ко второй имеет такое же отноше-
отношение, как третья к четвертой, а третья к четвёртой имеет
отношение Солыиес, чем пятая к шестой, то первая ко
второй будет и\:еть большее отношение, чем пятая к ше-
шестой, что и требовалось доказать.
Предложение 14
Если первая ко второй имеет такое же отчошчие,
как третья к четвёртой, и пер sin больше третьей, /по
и вторая бу~)ет боль'пе четвертой, если же равна, то
равна, если же менъчш. то мень'ие.
Черт. 15.
Пусть первая А ко второй В имеет такое же отноше-
отношение, как третья С к чьтвбртоЯ D, и пусть А будьт бильше
С; я утверждаю, что и В бильше D (черт. 15).
Действительно, поскшку А бо;:ыле С и В <есть>
какая-нибудь другая [величина], то значит, А имеет к В
отношение большее, чем С к в (предложение 8). Как же
А к В, так и С к D; и значит, С имеет к D отношение
большее, чем С к В. Та же, к которой одно н то же

кит*, ггятля
163
имеет большее отношение, будет меньше (предложение 10);
значит, D меньше В; так что В больше D.
Подобно же вот докажем, что если А равно С, то и
В будет равно О, и если А меньше С, та и В будет
меньше D.
Значит, если первая ко второй имеет такое же отно-
отношение, как третья к четвёртой, и первая больше третьей,
то и вторая будет больше четвёртой, если же равна, то
равна, если же меньше, то меньше, что и требовалось
доказать.
Предложение 15
Части к своим одинаковым кратным имеют пю же
самое отношение, если взять ах соответственно друг
д*)
у)
Пусть будут равнократпы АВ от С и DE от /; я ут-
утверждаю, что будет как С к /, так и АВ к DE (черт. 16).
Действительно, по- Д И G.
скольку равнократны АВ ' ^'
от С и DE о г /, то зна-
значит, сколько будет в АВ
величин равных С, столь- S1 щ ? /—•
ко же и в DE равных /, Черт. 16,
Разделим АВ на равные С
<части> АИ, HG, GB, a DB на равные / <частн> DK, KL,
I.E; вот количество АИ, HG, GB будет равно количеству
DK, KL, IE. И поскольку АИ, HG, GB равны между со-
собой, также и DK, KL, LE равны между собой, то значит,
будет, что как АИ к DK, так и HG к КЦ и GB к LE
(предложение 7). Значит, и будет, что как один из пре-
предыдущих к одному i[3 последующих, так все предыду-
предыдущие ко всем последующим (предложение 12); значит, бу-
будет, что как АИ к ОК) так и АВ к DE. Но АИ равна С,
a DK равна /; значит, будет, что как С к /, так и АВ
i; DE.
*> В подлиннике Ь,Шч~х ш'Л'йщьа. Гейберг переводит
suo Qrdine sumptae — взятые в своим порядке (г. е. в соответ-
соответственном).
11 Ё8К.1&3

162
НАЧАЛА ЕВКЛИД»
Значит, части к своим одинаковым кратным имеют то
же самое отношение, если взять их соответственно друг
лругу, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Если четыре величины пропорциональны, то они бу-
будут пропорииональны и «переставляя*.
Пусть четыре величины А, В, С, D пропорциональны,
как А к В, так и С к D; я утверждаю, что они будут
пропорциональны и «переставляя», как А к С, так и В
к D (черт. 17).
С' ¦' "
Черт. 17.
Действительно, возьмём от Д В равнократные ?", /, от
С, D же какие-нибудь другие равнократные Л/, G.
И поскольку Е от А и / от В равнократны, части же
к своим одинаковым кратным имеют то же самое отноше-
отношение (предложение 15), то значит, будет, что как А к В,
так и Е к /. Как же А к В, так и С к D; и значит,
как С к D, так и Е к / (предложение 11). Далее, по-
поскольку //, G равнократны от С и Д то значит, будет,
что как С к Д так и И к G (предложение 15). Как же
С к ?>, так и Е к /, и значит, как Е к /, так и И к G.
Если же четыре величины пропорциональны и первая больше
третьей, то н вторая будет больше четвертой, и если равна,
то равна, и если меньше, то меньше (предложение 14).
Значит, если Е превышает Л/, то и / превышает G, и ес-
если равна, то равна, и если меньше, то меньше. И Е, /
равнократные от Л, В; И, G же какие-нибудь другие

КНИГА ПЯТАЯ 163
равнократные от С, О; значит, будет, что как А к С, так
к В к D.
Значит, если четыре величины пропорциональны, то
они будут пропорциональны и «переставляй», что и тре-
требовалось доказать A7).
Предложение 17
Если zcocmaa 1яемыеъ величины пропорциональны, то
они будут пропорциональны и ьвч^еленчяеъ.
Пусть «составляемые» величины АВ, BE, CD, DI про-
пропорциональны— как АВ к BE, так u CD к D/; я утвер-
утверждаю, что они будут
пропорциональны и Д _, ^ В
«выделенные» — как
АЕ к ЕВ, так я С] с. IB
к D1. ' ' ""' *
Действительно,
возьмём от АЕ, ЕВ, *-« S—,—?—i
Cl, ID равнократные
НО, GK, LM, MN; от { . __ м А/ р
ЕВ, ID же другие ка-
какие-нибудь равнократ- ЧеРт- 1S-
ныеА'ЛГ, NP (черт. 18).
И поскольку равнэкратны НО от АЕ и ОК от ЕВ, то
значит, равнократ ны HG от АЕ и НК от АВ (предложе-
(предложение 1). Равнократны же HG от АЕ и LM от С1; значит,
равнократны НК от АВ и LM от С/. Далее, поскольку
равнократны /_/И от С/ и Л1Л/ от ID, то значит, равно-
равнократны ?Л7 от С/ и /,Л/ от CD (предложение 1). Но рав-
нократными были LM от CI и НК от Л/J; значит, равно-
равнократны НК от АВ и 1Л/ от CD. Значит, НК, LN будут
равнократными от АВ, CD. Далее, поскольку равнократны
GK от ЕВ и MN от /D и /CY такая же кратная от ЕВ,
как NP от /D, то и в «оставлении» GX будет столько
же раз кратна от ЕВ, сколько и МР от /D (предло-
(предложение 2). И поскольку будет, что как АВ к ??, так и
CD к D/, и взягы от АВ, CD равнократные НК, LN, от
ЕВ, ID же равиократиые GX, МР, то значит, если НК
11*

164
НЛ'[\1А ЕВКЛИДА
превышает GX, то и LN превышает А1Р, и если равна, то
равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Во*
пусть ИК превышает ОХ, и после отнятия общего ОК, зна-
значит, и НО будет превышать КХ. Но если НК превышало
ОХ, то и LN превышало МР\ значит, и LN превышает Л'\Р,
и после отнятия общего /ИЛ' и LM превышает NP; так
что если HG превышает КХ, то и LA1 превышает NP.
Подобным же вот образом докажем, что и если HG равна
КХ, то [I LM будет равна NP, и если меньше, то меньше.
И ИО, LM равнократные от АЕ, С/, а КХ, NP какие-ни-
какие-нибудь другие равпократные от ЕВ, Ю\ значит, будет, что
как АЕ к ЕВ, так и С! к ID.
Значит, если величины пропорциональны «составляемые»,
то они будут пропорциональны и ¦-; выделенные>, что и
требовалось доказать.
Предложение 18
Если величины пропорциональны «.выделяемые*, то они
будут пропорциональны, а ^составленные».
Пусть величины АЕ, ЕВ, CI, ID пропорциональны
^выделяемые*—как АЕ к ЕВ, так и CI к Ю; я утвер-
^ ждаю, что они будут
Д ' ¦ —8 пропорциональны и
«составленные,) — как
I И АВ к BE, так и CD к
с. ~ _—. .д ю ^ерт> 19)>
Черт. 19. Действительно, если
не будет как АВ к BE.
iaK и CD к DI, то будет, что как АВ к BE, так и CD
к чему-нибудь или меньшему DI или же к большему.
Пусть будет сперва к меньшему DH. И поскольку бу-
будет как АВ к BE, так и CD к DH, jo «составляемые»
величины пропорциональны; так что они будут пропорци-
пропорциональны и ^выделенные» (предложение 17). Значит, будет
как АЕ к ЕВ, так и СИ к HD. Предполагается же,
что н как АЕ к ЕВ, так и CI к ID (предложение 11).
И значит, как СИ к HD, так н С/ к ID. Первая же СИ
больше третьей С/; значит, и вторая HD больше четвёр-

ЮП1Т,\ ПЯТАЯ
165
той ID. Но она и меньше, чш невозможно; значит, не
будет, что как АВ к BE, так и CD к мекьшей чем ID.
Подобным же вот образом докажем, что п не к большей;
значит, к той же самой.
Значит, если величины пропорциональны «выделяемые»,
in они будут пропорциональны и «-составленные/), что и
требовалось доказать A8).
Предложение 19
Если как целая к целой, так и отнятая к отнятой,
то и остаток к остатку будет как целая к целой.
Пусть будет как целая ЛВ к целой CD, так и отня-
отнятая АЕ к отнятой С/; я утверждаю, что и остаток ЕВ
к остатку ID будет как целая АВ к целой: CD (черт. 20).
Черт. -IX
Действщельно, поскольку будег, что как АВ к CD,
так и АЕ к С/, то и «переставляяэ как ВА к ЛЯ, так и
ОС к С/ (предложение 16). И поскольку «составляемые»
величины пропорциональны (предложение 17), то они будут
пропорциональны и «выделенные»—как BE к ЯЛ, так н
DI к CI (предложение 18); и «переставляя» как BE к DI,
так и ЕА к 1С. Как же АЕ к С/, так предполагается и
целая АВ к пелой CD. И значит, остаток ЕВ к остатку
ID будет как целая АВ к целой CD.
Значит, если как целая к целой, так и отнятая к от-
отнятой, то и остаток к остатку будет как целая к целой,
[что и требовалось доказать].
[И поскольку доказано, что как АВ к CD, так и ЕВ
к ID, и «переставляя» как АВ к BE, так и CD к ID, зна-
значит, «составляемые» величины пропорциональны; доказано
же, что как ВА к Л Я, так и DC к С7; и это будет «пе-
«переворачивая* .]

10° НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Следствие
Вот из этого очевидно, что если «составляемые> ве-
величины пропорциональны, то они будут пропорциональны
в «переворачивая», что и требовалось доназать A9).
Предложение 20
Если будут три величины и другие в равном с ними
ко тчестве, (находящиеся"} взятые попарно в одном и
том лее отношении, и «яо равенству» первая больше
третье/У, то t/ четвё'птая будет больше шестой, если
же равна, то равна,
' " —-..-,-—— и есяи меньше< то
меньше.
8, _— с . Пусть будут три
величины А, В, С к
другие в равном с ни-
ними количестве D, ?", /,
<находящиеся> взятые
попарно в одном в том же отношении, <именно) как А
к В, так и D к Е, как же В к С, так в Е к /, в пусть
«по равенству» А будет больше С; я утверждаю, что и D
будет больше /, если же равна, то равна, в если мень-
меньше, то меньше (черт. 21).
Действительно, поскольку А больше С и В какая-то
другая <велнчнна>, большая же имеет к тому же большее
отнлненне, чем меньшая (предложение 8), то значит, А
имеет к В отношенве большее, чем С к В. Но как А к
Д [так] н D к Е, как же С к В, так «обращая*
(пред ожение 7, следствие) и / к Е, и значит, D имеет
к Е отношение большее, чем /к Е. Из имеющих же от-
отношение к одному в тому же будет больше та, которая
имеет большее отношение (предложение 10). Значвт, D
больше /. Подобным же вот образом докажем, что и если
А равна С, то будет и D равна /, и если меньше, то
меньше.
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящиеся> взятые попарно в од-

КНИГА ПЯТАЯ 167
ном и том же отношении, н «по равенству» первая больше
третьей, то н четвёртая будет бо ьше шестой, если же
равна, то равна, и если меньше, то меньше, чю и тре-
требовалось доказать B0).
Предложение 21
Если будут три величины и другие в равчом с ними
количестве, (находящиеся*} взятые попарно в одном и том
же отношении, и для них имеет место переметанная
пропорция, «гсо равенству* же первая больне третьей,
то и четвёртая бу^ет больше шестой, и если равна,
то равна, и если .
меньше, то меньше. ' "~"~ ~~
Пусть будут три ^^ ^
величины А, В, С н ' '
другие в равном с ^ ^
ними количестве Z), Е,
/, <находящнеся> взя- Черт. 22.
тые попарно в одном
и том же отношении, и пусть для них имеет место
перемешанная пропорция, <имеьшо> как А к В, так и Е
к /t как же В к С, так и D к ?", «пэ равенству» же
пусть А больше С; я утверждаю, что н D будет боль-
больше /, и если равна, то равна, и если меньше, то мень-
меньше (черт. 22).
Действительно, поскольку А больше С и В какая-то
другая величина, то значит, А имеет к В отношение боль-
большее, чем С к В. Но как А к В, так и Е к /, как же С
к В, так «обращая» и О к Е. И значит, Е имеет к /
отношение большее, чем Е к О. Та же, к которой одно
и то же имеет большее отношение, будет меньше; значит,
/ меньше О; значит, D больше /. Подобным же вот обра-
образом докажем, что если А равна С, то будет и О равна /,
и если меньше, то меньше.
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящн6ся> взятые попарно в од-
одном и том же отношении, и для иих имеет место пере-
перемешанная пропорция, кпо равенству» же первая больше

168
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
третьей, то и четвёртая буде[ больше шестой, и если рав-
равна, то равна, и если меньше, то меньше, что и требовалось
доказать.
Предложение 22
Если будут несколько величин и другие а равном
с ними количестве, (находящиеся^ взятые попарно s од-
одном и том же отношении, то и «по равенству» они
буд\чп в одном и том же отношении.
Черт. -IX
Пусть будуг нисколько величин А, В, С и др\ч ие в
равном с ними количестве D, Е, /, <находящиеся> взятые
попарно в одном и том же отношении — как А к В, так и D
к Е, как же В к С, так и Е к I; я утверждаю, что и <ио ра-
равенству» они будут в одном и том же отношении (черт. 23).
Действительно, возьмём от A, D равнократные И, G,
от В, В же какие-нибудь другие равнократные К, L и
затем от С, / какие-то другие равиократные М, N.
И поскольку будет, что как А к В, так и О к Е, и
пзяты от A, D равноправные Н. G. от В, Е же какие-нк-

КНИГА ПЯТАЯ 169
будь другие равнократпые /С, L, то значит, будет, что как
// к К, так и G к L (предложите 4). Вследствие того же
вот и как К к М, так и L к N. Поскольку теперь будут
три величины И, К, М и другие в равном с ними коли-
количестве G, L, М, <находящиеся> взятые попарно в одном и
том же отношении, то значит, то равенству», если //пре-
//превышает М, то и О превышает N, н если равна, то равна,
и если меньше, то меньше (предложение 20). И Я, О суть
равиократиые от Л, D, М, N же какие-нибудь другие рав-
нократные от С, /; значит, будет, что как А к С, так и
D к ! (определение 5).
Значит, если будут несколько величин и другие в ран-
ранном с ними количестве, -(находящиеся) взятые попарно
в одном н том же отношении, то и аю равенству^ они
6} дут в одном и том же отношении, что н требовалось
доказать.
Предложение 23
Если, будут три величины и другие в разном с ними
количестве, (находящиеся} взятые попарно в одном и
том же отношении, и для них имеет место перемешан-
перемешанная пропорция, то и «по равенству» они будут в одном
и том же отношении.
Пусть будут три величины Л, В, С н другие в равном
с ними количестве D, Еу /, <находящиеся) взятые попарно
в одном и том же отношении, и пусть для них будет
иметь место перемешанная пропорция — как А к В, так
и Е к /, как же В к С, так и D к Е. Я утверждаю, чю
будет как А к С. так и D к I (черт. 24).
Возьмём от Л, В, D равнократные И, G, Л\ а от С,
Е, I какие-нибудь другие равнократные L, Mt N.
И поскольку И, G суть равнократные от Л, В, ча-
части же re своим одинаковым кратным имеют то же самое
отношение, то значит, будет, что как А к Д так и
И к G (предложение 15). Вследствие того же вот и
как F к /, так и Ж к N; и будет, что как А к В, так и
Е к /; и значит, как И к G, так и М к N (предложе-
(предложение 11). И поскольку будет, что как В к С, так и D к Е,
и «переставляя >, как В к D, так С к Е (предложение 16),

170
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
И поскольку G, К суть равнократные от В, D, части же
к своим равнократным имеют то же самое отношение, то зна-
значит, будет, что как В к D, так и G к К (предложение 15).
Но как В к Д так и С к Е\ и значит, как G к К, так
и С к Е (предложение 11). Далее, поскольку L, М суть
равнократные от С, Е, то значит, будет, что как С к Е,
так н L к М (предложение 15). Но как С к Е, так и G
к К\ и значит, как G к К, так и L к М (предложение 11),
D— ? / —
н «переставляя» как G к L, так н К к М. Доказано же,
что н как И к G, так н Af к Л/. Поскольку теперь будут
три величины И, Gt L и другие в равном с ними коли-
количестве Ку М, /V, <находящ1зся> взятые попарно в одном
и том же отношении, и для них имеет место перемешан-
перемешанная пропорция (определение 18), то значит, «по равенству»,
если И превышает L, то и К превышает N, н если равна,
то равна, н если меньше, то меньше (предложение 21).
И Н, К суть равнократные от А, В, a L, N от С, /.
Значит, будет, что как Л к С, так и D к / (опр. 5).
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящдеся> взятые попарно в од-
одном н том же отношении, и для них имеет место пере-
перемешанная пропорция, то н «по равенству:» они буцут в од-
одном и том же отношения, что и требовалось доказать.
Предложение 24
Если первая имеет ко второй такое же отношение, как
а третья к четвёртой, а пятая ко второй имеет та-
такое же отношчие, как и шестая к четвёртой, то со-
ставленнле первая и пятая ко второй будут иметь

КНИГА ПЯТАЯ ¦ 17)
такое же отношение, что а третья и шестая к чет-
четвёртой.
Пусть первая АВ имеет ко второй С такое же отно-
отношение, как и третья DE к четвёртой /( пусть также и
пятая ВИ ко второй С имеет такое же отношение, как и
шестая EG к четвёртой /; я утверждаю, что и составлен-
составленные первая и пятая АИ ко второй С будут иметь такое
же отношение, что и третья и g
шестая DG к четвертой / (черт. 25). д' ' ' 'Я
Действительно, поскольку бу-
будет, что как ВИ к С, так н EG C< *
к /, то значит, «обращая»
(предложение 7, следствие), как » f __.j
С к ВИ, так и / к EG. Посколь-
Поскольку теперь будет, что как АВ к С, ^_ в
так и DE к /, как же С к ВИ, !"~ *
так и / к EG, то значит, «по Черт. 25.
равенству» будет, что как АВ к
ВИ, так и DE к EG (предложение 22), И поскольку
¦ «выделяемые» величины пропорциональны, то они будут
пропорциональны и «составленные» (предложение 18); зна-
значит, будет,' что как АИ к ИВ, так и DG к GE. И будет
также, что ка < ВИ к С, так и EG к /; значит, «по равен-
равенству* будет, что как АИ к С, так и DG к / (предло-
(предложение 22).
Значит, если первая имеет ко второй такое же отно-
отношение, как и третья к четвёртой, и пятая ко второй имеет
такое же отношение, как и шестая к четвёртой, то со-
составленные первая н пятая ко второй будут иметь такое
же отношение, что и третья и шестая к четвёртой, что и
требовалось доказать B1).
Предложение 25
Если четыре величины пропорциональны, то наи-
наибольшая [из них] и наименьшая больше двух остаю-
остающихся*
Пусть будут четыре величины АВ, CD, E, I пропор-
пропорциональные—как АВ к CD, так и Е к /, и пусть иаи-

172 ' НАЧАЛА ЕВКЛИДА
большая из них будет АВ, а наименьшая /; я утверждаю,
что АВ, I <вместе> больше CD, E (черт. 26).
Действительно, отложим АИ, равную Г. н СО, рав-
равную /.
Поскольку [теперь] будет, тт как АВ к CD, так и Я
к Л и Е равна АН, I же CG, то значит, будет, что как
и АВ к СО, так и АН к СО.
И поскольку будет, что как
целая АВ к целой CD, так и
? _ отнятая /4// к отнятой CG, то
? значит, и остаток ИВ к остат-
С '-— 5 ку QD будет как целая АВ к
целой CD (предложение 19).
/ „ , /\в -,ке больше CD; значит, и
i]Upf 2б НВ больше GD, И поскольку
АИ равна /?, a CG <равна> /,
ти значит, Л/У, / <вместе> равны CG, E. И [поскольку]
если [к неравным прибавляются равные, то целые будут
неравными, значит, если] при наличии неравных ИВ, GD
it ИВ большем, к ИВ прибавляются АИ, /, к GD же при-
прибавляются СО, Е, то выходит, что АВ. J <вместе> больше
CD, E.
Значит, если четыре величины пропорциональны, то
наибольшая из них и наименьшая больше двух остающихся,
что и требовалось доказать B2).

КНИГА ШЕСТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые
имеют углы равные по порядку*) и стороны при равных
углах пропорциональные.
2. [Обратно-сопряжённые фигуры суть те, в каждой
из которых имеются предыдущие п последующие отноше-
отношения.]**).
3. Говорится, чю прямая де.штся в крайнем, и среднем
отношении, если, как целая к большему отрезку, так
и больший отрезок к меньшему.
4. Высота всякой фигуры есть перпендикуляр, прове-
проведённый от вершины к основанию A).
"') У Евклида ш~2 ;j.:av — буквально «но одному>,
"-'*) Второе определение Гейберг заключает в квадратные
скобки как неподл шгное; действительно, это о прел слеп не, во-пер-
во-первых, страдает неясностью, во-вторых, нигде у Евклида не упо-
употребляется, '\v~i7.:r.tt/$<ita j//j|iaTa — буквально «обратнопропорцно-
пальные» фигуры. Может быть, под ними следует подразумевать
равновеликие параллелограммы п треугольники, в которых вы-
высоты обратно пропорциональны основаниям; однако в предло-
предложениях 14 и 1о, где речь идёт о равновеликих параллелограммах,
Евклид рассматриваемым определением не пользуется. Мысль
здесь та, что если линиям а и & в одной фигуре' А отвечают
а' и Ь', в другой А', то a:b~b':a\ т, е. на месте предыдущее
я в А будет в ,4' стоять последующее Ь', на месте же после-
последующего — предыдущее. Следует yfto^vo; Ь?о; (предыдущее отно-
отношение) мыслить №yo$ tai ^rcun.'vo-j ^ отнощение предыдущего
(подразумевается к последующему), a smjasvs; Щоч (последующее
отноленпе) нанимать как /<5уз; той sr.su,jvoa — отношение последу-
последующего (к предыдущему).

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
5. [Говорится, что отношение составляется из отноше-
отношений, когда количества этих отношений, перемноженные
между соиой *), образуют нечто] B, 3, 4),
Предложение 1
Треугольники а параллелограммы, находящиеся под од-
одной и той же высотой, < относятся > друг к другу как
основания.
Пусть треугольники будут ЛВС, ACD, параллелограммы
же ЕС, CI под одной и той же высотой АС; я утв.рждаю,
что будет: как основание
ВС к основанию CD, так
и треугольник ЛВС к тре-
треугольнику ACD и парал-
параллелограмм ЕС к парал-
параллелограмму С/ (черт. 1).
Действительно, про-
продолжим BD в обе сторо-
стороны до точек G, L, отло-
отложим (сколько угодно]
< прямых > ВНУ HG,
равных основанию ВС, и
сколько угодно < пря-
прямых > DK, KL, равных
основанию CD, и соединим АН, AGt AK, AL.
И поскольку CBt ВИ, HG равны мьжду собой, будут
равны между собой и треугольники AGH, АИВ, ABC (пред-
(предложение 38 книги I). Значит, каким кратным основание
ОС будет от основания ВС, таким же кратным и треуголь-
треугольник AGC будет от треугольника ABC. Вследствие того же
*) У Евклида if1 iauTa; ssXXasXassaefteijat, что совершенно точно
передаётся словами «помноженные друг на другу». То обсто-
обстоятельство, что Евклид никогда не рассматривает отношение
как число, конечно, является одним из серьезнейших возражений
против принадлежности Евклиду этого определения, подлинность
которого оспаривается Гейбергом, Хизсом и др. исследователями
и которое не содержится в тексте лучших манускриптов Евклида.

КНИГА ШЕСТАЯ
175
вот, каким кратным основание LC будет от основания CD,
таким же кратным будет и треугольник ALC от треуголь-
треугольника ACD; и если основание GC равно основанию СЦ то
равен и треугольник AGC треугольнику ACL (предложе-
(предложение 38 книги I), и если основание GC превосходит осно-
основание CLt то и треугольник AGC превосходит треуголь-
треугольник ACL, и если меньше, то меньше. Вот для четырёх
имеющихся величии: двух оснований ?С, CD и двух тре-
треугольников ABC, ACD, взяты от основания ВС и треуголь-
треугольника ABC одинаковые кратные—основание GC и треуголь-
треугольник AGC, а от основания CD и треугольника ADC какие
угодно другие одинаковые кратные — основание LC и тре-
треугольник ALC; и доказано, что если основание GC превэс-
зсодит основание CL, то и треугольник AGC превосходит
треугольник ALC, а если равно, то равен, если же меньше,
то меньше; значит, будет, что как основание ВС к ос-
основанию CD, так и треугольник ABC к треугольнику ACD
(определение 5 книги V).
И поскольку удвоенный треугольник ABC есть парал-
параллелограмм ЕС, а удвоенный треугольник ACD есть парал-
параллелограмм /С (предложение 34 книги I), части же их и оди-
одинаковые кратные имеют то же отношение (предложение
15 книги V), то значит, будет, что как треугольник ABC
к треугольнику ACD, так и параллелограмм ЕС к парал-
параллелограмму С!. Теперь, поскольку доказано, что как ос-
основание ВС к CD, так и треугольник ABC к треуголь-
треугольнику ЛСД как же треугольник ABC к треугольнику ACD,
так и параллелограмм ЕСк параллелограмму С!, значит, как
основание ВС к основанию CD, так и параллелограмм ЕС
к параллелограмму С/ (предложение 11 книги V).
Значит, треугольники и параллелограммы, находящиеся
под одной и той же высотой, <относятся) друг к другу
как основания, что и требовалось доказать E).
Предложение 2
Ег.ш в треугольнике параллельно одной из сторон
проведена некотора я пряма я, то она пропорциональ-
пропорционально рассекает стороны треугольника; и если стороны

176
НАЧАЛА KBКЛИДЛ
треугольника рассечены пропорционально, то прямая, со-
соединяющая сечения, будет параллельна остающейся сто-
стороне треугольника.
Пусть в треугольнике ABC параллельно одной из сто-
сторон ВС проведена DE; я утверждаю, что будет как BD
к DA, так it СЕ к ЕА (черт. 2).
Действительно, соединим BE и CD.
Значит, треугольник BDE равен греуголышку CDE,
ибо они на од[юч и том же основании DE и между одними
и теми же параллельными DE
и ВС (предложение 38 книги 3);
что-то другое же треугольник
ADE. Равные же к одному и
точу же имеют то же отношение
(предложение 7 книги V); значит,
будет, что как треугольник BDE
к [треугольнику] ADE, так и тре-
треугольник CDE к треугольнику
ADE. Но как треугольник BDE
к ADE, так и BD к DA, ибо
они, находящиеся под одной и той
¦же высотой, той, которая проведе-
проведена из Е перпендикулярно к АВ, <относятся) между
l-ооой как оспования-(предложение 1). Вследствие того же
вот как треугольник CDE к ADE, так и СЕ к ЕА; и
значит, как BD к DA, так ii СЕ к ЕА (предложение 11
книги V).
Но вот пусть в треугольнике ABC стороны АВ, АС
рассекаются пропорционально как BD к DA, так и СЕ
ц ЕА; соединим DE; я утверждаю, что DE параллель-
параллельна ВС.
Действительно, после выполнения тех же самых на-
настроений, поскольку'будет, что как BD к DA, так и СЕ
к ЕА) но как BD к DA> так н треугольник BDE к тре*
уюлышку ADE, как же СЕ к ЕА, так и треугольник CDE
к треугольнику ADE (предложение I), и аначит, как тре-
треугольник BDE к треугольнику ADE, так и треугольник CDS
к треугольнику ADB (предложение 11 книги V). Значит,
каждый из треугольников BDE, CDE имеет к ADE то
Черт. 2,

КНИГА ШЕСТАЯ
177
же отношение. Значит, треугольник BDE равен треуголь-
треугольнику CDE (предложение 9 книги V); н они на том же ос-
основании DE. Равные же треугольники, находящиеся на
одном и том же основании, находятся и между одними
и теми же параллельными (предложение 39 книги I). Зна-
Значит, DE параллельна ВС,
Значит, если в треугольнике параллельно одной из
сторон проведена некоторая прямая, то она пропорцио-
пропорционально рассекает стороны треугольника, и если стороны
'феугольника рассечены пропорционально, то прямая, со-
соединяющая сечения, будет параллельна остающейся стороне
треугольника, что и требовалось доказать F, 7, 8).
Предложение 3
Если угол треугольника рассечён пополам и секущая
угол прямая рассекает и основание, то отрез/си осно&а-
ния будут иметь то же отношение, что остальные сто-
стороны треугольника; и если отрезки
основания имеют то же отношение,
что остальные стороны треугольни-
треугольника, то прямая соединяющая, < прове-
проведённая > от вершины к точке сече-
сечения, рассекает пополам угол треуголь-
треугольника.
Пусть треугольник будет ABC и
пусть угол ВАС рассечён пополам пря-
прямой AD (черт, 3); я утверждаю, что
будет как BD к CD, так и ВА к АС,
Действительно, через С параллель-
параллельно DA проведём СЕ и пусть продол-
продолженная ВА встречает её в Е,
И поскольку на параллельные AD и
ЕС упала прямая АС, то значит, угол
АСЕ равен CAD (предложение 29 книги I). Но угол CAD
предполагается равным BAD; значит, и угол BAD равен
АСЕ.
Далее, поскольку на параллельные AD, ЕС упала пря-
прямая ВАЕ, то внешний угол BAD равен внутреннему ЛЕС.
12 Еьклид

НАЧАЛЛ ЕВКЛИДА
Доказано же, что и угол АСЕ равен BAD; и значит, угол АСВ
равен А ЕС; так что и сторона АЕ равна стороне АС (пред-
(предложение 6 книги I). И поскольку в треугольнике ВСЕ
паралллельно одной из сторон ЕС проведена АО, то зна-
значит, будет пропорция — как ВО u DC, так и ВА к АЕ
(предложение 2). Но АЕ равна АС; значит, как BD к DC,
так и ВА к АС.
Но вот пусть будет, что как ВО к ?>С, так и ВА
к ДС; соединим ДО; я утверждаю, что угол ВАС делится
пополам прямой АО.
Действительно, при тех -же построениях, поскольку бу-
будет, что как BD к ОС, так и ВА к АС, но как ВО
к ОС, так будет и ВА к АЕ, ибо в треугольнике
ВСЕ параллельно одной < стороне > ЕС проведена
АО; и значит (предложение 2), как ВА к АС, так и
ВА к АЕ (предложение 11 книги V). Значит, АС рав-
равна АЕ (предложение 9 книги V); так что и угол АЕС
равен АСЕ (предложение 5 книги I). Но угол АЕС ра-
равен внешнему В АО (предложение 29 книги I), угол
же АСЕ накрестлежащему С АО; и значит, угол BAD
равен С АО. Значит, j-гол ВАС рассечётся прямой AD
пополам.
Значит, если угол треугольника рассечен пополам и се-
секущая угол прямая также рассекает и основание, то от-
отрезки основания будут иметь то же отношение, что ос-
остальное стороны треугольника; и если отрезки основания
имеют то же отношение, что остальные стороны треуюль-
ника, то соединительная прямая, < проведённая у от вер-
вершины к точке сечения, рассекает пополам угол треугольника,
что и требовалось доказать (9, 10).
Предложение 4
В равноугольных треугольниках стороны при равных
углах пропорциональны и соответственнОуШ*) (.будут)
стягивающие равные углы.
*) У Евклида 6fj.-Цй-f с-.— одинаковые п<> отношению, с тем же
самым отношением.

КНИГА ШЕСТАЯ
179
Пусть равноугольные треугольники будут ЛВС, ОСЕ,
имеющие равными угол ЛВС углу ОСЕ, угол же ВАС
углу СОЕ и затем угол ЛСВ углу CED (черт. 4); я
утверждаю, что в треугольниках ABC, ОСЕ стороны при
равных углах пропорциональны и соответственными < будут >
стягивающие равные углы.
Действительно, поместим ВС па одной прямой с СЕ.
И поскольку углы ABC и АС В < вместе > меньше дкух
прямых (предложение 17 книги I),
угол же АСВ равен ОЕС, то значит,
ABC и DEC < вместе > меньше двух
прямых; значит, В А и ЕО при
продолжении сойдутся (постулат
5 книги 3). Продолжим их и пусть
они сойдутся в /.
И поскольку угол DCE равен
ABC, прямая BI параллельна CD
(предложение 28 книги !). Далее,
поскольку угол АСВ равен ОЕС,
прямая АС параллельна IE. Значит,
IACD параллелограмм; значит, /А
равна ОС, АС же равна Ю (пред-
(предложение 34 книги I). И поскольку
в треугольнике IBE параллельно
одной < из сторон > IE проведена АС, будет, значит, что как
ВА к AI, .так и ВС к СЕ. Но AI равна СО; значит, как ВА
к СО, так и ВСк СЕ, и «переставляя» (предложение Збкпи-
ги V), как АВ к ВС, так и ОС к СЕ. Далее, по-
поскольку СО параллельна BI, будет, что как ВС к СЕ,
так н /О к ОЕ (предложение 2). Но Ю равна АС; зна-
значит, как ВС к СЕ, так и АС к ОЕ, и «переставляя:»
(предложение 16 книги V), как ВС к СА, так н СЕ к ЕО.
Поскольку теперь доказано, что как ВА к ВС, так и ОС
к СЕ, как же ВС к СА, так а СЕ к ЕО; значит, «по ра-
равенству? как ВА к АС, так н CD к DE (предложение
22 книги V).
Значит, в равноугольных треугольниках стороны при рав-
равных углах пропорциональны и соответственны < стороны >,
стягивающие равные углы, что и требовалось доказать (II),
12*
Черт. 4.

180
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 5
Если два треугольника имеют стороны пропорциональ-
пропорциональные, то треугольники будут равноугольные и будут
иметь равными углы, которые стягиваются соответствен-
соответственными сторонами.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
стороны пропорциональные-, так что как АВ к ВС, гак
Черт. 5.
и DE к EI, как же ВС к СА, так и El к ID, и ещё как ВЛ
к С А, чак и ED к DI. Я утверждаю, что треугольник ABC
равноуголен треугольнику DEI и что онн будут иметь
равными углы, которые стягиваются соответственными сто-
сторонами, т. е, угол ABC углу DEI, угол ВСА углу ЕЮ
и ещё угол ВАС углу EDI (черт. 5).
Действительно, на прямой EI при её точках Е, I по-
построим угол IEH, равный ABCt и угол EIH, равный АСВ
(предложение 23 книги 3); значит, остающийся угол при А
равен остающемуся углу при И (предложение 32 кннгн I).
Значит, треугольник ABC равноуголен [треугольнику]
EHI. Значит, в треугольниках ABC, EHI стороны при pas-
лых углах пропорциональны и соответственны стягивающие
равные углы (предложение 4); значит, будет, что как АВ
к ВС, [так] и НЕ к El. Но как АВ к ВС, так по пред-
предположению и DE к El; значит, как DE к EI, так и НЕ

КНИГА ШЕСТАЯ 181
к EI (предложение 11 книги V). Значит, каждая из DE,
НЕ имеет к El то же отношение; значит, DE равна НЕ
(предложение 9 книги V). Вследствие того же вот и DI
равна HI. Поскольку теперь DE равна EH, EI же общая,
то вот две <прячые> DE, EI равны двум НЕ, EI; и основа-
основание DI равно основанию IH; значит, угол DEI равен углу
НЕ! (предложение 8 книги I), и треугольник DEI равен
треугольнику HEI, и остальные углы равны остальным,
стягиваемые равными сторонами (предложение 4 книги I).
Значит, угол DIE равен углу HIE, угол же EDI углу
EHI. И поскольку угол IED равен углу HEI, а угол
HEI углу ABC, то значит, угол ABC равен DEI. Вслед-
Вследствие того же вот и угол АСВ равен углу DIE и затем
угол при Л равен углу при D; значит, треугольник ABC
равноуголен треугольнику DEL
Значит, если два треугольника имеют стороны про-
пропорциональные, то треугольники будут равноугольны и бу-
. дут иметь равными углы, которые стягиваются соответ-
соответственными сторонами, что и требовалось доказать,
Предложение 6
Если два треугольника имеют один угол, равный одно-
одному углу, и стороны при равных углах пропорциональные,
то треугольники будут равноугольны и будут иметь
равными углы, стягиваемые соответственными сторонами.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
один угол ВАСу равный одному углу EDI, стороны же
при равных углах пропорциональные: как ВА к АС, так
и ED к D/; я утверждаю, что треугольник ABC равно-
З'голен треугольнику DEI к будет иметь угол ABC рав-
равным углу DEI, угол же АСВ равным DIE (черт. 6).
Действительно, на прямой DI и при её точках Д /
построим угол IDH, равный каждому из углов ВАС, EDI,
и утл DIM, равный АСВ (предложение 23 книги I);
значит, остающийся угол при В равен остающемуся при Н
(предложение 32 книги I).
Значит, треугольник ABC равноуголен треугольнику
DHI. Значит, будет пропорция — как ВА к АС, так и HD

182
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
к DI (предложение 4), Предполагается же, что и как ВА
к АС, так и ED к DI; и значит, как ED к D/, так и HD
к D1 (предложение 11
к DI (предложение И книги V). Зна>
н Dj (предложение 9 книги V) общая;
ED. i
DI;
DI; и значит, как ED .,. ^,,
книги V). Значит, ED равна DH',
*Т1 збщая; вот две <прямые>
ED, DI равны двум HD,
и угол EDJ равен
углу HQ1; значит, осно-
основание El равно основа-
основанию Ш и треугольник
EDI равен треугольнику
HDI и остальные утлы
равны остальным, стяги-
стягиваемым равными сторона-
сторонами (предложение 4 кни-
книги 1). Значит, угол Dili
равен углу DIE, угол же
DHI углу DEI. Но угол
DIH равен углу АСВ, и .
Предложение 7
Если два треугольника имеют один угол, равный
одному углу, при других же углах стороны пропорцио-
пропорциональные, причём из остальных углов каждый одновремен-
одновременно или меньше или не меньше прямого, то треугольники
будут равноугольны и будут иметь равными те углы,
при которых стороны пропорциональны.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
один угол, ранный одному углу, <а именно> угол ВАС

КНИГА 1ШХТАЯ
183
углу EDI (черт. 7), при других же углах, стороны про-
пропорциональные, как АВ к ВС, так и DE к Е1, причём
из остальных углов при Си/ каждый одновременно сперва
пусть будет меньше прямою; я утверждаю, что треуголь-
треугольник ЛВС равноуголен треугольнику DE1, и угол ЛВС
будет равен DEI, и оста-
остающийся угол при С равен
остающемуся углу при /.
Действительно, если угол
ЛВС не равен DEI, то один из
них больше. Пусть будет боль-
больше угол ЛВС. Построим на
прямой АВ при её точке В
угол ЛВИ, равный DEI (пред-
(предложение 23 книги 1).
И поскольку угол Л ра-
равен D, угол же ЛВИ углу
DEI, то значит, остающийся
угол ЛИВ равен остающемуся
DIE. Значит, треугольник ЛВИ равноуголен треугольнику
DEI. Значит, будет, что как АВ к ВИ, так и DE к El
(предложение 4). Как же DE к El, [так] по предположению
АВ к ВС; значит, АВ к каждой из ВС, ВИ имеет то же
отношение (предложение 11 книги V); значит, ВС равна
ВИ (предложение 9 книги V). Так что и угол при С ра-
равен углу ВИС (предложение 5 книги I), Угол же при С
по предположению меньше прямого; значит, и угол ВИС
меньше прямого; так что смежный ему угол ЛИВ больше
прямого (предложение 13 книги 1), И доказано, что он
равен углу при /; и значит, vro.i при / больше прямого.
По предположению же он меньше прямого, что нелепо. Зна-
Значит, угол ABC не будет не равпым углу DEI; значит, он
равен. И угол при А равен углу при D; и значит, остаю-
остающийся угол при С равен остающемуся углу при / (пред-
(предложение 32 книги I). Значит, треугольник ЛВС равно-
равноуголен треугольнику DEI.
Но вот предположим далее, что каждый из углов при
С, / не- меньше прямого; я снова утверждаю, что и так
треугодышк ЛВС равноуголен треугольнику DEI.

184
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, после тех же построений подобным же
образом докажем, что ВС равна ВИ {черт. 8); так что
и угол при С равен углу ВИС (предложение 5 книги I),
Угол же при С не меньше прямого; значит, и угол ВИС
не меньше прямого. Вот, в треугольнике ВИС два угла
не меньше двух прямых, что невозможно (предложение 17
книги I). Значит, опять угол ABC не будет неравен углу
DEI; значит, он равен. Но а
угол при А равен углу при
В D\ значит, и остающийся угол
при С равен остающемуся углу
при / (предложение 32 кни-
книги J). Значит, треугольник ABC
paBiioyro.iLH треугольнику DEI.
Значит, если два треуголь-
треугольника имеют один угол, равный
одному углу, при других же
углах стороны пропорциональ-
пропорциональные, причём из остальных углов
каждый одновременно или мень-
меньше или ис меньше прямого, то треугольники будут равно-
угольны и будут иметь равными те углы, при которых
стороны пропорциональны, что и требовалось доказать
A2, 13, И, 15, 16, 17).
Черт,
Если в прямоугольном треугольнике проведён из пря-
прямого угла к основанию перпендикуляр, то треуголь-
треугольники при перпендикуляре подобны и целому и между
собой.
Пусть будет прямоугольный треугольник ABC, имею-
имеющий прямой угол ВАС (черт. 9), и пусть проведён из А
к ВС перпендикуляр AD; я утверждаю, что каждый из
треугольников ABD и ADC подобен целому ABC и также
между собой.
Действительно, поскольку угол ВАС pastn углу ADB,
ибо оба они прямее, и у двух треугольников ABC, ABD
рбщий угол при В, то .значит, остающийся угол АСВ ра-

КНИГА ШЕСТАЯ
185
B6si остающемуся BAD (предложение 32 книги I}; значит,
треугольник ЛВС равноуголен треугольнику ABD, Значит,
будет, что как ВС, стягивающая прямой угол в треуголь-
треугольнике ЛВС, к ВА, стягивающей прямой угол в треуголь-
треугольнике ABD, так и эта же АВ, стягивающая угол при С
в треугольнике ABC, к BD, стягивающей равный угол
BAD в треугольнике ABD, и ещё как АС к AD (пред-
(предложение 4), стягивающей угол при В общий двум тре-
треугольникам. Значит, треугольник ABC равноуголен тре-
треугольнику ABD и имеет
<с ним) пропорциональ-
пропорциональными стороны при равных
углах. Значит, треуголь-
треугольник ЛВС подобен тре-
треугольнику АВО (опреде-
(определение 1). Подобным же
вот образом докажем,
С
Черт. 9.
[треугольников] ABD и ADC
между собой треугольники
что и треугольник ABC
подобен треугольнику
A DC; значит, каждый из
подобен целому ABC.
Вот я утверждаю, что
ABD и ADC подобны.
Действительно, поскольку прямой угол BDA равен
прямому углу ADC, но, как доказано, угол BAD равен
углу при С, то значит, и остающийся: угол при В равен
остающемуся углу DAC {предложение 32 книги I), зна-
значит, треугольник ABD равноуголен треугольнику ADC.
Значит, будет, что как BD, стягивающая угол BAD тре-
треугольника ABD, к DA треугольника ADC, стягивающий
угол при С, равный углу BAD, так эта же AD треуголь-
треугольника ABD, стягивающая угол при В, к DC, стягивающей
угол DAC треугольника ADC, равный углу при В, и ещё
как ВА к ДС, стягивающие прямые углы; значит, тре-
треугольник ABD подобен треугольнику ADC (определение 1).
Значит, если в прямоугольном треугольнике проведён
из прччого угла к основанию перпендикуляр, то треуголь-
треугольники ,; in перпендикуляре подобны и целому и между
?обой [что н требовалось доказать].

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Следствие
Вот из этого ясно, сгто если провести в прямоугольном
треугольнике из прямого угла перпендикуляр к основанию,
то проведённая есть средняя пропорциональная между
отрезкадш основания, что и требовалось доказать. [И ещё
для основания и одного какого-нибудь из отрезков <ле-
жащая> при этом отрезке сторона будет средней пропор-
пропорциональной.]
Предложение 9
От данной прямой отнять предложенную часть.
Пусть будет данная прямая АВ; вот требуется отнять
от АВ предложенную часть (черт. 10).
Пусть вот предложена третья часть. Проведём из А
какую-нибудь прямую АС, образующую с АВ любой угол;
и возьмём на АС любую
точку D и отложим DEu EC,
равные AD, соединим ВС и
через D параллельно ей
проведём DJ.
n/ \ Теперь поскольку в
треугольнике ABC парал-
параллельно одной из сторон ВС
А I $ проведена ID, то, следова-
следовательно, будет пропорция —
Черт. 10. как CD -к 0Л) так и ш
к JA.
Но CD вдвое больше DA, следовательно, и В! вдвое
больше [А; следовательно, ВА втрое больше AI.
Итак, от данной прямой АВ отнята предложенная
третья часть А!, что и требовалось сделать A8).
Предложение 10
Данную нерассечённую прямую рассечь подобно дан-
данной рассечённой.
Пусть данная нерассечёнмая прямая будет АВ (черт. И).
АС же прямая, рассеченная в точках D, Я; поместим их

КНИГА ШЕСТАЯ
187
так, чтобы они заключали произвольный угол, и соединим
СВ, через D, Е параллельно ВС проведём DI, ЕН, через
же D параллельно АВ проведём DGK (предложение 31
книги I).
Значит, каждая из <фигур> Ю. GB — параллелограмм;
значит, DG равна IH, GK же равна ИВ (предложение 34
книги I). И поскольку в тре-
треугольнике DKC параллельно
одной нз сторон КС прове-
проведена прямая GE, то значит,
будет пропорция — как СЕ к
ED, так н KG к GD (предло-
(предложение 2). KG же равна ВИ,
a GD равна HI. Значит, бу-
будет—как СЕ к ED, так и ВН
к HI. Далее, поскольку в тре-
треугольнике А НЕ параллельно
одной из сторон НЕ прове-
проведена DI, то значит, будет
пропорция — как ED к DA, так и HI к IA (предложение 2).
Доказано же, что и как СЕ к ED, так ВН к HI;
значит, будет, что как СЕ к ED, так ВН к HI, как же
ED к DA, так И! к IA.
Значит, данная нерассечённая прямая рассечена подобно
данной рассечённой, что и требовалось сделать A9, 20, 21).
Предложение И
Для данных двух прямых найти третью пропор-
пропорциональную.
Пусть данные [две прямые] булут ВА, АС; поместим
их так, чтобы они заключали произвольный угол. Тре-
Требуется вот для ВА и АС найти третью пропорциональную
(черт. 12).
Продолжим их до точек Df ?, отложим BD, равную
АС соединим ВС и через D параллельно ей проведём DE
(предложение 31 книги I).
Поскольку |еперь в треугольнике ADE параллельно
одной из сторон DE проведена ВС, то будет пропорция—-

НАЧАЛА ЕЛКЛИДА
как АВ к BD, так и АС к СЕ (предложение 2). BD же
равна АС, значит, будет, что как АВ к АС, так и АС к СЕ.
Значит, для данных двух прямых
к АВ, АС найдена третья их пропор-
пропорциональная СЕ, что и требовалось
сделать.
Предложение 12
Для трёх данных прямых найти
четвертую пропорциональную.
Пусть данные три прямые будут
А, В, С; вот требуется для А, В, С
найти четвёртую пропорциональную
(черт. 13).
Отложим две прямые DE и D1 так,
чтобы они заключали [произвольный]
Черт. 12.
В
Черт. 13.
угол EDI; отложим DH, рапную А, 'л НЕ, равную
ещё DG, равную С; и соединив-
соединивши HG параллельно ей (предло-
(предложение 31 книги I) через Е, про-
проведем Е[.
Поскольку теперь в треуголь-
треугольнике DEI параллельно одной из
сторон EI проведена HG, то зна-
значит, будет, что как DH к НЕ,
так DG к 01. DH же равна А,
НЕ же равна В, DG же равна С; значит, будет, что как
А к В, так 'А С к G1.
Значит, для трёх данных прямых А, В, С найдена
четвёртая пропорциональная GI, что и требовалось сделать.
Предложение 13
Для двух данных прямых найти среднюю пропор-
пропорциональную.
Пусть две данные прямые будут АВ, ВС; вот тре-
требуется для АВ и ВС найти среднюю пропорциональную
(черт, 14).

КНИГА ШЕСТАЯ
189
Расположим их по прямой, на АС опишем полукруг
ADC, из точки В под прямыми углами к прямой АС про-
проведём BD и соединим AD и DC. Поскольку ADC есть
угол в полукруге, то он прямой
(предложение 31 книги III). И
поскольку в прямоугольном тре-
треугольнике ADC от прямого угла
к основанию провэдён перпенди-
перпендикуляр DB, то значит, DB есть
средняя пропорциональная для
отрезков АВ и ВС (предложение
8, следствие).
Значит, для двух данных прямых АВ и ВС найденп
средняя пропорциональная DB, что и требовалось сде-
сделать B2).
Предложение 14
В равных и равноугольных параллелограммах сто-
стороны при равных углах обратно пропорциональны; и из
равноугольных паралле-
параллелограммов равны те, у
которых стороны при
равных углах обратно
пропорциональны.
Пусть будут равные и
равноугольные параллело-
параллелограммы АВ и ВС, имею-
имеющие равными углы при
В; поместим DB, BE но
прямой (черт. 15); зна-
значит, по прямой будут Ei
Черт. 15. JB, ВИ. Я утверждаю,
что у АВ и ВС стороны
при равных углах обратно пропорциональны, т, е. что
будет как DB к BE, так к ИВ к BI.
Действительно, дополним параллелограмм IE. Поскольку
теперь параллелограмм АВ равен параллелограмму ВС,
a IE нечто другое, то Значит, будет, что как АВ к IE,
так и ВС к IE (предложение 7 книги V). Но как АВ

190
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
к IE, так и DB к BE (предложение 1), как же ВС к IE,
так и ИВ к BI; и значит, как DB к BE, так и ИВ к BI.
Значит, в параллелограммах АВ и ВС стороны при равных
углах обратно пропорциональны.
Но вот пусть будет, что как DB к BE, так и ИВ
к BI; я утверждаю, что параллелограмм АВ равен парал-
параллелограмму ВС.
Действительно, поскольку будет, что как DB к BE,
так и ИВ к BI, но как DB к BE, так и параллелограмм
АВ к параллелограмму IE, как же ИВ к BI, так и парал-
параллелограмм ВС к параллелограмму IE, и значит (предложе-
(предложение 1), как АВ к IE, так и ВС к IE (предложение 11
книги V); значит, параллелограмм АВ равен параллело-
параллелограмму ВС (предложение 9 книги V),
Значит, в равных и равноугольных параллелограммах
стороны при равных углах обратно пропорциональны и из
равноугольных параллелограммов равны те, у которых
стороны при равных углах обратно пропорциональны, что
и требовалось доказать B3, 24).
Предложение 15
В равных треугольниках, имеющих по одному рав-
равному углу, стороны при равных углах обратно пропор-
пропорциональны; и из треугольников, имеющих по одному
равному углу, равны те, у которых стороны при равных
углах обратно пропорциональны.
Пусть будут равные треугольники ABC, ADE, имею-
имеющие по одному равному углу — угол ВАС, равный DAE;
я утверждаю, что в треугольниках ЛВС и ADE стороны
при равных углах обратно пропорциональны, <то-есть> как
СА к AD, так и ЕА к АВ (черт. 16)*).
Действительно, поместим их так, чтобы СА была по
прямой с AD; значит, ЕА будет по прямой с АВ. И со-
соединим BD.
Поскольку теперь треугольник ABC равен треуголь-
треугольнику ADE, a BAD нечто другое, то значит, будет, что
*} Черт. 16 воспроизводи г помещённый в издании Гейберга.

ХННГА ШЕСТАЯ
191
как треугольник CAB к треугольнику BAD, так и тре-
треугольник EAD к треугольнику BAD (предложение 7 кни-
книги V). Но как CAB к BAD, так и СА к AD (предложе-
(предложение 1), как же EAD к BAD, тук и ЕА к АВ. И значит,
как СА к AD, так и ?"Л к АВ. Значит, у треугольников
ABC, ADE обратно пропорциональны стороны при равных
углах.
Но rot пусть стороны треугольников ABC н ADE
обратно пропорциональны и пусть будет, что как С А
к AD, так и ЕА к АВ; я
утверждаю, что треугольник
ABC равен треугольнику ADE.
Действительно, снова после
проведения соединяющей BD,
поскольку будет, что как СА
к AD, так и ЕА к АВ, по как
СА к AD, так н треугольник
ABC к треугольнику BAD,
как же ЕА к АВ, так и тре-
треугольник EAD к треугольнику
BAD (предложение 1), значит,
как треугольник ABC к тре~
В
Черт
угольнику BAD, таз; и треугольник BAD к треуголь-
треугольнику BAD.
Значит, каждый из треугольников ABC, EAD имеет
к BAD то же самое отношение. Значит, [треугольник]
ABC равен треугольнику EAD (предложение 9 книги I),
Значит, в равных треугольниках, имеющих по одному
равному углу, стороны при равных углах обратно пропор-
пропорциональны; и из треугольников, имеющих по одному рав-
равному углу, равны те, у которых стороны при равных
углах обратно пропорциональны, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Если, четыре прямые пропорциональны, то прямо-
прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямо-
прямоугольнику, заключённому между средними; и если прямо-
прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямо-

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угольнику, заключённому между средними, то эта
четыре прямые будут пропорциональны.
Пусть будут четыре пропорциональные прямые АВ,
CD, Е, / — как АВ к CD, так и Е к I (черт. 17); я
утверждаю, что прямоугольник, заключённый между АВ, /,
равен прямоугольнику, заключённому между CD, E.
[Действительно], проведём из точек А, С прямые .4/7,
CG под прямыми углами к АВ, СП н отчожим АН, рав-
Черт. 17.
ную /, a CG, равную Е. И дополним параллелограммы
ВН, DG.
И поскольку будет, что как АВ к CD, так и Е к /,
Е же равна CG, a / равна АИ, то значит, будет, что как
АВ к CD, так и CG к АИ. Значит, у параллелограммои
ВИ и DG стороны при равных углах обратно крешорцно-
равен параллелограмму Z)G. И ВИ есть г.^ „_,.„..„ ,,
заключённый между АВ, I, ибо АИ равна /; a DG <ирямо-
угольник> между CD, Е, ибо Е равна CG; значит, прямо-
прямоугольник, заключённый между АВ, !, равен прямоуголь-
прямоугольнику, заключённому между CD, E.
Но вот пусть прямоугольник, заключённый между АВ,
/, равен прямоугольнику, заключённому между CD, E; я
утверждаю, что эти четыре прямые пропорциональны как
АВ к CD, так и Е к !.
Действительно, после тех же построений, поскольку
<ирнмоугольник> между АВ, I равен <прямоуголышку>

КНИГА ШЕСТАЯ
193
между CD, Е, и <прямоугольннк между> АВ, I есть ВН,
ибо АН равна /, <прямоугольник> же между CD и Е
есть DG, ибо CG равно Е, то значит, ВН равен DG.
И они равноугольны. В равных же н равноугольных
параллелограммах стороны лрн равных углах обратно
пропорциональны (предложение 14). Значит, будет,
что как АВ к CD, так н CG к Al], CG же равна Е,
а АН равна /; значит, будет, что как АВ к CD, гак и
Значит, еслн четыре прямые пропорциональны, то
прямоугольник, заключённый* между крайними, равен пря-
прямоугольнику, заключённому между средними, и еслн прямо-
прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямо-
прямоугольнику, заключённому между средними, то эти четыре пря-
прямые будут пропорциональны, что и требовалось до-
доказать B5).
Предложение 17
Если три прямые пропорциональны, то прямоуголь-
ник, заключённый между крайними, равен квадрату на
средней', и если прямоугольник, заключённый между
крайними, равен к зад- ,
ращу на средней, то ~ 1
три прямые будут
пропорциональны. 8к " п| ¦ ¦¦¦¦»¦ ¦ д»— .-. — ¦ .¦¦. •
Пусть три прямые
А, В, С пропорций- С11 ¦—¦ ' ч
нальны: как А к В, Черт. IS.
так и5к С (черт. 18);
я утверждаю, что прямоугольник, заключённый между А
н С, равен квадрату на В.
Отложим О, равную В.
И поскольку будет, что как А к В, так и В к С,
а В равна D, то значит, будет, что как А к В, так и D
к С. Если же четыре прямые пропорциональны, то прямо-
прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямо-
прямоугольнику, заключённому между средними (предложение 16).
Значит, прямоугольник между А, С равен прямоугольнику
между В, D. Но прямоугольник между В, D есть квадрат
13 Евклид

НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на В; нбо В равна D; значит, прямоугольник, заключён-
заключённый между А, С, равен квадрату иа В.
ный между А, С, равен квадрату иа В.
Но вот пусть прямоугольник между А, С буд
квадрату на В; я утверждаю, что как А к В, так
Действительно, после тех же построений, по
ет равен
В С
адрату на В; я утвер
Действительно, посл
> е
у А, С будет равен
А к В, так и В к С.
й
о ка к В, т
Действительно, после тех же построений, поскольку
<прямоугольник> между А, С равен квадрату на В, но
квадрат на В есть <прямоуг9льии> В D (бо
равна D), то значит прямоугольн
прямоуголь
, С равен квадрату на В, но
уг9льиик> между В, D (ибо В
оугольник между А я С равен
т на В есть <прямоуг9льиик> между В, D (ибо В
D), то значит, прямоугольник .между А я С равен
гольнику между В и D. Если же прямоугольник
прямоугольнику между В и D. Если же прямоуг
между крайними равен прямоугольнику между средними.
то эти четыре .прямые пропорциональны (предложение 16).
Значит, будет, что как А к В, так и D к С. В же равна D;
значит, как А к В, так и В к С.
Значит если три прямые пропорциональны то прямо
Иа данной
Предложение 18
„„ „ прямой построить*) прямолинейную
фигуру, подобную данной прямолинейной фигуре и
р подобно расположен-
расположенную.
Пусть данная прямая
будет АВ, данная же
прямолинейная фи1 у-
pa — СЕ {черт. 19);
вот требуется на пря-
прямой АВ построить
прямолинейную фигу-
ч 19 ру, подобную прямоли-
прямолинейной фигуре СЕ и по-
подобно расположенную.
Соединим DI и построим на прямой АВ в её точках
" -гол ИАВ, равный углу при С, и угол АВИ, рав-
А, В уго
*) У Евклида
l — буквально «начертить».

КНИГА ШЕСТАЯ 195
ный CDI. Значит, остающийся угол CID равен углу АНВ;
значит, треугольник ICD равноуголен с треугольником НАВ.
Значит, будет пропорция: как ID к НВ, так и 1С к НА и
CD к АВ (предложение 4). Далее, построим иа прямой
ВН при её точках В, Н угол BHG, равный углу DIE,
и угол HBG, равный углу IDE {предложение 23 книги I).
Значит, остающийся угол при Е равен остающемуся при G
(предложение 32 книги I); значит, треугольняк IDE равно-
равноуголен треугольнику НОВ; значит будет пропорция: как
ID к НВ, так и IE к HG и ED к GB (предложение 4).
Доказано же, что и как ID k HBt так и 1С к НА и CD
к АВ; и значит, как 1С к АН, так н CD к АВ и IE
к НО и ещё ED к GB. И поскольку угол CID равен
АНВ, DIE же равен BHG, то значит, весь угол CIE
равен всему углу ЛЯО. Вследствие того же вот и угол
CDE равен ABG. Будет же, что и угол при С рачен углу
при Л, угол же при Е равен углу при G. Значит, <фи-
гура> AG равноугольна <фигуре> СЕ; и они имеют прн
равных углах пропорциональные стороны; значит, прямо-
прямолинейная <фигура> AG подобна прямолинейной <фи-
гуре> СЕ.
Значит, иа данной прямой построена прямолинейная
фигура AG, подобная данной прямолинейной фигуре СЕ
и подобно расположенная, что и требовалось сделать.
Предложение 19
Подобные треугольники находятся друг к другу
в двойном отношении *} соответственных сторон.
Пусть подобные треугольники будут ABC и DEI
(черт. 20), имеющие угол при В, равный углу при Е, и
как АВ к ВС, так и DE к EI, так что ВС соответственна
с EI; я утверждаю, что треугольник ABC к треугольнику
DEI имеет двойное отношение ВС к EI.
Действительно, для ВС и EI возьмём третью пропор-
пропорциональную ВН (предложение 11), так что будет, что как
ВС к Ef, так и ?"/ к ВН, и соединим АН.
*) Мы мазали бы теперь — «в отношеняи квадратов>,
13*

196
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь будет, что как АВ к ВС, так и
:/, то значит, «переставляя» будет, что как АВ к
и ВС к EI (предложение 16 книги V). Но как
ачит, «переставляя» Судет, что как АВ к иь,
к EI (предложение 16 книги V). Но как ВС
эудет и Я/ к ВИ. И значит, как АВ к DE,
С
Черт. 20.
как ВС к EI, так и Я/ к ВН, если же три прямые про-
пропорциональны, то первая имеет к третьей двойное отноше-
отношение первой ко второй (определение 9 книги V), значит,
ВС имеет к ВН двойное отношение ВС к Я/. Как же
СВ к ВН, так и треугольник ABC к треугольнику АВН
(предложение 1); и значит, треугольник ABC имеет к АВН
двойное отношение ВС к EF. Треугольник же АВН равен
треугольнику DEI; и значит, треугольник ABC имеет
к треугольнику DEI двойное отношение ВС к EL
Значит, подобные треугольники находятся друг к другу
в двойном отношении соответственных сторон [что и требо-
требовалось доказать].
Сл еде т в и е
Вот из этого ясно, что если три прямые пропорцио-
пропорциональны, то будет, что как первая к третьей, так и фи-
гура*}, построенная на первой к подобной ей и подобно
*) У Евклида тб еЕЗс$ — <идея>, «форма>. Если понимать под
словом <фигура> любую прямолинейную фигуру, то «следствие»

КНИГА ШЕСТАЯ 19?
построенной фигуре на второй [поскольку доказано, что
как СВ к ВИ, так и треугольник ABC к треугольнику
ЛВИ, то-есть DEl)t что и требовалось доказать,
Предложение 20
Подобные многоугольники разделяются на подобные
треугольники в равном количестве *} и в том же отноше-
отношении**), что и целые (многоугольники'}, и многоугольник
к многоугольнику имеет двойное отношение соответ-
соответственных сторон.
д
Черт. 21.
Пусть подобные многоугольники будут ABCDE и
IHGKL (черт. 21) и ЛВ соответствует Ш\ я утверждаю,
что многоугольники ABCDE и !HGKL разделяются на
подобные треугольники в равном количестве и в том же
отношении, что и целые <многоугольники>, и многоугольник
ABCDE имеет к многоугольнику IHGKL двойное отноше-
отношение АВ к 1И.
нужно признать несколько преждевременным, Но наличие опре-
определенного члена то позволяет думать, что в данном случае под
термином «фигура» попилатась та фигура, которая рассматрива-
рассматривалась в данном предложении, т. е. именно треугольник. В некото-
некоторых списках «Начал» вместо слова «фигура» действительно
стоит «треугольник»; Гейберг считает, что эт"о позднейшее изме-
изменение.
*) sts; lea тб jO.Tjfics — буквально «на равные по количеству».
**) ъу.'йщ1 топи &).?.'.; — буквально «одинаковые цо отношению
с целыми».

