А. А. МАРКОВ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
ТОМ I
МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА ФИЗИКА
Составление и общая редакция Н. М. НАГОРНОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЦНМО
МОСКВА 2002

ББК22.1
M25
УДК 51
М 25 Марков А. А. Избранные труды. Т. I. Математика, механика,
физика.— М.: Изд-во МЦНМО, 2002. —LVIII+ 478 с.
В собрание сочинении выдающегося российского математика А. А. Маркова,
выпускаемого к столетию со дня его рождения, включены основные работы, содержащие его наиболее
выжные результаты. В первом томе публикуются работы А. А. Маркова по теории
математике, механике и физике.
Книга предназначена для математиков, физиков и историков науки.
Рфи
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований. Проект
№ 00-01-14195.
ISBN 5-94057-043-7 (том I) © А. А. Марков, наследники. 2002
ISBN 5-94057-044-5 (Собр. соч.) © Н. М. Нагорный. Составление. 2002
© МЦНМО, 2002.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Андрей Андреевич Марков и его конструктивное направление в математике (от
составителя) V
Список научных трудов А. А. Маркова XLIX
МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, ФИЗИКА
Об одном минимальном свойстве шрёдингеровых волновых групп 1
О некоторых случаях движения в задаче трех тел 5
Закон десяти третей и классификация соударений в общей задаче трех тел 12
О почти периодических движениях 25
Об одном общем свойстве минимальных множеств Биркгофа 28
О выводимости мировой метрики из отношения «раньше чем» 30
К вопросу об «опровержении» квазиэргодической гипотезы проф. Я. Френкелем ... 43
Устойчивость по Ляпунову и почти периодичность 46
О векторных пространствах, рассматриваемых как топологические группы 74
Об изотопии компактных множеств в евклидовых пространствах 76
О конечномерных векторных пространствах 79
Почти периодичность и гармонизуемость 117
О теории стационарных колебательных процессов акад. Н. М. Крылова и д-ра Н. Н.
Боголюбова 121
Об одном свойстве тригонометрических полиномов 126
Некоторые теоремы об абелевых множествах 130
О свободной эквивалентности замкнутых кос 133
О существовании интегрального инварианта 139
О представлении относительно дефинитных функций 143
О средних значениях и внешних плотностях 150
Поверхностное распределение постоянного тока в случае наклонного проводящего
слоя 180
К определению понятия комплекса 196
Что такое гладкая поверхность 202
О нахождении числа корней алгебраического уравнения, принадлежащих данной
области 214
О свободных топологических группах 217
О существовании периодических связных топологических групп 221
О безусловно замкнутых множествах 227
О свободных топологических группах 229
Основы алгебраической теории кос 289
О безусловно замкнутых множествах 325
О вариационных принципах в теории пластичности 349
Топология 363
Об интегрировании в булевских алгебрах 425

IV
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ И КОММЕНТАРИИ
К выяснению процесса образования эфирных масел у хвойных. IV. Образование и
превращение эфирного масла у Pinus cembra 429
Некоторые замечания по поводу одного доклада А. А. Маркова на 2-м Всесоюзном
математическом съезде (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов) 445
Письмо в редакцию «Трудов съезда» 449
Опыт профессора Иванова 451
Андрей Андреевич Марков. К пятидесятилетию со дня рождения. (Ю. В. Линник,
Н. А. Шанин) 455
Комментарии 460

АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ
И ЕГО КОНСТРУКТИВНОЕ
НАПРАВЛЕНИЕ В МАТЕМАТИКЕ
(От составителя)
Настоящей публикацией начинается издание двухтомника «Избранных
трудов» выдающегося отечественного ученого, члена-корреспондента АН
СССР Андрея Андреевича Маркова (22.9.1903, С.-Петербург - 11.10.1979,
Москва), одного из крупнейших математиков и логиков XX столетия,
создателя особого, «конструктивного» направления в математике**1*, ныне в его
честь называемого «марковским конструктивизмом»2*.
Направление это возникло в математике в русле одной в высшей степени
характерной тенденции, которая начиная с последней четверти XIX
столетия стала все более отчетливо проявляться в развитии этой науки. Мы
имеем в виду тенденцию к переходу от этапа чисто экстенсивного развития
математики к новому этапу, когда параллельно с прежним развитием стала
возникать тяга к систематизации и осмыслению большого количества
разрозненных фактов и обособленных друг от друга дисциплин, накопившихся
в математике и делавших ее все более и более неоднородной и пестрой.
В то же самое время стал проявляться и серьезный интерес к попыткам
выработать некий общий взгляд на математику в целом.
Со временем переход к этому шовому для математики этапу вылился в
провозглашение в ней ряда фундаментальных, постепенно
становившихся все более осознанными математико-философских платформ,
представлявших собой своего рода «архитектурные программы для математики». В
каждой из них трактовался вопрос о том, на каком „фундаменте" и с
использованием какого „строительного материала" может, — или даже
должно3*, — возводиться общее здание этой науки. В них, по мере освоения
опыта отдельных неудач, стали также предприниматься попытки подвергнуть
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 00-06-80142.
*) Все дальнейшие ссылки на работы А. А. Маркова даются по спискуедо научных трудов,
приводимому ниже на с. XLIX-LVI данного тома.
*) См. его программную статью [84] во 2-м из выпусков серии, выходившей в «Трудах
математического института им. Стеклова» под общим названием «Проблемы конструктивного
направления в математике».
2) В англоязычной литературе при жизни Маркова часто использовался термин «Soviet
constructivism». Ныне вошло в употребление выражение «Markovian constructivism». В
дальнейшем мы более подробно поговорим не только о месте и значении самого этого направления в
современной математике и ее основаниях, но и о различных связанных с ним исторических
реалиях.
3> Известная работа Р. Дедекинда (1888 г.) так и называлась: «Was sind und was sollen die
Zahlen?».

VI
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
анализу и вопрос о том, насколько прочной и надежной оказывается вся
планируемая конструкция в целом.
Как известно, первой в ряду таких программ в 70-х гг. XIX в. была
провозглашена так называемая «теоретико-множественная программа» Г. Кантора,
базировавшаяся на предварительно разработанном им самим его «учении о
множествах» (Niengenlehre). Широко известен впечатляющий успех,
которым эта программа пользовалась и до сих пор пользуется в широких кругах
„математиков-практиков". Бесспорно, однако, и то, что в этих же самых
кругах мало осознанным остается как сам факт ее теоретической
несостоятельности, так и то, что необходимостью преодолеть ее, в свою очередь,
были вызваны к жизни другие программы, направленные на устранение
ее изъянов. Это «интуиционизм» Л. Э. Я. Брауэра, «теория доказательств»
Д. Гильберта (иначе называемая также «метаматематикой») и
последовавшее за ними «конструктивное направление» Маркова. Не слишком широко
известно и то, что эти программы тоже привели к существенным и
впечатляющим результатам.
В дальнейшем мы постараемся по возможности более детально
проанализировать взаимосвязь и взаимодействие всех перечисленных здесь
программ. Но, быть может, уже сейчас стоит обратить внимание на то, каким
в описываемых событиях был профессиональный состав „главных
действующих лиц".
Трое из четырех — Кантор, Брауэр и Гильберт, — были по образованию
математиками, и лишь один — Марков, — был, как мы это увидим далее,
математиком, пришедшим в эту науку, в известном смысле, „со стороны"
и получившим в ней профессиональное признание лишь в силу
результатов своих исследований. Важно обратить внимание на то, что накопленный
им „предварительный" научный опыт был скорее опытом
естествоиспытателя, нежели „чистого" математика, «всосавшего теорию множеств с
молоком матери»4), и что? возможйЪ, именно это обстоятельство и йозво-
лило ему посмотреть на изъяны тогдашней науки взглядом „постороннего"
и увидеть в ней то, что, возможно, „чистому" математику разглядеть было
бы гораздо труднее.
Впоследствии к этой проблематике мы еще вернемся, а сейчас нам
хотелось бы коснуться ряда вопросов, касающихся самого издания данных
«Трудов».
1. Работа над их подготовкой началась уже вскоре после кончины
Андрея Андреевича, и сейчас они выходят в свет в канун двойного юбилея —
100-летия со дня рождения его самого и 300-летия со дня основания его
родного города — города, к которому он испытывал глубокую привязанность, в
котором он сформировался как крупный ученый и вместе с которым
переносил тяготы и лишения блокадной жизниб). И, наконец, в котором он на
рубеже 40-х и 50-х годов ушедшего столетия, — еще в свой „ленинградский
4) Так однажды в шутку, имея в виду научную генеалогию, „охарактеризовал" Андрея
Андреевича П. С. Александров.
5) Андрей Андреевич наряду со всеми жителями города выполнял и тяжелую физическую
работу. В морозные дни его дважды подбирали на улице потерявшим сознание от истощения.
Огромной опасности подвергалась и вся их семья. Так, жена Андрея Андреевича Прасковья
Андреевна, сдававшая, несмотря на предостережения врача, донорскую кровь, в конце жизни
оказалась из-за этого прикованной к постели.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
VII
период"6*, — создал то, в чем он сам видел главное дело своей жизни —
свое «конструктивное направление».
Направление это было для Маркова во многом связано с Ленинградом.
Возможно, и не только в научном плане, хотя основной наш интерес к нему
будет сосредоточен именно на этом последнем7*. Оно своей конкретностью
напоминало лучшие образцы работ «петербургской математической
школы», уроки которой ему преподал его отец — знаменитый российский
математик академик Андрей Андреевич Марков-старший (15.6.1856-20.6.1924)
Как и сам этот город, оно было возведено по единому четкому плану и
доведено до эстетического завершения, и не случайно имя этого города нашло
отражение даже в примененной Марковым терминологии. Так,
сформулировав и обосновав один из важнейших логических принципов своего
«направления», Марков дал ему тогда имя «ленинградского»8) (см. [65]), и лишь
впоследствии он стал называться «принципом конструктивного подбора», а
потом и просто «принципом Маркова»9).
1.1. В работе над этим изданием в той или иной степени участвовали
многие крупные специалисты по тематике, в свое время
разрабатывавшейся Марковым. Среда них и те, кто стоял у самых истоков марковского
«направления», или же просто был свидетелем его рождения. Все они основную
свою задачу видели в том, чтобы, собрав воедино оставшееся после Маркова
его обширное научное наследие, воздать должное памяти этого
выдающегося ученого, обладавшего, помимо прочих своих выдающихся достоинств,
невероятной отвагой и смелостью. Они в свое время потребовались ему для
того, чтобы взяться за поднятую им проблематику в ту трудную и опасную
пору — пору жесточайших „идеологических" чисток и репрессий в науке.
Достаточно вспомнить хотя бы разгром, учиненный в 1948 г. генетикам на
«Августовской сессии ВАСХНИЛ»10), или же «Совещание по теории
химического строения» (1951 г.) с его разгромом „теории резонанса". Многим до
сих пор памятны налеты „философов" того времени на теорию
относительности, партийные кампании по поводу марксизма в вопросах языкознания,
экономических проблем социализма. Малейшее отклонение от „линии
партии" могло тогда любому — даже всемирно известному — ученому стоить
свободы, а то и просто — как академику Н. И. Вавилову11), — жизни.
Примерно в это же самое время вокруг марковского направления развернулась
*) В самом конце 1955 г. Марковы переехали в Москву.
7) И тем не менее, в данном случае было бы совершенно неправильно игнорировать чисто
человеческую сторону его творчества. Натура Маркова была во многом художественной и даже
артистичной. В нем таилось немало загадочного. И наконец, он, несомненно, был большим
стилистом. Это последнее находило, в частности, отражение и в отшлифованности его текстов,
и в его устной речи. Здесь не бывало ни одного „лишнего" слова. Тот, кто имел счастье слушать
его лекции, доклады или выступления (хотя бы на ученых советах), не забудет этого никогда.
*) В дальнейшем об этом принципе будет говориться более подробно. Непосредственно в его
обсуждении участвовали старейший ученик Маркова Николай Александрович Шанин (р. в
1919 г.) и глубоко интересовавшийся философской стороной марковского конструктивизма
знаменитый геометр Александр Данилович Александров (1912-2000 гг.), бывший одно время
ректором Ленинградского университета.
9) См. [65] и [84], а также § 67 в монографиях [117] и [120]. В англоязычной литературе
используется термин «Markov's Principle» со стандартным обозначением «MP».
10) Всесоюзной академии сельскохозяйственных наук им. Ленина. Президентом ее в 1939-56
и в 1961-62 гг. был знаменитый погромщик биологии академик Т. Д. Лысенко.
П) При родном его брате С. И. Вавилове — президенте Академии наук СССР.

VIII ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
острейшая полемика с ожесточенными нападками работников партаппарат
та1*, „идеологически подкованных" философов и в меру сил своих
старавшихся не отстать от них коллег-математиков. О ряде „острых" ситуаций я
пишу в [120] в «Предисловии ко 2-му изданию». Андрей Андреевич, как
скала13*, стоял один против всех. Единственный, кто в это время шел за ним,
был первый из его учеников-конструктивистов Николай Александрович
Шанин, но и его в 1951-м, помнится, году уволили из ЛГУ с формулировкой „за
формализм в преподавании аналитической геометрии". Я вспоминаю один
наш разговор тех времен с Андреем Андреевичем о возможных ожидавших
нас „трудностях". Он мне тогда сказал: «Я давно махнул рукой на трудности
и про себя решил так: всё, что касается меня, меня не касается...». Судьба
его не раз висела на волоске. Об одной из острейших ситуаций, свидетелем
которой мне довелось быть, рассказано мною в [120] (см. с XVII). В тот
раз его спасло разве лишь чудо...
1.2. Собранное в достаточно полном и подробно прокомментированном
виде, наследие это подводит итог всей его нетрадиционно протекавшей и
оказавшейся столь плодотворной и многогранной научной деятельности. В
ней в свое время нашлось место всему тому, что, по общепринятым меркам,
позволяет охарактеризовать ее как выдающуюся — это и решения
труднейших конкретных проблем, стоявших десятилетиями (таковы проблема Туэ и
проблема гомеоморфии), и создание крупной общенаучной концепции
(таков его «конструктивизм»), и наличие большой и плодотворно работающей
научной школы (речь о ней будет идти впереди), и создание
фундаментальных монографий (например, [62; 120]), и, наконец, то, чему в истории
научной мысли мы найдем не так уж много прецедентов. Я имею в виду его
подлинный по тому времени подвиг научного героизма и, в определенном
смысле, самоотречения, когда, окончательно убедившись для себя в
правильности проделанного им анализа и в обоснованности выдвигаемого им
проекта, он, без всякой „дипломатии" и не принимая никаких должных по
тому времени мер предосторожности, сделал ряд открытых заявлений о
своих собственных соображениях по поводу того, в чем заключаются изъяны
теоретико-множественной математики, достигшей в ту пору своего апогея
и поддерживаемой официальной идеологией14), и того, какой на самом деле
математика должна была бы быть15).
12) Случались и забавные курьезы. Так, секретарь одного из Ленинградских райкомов А. Цвет-
кова в книге «Идеологическая работа среди интеллигенции» (Л., 1952), предварительно
„отделав" за порочную статью «О природе физического знания» в «Вопросах философии»
известного физика М. А. Маркова, затем похвалила его за то, что, активно поработав в философ-
ско-мет одологическом семинаре, он исправился и написал для БСЭ хорошую статью «Логика
математическая».
13) Известный антрополог-скульптор Михаил Михайлович Герасимов однажды сказал мне об
Андрее Андреевиче: «Он такой хрупкий. Мне всегда защитить его хочется, приласкать».
14* В качестве «материалистической и марксистской», а потому и «подлинно научной и
единственно правильной». Особый юмор положения заключался в том, что сам Кантор был
приверженцем Платона, который теми же „идеологами" считался основоположником объективного
идеализма.
15) «Быть знаменитым некрасиво, — любил он повторять эти строки Б. Пастернака, одного
из любимейших своих поэтов, — Не это подымает ввысь...». Он и в самом деле не стремился
к внешнему успеху, и в некий критический момент он отверг его. Это был воистину подвиг
самоотвержения, и я всегда держался того мнения, что свершение такого подвига ученым
и есть необходимейший признак подлинного его величия. В противном случае можно стать
разве лишь крупным...

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
IX
1.3. В это время Марков, будучи в полном расцвете творческих сил,
находился в зените своего успеха, и, — резко изменив направленность своих
научных усилий и тематику конкретной деятельности, — он, разумеется,
первыми же сообщениями на эту тему вызвал бурю критики не только со
стороны „работников идеологического фронта", но и целого ряда
коллег-математиков. И только потом, когда „эра машинной математики", — в ту пору
на нас еще только надвигавшаяся, — наконец реально наступила, оказалась
реальной и возможность понять, насколько верно им были предугаданы
многие особенности и даже потребности этой эры.
Мне навсегда запомнился один долгий и в определенном отношении
доверительный по тому времени разговор с Дмитрием Константиновичем Фадде-
евым, имевший место еще в пору моего студенчества. Он тогда решительно
поддержал мое намерение „записаться" к Андрею Андреевичу. «Ведь он же
всё видит на три метра под землей!» — с искренним восхищением сказал
он мне тогда о нем. И уже потом, в 1984 г., когда была создана первая
редколлегия по изданию марковских «Трудов», мы оба вошли в ее состав:
Дмитрий Константинович в качестве председателя, а я как один из двух его
заместителей. До конца своих дней Дмитрий Константинович был
надежным гарантом целостности и стабильности этой редколлегии, отбивавшим
нападки на нее, и нынешним окончательным итогом проделанной тогда
работы мы во многом обязаны его энергии и заступничеству16).
2. Первое, — хотя, конечно же, и всего лишь самое общее, —
представление о разнообразии и характере научной деятельности Маркова можно
составить себе уже по знакомству со «Списком» его научных трудов. В
результате проделанной работы он стал существенно более полным, чем все
предшествующие ему, когда-либо публиковавшиеся при жизни Маркова. В
частности, он пополнился ранними публикациями [1; 2] и [27],
обнаружившимися уже после его кончины. В него вошли также работы [66] и [75],
ранее не публиковавшиеся в открытой печати. Включены в него и
посмертные публикации [116-120].
Список этот включает и остававшееся до сих пор неизвестным
«Авторское свидетельство» [121] на изобретение, сделанное Марковым17* еще в
годы Великой Отечественной войны и ставшее прямым его вкладом в дело
16) Мне хотелось бы в память о Дмитрии Константиновиче рассказать об одном необычном
связанном с ним эпизоде.
Помимо наших чисто математических контактов, установившихся еще в пору моего
студенчества и аспирантуры (и не прекратившихся с моим переездом в Москву), нас сближали еще и
общие музыкальные пристрастия (например, к периоду так называемой поздней романтики). И
в связи с этим у меня до сих пор странное чувство вызывает сон, который я увидел в ночь
накануне моего отъезда в Ленинград на празднование 80-летия Дмитрия Константиновича. Мне
вдруг во сне открылось, что его имя и фамилия «D. Faddeeff», записанные на немецкий манер,
состоят сплошь из нотных знаков: (d — ре, f—фа, а — ля, е — ми) и что даже точка, стоящая
после «D», имеет некий музыкальный смысл (увеличение длительности звука на половину).
Но когда я, сильно волнуясь, рассказал об этом уже в своем выступлении, в зале в добавок к
этому внезапно поднялся известный свердловский алгебраист Лев Наумович Шеврин. Громко
пропев эту тему, он пообещал Дмитрию Константиновичу написать к его 85-летию фугу на нее
(«У меня за плечами симфония» — потом объяснил он мне). К этой „деятельности" позже
присоединился и бывший аспирант Маркова рижанин Вилнис Карлович Детловс, сочиняя свой
вариант фуги. К сожалению, кончина Дмитрия Константиновича помешала осуществлению
этого замысла...
17) Совместно с погибшим затем на войне М. Я. Перельманом — сыном автора известных
книг по занимательным наукам.

X ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
победы. Частично с оборонной тематикой была связана и опубликованная
им с некоторой задержкой работа [46]. Читателю будет полезно обратить
внимание и на другие материалы, обычно не фигурировавшие в
прижизненных списках: например, на [59; 34] и [93]. Расширить и углубить полученное
представление читатель сможет с помощью комментариев к публикуемым
трудам, написанных видными специалистами, а также с помощью
предпринимаемых во втором томе нашего издания попыток реставрации, — или хотя
бы пересказа, — ряда тех работ Маркова, которые по ряду причин остались
неопубликованными и, по всей видимости, не сохранились. Их результаты,
в основном, известны ныне лишь по воспоминаниям об устных беседах с
их автором18). Важным подспорьем читателю послужат также юбилейные
статьи и ряд других материалов, публикуемых в обоих томах в виде
«Приложений».
2Л. В ходе подготовки издания вскрылись и некоторые научные интересы
Маркова, остававшиеся до сих пор неизвестными не только его коллегам,
но и близким его ученикам (см., например, работы, [1; 27; 66; 75]). Кроме
того, по его пока что неопубликованным воспоминаниям внесены
коррективы в датировку отдельных событий. Так, в частности, уточнено время
начала его самостоятельной научной работы: установлено, что упомянутая
выше работа [1] — первая из тех опубликованных, где он фигурирует в
числе авторов, — была выполнена летом 1920 г., когда Маркову не было
еще и полных семнадцати лет19). В дальнейшем, по всей видимости, будут
обнаруживаться и другие аналогичные факты.
2.2. Скажем несколько слов и о структуре данного издания. Путь,
пройденный Марковым в науке, был столь же прямым и устремленным к
поставленной цели, как и он сам. В нем не было случайных блужданий, остановов,
„топтаний на месте" и тем более — возвратов к прошлому. Фактически всё
делалось им „начисто"20*, и порой11грудно было отделаться от ощущения,
что его вела некая незримая Рука21). Об однажды уже пройденном он
вспоминал редко. И о его „химическом ггоошлом", когда он оставил химию, не
знал практически никто. Мне он рассказал об этом лишь за год до смерти.
18> См. мои публикации: «Реализуемостная семантика раннего периода марковского
конструктивизма (история и проблемы)» (в сб.: «Логические исследования. Вып. 7» — М.: Наука, 2000.
С. 61-7П и «Монолитно ли понятие конечного множества? (По поводу одной утраченной
работы А. А. Маркова)» (в сб.: «Смирновские чтения. 3 Международная конференция»*—М.:
2001. С. 54-57).
19) Об этом его „химическом периоде" я впервые услышал от Андрея Андреевича летом
1978 г. в больнице. Рассказ он завершил словами: «Я скоро, однако, понял, что химиком
стать не смогу... Реакция идет. А я должен ждать, да?». Когда публикация [1] была наконец
разыскана, у ряда коллег даже возникло предположение, что это „какой-то другой Марков".
Оно держалось до тех пор, пока я не разыскал касающийся этого вопроса текст, написанный
его собственной рукой.
**) Мы обсуждали этот вопрос с Андреем Андреевичем. Основная его мысль сводилась к
тому, что очень важно не торопиться и всё продумать наперёд. Почти то же самое утверждал
и один из величайших отечественных художников В. А. Фаворский. По свидетельству его
родных и близких ему учеников, он говорил, что если хочешь нарисовать быстро, то надо
рисовать медленно.
21) Андрей Андреевич отшучивался ссылками на лапласовский детерминизм. (См.
публикуемый в данном томе (с. 451-453) его рассказ «Опыт профессора Иванова», упоминавшийся
мною в [120, с. XXVI].)

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XI
Не удивительно, что и его научный путь в глазах учеников
младшего поколения казался распавшимся на два четко разграниченных
периода: «дрконструктивный» и «конструктивный». Граница между ними
пролегает — во всяком случае, по публикациям, — примерно между 1946-м
и 1947-м годами. Так же мы делим и тома его «Трудов»: условно их можно
назвать «доконструктивным» и «конструктивным».
Его научной деятельности, начавшейся так рано, никогда не
прерывавшейся даже во время отпуска или болезни, ни в каких условиях его не
утомлявшей и длившейся вплоть до последних недель его жизни22), мы во
втором томе его «Трудов», когда уже станут доступными все основные его
публикации, предполагаем посвятить пространную обзорную статью. В ней
по мере возможности серьезное внимание будет уделено и „чисто
человеческому" аспекту его во многих отношениях беспрецедентной жизни. Но о
некоторых, наиболее выдающихся его достижениях, равно как и о наиболее
важных моментах его жизни мы, — для правильного понимания феномена
Маркова, — должны, хотя бы вкратце, сказать уже сейчас. И прежде
всего — о его «конструктивизме», а также об истории и обстоятельствах его
возникновения.
3. Мы начнем с периода „совсем раннего" Маркова. Андрей Андреевич
был единственным и поздним ребенком в семье. В детстве он под личным
руководством отца получил уникальное домашнее воспитание и
образование. Его учили языкам (основными европейскими он отлично владел с юных
лет), музыке, рисованию. Как и отец, он отлично играл в шахматы. Он
любил литературу23), особенно поэзию24). Обладал выразительным голосом и
особой, почти декламационной манерой говорить. Был удивительно
артистичен по натуре и склонен к тонким и забавным мистификациям25).
22) «Вот вы, Андрей Андреевич, рассказали мне, — сказал на чествовании Маркова по случаю
его 70-летия А. Н. Колмогоров, — что сдали в этом году в «Доклады» семь заметок... А у меня
всё больше сил уходит просто на поддержание жизни».
^) В память о его особой привязанности к Эдгару По мы с последним аспирантом Андрея
Андреевича М. Н. Домбровским, помогавшим мне в работе над английским текстом
монографии [119] взяли в качестве эпиграфов (английского и русского) к [119] и [120] эпиграф из его
«Лигейи».
м) Впоследствии он и сам писал интересные стихи и замечательно читал их. Автограф его
стихотворения «Гипподамия» помещен в этом томе на с. 454.
**) Близкому окружению А. А. памятны его знаменитые розыгрыши, когда он с
таинственным видом, но абсолютно серьезным голосом начинал рассказывать нечто неожиданное, почти
невообразимое, но вместе с тем, если подумать, то и не такое уж абсолютно невозможное.
Все начинали строить про себя догадки, чем же все это окончится. И в момент
кульминации, когда все уже окончательно терялись в них, неожиданно следовало неизменное: «И
тут... я проснулся!». Вся прелесть этих представлений заключалась в том, что в такой
ситуации можно было побывать десять раз и все равно попасться в одиннадцатый. Угадать момент
развязки, увы, никому и никогда не удавалось. Любил А. А. и путем небольшого
„режиссерского экспромта" неожиданными вопросами подвести выступающего докладчика к тому,
чтобы тот сам обнаружил свой собственный промах. К сожалению, это не всегда, — даже
самыми тонкими умами, — бывало понято правильно. Примером может служить
нашумевший в свое время прискорбный эпизод в Дилижане (19/3 г.) на докладе Л. А. Бассалыго.
Свидетелем аналогичного, но дошедшего до „закономерного" завершения случая я был
(в первой половине 50-х гг.) в Ленинграде на одном из первых в стране докладов по теории
игр. Начав с «произвольного множества, элементы которого будут называться игроками» и
долго упорствуя на этой формулировке, докладчик в конце концов был вынужден
смущенно признать, что ему требуется всего лишь двухэлементное множество. «Я так и знал!» —
с наигранным пафосом воскликнул А. А. И он действительно это знал. Но он хотел, чтобы
докладчик пришел к этому сам.

XII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
В семье царил культ науки, и в какой-то степени это должно было
сказаться на роде и характере будущей его деятельности. Тем более что он
и сам, — по словам учившейся с ним в одном классе 8-й Петербургской
гимназии Н. Н. Галаниной, ставшей впоследствии известной пианисткой,
профессором Ленинградской консерватории26), с самого раннего возраста
был глубоко убежден, что «...непременно стан[ет] профессором27).
Гимназический курс он с самого приготовительного класса проходил на дому,
ежегодно сдавая в гимназии переводные экзамены, к которым его тщательно
готовил репетитор.
3.1. Но все же математикой с ним занимался сам отец, влияние которого
на сына было велико. Одно время, когда семья Марковых в 1917-18 гг.
проживала в Зарайске28), спасаясь от поразившей тогда страну разрухи,
отец даже стал „без вознаграждения" преподавать математику в том
классе местного реального училища, в котором тогда учился его сын. «И я, таким
образом, стал официальным учеником своего отца» — писал сын
впоследствии.
Кроме отца, в семье Марковых был и еще один ярко одаренный
математик— младший брат отца Владимир Андреевич Марков (8.05.1871-
18.01.1897), рано умерший от туберкулеза, но, несмотря на раннюю смерть,
оставивший по себе прочный след в науке.
Таким образом, мальчику была как бы „свыше предуготована" судьба
„потомственного математика". Вероятно, видеть сына математиком мечтал и
отец. Однако, пережив под влиянием своего репетитора, хорошо знавшего и
любившего химию, сильное увлечение этой наукой, сын решил, что станет
заниматься именно ею. Характер сына был сходен с характером отца,
человека твердого и решительного, и потому отец отнесся к увлечению сына с
полной серьезностью. Он даже отдал ему свой рабочий кабинет,
переоборудовав его под химическую лабораторию, в которую был специально встроен
вытяжной шкаф.
3.2. С весны 1919 г. юный Марков, выдержав специальный экзамен, был
по ходатайству отца зачислен вольнослушателем химического отделения
физико-математического факультета Петроградского университета. А с
осени он уже стал его студентом. В конце сентября ему исполнилось
шестнадцать лет. Вот что впоследствии пишет он в своих воспоминаниях.
♦Факультет этот объединял тогда физику, математику, химию и даже
биологию. Я набросился на все эти науки. Слушал блестящие лекции Ореста
Даниловича Хвольсона по физике; лекции, тоже блестящие, Льва
Александровича Чугаева по химии; лекции биологов Шимкевича и Дерюгина; лекции
кристаллографа Земятченского».
Он слушал лекции по анатомии человека и даже сдал экзамен по первой
части этого курса — остеологии. Однако он нашел эту науку „зубрильной"
%) В его неоконченных воспоминаниях, написанных незадолго до смерти, ей посвящено
несколько скупых, но четко окрашенных в тона лирической грусти эпизодов. На групповом
выпускном снимке (1919 г.) он полулежит у ее ног. (В университете я учился в одной группе
с ее дочерью.)
27) Это слово было у А. А. мерилом порядочности. Мне много раз приходилось слышать,
как он расстроенным голосом говорил: «Ну как же так? Не может этого быть... Ведь он же
профессор...».
^ Небольшой городок в Рязанской губернии, где проживали родственники Марковых.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XIII
и ходить на лекции по ней перестал. Он занимался в физической
лаборатории. Проходил практические занятия по биологии. Собирался
участвовать в минералогической экспедиции академика А. Е. Ферсмана. Однажды
на лекции по оптике „срезал", — по вопросу, касающемуся „химических"
тонкостей, — профессора В. К. Фредерикса, крупного физика. Зато и сам
„срезался" на первом же экзамене по математике. «В то время, — писал
он в своих воспоминаниях, — я был очень высокого мнения о самом себе.
Считал, что запоминать ничего не надо, так как все можно тут же
„вывести". Это привело к катастрофе — к провалу на экзамене по
математике. Нам, „химикам", математику читал Константин Бенедиктович Меликов,
человек с красивой бородой. Он читал хорошо. На экзамене он мне задал
доказать теорему Менье (дифференциальная геометрия). Я начал откуда-то
„выводить" ее, но просидев час вывел только равенство 0 = 0. Мне было
предложено придти через две недели. Я „подтянулся" и сдал этот экзамен».
Особенно его увлекала в это время математическая кристаллография.
3.3. Молодого студента на факультете заметили. На него „имел виды"
один из математиков — Александр Васильевич Васильев. Он
«...организовал, — пишет Марков в своих воспоминаниях, — семинар по изучению
математической логики. Я был поражен, узнав о существовании такой науки.
Как!? Неужели можно применить алгебраическую символику для
выражения чего-то совсем не числового!? Я пошел на этот семинар. Там делал
доклад о работах Пеано вечный студент с рыжей шевелюрой и такой же
рыжей бородой Константин Васильевич Трофимов. Он определял „нуль" и
„единицу" сог^сно Пеано с помощью огромного количества формул, что
было потрясающе. Я дал себе слово в будущем непременно заняться
математической логикой»29*.
Я нарочно привожу эти образцы живого стиля пишущего — человека,
в ту пору не очень здорового и не очень молодого — ему уже было „за
семьдесят"30).
3.4. Увлечение химией по-прежнему продолжалось. По окончании
первого курса он летом 1920 г. работал на университетской
♦Естественнонаучной станции». Он участвовал в одной^проводившейся здесь работе по
экспериментальной химии. Впоследствии результаты ее были
опубликованы в статье [1], написанной совместно31) с двумя соавторами —
профессиональными химиками. В это время ему еще шел всего лишь семнадцатый
год.
3*5. Начиная со второго курса, Марков уже стал интересоваться
теоретической физикой, и университет (теперь уже Ленинградский) он окончил
29) «и тут я проснулся» — явственно послышался мне торжествующий, но с чуть-чуть
ироническим оттенком голос Андрея Андреевича. (Его отец относился к проф. Васильеву
иронически.)
*°) «До семидесяти я буду молодым, — сказал мне однажды Андрей Андреевич, — а потом
сразу стану стариком». Последнее у него не получилось.
") Это была первая из всего двух прижизненных совместных публикаций Маркова.
Вторая — [98] — появилась на свет лишь в 1967 г. По поводу этой последней он в свое время
сокрушенным голосом сказал мне: «Ну вот... Наконец-то и у меня появилась работа, в которой
я не все понимаю». Черта, очень характерная для стиля и личности Маркова. Обычно — здесь
тоже проглядывает „петербургский стиль" — он всё делал „собственными силами" — даже
вставлял формулы в страницы, напечатанные ему машинисткой. Особенно его раздражали
попытки оказать ему физическую помощь.

XIV
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
в 1924 г. по физическому отделению с опубликованной работой по
экспериментальной химии.
„Теоретикофиаический период" Маркова в качестве следа по себе
оставил несколько блестящих работ. Первая из них [3] была одной из самых
ранних отечественных работ по квантовой механике, а еще одна, — работа
[9], поднимала важный вопрос относительно связи, существующей между
квантовой теорией и теорией относительности. Эти разделы были
одними из „самых свежих" в теоретической физике того времени.
И в этих ранних работах, — а особенно во второй из них, — стала
проявляться еще одна черта марковского дарования — его способность к
глубокому и оригинальному — поистине философскому — мышлению. Однако
прежде чем перейти к этой теме, я все же хотел бы отметить, что в ту пору
интерес Маркова к физике не ограничивался одними лишь
теоретическими ее проблемами. Его внимание привлекала к себе и прикладная тематика
этой науки, что до сих пор в литературе о нем, — например, в юбилейных
статьях, — никогда не отмечалось, хотя, например, задача,
рассматривавшаяся им в [27], и по сей день продолжает оставаться актуальной.
По воспоминаниям Маркова, еще в его студенческие годы на него
большое впечатление произвели лекции по термодинамике одного из
крупнейших университетских профессоров того времени, видного физика32* Виктора
Робертовича Бурсиана (1887-1945 гг.). Со временем Марков стал
участвовать в работе его семинара по бывшей в ту пору чрезвычайно модной
прикладной геофизике. Марковская работа [27], опубликованная лишь в 1938
г., возникла в результате его участия в работе этого семинара, и
результат ее был еще в 1936 г. вкратце изложен во втором томе книги Бурсиана
♦Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке». Весь
тираж этого тома (1936 г., Л., изд-во ЛГУ), за исключением десяти
случайно уцелевших экземпляров33), был после ареста В. Р. Бурсиана (конец
1936 г.) пущен „над нож". Первый том первого ее издания вышел в 1933 г.
(М.-Л., ШТТЛ) и уцелел. Второе издание книги (оба тома вместе) вышло
в свет в 1972 г. (Л., Недра; упоминание о результате Маркова см. в ней на
с. 176). Возможно, эти сведения представят интерес для биографов этого
одного из крупнейших отечественных физиков. Он вместе с В. А. Фоком
и В. К. Фредериксом входил тогда в „тройку" лидирующих физиков
Ленинградского университета. Все трое были репрессированы, и лишь В. А. Фока
спасло личное заступничество П. Л. Капицы перед Сталиным.
4. В 1925 г. Марков поступает в аспирантуру Астрономического
института и по окончании ее становится в 1928 г. его сотрудником. Во время
работы в нем он публикует ряд замечательных работ по небесной
механике и по теории динамических систем (см. комментарий к этим последним
на с. 462-463 данного тома). В высшей степени важным достижением
этого периода было сформулированное Марковым в [8] (1931 г.!) определение
32> Впоследствии он стал деканом физического факультета и директором Физического
института ЛГУ и занимал эти должности вплоть до его ареста в конце 193о г.
") Один из них я держал в руках дома у моего друга, автора комментария к работе [27]
в сентябре 1980 г. перед отъездом в Софию на Международную конференцию, посвященную
памяти Маркова, где мне предстояло делать доклад о его жизни и научной деятельности. Знал
ли Марков о выходе в свет 2-го издания этой книги, мне не известно.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XV
J.U...1ILUIU..I.4J.J.... I.1.H- ч it. I.IUIIJ. I » <i. ■ ■■■ ■■.. . ' . .1 .. .. .1 I. . . . .. i
абстрактной, или, как теперь принято говорить, топологической
динамической системы. В это же самое время Марковым был организован перевод
с английского знаменитой книги Дж. Д. Биркгофа «Динамические системы»,
ставший заметным событием в отечественной математической литературе.
Перевод этот был выполнен одним из ближайших друзей Маркова Евгением
Максимилиановичем Ливенсоном34*, пропавшим без вести в Ленинграде в
первые же дни войны. Он был снабжен «Примечанием редакции» (см. [34]),
написанным Марковым, совместно с В. В. Немыцким и В. В. Степановым.
Недавно (в 1999 г.) вышло в свет второе издание этого перевода.
4.1. Замечательна и написанная в 1934 г. огромная (в нашем томе это
с. 79- 116) работа [14], результаты которой докладывались еще в 1932 г. на
II Всесоюзном математическом съезде (см. [15]), а затем в 1933 г.
публиковались (см. [12]) в С. R. Acad. Sci. Paris. В этой работе совсем еще молодой
автор „на равных" ведет дискуссию с Гильбертом и Г. Вейлем по поводу
предлагаемых ими определений конечномерного векторного пространства
и излагает собственный подход, который поразительно просто вскрывает
причину, по которой все „привычные" функциональные пространства
оказываются бесконечномерными.
5. В одной из своих более поздних автобиографий Марков пишет: «как
математик я окончательно сложился к 1935 году». К этому времени он,
помимо уже упомянутых работ по теории динамических систем, стал
известен своими пятью докладами35* на II Всесоюзном математическом
съезде (Ленинград, 1934), вызвавшими большой интерес и резкую дискуссию,
и блестящим докладом [23] на I Международной топологической
конференции (Москва, 1935), инициировавшим большое количество публикаций.
В 1935 г. ему без защиты диссертации была присуждена ученая степень
доктора физико-математических наук, и уже в 1936 г. он стал профессором
Ленинградского университета.
Таким образом, мы и в самом деле видим, что математиком Марков
стал не по образованию и не с самого начала своей научной деятельности,
а постепенно, в силу опыта, приобретавшегося им в ходе текущих
исследований.
5.1. Как мы выше уже отмечали, к математике у него сравнительно рано
стало складываться отношение, более свойственное
естествоиспытателю, нежели „чистому" математику, „воспитанному" в духе канторовско-
го подхода.
Его интерес к логической структуре математических теорий, а также и
к широкому, — философскому, — осмыслению событий, происходивших в
той области науки, которая в данный момент привлекала к себе его
внимание, были вполне созвучны требованиям той эпохи, на которую пришлась
его научная деятельность.
Это была, как мы об этом уже говорили выше, радикально новая
эпоха— эпоха осмысления знаний, накопленных в математике в результате
предшествующего экстенсивного ее развития, эпоха рождения глобальных
**) По свидетельству лиц, знавших Е. М. Ливенсона, он был одним из тех трех близких
друзей, с кем Марков когда-либо был на „ты". Остальные два — это Сергей Львович Соболев
и друг еще гимназической поры Николай Иванович Лазарев (впоследствии известный географ).
**' См, [15]—[20], а также «Приложение» к данному тому.

XVI
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
программ ее „архитектуры", эпоха жесточайшего кризиса, поразившего
одну из этих программ — канторовское учение о множествах, — кризиса,
показавшего необходимость ограничить провозглашенную Кантором свободу
образования понятий, эпоха конституирования «оснований математики» как
самостоятельной научной дисциплины.
5.2. Марков был, по-видимому, первым из математиков — не только в
нашей стране, но и в мире, — кто осознал это как серьезное веление времени,
а не как повод заняться эффектной тематикой ради самой ее эффектности,
довольствуясь, как это иногда в математике и бывает, преодолением
технических трудностей. Поэтому он еще в предвоенные 30-е годы организовал
в Ленинграде семинар, на котором разбирался ряд замечательных работ той
поры, и в том числе знаменитые работы 1936-го года А. Чёрча, С. К. Кли-
ни, А. М. Тьюринга и Л. Поста, в которых подверглось уточнению понятие
алгорифма. Разбиралась и вышедшая в те годы в издательстве Шпрингер
классическая двухтомная монография «ОснЬвания математики» («Grundla-
gen der Mathematik») Д. Гильберта и П. Бернайса36*.
Идея необходимости „конструктивизировать математику" зародилась у
Маркова, видимо, уже тогда. Но в завершенном виде она созрела у него
позже, в конце 40-х гг., и она явилась плодом серьезных раздумий
математика, ставшего уже вполне зрелым, раздумий над сущностью и трудностями
его науки.
5.3. Однако и в своих относительно ранних работах Марков всегда
стремился к логической их отчетливости. Так, в своей работе [9] еще
„физического периода", написанной им в двадцать восемь лет37\ работе с
глубочайшим содержанием он пишет: «Главная же цельс всякой теории — это
сведение сложного к простому, а не наоборот* (с. 31, курсив мой —
Я. #.).
Высказанное здесь соображение представляется простым и
естественным — почти что само собой разумеющимся. Однако, чтобы полнее оценить
всю его глубину и вместе с тем убедиться, что в реальной научной практике
оно игнорируется сплошь да рядом, я хочу, взяв какую-нибудь „не
слишком абстрактную" науку, но все же из числа математических, — например,
«математические основы программирования», — показать, как резко может
контрастировать с ним стиль, даже такой, казалось бы, максимально
„приземленной" научной дисциплины, тесно связанной с реально
функционирующими „устройствами дискретного действия". Я говорю о „приземленно-
сти" этой науки отнюдь „не в хулу ей, а в хвалу", ибо ясно, что чем проще
основные объекты какой-либо теории, тем понятнее суждения о них.
Здесь объекты эти предельно просты и почти „реально ощутимы": все
они допускают кодирование их „ноликами" и „единичками"38). Между тем,
^ Идея ее русского перевода зародилась еще в то время. Но реализована она была лишь
в конце 70-х — начале 80-х гг. Перевод был сделан уже со 2-го немецкого издания, которое
и вышло в свет вместо планировавшегося английского перевода. Сделать этот последний,
несмотря на приложенные усилия, издательству Шпрингер так и не удалось. Мне доставила
большую радость возможность познакомить с этим трудом нашего читателя. Перевод этот
бесспорно является одним из существенных достижений марковской школы.
37) Причем по-немецки, за один месяц и, попросту говоря, объемистой: в нашем томе это
с. 30-42.
^ Наличие двух четко различимых объектов является необходимой предпосылкой всякого
научного знания. На это указывал, в частности, Гильберт в его с Бернайсом уже упоминав-

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XVII
в литературе по этому предмету порой можно встретиться с попытками
излагать там аксиоматическую (!) теорию множеств. Но ведь про нее мало
кто из программистов39) вообще что-нибудь знает или даже просто слышал.
И вовсе не потому, что они, так сказать, „не способны" понять ее (хотя это
и в самом деле весьма деликатный раздел самих по себе весьма деликатных
оснований математики — предмета для профессионалов40*). Вопрос в том,
нужна ли она „теоретическим программистам". Ведь обходятся же без нее
химики, врачи, музыканты...
И действительно — не нужна. При ближайшем рассмотрении
оказывается, что, как правило, она „привлекается к рассмотрению" лишь для того,
чтобы потом иметь возможность „щегольнуть умением" определять такую,
например, простую саму по себе вещь, как двухбуквенный алфавит,
состоящий всего-навсего из двух различных „букв" «О» и «1», столь привычных
любому специалисту по компьютерному делу, с помощью достаточно
сложного и не особенно-то ясного понятия «конечного множества»41),
возможными элементами которого являются эти буквы. При этом таким авторам,
как правило, просто не приходит в голову, что аксиоматическая теория
множеств тут вообще ни при чем42) и что дав это свое „определение" (по
сути дела, содержательное и потому относящееся к так называемой
„наивной" теории множеств), они, — чтобы быть точными43*, —должны были
бы как-то определить и сам фигурирующий в нем термин «множество»,
а затем среди «множеств вообще» как-то (видимо, с помощью определения
«через ближайший род и видовое отличие»?) выделить те из них, которые
являются ^конечными*. А это при ближайшем рассмотрении оказывается
не таким jftc простым делом. В одном из комментариев ко второму тому, —
«Монолитно ли понятие конечного множества?», — мы этот вопрос
рассмотрим с достаточной степенью детализации.
5.4. Я затронул здесь этот вопрос отнюдь не с целью поставить в вину
конкретным авторам допущенные ими конкретные нелогичности или
оплошности — такие усилия, как правило, оказываются тщетными. Мне просто с
помощью этого примера хотелось обратить внимание читателя на то, что тут
есть над чем задуматься. Марков на всех этапах своего *доконструктивно-
го периода* тоже сталкивался с рядом аналогичных, — в сущности, очень
трудных, имеющих принципиальное значение, — вопросов, касающихся как
шейся выше монографии «Основания математики». В марковском конструктивном
направлении идея эта реализуется „до конца": в ней рассматриваются только конструктивные объекты,
допускающие такую кодировку (см. ниже п. 10.4).
эт) И даже математиков, занятых, как они полагают, „настоящим делом", а не какими-то там
„основаниями", хотя именно к ним (основаниям) аксиоматическая теория множеств как раз
и относится.
*°) В дальнейшем мы постараемся показать это на примерах.
41) Распространено мнение, что всякое конечное множество задается указанием списка его
элементов. Любителю подумать могу предложить следующую задачу. Дана (в виде
алгорифма) произвольная вычислимая арифметическая функция (р со значениями, не превышающими
единицы (то есть со значениями «О» или «1»). Требуется указать способ (в виде алгорифма),
который позволял бы — по (р — составлять список значений, принимаемых этой функцией.
(Ответ-подсказка: такой способ невозможен.)
*^ Она не приспособлена для формулировки индивидуальных высказываний типа «такой-то
объект принадлежит такому-то множеству», так как формул в языке этой теории слишком
мало: всего лишь счетное множество.
43) Ведь якобы именно с этой целью аксиоматическая теория множеств и вводилась.

XVIII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
природы математических объектов, так и характера
математического знания. К сожалению, найти удовлетворительные ответы на эти вопросы
в основаниях математики того времени ему не удалось. Так дело обстояло
и тогда, когда он занимался еще хоть и нематематической, но все-таки
такой тематикой44*, что в процессе ее разработки ему приходилось
пользоваться математикой как „рабочим аппаратом". Так оно обстояло и потом,
когда он перешел к чисто математической тематике. Он старался найти
реальный выход из создавшегося положения, твердо, однако, понимая, что
этот выход не может состоять в том, чтобы сложное объяснять при помощи
еще более сложного.
6. Уже в самом начале мы вкратце упоминали самую раннюю из
начавших в последней четверти XIX в. складываться в математике
крупномасштабных программ организации „внутренней архитектуры" этой науки. Мы
имеем в виду так называемую «теоретико-множественную программу»
знаменитого земляка Маркова — Георга Фердинанда Людвига Филиппа
Кантора45*. Она, как об этом тогда уже говорилось, была провозглашена им
в 70-х гг. XIX в.
В основу своей программы Кантор положил предварительно развитое им
«учение о множествах», в котором ключевую роль играло предельно
широко трактуемое им представление о «множестве» как о «произвольной
совокупности элементов произвольной природы». Множества эти были
таковы, что они — в свою очередь, — могли становиться элементами любых
других множеств — а значит, в том числе, и самих себя.
Согласно этой программе, все без исключения математические объекты
и понятия должны были определяться в терминах этого учения. В
результате все математические высказывания, — то есть высказывания о
математических объектах, — в конечном счете оказывались высказываниями о
множествах, и вся математика начинала приобретать заманчиво
единообразный вид.
Вопрос о логическом аппарате канторовской программы в те времена
попросту не возникал. Вряд ли кто-нибудь из тогдашних математиков мог
бы представить себе, что рассуждения, которые ему придется проводить в
создаваемой по этой программе математике, могут вестись иначе, чем по
правилам традиционной аристотелевской логики*®.
6.1. «Зловредные трещины» в фундаменте канторовского учения, о
которых Марков пишет в [104] (ем. с. 42), стали обнаруживаться уже в конце
XIX в. в виде противоречий47*', частично бывших известными уже самому
Кантору. Однако впечатление, произведенное этой программой на многих**)
44) Теоретической физикой, небесной механикой и прикладной геофизикой.
^ Он родился 3.3.1845 в С.-Петербурге и умер 6.1.1918 в Галле (Германия).
^ Кант («Критика чистого разума», 1781) считал ее окончательно устоявшейся наукой, и
один лишь Гегель («Наука логики», 1816) выразил смутное предчувствие грядущих перемен.
47) Наиболее яркое из них, — так называемый «парадокс Рассела», — мы ниже рассмотрим в
деталях.
^ Но далеко не всех, как это стало считаться впоследствии. Против нее резко выступали
Кронекер, Пуанкаре, Брауэр. И даже великий его современник Феликс Клейн в своих
знаменитых «Лекциях о развитии математики в XIX столетии» (М.: Наука, 1989) уделил Кантору
всего лишь несколько скупых фраз.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XIX
его современников, было столь велико, что, например, и гораздо позже,
когда стало уже окончательно ясно, что программа эта научной критики не
выдерживает, Гильберт в его выступлении в Мюнстере (1925 г.) на
конгрессе, посвященном памяти Вейерштрасса, все еще, — как теперь сказали бы,
„из политических соображений", — продолжал говорить о ней как о «рае,
созданном Кантором для математиков», энергично утверждая, что «никто
не сможет изгнать [их] из него»49*.
Правда, ситуацию эту, на самом деле тогда уже просто вынуждавшую
бежать из этого „рая", он, — в том же самом (sic!) выступлении, —
расценивал как «на длительное время невыносимою]». Стоит, однако,
заметить, что, несмотря ни на что, она продолжает сохраняться такой и до
сих пор50*.
6.1.1. В порыве эйфории, охватившей тогда многих математиков, не вдруг
было замечено, что „по Кантору" рассмотрение даже относительно
простых математических объектов (таких, например, как ^натуральные
числа*) предлагалось сводить к рассмотрению объектов, предельно сложных
(таких, как ^множества*). Так, например, ^натуральным рядом*
предлагалось считать произвольное множество элементов произвольной природы,
для которого выполняются надлежащим образом сформулированные
аксиомы Пеано51).
Само собой разумеется, что при столь расплывчатом канторовском
представлении о множествах резонно возникал вопрос о том, допустимо ли
считать само канторовское учение математической дисциплиной. Да и
формулировки математических понятий, вводимых „по Кантору", вряд ли
можно било безоговорочно признавать математически точными. И тем не
менее, на первых порах проект этот, — ввиду огромной суггестивной силы
самого его автора и исключительной методической простоты предлагаемого
подхода, — вызывал массовый энтузиазм.
в.1.2. Программа эта сформировала в математике особый
«теоретико-множественный стиль мышления», характерной чертой которого стал взгляд
на математические объекты как на актуально завершенные и абсолютно
статичные*®. При этом полностью игнорировалась какая-либо
конструктивная сторона в их специфике.
Классическая аристотелевская логика с ее „законом исключенного
третьего" и „чистыми теоремами существования", доказываемыми „методом
от противного", тоже „способствовала" тому, чтобы математика,
возникающая на этом пути, приобретала значительную дозу неконструктивности.
Ниже разговор на эту тему мы еще продолжим.
6.2. В п. 6.1 мы уже начали разговор о кризисе канторовского учения,
начавшемся еще в конце XIX в. Существенной его частью стали
„обрушившиеся" на него так называемые „теоретико-множественные парадоксы"53).
**) См. «Избранные труды» Гильберта, т. I, с. 438. —М.: Факториал, 1998.
ю> См. там же мой «Комментарий...» на с. 562-570, а также [120, п. 6, с. XXIV-XXV].
51) Занятно, что для соблюдения упомянутого стандарта натуральное число тоже надлежало
понимать как множество: например, как одноэлементное множество, единственным элементом
которого является элемент натурального ряда.
52) Заметим, что в такой математике нет времён — ни прошедшего, ни будущего: в ней нельзя
сказать, что такой-то объект «существовал» или что он «будет существовать». Он лишь
«существует» («ныне, и присно, и во веки веков» — Кантор был не лишен интереса к богословию).
М) Всё же точнее было бы говорить о парадоксах канторовского учения.

XX
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
По сути дела это были самые обычные противоречия в нем» то есть пары
высказываний, одно из которых является отрицанием другого, доказуемые
в этом учении с соблюдением всех правил логики. Заметим, что их
обнаружение фактически означало возникновение возможности доказать в этом
учении, — опять-таки с соблюдением всех правил логики, — любое (sic!)
математическое утверждение54*.
Прежде всего, возникает вопрос о том, удачен ли здесь выбор самого
термина «парадокс», с учетом того, что он будет употребляться в качестве
научного термина. Возьму на себя смелость утверждать, что в русском
языке — нет. В других языках, — например, в греческом, — это может быть
иначе.
Заметим, что в русском языке, согласно толковым словарям, данное слово
имеет два значения: 1) нечто необычное, неожиданное, расходящееся с
принятой традицией; и 2) противоречие в указанном нами выше смысле
слова (то есть нечто такое, чего на самом деле не должно было бы быть —
Н. #.). Надлежит четко понять, в каком смысле оно употребляется в связи
с канторовским учением.
Широко распространенное мнение состоит в том, что так называемые
„теоретико-множественные парадоксы11, — в том числе и «парадокс
Рассела»55*, — подпадают под первое значение этого слова. Между тем, и в
«Энциклопедиях» («Математической» и даже недавно вышедшей «Новой
философской») авторы статей в своем изложении парадокса Рассела почему-то
останавливаются буквально в полушаге от бесспорного противоречия. И
потому, быть может, будет небесполезно хотя бы однажды внимательно
проследить за этим рассуждением от начала и до конца. Сейчас мы этим и
займемся. Всё рассмотрение в п. 6.3 мы проведем в рамках канторовскоео
учения. Обращаем внимание на то, что законы аристотелевской логики нам
потребуются не в полном их объеме (к этому вопросу мы вернемся в конце
пункта).
6.3. Будем пользоваться следующими сокращениями. Знак «€» будет
означать принадлежность элемента к множеству. Логические связки
«отрицание» („не"), «конъюнкцию» („и"), «импликацию» („если..., то...") и
«эквивалентность» ( тогда и только тогда, когда...") мы будем записывать
знаками ->,&,=» и <Ф=^ соответственно. В качестве переменных для
множеств мы будем использовать буквы х и у.
6.3.1. Рассмотрим множества х, удовлетворяющие условию ->(х € х), то
есть такие, что для них высказывание -*(х € x) может быть доказано. По
Кантору, они образуют некоторое новое множество — множество
(1) {xb(zez)},
и) Все эти события не обошлись без тяжелых человеческих трагедий. Беру на себя
нескромность порекомендовать читателю прочесть в связи с этим хотя бы «Предисловие ко 2-му
изданию» в монографии [120].
55) Он был обнаружен в 1902 г. Бертраном Расселом в вышедшем из печати еще в 1893 г.
1-м томе «Основных законов арифметики» Г. Фреге — этой первой попытке последовательно
построить арифметику на базе канторовского учения. „Просмотр", допущенный Фреге, сыграл
в его судьбе роковую роль: его научная деятельность на этом фактически оборвалась, хотя он
скончался только в 1926 г., прожив еще 24 года.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXI
элементами которого они являются. Идея этого построения, в техническом
отношении простого, но тем не менее неожиданного и сыгравшего столь
фундаментальную роль, принадлежит Б. Расселу. В его честь мы обозначим
это множество буквой 1Н.
Покажем теперь, что в канторовском учении доказуемы оба
высказывания
(2) (ЯеЯ) и -n(9tG9t),
а вместе с ними и их конъюнкция
(3) (9tG9t)&-4SKe9t),
в чем, собственно, и заключается «парадокс Рассела».
6.3.2. В самом деле, согласно определению множества Ж, для любого
множества у высказывание
уе{х\-п(хех)}
означает то же самое, что и высказывание ->(у Е у), и потому в рамках
канторовского учения доказуема эквивалентность
(уе<И) <=* -Чубу),
а потому, при подстановке 9t вместо у, и обе импликации
(4) (9teiH)=*-.(!Kein) и -i(sk e Ж) =*(*€*).
Теперь мы установим доказуемость сначала второго из
высказываний (2), а затем и первого5*).
Второе из этих высказываний, -i(JH e JH), представляет собой отрицание
высказывания (1Н 6 91), и потому мы будем доказывать его «приведением
к нелепости»57* предположения о доказуемости этого последнего. Для
этого мы подберем такое высказывание Я, чтобы доказуемыми оказались обе
импликации
(5) (9tG9t)=»il и (91G 91)=^ -tU.
На роль такого И вполне подходит высказывание (91Е 91), так как в этом
случае у первой из импликаций (5) совпадают друг с другом посылка и
заключение (и потому она доказуема), а вторая из них совпадает с
(доказуемым) первым из высказываний (4), и значит, второе из высказываний
(2) доказано.
Что же касается первого из высказываний (2), то мы теперь докажем его,
взяв уже доказанную вторую из импликаций (4) и заметив, что посылка
ее только что была нами доказана.
*) Разумеется, эти высказывания доказуемы не только «в этом и только в этом порядке».
Однако § этом порядке доказывать их удобнее.
57) Неудачный, хотя и устоявщийся перевод с латинского «reductio ad absurdum».
Разумеется, речь здесь идет не об абсурде, а о противоречии.

XXII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
Что и требовалось доказать.
Отсюда немедленно вытекает важное следствие, состоящее в том, что
если мы станем считать канторовское учение математической
дисциплиной (то есть частью математики), то нам придется признать доказуемость
любого математического высказывания 93, так как один из законов логики
в том и состоит, что доказуемо любое математическое высказывание вида
Я=Ф>(->Я=Ф>93), так как нам остается лишь „отбросить" у этого (доказуемо-
го) высказывания две уже доказанные посылки.
6.4. Сказанное наводит на мысль, охарактеризовать только что
полученный парадокс как теорему, установленную внутри канторовского учения.
Все требования, обычно предъявляемые к доказательствам теорем, здесь
выполняются.
В самом деле, теорема эта, во-первых, исходит из предпосылки, оба
пункта которой вполне согласуются с позицией Кантора:
а) множество 9t описывается четко сформулированным условием,
которое, по Кантору, может быть произвольным5**,
и
б) вновь образованное множество может статьэлементом любого другого
множества (а значит, и самого себя).
И, во-вторых, в ходе проведенного рассуждения были соблюдены все
привычные правила логики. То есть, данное утверждение доказано правильно.
6.5. В результате обнаружившихся в ней „парадоксов" программа
Кантора в чистом ее виде обрушилась. Обнаружилось, что в этом учении можно
доказать любое высказывание о множествах, а если причислить это учение
к числу математических дисциплин59*, то тоже самое произойдет и с
математикой. Именно это я и имел в виду, когда говорил, что основания
математики *яг это вещь деликатная и предназначенная для профессионалов:
полное осознание такого рода последствий приходит, как правило, только
с опытом.
7. После обнаружения несостоятельности канторовского учения начались
усиленные поиски выхода из создавшейся ситуации. Основные надежды
возлагались на попытки так или иначе аксиоматизировать это учение.
Было предложено несколько таких аксиоматизаций. Наибольшую известность
получила система аксиом ZF', предложенная Цермело и Френкелем.
К сожалению, установить, — в соответствии с программой Гильберта, —
непротиворечивость хотя бы одной из них не удалось вплоть до
настоящего времени. Быть может, этих попыток сам Кантор и не одобрил бы, нет
этого страстно желал Гильберт. «Я приветствую как пробуждение, как
сияющую зарю, — патетически восклицал он на Международном конгрессе
математиков в Болонье (1928 г.), — тот факт, что в последнее время ряд
математиков снова вернулся к идеям Цермело. Эти математики дополнили
аксиомы Цермело и успешно разработали при этом ряд важных, глубоких
вопросов»60* Но желаемого результата, заметим, они так и не достигли.
58) «Суть математики в ее свободе!» — таков был гордый лозунг Кантора.
59) Что обычно и делается: иногда сознательно, иногда по желанию „махнуть на всё рукой",
а иногда и просто по непониманию последствий.
^ Д. Гильберт «Избранные труды». Т. 1.—М., Факториал. 1998. С. 450.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
ххга
К идее „спасения" канторовской программы „во что бы то ни стало",
рассматриваемой как самоцель, мы можем относиться по-разному. Например,
совсем не ясно, не выйдет ли так, что „результат" этого сшгсения и впрямь
выльется в простую «игру формулами», от чего нас предостерегал Брауэр
и чего, возможно, не одобрил бы и Кантор. Не выйдет ли, и впрямь, так,
что «абстракции, проводимые ради них самих, заведут нас туда, откуда нет
спуска на „землю"?» — спрашивал Марков.
Однако, безусловно ясно, что термин ^теория множеств» в применении
к такого рода аксиоматикам звучит куда более обоснованно, чем он
звучит в „стандартной" математической литературе „для всех". Вполне также
возможно, что технические приемы, наработанные в процессе создания
таких систем, пригодятся в каком-нибудь другом, совершенно неожиданном
месте — например, при разработке формальных онтологии.
Все известные (на данный момент) доказательства всех имеющихся (на
данный же момент) в наличии парадоксов в этих аксиоматических
системах „не проходят11. Но, вместе с тем, в настоящее время нет никаких
надежных гарантий от появления в будущем новых аналогичных ситуаций,
и не видно, каким образом эти гарантии можно было бы получить.
Таким образом, все попытки как-либо „отремонтировать" канторовское
учение, сохранив главную его суть, до сих пор ни к какому решительному
продвижению не привели и, по существу, зашли в тупик61'. И все это при
том, что с момента начала этих попыток прошло уже столетие. Разумеется^
в течение этого времени не стояла на месте и сама математика, так что,
скорее всего, теперь она нуждается уже в совсем другом фундаменте.
Я уже не раз62) обращал внимание на то, что Кантор, говоря о своем
творении, употреблял термин <учение о множествах» (Mengen/eftre63)) и
что обычай говорить о * теории множеств» установился лишь
впоследствии, с легкой руки его приверженцев. Между тем, в любом учебнике по
этой „теории" основное ее понятие предлагается не определять вовсе, а
ограничиваться лишь пояснением его „на примерах"64). Но ведь при таком
подходе это учение не может претендовать на роль теории. Тем более,
математической. Тем более, такой, которую в дальнейшем предполагается
сделать фундаментом математики, этой «самой точной из всех наук». Ведь
курс «теории чисел», в котором понятие натурального числа определялось
бы только на примерах, вряд ли имел бы успех. Но не об этом ли писал
и Пушкин: «Увы! Другую б освистали. Велико дело красота...»65)?
Хочется спросить еще и о том, разумно ли такое относительно простое
и прозрачное понятие, как «натуральное число», определять с помощью
абсолютно расплывчатого и изощренного66) представления о «множестве».
61) Большинство „непрофессионалов" считает, что „профессионалы" уже давно „со всем
этим" справились и что никаких „трудностей" уже давным-давно не существует.
®) См., напр., [117, с. 18-19] или [120, с. XLII-XUV.
ю) Эта формула употреблена и на мемориальной доске, установленной в Галле на доме, в
котором он жил.
м) Как правило, не выдерживающих никакой критики: например, «множество всех птиц
такого-то и такого-то биологического вида, находящихся в данное время года в таком-то и
таком-то месте земного шара».
65) «К молодой актрисе» (1815 г.).
*) Вспомним «парадокс Рассела». Рассел, по его собственному признанию, прежде, чем
послать письмо Фреге, в течение двух лет искал в своем рассуждении ошибку.

XXIV
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
Не является ли это той самой попыткой свести простое к сложному, о
которой совсем еще молодой Марков писал в своей работе [9]67)?
Лично мне среди всех теоретических недостатков данного «учения»
именно этот его изъян представляется самым серьезным и „неремонтируемым".
Куда, например, более серьезным, чем наличие в нем „парадоксов"
(противоречий). С „парадоксами" можно каким-либо образом бороться: например,
их можно пытаться устранить. Но как бороться с его принципиальным
нежеланием иметь сколько-нибудь точное определение собственного
основного понятия?
И тем не менее, в дальнейшем, — делая традиции уступку, — мы тоже
иногда будем говорить о теории множеств68*.
8. Радикальный план выхода из создавшейся кризисной ситуации был
предложен в самом начале XX в. совсем еще молодым, но уже ставшим
тогда очень известным голландским топологом Лёйтзеном Эгбертом Яном
Брауэром (27.2.1881, Оверсхи, - 3.12.1968, Бларикум). План этот
заключался в проведении решительной реформы математики — в полном
освобождении ее от какой-либо апелляции к канторовскому учению.
В разработанной им программе роль „кирпичей", из которых в процессе
возведения его «интуиционистской математики» надлежало строить все ее
объекты, отводилась не «множествам», как это полагалось делать „по
Кантору", а «умственным построениям», от которых требовалось, чтобы они
были прозрачно сформулированными и интуитивно ясными. В этом
тоже крылась известная доза неясности, хотя, конечно, и гораздо меньшая,
чем у Кантора. Удел устранять ее69\ — быть может, постепенно, —
выпадал на долю грядущих программ, которым еще предстояло появиться
после канторовской и брауэровской. У нас это будут программы Гильберта
и Маркова. И кроме того, важно отметить, что вместе с брауэровскими
построениями в математику вошла динамика, отличающая ее от
канторовской статики, а также и "незавершенные объекты" в виде так называемых
«свободно становящихся последовательностей». Континуум у Брауэра
перестал быть „готовой", завершенной канторовской сущностью, состоящей из
столь же завершенных действительных чисел, и превратился в некую воз-
можностъ — в среду их свободного становления.
8.1. Брауэровские умственные построения в вопрос об интуиционистском
понимании суждений о них вносили определенную специфику.
Несколько упрощая и модернизируя ситуацию, можно сказать, что в соответствии
с „брауэровскими" (интуиционистскими) принципами понимания
математических суждений формулировалось некоторое бинарное отношение
«умственное построение F является обоснованием интуиционистской
истинности суждения А», а затем для каждого конкретного суждения В можно
было ставить задачу: «доказать, что В интуиционистски истинно», то есть,
что (потенциально) может быть осуществлено умственное построение G,
находящееся с В в сформулированном выше отношении.
67> См. наш п. 5.2.
™) К тому нас просто вынуждает удобное прилагательное: «теоретико-множественный».
69) Быть может, и не до самого конца; ибо кто отважится сказать, что вот у него, наконец, всё
ясно. Нормально задача всегда должна состоять в том, чтобы свести неясность к достижимому
в рассматриваемой ситуации минимуму.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXV
Например, суждение о существовании умственного построения "по Бра-
уэру" полагалось понимать как его прямую осуществимость. Безусловно,
потенциальную, но все-таки прямую, а не доказанную косвенно,
„методом «от противного»". Это, в свою очередь, диктовало необходимость
понимать дизъюнкцию суждений как прямое указание ее истинного члена.
Безусловно, потенциальное, но все-таки прямое, а не доказанное косвен-
но, опровержением предположения о несуществовании такого члена. И
тому подобное. Не вдаваясь во все тонкости этой непростой проблематики,
мы этими примерами и ограничимся.
8.2. И, разумеется, вследствие только что сказанного, перед Брауэром
вставал вопрос о том, каковы же все-таки правила, которым подчиняются
рассуждения о таких объектах. Возможно ли научное описание этих
правил?
Пристальное изучение этой проблематики привело Брауэра (1908 г.) к
крупнейшему с аристотелевских времен открытию в логике. Он обнаружил,
что в рассуждениях об умственных построениях традиционная, —
аристотелевская, — логика „не работает" и что здесь необходимо пользоваться
особыми, — отличными от аристотелевских, — способами умозаключений.
Впоследствии „метаинтуиционисты", т. е. те, кто стал описывать эти
способы70), пользуясь различными научными методами, увидели в них особую,
«интуиционистскую логику»71). Сами же интуиционисты считают эти
способы частью своей математики, и поэтому включать логику в ее фундамент
они не расположены72).
Пользуясь, тем не менее, метаинтуиционистским способом выражаться,
мы можем сказать, что в ней, как оказалось, „действует" отнюдь не
привычный с античных времен „закон исключенного третьего" (Р V^P)73), а всего
лишь ослабленный его вариант — его „двойное отрицание" -»-»(Р V ->Р),
и что в рамках интуиционистского понимания математических суждений
„снять" здесь „двойное отрицание" невозможно74). Были обнаружены и
другие отклонения этой логики от традиционной (аристотелевской). В
частности, оказалось, что в этой логике „не действует" (автоматически, как это
делается в теоретико-множественной математике) „способ доказательств
существования методом «от противного»"75).
Все это делает получающуюся в итоге интуиционистскую математику
существенно более конструктивной в сравнении с
теоретико-множественной. Фундаментальной же особенностью брауэровского проекта было
все-таки то, что при его реализации математика радикально
освобождалась от канторовской концепции «множества».
то) См. [93], реплику Инт'а на с. 18.
71) Наше рассуждение в п. 6.3, касающееся парадоксе Рассела, укладывается в ее рамки.
Обратим, кстати, внимание на то, что в нем не используется упоминаемый в тексте несколькими
строками ниже так называемый „закон исключенного третьего".
™) «Логика — не почва, на которой я стою» — поэтически говорит Инт у Гейтинга (см. [93,
с. 14]). Из дальнейших его слов выясняется, что в данном случае речь идет о фундаменте
математики.
73) Здесь V — знак «дизъюнкции» (логической связки „или").
74) Хотя, разумеется, и не может быть такого Р, чтобы и Р, и -»Р оба были бы ложными.
75) Возможно, именно этот факт раздражал Гильберта больше всего.

XXVI
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
В. Теперь мы перейдем к анализу еще одной из „посткризисных"
программ — программы, предложенной одним из самых знаменитых
математиков своего времени Давидом Гильбертом (23.1.1862, Кенигсберг -
14.11.1943, Гёттинген).
По своему характеру и назначению она коренным образом отличалась от
двух предыдущих. Обе предыдущие были в определенном смысле
программами религиозного толка, программами «для себя и для других». Автор
такой программы, выдвигая некоторый Идеал в качестве нормы для других,
сам тоже придерживается его. Программа же Гильберта — это программа
иного толка. Она пытается указать путь, двигаясь по которому можно
было бы обходить трудности канторовского учения. То есть она фактически
пытается обосновать это учение. Но это — путь для других. Я
затрудняюсь афористически выразить формулу этой программы, но мне кажется, что
в конце концов в ней идет речь о соотношении между целью и средствами.
Однако, развивая в дальнейшем свою «теорию доказательств», Гильберт
так или иначе касался „архитектурных" проблем устройства математики, и
обсуждавшиеся им вопросы во многом даже предвосхитили проблематику
нынешней теоретической информатики.
0.1. Первую, — пока еще достаточно сдержанную, — поддержку канто-
ровскому учению Гильберт высказал в 1904 г. на III Международном
конгрессе математиков в Гейдельберге, почти сразу после открытия, сделанного
Расселом. Однако впоследствии радикальная позиция, занятая Брауэром по
отношению к канторовской программе, вызвала его резкую критику, и он,
который в противоположность Брауэру старался во что бы то ни стало
„спасти" канторовскую концепцию, обрушил на интуиционизм и на всех,
кто его поддерживал, буквально „шквальный огонь". За его сочувственное
отношение к идеям Брауэра Гильберт подверг жесточайшей критике
даже своего любимейшего ученика Германа Вейля. В нашу задачу не входит
детальный анализ этого конфликта, но читателю, который пожелал бы
составить себе хотя бы приблизительное представление о его размере и стиле,
можно посоветовать прочесть текст доклада Гильберта «Die Grundlagen der
Mathematik>76), русский перевод которого опубликован в книге Гильберта
«Основания геометрии»77) в виде «Приложения IX* (см. с. 382-383).
Критика Гильберта в ряде отношений выглядит предвзятой, причем по
свидетельству современников с позицией Брауэра Гильберт был знаком не
во всех деталях и не по первоисточникам***. Ситуация, помимо прочего,
осложнялась нелегкими характерами обеих полемизирующих сторон.
Впоследствии (в 1944 г.) в научном некрологе «Давид Гильберт и его
математические труды» Г. Вейль писал: «Л. Э. Я. Брауэр своим
интуиционизмом открыл нам глаза и заставил увидеть, насколько далеко
общепринятая79* математика выходит за рамки таких утверждений, которые могут
76) На русский это название переведено с досадной неточностью. Доклад, прочитанный в
июле 1927 г. по приглашению Математического семинара в Гамбурге. Текст доклада напечатан
в Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. Bd. 6. S. 65-85.
77) Перевод с 7-го нем. над. М.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1949. 491 с. (Серия «Классики
естествознания».) Эта книга и только что упомянутый доклад будут встречаться у нас и ниже.
78* В связи с этим см. гл. XVIII книги Констанс Рид «Гильберт». — Перевод с англ. с
предисловием Рихарда Куранта. М.: Наука, 1977.
те) Теоретико-множественная. — Я. Я..

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXVII
претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на
очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру Гильберт никогда открыто
не признал, насколько он, равно как и другие математики, в долгу перед
Бра^ром за это его открытие»80*.
9.2. Кризис, разразившийся в канторовском учении, Гильберт
рассматривал как общематематический, затрагивающий не одну лишь теорию
множеств. При таком подходе к нему он свою задачу усматривал не только в
том, чтобы выйти из него, но и в том, чтобы найти надежный способ «раз
и навсегда разделаться с проблемами оснований»81*. Знакомясь с гильбер-
товской программой, важно отчетливо понимать, что она была направлена
на достижение сразу двух целей. С одной стороны, это была программа
♦pro Cantor», а с другой — «contra Brouwer». Первая из этих двух ее
ориентации обуславливала ее стремление быть консервативной и ограничиться
в математике минимумом внешних, — особенно что касается ее
логического аппарата, — перемен, а вторая побуждала дать острый отпор тем, кто
позволял себе смелость критиковать «утверждения, не могущие, — по уже
приводившимся словам Г. Вейля, — претендовать на истинность,
основанную на очевидности».
«Я удивлен, — гневно восклицал он в уже цитировавшемся выше
гамбургском докладе, — тем, что математик сомневается в незыблемой
правильности вывода при помощи закона исключенного третьего. Я еще более
удивлен тем, что сейчас объединилась, по-видимому, целая группа
математиков, которые делают то же самое. Я всего более поражен тем фактом,
что в среде математиков вообще может иметь невероятнейшее и
эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного
человека».
Я. привожу эту цитату не оттого, что я с нею согласен. Просто мне
кажется, что этого требует от нас наш долг соблюдать историческую правду.
9.3. Обрисованная выше дилемма подводила Гильберта к необходимости
сделать выбор. Однако вариант, на котором он остановился, вероятно,
никому другому не пришел бы в голову, или же тот не решился и не отважился
бы обнародовать его. Но у Гильберта на это достало и изощренности
интеллекта, и отваги и, главное, решимости, и он в разработанной им программе
предложил строить82* математику так, чтобы в ней не возникало ни
малейшей надобности что-либо говорить об осмысленности ее суждений (в том
числе, и об их истинности ияи ложности). В противовес брауэровскому
стремлению устранить в математике неосмысленные высказывания он,
образно говоря, предложил упразднить в ней саму категорию смысла. И это
было сделано следующим образом.
9.4. Его программа в окончательном ее вида, как об этом уже
упоминалось, была провозглашена Гильбертом лишь, в 20-х гг. ушедшего века.
Однако сама идея „уточнения аксиоматического метода", положенная им в
ее основу, была выдвинута им еще в курсе «Оснований геометрии»,
прочитанном в 1898/99 учебном гаду -в Гёттингенскам университете. Курс этот
*>> Д. Гильберт СМртпщь труды». Т. 2. —М.: Факториал. 1998. С. 606.
81) В подлиннике это звучит острее: ««us der Welt *u schaffen*.
**) Точнее говоря, обосновывать. Но ведь в крупных делах начинают именно с обоснования
проекта.

XXVIII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
был издан в виде книги, многократно переиздававшейся и со временем
вошедшей в математическую классику83).
Способ, которым эта идея была тогда претворена в жизнь, далеко
опередил свое время, и без преувеличений можно сказать, что он во многом
предвосхитил основные черты структурализма приближавшегося XX века.
9.5. Анализируя аксиоматику евклидовых «Начал», Гильберт пришел к
идее полностью устранить из нее те абсолютно ни для какой серьезной
цели не пригодные подобия определений, которые Евклид в своих «Началах»
давал их основным объектам. И в самом деле, „определения" типа «линия
есть длина без ширины» невозможно было использовать ни в каких
рассуждениях, сколько-нибудь претендующих на точность.
Вместо них Гильберт в его собственные версии евклидовых аксиом
включил все те сведения, которые действительно требовались для
доказательства тех теорем, которые входят в состав «Начал». Несколько
„осовременивая" то, что было сделано им в то время, сейчас можно сказать, что им,
во-первых, для достижения его целей был фактически разработан
специальный, оказавшийся достаточно простым «формальный» язык84*. А так как,
во-вторых, логические средства, — а именно, аристотелевская логика, — в
то время подразумевались как нечто единственно возможное, то
гильбертова версия «Начал» фактически оказалась тем, что мы сейчас назвали бы
«формальной системой». И если отвлечься от той „словесной" формы, в
которую им было облечено его изложение, то можно будет сказать, что в
значительной части этого курса дальше все шло как в современной
математической логике (или даже в информатике). А именно: в этой построенной
им системе, которая фактически оказалась формальной, Гильберт свои
доказательства фактически облек в форму «выводов» в ней.
Когда же лекции Гильберта были изданы в виде книги85*, то несколько
необычной ее особенностью оказалось следующее. Ее основной текст содержал
фрагменты, которые в книге называются «теоремами» и «доказательствами»
и которые протеста по поводу этого их статуса у читателя (особенно у
невнимательного) не вызывали: все „концы с концами сходились". Между тем,
об истинности доказанных теорем в книге нигде и ничего не говорилось.
В каком-то смысле, — при фиксации какой-либо конкретной модели
данных аксиом, — они и оказывались истинными, но полезно знать, что такая
их модель не была единственной86). У Гильберта в момент формулировки
аксиом про их истинность ничего не говорилось, и если бы
„невнимательный" читатель в какой-то момент, „почуяв что-то неладное", вдруг спросил
бы Гильберта про одну из таких „доказанных" им „теорем", является ли она
истинной, то в ответ он мог бы в порядке милой шутки87) услышать и нечто
вроде следующего: «С чего это вы вдруг? Я ничего такого и не обещал. Я
просто доказал ее... Доказал, заметьте, lege artis88*. Давайте проверим! Вот
аксиомы, рассуждаю я по обычным правилам логики... Вот и всё...»
^ См. сноску 77.
м) То есть язык, имеющий точную структуру — синтаксис, как сказали бы мы теперь.
85) В Гёттингене мне посчастливилось держать в руках ее подлинную рукопись.
86* По этому поводу см. мой «Комментарий...» к 1-му тому «Избранных трудов» Д. Гильберта,
с. 564 и далее.
87) В Гёттингене мне рассказывали, что он очень любил подшутить.
88) По всем правилам искусства (лат.).

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXIX
И в известной мере он при этом был бы прав. Ведь правильное
доказательство это и есть доказательство, проведенное с соблюдением всех
требующихся правил. А они в данном случае были соблюдены: он брал аксиомы
и, отправляясь от них, рассуждал по всем правилам логики.
Хочу обратить внимание на то, что я тоже использовал такого рода
„приём". Рассуждение в п. 6.3 по поводу парадокса Рассела было выдержано
именно в таком духе. В нем говорилось лишь о доказуемости и о
доказательствах. Что же касается истинности высказываний, — в том числе и
тех, которые были там доказаны, — то о ней в связи с этим не было
сказано ни слова. И я сделал это, исходя из вполне серьезных соображений:
мне хотелось, чтобы тот, кто прочел данные рассуждения „без
посторонней помощи11, испытал шок при виде того, как заведомо не могущее быть
истинным высказывание (3) доказывается прямо у него „на глазах". Но
в этом-то и заключается цель этого противоречия, обычно зачем-то
называемого парадоксом. На него нельзя смотреть, как на некий изящный и
экстравагантный „научный изыск". И Гильберт это хорошо понимал. Рядом
со словами о «рае, созданном Кантором для математиков» (см. выше п. 6.1)
в его докладе прозвучали и более горькие слова: «Перед лицом этих
парадоксов надо согласиться, что... в математике, — этом образце надежности
и истинности, — понятия и умозаключения, как их всякий изучает,
преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность
и истинность, если даже математическое мышление дает осечку?».
9.6. Теперь уже можно обсудить и „техническое устройство" гильбертов-
ской «теории доказательств» («метаматематики»). Созданная выдающимся
ученым и мыслителем, она по своему замыслу была совершенно
необычной — под стать ему самому. В отличие от обеих предыдущих, выдвигавших
на передний план, — осознанно (как это было у Брауэра) или неосознанно
(как у Кантора), — семантику высказываний, формулируемых в их рамках,
программа Гильберта основной акцент делала на синтаксической стороне
проблемы.
Основная идея Гильберта заключалась в том, чтобы иметь возможность
для всех без исключения важнейших разделов математики89* построить их
формальные аксиоматики, причем так, чтобы они были полными и
непротиворечивыми и чтобы доказательства этого были проведены особым,
убедительным и для интуиционистов способом90*. Это, по Гильберту, сняло бы
проблему обоснования математику „раз и навсегда" (см. наш п. 9Л.).
Чтобы добиться этой цели, для каждого изг таких разделов надлежало
разработать имеющий точный «синтаксис» формальный язык для записи
суждений об объектах этого раздела, а затем создать его аксиоматику,
описывающую свойства этих объектов и отношения между ними, то есть перечень
его «собственных» аксиом, а также аксиом «логического аппарата».
Собственно говоря, у Гильберта этот последний „выносился за скобки": здесь
всегда можно было подразумевать ту или иную аксиоматику традиционной
аристотелевской логики.
Все это должно было в каждом из разделов математики обеспечить
возможность формулировать понятие «доказательства». Аксиомы каждого из
") К их числу Гильберт, безусловно, относил и теорию множеств (он употреблял именно
этот термин).
w) Во всяком случае, без использования закона исключенного третьего.

XXX
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
разделов надлежало подобрать так, чтобы для них выполнялись (с
выполнением приведенной выше оговорки) требования их «полноты* и tnenpo-
тиворечивости*. «Полнота» при этом понималась как обязательная для
любого высказывания Л данного раздела доказуемость в данной
аксиоматике либо самого А, либо его отрицания ->А а «непротиворечивость» — как
запрет на одновременную доказуемость того и другого.
9.7. Таким образом, основной задачей: этой программы, в общем и целом,
становилась задача построения полных и вместе с тем непротиворечивых
аксиоматик различных (на самом деле, Гильберт, конечно, имел в виду —
всех91) наличных) математических теорий.
По замыслу Гильберта, испытание его программы следовало провести на
простейшем случае — случае традиционной „классической"*2* арифметики,
то есть „чистой" — неаналитической — теории чисел. Эта «чистейшее, —
по выражению Гильберта, — и наивнейшее дитя человеческого духа»
должно было послуждаъ первым звеном в цепочке дальнейших продвижений
теории доказательств, которая в конце концов «...заверш[ит] создание
учения об аксиоматике. И того, что мы пережили дважды, — один раз, когда
речь шла о парадоксах исчисления бесконечно малых, и второй, когда мы
говорили о парадоксах теории множеств, — этого в третий раз не случится
и не произойдет больше никогда».
И далее, — через абзац, — Гильберт продолжает:
«Расширяясь, математика в известной степени превра[тит]ся в
третейский суд, в трибунал высшей инстанции, выносящий решения по
принципиальным вопросам, причем на конкретной основе, на которой все должны
иметь возможность договориться и где каждое утверждение может быть
проверено.
И претензии новейшего так называемого „интуиционизма", — сколь бы
скромны они ни были, — тоже, по моему мнению, должны сначала получить
от этого трибунала свидетельство на свои права».
Однако, уже на первом шаге эту программу ожидала неудача. В 1931 г.
Гёдель показал, что классическая формальная арифметика не может
одновременно обладать обоими требующимися этой программой свойствами.
Позже (в 1936 г.) Генцен, а вслед за ним и другие авторы показали, что
эта теория непротиворечива, а значит, и неполна*®. Таким образом, уже в
этом простейшем случае идея полной и непротиворечивой аксиоматизации
оказалась невыполнимой.
Представляется (правда, „задним числом", в свете уже накопленного
с тех пор опыта) несколько загадочным, что Гильберт, формулируя свою
программу, наперед не предвидел того, что случилось. Ведь принципы
индукции в формулировках Пеано и Гильберта совпадали лишь внешне, „по
написанию". А на самом деле, те свойства — свойства натуральных чисел,
для которых эти принципы и формулировались, — были у Пеано и у
Гильберта по самой своей сути различными: у Пеано это были „канторовские"
91) Это наводит на мысль о необходимых здесь уточнениях.
92) То есть рассматриваемой на базе „классической", — аристотелевской, — логики.
93> Более того, непополнима. Присоединение к ней любого конечного числа новых
арифметических аксиом, не превращающих ее в, противоречивую, оставляет ее неполной.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXXI
свойства (а их столько, сколько „канторовских" подмножеств у
натурального ряда), а у Гильберта их было столько, сколько формул у
логико-арифметического языка (то есть счетное множество). Это должно было вызвать у
него определенную настороженность. Недаром „вечный студент" Трофимов
так бился над «нулем» и «единицей» „по Пеано".
9.8. В дальнейшем предпринимались попытки установить
непротиворечивость других, более сложных аксиоматик — в частности, аксиоматической
теории множеств. Однако ни к каким серьезным продвижениям они не
привели. Таким образом, в деле решения своей основной задачи, поставленной
Гильбертом еще в начале этих исследований, теория доказательств
потерпела фиаско. И, тем не менее, в ходе этой работы было получено много
других, поистине замечательных результатов. К сожалению, однако, как
это иногда и случается с плодами человеческого разума, собрали их не там,
где они более всего ожидались.
10. Поскольку, однако, все эти результаты не имеют непосредственного
отношения к обсуждавшейся нами теме, мы перейдем от анализа гильбер-
товской программы прямо к аналитическому обзору «марковского
конструктивизма», иа котором, собственно, и должно быть сосредоточено все наше
внимание.
В дальнейшем, в п. 10.7 я приведу сжатое изложение принципов
конструктивного понимания математических суждений предварительно
рассмотрев в п. 10.5 и 10.6 типичный для марковского конструктивизма подход
к определению основных математических понятий. А пока мы займемся
историей данного вопроса.
ЮЛ. Выше мы уже отмечали, что Марков с самого начала своих
профессиональных занятий математикой стал проявлять глубокий интерес к
ее устройству. Его, в частности, интересовало, в какой мере специфика
устройства этой науки обуславливает выбор ее логического аппарата и
какое влияние она оказывает на эффективность тех разделов математики,
которые непосредственно связаны с приложениями.
Необходимо иметь в виду, что эти свои занятия он начал в то время, когда
в математике безраздельно господствовал канторовский
теоретико-множественный стиль мышления с его абсолютизацией свободы в образовании
множеств и с полным отсутствием даже представления о том, как важен в
случае такой „ключевой", — и, несомненно, по своему характеру
дедуктивной, — науки, как математика, правильный выбор ее логического аппарата.
Но он обладал широчайшим кругозором и редкой интуицией, которые
позволяли ему давать правильные оценки ситуациям, складывавшимся в тот или
иной момент в математике, а также делать точные прогнозы относительно
возможного воздействия на нее тех или иных новых сделанных в ней
открытий94*, и эти особенности его дарования со временем привели его к выводу
о целесообразности предпринять в математике радикальный пересмотр как
исходных понятий, так и используемого в ней логического аппарата.
Основное средство он видел в том, чтобы снизить уровень их абстрактности
до разумных пределов.
**) Обо всех этих качествах Маркова чрезвычайно высоко отзывался Д. К. Фаддеев в нашей
с мим, узд упоминавшейся мною (см. п. 1.Э.) беседе.

XXXII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
Безусловно, критика, с которой в 1908 г. совсем еще молодой тогда Бра-
уэр выступил против канторовского учения и против традиционной
аристотелевской логики, импонировала Маркову (см. [104, с. 44-451) своей
прямотой и бескомпромиссностью; а может быть и бесстрашием^.
Впоследствии, про обе только что упомянутые составляющие канторовской
программы Марков писал, что они ведут к чрезмерной и неоправданной
абстрактности математики, заводя ее «туда, откуда нет спуска на
„землю"» (см. [77, с. 315]). Но стремясь достичь позитивных сдвигов, он не мог
довольствоваться одной лишь критикой современной ему математики. И в
конце концов, проделанный им тщательный и детальный анализ целого
круга непростых и нелегких проблем, касающихся как внутреннего устройства
математики, так и чисто философской стороны этого вопроса, привел его
к постепенной разработке уже возникшего у него к тому времени замысла
его «конструктивного направления».
10.2. В 1936 г. в на первый взгляд, казалось бы, устоявшейся96*
математике того времени произошло выдающиеся событие, вскоре преобразившее
весь ее облик. Речь идет о выработанных тогда уточнениях (стандартиза-
циях) понятия «алгорифма»97*, опубликованных независимо друг от друга в
работах А. Чёрча, С. К. Клини, А. М. Тьюринга и Л. Поста. На базе этих
уточнений был тогда выдвинут и так называемый «тезис Чёрча»,
утверждавший адекватность произведенного уточнения.
Тезис этот утверждал, — на первый взгляд, быть может, чересчур
„энергично", — что всякий раз, когда нам кем-либо будет предъявлен
какой-нибудь ясно сформулированный алгорифм вообще98*, мы сможем построить
и эквивалентный ему") алгорифм в „стандартном" (точном) смысле этого
слова. Это предсказание, не являющееся по самому своему характеру
математическим утверждением, получило, тем не менее, достаточно
аргументированное обоснование его справедливости (см., например, [120, § 27]).
Из числа первых „стандартных" уточнений этого понятия, наибольшую
известность получили «машины Тьюринга» и «рекурсивные функции» Чёрча
и Клини. Вскоре (первая публикация [53] в 1951 г.), к ним, — „в обойму", —
присоединились и марковские «нормальные алгорифмы» с их «принципом
нормализации», эквивалентным тезису Чёрча.
Интуиционисты в целом отрицательно отнеслись к идее принятия
тезиса Чёрча, считая, что идея алгорифмической вычислимости не исчерпывает
умственных построений. Марковский же конструктивизм, в конечном счете
принимая тезис Чёрча, все же в известном смысле, вынес его „за рамки"
математики. А именно: в прямом математическом тексте (то есть в
формулировках определений и утверждений) он разрешил употреблять термин
«алгорифм» лишь в уточненном его виде (например, в виде машин
Тьюринга, рекурсивных функций, марковских нормальных алгорифмов и т. п.).
^ Лица, знавшие их обоих, отмечали эту общую их черту.
%) За исключений разделов, относящихся к основаниям математики.
97) В марковской школе был принят и устоялся до сих пор именно этот вариант написания
данного слова. В 1953 г. А. Н. Колмогоров, отвечая марковскому ленинградскому семинару на
поздравление с 50-летием, прибег к нейтральной машинописной «фите», для чего, задержав
каретку, он одним пальцем напечатал „заветный вензель" «о» и «е» — одну букву поверх
другой.
^ То есть заданный не в „стандартном" виде.
") То есть дающий те же самые результаты, что и предъявленный исходный.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXXIII
10.3. Та особая роль, которую понятие алгорифма играет в
математике, выполняя в ее языке роль уточненного повелительного наклонения, —
«предписания», — окончательно прояснилась лишь с наступлением эры
„машинной математики". Но огромная, присущая Маркову интуиция
позволила ему еще до наступления этой эры быстро и безошибочно осознать всю
важность того, что несло с собой в математику это событие.
По-видимому, Марков был первым100* в содружестве математиков, кто
осознал не только ту роль, которая этому понятию будет отведена в
решении важных, но все-таки конкретных, массовых алгорифмических
проблем, в ту пору уже десятилетиями остававшихся нерешенными в
традиционных областях математики, но и все общематематическое его значение.
Это понятие вводило в математический обиход конструктивную,
динамичную, имеющую ярко выраженный, — как мы бы теперь сказали, „вычи-
слимостный", — характер альтернативу абсолютно неконструктивному,
статичному канторовскому понятию «отображения множеств друг в
друга». В то время, когда рождалось это понятие, такой взгляд на него
открывал ряд благоприятных возможностей. Например, становилось возможным
среди всех мыслимых алгорифмических реализаций данного отображения
искать ту, которая в том или ином отношении оказывалась бы самой
„простой"101*. О других использованиях этого понятия мы поговорим несколько
позже.
10.4. Всякий алгорифм — из числа упомянутых выше точных типов —
представляет собой хоть в своем роде и абстрактное, но все же совсем
простое по своему типу „устройство дискретного действий", перерабатывающее
друг в друга тоже простые, — почти реально осязаемые, — объекты102*: так
называемые «конструктивные». Они задаются, — и для «марковского
конструктивизма» это очень существенно, — правилами их порождения, или
„конструирования".
Для примера рассмотрим так называемые «машинные слова» (иногда их
называют также «булевыми векторами»), определяемыми следующими
правилами построения:
а) Знаки 0 и 1 мы называем «машинными словами»;
б) Если Р уже оказалось «машинным словом», то знакосочетания РО
и Р1 мы также будем называть «машинными словами».
Обычно, — в целях общности, — рассматривают еще и „пустое"
«машинное слово», в котором нет ни одного знака. Тогда первое из двух
приведенных выше порождающих правил будет удобно заменить следующим, — быть
может, несколько вычурным, — правилом: „Знакосочетание, в котором нет
ни одного знака, мы будем называть «машинным словом».".
Мы считаем, что процесс, отвечающий этому описанию, мы можем
развертывать сколь угодно далеко во времени, и результаты, получаемые на
каждом из его шагов, мы будем называть «машинными словами».
10.4. В отвлечении, позволяющем нам считать, что этот процесс нам
удастся вести сколь угодно долго и в понимании того, что он никогда не
10°) Разумеется, за исключением авторов этого открытия.
101 * Как раз такого рода соображения и подталкивали к работам по оценкам сложности
алгорифмов.
102) В случае марковских нормальных алгорифмов — это слова в заранее заданных алфавитах.

XXXIV
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
оборвется, и заключается так называемая «абстракция потенциальной
осуществимости». Более „далеко" абстракция, состоящая в том, что мы
позволяем себе считать этот принципиально незавершаемый процесс
завершившимся, а также рассматривать его результат (множество всех машинных
слов) „на равных правах" с результатами каждого из его шагов, и есть так
называемая «абстракция актуальной бесконечности».
Безоговорочное признание второй из них характерно103* для программы
Кантора. Безоговорочное же признание первой из них и столь же
безоговорочный отказ от второй характерен для марковской программы, к
которой мы сейчас возвратимся. Возвращаясь к словам, можно предположить,
что предшествующие марковские контакты с объектами „типа слов" в его
работах до алгебре и топологии и навели его на мысль заменить в
своей будущей программе рассмотрение брауэровских умственных построений
рассмотрением неких подобий их „начальных отрезков", —что и приводит
нас к «словам в алфавитах», — а что касается «свободно становящихся
последовательностей», то их вообще было решено изъять из рассмотрения
ввиду, — по крайней мере, частичной, — их нематема^чности.
По замыслу Маркова, у него общее представление о «конструктивном
объекте» в качестве точного, математического понятия нигде в
конкретных математических рассмотрениях104* не используется. В точных
формулировках можно встретиться лишь с конструктивными объектами
конкретных типов, каждый из которых определяется самостоятельно, без
ссылки на общее понятие «слова» (которого у Маркова, собственно говоря,
и нет). В конечном же счете, как об этом уже упоминалось, все может быть
сведено к рассмотрению одних лишь „двоичных (машинных) слов", хотя это
в практическом отношении и не всегда удобно.
Хотелось бы обратить внимание на присущий „марковскому
конструктивизму" его принципиальный „аскетизм". В отличие, например, от
программы Кантора, которая, образно говоря, изначально „обзавелась" всеми
множествами сразут\ программа Маркова всегда (и всего) „берет" ровно
столько, сколько ей в данный момент этого нужно.
Заметим, что у Гильберта в аксиоматиках его теорий их аксиомы суть
формулы формальных языков с точным синтаксисом, а потому они, как и
его „доказательства" (выводы), являющиеся их списками, тоже могут быть
закодированы такими словами. Уже а этом пункте программы Гильберта и
Маркова смыкаются. Но у Гильберта есть и нечто большее, что сближает
его с Брауэром и Марковым — это требования, предъявляемые им к
логическим средствам, с помощью которых он собирается рассматривать выводы в
своей теории доказательств. Все это однажды позволило Маркову назвать
Гильберта «одним из провозвестников конструктивизма* (см. [104, с. 44]).
Вот как выглядит сопоставление основных „кирпичей" этих программ:
^ В данной ситуации. Сам же Кантор рассматривает и гораздо более сложные.
^ Тем более, в теоремах.
105) Она напоминает мне человека, который, начиная жизнь, решает заранее приобрести всё
необходимое для жизни. Абсолютно необходим гроб* и предусмотрительный человек первым
приобретает именно его. Б итоге, он, расстроившись, почти тут же и умирает. В программе
Кантора роль этого гроба играют парадоксы.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXXV
у Маркова — это «произвольные слова в двухбуквенном алфавите»,
у Кантора — «произвольные множества элементов произвольной
природы». У Брауэра — это * умственные построения*, у Гильберта — то же,
что и у Маркова.
10.5. Сейчас даже трудно представить себе, что всего лишь две
трети столетия тому назад математика не располагала никакими106*
точными средствами, которые позволяли бы ей ввести в рассмотрение, скажем,
понятие вычислимой арифметической функции (ВАФ107>). Однако, начиная
уже с 1936 г., в рамках пусть пока лишь канторовской программы стало
возможным говорить о математически корректном определении, вводящем
ВАФ /, как арифметическую функцию (АФ), такую, что существует ал-
горифм <р (в каком-либо точном смысле этого слова — например, в виде
машины Тьюринга, марковского нормального алгорифма и т. п.),
вычисляющий ее значения, то есть такой, что для любого натурального числа (НЧ) п
имеет место условное равенство /(п)~ у>(п), которое означает, что обе его
части осмысленны одновременно и что в случае их осмысленности значения
их совпадают.
Это определение представляет собой так называемое определение «через
ближайший род и видовое отличие»108). Оно среди всех АФ выделяет те из
них, которые могут быть вычислены каким-либо алгорифмом. Но мы должны
здесь помнить, что понятие АФ — это понятие канторовской математики,
и потому здесь любая АФ является, как и любой другой математический
объект, некоторым множеством.
10.6. И вот здесь в игру вступает «марковский конструктивизм» и
делает очередной шаг, избавляясь от канторовского понятия АФ следующим
образом. Он предлагает определить ВАФ просто как сам алгорифм,
относительно которого в предыдущем — канторовском — варианте всего лишь
утверждалось, что он существует, — то есть как алгорифм, который вся-
кое НЧ, к которому он применим, перерабатывает снова в некоторое НЧ.
Но алгорифм определяется своей программой, а она есть некоторое
слово (например, «машинное»). Таким образом, ВАФ можно определить как
некоторое машинное слово., удовлетворяющее таким-то и таким-то
условиям. О предыдущем определении АФ теперь можно просто позабыть. Этот
прием регулярно применяется в конструктивной математике и во многих
других случаях.
Далее, «вычислимая последовательность натуральных чисел» (ВПНЧ)
определяется как всюду определенная ВАФ, и значит, она тоже может
быть задана машинным словом, удовлетворяющим таким-то и таким-то
условиям.
Затем, — после натуральных, — «целые числа* (ЦЧ) могут быть
определены как соответствующие слова в трехбуквенном алфавите (одна буква
теперь отводится иа указание знака числа). После них — как слова в
четырехбуквенном алфавите (по одной букве отводится на указание знака числа
106) В полном противоречии с этим фактом, с самого „начала" теории множеств создавалось
мнение, что она дает возможность „своими силами" создать модель любого феномена,
представляющего для математики серьезный интерес.
107) в целях краткости я позволю себе здесь пользоваться аббревиатурами.
108) рег деПи$ et diHerentiam specificam (лат.).

XXXVI
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
и на „косую черту", отделяющую целый числитель от натурального,
отличного от нуля знаменателя) — определяются «рациональные числа» (РЧ).
«Арифметические операции» над всеми этими числами и «отношение
равенства» между ними определяются естественным образом, и все они —
алгорифмичны. Детали всех этих определений мы оставляем читателю.
«Конструктивные последовательности РЧ» (КПРЧ) теперь могут быть
определены как алгорифмы, которые каждое НЧ (номер члена
последовательности) перерабатывают в некоторое РЧ (член последовательности,
имеющий этот номер).
10.6.1. Это был первый шаг по пути к определению «конструктивного
действительного числа» (КДЧ). Теперь мы сделаем второй — определим
понятие «регулятора сходимости данной КПРЧ». Так мы будем называть ал-
горифм, который всякое РЧ е > О перерабатывает в то „место" в данной
КПРЧ (в номер того ее члена), начиная с которого все ее члены с большими
номерами отстоят друг от друга не больше, чем на е. Разумеется, отнюдь
не каждая КПРЧ имеет регулятор сходимости. Но далее КПРЧ, для которой
задача построения ее регулятора сходимости может быть решена, мы будем
называть «фундаментальной» (ФКПРЧ).
На этом можно было бы остановиться и считать понятие ФКПРЧ
конструктивным аналогом канторовского понятия действительного числа.
Однако лучше поступить иначе и рассматривать пары алгорифмов
(уточненных, конечно), состоящие из ФКПРЧ и ее регулятора сходимости. Такие
пары представляют собой один из наиболее распространенных вариантов
понятия «конструктивного действительного числа» (КДЧ). Иногда КДЧ
называют также «дуплексами».
Читателю, надеюсь, будет приятно убедиться, что такое число, —
КДЧ, — действительно, можно вычислять с любой точностью (до любого
рационального числа е >0). Надо, взяв это е, найти с помощью регулятора
сходимости данного КДЧ (это — второй член пары; он — алгорифмХ)
соответствующее место в „основе" этого КДЧ (первый член пары — он тоже
алгорифмХ) Про любое действительное число „классического" континуума
всего этого, вообще говоря, сказать нельзя. Там нет алгорифмов,,.
Если согласиться „отождествлять" как сами эти ФКПРЧ, так и их
регуляторы сходимости с их „программами", которые суть конструктивные
объекты, то и составленные из них пары тоже станут
конструктивными объектами. И при таком подходе „конструктивный континуум" станет
состоящим из конструктивных объектов (можно даже считать, что из
машинных слов). В этом случае два „с виду" различных КДЧ могут — как
и в „классическом" случае, — оказаться равными. Большой специфики в
точном определении этого «равенства» двух КДЧ нет, и я его для краткости
опущу.
Математик, прошедший канторовскую школу, прочитав это определение
найдет его странным. «Этих чисел мало, — скажет он. — Счетное
множество. Значит, мера его равна нулю. И, вероятно, между ними щели... А где
же функции? И каковы они?».
«Чисел мало, — соглашусь я, — а множеств у нас вообще нет. Но давайте
поставим вопрос иначе: можно ли все КДЧ „вытянуть" в ^конструктив-
ную последовательность» (КПКДЧ), как это, безусловно, можно сделать с
рациональными числами (дробями)? Оказывается, нет. Нельзя. Более того,

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXXVII
можно построить алгорифм, который любую КПКДЧ перерабатывает в КДЧ,
отличное от всех членов этой КПКДЧ».
«Теперь о „щелях". Их тоже нет. Если мы на этот раз определим
понятие „регулятора сходимости" уже не для КПРЧ, а для КПКДЧ, и определим
понятие ФПКДЧ, то пределом такой последовательности всегда будет
некоторое КДЧ».
Таким образом, фигурально выражаясь, „множество всех КДЧ" в
некотором естественном — и вдобавок, в конструктивном, — смысле не только
несчетно и плотно в себе, но и замкнуто.
10.6.2. А теперь посмотрим, как обстоят дела с «конструктивным
математическим анализом». Ясно, как тут надо выдержать „дух Дирихле" в
определении «конструктивной функции действительного переменного» (КФДП):
просто надо взять алгорифм, который каждое КДЧ, к которому он
применим, снова перерабатывал бы в некоторое КДЧ.
Тут надо только проследить за согласованностью этого алгорифма со
значениями аргумента: во-первых, два равных КДЧ он должен перерабатывать
в равные же результаты, а во-вторых, если он применим к какому-либо
КДЧ, то он должен быть применим и к любому равному ему.
Что же можно сказать о таких, точечно — „в духе Дирихле" —
определенных КФДП? Первый же опубликованный в этой области результат
(Марков, 1953) был неожиданным. Оказалось, что такого рода функция не
может иметь точек разрыва. Впоследствии этот результат был дополнен
тончайшей работой Г. С. Цейтина, показавшего (1962 г.), что такая
функция во всякой точке, где она определена, непрерывна (то есть, что для нее
может быть указан алгорифм, перерабатывающий всякий е>Ов
соответствующую S > 0).
Эти работы показали, что определение функции „по Дирихле"
неуниверсально по своему характеру. „Неточечный подход" к определениям КФДП
был опубликован Н. А. Шаниным в 1962 г. (в школе Маркова он, как и
результат Цейтлина, фактически был известен гораздо раньше, но тогда с
публикациями не спешили).
Эта версия «конструктивного анализа» была вплоть до тончайших
подходов и труднейших результатов, до сих пор остающихся „неизвестными
рекордами", разработана как самим Марковым, так и его школой. Однако по
большей части все это осталось в журнальных публикациях... Прекрасную
по состоянию на свое время (1973 г.) монографию «Лекции по
конструктивному математическому анализу» написал наш с Марковым общий ученик
Б. А. Кушнер (М.: Наука. 447 с; в Америке она переведена на английский
и пользуется большим успехом). Последняя по времени изданная в России
монография, связанная с марковским конструктивизмом — это наша с
Марковым монография [120], опубликованная в 1996 г. Я рассматривал ее как
прелюдию к планировавшемуся тогда изданию данных «Трудов», но, увы,
этот план остался тогда без должного завершения...
Однако до широкого круга математиков все эти результаты „не
дошли"109). Или дошли в искаженном и переиначенном виде, доставшемся
109) Все, что я писал о положении школы Маркова в [120] (см. с. ХХН-ХХХ), остается в силе.
Сказанное можно дополнить разве лишь грустной констатацией общего упадка математической
логики и оснований математики в стране.

XXXVIII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
нам от прежних, идеологизированных времен. Пожалуй, единственное
исключение представляет собой замечательная книга Л. Д. Кудрявцева
«Современная математика и ее преподавание» (М.: Наука. 1985. 2-е изд. 176 с),
в которой не без влияния нашей с Марковым монографии [117] отмечается,
что знаменитый «„метод" деления отрезка пополам», обычно используемый
в доказательстве теоремы Больцано — Коши о нуле знакопеременной
функции алгорифмом не является110) (см. op. cit., с. 108).
10.6.3. Этот сюжет заслуживает продолжения. Сам факт, что так
называемый „метод" деления отрезка пополам не может являться алгорифмом,
вытекает из более сильной теоремы, опубликованной Цейтиным в 1962 г.,
но в „устном варианте" бывший известным в школе Маркова гораздо
раньше. Теорема эта утверждает, что невозможен никакой алгорифм (в точном
смысле этого слова), который позволял бы для любой КФДП /, заданной,
для определенности, на конструктивном отрезке [0,1] и принимающей на
его концах значения противоположных знаков, найти ее „нуль", то есть
КДЧ х из данного отрезка, такое чтош) для него /(ж) = 0. Напомним, что
из другой, выше уже упоминавшейся теоремы Цейтина (о непрерывности
КФДП) следует, что / непрерывна на всем этом отрезке.
Спрашивается, не следует ли отсюда, что имеются непрерывные
знакопеременные КФДП, вообще никогда не обращающиеся в нуль на этом отрезке?
(Так сказать, „пробирающиеся" через конструктивную ось абсцисс сквозь
„дыры" в ней.) Нет, никоим образом не следует. Можно доказать теорему
о том, что никакая из КФДП рассматриваемого нами типа не может иметь
во всех точках этого отрезка значения, отличные от нуля112).
Таким образом, у такой КФДП „нуля" не может не быть. А уж отсюда
тот, кто рассуждает по Аристотелю, „методом от противного", —впрочем,
обычно не подчеркивая или даже попросту не замечая этого, — заключает,
что этот нуль „есть" (где?, у кого?), что он „имеется" (опять-таки — где?,
у кого?), хотя, будучи об этом спрошен, он чгщ всего оказывается не в
силах „предъявить" его или как-нибудь прокомментировать сказанное. И
потому те из них, кто поточнее, говорят: «Этот „нуль", вообще говоря,
только „существует", и я вам об этом больше ничего сказать не в силах.
Ну, не знаю, понимаете ли...» Но таких мало.
Итак, переходя на серьезный лад, ситуация в целом выглядит следующим
образом. Требуется научиться решать урайнения f(x)=0 для функций
описанного выше класса. Доказано, что корня у любого из этих уравнений не
может не быть. Но как его найти — неясно. Общего алгорифма для этого
заведомо быть не может (это „строго" доказано).
Обычно в таких случаях начинают искать сколько-нибудь подходящие
„разрешимые" подклассы таких уравнений. Или как-нибудь
модифицировать саму задачу. Однако, у ряда авторов113*, —да и в „фольклоре"
конструктивного анализа, — накопилось немалое число совсем простых, но „плохих"
по) Результат Г. С. Цейтина, опубликованный им 40 лет тому назад. См [120, § 66-68].
ш) Но это — чисто формальная констатация. Содержательно же дело заключается в том, что
если, например, уже вычисляемое на первом шаг этого „метода" значение /(*) фактически
окажется равным действительному числу нуль, то вычисляя это значение с любой наперед
заданной точностью и Получая с этой точностью „нули", мы, быть может, никогда не сможем
остановиться и завершить даже первый шаг этого процесса.
П2> Собственно говоря, именно это и доказывается во всех стандартных курсах канторовского
математического анализа.
из) г £ цейТИН| б. А. Кушнер, П. Мартин-Лёф и др.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XXXIX
подклассов функций, где общего алгорифма быть не может. Например,
задача не решается уже в классе кусочно линейных функций, график которых
состоит всего из трех идущих друг за другом отрезков.
Зато найдена и математически точно обоснована модификация самой
постановки данной задачи. А именно: функция / задается „в паре" с
точностью е >0. И тогда удается конструктивно, — с использованием
принципа Маркова, что хотелось бы подчеркнуть особо, —доказать, что имеется
алгорифм в точном смысле этого слова (например, машина Тьюринга или
марковский нормальный), позволяющий найти на отрезке [0,1] КДЧ ж,
такое что |/(а>)| < е.
Таким образом, пытаться найти решение уравнения f(x) = 0 по
единственному исходному данному / бесперспективно (в / недостает для этого
„информации"), но уже пара (/, е) представляет собой достаточное для
этой цели исходное данное. Содержащейся в нем „информации" вполне
хватает для решения поставленной задачи.
Заметим, однако, что идея взять конструктивно стремящуюся к нулю
последовательность положительных рациональных еп и отвечающую ей
последовательность хп, такую, что для всякого п будет иметь место неравенство
1/(^)1 < ёя> а затем пытаться выбрать из этой ограниченной
последовательности, подпоследовательность, сходящуюся к некоторому КДЧ ж,
такому что в силу непрерывности / будет иметь место равенство f(x) = О,
не приведет нас к желанному результату, поскольку алгорифм, который в
данном случае выбирал бы эту нужную нам подпоследовательность, увы,
невозможен.
Монографию [120], последняя глава которой посвящена элементарным
сведениям из конструктивного математического анализа, я закончил
следующими словами: «Опытный математик-вычислитель, разумеется, должен
остро ощущать обрисованную здесь ситуацию. Однако нам представляется
небезынтересным, что это ощущение может быть выражено в виде точных
математических утверждений».
Мне кажется, что в создании этой возможности состоит одна из самых
непреходящих заслуг Маркова перед математикой. Лишь в рамках его
программы стало возможным в теории вычислительных методов доказывать о
подобного рода вещах математически точные утверждения-теоремы.
И вот, давным-давно пылится у В. А. Шурыгина фактически „зарезанная"
коллегами, по причинам не имеющего серьезного отношения к науке,
рукопись важной для настоящего времени книги по сложиостной проблематике
в конструктивном анализе, — проблематике, поставленной на серьезную
научную основу Марковым.
Итак, мы видим, — ив дальнейшем будем иметь возможность
убедиться в этом еще не раз, — что в становлении марковского конструктивизма
понятие алгорифма114* сыграло поистине ключевую роль и стало в нем
важнейшим рабочим инструментом.
10.7. Теперь мы перейдем к вопросу о логическом аппарате марковского
конструктивизма.
114) В марковской шкоде чаше всего, — как чрезвычайно удобные в работе, —использовались
именно его «нормальные алгорифмы».

XL
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
Как мы уже видели, программы Кантора и Гильберта в
провозглашенных ими целях зашли в тупик. Программе Брауэра тоже пришлось
пережить немалые трудности, связанные с понятием «свободно становящейся
последовательности»115^. Понятие это было недостаточно прозрачным, и, по
мнению Маркова, сочувственно и с блеском прокомментировавшего [93]
русский перевод известной книги А. Гейтинга «Интуиционизм», оно в
конечном счете вело к необходимости апеллировать к понятию актуально
бесконечных множеств (см. [104, с. 44-45]). Кроме того, присоединяясь
к интуиционистам в их критике аристотелевской логики, Марков никогда
не разделял их скептического отношения к логике вообще. Он всегда искал
свой собственный путь, на котором можно было бы построить
самостоятельную логику, которая согласовывалась бы с особенностями его собственного
замысла, ставшего в общих чертах обрисовываться уже к концу первой
половины 40-х годов.
Проблески такой возможности Марков увидел в вышедшей в 1945 г.
работе С. К. Клини «По поводу истолкования интуиционистской
арифметики»116), в которой им, — с опорой на только что уточненное понятие
алгорифма, — вводилось понятие «реализуемой»117) логико-арифметической
формулы, уточняющее интуиционистское представление об истинности
суждений о натуральных числах.
К счастью, истолкование это было сделано Клини таким, что оно
одновременно отражало представление и о конструктивной истинности этих
суждений. Этому благоприятствовало отсутствие в логико-арифметическом
языке какой-либо специфики, относящейся к свободно становящимся
последовательностям.
Познакомившись в п. 10.6.2 со способами, с помощью которых здесь —
то есть в конструктивной математике — вводятся основные математические
объекты, мы теперь познакомимся и со спецификой логических принципов,
с опорой на которые они здесь рассматриваются.
Мы приведем сейчас несколько наиболее характерных из числа этих
принципов — принципов конструктивного понимания математических
суждений.
Здесь:
а) любую дизъюнкцию математических суждений надлежит понимать
как потенциальную осуществимость указания верного ее члена;
б) любое суждение о существовании объекта с такими-то свойствами
надлежит понимать как суждение о потенциальной осуществимости
такого объекта;
115> В этом пункте интуиционистов неоднократно упрекали в субъективизме, позабыв, что на
самом деле объективное — это тоже субъективное, но придуманное не тобой. Субъективизм
очень зависит от того, каков сам „субъект", и вряд ли объективизм Кантора лучше
субъективизма Брауэра.
П6> On the interpretation of intuitionistic number theory // J. Symb. Logic. —1945. — V. 10. —
P. 109-124. По словам Клини, эта работа была фактически выполнена им еще в 1941 г., но
публикация ее по условиям военного времени задержалась.
117) Неудачный, но, к сожалению, устоявшийся перевод. Английское «realization» по-русски
означает также «понимание», что, разумеется, Клини и имел в виду.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XU
в) любое параметрическое суждение о существовании надлежит
понимать как суждение о потенциальной осуществимости алгорифма,
перерабатывающего любое допустимое значение параметра данного суждения в
объект, существование которого при этом его значении утверждается.
Остальные логические связки мы прокомментируем лишь вкратце.
Импликация здесь понимается как потенциальная осуществимость
алгорифма, перерабатывающего любое доказательство ее посылки в какое-
либо доказательство ее заключения.
Отрицание суждения обычно сводится к импликации, имеющей данное
суждение в качестве посылки и какое-либо заведомо ложное в качестве
заключения.
Суждение общности понимается как суждение о потенциальной
осуществимости алгорифма, перерабатывающего любое значение параметра
этого суждения в доказательство того суждения, которое получается при
этом его значении.
Конъюнкция понимается обычным образом.
Специально отметим, что приведенные принципы — это отнюдь не
определение. Это — скорее содержательное изложение подхода к определению,
его эскизный проект.
В рамках обрисованного здесь подхода дедуктивным аппаратом
традиционной аристотелевской логики можно будет воспользоваться далеко не в
полном его составе. Так, например, как мы об этом упоминали уже,
забегая вперед, конструктивно приемлемыми в общем случае (то есть законами
конструктивной логики) не будут ни „закон исключенного третьего", ни
„закон снятия двойного отрицания"И8). Вследствие этого здесь „не
пройдут" в общем их виде и так называемые „чистые119* теоремы
существования", — то есть теоремы существования, доказанные широко
употребляемым в „классической" логике так называемым «методом „от противного"».
Этот метод состоит в том, что утверждение (в том числе, и о
существовании какого-либо объекта) считается доказанным на основании одного
лишь опровержения предположения о его недоказуемости (то есть в
случае, когда утверждение о существовании доказывается без указания какого
бы то ни было способа|20) построения такого объекта (что, собственно,
доказывает лишь „двойное отрицание" его существования).
Конструктивно приемлемыми являются отнюдь не все теоремы
существования, доказанные этим методом (то есть не все «„чистые" теоремы
существования»). Огромной заслугой Маркова перед логикой является
выдвинутый им и конструктивно им обоснованный важнейший принцип
конструктивной логики, названный им самим, — как это выше уже упоминалось,—
сначала «ленинградским принципом», а затем «принципом конструктивного
подбора» и еще при его жизни получивший название «принципа Маркова».
Этот принцип провозглашает возможность:
П8) Разумеется, это вовсе не означает, что данные законы могут быть опровергнуты „на
примере". Тем не менее, алгорифмы, требующиеся для их конструктивного обоснования,
оказываются невозможными.
119) Снова неудачный перевод термина. Следовало бы говорить «теоремы чистого
существования», то есть «теоремы одного лишь существования (без построения)». Та же неточность
и в переводе названия знаменитого сочинения Канта «Критика чистого разума».
19°) Разумеется, это отнюдь не означает, что такое построение вообще невозможно: просто
может оказаться так, что в данном проводимом доказательстве оно может и не потребоваться.

XLII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
г) доказывать методом „от противного" суждения некоторого специально-
го типа, а именно — суждения о применимости алгорифмов к их исходным
данным.
Он специфичен для марковского конструктивизма и играет в нем
чрезвычайно важную роль.
Можно показать, что будучи именно так сформулированным, принцип
этот „дает санкцию" на конструктивные доказательства методом „от
противного" экзистенциальных суждений и более общего типа, а именно —
суждений о существовании объектов, удовлетворяющих любым алгориф-
мически проверяемым условиям.
Логические системы, согласующиеся с перечисленными выше пунктами
от а) до г) включительно, принято называть ^конструктивными*™*'. В
исследованиях, лежащих в русле «марковского конструктивизма», они
применяются ввиду полной их согласованности с природой объектов,
рассматриваемых в его рамках122).
Безусловно, имеется немало смежных с математикой и близких к ней
наук, подобных теоретической информатике, у которых основные
рассматриваемые в них объекты, — будучи, по сути дела, конструктивными, —
должны легко и естественно укладываться в рамки марковского
конструктивизма. Применение в них „по старинке" теоретико-множественного
подхода в полном его объеме не соответствует сути проблематики этих наук
и представляет собой не что иное, как дань привычке и, — к сожалению, —
естественному консерватизму мышления.
10.8. Отметим, что первым монографическим трудом, целиком
выдержанным в духе марковского конструктивизма, была вышедшая в 1954 г.
и уже давно ставшая классической «Теория алгорифмов» Маркова [62].
К ней в свое время мы еще вернемся. Сейчас же мы лишь отметим, что
именно в ней после продолжительной „проработочного" характера
дискуссии о конструктивной математике был впервые в печатном виде упомянут
ряд важнейших ее понятий. Исторически этой монографии было суждено
лечь в основу марковской программы, и на нее в том или ином виде долгое
время опирались практически все работы, вышедшие из школы Маркова.
При ее написании все перечисленные выше пункты программы Маркова
были соблюдены им de facto — без того, чтобы специально декларировать
их. Для достижения этой цели им была решена непростая стилистическая
задача. А именно, пользуясь искусно подобранным чрезвычайно скупым, —
и как раз благодаря этому оказавшимся „нейтральным", — фрагментом
обиходного математического языка, он написал эту монографию так, чтобы все
проводимые им в ней рассмотрения, были приемлемы и для математика,
настроенного в духе канторовского учения. Какой-либо подчеркнутой критике
теоретико-множественный стиль мышления в ней не подвергался. Марков
просто не пользовался в ней никакими специфическими его крайностями.
10.9. К сожалению, общую проблему создания «конструктивной
математической логики» сама работа Клини по ряду причин решить не могла.
В особенности потому, что основное вводимое в этой работе понятие —
121) В литературе можно встретиться с рядом оттенков в толковании этого термина.
122) Для сравнения отметим, что в брауэровском интуиционизме в качестве общелогических
отвергаются как принцип Маркова, так и тезис Чёрча.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XUII
понятие реализуемой логико-арифметической формулы опиралось на
понятие алгорифма в его уточненном виде, и значит, реализуемостная
истинность не могла, — ввиду создававшегося таким образом „порочного
круга", — быть использована при конструктивном изложении точной теории
алгорифмов, которую естественно было считать частью конструктивной
математики.
Вместе с тем, работа Клини позволяла в ожидании лучших времен
проводить „отбраковку" возможных кандидатов в «законы конструктивной
логики». Например, она на уровне математической теоремы показала, что
никаких шансов попасть в их число нет не только у самого так
называемого „закона исключенного третьего", но даже и у сколько-нибудь широкого
класса частных его случаев. Положение же „закона снятия двойного
отрицания" оказалось более удачным. У него, „не работающего" в общем его
виде, Маркову удалось выделить один важный класс „работающих"
частных случаев. Именно он и составляет предмет знаменитого
«ленинградского принципа», упоминавшегося нами уже в самом начале. Он разрешает, —
в рамках марковского подхода, — снимать „двойное отрицание" с
любого суждения о существовании конструктивного объекта с алгорифмически
проверяемым свойством. В конечном счете этот принцип свелся к тому,
чтобы конструктивно обосновать возможность „снятия двойных отрицаний"
с суждений о применимости алгорифмов к их исходным данным.
Таким образом, будучи привязанным к арифметике и потому не решая
проблемы в целом, данный подход все же позволял получать конкретные
результаты в конкретных теориях конструктивной математики путем их
арифметизации. Это уже, само по себе, знаменовало серьезное начало.
ШЛО. Важным дополнением к работе Клини оказалась опубликованная
в 1947 г, работа его ученика Д. Нельсона123\ в которой, — говоря в
терминах уже упоминавшихся нами (см. п. 8.2) метаинтуиционистов, было
показано, что доказуемость арифметических суждений с использованием
гейтинговской системы формальных правил интуиционистской арифметики
(1930 г.) влечет за собой их реализуемость. Этот результат, — при
условии надлежащих уточнений классов формул, для которых вводится понятие
реализуемости, — оставался справедливым и для формул, по своему типу
чисто логических — например, для пропозициональных.
Судя по тому, о чем впоследствии рассказывал Марков, им в этот период
был получен, — но, к сожалению, не опубликован, — ряд интересных и
важных результатов124*. Попытки их реконструкции были предприняты в ходе
работы организованного мною во второй половине 50-х гг. в
Вычислительном центре АН СССР и длительное время работавшего там специального
семинара. Его участниками был получен ряд замечательных результатов.
Обзор некоторых из них, а также и двух относящихся к этому периоду
проблем Маркова, касающихся реализуемости, я опубликовал в 8-м
выпуске «Логических исследований» (М.: Наука, 2001. С. 61-71). Во 2-м томе
данных «Трудов» эти вопросы будут рассмотрены подробно.
123> Recursive functions and intuitionistic number theory // Trans. Amer. Math. Soc., 1947.—
V. 61.—P. 307-368.
124) К сожалению, никаких относящихся к ним черновых материалов обнаружить пока не
удалось.