198
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
много-
многоСоединим BE, EC, HL, LG.
И поскольку многоугольник ABCDE подобен ...
угольнику IHGKL, угол ВАЕ равен углу HIL (определе-
(определение 1). И будет, что как ВА к АЕ, так и N1 к IL (там
же). Поскольку теперь будут два треугольника ABE, IHL,
имеющих один угол, равный одному углу, стороны же
при равных углах пропорциональные, то значит, треуголь-
треугольник ABE равноуголен треугольнику IHL (предложение 6);
так что и подобен; значит, угол ABE равен IHL. Но и
весь угол ABC равен всему углу IHG вследствие подобия
многоугольников; значит, остающийся угол ЕВС равен LHG.
И поскольку вследствие подобия треугольников ABE и
IHL будет, что как ЕВ к ВА, так и LH к HI, но вслед-
вследствие подобия многоугольников будет, что как АВ к ВС,
так и IH к НО, то значит, «по равенству» будет, что
как ЕВ к ВС, так и LH к HG {предложение 22 книги V),
и при равных углах ЕВС. LHG стороны пропорциональ-
пропорциональны; значит, треугольник ЕВС равноуголен треугольнику
LHG (предложение 6): так что треугольник ЕВС и по-
подобен треугольнику LHG (предложение 4. определение 1).
Вследствие того же вот и треугольник ЕС О подобен
треугольнику LGK- Значит, многоугольники ABCDE,
IHGKL разделены на треугольники подобные и в равном
количестве.
Я утверждаю, что они и в том же отношении, что и
целые, то-есть что треугольники пропорциональны, и пре-
предыдущие будут ABE, ЕВС, ECD, последующие же пи
IHL, LHG, LGK, и что многоугольник ABCDE име-
имеет к многоугольнику IHGKL двойное отношение соответст-
соответственной стороны к соответственной стороне, то-есть АВ
к IH.
Действительно, соединим АС и IG. И поскольку вслед-
вследствие подобия многоугольников угол ABC равен углу IHG
и будет, что как АВ к ВС, так и /Я к HG, то треуголь-
треугольник ABC равноуголен треугольнику IHG (предложение 6):
значит, угол ВАС равен HIG, угол же ВСА равен HGI.
И п скольку угол ВАМ равен HIN и также угол АВМ
равен IHN, то значит, и остальной угол АМВ равен
остальному углу INH (предложение 32 книги ]); значит,

КНИГА ШЕСТАЯ
199
треугольник АВМ равноуголен треугольнику IHN. Подобным
же вот образом докажем, что и треугольник ВМС равно-
равноуголен треугольнику HKG. Значит, будет пропорция: как
AM к MB, так и IN к NH, как же ВМ к МС, так н
HN к NG (предложение 4); так что и «по равенству» как
AM к МС, так а IN к NG (предложение 22 кинги V).
Но как AM к МС, так и [треугольник] АВМ к МВС н
АМВ к ЕМС {предложение 1), ибо они <отеюсятся> друг
к другу как основания. И значит, как одна из предыду-
предыдущих к одной из последующих, так и все предыдущие ко
всем последующим (предложение 12 книги V); значит,
как треугольник АМВ к ВМС, так и ABE к СВЕ. Но
как АМВ к ВМС, так и AM к МС; н значит, как AM
к МС, так и треугольник ABE к треугольнику ЕВС,
Вследствие того же вот и как IN к NG, тик и треуголь-
треугольник IHL к треугольнику HLG. И будет, что как AM
к МС, так и IN к NG; и значит, как треугольник ABE
к треугольнику ВЕС, так и треугольник IHL к треуголь-
треугольнику HLG, и «переставляя», как треугольник ABE к тре-
треугольнику IHL, так и треугольник ВЕС к треугольнику
HLG (предложение 16 книги V). Подобным же вот обра-
образом, соединив BD и НК, докажем, что и как треугольник
ВЕС к треугольнику LHG, так и треугольник ECD к тре-
треугольнику LGK. И поскольку будет, что как треугольник'
ABE к треугольнику IHL, так и ЕВС к LHG, и затем
ECD к LGK, и значит, как одна из предыдущих к одной
из последующих, так и все предыдущие ко всем после-
последующим (предложение 12 книги V), значит, будет, что
как треугольник ABE к треугольнику IHL, так и много-
многоугольник ABCDE к многоугольнику IHGKL. Но треуголь-
треугольник ABE к треугольнику IHL имеет двойное отношение
соответственной стороны АВ к соответственной стороне
IH, ибо подобные треугольники находятся в двойном от-
отношении соответственных сторон. И значит, многоугольник
ABCDE к многоугольнику IHGKL имеет двойное отноше-
отношение соответственной стороны АВ к соответственной сто-
стороне IH.
Значит, подобные многоугольники разделяются на по-
подобные треугольники, в ранном количестве и в том же

*w НАЧАЛА ЕВКЛИДА
отношении, что и целые, и многоугольник к многоугольнику
имеет двойное отношение соответственных сторон [что и
требовалось доказать].
Следствие
Таким же образом и для [подобных] четырёхугольников
будет доказано, что они в двойном отношении соответ-
соответственных сторон. Доказано же и для треугольников; так
что и вообще подобные прямолинейные фигуры будут
Лруг к другу в двойном отношении соответственных сто-
сторон, что и требовалось доказать.
[Следствие 2
И если мы для АВ, Ш возьмём третью пропорциональ-'
ную Q, то ВА имеет к Q двойное отношение АВ к IH.
Но и многоугольник к многоугольнику или четырёхсторон-
четырёхсторонник к четырёхстороннику имеет двойное отношение со-
соответственной стороны к соответственной стороне, т. е. АВ
к IH', доказано же это было относительно треугольников;
так что и вообще очевидно, что если три прямые про-
пропорциональны, то будет, что как первая к третьей, так и
<построенная> на первой фигуре к фигуре подобной и
подобно построенной на второй.] B6)
Предложение 21
-(ФигурыУ, подобные одной и той же прямолинейной
фигуре, подобны и между собой.
Действительно, пусть каждая нз прямолинейных фигур
А и В подобна С; я утверждаю, что и А подобна В
(черт. 22).
Действительно, поскольку А подобна С, она равно-
равноугольна с ней и имеет при равных углах пропорциональ-
пропорциональные стороны (определение 1). Далее, поскольку В по-
подобна С, она равноугольна с ней и имеет прн равных
углах пропорциональные стороны (определение 1). Значит,
каждая из А и В равноугольна С и имеет прн равных

КНИГА ШЕСТАЯ
201
Черт. 22.
углах пропорциональные стороны [так что и А равно-
равноугольна В и имеет при равных углах пропорциональные
стороны]. Значит, А подобна
В (определение 1), что и тре-
требовалось доказать.
' А \ \ В
Предложение 22
Если четыре, прямые про-
пропорциональны, то и подобные
и подобно построенные *) на
них прямолинейные фигуры
будут пропорциональны; и
если подобные и подобно по-
построенные на них прямоли-
прямолинейные фигуры пропорциональ-
пропорциональны, то и сами эти прямые
будут пропорциональны.
Пусть четыре пропорциональные прямые будут ' АВ,
CD. EL HG) <так что> как АВ к CD, так и ?/ к Ш;
построим на АВ и CD
подобные и подобно
расположенные прямо-
прямолинейные фигуры КАВ,
LCD, а на EI и HG
подобные и подобно
расположенные прямо-
прямолинейные фигуры Ml и
NG (черт. 23); я ут-
утверждаю, что как КАВ
к LCD, так и Ml к NG.
Действительно возь-
возьмём для АВ, CD тре-
третью пропорциональную
X, а для ?/, Ш тре-
третью пропорциональную О (предложение И). И посколь-
поскольку будет, что как АВ к CD, так и EI к HG как
Черт. 23.
*) В подлиннике Ь
начерченные.

202
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
же CD к X, так и HG к О*) (черт. 24}, то значит,
«по равенству» будет, что как АВ к X, так и El к
О (предложение 22 книги V}. Но как АВ к X, так и
КАВ к LCD (предложение 19, следствие), как же El к О,
так н MJ к NG (там же); и значит, как КАВ к LCD, так
и Л// к ArG.
Mo вот пусть будет, что как КАВ к LCD, так и Ml
к NG; я утверждаю, что будет и как АВ к CD, так El
к HG. Действительно, если не будет, что как АВ к CD,
1&К и EJ к #G, то пусть будет, что как АВ к СО, так
и EI к фР (предложение 12)
и на QP построим прямолиней-
прямолинейную фигуру SP, подобную и
подобно расположенную каждой
из фигур MJ и NG (предло-
женле 18 и предложение 21).
Поскольку теперь будет,
что как АВ к CD, так и
El к QP, и на АВ, CD построены подобные и подобно
расположенные фигуры КАВ и LCD., на El, QP же подоб-
подобные и подобно расположенные <ф-,]гуры> ЛИ и SP, то
значит, будет, что как КАВ к LCD, так и Ml к SP. Пред-
полагается же, что и как КАВ к LCD, так и Ml к NG; и зна-
значит, как ЛИ к SP, так и /И/ к NG, Значит, Ml имеет то же
самое отношение к каждой из NG, SP; значит, NG равна
SP (предложение 9 книги V}, Она же ей подобна и подобно
расположена; значит, HG равна QP**). И поскольку будет,
'ко как АВ к CD, так и Е! к QP, QP же равна HG,
то значит, будет, что как АВ к CD, так и El к HG.
Значит, если четыре прямые пропорциональны, то и по-
подобные и подобно построенные на них прямолинейные фи-
фигуры будут пропорциональны; н если подобные и подобно
построенные на них прямолинейные фигуры пропорцио-
пропорциональны,, то и сами эти прямые будут пропорциональны,
что и требовалось доказать.
*)И6о по предположению: AB:CD^=CD:Xu FJ:HG~HG\G
И AB:CD = EI\HG (Гейберг).
**) Ибо, если NG-.SP^HG-'.QP2 (предложение20)nNG~SP,
то будет QP* = HG\ т. е. QP=HG (Гейберг),

КНИГА ШЕСТАЯ
203
[Л емма]
[А что если прямолинейные фигуры равны и подобны,
то будут равны между собой и их соответственные сто-
стороны, мы докажем так.
Пусть равные и подобные прямолинейные фигуры будут
KG, SR и пусть будет, что как GH к HN, так и RP
к PS; я утверждаю, что RP равно GH.
Действительно, если они не равны, го одна из них бу-
будет больше. Пусть RP будет больше GH. И поскольку бу-
будет, что как RP к PS, так и GH к HN, и, «персстап-
ляя», как RP к GH, так и PS к HN, RP же больше GH,
то значит, и PS больше HN; так что и RS больше GN.
Но она и равна, что невозможно. Значит, не будет RP
неравной HG; значит, она равна, что и требовалось доказать.]
Предложение 23
Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу
составное отношение их сторон.
Пусть будут равноугольные параллелограммы AC, CI,
имеющие угол BCD, равный ECH (';epi. 25); я утверждаю,
что параллелограмм
АС имеет к паралле-
параллелограмму С/ отноше-
отношение, составленное из
<о'пшшешш сторон).
Действительно, по-
поместим их так, чтобы
ВС била по прямой с
СИ; значит, н DC
будет по (грямой с СЕ.
И дополним параллс-
лограмм DH, оглижим ерт" "'}-
некоторую прямую К и сделаем, чтобы как ВС к СИ,
так и К к I, как же DC к СЕ, так и L к М.
Значит, отношения [( к L н L к М такие же, что и
отношения сторон, <именно> ВС к СИ и DC к СЕ. Но
отношение К к М сосгавлжпси из птношений К к L и

204
К-1ИДА
L к М\ так что и К имеет к М отношение, составлен-
составленное из <отношений> сторон. И поскольку будет, что как
ВС к СИ, так и параллелограмм АС к CG (предложение 1),
но как ВС к СИ, так и К к L, то значит, как К к I,
так и АС к CG. Далее, поскольку будет, что как DC
к СЕ, так и параллелограмм CG к С/ (предложение 1),
но как DC к СЕ, так и L к Ж, и значит, как L к Л1,
так и параллелограмм CG к параллелограмму С/. По-
Поскольку теперь доказано, чю как К к /,, так п парал-
параллелограмм АС к параллелограмму CG, как же L к Л1,
так и параллелограмм CG к параллелограмму С/, ю зна-
значит, <?ио равенству» (предложение 22 книги V), будет,
что как К к М, так" и АС к параллелограмму С/. К же
имеет к Л1 отношение, составленное из <отношеш1й>
сторон; и значит, АС к CI имеет отношение, составленное
из <оч ношений) сторон.
Значит, равноугольные параллелог раммы имеют друг
к другу составное отношение их сторон, что и требова-
требовалось доказать.
Предложение 24
Во всяком параллелограмлге параллелограммы на диа-
диаметре подобны и целому и. между собой.
р р в Пусть будет параллелограмм
ABCD, диаметр же его АС, парал-
параллелограммы же на АС пусть б)--
дут ЕЙ и GK (черт. 26); я ут-
утверждаю, что каждый из парал-
параллелограммов EH, GK подобен
целому ABCD и друг другу.
Действительно, поскольку в
треугольнике ABC параллельно
одной из сторон ВС проведена EI,
то будет пропорция — как BE
к ЕА, так и С/ к IA (предложение 2}. Далее, поскольку
в треугольнике ACD параллельно одной из сторон CD
проведена /Я, будет пропорция — как С/ к IA, так
и DH к НА (там же}. Но как CJ к IA, так по дока-
доказанному и BE к ЕЛ; и значит, как BE к EAt так и
В К
Черт. 26.
С

КНИГА ШЕСТАЯ 205
DH к И А, и значит, «соединяя» (предложение 18
книги V) как ВЛ к АЕ, так и DA к АН, и «переставляя» —
как ВА к AD, так и ЕА к ЛЯ (предложение 16 книги V).
Значит, в параллелограммах ABCD, ЕЙ стороны при об-
общем угле BAD пропорциональны. И поскольку И! парал-
параллельна DC, то угол А!И будет равен DCA (предложение 29
книги I); и DAC есть общий угол двух треугольников
ADC, AHJ; значит, треугольник ADC равноуголен тре-
треугольнику АИ! (предложение 32 книги I), Вот вследствие
того же и треугольник АСВ равноуголен треугольнику А!Е,
и весь параллелограмм ABCD равноуголен параллело-
параллелограмму ЕЙ. Значит, будет пропорция: как AD к DC,
так и АИ к HIt как же DC к СА, так н И! к /.4, как
же АС к СВ, так и А! к !Е, и еще, как СВ к ВА, так
и !Е к ЕА (предложение 4). И поскольку доказано, что
как DC к СА, так и И! к IA, как же АС к СВ, так и
А! к !Е, то значит, «по равенству» (предложение 22
книги V) будет, что как DC к СВ, так и И! к IE. Зна-
Значит, в параллелограммах ABCD, ЕЙ стороны при равных
углах пропорциональны *); значит, параллелограмм ABCD
подобен параллелограмму ЕЙ. Вследствие того же вот и
параллелограмм ABCD подобен параллелограмму KG;
значит, каждый из параллелограммов ЕЙ, GK подобен [парал-
[параллелограмму] ABCD. <Фигуры> же, подобные одной и той
же прямолинейной фигуре, подобны и между собой (пред-
(предложение 21); и значит, параллелограмм ЕЙ подобен па-
параллелограмму ОК.
Значит, во всяком параллелограмме параллелограммы
на диаметре подобны и целому и между собой, что и
требовалось доказать.
Предложение 25
Построить подобную данной прямолинейной фагмре
а равную другой данной ту лее Кфигуруу.
Пусть ABC будет та данная прямолинейная фигура,
которой должна быть подобна строящаяся, D же та, ко
*) Ибо доказано, что BA:AD=zEA\AH, AD:DC^AH:H1,
HI:1E = DC\CB, 1E:EA=CB:BA (Гейберг).

20$
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
торой должна быть раина (черт. 27); бот требуется по-
построить подобную ЛВС и равную D ту же <фигуру>.
«Приложим-» к ВС параллелограмм BE, равный тре-
треугольнику ABC (черт. 27) (предложение 44 книги I),
к СЕ же параллелограмм СМ, равный D, в угле /СЕ, ко-
который равен CBL (предложение 45 книги I). Значит, ВС
» будет по -прямой с CJ, a IE с ЕМ. И возьмём для ВС
и С/ среднюю пропорциональную HG (предложение 13)
и построим на HG <треугольник> KHG, подобный и подобно
расположенный с ABC (предложение 18).
п—1
Черт. 27.
И поскольку будет, что как ВС к HG, так и HG к С/,
если же трн прямые пропорциональны, то будет, что как
первая к третьей, так и фигура, <етостроеннан> на первой
к подобной и подобно построенной на второй (предложе-
(предложение 19, следствие), значит, будет, что как ВС к С1, так
и треугольник ЛВС к треугольнику KHG. Но и как ВС
к С/, так и параллелограмм BE к параллелограмму Е!
(предложение 1). И значит, как треугольник ЛВС к тре-
треугольнику KHG. так и параллелограмм BE к параллело-
параллелограмму El; значит «переставляя», как треугольник ABC
к параллелограмму BE, так и треугольник KHG к парал-
параллелограмму El (предложение 16 книги V). Треугольник
же ABC равен параллелограмму ЕВ; значит, и треуголь-
треугольник KHG равен параллелограмму El. Но параллелограмм
1:1 равен D; и значит, KHG равен D. И также KHG по-
подобен ABC.

Книга шестчя
207
Значит, построена подобная данной прямолинейной фи-
фигуре ЛВС и равная друюй данной D та же <фигура> KHG,
что а требовалось сделать.
Предложение 26
Если от параллелограмма отнимается параллело-
параллелограмм, подобный и подобно расположенный целому, имею-
имеющий с ним общий угол, то он будет на том же диа-
диаметре, что и целый.
Черт. 28.
Пусть от параллелограмма ABCD отнимается парал-
параллелограмм А[ (черт. 28), подобный и подобно расположен-
расположенный с ABCD, имеющий с ним общий угол DAB; я утвер-
утверждаю, что ABCD будет на том же диаметре, что и AL
Действительно, пусть не так, но если возможно, пусть
[у них] будет диаметр AGC; продолженную Hi доведём
до О н через О параллельно каждой из AD, ВС проведём
GK (предложение 31 и 30 книги I).
Поскольку теперь ABCD будет на том же диаметре,
что КН, будет значит, что как DA к АВ, таи н ИЛ к АК.
Вследствие же подобия ABCD, ЕЙ будет, что и как DA
к АВ, так и НА к АЕ (определение 1); и значит, как НА
к АК, так ir ИА к АЕ. Значит, ИА к каждой из АК, АЕ
имеет то же отношение. Значит, АЕ равна АК (предло-
(предложение 9 кынгн V), меньшая большей, что невозможно.
Значит, не будет ABCD не па том же диаметре, что и А1\

208 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
значит, параллелограмм ABCD будет на том же диаметре,
что и параллелограмм А/.
Значит, если от параллелограмма отнимается паралле-
параллелограмм, подобный и подобно расположенный целому,
имеющий с ним общий угол, то он будет на том же диа-
диаметре, что и целый, что и требовалось доказать.
Предложение 27
Из всех параллелограммов, приложенных к той же
прямой и имеющих недостатки в виде параллелограм-
параллелограммов*), подобных и подобно расположенных -(параллело-
D N
граммуу, построенно-
построенному на половине^ наи-
наибольшим будет [па-
[параллелограмм], при-
ложенный к половине
и подобный своему не-
недостатку.
Пусть прямая будет
A3, пусть она рассечена
пополам в Си пусть
к прямой АВ приложен
параллелограмм AD
(черт. 29), имеющий недостаток в виде параллелограмма
DB, построенного на половине АВ, т. е. СВ; я утверждаю,
что из всех параллелограммов, приложенных к АВ, имею-
имеющих недостатки в виде [параллелограммов], подобных и
подобно расположенных с DB, наибольший будет AD.
Приложим к прямой АВ параллелограмм Л/, имеющий
недостаток в виде параллелограмма IB, подобного и по-
*) Несколько вольный перевод евклидова HUikqvcw dhsi
rca^aUrf/.e-fcdii^u; - недостающих параллельно-линейными фигурами.
Кроме того, следует сказать, что здесь, как и в других слу-
случаях, термин eUslrov остаётся не вполне выясненным. Недостаток
параллелограмма ACD, построенного на прямой АВ (при
АС < АВ) — это прилежащий к нему справа параллелограмм
CBED, который вместе с ACD даёт весь построенный на АВ
I нардллелограим.

книга школя -*jy
добно расположенного с DB, и у тверждаю, что АО
больше А/.
Действительно, поскольку параллелограмм DB подобен
параллелограмму IB, то они будут на одном и том же
диаметре (предложение 26). Проведём их диаметр DB
и построим чертёж*).
Поскольку теперь С/ равча IE (предложение 43 книги 1),
IB же общая, то значит, вся CG равна всей КЕ. Но CG
равна СИ, поскольку и АС <равна> СВ (предложение 1).
И значит, ИС равна ЕК. Прибавим общую С!\ значит,
весь AI равен гномону LMN\ так что параллелограмм DB,
т. е. AD, больше параллелограмма AL
Значит, из Rcex параллелограммов, приложенных к той
же прямой и имеющих недостатки в виде параллелограм-
параллелограммов, подобных и подобно расположенных <параллелограмму>,
построенному на половине, наибольшим будет приложенный
к половине, что и требовалось доказать B7, 28).
Предложение 28
/Г данной прямой при южить равный данной прямоли-
прямолинейной фигуре параллелограмм, имеющий недостаток
в виде параллелограмма, подобного данному; необходимо
же, чтобы данная прямолинейная фигура {равную ко-
которой надо приложить], была не больше (фигуры>, по-
построенной на половине, подобной недостатку [от <.фи-
гурыУ на половине и подобную которой надо взять в не-
недостатке}.
Пусть данная прямая будет АВ, данная же прямо-
прямолинейная фигура, равную которой следует приложить к Ли
(черт. 30), пусть будет С, не большая построенной на по-
половине АВ и подобной недостатку, та же, которой должен
быть подобен недостаток, пусть будет О; вот требуется
к данной прямой приложить параллелограмм, равный дан-
данной прямолинейной фигуре С с недостатком в виде парал-
параллелограмма, подобного D.
*) /л-.а^г-[рЦЬ<л toe^a—то же самое выражение, что и в
предложениях 7 н S книги Ц, _ ,
14 Евклид

210
HVIA.1A 11ВКЛИДА
Рассечём ЛВ попилам в точке Е и на ЕВ построим
EBIH, подобный и подобно расположенный с D (предло-
(предложение 18), и дополним параллелограмм ЛИ.
Если теперь АН равен С, то заданное уже было бы
сделано, ибо к данной прямой ЛВ приложен равный дан-
данной прямолинейной фшуре С параллелограмм ЛИ, у ко-
которого непоетяток в визе параллелограмма ИВ, подобного D.
п и /У Г
Если же пег, то пусть GE будет больше С. Но GE равно
ИВ; значит, ИВ больше С. Вот лостро-ni равную тому
избытку, на сколько ИВ больше С, а также подобную
1) подобно D расположенную ту же <фигуру> KLMN
(предложение 25), Но О подобна ИВ; и значит, КМ по-
подобна ИВ (предложение 21), Пусть теперь KL будет со-
соответственной НЕ, 1-М лее <соотвстств2шюй> HI, И по-
поскольку ИВ раина С, f(Ai <вместе>, то значит, ИВ болыил
КМ; значит, и НЕ больше KZ, a HI больше LM^). От-
Отложим ИХ, равную KL, НО же, равную LM, и дополним
параллелограмм XHOQ; значит, [HQ] равен и подобен**)
КМ [но КМ подобен ИВ]. И значит, HQ подобен НВ
(предложение 21); значит, HQ будет иа одном и том же
*) Ибо по предложению '20 будет: НВ;КМ~- //?-:/f/.! =
=п ffPiLAP. Уже если ИВ > КМ, то будет НЕ3 > К*-2, Ш* > LM\
т. е. НЕ > KL, HI > LM (Гейберг).
**> Так как НВ подобен КМ, то ?0НХ = ?КШ, Значит,
HQ и КМ равноугольны, а поэтому и подобны (определение 1)
и равны (предложение 14) (Гейберг),

КНИГА ШРСТЛЯ
диаметре с ИВ (предложение 2С), Пусть их диаметр бу-
будет HQB, и достроим чертёж*).
Теперь, поскольку ВИ равна С, КМ <вчесте>, из ко-
которых КМ равна HQ, то значит, остаток-гномон YxF ра-
равен остатку С. И поскольку ОР равен А\*? (предложе-
(предложение 43 книги I), прибавим общую QB; значш, вся ОИ
равна всей ХВ.
Но ХВ равен ТР., поскольку и сторона АВ равна сто-
роне ЕВ (предложение I); н значит, ТЕ равен ОВ. Прибавим
общую XS; значит, вся TS равна всему гномону рхУ.
Но доказано, что гномон ГхУ раг.ен С; и значит, TS ргл-
вен С.
Значит, к даннаИ прямой АВ приложен равный данной
прямолинейной фигуре С параллелограмм ST, имеющий
недостаток в опде параллелограмма, подобного D [посколь-
[поскольку QB подобна HQ] **), что и требовалось сделать B9).
¦ Предложение 29
А" данной прямой приложить павычй данной прпмг-
.шнейной фигуре параллелограмм с избытком***) 8 виде
параллелограмма, подобного данному.
Пусть данная прямая будет АВ, данная же прямоли-
прямолинейная фигура, равную которой следует приложить к АВ,
пусть будет С, а та, которой должен быть подобен из-
избыток, пусть будет D (черт, 31); пот требуется к прямой
АВ приложить равный прямолинейной фигуре С паралле-
параллелограмм с избытком в виче параллелограмма, подобного D.
Рассечём АВ пополам в Е и на ЕВ построим подоб-
подобный и подобно расположенный D параллелограмм В( и по-
*) /a-a-^Yfisita "о а/г^хз. -- см. прелпожснне 27,
**) Ибо QB подобна HQ (по предложению 24) н подобна D
Поставленные в скобках слова подложим, ибо без причины дела-
делается упоминание о HQ (ГеЙберг(.
***) Термин ймр?4Цо* страдает тем же педостатком, что
и ЛН'.да, Если бзять прямые ЕО и ?, то при ЕС) > ЕВ нзбьп-
ком надо считать параллелограмм BOLM, который следует отнять
от всего параллелограмма EOMI, чтобы получить параллело-
параллелограмм EBLIt достроенный только нэ стороне ?В.
14*

21- НАЧАЛА КВК.'ШДА
строим равный вместе взятым В/, С, подобный и по-
подобно расположенный D (предложение 25) <параллело-
грамм> HG.
Пусть KG будет соответственной П., а К И соот-
соответственной IE, И поскольку HG больше 1В, то значит,
и KG больше IL, а КН больше IE. Продолжим IL, IE и
пусть ILM будет равна KG, a IEN равна КН, и допол-
дополним A1N; значит, MN равен и подобен NG. Но HG
подобен EL\ значит, и МЫ подобен EL (предложение
-V Q X
21); значит, EL будет на одном диаметре с MN (пред-
(предложение 25). Проведём диаметр их IX и достроич чер-
Тёж.
Поскольку HG равен EL, С<иместе>, но HG равен MX,
те значит, и МЫ равен EL, С <вместе>. Отнимем общую EL,
значит, остаток гномон RXF равен С. И поскольку АЕ
равна ЕВ, то и AN равен NB, то-есть LO (предложе-
(предложение 43 книги I). Прибавим общую ЕЛ; значит, весь АХ
равен гномону RXF. Но гномон RXF равен С; и значит,
АХ равен С.
Значит, к данной прямой АВ приложен равный прямо-
прямолинейной фигуре С параллелограмм АХ с избытком в виде
параллелограмма QO, подобного D, поскольку н OQ по-
подобен EL (предложение 24), что и требовалось сделать C0)

КНИГА ЩЕСТЛЯ
213
, б
Черт. 32.
Предложение 30
Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем
и среднем отношении.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ; во г
требуется рассечь прямую АВ в край-
крайнем и среднем отношении (черт. 32).
Построим на АВ квадрат ВС и
приложим к АС равный ВС паралле-
параллелограмм CD с избытком — фигурой AD,
подобной ВС (предложение 29),
ВС же есть квадрат; значит, и AD
квадрат. И поскольку ВС равен CD,
то отнимем общее СЕ; значит, остаток
BI равен остатку AD, Он же п рав-
равноуголен ему *); значит, в В! и AD
стороны при равных углах обратно
пропорциональны (предложение 14)"; зна-
значит, будет, что как IE к Ер, так и
АЕ к ЕВ. Но IE равна ЛВ**), ED же
равна АЕ, Значит, будет, что как ВА к АЕ, так и АЕ
к ЕВ. Но АВ больше АЕ; значит, и АЕ больше ЕВ
(предложение 14 книги V).
Значит, прямая АВ рассечена н Е в крайнем и среднем
отношении (определение 3) и больший её отрезок АЕ, чю
и требовалось сделать C1, 32).
Предложение 31
В прямоугольных треугольниках фигура на стороне,
стягивающей прямой угол, равна (вместе взятым} фи-
фигурам на сторонах, заключающих прямой угол, подоб-
ны.и ей и подобно построенным.
Пусть будет прямоугольный треугольник ABC, имею-
имеющий прямой угол ВАС; я утверждаю, что фигура на ВС равна
*} Ибо оба прямо\тольникн (Гейбер|1.
^ ИбО ^- "тг* Af^ t ППР 1 jrrtWftH..^ О Л
> Мб
(Гейберг).
р (]ейбер[).
^—ЛС (предложение 34 книг* I) я АС — А

214
НАЧ1ЛА ЕВКЛИДА
фигурам на ВА и АС, подобным и подобно построенным
(черт. 33).
Проведём перни*днк\:шр<-Ш. Посколып теперь в прямо-
прямоугольном трезтлышке ЛВС па прямого угла при Л про-
проведен к ос новацию ВС перпендикуляр AD, треугольники
ABD и ADC при перпендикуляре подобны и целому ABC
и между собой (предложение 8). И поскольку ABC по-
подобен ABD, чо (по о предел синю 1) значит, будет, что как
СВ к ВА, так и АВ к BD. И поскольку три прямые
пропорциональны, то бу-
будет, что как первая к
третьей, ик и фигура па
первой к фигуре на вто-
второй, ей подобной и по-
подобно построенной (пред-
(предложение 19, следствие').
Значит, как СВ к BD,
так и фигура на СВ к
подобной и подобно по-
построенной на ВЛ. Бог
уследстви. тою же п i,;ik
ВС к CD, лак и фигура
на ВС к <фш уре> члСА *).
lepi.
Так что и как ВС к BD, DC <вместе>, так и фигура
на ВС к <ф!цурам> на ВА, АС, подобным и подобно по-
построенным**). ВС же равна BD, DC <вместе>; зиачт,
и фигура на ВС равна <вл1есте взятым> фигурам на ВЛ,
АС, подобным и подобно расположенным ***),
¦-ilioo ABC но лобпа ИЛС. Значит, ВС:СА~ CA:CD (ГсШр\).
*:iii Пусть построенные на ВС, АС ц АВ фиглры будут а,
, с. Мы" показали, что BC;BD -- а:с, BC'-CD —'a:b. Зиачш,
C:a ~=-CD\b — BD;c,
CIJ:HD~ I*-c,
(CD \-BDy.BD = {b 'rc)\r,
(CD -f ISDy.yb -f c\ ~ BD:c — BC:a,
BC;{CD+BD)=:a:{b+c) (Гейберг).
***) Ибо BC:a = {CD + BD}:(b + c}-=BC:{b-[-c). Поэтому,
— b-x-c (предложение 9 книги V) (ГеЦбср^.

КНИГА ШЕСТАЯ
215
- Значит, в прямоугольных rpcjiельниках фигура ил стм-
роне, стягивающей прямой угол, равна <вместе взяты ч>
фигурам на сторонах, заключающих прямой угол, подобным
ей и иолобно построенным, что и требовалось дока-
п. C3, 34).
Предложение 32
Вели двч треугольника, имеющих две стороны про-
порционалъные двум сторонам, приставляются одним
В
1ерг. 31.
углом, так, чтобы соответственные стороны была
и. параллельны, /по остальные стороны треугольников
ovdvm no родной"/ прямой.
Пусть будут два треугольника ЛВС, DCE. имеющих
две стороны ВЛ, АС пропорциональные двум сторонам DC,
DE. как АВ к АС так и DC к DE, и АВ параллельна DC,
АС же DE; я утверждаю, 'по ВС будет по водной) пря-
прямой с СЕ (черт. 34).
Действительна, поскольку ЛВ параллельна ОСп на них
мила прямая АС, то иакрь-стлежащие углы ВАС, ACD
равны между собой (предложение 29 книги I).
Во! вследствие тою же и уюл CDE равен углу ACD.
Так что и угол ВАС равен углу CDE. И поскольку есть
два треугольника ABC, ОСЕ, имеющих один угол при /1,
равный одному углу при D, стороны же при равных

216
Н.ЧЧЛ.Л_\ ЕВКЛИДА.
>глах пропорциональные: как ВА к АС, так и CD к DE,
то значит, треугольник ЛВС равноуголен треугольнику DCE
(предложение 6); значит, угол ABC равен углу DCE. До-
Доказано же, что и угол ACD равен ВАС; значит, весь угол
АСЕ равен двум углам ABC, ВАС. Прибавим общий угоч
АСВ; значит, "углы АСЕ, АСВ равны ВАС, АСВ н СВА.
Но углы ВАСу ABC, АСВ равны двум прямым; и значит, уг- ¦
лы АСЕ, АСВ равны двум прямым. Вот на некоторой пря-
прямой АС при её точке С две прямые ВС, СЕ, располо-
расположенные не с одной стороны, образуют смежные углы АСЕ,
АСВ, <вместе> равные двум прямым; значит, ВС будет
по <одной> прямой с СЕ (предложение 14 книги I).
Значит, если два треугольника, имеющих две стороны,
пропорциональные двум сторонам, приставляются одним
углом так, чтобы соответственные стороны были и парал-
параллельны, то остальные стороны будут находиться на одной
прямой, что и требовалось доказать C5).
Предложение 33
В равных кругах- углы имеют то же отношение, что
пбводы, на которых она стоят, будут ли они находиться
при центре или при обводах.
Пусть будут равные круги ABC, DEI, н in сть при
их центрах Н, G будут углы ВИС, EG!, на обводах же
углы ВАС, EDI; я утверждаю, что будет как обвод ВС
к обводу EI, так и угол ВИС к углу EG! и как угол ВАС
к углу EDI (черт. 35).
Отложим подряд сколько yi одно равных обводу ВС
смежных <дуг> СК, KL и столько же равных обводу
Е1 <дуг> JM, MN и соединим ИК, HL, GM, GN.
Теперь, поскольку равны между собой обводы ВС. СК,
KL> будут равны между собой м углы ВИС, СНК, KHL
(предложение 27 книги III); значит, сколько раз обвод BL
кратен обводу ВС, столько же раз угол BHL кратен
углу ВИС. Вот вследствие того же и сколько раз обвод
EN кратен обводу Е!, столько же раз и угол NQE кра-
кратен EGI. Значит, если обвод BL равен обводу EN, то
и угол BHL равен углу EQN, и если обвод BL больше

КНИГА ШЕСТАЯ
217
обвода ?Л\ то и угол BHL больше EGN, и если меньше,
то меньше. Вот л.ш четырёх величии—двух обводов ВС,
HI и двух углов ВИС, EG! взяты обвода ВС и угла ВИС
равиокрапше — обвод BL и угил BHL, дуги же El
и угла EG! равнократные— обвод EN и угол EGN. И до-
доказано, «по если обвод BL превьпшет обвод ЕЫ, то
и угол BHL превышает мол EGN, и если равен, то ря-
вен, и если меньше, то меньше. Значит, будет, что как
(определение 5 книги V) обвод ВС к Е!, так и угол ВИС
к EG! (иредложение 15 книги V). Но как угол ВИС.
к EGI, так и ВАС к EDI (предложение 15 книги V), кбо
каждый вдвое больше другого (предложение 20 книги III).
И значит, как обвод ВС к обводу EJ. так и угол ВИС
к EQ1 и угол ВАС к EDJ.
Значит, в равных кругах углы имеют то же отношение,
ч-ю обводы, на которых они стоят, будут ли они находиться
при центре или при обводах, что и требовалось дока-
доказать C6, 37). ,
-е-

КОММЕНТАРИИ
J>.D.Mopdyxau-!FoJimoeckozo
<3\э

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ I
1. Евклидовы определения. Большую ошибку делают re
коименыгоры, которые видят в евклидовых определениях но-
номинальные (чисто словесные) определения. Начало этой ошибки
относится к XVII в., когда признавали только два рода опре-
определений: реальные и номинальные1), причем первые мыслились
согласно общему мировоззрению того времени иначе, чем мыс-
мыслились определения в античное время.
Такой взгляд проводится в XVIII в. Ламбертом3). «То, что
Евклид предпосылает в определениях, — i оворит он, — это тольки
номенклатура; он делает не что иное, как то, что делает
часовщик или какой-либо другой ремесленник, который, начиная
обучать ученика, знакомит его прежде всего с названием свои.\
инструментов».
Номинальный характер в евклидовых определениях в и дел
и Кестнер3) на том основании, что Евклид не старался оправ-
оправдать своих определений.
Следует обратить внимание, чго в определениях 10, И, 13,
Ы, 17, 18 и др. книги I стоит «есть», а «называется» только в 9,
10, 16. Уже это одно говорит в пользу того, что мы здесь
имеем не номинальные определения, а опредсленип-описанин,
которые представляют собой типичные античные определения,
правда, смешанные с ггкетаческими определениями билее ран-
раннего типа.
Я предлагаю читателю внимательно прочесть евклидовы
определения.
Определение 1: «точка есть то, что не имеет частей». Затем
идёт определение линии: «длина без ширины». Все1 это, конечно.
1) (A man Id et N i с о i e), [.'art de penser (порт-роялев-
ская логика), 1ЬЬ2, F
2) Lambert, Organon, т. 1, стр. 32. Deuischer Gelehrter
BiKfwechsel, т. IV, Brief an Holland, 1764, стр 23
3)KSsiner, Philosophlsch-Mathematische Abhandlimgen g,
wass heisst in Euclid's Geometrle m6glfch? § 13, стр 17,

КОММ! Ill APHII
логически не действующие определения, описания, не имеющие
отношения к выводам, относящимся к точке и литш.
Но затем следует определение 3: «Концы же линии тачки*.
Здесь не даЗтся названия и новее пе исследуется сущность
концов; это, конечно, не второе определение точки, которая уже
определена', эта просто констатирование геометрического факта;
в концах лт-Eiffe точки.
Четвёртое определение, тоже логически не действующее,
имеет явно выраженный характер описания: «Прямая лиши
есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на
ней» (см. комментарий А).
Определение 10 прямого угла пе следует толковать в том
смысле, что название «прямой угол» лается тому углу, который
равен своему смежному, а в том, что угол, который в таком
случае получается, есть как раз тот, который называется
прямым.
То же относится н к определению прямой, перпендикуляр-
перпендикулярной к тонкости (предюжсиие 3 книги XI).
Неужели определение 13, говорящее, что граница есть то,
что является наиболее внецпп;м в вещи (оконечность её), будет
определением в капгеч смысле? Это опять только выявчённо
характерного свойства того, что известно п что уже нмеег
определенное название.
Только там, где указываемыми в определении признаками
пещь вполне определяется, и где термин такой, что можно гео-
геометру приписать его введение, можно ещё видеть номинально?
определение, л именно, в определениях 19, 20, 21, 22, 23 книги I
Начал,
Выявляя характерные признаки геометрических объектов,
н?[Ютпрые евклидовы определения носят характер аксиом и могут
быть сформулированы как аксиомы, но при этом можно при-
прибавить: в высшей степени очевидные. Так, в определении I
книги III Начал устанавливается равенство кругов по равенству
диаметров, что в некоторых учебниках XVII в. выставляется
как аксиома.
К числу такого рода определений я отношу и определе-
определение II книги Ш; «Подобные сегменты те, которые заключают
равные угльг или в которых углы друг Другу равны».
То "же следует думать \\ об опрет,елеции подобия прямо-
прямолинейных фигур (определение 1 книги VI).
В юшге V имеется определение 3 отношения: отноше-
отношение— это зависимость двух однородных величин по коли-
количеству *).
Это. конечно, логически не действующее п очень обшее
определение. Но за ним следует определение 4; говорят, нтч
*} Д. М о р д у х а к-fi о л т о в с к о и, К истории пятой книги
Начал Евклида, Математическое Образование, 3 916,

К КНИГЕ I 223
величины имеют отношение друг к другу, если они, взятие
кратно, могут превзойти друг друга.
Это определение тоже обнаруживает аксиоматический ха-
характер; оцо указывает, когда такая зависимость, о которой
говорит определение 3, имеет место.
Опнеатечьные определения мы находим и до Евклида,
например, у Платона*'), который в диалоге «Парченид* говорит,
что прямая"—это линия, середина которой покрывает оба конца;
это сводится к зрительному эксперименту над прямой, пр i
котором прямая представляется точкой.
Определения Геронаfi) представляют развитие евклидовыt
опнсате'|ьн[.[Х определений, а именно, в направлении более
подробного и более лёгкого описания. Герои рассказывает, что
линия не имеет ни ширины, ин глубины, что она возникает,
если точка движется сверху вниз без перерыва, что она
составляется ич точек и ограничена точками и что она npei-
ставляет границы поверхности. К тому, что Евклид говорит
о прямо». Герои прибавляет то, что она (как это до него от-
отмечает ещё Архимед) кратчайшая из линий, имеющих те "же
концы. К евклидову определению плоскости он прибавляет, что
прямая с двумя точками на плоскости целиком оказывается нл
чей.
К генетическим определениям (т. е- определениям, дающим
способ образования вещи) можно отнести только содержащиеся
s книге У,\ опрелелелия шара A4), конуса A8) и цилиндра B1).
Но почему Евклид не дайт и окружности, а через неё и
кругу, тоже генетическое определение?
Не проще было бы получить круг вращением прямой около
неподвижной точки, чем определять окружность равенством
расстояний от центра?
Я думаю, что раньше так н было. Окружное!ь являлась
кривой, проводимой циркулем; только потом произошло расслое-
расслоение на определение 15 и постулат 3, утверждающий возмож-
возможность получить циркулем кривую линию со свойствами опреде-
определения 15,
Чго же касается шара, то здесь лечо обстоит как раз на-
наоборот: для него первоначально не могло существовать генети-
генетического определении, а могло быть только описание, оно,
вероятно, и существовало в форме, аналогичной определению
плоскости, а при этом не для шара непосредственно, а для его
поверхности. Вероятно, она определялась равенством расстояний
от центра; генетическое же определение было вызвано предло-
предложением 18 книги XII, дающим отношение объёмов двух шароп.
5) Платон, Творения, диалог «Парчеиид». Пер, Карпова
или Соловьега, Спб. 18ьЗ—1879 и 1899 — 1903,
"I Heronis Aiexandrini, Opera, bearbeilet von Schmidt,
Schoeiie, Heiberg, Leipzig, 1899—1912,

КОММЕНТАРИИ
Аристотель "¦s) говорит обычно ю.чько о реальных опреде-
определениях, хотя от него идё'г различение номинальных н реальных
определений.
По Вейдлеру 9) номинальные определения дают только при-
признаки различаемых вещей, реальные же говорят о происхождении.
При таком понимании иегенетические евклидовы определения
оказываются номинальными.
В заключение заметим, что Лейбниц10) номинальные опре-
определения понимает шире, чем просто словесные; они указывают
признаки, по которым можно отличить одну вещь от другой,
Реальными же будут такие, которые выявляют возможность
существования вещей; иначе говоря, реальными будут только
оправданные определения.
Казалось бы, что с этой точки зрения следует все опреде-
определения Евклида принять за номинальные. Но с точки зрения
Евклида вводимые определения, повидимому, оправдывались ин-
интуицией; поэтому и с этой точки зрения его описательные опре-
определения не являются номннальнймн.
2. Точка. Существует несколько определений точки И).
Прежде всего отрицательные, против которых решительно вы-
выступают многие методисты- Таково евклидово определение; в
нём отмечается неделимость точки, так что совершенно одинако-
одинаково определяется и точка и актуально-бесконечно малое недели-
неделимое в смысле Кеплера н Кавальери; оба понятия сливаются.
Конечно, евклидово определение точки менее всего подходи-
подходило к идеям того времени, когда практиковался метод неделимых.
Гораздо лучше с этими идеями ладило определение Герои а 13)
— точка то, что не имеет величины {по нашему протяжения).
Но героновское определение, как и другие отрицательные
определения, грешит тем, что под него подходит и много других
вещей, ничего общего не имеющих с точкой.
В средние века подчёркивалось, что точка есть место бгл
протяжения 13).
Tj A r i s t о t e I i s, Opera, ed. DMut, Analytics Posteriora. кн. 2.
стр. 3, 7. Topica, кн. 7, стр. 3.
8) Joh. Broscius, Aristotells et Euclidis defensio contra
Petrum Ramurn, Amstelodami, 1640,— Meynard, Abrege et defi-
definitions des sciences principales et des pliisieurs de leurs termee,
Paris, 1694.
9) Weidlerus, Institutiones Mathemalicae. Vitenbergae, [751,'
Prologlum,
10) Leibniz, Opera, ed. Oerliardt, т. IV, стр. 452, Leitre k
Tschlrnhansen,
11) Си. прим, 8.
«) См. прим. 6.
^i Mich. P s e 11 u з, Compendium Mathematicum Leyden,
1647, — Sa vllius, Lectiones mathe.tiaticae et opticae Ш, —rre-

К KtlHtE I *-*>
За положительное определение точки выставляется обычно
то, которым пользуется современный учебник, заставляющий
мыслить точку, согласно определению 3 Евклида (являющемуся
для Евклида по существу аксиомой), как границу линии. С мето-
методической точки зрения оно является лучшим.
Определение точки it линии как границы находим у Баль-
церл, Каталана, Рушэ-Комберусса, Блашиэ. Рейхенбенгер соби-
jiaer различные определения точки: I) точка не имеет измерений,
2) не имеет кн длины, ни ширины, ни глубины, 3) единое и не-
неделимое, наименьшее различимое.
В чисто схоластическом направлении идёт Патриций14),
пытающийся построить основы геометрии: точка для него не
юлько то, что не имеет частей, но ещё и то, что неделимо (ибо
части могут получаться и не процессом деления, который отно-
относится к континууму). Затем точка — не количество, точка не
может быть больше и не может быть меньше (возрастающее им
мыслится независимо от делимости). Точка не сравнима. Она н-г
измерима. Она не занимает никакого пространства, К этим
свойствам он присоединяет ещё ряд других, причём всегда
отрицательных.
3. Линия. Евклидово второе определение в несколько не-
неуклюжей форме выражает, чго линия есть протяжение одного
измерения. Интересно отмстиль, что некоторые выставляют
характерным свойством линии пе её одномерность, а её дву-
сторонноетъ в том смысле, что от всякой точки она протяги-
протягивается только в две стороны, а не в бесконечное множество
сторон, как поверхность.
Такое определение, конечно, относится только к бесконечно
продолженным линиям, а не к отрезкам, так как в случае огра-
ограниченности на одном конце линия протягивается только в одну
сторону (полупрямая) или совсем не протягивается.
Обычно школьное определение линии как границы поверх-
поверхности иногда заменяется форономическим (в основе которого
лежит движение): линия есть то, что описывается движу-
движущейся точкой.
4. Прямая. Выше было отмечено, что евклиювщ определе-
определения1"; носят описательный характер. Евклидов тип определений
сохраняется в учебниках в большей или меньшей мере во все
эпохи, н эти определения с методической точки зрения неиз-
неизбежны.
Всякое не только форономическое, но даже генетическое
определение использует то представление о геометрическом
ибъекте, которое ученик имеет, хотя и в смутной форме, до
senlus, Der mathem. puukt. Zettscltrlft der mathem. Uiiterricht,
т. IV, стр. 350-354.
>*) Patrlclus, Scientla nova, XVI в.
1S) H. Mailer, Lehrbtich der Geometrie, Leipzig, 1874.
15 Еаклиа

226
КОМЧГНТА.РИИ
начала изучения геометрии. И к этому представлению геометри-
геометрический учебник должен приспособляться.
Нельзя отрицать, что некоторые форономическ&[е приёмы
с методической точки зрения очень ценны, но форономическое
определение прямой как линии, не меняющей положения при
вращательном движении, с закреплёнными двумя концами совер-
совершенно не годится. Это определение приписывается Платону;
оно приводится Нроклом, затем Лейбницем. Определение пря-
прямой единственностью направления лучше, но для учебника наи-
наиболее удобно то свойство, которое намечается самим Евк.ш-
дом Щ"
Следует уяснить себе, что Евклид (в определении 4) имеет
в виду из ценность прямей, т. е. сохранение всех её свойств
в различных точках. Они здесь таковы же, как там. Совершенно
неправильно выставляют окружность как опровержение евкли-
евклидова определения: Евклид имеет в виду все свойства прямой,
включая сюда и направление.
Но Ле'^бшщ 11) (видимо, неправильно толкуя определение
Евклида) имеет в виду гомогенность, т. е. то, что прямая
в целом имеет те жг свойства, чго всякая её часть. В малом
она то же, что в большом.
В середине XIX в. иногда приводилось определение Л. Берт-
Бертрана 18), который тоже подчеркивает изогенность прямой; пря-
прямая характеризуется тем, что разделяет плоскость на две части,
обладающие совершенно одинаковым свойством по отношению
к этой прямой. Следует отметить, что это свойство, хоти и
в несколько иной форме, выдвигалось Лейбницем.
Можно сомневаться в отнесении к описательным определе-
определениям лежандрова 19> -°) определения прямой как кратчайшего
«) Kraft, Iiistltutlones Qeometrlcae, Tubingen, 1788. —
К га use, Elemente der Geometrle, Berlin, [875.
it) Leibniz, Mathem. Scliriften, her. Gerhardt, Abt, 2, т. 111.
Characterisiica Geometrica, стр. [31; In Enclidis г.ршха, стр. 183.—
Z в с h a r i a s, Die Definition der gersden Linie nach Cornelius mid
Aiohrmaii. — Cornelius, Psychologte des Erfahrungs-Wissen-
schaft. Leipzig, [892 (определение Лейбница).
1S) L. Bert rand, Developpement nouveaa de la partie ele-
menlaire de Geomelrie, Geneve, 1778. Его же, GcoraStrie, 1812.—
Delboeuf, Prolegoiiienes philos.de la Geometrie I860. Revue
phllosophique, т. 36—39. — La p I a ce, Exposition du systeme dn
monde, Paris, [824 (есть русский перевод).
13) Н. Gra"Bsman, Ausdehnungslehre. Einieitung, 1844, Werke,
т. Ii стр. 2й'. — Dixon, The foundations of Geometry, Cambridge,
1891. — В elt in i, Sulla definizione della retta linea. Periodico di
Mathemaiica, VIII, [893, стр. 49.
20) Legendre, Elements de Geometrie. 1794, Есть русский
перевод 1837»

К КНИГР I
расстояния между 1вумя ги [iiJ.Mii (оно выставлялось скорее как
аксиома АрхимедомK1).
Такое определение является чем-то вроде постулата, выдви-
выдвигающего некоторые свойства, которые хотя, может быть, и оче-
очевидны, по в значительно меньшей степени, чем очевидны аксиомы,
Дейсгвитечыю, при лежандровоч определении мы постулируем,
¦по в процессе сравнения длин бесконечного множества различ-
различных линий мы в конце концов приходим к некоторой линии,
ч.пша которой окащваегся наименьшей.
Следует отметить, что неясное определение Евклида не-
него тковывается различными лицами различно,
Я считаю близким к истине толкование Симона23), который
понимает xeItqci как страдательную форм> от -ЛЬг^и (кладу) и
разъясняет так, что прямая есть линия, равномерно данная своими
гичками, т. е. линия, на которой ни одна точка не отличается
or другой (свойство изогенпости прямой),
Др\'П1е связывают тс~; cr.jiiiiu; (точками) с у.:~та; и переводят
тл!;: прямая есть линия, равномерно расположенная относительно
сиоях точек. При этом «равломерность» одними истолковывается
и смысле определяемоегц прямой при помощи двух точек (что,
по моему мнению, неправильно, ибо тогда наряду с постулатом 1
оказалась бы совершенно лишняя аксиоматизированная его
форма, данная в виде определения).
Третьи понимают равномерность в том смысле, что па вегм
протяжении прямой найдутся отрезки, равные данному23), Это
тоже я считаю маловероятным, потому что Евклид должен
же был заметить, что аналогичное свойство присуще и окруж-
окружности.
Энпнивесз1) защищает ту точку зрения, на которой стоит
Прокл -:i) в своём толковании. Он считает тс'^ ar^ilv.s определе-
определением к ?? Vooo и переводит так: прямая есть линия, которая
одинаково расположена относительно своих точек. Это вполне
соответствует разъяснению Прокла, что прямая есть такая
линия, отрезок которой между двумя ej точками совпадает
с расстоянием между ними.
2I) A rhi hi ed e =. Wei'ke libers. Nizze-Strasburg. 1824, стр, 43.
--) S i ш (i n. Hndidis sc'lis-planimctrische Bticher, Leip7fs>, 1901,
-3) Cm. Cornelius, прим. 17.
2i) Э и р н к в е с, Вопросы элементарной геометрии, 19IX
Статья А мальди, О понятии прямой и плоскости.
25) Prodi, Diadocbi in primum Euclldis eleiticniorum librum
Commentariit'ii, bearb. Friedlein, Leipzig, 1873, Старое издание
Barocius'a, Padova, 1560, — О Прокле см Cantor Vorlesungen
iibc- Geschichte der Mathematlk, т. I, стр, 463. —H a rtma nn,
Des Proclus Diadochiis Phiios, Anfangsgrilnde der Mathematik,
Philos. Abhandlungen, heransg, Rohn utid Natorp I тетр. Giessen,
1909.
15*

КОМЧРНТАРНИ
Аналогично этому можно было бы сказать, что прямая есть
единственная линия, направление которой совпадает с направле-
направлением относительного расположения двух её точек. Эта точка
зрения, при ко горой приоритет предоставляется направлению,
и прямая определяется как линия, во всех точках которой на-
направление одно и то же, приводится во многих учебниках, на-
начиная с Грассмапа.
Оба эти толкования moiyt быть приняты только в одной и.*
приведённых частных форм, так что термин «относительно
остаётся совершенно неопределённым. Нужно сказать, что нигде
у Евклида не видно, чтобы понятия расстояния или направления
он счига.-j бы первичными, предваряющими понятие прямой.
Очень часто понятие прямой вводится неявно при помощи по-
постулата (Кагалак, Бальцер, Рушэ, Дюгамель, Везу, Боссю), н
гогда свойство, что она является кратчайшим расстоянием, уже
доказывается.
Во веек таких толкованиях чисто описательное евклидово
определение хотят сделать xai: или иначе логически действую-
действующим, возвести его в ранг рабочей аксиомы.
Заканчивая разбор евкдидовского определения прямой,
вполне уместно будет сопоставить и то, как вообще определя-
определялось понятие линии.
По Герои;.*, линия еегь то, что имеет измерение в одном
лишь направлении (определение- 8), поверхность—в двух (опре-
(определение 10), тело же есть то, что имеет три измерение (опреде-
(определение 13).
Кривая Евклида и Лежаидра—эсо линия '-¦>), не являющаяся
ни прямой и mi ломаной. По Боссю и Безу, это траектория
движущейся точки, меняющей направление своего движения,
У Ламарля ^) ернца^ есть траектория, опнешиаемая точкой,
скользящей по прямой, которая вращается вокруг своего конца;
это определение по существу равносильно выражению уравнения
кривой не в декартовых, но в полярных координатах.
Евклид определяет линию (мы теперь сказали бы—кривую)
как длину без ширины. В настоящее время мы выральчи бы
это так: кривая представляет плоское множество без внутрен-
внутренних точек. Др\тое свойство линии — это её связность, т. е.
возможность проведения через точки множества такой ломаной
линии, что все стороны последней меньше любого наперёд за-
заданного отрезка. Г. Кантор считает все свойства кривой исчер-
исчерпанными в следующем определении25):
ао) См. прим, 20, также I. 2Л fU I e r Lehrbuch der Mathema-
tik, Halle, 1344.
37)Lamar!e, I:xiios? Geonietrique du calail dtff. el iategr,
Paris, 1861. H Ь
Щ Mangoldt, Dte Begrlffe der Unie mid FtSche. Encvcio-
pfidle der Malheraallsclien Wlssenschaften, т. III, стр. 130.

Кривая есть совершенное и связное множество без внут-
внутренних точек.
В поисках обобщения иногда отходят от более естественного
геометрического определения кривой ее определяют ее аналити-
аналитически, Таково жордановское определение кривой при помощи
параметрических уравнений
где f и i представляют непрерывные функции параметра t. Это
определение вполне отвечает форономнческому определению
линии как траектории движущейся точки; параметр t в послед-
последнем случае является временем.
Для жордановского2Э) определения существенно то, что
если рассматриваемая кривая замкнута и не 'имеет кратных точек,
то она делит плоскость на дв^ части — внешнюю и внутрен-
внутреннюю 30).
5. Поверхность. О поверхности приходится повторить всё
то, что сказано выше о линии. Хорошо всем известно школьное
определение поверхности как границы тела. Часто око заме-
заменяется форопомическим: поверхность есть то, что описывается
движущейся линией. При этом, однако, не замечают того, что
линия может описывать тоже линию, а не поверхность — это
в том случае, если она может двигаться по самой себе. Такова
прямая, двигающаяся по своему направлению, йти окружность,
вращающаяся около своего центра.
6. Плоскость. Евк тидово описательное определение плос-
плоскости, основанное па цзогекностн, не пользуется распростране-
распространением. Также не пользуется распространением лейбни невское
определение плоскости, основанное на гомогенности и аналогич-
аналогичное его определению прямой. Оно в значительной мере ослож-
осложняется вве icHHCM корректива: следует требовать подобия части
и всей плоскости, предполагая, что и часть и целое обнимаются
подобными линиями.
Л. Бертран3i) определяет плоскость как поверхность, деля-
делящую пространство на части, находящиеся к лей и одинаковом
отношении.
Обычное наше определение плоскости как такой поверхности,
с которой сов_чещается всякая прямая, имеющая с ней две об-
общие точки, должно быть отнесено к форономическим; оно
совершенно не евклндовского характера н более подходит
к определениям геометров до Евклида,
Щ Jordan, Cours d1 Analyse, 2 ed_, т. I, Paris, 1893. crp. 91.
3l) H, Лузин, Теория функций вещественного перемен-
переменного, Москва, 1940. — О s go о d LehKiuch der Functioncntlieorie,
f.efptfg. 1906, стр. 120—12!.
3j Сы. прим. IS.

230
комчтштмчш
Следует огметигь генетическое определение плоскости как
поверхности, образуемой движением прямой, проходящей через
точку н пересекающей прямую.
Данное выше генетическое определение, выдвинутое Крел-
Крелле33), было вызвано замечанием Гаусса Щ об обычном определе-
определении плоскости, которое Крелле приписывает Р. Симеону з*), хотя
оно имеется уже у Герона*5), Гаусс замечает, что это определе-
определение содержит в себе постулат (или теорему), что плоскости
получается проектированием прямой из какой-либо точки, ей не
принадлежащей.
Крелле пытался, но не вполне удачно, доказать, что вил
получаемой поверхности не зависит от выбора точки и прямой
и что прямая, имеющая две ючкн на этой поверхности, цетиком
лежит на пей.
Форономическое определение плоскости даётся Бальцером и
Уэлем. Дюгаме.чь определяет плоскость кан поверхность, олпеы-
ваемую прямой, вращающейся вокруг другой прямой (оси враще-
вращения) и eii перпендикулярной. Отметим в заключение ещё' доволь-
довольно искусственное определение, приводимое тоже Лейбницем и
используемое Лобачевским и Больяй; прямая есть гео.\гтри-
ческог место точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
1. Угол. Героч3J) определяет угон несколько иначе, чем
Евклид; угол —это сжимание поверхности в точке, производи-
производимое ломаной линией (определение II). Плоский yi ол — это сжа-
сжатие в точке (определение 12).
Евклидово определение угла3") как наклонения было наибо-
наиболее распространено в школе Х!Х в. Интересно, что параллельно
ему даётся и другое определение, котопое, как чисто номи-
номинальное, выдвигается уже и современной формально гипотети-
гипотетической геометрией, например у Гильберта3^). У] ол здесь сво-
сводится просто к паре прямых. Это определение лается н другими
авторами только с целью ^выдержать систем)*, а именно, до
изучения фигуры, образованной тремя прямыми, рассмотреть
фигуры, образованные сперва одной, затем двумя прямыми.
") Cre! le, Zur Theorie der libene, Crellc's Journal fur Mathe-
matik, т. 45, 1845. — Crelle, Lehrbnch der Elements der Geo-
metrie, Berlin, 1847.
Щ Письмо к Бесселю от 27, VII 1827.
3J) R. Sim son, Etididis elenieijtoriiiii libri priores se* ftem
undecinia ei duodecima, Glasguae, 175S.
в) См. прим. 6.
{опреде,
schwelg, 1874.
Я3) D. Hilbert, Gruadldgei] der Geometrie, Leipzig, 1899—
1930. Есть [>}сс[шй пер. под jje.%. П. К. piiujcjKKoro, I^43,

К КНИГЕ ]
231
Там, где прямая определяется как линия одного направле-
направления, и угол определяется как различие направлений Щ. Это
определение впервые встречается у Арнета40) и Винтера11) и
усваивается многими учебниками.
У форономпстов угол перестаёт быть евклидовым наклоне-
наклонением: он даже не мера вращения42) (та:; как мера вращения —
число, а форономяхты предпочитают оперировать образами)-
это просто отклонение направления при вращении.
Угол и угловое пространство. Бертран определяет
угол как неопределённую часть плоскости, ограниченную двумя
прямыми, пересекающимися в
одной точке.
Некоторые учебники рас-
рассматривают оба понятия— угол
в евклидовском смысле (Win-
Kel) и угол в бертрановском
смысле " (Winkelraum —угловое
пространство) ¦&).
Бертран сравнивает углы и
угловые пространства: они мо-
могут быть больше и меньше. Бо-
Более того, он сравнивает их
с параллельными полосами.
Часть плоскости между парал-
параллельными потому меньше уг-
угла, что плоскость заполняется конечным числом углов, но бес-
бесконечным ЧИСЛОМ ПОЛОС.
То, что внешний \ гол больше внутренне! о, с ним нг
смежного, т. е. что '/_ ABD > /_ ЕС В' (черт. I.J, следует
Черт. 1,
3!)) Величины отклонения; Wagner AH74), F a b ia n i
A871),— Изменение направления: SchlOmllch Geonic-lrie des
Maasses, 1874. Ma rt us A890), Mtlinowski A881).
i0) Arneth, System der Geometric, Stuttgart, 1840.
¦*') Winter, "Die Elemente der еЬенен GcomeMe, Leip-
Leipzig, 1840. Также August (i852j, Kunze A857), Salomon
A857). Fischer A873), Fresenius A853), В a 11 z er, Beck
и др.
I p О Ц К И И AОУ1/.
*J) Евклидово определение у Schweins (I808) Forst m
A826), van Swluden A834), Becker A859), Snell A85
Rfn^ 1/" m 'i i4 / 1 ii^l \ 1^" 1 ill ^ 1 ii ilOn<\ I.'l i. ^^l^-"-7^ 1?— -
A826), van Swluden A834), Becker A859), Snell A857),
Brockman A871). К а щ b] v A884) Fischer A877), H art-
ma nn, HeJmes A874), " ¦

232
КОММЕНТАРИИ
из того, что первый составлен нз части EABD и угла BAF,
а второй из той же части EABD и конечного треугольни-
треугольника АСВ").
Рёссель подчёркивает, чю угол следует мыслить не как
часть плоскости, по как часть пучка. Угол в пучке лучей
диалогичен отрезку на прямой липни. Но Энриквес разли-
различает область угла как часть плоскости я угол как часть
пучка ih).
8. Перпендикуляр. Евклид не имеет термина «смежный
уго.и. Мы начинаем с определения смежного угла а определяем
прямой угол как равный своему смеж-
смежному. Рамусlli), стараясь всегда
раньше определять род, а затем пе-
перейти к виду (например, от общего
понятия перпендикулярности в парал-
параллельности перейти к этим понятиям в
отношении к прямой), дает такое оп
релеление перпендикулярности: «пря-
«прямые или вообще линии взаимно пер-
перпендикулярны, если одна, падая на
другую» равномерно лежит между от-
отрезками другой*.
Рамус не может определить пер-
перпендикулярность с помощью смежных
углов, ибо согласно его плану общие
свойства липни следует излагать
раньше, чем свойства углов.
Как следует понимать слово: равномерно (aequaHter)? Ко-
Конечно, не в смысле равенства смежных углов. Оно означает: по
одну сторону падающей кривой или прямой то же, что по дру-
другую (см. бертрановское определение прямой). Это безусловно
верно для каждой из двух пересекавощихся перпендикулярных
прямых.
Но радиус кр>га и окружность удовлетворяют этому тре-
требованию лишь наполовину: пространства в смежных углах 1 и ,3,
образованных окружностью с прямой, отличаются между собой,
но пространства У и 2, образованные прямой с окруяшостью,
одинаковы {черг. 2).
По Рамусу, рачиус перпендикулярен к окружности, но не
обратно.
9. Развернутый \тол. М ногие > чебники ввозят понятие
развёрнутого \тлл, отвечающего ел} чаю, когда одна сторона
Черт. L
Щ См. прим. 18.
*') Подробности см. S с ho о ten. Die Pianinietrische Unter-
richt Leipzig, 1890.
«) Petrf Rami, Georaetriae librf 27, Basileae, 1567. Scho-
iaruin maUienidiicariim ]jbri unus et triginta, Baslleae, 15Й9,

К КНИГЕ I
служит продолжением другой *~). Прямой угол тогда опреде-
определяется как половина развёрнутого yi.ia. Равенство прямых углов
есть тогда прямое следствие 6-й аксиомы Евклида. Вывод пред-
предложения 13 о сумме смежных \глов упрощается. Но развёрку-
тый угол может появиться только в том случае, если угол
мыслится как поворот; для Евклида же, у которого угол есть
наклонение, развёрнутый угол не имеет смысла.
10. Тринадцатое определение. Является ли это определение
чисто номинальный? Сводится ли оно к тому, что одно слово
«оконечность» заменяется другим «граница»? Я думаю, что это
не так: оно, как и определение 3 Евклида, утверждает, что то,
что ограничивает что-либо, вполне его определяя, является в ном
самым крайним.
Оконечность является po^OAt, граница — видом, Лейбниц
определяет границу как общий член, присущий двум, не имею-
имеющим общих частей объектам.
11. Фигура. Следует обратить внимание на то, что Евклид
мыслит фигуру не как совокупность точек и прямых, как, на-
например, понимаются в проективной геометрии треугольники.
Для Евклида треугольник вовсе не является совокупностью
тргх прямых, не пересекающихся в одной точке, а ограниченной
этими прямыми частью плоскости. Проективный треугольник
остаётся треугольником, если изъять вкугри него всю или часть
плоскости; евклидов же треугольник перестаёт в этом случае
быть треугольником.
Очень далеко от Евклида логистическое определение фигуры
у итальянского геочегра второй половины XIX в. Пиери. Для
него фигура есть класс точек. Две фигуры тождественны или
совпадают, если они построены из одних и тех же точек.
12. Круг и окружность. Круг для античной мысли имел
важное философское значение. По Аристотелю *3j, лёгкие тела
прямолинейно двигаются вверх, тяжёлые вниз, к центру земли
{тяжёлыми элементами являются земля и вода, лёгкими—воздух
и огонь). Небесная же материя, из которой состоят планеты" и
звёзды, как совершенная должна двигаться по совершенной ли-
линии — окружности. Платон много говорит о Kpvre и определяет
его так же, как Евклид (диалог Парменид, «Круглое есть то,
оконечности которого везде одинаково отстоят от середины»).
То, что Евклид очень много говорит о круге, объясняется
не только тем, что круг проще других кривых и легче под-
поддаётся исследованию, по и тем, что он более интересен.
Античная проблема о квадратуре круга«), т. е, о 'разыска-
'разыскании квадрата, равновеликого кругу, соиершенио обходится Инк-
*"•) См., напр., Долгушин, Сне тематический курс геочет-
рии, СПБ, 1912.
«) A rist о teles, Opera, ed. Dldot (De Coelo).
<*) Рудио, О квадратуре круга, М. — Л., 1934.

лидом не только как ещё не разрешённая, но и как не имеющая
отношения к основной цели, которую он себе ставит.
Комментатор Проклй0), который жил в эпоху упадка античной
математики, больше всего распространяется oVpjre; метафизи-
метафизические понятия в его время приобретают уже магическое значе-
значение. Он много говорит о простоте прямой и круга и старается
опровергнуть мнение о большей сложности окружности в сравне-
сравнении с прямой. Даже его толкование евклидовского определения
прямой {прямая линия есть та, которая равна расстоянию между
её концами), выражающее совсем не то, что хотел сказать сам
Квклии, приводится, чтобы потучнть основу по существу для
магических выводов.
Комментаторы, начиная с Прокла, долго останавливаются на
круге. В то время как из земных тел тяжёлые падают к центру
зеччи, лёгкие же подымаются вверх, небесные тела уже по своей
природе двигаются по совершенным линиям — окружностям. Эта
мысль очень крепко засела в головах учёных и направила астроно-
астрономию по неверному пути. Вместо эллиптических орбит старались
заставить планеты двигаться по кругам (эшшиклам), центры ко-
которых в свою очередь двигались по другим кругам (деферентам);
так продолжалось вплоть до Кеплера, показавшего, что планеты
движутся по эллипсам, в фок\се которых находится Солнце.
13. Слова «которая называется окружностью> ч «на окруж-
окружность круга' Гейоерг считает позчнейшей вставкой, почему они
и поставлены в квадратные скобки. Правда, они имеются в боль-
большинстве дошедших до нас рукописей, но их нет у античных
комментаторов, а также и в папирусе, найденном При раскопках
Геркуланума и содержащем отрывок из евклидовых * Начал».
По сути дела они излишни, так как граческнй термин isspiipspiix
(паше «периферия»), означающий у Евклида как всю окружность,
так и еЗ часть — лугу, в обиходном языке значит просто «об-
«обвод». Необходимость дать перевод, который читался бы как
с этими словами, так и после их шчстючення, объясняет не-
несколько тяжёлую конструкцию фразы.
14. Центр. Слово то /.-vrpov обозначает котющес орудие,
которым в древности подгоняли животных в упряжке (старое
русское слово «рожон»). В нашем случае речь идёт об острие
ножки циркуля, закреплявшейся при вычерчивашш кр\га. Этим
термином пользовался ещё автор первых «.Элементов» Гиппо-
Гиппократ. Латинский термин cnnirum возникает не сразу. У Марцнана
Капеллы E в. н. э.) ещё говорится «punctum circuli» (точка круга)
и «media nota circuit* (средняя метка круга),
15. Класс линий. Деление линий на Yiftslat (прямые), кершргТс
(круговые) и jia:a-' (смешанные), по Проклу, следует относить
к Платону и Аристотелю, Кривые линии греки делили ещё на
enxoEiSiii; (винтовые, п.чи спиральные — вообще кривые, иолу-
•>'->} См, нрим. 25.