XLIV ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
10.11. По мере развития исследований, проводившихся в школе
Маркова, потребность в поддержке их со стороны реализуемостной семантики
постепенно ослабевала, и Марков, неизменно стремившийся поддерживать
теоретический уровень всего своего направления на должном уровне,
почувствовал необходимость довести до конца создание системы строго
последовательного изложения конструктивной математики логики в общем
контексте конструктивной математики. Он планировал сделать это так, чтобы
эта система включала в себя наряду с логикой также и конкретные теории
конструктивной математики (такие, например, как конструктивный
математический анализ), а также и теорию алгорифмов, которая, естественно,
рассматривалась им как часть конструктивной математики.
До предела сжатый, но, тем не менее, детально обрисованный эскиз
логической части этого проекта был изложен Марковым в 1971-76 гг. в его
последних прижизненных публикациях [106-114] и [102]12б). В них была
выдвинута замечательная идея изложить общую теорию нормальных
алгорифмов на одном из самых ранних этапов реализации данной части —
причем так, чтобы при построении ее семантики алгорифмы в уточненном
виде не использовались.
Часть эта была оформлена Марковым в виде особой полуформальной12®
дедуктивной системы с точным синтаксисом и достаточно ясной и
естественной конструктивной семантикой. Система эта представляла собой
уходящую ввысь „бесконечную башню" надстраивавшихся друг над другом
и последовательно расширявшихся формальных языков
Яп (п = 3,4,...) [101,102]
Я2 [108]
Яг [107]
Я0 [106]
над которыми как бы „парил" аккумулирующий их язык127* Яы [П1].
Как синтаксис, так и семантика каждого из этих языков определялись
параллельно с их построением через предшествующие „ступени", и
действительно, — что в данном проекте и было самым существенным, — семантики
всех этих языков не опирались на уточненное понятие алгорифма. Что же
касается нормальных алгорифмов, то они вводились в [107]) еще на уровне
„бельэтажа", — языка Ях%— и это обеспечивало конструктивность
изложения их теории. Тем самым делался шаг навстречу интуиционистской
позиции Брауэра с ее выше уже упоминавшимся неприятием тезиса Чёрча.
Затем в работе [112] над этой башней надстраивался еще один, —
„результирующий",— язык Яы+\% определявшийся через язык Яы и
обладавший богатыми изобразительными возможностями, позволявшими излагать с
125) Предварительные публикации мы оставляем в стороне.
126> в этой системе одно из правил вывода объявляло всякую истинную формулу выводимой.
127) Индекс ш употреблен здесь „в память" о первом бесконечном канторовском ординале.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XLV
его помощью достаточно сложные конкретные теории конструктивной
математики. И наконец, на этом этаже семантика строилась уже с
использованием, — в виде определенных ранее нормальных алгорифмов, — точного
понятия алгорифма.
Предполагалось, что по завершении полной разработки логической части
этого проекта он будет дополнен изложением каких-либо конкретных, к
тому времени уже основательно разработанных ветвей конструктивной
математики, — например, конструктивного математического анализа, — а также
что будет предусмотрена возможность последующего „подключения" и
других ее разделов.
10.12. Вся эта грандиозная конструкция, развертывание которой
напоминает запуск мощного компьютера, тестирующего одно за другим свои
вновь запускаемые устройства с помощью устройств, к тому времени уже
включившихся в работу, получила название ^ступенчатой семантической
системы Маркова*.
Фундаментальная особенность этой системы заключается в том, что ее
рамок достаточно для конструктивного обоснования принципа Маркова
(см. [111]) и что, относительно рассматриваемой семантики языка Яы
классическое исчисление предикатов оказывается (см. [113]) полным.
Над этим проектом Марков интенсивно работал на протяжении
последних пятнадцати лет своей жизни128*. Отдельные детали проекта, — не
только технические, но и концептуальные, — все еще оставались в состоянии,
требовавшем обсуждения, серьезной шлифовки, и, возможно, даже
определенной их корректировки. Его осуществление, вероятно, потребовало бы от
Маркова еще нескольких лет работы и написания, быть может, двух-трех
объемистых томов. В итоге все это, вместе взятое, дало бы, — наряду с
переизданием монографии [62] — замечательный по замыслу фундаментальный
труд по конструктивной математике, где она излагалась бы в сочетании
с адекватной ей^логикой. Однако необходимого для этого времени у него
уже не было. Поначалу из-за перегрузки текущими занятиями, а потом и
ввиду ухудшившегося состояния здоровья осуществить этот свой, —
последний, — замысел он уже не смог.
11. Разработке и развитию созданного им „конструктивного
направления в математике", — этого главного и в конечном счете последнего его
творения, — Марков отдал большую половину своего более чем
шестидесятилетнего служения науке. Направление это, став масштабным и
значимым для развития всей математики в целом, не осталось вершиной одной
лишь его личной научной карьеры. Его дело продолжила, — и
продолжает его и посейчас, —^выращенная им крупная и многочисленная научная
школа. Сначала эта школа была лишь ленинградской, а затем, после
переезда Маркова в Москву129) вокруг него быстро сформировалась и стала
интенсивно, — особенно после организации в МГУ кафедры математической
логики190* (1959 г.), — развиваться и московская часть его школы, вскоре
128> Разумеется, в этот период он, — параллельно, — занимался и другими проблемами.
129) Начиная с этого времени руководство ленинградской частью школы перешло к первому
из учеников Маркова по данной тематике Н. А. Шанину.
130' Вопрос о создании этой кафедры был возбужден 3-м Всесоюзным математическим съездом
(Москва, 1956 г.). После кончины Маркова ее возглавил А. Н. Колмогоров.

XLVI
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
превратившаяся в крупнейшую отечественную, а со временем и в
международную школу. Сейчас ее представителей можно встретить во многих
странах мира (в ряде стран СНГ, в странах Балтии, Восточной Европы, —
особенно в Болгарии и Чехии, — в Америке, Китае, Англии, во Франции,
в Египте, во Вьетнаме и в других странах).
Детальный анализ работы этой школы непрост, уже хотя бы по
причине ее многочисленности и разнообразия. И безусловно, для потребовалось
бы отдельное, специальное рассмотрение, для которого недостаточно рамок
данного издания.
Однако одного исключения я все же не могу не сделать, поскольку здесь
речь идет о достижении, которое, как говорится, пес pluribus impar1^ и
отметить которое поэтому не будет в обиду никому. Я имею в виду знаменитую
Десятую проблему Гильберта, решенную Ю. В. Матиясевичем. Решение это
прославило марковскую школу и, будучи объединено с полученными самим
Марковым решениями двух других знаменитых проблем, — проблемы
равенства для полугрупп и проблемы гомеоморфии, — оно сделало эту школу
недосягаемой по числу рекордов такого класса.
И тем не менее, нынешнее положение марковской школы (в
особенности московской ее части) является непростым. На бывшей его кафедре его
направление не представлено вовсе — ии персонально, ни научно. На
конференции, посвященной 85-летию со дня его рождения, не было секции
с каким-либо конструктивным оттенком, но зато была секция теории
множеств. Сам Андрей Андреевич не стал бы отмечать чей-либо юбилей столь
непочтительным по отношению к юбиляру образом.
Я уже писал об этом в «Предисловии ко 2-му изданию» монографии [120]
(см. с. XXIV-XXVI) и готов еще раз повторить приведенные там по
сходному поводу слова великого историка Ключевского о том, что «такие идеи так
послушно не умирают». Попытки оставить российскую математику без
одного из лучших ее украшений не могут добавить славы никому, ибо не так
уж много было у нас математиков ранга Маркова. И я думаю, что как
живет периодическая система элементов члена-корреспондента Менделеева,
так выживет и конструктивное направление члена-корреспондента
Маркова, набравшего однажды при баллотировке в академики всего лишь один
голос „за". Недаром уже тогда число претендовавших на этот голос было
большим единицы.
12. И в заключение мне хотелось бы привести, — или хотя бы
напомнить, — несколько мненшьЬб Андрее Андреевиче, а также и о том, что им
было сделано, в свое время высказанных лицами, „не страдавшими пороком
конструктиввдма"132).
Так, глава нашей отечественной топологической школы академик
П. С. Александров наиболее важным достижением Маркова в математике
считал его результаты в области свободных топологических групп. Всякий
раз, когда я перед очередными выборами в Академию наук СССР
приносил ему на подпись133> „документ" с торжественным названием «О значе-
131) Не сравнимо ни с какими другими (лат.).
132) Парафраза знаменитой просьбы П. С. Александрова „воздержаться от порока курения",
с которой он иногда обращался к тому или иному курильщику. Андрей Андреевич восторгался
этим оборотом и иногда пытался повторить его, забавно при этом грассируя. Он тоже не
любил, чтобы в его присутствии курили.
133) Павел Сергеевич заведовал на механико-математическом факультете МГУ отделением
математики.

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
XLVII
нии трудов А. А. Маркова для победы коммунистического строительства
в СССР», он спрашивал меня, написано ли в нем о работах Андрея
Андреевича по свободным топологическим группам, и, получив утвердительный
ответ, не читая, удовлетворенно подписывал его и добавлял, что «Андрей
Андреевич очень напоминает ему Брауэра» (он был близко знаком с ним).
Не забудем также, что именно Маркову, — при всех его
научно-философских расхождениях с П. С. Александровым, — в свое время было поручено
писать обзорную статью [48], про которую один из знаменитых наших
топологов М. М. Постников однажды сказал мне, что она и сейчас могла бы
служить хорошим учебником по топологии.
Я не могу не вспомнить также обещания Павла Сергеевича, данного нам
с Н. А. Шаниным, опубликовать в «Успехах математических наук»
юбилейную статью к 60-летию Андрея Андреевича, не изменив в ней ни единой
буквы!34) нашего текста. Нечего и говорить, что обещание было пунктуально
выполнено.
Мне запомнилась также одна беседа с известным отечественным
специалистам в области качественной теории дифференциальных уравнений
В. В. Немыцким, состоявшаяся у нас в последние годы его жизни. Разговор
с ним шел по поводу занятий Андрея Андреевича динамическими системами
и, в частности, по поводу перевода книги Дж. Д. Биркгофа «Динамические
системы». (См. [32].) Я спросил его о роли Маркова в этой тематике.
«Знаете, — сказал он мне, — Андрей Андреевич тогда считался у нас в этих
вопросах классиком...»
Уже после кончины Андрея Андреевича я беседовал с одним из его
коллег по занятиям криптографией. Он отозвался об Андрее Андреевиче как
о «большом мастере не только решать, но и ставить возникающие здесь
задачи».
И, наконец, чрезвычайно важным и ценным представляется мнение о
Маркове такого компетентного и авторитетного ученого как академик
А. Н. Колмогоров. Сверстник и неизменный оппонент Маркова в
вопросах оснований математики, — при всех до конца сохранившихся между
ними расхождениях в вопросах науки, подчас не лишенных известной
остроты, — он в исторически значимый момент поставил имя Маркова в одном
ряду с именами Кантора, Брауэра и Гильберта — творцов разобранных
нами концепций. Выступая 4 апреля 1979 года на отмечавшемся в этот день
20-летнем юбилее кафедры математической логики Московского
университета, организованной и до конца его жизни возглавлявшейся Марковым135),
и говоря о том общем, что объединяло создателей этих концепций,
охарактеризовал их всех четверых как ученых, «ощущавших на себе бремя
ответственности за общее состояние дел в математике в целом».
К сожалению, Марков, в ту пору уже тяжело больной и находившийся
тогда в больнице, присутствовать на праздновании этого юбилея не смог.
Однако, хочу свидетельствовать, что он был глубоко тронут
сообщенными ему словами. Хочу также, отметить что потом, после кончины Андрея
Андреевича, на гражданскую панихиду по нему первым, — и задолго до
официального ее начала, — пришел А. Н. Колмогоров.
134) Павел Сергеевич был тогда редактором этого журнала.
!Э6) Вопрос о создании этой кафедры был возбужден 3-м Всесоюзным Математическим
съездом (Москва, 1956 г.). После кончины Маркова его кафедру возглавил А. Н. Колмогоров.

XLVIII
ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
Сейчас в руках у меня оттиск статьи «К определению алгоритма» из
Успехов математических наук, 1958, т. 13, № 4 (82), с. 3-28. На нем,
рукой А. Н. Колмогорова, написано: «Глубокоуважаемому Андрею
Андреевичу Маркову — с величайшим трепетом недостойные авторы А. Колмогоров,
В. Успенский. 12/XI-1958».
* * *
Я рад, что передо мной все же открылась возможность выполнить свой
долг перед Андреем Андреевичем.
В заключение я хотел бы поблагодарить всех, кто принимал участие в
подготовке обоих томов, — как этого издания, так и двух предшествующих,
несостоявшихся, — своими комментариями, переводами, организацией их,
консультациями, поисками в библиотеках, редакторской работой и многим
другим, чего, порой, сразу и не вспомнишь. Друзей — за дружескую
помощь. Семью — за великое терпение.
Москва, февраль — июнь 2002 г.
Н. Нагорный

СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ А. А. МАРКОВА
1924
1. К выяснению процесса образования эфирных масел у хвойных. IV.
Образование и превращение эфирного масла у Pinus cembra // Журн. Русск.
физ.-хим. о-ва при Ленингр. ун-те. Часть хим. — 1924. — Т. 55 (1-4). —
С. 175-193. (Совм. с Г. В. Пигулевским и В. В. Владимировой.)
1926
2. La loi des dix tiers et la classification des chocs dans le probleme des trois
corps // Бюл. Астрон. ин-та. —1926.—T. 14. —С 159-160.
1927
3. Uber eine Minimumeigenschaft der Schrodingerschen Wellengrup-
pen // Z. Phys. —1927. — Bd. 42, № 8. — S. 637-640.
1928
4. Uber einige Bewegungsfalle im Dreikorperproblem // Бюл. Астрон. ин-
та. —1928. —Т. 21. — С. 5-10.
1929
5. Закон десяти третей и классификация соударений в общей задаче трех
тел // Журн. Ленингр. физ.-матем. о-ва, —1929. —Т. 2, № 2. —С. 81-97.
6. Sur les mouvements presque periodiques // С. R. Acad. Sci. Paris. —
1929.—V. 189. —P. 732-734.
1930
7. Об одном интегрируемом случае ограниченной задачи трех тел // В кн.:
Труды II, III и IV Астрономических съездов. 1920-1928. — Л.: Ассоц.
астрономов РСФСР, 1930. С. 131-132.
1931
8. Sur une propriete generate des ensembles minimaux de M. Birkhoff // C.
R. Acad. Sci. Paris. — Г931. — V. 193. — P. 823-825.
1932
9. Uber die Ableitbarkeit der Weltmetrik aus der «Fruher als»-Beziehung //
Phys. Z. Sow. — 1932. —Bd. 1, № 3. —S. 387-406.
10. Zur «Widerlegung» der quasi-ergodischen Hypothese durch Prof.
J. Frenkel // Phys. Z. Sow. —1932. —Bd. 2, Mil 3. —S. 282-285.
1933
11. Stability im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizitat // Math. Z.—
1933. — Bd. 36. — S. 708-738.
12. Sur les espaces vectoriels consideres comme groupes topologiques // C,
R. Acad. Sci. Paris. —1933. —V. 197. —P. 610-612.
1934
13. Об изотопии компактных множеств в эвклидовых
пространствах // ДАН СССР. —1934.—Т. 3 (IV), № 3. —С. 137-141.

L
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
1935
14. Uber endlich-dimensionale Vektorraume // Ann. Math. — 1935. —
Bd. 36. —S. 464-506.
1936
15. О векторных пространствах конечной размерности // В кн.: Труды
II Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. — Л.-М.:
Изд-во АН СССР, 1936. С. 138.
16. Арифметическая характеризация тригонометрических полиномов //
В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934.
Т. 2.— JI.-M.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 202-205.
17. Почти периодичность и гармонизуемость // В кн.: Труды II
Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2.—Л.-М.: Изд-во АН
СССР, 1936. С. 227-231.
18. О теории стационарных колебательных процессов акад. Н. М.
Крылова и д-ра Н. Н. Боголюбова // В кн.: Труды II Всесоюзного математического
съезда, Ленинград, 1934. Т. 2.—Л.-М,: Изд-во АН СССР, 1936. С. 241-
246.
19. Письмо в редакцию «Трудов Съезда» // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. — Л.-M.t Изд-во АН СССР,
1936. С. 250-251.
20. О приборах, облегчающих построение функциональных
прямолинейных шкал // В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда,
Ленинград, 1934. Т. 2.— Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 420-422.
21. Sur une propriete caracteristigue des polynomes trigonpmetriques //
Composite math. — 1936. — Bd. 3. — P. 305-309.
22. Некоторые теоремы об абелевых множествах // ДАН СССР. —
1936.—Т. 1 (X), №8. —С. 299-302.
23. Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe // Матем. сб. Новая
сер. —1936. —Т. 1, № 1. —С. 73-78.
1937
24. О существовании интегрального инварианта // ДАН СССР. —
1937. —Т. 17, № 9. — С. 455-458.
1938
25. On the representation of relatively definite functions // Матем. сб. Новая
сер. —1938.-Т. 4, № l.-C. 157-164.
26. On mean values and exterior densities // Матем. сб. Новая сер. —
1938. — Т. 4, № 1. —С. 165-191.
27. Поверхностное распределение постоянного тока в случае наклонного
проводящего слоя // В сб.: Материалы Центр, н.-и. геол. ин-та. Геофизика.
Т. 5.— Л.-М.: ОНТИ НКТП СССР, 1938. С. 40-54.
1939
28. On the definition of a complex // Матем. сб. Новая сер. —1939. —
Т. 5, №3. — С. 545-550.
1940
29. Что такое гладкая поверхность // Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем. наук. —
1940. — Т. 55.— С. 27-39.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
LI
30. Проблема сопряженности в группе кос с четырьмя нитями // В сб.:
Научно-исследовательские работы институтов, входящих в Отделение
физико-математических наук АН СССР. С. 24-28.
31. О трех классах динамических систем // В сб.:
Научно-исследовательские работы институтов, входящих в Отделение физико-математических
наук АН СССР. С. 28.
32. On the determination of the number of roots of an algebraic equation
situated in a given domain // Матем. сб. Новая сер. — 1940. —Т. 7, № 1. —
С. 3-6.
1941
33. О свободных топологических группах // ДАН СССР. — 1941. —Т. 31,
№4. —С. 299-302.
34. Примечания редакции // В кн.: Б и р к г о ф Д ж. Д. Динамические
системы. — М.-Л.: Гостехиздат, 1941. С. 286-31/. (Совм. с В. В. Немыцким
и В. В. Степановым.)
34*. О движении авиаторпеды по почти вертикальной части траектории
(совместно с М. Я. Перельманом). Авторское свидетельство. Работа
выполнена по заданию АНИМИ. Результаты исследований переданы Главному
Арт. управлению.
1944
35. О существовании периодических связных топологических групп //
Изв. АН СССР. Сер. матем. —1944. —Т. 8, № 5. — С. 225-232.
36. О безусловно замкнутых множествах // ДАН СССР. — 1944. —Т. 44,
№5. — С. 196-197.
1945
37. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР. Сер.
матем. — 1945. —Т. 9, № 1. — С. 3-64.
38. Основы алгебраической теории кос // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова.—1945.—Т. 16. —С. 3-54.
1946
39. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб. Новая сер. —
1946. —Т. 18, № 1. —С. 3-28.
1947
40. Невозможность алгорифмов тождества и делимости в теории
ассоциативных систем // Успехи матем. наук. — 1947. — Т. 2, № 2. — С. 193.
41. Невозможность некоторых алгорифмов в ассоциативных
системах // Успехи матем. наук. — 1947. —Т. 2, № 3. — С. 184.
42. Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных
систем // ДАН СССР. —1947. —Т. 55, № 7. — С. 587-590.
43. О некоторых неразрешимых проблемах, касающихся матриц // ДАН
СССР. —1947. — Т. 57, к 6. — С. 539-542.
44. Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных
систем. II // ДАН СССР. —1947. — Т. 58, № 3. — С. 353-356.

LII
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
45. О представлении рекурсивных функций // ДАН СССР. — 1947. —
Т. 58, №9. —С. 1891-1892.
46. О вариационных принципах в теории пластичности // Прикл. матем.
и механ. —1947. — Т. 11, № 3. — С. 339-350.
1948
47. О зависимости аксиомы Вб от других аксиом системы Bernays'a —
Godel'H // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1948. —Т. 12, М> 6. —С. 569-
570.
48. Топология // В кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917-
1947. —М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 183-227.
49. Комментарии и перевод работы К. Гёделя «Совместимость
аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории
множеств» // Успехи матем. наук.—Т. 3, № 1. — С. 96-149.
1949
50. О представлении рекурсивных функций // Изв. АН СССР. Сер.
матем. —1949. —Т. 13, № 5. — С. 417-424.
51. Об интегрировании в булевских алгебрах // Л., 1949. 1 с. [Тезисы
доклада на VI научной сессии ЛГУ 1949 г.]
1950
52. Конструктивная логика // Успехи матем. наук. — 1950. — Т. 5,
№3. —С. 187-188.
1951
53. Теория алгорифмов // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1951. —
Т. 38. —С. 176-189.
54. Невозможность некоторых алгоритмов в теории ассоциативных
систем // ДАН СССР. —1951. —Т. 77, М> 1. —С. 19-20.
55. Невозможность алгорифмов распознавания некоторых свойств
ассоциативных систем // ДАН СССР. — 1951. —Т. 77, № б. — С. 953-956.
56. Об одной неразрешимой проблеме, касающейся матриц // ДАН
СССР. —1951.—Т. 78, № 6. —С. 1089-1092.
57. Биография А. А. Маркова // В кн.: Марков А. А. Избранные
труды. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. Ю. В. Линника. —М.:
Изд-во АН СССР, 1951. С. 599-613.
1952
58. О неразрешимых алгорифмических проблемах // Матем. сб. Новая
сер. —1952.—Т. 31, № 1. —С. 34-42.
59. Выступление в дискуссии по докладу Б. Н. Делоне «Пути развития
алгебры»на Всесоюзном совещании по алгебре и теории чисел, Москва,
1951 // Успехи матем. наук. —1952.—Т. 7, М> 3. —С. 170-173.
60. Теория алгорифмов // В кн.: Az Elso Magyar matematikai kongresszus
kozlemenyei, Budapest, 1950.—Budapest: Akademiai Kiado, 1950. C. 191-
203.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
LIII
1953
61. Непрерывность конструктивных функций // В сб.: Научная сессия
ЛГУ 1952-1953 г. Тезисы докладов по секции математических наук. —Л.,
1953. С. 22.
1954
62. Теория алгорифмов // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1954. —
Т. 42.—С. 3-375.
63. О непрерывности конструктивных функций // Успехи матем. наук. —
1954.—Т. 9, № 3. —С. 226-229.
64. Логика математическая // В кн.: Большая Советская энциклопедия.
2-е изд. Т. 25.—М.: Сов. энциклопедия, 1954. С. 338-341.
1956
65. Об одном принципе конструктивной математической логики // В кн.:
Труды III Всесоюзного математического съезда, Москва, 1956. Т. 2. — М.:
Изд-во АН СССР. С. 146-147.
66. О преобразованиях, не распространяющих искажения //
Машинописная рукопись. 44 с. [В открытой печати не публиковалась.]
1957
67. Математическая логика и вычислительная математика // Вестн. АН
СССР. —1957. — Т, 27, № 8. — С. 21-25.
68. Об инверсионной сложности систем функций // ДАН СССР. —
1957.—Т. 116, №6. —С. 917-919.
69. Об инверсионной сложности системы функций // Тезисы докладов
на Всесоюзном совещании по теории устройств релейного действия в
Москве.—М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 32.
70. О минимальных контактно-вентильных схемах, реализующих
монотонные симметрические функции // Тезисы докладов на Всесоюзном
совещании по теории устройств релейного действия в Москве. — М.: Изд-во АН
СССР, 1957. С. 13-15.
1958
71. Неразрешимость проблемы гомеоморфии // Успехи матем. наук.—
1958.—Т. 13, № 4. —С. 213-216. i
72. Неразрешимость проблемы гомеоморфии // ДАН СССР. — 1958. —
Т. 121, №2. — С. 218-220.
73. О неразрешимости некоторых проблем топологии // ДАН СССР. —
1958.—Т. 123, № 6. —С. 978-980.
74. Неразрешимость проблемы гомеоморфии. Препринт Матем. ин-та им.
В. А. Стеклова. —М.: Изд-во ИТМ и ВТ АН СССР, 1958. 11 с.
75. Об однотактных диодных схемах для сложения и вычитания по
модулю п // Машинописная рукопись. 52 с. [В открытой печати не
публиковалась.]
76. On the inversion complexity of a system of functions // J. Assoc. Comput.
Machinery. —1958. — V. 5, № 4. — P. 331-334.
77. О конструктивных функциях // Тр. Матем. ин-та им. В. А.
Стеклова. —1958. — Т. 52. — С. 315-348.

LIV
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
78. К проблеме представимости матриц // Z. math. Logik und Grundl.
Math. — 1958. — Bd. 4, № 2. -*S. 157-168.
1959
79. Принципы конструктивного направления в математике и теория
алгорифмов: Обзорный доклад // В сб.: I Межвузовская конференция по
конструктивной теории функций: Тезисы докладов. — Л., 1959. С. 70-71.
1960
80. Неразрешимость проблемы гомеоморфии // In: Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Edinburgh, 1958. Ed. by J. A. Todd.
Cambridge: University Press, 1960. P. 300-306.
81. Об одной неудавшейся попытке популяризировать математическую
логику. (О брошюре А. И. Попова «Введение в математическую логи-
») // Успехи матем. наук. —1960. —Т. 15, № 6. — С. 215-221. (Совм. с
С. Новиковым и С. А. Яновской.)
1962
82. О минимальных контактно-вентильных двухполюсниках для
монотонных симметрических функций // Пробл. кибернетики. — 1962.—Т. 8.—
С. 117-121.
83. О вычислимых инвариантах // ДАН СССР. —1962. —Т. 146, № 5. —
С. 1017-1020.
84. О конструктивной математике // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стекло-
ва. —1962. —Т. 67. —С. 8-14.
85. Sur les invariants calculables // Ann. Fac. sci. Univ. Clermont. —
1962.—V. 7.— P. 117-120. [Actes du Colloque de mathematiques reuni a
Clermont a l'occasion du tricentenaire de la mort de Blaise Pascal.]
1963
86. Об инверсионной сложности системы булевых функций // ДАН
СССР. — 1963. — Т. 150, № 3. — С. 477-479.
87. О некоторых алгорифмах, связанных с системами слов // Изв. АН
СССР. Сер. матем. —1963.—Т. 27, № 1. —С. 101-160.
88. О неотличимости по инвариантам в теории ассоциативных
исчислений // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1963. —Т. 27, № 4. — С. 907-936.
1964
89. О нормальных алгорифмах, вычисляющих булевы функции // ДАН
СССР. — 1964. —Т. 157, № 2. — С. 262-264.
90. Что такое кибернетика? // В кн.: Кибернетика, мышление, жизнь. —
М.: Мысль, 1964. С. 39-52.
91. Об отношении физических законов к биологическим // В сб.: О
сущности жизни. Под ред. Г. М. Франка и др. — М.: Наука, 1964. С. 168-169.
92. Конструктивное направление (в математике и логике) // В кн.:
Философская энциклопедия. Т. 3. — М.: Сов. энциклопедия, 1964. С. 50-51.
к

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
LV
1965
93. Комментарии // В кн.: Гейтинг А. Интуиционизм. Введение.
Пер. с англ. Под ред. и с коммент. А. А. Маркова. — М: Мир, 1965. С. 161—
195.
1966
94. On algorithms connected with the computation of Boolean
functions // In: Information Processing, 1965. Proceedings of IFIP Congress, New
York City, 1965. Ed. by W. A. Kalenich. Vol. 2. —Washington: Spartan Books,
1966. P. 499.
95. On lower degrees of constructive mathematical logic // M.: ВЦ АН
СССР, 1966. 11 с.
96. Нижние ступени конструктивной математической логики // В сб.:
Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков,
Москва, 1966. Секция 1. —М., 1966. С. 20.
1967
97. О нормальных алгорифмах, связанных с вычислением булевых
функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. —1967. —Т. 31, № 1.—С. 161-208.
98. Об одном языке для описания работы вычислительных
машин // Пробл. кибернетики. —1967. —Т. 19. — С. 5-38. (Совм. с Н. М.
Нагорным.)
99. An approach to constructive mathematical logic. — M.: ВЦ АН СССР,
1967. 15 с.
1968
100. An approach to constructive mathematical logic // In: Logip, Methodolo*
gy and Philosophy of Science III. Proceedings of the 3rd International Congress,
Amsterdam, 196/. Ed. by B. van Rootselaar and J. F. Staal.—Amsterdam:
North-Holland, 1968. P. 283-294.
1970
101. О логике конструктивной математики // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика. —1970. —Т. 25, № 2. — С. 7-29.
1971
102. Essai de construction d'une logique de la mathematique
constructive // Rev. internat. philos. —1971. —V. 25, № 4. — P. 477-507.
103. О логике конструктивной математики // В сб.: Материалы ме-
жинстнтутского симпозиума-школы «Основания математики». — Обнинск,
1971. 23 с. (Центр, бюро философских (методологических) семинаров АН
СССР, Матем. ин-т АН СССР.]
1972
104. О логике конструктивной математики.—М.: Знание, 1972. 47 ?.
(Новое в жизни, науке, технике. Сер. Математика, кибернетика; Вып. 8.)
1973
105. Об одном подходе к описанию работы вычислительных
машин. // Машинописная рукопись. М., 1973. 12 с. [Текст доклада на
Международном симпозиуме «Mathematical Foundations of Computer Science»,
1973.] (Совм. с Н. М. Нагорным.)

LVI
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. А. МАРКОВА
1974
106. О языке Яо // ДАН СССР. —1974.—Т. 214, № 1. — С. 40-43.
107. О языке Я, // ДАН СССР. —1974. — Т. 214, № 2. — С. 279-282.
108. О языке Яг // ДАН СССР. — 1974.—Т. 214, № 3. —С. 513-516.
109. О языке Я3 // ДАН СССР. —1974. — Т. 214, № 4. — С. 765-768.
ПО. О языках Я4,Я&,... // ДАН СССР. — 1974. — Т. 214, М» 5. —
С. 1031-1034.
111.0 языке Яы // ДАН СССР. — 1974. —Т. 214, № 6. — С. 1262-1264.
112. О языке Яы, // ДАН СССР. —1974. —Т. 215, № 1. — С. 57-60.
113. О полноте классического исчисления предикатов в конструктивной
математической логике // ДАН СССР. —1974. — Т. 215, № 2. — С. 266-
269.
1976
114. Попытка построения логики конструктивной математики // В сб.:
Исследования по теории алгорифмов и математической логике. Под ред.
А. А. Маркова и Б. А. Кушнера. Т. 2.—М.: ВЦ АН СССР, 1976. С. 3-31.
1977
115. On semantical language hierarchy in a constructive mathematical
logic // Proc. 5-th Int. Congr. Logic, Metodol. and Philos. of Sci. Univ; Western
Ontario Ser. Philos. Sci. Vol. 9. —Reidel, Dordrecht, 1977.
1984
116. Элементы математической логики. — M.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
79 с.
117. Теория алгорифмов. —М.: Наука, 1984. 432 с. (Совм. с Н. М.
Нагорным.)
1987
118. Что такое конструктивная математика? Введение. [Публикация и
предисловие Н. М. Нагорного.] // В кн.: Закономерности развития
современной математики: Методологические аспекты. Отв. ред. М. И. Панов. —
М.: Наука, 1987. С. 209-212.
1988
119. The Theory of Algorithms. — Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Pubis. 369
p. (Math, and its Applies. Soviet series, 23.) (Совм. с Н. М. Нагорным.)
1996
120. Теория алгорифмов. 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФАЗИС, 1996.
XLVTII4- 448 с. (Совм. с Н. М. Нагорным.)

МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА
ФИЗИКА

ОБ ОДНОМ МИНИМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ
ШРЁДИНГЕРОВЫХ ВОЛНОВЫХ ГРУПП*)
Из некоторого требования минимальности выводятся шредингеровы «волновые пакеты»,
соответствующие гармоническому осциллятору.
Волновое уравнение Шрёдингера для линейного гармонического
осциллятора имеет вид (см. [1, с. 112]):
{i) т dq2 h W & т V U"
Здесь q — отклонение колеблющейся частицы от положения равновесия,
t — время, m — масса, v — классическая частота, К — постоянная Планка,
ф — волновая функция. Проблема квантования состоит в отыскании
функций ^(g, t), удовлетворяющих уравнению (1), требованию непрерывности
и «граничным условиям на бесконечности»
(2) lim ^(</,t)g*=0,
f-+±00
t» coast
которые должны выполняться для любого положительного целого к.
Общее решение этой проблемы имеет вид
(3) ф=^ап<рп{х)г™-\
где
= 2*\[ЧгЬ
Imv
h
г(т)_ехР(^72)Яп(Ж)
(Нп(х) — п-й полином Чебышева — Эрмита),
причем неопределенные (комплексные) коэффициенты ап для любого
положительного целого к удовлетворяют условию
lim алп*=0.
п-юо
' Uber eine Minimumeigenschaft der Schrodingerschen Wellengruppen // Z. Phys. —1927. —
Bd. 42. — S. 637-640. Перевод с немецкого Н. М. Нагорного.

2 ОБ ОДНОМ МИНИМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ШРЁДИНГЕРОВЫХ ВОЛНОВЫХ ГРУПП
Шрёдингер показал, что функцию
/х(ж, г) = фф
можно рассматривать как плотность некоторых расположенных на оси
электрических масс (см. [1, с. 109]). Координата £ «центра тяжести» этих масс
выражается в виде частного (вследствие (2) абсолютно сходящихся)
интегралов
00
$ х \i dx
т==ъ—•
J \i dx
—00
Частное (также сходящихся) интегралов
00
(4) *(*) =
J fi dx
можно считать мерой рассеяния рассматриваемых масс.
Мы ставим теперь следующий вопрос:
Для какой последовательности коэффициентов ап среднее временное
значение МДх) величины х принимает свое наименьшее значение?
Чтобы выразить х через коэффициенты ап, запишем (4) в виде
х=^-^
где
00
Jk = 1 xk\i dx.
—оо
Для интегралов Jk из (3) получается равенство1*
00
П,,П5=0 J
-00
Далее, если воспользоваться соотношением
Нп+1(х)-2хНп(х)-2пНп_х(х) = 0
и условиями ортогональности
г ГО при щфгь»
J n * I 1 при n, = rijj,
^ Вследствие (2), интегрирование может быть выполнено почленно.

ОБ ОДНОМ МИНИМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ШРЕДИНГЕРОВЫХ ВОЛНОВЫХ ГРУПП 3
то легко получатся формулы
1 (0 При 1*1,-7^1,
_^ \Ч~% при п, = я,^ = п-1,
sVn.Vn.'&H
О при |тг, — 7ia| > 2 и при |п, - п^\ = 1,
■я\/п(п— 1) ПРИ П, = 71, 712 = П —2,
»+!
При 7^ = Щ = П.
Имеем, следовательно,
00
п-0
4=*Е>/21Гапап_1е2**'',
J2 = 9t E >/n(n-l)anon_2e^ + i: (п + ±) anan.
Для среднего значения величины к отсюда получается выражение
00 00 00 00 ^__
Е опо» • Е «*А ~ Е \/»<Ц«»-1 • Е V^o„a„_,
MOO = 5
n-0
n=l
n=l
П«1
C?.0-3-)
В этом выражении числитель представляет собой детерминант
произведете
ния двух бесконечных матриц
U
1 a, \/2 о, л/3Од
% л/Га!
Oj л/Зад
и в качестве такового он может быть представлен в виде сходящейся суммы
(см. [2, § 158])
£ |ar_lV^a,-a,_l4/Far|2.
s>r
Отсюда следует, что
причем равенство соблюдается лишь в том случае, когда все выражения
обращаются в нуль.

4 ОБ ОДНОМ МИНИМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ШРЁДИНГЕРОВЫХ ВОЛНОВЫХ ГРУПП
Наименьшее значение Mt(x) достигается поэтому при
а0:л/Га1 = а!:л/2а2 = а2:\/За3 = ...,
т. е. при
ап = ^ап-! (~ = 1»2, ...)э
где а —некоторая произвольная константа, не зависящая от п (а конечна,
так как величины а^, а,,... не все равны нулю). Отсюда непосредственно
следует, что
ап = С^= (п = 0,1,...),
где С = Oq — некоторая другая (отличная от нуля) константа.
Действуя таким образом, мы пришли к коэффициентам, из которых
коэффициенты Шрёдингера (см. [3, с. 664]) получаются при а = A/VU, С = 7г1/4.
Поведение вещественной части соответствующей функции ф исследуется
в только что упомянутой работе Шрёдингера. Для интересующей нас
функции /х нетрудно получить равенство
„ — С2 „Л2/2-Г*-Лсо$(2*1* + *)12
\Х — у— С 1 ,
V*
где
A=v2|a|, £=arga.
График функции /х (в противоположность графику вещественной части ф)
всегда имеет вид гауссовой кривой ошибок. Форма этой кривой с течением
времени не меняется, между тем как максимум совершает гармонические
колебания с амплитудой А и частотой и. Вследствие постоянства формы
этой кривой, имеем
х = const = н.
Это показывает, что наибольшее значение величины к в этом случае
является минимальным.
Величину у/Тс можно назвать «радиусом вращения» данной волновой
группы в масштабе х. Для радиуса вращения в масштабе q мы в нашем случае
получаем ft\
*-ы
2гш/5
и это выражение при постоянных m и и обращается в нуль одновременно
eft.
Литература
[1] Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem. IV // Ann. Physik.— 1926.—
Bd. 81. — S. 109-139.
[2] К о w a 1 e w s k i G. Einfuhrung in die Determinantentheorie. — Leipzig: Veit, 1909.
[3] Schrodinger E. Der stetige Ubergang von der Mikro- zurMakromechanik // Natur-
wissenschaften. —1926. — Bd. 14. — S. 664-666.
Ленинград, 13 марта 1927 г.
Поступило в редакцию 18 марта 1927 г.

О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ*)
Доказывается утверждение: если в общей задаче трех тел тела все время находятся
в одной плоскости с неизменяемой осью, то две из движущихся масс равны и тела все
время образуют равнобедренный треугольник с равными массами на концах основания.
§ 1. Постановка задачи. Пусть К — суммарный момент импульса в
задаче трех тел относительно центра тяжести О системы, который
предполагается покоящимся. Как известно, в случае пространственного движения
(1) 1*1 = а: >о.
Направление вектора К определяет в этом случае неизменную прямую,
проходящую через центр тяжести системы, а именно — так называемую
инвариантную ось системы, а также нормальную к ней инвариантную
плоскость. Зададимся вопросом: при каких значениях масс движущихся тел и
при каких начальных условиях инвариантная ось будет на протяжении
всего движения располагаться в одной плоскости со всеми тремя телами?
§ 2. Вспомогательные результаты. При решении поставленной
задачи мы будем использовать две известные теоремы: 1) движение трех тел
является плоским, если они всегда располагаются на одной прямой; 2)
движение трех тел является плоским, если отношения взаимных
расстояний между ними с течением времени не изменяются. Мы будем также
использовать результаты работы Леви-Чивита [1]. Из первого утверждения
непосредственно вытекает, что в случае пространственного движения три
тела могут находиться на одной прямой лишь в отдельные моменты
времени1*. Исключив эти моменты из рассмотрения, мы получим единственную
плоскость, содержащую все три тела. В качестве положительного
направления оси Ох мы примем одно из направлений, определяемое пересечением
этой плоскости с инвариантной плоскостью; в качестве Оу — одно из двух
направлений, перпендикулярных к оси Ох и лежащих в плоскости,
определяемой данными тремя телами. При этом положение этих осей, вообще
говоря, может постоянно изменяться. Поскольку движение предполагается
пространственным, плоскость, образованная телами, может совпадать с
инвариантной плоскостью лишь в отдельные моменты времени. Их мы также
исключим из рассмотрения. В любой другой момент движущиеся оси Ох
и Оу имеют вполне определенные направления. Выберем в инвариантной
плоскости два взаимно перпендикулярных направления Ох и О у и
определим положительное направление нормали к плоскости движения On таким
способом, чтобы тройки направлений (Ож, Ojf, К) и (Ох, Оу, On) образо-
) Uber einige Bewegungsffille im Dreikdrperproblem // Бюл. Астрой, ин-та. — 1928. —
Т. 21.—С. 5-10. (Резюме на рус. яз.) Перевод с немецкого Я. Я. Васильева.
*) Так как условие расположения трех тел на одной прямой линии выражается
аналитическими соотношениями между ♦неподвижными» декартовыми координатами. К моментам такого
рода мы причисляем также столкновения двух из трех тел (тройное столкновение при К > 0
невозможно). При этом мы будем продолжать движение за момент двойного соударения по
методу Сундмана [2].

6 О, НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДРИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
вывали две правые системы координат2*. Угол между On и К обозначим
через # (О ^ v ^ ет), а угол между О af и Ох — через ф (О < ф < 27г), причем
углы отсчитываются в направлении от 0"х к О у.
Положения трех точек определяются восемью параметрами. Углы #
и ф определяют положение плоскости трех тел; шесть координат ж„, у„
(i/ = 1,2,3) относительно движущихся осей Ох и Оу определяют
положение тел в этой плоскости. Пусть т,, гг^, щ — массы этих трех тел; р„, qu
(i/ = 1,2,3) — проекции импульсов 1/-и точки на оси Ох и Оу. Примем
значение гравитационной постоянной равным 1 и введем следующие
обозначения3*:
уО^+г" х„+\)2 + (У,+2 ~ У*+\У
(* = 1,2,3),
» = \ Г" 0,2,3) Г»
( J2 обозначает сумму выражения, стоящего под знаком £, и двух других
0,2,3)
выражений, полученных из первого циклической перестановкой индексов),
ззз
I/«l |/=1 fail
(величина D пропорциональна квадрату площади треугольника,
образованного тремя телами; она не обращается в нуль, если три данных тела не
находятся на одной прямой),
з
р-1
з
Я(х, у;кч)=\ Е ±№+«') - ^ + 5&(** -а*2)-
Согласно Леви-Чивита [1], движение трех тел на интервале (<<>, tx), который
не содержит исключенных из рассмотрения моментов времени, описывается
канонической системой уравнений
<2) X* = WU' у" = ^ P* = -3v ** = -Щ, (" = 1.2,3),
соотношением
(3) cos tf = f,
дифференциальным уравнением
2> Система координат ж, у, z является правой, если большой, указательный и средний пальцы
правой руки образуют конфигурацию, аналогичную положительным направлениям осей х, у
и z соответственно.
3) Здесь и в дальнейшем встречаются индексы, ббльшие 3. Все они должны быть приведены
по модулю 3.

О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 7
и инвариантной системой уравнений4)
3 3 3 3
(4) Е"»л=о, Е™„у„=о, Ер„=о, £9„=о.
уш 1 рж 1 у— 1 C/ss 1
Будем рассматривать К как постоянный параметр.
Наша задача состоит теперь в том, чтобы найти значения масс и
начальные данные, при которых
(5) *ж\.
§ 3. Разыскание возможных начальных данных. Согласно (3),
условие (5) эквивалентно тождеству
(б) £(^-у,А)=зл=о.
Из (6) дифференцированием по времени мы получим ряд следствий. При
этом вместо х1?..., % мы подставим правые части уравнений (2).
Комбинируя получающиеся выражения, мы в конце концов придем к решению
поставленной задачи.
Итак, допустим, что тождество (6) выполнено, и изучим движение на
интервале (k, tX не содержащем моментов, когда тела расположены на
одной прямой. Продифференцируем (6) по времени и, учитывая систему
(2), получим:
J0l=-^(ir2-jm2)s0,
и отсюда, согласно (1),
(7) £ rnvxvyv =sJ=0.
Дифференцируя теперь (7), получим
3 3
(8) J s £ m„(xvyv + y„i„) = £ (xvqv + y„p„) = 0,
так как для ЯЯ = 0 мы, вследствие (2), имеем:
Сравнивая между собой (6) и (8), мы получаем
(9) Е*л^о, Eu=o.
Первое тождество (4) и тождество (7) образуют систему двух линейных
однородных соотношений между тремя величинами тухи (у = 1,2,3) с
матрицей
111
Ух У2 %|
4) Система соотношений инвариантна, если, будучи выполнена в начальный момент времени,
она выполняется тождественно.

8 О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
Одновременное обращение в нуль содержащихся в этой матрице
определителей второго порядка % - У\> Ш~У\> % ~ % на рассматриваемых
интервалах времени невозможно. Таким образом, мы получаем
™„я„ = р(уи+2 - у„+1) (у = 1,2,3),
где р для % ^ t ^ tx конечно и отлично от нуля. Из третьего уравнения (4)
и второго тождества (9) мы получаем аналогичным способом:
А = °(У„+2 ~ Уи+i) (* = *> 2,3),
где а конечно.
Комбинируя два последних уравнения, получаем ри = \тухи (и = 1,2,3),
что при ЯЛ = 0 приводит к
(10) х„ = As, (i/ = 1,2,3),
где А —регулярная на интервале (^, t^ функция. Тем же самым способом
выводятся уравнения
/цч Чи=1*>тиУи (^=1,2,3),
К ' Уи = М» (V = l,2,3),
где j* регулярна на интервале (<о, t,). Заметим при этом, что тождество
\=^(t^^.t^t{) невозможно, ибо из такого тождества следовало бы
постоянство тройного отношения тх : г2: Гз, что, согласно § 2, в случае
пространственного движения невозможно. Таким образом,
(12) А^м
на интервале (^, tx)t при возможном исключении из интервала конечного
числа моментов времени.
Дифференцируя теперь первое из тождеств (9) по времени, согласно (10)
получим
з ззз
E0w., + Mir)s* Е з„9„+Е я„9„=Е жл,=°-
С другой стороны, из (7) и (2) мы получаем qu = щ- (и = 1,2,3). Мы
имеем также "
что может быть представлено в следующей форме:
(13) Е «v"3^o,
(1,2,3) П
где £„ = s„+2 - a?v+1, »/„ = у„+2 - y„+I (i/ = 1,2,3).
Введеы теперь следующее обозначение:
К= Е "V^b1^ (« = 0,1,2,...).
(1,2,3) ^1

О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 9
Методом полной индукции нетрудно показать, что все величины Vn на
интервале (t^, tt) тождественно обращаются в нуль.
В самом деле, покажем, что при любом неотрицательном целом п из
тождества Vn = 0 (^^ t ^ tx) следует тождество Vn+l =0 (^^ £ ^ tx).
Для этого рассмотрим
£ п2п + \ t п2п •
(1,2,3) г1 (1,2,3)
„2п + 1
-(2n + 3) E [щЩ^г(^г+тт)1
(1,2,3) г1
В силу (10) и (11), имеем
£„ = *£„> r\v = mv (у = 1,2,3).
Таким образом, мы получаем
t n2n + \ t „2n+l
(1,2,3)
(1.2,3)
»2п+1
-<2n + 3) E K^4hr-[A(ff-4f) + M4f]}s
(1,2,3) rl
s[(2fi + l)M-(2fi + 2)A]K + (2n + 3)(A-M)K+i.
В силу (12), отсюда следует, что при Vn=Q значение Vn+l на интервале
(A)» *i) может быть отлично от нуля только в конечном числе точек. Но
так как Vn+l —регулярная функция времени, то Vn+l =0. С другой
стороны, согласно (13), мы имеем ^ = 0. Отсюда методом полной индукции
заключаем, что
К = 0 (n=0,l,2,...; to^t^t,).
Первые три тождества этой последовательности образуют системы
линейных однородных соотношений между величинами
(14)
с матрицей
"^-fl1'
Щ™!-2?")
гз
(«: («; («;
Й) (?) (?)
Легко видеть, что одновременное обращение в нуль всех выражений (14)
возможно только в том случае, когда три тела расположены на одной
прямой. Отсюда следует
'(«; d)\ d)'
(а)4 (»)4 (а)4

10 О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДРИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
Следовательно, одна из регулярных функций от t
(IS) 3&-.5L Oi + Ol 3l_2i %. + 0l &_!& Ik + a*
V ' r2 r,' r2^ rx> r3 r, ' r3 ^ r, ' r3 r2' r3 ^ r2
должна тождественно обращаться в нуль. Изменяя нумерацию тел,
всегда можно добиться, чтобы в нуль обращалась первая или вторая функция
последовательности (15). Легко также показать, что одновременное
обращение в нуль двух выражений в (15) возможно только тогда, когда все
три тела расположены на одной прямой, что в рассматриваемом интервале
(tq, tj) не имеет места.
Таким образом, мы имеем
Соотношения V0 = О, VJ = 0 тогда дают
(17) ^М + ^М^, бц-0.
г1 * г2
С другой стороны, формула (16) дает (^-) = (^) , и потому нетрудно
убедиться, что одновременно выполнение уравнений 2L = 2&f ii = 21 или
уравнений ^ = -2&, |l- = -|* для £, < t ^ t невозможно, так как в этом
Ч г2 Ч г2
случае тела должны были бы находиться на одной прямой. Мы должны,
таким образом, различать два случая:
I- ^|^0, aS-**0 (*о^М;
В случае I из тождества £, + £2 + £з=0 следует, что £3^0. Согласно (17)
и тождеству rjx + щ + щ = 0, мы получаем
773==0, iftS-ifc^O, n=r2, £,s£2^0, щ^щ.
В случае II аналогично получаем
щфЪ, £з = °» £i = -£2^0» ri = r2> ^=%^0, Ш| = тв.
В обоих случаях оказывается, что из движущихся масс две равны между
собой и тела образуют равнобедренный треугольник с равными массами на
двух концах основания.
Переходя теперь к ж„, у„, р„, qv и обозначая т^щ^щ, получим:
в случае I —
(8) lft+A-Of ft = 0, fc-g^O, 2g1 + g3 = 0, «><'<*■>■
в случае II —
(19) U-ft-o, 2ft+A-o, ft + ,,-0, а-* «><'<*>>•

О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ДРИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 11
Эти тождества показывают, что образованный тремя телами треугольник
в первом случае симметричен относительно оси у, а во втором случае —
относительно оси х.
Таким образом, мы получаем следующее предложение: если в начальный
момент тела не расположены на одной прямой, то для выполнения
тождества (5) необходимо, чтобы: 1) две из трех масс были равны между собой
и 2) при t = to была выполнена одна из систем уравнений (18) или (19),
причем тела нумеруются таким образом, что массы первого и второго тела
равны.
§ 4. Доказательство достаточности полученных условий.
Нетрудно убедиться, что при Щу^щ левые части уравнений (18) удовлетворяют
системе однородных дифференциальных уравнений с регулярными на
промежутке (L ^ t < tj) коэффициентами. Из этого следует, что если система
условий (18) выполняется при t = t^, то она выполнена в течение всего
промежутка (^, tx). С другой стороны, из (18) следует, что 9Я = 0, # = f.
Таким образом, выполнение условий (18) при t = t^ достаточно для
выполнения условия (5) на интервале (^, t{).
То же можно сказать и об уравнениях (19). Поэтому, как легко видеть,
что тождество (5) будет выполняться в течение всего движения (за
исключением отдельных моментов, когда тела находятся на одной прямой), если
при t = t0 выполнены условия (18) или (19) и если движение продолжается
по методу Сундмана за моменты соударений. Действительно, в
пространственной задаче трех тел тождество (5) эквивалентно соотношению
(1,2,3)
между координатами трех тел в неподвижной системе отсчета. А
поскольку это соотношение выполнено на интервале (^, t{), то оно должно быть
справедливо для любого момента времени.
§ 5. Геометрическое истолкование результатов. В случае I
инвариантная ось является осью симметрии второго порядка для состояния
движения данной динамической системы. В случае II инвариантная плоскость
является плоскостью симметрии состояния движения. Отсюда легко
получить, что пространственность начального состояния и наличие в начальный
момент одной из вышеназванных симметрии является необходимым и
достаточным условием того, чтобы три тела всегда находились в одной плоскости
с инвариантной осью.
Выражаю глубокую благодарность К. К. Баумгарту за помощь при переводе этой статьи и
при просмотре корректур.
Литература
[11 L e v i - С i v i t a T. Sulla riduzione del probiema del tri corpi // Atti. R. 1st. Yeneto. —
1915.—V. 74. —P. 907-939.
[21 S u n d m a n K. F. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math. —1913. —
Bd. 36.-S. 105-179.

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ
СОУДАРЕНИЙ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ*)
Рассматриваются простые соударения в общей задаче трех тел. Изучая изменение
расстояния «2 тел*» не участвующего в соударении, от неизменяемой плоскости1), мы
устанавливаем2), что в общем случае ^ стремится к нулю, как (tx -1)10/3, когда время t
стремится к моменту соударения tt В исключительных случаях порядок % относительно
(*! — i) может быть равен 4 или 13/4. Наконец, в двух случаях ^ тождественно равно
нулю, а именно: в случае симметричного соударения, когда сталкивающиеся массы равны
и линия соударения нормальна к неизменяемой плоскости, а также в случае плоского
соударения, когда линия соударения лежит в неизменяемой плоскости.
В первом случае тела во все время движения образуют равнобедренный
треугольник, симметричный относительно неизменяемой плоскости. Во втором случае движение
является плоским.
В остальных трех случаях, когда в^ не обращается тождественно в нуль,
приведены формулы, выражающие соответственно lim ь^Ц - t)"10/3, lim e^(tt - t)~4,
lim s2(ij - t)~13/3 в терминах внутренних характеристик соударения.
Классификация простых соударений, данная в настоящей работе, является полной.
В настоящей работе рассматриваются простые соударения в общей задаче
трех тел. При этом предполагается, что общий момент количества движения
относительно центра инерции отличен от нуля. В этом случае существует
так называемая неизменяемая плоскость — плоскость, проходящая через
центр инерции и нормальная к вектору общего момента количества
движения.
Предметом настоящей работы является исследование движения тела, не
участвующего в соударении, а именно — выяснение характера изменения
расстояния этого тела от неизменяемой плоскости в моменты времени,
близкие к моменту соударения. Основную роль при этом играют
некоторые результаты классических исследований Сундмана [1; 2].
§ 1. Обозначения» Некоторые результаты исследований
Сундмана. Пусть Р0, РХУ Р2 — материальные точки, движущиеся под влиянием
взаимного притяжения по закону Ньютона; тщ, т^щ — их массы; а^, %, %,
жп Уи zv VfrlhiH — их декартовы координаты относительно центра
инерции; ж, у, z — координаты точки Рх относительно Я; £, т/, С — координаты
Р2 относительно центра инерции совокупности P0i Рх; r0irx,r2— взаимные
расстояния РХР2, Р2Р0, Р0РХ; t —время. Выбирая единицу массы таким
образом, чтобы постоянная тяготения равнялась единице, и вводя обозначения
(1) М=£т„ А = —Э—, М = :=г!?=г,
) Журн. Ленингр. физ.-матем. о-ва. —1929.—Т. 2, № 2. — С. 81-97. (Резюме на англ. яз.)
Пвоевод Л. В. Богачева.
*' Вектор общего момента количества движения относительно центра масс системы
предполагается отличным от нуля.
2) Намек на этот «закон десяти третей» имеется в статье Шази [4, с. 128]. Шази доказывает,
что порядок «2 относительно (tx - t) не меньше, чем 10/3.

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 13
имеем формулы преобразования Якоби — Радо3*
(2) аъ = -Аж-5К, х1=цх-$£, Ъ = "^м™1 *» ■■
и систему дифференциальных уравнений движения
(3)
где
,4)
• = г2 = \/х2 + у2 +.
(4) r0 = >/(g - Мх)2 + (.? - му)2 + (С ^Г,
г, = ^(£ + Аж)2 + (т/ + А у)2 + (С + Az)2.
Классические интегралы имеют здесь вид
(5)
где
д(х2 + у2 + z2) + h(£2 + r}2 + С'2) = 2U - К,
м
9 m^ir^ + m,)
. *-=Й?. *-£=£:,
"V*! /fomJri
где точки над буквами означают производные по времени и где а, Ь, с, К
суть постоянные, зависящие от начального состояния движения. В
частности, а, Ь, с лишь постоянным множителем отличаются от составляющих
общего момента количества движения относительно центра инерции.
Будем рассматривать лишь те движения, которые удовлетворяют условию
(6)
f = y/tf + b2 + c2>0.
Пусть такое движение регулярно5) при ^< t <tx (t^)<t!) и перестает
быть таковым при t = tx. В этом случае, как показал Сундман, одно из
взаимных расстояний трех «тел» стремится к нулю при стремлении t к tXt
тогда как два других стремятся к общему положительному пределу. Полагая
для определенности
(7)
lim r2 = ton r = 0, lim r0 = lim г, =* ton о = р, > О
3) Здесь и в дальнейшем многоточие означает уравнения или совокупность уравнений,
получающиеся из написанных после одновременных циклических перестановок {ж, у, г), (£, i/, С),
(X. Y, Z), (S, Я, П), (о, Ь, с), {а, Д 7).
4) Здесь и в дальнейшем подразумеваются положительные значения квадратных корней.
б) Согласно Сундману движение называется регулярным, если ay, j/y, *у (j = 0,1,2) суть
голоморфные функции t.

14 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
(условия простого соударения тел Р0 и Рх в момент времени tx), где
имеем следующие результаты исследований Сундмана6):
Г. Существуют конечные пределы величин ж, у, z, г, £, 77, £, р, £, 77, £, /3,
^(7). Ж(^). Ж(7). VFr, ^, f f при *-.*,:
(8) lim ж = lim у = lim z = lim r = 0;
*-♦*, *-♦*, *->«, *-♦«,
(9) lim £ = £„ lim 77 = 77,, lim С = Ci, lim P = л;
*-♦*, *->*, *->*, '"♦*!
(10) lim £ = £,, lim ij = *j„ lim С = Ci, Hm /> = p,;
«-♦*, *"♦*! *"**! *"**!
(12) Hjm VFr = -v^K+^j;
(13) lim*=V, lim f-x, Иш£«*
где
2°. Величины yi—zy,... представляются в виде JVr2(tj — £), где величины
N остаются конечными при t -* tj.
§ 2. Дальнейшие предельные соотношения. Координаты
движущихся точек относительно центра инерции суть линейные функции ж, у, г,
£, 7/, С согласно формулам (2). Они поэтому также стремятся к конечным
пределам при t -► tx. Прямую, проходящую через точку с координатами
lim X) = lim хх, lim ш = lim ух, lim % = lim zx% имеющую направляющие
косинусы у>, х/^1 будем называть линией соударения. Угол между линией
соударения и неизменяемой осью обозначим через и>. Тогда
(14) cosa; = ^±^±£i. ,
Обозначим через V величину скорости точки Р2 относительно центра
инерции совокупности Р0, Рх; через VJ —предел V при t -* tx. По
определению и формулам (10) имеем:
Уравнения (5) в пределе дают
(15) ц Ci " СЛ = Ь Cif'i - *iCi = £. £i* " %f'i = £
(см. предложение 2° предыдущего параграфа). Отсюда, принимая во
внимание условие (6), усматриваем, что VJ > 0 и что угол между векторами
6* См., например, [2]; в частности, с. 122-126.

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 15
(fn^nCi) и (fu^uCi) не есть целократное 7г. Обозначая, наконец, через
v угол между векторами (ж, у, г) и (£, ту, С), через в угол между (ж, у, z) и
(f\ *7i C")i через Фх и б, их пределы при * —* *lf имеем:
(16) С08<,1 = ^1±М1±^, cosg, = ^' + ^'+^'>
убеждаясь при этом в существовании предельных углов #, и вх.
Возьмем производную от /9 cos 1? по времени. Первая из формул (16) дает
^coS<?) = ^(f)+^(^)-bC^(f) + ^±f^,
откуда по формулам (9), (11) и (16)
(17) lim 3f(pcos#) = V;cosiV
Определим порядок малости величины if — г02 относительно г при t —► t,.
По формулам (4), (1) и (16) имеем
(18) г2 - г02 = 2(А + ц)(х£ + yq + zQ + (А2 - /х2)(я2 + у2 + z2) =
= 2rp cos I? + ££^г2.
Отсюда 2_ 2 "ю 1
lim 3-^ = 2,0. cos A
и, следовательно, при cos i?, ^ 0 величина rf - r02 есть бесконечно малая
первого порядка.
При cos vx = О правило Лопиталя дает
lim£^=lim|^;ostf).
t-t, r3'2 t-t, 3 у/гг
В силу равенств (12) и (17), правая часть существует, и мы имеем
Иш Pcost?_ у/2 yicos^
Отсюда и из равенства (18) заключаем, что
lim !ti = £LZl£ при cos i?, = О,
*-♦*, Г2 rriQ + Ш! г » '
1- П2-го 2 V, cos А 0 л
lim ! ft 9 = -? * ,— * при cosi?,=Oh т) = т| = т»
*-«, ri 3 у/т r l -oi
Таким образом, порядок величины г2 — г02 относительно г равен
{
2 при cos 1?! = 0, г"о ^ mi»
5/2 при cos 1?, =0, то = ти cos 0, ^0.

16 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
т.
Переходя ^рассмотрению величины -j—j, фигурирующей в правых
частях уравнении (3), имеем тождество ro ri
г03 г? «Ь + П г03г? '
Но, согласно условиям (7),
Мы можем поэтому утверждать на основании предыдущего, что
(19) Um ?(^-^) = ^pL во всех случаях,
<20> ft?(i-i)-i4sfi при cos*'=0'
<21> Й1д(?-?)—TS11?4 при costf.=0"-o="b =
Величина -?—т есть бесконечно малая 1-го порядка при costf^O; 2-го
порядка при cos ^=0, тп^щ; порядка 5/2 при cos ^=0, гт^=т,, cos вх^0.
§ 3. Закон десяти третей. Будем называть величины
(22) ,,-3L±£±3L 0=0,1,2)
высотами точек Ру. Очевидно, |з,| есть расстояние точки Pj от
неизменяемой плоскости. Знак же sj зависит от того, по какую сторону неизменяемой
плоскости находится точка JFJ..
Полагая, кроме того,
(23) 5=Й2£±^С±££, а=*< + у + с^
имеем, согласно формулам (2),
(24) «6 = -Аз-^(Г, З^/ХЗ-^ОГ, 32 = ^^.(7.
Умножая, далее, уравнение (5) соответственно на 4, 5, 4 и, складывая,
получаем:
If 1? С
ж В z
£ у *
что, согласно предложениям Г и 2° § 1, представляется в виде
где N остается конечным при t -> t1# Отсюда
(26) lim4=0
(25) (т =

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 17
и a fortiori
lim or=0.
А так как формулы (8) и (23) дают, с другой стороны,
lim з=0,
то, в силу формул (24),
lime,=0 (У =0,1,2).
Мы доказали, таким образом, теорему Шази [3, с. 81; 4, с. 127]: в
задаче трех тел всякое простое соударение происходит в неизменяемой
плоскости.
Определим теперь порядок бесконечно малой величины а относительно г
при t —> tj. Задача заключается в нахождении такого числа п, при котором
lim тг
существует и отличен от нуля. Но по правилу Лопиталя
(27) lim Л = lim nLr.>
если последний предел существует. А в силу предельного соотношения (12)
(28) lim n L г = lim ( . & v n АЛ.
Но по формулам (23) и (5),
« •) С
х у z
х у z
откуда, аналогично предыдущему,
lim а = 0.
Таким образом, при h > 3/2 числитель и знаменатель выражения в
скобках в правой части формулы (28) стремятся к нулю при t —► tx. Применяя
вторично правило Лопиталя, получаем равенство
Лг
(29) Ы"^^
справедливое при существовании его правой части и п > 3/2. Формулы (3)
и (23) дают, с другой стороны:
&=-А"(;И)+ш'"(;НУ
Предположив поэтому, что
(30) lim-?-T = 0,
v ' t-t, rn~3 '

18 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
имеем в силу соотношения (12) и условий (7):
(31) ton J—т а. , М2 —г-^\ =
»-«1\n(n-|)-2(m0 + m,)»-n 3Vr03 rjV J
Это равенство справедливо, если его правая часть существует. Но в силу
формул (23), (13) и (14),
lim r = cosw.
«-«, r
Таким образом, на основании формул (27), (28), (29), (31), (1) можно
утверждать, что равенство
(32) Нт £ = J*™"*" lim _JL^ U - Л)
справедливо, если его правая часть имеет смысл, п > 3/2 и условие (30)
соблюдено.
При п = 5 условие (30) совпадает с доказанным равенством (26).
Формулы (32) и (14) дают поэтому
(33) lim Л = 3^^ cos a; cost?
Отсюда усматриваем, что при cos ш = 0 и cos ^ ^ 0 величина а есть
бесконечно малая 5-го порядка относительно г.
LTpl
5-г
При cos tix = 0 формула (33) дает
lim 4=0
*-«, Г5
и условие (30) оказывается соблюденным при п = 6 и при п = 13/2. Из
формул (32), (20), (21) заключаем, что
(34) ит4 = ^М^т1(т>;Л)сТ при сое4=0,
(35) Um ^72 = -ggo J?/2 Vl C°S^5C0S°l при cos#,=0и ш0 = т1 = т.
Таким образом, порядок бесконечно малой величины сг равен 6 при cos и> Ф
фО, costf, =0, щфтх; 13/2 при coscj^O, cosi?, =0, Tr^ = mlt cos^ ^0.
Чтобы узнать порядок сг и пропорциональной ей % относительно £, - £,
3/2
применим правило Лопиталя к отношению j—£• В СИЛУ равенства (12),
имеем:
ton A—§lim^«3i/5Ju,

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 19
откуда
(36) ЙЧ, (v^J* = ^5(mo + "b)-
Это известный закон двух третей: при простом соударении в задаче
трех тел расстояние между сталкивающимися телами стремится к
нулю, как (tx - £)2/3, где t —время, tx —момент соударения.
Из формул (24), (33), (34), (35), (36) заключаем, что
/о*7\ 1- *2 81 /ji/з rrk\m\ cos о; cos A
(37) urn -—" .лп = Т4лб,/3 " * .>- т—L во всех случаях,
v '*-*,(*!-*),0/3 140 (щ + ™х)1/3 a>i
(39) to ^Ад, = - ИЗ*-."»"' ""^'■ "Р" «в*=0
И mQ = 171| = Ш.
Будем говорить, что соударение пространственное, если cos о; ^0; что
оно плоское, если cos a;=0. При плоском соударении линия соударения
лежит в неизменяемой плоскости; при пространственном — не лежит. Будем
называть пространственное соударение анортогональным, если cos^ ^0;
ортогональным, если cos #, = 0. Ортогональное соударение будем
называть неравнобедренным при щфтх; равнобедренным при п\) = т1.
Равнобедренное соударение будем называть асимметричным при cos 0, Ф 0;
симметричным при cos 0, = 0.
Все эти виды соударений, кроме пространственного анортогонального,
можно рассматривать как исключительные случаи. В их определениях
содержится, по крайней мере, одно равенство (либо cos ш=0, либо cos Фх =0),
и лишь пространственное анортогональное соударение определяется двумя
неравенствами (cosшф0, cosФх ф0). Нижеследующий закон десяти
третей относится к этому общему типу соударений7*.
Если в задаче трех тел в момент t происходит пространственное
анортогональное соударение двух тел, то при приближении времени t
к tx высота третьего тела стремится к нулю, как (tx - *),0/3.
Количественно это выражается формулой (37).
Порядок з2 относительно tx — t равен 4 при ортогональном
неравнобедренном соударении (см. формулу (38)) и 13/3 при равнобедренном
асимметричном соударении (см. формулу (о9)). Остаются два случая, которым
посвящены §5,о, — плоского соударения (cos ш = 0) и симметричного
соударения (cos ш ф О, cos а?! =0, гп^^щ, cos вх = 0).
Следующий § 4 играет вспомогательную роль.
§ 4. Регуляризация простого соударения по способу Сундмана.
Введем вспомогательную переменную Сундмана (см. [2, с. 127]):
-I*
^ Намек на закон десяти третей имеется в работе Шази [4,с. 128]. Шази доказывает, что
порядок «2 относительно tx - t не ниже 10/3.

20 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
Эта величина есть возрастающая функция времени в промежутке]^, t,].
Она стремится к конечному пределу их при t —> t{ (см. [2, с. 132]). Обратно:
время есть возрастающая функция и в промежутке [0, щ], изменяясь от ^
до tlt когда и возрастает от нуля до их. Принимая и за новую независимую
переменную, будем рассматривать ж, у, z, £, ту, С, * пак функции и. Вводя
обозначения
(40) L=xX+yY+zZ+2rrh(nh + ml){^+^
получим систему восемнадцати дифференциальных уравнений (см. [2,
с. 128, 129]):
(41)
rfu
g-щ + щ + Л, £ = r.
Восемнадцать неизвестных z,y, z, ж', j/7, г', а, Д7, £, 77, С. f\»?>C. r> r'» *
оказываются голоморфными функциями и при u = u, (см. [2, с. 1391),
причем (см. [2, с. 134, Г35])
(42)
lim ж'= lim tf = lim z' = Urn r' = 0,
14-4 U, 14-+U, «-4U, V-»«|
(43) lim a=<p(m0 + ml), Ит/?=х(я^ + т,), lim 7=V(»"o + m1).
tt-»«l «—»U| It—»U,
§ 5. Плоское соударение. Помножим первую строку уравнений (41) на
j, а две следующих (подразумеваемых) строки — на j и на %. Складывая
соответственные уравнения, получим, принимая во внимание формулы (3):
da
= s'
(44)
da
do
ax' + bj/ + cz; r oa + 6/? + C7
где
(45)
Эти соотношения можно рассматривать как систему линейных
дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно пяти неизвестных:
5,«', й, а, а. Для этого надо выразить коэффициенты
—щг
'($+*)' «**(*-*)•
при з,0,... в правых частях уравнений (44) через независимую
переменную и. Но эти коэффициенты суть голоморфные функции переменных си-

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 21
стемы (41) при и = их, каковые голоморфны относительно и. Таким
образом, величины в, s'j 6,cr, а удовлетворяют системе линейных
дифференциальных уравнений с голоморфными (при и — и{) относительно независимой
переменной коэффициентами. По теореме Коши, такая система однозначно
определяет «, *', а, сг, а, если заданы пределы этих величин при и—ьщ.
Но по формулам (45), (43), (14)
lim S = (пи + тпг)coscj,
что обращается в нуль при плоском соударении; по доказанному в § 3
lim s = lim a = lim a = 0;
И-*!*! И-»!*! 11-411!
наконец, из формул (45) и (42) следует, что
lim з' = 0.
Этим предельным значениям соответствует очевидное решение
системы (44):
s = s' = 8 = a = & = 0 (О^и^ их),
какова бы ни была (голоморфная) зависимость коэффициентов от и. И это
решение — единственное. Отсюда по формулам (24)
(46) 4»0 0^0,1,2; Ъ< *<«!)•
Эти тождества доказаны нами для промежутка ^ < t < t{. Очевидно,
однако, что они справедливы при всех значениях £, если условиться
аналитически продолжать движение после каждого соударения по методу Сундмана
(см. [2, с. 141, 151]).
Мы доказали таким образом, что в задаче трех тел плоское соударение
возможно только при плоском движении. В этом случае высоты трех
тел тождественно равны нулю*
§ 6. Симметричное соударение. Полагая mX) = ml = m} имеем по
формуле (18):
г*-г02 = 2(а*+от + <).
Отсюда
(47)
X = -^Вх + 2щА(х£ + уп + zCH,
Мы , М
}
Z = -fBt + fA(xt+yo + zQx,
где
(48) A«£±$±i. * = 4г + Дг.
»bri ro ri
С другой стороны, равенства (40) дают
rV-m rV-qg rV-ry.
х g^p-, у- ~2т , г- 2m ,
(49)
где
(50)
wa = x'£ + y'ri + z'C, wt = хЧ- + |Л/ + z*C
:}

22 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
С помощью формул (49) равенства
Xt + Yti + ZC = %{Ар2 - f )(-w, + г^щ),
Х£ + Yrj + ZC » 2LA(ti + rri + ССК-гш, + гЧ) - &В(~гщ + г'«,4),
аН + /?Я + 7П = -f В«/, + ^А(г'2 - 2тг)(-гш, + г'ш,),
aj'H + 1/H + z'U = -^Bt«j + ^Arr'f-w, + г'ш,)
проверяются подстановкой вместо X, Y,Z, 2, Я, П правых частей
формул (47). Эти равенства и уравнения (41) дают
(51) $ = -[^K-JfL'-) + THU'' + SJ5^4 +
где
(52) C = A/92-f, D = fr' + m2(a' + W + CC).
Коэффициенты при wj (j = 1,2,3,4) в уравнениях (51) суть
голоморфные функции переменных системы (41) (см. формулы (40), (48), (52)),
каковые голоморфны в и. Таким образом, аналогично предыдущему случаю,
величины Wj удовлетворяют системе четырех линейных дифференциальных
уравнений первого порядка с голоморфными коэффициентами. Пределы wj
при и —> их однозначно определяют решение в промежутке [0, их].
Но по формулам (50), (43), (9), (10), (16)
lim щ = 2т((р£х +ХП\+ФС\):=1 2трх c°sФх,
lim ш> = 2т(<р£, + XV\ + ФС\) = 2mVx cos 0„
каковые величины обращаются в нуль при симметричном соударении; по
формулам (50), (9), (10), (42)
Таким образом,
lim щ= lim w4 = 0.
lim«;,=0 0 = 1,2,3,4)
ежутке [0, их]
(53) ^.=0 (j = l,2,3,4),
♦«1
и потому во всем промежутке [0, их]

ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ 23
или, что то же самое,
(54) о*+Л + тС=0, *i + fi4 + jt*0A
x'Z + tfri + z'C^O, x'Z + y'v + z'C^O)
Но в силу равенств (15) и условия (6) определители второго порядка
матрицы
"* 1? С
t v с
не стремятся одновременно к нулю при и —► и,. А так как эти определители
суть аналитические функции и в закрытом промежутке [0, их], то
одновременное их исчезновение возможно лишь в конечном числе точек этого
промежутка. Во всех остальных точках промежутка [0,щ] равенства (54)
дают
a^OiC-Ci», /* = *(«-* С), 7 = q(*i?-itf).
х^ЫпС-Сч), у^^Се-^О, ^' = ^77-770,
где с, и Cg — конечные величины. Таким образом, равенства
/fe' - 72/ = 0, 7*' - <**' = 0, ау' - /&' = 0
могут нарушаться лишь в изолированных точках промежутка [0, щ]. А так
как левые части этих равенств суть непрерывные функции и, то
/fe'-72/' = 0> yx'-az'=zO, ау'-/?ж'=0
во всем промежутке [0, иЛ.
Отсюда по формулам (40), (5), (49), (53), (23), (24)
yi-zy = 0, ...; a=zh(7i(-Cn), - - -."
(55) =h[t(xt+m + zC)-t(xt+yrj + zC)] = 0, ...;
(56) (7 = 52 = 0;
(57) 50 + 5,=0.
Все эти тождества относятся к промежутку tQ^t<tx. Они показывают, что
в этом промежутке: 1) тело Р2, не участвующее в соударении, находится в
неизменяемой плоскости [формула (56)]; 2) тела Р0 и Рх с одинаковыми
массами симметричны относительно неизменяемой плоскости [формулы (55)
и (57)].
Продс
1родолжение движения по способу Сундмана дает возможность
распространить аналитические соотношения (55), (56), (57) на бесконечный
промежуток времени. Мы имеем, таким образом, утверждение:
Если в момент £, происходит симметричное соударение тел Р0 и Ри
то: 1) тело Р2 все время остается в неизменяемой плоскости; 2) тела
равных масс Р0 и Рх все время симметричны друг другу относительно
неизменяемой плоскости.

24 ЗАКОН ДЕСЯТИ ТРЕТЕЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ СОУДАРЕНИЙ
§ 7. Сводка результатов. Сводка результатов может быть представлена
следующей таблицей:
Классификация соударений
Порядок 8

относительно t - &
Первый член разложения а
по степеням (t - tx)[^
о
Э
о
х
5
m
о
I
Анортогональное
cos ФфО
г
Неравнобедренное
о
II
щфт
<
о
5
и
8
^Асимметр.
cos 0,^0
I
§
<
Симметр.
cos^=0
Плоское соударение cosu/=0
10
Т
13
Т
81 с1 ™o™i coso;cosfl1/A »
16 Щ+тх р5 \ I'
81 ' i Vjcosa;cos^ и
Ш3 m pS L(*-*i)T
4-0
«2=0
Последний столбец этой таблицы получается йа основании формул (37),
(38), (39), (46), (56) и теоремы Вейерштрасса — Сундмана (см. |2, с. 140;
5, с. 57]):
Если в задаче трех тел tx —момент простого соударения, то слева
от t{ координаты трех тел разлагаются в степенные ряды по целым
положительным степеням (t - t{)l/3.
Наша таблица исчерпывает все случаи.
Литература
[1] Sundman
V. 35, № 9.
К. F. // Acta Soc. Scient. Fennicae. — 1906. — V. 34, № 6; 1909. —
[2] Sundman К. F. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math. —1913. —
Bd. 36. —S. 105-179.
[3] С h a z у J. // С R. Acad Sci. Paris. —1919. —V. 169.
[4] С h a z у J. Sur Failure du moiiVement dans le probleme des trois corps quand le temps
croit indefiniment // Ann. Sci. Ecole Norm. Super. Ser. 3. —1922. — V. 39, № 4. — P. 29-130.
[5] Sundman K. F. // Acta Math. — 1912. — Bd. 35.

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ*)
Цель этой заметки — упростить одну теорему Франклина о почти
периодических движениях (см. [1, теорема 1]).
Пусть
(1) -£ = Xtfa,..., хп) (г = 1,..., п)
— некоторая система дифференциальных уравнений, где Х{ суть
вещественные однозначные функции хи ..., хп1 удовлетворяющие условиям
Липшица в некоторой открытой области D пространства Rn переменных хи...
Каждое решение (1) будет называться движением. Движение x(ty\
определенное при -оо < t < oo, будет называться устойчивым, если
существует ограниченное и замкнутое множество, содержащееся в D и
содержащее множество значений функции x(t). Мы будем говорить здесь о
рекуррентных движениях и почти периодических движениях. Первые
определены Биркгофом (см. [2]). Что касается вторых, это движения, для которых
все xt(t) являются почти периодическими функциями (см. [1, с. 328]).
Одно новое понятие было введено Франклином в упомянутой заметке.
Соответствующее определение может быть сформулировано следующим
образом:
Движение x(t) обладает свойством 5, если каждому е>0 можно
поставить в соответствие некоторое h(e) >0 такое, что2)
(2) р{*(*,),*(*2)}<ОД
влечет
p{x(t{ + t), ж(*2+ t)}<e,
каковы бы ни были tl9 Ц и £.
Это определение очевидным образом эквивалентно определению
Франклина (см. [1, с. 328]).
Теорема, являющаяся предметом рассмотрения, может быть
сформулирована теперь следующим образом:
Теорема (Франклин). Для того чтобы устойчивое движение было
почти периодическим, необходимо и достаточно чтобы оно было
рекуррентным и обладало свойством 5.
Мы сейчас упростим эту теорему, показав, 4TQ условие рекуррентности
излишне. Докажем сначала следующую лемму:
' Sur les mouvements presque periodiques // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1929. —
V. 189. — P. 732-734. Представлено Ж. Адамаром. Перевод с французского С. В. Соловьева.
!) x(t) есть сокращенное обозначение для Xj(t),...,xn(t). Мы рассматриваем x(t) как
функцию t, значения которой являются точками Rn.
2) Через р(ху у) обозначено взаимное расстояние между точками хну.

26
О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ
Лемма. Пусть x(t) — некоторое устойчивое движение. Для всякого
е>0 существует U(e)>0 такое, что всякому t можно поставить в
соответствие некоторое t\ удовлетворяющее условиям
|t#l<tf(*)i p{x(t),x(f)}<e.
В противном случае существует е > О такое, что каждому и >0 можно
поставить в соответствие вполне определенное число и(и), удовлетворяющее
условию:
(3) |£'|<и влечет р{х[и(и)], x(t')} ^ е,
каково бы ни было £'.
Образуем бесконечную последовательность о,,...,оя, полагая
«1 = 1, an+1 = i/(k|) (n = l,2,...).
Без труда убеждаемся, что
k+*-il>kl (n = l,2,...; fc = l,2,...).
Отсюда, согласно (3), следует, что
P{x(*n+k), *(0}=P{*Nk+*-il)]i x(an)}>e (n = l, 2,...; fc = l, 2,...),
т. е. что взаимные расстояния между любыми точками множества
{z(a,),z(a2),...}
не меньше чем е. Таким образом, это бесконечное множество не может
иметь точек накопления. Отсюда, по теореме Больцано — Вейерштрасса,
следует, что множество значений функции x(t) не ограничено, а это
противоречит гипотезе об устойчивости рассматриваемого движения. Наша
лемма, таким образом, доказана.
Мы можем теперь доказать следующую теорему:
Теорема 1. Каждое устойчивое движение, обладающее свойством
5, является рекуррентным.
Пусть x(t) — устойчивое движение. Отправляясь от некоторого е>0,
найдем h(e) согласно определению свойства S и положим T(e)=2U[h(e)]t
где U выбрано согласно предыдущей лемме. Пусть t и ^ — произвольные
вещественные числа. Тогда существует (в силу основного свойства 17) такое
t\ что
1*1 ^ ЩИ*)), Р{Ф - <o)i *(*")} < ВД-
Полагая £' = ^ + t"t заключаем отсюда, согласно (2), что
(4) t0-lT(s)^tt^tQ + ^T(e)J p{x(t)yx(t')}<e.
Таким образом, мы доказали, что для всякого е >0 можно найти Т(е)>0
такое, что при произвольных ^ и £ существует некоторое число £',
удовлетворяющее условиям (4). Отсюда по теореме Биркгофа (см. [2, с. 312])
следует, что x(t) есть рекуррентное движение, что и требовалось доказать.

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ
27
Теперь соединением этого результата с указанной теоремой Франклина
может быть получена
Теорема 2 (упрощенная теорема Франклина). Для того чтобы
устойчивое движение было почти периодическим, необходимо и
достаточно, чтобы оно обладало свойством 5.
Литература
[11 Franklin Ph. Almost periodic recurrent motions // Math. Z. — 1929. — Bd. 30. —
S. 325-331.
[2] Birkhoff G. D. Quelques theoremes sur les mouvements des systemes dy-
namiques // Bull. Soc. Math. France. — 1929. — V. 40. — P. 305-323.

ОБ ОДНОМ ОБЩЕМ СВОЙСТВЕ
МИНИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ БИРКГОФА*)
Пусть R — регулярное топологическое пространство со счетной базой1*,
{?(}-<»<*«»— непрерывная однопараметрическая группа топологических
преобразований пространства R, т. е. некоторая система таких
преобразований </?, обладающая следующими свойствами2*:
Г tptx есть непрерывная функция вещественного параметра t и точки х
пространства R;
2° имеет место тождество <pu<pvx = <pu+vx.
Мы будем говорить, что множество А, содержащееся в R, является
инвариантным (по отношению к рассматриваемой группе), если каждое <pt
преобразует его в себя. Мы будем говорить, что А есть минимальное
множество, если оно неприводимо по отношению к свойству инвариантности3*,
компактно в себе и непусто.
Последнее понятие является естественным обобщением весьма важного
понятия, введенного Дж. Биркгофом в случае, когда Д есть область п-мер-
ного евклидова пространства [21 или замкнутое многообразие п измерений
(см. [3, гл. VII]), а группа {y?t} определяется системой п обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Несмотря на свою очевидную важность для качественного исследования
решений дифференциальных уравнений, и в особенности для качественной
теории динамических систем, минимальные множества были крайне мало
изучены. Дж. Биркгофом была получена Общая теорема существования для
этих множеств4*, несколько других важных теорем (см. [2, с. 312-316; 3,
с. 199-201]) и один интересный пример минимального множества, не
являющегося локально связным [2, с. 318-323]. Наиболее важные свойства
этих множеств: их топологическая природа в общем случае, их размерност-
ная структура, их комбинаторные свойства — все это является на сегодня
абсолютно не исследованной областью.
В этой заметке мы установим следующее свойство минимальных
множеств, касающееся их структуры с точки зрения теории размерности Бра-
уэра, Урысона и Менгера:
Минимальное множество конечной положительной размерности
всегда является канторовым многообразием (это последнее понятие было
' Sur une propriete generate des ensembles minimaux de M. Birkhoff // С R. Acad. Sci.
Paris. — 1931. — V. 193. — P. 823-825. Представлено Ж. Адамаром. Перевод с французского
С. В. Соловьева.
*) Определения этих понятий см., например, в [1, с. 1, 5].
2) tpt х обозначает образ точки х при преобразовании ipt. Если А — некоторое множество, то
tptA обозначает множество образов его точек при tpt; А обозначает замыкание множества А;
dim А — размерность А.
3) То есть инвариантно и не содержит собственных инвариантных подмножеств. — Прим.
перев.
4) Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: всякое инвариантное
множество, компактное в себе и непустое, содержит минимальное множество. Ср. [2,
с. 314; 3, с. 200].

ОБ ОДНОМ ОБЩЕМ СВОЙСТВЕ МИНИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ БИРКГОФА 29
введено П. Урысоном в его «Мемуаре о канторовых многообразиях» [4; 5];
см., в частности, [3, с. 124]).
Пусть F — компактное в себе инвариантное множество конечной
размерности п > 0. Допустим, что это множество не является канторовым
многообразием, и покажем, что тогда оно не минимально.
Отметим сначала, что в силу нашей гипотезы существуют два замкнутых
множества Fx и F2l удовлетворяющие условиям
(1) FX + F2 = F, FX^F^F2, dim(FxF2)^n-2.
Согласно одной теореме Гуревича и Менгера (см. [6, с. 217-221]),
множество F содержит n-мерное канторово многообразие. Пусть М — такое
многообразие, t — некоторое вещественное число. Поскольку множество
(ptM гомеоморфно М и является притом п-мерным канторовым
многообразием, имеет место одно из включений (ptMCF{ (г = 1,2), так как в
противном случае множество
не было бы связным, что невозможно в силу (1).
Пусть А{ —множество значений t, для которых имеет место (ptM CF..
Легко видеть, что эти А{ замкнуты. Мы уже видели, что имеет место
где £ обозначает вещественную прямую. Множества А{ не пересекаются,
так как в противном случае существовало бы значение t, для которого
n-мерное множество iptM содержалось бы в множестве FxF2t размерность
которого не превосходит п - 2.
Отсюда следует, что одно из множеств Ait скажем А,, совпадает с 6, что
дает
(ptMcFx (-00 < t < оо),
откуда
(2) XT^McFp
tee
Поскольку первый член включения (2) есть, очевидно, множество
инвариантное, компактное в себе и непустое, a Fx является собственным
подмножеством F, отсюда следует, что F не является минимальным множеством,
что и требовалось доказать.
Литература
[1} Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques
compacts // Verhandel. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Afd. Natuurkunde. Sect. I. —
1929.—V. 14, Ml.
[2] Birkhoff G. D. Quelques theoremes sur les mouvements des systemes dy-
namiques // Bull. Soc. Math. France. —1912. —V. 40. —P. 303-323.
[3] Birkhoff G. D. Dynamical Systems. — New York, 1927. Имеется перевод:
Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. — М. — Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1941; М.: РХД,
[41 Urysohn P. Memoire sur les multiplicites cantoriennes // Fundam. Math. — 1925. —
V. 7. — P. 30-137; 1928. — V. 8. — P. 225-259.
[5] Urysohn P. Memoire sur les multiplicites cantoriennes. II: Les lignes
cantoriennes // Verhandel. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Afd. Natuurkunde. Sect. I. —
1927.—V. 13, №4.
[6] Menger K. Dimensionstheorie. — Leipzig — Berlin: Teubner, 1928.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ
ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ»*)
Мы задаемся вопросом — возможно ли изменить наши представления о
пространственно-временной микроструктуре мира таким образом, чтобы метрика оказалась логически
выводимой из отношения «раньше чем» и чтобы при этом на «больших» расстояниях
и для «больших» длительностей новая метрика почти совпадала с «обычной». На этот
вопрос мы даем положительный ответ. Именно, удается так сконструировать
отношение «раньше чем», что из него простым образом возникает некоторая метрика, которая
заметно отличается от псевдоевклидовой метрики специальной теории относительности
только для «очень малых» интервалов. Эта редукция метрики к «раньше чем» возможна
лишь потому, что последнее отношение подчинено определенному атомистическому
требованию, доставляющему нам некоторый естественный масштаб. На правдоподобность
существования такого масштаба, т. е. самого маленького временного промежутка, уже
прежде указывали другие авторы в связи с новой квантовой теорией1'. Предлагаемая
работа дает, таким образом, новое неожиданное оправдание их идее.
В природе существует отношение, которое бесспорно имеет для
теоретической физики фундаментальное значение, — отношение «раньше, чем».
Это отношение несводимо к другим фундаментальным понятиям
современной физики, таким, как метрика, параллельный перенос и т. п., и
должно трактоваться наравне с ними как фундаментальное понятие, во всяком
случае, пока мы не выходим за рамки обычной (специальной) теории
относительности (ТО). Такое положение дел признано давно. Оно, в
частности, проявляется в запрещении координатных преобразований,
обращающих время (см. [1, с. 362; 2; 3, с. 23]).
Таким образом, ТО (в отличие от электродинамики) строится
дуалистически. Наряду с количественным элементом — метрикой — мы имеем в этой
теории качественный элемент — «раньше чем». Эти два фундаментальных
элемента, хотя и сплетены друг с другом, все же не сводятся один к
другому. Именно, их взаимосвязь может быть описана следующим образом:
Г. Пусть ж, у— две мировые точки и пусть х раньше чем у. Тогда
существует кривая
z = z(t) ((Кт<1; *(0) = я; *(1) = у),
соединяющая ж с у, на которой всюду ds2 > 0. Здесь ds2 обозначает квадрат
линейного элемента в направлении возрастания времени2*.
2°. Наоборот, если такая кривая существует, то мы можем лишь
заключить, что пара (ж, у) упорядочена во времени3*, т. е. либо х раньше чем у,
либо у раньше чем х.
Это — единственные условия, которыми метрика в ТО может быть
связана с «раньше чем». Теперь ясно, что они не дают нам никаких средств
' Uber die Ableitbarkeit der Weltmetrik aus der «Fruher als» — Beziehung // Phys. Z. Sow. —
1932. — Bd. 1, № 3. — S. 387-406. Перевод с немецкого Р. И. Пименова.
') См. цитируемые ниже работы В. Амбарцумяна и Д. Иваненко.
2) В оригинале «zeitartig geschriebene Quadrat des Linienelementes». — Прим. пере в.
3* В оригинале «Рааг (X, Y) zeitartig ist». — Прим. перев.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ* 31
свести асимметричное «раньше чем» к метрике. Оба отношения — «ж
раньше чем у» и «у раньше чем ж» — в силу 1° и 2° равноправны, так что мы
не в состоянии посредством одной лишь метрики сделать решающий выбор
между этими отношениями.
Но и обратная проблема сведения метрики к «раньше чем» неразрешима
в рамках ТО. Именно, если у нас есть ds2 и некоторое отношение
«раньше чем», удовлетворяющее условиям Г и 2°, мы можем, сохраняя «раньше
чем», изменить ds2 умножением на любую непостоянную положительную
функцию, не нарушая при этом Г и 2°. Этот неустранимый дуализм ТО,
по моему мнению, составляет ее существенный недостаток, и мне кажется
очень желательным устранение его за счет, быть может, изменения наших
основных представлении о времени и пространстве. Но если мы хотим
предпринять такое изменение, то мы прежде всего должны задать вопрос: какая
часть ТО оправдана менее всего? Нет ли в ней чего-либо, чем можно
было бы вполне безболезненно пожертвовать? Ответ получается сам собой.
Имеется некая часть теории, которая очень мало подкреплена опытом, а
ныне в свете новой квантовой теории выглядит весьма сомнительной.
Конечно, речь идет о справедливости теории для крайне малых расстояний и
крайне малых временных длительностей. Именно здесь, в этой области, мы
можем оправданно вводить фундаментально новые представления. Если бы
на этом пути удалось построить логически последовательную теорию,
которая для больших интервалов практически совпадала с обычной и, сверх
того, обладала определенными преимуществами, то это оправдало бы легкое
потрясение основ.
Чего же можно достичь таким путем в плане проблематики «метрика» —
«раньше чем»; не можем ли мы таким образом решить одну из двух
проблем: «метрика» —► «раньше чем» или «раньше чем» —► «метрика»? Что
касается первой проблемы, то представляется в высшей степени
невероятным получение когда-нибудь разумного ее решения. Отношение «раньше
чем» кажется настолько фундаментальным и таким простым, что едва ли
можно ожидать сведения этого понятия к какому-нибудь другому. Кроме
того, любое сведение «раньше чем» к метрике не представляло бы никакой
ценности с логической точки зрения. Ведь «раньше чем» — просто
некоторое двучленное отношение4*, а метрика зиждется, во-первых, на понятии
числа (обычная метрика — даже на логически весьма сложном понятии
вещественного числа), а во-вторых — на понятии функции (ведь каждой паре
точек, рассматриваемой в качестве аргумента, ставится в соответствие в
качестве значения функции некоторое число), и потому является логически
весьма сложным образованием. Главная же цель всякой теории — сведение
сложного к простому, а не наоборот. Таким образом, действительный
интерес представляет не первая, а вторая проблема — выведение метрики из
«раньше чем».
К счастью, однако, эта проблема разрешима в только что очерченном
духе, как будет показано далее на одном примере. Этот пример
составляет главное содержание предлагаемой работы. Но представляется
целесообразным предпослать его построению некоторое связное изложение общих
принципов, на которых покоится выведение метрики из «раньше чем».
В дальнейшем мы будем использовать знак -< для отношения «раньше
чем». Таким образом, х -< у означает, что х раньше чем у. Наложим теперь
4* Об этой терминологии см., например, [4].

32 О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ*
на это отношение ряд условий. Их можно воспринимать как наши основные
аксиомы.
Прежде всего, -< должно быть, конечно, асимметричным и транзитивным.
В противном случае мы вообще не могли бы интерпретировать это
отношение как «раньше чем». Поэтому сформулируем две аксиомы:
Аксиома I (аксиома асимметрии). Если х<у, то у не <х.
Аксиома II (аксиома транзитивности). Если x<z и z -< у, то х~<у.
Эти две аксиомы выполняются и для отношения «раньше чем» в ТО.
Именно поэтому их, очевидно, недостаточно для наших целей. Это видно
уже из того, что весьма общие аксиомы I и II не дают никакой
естественной масштабной единицы, посредством которой можно было бы измерять
интервалы.
Чтобы определить такую единицу, мы введем атомистическое
ограничение.
Пусть ж, у — две мировые точки, а
(1) г0,*1,...,*"
— некоторая конечная последовательность точек, удовлетворяющая
условиям
(2) x = z°^zl -<z2^...^zn = y.
Тогда, согласно аксиоме II, х -< у. Мы говорим в этом случае, что
последовательность (1) является цепью между ж и у. Каждая из п ориентированных
точечных пар (s'~\ z*) (i = 1,..., п), удовлетворяющая условию z*~x <z\
будет называться звеном, цепи (1).
Если (х, у) — одна из точечных пар, удовлетворяющая условию х<уг то,
вообще говоря, между х и у имеется несколько цепей с различными
количествами звеньев5). Нашу атомистическую гипотезу можно теперь
сформулировать следующим образом.
Аксиома III (аксиома конечности). Цепь между двумя заданными
точками не может содержать произвольно большое число звеньев.
Этим свойством наше отношение «раньше чем» принципиально
отличается от обычного. Мы выведем сейчас важнейшие следствия аксиомы III.
Пусть сначала х и у — две точки, причем х -< у. Тогда аксиома III говорит,
что натуральные числа п, являющиеся количествами звеньев цепей между х
и у, образуют ограниченное множество. Следовательно, среди них имеется
наибольшее — максимальное число звеньев цепей между ж и у, которое
является положительной целочисленной функцией пары (ж, у). Обозначим
эту функцию через <т(ж, у). Функция <г(х, у) тогда и только тогда (т. и т. т.)
определена, когда х -< у.
Далее, пусть (1) — произвольная цепь между х и у, a
(3) z{-{ = z*>° ~< z*>l -< z**2 -< ... ~< **•* = z* (i = 1,..., n)
— это п цепей, между соседними элементами последовательности (1). Если
при этом среди п чисел rat. хотя бы одно отлично от 1, то тогда мы говорим,
5) Пара (ж, у) сама является такой цепью.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ* 33
что цепь
x = zl>° <гхл •<...-< zUmi =z2'°^z2>1 -<...-<*- ~» = ...
. = гп"!'° -< zn~l%l -< ... Ч2п~!,Шп-1 = гл,° -< г'41 -<...-< z*4™» = y
получается из цепи (1) утончением. Надо различать два случая: когда
такое утончение цепи (1) возможно и когда нет. Во втором случае мы говорим,
что цепь (1) насыщена. В первом случае — когда существует по крайней
мере одна цепь, образуемая утончением из (1), — эта цепь может сама
быть доступна утончению, и т. д. Поскольку всякое утончение, очевидно,
связано с некоторым возрастанием числа звеньев, этот процесс утончения
не может продолжаться неограниченно. Ведь в противном случае, вопреки
аксиоме III, между х и у существовали бы цепи с произвольно большим
количеством звеньев. Итак, мы приходим к заключению: Любой процесс
утончения, производимый над цепями между двумя заданными
точками, обрывается после конечного числа шагов. Результатом его всегда
будет насыщенная цепь.
В частности, этим доказано существование насыщенных цепей между
двумя произвольными точками х, у, удовлетворяющими условию х~<у. Теперь
легко видеть, что любая цепь насыщена т. и т. т., когда каждое ее звено
само является насыщенной однозвенной цепью. Но насыщенная однозвенная
цепь — это не что иное, как точечная пара (и, v), удовлетворяющая
условию и -< v, для которой не существует удовлетворяющей условию и -< w -< v
точки го. Такую точечную пару можно с определенной точки зрения
рассматривать как атом времени или, точнее говоря, как атом «раньше чем».
Она заслуживает особого имени. Мы будем далее называть насыщенную
одночленную цепь хроном.
В соответствии с этим мы можем произвольную насыщенную цепь
между х и у называть хронной цепью и говорить о разложении на хроны
временного отрезка (я, у). Очевидно, что любая цепь между х и у, с
наибольшим возможным числом звеньев есть хронная цепь. Введенное выше
число а(х> у) можно поэтому определить как максимально возможное
число хронов в разложениях на хроны временного отрезка (ж, у). Равенство
а(х} у) = 1 выполняется т. и т. т., когда пара (ж, у) образует хрон,
Здесь особенно следует подчеркнуть существенную разницу между этим
временным атомизмом и привычным нам атомизмом материи. Ведь кусок
материи можно разложить на атомы (соответственно, электроны, и
протоны) лишь одним определенным образом. Тем самым однозначно
определяются атомы, из которых «состоит» тело. В случае же временного атомизма
ситуация совсем иная. Вообще говоря, временной отрезок (ж, у)
допускает несколько хронных разложений с различными числами звеньев. Если мы
ограничимся<т(я, у)-звенными максимальными разложениями,
то и тогда мы не достигаем, вообще говоря, однозначности6*. Поэтому нельзя
говорить, будто временной отрезок (ж, у) состоит из определенных хронов.
Итак, „квантованное" ^-отношение дает нам естественную единицу
масштаба— хрон, существование которого следует из аксиомы III. Число
а(ж,у) напрашивается в качестве естественной меры временного
отрезка (ж, у). Любое отношение * раньше чем*, удовлетворяющее аксиоме
конечности, индуцирует таким образом некоторую целочисленную
метрику временного интервала.
6) В этом читатель сможет легко убедиться на рассматриваемом ниже примере.

34 О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ»
Чтобы суметь определить и пространственную метрику, нам нужна
следующая
Аксиома IV (аксиома четырехугольника). Для всякой точечной
пары (ж, у) существует удовлетворяющая условиям
(4) и -< ж, и -< у, х -< v, у -< v
точечная пара (и, v).
На базе этой аксиомы мы теперь можем поступить следующим образом.
Если нам даны две произвольные точки х, у, то мы рассматриваем
множество всех удовлетворяющих условиям (4) пар (и, v). Для каждой такой
пары имеем: и -< г; и <г(и, v) ^ 2, ибо и -< х -< v является двузвенной цепью
между и и v. Рассматриваем соответствующее множество чисел cr(u, v). В
этом (согласно аксиоме IV, непустом) множестве натуральных чисел
имеется наименьшее число. Оно зависит только от х и у и может быть обозначено
через р(х, у). Так построенная функция р(х, у) определена для любых двух
точек х и у. Она целочисленна, симметрична и всюду ^ 2.
Точечная пара (ж, у) называется пространственно упорядоченной1^,
если существует точечная пара (u, v), удовлетворяющая условиям
(5) и -< ж, и не -< у,
(6) х -< v, у не -< v.
Для пространственно упорядоченной пары (ж, у) будем интерпретировать
число р(ж, у) как пространственный интервал между точками
х и у. Таким образом определяется и «пространственная метрика».
Все эти очень общие и абстрактные идеи получат сейчас свое оправдание
на одном примере. Именно, будет показано, что на указанном пути можно
построить метрику, похожую на псевдоевклидову метрику ТО.
Начиная с этого места, мы станем оперировать с одним, определенным
с точностью до изоморфизма, отношением -<. Это -«-отношение мы введем
посредством следующего «правила»:
(F) Отношение -< мы будем считать устроенным так, что
существует взаимно однозначное отображение множества всех мировых
точек на множество всех вещественных числовых четверок такое, что
высказывание х -< у верно т. и т. т., когда отвечающие точкам х и
у упорядоченные четверки (а%, хх, х2^хъ) и (%, ад, %, %) удовлетворяют
неравенствам
(7) яь < М»
(8) (%-Ч))2-Е(1/у-^)2^1.
Зафиксируем для дальнейшего одно такое отображение и обозначим его
символом ~. Таким образом, х ~ (а^, жр а^, %) означает, что в нашем
отображении мировой точке х соответствует четверка чисел (а^, ж1? а^, а^).
Прежде всего мы должны убедиться в том, что описанное правилом (F)
-«-отношение действительно удовлетворяет нашим аксиомам I—IV.
Выполнение аксиомы асимметрии немедленно следует из асимметрии
отношения <.
7* В оригинале «raumartig». — Прим. перев.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ» 35
Чтобы проверить выполнение аксиом II и III, мы будем опираться на
следующую лемму.
Лемма 1. Если (1) является последовательностью точек,
удовлетворяющей условию (2), и
х ~ (а*>, хи Х2, х3, ж4), у ~(%, у,, %, %, уА),
то з
(9) <%<%, (%-Ч))2-Е(2/у-^)2>п2.
y«i
Доказательство. Справедливость первого из неравенств (9)
непосредственно следует из транзитивности отношения <. Чтобы доказать
второе, положим
«'"(abS*,*,^) (г = 1,2,...,п).
Тогда
У-1
или, что то же8), /
4-4-1>Ji + t(*j-*r1)2-
Отсюда следует:
(уо-ъ)2=(*о-4)2=[Е(4-4-1)}2= Е (4-4-l)(*ok-*ok-l)>
S -1 J i, k = 1
> E Jfi + E^-^rTlfi + E^-^-'y
цib^l у L y«l J L y«l
По неравенству Шварца
Jfi + EW-^-Tlfi + EW-^-Tl^i + EW-^-W-*?-1)-
у L y«i J L y«i J y-i
Следовательно,
= «>+£ E(*j-*r')(^-*r') =
У * 1 L* = 1 J у -1 У«1
чем доказано второе из неравенств (9).
Из леммы 1 при п = 2 сразу следует транзитивность -«-отношения. Далее
мы получаем непосредственное
С л е д с т вие 1. Если х~< у, то любая цепь между х и у имеет не
более чем i/(% - а^)2 - £ (уу - жу)2 звеньев.
8) Здесь и далее всюду имеются в виду неотрицательные значения квадратного корня.

36 О ВЬЙОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ»
Но последнее число зависит только от точек х и у. Значит, выполняется
и аксиома конечности.
Далее, положим
(10)
*(*, У) =- \(Уо ~ Ъ>? ~ Ё(У, - Ъ?
j=i
Тогда мы можем записать следующее неравенство, равносильное следствию
из леммы 1:
(11) <т(ж, у) ^ s(x, у),
где сг(х,у) имеет указанный выше смысл.
Наконец, что касается аксиомы IV, то тут нам придется различать три
случая:
(12) (%-^)2-Е(Уу-*у)2^0, хъ^у,;
(13)
(14)
з
(%-2b)2-E(2/y-*,)2£0, x0>W,
где (а^, xu щ, а^) и (%, у,, %, %) — числовые четверки, отвечающие точкам
х и у из аксиомы IV.
В первом случае полагаем:
«0 = ^-1; uf = xf (j =1,2,3); г>0 = % + 1;
Во втором:
ц, = ц,-1; «У = У, 0 = 1,2,3); v0 = a% + l; гу=ж, 0 = 1,2,3).
В третьем:
vi = yj 0 = 1,2,3).
(15)
u _IL + v Ob-'bMfr—j) / г«+4 1
0 = 1,2,3)
«о = j [ч> + % + 70Г* + <* " ^К1"* + 4>
1Г , , («Ь- «ЪХ»,- — *у) / г2+ 4 1 /• 1 о ч\
где использовано сокращение
T = r(x,y) = Jj:(yi-xif-(y0-xQf (Е(У}-^)2-(Уо-^)2>о).
Легко усмотреть, что точки и и v, отвечающие четверкам (г^, t*,, г^, г«з)
и (v0, v,, v2, v3), всегда удовлетворяют условию (4).
Итак, в рассматриваемом случае четыре аксиомы I — IV действительно
выполнены. Поэтому выполняются все выше выведенные следствия из них:

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ» 37
существуют хроны; начатый с произвольной цепи между х и у процесс
утончения после конечного числа шагов приводит 'к хронной цепи; можно
определить функции аир. Последние две функции задают нам некоторую
целочисленную „метрику", которую мы сравним с обычной
псевдоевклидовой метрикой, определенной выражениями s(x, у) и г(х, у).
Начнем с функции а. Мы уже имеем для нее оценку (11). Дальнейшую
связь между а и s дает следующая
Лемма 2. Если х^(х0, х,, а^, ж,), у~(%, У\> %> %). ДЬ<% и s(x> У)>
^ п, где п — натуральное число, то между точками х и у существует
п-звенная цепь.
Доказательство. Положим
zi = xi + п(Уз " xi) (г =0, 1,..., гс), z{ ~ (^}, **, 4, *,')•
Тогда z°, z1, z2,..., zn есть цепь желаемого рода.
В частности, положим п = Е[з(ху у)], где E[t] означает целую часть
числа t\ тогда получаем неравенство
(17) а(х,у)2Е[з(х,у)],
которое верно т. и т. т., когда четверки (а%, ж., а^, а^) и (%, ум %, у3)
принадлежат области законности определения (10) и, кроме того, з(х, у) ^ 1.
Но в силу (F) последние два условия равносильны одному условию х -< у.
Итак, (17) выполняется всегда, когда осмысленна левая часть неравенства.
Теперь из сопоставления формул (11) и (17) следует, с учетом целочис-
ленности п, примечательное равенство
(18) а(х,у) = Е[з(х,у)],
которым а явно выражается как функция от s. Это равенство справедливо
т. и т. т., когда осмысленна его левая часть.
Из (18) следует, во-первых, что условия а(х, у) = 1 и 1 < s(x, y)<2
равносильны друг другу. Следовательно, точечная пара (ж, у) образует хрон
т. и т. т., когда соответствующая четверка удовлетворяет условиям
з
*о < !Ъ> U (М> - аъ)2 - £ (% - S,)2 < 4-
Во вторых, всегда 0 ^ s(x, у) - а(х, у) < 1.
Отсюда, в частности, следует, что числа s и а стремятся к бесконечности
одновременно и что при этом их относительная разность (s — a)Js
делается бесконечно малой как 1/s. Это не что иное, как обещанный принцип
метрического соответствия для „больших" промежутков времени:
для достаточно больших временных интервалов целочисленная
метрика, индуцированная посредством ^-отношения, отклоняется от
обычной псевдоевклидовой метрики относительно мало:
„относительная ошибка" всегда меньше, чем s~l.
Переходим теперь к пространственным интервалам.
Мы уже определили выше основанное на -<-отношении общее понятие
пространственной упорядоченности. Покажем теперь, что оно в нашем
примере совпадает не только приблизительно, но и точно с «обычным»
понятием пространственной упорядоченности, описываемым неравенством (14).
Точнее говоря, наше утверждение таково.

38 О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ*
Точечная пара (я, у) пространственно упорядочена в указанном вы-
те смысле т. и т. т., когда соответствующая четверка чисел
удовлетворяет неравенству (14).
Доказательство распадается на две части.
1. Необходимость условия (14). Пусть это условие не
выполнено, т. е. пусть
(%-аъ)2-Е(У,-*,)2>0.
Тут нам надо различать два случая: Хц ^ % и ^Ь > Уо- Пусть имеет место
первый случай и u ~ (г^, и^щ^щ) — точка, удовлетворяющая условию и •<
-<х.
Тогда .
^-^yi + ЕЦ-^)2,
откуда
(М> - ^о)2 = (8Ь - ^Ъ)2 + 2(М) - ДЬ)(ДЬ - ^о) + fo - ^о)2 >
з = 1 у j = 1 L ; = i J i-1
и по неравенству Шварца
(%-^)2^Е(^-^)2 + 2Е(уу-^)Ц-^) +
'ш| 'ш| з з
Кроме того, щ < Xq ^ %• Отсюда следует, что и -< у. Значит, не существует
никакой удовлетворяющей условию (5) точки и. Следовательно, пара (ж, у)
не является пространственно упорядоченной. Аналогично рассматривается
второй случай.
2. Достаточность условия (14). Если выполнено
неравенство (14), то полагаем
£ = JЕ(У; - Х,У + Ч> - %> Ч = JЕ(Уу - ж;)2 - *Ь + М»
^, = аь~Ц^, ^ = ay + 2e(7 + n)(gi"yi) 0 = ^2,3),
"о = ^ + Ч^ %=^ + 2^)^-^) «-1,2,3).
Тогда и,, < % < щ и, с одной стороны,
(аь-«о)2-Е(^-^)2 = 1=(«о-^)2-Е(%-^)2.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ* 39
а с другой —
(%-«о)2-Е(»>-«у)2=о=(«о-%)2-ЕК-Уу)2-
Отсюда вытекает, что точки и ~ (щ, ии щ, щ), v ~ (% vu гл^, v3)
удовлетворяют условиям (5) и (6), чем доказано наше утверждение.
Сравним теперь две функции р и г для пространственно упорядоченной
пары.
Лемма 3. Если четверка точек х, у, и, v удовлетворяет условию (4)
и пара (х, у) пространственно упорядочена, то
(19) s2(u,v)-r2(u,v)>4.
Доказательство. Имеют место тождества:
(20) з\щ v) - r2(s, у) = (v0 - гО2 - £ («j, - utf + (уо - х,)* -
-Е(у,-^)2 = К-ч,)2-Е(^-^)2 + (%-«о)2-
- Е < v, - «,)*+2(ч, - цкч, - ц,) - 2 Е («у - Уу)(*у - «,).
Но в силу ж -< v и и -< у имеем:
(21) (ч,-ч>)8-1>,-*,>,>1, (п-щГ-£(у,-»,Г>1-
у «1 i = 1
А в силу y~<v ии<х имеем:
<ч> - %)<*ъ - ч>» J[i + Е <«у - у,)2] [l + Е <*у - «у)2],
и по неравенству Шварца
(22) (v0 - jb)(ab -1%) > 1 + Е (»у - Vy)(*y - «у).
Из (20), (21) и (22) вытекает неравенство (19).
Лемма 3 дает сразу некоторое соотношение между р(х, у) и r(z, у). Ведь
неравенство (19) можно переписать в виде
s(u, v) ^ y/r2(x, у)+ 4,
откуда, с учетом (18), следует неравенство
(23) а(щ v)^E [\/г2(ж,у) + 4] .

40 О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ»
Последнее всегда выполнено, как только х, у, щ v удовлетворяют условиям
леммы 3. Но, по определению, р(х, у) есть минимум чисел <т(х, у), где х, у
фиксированы, а и, v подчинены условию (4). Следовательно, в частности,
р(х,у)>Е[у/г2(х,у) + 4\
для всякой пространственно упорядоченной пары (х, у).
Одно дальнейшее соотношение между р и г дает нам
Лемма 4. Если пара (х, у) пространственно упорядочена, то
существует удовлетворяющая условию (4) пара (и, v), для которой
выполнено равенство
(24) s2(u,v)-r2(x,y) = 4.
Доказательство. Зададим точки и~(щ, и{, щ, щ), v~(v0, vu v2, v3)
Еавенствами (15) и без труда увидим, что пара (u, v) — искомого вида,
[з (18) и (24) следует неравенство
cr(u, v) < y/r2(x,y) + 4
и, тем более,
(25) р(х,у)^у/г2(х,у) + 4.
Из сопоставления (23) и (25) с учетом целочисленности р следует, наконец,
равенство
(26) р(х1У) = е[^г*(х,у)+4\,
которое явно представляет нам р как функцию от г. Это равенство
справедливо для произвольной пространственно упорядоченной пары (х, у).
Равенство (26) есть аналог (18) и приводит к аналогичным следствиям.
Во-первых, целочисленное „расстояние" не может (как мы уже знаем)быть
менее двух, и этот минимум достигается т. и т. т., когда г (ж, у) < v5. Во-
вторых, из (26) следует, что
"^у)<г(ж,у)"р(ж,у)<1.
Но эти неравенства показывают, что р и г стремятся к +оо одновременно
и что при этом относительная разность (г — р)/г стремится к нулю как 1/г.
Таким образом, возникает принцип метрического соответствия для
«больших» расстояний:
Для достаточно больших пространственно упорядоченных
интервалов целочисленная метрика, индуцированная посредством
^-отношения, отклоняется от обычной псевдоевклидовой метрики
относительно мало: при г > 1 * относительная ошибка* меньше, чем г~1.
До сих пор мы оперировали с полностью определенным отображением
множества всех мировых точек на множество всех числовых четверок, т. е.

О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ» 41
со вполне определенной «координатной системой». Выбор этой
координатной системы был ограничен только тем, что высказывание <х <у> должно
было быть эквивалентным неравенствам (7) и (8) между «координатами»
точек х и у. Возникает естественный вопрос:
Если нам дана такая — допустимая — система координат, то что мы
можем сказать о совокупности всех допустимых координатных систем?
Сколько таких систем? Какими координатными преобразованиями можно
переходить от одной допустимой системы к другой?
Не давая здесь исчерпывающего ответа на эти вопросы, мы можем все-
таки сразу констатировать одно важное свойство группы всех допустимых
координатных преобразований. А именно, эта группа охватывает группу
лоренцевых преобразований. Это следует непосредственно из вида
неравенств (7) и (8), которые, очевидно, инвариантны относительно лоренцевых
преобразований. Это обстоятельство отражено в равенствах (18) и (26),
правые части которых суть лоренцевы инварианты.
Исчерпывается ли этим наша группа преобразований или же существуют
другие, нелоренцевы допустимые преобразования — этот вопрос мы здесь
оставляем открытым.
Своей цели мы достигли: проведенными выше рассмотрениями
доказана принципиальная возможность сведения мировой метрики к отношению
«раньше чем». И мне кажется, что вне всякого сомнения общую
индефинитную риманову метрику тоже можно вывести таким же образом из
подходящего -«-отношения и что в этой проблеме не возникнет никакой
принципиальной трудности.
В заключение я хотел бы указать на тесную связь основного замысла этой
работы с идеей, возникающей из круга проблем новой квантовой теории.
Собственно, наше построение метрики зиждется на аксиоме конечности III.
Она непосредственно дает нам хроны, которые отвечают наименьшим
возможным временным длительностям. Но идея «самых маленьких временных
промежутков» отнюдь не нова. Например, В. Амбарцумян и Д. Иваненко
предполагали существование таковых в совсем иной связи9). Эти авторы
хотели именно таким образом обойти трудности бесконечной собственной
энергии электрона в квантовой теории, представив мир чем-то вроде
кристаллической решетки. В такой «кристаллической решетке» действительно
существует наименьший положительный временной промежуток. Но эта
гипотеза наталкивалась на почти непреодолимые трудности: решетка
была анизотропной и не подчинялась никакому «лоренцеву преобразованию».
Развитая здесь теория очень сильно отличается в этом отношении от
гипотезы решетчатого мира. Главное же различие в том, что мы «квантуем» не
поле отношения «раньше чем» — т. е. мир, а посредством нашей аксиомы
конечности — само это отношение.
Тем не менее нельзя оставить без внимания, что обе, преследующие столь
разные цели, теории имеют важный общий пункт: существование самых
маленьких расстояний и временных длительностей.
Похоже, что и другие проблемы новой квантовой теории —
релятивистский принцип неопределенности [6], проблема отрицательной кинетической
9) См. [5]. Возможно, В. Амбарцумян был первым, кто признал глубинное значение
отношения «раньше чем» для всего круга проблем.

42 О ВЫВОДИМОСТИ МИРОВОЙ МЕТРИКИ ИЗ ОТНОШЕНИЯ «РАНЬШЕ ЧЕМ*
энергии10* — приводят к тем же представлениям. В предлагаемой работе эти
представления находят некоторое теоретическое оправдание. Показано, что
на этом пути достигается определенное логическое упрощение системы
теоретической физики.
Эта работа возникла как результат беседы, которую я имел с моим
другом профессором Д. Д. Иваненко 5.1.1932. Хотел бы выразить ему свою
сердечнейшую признательность.
Литература
[1] Minkowski H. Gesammelte Ab hand lunge n. Bd. 2. — Leipzig — Berlin: Teubner, 1911.
[2] Klein F. Uber die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe // Phys. Z. —1911. —
Bd. 12. —S. 17-27.
[3] Laue M. Die Relativitatstheorie. Bd. 2. — Braunschweig: Vieweg, 1921.
[4] В e h m a n n H. Mathematik und Logik. — Leipzig—Berlin, 1927.
[5] Ambarzumian V., Iwanenko D. Zur Frage nach Vermeidungder unendlichen
Selbstruckwirkung des Elektrons // Z. Phys. —1930. —Bd. 64. — S. 563-567.
[6] Schrddinger E. Spezielle Relativitatstheorie und Quantenmechanik // Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss. —1931. — Bd. 12. — S. 238-247.
[7] Iwanenko D. Die Beobachtbarkeit in der Diracschen Theorie // Z. Phys. — 1931. —
Bd. 72. —S. 621-624.
Сектор прикладной математики
Государственного оптического института,
Ленинград
Поступило в редакцию 7 февраля 1932 г.
10) См. [7]. Здесь наименьшие временные промежутки и наименьшие расстояния имеют,
соответственно, следующий порядок величины: —^у ~8.2-10~"21 сек; ^ ^2.4-10~"10 см. Если мы
тс
первое число примем за порядок величины хрона и рассмотрим расстояние порядка 1 см, то в
качестве верхней границы «относительной метрической ошибки» получим величину порядка
10~10. На таких и даже на много меньших расстояниях обычная метрика доставляет вполне
надежное приближение к целочисленной метрике «раньше чем».

К ВОПРОСУ ОБ «ОПРОВЕРЖЕНИИ»
КВАЗИЭРГОДИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ
ПРОФ. Я. ФРЕНКЕЛЕМ*)
В 4-м выпуске 1-го тома этого журнала напечатана статья проф. Я.
Френкеля, посвященная основаниям статистической механики [lj. В § 1 этой
статьи автор рассматривает квазиэргодическую гипотезу и говорит, в
частности, следующее:
«Представляется общепризнанным, что эта гипотеза полностью доказана
работами Пуанкаре и Цермело. Я считаю такое мнение необоснованным
уже просто потому, что доказательство Пуанкаре — Цермело основано на
теории множеств. Теория множеств очень часто приводит к антиномиям, и
использовать ее в качестве метода доказательства можно лишь с большой
осторожностью».
Подорвав таким способом репутацию квазиэргодической гипотезы, автор
переходит к ее прямому опровержению. Это достигается чрезвычайно
просто. А именно, автор утверждает, что «изолированная система, частицы
которой заключены в некотором конечном объеме, должна в общем
случае совершать условно периодическое движение». А затем показывает, что
«условно периодическое» движение не может быть квазиэргодическим.
Все это дает повод к нижеследующим замечаниям:
1. В природе не существует вообще никакого «доказательства
Пуанкаре — Цермело» квазиэргодической гипотезы. Поэтому весьма опрометчиво
утверждать, будто такое доказательство «общепризнанно» и «основано на
теории множеств».
2. Нигде не доказано, что движение заключенной в конечном объеме
изолированной системы имеет в общем случае «условно периодический»
характер, и ныне это утверждение представляется весьма сомнительным.
Достаточно вспомнить, что уже динамическая система с двумя степенями
свободы может совершать устойчивые периодические движения, в
окрестности которых система не интегрируема!) [2, с. 255-259] и что могут
происходить предельно периодические движения [2, с. 218-220]. Представляется,
таким образом, что поведение динамической системы в общем случае
является значительно более сложным, чем в случае условной периодичности, и
у нас нет совершенно никаких оснований приписывать этому последнему
случаю общее значение, как это делает проф. Френкель.
3. То, что «условно периодическое» движение не может быть
квазиэргодическим, ясно каждому. Но из того, что сказано выше, следует, что этот
' Zur „Widerlegung" der quasi-ergodischen Hypothese durch Prof. J. Frenkel // Phys. Z.
Sow. —1932. — Bd. 2, № 3. — S. 282-285. Перевод с немецкого Э. С. Орловского.
*) Неинтегрируемость никоим образом не должна пониматься здесь так, что мы, скажем,
не в состоянии каким-либо образом сконструировать имеющиеся интегралы движения; она
должна пониматься в гораздо более сильном смысле: не существует вообще никаких других
интегралов, кроме интеграла энергии, поскольку геометрия траекторий в фазовом
пространстве несовместима с существованием подобных интегралов. Во избежание недоразумений
следует еще раз подчеркнуть, что речь идет о неинтегрируемости в целом в окрестности
периодического движения.