К КНИГЕ I 235
чаемые движением точки) и -ларгЛЫ'. (изогнутые — кривые, полу-
получаемые в результате сечения кривой поверхности — например,
конические сечения). »
16, Род н вид фигур. Для нас параллелограмм — это род,
прямоугольник — вид, другой вид — ромб. Прямоугольник — это
параллелограмм с прямыми углами, квадрат — это прямоуголь-
прямоугольный ромб. По Евклиду, ромбоид (параллелограмм) считается
таковым только при условии, что он не равносторонний и не
прямоугольный, т. е. не ромб и не прямоугольник. Впрочем,
подведение прямоугольника под параллелограмм, а в особенности
квадрата под ромб, вовсе не является совершенно бесспорный
с методической точки зрения приёмом, и школьная практика
совершенно определенно указывает па большие затруднения при
проведении другою деления, чем у Евклида,
Следует отметить, что под трапецией Евклид разумеет tie
то, что мы, а чегыреугольник, не подходящий ни под одно из
четырёх вышеприведенных определений.
Но как это ни странно, Евклид в стереометрических книгах
в противоречие со своими определениями говорит о прямо-
прямоугольнике как о прямоугольном параллелограмме и о ромбе как
о равностороннем параллелограмме,
Рамус, исправляя Евклида, заменяет евклидову схему5^;
Род; Чешреугольпая фигура
Виды: Квадрат, пр"ямоуюльник, ромб, параллелограмм, трапеция
др\гой, в которой выдержано дихотомическое деление:
Четыреуголышк
Параллелограмм Трапеция
Косоугольный Прямоугольный
Ромб Ромбоид Квадрат Oblongus
У него ромбоид нечто отличное ог параллелограмма и
прямоугольника; но, как у нас, прямоугольник не противопола-
i легся параллелограмму, а мыслится как вид параллелограмма
Он создаёт особый термин oblongus (продолговатый) для прямо-
прямоугольника— не квадрата, евклидовского frssoiir¦/.;<;
fiIJ R j tn u s, Oeoraciru. Ва*[кче, i5b?i - Cli Wolff,
meiita Ma these us, 1/32, i. if ^ 7s.

235 ' кгмчеятария
17. Параллельные прямые. Недостаток евклидова опреде-
определения параллельных состоит к том, что такое определение не
может бить проверено; око заключает некоторый признак,
в отсутствии которого мы можем убедиться только без конца
продолжаемый процессом. Это определение совершенно не со-
соответствует настроению античного ума, отвергавшего бесконеч-
бесконечное, Представляется вероятным, что искать доказательство 5-го
постулата древних заставляла вовсе не недостаточная очевид-
очевидность этой аксиомы, а только ее неприемлемая в то время форма.
Определению параллельных вполне соответствует и евклидов
постулат параллечьности. И в этой случае возможно, что прямые
встретятся на таком большом от нас расстоянии, что мы не будем
в состоянии это установить.
Бее эти дефекты отпали бы, если бы мы определили парал-
параллельные как две равноотстоящие друг от друга прямые и, кроме
того, добавили бы положение, что при этом получаемые в пере-
пересечении с третьей прямой соответственные углы равны. Такое
определение параллельных предлагалось в древности Посндонием,
¦затем горячо защищалось Рамусом Щ и Схоутеном и в послед-
последствии проводилось в некоторых учебниках.
Введение такого определения, конечно, должно быть оправ-
оправдано, иными словами, должно быть доказано, что геометрическое
место точек, расстояния которых до данной прямой равны, тоже
будет представлять некоторую прямую. В неевклидовой геомет-
геометрии такое нотожение, как известно, уже не будет справедливым.
Определение параллельных прямых как равноотстоящих
затемняет аксиоматическую конструкцию геометрии, ибо требует
введения в качестве аксиомы положения, которое не только не
очевидно, но в неевклидовых геометриях и неверно. Поэтому, в то
время как в других местах выявляются аксиомы более высокой
степени очевидности, эту «аксиому» прпходикя затушёвывать
и обходить мо!чанием. Затем, если бы мы всё-таки попытались
явно формулировать эту аксиому, то при дальнейшей разработке
встретились бы с ряцом серьёзных затруднений. Вводя понятие
о расстоянии между параллельными, мы должны были бы пред-
предположить аксиому, что прямая, перпендикулярная к одной из
параллельных, будет перпендикулярна к к друюй, или какую-
нибудь другую, ей эквивалентную.
"Таким"образом, до теоремы'о параллельных можно говорить
лишь о расстоянии точек прямой /' до прямой /, опуская из них
перпендикуляры на /.
Но тогда параллельность будет односторонняя; если V [] I, то
остаётся открытым, будет ли /*[ /¦?
Несмотря на свои недостатки, евклидово определение парал-
параллельных остаётся всё-таки лучшим. Если определять параллель-
параллельные как прямые, образующие равные углы с определённой транс-
См. 1акже Lambert, Brfclwech^el, i. h tip. 23.

Я КНИГЕ I
237
версалью, то приходится доказывать, что то же свойство имеет
место и для других трансверсалей.
До доказательства этого положения определение заключает
элемент произвола; остаётся невыясненным, как следует выбирать
эту одну определённую грансверсаль. Правда, можно в качестве
этой тр;шсверсади брагь перпендикуляр и определить параллель-
параллельные как перпендикулярные к одной прямой; но в этой форме
признак, выдвигаемый в определении, является наименее харак-
характерным. На неевклидовой плоскости такие прямые являю гея
сверх параллельными\ они расходятся в обе стороны от общего
перпеидшсул'фл.
В некоторых учебниках параллельные определяю гея как пря-
прямые одного направления^), Конечно, существует доматемати-
чес ков понятие о направлении, но оно не может быть математи-
математизировано и вложено в аппарат логической геометрии.
Такая перетасовка, т. е. возведение направления is первично.-
понятие, а параллелизма в производное, выходит совершенно
из рамок шгтунгивпо-логяческой геометрии Евклида.
IS. Постулаты. Евклид не задавался целью вывести все своп
поюжеппя а,лл>.)шгтич?ски из немногих высказанных им опре-
определений, постулатов и аксиом. Его цечыо было лишь убедшщ,
читателя в определённых истинах, и он вовсе не считал един-
единственным способом убеждения формально логический вывод поло-
положений из признанных читателем в начале изложения истин, пи
считал, что убелить можно специальной операцией) вызывая ь
уме образ с непосредственно очевидным свойством.
Очевидность только рационалистами XVII в. вполне опреде-
определённо признана за критерий истинности положений, в аркстп-
гелевской же логике она не играет этой роли.
За правильность предпосылок, с которых начинается Цещ,
доказательств, говорит только их общепризнанность, вследствие
чего аксиомы и называются sicwa! fvvs<.ai (общие понятия).
Доказательства Евклида вполне отвечают схеме, выработан-
выработанной софистикой Щ, Вначале софист приводит противника к
признанию некоторых положении, отнюдь не апеллируя к очеви i-
ноетн, ибо противник мог бы поднять вопрос об относитель-
относительности понятия очевидности и прншль для себя не очевидном
so, что для противника вполне очевидно.
Более сильным фактором является общепризнанность пони-
понижений, приводящая к точу, что офииагощпн их противник ри~-
кует попасть в сметное ноюженис.
И) Kosack A857), Gerueth (И53), Poister A878) —
прямые равного направления. — S с h I e g e i, Systematise^ Raun,-
!e^re, Leipzig, 1872 — прямые равного положения.
"ll О софистах см. диалог «Протагор» Платона Гил я ров,
Греческие софисты, Москва, 1870.—Яг од и некий, Про* агор,
Казань, а также любой курс истории [реческой философии.

*-J> КОММЕНТАРИИ
Этим и объясняется [О, чго аксиомы стягивались к самому
началу сочинения, а не вводились по мере надобности прк
дальнейшем развитии излагаемых теорий.
Но что такое постулаты, выставленные Евклидом рядом с
аксиомами?
Неправильно было бы относить к аксиомам только очеви\-
ные положения общего характера {например, касающиеся общих
свойств величин, как аксиомы 1, 2 и др.), а постулаты отожде-
отождествить только со специально геометрическими положениями.
Действительно, хотя аксиома о параллельных фигурирует у
Гейберга как постулат 5, но аксиома 7, говорящая о равенст-
равенстве налагающихся фигур, носит определённо i еометрическнй ха-
характер.
Далее, гейберговская классификация аксиом и постулатов не
может все'-таки быть общепризнанной. Ведь установил же Пей-
рард другую классификацию, пользуясь, повндимому, в основном
гемн же источниками, которые были известны и Гейбергу. По
крайней мере по моему глубочайшему убеждению, аксиома о
параллельных определённо была ранее аксиомой, а не постулатом,
как она фигурирует в издании Гейберга.
Только отказавшись от проектирования в прошлое современ-
современных формально логических понятий, мы будем в состоянии
понять, что представ.п'.'ш дл>г самого Евклида постулаты.
Евклид возсе не приписывал идеального существования
геометрическим объектам, как это делал Платон. При дока-
доказательстве какой-нибудь теоремы производилось построение нуж-
нужной геометрической фигуры, которая, таким образом, и вызыва-
вызывалась к существованию. Возможность существования прямой, круга
и т. д." обусловливалась признанием возможности производя-
производящего их акта] мы сказали бы — построения.
Более того, признание возможности это! о акта вынуждало
к признанию некоторых истин; так, признавая согласно посту-
постулату 3 возможность описывэпня кругов, мы тем самым приводили
к признанию необходимости пересечения кругов, проходящих
через центры друг друга.
Гемнн даёт объяснение, вполне согласное с предлагаемым;
. «постулат,— говорит он, — представляет требование найти и сде-
сделать то, что достигается просто и непосредственно, в чЫ ум не
затрудняется ни в понимании, ни в построении^.
Прокл, говоря о различии теорем и проблем л отмечая, что
целью первых является познать, а целью вторых — сделать,
приводит в соответствие с первыми аксиомы, а со вторыми — по-
постулаты, определяя последние близко к Гемину.
Гоббс55) вполне ясно выражает ту же мысль. По его мнению,
то, что называется постулатом,— это основа не доказательств,
а построений, не знания, а возможности существования.
C5j Hobbes, Opera, London, 1339, De corporo. VI, ^ \'i, стр. 22.

К КНИГЕ I
XVII в. постулаты эволюционировали в аксиомы:
как признак аксиомы. Но при развитии геометрии аксиомы
высокой степени очевидности выплывают только постепенно;
можно даже сказать, чго чей более очевидной являлась аксиома,
тем позднее она включалась в систему геометрии. Кроме того,
характерным свойством аксиомы считалась ее недоказуемость.
Что же касается постулатов то они содержат то что должно
дают и не вполне оче
только принимается,
В школьном Евклиде Тодгентер 57) даЗт такое определение
евклидовых постулатов:
«Постулаты устанавливают, что принимаемая нами операция
дает результат, напркчер, что мы можем провести прямую между
двумя точками, продолжить ее, описать круг данным радиусом»,
В евклидовой системе недостаёт положения взаимного пер-
первому: две прямые пересекаются точько в одной точке, В геомет-
геометрии Гильберта это положение доказывается, а у Евклида даже
не выставляется как аксиома, а просто остаёмся скрытым под
порогом сознания положением, которым Евклид, сам того не
замечая пользуется
р н п
замечая, пользуется.
Указанный выше сдвиг в понимании постулатов резко выяв-
""™ « «Характеристике* Лейбница. Его комментарии и
ляется
SJ>) А г па и Id, Nonveaux elements de Gcometrie, Parfs, 1637.
¦»¦) Tudhunter, Eueltd for the use of schoolls and col-
colleges, 1869,

КОММКНТАРИИ
дополнения к системе постулатов Евклида ясно обнаруживают
сдвиг последних в сторону аксиом.
Первый постулат о возможности проведения прямой между
двумя точками уже lie является требованием возможности, по-
построения', он просто утверждает, что построенная таким образом
прямая является единственным геометрическим местом уж*>
существовавших точек, обладающих определённым свойством.
X. Вольф уже совершенно открыто обращает первый посту-
постулат в аксиому: между двумя точками проходит только одна
—".мая.
То же следует сказать и о втором евклидовом постулате, утвер-
1ющем возможность продолжения прямой. По Вольфу, этот
прямая,
жда
постулат тотчас же вытекает из определения прямой как линии,
часть которой подобна целому, ибо если часть продолженная
образует целое, то и целое продолжением может дань большее
(т. е. новый отрезок).
Особое место среди постулатов занимают 4 и 5. Мне пред-
представ тяются неубедительными объяснения Цейгеиа правильности
отнесения их к постулатам, а не к аксиомам. Ему приводится
отказаться от определения постулатов как требований возмож-
возможности построений, из которых, но Евклиду, вытекает существо-
существование фигур, получившихся в результате этих построений. Вместо
згого он определяет постулаты как утверждения существования
того, что желательно допустить без всякого доказательства и
проверки. Таким образом, забыв то, что он сам раньше говорил.
н не обращая внимания на форму первых трёх единственно
совершенно бесспорных постулатов, Цейтен уклоняется в сторону
псевдодристотелсва понимания постулатов как истин меньшей
сгйпспи очевидности. Цейтен подчёркивает экзистенциальный
характер постулатов, которые, таким образом, утверждают нц
наличие некоторых свойств у объектов, а существование самих
этих объектом, причём существование jto понимается уже не
в евклидовом смыслеьь, J1).'
В постулате 4 Цейтен видит \тверждбнне существования
и, кроме того, единственности сз шествующего объекта, в г и
время как сама форма выражения ясно говорит об общей свой-
свойстве всех прямых углов — их равенстве. В постулате 5 он усма-
усматривает утверждение о существовании пересекающихся прямых.
То обстоятельство, что в постулатах 1 п 2 нет указания и,\
единственность возможного построения, он считает их определен
лым дефектом. Однако дефект этот полностью пропадает, если
понижать постулаты исключительно лишь в смысле утверждения
возможности описываемого построения. Не говорят ли эгн тщет-
6SJeuthen, От Konstruktloit? Existensbevfs in den (Ме-
(Мекке Mathematik, Nyt Tidskrfft for Mathemailk. — Цейтен.
История математики в древности н в средние века, М. —Л., 1932.
69) Hint о и, Euclide et constructions, Scienha 30} 1926.

К КНИГЕ I
241
иые попытки оправдания подобного разделения постулатов н
аксиом за то, что такое разделение является позднейшим оши-
ошибочным исправлением того, что находилось в тексте самого
Рчи-тгнпя iiin -п finjTPe плн^гих его кпттнятс.
тия смежного и прямого угла. Каталан, Руше и др. выбрасыва
эту теорему из «элементов? Лежандрае0).
Из евклидовых постулатов развились позднее аксиомы соч
тания Гильберта 6i)
Из евклидов
тания Гильберта 6i).
Плоскостными аксиомами сочетания являются следующие:
]ь Две различные точки А и В всегда определяют прямую
]
]2
2
прямую.
1
оскостными аксиомами сочетания являются следующие:
Две различные точки А и В всегда определяют прямую а.
Любые две различные точки прямой определяют эту
н <.А, В определяют продолжение отрезка».
По Гильберту, существует бесконечная прямая, к ней н отно-
относится аксиома Ilf по Евклиду, её пет. Всякая прямая является
конечной, но ока может быть продолжена.
Постулат 1 говорит об операции, дающей объект целиком.
Постулат 2 говорит о процессе, дающем потенциальную беско-
бесконечность.
20. В тексте Евклида стоит Siaa-тцкх (от корней 5"a-iVcr,ui
рас-ставляю). Этот термин вполне возможно было бы перевести
словом «расстояние», если бы последнее не включало в себя
определённый метрический оттенок. Евклидово Siaarr|ia есть отре-
отрезок, начинающийся в данном центре, но никоим образом ие чис-
числовая мера этого отрезка, прочно связанная с нашим термином
«расстояние».
Точно так же было бы ошибочным переводить его словом
«радиус», поскольку, как видно из дальнейшего (предложение 2),
в пего вкладывается более узкий смысл.
ш) См. прим. 20.
и) См. прим. 38.
16 Е8К1ИД

242 КОММЕНТАРИИ
21. Постулат 3. Этот постулат для своего правильного пони-
понимания требует нескольких разъяснений. Дозволенные у Евклида
операции с циркулем несколько отличаются от современных.
Постулат 3 разрешает описывать окружность из точки А радиу-
радиусом, равным заданному отрезку ЛВ, начинающемуся в точке А.
Это объясняется тем, что циркуль заменил собой верёвку, с
помощью которой описывается окружность радиусом, равным
всей верёвке или только её части.
Пгртос отрезков циркулем является операцией недозволен-
недозволенной, как это видно из анализа первых трёх предложений книги I
< Начала.
22. Равенство прямых углов. Это положение в настоящее
время во всех учебниках доказывается.
Кажется, Вольф6-) первый начал доказывать это положение.
Следует отметить, что доказательство Лежандра зависит от аксиом
непрерывности, так как он мыслит, что углы образуют систему
непрерывных величшь между тем Гильберт даёт доказательство,
не зависящее от аксиом непрерывности.
23. Эквиваленты аксномы о параллельных; Ещё в ainuq-
пое время делались попытки доказать эту аксиому, пользуясь
(большей частью скрытыми) более очевидными положениями - -
аксиомами.
Можно привести ряд положений, использованных при этих
доказательствах: обычно они являются эквивалентными аксиоме
Евклида, т. е. вводимое положение может быть выведено при ¦
помощи других аксиом из евклидовой, и обратно, евклидов;!
аксиома может быть выведена при помощи других аксиом щ
вводимого положения.
Эти аксиомы весьма различны.
На пгрзом месте следует поставить аксиомы, выража-
выражаемые вполне точными математическими понятиями и обладаю-
щче степенью очевидности более высокой, чем евклидова ак-
аксиома.
Такова аксиома Лоренца С3).
1) Всякая прямая, проходящая через точку внутри углл.
пересекает по крайней мере одну его сторону.
Лежандр берёт частный случай аксиомы Евклида:
2) Наклонная и перпендикуляр при своём продолжении пере-
пересекаются.
Обычно берётся аксиома, эквивалентность которой евклидо-
евклидовой была отмечена ещё Проклом:
3) Через данную точку можно провести только одну прямую,
параллельную длиной.
6-) С h. W о I f i u s, Compendium elementaris Matheseos, Vene-
tiis, 1713.
сз) L о г е п z, Gnmdriss der reinen und angewaiidten Mattie-
matik. Helmstadt, 1791—1792, стр. 102.

If КНИГЕ I
243
Она является единственной в гильбертовой группе аксиом
параллелизма.Следует отметить, что положение о возможности про-
прония через взятую точку прямой параллельной данной может
вед
б
б
бавлять слова «одну». Больше того, можно постулировать, ч
какой-ниб\гдь точки М$, параллельно какой-либо прямой P^Qq,
можно провести только одну прямую, параллельную данной, и пос-
после этого можно доказать, что положение это б\гдет верно для
всякой точки М н всякой прямой PQ.
4) Б качестве эквивалента евклидовой аксиомы можно взять,
следуя Остроградскому64),- свойство транзитивности паралле-
параллелизма: если / параллельна /' и /' параллельна /", то и / парал-
параллельна /".
Сюда же, пожалуй (поскольку она обладает меньшей сте-
степенью очевидности, чем вышеупомянутые), можно отнести аксио-
аксиому Вольфганга Больяй 65):
5) Через всякие три точки, ие лежащие на одной прямой,
можно провести окружность.
Бесспорно, высокой степенью очевидности обладает аксио-
аксиома Плейфэра eG), которой пользуется Лежандр: две пересекаю-
пересекающиеся прямые АР и AQ ие могут быть отделены прямой
MN, т. е. не существует прямой ММ, ие пересекающей ни АР,
ни AQ.
Па втором месте будут стоять положения, которые кажутся
убедительными, если не стараться раскрывать точного смысла
содержащихся в них выражений; если же истолковывать последние
математически, то высказанные положения изменяют свой смысл,
вследствие чего очевидность их понижается.
Такова аксиома:
6) Параллельные прямые равно отстоят друг от ,ipyiaB7j.
Расстояние между прямыми не есть вполне ясное понятие.
Если мы хотим подойти математически точно к его определению,
то должны доказать, что понятие расстояния между прямыми
есть понятие взаимное, т. е. что расстояние первой прямой от вто-
второй будет то же самое, что и расстояние второй прямой от пер-
первой. Для определения расстояний точек первой прямой от вто-
второй мы опускаем из этих точек перпендикуляры на вторую
прямую. Нам следует доказать, что результаты" будут одинаковы,
будем ли мы опускать перпендикуляры из точек первой прямой
на вторую или, наоборот, из точек второй прямой иа первую.
В результате математической формулировки этого понятия мы
должны притти к наличию общего' перпендикуляра для обеих
f'j Ост роградекпй, Руководство к геометрии для воеи-
ны учебных заведении, СПБ, 1855.
t;fl) См. Б оно л а, Неэвклидова геометрия, СПБ, 1910.
6S) р 1 а у f а 1 г, Elements of Geometry, стр 364.
«) С h. С1 a v i i, Euclidis elementorum libri XV, Roma, 157*
lfi*

244 комментарии
прямых, что возможно только при справедливости евклидовой
или какой-нибудь нз эквивалентных ей аксиом о параллельности.
Такова же аксиома, которой скрытно пользуется Прокл:
7) Расстояние между параллельными не может быть меньше
некоторого предела.
И в этом случае к понятию расстояния между параллель-
параллельными мгакно подойти только через понятие о расстоянии их то-
точек, которое отечнтывается по перпендикуляру к одной из пря-
прямых (чего, между прочим, у Прокл а пет —понятие о расстоянии
так и остается невыясненным до копна).
Такова же аксиома и Томаса Симпсопа68):
8) Если две точки какой-либо прямой не одинаково отстоят
от другой прямой, лежащей в одной с ней плоскости, то эти
две прямые при бесконечном продолжении пересекаются в той
стороне, где расстояние меньше.
И, наконец, аксиома Роберта Симеонасз), сводящаяся к опи-
описанию поведения одной прямой относительно другой:
9) Невозможно, чтобы какая-либо прямая сперва приближа-
приближалась бы к другой, а затем удалялась, чтобы затем снова
ближе подойти. Прямая всегда должна сохранять своё напра-
направление.
На третьем месте следует поставить аксиомы, в которых
пользуются понятиями, не поддающимися полной математизации
н содержащими в большей или меньшей степени интуитивные
элементы. Сюда, например, относятся все аксиомы, говорящие
о направлении Щ.
10) Аксиома Баллис.а'1) постулирует возможность построе-
построения па данной прямой треугольника, подобного данному.
Это положение получает убедительность, если только прн-
:шдть гомогенность пространства, иными словами, ввести общую
аксиому, не поддающуюся математизированию: пространство в
малом является тем же, чем и в большом.
11) Совершенно такого же рода и аксиома Ламберта о невоз-
невозможности абсолютной меры длины.
24. Генезис евклидовых аксиом. Чрезвычайно интересным
является вопрос о происхождении аксиом евклидовых Начал.
Высказываются три различных мнения:
1) Одни приписывают Евклиду все постулаты и аксиомы,
кроме тех, которые Гейбергт^ исключил в своём издании, при-
признав iu включёнными позднейшими авторами.
2) Другие оставляют за Евклидом все признаваемые Гейбер-
гом постулаты, по исключают аксиомы, При этом они включают
fi4) Thomas Simp so n, Elements of Geometry, т. /, стр. 14.
^) См. прим. 34.
7l)) T h i b a u t, Gmndriss der reinen Mathematik, Gottiiigen, J 827.
71) WalJisil, Opera, т. 1/, Ozoniae. De postulato qiilnto.
nj Heiberg, Litteratnrgeschichtliche Studien fiber EuklM.

245
в число постулатов четвертый и пятый, исключая их из числа
аксиом.
3) Третьи отрицают принадлежность Ьвклиду дщх послед-
последних постулатов и всех аксиом, т. е, оставляют только посту-
постулаты 1, 2 и 3.
Таннерятэ) защищает последнее мление, приводя в пользу
его ряд аргументов, причём его рассуждение наводит на ряд
очень интересных мыслей, относящихся к геометрии доевклидова
периода.
Он обращается к Аристотелю ^4) и не находит у него, как
и у других философов, термина zciyai ?vvo:ai (notiones communes).
Аристотелем употребляется термин «аксиома», по только не
в современном смысле. Следует отметить, что к основным недо-
недоказуемым положениям Аристотель предъявляет требование не
столько очевидности, сколько общепризнанности. При этом :ui
положениями, называемыми аксиомами, поводимому, еще не при-
признаётся основным признаком их недоказуемость, которая выстав-
выставляется Паскалем и др. в качестве характерного свойства аксиом
наряду с их очевидностью. Очевидность как признак истинности
аксиомы вполне определённо выставляется Декартом, а за ним
другими рационалистам». У Аристотеля же i;i(i>[ia —положение,
не нуждающееся в доказательстве и лежащее в основе доказа-
1ельства. Об очевидности он не говорит (см. Метафизика, кн. 4,
[¦л. 13; Физика, кн. 8, гл. 3).
По моему мнению, не так далеко отстоят от Аристотеля it
стоики, допускающие в качестве аксиом как верные, так и не-
неверные положения, по с признаками общности и фундаменталь-
фундаментальности, из которых выводятся следствия, быть монсет даже унич-
уничтожающие эти положения.
Совершенно прав Таниери, утверждая, что до Евклида не
было жёсткого разграничения определений от аксиом. Так как
вся наука в аристотелевском смысле сводилась к разысканию
определений, то общие основные положения, т. е. аксиомы, должны
были сперва явиться тоже как определения. Само слово Iwoia —
понятие, слово, появляющееся лишь ко времени Аристотеля, ука-
указывает на то, что смешение аксиом и определений продолжается
» после Евклида. Даже у Архимеда в книге *О сфере и цилиндре.»
аксиомы по существу — определения, а леммы являются постула-
постулатами.
Особенно убедительное место Таниери приводит из сочине-
сочинения Автолика *О движущейся сфере>. Последний в качестве пер-
первого определения даёт то самое определение равномерности дви-
Щ Tannery, Sur i'autiienticie" des axio-nes d'EucHde, Bulletin
des sc. math, de Darboux, 1838, т. 8, стр, 152.
u) Взгляды Аристотеля ua. математику; Gorland, Atfstote-
ies und Mathematik, Marburg, 1899.— Ml с ha u d, Aristotck-ч ct Its
inathematiques, Archiv der Philosophic т 16, 1913

жения, которым мы пользуемся и в настоящее время. Но в качестве
второго он даёт такое положение, которое в настоящее время
УЖР Н1ТКТП Ы?* ЦЭЧПТи^Т ПТТПРЧР TATIII^VI"
второго он даёт такое положение,
уже никто не назовёт определением:
Ес гюяся п
ями*.
Аристотель ра
I) То, что пол
щее,— в геометри
Под этим раз
азличает в юометрин следующие элементы:
лагается как определённым образом существую-
существуюи, — это точки и линии.
иями.
2) Общепризнанные истины,
тельство.
которых начинается доказа-
доказане все употреблявшиеся ими положения, но только те, про
рые можно было сказать, чго они должны быть признавае,
по могли и не признаваться при софистическом настроении того
времени.
Что ряд аксиом был введён позднейшими авторами, в этом
может быть сомнения. Среди этих аксиом можно различать
категории. Одни дают более полное воспроизведение евкли-
евклиа положения; в этом случае исправляющий или лучше ска
ний употребляет вовсе не эту аксиому," а другую, когда говорит
(в предложении 6 книги I и др.): «меньшее равно большему,
что нелепо». Этой аксиомы не знает Герои, но она находится
у Прокла 75).
13) Mansion, Sur les postulats et aximnes d'Euclide, Aunalcs
do U Soc. de Brnxelles, 14, 1889.

247
25. Арифметические аксиомы. Первые шесть аксиом —
родоначальницы системы арифметических аксиом.
В течение времени эта группа подвергалась наибольшим т-
мепепиям; она то сокращалась, когда замечали логическую зави-
зависимость одних от других, то, наоборот, пополнялась.
Систему, которая извлекается непосредственно из первых
шести евклидовых аксиом и выражается формулами
1} если 1ZZCC то а = Ъ,
2) | если а=гЬ TQ a=tC'-=b^d,
3)j c==dl • .. .
5) если a—b, то 2a~'lb,
6) если а— й, то -— a = -fTb,
интересно сравнить с гильбертовой *ь).
Аксиомы сочетания постулируются существованием опреде-
определённого
I) с, такого, что а-\-Ь-.---с или с-—а \-Ь,
'2) решения а -|- д: — & ц у -\-а=^Ь,
Ц нуля, такого, чго a-^-0==as О-|-я^а,
4) с, такого, что ab^~c и c-^ab,
о) решения ах~=Ь п уа = Ь,
6} единицы, такой, что а-\ =--а и ) -я:= а.
Правила счит а:
Т) a + (& + с) ---- ^ -f ь) -г f.
9) aFc)i= («&}с,
10) а(Ь-\-с) = аЬ-^ас,
II) (а + &
12) аЪ^Ь
Предложения порядка:
13) если д,Ь различны, то или а > Ь и.т я
14} если a > & и Ь > с, то а > г,
15) если a > &, то a-[--c > b -f" f>
16) если a > &, с > 0, то ос > Ьс,
с = «с \~Ьс,
тч) См. прим. 38 (г.|.

*4> КОММЕНТАРИИ
П р е д л о ж с и и е Архимед а:
lie ли а > О, Ъ > Oj то существует целое число п, t;ikoc,
что па > Ь.
В системе Гильберта первая евклидова аксиома исчезла как
арифметическая, но остаётся как геометрическая аксиома группы
конгруэнтности; если
АВ^А'В',
ЛВ 35 А"В",
то
А'В' = А"В".
Равенство чисел есть тождество чисел, и поэтому аксиома
1 в числах ничего не выражает.
То же следует сказать и о 2-й евклидовой аксиоме: она не
выражает больше, чем аксиома 1 сочетания.
5-п отпада как следствие 2-Й, а б-я заменилась более общей,
которая в системе Гильберта сводится к 5-й.
Таким образом, только 4-я осталась в современной системе.
Законов счета Евклид не рассматривал.
Б середине XVIII в.;7) существовала довольно стройная си-
система основ арифметики или, лучше сказать, алгебры, так как
она относилась не к числам (иррациональных чисел тогда ещё
не было), а к величинам вообще, нал которыми оперирует Ал-
1 ебря.
Законы арифметики тогда представлялись очевидными поло-
положениями (и в этом смысле аксиомами), но тем не м-uee доказуе-
доказуемыми, причём среди них были далеко не в:е, которые в настоя-
настоящее время являются таковыми. Эти доказательства все основы-
основывались на лейбницианском определении равенства.
Тождество це определялось, а равенство определялось с по-
помощью тождества.
Два количества а и Ь признавались Лейбницем и др. равными,
если всякое выражение Ф («) оставалось таким же и по под-
подстановке Ъ вместо а.
Сложение мыслилось как одновременная, совершенно одина-
одинаковая в отношанни обоих членов операция над этими членами;
поэтому закон коммутативный являлся лишним. Очевидно,
то же следует сказать и о законе ассоциативном.
Но закон транзитивный!
если а = с, Ъ=~с, то а~Ь, выражаемый первой евклидовой
аксиомой, доказывался и Лейбницем и Вольфом.
Вследствие равенства Ь и с по самому определению везде
величиной Ь можно заменить величину с, в частности и в равен-
равенстве а = с, вследствие чего а^=&.
¦л) См. прим. 62, Т\ также Karsten, Mathesis theoretic<i,
Rostock, 1761, стр. 701.

249
Таким же образом доказывалась и вторая евклидова аксиома.
Б истории этой группы евклидовых аксиом интересно срав-
сравнить два момента, отделённых между собой столетием — аксиома-
аксиоматику в Cursus Mathematitus Херигона"^ и такую же аксиома-
гику в учебнике Хр. Бо.чьфа.
У первого мы имеем чрезмерное раздутие всей аксиомати-
аксиоматической системы. Это какое-то коллекционирование очевидных,
истин без всякого анализа их взаимной логической зависимости.
У второго, как мы только что отметили, имеем явное наме-
намерение строить геометрию без аксиом в том смысле, что всё вы-
выводится из определений и логической аксиомы противоречия.
Ь'сли Вольф их перечисляет, то не потому, что они очевидцы,
и не потому, что они недоказуемы, по потому, что это основ-
основные простейшие положения, па которые чаще всего приходится
ссылаться.
Херигон за цервой евклидовой аксиомой ставит другую, ей
аналогичную, и из нее выводит (знак -*¦ обозначает: «следует, по-
поручается»)
\й-Ъ с — (/ а = с h~-d -+ a~bt
которую он пишет в своём идеографическом обозначении:
hyp. c2\2d,
hyp. a2\2c,
hyp. b 2 12 d,
1 a ¦ b a 2 12 b
обозначая через 2]2 равенство, через hyp. — гипотезу: *еели>,
\a'b — нумерация аксиом у Херигона.
(Следует обратить внимание, что эта аксиома выводит 1-ю
евклидову с присоединением к ней рефлективного свойства ра-
равенства а = b -> Ъ — а.)
Другие херигоновы аксиомы-.
\a-d a = br a > с -* b > с,
\а-е &>с, «>&^а>с,
\a-j a + b^c + d, b^d -> a^-d^zc^b,
2a-\ a — b, c = d->a-{-c~b-{-d,
$a-l a=b, c~d -> a—b--=^c —d,
Ъа-Ь c>^a-+a — c < \ а, с <~ а~^ а — с > ~ й,
-* *-l a>b, c = d->a-\
4a-b a = b, c>d->a-
V) He rig onus, Cujslis matlieiiiaticus, Parisiis, 1632.

250
КОММЕНТАРИИ
4a-c a>b, с > d -> a -\-c>b + d,
5й ¦ 1 a>b, c = d^-a — c"_>b — d,
Ьа-b a = b, с > rf -*- д — с < J —¦ rf,
5#'? # ^> J, с ~^> d ~$- a — d^>b — c,
Ga ¦ 1 д =— 2c, b = 2c —r a ~= b,
da-b a > b -=» 2a >¦ 2J,
6a ¦ с a ==; 2&, Ь ssi с -г- й = 2c,
1
Чтобы понять наличие такого большого числа аксиом у Хе-
ригона, следует обратить внимание на то, что все эти аксиомы
понимались не в числовом смысле. Удвоение и деление пони-
понимали так же, как у Евклида понималось в геометрическом смыслу
умножение пли разделение пополам площади и отрезка, произ-
производимое рядом операций.
Следует отметить, что умножение отрезков здесь уже не
понимается в чисто геометрическом евклидовом смысле построе-
построения a, b прямоугольника.
Вольфианские аксиомы следующие:
a b
5) а — Ь, с = d -+ ас =—.bd, G) a -=z Ь, с — d -»- — — —г , i) a-—bt
а _> с -s- b > С.
26. Аксиомы конгруэнтности Г!)). Первые семь евклидовых ак-
аксиом являются также родоначальницами группы аксиом конгру-
конгруэнтности.
Прежде всего следует отметить правильное понимание ак-
аксиомы 7. Равенство Евклид всегда понимает в смысле равное^-
ликости. Ныне же мы обычно понимаем равенство в том смысле,
как это понимали в XVII в., в смысле одинаковости формы и
размеров, т. е. равные фигуры отличаются только положением.
При такой точке зрения смысл аксиомы 7 тот, что если фигуры
при наложении совпадают, то они отличаются только положе-
положением.
) См.
J5).

Евклид дотел сказать совершении друюе: то, что площади
двух совпадающих при наложении фигур равны.
Некоторые математики вводили предложение, обратное ев-
евклидову, хотя в его постановке оно, вообще говоря, необратимо:
равновеликие фигуры могут и не совпадать друг с другом при
наложении. Однако Евклид в своих доказательствах пользуется
частными видами такой обращенной аксиомы 7, т. е. признаёт
наложимость равных, отрезков и углов.
Это было отмечено всеми комментаторами Евклида, которые
пополнили его систему аксиом группой аксиом конгруэнтности.
Некоторые авторы обращали аксиому в определение, опре-
определяя равенство наложимостью.
В формально логической системе Гильберта нет определения
равенства. Конгруэнтность берётся как символ ез и устанавли-
устанавливается группа знаков операций с этими символами так, чтобы
но замене"этих форм конкретным содержанием получились кон-
конкретные теоремы геометрий.
Аксиомы Шя, 1П3 Гильберта тогда превращаются в аксиомы
1 н 2 Евклида.
Основная часть аксиомы Шг превращается в постулат I о
переносе отрезка. (Другие её элементы АВ^АВ, АВ = ВА те-
теряют смысл с евклидовой точки зрения.)
Б системе Беронезе выдвигаются другие аксиомы:
1) АВ = АВ, 2) АВ — А'В' -+ А1 В' = АВ,
3) АВ = А"В", А'В' ~ А"В" -^АВ = А'В', 5) АВ = В А.
К этому прибавляется частная форма евклидовой аксиомы 8,
что 4) отрезок не конгруэнтен нн с одной из своих частей, и
6) устанавливается возможность откладывания от А равных от-
отрезков в различные стороны, возможность переноса отрезка на лю-
любую прямую в любую точку.
Понятие конгруэнтности, в которое обращается неопреде-
неопределяемое Евклидом равенство, понимаемое самим Евклидом какраи-
повел.икость, а иногда как тождество формы и размеров при
различии положения, Гильбертом берётся как форма, заполняе-
заполняемая содержанием только после развёртывания всей формально
гипотетической геометрии как системы связей между этими
формами.
У Веронезе а1) понятие о конгруэнтности отрезков — простое
понятие, которое если не вполне логизировано, то больше всего
может на это рассчитывать. Что касается конгруэнтности
фигур, то это сложное понятие сводится к простому, а именно,
к конгруэнтности отрезков, причем это сведение производится
-югн тически, выражая связь в чисто логических понятиях. <Двс
фигуры называются конгруэнтными, если каждой точке одной
s°) Veronese, Element* di Geometrfj, Padova, 1904.

252
фигуры соотвегавует одна и только одна точка вшрой фигуры,
так что отрезки, соединяющие пары соответственных точек в
обеих фигурах, конгруэнтлы>.
Конечно, равенство (конгруэнтность) треугольников понимается
совершенно различно Евклидом, Лейбницем, форономическим
учебником Вероиезе, резко подчёркивающим наложимость как
определение равенства (в его логическом определении), и Гиль-
Гильбертом, который, исключая внутреннее содержание, остаётся
только при одном символе г=.
Понятие о равенстве в нашем смысле этого слова создаётся
только в XVI и XV11 вв., для него Лейбниц употребляет термин
«конгруэнция». Лейбниц говорит, что две величины конгруэнтны,
если они различаются только положсЕшем, т. е. в чксто внешнем
отношении. Он прибавляет, что при наложении они должны сов-
совпасть, так что аксиома 7 Евклида выставляется Лейбницем как
непосредственное следствие его определения конгруэнтности. Далее
Лейбниц подчёркивает, что конгруэнтность есть подобие плюс
равенство в евклидовом смысле слова. Таким образом, подобие
является более широким понятием, чем конгруэнтность, и неко-
некоторые методисты (например, Дистервег) раньше выставляют по-
до5 *е фигур, а затем путом огра шчения приходят к равенству
в нашем смысле этого слова.
27. Целое и части. Аксиома 8 бесспорно имеет позднейшее
происхождение.
Интересно отметить, что современные математики, одернр)я
с акшуальн ># бесконечностью, ставят характерным свойством
лля б сконечного множества именно равенство целого части,
что для конечного не имеет места.
Собственно говоря, около этой евклидовой аксиомы и со-
сосредоточивались споры инфииитисгов с финитистами.
Достаточно вспомнить парадокс Галилея т): число членов
ряда
1,2,3,4,5,...
с одной стороны, не равно числу членов ряда 12,22, 33,4j, 5?,. • • ,
так как цглог не может равняться своей часта, с другой
стороны, равно, так как между членами этих рядов существует
взаимно однозначное соответствие; кшцому члену первого ряда
отвечает только один член второго и обратно.
К аксиоме 8 комментаторы прибавляют другую «целое рав-
равно всем своим частям вместе взятыми.
Обе указанные аксиомы оэъеилются следующей:
Из неполной совокупности частей нельзя составить целого.
В современной теории эта аксиома, понимаемая соответству-
&1) Г а л и л е о Галилей, Беседы и математические дока-
зательсгва, Москва, 1937. День первый, стр, 95. Сч. также Сон-
tn r at, L'infim Mathematique, Paris, 1905.

254
ющим образом, играет важную роль. Это известная аксиом;)
Цольта 82), которую он формулирует так:
Если разложить многоугольник прямыми линиями на не-
несколько частей а устранить одну часть, то с помощью остаю-.
щихся, как бы мы их ни располагала, нельзя покрыть много-
многоугольник.
У Паолнса Щ стоит аксиома в формулировке, совершенно
аналогичной формулировке Евклида: часть многоугольника не
может равняться целому, а Ризенбергер, наоборот, даёт в форме,
ещё более отклоняющейся от евклидовой, чем формулировка
Цольта;
Если доказана с помощью какого-либо разложения розно-
великость двух фигур, то нельзя произвести другого разложе-
разложения их так. чтобы одна фигура содержала все части данной
и ещё другие части.
К цольтовой аксиоме относится ряд работ Штольца 84), Шура,
Киллинга s"'), доказывающих, что аксиома Цольта является след-
с гвием архимедовой (Евдокса).
28. Девятая аксиома. Эту аксиому, которую Гейберг не
считает принадлежащей Евклиду, Прокл пытается доказать в своих
комментариях к книге I «Начала
Если предположить, что две пря-
прямые ABC и ADC (черт. 3) заключают
пространство, сходясь в точке С, то,
описывая окружность из С радиусом
СА, получим две точки Е и F пере-
пересечения наших прямых АВСЕ и
ADCP с этой окружностью. Дуги АЕ
и АР, как отсечённые диаметрами '
АСЕ и ACF, будут полуокружностя-
полуокружностями и как таковые должны быть
равны в сумме всей окружности, в
го время как они составляют лишь
её часть EAF.
Клавий 8G) правильно замечает,
чей возможен ещё случай, когда пря-
прямые сходятся второй"раз на окруж-
окружности, и пополняет доказательство Прокла, описывая из точки /с
радиусом КА, меньшим чем АС, окружность ALM, пересекающую
Черт. 3.
я) о' / о° ' Рг1псУ1й de5!a equalita del poligoni, Milano, 1883.
Э & ce PaoIi8> Element* di Geometrla, Torino, [883
. ,L- st°Izvvorlesungea aber allgemeine Arithmetick, Leip-
Leipzig, (88э,стр.7;>.—Monatshefte der Mathem. imd Physik, т. 5 A894),
derborn^lVoe^cf' Ei,"JDh"m^ If! dfe Gmn^lagen der Geometrie, Pa-
m) См. прим, 67.''

КОММЕНТАРИИ
прямые ABC и ADC уже в двух не совпадающих точках
N, Q, и повторяя те же рассуждения для окружности AIM
(черт. 4).
Здесь аксиома, на которой основывается доказательство, за-
зарыта довольно глубоко. Мы имеем пересечение с окружностью
в двух точках прямой, проходящей через центр, и утверждение
необходимости существования не совпадающих точек пересечения
N и Q на двух одинаковых рас-
расстояниях.
Отметим, что в XVII в. эта
аксиома пополняется другими. По
Схоутену, мало сказать, что две
прямые не заключают простран-
пространства, необходимо ещё указать, что
они не имеют общего отрезка; в
самом деле, линии, заключающие
и не заключающие пространства,
можно мыслить и с общим отрез-
отрезком и без него, Далее, вместо
общего отрезка можно взять и
общую точку. Поскольку из акси-
аксиомы 9 ещё не следует, заключают
ли эти прямые пространство, или
нет, то Схоутен выдвшает ещё одну аксиому: две прямые, сходя-
сходящиеся в одной точке, необходимо должны в этой точке пересе-
пересекаться,
29. Первое предложение Евклида. Против первого предло-
предложения <Начал> высказывались очень многие, Возражали против
самой конструкции доказательства, относя его к типу «это так»,
т. е. признавая его не объясняющим, каким образом доказы-
доказываемое свойство вытекает из существенных свойств объекта, к
которому оно относится и с которым имеет дело определение.
Конечно, разделение доказательств на два типа: ото так> (Sti)
н «потому что> (StoTt) является чисто схоластическим 87). Эта
классификация идёт от арабского схоластика Аль-Фараби, В чисто
схоластических рассуждениях находим образцы доказательств
16Ы-.1. Такого рода критика доказательств ведётся и в XVII в.,
Черт. 4,
8") Исходный пункт у Аристотеля, Arlstoteles, Analytka
Posteriory кн. 1, стр, 9, кн. 2, стр. 12, 13, О доказательстве
oft — Stdxi.—Zi e h е п, Logik, ч. IV, § 36, стр. 805,1920.—А 1 f а г a b i,
De divlsione phllosophiae в Beitrage zur Geschlchte der Philosophic
des Mlttelalters, т. 4, тетр, 2—3. MUnster, 1901.—-Dietrich,
Alfarabis philosopliia, Lugduni, 1892, против on.— Avlcenna,
Die Metaphysik.,. von Horth, Leipzig, 1909, — Dens sen, Geschi-
rhte der Philosophic, т, 2, стр. 407. —P rant], Geschichte der
Logik la AbendlSnde, т. II, стр, 366, 1863—-1870.

К КНИГЕ !
255
причём Std^i тогда обращается в естественное доказательство,
a oxL — в неестественное. В XVIII в. это требование обращается
в требование, чтобы доказательство развёртывалось по тому пути,
но которому шло открытие доказываемой истины.
30, Пересекаемость окружностей. Некоторые обоснованно
здмечачи, что у Евклида остаётся недоказанной пересекаемость
двух окружностей. Комментаторы находили выход во введении
дополнительной аксиомы о том, что если окружность С имеет
точку внутри окружности С, то она должна пересекаться с этой
последней, Неполнота доказательства первого предложения у
Евклида вполне сознавалась X. Вольфом, по вряд ли можно со-
согласиться с убедительной силой делаемых им добавлений, не го-
говоря уже о том, что аксиоматическая конструкция остаётся у
него совершенно невыясненной.
При доказательстве рассматриваемого предложения Евклид
просто обращается с интуиции, что он, между прочим, делает и
в других местах, например, в предложении" 12, где ему прихо-
приходится описывать из точки окружность радиусом, большим рас-
расстояния до некоторой прямой, и утверждать, что эта прямая
пересечётся в двух точках с проведённой окружностью. При
строгом доказательстве предложений подобного рода мы должны
были бы в той или другой форме использовать аксиомы непре-
непрерывности.
Наиболее простым является вывод, приводимый Энриквесом
и основанный на аксиоме Дедекицда:
Если все точки отрезка АВ делятся на два класса X и У,
причём все точки класса АГ, к которому принадлежит и Л, пред-
предшествуют всем точкам класса Y, к которому принадлежит В, то
существует некоторая точка С, производящая сечение отрезка,
опредепяемое обоими классами X п Y, причём все точки класса
X по крайней мере не следуют за точкой С, а вес точки кчасса
У по крайней мере не предшествуют ей.
31. Составные части античного доказательства. Полуиц-
туитивный характер античных геометрических доказательств* вы-
выявляется в античном разделении доказательства: в этом расчле-
расчленении только один член относится к логической операции, все
другие относятся к словесной форме, или к чертежу.
1) Прбтас,;, Propositio — предложение.
Это в задаче данное и искомое, в теореме — данное пли
предположенное и то, что следует доказать. На современном
языке мы выразимся так: это формулировка задачи или теоремы.
2) ''Ex&eou;. Expositio — нзчожсешс— то, о чем говорится в
общгм виде, прилагается к фактически выпошешюму чертежу.
Мы скажем теп.-рь: это введение в ход доказательств чертежа'
;(ля формулировки данных,
3) A[Opw|td5, Determmatio — определение; в нём ставится перея
глазами искомое; мы имеем формулировку по чертежу иско-
искомого. ¦ н 3 р :

25b
КОММЕНТАРИИ
4) уа'.аамЦ, Coiistructlo — построение; указание, что следует
делать.
Здесь разумеется введение в чертёж вспомогательных линии.
5) Аяоое^н;, Demonstrate — доказательство в собственном
смысле.
6) Sujii:i?ac|tat Conclusio — заключение, состоящее в объявле-
объявлении о том, что доказано, и что задача разрешена.
Мы приводим, по Камереру, расчленение доказательств пер-
первого предложения «Начал» Евклида, представляющего задачу о
построении на данном отрезке АВ равностороннего треуголь-
треугольника ЛВС.
Propositio. На данной прямой построить равносторонний
треугольник.
"ЕхрозШо. Пусть дана ограниченная прямая АВ.
Defertninatio. Требуется на АВ построить равносторонний
треугольник.
Constructs. Цз центра А раствором АВ опишем круг BCD
(постулат 3), затем из центра В раствором ВА описываем круг
АСЕ (постулат 3) и от точки С, в которой эти круги пересе-
пересекаются, проведём прямые СА, СВ.
Demonstratio. Так как точка А есть центр BCD, то АС рав-
равно АВ', далее, так как точка В — центр круга АСЕ, то ВС
равна ВА.
Но было доказано, чго и СА равна АВ; значит, каждая нз
прямых СА, СВ равна АВ; но равные одному н тому же равны
и между собой, значит, и СА равна СВ; значит, три прямые СА,
АВ, ВС равны между собой. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний и построен он на ограниченной прямой.
Comiusio. Значит, на данной ограниченной прямой АВ по-
построен равносторонний треугольник ABC, что и требовалось
сделать.
В дальнейшем схема эта. значительно упрощается.
Херигон различает в теореме только;
1) Изложение условий и объясиеЕше искомого.
2) Приготовление к доказательству, [Соторое не всегда, но
большей частью необходимо.
3) Доказательство того, что то свойство, которое требуется,
присуще тому, что предлагается.
32. Теорема и проблема. У Евклида нет термина теорема;
под названием ^предложение^ стоят как теоремы, t(ik и то, что
мы сейчас назвали бы задачами на построение. Но для Евклида
это больше чем задачи на построение; это доказательство суще-
существования. Оно играет такую же роль, как у нас, например,
доказательство существования интеграла от непрерывной функ-
функции, и поэтому входит в цепь следующих друг за другом пред-
предложений.
Интересно, что в XVII в. Херигон определяет проблему так,
как её Евклид не определил бы;

(-Проблема, если что-либо предлагается сделать {т. с.
построить) или узнать*.
Проблемы второго рода таковы: найти, площадь треугольника,
найти длину окружности, найти объём пирамиды, объём или
поверхность шара. У Евклида таких проблем нет. Но они
существуют у Архимеда, хотя и не стоят под таким на-
названием.
Между Евклидом и Архимедом существует глубокое разли-
различие. Евклид принадлежит больше старому; он сообщает старое,
eio отделывает и продолжает иттн в старом направлении. Архимед
открывает новые пути в совершенно новом направлении.
Интересно отметить положение Херигона; проблема нуж-
нуждается в теореме для доказательства (т. е. своего обоснова-
обоснования) и теорема нуждается в проблеме для приготовления
(т. е, для вспомогательного построения).
В это время уже сознаётся необходимость оправдания ев-
евклидовых определений.
Термины «королларий» (следствие), «лемма», «схолия» больше
употребляются комментаторами Евклида, чем самим Евклидом.
В первых пяти книгах лемм нет, но они появляются в шестой;
особенно их много в книге X. Наше «следствие» появляется у
Евклида под термином «поризм» (буквально «то, что добыто?;;
таково, например, заключение к предложению 1 книги III, быв-
бывшее, поводимому, до Евклида самостоятельным приложением,
поскольку ссылки на это предложение как раз имеют в виду
этот «поризм».
Королларий — это непосредственно вытекающее из теоремы
следствие. Лемма — положение с кратким доказательством, иг-
играющее только служебную роль при доказательстве теоремы —
по Аристотелю предпосылка силлогизма.
Схолия — это разъяснение к теореме, имеющее целью устра-
устранить недоразумение, могущее возникнуть при неправильном по-
понимании её формулировки или каких-либо пунктов в доказа-
доказательстве.
Если применить эту терминологию к книге I «Начал», то к
проблемам следует отнести предложения 1, 2 3, 9, 10, 11, 12,
22, 23, 31, 42, 4<45, 46.
К теоремам: 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 47, 48,
К леммам: 7, 21, 43,
Того же, что следует называть схолнямч, в книге I у Ев-
Евклида совершенно нет.
33. Второе и третье предложении. Эти два предложения для
тех, кто не понял смысл постулата 3, представляют большую за-
загадку. Мы просто предлагаем отрезок ВС переносить на прямую
соответствующим раскрытием циркуля.
Но Евклид этой операции не признаёт; для него дозволенной
операцией является только та, которая устанавливается правильно
понимаемым третьим постулатом ^сн, комментарий 20). Он его и
47 Евклид

znts КОММЕНТАРИИ
употребляет в предложении 3: описывает окружность из конца
прямой радиусом, равным этой прямой.
Конечно, принимая за дозволенные операции только те, ко-
которые признавал сам Евклид, следует согласиться с Проклом, ко-
которому наш способ представляется недозволенным.
Описание из А круга радиусом ВС предполагает предложе-
предложение 2, т. е. перенос этого отрезка па некоторую прямую, про-
проходящую через А,
34. Четвёртое предложение. Это первый случай равенства
треугольников.
Доказательство Евклида отличается от современного только
тем, что он, утверждая совпадение ВС с EF прн наложении,
основывается на аксиоме 9, т. е. на том, что две прямые не со-
содержат пространства, а мы основываемся на том, что через две
точки можно провести только одну прямую, т. е. на аксиома-
аксиоматизированном и слитом с аксиомой 9 постулате 1.
35. Метод наложения ss). Если согласиться с тем, что Евклид
мыслил геометрические фигуры существующими лить с момента,
как они оказывались построенными, то является вопрос, пра-
правильно ли понимают его метод наложения. Мыслился ли при
операции наложения идеальный треугольник, переносимый с од-
одного места на другое для совмещения со вторым? Не мыслился
ли Евклидом этот перенос в смысле построения в другом место
треугольника, одинакового с данным?
На это как будто указывает то, что книга I начинается с
изложения способа переноса отрезка. Что касается переноса
угла, то, вероятно, операция описания из вершины А' угла В'А'С
окружности радиусом А'В', перенос А'В1 в АВ и засекание дуги
НС 'окружности радиусом ВС — В'С представляется очевидным
решением задачи. То, что строгое обоснование этой операции
основывается па 3-м случае равенства треугольников, раньше ие
замечалось, и предложение 23 должно быть отнесено к поздней-
позднейшему времени.
Во всяком случае jice комментаторы понимали наложение в
нашем смысле и обнаруживали тенденцию пользоваться им ши-
шире, чем делал это Евклид.
Прокл даёт следующее доказательство предложения 5 книги I.
Рели в треугольнике ABC стороны АВ а СВ равны, то бе-
берем треугольники ABC и СВА: в них равны основания АС и
С А и боковые стороны АВ=СВ и ВС —В А; следовательно, пи
третьему случаю равенства треугольников будут равны и углы
при основании, т. е. ^_А~/_С, а /_С=?А,
Рационалисты XVII в. настроены несочувственно и. методу
наложения, Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью об-
обращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только
88) Д. Мордухай-Болтовской, Метод наложения, Ма-
Математическое образование.

один является судьёй. Первый случай равенства треугольников
доставляет им иного хлопот. Мы видим ряд попыток замены
обычного доказательства наложением другим "без этой «механи-
«механической операции-», столь противной духу рационалистической
мысли.
Томас Симпсои 89) относит первый случаи равенства к акси-
аксиомам совершенно так, как в настоящее время Гильберт.
36, Евклид и Лежандр. Форономическая геометрия. Какой ме-
метаморфозе подверглись взгляды на математическое доказатель-
доказательство от Евклида до настоящего времени, можно видеть, анализи-
анализируя Евклида, Лежандра н наши современные учебники, которые
восходят к этим авторам.
То, что Лежандр считает доказательством, не могло быть
признано за доказательство Евклидом; с другой стороны, Ле-
Лежандр не мог начать свои элементы с построения равносторон-
равностороннего треугольника, как это делает Евклид.
Не следует думать, что Лежандр в своих «.упрощённых»
доказательствах додумывается до более простых доказательств,
которые ускользнули от Евклида. Евклид, мо/кет быть, и знал
эти доказательства, по отвергал их как негодные, как находя-
находящиеся в решительном противоречии с его взглядами па доказа-
доказательство, Почему бы ему не поступать таг:, как поступает Лежандр
при доказательстве основного свойства равнобедренного тре-
треугольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным
Сторонам, равны? Ведь, кажется, нет ничего проще, Как соединит!.
середину D стороны ВС с вершиной А и доказать на основи -
пин третьего случая конгруэнтности равенство треугольников
ABD и ADC. "
Между тек, Евклид даЭт другое, более сложное доказатель-
доказательство 1.5 (так называемое elefuga).
Это потому, что Евклид признавал существование только
тех объектов, которые могут быть построены. Он потребовал
бы от Лежал яра указания способа построения точки D середины
ВС. Но построение это (предложение 10 Книги I) основывается
па предложении 9 о делении угла на две равные части, послед-
последнее же па третьем случае конгруэнтности треугольников (пред-
(предложение 8), а третий случай конгруэнтЕЮСтн доказывается oi
1фошвцого на основании прсдложеЕшя 7, утверждающего, чти
если мы соединим концы основания АВ (черт- 5) с двумя точ-
точками С и D, лежащими по одну сторону прямой АВ, то рассто-
расстояния СА н СВ точки С ог концов основания АВ не могут быть
равны соответственно расстояниям DA и DB от тех же концов.
Употребление движения носит у Евклида случайный харак-
характер: его геометрия по своему типу является скорее конструк-
конструктивной. Правда, он не определяет вместе с Манзионом поегятия
«равных* фигур как ^одинаково построенных*, но первые три
его постулата и нх применение для переноса отрезка несколько
8Ч) См, прим, 68,

260
КОММЕНТАРИИ
сближают геометрию Евклида с штейнеровскими поароениями
при помощи линейки л неподвижного круга с отмеченным цен-
центром, когда равенство отрезков устанавливается не путём пере-
переноса их с помощью циркуля (операция, являющаяся у Евклида
ипЯл^ил 'idiHin/f^ rt .fr-\ii гт fklLT *Л т т т гт ГГРТГМ^О ПО ТТЛ ПТ1ЙПДГ1ИИ
1Ир1 „
недозволенной), а при помощи
ряда операций
Недозволенной), а при помощи целики ряда иперацаи.
В основанной па идее движеЕЕия форономической геометрик мы
постулируем возможность любого переноса в пространстве фи>
i ур без изменения их элементов — взаимных расстояний различ-
различiyp без'изменения их элементов— взаимных расстояний различ-
различных их точек и угло! ~" — "
практической (физичес!
\тов, образуемых их прямыми. В отличие ог
..j. VT ческой) геометрии, где идея переноса отрезка
является основным принципом всякого измерения, в идеальной
геометрии перенос фигуры А на
фигуру В совершается "щшь для
того, чтобы помочь уму увидеть,
что части А тождественны частям
В. Если фигура А является чисто
>,П идеальной, то таковым же будет
п самый перенос. Ecjjh идеальная
фигура А изменяется при идеаль-
идеальном переносе, то она уже не А, а
какое-то третье С, которым уже
не следует заниматься.
Такого же взгляда на геомет-
геометрию Евклида как па геометрию
конструктивного типа придержи-
придерживается и Цейтеи, считающий,
Черг. ,
вается и цейтеи, считающий,
что евклидов конструктивизму предшествовал идеализм Платона.
Платоники утверждали, говорит Цейтен, что треугольник суще-
существует до построения его. Мснехм же, очевидно, должен был
доказывать, что в реальном существовании этого треугольника
мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что
это "построение действительно приводит к поставленной нами
цели. ИмеЕШо так и поступает Евклид: не довольствуясь опреде-
определением равностороннего треугольника, он, прежде чем начать им
пользоваться, убеждается в его реальном существовании, построив
1лкой треугольник в предложении ( своей I книги и доказав
правильность произведённого построения,
В случае отказа от метода наложения приходится вводить
в систему аксиом такое неочевидное положение, как, например
1ильбертова аксиома (Щ, представляющая по существу второй
случай равенства треугольников.
Другой путь развития геометрии, при котором сохраняется
та же убедительность изложения, что и у Евклида, но, кроме того,
выявляются аксиоматическая структура н система, есть путь фо-
рономнчеекий. При следовании но этому пути оснодой является
понятие о движении, причём выставляется система аксиом, опре-
определяющих движение согласно данный интуиции.
В таком случае конгруэнция, или равенство (в современном
смысле этого слова), определяется как совпадение при наложении

К КНИГЕ I 261
сравниваемых фигур, которые предполагаются определённым об-
образом передвигающимися. Хотя Евклид и пользуется движением
при доказательстве первого случая разенства треугольников, но
в дальнейшем он определённо его избегает, предпочитая другие
случаи равенства треугольников доказывать иными путями, Я
думаю, что его доказательство предложения 4 следует рассма-
рассматривать как наследство какого-нибудь из его предшественников
от которого он не может освободиться. Мы уже имели случай
отметить, что генетические определения форономического харак-
характера являются более древними, чем определения, производимые
по аристотелевскому рецепту per genus et different!a;n specificam
(через род и видообразующее отличие).
Среди сторонников фороиомической трактовки геометрии
следует назвать Гельмгольца 90), для которого подход к основам
геометрии имел не методическое, а скорее философское значении1,
Софуса Ли, рассматривавшего дннжепне как группу преобразо-
преобразований, при которых сохраняются инвариантными некоторые вы-
выражения, зависящие от координат двух точек {расстояния), В
числе учебников геометрии, построенных по форономическому
принципу, надо упомянуть Мерея, Бореля и Бурле91); оба пос-
последних проводят в жизйь требования известной Меранской про-
программы,
37. Двумерный Евклид. Евклид, доказывая первый случай
равепава треугольников (предложение 4), должен выводить тре-
треугольник в трёхмерное пространство а том случае, когда
имеются симметричные треугольники.
Действительно, если даны треугольники ЛВС и Л'Б'С (черт. 6),
то, двигая по плоскости треугольник ABC, можно ею привести
только в положение А'В"С, совмещение же получается лить в
результате вращения около А'С, причём треугольник выводится
из плоскости.
Можно ли так переработать «Начала» Евклида, чтобы этой
операции не было? Бонензен Щ показывает, что такая переработка
возможна.
Для этого нужно только итти в следующем порядке:
]} доказать равенство тречгольпиков с одинаково располо-
расположенными элементами,
М) Н е I m h о 11 г, иеЬгг die Tatsaclie die dcr Geometric zu Gnmde
liegen. Gotting. Naclir,, (868, стр. 193.— В, К а г a it, Основания
геометрии, Одесса, 1905, т. 2.
И) Мсгау, No'jveaiix elements deGeo-nctrie, (874,3 ed., 1906.—
Borcl, Geometric, Paris, 1905. На русском языке: Борель-
Штсккель, Элементарная математика, Геометрия {там же о
Мещанской программе), Москва, 1923. — В о u r (e t, Cours abrege
de Georaetrie, 2 ed,, Paris, (907,
ffi) Bonensen, Nyt Tidskrift for Mathematik. — В a rb arin,
Suf la jreomutTie des etres planes. ProcMes-vcrbanx de seances du
la Soc. d, sc. phi], ct nat., Bordeatii, 1903.

262
КОМЯРНТАРИИ
2) доказать лемму Л акру а об отрезках, отсекаемых на двух
прямых параллельными,
3) доказать пропорциональность сторон в треугольниках с
равными углами и не одинаково расположенными элементами,
4) изложить теорию измерения прямоугольников п треуголь-
треугольников,
5) доказать теорему Пифагора по методу Евклида,
6) па основании теоремы Пифагора доказать, что в равно-
равнобедренном треугольнике высота, опущенная па основание, будет
вместе с тем п медианой, так что основание разделится пополам,
1) доказать, что в равнобедренном треугольнике у1.чы мри
основании равны,
8) свести доказательство равенства /\АВС и /\А'В'С к
равенству прямоугольных треугольников /S.BDC и /\B'D'C'
(где 2 В = ?,В\ ВС — В'С и {\ADB — Д A'D'B', при DB =-= D'B'
и AD = A'I)' (черт. 6) па том основании, что B'D'C можем за-
заменить ему симметричным С D'B', в котором В'С' =В"С и
?В=/.В'Г и уже в силу 1) равным BCD.
Точно таким же образом A'B'D' можем заменить его сим-
симметричным B''D'A', тоже равным ему, так как равенство гипоте-
гипотенуз сейчас жи выводится па основании теоремы Пифагора.
Что касается пункта 7 (т, е, предложения 5 Евклида), то
доказательство его ведётся только с помощью теоремы Пнфаюра,
38. Происхождение апагогического доказательства. Евклид
широко пользуется так называемым приведением к абсурду,
иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том,
что положение А доказывается опровержением противного (не А)
с помощью вывода кз последнего невозможного следствия.
Начало апагогического доказательства, вероятно, относится
к элейской философской школе; оно приобретает особое значе-
значение у софистов,
Античная математика не столько заботится о системе гео-
геометрии—изложении каких-либо причин или общих свойств про-
1транств.1, из которых вытекают свойства геометрических

фигур, — сколько старается убедить читателя в истинности подме-
подмечаемых свойств. Математик эпохи Платона — Евклида террори-
терроризирован софистами: он каждую минуту боится попасть в
расставленные последними силки и строит укрепления против напа-
нападений по всем правилам ими же самими выработанного искусства.
Вот для доказательства первого предложения геометр начал
вычерчивать круги и проводить прямые. Софист возражает, что
это не всегда можно сделать, что циркуль или линейка могут це
оказаться в руках, а тогда теорему уже нельзя будет доказать.
В самом ходе доказательства on будет придираться к са*1ьш,
казалось бы, бесспорным и простым истицам, будет утверждать
субъективность понятия очевидного (что очевидно для одного,
может не быть очевидным для другого) и т. д. Поэтому геометр
должен прежде всего заставить согласиться со своими аксиомами
и постулатами, причём для этого, конечно, желательно, по воз-
возможности, сократить их число; необходимость же этого сокра-
сокращения, ведущая к ограничению свободы выбора логических пу-
путей для доказательства теорем, заставляет наряду с прямыми
применять и косвенные апагогические доказательства.
Прямое доказательство всегда считалось лучше косвенного,
Лрисготельвз) — только довольно робко — выдвигает пре-
нчущсстпа прямого доказательства перед апагогическим.
По его мнению, более согласны с природой выводы, в кото-
которых мы от включения или выключения из класса В переходим
к включению или выключению кз класса С, объемлющего В.
«Положение <пи одно А не есть С> первее, чем <нн одно А пу
есть В»—-мы в нём ближе подымаемся к принципам».
В апагогическом доказательстве порядок обратный:
Следует доказать, что А не есть В.
Предполагаем, что некоторые А суть В. Все В суть С. За-
Заключаем: некоторые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно
А не есть В.
Но по Аристотелю всё-таки и в этом случае тем или иным
путём достигается цель науки, а именно, построение связи
между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале
науки.
Заметим, что его аргументы, уже совершенно не гармони-
гармонирующие с настроением умов XVI и XVII вв,, в эту эпохзг не
повторяются.
Крайняя неприязнь рационалистов XVH в. к апагогическим
доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, стараю-
старающегося всё многообразие вселенной вывести из одного мирового
принципа с помощью постепенного ряда ограничении, сози-
дающпх мир как логическое Следствие из простых и легко фор-
формулируемых, как теоремы геометрии, положений. В глазах рацио-
рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаимооткоше-
93) Аг i s to teles, Analytica Posteriory кн. 1, гл. 26.

КОММЕНТАРИИ
ний, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к
простейшим отношениям.
Комментатор «Начал* Евклида этой эпохи занят выпрямле-
выпрямлением евклидовых апагогических доказательств, что достигается вве-
введением явно или неявно новых аксиом.
В выпрямленные Озанамом 91) доказательства книги 1IJ «Начал>
входит в скрытом вияе теория пределов. Вообще исчисление
бесконечно малых в совокупности аксиом, на которых оно
основывается, является системой выпрямленных доказа-
доказательств, заменяющих более сложный апагогический метод ис-
исчерпывания.
В XVI в. нападки на апагогическое доказательство ведут-
ведутся, но с ним легче мирится. В XVI в. С;шнль Qr>) возражает Ио-
Иосифу Сканигеру па его папацкн против anaroiнческого доказа-
доказательства, объявляя, что оно равно прямому в отношении истин-
истинности и необходимости, по ниже в отношении происхожде-
происхождения01'1).
39. Седьмое и восьмое предложения. Седьмое предложение
у Евклида носит характер леммы, необходимой только для до-
доказательства положения 8.
Но из пего сейчас же выводится, что две окружности не
могут пересекаться более чем в двух точках.
"X. Вольф 9Т) не пользуется евклидовской леммой, а в своих эле-
элементах геометрии выводит третий случай равенства треугольни-
треугольников из этого последнего положения.
Вывод третьего случая равенств;! Tpeyi ольпнков из единст-
единственности построения треугольника по трём сторонам на\одшся
и в некоторых современных немецких учебниках.
Лежандр, как и Евклид, доказывает это положение апагоги-
чески, но доказательство у Лежандра другое.
Лежандр начинает с положения: «Если две стороны одного
треугольник,» равны соответственно двум сторонам другого и
если в то же время угол между первыми более угла, заключён-
заключённого между вторыми, то третья сторона первого будет больше
третьей стороны второго^.
Это 24 теорема i книги «Начал» Евклида, т. е. весьма отда-
отдалённая от начала теорема, которая доказывается на основании
третьего случая конгруэнтности треугольников.
Для доказательства того, что при
AC^FG, AB^GH и /_ВАС> /_FGH,
имеем: ВС > /7/(черт. 7), Лежандр откладывает ? CAD = /, FGH,
Щ Ozanam, Cours des Mathimatiqucs, Paris, 1720.
95) Savi iius, Praelectiones, кн. 10, стр. 170, 196.
Э6) На и be г, Си res torn at ia Geometries, Tubingen, 1822.
91) CU. Wolf ins, AnfangsgrUnde aller mathematisctier Wis-
senschaften, 1731).

затем па нём прямую AD — HG и строит Д CAD, равный ?±.FGH
(на основании первого случая равенства).
Он проводит биссектрису АЕ угла BAD, соединяет Е с О
и доказывает равенство Д?А? и Д?ЛД так как: CD<EDA-
-\-ЕС, то CD <ВЕ-):ЕС, затем CD<BC и, наконец, FH < ВС.
Эта теорема сейчас
же даёт возможность вы-
вывести апагогцчески тре-
третий случай конгруэнт-
конгруэнтности.
Такое доказатель-
доказательство, конечно, не может
быть принято Евклидом,
ибо построение биссек-
биссектрисы не является из-
известным.
Совершенно в антич-
античном дуле доказательство
tipиложением {[[рншеы-
ваемое Филону) и вошед-
вошедшее во многие учебники.
Оно cocloht в той, что треугольник DEF (лереьёрпутый)
прилагается так к ABC (черт. 8), что сторона EF оказывается
па стороне ВС и юсуголышк EDF в положении BCG. Точка А
я ' в
соединяется прямой с G и па основании предложения 5 доказы-
доказывается, что в [\ABQ п Д AGC углы при A a G соответственно
равны, откуда заключается, что
/_ ВАС= /_ BGC — ? EDF,
и третий случай кош руэнтпостн треугольников сводится к пер-
первому случаю.

Черт. 9.
ХО1ЧТ через цеитр С; наибольшей же будет та АИ, на которой
лежит цеитр С, и линия АЕ тем больше, чем она меньше накло-
наклонена к АИ.
Для доказательства наложимости abc на ABC в случае
АС —ас, АВ = аЬ, ВС = Ьс поступаем так: са накладываем на
СА и доказываем, что аЬ пойдёт по АВ. В самом деле, она не
могла бы пойти ни по Л?,ни по AD, так как в первом случае аЬ была
бы меньше, а во втором боль-
больше чем АВ.
40. Деление угла попо-
пополам. Почему Евцлид не упо-
употребляет цат способ, состоя-
состоящий в том, что из А (по по-
постулату 3) описывается окруж-
окружность DE, затем из точек D и
Е описываются окружности
равных радиусов, пересекаю-
пересекающиеся в F, а полученная точ-
точка F соединяется прямой с А (черт. 10).
Это построение опирается па тот же третий случай конгру-
конгруэнтности треугольников.
Я напомню, что постулат 3 понимается в смысле возмож-
возможности описания круга из данной точки D радиусом, равным от-
отрезку DE, проходящему через эту точку.
Если бы Евклид описывал, как мы, из D круг какого угодно
радиуса, то ему необходим был бы перенос его в Е— операция,

к КНИГЕ I
достижимая с помощью предложения 2, iio значительно ослож-
осложняющая построение.
Следует отметить, что евклидово построение допз'скает два
решения: треугольник может быть построен по различные сто-
стороны DE.
41. Трисекция угла°3). Тремя знаменитыми классическими
проблемами являются следующие:
1) Построение стороны квадрата, равновеликого данному
ьр)гу (квадратура круга).
2) Построение куба, равновеликого удвоенному дачному кубу
(Делийская проблема).
3) Деление угла на три равные части,
Все эти задачи, как было доказано лишь в XIX в., нераз-
неразрешимы с помощью циркуля и линейки.
Черт- П,
Вслед за предложением 9 естественно ожидать другое, если
но о делении угла на п равных частей, то о делении на 3, 4, 5,
7 частей. Правда, такое предложение являлось бы неиспользован-
неиспользованным для основной цели <?Начал?, — для построения Платоновых тел;
Евклида эта проблема, возможно, и не особенно интересовала.
Но и дальнейшем, с приобретением [сометриен большею прак-
практического значения, задача зта могла явиться не только предме-
предметом пустого математического спорта. '
Практические методы трисекции, основанные па введении пе-
чозводенных у Евклида операций с линейкой или на свойствах
шарнирных механизмов, изобретаются главным образом в сравни-
сравнительно недавнее время, примерно в XVI1 столетии.
Наиболее простой приём состоит в употреблении линейки
с масштабом MNP (черт. И), па которой откладывается отрезок
РЫ равный радиусу г = ON— окружности, описанной из вер-
вершины О того угла МОА, который мы желаем разделить на три
части. Будем двигать линейку MNP так, чтобы точка Р сколь-
См. прим. 58 и 49.

2fiS
КОММЕНТАРИИ
зила по продолжению стороны О А, а сама линейка всё ар имя
проходила бы через точку М. Точка TV в некоторый момент ока-
окажется на окружности AMN; тогда угол NPO, как нетрудно ви-
видеть, и будет искомый, равный одной трети угла МО А, Дейст-
Действительно, по свойству равнобедренного треугольника угол NOP
будет равен углу Л^О—а; далее, угол A\NO, как внешний по
отношению к'треугольнику NPO, будет равен сумме углов Р и О,
т. е. 2ч', затем в треуЕ'ольнике OMN угол /V'—2а будет равен
}глу М и, наконец, угол АОМ, внешний по отношению к тре-
треугольнику ОМР, будет равен сумме углов ОМР и МРО. т. е.
2а + а = За.
42. Деление отрезка пополам. Относительно этого nocipo-
ення надо сделать то же замечание, что и относительно преды-
предыдущего предложения. Тот факт, что И-вклид строит i[a AB рав-
равносторонний треугольцик, находит себе объяснение в правиль-
правильном понимании постулата 3-
Почему Евклид ставит это построение в заиненмоегь ог де-
деления угла пополам?
Он мог бы построить с другой стороны равносторонний тре-
треугольник ABE и, соединив вершены С м Е прямой, потунггь
D в точке пересечения этой прямой с АВ.
Но по существу построение ABE и соединение Е с С пря-
прямой и сводится к: делению угла АСВ пополам па основании
предложения 9; если бы оп не ссылался на это построение, то
ему пришлось бы доказывать равенство треугольников АС И н
ABE, как оно уже доказано в предложении 9.
43, Восстановление перпендикуляра. Ссылка ГсйбсрЕа на
предложение 3 (в начале доказательства) является излишней:
операция отложения отрезков СЕ—CD с помощью описания
окружности нз С, как цз центра, входит как составная часть
в доказательство предложения 2. Построение равностороннего
треугольника объясняется опять истинным смыслом постулата 3.
Из описанного предложения вытекает (интересно, что сам
Евклид этого не подчёркивает) единственность перпендикуляра,
который можно восставить к прямой из заданной её точки.
Некоторые комментаторы старались извлечь из этого предло-
предложения доказательство того, что две прямые не могут иметь об-
общего отрезка, и отсюда доказать, чео две точки определяют
одну и только одну прямую.
Оки рассуждали так: если бы одна прямая шла по ВС, дру-
другая по BD, то, проведя перпендикуляр BE к АВ, но определению
прямого угла, мы получили бы, что J_ EBD = /_ЕВС, т. е. часть
равна целому (черт. 12),
На это возражали, что из предложения И следует, что су-
существует один перпендикуляр не к отрезку АВ, а ко всей пря-
прямой ABC и что можно ожидать для ABC и DBA различных
перпендикуляров.
Конечно, из того, что все прямые углы равны (постулат 4i,
еледуе г, что существует только один перпендикуляр, и обратно —

269
из того, что всего существует только один перпендикуляр, сле-
следует, что все прямые углы равны. Но Евклиду нужна постро-
яемость, являющаяся для него критерием существования, и он
доказывает здесь существование перпендикуляра в своём смысле.
Построение Евклида даёт только один перпендикуляр. Весьма
вероятно, что этот результат формулировался так, что сущест-
существует только один перпен-
перпендикуляр н что не мысли-
мыслилась возможность других
построений, дающих пер-
перпендикуляр, Постулат 4
о равенстве пряных углов
должен был явиться поз-
позже, когда возникла эта
мысль, Но эта мысль
должна бы на повести от
ев it лиловой точки зрения
к „чежандровой !Э) — к
возможности существо-
существования какого-нибудь построения и, наконец, к существованию не-
независимо от построения, потому что единственность решения
выводится из единственности существования.
44. Перпендикуляр в середине отрезка. В современной
геометрии большую роль играет понятие геометрического места;
у Евклида этого понятия нет.
Перпендикуляр в середине С отрезка DE он не рассматри-
рассматривает как геометрическое место точек, равноотстоящих от D и Е\
это свойство равноудалённости точел перпендикуляра от D, Е
ему не приходит в голову, так как он употребляет не наше об-
общее построение, а своё частное.
В истории геометрического учебника это свойство перпенди-
перпендикуляра в середине отрезка сыграло кардинальную роль.
Ворьба с методой наложения и выработка нового неевкли-
довского порядка теорем привела к употреблению особой акси-
аксиомы, выдвинутой впервые Арно.
Если две точки прямой CF равноудалены от D и Е, то
то owe относится и к другим точкам на CFW)).
Л^ Anunnkmraujii/uii ппппПпшг галиатлии 1A1 \
И) См. прим. 20.
'<«) См. прим. 56,
:м) Арнольдиаиский порядок в учебниках: L a m у, Elements de
ОёотёШе, Paris, 1735. — S ? и v e ur, Geotnetrie theoretique,et prati-
pratique, Pans, 1753. —Rivard, Elements des Mathematiques, Paris,
1758.

270
КОММЕНТАРИИ
ком, no влияние её сказывается на всех долежандровских геометри-
геометрических учебниках, и более того, на известном «Руководстве*
Остроградского102), находившегося больше под влиянием ста-
старых французских учебников, чем Лежандра,
В арнольдпанском порядке изложения равенство треугольни-
треугольников как фигур, более сложных, чем углы и параллельные, ото-
двигаотся возможно дальше. Следует отметить, что и в некото-
некоторых современных учебниках лежандровэ типа теория параллельных
предшествует равенству треугольников. Порядок этот под-
поддерживается несколько искусственно с помощью изменения фор-
формулировки. Остроградский формулирует положение Aptto так:
«Когда Вы встретите на боках двух равных углов ВАС и DEF
части АВ и ED, АС и EF соответственно равные, то необходимо
допустить равенство линий, соединяющих в каждом угле концы
этих частей*. Это (правда, не полное) положение о равенстве
треугольников (но без употребления термина треугольник).
Для проведения всего плана
Арно и приходится принимать
свою аксиому, которая затем имс-
сг очень интересную историю.
46. Королларий*Симеона. Из
предложения 13 Симеон1^) вы-
выводит, что прямые не могут иметь
общего отрезка. Если бы одна
прямая шла но BD, а др>чая по
НЕ, го так как сумма ABC и
CBD, а также АВС'н СВЕ равня-
равняются каждая двум прямым, то
/_АВЕоказался бы равным /_ABD,
т. е. часть равной целому (акси-
(аксиома 8) (черт. 13).
47. Знак угла. Предложение
14 интересно в том отношении,
что здесь впервые приходится
различать углы с различных
сторон.
Угол здесь является не прост
наклонением, но наклонением в ту
ила другую сторону, такие углы
Чсрг. 14.
могут быть равцы, но не являются оба одним и тем же углом.
При введении в геометрию положительных и отрицательных
величин эти углы приобретают различные знаки и перестают
быть равными. Порфнрнй, по свидетельству Прокла, подчёркивая
ограничение, что углы берутся с противоположных сторон, ука-
указывал, что теорема не верна, если снять это ограничение.
к^См. прим, 64.
т) См. прим. 34,

Я ограничиваюсь чергс-жом, из которого читатель сам легко
усмотрит построение Порфирия (черт. 14),
Здесь ^ ACF~{- ? ACE=-2d, но оба угла лежат по одну
сторону прямой АСВ, и ЕС не составляет продолжения CF.
48. Обратные теоремы. ОЗратной теоремой в отношении
данной называется такая, для которой условие данной служит
заключением, а заключение является условием.
Для положения: если есть А, то будет В, обратным будет:
если есть В, то будет и А,
Но при задании нескольких условий возможно несколько
обратных положений. Для положения: если есть А и В, то будет
к С, обратными являются: если есть Л и С, то будет и В, и если
есть В и С, то будет и Л.
Так это и имеет место для предложения 15 о вертикальных
углах: Проклш) доказывает следующее обратное ему предло-
предложение.
Если две прямые, сходящиеся к той же точке на третьей
прямой, образуют с третьей равные углы, взятие с противо-
противоположных сторон, то они имеют то же направление, т. е,
если /_АЕС= /_BED, то DE и ЕС образуют одну прямую.
Пелетье же даёт другое обращение106).
Если четыре прямые, исходящие из одной точки, обра-
образуют равные противоположные углы, то противоположные
прямые имеют тоже направление, т. е. если /_AEC=^/_BED
и /_DEA — /.ВЕС, то DE и ЕС, BE и ЕА образуют одну
прямую,
49. Теорема Гаубера. Основные логические аксиомы,--
тождества, противоречия и исключённого третьего, — па которых
зиждятся силлогизмы, входят наряду с математическими акси-
аксиомами в логическое построение математики. В ряде умозаклю-
умозаключений вводятся также и чисто логические теоремы.
Примером можно выставить доказательство некоторых обрат-
пых теорем геометрии с помощью теоремы Гаубера106),
Эта теорема состоит в следующем; если установлено не-
скодько теорем, усчпр.ия которых
ибнимаюг все возможные случаи, а заключения которых с, с', с4,..,
несовместны, то все обратные теоремы верны: из с вытекает п,
из с'-* п', из с'1 -* п7 и т. д.
Доказательство, Предположим, что при с не может иметь
место п: тогда должны иметь место п',п", ...( ибо это по уело-
ш) См. прим. 25.
N5) pelctarlus, In Eudidts geometrica demonstrationum
libri sex, Lugdunl, 1557,
и») Pf Lelderer, Scholien zu Eticlidis Elementen; тетр. 1,
Stuttgart, 1827, стр, 63.

2'^ КОММЕНТАРИИ
вию нашему единственно возможные гипотезы. Но, если выпол-
выполнено п', то из этого предположения следует с\ так что рядом
с с имеет место и с' \ это же в силу несовместности с и с' быть
не может.
Эта логическая теорема применима к доказательству гео-
геометрических теорея и упрощает их.
Примером могут служить как раз предложения 18 и 19
книги 1 «Начал».
Условиями являются соотношения сторон:
ваключепия:
АС > АВ, АС < АВ, АС — АВ;
b> ?c, Z я < Z с, ?В = ?
Условия, конечно, единственно возможные.
Заключения, конечно, несовместны. Поэтому на основании
теоремы Гаубера сейчас же выводим, что при
{предложение 19 книги I)
{предложение 6 книги lj
? В = /_ С -у АС—АЯ.
50. Выпрямление доказательства. Предложение 19 очень
просто доказывается апагогически. Комментаторы задавались
целью дать прямое доказательство.
Оно оказалось довольно сложным. Мы приведём его глав-
главным образом потому, что в основе его лежит интересная лемма,
которая используется и в других случаях.
Если угол ВАС треугольника ABC делится пополам прямой
ЛО, которая рассекает противоположную сторону ВС па отрезки
BD и DC, то к меньшему отрезку BD прилегает меньшая сто-
poiu АИ, а к большему 'DC большая АС (черт. 15).

К КНИГЕ I
273
Доказывается лемма так: продолжается прямая AD на отре-
апк DE—AD и откладывается DF—-BD,
Соединяем Е с F прямой EG.
Нетрудно доказать равенство треугольников ABD и DEF
и равенство углов BAD и DEF; вспомнив, что AD биссек-
биссектриса, докажем, что Д AFG равнобедренный и AG~GP-
Но AC>AG, A(j = GE>
> АВ и потому АС > АВ.
Чтобы доказать с помощно
этой леммы, что при /АВС>
> / АСВ и АС > АВ (черт. 1C),
доказывается сначала, чго тре-
уго [ьнпки BDE и Л/)С (если
BD = DC 11 AD=DE) будут
равны, затем, чго биссектриса
В/-' угла ABB пойдёт внутри
ABD, так как / ЯВЬ =-
~ /_ АСВ < Z ABC, и потому
отрезок Z7/: ^ AF. Отсюда же
па основании отмеченной выше
леммы пол\чк1ем, что
ВЕ=АС>АВ.
Черг. 16.
Нетрудно апагогическа обратить вышеупомянутую лемму,
т. е. доказать, что если AD биссектриса угла ВАС, то при
АВ<АС и BD<DC, т. е. к меньшей стороне прилегает мень-
меньший отрезок, к большей стороне — больший.
т. е. доказать, что если
АВ<АС и BD<DC, т. е. к меньшей стороне
ий отрезок, к большей стороне — больший.
51. Прямая как кратчайшая линия между точками. Эгу же
теорему по свидетельству Прокла Герон и Порфнрий доказы-
доказывают иначе {черт. 17).
Уг ВАС
Внешний \тол ADB треу
уг
иначе {черт. 17).
Угол ВАС в треугольнике ABC делится пополам прямой AD.
Зпешний \тол ADB треугольника ВАС больше, чем
угол DAC. Но при построении
ZdAC=/BAD, поэтому в
треугольнике BAD /_ ADB >
> Z BAD. Но против большего
угла лежит большая сторона,
поэтому BAyBD, Так же до-
доказывается, что Ас > DC, по-
поэтому окончательно ВА 4- ЛС>
> ВО-\-DC-ВС.
Архимед, а за ним Ле-
жандр обращают это положе-
положение в определение прямой,
когорая оказывается кратчай-
кратчайшей линией между двумя точками.
Многим положение это представлялось совершенно очевид-
очевидной истиной. Прокл говорит, что эпикурейские математики счи-
18 Евклиа

КОММЕНТАРИИ
тали смешным доказывать такое положение, так как ею прс-
красно знает осёл, идущий по прямой линии к сену.
52. Построение треугольника но трём сторонам. Постро-
Построение отличается от современного тем, что совершается оперлция
предложения 2 — перенос заданных отрезков на прямую. Кроме
того, не исследуется условие возможности пересечения проводи-
проводимых кругов, которое сводится к тому, что сумма двух заданных
сторон больше третьей, а разность меньше, хотя в формули-
формулировке предложения об этом упоминается.
53. Перенос угла. На основании сказанного выше наш
прием переноса угла для Евклидэ является неприемлемым.
Мы описываем окруж-
окружность каким-либо радиусом
из точки С и тем же радиу-
радиусом т точки А. Затеи засе-
засекаем на окружности дугу
FG, описанную из точки О
радиусом ED, и соединяем
.4 прямой с F (черт. 18).
Евклид не считает себя
в праве делать такой пере-
перенос отрезков. Он должен задать на СЕ и CD какие угодно от-
отрезки, так как его построение не упрощается от того, что бе-
берутся равные отрезки СЕ и CD, no наоборот, осложняется, так
как требует переноса СЕ на AG и ED на EG.
Это построение приписывается Энопнду Хиосскому,
54. Корректив Снмсона к двадцать четвёртому предложе-
предложению. Прокл, Кампанус, Командинус Щ, а также Р. Симеон от-
отмечают неполноту евклидова доказательства: Евклид рассматри-
рассматривает только тот случай, когда ВС оказывается внутри угла DtF.
Но может случиться, что ВС упадёт вне DEF\ тогда чертёж бу-
будет другой (черт. 19),
Углы при основании в Д DFG равны; следовательно, /_ KFG =
— L !GF (по предложению 5) Н ?EFG> /KFG
CEFQ-y /_IQF и тем бол
~BC>EF (предложение 19).
55. Прямое доказательство предложения 25, И здесь, как
в случае предложения 19, можно дать прямое доказательство,
что по свидетельству Прокла делает Менелай Александрийский Щ.
Пусть в треугольниках ABC и DEF стороны AB — DE и АС~
= DF, но ВС > EF.
р Д DFG равны; следовательно, /_ KFG =
(по предложению 5). Но ?EFG> /_KFG п потому
/IQ блее / tt'G >/ tuF, Откуда EG —
)
'от) О К з м п а и у с е см. Cantor, Vorles., т. II. —
Lambert!, Contenta Euclidis Megareusis geometricom-n elemen-
torurn llbrl XV.Caoipanl Galli trail alpini in eo^dem cOTimenfadoriim
librl XV, Parlsll, 1516. О Командинусе см. Cantor, т. Ii, стр. 533.
Commandfnl, Eiiclidts elenentornm Hbri XV, Pan'sii, 1576.
О Прокле R P. Симеоне см. прим. 25 и 34.
i°8) О Менелае см. Cantor, Vorles., т. I, стр. 385.

К КНИГЕ I
На основании /\АВС откладывается BG~EF, затем стро-
строится /0вЯ=/О№ и BH=ED (черт. 20).
Затем проводится АИ и HG до пересечения в / со сторо-
стороной АС.
В I
Черт. 19.
Тогда /\DEP и ДВО// равны; отсюда
ЯО = DF= AC,
Z ОЯВ = Z ИЖ
Но HI > ЯО = АС и ЛС> Л/ и поэтому /// > Л/, вслед-
вследствие чего / IAH > Z WA
Черт. 20.
Прибавляя к обеим частям неравенства /ВАН—/ША,
получаем / ВАС > / ВНО — ?EDl>.
Прокл да^т ещ'з другое доказательство этой теоремы.
18*

КОММЕНТАРИИ
Чсрг. 21.
Предполагая, что DE=AB, D/-'= АС, ок описывает из то-
точек D, ? окружности радиусов DK=AC \vEK~CB (черт. 21|.
Тигда Д DKE будет на-
нашим треугольником /\АВС.
В Д DFF. и Д GDL'
С Gf>E'j> ? FDE, по с дру-
другой стороны. /_ KDE^-
---. /_ ВАС > /_ Gbti.
56. Второй случай кон-
конгруэнтности треугольни-
треугольников. Знание равенства тре-
треугольников при равенстве
одной стороны и дв\х
прилежащих углов Прокл
со словЭвдема приписывает
Фалесу Милетскому. С по-
помощью этого свойства Фа-
лес определял расстояние
корабля от берега.
Евк.мд np:i доказательстве второго случая конгруэнтности
треугольников не пользуется, как мы, методом наложения, по
прибегает к апагогическому доказательству. Между тем наш
приём совершенно в духе Евклида и вполне соответствует
доказательству предложения 4.
Евклид выбрал свой путь потому, что он взял общее поло-
положение, соединил две теоремы о равенстве треугольников при
равенстве их оснований и углов при основании, и о равенстве
треугольников при равенствв оснований, одной пары углов при
основании и углов, противоположных основаниям.
Какую роль играла эта вторая часть?
Она могла заменять теорзму о равенстве двух прямоуголь-
прямоугольных треугольников ABC и DEF при равенстве гшгогенуз СВ
и FE и пары острых углов.
У Евклида ei; пет. Мы еЗ доказываем с помощью теоремы,
что из одной точки на прямую можно опусппь г иль ко один
перпендикуляр (такой теоремы у Евклида тоже нее).
57. Четвёртый случай конгруэнтности треугольников. Чет-
Четвертым случаем мы считаем не тот, который выдвигается Евкли-
Евклидом во второй части предложения 26, а другой, неизвестный
Евклиду 109).
109) Объяснение тому странному явлению, что у Евклида пет
четвёртого случая равенства треугольников, а есть ему отве-
отвечающий случаи подобия (предложение 7 книги VI), Тропфке на-
находит в том, что в книге 1 Евклид использовал работы Пифа-
Пифагора, которому этот четвёртый случай не был иззестен, а в VI —
работы Евдокса, жившего гораздо позже D08—355 до п. э.),
которому он был уже известен.

277
Если два треугольника ЛВС и DEF имеют по две стороны,
равные каждая каждой AB~DE,BC — EF, и угол АСВ, противо-
противоположный большей из равных сторон {АВ > ВС), равен углу DFE,
противоположному тоже большей стороне (DE > EF), то тре-
треугольники будут равны.
Доказательство ведётся апагогическн (¦терт. 22).
В предположении, что АО DF> откладывается на СА от-
отрезок CG — DF и доказывается, что треугольники EDF и ВОС
равны. Далее, па основании предложения 16 доказывается, что
/BGA > ?BCG и потому ?,ВАС, равный ?BGA, больше
Z ВСА, и на основании предложения 19, что АВ < ВС, что
противоречит предположению. Так же рассматривается случаи,
когда АС < DF.
Р. Симеон формулирует иначе этот случай равенства тре-
треугольников. Если два треугольника АЯС и DEF имеют по две
стороны, равные каждая каждой АВ ~ DE, ВС ~EF, и угол АСВ,
B(?i
¦С(Г)
Черт. 23.
противолежащий стороне АВ, равен углу DFE, противолежа-
противолежащему стороне DE, то треугольники будут равны, если углы
ВАС и EDF, противолежащие равным сторонам ВС и EF,
б;/дут или оба острые, или прямые, или тупые.
Следует отметить, что треугольники, имеющие по две сто-
стороны равные и по равному углу, противолежащему одной
из равных сторон, могут быть неравными, если не соблюдено
условие, что равные углы противолежат большей из равных

<i<o КОММЕНТАРИИ
сторон или что другие углы, противолежащие равным сторонам,
оба острые, или прямые, или тупые.
С данными сторонами CB — EF, ED = AB и углом ^АСВ^=.
~ ?DFE существует не один, а два треугольника /\CDB и /\,АСВ
(черт. 23).
58. Приём Ома110). Ом употребляет оригинальный приём до-
доказательства этой теоремы. Он накладывает на BEFD часть AEFC,
> перевгрнув так, что FE накла-
г ^' j дывается на EF, FC идёт по
ЕВ, а АЕ по FD (черт. 24).
Тогда при предположении
пересекаемости ЕВ и FD в G
прямые ЕА и FC должны тоже
пересечься в другом напра-
направлении в Н, и мы получим
В две прямые, пересекающиеся
("¦ в двух точках G и //, что
противно аксиоме 9 Евклида
1ерт. 21. 0 ДВуХ прямых, заключающих
пространство.
В доказательстве Ома имеется фузиопнстическая идея ис-
использования трехмерного и остранства, тогда как Евклид пред-
предпочитает не пользоваться ею.
59. Абсолютные теоремы. В истории геометрии постулат 5
Евклида сыграл особенно важную роль. Тщетность попыток его
доказательства стимулировала создание неевклидовой геометрии,
сперва геометрии Лобачевского Ш), в которой из данной точки
можно провести не одну прямую, не пересекающую данную,
а пучок, заключающийся между двумя прямыми, называемыми
параллельными, а затем геометрии Римапа 1% в которой изъят
не только постулат 5, но и 9-я евклидова аксиома.
Предложения и построения, имеющие место в п-ометриях
Евклида и Лобачевского, называются абсолютными.
До теоремы 29 идут положения, не зависящие от аксиомы
о параллельных. Их можно также признать абсолютными, если
ввести в некоторые из них известные ограничения. Можно было
бы перенести их на сферу, на шторой большие круги обладают
теми же свойствами, что и римановы прямые, но при этом пос-
поставить условие, что вся фигура заключается в одной полусфере.
Теоремы о равенстве треугольников в этом смысле являются
абсолютными теоремами; абсолютной же является теорема о то.и,
Щ Ohm, Ebene Raurnwlssensehaft, 2 Aufl., Berlin, 1835,
§ 26. стр. 111.
ш) п. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. 3.
Сочинения по геометрии, М.—Л., 1946.
ИЗ) Б. Риман, Сочинения, М. — Л., 1948. — Сборник <Об
основаниях геометрии», Казань, 1895. — Богомолов С, Введе-
Введение в неевкчндов^ геометрию, М.--Л., 1934,

К КНИГЕ I
279
что внешний угол больше ькутреннего с ним не смежного,
и вытекающее отсюда положение о параллельности й случае
равенства и а крест лежащих углов.
Абсолютными являются построения, относящиеся к прове-
проведению перпендикуляров и к делению угла и отрезка пополам.
60. Аксиома о параллельных в античное время. В настоя-
настоящее время вполне строго доказано, что постулат 5 не выводится
нз других аксиом.
Из различных попыток доказательства постулата 5, базиру-
базирующихся на ему эквивалентных утверждениях, для нас наиболее
интересными являются те, которые содержат в себе некоторые
идеи, получившие развитие в геометрии, и те, которые имеют мето-
методическое' значение, т. е. могут быть положены в основу разли-
различных школьных методических приёмов изучения параллельных.
Недостаточно ясные доказательства Прокла и Птолемея, без-
безусловно соответствующие упадку античЕЮЙ геометрии, для нас
мало интересны. О параллельных войсе не так много в антич-
античное время размышляли, как это нам теперь кажется. Следует
обратить внимание на то, что ни Аполлоний из^ ни Архимед
ничего не оставили, из чего мы могли бы вывеет» заключение
об их интересе к этому вопросу.
Видимо, вопросом этим начали интересоваться только в I в.
нашей эры.
Я думаю, что и Гемнна и Птолемея1") он интересовал не
в той степени, как это нам теперь кажется.
К Посидонию н Гемину относят только новое определение
параллельных. Из того, что они описывали параллельные как
прямые равноотстоящие (иначе чем Рвклид), ешё вовсе не вы-
вытекает, что они дава аи вместо евклидового другое доказа-
доказательство предложения 29.
скорее комментаторами, чем оригинальными мыслителями.
Стремился ли тпичнъш комментатор к более строгому
нованию евклидовых «Начал*, я сильно сомневаюсь.
61 Потенциальная бскснс С
113) Об Аполлонии см, Cantor, Уог1еч„ т. I, стр. 318. —
Kegeiscnnltie, пер. Balsam, Berlin, 1861 Conica, ed. HeJberg.
Leipzig, 1891—1893. —Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitte
lm Alterthum, Kopenhagen, 1886.
ni) О Птолемее см. Cantor, Vorles,, т. 1, стр. 387.

Рассуждение Влллиса 1J'j заключается в следующем: пусть
ЛС и ВО—две прямые, обладающие тем свойством, что углы
CAB и DBA, образуемые ими с какой-нибудь секущей A3, дают
.в сумме величин.I, меньшую 2rf; предположим для определен-
определенности, что угол CAB прямой, a DBA острый (чгрт. 25). Требуется
доказать, что прямая BD обязательно должна пэресечь АС.
Передвинем прямую BD параллельно самой себе так, чтобы
она заняла положение AL. Поскольку угол LAx равен острому
.углу DBX, то пол\;прямая AL будет вся целиком заключаться
внутри пдяиша \i\ia С Ах и вес точки ИЛ будут находиться
слева от АС. Передвинем теперь AL чуть-чуть вправо так,
чтобы точка А перешла бы в положение b н, таким образом,
оказалась справа от А. Невозможно предполагать, чтобы при
достаточно малом АЪ передвинутая полупрямая AL не имела
бы ни одной точки слева от АС, Но если так, то она, передвину-
передвинутая в положение be, обязательно дотжна пересечь АС в некото-
некоторой точке с. Доказавши, таким образом, существование тре-
треугольника Abe, Валл[1С строит при точке В угол СВА, равный
yi лу сЬА, и затем на прямой A3 получает треугольник ABC,
подобный построенному Abe; сторона ВС этого треугольника
пересечет АС в некоторой точ[{е С. Но поскольку через В про-
проходят две прямые ЕD и ВС, образующие с АВ один и тот же
угол DBA = LAx я CBA = cbA, то "эти две прямые должны обя-
обязательно совпасть; следовательно, прямая BD будет пересекать
АС в той же точке С,
Только ли гомогенность пространства постулируется здесь
Валлисом?
Нет, в данном рассуждении постулируется, кроме того, нечто
в высшей степени важное, а именно, общий принцип теории
Wai Us Opera СКощае. 1659— 16РР, т. U, стр. 665.

пределов1]б), правда без определённой формулировки, который
впервые дан Лейбницем в метафизической форме н Ньютоном —
r математической.
ысле ДАламбера и в нашем.
Теперь мы ясно сознаём, что бесконечност
а гражданства лишь нрн условии отказ
Щ D'AIembert, Encycfopedfe des arts et des metiers etc.
(Diderot), Llmlte. -Д.Мордухай-Болтовской, Исследования
о происхождении некоторых основных идей современной мате-
м""ки> V' Генезис и история теории пределов, Известия С.К.Г.У.,
Il<) Ponce'let, Applications d'Analvse 4 la CWo.-пёМе., т. П,
1864. стр. 173. J

282
КОММЕНТАРИИ
как неопределённую (бесконечную) часть плоскости, ограничен-
ограниченную двумя пересекающимися прямыми.
Прежде всего утверждается, что всякий угол больше полосы
между двумя параллельными, так как плоскость можно покрыть
конечным числом выходящих из одной точки углов, равных
данному, тогда как та же самая плоскость покрывается лишь
бесконечно большим числом параллельных полос.
Затем, если мы построим два равных угла DCB н АВР
(черт. 26), то по предложению 27 будем иметь "две параллельные-
прямые АБ н CD. Возьмём прямую СЕ так, чтобы угол BCD
р был меньше угл~а АВР —
) = DCB так, что СЕ попадает
/ в полосу ABCD. Тогда, если
"/ ц пересечения СЕ и АВ не
существует совершенно и
прямая СЕ находится цели-
целиком в полосе ABCD, то
угол DCE должен быть
меньше этой полосы (иб-j
он целиком в ней заклю-
заключается), что противоречит
основной предпосылке.
В отношении идейного
содержания большее значе-
значение имеют исследования
Черт. 26.
Ламберта11*) и первое доказательство Лежандра 113).
Они выявляют гомогенность евклидовского пространства
в форме отсутствия в нём абсолютной меры. Лежандр обнару-
обнаруживает, что предположение, что сумма углов в треугольнике
меньше двух прямых (предварительно доказав, что она не может
быть больше), приводит к выражению стороны в виде функции
от углов, которая, конечно, должна содержать линейный параметр.
63. Роберт Симеон. Укажем схематически ход до ^затель-
сгва Р. Симеона.
Оно представляет синтез идей Прокла, Нассир-Эддина 12Э>
и Клавия121), из него путём упрощений вырабатывались школь-
школьные доказательства.
Первое положение Р. Симеона W). Если две равные
прямые АС и BD стоят к прямой АВ под прямым углом
и из точки F прямой CD опущен на АВ перпендикуляр ?'Е,
то EF, AC, BD бу%ут равны (черт. 27).
S t а с k e I utid E n g е 1, Die Theorle der Parallelltniea ... ,
Teubner, 18"'
См. прим. I
" nentomn Hbri .
Opera, т. 11, стр. 669.
Щ S t а с k e I utid
Leipzig, Teubner, 1895,
иэ) См. прим. 20.
130) Euciidis ele nentorun llbrl ХШ; studio Nasseredini. Roma,
1657, 1801. См. также W a Ills 11 O 11 669
) См. прим. 67.
"г) См. прим. 34.

К КНИГЕ 1
283
Если бы, говорит Р. Симеон, это было бы не так, то CD
сперва подходила бы, а затем отходила бы, чего быть не может.
Это положение входит в теорему Клавия.
Второе положение. Если к прямой с одной еЕ сто-
стороны под прямыми углами проводятся две равные прямые
и соединяются их концы, то соединяющая прямая образует тоже
прямые углы с прямыми, вершины
которых они соединяют.
Это лемма Нассир-Э.чднпа,
положение Клавия и установка
гипотезы прямого угла Саккерн.
Отсюда выводится, что в па-
параллелограмме, в котором три
угла прямые, и четвёртый угол
должен быть прямым.
Третье положение. Ес-
Если две прямые образуют острый
угол, то на каждой можно найти
такую точку, что перпендикуляр,
опущенный па другую, будет боль-
Черт. 27.
ше всякой данной величины. Этим положением, как аксиомой,
пользуется Прокл,
Четвёртое положение. Еслп две прямые пересекаются
третьей под равными углами — одним внутренним, другим внеш-
внешним, то существует прямая, пересекающая обе под прямым
углом.
Пятое положение представляет постулат 5 Евклида.
64. Транзитивность параллельности, Отношение параллель-
параллельности обладает свойствами, аналогичными том, которыми обла-
обладает равенство
а — & —>. Ь ~а,
о —- Ь, Ъ ~-с -^ а — с,
т. е. свойствами коммутативности а транзитивности..
Исключая постулат 5 и определяя параллельные прямые,
как предельные прямые, между которыми заключаются прямые
не пересекающиеся (сиерхпараллельные), мы вынуждены эти по-
положения доказывать.
Предложение 30 являотся эквивалентным постулату 5. Остро-
Остроградский принимает его за основную аксиому теории парал-
параллельных.
65. Сумма углов в треугольнике. Прокл, а за ним Клавий
приводят несколько иное доказательство, которое вводят сейчас
в некоторые учебники123) (черт. 28).
Вспомогательная прямая DF проводится через вершину
параллельно основанию ВС. При А оказываются сосредоточены
} ЕпгЦиез, Gil E!e-nenti, стр. .

KOUMFIIIA 'ill!
Черт. 28.
все yi лы треугольника, так как ? ABC ~ ? DAB ч ?_ АСВ —
— ^ FAC как пары на крест лежащих углов.
Вот два интересных исторических вопроса, которые занимали
Ганкеля.
Каким образом заключили, что сумма углов треугольника
равна двум прямым, и какой формы было первое логическое
доказательство этой теоремы?
Первые сведения по геометрии устанавливались с помощью
дробления площади вспомогательными прямыми па треугольники.
Вначале имеюсь в виду лини, определение площадей плоских
фигур, но при дальнейшей эво-
эволю наш геометрии средство это
было применено для изучения
форм.
Вот простейшие геометриче-
геометрические факты этого рода, отмечае-
отмечаемые Платоном в его диалоге
«Тпмейэ: дробление треугольни-
треугольника па два, образование квадрата
из двух или четырех треуюльнп-
ков п т. д.
Одним из фактов, предста-
представлявшихся важным в глазах пи-
фсп'оренцеи, было то, чго плоскость возможно заполнить только
тремя родами правильных многоугольников: треугольниками,
четыреугольннкачи и шестиугольниками.
По >[нен,тю Ганкеля, гсервое доказательство теоремы о сумме
углов тргуюлытка относилось только к равностороннему тре-
треугольнику и вытекало именно отсюда.
С\мма ш^стн углов равносторонних треугольников, как
сходящихся в одной точке, равна Ы, каждый угол одна шестая
4rf, а сумма углов 2d,
Фалесу приписывается положение о том, что угол, опираю-
опирающийся па диаметр, прямой. Ганкель думает, что положение это
принималось Фалесом без доказательств, как непосредственно
очевидная истина, но что уже из неё он выводил то, что сумма
упов в прямоугольном треугольнике равна двум прямым. Пе-
Переход же к общему случаю не представляет затруднения.
Аристотель в «Метафизике» упоминает об этой теореме
как ему известной.
По Проклу, доказательство предложения 32, получающее-
получающееся после проведения через вершину треугольника прямой па-
параллельно основанию, принадлежит Пифагору (вернее пифаго-
пифагорейцам).
В учебниках иногда употребляется форономическое доказа-
доказательство предложения 32 с помощью прямой, которая, вращаясь
около вершин А, В> С от стороны Ъ до с, от с до а, от а до&,
совершает почиый оборот в Ы, так что сумма внешних углов
р,]вц,1 4rf, а пл до но внутренних оста5тся 2d,

2S5
66. Сумма углов многоугольника. В наших учебниках
за теоремой о сумме углов в треугольнике следует" формула
для суммы углов в выпуклом многоугольнике;
У Евклида совсем нет формул не только символической,
по и риторической (словесной) аи'ебры. Конечно, нечьзясказать,
чтобы содержание этой формулы
не могло быть выражено на евкли-
евклидовом языке, но выражение должно
быть очень сложно к будет вообще
не соответствовать общему харак-
характеру «Начал*, которые занимаются
свойствами геометрических объек-
объектов, их сравнением, но совершенно
не занимаются измерением; число для
них только предмет изучения, но не
средство измерения.
О сумме углов в многоугольнике
впервые говорит Прокл. Формулу
дает Регцомонтан A436—1476).
Интересно отметить, что и мно-
многие старые комментаторы идут по
пути Евклида,
Кампано занимается не суммой
углов «-угольника вообще, но доказывает, что сумма углов в
звёздчатом пятиугольнике равна двум прямым,
В основу своего вывода он кладёт первую часть предло-
предложения 32.
О» замечает, рассматривая ДЛ/О' (черт. 29), что внешний
угол GAF равен сумме I-\~G. Таким же образом, рассматри-
рассматривая КВН, он получал, что KBF—K+H.
Но из &ABF получаем, что сумма углов: ?_F -~ ?.GAF-\-
'"np = 2d, так что действительно
Ч.-рг.
67. Свойства параллелограммов. В настоящее время, изу-
изучая параллелограммы, мы не ограничиваемся только равелство'ч
противоположных сторон и углов.
У Евклида даже нет упоминания о взлшоперсс.стспин диа-
диагоналей пополам. Нет изучения прямоугольника и ромба.
Комментаторы, начиная с Клавия, особенное внимание обра-
обращали па теоремы, получаемые обращением евклидовых теорем.
Если через А обозначить свойство иметь раЕные противо-
противоположные углы; В — иметь равные противоположные стороны;
С — иметь пересекающиеся пополам диагонали; D — быть парал-
параллелограммами, то положение 34 сформулируется так для четыре-
уголышка; если D, то А и В. Клавий "доказывает, чю если А,
то D, если В, то D, если С, то D.

^оЧ КОММЕНТАРИИ
К предложению Евклида, выявляющему диагонали как оси
симметрии ромба, прибавляется положение Клавня, по которому
прямая, проходящая через пересечение диагоналей, разделяется
в этой точке пополам. Отсюда, конечно, родится понятие о центре
симметрии,
В современных учебниках разбираются ещё специальные
свойства ромбов и прямоугольников (перпендикулярность диаго-
диагоналей в ромбе и равенство их в прямоугольнике).
В Меранской программе изучение параллелограммов связы-
связывается с общей теорией симметрии; параллелограмм оказывается
фигурой, имеющей центр симметрии (в точке пересечения диаго-
диагоналей), ромб— пентр и две оси симметрии (диагонали), прямо-
прямоугольник — центр и две оси симметрии (прямые, соединяющие
середины противолежащих сторон), квадрат объединяет свойства
прямоугольника и ромба (центр и четыре оси симметрии).
Следует обратить внимание па аксиоматическую конструк-
конструкцию доказательств теории о свойствах параллелограмма, ромба
и прямоугольника. Если не пользоваться евклидовой аксиомой
о параллельных, то о фигуре ABCD, в которой углы А и В при
нижнем основании равны каждый прямому углу, а боковые стороны
АС и ВIJ имеют равные длины, можно сказать только, что она
прямоугольная трапеция, и доказать, что углы С и D при верхнем
основании тоже равны. Относительно их можно сделать три гипо-
гипотезы: они могут быть острыми (тогда мы будем иметь геометрию Ло-
Лобачевского), тупыми (геометрию Римана, если еще соответственным
образом изменить аксиомы сочетания и порядка) или прямыми
(геометрия Евклида). Во всех трёх геометриях будут иметь место
следующие теоремы: диагонали AD и ВС равны (но не обя-
обязательно пересекаются поноем), прямая, соединяющая середины
верхнего и нижнего оснований, является осью симметрии и по-
поэтому перпендикулярна как к верхнему, так и к нижнему осно-
основаниям.
68. Равносоставленные и эквивалентные фигуры. В гиль-
бертовскон теории площадейш) различаются фигуры равпосо
ставленные и фигуры эквивалентные или равновеликие.
В первом случае фигуры разлагаются на равные (конгруэнт-
(конгруэнтные) многоугольники.
Во втором случае это разложение имеет место после при-
присоединения к каждой равиосоставленных частей.
Равносоставленные фигуры являются и равновеликими, но
не наоборот.
Конечно, это понимание разнозеликостн построено для
того, чтобы развить теорию площадей, не используя аксиомы
непрерывности, иное, чем у Евклида,
Для последнего равновелики те фигуры, которые имеют
туже площадь, а площадь—это величина, сущность которой
1а-|) См. прим. 38 (гл, IV),

К КНИГЕ I
287
как первичного понятия им не определяется. Следует отметить,
что он не даёт измерения площади числом. Вообще же площадь
можно охарактеризовать числом только после установления по.
иятия об иррациональном числе и взаимно однозначном со-
соответствии между геоме-
геометрическими величинами к
числа иге.
В предложении 35
рассматривается только
наиболее сложный слу-
случай, когда S выходит за
AD (черт. 30) и когда
приходится устанавли-
устанавливать равносоставленность
присоединением части
DCF.
В гом случае, когда
Е попадает между 4 и
О, оба параллелограмма
имеют общую часть — трапецию BEDC и, кроме того, по рав-
равному треугольнику АЕВ и CDF.
"Ест доказать, что фигуры, равнососгавленные с третьей,
равносоставлеиы между собой (как это делает Гильберт),
то в несколько приёмов, переходя от ABCD к BEFC, потом
Черт. -U
р
к BE'F'C и т. д., можно доказать равносоставленность парал-
параллелограммов при условии предложения 35.
Но это можно сделать непосредственно, как показывает
следующий чертеж (черт. 31),
Чер^з точку К пересечения сторон BD я АЕ параллело-
параллелограммов проводим QH\\ AB.
Затем, взяв QQ\—QA и HH-j=BH, проводим Q^Hy\\AB
Н т. д.

КОММЕНТАРИИ
Тогда два параллелограмма, как нетрудно видеть, разобьются
на соответственно равные части A, 1"'), B, 2'), C, 3'), D, 4'),
E, 5'), F, 6').
69. Деление площадей, К предложениям 38, 39, 40, 41 при-
примыкают сильно интересовавшие математиков эпохи Возрождения
проблемы о делении площадей 125).
Простейшей задачей является задача о делении площа-
площади треугольника пополам прямой, проходящей через вер-
вершину.
стороны
Если провести медиану АЕ (т. е. соединить А с серединой Е
~'С), то получаем ргшепие задачи. Треугольники ABE
Чорг. 32.
Г> самом деле, треугольники ADF
то же основание AD и вершины Р и Е
и ЛЕС б\гд\т равновелики
(черт. 32)."
Пелетье дели г тре-
треугольник пополам прямой,
проходящей через данную
точку Е на стороне АС.
Он из Е проводит пря-
прямую FE к Е — середине
ВС и из Л проводит AD \\ ЕЕ;
тогда FD даёт решение за-
задачи.
ADE, имеющие одно
на ЕЕ \\ АО, равнове-
равновелики, поэтому DEC = DEE ± EEC = AEE + EEC = AEC=-1- ABC.
70. Преобразование площадей. Другая задача, также очень
интересовавшая математиков эпохи Возрождения, это задача
о преобразовании площадей1**) (задача о построении фигуры
определённого типа, равновеликой заданной).
Евклидом ставится проблема о построении квадрата, равно-
равновеликого данной прямолинейной фигуре. Евклид не имел алгебры,
по он получал геометрическим путем го, что мы получаем с по-
помощью алгебры; кроме того, он оперировал самими площадями,
.t не числами, которые измеряют эти площади.
Роль извлечения квадратного корня из числа у него играло
построение стороны квадрата, равновеликого данной прямоли-
прямолинейной фигуре.
la#"j Will k e, Ncue erlcfchtende Methode den lnhalt gerade
l-'iguren zn findcn, Halle, 1757. — F. Maye r, Prakt. Georaetrie,
Halle, W58.—Gervien, Grell's Journal, 1833.—Halt, Geometri-
Geometrical dissections and transpositions. iHessenger of Mathematics, 1877. —
Rethy, Rausenberger, Dobrliier, Mathematische Anna-
len 38,*4'2, 43, 45.—Вебе р н Вел ь штейн, Энциклопедия эле-
мецтлрпой математики, т. И, кн. 1, Одесса, 1913. — Фуррэ,
1>ометрические головоломки. — К 1 И g с ], Matlieti. Worterbuch,
т. 2, сгр. 211.
isc\ C.\\. прим. 125.

К КНИГИ I
2S9
Предложения 42, 43, 44, 45 следует рассматривать как ряд
предложений, направленных к предложению 14 книги. (I, дающему
окончательное решение поставленной проблемы: построить
квадрат равновеликий (Евклид говорит — «равный >) данной
прямолинейной фигуре.
71. Квадрат'и его сторона. Евклид указывает, как по сто-
стороне построить ивадрат. Его комментаторы емвяг задачу, как
(
в
F,
а
Черт. 33.
D
[Лощадн квадрата (они корот-
коротко говорят по квадрату) найти
oi о сторону.
Выражая всё через числа, мы
знаеи, ч го уравнение х'1 = a
имеет только одно положительное
решение.
Комментаторы доказывали
геометрически, что проблема до-
допускает очно решение, чго рав-
равные (в евклидовом смысле) квад-
квадраты имеют равные стороны.
Конечно, проще всего было
бы доказывать это апагопгческл.
Если предположить, что AF.FG п
ЛПСВ равны, по АЕ<_АО, мы
можем, согласно Евклиду, пост-
построить квадрат AEFG, "который
весь окажется внутри ABCD', в противном случае мы подучили
бы, например, пересечение сторон GF и ВС в"точке F\, а из этой
точки имели бы два перпендикуляра F-^B н F{G uii #Л (черт. 33).
Прокл вместо этого простого апагогического доказательства
дае"т очень сложное прямое. Я в кратких чертах С| о намсч\.
Оба квадрата переносятся в положение A'B'C'D', l.'F'G'H'
так, чтобы точка А' совпала с G', a G'F' служила ироюлжеписм
В'А' (черт. 34).
Затем, имея в виду, что диагональю квадрат рассекается по-
пополам (предложение 34) и что квадраты по условию равны,
мы получим, что (в силу аксиомы 2) F"B'Df = B'H'D\ а так как
эти треугольники имеют одно и го же основание, то {по пред-
предложению 39) F'D'^M'B'.
Отсюда доказывается равенство ?\,Н'В'А' п ДО"'/7'О' и ра-
равенство /\H'F'B' и /\H'r'D' и. параллельность В'[У и И'/-".
В результате оказывается, что В'D'---IV f н or равенства
диагоналей нетрудно перейти и к равенству сторон.
Следует отметить, что теорема 39 доказывается Евклидом
апагогнчески; поэтому, ссш иметь в виду весь цуib от аксиом,
го теорема эга всё-таки доказывается апагогически.
Правда, при обосновании первого доказательства исполь-
используется теорема о том, что из данной точки можно опустить
только один перпендикуляр на данную прямую, которой у Ев-
Евклида нет. Но предложение это, как отмечает большинство ком-
Ш Евклид

~JU КОММЕНТАРИИ
ментаторов, сейчас всё же выводится как непосредственное
следствие из евклидовского предложения 16.
72. Доказательства теоремы Пифагора 12т). Многочислен-
Многочисленные доказательства теоремы Пифагора делятся на следующие
виды:
1) Доказательство, которое даётся в «Началах» и, по свидетель-
свидетельству Прокла, принадлежит самому Евклиду.
Оно основывается на равновеликости треугольников с рав-
равными высотами и равными основаниями и выводится из равнове-
равновеликости параллелограммов с равными основаниями и высотами
как фигур эквивалентных в смысле Гильберта на основании
аксиомы 6 книги I «Начал»: половины равных величин равны
между собой.
Доказательство это не может быть непосредственно пред-
представлено на модели.
2) Доказательство равносоставленности. Особенного внимания
заслуживает доказательство Anaritius (900 г. нашей эры).
12?) История теоремы; Cantor, Vorles., т. I, стр. 142, у индусов
стр. 613, у китайцев стр. 637, о Пифагоре стр. 137. — АН man,
Greek Geometry from Thales to Euclid, Dublin, 1889. — Enriques,
Gli element!, стр. 135.—Цейтен, История математики в древно-
древности и в средние века, М,—Л., 1932 О теореме Пифагора говорят Плу-
Плутарх, Витрувий, Диоген Лаэртский: Piutarchus, Opera, Ed.
Dfdot, т. 4, стр. 272, 1332. —Vitru vi us, De architectura, кн. 9,
стр. 2. — Diogenes Laertjus, De vita phllosopliorum, кн. 8,
стр. 207.

К КНИГЕ I
291
Мы прилагаем чертёж, по которому может быть построена
модель (черт. 35i.
f
Черт. 35. Черт. 36.
На чертеже LF\\AB, AR J_ AB и LM±AB, ВО продолже-
продолжение BE, КРХОВ я /N±PK,
BQ—LM. Мы не будем излагать
доказательство. Отметим, что
очень ходкое в настоящее время
доказательство, изображённое
па черт. 36, представляет по су-
существу доказательство Апарн-
ция, но только при лругом рас-
расположении квадратов, постро-
построенных на гипотенузе и катетах.
Такого же тшга доказатель-
доказательство представлено па черт. 37.
3) Доказательство, основан-
основанное на равносоставленности фи-
i ур, полученных из данных
прибавлением (черт. 38).
Доказывается, что два рав-
равных шестиугольника AFODFB
и CAILK.B состоят —первый
из квадратов, построенных на
катетах, и двух треугольников
АВС—ООС, итороЙ— из ква1-
р .та, построенного на гипотенузе, и ич двух таких же трс-
угольников ABC=ILK-
4) Доказательства, построенные на некоторых алгебраических
тонаествах, которые мож-цо именнгь соответствующими георе-
19*
Черт. 37.

292
КОММЕНТАРИИ
мами книги П «Начал»; о них будем говорить в комментариях к
ни иге II.
5) Доказательства, основанные па теории подобия; о шгх
будем говорить и комментариях к книге VI.
Интересно отмстить упрощение, предлагаемое Лицманом к до-
доказательству Евклида и состоящее в том, что квадрат, построен-
построенный на одном из катетов, иапраалчется внутрь (черт. 39).
Черт. Ж
73. Теорема Палпа1^). Обобщением теоремы Пифагора яв-
является теорема Патша Ааексапдрпйского A11 в. нашей эры).
Во всяком треугольнике ЛВС (черт. 40) параллелограмм ABA'В',
который построен на одной стороне треугольника внутрь послед-
последнего п имеет две вершины А' н В' вне треугольника, равновелик
сумме двух параллелограммов ACED и BCGF, построенных па
двух других сторонах треугольника так, что стороны их, парал-
параллельные сторонам треугольника, проходят через вершины первого
параллелограмма ^),'
12S) Pa ppi А 1 е х andrini, CollecUones, ed. Hiiltscli. Bero-
Hnl, 1876— 1878. — Oz a ua m, Recreaiions Math., Paris, 1778.
Ia9) Нетрудно внлеть, что намеченные в условии свойства
присущи такому доказательству теоремы Пифагора по Евклиду,
в котором квадрат на i нпотенузе строится внутрь, а квадраты
на катетах — наружу.

К КШ1ГК I -''Э
Докачьшаеи, что Д А'й'С'=& ЛВС.
Параллелограммы АЛ'С С и В В'С С равновелики данным
параллелограммам ADEC и BFOC вследствие равенств высот
и оснований.
Если от фигуры ЛА'С'В'В отнять Д А'С'В', то остается
параллелограмм АЛ'В'В.
Если же отнять треугольник ЛВС—-А'В'С, то остаётся
сумма [траллечограммов АЛ'С'С-\-ВВ'С'С или равная ей сумми
пара глелограчмов ADF.C-\- BFGC.
74. Теорема, обратная теореме Пифагора. Эта теоре-
теорема в настоящее время доказывается (это леташ и некоторые
комментаторы) iia основании предложений VI и 13 книги 11, даю-
дающих так называемую обобщенную теорему Пифагора, которая
выражается в современной символике форму.юми:
Черт. 40.
СВг=СА~ -{- АВг -\-2AC-AD (для тупого угла)
СВ* = СА~ + AB* — '1AC-AD (для острого угла).
C.I сдои а гель но, для тупоугольного треугольника
СВ- > С А* \- АВ\
д-1Я остроугольного
СВ* < СЛ= -f ^5^
для прямоугольного
Мы имеем три случая, удовлетворяющих условиям теоремы
Гаубера!3»), а получаем три обратные теоремы, среди которых
есть и обратная пифагоровскои.
См. комментарий 49.

* КОММЕНТАРИЯ
Эта трихотомия может служить иллюстрацией другой тео-
теоремы, с которой связано не всегда, уясняемое учеником понятие
0 противоположных и обратных теоремах.
Из четырём предложений:
1) А есть В\ 2) В есть А\ 3) «не А> не есть В; 4) «не В> не есть А,
ме 1) есть прямое предложение, 2)— ему обратное, 3) — ему
противоположное и 4) — обратное противоположному; каждые
два влекут зл собой остальные два.
Например, из 1) и 3) неибходимо вытекает 2); действительно,
если бы В оказалось <не Л», то мы имели бы одновременно:
некоторое «не Л> есть В и всякое «не Л» не есть В — согласно
предложению 3), что привело бы к противоречию.
Ученик часто неясно представляет сущность обратной тео-
теоремы и не ьсегда понимает различие между необходимыми и
достаточными условиями. В сущности он повторяет те же ошибки,
через которые проходило и всё человечество. Интересно отме-
отметить, что Гиппократ Хиосский при своих квадратурах луночек
пользуется всеми тремя теоремами, обратными Пифагоровой и
её обобщениям для косоугольных треугопьижов, тогда как
«Начала> Евклида (и, по всей вероятности, также и «Начала»
Гкппокрача) не содержат теорем, обратных обобщениям теоремы
Пифагора.
А1ы имеем четвёрку теорем:
1) Если угол А треугольника прямой, то ВС2 = ЛВ* -\~АСК
2) Если B~Cz~AB"-{-AC'±, то угол А прямой.
3) Если угол А не прямой, то' ВС2 не равно ABZ-\~AC*.
4) Если ВС1 не равно АВ3-\-АС2, то угол А не прямой.
Не йсегла обращают должние внимание на предложение 2,1,
между тем как именно оно, а не сама теорема Пифагора, имело
ьажное значение при построении прямого угла при помощи
«египетского» треугольника со сторонами 3, 4,,5 и ему анало-
1 ЧЧПЫХ.

КОММЕНТАРИЙ К КНИГЕ II
1. Гномон. Гномон в переводе распознаватель.
Сперва это распознаватель времена, примитивные солнечные
часы, состоящие из двух перпендикулярных шестов или досок,
из которых одна АВ расположена вертикально, другая ЛС гори-
горизонтально по направлению тени в полдень (черт. 1).
? В
1>
\
\
Черт. 1.
Черт. 2.
Затем гномон является плотничьим инструментом для про-
проверки перпендикулярности; вместе с тем гном ином начинит
называться фигура, образованная двумя прямоугольниками EBIH,
GHFC и двумя дополняющими друг друга до прямоугольника,
треугольниками ИИ) и HDF, получаемая опусканием из точки И
диагонали АО перпендикуляров на стороны прямоугольника 1)
(ч.рт. 2).
!) Cantor, Vorlesungen uber Gesch'chie der Mathematik, т. Ь
гл. 6, сгр. 151,-Allmaon, Greek Geometry from ThaJes to
Euclid, Uub in, 1889. — Ar is tote J e s, Opera, ed. Dldot. Categoriae,

^"Ь КОММЕНТАРИИ
Евклид обобщает понятие гтпшпз: вместо прямоугольника
он берёт вообще параллелограмм (черт. 8).
Наконец, Героном Александрийским2) tпомои определяется
is ещё более общем смысле; «всё, что прибавленное к числу или
к фигуре делает целое полобпым тому, к чему прибавляется,
называется гномоном».
Черт. 3.
С его точки зрения для пятиугольника abede гномоном
будет aBCDE (черт. 4).
Под это общее понятна подходит число-гномон. Таковым
является всякое нечетное число 2п 4-1, так как, присоединяя его
к киадрату п-, потучаем тоже кваараг
л*_^2л-И=(я-г-1K.
Получение кнаярлта я- суммированием но след о нате.и, пых
нечётных чнес! -f-I l-.i-^-o-J- . . . -\-2п—1 е[це Пифугорей-
9
7
S
3
дамн мыслилось, как получение полного квадрата последова-
последовательным присоединением к единичному квадрату гномонов, отве-
отвечающих нечётным числам '3, 5, 7,..., 2п—\ (черт. 5).
2) Негог!, Opera, ed. Hultsch, Dcf. 59, стр- 21.

К ктшгь П 297
2. Произведение отрезков. Одним нз основных понятий
«Нача 1» является прямоугольник, заключенный между прямы-
прямыми АВ и АС.
Прямоугольник, построенный на АВ и Л С, уже нечто иное;
эю прямоугольник, построенный на двух пересекающихся пря-
прямых АВ и' АС без их переноса, аналогично тому, как в третьем
посту чате Евклида окружность строится vn точки А раетъором
АВ, т. е. определённым 'исход я ниш из А отрезком.
Если перевести, как это делает Гейберг, формулировку Ев-
кгшда на современную символику, то в евклидовых формулах,
мы будем всегда иметь ЛЯ X АС,АВХ ВС, но никогда не Л# Х'СД
т. е. перемножаемые прямые должны исходит^ из одной точки.
Евклидово АВ X Л"С [in а коем случае не произведение АВ
па АС а), но со всяком случае то, из чего это произведение
рождается. Пря\гоу[ ольнпк па АВ и СО обращается в произве-
произведение, но не R том смысли, как его понимают в арифметике —
Произведение чнсеч, а как результат некоторого действия над
отречими. который даёт нам уже не отрезок, но площадь.
При этом юворилп не тиШрШаге АВ in CD, a ducere AB
in CD.
Только а р[[ф метизация геометрии, завершившаяся уста-
установлением лежапдрова взаимно однозначно] о соответствия
между числом и геометрической величиной, обратила ducere
в mnHfplicare и превратила ABy^CD в произведение чисел, из-
измеряющих отрезки АВ и CD. Интересно отметить п промежуточ-
промежуточную степень. Это точка зрения Декарта 4), при которой АВ X CD
сводится тоже к отрезку, определяемому пропорцией
Л. ??
АВ~'~ 1
и пепучаемому простым построением, требующим проведения
параллельных.
3. Закон дистрибутивный. Предложение 2 лшжпо рассматри-
рассматривать как геометрическую интерпретацию прямого днстрноутив-
по] о закона
(а — Ь) с — ас -f- be.
Обратный
с {а \- Ь) ^^ са -Г сЬ
получается перевёртывание.^ фигуры, беря за основание высоту.
Общее правило умножения
3) Д. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о й, Первые шаги буквен-
буквенной алгебры, Известия (.. К, ]'. У., 1928.
4) Декарт, Геометри,), М. — Л., 1939.

298 комментарии
или вообще
2ч \i V V
j R } a
получается проведением сетки прямых параллельных и перпен-
перпендикулярных к основанию, что и делается многими комментато-
комментаторами 5).
4. Связь между предложениями 2 и 8 книги II. Если, как
это делает Гейберг, вырази гь алгебраически все три первых
предложения книги II, то мы получим следующие равенства:
а [Ь + с -f d) — ab -f ас -f ad. I
Если
a = b -J- ct то a2 = ab -J- ac, 11
(a -f- b) a = ab + а3. Ш
При взгляде на эти формулировки сразу появляется ряд не-
недоуменных вопросов.
Почему Евклиду наряду с общей формулой I понадобилось
давать отдельно ещё доказательство двух частных её случаев
II и 111? Какой смысл выделения этих частных случаев в особые
теоремы?
Если первое предложение выражает общий дистрибутивный
закон при умножении, то совершенно ясеео, что сл-Vt Евклид, кли
его непосредственный источник, не рассматривали 11 и И! пред-
предложения как выражающие частные случаи этой дистрибутивности.
Действительно, 11 предложение является первым этапом на
пути установления формулы квадрата суммы.
Если а = Ь -\-с,
то
ая- = (b -f- с? = ab -J- ас = (ft -j- с) b -j- (b -f с) с IV
Третье предложение представляет дальнейший этап расшифровки
этой формулы:
(Ъ -f с) b = be -j- b\ V
Следующий эгап был бы таков:
что, конечно, вполне равносильно третьему предложению и не
требует специальной формулировки.
Б) Cotumandinus, Euclidis elementoruin libri XV una cum
scholiis antlquts, Pisaurt, 1572, стр. 29.— Clavius, Euclidis Elenb,
libri XV, т. I, Prancofurti, Ш07, стр. 168.— H e nrio n, Les qmnse
livres des Elements d'Euclide, Paris, 1615, стр. 58. — G u a r i n u s.
Euclides adauctus et methodicus. Aug. Taurini, 1671, стр. 54.—
Barman, Elem. Euciidis, libri XV, LIpsiae, 1743, стр. 42. — P i 1 e i-
derer, Academische Schriften, Stuttgart, 1826, тетр. 1, Scholien zum
6uch lip стр. 6.