44 К ВОПРОСУ ОБ «ОПРОВЕРЖЕНИИ* КВАЗИЭРГОДИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ
факт никоим образом не может служить опровержением справедливости
квазиэргодической гипотезы в общем случае.
4. «Антиномии теории множеств» действительно существуют; однако их
природа и их происхождение ныне полностью выяснены: антиномии
обусловлены использованием слишком широкого понятия множества,
которое не исключает нечеткой, содержащей в себе порочный круг постановки
вопросов. Благодаря основополагающим работам Э. Цермело, Б. Рассела,
Д. Гильберта, А. Френкеля, Дж. фон Неймана и др. ^антиномии устранены.
В современной аксиоматической теории множеств антиномий нет2).
Поэтому весьма опрометчиво утверждать, будто теория множеств «очень часто»(!)
приводит к антиномиям.
5. Теория множеств — это основа современной математики, мощный
инструмент в исследовательской работе. Без теории множеств мы во многих
случаях оказались бы беспомощными. Применение теории множеств в
теоретической механике необходимо, поскольку архаичные формальные
методы интегрирования ведут к цели лишь в самых простых частных случаях.
6. На каком недоразумении покоится сочиненная проф. Я.
Френкелем удивительная история про доказательство Пуанкаре — Цермело для
квазиэргодической гипотезы — этого я точно не знаю и могу лишь строить
„гипотезы" на сей счёт. Можно предположить, что проф. Френкель спутал
квазиэргодическую гипотезу с теоремой Пуанкаре о возвращении3*.
Именно эту теорему комментирует Э. Цермело в связи с кинетической теорией
газов [9]. Конечно, такое смешение весьма странно, но тем не менее в
рассматриваемом случае оно весьма вероятно.
Литература
[1] F г е n k е 1 J. Uber die Grundlagen der Theorie des statistischen Gleichgewichtes und
der irreversiblen Vorgange // Phys. Z. Sow. — 1932. —Bd. 1, № 4. — S. 485-497.
[2] Birkhoff G. D. Dynamical Systems. New York, 1927. Имеется перевод: Б и р к г о ф
Дж. Д. Динамические системы.— М.— Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1941; М.: РХД, 2000.
[3] Z е г m е 1 о Е. Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I // Math. Ann. —
1908. —Bd. 65. —S. 261-281.
[41 F г a e n k e 1 A. Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I, II, III // Math.
Z. —1925. — Bd. 22. — S. 250-273; J. Reine Angew. Math. —1926. — Bd. 155. — S. 129-158;
1932.—Bd. 167. — S. 1-11.
2> См., в частности, [3j 4; 5, § 16\ 17J.
3) Cm. [6], в частности с. 67^-72; ср. также [7, с. 140-174]).
Возвратность («устойчивость до Пуассону») состоит в том, что при сколь угодно большом t
система возвращается сколь угодно близко к исходному состоянию; тогда как
квазиэргодичность состоит в том, что "система при своем движении подходит сколь угодно близко
к каждому состоянию, совместимому с законом сохранения энергии
(ср. [8, с. 31-33]). То, что два эти понятия совершенно различны, видно уже из того, что
периодическое движение очевидным образом обладает свойством возвратности и тем не менее
не является квазиэргодическим, кроме случая системы с одной степенью свободы.
Пуанкаре доказал, что в общем случае движение консервативной динамической системы обладает
свойством возвратности, если соответствующая энергетическая гиперповерхность замкнута [в
оригинале «geschlossen»; имеется в виду, что эти поверхности являются ограниченными, т. е.
имеют конечную меру по Лебегу. — Прим. перев.]. Могут, впрочем, существовать отдельные
исключительные движения, не обладающие свойством возвратности, но им на энергетической
гиперповерхности соответствует множество, являющееся, как мы теперь говорим, множеством
лебеговой меры нуль.

К ВОПРОСУ ОБ «ОПРОВЕРЖЕНИИ* КВАЗИЭРГОДИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ 45
[5] F r a e n k е 1 A. Einleitung in die Mengeniehre. 3: Aufl. — Berlin, 1928.
[6] P о i n с a re H. Sur les equations de la dynamique et le probleme des trois corps // Acta
Math.-1890.-V. 13.-P. 1-270.
[7] P о i n с a re H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. T. 3. — Paris: Gauthier —
Villars, 1899.
[8] Ehrenfest P., Ehrenfest T. Begriffliche Grundlagen der statistischen Auf-
fassung in der Mechanik // In: Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss
ihrer Anwendungen. Bd. ГУ, 32. —Leipzig: Teubner, 1909.
[9] Z e r m e 1 о Е. Uber einen Satz der Dynamik und die mechanische Warmetheorie // Ann.
Phys. Chem. (Wiedemann). —1896. — Bd. 57. — S. 485-497.
Астрономический институт
Ленинград
Поступило в редакцию 26 сентября 1932 г.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ*)
Содержание
Введение 46
§ 1. Фундаментальные свойства движений 48
§ 2. Вспомогательное утверждение 52
§ 3. Почти периодические движения 53
§ 4. Устойчивость по Ляпунову 57
§ 5. Стационарные множества 61
§ 6. Основная теорема 64
§ 7. Предположение Андронова — Витта 67
Введение
1. А. А. Андронов и А. А. Витт поставили передо мной следующую
проблему: доказать, что каждое устойчивое по Ляпунову1* (при t —> +оо)
рекуррентное2* движение динамической системы® является почти пе-
риодическим4).
Вскоре оказалось, что эта проблема тесно связана с другими
вопросами о почти периодических движениях. Всем этим задачам присуща одна
особенность: всякий раз требуется из некоторых «односторонних» свойств
устойчивости движений логически вывести «двустороннее» свойство —
почти периодичность. В настоящей работе ставятся и решаются три подобные
проблемы в их взаимосвязи (см. ниже теоремы I, III, IV).
2. В § 1 напоминаются некоторые известные факты. Здесь
сопоставляются три образующих основу нашего исследования фундаментальных
свойства движений, а также приводятся некоторые необходимые для дальнейшего
леммы5).
) Stabilitat im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizitat // Math. Z. — 1933. —Bd. 36.—
S. 708-738. Перевод с немецкого Н. Н. Васильева.
') См. [1]. Ляпунов вводит здесь общее понятие устойчивости относительно некоторой
системы параметров. В задаче Андронова — Витта и в настоящей работе речь идет только о таком
частном случае, когда эта система параметров полностью определяет состояние движения.
2) Важное понятие рекуррентного движения было введено Дж. Д. Биркгофом (см. [2]).
3) Под «динамической системой» здесь понимается физическая система, состояния которой
могут быть описаны конечным числом непрерывно во времени изменяющихся вещественных
величин «j, а^,..., хп (см. [3]). При этом еще предполагается, что эти величины удовлетворяют
системе дифференциальных уравнений вида (1) (см. ниже).
4) Определение понятия почти периодического движения отчетливо сформулировано
Ф. Франклином [4]. Окончательная формулировка принадлежит Г. Бору [5].
5) Эти леммы, несмотря на их известность, приведены с подробными доказательствами, в
основном для того, чтобы показать возможность вывода всех этих фактов только из свойств
<Б I, <Б II, <8 III (§ 1) (без прямого использования уравнений (1)).

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 47
Следующий параграф играет вспомогательную роль. Здесь определяются
некоторые свойства числовых множеств и доказывается одна лемма об этих
«Дт-свойствах»6*.
Содержание § 3 связано с уже цитированной работой Франклина [4] и
моей заметкой [6]. Основные результаты обеих этих работ значительно
усилены с использованием леммы, доказанной в § 2.
В § 4 определяется понятие условной устойчивости по Ляпунову, но не
для движений (как у самого Ляпунова), а для отдельных состояний
движений, что, вообще говоря, имеет определенное преимущество (правда, в
важнейших частных случаях эти понятия равносильны*). Далее вводится
понятие равномерной (условной) устойчивости по Ляпунову и доказывается
вспомогательное утверждение, относящееся к этому понятию.
В § 5 доказываются некоторые леммы о «стационарных»8* множествах,
целиком состоящих из траекторий.
В § б формулируется основной результат нашего исследования —
теорема III, которая в определенных случаях позволяет установить почти
периодичность при односторонней устойчивости по Ляпунову.
Наконец, в § 7 решается положительно сформулированная ранее
проблема Андронова — Витта9) и предлагается другая, примыкающая к ней
проблема, пока еще не решенная.
Я выражаю свою сердечную признательность профессору Н. М. Гюнтеру
за его весьма ценные советы.
3. Мы будем пользоваться следующими теоретико-множественными
обозначениями:
хеА означает, что х принадлежит множеству А; А С В означает, что А
есть подмножество В. Пересечения и объединения множеств обозначаются
посредством символов х и + или П и J2- В частности, П Ах и Л Ах —
хеВ хев
пересечение и объединение всех множеств Ах таких, что хеВ. Пустое
множество будет обозначаться через О; n-мерное числовое пространство —
через Еп\ Ех —числовая прямая. Если х и у— точки пространства Еп, то
Р(з» У) — евклидово расстояние между ними.
Если А и В —подмножества ЕпГ то через р(А, у) и р(А, В)
обозначаются нижние грани расстояний р(х, у), где х е А или, соответственно, х е А,
уеВ. Эти нижние грани мы называем расстоянием между А и у и между
А и В соответственно. Сферические 6 -окрестности точки х и множества
А мы обозначаем, соответственно, 5(ж, 6) й S(A, 6); это суть
множества таких точек у, что р(х, у)< 8 и р(А, у) < 6 соответственно; D(A) —
диамет£_множества А, т. е. верхняя грань расстояний р(х, у), где хеА,
уеВ; А обозначает замыкание А, т. е. множество всех точек у таких, что
р(А,у) = 0.
Под числами мы всегда будем понимать вещественные числа. Если а и
Ь — числа, то (а, Ь) и [а, Ь] суть множества всех чисел t таких, что a<t <Ь
и а^ t ^ Ь соответственно; (а, Ь) будет называться «числовым интервалом»,
6) Подробное рассмотрение Am-свойств было бы, пожалуй, интересно, однако это выходит
за рамки настоящей работы.
7' См. лемму XI и определение XII (§ 5).
8) Хотя термин «стационарный» в нашем смысле никогда не использовался, само это понятие
хорошо известно (см. [2, с. 308 и далее]).
У См. теорему IV.

48 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
[а, Ь] •— «числовым отрезком». В частности, [а, а] — числовой отрезок,
состоящий из одной точки а.
§ 1. Фундаментальные свойства движений
1. Мы будем рассматривать решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
(1) ^ = *,(*„...,х„) (* = 1,...,п).
При этом Xi должны быть вещественными однозначными функциями от
п «координат» хи ..., хп в области G пространства Еп. Для каждой точки
из G должна существовать окрестность, в которой все Х{ удовлетворяют
условию Липшица.
Определение I. Если
(2) х, =Л(*) (a<t<b; i = l,2, ...n; -оо^ а< Ь ^ +оо),
(3) av=0.(t) (c< t <d\ i = 1,2,.. .n; -oo^c<d <+oo)
суть решения системы (1), то мы скажем, что (3) есть продолжение (2),
если (а, Ъ) есть собственное подмножество (с, d) и при этом выполнено
/,(*) = 9i(t) (a<t<b; г = 1,2,...,п).
Непродолжаемые в этом смысле решения системы (1) называются
движениями.
Если (2) есть движение, то систему функций {£} мы рассматриваем как
явную однозначную на (а, Ъ) функцию, значения которой суть точки из Еп,
и обозначаем ее одной буквой /. Мы говорим тогда о «движении /» и
пишем вместо (2)
x-f(t) (a<t<b),
где х — точка пространства Еп.
2. Из хорошо известных теорем о существовании, единственности и
непрерывности решений вытекают следующие основные свойства
движений:
£ I. Если у е G и v e Elf то имеется одно и только одно движение /,
удовлетворяющее условию
(4) V */(«).
<Е II. Если обозначить единственное удовлетворяющее условию (4)
движение как /^ (в дальнейшем мы придерживаемся этого обозначения), то
имеет место тождество
(5) f^v + t^f^w + t),
коль скоро левая часть этого тождества имеет смысл (тогда и правая часть
имеет смысл).
Это свойство является следствием независимости Xi от t.
В силу (5) выражение fuy(u + t) зависит только от t и у, поэтому его
можно обозначить через <pty:
(6) V.ys/Ju + t).

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 49
Выражение ipty определено для ay<t <byi где ау и Ьу суть определенные
зависящие от у (возможно, бесконечные) числа. При этом ау < О < Ьу и
имеет место
(7) <Р0У = У-
Если воспользоваться хорошо известной гидромеханической
интерпретацией системы уравнений (1), то ipty обозначает положение, которое в
момент времени t занимает частица жидкости, находившаяся в начальный
момент в точке у. Третьим фундаментальным свойством движений
является непрерывность стационарного потока жидкости, отвечающего
функциям <pty.
<£ III. Если для v = t и у = х определено ipvy, то для каждого rj > 0 можно
выбрать число 8 > 0 так, что из условий
\v-t\<6, р(у,х)<8
будет следовать существование ^„уи выполнение неравенства
p(<Pvy,<Ptx)<V-
Другими словами: <pvy, рассматриваемая как функция пары (v, у),
определена в открытом множестве (п-И)-мерного пространства пар (v, у) и является
там непрерывной.
Три эти свойства <£ I, <Е II и <£ III лежат в основе настоящей работы.
Приведем здесь также следующие весьма полезные формулы,
непосредственно вытекающие из <Е I и <Е II:
(8) ¥>./(«) г/(* + !>),
(9) V.ft,Vsft,+.ft
где / — произвольное движение.
Тождества (8) и (9) справедливы, если
1) существуют f(u), f(u + v) и, соответственно, <риу, <pu+vy;
2) существует <pvf(u) и, соответственно, <pvipuy.
3. Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение:
Лемма I. Пусть F — ограниченное и замкнутое подмножество
области G, г\ > 0 и I ^ 0. Тогда если <ptx определено для
(10) 0<t'<(/ xeF,
то существует такое число 6 >0, что ipty также определено, причем
выполняется неравенство
(И) р{Ч>%ЪЧ>гУ)<Ч>
коль скоро х и t удовлетворяют условию (10) и
(12) р(х,у)<&
Доказательство. Пусть Ф — множество пар (£, ж),
удовлетворяющих условиям (10); Г — множество пар (£, х), для которых <ptx определено.
Множество Ф, рассматриваемое как подмножество Еп + Х, является
ограниченным, замкнутым и, согласно <£ III, содержится в открытом множестве Г.

50 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Пусть в есть расстояние, с необходимостью положительное, от
множества Ф до дополнения множества Г в Еп + 1. Положим
ф, = 5(Ф, 0/2).
Тогда Ф, — также ограниченное, замкнутое и содержащееся в Г множество.
Выражение <ptx, рассматриваемое как функция пары (t,x), определено и
непрерывно в Ф,. Поэтому ipt x равномерно непрерывно в Ф, и существует,
следовательно, такое число а > О, что выполняется неравенство
p(<PuX,<Pvy)<V,
коль скоро u, v, ж, у удовлетворяют условиям
(и, ж)бФ„ (v, у) е Фи (и- v)2 + р2(х, у) < а2.
Если мы положим
5 = min
I'*]»
то легко убедимся, что 8 обладает нужным нам свойством.
4. Определение П. Пусть число w принадлежит интервалу, на
котором определено движение /. Множество всех точек f(t), где t^ w
{соответственно, t ^ w), будет в дальнейшем называться положительной
(соответственно, отрицательной) w-полутраекторией /; множество всех
точек вида f(t)— траекторией /.
Траектория / в дальнейшем будет обозначаться через Orb /;
положительная (соответственно, отрицательная) го-полутраектория / — через Orb* /
(соответственно, Orb" /).
Определение III. Мы будем говорить, что движение f (в
элементарном смысле) положительно (соответственно, отрицательно)
устойчиво, если замыкание одной, а следовательно, и каждой1* его
положительной (соответственно, отрицательной) полутраектории является
ограниченным множеством, содержащимся в G. Мы скажем, что / (в элементарном
смысле) двусторонне устойчиво, если Orb / ограничено и содержится
Легко видеть^ что движение двусторонне устойчиво тогда и только тогда,
когда оно одновременно положительно и отрицательно устойчиво.
5. Лемма П. Если верхняя (соответственно, нижняя) граница
интервала определения движения f конечна, то для каждого
ограниченного замкнутого подмножества множества G существует fie
пересекающаяся с ним положительная (соответственно, отрицательная)
полутраектория /12).
Доказательство. Допустим, что наше утверждение ложно. Тогда
имеются движение с интервалом определения (а,Ь) и ограниченное замк-
10) Две положительные полутраектории Orb* / и Orb* f (u<v) одного и того же движения
/ могут различаться не более чем на множество точек /(t), для которых и < t ^ v. Очевидно,
однако, что это множество ограничено, замкнуто и содержится в G.
"> Ср. [2, с. 308].
12> Ср. [2, с. 307J.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 51
нутое подмножество F области G такие, что Ь < +оо и каждое из множеств
Orb^/(m = l,2,...), где
(13) и,ш = тах[ъ-±,Ц*],
содержит точки F. Выберем для каждого натурального га общую точку жто,
принадлежащую множеству F и Orb* /. Пусть
(14) *.=/<«„,,
Последовательность ж1, ж2,... содержит, в силу ограниченности
множества F, сходящуюся подпоследовательность ж"*1, ж"1*,... (га, < щ < ...),
предел которой обозначим через ж:
(15) Нтжт«=ж.
*-юо
В силу замкнутости множества F точка ж принадлежит ему и,
следовательно, — поскольку F С G, — множеству G.
Согласно <ЕI, тогда существует движение /te, определяемое «начальными
данными» & и ж. Пусть оно определено на интервале (с, d).
Очевидно, что с < Ь и интервалы (а, Ь) и (с, d) имеют общие точки. Пусть
t — такая точка. Мы хотим показать, что
(16) /..(*)=/(*)■
С этой целью заметим, что последовательность t,, Jg,... в силу (13) и
(14) сходится к Ь. Следовательно, и
(17) Шп^ = Ь.
Формула (8) дает далее
(18) /(*) = Л-ч/(*ц) = Л.ч^,
(19) Л.(0 = Л-»Л.(Ь) = *>•-»*■
Теперь (16) непосредственно следует из (15), (17), (18), (19) и <Е III.
Используя С I, из (16) можно вывести, что движения / и /ta идентичны. Это,
однако, невозможно, так как Ь не принадлежит интервалу определения
движения /. Таким образом, мы пришли к противоречию и тем самым доказали
лемму II.
Из леммы II вытекает известное
Следствие. Каждое положительно {соответственно,
отрицательно) устойчивое движение имеет бесконечный в положительную
(соответственно, отрицательную) сторону интервал определения.
Каждое двусторонне устойчивое движение имеет в качестве интервала
определения всю числовую ось1г).
13> Ср. [2, с. 307].

52 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
6. Лемма III. Пусть f — двусторонне устойчивое движение. Для
каждого rj > 0 и каждого I ^ 0 существует такое число 6>0, что
неравенство (11) выполняется, коль скоро t, x и у удовлетворяют условиям
(20) 0 ^ t ^ I, х е Orb /
и условию (12).
Доказательство. Пусть х есть произвольная точка множества
Orb /; ж1, ж2,... — последовательность, сходящаяся к ж, каждый элемент
которой есть точка из Orb /:
*'=/(*<) (г'= 1,2,..).
Если <pt х для некоторого значения t определено, то в силу (8) и <£ III
lim f(L + t) = lim iptxi = iptx.
* -+00 * -+00
Отсюда следует, что если f0x(t) существует, то
/о*(*) = ¥><*€ Orb /.
Имеем также Orb f0x с Orb / и поэтому Orb /0x С Orb /» По
предположению, Orb / — замкнутое и ограниченное подмножество G. Следовательно,
таково же и множество Orb /0x, и движение /0х является двусторонне
устойчивым. Отсюда следует, согласна следствию из леммы II, что /Пд;(*)*> т- е.
(ptx определено для каждого значения t и произвольной точки х е Orb /.
Таким образом, применима лемма I при F = Orb / и произвольных числах
77 > 0 и / ^ 0. Ее применение и дает нам утверждение леммы III.
Лемму III можно найти также в цитированной выше работе
Франклина (см. [4, с. 326-327]). Однако, приведенное здесь доказательство
существенно отличается от доказательства Франклина. А именно, мы опирались
только на три фундаментальных свойства движений <£ I, <£ II и <Е 1П, в то
время как Франклин непосредственно использовал условие Липшица для
Хи л2,..., Хп.
§ 2. Вспомогательное утверждение
1. Определение IV. Пусть m — натуральное число. Мы будем
говорить, что числовое множество А обладает свойством Д^, если для
каждой (т + 1)-членной последовательности
(21) *1,Ъ, •••,*.+!
можно найти два индекса г, j, удовлетворяющие условиям
(22) l<t <j <m + l,
(23) t, - t. e A.
Определение V. Мы будем говорить* что числовое множество А
достаточно распределено, если имеется неотрицательное число I такое,
что каждый числовой отрезок длины I содержит по крайней мере одну точку
множества А.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 53
2. Лемма IV. Для произвольного натурального т каждое числовое
множество, обладающее свойством Дт, достаточно распределено.
Доказательство. Обозначим зависящее от га утверждение «каждое
числовое множество, обладающее свойством Дт, достаточно распределено»
посредством 2lm.
Тогда 2Ц справедливо, так как вся числовая ось, очевидно, является
единственным числовым множеством со свойством А1( Чтобы доказать
полностью лемму IV, достаточно показать, что 2tm есть следствие 21т-!
(т = 2,3,...).
Допустим, что 2lm_! справедливо, и рассмотрим обладающее свойством
Дт числовое множество А. Нам нужно показать, что А достаточно
распределено. Здесь могут представиться два случая. А именно, множество А
может также обладать свойством Am_!. Тогда оно, согласно нашему
предположению, достаточно распределено.
Если же свойство Am_i не выполняется для А, то имеется т-членная
числовая последовательность v{1..., ущ, для которой всегда
(24) Vt-v^A (l<t<j<m).
Положим
(25) I = maxK,..., vm] - min^,..., vj
и покажем, что каждый числовой отрезок длины I содержит точку из А.
В самом деле, пусть [а, а+1] — такой числовой отрезок. Положим
(26) t, = a+v,-min[t;1,...,t;m] (s = l,...,m),
(27) *от+1=0.
Так как А по предположению обладает свойством Д , то существуют два
индекса г, У, удовлетворяющие условиям (22) и (23). Здесь не может быть
j < т + 1, так как тогда г < т + 1 д мы имели бы, согласно (26) и (24),
t{ - Lг = vt - vj.£ А, что противоречит (23). Итак, j = га +1, что в силу (23)
и (27) влечет tt e A.
С другой стороны, из (22) следует, что 1 ^ г ^ га, что в силу (25) и (26)
дает неравенство a^t^a+l.
Таким образом, действительно, отрезок [а, а+1] действительна имеет
общую точку (а именно, t{) с множеством X, что и требовалось доказать.
§ 3. Почти периодические движения
1, Теперь мы вернемся к рассмотрению движений, определенных
посредством (1), и сформулируем следующее определение:
Определение VI. Пусть движение / имеет в качестве интервала
определения всю числовую ось; пусть 77 — положительное число. Мы
скажем тогда, что число v является •q -сдвигом движения /, если для каждого
t выполнено неравенство
p{f(t),f(t+v)}<ri.

54 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Определение VII. Мы говорим, что движение / почти
периодично, если:
1) / двусторонне устойчиво;
2) множество ^-сдвигов / при каждом выборе г\ > 0 достаточно
распределено.
Последнее определение, как можно заметить, воспроизводит хорошо
известное определение Бора непрерывных почти периодических функций (см.
[5, с. 30]). Существенное различие состоит в том, что значения
рассматриваемых здесь функций суть не числа, а точки Еп, и что эти функции
подчиняются условиям (1). Кроме того, добавляется также условие
устойчивости 1). Вряд ли можно сомневаться, что без этого последнего ограничения
понятие почти периодического движения было бы слишком широким и с
механической точки зрения не интересным14*.
Легко видеть, что определенное посредством уравнений (2) двусторонне
устойчивое движение тогда и только тогда почти периодично, когда каждая
из функций f{ почти периодична в смысле Бора. Чтобы в этом убедиться,
нужно только применить лемму Бора об общих сдвигах нескольких почти
периодических функций (см. [5, с. 37-39]).
Это свойство почти периодических движений может служить также их
определением. Однако определение VII для наших целей удобнее.
2. Теперь нужно дать некоторые новые характеристические свойства
почти периодических движений, и для этого мы введем следующее понятие:
Определение VIII. Пусть движение / определено на всей числовой
оси. Будем говорить, что / обладает свойством S+ (соответственно, S~;
S), если:
1) / отрицательно (соответственно, положительно; двусторонне)
устойчиво.
2) Каждому числу г/ > 0 можно так сопоставить число 8 > 0, что для
каждого неотрицательного (соответственно, положительного; вещественного)
значения w будет выполнено неравенство
(28) p{f(wx + щ), f(w2 + w)} < 77,
коль скоро w{ и щ удовлетворяют условию
(29) p{f(wl)J(w2)}<&
3. Из трех определенных только что свойств 5,+, 5"и5 последнее было
[>анее уже введено (правда, без условия устойчивости) Франклином (см.
4, с. 328]). Это свойство, очевидно, эквивалентно одновременному
выполнению свойств S+ и 5~. Однако следующая задача показывает, что такое
логическое расщепление свойства S является только кажущимся.
Теорема I. Каждое из трех свойств S+, 5~, S является
характеристическим свойством почти периодических движений.
Доказательство. Мы докажем эту теорему, если покажем, что:
1) каждое почти периодическое движение обладает свойством 5;
2) каждое движение, обладающее свойством S+ или 5~, — почти
периодично.
14) См. также доказательство нашей теоремы I, где это ограничение играло важную роль.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 55
1. Пусть / — почти периодическое движение. Требуется показать, что /
обладает свойством 5.
Двусторонняя устойчивость движения / непосредственно следует из его
почти периодичности!5), и остается только убедиться в справедливости
пункта 2) в определении VIII, что, согласно Франклину (см. [4, с. 328]),
достигается следующим образом.
Определим прежде всего число I ^ 0 так, чтобы каждый числовой отрезок
длины I содержал по крайней мере один ^-сдвиг (77 > 0 задано произвольно).
Это возможно, так как ^-сдвиги / образуют достаточно распределенное
множество.
Выберем тогда, согласно лемме III, 6 > О так, чтобы неравенство
Р(<^я, <Р*2/)<§
было следствием (12) и (20).
Пусть wlt щ, w суть произвольные числа, удовлетворяющие
условию (29). Возьмем |-сдвиг v движения /, принадлежащий числовому
отрезку [—го, —ш + I], тогда, принимая во внимание (8), получим:
0 ^ v + w ^ J,
p{f(w{ + w), f(w{ + w + v)} < §,
p{f(w2 + w), f(w2 + w + v)} < |,
p{f(w{ + w + v), f(w2 + w + v)} = pWv+J(wx)> <PV + Wf(u>2)} < 5,
что тотчас дает нам неравенство (28).
2. Пусть теперь /—движение, обладающее свойством 5+. Нужно
доказать, что / почти периодично, т. е. что выполнены условия 1) и 2)
определения VII.
Докажем это сначала для условия 2) определения VII.
Пусть задано число г\ > 0. Мы должны показать, что множество 77-сдви-
гов / достаточно распределено.
Для этого определим число 8 > 0 согласно пункту 2) в определении VIII
так, чтобы для каждого неотрицательного значения w было выполнено (28),
коль скоро гу! и щ удовлетворяют (29).
Рассмотрим теперь множество Orbo /. Это множество, в силу
выполнения условия 1) определения VIII, ограничено и может быть представлено
поэтому суммой конечного числа множеств А|,...,Ато, диаметр каждого
из которых меньше 6:
т
(30) ОгЬ0-/=£^
1 = 1
(31) £>(А<)<$ г = (1,2,...,ш),
где m — некоторое натуральное число. Мы хотим доказать, что
множество всех 77-сдвигов / обладает свойством Дт. Действительно, пусть задана
произвольная (т + 1)-членная последовательность (21). Положим
(32) T = max[t1,...,tm+1]
15* См. определение VII.

56 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
и образуем последовательность точек
/(ti_r^fc),...,/(tro+1-T-fc),
где к — некоторое натуральное число. В силу (30) и (32) каждый элемент
этой (ш+1)-членной последовательности принадлежит множеству Ort>o / и,
таким образом, одному из множеств А{. Но так как имеется только т таких
множеств, то существуют два индекса рк и qk (>рк), для которых точки
f(tp — Г — fc) и f(tq^ — Т — fc) принадлежат одному и тому же множеству А{.
Мы имеем тогда, согласно (31),
(33) p{f(tPh - Г - fc), f(tqh - Г - к)} <«
(34) Uft<ft^ + b
Такие пары (рк, qh) мы определим теперь для каждого натурального числа к.
Таким образом, мы получим бесконечную последовательность пар
(35) (At9i)t(Atft)
все члены которой удовлетворяют условиям (33) и (34).
Имеется, однако, только конечное число пар целых чисел (р} д),
удовлетворяющих условию: l^p<g^m+l. Следовательно, одна из пар,
скажем (г, j)9 должна встретиться в последовательности (35) бесконечное
число раз. Тогда, однако, легко видеть, что tt - ts является ^-сдвигом движения
/. Действительно, если задано произвольное число £, то выберем
натуральное число fc, удовлетворяющее условиям
(36) fc ^ tj - Г - *,
(37) р* = г, qk=j,
что всегда возможно, так как пара (г, j) встречается в
последовательности (35) бесконечное число раз. Тогда, в силу (33) и (37),
p{/(t<-r-fc)f/(ti-r-fc)}<4
что вследствие (36) и наложенного на 6 условия дает неравенство
р{/(*+ **-*i),/(*)}< Ч-
Это неравенство, таким образом, удовлетворяется для каждого значения t.
Итак, t{ — tj действительно является ^-сдвигом /.
Заметим далее, что г и j, в силу (34), удовлетворяют условию (22) и
что последовательность (21) была произвольной; это позволяет заключить
отсюда, что множество ^-сдвигов движения / обладает свойством Дт.
Согласно лемме IV, это множество является достаточно распределенным, что
мы и хотели показать.
Итак, пункт 2) определения VII выполняется, и нам остается доказать
только двустороннюю устойчивость движения /. Это доказательство может
быть проведено следующим образом.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 57
Пусть x^zf(t) — произвольная точка, принадлежащая Orb /, rj —
произвольное положительное число. Возьмем удовлетворяющий неравенству
v ^ t 77-сдвиг движения /, что, согласно только что доказанному, всегда
возможно, так как множество 77-сдвигов / достаточно распределено. Тогда
имеет место
p{x,f(t-v)}<4 /(t-v)EOrbo/.
В силу произвольности числа г\ отсюда следует, что х е Orb^ /. Но
поскольку х есть любая точка из Orb /, то Orb / С Orb^ / и также Orb / С Orb^ /.
Так как Orbjj" /, в силу пункта 1) определения VII, является ограниченным
подмножеством G, то Orb / также ограничено и содержится в G, что и
требовалось доказать.
С соответствующими изменениями это доказательство может быть
проведено и для свойства 5~.
4. Из сопоставления леммы IV с доказательством теоремы I в качестве
побочного результата получается следующая
Теорема И. Двусторонне устойчивое движение f тогда и только
тогда почти периодично, когда для каждого числа rj>0 можно
указать натуральное число т таким образом, что множество rj-сдвигов
движения f обладает'свойством Д^.
§ 4. Устойчивость по Ляпунову
1. Свойства 5+, 5" и 5, очевидным образом, тесно связаны с
устойчивостью по Ляпунову [I]. Если проинтерпретировать определения всех этих
понятий гидромеханически, то во всех случаях нужно говорить об
одновременных положениях двух частиц жидкости и при определенных условиях
требовать малости расстояния между двумя такими положениями.
Поэтому естественно предположить, что между устойчивостью по
Ляпунову, с одной стороны, и свойствами 5+, 5~, S, с другой стороны, т. е.
между устойчивостью по Ляпунову и почти периодичностью, также
должны быть определенные логические связи. В частности, следует ожидать, что
почти периодичность во многих случаях будет следовать из устойчивости
по Ляпунову. Действительно, предположение такого рода было высказано
Андроновым и Виттом.
Это предположение, справедливость которого будет доказана в § 7, и
побудило меня к настоящему исследованию.
2. Для наших целей будет удобно ввести понятие, соответствующее
условной устойчивости по Ляпунову, которое, однако, будет относиться не
к движениям, а к отдельным точкам области G. Это понятие можно назвать
«условной устойчивостью по Ляпунову», и определяется оно следующим
образом:
Определение IX. Пусть В С G. Мы будем говорить, что
точка хе G положительно (соответственно, отрицательно; двусторонне)
устойчива по Ляпунову относительно множества В (коротко: L J-, Ljj-,
LB-устойчива), если:
1) движение /^ положительно (соответственно, отрицательно;
двусторонне) устойчиво;

58 устойчивость по Ляпунову и почти периодичность
2) каждому числу ц > 0 можно сопоставить число 8 > О так, что
неравенство (11) будет выполнено для каждого неотрицательного (соответственно,
неположительного; вещественного) значения t, коль скоро у удовлетворяет
условиям
(38) уеВ
и (12)!6>.
Очевидно, что согласно этому определению точка LB -устойчива тогда и
только тогда, когда она одновременно LJ-и LB -устойчива. Если точка х
является L % -(соответственно, Ly\ LB-) устойчивой иСсВ.то она также
и L £ -(соответственно, L^-l Lc-) устойчива.
3. Докажем следующую лемму.
Лемма V. Каждая L%- (соответственно Lв -; L »-) устойчивая
точка является также и L±xG-(соответственно, ь^хС-; L^xG-)
устойчивой.
Доказательство. Очевидно, что достаточно рассматривать случай
L J -устойчивой точки. Пусть теперь х есть L % -устойчивая точка. Мы
должны показать, что х также и ££хС-устойчива.
Первое условие для этого — элементарная положительная устойчивость
движения /0х — уже содержится в нашем предположении, и остается
доказать, что для каждого числа г] > 0 найдется такое число 8 > О, что
выполнение (11) для t ^ О будет следовать из
(39) ye!3xG
и (12). Для этой цели достаточно выбрать 8 согласно пункту 2)
определения IX так, чтобы для каждого £ > 0 было выполнено
(40) p(ptz, ?,*)<},
коль скоро z удовлетворяет условиям
(41) zeB,
(42) Pte*)<&
В самом деле, если выполнены условия (12) и (39) и задано произвольное
t ^ 0, то мы можем — в силу (В III — так определить число а > О, что
(43) Р(Р*У>Р|*)<$>
коль скоро z удовлетворяет условию
(44) р(у, z) < от;
и если мы тогда положим
(45) в = min[<7, 6 - р(х, у)],
16* Тем самым также требуется, чтобы <pt у существовало для t > 0 (соответственно, t < 0;
-оо < t < +оо), коль скоро у удовлетворяет условиям (12) и (38).

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 59
то в также будет больше нуля. Возьмем теперь точку z, удовлетворяющую
условиям (41) и
(46) P(y,z)<6,
что в силу (39), конечно, возможно. Тогда будет выполнено (44), а потому
также и (43). С другой стороны, р(х, z) ^ р(х, у) + р(у, z), что, в силу (45)
и (46), дает нам неравенство (42). Но поскольку, кроме того, zeB, то
отсюда следует, согласно условию, наложенному на 5, что выполняется
также и (40). Однако из (40) и (43) следует неравенство (11), которое нам
и требовалось доказать.
4. Нам понадобится некоторое условие равномерности, относящееся к
устойчивости по Ляпунову, которое мы введем с помощью следующего
определения:
Определение X. Пусть А и В суть подмножества области G. Мы
будем говорить, что LJ- (соответственно, LB-; LB-) устойчивость
равномерна в А или что А равномерно L%- (соответственно, LB-; LB-)
устойчиво, если выполнены следующие условия:
1) множество
(47) EOAf/o. (еОгЬь/о., Е Orb Л
хеА \хеА хеА J
ограничено и содержится в G;
2) каждому числу г; > 0 можно сопоставить число 8 > 0 так, чтобы для
t ^ 0 (соответственно, t ^ 0; —оо < t < oo) выполнялось неравенство (11),
коль скоро х и у удовлетворяют условиям
(48) хеА, уеВ
и (12).
5. Легко заметить, что множество является равномерно LB -устойчивым
тогда и только тогда, когда оно одновременно равномерно LJ- и
Lй-устойчиво. Если множество равномерно LJ- (соответственно, LB-; LB-)
устойчиво, то все точки этого множества LJ- (соответственно, LB-\ LB-)
устойчивы.
Напротив, обратное не всегда верно уже в силу пункта 1)
определениях— а именно, все точки множества А могут быть LJ- (соответственно,
LB-; LB-) устойчивы, в то время как равномерная L J -(соответственно, LB-;
LB-) устойчивость в А не имеет места. Справедливость этого обращения
в случае ограниченного, замкнутого и содержащегося в G множества А
является содержанием следующей леммы.
Лемма VI. Если все точки ограниченного и замкнутого множества
A L%- (соответственно, LB-; LB-) устойчивы и А с В, то имеет место
равномерная L%- (соответственно, LB-; LB) устойчивость в А.
Доказательство. Очевидно, что достаточно рассмотреть случай
L J -устойчивости. Итак, пусть А — ограниченное замкнутое
подмножество В, все точки которого L J -устойчивы. Нам нужно показать, что будут
выполнены условия 1) и 2) в определении X.

60 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Мы начнем с пункта 1) определения X и прежде всего рассмотрим
произвольную точку х е А. Движение /0х является, в силу предположения и
пункта 1) определения IX, положительно устойчивым в элементарном
смысле. Поэтому ОгЬо /0х является замкнутым и ограниченным подмножеством
области G, а расстояние р(ОтЪ^ f^, En -G) положительно. Мы
определяем теперь для каждой точки хеА некоторое число 5(ж)>0, согласно
пункту 2) определения IX, так, чтобы при t ^ 0 выполнялось неравенство
*<*>♦*, ч>#) < 5P(OrbJ/0x, En - G)
коль скоро у удовлетворяет условию (38) и р(х, у) < 6(х).
Согласно лемме Гейне — Бореля б покрытии мы можем всегда выбрать
конечное число точек ж1,..., хт ограниченного и замкнутого множества
А таким образом, что А будет покрыта сферическими 5(ж*)-окрестностя-<
ми этих точек. Тогда если хе<А> то найдется точка х\ удовлетворяющая
условию
(49^ р(х',х)<6(х*).
Заменим теперь, что Ъ силу предположенного нами включения А С 5, х
принадлежит также и множеству П. что позволяет нам вывести из (49),
учитывая (6), неравенство
/>{/<*<*), /о.(*)}.< Ъй(0Л[1^, Еп - б) (О 0).
Следовательно,
ОгЬ0+/о, С s{Orb0+/o* , JpfoSf^, En - G)},
(OU) ~m ( J / ГТ"
EOrb0+/tecE5{Orb0+/o^,5p(Orb0+/o^^„-G)},
и так как каждое из слагаемых в правой части включения (50), как легко
видеть, замкнуто и содержится в G, то и левая часть (50), т, е. множест-
воЙ7), — также ограниченное подмножество G, что мы и хотели показать.
перейдем теперь к проверке условия 2) в определении X.
Пусть задано произвольное число г\ > 0. Поставим в соответствие каждой
точке хеА такое число 6'(х) > 0, что для каждого t ^ 0 будет выполняться
неравенство (40), коль скоро выполнены условия (41) и
р(я, z) < 6'(х).
В- силу наших предположений это может быть сделано.
jPto лемме Гейне — Бореля о покрытии мы можем так выбрать конечное
число точек ж1, ж2,..., хт замкнутого и ограниченного подмножества А,
•гто А будет покрыто сферическими 2^'(жУ)*0КРестН0СТЯМИ 9ТИХ точек:
Положим
<§2). 5= min[J$'(x!),..., \6'(хт)]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 61
и покажем, что так определенное число 8 обладает свойством 2)
определения X.
Действительно, если выполнены условия (12) и (42), то в силу (51) можно
выбрать точку х\ удовлетворяющую неравенству
(53) р(х,х')<\б'(х%
Из (12), (52) и (53) получаем
р(у,х*)<8'(х')
откуда — в силу условия, налагаемого на числа 8'(х), — следует
неравенство
(54) й(<Рг*',<РгУ)<%
для t ^ 0.
С другой стороны, хеВ, так как х е А и, по предположению, А с В.
Поэтому из (53) следует неравенство
(55) Р(Ъ*'>Ъ*)<% (*>0).
Из (54) и (55) следует, однако, что для t ^0 неравенство (11) действительно
выполняется, что и требовалось доказать.
§ 5. Стационарные множества
1. Определение XI. Мы будем говорить, что множество А является
стационарным, если оно может быть представлено в виде
теоретико-множественного объединения траекторий некоторых движений.
2. Имеют место следующие леммы, из которых первые две почти
очевидны.
Лемма VII. Подмножество А области G стационарно тогда и
только тогда, когда
(56) EOrb/0xcA
хеА
(другими словами, когда высказывание хе А всегда влечет за собой
включение Orb /0x с А).
Лемма VIII. Пересечение и объединение любого семейства
стационарных множеств являются также стационарными множествами.
Лемма IX. Если движение f имеет в качестве интервала
определения всю числовую ось, то
(57) Gx П Orb:/, Gx П Orb;/
weEx weEx
суть стационарные множества^.
17> См. [2, с. 309].

62 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Доказательство. Очевидно, что доказательство стационарности
достаточно провести только для первого из множеств (57).
Итак, пусть
(58) хевх П Orb;/.
w€El
Мы должны показать, согласно лемме VII, что Orb /0x содержится в первом
из множеств (57), другими словами, что каждая точка
(59) x' = fQx(t) = <ptx
принадлежит каждому множеству Orb* /.
Пусть числа t и w фиксированы, rj>0 задано произвольно и 6 > 0
выбрано согласно <Е III так, что неравенство (12) влечет за собой существование
ipty и неравенство (11).
В силу (58) х е Orb^+t f, и имеется число v, удовлетворяющее условиям
(60) v ^ w + *,
(61) p(x,f(v))<6.
Из (8), (59), (60) и (61) следует, однако, что
/(v + i)€Orb;/f p{x'J(v + t)}<v.
Так как г\ было произвольным, то х' е Orb* /, что и требовалось доказать.
Лемма X. Если В — стационарное множество, то G х В также
стационарно^.
Лемма XI. Если множество В стационарно, то множество всех
L%- (соответственно, L^-) устойчивых точек также стационарно.
Доказательство. Пусть множество В стационарно, точка х
L J -устойчива и
(62) я' = /о*(и) = ^я
— произвольная точка множества Orb f0x. Мы должны показать, согласно
лемме VII, что х1 также является L J -устойчивой, другими словами, что
выполнены следующие условия:
V) движение /0х, в элементарном смысле положительно устойчиво;
2') для каждого числа г\ > 0 найдется такое число 81 > 0, что для каждого
неотрицательного значения t будет выполнено неравенство
(63) р(<Рг*,Ъ1/)<Ъ
коль скоро у' удовлетворяет условиям
(64) у'ЕД
(65) р(х\у')<6'.
'?) Легко следует из (8 III. Мы оставляем читателю подробное проведение доказательства.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 63
Можно сразу увидеть, что условие Г) в самом деле выполняется.
Действительно, если z =f0x,(t) (t ^0) — произвольная точка траектории OrbjJ" f0x,,
то мы имеем, в силу (6), (8) и (62),
* = /o*(u + OeOrb:/0x.
Таким образом, OrbJ f0x, С Orb* /0x, а следовательно, и
ОгЬ£/0ж,сОгЬ:/0х,
и так как движение /0х, в силу предположения и пункта 1) определения IX,
положительно устойчиво, то последнее множество ограничено и является
подмножеством G. Значит, OrbJ fQx, также является ограниченным
подмножеством G и, таким образом, f0x, является положительно устойчивым
движением в элементарном смысле.
Пусть теперь задано произвольное число rj > 0. Прежде всего, выберем
число 8 > О согласно пункту 2) определения IX так, что для t ^ О всегда
будет выполнено (11), коль скоро у удовлетворяет условиям (12) и (38).
Здесь могут представиться два случая:
1. и ^0. Здесь достаточно заметить, что из (7), (9) и (62) следует
равенство
и число 5' > 0 надо выбрать на основе <£ III так, чтобы из (65) следовало
неравенство
(66) р(х, y>_tty') < 8.
Действительно, если условия (64) и (65) выполнены и t ^ 0, то имеют место
неравенства (66), где точка <р_иу' =:/оу'(-<ы) принадлежит стационарному
множеству В.
Отсюда следует, согласно (9) и условию, наложенному на <5, что
P(<P,s', <Pty') = P(<Pt+ux><Pt+u<P-»y')<V>
так как t + и ^ 0.
2. и <0. Определим здесь число 8' >0 на основании леммы 119) так, чтобы
всегда было выполнено условие
p(^s', ^t/,)<min[?7, 8]
коль скоро 0^ t ^ — и и у' удовлетворяет условию (65). Тогда если
выполняются условия (64) и (65), то мы получаем, как и ранее, неравенство (66),
где y?_tty' Е В. Для t ^ -и отсюда следует неравенство (63). Последнее,
однако, выполнено также и для 0^ t < -и, в силу условия, наложенного
на 8'. Таким образом, (63) действительно выполняется при всех t^ О, если
у* удовлетворяет условиям (64) и (65).
Итак, справедливость 2' доказана во всех случаях.
19) Мы применяем здесь эту лемму с одноточечным множеством F = {а/}, подставляя
minfr, 6] вместо rj и и вместо /.

64 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Из леммы XI получается
Следствие. Если В стационарно, то множество всех LB -устой-
чивых точек также стационарно.
Действительно, это множество является пересечением двух
стационарных множеств: множества всех LJ -устойчивых точек и множества всех
LB -устойчивых точек.
3. Лемма XI и ее следствие, в случае стационарного множества В, дают
нам право говорить об LJ-(соответственно, LB-\ LB-) устойчивых
траекториях. Это понятие может быть определено следующим образом:
Определение XII. Пусть J5 — стационарное множество. Мы будем
говорить, что движение / и его траектория L £ -(соответственно, LB-; LB-)
устойчивы, если какая-нибудь (а тогда и каждая) точка из Orb / является
L £ -(соответственно, LB-; LB-) устойчивой.
§ 6. Основная теорема
1. Определение XIII. Мы будем говорить, что движение
происходит в множестве А, если Orb / С А.
Теорема III. Пусть F — ограниченное, замкнутое и стационарное
подмножество области G. Если все происходящие в F движения
являются L%-(соответственно, LF) устойчивыми, то все они
являются почти периодическими и L F-устойчивыми. L F-устойчивость в этом
случае равномерна на F.
Доказательство. Пусть происходящие в F движения являются
L^-устойчивыми. Сначала покажем, что все они являются почти
периодическими.
Для этого прежде всего заметим что, в силу определения XII, все
точки, лежащие на траекториях происходящих в F движений, устойчивы. Но
в силу стационарности F множество таких точек совпадает с F. Таким
образом, все точки ограниченного и замкнутого множества F являются
LJ-устойчивыми; по лемме VI L £ -устойчивость равномерна на F.
Теперь легко заметить, что каждое происходящее в F движение /
обладает свойством 5. Именно, если / — такое движение, то Orb / С -F и, в
силу замкнутости F, имеем Orb fcF, откуда следует двусторонняя
устойчивость движения/. Это движение a fortiori удовлетворяет условию 1
определения XIII и в качестве интервала определения имеет всю числовую ось.
Если, далее, задано произвольное число rj > О, то в силу равномерной
L £ -устойчивости в F мы можем выбрать число 6 >0 таким образом, что для
каждого неотрицательного зна**ения t будет выполнено неравенство (11),
если х и у удовлетворяют условиям
х е F, yeF, р(х, у) < 6.
Тогда для произвольных чисел m,, w2, удовлетворяющих неравенству (29),
выполняется f(wx) e F, /(го,) е F и, следовательно, в силу (8) и
наложенного на 8 условия, при w ^ О
Р{/(Щ + W)> 1(Щ + W)} = PWwfiЩ)> <Pwf(W2)} < V-
Таким образом, / удовлетворяет условию 2 из определения VIII.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 65
Тем самым мы показали, что все происходящие в F движения обладают
свойством 5+, т. е., согласно теореме I,—что все они почти периодичны.
Пусть теперь х — произвольная точка множества F. Мы покажем, что х
L «-устойчива.
Прежде всего заметим, что в силу (56) движение /0х происходит в
стационарном множестве F и, согласно вышеприведенному доказательству,
является почти периодическим. Отсюда, согласно теореме I, следует, что
это движение обладает свойством S,
Возьмем произвольное число г\ > О и определим число а > О согласно
пункту 2) определения VIII так, чтобы выполнялось неравенство
Р{/охК+^),/ох(^2 + ^)}<§'
коль скоро щ, щ удовлетворяют условию
(в остальном их% щ и и произвольны).
Пусть теперь число 6 > О выбрано так, чтобы для каждого я еотрицатель-
ного значения w выполнялось неравенство
P(^z, ^»)<mln[§,|]l
коль скоро у удовлетворяет условиям
(67) yeF
и условию (12). Такие числа имеются, так как ж, в силу предположения,
Lj-устойчиво.
Возьмем теперь произвольную точку у, удовлетворяющую условиям (12)
и (67), произвольное число t и покажем, что выполняется неравенство (11).
С этой целью заметим, что в силу (56) и (67) движение'/0у Происходит
в множестве F и, значит, согласно доказанному, почти периодично. Это
движение обладает также, вследствие теоремы I, свойством 5, и можно
так определить число в > 0, что неравенство
Р{/оу(^1+Ч/о>2 + ^)}<|
будет следствием неравенства
р{/оу(^)»/оу(^)}<Л
Далее, так как множество всех min I #, § I -сдвигов почти периодического
движения /0у достаточно распределено, то имеется число ш,
удовлетворяющее условиям
(68) w^max[0, -t],
(69) p{/0y(0),/0y(to)}<min[e,f].
Из (6), (12), (67), (68) и наложенного на 6 условия следует, что
(70) PifM, /о,(«»)} = /»(¥>«,*> ¥>„ V) < f,
(71) р{/оДО), /0,(0)} = р(де м) < §.

66 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Формулы (69), (70) и (71) дают теперь
P{/o-(0)i/e.(w)}<oi
откуда в силу (6) и наложенного на а условия следует неравенство
(72) p(iptx,ipw+tx)<%.
С другой стороны, формулы (6), (69) и наложенное на в условие дают
(73) р(<РгУ,<Р» + гУ)<%-
Наконец, формулы (12), (67), (68) и наложенное на 8 условие дают
(74) P(ve+i^<Pe+iV)< J-
Из (72), (73) и (74) теперь следует неравенство (11). Таким образом,
оно выполнено для каждого значения t, коль скоро у удовлетворяет
условиям (12) и (67). Принимая теперь во внимание, что движение /0а. — как
происходящее в F — является в элементарном смысле двусторонне
устойчивым и что 77 было произвольным положительным числом, мы заключаем
отсюда, что точка х L^-устойчива. Итак, все точки F являются
^-устойчивыми.
Вследствие этого, согласно лемме VI и определениям XII, XIII,
^-устойчивость является равномерной в F и все происходящие в F движения
LF-устойчивы. Тем самым наше доказательство закончено.
2. Условие замкнутости множества F играет в доказательстве теоремы III
важную роль и действительно не может быть опущено. Таким образом, без
дополнительных предположений теорему III нельзя распространить на
случай устойчивой по Ляпунову траектории, поскольку последняя не
обязательно является замкнутой. Движение / вполне может быть безусловно и
двусторонне устойчивым по Ляпунову и вместе с тем не быть почти
периодическим. Теорема III утверждает только, что в этом случае должны
существовать происходящие в Orb / движения, не являющиеся L^y-устойчи-
выми, а также движения, не являющиеся L^y-устойчивыми.
Все это может быть проиллюстрировано на следующем простом примере.
Пример. Пусть п = 1, G = Ех, Хх = 1 — хх. Тогда уравнение
(75) xx=tht (teEx)
определяет £с-устойчивое движение20*, которое, очевидно, не является
почти периодическим. Это не противоречит теореме III, так как траектория
движения (75) совпадает с интервалом (—1, +1) и, таким образом, не
замкнута.
Если мы рассмотрим замыкание этого множества — отрезок Г—1,+1], то
нетрудно заметить, что имеются два происходящих в [—1,+1] движения:
хх = 1 (t е Ех) и хх = -1 (t e Ех), из которых первое не Lji, +1]-устойчиво,
а второе не Lf., +!]-устойчиво.
^ Доказательство этого факта мы предоставляем читателю.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 67
§ 7. Предположение Андронова — Витта
1. Определение XIV. Подмножество F области G называется
минимальным множеством, если оно неприводимо относительно свойства
быть стационарным, замкнутым и непустым множеством; другими словами,
если F обладает этими свойствами, а каждое его собственное подмножество
либо не стационарно, либо не замкнуто, либо пусто (см. [2, с. 311; 3, с. 198,
Определение XV. Движение называется рекуррентным, если оно
происходит в некотором минимальном множестве.
Из леммы VIII легко вывести, что не совпадающие друг с другом
минимальные множества не могут иметь общих точек. Отсюда следует, что
каждое рекуррентное движение происходит в одном и только в одном
минимальном множестве — минимальном множестве этого рекуррентного
движения. Согласно определению III, каждое рекуррентное движение двусто-
ронне устойчиво в элементарном смысле, так как его траектория
содержится в ограниченном замкнутом подмножестве области G и, следовательно,
обладает ограниченным и содержащимся в G замыканием. В силу этого,
каждое рекуррентное движение согласно следствию из леммы II имеет в
качестве интервала определения всю числовую ось.
Далее, из лемм IX и X следует
Лемма XII. Если F является минимальным множеством
движения /, то2Х)
ол/= п ол:/= п огь;/ = я
weEx weEx
Согласно лемме IX, приведенные здесь пересечения стационарны. Далее,
они замкнуты, так как являются пересечениями замкнутых множеств и,
очевидно, содержатся в F, так как Orb / С F.
Равным образом множество Orb /, согласно лемме X, стационарно.
Кроме того, это множество замкнуто, содержится в F и не пусто. Наконец,
очевидно, что
П ол17= ft олй, п ол^7= ft orKJ,
weEx m = 1 w€El m = 1
ОтЬйэОтЬ+т+1/фОфОтЪ-_(т+1)/сОгЪ^1 (m = l,2,...),
и, следовательно, в силу теоремы Кантора о пересечении
П ОгъйФОф п о<к].
weEl w€E{
Отсюда следует, согласно определению XIV, что множества
ол7, П ол:/, п orbif
weEx weEx
не могут быть собственными подмножествами F, а следовательно,
совпадают с F, что и требовалось доказать.
21 * Эти уравнения могут также служить определением минимальных множеств. См. [2,
с. 311].

68 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
2. Нашей целью теперь является установление справедливости
следующего, а также обратного к нему, утверждения:
Теорема IV,. Каждое рекуррентное движение, положительно
(отрицательно) устойчивое по Ляпунову относительно собственной
траектории, является почти периодическим.
Ниже мы приведем два доказательства этой теоремы. Первое
основывается на доказанной в § б основной теореме; второе — на приведенной далее
без доказательства теореме Биркгофа.
3. Первому доказательству мы предпошлем две леммы.
Лемма XIII. Каждое рекуррентное движение, положительно устой-
чивое по Ляпунову относительно своей траектории, положительно
устойчиво по Ляпунову относительно своего минимального множества.
Доказательство. Пусть / — рекуррентное движение, F — его
минимальное множество. Тогда если / является ££л/-устойчивым, то
точка /(О) ££гЬ/-устойчива и, вследствие этого, согласно лемме V также и
£+- с-устойчива. Но в силу леммы XII Orb / = FcG. Таким образом,
/(0) L^-устойчива, откуда, вследствие определения XII, вытекает L J-устой-
чивость движения /.
Лемма XIV. Если рекуррентное движение положительно
устойчиво по Ляпунову относительно своего минимального множества, то все
происходящие в этом минимальном множестве движения
положительно устойчивы относительно него по Ляпунову.
Доказательство. Пусть F — минимальное множество, / —
происходящее в F Lt-устойчивое движение. Мы покажем, что тогда каждая
точка множества F является L£-устойчивой.
Действительно, если х е F, то /0х -*• происходящее в F и, стало быть,
положительно устойчивое движение. Таким образом, условие 1)
определения IX выполнено.
Если, далее, задано произвольное число г\ >0, то в силу L £ -устойчивости
точки /(0) (е Orb /) можно выбрать такое число а > 0, что для каждого
неотрицательного значения v будет выполнено неравенство
Pfe/(0),^}<f,
коль скоро выполнены условия
zeF, p{f(0),z}<a.
Согласно лемме XII имеет место включение FcOrbo/0х и,
следовательно, /(0) Е OrbQ f0x. Поэтому найдется такое число и, что будут выполнены
неравенства
(76) и^О,
(77) />{/(0),/<>>)}<§.
Теперь выберем согласно <£ III такое число 8 > 0, что неравенство
(78)
pWu*, ФиУ) < §

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 69
будет следствием (12)22). Тогда легко заметить, что 8 обладает
требующимся в пункте 2) определения IX (В = F) свойством. Действительно* если
выполнено (12) и при этом у е F, то имеем неравенство (78), которое
вместе с (6) и (77) дает
р{/(0),^у}<ог.
Кроме того, здесь <риу е F, так как у принадлежит стационарному
множеству F. Если использовать теперь формулу (9) и наложенное на а условие,
то отсюда можно будет заключить, что для каждого неотрицательного
значения v выполняется неравенство
(79) РЫ/(0), ?„+.»}<}.
Из (77) таким же образом следует
(80) рЫ/<0), ?.+.*}<§ (О0).
В силу неравенств (79) и (80)
р{{Ри+уЪЧ>и+уУ}<'П (00).
С учетом (76) получаем отсюда, что при всех t ^ 0 будет выполнено
неравенство (11), что мы и хотели показать.
Тем самым доказано, что выполнено условие 2) определения IX для
В = F. Таким образом, произвольно выбранная точка х е F является
LJ-устойчивой. Отсюда следует, наконец, что все происходящие в F
движения L £ -устойчивы, что и требовалось доказать.
4. Доказательство собственно теоремы IV) займет теперь несколько
строк.
Если /.—рекуррентное, положительно устойчивое по Ляпунову
относительно Orb / движение, a F — его минимальное множество, то /, согласно
лемме XIII, также и L^-устойчиво. Отсюда согласно лемме XIV следует,
что все происходящие в F движения LJ-устойчивы.
Но F, как минимальное множество, замкнуто, ограничено и
стационарно. Поэтому мы можем применить теорему III и получить интересующий
нас результат: все происходящие в F движения — почти периодические.
В частности, / есть почти периодическое движение, что и требовалось
доказать.
5. Мы перейдем теперь ко второму доказательству теоремы IV {. Это
доказательство опирается на следующее утверждение:
Теорема (Биркгофа23*). Двустороннее устойчивое движение f ре-
куррентно тогда и только тогда, когда выполняется следующее
условие: для любого 7] > 0 существует I ^ 0 такое, что всякой паре чисел
и, w можно поставить в соответствие число v, удовлетворяющее
неравенствам
u^v^u + l, p{/(v), f(w)} < 77.
С помощью теоремы Биркгофа теорема IV) может быть доказана
следующим образом.
и) Это возможно, так как точка <рих = f0x(u) действительно существует.
м> См. [2, с. 312].

70 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Пусть / — L£rb у-устойчивое движение, а г\ — произвольное
положительное число. Мы покажем, что множество ^-сдвигов движения / достаточно
распределено; другими словами, существует такое число I ^ 0, что всякий
числовой отрезок длины I содержит по крайней мере один 7}-сдвиг.
Для этого заметим, что точка х = /(0) Е Orb / в силу сделанных
предположений L5rb/-устойчива. Таким образом, можно найти число 8 >0 такое,
что для любого значения t > 0 будет выполняться неравенство
p{<Pt*9<Pty}<$i
коль скоро у удовлетворяет условиям
у е Orb /, р(х, у) < &
Теперь на основании приведенной выше теоремы Биркгофа найдем число
I ^ 0 такое, что для любого и существует v, удовлетворяющее условиям
(81) u^v^u + l,
(82) р{/(0),/(«)}< $•
Тогда I обладает требуемым свойством.
Действительно, пусть [и, и + I] — произвольный числовой отрезок
длины I; v — удовлетворяющее условиям (81) и (82) число. Наше утверждение
будет доказано, если мы покажем, что v явлйется ^-сдвигом движения /.
Для этой цели определим число а > 0 согласно <Е III так, чтобы
неравенство
pWvxi4>vy}< 2
следовало из р(х, у) < а. Тогда если t —произвольное число, то,
согласно лемме XII, х = /(0) Е ОгЬ^ / и существует число w, удовлетворяющее
условиям
(83) р{/(0), /(in)} <min[<7, «],
(84) w < t.
Но из (7) и (83) следует, в силу наложенного на а условия, что
(85) р{/(0),/(* + «)}<*
что вместе с (82) дает неравенство
(86) p{/(0)f/(w + ti)}<4
Привлекая наложенное на 6 условие, мы можем из (8), (83), (84) и (86)
вывести неравенства
p{f{t-w), /(*)}<},
p{f(t -w),f(t + v)}<l

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 71
Из этих неравенств следует, наконец, что для каждого значения t
p{f(t),f(t+v)}<ri.
Итак, v есть 77-сдвиг движения /, что мы и хотели показать. Таким образом,
мы доказали выполнение п. 2) определения VII. Но п. 1) определения VII
также выполнен: будучи рекуррентным движением, / двусторонне
устойчиво в элементарном смысле24*. Итак, / почти периодично, что и требовалось
доказать.
6. Легко также доказать обращение теоремы IV,, а именно:
Теорема IV2. Каждое почти периодическое движение рекуррентно
и положительно (отрицательно) устойчиво по Ляпунову относительно
собственной траектории.
Первая часть этого утверждения доказывается согласно Франклину (см.
[4, с. 328]), следующим образом.
Пусть / — почти периодическое движение, г\ — произвольное
положительное число. Возьмем такое число I ^ 0, что каждый числовой отрезок
длины I содержит по крайней мере один 77-сдвиг. Тогда для произвольных
чисел и, w движение / обладает принадлежащим отрезку [и — ги, и — w +1]
77-сдвигом t. Если мы положим теперь v = w + t, то будут иметь место
неравенства
p{f(v), f(w)} = p{f(w + О, f(w)} < 77.
Число I удовлетворяет условию, сформулированному в вышеприведенной
теореме Биркгофа, и поэтому движение / рекуррентно, так как число г\ > О
было выбрано произвольным.
Вторая часть теоремы IV2 легко следует из теоремы I. А именно, если / —
почти периодическое движение, ц — произвольное положительное число,
то / по теореме I обладает свойством 5,+, т. е. существует такое число
8 > 0, что для w ^ 0 всегда будет выполнено (28), коль скоро tu, и w2
удовлетворяют условию (29). Если теперь у = /(и) — произвольная точка
Е Orb /, удовлетворяющая условию
р{/(0),/(«)} = р{/(0),у}<4
то с учетом (8) получаем
Pfo/(0), <РгУ} = p{f(t), /(« + t))} < ту (t > 0),
откуда непосредственно следует L£rb ^устойчивость точки /(0). Итак,
согласно определению XII движение / ££гЬ/-устойчиво, что и требовалось
доказать.
7. Содержание теорем W{ и IV2 можно суммировать следующим образом:
Теорема IV. Движение является почти периодическим тогда и
только тогда, когда оно рекуррентно и положительно (отрицательно)
устойчиво по Ляпунову относительно собственной траектории.
Тем самым произведено логическое расщепление понятия почти
периодичности: взятая по отдельности, каждая логическая компонента этого по-
24) См. выше §7, п. 1.

72 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ
нятия — «рекуррентность» и «положительная устойчивость по Ляпунову
относительно своей траектории» — недостаточна для почти периодичности.
В действительности известны рекуррентные движения, которые не
обладают свойством S и которые, таким образом, в силу теоремы I не являются
почти периодическими. 1ч этому классу относятся, например, построенные
Биркгофом (см. [2, с. 318-323]) «разрывные» рекуррентные движения,
происходящие на поверхности тора. С другой стороны, определенное в § 6
движение (75) даже безусловно и двусторонне устойчиво по Ляпунову, но тем
не менее не является почти периодическим.
8. Представляется уместным задаться вопросом о том, может ли быть
усилена теорема IV. Мы видели, что условие рекуррентности в
формулировке этой теоремы не может быть опущено. Однако нельзя ли его заменить
более слабым условием устойчивости по Пуассону? Это последнее условие
в наших обозначениях может быть выражено включением
(87) Orb/С П ОгЬ^/х П Orb;/,
*€(о,6) *€(о,Ь)
где (а, Ъ) является интервалом определения движения /.
Из леммы II немедленно следует, что каждое устойчивое по Пуассону
движение определено на всей числовой оси, так что (87) может
выполняться, только если а= —оо, Ь = +оо. Из леммы XII непосредственно видно, что
каждое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону (ср. [2, с. 311]).
Наш вопрос ставится теперь таким образом:
Всякое ли устойчивое по Пуассону и положительно устойчивое по
Ляпунову относительно своей траектории движение является почти
периодическим?
Возможность положительного ответа вовсе не исключается примером,
приведенным в § 6, так как движение (75), очевидно, не является
устойчивым по Пуассону. Я предполагаю, однако, что ответ на этот вопрос
отрицателен, и формулирую следующую проблему:
Проблема. Построить систему дифференциальных уравнений
вида (1), обладающую устойчивым по Пуассону и устойчивым по Ляпунову
относительно своей траектории движением, не являющимся почти
периодическим. При этом X. должны быть однозначными вещественными
функциями, заданными в некоторой области пространства Еп. Для каждой точки
х е G должна существовать окрестность, в которой X. удовлетворяют
условию Липшица.
Эту проблему можно видоизменять различными способами. Например,
можно заменить положительную устойчивость по Ляпунову двусторонней,
условную (относительно своей траектории) — безусловной
(относительно G).
Литература
[1] Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892. (См. также
перераб. франц. перевод; Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. Ser. 2. —1908.—V. 9. — P. 203-474.)
[21 Birkhoff G. D. Quelques theoremes sur les mouvements des systemes dynamiques. —
Bull. Soc. Math. France.—1912.—V. 40.-P. 303-323.
[3] Birkhoff G. D. Dynamical Systems. — New York, 1927. Имеется перевод: Б и р-
к г о ф Д ж. Д. Динамические системы. — М. — Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1941; М.: РХД, 2000.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ 73
[41 Franklin Ph. Almost periodic recurrent motions // Math. Z. —1929. — Bd. 30.—
S. 325-331.
[5] Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. I // Acta Math. — 1925.—
Bd. 45. —S. 29-127.
i6] Markoff A. Sur les mouvements presque periodiques // С R. Acad. Sci. Paris —
9.-V. 189.-P. 732-734.
Астрономический институт, Ленинград
25 января 1932 г.
Поступило в редакцию 29 января 1932 г.

О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ, РАССМАТРИВАЕМЫХ
КАК ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ*)
Векторные пространства конечной размерности дают простой пример
локально бикомпактных1*, связных и коммутативных топологических групп.
Естественно спросить, какое место занимают векторные пространства среди
этих групп, какими внутренними свойствами их можно охарактеризовать.
Ниже приводятся ответы на эти вопросы.
Теорема. Для каждой локально бикомпактной, связной и ком-
мутативной топологической группы G существует вдвойне
непрерывный2^ гомоморфизм f группы G на некоторое векторное
пространство Ет конечной размерности, обладающий тем свойством, что полный
прообраз всякого бикомпактного подмножества Ет также
бикомпактен.
Следствие 1. Следующие условия необходимы и достаточны для
того, чтобы топологическая группа G бьиа топологически изоморфна
некоторому векторному пространству конечной размерности:
Г G локально бикомпактна;
2° G связна;
3° G коммутативна;
4° G не имеет бикомпактных подгрупп, содержащих более одной
точки.
Доказательство этих результатов может быть построено по следующему
плану.
Пусть G — топологическая группа, удовлетворяющая условиям теоремы.
Сначала мы показываем, что в G содержатся конечное множество точек
(aj,...,am) и бикомпактное множество F, такие, что каждый элемент у
из G может быть представлен в виде
m
где гц —целые числа, а х — некоторая точка из F. Точки а,,..., ат и
множество F выбираются таким образом, чтобы число га было малым,
насколько это возможно.
Пусть теперь А!} (Л =0, ±1, ±2,...; j = 1,..., га) — множество всех
точек вида m
с пу = h. Мы показываем, что все га систем множеств
(Ah\
\Л* Jft = 0,±l,±2,...
' Sur les espaces vectoriels consideres comme groupes topologiques // С R. Acad. Sci.
Paris. — 1933. — V. 197. — P. 610-612. Представлено Эли Картаном. Перевод с французского
С. В. Соловьева.
!) См. [1, с. 59 и далее].
2> См. [2].
3* В оригинале «bicontinu». — Прим. ред.

О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ КАК ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 75
являются расходящимися, т. е. что их верхние топологические пределы4)
пусты. Это — наиболее трудный момент доказательства.
Берем теперь любую точку у из G. Существуют целые числа п^р и
точки хп множества F такие, что имеет место
р
РУ=^£^ра{ + хр (р = 1,2,...).
Опираясь на расходимость систем {A^}hst0±i>±2> , можно показать, что га
последовательностей {^p/p}p=s!2f являются сходящимися. Между
прочим, как легко видеть, пределы этих последовательностей зависят только
от точки у.
Эти пределы определяют, следовательно, т функций на G:
/4(у)=Шп^.
р-+оо У
Рассматривая га вещественных чисел f{(y) как компоненты вектора из
векторного пространства Ет, мы определяем, таким образом,
представление / группы G в Ет.
Последовательно устанавливаются следующие свойства этого
представления:
1) / является гомоморфизмом;
2) / непрерывно;
3) полный прообраз f~l(X) каждого бикомпактного подмножества X из
Ет бикомпактен;
4) образ /(-X") всякого замкнутого подмножества X из G замкнут в Ет\
5) имеет место равенство f(G) = Em.
Если сформулированная теорема доказана, то следствие 1 извлекается
непосредственно. Действительно, из условия 4° следствия вытекает, что
взаимно непрерывный гомоморфизм / группы G на Ет является взаимно
однозначным. Следовательно, это топологический изоморфизм, что
доказывает достаточность условий Г — 4°. Их необходимость очевидна.
Приведем еще одно следствие нашей теоремы.
Следствие 2. Всякая локально бикомпактная, связная и ком-
мутативная топологическая группа содержит максимальную, т. е.
содержащую все бикомпактные подгруппы G, бикомпактную подгруппу.
Эта подгруппа образована точками G, соответствующими нулевому
вектору Ят.
Развернутое изложение этих результатов будет дано в другой статье0'.
Литература
[1] Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques
compacts // Verhandel. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Afd. natuurkunde. Sect. I. —1929. —
Bd 14, № 1.
[21 Alexandroff P. Uber stetige Abbildungen kompakter Raume // Math. Ann. —
1926.-Bd.96. —S. 555-571.
4> Cm. [1, с 44].
5> Uber endlich-dimensionale Vektorraume. — Ann. Math. — 1935. — Bd. 36. — S. 464-506.
[C. 79-116 наст, издания. — Прим. сост.]

ОБ ИЗОТОПИИ КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВ
В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ*)
Пусть А — точечное множество в топологическом пространстве R, и
пусть {^}о<*о—система отображений множества А на подмножества
пространства Я, отображений, зависящих от вещественного параметра £,
пробегающего отрезок [0,1]. Будем говорить, что эта система есть
деформация А в Rt если:
Г iptx есть непрерывная функция числа t и точки х е А;
2° <р0 есть тождественное отображение множества А.
Отображение (рх будем тогда называть результатом деформации {^}.
Эту последнюю мы будем называть изотопической, если все \рх суть
топологические отображения множества А.
Пусть теперь h — какое-либо топологическое отобр-ажение множества А
на подмножество пространства R. Условимся говорить, что h есть слабая
изотопия в пространстве R, если это отображение может быть
представлено как результат изотопической деформации А в R. Тогда имеем
следующую теорему.
Если А —компактное в себе подмножество т-мерного евклидова
пространства Ет и
m^2dimA+2, (1)
то всякое топологическое отображение множества А на какое-либо
подмножество пространства Ет есть слабая изотопия.
Доказательство этого факта может быть построено по образцу
изящного доказательства теоремы Менгера — Нёбединга ([1, с. 296; 2]) о
вмещении пространств конечных размерностей в евклидовы пространства,
недавно данного В. Гуревичем [3]. Наметим здесь ход рассуждения.
Пусть h —интересующее нас топологическое отображение множества А.
Рассмотрим всегда непустое множество D(h, Em) всех деформаций А в Ет
с результатом Л. В этом множестве введем расстояние р(фуф) между двумя
деформациями у> = {^} и ф ={фг}, определяя его равенством:
p(<p,i!)) = s\ipp(<ptx,il>tx),
где через р(у, z) мы обозначаем евклидово расстояние между точками у
и z пространства Ет. Множество &(Л, Ет) становится при этом полным
метрическим пространством. Я утверждаю, что в этом пространстве
изотопические деформации с результатом h образуют множество дополнительное
к множеству I категории в смысле Бэра.
Чтобы доказать это предложение, образуем при всяком е > О множество
всех деформаций <р = {(рЛ е X>(h, Em)t удовлетворяющих следующему
условию: при всяком t е ГО, 1] отображение <pt есть ^-отображение в смысле
П. С. Александрова [4J. Обозначая это множество через ие> а интересующее
*) ДАН СССР. — 1934. — Т. 3(IV), № 3. — С. 137-141. Представлено академиком
С. Н. Бернштейном 4 июня 1934 г.

ОБ ИЗОТОПИИ КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 77
нас множество всех изотопических деформаций с результатом h — через J9,
имеем, очевидно,
D=f[Gh.
Нетрудно видеть, что Ge открыты в D(h,Em). Наше утверждение будет,
следовательно, доказано, если нам удастся установить, что каждое из этих
множеств всюду плотно в &(7i, Ет), т. е., другими словами, что при
всяком е > О и всяком ip e b(h} Ет) существует ф е Ge такое, что /Г(у>, ^) < £•
Доказательство этого последнего утверждения основано на следующей
элементарной лемме.
Если /„ (V/ = 1,..., г) — г непрерывных отображений отрезка [0,1] в
Ет, то при всяком е>0 существует г непрерывных отображений ди
{у = 1,..., г) того же отрезка в Е таких, что
Р(Д(«). ft(*)) < * (* = 1,..., r; 0< t < 1)
а что никакие q из г точек
ft<«), •••.*<*) (2)
на при каком д = 1,...,т ики при каком t е [О,1] не лежат в одном
(q - 2)-мерном линейном подпространстве пространства Ет.
Установив это, можно закончить доказательство следующим образом.
Пусть <р е b(h, Em)t е > 0. Возьмем положительное число r\ < min(e, 3)
так, чтобы из неравенств р(х\ ж") < е и \t* - t"\ < r\% где х1 е А, ж" е А,
*'е[0,1], *" е [0,1], следовало неравенство p(<pt,x', ipt„x") < |. Покроем
множество А конечной системой непустых множеств Uv (и = 1,..., г),
открытых относительно А с диаметрами меньшими rj, и таких, что порядок
системы {UuYu=\ не превосходит dim А + 1. В каждом из Uv возьмем по
точке xv. Тогда в силу леммы существует г непрерывных отображений ду
(и = 1,..., г) отрезка [0,1] в Ет таких, что
Р(ЛЯ>.Л('))<1 (■'-I r;0<t<l)
и что никакие q из точек (2) не лежат в одном (q - 2)-мерном линейном
подпространстве пространства Ет ни при каком д = 1,..., га и ни при каком
* Е[0,1]. Положим при всяком хеА
Ри(х) = Р(Ъ A-U„) (и = 1,..., г),
Е М*Ы*)
Е *,<*>
*«*=(i - ЧгУ^)+Чг^-щ* о -ч < * < о,
где сложение и умножение в соответствующих местах имеют векторный
смысл (умножение является тогда умножением вектора на вещественное

78 ОБ ИЗОТОПИИ КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
число). Мы получаем, таким образом, систему ф = {фЛ отображений
множества А. Она, очевидно, является деформацией А в Ет с результатом h.
Пользуясь неравенством (1), можно наконец показать, что ф обладает
всеми желаемыми свойствами.
Литература
[ 1 ] М е n g е г К. Dimensionstheorie. — Leipzig-Berlin: Teubner, 1928.
[2] Nob e 1 i n g G. Uber eine n-dimensionale Universalmenge irafl2n+l // Math. Ann. —
1931.-Bd. 104. —S. 71-80.
[3] H u r e w i с z W. // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. —1933. — S. 754-768.
[4] Alexandroff P. Untersuchungen uber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen
beliebiger Dimension // Ann. Math. —1929. —Bd. 30. —S. 101-187.
Научно-исследовательский институт
математики и механики Ленинградского
государственного университета
Поступило 4 июня 1934 г.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ*)1)
Содержание
Введение 79
§ 1. Абстрактные пространства 81
§ 2. Группы 85
§ 3. Топологические пространства 87
§ 4. Отношение доминирования 94
§ 5. Тополого-алгебраическое понятие зависимости 97
§ 6. Линейная зависимость в аналитических векторных пространствах 104
§ 7. Доказательство теоремы уплощения 107
§ 8. Внутренняя характеристика векторных пространств 111
§ 9. Дальнейшие следствия и дополнения 112
Введение
1. В математике n-мерное векторное пространство может пониматься
многими, принципиально различными способами. При обычном, чисто
аналитическом понимании n-мерный вектор определяется как система п
вещественных чисел. Вводятся две операции — сложение векторов и умножение
вектора на число:
(О {иГ-1 + ЫГ-1 = {*«+%}Г-1,
(2) Mu:=>={Aur-.,
и тогда n-мерное векторное пространство вводится (ср. [1, с. 307-308]) как
множество всех таких n-мерных векторов с указанным образом
определенными операциями их сложения и умножения на вещественные числа.
Недостатки этого определения очевидны с первого же взгляда. Во-первых,
здесь с самого начала выбирается некоторая система координат, что,
разумеется, не может быть обосновано никакими внутригеометрическими
доводами. Во-вторых, здесь важную роль играет сложное внегеометрическое
понятие вещественного числа. Следовательно, введенное таким образом
понятие векторного пространства не относится к геометрии никоим образом
и должно рассматриваться как сокращенный способ выражения, удобный
для аналитиков.
2. Более достигающим своей цели представляется вейлевский
аксиоматический алгебро-геометрический взгляд на n-мерное векторное
пространство. Векторы и обе операции здесь не определяются, но вводятся как
основные понятия аксиоматической системы. В аксиомах по сути дела, говорится
*) Uber endlich-dimensionale Vektorraume // Ann. Math. — 1935. — Bd. 36. — S. 464-506.
Перевод с немецкого А. А. Иванова.
')
Предварительное сообщение: Sur les espaces vectoriels considered comme groupes
topologiques // С R. Acad. Sci. Paris. — 1933. — V. 197. — P. 610-612. [См. с. 74-75
наст. изд. — Прим. сост.]

80
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
о том, что векторы образуют абелеву группу относительно их сложения;
что умножение векторов на вещественные числа удовлетворяет условию
А(/хж) = (А/х)ж (A, \i — вещественные числа, х — вектор), а относительно
сложения как чисел, так и векторов оно дистрибутивно; что умножение
вектора на единицу не изменяет его и, в заключение, что имеется в точности п
линейно независимых векторов (ср. [2, с. 14-17]).
Первый недостаток чисто аналитического понимания здесь отсутствует.
В полном соответствии с существом дела По самому смыслу определения
все системы координат здесь равноправны. Однако и такое понимание
векторного пространства выглядит не вполне геометричным, а именно из-за
второго недостатка, который присутствует в данной и в этой ситуации. И в
самом деле, введение умножения векторов на вещественные числа в
качестве основной операции, из-за чего вещественные числа начинают
приобретать принципиальное значение, по своему существу лежит вне геометрии.
Эта особенность алгебро-геометрическогб понимания отнюдь не
случайна, а, пожалуй, является результатом сознательной тенденции его
создателя. Вейль хотел «изгнать из логического построения геометрии трудно
понимаемую непрерывность» (см. [2, с. 15]), что может быть достигнуто
именно аксиоматическим введением вещественных чисел как
мультипликаторов. Эта идея, возникновение которой вызывалось тогдашним состоянием
абстрактной топологии, сегодня может рассматриваться как устаревшая. За
последние два десятилетия ситуация значительно изменилась.
«Непрерывность», т. е. топологическая основа геометрии, «схвачена» трудами Фреше,
Хаусдорфа, Титце, Вьеториса, Урысона, Александрова и других исследо^-
вателеи. Вещественные числа несомненно, представляют собой неудачный
суррогат этой основы. Не непрерывность, а вещественные числа должны
быть изгнаны из оснований!
3. Так мы приходим к третьему варианту понимания векторных
пространств — тополого-алгебраическому. Из двух операций мы оставляем
только одну — сложение векторов, играющую основополагающую роль.
Относительно этой операции векторы образуют абелеву группу. Эту группу мы
рассматриваем одновременно как некоторое топологическое пространство и
требуем непрерывность вычитания в этом пространстве. Другими словами,
мырассматриваем векторные пространства как топологические группы.
Последовательное проведение этого подхода обязывает нас искать прежде
всего ответ на следующий вопрос:
Какими внутренними тополого-алгебраическими свойствами можно
выделить конечномерные векторные пространства среди
топологических групп?
4. Настоящее исследование, посвящено этой постановке вопроса. В
качестве основного результата работы я рассматриваю, однако, не данное в § 8
решение этого вопроса, но значительно более общую теорему,
сформулированную в § 3 и доказанную в § 7, относительно структуры обширного класса
топологических групп, который определяет «теорема уплощения».
Доказательство этой теоремы занимает в работе центральное место, поскольку все
ему предшествующее следует рассматривать как подготовку этого
доказательства, а все последующее — как применение самой теоремы.
Параграфы 1-3 специально посвящены основным понятиям и фактам
общей теории топологических групп2*, однако их изложение приспособлено
2) Дальнейшее изложение можно найти в статье ван Данцига [3], содержащей обстоятельный
список литературы. К сожалению, изложение ван Данцига непригодно для наших целей, так
как оно существенно ограничено сепарабельными топологическими группами.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
81
к нашим ближайшим целям. В § 4 и 5 будут подготовлены важнейшие
инструменты: будут доказаны вспомогательные утверждения, касающиеся
«отношения доминирования» и понятия тополого-алгебраической зависимости.
В § б введенное в § 5 понятие зависимости будет сопоставлено с хорошо
известным понятием линейной зависимости векторов; здесь также будет
доказана вспомогательная теорема о замкнутых и связных подгруппах
аналитических векторных пространств. В § 8 будет дано внутреннее определение
векторных пространств, основанное на теореме уплощения.
Заключительный § 9 содержит одно дальнейшее следствие этой теоремы.
5. Настоящая работа возникла главным образом под влиянием бесед,
которые я имел с Л. С. Понтрягиным. За побуждение к этому исследованию
и за бесценные советы я выражаю ему свою сердечную признательность.
Благодарю также П. С. Александрова за многочисленные советы при
окончательной редакции этой статьи.
6. Мы используем следующие теоретико-множественные обозначения:
хеА означает, что х принадлежит множеству А;
АсВ означает, что А есть подмножество В;
АиВ обозначает объединение множеств А и В;
An В —пересечение множеств А и В;
А\В—множество всех элементов множества А, не принадлежащих
множеству В;
А — пустое множество;
(а1)а2,..., ат) — множество элементов ам %,..., ат;
{аЛГ=1 — система элементов3) a,, Og,..., ат, т. е. определенная на
множестве (1,..., га) функция со значениями (не обязательно различными) а.;
{a»K°~i —* последовательность ап %,... ;
{а,}*ш_^— бесконечная в обе стороны последовательность ...,а0...
..., а_,, Oq,^, ..., а,,...;
если 21 есть множество множеств, то 621 обозначает объединение
элементов этого множества;
m оо оо го оо оо
6 Ait 6 Ait 6 Ai и 1) Ait SAif Э Ai обозначают объединение (6)
t m 1 t a 1 t ж -00 * = 1 * » 1 * = -00
и пересечение (Э) элементов систем множеств {A,}™,,, {AJ^,, {Ai}^st_O0
соответственно.
Другие обозначения будут вводиться в надлежащих местах.
§ 1. Абстрактные пространства
1. Понятия: абстрактное пространство, открытый, замкнутый,
замыкание (= замкнутая оболочка), связный, бикомпактное
пространство, непрерывное отображение, топологическое отображение, образ,
полный прообраз, верхний замкнутый предел системы множеств —мы
предполагаем известными (см. [4, с. 213 и далее], а также [5; 6]).
Что касается понятия абстрактного пространства, то его можно
определить различными, но эквивалентными способами. Можно, например,
3) Нумерация здесь существенна.

82
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
избрать в качестве основы операцию замыкания, удовлетворяющую
известным аксиомам, как это было сделано в цитированной работе
Александрова [6]. Мне представляется также простым следующее определение
абстрактного пространства, вводимое через открытые множества.
Пусть R — некоторое множество. Выбираются некоторые подмножества
в R, называемые открытыми. При этом должны выполняться следующие
условия:
I. Объединение произвольного множества открытых множеств открыто.
И. Пересечение двух любых открытых множеств открыто.
III. Каждый элемент множества R содержится в некотором открытом
множестве.
IV. Для любых двух элементов множества R найдется некоторое
открытое множество, содержащее первый, но не второй элемент.
Тогда это множество R, рассматриваемое вместе с совокупностью
выделенных открытых множеств, называется абстрактным пространством.
Элементы множества R называются точками пространства. Исходя из
открытых множеств, определяются тогда другие основные понятия
абстрактной топологии: замкнутые множества, замыкание и т. д.
Заметим, что открытость пустого множества не должна постулироваться,
так как это непосредственно следует из 1. Действительно, Л = бЛ и Л
можно рассматривать как некоторое множество открытых множеств.
Что касается понятия бикомпактное™, то его можно также ввести
различными способами: через обобщенную теорему Больцано — Вейерштрасса,
через обобщение канторовскои теоремы пересечения или, наконец, через
обобщение теоремы Гейне — Бореля (см. [5, с. 8-12]). Так как
эквивалентность этих трех определений доказывается только с помощью аксиомы
выбора, а мы в нашей работе эту аксиому не хотим применять, то мы будем
иметь дело только с третьим определением, «по Гейне — Борелю», и не
будем употреблять теорему эквивалентности Александрова — Урысона.
Под пространством мы всегда понимаем абстрактное пространство. Под
окрестностью точки х в пространстве R мы будем понимать произвольное
открытое множество этого пространства,содержащее точку х. Замыкание
множества А будет обозначаться через А.
Под отображением пространства R на пространство R1 будет всегда
пониматься такое отображение, при котором каждая точка из R* является
образом. Если это не предполагается, то мы говорим об отображении R в R'.
По Александрову, такое отображение называется вдвойне непрерывным^
(см. [6, с. 559]), если оно непрерывно и, кроме того, каждое замкнутое в
R множество имеет замкнутый образ. Если, однако, непрерывное
отображение Д на Д' таково, что каждое открытое в R множество имеет в Д'
открытый образ, то мы скажем, что оно обратимо непрерывно [7]. Под
прообразом будем понимать всегда полный прообраз. Образ множества А
при отображении / будем обозначать через /(А), прообраз множества А1
при том же отображении — через /"(А).
Если А — подмножество пространства Д, il — некоторое множество
открытых множеств этого пространства, то мы говорим, что Я является от-
крытым покрытием множества А, если
(3) А с 6Д.
4) В оригинале «doppelstetig». — Прим. ред.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
83
Мы говорим, что А — бикомпакт, если каждое покрытие этого
множества содержит конечное подпокрытие^. Мы говорим, что пространство
R локально бикомпактно, если каждая точка этого пространства имеет
окрестность с бикомпактным замыканием (см. [8, с. 294], а также [5, с. 59
и далее]).
Каждое замкнутое подмножество бикомпактного множества
бикомпактно. Каждый непрерывный образ бикомпактного множества бикомпактен.
Как известно, аксиома отделимости Хаусдорфа состоит в том, что любые
две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности6). Если это
условие выполнено, то мы говорим, что пространство является хаусдорфо-
вым.
В хаусдорфовом пространстве каждое бикомпактное точечное множество
замкнуто7).
Если задано обратимо непрерывное отображение локально
бикомпактного пространства R на хаусдорфово пространство Д', то R' также локально
бикомпактно^.
Говорят, что пространство регулярно в точке х, если для каждой
окрестности W этой точки выполняется условие
(4) UcW,
где U — подходящая окрестность этой точки. Говорят, что пространство
просто регулярно, если оно регулярно в каждой точке (см. [5, с. 5]).
Очевидно, что каждое регулярное пространство хаусдорфово.
5) Это условие сводится, очевидно, к тому, что А как пространство должно быть
бикомпактным.
6) См. [4, с. 213, аксиома (D)].
7) Действительно, пусть F — некоторое бикомпактное подмножество хаусдорфова
пространства Л. Рассмотрим произвольную точку хеЛ\F. Открытые множества и, удовлетворяющие
условию xeR\U, образуют, в силу аксиомы отделимости Хаусдорфа, покрытие множества F.
Тогда найдется конечная система таких множеств Ux> U2,..., Um, для которой
m
Fc 6K.
Тогда
т mmm_
FC в V
и, в силу х е R \Т% (£= 1,2,..., т), имеем ж € Л \ F. Так как х — произвольный элемент
множества R \ F, то F с F, т. е. замкнутость множества F доказана. Ср. [5, с. 47].
8* Действительно, пусть / — такое отображение. Рассмотрим произвольную точку ж' € Л'.
Пусть ж € Л — такая точка, что х1 = /(ж), и U — некоторая окрестность этой точки в Л с
бикомпактным замыканием. Положим U* — f(U). Тогда U , в силу обратимой непрерывности
отображения /, открыто вЯ'и поэтому является окрестностью точки ж'. Множество f(U),
как непрерывный образ бикомпактного множества, бикомпактно и, следовательно, в силу
хаусдорфовости пространства Л', замкнуто. Имеем, далее, U, = f(U)cf(U) и, значит, U'cf(U).
Множество U', таким образом, бикомпактно, как замкнутое подмножество бикомпактного
множества. Произвольно выбранная точка х' имеет, таким образом, окрестность с
бикомпактным замыканием, что и требовалось доказать. То, что условие обратимой непрерывности здесь
существенно и просто непрерывности недостаточно, можно усмотреть из простого примера
перечисления множества рациональных чисел. Каждое такое перечисление можно рассматривать
как непрерывное отображение пространства натуральных чисел, состоящего из
изолированных точек и, следовательно, локально компактного, на пространство рациональных чисел, не
являющееся локально компактным и тем более локально бикомпактным пространством. Этот
пример опровергает утверждение ван Данцига, а именно теорему 33 на с. 598 его статьи [3].

84 О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
2. Лемма 1. Пусть f — непрерывное отображение пространства
R в хаусдорфово локально бикомпактное пространство Л'. Если это
отображение таково, что каждое бикомпактное множество в R' имеет
бикомпактный прообраз, то оно вдвойне непрерывно.
Доказательство. Пусть А — произвольное замкнутое в R
множество. Надо доказать, что /(А) — замкнутое в R' множество.
Рассмотрим произвольную точку
(5) я'еЯА).
Эта точка имеет в R' некоторую окрестность U1 с бикомпактным
замыканием. Имеем
Ac(Anf-(U))Uf-(R'\U')
и, следовательно,
(6) 7^cf(Anr(ff))uW\W.
Множество f~(Tf)% однако, бикомпактно, как прообраз бикомпактного
множества. Кроме того, оно замкнуто в R в силу непрерывности
отображения /. Пересечение его с замкнутым множеством А является,
следовательно, замкнутым подмножеством бикомпактного множества. Таким образом,
A nf~(U) бикомпактно. Отсюда следует, что и f(A nf~(U ))
бикомпактно, как непрерывный образ бикомпактного множества. Как бикомпактное
подмножество хаусдорфова пространства R\ это множество оказывается
замкнутым. Равным образом, замкнуто и множество R' \ U', как
дополнение открытого множества.
Тогда из (5) и (6) получаем
afef(Anf-(U'))U(R'\U').
С другой стороны, х1 не принадлежит множеству Rf \ 17', так как 17' есть
окрестность этой точки. Отсюда следует
*>ef(An/-(&))
и, тем более,
x'€f(A)
что, таким образом, является следствием (5). В итоге имеем
7Щс/(А),
что и требовалось доказать.
3. Пусть пространство R разбивается на попарно непересекающиеся
замкнутые множества. Тогда, следуя Бэру и Леви9), можно на основе этого
разбиения построить следующее пространство R'.
Элементы разбиения объявляются точками пространства R'. Открытыми
множествами этого пространства считаются такие множества элементов
разбиения, объединение которых открыто в Л!0). Любая точка хе R
принадлежит одному и только одному элементу разбиения, и ей соответствует,
9) См. [7, с. 113]. Так как эти авторы не хотели выходить из класса хаусдорфовых
пространств, они подчиняли разбиения некоторому ограничению — условию а) их теоремы 1. В
классе абстрактных пространств это условие ослабляется до простого требования замкнутости
элементов разбиения.
10) Другая конструкция принадлежит, как известно, Александрову (ср. [6, с. 556, 557]).
Приведенная здесь конструкция Бэра — Леви существенно отличается от конструкции Александ-

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 85
таким образом, однозначно определенная точка х' е R'. Вследствие этого
будет определено непрерывное отображение пространства R на
пространство R1.
Если, наоборот, / — некоторое непрерывное отображение
пространства R на пространство R", то каждой точке из R" соответствует в R
замкнутый прообраз. Прообразы точек из R" образуют разбиение
пространства R на попарно непересекающиеся замкнутые множества. Это разбиение
определяет соответствующее пространство R', которое не обязательно го-
меоморфно R".
Индуцированное вышеуказанным построением взаимно однозначное
отображение Д' на R" все же непрерывно; обратное отображение,
однако, непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / таково, что в R"
открыты подмножества с открытыми в R прообразами.
Если это условие выполнено, то мы скажем, по Бэру и Леви, что
пространство-образ R' обладает относительно отображения / минимальной
плотностью ([7, с. 112]).
Если задано разбиение, соответствующее непрерывному отображению /
пространства R на пространство R", и при этом известно, что R" обладает
минимальной плотностью относительно /, то отображения / и
пространство-образ R" определены однозначно с точностью до гомеоморфизма R'
на себя ([7, с. 113, теорема 1, утверждение (с)]). Тогда R' гомеоморфно
пространству, порожденному разбиением, и имеет место
/ = ¥>/',
где /' — отображение R на Д', индуцированное разбиением, а у?—
некоторое топологическое отображение Д' на R".
Упомянем еще один важный факт, который содержится там же, а
именно: в случае двойной непрерывности отображения пространства R на
пространство R" последнее имеет минимальную плотность относительно
отображения11*.
§ 2. Группы
1. Понятия: группа, подгруппа, класс смежности, инвариантная
подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм, изоморфизм, коммутативная
группа, образующие — мы предполагаем известными (см., например, [9,
с. 15-36]). Все группы записываются аддитивно. Соответственно, мы
говорим о нулевом элементе вместо единичного. Нулевой элемент обозначается
через 0*2). Вместо «факторгруппа» будем говорить «разностная группа*.
рова. Так, например, в случае разбиения плоскости параллельными прямыми пространство
разбиения Александрова состоит из изолированных точек, в то время как пространство
разбиения Бэра — Леви гомеоморфно прямой. Для бикомпактных пространств оба определения
(Бэра — Леви, с одной стороны, и Александрова — с другой) совпадают.
11 * См. [7, с. 114]. Доказательство этого факта простое. Действительно, пусть / — вдвойне
непрерывное отображение пространства R на пространство R* и А* — произвольное
подмножество Л* с открытым прообразом А. Тогда R\A* — образ замкнутого в R множества R\А.
Следовательно, множество R" \А", в силу двойной непрерывности отображения /, замкнуто
в л", и потому А" открыто, что и требовалось доказать.
12) Этот простой способ обозначения в сущности не совсем корректен, так как различные
группы имеют различные нулевые элементы. Я надеюсь тем не менее, что употребление знака

86
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Если А — подмножество группы G, то через [А] будем обозначать под-
группу G, порожденную А, т. е. наименьшую подгруппу G,
содержащую А. Для А ф Л это есть множество всех элементов вида
m
с произвольным конечным числом m слагаемых, где h. — целые числа, а{ —
элементы множества А. Для пустого множества имеем, очевидно,
(7) [Л] = (0).
Если А и В —подмножества группы G, то через А + В мы обозначаем их
алгебраическую сумму, т. е. множество всех х + у с хеА, у ЕВ; через
А — В мы обозначаем алгебраическую разность множеств А и В, т. е.
множество всех я — у с хеА, у ЕВ] через hA (h — целое) мы обозначаем
Л-кратное множества А, т. е. множество всех hx с хеА. Вместо (-1)А
мы пишем просто -А; вместо (х) + А и А + (х) — просто х + А и А + х
соответственно.
Если А{,..., Ат — конечное число подмножеств группы G, то мы
обозначаем через
m
i = l
их алгебраическую сумму, т. е. множество всех сумм
го
i = l
с^еА. (г = 1,2,..., т).
Так определенное алгебраическое сложение подмножеств группы,
очевидно, ассоциативно. Такие выражения, как, например,
A + B + C + D,
A-B + C-D=A+(-B) + C + (-D) = (A-B) + (C-D),
можно, таким образом, писать без скобок. В коммутативных группах
алгебраическое сложение подмножеств, очевидно, также коммутативно.
Относительно логического сложения алгебраическое сложение
дистрибутивно. Имеем
m го ш in
А + вШ = в {А + A J, 6 Ш + А= &{А( + А}.
Аналогичные формулы имеют место для алгебраического вычитания.
Включения могут алгебраически складываться и вычитаться. Если А,
В, С, D — подмножества G, то из включений А с В и С с D
следуют включения А + С С В + D, А -С с В - D. Аналогично, утверждения
(А + С) П (В + D) фЛ и (А - С) П (В - D) ф Л следуют из утверждений
АпВфАи СпИфА. Утверждения А Г)(х+В)фА и хеА-В, очевидно,
эквивалентны. Условие того, что подмножество А группы G есть подгруппа
G, может быть выражено в нашей символике формулами
АфА, А-АсА
О не приведет к недоразумению; когда будет рассматриваться много групп, всегда будет ясно,
какой нулевой элемент понимается под этим.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
87
2. Если / — гомоморфизм группы G в группу G', то имеют место легко
доказываемые формулы
(8) Д[А]) = [/(А)],
(9) f(A + B) = f(A) + f(B),
(Ю) /-(/(А)) = А+/-(0),
где А и В — произвольные подмножества G; если же / — гомоморфизм G
на G\ то, кроме того,
(11) Г(А' + В') = Г(А') + Г(В')
для произвольных подмножеств А' и В' группы G'.
§ 3. Топологические группы
1. Пусть в множестве G выделены такие подмножества — «открытые»
множества, что G становится пространством. Пусть в этом множестве
введена операция для ее элементов — «сложение» — так, что G образует
группу относительно этой операции. Пару, состоящую из этого пространства и
этой группы, мы назовем топологической группой (сокращенно: Т-груп-
nou)t если выполняется следующее условие.
Аксиома непрерывности. Для произвольных элементов х и
у из множества G и произвольной окрестности W их разности найдутся
окрестности U и V точек х и у соответственно, такие, что
(12) U-VcW.
Элементы множества G будут называться элементами или точками
Г-группы.
2. Аксиома непрерывности утверждает, очевидно, не что иное, как
непрерывность функции х — у от упорядоченных пар {ж, у}.
Из этой аксиомы непосредственно следует, что -у — непрерывная
функция от у. Иначе говоря, для каждой точки у из Т-группы и каждой
окрестности W точки -у найдется такая окрестность V точки у,
что имеет место включение
-VcW.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно в аксиоме непрерывности
положить х = 0.
Отсюда следует, что х+у есть непрерывная функция точечных пар {ж, у}.
Иначе говоря: для произвольных точек хиу Т-группы G и произвольной
окрестности W их суммы найдутся такие окрестности U uV точек х
и у соответственно, что
U + VcW.
Для доказательства нужно только, пользуясь аксиомой непрерывности,
взять окрестности U и Vj точек ж и —у соответственно, так, чтобы
U - Vx с W,
а затем для выполнения включения
-VcVx
выбрать подходящую окрестность V точки у.

88
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Выведем теперь следующее утверждение, которое является простым
следствием аксиомы непрерывности:
Для каждой окрестности U нуля Т -группы найдется такая
окрестность V ее нуля, что
V-VCU
По аксиоме непрерывности для случая окрестностей нуля, найдутся
такие Vj и V2, что
Vx - V2 С U
Положим V = Vj П V2, тогда V — требуемая окрестность нуля.
Так же доказывается утверждение:
Для каждой окрестности U нуля Т-группы найдется такая
окрестность V ее нуля, что
V + VCU.
Два последние утверждения могут быть обобщены с помощью индукции
следующим образом:
Для каждой окрестности U нуля Т-группы и каждой конечной
системы целых чисел {hi}^l найдется такая окрестность V ее нуля,
что
» = i
3. Если одно из подмножеств А, В в Т-группе G открыто, то и
А+ В открыто в G.
Для доказательства предположим, что, например, А открыто в G, и
рассмотрим произвольную точку х G А + В. По определению алгебраической
суммы найдутся такие точки z e А и уЕВ, что
х = z + у.
Множество А является, следовательно, окрестностью точки z = х - у.
Отсюда по аксиоме непрерывности следует, что существуют окрестности U,
V точек х, у соответственно, такие, что
(13) U-VCA.
Из (13) следует в силу у е V, что
U-ycA
и, таким образом,
UcA + ycA + B.
Тем самым доказано, что для каждой точки х множества А + В имеется
ее окрестность, содержащаяся в А + В, и, таким образом, множество А +
+ В открыто, если открыто первое слагаемое. Аналогично рассматривается
случай, когда открыто второе слагаемое.
Если, в частности, U является окрестностью нуля в Т-группе G,
то для каждой точки xeG оба множества x+U и U + х являются
окрестностями этой точки.
Легко доказывается также справедливость следующего утверждения.
Если А —открытое подмножество Т-группы G, то -А также
открыто в G. Если, в частности, U — окрестность нуля, то -U — также
окрестность нуля.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 89
Легко заметить, далее, что каждое открытое непустое подмножество
Г -группы G порождает открытую подгруппу G. Действительно, если
А —непустое подмножество G, то имеем, очевидно,
[А] = [А] + А.
Если, кроме того, А открыто в G, то открыто и [А], как алгебраическая
сумма с открытым вторым слагаемым.
Если А — открытая подгруппа Г-группы G, то открыты и все классы
смежности х + А и А + х. Тем самым открыто и объединение всех
собственных (т. е. отличных от А) правых (соответственно, левых) классов
смежности А, т. е. множество G\ А. Отсюда немедленно следует, что связная
топологическая группа не содержат открытых собственных подгрупп.
Отсюда, наконец, вытекает, что связная Т-группа порождается любой
окрестностью нуля (ср. [10, с. 42]). Действительно, если U — окрестность
нулевой точки в связной Т-группе G, то [17] — открытая подгруппа G, и
так как G не содержит собственных открытых подгрупп, то
[U] = G.
4. Хотя аксиома отделимости Хаусдорфа специально не постулировалась,
эта аксиома выполняется в каждой Т-группе сама собой. Выполняется даже
более сильное условие регулярности!3).
Действительно, если х — произвольная точка Т-группы G, W —
произвольная окрестность этой точки, то по аксиоме непрерывности найдутся
окрестности U и V точек ж и 0 соответственно, такие, что включение (12)
имеет место. Я докажу, что U удовлетворяет условию (4). _
Действительно, пусть у — произвольная точка множества U. Тогда у+ V
по § 3.3 является окрестностью точки у. Отсюда следует
иг\{у+У)фК
или, что то же самое,
yeU-V
В силу (12) имеем
yeW,
а так как это справедливо для каждой точки у е U, то выполняется
включение (4).
5. Лемма 2. Если А и В — бикомпактные подмножества Г -группы,
то А —В тоже бикомпактно.
Доказательство. Пусть А и В — бикомпактные подмножества
Т-группы G, 2D— некоторое покрытие множества А — В. Докажем, что
это покрытие содержит конечное подмножество, которое также покрывает
множество А — В.
Определим сначала для каждого открытого Множества U множество Юи
всех открытых множеств V, для которых разность U - V содержится в
каком-нибудь элементе покрытия 2В. Пусть, далее, для каждой точки х
13> Ср. § 1.1.

90
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
через 9JX обозначено объединение множеств %)Ut причем U пробегает
совокупность окрестностей этой точки. Я утверждаю, что 9JX для каждой точки
(14) хеА
является покрытием множества В.
Действительно, если у — произвольная точка этого последнего
множества и имеет место (14), то ж — yeA — В, и так как 2U является покрытием
множества А - В, то найдется множество W € fflJ такое, что x — yeW.
Выберем теперь, согласно аксиоме непрерывности, окрестности U и V точек
х и у соответственно, так, что включение (12) выполнено. Тогда по
определению множества Юц имеем VеЮц и, так как U — окрестность ж, Vc9Jx.
Произвольно выбранная точка уеВ принадлежит некоторому элементу, а
именно V, множества 9JX, и поэтому имеет место
Всб<Ох,
как и утверждалось.
Пусть теперь il — множество всех открытых множеств U со свойством,
что 9Jp есть покрытие В. Я утверждаю, что il является покрытием
множества А.
Пусть х — произвольная точка множества А. По только что доказанному,
9JX является покрытием бикомпактного множества В, так что существует
конечная совокупность множеств
V3e<Ux (j = l, ...,g)
таких, что
(15) ВС.6{^}.
По определению множества 9JX, для каждого числа j = 1,..., q найдется
окрестность U? точки х такая, что
(16) V^Wq 0 = l,...,g).
Мы полагаем
(17) [Г =.©{[/,*}.
Тогда U* — также окрестность точки ж, и имеет место
(18) ^G9J^ tf = 1, •••■*)•
В силу (16), для каждого числа j = 1,..., q найдется элемент Wj
покрытия 2D такой, что
(19) u;-v;<zwt.
Из (17) и (19) следует, однако, что
откуда получаем утверждение (18).
Из (15) и (18) теперь следует
В С 69V
и, по определению множества il,
U*eil.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
91
Произвольно выбранная точка х е А принадлежит, таким образом,
некоторому элементу множества Я, а именно U*, и действительно имеет место
включение (3), как и утверждалось.
Мы отыщем теперь в покрытии Я бикомпактного множества А конечное
число множеств
Ц€й (г = 1,...,р)
таких, что
(20) АС £{17,}.
Тогда Юц для каждого такого множества является, по определению
множеств Я, покрытием бикомпактного множества В. Следовательно, для
каждого числа % = 1,..., р имеется по конечному числу множеств
^i€9J4 (г = 1,...,р; У = 1,...,д,)
таких, что
(21) SC.SOU (< = !,...,*>.
По определению множества Юи имеется, наконец, для каждой числовой
пары {г, j} с 1 < г ^ р, 1 < j ^ qt по элементу W^i покрытия 23J такому, что
(22) Ut - Vu С W„
Из (20), (21) и (22) следует теперь
A-Bc&i{u^-B=&i{ui-B}c&i{ui}{ui-ei{vitj}} =
Множества W^jt образующие конечное подмножество покрытия 2D,
покрывают вместе с тем алгебраическую разность А — В, что и требовалось
доказать.
Следствие. Если В — бикомпактное подмножество Т-группы, то
—В также бикомпактно. Если А и В — бикомпактные подмножества
Т-группы, mo A + В также бикомпактно.
Для того чтобы доказать это утверждение, нужно только применить
лемму 2 к случаю А = (0) и принять во внимание тождество
А+Я = А-(-В).
6. Каждая подгруппа А любой Г-группы G может также
рассматриваться как пространство. Открытые множества этих пространств определяются
в хорошо известном смысле14) как пересечения множества А с открытыми
в G множествами. Непосредственно видно, что открытые множества в А
связаны аксиомой непрерывности с определенным на этом множестве
ограничением операции сложения. Множество А можно, таким образом,
рассматривать как Г-группу. Определенные таким способом Г-группы
называются топологическими подгруппами (сокращенно: Т-подгруппами) в G.
м> См. [4, с. 240 и далее].

92
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
7. Если А —замкнутое подмножество Т-группы G и хеА, то
множества х + А и А + х также замкнуты.
В самом деле, G \ А открыто, поэтому множества
G\(x + A) = x + (G\A), G\(A + x) = (G\A) + x
также открыты (ср. § 3.3), откуда и следует замкнутость х + А и А + х.
В частности, если А —замкнутая подгруппа G, то все левые и правые
классы смежности по А также замкнуты. Левые (соответственно, правые)
классы смежности образуют разбиение Г-группы на попарно
непересекающиеся замкнутые множества. Из этого разбиения можно образовать
пространство по введенному в § 1.3 правилу Бэра — Леви. Левые
(соответственно, правые) классы смежности будут считаться точками этих
пространств; открытыми считаются те множества классов смежности, для
которых объединения будут открыты в G.
Если при этом А —инвариантная подгруппа G, то во множестве
смежных классов можно известным способом ввести сложение так, что
возникает группа — разностная группа G/A (ср. § 2.1). В нашем случае последняя
является одновременно пространством и, как легко убедиться, открь*тые
множества этого пространства связаны с операцией сложения в разностной
группе аксиомой непрерывности. Pa3Hocf ная группа может, таким образом,
пониматься как Г-группа. Эту Г-группу мы назовем топологической
разностной группой (сокращенно: Т-разностной группой) Т-группы G по
замкнутой инвариантной подгруппе А.
Каждой точке х е G соответствует некоторая точка Г-разностной
группы G/A — класс смежности, содержащий точку х. Так определенное
отображение G на G/A может быть обозначено через fA. Оно, по построению,
непрерывно и является гомоморфизмом. Г-разностная группа G/A
является минимально плотной (ср. § 1.3) относительно fA.
Отображение fA обладает, кроме того, свойством двойной непрерывности.
Действительно, в силу (10)
fl(fAB)) = B+fx(0) = B + A
для каждого множества В CG. Если это множество открыто в G, то по § 3.3
fl(fA(B)) также открыто. Отсюда следует, однако, что fA(B) открыто в
и/А, так как эта Г-группа имеет минимальную плотность относительно fA.
Привлекая утверждение, доказанное в сноске 7) на с. 83, заключаем отсюда,
что каждая Т-разностная группа локально бикомпактной Т-группы
также локально бикомпактна.
Так как свойство множества быть связным сохраняется при
непрерывных отображениях, то каждая Т-разностная группа связной Т-группы
связна.
8. Под топологическим изоморфизмом Г-группы G на Г-группу G'
понимают любое отображение G на G\ которое является одновременно
топологическим отображением и гомоморфизмом. Если имеется такое
отображение, то мы говорим, что G и G1 топологически изоморфны, и пишем:
GxG'.
Если / — непрерывный гомоморфизм Г-группы G на Г-группу G\ то
каждой точке из G1 соответствует в G замкнутый прообраз. Прообраз

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 93
нуля из С является при этом инвариантной подгруппой G, в то время
как другим точкам из G' соответствуют собственные классы смежности
для /"(0). Так возникающее разбиение Т-группы определяет разностную
группу G//~(0). Последняя не обязательно, вообще говоря, топологически
изоморфна Г-группе G'. Индуцированное этим построением отображение
G/f~(0) на G' всегда непрерывно и является гомоморфизмом, однако
обратное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда G' имеет
минимальную плотность относительно /, что, вообще говоря, не обязательно
имеет место.
Если, однако, известно, что G' имеет минимальную плотность
относительно /, и задано соответствующее разбиение G, то определенный этим
непрерывный гомоморфизм однозначно определяет его образ G'.
но § 1.3 тогда имеется топологическое отображение <р <3//~(0) на G'
такое, что
(23) / = ?Д,
где
Л=/-(0).
Из (23) с учетом гомоморфности отображений / и fA следует, что ip —
также гомоморфизм и, тем самым, топологический изоморфизм.
С помощью только что доказанных теорем немедленно устанавливается
следующий топологический изоморфизм:
(24) (G/A)/B*G/fx(B).
Здесь А —замкнутая инвариантная подгруппа G, а В —замкнутая
инвариантная подгруппа G/A.
9. Под уплощением Г-группы G в Г-группу G' мы будем понимать
любой непрерывный гомоморфизм G на С, обладающий тем свойством, что
каждое бикомпактное подмножество из С имеет бикомпактный прообраз.
Если / — такой гомоморфизм, то мы скажем также, что G уплощаемо в
G' посредством /.
По $ 3.4 и лемме 1 немедленно заключаем, что каждое уплощение
Т-группы в локально бикомпактную Т-группу вдвойне непрерывно.
Отсюда следует, в силу § 1 и § 3.8, что каждое такое уплощение однозначно
определяется соответствующим разбиением, т. е. в конечном счете —
соответствующей инвариантной подгруппой. Если G — исходная группа, А —
соответствующая инвариантная подгруппа, то образ топологически
изоморфен Г-разностной группе G/A, и рассматриваемое уплощение совпадает с
точностью до топологического изоморфизма образа с отображением fA.
10. n-мерное числовое векторное пространство15) можно рассматривать
как пример Г-группы. Сложение здесь определено равенством (1).
Необходимо только ввести открытые множества, что можно осуществить хорошо
известным способом.
Под кубичной е-окрестностью вектора {£<}*«! мы понимаем множество
векторов {tfc}".!, удовлетворяющих всем условиям
к-&1<* (г = 1,...,п).
15* См. введение, п. 1.

94
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Мы говорим, что множество векторов А открыто, если для каждого х е А
найдется такое е > 0, что кубичная е-окрестность вектора х лежит в А.
Так определенную Г-группу будем называть n-мерным аналитическим
векторным пространством и обозначать через Еп.
Под n-мерным векторным пространством (п > 0) будет в дальнейшем
пониматься любая Т-группа, топологически изоморфная n-мерному
аналитическому векторному пространству. Под 0-мерным векторным
пространством мы понимаем Г-группу, состоящую из одной точки — нуля.
Наконец, под векторным пространством мы подразумеваем любое п-мерное
векторное пространство сп^О.
Данное нами на этом пути определение геометрического понятия
векторного пространства является непоследовательным, поскольку оно не гео-
метрично. Наша задача будет теперь состоять в замене этого внешнего,
основанного на вещественных числах, определения внутренней
характеристикой.
К этой цели мы приблизимся, обратив внимание на следующие очевидные
свойства векторных пространств:
Любое векторное пространство локально бикомпактно, связно и
коммутативно.
Свойства эти сохраняются при топологических изоморфизмах,
справедливы для аналитических и 0-мерных векторных пространств и потому присущи
всем векторным пространствам.
Локально бикомпактные, связные Г-группы мы будем в дальнейшем
называть непрерывными группами, и постановка нашего вопроса может быть
уточнена следующим образом:
Какими внутренними свойствами могут быть выделены векторные
пространства среди коммутативных непрерывных групп? Какое положение
занимают векторные пространства среди этих Г-групп?
Наш ответ на эти вопросы основывается на следующей теореме.
Теорема (уплощения). Каждая коммутативная непрерывная
группа может быть уплощена в некоторое векторное пространство.
Доказательство этой теоремы я рассматриваю как основной результат
настоящего исследования.
§ 4. Отношение доминирования
1. Пусть А и В — подмножества коммутативной Г-групйы (сокращенно:
ЯТ-группы). Мы скажем, что множество А в G доминируется
множеством В, если в G существует такое бикомпактное множество F, что
(25) АсВ+Е
Мы будем писать тогда
(26) АсВ (в G),
причем указание на Г-группу G иногда будет опускаться.
Нетрудно заметить, что это отношение рефлексивно и транзитивно.
Действительно,
А=А+(0)

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
95
для каждого множества А с G и (0) — бикомпактное множество. Таким
образом,
А с А.
Далее, если
А с В, BcQ
то имеются бикомпактные множества F и F' такие, что
AcB + F, BcC + F',
и поэтому
AcC + (F + F').
Отсюда по следствию из леммы 2
А с С.
Доминирования могут алгебраически складываться и вычитаться.
Действительно, если А, В, С, D —подмножества G и имеют место
А с В, С С Д
то найдутся такие бикомпактные подмножества F и F', что
AcB+F, CcD+F'.
Отсюда при условии коммутативности Т-группы G следует, что
A±CCB±D + (F±F%
причем множества F ± F\ по лемме 2 и следствию из нее, бикомпактны.
Таким образом,
A±CcB±D.
2. Если / — непрерывный гомоморфизм ЯТ-группы G в АГГ-группу G',
то, в силу (26), имеем
(27) f(A) с f(B) (в G').
Действительно, из включения (25) следует, согласно (9), включение
f(A) с f(B) + /(F),
причем f(F) бикомпактно, как непрерывный образ бикомпактного
множества. Если /, кроме того, есть уплощение G в С, то, наоборот, из (27)
следует (26). Действительно, если имеет место последнее доминирование,
то в G1 имеется такое бикомпактное множество F', что
f(A)cf(B) + F'.
Отсюда, в силу (10) и (11), следует
Ac/-(/(A))c/-(/(B) + F) = /-(/(B)) + /-(F) =
= B+f-(0) + f~(F') = B+f-(0 + F') = B+f-(F%
откуда при F=f~(Ff) получаем (25). По определению уплощения,
последнее множество бикомпактно, и потому имеет место (26).
3. Лемма 3. Каждая коммутативная непрерывная группа дома-
паруется подгруппой с конечным числом образующих.

96
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Пусть G — коммутативная непрерывная группа.
Выберем в G какую-нибудь окрестность U нуля с бикомпактным
замыканием. По_лемме 2 множество U—U также бикомпактно. Множества х + U,
где х eU — U, являются, в силу § 3.3, окрестностями соответствующих
точек х. Они образуют покрытие бикомпактного множества U — U. В
соответствии с этим найдется конечное число точек а19 Og,..., ат таких, что
го
(28) U-Ucefa + U}.
Пусть
4 =(<*i,...,aj.
Я утЁерждаю, что G будет доминироваться группой [А] с конечным числом
образующих аи Og,..., ат.
Действительно, в силу (28)
U-Uc[A] + U,
и так как [А] — группа, то
[А)±[А]с[А].
Из этого включения, в силу коммутативности G, следует, что
([А] + и)-([А] + и)с[А]-[А] + и-ис[А] + [А) + ис[А]+Ц
и так как [А]+ U, кроме того, не пусто, то это множество явлйется
подгруппой G (ср. § 2.1).
Согласно § 3.3 эта группа открыта, так как U открыто. Отсюда
следует, что
[A] + tf = G,
так как G по предположению связна и поэтому, в силу § 3.3, не содержит
открытых собственных подгрупп. Более того,
Gc[A] + U
и, так как U бикомпактно,
(29) GC[A] (в G),
что и требовалось доказать.
4. Доказанная выше лемма побуждает нас определить некоторый топо
лого-алгебраический инвариант следующим образом.
Рассмотрим подмножества А% удовлетворяющие условию (29) для
заданной КТ-группы G. Наименьшую из их мощностей назовем тополого-
алгебраическим рангом G и обозначим его через
tarC
Лемма 3 утверждает не что иное, как то, что каждая коммутативная
непрерывная группа имеет конечный тополого-алгебраический ранг!6). В
силу (7) очевидно, что
tarG=0
16) Существование tar £7 для произвольной коммутативной группы следует из теоремы:
в каждом множестве мощностей имеется наименьший элемент. Доказательство этой
теоремы основывается на аксиоме выбора. Для того чтобы избежать применения этой теоремы,
мы ограничиваемся в дальнейшем рассмотрением только коммутативных непрерывных групп.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
97
тогда и только тогда, когда группа G бикомпактна. То, что tar G является
тополого-алгебраическим инвариантом, т. е. сохраняется при каждом
топологическом изоморфизме G, ясно без дальнейших рассуждений. Однако
имеет место более сильное утверждение.
Если задан непрерывный гомоморфизм коммутативной
непрерывной группы G на КТ-группу G\ mo G' имеет вполне определенный
тополого-алгебраический ранг и
(30) tar G' ^ tar G
Действительно, пусть / — такой гомоморфизм. В G имеется подходящее
подмножество А мощности tar G, удовлетворяющее условию (29). В силу
§ 4.2 и формулы (8) мы имеем
(31) G'c[f(A)} (в G'),
причем мощность f(A) не больше, чем конечное число tar G. Отсюда
следует существование tar G1 и неравенство (30).
Если при этом / является уплощением б в G', то в (30) имеет место
равенство. Действительно, в G1 имеется подмножество В1 конечной
мощности tar G' такое, что
G'C[B'\ (в G').
Пусть
В' = (Ь(,...Л), n = tarG'.
Для каждого % = 1,..., п выбираем по точке
ь{еа{
так, что
(32) *;=/<*,).
Все эти точки отличаются друг от друга и образуют подмножество
В-(ЬХ,Ь2,..., Ьп)
множества G мощности tar G'. В силу (32)
*' = /(*),
откуда в силу (8), (31) и § 4.2 следует доминирование
(33) Gc[B] (в G).
Из (33) получаем
tar G ^ tar G\
что совместно с (30) дает равенство
tar G = tar G'.
§ 5. Тополого-алгебраическое понятие зависимости
1. Пусть А —некоторое подмножество ЯТ-группы G, х — точка из G.
Будем говорить, что х зависит от А в G, если
(34) [<*)]С[А] (в G).

98
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Это условие равносильно доминированию
(35) [AU(x)]c[A] (в G).
Действительно,
[AU(x)] = [A) + [(x)]
[А] + [А] = [А]С[А].
Таким образом, согласно §4.1 (35) является следствием (34). Очевидно,
что, наоборот, из (35) следует (34).
Мы говорим, что элементы из А независимы друг от друга (в G), если
каждый из них не зависит от множества остальных (в G).
2. Если f — непрерывный гомоморфизм КТ-группы G в КТ-группу
G1 и х зависит от А в G, то f(x) зависит от f(A) в G'.
Действительно, по § 4.2 и формуле (8), из (35) следует доминирование
(36) U(x)]c[f(A)] (в G).
Если, кроме того, / есть уплощение G в С, то, наоборот, из
зависимости х от А в G следует зависимость f(x) от f(A) в G'. В этом случае
высказывание (34) является следствием высказывания (36), в силу § 4.2 и
формулы (8). Мы получаем, таким образом, утверждение:
Если элементы множества А в КТ-группе G не зависят друг от
друга и f является уплощением G в G', то отображение fnaA взаимно
однозначно и элементы образа f(A) не зависят в G' друг от друга.
3. Лемма 4. Пусть А — некоторое подмножество локально
бикомпактной, коммутативной Т -группы G, х— точка из G. Если верхний
замкнутый предел системы множеств
(37) {hx + [A]}Z=_x
не пуст, то х зависит от А в G.
Доказательство. Пусть U — окрестность нуля в G с
бикомпактным замыканием. Мы выбираем согласно § 3.2 подходящую окрестность
нуля V так, что
(38) V + V-V-VcU.
Множества _у + V с yeU образуют, по § 3.3, покрытие бикомпактного
множества U. Поэтому найдется конечное количество точек а1}...,ат
таких, что
(39) Ucefa + V}.
Пусть теперь ги ..., iq —те из чисел г = 1,..., ш, для которых
(a{ + V)n 6 {hx + [A]}^A
h = —oo
имеет место. Такие числа обязательно существуют, так как нуль
принадлежит множеству 0- ж + [А] и, в силу (39), некоторому множеству а{ + V.
Выберем тогда для каждого s = 1,..., q такое j8, что
(40) (а{+У)П(з,х + [А])фА,

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
99
и положим
(41) У = тах[Ш,...,Ц,|].
Пусть теперь z — точка непустого, по предположению, верхнего
замкнутого предела системы множеств (37), тогда z + V — окрестность этой точки
и имеет место
(z + V)D(hx + [A])^A
для бесконечно многих различных целых чисел Л. Тогда найдутся целые
числа к и I такие, что
(42) (z + V)n(kx + [A])^A, (z + V)D(lx + [A])^A,
(43) *-«>>
Если теперь г — произвольное целое число, удовлетворяющее условию
(44) Un(rx + [A])^A,
то я утверждаю, что существуют два целых числа г' и г", удовлетворяющих
этому условию и неравенствам
(45) г - j - к + 1^ г' < г < г" ^ г + j + к - I
Действительно, из (39) и (44) следует, что
(46) (а, + У)П(гх + [А])^А
по крайней мере для одного значения г. По определению чисел г,, это
значение равно одному из этих чисел; пусть
(47) t = v
Положим
(48) г' = г - jt - к +1, r" = r-jt + k-l,
и тогда (45) немедленно следует из (41), (43), (48). Из (40), (46), (47)
следует, далее, с учетом включения [А] — [А] с [А], что
(49) (V-V)n((r-jt)x + [A])*A.
Из (42) следует также
(50) (V-V)n((k - 1)х + [А])^А.
Из (38), (48), (49) и (50) следует, наконец,
Е/П(г'я + [А])^Л, ип(гх + [А])^А,
что мы и намеревались показать.
Условие (44) выполнено для г = 0. По принципу математической
индукции, отсюда следует существование бесконечной в обе стороны
последовательности {rj^.^ целых чисел, для которых
(51) r.<r. + 1^rv+j + fc-Z,
(52) Un(riX + [A])^A.