К К И ИГР, [I
299
После этого мы ожидали бы заключительного этапа, Под-
Подставляя V н VI в IV, мы получили бы формулу квадрата суммы:
F + Cf = № -f с3 -f 1ЪС.
Действительно, IV предложение как раз и говорит о квад-
квадрате соты, и трудно отделиться от мысли, что 11 и 111 предло-
предложения'представляют лить начальные этапы пути доказательства
этой формулы, которое сам Евклид, или один из его предше-
предшественников, выбросили, заменив новым — тем самым, которое мы
читзем в существующем IV предложении.
Другое объяснение выделения в особое предложение част-
частного случая:
(a -f- Ъ) с — ас -\- Ъс при с — Ъ
заключается в том, что у Евклида существование геометрического
объекта устанавливается только построением.
Если для нас право на существование получается отсут-
отсутствием противоречии в признаках, определяющих математи-
математический объект, то у Евклида это право давалось только построе~
наем.
По Евклиду доказательство, основанное на существовании
прямых, делящих угол ца три равные части, было бы несостоя-
несостоятельным, С точки зрения формы, квадрат только частный слу-
случай прямоугольника, иное дело с точки зрения построения,
Квадрат на АВ получается геометрическими операциями над
одним объектом АВ, а вовсе не над двумя равными (предло-
(предложение 42 книги 1). Прямоугольник получается операцией над
двумя различными объектами.
Это отчётливо видно из терминологии: квадрат на АВ обо-
обозначается «т6 ото т?к АВ*, а прямоугольник между АВ, АС <тб оно
тот; АВ, АС>.
Положение аЪ = Ф при Ъ = а не так очевидно, как то, что
аЬ = ас при Ь — с,
и не выводится как простое следствие из первого: равенство
л2 —&з не должно рассматриваться как следствие из ac = bd
при с^=й, d — Ъ.
5. Другое доказательство предложения 4. Гейберг в при-
приложении да^г второй способ доказательства предложения 4 иным
способом,
„Я утверждаю, что квадрат на АВ равен квадратам на АС
и СВ вместе с удвоенным прямоугольником, заключённым между
АС ч СВ.
Действительно, на том же самом чертеже, поскольку ВА
равна АО, то и угол АВО равен углу ADB] и поскольку во
всяком треугольнике три угла вмес'ге равны двум прямым, то,
следовательно, в треугольнике ADB три уела А!)В, BAO, DBA
вместе равны двум прямым, Но угол BAD прямой; следов а-

300 комчгптлпш
тельно, остальные углы ABD, ADB вместе равны одному
прямому, но ошг равны; следовательно, каждый из углов
ABD, ADB есть половина прямого. И угол ВС11 примой,
ттбо он равен противолежащему углу, а именно, при А; сле-
следовательно, остающийся угол СНВ есть половина прямого;
следовательно, угол СВН равен СНВ, так что и сторона ВС
равна СН. Но СВ равна НК, а СН равна ВК, следовательно,
площадь С К равноугольна. Далее, она имеет прямой угол, а
именно, СВК, следовательно, СК— квадрат и <построен> на СВ.
На том же самом основании и Ю -есть квадрат и равен ^по-
^пост роенному)- па АС', следовательно, СК, Ю суть квадраты п
рлвны построенным па АС, СВ. И поскольку площадь АН рав-
равна НЕ и АН есть прямоугольник между АС, СВ, ибо СН рав-
равна СВ, то, следовательно, ЕН равна прямоугольнику между АС
и СВ. Следовательно, АН, НЕ вместе равны удвоенному пря-
прямоугольнику между АС и СВ. Но СК и Ю равны квадратам на
АС и СВ, Следовательно, СК, Я/, АН, НЕ равны квадратам на
АС и СВ и удвоенному прямоугольнику между АС и СВ. Но СК,
Ю вместе с АН и НЕ суть вся площадь Alf, которая есть ква-
квадрат па АВ; следовательно, квадрат на АВ равен квадратам на
АС, СВ и удвоенному прямоугольнику между АС, СВ; это и
требовалось* доказать''.
6. Квадрат суммы. Это предложение записывается гак:
ЛИ2 =- АСг -\- С Б3 4- 2АС X СВ,
rj АВ = I! ЛС + Z1 СВ f 2 прям. АС-СВ,
н о;всчает тождеству
(rt _j- ?j2 ~ Q2 ,|_ 2flft г If.
Так как предложения 1 и 3 дают правила умножения, то,
как указывают комментаторы, предложение 4 выводится н s них
путём формальных операций.
Ещё Шеибель в) считал, что предложение 4 представляет дну-
кратное применение первого:
ирнм, СА-АВ = прям. СВ-АВ-\- \АВ,
прям. СА • СВ—-- D CS + прям. Сй-ЛВ;
складывая, имеем:
D O1 = ? Лв + 2 „рям. СВ • /IS + Г j СВ.
В современной алгебраической си\[В;>.шкс имеем
{a -f- b) а — a2 -f- ab
{ + bb b + b

(а -,-1>) {а + Ь) — (я -р)); — аг
fi) Scheubelius, Eiielidis sex iij;i prioris, Basileae, 1550,
стр. 142.

Нужно отметить, что предложения, отвечающею формуле
(я _ bf = а" — 2аЪ
нет даже у Клавня:) н в учебниках XVII в. Впервые оно по-
появляется у Мархетиса**), а затем только у Лежандра A7512—1833)
в его «Элементах» A794).
7. Предложение 4 в символике Хернгона. Мы везце в
евобм переволе с гречеподо языка даем риторическую форму
изложения самого Евклида, Обычно Евклида переводят, переклады-
перекладывая слова в символы, причём точный смысл текста искажается.
Евклида, изложенного идеографически, старался дать в пер-
первой половине XVII в. Херигои9}, Он им излагался так, что, но
мнению Херигопа, оказывался доступным всем лицам, не знаю-
знающим другого языка, кроме родного. Что^ы расшифровать хери-
гоповского Евклида, следует иметь перед ['лазами словарик сим-
символов:
4- да 2|2 равно
312 больше
2K меньше
я, Ь II а, Ь прямоугольник, построенный iia а и Ь
— — часть круга
^ = сегмент круга
Д треугольник
[j киадраг
? прямоугольник
СЗ aeb прямоугольник, построенный
ui ne н еЪ.
— без
? е между собой
II на
. есть точка
/_ угол
_| прямой угол
О круг
; мпож. число
т] не
U и и или
— параллельны
X перпендикулярны
Словарь сокращений
hypoth —гипотеза... предположим, что
req — ipt-буется
demonstr. — доказать
conci. — отсюда следует
цифра за чертой — ссылка на раньше доказанные теоремы
15. d. 1 — определение 15 «Начал»
3. д. 1 —третья аксиома книги 1
с. 17. 1 — королларий 17 книги 1
"•) См. Ctavius, стр. 173 (прим. 5).
8) Angelas de Marchetis, Euclldes reformatus, 11,
1709.
9) He fig on us, Cursus mathematiens, т. 1, cum Em
Elcnentls, 1. XV, Parisils, 1644.
iclidis

302
КОММЕНТАРИИ
с 26.3 — королларий 26 книги III
\.р. I. — первый постулат книги I
3. I — третья теорема книги I «Начал*
ргаер. — приготовление, т. е. вспомогательное построение
par. — части
Тогда доказательство предложения 4 книги И напишется
так;
hyp ab est —
ас ~~ cb snt par ab
Req к demons'r.
? ab 2[2 Q ас -f Q cb + 2 ? асЬ
Ргзер.
Demonstr.
22. Л. 1
2. с. 29
22. d. 1
2. с. 32. 1
46.1
\.р.\
31.1
31.1
ad est Q
eb est —
cf' — ае и bd
hgl = ab и ed
ab
e>>g,
_ aed, d, ?_ abd~
i, /.hgf snt.
snt I
ae 2|2 ab,
<!_aeb est 1/2 _!
2. с 32.1
a.}. 32. 1
a. 32. 1
Z.fgo esty
6. 1 I he 2|2 hg
e/ 212 fg
г/ 2|2 /,г
ft/ es
6. I
34, 1
22. rf. I
a. f.
3. i. l.d. 2
43.1
I. 0. 1
19.a. I
Conci.
I. a. 9
a ng- 2|2 a gd
? gd 2|2 a acb
Qarf 2|2
2|2Qod>
2|2 Q ac 4- о rt + 2 ZD
8. Книга II и обоснование теории отрицательных чисел. Вал-
ляс и другие математики конца XVII и начала XV111 в. обосно-
обосновывали правила действий над отрицательными числами на основе

К КНИГЕ »
303
дистрибутивного закона, относя его и к отрицательный числам
{а ~ ft) с = ас — Ъс
или более общего закона
(й — с) (ft — d) = ab — tfrf — be -\~ cd,
полагая последовательно v
a — 0, d = 0;
f = 0, ft — 0;
й = 0, b = 0.
Что же касается самого закона, то он сначала просто по-
постулировался, но затем его стали доказывать геометрически.
По образцу второй книги «Начал» положим {черт. 6)
AC — a, CD = Ъ, АЕ ~с, GD = d\
тогда
CE—a — et CG — b — d
ACDB ~ ab, AEIH = bc~^dc ECGI = (a — c)(b — d),
HGDB^ad
так что
(д — с) (ft — d) ~ ab _ ad — be + cd.
Конечно, таким образом, тождество доказывается только для
ij>f и J>rf и во всяком случае при а, Ь, отличных от нуля.
Для того чтобы перейти к общему случаю, необходимо
сделать скачок, сделать заключение по аналогии, представля-
представляющееся тогда убедительным.
Но такое доказательство должно
было наталкивать на отрицательные
геометрические величины; при введении
последних полученное тождество уста- ^
навливается и в общем случае.
9. Максима и Мнннма. Положение
5 или, что то же, тождество
В
__ ¦ ¦ G D
сыграло большую роль в истории максимума и минимума. У Евклича
есть три предложения, относящихся к наибольшим и наименьшим ве-
величинам. Приёмы его решения этого рода задач носят случайный
характер. Он не замечает даже, что вторая книга даёт основа-
основание для методов, ноенщих менее случайный характер. Только

oU 1 . КОММЕНТАРИИ
математики эпохи Вснрожления заметили10), что предложение 5
книги II «Начал» Евклида даёт решение задачи, являющейся ос-
основной r элементарной теории наибольших и наименьших вели-
величин: разделить отрезок АВ па две часги АС и СВ так, чтобы
прямоугольник, построенный на АС и СВ, быч наибольшим, или
найти х такое, при котором функция х(а— х) принимает наи-
наибольшее значение.
Ответ х — -г-, т. е. отрезок следует разделить пополам. В
этом состоит 13 лемма Паппа1^ к «сечениям отношения и про-
пространств» Аполлония 12).
Результат этот может быть сформулирован в геометрической
форме так; из всех прямоугольников с данным периметром
наибольшую площадь имеет квадрат.
Отсюда нетрудно вывести (имея в виду, что при одинако-
одинаковом периметре косой параллелограмм имеет меньшую высоту,
чем прямоугольный), что между параллелограммами одного
и тою же периметра квадрат имеет наибольшую площадь.
10. Геометрические тождества. Вторая книга «Напал» Евк.ш-
да — это аи'ебра древних, В дальнейших стадиях эволюции мате-
математической мысли оца превращается в современную буквенную
алгебру. Теоремы книги II «Начал* становятся просто алгебраи-
алгебраическими тождествами в эпоху арифметизации и алгсбраиэацин
геометрии.
Но по мере эмансипации синтетической геометрик, тео-
теоремы книги [1 и аналогичные им более сложные теоремы снова
становятся чисто геометрическими теоремами, хотя и в ариф-
мети,»!рованпой форме. Они устанавливают некоторые соотно-
соотношения между отрезками, но при этом умножение отрезков по-
понимается в арифметическом смысле —уже не как получение
прямоугольника, а как получение отрезка, измеряемого произве-
произведением чисел, измеряющих сомножители. Такие геометрические
тождества получают значение по введении в Геометрию отно-
относительных величин (отрезков АВ со знаком -\~ и — ).
10) Vincenzo Viviant, De maximis et nmiiniis Geoinet-
riae, divinatio ui quintum Gonlconim Apollonii Florentiae, 16oi),
ки. I, стр. 163.— Thomas Simpson, Essai snr les maxima et
minima, теор. I, Les elements de Geometrie, Paris, 1755, стр. 173. —
Gilbert, Die Geometrie nach Legendre-Simpson-van Swinden,
1 Theil, Halle, 1798, стр. 281. -Pfleiderer, тетр. 1 (см. прим. 5),
стр. 15.—-Н ni liter, De relatione nmtiia capacitaris et terminoruiii
figurarum, Varsaviae, 1782, стр. 23. —V. \'( v i a n i, De locis solfdis,
Florence, 1701, кн. IV, стр. 57.
"JPappi Alexaudrini Collectiones, ed. Hultscl], Bcro-
lini, 1876— [878.
ia) Apollonii P e г g a e i, De sectione rationis, Jibri duo,
Opera, ed. Halley, Oxotiiae, 170G, стр. 49, лемма 13.

К КНИГЕ it
305
Основными являются тождество ШаляЩ
'АВАГВС~А~С
и тжчество Эйлера
АВ ¦ СО -г АС ¦ ПВ 4~ А~п ¦ ВС - ¦= О,
которое нетрудно установить, проверив алгебраическое тожде-
тождество
{b — a){ti~c)-\- {с — a) ib — d) -;- (d -- а) (с ~ Ь) и\.
Таким же образом проверяем тождество:
(с — a)(b — c) -f (d — с) [b~d)~(d — b) [a — d)- \- {a — c)(c — d)
и получаем 4-членное тождество
ЛС . СВ 4- ^CD ¦ D~B — B~D ¦ DA 4- CA ¦ ~D(l.
Если снять чёрточка и облечь в евклидову форму, т. е.
произведения рассматривать как площади прямоугольников, го
получим теорему Григория Сан-Винненто
прям. АС-СВ-\~ прям. СО-ПВ~щыч. BD-DA -\- прям. Л?-6\4
для четырёх точек на прямой ABCD, причём С, Л взяты ме-
между А и В.
Для нывода своей формулы Слн-Вшщенго '^ прежде вс^го
евклидовыми приёмами убеждает в том, что
кв. ЛЯ = кй. -4С4-КВ. Г7Л -(-кв. DB-{-2 прям. Л^-Г?Д-Т-
4-2 прям. СП-ПВ,
что эквивалентно алгебраическому тождеству
(д 4- & -f- fK = a3 -f &э + с2 4~ 2rtr (й Ч- г) + '-/":-
Точно таким же образом имеем;
кв. АВ — кв. ВО-[-кв. /fC + кв. СА-\~
4-2 прям. BD'DA+2 прям. ПС-С А.
Вычитая общие квадраты и деля пополам, получаем георему
Сан-Виниепто.
Если С —середина АВ, то АС=СВ,
прям. АС-СВ — т. СВ.
Но (по Зп) прям. DC- С А = прям. DC-DB -J-- кв. С/5-
13) Шаль, Высшая геометрия, пер. Безрукова. — Р л р е
Her, Exercices de Geometric moderiie, т. 1, Paris, 1912.
u) Eulerus, Varia deuionstr. georaetrfoae.
15) G г e g о r i и s de Sane to V'incento.
20 р.вклид

3''t> КОММЕНТАРИИ
А на основании теорелты Сан-Випцепто
кв. С В-\-прям. CD-DB —
= пря_м. BD-DA+прям. CD-DB-\-kb. CD,
откуда
кв. СД--прям. AD-DB-{-кп. CD.
II. Тождество и евклидово существование. Положение G
следует переводить алгебраическим тождеством;
а не тождеством
Bя -f ft) ft -f «- — (ff -f- bf, ] 1
как это делает Гейберг.
Правда, в выводе остаётся логически не действующим то,
что АС получается делением попотам АВ; получилось бы тоже,
если было бы дано не АН, а АС, и АС затем удваивалось бы.
В формулировку теорелш достаточно ввести лить условие, чго
АВ вдвое больше АС.
Но сам Евклид в этом направлении не мог мыслить; сле-
следует всегда помнить, что для него неё'определялось построением.
Для него отрезок не существует независимо от построения; для
него мало сказать, что два отрезка существуют и один вдвое
больше другого. Для него вполне определённо АВ было данным,
а АС производным, уже получаемым из АВ определённой гео-
геометрической операцией. Переводя иа алгебраический язык, мы
должны АВ принимать за а (а не AC), a AC только за —.
Но в эпоху Возрождения мысль легко уже превращает тож-
тождество 1 в тождество II, так как она уже сошла с точки зрения
Евклида и не понимала его так, как должно понимать. Превра-
Превращая 1 во 11, она уже легко улавливает, что предложение 6 поду-
подучается чз 4-го простой дистрибутивной операцией.
Ацгелюс Мархетис16) выводит предложение б из 4-го сле-
следующим образом (см. черт, к предложению 6):
кв. CD = kb. CB-\-2 прям. CB-BD-\-v.&. BD =
= кв. СВ4~Прям. [CD4-CB]-BD.
Но
CD +. СВ = CD -f- AC = AD,
и потому
кв. CD—кв. СД4-пряч. AD-DB.
Пц существу все сводится к соединению двух членов на
основании дистрибутивного закона в одни.
1G) См. прим. 8.

Выводы Бресция и T,r;j ^воаяю* ic замене в тождестве пред-
предложения 5
величины а ил G f- Ь\
К /IS (черт. 5 тексгл) прикладывается с другой стороны от-
отрезок SA — BI) и к SD лрнмешегся предложите 5.
12. Предложения 5 и 6 и квадратные уравнения. Оба
рассматриваемых предложения интересны в том отношении, чго
«з них можно получить решении квадратного уравнения по край-
крайней мере с одним положительным корнем. Некоторые исследо-
исследователи (в числе их следует назвать Нейгебауэра) даже видят
в этих предложениях геометризоваппый вывод формулы корней
соответствующих квадратных уравнений в том вще, к;ж это
делали вавилоняне.
Основная задача, iks которой в вавилонской математике воз-
возникла теория квадратных уравнений, заключалась в следующем:
Известны сумма или разность двух сторон прямоуголь-
прямоугольника и его площадь. Требуется найти эти стороны.
Обозначая искомые стороны черел х и у, мы получаем урав-
лення
х 3zy~a, xy--.b.
Вавилонский метод решения системы уравнений:
х-\-у —а, ху~Ь 1
G
оыл глков: возьмем для х и у ерг-шее значение -^ и посмотрим,
какую величину z надо придать к одному и вычесть из другого,
чтобы произведение полученные величин равнялось длиной пло-
площади Ь.
Мы irueeii
1 а
\
го*

308
КОММЕНТАРИИ
Так как Ь = ху, а-=х-{~у, a z = ~гт^, то равенство И пе-
переходит и формулу, выражающую 5 предложение Евклица
Тично тлк жи система уравнений |
х—у~а, xy--=-b 111 \
приводит к 6 предложению Евклида. |
Обонмчим через z средние значения для х и у\ тогда \
Э fo неизвестное z мы н л идём из уравнелии
Раненстпо IV .uubfufHii[{o преды1\'[цему мы можем предствитъ
в яиде
мы полижим .г=^4-^. то легко придём к тождеству
которое, как мы видели выше [формула 1 колтмеитария 11], imj-
рлдаает 6 предложение Евклида.
Интересно отметить, что 6 предложение обратимо.
Если для четырёх точек АСОВ имеег место соотношение
прям. AD-DB + ku. СВ=кв. CD,
то СА—-СВ, иными словами, АВ делится в то']ке С пополам.
Это положение доказывается Пашюм.
13. УИоделн к ккиге 11 <Начал? Евклида 17;. Рядом с пробле-
проблемой о наиболее обоснованном логически доказательстве мето-
3 т) Д. М о р д у х а й-Б олтовскон, Модели ко второй книге
«Начал» Евклида. Вестник опытной физики и элементарной мате-
ыатики, Д»№ 655 — fi.i(>,

К КНИГЕ И 6Щ
дикой выдвигается проблема и о наиболее убедительном для
учащегося доказательстве.
При решении этой проблемы следует рассматривать всякое
школьное доказательство как наложение двух доказательств (с
несовершенством каждого из которых приходится порой ми-
мириться) — интуитивного и логического, взаимно усиливающих
убедительность друг друга.
Первое, состоящее из операций резания, наложения и т. д.,
осуществляется подвижной моделью и ей соответствующим про-
процессом воображения, второе развертывает силлогизмы, приво-
приводящие и обоснованию этих операций.
\
J
\
г з
Черт. 7.
То доказательство лучше, где ясно выявляются oo;l эти два
слоя—интуитивный и логический.
Если снять последний, то остается ъщ± многое; можно уви-
увидеть организм интуитивной геометрии, которая развертывается
наряду с формально логическим.
Вторая книга даёт в этом отношении богатый материал. Сни-
Снимая логический слой, мы получаем м>дель (при этом лучше
всего подвижную), в которой прямоугольники, которыми покры-
покрывается одна фигура, переносятся на другую.
Моделируем' 4 предложение Ешпида, перешедшее к Ле-
жандру, которому отвечает тождество
I
Ставим на чертеже 7, а вместо
А В С F J Q ПН!)
12 3 а Ъ с 12 3
и читаем обозначение прямоугольников cnistv и слева (черт 7 Ь)
Тогда " v '
A313)... (й-
(аЫ2). а''
B3И .. Ы
{\2аЩ \
(Ьс2?,) ( ... аЬ.

310
КОММЕНТАРИИ
Модель состоит из:
1) квадрата A313) синего цвета,
2) квадратов B3 be) и (ab 12) синего UBCia, ^
3} двух ранных прямоугольников A2 аЬ) и (Ьс2Ъ)
цветя.
красного
Операции.
Наложить сперва (аЫ2) па (EFHJ) так, чтобы углы все сов-
па чи. затем B'ЛЬс) па (ВСЮ), и в свободные части (\2аЬ) и (Ьс2'6).
Следует отметить, что модель
¦? . --А X * остаётся в силе и в тоЛ[ случае,
если мы разрежем переносимые
прямоугольники на куски. Тогда
придется переносить не прямо-
прямоугольники, а их куски.
По тому же образцу строится
л модель предложения 7, отвечаю-
отвечающего алгебраическому тож^есгв^
(черт. 8)
[а + &Я _|_ &з — Я2 j . о (ff -и ty ь. И
Подвижная часть:
Два квадрата
синий A313)... {аЛгЬ)\
красный (uv 23).,. b'A па картоне.
г
6
г
,?!
С
J
d\
L.J
Черт. 8. __
Подвижной кв.ират (\2аЬ),.. а2 красный.
Прямоугольники:
пиши {ас\3) \ , , ЬI
зелёный {ttvbc) ] [ал >J-
Подвижные части модели к предложению 4 можно получить
следующим образом: вырезать одновременно из синей бумаги
и бристоля два квадрата, употребив первый как неподвижную
часть модели. Красный же квадрат для получения подвижных
частей должно разрезать ог однхчо края до другого перпенди-
перпендикулярно к сторонам.
Но элементы указанной выше модели к предложению 7 та-
таким образом не получаются.
Операции эти (т. е. разрезание картона от одного борт
к другому, — в настоящем случае квадрата A313} по 2Ь2 и
abc) лают не целые (дс13) и (itvbc), а их куски. Но, как бы-
было выше отмечено, этим не расстраивается наша модель, и с
этими кусками можем провесiи всё uaiue интуитивное доказа-
доказательство.

311
При этом мы получаем следующие преимущества; с этими
кусками (отбрасыная один) мы можем провести и доказательство
предложения 4.
Затем вместо цветной бумаги трёх сортов мы можем огра-
ограничиться двумя сортами бумаги, оклеивая прямоугольные куски
(«ИЗ), Utvbc) синей, а квадратные красной бумагой.
14. Квадрат разности и разность квадратов. Предложение 7,
переведенное на язык алгебры, даёт тождество
[а - \- Ь
— «а + 2 {а 4- Ь) Ь.
От этого тождества мы можем перейти к следующему:
[а
^ | (а + Ь) — Ь \2
или, еглн заменам а-\-ъ черзз й:
дз 4- &s г_ (д _ &р _l- 2
1
И
— равенство, ь'огорое заменяет у Евклида нашу теорему о квад-
квадрате разности.
Таким образом, модель к предложению 7 даст тчц\Же и на-
наглядное доказательство тождества II. . .,
У Евклида нет в ясно выражен- ~~—
ной форме тождества
(а — bf — я3 _[_из _ 2ab. III
Может быть потому, чго Евклид не
допускал операции переноса членов
с обратным знаком из одной части
равенства в другую.
Доказательство тождества И мо-
может быть проведено на следующей
модели (черт. 9).
На неподвижный синий квадрат
A313), соответствующий о'-', вместе
с красным (Uf23), представляющим Ьг,
накладываются перевёрнутые вверх
неоклеенной стороной прямоугольни-
прямоугольники (acli) и (bcuv), нзибражающие каж-
каждый ab; тогда оставшаяся незакрытой часть квадрата будет-
представлять {а —- Ь)-.
Таким же образом мы можем изобразить на модели и том-
дес[во
(а 4- Ь) (а - Ь) -_- дз __ ь\ IV
Берём синий неподвижный квадрат A313), дающий я8, и кроме
того, подвижные: цветной квадрат (Ьс2Ъ), соосвегсгвующий йа.
и—v
Чсрг. 9.

312
KOMMFHTAI'HH
и красный прямоую п.ник {\Aadj, представляющий (а-^Ь)(а — Ь)
и состоящий из /них отдельных кусков A3ас)и iMcd) (черт. 10).
Перенеся часть C4cd) в поло-
Перенеся часть C4cd) в поло
жение (я?12) и добавив переиэрну-
тый вверх белой стороной квадрат
(&с23) (чтобы показать вычитание),
мы нлглядно обнаружим, чти
а2 — &и (т. с. A313) без (Ьс'2А)) дп-
ют (a + fr)ia — ?), т. е. fl4«rf).
15. Диагональные числа.
Интересно отметить, что предло-
предложение 9, которое выражается то-
тождеством
Черк 10.
2
Нйклид докааыиаиг совершенно иначе, чем предыд>щие предло-
предложения D— 8); действительно, в этом к следующем [Гредложениях
он пользуется теоремой
Пифагора, которая, ме-
между прочим, совершенно
иг нип яет с я дл я этог( >
необхолЕгчой.
Наиболее простое
по ьяснение это! о факта
таково: составляющие од- bs
по целое предложении
4, 7, 8 являются вспомо-
вспомогательными для вывода
предложений 12 и ]3,
которые были известны
ещё Гиппократу Хиосско-
Хиосскому и, таким образом,
принадлежат к древней-
древнейшим частям «Начал»,
Что же касается
предложений 9 и 10, то,
как это бьпю выяснено
сравнительно недавно,
о!ц! припал.кжат самому Евклиду и чаны им в качестве необхо-
необходимые лси.ч .(.(Я построения теории гак называемых диагональ-
диагональных чисел.
Диагональными называются числа, получающиеся по следую-
следующему закону. Отложим на сторонах прямого угла по отрезку а
(черт. 11) и соединим его концы диагональю &."Возьмём для этих
чисел приближённо
а -^ а0 - -1,
\
а,
Черт. 11.

313
Если мы повернем наш треугольник так, чтобы гипотенуза
ею легла соответственно и на горизонтальную и на вертикальную
стороны прямого угла, и соединим концы полученных отрезков
a-\-bf то найдём новую пару диагональных чисел
ffj == д0 4- &о ~~ 2, Ь\ — 2я0 ~- Ьь — '6.
Продолжая поступав таким оГ>разом дальше, найдом трет ыо пару
я, = я2 -J- &i = 5, 1>2 = 2Д] -f- fr; = 7,
затем четвертую пару
д3 — а2 + &3 — 12, 63 -- 2«j п^ &в — 17
н г, л.
ап -— дл_, -[- &я-1 ^л = -й»-1 + й«-1-
Числа яя суть так называемые боковые, Ъп — диа! он, ыьные числа.
Чиста ап и Ьп свяааны соотношением
Действительно,
Продолжая, найдём анало! ично;
— ( —Ь»|&5—2«'о>.
Поскольку же
наша теорема доказана.
Если Ъп и йл достаточно велики, то можно поджить
откуда получаются приближённые значения для У 2
1~2~ ?
В своём «Die l.elire vor den Kegelsclmltten in] Altorlnm» A8SS)
Цейтен высказал предположение (стр. 27, 28) что 9 и 10 предло-
предложения Евклида имеют связь с теорией диагональных чисел.
Если в выражающей предложение 9 формуле
AD"- f №• = ЧАС- + 2CD*

314
КОММЕНТАРИИ
ниложть '
CDr.= x, DB^-y, то AC'-~CD + DB = х ±у.
Переписав пашу формулу в виде
ЛГУ- — 2ЛС* — — [DB*- — 2CD-),
п
Если х и .у— числа, удовлетворяющие условию
которому подчиняются определённые нами диагональные числа,
то 2х-^у и х-\~у будут как раз следующие за х и у числа в об-
общем ряду диагональных и боковых чисел. Таким образом,
9 предложение Евклида есть не что иное, как геометрическое до-
доказательство основного свойства диагональных чисел.
Догадка Цейтена блистательно оправдалась после опублико-
опубликования комментария Прокла па «Государство» Платона (Р г о с I (,
Diadoclii in Platonis Rempublicara commentary, Teubiier, 1901, vol, II).
В этом комментарии Прокл говорит (ст. 27), что «свойства боко-
тшх и диагональных чисел доказаны геометрически {¦(вач.р.иЛ^—
на линиях) во 2-й книге Элементов им (i^'ezavou — очевидно
j^'E^//,?:oo-j)-', после чего приводится текст 30 предложения Ев-
к.тида. Таким образом, принадлежность Евклиду доказательств
предложений 9 и 10 можно считать вполне установленной.
Это обстоятельство вполне обьясняег отличный от предыду-
предыдущих метод доказательства предложений 9 и 10. Если бы мы по-
пожелали моделировать евклидово доказательство предложения 9,
то вместо подвижных элементов прямоугольника нам пришлось
бы взять элементы треугольника, причём модель получилась бы
довольно сложной. Если формулу
(a-\-b\2 , fa — b\z_a2-\-b"
2 )
представить в внде:
то можно и для этого тождества построить модель расснотреи-
iioi о выше типа.
16. Доказательства предложения 9. Эта георе^а не только
доказывается теми приемами, которыми доклзангц предложения
1—8, но можно даже собрать целую коллекцию =itiis доказа-
доказательств.
Мы приведём прежде всего доказательство Клавия 18), вполне
геометрическое и вполне отвечающее предложению 8, Для пего
и чертёж берётся тот же, чго и д.чя предложения 8.
-18) См, CJavius, стр, 187 (прим, 5,1,

315
Для краткости квадраты и прямоугольники обозначаем ци-
цифрами и детали доказательства оставляем 'штатечю (черт. 12).
( (
= AL-2E)-)-F) f Bi,
так как
D) ¦= E) + F).
Далее,
(Ш^-гО; —
_i 1) 4- 2 f 5) -|- [F) -f (9I -f (J) =.-.
Й
что и доказывает предложение 9,
Существует ещё много докл-
ыгельсчв предложения 9, но они
в геометрической форме только
разззртывают формальные опера-
.3
г
/
/
ч
/
8
7
Черт. 12.
пин, приводящие раньше доказанные |ождества к тождеству, вы-
выражаемому предложенном 9.
Мы даём только алгебраические эквиваленты, предлагай
читателю облечь их в геометрическую форму.
4-е доказа i елктво Клавня1;|};' положим (черт. 9 к предло-
предложению Щ
d ^ АП — а-\- Ъ, АС — Ъ, CD^= a, DB = c, AD — d, CB = c=b
d2 = (a-\- Ь)- = а2 -\- № -\- 2ab = a2 -\- b* ^ 2са,
По по предложению 7 книги И
2ас -\~ ег — es -j-д2 = Ь1 -\- а2
d*-г е* = 2 №-\-Ь-).
Доказательство Жц.ц.берта:
rfj + е= + 2 'd — (rf + fJ ~ 46-*,
2b° = 2ed -¦)- 2^^ (предложение 5 кииги И).
О г сюда
и. наконец,
rfJ -f cJ + ^&- + 2e
Там ike.

316 КОММЕНТАРИИ
Сложность этих виватов объясняется тем, что они не лазь-
зушся тождеством
(д — &>! = а- — lab -f &-', I
которого цет у Евклида но причинам, нами указанным в,A4).
Его у Евклида заменяет предложение 7, которому отвечает
тождество
(д -|- bf ~\- л3 = 2 (л -j- Ъ) а -f fr3,
которое принодигся к виду
Отсюда до 1 один шаг—операция переноса 2аЬ с изменён-
изменённым знаком в другую часть. Но шаг этот а не делается.
Если же шаг этот сделать, то дело окажется очень просто:
iV- = (a-\- bf = я* -f- &¦: -f 2^,
в2 = (с — Ь)"- — (я — fr)" = й2 + b"- — 2ab,
откуда
d-' -f г г ^г дз 4- &г _j_ лз _|_ ^ _, 2 f Л2 ^ &г).
Командинус, а за ним Клав и й этого не делают, а поступают
е - - с — Ь = а ~ Ь.
Да.-iec,
2 (Ь2 Ц- а~) ~ aZ "V ^ + -°^ Ь е" ^" (д j- &J 4"е? ~~ ^2 "Г е3-
17. Принцип непрерывности н тождества. Эта же теорема
r настоящее время может спузкщь иллюстрацией принципа не-
непрерывности Понселе20), гласящего, что если некоторое поло-
положение имеет место, когда некоторые величины а, §, у,., не обра-
обращаются ни в нуль, ци в бесконечность, то положение остаётся
is силе и когда эти ограничения сняты.
По существу в первой части этот принцип устанавливает
возможность перехода к пределу с сохранением всех тех свойств,
которые остаются при изменений,
С помощью теоремы Пифагора доказывается известная фор-
формула:
AD- -f ВО'* — 2 [DO + АО),
где DC — медиана Д ABD, соединяющая вершину D с середи-
серединой С стороны АВ; ;мтеч деформируем треугольник так, чтобы
*) Рои се let, Applications d'Arulyse et de ОеощёШе, Paris,
1864.

точка D оказалась на прямой АВ. Toi;ia мы получим евклидово
9 предложение.
Такой прием возможен при выводе более сложных геоме-
геометрических тождеств, например, тождества Стеварта 3])
В*-7?А ±РСг-'АВ~\-~ВС-СА' АВ — 0 (черт. 13);
им можно убедиться, выверяя алгебраическое тождество:
{a —pf (с —
—р)' [а — С) -f {с —р)- {Ь — а)-\-
-J- (с — Ь) [а — с) \Ь~а) — 0.
Черт. IX
Ни к нему можно прийти, доказывая с помощью теоремы
Пифагора теорему, выражаемую тем "же равенством тля греуго.п.-
мика АВР и прямой PC, проиедён-
цой 1С основанию, и используя прин-
принцип непрерывности.
18. Теорема Пифагора и тож-
тождества. Постулируя взаимно одно-
тачное соответствие между геоме-
геометрическими величинами и числами,
мы можем видеть в предложениях
П книги доказательства алигбраичс-
ских тождеств, имеющих значение
л-1Я всякого рода геометрических
иелнчин (a Eie только для отрезков).
Эти тождества вовсе не предполагают аксиому параллель-
параллельности, а только аксиомы непрерывности.
Но Евклид оперирует с прямоугольниками, которые строятся
только на евклидовой плоскости и, таким образом, положения,
не зависящие or аксиомы о параллельных, доказываются с по-
помощью последней.
В 9 же предложении мы имеем вывод алгебраического тож-
тождества с помощью теоремы Пифагора, и не абсолютный .харак-
.характер доказательств здесь выступает еще резче.
Здесь интересен обратный путь, по которому пошли некош-
рые математики.
Конечно, теорему Пифагора нельзя вывести m тождеств,
так как она зависит от аксиому о параллельных. Но тождества,
эквивалентные теоремам П книги, упрощают доказательство тео-
теоремы Пифагора. Такое упрощение доказательств теоремы Пифа-
Пифагора получим, если пожелаем логически обосновать интуитивное
доказательство индусского математика Бхаскары A114 г. и. э.).
-1) О Стеварте см. Marie, Hfstoire des sciences mathemati-
ques, т. VIII, стр. 240. Теоремл, видимо, принадлежит Р. Симеону.
Intermedialre des math., 1908, стр ]60 —См также Papelier
(прим, 13).

318
КОММЕНТАРИИ
В квадрате, построенном на гипотенузе <? прямоугольного
треугольника-2), внутри оказывается квадрат, построенный
на разности катеюв а — Ъ (черт. 14).
Мы имеем:
и достаточно
тождес т во
игпользовать
С [п — b'f1 — a2 — 2ab + Ъ-,
чтобы получить
19. Коллекция доказа-
доказательств предложения 10. Об
этом предложении следует ска-
сказать то же, что о девятом.
Прежде всего оно доказывается
общим приёмом и нет необхо-
необходимости прибегать к теореме Пифагора, как это де.-ыет Евклид.
Мы приводим доказательство Пелетария, причём опять, к<ж
в предыдущем комментарии, пользуемся теми же обозначениями
и детали оставляем читателю.
A2 3 4567 8 9) = G)+ B356) 4-П4) 4-(89).
Но A4) — {25) — E) + B) = G) + B) (черт. 15), 89) — (об), поэтому
A 2 3 4 5 6 7 8 9) -= 2 G) + B356) + B) + E6) = 2G) + B536) + CtfGi.
A2 3 4567 8 9) + C) — 2 G)-+2 B536) — 2 [G) + B3561],
а это и выражает предложение 10.
Существует ещё другое аналогичное доказательство е
дова типа E-е доказательство Клавия).
На чертеже квадрат, в котором равные квадраты C)
(8) » (И) (черт. 16), Мы имеем;
вкли-
вклиц (С),
кв. Л?Lгкв.Й?)^D 5689 11 12 13) 4" C)
кв, АС + кв. CD — A1) 4- E6S9);
нрсдыдугцгм док.'нательстве,
D5689 11 12 П) = 2A l)-f E689) + E89).
22) См. прим. 17,
23) Литцма н, Теорема Пифагора, Одесса, 1912, второе
изд., 1935.

319
Но C) = (G), вследствие чего
кв. AD + кв. BD = 2(U)+2 E689) = 2 [кв. АС -J-кн. CZ)].
Большинство многочисленных доказательств сводится опять,
как для предложения 9, к алгебраическим формальным операциям,
облечённым и геометрическую форму.
\
\
7\
ч^
ч
!
8
X
г
.9
s
;
ц
/
/
5
8
11
г
.в
9
>3
С В 1
з'
7
Ю
Щ
F
Mqii. 15. • Черт. 16.
Точный перевод предложения 10 па алгебраический язык;
[?()]
Перевод Гейбсры:
Bа + Ь)' + Ь'- — 2 [а? + (а + Ь)Ц. II
Математики эпохи Возрождения 1 приводят к II D-е доказа-
доказательство Клавия). Положим (черт. 16)
в —АС —ВС,
b — BD=Df!,
Тогда
d—-a -^c^-AD.
а-\-cf-c* -i- a* +
По 7 предложению книги II, помня, чго с — а^Ь,
и окончательно
d' + V- = 2 (с-- + я>).

<*А' КОММЕНТАРИИ
Аналогичны этому и доказательства Барроу, Комманднно и вто-
второе доказательство Клавия.
20. Книга II Евклида н Гетальдн 24). Геометрическая алгебра
евклндового типа была в употреблении даже при наличии число-
числовой алгебры. Формулы последней выводились геометрически при
помощи построений, аналогичных теоремам книги И Евклида,
и потом облекались в форму буквенной алгебры. В таком виде
мы находим их в f га тале 'XVII в. у итальянского математика
Гетальди.
Он пополняет книгу II Евклида выводом предложения о квад-
квадрате, построенной на разности. Он пишет результат в символике
Виеты
А — в in se AQ -f- BQ—Bm ,4-2 .1
(AQ эго A2, BmA это А-В, Д —fiinsc это (А~ВK, коэффици-
коэффициент пишется на последнем месте, чнака равенства ещё нет), под
I ok подписывает
А-\-В In se AQ + BQ-\-B in .4-2 11
н заключает, что по вычитании остаётся
Sin Л.4.
Мы всё -jto выражаем так:
{a-\-b'p = a* f2a&-f-&^
[a — b)* = a" — 2ab + &a,
''..iтем on выиодит тождество
(д -f &K -f (a — by- t= 2a? + 2&2.
Получаемые им тождества позволяют ему решать задачи,
подобные заключающиеся в предложении И книги II.
Так он решает задачу: разделить данный отрезок так, чтобы
прямоугольник, построенный на частях, равнялся квадрату, по-
ароешюму на разности частей. Задача эта приводится к уравнению
{a—x)x — {a — Ixf.
21. Общая формула для решения квадратного уравнения.
Задача на проведение золотого сечения приводит алгебраически
к квадратному уравнению.
В нача/ie существования буквенной алгебры общдя формула
квадратного уравнения х- ¦Arpx=^qI р ^> 0 выводилась геометри-
геометрически. Таким доказательством пользуются Бнета и Рспадьдпнп.
' 24) G h e t a I d I, De resolntfone et composftione mathemaffca
llbri quinqtie, Romae, 1640. Gerlich, Eine Suidie iiber die Entwi-
ckelung dcr Analyt. Geometrie mjt Her.ic^sichtigung eines Werkes
des Martnns Qhetaldi. P a p p i, Collectiones, леммы 22 — 26.

К КНИГЕ U W
Пусть имеем tnepi. 17) какие-лнЗо отрезки АВ ~х и AG=p',
ил перпендикуляре QE откладываем QB—AB, проводим EL \\ QB
к АК\\ GE; получаем квад-
квадрат ВК, равный х2 и прямо-
прямоугольник ЕА, равный рх,
образующие вместе прямо-
прямоугольник ВВ. Разделим AG
пополам в точке D и про-
проведём DH \\ GE. В пере-
пересечении DN и диагонали
ВК получаем точку //.
Достраиваем квадрат ВИ.
Прямоугольник BE, рав-
равный хй -\~рх, равен гномо-
гномону FDBMIK; по условию
.^-(~рл' = ?, так что гномон
равен q. Но квадрат КН
р
построен на FK=DA -=-y
X
fit
К 1
0
к равен
ЧеРт- 17<
Гномон же вместе с квадратом /СИ даёт квад-
квадрат ЙЯ, построенный иа BD~--x-\-~~ . Таким образом,
¦*+¦
При построении такого доказательства образцом взята книга II
«Начал».
22. Остроугольные треугольники. Евклид определяет остро-
остроугольный треугольник как такой, у которого все утлы острые,
между тем как это предложение предполагает только то, что
первая сторона должна быть против острогэ угла.
Многие комментаторы подчеркивают, что здесь термин остро-
остроугольный слздует или потшать в новой смысле или же его со-
совершенно выбросить.
Следует отметить, что эта теорема, так же как предыдущая,
но только в другой форме, приводится в «Данных Евклида'?.
Утверждается, что если в треугольнике дан острый угол,
то также дано и отношение к квадрату стягивающей этот острый
>т?л прямой АС, того, на что квадраты на АВ н ВС больше удво-
удвоенного прямоугольника на СВ и BD.
23. Чисто геометрическое доказательство обобщённой те-
теоремы Пифагора. По существу, евклидово доказательство пред-
представляет формальные операции над алгебранческима тождества-
21 Евклид

322
КОММЕНТАРИИ
ми, представленными в геометрической форме; оно легко алгебра-
изчруется и тогда превращается в обычный вывод ойобщзнноЙ
теоремы Пифагора с помощью алгебраических преобразований.
Григорий Сан-Винценто даёт довольно сложное, но уже чисто
геометрическое доказательство.
Я приведу его только для случая острого угла В треуголь-
треугольника ABC. По тому же образцу можно построить доказательство
к для тупого угла.
Черт. 18,
'' На сторонах АС, ВС, АВ, как н в евклидовом доказательстве
теоремы Пифагора, строятся квадраты ACfO, ВСН/, АВЮ.
(черт. J8).
Опускаются из вершин А, В, С перпендикуляры на стороны
н продолжаются до пересечения с противоположными сторонами
квадратов в N, M, Q,
Проводятся прямые PF, FG, АН, CL. Тогда совершенно так же
как при евклидовом доказательстве теоремы Пифагора, выводим
прям. AOMQ — 2?\AGR = 2/\ALC = wpA}A. ALQE\
прям. CFMO = 2ACF3 — 2&CHA — npm, CHND,
Тогда квадрат ЛСГО —прям,
LK\ BChi EB
прям,
B
—квадр
Тогда р р С + р C
ABLK-\- квадр. BChi — прям. EBQK— прям. BDNI.
Но прямоугольники t'^OK и BDNI равны друг другу. Дей-
Действительно, проведя прямые СК и А/ (они не показаны на чертеже),
мы получим два-треугольника СКВ и А/В, которые равны друг

К КНИГЕ II -*-'0
;ipyiy, ыо докажем так же, как в евклидовом доказательстве те-
теоремы Пифагора. Прямоугольники же EBLKuBDN! вдвое больше
треугольников СКВ и А/В соответственно. Итак,
квадр. ACFG — къацр. ABLK+- квадр. BCHI — 2 прям. АВ-ВЕ,
А&~АВ--\-10 — 2ЛВ ¦ BE
АО — ЛЯ? -(¦- ВС3 — 2DC- BD.
24. Исевдогеометрнзованное доказательство. Геометризапия
евклидовых доказательств предложений 12, 13 производится ком-
комментаторами так, что в чертёж вво-
тятся все квадраты и прямоугольни-
прямоугольники, с которыми производятся фор-
формальные операции в таких конфигура-
конфигурациях, что из них видны все форму-
формулы, через которые идут эти опера-
операции. По существу, эти конфигурации **
ничего не прибавляют к евклидову до-
доказательству, и если евклидово дока-
доказательство не считать чисто геометри-
геометрическим, то эти доказательства следует
признать пег вдоге о метрическими.
Я привожу такое доказательство
только для острого угла {черт. 19),
В А АВС опускаем на основа-
основание ВС перпендикуляр AD л строим
ва высоте квадрат ADH/, а на оспо-
ваннк квадрат BCEF> n последний раз- Черт, 19.
делаем так, как это делает Евклид при доказательстве предло-
предложения 4. На BD строится квадрат BDLM., а па CD квадрат
MNCsE.
>~\AB~Dl-\-LD по теореме Пифагора,
С|ВС = Л"~ ' ""
Поэтому
/
в
L
м
\
I)
\
? t
А/
гак" как LG~- СМ (по предложению 43 книги 1) и LD-\- CM — CL.
Но О AC— A'G 4-DI по теореме Пифагора, так как
XG = CiCD. ' . '
Б результате
Q АВ + Q BC^Q AC~\-2CL = QAC+2 прям, BC-BD.
та- как BL-^BD.
25. Сумма квадратов диагоналей. Из обобщённой теоремы
Пифагора выводится очень просто, что сумма квадратов диаго-
диагоналей параллелограмма равняется сумме квадратов его сторон.
Эта теорема была следующим образом обобщена Эйлером.
21*

КОММЕНТАРИИ
Для всякою четырёхугольника ABCD имеем:
АВ* + ВС- + СО» + DA* = АС' + ВЕР + iEF1,
где ? —середина АС и /' — середина DB (черт. 20).
Теорема Эйтера проще всего выводится из теоремы, прииад-
Черт. 20.
Черт. 21.
лежащей Аполлонию. В треугольнике ABC проведём медиану
АО к середине' G стороны ВС', тогда:
АС1-{-АВг=2[Ааг-1гВаг) (черт. 21).
В настоящее время эта формула служит для определения
медианы треугольника по сторонам', она выводится, пополняя
треугольник ВАС до параллелограмма BACF.
Если ADJl.BC, то имеем:
и поэтому
ЛС» -f- AB! = 2.4№ + СД2 + ВО1.
По предложениям 9, 10 книги II С№-f-ВД« = 2OD» + 2ОВ>,
и поэтому
* = 2AD>
Теорема Эйлера выводится следующим образом:
По доказанной только что теореме

и книге л ' 325
Далее, из треугольника DEB, гл& EF—мелиана,
BE3 + DЕг = 2DF3 -f 2EF2
и окончательно
,4В3 4- ВС3 4 CD* 4 &№ — *А& 4 4/-^2 "Г 4?^ —
ЛС2 4В0Ч
26. Сводка алгебраических формуя, выражающих теоремы
книги JJ.
I. а {Ь 4 е 4 <*) — а& ~т ас
н. /i4c = u —>. дй 4 Д(: = й3,
III. (а + *)й-аЪ-\-Ф,
IV. (д 4 *K = а% Л- Ь% 4 2а&,
VI. Bа + *) * + & = (а 4- *J,
VII. (a + «!24-a2=2(a + S)a
VIII. 4(а + 6)а + 6! = [
[1
X. Bа + Vf 4- 62 = 2 [в» + (а + *)Ч-
27. Стереометрические аналогии книги Л «Начал». Стерео-
метоическ ie аналогии теорем книги И пытается дать Каваль-
ериа5|. В «Гесыетрии неделимых» он да5т геометрические,
теоремы, выражаемые равенствами:
(а — b)ai=a[a — Ъ) а, A*
(а + Ь) а"- = а'Ь -\- Ф, B)
(д-t-W =«(д + *)'-4-*(« + *Л C1
(a -f- »)' = (а + *) "»+ (а + *) >' + («+ ») 2а*. D)
(a-\-bf = <fl + № + -ia''b\-iiab\ E)
аЬ{!л~ Щ-\-а{а— »)»=«», F)
(д + *)Bа + *)*+(д + Ца> = (« + *)». G)
R «Опытах» он даёт ещё более сложное тождество
Но только простевшие (I), B), C), D), E) моделизуются. Вывод
же других сводится к алгебраическому выводу, но только в за-
замаскированной геометрической форме.
'и) К а в а л ь е р и, Геометрия неделимых, пер. и коммент
Лурье, М. — Л., 1939.

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ Ш
I. Радиусы равных кругов. Первое определение книги Ш
на первый взгляд представляет нечто несущественное. А между
тем около этого определения сосредоточиваются многочисленные
комментарии. Некоторые
комментаторы, как, напри-
например, Таргалья Ц и БорелпиЧ
отногят аго определение к
аксиомам.
Дру[ие же видят в н5м
теорему, требующую дока-
доказательства я). При этом до-
Черг. 1. ка}атепьство ведут методом
наложения (черт. 1).
Налагается один круг на другой, так что центр С попадает
в центр / и диаметр АВ идёт по диаметру DE.
Тогда, взяв НС и Ю под равными углами к диаметрам АВ
и DE, получим при наложении совладение СИ с /О, а затем
{вследствие равенства радиуса) и точки И с G.
Эгот вывод, правда, ведётся с помощью евклидова метода
наложения, но совершенно не в духе самою Fвклада. У Евклида
при наложении треугольника на треугольник устанавливается
совпада^мость конечного числа элементов, а именно, троек вер-
шчн и троек сторон, которые совпадают вовсе не по точкам,
а целиком, в силу аксиомы 9, по которой две прямые не заклю-
заключают пространства.
!) Tartagiia, Eudide tradolto, стр. 37. О нём Cantor,
Vorles., т. 2, стр. 484,
-) Bore Hits, Euclides res itutus, стр. 63, 1679.
s) Angelus de Marchetis, EucHdes re ormaiiis, 1709.—
К о nig, Elenen^a Eucltdls, стр. 91. —P 1 ay fair, Clemens of
Geometry, стр. 374. — B( i Hng s iey, The Eiemen,s of Eiicifd,
стр. 10.

к книг? ш
327
А здесь мы устанавливаем совпадение бесконечного множе-
множества точек, т. е. вводим никогда не завершающийся процесс.
Нужно отметить, что в своим определении Евклид мыслит
не только то, что если радиусы равны, то равны и круги, но
льше, и меньше, если радиус меньше.
Таким образом, рассматриваемое определение Евклида имеет
и -явный аксиоматический оттенок.
2. Касательная. Мы определяем
касательную как предел секущей,
проходящей через две точки М и
Щ при сближении Mi с М. -
До установления понятия преде-
предела в: д'ала.мберовгком смысле каса-_
тельная определялась как прямая.
J.
ерт. 2.
Черт. 3.
проходящая через две бесконечно близкие точчи М, М\, причём
расстояние ММ\ мыслилось кач актуально-бесконечно молов.
В учебнике злем-sitrapft'jit геометрия эти определения ire мо
гуг быть проведены, так как о касательных приходится говорить
много раньше введения в геометрию понятия предела, трудно
усваиваемого на этой ступени обученчя.
Ленмнзр6) дзёг определение~пе касательной вообще, а ка-
касательной круга: прямая, имеющая только одну общую точку
с окружностью.
Такое определение, конечно, не согласуется с тем понятием
касательной, которым пользуются в анализе. Карательная как
Предел секущей может касаться и вместе с тем и пересекать
кривую {черт. 2).
Здесь следует отметить, что евклидово определение касатель-
касательной отнюдь не совпадает с современным, В кон^е острив М,
но Евктиду, всякая прямая будет касательной к кривой, между
тем как, по-нашему, только одна прямая МТ (черт. 3). В четвёр-
четвёртой книге Евклид определяет епгелнный в круг многоугольник
как такой, углы "которого касаются окружности (вместе с' тем
*) Giordano di BHonto, Eudide restbito; 1670, стр-10].
6)Candalla, Euclidh Elementa, loll.
6} Лежа н др. Элементы геометрии, 1887,

КОММЕНТАРИИ
они касаются и касательных к кругу, причём остаются касатель-
касательными при различном наклонении к этой касательной).
Взяв вместо круга дугу кривой, которую прямая пересекает
только в одной точке, мы должны были бы, по Лежандру, назвать
её касательной, причём таких касательных было бы бесконечное1
множество.
По Евклиду же, это не были бы касательные, так как они
пересекала бы дугу.
То же следует сказать и об определении касающихся круюь.
3. Расстояние точки от прямой. С современной точки зре-
зрения Евклиду следовало бы определить расстояние точка от
прямой как длину перпендикуляра, опущенного из этой точки
на прямую.
Евклид не даёт не только определения расстояния точка
от прямой, но даже расстояния центра круга от прямой; он оп-
определяет только прямые ра&ноотстоя.щае н неравноэтсточщие
от центра.
Евклидово определение имеет описа1е.гы1ый н вместе с тем
и аксиоматический характер. В данном случае «ближе» и «дальше*
мыслятся как понятия простые, сами по себе, ясные, принимаемые
без определения. Затем не вообще, а только для круга ищется
признак, по которому можно судить о равной или неравной
удалённости хорд. Это ла!тся сравнением перпендикуляров, опу-
опущенных из центра на хорды.
4. Угол сегмента. Это определение при историческом ана-
анализе имеет очень важное значение.
Здесь совершенно определённо выставляется, как предмет
геометрического исследования, смешанный угол, образуемый пря-
прямой и кривой. Сегмент имеет две стороны: одну прямую, дру-
другую кр твую, и два угла.
Бесспорно, что до Евклида эти смешанные углы играли зна-
значительно большую роль, чем у Евклида, и постепенно выходили
из употребления. У Аристотеля есть доказательство предложения 5
книги I «Начал», в котором он оперирует смешанными углами,
Подобными сегментами у Евклида называются те, в которые
заключаются равные углы (по-нашему, в которые вписываются
равные углы). Это второе определение должно быть оправданх
следует доказать, что все вписанные углы равны (что, между
прочим, не имеет места в плоскости Лобачевского); это Евклид
дает только в предложении 2i.
5. Аксиоматическая проблема апагогического доказа-
доказательства. То, что центр круга лежит на перпендикуляре, вос-
восставленном нз середины хорды, Евклид доказывает апагоги-
ческа.
Роберт Симеон') старается убедить в том, что это положе-
положение н не может быть доказано прямым путём, а только апаго-
гическн
гическн.
R. Sim so о, Eudfdis. eietn. libri, sex.

К КНИГЕ Ш
329
Таким образом, он наталкивает на аксиоматическую проблему,
которую мы ещё н,е умеем решать. <Даны аксиомы А, В, С, D
и дано вытекающее аз этих аксиом положение Р; можно ли Р
вывести из А, В, С, D прямым доказательством}* Иначе говоря,
необходимо ли использовать вместе с А, В, С, D ещё логическую
аксиому «исключённого третьего» 8).
Р. Симеон говорит, что кроме определения круга, мы не
имеем никаких других признаков, из которых могли бы извлечь
доказательство; исходя же из определения круга, мы не можем
рассуждать иначе, как приведением к абсурду.
Другие комментаторы не убеждаются доводами Симеона.
Однако Компано, Кетий, Берчан, а. за ним Камерер э) исходят
из предложения 26 книги I (?А~?В, АС=^СВ и углы при С
Черт. 4.
прямые) и доказывают (черт. 4), что все точки на перпендику-
перпендикуляре СО равноотстоят от А и В] из этого, однако, не следует,
¦по все равноотстоящие точки, и в числе их центр О, находятся
на этом перпендикуляре.
Чтобы доказать, что СО —геометрическое мест-) всех таких
точек, необходимо рассмотреть точку вне СО в доказать приве-
приведением к абсурду, что ей зто свойство не присуще.
Томас Симлсон10) доказывает эту теорему прямым путём,
соединяя О с серединой АВ и прибегая к третьему случаю
равенства треугольников.
О действительно оказывается на перпендикуляре СО к АВ,
но использование закона исключённого третьего здесь отодвинута
к началу, так как то, что в С можно восстановить только один
перпендикуляр, доказывается аплгогически.
Так же дело обстоит н с предложением 2.
8)Д. Мордухай-Болтовской, Ненатуральное доказа-
доказательство в прошлом и будущем, Математическое Образова-
Образование, 1, 1929. и
9) С a merer, Enclidis elem. libri priores, 1756.
Щ У- 61 m p s а л, Elem, of Geometry.

330
КОММЕНТАРИИ
То, "что отрезок ЛВ прямой, пересекающей круг, оказывается
внутри этого круга, доказывается тем, что DE будет меньше DB,
' ")ЕА > ? DBA^= ^/ DAB на основании предложения
any ipn aiui и upvi а, дшазиойыи icji, ч [и лу.
так как ? jDZM > ^ DBA^= ? DAB на осис
Iti книги 1 (доказываемого прямым путём) и :
общей точки, или, если имеют, то
общими», . .
Доказательство даётся того же типа (не в евклидовом духе),
как то, о котором мы говорили в связи с первым определением.
Если точ-м М на некотором расстоянии от О, то на том же
ИЯГГТПЯНИ1Т fiVTIVT И ЛА1 U Л/' и ЛЛ" и \1" л *п тт T-iV птл Di*fl
если точ-м m на некотором расстоянии от О, то на том же
расстоянии будут и Ж' и Лг', и М" и .V", и т. д., так что все
точки кругов совпадают (черт. 6*.
Черт. 6.
7. Пересеченна прямой с окружностью. Лежанир выводит
[^возможность пересечения окружности прямой в тргх точках
невоз [ожности пpJ8eдel[Ия из данной точки трзх равных
1ЭЧЛОЧНЫХ,
Лежанчр доказывает, что перпендикуляр к ра;диусу прздстав-
ка^ательную (черт. 7). Так как вся ая наклонная ОЕ длин-
перпе[[тикуляра ОА, то точка Е находится вне окружности
и линия BD имеет с ней только одну о^щую точку, а потому
BD ка::ательна к окружности.
8. Условия перзсе1ения кругов. Весьма существенным
дотзлцен им к Евклиду являются предложения 13,14 «Элеменгов>
Л^жа ^дрнlj>), устанавтиваю'цие ус-кии ^ пересечения и касания
кругов. В совргллшых учебниках (например, Киселёв) на этом
долго останавливаются.
Ц) Са-пегег, см. прим. 9.
п) Л еж а н д р, см. прим. &.

К КНИГЕ [П
331
Результаты исследования укладываются в табличку:
Если d расстояние между центрами, R к г радиусы кру-
кругов, то
при ifyR-\-r круги вне друг друга,
d—=R-\-r извне каса-отся,
»-—/¦ f пересекаются,
rf~fi — г касаются изнутри,
^ </? — /" один внутри другого.
9. Замечание к доказательству предложения 7. Когда
Евклид говорит, что BI больше С/, то он подразумевает, что угол
BID больше угла СЮ, а в доказательстве исходит из того, что
угол BEI больше угла СЕ/. Здесь бесспорно некоторый логический
провал. Для полноты доказательства необходимо из неравенства
?вю> z сю
(шьеан, что ? BEI > /_ CBI, что легко сделать с помощью
предложения 2о книги I.
10. Пересечение прямых в одной точке. Доказательство
предложения 9 возбуждает у некоторых комментаторов сомнения.
Считают, что утверждение того, что л
центр Ол^жит на пересечении перпен-
перпендикуляров в середине хард АВ и CD,
можно признать, линь доказав, что эги
перпендикуляры пер°секаются.
Указывается, что у Евклцда нет
такой аксиомы, что две прямые всегда
пересекаются в оиюй точ :е (так кик
они могут быть параллельны н не пере-
пересекаться).
Но то, что центр существует, сле-
следует уже из ^пр-'дел^ния круга (опре-
(определение 15 ки'.гги I). Евклид же доказы-
доказывает, что если он существует, то дол-
должен быть и па КО и на /О/Если бы КО и Ю не пересекались,
то 1шчтр на существ тал бы {черт. 8).
Аустин Щ предпочитает выводить это положение из 7-го, минуй
это построение центра.
Существование тр2х равных прямых, выходящих из точки,
не совтадатощ5Й с центром, противоречит утверждению, что
существуют то 1ькч двг равные прямые одна по одну, а другая
по другую сторону iianvie 1ьшей.
Об этой теореме говорят Кампано, Оронс Фнней, Такз ч
Р. С гмеон, ПдаЙфар.
В настоящее врзмя Киселёв доказывает еЗ, замечая, что пер-
перпендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.
Щ Аи = Ипич, Аи examination of the first Books of Euclldls
Element Oxford. 1781.
Черт. 8.

332
КОММЕНТАРИИ
В самом деле, если ЛВ было бы параллельно CD, то и
ЕС было бы параллельно ED и две эти прямые не были бы
пересекающимися (черт. 9).
Теорема о пересечении прямых,
восставленных из середины хорд, аб-
абсолютная, в настоящем же доказа-
доказательстве используется аксиоча о па-
раллетьных.
Если взять две хирды АВ и CD.
образующие малый угол между собой,
то в геометрии Лобачевского пер-
перпендикуляры к ним (не обязательно
. в середине) EF, GH могут оказать-
оказаться н параллельными и сверхпарал-
сверхпараллельными.
-*-¦-¦ И. Другое доказательство пред-
предложения 9." В некоторых рукописях помещается ещё другие до-
доказательство предложения 9, которое Гейберг удачил из основ-
основного текста.
«Иначе. Внутри круга ABC (черт. 10) возьмем неко-
некоторую точку D, и пусть из D к кругу ABC выходят более
чем две равные прямые DA, DB._
DC; я утверждаю, что взятая точ-
точка D будет центром круга ABC.
Действительно, пусть это не
так, но, если возможно, пусть
< центр > будет Е, и соединяющая
DE пусть будет доведена до то-
точек I, H. Значит, IH диаметр
круга ЛВС. Поскольку теперь в
круге ABC на диаметре III
взята некоторая точка, которая не
Черт. 10. является центром круга, <а имен-
именно > D, то наибольшей будет DH,
DC же будет больше DB, a DB
< больше > DA. Но они и равны;
: это же невозможно; значит, Е не
будет центром круга ABC. Вот
подобным же образом докажем,
что и никакая другая, кроме ?>;
значит, точка D есть центр круга
ABC, что и 1ребовалось докааачь*.
12. Другое доьазательство пред-
предложения 10) помещённое у Гейберга
в приложении.
<Иначе (черт. 11). Действи-
Действительно, пусть снова круг ABC сеч^т круг DEI более чем
в двух точках В, Н, /, G; возьмём центр К круга ABC n
соединим KB, KHt Ю-
Черт. И.

К КНИГЕ Ш
Поскольку теперь в круге ЛВС взята некоторая точкз
К внутри, и из точки К к кругу DEI вышли более чем две
равные прямые KR, KI, К$, то значит, точка/Сесть центр
круга DEL Но К будет центром и круга ЛВС; значит,
у двух секущих друг друга кругов будет один и тот же
центр К\ это же невозможно. Следовательно, круг не
сечёт круга более чем в двух точках, что и требовалось
доказать».
13. Доказательство другого случая предложения 11, поме-
помещённое у Гейберга в приложении.
<Но вот пусть она упадёт, как Н1С\ продолжим CIH
по прямой до точки О и соединим АН, AI (черт. 12).
Поскольку теперь АН, HI боль-
больше АД но IA равна ЯГ, т. е. IG, от-
отнимем общую IH] значит, остаток
АН больше остатка HJ, т. е^ HD
больше HG — меньшая большей, что
невозможно. Подобным образом до-
докажем нелепость и если центр боль-
большого круга оказался бы вне малого».
14. Теоремы о касании. Евклидовы
доказательства предложений 11 и 12 имеют
определённые дефекты, отмеченные рядом
комментаторов.
Для того чтобы предложение И о вну-
внутреннем касании было абсолютно доказа-
доказательным, нужно показать, чго один круг (меньший) должен весь
заключаться внутри другого. В этом легко убедиться, если при-
принять во внимание, что при внутреннем касании один круг, ле-
лежащий внутри другого в окрестности точки касания, не может
яметь ни одной части вне первого круга: в противном слу-
случае оба круга имели бы минимум три о'бщие точки (одну ка-
сания и две пересечения), что противоречит предложению 10
книги III.
Но если оба круга не могут пересекаться, то один из них
должен лежать целиком внутри другого, иными словами, внутрен-
внутренний круг должен быть меньше внешнею и иметь меньший ра-
радиус. Пусть I — центр большего круга (см. черт. 12), аН — мень-
меньшего. Если мы продолжаем линию центров IH, то точка касания
А может лежать на продолжении этой линии или же вне её.
Если точка касания лежит вне продолженной IH, то последняя
может пересечь обе окружности или в одной общей точке (кото-
(которая может быть только второй точкой касания) или в двух
точках D и О, но тогда точка D её пересечения с мень-
меньшим кругом должна во всяком случае лежать ближе к цен-
центру Н последнего, и тогда доказательство Евклида вступает
в силу.
Невозможность нахождения точки касания иа линии НГ за
центром / большего круга следует из того, что в данном случав
Черт. 12,

334
КОММЬШАРИИ
радиус меньшего круга оказался бы больше радиуса большего
круга.
Таким образом, остаётся последняя возможность, что два
круга имеют две точки внутреннего касания, т. е. точки D и 6
сливаются в одну, так что AJi = HD и A/—/D. Эта возмож-
возможность тоже ликвидируется при помощи небольшого видоизмене-
видоизменения того же самого доказательства Евклида. Действительно, мы
им ..'ем
Л/< АН f ///~DH-\- IH~ DI.
llo DI — Л/, поскольку точка D лежит на окружности не тольки
меньшего, но и большего круга, представляя вторую их общую
ючку касания. Таким образом, из предложения II вытекает
не отметенная Евклидом
единственность точки ка-
касания двух кругов при
их внутреннем соприкос-
соприкосновения.
Что касается предло-
предложения 12 то, повидимо-
му, оно является позд-
позднейшим добавлением.
Герои в своем коммента-
комментарии к предложению 11
говорит, что «Евклид в
предложении 11 считал
оба круга касающимися изнутри... Но я покажу, как нужно дока-
доказать его, если соприкосновение является внешним». Так как после
этого следует чертеж предложения 12 и текст доказательства, по
существу мало отличающегося от евклидова, то, повидимому,
существующий текст прэдложекия 12 представляет доказательство
Герона, внесённое позднейшими редакторами текста Евклида,
может быть Теоном.
Относительно самого доказательства предложения 12 мокио
сделать те же замечания, что и относительно П. Приведённое
в тексте Гейберга доказательство имеет сил,глишь в том случае,
когда оба центра F, О и точки пересеченна С, D расположены
в порядке FCDG (черт. 13), а не в порядке FDCO (черт. 14).
т, е. точка С левого круга не дгжит внутри правого и обратно.
Если бы это имело место, то, поскольку А есть точка внешнего
касания, oda круга должны были бы пересекаться между Л и С,
т. е. иметь, кроме Л, ещё вторую общую точку. Далее, на осно-
основании III 8 мы доказали бы, что оба кр\га должны иметь ещё
общую точку А'—симметричную относительно лищш центров,
что будет противоречить III 10.
Д'алее рассматриваемое доказательство предполагает, что
точки F, A, G образуют треугольник [Xmc (Heath), II, стр. 29];
если бы эти три точки лежали на одной прямой (черт. 15), то
Черт. УЛ.