100
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Мы выведем отсюда включение
(53) [(*)] с [А]+ '*©"'{(&)} +F.
Пусть h — произвольное целое число. В силу (51), имеются числа rit
меньшие Л; пусть гр— наибольшее из них. Тогда
rp<h^rp+u
что вместе с (51) дает неравенства
(54) ia-rpO' + t-i.
В силу (52) имеем, далее,
грхеи-[А] = и + [АЪ
и потому
(55) hxe[A] + (h-rp)x + U.
Из (54) и (55) следует теперь
kxe[A] + '*e~\(ix)} + U,
и так как это имеет место для каждого целого числа Л, то включение (53)
доказано. В этом включении, однако, множество
6 {{ix)} + U
бикомпактно, как алгебраическая сумма двух бикомпактных множеств.
Таким образом, имеет место доминирование (34), что и требовалось доказать.
Замечание. Только что доказанная лемма имеет нетривиальное
содержание и в случае, когда А =Л. Именно, по формуле (7) и § 4.1, § 5.1
точка х из коммутативной Г-группы зависит от А тогда и только тогда,
когда порожденная ею циклическая группа содержится в некотором
бикомпактном подмножестве множества А. По лемме 4 это имеет место также
тогда, когда G локально бикомпактна, а система точек, кратных ж, имеет
точку накопления.
Лемма 5. Если А —■ подмножество локально бикомпактной и
коммутативной Т-группы G и х — независимая от А точка G, то каждое
бикомпактное подмножество G не имеет общих точек почти со всеми
элементами системы (37).
Доказательство. Пусть F1— бикомпактное подмножество G. Так
как ж, согласно предположению, не зависит от А, то верхний замкнутый
предел системы (37) множеств по лемме 4 пуст. Поэтому для каждой
точки из G найдется окрестность, не имеющая общих точек почти со всеми
элементами этой системы. Открытые множества, не пересекающиеся
почти со всеми множествами fac+[A] (ft=0, ±1, ±2,...), образуют покрытие
Г-группы G и, тем более, бикомпактного множества F. Мы выберем из
этого покрытия конечный набор элементов U{ (г = 1,..., т) так, что

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
101
Имеем здесь
Vi П (hx + [А]) = Л (г = 1,..., т)
для почти всех h. Поэтому
Fn(hx + [A]) = A
для почти всех Л, что и требовалось доказать.
4. Лемма 6. Пусть A uF — подмножества локально бикомпактной
и коммутативной Т-группы G; х и у— точки из G; {hi}^l
—последовательность целых чисел. Если F бикомпактно, х не зависит от А в
G и имеет место
(56) гу е h{x + [А] + F (г = 1, 2,...),
то последовательность
сходится.
Доказательство. Так как множество F +F - F бикомпактно по
лемме 2, то найдется, в силу леммы 5, такое натуральное число q, что
условие
(F + F-F)n(hx + [A]) = A
выполнено для всех ft, удовлетворяющих неравенству
(58) |ft|>g.
Согласно (56), мы имеем, далее,
j(k + l)yehj{k + l)x + [A] + F,
jkyehjkx + [A] + F,
Зуе^х + Щ + F
для произвольных натуральных чисел j и к.
Отсюда следует теперь
Qe(hj{k + l)- hjk- Ъ)* + [А] + F - F - F
или, что то же самое,
(F + F-F)n((hHk + l)-hik-hi)x + [A])fi:A.
В соответствии с выбором q имеем
K-(* + i) - fy* " fcyl < Я (a fc = 1,2,...).
Отсюда следует
(59) \h, - th,\ = I £(hj{k + 1) -hjk- Л,.)| < (I - 1)9 < lq (j, I = 1,2,...).
Переставляя j и lt получаем
\ь*-з1н\<м (i, г = 1,2,...),

102
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
что вместе с (59) дает неравенство
Последовательность (57) удовлетворяет, таким образом, условию
сходимости Коши и потому сходится, что и требовалось доказать.
Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы б, z—точка из G.
Пусть {fcjr=i u {kn = \ —такие последовательности целых чисел, что
(60) iz е к.х + [А] + F (г = 1,2,...),
(61) г(у + z) е 1,х + [А] + F (г = 1, 2,...).
Тогда
lim 4 = lim -4 + lim -4.
*-»оо * *-»оо г i-»oo г
Доказательство. Выбираем число д, как в доказательстве леммы 6.
Из (56), (60) и (61) следует
0е(1{- h{- ki)x + [A] + F - F - F
или, что то же самое,
(F + F - F)n(U- ft,- к{)х + [А))^А (г = 1,2,...).
Согласно выбору q, имеем отсюда
H-*«-*il<9 (г = 1,2,...).
Так как последовательности
{*}:..■ ж,- {«;.,
по лемме 6 сходятся, то
lim k = lim ф- + lim & + lim 1<~нГк< = lim ^ + lim £,
что и требовалось доказать.
Лемма 8. Пусть A uF — подмножества локально бикомпактной и
коммутативной Т'-группы G] х—точка из G; р—натуральное число.
Тогда если F — бикомпакт и х не зависит от А в G, то найдется
окрестность нуля V такая, что неравенство
(62) llim h
|*-»оо •
«*
будет выполнено для каждой последовательности {ftj^i целых чисел,
для которой существует точка
(63) yeV,
удовлетворяющая условию (56).

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
103
Доказательство. Пусть U — окрестность нуля с бикомпактным
замыканием. Тогда множество U+F — F в силу леммы 2 также бикомпактно,
а в силу леммы 5 имеется такое натуральное число д, что условие
(U + F-F)n(hx + [A]) = A
будет выполняться для каждого целого числа Л, удовлетворяющего
неравенству (58). В соответствии с § 3.2, выбираем тогда окрестность нуля V
такую, что
(64) pqV с Ц
и V будет иметь желаемое свойство.
Действительно, пусть условия (56) и (63) выполнены. Для каждого
натурального числа j тогда имеет место
(3 + l)pqyehu + {)pqx + [A] + F,
jpqyehjpqx + [A] + F
С другой стороны, в силу (63) и (64)
pqy€ U.
Отсюда следует
Oeih^^-h^x + W + F + F-F-U
или, что то же самое,
(У + ^-Лп((Л„.+1)и-уг + [А])М.
Поэтому, согласно выбору q, имеем
Ifyy+Uw-biJ^ 0 = 1,2,...)-
Отсюда следует
|л1и| = |Е(л(у+«>«-л^) + л«|<^ + 1л«1 (f = i,2,...)-
Но в силу леммы 6 последовательность (57) сходится. Таким образом,
limfe
«-♦о© те
/-оо те ^i-oo 1ря р'
что и требовалось доказать.
Лемма 9. При выполнении условий леммы 8 найдется такое на-
туралъное число г, что неравенство
(65) llim h
|»-+oo *
будет выполнено для каждой удовлетворяющей неравенству
(66) |fcj>r
последовательности целых чисел {Л<К°-<» ^ля которой существует
некоторая точка у, удовлетворяющая условию (56).

104
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Если мы выберем натуральное число д, как в
доказательстве леммы 6, то число
(67) r = p + q
обладает требуемым свойством.
Действительно, если условия (56) и (66) выполнены, то справедлива, как
известно,7), формула (59) и ее частный случай
|Л<- г/ij <iq (г = 1,2,...).
По (66) и (67) в этом случае
>\hx\-q>P (г = 1,2,...),
и так как последовательность (57) по лемме 6 сходится, то неравенство (65)
выполняется, что и требовалось доказать.
§ 6. Линейная зависимость
в аналитических векторных пространствах
1. В n-мерном аналитическом векторном пространстве можно, наряду с
тополого-алгебраической идеей зависимости, ввести хорошо известную
линейную зависимость. Если А — непустое подмножество Еп и х е Еп, то мы
скажем, что вектор х линейно зависит от А, если он может быть
представлен в виде
(68) *=£А<а„
где а!?..., ат принадлежат А, \{ —вещественные числа и умножение
векторов на вещественные числа определяется формулой (2). Будем считать,
что, по определению, для А = Л единственным линейно зависимым от А
является нулевой вектор. Нетрудно заметить, что оба понятия
зависимости — тополого-алгебраическое и чисто аналитическое — в аналитических
векторных пространствах, где второе только и определено, совпадают.
Действительно, если х линейно зависит от А и А ф Л, т. е. имеет место (68)
для подходящих а{ G А и вещественных чисел \if то
(69) hx = £ h\{а{ = £ Е(кХ{)а{ + Е(ЛА< - Е(к\{))а{,
» = i » = i » = i
причем Е(£) — наибольшее целое число, не превосходящее £. Пусть F —
множество всех векторов, представимых в виде
т
у=Ем»а»
17) Ср. доказательство леммы 6.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
105
с |/xj < 1. В силу (69) имеем тогда
(70) [(x)]c[A] + F,
и F здесь, как легко заметить, ограничено и замкнуто, т. е. бикомпактно.
Вместе с тем доказано доминирование (34), т. е. тополого-алгебраическая
зависимость вектора х от множества А.
Особый случай А =Л не составляет исключения. Действительно, если х
линейно зависит от А, то ж=0, т. е. х зависит от А в тополого-алгебраичес-
ком смысле, так как в силу § 2.1 и § 4.1
[(х)] = [(0)] = (0)с(0) = [А].
Пусть теперь х линейно не зависит от А и А ф Л. В А имеется конечное
число независимых друг от друга векторов а,,...,ат таких, что каждый
элемент А линейно зависит от этих векторов. Их количество т меньше,
чем п, так как в противном случае х будет зависеть от (о,,..., ат), так же
как и от А. Положим ат+1 = х и дополним систему laJ^J",1 до некоторой
системы п не зависящих друг от друга векторов {а<}"в1. Каждый вектор
у€Еп можно будет тогда представить однозначно в виде
п
причем вещественные коэффициенты ЛДу) являются линейными
функциями компонент вектора у и потому также непрерывно зависят от у.
Если теперь F — произвольное бикомпактное, т. е. ограниченное и
замкнутое подмножество G, то |Ат+!(у)| имеет в F максимум /х. Так как
каждый элемент группы [А] представим как линейная комбинация векторов
ар...,am, то
|Ат+1(у)К/х
для каждого
уе[А] + Е
С другой стороны,
|АЖ+1(Л*)1 = 1*1>М
для достаточно большого Л. Тем самым доказано, что включение (70) не
может выполняться ни для одного бикомпактного множества F.
Доминирование (34), таким образом, не имеет места и вектор х тополого-алгебраически
не зависит от А.
Особый случай А = Д и здесь не является исключением. Действительно,
если вектор х не зависит линейно от А, т. е. х ф 0, то группа [(х)] не
ограничена и не содержится ни в одном бикомпактном подмножестве G.
Эта группа, таким образом, не доминируется группой [Л] и х тополого-
алгебраически не Зависит от Л.
Мы можем, таким образом, рассматривать чисто аналитическое понятие
линейной зависимости как специальный случай понятия тополого-алгебраи-
ческой зависимости.
2. Аналитическое векторное пространство Еп доминируется
некоторой подгруппой с п образующими.

106
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В самом деле, положим
(71) *={*„};_, <<-i,...,n),
где 5^. —символ Кронекера, тогда [(е!?..., еп)] — искомая подгруппа.
Действительно, имеет место
J5?nc[(e1,...,en)] + F,
где через F обозначено бикомпактное множество всех векторов {д<}?«1»
удовлетворяющих неравенствам
<К/х<<1 (г = 1,...,п).
С другой стороны, Е^ не доминируется никакой подгруппой менее чем
с п образующими. Действительно, если
ЕпС[А]
для некоторого векторного множества А, то по § 5.1 и § 6.1 каждый
элемент из Еп тополого-алгебраически и, следовательно, линейно зависит от
А. Это, как известно, возможно только тогда, когда А содержит по меньшей
мере п элементов.
Таким образом,
(72) tar£n = n.
В силу § 6.1 число п является наибольшим количеством тополого-
алгебраически независимых векторов в Еп, и это число, как и тополого-
алгебраический ранг, остается неизменным при топологических
изоморфизмах. В соответствии с этим, из (72) следует, что тополого-алгебраический
ранг произвольного векторного пространства можно также
охарактеризовать как наибольшее количество тополого-алгебраически независимых
точек этого пространства.
3. Лемма 10. Если замкнутая, связная подгруппа n-мерного
аналитического векторного пространства содержит п линейно независимых
векторов, то она совпадает с Еп.
Доказательство. Пусть А — замкнутая, связная подгруппа Ent
содержащая п линейно независимых векторов. Пусть е — произвольно
заданное число. Пересечение А П W, где W — кубичная —окрестность нуля в
Еп, а А рассматривается как Г-подгруппа G, является в силу § 3.6
окрестностью нуля в А. Так как А связно, то по § 3.3
(73) A=[AnW].
В А П W имеется конечное число линейно независимых векторов а,,...
..., ат (т < п) таких, что каждый элемент этого множества линейно
зависит от них. В силу (73) т=*п, так как в противном случае в А не было бы
п линейно независимых векторов.
Рассмотрим теперь произвольный вектор хеЕп. В силу линейной
независимости векторов ар ..., ап найдутся п вещественных чисел А,,..., Ап
таких, что п
x=J2 \{аг
Отсюда следует, однако, что '"!
ES(A<)aj-z=E(S(Aj)-A,.)aj.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 107
Так как
а{еАП\¥ (г = 1,...,п),
то п
£Я(А<)а<еА,
тогда как V1
Е{Е(\()-\()а(
» = 1
принадлежит кубичной е-окрестности нуля.
Отсюда следует, однако, что кубичная е-окрестность вектора х имеет
общую точку с А. Так как положительное число е и вектор хеЕп
произвольны, то А всюду плотно в Еп, и так как А, кроме того, замкнуто, то
что и требовалось доказать.
§ 7. Доказательство теоремы уплощения
1. Пусть G — коммутативная непрерывная группа. Надо доказать, что G
допускает уплощение в некоторое векторное пространство. Мы рассмотрим,
в силу § 4, два случая: tar G =0 и 0 < tar G < оо. В первом случае G
бикомпактно1^. Если мы отобразим каждую точку х е G на нуль группы G, то
возникает непрерывное и гомоморфное отображение Г-группы G на
0-мерное векторное пространство. Так как G бикомпактно, то выполнено также и
условие, что каждое бикомпактное множество образа имеет бикомпактный
прообраз. Таким образом, это отображение является уплощением.
Рассмотрим теперь второй случай: tar G > 0.
Пусть п = tar G; А — множество, удовлетворяющее условию (29) с п
элементами ар ..., ап. Я утверждаю, что эти элементы не зависят друг от
друга. Действительно, если бы а{ зависело бы от А \ (at), то мы имели бы,
в силу § 5.1, доминирование
[А]с[А\(а,)].
В силу (29) тогда!9) было бы
Gc[A\(aj)])
причем A\(aJ имеет только п— 1 элемент, что противоречит определению
числа п. Таким образом, никакая точка а{ не зависит от соответствующего
множества А \ (а{).
Пусть теперь F — бикомпактное подмножество G, удовлетворяющее
условию
Gc[A] + R
Тогда для каждой точки ye G найдется система {Лу}ув! целых чисел
таких, что
(74) ye±hjaj + F,
18> См. § 4.4.
19> Ср. §4.1.

108 О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и выбор такой системы целых чисел можно осуществить однозначно и
эффективно: для этого нужно ввести только какое-нибудь перечисление всех
систем {Л,-}"Ш1 и каждому yeG сопоставить первую из систем,
удовлетворяющих условию (74). Мы получим этим способом такие функции
Я,,..., Нп, что имеет место
(75) уе±Н,(у)а, + Е
Определим теперь в G п вещественных функций f{ следующим
способом. Пусть у — произвольная точка G. Из (75) подстановкой гу вместо у
получаем
(76) {уеЩгу)а, + [А\(а,)) + ^
причем, как нам известно, aj не зависит от А \ (а,.). Отсюда по леммр *
следует, что все последовательности
т:.,
сходятся. Их предел зависит от точки у. Мы полагаем
(77) /(y)=lim^M 0 = 1,...,»),
определив тем самым п вещественных функций /,.
Эти п функций определяют отображение Г-группы G в аналитическое
векторное пространство Еп, а именно, точке yeG сопоставляется точка
(78) /(У) = ШУ)},П-,€Я„.
Я утверждаю, что отображение / является уплощением, т. е. что выполнены
следующие условия:
a) / есть гомоморфизм;
b) / непрерывно;
c) каждое бикомпактное подмножество из Еп имеет при / бикомпактный
прообраз;
d) / является отображением G на Еп.
Мы докажем теперь друг за другом эти четыре утверждения.
а) Если у и z — точки G, то из (76) посредством подстановки следует
(79) te€ffi(iz)ai + [A\(ai)] + F,
(80) ЧУ + г)еН^(у + г))а; + [А\(а;)] + Е
Но из (76), (77), (79) и (80) следует, в силу леммы 7, что
(81) Л(У + *) = Ш+ /,(*).
Из (1), (78) и (81) следует, наконец,
/(У+ *) = /<У)+ /<*),
что и доказывает гомоморфность отображения /.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
109
Ь) Пусть z e G, е > 0. Выберем натуральное число
(82) р>Х-
е
и выберем для каждого числа j = 1,..., п окрестность нуля Vj в
соответствии с леммой 8 так, что будет выполняться неравенство (62) для каждой
последовательности целых чисел {Л»К°=!, для которой существует точка у,
удовлетворяющая условию
(83) гуен{а. + [А\(а;)] + Р (г = 1,2,...),
Положим, наконец,
(84) У = г+ЭУ..
Согласно § 3.3, V будет окрестностью точки z. Для каждой точки z' из
этой окрестности имеем в силу (84)
(85> ,пе. z'-ZeV, (j = l,..., П),
тогда по (76)
(86) i(z'-z)eHj(i(z'-z))aj+[A\(aj)]+F (« = 1,2,...; j = l г).
Из (85) и (86) следует, однако, по выбору множеств VJ-, что
|*-*оо • | У
откуда в силу (77) и (82) получаем
|/y(*'-z)|<e (i = l,...,n)
для каждой точки z1 е V. С учетом а) получаем отсюда, наконец,
l/,CO-/,(*)l<e (j = l,...,n;z'€V).
Тем самым показано, что для каждой точки z е G и каждого е > О
существует такая окрестность V точки г, что /(V) содержится в кубичной
е-окрестности вектора f(z). Тем самым установлена непрерывность
отображения /.
с) Пусть X1 — некоторый бикомпакт, следовательно, ограниченное
замкнутое подмножество Еп. Надо доказать, что /"(X') бикомпактно.
Выберем сперва такое натуральное число р, что X1 содержится в
кубичной р-окрестности нуля. Для каждого числа j = 1,..., п выберем теперь по
лемме 9 натуральное число г- такое, что выполняется неравенство (65) для
каждой последовательности {ftJ^Li целых чисел, удовлетворяющей
неравенству
(87) |Л,|^г,.,
для которой существует точка у, удовлетворяющая условию (83). Положим,
наконец,
(88) Х=£ "в {(4)} + F-

по
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Тогда X, как алгебраическая сумма конечного множества и
бикомпактного множества, бикомпактно. Я утверждаю, что
(89) f~(X')cX.
Действительно, для каждой точки
(90) yeG\X,
в силу (75) и (88), неравенство
(91) |Я,(»)1>»,
выполняется по крайней мере для одного из чисел j = 1,..., п. Из (91)
следует, однако, по выбору числа гу и определению (77), что
1/,(!/)|£Р-
По выбору р и определению (78) следует, далее, что
f(y)eEn\x>,
и так как это следует из (90), то включение (89) доказано.
Множество /~(Х'), как прообраз замкнутого множества X1 при
непрерывном в силу Ь) отображении /, замкнуто и вместе с тем, как
подмножество бикомпактного множества, бикомпактно.
d) Так как Еп локально бикомпактно и удовлетворяет аксиоме
отделимости Хаусдорфа, то к отображению / применима лемма 1. По этой лемме
отображение / в силу Ь) и с) вдвойне непрерывно. Отсюда, в частности,
следует замкнутость /(G) в Еп.
В силу a), f(G) — подгруппа Еп.
В силу b), /(G), как непрерывный образ связной Г-группы G, связно.
Очевидно, далее, что
(92) ш,ег$.,а, + [А\ау]
и по (76)
(93) гакеЩ{гак)^ + [А\а5] + Е
Из (92) и (93) вытекает, однако, что
Fn((i^-ff^))a. + [A\ay])M.
По лемме 5 отсюда следует ограниченность п2 числовых
последовательностей {i5iJk - Яу(Ц.)}Г«1» откуда в силу (71), (77) и (78) получаем
/K) = efc (fc = l,...,n).
Элементы f(ak) (к = 1,..., п) множества /(G) будут также линейно
независимы. Так как, однако, /(G) есть замкнутая связная подгруппа Еп, то по
лемме 10
/(G) = Я„,
что и требовалось доказать.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 111
§ 8. Внутренняя характеристика векторных пространств
1. Если коммутативная непрерывная группа G не содержит
бикомпактных подгрупп, кроме (0), и / есть уплощение G на векторное пространство,
то / взаимно однозначно. Действительно, множество /~(0) в этом случае
является, по определению уплощения, бикомпактной подгруппой G и
поэтому состоит только из нуля, откуда, как известно, следует взаимная
однозначность отображения /. Кроме того, / в силу § 3.9 вдвойне непрерывно,
как уплощение локально бикомпактной Т-группы. Однако каждое взаимно
однозначное и вдвойне непрерывное отображение, как легко заметить,
является топологическим. Таким образом, / есть топологический изоморфизм
и G — векторное пространство.
Вместе с тем из теоремы уплощения следует, что каждая
коммутативная непрерывная группа без отличных от (0) бикомпактных подгрупп есть
векторное пространство.
С другой стороны, каждое векторное пространство является
коммутативной непрерывной группой без отличных от (0) бикомпактных подгрупп.
Действительно, если F — бикомпактная и потому ограниченная подгруппа Еп,
то циклическая группа [(х)] для каждой точки х е F содержится в F и
потому ограничена. Отсюда следует тотчас, что ж=0. Аналитическое векторное
пространство Еп не содержит, таким образом, ни одной отличной от (0)
бикомпактной подгруппы. Это свойство сохраняется, однако, при
топологических изоморфизмах, и так как, кроме того, никакое 0-мерное векторное
пространство не содержит отличных от (0) подгрупп, то это же имеет место
для каждого векторного пространства.
Мы получили, таким образом,
Следствие 1. Произвольная Т-группа G тогда и только тогда
является векторным пространством, когда она удовлетворяет
следующим условиям:
1) G локально бикомпактна;
2) G связна;
3) G коммутативна;
4) G не содержит бикомпактных подгрупп, отличных от (0).
Доказательство этого утверждения дает ответ на вопросы, поставленные
во Введении и в § 3.10. В следующем параграфе мы снова, с другой точки
зрения, рассмотрим вопрос о месте векторных пространств среди
коммутативных непрерывных групп. Мы займемся теперь небольшим исследованием
независимости четырех условий, фигурирующих в следствии 1.
2. Легко доказывается, что эти условия логически не зависимы друг от
Друга.
Во-первых, условия 2, 3, 4 выполняются для гильбертова пространства,
рассматриваемого как Г-группа, а условие 1, наоборот, нет.
Во-вторых, пусть N — Г-подгруппа £?,, состоящая из целочисленных
векторов. Условия 1, 3, 4 для случая G = N выполняются, а условие 2,
наоборот, нет.
В-третьих, условия 1, 2, 3 в случае G = EJN выполняются, а условие 4,
наоборот, нет: EJN само является отличной от (0) бикомпактной группой.

112
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Наконец, независимость условия 3 можно доказать следующим
примером20).
В трехмерном числовом пространстве, где открытые множества
определены обычным способом, мы введем сложение точек по формуле
(94) {£,, £2, £3} + fan %• %} = {£ 1 +Vi + £2*b f2 + %> £з + %}>
где £<f tit (i = 1,2,3) — произвольные вещественные числа. При этом
возникает, как в этом легко убедиться, некоторая Г-группа, которую мы
обозначим через М.
Так как М, как топологическое пространство, совпадает с 3-мерным
евклидовым пространством, то условия 1 и 2 для G = М выполняются. То же
самое относится и к условию 4.
Действительно, если F — бикомпактная и, таким образом, ограниченная
подгруппа М и если
(95) «-«nf.iWeF,
то [(х)], как подмножество F, ограничено. Из (94) и (95) следует, с другой
стороны, что
hx = {Л£, + *^«„ Л*„ h£3} (Л =0, ±1, ±2,...),
и, очевидно, эти точки образуют ограниченное множество только для £х =
= £о = £3 =0- Тем самым доказано, что F не содержит элементов, отличных
от ТО, 0,0}. Условие 4, таким образом, выполнено в случае G = М.
Напротив, условие 3 в этом случае не удовлетворяется, так как,
например, по (94)
{0,1,0} + {0,0,1} = {1,1,1}^{0,1,1} = {0,0,1} + {0,1,0}.
§ 9. Дальнейшие следствия и дополнения
1. Пусть G — коммутативная непрерывная группа, / — уплощение G в
векторное пространство. Множество
* = /-(<>)
является тогда бикомпактной подгруппой G. Я утверждаю, что каждая
бикомпактная подгруппа G содержится в К.
Действительно, пусть F — некоторая бикомпактная подгруппа. В силу
непрерывности и гомоморфности отображения / множество f(F) является
бикомпактной подгруппой векторного пространства. Таким образом, f(F) =
= 0 и, следовательно, F С /~(0) = К, как утверждалось.
Свойство быть бикомпактной группой и содержать любую бикомпактную
подгруппу G, очевидно, определяет К однозначно.
По § 3.9, далее, образ, т. е. векторное пространство, и разностная
группа G/K изоморфны. Последняя, таким образом, также является векторным
пространством.
2°) Этот пример тесно связан с некоторыми еще незаконченными исследованиями Л. С. Пон-
трягина и моими в области топологической динамики.

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
113
Мы получаем тем самым
Следствие 2. Каждая коммутативная непрерывная группа G
содержит однозначно определенную наибольшую бикомпактную под-
группу К, которая содержит все бикомпактные подгруппы G.
Т-разностная группа G/K является векторным пространством.
Эта наибольшая компактная подгруппа Г-группы G будет в дальнейшем
называться бикомпактным ядром G.
2. Если G — коммутативная непрерывная группа, то уплощение G на
некоторое векторное пространство однозначно определено по § 3.9 через
прообраз нуля с точностью до топологического изоморфизма векторных
пространств. Но, как мы говорили, прообраз нуля есть не что иное, как
определенное через G бикомпактное ядро G. Мы получаем отсюда
Дополнение к теореме уплощения. Уплощение заданной
коммутативной непрерывной группы на векторное пространство
возможно по существу только одним способом: каждое такое уплощение
можно перевести в любое другое посредством топологических
изоморфизмов векторных пространств.
3. Если 95 есть некоторое множество коммутативных непрерывных групп,
то мы скажем, что 95 есть область разностности, если справедливо
следующее: для каждого элемента G из множества 95 и каждой его Т-раз-
ностной группы G' найдется Т-группа, принадлежащая 95 и топологически
изоморфная G*.
Если 21 — произвольное множество коммутативных непрерывных групп,
то, присоединяя к 21 все Т-разностные группы принадлежащих ему групп,
получают, по § 3.7 и формуле (24), область разностности.
Будем говорить, что подмножество ф области разностности 95 является
областью уплощения, если каждый элемент из 95 может быть уплощен в
какой-нибудь элемент из ф, причем каждый элемент из 95, топологически
изоморфный какому-нибудь элементу ф, сам принадлежит ф.
Мы имеем тогда
Следствие 3. В каждой области разностности 95 имеется
однозначно определенная минимальная область уплощения. Она образована
из всех векторных пространств, принадлежащих 95.
Действительно, пусть 9} — множество всех векторных пространств из
области разностности SB; рассмотрим произвольный элемент G из этой
области. По теореме уплощения, G допускает уплощение в некоторое векторное
пространство G*. Согласно § 9.1, G' топологически изоморфна некоторой
Г-разностной группе. Однако эта Г-разностная группа топологически
изоморфна, в свою очередь, некоторому элементу G" из области разностности
95. Отсюда следует, что существует уплощение G в G" и что G" —
векторное пространство из области 95 и принадлежит, таким образом, 91. Но так
как G — произвольный элемент из 95, то тем самым доказано, что 9J есть
область уплощения в 95.
Пусть теперь *р — произвольная область уплощения в 95. Я утверждаю,
что
(96) 9Jc<p.
Действительно, пусть G — произвольный элемент множества 9J. В силу
включения 9J с ф множество G будет принадлежать 95 и может быть
поэтому уплощено на некоторый элемент G' из области уплощения *р. При

114
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
этом уплощении прообраз нуля G' является бикомпактной подгруппой
векторного пространства G и поэтому состоит только из нуля этого векторного
пространства. Так как, кроме того, G' локально бикомпактно, то отсюда
следует, в соответствии с § 3.9, что уплощение G на G' совпадает с точностью
до топологического изоморфизма G1 с тождественным отображением G на
себя и потому оно само является топологическим изоморфизмом. Имеем,
следовательно,
и, так как ?р есть область уплощения в 05 и G принадлежит множеству 05,
также
Gey.
Здесь G — произвольный элемент множества 9J. Таким образом,
включение (96) доказано. Правый член этого включения является произвольной
областью уплощения в 93, левый член этого включения, который также
является разностной областью в 95, есть вместе с тем минимальная область
уплощения, что и требовалось доказать.
4. Следствие 4. Тополого-алгебраический ранг коммутативной
непрерывной группы равен наибольшему количеству независимых друг
от друга элементов этой Т-группы.
Для векторных пространств это утверждение уже доказано в § 6.2.
Остается теперь свести общий случай с помощью теоремы уплощения к этому
специальному случаю.
Если G произвольная коммутативная непрерывная группа и / —
уплощение G на некоторое векторное пространство G'9 то по § 4.4
tar G = tar G'.
Таким образом, tar G равно наибольшему количеству независимых друг от
друга элементов векторного пространства G'. Если теперь а^,..., dn (n =
= tarG) — такие элементы из G', то в G найдутся п элементов а1,...,ап
таких, что
4=/(«О (i = l,...,n).
Согласно § 5.2, тогда а,,..., ап линейно независимы друг от друга. С другой
стороны, больше чем п независимых друг от друга элементов в G
существовать не может, потому что по § 5.2 такое же количество независимых
элементов в этом случае было бы и в С, что невозможно. Таким образом,
п = tar G действительно представляет собой наибольшее число
независимых друг от друга элементов Г-группы G.
5. Умножение векторов на вещественные числа может быть в
векторных пространствах определено тополого-алгебраически, т. е. без сведения
к аналитическому случаю. Одно такое определение индуцируется нашей
леммой 6.
Если х и у — произвольные элементы коммутативной непрерывной
группы G, А — некоторое вещественное число, то мы скажем, что у в А раз
превосходит х, если существует такая последовательность {h{}i=tl целых
чисел и такое бикомпактное множество F, что
iyeh{x + F (г = 1,2,...)
и h
lim ^ = А.
»-*оо г

О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
115
Легко можно убедиться, что это определение в случае аналитических
векторных пространств совпадает с обычным: у тогда и только тогда в А
раз превосходит чем ж, когда
у = Хх
в смысле (2).
Для случая произвольных векторных пространств отсюда немедленно
следует, что для каждого вектора х и каждого вещественного числа А
существует один и только один вектор у, в А раз превосходящий х. Если этот
вектор обозначить через А ж, то такое умножение будет удовлетворять
аксиомам Вейля.
В общем случае умножение не однозначно. Из теоремы уплощения
следует только, что оно всегда возможно: для каждого элемента х'
коммутативной непрерывной группы G и каждого вещественного числа А
найдется в G по крайней мере один элемент у, в А раз превосходя-
щий х21).
6. Существует обращающая на себя внимание аналогия между теорией
коммутативных непрерывных групп, с одной стороны, и теорией
абстрактных абелевых групп — с другой. Эта аналогия в конечном счете
основывается на тесном родстве понятий «конечный» и «бикомпактный». В то время
как абстрактная абелева группа с конечным числом образующих
порождается неким конечным множеством, Г-группа рассматриваемого здесь вида
порождается бикомпактным множеством — замыканием некоторой
окрестности нуля. Векторные пространства аналогичны так называемым
свободным абелевым группам, характеризуемым отсутствием конечных отличных
от (0) подгрупп, так же как векторные пространства — отсутствием
отличных от (0) бикомпактных подгрупп.
Теорема уплощения соответствует следующему факту: любую абелеву
группу с конечным числом образующих можно гомоморфно отобразить на
некоторую свободную абелеву группу так, что любое конечное
подмножество свободной абелевой группы будет иметь конечный прообраз. Но это
последнее утверждение является следствием гораздо более сильной теоремы
разложения, согласно которой каждая абелева группа с конечным числом
образующих может быть представлена в виде прямой суммы конечной и
свободной групп. Вполне правдоподобно, что и теорема уплощения может
быть усилена до аналогичной теоремы о разложении. Эта теорема гласила
бы, что каждая коммутативная непрерывная группа может быть
представлена в виде «топологической прямой суммы»2* некоторой бикомпактной
подгруппы и векторного пространства. Пока это предположение не удалось
ни доказать, ни опровергнуть.
Дополнительное замечание. В то время, как рукопись этой
работы готовилась к печати, Л. С. Понтрягин с использованием аксиомы
выбора доказал сформулированную выше теорему разложения для сепара-
бельных Г-групп. Как он устно сообщил мне, им в основном построено
доказательство и для общего случая.
21) Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.
и* Под этим мы понимаем объединение понятий топологического произведения пространств
и алгебраической прямой суммы.

116
О КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Литература
[1] Caratheodory С. Vorlesungen uber reele Funktionen. 2 Aufl. — Leipzig-Berlin:
Teubner, 1927.
[2] W e у 1 H. Raum, Zeit, Materie. 3 Aufl. — Berlin, 1919. Имеется перевод: В е й л ь Г.
Пространство. Время. Материя. —М.: Янус, 1995.-
[3] van D a n t z i g D. Zur topologischen Algebra. I // Math. Ann. —1933. — Bd. 107. —
S. 587—626.
[4] H a u s d о r f f F. Grundzuge der Mengenlehre. — Leipzig, 1914.
[5] Alexandroff P., Urysohn P. Memoiresurlesespacestopologiquescompacts. —
Verhandel. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Afd. Natuurkunde. Sect. I ff 1929. —Bd. 14,
№ 1.
[6] Alexandroff P. Uber stetige Abbildungen kompakter Raume // Math. Ann. —
1926. — Bd. 96. — S. 555-571.
[7] В а е г R., Levi F. Stetige Funktionen in topologischen RSumen // Math. Z. —
1931. — Bd. 34.-S. 110-130.
[8] Alexandroff P. Uber die Metrisation der in kleinem kompakten topologischen
RSume // Math. Ann. — 1924. — Bd. 92. — S. 294-301.
[9] van der Waerden B. L. Moderne Algebra. Bd. 1. — Berlin: Springer, 1931.
[10] Lei a F. Sur la notion du group abstrait topologique // Fundam. Math. — 1927.—
V. 9. —P. 37-44.
Jll] Pontrjagin L. Sur les groupes abeliens continue // С R. Acad. Sci. Paris.—
1934. —V. 198. — P. 328-330; The theory of topological commutative groups. — Ann. Math. —
1934.—V. 35. —P. 361-388.
Математический институт Ленинградского университета,
Ленинград
Поступило в редакцию 17 июля 1934 г.

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ГАРМОНИЗУЕМОСТЬ*)
1. Будем рассматривать динамическую систему $ с фазовым
пространством М.
В общем случае М является метризуемым топологическим
пространством, и Ф можно рассматривать как совокупность некоторых непрерывных
отображений числовых промежутков в это пространство. На эти
отображения, называемые движениями динамической системы #, следует
наложить ряд условий, соответствующих теоремам существования,
единственности и непрерывности теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пространство М может, например, быть n-мерным многообразием, и
движения могут определяться как непродолжимые решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме, не содержащих
явно независимой переменной.
Этот случай, рассматриваемый, например, в книге Биркгофа [1], мы и
будем главным образом иметь в виду.
2. Пусть x = f(t) — движение рассматриваемой динамической системы;
здесь t — независимая переменная, которую мы интерпретируем как
время, х — состояние движения, т. е. точка пространства М. Когда t
пробегает промежуток определенности движения /, точка х пробегает некоторое
точечное множество, называемое путем движения /. Будем говорить, что
это движение устойчиво в смысле Лагранжа, если его путь компактен
в пространстве М. Промежуток определенности всякого такого движения
простирается от —оо до +оо.
3. Введем в пространстве М ту или иную метрику. Пусть р(х,у)
обозначает расстояние между точками х и у. Будем рассматривать движение /,
устойчивое в смысле Лагранжа, и будем говорить, что вещественное число
г; есть его период с точностью до е, если при всяком вещественном t
соблюдается условие p[f(t + v), f(t)]< е. Будем говорить, что / почти
периодично (сокращенно — п. п.), если при всяком е > О его периоды с
точностью до е образуют множество, относительно плотное в смысле Бора
(см. [2, с. 41]).
Между так определенными п. п. движениями и непрерывными п. л.
функциями Бора имеется непосредственная связь. Пусть, в самом деле, в
пространстве М определена вещественная непрерывная функция точки Ф.
Тогда для всякого п. п. движения / сложная функция Ф(/(£)) будет п. п. в
смысле Бора. Справедливо и обратное утверждение, а именно: если движение
/ таково, что функция Ф(/(£)) будет п. п., какова бы ни была
вещественная непрерывная функция точки Ф, определенная в М, то это движение
п. п. Отсюда вытекает независимость понятия п. п. движения от выбора
метрики пространства М и сохранение п. п. движений при топологических
отображениях этого пространства.
4. Мы будем рассматривать другую проблему — вопрос о поведении
движений при некоторых преобразованиях независимой переменной.
) В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2. — Л. — М.:
Изд-во АН СССР, 1936. С. 227-231.

118
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ГАРМОНИЗУЕМОСТЬ
Пусть Ф — положительная непрерывная функция точки, определенная
в М. Будем рассматривать движение / динамической системы $ и положим
t
где ^ и $о — произвольные постоянные, причем ^ принадлежит
промежутку определенности движения /. Функция х(0 непрерывна и возрастает,
а поэтому имеет однозначную обратную функцию, которая будет также
непрерывной и возрастающей. Обозначим обратную функцию через ф и
положим /(*) = f(^(t)). Мы получаем таким образом новое непрерывное
отображение / некоторого числового промежутка в пространство М.
Каждому движению / динамической системы д и каждой паре констант ^, Г
соответствует такое /. Совокупность всех отображений /, получаемых
таким образом при закрепленной функции Ф,^ожно рассматривать как новую
динамическую систему #. Переход от # к # сводится к замене независимой
переменной Посредством новой переменной Г. Мы будем говорить, что #
переходит в $ в результате допустимого преобразования независимой
переменной с преобразующей функцией Ф. Допустимые преобразования
динамических систем с закрепленным фазовым пространством образуют
а б е л е в у группу.
Если система д определенадифференциальнымиуравнениями в
нормальной форме, не содержащими явно t, то и система #, получаемая из # путем
допустимого преобразования с преобразующей функцией Ф, определяется
подобными же дифференциальными уравнениями, не содержащими^.
Новые уравнения получаются из первоначальных путем замены t на Г и
деления правых частей уравнения на Ф.
Допустимые преобразования независимой переменной не влияют на пути
движений, изменяя лишь скорости прохождения этих путей. Поэтому все
свойства движений, зависящие исключительно от их путей, сохраняются
при таких преобразованиях.
К таким свойствам относятся устойчивость в смысле Лагранжа,
устойчивость в смысле Пуассона, рекуррентность, периодичность. Естественно
поставить вопрос: как ведут себя п. п. движения при допустимых
преобразованиях независимой переменной, сохраняют ли они свою почти
периодичность?
5. На этот вопрос можно дать довольно простой ответ.
Пусть f—n.n. движение динамической с^истемы $; Ф — функция,
преобразующая & в динамическую систему #. Обозначим через М среднее
значение непрерывной п. п. функции Ф(/(£)). Для почти периодичности
движения f системы $ необходимо и достаточно, чтобы функция
(1) Ф(/(*))-М
имела ограниченный неопределенный интеграл.
Доказательство необходимости этого условия опирается на результаты
Франклина [3]; доказательство достаточности — на известную теорему
Боля— Бора о неопределенном интеграле п. п. функции (см. [4]; см. также [1,
с. 71-73]). П. п. функция (1) имеет среднее значение 0. Отсюда, однако,
отнюдь не следует, что ее неопределенный интеграл ограничен. В самом деле,

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ГАРМОНИЗУЕМОСТЬ
119
еще Боль построил пример п. п. функции со средним значением 0 и с нео-
3>аниченным неопределенным интегралом (см. его цитированный мемуар).
озникает вопрос: может ли функция (1) обладать такими свойствами?
Утвердительный ответ на этот вопрос будет означать, что почти периодичность
вообще не сохраняется при допустимых преобразованиях независимой
переменной, что возможна дисгармонизация п. п. движений, т. е. перевод
их в не п. п. движения путем таких преобразований. Следующий пример
показывает, что дисгармонизация действительно возможна.
6. В качестве фазового пространства возьмем четырехмерное декартово
пространство ЕА. Движения пусть определяются системой четырех
обыкновенных дифференциальных уравнений:
dxt dxn dxo dx*
где а^ и ш2 — несоизмеримые постоянные.
Общее решение этой системы имеет вид
хх = с, sinfu;, t + а,), ж, = Cg sin(u/2* + а2),
х3 = с, cos(u)xt + а{), х4 = Cg cos(u/2£ + а2),
где с,,^, ара2 — постоянные интегрирования. При 0^ = 0 это решение
чисто периодическое, при с^^О — почти периодическое в собственном
смысле.
Положим
(3) ф=(1+х?)(1+а!)
и примем так определенную непрерывную положительную функцию в
качестве преобразующей функции допустимого преобразования независимой
переменной. В новой переменной уравнения движения имеют тот же вид, с
той лишь разницей, что справа везде появляется множитель (1 +а&?)(1 + а£)
и t заменяется на Г.
Чтобы выяснить, что делается с п. п. движением /, определяемым
равенствами (2), при переходе к переменной Г, надо рассмотреть функцию
(4) Ф(/(0)-М= l
^(l+c'Xl+cf)
х f < fl ? )Ы({ ? }KI
т^—осЛ l + yTT^ V 1 + yfiTc*'
2<(т,а, + m2a2)e2*(mI u/, + nijU/2)t
где штрих означает, что m, и щ не принимают значения 0 одновременно.
Если эта функция имеет ограниченный определенный интеграл, то,
согласно Болю и Бору, интеграл этот будет п. п., причем его ряд Фурье будет
получаться почленным интегрированием правой части равенства (4).
Отсюда следует, что числа
^W«.^c2) = ^^(l-77^)K'(l-77^)W
(К| + К|>0),
где а = ^, образуют в этом случае ограниченное множество.

120
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ГАРМОНИЗУЕМОСТЬ
Нетрудно, однако, видеть, что те иррациональные значения а, при
которых последнее условие соблюдается хотя бы при одном выборе отличных
от нуля констант с{ и Cg, образуют множество I бэровской категории. При
всяком иррациональном а, не принадлежащем этому множеству,
допустимое преобразование независимой переменной с преобразующей функцией
(3) производит дисгармонизацию всех п. п. движений нашей периодической
системы, за исключением, разумеется, чисто периодических.
7. Мы видим, таким образом, что п. п. движение / может переходить
в не п. п. движение / при допустимом преобразовании независимой
переменной. В этом случае обратное преобразование, которое также допустимо,
переводит не п. п. движение / в п. п. движение /. Движения, переходящие
в почти периодические при надлежащих допустимых преобразованиях
независимой переменной, мы будем называть гармонизуемыми. Наш результат
гласит, что класс гармонизуемых движений шире класса п. п. движений.
С другой стороны, всякое п. п. движение рекуррентно. А так как
рекуррентность сохраняется при допустимых преобразованиях, то и всякое
гармонизуемое движение рекуррентно.
На вопрос, не является ли и обратно всякое рекуррентное движение
гармонизуемым, приходится дать отрицательный ответ.
Существование негармонизуемых рекуррентных движений может быть
доказано на известном примере характеристик на поверхности тора,
рассматривавшемся еще Пуанкаре [5; о]. Другой, аналитически более простой
пример был недавно построен мною.
В этом последнем примере, о котором я не имею возможности более
подробно говорить за недостатком времени, минимальное множество
рассматриваемых рекуррентных движений есть 3-мерное замкнутое многообразие
с некоммутативной фундаментальной группой, и именно это обстоятельство
может быть положено в основу доказательства негармонизуемости.
Литература
[1] Birkhoff G. D. Dynamical Systems. New York, 1927. Имеется перевод: Бирк-
г о ф Д ж. Д. Динамические системы. — М. — Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1941; М.: РХД, 2000.
[2] Бор Г. Почти периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1934.
[3] Franklin Ph. Almost periodic recurrent motions // Math. Z. — 1929. — Bd. 30. —
S. 325-331.
[4] Bohl P. // J. ReineAngew. Math. (CrelleJ.) — 1906. — V. 131. — P. 268-321.
[5] P о i n с а г ё Н. // J. de Liouville. Ser. 4. — 1885. — V. 1.
[6] D e n j о у A. I/ J. Math. Pures Appl. Ser. 9. — 1932. — V. 11.

О ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ АКАД. Н. М. КРЫЛОВА
И Д-РА Н. Н. БОГОЛЮБОВА*)
В 1932 г. появилась монография акад. Н. М. Крылова и д-ра Н. Н.
Боголюбова «Исследование продольной устойчивости аэроплана» [1]. Целью моего
доклада является критическое рассмотрение математического содержания
этой работы, сосредоточенного в ее § 1, носящем название «Общая теория
стационарных колебательных процессов».
Авторы исследуют здесь решения системы дифференциальных уравнений
(О ^ + i.4-4f.(ft,...,«.;J.....i) (* = !>•..,«),
где ша — линейно независимые постоянные, е — малый параметр, q8 —
искомые функции независимой переменной t, f8 —данные функции 2п
переменных. Какой природы функции имеются здесь в виду, — об этом у
авторов нет никаких указаний. Вероятно, надо предполагать аналитичность этих
функций. В начале § 1 делается следующее заявление: «Заметим прежде
всего, что на основании весьма тонких и трудных математических
исследований, связанных с теорией почти периодических функций, нам удалось
установить, что исследуемые колебательные решения системы (1) будут
квазипериодическими функциями в смысле Боля с п основными
частотами...» (см. [1, с. 8]).
Содержание «Общей теории стационарных колебательных процессов» в
основном сводится к формальным методам разыскания таких
квазипериодических решений. Решение систем (1) ищется в виде
(2) q8 = QM t,...,u>nt,e) (5 = 1,2,..., n),
где Q,(f i,..., f n, e) — функции, периодические в £ 1?..., f n с периодом 2эт в
каждой из этих переменных, частоты же ши ..., шп зависят от е.
Зависимости Qs и ша от е предполагаются аналитическими, и эти величины ищутся
в виде степенных рядов:
(3) Ч=£^ЧИ-
i/=0
(4) Q.(€„...,€.,e)=Ee,'Qi')«„...,e.),
где и>М — постоянные, Qjp — периодические функции £м..., f n с
периодами 27г. Для функций Q$u) авторы получают линейные уравнения в частных
производных. В частности, при и = 0 и при i/ = 1 эти уравнения имеют вид:
(5) ± ««««ЙС + U'QW-O («-1.2 я)
г,р«1 ^г^р
) В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2. — Л. — М.:
Изд-во АН СССР, 1936. С. 241-246. [Об этой проблеме см. также с. 445-450. — Прим. сост.]

122 О ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
(6) ± «flttfi^ + i'QO).
(e = l,2,...,n).
Полагая
(7) ч(0) = ". (s = l,2,...,n),
авторы берут очевидное решение
(8) Q!0) = A8sm(Z, + <pa) (5 = 1,2,..., п)
уравнений (5). Здзсь А, и у>, — произвольные постоянные.
Решения уравнений (6) ищутся далее в виде формальных кратных
тригонометрических рядов. 6 качестве необходимого и достаточного условия
существования таких формальных решений при этом получаются п
уравнений
2* 2*
(9) ] ... ] /e(A1sin^1,...,Ansinfn;A1i1cosf1,...,Anc!;ncos^n)x
о ° х cos £.#,... #ж=0 (з = 1,...,п),
связывающих константы А9. Вопросы сходимости при этом совершенно не
рассматриваются.
Несмотря на это, авторы считают возможным сделать выводы из своих
исследований, которые можно сформулировать так:
1. Если числа Аи ..., Ап удовлетворяют уравнениям (9), причем
якобиан левых частей этих уравнений по А,,...,АП отличен от нуля, то
система дифференциальных уравнений (1) имеет решение (2), где ша(е) и
Q«(f и • • •> ln» e)> ПРИ е достаточно малом, представляются степенными
рядами (3) и (4), в которых ш\и) — постоянные, Q}u) — периодические
функции £lf..., fn с периодом 27г. В частности, ш^0) и Qe(0) определяются
равенствами (7) и (8), в которых ра суть произвольные постоянные; Qt суть
периодические решения уравнении (6).
2. Если правые части уравнений (1) не зависят от ^-, то «общий
интеграл» этих уравнений будет «стационарным колебательным». В этом
случае, при всяком достаточно малом е и всяких достаточно малых 18
(s = 1,2,..., п), решение системы (1), удовлетворяющее начальным
условиям
(">) ff.=0; J = If (*=0;s = l,2,...,n)
будет квазипериодическим и, следовательно, ограниченным.
Мы покажем сейчас на двух примерах, что оба эти результата не верны.
Пример 1. Пусть п = 2,
<"> '- = 07^& (—.2).
Уравнения (9) имеют здесь решение
(12) А,=А2 = 2>/2,
для которого, как нетрудно проверить, якобиан левых частей не исчезает.

О ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ 123
Покажем, что, вопреки 1-му результату Н. М. Крылова и Н. Н.
Боголюбова, невозмущенные линейно независимые частоты шх и ш2 могут быть
выбраны так, чтобы система уравнений (1) не имела квазипериодических
решений вида (2)-(8). Для этого нам достаточно будет выбрать шхи ш2 так,
чтобы первое из уравнений (6) вообще не имело решений, периодических в
f! и £2 с периодами 2п. В возможности такого выбора мы сейчас убедимся.
Допустим, в самом деле, что Q}l)(£x, fo) есть такое периодическое решение.
Умножим первое уравнение (6) на е~{'*1*1+х***\ где гх —нечетное целое
число, отличное от ±1, ^ — четное число, отличное от нуля. Проинтегрируем
по £ 1 и & в квадрате 0 < £, < 2ет (5 = 1,2). Интегрируя в левой части по
частям и принимая во внимание равенства (7), (8), (11) и (12), получаем
(13) £ f [тьы**™*^.,"Г-7"',»(*)'
О О
Левые части этих равенств суть коэффициенты Фурье непрерывной
периодической функции QfV. Отсюда следует, что числа
... Ы+Ы
<14> (l) |l-(*,Wl (-.=±3,^5,.., ,, = ±2^4,...),
где
— * 1
шх
образуют ограниченное множество.
Обозначим теперь через J множество иррациональных чисел. Через Nm
обозначим множество всех иррациональных а, удовлетворяющих
бесконечной системе неравенств
ш
2
|i-(*i + «*>rl
<m (^=±^±5,...; ^ = ±2,±4,...).
Легко устанавливается, что каждое из множеств Nm (m = 1,2,...) нигде
не плотно в J.
Множество
есть, следовательно, множество Гбэровской категории в J. Но это как раз
и есть множество тех иррациональных а, для которых числа (14) образуют
ограниченное множество.
Будучи множеством I категории в J, множество S не совпадает с J, и
дополнительное множество J — S даже всюду плотно в J. Для всех точек а
этого дополнительного множества существуют сколь угодно большие
числа вида (14\ и, следовательно, не существует непрерывной периодической
функции. Q}1\ удовлетворяющей условиям (13). Для таких а не может
поэтому существовать квазипериодических решений уравнений П) типа
Крылова—Богсшрбова, несмотря на соблюдение их условий (9). (Идея
рассуждения, примененного в последнем абзаце, отнюдь не является новой.)

124 О ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Пример 2. Пусть теперь п = 3,
fi = Q\, Л = 02» Ъ = Я\Я2-
Первые два из уравнений (1) с начальными условиями (10) легко решаются
в эллиптических функциях Якоби. Пользуясь известными разложениями
этих функций в тригонометрические ряды, получаем
Ч.^Г^г^е^ (, = 1,2),
где * означает, что суммирование распространяется на все Целые нечетные
значения г, и где через sgn z обозначена функция, равная 1 при z >0 и -1
при z < 0. В этих решениях постоянные ша и h8 определяются, как функции
параметра е и начальных данных 1а, формулами:
*/2 -w/2
К = f ^ if' = f **
' J ^l-*,2sinV ' J д/l - ibe'2 sin2 ^'
При этом предполагается, что
(15) 0<2е/,2<<^4 (5 = 1,2),
и везде берутся положительные значения квадратных корней. При
соблюдении неравенств (15), qa (s = 1,2) являются, таким образом, периодическими
функциями t с основными частотами ш,, аналитически зависящими от ela
и, как нетрудно видеть, действительно изменяющимися с изменением ela.
Остается подставить найденные решения первых двух уравнений (1) в
третье уравнение (1) и решить последнее. Правая часть его, как
произведение двух периодических функций t, будет квазипериодической
функцией t с двумя, вообще говоря, несоизмеримыми частотами шх и ш2. Ее ряд
Фурье может быть получен из рядов Фурье функций qa(t) по правилам
формального умножения рядов, с приведением подобных членов в случае
соизмеримости. Таким образом, уравнение для qa принимает вид
2 ¥ Ч
(16) ^ + ^-8^2ЕГз?п(^) *'ы ^ые'<*.^>',
где, в случае соизмеримости ц и а;2, в правой части должно быть
выполнено приведение членов с одинаковыми г{ш1 -f^u^. Мы имеем здесь
линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и
почти периодической правой частью. Теория таких уравнении была
разработана Бором и Нейгебауэром [2]. Основной результат, полученный ими,

О ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ 125
заключается в том, что всякое ограниченное решение дифференциального
уравнения
Му) = & + а,£^? + ... + ап *, = /(*),
где аа — постоянные, / — почти периодическая функция, будет почти
периодическим. Необходимым условием существования таких решений является
при этом отсутствие резонанса, т. е. отсутствие частот гармонических
колебательных решений однородного уравнения
£(у) = 0
среди показателей Фурье функции /.
В нашем случае такой собственной частотой является и;3. Что же
касается правой части уравнения (16), то при несоизмеримых шх и ш2 ее
показателями Фурье будут всевозможные числа вида гхшх+г2ш2 с
целыми нечетными гх и %. Принимая Теперь во внимание, что ш8 фактически
изменяется с изменением el? (s = 1,2), нетрудно доказать следующее.
Каковы бы ни были числа е, 1{°\ /2 > удовлетворяющие неравенствам
0<2е1Ю2<ш? (5 = 1,2),
при всяком 77 > 0 существуют числа /,, /2, удовлетворяющие
неравенствам (15), неравенствам
\I.-I«»\<V <« = 1.2)
и такие, что соответствующие значения шх и и>2 несоизмеримы, а иъ
представляется в виде
и)^-гхи)х+г2ш2
с целыми нечетными z, и 2^. В частности, такие 1Х и 12 могут быть при
всяком е > О взяты сколь угодно малыми.
При всяком таком выборе чисел 1Х и 12 уравнение (16) не имеет
ограниченных решений, в силу чего система уравнений (1) не имеет ограниченных
решении, удовлетворяющих начальным условиям (10), каково бы ни было
число 1а. Этим доказана ошибочность 2-го результата «Общей теории
стационарных колебательных процессов».
Литература
[1 ] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Исследование продольной устойчивости
аэроплана.—М. — Л.: Гос. авиац. и автотракт, изд., 1932.
[21 Bohr H.t Neugebauer О. Uber lineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten und fastperiocRscher reenter Seite. — Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-phys. —
1926. -S. 8-22.

ОБ ОДНОМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ СВОЙСТВЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ*)
1. Целью этой заметки является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Пусть f(x) — непрерывная периодическая функция пери-
ода 1 одной вещественной переменной, причем значениями этой
функции являются вещественные или комплексные числа. Тогда возможны
только два случая: либо сумма
(1) Е /(fa),
jk=i
рассматриваемая как функция целого положительного п, ограничена
для каждого постоянного иррационального значения а; либо
иррациональные значения а, для которых эта сумма является ограниченной
функцией п, образуют множество первой категории. Первый случай
имеет место, когда функцию f(x) можно представить в виде
(2) /(*)= Е %е2***,
где N есть положительное целое и ак суть константы, причем, в
частности, Oq = 0; второй случай имеет место, когда f(x) не допускает
такого представления.
2. Мы начнем с простой леммы, касающейся категории некоторых
множеств.
Лемма 1. Пусть fx, /2, ... есть последовательность непрерывных
функций одной вещественной переменной, определенных на всей
вещественной оси R; Za —множество нулей функции fa. Если множество
(3) Z = ±Z8
8=1
всюду плотно eR, то значения х, для которых нижняя грань \fB(x)\ при
изменении s положительна, образуют множество первой категории.
Доказательство. Обозначим через Fn (n = 1,2,...) множество
чисел х, для которых имеет место неравенство
!/.(*)!>£ (« = 1,2,...).
Множества Fn замкнуты в силу непрерывности функций fa. Эти
множества, очевидно, не имеют общих точек с множеством Z. Другими словами,
ZcR-Fn (n = l,2,...).
Поскольку по предположению множество Z всюду плотно, отсюда
следует, что замкнутые множества Fn являются нигде не плотными.
' Sur une propriete caracteristique des polynomes trigonometriques // Compositio Math. —
1936.—V. 3. —P. 305-309. Перевод с французского С. В. Соловьева.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ 127
Но рассматриваемое множество всех х, для которых нижняя грань]/, {ж)|
при изменении s положительна, есть не что иное, как сумма всех Fn. Это
множество является, таким образом, множеством первой категории, что и
требовалось доказать.
3. Лемма 2. Пусть f(x) — непрерывная периодическая функция
периода 1 одной вещественной переменной, а — иррациональное число,
и пусть С — положительная константа такая, что имеет место
неравенство
(4)
£/(**)<С (п = 1,2,...).
k = l I
Тогда
(5)
Ее
* = 1
2-кткла
1
j fix)*
—2irmix
dx
^2C (n = l,2,...; m = 0,±l,±2,...).
Доказательство. В силу периодичности функции / и неравенства
(4) мы имеем
\Ef(p + q<* + ka)\z2C (р = 0, ±1, ±2,...; д = 0,1, 2,...).
Числа p + qa здесь образуют всюду плотное множество, поскольку а
иррационально. Тогда в силу непрерывности функции / мы получаем
J2 f(x + ka)\ < 2С (п = 1, 2,...; -оо < х < оо)
* = i
и это дает
J2 е2тМа \ f(x)e
А: = 1 J
О
-2*mix
dx
l-ka
п С
= Е /(
\к = 1 J
-ка
x + ka)e-2ltmixdx
= I е-2™* £ f(x + ka)dx
что и требовалось доказать. °
Лемма 3. Если выполнены условия леммы 2, то
^2С,
(6)
f f(x)dx = 0.
Доказательство. Полагая m = 0 в неравенстве (5), мы получаем
i
n I f(x)da
<2С (n=l,2,...),
что дает равенство (6).
Лемма 4. Если выполнены условия леммы 2, то
(7)
1-е
-2irmta
1
—2mnix
dx\
^C (m = ±l,±2,...).

128 ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Доказательство. Когда т/0, неравенству (5) можно придать вид
(8)
1-е
2wnmia
-^ j Пх)е-*™Ых
^2С (п = 1,2,...).
Но верхняя грань 11 — e2immia | при изменении п равна 2, поскольку а
иррационально, неравенство (7) есть, таким образом, следствие
неравенства (8).
4. Лемма 5. Если условия теоремы выполнены и если для веско-
печного множества целых значений к
f f(x)e'2irkixdx^0i
о
то иррациональные значения а, для которых сумма (1) является
ограниченной функцией п, образуют множество первой категории.
Доказательство. Согласно условию, существует некоторая
последовательность klt fej, ... целых чисел такая, что
1
(9) 0<№|<№|<..., j/(x)e-2"*.tedx^0 (5 = 1,2,...).
О
Положим
f.W^-^ (* = 1,2,...),
где
(10) ак = ( f(x)e^kixdx (к =0, ±1, ±2,...),
о
и обозначим через Z8 множество нулей функции /в. Это последнее
составлено из всех чисел вида р/кя, где р — целое. Множество (3) является, таким
образом, всюду плотным в силу (9), и можно применить лемму 1.
Множество Р иррациональных чисел а, для которых нижняя граница выражения
при переменном s положительна, по этой лемме является множеством
первой категории.
Пусть Q — множество иррациональных значений а, для которых
величины ак/\ — e~2irkia образуют ограниченное множество, X — рассматриваемое
множество всех иррациональных а, для которых сумма (1) является
ограниченной функцией п. Очевидно,
QCP
и по лемме 4
XCR
Поскольку множество Р — первой категории, из этого следует, что X
также первой категории, что и требовалось доказать.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ 129
5. Лемма 6. Если функция f есть тригонометрический полином
вида (2) и 00=0, то сумма (1) есть ограниченная функция п, каково бы
ни было иррациональное число а.
Доказательство. Мы имеем в данном случае
JL — . Л'кплим. I
где штрих над знаком £ указывает, что речь идет о неполной сумме:
индекс s не принимает нулевого значения. Это дает
I £/(*«)
и наша лемма доказана.
Теперь для завершения доказательства теоремы, сформулированной в
начале настоящей заметки, остается добавить всего несколько слов.
Рассмотрим систему коэффициентов Фурье (10) функции /. Могут иметь
место два случая. Либо существует целое N такое, что ак = 0, как
только \k\> N, либо такого N не существует. В первом случае второй член
равенства (2) есть разложение Фурье функции /, и, так как эта функция
непрерывна, она равна этому тригонометрическому полиному. В то же
время, если Oq = 0, то, каково бы ни было иррациональное число а, сумма (1)
есть, согласно лемме б, ограниченная функция п. Это — первый случай
теоремы, которая была сформулирована. Если же а^О, то из леммы 3 следует,
что множество иррациональных а, для которых сумма (1) является
ограниченной функцией п, не содержит ни одной точки и, таким образом, является
множеством первой категории. Согласно лемме 5, если не существует
целого N такого, что ак =0 для \к\ > N, то оно также является множеством
первой категории. Это — второй случай сформулированной теоремы.
Институт математики и механики
Ленинградского государственного университета
N
<2£' -
Поступило в редакцию 21 января 1936 г.
Поступило с изменениями 3 июня 1936 г.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ АБЕЛЕВЫХ МНОЖЕСТВАХ*)
1. Эта заметка посвящена некоторым вопросам, связанным с абелевыми
множествами отображений, определяемыми следующим образом.
Пусть Е — произвольное множество, Г — множество однозначных
отображений множества Е в самого себя. Мы говорим, что Г есть абелево
множество, если
<рфх = ф<рх
при хеЕ, <реГ, ф еГ.
2. Главные результаты этой заметки получены как следствия общей
теоремы А. Н. Тихонова о существовании инвариантных точек [1].
В первой теореме речь идет о непрерывных отображениях
бикомпактного ir выпуклого множества В, содержащегося в линейном топологическом
пространстве. Мы говорим, что такое отображение аффинно, если
4>(\х + fiy) = Х(рх + /л<ру
При А ^ О, д^О, X+ii = l> хеВ, уеВ. Имеет место следующий результат.
Теорема 1. Пусть В ~*непустое, выпуклое и бикомпактное под-
множество локально выпуклого линейного топологического
пространства; Т—абелево множество аффинных отображений множества В в
самого себя. Тогда существует точка х е В такая, что <р(х) = х при
всяком <реГ,
Наметим доказательство. Обозначим через /^ множество инвариантных
точек отображения <р е Г. Нетрудно видеть, что Ьсе множества 1?
выпуклы и замкнуты. Покажем, чтб пересечение любого конечного числа этих
множеств непусто.
Это утверждение доказывается путем полной индукции. Для одного
множества 1^ оно справедливо согласно теореме Тихонова. Допустим, что оно
верно для п — 1 множеств 1^ и покажем, что оно верно тогда и для п
множеств 1^.
Пусть в самом деле (plt..., <рп — какие-либо элементы множества Г.
Множество I Г).. .Dly выпукло и замкнуто как пересечение выпуклых и
замкнутых множеств.
Следовательно, это множество бикомпактно, как замкнутое
подмножество бикомпак-Гного множества. Согласно индуктивному предположению оно,
кроме того, непусто.
С другой стороны, имеем:
<Pn(L П... ПI, ) с 1„ П... П1Ш ,
так как Г — абелево множество.
*) Докл. АН СССР. — 1936. — Т. 1(Х), № 8. — С. 299-302. Представлено академиком
С. Н. Бернштейном 16 февраля 1936 г.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ АБЕЛЕВЫХ МНОЖЕСТВАХ
131
Отсюда согласно теореме Тихонова следует, что множество I П...П1^
содержит точку, инвариантную относительно ipn. Эта точка принадлежит,
таким образом, множеству 1^ П... П1^ , каковое, следовательно, непусто.
Наше утверждение о пересечении конечного числа множеств, таким
образом, доказано. Но в силу бикомпактности множества В отсюда немедленно
следует, что и пересечение всех этих множеств непусто, что и требовалось
доказать.
3. Пользуясь этой теоремой, можно доказать следующий результат.
Теорема 2. Пусть Г —-абелево множество отображений
ства Е в самого себя. Существует вещественный функционал М,
определенный в области вещественных ограниченных функций элемента
множества Е и удовлетворяющий условиям:
Г. М(1) = 1, где 1 под знаком М означает функцию, тождественно
равную единице.
2°. M(f + g) = M(f) + M(g).
3°. М(/) ^0, если f(x) ^ 0 при всяком хеЕ.
4°. M(f<p) = M(f) при всяком <реГ.
В самом деле, обозначим через L множество всех вещественных
функционалов, определенных в области вещественных ограниченных функций
элемента множества Е. Рассматривая это множество как произведете
бесконечной системы вещественных прямых, мы вводим в него некоторую
определенную топологию; при этом L становится локально выпуклым линейным
топологическим пространством (см. [1, с. 772]).
Пользуясь теоремой Тихонова о бикомпактности топологического
произведения системы отрезков (см. [1, с. 5441), легко показать, что функцией
налы М, удовлетворяющие условиям Г-3°, образуют непустое, выпуклое
и бикомпактное множество В. Каждому отображению у? еГ соответствует
отображение ip* этого множества в себя самого, определяемое равенством
(<p-M)(f) = M{f<p).
Нетрудно видеть, что эти отображения аффинны и что они образуют
абелево множество. Согласно теореме 1, отсюда следует существование
функционала МеВ такого, что <р*М = М при всяком ip еГ. Этот функционал
удовлетворяет условиям Г-4°, что и требовалось доказать.
4. Рассмотрим теперь частный случай, когда Е является нормальным
топологическим пространством (см. [3, с. 68, 95]), а элементы множества Г
суть непрерывные отображения этого пространства в себя самого.
Применяя построение фон Неймана [4], можцо тогда перейти от «среднего
значения» М к некоторой «средней плотности». Мы получаем таким образом
следующий результат.
Теорема 3. Пусть Г — абелево множество непрерывных
отображений нормального топологического пространства Е ё себя Самого.
Тогда существует вещественная функция р, от произвольного
подмножества пространства Е, удовлетворяющая условиям:
1°. /хЯ = 1.
2°. fi{AuB)^fi(A) + fi(B). _
3°. /х(А UB) = p,A + /xS, если"АпВ пусто.

132
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ АБЕЛЕВЫХ МНОЖЕСТВАХ
4°. \iA =inf fiG, где G пробегает множество окрестностей
множества А.
5°. fi(p~l G ^ fiG для всякого открытого множества G и всякого ip € Г.
5. С этой теоремой связаны следующие легко доказываемые факты.
Замечание 1. Если нормальное пространство Е компактно, то
всякая функция множества /х, удовлетворяющая условиям Г-4°,
удовлетворяет и условию
Таким образом, в этом случае функция /х теоремы 3 обладает всеми
существенными свойствами внешней меры. Интересно отметить, что более
ограничительное условие бикомпактности пространства Е было бы здесь
излишним.
Замечание 2. Если элементы множества Г суть замкнутые
отображения [3], то всякая функция /х, удовлетворяющая условиям Г-5°,
удовлетворяет и условию
5'. fnp~l A = \iA для всякого А с Е и всякого^ € Г.
В частности, это имеет место, если все у? е Г суть топологические
отображения пространства Е на себя самого. В этом случае функция /х теоремы 3
инвариантна относительно Г в обычном смысле, т. е. удовлетворяет условию
\iA = fupA при А с Е и (р е Г.
Из этих замечаний следует, что наша теорема 3 содержит как частный
случай интересный результат Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова о
существовании меры, инвариантной относительно однопараметрической
непрерывной группы топологических отображений компактного метрического
пространства на себя самого1*.
Литература
[1] Т у с h о п о f f A. Ein Fixpunktsatz // Math. Ann. —1935. — Bd. 111. —S. 767-776.
i2] Tychonoff A. Uber die topologische Erweiterung von Raumen // Math. Ann.—
9. —Bd. 102. — S. 544-561.
[3] Alexandroff P., Hopf H. Topologie. Bd. 1. — Berlin: Springer, 1935.
[4] von Neumann J. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen // Compositio
Math. —1934. —V. 1. —P. 106-114.
[5] Боголюбов Н. Н., Крылов H. M. Sur quelques theoremes de la theorie
generate de la mesure // С R. Acad. Sci. Paris. — 1935. —V. 201. —P. 1002-1003.
[61 Боголюбов H. H., Крылов H. M. Les mesures invariantes et la transivite // С
R. Acad. Sci. Paris. —1935. —V. 201. —P. 1454-1456.
Институт математики и механики
Ленинградского государственного университета
Поступило в редакцию 16 февраля 1936 г.
*) См. Kryloff N.. Bogoliouboff N. Les mesures invariantes et transitives dans la
mecanique non lineare // Матем. сб. Нов. серия.— 1936. — Т. 1, № 5.— С. 707-711. Тот же
результат независимо найден А. Вейлем: Weil A. Demonstration topoiogique d'un theoreme
de Carten // Матем. сб. Нов. серия. —1936. —Т. 1, № 5. —С. 777-778.

О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС*)
Две замкнутых косы называются свободно эквивалентными, если они эквивалентны
как зацепления, т. е. если одну из них можно перевести в другую посредством конечного
числа элементарных комбинаторных деформаций. Устанавливаются три типа операций,
И, 9J и 2В, такие, что
1°. Область замкнутых кос замкнута относительно этих операций.
2°. Операции типа И суть элементарные комбинаторные деформации.
3°. Операции типов 9J и 2В равносильны двум последовательным комбинаторным
деформациям.
4°. Две замкнутых косы тогда и только тогда свободно эквивалентны, когда одну из
них можно перевести в другую посредством конечного числа операций типов Д, 9J и 2В.
Мое сообщение будет посвящено связи между общими зацеплениями и
так называемыми замкнутыми косами.
Мы будем рассматривать ориентированные зацепления, т. е.
ориентированные, не имеющие особенностей прямолинейные комплексы отрезков
в 3-мерном евклидовом пространстве Д3, у которых с каждой вершиной
инцидентны ровно два ребра, для одного из которых она является
положительным концом, а для другого — отрицательным.
Над ориентированными зацеплениями можно осуществлять
определенные операции — элементарные комбинаторные деформации. Именно, пусть
ауЬус — три такие точки, что
(1) [а][Ь,с] = [а,Ь][с]=0,
где [аи..., ап] обозначает замкнутый симплекс с вершинами ах% ..., ап. Мы
опишем зависящую от точек atbtc операцию <£* с, применимую к некоторым
ориентированным зацеплениям и переводящую их в другие
ориентированные зацепления. Именно, пусть ас есть ребро зацепления V и пусть
[a,b,c][V] = [a,c],
где [V] — множество точек, отвечающее V; тогда V — ac + ab + Ьс также
есть зацепление. Положим
(2) <ElcV = V-ac + ab + bc.
Такие операции <£* с, а также обратные операции называются
элементарными деформациями. Если зацепление V можно перевести в зацепление
V1 посредством конечного числа элементарных деформаций, то говорят,
что V и V' комбинаторно эквивалентны.
Пусть в пространстве R3 задана ориентированная прямая — ось А. Пусть
и само пространство R3 также каким-либо образом ориентировано. Если
' Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe // Матем. сб. Нов. серия. —1936. —
V. 1, № 1. — С. 73-78. (Резюме на рус. яз.) Доклад, прочитанный 5 сентября 1935 г.
на I Международной топологической конференции (Москва, 1935). Перевод с немецкого
А. А. Иванова.

134 О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС
ориентированный отрезок аЪ не лежит в одной плоскости с А, то он вместе
с А определяет ориентацию пространства R3. Эта ориентация может либо
совпадать с заданной, либо нет. В первом случае мы говорим, что отрезок аЬ
положителен, и пишем:
аЬ>0;
во втором случае — что аЬ отрицателен:
аЬ<0.
Если, наконец, аЬ лежит в одной плоскости с А, то мы говорим, что аЬ —
нулевой отрезок, и пишем:
аЬ=0.
Если зацепление V не имеет среди ребер нулевых отрезков, то мы
говорим, что V находится относительно А в общем положении. Если при
этом оно не имеет также отрицательных ребер, то мы говорим, что V
является замкнутой косой. Замкнутая коса имеет, таким образом, только
положительные ребра.
Замкнутые косы образуют важный класс зацеплений. Во-первых, имеет
место хорошо известная теорема Брунна — Александера о том, что
каждое зацепление комбинаторно эквивалентно некоторой замкнутой косе. Во-
вторых, для замкнутых кос имеется удобная, восходящая к Артину
символика. Таким образом, открывается путь к перспективному символическому
аппарату теории узлов.
Однако для того, чтобы этот путь можно было пройти реально,
теоремы Брунна — Александера еще недостаточно. Основное понятие теории
узлов — понятие эквивалентности — определить на основе этой теоремы
в терминах теории кос не удается. В теории кос имеется, правда, свое
собственное понятие эквивалентности: две замкнутые косы называются
эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую посредством
конечной системы элементарных деформаций так, чтобы в ходе этого
процесса встречались только замкнутые косы. Эта эквивалентность, которую
мы будем называть связанной эквивалентностью, соответствует, как
известно, теоретико-групповой сопряженности в артиновой группе кос. Для
теории узлов интересна, однако, не эта эквивалентность, а свободная
эквивалентность. Две замкнутые косы называются свободно эквивалентными,
если они эквивалентны как зацепления, т. е. если одну из них можно
перевести в другую посредством конечного числа элементарных деформаций,
не заботясь о природе встречающихся в ходе этого процесса зацеплений.
Я поставил себе задачу — сформулировать на языке теории кос
необходимые и достаточные условия свободной эквивалентности замкнутых кос.
Для этого я рассматриваю некоторые новые операции, применимые к
замкнутым косам и приводящие снова к замкнутым косам. К определению этих
операций я теперь и перехожу.
Пусть а, Ь, с — три точки, которые, кроме (1), удовлетворяют еще и
следующим условиям:
(3) аЬ>0, Ьс>0, ас>0.
Мы будем тогда говорить, что операции <Е* с и (£* с)~! принадлежат типу
il, и обозначать их через il* c и (il* с)~! соответственно. В силу (2) и (3)
операции типа il переводят замкнутые косы в замкнутые же косы.

О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС 135
Пусть теперь точки а, Ь, с, d таковы, что
(4) аЪ > О, ас> О, bd > О, cd > О, ad < О.
Мы введем зависящую от этих точек операцию 9J^. Если аЬ и bd —ребра
зацепления V и
([a,b,d] + [a,c,d])[V] = [a,b] + [b,d],
то положим
(5) 9j£cd ^ = V - аЪ - bd + ос + cd.
Легко видеть, что VQ\cdV — тоже зацепление и
(6) wtiv = eid{<Eid)-lv.
Таким образом, 9J^ V эквивалентно V. Если при этом V — замкнутая коса,
то в силу (4) и (5) QJj^V— также замкнутая коса. В результате получаем
Пусть теперь а, Ь, с, d —такие точки, что
[a][b,c,d] = [a,b][c,d] = [a,b,c][d]=0,
аЬ > О, Ьс> О, cd > О, са> О, db > О, ad> О.
Введем операцию 2D£$, зависящую от этих точек. Если ad —ребро
зацепления V и
[a,b,c,d][V] = [a,d],
то положим
Щ*ЛУ = У - ad + аЪ + be + cd.
Легко видеть, что 2D£SV— также зацепление и
(7) w^v-e^v.
Таким образом, 2B£dV эквивалентно V. Если при этом V — замкнутая
коса, то %D*cdV— также замкнутая коса.
Операции 9J£$ мы назовем операциями типа 9J, операции SU*5 и
(Я^м)"1 —операциями типа 2D.
Результат моего исследования можно теперь сформулировать следующим
образом.
Две замкнутые косы свободно эквивалентны тогда и только тогда,
когда одна из них может быть переведена в другую конечным числом
операций типов il, 2J и 2D.
Так как совокупность замкнутых кос замкнута относительно операций
типов il, 2J и 2D, это является искомой характеризацией свободной
эквивалентности в терминах теории кос. Отметщ*, что переводимость только
операциями типа И необходима и достаточна для связанной эквивалентности
двух замкнутых кос. Таким образом, возможность использования операций
типов 9J и 2D — это и есть то, что отличает свободную эквивалентность от
связанной.

136 О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС
Я хотел бы теперь сказать несколько слов о методе доказательства. Он
по существу основывается на применении тех же операций, что и при
доказательстве теоремы Брунна — Александера.
Пусть Oq, ..., ап, Ьи ..., Ьп — такие точки, что
а»^[°о»ап] (г=0,...,п),
<*»-Л >0, Ь{а{ >0, а{_ха< < О (г = 1,..., п),
а все симплексы a0anbibj (ij^j) невырождены. Мы определим в этом случае
операцию 21^; ;;;;£-. Пусть V — зацепление с ребром а^а^ Если
t = l
то положим
*k::\v = у - «о«» + £<*-Л + *<«<)•
Тогда 2# b"V также является зацеплением и
^;:::;^=(n^.i,eJ(ni,^.l,a>
В силу условий на знаки число отрицательных ребер зацепления при
операции 9^;;;;;^ уменьшается на единицу. Операции 21^;;;;;** и обратные
к ним операции мы назовем операциями типа 21.
Для того чтобы провести доказательство теоремы, мы прежде всего
должны полностью исключить все зацепления, которые не находятся в общем
положении относительно А. Это осуществляется посредством следующей
легко доказываемой леммы.
Лемма 1. Если зацепления V и V находятся в общем положении
относительно А и являются эквивалентными, то V можно перевести в
V1 такими элементарными деформациями, что на каждом шаге
процесса встречаются только зацепления, находящиеся в общем положении
относительно А.
Введем теперь понятие деформационной цепочки. Так мы будем называть
последовательность зацеплений
(8) У0,..;У.
такую, что каждое V{ находится в общем положении относительно А и
каждые два соседние члена последовательности связаны друг с другом
операцией одного из типов 21, (Б, 9J или ШТ. О самой деформационной цепочке (8)
скажем, что она связывает V0 с V8.
Если V есть зацепление, находящееся в общем положении
относительно А, то под высотой этого зацепления мы будем понимать количество его
отрицательных ребер. Высота зацепления V обозначается через h(V).
Существенную часть исследования составляет доказательство двух
следующих лемм.
Лемма 2. Если V, V, V —деформационная цепочка и
h(V')<h(V), h(V")<h(V),

О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС
137
то найдется такая деформационная цепочка (8), связывающая V с
V\ для которой
Ц\Г)<ЦУ) (г=0,...,5).
Лемма 3. Если V, V — деформационная цепочка и если
h(V') = h(V")>0,
то найдется такая деформационная цепочка (8), связывающая V с
V\ для которой
s> 1,
*га<МП (г = 1,...,*-1).
Доказательства этих лемм не совсем просты. Они довольно длинные из-за
необходимости рассмотрения в процессе доказательства различных случаев,
отвечающих различным типам операций, связывающих V с Vй и V с V
(соответственно, V с V')t и из-за различных возможностей для знаков
ребер, участвующих в этих операциях.
Однако после того как эти леммы доказаны, остальное очень просто.
Действительно, пусть V' и V — две эквивалентные замкнутые косы. По
лемме 1 имеется деформационная цепочка (8), связывающая V с V*. Если при
этом ft(VJ) =0 (г =0,..., s), то необходимость нашего условия
эквивалентности ясна, так как тогда все V{ суть замкнутые косы, в области которых
операции типа 21 невозможны, в то время как тип <£ сводится к типу Д.
Пусть теперь
ft = maxft(V.)>0.
Тогда найдется такое j, что
так что можно применить лемму 3 и перейти к другой деформационной
цепочке
И* V*
снова связывающей V с V\ для которой
maxft(^*) = ft,
в то время как не существует j такого, что
Пользуясь леммой 2, переходим к деформационной цепочке
v0,..,v7,
также связывающей V с V\ для которой, однако,
maxft(V;)<maxft(V;).
Продолжая дальше таким же образом, мы приходим к деформационной
цепочке
связывающей замкнутые косы V и V\ для которой
ft(W>;) = 0 (i=0,...,g).
Как мы уже знаем, соседние члены такой деформационной цепочки
связываются друг с другом операциями типов il, 93 или 2П.

138 О СВОБОДНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАМКНУТЫХ КОС
Тем самым доказана половина теоремы — необходимость нашего
условия эквивалентности. Вторая половина — достаточность условия — следует
немедленно из (6) и (7).
Описанный только что вкратце метод доказательства — метод
уничтожения гор — естественно, не нов. Он успешно применялся в различных
исследованиях топологических и теоретико-групповых проблем, например в
проведенных Нильсеном исследованиях группы автоморфизмов свободной
группы.
В заключение я хотел бы высказать одну гипотезу, в справедливости
которой я убежден и которую я надеюсь доказать на основе только что
сформулированного результата. Речь идет об артиновых «словах» для кос.
Как известно, каждой замкнутой косе с п +1 нитями можно сопоставить
«слово» вида
^•••aS, (9)
где г,,..., im = 1,..., п и ек = ±1. Так как мы рассматриваем здесь
одновременно косы с различными числами нитей, то мы должны также указывать
эти числа и добавлять их к словам (9). Таким образом, каждой замкнутой
косе соответствует символ вида
(^...<т£,п), (10)
причем п на единицу меньше числа нитей косы.
Такой символ можно преобразовывать операциями следующих шести
типов:
Ij. Включение сг.сгг1 или err1 а. в любом месте ог-слова (10) и обратная
операция — вычеркивание <т{сг^1 или <т^1сг{.
%г. Замена aiai на aiai в любом месте ог-слова (10), когда |г - j\ > 1.
%ъ. Замена сг><г{ + 1сг{ на <т{ + 1сг{сг{ + 1 в любом месте от-слова (10).
14. Циклическая перестановка сомножителей в а-слове (10).
£5. Перестановка ап и а~х местами в случае, когда каждый из этих
сомножителей встречается в а-слове (10) ровно один раз.
£6. Вставка ап + 1 или а~1+1 в любом месте ог-слова (10) и обратная
операция.
Пусть теперь V и W — две замкнутые косы с символами (10) и,
соответственно,
К •••<£,*). по
Моя гипотеза состоит в том, что они тогда и только тогда свободно
эквивалентны, когда символ (10) можно перевести в символ (11) посредством
конечного числа операции типов Zx-%e.
Поступило 7 октября 1935 г.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА*)
1. Пусть Е—произвольное множество; ЯЛ— аддитивное семейство [1]
подмножеств множества Е. Элементы семейства ЯЛ будем называть
измеримыми множествами.
Пусть /х — конечная неотрицательная вполне аддитивная функция [1]
измеримого множества. Число /х(А) мы будем называть мерой множества А.
Мере \i соответствуют понятия суммируемой функции и неопределенного
интеграла [1].
Пусть Г — абелево множество [2] отображений множества Е в самого
себя такое, что <р~х(А) е ЯЛ, коль скоро А е ЯЛ и у? е Г. Под
интегральным инвариантом относительно Г мы будем понимать неопределенный
интеграл от неотрицательной суммируемой функции /, удовлетворяющей
условиям:
(1) (/х) j/(*)<** = (м) J f(x)dx (АеЯЛ,^еГ);
А у-ЧА)
(2) М (£(/(*) =0)=0.
2. Настоящая заметка посвящена проблеме существования
интегрального инварианта. Частный случай атой проблемы, когда Г состоит из одного
взаимно однозначного отображения, рассматривался Хопфом [3],
установившим некоторое, довольно сложное, необходимое и достаточное условие
существования интегрального инварианта. Еще раньше Биркгоф и Смит,
рассматривая этот же случай, получили очень простое достаточное
условие, которое, однако, не является необходимым [4].
Целью настоящей заметки является установление простого необходимого
и достаточного условия существования интегрального инварианта.
3. Множество, состоящее из тождественного отображения множества Ё
и всех конечных произведений элементов Г, будем обозначать символом [Г].
Теорема. Для существования интегрального инварианта
относительно Г необходимо и достаточно, чтобы при всяком е>0
существовало 6 > О такое, что ti(<p~l(A)) < е при любом tp е [Г], коль скоро
fi(A) < 6, и что fi(B) < et коль скоро В е ЯЛ, и для некоторого ф е [Г]
соблюдается неравенство р,(ф-1(В)) < S.
Наметим доказательство этого результата.
4. Необходимость. Допустив, что существует интегральный
инвариант
(а) мЧ^) = (м) J/<*>*« (Ae&l).
А
) Докл. АН СССР. — 1937. — Т. 17, № 9. — С. 455-458. Представлено академиком
С. Н. Бернштейном 14 ноября 1937 г.

140
О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА
Тогда, как известно [1], //* является конечной неотрицательной вполне
аддитивной функцией измеримого множества. Из равенства (2) следует, что
/х*(А) = 0 тогда и только тогда, когда /х(А) = 0. Согласно теореме Радона —
Никодима [1] отсюда следует, что функция /х представима в виде
(4) M(A) = (/x*) j Л*)** (А6ЯЯ),
А
где /* — неотрицательная функция, суммируемая по мере /х*.
Возьмем произвольное е > 0. Из равенства (4) следует существование
77 > 0 такого, что /х(А) < е, коль скоро fi*(A) < rj. Из равенства (3) следует
существование 8 >0 такого, что fi*(A) <?y, коль скоро fi(A) < 8. Пользуясь
условием (1), которое переписывается в виде
(5) ц*(А) = м»(¥>-'(А)) (А € т, <р € [Г]),
нетрудно убедиться, что 8 обладает требуемыми свойствами.
5. Достаточность. При фиксированном (ре[Г] мы можем
рассматривать произведение <рх как функцию переменной х € [Г]. Эту
определяемую отображением <р функцию будем обозначать через (р, полагая
£(х) = *>х (*>е[Г], хе[Г]).
Обозначим через Г множество всех (р, соответствующих <р е [Г]. Г является
абелевым множеством отображении^ множества [Г] в самого себя.
Мы можем поэтому применить к Г теорему существования инвариантных
средних, содержащуюся в моей предыдущей Заметке [2]. Согласно этой
теореме существует функционал М от определенной в [Г] переменной
вещественной ограниченной функции, удовлетворяющий условиям:
(6) M(g + h) = M(g) + M(h);
(7) М(д) ^ 0, если д(у>) ^ 0при всяком у? е [Г];
(8) М(д) = 1, если д((р) = 1 при всяком ip e [Г];
(9) М(д$) = М(д) (*>е[Г]).
Здесь д и h — произвольные вещественные ограниченные функции,
определенные в [Г].
Введем обозначение
9л(<р)=»(<р-1(А)) (Ает,<ре[Г]),
определяя таким образом некоторую, зависящую от измеримого
множества А, вещественную неотрицательную функцию дА элемента множества [Г].
Эта функция ограничена, так как Е еШ и ц(В) < р(Е) при любом В е 9Л.
Следовательно, функция дА допустима в качестве аргумента
функционала М. Положим
(10)
М»(А) = М(5д),

О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА 141
определяя этим равенством вещественную функцию /х* измеримого
множества. Из свойств (6), (7), (8) функционала М следует, что
(И) inf g ^M(g)^ sup g,
откуда в силу неотрицательности всякой функции дА следует, что функция
/х* неотрицательна.
Пусть A G ЯЛ, В е ЯЛ, А П В = А. При всяком <р € [Г] имеем <р~1(А) П
П уг1(В) = А, откуда ц(<р~1(А U Я)) = /i(<p-l(A) U ¥>-*(*)) = /х(уг!(А)) +
+ /х(уг!(В)), т. е. дАиВ-9А + 9в' в СИЛУ равенств (6) и (10) это дает
(12) /х*(АиВ) = /х*(А) + /х*(В) (АеЯЛ, Be ЯЛ, АпВ=Л).
Допустим теперь, что выполнено условие, достаточность которого мы
хотим доказать, и покажем, что тогда /х* является интегральным инвариантом
относительно Г. Возьмем произвольное е > О и выберем 8 > О таким
образом, чтобы неравенство /х(уг !(А)) < е соблюдалось при всяком <р е [Г], коль
скоро /х(А) < 5. Тогда при /х(А) < 8 имеем sup gA ^ е, откуда согласно (10)
и (11) /х*(А) ^ е. Таким образом, при всяком е > О существует 5 > 0 такое,
что /х*(А) ^ е, коль скоро /х(А) < 5. Отсюда следует, что /х*(А) = 0, коль
скоро /х(А) = 0.
Рассмотрим произвольную последовательность {AJ^L, элементов
множества ЯЛ такую, что А{ П А5 = Л при г ^ j. В силу полной аддитивности
функции /х имеем ж
Шп(. 6 А,Ы0,
откуда согласно только что доказанному
lim /х*( & аЛ=0.
В силу (12) это дает
W Sа) = £ м*(^) + м*(. 6Л) = £ м*(^).
Таким образом, функция /х* вполне аддитивна. Так как эта функция
неотрицательна и /х*(А) = 0, коль скоро /х(А) = 0, то по теореме Радона —
Никодима существует неотрицательная суммируемая функция /,
удовлетворяющая равенству (3).
Возьмем е > О и выберем 8 > О таким образом, чтобы неравенство
fi(A) < е соблюдалось, коль скоро А е ЯЛ и p(ip~l(A)) < 8 для какого-
нибудь ip е [Г]. Тогда при /х(А) ^ е имеем inf gA ^ 5, откуда согласно (10)
и (11) /х*(А) ^ 8. Таким образом, при всяком е > О существует 5 > 0
такое, что /х(А) < е, коль скоро /х*(А) < *• Следовательно, /х(А) = 0, коль
скоро /х*(А) = 0. В силу соотношения (3) это дает равенство (2). Остается
проверить соблюдение условия (1).
При произвольных А Е ЯЛ, ip G [Г], х € [П имеем ffv-iw(x) =:
= М(Х~!(^Ч^))) = М((^Х)~1(^)) = ^(?(Х)) = (^^)(Х). Таким образом,
Vw = ftiV (АеЯЯ, у>е[Г]),

142 О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА
откуда согласно (9) и (10) получаем равенство (5). В силу (5) и (3)
выполнено условие (1), что и требовалось доказать.
6. В особенно важном для приложений случае, когда Г является абелевой
группой взаимно однозначных отображений множества Е на самого себя,
наше условие существования интегрального инварианта может быть еще
упрощено. Как следствие из доказанной теоремы получаем предложение:
Если Г является абелевой группой взаимно однозначных
отображений множества Е на самого себя, то для существования интегрального
инварианта относительно Г необходимо и достаточно, чтобы при
всяком е>0 существовало 8 >0 такое, что p,(ip(A)) < е при всяком <реГ,
коль скоро м(А) < 5.
Литература
[1] Saks S. Theorie de Pintegrale. Paris, 1933. Имеется перевод: Сакс С. Теория
интеграла. — М.: Изд. иностр. литературы, 1949.
i2] Марков А. А. Некоторые теоремы об абелевых множествах // Докл. АН СССР. —
6. —Т. 1(Х), № 8. —С. 299-302.
[3] Н о р f E. Theory of measure and invariant integrals // Trans. Amer. Math. Soc. —
1932.—V. 34. —P. 373-393.
[4] В i r k h о f f G. D.f Smith P. A. Structure analysis of surface transformat // J.
Math. Pures Appl. Ser. 9. —1928. —V. 7. —S. 345-379.
Институт математики и механики
Ленинградского университета
Поступило в редакцию 14 ноября 1937 г.

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ*)
В 1926 г. Артин доказал [1], что всякая дефинитная1» рациональная
функция п переменных с коэффициентами, принадлежащими подполю R поля
вещественных чисел, может быть представлена в виде
и
где ev — неотрицательные числа, принадлежащие R, а <ри — рациональные
функции п переменных с коэффициентами из R. Этим была решена
одна из проблем, поставленных Д. Гильбертом в 1900 г. на Международном
математическом конгрессе в Париже [2].
Цель настоящей работы — установить аналогичный результат для
♦относительно дефинитных функций», определяемых следующим образом:
Определение 1. Пусть /,/|,...,/т — рациональные функции п
переменных с вещественными коэффициентами. Мы говорим, что функция
/ дефинитна относительно системы {/,}7=i> если
(1) /(«I О>0
для всякой системы {а,}"=, рациональных чисел, удовлетворяющей
условию
Л(ап->0>0 (j = l,...,m)
и такой, что левая часть неравенства (1) имеет смысл.
Нами будет доказана следующая
Теорема 1. Пусть /, /,,..., /те — рациональные функции п
переменных с коэффициентами из подполя R поля вещественных чисел,
причем ни одна из функций /,,..., fm не равна тождественно нулю. Тогда
для того, чтобы функция f была дефинитной относительно системы
{fjYj = v необходимо и достаточно, чтобы эта функция допускала
представление вида
(2) /=Ее,(/1,.,Ш,
где eu(xv ..., хт) —■ полиномы с неотрицательными коэффициентами,
принадлежащими R, <pv — рациональные функции с коэффициентами,
также принадлежащими R.
Доказательство опирается на методы и результаты работ Артина и Шрай-
ера по теории вещественных полей [1, 3],
) On the representation of relatively definite functions // Матем. сб. Нов. серия.— 1938.—
Т. 4, № 1. — С. 157-164. Перевод с английского М. Я. Домбровского. [Авторское резюме на
русском языке использовано в качестве перевода вступительной части статьи. — Прим. сост.]
*) Мы говорим, что рациональная функция f(xx,..., хп) с коэффициентами из R
дефинитна, если f(ax ап) £ 0, какова бы ни была система {а; }^= х рациональных чисел такая, что
f(a{,..., ап) имеет смысл.

144 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Относительно дефинитные поля
Определение 2. Мы говорим, что коммутативное поле2) К
дефинитно относительно своего непустого подмножества А, если не
выполняется ни одно равенство вида
(3) -\ = ±ev(au...>am)cl
где {ав}™в1 — конечная система элементов множества А, е„ (и = 1,2,...
..., г) — полиномы с целыми неотрицательными коэффициентами, си —
элементы из К.
Вещественное поле3), очевидно, может быть определено как поле,
дефинитное относительно множества (0). С другой стороны, любое поле,
дефинитное относительно своего непустого подмножества, будет вещественным,
так как 1 есть полином с целыми неотрицательными коэффициентами в
любой системе переменных.
Определение 3. Мы говорим, что поле К дефинитно замкнуто
относительно А, если К дефинитно относительно А и каждое
собственное алгебраическое расширение поля К не является дефинитным
относительно А.
Как показывает следующая теорема, понятие дефинитно замкнутого поля
может быть сведено к двум более простым понятиям.
Теорема 2. Для того чтобы поле К было дефинитно
замкнутым относительно своего непустого подмножества А, необходимо и
достаточно, чтобы К было вещественно замкнутыми и чтобы любой
элемент множества А был квадратом в К.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть К дефинитно
замкнуто относительно А. Покажем, что любой элемент А является
квадратом в К.
Предположим противное, т. е. что ае А не является квадратом в К.
Тогда поле К(\/а) является собственным расширением поля К и поэтому не
будет дефинитным относительно А. Следовательно, выполняется равенство
вида
(4) - 1 = Е *>!> • • -I OK + dvyTa)2 = Е е>п • • •> <*mK2 +
г г
+ Е a>e„(aD • • •> am)dy +2у/а Е ^(а,,..., am)cvdv,
где a. (j = 1,..., m) — элементы множества A, ev — полиномы с целыми
неотрицательными коэффициентами, с„, dv {у = 1,..., г) — элементы К.
Последняя сумма справа в (4) должна быть равна нулю, так как иначе мы
имели бы у/ае К, вопреки нашему допущению. Но тогда отсюда вытекает,
согласно (4), что —1 может быть представлена в поле К выражением
вида (3), что противоречит тому, что К дефинитно замкнуто относительно А.
2) В дальнейшем «поле» будет всегда означать коммутативное поле.
3* Поле К называется «вещественным», если -1 не является суммой квадратов в К. Ср. [3,
с. 86].
4) Поле называется «вещественно замкнутым», если оно вещественно и не допускает
собственных вещественных алгебраических расширений. Ср. [3, с. 87].

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 145
Итак, любой элемент множества А является квадратом в К. Теперь
нетрудно убедиться, что К вещественно замкнуто. Действительно, в любом
собственном алгебраическом расширении L поля К выполняется равенство
вида (3), где с„ е L. Но каждый элемент множества А является квадратом
в К, а следовательно, и в L; значит, равенство (3) дает представление — 1
в виде суммы квадратов в L. Таким образом, не существует вещественных
собственных алгебраических расширений поля К, в то время как само К
вещественно и дефинитно относительно А. Итак, К является вещественно
замкнутым, и первая часть теоремы 2 доказана5).
2) Достаточность. Предположим теперь,что К вещественно
замкнуто и любой элемент из А является квадратом в К. Тогда К дефинитно
замкнуто. В самом деле, в противном случае равенство (3) давало бы
представление —1 в виде суммы квадратов в К, что невозможно.
С другой стороны, никакое собственное алгебраическое расширение
поля К не является дефинитным относительно А, так как оно даже не
вещественно. Таким образом, К дефинитно замкнуто относительно А, ч. и т. д.
Следующая теорема может быть легко доказана обычными способами с
применением трансфинитной индукции.
Теорема 3. Если поле К дефинитно относительно А, то
существует алгебраическое расширение поля К, дефинитно замкнутое
относительно А.
С помощью теорем 2, 3 и одной теоремы Артина — Шрайера об
упорядочении вещественных полей (см. [3, с. 91]) мы докажем следующий
результат.
Теорема 4. Пусть А — непустое подмножество поля К. Для
того чтобы существовало упорядочение поля К, при котором все
элементы А становятся неотрицательными, необходимо и достаточно,
чтобы К было дефинитным относительно А.
Доказательство. 1) Необходимость. Допустим, что мы
можем упорядочить К таким образом, что все элементы А
неотрицательны. Тогда равенство (3) невозможно, поскольку правая его часть всегда
неотрицательна, а левая — отрицательна. Следовательно, К дефинитно
относительно А.
2) Достаточность. Наоборот, пусть поле К дефинитно
относительно множества А. Тогда по теореме 3 существует алгебраическое
расширение Р поля К, дефинитно замкнутое относительно А. По теореме 2
Р вещественно замкнуто и каждый элемент из А является квадратом в Р.
По вышеупомянутой теореме Артина — Шрайера поле Р может быть
упорядочено. При упорядочении все элементы из А станут неотрицательными,
так они являются квадратами в Р. Но поскольку К есть подполе поля Р,
то тем самым мы доказали, что К может быть упорядочено так, чтобы все
элементы из А стали неотрицательными, что и требовалось доказать.
Теорема 5. Пусть К — поле характеристики Ф2, А — непустое
подмножество К и а —элемент К. Тогда для того, чтобы этот
элемент был неотрицательным при любом упорядочении К, при котором
5) Ср. аналогичное рассуждение в [1, с. 103].

146 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ
неотрицательны все элементы А, необходимо и достаточно, чтобы для
а было возможно представление вида
г
(5) а=£ ev(a{,...,am)ct,
где ev (и = 1,..., г)—полиномы с целыми неотрицательными
коэффициентами, UjEA (j = 1,..., га) и си е К (и = 1,..., г).
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда поле К не
дефинитно относительно А. Тогда по теореме 4 поле К нельзя упорядочить
таким образом, чтобы все элементы множества А стали неотрицательными.
Поэтому для проверки утверждения теоремы в этом случае нам остается
лишь показать, что для а имеет место представление вида (5).
Так как К не является дефинитным относительно А, то выполняется
некоторое равенство вида (3). Принимая во внимание, что
характеристика К отлична от 2, получаем из (3) равенство
«=(^)2+Ее,(а„ ...,aj(Cl/V)2.
которое и дает нужное представление6*.
2) Рассмотрим теперь случай, когда поле К дефинитно относительно А.
Если для а имеется представление вида (5), то, очевидно, элемент а будет
неотрицательным при любом упорядочении К, при котором неотрицательны
все элементы из А. Докажем сейчас обратное.
Допустим, что а неотрицательно при всяком упорядочении К, при
котором все элементы из А неотрицательны. Если а —0, то, очевидно, а
допускает представление вида (5). Предположим теперь, что а^О.
Итак, а > О и, значит, -а < 0, и при этом все элементы из А
неотрицательны. Другими словами, К нельзя упорядочить таким образом, чтобы все
элементы множества A U {—а} стали неотрицательными. Отсюда по
теореме 4 следует, что К не является дефинитным относительно множества
A U {—а}. Значит, имеет место некоторое равенство вида
г
-1 = £ e„(-o,a„...,am)c2,
где е„ — полиномы с целыми неотрицательными коэффициентами, a E А,
с.еК.
Комбинируя нечетные степени элемента —ас квадратами элементов с„,
можно привести предыдущее равенство к виду
(6) -1 *» Е 'e,(a„ ..., ajcl - а £ "еДа,,..., amR2,
где 'е„ и *ev — снова полиномы с целыми неотрицательными
коэффициентами и 'cv и "cv принадлежат полю К. Вторая сумма в этом выражении
отлична от нуля, ибо в противном случае поле К не было бы дефинитным
б) Сходная конструкция имеется в [1, с. 101].

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 147
относительно А. Обозначив эту сумму через с, мы легко получаем из (6)
соотношение
а= Е Ч(«1, • • > ОЧ2((;)2 + Е Ч(«1, • • •■ «ofe)*).
дающее требуемое представление а вида (5).
Таким образом, любой элемент а поля К такой, что а ^ 0 при любом
упорядочении этого поля, при котором каждый элемент множества А
неотрицателен, представим выражением вида (5), что и требовалось доказать.
§ 2. Относительно дефинитные функции
Докажем теперь сформулированную выше теорему 1.
В доказательстве мы будем опираться на теорему 5 настоящей работы и
на следующую теорему Артина [1, с. 104]):
Пусть R — подполе поля вещественных чисел, и пусть его
естественное упорядочение произвольным образом продолжено на поле
/г(^9...,ац) рациональных функций с коэффициентами,
принадлежащими R. Тогда каждой конечной системе {д$}™тг элементов поля
22(2},..., х) соответствует система {а,}",, рациональных чисел та-
кая, что для любого j выражение д^аи...,ап) имеет смысл и число
9j(a\> • • •> ап) имеет тот же знак, что и gjt
Доказательство теоремы 1. 1) Необходимость. Пусть
функция / дефинитна относительно системы {/y}7«i> и пусть Q обозначает
множество неотрицательных (в обычном смысле) элементов R.
Предположим, что поле R(xu ..., хп) упорядочено так, что все элементы множества
(/,,..., /m)U Q сделались неотрицательными. Мы покажем, что тогда /
является неотрицательным элементом R(x{,..., хп).
В самом деле, допустим противное. Так как все элементы Q
неотрицательны при рассматриваемом упорядочении поля Д(ж,,..., хп), то мы за*-
ключаем, что это упорядочение является продолжением естественного
упорядочения поля R. (J другой стороны, при этом упорядочении все /у > 0
(j = 1,..., п) (так как по условию теоремы 1 ни одна из функций /у не
равна тождественно нулю), в то время как / < 0. Следовательно,
согласно упомянутой теореме Артина существует система рациональных чисел
К/Г-i такая> что все /y(ai> • • -1 ап)(з = 11 • • •> т) и f(au • • •> О
существуют и /у(о,,..., ап) > 0 при j = 1,..., m, в то время как /(а!?..., ап) < 0, a
это противоречит нашему предположению, что / дефинитна относительно
Таким образом, / ^ 0 при любом упорядочении поля Д(ж,,..., хп), при
котором все элементы множества Q U {fu ..., / } делаются
неотрицательными. Отсюда, согласно теореме 5, следует, что / может быть представлена
в виде
г
(7) / = Е 4(/i> • • -I /»• <*i» • •., о,)^,
где 'е„ — полиномы с целочисленными неотрицательными
коэффициентами, ау — элементы множества Q, т. е. неотрицательные элементы Л, и

148 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ
4>v —элементы поля R(xv ..., хп). Из только что сказанного очевидно, что
'e»(Vii • • •» Ут> av • • •! aq) являются полиномами от т переменных ft,..., и*
с неотрицательными коэффициентами, принадлежащими R. Поэтому
формула (7) дает для / представление вида (2).
2) Достаточность. Предположим, что / удовлетворяет (2).
Покажем, что / дефинитна относительно системы {/у}^.
В самом деле, допустим, что это не так, т. е. существует система {ав}"=1
рациональных чисел такая, что /у(0|, , ап) > О при j = 1,..., га, в то
время как /(а!?..., ап) < 0. Очевидно, что тогда существует такое целое
положительное число к, что /,(&!,..., Ьп) > 0 (j = 1,..., т) и f(bu ..., Ьп) < О
для любой системы {&ЛГ-1 рациональных чисел, подчиненной условиям
|Ьв-а,| < 1/& (* = 1,..., п). Выберем рациональные числа Ь, Ьп так,
чтобы они удовлетворяли этим условиям и чтобы все выражения <ри(Ьх,..., Ьп)
(и = 1,..., г) в (2) имели смысл. Подставляя теперь Ьи ..., Ьп вместо
переменных жп ..., хп в (2), мы приходим к невозможному равенству, поскольку
в левой части (2) получается отрицательное число, а в правой —
неотрицательное вещественное число.
Таким образом, не существует такой системы рациональных чисел
ЮГ-!. что /,(ai> • • •> ап)>° А™ 3 = 11 • • •> т» в то вРемя как /(ai> • • •> ап)<
< 0. Это означает, согласно нашему определению, что / дефинитна
относительно системы {/,}7=1> чт0 и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь специальный случай теоремы 1, возникающий в той
ситуации, когда поле R может быть упорядочено единственным способом.
В этом случае любое упорядочение поля R(xly..., хп) является
продолжением естественного упорядочения поля R, и, следовательно, в
доказательстве теоремы 1 мы можем заменить множество {/п ..., /m}uQ множеством
{/п • • •» fm}- Мы приходим таким образом к следующему результату.
Теорема 1а. Если все условия теоремы 1 выполнены и поле R не
допускает упорядочений, отличных от естественного, то функция f
является дефинитной относительно системы {/Л7-1 тогда и только
тогда, когда имеет место соотношение вида (2), где ev(xu ..., хт) —
полиномы с целыми неотрицательными коэффициентами и <pv —
рациональные функции п переменных с коэффициентами,
принадлежащими R.
Применяя теорему 4 вместо теоремы 5, мы аналогично получаем
следующий результат.
Теорема 16. Пусть fx,..., fm — рациональные функции п
переменных с коэффициентами, принадлежащими подполю R поля
вещественных чисел, причем ни одна из этих функций не равна тождественно
нулю. Тогда для того, чтобы условие
т
mjn/i(a1,...,an)^0
удовлетворялось для любой системы {а,}Г=1 рациональных чисел, для
которой оно имеет смысл, необходимо и достаточно, чтобы
существовала конечная система {еи(хи ..., xm)}russl полиномов с
неотрицательными коэффициентами, принадлежащими R, и конечная система

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ 149
№vYv=\ рациональных функций п переменных с коэффициентами,
принадлежащими R, такие, что
Как и в случае теоремы 1, если поле R не допускает упорядочений
помимо естественного, то коэффициенты полиномов еи можно считать
неотрицательными целыми числами.
Литература
[1] Art in E. Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate // Abhandl. Math.
Semin. Univ. Hamburg. —1926. Bd. 5. —S. 100-115.
[2] H i 1 b e r t D. Mathematische Probleme // Nachr. Ges. Wiss. Gdttingen. — 1900. —
S. 253-297.
[3] A r t i n E.f S с h r e i e r O. Algebraische Konstruktion reeller Korper // Abhandl. Math.
Semin. Univ. Hamburg. — 1926. — Bd. 5. — S. 85-99.
Поступило в редакцию 7 февраля 1938 г.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ*)
Содержание
Введение 151
Обозначения — 152
§ 1. Основные определения 152
§ 2. Теорема о продолжении непрерывных функций 153
§ 3. Средние значения 155
§ 4. Внешние плотности 158
§ 5. Построение внешней плотности по данному среднему значению 162
§ 6. Построение среднего значения по данной внешней плотности 166
§ 7. Соответствие между средними значениями и внешними плотностями 170
$ 8. Теоремы об инвариантности средних значений и внешних плотностей 173
Резюме1*
Определение 1. Пусть Л — топологическое пространство (см. [ 1, с. 37-38; 2, с. 110]).
Мы говорим, что Л нормально, если, каковы бы ни были замкнутые множества F{ и F2 без
общих точек, найдутся открытые множества G{ и G2 также без общих точек и такие, что
F,cG,(t = l,2).
Определение 2. Пусть каждой вещественной ограниченной и непрерывной функции
/, определенной в нормальном пространстве Л, однозначно приведено в соответствие
вещественное число M(f). Мы говорим, что определяемый таким образом функционал М есть
среднее значение в Л, если
1°М(/ + 0) = М(/) + МЫ;
2° M(f) ^ 0, если /(ж) ^ 0 при всяком х € R;
3° М(/) = 1, если /(ж) = 1 при всяком х € R.
Здесь / и д — произвольные аргументы функционала М.
Определение 3. Пусть каждому подмножеству А нормального пространства R
однозначно приведено в соответствие вещественное число /л(А). Мы говорим, что определяемая
таким образом функция множества есть внешняя плотность в Л, если
l°/i(AuB)</i(j4) + /i(B); ^
2° /i(j4US) = /i(;4) + /i(£) при АПВ =Л;
3°/iW = l;
4°»(A)=M^(G).
Здесь А и В —подмножества пространства Л, ЩА) — множество окрестностей А в Л,
А —замыкание А в Л, Л — пустое множество.
В работе устанавливается взаимно однозначное соответствие между средними значениями
в нормальном пространстве, с одной стороны, и внешними плотностями в этом же
пространстве — с другой. Устанавливается также, что внешние плотности в компактном нормальном
С. 165-191. Перевод с английского М. Я. Домбровского.
') Резюме, написанное автором по-русски, представляет собой краткий реферат работы,
могущий быть полезным читателю, и мы позволили себе перенести его в начало статьи. —
Прим. сост.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
151
пространстве обладают всеми существенными свойствами «регулярных мерных функций» Ка-
ратеодори [3]. В заключительном параграфе рассматриваются некоторые свойства
инвариантности средних значений и внешних плотностей относительно непрерывных отображений
пространства в самого себя. С помощью соответствия между средними значениями и внешними
плотностями устанавливается связь между свойствами инвариантности первых и свойствами
инвариантности вторых.
Введение
Многие задачи общей теории меры приводят к рассмотрению взаимно
однозначного соответствия между аддитивными функциями множеств —
«мерами», с одной стороны, и аддитивными функционалами — «средними
значениями» — с другой. Настоящая работа посвящена изучению этого
соответствия. «Меры», или «плотности», как мы будем их в дальнейшем называть2*,
а также «средние значения» будут рассматриваться в связи с топологией
соответствующего пространства. Именно, внешние плотности
определяются нами как функции подмножеств этого пространства, удовлетворяющие
требованиям, часть из которых носит топологический характер
(определение 3); средние значения понимаются как функционалы на множестве
ограниченных непрерывных функций в том же пространстве (определение 2).
Привлечение топологических понятий никоим образом не умаляет
общности наших выводов. В действительности на любом множестве всегда можно
ввести тривиальную топологию, рассматривая все его точки как
изолированные. Применяя наши результаты в этом частном случае, мы получим
соответствующие (довольно тривиальные) результаты и для
нетопологических множеств. Можно сказать, что в сущности предметом данной работы
является взаимосвязь между топологическими и метрическими идеями в
общей теории меры.
Следует заметить, что интересующая нас связь уже рассматривалась
ранее. В частности, она играла существенную роль в рассуждениях и
результатах хорошо известной работы Дж. Дон Неймана об инвариантной мере в
топологических группах (см. [4, с. 106-1141). Некоторые из идей фон
Неймана использованы и в настоящей статье (см., в частности, § 5). Однако
здесь развивается более общая точка зрения: мы попытались найти
наиболее общее решение задачи, отбросив все излишние ограничения —
такие, например, как условия компактности рассматриваемого пространства,
его сепарабельности и т; д. С другой стороны, мы увидим, что условие
нормальности пространства существенно для теории меры; таким образом,
подход, принятый в настоящей статье, представляется весьма естественным
для этой теории.
Оглавление (см. выше) дает некоторое представление о содержании
статьи. Добавим, что в § 8 мы обсуждаем средние значения и внешние
плотности в связи с непрерывными отображениями рассматриваемого
пространства в свои подмножества. Эти результаты будут играть важную роль
в будущей работе автора, посвященной проблеме существования
инвариантных мер.
2) Термин «мера» будет нами использоваться только в смысле «плотности». Последний
термин представляется естественным в свете условия 3° в определении 3 (см. ниже), согласно
которому на всем пространстве R плотность (как функция множества) должна принимать
значение 1. Поэтому можно интерпретировать значение такой функции на том или ином
множестве А как «плотность» этого множества в R.

152
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Обозначения
Символом L обозначается пустое множество, А Г) В — пересечение
множеств А и В, Аи В — их сумма, А \ В — множество элементов А, не
принадлежащих В.
Мы будем писать
inf lAf(x), sup lAf(x), osc lAf(x),
вместо
inf Ix e Af(x), sup Ix e Af(x), osc lx € Af(x)
соответственно. В случае A =L полагаем
inf ILf(x) = sup ILf(x) = osc ILf(x) = 0.
Выражения «, m «
3M<, ©A,, 6A„ 6 A,
обозначают соответственно пересечение множеств An...,Am или Alt
А2,... и их сумму. В подобном же смысле будут пониматься выражения
Э А* и 6 А,.
Через £(Ф(ж)) мы обозначаем множество всех ж, удовлетворяющих усло-
X
вию Ф(ж), через Е х Я — произведение множеств 5 и Я, т. е. совокупность
всех упорядоченных пар (£, 77) таких, что f e E, r\ e Я.
§ 1. Основные определения
1. Определение 1. Пусть R—топологическое пространство (см. [1,
с. 37-38]). Мы говорим, что пространство R нормально, если для любых
двух замкнутых множеств F{ (г = 1,2) таких, что F{ П F2 =i-, в R найдутся
два открытых множества Gi (г = 1,2) таких, что
FicGi (г = 1,2), G,nG2=L.
Определенное таким образом понятие нормального пространства
несколько шире, чем обычно принятое (см. [1, с. 68]), так как множества, состоящие
из одной точки, не предполагаются замкнутыми. Следующий простой
пример показывает, что при таком определении в нормальном пространстве
могут существовать незамкнутые одноточечные множества.
Пусть R состоит из двух точек, и пусть замыкание в R определяется
формулой
если А = L,
I Д,
если А ф\*.
Легко видеть, что R — топологическое пространство, что оно
нормально в смысле данного выше определения и, в то же время, одноточечные
множества не замкнуты в R.
2. Определение 2. Предположим, что любой вещественной
ограниченной непрерывной функции /, определенной в Д, однозначно
сопоставлено вещественное число М(/). Мы говорим, что определяемый таким

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
153
образом функционал М есть среднее значение в пространстве R, если он
удовлетворяет следующим условиям:
Г М(/ + д) = М(/) + M(flf) для любых двух вещественных непрерывных
и ограниченных функций / и д, определенных в R;
2° M(f) ^ 0, если f(x) ^ 0 при всех xeR;
3° M(f) = 1, если f(x)» 1 при всех ж Е Д.
3. Определение 3. Пусть каждому подмножеству А нормального
пространства R однозначно сопоставлено вещественное число р>(А). Мы
говорим, что функция множества /х есть внешняя плотность в этом
пространстве, если выполнены следующие условия:
Г /х(А U В) ^ fi(A) + ц(В)\ _
2° ц(АиВ) = р,(А) + р,(В), если AnB=L;
3° /х(Д) = 1;
4° д(А)= inf /x(G), где 21(A) есть множество всех окрестностей
множества А *>, аеЩЛ)
4. Наша главная цель — установить естественное взаимно однозначное
соответствие между средними значениями в R, с одной стороны, и
внешними плотностями — с другой.
Сейчас мы сформулируем теорему Урысона о продолжении непрерывных
функций (см. [1, с. 73-/6]), которая будет играть в дальнейшем важную
роль.
§ 2. Теорема о продолжении непрерывных функций
1. Теорема Урысона. Пусть f — ограниченная непрерывная
функция, определенная на замкнутом подмножестве F нормального
пространства R. Тогда найдется непрерывная функция gt определен-
ная на всем пространстве R, которая в F совпадает cf и для которой
sup g = sup fy inf g = inf /.
r f R F
Нет надобности приводить здесь доказательство этой теоремы, так как
оно дословно совпадает с доказательством Урысона (см. [1, с. 73-76])
такого же утверждения для случая, когда свойство нормальности
включает условие замкнутости одноточечных множеств (аксиома Фреше).. Анализ
рассуждения Урысона показывает, что на самом деле в нем нигде не
используется аксиома Фреше.
Нам понадобится такое следствие из этой теоремы:
Лемма 1. Пусть F* (г = 1,2) — два замкнутых множества в
нормальном пространстве R, a f —непрерывная функция, определенная в
R и такая, что
(1) (К/(яК1 (xeR),
(2) /(s) = 0 (xeFxnF2).
э) Окрестность множества А —это любое открытое множество, содержащее А (ср. [1,
с. 58J).

154
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Тогда найдутся две такие непрерывные функции /,. (г = 1,2),
определенные в R, что
(3) 0</Дяг)<1 (г = 1,2, xeR),
(4) /,(*) = 0 (г = 1,2, xeFJ,
(5) /(*) = /.(*) + /.<*) (xeR).
Доказательство. Рассмотрим на замкнутом множестве FXUF2
функцию д, определенную равенством
Г /(я), если xeFx\F2,
(6) 9(х)=\ n _
I 0, если ж 6 F2.
Покажем, что функция д непрерывна на множестве Fx U К.
Заметим, что множества ^\^ и F2\^FX открыты в F, Uiy* и что функция
# совпадает с непрерывной функцией / на первом из этих множеств и
обращается в нуль на втором. Отсюда следует, что д непрерывна в каждой
точке
хб№\^и№\^) = №и^)\№п^).
Пусть х е Fx П F2, е > О, и пусть G обозначает множество £y(f(y) < e).
Из непрерывности / следует, что множество G открыто. В силу (2) имеем
xeG. Далее, из (6) получаем
д(х) = 0, 0^д(у)<е (yeGn(FxUF2)).
Таким образом, Мы показали, что функция д непрерывна в каждой точке
х е Fx П F2. Но мы уже видели, что она также непрерывна при любом
xe(F{UF2)\(F{nF2),
и потому непрерывность д в Fx U F2 доказана. Кроме того, в силу (1) и (6)
мы имеем 0 ^ д(х) ^ 1.
Следовательно, по теореме Урысона существует такая непрерывная
функция h, определенная на всем пространстве R и совпадающая с д на
Fx U F2, что
(7) sup h = sup g, inf h = inf д.
R FtUF2 ' R FiuF*
Положим, наконец,
(8) f%(x) = mln\f(z),h(x)],
(9) /i(*) = /(*)-/t<*).
Каждая из функций /• непрерывна на Л, и соотношение (5) выполнено.
Из(1), (7) и (8) имеем
0</2(*К/(*)<1,
откуда, в силу (9),
<></,(*)< 1.
Следовательно, свойства (3) также выполнены.
4) См. [1, с. 44-45]. Множество Fx \F2 открыто в Fx Uf2, так как Fx \F2 = (Fx UF2)D(R Щ).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
155
Если х е Flt то согласно (2) и (6)
f(x) = g(x) = h(x),
откуда в силу (8) и (9)
Л(«) = /(*), Л(*) = 0.
Если же х е Fu, то согласно (6)
g(x) = h(x) = 0,
откуда в силу (1) и (8) /2(ж) = 0. Следовательно, свойства (4) выполнены,
что и требовалось доказать.
§ 3. Средние значения
1. Мы установим сейчас ряд простых свойств средних значений,
следующих непосредственно из определения 2. В этом параграфе всюду (за
исключением теоремы 7) буква М будет обозначать среднее значение в
нормальном пространстве R.
Теорема 1. Пусть fug — ограниченные непрерывные функции,
определенные на R и такие, что
(10) f(x)^g(x) (xeR).
Тогда
(11) M(f)<M(g).
Доказательство. Так как g—f является ограниченной непрерывной
функцией на Д, то из условий Г и 2° определения 2 и из неравенства (10)
вытекают соотношения
M(g) = M(f) + M(g-f),
Mfo-/)>0,
откуда следует (11).
Теорема 2. Если f{ (i = 1,..., га) — ограниченные непрерывные
функции, определенные на R, то
(ГО Ч ГО
E/J-EW,)-
Доказательство очевидно (индукция по га с использованием условия 2°
из определения 2).
Теорема 3. Если f(x) = 0 тождественно на R, то M(f) = 0.
Это утверждение есть непосредственное следствие условия Г из
определения 2.
Теорема 4. Если f(x) — ограниченная непрерывная функция,
определенная на R, то М(-/) = -М(/).
Следует из теоремы 3 и определения 2 (условие Г).
2. Лемма 2. Если f — ограниченная непрерывная функция на R,
не принимающая отрицательных значений, то M(\f) — неубывающая
функция относительно А.
Вытекает из теоремы 1.

156
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ, И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Лемма 3. Если f — ограниченная непрерывная функция,
определенная в R, то для любого целого положительного числа т
M(mf) = mM(f).
Следует из теоремы 2.
Лемма 4. Если f удовлетворяет тем же условиям, что и в лемме 3,
то
(12) M(rf) = rM(f)
для любого положительного рационального числа г.
Доказательство. Пусть г = р/д, где р и q — целые положительные
числа. Тогда по лемме 3
M(/) = gM(i/),
откуда следует (12).
Лемма 5. Если f удовлетворяет тем Же условиям, что и в лемме 3,
то соотношение (12) имеет место для любого рационального г.
Немедленно следует из теорем 3, 4 и леммы 4.
Теорема 5. Если f — ограниченная непрерывная функция,
определенная в R, то для любой вещественной константы А
(13) М(А/) = АМ(/).
Доказательство. Положим
/j(a:) = max[/(a:),0],
/2(s) = -min[/(s),0].
Тогда fi (i = 1,2) — ограниченные непрерывные функции на R,
принимающие только неотрицательные значения, и
(14) / = /,-/2-
Из леммы 2 тогда следует, что М(А/.) (г = 1,2) являются неубывающими
функциями вещественного переменного А. Отсюда и из леммы 5 получаем
неравенства
r'M(/J^M(A/^r'M(/<)>
справедливые для произвольного А и произвольных рациональных г' и г"
таких, что г' ^ А < г\ Следовательно,
(15) М(А/.) = АМ(/.) (г = 1,2, -оо < А < оо).
Но из (14) и условия Г определения 2 следует, что
(16) М(А/)-М(А/1)-М(А/2),
(17) M(f) = M(fx)-M(f2).
Комбинируя (15), (16) и (17), получаем (13), что и требовалось доказать.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
157
Лемма 6. Если функция f постоянна в R и принимает значение
A, moM(f) = \.
Это вытекает из теоремы 5 и условия 3° в определении 2.
Теорема 6. Для любой ограниченной непрерывной функция /,
определенной в R,
(18) inf/^M(/Ksup/.
R R
Доказательство. Пусть g и h — функции в R, определенные
следующим образом:
#) = inflfl/ \ _
; ; ч ,«^ г тождественно для всех жЕЙ.
h(x) = s\iplRf)
Тогда по лемме 6 мы имеем
(19) M($) = inf/, M(/i) = sup/.
R R
Но поскольку g(x) ^ f(x) ^ Л(ж), то в силу теоремы 1 мы заключаем, что
M(g) ^ M(f) < M(h). Вместе с (19) это дает неравенства (18), что и
требовалось доказать.
3. Теорема 7. Для того чтобы функционал М, определенный для
ограниченных непрерывных функций в нормальном пространстве R,
был средним значением в R, необходимо и достаточно, чтобы он
удовлетворял условию Г определения 2 и неравенству
(20) M(/Ksup/
R
для любой ограниченной непрерывной функции /.
Доказательство. Необходимость немедленно вытекает из
теоремы 6.
Чтобы доказать достаточность, допустим, что М удовлетворяет
неравенству (20) и условию Г определения 2. Тогда для М верны теаремы 3 и 4
Йдоказательства которых опираются только на условие Г определения 2).
з теоремы 4 и неравенства (20) вытекает, что
-М(/) = М(-/) ^ sup(-/) = - inf /,
R R
ИЛИ
(21) inf/^M(/).
Отсюда сразу следует, что условия 2° и 3° в определении 2 выполнены.
Так как условие Г тоже выполнено, то М есть среднее значение в R.
4. В дальнейшем неоднократно будет использоваться следующая
Лемма 7. Пусть Мх и М2 —средние значения в нормальном
пространстве R. Если для любой неотрицательной (т. е. не принимающей
отрицательных значений) ограниченной непрерывной функции /,
определенной в R, выполняется неравенство
(22) М,(/)^М2(/),
то функционалы М, и М2 совпадают.

158
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Доказательство. Пусть / — произвольная ограниченная
непрерывная функция, определенная в R. Так как функция / - inf / ограничена,
непрерывна и неотрицательна, то согласно неравенству (22)
М,(/ - Inf/) < Л^(/ - Inf/),
откуда в силу леммы 6 и условия Г определения 2 вытекает, что для /
имеет место неравенство (22). Таким образом, (22) выполняется для любой
ограниченной непрерывной функции в R.
Подставляя в это неравенство -/ вместо / и применяя теорему 4,
получаем неравенство Mx(f) ^ М2(/), откуда с учетом неравенства (22) следует,
что Ml(f) = M2(f), что и требовалось доказать.
§ 4. Внешние плотности
1. Мы установим сейчас для внешних плотностей ряд простых свойств,
следующих непосредственно из определения 4. В этом параграфе р,
обозначает внешнюю плотность в нормальном пространстве R.
Теорема 8. /х(Л)=±0.
Это свойство немедленно следует из условия 2° определения 3.
Теорема 9. Если А с В с R, то р(А)^р(В).
Это немедленно вытекает из условия 4° определения 3.
Теорема 10. 0<р(А)<1 (АсД).
Это утверждение есть следствие теорем 8 и 9 и условия 3° определения 3.
Теорема 11.
(то \ т / m \
6А,)<Х>(А,) (б^сй).
Следует из условия Г определения 3 (индукция по га).
2. Определение 4. Подмножество А пространства R называется
р-измеримым, если
р(В) = р(ВГ)А) + р(В\А)
для любого множества В с Д.
Теорема 12. Если А р-измеримо, то R\A также р-измеримо.
Следует непосредственно из определения 4.
Лемма 8. Если А и В р-измеримы, то А Г) В р-измеримо.
Доказательство. Пусть С — произвольное подмножество R. Из
/х-измеримости А следует, что
(23) р(С Г)В) = р(СпАпВ) + р((С ПВ)\ А).
Аналогично, из д-измеримости В следует, что
(24) р(С) = р(С ПВ) + р(С \ В),
р(С \ (А П В)) = р((С \ (А П В)) П В) + р((С \ (А П В)) \ В) =
= р((СГ)В)\А) + р(С\В).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
159
Комбинируя соотношения (23), (24) и (25), получаем
/i(C) = /i(CnAnB) + /i((CnB)\A) + M(C\B) =
= /х(С ПАпВ) + /х(С \ (А П В)),
что и требовалось доказать.
Теорема 13. Если множества А{ (г = 1,..., т) р,-измеримы, то
множества ЭК = 1тА{ и &U = 1тА{ также р-измеримы.
Легко следует из леммы 8 и теоремы 12.
Лемма 9. Если множества А и В р,-измеримы и АГ\В = Л, то
/х(АиВ) = /х(А) + /х(В).
Доказательство. Так как множество А /х-измеримо, то в силу
определения 4
р(АиВ) = р((АиВ)ПА) + р((АиВ)\А) = р(А) + р(В),
что и требовалось доказать.
Теорема 14. Если /х-измеримые множества А{ (г = 1,..., га)
попарно не пересекаются, то
(т \ т
Немедленно следует из леммы 9.
Теорема 15. Замкнутые и открытые множества в R являются
р,-измеримыми.
Доказательство. Пусть F — замкнутое подмножество
пространства R и В—произвольное подмножество этого пространства. Тогда
BnFc7=F
и, следовательно,
BCiFn(B\F) = A.
Отсюда, в силу условия 2° из определения 3,
p(BnF) + p(B\F) = p(B)
для произвольного В. Но это есть в точности определению
//-измеримости F (определение 4). Таким образом, /х-измеримость замкнутых множеств
доказана; /х-измеримость открытых множеств тогда немедленно следует из
теоремы 12.
3. Лемма 10. Если пространство R компактно5*, то
м(.ба) = .Нт/х(ф
для любой последовательности {G$*^x открытых подмножеств в R
таких, что
GiCGi + 1 (t = l,2,...).
5> См. [1, с. 84].

160
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Доказательство. Пусть {0*}Г-1 — последовательность открытых
множеств такая, что Gx с G2 С.. .Положим
(26) Я=в,С<
и выберем произвольное положительное число е. По условию 4°
определения 3, найдется такое открытое множество
(27) GDR\G0,
что
(28) ti(G)<ti(R\G0) + e.
Из соотношений (26) и (27) видно, что открытые множества G, Gv GLy...
покрывают пространство Д. Но, поскольку R компактно, можно выбрать
конечное число этих множеств, которые будут покрывать R (см. [1, с. 85]).
Пусть это будут множества G, G^,..., Gj , так что
го
(29) R = GU&fii,
где m, j,,..., jm — натуральные числа. Обозначим через j0 наибольшее из
чисел Зх,...,3т- Тогда G} с G^ (г = 1,..., т), откуда, согласно (29),
R = GU G,.
С учетом условий Г и 3° определения 3 это дает
(30) /z(G) + M(G^l.
С другой стороны, так как множество R\G0 замкнуто, то из условий 2°
и 3° определения 3 мы заключаем, что
(31) /х(С0) + М(Д\С0)=1-
Из соотношений (28), (30) и (31) вытекает, что
IJL(Gi)^l-ii(G)>l-(i(R\G0)-e = fi(G0)-e.
Но при J ^ jo
GACG,CG0)
откуда следует, что
м((?4Км(ф<м(Со)-
Таким образом, мы доказали, что для любого е > 0 существует такое j0, что
для з > h
м(Со)-е<м(ф<м(С0)-
Следовательно,
lim/i(Gj) = M(G0).
*-»00
Лемма доказана.
Лемма 11. Если пространство R компактно, то
(32) р(еа)*£р(а<)
для любой последовательности {Gj^Li открытых подмножеств в R.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
161
Доказательство. Положим
(зз) Щ=ва,-
» = 1
тогда множества Hi открыты и
HtcHi + l (г = 1,2,...)
00 00
»=1 * »»1 *
Применяя к последовательности {#,}*., предыдущую лемму, мы
заключаем, что
(34) м(.всЛ = .Нтм(Я;.)
С другой стороны, из теорем 10, 11 и формулы (33) следует, что
(35) М(ЯУК £м(ЗК f>(G,)-
t = l t = 1
Из соотношений (34) и (35) вытекает неравенство (32), что и требовалось
доказать.
Теорема 16. Если пространство R компактно, то
(36) p(GAt)*±rtAt)
для любой последовательности {А{}^ш1 подмножеств в R.
Доказательство. Возьмем произвольное положительное е. С
помощью «Auswahlpostulat» (аксиомы выбора) можно заключить, пользуясь
условием 4° определения 3, что существует последовательность {С{}™={
открытых множеств такая, что
(37) м(С<)<м(А<) + ^ <i = lf2f...),
(38) А{св{ (г = 1,2,...).
Для этой последовательности, как мы показали, верно неравен во 2). С
другой стороны, из соотношений (38) бытекает, что
00 00
бДс.ва,
откуда по теореме 9
(39) р(вА<)<р(вО<У
Комбинируя неравенства (32), (37) и (39), мы получаем
<Х>(А,) + е,
» = i
откуда, в силу произвольности е, следует (36), что и требовалось доказать.
Из определения 3 и теорем 8-16 следует, что в случае компактного. R
всякая внешняя плотность обладает всеми основными свойствами внешней
меры и, таким образом, является «регулярной мерной функцией» в смысле
Каратеодори (см. (3, с. 237-258]).
4§л)

162
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
§ 5. Построение внешней плотности
по данному среднему значению
1. В одном частном случае процедура построения внешней плотности для
данного среднего значения была предложена фон Нейманом (см. [4, с. 106—
114]). Мы распространим сейчас конструкцию фон Неймана на общий
случай средних значений в нормальном пространстве.
Начнем со следующего определения.
Определение 5. Пусть G — открытое подмножество нормального
пространства йи/ — непрерывная функция, определенная в R. Мы будем
говорить, что функция / подчинена множеству G, если
(40) 0^f(x)^l (яеД),
(41) /(s) = 0 (xeR\G).
Множество всех функций, подчиненных G, будет обозначаться
через S(G).
Введенное понятие обладает следующими свойствами.
Лемма 12. Пусть Gi (г = 1,2) — открытые множества в
нормальном пространстве R такие, что
(42) G,nG2 = £.
Если
Л6 5(С4) (г = 1,2),
то
/,+/2eS(G,UG2).
Доказательство. Согласно определению 5,
(К/Да0<1 (г = 1,2,а:еД),
/,(*) = <> (*€Л\С4),
откуда, в силу (42),
<К/,(*) + /, (*)<1 (*еД),
/,(*) + /,(*) = 0 (ж€Д\(С?1иС?2)))
что и требовалось доказать.
Лемма 13. Пусть G{ (г = 1,2) — открытые множества в
нормальном пространстве R. Если
/e5(G,UG2),
то найдутся две такие функции
(43) Л€5(ф (г = 1,2),
что
(44) / = /,+/,.
Легко видеть, что эта лемма по существу совпадает с леммой 1.
2. Вплоть до конца этого параграфа М будет всегда обозначать среднее
значение в нормальном пространстве R.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
163
Определим функцию множества /х(А) (где AcR) следующим образом:
(45) М(А)= sup М(/),
f€S(A)
если А — открытое множество, и
(46) М(А)= inf fi(G)
в остальных случаях. Здесь 21(A) обозначает (так же, как и в условии 4°
определения 3) множество всех окрестностей А6). Мы покажем, что эта
функция \i удовлетворяет всем условиям определения 3.
3. Лемма 14. Если G{ (г = 1,2) — открытые подмножества в R и
Gx с G2, то
(47) m(GU<m((%).
Доказательство. Из определения 5 следует, что S(GX) с S(G2).
Отсюда и из (45) вытекает неравенство (47).
Лемма 15. Соотношение (46) имеет место также и в том случае,
когда множество А открыто.
Доказательство. Если А открыто, то А еЩА) и, следовательно,
fi(A)^ inf /x(G).
С другой стороны, в силу леммы 14
/х(АК inf filG).
Из этих двух неравенств следует равенство (46), что и требовалось
доказать.
Из определения /х и леммы 15 вытекает
Лемма 16. Функция \i удовлетворяет условию 4° определения 3.
4. Лемма 17. Функция \i удовлетворяет условию 3° определения 3.
Доказательство. Заметим, что R открыто в R и 5(R) есть
множество всех непрерывных функций, определенных в R и удовлетворяющих
условию (40). По теореме 6, для любой такой функции /
М(/К1.
С другой стороны, для функции /, тождественно равной единице, — а
она удовлетворяет всем нашим условиям, — мы имеем, согласно условию 3°
определения 2 , что Af(/) = 1. Отсюда, с учетом (45), вытекает, что /х(Д) =
= 1, что и требовалось доказать.
5. Лемма 18. Если пространство R нормально и G{ (г = 1,2) —
открытые множества в Rf то
(48) M(GiU(%)<M(Gl) + M((%).
6* Множества S(A)n ЩА) в формулах (45) и (46) непусты, так как функция, тождественно
равная нулю в Л, принадлежит S(A) и R еЩА).

164 О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Доказательство. Пусть дано произвольное положительное
число е. Из соотношения (45) следует существование такой функции
feS(GlUG2)1 что
(49) M(f)>p(GxUG2)-e.
По лемме 13 существуют функции /< (г = 1,2), удовлетворяющие
со/ношениям (43) и (44). Из (43) и (45) следует, что
(50) М(/,К/х(С,) (г = 1,2).
С другой стороны, из равенства (44) и условия Г в определении 2
вытекает, что
(51) М(/) = М(/1) + М(/2).
Из (49), (50) и (51) получаем неравенство
/x(G1UG2)</x(G1) + /x(G2) + e,
из которого следует, в силу произвольности е, неравенство (48), что и
требовалось доказать.
Лемма 19. Если R нормально, то функция р, удовлетворяет
условию Г определения 3.
Доказательство. Пусть Ai С Д (г = 1,2) и пусть е >0. По лемме 16
найдутся такие открытые множества G{ (г = 1,2), что
(52) AtCGt (г = 1,2)
(53) M(G,)<M(A,) + i (г = 1,2)
Так как, в силу соотношений (52), АхиА2 с G{\JG2t из лемм 16 и 18 следует,
что
(54) М^иАзК/х^ + МС?,).
Из неравенств (53) и (54) вытекает
р(Ах U А2) < р(Ах) + р(А2) + е.
В силу произвольности е отсюда следует, что
р(АхиА2)^р(Ах) + р(А2).
Лемма доказана.
6. Лемма 20. Если R нормально, то функция р удовлетворяет
условию 2° определения 3.
Доказательство. Пусть A UВ сR,
(55) Хп# = Л.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
165
Пусть G — произвольная окрестность множества АиВ, тогда множество
G\A открыто. Возьмем произвольную функцию
(56) feS(G\A)
и произвольное е > 0. Положим
(57) H = £(f(x)<e).
X
В силу непрерывности / множество Я открыто. Выберем произвольную
функцию
(58) geS(GnH).
Из определения 4 и формул (56), (57) и (58) следует, что
f(x) < е, д(х) ^ 1 для ж Е G П Я,
/(ж)^1, д(х) = 0 для xeR\(GnH).
Поэтому
(59) f(x) + g(x) <l + e (xeR).
Кроме того, согласно (56) и (58)
(60) f(x) + g(x) = 0 (xeR\G).
Из (59) и (60) вытекает
£feS(G).
Отсюда, с учетом (45), теоремы 5 и условия Г в определении 2, получаем
M(/) + M(0)<(l + *)M(G).
Здесь д есть произвольная функция, подчиненная множеству GC)H. Снова
применяя (45), мы получаем, что
(61) M(f) + fi(G П Я) ^ (1 + e)fi(G).
С другой стороны, в силу (56)
/(ж) = 0 для хеА,
откуда вследствие (57) получаем А с Я. Но G есть окрестность множества
А и потому АсбпЯ. Поэтому по лемме 16
(62) /х(АКм(СпЯ).
Из неравенств (62) и (61) вытекает
/z(A) + M(/K(l + e)/i(G).
Здесь е — произвольное положительное число. Поэтому
/z(A) + M(/Km(G).

166
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Так как / есть произвольная функция, подчиненная множеству G\A, мы
можем применить соотношение (45), что дает неравенство
(63) p(A) + p(G\A)^p(G).
Но G есть окрестность A UB. Следовательно, в силу (55) имеем В cG\A
и, по лемме 16,
(64) p(B)^p(G\A).
Из неравенств (63) и (64) вытекает неравенство
/x(A) + /x(BK/x(G),
справедливое для произвольной окрестности G множества A U В. Отсюда,
с учетом лемм 16 и 19, окончательно получаем
/х(А) + /х(В) = /х(А + В),
что и требовалось доказать.
7. Объединяя леммы 16, 17, 19 и 20, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 17. Пусть М — среднее значение в нормальном
пространстве R. Тогда функция множеств р, определенная формулами (45)
и (46), есть внешняя плотность в R.
§ 6. Построение среднего значения по данной внешней плотности
1. В этом параграфе р, будет всегда обозначать внешнюю плотность в
нормальном пространстве R.
Определение 6. Конечная система р,-измеримых множеств
{Ае}е€2 (где Е—конечное множество) такая, что Ае ПАе = Лдля £|т££2'
называется р,-разбиением пространства R, если
Д= 6 АЁ.
Определение 7. Для двух систем множеств {Ae}e€S и {В$}$€в их
суперпозицией называется система
{А{ nBJ^^€Sxe
Из леммы 8 немедленно следует
Лемма 21. Суперпозиция двух р-разбиений пространства R сама
является р-разбиением R.
2. Для любого множества Асй и любых функций /, д, определенных
в R, верны неравенства7*
(65) sup(/ + flf)< sup / + sup ft inf(/ + g) ^ inf / + inf g.
A A A A A A
7* См. п. «Обозначения» в начале статьи.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
167
Кроме того, согласно теоремам 8 и 10 мы можем записать
(66) sup//x(A)^sup//x(A), inf//x(A)^inf//x(A),
А В А в
если АсВ cR и / определена в R.
Лемма 22. Пусть f — ограниченная функция, определенная в R,
и пусть {Ас}^еЕ и {В$}$ев—р-разбиения R. Тогда
(67) £ sup/./x(Ae)£ £ inf/./x(B,).
Доказательство. В силу леммы 8 и теоремы 14
М(^)=£м(4епв,) (£е~).
Из этого равенства и неравенств (66) вытекает, что
sup//x(Ae)^ £ sup fp(AcnBe),
At $евА.ПВЙ
(68)
£sup//x(Ae)^£ £ sup /-м(ЛеПВ#).
Таким же образом показывается, что
(69) Е Е inf / • M(Ae П В,) > Е toff/ • M(S,).
Наконец, так как р — неотрицательная функция, то
(70) ЕЕ sup / • р(Ас ПВ^ЕЕ inf / • м<Ае П В,).
{езвееА^пв, teE$eeAtnB»
Из соотношений (68), (69) и (70) следует требуемое неравенство (67), что
и требовалось доказать.
Введем следующие обозначения. Пусть Д^ обозначает множество всех
р-разбиений пространства R. Это множество непусто, так как система {R },
состоящая из единственного элемента R, есть р-разбиение R.
Положим теперь
(71) М(/)= inf АХ>р/./х(Ае),
(72) М(/)= sup £inf/./x(Ae).
Из леммы 22 немедленно следует
Лемма 23. Для любой ограниченной функции /, определенной в R,
M{f)*M(f).
Нам также потребуется следующая

168
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Лемма 24. Для любых ограниченных функций fug,
определенных в R,
(73) М(/ + 0КМ(/) + МЫ,
(74) Щ/ + д)>МЦ)+Щд)-
Доказательство. Возьмем произвольное е >0. По определению
M(f) существуют такие системы {Ae}e€S и {B$}$eQt что
(75) Е sup / • /i(Ae) < M(f) + с, £ sup 0 ■ /i(B#) < M(g) + е.
ees А( 9€в в9
Но из доказательства леммы 22 мы знаем, что функция / удовлетворяет
неравенству (68). Аналогичное неравенство для g имеет вид
(76) Е sup g • ц(В$) > Е Е SUP 5 • м(^е П В,).
Складывая неравенства (68) и (76) и используя (75), получаем
Е ( sup / + sup g) • fi(Ac ПВ0)< М(/) + M(g) + 2е,
откуда, в силу теоремы 10 и неравенств (65),
Е sup (f + g)- /х(Ае П В,) < М(/) + М(д) + 2е.
Отсюда с помощью определения М и леммы 21 вытекает
M(f + g)< M(f) + Щд) + 2е.
Это неравенство выполняется для любого е > О, и отсюда следует (73).
Подобным же образом доказывается неравенство (74).
3. Теорема 18. Для любой ограниченной непрерывной функции /,
определенной в R,
(77) М(/) = М(/).
Доказательство. Положим
(78) A? = f(^i</(«)<i) (n = l,2,...; г = 0, ±1,±2,...).
Множества , . ч
замкнуты в силу непрерывности функции /. Тогда, применяя теоремы 12,
13 и 15 к равенствам
мы заключаем, что множества А" являются //-измеримыми. Кроме того,
очевидно, что
а;па;=л (*vi).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
169
Тогда, поскольку функция / ограничена, для любого положительного целого
числа п найдется положительное целое число тп такое, что
т»
Д= 6 А,п.
Следовательно,
(79) КТ..^€Д, (п = 1,2,...).
По определению множеств А",
osc/<^-.
Но из соотношения (79), теоремы 14 и условия 3° определения 3
вытекает, что
.£ М(А") = 1.
Следовательно, ' т-
Е sup//x(A,»)- Е taf/-M(AD<i,
»=г-тп А!1 »ав-тп А<
и тогда в силу (71), (72) и (79)
М(/)-М(/К± (п = 1,2,...),
откуда
М(/)^М(/).
С помощью леммы 23 отсюда вытекает (77), что и требовалось доказать.
Теорема 18 позволяет определить функционал М для каждой
ограниченной непрерывной функции / в R по следующей формуле:
(80) М(/) = М(/) = М(/).
Лемма 25. Функционал М удовлетворяет соотношению (20).
Доказательство. Система IR} является /х-разбиением R; в силу
условия 3° определения 3, для любой ограниченной функции / в R мы
имеем
sup/-/x(#) = sup/.
R R
Отсюда получаем
M(/Ksup/,
R
что и дает, в случае непрерывной /, неравенство (20), что и требовалось
доказать.
4. В леммах 24 и 25 утверждается, что функционал М удовлетворяет
условию Г определения 2 и соотношению (20). Из теоремы 7 поэтому
вытекает
Теорема Л 9. Пусть /х — внешняя плотность в нормальном про-
странстве R. Тогда функционал М, определенный уравнением (80),
является средним значением в R.

170
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
§ 7. Соответствие между средними
значениями и внешними плотностями
1. В предыдущих параграфах мы указали метод построения внешней
плотности по заданному среднему значению, а также среднего значения — по
заданной внешней плотности. Мы покажем сейчас, что эти процедуры
взаимно обратны. Тем самым мы установим взаимно однозначное соответствие
между средними значениями и внешними плотностями в нормальном
пространстве.
2. Лемма 26. Пусть М —■ среднее значение в нормальном
пространстве R, /х — внешняя плотность, определяемая этим средним
значением, и Мх —среднее значение, отвечающее внешней плотности /х. Тогда
для любой ограниченной непрерывной функции /, определенной в R и
принимающей только неотрицательные значения,
(81) Mx(f)^M(fy
Доказательство. Пусть множества А* и числа тп определены так
же, как в доказательстве теоремы 18, и, таким образом, имеют место
соотношения (79). Кроме того, поскольку f(x) ^ 0 при всех ± е R, мы имеем
А,П = А (г<0)
и, следовательно,
(82) {АЖобД,.
Полагая теперь
(83) В," = £(/(*)>!),
мы получим равенство тп
в%п= е а;.
Отсюда в силу теоремы 14
/*№•)= Е mW)
3 = * + 1
и потому
(84) Е/*№")= ЕЛ*(а;>.
Из соотношения (84) и определения множеств А" вытекает, что
Е*ф/-м(а;к££м(я;).
откуда следует, что
(85) м,(/к£е/*<*;),
так как Мх есть среднее значение, определяемое внешней плотностью /х
(ср. (71) и (80)), и имеет место (82).
С другой стороны, в силу непрерывности / множества В? открыты.
Поскольку /х есть внешняя плотность, соответствующая среднему значению

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
171
М, то для фиксированного п существуют функции /< (г = 0,1,..., тп)
такие, что
(86) feS(B») (t=0,...,mj,
(87) М(/,.) > ц{В«) -I (г = 0,..., mn).
Из неравенств (87) и теорем 2 и 5 вытекает неравенство
(88) iEM(sn<M(i £/<) + !•
t'=0 х t = 0 '
Из (86) мы получаем
/,(*)< 1 (x€R),
Л(Ж) = 0 (x€R\Btn),
откуда, в силу (78) и (83),
/;.(*)=О (хеА»)
для всех j ^ г. Таким образом, для ж Е А? имеем
£/<(*)=£/<(*)<*
Поскольку, с другой стороны, для того же х
то
(89) ,£fi(x)<f(x) + i
при хеА". Но всякая точка х из Д принадлежит одному из множеств
A" (j =0,..., mn), и, таким образом, соотношение (89) выполняется для
каждой точки х е R. Тогда из теорем 1, 2 и 6 следует, что
(90) M(±fU)<M(/) + i
Наконец, объединяя неравенства (85), (89) и (90), получаем неравенство
Mx(f)<MU) + l.
Это соотношение выполняется для произвольного натурального п, откуда
вытекает (81), что и требовалось доказать.
Из лемм 7 и 26 немедленно вытекает
Теорема 20. Если М — среднее значение в нормальном
пространстве up,— внешняя плотность, определяемая этим средним
значением, то, в свою очередь, М есть среднее значение, отвечающее внешней
плотности /х.
3. Теорема 21. Различные внешние плотности в нормальном
пространстве R определяют различные средние значения.

172 О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Доказательство. Пусть рх и р^ — две различные внешние
плотности в нормальном пространстве R, и пусть Мх и М« — средние значения,
сопоставленные рх и р^ соответственно. Так как рх фр^, то найдется такое
множество А с R, что рх(А) ф р^А); отсюда следует (с учетом условия 4°
из определения 3), что существует такое открытое множество и D А, что
рх(С)Фъ(С).
Предположим для определенности, что px(G) < p^G). В силу условий 2°
и 3° определения 3 тогда получаем
Pv(R\G) = l-p2(G)<l-px(G).
Снова применяя условие 4° из определения 3, мы можем выбрать такое
открытое множество НDR\G, что
(91) ^(HXl-^G).
Полагая F = R\H, имеем
(92) FcG
и, в силу условий 2° и 3° определения 3 и неравенства (91),
(93) M2(F)=l-Ai2(H)>Ml(G).
В силу (92), замкнутое множество F не имеет общих точек с замкнутым
множеством R \ G. Следовательно, по теореме Урысона существует такая
непрерывная функция / на R, что
(94) 0</(х)*1,
(95) /<*>»(? АЯЯЖ€^С'
у ' х ' \ 1 для хеК
Так как множества F и R \ G замкнуты, то системы {F, Я} и {G, R \ G}
являются /^-разбиениями R (г = 1,2). Кроме того, из соотношений (94) и
(95) следует, что
(96) sup/ px(G) + supfpx(R\G)^px(G),
(97) inf / . b(F) + inf /. ъ(Н) > p*(F),
С другой стороны, согласно определению средних значений мы имеем
(98) Mx(f) ^ sup AG/ ■ px(G) + sup \R\Gf- px(R \ G),
(99) M2(f) > inf XFf • PziF) + inf XHf ■ /^(Я).
Комбинируя теперь неравенства (93) и (96)-(99), мы получаем
неравенство Mx(f) < М2(/), и тем самым М, ф М2, что и требовалось доказать.
4. Объединяя теоремы 20 и 21, мы можем сформулировать следующий
результат.
Теорема 22. Пусть R — нормальное пространство. Тогда
отображение, ставящее в соответствие каждому среднему значению М в
пространстве R функцию /х, определенную соотношениями (45) и (46),
есть взаимно однозначное отображение множества средних значений
в R на множество внешних плотностей в R. Обратное отображение
задается формулами (71), (72) и (80).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
173
§ 8. Теоремы об инвариантности
средних значений и внешних плотностей
1. В заключение мы исследуем связь между некоторыми свойствами
инвариантности средних значений, с одной стороны, и внешних плотностей —
с другой.
б этом параграфе ip будет обозначать произвольное непрерывное
отображение нормального пространства R в себя.
Определение 8. Пусть М — среднее значение в пространстве R.
Мы говорим, что М инвариантно относительно (р, если
M(f<p) = M(f)
для любой ограниченной непрерывной функции /, определенной в R.
Определение 9. Пусть /х — внешняя плотность в пространстве R.
Мы говорим, что /х полуинвариантна относительно <pt если
(100) Р(<р-г(в))>№)
для любого открытого подмножества G пространства R.
Определение 10. Пусть /х — снова внешняя плотность в R. Мы
говорим, что /х инвариантна относительно у?, если
М(¥>-'(А)) = М(А)
для любого множества A cR.
2. Из определений 9 и 10 немедленно вытекает, что внешняя плотность,
инвариантная относительно у>, также полуинвариантна относительно (р.
Следующий пример пространства показывает, что обратное не всегда верно.
Пусть пространство R состоит из двух точек а и Ь, и пусть замыкание
определяется по формуле
__ , __, если А Ф{а\,
<"И> А = { J r)['
если А = {а}.
1 Л,
Легко видеть, что R есть топологическое пространство, нормальное в
смысле определения 1. Определим отображение у? пространства R в себя
следующим образом:
(102) ip(a) = <p(b) = a.
Очевидно, это отображение является непрерывным. Рассмотрим, наконец,
следующую функцию множеств /х:
(103) ^А) = {о
1, если Ь еА,
если b eR\A,
где Асй. Легко проверить, что функция /х удовлетворяет всем
условиям 1°-4° определения 3 и, таким образом, является внешней
плотностью в R.

174
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Покажем теперь, что эта внешняя плотность полуинвариантна, но не
инвариантна относительно у?. Действительно, из (101) можно усмотреть, что
открытыми в R являются только множества Л, {а} и R, а согласно (102),
<p~l({a}) = R и, разумеется, уг!(Л) = Л, <р~!(Д) = R. Тогда в силу (103)
M(^(M))=l>0 = /x({a}),
fj,(ip~l(A)) = ii(A) для А=Ли А=Д,
откуда следует, что /л полуинвариантна, но не инвариантна относительно <р.
Ниже (в теореме 24) мы рассмотрим важный случай, когда
полуинвариантность внешней плотности совпадает с ее инвариантностью. Но сначала
получим одно достаточное условие инвариантности внешней плотности.
3. Лемма 27. Пусть \i -—внешняя плотность в R, обладающая
тем свойством, что
(104) »(<p-4A))>i*(A)
для любого А с R. Тогда
(105) M(^(G)) = /x(G)
для любого открытого множества G в R.
Доказательство. Пусть G — открытое множество в Д. Тогда
множество R \ G замкнуто в Д. В силу непрерывности (р множество
<p~l(R \ G) = R \ <p~l{G) также замкнуто. Следовательно (см. условия 2°
и 3° определения 3),
M(^(^\G))=l-/x(^4G)),
/x(ii\G)=l-/x(G),
откуда, в силу (104),
l-/x(^(G))^l-/x(G),
/x(^(G))^M(G).
С другой стороны, в силу (104)
/x(^(G))^M(G).
Следовательно, для G выполнено соотношение (105), что и требовалось
доказать.
Лемма 28. Пусть /х — внешняя плотность в пространстве R
такая, что для любого открытого подмножества G в R выполняется
соотношение (105). Тогда
(106) р,(<р-\А))^р,{А)
для любого множества AcR.

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
175
Доказательство. Пусть А — подмножество R и пусть е —
положительная константа. Согласно условию 4° определения 3 найдется такое
открытое множество G, содержащее А, что
(107) ii(G)<n(A) + e.
Множество <p~{(G) содержит <р~1(А) и является открытым (в силу
непрерывности <р). Поэтому согласно (105) и условию 4° определения 3 мы имеем
M(G) = M(^-1(G))^M(V-'(^)),
что вместе с (107) дает
ц(<р-1{А))<ц(А) + е.
Поскольку это неравенство верно для произвольного е > 0, то отсюда
вытекает, что соотношение (106) выполнено, что и требовалось доказать.
Объединяя леммы 27 и 28, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 23. Если р, — внешняя плотность в R, удовлетворяющая
неравенству (104) для любого Асй, то /х инвариантна
относительно <р.
4. Рассмотрим теперь случай, когда преобразование <р замкнуто (см. [1,
с. 95]). Мы покажем, что в этом случае полуинвариантность внешней
плотности относительно <р влечет ее инвариантность.
Лемма 29. Пусть <р —замкнутое преобразование, А с R и
(108) Ge9l(<p-l(A)).
Тогда существует множество
(109) Я 6 21(A)
такое, что
(ПО) <p-l(H)cG
Доказательство. Положим
(111) H = R\ip(R\G).
Так как в силу (108) множество G открыто, то множество R\G замкнуто и,
следовательно, <p(R \ G) также замкнуто (поскольку у? — замкнутое
отображение), и, таким образом, Я открыто. Далее, в силу (108) ip~l(A) с G,
откуда
R\GcR\ <р~1(А) = <p-l(R \ A),
так что <p(R \ G) с R \ А или АсН. Так как Я открыто, то отсюда вытекает
соотношение (109).
С другой стороны, в силу (111)
R \ G с <p~l(<P(R \ G)) = <P~l(R \ Щ = R \ <Р~1(Щ}
откуда следует (ПО).
Теорема 24. Если отображение <р замкнуто, то всякая внешняя
плотность в Rt полуинвариантная относительно <р, является
инвариантной относительно (р.

176
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
Доказательство. Пусть \i — внешняя плотность в R,
полуинвариантная относительно <р, А —подмножество Д, и е — произвольное
положительное число. По условию 4° определения 3 существует окрестность G
множества <р~1(А) такая, что
(112) М<С)<м(¥гЧА)) + е.
По лемме 29 найдется множество Я, удовлетворяющее условиям (109)
и (ПО). Из (ПО), в силу теоремы 9, вытекает, что
(ИЗ) ^(Я))^(б).
Множество Я является открытым, согласно (109), и внешняя плотность /х
полуинвариантна относительно <р; следовательно, по определению 9
(114) М(ЯКм(¥>-'(Я)).
Наконец, в силу (109) и теоремы 9
(115) р(А)*р(Н).
Из неравенств (112)-(115) мы получаем неравенство
/х(А)</х(^-!(А)) + е,
которое справедливо при любом е>0. Следовательно, неравенство (104)
выполняется для любого множества А, откуда по теореме 23 вытекает
инвариантность /х, что и требовалось доказать.
В частности, из теоремы 24 вытекает, что инвариантность и
полуинвариантность внешней плотности относительно преобразования <р совпадают,
если <р есть гомеоморфизм пространства R на все Д. В этом случае
условие инвариантности, очевидно, может быть записано в виде
р(<р(А)) = р(А) (А С R).
5. Перейдем теперь к главной задаче настоящего параграфа — к
установлению связи между инвариантностью среднего значения и инвариантностью
соответствующей внешней плотности.
Теорема 25. Пусть М — среднее значение в пространстве R,
инвариантное относительно <р, и /х —соответствующая ему внешняя
плотность. Тогда р, полуинвариантна относительно (р.
Доказательство. Пусть G — открытое множество вйие —
произвольное положительное число. Из уравнения (45) вытекает, что существует
функция /, удовлетворяющая условиям
(116) feS(G),
(117) M(/)>/x(G)-e.
Согласно (116), для этой функции / выполнены условия (40) и (41), откуда
получаем
0^fip(x)^l (x€R),
М*) = 0 (xe<p-l(R\G) = R\<p~4G)).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
177
Так как сложная функция /у? непрерывна, то ftp € S((p~l(G)), откуда в
силу (45)
(118) M(,frK/x(^(G)).
Комбинируя неравенства (117) и (118) и пользуясь инвариантностью М
относительно у>, получаем неравенство
M(p-!(G))>M(G)-c
Поскольку число е > 0 здесь произвольно, отсюда следует
неравенство (100), что и требовалось доказать.
6. Теперь мы установим обратное соответствие между
полуинвариантностью внешней плотности и инвариантностью соответствующего среднего
значения. Доказательство будет основано на следующей лемме.
Лемма 30. Если М есть среднее значение в R, то функционал Мх,
определенный уравнением
(119) М1(/) = М(/^),
также есть среднее значение в R.
Справедливость этого предложения немедленно следует из
определения 2.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение.
Теорема 26. Пусть р, — внешняя плотность в пространстве R,
полуинвариантная относительно (р. Тогда соответствующее среднее
значение М инвариантно относительно (р.
Доказательство. Пусть / — произвольная ограниченная
непрерывная функция, определенная в Л и принимающая только неотрицательные
значения.
Определим множества А" и числа гап так же, как при доказательстве
теоремы 18 и леммы 26. Тогда верны соотношения (82), (84) и неравенство
(120) WKjjEmW)."
которое получается из неравенства (85) заменой М, на М.
По определению множеств А? и В? (см. (78) и (83)),
vJ-'(AD=£(i^<Ma:)^i),
(121) *V
<р-Чвп=е(Мх)>±у
Множества р~!(.А") и ip~l(B?) совпадают, таким образом, с множеств!ами
А? и В? для функции fip. Так как функция ftp не принимает отрицательных
значений и

178
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
то в формулах (82) и (84) мы можем заменить А" и В" соответственно на
р-ЧА?) и ч>-\В?), т. е.
(122) {^-ЧАГ^обД,,
(123) е и =ог-ц{^(вп)=Е Ч=(Г-М'р-1(а;)).
Так как множества В* открыты и внешняя плотность полуинвариантна
относительно /х, то
(124) Е/*WK E м(¥>-Чв;)).
.=0 »=0
Из соотношения (121) следует, наконец, что если (р~1(А*)£А, то
Inf f<P + ^>L
откуда, в силу соотношения (122) и определения М (принимая во внимание
теорему 14), получаем
(125) i е м<р~Ча;)) < i е м(^-Ча;))+
у-о у=о
+ Е inf. f<p-rt<p-l(A;))<i + M(fr).
Объединяя теперь соотношения (120), (123), (124) и (125), мы приходим
к неравенству
М(/)<л/(Л0 + 1,
которое справедливо для произвольного натурального п. Поэтому
M(f)<Mx(f),
где Мх —функционал, определенный уравнением (119). Здесь / —
произвольная ограниченная непрерывная функция, определенная вйи
принимающая только неотрицательные значения.
По лемме 30, Мх есть среднее значение. Применяя к средним значениям
М и Мх лемму 7, мы заключаем, что М = Ми т. е. что М инвариантно
относительно у>, что и требовалось доказать.
7. Объединяя утверждения теорем 25 и 26, можно сказать, что
соответствие между средними значениями и внешними плотностями, задаваемое
соотношениями (45), (46), (71), (72) и (80), сопоставляет средним
значениям, инвариантным относительно у>, полуинвариантные относительно у?
внешние плотности, и наоборот.
Из теоремы 24 следует, что в случае, когда отображение у? замкнуто,
инвариантным относительно (р средним значениям отвечают инвариантные
внешние плотности. Последнее всегда имеет место для бикомпактного хаус-
дорфова пространства, поскольку непрерывное отображение бикомпактного
пространства в хаусдорфово пространство всегда замкнуто (см. [1, с. 95]).

О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВНЕШНИХ ПЛОТНОСТЯХ
179
В этом случае внешние плотности, согласно § 4.3, будут «регулярными
мерными функциями» в смысле Каратеодори (см. [3, с. 237-258]).
В случае, когда ф есть гомеоморфное преобразование R в себя, взаимно
однозначное соответствие между инвариантными средними значениями и
инвариантными внешними плотностями также имеет место.
Литература
[1] Alexandroff P., Hopf Н. Topologie. Bd. 1. — Berlin: Springer, 1935.
[2] X а у с д о р ф Ф. Теория множеств.— М.: Гостехиздат, 1937.
[3] Caratheodory С. Vorlesungen uber reele Funktionen. 2 Aufl. — Leipzig-Berlin,
[4] von Neumann J. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen // Compositio
Math. —1934.-V. 1. —P. 106-114.
Поступило в редакцию 23 марта 1938 г.

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО
ТОКА В СЛУЧАЕ НАКЛОННОГО ПРОВОДЯЩЕГО СЛОЯ*)
Рассматривается одна из наиболее важных задач, возникающих в теории
электроразведки, — о распределении постоянного тока в случае наклонного контакта
полупроводящей среды с идеальным проводником.
Метод решения этой задачи целиком основан на применении аппарата математической
физики.
В заключение приводятся приближенные формулы для численных расчетов
поверхностного распределения потенциала.
1. Формулировка задачи. Задача математической теории
электроразведки о вычислении поверхностного распределения постоянного тока в
присутствии наклонного проводящего слоя может быть сформулирована
следующим образом.
Пусть плоскость ех (земная поверхность) и полуплоскость е2 (наклонная
поверхность проводящей среды) делят пространство на три электрически
однородные части: абсолютно непроводящий воздух RQt полупроводящий
слой Rx, абсолютно проводящий слой R2, как показано на рис. 1.
Рис. 1
Пусть на границе R0 и Rx лежит изолированный кабель, заземлслный в
точках Qx и Q2, в котором генерируется постоянный ток силы д, идущий
от Qx к Q2. Даны: двугранный угол между е, и ^ и электропроводность
слоя Rx. Требуется построить формулы, пригодные для практического
вычисления распределения потенциалов на границе R0n Rx.
2. Условия, налагаемые на потенциал. Пусть у>(Р) обозначает
потенциал в произвольной точке Р слоя Rx, <т — электропроводность слоя Л,.
Тогда функция точки <р(Р) должна удовлетворять следующим условиям:
Г. Функция
непрерывна внутри и на границе Rx, совместно со своими первыми
производными по любому постоянному направлению.
' В сб.: Материалы Центр, н.-и. геол. ин-та. Геофизика. Т. 5. — Л. — М.: ОНТИ НКТП
СССР. — 1938. — С. 40-54. [Авторское резюме мы позволили себе перенести в начало
статьи. — Прим. сост.]

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 181
2°. lim <р(Р) = 0.
Р —*00
3°. <р(Р) = 0 при нахождении точки Р на границе R{ и Д2.
4°. На границе R0 и R{ нормальная производная функции <р равна нулю.
5°. VV = 0.
Ищем функцию <р в виде
(2.1)
*>(р)=<№(р)-ф2<р)].
где на функции ФД(Р) (R = 1,2) налагаем те же 5 условий, что и на
функцию <р(Р), с заменой лишь условия Г следующим условием:
1*. Функция
(2.2)
Ф*СР>-
QrP
непрерывна внутри и на границе Rlt совместно со своими первыми
производными по любому постоянному направлению.
3. Кольцевые координаты. Для построения функций Фп введем так
называемые кольцевые координаты1*.
Пусть G—линия пересечения плоскостей ех и е2; 0R —основание
перпендикуляра, опущенного на G из QR; aR —длина этого перпендикуляра.
Пусть CR —окружность радиуса aR с центром в точке 0R, лежащая в
плоскости, нормальной к прямой G.
Рис. 2
Пусть Р — произвольная точка пространства, не лежащая на прямой G.
Обозначим через PR точку пересечения окружности CR с плоскостью PG,
лежащую по ту же сторону прямой G, что и точка Р, через PR —другую
точку пересечения CR с PG (см. рис. 2 в плоскости PG).
Положим
r*=lgg|, а;л = ^РР;
и обозначим через фк угол, соответствующий дуге QRPR окружности С»,
принимая за положительное направление отсчета направление от точки QR
вверх. Тогда тд, ию ф^—кольцевые координаты точки Р относительно
полярной окружности Сд. Координата тд принимает всевозможные
положительные значения и значения 0 и оо. последним двум значениям тд
!) О кольцевых координатах см. [1; 2].

182 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
соответствует нахождение точки Р на прямой G(rR = 0) и на
окружности Сд(тд =оо). Углу u)R мы будем придавать значения от 0 до 27г,
углу *фя — значения от — ет до 7г. Угол u)R становится неопределенным при
нахождении на окружности Сд, угол ipR не определен на прямой G.
Заметим еще, что *фх = ф2 и что
при 0 ^ фн ^ 7г точка Р находится в Р0,
— -а^Фц^О —//— Р —//— Др
— -тг^д^-а —//— Р —//— Д2,
где а —двугранный угол между плоскостями е, и е^, т. е. наклон
поверхности проводящего слоя.
Уравнение Лапласа в кольцевых координатах имеет вид2):
1 д / shr дФ\ , д / 1 дФ\ . 1 ^5=0
sHT <5г \chт-cosu; "5FУ "*" 5J\chr-cosu; во; У "*" sh2 r(ch г - cos а;) &ф2 '
где мы для упрощения письма опустили индексы Л при т, ш, ф, Ф.
Для наших целей оказывается удобным ввести вместо rR величину
(3.1) fc.lgctt^-lgjSlSi (л, 1,2).
R R
Величина £д убывает от оо до 0 при возрастании тд от 0 до оо; f д = О
при нахождении точки Р на окружности CR; £R = оо при нахождении Р на
прямой G.
В координатах £, cj, ^ уравнение Лапласа, как нетрудно убедиться,
запишется в виде
1 д ( shg зф\ __i_ а / 1 зф\ ,
sh £ 2^ V ch £ - cos u; sh £ "ЭГ/ "*" sh2 £ SJ\ch£ -cosu;sh£ дш ) "*"
ch £ - cos ш sh £ ^,2
Полагая здесь
ф = ^/ch £ - cos о; sh £9,
преобразуем последнее уравнение к виду
(3.2) L(e)^£(sh*f) + ;^g + g + ie=().
4. Решение уравнения Лапласа. Нетрудно показать, что
уравнению (3.2) удовлетворяет всякое выражение вида:
2> См. [3, с. 617; 4, с. 401].

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 183
где F(z) — произвольная аналитическая функция комплексной
переменной z, регулярная при *Rz >0 и удовлетворяющая условию:
(4.1) F(z) = 0(eW2-e>**) (fRz > e),
ПРИчем е>0, е>0.
Чтобы в этом убедиться, представляем в в виде контурного интеграла:
е-if R±») dv,
где путь интегрирования Ci идет из бесконечности вдоль положительной
вещественной оси, обходит вокруг точки £ и вновь уходит в бесконечность
вдоль положительной вещественной оси (см. рис. 3).
Рис. 3.
Для нас существенно, что этот же путь интегрирования годится и для
соседних значений £, в силу чего при взятии частных производных
дв д2в
его можно считать независимым от £. Пользуясь этим, можно представить
левую часть уравнения (3.2) в виде
-i | t{^.±#)45BiaT-n.±¥>7aiw}*
ct
Но из условия (4.1) легко заключить, что
F'(z) = О (£0/2-е>**) (jfo > ^
*->оо\ v Y'™y/chv-cht y/chv-ch{)
Формула (4.2) дает поэтому
L(9) = 0,
что и требовалось доказать.
5. Интегральное представление потенциала. В силу линейности
уравнения (3.2) из доказанного следует, что этому уравнению
удовлетворяет и всякое выражение вида
(5.1) е=['|И/УУ;^^

184 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
где функции Ft(z)t F2{z) регулярны при Viz > О и удовлетворяют усяови*
ям (4.1). Покажем, что решение нашей задачи дается функциями
ад=**(*)=
1
т. е., точнее говоря, что функции
(5.2) ФД(Р) = ^— v/ch £л -cos u>R sh £л х
оо
J {W+^u+ *№у-т\}^т?
X
где
(5.21) /? = тг/2", *«*«*,
удовлетворяют условиям 1*, 2е, 3* и 4* (соблюдение условия 5* вытекает
из предыдущего).
Заметим прежде всего, что выражения (5.2) сохраняют смысл и при £• =
= Офф% т. е. на полярных окружностях Ск за исключением точек QR.
Доказав соблюдение условия 1*, мы одновременно докажем непрерывность
определенных таким образом функций ФЛ(Р) на соответственных полярных
окружностях. Для этого доказательства воспользуемся следующей легко
получаемой формулой:
оо
i.
где гд = QRP. На основании этого представления функции 1/гл имеем:
(5.4) ФД(Р) - ± = р^>/сп£д-со8и,л8п£лИ£д, V0 + х(£л, *)],
где «
(5.411) ♦«,*)«] JT^*)^^
00
(5.412) x(e^)=JL(t;^);^-f<

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 185
Покажем, что при стремлении £ к нулю функция #(£, ^)
стремится к i?(0, V?) и притом равномерно по ф. Представим для этого
функцию К(ь,ф) в виде:
2|sh(,^)| 2|sh^|
Замечая, что функция комплексной переменной
1 _ _1_
sh2z z2
регулярна при z = 0 и ограничена в прямоугольнике
где А и S — произвольные положительные числа, получаем оценки:
, >f*W .^«pftL + ofr), * +0(v),
|sh(/^)| ** + *> " +*
Sh" i'jrh + 0{v)-^j + 0(v)t
|S 2 I
годные при 0<v<l, \ф\£а.
Отсюда
(5.431) ff(v,^) = 0(t/) (0<v<l, |^| < a).
С другой стороны, имеем, очевидно:
0< t,1 shL/ ^n^T^cth^,
ch v - cos V» ch v — 1 у '
откуда следует, что величина
shy
ch v - cos V
остается ограниченной при v ^ 1. Подобным же образом усматриваем, что и
ch(A-tsW)"Q^> <v^>-
Учитывая последние соотношения и формулы,(5.421) и (5.431), получаем
оценку:
(5.44) K(v,tl>) = 0(thv) (t;>0, fy|<a)-
Рассмотрим теперь разность
Согласно равенству (5.411), имеем:
(5.45) *(*,*)-*<<>,*) = Wi.

186 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
где
1{=\к(у,фУ dv
'■" "^Vcht,-!'
Но в силу (5.44) имеем:
00
(5.46)
где
J>=0(J lff)=0[arctg(v^sh|)]=0(0, (£>0, Ш«),
О
оо
7-°(J ,h"(^=ST-7sbH = °</'-/«>'
00
00
'<=j J^ = *-2arctg(V2sh§) = ,r-0(0,
е
откуда
(5.47) 4 = 0(0 tf>0, №<а).
Формулы (5.45), (5.46) и (5.47) дают, наконец,
Щ,1>)-тФ)=*0{0 (£>0, \ф\^а),
откуда непосредственно следует, что равномерно по ^
В силу этого предельного соотношения функция t?, определенная
равенствами (5.411) и (5.421), непрерывна во всей рассматриваемой области,
включая дугу полярной окружности:
£=0, -а^<0.
Тем же свойством, как нетрудно убедиться, обладает и функция х>
определенная равенствами (5.421) и (5.422). На основании формулы (5.4) отсюда
следует, что и функции (2.2) непрерывны внутри и на границе Rl9 что и
требовалось доказать.
Аналогичным образом может быть доказана непрерывность производных
функций (2.2) по любому постоянному направлению.

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 187
Для доказательства соблюдения условия 2° заметим, что
00 00
0< ( sh(fiv)dv f dv
J [ch2(/to) - cos2(/ty)Vch v - ch £ ^ J sh(/fc>b/chv-chf
с i
00
1 f Cthgifo _ *
sh(#) J ^/chv-chf v^shf sh(/?o'
откуда
00
где за e можно взять любое положительное число. С другой стороны,
формула (5.3) дает
(5.51) Vch^-coso;flsh^ = o(^).
Сопоставляя равенства (5.2) с оценками (5.5) и (5.51), получаем:
(5.52) Фд(^) = 0(£^1) (*>•>•
Но в силу формулы (3.1) и простых геометрических соображений имеем:
(5.53) е"{,а5"5<?'
Это неравенство показывает, что £я >lg2 при rR >2aRt благодаря чему
сопоставление формул (5.52) и (5.53) дает:
Фп(Р) = 0{фт) (гд>2ал; Л = 1,2).
Последняя оценка показывает, что ФЯ(Р) стремится к нулю при
беспредельном возрастании гд, т. е. при удалении точки Р в бесконечность, а в
этом и состоит условие 2°. „
Соблюдение условий 3° и 4° непосредственно усматривается из
формулы (5.2).
Итак, функции ФЛ(Р), определенные равенствами (5.2), действительно
удовлетворяют условиям 1*, 2°-5°. Отсюда следует, что функция <р(Р),
определенная формулами (2.1), (5.2) и (5.21)^ удовлетворяет условиям Г-
5° и потому действительно является потенциалом. Другими словами,
равенства (2.1), (5.2) и (5.21) дают выражение потенциала как функции точки Р.
Заметим при этом, что при нахождении точки Р на границе J?0 и й(
равенства (5.2) упрощаются и принимают вид

188 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
6. Разложение в ряды. Интегральное представление функций <р(Р),
полученное в п. 5, может служить для практического вычисления
потенциала в различных точках среды Rx и границы i?0 и i?,. Известно, однако,
что вычисление значений определенных интегралов по способу
механических квадратур обычно либо требует очень длинных выкладок, либо дает
весьма неточный результат. Мы считаем поэтому не лишним дать другое
представление функции <р(Р), в котором вместо определенных интегралов
фигурируют некоторые бесконечные ряды.
Для получения этого представления мы будем исходить из равенства:
(А П -i 1 =9 У* в-<2»+!)«•*#)
Щ№±Щ]
п-0
справедливого при всяком v > 0.
Подстановка правой части этого равенства вместо
1
в формуле (5.2) дает под знаком интеграла бесконечный ряд, который, как
нетрудно видеть, может быть почленно проинтегрирован. Выполняя это
интегрирование, получаем:
1
(6.2) Фа(Р) = ^Wch £R - cos uR sh tR £ еп(£л, ф) = £g;<
= -Wch^-cosobehk £ cos[(2n + 1)/¥R(£*).
n=0
где
oo
en(f^) = cos[(2n+l)/^R(0 = 2-1/2 J Vch^che du
Функции Вп(£,ф) имеют, таким образом, вид (5.1) и поэтому
удовлетворяют дифференциальному уравнению (3.2). Отсюда следует, что
функция #п(0 удовлетворяет уравнению:
i^i(*^) + [J-(2» + W]*.-tt
Полагая, наконец,
(6.3) « = -ifif ^а—у-Ад ^l
преобразуем последнее уравнение к виду:
(6.31) w(i-.w)^ + (i_2w)^-[J-(2n + W»]*.-0,

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
189
что, как нетрудно видеть, является частным случаем, уравнения
гипергеометрического ряда:
(6.32)
(6.33)
A = J + (2n + l)A В = £-(2п + 1)Д С=1.
Уравнение (6.32) имеет, как известно ([4], с. 283-285), следующие два
решения:
(Vl = u~af(a, l+A-C, l+A-B; i) = „-i/Hb+i* x
x F{J+(2n+l)A J+(2n+l)A l+(4n+2)/J; I},
% = utbf(b, 1+B-q l+B-A; i) = u,-'/2+(2»+»)/»x
[ x f{ J-(2n+l)A i-(2n+l)A l+(4n+2)/J; i},
(6.4)
где
fit ^w
В нашем случае эти решения, очевидно, линейно независимы, так как
А фВ% и мы имеем:
(6.41)
*» = С1У1+С2Й>
где с1 и % — постоянные коэффициенты.
Для определения с{ и % исследуем поведение функции дп при ш -* оо.
С этой целью подстановкой
t/ = w + £
преобразуем равенство (6.21) к виду:
du
<в.«) „„=«-*♦,« \ ;;fTA.=2e-« (._£:
J Jsh$*h($ + €) J V(l-« ")(1
Замечая, что
1
получаем отсюда
-)(i-e-
^-1 + 0(6-»*) («>0, £>e>0),
^
00
(6.5)
А так как

190 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
то в силу равенства (6.5) имеем:
откуда, принимая во внимание соотношения (6.3), получаем предельное
равенство
(6.511) Нт(а,^п) = 2'-"л^-да1Т.
Из равенств (6.4), (6.41) и (6.511) заключаем, что
(6.52) C!=2'-^0F-^^, c^O.
Равенства (6.2), (6.4), (6.41), (6.52) и (6.3) дают теперь:
(6.6) ФД(Р) = ■&у/сЪ £д - cos u,R sh £я х
f, Г(/?п + 1/2)со8(/Зяу»)Л _ Р^у.+'/2
K PPR
где для сокращения положено:
(6.61) (2n + l)/? = /?n.
Мы получим, таким образом, разложения функций ФЛ(Р) в ряды по
косинусам нечетных кратных величин /Эф. Коэффициенты этих рядов
выражаются через гипергеометрические функции от величины
PPr
Эти ряды также могут служить для вычисления значений функции р(Р).
При нахождении точки Р на границе ЛцИЙ, равенство (6.6) дает:
«* / aaR v чд я чд^4^г^ + 1)у рр^2у
(6.62) х*(д, + |,Д, + $,2Л + 1;1-3£),
Заметим, что в этом случае точка Р^ совпадает cQfl)B силу чего
(6.7) PPR = rR.
В силу формулы (5.3) имеем далее:

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 191
откуда в силу равенств (3.1) нетрудно заключить, что
(6.71) Vch^-coec^eh^-rfb-,
V PR ~ ГЯ
где
(6.72) Pr=pp;
есть расстояние от точки Р до точки, симметричной QR относительно
прямой G. Равенства (6.62), (6.7), (6.71) и (6.73) дают, наконец:
что совместно с равенствами (2.1), (5.21) и (6.61) может служить для
вычисления значений потенциала на границе Л0 и Я,.
Приведем еще другое выражение функции ФЯ(Р), легко получаемое из
формул (6.2), (6.42), (6.33), (6.51), (6.61), (3.1), (6.7), (6.71) и (6.72):
(t>.ei) 9R(n- a{pR + гд) 2. {fa + ly [PR + rR) х
x^{J.A + i.A. + i:(g^)1}.
Это выражение, быть может, более удобно для вычислений3*.
7. Приближенные формулы. В заключение мы выведем некоторые
приближенные формулы, пригодные для вычисления функции <р(Р) при
соблюдении специальных условий.
Вывод этих формул будет основан на следующих трех легко
доказываемых неравенствах:
(7.1) *«-Uf*—»-(*»-1) (0i;m = 2,3,...),
(7.11) shz-z<^chz (z>0),
(7.111) 0< х-1/2 - у1/2 < jar3/2(y- x) (0<x< y),
в последнем из которых подразумеваются положительные значения
дробных степеней х и у. >
Пользуясь неравенством (7.1), получаем:
0<ch(eO-ch£-(*2-lK2/2=E w^T £ Ш*2п-А*2п =
3) Способ получения его указан мне В. А. Фоком.

192 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
откуда в силу неравенства (7.11):
О < chK) - ch £ - (s2 - !)£ < 4г-£4 ch(*0 (* > !. € > °)-
Применяя наконец неравенства (7.111), получаем отсюда:
<712> 0<77b-^»-cbfi<5$fe{ch"» (<>1'f >0)-
Умножая теперь неравенства (7.12) на
3K0RT'
где /3 > 1, и интегрируя по в от 1 до +оо, получаем:
ih(j8.0V2[ch(.0-chC]
00
где
(7.122) 0<g<|^(chK)('2^2±.
Замечая далее, что при х > О выражение
е* _ 2
8П » 1 _ е-2«
есть убывающая функция ж, получаем
откуда sh(/ae*) < sh(#y »
00
Но, как известно4*,
00
(7.13) [-££= = К0(г) (Rz>0),
J v* -l
1
где 2fn(2) есть функция Макдональда n-го порядка. Отсюда
00
(7.131) j ^Тх^ = K°{Z) = 5^о(г) + К^ (R' >0)*
4) См., например, [5, с. 172].

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 193
Сопоставление формул (7.122), (7.123), (7.13), (7.131) дает5»:
(7.14) 0<*<TZ^w{^((^ + l)O + Ai((/J-l)e)] +
Обращаясь далее к выражению
фигурирующему в формуле (7.121), заметим, что в силу тождеств (6.1)
и (7.13):
00 00
[ *_ = 2V f е'(;7')*'&=2У>0[(2п + 1)/%].
Сопоставляя эти равенства с формулами (7.121) и (7.14), мы можем
теперь утверждать, что при /? > 1, f > 0 имеет место равенство:
где 8 удовлетворяет неравенствам (7.14).
Применяя этот результат к правой части формулы (5.6), получаем:
(7.2) ФД(Р) = J-Vch ел - cos шл sh Ц £ Яо[(2п + 1)#д]-и,
где
(7.21) О < S < —^-{^[Ko((0 + l)ta) + К0((Р - 1)£д)] +
+ щШ(Р + mR) + K2((0 - 1КЛ)]}.
Здесь предполагается, что /3 > 1, т. е. [см. равенство (5.21)] что
а < тг/2.
При этом условии мы имеем, следовательно, приближенную формулу:
(7.22) ФД(Р)~^j-ych^-cosu^dhe* £ jjy(2n + 1)#л].
Ее правая часть дает значение функции Фц(Р) с положительной
погрешностью, оценка которой дается формулами (7.2) и (7.21).
5) В законности выполненного здесь почленного интегрирования легко убедиться.

194 ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Приведем здесь также более простую (но и более грубую) оценку
величины 6R, легко получаемую из формул (7.122) и (7.125):
(7.23) sR < —^-{^едз - 1)£д] + ^кг[(р - 1КЛ]}.
Дадим, наконец, точные и приближенные выражения величин
(7.3) y/ch £R - cos u>R sh f д и £л,
фигурирующих в формуле (7.22), через расстояние rR и угол между
направлениями 0RQR и QRP, который мы обозначим через QR (см. рис. 4).
Р
"я/
Рис. 4,
Для этого заметим прежде всего, что расстояние pR (см. п. 6) выражается
формулой:
(7.4) pR = д/44+4адгд cosвд + г|,
получаемой из треугольника PrQrP> Сопоставляя равенства (6.81) и (7.4),
получаем
(7.5) v/ch^-cosu^sh^-T—J !f
откуда
(7.51) Vch f д - cos шк sh f д = —?- — + 77,
1 + ^СО80л
где
Го
(7.52) 0<„< —s—-^ cos6„ (0<г„<ав).
•*(>-£)
Для величин £л равенствами (3.1), (6.7), (6.72) и (7.4) дают:
/7СЧ С 1_ V*4 +4аЯ»Я C0S9a +г| + Гд
(7.6) ед=ig i —,
V 4вя + 4вя гд cos ея + гд - гл
откуда можно заключить, что
(7.61) £д = ^—-(1+*/'),
вд + ^-СОввд

ПОВЕРХНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 195
где
Таким образом, мы имеем приближенные формулы:
(7.7) ^/ch£fl-coswBsh^~
1
(7.8) i ^
2ая
я **
l + ^cose/
a*(1 + ^cose*J
оценка погрешности которых дается формулами (7.51), (7.52), (7.61)
и (7.62). Формулы (7.7) и (7.8) могут служить для вычисления правой части
формулы (7.2,2), если величинами порядка
r| cos2 8Д г|
можно пренебречь. В противном случае для вычисления величин (7.3)
следует пользоваться точными формулами (7.5) и (7.6). Наконец, сама
формула (7.22) совместно с равенствами (2.1) и (5.21) может служить для
вычисления значений потенциала в тех случаях, когда оценка погрешности
этой формулы по формулам (7.2), (7.21) и (7.23) дает
удовлетворительный результат. В противном случае следует пользоваться точными
формулами (5.6), (6.8) и (6.81).
Заметим еще, что бесконечный ряд, фигурирующий в правой части
формулы (7.22), встречается в предельном случае рассмотренной здесь
задачи — в аналогичной задаче о горизонтальном слое. Последняя была ранее
рассмотрена мной по заданию Отдела разведок б. Геологического
комитета, причем была составлена таблица значений ряда формулы (7.22). Мы
имеем, таким образом, вполне готовый и простои аппарат для вычисления
функций Фц(Р) по этой приближенной формуле.
Литература
Jl] Neumann С. Theorie der Electrizitats- und Warmeverteilungin einem Ringe. — Halle,
[21] Булгаков Н. Распределение электрического заряда на кольце. — СПб., 1903.
[3] Hicks W. М. —Philos. Trans. Roy. Soc. London. —1881.— V. 172.
[41 W h i 11 a k e г Е. Т., Watson G. N. A Course of Modern Analysis. 3rd ed. —
Cambridge: University Press, 1920. Имеется перевод: Уиттекер Е., Ватсон Г. Курс
стременного анализа.—М.: ГИТТЛ, 1933.
[51] Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessei Functions. — Cambridge: University
Press, 1922.

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА*)
Работа посвящена упрощению определения «конечного евклидова симплициального
комплекса» [1]. Упрощенное определение делает очевидным тот факт, что в результате
любого достаточно малого смещения вершин всякий такой комплекс переходит опять в
евклидов симплициальный комплекс.
1. В книге Александрова и Хопфа [1] рассматриваются разные понятия
симплекса и симплициального комплекса. Цель настоящей работы —
установить некоторые связи между этими понятиями, что позволяет несколько
упростить определение «евклидова симплициального комплекса». Это
упрощенное определение позволит нам дать очень простое доказательство одной
полезной теоремы о малых смещениях таких комплексов.
2. Приводимые ниже определения слегка отличаются от
соответствующих определений из книги [1]. Так, например, «геометрический симплекс»
определяется этими авторами как конечное подмножество n-мерного
евклидова пространства, рассматриваемое вместе со своей
выпуклой оболочкой, в то время как у нас он определяется
просто как конечное подмножество n-мерного евклидова пространства.
Очевидно, что равница здесь носит совершенно формальный характер, так как
любое множество полностью определяет свою выпуклую оболочку.
Поэтому каждой теореме о «геометрических симплексах» в смысле Александрова
и Хопфа очевидным образом ооответствует теорема о «геометрических
симплексах» в нашем смысле, и обратно. То же самое может быть сказано обо
всех прочих отклонениях от определений Александрова и Хопфа. Все они
чисто формальны и служат только для упрощения формулировок некоторых
наших определений и теорем.
3. M£t будем пользоваться следующими обозначениями: пересечение
(общая часть) двух множеств А и В обозначается через А ПВ, а их сумма —
через А и В. Символ Л обозначает пустое множество. Через А \В
обозначается множество всех элементов» принадлежащих А, но не
принадлежащих В. Символом Еп обозначается n-мерное евклидово пространство. Если
А с Еп, то [А] обозначает выпуклую оболочку А в Еп. Множество,
состоящее из элементов а,,..., ат, будет обозначаться посредством (ар ..., ато).
Вместо [(а1?..., ат)] мы будем писать просто [а1?..., ато].
4. Под г-мерным геометрическим симплексом в Еп мы понимаем
любое множество г +1 точек пространства Еп. Подмножества r-мерного
симплекса S называются его гранями, а элементы 5 — его вершинами. Грани
S, отличающиеся от самого S, будут называться собственными гранями
этого симплекса.
Каждый геометрический симплекс полностью определяется своими
вершинами. Грани геометрического симплекса сами являются геометрическими
симплексами. Пустое множество есть единственный -1 -мерный
геометрический симплекс; оно является гранью любого симплекса.
) On the definition of a complex. — Матем. сб. Новая сер. — 1939. — Т. 5, № 3. — S. 545-
550. (Резюме на русском яз.) Перевод с английского М. Я. Домбровского.

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА
197
Мы будем говорить, что г-мерный геометрический симплекс в Еп есть
евклидов симплекс, если он не содержится в r'-мерном линейном
подпространстве Еп с г' < г1).
5. Конечное множество 9t геометрических симплексов в Еп называется
конечным комплексом ш Еп, если каждая грань любого симплекса,
принадлежащего 91, также принадлежит 9t2).
В дальнейшем вместо использования терминов «геометрических
симплексов» и «конечных комплексов» мы будем говорить просто «симплексах» и
«комплексах», поскольку только такие симплексы и комплексы и будут
рассматриваться.
Мы будем говорить, что комплекс fR в Еп есть комплекс евклидовой
области вершин, если все элементы JH суть евклидовы симплексы3).
Комплекс Я евклидовой области вершин будет называться евклидовым4*, если
общая часть выпуклых оболочек любых двух его элементов совпадает с
выпуклом оболочкой их общей части, т. е. если
(1) [3]n[T) = [SnT] (длялюбых SeW, ГеЯ).
в. Главная цель настоящей работы заключается в доказательстве
следующей теоремы, позволяющей дать иное, несколько более простое
определение евклидова комплекса.
Теорема 1. Для того чтобы комплекс УК в Еп был евклидовым,
необходимо и достаточно, чтобы выпуклые оболочки любых двух
элементов 91 без общих точек сами не имели общих точек.
7. Доказательство теоремы 1 основывается на следующей лемме.
Лемма. Если г-мерный симплекс U в Еп не является евклидовым,
то у него есть две такие грани S и Т, что
(2) 5ПГ = А,
(3) [S]n[T]*A.
Доказательство. При г = -1 или г = О лемма очевидна, так как
-1- или 0-мерных симплексов не существует. Предположим, что лемма
доказана для всех г < к, где к > 0. докажем ее для г — fc.
Пусть U — А;-мерный симплекс, не являющийся евклидовым. Если у U
есть не евклидова собственная грань, то эта грань; будучи r-мерным
симплексом с г < к, в свою очередь содержит, по индуктивному
предположению, две грани S и Т, удовлетворяющие условиям (2) и (3). Поскольку
!) Здесь мы опять отклоняемся от определения Александрова и Хопфа [1]. Евклидовы
симплексы в смысле [1] являются выпуклыми оболочками наших евклидовых симплексов (см. [1,
с. 605].)
2> Ср. [1, с. 155, 158, 159, 160]. В настоящей работе мы рассматриваем только конечные
комплексы и поэтому опускаем условие (А0) на с. 156.
3> Ср. [1, с. 155-158].
4) Это понятие евклидова комплекса соответствует понятию «конечного евклидова симпли-
циального комплекса» в [1], хотя опять-таки не совпадает с этим последним (см. сноску 1)).
Наше условие (1) соответствует условию (2) на с. 126 книги [1], примененному к случаю
«симплициального» комплекса. Мы опускаем слово «симплициальный», так как в настоящей
работе мы не рассматриваем общих «клеточных» комплексов.

198
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА
грань любой грани U сама является гранью U, то в этом случае наша
лемма справедлива. Предположим теперь, что все грани U суть евклидовы
симплексы.
Пусть а — некоторая вершина U и V = U\(a). Симплекс U, не
являющийся евклидовым, содержится в r-мерном линейном подпространстве L
пространства Еп, где г < fc. Очевидно, V также содержится в L. Поскольку
V есть (fc - 1)-мерный евклидов симплекс, а значит, не может содержаться
в линейном подпространстве Еп размерности, меньшей чем к — 1, то мы
имеем г = к-\. Заметим теперь, что а также содержится в L. Если аЕ [ V],
то мы положим 5 = (а), Г = V, и оба условия (2) и (3) будут выполнены, так
что наша лемма доказана. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать,
что точка а не принадлежит множеству [У], т. е. что
(4) aeL\[V].
Пусть о.,..., ак — вершины V и V{ = V \ (aj (для % = 1,..., к).
Симплексы V, VJ,..., К являются евклидовыми, так как каждый из них есть
собственная грань и. Поскольку, кроме того, V есть (fc - 1)-мерный
симплекс, содержащийся в (fc — 1)-мерном линейном пространстве L, мы можем
ввести в L систему барицентрических координат (см. [1, с. 595]) с
вершинами в трчках at,...,а*. Пусть /хДх) обозначает i-KLбарицентрическую
координату точки xeL. Уравнение /ху(ж) = 0 определяет (fc -2)-мерное
подпространство: L у пространства L, содержащее Vy. Выпуклая оболочка
[V] симплекса ^определяется системой неравенств /ху(ж)^0 (i = 1,..., fc).
Поэтому, согласи (4), существует число j такое, что /ху(а) <0; с другой
стороны, /ху(ау) = 1. Следовательно, отрезок [ая а] содержит точку Ь такую,
что /Ху(Ь) = 0. Таким образом, мы имеем
bELyn[ay,a].
Если Ь е Vjt то, полагая S = (ау, а), Т = Vjt мы получаем две грани S и
Г симплекса U, удовлетворяющие условиям (2) и (3). Поэтому мы можем
предполагать, что Ъ е Li \ Vj. Полагая в этом случае
(6) W = ^.U(b),
мы получим (fc - 1)-мерный симплекс W, содержащийся в (fc -2)-мерном
линейном подпространстве Lj пространства Е . Значит, этот симплекс не
является евклидовым и потому, в силу нашего индуктивного
предположения, у него найдутся две грани X и Y такие, что
(7) ХПГ=Д,
(8) [X]n[Y]*A.
Если ни один из симплексов X, Y не содержит точку Ь, то X и Y
являются гранями Vj и, следовательно, гранями U. В этом случае мы можем
взять S = X, Г = У, и тогда для граней 5 и Г симплекса U условия (2)
и (3) будут выполнены. Остается рассмотреть случай, когда Ь е X U Y.
Пусть, скажем, Ь € X. Положим тогда
(9) 5 = (Х\(Ь))и(а,ау),
(10) T = Y.

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА
199
Так как X с W, то из (6) следует, что X \ (Ь) с Vi с U. Далее, мы имеем
a€U, а,еи, поэтому, согласно (9), S есть грань U. С другой стороны,
Ь еХ и Y с W, откуда в силу (6), (7) и (10) вытекает, что Г с Vi г С W.
Кроме того, поскольку Тс^ = С/\(о, аЛ, то (а, а,) П Г = Л, что вместе с
(7), (9) и (10) показывает, что условие (2) выполнено.
Согласно (5) и (9), be[S] и X\(b)c[S], откуда X с [5] и, следовательно,
[X] с [5]. Это соотношение вместе с (8) и (9) показывает, что условие (3)
также удовлетворено.
Случай beY рассматривается аналогично, нужно лишь поменять
местами Л и У. Тем самым наша лемма доказана полностью.
8. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Пусть 1Н — комплекс
в Еп такой, что выпуклые оболочки любых двух его элементов имеют общие
точки лишь в том случае, когда сами эти элементы имеют общие точки.
Покажем, что 9t — евклидов комплекс.
Прежде всего, из только что доказанной леммы следует, что все элементы
9t суть евклидовы симплексы, т. е. что SK есть комплекс евклидовой области
вершин. Остается доказать, что любые два элемента S и Т комплекса УК
удовлетворяют условию (1).
Согласно нашим предположениям, условие (1) выполнено, когда Sf) Т=*
=А. Предположим, что оно выполнено, если 5ПГ состоит из к — 1 точек,
где к —положительное целое число; докажем, что тогда (1) выполняется
для любых 5, Т таких, что S Г\Т состоит из к точек.
В самом деле, пусть S и Т — такие два элемента 91, что S П Т состоит
из к точек, и пусть х — произвольная точка, принадлежащая [$]П[Т]:
(И) xe[S]Ci[T].
Покажем, что
(12) xe[SHT].
Пусть а — некоторый элемент непустого множества S П Т и
(13) tf = S\(a), V = T\(a).
Если x = a, то (12) выполнено очевидным образом, так что остается
рассмотреть случай, когда х ф а. Так как в этом случае х е [5], -^что следует
из (11), — и ае 5, то мы заключаем5), что существует точка у такая, что
(И) уе[и],
(15) xe[a,z].
Подобным же образом можно показать, что существует точка z такая, что
(16) *€[V],
(17) xe[a,z].
5) См. [1, с. 603, лемма II]. Для применимости этой леммы необходимо, чтобы V ф Л. В
нашем случае это следует из того, что хфаихе [S].

200 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА
Соотношения (15) и (17) показывают, что множества [а, у} и [о, х] суть
отрезки одного и того же луча, исходящего из аи проходящего через х.
Следовательно, или [а, у] с [а, z\ или [а, z] с [а, у]. Пусть, например,
(18) [а, у] с [а, г].
Из (13) и (16) мы имеем [а, z] с [Г], что вместе с (14) и (18) дает
(19) ye[U]n[T].
Но U и Т суть элементы 91 и J7nT = SnT\(а); следовательно, 17П
П Г состоит из к - 1 элементов, откуда, согласно нашему индуктивному
предположению, вытекает, что
[U]n[T] = [UnT].
Из этого равенства с учетом (19) вытекает, что у e[U П Т] и,
следовательно, у e[Sf) T]. Так как точка а также принадлежит множеству [Sn Г],
то мы имеем! а, у\ С [Sn Г], что вместе с (15) показывает, что условие (12)
выполнено. Б случае, когда [а, г] с [а, у], доказательство (12) абсолютно
такое же.
Таким образом, мы доказали, что из (11) вытекает (12), т. е. что
[5]П[Т]С[5ПГ].
Поскольку обратное включение [SnТ] с [5]П[Т] очевидно, то формула (1)
доказана для симплексов 5 и Т.
Итак, мы установили, что это условие удовлетворяется для любых двух
элементов S и Г комплекса 91, имеюпщх ровно к общих вершин, коль
скоро оно выполнено для любых двух элементов 9Я, имеющих к — 1 общих
вершин. Поскольку оно также верно и в том случае, когда S и Г не имеют
общих вершин, то мы получаем, что это условие выполнено для любых двух
симплексов из R и, следовательно, 91 — евклидов симплекс.
Таким образом, достаточность условия теоремы 1 установлена. Поскольку
его необходимость очевидна, теорема 1 доказана полностью.
9. Пусть 9t — комплекс в Еп, К — множество всех вершин Яи/ —
отображение К в множество К*, содержащееся в Еп. Это отображение
сопоставляет каждому симплексу S из JH / его образ /(<?), т. е. множество
всех точек /(ж), где х е S. Очевидно, /(5) есть также комплекс в Е*.
Обозначим через <Н* множество образов всех симплексов, принадлежащих Ж.
Ясно, что это есть конечное множество симплексов в Е . Мы сейчас
увидим, что !Я* есть комплекс в Еп.
В самом деле, предположим, что симплекс S* принадлежит 91*, и пусть
Т* есть грань S*. Тогда, по определению !Я*, симплекс S* есть образ
некоторого симплекса S, принадлежащего !Я. Обозначим через Т множество
всех вершин х из S таких, что f(x) е Г*. Тогда Т является градыо S и,
следовательно, Т е 5Н. Но, с другой стороны, Г* = /(Т), поэтому Г* е Я*.
Таким образом, произвольная грань любого симплекса, принадлежащего 91*,
сама принадлежит !Я*, и это доказывает, что !Я* есть комплекс в Еп.
Этот комплекс 1Н* всецело определяется по 91 и /. Мы будем называть
его «образом 91 при отображении /» и обозначать через /(91).
10. Будем обозначать через р(х, у) евклидово расстояние между точками
ж и у из Еп, через р(А, J5) — расстояние между множествами А и В в Еп.

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСА
201
Если А с Еп и е >0, то U(Ay е) будет обозначать е-окрестность А, т. е.
множество всех точек х таких, что р(А, (х)) < е.
Пусть А и В — два подмножества Е , е — некоторое положительное
число и / — отображение А в В. Отображение / будет называться е-сме-
щением А, если р(ху f(x)) < е для всех х е А.
11. С помощью теоремы 1 мы докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть5Н — евклидов комплекс в Еп, К —множество
всех его вершин; (SXl Т,), (52, 2J),..., (Sm, Тм) — все пары элементов Я
таких, что S П Г = А; наконец,
(20) е = \ min (, ([5,], [2]]),..., р ([5J, [Гт])).
Тогда е >0 и, каково бы ни было е-смещение множества К, образ ком-
плекса ЭТ при этол* смещении также является евклидовым комплексом.
Доказательство. Так как !Я — евклидов комплекс, то из условия
$П2;=Л для « = 1,..., m
следует, что [5J n[2]J = A для i = 1,..., m, откуда немедленно вытекает,
что е > 0.
Пусть / — е-смещение множества К. Докажем, что /(!Я) есть евклидов
комплекс.
Пусть S* и Г* —два произвольных элемента /({И) таких, что
5*ПГ* = Л.
Согласно определению /ОН), мы можем найти такие два элемента S и Г
комплекса 91, что 5*=/(5), T*=f(T). Поскольку 5*ПГ*=Л, то 5ПГ=Л.
Следовательно, пара (5, Г) есть одна из пар (&, 7J),..., (S^, Tm). Иными
словами, найдется такое i, что 5 = S< и Г = 2J. Так как / есть е-смещение,
то мы имеем /(&) С ET(S<f е) С ЕГ([5<1, г) и, аналогично, /(2J) с Z7([2J], е).
Но множества Z/([5J, е) и 1У([2]], е) суть е-окрестности выпуклых
множеств и, значит, сами являются выпуклыми (см. [1, с. 598-599]).
Следовательно,
и, аналогично, [Г*]с Щ[Т4], е). Но, согласно (20), Z7([5J, е)пи([Т<\, е)=А,
и, значит, [5*]П[Г*1 = Л.
Поскольку J?* и Г*— произвольные элементы /(91), удовлетворяющие
условию S* П Т* = А, то мы тем самым доказали, что в ftJH) условие S* П
П Г* =Л влечет [5*}П[Г*]=Л. Применяя теперь теорему 1, мы заключаем,
что /(9t) есть евклидов комплекс, что и требовалось доказать.
Литература
[1] Alexandroff P., Hopf H. Topologie. Bd. 1, — Berlin: Springer, 1935.
Поступило в редакцию 7 января 1939 г.

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ*)
1. Мой доклад будет посвящен одной проблеме дифференциальной
геометрии, касающейся определения объектов этой науки.
Дифференциальная геометрия имеет дело с разнообразными
совокупностями геометрических объектов: с совокупностями точек — таковыми
являются «кривые» и «поверхности», с другими геометрическими
совокупностями, такими, например, как «семейства кривых» и «семейства поверхностей».
Эти множества дифференциальная геометрия изучает в первую очередь в
малом, стремясь выяснить их локальное строение с помощью методов
анализа бесконечно малых.
Классическая дифференциальная геометрия почти исключительно этим и
ограничивалась. Лишь в последнее время стал усиленно развиваться новый
раздел математики — «дифференциальная геометрия в целом», ставящий
своей целью выяснение соотношений между свойствами исследуемых
множеств в малом и их строением в целом. Таким образом, современную
дифференциальную геометрию можно уже определить как отдел математики,
посвященный общему исследованию геометрических объектов с помощью
методов анализа бесконечно малых.
2. Очевидно, что далеко не все геометрические множества доступны
такому исследованию. Первой задачей дифференциальной геометрии
является поэтому выделение класса «хороших», достаточно «гладких» множеств,
допускающих исследование методами анализа. Это задача о точном
определении понятий: «кривая», «поверхность» и т. п. в том объеме, в каком это
нужно для дифференциальной геометрии.
Интересно проследить, как относятся к этой задаче различные курсы
дифференциальной геометрии. Здесь можно наблюдать два случая.
Некоторые авторы просто не желают знать этой задачи, считая,
по-видимому, что читателю откуда-то и без них известно, как он должен понимать
термины «кривая», «поверхность* и т. п. А так как в действительности
это не бывает известно, то, таким образом, в изложение с самого начала
вводится антинаучный элемент неточности и неясности.
Другие авторы дают чисто аналитические определения, которые, будучи
вполне точными, не выявляют, однако, геометрической природы
определяемых объектов и не дают ответа на естественный вопрос, почему именно эти
классы множеств интересны с точки зрения геометрии. При таком способе
изложения анализ бесконечно малых является уже не только методом
исследования — он по существу вытесняет геометрию. Получаемая при этом
теория является геометрической лишь по названию, но не по сути.
3. Рассмотрим в качестве примера точное аналитическое определение
поверхности с непрерывно изменяющейся касательной плоскостью или, как
мы оудем говорить, «гладкой поверхности».
Пусть G — открытое множество на плоскости, / — отображение
множества G в трехмерное евклидово пространство. Мы будем говорить, что /
' Уч. записки ЛГУ. Сер. матем. наук.— 1940.— Т. 55.— С. 27-39. Доклад, прочитан на
заседании секции математики и механики юбилейной научной сессии, посвященной 120-летию
Ленинградского университета.

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
203
есть гладкое отображение, если оно может быть определено равенствами
вида
а% =/<(«!»*%) (t = l,2,3),
где хи Sj, Я3 —декартовы координаты в трехмерном пространстве, их и щ —
декартовы координаты на плоскости, и где /м/2, /3 суть функции,
определенные в области G, обладающие в этой области непрерывными первыми
частными производными, такими, что ни в какой точке этой области не
обращаются в нуль все миноры 2-го порядка матрицы
|| #L Ok 3k ||
dll\ dUy dUy
\\EL Eh. Ш '
II 8x^2 dv>2 dvy I*
Образ открытого множества плоскости при взаимно однозначном гладком
отображении будем называть гладким поверхностным куском.
Пусть теперь X — непустое связное точечное множество в трехмерном
евклидовом пространстве. Будем говорить, что X есть гладкая
поверхность, если каждая точка этого множества принадлежит некоторому
гладкому поверхностному куску, содержащемуся в X и открытому
относительно X.
Что можно сказать об этом определении? Конечно, оно точно и выявляет
применимость аналитических методов исследования к определяемому
классу объектов. Однако геометрическая природа этих объектов совершенно не
выясняется этим определением, и остается непонятным, почему эти
объекты интересны с точки зрения геометрии. Основываясь на
сформулированном, логически довольно сложном, определении можно, конечно, построить
развитую теорию «гладких поверхностей»; геометрическое содержание этой
теории будет, однако, весьма неясным.
4. Мы видим, таким образом, что и при наличии точного аналитического
определения поставленная проблема не може^ еще считаться
удовлетворительно решенной. В самом деле, в дифференциальной геометрии, как во
всякой геометрической дисциплине, естественно требовать, чтобы объекты
исследования были определены геометрически. Исходя из
геометрического определения этих объектов, следует доказывать применимость к ним
аналитических методов исследования. Лишь при таком способе построения
дифференциальной геометрии будет ясна геометрическая природа объектов
исследования и станет понятно, в чем интерес этого исследования.
5. Настоящий доклад посвящен геометрическому определению понятия
«гладкой поверхности» и более общего понятия «гладкого многообразия».
Важную роль будет при этом играть понятие «касательного множества»,
которое надлежит предварительно определить.
Идея, лежащая в основе определения «касательного множества», очень
проста. Она естественным образом возникает из рассмотрения хотя бы
следующего простого примера.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве окружность X
(рис. 1). Пусть а — какая-либо ее точка. Подвергнем окружность
преобразованию подобия с центром в точке а и с коэффициентом подобия £. В
результате преобразования мы получим новую окружность Х^, также
проходящую через точку а и имеющую в этой точке общую касательную с
окружностью X. Окружность Xi зависит от вещественного параметра f.

204 ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Что будет происходить с Х^ при £ -+ оо? Ясно, что окружность Х( будет
расширяться, стремясь (в некотором, еще подлежащем уточнению смысле)
к касательной Г к окружности X в точке а.
&
т
Рис. 1
Если бы мы взяли в качестве X не окружность, а сферическую
поверхность и поступали с ней аналогичным ооразом, подвергая ее
преобразованию подобия с центром в точке а сферической поверхности Лис
коэффициентом подобия £, стремящимся к оо, то «в пределе» мы получили бы
касательную плоскость к поверхности X в точке а.
Напрашивающееся здесь понятие «предела» относится к геометрическим
фигурам, т. е. к некоторым точечным множествам. Оно подлежит еще
точному определению.
К счастью, для этого не надо ничего придумывать ad hoc, так как в
теории точечных множеств уже есть соответствующее понятие. Это понятие
«топологического предела», которое для наших целей надо лишь слегка
видоизменить. Этим мы сейчас и займемся.
в. Будем рассматривать точечное множество Х(ж, £)> содержащееся в
r-мерном аффинном пространстве Аг и зависящее от точки х этого
пространства и вещественного числа f. Это множество может быть определено
не для всех пар {х, £}, где х е Аг и £ вещественно, а лишь для некоторых
таких пар. Пусть аеАг. Будем говорить, что точка у пространства Ат есть
верхняя предельная точка множества Х(х, £) при стремлении х к а и £
к оо, если для любой окрестности U точки у, любой окрестности V точки а
и любого вещественного г можно подобрать точку х и вещественное число
£ таким образом, что
(1) хеЦ
(2) £>т,
(3) СГПХ(*О^Л.
Будем говорить, что у есть нижняя предельная точка Х(&,£) при
стремлении х к а и £ к оо, если для любой окрестности U этой точки
можно подобрать окрестность V точки а и вещественное г таким образом,
что условие (3) будет соблюдаться для бсех пар {ж, f}, удовлетворяющих
условиям (1) и (2), для которых Х(х, £) имеет смысл.
Совокупность всех верхних предельных точек Х(х, £) при стремлении х
к в и £ к оо будем называть верхним топологическим пределом Х(х,£)
йрй й -► а й £ -♦ оо; будем обозначать ее символом
it *(*,0.
4-:ос

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
205
Совокупность всех нижних предельных точек Х(ж, £) при стремлении ж к
а и £ к оо будем называть нижним топологическим пределом Х(ж, £) при
ж —► а и £ —► оо; будем обозначать ее символом
Ц Х(ж,£).
{ -♦оо
Интерес представляет лишь тот случай, когда для любой окрестности
V точки а и любого вещественного г можно подобрать точку х и число £
таким образом, чтобы Х(ж, £) имело смысл и условия (1) и (2) соблюдались.
Очевидно, что в этом случае
U Х(ж,£)с It *(*,£).
«-♦а х~*а
£-оо *-о©
Мы будем говорить, что Х(х, £) топологически сходится при ж -* а и
£ -► оо, если
(4) It *(*,£)= It Х(ж,£).
В этом случае верхний топологический предел Х(ж, £) при ж -* а и £ -* оо
мы будем называть просто топологическим пределом Х(х, £) при х-* а и
£ -+ оо. Топологический предел Jf (ж, £) при х —► а и £ —► оо будем обозначать
символом It Х(ж, £).
«-♦а
£-♦00
Этот символ имеет, таким образом, смысл лишь при соблюдении
равенства (4), являющегося условием существования топологического предела.
Аналогичным образом может быть определен топологический предел
множества Х(х), зависящего только от точки ж, при стремлении х к точке а.
Надо лишь естественным образом упростить сформулированные выше
определения верхнего и нижнего топологических пределов Х(ж, £), отбрасывая
в них все, что касается вещественных чисел. Топологический предел Х(х)
при х -* а будем обозначать символом
it X(x).
х-*а
Будем говорить, что Х(х) непрерывно зависит от ж в точке а, если
It X(x) = X(a).
х-*а
Будем просто говорить, что Х(х) непрерывно зависит от ж, если -Х'(ж)
непрерывно зависит от ж во всякой точке а, для которой Х(а) имеет смысл.
Совершенно аналогичным образом можно определить топологический
предел множества Х(£), зависящего только от вещественного числа £, при
стремлении £ к бесконечности.
7. Мы можем теперь сформулировать точное (Определение «касательного
множества».
Пусть X С Аг, ж е X, £ -^-положительное число. Условимся обозначить
через Н(Х> ж, £) результат преобразования подобия множества X
относительно центра х о коэффициентом подобия £. При закрепленном X
множество Н(ХУ да, £) зависит от точки хи числа £. По определению, #(Х, ж, £)
имеет смысл лишь при ж € X и £ > 0.

206
ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Пусть теперь аеХ. Будем называть касательным множеством
множества X в точке а
It #(*,*, О,
если этот топологический предел существует. В противном случае будем
говорить, что X не имеет в а касательного множества. Касательное
множество множества X в точке а будем обозначать символом Г(Х, а). Таким
образом, согласно определению,
Т(Х,а)= It Я(Х,х,0,
если правая часть этого равенства существует.
Для иллюстрации понятия касательного множества рассмотрим
некоторые примеры.
Нетрудно видеть, что касательное множество к эллипсу существует во
всех точках эллипса и совпадает с касательной к эллипсу. Аналогичным
образом, эллипсоид имеет касательное множество во всех своих точках;
оно совпадает с касательной плоскостью к эллипсоиду.
Рис. 2
Рассмотрим, с другой стороны, сумму X двух эллипсов, лежащих в одной
плоскости Р, имеющих общую точку а и общую касательную Г в этой точке
(рис. 2). Нетрудно видеть, что во всякой точке ж, отличной от а, наше
множество имеет касательное множество, которое совпадает с касательной
в точке х к тому из эллипсов, которому принадлежит х. В точке же а имеем
It Н(Х,х,£) = Т, It Н(Х,х,£) = Р-
Таким образом, X не имеет в а касательного множества.
8. Чтобы сформулировать определение «гладкого многообразия», введем
еще одно понятие.
Пусть X с Аг, ае X. Будем говорить, что множество X локально
замкнуто в точке а, если существует окрестность U этой точки такая, что
U П X есть замкнутое множество.
Будем говорить, что X есть локально замкнутое множество, если X
локально замкнуто в каждой своей точке.
Очевидно, что всякое замкнутое множество локально замкнуто. Обратное
неверно: ограниченный открытый интервал на прямой не является
множеством замкнутым, но, как легко видеть, локально замкнутым. Если же мы

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
207
возьмем на прямой счетное всюду плотное множество, то получим пример
локально незамкнутого множества.
9. Перейдем теперь к определению гладкого многообразия.
Пусть X сАг. Будем говорить, что X есть гладкое многообразие, если
соблюдены следующие условия:
1) X связно;
2) X локально замкнуто;
3) X имеет касательное множество во всякой своей точке.
10. Формулируя это новое геометрическое определение «гладкого
многообразия», мы взяли на себя обязательство доказать применимость
аналитических методов исследования к классу гладких многообразий. Мы докажем
это, если нам удастся установить эквивалентность понятия гладкого
многообразия обычному понятию «дифференцируемого многообразия»,
определение которого является естественным обобщением сформулированного
выше аналитического определения гладкой поверхности. Изложению эскиза
доказательства этой эквивалентности и будет посвящено все дальнейшее
содержание этого доклада.
П. Первый факт, который можно установить на пути к интересующему
нас доказательству эквивалентности, состоит в том, что касательное
множество всегда является линейным пространством. Этот результат можно
точно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Если множество X имеет в точке а касательное
множество, то последнее является линейным пространством, содер-
жащим точку а.
Наметим идею доказательства теоремы 1.
Будем предполагать, что Г(Х, а) существует. Тогда из того, что
а€ #(Х, а, f) при любом положительном f, следует, что ае Т(ХУ а).
Помещая начало отсчета векторов в точку а, будем рассматривать Аг
как векторное пространство. По доказанному, множество Т(Х, а) содержит
нулевой вектор. Поэтому, чтобы доказать, что оно линейное, надо лишь
установить следующие два его свойства:
Г если у G Т(Х, а), то А у е Т(Х, а) при всяком положительном А;
2* если у е Т(Х, а) и z е Т(Х, а), то у - z e Т(Х, а).
Свойство Г непосредственно следует из равенства
(5) Ща)= It Я(Х,а,0,
$-юо
которое, в свою очередь, легко выводится из определения касательного
множества.
Наличие свойства 2* устанавливается следующим образом.
Пусть у G Т(Х, а) и г € Т(Х, а) (рис. 3). Возьмем произвольные
окрестности U и V этих точек. Из равенства (5) следует, что существуют сколь
угодно большие числа £ и пары векторов {и, v} такие, что
иеХ, v б X,
£и е Ц £v е V.

208 ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Подвергнем множество X преобразованию подобия с коэффициентом £ и
с центром подобия в точке v. Точка и перейдет в точку
w = v + £(и - v) е #(Х, v, О-
Точки v, f v, £u, w лежат в вершинах некоторого параллелограмма.
Точки О, г, у, у- г также образуют параллелограмм. Нетрудно видеть, что,
Рис. 3
распоряжаясь надлежащим образом числом £ и окрестностями U и V
точек у и г, можно добиться того, чтобы точка w попала в произвольную
окрестность W точки у- я. Отсюда следует, что
y-ze It Я(Х,я,£) = Г(Х,а),
£ -юо
что и требовалось доказать.
12. Другой легко устанавливаемый факт касается зависимости
множества Т(Х, х) от точки х. Для гладких многообразий эта зависимость
оказывается непрерывной, что выражается следующей теоремой.
Теорема 2. Если X — гладкое многообразие, то Т(Х, х)
непрерывно зависит от х.
Этот результат очень легко выводится из определения касательного
множества.
Из теорем 1 и 2 вытекает важное следствие, на основании которого можно
классифицировать гладкие многообразия по числу измерений касательного
множества.
Прежде всего легко установить, что топологическим пределом п-мерных
линейных пространств может быть только n-мерное линейное пространство
или пустое множество. Согласно теореме 2, отсюда следует, что для всякого
натурального числа п совокупность точек гладкого многообразия X, в
которых касательное множество многообразия является n-мерным линейным
пространством, замкнута в X. Согласно теореме 1, все гладкое
многообразие X может быть разбито на конечное число таких попарно не
пересекающихся совокупностей. Принимая во внимание, что, согласно определению,
всякое гладкое многообразие связно, заключаем отсюда, что X совпадает
с одной из атих совокупностей. Таким образом, мы пришли к следующему
результату.
Следствие. Если X — гладкое многообразие, то число измерений
множества Т(ХУ х) не зависит от ж.
Число измерений касательного множества Т(ХУ х) гладкого
многообразия X зависит, таким образом, только от X. Это число мы будем называть

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 209
числом измерений или размерностью гладкого многообразия X.
Размерность гладкого многообразия а, очевидно, не превышает числа измерений
аффинного пространства, содержащего X.
13. Мы займемся теперь изучением некоторого отображения гладкого
многообразия X на его касательное множество Т(Х, а). Это отображение
будет устанавливаться с помощью системы параллельных линейных
пространств, дополнительных к Г(Х, а), т. е. имеющих размерность г - п, где
п — размерность Г(-У, а), и таких, что каждое из них пересекает Т(Х, а)
в одной точке. Одним из наиболее простых и наглядных случаев такого
отображения является проектирование гладкой поверхности на
касательную плоскость посредством пучка параллельных прямых, пересекающих эту
плоскость. Этот случай, характеризуемый равенствами г=3, п=2, мы
только и будем рассматривать в набросках доказательств последующих теорем.
Сами эти теоремы будут, однако, относиться к общему случаю, и обобщение
их доказательств на этот общий случай не составит труда.
Теорема 3. Пусть множество X имеет в точке а касательное
множество. Пусть линейное пространство L имеет с Т(Х, а)
единственную общую точку а. Тогоа существует окрестность V точки а
такая, что всякое линейное пространство, получаемое из L
параллельным смещением, имеет с UnX не более одной общей точки.
Наметим доказательство для того случая, когда Т(Д, а) есть плоскость, a
L — прямая. Допустим, что утверждение теоремы не верно. Тогда в любой
окрестности U точки а найдутся точки хну множества X такие, что
хфу и прямая L\ определяемая этими точками, параллельна L (рис. 4).
ь
/Т(Х,а)
1
z
У
X
L*
L*
r(W
Рис. 4
Возьмем фиксированную ограниченную окрестность V точки а. Когда
UcVt то xeV HyeV. Поэтому прямая L * пересекает границу множества
V в некоторой точке z такой, что у лежит между х и г. Принимая х за
центр Подобия, определим преобразование подобия с коэффициентом £,
выбранным так, чтобы точка у отображалась в точку z. Тогда z e Н(Х, ж, f )•
Нетрудно видеть, что при надлежащем выборе U число £ будет сколь угодно
большим.
Возьмем теперь последовательность Ux, Uv... окрестностей точки а,
сходящуюся к этой точке. В каждой из этих окрестностей возьмем по паре
точек {xiy у J множества X таким образом, чтобы прямая Lit определяемая
точками х{ и yi% была параллельна L. На пересечении прямых L{ с
границей V возьмем точки xi таким образом, чтобы точка yi лежала между х-
и z4. Выберем числа ff. так, чтобы z{ e #(Х, а*, ^). Так как точки zi
принадлежат границе ограниченного множества К, то из последовательности

210
ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
*1г ^,... можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Можно
предположить, что это уже сделано так, что последовательность г,, %,... сама
сходится. Пусть Ь — ее предельная точка. Тогда Ь принадлежит границе V
и потому Ь фа. С другой стороны, zi E L, и It L<■= L, откуда ЪеЬ. Наконец,
lim ^=00 и lim х{ = а, откуда Ь е Т(Х, а). Таким образом, пересечение
t -♦00 t -♦00
прямой L с плоскостью Т(Х, а) содержат точку Ь, отличную от а, вопреки
условию теоремы.
Наличие этого противоречия доказывает нашу теорему.
Теорема 4. Пусть X — п -мерное гладкое многообразие в г -мерном
аффинном пространстве Аг, аеХ, V окрестность а в Ar, L —линейное
пространство размерности г -п такое, что
(6) 1пГ(Х,а) = (а).
Тогда существует окрестность U точки а такая, что всякое
линейное пространство, получаемое из L параллельным смещением и
пересекающее U, пересекает и X П V.
Наметим доказательство этой теоремы для случая п = 2, г = 3. В этом
случае Т(Х,а) есть плоскость в трехмерном аффинном пространстве, а
L — прямая, имеющая с этой плоскостью единственную общую точку а.
Выберем в А3 аффинную координатную систему таким образом, чтобы
первые две координатные оси лежали в плоскости Т(Х, а), а третья ось
совпадала с прямой L. Точка а будет тогда началом координат.
Условимся обозначать через Щж, е{, е^ ез) совокупность точек {ffr ,tfc,ffe},
удовлетворяющих условию
к-€«1<* (i = l,2,3),
где £j, f2, f3 — координаты точки х. При х е Т(Х, а) условимся обозначать
через W(x, elf ^) совокупность точек {rfu щ, 0}, удовлетворяющих условию
k-e«i<* (*=i,2).
Согласно теоремам 2 и 3 и условию 2 определения гладкого многообразия,
существует положительное число а такое, что:
1) W(a, а, а, а) П X есть замкнутое множество;
2) в любой точке ж, принадлежащей W(a, а,а,&)ПХ, касательное
множество Т(Х, х) имеет с L одну и только одну общую точку;
3) всякая прямая, параллельная L, имеет с W(a, a, а, а)Г\Х не более
одной общей точки;
4) Ща,а,а,а) С V.
Обозначим буквами Ъ и с точки {0,0, -а/2} и {0,0, а/21
соответственно. Так как ае W(a, a, a, a)f)Xt то, согласно условию 3), эти точки не
принадлежат X. Согласно условию 1), отсюда следует, что существует
положительное число J3, не превосходящее а и такое, что
(7) ЩЬ,АД/?)ПХ = ЩсДД/?)ПХ=Л.

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
211
Положим
U = W(ay 0/2,0/2, а/2)
и покажем, что так определенная окрестность U точки а удовлетворяет
поставленному условию.
Для этого заметим прежде всего, что пучок прямых,
параллельных L, определяет операцию проектирования пространства А3 на
плоскость Т(Х, а).
Обозначим буквой F проекцию множества
Що,а,а,а/2)ПХ
В силу условия 1) множество F замкнуто. Чтобы доказать, что всякая
прямая, параллельная L и пересекающая 17, пересекает и X П V, нам, в силу
условия 4), достаточно установить, что
(8) W(a,p/2,fi/2)cR
Допустим противное. Пусть j/бЩа, /?/2, P/2)\F (рис. 5). Тогда, в силу
замкнутости множества Р, существует положительное число е такое, что
(9) W(y,e,e)nF=A.
Обозначим буквой 7 верхнюю гоань совокупности положительных
чисел е, удовлетворяющих условию (9). Так как ае F, то у < /?/2 и потому
Рис. 5

212 ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
В силу замкнутости множества F граница параллелограмма Щу, % 7)
имеет с этим множеством непустое пересечение. Пусть z — точка это-
го пересечения. Тогда z будет проекцией некоторой точки х множества
W(a, а, а, а/2)ПХ.
Точка я*не может принадлежать W(b, Д Д /3)U W(c, Д Д /3) в силу
условия (7).
С другой стороны, х е Ща, Д Д а/2), так как г е W(y, 7,7) С W(4, Д £).
Следовательно, ж е WP(a, a, a, а/2).
Но, согласно построению, W(y, % 7) П F — Ли потому
Щу,7,7,«/2)ПХ=Л.
Точка х лежит на границе параллелепипеда W(y, 7» 7» а/2), не имеющего с
X общих точек.
Она не принадлежит, однако, граням этого параллелепипеда,
параллельным Т(ХУ а). Отсюда следует, что проекция Г(л, х) на плоскость Г(Х, а)
не имеет общих точек с W(y, % 7)* Однако это противоречит условию 2),
согласно которому Т(Х, х) имеет с L одну и только одну общую точку и
потому пересекает всякую прямую параллельную L.
Это противоречие показывает, что включение (8) имеет место, что и
требовалось доказать.
14. Все дальнейшее «е представляет уже трудностей.
Будем опять рассматривать двухмерное гладкое многообразие X в
трехмерном аффинном пространстве А3. Пусть а е X и L — прямая,
удовлетворяющая условию (6). Выберем аффинную координатную систему, как в
доказательстве теоремы 4. Из теорем 3 и 4 следует, что при всяком
положительном е существуют положительные а и р} не превосходящие е и
такие, что всякая прямая, Параллельная L и пересекающая W(a, Д Д а),
будет иметь с W(a, Д Д а)ПХ одну и только одну общую точку. Пусть а.
и Д соответствуют в этом смысле е = 1. Тогда множество W(a, Д Д а)ПА
будет описываться уравнением вида
€.~/(€l,€f),
где / — однозначная функция, не превосходящая по абсолютной величине
ах и определенная в параллелограмме |£,| < Д {г = 1,2).
В силу того, что числа а и /3 можно подобрать для любого
положительного е, функция / непрерывна в точке {О, О}. Так как плоскость f3 = О
является касательным множеством гладкого многообразия X в точке а,
имеем
ton flfr'fo -о-
е™ m^lVibkil) Ui
в противном случае множество
It Я(Х,а,0
С ->оо
содержало бы точки вне этой плоскости. Это означает, что функция /
дифференцируема в точке {0,0} причем

ЧТО ТАКОЕ ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
213
Нетрудно теперь исследовать функцию /ив других точках
параллелограмма |fj < Д (i = 1,2). В самом деле, в теоремах 3 и 4 точка а
подчинена лишь условию принадлежности множеству X. Пользуясь этой
подвижностью точки а и применяя довольно очевидные аффинные преобразования,
легко убедиться в том, что введенная нами функция дифференцируема во
всех точках параллелограмма |ft| < Д (г = 1,2). Из теоремы 2 следует,
наконец, что ее частные производные непрерывны в этом параллелограмме.
Обобщая это рассуждение, мы приходим к следующему результату.
Теорема 5, Пусть X — п -мерное гладкое многообразие в г
-мерном аффинном пространстве, аеХ. Тогда существует окрестность
U точки а в Аг такая, что в надлежащей аффинной координатной
системе множество UnX будет описываться системой уравнений вида
€i=/«(fi....ifr) (i = r + l,...,n),
где fi — функции, определенные в некотором открытом множестве
г-мерного числового пространства и обладающие в этом множестве
непрерывными частными производными первого порядка по каждому
аргументу.
15. Из теоремы 5 следует, что всякое двухмерное гладкое многообразие
в Аг является «гладкой поверхностью» в смысле параграфа 3. Не
представляет труда доказать и обратное: всякая «гладкая поверхность» в смысле
параграфа 3 есть двухмерное гладкое многообразие.
Таким образом, наше геометрическое понятие двухмерного многообразия
в Аъ эквивалентно рассмотренному вначале аналитическому понятию
гладкой поверхности.
Это последнее допускает естественное обобщение на большие
размерности. Мы получаем, таким образом, аналитическое понятие n-мерного
гладкого многообразия в r-мерном аффинном пространстве. Из теоремы 5
следует, что всякое гладкое многообразие в смысле геометрического определения
является таковым и в аналитическом смысле. Обратное доказывается
легко. Таким образом устанавливается эквивалентность двух с виду весьма
различных определений гладкого многообразия — аналитического и
геометрического.
В заключение я хотел бы отметить одну важную особенность
геометрического определения. В нем, в противоположность аналитическому
определению, ничего не говорится о размерности гладкого многообразия. Эта
размерность не фиксируется заранее, и возможность классификации
гладких многообразий по размерности лишь выводится из их определения, но
не постулируется в нем явно.

О НАХОЖДЕНИИ ЧИСЛА КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ДАННОЙ ОБЛАСТИ*)
1. Настоящая работа посвящена нахождению общего алгоритма для
решения задач следующего типа:
Пусть /, /п ..., fm — полиномы с рациональными коэффициентами.
Требуется найти число вещественных корней £ уравнения
(О ЯО=о,
удовлетворяющих m неравенствам
(2) /ДО>0 (j = l,...,m).
2. Для случая, когда га< 1, искомый алгорифм уже имеется; именно,
решение сформулированной задачи дается хорошо известной обобщенной
теоремой Эрмита — Сильвестра [1; 2; 3].
Остаётся, таким образом, найти способ сведения общей задачи к одной
или нескольким задачам ст<1.
3. Общий случай может быть легко сведен к случаю, когда полином /
взаимно прост с каждым из полиномов /у.
В самом деле, найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общий
го
делитель полинома / и произведения П /у B^ex полиномов /у. Пусть д—
этот наибольший делитель, и пусть hx = *-< Если £ удовлетворяет условиям
(1) и (2), то 9
го
IU(0>o
го
и, следовательно, д(£) ^0, так как д является делителем П /у. Поскольку,
с другой стороны, f = ghx и /(С) = 0, то *ш1
(3) МО = 0.
Тем самым мы показали, что всякое £, удовлетворяющее условиям (1)
и (2), удовлетворяет условиям (3) и (2). Обратно, каждое f,
удовлетворяющее условиям (3) и (2), удовлетворяет, очевидно, условиям (1) и (2), так
как hx есть делитель /. Следовательно, в нашей задаче можно заменить /
на Л,. Если д отлично от константы, то hx имеет меньшую степень, чем /.
го
Если полином hx не взаимно прост с П /у т0 можно таким же образом
построить другой полином /z-2 меньшей, чем у hx, степени, которым можно
заменить в нашей задаче полином /. Повторяя этот процесс, мы придем в
' On the determination of the number of roots of an algebraic equiation situated in a given
domain // Матем. сб. Новая сер. — 1940. —Т. 7, № 1. — С. 3-6. Перевод с английского
М. Я. Домбровского.

О НАХОЖДЕНИИ ЧИСЛА КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
215
итоге к такому полиному, который будет взаимно прост с произведением
m
П /у всех полиномов //и, тем самым, с каждым из этих полиномов.
Таким образом, можно считать, что полином / взаимно прост с каждым
из полиномов /у.
4. Пусть А —любое подмножество множества (1,..., ш). Обозначим
через рА число вещественных корней уравнения (1), удовлетворяющих
условию
(4) П/,(О>0,
считая (здесь и ниже), что произведение по элементам пустого множества
равно 1.
Задача вычисления рл является задачей рассмотренного типа сш = 1.
Следовательно, как было отмечено выше, эта задача может быть разрешена
при помощи алгорифма Эрмита — Сильвестра. Поэтому остается выразить
число корней уравнения (1), удовлетворяющих условию (2), как функцию
всех чисел рл.
5. Пусть g ^ где еу = ±1 0 = 1,..., т), обозначает число корней
уравнения (1), удовлетворяющих условиям
(5) sgn/y(0 = ey (i = l,...,m).
Очевидно, что величина qx , дает нужное нам число вещественных
корней уравнения (1), удовлетворяющих условиям (2); Обозначим это число
просто через д.
Пусть А—подмножество множества (1,..., т). Обозначим через $А
множество всех наборов (еи..., ет), где ei = ±1, таких, что
(6) IU = i-
Легко видеть, что
(7> Ра- Е 9«, о-
(«1 *m)*SA
В самом деле, так как / взаимно просто с каждым из полиномов /у, то
каждому вещественному корню £ уравнения (1) соответствует один набор
(?!»•• •» О чисел ±1, удовлетворяющий соотношениям (5). Для того чтобы
£ удовлетворяло условию (4), необходимо и достаточно, чтобы
соответствующая система (еи ..., ет) удовлетворяла условию (6), т. е. (ех,..., ет) € SA.
Отсюда немедленно следует (7).
Складывая теперь равенства (7) для всех подмножеств А множества
(1,..., т), получаем тождество
(8)
где
(9)
и а^
воряю
р= Е Рл
*С(1 т)
в есть число всех подмножеств А множества (1,.
щих (6).
.., т), удовлет

216 О НАХОЖЦЕНИИ ЧИСЛА КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Если все ej = 1 (для j = 1,..., m), то для любого подмножества А
множества (1,..., т) выполнено (6) и, следовательно, число а, { совпадает
с числом всех подмножеств множества (1,..., ш), т. е.
(Ю) а, ,=2"».
Покажем теперь, с другой стороны, что в случае, когда по крайней мере
одно из чисел ei (j = 1,..., m) равно —1, имеет место равенство
(П) \ «.=2—.
Рассмотрим тождество
(12) П (1 + *,)= Е П*у
i«l АС(\ m)j£A
Ясно, что правая часть (12) равна разности между числом а^
подмножеств А множества (1,..., ш), удовлетворяющих (6), и числом прочих
подмножеств (1,..., т). Если хотя бы одно из чисел ei (jf = 1,..., m) равно
-1, то левая часть (12) равна нулю и, следовательно, число подмножеств
множества (1,..., ш), удовлетворяющих (6), равно числу всех остальных
подмножеств этого множества. Таким образом, а^ ^ равно половине 2т,
т. е. ав| ^ = 2т~!.
Из определения SA вытекает, что множество 5А, где А есть пустое
множество, состоит из всех наборов (ги...,О, гДе */ = ±1 (ie 1» •••»*»)•
Поэтому из (7), (8), (10), (11) вытекает, что
(13) Р = 2-ЧРа + 9).
Здесь g » g, t и рА равно, очевидно, числу вещественных корней
уравнения (1). Обозначив рА просто через pt из последнего равенства получаем
формулу
(И) * = ~т-Р-
Соотношения (9) и (14) дают полное решение нашей задачи.
Литература
[1] Hermite Сh. Remarques sur le theoreme de M. Sturm //C.R. Acad. Sci. Paris. —
1853.—V. 36.-P. 294-297.
[2] Sylvester J. On a theory of the syzygetic relations of two rational integral
functions // Philos. Trans. Roy. Soc. London. —1853.—V. 143.—P. 407-548.
[3] К р е й н M., H e ft и а р к М. Метод симметричных и эрмитовых форм в теории
разделения корней алгебраических уравнений.—Харьков, 1936.
Поступило в редакцию 5 сентября 1939 г.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ*)
1. Теорема 1. Пусть R — вполне регулярное пространство [1].
Тогда существует топологическая группа F, обладающая следующими
свойствами:
FP R есть подпространство F;
F2. R алгебраически порождает F;
F3. Всякое непрерывное отображение пространства R в какую бы
то ни было топологическую группу G мооюет быть продолжено до
непрерывного гомоморфизма топологической группы F в
топологическую группу G.
Теорема 2. Если R — вполне регулярное пространство, то
топологическая группа F, обладающая свойствами Flf F2, F3, единственна
с точностью до топологического изоморфизма^, отображающего
каждую точку пространства R в самое себя.
Определение 1. Единственную топологическую группу,
обладающую свойствами Fj, F2, F3, мы будем называть свободной топологической
группой пространства JR.
2. Теорема 3. Всякое вполне регулярное пространство есть
алгебраически свободная система производящих своей свободной
топологической группы.
3. Теорема 4. Всякое вполне регулярное пространство замкнуто
в своей свободной топологической группе.
Следствие 1. Свободная топологическая группа вполне
регулярного, но не нормального пространства [1] не нормальна как
пространство.
Следствие 2. Существуют не нормальные топологические
группы.
4. Определение 2. F есть свободная топологическая группа,
если существует вполне регулярное пространство такое, что F есть его
свободная топологическая группа.
Теорема 5. Всякая топологическая группа топологически
изоморфна топологической факторгруппе2^ свободной топологической
группы.
5. Определение 3. Пусть X — произвольное множество.
Абстрактным соотношением в X называется любая конечная
последовательность {{zt., е.}}^ пар {ж0 е{} таких, что х.£Х, е = ±1 (г = 1,..., т).
) ДАН СССР. —1941. — Т. 31, М 4. — 299-302. Представлено академиком С. Н. Бернштей-
ном 15 февраля 1941 г.
*) Наш термин «топологический изоморфизм» топологических групп равносилен термину
Л. С. Понтрягина «изоморфизм» топологических групп (см. [2, определение 26]).
*) И здесь наш термин «топологическая факторгруппа» равносилен термину Л. С.
Понтрягина — «факторгруппа» топологической группы (см. [2, определение 25]).

218
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Определение 4. ПустьR — вполне регулярнее пространство; 7 —
множество абстрактных соотношений в R. Осуществлением множества 7
в топологической группе G называется любое непрерывное отображение tp
пространства R в G, удовлетворяющее условиям:
го
Ri- П (^)е* - 1о>коль ск°р° {{*<> в<»Г-.1е г,
R2. у?Я алгебраически порождает G.
Здесь 1G обозначает единичный элемент группы G.
Теорема 6. Пусть у — множество абстрактных соотношений
во вполне регулярном пространстве R; <р — осуществление 7 в mono-
логической группе G; х — непрерывный гомоморфизм топологической
группы G на топологическую группу Н. Тогда хч> е^ть осуществление
7 вН.
Определение 5. Пусть у — множество абстрактных соотношений
во вполне регулярном пространстве R; <р и ф —осуществления в
топологических группах G и Й соответственно. Мы говорим, что <р индуцирует
(эквивалентно) ф, если существует непрерывный гомоморфизм
(топологический изоморфизм) х топологической группы G на Я такой, что ф = х<Р-
Определение 6. <р есть осуществление множества 7 абстрактных
соотношений, если существует топологическая группа G такая, что (р есть
осуществление у в и.
Определение 7. <р есть первичное осуществление множества 7>
если ip является осуществлением 7» индуцирующим всякое
осуществление 7-
Теорема 7. Всякое множество соотношений во вполне регулярном
пространстве имеет первичное осуществление.
Теорема 8. Первичное осуществление множества соотношений
во вполне регулярном пространстве единственно с точностью до
эквивалентности.
Определение 8. Пусть у — множество абстрактных соотношений
во вполне регулярном пространстве R; G — топологическая группа. Мы
говорим, что G есть топологическая группа, определяемая множеством 7,
если существует осуществление i в и, являющееся первичным.
Следствие 1. Всякое множество абстрактных соотношений во
вполне регулярном пространстве определяет топологическую группу.
Следствие 2. Топологическая группа, определяемая
множеством абстрактных соотношений во вполне регулярном пространстве,
единственна с точностью до топологического изоморфизма.
6. Подробное изложение доказательств всех этих результатов будет
опубликовано в другом журнале. Здесь же мы ограничимся кратким эскизом
доказательства теоремы 1, являющегося ключом ко всем остальным
сформулированным результатам.
Это доказательство основано на введении понятий «нормы» и «мульти-
нормы» в группе, определяемых следующим образом.
Определение 9. Пусть G — группа, N — вещественная функция
в G. Мы говорим, что N есть норма в G, если соблюдены условия:
Nt.N(la) = 0;
N2. N(xy~l) < N(x) + N(y) (x e G, ye G).

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 219
Определение 10. Пусть 2Л — множество норм в группе G. Мы
говорим, что 2Я есть мультинорма в G, если соблюдены условия:
м,. Nxem&N2em—* л; + jv2 € яя;
Mg. WeSJt&aeG —>/sT(ttJeSDT;
М3. Если х — элемент G такой, что N(x) = 0 для всякой нормы JV из ЯП,
то ж — 1G.
Здесь N{q] обозначает функцию, определяемую равенством
N[a](*) = N(a-lxa) (xeG).
С помощью теоремы 10 цитированной книги Л. С. Понтрягина [2] легко
доказывается следующая
Теорема 9. Пусть ЗЛ — мультинорма в группе G. Для всякой
нормы N изШ определим подмножество UN группы G равенством
(1) ин=е (*(*)< 1).
X
Тогда существует единственная топологизация группы G такая, что
совокупность всех UN становится при этой топологизации
определяющей системой окрестностей единицы.
Пользуясь далее методом построения Какутани [3], можно доказать
следующий результат.
Теорема 10. Во всякой топологической группе G
существует мультинорма Ш такая, что совокупность всех множеств UN (N е
ЕШ1), определяемых равенством (1), является определяющей системой
окрестностей единицы в G.
Доказательство теоремы 1 проводится теперь по следующему плану.
Строится алгебраическая свободная группа F со свободной системой
производящих R. Пусть ЯЛ обозначает совокупность всех норм N в F,
удовлетворяющих следующему условию непрерывности:
какова бы ни была конечная система {е<}Г-1 (ei — ±1» г = 1,..., га),
выражение / m ч
45*)-
рассматриваемое в зависимости от точек х,,..., хт пространства R,
является непрерывной функцией системы этих точек.
Доказывается, что 971 есть мультинорма в F. Здесь лишь
доказательство соблюдения условия М3 представляет некоторые трудности. Согласно
теореме 9, 9Л определяет топологизацию группы F, так что F становится
теперь топологической группой. Остается доказать, что F удовлетворяет
условиям Fp F2, F3. Эта часть доказательства проводится с помощью
теоремы 10.
7. Аналогичным образом, применяя вместо теорем 9 и 10 результаты
Хайерса [4], можно доказать следующие теоремы.
Теорема 11. Пусть R — вполне регулярное пространство. Тогда
существует линейное топологическое локально выпуклое
пространство Z (см. [5]), обладающее следующими свойствами-.