К КНИГЕ Ш ЛоЭ
для внешнего круга радиус FC оказался бы равным FA, что
невозможно.
Предложения II, 12 могут быть формулированы так: если
два круга не пересекаются, а касаются, то'прямая, соединяющая
нх центры, проходит через общую точку. Обратная этой теореме
будет: если прямая, соединяющая центры кругов, проходит через
общую их точку, то они не пересекаются, а касаются в этой
точке.
Противоположная теорема: если два круга не касаются,
а пересекаются, то прямая, соединяющая их ;гентры, пе проходит
через общую точку.
Черт. 14.
Обратная противоположной: если прямая, соединяющая
центры, не проходит через общую точку, то круги не касаются,
а пересекаются. Последняя теорема легко доказывается на основа-
основании предложения 20 книги I.
Подробный разбор предложений II и 12 делает излишними
комментарии ic предложению П, которое по существу уже пред-
предполагается при доказательстве предложения П.
15. Равенство прямоугольных треугольников. Интересно
отметить, что Евклид обходится без теоремы о равенстве прямо-
прямоугольных треугольников при равенстве их гипотенуз и одной
пары катетов. Теорема эта непосредственно не вытекает ни из4,
пи из 8, ни из 24 предложения книги I.
Мы доказываем эту теорему на том основании, что наклон-
наклонные, дальше отстоящие от перпендикуляра, больше ближе отсто-
отстоящей (т. е, что та больше, у которой больше прогкция), причём
основываясь на предложении 16 книги I.
Почему это положение ускользнуло от Евклпда, почему он
предложение 14 доказывает не так, как мы его доказываем на
основании равенства прямоугольных треугольников, а призывает
на [оиощь теорему Пифагора?
Следует обратить внимание на то, что абсолютная теорема
верная, как показал Феодосии, на сфере, здесь доказывается
с помощью теоремы Пифагора, то-есть с помощью аксиомы
о параллельных.

КОММЕНТАРИИ
16. Спор Клавия е Нелетарием. Полемика иежлу Клавием и)
и Пелетарием 15) {Пелетье) об угле касания, т. е. об угле, обра-
образуемом касательной с окружностью в точке касания, даёт богатый
материал для характеристики мышления математиков XVI в.
Собирание упущенных Евклидом очевидных истин без всякой
попытки исследования их зависимости или независимости между
собой — это дело рационалистов XVI1 в., которые относились
несравненно более критически к Евклиду, чем математики XVI в.,
и у которых на месте Euclides Commentatus {Евклид коммен-
тированный) выступает Euclides restitutus (Евклид восстанов-
восстановленный).
У математиков XVI в. вера в авторитет сохраняется как
наследие средних веков. Система евклидовых аксиом у них
остаётся неизменной или же подвергается
только небольшим дополнениям. Эта черта
в соединении с тенденцией чисто схоласти-
схоластической порождает неправильные толкова-
толкования положений Евклида в более широком
у и более желательном для схоластического
настроения спорщика смысле.
Так, ПелетариЙ в доказательстве того,
что в кругах углы, образованные диаметра-
диаметрами и окружностями, равны, раньше тем
привести своё доказательство, о котором
мы будем говорить ниже, просто ссылается
на постулат Ьвклида сВсе прямые углы
равны», отнесённый им к обобщённому пониманию прямого угла,
а также на {тоже неправильно понимаемое) положение о равен-
равенстве углов в подобных многоугольниках, возведённое им из
определения в аксиому и распространённое на окружности (оче-
(очевидно, всегда подобные).
В этом отношении особенно характерно доказательство
Пелетария той же проблемы с помощью параллельных пересечен-
ных прямой.
«Прямая, — говорит ПелетариЙ, — пересекающая две парад-
лельные, делает с ними равные соответственные утлы.
И в настоящем случае (когда имеем две окружности с общим
центром AC a BD) ОБ пересекает параллельные (но уже не
прямые, а окружности) (черт. 16). Так что соответствующие углы
САО и ОБО равны».
Ошибку Пелетария отмечает КлавМй, но и сам делает анало-
аналогичную ошибку, приписывая Евклиду обращение аксиомы 8
книги I (часть меньше целого).
Черт. 1G.
Щ C\avius, Elements Euctfdis, Roraae, 1574.
i*) Peletarliis, Elementa Eucltdls, 1557. Си, о НИМ Cantor,
г, 2, стр. 533 и Montuda, т. 1, стр. 504. «

А
Черг. 17.
Мы уже отметили, что скрытым образом это обращение
имеет место и у Евклида, но только для прямолинейных углов
и отрезков.
Клавий это положение распространяет и на смешанные
углы, образованные окружностью и прямой, и старается с по-
помощью аргументов, основанных на этом положении, разбить
противника.
Пелетарий доказывает, что в кругах углы, образованные
диаметром с окружностью, равны, Угол касания, по Пелетарию,
не представляет величины.
Над ним невозможны те' операции, которые предполагают
понятие величины.
Он видимо соглашается с тем, что все углы суть величины,
но настаивает на том, что угол касания не угол. Всякий угол,
говорит он, получается в сечении
линий, а не в касании. Заставляя пря-
прямую АС вращаться около точки
кривой А, он старается убедить в
том, что в момент совпадения этой
прямой с касательной в точке А мы
должны говорить об исчезновении
)гла между прямой и окружностью.
Иначе думает Клавий, для которого угол состоит из одной
точки и наклоненных линяй (безразлично прямых или кривых),
которые не имеют одного направления, как это ясно из евкли-
евклидова опредепения угла. Но Клапию приходится обобщать понятие .
величины, может быть и незаметно для себя, принимая за вели-
величины и те, которые не удовлетворяют постулату Архимеда.
Пелетарий выдвигает доказательство, основанное на следу-
следующем свойстве величин вообще: «Если две величины А и В меньше
X, причём X может быть как угодно мало, mi А и В равные.
Он доказывает равенство двух углов, образованных окруж-.
ностями {(АГЪ AF2\(AF2, AF)], т. е. равенство части целому и
поэтому утверждает, что такой смешанный угол не имеет частей,
а потому не представляет величины; то же7 конечно, относится
к углу касания (черт. 17).
Для противников Пслетария это рассуждение представлялось
неубедительный; им представлялось вполне возможным, чтобы
род величин Й разделялся на два вида: Йг и й3 таких, чтобы
между величинами вида 2± были отношения: меньше, равно,
больше, и чтобы все величины itj были меньше сколь угодно
матой величины вида Й2 и примером приводили именно род
угла, делящегося на виды; углы касания, прямолинейные и сме-
смешанные углы.
Последняя точка зрения вполне отвечает канторовской точке
зрения на актуально-бесконечное число, по которой первое
трансфинитное число больше чем всякое конечное число и
при этом между траксфинптными числами имеют место огни- .
шения: меньше, равно, больше.
22 Евклид

КОММЕНТАРИИ
.„„—.сниг ил вы1ед*лвнс diuiu из класса величин.
Взяв два концентричных круга ABC и DIG, он замечает,
что угол, образованный окружностью ABC и её диаметром, не
может быть больше угла, образованного окружностью Д/Остем
же диаметром, а только ему равен
или меньше. В этом Пелгтарий убе-
убеждает, яодвигая DI3 так, чтобы он
коснулся ABC (терт. 18).
Если теперь DIG больше ABC,
то то же имеет место для любого
большего концентричного с первыми
двумя круга MPN.
В результате для некоторого
круга достаточно большого радиуса
мы, по мнению Пелетария, получили
бы противно Евклиду угол Ъ полу-
полуокружности больше прямого.
'Здесь упущана возможность ас-
Черт. 18.
симптотического возрастания до определённого значения, не
превосходящего прямой угол. Но в то время исследование из-
изменения одной величины в зависимости от другой было совер-
совершенно непривычным делом.
17. Неделимое и угол касания i">). Чем же являются углы
касания у Клавия? Это величины, которые можно складывать и
вычитать. Удвоение угла касания даёт больший угол, удвоение
которого даёт ещё больший и т. д. Если же мы возьмзм угол
Касания ч и острый прямолинейный угол E, то прибавляя к а
ещё а и т. д., мы никогда не получим величины большей J.
Щ Card anus, De sublimate, 1550, 1554, 1560, кн. 16.
стр. 980 б его Opera. О нём Cantor, т. 11, стр. 484, Montucla,
т. 1,стр. 511. —vietae, Opera, стр. 386, гл. 13,14, 16,18. — Са mi II I
G J о г i о s I, Exercitationum matnematicorum, Neap., 1639. Р а г е г е
d. I Galileo Galilei intomo all angolo del contacto scritte a Gio
Gamillo Glorioso Math., Neapoli, 1635. Opere di Galileo Galilei,
Milano, 1811, т. 10, стр 2-51. — Taquet, Elementa Geometriae
planae ac solidae, Antverp., 1654. Amst. 1683. Schol. Ill, 16, стр,
84—93 (против Клавия). — FrancXaveri Aynscom, Exposi-
tio ac deductio Geometricae quadraturarum coram R. Gregorii
S. Vincentio... Antverp., 1656 (против Клавия). — W a i 1 i s i u s,
De angulo contacts, 2, Operum mathem. Oxoniae, 1691, стр. 631—
664. — Defensio tractates de angulo contactus et ssmicirculo, 1685,
О нём Cantor, т. Ill (I), стр. 26. — Le о ta г di, Cyclonietria... in
qua anguli contigentiae natura explicatur, Liigdunl, 1633 (за Клавия
против Валлиса). — Leibnitius, Meditationes de natura anguli
contactus et osculi. Werke VII, стр. 326—329. De Geometria recon-
dlta et anaiysi indlvisibiiiura at Infinitormn, Werke V, стр. 226—283.

к книга ш 339
Таким образом, эти величины не подчиняются постулату
Архимеда, по которому для всяких двух веллчин а и Ь можно
найти такое л, что ля > #.
Определение 4 книги V «Начал!: «величины называются
имеющим-! отношение одна к другой, если, будучи взяты крат-
кратно, могут быть больше одна другой» — Клав нем разъясняется
в следующем смысле.
Отношения могут иметь только такие величины, которые
удовлетворяют постулату Архимеда. Полому отношение может
быть между двумя прямолинейными углами, но не может быть
между прямолинейным углом и углом касания.
Угол касания — это отец неделимого XVII в. и дед потен-
потенциально-бесконечно малого XIX в.
Ему присущи свойства неделимого:
1) С помощью конечного числа сложений из него нельзя
получить конечного угла (смешанного угла, не отвечающего
случаю касатя).
2) Он является низшей границей для частей деления непре-
непрерывной величины.
Но у Кардана и Клавия эти величины делимы и вполне
подчиняются аксиомам 1 и 2 пнищ I «Начал» Евклида.
Есла ш угол касания, то
а -\- w > а, а -\- 2ш > а, ...
Но если Ъ какой-нибудь другой конечный угол, то
а -\- и < Ъ, a -J- 2<а <&,...
Признать ю за величину с отнесением к классу величин
вместе с а и & Клавой смог, только обобщив понятие величины,
приняв может быть и незаметно для себя за величины и вели-
величины неудовлетворяющие постулату Архимеда.
Но то же мог бы сделать н Лелегарнй.
Он мог бы тоже при своей точке зрения назвать угол каса-
касания величиной и оперировать над классом величин, объемлющим
и угол касания. Но при этом он должен был бы признать:
1) неделимость углов касания н
2) невозможность заключения из равенства а-\-а = а, что
ю=0, вме-те с необходимостью вывода из а-\-<я=:Ь, что а=Ь.
Действительно, по Пелетарию угол касания неделим, далее,
углы, образуемые диаметром с окружностью, равны, хотя и от-
отличаются между сабой.
Для позднейших математиков исчезновение бесконечно ма-
малого перед конечным это тот принцип П), который являлся
17) Keplerus, Nova stereometrla doliorum 1615 Opera om-
nia, т. IV, стр. 537. Есть русский пер. Cantor, Vorles., т. И,
ср, 750 — Cavalieri, Qeonetrta indivlsijillum proiiota 1635
A653). Есть русский пер. Лурье, 1939. Exereitationes Geometticae,
1647. W a III si us. Arlthmertca Infmitorum, Opera Math. Oxonfae,
т. I, стр. J 647. — К I й g e I, Mathem. Worterbi-cfi; Cavalieri Mettiode,
22*

КОМЩНТЛРИМ
главным рычагом математической техники исчисления бесконечно
малых величин до Ньютона 18),
Корни свои эта идея опускает в метафизику. Уже в нача-
начале XV1H в, X. Вольф1В) так формулирует этот принцип: вели-
величина бесконечно малая в отношении конечной принимается за
ничто. Две величины с бесконечно малой разностью принимаются
за равные.
18. Проведение касательных к кругу. В современных
1 учебниках касательная к кругу строится иначе. Из А описы-
описывается круг радиуса АО, из О он засекается в точке В ради-
радиусом, равным диаметру данного круга, Полученная точка В
соединяется с О прямой ВО, пересечение которой с данной ок-
Черт. 1').
^-рт. 20.
ружностью даёт точку касания С, так что АС будет искомой
касательной {черт. 19).
В учебниках лежандрова типа употреблялось такое пи-
строение.
На АО как на диаметре описывается круг, тогда АС как
A583))
находится у Кдавия «>).
Проективная геометрия даёт возможность
задачу с тлпщью одной линейки.
Проведя через А две прямые, пересекающие круг в точка
В, С и D, Е, соединяем точки пересечения Р, Q прямых (ЕЕ
DC) и (DB, ЕС); прямая РО будет поляоой точки А: её neof
решать эту
руг в точках
о, l, н и, с, соединяем точки пересечения и, v прямых [ЕВ,
DC) и (DB, ЕС); прямая PQ будет полярой точки А; её пере-
пересечения с окружностью М и N дадут точки касания; AM и А V
будут искомыми касательными (черт. 21).
38) Н ыо т о н, Математические работы, пер. и коммент.
Д. М о р д у х а н-Б олтовского, 1937.
1Э) C/i, Wo If/ us, EJementa Matlieseos Universae, 1730,
!0) Clavius, см. прим. 14.

К КНИГЕ Ш
341
Эго построение было указано ещё Григорием Сан-Винцеи-
ти21) в 1647 г. и де-ля Хвром Sl) а 1679 г. Проведение касатель-
касательных, параллельных данной прямой, впервые встречается у Пеле-
тария.
Черт. П.
Приводя иа центров кругов параллельные радиусы ОМ || (УМ'<
определяем центр подобия Р в пересечении ММ'' с 00' и из Р
проводим касательную рТ к одному из кругов.
») Gr^gorio a. S. Vincent Io Opus Geometrtcum <ie
. quadratura cfrculi, Antverp., 1647.
**) Dc la Hire, Nouveaux elementsdes sections coniques et
ties lleux geometrlque*, Parts, 1679.

342
КОММЕНТАРИИ
Интересно отметить, что первый из математиков эпохи Воз-
Возрождения Кардан3S), решающий эту задачу, поступает иначе. Он
восставляет OQ перпендикуляр к 00' и откладывает уго i
/_QOT-= ?Pfi'O— ^P'PiG', под которым виден радиус ма-
малого круга из центра большего (черт. 23).
Учение о пситрах подобия развивается Чевой, а затем Рлк-
каш, Эйлеромг*).
20. Тангенциальные проблемы. Проблемы более сложные
о проведении кругов, касательных к прямым и кругам, были
разрешены ещё Аполлонием-?) в его не дошедшей до нас рабо-
работе, с которой знакомит нас Папп. Работа эта восстановлена бы-
была Виетой.
Решение задач Аполлония можно найти в руководствах по
геометрическим построениям, например, у Адлера.
Перечислим задачи, разрешаемые Аполлонием.
1) Найти круг, проходящий через лвс данные точки, касаю-
касающийся данного круга.
2) Найти круг данного радиуса, проходящий через данную
точку и касающийся данной прямой.
3) Найти круг данного радиуса, проходящий через данную
точку, касающийся данного круга.
4) Найти круг, проходящий через две данные точки, касаю-
касающийся данного круга.
5) Найти круг, касающийся трёх данных прямых.
6) Найти круг, проходящий через данную точку, касающийся
двух данных прямые.
7) Найти круг, касающийся двух данных прямых и данного
круга.
8) Найти круг, касающийся двух данных кругов и данной
прямой.
9) Найти круг, проходящий через данную точку, касающийся
двух данных кругов.
'10) Найти круг, касающийся трёх данных кругов.
Решения Виеты сильно отличаются от современных. В основе
их лежит теорема: если из общей двум окружностям точки А
проводятся прямые ЛЕВ, AFD, пересекающие их в (Е, F) и
(В, D) и при этом EF\\BD, то в точке А окружности касаются
друг друга (черт. 24).
История последней аполлониивой" проблемы о построении
круга, касателр,ного к трём заданным кругам, очень интересна.
Адриан Романус A551—1615) решает задачу с помощью
пересечения двух гипербол, от которых освобождается в своём
23) Gardanus, Opera, 1667.
») Eulerus, De centro siiniljtudinis. Nova Acta Petropoli-
tana, 9, 1791, стр. 154.
23) А р о 11 о п i u s, De tactlonftus, Pappus, Gollectiones. кн. Vll,
стр. 82. Реконструкция Виеты (Vieta, Apollonius Gallus) а у Cam-
tnerer'a (Apoilonif de taalonibus quae supersunt Gotliae, 1795).

К КНИГЕ Ш
343
Черт. 24.
решении Ньютон. Кроме Вчеты и Романуса, задачей занимаютсй
ДекартJ6), Эйлер") н Понслэ %
Решения Жергояна и БоЗилье можно найти в известном
учебнике Рушэ и Комберусс 2Э).
С геометрической точки зрения луч-
лучшим оказывается решение МанхеЙма.
Понслэ в своих Applications d'Atia-
Jyse et de Geotnetrle дает несколько ре-
решений задач Аполлония,
21. Выгнутые углы. По поводу
предложений 20, 21 о вписанных углах
можно сделать ряд замечаний.
Равенство углов в сегменте Евклид
устанавливает только для сегмента, огра-
ограниченного дугой больше полуокружно-
полуокружности. Комментаторы рассматривают слу-
случай, когда дуга меньше полуокружности. Дело в значительной
мере упрощается, если ввести понятие о выгнутом угле АОВ
наряду с обыкновенным BOA (что и делает Аустин).
Но понятие о таком выгнутом угле, измеряемом дугой
больше 180°, совершенно не вяжется с евклидовым определе-
определением угла (определение 8 книги 1) как на-
наклонения. Такое понятие может возникнуть
только при бертраповском (или арноль-
дианском) понимании угла как неопреде-
неопределённой части плоскости, ограниченной дву-
двумя пересекающимися прямыми, или угла
как меры поворота. Ко времени Снмсона
обе эти точки зрения уже проводились,
Симеон прямой AI, проведённой через
центр, разделяет вписанный угол (безраз-
(безразлично больший или меньший прямого)
на две части, из которых каждая опи-
опирается на дугу, всегда меньшую полуок-
полуокружности (черт. 25).
Следует ещё отметить, что в настоящее время глава о впи-
гаиных углах помещается позже измерений, связанных с поня-
понятием отношения.
Предложение 20 формулируется как теорема об измеряе-
чости вписанного угла половакой дуги, на которую он опирается,
в то время как центральный угол измеряется всей дугой.
зб) Descartes, Geometrie, J637. Русский пер. А. П. Юшке-
ви'-i, 1939. 3 v
г7) Eulems, см. прим. 24.
28) poncelet, Traite des proprietes projectives, Parts, 1822.
3f)Rouctie etCotn&erousse, Traite de geometrie ele-
nrentatre, Paris, 1866.
1ерт. 2-х

КОММЕНТАРИИ
рого сумма противоположных углов равна
сан в круг; доказательство можно найти
ментарных геометрических учебниках.
Черт. 26.
Черт. 27.
Теорема о вписанном в круг четырёхугольнике докалы-
докалывается Евклидом с помощью аксиомы о параллельных. Не
используя её, мы можем лишь доказать то, что сумма одной
пары противоположных углов равна сумме другой пары, что
легко видеть из прилагаемого чер-
чертежа, в котором все треуголь-
треугольники ОАВ, ОЛС, OCD, OBD рав-
равнобедренные (черт. 26).
C = (l+2)-f D-f 3),
Эта теорема абсолютная и
переносится па сферу.
Теорема Евклида о вписан-
вписанном четырёхугольнике воспол-
восполняется теоремой, отмеченной впер-
впервые Пито A695—-1777) об описан-
описанном четырёхугольнике.
Черт. 28. в каждом описанном че-
четырёхугольнике сумма одной
пары противоположных сторон равна сумме другой пары
(черт. 27).
Вии:анный и описанный четырёхугольники сыграли в исто-
истории геометрии важную роль.
Из метрических теорем следует отметить теорему Пто-
Птолемея о том, что произведение диагоналей вписанного четы-
четырёхугольника равно сумме произведений противоположных
сторон.

К КНИГЕ 11] 34,3
Из зрительных следует отметить теорему Ньютона (являю-
(являющуюся случаем вырождения теоремы Бриапшонз об описанном
четырёхугольнике) (черт. 28); она читается так:
Диагонали описанного четырёхугольника и прямые, со-
соединяющие пички касания, проходят через одну точку.
Клавий, Такэ и другие выводят из предложения 20 Евклид,!
невозможность вписанйя в окружность параллелограмма {понимая
последний в евклидовом смысле, т. е. не прямоугольник).
23. История смешанных углов Щ. В книге III «Начади Евклида
имеются две интересные загадки; определения 7 и 8.
Согласно определению 7 угол сегмента есть угол, кото-
который заключается м*жду прямой а обводом круга.
Этот смешанный угол не следует смешивать с углом в сег-
сегменте, о которой говорится и определении 8.
Согласно последнему угол в сегменте есть угол, который
образован двумя прямыми, проведёнными от точки на обводе
сегмента к концам прямой, служащей основанием сегмента.
Согласно определению 11 «подобные сегменты суть
сегменты, вмещающие равные углы, или сегменты, в которых
углы равны друг другу».
Но ни в одном из своих доказательств Евклид не поль-
пользуется смешанным углом.
Теорему 24 — подобные сегменты равны на равных пря-
прямых— Евклид доказывает на основании теоремы 23 (на той же
прямой и по ту же сторону не мог ут быть построены два сег-
менга подобные и неравные).
Весьма вероятна следующая гипотеза.
Сперва определением подобия сегментов было следующее;
«которые имеют равные углы», соответственно определению
подобия в книге VI «Начал» Евклида.
Теорема 24 о равенстве подобных сегментоз па равных
прямых доказывалась наложением (вроде предложения 4 книги I),
причём как в предложении 4 для прямолинейных углов, так
и здесь для смешанных применялась аксиома 7 книги I: «сов-
млцаюшиеся равны между собой», т. е. при равенстве углов
постулировалась возможность их совмещении.
Возражения против очевидности такого совмещения и выну-
вынудили произвести изменение, поставив на место определения (см.
вторую часть определения И) то, что раньше являлось теоре-
теоремой, непосредственно вытекающей из упомянутого положения.
Одним словом, по моему мнению, определение 7 это pvdu-
мтт, свидетельствующий о нроппой истории книги III <Начал>
Евклида. Взгляд Ваканти, что евклидово определение угла отно-
относится только к прямолинейному, и намёк на смешанные углы
есть позднейшее прибавление, следует признать неверным.
Щ Вив-аитн, Понятие о бесконечно малом и его приложа-
4 Математическое Образование.

КОММЕНТАРИИ
Первая часть определения 11 тоже рудимент, ио подверг-
подвергшийся некоторому перерождению, затушевавшему его прежнюю
историю.
До Евклида смешанный угол пользовался всеми правами,
но евклидова строгость в доказательствах, вызванная софисти-
софистической логикой, изгнала его из геомет-
геометрии. Схоластическая мысль вернула его
на сиену, чтобы через сто лет ои снова
сошёл со сцены и на этот раз видимо
уже на очень долгое время.
Смешанный угол последний раз вы-
выплывает в борьбе? математиков рациона-
рационалистов против доказательств наложе-
наложением.
Арзе31), стараясь избегнуть метода
наложения, развивает доказательство
теоремы 5 книги 1, даваемое Аристоте-
Аристотелем (Analyt prior. I, 23, 416, 13—22).
Черт, 29.
Доказательство, приводимое Аристотелем, основано на
аксюмах (черт. 29).
1) О равенстве двух углов сегмента ABB
2) о равенстве углов полуокружности
Помещая равнобедренный треугольник в круг радиуса ОЛ
^ ОВ, мы сейчас же получаем
l_ OBC = ? DBO — С ВВС
и по аксиоме 'А Евклида:
24. Типы апагогических доказательствЗг). Положением 27
заканчиваются апагогические доказательства книги III. Но в дру-
других книгах Евклид продолжает широко ими пользоваться.
Anai огическое доказательство Щ отличается от прямого тем,
что оно, наряду с математическими, пользуется и логической
аксиомой, которой не пользуется прямое.
si) Arzet, Clavjs Mathematlca, 1634; Arlstoteles, Opera,
ed. Didot Analytica Priora, кн. I.
S') Lambert, Neue Organon, т. I, 1764.
33) Об апагогических доказательствах см. тате Ch. Wolff,
Logica, § 356.— Д. М о р д у х а Р,-В олтовской, О ненатураль-
ненатуральные и апагогических доказательствах, Математическое Образова-
Образование, 1929»

К КНИГЕ Ш 347
Всякое апагогическое доказательство предполагает приложе-
приложение закона исключённого третьего (tertium поп datur): имеет
место только <Л> или «не Л».
Следует доказать <Л>. Предполагается, что имеет место
<не А» и'отсюда выводится абсурд — отрицание верного положе-
положения <?> — <:не С». Таким образом, уже в начале доказательства
утверждается альтернатива: «Л> ичн «не Аз и ничего третьего.
Обратно, еслп в начале или в самом ходе доказательства
применяется закон исключённого третьего, то или доказательство
ведётся от противного, или такое доказательство содержится
в доказательстве как составная часть.
В самом деле приложение его предполагает в начале или в
ходе доказательства альтернативу.' *?» или «не fls, и снятие од-
одного члена альтернативы путём доказательств его невозможности1.
Если снимается «не В* тем, что «не ?> приводит к «не Съ,
к отрицанию заведомо верного положения, то можем сказать,
что положение доказывается апагогически. Если снимается В, то
имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.
Заменой ? через (не ?) мы получаем его в чистой форме: «не ?>
доказывается приведением <не (не ?)> к «не — С* (абсурду).
Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд
может быть трёх родов:
1) Противоречие с уже признанной аксиомой (Quod est absur-
dum) или с уже доказанным положением или определением.
2) Противоречие с условием теоремы. Quod, contra proposi-
tionetn est demonstration.
3) Противоречие со сделанным предположением. Quod fieri
neqult.
Чтобы яснее и глубже вншшугь в конструкцию каждого из
этих типов доказательств, мы ограничимся рассмотрением только
простых апагогических доказательств с единичным приложе-
приложением закона исключённого третьего в самом начале:
Доказать А: предположим «не Л>—>¦ абсурд. Первый тип
является типом разомкнутого доказательства.
Если принять обозначение
«Если ?, то А» через «?, Л»,
то можно для первого типа наметить схему
В, А; «не Л»;—> не С.
В «Началах» Евклида пример такого простого разомкнутого
доказательства даёт приложение 27 книги I: о параллельности
при равенстве накрестлежащих углов. Отрицание приводит
к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника
Aб: , г. е. предложение 16 книги 1).
К этому же т#пу принадлежит предложение 10 книги Ш
о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрица-
Отрицание приводит к противоречию с предложением 5 книги Ш о не
существовании у пересекающихся кругов общего центра,

343
КОММЕНТАРИИ
Доказательство предложения 12 приводит к противоречию
С 20L , первая половина 16 с \71 , 23 с 16L , 24 с 10ш.
Примеров простых разомкнутых доказательств, приводящих
к отрицанию аксиом, очень много.
S' Евклида обычно такой аксиомой является 8 книги I: <це-
лое больше частив (или вернее «меньшее не больше большего*),
причем доказательство носит полуинтуншвный характер.
Таковы доказательства предложения 2щ о том, что прямая,
соединяющая две точки окружности, лежит внутри круга, пред-
предложения 5 о том, что два пересекающихся круга не имеют об-
общего центра, предложения б (тоже для касающихся кругов),
11 о прохождении линии центров через точку касания кругои
и, наконец, 18 и 19.
Следует отметить здесь предложение 36 книги VII о том,
что наименьшее числи, содержащее простые числа А, В, есть
произведение А X В — отрицание приводит к тому, что меньшее
число содержит большее; к тому же приводит и отрицание
предложения 1 книги VIII.
У Евклида часто противоречие оказывается с определением.
По сущхтву это доказательство мало отличается от тоги,
в котором противоречие упирается в аксиому, ибо, как мы ви-
видели, определения Евклида, логически действующие, представ-
представляют только более очевидные аксиомы.
Противоречие с определением прямого угла имеем в 16Ш
с определением круга в 18Ш.
Второй тип апагогического доказательства — замкнутый на
условии В, А; В, «-не А»—> ^не В*.
Если В, то А. Полагаем, что при В «не А», и выводим, что
тогда обязательно имеет место не В, что противно условию.
Пример (предложение 25 книги VII). Если два числа взаимно
просты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно
простым с другим.
Отрицание приводит к признанию данных чисел ни
взаимно простыми.
Такова часть доказательства 13Ш предложения —в первой
части имеем противоречие с определением, во второй противоре-
противоречие с условием.
Третий очень редкий тип — замкнутый на заключении', здесь
могут быть два вида:
Первый вид:
В, А -+Я, «не А>—+А.
Этот тип встречается у Евклида только один раз, а именно,
в доказательстве предложения 12 книги IX «Начал».
«Дано несколько непрерывно пропорциональных чисел,
А, В, С, D; я утверждаю, что всякие простые числа, делящие D,
будут делить и Л>. , .

К КНИГЕ Ш &¦+"
Говоря современным языком— даны члены геометрической
прогрессии
Следует доказать, что Е простой делитель D, делит так-
также и А.
Евклид предполагает противное, что Е не делим А и опро-
опровергает зго предположение выводом из него, что Е дглат А.
Этот редкий приём употребляется и Саккери в его «Euclides
ab omni naevo restf tutus» при его попытке доказать постулат 5.
Черт. 30.
ер г. '6\.
Саккери принимает 26 первых предложений «Начал», до-
допускает предположительно ложность 5 постулата и старается
вынести для этого положения верилль этого постулата.
Второй вид: замкнутый не в начале.
Из не А извлекаются двумя путями два противоположных
заключения: Я и сне ?"».
Схема его;
В —* не А — > Е,
Б—vne A—v «не Я».
Пример: предложение 7 книги I. Если концы прямой АН
соединить с точками С и D по одну её сторону, то расстоя-
расстояния СА и СВ точки С от А и В не могут быть равны каж-
каждое каждому расстояниям DA и DB точки Dot An В (черт. 30}-
AD=AC, ^ACD^^ADC, ?BCD<?BDC;
BD — DC, ? В DC — / BCD,
что противоречит предыдущему.
25. Дуги между параллельными секущими. Теорема о том,
¦по дуги между параллельными секущими равны, принадлежит
Паппу
Югавий даёт это положение в виде королларня и, кроме
того, отмечает следующее положение из сочинения Кардана
«De subtilitate», которое нетрудно будет доказать 1черт. 31).

350
КОММЕНТАРИИ
Если разделить окружность на равное чисто частей
AA^ = A±A2 — A2AS —...
С С\ ^~- C\Gi = СчСд =¦,,.
к провести пряные А\С, A2Ci, ASC2, то эти прямые вырежут на
диаметре отрезки, равные этим хордам.
26. Теорема Фалеса. Положение о том, что угол, опираю-
опирающийся на диаметр, прямой приписывается Фалесу.
Оллмэи старается убедить
в том, что Фалесу было известно,
что сумма углов в треугольнике
равна двум прямым. Если это
так, то весьма вероятно, что
вывод теоремы об угле, опираю-
опирающемся на окружность, был таков,
как это указывает Оллмэи
(черт. 32).
Обозначив углы при диаметре
через 1, 2, а части угла АСВ, на
которые он рассекается радиусом ОС, через 3, 4, получаем, с
одной стороны (по предложению 5 книги I),
с тругой стороны,
Ганкелю 3)) представляется более вероятным обратный путь
от положения о равенстве угла, опирающегося на диаметр,
прямому, к положению о равенстве двум прямым углов в прямо--
угольном треугольнике, а отсюда к предложению 32 книги I
«Начала Тогда положение об угле, опирающемся на диаметр,
чолжно было быть принято как нечто непосредственно оче-
очевидное.
Следует думать, что и другие положения Фалесом ие дока-
доказывались, а Просто показывались на чертеже.
st) H a n k e t, Zur GescUichte der Mathetnatik in Alterthum imd
Mittelalter, Leipzig, 1874.

к книг к ш -toi
27. Случаи вырождения. Евклид выводит, что ,/3=^1
на том основании, что согласно предложению 31 ^4 = rf и по-
потому (по предложению 32 книги 1)
/ 1 4- Z 2 = rf,
но также и
Z34-Z2^rf.
В настоящее время мы замечаем, что
? 2^Z3 = rf=~ 2rf, ?2~~АОС,
? з = ~ Brf - z лос) = i z сое,
т. е. угол, образованный касательной и хордой, равен половине
соответствующего центрального угла, а потому равен вписан-
вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
'Это положение с точки зрения актуально-бесконечно ма-
малого могло рассматриваться как частный случай предложе-
предложения 20. В самом деле, с этой точки зрения касательная мысли-
мыслилась как секущая, проходящая через две точки с актуально-
бесконечно малым расстоянием.
С точки зрения пот*нцаалъно-бгсконечно маюго, т. е. пре-
предела, это положение мыслилось как предельный случай 20-го
или как его вырождение.
В основу вывода должен был встать основной принцип тео-
теория пределов: то, что остаётся неизменным при всём измене-
изменении п°.ремлнных х, у, г,... остаётся и в пределе.
По существу к нему сводится и знаменитый принцип непре-
непрерывности Понслэ в первой своей части: если нгкотэрое положе-
положение име?т место, когда некоторые величины a, |J, ft... не
равны нулю, бесконечности (или не становятся мнимыми),
то положение это верно а е том случае, если эти ограниче-
ограничения сняты.
Именно с помощью этого принципа мы переходим от пред-
предложения 20 к 32.
У Евклида иет теоремы, входящей во все наши учебники
о том, что угол, образованный двумя прямыми, пересекающимися
внутри круга, равен полусумме центральных углов, опирающихся
на те же дуги, и такой же теоремы для случая точки пересече-
пересечения вне окружности, в которой сумму следует заменить раз-
разностью.
Теоремы об углах с одной или двумя касающимися окруж-
окружности сторонами представляют тоже случаи вырождения и уста-
устанавливаются на основании того же принципа непрерывности".
28. Предложение 35. Доказательство этого предложения
в издании ГеЙберга дается для двух случаев:
1) Когда хорды пересекаются в центре л

S52
КОММЕНТАРИЙ
2) когда не пересекаются в центре.
В других изданиях Евклида приводится деление на четыре
части:
1) Обе хорды совпадают с диаметром.
2) Одна хорда представляет диаметр, другая ей перпенди-
перпендикулярна.
3) Одна—диаметр, другая ей не перпендикулярна.
4) Оощнй случай.
29. Степень точки. Степенью точки А (внутренней или внеш-
внешней) называется произведение отрезков АВ-АС секущей, прове-
проведённой из А к окружности.
Предложения 35, 36 выражают независимость степени точки
А от направления секущей. ___
В том случае, если точка внешняя, то АВ 'АС^^АТ2, где .47" —
касательная, проведённая кз точки А к окружности (черт. 33).
С помощью этой теоремы
производится построение средней
nponopUiioiiu-'ibitoH, так как
АВ
AT
АС'
На прямой, проведённой че-
через А, откладываются АВ = а
и АС = Ь, прлгодигся через В а
С какой-нибудь круг, и к нему
касательная AT
(ерт. 33.
30. Предложение 36 и начало буквенной алгебры. Теорема
36 даёт возможность геометрического вывода формулы для ре-
решения квадратного уравнения.
TaKoii вывод делался арабски, а затем европейскими математи-
математиками эпохи Возрождения с помощью предложений 28, 29 книги VI.
Но Гетальди35) яспользует для этой цели предложение 36
книги III.
Ознакомимся кстати с символикой буквенной алгебры в её
ранней стадии развития.
Как Виета, Гетальди пишет квадратное уравнение л2 -\-bx~c
.в форме
AQ-\-В in А ащ. ZQ,
т. е. А в квадрате (вместо х берётся гласная буква) плюс В, умно-
умноженное на А, равны Z в квадрате {z берётся в квалр .те для од-
однородности членов, что предполагается геометрическим смыслом
уравнения).
Э5) М а г i n u s G h e t a I d ч s. De resolutione et compositions
mathematica, Romae, 1640.

К КНИГЕ Ш
353
На прямой СА откладываем СВ, равное коэффициенту В
(черт. 34); СВ делится в D пополам. Описывается из С окруж-
окружность радиусом CD и проводится DE X С А, причём отклады-
откладывается DE—Z.
Соединяем ? с С и про-
продолжаем ЕС до пересечения с
окружностью в G, так что
В
С одной стороны, на осно-
основании предложения 36
EH(Eff+HG)=ED*
или в обозначении Гегальди
AQ + BlnAaeq.ZQ, врГ'
с другой стороны, длина СЕ как гипотенуза равна
йлй в нашем обозначении
и НЕ aeq у [BQ—
обозначении
31. Доказательство Клавия предложения 36зэ>. Клавий сво-
сводит предложение 36 к 35 и ещё к лемме (которой нет у Евклида, но
которая приводится многими комментаторами), что отрезки секу-
секущей между двумя концентричными кругами равны
и что отрезки касательной между ними равны и делятся точкой
касания пополам (черт, 35).
Для приведения предложения 36 к 35, сперва через точки А
и мнтр Р круга проводится прямая АИ и проводится в D
С 1 a v i ц «, см. прим. 14.

854
КОММЕНТАРИИ
касательная, пересекающая в точках К, L круг, описанный из F
радиусом FA (черт. 36).
Тогда, замечая, что AD-=E/i, на основании предложения 35
Черт. 35.
имеем AD-DH=fCD-DL = AB-Bf=AB* и затем AD-AE— ЛЯ2.
Дальше, проводя секущую ACN, получаем:
AC -AN= ОС-CM = /CD- Kl = АВ\
32. Теория траиверсалей3?).
Предложения 35 и 36, можно сказать, являются первой тео-
теоремой теории транверсалей, которая получает развитие у Карно Щ
и Понслэ.
Ближайшим обобщением этой теоремы является теорема Апол-
Аполлония о хордах конического сечения, по которой (черт. 37)
МА-МВ_М'А'-М'В'
MC-MD~~ M'C'-M'D'
что MA |] М'А' и МС \\ М'С, которая имеет
очень важное значение в его «Конических
сечениях>. Эта теорема, в настоящее время
отодвинутая на второй план, играет сущест-
,, венную роль в развитии аналитической гео-
^ метрии конических сечений у Эйлера. Даль-
Дальнейшим обобщением является теорема Нью-
Ньютона (для алгебраических кривых вообще), по
которой, если кривая пересекается в точках
А], А2,..., Ап, Bi, В2,..., Вп парой прямых, сохраняющих своё
направление, то ' р1'^1»2¦'¦'¦' ^^consl, н не зависит от поло-
положения точкиМ.
з1) РареНег, Les exerclces de geora^trie raoderne. Transver-
sales, Paris, 1912. — С e v a, De linels rectis se invicem secantlbus sta-
tica constructio.
») CarnQt» U geometrie de position, Paris, 1803,

К КНИГЕ III
355
Следующим шагом является теорема Карно,
Пересекая треугольник ABC алгебраической кривой в точках
аь а2, аъ..., Ьх, b2> bs сь сг, cs,..., мы имеем
~Abv~Ab2...rAbn ^ Са1Саг...-7Гап ^ Bcv~Bcr...-Bcn _ f{ \л
ChvChr...-Cbn Ba1?ar...-Ban A~cvAcr. ..-A~cn ~\
(черт. 38, 39).
Частный случай, относящийся к кругу, выводится очень просто
>сиованин положений Евклида. Для этого
на ос]
множить почленно равенства
достаточно пере-
перег^Ас1- Ас».
Всг-Вс2 ^ВпуВа^.
Следует отметить, что теория транверсалей развивалась сперва
в направлении теории транверсалей треугольника.
r->
Черт. 3S.
Черт. 39.
В основе её лежат теорема Менелая (около 80 г. до н. э.)
и теорема Чевы. Первая даёт при пересечении сторон треуголь-
треугольника ABC прямой в точках а, [1, f
аС
51= _1 (черт. 40).
М
Вторая при пересечении сто-
сторон прямыми, соединяющими точ-
точку О с вершинами в «,?,'(:
Обе эти теоремы обращаются
и дают условия, необходимые н
достаточные, чтобы три точки а, р,
или три прямые Аз, йр, Cf пересекались в одной точке.
Обе теоремы выводятся элементарным путём.
21*
Черт. 40.
лежали на одной прямой

356
КОММЕНТАРИИ
Нетрудно видеть, что теорема Менелая представляет част-
ный случай теоремы Карно (когда алгебраическая кривая первого
порядка).
32. Сферическая геометрия. Некоторые теоремы, а именно,
те, которые не зависят от аксиомы параллельных 1 и III книг,
имеют место и аа сфере, если вместо прямых брать большие
круга.
Эти георемы доказывает Феодосииа9) б своих Элементах
сферики.
Черт. 41.
Едва ли Феодосии сознаёт, гпчему ему удаётся найти соответ-
соответствующие аналогии на сфере, а также и то, что среди предложений
книги III остается ещё много абсолютных, которые могут быть
перенесены на сферу. К их числу принадлежат предложения
книги III: 1—I9, 25, 28—SO.
При этом 11—12 сливаются в одно, а 15, 26, 27 переносятся
на сферу с ограничением, чтобы линии пе превосходили — боль-
большого круга. Но 20, 21, 22, 31—36, как записящие от аксиомы
о параллельных, на сферу уже не переносятся,
89j Theodosli, Sphaerlcorum librl III a Clavlo lllustrati
(в «Ореге>). Есть немец, перев. Nizze,

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV
1. Проблемы о хордах. Очень простая задача, разрешаемая
Евклидом в предложении i, является первой в ряде постепенно
усложняющихся проблем.
Задача построить в круге хорду данной длины является за-
задачей неопределённой. Чтобы это сделать вполне определённо,
достаточно зафиксировать один ей конец на окружности. Вполне
Черт.
естественен переход к случаю, когда гс [ка, через которую про-
проходит секущая, бер2тся вне круга. Такая задача решается Паплом :).
Основываясь на том, что" хорды данной длины CD касаются
круга, концентричного данному, который нетрудно построить, он
проводит к этому последнему касательную АВ из данной точки
М (черт. 1).
Тот же Папп1) решает и другую проблему о проведении
хорды дайной длины параллельно данной прямой.
1) Р а р р i Alexandra nl, Collectlones, ed. Hultsch, Bero-
Hn], 1877—1878. Enriques, GU EJementi, т. IV, стр. 269 A2).—
Anarltil, Co'iimentarii, ed. Cnrtze, Up^iae, 1399, стр. 139,

358
КОММЕНТАРИИ
Нетрудно видеть, что хорда, равная EF, получается, если, раз-
разделив EF пополам, в обе стороны от центра О по диаметру от-
отложить 0С=1Е и OD — IF и восставить к диаметру KL перпен-
перпендикуляры AC u SO до пересечения с окружностью в точках А, В.
[черт. 2).
Эти построения имеются и у Комыандина н у К.чавия.
в
Черт, 2.
2. О вписанном треугольнике. Задача, разрешаемая в этом
предложении, находит себе применение дальше только в отноше-
отношении равностороннего треугольника (предложение 16 книги IV).
При неопределенности одной вершины задача неопределённая.
Эта задача, так же как и предложение 1, открывает путь
тоже к ряду постепенно осложняющихся проблем.
Панн разрешает задачу о вписанном в круг треугольнике,
стороны которого проходят через три точки А, В, С, лежащие
на одной прямой.
Её естественным обобщением является задача, предложен-
предложенная Крамером2) и разрешённая Кастильоном 3) A708—1791) в 1776 г.
даны три точки А, В, С и круг, вписать в него треуголь-
треугольник DEF такой, чтэ каждая сторона проходит через данную
тэчку (черт. 3).
а) Предположим, что проблема разрешена и DEF искомый
треугольник.
Проводим GF\\BC, соединяем GE и продолжаем до И.
Тогда / D= 2.G и потому / ЕМВ^= / D, и Д8А/?" подо-
"дик угол Г
/,Z у
бен /\BDC, так как у нкх общн
ПОЗТОМУ §" = §§, „1К
В и /,fi=
2) Задачу С г а ш е г' а см. F. G. M., Exerclces de Geometrle,
Paris, 1912, стр. 21.
3) С a still Ion, Sur un probleme de гёояШе plane, Nouv.
MeTi de 1-Acad. de sc, 1776, Berlin, 1779, стр. 265—283,

К КНИГЕ IV
353
Далее, если проведём к кругу касательную- ВТ:
BE- BD = ВТ*
Это выражение позволяет нам построить точку //.
Черт. 3.
6) Задача теперь сводится к следующей: провести из данных
точек Н и А прямые к некоторой точке ? окружности так, чтобы
GF \\ ВС.
Проведём FL || АИ и соединим GL.
Пусть М— точка пересечения HAzGL, Мы определим поло-
положение этой точки.
Замечаем, что ДМОНоп{\ЕАН (ибо Я—общий угол и
угол М равен углу Е, так как оэа угла дополняют угол L до 2d>-
Поэтому
ИМ.
ТГЁ'
_ио
- НА'
HM_HB-HG _HU*
~ АН ~ АИ '
где HU— проведенная из Н касательная к окружности.
Таким образом, положение М известно, с другой стороны
в) Нам остаётся решить задачу о проведении через точку М
секущей-MGL такой, что угол GFL равен углу, образованному
данными- прямыми АН и ВС.

360
КОММЕНТАРИИ
Эту последнюю задачу рассмотрим на отдельном чертеже-
Для того чтобы провести через М хорду, на которую опи-
опирается угол, равный данному, следует построить где-нибудь та-
такую хорду ED и затеи провести к кругу, концентричному данному
и касателыкшу к ED, из М касательную MOL (черт. 4).
3. Описанный треугольник, Пелетарнй и Борелли сперра
рписывают треугольник PQR (черт. 5), а затеи проводят каса-
касательные, параллельные его сторонам
Ш Ц PQ, ?Л' || PR, MN\\ QR.
Так как параллельно данной прямой можно провести две
касательные, то будем иметь всего 8 решений, среди которых
м
Черт. 5.
вчгсте с описанным в узкой смысле, т, е. заключающем в себе'
круг (два треугольника), будут ещё вне описанные треугольники,

К КНИГЕ IV '¦ 361
т. е. одной лишь стороной касающиеся круга (шесть треуголь-
треугольников),
4. Вписанный круг. Задачу эту Евклид решает обычный
в настоящее время путём, проводя биссектрисы углов. Из са-
самого посгроения следует, что биссектрисы пересекаются в одной
точке.
Это положение является условно абсолютным на не евкли-
ловой плоскости и его следует формулировать так: если биссек-
биссектрисы пересекаются, то пересекаются в одной точке.
Р, Симеон замечает необходимость доказательства их пере-
пересечения и выводит это из того, что сумма углов ЛВС и
АС В, а тем более DBC и DCB меньше Id (черт, 4 к предло-
предложению 4).
Если вместо внутренних биссектрис будем проводить внеш-
внешние (т. е. биссектрисы внешних углов треугольника), то получим
ещё три решения (вне вписанные круги, извне касающиеся дан-
данного треугольника) и вместе с тем убедимся, что две внешние и
огпа внутренняя биссектрисы пересекаются в одной точке.
Отсюда непосредственно следует, что удвоенная площадь
треугольника ЛВС равна периметру 2р; умноженному на радиус
вписанного круга.
В самом деле, ЛВС разлагается на три треугольника ABD,
ADC, BDC с шощэдями, равными -!¦ АВ DEt — AC DII,
-BC-DI.
5. Особенные точки в треугольнике. Евклид ничего не гово-
говорит об особенных точках в треугольнике. Из предложения 3 он
не делает вывода, что три биссектрисы пересекаются в одной
точке, из 4-го, что перпендикуляры к серединам сторон пересе-
пересекаются в одной точке. Понятия об ортоцентре как точке пере-
пересечения высот треугольника у Евклида нет.
Четвёртой особенной точкой является центр тяжести тре-
треугольника—точка пересечения медиан. Интересно отметить, что
эта теорема является абсолютной, хотя её элементарное доказа-
доказательство основывается на теореме подобия и потому на аксиоме
о параллельных.
Геометрия треугольники исследует свойства этих особенных
точек ¦*).
К упомянутым выше следует присоединить еще точку Ле-
муана как пересечение симмедиан, т. е. прямых, симметричных
медианам относительно биссектрис.
*) Archimedes, Opera oranla, ed. Helberg, 1910—1913. Ub-
rl assumptorum, Lemma V.—Pappi, Collectiones, кн. VII, стр. 62,
ed, Hultsch, стр. 761 A).— Gauss, Werke IV, Gottittgen, 1873,
стр. 396. — T г о p f k e, Geschichte der Elementarma*hematik,
т. IV, Borlta, 1923, стр. 165 B1).

862
КОММЕНТАРИИ
Шесток точкой является точка Жергонна 5) как пересечение
трёх прямых, соединяющих вершины с точками касания вписан-
вписанного круга на противоположных сторонах.
Теорема о пересечении таких прямых в одной точке выво-
выводится как частный случай теоремы Бриашиона е); возможны и
элементарные доказательства.
Особенной прямой в треугольнике является прямая Эйлера,
соединяющая ортоцентр с центром описанного круга.
Эйлер доказывает, что на одной окружности лежит 9 точек:
середины сторон, основания высот н середины прямых, соединя-
соединяющих вершины с ортоцентром. Центр этого круга лежит на пря-
пряной Эйлера посредине между ортоцентром и центром описанного
круга,
6. Построение правильного пятиугольника. Птолемей,
а затем Дюрер *) дают иные, чем у Евклида, построений сторон
правильных пятиугольников н десятиугольников.
Черт. 6.
.ерт.
Птолемей радиус ОА делит в С пополам и радиусом CD
описывает окружность до пересечения с диаметром ЛВ в точке
/ (черт. 6).
Тогда 01 есть сторона правильного десятиугольника, a ID —
правильного пятиугольника.
Дюрер даёт приближённое построение пятиугольника с по-
помощью циркуля постоянного раскрытия, которое он заимстоует
*) Qergonne, Annales Math., ар. 1, Nisraes, 1810—1811,
стр. 17.
е) Brianchon., Journal de i'Ecole Polyt., гл. XIII, 1810.
*) Dtirer, Underweijeung der Messung rait den Zirkej, Niirn-
berg, 1527. —Cantor, Vorlesung itoer Qesch. d. Math-., т. II,
стр. 226, 462.

К КНИГЕ IV. ' 363
из Geometria D^utscii3}. Берётся отрезок ab, радиусом ab из его
концов описываются окружности, пересекающиеся в с и d (черт. 7.)
Из d описывается окружность, проходящая через точки а,Ь
и пересекающая две первые окружности в точках / в g. Соеди-
Соединяя f a g с серединой I прямой аЬ к Егроводя // и gl, получаем
на этих окружностях точки h, k. Принимаем ha, ab, bk за сто-
стороны пятиугольника; описывая же из h и k окружности радиуса
ab, получаем и две последние стороны пятиугольника hi, ki,
7. Правильный пятнадцатиугольник. Источник интереса
древних греков к правильным многоугольника и и многогранни-
многогранникам метафизический.
Корни его следует искать у пифагорейцев, по взглядам ко-
которых все мировые явления представляют обнаружения различ-
различных числовых законов и связанных с ними геометрических форм.
Возможность деления плоскости на правильные треугольники,
четырёхугольники и шестиугольники имела важное метафизичес-
метафизическое значение в их мировоззрении.
Правильные многогранники имели ещё большее значение:
агомам четырех основных стихий; земли, воды, воздуха и огня
приппсывачи формы правильных многогранников: тетраэдра, куба,
октаэдра и икосаэдра, которые потом пополняются позже откры-
Tbivi додекаэдром, форму которого приписали пятэй стихии —
эфиру.
В стереометрических книгах «Начал» мы увидим, какое значе-
значение для Евклида имели правильные многогранники.
Гранями правильных многогранников являются; треугольник,
квадрат и пятиугольник.
В планиметрической части «Начал» об этих многоугольниках
даются сведения, которые затем используются при построении
правильных многогранников.
Но почему внимание математиков остановилось ещё па пра-
правильном пятнадцатиугольнике? Они заметили, что дуга угла на-
наклонения эклиптики к эхватору представляет пятнадцатую часть
окружности, т. е. дугу, стягивающую сторопу правильного пят-
надцатиуголышка.
Построение пятнадцатиугольника, т. е, деление окружности
на 15 равных частей, сводится к делению окружности на 3 к на
5 равных частей 9>.
8. Семиугольник Щ. Уравнение третьей степени (не приво-
приводимое и поэтому указывающее на неразрешимость с помощью
8) Geometria Deutsch. Lineal oder Richtscheid. 1435.
9) Gardanus, Opsra lVf 1667. Opus novum de proporiloni-
bus, стр. 492. — Cantor, Vorles., т. И, гл. 65.
«) Federlgo Enriques, Gli element! d'EucIide e la critica
antlca e moderna, Roma, 1925. Libro quarto per cura di Amedeo
Agostini. Woepke, I'Algfcore d'Omar Alkhayaml. стр. 125—
127.—Ващенко-За харченко, История математики, Киев,

364
КОММЕНТАРИИ
циркуля и линейки), лэюшее сторону правильного семиугольника,
выводится Феррари на основании теоремы Птолемея (черт. 8).
Взяв семиугольник ABCDEFG и полагая ЛЯ= i, а ВС~х, из
четырёхугольника ABCD получаем
ва=восА-\-лв ос
или
х-- = I 4- DC.
Из четырёхугольника же
BCDE имеем
откуда
i = BC-DE+BD-CE
tT~lf — x DE-\- 1,
Мер]. 8.
Ho DF,=DC (так как это
хорды, стягивающие равные дуги),
поэтому:
Зная АВ и ЙС, построим треугольник- ВАС с данным осно-
основанием ВС и вместе с тем угол в семиугольнике, с помощью
которого нетрудно построить и сам семи-
семиугольник.
9. Девятиугольныйп). Сторона правиль-
правильного девятиугольника не может быть построе-
построена с помощью циркуля и линейки. Задача эта
сводится алгебраически к неприводимому ура-
уравнению третьей степени
*э 4-1 = Зд\
корни которого ие могут быть построены при
помощи циркуля в ллнеикн. Приведение задачи
к кубическому уравнению было сделано впер-
впервые арабский математиком Абул-Джуда.
В современном обозначении решение Абул-
Джуда получается при помощи следующих
рассуждений.
Пусть АВ (черт. 9) будет сторона правиль-
правильного девятиуголькика, вписанного в круг.
Примем ее 'за основание равнобедренного
треугольника, вершина С которого будет на-
находиться на окружности. Нетрудно видеть, Черт. 9-
что угол при С будет равняться 20°, углы же
А и. В при основании будут по 80°. Опустим из А перпенди--
) См, Enrlques, стр. 316 (прим. !0).

К КНИГЕ IV 365
куляр АО на ВС и построим AD = AB; тогда ABD будет
треугольником, подобным ABC, и угол C\4D будет равняться 60°.
Если мы построим ED = AD, то треугольник ADE будет равно-
равносторонним, а угол CDE, ка< нетрудно видеть, будет равняться 40°.
Если мы еш> раз построим EF-=ED, то в равнобедренном тре-
треугольнике EDF углы при основании будут по 40°. а угол при
вершине Е будет равняться 300°. Отсюда следует, что угол CEF
равняется 20° и треугольник CEF будет равнобедренным и
EF = Cf. Опустим перпендикуляр FK\ тогда треугольники CFK
и АОС будут подобными.
Положим АВ=х и АС=ВС=1. Из подобия треугольни-
треугольников CKF и АОС имеем
CF__CA х ___!_
Но ЕС = 2СК. а СО
1
/?С 1 4- CD'
Составляя производную пропорцию и помня, что х-\-ЕС = АЕ-\-
-\-ЕС=\, получим
Из подобия треугольников ABC и ABD кмеем
Значит, CD = AB — BD—l— x~ и для определения х мы при-
приводим к уравнению:
л-C—л:3)^:1,
или
хз 4-1 = Здс
Герон!2} даёт приближённое выражение стороны девяти-
угольника, а именно, две трети радиуса, откуда выводится при-
приближенное построение с помощью пиркуля и линейки правиль-
правильного девятиугольника.
Взяв круг ABC и описывая окружности bad, dac, cab из то-
точек Л, В. С, делящих окружность на три разные части, получаем
то, что Дюрер называет рыбьим пузырём.
«) Н е г о n i s, Geom. et Stereom.. ed. Hultech, Berollnf, 1884,
стр. 134, 206, 218, 219.

866
КОММЕНТАРИИ
радиусом я2 круг; прямая, соединяющая точки е и / пер
чеиия его с дугами аеЬ и afb, представляет сторону прави
ного девятиугольника вписанного в малый круг
го с дугами аеЬ и afb, представляет
ятиугольника, вписанного в малый круг
Теорма о вписываемом и описывае
тиугольника, вписанного в малый круг.
еорема о вписываемом и описываемом правильном
многоугольнике. У Лежандра, а затем и во всех наших учеб-
учебниках, доказывается возможность вписания правильного много-
С
\
Черт. 10.
Черт. II
угольника с любым числом сторон в круг. G евклидовой гочки
врения Лежандр доказывает только то, что если правильный мно-
многоугольник существует, то существует окружность, проходящая
через все его вершины.
Но в евклидовом смысле Лежандр не доказывает существо-
существования правильного многоугольника; это достигается только по-
построением в данном круге с помощью циркуля и линейки пра-
правильного многоугольника. Это делает Евклид для трех-, четырёх-
няти- и шестиугольников.
В настоящее же время доказало, что это возможно для сем-
вадцатиугольника 1а).
Вообще, если число сторон п простое, то это возможно лишь
при n=-i2"»-f*b причем т~2Р.
«) Gauss, Disqulsitlones arlthmeticae, GSttingen, 1795, Werke,
т. II, стр. 120, — Klein, Lecons sur certaines questions de geome-
geometric elementalre tr. par Gries, Paris, 1895.— Vahlen, KonstniUti-
onen tmd Approslmatlonen, Leipzig. — Tropfke, Oeschichte der
Element arma them a tlk, т. IV, Berlin, 1923, стр. 193.

К КНИГЕ IV 867
Упомянем практический приём деления окружности на п ча-
частей (к чему сводится построение правильного я-угольника).
Приём Бионак) состоит в том, что на диаметре круга стро-
строится равносторонний треугольник ABC, диаметр делится на п
равных частей (черт. И).
Соединяя вторую точку деления с вершиной С, мы, продол-
продолжая G2 до пересечения с окружностью в D, получаем Аи как
/мо часть окружности (на чертеже дано построение стороны АО
девятяугольника).
Теория многоугольников развивается Мейстером {1724— 17SSJ
и Мёбиусом A796—1868). Наиболее подробные сведения имеются
у Брюкнера (BrUckner)»).
-14) N. Bioh, Traite" de construction et des principal usages
des instruments de mathematiques. -~ Cantor, Vorles., т. II,
стр. 672. — P r e s s 1 a ti d, On the history of certains geom. appro-
approximations. Proceedings of the Edinburgh Mat. Society, т. X.
15) Bruckner, Vleiecke und Vielflfiche, Theorie und Geschl-
chte, Leipzig, 1864.

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ V
1. Отношение н схоластика. Евклидово определение отно-
отношения, так же логически не действующее, как его определение
точки, линии, поверхности и прямой.
Математическое откошенне (количественное) в этом опреде-
¦ лении подводится, как вид, под род — общее понятие, которое
на русском языке мы называем тоже отношением (в общем смы-
смысле) а на латинском relatlo.
Аристотель1) говорит: ^Отношение является то отношением
двойного к половинному, тройного к третьей части и вообще крат-
кратного к кратной части, превосходящего к превосходимому, то от-
отношением нагревающего к нагреваемому, режущего к разрезы-
ваемому н вообще действующего к страдающему; далее, отношение
измеряющего к мере, познающего к познанию н чувствующего
к чувственному восприятию».
"Эта аристотелевская категория имеет богатую схоластическую
литературу2).
В каждом отношении Аристотель различает субъект, конеч-
конечный член, основание (subjectum, terminus, fundamentuin), В мате-
математическом отношении А: В субъект — А, конечный член — В,
основание — количество.
Уже начиная с Альберта Великого8), схоластик бьётся над
вопросом; если члены отношения А и В существуют, то суще-
Эта онтологическая схоластическая проблема в математи-
математической области превращалась в проблему: следует ли отношения
чисел или вообще величин относить к той плоскости существо-
существования, в которой находятся числа «ли величины, следует ли, счи-
считать отношение числом.

К КНИГЕ V 359
Фома Аквинскнй4) развивает учение Аристотеля о катего-
категорическом и усл1внш отношении.
Категорическое отношение не относится только к числам",
оно может быть между всякими вещами, не предполагая особен-
особенных условий, при которых оно только и и\*ает мэсто. Примерами
могут служить отношения тождества и различия (основанием яв-
является категория субстанции), равенства и неравенства (количе-
(количества), подобия в пгподоЭия (качества), причины и действия.
Все эти отношения ни от чего третьего не зависят, они всегда
при всяком условии имеют место.
Примеры условных отношений: отношение науки к познавае-
познаваемому, движущего к движению.
Необходимые условия реальности отношения: субъект дол-
должен существовать, конечный член должен реально от него отли-
отличаться, основание дошно быть почожительным и реальным в pai-
личных членах. 4rj6bi получить достаточное условие, следует
прибавить ещЗ требование р^алынг! сущ'еттгвашя обоих чле-
членов, что и и\1зет М2сто в категорическом от.юш-нии.
Математической отношение следовало бы отнгсти к катего-
категорическим. В (А:В) оба члена А и В постулируются существую-
существующими, отношение А:О не имеет смысла, так же как О:В.
Но математическое отношение схолзстнки менее всего жа-
жалуют. Укатывают, что вещь имеет бесконечное число отношений
к своей половине, к TpJTH, к чгтзерти и, таким образом, является
носителем акту гльтй бесктеткти, которую Аристотель не
признаёт и которую схоластики ужэ с некоторым колебанием
стараются изгнать, оставаясь верными Аристотелю.
Анализируя схоластические споры об отношении, мы вскры-
вскрываем в них эмбрионы математических идей, касающихся чис-
числовых отношений.
Е тесной связи с проблемой реальности отношения стоит
проблема: при одинаковом отношении А к В, к С » к D следует
ли считать в A oddi отношение или нескольку {АВ}, {А С), (AD), ...
иными словами, если А отец, В, С, ... сыновья, то сколько в А
отчеств.
Две постоянно враждующие между собой школы ппмистов
и cicomucmie отвечают на это различно. Первые говорят одно,
вторые MHizi.
Переводя этот спор на плоскость математических понятий,
можно спросить: следует ли одинаковость отношений a;b, c:d
рассматривать как их.'т.)ждгстзу, как равенство чисел}
Е такой постановке вовсе не спрашивается: представляет лн
отношение соЗой число, но только—можно ли смотреть на оди-
одинаковость отношений как на нечто вполне аналогичное равенству
чисол.
<) Thomas Aquinatus, Opera О nnla, Romae, 1884, Opu-
scuia 48. Querinols, Clypeus Tho пЫсае phUosopalae. Avi-
cenna, Metaphysik. iioers. Hort, Leipzig, 1909.
24 Евклид

Oi'O КиММЬНШ'ПН
2. Отношенне с методической точкн зрения. Каким обра-
образом определять отношение в школе? На этот важный вопрос от-
ответить совсеи не та: легко. Конечно, сейчас никому не придёт
в голову вводить в школьную практику евклидово определение
отношения, но вместе с тем можно поставить вопрос, следует ли,
как это многие делают в настоящее время, отождествлять отно-
отношение с дробью. Я не берусь дать окончательный ответ на этот
вопрос, по всё же отмечу, что такое стремление встать на на-
научно-формальную точку зрения производит определённое насилие
над теми не вполне ясными представлениями об отношении, ко-
которые существуют в сознании учащихся, тем более, что к понятию
об отношении мы приходим не в результате арифметической
операции деления, а в результате сравнения двух объектов.
Правда, это сравнение осуществляется при помощи создания не-
некоторого числа (индекса отношения, как говорили раньше), кото-
которое получается прн помоши деления. Можно доказывать свой-
свойства пропорций, сводя отношения к дробям, но отождествлять
отношение с дробью равносильно отождествлению длины окруж-
окружности с пределом периметрг, вписанного в последнюю много-
многоугольника.
Если мы обратимся к истории методики изложения теории
пропорций, то придётся сказать, что в старых учебниках геомет-
геометрии долежандровского тина понятия отношения и числа резко
отделяются одно от другого, хотя, начиная с Ньютона и Лейб-
Лейбница, математики уже рассматривают иногда число как некоторого
рода отношение. В это время, например, говорят: «содержание
(так раньше называли отношение) есть сравнение двух однород-
однородных величин. Пропорция есть сравнение двух равных содержа-
содержаний». Конечно, такое определение не хорошо хотя бы потому,
что <сравнение> в первом и во втором предложениях берутся
и различных смыслах.
В учебниках XIX в. наблюдаются несколько ступеней в фор-
формализации понятия об отношении, причём на крайность, т. е. на
полное отождествление отношения и числа, решаются очень не-
немногие. Даже в настоящее время в XX веке есть стремление
определять отношение с уклоном в сторону сравнения. У Бореля
и Серре отношением двух однородных величин называется «число,
выражающее меру одной из величин, когда другая принимается
за единицу», иными словами, если отношение и выражается чис-
числом, то принципиально оно является не числом, а мерой. У Ла-
круа «отношение есть число целое или дробное, показывающее
сколько раз одна величина содержится в другой> или «отноше-
«отношение или содержание двух чисел есть частное от деления одного
на другое>&).