220 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
L,. R есть подпространство Z;
L2. Всякий элемент Z может быть представлен в виде
t A,*,,
где \t вещественны и х{еЯ;
Lg. Всякое непрерывное отображение пространства R в какое бы
то ни было линейное топологическое локально выпуклое пространство
М может быть продолжено до непрерывного линейного однородного
отображения пространства Z в пространство М.
Теорема 12. Если R — вполне регулярное пространство, то ли-
нейное топологическое локально выпуклое пространство Z,
обладающее свойствами L,, L>, L3, единственно с точностью до топологического
изоморфизма, отображающего каждую точку пространства R в самое
себя.
Эти теоремы дают возможность ввести понятие «абсолютного локально
выпуклого носителя» вполне регулярного пространства, определяемое
следующим образом.
Определение 11. Единственное линейное топологическое
локально выпуклое пространство, обладающее свойствами Lp Ц, Ц, мы будем
называть абсолютным локально выпуклым носителем пространства R.
Имеют место результаты, аналогичные теоремам 3, 4 и следствиям 1, 2,
а именно:
Теорема 13. Точки вполне регулярного пространства линейно
независимы в абсолютно локально выпуклом носителе этого
пространства.
Теорема 14. Всякое вполне регулярное пространство замкнуто
в своем абсолютном локально выпуклом носителе.
Следствие 1. Абсолютный локально выпуклый носитель вполне
регулярного, но не нормального пространства есть не нормальное
пространство.
Следствие 2. Существуют не нормальные Линейные топологи-
ческие локально выпуклые пространства.
Имеет место также теорема, аналогичная теореме 5.
Литература
[1] Tychonoff A. Uber die topologische Erweiterung von Rlumen // Math. Ann. —
1929. —Bd. 102. — S. 544-561.
[2] П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы. — М„ 1938.
[3] К a k u t a n i S. Uber die Metrisation der topologischen Gruppen // Proc. Imp. Acad.
Japan. -1936. — V. 12, № 4. — P. 82-84.
J4] Hyers D. H. Pseudonormed linear spaces and abelian groups // Duke Math. J.—
9.—V. 5.-P. 628-634.
[5] Kolmogoroff A. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen
Raumes // Studia Math.—1934. —Bd. 5. —S. 29-33.
Математический институт им. В. А. Стеклова
Академии наук СССР
Ленинградский государственный университет
Поступило в редакцию 18 февраля 1941 г.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП*)
Работа содержит общий метод построения коммутативных связных топологических
групп, все элементы которых имеют второй порядок.
1. В нашей работе «О свободных топологических группах»!) приведен
пример периодической группы произвольной мощности, не допускающей
связной топологизации [Си, § 9]. Рассматриваемая в этом примере
группа представляется как сумма двух непересекающихся непустых множеств,
оказывающихся замкнутыми при любой топологизации группы, откуда и
следует отсутствие связной топологизации.
В связи с этим примером возникает, однако, вопрос: может ли
периодическая группа вообще допускать связную топологизацию, иначе говоря,
существуют ли периодические связные топологические группы? В
настоящей статье дается утвердительный ответ на этот вопрос.
2. Пусть X — произвольное множество. Совокупность его конечных
подмножеств образует группу, если принять за операцию умножения сложение
mod 2, иначе говоря, если положить
zt=(zUt)\(zC\t)
для любых двух конечных подмножеств z и t множества X. Мы будем
обозначать эту группу буквой G.
Очевидно, что G представляет собою такую абелеву группу, что квадрат
любого ее элемента равен единичному элементу. Роль единичного элемента
играет пустое множество.
3. Подмножества множества X, содержащие не более двух элементов,
мы будем называть простейшими множествами.
Очевидно, что каждый элемент группы G может быть представлен как
произведение конечной системы простейших множеств.
Пусть m — целое неотрицательное число, {*ЛГ«1 — система простейших
множеств. Будем говорить, что система i*Jla:1 каноническая, если z{ фК
(i = l,..., m) и z,n*y=A (i^jf; t, j = 1,..., m).
Очевидно, что каждый элемент группы G может быть представлен как
произведение канонической системы простейших множеств. Принимая,
далее, во внимание, что произведение любой конечной системы попарно не
пересекающихся элементов группы G сводится к их
теоретико-множественному суммированию, убеждаемся в справедливости следующей леммы.
Лемма 1. Каков бы ни был элемент z группы G, существует лишь
конечное число канонических систем {^}Г= i простейших множеств
таких, что
(1) *=fU.
) Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1944. — Т. 8, № 5. — С. 225-232. Представлено
академиком И. М. Виноградовым.
*) Печатается в «Изв. АН СССР. Сер. матем.». В дальнейшем мы будем эту работу именовать
СТГ. [См. с. 229—288 наст, изд. — Прим. сост.]

222 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
4. Пусть / — вещественная функция в множестве X. Определим в
совокупности простейших множеств функцию яу следующим образом:
(2) irfz = <
О при г=Л;
\fx\ при z = (ж), где хеХ;
\fx - fy\ при z = (ж, у), где хеХу уеХ, хфу.
Определенную таким образом функцию яу будем называть f-ценой. Ее
значение irfz для аргумента z будем называть f-ценой множества z. /-цена
есть вещественная неотрицательная функция, определенная в совокупности
простейших множеств.
Лемма 2. Если zut— такие простейшие множества, что znt^A,
то zt есть простейшее множество и
itf(zt) < nyz + nyt.
Это следует из определения простейшего множества, равенства (2) и
неравенств
ie-CI<l€-nl + h?-CI, M<KI+K-iil,
справедливых при любых вещественных £, ц и (.
Из леммы 2 следует
Лемма 3. Если система {z{}™= { простейших множеств не
каноническая, то существует такая система {^}y=i простейших множеств,
что при п<т
п т
(3) ГН = П*„
(4) £>/*/<£«>«•
Из леммы 3 следует
Лемма 4. Какова бы ни была система {^ЛГ-i простейших
множеств, существует каноническая система {*Л?.| простейших
множеств такая, что имеют место соотношения (3) и (4).
5. Пусть z€G. Согласно лемме 1, имеется лишь конечное число
канонических систем {*j}JLi простейших множеств, удовлетворяющих
условию (1). Каждой такой системе соответствует число
(5) £ ж,х{.
f — I
Среди так получаемых чисел имеется наименьшее. Его мы будем называть
f-нормой элемента z и обозначать символом Nfz.
Из леммы 4 вытекает
Лемма 5. f-норма элемента z группы G есть наименьшее значение
выражения (5), когда система {г^{т1 пробегает совокупность
конечных систем простейших множеств, удовлетворяющих условию (1).
Лемма 6. Если z = (х)(у), где х е X, уе X, то Nfz = \fx - fy\.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 223
Доказательство. Если жфу, то z = (ж, у) и существуют лишь три
канонические системы {^}Г=р удовлетворяющие условию (1), а именно
системы {(ж), (у)}, {(у), (ж)} и {(ж> у)}. Для первых двух величина (5) равна
|/я| + |/у|, а для последней она равна |/ж-/у|. Так как |/ж-/у| < |/ж| + |/у|,
то в этом случае Nfz = |/ж - /у|.
Если ж = у, то z — A и единственной канонической системой {^}Г«р
удовлетворяющей условию (1), является пустая система Л, для которой
величина (5) равна нулю. Поэтому Nfz =* 0, а так как и |/ж - /у| = 0, то и в
этом случае Nfz = |/ж - /у|.
Лемма 7. £&ш * = (ж< )*ш,, где h — натуральное число, и fx{ = i
(г = 1,..., Л), тоNfz^ 1.
Доказательство. В самом деле, в этом случае /-цена любого
содержащегося в z непустого простейшего множества, очевидно ^ 1. Так как все
/-цены неотрицательны и Л > 1, значения выражения (5) для канонических
систем {*Jtel, удовлетворяющих условию (1), также ^ 1, откуда следует,
что Nfz^ 1.
6. Условимся теперь понимать символ Nf как знак определенной в G
вещественной функции. Значение этой функции для аргумента z есть
/-норма z.
Лемма 8. Функция Nf есть норма2) в G.
Доказательство. Мы уже,видели, что3) NflG^= N*A = 0.
Следовательно, Nf удовлетворяет условию N [СТГ, определение 4].
Пусть z e G и t e G. Существуют канонические системы {*<}£, { и {*,}"» i
такие, что
(б) *=fU, * = 1Н;
(7) Nfz = £*,zit N,t = ±*ftr
|S>1 J SB 1
Положим zi = t._m (i a= m + 1,..., m + n). Согласно (6),
**= П л>
» = 1
и так как {гЛГ-V ec*b система простейших множеств, то» согласно лемме
5 и равенствам (7),
#/(**) < "if*)*, = £ *>*< + £ Kft^NfZ + Nft.
» я 1 t sb 1 J a* 1
Принимая во внимание, что в группе С? все квадраты равны 1G, получаем
из последнего соотношения Nf(zt~l)^Nfz + Nft. Таким образом, Nf
удовлетворяет условию N2 [СТГ, определение 4], что и требовалось доказать.
7. Пусть X — вполне регулярное пространство и N —* какая-нибудь
норма в G. При хеХ, у € Y имеем (ж)(у)€ G. В силу этого, iV((x)(y)) можно
рассматривать как некоторую функцию пары {ж, у} точек пространства X.
2) Понятие нормы определено в СТГ, § 1.
3) См. доказательство леммы 6.

224 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Будем говорить, что норма N согласована с X, если N((x)(y)) является
непрерывной функцией пары {ж, у] точек пространства X.
Лемма 9. Если f — непрерывная функция в пространстве X, то
f-норма согласована с X.
Это следует из леммы 6.
Лемма 10. Совокупность норм в G, согласованных с X, есть
мультинорма4) e'G.
Доказательство. Пусть 91 обозначает интересующую нас
совокупность норм в G, согласованных с X. 91, очевидно, удовлетворяет условиям
М, и Mj [СТГ, определение 13]. Докажем, что 91 удовлетворяет и
условию М3.
Пусть z e G \(1G). Тогда z — непустое конечное подмножество
пространства X. Пусть z as (z.)£e,, где h — натуральное число, z{ € X viz{^ *. при
i Ф j. Существует в пространстве X такая непрерывная функция /, что
fz. з i (i*= 1,..., h) [СТГ, § 4, лемма 48]. Согласно лемме 9, норма Nf в
группе G согласована с X, т. е. Nf e 9L Согласно лемме 7, Nfz > 1. Таким
образом, 91 удовлетворяет условию М3, что и требовалось доказать.
Мультинорма 91 определяет в группе G топологию. Множества
UN=EfNz<\) (Ne%
образуют в этой топологии полную систему окрестностей единичного
элемента [СТГ, § 3, теорема 6]. В дальнейшем мм будем рассматривать G как
топологическую группу.
8. Каждой точке х пространства X соответствует точка (х)
топологической группы G. Определим отображение <р пространства X в
топологическую группу G равенством
(8) ч>х = (х) (хеХ).
Лемма 11. (р есть непрерывное отображение пространства X в
топологическую группу G.
Доказательство. Пусть v е X и U — окрестность точки ipv в G.
Множество Utpv является тогда окрестностью 1G в G. Поэтому существует
норма N е 91 такая, что UN с U<pv. Эта норма согласована с X, в силу чего
функция N((v)(y)) точки у е X непрерывна в X. Принимая во внимание,
что N((v)(v)) = NlG = 0, заключаем, что множество
V = S(N((v)(y))<l)
У
является окрестностью точки v в пространстве X. При у € V имеем
N((to)(y))< 1, откуда (v)(y)e UNcUfpvt и, согласно (8), получаем ^v€ U.
Следовательно, <pV с U. Этим доказана непрерывность отображения <р в
точке v. Так как эта то^ка произвольна, то ip есть непрерывное отображение
пространства X в топологическую группу G, что и требовалось доказать**.
4) Определение мультинормы дано в СТГ, § 3.
5) ip является даже топологическим отображением пространства X на множество (рХ. Мы
не приводим доказательства этого предложения, так как не пользуемся им.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 225
Из леммы 11 вытекает
Лемма 12. Если пространство X связно, то (рХ есть связное
подмножество топологической группы G.
9. Пусть Я обозначает совокупность конечных подмножеств
пространства X, содержащих четное число элементов. Н есть подгруппа индекса 2
топологической группы G.
Лемма 13. Пусть zeH\(lH). Если пространство X связно, то
существуют t uY, удовлетворяющие условиям:
1° zeY,
Т t e Y,
3° У с Я,
4° Y связно,
5° t содержит меньше элементов, чем z.
Доказательство. Так как z e H\(lH), z непусто и содержит четное
число элементов. Поэтому существуют ж и у такие, что xez, yez и х^у.
Положим
t = z \ (ж, у), Y = tipxipX.
Имеем
у е z с X, ipye (рХ, (х)(у) = ipxipy G ipxipX,
z = t(x)(y) e tipxipX = Y.
Таким образом, условие Г удовлетворено. Далее,
xEzcX, (px€<pX, lG = (ipx)2G <px<pX,
t с tipxipX = К
Условие 2° удовлетворено.
Так как <рх е <рХ и каждый элемент множества (рХ содержит ровно одну
точку пространства X, каждый элемент множества ipxpX либо содержит
ровно две точки этого пространства, либо пуст. Поэтому <рх<рХ с Н. Так
как z е Н, то и t = z(x)(y) е Н. Отсюда Y = tipxipX с Н, т. е. выполнено
условие 3*.
Связность множества Y следует из леммы 12, так как множество Y =
= t(pxtpX гомеоморфно множеству ipX.
Условие 5° выполнено очевидным образом.
Из леммы 13 вытекает
Лемма 14. Если пространство X связно, то, какова бы ни была
точка z топологической группы Н, существует связное подмножество
этой топологической группы, содержащее точку z и точку 1я.
Из леммы 14 следует
Лемма 15. Если пространство X связно, то, каковы бы ни были
точки zut топологической группы Н, существует связное
подмножество этой топологической группы, содержащее эти точки.
Из леммы 15 следует
Лемма 16. Если пространство X связно, то и топологическая
группа Н связна.

226 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
10. Мощность топологической группы G равна мощности пространства
X, если последняя бесконечна6). В этом случае мощность топологической
группы Н также равна мощности пространства X. Принимая во
внимание, что существуют связные вполне регулярные (и даже метризуемые)
пространства любой мощности ^ 2\ приходим к следующему результату7*.
Какова бы ни была мощность гО 2*4 существует связная топологи-
ческая группа мощности m такая, что квадрат любого элемента этой
топологической группы равен ее единичному элементу.
Поступило в редакцию 9 декабря 1943 г.
6) Это следует из известного равенства т= £ т*» справедливого для любой бесконечной
мощности т. *в 1
7) Связное метрическое пространство заданной мощности m ^ 2К» может быть построено,
например, так.
Пусть А — произвольное множество мощности хан В — совокупность пар {ж, £}, где х € А,
а ( — положительное число. Пусть а—произвольный объект, не принадлежащий В. Положим
X = В и (а) и определим в множестве X метрику р следующим образом:
Р({*> £ }»{У» I?}) = f + »7 при х ф у,
Р({*, £}>{*>*?}) = К-*?l, p(a,{^f}) = P({^f},«) = ^ Р(<Ь«) = 0.
Здесь х и у — произвольные элементы множества А; (^ — произвольные положительные
числа.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ*)
1. Определение 1. Пусть G — произвольная группа, A CG. Мы
говорим, что множество А безусловно замкнуто в G, если это множество
оказывается замкнутым при любой топологизации группы G.
Многие вопросы теории топологических групп приводят нас к
рассмотрению безусловно замкнутых множеств. Один из таких вопросов будет указан
ниже. Настоящая заметка посвящена проблеме характеризации безусловно
замкнутых множеств в терминах абстрактной теории групп.
2. Определение 2. Пусть G — группа, AcG. Мы говорим, что А
есть элементарно алгебраическое множество в группе G, если
существует натуральное число т9 система {а4}£,, элементов группы G и система
{а|}Г-1 Целых чисел такие, что
А=£(П(а<аЛ) = 1Д
Определение 3. Мы говорим, что А есть аддитивно
алгебраическое множество в группе G, если А есть теоретико-множественная сумма
конечного числа множеств, элементарно алгебраических в G.
Определение 4. Мы говорим, что А есть алгебраическое мно-
жестшо в группе G, если А есть пересечение какого-нибудь множества
множеств, аддитивно алгебраических в G.
Следующая теорема очевидна.
Теорема 1. Всякое множество, алгебраическое в группе G,
безусловно замкнуто в G.
Возникает вопрос, справедлива ли обратная теорема. Оказывается, что
на этот вопрос можно дать утвердительный ответ при условии, что группа
G счетна.
3. Чтобы сформулировать относящийся к этому случаю результат,
определим понятие «алгебраического замыкания» множества в группе.
Определение 5. Пусть G — группа, AcG. Алгебраическим
замыканием множества А в группе G называется пересечение всех содержащих
А множеств, алгебраических в G.
Алгебраическое замыкание множества А в группе G, очевидно, является
наименьшим из множеств, содержащих А и алгебраических в G.
Теорема 2. Каково бы ни было подмножество А счетной
группы G, существует такая топологизация этой группы, что замыкание
множества А при этой топологизации совпадает с алгебраическим за-
мыканием А в G.
Следствие 1. Всякое множество, безусловно замкнутое в счет-
ной группе G, является алгебраическим в G.
*) ДАН СССР. — 1944. — Т. 44, № 5. — С. 196-197. Представлено академиком
И. М. Виноградовым 30 декабря 1943 г.

228
О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
4. Мы говорим, что топологизация группы тривиальна, если все
подмножества группы оказываются замкнутыми при этой топологизации.
Проблема существования нетривиальной топологизации группы G, очевидно,
равносильна вопросу о безусловной замкнутости множества G\(lG) в G. С
помощью полученных результатов легко дать алгебраический критерий
существования нетривиальной топологизации счетной группы.
Следствие 2. Для того чтобы счетная группа G допускала
нетривиальную топологизацию, необходимо и достаточно, чтобы
совокупность элементов этой группы, отличных от единичного, не была
множеством, аддитивно алгебраическим в G.
Остается открытым вопрос, может ли это условие не быть выполненным,
иначе говоря, может ли существовать счетная группа G, обладающая тем
свойством, что множество G\(\G) является аддитивно алгебраическим.
Если может, то существуют счетные труппы, не допускающие никакой
топологизации, кроме тривиальной. Если не может, то всякая счетная группа
допускает нетривиальную топологизацию.
5. Приведем еще одно следствие из теоремы 2. Предварительно
сформулируем
Определение 6. Пусть G — группа, А с G. Будем говорить, что
А потенциально плотно в G, если существует топологизация группы G
такая, что А оказывается плотным в G при этой топологизации.
Теорема 2 дает алгебраический критерий потенциальной плотности
множества в счетцой группе. А именно, имеем
Следствие 3. Для того, чтобы подмножество А счетной группы
G было потенциально плотным в G, необходимо и достаточно, чтобы
его алгебраическое замыкание в G совпадало с G.
Отсюда, в частности, следует, что подмножество бесконечной
циклической группы тогда и только тогда потенциально плотно в этой группе, когда
оно бесконечно.
6. Доказательство теоремы 2 может быть проведено с помощью
построения надлежащей мультинормы [1] в группе G.
Литература
il] Марков А. А. О свободных топологических группах // ДАН СССР. —1941. —
1, № 4. —С. 299-302. [С. 217-^220 наст, изд. — Прим. сост.]
Поступило в редакцию 30 декабря 1943 г.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ*)
В работе строится теория свободных топологических групп. С помощью этой теории
можно построить топологическую группу, не являющуюся нормальным топологическим
пространством.
Содержание
Введение 229
§1. Нормы 235
§ 2. Построение норм в свободных группах 239
$ 3. Мультинормы 257
§ 4. Доказательство теорем существования и единственности 265
§ 5. Доказательство теоремы замкнутости и решение проблемы нормальности... 268
§ 6. Аналог теоремы Дика 269
§ 7. Топологические группы, определяемые системой соотношений 270
§ 8. Свободные абелевы топологические группы 275
$ 9. Нерешенные проблемы 283
Введение
1. Первоначальной целью настоящих исследований была проблема
нормальности топологических групп, которая естественно возникает в общей
теории топологических групп. Действительно, как доказал Л. С. Понтрягин
в неопубликованном письме А. Вейлю [1], всякая топологическая группа
вполне регулярна0. Так как нормальность является следующим за полной
регулярностью интересным свойством отделимости пространств,
естественно поставить вопрос, не является ли всякая топологическая группа
непременно нормальным пространством.
Мне удалось решить этот вопрос в отрицательном смысле, доказав
следующую теорему:
Всякое вполне регулярное пространство может быть топологически
вложено § линейное топологическое локально выпуклое пространство
как замкнутое подмножество последнего2*.
Используя этот результат, мы можем построить топологическую группу,
не являющуюся нормальным топологическим пространством, следующим
образом. Пусть X — некоторое вполне регулярное, но не нормальное
пространство. Такие пространства существуют, как показал А. п. Тихонов [2].
) Изв. АН СССР. Сер. матем. —1945. —Т. 9, № 1. — С. 3-59. Представлено академиком
И. М. Виноградовым.
!* Понятие вполне регулярного пространства введено А. Н. Тихоновым [2].
2) Понятие линейного топологического локально выпуклого пространства введено А. Н. Кол-
могоровым [3].

230 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
В силу нашей теоремы, существует линейное топологическое локально
выпуклое пространство 5, топологически содержащее X в качестве
замкнутого подмножества. S не может быть нормальным пространством, потому
что иначе все его замкнутые подмножества были бы тоже нормальны3*. Так
как всякое линейное топологическое пространство есть абелева
топологическая группа, S представляет собой пример топологической группы, не
являющейся нормальной.
Доказательство теоремы основано на некоторых идеях А. Вейля [1] и на
результате Хайерса, относящемся к построению линейных топологических
пространств посредством «псевдонорм* [4].
2. Мое первоначальное доказательство упомянутой выше теоремы было
существенно упрощено Е. Ливенсоном. Анализируя это упрощенное
доказательство, любезно сообщенное мне автором, я заметил, что его основная
идея дает гораздо больше и может быть применена и к другим задачам
общей теории топологических групп. В настоящем введении я хочу кратко
обрисовать эти задачи.
3. Между теорией дискретных групп и теорией топологических групп
существует глубокая аналогия, иллюстрируемая следующей схемой:
группа топологическая группа
подгруппа замкнутая подгруппа
нормальный делитель замкнутый нормальный делитель
факторгруппа топологическая факторгруппа
изоморфизм топологический изоморфизм
Г непрерывный гомоморфизм
гомоморфизм <
( открытый непрерывный гомоморфиёЬ
Здесь в левом столбце стоят теоретико-групповые понятия, в правом
столбце — соответствующие понятия теории топологических групп. С помощью
этой схемы соответствия мы можем, исходя из основных теорем о
дискретных группах, формулировать ряд аналогичных теорем теории
топологических групп. Заметим, однако, что вместо термина «гомоморфизм» следует
ставить иногда «непрерывный гомоморфизм», а иногда — «открытый
непрерывный гомоморфизм»4*.
Существует, однако, важный раздел теории дискретных групп, не
имеющий аналога в теории групп топологических. Мы имеем в виду теорию
групп, заданных системой соотношений между порождающими
элементами. В этой теории мы исходим из некоторого произвольного множества,
которое потом играет роль базиса конструируемой группы.
Желая развить аналогичную теорию топологических групп,
определяемых соотношениями между порождающими элементами, мы прежде всего
3) В самом деле, пусть X — замкнутое подмножество нормального пространства 5.
Если Ft и F2 — замкнутые подмножества X без общих точек, fo они замкнуты и в 5, и так
как S нормально, то они могут быть отделены в S множествами Нх и Я2* открытыми в S.
Пересечения ХС\НХ и X П Щ будут открытыми множествами в X, отделяющими Fx и F2.
4) Отображение <р топологического пространства X в топологическое пространство Y
называем открытым, если образ всякого открытого подмножества пространства X при
отображении (р является открытым подмножество пространства Y. Это определение отличается
от общепринятого тем, что при нашем определении открытое отображение может не быть
непрерывным.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
231
должны подобрать подходящий аналог «произвольного множества»,
играющего роль базиса. Естественно пытаться вместо «произвольного множества»
брать «произвольное пространство» какого-либо класса. Не совсем ясно;
однако, какой именно класс пространств следует для этого выбрать.
Упомянутая выше теорема Понтрягина подсказывает как правдоподобную
гипотезу соответствие:
множество вполне регулярное пространство.
В самом деле, так как полная регулярность есть «наследственное»
свойство пространств [2J, то, в силу теоремы Понтрягина, всякое
подпространство топологической группы вполне регулярно. Таким образом, требование
полной регулярности оказывается необходимым, и естественно попытаться
обойтись без дальнейших ограничений.
4. Далее нам предстоит найти подходящий аналог понятия «порождающее
множество». Но это уже легче, так как это понятие может быть определено
следующим образом.
Пусть X —подмножество группы G. Мы говорим, что X порождает G,
если не существует собственной подгруппы группы G, содержащей X.
Аналогичное определение формулируем так:
Определение 1. Пусть X есть подмножество топологической
группы G. X топологически порождает G, если в G не существует
собственной замкнутой подгруппы, содержащей X.
Заметим, что подмножество X топологической группы G
топологически порождает G тогда и только тогда, когда X порождает всюду
плотную подгруппу G. Это прямо следует из того факта, что замыкание
подгруппы группы и само является подгруппой этой группы.
5. Наиболее важным орудием теории дискретных групп, заданных
соотношениями, является понятие свободной группы. Оно может быть определено
следующим образом:
Пусть группа F порождена множеством X. Мы скажем, что F есть
свободная группа со свободным базисом X, если всякое соотношение
удовлетворяющееся в F, тривиально, т. е. если левая часть его может быть
приведена к 1(F) последовательными сокращениями пар вида х£х~е. Здесь
1(F) обозначает единицу группы F.
Доя всякого множества X существует свободная группа F со свободным
базисом X [5]. Эта группа определяется единственным образом с точностью
до изоморфизмов, переводящих элементы множества X самих в себя.
Для наших целей понятие свободной группы должно быть определено
по-другому. Именно, легко доказать следующее предложение.
Пусть гриппа F порождена множеством X. Тогда для того, чтобы F
была свободной группой со свободным базисом X, необходимо и
достаточно следующее условие: каково бы ни было отображение ц>
множества X в произвольную гриппу G, существует гомоморфизм Ф группы
F в G такой, что для любого элемента х из X
(2)
ipx = Фх.

232
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
В самом деле, пусть F — свободная группа со свободным базисом X,
(р — отображение X в некоторую группу G. Всякий элемент z e F может
быть представлен в виде
(3) П tf,
» = 1
где х{ € X, е{ = ±1 (i = 1,..., m). Для z существует много таких
представлений, но, так как F — свободная группа, от одного такого представления
к другому можно перейти последовательными сокращениями и вставками
пар х€х~в (хеХ, е = ±1). Поэтому произведение
П (¥>*.)*'
не зависит от выбора представления z в виде (3) и тем самым определяется
по z однозначно. Полагая
Ф*=П (*>**)%
получим искомый гомоморфизм F.
С другой стороны, пусть группа F порождена множеством X и
удовлетворяет нашему условию. Обозначим через F0 свободную группу со свободным
базисом X.
Тождественное отображение множества X на самого себя можно
рассматривать как отображение X в F0. В силу нашего условия существует
гомоморфизм Ф группы F в F0 такой, что для всякого хеХ
(4) Фж = х,
Если теперь мы имеем в F некоторое соотношение вида (1), то в силу {4)
оно имеет место ивЕ, ибо Ф есть гомоморфизм. Так как Р0 — свободная
группа со свободным оазисом X, то (1) тривиально. Следовательно, F —
свободная группа со свободным базисом л.
6. Мы видим, что основная теорема существования теории свободных
групп может быть сформулирована следующим образом:
Если X —произвольное множество, то существует группа F,
обладающая свойствами:
Г. X есть подмножество F;
2е. X порождает F;
3°. Каково бы ни было отображение (р множества X в какую угодно
группу G, существует гомоморфизм Ф группы F в Gf для которого
справедливо (2) при всяком х <ё X.
Всякому понятию, входящему в это предложение, мы можем найти аналог
в теории топологических групп. Соответствие
множество вполне регулярное пространство,
предложенное в разделе 3, подсказывает дальнейшее соответствие
отображение непрерывное отображение.
Аналоги других теоретико-групповых понятий, входящих в теорему
существования, уже указаны в разделах 3 и 4.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
233
Таким путем мы приходим к аналогу теоремы существования:
Теорема 1. Если X — вполне регулярное пространство, то
существует топологическая группа F со следующими свойствами:
FP X есть подпространство F;
F2. X топологически порождает F;
F3. Каково бы ни было непрерывное отображение (р пространства X
в произвольную топологическую группу G, существует непрерывный
гомоморфизм Ф группы F в U, для которого (2) справедливо в любой
точке х из X.
Для теоремы единственности в теории свободных групп (см. раздел 5)
также существует аналог, именно
Теорема 2. Если X — вполне регулярное пространство, то
топологическая группа со свойствами F,, F2, F3 единственна с точностью
до топологических изоморфизмов, переводящих все точки X в самих
себя.
Доказательство этих двух теорем и составляет основное содержание
настоящей статьи.
7. Главным средством доказательства теоремы 1 служат понятия «нормы»
и «мультинормы», которые вводятся в § 1 и 3. Наиболее трудной частью
работы является построение некоторых специальных «норм» в свободных
группах (§ 2), используемых в § 4 для доказательства теоремы 1. В § 4 мы
доказываем также теорему 2 и тем самым оправдываем следующее
Определение 2. Единственную топологическую группу со
свойствами F,, F«, F3 мы называем свободной топологической группой
пространства А.
Далее доказывается
Теорема 3. Всякое вполне регулярнее пространство образует
свободный базис (в алгебраическом смысле) своей свободной
топологической группы.
В § 5 мы даем решение проблемы нормальности. Для этого служит
Теорема 4. Всякое вполне регулярное пространство замкнуто в
своей свободной топологической группе.
§ 6 содержит аналог известной теоремы Дика (см. [6]; а также [5] и [7]).
Мы вводим
Определение 3. F есть свободная топологическая группа, если
существует пространство такое, что F является его свободной
топологической группой.
Доказывается
Теорема 5. Всякая топологическая группа топологически
изоморфна топологической факторгруппе некоторой свободной
топологической группы.
Теория свободных топологических групп, развитая в § 4-6, позволяет
построить теорию топологических групп, заданных системой алгебраических
соотношений между точками некоторого вполне регулярного пространства.

234
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Это делается в § 7. При этом в общем построении топологических групп
топологические и алгебраические элементы участвуют раздельно и
независимо: топология представлена произвольным вполне регулярным
пространством, алгебра — произвольной системой соотношений между точками этого
пространства.
В § 8 мы вводим понятие «свободной абелевой топологической группы»
пространства. Мы показываем, что эта группа топологически изоморфна
топологической факторгруппе свободной топологической группы заданного
пространства по ее коммутанту.
В § 9 указываются некоторые нерешенные проблемы, возникающие в
связи с этой работой.
В другой статье мы разовьем теорию «свободных линейных
топологических локально выпуклых пространств», которая будет содержать результат,
отмеченный в разделе 1 настоящего введения.
8. Если / — отображение множества А в множество J?, a g —
отображение множества В в множество С, то gf будет обозначать композицию
отображений / и д , т. е. отображение h множества Л в С, определяемое
равенством
h(x) = g(f(x)) (xeA).
Действительные функции будут рассматриваться как отображения в
совокупность действительных чисел.
Символ {я£}™ш1, где га — натуральное число, будет обозначать
систему элементов х. с 1 < г ^ га, т. е. отображение совокупности
натуральных чисел, не превосходящих га, при котором х{ есть образ
числа i. При га = 0 этот Символ обозначает пустое отображение, т. е. пустое
множество.
Пустое множество будет также обозначаться символом Л. Символ {а}
будет обозначать систему {zJUi с хх =а; символом 1а, 6} обозначается
упорядоченная пара объектов а и Ь, т. е. система {^}гв1 с хх = а, х^ = Ь,
причем а и & не обязательно различны; символом {а, 6, с} обозначается
система {х{}]ш1 с хх = а, х^ = Ь, % = с и т. д.
Формула х е X означает, что х есть элемент множества X; формула
АсВ означает, что А есть подмножество множества В.
Пересечение и теоретико-множественная сумма множеств А и В будут
обозначаться, соответственно, символами А П В и A U В. Символ А \ В
будет обозначать разность множеств А и J5, т. е. совокупность элементов
из А, не принадлежащих В.
Символ
п к
х(=Х
обозначает пересечение совокупности множеств Ах с х е X. Символ
X
где Фх —некоторое условие, наложенное на ж, обозначает совокупность
элементов, удовлетворяющих этому условию.
Символ (ж.)™в1 обозначает множество, содержащее элементы х. (г = 1,...
..., т) и только их; символ (а, Ь) — множество (xi)fs=1 с хх = а, а% = Ь;
символ (а) обозначает множество (х{)\ж1 с х.=а.
Символ 1(G) обозначает единицу группы и.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
235
Если xt (i = 1,..., m) — элементы группы G, то символом
го
ПаЪ
обозначается произведение этих элементов в G, определяемое индуктивно
посредством равенств
ПсЪ = ЧО),
ДС^ = ("П1(?^)^ (т>0).
Индекс G часто будет опускаться.
Если объекты х{ —действительные числа, то символ
го
имеет свое обычное значение при т > О и означает 0 при m = 0.
Символ АВ, где А и В —подмножества какой-либо группы G, будет
обозначать произведение этих множеств в G, т. е. совокупность
произведений xj/, где ж Е А, уеВ; символ А2 будет обозначать А А; символ А-1
будет обозначать множество, обратное множеству А в G, т. е.
множество обратных элементов ж-1, где хеА. Вместо А (а) и (а)А мы пишем,
соответственно, Аа и аА.
Если Я — замкнутый нормальный делитель топологической группы G,
то G/H обозначает топологическую факторгруппу группы G по Н.
§ 1. Нормы
1. Определение 4. Пусть G — некоторая группа, N —
действительная функция в G. Мы говорим, что N есть норма в G, если выполняются
следующие условия:
Nx.N(l(G)) = 0;
N2.N(xy-l)^N(x) + N(y) (xeG, yeG).
2. Лемма 1. Если N —норма в группе G, то
(5) N(x)>0 (xeG).
Действительно, полагая в N2 у = ж, получим
J\T(l(G)K2JV(s),
что в соединении с N{ дает (5).
Лемма 2. £e*u JV — норма в группе G, то
(6) Щх) = Щх~1) (xeG).
Действительно, полагая в N2 ж = 1(G), получим
tf(y-!KW(l(G)) + J\r(y).

236 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Подставляя здесь х вместо у, получим, согласйо N{,
(7) N(xrl)<N(x).
С другой стороны, подстановка х~1 вместо х дает
откуда, сопоставляя с (7), получим (6).
Лемма 3. Если N — норма в группе G, то
Щху) ^Nx + Ny (xeG,ye G).
Это свойство следует непосредственно из леммы 2 и N2.
Лемма 4. Если N — норма в группе G, то
(8) \Nx - Ny\ ^N(x-*y) (xeG.yeG).
В самом деле, у =* х(х~1у)} х = у(ж"?у)"|1 откуда, в силу леммы 3 и N2,
Ny*Nx + N(x-xy)%
Nx4Ny + N(x-xy),
что и дает (8).
3. Лемма 5. Произведение нормы в группе G на действительное
неотрицательное число есть норма в G.
Лемма 6. Сумма двух норм в группе есть норма в той же группе.
Эти факты следуют непосредственно из определения 4.
4. Следующая лемма дает метод построения норм, который будет
использован в дальнейшем.
Лемма 7. Если f — произвольная ограниченная действительная
функция в группе G, то функция N, определяемая равенством
(9) Nx = sup \ f (yx)-fy\ (xeG)}
9€<3
есть норма в G.
Доказательство. Функция N удовлетворяет условию N{, так как
у 1(G) = у. Эта функция удовлетворяет также условию N2, так как
N(xy-*) = sup\f(zxy-*)-fz\ [(9)]
^ supfl/Ossjr1) - f(zx)\ + \f(zx) - U\)
nee
< sup \f(zxy~l) - f(zx)\ + sup \f(zx) - fz\
< sup \ft - f(ty)\ + sup \f(zx) - fz\
teG M€G
= Ny + Nx. [(9)]

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
237
& Лемма 8. Пусть Ф — гомоморфизм группы G в группу Я. Ее-
ли Р —норма в Я, то РФ есть норма в G.
Доказательство. Так как Ф есть гомоморфизм С? в Я, то Ф1(С) =
= 1(Я), откуда РФ1(С) = Р1(Я). Так как Р — норма в Я, то Р1(Я) = 0,
откуда РФ1(<3) = 0, т. е. для РФ выполняется условие NP
Пусть х и у — произвольные элементы G. Так как Ф есть гомоморфизм
G в Я,
Ф(ху-*) = (Фх)(Фу)-\
откуда
РФ(ху-1) = Р((Фж)(Фу)-1).
Далее, так как Р есть норма в Я,
Р((Фх)(Фу)-{) ^ РФж + РФу.
Значит,
РФ(жу!) ^ РФж + РФу,
что и представляет собою условие N2 для РФ.
Лемма 9. Пусть Ф—гомоморфизм группы G на группу Я5). Если
Р есть такая действительная функция в Я, что РФ есть норма в G,
то Р есть норма в Я.
Доказательство. Р1(Я) = РФ1(<3), потому что Ф есть
гомоморфизм G в Я. Так как РФ —норма в G, то РФ1(С) = 0, откуда Р1(Я)*=0,
что дает условие N1 для Р.
Пусть 2 и t — произвольные элементы Я. Так как Ф есть гомоморфизм
G на Я, существуют такие элементы х и у группы G, что
(10) Фж = г, Фу = *.
Имеем
P(zt-1) = Р((Фх)(Фу)-') = РФ(ху^).
Так как РФ есть норма в G,
РФ(ж1/~1) ^ РФж + РФу = Р* + Pt.
Следовательно, P(zt~l) ^ Pz + Ptf т. е. для Р выполняется условие N2.
Определение 5. Пусть fug — две действительные функции в
одном и том же множестве X. Мы говорим, что д мажорирует /, если
fx^gx для всех элементов х множества X.
Лемма 10. Пусть Ф--гомоморфизм группы G на группу Я. Если
N есть норма в G, то функция Р, заданная в Я равенством
(11) Pz = inf Nx (zeH),
есть яорлш в Я такая, что N мажорирует РФ,
*) Мы говорим, что / есть отображение множества X в У, если fX CY, и «а У,
если /ЛГ = У.

238 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Доказательство. Заметим сначала, что правая часть равенства (11)
имеет смысл, каков бы ни был элемент z из Я. В самом деле, так как Ф
есть отображение G на Я, множество Ф~!г не пусто ни при каком z.
Так как 1((3)€Ф~11(Я), то, на основании (11),
(12) РЦЩ= inf Nx^Nl(G).
Отсюда, в силу условия Nx для JV, Р1(Я) ^0. С другой стороны, согласно
лемме 1, Nx^O (x€ G), откуда, в силу (12), Р1(Я)^0. Следовательно,
Р1(Я) = 0, т. е. Р удовлетворяет условию Nj.
Пусть z и t — какие-нибудь два элемента из Я, а ж и у — произвольные
элементы G, удовлетворяющие условиям (10). Так как Ф есть
гомоморфизм, Ф(жу~1) = ^~1, откуда, согласно (11),
Р(*Н)= inf Nu^N(xy-1).
и€Ф'1 (*Н)
Условие N2 для N дает
P(zt-l)^Nx + Ny,
где х и у — любые элементы G, удовлетворяющие (10). Отсюда
P(zt-1)^ inf Nx+ inf Ny
ж€Ф-1* у€Ф-1*
и, в силу (11),
P(zt-l)^Pz + Pt,
что и дает условие N2 для Р.
Итак, Р есть норма в Я. Для всякого элемента х из G имеем,
согласно (11),
РФж = inf JVy ^ Nx,
у€ф-1фХ
т. е. N мажорирует РФ.
6. Каков бы ни был элемент а группы G, отображение Ал этой группы
на самое себя, определенное равенством
Аах = аГ1ха (xeG),
есть автоморфизм группы G. Применением леммы 8 получается
Лемма 11. Если N — норма в G uaeGt то NAa есть также норма
eG.
7. В определении 4 слово «группа» может означать как дискретную, так и
топологическую группу. Норма в топологической группе может быть
непрерывной или нет. Сейчас мы дадим полезный для дальнейшего критерий
непрерывности нормы в топологической группе.
Лемма 12. Норма N в топологической группе непрерывна тог-
да и только тогда, когда выполнено следующее условие: каково бы ни
было положительное число е, в G существует такая окрестность U
единицы 1(G), что для всякой точки х окрестности U
(13) Nx<e.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
239
Доказательство. Г. Необходимость условия. Если
норма N непрерывна, то, в частности, она непрерывна в точке 1(G), т. е.
для всякого положительного числа е найдется в G такая окрестность U
точки 1(G), что
(14) \Nx-Nl(G)\<e
во всякой точке х из U. Условие (13) вытекает из (14) в силу N,.
2°. Достаточность условия. Предположим, что N
удовлетворяет сформулированному выше условию. Пусть z — произвольная точка
G, е — положительное число. Согласно предположению, существует такая
окрестность U точки 1(G), что в каждой ее точке х выполняется (13).
Множество zll представляет собой некоторую окрестность точки z.
Рассмотрим произвольную точку у из этого множества. Так как у ^ zU, то
z"xy 6 17, следовательно, N(z~*y) < е. Отсюда, согласно лемме 4,
(15) \Nz - Ny\ < е.
Это неравенство выполняется, коль скоро у е zU. Таким образом, каково
бы ни было е > О, существует такая окрестность точки z, что для всякой
точки у этой окрестности имеет место неравенство (15). Другими
словами, функция N непрерывна в точке z. Так как последняя была выбрана
произвольно, N есть непрерывная функция в G.
Имея в виду условие N,, мы можем перефразировать лемму 12, сказав,
что норма в топологической группе непрерывна тогда и только тогда, когда
она непрерывна в единице этой группы.
Интересным следствием леммы 12 является
Лемма 13. Если Р — непрерывная норма в топологической группе
G, то всякая норма в G, мажорируемая нормой Р, также непрерывна.
Действительно, всякая норма, которую мажорирует Р, удовлетворяет
критерию непрерывности, данному в лемме 12, если этому критерию
удовлетворяет норма Р.
§ 2. Построение норм в свободных группах
1. Определение 6. Пусть X — произвольное множество. Будем
называть словом в X любую систему {{xiy eJ}£Lp гДе m — целое
неотрицательное число, х. € X и е{. = ±1 (г = 1,..., т).
Совокупность слов в X обозначим Lx. Множество Lx содержит в
качестве своего элемента, в частности, пустое множество, которое иначе будет
называться пустым словом.
Определение 7. Число т мы будем называть длиной слова
{{*,ч,}}Г-..
Длину слова w условимся обозначать символом lw.
Очевидно, М = 0. Длина всякого другого слова есть натуральное число.
Слово в X длины 1 имеет вид {{ж, е}|, где х е X, е = ±1.

240 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Определение 8. Пустьг* = {{х<, eJ}"el€L6), У = {{у^ъ}}"ш1еЬ.
Систему {{**, вк}}?:Г, где
U 0\ = f l*"'6»} при 1<*<m»
Xk'ki Ий-ы%-т} прит + U^m + rb
будем называть произведением слова и на слово v.
Произведение слова в X на слово в X есть слово в X. Произведение и
на v условимся обозначать символом и о v.
Очевидно, что
(16) t*oA = Aot* = ti (ueL).
Умножение слов ассоциативно, благодаря чему можно писать без скобок
такие выражения, как uovow.
Определение 9. Пусть и = {{х{, е{}}™в, еL. Будем называть
систему 1{жт_<+|, -em_, + 1}}7Li обращением слова и.
Обращение слова в X есть слово в X. Обращение и будем обозначать
символом и~.
Имеем
(17) Л~=А,
(18) {{х, е)У = {{х, -е}} (х е X, е = ±1),
(19) {{х, е}}, {у, ч}Г={{л "*?}> {*> -«}> (*е* У€* «Н, i|»±l)f
(20) (tiov)~ = tr ot*~ (uEL,vEL).
2. Начиная отсюда и до конца этого параграфа / будет означать
действительную функцию в множестве X. Эта функция может быть совершенно
произвольной, но будет считаться фиксированной. Будут вводиться другие
функции, определяемые через /. Их обозначения будут иметь индекс /.
Лемма 14. Существует единственная действительная функция
uf в множестве L, удовлетворяющая следующим условиям:
РР 1/;Л = 0;
Р2. vf(uo{{x,e}}ov)^vf(uov) + \fx\ (u€Lt veL, хеХ, e = ±l);
Р3. 1/,(г*о{{х, e}y{y,-e}}ov)^vf(uov) + \fx-fy\ (ueL, veL,
хеХ,уеХ, е = ±1);
Р4. Каково бы ни было непустое слово w' в Х% существуют и', г/, х/,
е' такие, что
(21) %»' = и'о{{х',е'}}оь',
(22) vfw' = vf(u'ov') + \fx'\,
6) Здесь и в дальнейшем мы опускаем индекс X при L.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 241
или существуют и', г/, ж', х/у е' такие, что
(23) w' = u'o{{x',e'},{y',-e'}}ov',
(24) vfw' = vf(u' о t;') + |/ж' - fif\.
Доказательство. Будем определять функцию vf индуктивно.
Значение vfw при w=A определим равенством РЛ. Допустим, что определены
значения vfw при lw < m, где m — натуральное число. Определим
значения vfw при lw = т следующим образом. Пусть и/ — слово в X такое,
что lw1 = m. Тогда существует m систем {и\ г/, ж', е'}, удовлетворяющих
соотношению (21). Для всякой такой системы 1(и' о v') = m - 1 и потому
определено число рДи'ои'). Приводим в соответствие каждой такой системе
число us(u'ov')+\focf\. Могут, далее, существовать системы {и', t/, ж', у*, е'},
удовлетворяющие соотношению (23). Таких систем тоже конечное число —
не более m - 1. Для каждой такой системы определено vf(u* о г/), так как
<(w'ov'J = m-2. Приводим в соответствие каждой такой системе число
^(ti'ov'J+l/ac'—/j/|. Получаем непустое конечное множество чисел —
совокупность чисел ^(u'ot/J+l/rr'l для систем {и\ v', ж', е'}, удовлетворяющих
условию (21), и чисел vf(u' о г/) + |/ж' - /y'l для систем {г*', г/, ж', у7, е'},
удовлетворяющих условию (23). Среда всех этих чисел имеется
наименьшее, которое мы и принимаем в качестве значения vfw'.
Построенная так функция vf% очевидно, удовлетворяет условиям Pi"-P4.
Посредством индукции по длине аргумента легко также убедиться в
единственности функции, удовлетворяющей этим условиям:
3. Установим теперь ряд свойств функции vr
Лемма 15.
(25) ",{{*,*}} = № (*еХ> е = ±1)-
Доказательство. {Л, Л, ж, е\ — единственная система {г*',г/,ж',е'},
удовлетворяющая соотношению (21) при w1 = f{ж, е}}; систем же
|u', г/, ж', у*, е'}, удовлетворяющих соотношению (23), при этом w* не
существует. Поэтому, в силу Р4 имеем vMx, е}} = i/f(AoA) + |/ж|, откуда,
согласно (16) и Pi, следует равенство (25).
Лемма 16.
(26) *,{{* в), {у, е}} = |/ж| + |/у| (х € X, у € Y, е = ±1).
Доказательство. Систем {ti', t/, ж', у*, е'}, удовлетворяющих
условию (23) при to' = £f ж, е}, {у, е}}, не существует; существуют только две
системы {и\ г/, ж', е'}, удовлетворяющие соотношению (21) при этом w\ а
именно системы {А, {{у, е}}, ж, е} и {{{ж, е}},Л, у, е}. Согласно (16),
выражение
1/Ди'ог;') + |/ж'|
принимает для этих систем значения vf{{yy e}} + |/ж| и *у{{ж, е}} + |/у|,
которые, согласно лемме 15, равны |/ж| + |/у|. Согласно Р4, отсюда следует
равенство (26).

242 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Лемма 17.
(27) ^{{я%е},{Л-е}} = |Лв-/у| (хеХ, уеХ, е = ±1).
Доказательство. Существуют только две системы iu', г/, ж', е'},
удовлетворяющие соотношению (21) при ги' = {{х, е}, {у, -ej}, а именно
{Л, {{у, -е}}, ж, е} и {{{ж, е}}, Л, у, -е}. Выражение vf(u' о г/) + |/ж'|
принимает для этих систем значения i^{{y> ~г}} + \fx\ и *у{{ж, е}} + |/у|,
которые, согласно лемме 15, равны \/х\ + \fy\.
Существует только одна система {V, v' я', у7, е'}, удовлетворяющая
соотношению (23) при этом ги', а именно {Л, Л, х, у, е}. Для этой системы
i>s(u'ov') + \fx'-fa\ = \fx-fy\.
Согласно Р4, отсюда следует, что vfw' равно одному из чисел |/х| + |/у|
и \fx - fy\. Согласно Р8> (16) и Р,,
циГ* vf(k о Л) + \fx - fy\ = \fx - /у|.
Принимая во внимание, что \fx - fy\ ^ |/ж| + |/у|, заключаем отсюда, что
имеет место равенство (27).
Лемма 18.
(28) vf{u о wо v) ^ 1^(11 ov) + vfw (и е L, veL, weL).
Доказательство. При w = Л неравенство (28) верно в силу Р,.
Допустим, что оно верно всякий раз, когда lw < m, где m — натуральное
число, и покажем, что оно верно тогда и при tw = m.
Пусть, в самом деле, ueLt veL, w'eL и lw' = m. Согласно Р4, имеет
место один из следующих двух случаев:
1. Существуют и', г/, ж', е\ удовлетворяющие условиям (21) и (22).
2. Существуют и\ г/, ж', j/,V, удовлетворяющие условиям (23) и (24).
Случай 1. Пусть г*', г/, х\ е* удовлетворяют условиям (21) и (22).
В силу (21), 1(и' о г/) = lw' - 1 = т - 1 и потому, согласно индуктивному
предположению,
(29) vf(u ou'ov'ov)^. i/f(u ov) + i/f(u' о v').
Следовательно,
i/f(u ow'ov) = uf(u ou'o {{x'y e'}} о t/ о v) [(21)]
< uf(uo«'ov'oti) + |/x'| [P2]
^ uf(u ov) + vs{u' о г;') + |/я'| [(29)]
= vf(uov) + vfw'. [(22)]
Случай 2. Пусть и', г/, х\ j/, e1 удовлетворяют условиям (23) и (24).
В силу (23), £(и' о v1) = lw1 - 2 = m - 2 и потому, согласно индуктивному
предположению, имеем неравенство (29). Следовательно,
vf(uow'ow) ^ vf(uou'o{{x\ e'}, {y'-e'}}ot;'ot;) [(23)]
^ uf(u о и' о v1 о v) + \fx* - fyf\ [Р3]
^ vf(uov)+vf(u'ov')+\fx'-fy'\ [(29)]
= !/,(!* о ») + */, и/. [(24)]

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 243
Таким образом, в обоих случаях
Vj(u О W* О v) ^ Vj(u OV) + VfW*,
что и требовалось доказать.
Лемма 19.
(30) i/j(uow) ^ vfu + vfw (uELy w€L).
В самом деле, при v=A (28) переходит в (30).
Лемма 20.
vf({{x, e}}owo{{y, -e}})^vfw + \fx>-fy\ (weL, xeX, yeX> e = ±l).
Это следует из лемм 17 и 18.
Лемма 21.
(31) ufw - vf({{x, e}} о w) ^ \fx\ (weL, хвХ, е = ±1).
Доказательство. При w = A неравенство (31) верно в силу Рх и
леммы 15. Допустим, что оно верно всякий раз, когда lw < m, где m —
натуральное число, и докажем, что оно верно тогда и при lw = m.
В самом деле, пусть и; € L, хеХ, е = ±1 и lw = m. Положим
(32) w1 = {{ху е}} о w.
Согласно Р4, имеет место один из двух случаев, указанных в доказательстве
леммы 18.
Случай 1. Пусть и\ г/, х\ е1 удовлетворяют условиям (21) и (22).
Рассмотрим порознь следующие два подслучая:
1.1.г*' = А;
1.2. и1 ф А.
Подслучай 1.1. Соотношение (21) принимает вид
(33) г£/ = {{а',е'}}ог/.
Сравнивая равенства (32) и (33), получаем
(34) w = г/.
Соотношение (22) принимает вид
(35) vfw'~vfv' + \fx'\.
Следовательно,
VfW — VjW1 = i/jV* — VfW1 [(34)]
<0 [(35)]
^ \fx\-
Подслучай 1.2. Принимая во внимание, что и'фК, и сравнивая
равенства (21) и (32), заключаем, что существует слово t такое, что
(36) u' = {{x,e}}ot,
(37) w = to{{x',e'}}ov'.

244 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
В силу,(37), £(£ о г/) = £ги - 1 = m - 1, и потому, согласно индуктивному
предположению,
(38) !/,(* о г/) - !/,({{*, е}} о t о v') < |/х|,
откуда по (36)
(39) vs(t о v') - vf(u' о г/) ^ \fx\.
На основании (37) и Р2
ufw^uf(t ог;') + |/ж'|,
откуда, согласно (22),
(40) vfw - vfw' < vf(t о v1) - i/f(u' о t/).
Неравенства (40) и (39) дают UjW - vfw' < \fx\.
Случай 2. Пусть и\ v\ x\ y*t е1 удовлетворяют условиям (23) и (24).
Рассмотрим два подслучая:
2.1.г*' = А;
2.2. и1 ф А.
Подслучай 2.1. Соотношение (23) принимает вид
(41) w' = {{x\e% {!Л-е}} о V.
Сравнивая равенства (32) и (41), получаем
(42) х = х',
(43) 1£> = {{1Л-е'}}о*'.
Соотношение (24) принимает вид
(44) i/,to' = i//V' + |/ж' - /з/|.
Согласно (43) и Р2,
(45) VfW^Vjv' + lfy'l.
Следовательно,
i/,w-i/,™' ^ l/y'l-l/x'-Zy'l [(44) и (45)]
= 1/4 [(42)]
Подслучай 2.2. Принимая во внимание, что и1 ФЛ, и сравнивая
равенства (23) и {32), заключаем, что существует слово t такое, что имеют
место равенства (36) и
(46) w = to{{x',e%{y,-e'}}ov*.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 245
В силу (46), l(t о v') = lw - 2 = m - 2, и потому, согласно индуктивному
предположению, имеем неравенство (38), из которого, согласно (36),
следует неравенство (39). Согласно (46) и Р3,
vfw^vf(tov') + \fx'-fy'l
откуда, согласно (24), получается неравенство (40). Неравенства (40) и (39)
дают неравенство ufw - vfw' ^ \fx\.
Таким образом, во всех случаях ufw - vfw' ^ \fx\, что в силу (32)
совпадает с доказываемым неравенством.
Лемма 22.
ufw - i/f(w о {{ж, е}}) ^ |/ж| (weLy х€Х, е = ±1).
Доказывается аналогично лемме 21.
Лемма 23.
(47) vs(w о {{у, е}}) - !/,({{*, е}} о w) < \fy - fx\
(weL, xeX, yeX, e = ±l).
Доказательство. При w = Л неравенство (47) верно в силу
леммы 15. Допустим, что оно верно всякий раз, когда lw < m, где тп —
натуральное число, и докажем, что оно верно тогда и при lw = m.
В самом деле, пусть weL, хеХ, уеХ, е = ±1 и lw = m. Определим
и/ равенством (32). Могут быть два случая [лемма 18].
Случай 1. Пусть и\ г/, ж*, е* удовлетворяют соотношениям (21)
и (22). Рассмотрим два подслучая [лемма 21].
Подслучай 1.1. Как в аналогичном подслучае доказательства
леммы 21, имеем равенства (33) и (35). Сравнивая равенства (32) и (33),
получаем равенства (34) и (42). Согласно Р2 и (16),
(48) Vf(u>o{{yje}})<vfw + \fy\.
Следовательно,
"f(w ° Ни *»)" Ч* < Ч«-Ч*+Ш [(48) и (34)]
= |/уЫ/*1 [(35) и (42)]
Подслучай 1.2. Как в аналогичном подслучае доказательства
леммы 21, убеждаемся в существовании слова *, удовлетворяющего
условиям (36) и (37). В силу (37), l(t о v') = m - 1, и потому, согласно
индуктивному предположению,
(49) uf(t о v' о {{у, е}}) - !/,({{*, е}} о t о v') < \fy - fx\9
откуда, в силу (36),
(50) i/,(t о г/ о {{у, е}}) - vf(u' о v') $ \fy - fx\.

246 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Далее, получаем
*,(«о{{|(1 е>» = "/<*°{{*'. ^'}}oVo{{y, e}}) [(37)]
(51) <Kf(to«'o{{y,e}}) + l/^'l, [Рг]
*/<wo{{* £}>)" vt* < "/(*огМ{и «}})" *,(«W) [(51) и (52)]
<|Л-М 1(50)]
Случай 2. Пусть u', «', x', у1, е' удовлетворяют условиям (23) и (24).
Рассмотрим два подслучая [лемма 21].
Подслучай 2.1. Как в аналогичном подслучае доказательства
леммы 21, получаем равенства (41) и (44). Сравнивая равенства (32) и (41),
получаем равенства (42), (43) и
(52) е = е.
Имеем
u,(w о {{у, е}}) = *,({{•, -е}} о г/ о {{у, е}}) [(43) и (52)]
(53) < vsv' + \fy - ft/l, [лемма 20]
*/(«<>{{* е») " "/«»' < 1/у-/у'Н/*'-/»'1 [(53) и (44)]
= 1Л-/(х)|. [(42)]
Подслучай 2. 2. Как в аналогичном подслучае доказательства
леммы 21, убеждаемся в существовании слова t, удовлетворяющего
условиям (36) и (46). В силу (46), £(*ог/) = т-2и потому, согласно
индуктивному предположению, имеем неравенство (49), из которого, согласно (36),
следует неравенство (50). Имеем
*/<"°{{* «}} = "/(*°{К *% {зЛ -*}} * «' ° «ft «}}) [(46)]
(54) ^ i/,(*ot/ о {{у, е}}) + |/я' - Л1, [Рз1
*/(<"*{{» *}}) " у§* < "/(* о г;' о {{у, е}}) - i/,(t*W) [(54) и (24)]
<1Л-М [(50)1
Таким образом, во всех случаях
uf(w о {{у, е}}) - vfw' < |/у - /ж|,
что в силу (32) совпадает с доказываемым неравенством.
Лемма 24.
(55) "/({{*> *}}°»)- */(«>°{{ft е»)< 1/У " fx\
(weLj хеХ, уеХ, е = ±1).
Доказывается аналогично лемме 23.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 247
Лемма 25.
\"f({{x,e}}ow)-vf(wo{{y,e}})\^\fy-fx\ (w€Ly xeX, yeX, е = ±1).
Лемма 25 является следствием лемм 23 и 24.
Лемма 26.
vf(w о {{ж, е}}) = ^/({{ж, е}} ow) (w E L, х е X, е = ±1).
Лемма 26 вытекает из леммы 25 как следствие.
Лемма 27.
(56) vf(wо г*) = vf(uow) (ueLj weL).
Доказательство. При и = Л равенство (56) верно. Допустим, что
оно верно всякий раз, когда £и < т, где m — натуральное число, и покажем,
что оно верно тогда и при 1и = т.
В самом деле, пусть ueL, weL и tu = m. Тогда существуют такие v, x
и е, что
(57) и = {{ж, е}} о v.
Имеем fo=fo-l=sm-l,H потому, согласно индуктивному предположению,
(58) vf(w о {{ж, е}} о v) = i/Ди otoo {{ж, е}}).
Следовательно,
i/Дг*; о и) = 1/,(г£; о {{ж, е}} о v) [(57)]
= vf(vowo{{x,e}}) [(58)]
= ^/({{x, e}}ovow) [лемма 26]
= v,(*ow), [(57)]
что и требовалось доказать.
Л е м м а 28.
(59) vfw - 1/,({{ж, с}} о w о {{у, -е}}) ^ \fy - /ж|
(twel, хеХ, уеХ, е = ±1).
Доказательство. Согласно Р1 и лемме 17, неравенство (59) верно
при гу=Л. Допустим, что это неравенство верно всякий раз, когда lw<m,
где m — натуральное число, и покажем, что в этом случае оно верно и при
lw = m.
В самом деле, пусть w e L, ж е X, уеХ, е = ±1 и lw = m. Положим
(60) го' = {{ж, е}} о w о {{у, -е}}.
Могут быть два случая [лемма 18].
Случай 1. Пусть и\ v\ x' и е' удовлетворяют условиям (21) и (22).
Рассмотрим порознь три подслучая:
l.l.ti' = A;
1.2. г/ = Л;
1.3. и1 фК иг/ фК.

248 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Подслучай 1.1. Соотношение (21) принимает вид (33). Сравнивая
равенства (33) и (60), получаем равенства (42) и
(61) v' = wo{{y,-e}}.
Соотношение (22) принимает вид (35). Согласно (61) и лемме 22,
(62) vfw-vfv'^\fy\.
Следовательно,
Vfw - ufwf < \fy\ - \f*\ [(62) и (35)]
*\fv-f*\
= \fy-fx\. [(42)]
Подслучай 1.2 трактуется аналогичным образом. Мы и здесь
получаем
(63) vtw-vfw^K\flfM-
Подслучай 1.3. Сравнивая равенства (21) и (60) и принимая во
внимание, что и' ф А и v' ф А, заключаем, что существуют слова * и *
такие, что
(64) и' = {{х,е}}о8,
(65) «' = *о{{у,-е}},
(66) w - s о {{х', е'}} о t.
Согласно (66), /(*ot) = /w-l = m-l,H потому, согласно индуктивному
предположению,
(67) v,(a о t) - v,({{x, е}} о s о t о {{у, -е}}) < \fy - /х|,
откуда, согласно (64) и (65),
(68) «/,(« о t) - v,(u' ov>)^ \fy - fx\.
На основании (66) и Р2,
(69) UfW^Ufiao^ + lfx'l
Следовательно,
u,w - v,vof ^ uf(s ot)- vf(u' о v') [(69) и (22)]
<1Л-М [(68)]
Случай 2. Пусть и', v', х\ у1, е' удовлетворяют условиям (23) и (24).
Рассмотрим порознь три подслучая:
2.1. и' ш А;
2.2. v' = A;
2.3.и'фАну'фА.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
249
Подслучай 2.1. Соотношение (23) принимает вид (41). Сравнивая
равенства (41) и (60), получаем равенства (42), (52) и
(70) {{lC,-e'}}o«' = teo{{K-e}}.
Так как "шфк, из равенства (70) следует, что существует такое слово t,
что
(71) w = {{y',-e'}}ot,
(72) v'=to{{y,-s}}.
Согласно (52) и лемме 24, отсюда следует неравенство
(73) vfv>-vsv'^\fy-W\.
Соотношение (24) принимает вид (44). Следовательно,
u,w - v,w' < \fy - fy>\ - l/z' - fy>\ [(73) и (44)]
<\fy-fx'\
= \fv-f*\- [(42)]
Подслучай 2. 2 трактуется аналогичным образом. Мы и здесь
получаем неравенство (63).
Подслучай 2.3. Принимая во внимание, что и1 фК и v' фЛ, и
сравнивая равенства (23) и (60), заключаем, что существуют слова s и t,
удовлетворяющие соотношениям (64), (65) и
(74) w = so{{x'Je'},{y',-e'}}ot.
Согласно (74), l(sot) = m-2, и потому, в силу индуктивного
предположения, имеем неравенство (67), из которого, согласно (64) и (65), следует
неравенство (68). На основании (74) и Р3,
(75) ufw ^ vf(s ot) + \fx' - /2/1.
Следовательно,
vfw - vfw* ^ vs(s о t) - vf(u' о t') [(75) и (24)]
<I/I/-M [(68)]
Таким образом, во всех случаях имеет место неравенство (63), которое,
в силу (60), совпадает с доказываемым.
Лемма 29.
Wf({ix> e}}owo{{у, -е}})- ufw\ ^ \fy- fx\
(weLy хеХ} уеХ} e = ±l).
Это следует из лемм 20 и 28.
Лемма 30.
*>/({{з, е}} о и; о {{ж, s}})^ufw (weL, ж€-Х, е = ±1).
Это следует из леммы 29.

250
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Лемма 31.
uf(u о {{ж, е}, {я, — е}} ov) = i/f(u ov) («6L, v6L, жбХ, е = ±1).
Доказательство.
uf(uo{{x, e}, {x, -e}}ov) = ^({{z, —e}}ovouo{{x, e}}) [лемма 27]
= vf(v о и) [лемма 30]
= vf(u о v). [лемма 27]
Лемма 32.
(76) vfw~ ^ vfw (weL).
Доказательство. Согласно (17), неравенство (76) верно при w=A.
Допустим, что это неравенство верно при lw < га, где га — натуральное
число, и докажем, что оно верно тогда и при lw = m.
В самом деле, пусть Ы = m. Рассмотрим два случая [лемма 18].
Случай 1. Пусть и\ г/, х' и е' удовлетворяют соотношениям (21)
и (22). Согласно (21), £(u,ovt) = lwt-1 =m-1, и потому, согласно
индуктивному предположению,
(77) vf(u'oi/)~<vf(u'ov').
Следовательно,
vfw'~ = i>(ti'o{{^f е'}} о г/)~ , [(21)]
= *>(«'~ о {{х1 - е'}} о гО [(20) и (18)]
^Д^оО + И [Р2]
= vf(u'ov') + \fx'\ [(20)]
<^. [(77) и (22)]
Случай 2. Пусть и', г/, x't у'ие' удовлетворяют условиям (23) и (24).
В силу (23), £(и' о v') = lw1 - 2 = m - 2, и потому, согласно индуктивному
предположению, имеем неравенство (77). Далее, получаем:
if = *,(*' о {{*', е'}, {у', -е'}}ог/)~ [(23)]
= ",1*Го{М, г'}, {*', -е'}}ои'~) [(20) и (19)]
<У,(*Гои-) + №-&\ [Р3]
= у,(и9о*)~ + \&-&\ [(20)]
^^'o^ + l/lZ-M [(77)]
= 1/^'. [(24)]
Таким образом, в обоих случаях vfw'~ < v5w\ что и требовалось доказать.
Лемма 33.
i/Дг* о w~) < i/yW + VfW (uEL,w EL).
Это следует из лемм 19 и 32.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
251
Определение 10. Пусть Fx — свободная группа со свободным
базисом X. Отображение а множества Lx на группу Fx, определяемое
равенством
т
(78) «{{*„ *,}},"*«. = 1Ь*/< (m>0, {{xi)Si}}T=1eL),
будет называться свободным отображением над X.
Свободное отображение над X будет обозначаться символом7* ах.
Очевидно,
(79) aA=l(F),
(80) а{{х, е}} = хе (х € X, е = ±1),
(81) a{faeMlfci?}} = *V (хеХ,уеХ, е = ±1, i» = ±l)f
(82) a(t*ov) = (cm)(av) («EL, veL),
(83) «14- = (aw)-1 (uei).
Известно, что два произведения в F вида (3) равны в F тогда и только
тогда, когда можно перейти от одного к другому посредством
последовательных сокращений и вставок пар множителей вида хех~е, где хеХ, е = ±1.
Принимая во внимание лемму 31, мы заключаем отсюда, что справедлива
следующая
Лемма 34. Если cm = av, то vfu = i/fv.
Эта лемма дает возможность «перенести» функцию vf из L в F с
помощью отображения а. Это осуществляется следующим образом.
Пусть zeF. Существует слово и такое, что
(84) z = аи.
Полагаем Nfz = vfu.
Это определение законно, так как, согласно лемме 34, число ufu не
зависит от выбора слова и, удовлетворяющего соотношению (84).
Определение 11. Только что построенная функция Nf в F
называется f-нормой.
Согласно построению, /-норма характеризуется равенством
(85) Nfau = ufu (ueL).
Следующая лемма оправдывает термин «/-норма».
Лемма 35. f-норма есть норма в группе F.
Доказательство.
Nfl(F) = N,aA [(79)]
= i/,A [(85)]
=о. ру
Следовательно, функция Nf удовлетворяет условию NP
7) В дальнейшем опускаем индекс X при F и а.

252 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Пусть, далее, z € F и t € F. Тогда существуют слова и и «,
удовлетворяющие соотношениям (84) и
(86) t = av.
Имеем
N}(zt~l) = N, ((au)(av)-1) [(84) и (86)]
= Nf(a(uov~)) [(83) и (82)]
= u,(uov~) [(85)]
^VjU + UjV [лемма 33]
= Nfau + Nfav [(85)]
= Nfz + Ntt. [(84) и (86)]
Следовательно, функция Nf удовлетворяет условию N2. Таким образом, эта
функция является нормой в группе F, что и требовалось доказать.
4. Мы установим теперь некоторые свойства /-нормы.
Лемма 36.
(87) N,(zt) = Nf(tz) (zeF, t€F).
Доказательство. Пусть z €F и t € F. Существуют и и v,
удовлетворяющие условиям (84) и (86). Имеем
Nf(zt) = N}((au)(av)) [(84) и (86)]
= JV,a(uo«) [(82)]
= !/,(« о v) [(85)]
= vs(v о tt) [лемма 27]
= Nfa(vou) [(85)]
= N,((av)(au)) [(82)]
= N,(tz). [(84) и (86)]
Лемма 37.
(88) Nf(z-ltz) = Nft (zeF, teF).
В самом деле, равенство (88) получается из равенства (87) при
подстановке z~xt вместо t.
Лемма 38.
Nfx = \fx\ (хеХ).
Доказательство. Пусть хеХ. Имеем
N,x = N,a{{x,l}} [(80)]
= ",{{*,!}} [(85)]
= |/ж|. [лемма 15]

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
253
Лемма 39.
Щг-1 ху-1 г) = \fx - /у| (х 6 X, у 6 X, z € F).
Доказательство. Пусть хбХ, уеХ, z€F. Имеем
ЛГ/(г-1ху-,г) = Я/(ху-1)
= Ща{{х,1,),{у,-1}})
= ",{{*, П. {»-!}}
Лемма 40.
ьуш^О (t»6L).
Доказательство. Пусть w € L. Имеем
[лемма 37]
1(81)]
[(85)]
[лемма 17]
i/fw=zNfaw
£0.
[(85)]
[леммы 1 и 35]
б
чисел
. Пусть w = f{x0 еМ™яХ —непустое слово в X. Образуем совокупность
ел |/xf.| (t = 1,..., m) и чисел \fxi - /х,|, соответствующих парам {t, j}
таким, что xi ф Ху. Наименьшее из всех этих чисел условимся обозначать
символом fifw. Этим мы определяем некоторую функцию /ху в множестве
L\(A).
Лемма 41. EcauuEL, veL, w€L, то
fif(u ov ow)^ nf(u о w).
Это непосредственно следует из определения функции д,.
Лемма 42. Если weL и awф 1(F), то
(89) i/jW^/ijW.
Доказательство. Из условия aw ф 1(F) следует, согласно (79), что
мфА. Таким образом, случай lw = 0 отпадает. Если iw=\, то w имеет
вид {{х, е}}, где х € АГ, е = ±1. В этом случае по определению функции /Х/
имеем /х,гг/ = |/х| и, согласно лемме 15, vfw = |/x|. Следовательно,
неравенство (89) имеет место в этом случае. Допустим теперь, что это неравенство
соблюдается всякий раз, когда aw ф 1(F) и lw < m, где m — целое число,
большее единицы, и докажем, что оно соблюдается тогда и при aw ф 1(F)
и Ли = т.
В самом деле, пусть an/ Ф 1(F) и lw' = m. Положим
(90) "' = {{*,, *Л}Г-1.
Возможны два случая [лемма 18].

254 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Случай 1. Пусть и\ г/, х\ е* удовлетворяет условиям (21) и (22).
В силу (21) и (90), х1 равно одному из х{ и потому, согласно (22) и
лемме (40), vfw* >-|/я^| для одного из г. По определению функции /x/t \fx{\ ^
^ tifw'. Следовательно, vfw* > fifw'.
Случай 2. Пусть г*', v\ ж', j/ие' удовлетворяют условиям (23) и (24).
Возможны два подслучая:
2.1. х' = у';
2.2. х'фу'.
По дел у чай 2.1. Так как х' = tf,
aw1 = (at*')(a{{aV}, {z', -e'}})(at/) [(23) и (82)]
= (au')(at/) [(81)]
= a(t*'ot/), [(82)]
Следовательно, a(u'ov')^ 1(F). Кроме того, согласно (23), /(ti', v') = Ai;'-
- 2 = m - 2. Поэтому на основании индуктивного предположения
(91) vf(u'ov')Znf(u'ov').
Согласно лемме 41 и равенству (23),
(92) p/(tt'otr')>tyi0'.
Согласно (24),
(93) vfut*uf(u'oif).
Неравенства (91)—(93) дают ufw' ^ \i5w\
Подслучай 2.2. В силу (23) и (90), существует j такое, что х. = х?,
xj+l = у7. Согласно лемме 40 и равенству (24),
Здесь xj фх^+1, так как, по предположению, х* Ф tf. По определению
функции fift отсюда следует, что |/zy-/xi+1| ^/х,иЛ Следовательно, vfw'^tyu/.
Таким образом, во всех случаях vfw' ^ /х,ги\ что и требовалось доказать.
Лемма 43. Если weL, атф 1(F) и aw е F \ X, то при есяком
хеХ
(94) |'/({{^-1»о1р)>/*гш-
Доказательство. Случай, когда lw=0, по-прежнему отпадает.
Допустим, что lw = 1. Тогда w имеет вид {{у, е}}, где у € -X", е = ±1.
Согласно (80), aw = ye, и так как по предположению aw € F \ X, то е Ф 1.
Следовательно, е = -1. Таким образом, w = {{у, -1}} и при всяком хеХ
*,({{*, -1}} о го) = */,{{*, -1}, {у, -1}}
Н/я| + |/у|, [лемма 16]

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 255
тогда как, по определению функции д/9 nfw = \fy\. Следовательно,
неравенство (94) соблюдается в этом случае при всяком хеХ. Допустим теперь,
что это неравенство верно всякий раз, когда awф 1(F), aweF\Xt xeX
и lw < m, где т — целое число, большее единицы, и докажем, что тогда
оно верно и при условиях awФ 1(F), aw€F\Xt xeX, iw^m.
Пусть в самом деле w и х удовлетворяют этим условиям. Положим
(95) ^-{^-1}}оч
(96) " = {{*■ *}}Г-1-
Возможны два случая [лемма 18].
Случай 1. Пусть и\ г/, х\ ё удовлетворяют условиям (21) и (22).
Возможны два подслучая, указанные в доказательстве леммы 21.
Подслучай 1.1. Как в соответствующем подслучае доказательств
леммы 21, получаем равенства (34) и (35). Следовательно,
vfw' ^ vfv' [(35)]
= vfw [(34)]
^ Hfw. [лемма 42]
Подслучай 1.2. Сравнивая равенства (21) и (95), заключаем, что
существует слово t, удовлетворяющее условию (37). Из равенств (37) и (96)
следует, что х* равно одному из х{. Рассуждая далее, как в доказательстве
леммы 42, заключаем, что vfw' ^ fifw.
Случай 2. Пусть u't г/, ж', |Д e* удовлетворяют условиям (23) и (24).
Возможны два подслучая [лемма 11].
Подслучай 2.1. Соотношение (23) принимает вид (41). Сравнивая
равенства (41) и (95), получаем равенства (43) и
(97) е' = -1.
Следовательно,
<*w = (а{{у>, -e'}})(at/') [(43) и (82)]
= yW. [(80) и (97)]
Принимая во внимание, что j/eX, тогда как aweF\Xt заключаем, что
аь'ф 1(F). Согласно лемме 42, отсюда следует, что
(98) vfv' ^ nfv'.
В силу леммы 41, из равенства (43) вытекает, что
(99) nfi/^nfw.
Соотношение (24) принимает вид (44), откуда
(100) ufw'Zi/fv\<
Из неравенств (98)—(100) следует, что vfw* > pfw.
Подслучай 2.2. Сравнивая равенства (23) и (95), заключаем, что
существует слово t, удовлетворяющее условиям (46) и
(101) г*' = {{ж,-1}}о*.

256 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Теперь мы в свою очередь будем различать два подслучая, а именно:
2.21. x' = i/;
2.22. х' ф у1.
Подслучай 2.21. Имеем
aw = (at)(a{{x', e'}, {x>, -€'}})(<**>') [(46) и (82)]
= (at)(av') [(81)}
= a(tov'). [(82)]
Следовательно, а(Ьоу')ф 1(F) и a(tov')€F\X. Кроме того, согласно (46),
l(t о v') — lw - 2 = т — 2. На основании индуктивного предположения
отсюда следует, что
(102) 1//({{х,-1}}о*о«')^м,(*о«').
Согласно лемме 41, из равенства (46) находим
(103) nf(tov')2iifw.
Далее,
(104) vfw' >«/,(«' о»') [(24)]
= "f ({{*,-!}} °tov'). [(101)]
Из неравенств (102)—(104) вытекает, что vfw' ^ p,fw.
Подслучай 2.22. Из равенств (46) и (96) следует, что существует
такое jt что xi = х\ жу+1 = yf. Рассуждая далее, как в конце доказательства
леммы 42, получаем неравенство
vfw* ^ nfw.
Таким образом, во всех случаях i/,tO M/W. что и требовалось доказать.
в. Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда X есть
пространство. В этом случае мы определим некоторое свойство непрерывности норм
Определение 12. Пусть X — топологическое пространство, N —
норма в свободной группе Fx. Условимся говорить, что N согласована с
Xt если выполнено следующее условие:
С. Каков бы ни был элемент d€ Fx, ЩсГ1ху~1а) есть непрерывная
функция пары {я, у} точек х и у пространства X.
Непосредственно из леммы 39 вытекает
Лемма 44. Если f — непрерывная действительная функция в
топологическом пространстве Л, то норма Nf согласована с X.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 257
§ 3. Мудьтинормы
1. Определение 13. Пусть 91 — некоторое множество норм в
группе G. Мы говорим, что 91 — мультинорма в G, если выполнены следующие
условия:
Мр Сумма любых двух норм из 91 принадлежит 91;
Mg. NA^ € 91, каковы бы ни были норма N, принадлежащая 91, и
элемент аеи (определение символа Аа дано в § 1);
М*. Каков бы ни был элемент х из G\(1(G)), 91 содержит такую норму JV,
что rfx Ф 0.
2. Лемма 45. Если 91 — мультинорма в группе G и N е 91, то
nN б 91, каково бы ни было целое положительное п.
Эта лемма следует из МР
3. Лемма 46. Если 91 — мультинорма в группе G, то совокупность
11(91) множеств
(105) UN=£(Nx<l),
X
где N пробегает 91, удовлетворяет пяти условиям Понтрягина [8]:
(a) П U = (1(G));
(b) пересечение любых двух множеств из 11(91) содержит некоторое
множество из 11(91);
(c) для всякого U из 11(91) существует такое Ve 11(91), что VV~l с С/;
(d) каковы бы ни были U е 11(91) и элемент а из U, существует V €
€ ii(9l), для которого Va с U;
(e) если 17 €11(91) и а€ G, то существует такое множество V е 11(91),
что a~lVa€ U.
Доказательство. Так как 91 есть множество норм в G, то, в силу
условия N, и (105),
l(G}eUN (N €11(91)),
откуда
(106) (1(G)) с П U.
tfeii(9t)
Если, с другой стороны, х € G \ 0(G)), то, согласно М3, существует
элемент АГ из 11(91) такой, что Nxj^O. По лемме 1, Nx > 0. Пусть п — такое
положительное целое число, что
(107) п>£.
Согласно лемме 45, nN € 91. Так как Nx > 0, то из (107) следует, что
nNx > 1, откуда, в силу (105), х € G \ U^ и, следовательно,
xeG\ Г1 U
U €11(91)

258 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Отсюда
(108) G\(l(G))cG\ П U.
tf€U(9tj
Включения (106) и (108) вместе эквивалентны условию (а).
Согласно (105), J7» с UN для любых двух элементов Р и Jv из 91 таких,
что Р мажорирует N; а по лемме 1 любые две нормы в G мажорируемы
их суммой. Следовательно,
uN)+NtcUNinuNt (Ъ€% N2eK),
что, в силу Мр и доказывает (Ь).
Если Nе91, то, по лемме 45, 2N€91. Если, далее, х€ U2N и ye U^, то, в
силу (105), 2Nx< 1, 2Ny< 1, Nx< j, Ny< j, откуда, ввиду N2, N(xy'l)< 1
и, в силу (105), жу~! e UN. Отсюда
U2NUfN С ию
что и доказывает (с).
Пусть теперь N е 91 и aeUN. В силу (105), JVa < 1. Пусть п — такое
натуральное число, что
(109) »>Т^Ж-
На основании леммы 45, nN e 91. Если, далее, х е U^, то, в силу (105),
nNx < 1, откуда, согласно (109),
Nx < ± < 1 - Na.
п
Из леммы 3 заключаем, что
N(xa)^Nx + Na<l,
откуда xaeUN. Следовательно,
uU*»acU»>
что и доказывает (d).
Пусть, наконец, п е 91 и a€ G. Согласно М^, NAa е 91. Если х € UNAt то, в
силу (105), NAax < 1, т. е. Щаг1ха) < 1, откуда аг1ха€ UN. Следовательно,
<rxUNAaCUm
что и доказывает (е).
4. Введем теперь понятие «топологии» в дискретной группе посредством
следующего определения:
Определение 14. Топологическая группа G представляет собой
топологию в группе Я, если G совпадает с Й как группа.
Теорема 6. Если 91—мультинорма в группе G, то существует
единственная топология в G такая, что совокупность множеств
UN (N€9l),
определенных равенством (105), образует полную систему
окрестностей 1(G) в этой топологии.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 259
Это следует непосредственно из леммы 46 и теоремы 10 Понтрягина [8].
Теорема 6 показывает, что всякая мультинорма в группе G вводит
топологию в G, превращая таким образом G в топологическую группу.
Естественно дать следующее
Определение 15. Если 91 есть мультинорма в группе G, то
единственную топологию в G такую, что совокупность множеств, определенная
в лемме 46, образует полную систему окрестностей 1(G), мы называем
топологической группой, определенной посредством 91
Результат, содержащийся в теореме 6, можно кратко сформулировать так:
всякая мультинорма в группе G определяет G как некоторую
топологическую группу.
5. Теорема 7. Если G — топологическая группа, определенная
мультинормой % то всякая норма, входящая в % непрерывна в G.
Доказательство. Пусть Nе91 и е>0. Возьмем натуральное число
(ПО) п>\.
Согласно лемме 45, nN е 91. Если х е U^, то , в силу (105V nNx < 1,
откуда, согласно (ПО), Nx < е. Так как U^ есть окрестность 1(G) в G, то
это и означает, согласно лемме 12, что N непрерывна в G.
в. В связи с теоремой 6 естественно поставить вопрос, всякая ли
топологическая группа может быть определена мультинормой. Положительный
ответ на этот вопрос дает
Теорема 8. Если G — топологическая группа, то совокупность
норм, непрерывных в G, образует мультинорму, определяющую эту
топологическую группу.
Этот весьма важный факт будет доказан методом, принадлежащим Каку-
тани, который доказал существование односторонне инвариантной метрики
во всякой группе, обладающей счетной полной системой окрестностей
единицы (см. [9]; а также [10]).
Легко видеть, что построение Какутани может быть mutatis mutandis
проведено в любой топологической группе, что приводит прямо к теореме 8.
Для удобства читателя мы изложим подробно это доказательство, хотя,
строго говоря, мы могли бы его опустить. Сначала дадим лемму, в которой
содержится самая суть метода.
Лемма 47. Если U — окрестность единицы в топологической
группе G, то в G существует непрерывная норма N такая, что UNcU,
где UN определяется равенством (105).
Доказательство. Положим
и{ = ипи-1
и построим последовательность {l/J^L, окрестностей 1(G) в G следующим
образом: если окрестность U{ уже построена, то возьмем такую окрестность
V{ единичного элемента, что У{у. е Uit и полагаем Ui + l = V{ П Vrl.
Последовательность {Ц}Г«1 обладает свойствами:
(П1) Ц = Ц-\
(И2) 4+itfi+iC4,
(113)
их с и

260 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Обозначим буквой D систему двоичных дробей г таких, что 0 < г < 1, и
построим систему множеств {U(r)}r€D по следующему правилу: положим
(114) U(l) = Ut;
если уже построены множества
"(f).
где п фиксировано, a m = 1,..., 2П, то положим
ой» р(гАт) *«!«.„.
(»6) и{?§2г)-а {*)".« (m = l,...,2"-l),
определяя тем самым множества
"(г*т)
для р = 1,..., 2"+1. Система {U(r)}r€D обладает следующими свойствами:
(117) Щ1)сЦ
(118) и[^) = {и{^))~1 (п = 0,1,2,...),
(Ш)и($)и(^)си(2£±) (n-l,2,...;m = l,...,2»-l).
Действительно, (117) следует из (113) и (114), (118) из (111), (114)
и (115), а включение (119) мы сейчас докажем по индукции.
Включение имеет место для п = 1, так как при этом единственным
возможным значением т является 1 и
^(5)^(2) = ^^ ((115)1
С 01 [(112)]
= Щ1). [(114)]
Допустим, что включение (119) имеет место для п = р, где р — некоторое
натуральное число, и докажем его для п = р + 1. Если т — четное число,
т. е. т = 2k, причем 0 < 2fc < 2" = 2"+', то

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 261
если m — нечетное число, т. е. m = 2fc + l, причем 0<2fc + l <2n = 2p+1, то
и(*)и(*)ши(Ч&)и>+* [(115)1
CU(^)UP+1 [(112)]
= u{v)u{h) К115)]
с ^ ( "У" ) [предположение]
-"да
Определим теперь f/(r) для любой двоичной дроби г > 1 равенством
f/(r) = G. Тогда включение (119) будет тривиальным образом выполняться
для m ^ 2\ Следовательно, оно будет справедливо для всех п = 0,1,2,.. .;
т = 1,2,...
Так как множества U{ суть окрестности 1(G), то, согласно (114) и (115),
(120) l(G)€tf(^r),
откуда, в силу (119),
u($)cu(=$±) (n = 0,l,2,...;m = l,2,...).
Отсюда вытекает, что U(r) с U(s) для любой пары {г, з} положительных
двоичных дробей таких, что г < з.
Какова бы ни была точка х группы G, существует такая
положительная двоичная дробь г, что х е U(r); это имеет место, например, для г = 2.
Пусть f(x) будет нижней гранью совокупности таких двоичных дробей.
Функция /, заданная таким образом на 6, ограничена, и мы можем
определить действительную функцию N на G посредством равенства (9).
Докажем, что N будет искомой нормой.
В самом деле, согласно лемме 7, N есть норма в G.
Если х е G \ U, то, в силу (117), х е G \ Е/(1), откуда х е G \ U(r) для
всех reD. Следовательно, /(ж) ^ 1. С другой стороны, согласно (120),
/(1(G)) = 0. Из (9) заключаем, что
JVx > |/(l(G)x) - /(1(G))| - |/(х)| > 1.
Таким образом, Nx^l, коль скоро xeG\U. Другими словами,
G\UcG\UM,
где UN определено с помощью (105). Отсюда следует, что UNcU, и нам
остается установить только непрерывность N.

262 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Пусть е — произвольное положительное число и п — такое натуральное
число, что
(121) £<§,
а х — любая точка множества ul-^Л.
Какова бы ни была точка у группы G, для некоторого целого к
(122) *£!</(„)<£,
причем к положительно, так как fy ^ 0.
Так как система множеств U(r) — возрастающая и fy < fc2~n, то, согласно
определению числа /у, , . ч
Так как х е #4 <рг), то» в силу (118), х~! € и(^г\ Следовательно,
и,всилу(Н9), ^^ ^(^
откуда ь м 1 ь л. 1
Сравнивая эти неравенства с (121) и (122), мы видим, что
(123) /<»*)-/(УК §*,
(124) /(«arV/GrKf*
Эти неравенства справедливы для всякого y€G, коль скоро xeUy-^j.
Подставив в (124) ух вместо у, получим /(у)-/(увК j£» а это
совместно с (123) дает неравенство |/(уж)-/(у)| ^ ^г, которое опять-таки
справедливо при всяком у EG, если только хе &($*)- Отсюда,
согласно (9), 2 / / 1 \\
Так как множество £f (<рг) есть окрестность точки 1(G), заключаем,
согласно лемме 12, что норма N непрерывна.
Доказательство теоремы 8. Пусть 91 — совокупность всех
непрерывных норм в топологической группе G. Мы докажем, что 91 есть
мультинорма, определяющая G.
В самом деле, сумма двух норм в G, согласно лемме 6, есть норма в G;
сумма двух непрерывных функций в G есть непрерывная функция в G.
Поэтому сумма двух непрерывных норм в G есть непрерывная норма в G,
т. е. 91 удовлетворяет условию Mj.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
263
Если N€41 и ае G, то, согласно лемме 11, NAa есть норма в G. Эта норма
непрерывна, потому что А — топологическое отображение топологической
группы G самой на себя. Итак, 91 удовлетворяет условию Mg.
Если xe G\(1(G)), то G\(x)— открытое множество, содержащее 1(G),
т. е. некоторая окрестность 1(G). Согласно лемме 47, существует
непрерывная норма N в G такая, что UNcG\(x). Эта норма принадлежит 9t и
xe G\ C/N, откуда JVic ^ 1 и, следовательно, Nx^0, т. е. доказано, что 91
удовлетворяет условию М3.
Итак, 91 — мультинорма в G, и нам остается только доказать, что она
определяет G. Это можно сделать следующим образом.
Множества UN, где N е 91, открыты в G, так как всякая норма N из 91
непрерывна, В силу N, эти множества содержат 1(G). Следовательно,
всякое UN (NeW) есть окрестность 1(G) в G, а, согласно лемме 47, эти
окрестности образуют полную систему.
7. По теореме 8, всякая топологическая группа определяется некоторой
мультинормой. Но, воебще говоря, это может быть сделано разными
способами. Среди мультинорм, определяющих заданную топологическую
группу, существует, однако, максимальная, которая содержит все прочие муль-
тинормы, определяющие эту топологическую группу. Этой максимальной
мультинормой является совокупность всех непрерывных норм в
рассматриваемой топологической группе.
Действительно, по теореме 8, наша топологическая группа определяется
этой мультинормой, а последняя, согласно теореме 7, содержит все муль-
тинормы, определяющие заданную топологическую группу.
Итак, мы получили
Следствие 1. Среди мультинорм, определяющих заданную
топологическую группу G, существует максимальная, в которой
содержатся все определяющие мультинормы. Этой максимальной определяющей
мультинормой является совокупность непрерывных норм в G.
Сформулируем теперь
Определение 16. Максимальную определяющую мультинорму
топологической группы G будем называть абсолютной мультинормой этой
топологической группы.
Абсолютная мультинорма топологической группы G будет обозначаться
символом am(G).
Любое понятие теории топологических групп может быть
сформулировано в терминах определяющих мультинорм, в частности абсолютных
мультинорм. Здесь мы установим условия того, что гомоморфизм является
непрерывным или открытым, в терминах абсолютных мультинорм, т. е. в
терминах непрерывных норм в рассматриваемых группах. Эти условия будут
полезны для дальнейшего.
8. Теорема 9. Пусть Ф — гомоморфизм топологической группы G в
топологическую группу Н. Гомоморфизм Ф непрерывен тогда и только
тогда, когда выполнено следующее условие: РФбат(С), каково бы ни
6buoP€am(G).
Доказательство. Необходимость нашего условия вытекает из
леммы 8 и из хорошо известной теоремы, согласно которой композиция двух
непрерывных отображений есть непрерывное отображение. Докажем
достаточность условия.

264 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Пусть для всякого JV€am(G) определено UN посредством (105).
Положим аналогично
(125) VP=S(Py < 1) (Ре ат(Я)).
у
Если наше условие выполнено, то ирф существует для всякого Р е ат(Я).
Если х е ирф1 то РФх < 1, откуда Фх е Vp. Это показывает, что Фирф С Vp.
Так как ирф суть окрестности 1(G) в G и множества Vp образуют полную
систему окрестностей единицы в Я, то Ф непрерывно в точке 1(G). В силу
известной теоремы (см. [8, с. 76]), гомоморфизм Ф непрерывен всюду в и.
Теорема 10. Пусть Ф—гомоморфизм топологической группы G на
топологическую группу Я. Гомоморфизм Ф является открытым тогда
и только тогда, когда выполнено следующее условие: Р еат(Я), какова
бы ни была действительная функция Р в Я такая, что РФе am(G).
Доказательство. Г. Необходимость условия. Пусть
ф — открытый гомоморфизм G на Я, а Р — действительная функция в
Я такая, что РФ€ат(С). В силу леммы 9, Р — норма в Я. Докажем
непрерывность этой нормы.
Пусть е — произвольное положительное число, п — целое
положительное число, удовлетворяющее неравенству (ПО). Так как РФеam(G), то в
силу леммы 45, пРФе am(G). пользуясь прежним обозначением,
рассмотрим множество Е/ирф. Это множество является окрестностью 1(G) в G, и
так как Ф — открытый гомоморфизм G на Я, то образ ФС^ф этого
множества служит окрестностью 1(Я) в Я. Если у е ФС^фг то существует такая
точка х е {/„рф, что у = Фж. Из определения С^ следует пРФх < 1, т. е.
Ру < тр откуда, в силу (ПО), Ру < е. Последнее неравенство соблюдается
в каждой точке у е ФС^рф. Так как множество ФС^рф является
окрестностью 1(Я) в Я, то, по лемме 12, норма Р непрерывна.
Это доказывает необходимость нашего условия.
2°. Достаточность условия. Предположим, что Ф
удовлетворяет нашему условию; пусть U — какая-нибудь окрестность 1(G) в G.
Так как мультинорма am(G) определяет G, то существует такая норма
N е am(G), что VNcU, где UN определено равенством (105). Определим
тогда действительную функцию Р на Я равенством (11).
По лемме 10, Р — норма в Я. Отсюда, в силу леммы 8, вытекает, что
РФ — норма в G. По лемме 10, эта норма мажорируется нормой N. Из
леммы 13 заключаем, что РФ е am(G), откуда, в силу нашего условия,
Реат(Я).
Рассмотрим множество Vp, определяемое равенством (125). Так как
Р еат(Я), это множество служит окрестностью 1(Я) в Я. Если у е Vp,
то Ру < 1. Отсюда, в силу (11), следует существование такой точки х е G,
что у = Фж и Nx < 1. В силу (105), х е UN и х е U> вследствие того, что
UN С U. Так как у « Фж, то у € Фи, откуда Vp С Фи.
Итак, для всякой окрестности U точки 1(G) в G существует такая
окрестность V точки 1(Я) в Я, что V еФи. В силу известной теоремы (см. [8,
с. 76])8), Ф есть открытый гомоморфизм.
*) Различие между определениями открытого отображения, принятыми Понтрягиным и нами
(см. сноску 4 на с. 230), в данном случае на результат не влияет.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 265
§ 4. Доказательство теорем существования и единственности
1. Лемма 48. Пусть {яЛ"в» — система п различных точек вполне
регулярного пространства X, {£,}".! —система действительных
чисел. Существует непрерывная действительная функция f наХ такая,
что/х{ = £{ (i = l,...,n).
Доказательство. Множество (х{ )?e i \ (xj) замкнуто вХине
содержит точку Xj. Так как пространство X вполне регулярно, существует
система {f3}%\ непрерывных функций fj в X таких,что
_ Г 0 при гфу,
I 1 при z=j.
Тогда непрерывная функция
обладает требуемым свойством. 'в
2. Доказательство теоремы 1. Пусть X—вполне
регулярное пространство. Прежде всего строим свободную группу F со свободным
базисом л. Пока будем рассматривать F как дискретную группу, и нашей
целью будет ввести в F такую топологию, чтобы полученная
топологическая группа обладала свойствами F. (г = 1,2,3).
Для этого возьмем совокупность 91 всех норм в F, согласованных с X.
Докажем, что 91 есть мультинорма в F.
Действительно, 91 удовлетворяет условию Mlf так как сумма двух
согласованных норм является, очевидно, согласованной нормой.
Пусть N — норма в F, согласованная с Х% а — элемент F. Для Ь eF,
ж ел, уеХ имеем
(NAa)(b-lxy-lb) = N(Aa(b-*xy-*b))
= Щ(Ъа)-1ху-1(Ъа)).
Так как N согласована с А", то отсюда следует, что NAa также согласована
с X. Итак, 91 удовлетворяет условию Мз.
Пусть теперь z — произвольный элемент из F\ 1(F). Существует
слово w в X такое, что z = aw. Положим w = {{ж$., е{}}{зя{. Так как z Ф 1(F),
то т>0. Система {жЛ~ш. может содержать повторения, т. е. xi может
совпадать с жу при г Ф]. Образуем новую систему {yj?el, состоящую из
тех же точек х.9 но уже без повторений (при этом п^т, у^фук при
j фк). Согласно лемме 48, существует такая действительная непрерывная
функция / в X, что /у, =У (,7 = 1,..., п). Для этой функции /, очевидно,
fifw=l (см. с. 253). Так как aw — гф 1(F), применима лемма42, согласно
которой ufw ^ fijW. Отсюда, согласно (85), Nfz = Nfaw = i/fw ^ \ifw = 1.
Следовательно, к^фО. С другой стороны, так как функция / непрерывна,
то, по лемме 44, Nf e 91. Это доказывает, что 91 удовлетворяет условию М3.
Итак, 91 есть мультинорма в F и, по теореме 6, определяет некоторую
топологию в F. С этого момента мы будем считать F топологической группой
с топологией, заданной посредством 91. Докажем, что F обладает
свойствами Fp F» и F3.
Пусть и—какое-нибудь открытое множество в F, а — произвольная
точка множества UГ)Х. Так как U есть окрестность точки а в F, Ua~l есть

266 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
окрестность 1(F) в F. Множества UN, где Ne% образуют в F полную
систему окрестностей единицы, поэтому существует такая норма N е % что
(126) иис1Лг1.
С другой стороны,
UMa = e(xBTleUN)
= £(Щха->)<1), [(105)]
X
(127) UNanX=£(N(xa-l)<l)C\X.
X
Так как N е% то N согласована с X и N(xarl), рассматриваемая как
функция х, непрерывна в X. Из (127) заключаем, что UNaT\X есть открытое
множество в л, и так как ае UNaf\Xt то UNaC\X есть окрестность точки
а в X.
Так как, согласно (126), UNaf)X с UnX, то всякая точка
множества U ПХ обладает в X окрестностью, содержащейся целиком в UnX.
Другими словами, множество UnX открыто в X.
Мы доказали, таким образом, что пересечение X со всяким открытым
в F множеством есть множество, открытое вХ.
Теперь покажем, что всякое множество, открытое в X, может быть
представлено как пересечение такого рода.
В самом деле, пусть V — какое угодно открытое множество в
пространстве X. Обозначим буквой % совокупность множеств Г, открытых в F и
таких, что ТпХ cv. Мы покажем, что всякая точка из V принадлежит
какому-нибудь элементу множества Т.
Рассмотрим для этого произвольную точку а € V. Так как, по
предположению, пространство X вполне регулярно, то существует непрерывная
действительная функция / в X такая, что
(128) /а = 0,
(129) fx = 1 для всех х е X \ V.
Согласно лемме 44, норма Nf согласована с X. Положим, для краткости,
N = NfH рассмотрим множество UN. Согласно построению топологической
группы F, это множество служит окрестностью 1(F) в F. Следовательно,
и^а — окрестность точки а в F, т. е. открытое множество, содержащее а.
Если х е UNaC\X, то хат1 е UNt откуда, в силу (105),
Nf(xa~l) = N(xa-l)<l.
Так как ае X и х е X, то, по лемме 39, \fx - fa\ < 1. Следовательно, в
силу (128) и (129), х е V. Таким образом, UNaf\X с V, а так как множество
UNa открыто в F, то UNa€%. Так как, с другой стороны, a€UNa, мы видим,
что всякая точка множества V входит в какой-нибудь элемент множества
Z. Это можно записать в виде включения
(130) УсЦ

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 267
где U — сумма всех элементов множества X. С другой стороны, V содержит
пересечения X с этими элементами, т. е.
(131) UnXcV
Так как V сХ, то из (130) и (131) следует равенство V = Uf)X. Здесь U —
су^мма множеств, открытых в пространстве F, следовательно, множество,
открытое в F. Отсюда мы заключаем, что всякое открытое в X множество
представляется как пересечение множества X с множеством, открытым в
F. Так как всякое такое пересечение, как мы видели, есть открытое
множество в X, то X есть подпространство пространства F. Таким образом, F
обладает свойством F^
Наличие свойства г2 следует непосредственно из построения F, так
как X алгебраически порождает F. Остается доказать, что F обладает
свойством F3.
Для этого рассмотрим непрерывное отображение (р пространства X в
топологическую группу G. Так как F есть свободная группа со свободным
базисом X, то существует гомоморфизм Ф группы F в G,
удовлетворяющий (2) во всякой точке х€Х. Покажем, что такой гомоморфизм
непрерывен.
Действительно, пусть Р — непрерывная норма в С?. По лемме 8, РФ есть
норма в F. Если ае F, то, какова бы ни была пара {х, у} точек
пространства X,
Ф(аг1ху-1а) = (Фа)~,(Фж)(Фу)~1(Фа)
= (Фа)-Ч^)(^)-ЧФа). [(2)]
Отсюда, ввиду непрерывности отображения tp и групповых операций в G,
следует, что Ф(а~1ху~1а) зависит непрерывно от пары {ж, у}. Далее, так как
норма Р непрерывна в G, то РФ(а~1 ху~1 а) есть непрерывная функция этой
пары. А это доказывает, что норма РФ согласована с X, т. е. что РФе 91.
Отсюда, но теореме 7, вытекает непрерывность нормы РФ в Р. Мы
доказали, что РФбат(Р), какова-бы ни была норма Р eam(G). Согласно
теореме 9, отсюда следует непрерывность гомоморфизма Ф.
3. Доказательство теоремы 2 будет основано на следующей лемме:
Лемма 49. Пусть X — подмножество топологической группы G,
Ф — непрерывный эндоморфизм группы G, переводящий самое в себя
каждую точку множества X. Если X топологически порождает G,
то Ф есть тождественное отображение.
Доказательство. Пусть Я есть совокупность неподвижных точек
отображения Ф, т. е.
Я = £(Фх = ж).
Я есть подгруппа G, так как Ф есть эндоморфизм. Далее, отображение
Ф непрерывно, поэтому Я замкнуто в G; по предположению, X с Я. Так
как Л топологически порождает G, то Я = G.
4. Доказательство теоремы 2. Пусть F и G—две
топологические группы со свойствами F,, R и F3. Мы должны доказать существование
топологического изоморфизма Ф топологической группы F на
топологическую группу G, удовлетворяющего условию (4) для всех хеХ.
Так как тождественное отображение пространства X непрерывно, то, в
силу свойства F, топологической группы G, оно будет непрерывным
отображением пространства X в G. В силу свойства F3 топологической группы Р,

268 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
отсюда следует, что существует непрерывный гомоморфизм Ф
топологической группы F в G, удовлетворяющий (4) при всяком хеХ. Аналогично,
существует непрерывный гомоморфизм Ф топологической группы G в F,
для которого Фж = х при всяком х е X.
Композиция гомоморфизмов ФФ представляет собой непрерывный
эндоморфизм топологической группы F, переводящий самое в себя каждую точ-
S множества X. В силу свойства F2 топологической группы F и леммы
, ФФ есть тождественный изоморфизм F. Аналогично, ФФ есть
тождественный изоморфизм топологической группы G.
Отсюда ФФС = G и тем более Ф^ = G. Подобным же образом, Ф(3 = F.
Если xeF, yeF и Фж=Фу, то ж=ФФж=ФФу = у. Следовательно,
отображение Ф взаимно однозначно. Точно так же и Ф есть взаимно однозначное
отображение.
Итак, гомоморфизмы Ф и Ф суть взаимно обратные изоморфизмы,
соответственно, F на G и G на F. Оба эти гомоморфизма непрерывны;
следовательно, это — топологические изоморфизмы, и, так как Фх = х для всех
х € Ху наша теорема полностью доказана.
5. Теоремы 1 и 2 оправдывают введенное выше определение свободной
топологической группы вполне регулярного пространства (см. определение 2).
Теорема 3 прямо вытекает из построения, проведенного в доказательстве
теоремы 1.
§ 5. Доказательство теоремы замкнутости
и решение проблемы нормальности
1. Доказательство теоремы 4. Пусть F — свободная
топологическая группа вполне регулярного пространства X. Докажем, что X
замкнуто в F.
Не ограничивая общности, мм вправе предположить, что F есть
топологическая группа, построенная в доказательстве теоремы 1.
Пусть z — какая угодно точка множества F\X. Будем различать два
случая: zФ 1(F) и: = 1(F).
В первом случае выбираем слово w и непрерывную функцию /, как в
доказательстве теоремы 1 (с. 265). Имеем fifw = 1. Так как aw-гф 1(F)
и aw = z€F\X, применима лемма 43, согласно которой неравенство (94]
имеет место, какова бы ни была точка х е X. Следовательно, для любой
такой точки х
Nf(z~lx) = Nf(x~lz) [леммы 2 и 35]
= Nf((a{{x,-l}})(aw) [(80)]
= "f({{x,-l}}ow) [(82) и (85)]
^М,ш=1. [(94)]
Таким образом, NJz^xx) ^ 1, откуда z~lx eF\UN, где N = Nf.
Следовательно, х е F \ zUN, какова бы ни была точка х е X, т. е.
(132) Xf)zUN = A.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 269
Во втором случае определим на X функцию /, положив fx = 1 (х е X).
Эта функция непрерывна и, согласно лемме 38, Nfx — l для любого хеХ.
Так как теперь z = 1(Р), то мы снова получаем Nf(z~xx) ^ 1 (ж е X) и
приходим к равенству (132) при N = Nf.
Итак, в обоих случаях на X существует непрерывная функция /, для
которой имеет место (132), где N = Nf.
Согласно лемме 44, норма N согласована с X, и поэтому N е % где
91 — мультинорма в F, введенная при доказательстве теоремы 1. Так как
эта мультинорма определяет F как топологическую группу, то UN есть
окрестность единицы в F; следовательно, zUN — окрестность точки z в F.
Итак, мы доказали, что всякая точка z множества F\Х обладает
окрестностью, целиком лежащей в F\X. Другими словами, F\X есть открытое
множество в Ft поэтому X замкнуто в F.
2. Только что доказанная теорема 4 дает решение проблемы
нормальности. А именно, имеет место
Следствие 2. Свободная топологическая группа вполне
регулярного, но не нормального пространства не является нормальным
пространством.
В самом деле, так как всякое замкнутое подмножество нормального
пространства само является нормальным пространством9*, то это следствие
вытекает из теоремы 4 в силу свойства ¥х свободной топологической группы
пространства.
Далее, имеем
Следствие 3. Существуют топологические группы не
являющиеся нормальными.
В силу следствия 2 это вытекает из существования вполне регулярных,
но не нормальных пространств [2].
Следствие 3 будет в дальнейшем значительно усилено (см. следствие 7).
§ 6. Аналог теоремы Дика
1. Выше мы дали определение свободной топологической группы. Здесь
мы докажем аналог теоремы Дика, а именно теорему 5.
Доказательство теоремы 5. Пусть G — какая-нибудь
топологическая группа. Она является вполне регулярным топологическим
пространством, и мы можем образовать свободную топологическую группу F этого
пространства. В силу свойства Ft группы F, G является подпространством
F и тождественное отображение этого подпространства может быть
продолжено до некоторого непрерывного гомоморфизма Ф топологической группы
F в G. Этот гомоморфизм при всяком х е G удовлетворяет равенству (4),
откуда следует, что Ф& = G и тем более ФР = G. Итак,*Ф — непрерывный
гомоморфизм F на G. Докажем, что это открытый гомоморфизм.
В самом деле, пусть Р —действительная функция на группе G такая, что
РФ € am(F). По лемме 9, Р — норма в G. В силу (4), Рх = РФх для любой
точки х € С?, и так как функция РФ непрерывна в F, то Р непрерывна в
9) См. сноску 3) на с. 230.

270
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
подпространстве G пространства F. Итак, P€am(G), если РФеат(^), а
это, в силу теоремы 10, означает, что Ф — открытый гомоморфизм.
Мы доказали существование открытого непрерывного гомоморфизма F
на G. Отсюда, в силу известной теоремы (см. [8, теорема 12]), следует,
что G топологически изоморфна некоторой топологической факторгруппе
топологической группы F. Но топологическая группа F — свободная; таким
образом, наша теорема доказана.
§ 7. Топологические группы, определяемые системой соотношений
1. Определение 17. Всякое подмножество множества Lx будем
называть схемой соотношений в X.
Определение 18. Пусть X — некоторое вполне регулярное
пространство, R —схема соотношений в X, <р — непрерывное отображение
пространства X в некоторую топологическую группу G. Мы говорим, что
пара {у?, G} есть осуществление схемы соотношений R, если выполнены
следующие два условия:
RP <pX топологически порождает G;
*2- П q (<РхгУ* = 4G), коль скоро {{х„ е{}}?ш1 € R.
2. Теорема 11. ПустьR — схема соотношений во вполне
регулярном пространстве X, {у>, G} —некоторое осуществление R. Если х —
непрерывный гомоморфизм G на всюду плотную подгруппу
топологической группы Я, то {х<А Я} есть также осуществление R.
Доказательство. Так как у? — непрерывное отображение
пространства X в G, а х —непрерывное отображение G в Я, то ХЧ> — непрерывное
отображение ХвЯ.В силу условия R, для {у>, G}, tpX топологически
порождает G, т. е. (рХ порождает в G некоторую всюду плотную подгруппу К
(см. Введение, п. 4). Так как х есть гомоморфизм, то хч>Х порождает х&>
причем хК всюду плотно в xG, потому что х непрерывно. Но, по
предположению, х@ всюду плотно в Я. Следовательно, х& всюду плотно в Я,
т. е. хч>Х топологически порождает Я. Таким образом, для {ху>, Я}
выполняется условие RP
Если {{ж0 ej}jl 1 € Л, то, в силу условия Rg для {у>, G},
ПС(^Г'= !(<?)>
» = i
ОТКуда m m
Это означает, что для {ху>, Я} соблюдается условие R2.
3. Теорема 11 подсказывает следующее
Определение 19. Пусть {у>, G} и {ф,Н\ — осуществления
некоторой схемы соотношений. Будем говорить, что {у>, G) индуцирует
{ф> Н} ({у>, G} эквивалентно {фу Я}), если существует непрерывный
гомоморфизм (соответственно, топологический изоморфизм) х
топологической группы G на некоторую всюду плотную в Я подгруппу
(соответственно, на Я) такой, что *ф = xv>.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
271
4. Рассмотрим совокупность всевозможных осуществлений
фиксированной схемы соотношении R. Мы покажем, что в этой совокупности
содержится осуществление, индуцирующее любое другое осуществление R. С
точностью до эквивалентности такое осуществление определяется
однозначно. Для упрощения формулировки этих результатов введем
Определение 20. {u>, G} есть первообразное осуществление
схемы соотношений Д, если {^, и} есть осуществление R, индуцирующее
любое другое ее осуществление.
Нами будет доказана
Лемма 50. Пусть R --схема соотношений во вполне регулярном
пространстве X; F —свободная топологическая группа пространства
X; Н --наименьший замкнутый нормальный делитель F, содержащий
aR, где а — свободное отображение надХ; Ф — естественный
гомоморфизм группы F на F/H. Определим отображение <р пространства X
в F/H посредством равенства (2). Тогда {<р, F/H} есть первообразное
осуществление R.
Доказательство. Положим для сокращения G = F/H. В силу (2),
имеет место равенство (рХ —ФХ, и так как X порождает F алгебраически
(см. теорему 3), то ФХ алгебраически порождает группу Ф-F = G. Итак, у>Х
алгебраически порождает G; тем более, (рХ порождает G топологически.
Таким образом, {у>, G\ удовлетворяет условию Кх.
Далее, если {{ж0 е,}}~ш1 Е Д, то, в силу (78),
т
П 3* € aR,
<-i
откуда
п *;•€#,
» = i
и так как ФН = (1(G)), то
(1зз) фп *;< = !(<?).
» = i
Здесь х{ —точки X, а Ф — гомоморфизм Ft совпадающий с у? на X.
Поэтому из (133) получаем
т t
t = l
т. е. {(ру G} удовлетворяет условию R2.
Таким образом, {у>, G} есть осуществление R.
Пусть теперь {ф9К}— произвольное осуществление R. Покажем, что
{(р, G} индуцирует {ф, К}.
В самом деле, так как ф — непрерывное отображение X в К, в силу
свойства F3 для F существует непрерывный гомоморфизм Ф топологической
группы F в К такой, что во всякой точке х е X
(134) Фж = ^з-

272 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Если z€aR, то существует слово u€R, удовлетворяющее (84). Это
слово имеет вид {{xit £<}}"-1. где х{ € X, е{ = ±1, и так как и € л, то
Ф* =Фсш [(84)]
= Фа{{*„еЛ}Г-,
= ФП*^< [(78)]
» = 1
= йк(Ф*<У' [(134)]
= 1(АГ). [^дая {^*}]
Таким образом, Фя = 1(10» каков бы ни был zeaR. Другими словами,
(135) ФаДс(1(!0).
С другой стороны, ядро J непрерывного гомоморфизма Ф есть
замкнутый нормальный делитель топологической группы F. Включение (135)
показывает, что aR с J, и так как Я — наименьший замкнутый
нормальный делитель топологической группы F, содержащий aR, то Я С«/, т. е.
ФЯ = (ЦК)). Следовательно, для любого z e F
9(zH) = Vz(l(K)) = (9z).
Множества zHt т. е. смежные классы относительно Я, суть точки
факторгруппы F/H. Образ всякого такого смежного класса при гомоморфизме Ф
есть, как мы видели, одноточечное подмножество в К. Поэтому
отображение х группы G в К можно определить посредством равенства
(136) Х(*#) = Ф*.
Это отображение является гомоморфизмом, так как, в силу (136),
X((zH)(tH)) = x(ztH) = *(*t) = (Ф*)(Ф*) = (x(zH))(x(tH)).
Согласно (134), фХ =ФХ с Ф^, и так как фХ топологически
порождает К (в силу условия R, для {ф> К}), то группа Ф-F всюду плотна в К.
Далее, на основании (13о), х^ =Ф.г. Следовательно, х есть отображение
G на всюду плотную подгрэгппу К.
Так как Ф — естественный гомоморфизм F на G, то для всякого z€F
•хФг = х(*Н) — **•
При я е X, в силу (2) и (134), отсюда получаем \\рг = фг. Следовательно,
(137) ХФ = *
и х*Р = Ф* Остается доказать непрерывность %• Для этого рассмотрим
произвольное множество V, открытое в К. Так как Ф — непрерывный
гомоморфизм F в К, то Ф~! V является открытым множеством в F. Согласно (137),
ф-iy = ф-1у-1у\

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
273
С другой стороны, естественный гомоморфизм Ф группы F на G будет
открытым отображением (см. [8, теорема 11]). Следовательно, множество
фф-1х-1у
открыто в G. Но Ф — отображение F на G, следовательно,
Таким образом, х-1^ открыто в G, коль скоро V открыто в К. Это и
означает, что х непрерывно.
Из леммы 50 непосредственно вытекает
Теорема 12. Всякая схема соотношений во вполне регулярном
пространстве имеет первообразное осуществление.
Докажем теперь единственность первообразного осуществления.
Теорема 13. Первообразное осуществление схемы соотношений
во вполне регулярном пространстве единственно с точностью до
эквивалентности.
Доказательство. Пусть {у>, G} и {ф,Я} — первообразные
осуществления схемы соотношений R во вполне регулярном пространстве X.
Докажем, что {<р, G} и {ф, Я} эквивалентны.
Действительно, так как осуществление {у>, G] первообразно, то оно
индуцирует {фу Я}, т. е. существует такой непрерывный гомоморфизм х
группы и на всюду плотную подгруппу в Я, что ф = х^- Аналогично,
существует такой непрерывный гомоморфизм 9 группы Я на всюду плотную
подгруппу в G, что <р**0ф. Из этих равенств следует: 0хч> = Ч>> т- е- 0Х<Рх = 4>х>
каков бы ни был х € X. Другими словами, 6\z — z дня всякого z e (рХ.
Здесь 0у — непрерывный эндоморфизм группы G. Так как, в силу условия
Rx для {V, G], фк топологически порождает G, то, согласно лемме 49, 9\
есть тождественное отображение G. Подобным же образом \0 есть
тождественное отображение Я. Следовательно, х и 0 представляют собою
взаимно обратные изоморфизмы групп G и Я. Так как оба эти гомоморфизма
непрерывны, то х есть топологический изоморфизм группы G на Я и, в
силу того, что ^ =ХУ>1 {v>> G} эквивалентно {^, Я}.
5. Один частный случай осуществления заслуживает нашего особого
внимания. Мы охарактеризуем этот случай, формулируя
Определение 21. Пусть {<р> G} — осуществления схемы
соотношений R во вполне регулярном пространстве X. Будем говорить, что {у>, G}
есть строгое осуществление R, если <рХ порождает G алгебраически.
Введем также соответствующее определение «строгой индукции»,
формулируя
Определение 22. Пусть {у>, G} и {ф,Я} — осуществление
некоторой схемы соотношений. Будем говорить, что {V, G} строго
индуцирует {ф} Я}, если существует непрерывный гомоморфизм х топологической
группы и на Я такой, что ф « х^.
Прежде всего, имеет место
Теорема 14. Пусть {<р> G} — строгое осуществление схемы
соотношений R §о вполне регулярном пространстве. Если х —непрерывный
гомоморфизм G на топологическую группу Я, то {х<А Я} есть строгое
осуществление R.

274
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 11 и может
быть опущено.
Для упрощения формулировки наших дальнейших результатов,
касающихся строгого осуществления, введем на время понятие «строго
первообразного осуществления».
Определение 23. {^, G} есть строго первообразное
осуществление Л, если {<р, G} есть строгое осуществление Л, строго индуцирующее
всякое другое строгое осуществление Л.
Мы имеем следующие результаты:
Теорема 15. Первообразное осуществление схемы соотношений
во вполне регулярном пространстве строго первообразно.
Теорема 16. Строго первообразное осуществление схемы
соотношений во вполне регулярном пространстве единственно с точностью
до эквивалентности.
Из этих теорем видно, что понятие строго первообразного осуществления
по существу совпадает с понятием первообразного осуществления.
Для доказательства теоремы 15 заметим, что первообразное
осуществление {у>, F/H] схемы Л, построенное в лемме 50, является строгим, что
вытекает из самого доказательства этой леммы. Рассуждая, как в
соответствующем месте этого доказательства, можно показать, что {у>, F/H}
строго индуцирует всякое строгое осуществление R. Таким образом, {^, F/H}
является строго первообразным осуществлением Л, и так как всякое
первообразное осуществление Л, согласно теореме 13, эквивалентно {frF/H},
то всякое первообразное осуществление Л строго первообразно.
Доказательство теоремы 16 подобно доказательству теоремы 13 и может
быть опущено.
6. Так как первообразное осуществление схемы соотношений во вполне
регулярном пространстве единственно с точностью до эквивалентности, то
соответствующая топологическая группа единственна с точностью до
топологического гомоморфизма. Этот результат можно сформулировать
следующим образом.
Определение 24. Пусть Л — некоторая схема соотношений во
вполне регулярном пространстве. Условимся говорить, что Л
определяет топологическую группу G, если существует такое отображение tp, что
{^, G} есть первообразное осуществление Л.
Следствие 4. Всякая схема соотношений во вполне регулярном
пространстве определяет некоторую топологическую группу.
Следствие 5. Топологическая группа, определяемая схемой
соотношений во вполне регулярном пространстве, единственна с
точностью до топологического изоморфизма.
Следствие 4 вытекает из теоремы 12, следствие 5 — из теоремы 13.
7. Установим некоторые простые результаты, касающиеся
топологических групп, определенных схемами соотношений.
Теорема 17. Всякая топологическая группа может быть
определена схемой соотношений в некотором вполне регулярном
пространстве.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
275
Доказательство. Пусть G — произвольная топологическая
группа. По теореме 5, G топологически изоморфна топологической
факторгруппе некоторой свободной топологической группы. Пусть G топологически
изоморфна F/H, где F — свободная топологическая группа вполне
регулярного пространства X, Я — некоторый замкнутый нормальный делитель
топологической группы F. Положим R = а~!#, где а —свободное
отображение над X. Тогда aR = Н и Я есть наименьший замкнутый нормальный
делитель в F, содержащий aR. Пусть Ф — естественный гомоморфизм F
на F/H; определим отображение <р пространства X в F/H посредством
равенства (2). Из леммы 50 следует, что {tp, F/H} является первообразным
осуществлением R. Следовательно, R определяет топологическую группу
F/H, и так как G топологически изоморфна F/H, то R определяет и G.
Теорема 18. Пустая схема соотношений во вполне регулярном
пространстве X определяет свободную топологическую группу этого
пространства.
Доказательство. Положим в лемме 50 R = Л. Тогда aR = Л,
H = (l(FY) и факторгруппа F/H топологически изоморфна F. С другой
стороны, up, F/H} есть первообразное осуществление Rt т. е. Л.
Следовательно, F/H есть топологическая группа, определяемая посредством Л, а
так как F/H топологически изоморфна F, то Л определяет F.
§ 8. Свободные абелевы топологические группы
1. Установим теперь аналог теоремы 1 для абелевых топологических
групп.
Пусть X — произвольное множество, a i^* — свободная абелева группа
со свободным базисом X. Всякий элемент z e F£ однозначно
представляется в виде
(138) П *А(в)>
хех
где А —целочисленная функция в X такая, что А(ж) = 0 почти для всех
х е Х10). Функция А зависит от z и будет обозйачаться Аж. Очевидно,
(139) \gt-iX = \gx — А,ж,
(140) A1(ins = 0,
каковы бы ни были элемент х е X и элементы z€F£, t eF£.
Пусть / — произвольная действительная функция в X. Определим в F£
функцию Nf равенством
(141) N;z = \z(K*)f*\ (*eF*),
где сумма в правой части имеет смысл, так как, каков бы ни был z, \xx = 0
почти для всех х.
10) То есть для всех х € X за исключением, может быть, конечного числа.