к Kniiiii v 371
3. Отношение в логистике. В логистике, старающейся све-
свести математические понятия к чисто логическим, математическое
отношение тоже рассматривается как частный случай общего по-
понятия отношения. Однако исследования логистов в области ло-
логики отношений резко отличаются от схоластических. Для них не
имеют значения вопросы реальности существования отношений.
Весь их интерес лежит только в тех законах формальных опе-
операций, которым подчиняется это понятие. Под такое определенна
отношения, обозначаемое a R Ь, подходит, конечно, и наше а:Ь.
Математическое отношение а\Ъ не принадлежит к категории
коммутативных:
a Rb не равно Ъ Ra,
но оно будет гранзитнвньж
как отношения равенства, параллелизма и вывода.
4. Евклидово отношение и числоG). История книги V Ев-
Евклида, содержащей античную теорию пропорций, =это — история
арифметизации геометрии, история эволюции числа.
Для Евклида число — это собрание единиц (определение 2
книги VII), так что дробь для него ещё не является числом.
Между геометрическими величинами п числами ещё net взаимно
однозначного соответствия; отношение двух отрезков, площа-
площадей или объёмов ещё не сводится к отношению двух чисел. Ев-
Евклиду приходится строить две теории пропорций: величин в книге V
и чисел в VII. С нашей точки зрения он повторяется 1).
Но это только с нашей точки зрения, а че с точки зрение
самого Евклида. У Евклида не только пег взаимнооднозначного
соответствия между геометрическими величинами и характери-
характеризующими их числами, но у него даже нет идеи рода, объемлю-
объемлющей видовые понятия геометрической величины ы числа; эта идея
является результатом дальнейшей эволюции математической
мысли.
Форель, Арифметика, .Москва, 1923. — Н и к у л ы ч е в, Ариф-
Арифметика, Москва, 1904. — Попов, Арифметика, Москва, 1937.
ь) Эвклидовых Начал восемь книг пер. Ф. Петрушев-
с кого, СПБ, 1819. —Cantor, Vorles., т. I, стр. 222, 250.—
Н е i b е г g, Studien, стр. 83,— Han eke] Geschlchte der Ma-
thera., стр. 389—398. — Vog t, Die Entdeckungs-Geschichie der Ir-
rationalen nach Platon imd anderen QueHen aus IV. Jahrhundert
Bibliotheca Mathematica CI0, стр. 592—655. —Be tt in i, La de-
finizione di proporzione ed il V lib. di Enclido, Perlodico Math.
VII, 1892. —Vine enzo Viviani, Quinto libra degll Element!
di Eucllde, 1924. — НП1, On the fifth book of Euclid. Cambr.
Royal Soc. Trans. 22A921).
?) Д, Мордуха й-Б о л т о в с к о и, Из прошлого пятой
книги Начал Евклида, Математическое Образование, 1916, *\° 7—8.
24*

372
КОММЕНТАРИИ
Чисто формальная точка зрения совершенно чужда Евклиду,
определение класса совокупностью формальных законов ему чуждо.
Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии «пря-
мую>) он не решается отнести к одному классу только потому,
что будут тождественными те законы, которым подчиняются со-
соответствующие формальные операции над ними.
Величины в книге I (аксиома 7) взаимно налагаются.
Аксиомы 1, 2, 3, ... («Равные одной и той же равны между
собой»; «Если к равным придадим равные, то получим равные»;
«Если от равных отнимем равные, то получим равные> и т. д.)
все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, т. е.
к классу, в который отнюдь не входят числа.
Но в высокой степени интересным является то, что эти и
другие аксиомы лежат в основе Арифметики Евклида', все ариф-
арифметические действия над числами Евклид сводит к действиям над
особым классом отрезков, составленных из одного определён-
определённого, отвечающего единице.
Между отрезками этого класса и целыми числами существует
взаимно однозначное соответствие, которое позволяет Евклиду,
идя в обратном современному направлении, свести не геомет-
геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии.
Как только дробь становится числом, результаты книги VII
начинают толковаться в обобщенном виде. В пропорцииа:& —c:d
члены а, &, с, d оказываются не только целыми числами, но н
дробями. Характерно определение Беха-эд-дина деления как
отыскания числа, которое с единицей находится в том же отно-
отношении, что делимое с делителем.
Понятием об отношении чисел Евклид в книге V не поль-
пользуется, но у него есгь понятие об отношении величии. Оно даётся
определением 3 книги V.
«Отношение есть некоторая зависимость двух однородных
величин по количеству>.
Но понятие пропорциональности имеется как для величин,
так и для чисел.
Для величин определение б книги V.
«Пропорциональными называются величины, имеющие то же
отношение).
Для чисел определение 20 книги VII.
<Чксла пропорциональны, если первое от второго и третье
от четвертого составляют то же кратное или ту же долю ( — |
или ту же дробь (— )».
Книга VII проводится независимо от V; не будучи в силах
охватить эти два понятия пропорциональности чисел и пропор~
циональности величин в одном общем их объемлющем понятии
пропорциональности вообще (конечно, в смутной форме у него
имевшемся), Евклид даёт определения этих понятий раздельно,
так что общим у них остаётся только название.

к книге v 373
Определение отношения величии у Евклида остаётся мёрт-
мёртвым, логически не действующим; рабочим определенней является
5—равенства отношений.
На алгебраическом языке она выражается так:
a:b^= c:d,
если при всяких це.шх числах, т, п таких, что
та > пЬ также тс > nd,
та < пЬ также тс < nd, (I)
та — пЪ также тс — nd.
Что такое отношение? Евклид пытается определить. Но тогда
следовало бы определить и то, что представляет тождественность
или одинаковость отношений.
Здесь положение то же, что и с понятиями прямого угла,
площади н т. д., равенство которых Евклид не определяет, но для
которого даёт аксиомой 7 книги I признак. Определение 5,
дающее такой признак, скорее является аксиомой, чем опреде-
определением.
То же самое относится и к определению большего и мень-
меньшего отношений (определение 7), выражаемого в алгебраической
символике так:
если для некоторых целых чисел т, п
ma>nb,
mc<nd. {ll)
5. Архимедова аксиома8). В евклидовой системе аксиом нет
архимедовой аксиомы: «какую-нибудь величину можно взять
столько раз, что она превзойдет всякую данную величнну>. Но
Евклид неявно пользуется этой аксиомой.
Чтобы понять четвёртое евклидово определение книги V,
следует вспомнить то, что мы сказали об евклидовом определе-
определении вообще.
Это определение носит явно аксиоматический характер н
утверждает, что две величины могут находиться в математиче-
математическом отношении, только если для них имеет место аксиома Архи-
Архимеда, если кратное одной может быть больше другой.
Что такое отношение? Это разъясняется определением 3, кото-
которое подчеркивает однородность величин, находящихся в отно-
отношении. За этим определением ставится вопрос: все ли однород-
однородные величины имеют отношение}
8) Ф. Петрушевский, Архимеда две khhiи о шаре и ци-
цилиндре, измерение круга и лемчы, СПБ, 1823,

КОММЕНТАРИИ
Клавий9) в четвёртом евклидовом определении видит отри-
отрицательный ответ.
Он разбивает род {величина) па два вида: 1) находящихся
и 2) не находящихся между собой в отношении.
Первые это те, которые обладают свойством, определяемым
аксиомой Архимеда, а именно, отрезки, прямые, площади, объёмы,
прямолинейные углы.
Вторые, которым присуще чудесное свойство, состоящее
в том, что прибавление к а ... а, а, а ... не даёт возможности
превзойти Ь. Такой величиной, по мнению Клавия, является угол
касания. Сколько раз мы его ни брали бы, мы получаем вели-
величину меньшую, чем любой прямолинейный угол.
6. Несоизмеримые величины.. Иногда приходится читать,
что Пифагор открыл иррациональные числа. Конечно, это не
верно. Пифагор открыл не существованиенррашюнальныхчисел,
а существование отношений, не выражаемых числами.
Следует думать, что прежде мыслили осе величины соизме-
соизмеримыми, всякое отношение геометрических величин, в частности
прямолинейных отрезков, считалось равным рациональному числу.
Во времена же Евклида вполне ясно сознавалось, что существуют
отношения и не выражаемые отношением двух целых чисел, т. е,
рациональной дробью.
Чисто геометрическое доказательство существования несо-
несоизмеримых величин, например, несоизмеримости диагонали квад-
квадрата с его стороной, ведётся при помощи операции над величи-
величинами, которую ныненазывают алгорифмом Евклида—нахождением
общей меры. Формально он вполне соответствует алгорифму
нахождения общего наибольшего делителя, развиваемому Ев-
Евклидом в книге VII «Начал» (см. предложения 1,2); следует только
заменить деление числа А на число В последовательным откла-
откладыванием отрезка В па А, пока не получится в остатке отре-
отрезок гъ меньший В.
Алгорифм Евклида определяется системой формул;
Если г,,.^—О, то гп оказывается общей мерой А и В,
Если этот процесс никогда не прекращается, то обшей
меры для А и В не существует, иначе говоря, А и В несоизме-
несоизмеримы.
7. Актуальная бесконечность в истории иррациональных
чисел. Открытие несоизмеримых величин положило конец наив-
ClavlHS, Euclidis IMcmentj, 1574.

К КНИГЕ V
ному представлению о существовании взаимно однозначного со-
соответствия между величинами и рациональными числами (или
вернее отношений целых чисел).
Бруншвиг10), видимо, правильно предполагает, что был про-
произведён целый ряд попыток численного выражения диагонали
квадрата со стороной, равной единице, раньше, чем была уста-
установлена неразрешимость этой задачи.
Само пифагорейское мировоззрение должно было распола-
располагать к вере в разрешимость этой проблемы, и открытие её не-
неразрешимости нанесло ему неисцеляемую рану.
Интересно отметить, что установке логически необоснован-
необоснованного, но психологически объясняемого взаимно однозначного
соответствия между геометрическими величинами и числами, пу-
путём расширения идеи числа, предшествовал краткий период
особенного понимания произведений
ab, abc, abed, ... ,
когда постулировалось взаимно однозначное соответствие между
геометрическими величинами и числами, но при этом числами
не только рациональными, как до Пифагора, но и целыми.
Разница была только в том, что брались актуально-беско-
актуально-бесконечные числа, которых не знала античная мысль.
<Линия, — говорит Ривар11), в своих «Элементах матема-
математики»,— умножается на другую линию, если первая берётся
столько pai, сколько точек во второй: например, чтобы умно-
умножить АС на CD, следует линию АС взять столько раз, сколько
точек в линии CD>; это значит, что для получения произведе-
произведения АС на CD следует представить, что проведены линии, равные
и параллельные АС] они заполняют пространство ACDB, и по-
поэтому произведение одной линии па другую даёт прямоугольник.
Но эти целые числа — уже актуально-бесконечные числа,
которыми определяется сколько раз неделимое (актуально-беско-
(актуально-бесконечно малое XVII и начала XVIII в.) содержится в конечной ве-
величине.
Но этот подход к иррациональным числам от актуально-
бесконечно малого не получает дальнейшего развития, Так как
предреволюционная мысль энциклопедистов производит револю-
революцию в области математики, уничтожает актуальную бесконечность
п выдвигает на её место потенциальную бесконечность — д'алам-
беровскуго идею предела12). И именно в этом направлении через
«) Brunschvlcg, Les etapes de la philosophy mathema-
tique, Paris, 1912, стр. 17.
ii) Rival d, Elements de Mathematiques, Paris, 1788.
ц) d'Alembert, Encyclopedic под словом Limite; также:
Melanges de litterattire, d'histoire et de la philosophic. Nouv. ed.
т. V, Amst, 1767.

876 КОММЕНТАРИИ
Ньютона и Л. Бертрана13) — идёт зарождение понятия ирраци-
иррационального числа, ведущее к уничтожению книги V «Начал» Ев-
Евклида. Иррациональное число'выступает здесь не как бесконечное
число актуально-бесконечно малого, а как предел сходящего*
ся ряда, и только много позже возвращаются к помощи акту-
актуальной бесконечности, так как без пег, т. е. без теории мно-
множеств, потенциальная бесконечность обнаруживает свою сла-
слабость при строго логическом обосновании теории иррациональ-
иррациональных чисел.
8, Глухие числа. У'же в шестидесятых годах XVII в.
у Арно14) дробь нач-шазт ра:сматриваться как отношение,
У Ньютона I5) различие м^жду 2;3 и 2:3 исчезает. Для него
вполне определённо всякое чи-ло является отношением. Видимо
эта точка зрения принадлежит и другим математикам его эпохи.
Так, Лейбниц говорит, что отношение А к В это не что иное,
как число, рырэжающее А, когда В принято за единицу.
Отсюда следует, чтп величина (magnitudo) отл -чается от
отношения (ratio), как конкретное число от абстоактного.
Но всякое ли отношение является числом? И во времена
Ньютона обычно па это отвечали отрицательно. Можно сказать,
что не только до Ньютона, но и во время Ньютона не суще-
существовало иррациональных чисел, не только в нашем смысле, но
и в смысле Лежанлра, как чисел, определяемых взаимно однознач-
однозначным соответствием точек прямой и чисел.
Но было бы совершенно неправильно думать, что признава-
признавались TOibKo чнма рациональнее. Нет, наряду с ними сущест-
существовали иррациональные числа в смысле чисел «глухих» или «не-
«немых» (surdus). Анализируя отношение к мим математиков XVI и
XVII пв., мы должны прийти к заключению, что название
*числа> не вполне отвечает содержанию, которое в них вклады-
вкладывалось.
С одной стороны, <глухне> или «немые» числа —это числа,
но ие «выражаемые в словах». Математика в них не могла ничего
уловить, кроме пустого символа, если не вкладывать в них
чисто геометрии*ского содержания, например, если иг считать У 2
стороной квадрата с площадью, равной I.
«Глухими» числами, — говорит Кардан16),— называются такие,
которые не могут отчетливо (dtstincte) быть мыслимы и назы-
называются они так потому, что не могут быть расслышана (quia
Щ L. Bert rand, Developpement sur la partie elementaire
de GeQTieU.e, Paris, 1767.
Щ (А г n a 1 d u s), Nouveam elements de eeometrte, Paris,
1667, 1683.
I5) Newton, Artihmetica unlvexsalis (есть фрагщ. пер.. Paris,
1802).
Щ Cardanus, Practlia Axitlimeticae, 1539, vs. 1, De suttfedis
arithmeticfs (в <Opera>).

к книге v 377
audbi поп possunt) и не могут быть воспроиаведеиы (quia fieri
поп possunt).
Эти глухие числа меняют своё название, становятся ирра-
иррациональными и их право на отнесение к числам время от вре-
времени оспаривается. «С одной стороны, — замечает Штифель,—
мы видим, что операциями над иррациональными числами, анало-
ШЧНЫМИ операциям над рациональными, доказывается то, что
нельзя доказать без них, и чувствуем их реальность; с другой
стороны, иррациональное число мы никак не можем выразить
отношением рациональных чисел и не можем признать их истин-
истинными числами, как не можем признать таковыми бесконечные
числа».
Штифель"), полемизируя с одним неудачным изобретателем
квадратуры круга Долз Щ, старается до'казать, правда, рядом
очень туманных рассуждений, что отношение окружности к диа-
диаметру не представляется ни выражаемым (dicib!e),"HH невыражае-
мым числом (indicible).
9. Определение равенства отношений. Определение 5 сле-
следует хорошо продумать. Оно постулирует, что неравенство
тА =g nB (I)
влечёт за собой всегда
mC^nD,
а неравенство
пгА^пЗ (II)
в ючёт
причём второе неравенство должно иметь место при всех це-
целых числах (еп, п), при которых имеет место первое неравен-
неравенство.
Этого не понимает Рамус, который указывает, нападая на
определение 5, что числа 4, 3, 5, 4 ие пропорциональны, коса
при 6-4O-3 также 6-5<9-4.
Но при 6-4-=3-8 имеем 6-5 < 4-8 и т. д.
Следует также отмстить, что одно условие I является недо-
недостаточным.
Необходимо ешс выполнение II, которое приходится ставить
только при условии, что для всякого п существует такое т, что
тА превосходит пВ, т. е. постулировать аксиому Архимеда19)'
для веяного п существует такое т, что, с одной стороны,
тА ^ пВ,
с другой,
(т+1)Л> пВ.
Щ StJffellus, Arlthmetica Integra, 1544. Appendix.
1S) Simon du Cae.sme de Dole, Quadrature du cercle,
1534.
13) См. прим. 8.

S78 КОММЕНТАРИИ
Условия I и 11 сменяются такими: при значениях т, я таких,
что
тА^пВ <(тЦ- \)А,
имеем также
При этом значения п, меньшие т и большие tn -f- 1, можно
не рассматривать.
В самом деле,
М <С тЛ, и потому < пВ,
\lC < тС, и потому < nD,
>.4>(/л4-1М, и потому >пВ,
vC> (от -J- 1) С, и потому > л?>.
В своей деарифметизйции геометрии (т. е. в освобождении
ее от алгебры) итальянские учебники уже нашего времени
(например, Саньо и д'Овидьо^)) заменяют евклидовы условия
следующими:
па — тЬ -|~ п', /.,
nc-= pd -\-c', \°
где
т —р.
Эги условия являются эквивалентными евклидовым. А именно,
мы получаем:
из первых тЬ<па<(т±1)Ь, D)г
из вторых
pd<nc < (р -]- 1} tf, DJ
a Taii как от ~р, го
md < пс < {т -\-\) d. E)
Обрлно от евклидовых нетрудно перейти к у слепням Саньо
и д'Овидьо.
Этого рода точка зрения проводилась ещё в XVII п. Такэ21);
ниже мы приводим критику Такэ евклидовой теории пропор-
пропорций, приведшую его к повой теории пропорций.
10. Экспонент. Если А и В соизмеримы, то
А — тС, В — пС,
где т и п — ne.ibie числа. Мы тогда можеи н^п^ать
.4:6— т.п.
20) SanniQ e d'Ovidio, Element! di Georaetria, NapoII,
1869, 1906, 1910.
21) Taquet, Elemcnta Geomclriae, 1654.

К КНИГЕ V
379
Отношение т;п в настоящее время отождествляется с числом.
т
И число и отношение ооозначастся через —, гак что пишут:
А т
Но прежде (даже в XVIII и в начале XIX в.) строго разлц-
т „ . т
чал и т\п от — . Рациональная дробь — являлась только экгяо-
п F п
нентом (показателем, denominator) отношения величины А (числа)
к величине В (числу).
Кестнер22) определяет так экспонент: «Экспонент отношения
есть число, которое означает, сколько предыдущий член содер-
содержится в последующем:». Это понятие идёт, кажется, от Клэвия.
Несоизмеримые величины сперва не имели экспонента, но
затем экспонентом стало иррациональное число.
V Ньютона — обращается в т:п— число становится отно-
отношением. У Лежандра всякое отношение является числом рацио-
рациональным или иррациональным.
11. Бертраи и Лежандр. Арно, Лун Бертран и Лежаплр —
вот три ступени постепенной арифметизации геометрии.
То, что у Бертрана высказывается в робкой форме, то
Лежандр высказывает вполне категорически.
Лежандр и все авторы учебников лежапдрэвекого тина
всякое действие над отрезками заменяют соответствующими
действиями над числами, им соответствующими; произведение
ab понимается только как число, квадрат суммы двух отрез-
отрезков АВ н ВС выражается формулой
(АВ-\- ВС? = ЛВЭ -f 2АВ'вс -Ь Вс*>
потому что квадрат суммы чисел а и Ъ, определяющих величины
этих отрезков, будет
(a -J- W — a3 -f- 2о* + Ь\
Вполне понятно, что Лежандр, лучшие труды которого отно-
относятся к теории чисел, должен был дойти до крайнего предела
арифметизации геометрии. Для пего ил равенства
а:Ь — c.d
следует
ad -^Ъс,
<Эгз истина, —говорит Лежандр, — в числах верна значит,
она верна и при всяких других величинах, лишь бы они изобра-
изображались через числа, что всегда можно положить.
м) KSstner, Anf;ingsgttindc:i dji Mathematik, 175S.

S80 комментарии
Например, если Л, В, С, D — четыре линии, то можно во-
вообразить, что одна из них D служит мерой; тогда, будут ли А,
В, С соизмеримы или несоизмеримы, во всех случаях они выра-
выражаются числами, в первом случае соизмеримыми (рациональ-
(рациональными), во втором несоизмеримыми (иррациональиыми)>.
То, что до чисто арифметического обоснования теории
иррациональных t-.и-ел математик» и после Лежандра чувство-
чувствовали себя несколько неловко в критических местах элементарного
курса геометрии, м жно видеть в примечаниях учебника Лакруа,
в которых он как бы старается оправдаться перед читателем
в своих арифметизирующих тенденциях.
<Испытывается, — говорит Лакруа Щ,— некоторое затрудне-
затруднение в перенесении на части пространства ппятия отношения
в таком виде, как оно понимается для чисел, в особенности,
когда дело идет о несоизмеримых между собой линиях, но
туман рассеется, если обратить внимание на то, что сравнивать
две линии возможно, только относя их к общей мере, но тогда
их отношение есть действительно число или дробь, члены кото-
которой, выражаемые числами, представляют то, сколько раз мера
заключается в каждой линии.
Хотя эту дробь невозможно показать в том случае, когда
отношение несоизмеримо, но она тем не менее существует^
12. Исправленный Евклид. Комментаторы XVI в. Евклида
не критикуют, а только разъясняют; высказываемое ими мне-
мнение выдаётся или за мнение самого Евклида, или за мнение,
согласное с его взглядами.
В XVII в. выступает «Eucllde? restitiitim, т. е. исправлен-
исправленный Евклид **).
Евклида не только комментируют, его же v исправляют.
Пополняют систему аксиом, исправляют определения, меняют
части всей логической постройки и делают попытки полной её
перестройки.
Арзе, Озанам, Такэ, Борелли, Саккери, Арно — вот ряд
ступеней всё более и более существенных перестроек «Начал*.
Особенное внимание на книгу V обращает Борелли, чьё имя
связано также с историей развития теории параллельных и кото-
который оказал очевидное влияние на Саккери. Однако сам он здесь
ещё в большей зависимости от Клавия, вероятно, и от других
своих современников. В его «Euclldes restitutus> интересна и ори-
оригинальна книга V «Начал>.
Он резко критикует определение 5 книги V.
Щ La его ix, Elements de Gfiometrie de I'Ecole Centrale des
Quatres Nations, Paris, 1814.
M) Borelius, Euclldes restitutus, Romae, 1670. — Sa ССЛ&-
rius, EuciJdes ab oranl naevo vindicates, MedlolanI, 1733. См.
также Engel-Stackel, Die Tiieorie der Parallellinien, Leip-
zfg. 1895.

Всякое научное определение должно ясно изложить природу
определяемой ваши через свойство возможное, истинное, первое
и известнейшее, которым определяется вещь и отличается от
какого-либо другого объекта.
Свойство же, излагаемое в евклидовом определении, таково,
что нельзя узнать, даётся ли оно в действительности, так как
мы не можем определить, даётся ли это бесконечное число
равнократных, единовременно ббльших н единовременно мень-
меньших, так что не знаем верно ли оно...
В определении отношения и пропорции он видит неопреде-
неопределённость и неясность, он подчеркивает неопределенность в опре-
определении отношения, указывая на возможность не одной, а многих
взаимных зависимостей, и на то, что здесь, а также в определе-
определении пропорциональности, дело идёт о специальном типе зави-
зависимости.
Интересна критика Борелли, относящаяся к так сказать
преждевременной арифметизацин теории пропорций, сводящей
определение пропорциональности к равенству экспонентов отно-
отношения, получаемых делением (а и Ь) {с и d).
Говоря в своей критике о числах, Борелли разумеет под
иррациональными числами только корни из рациональных чисел.
Невозможность представления всякого показателя отноше-
отношения таким числом приводит его к заключению о неверности
утверждения, что бсякое иррациональное отношение можно
считать числовым.
Пропорция чисел и геометрических величин у него вклю-
включаются & пропорцию величин вообще, к которым и относятся
исправления книги V <Начал>.
Соизмеримая пропорциональность, т. е. пропорциональность
двух пар соизмеримых величин (а, Ь), (с, d), им определяется
так, как Евклид определяет в книге VII пропорциональность
чисел, а именно, по определению 20 книги VII числа называются
пропорциональными, когда перйое второго, а третье четвёртого
равнократные, или равно частные или равно многочастные.
Соединительным звеном между соизмеримой и несоизмери-
несоизмеримой пропорциональностью является определение неравенств
отношений
a:b^c:d,
где а и Ь несоизмеримы, а с и d соизмеримы.
В алгебраической символике это определение выражается так:
если c;d = m:n, где т и л — целые числа.
В словесном выражении: отношение а к Ь больше (меньше)
с к d, если а больше (меньше) той же части Ь, какую соста-
составляет с от d.

КПМ\1Ы1ТЛ!'!1И
Дальше iuer определение a:b'^c:d в случае несоизмери-
несоизмеримости а и Ь, с и d с помощью вспомогательного соизмеримого
отношения е ¦/:
д:& > c:d,
ести прн а:Ь >¦*?:/ имеем также c:rf <<*:/.
Наконец, пропорциональность определяется таким опразом:
д:& не >c;d и не <[c:rf
согласно указанным выше определениям.
Критику Борелли интересно сравнить с критикой Такэ, ко-
который становится на совершенно другую точку зрения.
Борелли выступал против определения, основанного на
употреблении бесконечного класса; собственно говоря, oei ста-
старается исправить Евклида в духе самого Евклида, признающего
только то, что может быть в действительности получено постро-
построением. Такэ же старается исправить Евклида так, чтобы он согла-
согласовался с логическими идеями того времени, так ярко очерчен-
очерченными в знаменитой порт-роялевской логике (Арно и Николь).
По мнению Такэг5), \ченне Евклида встречает следующие
затруднения:
1) Определение 5 равенств отношений, а отсюда и пропорции,
даёт не сущность пропорции, а только один из её признаков.
2) То, что доказывает дальше Евклид относительно пропор-
пропорций, опираясь на своё определение, не может быть доказатель-
доказательством того, что указанное им свойство действительно присуще
равенству отношений, распространённому на абсолютное равен-
равенство отношений, г. е. на то истинное равенство отношений,
идея которого предваряет всякое математическое исследование.
По мнению Такэ, содно дело сказать, что отношение пло-
площадей треугольников с равными высотами ABC и DEF равно
отношению их оснований АС и ?>/•", и другое — сказать, что для
всяких целых чисел т, л, для которых mABC^nDCh" также
n mAC^nDF, и незаконно утверждать, что если второе дока-
злю, то доказано п первое без особого оправдания евклидова
определения пропорций».
Но определение самого Tjig равенства отношений оказы-
BaeicH столь же мёртвым, как и определение отношения Евклида.
«Два отношения (а к Ь и с к d) подобны или равны, когда
предыдущее а равно (aeque) или так же (т. е. не больше и не
меньше) содержат своё последующее & как предыдущее с со-
лержит последующее d, или короче, сколько & содержится в д,
столько d в с
Входящее сюда понятие «содержания» Такз разъясняет для
случая рациональных отношений, а для иррациональных он не
даёт разъяснения, считая это само собой понятным: «Если про-
a-j См. прим. 21.

3S3
порции иррациональная, то эга вещь не может » не должна
разъясняться*.
Так как из своего мёртвого определенна Такэ ничего не
может извлечь, то ему приходится к нему приклеить аксиому,
которую потом Деталь26) возводит в определение, заменяющее
евклидово.
<Отношения (а к &) и {с к d) равны, если последующие
(т. е. & к d) и их подобные части, каковы бы они ни были, равное
чис.чо раз содержатся в предыдущих (т. е, а к ф,
В алгебраической символике это истолковывается таким
образом: четыре величины о, &, с, d пропорциональны
если, обозначая через (i>jrfi), (b..d2), ..,, {bjdj\ гакне величины, чго
где ttij—нелые числа, а через ар г, — остатки, определяемые
равенствами:
а = ¦ rijbj -f оу, с — fjdj + ср
где а: < bj, Cj-^dj. a rtj и pj— целые числа, то одновременно
будет
nj=Pj.
Что касается системы положений теории пропорций, то
средством её упрощения у Такэ является обычный в XVII ь,
способ обращения доказывавшихся раньше положений в оче-
очевидные истины.
В этом отношении усматривается большое сходство между
рационалистами XV11 в. и современными логистами; разница
лишь в том, что ту роль, которую раньше играли аксиомы,
играют теперь определения, к которым не пред ьявляется иных
требований, чем те, чтобы из них могли быть извлечены напе-
наперёд намеченные теоремы.
К определению 4 Евклида Такэ присоединяет опять в каче-
качестве аксиомы положение о равенстве величин, имеющих к одной
и той же величине (или к равным) одно и то же отношение,
обратное ему, затем аналогичное, относящееся к неравенству
н, наконец, положение: отношения, равные одному и тому же
отношению, равны между собой.
Не вполне ясны взгляды Такэ на предложения 12 и 15. Он
не называет их аксиомами, но поступает с ними так, как если бы
это были теоремы, доказательства которых так просты, что их.
и не стоит приводить.
О предложении 15: <Две величины имеют между собой такое
же отношение, какое имеют их равиократныо, он говорит: это
а5) Deschales, Elementa Euclidfs lib. octo, 1673, Франц.
изд. 1672, 1675 и других годов.

384 комментарии
положение можно было бы принять н за аксиому, если только
Правильно понижать, что такое подобные части.
Вне сомнения такоэ обращение целого ряда раньте доказы-
доказывавшихся положений в очевидные истины обусловливается не
одним методическим стремлением к сокращённой теории пропор-
пропорций для более лёгкого усвоения ее начинающими начать
Евклида; следует при объяснении этого явпения учесть и то, что
эти положения с постепенной арифметизацией уже стала приобре-
приобретать, хотя и не в сильной степени, ту очевидность, которая
раньше им не была присуща.
Область понятия числа далеко расширяется за пределы
евклидовых, т. е. целых чисел.
Общность формальных законов^ присущая отношениям
и числам, прекрасно сознавалась математиками этой anoxvs; она,
можно сказать, каждую минуту вставала перед их глазами, так
что они против воли приучались смотреть на отношение как на
число; вследствие создавшегося через это настроения ума и воз-
возникали эти иллюзии очевидности.
13. Подобие отношеннй. В некоторых рукописях определе-
определение 8 даётся словами: «пропорциональность есть подобие отно-
отношений 'Ауй)л'{'т fis /jtlv -g *uv h^tnv ou.ui'jtT]s. Это определение
представляет интерес. В некоторых списках стоит вместо що^-т^—
-саитбтг,^, т. е. тождество отношений.
Следует думать, что подобие представлялось слишком общим,
неопределенным понятием, под которое подводилось и подобие
отношения сторон а отношения площадей подо5[1ых треуголь-
треугольников.
Но затем тождество показалось слитком узким понятием;
отношение 12:10 не решались считать совершенно тождествен-
тождественным отношению 6:5. Отношение AB-.CD казалось тождествен-
тождественным AiB\\C\Dit если AB-=A±Bi, CD = C-iD1, но не тождествен-
тождественным 2AB;2CD, а только равным. Барроу настаивает на замене
djioiuTT,? и хаатотт]!; словом 1<zq-,t&.
14. Первые шесть предложеинй киигн V «Начал». Книга V
Евклида не принадлежат к числу пользующихся осоЗой популяр-
популярностью; о первых шести предложениях было, например, сказано,
что они представляют простые предложения конкретной арифме-
арифметики, изложенные языком, который делает их кеудобопоиимае-
мыми для современного интеллекта. Многие находили, что эта
книга представляет определённый параллелизм с арифметиче-
арифметическими книгами VII—IX, где ряд предложений книги V доказы-
доказывается наново специально для чисел. Только в XIX в. книга V
Евклида получила признание; знаменитый математик Феликс
Клейн признал её од лил из перлов античной математической
мысли.
Для того чтобы разобраться в этом, нужно хорошо понять
принципиальное отличие позиций греков и современных матема-
математиков в рассматриваемом вопросе. Книга V посвящена общей
теории отношений. Для современного математика всякое отноше-

к кннгв v 3S5
ние двух величин может быть представлено числом рациональным
или иррациональным; поскольку законы математических опера-
операций, установленные для целых чисел, распространены и на дру-
другие' классы чисел, вплоть до иррациональных и комплексных,
нет надобности в создании специальной теории операций с отно-
отношениями.
Совершенно иное положение было для греческого матема-
математика. Для него число — dfiftfioi;— это прежде всего целое число,
собрание нескольких единиц, к тому же часто определенным
образом расположенных (фигурные числа). Пока отношения
выражаются целыми числами, всё обстоит благополучно. Но
как быть, когда отношения перестанут выражаться целыми
числами?
Бее данные говорят за то, что идея целочисленных отноше-
отношений зародилась в древнем Египте; мы встречаем целочисленные
отношения в архитектурных деталях гробницы Менеса A-я дина-
династия) и пирамид. В дальнейшем целочисленные отношения сдела-
сделались основой модулярной теории, которая почти одновременно
появляется как в греческой, так и персидской архитектуре. В Пер-
Персии она появилась после завоевания Египта Камбизом вместе
с пленными египетскими архитекторами, введшими целый ряд
египетских мотивов в архитектуру дворцов и царских могил
Ахемеяидов. В Греции поборником идеи числа, как выражающего
истинную сущность вещи, является Пифагор, родина которого
Самос "была при Поликрате в теснейших отношениях с Египтом,
Но уже очень Скоро греки поняли, что далеко не все эле-
элементы правильных геометрических фигур могут быть выражены
не только целыми числами, но даже и отношениями целых чисел,
нашими дробями. Как тогда надо было ставить определение
отношения двух величин?
Пока отношения выражались целыми числами, для опреде-
определения отношения двух длин нужно было меньшую повторять
кратным столько раз, сколько нужно для того, чтобы она срав-
сравнялась с большей. Если это число равно т, то меньшая длина,
взятая т раз, будет равна большей, взятая т—\ раз меньше
её, взятая т-\-\ раз больше.
Нетрудно видеть, как нужно изменить определение отноше-
отношения в случае дробного числа. Если отношение двух длин а и &
т
выражается дрооным числом—, то если мы возьмем а крат-
кратным п раз, а & кратным m раз, то полученные длины па и mb
будут равны друг другу; вместе с тем. мы возьмем Ъ кратным
т.— 1 или т-\-\ раз, то получим длину, соответственно мень-
меньшую или большую длины па. Таким образом, для определения
дробиых отношений мы пользуемся равенствами
[т— 1)&< па,
mb=rzna,
(« + 1) & > па.
25 Евклнд

КиУМЕНТАРИН
В гои случае, когда длины а и Ь несоизмеримы, среднее равен-
равенство mb = na невозможно, но оба крайних продолжают оста-
оставаться справедливыми. Их то и принял Евдокс, которому при-
приписывается авторство основной части предложений книги V,
в качестве определения отношения двух величин в самом общем
случае.
Вся сущность книги V содержится в следующих определе-
определениях;
<D). Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они взятые кратно могут превзойти друг друга,
E). Говорят, что величины находятся в том же отноше-
отношении: первая kq второй и третья к четвертой, если равнократ-
ные первой и третьей одновременно больше или одновременно
меньше «равнократных второй и четвёртой каждая каждой при
какой бы то ни было кратности, если взять их п соответствую-
соответствующем порядке.
G). Если же из равнократных кратное первой превосходит
кратное второй, а кратное третьей не превосходит кратного
четвёртой, то говорят, что первая ко второй имеет большее,
отношение, чем третья к четвёртой*-.
Значение определения 4, равносильного так называемой
аксиоме Архимеда, было понято только в XIX в.; 5 же и 7 опре-
определения по существу разнозначны определениям равенства и не-
неравенства иррациональных чисел при помощи метода сечений
Дедекннда.
В первых шести предложениях книги V рассматриваются
элементарные свойства отношений.
Первые два в современной форме можно выразить так:
«.Если та, mb, тс... суть любые равнократные а, &, с, ..., то
та -\-rnb -\-тс -\- ... --- т {a -J- & -J- с -~-... )».
«Если та, па суть некоторые кратные от а, а тЪ, пЪ суть
такие же кратные от Ь, то та -\- па — (т 4- п) а и тЬ -J- пЪ —
=-~-(гп-\-п)Ь будут одинаковыми кратными соответственно
от я и Ъ». Можно сказать, что оба эти предложения выражают
распредели гель ные законы умножения в гом случае, когда сомно-
сомножителями являются числа m, n и геометрические величины а, Ь,
с, ...; при этом предложение 1 выражает распределительный
закон слева, а предложение 2 распределительный закон справа.
Для отрезков распределительный закон был установлен в
предложении I книги И, для чисел же в предложениях 5 н б
книги VU.
В другой форме эти пред южепия могут быть выражены
формулами:
т-т ,г- ос а а А- с
Предлсженис 1. Если -г- — -.-, то -г —гт—:..
о а о о -\- а
Предложение a Ecu, \= -С. „ L= L , „, l+i=i±/.

К КНИГЕ V 387
Предложения 3 и А кас^кнся $множепия равных отношений
на целые и дробные числа.
Предложение 3 в современной форме выразится так:
«Если та и тЪ суть равнократные а и Ь, то л {та) и я (т&)
будут равнократными а и &>.
Или:
„ас та тс
«Если -г- — —, то -7-=:—т>.
а а о U
Последняя форма приближает к выражению предложения 4:
., а с та тс
«Ьсли -?- = —, то —5- = —-».
Первые три предложения доказываются очень просто при
помощи разложения предыдущих членов на величины, равные
последующим, при доказательстве же предложения 4 применяется
определение 5.
Сущность доказательства заключается в следующем:
если рта >- qnb, то и рте > qndh
если ptna~ qnb, то и pmc = qnd,
если у;/яд < <?л&, то и /j/яс < #nrf.
Поскольку же /J и щ суть какие угодно числа, то из этих нера~
версте по тому же определению 5 следует
та тс
nb nd'
Предложение 5, которое в современной формулировке можно
выразить так:
,, а с а а — с
«если — = -т , то ~r=f -»,
Ъ d ' Ь Ь — d
ил» же в виде равенства:
та — тЬ = т(а — Ь),
представляет распространение предложения 1 па случай вычита-
вычитания {или отнятия) отрезка.
При доказательстве Евклид употребляет следующий приом,
Да"°: Ш^§ • Нужно до„,.ть:|? = 4§. .,
Построим С ft, удовлетворяющее пропорции

обе КОММЕНТАРИИ
т. е. возьмём четвёртую пропорциональную для АЕ, С/ и ЕВ—
построение, которое даже для прямых линий разбирается только
в предложении 9 книги VI; выполнимость этого построения
для величин Евклидом не доказана. Построивши эту величину СИ,
Евклид доказывает, что она равна остатку ID после вычита-
вычитания С/ из CD.
Так как употребление построений, возможность которых ещз
не доказана, совершенно не в духе Евклида, то Симеон даёт
другое доказательство, заимствованное им из перевода Евклида
с арабского, сделанного Качпаном. Доказательство это такооо
[Хизс (Heath), т. II, стр. 146].
«Возьмем АО так:[М же кратным FD, каким АЕ будет
от CF (черт. 1); тогда АЕ будет таким же кратным от CF,
как EG от CD (V, 1), Но АЕ, согласно предположению,
такое же кратное от CF, как АВ от CD', значит, EG равно АВ.
G Д ?8
Черт. 1,
Отнимем обшую величину АЕ, остаток AG будет равен
остатку ЕВ. Значит, поскольку АЕ такое же кратное от CF,
как AG от FD и поскольку AG равно ЕВ, то АЕ есть та-
такое же кратное от CF, как ЕВ от FD.
Но АЕ есть такое же кратное от CF, как АВ от CD',
значит, Ев есть такое же кратное от FD, как АВ от CD',
что и требовалось доказать*.
Шестое предложение так же относится ко второму, как пятое
к первому. В современной формулировке его можно дать так:
«Если даны та, тЪ и па, пЬ, то
та— па~{т —п)а и mb ~nb—{m— п)Ь>.
В доказательстве Евклид различает случаи, когда т—п равно
или не равно единице. При этом он употребляет тот же приём,
что и при доказательстве предложения 5: он сначала берзт от-
отрезок, удовлетворяющий доказываемому равенству (в пашем слу-
случае прикладывает к CD слева СК, равную/), и затем доказывает,
что эта СК будет равна получаемому остатку GD от вычитания
CG из CD.
15. Связи между членами равных и неравных отноше-
отношений. Четыре предложения с 7 по 10 образуют единую группу
и по особенностям формулировки (в каждом предложении дока-
доказываются и прямая и обратная теоремы), и по методу доказа-
доказательства, основанному на непосредственном или посредственном
применении определений 5 и 7.

К КНИГЕ V 3S9
В предложении 7 доказывается, что равные величины имеют
одинаковые отношения к одной и той же величине и наоборот.
Идея доказательства состоит в том, чго поскольку одинаковые
кратные равных величин тоже равны между собой, то они одно-
одновременно будут больше, равны или меньше какой-нибудь кратной
третьей величины, т. е. согласно определению 5 будут стоять
к этой величине в одинаковых отношениях.
В издании Гейберга после этой теоремы идйг следствие,
которое в некоторых манускриптах помещается после 4-го пред-
предложения. По существу, это следствие, пытающееся оправдать
операцию «обр"ащая> (ivaitaAiv — определение 13), неуместно цн
после 4 ни после 7 предложений. Действительно, предложе-
предложение 7 касается трёх величин:
л о А в СС
если А = В, то _ = - и -^ = -g,
тогда как операция «обращая» требует четырёх величии, сос-
составляющих пропорцию:
если a;b=-c:d, то b:a — d:c.
Предложение S касается неравных величин; в современной
форме оно может быть выражено так:
если а>Ь, то | > А и |->^.
Пользуясь определением 7, мы должны доказать, что суще-
существуют такие равнократные а и &, что первая превосходит,
а вторая не превосходит какой-то кратной с, т. е.
та ^> пс^ тЬ.
Евклид различает два случая. Поскольку а > &, то остаток
а—Ь может быть больше или меньше Ъ.
Рассматриваем первый случай, когда а — b = d <C &.
Повторяем d столько раз кратным, чтобы превзойти с;
пусть
md > с.
Затем образуем такие же кратные
mb и m{b~\-d) = та.
Теи^рь находим такое кратное с, чтобы было
{п — 1) с < mb < пс, -
Полученное кратное пс будет превышать некоторое кратное тЬ

390 комментарии
второй величины Ъ, но оно не превзойдёт такиго же кратного та
от а. Действительно,
та — mb -\- md > (п — 1} с + с ~= пс,
а Ъ
а это показывает, что — > — .
с с
Аналогично рассматривается и второй случай, когда а — &~
= d > Ъ\ в этом случае повторяется кратным Ь, и мы имеем
/я& > с, m{b~\- d)~ та,
(л— 1)с -СтЬ < пс,
гпа~тЬ~{-тй>(п -Ijr-t-e- не,
так как d > Ъ, a mb*> с.
Предложение 9, представляющее обратное по отношению
к предложению 7, легко доказывается от противного при помощи
предложения 8,
При доказательстве же предложения 10, являющегося об-
обратным по отношению к предложению 8, и которое Евклид до-
доказывает от противного, им была допущена ошибка, раскрытая
Симеоном.
Действительно, у Евклида ход рассуждений таков: дано, что
С > С '
требуется доказать, что Л > В.
Доказательство от противного распадается на два згапа:
сначала Евклид доказывает, что Л lie может быть равным В,
а затем, что Л не может быть меньше В: «ибо тогда Л имела
бы к С меньшее отношение, чем В к С (предложение 8). Она
же не имеет. Значит, Л будет больше В*.
Вог здесь-то и появляется затрудЕсенне, Если мы говорим,
что Л имеет к С меньшее отношение, чем В к С, то это значит,
что существуют такие равнократные А и В и j акое кратное С,
что 1) взятое кратное В больше кратного С и 2) что такое же
кратное от A iie больше кратного С. Для того чтобы исключить
эту возможность, нужно доказать, что если какое-нибудь кратное
В будет больше данного кратного С, то такое же кратное А
будет всегда больше данного кратного С.
Если прибегнуть к методу сечений Дедекинда, то это рас-
рассуждение будет равносильно следующему:
«Пусть будут два числа А и В, производящих сечения
... а...<СА<... а1...
... Ь...<В <_,.. Ь'...
Если А !> В, то все а' будут больше всех Ь, но некоторые
из Ъ' могут быть ц больше а'.
Симсоц заменяет евклндовскос доказательство след\гющим
[см, Хизс, стр. 157]. '

К КНИГЕ V 391
«Пусть А имеет к С отношение большее, чем В к С,
Л больше В.
Действительно, поскольку А имеет к С отношение
большее, чем В к С, то-есть некоторые равнократные А,
В и некоторое краткое С такие, что кратное А больше
кратного С, но кратное В не больше его (определение 7).
Возьмем их, и пусть D, Е будут равнократные ог А,
В, и F кратное С, такие, что D больше, чем Р, но Е не
больше, чем F.
Значит, D больше, чем Е.
И поскольку D, Е суть равнократные А, В и D больше,
чем Е, то А больше, чем В-
Далее, пусть С имеет к В отношение большее, чем к А;
В меньше А.
Действительно, тогда есть некоторое кратное F от С
и некоторые равиократные Я и D от В и А, такие, что F
больше, чем Е, но не больше, чем D (определение 7).
Значит, Е меньше D; и поскольку с и D равнократ-
иые от В и Л, значит, В меньше Л».
Доказательство Симеона основывается на аксиоме, что если
из двух равнократных величин одно будет больше другого, то
такое же отношение будет и между теми величинами, равнократ-
пыш которых окы являются.
16. Дальнейшие свойства отношений. Поскольку ритори-
риторическая форма изложения Евклида представляет определённые
трудности для понимания, то в дальнейшем мы будем давать
доказательства их в современной математической форме.
А С С Е
Предложение 11. Если отношения -^—-=г и -= = -?:
о U US'
А Б
Берём
Н—тА, G = mC, К=тЕ,
L = nB, M=nD, N—nl.
Так как
A:B — C:D,
то, согласно определению 5, мы должны иметь одновременно
тА > пВ, тС > nD,
тА—пВ, отС=яД
тА < пВ, тС < nD,
Далее, из равенства отношений
C:D-—B:1

392 КОММЕНТАРИИ
следует, что одновременно
mOnD, тЕ>пГ,
mC = nD, mE= пГ,
mC<nD, mE<nI,
аначит, одновременно
тАупВ, тЕ> пТ,
Согласно же определению 5 это обозначает, что
А:В = Е:Г.
Предложение 12. Если дано, что
А—С — И
В ~~Ъ~7 •
то
А
~B
Берём
Н=тА, О~тС, К=тЕ,
L = nB, M=nD, N=nt.
Равенства
A:B=C:D = E:I
равносильны одновременному существованию трёх групп соот-
соотношений:
тА > пВ, mC-ynD, mE>nI,
mA=znB, mC~nD, mE=n/,
rnA<nB, mC <nD, тЕ<Ш
или
тАупВ, mA + mC + mEynB+nD-^nr,
тА = пВ, тА-\-тС-\-тЕ=пВ-\-гЮ-\-пГ,
1 тА<пВ, mA-\-mC-\-mE<nB + nD+nf.
Согласно предложению 1 эти соотношения могут быть перепи-
переписаны В виде:
тА>пВ, m
тА = пВ, m
тА<пВ, т

К КНИГЕ V
393
Эти же соотношения, согласно определению 5, равносильны про-
пропорции
А_А_+С+Е
Эга теорема употреблялась Аристотелем («Этика Ннкома
хова*. V, 7, 1131 b 14) в форме; «как один к одному, так и
Эга теорема употреблялась Аристотелем («Этика Ннкома-
а*. V, 7, 1131 b 14) ф
все ко всем».
,« _ АС СЕ А - Е
Предложение 13. Если ^ = ^ и д > 7"' то Т"
Поскольку C:D > E;T, то, согласно определению 7, должны
быть такие равнократные от С и Е
H=mC, G = mE
к другие равнократные от D и /
Л"— лД л — я/,
что одновременно должны существовать равенства
пгС > л?> и т? =^ л/.
Из равенства же отношений -^и^ следует, что одновремен-
одновременно должно быть
М — тЛ =пВ = N и /иС = лО.
< <
Это значит, что при
тА>пВ
будет
тпЕ ^ лЛ
т. е., согласно определению 7,
Л ?
5>7'
-4 С
Предложение 14. Если „---^ и Л>С, то и В > О.
Действительно, из неравенства И > С но предложению 8 сле-
следует, что
>
ее
Согласно же предложению 10 это значит, что

394
КОММЕНТАРИИ
Диалогично доказываются и сл)чап:
ес.ти А~С, то Й=-Д
если Л< С, то В< D.
Предложение 15, соответствующее формуле
а та
b ' тЬ '
доказывается, как предложения 1 — 3, путём разложения на части
и подсчёта количества найденных частей (с применением предло-
предложений 7 и 12).
17. Производные пропорции. При переводе книги V Евклида
известные трудности представило то обстоятельство, что на рус-
русском языке нет установившихся терминов для перевода грече-
Д € В
М
Черт. 2.
ских ijyySsvtL, Swlovu и т. д. В настоящем переводе взята терми-
терминология, которой пользовался С. Я. Лурье при переводе «Гео-
«Геометрии неделимых» Кавальери, но во избежание недоразумений
соответствующие термины поставлены в кавычки.
Предложение 16. Если A:B = C:D, то в A:C = B:D
(операция «перестановки*).
Берём
Е — тА, 1-- тВ, Н = пС, G = nD.
По предложению 13
По предложению 11
E:I=H:G,
mA:mB—nC:nD.
По предложению 14 мы можем заключить, что
если тА > пС. то и тВ > nD,
если тА---пС, то и mB=^nD,
?сли тА < пС, то и тВ < nD.

К КНИГЕ V ЗОО
Согласно же определению 5 это означает
А _В
С ~ 5'
Предложение 17. Если—вё~~~Ш ' то я
AF. _ С/
Помещаем чертёж к этому предложению, отсутствующий
в тексте Гейберга (черт. 2).
Берём
НО — тАЕ, ОК—тЕВ, КХ — пЕВ,
LM=mCI, M.\'—mlD, NP — nID.
Согласно предложению 1 и 2,
если HQ — mAli i) OK--=mER, то Нк;—тАВ,
если Ш—тСГ и M.V—m/D, то Ш=тСО,
если QK—.mEB н КХ — пГ.В, то <jX — (m-\-n)EB,
если.М.\'=пт;В и ,VP -п/Д, то /ИР = (m -J- л) /О.
Теперь из пропорции
AH\BE^CD:D1
иыгекаег, согласно определению 5,
если тЛ5 ^ (m -f л) Z:5, то /л СО = (/« -{" л) ID'
что равносильно пропорции
ЯД": G* •=?№/№.
Предположим, что имеет мсст-о первый случай
т АВ — HK>(m + n)EB—QX,
на + акуак+кх,
на > кх.
Точно так же, если
?Л>= LM + ММ > AIP = iMW+ JVP,
i.W; Л'Р.
Таким образом, мы вщпм, что
если НО > Д'х, то и iiM > №>,

dytJ КОММЕНТАРИИ
и аналогично докажем, что
если НО=КХ, то II LM — NP,
если НО< КХ, то и LMKNP.
Поскольку же
HQ = mAE, LM=mCf,
КХ=пЕВ, NP = nID,
то вышеприведённые равенства по олредетснию 5 выражают,
что имеет место пропорция
АЕ:ЕВ — С1:Ю.
Доказательство предложения IS, являющегося обратной тео-
теоремой по отношению к предложению 17, ведётся методом дока-
доказательства от противного, что требует опять предварительного
построения четвертой пропорциональной для величин АВ, BE
и CD, о чём см. ниже.
Предложение 19. Если AB:CD = AE-.CI, то
(АВ — АЕ): (CD — CI) = АВ: CD.
Из пропорции
АВ_АЕ
CD~~C1
заключаем нэ основании предложения 16
АВ\__CD
АЁ~~ CI '
затем на основании предложения 17
АЕ CI
а отсюда на основании предложений 16 и II
АВ — АЕ _АЕ_АВ
CD — CI ~~ CI~ CD'
Предложение 19 заканчивается фразой, поставленной у Гей-
берга в скобки и предваряющей «следствием
Из соотношения
АВ__ВЕ
CD~~ ID
перестановкой получается пропорция
АВ CD_
BE bl' m

которая в дальнейшем сравнивается с ранее установленной про-
пропорцией
ab_cd
АЕ~~ CI '
или, что то же,
АВ — ВЕ CD —ОГ w
получаемой из A) при помощи «переворачивания» (определение 16).
Это рассуждение имеет определённый дефект: доказано лишь,
что пропорции A) и B) вытекают из
ЛВ-. CD — ЛЕ: С Г,
но не то, что пропорция B) вытекает из A), как утверждается
is следствии, Гейберг считает, что следствие принадлежит Евклиду,
а поставленная в скобки вводящая фраза является позднейшей
интерполяцией. Однако вполне возможно, как думает Хизс, что
и это следствие наряду со следствием после предложения б есть
позднейшая вставка, сделанная с целью оправдать существование
операций dvdaaliv и dvaatpsiavtt, для которых пет специальных
предложений, а имеются только голые определения 13 и 16 в на-
начале книги V.
18. Аксиома Клавия. Евклид при доказательстве предложе-
предложения IS пользуется одной аксиомой так же неявно, как он поль-
пользуется аксиомой Архимеда, Аксиому эту вскрывает Клавий Эт).
Постулируется существование четвёртой пропорциональ-
пропорциональной, т. е.'существовапие такого х, что при данных а, Ь, с:
х:а = b:ct
Доказательство того, что из
a:b = c:d следует {a-\-b):b = (e-\-d):d,
ведётся от противного с помощью предыдущей обратной теоремы,
что из
{a-\-b):b=^{c-\-d):d следует a:b = c:d.
Предполагается, что {a-\-b):b равно не [c-\-d):dt
а какому-то {c-\-d)\e, где е больше или меньше й.
В первом случае на основании предложения 17
а;Ь = (с -\-d — e)\e,
откуда можно получить
(c-\-d):d — (c-\-d — e):e,
а уак как c-\-d> с -\-d-e, то должны иметь и d > e, что про-
противно условию.
Liididis Elem. Hbri XV auctore Ghr. Glavio, 1574 и 1654.

КОММЕНТАРИИ
Таким же образом устраняется и второй случай.
Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом
Симеоном.
Вайлатиэ5) доказывает это утверждение ссылкой на то, что
в латинском издании «Начал» Кампануса, составленном по араб-
арабскому переводу, содержится другое доказательство, не зависящее
от аксиомы Клавия.
В истории эволюции идеи числа эго доказательство не игра'ю
ро:ги.
Между тем, метод доказательства предложения IS книги V
составляет именно тот метод, который принимался Лежапдроя
для доказательства пропорциональности углов и дуг в случае
несоизмеримости и других ана-юппщых положений.
Аксиома Клавия должна была оказать большой толчок в па-
правлении арифметизащш геометрии.
Как мы выше заметили, едва ли сам Евклид включал числа
и геометрические величины в один класс. Но такое включение
совершенно определённо совершилось при создании буквенного
счисления.
Для Евклида пропорция (равенство отношений) a:b — c:d
имеет место или для геометрических величии (книга V) или для
чисел (книга VII). Для позднейших математиков (а, Ъ) {с, d) суть
величины вообще (magnitudines j;i genere); может быть, что (я, Ь) —
геометрические величины, а {с, d) — числа, по при этом, если
(а, Ь) одного рода, то и {с, d) одного рода.
Аксиома Клавия тогда постулирует возможность для гео-
геометрических величин (Ь, с) и для "числа а найти такое число, что
х:а -~ Ь:с.
Возьмём х=1 и мы будем приведены к необходимости при-
признать всякое отношение даже несоизмеримых величин как отно-
отношение числа к еднппне.
Если за с принять единицу меры, то результат измерения
Ь". 1 представляется отношением числа к I. Остаётся только отожде-
отождествить отношение с числом,чтобы получить взаимно однозначное
соответствие между геометрическими величинами и д-ара^тернлу-
ющими их числами.
19. Окончание предложения 19. В некоторых рукописях
после окончания следствия идёт следу тощее место, исключённое
Гейбергом из текста Евклида и отнесённое в приложение.
«Эти же отношения имеют место и для равнократных
величин и ^для пропорций, поскольку если первая второй
будет такой же равнократпой, как третья четвёртой, то
получится, что как первая ко второй, так и третья к чет-
.вёртой. Однако обращать этого нельзя; если бнло бы, что
как первая ко второй, так и третья к четв5ртой, то не
2S) Э н р и к в е с, Элементарная математика, СПБ., 1913, статья
Вайлати.

К КНИГЕ V 39Э
всегда получится, что первая второй и третья четвёртой
будут равнократиы, как, например, бывает в случае полу-
юрного отношения, или равного единице с четвертью
н других подобных, что и требовалось доказать>.
20. Сложные отношения. Следующие четыре предложения
книги V «Начал», а именно, 20—23, посвящены обоснованию тео-
теории сложных пропорций (определения 17 и 1SJ.
Предложение 20. Если
A:B--.D\F,
если Л>С. ю и
если А =С, ю и D--I,
если А < С, то и D < /.
El ли А > С, то по предложению 8
или, поскольку -— = -^ :
i>?
в ' в '
Но на основании следствия из предложения 7
i- — L
~В ~ '/•:
и, значит,
D_ I
Е >~IS ¦
По предложению 10 это требует, чтобы
Аналогично доказываются и оба остальных неравенства.
Предложение 21. Если
A-.B — E-.I,
B-.C — D-.E,
то
если А> С, то и D > /,
если А = С, то и D~ [,
если А < С, то и D <1.

400 _ комментарии
Из неравенства Л>С иа основании предложения 8 получаем.
в ^ в '
HoA = fs
ЕС
>
В D СЕ
Из равенства -g- = — следует -^ = — , значит,
откуда по предложению 10
Предложения 20 и 21 являются леммами, служащими для до-
доказательства соответственно предложений 22 и 23,
Предложение 22. Если
А__ D_ i___E
В ~~ Е ' С~~ Г '
то
А—И
с~ i ¦
Берём
Н=тЛ, К="В, М = рС,
0 = mD, L = nE, N=pl.
Из пропорций
A___D_ В__Ц
В"Е ' С ~~ !
следует (предложение 4)
тЛ mD nB пЕ
~пВ~ггЁ' р~С~р~Г
или
H:K=G:L, K:M = L:N.
По предложению 20 мы имеем;
если Н^М, то и О > Л",
если Н—М, то и G — N,
если Н<М, то и О < Л",

а это, согласно определению 5, эквивалентно пропорции: -- --г »
Предложение 23. Если "ь;==~7 и ~^==~pi
A D
Берем
Н—тА, G = mB, Я = тГ),
L — nC, М = пЕ, N—nL . . -
По предложению 15 имеем
А тА Н Е пЕ М
или вследстане пропорции А;В — Е:1
7/= 7?* -
Далее из пропорции B:C~D:E получаем «переставляя»
J? = ^7
Но
'Ъ~'тЬ'~"К1 ~Е:==~пЁ~~М'
откуда
К, М'
или спереставляя>
Сопоставляя равенства
в~ N и L~M'
мьг, согласно предложению 21, имеем,
если //>/., то и АГ> j4
если И=1, то и K=N,
если //<?, то и К<№
26 Евклид

402
КОММЕНТАРИИ
то
Эти равенства выражакн, что
если тл-=пС, .- -—,..
а это по определению 5 означает, что существует пропорция
с~~ i'
21. Два последних предложения книги V. Предложение 24
касается общих свойств отношений, представляя по существу
иную форму выражения предложения 2, но помещается здесь,
поскольку для своего доказательства требует наличности пред-
предложения 22.
Предложение 24. Если ~ = ^ и ??=*•?, то
Из пропорции --^-=-^- получаем «обращая»:
в/ги1
Теперь, сравнивая пропорции
AB_DE iL__L
С I " ВН~~EU'
мы по предложению 22 будем иметь
а это после, применения предложения 18 даст
вТГ~ ~ Ёи '
Сопоставляя же это равенство с пропорцией
BH_EQ
¦ прЕнЮШ опять предложение 22, будем иметь
АВ + ВН DE + EO
с - 7 •

К XttHl В V 40i
Различие между предложениями 2 и 24 заключается в том, чго
в формулировке предложения 2 первый член АВ представляет
некоторое кратное второго С, тогда как в формулировке пред-
предложения 24 это ограничение снимается: отношение АЗ-.С может
выражаться любым числом, am только цельт,
A R F
Предложение 25. Если ~== -? и Дб > СД ЛВ > я,
ГО
,4В -}- / > CD + Е
Берем
АН — Е, CG—I
и переписываем основную пропорцию в виде
CD~ CO '
По предложению 19
АВ_ АВ—АИ__НВ
CD~~ CD~CG~UO'
Поскольку же АВ > CD, то и
ИВ > GD. .
Теперь из равенств
АН-^Е и СО^/
следует
или
т. е.
AH + HB+l>CG + GD-\-E
АВ + / >CD + Я.
22. Неравенство отношений. В определении 7 Евклид даёт
формулировку неравенства отношений;
если можно найти такие два целых числа гл н л, что одновре-
одновременно будет ^
may пс
а
тЪ < nrf.

4U4 КОММЕНТАРИИ
В предложениях 13, 14, 20, 21 и 25 он доказывает ряд свойств,
касающихся неравенства отношений:
1) Если-2.=^ и ?->у,То-|->у (предложение 13).
а~с h=zd (предложение 14).
а < с Ъ < d
3) Если -г =—, — = -у и а > с, то d >/ (предложение 20).
4) Если тг — -т ' -="Иа>с, то rf >/(предложение21).
5) Если -г~-7> и я>^. тоа-]-^^-^*!-^(предложение25),
Наше изложение арифметической теории пропорций в из-
известном смысле противоположно евклидову.
Мы начинаем с предложений 22 и 23.
Если -г = — и — = -г j то — —— (предложение 22).
й ^ Ь d ad
Если -ь-= у и —= — , то —= — (предложение 23),
сводя доказательство к простому перемножению дробей:
a s, b a d s. e d
тт ad
Из равенства — = -? выводим, что
если — > I, то -т-> 1 (предложение 14),
Предложения 22 н 23 доказываются не на основании 20 и 21,
а с помощью предложения 14.
Для доказательства мы составляем пропорции: ' ¦ '
ma:mb = nd',ne, mb:mc=ne:nf1
откуда при
ma=nd и mb= пе, mb = пе и пс ¦= ftf, ' ¦ ч
т. е, при
ma—nd и тс = л/,

к книге v 405
иными словами, если
a;d = c:f,
то и
a:c = d:/.
Что касается предложения 25, то для его доказательства мы
пишем пропорцию
а_ а — с .
T~b ~d '
из того, что а > Ь, мы заключаем, что
я —суь—d
и, наконец, что
а -}- d > Ь -}- С
В книге VII «Собрания* Папп 2Э) в значительной мере по-
пополняет Евклида.
Все неравенства Паша относятся не к геометрическим вели-
величинам вообще, но к прямолинейным отрезкам. Только для от-
отрезков имеет често положение: произведение крайних равно
произведению средних, т. е,
ac^bd
(см, предложение 16 книги VI), так как только для этого случая
имеет смысл произведение ас, представляя «прямоугольник, по-
построенный между а и с». В исследованиях Паппа это положение
является основным.
Приводим табличку результатов Паппа,
Предложения 3, 4, Если а;Ь^. с-.d, то {а -\- b)\b^{c -\- d):d,
¦ 5, Если a:b>c;ct, то a;c>b:d.
6, Если а: ? > c\d, то а \ [а -\- Ь) < с: (с -f- d),
7, Если a;b>c\d, то b:a<d;c,
8, Если a:b>c;d, то a;b>{a-\-e):{b-{-d),
9, Если a;b>c\d, то й;й>(а — с);ф — d),
11. Если а > с, b < d, то а\с > b\d.
12, Если /w<«, то т;(а + 6—т)<ча:Ь, \ ;
16. Если а:?>с;й, то ad'ybc, '*¦¦.' .
29) pappi, Collectlones, изд, Hultsch, т. 1—3, 1875— Г876;
т. 2, стр. 687 и ел.

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VI '
I. Высота. Высота понимается Евклидом и античными мате-
математиками шаре, чем мы понимаем. Высота фигуры — это перпен-
перпендикуляр, опущенный из вершины на основание; конечно, при
этом высота зависит от того, что мы принимаем за основание.
Вершиной же является высшая точ-
точка, т. е. наиболее отдалённая от
основания.
Согласно Евклиду можно гово-
говорить о высоте любого многоуголь-
D
I
Черт. I.
D
Черт. 2.
пика. Так, для многоугольника ABCDE высотой является пер-
перпендикуляр Dl, опущенный из точки D на основание АВ
(Ч2рТ. 1).
Архимед *) говорит также и о высоте кривой; за основание
он принимает хорду, за вершину—наиболее удаленную точку
(черт. 2).
В тупоугольном треугольнике ABC (черт. 3) высотой прихо-
приходится счнтать перпендикуляр не на основание, а на продолжение
основания. Поэтому при чисто евклидовом определении высоты
нам приходится потом вносить корректив.
Если наряду с выпуклыми ломаными и кривыми брать и
вогнутые, то высота будет уже не совсем определённой, так как
I) Arc himedes, Opera, ed, Helberg, Quadrature parabolae,
theor. 18.

К КННГЕ VI
может оказаться не одна, а несколько высот {ОС и FE на
черт. 4).
Евклид в предложении 1 книги VI пользуется понятием о
высоте треугольника. В первой книге он не говорит о высоте
параллелограмма, рассматривая «парал-
«параллелограммы, лежащие между двумя па-
раллельными».
Но в предложении I книги VI наря-
наряду с высотой треугольника выступает и
высота параллелограмма.
С Е
Черт. 4.
Стереометрических аналогий; высоту призмы, пирамиды
цилиндра, Евклид не определяет, хотя пользуется этими поня-
понятиями.
2. Составные отношения. Большую роль в арифметнзации
теории пропорций сыграло определение 5 книги VI.
Определение это даётся в неясной форме. Поэтому пере-
переводчики стараются выяснить его содержание вольным пере-
переводом а).
Лоренц3) даёт следующий свободный перевод: «Из трёх или
многих величин а, Ь, с, d, из которых каждая предыдущая на-
находится в отношении с последующей
й к последней называется составленным из
ний».
г) Euclidls Elementa. Libri XV a Barth. Lamberto latlnitati do-
aatae, Basiieae, 155S, стр. 157.
*) Euclidis Elements funlzehn Bilcher, ubers, v. I. Lorenz,
Haile, 1S40. — В а щ е н к о-З ахарченко, Начала Евклида,
Киев, 1880.

*Uo КОММЕНТАРИИ
символику 9 которых отношение мыслится определённо как
дробь:
а k Ь т с s
Т е ' с п ' d~~ r '
_..,, ' а а Ь с ferns
d~~ Ь с d е п г '
Видимо, около этого же понимания вращалась мысль мате-
математиков второй половины XVI в., уже отчасти арифметизиро-
ванпая 4).
Тарталья дазт такой перевод: «Отношение, составленное из
отношений, если количества отношений между собой умноженные
дают количество».
Евклид нигде не оперирует отношениями как с числами.
С его точки зрения не может быть умножения отношении.
Поэтому, если в тексте Евклида употреблен термин
хэШая'1 аакхадёлоал — умноженные, то, как справедливо замечает
Вайлати, определение это не может быть признано подлинным.
Подробно анализируя доказательство предложения 23 книги VI,
мы видим, что приведенная выше формулировка Лоренца не
охватывает содержания этого определения.
Отношение &'.d мыслится составленным не только из {&'.Ь),
(b:c), [c.d), но и из {а: Ь), (Ь : с), (с; d) при условии, что
a\b=~a\b, b:c^^b:'c, c;d^=c: d.
Вообще евклидово понятие отношения было ближе к обще-
общему логическому понятию отношения, лежащему в основе совре-
современной математической логцки, чем к математическому отноше-
отношению чисгл; вероятно, и у самого Евклида не было вполне ясного
понимания.
Р. Симеон5) даёт пояснения, которые совершенно исключают
мысль об умножении. Мы приводим их полностью.
¦ I. Пусть даны несколько величин одного и того же ролл.
Говорят, что первая имзет к последней отношение, состав-
составленное из отношения, которое имеет первая ко второй, из отно-
отношения второй к третьей и из того, которое имеет третье к
четвёртой, к так далее до последней. Например, пусть даны А,
В, С, D: говорят, «первая А имеет к последней t> отношение,
составленное из отношения А к В, В к С, С к D> или <отноше-
ние А к D составлено из отношений А к В, В к С, С к ?>>.
2. Если отношение А к В то же, что Е к F, а отношение
В к С, то же, что G к И, а С к D то же, что К к L, то гово-
4) Clavlus, EucHdis Elementa, Francf. 1607, т. !, стр.542
стр. ISO. ¦
6) R. Simson, Euclid/s elem. libri prioiesj Glasguae,
'стр. 177, 370.