276
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Лемма 51. Функция Щ в группе i*£, определенная
равенством (141), есть норма в 1*£.
Доказательство. В силу (140), N} удовлетворяет условию N,.
Далее, NJ удовлетворяет условию N2, потому что
^/(^-1)=|е(аж«-.«)/^| [(141)]
= \Z(\,x-\tx)fx\ [(139)]
<|£(А,*)/*| + |Е(А«*)Н
1zGX
хеХ
= Njz + N;t [(141)]
Лемма 52. Если f — действительная функция в X, то Щх = \fx\
для всех хеХ.
В самом деле,
042) А*У={о
при у = ж,
при увХ\(х),
откуда, согласно (141),
#/* = \E(Ky)fy \ = \И
Лемма 53. Если / — действительная функция на X, то
#/(*у-!) = 1/*-Л/1
для всякой пары {х, у} элементов из X.
Доказательство. Для случая ж = у это следует из условия Nx.
Предположим, что хфу. Тогда
{1 при t = ж,
-1 при * = у,
О при teX\(x,y),
откуда, в силу (141),
Щ*1Г1) = £(A„-it)/t =|/*-/у|.
2. Рассмотрим случай, когда X — топологическое пространство. Для
этого случая нам понадобится некоторое свойство непрерывности норм в F£.
Определение 25. Пусть X — топологическое пространство, N —
норма в F£. Будем говорить, что N согласована с X, если N(xy~1) —
непрерывная функция пары точек {х,у} пространства X.
Имеет место
Лемма 54. Если f — действительная непрерывная функция в X,
то N} согласована с X.
Это прямо следует из предыдущей леммы.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
277
3. Теорема 19. Если X —вполне регулярное пространство, то
существует абелева топологическая группа F\ обладающая свойст-
FaP X есть подпространство F*;
Fa2. X топологически порождает F*\
Fa3. Каково бы ни было непрерывное отображение ip пространства
X в любую абелеву топологическую группу G, существует
непрерывный гомоморфизмФ группы F* в и такой, что во всякой точке хеХ
выполняется равенство (2).
Доказательство. Введем топологию в дискретную группу F£ таким
образом, чтобы получившаяся топологическая группа обладала свойствами
FM** = 1,2,3).
Рассмотрим для этого совокупность 91 норм в 1*£, согласованных с X, и
докажем, что 91 является мультинормой в К?.
В самом деле, 91 удовлетворяет условию Mlt так как сумма двух
согласованных норм есть, очевидно, согласованная норма.
Так как группа F£ абелева, то 91 удовлетворяет условию Mg.
Пусть теперь z — какой-либо элемент из Q \ (Ц-^Зг))* По определению
функции \х, существует точка x€Xt для которой \zx^0. Оббзначим
через А совокупность таких точек, и пусть а — одна из них. Множество
А конечно, и, согласно лемме 48, существует действительная непрерывная
функция / в X такая, что
(143) /а=1,
(144) /ж = 0 при хеА\(а).
В силу (141)
N*z =
Z(\,x)fx
хеХ
Е(А.*)/*
х£А
= |А,а|^0.
Согласно лемме 54, Nj € 91. Так как z — произвольный элемент
множества Fx \(1(-F£)), т0 тем самым доказано, что 91 удовлетворяет условию М3.
Итак, 91 является мультинормой в ^* и, согласно теореме 6, определяет
в F£ некоторую топологию. С этого момента мы припишем группе F* эту
топологию и будем считать F* топологической группой. Покажем, что F*
обладает свойствами Fa< (i = 1,2,3).
Свойство Fa, проверяется рассуждением, вполне аналогичным
соответствующей части доказательства теоремы 1. Свойством Fa, группа F* обладает
по самому построению. Остается проверить свойство Ра3.
Рассмотрим какое-нибудь непрерывное отображение ip пространства X в
произвольную абелеву топологическую группу G. Так как F* — свободная
абелева группа со свободным базисом Х% то существует гомоморфизм Ф
3>уппы F* в G, удовлетворяющий условию (2) во всякой точке х е X.
окажем, что этот гомоморфизм непрерывен.
В самом деле, пусть Р — какая-либо непрерывная норма в G. В силу
леммы 8, РФ является нормой в F*.
Для любой пары точек {я, у} пространства X
Ф(ху-1) = (Фх)(Фу)-1
= (¥>*)(W)-1. [<2)1

278
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Так как отображение ч? и групповая операция в G непрерывны, то отсюда
следует, что Ф(ху"1) есть непрерывная функция пары {ж, у}. Далее, так как
норма Р непрерывна в G, то РФ(ху~1) зависит от Yx, у} тоже непрерывна
Таким образом, норма РФ согласована с I, т. е. РФе 91.
Отсюда, согласно теореме 7, вытекает непрерывность нормы РФ в F*.
Итак, РФбат(Р*), коль скоро Р eam(G). В силу теоремы 9, гомоморфизм
Ф непрерывен.
4. Теперь мы можем развить теорию свободных абелевых топологических
групп, подобную теории общих свободных топологических групп,
построенной в § 4-6. Прежде всего, мы имеем теорему единственности:
Теорема 20. Если X — вполне регулярное пространство, то абе-
лева топологическая группа со свойствами Fa{ (t — l, 2,3) единственна
с точностью до топологического изоморфизма, переводящего самих в
себя все точки пространства X.
Доказательство может быть опущено, так как оно вполне аналогично
доказательству теоремы 2.
Теоремы 19 и 20 позволяют формулировать следующее
Определение 26. Единственная абелева топологическая группа,
обладающая свойствами Fa. (г = 1,2,3), называется свободной абелевой
топологической группой пространства X.
5. Следующая теорема соответствует теореме 3.
Теорема 21. Всякое вполне регулярное пространство X образует
свободный абелев базис своей свободной абелевой топологической
группы, т. е. всякий элемент этой топологической группы единственным
образом представляется в виде (138), где А —целочисленная функция
в X, равная нулю почти для всех значений аргумента.
Это непосредственно вытекает из построения, проведенного в
доказательстве теоремы 19.
6. Теореме 4 соответствует
Теорема 22. Всякое вполне регулярное пространство замкнуто
в своей свободной абелевой топологической группе.
Доказательство. Пусть F* — свободная абелева топологическая
группа вполне регулярного пространства X. Докажем, что X замкнуто
вР*.
Не ограничивая общности, мы вправе считать, что Р* является как раз
той топологической группой, которая строится в доказательстве теоремы 19.
Пусть z — произвольная точка множества F*\X. Будем различать два
случая:
(145) EW1,
*еХ
И
(146) £ \жх = 1.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
279
В первом случае воспользуемся функцией /, определенной равенством
fx = 1 (хе X). Для любого у е X
(147)
Положим
Щ(ху~
N
')-
=
хеХ
г|
£(А,я-А,х)
х€Х ■
-|£А.*-1
•
1
IE Ажх-1
4 7
)
[(141)]
[(139)]
[(142)]
что законно в силу (145). Согласно леммам 51 и 5, N} и N будут нормами
bF.B силу леммы 54, норма NJ согласована с X, а потому согласована с
X и норма N. На основании (И7), какова бы ни была точка у 6 X,
(148)
Щгу~1)>1
Рассмотрим теперь второй случай, характеризуемый равенством (146).
В этом случае в X существует такая точка а,, что
(149)
Если положить
(150)
\хахф0.
А=£(\яхф%
то А конечно и ахеА.
Если бы множество А \(ах) было пустым, то мы имели бы
\,х = 0 (хеХ\(ах)),
откуда, в силу (146), А,^ = 1. Тогда из определения функции А,
следовало бы z = ax, что невозможно, так как, по предположению, z e F* \ X.
Следовательно, А\(ах)фА, и существует такая точка с^, что а^ ф ах и
(151)
А^О.
Так как пространство X вполне регулярно, то оно является хаусдорфовьш
пространством. Поэтому существуют такие открытые в X множества Wx
и W2, что
(152)
(153)
Положим
(154)
о,€^ (» = 1,2),
V, = W<\ (A \ («„(%)) (.--1,2).

280
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Так как А конечно, то множества Vt открыты в X. В силу (152)—(154),
(155) а,€^ (. = 1,2),
(156) V;nV£=A,
(157) КпА\(а„0|)-А (i = l,2).
Так как пространство X вполне регулярно, существуют такие
непрерывные в X функции /, и /2, что
(158) /<а< = 1 (г = 1,2),
(159) f(x = 0 при х€Х\Ц (» = 1,2).
В силу (156),
(160) Х = (Х\Ц)и(Х\Уг).
Если у€Х \Vit то
(161) Лу = 0, [(159)]
^(nrO-lECV*)/,*! [(141)]
-1 £ (А.*)/,* - £ (А,*)/4*| [(139)1
= |Е(А.х)/4*| [(142)и(161)1
А,а,+ £ <А.*)/,*| [(150) и (158)]
= |А,а,|. [(155)-(157)и(159)]
Отсюда, в силу (160), следует, что, какова бы ни была точка у из Х%
либо
(162) #;(*»->) = |Ажа,|,
либо
(163) JV^trOHA.o*!,
Положим A =min(|A,a||, lA,^)). В силу (149) и (151), А >0, и поэтому
можно образовать функцию
Нш^Щ+Ц*).
Согласно леммам 51 и 54, функции Nf являются нормами в F*,
согласованными с X. Из лемм б и 5 следует, что N есть также норма в F* и она
также согласована с X.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
281
Так как, каков бы ни был у€Х, всегда выполняется либо равенство (162),
либо (163), а значения норм NJ неотрицательны, для любого у € X
справедливо неравенство (148).
Итак, в обоих случаях существует такая согласованная с X норма N, что
всякая точка у из X удовлетворяет неравенству (148). Согласно лемме 2,
это неравенство эквивалентно неравенству N(yz 1) > 1, которое означает,
что yz"x eF*\UN, где UN определено посредством (105). Итак, каков бы
ни был уеХ, y€F*\ UNz, откуда следует (132). N является нормой в
F*, согласованной с X, т. е. Nе% где 91—мультинорма, построенная в
доказательстве теоремы 19. Так как эта мультинорма определяет F* как
топологическую группу, то UN является окрестностью единицы l(F*) в F*,
a UyZ — окрестностью точки z в F*.
Мы доказали, что всякая точка z множества F*\X обладает
окрестностью, содержащейся в этом множестве. Это значит, что F*\X открыто
в F*, следовательно, X замкнуто в F*.
7. Из последней теоремы вытекают следствия, вполне аналогичные
следствиям 2 и 3, а именно:
Следствие 6. Свободная абелева топологическая группа вполне
регулярного, но не нормального пространства не нормальна.
Следствие 7. Существуют не нормальные абелевы
топологические группы.
8. В области абелевых топологических групп также имеет место аналог
теоремы Дика.
Определение 27. F* называется свободной абелевой
топологической группой, если существует такое пространство, что F* является его
свободной абелевой топологической группой.
Теорема 23. Всякая абелева топологическая группа
топологически изоморфна топологической факторгруппе некоторой свободной
абелевой топологической группы.
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 5 и может
быть опущено.
9. Между свободной топологической группой и свободной абелевой
топологической группой вполне регулярного пространства существует простая
связь, которую выражает
Теорема 24. Существует открытый непрерывный гомоморфизм /3
свободной топологической группы F вполне регулярного пространства
X на свободную абелеву топологическую группу F* того же
пространства такой, что
(164) /Зж = ж
для всякой точки х е X и ядром гомоморфизма /3 является коммутант
группы F.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно допустить,
что F и F* — топологические группы, построенные в доказательствах
теорем 1 и 19. В силу свойства Fa, группы F*, тождественное отображение
пространства X может рассматриваться как непрерывное отображение X

282
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
в F*. Пользуясь свойством F3 группы F, мы можем заключить, что
существует непрерывней гомоморфизм /3 топологической группы F в F*,
удовлетворяющий условию (164) при любом х е X. В силу (164), (ЗХ = Х.
Так как,~ согласно теоремам 3 и 21, X порождает алгебраически F и F*t
то отсюда следует, что /3F = F*. Итак, (3 есть непрерывный гомоморфизм
топологической группы F на F*. Докажем, что /3 является открытым
гомоморфизмом.
Б самом деле, пусть Р — такая действительная функция в F*t что
Р(3 е am(F). Согласно лемме 9, Р является нормой в F*. В силу (164),
Р(ху^) = Р((/Зх)(/Зу)->) = РР(ху->) (хеХ,уе X);
следовательно, Р(ху~х) — непрерывная функция пары точек {ж, у} из X.
Другими словами, норма Р согласована с X (см. определение 25), т. е.
Р е% где 91— мультинорма, определяющая F*. Из теоремы 7 следует, что
Р непрерывна в F*. Следовательно, Р € am(F*), коль скоро Р/3 е am(F),
и, в силу теоремы 10, /3 — открытый гомоморфизм.
Пусть С — коммутант группы F. Рассматривая F и F* как
дискретные группы и учитывая, что F — свободная группа со свободным базисом
X, a F* —свободная абелева группа со свободным абелевым базисом X,
заключаем,» в силу известной теоремы (см. [7, с. 66]), что существует
гомоморфизм Ф группы F на F*, удовлетворяющий условию (4) для любого
х е X и такой, что
(165) Ф-Ч(^*) = а
Пусть Г — совокупность элементов z из Ft для которых Фг = /fc. В
силу (4) и (164), X с Т. С другой стороны, Г является подгруппой F.
Действительно, если ze Т и t е Т, то Фг = /?г и Ф* =/?t, откуда Ф(г*~!) =
= (Ф^)(Ф*)~! = (/&)(/?*)~! =P(zt~l)t так как Ф и /3 суть гомоморфизмы;
следовательно, zt~* е Т. Так как X порождает F алгебраически, T = F,
следовательно, Фг = /?г при любом zeF, т. е. Ф = /?. Из (165) получаем
/3~ll(F*) = С; тем самым теорема полностью доказана.
Следствие 8. Коммутант свободной топологической группы
замкнут в ней.
Следствие 9. Свободная абелева топологическая группа вполне
регулярного пространства топологически изоморфна топологической
факторгруппе свободной топологической группы того же
пространства по ее коммутанту.
Следствие 9 получается в силу известной теоремы об открытых
непрерывных гомоморфизмах (см. [8, теорема 12]).
10. Свободная абелева топологическая группа вполне регулярного
пространства может быть просто определена некоторой схемой соотношении в
этом пространстве. Сформулируем
Определение 28. Совокупность слов в X вида
{{х, 1}, {у, 1>, {х, -1}, {у, -1»
будем называть схемой коммутативности в X.
Имеет место

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
283
Теорема 25. Свободная абелева топологическая группа вполне
регулярного пространства определяется схемой коммутативности это-
го пространства.
Доказательство. Пусть R — схема коммутативности во вполне
регулярном пространстве X, F — свободная топологическая группа
пространства Xt F* — его свободная абелева топологическая группа.
Множество аД, где а —свободное отображение над X, состоит из элементов
группы F вида хцх'1уГх, где х€Х, уеХ. Коммутант С группы F есть
наименьший нормальный делитель F, содержащий все такие элементы. Так
как, согласно следствию 8, множество С замкнуто в F, С является
наименьшим замкнутым нормальным делителем топологической группы F,
содержащим aR.
Пусть Ф — естественный гомоморфизм F на F/C. Определим
отображение ф пространства X в F/C равенством (2). Согласно лемме 50,
{ip,F/C} — первообразное осуществление R. Следовательно, F/C
определяется посредством R% и так как, в силу следствия 9, F* топологически
изоморфно F/C, то F* также определяется посредством R.
§ 9. Нерешенные проблемы
1. Теория свободных топологических групп, развитая в настоящей статье,
приводит к некоторым интересным вопросам, остающимся пока
открытыми. Наиболее важные из них подсказываются аналогией между
дискретными и топологическими группами — аналогией, которая служила
руководящей идеей настоящей работы. Так, например, для дискретных групп
имеет место весьма важная теорема, согласно которой две свободные
группы изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы эквивалентны в
теоретико-множественном смысле [5]. Естественным аналогом теоретико-
множественной эквивалентности является понятие гомеоморфизма.
Поэтому естественно поставить вопрос, следует ли из топологического
изоморфизма свободных топологических групп двух пространств гомеоморфизм
этих пространств. Итак, формулируется следующая
Проблема 1. Доказать или опровергнуть предложение: свободные
топологические группы двух пространств топологически изоморфны тогда
и только тогда, когда эти пространства гомеоморфны.
Аналогичная проблема возникает и для свободных абелевых
топологических групп:
Проблема 2. Доказать или опровергнуть предложение: свободные
абелевы топологические группы двух пространств топологически
изоморфны тогда и только тогда, когда эти пространства гомеоморфны.
В силу следствия 9, положительное решение проблемы 2 дало бы
положительное решение проблемы 1. Решение обеих этих проблем, видимо,
весьма трудных, было бы существенным шагом вперед в теории
топологических групп.
2. Есть еще одна важная теорема о дискретных свободных группах, аналог
которой мной не доказан. Теорема эта утверждает, что всякая подгруппа
свободной группы является свободной группой [5]. Аналогичный результат
имеет место и для свободных абелевых групп.

284
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Естественно поставить вопросы о справедливости аналогичных
утверждений в области свободных топологических групп. Эти вопросы
формулируются так: верно ли, что всякая замкнутая подгруппа свободной (свободной
абелевой) топологической группы является свободной (свободной абелевой)
топологической группой?
На оба вопроса мы дадим сейчас отрицательные ответы.
Пусть F — свободная (свободная абелева) топологическая группа вполне
регулярного пространства X, С — аддитивная группа целых чисел с
тривиальной топологией. Определим отображение е пространства X в абелеву
топологическую группу С равенством
ех = 1 (хеХ).
Это отображение, очевидно, непрерывно. Поэтому, согласно свойству F3
(Fa3) свободной (свободной абелевой) топологической группы F,
существует непрерывный гомоморфизм Е топологической группы F в
топологическую группу С такой, что
Ех = \ (хеХ).
Допустим, что пространство X непусто, и пусть аеХ. Тогда Еа = 1 и,
так как Е — гомоморфизм, Е(ап) = п при всяком целом п.
Следовательно, EF = С, т. е. Е — отображение топологической группы F на
топологическую группу С. Но последняя несвязна, а отображение F непрерывно.
Следовательно, топологическая группа F также несвязна. Таким образом,
мы получили следующий результат.
Теорема 26. Свободная (свободная абелева) топологическая
группа непустого вполне регулярного пространства несвязна.
Принимая во внимание, что свободная (свободная абелева)
топологическая группа пустого пространства состоит только из единичного элемента,
получаем
Следствие 10. Всякая свободная (свободная абелева) топологи-
ческая группа, содержащая больше одной точки, несвязна.
Допустим теперь, что хотя бы одна из компонент пространства X
содержит более одной точки. Тогда, в силу свойства F1 (Fa^ свободной
(свободной абелевой) топологической группы F, последняя также имеет
компоненту, содержащую более одной точки. Так как эта топологическая группа
топологически однородна, всякая ее компонента содержит более одной
точки. Рассмотрим, в частности, компоненту К, содержащую единичный
элемент топологической группы F. В силу хорошо известных теорем, К есть
замкнутый нормальный делитель F. Таким образом, К — связная
топологическая группа, содержащая более одной точки. Согласно следствию 10,
К не может быть свободной (свободной абелевой) топологической группой.
Мы пришли к следующему результату.
Теорема 27. Еслй%полне регулярное пространство имеет
компоненту, содержащую более одной точки, то его свободная (свободная
абелева) топологическая гриппа имеет замкнитый нормальный
делитель, не являющийся свободной (свободной абелевой) топологической
группой.
Эта теорема и содержит отрицательные ответы на поставленные выше
вопросы.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 285
3. Отрицательное решение проблемы нормальности подсказывает
дальнейшие вопросы, касающиеся нормальности топологических групп.
Именно, естественно поставить вопрос: из каких алгебраических свойств
топологических групп вытекает нормальность? Но сначала мы должны точно
установить, что подразумевается под термином «алгебраическое свойство
топологической группы». Сформулируем для этого
Определение 29. Будем говорить, что Q есть алгебраическое
свойство топологических групп, если всякая топологическая группа,
изоморфная какой-либо группе, обладающей свойством Q, сама обладает этим
свойством.
Например, счетность и коммутативность — алгебраические свойства
топологических групп; связность же не является алгебраическим свойством.
Известно, что всякое счетное регулярное пространство нормально. Так
как топологические группы суть регулярные пространства, то всякая
счетная топологическая группа нормальна. Таким образом, счетность — одно
из алгебраических свойств групп, обусловливающих нормальность. Можно
предполагать, что это существенно единственное свойство такого рода.
Выражаясь более точно, можно предполагать, что всякая несчетная дискретная
группа допускает не нормальную топологию. Таким образом, ставится
Проблема 3. Доказать или опровергнуть предложение: всякая
несчетная дискретная группа допускает не нормальную топологию.
Частично эту проблему решил Е. Ливенсон, который доказал теорему:
Всякая несчетная абелева группа допускает не нормальную mono-
логию.
4. Можно также поставить вопрос, какие группы допускают нормальную
топологию. Но этот вопрос очень прост. Действительно, введем понятие
«тривиальной» топологической группы, приняв следующее
Определение 30. Топологическая группа G тривиальна, если
всякое подмножество G открыто в G.
Мы видим, что всякая дискретная группа допускает тривиальную
топологию и что эта топология нормальна. Итак, всякая дискретная
группа допускает нормальную топологию.
Так как существуют не нормальные топологические группы, то
нормальность—неалгебраическое свойство топологических групп.
В. Естественно поставить вопрос: какие дискретные группы допускают
нетривиальную топологию? Вопрос этот, конечно, весьма важен для теории
топологических групп.
Конечные дискретные группы допускают, очевидно, только тривиальную
топологию. Можно предполагать, что всякая бесконечная группа допускает
нетривиальную топологию.
Проблема 4. Доказать или опровергнуть предложение: всякая
бесконечная дискретная группа допускает нетривиальную топологию.
в. Весьма важный класс топологий образуют связные топологии.
Естественно поставить вопрос: какие дискретные группы допускают связную
топологию?
Прежде всего нужно заметить, что всякая связная топологическая
группа, содержащая более одной точки, имеет мощность > 2*4 Действительно,
всякое связное вполне регулярное пространство, содержащее более одной

286
О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
точки, имеет мощность ^ 2**п). Итак, необходимым условием
существования связной топологии для дискретной группы Я, содержащей более одной
точки, является неравенство р(Я) > 2\ где р(Х) — мощность множества
X. Сначала я предполагал, что это условие и достаточно, т. е. что
справедливо следующее предложение: всякая дискретная группа мощности ^ 2*°
допускает связную топологию. В действительности эта гипотеза неверна,
как показывает следующий
Пример 1. Пусть Я — прямое произведение m групп второго порядка
и одной группы третьего порядка. Здесь m — произвольное кардинальное
число. Покажем, что Я не допускает связной топологии.
В самом деле, совокупность К элементов х из Я, удовлетворяющих
условию х2*£ 1(Я), образует, очевидно, подгруппу, замкнутую относительно
любой типологии в Н. Ясно, далее, что Я является прямым произведением
К й группы третьего порядка. Следовательно, Я разбивается на три
смежных класса К{ (г = 1,2,3) относительно К, и так как К замкнуто в Я
относительно всякой топологии, то эти смежные классы также замкнуты в
Я относительно всякой топологии. Положим А = Кх% В = К2иК3. Тогда
Я з& А У В> причем -А П Я = А, АфА, ВфАи множества А я В
замкнуты в Я относительно любой топологии. Таким образом, всякая топология
группы Я несвязна.
Если т>Но, то р(Н) = т. Итак, при m>2N° мы имеем пример дискретной
группы мощности ^ 2\ не допускающей связных топологий.
Сформулируем
Определение 31. Дискретная группа Я безусловно несвязна, если
всякая ее топология несвязна.
Так как всякая конечная группа порядка > 1, очевидно, безусловно
несвязна, то из приведенного выше примера можно получить следующий
результат.
Теорема 28. Каково бы ни было кардинальное число m > 1,
существует безусловно несвязная дискретная группа мощности т.
7. Наш пример безусловно несвязной дискретной группы наводит нас на
мысль сформулировать следующее
Определение 32. Подмножество А дискретной группы Я
безусловно замкнуто в Я, если оно замкнуто относительно всякой топологии
Следующая теорема может быть легко доказана.
Теорема 29. Если группа G имеет безусловно замкнутую
истинную подгруппу индекса < 2\ то G безусловно несвязна.
Пусть, в самом деле, Я будет такой подгруппой группы G. Рассмотрим
произвольную топологию группы G. Подгруппа Я замкнута в этой
топологии и потому существует пространство правых смежных классов Я в
G. Это пространство вполне регулярно и содержит более одной точки, но
менее чем 2^ точек. Поэтому оно несвязно. Так как естественное
отображение топологической группы G на это пространство непрерывно, эта
топологическая группа тоже несвязна, что и требовалось доказать.
. . .*' -/.ь .-
м. п I Г iWttr.V f mnlf.nnltelfcil^ -
ll) Это следу&г непосредственно из определения полной регулярности.

О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 287
Можно ожидать, что и обратная теорема верна. Таким образом, мы имеем
следующую проблему.
Проблема 5. Доказать или опровергнуть предложение: если всякая
безусловно замкнутая истинная подгруппа группы G имеет индекс ^ 2\ то
G допускает связную топологию.
На первый взгляд это предложение кажется сомнительным, так как
трудно представить себе дискретную группу, все элементы которой были бы
конечного и ограниченного порядка и которая допускала бы связную
топологию. В действительности такие группы существуют, как мы покажем в
другой статье [11].
8. В нашем примере безусловно несвязной группы мы определили
безусловно замкнутое множество посредством «уравнения» х2 = 1(H).
Очевидно, что всякое «уравнение» вида f(au ..., а у х) = 1(G), где aXJ..., а —
постоянные элементы дискретной группы G% x — «неизвестное», а / —
«функция», т. е. произведение степеней «аргументов» ар..., ат, х,
определяет в G некоторое безусловно замкнутое подмножество. Будем
называть подмножество G элементарно алгебраическим, если оно может быть
так определено. Будем говорить, что подмножество G есть алгебраическое
множество, если оно является пересечением конечных сумм элементарно
алгебраических множеств.
Так как конечные суммы безусловно замкнутых множеств суть
безусловно замкнутые множества и то же справедливо для любых пересечении
безусловно замкнутых множеств, всякое алгебраическое подмножество G
безусловно замкнуто. Можно предполагать, что таким образом исчерпываются
все безусловно замкнутые множества. Эта гипотеза приводит нас к
следующей проблеме:
Проблема 6. Доказать или опровергнуть предложение: всякое
безусловно замкнутое подмножество дискретной группы есть алгебраическое
множество.
Частично эта проблема решена М. Перельманом, доказавшим, что всякое
безусловно замкнутое подмножество абелевой группы является
алгебраическим множеством.
Во время подготовки этой статьи к печати автор решил другой частный
случай проблемы 6, доказав предложение: всякое безусловно замкнутое
подмножество счетной группы является алгебраическим множеством [12].
Литература
jl] Weil A. Sur les esptces k structure uniforme et sur la topologie generate. — Paris,
1938.
[2] T у с h о n о f f A. Uber die topologische Erweiterungen von Rfiumen // Math. Ann. —
1929.-Bd. 102.-S. 544-561.
[3] Kolmogoroff A. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen
Raumes // Studia math. —1934. V. 5. — P. 29-33.
[4] Нуers D. H. Pseudonormed linear spaces and abelian groups // Duke Math. J. —
1939.-V.5.-P. 628-634.
[5] S с h г e i e г О. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abhandl. Math. Semin. Univ.
Hamburg. —1927. — Bd. 5. — S. 161-183.
[6] D у с k W. Gruppentheoretische Studien // Math. Ann. —1882. — Bd. 20. — S. 1-44.

288 О СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
J7] Reidemeister К. EinfQhrunf in die kombinatoriache Topolegie. — Eraunachweig,
1932.
[8] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.—M.t 1938.
[9] Kakutani S. // Proc. Imp. Acad. Japan. —1W6.—V. 12, N4. —P. 12-84.
[10] Birkhoff G. /CompositioMath.—1936.—V.3.M3.-P. 427-430.
[11] Марков А. А. О существовании периодических связных топологических
групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. —1944. —Т. 8.—С. 225-232.
[12] Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах ff Докл. АН СССР.—
1944.—Т. 44, № 5. —С. 196-197.
Поступило в редакцию 9 декабря 1943 г.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС*)
Содержание
§ 1. Введение 289
§ 2. Функции 290
§ 3. Группа кос 3„ 292
§ 4. Нормальный делитель 91п 292
§ 5. Факторгруппа 3n/9tn 295
§ 6. Соотношения Бурау 300
$ 7. Нормальная форма / 304
§ 8. Представление Артина группы кос 306
§ 9. Свойства эндоморфизмов ^- и «• 307
§ 10. Связь между представлением Артина и факторгруппой 3n/9tn 311
§ 11. Единственность нормальной формы J, изоморфия представления Артина
и полнота системы соотношений Бурау 312
§ 12. Нормальный ряд группы 3„ 316
$ 13. Производящие элементы р^ у 319
§ 1. Введение
Теория кос создана Э. Артином [1]!>. Ему же принадлежит решение
проблемы тождества в группе кос посредством изоморфного отображения этой
группы в группу автоморфизмов некоторой свободной группы. Так как
проблема сопряженности в группе кос, существенная для теории узлов, еще не
решена и представляется значительно более трудной, мы можем
рассматривать результаты Артина как завершающие элементарную часть теории.
Появление настоящей статьи вызвано следующими обстоятельствами.
Рассуждения Артина основаны на геометрической интуиции и не
безупречны в отношении строгости. Желательно было бы иметь более строгое
доказательство основных результатов Артина. Может быть, можно было
бы достигнуть полной строгости, дополнив как-либо рассуждения Артина.
Автор, однако, предпочел иной путь. Именно, в этой статье геометрия
полностью исключена, и теория кос строится с самого начала на чисто
алгебраическом основании.
Кроме того, данное Артином решение проблемы тождества
представляется недостаточно удобным для дальнейших исследований в этой области,
особенно при изучении проблемы сопряженности. Решение это не
проливает света на структуру группы кос. Поэтому в настоящей статье мы даем
другое решение проблемы тождества, которое, как нам кажется,
свободно от этих недостатков. Это решение, наиденное А. Ивановским, основано
на установлении некоторой нормальной формы кос. Единственность этой
*> Труды МИАН. —1945. —Т. 16, — С. 3-45.
*) См. также [2, с. 348-361], где изложено введение в теорию кос.

290 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
нормальной формы и изоморфия артинова представления группы кос
доказываются ниже одновременно. Нормальная форма дает важные сведения о
структуре группы кос, так как она позволяет построить нормальный ряд
этой группы с известными факторами.
В конце статьи мы рассматриваем систему производящих элементов
группы кос, полезную для других исследовании. В частности, с помощью этой
системы Н. Ваинбергу удалось найти центр группы кос.
§ 2. Функции
1. Определим знак П следующим образом:
(1) ГК = 1.
m m— 1
П s<=*m П xi (m = l,2,...).
Здесь х. могут быть элементами группы или неопределенными2). В
последнем случае умножение имеет чисто формальный смысл и сводится к
написанию рядом.
2. Всякое выражение вида
(2) П *?,
• = 1
где хи..., хт — неопределенные, е{ = ±1, будем называть функцией
аргументов ж,,..., хт.
3. Если /(ж,,..., хп) есть функция (2)иа„..., ап — элементы некоторой
группы 0, то /(oj,..., ап) будет обозначать элемент
m
группы 0. Если элемент а группы 0 может быть представлен в виде /(а19...
..., ап) при подходящем выборе функции /, то мы будем говорить, что а есть
функция от 0|,..., ап. Если элемент Ь группы 0 перестановочен с
элементами а19..., ап этой же группы, то он перестановочен со всеми функциями
элементов аи..., ап.
4. Если /(ж,,..., хп) и д(хх,..., хп) суть функции аргументов Xj,..., жп,
то мы говорим, что они равны, если
/(«I,...,an) = ff(a1,...,an),
каковы бы ни были группа 0 и элементы аи..., an этой группы. В этом
случае мы пишем
f(xl,...,xn) = g(xl,...,xn)
или просто
/=0.
5. Опуская пары множителей XjXjx или xjxx. в функции (2), мы
получаем функцию, равную исходной. Такими последовательными сокращениями
2) Мы предпочитаем этот термин термину «неизвестные», применяемому в том же смысле
в русском переводе книги ван дер Вардена «Современная алгебра».

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 291
функция / может быть преобразована в функцию, которая уже не может
быть дальше сокращена и которую мы называем приведенной формой /.
Эта приведенная форма определяется по / однозначно, и равенство / =
= g имеет место тогда и только тогда, когда / и g имеют одну и ту же
приведенную форму. Другими словами, / = g тогда и только тогда, когда
в свободной группе $ со свободными производящими tl9..., tn.
6. Так как 1, согласно П), есть выражение вида (2), 1 есть функция
аргументов жп ..., хп. Мы будем ее называть единичной функцией.
7. Определим произведение двух функций / и g аргументов хХ)..., хп
путем простого написания этих (функций радом. Такое умножение, очевидно,
ассоциативно, и /1 = 1/ = /. Далее, для произвольных элементов а,,..., ап
произвольной группы имеем
Ш(<*1> •.., <0=^/(а,,..., ап)д(ах,..., ап).
8. Определим длину функции / как число сомножителей в приведенной
Йорме этой функции. Длина функции / будет обозначаться символом L(f).
з / = fl следует L (/) = L (g). Для единичной функции L(1) = 0. Если /
есть функция аргументов хх,..., хп и L (/) = I > О, то существует функция g
тех же аргументов, число е = ±1и число г из последовательности 1,..., п
такие, что / = х?д и L (д) = L (/) - 1. Здесь равенство / = х?д может быть
заменено равенством / = дх?.
9. Если / есть функция аргументов хх,..., хп, a ip — некоторый
эндоморфизм группы в, то
(3) <pf(ax,..., ап) = /(у>а1,..., уюп),
какова бы ни была система элементов {ау}п=1 этой группы.
10. Функция у~1ху аргументов х и у будет обозначаться символом [ж, у].
Действия с этой функцией подчиняются следующим правилам3*:
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
[х, *][У, «] = [зу, «],
[x,z]x = [xx,z],
/([*!> «], . . ., [Ж„, Z]) = [/(l„ . . ., Хп), Z],
[[х, у], z] = [x, yz) = [[ж, z], [у, z\],
[х,хх] = х,
[x,xxz] = [x,z],
[х,[у,хх]] = [х,ухх],
(р[а,Ъ] = [<ра,(рЪ].
[(4)]
[(4), (5)]
[(6)]
[(7), (8)]
[(9)]
[(3)]
В этих формулах / обозначает произвольную функцию от п аргументов,
(р — эндоморфизм какой-либо группы, а и Ь — элементы этой группы, А —
любое целое число.
3) Цифры в квадратных скобках означают ссылки на предыдущие формулы.

292 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
§ 3. Группа кос 3»
1. Группу кос порядка п (п = 1,2,...) мы определяем как абстрактную
группу с производящими элементами ох,..., еп_х и определяющими
соотношениями
(12) *<** + !*< = *! + 1*«*1 + 1 (• =•!» 2,..., п - 2),
(13) *<<?, = о-,<г< (t,y = l,2...,n-l; |t-i|>l).
Эта группа будет обозначаться символом Зп.
Согласно этому определению, 3i есть группа без производящих
элементов, т. е. 3i состоит только из единичного элемента. Единичный элемент
группы Зп будет обозначаться символом 1п.
2. Лемма 1. В Зп имеет место равенство
(И) k.^^K^J (Ui^n-2;A=0,±1,...).
Доказательство. Частный случай равенства (14) при А = 1
вытекает непосредственно из (12). Общий случай следует отсюда в силу (5).
§ 4. Нормальный делитель 91»
1. Определим элементы si%j (1 ^ % < j ^ п) по индукции посредством
равенств v
(15) *, + !=*? (UUn-1),
(16) ^Ч1=КИЛ (Ui<j4n-1).
2. Лемма 2. Элемент si%j группы 3n *яиь функция элементов ak с
Это непосредственно следует из (15) и (16).
Лемма 3. В Зп имеют место равенства
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
KW]=*u
[в4< + 1»°< ] = аь< + 1»
Ki.^-i]=*<-i,,.
Ki.*rii]»k-u»*rii.il»
Ki'a<]=[*<+i.>'*<,<+i]'
l*i,j»a< l = s< + i,i>
K,-.^-i]=Vi'
К,»^1] = Ку-1,*7-1.>]>
Ki.^]=K,+i»*i,+i]-
Каждое из этих равенств, за исключением (17), справедливо, коль скоро
оно имеет смысл. Что касается (17), то оно справедливо при условии
кф1-\, i, j-1, j.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 293
Доказательство. При1<г<п
*<-i,t+i =к-м>*ГЧ [(16)]
-Ю-1.«ГЧ [(15)]
-W,"«-il [(14)]
e[V+i»*<-il [(15)]
что дает (19) при j = t +1. Предположим, что (19) справедливо при j = h,
где г < h< п. Тогда (19) справедливо и при j = h + 1, потому что
а.
'<-!,* + !
•K-i.b.esr'l [(16)]
t
ж [[8а» *i - iL ** Ч [по предположению]
-n*».**Wil [(7),(13),/i-(i-l)>l]
-K*+ii^-il- [(I6)]
Итак, (19) доказано.
Согласно лемме 2, s<j есть функция элементов crh с i ^ h < j. Если 1 ^
< fc < г - 1 или j < к ^ п - 1, то ак, в силу (13), перестановочно с каждым
из этих элементов. Следовательно, ок перестановочно с s<j (см. п. 1.3), что
и выражается равенством (17). Чтобы закончить доказательство, остается
рассмотреть случай i<k<j-l. Сначала рассмотрим частный случай, когда
t и j наиболее близки к *, т. е. когда i « к -1, j » к+2 (1 < к < п-1). Тогда
»k-i,*, **-'<.]** [(1б),(7)]
™ ак+\вк*к-1,к\ак\\> ак\
-ek + ie»»*-!.»^*'.^!] К14)]
= °*+1 ак°ы+1**-1,как1*к\. 1 [доказанный случай равенства (17)]
= er***+i»***-i,*<'*"1^"ii [(12)]
-**k-i,*>**~4""li]
»»*»*-i.*+i [(16),(7)]
откуда следует (17). Пусть теперь 1<Л<Л<у-1и предположим, что (17)
справедливо при %« h. Тогда (17) справедливо и при * = Л — 1, потому что
-ПЧу.*»],»»-|] [(7), (13)]
= [*к, j»ан -1 ] [по предположению]
-*-w [(19)]

294 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
и, j „ М.М|^ "jj от,|,1ГТ|Ц||ш|И||ИИДд^
Допустим, наконец, что i <kt k + l <h <п и что (17) справедливо при
j = h. Тогда (17) справедливо и при j = h + 1, потому что
k,fc+i,"»]=[Км <*'],**] 1(16)]
=lh^W] [(7), (13)]
= [*% hу акl ] 1по предположению]
Итак, (17) доказано.
Далее, (18) следует из (15); (20) из (19) и (15); (22) из (19); (21) из (22)
и (15); (23) из (16); (24) из (23) и (15); (25) из (16) и (15). Тем самым все
доказано.
Лемма 3 дает алгорифм для решения произвольных задач следующего
типа: даны функции / и д соответственно от яп(п— 1) ип-1 аргументов;
требуется найти функцию h от 2п(п — 1) аргументов такую, что в Зп
[/(«1,2» • • •» *«-1,»)» 9(<Г\1 • • м <7»-l)] = Ч*\,2> • • ч 5«-1,»)«
В самом деле, для частного случай L(f) = Zr (flr) = 1 такой алгорифм
содержится в системе равенств (16)—(25), а общий случай может быть сведен
к такому частному посредством (6), (7) и индукции по L(g).
Итак, мы имеем
Следствие 1. Элементы з^. группы 3» порождают некоторый
нормальный делитель этой группы.
3. Пусть теперь 9ТП обозначает наименьший нормальный делитель группы
Зп, содержащий о\,..., <7*_,.
Теорема 1. Элементы sifj группыЗп порождают группу У1».
Доказательство. Согласно (15), *^+1 €9tn. Так как 9tn есть
нормальный делитель группы Зп, отсюда, в силу (16), следует, что
о о
Следовательно, 9tn C%,t где 9tn есть подгруппа группы Зп» порожденная
элементами з^.. е
С другой стороны, в силу следствия 1, %> является нормальным делите-
о
лем группы Зп. Так как, кроме того, 91п, в силу (15), содержит элементы
а? (1 ^ i < п), имеем, по определению 9tn, ОТП С <ЯП.
о
Следовательно, %, = 9tn, что и доказывает нашу теорему.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 295
§ 5. Факторгруппа 3»/9i»
1. Пусть z, где z е Зп> обозначает смежный класс группы 5ТП в группе 3nt
содержащий z. В силу этого определения, z = *Rnz.
Теорема 2. Группа Зл/91п порождается элементами <ги ..., <тп_,
и может быть задана соотношениями
(26)
(27)
(28)
3?-1
(^+1)3 = 1
З*, = s;^
(1 ^ » < п),
(U*<n-1),
(1<*<п, 1^У<п, |t-j|>l).
Доказательство. Применяя известную теорему теории групп4*, мы
заключаемою определения групп Зп и 9tn» что 3n/^n порождается
элементами <?п.. м ^n-i и может быть задана соотношениями (26), (28) и
(29) °i°i + \Oi =°i + \°i°i + \ (1 < » < n - 1).
С другой стороны, из (26) вытекает эквивалентность (27) и (29).
Следовательно, группу Зп/^п можно задать сботношениями (26), (27) и (28).
2. Введем теперь некоторые обозначения, которые нам понадобятся при
рассмотрении группы 3n/9ln. Именно, мы определим элементы <т^у группы
ЗиД^я 1 ^ г < у ^ п по индукции посредством равенства
(31) "ty+i= "ti'i"1 (U*'0'<n).
Лемма 4. Элемент а^ j группы Зп яри г < j есть функция элементов
ah ci^h<j.
Это следует непосредственно из (30) и (31).
Лемма 5. В Зп имеют место равенства
(32)
(33)
(34)
(35)
°i,,°k = °k0i,i
«•«-u^oT-Vu.
e,«a*i-a*>e'«-l.i-l
<r<,,<rM = sa + i°*+i,j<r<,j-i
(для fc
(*<Л,
(•■<*).
Каждое из этих равенств справедливо, коль скоро оно имеет смысл, и
выполняется соответствующее, указанное в скобках, условие.
Доказательство. Согласно лемме 4, а^ для г < j есть функция
элементов ah с i ^ h < j. Если fc < i - 1 или к > j, то, согласно (13), ак
перестановочно с каждым из этих элементов. Следовательно, ак
перестановочно с а^ (см. п. 1.3), т. е. (32) имеет место при г <j. В случае t = j это
равенство тривиально в силу (30).
4) См., например, [3, с. 341].

296 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Равенство (33) справедливо при i=j, потому что
*<-м = ^-M-i^'ii 1(31)]
= "fV4,. 1(30)]
Если это равенство выполняется при j = h, где i < h< n, то оно
выполняется и при j = h + 1, так как
^_,,Л+1 = ^_1|Л^1 [(31)]
= <7fJ\О<к0ьХ [по предположению]
-*rV**+i. [(31)1
что и доказывает (33).
Равенство (34) тривиально при г = j в силу (30). Если это равенство
выполняется при j = h, где i < h< n, и если « < г, то оно выполняется и
при j = Л + 1, потому что
*t*+i*M+i =^*^l^fc-i^fcli^*1 К31), * < t < Л]
= Wm-iV'*V*1 [(32)]
= *t**M*fc!**!i [(S1M
= *Ma»-i,*-ia*lflr*-i [по предположению]
= ^***4-i,*-i**ii [(32)]
= *M+ia<-i.*- [(31)]
Тем самым доказано (34).
Равенство (35) выполняется при г = к, если только оно имеет смысл, так
как при этом к < j и
0k,i0Ki-akXok + i,i°Ki
= **Ч,^,-1
= *к2<Гк + \,,°Ы-1
— 'kk + lVk + lJ^kj-l-
Если равенство (35) выполняется при i — h, где
ется и при г = h — 1, так как при этом к <j и
°н-\
,iak,i-ahl.\0KiaKi
~ah-lak~,k + lak + l,jak,j-l
= [ek,k+iffk+\,ji<Th-i]0k-i<rk,j-\
= 8h- Uk + i^k + ij^h-^Ki-i
— 8h-l,k+l<fk + l,iak-l,i-l'
1<Л<Л,
[по
[(33)]
1(34)]
1(33)]
1(15)]
, то оно выполни-
1(33)]
предположению]
[(19), (32)]
[(33)]
Лемма полностью доказана.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 297
3. Теорема 3 (А. Ивановский). Если элемент группы Ъп задан как
функция от <ти ..., <тп_р то этот элемент может быть представлен в
форме
п
k /(«1,2» • • •> 5n-l,n) П %j>
где f—некоторая функция от ^п(п - 1) аргументов, a iy
—натуральные числа такие, что t,- < j (j = 1,..., n).
Доказательство. Если элемент z из 3» задан как функция аи...
..., ап-1 длины 0, то z = 1п и существует представление z в форме -4, а
именно, мы можем положить / = 1 и i,- = j (j = 1,..., п). Поэтому наша
теорема будет доказана, если мы установим, что всякий элемент из Зя>
заданный как функция от а1У..., оп_ 1 длины I > 0, может быть представлен
в форме /0, коль скоро это имеет место для всякого элемента, заданного
как функция от ^,..., *п-1 длины / - 1. Сделаем это допущение, и пусть
z — некоторый элемент группы Зя> заданный как функция от <ти ..., <тп_,
длины I.
Согласно п. 1.8 и 1.7,
(36) « = **£.
где % есть функция от ох,..., ап_х длины I - I, I ^h <n u e = ±1. По
индуктивному предположению, Zq допускает представление в форме /0.
Пусть
(37) *fee/oKi>. ••,*»-!,»)*,
где
(38) ЯЬ-П*ау ('/<* Kj<n),
y«i
будет этим представлением.
Если е = 1, то в силу (15)
r-i
(39) ** = *м+1*£
Посредством алгорифма, указанного в п. 4.2, мы можем построить
функцию /j от jn(n - 1) аргументов такую, что
(40) К^»А~Ч*/|К»у-^-1,ж).
При е = 1 это дает
ft'i-ft'M+i**1 [(39)]
«/iK2r.,«n-u)ft^- [(40)]
В случае е = -1 мы просто полагаем fx = 1 и получаем то же равенство
(41) V**/iKi. • • •> '.-i,.)*"»1-
Далее, имеем
*•?'- П "a„V [(38)]

298 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
[(32)]
Л-1
Л-1
•i«»-l.n)»
п
= jn+2^,i^+1,fc+i^,fc+i П ^,i- 1(31)]
При *л° < гл°+ х это дает, в силу (34),
п
Я)*7*^ П ^.i^tf.fc + l^tf . ,-l.fc П ^?,У=/2(51,2»---»°п-1,
У-Л + 2 J я я + 1 >«1 J
При этом /2 = 1 и
(42) 0=П%„
где t, = i? для jV Л, Л + 1, в то время как гЛ = #+1 - 1, *Л+1 = #. Для
*л+1 ^ *л» имея в ВИДУ, что i° < Л < п, мы получаем, в силу (35),
п Л-1
*<Tfc_, = . П ^.^+i.*+«a<+'.*+'ff*+i Д ^ = чл
J e Л Т Л t888!
где Г / п \~!1
а # снова определяется посредством (42) с той лишь разницей, что теперь
ih = tf+l1 ih+l = i£+1. С помощью алгорифма, указанного в п. 4.2, мы строим
функцию /2 от 2п(п ~ 1) аргументов такую, что
» = /2К2> •••>*»-i,J-
Итак, в обоих случаях мы приходим к равенству
(43) A^laB/iK2»---i««-i.Jff-
Окончательно получаем
* = *Ь<7Ле [(36)]
= /о(*)<*>< [(37)]
-/oW/iWft"*1 [(41)1
= М*)М*Ш*)9 [(43)]
= /(el,2i •••»*»-!,»)*
где /А(з) есть сокращенное обозначение функции fx(sx 2,..., зп_! п) и / =
= /o/i/2- Отсюда видно, что z представляется в форме 10.
Изложенное доказательство теоремы 3 дает алгорифм для решения любой
задачи следующего типа: задан элемент z из Зп гак функция от crXJ..., <тп_{;
требуется представить этот элемент в форме 1$.
Следствие 2. Если элемент группы 3n/9tn задан как функция
отах,...уоп_х, то этот элемент может быть представлен в форме
где ij —натуральные числа такие, что i^j (j = 1,..., n).

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 299
В самом деле, пусть
w = F(*l,...,an_l)eSn/%>,
где F — некоторая функция от п - 1 аргументов. Положим
^ = F(or1,...,<jn_,)€3„.
Тогда w = ?, и z может быть представлен в форме /0. Пусть это
представление будет
п
(44) * = /K2>..->*»-i,n) П %г
Так как
*и£*Пп (l<t<j<n),
имеем \j = h и так как w = z, то посредством гомоморфизма на Зп/^п
из (44) получается требуемое представление элемента w в форме /0.
Следствие 3. Индекс 91п в Зп не превосходит п\.
Действительно, п! есть число различных выражений вида /0 при
фиксированном п.
4. Обозначим через 6п симметрическую группу степени п, т. е. группу
перестановок множества целых положительных чисел, не превосходящих
п. Через 5; обозначим элемент (i, i + 1) этой группы (f = 1,..., п - 1).
Теорема 4. Группа Ъп1%> изоморфна группе &п. Изоморфизм
Зп/91* на &п получится, если элементу ai из 3ПМП соотнести элемент
а{ группы 6П при г = 1,..., п - 1.
Доказательство. Известно, что транспозиции 5; порождают 6П.
Кроме того, эти транспозиции удовлетворяют соотношениям:
(45) <т? = 1 (Ki<n),
(46) (Stf + i)3 = l (Ui<n-1),
(47) o.o^ofr (Ui<n, Uj<n; |»-j|>1).
Так как, по теореме 2, группа 3«/9tn порождается элементами а. и
определяется соотношениями (26)-(28), существует гомоморфизм (р группы
Ъп/%1 на ©п» ПРИ котором <ра{ =*а{ (1 ^ г < п). Согласно следствию 3,
порядок 3»/$tn не превосходит п!, в то время как порядок 6П равен п!.
Поэтому ^ является изоморфизмом, и наша теорема доказана.
Следствие 4. Группа6П определяется соотношениями(45)-(47).
Это прямо следует из теорем 2 и 4.
Следствие 5. Индекс У1п в Зп равен п\.
Следствие 6. Всякий элемент группы Ъп№п однозначно
представляется в форме 10.
В самом деле, согласно следствию 2, каждый элемент из 5п/У1п может
быть представлен в форме /0. Если бы какой-нибудь элемент имел несколько
таких представлении, то порвдок группы Зп/Йп был бы меньше п\г что
невозможно.

300 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Следствие 7. Элементы
R
П %у (*;<* У = 1,...,п)
группы 3» образуют систему представителей смежных классов группы
*п в Зп.
Применяя естественный гомоморфизм группы 3„ на Эп/^к элементам
системы R, мы получим элементы, представленные в форме 10. Так как все
эти элементы различны и, согласно следствию 6, исчерпывают всю
группу 3»/91»> всякий смежный класс содержит в точности по одному элементу
из R.
Следствие 8. Если
п
Я'1,1»-"» •—!,») П %,
/"(*1,2>--м*п-1,п) П %,
суть представления одного и того же элемента группы 3» * форме10,
то *; = t/O О'<п).
Это вытекает непосредственно из следствия 7.
§ в. Соотношения Бурау
1. Лемма 6 (Бурау) В 9ТП имеют место равенства
(48) jw jm = ehleu (j <кили (i<k,l< j)),
(49) *и*4**^=*4»*д**4Л
(50) ****•« = *** A*'
(51) ^*«ii^i«iie«i*«ii«iW* (•'<* fc</)-
Равенства (49) u (50) выполняются, коль скоро они имеют смысл.
Равенства (48) и (51) выполняются, когда, сверх того, удовлетворены
указанные справа условия.
Доказательство. Равенство (48) вытекает из (17) в силу леммы 2.
Равенство (49) имеет смысл тогда и только тогда, когда
1 < t < j < к ^ п;
то же справедливо и для (50). Эти равенства выполняются, когда
* = У — 1 И fcsej + l,
потому что
Vu*/-u+.*<>+. = <.K-u.*;K [(15),(16)]
= о)_хо,о)_хо, [(15)]
= oj_xaiai_xaiaj_xai [(12)]
~<г,о-,-|*>в>_ !*,«>-1; [(12)]

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 301
-*/*i-!*/*?-! К15)]
•ii+i'i-u'i-u+i^^-il'ii+i^i-il [(15), (19)]
= °}°1-\о}°1-\ [(15)]
= °i°i-\°i°i-\°i*i-v [(12)1
Если равенства (49) и (50) выполняются для fc = Л при h <n, то они
выполняются и для fc = h + 1. В самом деле, в этом случае
и, так как j < h, отсюда вытекает, в силу (6), (16) и (17), что
Если равенства (49) и (50) выполняются для i = h при Л > 1, то они
выполняются и для t = h - 1. Действительно, в этом случае
и, так как h < j, отсюда вытекает, в силу (6), (17) и (19), что
Это доказывает равенства (49) и (50).
Если равенство (51) имеет смысл, то j < к. Поэтому это равенство должно
быть доказано дяя \^i<j<k<l^n. Если эти условия соблюдены и
j =с к - 1, то (51) выполняется, потому что
•**«*-ll***-lll«*Ill* = «4*Kl»«*ill К20)]
= K*-i.^"iiHv.^ii] [(16),i<y = fc-l]
-K*-i^i»^iriil [(4)1
-['M*i-i.*rlil [(48)]
-ki.^iiH^»-i.^ii] [(4)1
= ki,^-IiK* [(16)]
= 5*-l,*5*-lfl5*"-l,A5i,A- [(20)]
Если равенство (51) выполняется для j =» h при i +1 < h < к < I, то оно
выполняется и для j = fc-l. В самом деле, при этом

302 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
откуда, так как г < h - 1 < к - 1, вытекает, в силу (6), (17) и (19), что
На этом доказательство заканчивается.
2. Ниже мы покажем, что система соотношений Бурау (48)—(51) [4]
определяет группу 9tn (см. теорему 8). Пока это не доказано, обозначим
символом 4Vn абстрактную группу с производящими элементами в^ (1 ^ i < j ^ п)
и определяющими соотношениями (48)—(51).
Лемма 7. В 9£ имеют место равенства
(52) tai.^yM'ii.'u1]»
(53) [«ii»^ = [*ii'*ti*iil»
(54) [«ii.'iil-I'ii.'M^il»
(55) Км^1 = Кп«м1»
(56) fai>^]44i>V4i*M*ii] (i<j<k),
(57) [^|»«4*] = [«Л|»«41«М«41«м1 (i<J<k).
Равенства (52)-(55) выполняются, коль скоро они имеют смысл. Для
равенства (56) и (57) имеется дополнительное условие: г <j <k„
Доказательство. Подставляя I вместо fc в (49) и (50), получаем
из этих равенств
откуда вытекает (52). Подставляя в (50) j вместо г, к вместо j и I вместо к,
получаем равенство, из которого (55) следует непосредственно.
Мы имеем, далее, при i <j <1
•n-Hhi,*[ll.*[}} [(52)]
=[К„^],Км^]-'] К7М5)1
откуда
[»ii»«ul ■[«*!» hi» «iill
= [«ii,*i*ii], [(Ю)]
что и доказывает (53). Далее, при j <к <1
•ii-[['ii»^i]»*it] К55)]
s[['il»'i*M'M>'it]] [(7)1
= [Кп^*],К„^/]], [(52)]
следовательно,
и (54) доказано.
I*iii«i*lel«ii»Kn«iil ']
=К«> *;>;/], [(5), (Ю)]

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
303
Чтобы доказать последние два равенства, запишем (51) в виде
[**«' 8ii] = 1К»> ***]> *1к] (г < a fc < /, е = ±1),
откуда, в силу (55), следует равенство
(58) [«ii,»Ml = [[«ii,«ML«M (i<j<k).
Мы получаем при i <j <k <l
[*iii*M]-[['iii*M]>4ift] КМИ
ЧКоЫКп'мЧ], [(52)]
откуда
К<> «Ы = [[«in «м!« Ко «с/ ]~Ч
= [[«il»^l«4l«M«rfl» К7)]
что и доказывает (56).
Наконец, при i <j <k <l
Кп *м1 = 1Кп «м!> «*Л [(Б&>1
-[[•ii.^ilKi.^i]] [(7)1
= [[«ill «* JL [«М> «4I«m11i [(53)1
откуда
[«il» «i,*J==:[[«il» 8h,lb [«*,*' «*,J«*,ll J
= [[«ii»«MM«M»*ti*MD [(5)1
= [«ill «м«м«4'«м««.|«м] [(')]
= [«ii» «£"i«M«ti«Ml»
что доказывает (57).
Присоединяя равенства
[«ii»«#]-«ii (k<j*m (j<i, *<«)),
которые следуют из (48), мы получаем систему равенств вида
(59) Ki, 3?J = /iUJb,e(slf/,..., «i_i|f),
где е = ±1, а {д I, i, fc} — любая система индексов, для которой существует
левая часть равенства (59) и к < I. Правые части равенств (59) суть
функции от slf,,..., 3j_lf,. Эта система равенств дает нам алгорифм для решения
любой задачи следующего типа: даны функции / и д соответственно от Z — 1
и j(l -1)(/ -2) аргументов (I > 2) и натуральное число п; требуется найти

304 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
такую функцию h от I — 1 аргументов, что в группе 9£
Мы воспользуемся этим алгорифмом для установления нормальной формы
элементов 3».
§ 7. Нормальная форма I
1. Лемма 8. Если элемент группы <JVn задан как функция элементов
si,j с 0 > * (1 ^ * < п)* то такой элемент может быть представлен в
форме
п
h П /,Кл•••>*,-и),
j-4 + l
еде /у есть функция от j - 1 аргументов.
Доказательство. Если элемент z из 9£ задан как функция длины 0
от ви с j > Л, то z = 1, и существует представление z в форме Ik. Именно,
мы полагаем /, = 1 (fc < j < n). Поэтому наша лемма будет доказана, если
мы покажем, что всякий элемент из 9£, заданный как функция от *u (jf >
> к) длины Л >0, может быть представлен в форме Д, коль скоро так
представляется всякий элемент из УСп, заданный как функция от ви длины
h - 1. Сделаем последнее допущение и рассмотрим произвольный элемент
z из 9£, заданный как функция от si%j (j>k) длины h.
Согласно п. 1.8 и 1.7,
(60) *-Vji.
где 2q есть функция длины Л - 1 от з^у (j > fc), / > fc и е = ±1. По
индуктивному предположению, z0 допускает представление в форме 1к. Пусть
п
(61) *Ь= П /ioKi.-'-.^.i.y)
j-fc + 1
— это представление.
Если i = к + 1, то положим
/у = /*о (* + 1 < J < п), Л+1(ж„..., хА) = Л+1,0(«1,.. м я*К
и, в силу (60) и (61), получим представление z в форме 1к:
(62) ^= П ЛКя--"*-1.у>-
У-А + 1
Если Z > Л + 1, то с помощью алгорифма из п. 6.2 мы можем построить
функцию / от I - 1 аргументов такую, что в УГп
xy-*+i ' J

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 305
Тогда
1-1 i-i
П /ао(51,я • • •' ei-i.i)e*i =Mei,i» • • •» ei-i,i) П Ло(51,я • • •' ei-i,i)"
j=k+\ i«*+i
В силу (60) и (61), это снова дает равенство вида (62), где /у = /i0 для j ^ /
Итак, во всех случаях 2 может быть представлен в форме 1к% что и
доказывает нашу лемму.
2. Теперь нетрудно перенести нормальную форму в группу 9tn. Для этого
будет служить
Лемма 9. Всякое соотношение между элементами s^jy
выполняющееся в 9£, имеет место и вУ1п.
Это следует из определения группы 9£ и леммы 6.
Теорема 5 (А. Ивановский). Если элемент группы 0ТП задан как
функция от sitj с j > fc, то этот элемент может быть представлен
в форме Ik.
Доказательство. Пусть в группе 9tn
(63) * = /K*+i,...,s»-i,n)-
В силу леммы 8, f(sx k + х,..., sn _ lf n) в группе 4Vn представляется в форме Ik.
Пусть это представление будет
п
(64) /К* + И-»5п-1,п)= П /у(«|,Я •••»«/-!,/)•
j-4 + l
Так как равенство (64) имеет место в 9£, то, в силу леммы 9, оно
справедливо ив51п. Отсюда, в силу (63), вытекает, что z может быть представлен
в форме Ik в 9tn.
Следствие 9. Если элемент группы 91я задан как функция от s^ у,
то этот элемент может быть представлен в форме /,.
Следствие 10. Если элемент группы 3» задан как функция от о{,
то этот элемент может быть представлен в форме
Д/уКл-м^1^Д%г
Это вытекает непосредственно из следствия 9 и теоремы 3.
Доказательства этих следствий 9 и 10 дают алгорифм для решения любой задачи
следующего типа: элемент z группы Зп задан как функция от аи..по%_х\
требуется представить этот элемент в форме J.
Ниже мы увидим, что форма I единственна (см. теорему 6) и может
поэтому быть использована для решения проблемы тождества в Зп- Для
доказательства этого факта нам понадобится рассмотреть данное Артином
представление группы кос как группы автоморфизмов. Перейдем теперь к
рассмотрению этого представления.

306 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
§ 8. Представление Артина группы кос
1. Пусть $п — свободная группа со свободным базисом {*!,..., *п}.
Определим эндоморфизмы &0 а$ (г = 1,..., п - 1) группы ffn посредством
равенств
(65) *,*, = *, OVM + 1),
(66) *Л-*« + 1,
(67) 'Л + 1=К,*<-н],
(68) <«, = «, (3*hi + l),
(69) *;*.=[*< + !, *Г!],
(70) <^ + i = V
2. Лемма 10. а{а^ = ^а{ = 1, где 1 обозначает тождественный
автоморфизм группы $п.
Это можно проверить непосредственным подсчетом.
Следствие 11. Эндоморфизмы о{ суть автоморфизмы группы $я
и
(71) < = аг> (i = l,...,n-l).
Автоморфизмы ai порождают некоторую группу автоморфизмов, которую
мы будем обозначать символом Зп.
3. Лемма 11.
0i°i + \°i = **+i*<*< + i (г = 1,..., n - 2),
aiai = ai9i (г, j = 1,..., n - 1; |t - j\ > 1).
Это можно проверить непосредственным подсчетом.
Следствие 12 (Артин). Если каждому элементу а{ группы Зп
поставить в соответствие элемент а. из Зп, то возникает гомоморфизм
группы Ъп на группу Зп.
Это прямо следует из леммы 11 и определения группы 3» (см. п. 3.1).
В дальнейшем z будет обозначать образ элемента z из Зп ПРИ только
что определенном гомоморфизме. Всякое соотношение между элементами
zXJ..., zm в Зп Дает соотношение между zx,..., z в Зп> получаемое, если
поставить черточки над z{. Равенства (15), (16) и (19) дают, таким образом,
(72) '*, + != *?.
(73) '4i+i-fti.*i~!l.
(74) *<-ue[*ty»*<-il-

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
307
§ 9. Свойства эндоморфизмов в^ и at
1. Лемма 12.
(75) *<,,** = ** (k<iiumj<k),
(76) ^Л =[*«>*,],
(77) *-<,,*,=['» *Л1>
(78) ^*,=[*,,*ГЧ-'].
(79) 'йЧ = [*я*Г'].
Доказательство. Из леммы 2 следует, что зу есть функция от ah
с i < h< j. Если fc < i или j < fc, то, в силу (65), (68) и (71),
**** = ** (i^h<3, c = ±l).
Отсюда следует (75).
Имеем, далее,
*м+Л = *<Ч [(72)]
= ffiti+l [(66)]
= [*о*<+,], 1(67)]
что доказывает (76) для случая j = i +1. Если равенство (76) выполняется
для j = h, где i < h < п, то оно справедливо и для з' — h + l, потому что
't»+i*i = ******»'*< [(73)]
-*ЛЛ [(68), (71)]
= ajti, *л] [по предположению]
= [***„*»*»] К")]
= [tj,tfc+1]. [(65), (66)]
Тем самым доказано (76).
Равенство (77) выполняется для i = j - 1, так как
*;->.Л = *М [(72>1
= ",-.[*>-„*,] [(67)]
= [*,-i*,-i.*,-i*yl К»)]
«М*,-» «Д [(66),(67)]
= ['„',-,*,]• [(Ю)]
Если это равенство выполняется для t = h, где 1 < h< j, то оно выполняется
и для i = h — 1, потому что

308
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
-*»!i*)w*i
= **!i[*,.Mj
= K-ii*p(^-ii*k)(^ii*i)]
= [*я **-i */]•
Тем самым доказано (77).
Теперь мы получаем
ММ,) = (*ьЛ)(*4Л)
= [*„*Д*»М,]
= [*о*Л][*яМу]
-[*«*/,«•*>]
= МУ,
откуда
(80) s7J(W=My
Поэтому
*<==**Д*<» *я
~*СЛ *<'*<*>]
= ['«**. *Л1.
откуда вытекает (78). Наконец,
Ь = ^ьЛЬ' *<*Л
= Ps<,i*y» *•*>]>
откуда
*w */ = [*,, К» *>)"']
=[*,., t,-vi
= [<я*Г']-
Это доказывает (79).
2. Определим теперь п эндоморфизмов а,,..., а„
(81) <*,*, = *,
(82) ayt,-l.
Лемма 13.
(83) a,.<rj = <?>,
(84) <*i*li = "i
1(65)]
[по предположению]
[(H)]
[(68), (70), (71)]
[(76), (77)]
[(9)1
[(4)]
1(8)]
[(76)]
[(9)]
[(И), (80)]
[(77)]
[(H), (80)]
[(9)]
группы $» равенствами
(•'/Я,
<*<У-1, е = ±1),
(е = ±1).

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
309
Доказательство. Пусть 1 ^ * < j — 1, j <n. Если I ^.к ^п к кф
^i,i + l,j, то
(65)
(81)
(65)
(81)
Имеем, далее,
ai
asaf
°i
**
Ч
= ffftk
= °i<*s4
«>*« + !
*<+l
(66)
(8i):
(66)
(81)
(67)
(11)
(81)
(67)
(81)
(65)
(82)
= 9ttt
«,*Л + 1 = <*,[*<> *< + i]
= [*i> *< + il
= 1
= <f,l
= *«Vr [(82)]
Это доказывает, что равенство
выполняется при fc = 1,..., п. Отсюда а^ = а{а,-. Умножая это равенство
справа и слева на af1, получим ^"'^ва^,"1, что доказывает (83).
Переходим к доказательству равенства (84). Прежде всего рассмотрим
случай t = j — 1. Если к Ф j — 1, j, то
«Л-1.Л = <*Л- К75)]
Имеем, далее,
ау*у_1.Л-1 = аЛ**-1>'*] К76)1
"»1«Л-1»аЛ1 [(H)]
-«*W l<82)]

310
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
«Л->,Л = «Л*Я *>-!*>! К77»
= [«Л,(вЛ-1><«Л>] [(И)]
-о,*,. [(82)]
Таким образом,
т. е. <*j*4-\,j = <Xj- Если равенство ayff^y = а,, выполняется для какого-
либо г > 1, то «y^-i.y = «у, потому что
ai'<- W = ai*i-\hi9i-\ К74)]
= *Г-|*Лу*<-1 [(83);i-l <j-1]
= cr rj j ay a. _ j [по предположению]
= ^1a,_1a. [(83)]
= ar
Это доказывает (84) ce = l. Умножением справа на s^j мы получим то же
равенство с е = -1, что и завершает доказательство.
3. Лемма 14. Каковы бы ни были г, j и е (1 < г < j < n, e = ±1),
можно указать такой элемент v группы $п, что
(85) *{, = [*у.Ч
(86) ayv = */.
Доказательство. Положим
при е = 1,
при е = -1.
г ^
Согласно (77), (79), (81) и (82), элемент v удовлетворяет условиям (85)
и (86).
Лемма 15. Каковы бы ни были натуральное число j (1 < j < n)
и функция f от j -l аргументов, можно указать такой элемент w
группы ffn, что
(87) /Cw »Hl/)'r['y,»],
(88) ayto = /(*1,...,*y_1).
Доказательство. Если L(f) = 0, т. е. / = 1, то мы можем
положить w=l. Поэтому наша лемма будет доказана, если мы докажем, что
для всякой функции /(&!,..., Ху_)) положительной длины / можно указать
элемент w, удовлетворяющий условиям (87) и (88), если только такой
элемент существует для всякой функции f(xx,..., Sy_i) длины 1 — 1. Сделаем
последнее допущение и рассмотрим функцию /(жи..., Жу_,) длины /.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 311
Согласно п. 1.8,
(89) /(х„ ..., х,._х) = af/eta,..., *,._,),
где £ (/о) =«2-1, 1 < t < j и е = ±1. По предположению, можно указать
элемент гц, группы #п такой, что
(90) /0(*,,,,..., *,.,,,)*, * [*,, «*>],
(91) в/«Ь*/о(*1»--.»«/-|)-
Согласно лемме 14, можно указать элемент v группы $„,
условиям (85) и (86). Полагая
(92) tosvf^tq,,
будем иметь
/(*1,Я • • ч *>-1,у)*У = *4*М*1,Я • • •' f»-l,j)*j
= *£Д'я"Ь1
вЮЛ.'*>ь1
-П*я«1|*Ь«ь1
=IV«l;
a,w = (ay«)a,*fytq,
= */«,%
= V/o(*i> • • •> *>-i)
= /(«!.•• -. *y-l)-
Таким образом, условия (87) и (88) выполняются.
, удовлетворяющий
[(89)]
[(90)]
[(H)]
[(85)]
[(7), (92)]
[(92)]
[(84), (86)]
[(91)]
[(89)]
§ 10. Связь между представлением Артина и факторгруппой 3*/91»
1. Обозначим символом % совокупность элементов группы $п,
сопряженных с t<. Так как t{ не сопряжен с tj при %Фо, имеем
Лемма 16.
(93) У|%в^ (U»<n, l0'<*> e = ±l).
Доказательство. Так как %j есть совокупность элементов из $п,
сопряженных с £,., <F/Xy есть совокупность элементов из $п, сопряженных
с ffftj. Согласно (65)—(71), ff't^ сопряжен с t~t. (см. п 5.4). Поэтому aleSfj
есть совокупность элементов из $п, сопряженных с t~tj, что и выражено
равенством (93).

312 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Лемма 17. Какова бы ни была функция f от п -1 аргументов,
/(*!,-•.,*.-,)*, =£,(?, ?„_,>Г
Это можно доказать полной индукцией по L(f) с помощью леммы 16.
2. Лемма 18. Если z'€3„, *"G3„ uz' = z", то z' = z".
Доказательство. Пусть
(94) *' = №,-.,*„-i),
(95) *"*=/V„...,*„-,).
Так как, по предположению, z' = z", имеем
/'(*!> • •., *„_,) = /"(*!, • •., *„-i).
Отсюда, в силу леммы 17, следует, что
^/4*1 ?„_ iV = $гех ?„_ ib-
для 1 < j < п. Отсюда
/'(^» • • •» *»- i)i = /"(*i> • • •>*»-i)i 0 < J4 п),
/ч*.,.••,"»-.)=/"(*,,•••,*.-.).
откуда, в силу теоремы 4, вытекает равенство
№> • • -»*—i)»/1^» • • •> Sn-i)-
С другой стороны, согласно (94) и (95),
*' = /'('и..,'„-,), ;?"«/"(*,,...,*„_,).
Отсюда ?' = ?".
§ 11. Единственность нормальной формы I, изоморфна
представления Артина и полнота системы соотношений Бурау
1. Лемма 19. Если в Зп
(96) ^=п/;кя...,^-,|У),
(97) *"«П/7К„...,«,-w>
U
(98) Г = Г,
*">/;=/; (У=2,...,п).

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
313
Доказательство. Обозначим символом Ah предложение:
равенство /,' = // верно для h < j ^ п. Мы должны доказать предложение Ах.
Но Ап справедливо тривиальным образом, так как не существует таких j,
что п < j ^ п. Поэтому достаточно показать, что из Ah следует равенство
fl = /£, т. е. что Ah влечет Ал_, (2 ^ h ^ п).
Предположим, что Ah справедливо для некоторого натурального h такого,
что 2 ^ h ^ тъ
Согласно (96), (97) и (98),
П №,я• •..*,-..,)= П №.,я• • -.*>-i.y).
1-2 7-2
откуда, в силу Ah,
П №,» ••-*>-,„•)= П де,.я-.^-.,А
j = 2 j=2
и потому
(п /;к л • •., *>.,,,)) **=(п №,„ • •., *t. ,,>)) v
Nj=2 ' N> = 2 '
Отсюда, в силу (75), вытекает равенство
(99) /л(*1,Л» • • ) *h-\,h)th= fh(*l,h> • • •» **-l,fc)V
Согласно лемме 15, существуют такие элементы w' и w" группы #п, что
(100) ЛКм..,^-иК = [^П
(101) в^ = Л(«и •••.**.!),
(102) Л'КЛ,..,^-,|ЛК = [^^],
(103) «hw» = rh(tu...,th_x).
Из равенств (99), (100) и (102) следует, что
откуда
[thyw'w»-l] = th.
Элемент w'w"~l свободной группы £п перестановочен с элементом k
свободного базиса этой группы. Это возможно только тогда, когда w'w" * есть
степень th. Следовательно, ah(w'w"-l) = 1. Мы получаем, таким образом,
(ahv/)(aktif)~l = 1, ahw' = ahwny
откуда, в силу (101) и (103),
/fc(tj, . . ., *fc_i) = Д(*ц • • •> ^Д-l)-
Отсюда следует (см. п. 1.5), что f'h = f£, чем доказательство заканчивается.

314
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Лемма 20. Если в 3„
(104) *'=п/;кя-..,«,.,,,) п%у,
(105) *"-П//К,.-.-.«,-и)П^.у,
j»2 J-l J
И
(106) z' = z",
то/; = ^(У = 2,...,п)иг; = г;(У = 1,...,п).
Доказательство. Согласно лемме 18, из (106) следует равенство
z' = z''.
Так как sitj e пп, получаем, в силу (104) и (105),
п п
Отсюда, в силу следствия 6, вытекают равенства Ц = i".
Положим
у' = П /,'К,, • • -,«,-.,,), у" = П J7K,, • •., «,-.,,)•
j-2 J-2
Тогда (104) и (105) примут вид
откуда, согласно (106),
Так как tj = *?, мы получаем поэтому у* = у*. Отсюда, согласно лемме 19,
следует, что fj = /? (j = 2,..., п), и доказательство этим заканчивается.
2. Теорема 6 (А. Ивановский). Если элемент группы Зп задан
как функция элементов <rit то этот элемент единственным образом
представляется в форме I.
Доказательство. Пусть элемент z группы 3» задан как функция
от о{. Согласно следствию 10, z может быть представлен в форме /. Если
п п п п
* = п /;Кя ■ ■ м «у-1,у) п %i = п //к*. ■ ■ -. «y-u) n *«,*>
то, в силу леммы 20,
/; = # (2o'<n) и «; = i/ (io'<n),
так как z = z. Это и доказывает единственность представления z в форме /.
3. Теорема 7 (Артин). Гомоморфизм группы Зп на грУпЩ Зп>
отображающий каждый элемент а{ на ait является изоморфизмом.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
315
Доказательство. Пусть
*'еЗ„, г"еЗп и z' = z".
По теореме 6, z1 и z" могут быть представлены в форме /. Допустим, что
эти представления даны равенствами (104) и (105). В силу леммы 20,
/; = # 0<У<п) и <; = </ (io'<n),
откуда г' = г".
Мы доказали, таким образом, что наш гомоморфизм взаимно однозначен,
поэтому это есть изоморфизм.
4. Теорема 8 (Бурау). Равенства (48)-(51) образуют
определяющую систему соотношений в группе 9tn.
Доказательство. Так как соотношения (48)—(51) определяют
группу 9£ и выполняются в группе 9tn, порожденной элементами в^ (1 < t <
< У < п), существует такой гомоморфизм у? первой группы на вторую, что
(107) ^i==e4i (l<t<j<n).
Обозначим буквой 91 ядро этого гомоморфизма.
Пусть z е УК. Так как 91С УГп, элемент г, согласно лемме 8, может быть
представлен в форме 1Х. Пусть
(108) *=fUK„..,*,-w) (в Ю-
Так как z е 91, имеем рг = 1, откуда, в силу (107) и (108),
(109) l=f[/A;,-'Vu) <B*n).
Согласно теореме 6, из (109) следует, что jj = 1 (2 < j < n). Поэтому, в
силу (108), г = 1.
Мы доказали, что 91 состоит из единичного элемента группы 9£. Так
как 91 является ядром <р, <р есть изоморфизм. Отсюда, наконец, вытекает,
что система соотношений (48)-(51), определяющая группу 9£, определяет
также группу 91п.
5. Теоремы 6 и 7 дают нам два решения проблемы тождества в группе
кос n-го порядка.
Действительно, пусть z1 и zn — два элемента группы Зп» заданные как
функции от л. Чтобы узнать, тождественны ли они, мы можем поступить
следующим образом.
Находим представления z* и z" в форме / посредством установленного
выше алгорифма (см. п. 7.2). Согласно теореме 6, z* = z" тогда и только
тогда, когда эти представления совпадают.
Другой метод, принадлежащий Артину, сводится к следующему.
Вычисляем автоморфизмы z1 и z , т. е. находим z't{ и z"t{ как функции
от ty для % = 1,..., п. Согласно теореме 7, z* = z" в том и только в fOM
случае, когда z' = z*, т. е. когда выполняются п равенств
П. = гЧ. (**=1,...,п).

316
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
§ 12. Нормальный ряд группы 3»
1. Установленные выше результаты отчетливо обрисовывают нам
строение групп Зп и %i- В самом деле, пользуясь ими, мы сейчас построим
нормальный ряд группы 9tn со свободными факторами.
2. Обозначим символом 91^ t подгруппу группы 9tn, порожденную
элементами s^. с j > t.
Теорема 9. (А. Ивановский).
Г. Группы 91^, (1 ^ I ^ п) суть нормальные делители группы %,;
3°. 9t^,_ J^, (1 < l $ n) есть свободная группа с I-I производящими
элементами.
Доказательство. Г следует, в силу теоремы 8, из существования
алгорифма, описанного в конце п. 6.2. Включения в 2° следуют прямо из
определения 91^,. Группа 91^ п порождается элементами зи из 9tn с j > п,
но таких элементов не существует, следовательно, 91^п = (1п). Группа 9L 1
порождается всеми элементами eiti из 9tn. Поэтому, согласно теореме 1,
%ь\ — %>• Остается доказать 3°.
Пусть 1 < / < п. Согласно Г, 91^, есть нормальный делитель группы 91*,
а согласно 2°, 9tM cJ^i.i. Поэтому 91^, есть нормальный делитель
группы 9^1,1, и мы можем образовать факторгруппу 9^,. ,/91^,. Будем
обозначать через z смежный класс группы 91^j в 91^,. i, содержаыщй элемент
г из Sl^i^i, т. е. положим
Так как 91^ f _ { порождается элементами з^ у с j > I -1, группа 91^,_, /91^,
порождается элементами з^. с такими же j. С другой стороны, при j > /
si,i € 9^1, откуда ^у = 1 (j > /). Поэтому элементы eI|f,..., з,_х t являются
производящими элементами факторгруппы ЭТ^^/ОТ^. Остается доказать,
что эта система производящих элементов является свободной.
Пусть / — функция от / - 1 аргументов такая, что
/(*!,!> ■■•»*|-|||)= 1-
Тогда
*°f(Sl,l,--,*l-l,l)Z%,l-
При I < n это означает, что существует такая функция g от j(n+/-l)(n-Z)
аргументов, что
при 1 = n мы имеем просто
так как 91^ п состоит только из 1п. В последнем случае имеем, в силу
теоремы 6, /(хр..., ж,_,)=1.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 317
Рассмотрим случай I <п. Тогда мы имеем равенство (110) и,
согласно теореме 5, можем представить правую часть этого равенства в форме
I,. Пусть
п
Согласно (ПО) и теореме б, мы заключаем, что и в этом случае f(xv...
• • •> 3j_i) = 1- Это завершает доказательство.
Следствие 13. Группа Зя обладает нормальным рядом
(1п) = ^пС91в|П_1С...С^1=ОТпсЗп;
факторы 91^,^/91^, этого ряда суть свободные группы, а фактор
3Ж/9ТЯ изоморфен симметрической группе степени п.
Это непосредственно следует из теорем 4 и 9.
3. Теорема 10. Пусть 1 < I < п. Существует единственный
гомоморфизм <рщ1 группы 9tn на группу % такой, что
(111) ^1*^ = 1 (1<»<А *<i<n),
(112) ¥>*|^ = ^ (Ut'<y<I)«
Ядром этого гомоморфизма является группа 91^,.
Доказательство. Так как 91^, есть нормальный делитель
группы 9ТЯ, то можно взять факторгруппу 9tn/9tn>,. Пусть z обозначает
смежный класс группы 91^, в 9^, содержащий элемент z из 91п. Факторгруппа
91„/91Я|{ порождается элементами з^- (1 < t < j < п), и, в силу теоремы 8,
эта факторгруппа может быть определена соотношениями
(113)
(114)
(115)
(116)
(117)
* * mm
* * * * * *
* * * * * *
8i,k*jtk*itj:=lsjtk8iijsitk>
* * * * *—1 ♦ * *—1 *
*.,->
(У<Аеили (»'<
(«<Л *<Л),
(У > 0-
Но те из соотношений (113)—(116), которые содержат индексы,
большие /, являются следствиями из (117). Это показывает, что группа
91/91^ порождается элементами 1^ с 1 < г < j ^ l и определяется теми из
соотношений (113)—(116), которые содержат только такие з^у.
Отсюда, в силу теоремы 8, следует существование такого изоморфизма
X группы 91,91^, на группу 91,, при котором
(И8) хК* = *и (1<<<у<0-

318 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Определим отображение ^{ группы 9tn в группу % посредством
равенства
Это отображение является произведением двух гомоморфизмов:
естественного гомоморфизма группы 9tn на группу 9^/91,^ и изоморфизма последней
группы на %. Поэтому <р t есть гомоморфизм группы %> на П^ПУ %-
Из равенства (119) и (117) вытекает (111); из равенств (119) и (118)
вытекает (112). Так как элементы з^у (1 < % < j ^ п) Порождают группу 9tn,
то <p%i является единственным гомоморфизмом группы %, на 91,,
удовлетворяющим условиям (111). и (112).
Согласно (119), равенство tp^z = 1 эквивалентно равенству z = 1, а
последнее означает, что z € У1щ1. Мы видим, что 91^, есть ядро
гомоморфизма ^{. Таким образом, все доказано.
Теперь мы выведем из теоремы 10 два важных следствия, касающихся
подгруппы группы 9tn, порожденной элементами з^. с 1 ^ г < j < I. Эта
подгруппа будет обозначаться символом 91* (1 < / < п).
Следствие 14. Группы *Я* и% изоморфны. Отображение ip%i
порождает изоморфизм группы 91" на группу %.
В самом деле, пусть / — произвольная функция от jJ(f - 1) аргументов.
В силу (112),
(120) V*i/Kt» • • •» «i-u^/Ki» • • •» *i-i,i)
и поэтому, так как элементы *^с 1 < t < j < / порождают группу %+
¥4?9t? = 9t,.
Из равенства
V^l/Kli-'-i*!-!.!)-!
вытекает, в силу (120), что /(з12,..., з,_1,) = 1 в 91,, а так как
определяющая система соотношений для группы % справедлива в 9tn, то /(з12,...
• • м 5i-i,i)= ln и в 1?• Эт° показывает, что отображение 1рщЕ взаимно
однозначно на 91?, и так как это отображение является гомоморфизмом группы
9tn, то оно отображает 91? изоморфно на 91,.
Следствие 15. Всякий элемент группы 9ТП однозначно
представляется в виде xyt где х е 91^,, у € 91? (1 4 * < л).
Возможность такого представления следует непосредственно из
теоремы 5. Его единственность можно доказать так: если ху = х'у', где
se9t„„ a'e9tM, yG9tn, 1/691?,
то
v*ito)eip*i(*V).'
так как
это дает
откуда, в силу следствия 14, у = ^ и, наконец, ж = ж'.

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС 319
§ 13. Производящие элементы д.;
1. Мы знаем, что элементы s^y являются производящими для группы 9tn.
Однако для некоторых целей удобнее пользоваться другой системой
производящих, которую мы сейчас и введем.
2. Определим элементы р^ у (1 < i ^ j < п) группы 91п индуктивно
посредством равенств
(121)
(122)
3. Л
(123)
(124)
емма
/4< = 1
Pi,i+\=°iPi,iai
21. В 91, выполняются равенства
Pi,j = »i,jPi+i,i>
8и=рцр;и,^
(U *'^ п),
(K*<i<n).
причем оба для 1 <» < j < п.
Доказательство. Равенство (123) выполняется для j=i+l, так как
Если равенство
няется и при j ■■
Pi,
Pi,i+l = <ripi,l<ji
-о?
= 5M + 1
= 5i,» + lp» + l,» + r
(123) выполняется при j = h,
as Л + 1, потому что тогда
fc+i=*ikA;**jk
-алвцлР. + 1,лал
где i <h<
[по
[(122)]
[(122)]
[(15)]
[(121)]
п, то оно выпол-
[(122)]
предположению]
»Wft+i.fc+i- [(16), (122)]
Это доказывает равенство (123). Из этого равенства вытекает (124).
Следствие 16. Элементы ft,,-,.. nPj-\j порождают в 9tn туже
подгруппу, что и элементы sXJy...', зу_1|У (1 < j ^ n).
Следствие 17. Элементы p^s (1 <i<j^n) порождают группу 9ln.
Это прямо вытекает из следствия 16 и теоремы 1.
4. Лемма 22. Элементы р1у,..., Ру_ u образуют свободный базис
порождаемой ими подгруппы группы 0ТП.
Доказательство. Пусть 05 обозначает подгруппу 9ТП, порождаемую
элементами а1#у,..., sjm,XJ. По теореме 6, элементы аи,..., sy_lfi образуют
свободный базис в 05. Определим эндоморфизм ф группы 95 равенствами
(125) VVi.; = *y-i,;>
(126) **i»^i./ (i <y _ i).

320 ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Согласно следствию 16, элементы р, я..., Ру_1>у принадлежат 53.
Для i < j - 1
1>Ри = *(»<, jPi+u) [<123)1
= <4y*,>i,y#.+i,y> [(126)]
откуда
siy#<y * *Г+wM+i,, (*' < J - О-
Поэтому при » < j
-*!w*<*-w*y> [(123)]
= 1, [(121), (125)]
т. е.
(127) #<у = *,у (<<J).
Если теперь / — функция от j - 1 аргументов такая, что в 93
/(Pi,y>- >Py-i,y)=1>
то
/(#1,я • • -1 #y-i,y) = #(Pi,y> • ■ •» Ру-i.y) К3)]
= ^1 = 1,
т. е.
/Кя-- -5i-i.i) = 1-
Но это возможно только при f(xxy..., «у_i) = 1, где а^,..., жу_, —
неопределенные. Таким образом, элементы р1у,..., py_i,y не могут быть связаны
нетривиальным соотношением. А так как, согласно следствию 16, эти
элементы порождают группу 93, то они образуют свободный базис этой группы.
Б. Теорема 11. Если элемент группы 3„ задан как функция эле-
ментов <?it то этот элемент однозначно представляется в форме
п п
П/у(Р1,я.мРу-,,у)П%у
У-2 У-1
Доказательство. Пусть z63« и z задан как функция от о{.
Представим z в форме /, что возможно согласно теореме 6:
п п
У=2 У-1 J
Согласно (124) и (121), мы можем выразить зи,..., sy_u как функции от
Pi, у* • •» Py-i.i» что и дает представление z в форме /'.
Далее, если
п п п п
* - п /;(Р|,я • • •» ^-1.>) п %> - п //(л,,. • • •» p,-i,,) п %,.
У-2 У-1 J У-2 У-1 '

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
321
то, выражая посредством (123) и (121) р,я ...,р}_^, как функции от
s,,.,..., 8j_lj, получим равенство
(128) ft в}(*и-•-,*,-,.,) ft *«.,- ft rfKy..«y-u) ft *«.,.
где у-« у-i у-« у-i
(129) /;(А|У,.. .,/>,-,.,) = $}(-,,,, • • -, •>-!,,),
(130) //(Л>у,.. .,/>,._,„•) = #(*,,„ • •., •>.,,,)
для 1 < j ^ п. Согласно теореме 6, из равенства (128) следует, что
<; = <Г (Кэ^п) и А} = ву (i<i<n).
В силу (129) и (130), это дает
f№.i> ■ ■ •' Pi-i.i) = fi(Piti> • • •' Py-i.y) 0 < J < n)>
откуда, согласно лемме 22, вытекают равенства /,' = // (1 < J < п). Итак,
мы установили единственность формы Г и тем самым полностью доказали
теорему 11.
6. Выведем теперь некоторые соотношения между элементами pijt
аналогичные равенствам (59).
Лемма 23. В У1п выполняются соотношения
(131) [pM,s?y] = PM (з<кили (fc<t> j<1), e = ±l),
(132) [p^s^]^ з.^зг} 37} pkl (i<k<j<l),
(133) [pM, S7l.] = 37}37lajtl3.lPkil (i<k^j< I).
Доказательство. Согласно (121) и (123), рм есть функция
элементов s^j с к ^ ft < I. Если j < к, то, согласно (48), элемент з^
перестановочен с каждым из таких зм. Поэтому равенство (131) выполняется для
j < к и е = ±1.
Этот факт позволяет доказать равенство (132) для случая г < к =j < I
следующим образом:
[Pii.^y] = [«iiPy+i,i.^i] [(123)]
= [*ii.^i!]Pi+i.i [(52), (131)]
= *i,ihi<islXiPn- [(I23)]
Если равенство (132) выполняется для к = ft, где г + 1 < ft ^ jf < Z, то это
равенство выполняется и для fc = ft - 1, так как при этом
[А-ьп^М^-ыЯм»**/! [(I23)]
-hk-i,i» *ii^i*ii^iKieii J4i^ii^i К56)' предположение]
s=^ieii^i"iei'«^-t.ift»'
= ^i«ii^"i*iilA-i>i- [(I23)]

322
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Этим доказано (132).
Теперь можно доказать равенство (131) для k = i <j <l и е = 1:
U4t»etJ = kift+i,i»^] К123)]
= Ki» *i,J[ft+i,«.*i,,] К4)]
"KM'i-i'^/Ki'ii^/'ii'A + i.! [(54),(132)]
= Pi,i- [(123)]
Если это равенство выполняется для « = 1 и fc = /i, где 1 < /i < г < j < /, то
оно выполняется и для к = h — 1, так как
1Рл-м>*о] = к-мРм'в4,] [(123)]
= [**-i.i.^l[flM»«wl К4)]
= sh-i,iPh,i [48, предположение]
-А-1,|. [(123)]
Этим заканчивается доказательство равенства (131) для е = 1. Для е = -1
это равенство получается отсюда непосредственно, и нам остается
доказать (133). Это доказательство может быть проведено так.
При % < к ^ j < I
Лм =Ki*ii^i«ii4i» 5ul К132)]
=К„ ^1К<> *«. ^Г'К<> ^ГЧлм. *,ГЛ К6)]
= [5»,л si,isj,i][si,i> 8i,i8j,ul8i,n 8i,i8j,il x
xKoViJ-'K.-^l [(53), (55), (9)]
= К i*n8ilsii> ai,ian]lPk,i> «dl K6)]
= «4"|Ч"|*41«Л|1Лм.^"Л.
откуда следует (133).
Лемма 24. В 9t„ выполняются соотношения
(134) [рм, р^1=/^, 0<fc иди (*<*, i</), e=± 1),
(135) [PkoPi.ilr'Pi.iPTii.tPitP^PkiPiiPi+i.i (<<*<У<0.
(136) [Pk,i,P^] = Pi+i,iPiiPKiP^PiiPiU,iPi.i (<<*<*<')•
Доказательство. Согласно (121) и (123), р^. есть функция
элементов 8Ы; с » < h < j. Для j <к, а также для & < * и У < Z все эти aKi,
согласно (131), перестановочны с рм. Поэтому в этих случаях piii
перестановочно с рК1, что и выражено равенством (134).

ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
323
Для 1^1^у</<пмы имеем равенство
(137) \Рц, Pi,A = Pi,iP7l\,iPnP?iPj+i,i-
В самом деле, в силу (121), это равенство выполняется для i=j<l. Если
оно выполнено для i = h, где 1 < h < j < I, то оно выполнено и для i = h-\,
так как
[рц,Рн-и] = [рц,*н-иРн,А [(123)]
= [[Pii,«*-u],Aj [(7)]
= [«*-|.|*л«*1 hrtiPiu Ры\ К132)]
= Ift-i,i^iPiiP7+i,iAM/>*ii.iPi+i,ii^y] К124))
= Ph-i,iP^\[PihPk,Mii,iPMPh-i,iPi+u [(6), (134)]
= Ph- i,iPh,\Ph,iP7li,iPnPh,\Pi+i,ix
х P7li,iPk,iPk-i.iPi+i,i Ino предположению]
= />Л-1,«РГ+1)|Ра|Рл-1,|Рл-1,1-
Тем самым доказано (137) для i^j <1. Теперь с помощью этого равенства
мы можем доказать (135) следующим образом.
При »' = к < j < I (135) имеет вид
[Pk,i>Pk,A = Pk,n
что справедливо в силу (134). Если равенство (135) выполняется для г = h,
где 1 < h ^ к < j < '• то оно выполняется и для г = h — 1, так как
[Pk,i,Ph-ij] = [Pk,i>8h-ijPh,j] К123)]
= [[Pk,i,*h-ijlPh,j] К7)]
«[•k-i.i'ii'i'ii.i'iiWi'^J ^132)1
= lPh-uPbiPiiP7li,iPh,iPh-i,iPj+i,iP7liPk,» Ры] К124)!
^ii.AwrWftJ [(6), (I34)]
= Р*-1,|РмРмР7+1,|Ра»/>мРу+1,|Р7+1,«х
xPfc.iPkii.jPi+i.iP/ii.jPft.iPi'jPy+i.i^iX
х PK,iP7U,iPj,iPi\PkiPiiPi^,i К137)- предположение]
= P»-i,iPi"+i,iPii«'ii,iPwPi!iPy+ili-
Тем самым (135) доказано. Остается доказать (136).

324
ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОС
Для этого заметим, что при i < j < I
О38) [Рц> Р^)\ = Pj+i,iPvPnPiU,iPi,i-
В самом деле, в этом случае
Рц =[Pi,iP;li,iPnPvPj+i,i> Pu\ 1(137)]
= /^»>*мРС>Г<Ч+>,п [(6),(134)]
откуда вытекает (138).
Теперь для г < ^ к ^ j < I получаем
Pk^lPvPiluPiiPjPbiPjiPj+i.nPv] [(135)]
-P^P7^.^Pi/JPuK/[PM^^iMPu]-Vi+M [(6), (134)]
х PjPj+i,iPliPi,iP7li,iPi+i,i К138)]
= PiiPjlxAPw p<)]p;\Pi+\,iPi\pi,ii
откуда вытекает (136).
7. В заключение докажем полноту системы соотношений (134)—(136).
Теорема 12. Равенства (134)--(136) образуют определяющую
систему соотношений в группе 9ц,.
Доказательство. Система соотношений (134)-( 136) содержит
соотношения вида
(139) [Pi«»P^] = fliU*,e(Pl,M-MA-i,/),
где е = ±1, a {a /, t, к} — любая система индексов такая, что
l<t'<k<I<n и l^j<l
Система соотношений (139) аналогична системе (59) и дает для
производящих элементов pi^j то же, что (59) дает для з^.. Пусть 9l£ — абстрактная
группа, порожденная элементами р0 и определенная соотношениями (139).
Тогда можно доказать предложение, аналогичное лемме 8, с той лишь
разницей, что вместо знака * нужно брать знак о, а вместо букв s — буквы р.
В частности, мы можем утверждать, что всякий элемент группы *Л°
представляется в форме
п
Теперь остается повторить доказательство теоремы 8 mutatis mutandis и
получить таким путем требуемый результат.
Литература
[1] А г t i n E. Theorie der Zopfe // Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg. — 1925.
[2] Клейн Ф. Высшая геометрия. — М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
[3] Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — М.-Л.: Гостехвддат, 1938; РХД:
Ижевск, 2002.
Bd
[41 В и г a u W. Uber Zopfinvarianten // Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg. —1932. —
.9, №2.-S. 117-124.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ*)
Содержание
Введение 325
§ 1. Субнормы 329
§ 2. Доказательство теоремы 2 335
§ 3. О нетривиальной топологизации счетной группы * 347
§ 4. О потенциальной плотности 348
Введение
1. В работе автора «О свободных топологических группах»!)
сформулирована среди прочих следующая проблема.
Доказать или опровергнуть утверждение: всякое множество,
безусловно замкнутое в какой-либо группе, является алгебраическим в этой
группе2*.
При этом понятия безусловной замкнутости и алгебраичности множества
в группе определяется следующим образом:
Определение 13). Пусть G — группа, А с С?. Мы говорим, что А
безусловно замкнуто в G, если А замкнуто во всякой топологии
группы G.
Определение 2. Пусть m — натуральное число. Под
мультипликативной функцией от m аргументов мы понимаем любое слово в
совокупности натуральных чисел, не превосходящих т.
Определение 3, Пусть {{]\, с<}}Г»i — мультипликативная
функция от т аргументов, {х,.}?а1 —система элементов группы G. Значением
мультипликативной функции {{jn £<}}?-1 в группе G для системы
аргументов {$,}7«1 называется элемент
группы G.
Значение мультипликативной функции Ф в группе G для системы
аргументов {$,},. ш1 будет обозначаться символом bG(xn ..., хт), причем
индекс G будет опускаться там, где это не будет влечь недоразумений.
Определение 4. Пусть G — группа, А с G. Мы говорим, что
А есть элементарно алгебраическое множество в G, если существует
*> Матем. сб. Новая сер. —1946.—Т. 18, М 1. —С. 3-26.
1) Изв. АН СССР. Сер. матем. —1945. —Т. 9, J* 1. — С. 3-64. Цитируется в дальнейшем
как СТГ. [См. с. 229-288 наст. изд. — Прим. сост.]
2) СТГ, § 9, проблема 8.
3> СТГ, § 9, с. 57.

326
О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
целое неотрицательное число т, система {ау}?ш1 элементов группы G и
мультипликативная функция Ф от m + 1 аргументов такие, что
(1) А=5(Ф(а1,...,ато,х) = 1с).
X
Определение 5. Мы говорим, что А есть аддитивно
алгебраическое множество в G, если А является теоретико-множественной суммой
конечного числа множеств, элементарно алгебраических в G*
Определение 6. Мы говорим, что А есть алгебраическое
множество в G, если А является пересечением какого-нибудь непустого
множества множеств, аддитивно алгебраических в GA).
2. Следующая теорема легко доказывается.
Теорема 1. Всякое множество, алгебраическое в группе G,
безусловно замкнуто в G.
Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из следующих
лемм.
Лемма 1. Всякое множество, элементарно алгебраическое в группе
G, безусловно замкнуто в этой группе.
Лемма 2. Теоретико-множественная сумма конечного числа
множеств, безусловно замкнутых в группе G, безусловно замкнута в этой
группе.
Лемма 3. Пересечение любого непустого множества множеств,
безусловно замкнутых в группе G, безусловно замкнуто в этой группе.
Лемма 1 доказывается следующим образом.
Пусть А — элементарно алгебраическое множество в группе G. Пусть
оно определяется равенством (1), где а{ е G, (t = 1,..., m), и Ф —
мультипликативная функция от т + 1 аргументов. Определим отображение tp
группы G в самое себя равенством
(2) ^х = Ф(а1,...,ат,х) (xeG).
Из непрерывности групповых операций в топологической группе следует,
что это отображение непрерывно по отношению к любой топологии в
группе G. С другой стороны, согласно (1) и (2),
А = *>"%.
Таким образом, А является прообразом одноточечного множества при
отображении, непрерывном по отношению к любой топологии в группе G.
Следовательно, А безусловно замкнуто в G, что и требовалось доказать.
Лемма 2 непосредственно следует из того, что теоретико-множественная
сумма конечного числа множеств, замкнутых в каком-нибудь
топологическом пространстве, замкнута в этом пространстве.
Лемма 3 следует из того, что пересечение любого непустого множества
множеств, замкнутых в каком-нибудь топологическом пространстве,
замкнуто в этом пространстве.
4> Ср. ОПТ, § 9.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 327
3. Автору пока не удалось построить ни одного примера множества,
безусловно замкнутого в какой-либо группе и вместе с тем не алгебраического
в ней. Поэтому у него возникло предположение о справедливости теоремы,
обратной к теореме 1. Доказательство или опровержение этой теоремы и
составляет проблему, сформулированную в начале этой статьи.
Решить проблему полностью автору в настоящее время не удалось.
Получен, однако, частичный результат, относящийся к счетным группам.
Оказалось, что в области счетных групп проблема решается в положительном
смысле: обратная теорема имеет место для таких групп.
Установление этого результата и составляет главный предмет настоящей
работы.
4. Из определения 6 следует, что пересечение всякого непустого
множества множеств, алгебраических в группе G, есть множество, алгебраическое
в этой группе. Поэтому для любого подмножества А группы G возможно
следующее построение.
Рассматриваем совокупность алгебраических в G множеств,
содержащих А. Такие множества существуют; например, вся группа G является
одним из них. В самом деле, G есть множество элементарно
алгебраическое, так как
G = £(xx-l = lG).
X
Строим пересечение всех таких множеств. Оно содержит А и является
алгебраическим в G. Очевидно, оно содержится во всяком множестве,
содержащем А и алгебраическом в G, т. е. является наименьшим из таких
множеств.
Мы формулируем
Определение 7. Пусть G — группа, А С G. Пересечение всех
алгебраических в G множеств, содержащих А% называется алгебраическим
замыканием множества А в группе G.
Алгебраическое замыкание множества А в группе G будет обозначаться
символом
AG
или (там, где это не будет вести к недоразумению) символом
А.
Согласно предыдущему, множество А обладает следующими свойствами:
А,. А с А;
А2. А —множество, алгебраическое в G;
А3. А содержится во всяком множестве, обладающем свойствами Ах и А2.
Очевидно также, что А характеризуется свойствами А,, А2 и А3, т. е.
является единственным множеством с этими свойствами.
Из определений 6 и 7 следует, далее, что алгебраическое замыкание
множества А в группе G может быть также определено как пересечение всех
аддитивно алгебраических в G множеств, содержащих А. _
Из свойства А2 следует, согласно теореме 1, что множество А безусловно
замкнуто в группе G. Принимая во внимание А,, получаем отсюда

328 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Следствие 1. Замыкание подмножества А группы G, по
отношению к любой топологии в этой гриппе, содержится в алгебраическом
замыкании множества А в группе 6.
Наша цель — доказательство следующей теоремы, в известном смысле
дополняющей этот результат в области счетных групп.
Теорема 2. Каково бы ни было подмножество А счетной
группы G% существует такая топология в этой группе, что замыкание
множества А по отношению к этой топологии совпадает с
алгебраическим замыканием этого множества в группе G.
Из этой теоремы легко получается искомое обращение теоремы 1 для
счетных групп, которое формулируется следующим образом.
Следствие 2. Всякое множество, безусловно замкнутое в
счетной группе О, является алгебраическим в этой группе*
В самом деле, допустим, что теорема 2 верна, и рассмотрим произвольное
множество А, безусловно замкнутое в счетной группе G. Согласно
теореме 2, при надлежащем выборе топологии в группе G имеем А=А^ где
левая часть обозначает замыкание множества А по отношению к этой tq:
пологий. Но А = А, так как А безусловно замкнуто. Следовательно, А = А
и потому, согласно Ag, множество А является алгебраическим в G.
5. Доказательство теоремы 2 проводится ниже в § 2 с помощью
построения надлежащей мультинормы5* в группе G. Существенную роль при Этом
играют понятия нормы6) и субнормы7', а также некоторые связанные с этим
понятиями факты, устанавливаемые в § 1. В § 3 и 4 содержатся некоторые
следствия из полученных результатов. В частности, в § 3 устанавливается
алгебраический критерий существования нетривиальной топологии счетной
группы.
6. Мы будем применять терминологию и обозначения цитированной
статьи. Кроме того, мы будем пользоваться понятием «продолжение»
функции, которое определим следующим образом.
Определение 8. Пусть / и g — функции в множествах А и В
соответственно. Мы говорим, что g есть продолжение /, если А С В и
gx = fx при хе А.
Введем знак < для обозначения отношения продолжения. В дальнейшем
формула f<g будет означать, что g есть продолжение /. Введем еще символ
го
который определим индуктивно следующим образом:
О го /го-1 \
От< *= А, .О wi = ^O Wi) о wm (m = 1,2,.. .).
Здесь wi —слова в каком-нибудь множестве.
5> Понятие мультинормы в группе определено в СТГ, § 3.
6> СТГ, § 1.
7> См. § 1 настоящей статьи.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 329
§ 1. Субнормы
1. Определение 9. Пусть G — группа, lGeAcG, f —
действительная функция в G. Мы говорим, что / есть субнорма * А относительно
G, если выполнены следующие условия:
S../U-0;
S,- / П tf < £ М.
каково бы ни было слово {{х{, е€}}?ш1 в А такое, что
(3) fW'GA.
Там, где это не будет влечь недоразумений, мы будем говорить просто
«субнорма в А» вместо «субнорма в А относительно G*.
Цель этого параграфа составляет доказательство следующей леммы.
Лемма 4. Какова бы ни была ограниченная субнорма f в А
относительно G, существует норма N в G, являющаяся продолжением f и
такая, что
SUp N as SUp /.
2. Доказательство леммы 4 будет опираться на ряд других лемм, к
которым мы и переходим.
Лемма 5. Всякая субнорма в А есть неотрицательная
функция в А.
В самом деле, пусть /-^субнорма в А. Пусть хеА. Имеем жат1 =
= 1G € А, откуда, согласно S2, j\G ^ 2fx и потому, согласно Slf jx ^0.
Лемма 6. Всякая субнорма в G относительно G есть норма в G.
В самом деле, условие S, совпадает с условием Nt определения нормы8*,
а условие S2 дает при A — G
f(*tTlXfx + fv (xeG, у б О),
т. е. условие N2 определения нормы9*.
Лемма 7. Пусть G—группа, lGeAcG, beG\A, B = A\J(Ъ).
Тогда, какова бы ни была ограниченная субнорма f в А, существует
субнорма g в В, являющаяся продолжением f и такая, что
(4) sup g = sup/.
Доказательство. Пусть W означает совокупность слов {{st,£<}}£,
в множестве В, удовлетворяющих условиям:
Wj, Существует j такое, что х^ *= Ь,
W2. fix'ieA.
8> СТГ, § 1.
9> СТГ,§1.

330 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Так как lG e А, имеем
(5) {{МЫ*-1}}еЮ
Таким образом, W^A.
В непустом множестве W определим действительную функцию h
следующим образом. Пусть гу = {{ж|., е.-НГ-; € W. Обозначим через k(w) число
тех jt для которых х,. = Ъ. Согласно Wp k(w)— натуральное число.
Положим
(6) Х(<ш) = £(х.еА)у
(7) М^)=щ)(/П^- £ /*>)•
Выражение в скобках в правой части последнего равенства имеет смысл в
силу (6) и W2. Вся эта правая часть тоже имеет смысл, так как k(w) > 0.
Таким образом, равенство (7) определяет действительную функцию h в
множестве W.
Согласно лемме 5, т
коль скоро w = {{х., ei}}^mtl e W. Так как при этом k(w) ^ 1, имеем,
согласно (7),
(8) h(w)^supf (we W).
Положим щ = {{by l}, {by -1}}. Согласно (5), и^е^и можно
рассматривать h(w0). Согласно (6), X(i£^) = A, откуда
*К)=4© ГС
= 0, [S.J
то есть
(9) Цщ) = 0.
Определим теперь функцию д в множестве В следующим образом:
(Ю) gx = {fx . ПРИ*6?'
х ' I SUP^ ПРИ я = Ь.
Согласно (8),
sup h^ sup/,
откуда, согласно (10), получаем равенство (4). Согласно (10), функция д
является продолжением функции /. Остается доказать, что эта функция
будет субнормой в В.
Для этого заметим прежде всего, что в силу (10) и (9)
(11) дЪ>0.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 331
Заметим, далее, что, будучи продолжением субнормы /, функция д,
очевидно, удовлетворяет условию Sr Покажем, что она удовлетворяет
условию S2. Рассмотрим для этого произвольное слово {{уя Vj}}%\ B В такое,
что
Требуется доказать, что
(12) д ft V? < t щ-
Положим
03) У=Пу?>
и будем различать следующие 4 случая, очевидно, исчерпывающие все
возможности:
I. уеА, у,еА (j = l,..., п);
II. у Е А; существует з такое, что.у, = Ь\
Ш. у = Ь; у,еА (У = 1,...,п);
IV. у = Ь; существует s такое, что у, = Ь.
Справедливость неравенства (12) в случае I непосредственно следует из
равенства (10) и условия S2 для субнормы /. Чтобы получить это
неравенство в случае IV, достаточно заметить, что согласно (10), (11) и лемме 5,
функция д неотрицательна в В. Справедливость неравенства (12) в
случае II усматривается следующим образом.
В этом случае система {{y«4y}}"«i есть слово в В% удовлетворяющее
условиям W, и W2, т. е. v е W, где v = {{yjy Vj}}%\- Поэтому существует
h(v) и, согласно определению функции h и равенству (13),
где
Х(ь)=щеА)
и k(v) — число тех j, при которых у- = Ь. Согласно (10), h(v) < д(Ъ), откуда
в силу (14) и (10)
Принимая во внимание, что k(v)>0, получаем отсюда
gy^k(v)gb+ £ flVy
jex(v)
Согласно определениям числа k(v) и множества X(v), это дает
неравенство (12).
Остается рассмотреть случай III.

332
О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Итак, пусть у = Ь, yj € A (j = 1,..., п). Рассмотрим произвольное
слово w = {{^, е{}}?шХ, принадлежащее W. Определим систему слов {wJJ1.,,
полагая
Г {fai*<}} ПРИ Ъ£А,
(15) W, — < v при ж,- =*Ь, е< = 1,
[ v при ж, = Ь, е, = -1,
где
(16)
Положим
(17)
«={{у/.ч,}};-1-
гх =5 Он;,.
Так как & € A (j = 1,..., п), система v является словом в А, а потому,
согласно (15), и все w{ суть слова в А. В силу (17), отсюда следует, что
и — слово в А. Пусть
О») « = {КЛЖ-п
где zk е А, вк = ±1 (к = 1,..., р).
Из равенств (15)—(18) следует, что
где
t( = <
П*-П*.
fc=l 1-1
ж/< при xi е А,
п
П У? при х< = 6, е< = 1,
>-1
(П^) При Х< = Ь,£,=-1.
Принимая во внимание, что у = Ь, имеем, согласно (13),
Следовательно, ^ = ж/*' при i = 1,..., га, и потому
(19) fitf-fitf.
*-1 1 = 1
Согласно условию W2 для принадлежащего множеству W слова
{{ж0 е,}}*.!, получаем отсюда
fl*theA.
Так как и zk € А при fc = 1,.. .,р, то отсюда, согласно условию S2 для
субнормы /, находим
(20)
/ ft *> < t f*k.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
333
С другой стороны, в силу равенств (15)—(18) и (6),
(21) £fzk = k(w)±fVj+ £ fx{.
Формулы (19)—(21) дают
m n
/ П */'ОМ Е/у, + E /*<>
• -1 j = l »€Х<ш)
откуда, согласно (7),
Это неравенство справедливо, таким образом, для любого слова w из W.
Следовательно,
п
supM £/уя
откуда, согласно (10),
Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае у = Ь, получаем
неравенство (12).
Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть G — группа, М — действительное число, 2 —
непустое упорядоченное множество, {А^}^€Е и {Д}{€е— системы,
удовлетворяющие следующим условиям:
1.21. /f есть субнорма в А( относительно G при любом £ изЕ;
1.22. Д < Д, коль скоро £ предшествует г\ в S;
1.23. sup Д ^ М при любом £ изЕ.
Пусть
(22) А=1М<-
Тогда существует субнорма f в А относительно G, удовлетворяющая
условиям:
1.24. Д < f при любом £ из S;
1.25. sup/^М.
Доказательство. В силу 1.21, A^cG при £ еЕ. Поэтому,
согласно (22), имеем AcG.
Так как S ^Л, существует С € S. В силу 1.21, lG e Ас% Поэтому, в
силу (22), lG € А.
Определим теперь во множестве А действительную функцию /
следующим образом. Пусть хеА. Согласно (22), существует £ еЗ такое, что
х б Аг Число f^x не зависит от выбора такого |. В самом деле, если х е А,
и х е Ащ, где £ ф т/, то либо £ предшествует щ в S, ли0ат7 предшествует |
в S. В первом случае /е < Д, согласно 1.22, и потому Дж = Дх, а во втором
случае / < Д и потому Д «=/,«. Не зависящее от выбора элемента £ число
Дх возьмем в качестве значения определяемой функции /.

334 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Таким образом,
/ж = /^
коль скоро х е Ai. Это означает, что функция / в А удовлетворяет
условию 1.24. Так как каждое ее значение совпадает с некоторым значением
одной из функций Д, а эти функции удовлетворяют условию 1.23, функция /
удовлетворяет условию 1.25. Остается доказать, что она есть субнорма в А.
Функция / удовлетворяет условию St, так как является продолжением
всякой субнормы ft (£ е 3). Покажем, что она удовлетворяет условию S2.
Пусть {{яч>е<})Г-1—слово в А, удовлетворяющие условию (3).
Положим
(23) Ч>=ГЫ'.
» = i
Имеем х{ е A (i = 1,..., m) и, согласно (23) и (3), а^ е А. Поэтому, в силу
равенства (22), существуют £, (i = 0,1,..., га) такие, что
(24) х{еАи (i=0,l,...,rn).
Среди этих элементов £< упорядоченного множества S имеется последний
£у, следующий за всеми отличными от него £<. Согласно 1.22,
Л««Л, (*=0,1,...,т),
откуда
(25) АисАЬ (*=0,l,...,m).
В силу (24) и (25),
Ъ^А*,. (i=0, l,...,m),
и так как, согласно 1.21, Д. —субнорма в А^., то, принимая во
внимание (23), имеем
Отсюда, в силу 1.24, следует неравенство
/ П *!* < £ Л.
что и требовалось доказать.
3. Доказательство леммы 4. Множество G\A может быть вполне
упорядочено. Это дает взаимно однозначное отображение совокупности по-
Вядковых трансфинитных чисел, меньших некоторого числа 7 на G\A.
[усть ха — образ числа а при этом отображении. Когда а пробегает
совокупность порядковых чисел, меньших 7. ха пробегает все множество G\A,
причем при а<7. fi <ч ъ <*ФР имеем ха Ф xfi.
Обозначим через Вр, /3 < 7» совокупность всех ха с а < /?. Положим
Afi = A\JBfi.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 335
Имеем В, =Л, Bi = G \ А,
(26) At=A, A7 = G;
(27) А^^А^Ща:,), xfi^G\Afi (/3<y);
(28) AacA0 (a</?<7).
Если /3 — произвольное порядковое число, не превосходящее 7. то,
очевидно,
(29) А>= U К-
Положим /, =/, М = sup/. Тогда, согласно (26), /, будет субнормой в А,.
Принимая во внимание свойства (27), (28) и (29) множеств Afi и пользуясь
леммами 7 и 8, можно с помощью трансфинитной индукции определить
систему функций {/^}^<7, удовлетворяющих следующим условиям:
1.31. /л есть субнорма в А, при /3 ^ 71
1.32./.*?, при а </3^7;
1.33. sup/, ^ Af при р ^ 7-
В силу (26) и 1.31, /7 есть субнорма в G относительно G. Согласно
лемме 6, это означает, что /7 есть норма в G. Согласно 1.32t f<L.
Согласно 1.33, sup /7 < sup /, а так как / « /7, то, с другой стороны, sup / < sup Д.
Следовательно, sup/7 = sup/. Положим JV = /7. Тогда JV— искомая
норма в G.
4. Доказательство леммы 4 осуществлялось с помощью полного
упорядочения множества G \ А и, таким образом, опиралось на аксиому выбора.
Если, однако, предполагать это множество счетным, то надобность в этой
аксиоме отпадает. При этом трансфинитная индукция заменяется
обыкновенной. В частности, так обстоит дело, если предполагать счетной всю
группу G.
В наших последующих рассуждениях не будет никаких дальнейших
источников неэффективности, связанных с применением аксиомы
выбора. Доказательство теоремы 2 оказывается, таким образом, вполне
эффективным.
§ 2. Доказательство теоремы 2
1. Доказательству теоремы 2 мы предпошлем некоторые леммы,
касающиеся алгебраических множеств и алгебраического замыкания.
Лемма 9. Если А — элементарно алгебраическое множество в
группе G uceG,mocA и Ас —элементарно алгебраические множества
§ группе G.
Доказательство. Пусть А определяется равенством (1), где а{ е G
(г = 1,..., т) и Ф — мультипликативная функция от m + 1 аргументов.
Пусть
•-«А. «}>Г-1.

336 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
где з\ —натуральные числа, не превосходящие m +1, е( =±1. Положим
{Ш.сЛК-1 прид<т;
{{т + 1, -1}, {т + 2,1}} при jt = т + 1, et = 1;
{{т + 2,-1},{т + 1,1}} при д = т+1, ej = -l;
Ф = Ой,.
Ф является мультипликативной функцией от т+2 аргументов, причем, как
нетрудно видеть,
(30) Ф(о1,...,от,с,о;) = Ф(о1,...,ат,с-,а:) (xeG).
Следовательно,
сА = с6(Ф(а1,...,ат,х) = 1е) [I]
= £(Ф(о„...,ат,с-,а:) = 1с)
X
= £(#(о,,...,а*,с,*) = 1в). [30]
Это показывает, что сА — элементарно алгебраическое множество.
Аналогично доказывается, что Ас — элементарно алгебраическое множество.
Лемма 10. Если А — аддитивно алгебраическое множество в
группе G и се А, то сА и Ас —аддитивно алгебраические множества в
группе G.
Это следует из леммы 9 и легко доказываемых равенств
т т
cU^=UK),
» = 1 » = 1
(Си,)с=и(^с).
Здесь Ai (г = 1,..., т) — любые подмножества группы G.
Лемма 11. Если А '— алгебраическое множество в группе G uceGt
тосА и Ас —алгебраические множества в группе G.
Это следует из леммы 10 и легко доказываемых равенств
с П В= П(^с),
вей ве%
(П)с= П(Вс).
Здесь 21— произвольное непустое множество подмножеств группы G.
Лемма 12. Если А содержится в группе G uceGt то
(31) сА=£4,
(32) Ас = Ас.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 337
Доказательство. _
сА с с А
в силу Ар с А —алгебраическое множество в G в силу А2 и леммы 11. В
силу свойства А3 множества сА отсюда следует, что
(33) сА с с А.
Это включение имеет место для любого подмножества А группы G и
любого ее элемента с. Заменим в нем А на сА и с на с"1. Получим
откуда
(34) сАсй.
Из включений (33) и (34) следует равенство (31). Аналогичным образом
доказывается равенство (32).
2. Докажем теперь теорему 2.
Пусть G — счетная группа, А С G. Требуется доказать существование
такой топологии в группе G,4to замыкание множества А по отношению к
этой топологии совпадает с А.
3. Существование искомой топологии очевидно, если А = А.В этом
случае можно взять «тривиальную» топологию (см. ниже определение 10),
получаемую, если каждый элемент группы G считать изолированной точкой.
Поэтому в дальнейшем можно предполагать, что АфА. Сделаем это
предположение _
Имеем А \ А ф А и, так как множество А \ А не более чем счетно,
существует последовательность {£\}°°=1, обладающая следующими свойствами:
2.31. 6,€A\A(i = l,2,...);
2.32. Каков бы ни был элемент х множества А\А, существует
бесконечное множество значений г таких, что Ь{ = х.
4. Так как группа G счетна, существует последовательность {а<}~ш0,
обладающая следующими свойствами:
2.41. a{eG (г =0,1,2,...);
2А2.а{фа;(гфэ);
2A3. Каждый элемент группы G равен одному из а{;
2.44. ao=lG.
б. Докажем существование последовательности {«JJli со следующими
свойствами:
2.51. x.eAbr^i = 1,2,...);
2.52. Каково^бы ни было натуральное число t и мультипликативная
функция Ф длины < 3(г + 1) от 2% аргументов такая, что
(35) Ф(а1,...,а|,ж1,...,ж<) = 1с,

338 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
имеем также
(36) Ф(аи ..., а0 х1,..., я<_,, lG) = lG.
Будем строить такую последовательность индуктивно. Пусть j -**-
произвольное натуральное число, и пусть в качестве xlJ...Jxi^l взяты некоторые
элементы группы G. Покажем, что существует такой элемент xj этой
группы, что условия 2.51 и 2.52 соблюдаются при г =j.
Заметим прежде всего, что совокупность мультипликативных функций
длины <3(j + 1) от 2j аргументов, очевидно, конечна10). Из этой
совокупности выберем те мультипликативные функции Ф, для которых
Ф(аи ..., ая жи..., х^ХУ \G)Ф 1G.
Пусть 9Я — совокупность таких мультипликативных функций.
Множество 9Я конечно.
Положим
(37) Аф = 8(Ф(а„..., ая я„..., х,_„ х)=* lG (Фе Ш1),
(38) 5= (J Аф.
Множества Аф элементарно алгебраические в G, а множество В аддитивно
алгебраическое в G. По определению множества 9К,
lGeG\4* (Ф€9Я),
откуда
lGeG\B.
С другой стороны, согласно 2.31,
lGeAbr\
откуда, по лемме 12,
UeAb^.
В силу свойства А3 множества АЬ~\ отсюда следует, что \G принадлежит
всякому аддитивно алгебраическому множеству, содержащему Abjx. А так
как 1G, как мы только что видели, не принадлежит аддитивно
алгебраическому множеству J?, последнее не содержит Abr\ т. е.
АЬ;1\ВфА.
Из этого непустого множества выберем произвольный элемент ху:
(39) х^еАЬтх\В.
Тогда условия 2.51 и 2.52 действительно соблюдаются при t = j.
10) В самом деле, согласно определению 2, число мультипликативных функций длины п от m
аргументов равно (2m)n.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 339
В самом деле, соблюдение условия 2.51 сразу следует из формулы (39).
Пусть, далее, Ф — мультипликативная функция длины < 3(j + 1) от 2jf
аргументов такая, что
Ф(ам..., ая хх>..., жу) = lG.
Эта функция не может принадлежать множеству 9Я, так как в противном
случае мы имели бы, согласно (37) и (38), xj e Аф, ж,, е J?, вопреки (39).
По определению множества 3ft, это означает, что
Ф(аи ..., ая хи ..., жу_ j, lG) = 1G.
Таким образом, условие 2.52 также выполнено при % = j.
Этим самым существование последовательности {xjf9l со
свойствами 2.51 и 2.52 доказано11).
в. Согласно 2.51 и 2.52,
(40) ъ + \0 (i = l,2,...).
7. Положим
(41) х^к = агк1х4ак (»>1, O^k^i).
Согласно (40),
(42) ^кф\е (i>h0^k^i).
Покажем, что
(43) ^кФ*ьн
при i фз, t > 1, j > 1, 0< к < », 0< Л О".
Без ограничения общности можно считать, что г>]. Так как, кроме
того, j ^ 1, имеем t > 1, откуда 3(г + 1) > 6. Равенство xiih^xih дало бы,
согласно (41),
(44) а;1ж<ало71х^1ал = 1с.
Здесь к < t, h^j <%. При к > 0 и h > 0 равенство (44) имеет вид (35),
где Ф — мультипликативная функция длины 6 от 2г аргументов, а именно
Ф = {{*,-1},{2^1},{^1},{Л,-1},0+Л-1},{М}}.
Так как 6<3(г +1), отсюда следовало бы, согласно 2.52, равенство (36),
которое в данном случае приводится к виду
<ч;Ч7Ч = 1с,
и) Выбор элемента «. из непустого множества АЪ{ *, очевидно, осуществляется эффективно
ввиду счетности группы G.