К КНИГЕ VI 41J9
ряг, что А к D имеет отношение, составленное из отношений,
которые те же, что ? к F, О к Я и Д" к L
И это разумеют, когда ради краткости говорится, что Лкй
ииеет отношение состоящее из отношения Е к/7, G к Н и Д"к I.
Зпесь нельзя согласиться с тем, что такая форма выражения
у Евклида является только условной.
Р. Симеон является бдлыиим формалистом, чем Евклид.
Он мыслит отношение как какую-то операцию (которая затем
обращается в операцию деления) и составное отношение не как
отношение настолько же простое, как каждое из составляющих.
Так мыслится и отношение и нематематического характера;
В отец А, С брат В, D внук С, D родственник А.
3. Точно таким же образом, продолжает Р. Симеон, если
отношение М к N ю же, что А к D, то рада краткости гово-
говорится, что отношение At к N тоже составлено из Е к F, F к Н
и К к L (или из А к В, В к С, С к D).
?, Неудобные обозначения. Барроу6) противится грядущей
арифметизациа. Он очень резко подчеркивает, что математиче-
математическое отношение (ratio) есть простая зависимость, взаимоотноше-
взаимоотношение (relatio), а вовсе не величина, и отношение можно назвать
величиной только иносказательно.
Но затем он говорит о том, что всё-таки вошло в употреб-
употребление сравнивать отношения как абсолютные величины и гово-
говорить о равных, больших и меньших отношениях.
Комментируя предложение 20 книги V, он пишет:
В
С
здесь под знаком сложения подразумевается знак умножения,
так как «сложное» отношение, составленное из нескольких, полу-
получается в результате их перемножения.
Говоря об определении 5 книги VI, он говорит- А к С со-
составлено из отношения А к В и В к С, ибо по предложению 20
А , В _А
_ АВ ¦ ¦
а по определению 5 оно равно -^тг.
Это режущее глаз обозначение, открывающее пропасть между
отношением й числом, находится и значительно позже у Гаузе-
ра'), который пишет:
«) Barrow, Lectfones habltae anno 1684, кн. V, стр. 25.
') Hauseri Elementa Matheseos, стр. 56. Pfleiderer'
Scholien zum VI Buch, стр. 158.

410 КОММЕНТАРИИ
4. Относительные величины Арно. Интересно проследить
колебания в арифметизаиии отношения. Арно8) в своих «Новых
элементах Геометрии* идёт значительно дальше своих совре-
современников.
Я приведу 10 положений, представляющихся Арно очевидными.
2. a:d = {a -b
3. а:(Ъ:т)^> a.b, где т— целое число.
4. (<z:c):(b:c) = a:b.
5. {с:ау.[с\Ь) — {Ь:а),
6. a:b^c:d,)
7. a;b = c:b—>а~с.
8. Два из следующих влекут за собой третье;
а=с, a:b = cid, b = d.
Но, правда, некоторые из этих положений Арно вследствие
недостаточно сильной очевидности, вернее, только разъясняет.
Достаточно бросить взгляд на эту табличку, чтобы усмот-
усмотреть, что для Арно отноштая уже величины, которые, как
числа, отрезки площади, объёмы и т. д., могут между собой
складываться и вычитаться. Но только это величины, относи-
относительные, в то время как последние величины абсолютные.
Для каждого рояа величин можно отметить оба эти вида.
Числами абсолютными у Арно называются только целые числа,
относительными являются дроби. Таким образом, дробь начинает
рассматриваться как отношение.
<Гак как откошешге величина, хотя бы и относительная,—
говорит Арно, — то всё, что относится к величине! вообще,
относится и к отношению*.
Две величины {а:Ь) и (c:d), замечает Арно, хотя и относи-
относительные, мы можем подвергнуть, как а и Ь, сравнению, дающему
или равенство или неравенство.
В случае равенства имеем пропорцию a:b~c;d. Случай не-
неравенства даэт то, что мы могли бы ¦ назвать вообще относитель-
относительной величиной уже второго порядка:
{a\b):{c:d) ¦
и сравнение таких новых величин даёт опять пропорцию:
9 (Arnaldus — Arnaud). Nouveaux elements de
rie, 1667, 1683,

К КНИГЕ VI
411
или то, что мы могли бы считать равенством относительных ве-
величин уже второго порядка.
5. Треугольники с равными основаниями. Конечно, дока-
доказательство Евклида не зависит от того, имеют ли треугольники
общую сторону АС.
Чертеж можно брать иной (черт. 5) и рассматривать тре-
треугольник MCiA и C2AL при MCi = C%L.
Доказательство Евклида _
можно представить в более
развитой форме.
Определение 5 книги V
утверждает равенство отноше-
отношений
А:В н C:D,
если для всяких целых чисел
т, ft, для которых при
Черт. 5.
Здесь А я В это основания ВС^ и C2D, а их же кратные пА
и тВ, МС\ nCsL.CuD — площади треугольников АВС\ и C2AD.
В настоящее время мы поступаем иначе. Мы сперва уста-
устанавливаем, что площади прямоугольников с общим основанием
относятся как высоты н на основании предложения 36 книги I
распространяем это на параллелограммы спе-рва с общим, а за-
затем с равными основаниями.
Ход рассуждений иной, чем у Евклида. Можно сказать, что
то, что входило в евклидово определение отношения, теперь
доказывается.
Случай, когда высоты соизмеримы, не представляет никаких
затруднений.
Мы откладываем на высоте АВ общую меру и проводим
через точки деления параллельные основанию, разделяя как
ABFD, так ACED (черт. 6,й) на равные прямоугольники, первый
в числе т, второй — п\ тогда будем иметь
ДС_^. прям. ACED n
АВ~~т' прям. ABFD ~"т*
и делаеи заключение'
ACED\ABFD*
-. ACiAB.
Но, как известно, случай несоизмеримости представляет
большие методические трудности (черт, Ь,Ь).

412
КОММЕНТАРИИ
Мы в этом случае начинаем с деления АВ на т частей,
равных AI, а затем откладываем AI на АВ, так что пА1 < АС,
а (п-\-1} Л/> С А {пА1 не равно С А, так как АС и АВ предпо-
предположены несоизмеримыми).
В
D /7
Черт, б.
Тогда устанавливается одновременное существование нера-
неравенств:
пАВ<тАС<{п-\-\)АВ, I
и
nABFD < mACED < (п -f I) ЛВГО. II
По Евклиду этого уже достаточно, чтобы утверждать, что
ACED\ABFD=AC:AB. Ill
Для нас же это недостатушч.
Обычный при^м, которым мы в настоящее время в этом
убеждаемся, состоит в неявном применении понятия предела,
который выявляется вполне только гораздо позже в главе «из-
«измерение круга».
По существу же рассуждение сводится к тому, что от-
отношение ~АВ:АС, не выражаясь рациональным числом, выра-
выражается иррациональным, которое мыслится как предел рацио-
рационального, т. е. как предел отношения— при бесконечном возрас-
возрастании числа делений я. ......
Неравенства I и II дают
AB:AC=\im"— и ABFD:ACED—i
IV

К КНИГЕ VI 413
Цель методической обработки — проведение доказательства
без точного выявления понятия предела. Наиболее убедительным
н простым приемом является использование актуальной беско-
бесконечности в том виде, как это делается и в других случаях, на-
например, если вывести из неравенств I и II, что отношения
АВ'.АС и ABFD:AC?D (которые должно мыслить как числа,
выражаемые десятичными дробями с бесконечным числом знаков
после запятой) имеют те же цифры на первом месте после за-
запятой, затем те же на втором, на третьем и т. д. до бесконеч-
бесконечности.
У Лежаидра и во всех учебниках лежандрова типа до нача-
начала XX в. пользуются методом исчерпывания (о котором будем
подробно говорить в комментариях к книге XII), но только в
ари.рметизированной форме.
Ведётся рассуждение от противного (черт. 6,Ь).
Предполагается, что отношение ABFD'.ACED не равно
АВ'.АС. Например, что
ABFD:ACED < АВ:АС.
Тогда можно написать, что
ABFb:ACFD = АВ-.АК, V
где
АК> АС.
Но разделяя АВ на частя, меньшие СК, мьт можем получить
точку деления Р между СЕ и f(L и будем иметь
ABFD-.APQD = АВ: АР,
ABFD-.ACED — АВ:АК.
Но этого быть не может, ибо
APQD> ACED
и поэтому
' " ABFD-.ACED > ABFD:APQD4
т. е.
АВ AS.
АК АР'
но, с другой стороны,
АВ:АК< АВ-.АР,
так как
АК>АР. . :
Следует отметить, что во всех этих рассуждениях мы делим
АВ на равное число частей, т. е. делаем то, что, согласно Евкли-
Евклиду, можем делать лишь после предложения 9 книги VI.

КОММЕНТАРИИ
6. Приём Евклида и приём Л акру а. Ь отличие oi <Нзчал>,
в современных учебниках геометрия теория подобия излагается
далеко от исходного пункта. Как совершенно основательно замечает
Таннери, понятие о подобии я пользование некоторыми предло-
предложениями, к нему относящимися, следует отнести к зарождению
геометрии; это и обусловило положение теории подобия в «На-
«Началах^ Отделение теории подобия от исходного пункта геомет-
геометрии было вызвано осознанием того, что ее строгое обоснование
зависит от строгого обоснования других геометрических теорий,
которые поэтому должны быть изложены раньше.
Р • ' Q
7
Черт. 7.
Черт. 8.
Лежандр поступает совершенно так же, как Евклид. В на-
настоящее время пользуются другим приёмом, идущий мимо антич-
античной теории площадей.
В основу кладётся свойство отрезков двух прямых между
параллельными.
В школьную геометрию приём этот видимо впервые внесён
Лакруа9), которому мы обязаны методической обработкой эле-
элементов геометрии Лежандра; однако приём этот имеется уже
в комментариях Р. Симсонп.
Если из точек А, В, С, D, равноотстоящих друг от друга
("черт. 7), проведены параллельные прямые, то отрезки EF, FG,
ОН, отсекаемые на другой прямой, будут равны. Напомним, что
доказательство сводится к установлению равенств треугольников
HKG, LGF, FME, в которых MF\\ АВ, LOW ВС, КИ\\ CD.
Отсюда выводится (черт. 8), что, пересекая две прямые АР
и DQ параллельными прямыми AD, BE, CF, имеем
AB:BC~DE:FE.
Евклидово предложение является частным случаем этого
положения, когда С и F сливаются.
9) La его! х, Elements de geometrie, Paris, 1814. Есть рус-
русский пер.

К КНИГЕ VI
415
В случае соизмеримости следует, отложив общую меру по
АВ и ВС, провести прямые параллельные и использовать пред-
предложение о равенстве отрезков двух прямых между параллель-
параллельными.
В случае же несоизмеримости приходится пользоваться
приёмом, аналогичным указанному выше. Следует отметить, что
при этом приходится испоаьзовать аксиому Архимеда, которая
непосредственно не используется Евклидом.
7. Относительные величину в теории подобия. Евклид
рассматривает только случай, когда прямая DE пересекает обе
стороны АВ и АС (черт. 9,я).
Черт. 9.
Р. Снмсои отмечает, что евклидово предложение имеет место
и тогда, когда DE пересекает продолжения сторон.
Тогда мы имеем то, что изображено на черт. 9,Ь и с.
Нетрудно видеть, что рассуждение Евклида не зависит от
расположения секущей DE,
Во всех трЗх случаях приходится повторять одно и то же,
оперируя треугольниками BDE, ADE и CDE, ADEf
В настоящее время эти три случая являются хорошей иллю-
иллюстрацией относительных величин в геометрии.
Различаются прямолинейный отрезок АВ и алгебраический
отрезок АВ, так что АВ—цАВ, смотря по тому, направлен
ли отрезок в положительную сторону или в отрицательную по
прямой. В первом и во втором случаях все отрезки положитель-
положительные и можно написать:
55 — 2?
АВ~~~АС'
Но в третьем AD пАЕ, как направленные противоположно
АВ и АС, будут уже отрицательны, но пропорция остаётся
всё-таки в силе»1).
W) Р а р е И е г, Exerdces de giometrl* modeoie, Paris, 1912.

416
КОММЕНТАРИИ
8. Sectlo rationls. В самой тесной связи со вторым предло-
предложением книги VI находится Sectio raiiouls — «деление в от-
ношении> Аполлония"). Простейшей задачей «деления в от-
отношении» является следующая: прямой, проходящей черезданную
точку И, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых
OP, CQ два отрезка, находящихся в данном отношении.
Решение состоит в том, что на этих прямых откладываются
ОМ и G.V с данным отношением QM:QN~k:l, через Н прово-
проводится прямая PQ, параллельная MX (черт. 10).
Черт. 10.
Так как откладывание по каждой из прямых возможное две
различные стороны {ОМ и ОМ', ON и ON1), то получим второе
решение, проведя через И прямую НК, параллельную NM' —
другой стороне параллелограмма.
9. Гармонические точки. В предложении 3 Евклид рассмат-
рассматривает лишь биссектрису внутреннего угла. Это предложение
можно пополнить аналогичным, относящимся к биссектрисе
внешнего угла. Это предложение используется Паппом в пред-
предложении 39 книги VII «Собраний» без доказательства, как обще-
общеизвестное.
Оно утверждает существование пропорции
ВИ: СИ = ВА: АС,
где И — точка пересечения биссектрисы АН внешнего угла со
стороной ВС (черт. 11).
Для вывода проводим CF\\AH и доказываем, что в силу
равенства углов при основании сторона FA=-CA. В результате
Щ ApollonU Pergaei, De Sectione raiioms libri duo ei
arabico studio, Edm. Halley, Oxonlae, 1706.

К КНИГТ VI
приходим к пропорции
откуда
BC:BH=BF:BA,
СН_АС
ВН ~~ ВА'
Четыре точки В (вершина), D (точка пересечения ВС внутренней
биссектрисой), С (верншна) и Н (точка пересечения #С "внешней-
в ОС Н
Черт. 11.
биссектрисой) представляют так называемые гармонические
точки, определяемые пропорцией
BD:CD=Bfi:CH.
Если брать алгебраические отрезки, то эту пропорцию
можно написать так:
SD _ ВН_ _,
CD ' СИ
Hi этий пропорции получаем
'HD ИВ ' НС'
10. Корректив к евклидову доказательсгву третьего пред-
предложения книги VI «Начал». Согласно замечанию Камерера следу-
следует в евклидово доказательство предложения 3 книги VI вставить*(?л-
казательство пересечения СЕ и BE (черт. 3 к предложению 3).
Проще всего, конечно, воспользоваться предложением Прок-
лаг являющимся эквивалентом постулата 5 Евклида.
Если СЕ не пересекает ВА, то ВА \\ СП, а так как ВА не мо-
может совпасть с DA, то из точки А проходят две параллельные СЕ.
Можно, согласно Пфлсйдереругг), несколько изменить до-
доказательство. Вместо того чтобы проводить СЕ \\ AD, можно
откладывать АЕ~АС. Тогда не приходится доказывать пересе-
пересечение прямых, а только то, что ?_АСЕ= ?_ DAC и заключать
отсюда о параллельности AD и СИ.
]2) Р 11 e i d е г с г, Scnolien, стр. 34,
27 Ебклид

418
КОММЕНТАРИИ
Из предложения 5 книги I следует, чго ??
и оба угла являются половиной дополнения угла САЕ до 'Id.
Но в силу теоремы о смежных углах (предложение 13 книги I)
тем же является ? DAC.
11. Случаи подобия треугольников. Евклид устанавливает
четыре случал подобия треугольников.
Предложение 4.
при этом одно из условий является избыточным.
Предложение о.
BC:CA = EF;FD,
BA:AC = ED:DF.
Предложение 6.
Z А -— Z D-
Предложение 7.
AB:BC=--i:f::L:F,
_ ACS <d и / F.FD < d,
Интересно отметить, что Евклид не даёт четвйртого случая
равенства треугольников, отвечающего четвертому случаю* по-
подобия, который можно Формулировать в аналогичной форме.
Треугольники равны, если они имеют пэ одному равному
углу и стороны, заключающие другой угол одного треуголь-
треугольника, равны соответственно сторонам, заключающим другой
угол второго треугольника, причём угол первого треугольника
и угол второго оба меньше или не меньше прямого.
Доказав эго предложение в книге 1, Евклид смог бы дока-
доказать предложение 7 книги VI тем же приёмом, что 5 и 6.

К КНИГЕ VI
12. Коэффициенты подобия. Современные методисты вводят
в теорию подобия треугольников в неявной форме первый кон-
концентр тригонометрии.
Отмечают, что в прямоугольных треугольниках ABC, ЛХВ{СХ
А^В^С^'-- с общим углом А отношение одного катета ВС к дру-
другому АС всегда одно и то
же и зависит только от
угла А (черт. 13).
Это коэффициент подо-
подобия первого рода или тан-
тангенс угла Щ, Зная один
катет и тацгенс угла, мож-
можно определить и другой ка-
катет. С другой стороны, мож-
можно по двум катетам опреде-
определить угол.
По отношению стержня
к его тени монсцо опреде-
определить высоту солнца или угол, „—
образуемый прямой, напра-
направленной к нему от глаза, с Черт. 13.
горизонтом.
Если вершина какого-либо предмета, например, башни В,
видна по тому же направлению, чго вершина шеста Вь или если
конец тени иг батин совпадает с концом тени от шестд, то, зная
длину его и расстояние глаза от основания шеста или длину
его тени, можно определить коэффициент подобия, а зная его ао
расстоянию от башни или её тени, определить ее высоту.
Сущность тригонометрической формулы
я = Ь tg A
и её значение в практической геометрии были давно известны.
Этот эмбрион практической геометрии и вместе с тем 1ригопо-
мегрии находим в Оптике Евклида (предложения 18, 19).
С точки зрения применения в практической геометрии тан-*
[енс имеет приоритет перед синусом.
Но математическая мысль пошла по пути, который привел
к таблицам не тангенсов, а синусов (и косинусов), г. е. коэффи-
коэффициентов подобия 2-го п 3-го рода (ощмшепия катета ВС или АС
к пшогелузс АВ).
Э го объясняется тем, что решэнче треугольников сначала
сводилось к определению хорд (и затем полухорд), и основные
формулы тригонометрии заменяла теорема Птолемея: прямоуголь-
прямоугольник, построенный на диагоналях, равен сум vie прямоугольников,
построенных на противоположных сторонах.
Можно сказать, что теоремы об условиях подобия треуголь-
треугольников открывали новый этан в истории решения треугольников.
Щ Б о рель, Элементарная математика, Магезис, Одесса,

КОММЕНТАРИИ
вания координат, впоследствии введенных Эйлером,
Мы приводим их к современной символике с соответству
щи ми теоремами, из которых в настоящее время можно
вывести.
Пусть S — площадь треугольника, а, 6, с — стороны, А, В, С
противоположные углы, ha — высота, опущенная на сторону
64, 65, 67. Если дан угол А (тупой или острый), то от
шение
С —
а,
но-
но^1+JZ1^! дано (я3 — № + С2 — 2bc cos A).
63. Если Л дан, то hl. дано (<?= **|Hi.) .
71. Пс.ш в двух треугольниках —;, гт, С, С даны, то -^
Г S о* sin С А
"° [vy = 7i'slrTC;V
he h
76. Если /4, Я, С, а = ~, ?"— даны, то -5 дано
на а
80. Если ^4 и «^-т; даны, то a, ft дани
14. Теория подобия Хр. Вольфа '5). Что такое подобие? Ев-
клни, а за инч и Лежандр, на этот общий вопрос не отвечают.
») Euclidis, Opera, ed. Heiberg, Data,
Щ L'Hop/tal, Traite des sections couiqiies, 1707.
14 Cramer, Introduction a I'Analyse des lignes coiirbes alge-
briques, 1750.
К) См. прим. 14.
TS) D, M о р д у x з й-Б олтовской, Теория подобия
Хр. Вольфа и постулат Левека, Вестник опытной ф(гзккн и элемен-
элементарной математики, 191,^.

К КНИГЕ VI 4-Л
Они длюг определения только подобая треугольников а подобия
многоугольников*
Но математическая мысль XVII и XVIII вв. старается охва-
охватить своими определениями самые общие понятия.
Хр. Вольф, следуя идеям Лейбница, даёт следующее общее
определение подобия.
«Подобие—тождество тех признаков, которыми вещи друг
от друга отличаются*. Это определение близко к аристотелеву
определению подобия как одинаковости формы; оно выставлялось
ц педагогом Дистервегом.
Лейбниц говорит, что две- вещи подобны, если ошг раздельно
не различимы; они конгруэнтны, если не различимы и с присо-
присоединением, т. е. различаются только положением.
Современный «интуитивный» учебник занимается воспита-
воспитанием идеи подобия, которую он отказывается определить в со-
совершенно определенных терминах.
Иногда даётся определение подобия, состоящее в том, что
подобными фигурами объявляются те, которые при одинаковой
форме отличаются только размерами.
Конечно, такое определение остаётся логически не дейст-
действующим, по с методической точки ярения путь, идущий через
это определение к обычному, возводимому в аксиому, является
наиболее рациональным. Определение Вольфа скорее можно на-
назвать метафизическим, чем методическим. Он хочет в нём дать
больше, чем то, что относится к собственно математическому по-
понятию подобия.
Интересна схолия X. Вольфа:
«Возьми,—говорит X. Вольф,—две вещи А и В. Направь
своё внимание на признаки, которые могут наблюдаться в А, и
наблюдения свои запиши на бумаге. С равным вниманием отметь
и признаки В, которые сможешь в ним распознать. Если теперь
окажется, что все признаки, отмеченные в А и В, одинаковые, то
вещи А и В подобны*.
В число признаков, конечно, не включаются размеры (коли-
(количество) А и В.
В действительности такая проверка подобия не может быть
осуществлена до конца, так как в каждом предмете существует
бесконечное множество признаков и, например, за признаки
двух треугольников можно принять и углы между сторонами, и
угол между медианой и стороной, и отношение медианы к бис-
биссектрисе н т. д.
Конечно, это определение, как и приведённое выше, остаётся
логически не действующим,
Вольфианская теория подобия основана на его аксиоме: <Ес-
ли две фигуры или линии могут одинаковым путём производить-
производиться или описываться и при этом те элементы, с помощью которые
они производятся, подобны, то подобны также фигуры или линии».
Необходимо здесь принять, что для обеия фигур берётся по
одному элементу, который подцергастсн одинаковым операциям

КОММЕНТАРИИ
для первой и для второй. При этом два прямолинейных отрезка
должны всегда считаться подобными.
Углы Вольф не признаёт за элементы. Построение угла не
вводит нового элемента, а представляет операцию над заданным
отрезком.
В таком случае, так как радиусы двух кругов Сх ч С2 всегда
подобны и так "как при получении кругов производится одна и
та же операция, то круги Q я С<ь должны быть признаны подоб-
подобными.
Черт. 14.
Треугольники Л| и А; с парами соответственно равных
углов Z. А\ = ? А, ^Й,-^^ должны быть призшнь/ тоже по-
подобными, ибо получаются с помощью одинаковых операций над
их подобными основаниями.
Если пересечь две прямые параллельными, то пары отрезков
(а, а') и (b, b'), отсекаемые на прямых, согласно вольфианскому
определению, подобны, и поэтому и все признаки у них одина-
одинаковы, а потому и всякая их взаимная зависимость. В частном
случае та, которая получается через количественное сравнение
а:а' —b:b'.
Отсюда выводится пропорциональность соответственных сто-
сторон в подобных треугольниках.
Этот манйвр даёт возможно;™ Хр. Вольфу обойти неприят-
неприятный случай несоихчрримых величин.
Впишем (черт. 14) в два подобных треугольника ЛВС и
А'В'С два круга ei соединим точки касании прямыми. Полу-
Получаемые таким образом треугольники EFD и b'F'D' подобны.

к книге vi 423
В самом деле, мы здесь над каждым подобным треугольником
производим совершенно одинаковые операции:
1) делим углы пополам,
2) опускаем перпендикуляр из точки пересечения биссектрис
па стороны,
3) соединяем основания этих перпендикуляров прямыми.
Можно сказать, что в подобных треугольниках все пря-
прямолинейные отрезки, одинаковым образом построенные, и от-
носятся между собой, как соопввт?твенные стороны: таковы,
медианы, биссектрисы, высоты и т. д.
15. Коллинеация и подобие. Характерная черта современ-
современной математической мысли—эго подведение различных свойств
i еомотрических фигур пол общие идеи, которые были чужды не
только античной мысла, ко н XVII и XVIII вв.
Чтобы подняться до понятия преобразования плоскости и
пространства,матештнческойашсли необходимо бы„-юподойти к по-
понятию пространства в целом. У Аристотеля существует только ка-
категория где, существует место, ио пространства в иьютоиианском
смысле у него нет. Первый этап — это установление понятия про-
пространства в целом-—-в космологии как вместилища тел, в гео-
геометрии как вместилища точек. Второй эгап относится к поздней-
позднейшему времени. Это внедрение в геометрию понятия преобразо-
преобразования, причём не фигуры, а всей плоскости или всего простран-
пространства в uej[OM, введение понятия группы преобраювйний, т. е„ та-
такой их совокупности, что результат двух последовательных
преобразований тот же, что одного, и, наконец, установление
понятия инварианта, т. е. неизменного при преобразовании.
На этой высшей точке развития геометрия становится уче-
учением о преобразовании пространства (Эрлацгенская программа
Ф. Клейца). Движение, лежащее в основе форочомической гео-
геометрии, начинает при этом рассматриваться как преобразо-
преобразование, инвариантом которого является расстояние между двумя
1 очками.
На этой стадии развития подобные фигуры определяются
как получающиеся в результате подобного преобразования пло-
плоскости. Подобное же преобразование определяется, во-первых, как
прое/сгпивног, т. е. то, котороа осуществляется проектирование»,
иначе гозоря, отбрасыванием тени, во-вторых, как конформное,
7. е. такое, при котором сохраняются утлы. Можно доказать, что
такое преоЗраювание является аффинным, г. е. такци, при кото-
котором инвариантом шляется отношение отрезков одной и той же
прямой.
Более абстрактной точкой зрения является установление по-
понятия о соответствии, при котором уже не мыслится непрерыв-
цьш переход от одной фигуры к другой, но устанавливается
лишь соответствие между их точками; пана фигура мыслится
как отображение другой."Рассматриваемое с этой точки зрения
подобие представляет частный случай так называемой коллине-
ации (так называгкя соответствие, в котором каждая прямая

hUMMF.HTAPUM
отбражаеюи всегда тиже прямой, и точкам цервой прямой отве-
отвечают точки второй), если добавить it ней идею конформности,
т. е. сохранения угла между соответственными элементами ото-
отображаемой фигуры и её изображением.
16. Пучок, пересечённый параллельными прямыми, и
теорема Кеплера19). Входящее в каждый учебник предложение
о пропорциональности отрезков на двух параллельных, отсекае-
отсекаемых лучами пучка, т. е. о пропорциях (черт. 15)
F.L: СН= LK HG = KI: GF— ID:FB = AD:AB,
мы находим в комментариях Клавня.
Это свойство отрезков кладётся в основу так называемою
масштаба.
На современном языке мы можем выразиться так: при про-
проектировании с одной прямой на другую, ей параллельную, со-
сохраняется простое отношение
FB:GF=--ID:KI.
Конечно, при этом придётся
мыслить то, что было чуждо нр
только Евклиду, но и вообще ан-
античной мысли — операцию проек-
проектирования пункгуала, т. е. беско-
бесконечного множества точек, лежащих
на прямой.
Следует иметь в виду, что по-
положение это обращается. Про-
Пропорция KI:ID~-GF:FB влечёт за
собой прохождение трех прямых
BD, Ff, GK через одну точку.
Черт.
Здесь не безынтересно упомянуть о теореме Кеплера,"ирп-
иадлежащей к немногочисленному классу предложений старых
математиков, относящихся к зрительным свойствам, т. е. тео-
теоремам о принадлежности тр!:х точек одной прямой, о прохож-
прохождения трёх прямых через одну точку и т. д.
Если взять три параллельные прямые QC, РЕ, ОК и пере-
пересечь их пучком прямых Лб, AG, AF, пересекающих первую пря-
прямую в В, G, F, а через точк^ I), I, H пересечения со второй
прямой провести прямые, параллельные одному лучу АК, до
пересеченна с третьей прямой в точках L, М, Лг, то все пря-
прямые LB, MU, NF ее АК сойдугся з одной точке (черт. 16).
Доказывается теорема Кеплера так: ест КС и NF пересе-
пересекаются в точке /?, то
CFKNR
Но, бери прямые ABD, AGf, AFH, АСЕ, имеем
CB-.ED =-. CG-.EJ = CF-.EH.
Щ К е р I с г i; Paralipomena a4 ViteiHonem,

К КНЛГЬ VI
425
Вследствие того, чг-
IMC^M
и потому
п поэтому точки
-к-жат па прямых
О?]|М11|//ЛГ,
% — CG-.KM = CF:RN= RC-.RK,
(I, В и /О, (М, О" и tfj
#Й? и AfG#,
ВЫХОДЯЩИХ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ.
Теорема Кеплера обращаеюя в более общую, причём уже
чисго зрительную теорему, если всю конфигурацию спроектиро-
нлть на плоскость, наклонную к плоскости чертежа, так что DL,
IM, UN, AK оказались бы уже
не параллельными, по сошлись бы
и одной точке.
Два пучка перспективны, если
их лучи сходятся па прямой РЕ.
f-хли'нх пересечь двумя прямыми,
проходящими через точку пере-
пересечения РЕ с прямой, соединяю- Q-
щей вершины, то прямые, сое-
соединяющие точки пересечения со-
соответственных лучей, пройдут че-
через одну точку.
Эта теорема может быть пред- Р-
ложена как задача проективной
геометрии. 0-
17. Гомотетия. Различают
подобие в широком смысле, о
КОТОРОМ ГОВОрИТ ЕВКЛИД, И 1[ОДО-
йл^ъ узком смысл", когда подобие
положением, т. е. гомотетией.
Два гомотетичных треугольника (или вообще фигуры) такие,
у которых соответственные вершины лежат на прямых ОАА',
ОВВ', ОСС, сходящихся в одной точке О, причём отношения
расстояний
ОА':ОА, ОВ':ОВ, ОС'-.ОС
равны. На основании предложения 2 Евклида равны также и от-
отношения А'С;АС, В'С'.ВС, А'В':АВ, поэтому треугольники ABC
и А'В'С подобны. Вместе с тем и соответственные их стороны
АС и А'С, АВ и А'В', ВС и В'С параллельны.
Нетрудно видеть, что всякий треугольник А'В'С, подобный
ABC, можно привести в гомотетичеекое расположение с данным.
\/ \! \ \
Черт. 16.
соединяется с подобным рас-

426
КОММЕНТАРИИ
Для этого следует только взять такие А', В', С, чтобы
О А': О А = ОВ': ОВ = ОС ;ОС=К,
где К— коэффициент подобия, так что
Л'С: АС=^В'С'\ ВС=Л'В': АВ = К-
То, что мы выставляем как вывод [13 определения гомотетии
и теоремы о подобии, некоторыми французскими авторами пер-
первой половицы XIX в. выставлялось как опрелелениз подобия.
Черт. 17.
Подобными треугольниками являлись тс, которые могла
быть приведены в гомотетично-' положена?, так же как рав-
равными являлись те, которые могли быть наложены друг на друга.
18. Исчисление отрезков. Предложения 9, 10, II," 12 книги VI
т
дают возможность строить выражения х~— а, где т, п — це-
цели Ь* -. г—
лые числа, х-= — , л:= — , х~- у аЬ.
с с
Все эти элементарные построения лежат в основе графиче-
графического исчисления.
Комбинируя эти евклидовы построения, мы можем строить
и более сложные выражения, определяемые рациональными опе-
операциями и операцией извлечения квадратного корпя над отрез-
отрезками и целыми числами.
R истории алгебраической геометрий это исчисление отрез-
кор имело большое значение. Без сомнения смысл характери-
характеристик, т. е. букв, употребляемых в буквенной алгебре, менялся.
До Декарта это — величины в общем смысле, причём вовсе не
всегда выражаемые числами, Выражение аЬ понималось не
как число, получаемое .умножением числа а на число Ь (в этом

К КИИГГ VI
В/
случае употреблялось слово multiplicare), а как прямоугольник,
построенный на а и Ь (что выражалось термином ducere).
В аналитической геометрии Декарта2(>) х, а, Ь... это
не числа, а прямолинейные отрезки (по Евклиду — прямые).
Они играют у него роль чисел. Между ними
и всякого рода геометрическими величинами
устанавливаете'] взагг мнооднозначное соответ-
соответствие, и все операции над геометрическиуш в>
ли'ш;[Г|\г1 сводятся к
операциям .над отрезка-
отрезками. Не соответствовав-
соответствовавшие никакому геометри-
геометрическому образу выраже-
выражения abed,... л, Л'<...
теперь понимаются как
величины одного рода,
как отрезки; таким обра-
образом, символы, которые
раньше представлялись
столь же переносными,
f;<jk Y—U теперь полу- Q С /7 ~(f
чают реальный смысл."
Для этого оказывает- нерт. 1».
ся достаточным истолко-
истолковать ab не как площадь, а как отрезок, получаемый следующим
построениел.
На О/3 откладывается ОД — Ь, на OQ — отрезки ОА-=- а, ОС--\
(черт. 1Ч<; затем точка С соединяется с В и через А проводится
(. АХ\\ СВ. Обозначал ОХ^=х,
имеем
откуда
jc-—ab.
19. Деление отрезка
по Стевину2!). Стевип упо-
употребляет другой способ де-
деления отрезка на равные
части.
На прямой MN'\ AB он
откладывает равные отрезки
MD — DF ~. FH — И К —-
KN (черт. 19).
20) Descartes, Geomctrie, I637. Русский пер. с коммеит.
А. П. Юшкевича, 1939.
21) S t e v i и, Praxis geom. De sectione pro^ort. С 1 a v i u s,
стр. 555, Taquet, crp. 107.

423
КОММЕНТАРИИ
Соединив М с началом прямой АВ, а .V с ей концом, он из
точки S пересечения МЛ п NB к точкам D, Г, Н, К проводит
прямые SD, SF, SH, SK н в пересечении с АВ получает точки
И, О, f, L деления равные отрезков.
20, Деление площадей. Лз предложений I н 10 книги VI
вытекает решение задачи о разделении треугольника ЛВС на
равные части прямыми, проведёнными через вершину А (черт. 20).
Для этого следует основание разделить на равные части ВВ^ —
-'В]В'2=^В2В^= ... = Вп-ЛС и соединить точки деления с А.
Это, конечно, очень простая проблема. Но за пей последо-
последовали другие, среди которых были очень сложные,
Чтобы ознакомить с этого рода исследованиями, непосред-
непосредственно Примыкающими к «Началам» Евклида, я укажу решение
Я
Черт. 20.
проблемы о делении треугольника на три части в данных от-
отношениях прямыми, проведёнными из точки D на ею стороне;
при этом дам не исторически первое Магомета Бохадина22),
а более позднее решение, принадлежащее Тарталье33) (черт. 21).
Для разделения Д ABC на части, пропорциональные т:п:р,
делим основание ВС на части
через / и К проводим IF и КН, параллельные прямой AD. Тогда
DF и DH дают треб}'емое деление.
-2) S a v i I i u s, Praelectiones tredecim in priTicipia Eleinent-
F.uclidis Oxotiiae habitae, 1670. Oxoniae, 1671, crp. 17. Moham-
Mohammed i s В о h a d i и i, De siTparficierinn divisionions a h'r. Gom-
niandino latlne versae, ed. 1570. См. Euclidis quae supersunt ex
recensione Dav. Gregory, Oxoniae, 1703.
23) Т л it a g li a, La quinta partc del genera) trattatto de mi-
tneri e misure... in Vcnezia 1500, т. 25, —Clavius Openi,
стр. 262.

К КНИГЕ VI
429
Для того чтобы обосновать это построение, замечаем, что па
основании (предложение 37 книги I) д//=7} = /Si FA /\ADF=^
— t^AD[, Z±ADH=/±ADK, ДЛ№>=Д№4, и поэтому по
аксиоме 2 книги I Д DCF= Д ACI, UDFAH=^AIK> Д DHB=
ААКВ
nCF:DFAH\DHB-=-ACT:AIK:AKB-=CI:lK\KBr--p;n;m.
Эта задача обобщается па случай, когда D берётся где-либо
внутри треугольника,
21. Построение Штейнера24). Следующая теорема Штеп-
иера имеет очень большое значение в теории геометрических по-
построений.
Если две параллельные СВ
и ED пересечь прямыми АНС,
ADB, проходящими через точ-
точку А вне их и пересекающи-
пересекающими СВ и ED в (Е, D) и {С, В),
и соединить точку G пересече-
пересечения ЕВ и CD с А, то прямая
AG рассечёт СВ vi ED пополам
(черт. 22).
Обратно: если А соединить
с F серединой СВ, соединить/:"
с В vi точку G пересечения ЕВ С F Q
и AF соединить с С, то прямая
ED, соединяющая Е с D — точ- Черт. 22.
кой пересечения CG и АВ —
будет параллельна СВ.
Для доказательства отмечают подобие следующих пар тре-
треугольников:
(AHD\
\AFBJ'
fOHD\
\GCFj'
которые дают
откуда HD2 = E№ или
Обратная теорема доказывается от противного.
Если ED не параллельно ВС, то можно провести ED'\\AB.
Соединяя D' с С, мы должны иметь пересечение D'C и FB
в G'i но в случае ED'\\CB на основании прямой теоремы G'
2*) Ш т ей не р, Геометрические построения, выполняемые
с помощью прямой линии и неподвижного круга, Учпедгиз,
1939. — Адлер, Геометрические построения, Одесса.

430
КОММЕНТАРИИ
должно попасть в точку пересечения AF с ЕВ, что не имеет
места.
Штейиеровская конфигурация входит как составная часть в
конфигурацию Аполлония в его решении второй задачи <Sectio
ration is».
Да[[ы две параллельные прямые DE и АВ, пересечённые
третьей FC, и точка И (черт. 23). Провести через эгу точку
прямую, отсекающую на DE и АВ отрезки в данном отношении.
Мы проводим решэпие без доказательств.
Откладываются от F и С в обе стороны отрезки FiV— Fn
и СМ = Ст, находящиеся в данном отношении. Проводятся пря-
прямые Мп и JVtnt ntn и AW; точки пересечения g или (J, которые,
согласно построению Штейнера, находятся на FC, соединяются
с И. Прямая Hg или НО отсекает искомые отрезки FJ и СК
иш FL a CQ.
22. Удвоение куба 35). За задачей об определении одной
средней пропорциональной естественно должна была последовать
задача о построении двух средпепропорциональных; в алгебра-
алгебраической символике задача оо определении х, у из непрерывной
пропорции
К этой задаче сводилась знаменитая классическая проблема
об удалении куба (Делийская проблема), состоящая в постро-
построении с помощью циркуля и линейки стороны куба с удвоенным
обьёмом данного куба.
t gau-
gaudc
25) Teixeira, Traite des courbes, specifies planes et ^uu-
ches. — Gin o-L о г i a, Spezlelle algebraische und transcenden'c
Knfveti, Leipzig, 1902. — Rei ш er, Hlstoria problematis dedupi-
catione cubi e'.c., Gottingae, 1798. — Hofmaim, Das Delische
Problem, Mat. Phys. Bibliothek, т. 68, Leipzig, 1920.

К КНИГИ VI
431
Наиболее ценным открытием в глазах античных математн-
коч являлось сведзни^ Гиппократом Хиосским проблемы удвое-
удвоения куба к построению двух средних пропорциональных.
В действительности Гиппократ ни на шаг не продвинулся
вперёд, так как^ проблема эта так же неразрешима с помощью
циркуля к линейки, как к задача об удвоении куба.
Что касаегея предполагаемого решения Шатонд, л) можно
сказать, что он решил не поставленную проблему, а другую;
он наш-Л две среднепропорционачьные с помощью особого при-
прибора, л вовсе цс с помощью только циркуля и линейки.
Тщетным попыткам решения задачи об удвоений куба мы
обязаны получением алгебраических кривых"высших порядков,
часть которых была известной и древним.
Свэдение задачи об удвоении куба к задаче о проведении
через данную точку прямой, на ко горой данным углом отсе-
отсекается отрезок данной длины, должно
было тоже казаться mai ом вперёд и
большей мере, чем открытия Платона
к Гиппократа, ибо задача эта на первый
взгляд представляется менее сложной,
чем удвоение, и при этом невольно рас-
располагает к вере в её разрешимость, тац
как аналогичная задача в случае парал-
параллельных прямых легко разрешается.
Задача эта приводит к конхоиде Иико-
меда как к геометрическому месту концов отрезков данной
длины, откладываемых на лучах пучка от точек пересечения с
данной прямой.
Другой путь вёл к циссоиде Дижлеса. Проведем из центра
С полуокружности ABD радиуса CD=b перпендикуляр СВ а
диаметру AD, отложим CL = a (черт. 24) и соединим L с А
прямой АЕ. Если провести LH так, что ей отрезок 00 от
точки G пересечения с АЕ до точки О пересечения с ВС ока-
окажется рашням OH'oi О до точки Н пересечения с окружностью,
то СО будет одной из среднепронорщюналышх. Точка О стро-
строится с помощью кривой, называемой циссокдой Диомеса.
23. Параллелограммы с общим углом. Если обозначить
стороны одного из равноугольных параллелограммов через (а, а),
а другого через ф, р)
а:} =Ь:а, ¦ I
то можно также написать
аа.~Ь}, И
что в евклпдовско'л терминологии следует выразить так: прямо-
прямоугольник, построенный между а ц а, равен прямоугольнику, по-
построенному между Ъ и }.
В настоящее время равенство I или II можно рассматривать
как непосредственное следствие тригонометрической формулы
для площадей параллелограммов

432
КОММЕНТАРИИ
первого:
второго:
So = аа. sin О,
причём if = Э.
Мы приведём др\гое более изящное доказательство из
Пфлейдерера (черт. 25).
Пусть Tpeyi олыпгкн ABC, ADB равновелики, по тогда по
аксиоме 3 книги I равновелики также СЕВ и CED а поэтому
(по предложению 39 книги I)
ВО и ЕС парал!ельны н
CA:AD=EA:AB.
Обратно, если СА:АО=
\F —EA-.AB, то ВО и ЕС
параллельны и поэтому
(предложение 37 книги 1)
д СЕВ = Д C7TD (по акси-
аксиоме 2 книги !}, '
24. Инверсия. Опреде-
Определение обратно пропорцио-
пропорциональных величин исполь-
используется только в этом предложении.
Величины av a2 являются (прямо) пропорциональными Ьь bv
если
[1 обратно пропорциональными, если
Можно сказать, что обратно пропорциональны то. величины,
произведения которых равны.
Пример обратной пропорциональности даёт предложение 35
книги Ш. Можно формулировать, как это делает Клавий, это
предложение так: отрезки хорд обратно пропорциональны.
Если пропорциональность связана с параллельными прямыми,
то обратная пропорциональность связана с антипараллельными
прямыми. Для параллельных прямых АС и BD (черт. 26)
/_OAC~?OBD и OA:OC = 0B:0D.
Для антипараллельных (черт. 27) ?ОАС^= ?ODB и из
подобия Д О АС и Д OBD имеем:
OA;0C=0D:OB,

К КНИГЕ VI
433
Мы говори!, что в первом случае треугольник DBO полу-
получается из ЛСО подобным преобразованием, во втором же слу-
случае инверсией.
О
Л
Черт. 26.
Черт. 27.
25. Величины лннейные, плоские и телесные. Теорема,
что произведение крайние равно произведению средние, вво-
вводящая в современную арифметическую или алгебраическую тео-
теорию пропорций, у Евклида оказывается в книге VI и причём
очень далеко от начала (предложение 16) и в VII (предложе-
(предложение 19).
Доказывается она только для отрезков и цзлых чисел, при-
причем для случая отрезков формулируется таким образом.
«Если четыре прямые линии пропорциональны, то прямо-
прямоугольник, построенный на крайних прямых, равен прямоуголь-
прямоугольнику, построенному на средних, и обратно...» Буквенная алгебра
даёт возможность выразить символически эту теорему:
Если a;b ^ c.d, то ad = b
I
Пол буквой, вне сомнения, разумелось раньше (даже в XVIII в.)
не то, что'мы теперь разумеем, не чисш, а величины (inagnitu-
do in genere) объемлющие, как непрерывные, так и дискретные.
Что это так, это можно усмотреть уже из самих определе-
определений алгебры, например:
Рейхер A703). «Чистая математика делится на общую (unl-
versajls), называемую алгеброй, исследующую абстрактное коли-
количество (quantitas abstracta), и частную— геометрию, исследую-
исследующую непрерывную величину, и арифметику, исследующую
множество или число».
28 Евклид

434
КОММЕНТАРИИ
Через 60 лет Лакайль A762j») пишет:
«Алгебра это, так сказать, общая арифметика или наука
лообще о величинах, как арифметика наука о числах».
При этом Лакайль отмечает, что quantitas vel magnitudo мо-
может быть дискретна (е partibus separatis) и такие величины ис-
исследует арифметика^.
Из <ars inveniendi» (искусства открытия), находящего свое
обоснование только в геометрии, алгебра совсем не скоро об-
обратилась в систему общего учения о величинах.
Она содержит правила формальных операций я вытекаю-
вытекающие из этих правил следствия, но смысл их совершенно раз-
различно истолковывается для геометрических величин, и для
чисел.
Для геометрических величин в равенстве I и ас? и be истол-
истолковывались как площади прямоугольников, построенных на
{а, О) и (Ь, с).
Если а, Ъ, с, d— прямолинейные отрезки или, как выража-
выражались, линейные величины, то ab, cd плоские, аЬс телесные.
Но что касается abed, то это величина воображаемая,
мнимая, то же по существу, что и V—1. Таким образом, одна
и та же формальная алгебраическая операция могла привести и
к реальному, и к мнимому результату, смотря по тому, произ-
производилась ли она над числами или геометрическими величинами,
например, отрезкам[i.
имеют конкретный смысл. Но если а — отрезок, то а2 — площадь
квадрата, а3 — объем куба, а а* — так же нереальна, как У"— 1'.
Это — коссичвекая величина. «Существует, —говорит Херигон2?),
— только три рода величин вещественных (reelles): линия, поверх-
поверхность, тело; мнимых (imaginaires) — бесконечное множество: квад-
ратоквадрат, кубокуб и т. д.».
26. После этого в некоторых манускриптах идёт следующий
текст, вынесенный Гейбергом в приложение:
«Иначе. Вот покажем и по другому проще соответствие
треугольников (черт. 28).
Действительно, положим снова многоугольники ABCDE,
IHGKL и соединим BE, EC, HL, LG. Я утверждаю, что
как треугольник ABE к IHL, так и ЕВС к LHG и CDE
к Gf(L. Действительно, поскольку подобен треугольник
ABE треугольнику /HL, то, значит, треугольник ABE имеет
к HLG двойное отношение БЕ к HL. Вследствие того
1762.
) D е 1а С a i 11 е, Lectiones elementaris mat hem., Partsiis,
эт) Herigonus, Cursus mathematicus, Parfsiis, 1634.

К КИНГЕ VI
435
же вот и треугольник ВЕС имеет к треугольнику HLQ
двойное отношение BE к HL. Значит, будет, что как тре-
треугольник ABE к треугольнику IHL, так и ВЕС к HLG.
Далее, поскольку подоЗен треугольник ЕВС треугольнику
LHG, то, значат, ЕВС имеет к LHG двойное отношение
прямой СЕ к OL. Вот вследствие того же и треугольник
ECD имеет к треугоаьнику LGK двойное отношение СЕ
Черт. Ж
к GL. Значит, б\'дет, что как треугольник ВЕС к LHQ,
так и CED к LUK. Доказано же, что и как ЕВС к LHG.
так и ABE к IHL. И, значит, как ABE к /HL, так я ВЕС
к HLG н ECD к ZGA", что и требовалось доказать».
27. В некоторых списках «Начал> после этого идёт следую-
следующий текст, который ГеЙбергом помещён в приложении как
неподлинный,
«Иначе. Действительно, пусть АВ снова будет pactc-
чёшгая пополам в С <[прямая> н AL—приложенная <Сфн-
о с
Черт. -29.
гура>, имеющая недостатком фигуру ifl; приложим снова
к АВ параллелограмм АЕ, имеющий недостатком ЕВ, по-
подобную и подобно расположенную с ^построенной^ на по-

КОММЕНТАРИИ
ловине <фигурой> LB. Я утверждаю, что приложенная к
половине <фигура> AL больше АН (черт, 29).
Действительно, поскольку ЕВ подобна LB, они будут
па том же диаметре. Пусть их диаметр будет ЕВ. Пост-
Построим чертёж, И поскольку LI равна J.G, поскольку и Iti
равна n(j, то, значит, LI больше f(E. Значит, и DL боль-
больше Ef(. [Прибавим] обшую f(D. Значит, и вся AL больше
всей А?, что и требовалось доказать*,
28. Максимум и минимум. Разобранное предложение можно
формулировать так: из всех параллелограммов, которые можно
вписать в данный треугольник, наибольший тот, основание
ко тор mi равно половине основания треугольника.
Результат предложения 27 можно вывести из предложения
5 книги II, выраженного тождеством
Выразим задачу Евклида в
современных алгебраических и
тригонометрических символах.
Означая через а, Ь, с сто-
стороны СВ, СА и АВ, через
х — основание вписанного па-
параллелограмма, через k — Дру-
Другую его сторону, а через Л —
его высоту, ' будем иметь
(черт. 30)
\Ь — {а — x);a,k — — (а — х),
h = k sin С,
Л =r — (а — х) sin С,
S (плошадь параллелограмма) = Ах— —$\пС-х(а — х).
Задача Евклида сводится к определению максимума функ-
функции
х{а~ х),
т. е. той функции, к которой впервые Фермат 23) применил ме-
метод неделимых. Максимум им характеризуется условием равеи-
гч) Fermat, Oeuvres, ed. Tannery, De maxtmis et minimis.

К КНИГЕ VI
437
ства отвечающего ему значения функции смежному 'значению,,
так
(х -f- h) {а — х — Л) = х (а — х),
или
h {а — х) — hx -f- ff- = О,
откуда, сокращая на h,
Но так как бесконечно малое h исчезает перед конечный,
то й —2х=0 и
Современные элементарные методы разыскания наибольших
н наименьших величин сводят эти задачи к простейшей — к разы-
разысканию такого деления а на части
х и (а — х), чтобы произведение
этих частей было наибольшее.
То, что этому требованию
удовлетворяет деление пополам,
следующего весьма простого гео-
метрического соображения.
Если из какой-либо точки А
окружности опустим перпендикуляр AD на диаметр ВС, то AD,
как иолухорда,"будет меньше полудиаметра ОА (черт. 31).
Но AD3 представляет произведение x = BD и у— DC, при-
причём х-\-у = а (диаметру ВС).
Таким образом, х = ОВ =
даёт действительно то значе-
значе-{-у — а произведение .гу имеет
ние, при котором при условии
наибольшее значение.
Паип другим путём приходит к тому же результату.
Теоремы' о наибольших и наименьших величинах находим в
«Конических сечениях» Аполлония. В книге V он доказывает,
что наименьшее расстояние точки от конического сечения опре-
определяется по нормали.
Папп же обргщает особое внимание и а этого рода проблемы.
В особенности выдвигаются им азопериметрические проблемы:
из изопериметрических многоугольников с данным числом сто-
сторон наибольший правильный из правильных тот, который имеет
наибольшее число сторон. Зенодор, согласно упоминанию у Панпа,
знал, что при данном периметре наибольшую площадь имеет
многоугольник с наибольшим числом сторон. Папп ещё указы-
указывает, что при равных дугах из сегментов наибольшую площадь

438 КОММЕНТАРИИ
6}дет иметь сегмент окружности. Точно так же из всех тел,
имеющих одинаковый объём, наибольшая поверхность будет у
шара аэ).
29, Из исторнн квадратного уравнения. Евклид нигде не
пользуется общей формулой решения квадратного уравнения
чаже в геометрической форме, когда приходится* решать задачи,
которые сводятся к квадратным уравнениям специальных типов.
по в Началах имеется предложение 28, из которого может
быть выведена основная формула для квадратного уравнения и
которая в истории этого последнего сыграла важную роль, та<
как по образцу решения этого предложения-задачи строился и
геометрический вывод общей формулы решения квадратного урав-
уравнения даже во время Виеты.
Задача: данную прямую линию разделить на такие две
части, чтобы из двух параллелограммов одинаковой высоты,
построенных на них, один был равен данному многоугольнику,
а его недостаток подобен данному параллелограмму, сводится
Квклидом к построению параллелограмма, имеющего данную
площадь и подобного своему недостатку; эта задача разреши-
разрешима с помощью циркуля и линейки; частным случаем её являет-
является построение квадрата, равновеликого данному прямоуголь-
прямоугольнику.
Последняя задача и является той геометрической задачей,
которая при алгебраижщш проблемы обращается в извлечение
квадратного корня. У персидского математика Омара Хайяма35)
евклидова проблема берйгся в простейшей форме: построить на
прямой два прямоугольника, из которых один BSM/— квад-
квадрат, а другой APMS равновелик данному квадрату Ь~.
Решение состоит- в следующем (черт. 32):
1) данная прямля АВ делится пополам на части ЕА, ЕВ,
2) па НА и ЕВ строятся квадраты AF.HG a EGKB,
3) на HG, как на дидметрз, строится окружность,
4) из И радиусом, равным Ь, засекается F,
5) из G, как из центра, проводится окружность радиуса ГО
до пересечения с G/( в jV,
6) Из jV проводится перпендикуляр к АВ; пусть его осно-
основание будет S,
7) G соединяется прямой с В; пусть М точка пересечения
е* с Л?5,
8) из М проводится MI\\HG.
29)PappiAlexandrini, Collectiones, ed. Hultsch т. 1,
crp. 394.
so) Д. Мордухай-Болтовской, Первые шаги буквен-
буквенной алгебры, Известия С. К. Г. У., 1928. —Sedi I lot, Mat'eriaux
pour servir a rhistoire des sciences mathematiqiies chez les
&recs et les orlentaux, т. I, 1847, стр. 367. —Wo ep ke, L'Algebre
d'Omar Alkhayami, Journal fur Mathematik (Crelle), 1851.

К КНИГЕ VI 4йУ
Если положить SB — х, то для х получается уравнение
х [а—х) = № и, таким образом, получается построение корня
квадратного уравнения
Л* — ЯХ-f-&5 = 0.
Из совершенно элементарных соображений легко убеждаемся,
что построение Омара даёт:
для одной стороны прямоугольника, и
для другой.
В таком выводе корни уравнения строятся и построение*
доказывается правильность общей формулы.
\
V
\
Черт. 32,
У Евклида построение играет второстепенную роль: им
только доказывается существование. На первом ' месте у него
всегда стоит убеждение в определённых истинах.
То, что с арабской и с нашей точки зрения является опре-
определением корня уравнения, с евклидовой—скорее установкой
равенств. Преобразование частных типов квадратных уравне-
уравнений Ш! доводится только до формы:
с помощью тождеств книги II Начал,

440
КОММЕНТАРИИ
Совершенно не соприкасаясь с упомянутым выше предло-
предложением 28 книги VI Начал, идут решения арабских математиков.
Упомянем вывод Аль Хвзризми 3I), который строит квадрат
внутри квадрата (с общим центром и параллельными сторонами)
(черт. 33), где
1
и KL — x
Затем, полагая площадь фигуры Ff(PRMGHNSQZE равной q и
замечая, что
с в
9
м
к
h
It
h
N
t
Черт. 33.
он выводит
Приводимые нами выводы вы-
выявляют в качестве основной опе-
операции определение стороны квад-
квадрата, равновеликого прямоуголь-
прямоугольнику; соответственно этому основ-
основной арн {шетической операцией
становится извлечение квадрат-
квадратного корня.
30. Эллипс, гипербола н парабола. Если вместо паралле-
параллелограмма взять прямоугольник, а вместо многоугольника квад-
piT, то предложения 23, 29 дадут графическое решение квад-
квадратного уравнения
так как ах выражает пло-
площадь прямоугольника ACDE
(черт. 34), а л*3 квадрата
CBEF, а Ь2 площадь задан-
заданного квадрата. Мы можем
иаписать уравнение I в виде:
включая ещё случай с=0, который отвечает построению пря-
моуюльника на данном основании, равного данному квадрату.
В случае с = 0 мы получаеч приравнивание прямоугольника
данному квадрату (itapafoAij), в случае с > 0 недостаток пло-
шадн квадрата до площади прямоугольника (Ше1;к;), в случае
с < 0, наоборот, избыток (Ькер^оЦ).
Sl) См. прим. 30.

К КНИГЕ VI 44!
Чтобы объяснить происхождение слов параболы, эллипса
и гиперболы, заменяем в уравнения II Ь на у.
Мы получаем
ах-\- сх2~у*,
представляющее уравнение конического сечения, и случаи е = 0,
с > 0, с < 0 будут отвечать уравнению параболы, эллипса и гя-
перболы.
Конечно, древние не имели наших понятий о координатах
и функции, но moikhj сказать, что в основных геометрических
свойствах, с помощью которых определялись эти типы кониче-
конических сечении, скрытым образом заключались их уравнения.
_34ъ Другое доказательство предложения 30. В приложении
у Гейберга помещено ещё следующее доказательство предложе-
предложения 30, считаемое им неподлинным.
«Иначе. Пусть данная прямая будет АВ. Вот требуется
рассечь АВ в крайнем и среднем отношении (черт. 35).
Черт. 35.
Рассечём АВ в С так, чтобы <прямоугольник> между
АВ, ВС был равен квадрату на С А. Поскольку теперь
•(прямоугольник^ между АВ, ВС рлвен ^квадрату)> на СА,
то, значит, будет, что как ВА к АС, так и АС к СВ.
Значит, АВ рассечена в крайнем переднем отношении и С,
что и требовалось сделать?,
32. Уравнения 2-й степени в античной математике. Пред-
Предложение 30 книги VI решает по существу ту же задачу, что
предложение II книги II, в котором требуется разделить а на
такие части х и (а — х), что
а (а — х) — -г-.
Предложение 30 берёт пропорцию
а:х~х;(а — х).
Предложение 17 книги VI даёт все средства доказать экви-
эквивалентность этих двух проблем.
Античная математика не даёт общей теория решения квад-
квадратных уравнений. Даже у Диофанта3i) мы имеем исследование
только частных типов, хотя некоторые думают, что книга, со-
содержавшая такую теорию, утрачена. Но античная мысль идёт
очень далеко в направлении тех геометрических проблем, которые
приводятся к уравнениям 2-Й степени.
a2)Dlophanti Aiexandrinf, Librl sex auctore Gaspare
Bac^eto Mezeriac, Lutetiae, 1621. Df ophanti Alex., Arithmett-
scne Aufgaben von Otto Sehuiz, Berlin, 1822.

442
КОММЕНТАРИИ
Я отмечу знаменитые проблемы Аполлония.
Даны две пересекающиеся между собой прямые ОХ и ОУ,
и через некоторую точку А предлагается провести прямую так,
1) (проблема сечения в «отношении*), чтобы отсекаемые ею
па 9гнх прямых отрезки были в данном отношении,
2) (проблема сечения в площади),
чтобы прямоугольник, построенный
на отсечённых отрезках, был равен
данному квадрату.
Если обозначим координаты за-
данной точки А через OD = b и
OF=c, аотрезки MD~x и NF—y,
причём OD-OF=a-, то первая за-
задача приведётся к системе уравнений:
\
У
г
0
лг
\
\
—
Л
D М\
Черт. 36.
ху = а2;
последнее уравнение легко получается из подобия треугольников
DAM и NFA.
Вторая задача приводится к системе:
построена
и XD равнялось бы — .
л
Задача сводится к определению х из пропорции
(л- — я) ix — Ъ) т
{x-c){x — d) п
или к решению квадратного уравнения
п (х — а) {х — Ь) — m (x — с)(х — d).
33. Другое доказательство предложення 31. У Гейберга
помещено в приложении и другое доказательство предложения
31, считаемое им неподлинным (чертёж тот же, что и для предло-
предложения 31).

К КНИГЕ VT 445
«Иначе. Поскольку подобные фигуры находятся в двой-
двойном отношении соответственных сторон, то, значит, фигура
на ВС к фигуре на ВА имеет двойное отношение СВ к ВА.
Также и квадрат на ВС имеет к квадрату на ВА двойное
отношение СВ к ВА. И, значит, как фигура на СВ к фи-
фигуре на ВА, так и квадрат на СВ к квадрату па АВ. Вот
вследствие того же и как фигура па ВС к фигуре на С А,
так и квадрат на ВС к квадрату па СА. Так что и как фа-
гура па ВС к фигурам на ВА, АС, так и квадрат на ВС
к квадратам на ВА, АС. Квадрат же на ВС равен квадра-
квадратам на ВА, АС. Значит, и фигура па ВС равна фигурам
на ВА, АС подобным и подобно построенным [что и требо-
требовалось доказать].
34. Обобщённая теорема Пифагора. Предложение 47 книги I
говорит о том; что квадрат, построенный на гипотенузе, равен
сумме квадратов, построенных па катетах. Предложение 31 книги
VI утверждает то же о любых подобных фигурах, построенных
па i ипотенузе с п катетах а п Ъ.
Мы в настоящее время эту теорему доказываем, используя
теорему Пифагора. Если Sa, Sb, Sc — площади подобных фигур,
построенных на катетах а, Ъ и гипотенузе с, то
откуда
так как по теореме Пифагора
н, значит,
Sa + Sb = Sc.
Евклид сам не даёт такого доказательства; соответствующий
текст Гейберг считает неподлинным.
В модернизированной форме доказательство Евклида ведётся
так: если d и е — отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой, то
с: д — я: d -+ а2 ~cd.
Если С и А подобные фигуры на с и а, то
С:А = с*:аК
Но поскольку
й2 = Cd,
C:A = c~:cd~-c;d.
Таким же образом
С:В = с;е,
откуда
С:{А-\.В)~ с; («-)-<*) = «*
н
С ~ А-\-В.

444
КОММЕНТАРИИ
Интересно то, что при доказательстве этом не используется
meop-yMi Пифагора.
Клавий в комментарии к предложению 25 книги VI ставит
задачу.
Дана прямолинейная фигура С; построить две подобные с сум-
суммой, равной С, и имеющие между собой данное отношение — .
Решение на основании предложения 3 книги V сводится к по-
построению прямоугольного треугольника с данным отношением
катетов.
Распространение этой теоремы на полуокружности ведёт к так
называемым луночкам Гиппократа, игравшим большую роль
в попытках построения [{вадратуры круга. Если в полуокружность
впишем равнобедренный прямоугольный треугольник и на его кате-
катетах построим две полуокружности, то, применяя обобщённую
теорему Пифагора, нетрудно доказать, что сумма площадей лу-
луночек, заключённых между дугами полуокружностей, построен-
построенных на катетах, и полуокружностью, построенной на гипотену-
гипотенузе — диаметре, равна площади построенного прямоугольного тре-
треугольника.
Нетрудно видеть, что та же самая теорема будет справедлива
и для любого прямоугольного треугольника, вписанного в полу-
полуокружность.
35. Два рода равенств н подобия. Формулировка предло-
предложения 32 не может быть названа вполне точной. На черт. 37 мы
имеем треугольники ABC и
FDC с соответственно па-
параллельными сторонами АВ,
АС и CD, DP и с общей
вершиной С, но стороны FC
и ВС уже не образуют од-
одной прямой.
Очевидно, здесь необхо-
необходимо ещ& одно условие.
Можно сказать, что
основания должны быть в
ту же сторону от парал-
параллельных сторон.
Черт. 37.
Но это добавочное условие можно выразить в лучшей форме,
которая выявляет идеи, не выясненные самим Евклидом.
Обращаясь к предложению 4 книги I Начал, мы должны от-
отметить два случая равенства треугольников;
1) когда треугольники ABC и АХВ]С^ налагаются один на
другой передвижением по плжкости;
2) когда передвижение по плоскости приводит А'В'С только
в положение А'В"С н необходим ещё поворот вне плоскости
около А'С, чтобы совместить треугольники (черт. 38).
Можно назвать первый случаи собственной конгруэнцией, а
второй симметричной конгруэнцией.

К КНИГЕ VI
445
Конечно, то же откосится к подобию.
Мы указали, что подобные фигуры сводятся к гомотетичным.
Но гомотетия может быть прямая и обратная (черт. 17). Соот-
Соответственно этому и подобие может быть двух родов: собствен-
ное подобие и симметричное подобие. В предложении 32 книги
VI Начал постулируется собственное подобие.
Б*
Черт. 38.
36. Другое доказательство предложения 33, В приложении
к изданию Геиберга дано окончание доказательства предложения
33» принадлежащее Теону.
«Я утверждаю, что и как обвод ВС к обводу FI, так и сек-
сектор НВС к сектору QEf.
Действительно, соединим ВС, СК. И взявши на обводах ВС,
СК точки X, О, соединим также ВХ, ХС, СО, ОК.
И поскольку две ВН, НС равны двум СИ, НК и содержат
равные углы, и основание ВС равно С К, то, значит, и треуголь-
треугольник НВС [будет] ранен треугольнику ИСК И поскольку обвод
ВС равен обводу СК, то и остающийся до целого круга обвод
будет равен остающемуся до целого круга обводу, так что и угол
ВХС равен ССК', зшчит, сегмент ВХС будет подобен сегменту
ССК. И они на равных прямых ВС, СК. Находящиеся же на
равных прямых подобные сегменты кругов равны друг другу;
значит, сегмент ВХС равен сегменту СОК. Также и треугольник
НВС равен треугольнику НС К и, значит, весь сектор йЛСракен
всему сектору НСК. Вот вследствие того же и сектор HKL ра-
равен "каждому из НВС, НСК- Значит, три сектора hBC, НСК,
HKL равны друг другу. Вот вследствие того же и секторы GEI,
GIM, (JMN равны друг другу. Значит, сколько раз обвод LB
кратен обводу ВС, столько же раз и сектор t.BL кратен сектору
НВС. Вот вследствие того же и сколько раз обвод NE кратен
обводу EI, столько же раз и сектор GEN кратен сектору GEI.
Значит, если обвод BL равен обводу EN, то и сектор BHL равен
сектору EGN, и если обвод BL больше обвода EN, то и сектор

446 КОММЕНТАРИИ
BHL больше сектора GEN, и если меньше, то меньше. Вот для
четырёх имеющихся величин — двух обводов ВС, EI и двух сек-
секторов НВС, EG!— взяты равнократные обвода ВС и сектора
НВС, именно, обвод BL и сектор HBL, обвода же EI и сектора
GEI равнократцые обвод EN и сектор GEN, и показано, что если
обвод BL больше обвода EN, то и сектор BHL больше сектора
EGN, и если равны, то равны, и если меньше, то меньше, Значит,
будет, что как обвод ВС к Е1, так а сектор НВС к сектору GEL
Следствие
И ясно, что и как сектор к сектору, так и угол к углу».
37, Пропорциональность дуг и центральных углов. Об
этом предложении следует сказать совершенно го же, что о пред-
предложении 1 книги VI: во-первых, его следует представить в бо-
более развёрнутом виде. Оно основывается на определении 5
книги V пропорции или равенства отношений
A:B = C:D,
в котором утверждается, что для всяких целых чисел т, п, для
которых
также
mD-^nC <{m-{-\) D.
Здесь Л и В это дуги ВС и EN, а С и ?> углы BHL и EGA',
тВ и пА дуги BL и EN, mD и пС углы BHL и EGN.
При этом, конечно, все рассуждения основываются на неяв-
неявном применении архимедовой аксиомы. Отказываясь от евкли-
евклидова определения равенств отношений, приходится пользоваться
или арифметизированяым методом исчерпывания (как это де-
делается в учебниках Лежандрова типа) или же пользоваться неявно
понятием предела, как это делается в современных учебниках.
Вторая половина предложения относится к секторам. Для
доказательства равновеликости (по Евклиду равенства) элемен-
элементарных секторов, играющих роль С и D в приведённой выше
обшей схеме, Теону приходится доказывать равенство сперва
треугольников, затем сегментов, из которых состоят секторы.
Мы в настоящее время доказываем это наложением, как пред-
предложение 4 книги 1.

OPJIABJIEHHF
Предисловие переводчика . ¦?
Книга первая ¦ ¦ " 11
Книга вторая 61
Книга третья 83
Книга четвёртая 122
Книга пятая 142
Книга шестая 173
Комментарии к I книге .221
Комментарии ко II книге 295
Комментарии к III книге 326
Комментарии к IV книге . 357
Комментарии к V книге 368
Комментарии к VI книге 403