340 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
что противоречит (42). Этим доказана невозможность равенства (44) при
к > 0 и h > 0. Совершенно аналогично доказывается эта невозможность
в остальных случаях, когда по крайней мере одно из чисел к или h равно
нулю. Здесь надо лишь принять во внимание свойство 2.44
последовательности {аА°°ш0. Мультипликативная функция Ф имеет в этих случаях меньшую
длину (4 или 2).
Покажем еще, что
(45) ЪыФъ
при j < i. При j = 0 это следует из (42) и 2.44. Допустим, что j > 0.
Равенство х^к =а, дало бы, согласно (41),
где к ^ i, j < i. При к > 0 это равенство имеет вид (35), где Ф —
мультипликативная функция длины 4 от 2г аргументов:
* = {{*> -1}>{2*,4}, {М}, U -1}}.
Так как 4 < 3(г + 1), отсюда следовало бы равенство (36), которое дало
бы aj = 1 вопреки 2.42 и 2.44. Совершенно аналогично доказываются
неравенства (45) при к = 0.
8. Пусть j — произвольное натуральное число. Обозначим через А
совокупность элементов: 1G, aj и всех х^к с i^ j и к ^i.
В множестве Aj определим действительную функцию /; следующими
равенствами:
(46) /,1в=0,
(47) /,а, = 1,
(48) /Л*-г
В силу 2.42, 2.44, (42), (43) и (45) эти равенства непротиворечивы. Таким
образом, они действительно определяют функцию /у в множестве А,..
9, Покажем, что fi есть субнорма в А..
Заметим прежде всего, что \Ge А.с G, согласно определению
множества А-. Заметим далее, что функция fi удовлетворяет условию S|f в
силу (46). Покажем, что эта функция удовлетворяет условию S2.
Чтобы это показать, надо доказать, что следующее утверждение %т
справедливо при всяком целом неотрицательном т.
2tm. Каково бы ни было слово {{у0 £,}}Г-1 Длины т в Aj такое, что
(49) fitf€i4„
имеет место неравенство
го го
(50) /, П tf < £ /,*•

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 341
Мы будем доказывать это индукцией по т.
Утверждение 9L верно, так как при m = О левая часть неравенства (50)
равна 0 в силу (4о), а правая его часть при этом также равна нулю.
Пусть теперь m — натуральное число и допустим, что утверждение 9Lq
верно при всяком целом неотрицательном д, меньшем т. Докажем, что
тогда верно утверждение &то.
В самом деле, пусть {{%, ej}™el —слово длины m в Ai%
удовлетворяющее условию (49). Покажем, что имеет место неравенство (50).
Это неравенство соблюдается, если
т
i = l
так как тогда его левая часть равна 0, согласно (46), в то время как правая
часть неотрицательна, в силу (46), (47) и (48). Неравенство соблюдается
также, если один из элементов у{ равен а,., так как тогда правая часть
неравенства > 1, согласно (46), (47) и (48), а левая часть < 1, согласно
этим же равенствам. Наконец, неравенство (50) имеет место, если один из
элементов yi равен 1G.
Пусть, в самом деле, yh = lG. Положим
J*
при i = 1,. ..,h— 1,
при » = Л,..., m — 1;
(51) ] """
при * = 1,..., h — 1,
при г = h,..., m — 1.
Тогда {{zt> Vi}}?Jil есть слово длины т — 1 в Af такое, что
(52) "П^-ПиРбА,,
1 = 1 »=1
ндукпи
откуда, согласно индуктивному допущению,
т—1 т—\
/, П # < Е /,*.•
Согласно (52) и (51), это дает
го h-1 m
ЛП«Р<:С/,и + Е /,*•
»=1 »»1 imh+\
Отсюда, принимая во внимание, что yh = lG, и пользуясь равенством (46),
получаем неравенство (50).
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что элементы у{ отличны
как от ajt так и от \G% а. элемент у, определяемый равенством
(53) У=П%\
» = 1

342 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
отличен от lG. Эти предположения мы и сделаем. Принимая во внимание
определение множества Ajy заключаем, что каждый элемент у равен одному
из элементов хмс/*^/ик$Л,а элемент у либо также совпадает с одним
из этих элементов, либо равен ау. Пусть
(54)
где
Положим
(55)
Согласно (54) и (48),
откуда, в силу (55),
(56)
и-^л
t =
U
f,* > j
(*• = !,.
(i = l,.
■ maxh,.
** = £•
<<-!,..
• •»"»),
.., m).
.,m).
Если t ^ m, то, в силу (56), правая часть неравенства (50) не
меньше 1, тогда как его левая часть, согласно (46), (47) и (48), не больше 1.
Следовательно, в этом случае неравенство (Я)) имеет место, и остается
предположить, что t > т. Это предположение мы и сделаем.
Рассмотрим теперь порознь оба случая: I. у совпадает с одним из
элементов хм (h ^jt k^ h); II. у = ау.
I. Пусть у = хм, где h ^ j, к < h. Так как m ^ 1, то, согласно (56),
то «
£ fjVi > J-
Согласно (48),
Таким образом, неравенство (50) имеет место, если h ^ t. В дальнейшем
можно предполагать, что Л < t. Сделаем это предположение.
Так как у = хм, равенство (53), согласно (41) и (54), принимает вид
(57) а*^а*ПК<в*,)=1*>
причем здесь к ^ Л < tt k^h^t (i = 1,..., m) и, согласно (55), Л< = t
по крайней мере для одного значения г. Кроме того, число
сомножителей 3(т + 1) < 3(t + 1), так как m < t.
Положим
(59) *-t «*+*..«»
-1},{М}} при *>0,
при к=0;
1}} при Л>0,
при к4 = 0;
(60) Ф = w о О пии,..

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 343
IH1<.IU__I ' .1—.Ц)М , М I >> ,. . .1 I ... ■ ... L .„
Тогда Ф будет функцией длины, не превосходящей 3(т+1) от 2t аргументов
и, на основании (57),
(61) Ф(а1,...,а,,х1,...,ж,) = 1с.
Согласно 2.52, отсюда следует равенство
(62) Ф(ап ..., а„ х1?..., ж,_и lG) = 1G,
которое, в силу (58), (59) и (60), имеет следующий вид:
(63) 44-4ftK!4fs) = ie.
Здесь t|,..., tf — те из значений i, для которых h{ < t, причем эти значения
расположены в возрастающем порядке: *,<...< iq. Это не все значения г;
следовательно, q < m.
Равенство (63), на основании (54) и (41), переписывается в виде
(64) У=Пу!!'-
{{%,> е»в}^«-1 есть слово Длины 9 в ^yi причем, согласно (64), (53) и (49),
П %?' € А,.
Так как q < m, то можно применить индуктивное предположение, согласно
которому
#=1 lal
С другой стороны,
Е fjVi. <* Е /,»,
в = 1 »= 1
так как функция Л, согласно (46)-(48), неотрицательна. Принимая во
внимание равенства (о4) и (53), заключаем, что неравенство (50) имеет место.
П. Пусть у = ау. Равенство (53), согласно (54) и (41), принимает вид
(65) а^ЕКЧЧН1*'
причем здесь j ^ h{ < t, k^h^t (i = 1,..., m) и h{ = t no крайней мере
для одного i. Число сомножителей Зт + 1 < 3(t + 1), так как m<t.
Определим слова w{ (i = 1,..., m) равенством (59) и положим
(66) Ф = Ш-1}}о.ОЧ.
Ф является функцией длины < Зт +1 от 2t аргументов, и, вследствие (65),
имеет место равенство (61).

344 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Согласно 2.52, отсюда следует равенство (62), которое, в силу (66) и (59),
имеет вид
а^ДК^ач)=1с-
Здесь tj,..., iq —те значения г, для которых \ < t, причем они
расположены в возрастающем порядке. Так как это не все значения i, то q < т.
Рассуждая далее, как в случае I, получаем неравенство (50).
Таким образом, это неравенство имеет место. Тем самым доказано,
что /,. — суонорма в Аг
10. Согласно (46)-(48),
sup/, = l.
Поэтому можно применить лемму 4. По этой лемме, существует
система {Nj}°°sgt] норм в G такая, что
(67) /,«*, (У = 1,2,...)-
В силу (67), (47) и (48),
(68) JV,e,«l (j = l,2,...),
(69) #,Л* = 7 0? = 1,2,...;.£а*<*).
11. Пусть п — натуральное число, {p,}"»i и {g,}"»i—системы целых
Чисел такие, что
Определим действительную функцию JVJ/.V.^ в группе G равенством
(71) Лу--^х= £ JV. (azlxav ).
Согласно леммам 11 и 6 СТГ, функция JVj*,,,,,f*i —норма в G.
Согласно (71) и 2.44,
(72) N? = Nq (g = l,2,...).
12. Обозначим буквой 91 совокупность всех норм N*t\\'£, получаемых,
когда системы {р^}%\ и {д,}"я1 пробегают совокупность всех пар конечных
систем целых чисел, удовлетворящих условиям (70). Покажем, что 91—
мультинорма в группе G.
Согласно (71),
tfPl'-'Pn -|_ДО*п+1 Ра —N*l Рш
коль Скоро левая часть этого равенства имеет смысл. Следовательно, 91
удовлетворяет условию М! определения мультинормы12).
12> СТГ, § 3.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ 345
Пусть системы {py}*.i и {<fy}?«i целых чисел удовлетворяют
условиям (70), aeG. Тогда, в силу 2.43, существует система {г^}*., целых
неотрицательных чисел такая, что
а%=аг; (У = 1,...,п).
Согласно (71),
N*" *Рп(аг1ха) = № -•r*z (же G),
откуда следует, что множество 91 удовлетворяет условию М2!3).
Пусть, наконец, z e G\(lG). Согласно 2.43, существует целое
неотрицательное число q такое, что
(73) z = aq.
Так как гф\в, то, в силу 2.44,
д>0.
Для этого д справедливо равенство (72). Имеем
N?z = Nqaq [72,73]
= 1. [68]
Так как JV° е 91, это означает, что 91 удовлетворяет условию М314).
Таким образом, 91—мультинорма в G.
13. Согласно теореме 6 СТГ, мультинорма 91 определяет топологию в
группе G. В этой топологии множества
(74) UN = S(Nx<l)
X
образуют полную систему окрестностей элемента 1G. Наша теорема будет
доказана, если нам удастся доказать равенство
(75) А=А,
левая часть которого означает замыкание множества А в полученной
топологии группы G. _
Пусть х — произвольный элемент множества А\А. Покажем, что х е
е А. Для этого нам надо лишь доказать, что любая окрестность точки х в
топологической группе G имеет общие точки с множеством А.
Пусть U — произвольная окрестность точки х в топологической
группе G. Тогда множество Ux~x будет окрестностью 1G, и потому существует
принадлежащая мультинорме 91 норма N такая, что
(76) UNcUx~l.
13> СТГ, § 3.
14> стг,« з.

346 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
Согласно определению мультинормы % существуют системы {р,}*в!
и {ву}*.! целых чисел, удовлетворяющие условию (70) и такие, что
(77)
Согласно 2.32,
(78)
(79)
(80)
(81)
Имеем
Ь «п
существует такое s, что
8 > П,
Ор, 0 = 1,..
s>4j 0 = 1,..
Ь, = х.
>«),
;П),
Nx, = j:N (а-*х,а ) [77,71]
= tNq.x [79,41]
у = i
n
[80,69]
<1. [78]
Отсюда, согласно (74), следует, что xa e UNt и потому, в силу (76) и (81),
xs£Ub;K
С другой стороны, вследствие 2.51, xa e АЬ,"1. Следовательно,
и потому 1/ПАфА. _
Тем самым доказано, что х е А. Так как х здесь произвольная точка
множества А \ А, то
А\АсА.
Так как А с А,
АсА.
С другой стороны, согласно следствию 1,
АсА.
Следовательно, имеет место равенство (75), что и требовалось доказать.

О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
347
§ 3. О нетривиальной топодогизации счетной группы
1. Определение 10. Будем говорить, что топологическая группа G
тривиальна, если всякое ее подмножество открыто в ней.
Иначе говоря, топологическая группа тривиальна, если все ее точки
изолированы. Но для этого, в силу топологической однородности всякой
топологической группы, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы точка 1G
была изолированной. А это равносильно тому, что множество G\(1G)
замкнуто. Таким образом, мы приходим к следующему критерию существования
нетривиальной топологии в группе.
Лемма 13. Пусть G—группа. Для того чтобы существовала
нетривиальная топология в G, необходимо и достаточно, чтобы
множество G\(lG) не было безусловно замкнутым в G.
Отсюда, пользуясь следствием 2 и теоремой 1, мы сразу получаем
алгебраический критерий существования нетривиальной топологии в счетной
группе:
Лемма 14. Пусть G — счетная группа. Для того чтобы
существовала нетривиальная топология в G, необходимо и достаточно, чтобы
множество G \ (1G) не было алгебраическим в G.
Этот результат допускает некоторое уточнение.
В самом деле, имеет место
Лемма 15. Пусть G —группа. Если множество G \ (1G)
алгебраическое в G, то оно вместе с тем и аддитивно алгебраическое в G.
Действительно, допустим, что множество G\(1G) является
алгебраическим в G. Тогда оно будет пересечением непустого множества множеств,
аддитивно алгебраических в G. Все эти множества содержат G\(l&) и
содержатся в G. Они поэтому совпадают либо с G, либо с G\(lG). Так как
Gj^G\(lG), среди них должно фигурировать множество G\(1G), которое
поэтому является аддитивно алгебраическим.
Сопоставляя леммы 14 и 15, получаем окончательный результат:
Следствие 3. Пусть G — счетная группа. Для того чтобы
существовала нетривиальная топология в G, необходимо и достаточно,
чтобы множество G\(lG) не было аддитивно алгебраическим в G.
2. Остается открытым вопрос о существовании счетной группы G такой,
что множество G\(1G) было бы аддитивно алгебраическим в G. От его
решения, согласно следствию 3, зависит возможность нетривиальной то-
пологизации любой счетной группы. А именно, если существует счетная
группа G, обладающая тем свойством, что множество G\(1G) является
аддитивно алгебраическим в G, то эта группа допускает только тривиальную
топологию. Если же такой группы не существует, то всякая счетная группа
допускает нетривиальную топологию.

348 О БЕЗУСЛОВНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
§ 4. О потенциальной плотности
1. Определение 11. Пусть G — группа, А С G. Мы говорим, что
множество А потенциально плотно в группе G, если существует такая
топология в G, что при этой топологии А оказывается плотным в G.
Полученные результаты дают следующий алгебраический критерий
потенциальной плотности множества в счетной группе.
Следствие 4. Пусть G — счетная группа, AcG. Для того чтобы
множестве? G было потенциально плотным в группе G, необходимо и
достаточно, чтобы его алгебраическое замыкание в G совпадало с G.
В самом деле, необходимость этого условия непосредственно вытекает из
следствия 1, а достаточность следует из теоремы 2.
2. Рассмотрим в качестве примера простейшую счетную группу —
бесконечную циклическую группу С. Нетрудно видеть, что в этой группе всякое
условие
Ф(а1,...,ато,ж)=10,
налагаемое на элемент я, где Ф — мультипликативная функция,
равносильно условию вида
жп-а,
где п— целое число, а — фиксированный элемент группы С. Если п^О,
то множество
Е(хп = а)
содержит не более одного элемента, тогда как при п=0 это множество либо
пусто, либо совпадает с С — в зависимости от того, имеем ли мы аф\с
или а = lc.
Таким образом, имеются лишь следующие типы множеств, элементарно
алгебраических в С: Л; (а), где а е С; С. Согласно определениям 5 и б,
отсюда следует, что алгебраическими в С будут лишь конечные множества
и вся группа С. Применяя теорему 1 и следствие 2, получаем следующий
результат:
Безусловно замкнутыми в бесконечной циклической группе являются
лишь конечные множества и вся группа.
Согласно определению 7, находим далее, что
А = С
для любого бесконечного подмножества А группы С, тогда как
А=А
для конечного А, содержащегося в С. Отсюда, согласно следствию 4,
заключаем, что
Подмножество бесконечной циклической группы тогда и только
тогда потенциально плотно в ней, когда оно бесконечно.
Поступило в редакцию 30 августа 1944 г.

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ
В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ*)
В этой статье рассматриваются уравнения теории пластичности Губера — Мизеса [1].
Устанавливается, что, пренебрегая силами инерции и объемными силами, относящиеся
к этим уравнениям краевые задачи можно рассматривать как вариационные, что
позволяет получить некоторые результаты, касающиеся единственности решений этих краевых
задач.
1. Уравнения теории пластичности Губера — Мизеса имеют вид:
0-1) е&--". + & + £ + т^ (*«*>.
(1.3) р = -5(*1 + *2 + *з)> или Р = -зК + *, + <0|
(14) < = *.+* ten*)*
(1.5) < = *£, Ъ-$ф + £) <*»*>.
(1.6) r, = a^ (1.2,3),
(1.7) т* + т* + т* = 2К2.
Здесь обозначение (ж, у, г) справа означает, что выписана лишь одна из
трех формул, получаемых одна из другой циклической перестановкой букв
ж, у, z\ аналогичный смысл имеет обозначение (1,2,3).
Буква р обозначает плотность пластической среды; vx, vyJ vg —
составляющие скорости в декартовой системе координат; Fs} Fy> Fg — составляющие
объемной силы; t — время; <тя>ау,9ш%гщ%гш%гщ — составляющие тензора
напряжений Г, а а'х, <т'уУ о'ж, —диагональные составляющие
уравновешенного тензора напряжений Г':
Г= \т*у °ч тт)> Г= га* ау+Р V •
\Г~ Туш *,/ \ Т* V °м+Р/
Буква р обозначает среднее давление, определяемое (в силу
инвариантности суммы диагональных длементов тензора напряжений Т)
равносильными равенствами (1.3), в которых ах, <т2, <т3 суть главные напряжения, т. е.
корни уравнения
= 0.
Далее, rlt r2, r3 суть главные скалывающие напряжения; К — зависящая
от материала постоянная пластичности.
*)
Прикл. матем. и механ. —1947. — Т. 11, № 3. — С. 335-350.

350 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Уравнения (1.1) суть общие уравнения динамики сплошной среды.
Уравнение (1.2) есть условие несжимаемости. Равенства (1.4) определяют
диагональные составляющие уравновешенного тензора напряжений.
Уравнения (1.5) выражают пропорциональность этого тензора тензору скорости
деформации
( ft Kft+£)
2\S£ + ~&) ~Sy
Uft+ft) к&+&)
Hft+ft))
K&+ft)
Коэффициент к в формулах (1.5) является неизвестной функцией
аргументов х, y,z,t. На эту функцию мы накладываем условие к > 0.
Равенства (1.6) определяют главные скалывающие напряжения как
функции тензора напряжений. Нетрудно видеть, что сумма их квадратов может
быть представлена в виде
?«2+<2+<2+К+2г~+2<)-
Поэтому условие пластичности (1.7) может быть представлено в виде
(1.8) £«2 + 2т£) = Ь2 (£=2д/рГ).
Здесь и в дальнейшем знак £ означает суммирование стоящего под этим
знаком выражения с двумя другими, получаемыми из него циклическими
перестановками букв ж, у, z. Согласно (1.4) и (1.3),
(1.9) < = ъ&°*-°у-е,) (*!**)•
Принимая это во внимание, мы можем рассматривать систему десяти
равенств (1.1), (1.5) и (1.8) как систему уравнений относительно стольких
же неизвестных функций vx, vy, vgt сгх, ау, crgt т^, 1»^., т^, к. При соблюдении
этих уравнений и условия к >0 равенство (1.2) будет выполнено, так как,
согласно (1.9) и (1.5), имеем
Плотность р и составляющие объемной силы Fx> Fyi FK мы здесь
рассматриваем как известные функции х, у, z, t. Считаем также известной и
положительной постоянную L.
2. Вместо системы функций {ех, ау, <тж} можно рассматривать систему
функций {о£, <т'у> <т'ж, р}, связанных согласно (1.9) соотношением a£+ai+<^ =
= 0. Эти функции выражаются через <тх,(ту,ах согласно (1.3) и (1.9).
Обратно, ах, <ту, аж выражаются через <т'х, <ту, azi p согласно (1.4) равенствами
(2.1) *ж = <-1> (я, у, г).
В новых переменных уравнения (1.1) принимают вид
(2.2) р% = К + % + ?£ + ?£-%. (x,V,z).

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 351
Искомыми являются 11 функций vx, v , vx, а'х, а' а'х, тух, тхх, тщ% р, к. Они
должны удовлетворять уравнениям (1.5), (1.8), (5.2), уравнению ох + ау +
+ ах = 0 и условию к > 0.
3. Из равенств (1.5) и (1.8) следует, что fc25' = L2, где
Так как L ф О, то величина S не может обращаться в нуль и
(3.2) k = L/Vs,
причем здесь и в дальнейшем подразумевается положительное значение
квадратного корня. Из равенств (1.5) и (3.2) следует, что
(3.3) K = Lv*x> V = Lt^ (ж, у, г),
где
(3.4) Vx, = J=, ^.^ф + ф {x,y,z).
Подставляя правые части равенства (3.3) в уравнения (2.2), получаем
(3-5) f& = £ + %4-% + &-r£ <*•»*>•
Присоединяя сюда (1.2), получаем систему четырех уравнений в частных
производных относительно четырех неизвестных функций vx, vy, vg, p.
Обратно, исходя из произвольного решения {vx, vy, vg,p} системы
уравнений (1.2) и (3.5) и определяя функции <т'х>а'у,<тх, т^т^т^
равенствами (3.3), а функцию к — равенством (3.2), мы получим решение
R> vv Ч> <> *Ji «J. V г**> V Ру к) системы уравнений, указанной в п. 2.
Таким образом, мы можем в дальнейшем иметь дело лишь с системой
уравнений (1.2) и (3.5), где v^, vw, vxx, v^, v^ определяются
равенствами (3.4) и (3.1), причем на S налагается условие положительности.
4. В дальнейшем мы будем пренебрегать объемными силами и силами
инерции. Таким образом, мы будем писать уравнения (3.5) в виде
(4-1) *fr + £ + 3--£fe_0 {*,»,).
Система (1.2) и (4.1) не содержит дифференцирования по времени.
Поэтому мы можем рассматривать время как параметр и в дальнейшем вообще
не рассматривать зависимости от него интересующих нас функций.
5. Мы будем рассматривать некоторые краевые задачи, относящиеся к
системе уравнений (1.2) и (4.1). Нашей целью является вывод условий этих
задач из вариационных принципов, что даст возможность установить
некоторые факты, касающиеся единственности решений этих задач.
В основе наших дальнейших рассмотрений будет лежать некоторая
ограниченная область G с границей F, состоящей из конечного числа попарно
не пересекающихся гладких замкнутых поверхностей.

352 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Существенную роль будет играть функционал
(5.1) •!<«.,«„«.И \SS*">
в
где du) — элемент объема, а аргументы vx, v , vg функционала суть функции
класса С в G такие, что во всей этой области 5 > 0. Нам будет нужна
следующая формула варьирования функционала Ф,:
(5.2) «Ф, = j Е К»,"» + «,«„ + n,va]6vx) Лф -
а
Здесь вф — элемент поверхности; п„ пу, пх — составляющие внешней
нормали. Формула (5.2) получается следующим образом. Согласно (3.1)
'^■й-л=№*+4(*+*)№+*)]-
Отсюда согласно (3.4)
(5.3) eV5 = E[».^+V(^ + ^)] =
Отсюда по формуле Остроградского получается равенство (5.2).
6. Будем рассматривать тройки {vxJ vyy vg} функций класса С" в G,
принимающих заданные значения на F и связанных соотношением (1.2). В
пределах этого множества троек Svx == Svy « 6v, = 0 на F, в силу чего
равенство (5.2) принимает более простой вид:
(ел) ,ф1=|е[(^+^+^)ч]л,.
G
В этом множестве будем искать тройку, дающую стационарное значение
функционала Фх. Согласно методу множителей, мы должны потребовать,
чтобы при соблюдении на F условия &ох = Svy = Svg = 0, а в остальном
произвольных 6vx> 6vy, 6vg, имело место равенство
(6.2) *{ф,+ {а2^} = 0,
G
где Л — произвольная, не подлежащая варьированию функция класса <7'.
Имеем
(6.3) «jAEfe**-JAZ:Tfr*»-jE[K(A«4i-S^)]**
G G G

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 353
Применяя формулу Остроградского и пользуясь тем, что на F
выполняется условие Svx = Svy = Svg = 0, получаем отсюда
(6.4) фЕ&&> —|е£*.**
G G
Равенства (6.1), (6.2) и (6.4) дают
(6-5) JE[(fc + £ + * + ft)4]*-*
G
что должно быть выполнено при произвольных 6vx, 6vy, 6vg,
удовлетворяющих на F условию Svx = Svy = Svg = 0. Это дает систему уравнений
М тЬ + ^ + Зг + ж-о (w)>
которая лишь обозначением отличается от системы (4.1). В самом деле,
(6.6) переходит в (4.1), если положить р = -LA.
Таким образом, уравнения (4.1) представляют собой условия
стационарности функционала Ф, в совокупности троек {vx, v , vg} функций класса С"
в G, связанных соотношением (1.2) и заданных на F.
7. В доказательстве теоремы единственности, к которому mi
рейдем, будет играть существенную роль неравенство Шварца
(7Л) Jt^Jt^>t^,
у i = l у i = l t = l
где а0 aj (i = 1,..., m) — произвольные вещественные числа и где
подразумеваются неотрицательные значения квадратных корней. Полагая
y.-i у »= l у * = l
перепишем неравенство (7.1) в виде
1т /то т т
y»»i у»= 1 » = i t-i
что при
(7.2) £Х>0
• -1
дает
(7.3) aJ±^ 2 £ aA^/Jt^.
При соблюдении условия (7.2) знак равенства в формуле (7.1) имеет
место лишь в случае существования вещественного неотрицательного числа
/1 такого, что а£ = /до,. (% = 1,..., т). Следовательно, лишь в этом случае
имеет место знак равенства в формуле (7.3).

354 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
8. Пусть теперь имеем две системы {vx, vy, vz} и {v*, v*, t£} функций
класса С" в G. Условимся применять знак А как символ конечного приращения
при переходе от первой системы ко второй.
При S >0 имеем, согласно (3.1), (3.4) и (7.3),
(8.1, AVe>E[^^ + %(^ + 4?)].
причем знак равенства имеет место лишь в случае существования
неотрицательного числа II такого, что
Соотношение (8.1) аналогично формуле (5.3). Все различие состоит в том,
что знак = заменен знаком ^ и знак вариации 6 заменен знаком конечного
приращения А. Действуя дальше, как в п. 5, получаем
(8.3) ДФ, ^ j Е [К«~ + «,«** + n,«JA«J # "
G
что аналогично равенству (5.2). Знак равенства в формуле (8.3) имеет место
в тем и только в том случае, когда существует определенная в области
G неотрицательная функция ц такая, что равенства (8.2) соблюдаются в
каждой точке этой области. В последнем случае имеем, согласно (3.1), 5* =
= /х25, где
Следовательно, ч/5* = /хл/5, где подразумеваются неотрицательные
значения квадратных корней, а потому при 5* > 0 имеем, согласно (3.4) и (8.2),
(8.5) *£ = иш, v*yx = vyz, (ж, у, z),
где
(8.6) «с-^¥. ъ=ш(%+%) <*»*>•
9. Пусть система функций {vx, vyJ vg, p}t где ve, vy, vz — функции класса
С" в G, а р —функция класса С" в G, удовлетворяет дифференциальным
уравнениям (1.2) и (4.1); система {v*, v*, t£} функций класса С" в G
удовлетворяет уравнению (1.2) в G и условиям v* = vx, v* = vy, v* = vx на F;
пусть при этом 5* >0 в G, где 5* определяется равенством (8.4).
Так как при соблюдении уравнении (4.1) S >0 в области G (иначе эти
уравнения не имеют смысла), то имеет место неравенство (8.3). С другой
стороны, в силу v* = vx, v* = vy, v* = vz на F имеем Avx = Avy = Д^ = О
на F.
Таким образом,
^>Je[(%,+*+*W
div.

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 355
В силу (4.1) это неравенство дает
G G
Так как системы функций {vx, v , vz} и {v*, v*, г;*} удовлетворяют
уравнению (1.2), имеем ^2dAvx/dx = 6.
Следовательно, применяя формулу Остроградского, получим
A»i > -г J £ £(РД«.)^ = "Г J Р D "ьА*.
<ty.
Отсюда ДФ! ^ 0, так как Avx = Avy = Avg=0 на F, причем знак равенства
имеет место в том и только в том случае, когда существует определенная
в области G положительная функция /л такая, что равенства (8.2)
соблюдаются в каждой точке этой области. В этом случае, как мы знаем, имеют
место равенства (8.5).
Таким образом, мы получаем следующий результат. Пусть система
функций {vxy vy, vg, р}, определенных в области G, удовлетворяет
уравнениям (1.2) и (4.1), причем vx, vy, vg — функции класса С" в G, а р — функция
класса С" в G. Пусть на границе F области G функции vx,vy, vx
удовлетворяют условиям vx = v°, vy = v£, vz = v°, где v°, v£, v% — функции точки,
определенные на F. Тогда система функций {vx, vy, vx} дает абсолютный
минимум функционала Ф! в совокупности систем {v*, v*, v*} функций
класса С" в G, удовлетворяющих граничным условиям v* = v£, v* = v£, v* = v°
на F и уравнению (1.2) в G. Если какая-нибудь другая система функций
{v*, v*, v*f из той же совокупности также дает абсолютный минимум
функционала Ф,, то имеют место равенства (8.5), где левые части
определяются (8.4) и (8.6).
10. Допустим теперь, что системы функций {vx, vy, vg, р) и {v*, v*, г;*, p*}
являются решениями системы дифференциальных уравнений (1.2) и (4.1) в
области G, причем в этой области vx, vy, vgt v*, v* v* суть функции класса
C*% a p и p* — функции класса С, и на границе F этой области соблюдены
равенства vx — v*t vy — vy1 vg = v*. Тогда, согласно предыдущему, обе системы
{vxJ vy1 vz} и {г;*, v*, v*} соответствуют абсолютному минимуму
функционала Ф,, откуда следует, что имеют место равенства (8.5). Из этих равенств
согласно (4.1) следует, что
& = % (х,У,г).
Следовательно, р и р* отличаются одна от другой на постоянную.
Принимая во внимание равенства (2.1) и (3.3), выражающие тензор
напряжений через функции vx, vy,vz,p, приходим к следующему
заключению: задание скорости на границе пластического тела,
подчиняющегося теории Губера—Мизеса, определяет тензор напряжений внутри
тела однозначно с точностью до одного и того же постоянного
слагаемого в диагональных составляющих этого тензора.
11. Перейдем к рассмотрению некоторых других краевых задач,
связанных с той же системой дифференциальных уравнений. Будем рассматривать

356 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
нормальную составляющую vn скорости на границе F области G. Эта
составляющая определяется равенством vn = nxvx + nyvy + пжуж.
Вектор скорости представляется в точке границы F в виде суммы двух
векторов: нормальной скорости, параллельной нормали к F, с
составляющими nxvnf riyV^ ngvnt и касательной скорости, параллельной касательной
плоскости. Имеем
(ИЛ) '. = 4,-?^ (ж, у, г),
где tx> ty, tg — составляющие касательной скорости. Так как ]£ п\ = 1 и
vn = £ nxvxt то равенство (ИЛ) дает £ nxtx =0, что выражает
ортогональность касательной скорости вектору нормали к F.
Введем вектор напряжения, действующий на элемент поверхности F;
обозначим через <рх> (ру и (рж составляющие этого вектора. Имеем
(И.2) (рх = пхах + п^ + пжт№ (ж, у, z).
Для его нормальной составляющей (рп имеем
(11.3) <fin = £ П*<Рх =Е "*К*« + ПуТщ + ЪТж)-
Вектор напряжения, действующий на элемент поверхности,
представляется в виде суммы двух векторов: нормального напряжения, параллельного
нормали к F, с составляющими пх<рп, ny<pnt ng<pn, и касательного
напряжения, параллельного касательной плоскости, с составляющими
(П.4) т* = ¥>*-гся¥>п (ж, у, z).
Так как £) п| = 1 и (рп = £ пх<рх, имеем ]£ пхг* ==0» чт0 выражает
ортогональность касательного напряжения вектору нормали к F.
Так как £ п* = 1, то, согласно (2.1) и (11.3),
(П.5) Ч>п = Ч>'п-Р>
где
(П.б) < = Е гс*К< + V*v + n*r«)-
В силу (2.1) и (11.5)
В силу (11.2) и (11.4)
откуда, согласно (11.7),
(П.8) тя = п,(<-^;) + пут^ + п,тет (*>&*)•
При соблюдении соотношений (3.3) получаем далее в силу (11.6)
(11.9) (f4siE^(v. + V, + V.)-

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 357
Отсюда, по (11.8), следует, что тх, ту, тж выражаются через vmt vw, vgg, v^,
vzx> % и1 следовательно, вполне определяются полем скоростей. В
дальнейшем мы будем пользоваться равенствами, вытекающими из (3.3) и (11.8):
(11.10) rx = L(nxvm + nyvay + ntvgs)-nxip,n (х,у,г).
12. Будем рассматривать системы {vx, vy, vx} функций класса С" в 6У,
связанные соотношением (1.2) и удовлетворяющие граничным условиям
следующего типа: на F принимают заданные значения нормальная
составляющая vn = Ys nxvx скорости и составляющие касательного напряжения
T»>Vr*' 0ПРеДеляемые> исходя из системы {vxJvyJvg}t равенствами (3.1),
(3.4), (11.9) и (11,10). В совокупности этих систем имеем на F
(12.1) 4 = 0» 6тх = 6ту = 6тж = 0.
Определим на F функцию Т равенством
(12.2) Г = E(nxvm + t^vm + ngvjtz,
и в совокупности систем {vxJ vy> vg} определим функционал Ф2 равенством
(12.3) Ф2 = Ф!- [т*ф.
В силу (ИЛ) и (12.1) имеем 6tx = 6vx (x,y,z) на F. Согласно (11.10)
и (12.1), ^ 9
поэтому согласно условию ортогональности ^£,nxtx = 0 имеем
(12.4) Е(*>« + S«% + П>->*. = °-
Так как 6tx = 6vx (я, у, z), то в силу (12:2) и (12.4) имеем
ST = ^(пхуж + п^ + ngVgx)&vx.
Принимая это во внимание, получаем, согласно (5.2) и (12.3),
(12.5) „k —jE[(^ + £ + fr)4]**
G
Будем искать систему {vxJ vy, vg}, соответствующую стационарному
значению функционала Ф2. Мы должны потребовать, чтобы при соблюдении
условий (12.1), а в остальном произвольных вариациях функций vx) vy, vgt
имело место равенство
(12.6) *{*2+JA£?H"}=0,
G
где Л — произвольная, не подлежащая варьированию функция класса С".

358 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Имеем равенства (6.3), откуда по формуле Остроградского
(12.7) S j А £ %du> = j Л £ пх&охйф - j Е ж*»,<1ш.
G F G
Так как vn = Ylnxvz* то согласно (12.1) на F имеем Ylnx^vx = 0, и Ра"
венство (12.7) дает
(12.8) 5 j Л Е &&» - - \ £ £*».**
Равенства (12.5), (12.6) и (12.8) дают условие (6.5), которое должно быть
выполнено при произвольных 6vx, 8vy> 6vz, удовлетворяющих на F
условиям (12.1). Это опять дает дифференциальные уравнения (6.6), которые
лишь обозначениями отличаются от уравнений (4.1). Таким образом,
уравнения (4.1) представляют собой условия стационарности функционала в
совокупности систем {vx, vy, vg} функций класса С в G, связанных
соотношением (1.2) в G и соответствующих заданным значениям ьп,тх,ту,тх
на F,
13. Пусть теперь система функций {vx, vy, vz,p} является решением
системы дифференциальных уравнений (1.2) и (4.1), причем vx, vy, vz —
функции класса С" в G, а р — функция класса С в G; пусть система функций
{v*, v*, v*} класса С" в G удовлетворяет в G условию (1.2) и на F условиям
(13.1) vn = v*n, тх = т: (s,y,z),
где v* = Y1 пхК> а г*» гу% тж определяются равенствами
(13.2) r; = I(n^ + nyV; + n^)-nX (x,y,z),
(13.3) ^ = bE^K^ + v^ + nXx),
аналогичными равенствам (11.10) и (11.9). Покажем, что тогда ДФ2 ^0.
Полагая аналогично (11.1)
(13.4) К = у*х-пху* (я, у, г),
имеем, согласно (12.2),
(13.5) ДТ = £[(пхДг^ + пуДг^ + п,^^^^
Согласно (13.1), имеем Дг;п = 0 и Дтх = Дт = Arz = 0, откуда
согласно (11.1), (11.10), (13.2), (13.4) получаем Atx = Avx,
(13.6) пхД^ + пуД^ + п,Д^ = пж^ (x,y,z).
Так как £ п| = 1 и v* = £ пхК> то в силУ (13.4) имеем £ пхК = 0, и
поэтому согласно (13.6) Y^(nx^vxx+ny^vxy+nz^vzx)K=0- Согласно (13.5),
имеем поэтому
Д Г = £ [К До** + V4, + пв AvJA ta],

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 359
откуда согласно (8.3) и (12.3)
G
Рассуждая далее, как в п. 9, получаем
F
Из соотношений vn = £ nxvx, vn = v* и v* = £ n*v* следует X) nxAvx =0.
Таким образом, ДФ2 ^ 0. Как и в п. 9, знак равенства имеет здесь место в
том и только в том случае, когда в области G выполнены равенства (8.5).
Таким образом, мы получаем следующий результат. Пусть система
функций {vx1 vy,vz,p}, определенных в области G, удовлетворяет
дифференциальным уравнениям (1.2) и (4.1), причем vx, vy, vg суть функции класса С"
в G, ар — функция класса С в G. Пусть на границе F области G
удовлетворяются условия
(13.7) *п = г,п°, тх = т*х (я, у, г),
где v^t^t^t? суть функции точки, определенные на F, vn = X)nxvx, a
тх, ту, тя определяются равенствами (3.1), (3.4), (11.9) и (11.10).
Тогда система функций {vx, vy, vx} дает абсолютный минимум
функционала Ф2 в совокупности систем {vx, v*, v*} функций класса С" в G,
удовлетворяющих граничным условиям (13.7) на F и уравнению (1.2) в G. Если
какая-нибудь другая система функций из той же совокупности также дает
абсолютный минимум функционала Ф2, то имеют место равенства (8.5).
14. Рассуждая далее, как в п. 10, приходим к следующему результату: за-
дание нормальной составляющей скорости и касательного напряжения
на границе пластического тела, подчиняющегося теории Губера — Ми-
зеса, определяет тензор напряжения внутри тела однозначно, с
точностью до одного и того же постоянного слагаемого в диагональных
составляющих этого тензора.
15. Рассмотрим функционал
(15.1) Фз=ф,-г|рЕ^о,-;г|е¥>л^)
G F
где аргументами являются функции vx, vy, vg и р. При этом vx, vy, vz суть
функции класса С" в G такие, что 5 >0 повсюду в G; р есть функция
класса С" в G; <рх> <ру, <pz суть Составляющие напряжения на F, определяемые
равенствами (2.1), (3.1), (3.3), (3.4) и (11.2).
Будем рассматривать вариацию этого функционала при постоянстве
функций у?х, <ру, tpg на F, т.е. при 6<рх = 6(ру = by>z =0 на F. При этом условии
(15.2) 6 j £ Vavmdnl> = { £ ИЛ«**
F F

360 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Имеем, далее,
-|е[£*-£^-4(р*.>]**
G
Отсюда по формуле Остроградского
(15.3) eJpETt*»-jE[Tt*-4*'.]*'+JF4*
G G F
где vn = J) nxvx — нормальная составляющая скорости на F.
Согласно (11.4), (11.10) и (11.5),
4>ш = гх + п*Ч>п = L(nxvm + п^ + n,v„) - пхр.
Отсюда
(15.4) Wm + nbVm + nMVm = T(V. + "kP) (X>V>ZY
Так как vn = £ nxvxt то в силу (5.2) это дает
*Ф»=-jI:[o+^5t+>)л'.]da,+г^(Ev'>*+л)#,
G F
откуда, согласно (15.1), (15.2) и (15.3),
G
Следовательно, уравнения (1.2) и (4.1) представляет собой условия
стационарности функционала Ф3 в совокупности систем функций {vx) vy,vx)p},
удовлетворяющих на F граничным условиям вида
(15.5) ¥>« = ¥>« (*>!/,*)>
где (pxJ <Ру, v?? суть заданные на F функции точки и где (рх> <ру, (рж
определяются равенствами (2.1), (3.1), (3.3), (3.4) и (11.2). При этом
рассматриваются лишь те системы {vxy vy, vg,p}, в которых vxJvyJ vx суть функции
класса С в G, а р — функция класса С" в G.
16» Пусть имеем две системы функций рассматриваемого типа:
{ve»vf» v*>p} и {v*> *£>*>*>£*}» удовлетворяющие системе
дифференциальных уравнений (1.2) и (4.1) и краевым условиям (15.5). Принимая во
внимание, что vn = 22nxvx, заключаем из неравенства (8.3), в силу (4.1)
и (15.4), что
(16.1) АФ^-^{Е^АМ^ = г|(Е^А^ + рД|;п)#.

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 361
По формуле Остроградского
-г J E feДvfai - г f E *^ <*" " г \ р*ъ*Ь
G G F
и так как Е dAvx/dx = 0 согласно (1.2), то отсюда
"Г J Е £*«.&; + г j РА«„# = 0.
Имеем, кроме того,
[ Е 4>A%W = д ] Е РЛ«ОД
так как А<рх = Ду>„ = Ду>ж =0 на F. Согласно (16.1) заключаем, что
(16.2) ДФ^^Е^о*^.
F
В силу (1.2) имеем, далее,
откуда
(16.3) а|рЕ^=о.
Из формул (15.1), (16.2) и (16.3) следует, что ДФ3 ^0. Так как системы
{vx, vy, v,, р} и {v*, v*, t£, p*} играют здесь совершенно одинаковую роль,
мы имеем аналогичным образом - ДФ3 ^ 0. Следовательно, ДФ3 ^ 0, откуда,
как нетрудно видеть, вытекает наличие знака равенства в формуле (8.3).
Отсюда, как мы знаем, следуют равенства (8.5). Далее, как и в п. 10,
заключаем, что р* — р есть постоянная. Согласно (2.1), (3.2) и (11.2) на F
и аналогичным образом
<pl = L (пуш + nyv^ + n,t£) - пхр* (ж, у, z).
Принимая во внимание, что (рх = <д£, <р9 = <р*, ^ = ^HafH что
имеют место равенства (8.5), заключаем, что пх(р - р*) = 0, пу(р - р*) = 0,
пж(р-р*)=0 на F, откуда следует, что на F имеет место равенство р* =р.
А так как р* - р является постоянной, то и всюду в G имеем р* = р.

362 О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Принимая во внимание (2.1) и (3.3), приходим к заключению: задание
напряжения на границе пластического тела, подчиняющегося теории
Губера — Мизеса, определяет тензор напряжений внутри тела
однозначно.
17. Отметим, что ни в одной из доказанных здесь теорем
единственности мы не утверждаем существования решения соответствующей краевой
задачи. Утверждается лишь невозможность двух различных ее решений.
Литература
[1] Mises R. von. Mechanik der festen Korper im plastisch-deformablen Zus-
tand // Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. —1913. — S. 582-592.
См. также в кн.: Mises R. von. Selected Papers. V. 1. —Providence, RJ: Amer. Math.
Soc, 1963. P. 189-199.
Поступило в редакцию 1 ноября 1943 г.

топологии*)
Одним из наиболее значительных явлений советского периода развития
русской математики следует признать возникновение русской
топологической школы. Топология — молодая отрасль математики: ее научная
разработка началась в конце прошлого века в работах Г. Кантора и А. Пуанкаре.
Возникновение и мощное развитие топологии и других новых
математических дисциплин — общей теории множеств, абстрактной алгебры,
математической логики — характерны для современного периода в математике,
периода открытия новых, ценностей и переоценки ценностей старых. В СССР
эти новые направления в математике получили блестящее развитие, и
русская топологическая школа, созданная в начале 20-х годов нашего века,
занимает в настоящее время первое место в мире.
Создателем и главой русской топологической школы является П. С.
Александров. Вместе с П. С. Урысоном — безвременно погибшим гениальным
ученым — П. С. Александров первым в СССР стал работать в области
общей теории топологических пространств. Вскоре к ним присоединились их
ученики: А. Н. Тихонов, Н. Б. Веденисов, В. В. Немыцкий, Л. А. Тумар-
кин и другие. В 1926 г. был основан московский топологический кружок.
Так возникла русская топологическая школа, которая тогда еще называлась
«московской». Ленинград и другие наши математические центры, в которых
преобладали «классические» направления, не имели в тот период должной
научной ориентации для работы в этой области.
В дальнейшем тематика русской топологической школы значительно
расширилась. В эту тематику была включена «комбинаторная» топология. Была
установлена связь этой последней с общей теорией топологических
пространств. В конце 20-х годов начал работать ученик П. С. Александрова
Л. С. Понтрягин, обогативший топологию рядом открытий первостепенной
значимости. В работу русской топологической школы включился и
Ленинград.
В настоящее время русская топологическая школа, возглавляемая
И С. Александровым, объединяет многих лиц, успешно работающих над
весьма разнообразными проблемами.
В этой статье мы постараемся дать краткий обзор главнейших
достижений этой школы.
1. Топология может быть определена как теория так называемых
топологических пространств. В настоящее время в математике принято следующее
определение понятия топологического пространства.
Под топологическим пространством понимается множество
произвольных элементов, называемых точками, рассматриваемое совместно с
некоторыми своими подмножествами, называемыми открытыми
множествами, причем выполнены следующие аксиомы:
Е1. Множество всех точек есть открытое множество.
Е2. Сумма любого множества открытых множеств есть открытое
множество.
*) В кн.: Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947.— М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 183-
227.

364
ТОПОЛОГИЯ
ЕЗ. Пересечение любых двух открытых множеств есть открытое
множество.
Иначе говоря, чтобы получить из множества X пространство, надо среди
подмножеств X выделить некоторые таким образом, чтобы соблюдались
аксиомы El, E2 и ЕЗ, где под точками надо понимать элементы множества X,
а под открытыми множествами — выделенные множества. Совокупность
выделенных множеств и определит X как пространство.
Согласно этому определению, пространства X и Y совпадают тогда и
только тогда, когда они имеют одни и те же точки и одни и те же открытые
множества.
Понятие пространства, эквивалентное только что определенному, было
введено польским математиком К. Куратовским в 1922 г. Оно допускает
различные обобщения. Следующее интересное обобщение было предложено
А. Д. Александровым [2]. Вместо аксиомы Е2 постулируется следующая,
более слабая аксиома:
Е2\ Сумма всякого не более чем счетного множества открытых
множеств есть открытое множество.
Йругие аксиомы остаются без изменения,
ространства А. Д. Александрова [2; 3; 5] интересны в связи с
построенной им топологической теорией меры, а также в связи с некоторыми чисто
топологическими вопросами, которые будут рассмотрены ниже.
Заметим, что из Е2* и тем более из Е2 следует, что пустое множество
открыто как сумма пустого множества открытых множеств. Из ЕЗ
следует, что пересечение любого непустого конечного множества открытых
множеств есть открытое множество.
2. Сформулированное определение топологического пространства
дает возможность определить понятия: «замкнутое множество»,
«замыкание», «окрестность точки», «окрестность множества», «непрерывное
отображение», «топологическое отображение», «гомеоморфия», «топологическое
свойство», «топологический инвариант», «связное пространство», «связное
множество», «компонента пространства», «изолированная точка», причем
могут быть доказаны простейшие теоремы, касающиеся этих понятии. Мы
не приводим здесь этих определений и теорем, отсылая читателя к русскому
переводу книги Ф. Хаусдорфа1* и к статье П. С. Александрова [63].
3. Существенную роль играют в топологии некоторые операции,
позволяющие, исходя из данных пространств, строить новые. Одной из таких
конструктивных операций является построение «подпространств». Это
построение осуществляется так.
Пусть Y — подмножество пространства X. Определим множества,
открытые в Y, как пересечения Y с открытыми множествами
пространства X. Как легко видеть, это превратит У в топологическое пространство.
Это пространство мы будем называть подпространством пространства X,
определяемым множеством Y. Мы будем говорить, что £ есть
наследственный класс пространств, если £ есть такой класс пространств, что всякое
подпространство всякого пространства, принадлежащего £, также
принадлежит £.
4. Другой конструктивной операцией, играющей весьма существенную
роль, является построение «произведения» системы пространств. Эта
операция, введенная А. Н. Тихоновым [3], определяется следующим образом.
!>Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.-Л.: ОНТИ, 1937. С. 1-302.

топология
365
Пусть каждому элементу £ непустого множества S приведено в
соответствие пространство Х(. Будем рассматривать совокупность X систем
(xe)ecs таких> что xt есть точка пространства Х( при всяком £,
принадлежащем Н. Определим множества, открытые в X, следующим образом.
Фиксируем элемент а множества Е и открытое множество А
пространства Хг Совокупность тех принадлежащих множеству X систем (xe)e€S,
для которых ха е А, обозначим символом £(а, А). Всякому а Е S и
всякому открытому множеству А пространства Ха соответствует свое
множество Z(a, А), содержащееся в X. Будем говорить о подмножестве
множества X, что оно основное, если оно есть пересечение конечного числа
множеств Z(a, А). Открытыми подмножествами X будем считать суммы
произвольных семейств основных множеств. Нетрудно видеть, что так
определенные открытые подмножества X удовлетворяют аксиомам El, E2 и ЕЗ.
Следовательно, X становится топологическим пространством. Так
определенное топологическое пространство X называется произведением
системы пространств (^)e6S.
Мы будем говорить, что £ есть мультипликативный класс пространств,
если £ есть такой класс пространств, что произведение любой системы
пространств, принадлежащих £, также принадлежит £.
Часто приходится иметь дело с тем случаем перемножения системы
пространств, когда все пространства-сомножители равны одному и тому же
пространству Y. В этом случае произведение называется т-й степенью Y,
где г — мощность системы одинаковых сомножителей. Эта терминология
законна, так как произведение определяется здесь пространством Y и
кардинальным числом г однозначно с точностью до топологического
отображения, т-я степень пространства Y обозначается символом YT.
В частности, при Y = D% где D есть пространство, состоящее из двух
изолированных точек, мы для всякого кардинального числа г получаем
пространство DT. Пространство D** гомеоморфно канторову диадическому
дисконтинууму. Компоненты всякого пространства DT состоят из отдельных
точек. Вместе с тем, при бесконечном г пространство DT плотно в себе,
т. е. не имеет изолированных точек. При бесконечном г пространство DT
называется обобщенным канторовым дисконтинуумом.
При Y = /, где I — единичный отрезок числовой прямой с обычными
открытыми множествами, мы получаем пространства Г, рассмотренные
А. Н. Тихоновым [3]. Мы будем называть их тихоновскими кубами, что
естественно, так как Р есть обычный куб. Тихоновские кубы суть связные
пространства. Это следует из связности пространства / в силу общей легко
доказуемой теоремы о мультипликативности класса связных пространств.
б. Мы говорим, что семейство 93 открытых множеств пространства X
есть база этого пространства, если всякое открытое множество
пространства X может быть получено путем суммирования некоторых элементов
семейств 93 (в любом числе). Всякое пространство имеет базу. Например,
базой является семейство всех открытых множеств пространства. Среди
мощностей различных баз пространства X имеется наименьшая. Она
называется весом пространства X.
Нетрудно видеть, что вес любого подпространства пространства X
не больше веса X. Отсюда следует, что, каково бы ни было кардинальное
число г, пространства веса < г образуют наследственный класс.

366
топология
Вес произведения системы пространств определяется следующей важной
теоремой, доказанной ленинградским математиком М. Я. Перельманом2),
погибшим в 1942 году:
Вес произведения системы пространств равен сумме весов прост-
ранств-сомножителей, если эта сумма бесконечна, а каждое слагаемое
больше единицы.
Отсюда следует, в частности, что тихоновский куб Г имеет, при
бесконечном г, вес г (А. Н. Тихонов [3]). n-мерное числовое пространство,
являющееся n-й степенью числовой прямой, имеет вес Н0.
6. Говорят, что множество А плотно в пространстве X, если
замыкание А в А совпадает с X. Наименьшая из мощностей множеств, плотных
в пространстве X, называется псевдовесом этого пространства. Псевдовес
пространства не превосходит его веса, но может быть и меньше веса.
7. Для построения топологии оказалось целесообразным ввести в
рассмотрение некоторые классы пространств, определяемые дополнительными
аксиомами. Выбор этих аксиом определялся в основном взаимодействием
между топологией и другими отделами математики, главным образом
анализом и геометрией. Исследователи стремились перекинуть мост между
топологией и этими отделами математики, установив аксиоматическую харак-
теризацию классов пространств, интересных с точки зрения этих
математических дисциплин, играли некоторую роль и внутренние чисто логические
мотивы. Так возникла современная, хорошо разработанная топологическая
аксиоматика, в построении которой советские топологи играли самую
значительную роль. Мы обращаемся теперь к рассмотрению этой аксиоматики
и некоторых связанных с нею общих проблем.
8. Важную роль в топологической аксиоматике играют так называемые
аксиомы отделимости, связанные со следующими понятиями.
Пусть А и В —подмножества пространства X. Мы говорим, что А
отделимо окрестностью от В в X, если существует окрестность А в X, не
пересекающаяся с В. Мы говорим, что А и В отделимы друг от друга
окрестностями в X, если существуют непересекающиеся окрестности U
и V множеств А я В в X соответственно. Мы говорим, что А и В
функционально отделимы в X, если существует действительная непрерывная
функция f в X, принимающая значение 0 во всех точках множества А и
значение 1 во всех точках множества В. При этом здесь и в дальнейшем под
непрерывной функцией в пространстве X понимается непрерывное
отображение этого пространства в естественно топологизированную числовую
прямую.
9. Самая слабая из рассмотренных аксиом отделимости сформулирована
А. Н. Колмогоровым, Она состоит в следующем:
Из любых двух различных одноточечных подмножеств пространства
хотя бы одно отделимо окрестностью от другого.
Иначе говоря: если х и у — различные точки пространства, то либо
существует окрестность ж, не содержащая у, либо — окрестность у, не сд-
держащая х. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются
пространствами Колмогорова. Класс этих пространств обозначается
символом Т0.
2*Перельман М. Я. Мощности в топологии. Рукопись. Л., 1941. 361 с.

топология
367
Переход от общих пространств к пространствам Колмогорова не является
существенным сужением области исследования, так как рассмотрение
произвольного пространства сводится к рассмотрению некоторого
пространства Колмогорова, получаемого из первого пространства путем надлежащего
«отождествления» точек.
Класс Т0, как легко убедиться, является наследственным и
мультипликативным.
Следующий пример пространства Колмогорова является простым и
вместе с тем нетривиальным. Пусть точками пространства F являются числа О
и 1, а открытыми множествами — множества Л, {0}, {0,1}3). Здесь
множество {0} отделимо окрестностью от множества {1}, тогда как множество {1}
не отделимо окрестностью от множества {0}.
В силу мультипликативности класса Т0, этому классу принадлежит и
всякое пространство FT, где г — любое кардинальное число. В силу
наследственности этого класса, ему же принадлежит и всякое подпространство
любого пространства FT. Как мы сейчас увидим, этим класс Т0 по
существу и исчерпывается.
10. Для точной и краткой формулировки относящейся сюда
замечательной теоремы П. С. Александрова и некоторых других результатов,
излагаемых ниже, будет удобно ввести следующую терминологию.
Будем говорить, что пространство X погружаемо в пространство F, если
X гомеоморфно какому-нибудь подпространству пространства У.
Пусть Я — наследственный класс пространств. Будем говорить, что U
есть универсальное пространство класса Я, если U принадлежит
классу Л и всякое пространство этого класса погружаемо в U.
Очевидно, что установление универсальности некоторого пространства в
изучаемом классе пространств всегда является значительным шагом вперед
в теории этого класса, так как дальнейшее исследование сводится тогда к
рассмотрению подпространств одного пространства. Теорема П. С.
Александрова [43; 63] утверждает следующее:
Каково бы ни было трансфинитное кардинальное число г,
пространство FT есть универсальное пространство в классе пространств
Колмогорова веса ^ т.
Некоторые другие универсальные пространства того же класса построены
А. Н. Тихоновым [7].
11. Более узкий класс образуют пространства Риса, характеризуемые
следующей аксиомой:
Каждое из любых двух различных одноточечных множеств отделимо
окрестностью от другого.
Иначе говоря: если хиу — различные точки пространства, то существует
окрестность точки х, не содержащая у. Или еще иначе: всякое одноточечное
множество замкнуто.
Класс пространств Риса обозначается символом 7]. Он содержится в
классе Т0> не совпадая с ним. Например, пространство F принадлежит Тд,
но не принадлежит 2]. Класс 7] —наследственный и мультипликативный.
3) Здесь и в дальнейшем Л обозначает пустое множество, {х} —■ множество с единственным
элементом ж, {з, у} — множество, образованное элементами х и у (не обязательно
различными), и т. д.

368
ТОПОЛОГИЯ
Вопрос о существовании универсального пространства в классе пространств
Риса веса ^ г является в настоящее время открытым.
12. Еще более узкий класс образуют пространства Хаусдорфа,
характеризуемые следующей аксиомой:
Любые два различных одноточечных множества отделимы друг от
друга окрестностями.
Класс пространств Хаусдорфа обозначается символом Т2. Он содержится
в классе Г,, не совпадая с ним. Класс Т2 — наследственный и
мультипликативный.
13. С классом Т2 связана богатая и интересная проблематика, в
разработке которой советские топологи играли видную роль. Для формулировки
одной из относящихся сюда проблем введем следующую терминологию.
Пусть А — какой-нибудь класс пространств. Будем говорить, что
пространство X абсолютно замкнуто в Я, если оно принадлежит Я и
замкнуто во всяком пространстве класса Я, содержащем X как подпространство.
Требуется охарактеризовать внутренним образом пространства,
абсолютно замкнутые в классе Т2, или, как их называют, Н-замкнутые
пространства. (Для классов Т0 и Тх аналогичные проблемы решаются тривиально.)
Решение проблемы Я-замкнутости было дано П. С. Александровым и
П. С. Урысоном [2; 4] в виде следующей теоремы:
Для того чтобы пространство Хаусдорфа X было Я-замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы из всякого его покрытия можно было
выбрать конечное множество элементов с суммой, плотной в X.
Здесь и в дальнейшем под покрытием пространства X понимается
семейство открытых множеств этого пространства с суммой, равной X.
14. Условимся говорить, что пространство Y есть расширение
пространства X, если X есть подпространство Y, плотное в Y.
В связи с понятием Я-замкнутости П. С. Александровым и П. С.
Урысоном [4] была поставлена следующая проблема: для всякого ли пространства
Хаусдорфа существует Я-замкнутое расширение?
Первый подход к этой проблеме был осуществлен А. Н. Тихоновым [3],
доказавшим, что всякое пространство Хаусдорфа является
подпространством некоторого Я-замкнутого пространства того же веса.
Окончательное и притом положительное решение проблемы Урысона было
дано американским математиком М. Стоуном. Теорема Стоуна (всякое
пространство Хаусдорфа имеет Я-замкнутое расширение) была в
дальнейшем доказана различным способами А. Д. Александровым [4], С. В.
Фоминым [11 и Н. А. Шаниным [1]. С. В. Фомин при этом доказал, что всякое
хаусдорфово пространство имеет Я-замкнутое расширение того же
веса. Особенно простое по идее доказательство теоремы Огона
принадлежит А. Д. Александрову.
15. Назовем логарифмом кардинального числа г наименьшее из
кардинальных чисел а таких, что г ^Т. М. Я. Перельманом4* доказана следующая
интересная теорема:
Псевдовес произведения бесконечной системы пространств
Хаусдорфа, каждое из которых состоит более чем из одной точки, равен
supremum'y псевдовесов пространств-сомножителей и логарифма числа
этих сомножителей.
4) См. сноску на с. 366.

топология
369
16. Понятию Я-замкнутости родственно важное понятие
«бикомпактности». Говорят, что пространство бикомпактно, если из всякого его
покрытия можно выбрать конечное множество элементов, также образующее
покрытие пространства.
Из теоремы Бореля — Лебега следует, что бикомпактным является
всякое ограниченное замкнутое подмножество n-мерного числового
пространства, рассматриваемое само как пространство. Известно, какую важную
роль играют в анализе ограниченные и замкнутые множества. Естественно
было ожидать, что аналогичную роль в топологии и ее приложениях будут
играть бикомпактные пространства. Эти ожидания полностью оправдались.
Бикомпактные пространства явились объектом большой теории,
построенной П. С. Александровым и П. С. Урысоном [2; 4; 5]. Центральное понятие
этой теории — бикомпактность — оказалось существенным как для самой
топологии в целом, так и для многих ее приложений. Некоторые из них
будут рассмотрены ниже.
17. П. С. Александровым и П. С. Урысоном [2; 4] была установлена
эквивалентность приведенного выше определения бикомпактности с двумя
другими определениями этого понятия*).
Одно из них формулируется так. Пространство бикомпактно, если в нем
всякое убывающее вполне упорядоченное семейство непустых замкнутых
множеств имеет непустое пересечение. Критерий бикомпактности,
выражаемый этим определением, обобщает известную теорему Кантора о
пересечениях.
Еще одно определение бикомпактности связано с понятием «точки
полного накопления». Пусть А — подмножество пространства X, х — точка
этого пространства. Мы говорим, что х есть точка полного накопления А
в X, если пересечение множества А с любой окрестностью точки х имеет
ту же мощность, что и всё А.
Соответствующее определение бикомпактности формулируется так.
Пространство бикомпактно, если в нем всякое бесконечное подмножество
имеет точку полного накопления. Критерий бикомпактности, выражаемый этим
определением, обобщает теорему Больцано — Вейерштрасса.
18. Бикомпактные пространства образуют мультипликативный
класс. Этот далеко не тривиальный результат был впервые доказан
А. Н. Тихоновым [316). Из этой теоремы следует, в частности,
бикомпактность пространств FT, DT, Г.
19. Из определения бикомпактного пространства непосредственно
следует сохранение бикомпактности при непрерывных отображениях, т. е.
следующая теорема Н. Б. Веденисова:
Если возможно непрерывное отображение бикомпактного
пространства X на пространство Y, то Y также бикомпактно.
Из сравнения определения бикомпактного пространства с теоремой
П. С. Александрова и П. С. Урысона об Я-замкнутых пространствах
следует, что всякое бикомпактное пространство Хаусдорфа Й-замкнуто.
Класс бикомпактных пространств не является наследственным, однако,
как нетрудно видеть, всякое подпространство бикомпактного
пространства X, замкнутое в X как множество, само бикомпактно.
5) См. также статью П. С. Александрова [63].
*) А. Н. Тихонов рассматривал лишь произведение системы отрезков, однако его
рассуждение дословно переносится на общий случай произведения системы бикомпактных пространств.

370
топология
Из сопоставления всех этих фактов получается следующая теорема
Н. Б. Веденисова:
При непрерывном отображении бикомпактного пространства X в
хаусдорфово пространство Y образ всякого замкнутого множества
пространства X замкнут в Y.
Отсюда непосредственно следует, что всякое непрерывное и взаимно
однозначное отображение бикомпактного пространства в хаусдорфово
пространство является топологическим.
Интересно отметить, что последний результат рместе с его локальной
версией, относящейся к отображениям, непрерывным в точке, является
топологической основой данных А. Н. Тихоновым [8] доказательств
устойчивости некоторых обратных задач анализа, в частности обратной задачи
теории потенциала.
Существуют ff-замкнутые не бикомпактные пространства. Примеры
такого рода пространств были построены П. С. Александровым и II. С. Уры-
соном [4].
Бикомпактные хаусдорфовы пространства называются бикомпактами.
20. Наряду с бикомпактными пространствами П. С. Александров [4] ввел
в рассмотрение «локально бикомпактные» пространства, определяемые
следующим образом.
Будем говорить, что пространство X бикомпактно вокруг своей
точки х, если эта точка имеет окрестность в X с бикомпактным замыканием.
Будем говорить, что X локально бикомпактно, если X бикомпактно
вокруг каждой своей точки.
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, локально бикомпактно. С
другой стороны, существуют локально бикомпактные, но не бикомпактные
пространства. Таково, например, n-мерное числовое пространство.
Основной результат П. С. Александрова [4] о локально бикомпактных
пространствах дает возможность сводить рассмотрение любого локально
бикомпактного пространства Хаусдорфа к рассмотрению некоторого
бикомпакта. Этот бикомпакт получается из первоначального пространства
посредством присоединения одной новой точки. Частным случаем этого процесса
является присоединение одной «бесконечно удаленной» точки к локально
бикомпактной, но не бикомпактной плоскости комплексной переменной, в
результате чего получается бикомпактная гауссова сфера.
Чтобы сформулировать теорему П. С. Александрова, введем следующую
терминологию. Под одноточечной бикомпактификаци?й пространства X
будем понимать бикомпакт, содержащий X как подпространство и
отличающийся от X ровно на одну точку. Теорема П. С. Александрова [4]
формулируется тогда так:
Для существования одноточечной бикомпактификации
пространства X необходимо и достаточно, чтобы X было хаусдорфовым локально
бикомпактным пространством. В этом случае одноточечная биком-
пактификация X существенно единственна.
Отсюда легко выводится, что локально бикомпактные хаусдорфовы
пространства могут быть охарактеризованы как открытые подмножества
бикомпактов, рассматриваемые как пространства.
21. П. С. Александров [3] ввел важное понятие «сходимости по
мощности», определяемое следующий образом. Мы говорим, что бесконечное
подмножество А пространства X сходится по мощности к точке х этого

ТОПОЛОГИЯ 371
пространства, если, какова бы ни была окрестность U этой точки, мощность
множества А \ U меньше мощности множества А7). Для существования
подмножества А пространства X, сходящегося по мощности к данной точке ж,
необходимо, разумеется, чтобы эта точка была неизолированной. В случае,
когда X является хаусдорфовым пространством, бикомпактным вокруг ж,
это условие оказывается и достаточным. Имеет место следующая, далеко
не очевидная теорема П. С. Александрова [3]:
Если хаусдорфово пространство X бикомпактно вокруг своей ней-
золированной точки ж, то существует бесконечное подмножество А
этого пространства, сходящееся по мощности к ж.
22. Пусть й—семейство окрестностей точки х в пространстве X.
Условимся говорить, что И есть база X в ж, если соблюдается следующее
условие: во всякой окрестности точки х содержится некоторая окрестность ж,
принадлежащая U.
Тривиальным примером базы X в х является семейство всех
окрестностей х в X. Наименьшая из мощностей баз X в х называется весом X в х.
Вес X в х будем обозначать символом рх(Х).
Будем говорить о семействе И окрестностей точки х в пространстве X,
что оно есть псевдобаза X в ж, если пересечение всех элементов этого
семейства состоит из одной точки ж.
Если X — пространство класса 7], то во всякой точке этого пространства
существует псевдобаза: например, семейство всех окрестностей точки х
является псевдобазой X в х. Псевдобазой X в х является в этом случае и
всякая база X в ж. Наименьшая из мощностей псевдобаз X в х называется
псевдовесом X в х. Псевдовес X в х мы будем обозначать символом qx(X).
В случае пространства класса Г, имеем, очевидно: qx(X) ^px(X).
Имеет место следующая теорема П. С. Александрова [3]:
Если X —хаусдорфово пространство, бикомпактное вокруг точки ж,
тодх(Х) = рх(Х).
23. Если точка х пространства X такова, что существуют подмножеств
ва А, сходящиеся по мощности к ж, то среди мощностей этих подмножеств
имеется наименьшая. Она называется весом сходимости X в ж. По
определению, вес сходимости X во всякой изолированной точке этого
пространства полагается равным 1. Вес сходимости X в ж мы будем обозначать
символом сх(Х).
Согласно вышеприведенной теореме П. С. Александрова, всякое
хаусдорфово пространство, бикомпактное вокруг какой-либо своей точки ж, имеет
в этой точке определенный вес сходимости. Им доказано сверх того, что в
этом случае сх(Х) ^ РХ(Х).
24. Некоторые теоремы о бикомпактных пространствах
распространяются на более широкий класс «компактных» пространств, определяемый
следующим образом. Пространство компактно, если из всякого его
счетного покрытия можно выбрать конечное множество элементов, также
образующее покрытие. Как и для бикомпактных пространств, здесь возможны
различные эквивалентные определения. Одно из них формулируется так.
Пространство компактно, если в нем всякая убывающая счетная
последовательность непустых замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
7* А \В обозначает у нас разность множеств А и В% т. е. совокупность элементов
множества А% не принадлежащих В, АС) В — пересечение А и В, А и В —сумму А и В.

372 ТОПОЛОГИЯ
Еще одно определение компактности связано с понятием «точки
накопления». Пусть А —подмножество пространства X, ж —точка этого
пространства. Мы говорим, что х есть точка накопления А в X, если
пересечение А с любой окрестностью точки х бесконечно*).
Соответствующее определение компактности формулируется так.
Пространство компактно, если в нем всякое бесконечное точечное множество
имеет точку накопления.
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, компактно. С другой
стороны, нетрудно видеть, что всякое компактное пространство не более
чем счетного веса-—бикомпактно. Таким образом, в классе пространств
не более чем счетного веса компактность совпадает с бикомпактностью.
Вообще эти понятия не совпадают: существуют компактные, но не
бикомпактные пространства (П. С. Александров и П. С, Урысон [4]).
25. Аналогично понятию бикомпактности пространства вокруг точки
определяется «компактность вокруг точки». Говорят, что пространство X
компактно вокруг своей точки х> если эта точка имеет окрестность в X
с компактным замыканием. Говорят, что пространство X локально
компактно, если X компактно вокруг каждой своей точки.
Аналогично теореме об одноточечной бикомпактификации имеет
место теорема об одноточечной компактификации локально компактных
пространств (П. С. Александров [4]):
Для существования одноточечной компактификации
пространства X необходимо и достаточно, чтобы X было хаусдорфовым локально
компактным пространством.
Здесь под одноточечной компактификацией пространства X
понимается компактное хаусдорфово пространство, содержащее X как
подпространство и отличающееся от X ровно на одну точку. Единственность
одноточечной компактификации в условиях теоремы утверждать нельзя.
26. В пространствах, с которыми имеет дело анализ, существует
«достаточно много» действительных непрерывных функций. В пространстве
класса Т2 их может быть «мало». Всякая действительная функция в
пространстве, принимающая лишь одно значение, очевидно, является
непрерывной. Относительно всякого пространства естественно возникает вопрос,
существуют ли в нем действительные непрерывные функции, отличные от
этих тривиальных. Оказывается, что существуют бесконечные
пространства класса Т2> в которых всякая действительная непрерывная функция
равна постоянной. Первый пример этого рода был построен П. С. Урысо-
ном [10]. В этом примере пространство было счетным. В 1937 г. чешский
математик Поспишил, обобщив построение П. С. Урысона, доказал, что для
всякого бесконечного кардинального числа г существует хаусдорфово
пространство мощности г такое, что в нем всякая действительная непрерывная
функция равна постоянной. В этих примерах несуществование
непостоянных непрерывных функций основано на следующем свойстве построенных
пространств: замыкания любых двух непустых открытых множеств
пересекаются. Пространства с этим свойством, очевидно, связны. Таким образом,
пример П. С. Урысона есть вместе с тем пример счетного связного хаусдор-
фова пространства.
8) В случае, когда X есть пространство класса 2J, можно потребовать вместо этого, чтобы
пересечение А с любой окрестностью точки х содержало точки, отличные от х. В общем
случае такое изменение определения привело бы к существенно иному понятию.

топология
373
27. Пример П. С. Урысона показывает, что класс Т2 слишком широк,
чтобы можно было строить «анализ» в пространствах этого класса. Поэтому
было естественно пытаться сузить область исследования, налагая на
рассматриваемые пространства дальнейшие условия отделимости.
Одним из таких условий является условие «регулярности»:
Каковы бы ни были точка х и замкнутое множество А, не содержа-
щее этой точки, множества {х} и А отделимы друг от друга
окрестностями.
Пространства класса IJ, удовлетворяющие этому условию, называются
регулярными пространствами. Класс регулярных пространств обозначается
символом Т3.
Как нетрудно видеть, всякое регулярное пространство есть хаусдорфово
пространство. С другой стороны, существуют нерегулярные хаусдорфовы
пространства. Таким является, например, пространство П. С. Урысона, о
котором речь шла выше. Класс Т3, как легко видеть, наследственный и
мультипликативный.
28. П. С. Александровым и П. С. Урысоном [2; 4] была установлена
следующая характеризация бикомпактов:
Для того чтобы пространство было бикомпактом, необходимо и
достаточно, чтобы оно было регулярным и Н -замкнутым.
Таким образом, в классе Тъ бикомпактность и Я-замкнутость
совпадают. Для этого класса возникает, однако, своя проблема абсолютной
замкнутости — проблема внутренней характеризации пространств, абсолютно
замкнутых в классе Тг. Эта проблема была решена Н. М. Вайнбергом Щ,
ленинградским математиком, погибшим на фронте Великой Отечественнаи
войны.
Для формулировки полученного им результата условимся понимать под
г-покрытием пространства такое его покрытие, что замыкание
всякого элемента покрытия содержится в другом элементе покрытия. Теорема
Н. М. Вайнберга [2] формулируется так:
Для того чтобы регулярное пространство было абсолютно
замкнутым в классе Т3, необходимо и достаточно, чтобы из всякого
г-покрытия этого пространства можно было выбрать конечное покрытие.
29. П. С. Александровым и П. С. Урысоном [4] установлены следующие
результаты:
Всякое компактное хаусдорфово пространство X такое, что
рж(Х)^#0 во всякой его точке х, регулярно.
В компактном регулярном пространстве всякое совершенное
множество имеет мощность не меньше 2*°.
Последняя теорема относится, в частности, к бикомпактам.
П. С. Александров [3] рассмотрел вопрос о существовании совершенных
множеств в бикомпактах. Из полученных им результатов приведем лишь
один.
Условимся говорить о точке х пространства X, что она есть особая
точка этого пространства, если соблюдается следующее условие: каково бы ни
было кардинальное число г, меньшее мощности X, во всякой окрестности
точки х существуют точки у такие, что ру(Х) > т. Имеет место следующая
теорема:
Всякий бикомпакт, не содержащий совершенного множества, имеет
особую точку, изолированную в совокупности особых точек.

374
ТОПОЛОГИЯ
30. Для топологического подхода к анализу класс Тъ всё еще слишком
широк. Для этого требуются более сильные условия отделимости, например
следующее условие «нормальности».
Всякие два непересекающиеся замкнутые множества отделимы друг
от друга окрестностями.
Пространства класса 2], удовлетворяющие этому условию, называются
нормальными пространствами. Класс нормальных пространств
обозначается символом Т4.
Класс Т4, очевидно, содержится в классе Tz. Обратное включение не
имеет места, как показывают примеры, построенные П. С. Александровым и
П. С. Урысоном [4].
Теория нормальных пространств была построена П. С. Урысоном.
Главным результатом этой теории является следующая замечательная теорема
продолжения непрерывных функций (П. С. Урысон [10]):
Если А —замкнутое множество в нормальном пространстве X, то
всякая действительная ограниченная непрерывная функция в А может
быть продолжена до непрерывной функции в X.
Эта теорема явилась обобщением ранее известной теоремы Хаусдор-
Йа, относящейся к метризуемым пространствам (см. п. 35). Сама теорема
. С. Урысона не допускает дальнейших обобщений в отношении
рассматриваемых пространств, если оставаться в пределах класса 2j. В самом
деле, легко доказывается следующее обращение теоремы П. С. Урысона:
Пусть пространство X класса Тх удовлетворяет следующему
условию: каково бы ни было замкнутое множество А пространства X,
всякая действительная ограниченная непрерывная функция в А может
быть продолжена до непрерывной функции в X. Тогда X нормально.
Однако, как выяснил А. А. Марков [8], принадлежность пространства
к классу 7] вовсе не является существенной для применимости теоремы
продолжения непрерывных функций, так как данное П. С. Урысоном [10]
доказательство этой теоремы оказывается годным для любого
пространства, в котором всякие два непересекающиеся замкнутые множества
отделимы друг от друга окрестностями. Наконец, А. Д. Александров показал, что
можно еще обобщить теорему П. С. Урысона, распространив ее на
упомянутые выше пространства, удовлетворяющие аксиоме Е2 вместо аксиомы Е2.
Если в таком пространстве А. Д. Александрова всякие два
непересекающиеся замкнутые множества отделимы друг от друга окрестностями, то к
нему применима урысонова теорема продолжения непрерывных функций
(А. Д. Александров [2]).
В другом направлении обобщил теорему П. С. Урысона Н. Б. Ведени-
сов [6], доказавший, что условие ограниченности продолжаемой функции
может быть отброшено.
Теорема П. С. Урысона показывает, что в нормальном пространстве
совокупность непрерывных функций достаточно богата. В частности, из этой
теоремы следует, что в нормальном пространстве, содержащем более одной
точки, существуют непостоянные непрерывные функции.
Теорема П. С. Урысона дает возможность строить «анализ» в
нормальных пространствах и их обобщениях. В частности, А. А. Марковым [8]
установлена возможность построения общей топологической теории меры
и интегрирования в нормальных пространствах. Эта теория получила
значительное дальнейшее развитие в работах А. Д. Александрова [2; 3; 5]. Из

топология
375
своей теоремы П. С. Урысон [10] вывел важное следствие относительно
мощностей связных точечных множеств в нормальном пространстве:
Мощность связного подмножества нормального пространства ^ 2\
если это подмножество содержит более одной точки.
О связных подмножествах регулярного пространства этого утверждать
нельзя. П. С. Урысоном [10] доказано лишь, что всякое связное
подмножество регулярного пространства, содержащее более одной точки, нес-
четно.
31. Ввиду важной роли нормальных пространств в топологии и ее
приложениях, имеют большое значение теоремы, дающие возможность делать
заключение о нермальности пространств, удовлетворяющих тем или иным
условиям. К числу таких теорем нормальности относится теорема А. Н.
Тихонова [1]:
Всякое регулярное пространство счетного веса нормально.
Другой теоремой того же рода является теорема П. С. Александрова и
П. С. Урысона [2; Ц:
Всякий бикомпакт есть нормальное пространство.
32. Класс ТА не является ни наследственным, ни мультипликативным.
А. Н. Тихоновым [3] был построен простой пример бикомпакта,
содержащего не нормальное подпространство, получаемое удалением одной точки.
Французским математиком Ж. Дьедонне был построен пример двух
нормальных пространств, дающих не нормальное произведение.
33. Как отмечено выше, пространство Г имеет при трансфинитном г
вес т. Оно бикомпактно при всяком г и принадлежит классу Т2 в силу
мультипликативности этого класса. Пространство 1Т является, следовательно,
бикомпактом и потому нормально. В частности, I*0 есть нормальное
пространство счетного веса. П. С. Урысоном [7] был установлен следующий
замечательный результат:
Пространство I** есть универсальное пространство в классе нор-
мольных пространств счетного веса.
Согласно вышеприведенной теореме А. Н. Тихонова, здесь можно
заменить слово «нормальных» словом «регулярных*, что выявляет
наследственность рассматриваемого класса.
Стремясь получить аналогичные результаты для пространств любого
веса, А. Н. Тихонов [3] ввел еще один важный класс пространств —
пространства «вполне регулярные». Определение вполне регулярного пространства
аналогично определению регулярного пространства и отличается от
последнего определения только тем, что отделимость окрестностями заменяется
функциональной отделимостью.
Мы говорим о пространстве X, что оно вполне регулярно, если оно
принадлежит классу Г, и удовлетворяет следующему условию: каковы бы ни
были точка х пространства X и замкнутое множество А этого
пространства, не содержащее этой точки, множества {х\ и А функционально
отделимы. Класс вполне регулярных пространств обозначается символом Тр.
Класс Тр% как нетрудно видеть, наследственный. Из сравнения
определений легко усматривается, что этот класс содержится в Tz. Из теоремы
продолжения непрерывных функций следует, что Т4 с Тр. С другой
стороны, А. Н. Тихоновым [3] построен пример регулярного, но не вполне

376
ТОПОЛОГИЯ
регулярного пространства, а примеры, доказывающие, что класс Т4 не
наследственный, вместе с тем являются примерами вполне регулярных, но не
нормальных пространств. Таким образом, класс Тр занимает
промежуточное положение между классами Т3 и ТА: он уже первого, но шире второго.
Вполне регулярные пространства веса ^ г образуют наследственный
класс, которому принадлежит пространство V. В самом деле, это
пространство имеет вес ^ т и нормально, а следовательно, вполне регулярно.
А. Н. Тихоновым [3] доказана следующая замечательная теорема:
Каково бы ни было трансфинитное кардинальное число г,
пространство Г универсально в классе вполне регулярных пространств веса ^ т.
Таким образом, изучение вполне регулярных пространств сводится к
изучению подпространств тихоновских кубов.
Из теоремы А. Н. Тихонова непосредственно вытекают важные
следствия, характеризующие вполне регулярные пространства как
подпространства бикомпактов и как подпространства нормальных пространств.
Для того чтобы пространство было подпространством бикомпакта,
необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне регулярным.
Для того чтобы пространство было подпространством
нормального пространства, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне
регулярным.
Все эти результаты в достаточной мере выявляют значение вполне
регулярных пространств в топологии. В настоящее время обнаружилось, что и в
смежных отделах математики, например в теории топологических групп**,
этот класс пространств играет существенную роль. В самом деле, из
результатов Л. С. Понтрягина и А. А. Маркова вытекает следующая теорема:
Для того чтобы пространство было замкнутым подпространством
топологической группы, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне
регулярным.
А. А. Марковым [14] указан также некоторый общий способ построения
топологических групп, в котором вполне регулярные пространства играют
самую важную роль.
34. Из вышеприведенных результатов А. Н. Тихонова следует, что
всякое вполне регулярное пространство имеет хаусдорфово бикомпактное
расширение. Развивая далее идеи, связанные с этими результатами,
чешский математик Э. Чех показал, что среди хаусдорфовых бикомпактных
расширений вполне регулярного пространства X может быть выделено одно,
являющееся в следующем смысле максимальным: оно может быть
непрерывно отображено на всякое хаусдорфово бикомпактное расширение X и
притом так, что всякая точка самого пространства X отобразится на самоё
себя. Это чехово расширение пространства X существенно единственно.
Оно обозначается символом {JX. Э. Чех доказал далее, что /ИХ обладает
следующим свойством: всякое непрерывное отображение пространства X
0 произвольный бикомпакт Y может быть продолжено до непрерывно-
го отображения @Х в Y. Нетрудно видеть, что наличие указанного выше
свойства максимальности (ЗХ следует отсюда.
9> Определение топологической группы читатель найдет в статье этого сборника
[«Математика в СССР за 30 лет». — Прим. сост.], посвященной топологическим группам и группам
Ли.

топология
377
В 1938 г. американский математик Г. Уоллмэн указал определенную
конструкцию бикомпактного расширения произвольного пространства
класса 7J. Эту конструкцию, равно как и конструкцию чехова расширения,
читатель найдет в статье П. С. Александрова [63]. Уоллмэново расширение
пространства X обозначается символом шХ.
Существенно новую и в некоторых отношениях более простую
конструкцию чехова расширения дал П. С Александров [51]. Вместе с тем он
выяснил связь между (ЗХ и шХ для вполне регулярного X, показав, что /ЗХ
может быть определенным образом получено из шХ.
В 1940 г. А. Д. Александров [2] обобщил конструкцию уоллмэнова
бикомпактного расширения на случаи произвольного расширяемого пространства
и доказал, что результат этой конструкции — бикомпактное расширение
шХ пространства X — всегда обладает следующим свойством:
Всякое непрерывное отображение пространства X в произвольный
бикомпакт Y может быть продолжено до непрерывного отображения
шХ в У10>.
Продолжая разработку теории бикомпактных расширений, А. Д.
Александров [2] установил ряд других интересных результатов. Некоторые из
них связаны с понятием «совершенно нормального» пространства,
введенным Н. Б. Веденисовым и определяемым следующим образом. Мы
говорим о пространстве X класса IJ, что оно совершенно нормально, если в
нем всякое замкнутое множество является совокупностью точек, в которых
некоторая действительная непрерывная функция в X обращается в нуль.
Н. Б. Веденисовым [6] доказана следующая теорема:
Для того чтобы пространство было совершенно нормальным,
необходимо и достаточно, чтобы оно было нормальным и удовлетворяло
условию: всякое замкнутое множество пространства является
пересечением не более чем счетного семейства открытых множеств.
Понятие совершенно нормального пространства и теорема Н. Б. Веде-
нисова были обобщены А. Д. Александровым [2], отбросившим условие
принадлежности пространства классу Т, и распространившим результат
на свои обобщенные пространства (см. п. 1). Понятие совершенной
нормальности играет существенную роль в построенной А. Д. Александровым
топологической теории меры.
Дальнейшей успешной разработкой теории расширений занимался
Н. А. Шанин [1; 2; 3].
35. Одним из крупнейших достижений советской топологической школы
является решение «проблемы метризации». Эта проблема связана с
понятием «метрического пространства», определяемым следующим образом.
Пусть X — произвольное множество, р — дейс!вителыця функция от
двух элементов этого множества, удовлетворяющая следующим двум
условиям:
D1. р(ж, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
D2. р(я, у) + р(у, z) ^ p(x, z) для любых ж, у, z e X.
Тогда мы говорим, что р есть метрика в X. Метрическим
пространством называется всякое множество, рассматриваемое совместно с какой-
нибудь метрикой в нем. Элементы метрического пространства называются
10) Мы приводим здесь результат А. Д. Александрова лишь применительно к обычному
понятию топологического пространства.

378
ТОПОЛОГИЯ
его точками. Число р(х, у), где р — метрика метрического
пространства X, х и у — его точки, называется расстоянием между х я у в X.
Из условий D1 и D2 следует* что расстояние между любыми двумя
точками неотрицательно, что р(х, у) = р(у, х) для любых точек ж и у и что
р(х, у) + /о(у, z) ^ р(х, z) для любых точек ж, у, z.
Пусть х — точка метрического пространства X, е — положительное
число. Совокупность точек у, расстояние которых от х меньше е, называется
е-окрестностью х в X.
Пусть А — подмножество метрического пространства X. Говорят, что
А открыто в X, если соблюдается условие: какова бы ни была точка х
множества А, существует е >0 такое, что г-окрестность х содержится в А.
Открытые множества метрического пространства удовлетворяют
аксиомам Е1, Е2 и ЕЗ. Таким образом, всякое метрическое пространство
определяет некоторое топологическое пространство. Те топологические
пространства, которые могут быть определены этим путем, исходя из метрических
пространств, называются метризуемыми пространствами. Далеко не
всякое топологическое пространство метризуемо. Легко доказывается, что
всякое метризуемое пространство нормально.
Проблема метризации состояла во внутренней характеризации летризуе-
мых пространств, т. е. в характеризации их в чисто топологических
терминах, относящихся к самим характеризуемым пространствам. Эта проблема
была решена П. С. Александровым и П. С. Урысоном [1]. Для формулировки
полученного ими общего результата введем следующую терминологию.
Условимся говорить о покрытиях а и /3 пространства Х> что первое
вписано во второе, если соблюдается условие: для любых элементов U и V
покрытия а таких, что U П V ф Л, найдется элемент W покрытия (3 такой,
что C/U VС W. О последовательности а,, а2,... покрытий пространства X
условимся говорить, что она есть полная цепь в X, если соблюдается
условие: каковы бы ни были точка х и множества К, U2,... такие, что х Е U4 € a{
(г = 1,2,...), семейство этих множеств есть базис X в х. Будем говорить
о полной цепи а,, а2,... в X, что она регулярна, если ai + l вписано в at
яри г = 1,2...
Найденное П. С. Александровым и П. С. Урысоном решение проблемы
метризации имеет вид следующей теоремы:
Для метризуемости пространства необходимо и достаточно, чтобы
в нем существовала регулярная полная цепь.
Независимо от этой общей теоремы метризации установлены три
специальные теоремы метризации, относящиеся к различным классам
пространств.
Первая теорема метризации, доказанная П. С. Урысоном [11], дает
простое необходимое и достаточное условие метризуемости пространства
счетного веса:
Для метризуемости пространства не более чем счетного веса
необходимо и достаточно, чтобы это пространство было регулярным.
Эту теорему легко вывести из вышеприведенной теоремы П. С. Урысо-
на об универсальности пространства 1\ принимая во внимание, что это
пространство гомеоморфно параллелотопу гильбертова пространства,
определяемому условиями: 0 < х{ ^ 1/t (t = 1,2,...), где xi — координаты в
гильбертовом пространстве (А. Н. Тихонов [3]).
Вторая теорема метризации, также установленная П. С. Урысоном [6],
относится к компактным пространствам:

топология
379
Для метризуемости компактного пространства необходимо и до-
статочно, чтобы оно было хаусдорфовым пространством не более чем
счетного веса.
Необходимость была ранее установлена Хаусдорфом. Достаточность
легко следует из первой теоремы метризации, если принять во внимание, что
всякое компактное хаусдорфово пространство не более чем счетного веса
является бикомпактом и, следовательно, регулярным пространством.
Компактные метризуемые пространства называются компактами.
Третья теорема метризации, установленная П. С. Александровым [4],
относится к локально компактным пространствам:
Для метризуемости локально компактного пространства
необходимо и достаточно, чтобы это пространство было хаусдорфовым и
представлялось в виде суммы попарно непересекающихся открытых
множеств, каждое из которых имеет не более чем счетный вес.
Здесь лишь доказательство необходимости представляло трудности.
36. Одной из главных проблем топологии является исследование
вопроса: «какие пространства возможны?» При рассмотрении этого вопроса
топологи отвлекаются от природы точек рассматриваемых пространств, считая
гомеоморфные пространства просто одинаковыми.
Ясно, однако, что самая общая постановка этого вопроса не является
целесообразной: пространств слишком много и они слишком
разнообразны, чтобы можно было хорошо разобраться в их совокупности, Если же
надлежащим образом ограничить класс пространств, подлежащий более
детальному исследованию в духе только что сформулированного вопроса, то
такое исследование может оказаться плодотворным. В качестве первого
этапа здесь можно рассматривать подсчет топологически различных (т. е. не
гомеоморфных) представителей рассматриваемого класса, т. е. выяснение
мощности совокупности таких представителей. Подсчеты этого рода были
произведены М. Я. ПерельманомП). В приводимых ниже четырех
замечательных теоремах М. Я. Перельмана г обозначает произвольное
трансфинитное кардинальное число.
Имеется ровно Т топологически различных бикомпактов веса т.
Имеется ровно 2тКв топологически различных метризуемых
пространств веса г.
Имеется ровно 22Т топологически различных пространств класса Т{
веса т. Столько же имеется топологически различных вполне
регулярных пространств веса т.
Имеется ровно 222 топологически различных регулярных
пространств псевдовеса т. Столько же имеется топологически различных
вполне регулярных пространств псевдовеса г.
5*7. П. С. Александровым [13] доказана следующая замечательная
теорема:
Канторов дисконтинуум может быть непрерывно отображен на
любой компакт.
Так как компакты образуют подкласс класса бикомпактов, а канторов
дисконтинуум D*<> есть частный случай обобщенного канторова
дисконтинуума DT, возникло предположение о возможности представления любого
П) См. сноску на с. 366.

380
ТОПОЛОГИЯ
бикомпакта в виде непрерывного образа обобщенного канторого
дисконтинуума. Это предположение было, однако, опровергнуто польским
математиком Шпильрайном. Бикомпакты, которые могут быть представлены в виде
непрерывных образов пространств DT, были названы П. С. Александровым
диадическими бикомпактами. Их теории было посвящено глубокое
исследование Н. А. Шанина [5; 6; 7; 8], распространившего на диадические
бикомпакты некоторые теоремы, известные ранее для компактов. Для
формулировки главных относящихся сюда результатов Н. А. Шанина условимся
понимать под расположенным семейством семейство множеств,
удовлетворяющее следующему условию: каковы бы ни были элементы А я В
рассматриваемого семейства, имеем А с В или В с А. Н. А. Шанин доказал
следующую теорему:
Пересечение всякого непустого расположенного семейства
открытых и плотных подмножеств диадического бикомпакта X плотно в X.
Отсюда следует, что непустой диадический бикомпакт не может быть
представлен в виде суммы расположенного семейства своих нигде не
плотных подмножеств.
Путем построения противоречащего примера Н. А. Шанин показал далее,
что условие диадичности не может быть отброшено в последнем результате:
существует бикомпакт, являющийся суммой некоторого
расположенного семейства своих замкнутых нигде не плотных подмножеств.
Другой интересный результат Н. А. Шанииа относится к
«упорядоченным* диадическим бикомпактам. Упорядоченными называются
пространства, конструируемые следующим образом. Пусть X — произвольное
упорядоченное множество. Интервалом множества X называется всякое
подмножество X одного из следующих четырех типов:
1) совокупность элементов Х% лежащих между двумя фиксированными
элементами Х\
2) совокупность элементов X, предшествующих фиксированному
элементу X;
3) совокупность элементов X, следующих за фиксированным
элементом Х\
4) всё множество X.
Будем считать открытыми множествами всевозможные суммы
интервалов. X станет тогда нормальным пространством. Н. А. Шаниным доказана
следующая теорема:
Всякий упорядоченный диадический бикомпакт гомеоморфен
ограниченному замкнутому подмножеству числовой прямой.
Здесь условие диадичности также не может быть отброшено, как
показывают известные примеры.
Что касается представления общих бикомпактов в виде непрерывных
образов тех или иных специальных пространств, подобно тому как компакты
представляются как непрерывные образы одного фиксированного
пространства D**, то в этом направлении П. С. Александровым [46; 63] доказана
следующая теорема:
Всякий бикомпакт веса ^ г есть непрерывный образ некоторого
замкнутого множества пространства DT.

топология 381
■*""-" ■"■ ■■■J.i»'iHii»MJii4i4 .ли. .ид. i. ..-ч' ищи.* .■■■. i ..■»■..«.,»,., ii . u, i...ll....Lilm.ml.....,..l.i,l.„li.,iu„ni. it, i„ .■„ j„.,i ...i,, ,, , , . i ■■
Там же установлен следующий результат, относящийся уже ко всему
классу TQ:
Всякое пространство класса Т0 веса ^ г есть взаимно однозначный
и непрерывный образ некоторого подмножества пространства DT.
38. Приведенные выше результаты Н. А. Шанина основаны на
построенной им «теории калибров», имеющей и самостоятельный интерес.
Центральное понятие этой теории — понятие «калибра» топологического
пространства — определяется следующим образом: мы говорим о кардинальном
числе г, что оно является калибром пространства X, если г > 1 и всякое
семейство мощности г открытых множеств пространства X содержит
подсемейство той же мощности с непустым пересечением.
Н. А. Шанин исследовал калибры произведения системы пространств в
зависимости от калибров сомножителей. Полученные при этом результаты
дали ему возможность доказать вышеприведенные теоремы о диадических
бикомпактах.
39. В 1928 г. П. С. Александров [26] опубликовал первый вариант своей
«теории спектров». Основной тенденцией этой теории является построение
весьма общих пространств, исходя из тех или иных простых и наглядных
объектов и применяя тот или иной предельный переход. В современной
трактовке теории, данной, например, в статье П. С. Александрова [63],
исходным материалом служат дискретные пространства, т. е. пространства
класса Т0, в которых пересечение всякого семейства открытых множеств
открыто. Ясно, что всякое конечное пространство класса Т0 дискретно.
В дискретном пространстве замыкание суммы всякого семейства
точечных множеств равно сумме замыканий элементов этого семейства. А так
как всякое точечное множество является суммой множеств одноточечных,
то операция замыкания в дискретном пространстве полностью
определяется, если известны замыкания одноточечных множеств.
Условие
(1) *еШ{»>
для точек х и у дискретного пространства X определяет в X некоторое
асимметричное и транзитивное отношение, т. е. некоторое частичное
упорядочение12*.
Это дает, как нетрудно видеть, взаимно однозначное соответствие
между дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами:
всякое дискретное пространство определяет частично упорядоченное
множество, состоящее из всех точек пространства, причем отношение
предшествования— х предшествует у — определяется условием (1); всякое
частично упорядоченное множество определяется в этом смысле одним и
только одним дискретным пространством. Чтобы получить единственное
дискретное пространство, определяющее частично упорядоченное
множество л, надо считать открытыми те подмножества X, которые
удовлетворяют условию: если элемент х множества X принадлежит рассматриваемому
подмножеству X, то и все следующие за х элементы X принадлежат этому
подмножеству. Таким образом, теория дискретных пространств
эквивалентна теории частично упорядоченных множеств.
12) 7 обозначает замыкание множества А в рассматриваемом пространстве.

382
топология
В дальнейшем формула х < у(Х) будет означать, что х предшествует у в
частично упорядоченном множестве Х\ формула х ^ у(Х) будет означать,
что х и у суть элементы частично упорядоченного множества X такие, что
х < у(Х) или х = у.
Условимся говорить об отображении / частично упорядоченного
множества X в частично упорядоченное множество F, что оно сохраняет поря-
док, если f(x) < f(y)(r) всякий раз, когда х < у(Х).
Нетрудно видеть, что непрерывные отображения дискретного
пространства X в дискретное пространство Y могут быть охарактеризованы, как
сохраняющие порядок отображения частично упорядоченного множества,
определяемого X, в частично упорядоченное множество, определяемое Y.
Всякому частично упорядоченному множеству X соответствует обрат-
ное частично упорядоченное множество X*, имеющее те же элементы и
такое, что х < у(Х*) тогда и только тогда, когда у<х(Х). Операция перехода
к обратному частично упорядоченному множеству соответствует операция
прстроения пространства, двойственного данному дискретному
пространству. Так называется дискретное пространство, состоящие из тех же точек,
что и исходное, в котором, однако, роль открытых множеств играют
замкнутые множества исходного пространства.
Любое семейство множеств можно рассматривать как частично
упорядоченное множество, беря в качестве упорядочивающего отношения
отношение собственного включения, т. е. полагая, по определению, что А
предшествует В, если А и В суть элементы рассматриваемого семейства такие,
что А с В и А Ф В. Тем самым, в силу эквивалентности частично
упорядоченных множеств дискретным пространствам, можно рассматривать
всякое семейство множеств и как дискретное пространство. С другой стороны,
всякое частично упорядоченное множество, как нетрудно видеть,
изоморфно некоторому естественно упорядоченному семейству множеств. Отсюда
следует, что всякое дискретное пространство гомеоморфно некоторому
семейству множеств (рассматриваемому как дискретное пространство).
О семействе множеств говорят, что оно полно, если всякое непустое
подмножество всякого элемента семейства само является элементом этого
семейства (П. С. Александров [47]). Конечные полные семейства множеств
называются абстрактными симплициальными комплексами. Коротко мы
будем их называть А -комплексами.
Очевидно, что элементы всякого абстрактного симплициального
комплекса суть конечные множества. Имея в виду связь А-комплексов с
евклидовыми симплициальными комплексами (см. п. 42), П. С. Александров
предложил называть конечные множества остовами, а множества,
состоящие из 71 + 1 элементов, — п-мерными остовами (п = 0,1,2,...).
Таким образом, всякий А-комплекс является некоторым конечным
множеством остовов. Мы говорим, что С есть n-мерный Л-комплекс, если С есть
Л-комплекс, содержащий хотя бы один п-мерный остов и не содержащий
m-мерных остовов с га > п.
Всякое подмножество А-комплекса является семейством множеств и
может быть рассматриваемо как конечное дискретное пространство, т. е.
как конечное пространство класса Т0. Обратно, как заметил П. С.
Александров [47], всякое конечное дискретное пространство гомеоморфно
некоторому подмножеству некоторого А-комплекса. Изучение
конечных дискретных пространств сводится, таким образом, к изучению А
-комплексов и их подмножеств, чем выявляется комбинаторная сущность теории
этих пространств.

ТОПОЛОГИЯ 383
Мы переходим теперь к краткому изложению созданной П. С.
Александровым [2о; 40; 63] и А. Г. Курошем [1; 2] «теории спектров», давшей
возможность строить произвольные бикомпакты, исходя из конечных дискретных
пространств, и тем самым проложившей один из главных путей
систематическому применению комбинаторно-алгебраических методов к изучению
бикомпактов.
40. Условимся говорить о частично упорядоченном множестве Н, что оно
является направленным, если соблюдается условие: каковы бы ни были
элементы а и /3 множества S, в S существует элемент, следуюищй как
за а, так и за /313).
Пусть каждому элементу а направленного множества Е приведено в
соответствие пространство ХЛ, а каждой паре (а, (3) элементов S такой, что
a </3(S), приведено в соответствие непрерывное отображение 7г£
пространства Х0 на пространство Ха, причем это сделано так, что
коль скоро а < /3 < 7(H). Мы говорим тогда о системе пространств Ха,
рассматриваемой совместно с системой отображений тг£, что она является
спектром. Пусть спектр образован пространствами Ха (аб2)и
отображениями тг£ (а < (3(E)). Рассмотрим произведение X системы пространств Ха
!а еЕ). Точки X суть всевозможные системы {ха)аеЕ такие, что ха е Ха
а е Е). Пусть Q обозначает совокупность тех из этих систем, которые
удовлетворяют условию: пЦх^ = ха, коль скоро а < (3(E). Будучи
подмножеством пространства Xt Q также является пространством. Пространство Q
называется полным пределом рассматриваемого спектра. Оказывается, что
полный предел всякого спектра, образованного непустыми
бикомпактами, есть непустой бикомпакт (П. С. Александров [63]).
При построении бикомпактов, исходя из конечных дискретных
пространств, существенную роль играет введенный П. С. Александровым
нижний предел спектра, который может быть определен как совокупность тех
точек полного предела спектра, для которых fx} = {ж}, т. е. одноточечное
множество {х} замкнуто. Здесь замыкание берется в полном пределе, и
построенное подмножество полного предела рассматривается как
пространство14).
Очевидно, что нижний предел всякого спектра есть пространство
класса Тх. П. С. Александровым сформулировано следующее достаточное
условие того, чтобы нижний предел спектра был пространством класса Т2: для
любых двух различных точек {хш)а€Е и (уа)а€Е нижнего предела спектра
существует а такое, что точки ха и уа отделимы-окрестностями в Ха.
Спектры, образованные конечными дискретными пространствами и
удовлетворяющие этому условию, П. С. Александров называет Хйусдорфовыми1Ь).
13) Термин «направленное множество» мы предпочитаем применяемому П. С. Александровым
в том же смысле термину «неограниченное множество».
14> У П. С. Александрова [63] определение нижнего предела сформулировано в других
терминах.
**) Что это условие не является необходимым, показывает следующий простой пример. Пусть
Е —естественно упорядоченная совокупность натуральных чисел; Ха при а б а не зависит
от а и является конечным дискретным пространством {а, 6, с} с открытыми множествами: Л,
{а}, {а, Ь}, {а, с}, {а, Ь, с}; ir% —тождественное отображение Xfi на Ха (а </?(£)). Нетрудно
видеть, что условие П. С. Александрова здесь не выполнено, тогда как нижним пределом
спектра является хаусдорфово пространство, состоящее из двух точек.

384
ТОПОЛОГИЯ
Главным результатом теории спектров является следующая теорема
Александрова — Куроша:
Нижний предел всякого хаусдорфова спектра есть бикомпакт и вся-
кий бикомпакт есть нижний предел некоторого хаусдорфова спектра
(П. С. Александров [63]).
41. Теория спектров позволила осуществить логически естественное
построение «n-мерного элемента» — конструктивной единицы топологии
полиэдров, п-мерным элементом — коротко, п-элементом — называется
всякое пространство, гомеоморфное n-мерному кубу 1п (п = 0,1,2,...),
причем /" определяется как одноточечное пространство.
Осуществленное П. С. Александровым построение хаусдорфова спектра,
имеющего своим нижним пределом n-элемент, использует понятие
«барицентрической производной» частично упорядоченного множества,
определяемое следующим образом. Барицентрической производной частично
упорядоченного множества Х{ называется естественно упорядоченное
семейство всех непустых упорядоченных подмножеств множества X.
Барицентрическая производная всегда является полным семейством. Барицентрическая
производная конечного частично упорядоченного множества X, очевидно,
конечна и, следовательно, является А-комплексом. В этом случае в
каждом элементе Y барицентрической производной, как в конечном
упорядоченном множестве, имеется единственный последний элемент (следующий
за всеми остальными элементами множества У). Этот последний элемент
множества Y называется носителем Y. Носитель элемента
барицентрической производной Хх конечного частично упорядоченного множества X
есть элемент самого множества X. Сопоставляя каждому элементу
барицентрической производной носитель этого элемента, мы получаем
отображение частично упорядоченного множества Хх на частично упорядоченное
множество X, причем это отбражение, как нетрудно видеть, сохраняет
порядок. Оно называется естественным отображением барицентрической
производной.
Пользуясь соответствием между частично упорядоченными
множествами и дискретными пространствами (см. п. 39), можно перенести все эти
понятия на конечные дискретные пространства. Можно говорить о
барицентрической производной конечного дискретного пространства X и о ее
естественном отображении на X. Барицентрическая производная
конечного дискретного пространства X есть конечное дискретное пространство и
ее естественное отображение на X непрерывна
Исходя теперь из произвольного конечного дискретного пространства Х0,
мы можем следующим образом построить спектр. Сначала определяем
индукцией по натуральному числу п последовательность конечных
дискретных пространств Хп (п = 0,1,...), полагая Хп+1 равным барицентрической
производной Хп (п = 0,1,2,...). Полагаем далее
где пк обозначает естественное отображение Xk на Хк_{. 7г£ является тогда
непрерывным отображением Хп на Хт (0^ m ^ п) и, как нетрудно видеть,
пространства Хп, рассматриваемые совместно с отображениями 7г£,
образуют хаусдорфов спектр. Так построенные спектры будем называть
барицентрическими. В частности, беря в качестве Х0 естественно упорядоченное
семейство всех непустых подмножеств n-мерного остова, рассматриваемое

топология
385
как дискретное пространство (см. п. 39), мы получим элементарный
п-мерный спектр. П. С. Александровым [5; 63] доказана следующая теорема:
Нижний предел элементарного n-мерного спектра есть п-элемент.
42. Частным случаем n-элемента является п-мерный симплекс
(коротко, п-симплекс). Так называется выпуклое замыкание n-мерного остова,
содержащегося в r-мерном евклидовом пространстве (г ^ п) и не
содержащегося ни в каком его линейном подпространстве числа измерений < п.
Остов G, выпуклым замыканием которого является симплекс 5,
однозначно определяется этим симплексом. Элементы G называются вершинами S.
Непустые подмножества G также определяют симплексы, называемые
гранями S. Среди граней S фигурирует несобственная грань — сам
симплекс S. Остальные грани S называются собственными. Сумма
собственных граней S называется границей S.
Пусть С — конечное множество симплексов (различных размерностей) в
г-мерном евклидовом пространстве Ег. Мы говорим, что С есть евклидов
симплициальный комплекс (коротко, Е-комплекс) в Ert если
соблюдаются условия:
Г грань всякого симплекса, принадлежащего С, принадлежит С;
2° пересечение всяких двух симплексов, принадлежащих С, либо пусто,
либо является гранью каждого из этих симплексов.
Мы говорим при этом, что С есть п-мерный комплекс, если в С входит
хотя бы один n-мерный симплекс и не входит никакой m-мерный симплекс
с т > п.
Сумма симплексов, принадлежащих Е-комплексу С в Ert является
некоторым точечным множеством в ЕТ. Мы говорим о подмножестве А
пространства Ert что оно есть прямолинейный полиэдр в Ег, если оно есть
сумма симплексов некоторого ^-комплекса в Ег. Если, в частности, А есть
сумма симплексов n-мерного ^-комплекса, то мы говорим, что А есть
п-мерный прямолинейный полиэдр. Легко доказывается, что
приписываемая таким образом всякому прямолинейному полиэдру элементарно
геометрическая размерность однозначно определяется этим полиэдром. Иначе
говоря, один и тот же прямолинейный полиэдр не может быть в этом смысле
одновременно n-мерным и m-мерным при пфт.
Полиэдром называется всякое пространство, гомеоморфное
прямолинейному полиэдру. Из результатов П. С. Александрова следует, что полиэдры
могут быть также охарактеризованы как пространства, гомеоморф-
ные нижним пределам барицентрических спектров.
Всякий полиэдр гомеоморфен многим прямолинейным полиэдрам и вовсе
не очевидно, что все они имеют одну и ту же элементарно
геометрическую размерность. В действительности это так, и установление этого факта
было одним из глубоких результатов топологической теорий размерности,
построенной П. С. Урысоном и К. Менгером. К ее краткому изложению мы
сейчас и переходим.
43. В основе брауэр-урысон-менгеровского топологического определения
размерности лежат геометрические идеи, высказанные А. Пуанкаре и
впервые математически оформленные Л. Брауэром в 1913 г. Исходя из
улучшенного ими брауэровского определения размерности, П. С. Урысон [9; 14] и
К. Менгер, работавшие параллельно и независимо друг от друга, построили
глубокую и богатую содержанием теорию размерности. Область
применимости этой теории составляли первоначально компакты, затем она была

386
ТОПОЛОГИЯ
распространена Л. А. Тумаркиным [2; 4; 7] и другими на произвольные ме-
тризуемые пространства счетного веса (т. е. регулярные пространства
счетного веса)16). В дальнейшем до п. 49 включительно мы под «пространством»
и будем понимать метризуемое пространство счетного веса.
Урысон-менгеровское определение размерности является индуктивным:
класс Эп пространств размерности ^ п определяется в нем индукцией по п,
начиная с п = —1. Мы приведем здесь менгеровскую форму этого
определения как более простую.
Класс 2)_i состоит по определению из пустого пространства и только его
одного. Пусть определен класс Sn_!. Будем говорить, что пространство X
имеет в точке х размерность ^ п, если в каждой окрестности этой точки
содержится окрестность х с границей17), принадлежащей классу 2)n_i.
Будем говорить, что пространство X имеет размерность < п, если оно имеет
размерность ^ п во всякой своей точке. Класс пространств размерности ^ п
обозначим символом Sn.
Очевидно, что Эп_, с2)п (п = 0,1,2,...). Будем говорить, что
пространство X n-мерно, или имеет размерность п, если X €2)n\®n-i- Будем
говорить, что X бесконечномерно, если X не принадлежит ни одному из
классов 2)п. Будем говорить, что пространство X n-мерно в точке ж, если
оно имеет в этой точке размерности ^ п и не имеет размерность ^ п - 1.
Размерность пространства X обозначается символом dim л; размерность
X в точке х — символом dimx X.
Легко усматривается, что всякий класс Эп является наследственным.
Иначе говоря, если X есть подпространство Y, то dim X ^ dim Y.
Одной из первых глубоких проблем, рассмотренных в теории
размерности, был вопрос о связи между размерностью суммы множеств и
размерностями слагаемых. П. С. Урысоном, Л. А. Тумаркиным и К. Менгером была
установлена следующая теорема суммирования:
Если пространство является суммой не более чем счетного
семейства замкнутых, не более чем п-мерных множеств, то оно само не более
чем п-мерно.
Совсем иначе обстоит дело при сложении незамкнутых множеств. Здесь
даже при двух слагаемых размерность суммы может превосходить
наибольшую из размерностей слагаемых, как показывает пример сложения
0-мерного множества рациональных точек числовой прямой с 0-мерным же
множеством иррациональных ее точек, в результате чего получается 1-мерное
пространство — вся числовая прямая. Для размерности суммы любых двух
подмножеств А и В какого-либо пространства П. С. Урысоном установлена
оценка
dim(A U В) ^ dim A + dim В + 1,
которая не может быть улучшена.
С этим результатом тесно связна следующая замечательная урысоновская
теорема разложения:
Всякое п-мерное пространство является суммой некоторых своих
п + 1 0-мерных подпространств и не может быть представлено как
сумма меньшего числа 0-мерных пространств.
16> В последнее время П. С. Александров распространил многие теоремы теории размерности
на бикомпакты (см., например, П. С. Александров [52; 57]).
!?) Границей множества А в пространстве X называется пересечение замыкания А в X с
замыканием X \ А в X.

топология
387
Рассматривался также вопрос о зависимости размерности произведения
двух пространств от размерностей этих пространств. Легко
доказывается, что
(2) dim(А х В) ^ dim A + dim Д
где А х В обозначает произведение пространств А и В. Некоторое время
существовала гипотеза о возможности заменить здесь знак ^ знаком =,
однако Л. С. Понтрягин [3] привел пример компактов А и В в Е4 таких,
что dim A = dim В = 2, тогда как dim(A х В) *= 3. Этот пример Л. С. Пон-
трягина тесно связан с рассматриваемой далее «гомологической» теорией
размерности П. С. Александрова.
44. Из (2) непосредственно следует, что dim In = п. Установление
того факта, что, здесь имеет место знак равенства, является одним из самых
значительных достижений топологии. Это было осуществлено в результате
работ нескольких авторов, а именно Л. Брауэра, А. Лебега, П. С. Урысо-
на и К. Менгера. Содержащееся в этих работах доказательство равенства
dim In з= п показало, с одной стороны, что понятие размерности было
определено П. С. Урысоном и К. Менгером надлежащим образом, а с другой —
выявило роль элементарно геометрического понятия «числа измерений» как
топологического инварианта пространств.
В основе доказательства равенства dim In = n лежит, во-первых,
известная теорема Брауэра — Лебега о покрытиях n-мерного куба, а во-вторых,
установленная П. С Урысоном [9; 14] и К. Менгером эквивалентность
приведенного выше индуктивного определения размерности другому,
неиндуктивному определению, связанному с покрытиями пространства. Эта
эквивалентность первоначально была установлена лишь для компактов, для
которых второе определение размерности удобно формулируется в метрических
терминах. Впоследствии В. Гуревич распространил неиндуктивное
определение и на некомпактные пространства. Мы приведем здесь это общее
определение.
Пусть а и /3 — покрытия пространства X. Будем говорить, что а есть
подразделение (3, если всякий элемент а содержится в некотором
элементе /?. Будем называть порядком покрытия а наибольшее из чисел га,
удовлетворяющих условию: имеется п +1 различных элементов а с
непустым пересечением.
Второе определение размерности формулируется так. Мы говорим, что
непустое пространство n-мерно, если всякое его конечное покрытие
имеет конечное подразделение порядка ^ п и существует конечное покрытие
пространства, не имеющее конечных подразделений порядка < п. Мы
говорим, что непустое пространство бесконечномерно, если оно не является
n-мерным ни при каком целом неотрицательном п. Пустому пространству
мы приписываем размерность, равную —1.
П. С. Урысоном [9; 14], К. Менгером и В. Гуревичем установлено, что
второе определение размерности эквивалентно индуктивному.
Теорема Лебега — Брауэра утверждает, что пространство 1п га-мерно в
смысле второго определения. В силу теоремы эквивалентности отсюда
следует, что dim In = п.
Из этого равенства следует, что n-мерный элемент имеет размерность п
и что всякий прямолинейный полиэдр, n-мерный в элементарно
геометрическом смысле, имеет размерность п. Элементарно геометрическая размер-

388
ТОПОЛОГИЯ
ность прямолинейного полиэдра оказывается, таким образом,
топологическим инвариантом. Выше мы определили «полиэдр» как пространство, го-
меоморфное прямолинейному полиэдру. Мы видим теперь, что все
прямолинейные полиэдры, гомеоморфные одному и тому же полиэдру X, имеют
одну и ту же элементарно геометрическую размерность, равную dimX.
45. Цитированная выше теорема Лебега — Брауэра тесно связана с
другой знаменитой топологической теоремой — с теоремой Брауэра о
неподвижных точках, утверждающей, что при всяком непрерывном отображении
n-мерного элемента в самого себя имеется хотя бы одна точка,
совпадающая со своим образом. Эта теорема была значительно обобщена А. Н.
Тихоновым [6], распространившим ее на бесконечномерные аналоги п-мерного
элемента.
А. Н. Тихонов рассматривает так называемые линейные топологические
пространства, т. е. абелевы топологические группы, в которых определено
умножение произвольного элемента на произвольное действительное
число, умножение, удовлетворяющее обычным аксиомам линейного
пространства и такое, что \х, где А —действительное число, х — элемент
группы, непрерывно зависит от пары (А, х). В таком пространстве естественно
определяются понятия «отрезка» и «выпуклого множества». О линейном
топологическом пространстве говорят, что оно локально выпукло, если в
нем во всякой окрестности любой точки содержится выпуклая окрестность
этой точки.
Теорема А. Н. Тихонова утверждает:
Если X есть выпуклый бикомпакт в локально выпуклом линейном
топологическом пространстве, то при всяком непрерывном
отображении X в самого себя имеется хотя бы одна точка, совпадающая со
своим образом.
Эта теорема имеет разнообразные интересные приложения. Самим
А. Н. Тихоновым она была применена к доказательству существования
решений бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
А. А. Марков [5] применил ее к доказательству теоремы существования
«среднего», инвариантного относительно «абелева множества», что, в свою
очередь, было им применено к доказательствам существования
«инвариантных мер» и «интегральных инвариантов» [5; 7]. Теоремой А. Н. Тихонова
пользуется также А. Вейль18). Таким образом, один из узловых
комплексов идей современной топологии получил плодотворные выходы в другие
отделы математики.
46. Дальнейших крупных успехов в теории размерности добился
П. С. Александров [19; 26], установивший известные теоремы
«аппроксимации» компактов полиэдрами той же размерности.
Одна из этих теорем относится к компактам, содержащимся в г-мерном
евклидовом пространстве Ег или в гильбертовом пространстве Н. О
непрерывном отображении / содержащегося в ЕТ (в Н) множества X в
пространство Ег (в Н) говорят, что оно есть е-сдвиг, если р(ж, fx) < e для всякой
точки х этого множества. Здесь р — евклидова (гильбертова) метрика в Ет
(в Я), е — положительное число.
Теорема П. С. Александрова об е-сдвигах утверждает:
18) W e i 1 A. L'integration dans les groupes topologiques et ses applications. — Paris: Hermann,
1940. [Имеется перевод: Вей ль А. Интегрирование в топологических группах и его
применения.—М.: ИЛ, 1950. — Прим. сост.]

топология
389
Если X есть n-мерный компакт в Ег (в Н), то при всяком е>0
существует е-сдвиг X на n-мерный прямолинейный полиэдр и
существует е>0 такое, что X не допускает е-сдвигов на полиэдры низших
размерностей.
В другой теореме речь идет об «£-отображениях» метризованных
компактов. Пусть / — непрерывное отображение метрического пространства X в
пространство У, е >0. Говорят, что / есть е-отображение, если прообраз
всякой точки множества f(x) имеет диаметр е19).
Теорема П. С. Александрова об ^-отображениях утверждает:
Если X есть метризованный n-мерный компакт, то при всяком е >
>0 существует е-отображение X на n-мерный полиэдр и существует
е>0 такое, что X не допускает е-отображений на полиэдры низших
размерностей.
Обе эти теоремы, очевидно, могут служить для характеризации п-мер-
ных компактов. Теорема об е-отображениях была впоследствии обобщена
на произвольные регулярные пространства счетного веса с одновременным
устранением метрики из ее формулировки20). Роль е-отображений играют
при этом * а-отображения», где а — конечное покрытие пространства.
Если / — непрерывное отображение пространства X в пространство У, а —
конечное покрытие X, то говорят, что / есть а-отображение, если
всякая точка пространства У имеет такую окрестность в У, что ее /-прообраз
содержится в некотором элементе покрытия а. Имеет место следующая
обобщенная теорема П. С. Александрова:
Если dim X = n,mo каково бы ни было конечное покрытие а
пространства X, существует а-отображение этого пространства на п-мерный
полиэдр; при том же условии существует конечное покрытие а
пространства X такое, что X не допускает а -отображений на полиэдры
низших размерностей.
47. Еще одна важная характеризация размерности, также установленная
П. С. Александровым, связана с непрерывными отображениями компактов
на n-мерный элемент. Всякий n-мерный элемент гомеоморфен п-мерному
симплексу и, как непосредственно следует из известной теоремы Брауэра
о топологической инвариантности области и границы, при всех
топологических отображениях симплекса X на элемент У границе симплекса
соответствует одно и то же подмножество элемента. Это подмножество называется
границей элемента У. Граница (п + 1)-мерного элемента, очевидно, гомео-
морфна n-мерной сфере, т. е. подмножеству пространства Еп + Х,
определяемому соотношением
• = 1
между координатами х{ (г = 1,..., п + 1).
Пусть теперь / — непрерывное отображение пространства X на п-мер*
ный элемент У с границей S. Будем говорить, что это отображение
существенно, если не существует непрерывного отображения g пространства X
19) Диаметром подмножества А метрического пространства X называется supremum
взаимных расстояний точек этого множества.
^ См.: Hurewicz С. W., Wallman H. Dimension Theory. 1941.

390
ТОПОЛОГИЯ
в S такого, что дх = fx для всякой точки х такой, что fxe S. В
противном случае будем говорить, что / несущественно. Имеет место следующая
теорема П. С. Александрова:
Пространство X тогда и только тогда допускает существенное
отображение на п-мерный элемент, когда dim jf ^ n.
Эта теорема была первоначально доказана П. С. Александровым [31] для
компактов; впоследствии ее удалось обобщить на любые регулярные
пространства счетного веса21). В самое последнее время П. С. Александрову
удалось распространить ее на еще более широкий класс пространств,
освободившись от ограничения, налагаемого на вес пространства.
Теорема П. С. Александрова играет важную роль в теории
размерности, будучи соединительным звеном между урысон-менгеровской
теорией размерности, с одной стороны, и гомологической теорией размерности
П. С. Александрова — с другой22).
48. Л. С. Понтрягину и Л. Г. Шнирельману [1] удалось связать
размерность компакта с его метрическими свойствами.
Всякое метризуемое пространство допускает много различных метрик,
т. е. соответствует в вышеопределенном смысле многим метрическим
пространствам (см. п. 35). Пусть р — одна из метрик компакта X, е —
положительное число. Тогда X может быть разными способами представлено как
сумма конечного числа замкнутых множеств диаметров < е в метрике р.
Наименьшее число потребных для этого замкнутых множеств зависит от
компакта X, его метрики р и числа е. Будем обозначать это число
символом N(X, p, е).
Теорема Л. С. Понтрягина и Л. Г. Шнирельмана выражается равенством
inflimini(^log^g>)=dimX
р «-*о \ log* /
Здесь infimum относится ко всем метрикам р компакта X; liminf при е—►()
берется при фиксированной метрике р.
49. Существенные результаты связаны с понятием «канторова
многообразия». Мы говорим, что X есть п-мерное канторово многообразие,
если X есть n-мерный связный компакт, удовлетворяющий условию: X
нельзя представить в виде суммы двух замкнутых множеств А и В,
отличных от X и таких, что aim(A П В) < п - 1. Л. А. Тумаркиным [6] и
В. Гуревичем одновременно и независимо была доказана следующая
глубокая и важная теорема:
Всякий п-мерный компакт содержит п-мерное канторово
многообразие.
П. С. Александровым [7] установлен следующий результат, относящийся
к подмножествам n-мерного евклидова пространства Еп:
Если содержащийся в Еп компакт X является границей двух
непересекающихся открытых связных множеств, то X есть п - 1 -мерное
канторово многообразие.
При ограничении п ^ 3 эта теорему была доказана еще П. С. Урысо-
ном [14].
21) См. цитированную выше книгу В. Гуревича и Г. Уоллмэна, где теорема П. С. Александрова
приводится в несколько измененной редакции без ссылки на автора.
**) О гомологической теории размерности речь будет идти ниже (см. п. 59).

топология
391
60. Весьма значительную роль играют в топологии алгебраические
методы, ведущие начало от А. Пуанкаре. С развитием и применением этих
методов, объединяемых под названием «теории гомологии и пересечений»,
связаны крупнейшие достижения советской топологической школы. На них
основана, в частности, «гомологическая теория размерности» П. С.
Александрова, о которой вскользь упоминалось выше. К теории гомологии и
пересечений относится также «закон двойственности» Л. С. Понтрягина и
теория «V-гомологий» А. Н. Колмогорова — Дж. Александера,
оказавшаяся мощным орудием исследования, давшим ряд ценных результатов как в
самой топологии, так и в смежных областях. Мы переходим теперь к
изложению основ «теории гомологии».
Характерным для этой теории является привлечение абелевых групп для
построения топологических инвариантов пространств. Возникающие при
этом объекты — «группы гомологии» — зависят не только от
рассматриваемого пространства, но и от привлеченной абелевой группы, называемой
областью коэффициентов2^. Роль области коэффициентов может играть
любая абелева группа, как «дискретная», т. е. не топологизированная, так
и топологическая. Введение топологических групп в качестве областей
коэффициентов составляет заслугу Л. С. Понтрягина [7; 9]. Оно дало
возможность надлежащего подхода к «законам двойственности» на основе
построенной Л. С. Понтрягиным [8] теории «характеров».
В дальнейшем все рассматриваемые абелевы группы «пишутся
аддитивно», т. е. групповая операция обозначается знаком +, элемент группы,
обратный элементу ж, — символом —ж, единичный элемент группы —
знаком 0. Под «группой» всегда подразумевается или дискретная абелева
группа, или бикомпактная абелева топологическая группа. Буква (S будет
обозначать аддитивную группу целых чисел, символ <5т — группу вычетов
mod m (m = 2,3,...), буква R— группу действительных чисел mod 1. Все
эти группы, кроме последней, будут рассматриваться как дискретные; Я—
как топологическая группа с естественной топологизацией. А бикомпактна,
ее пространство гомеоморфно окружности. Группы (8 будут иногда также
рассматриваться как бикомпактные топологические группы.
Характером дискретной группы называется гомоморфизм ее в Я;
характером бикомпактной группы Л. С. Понтрягин называет всякий
непрерывный гомоморфизм ее в Jr4). Характеры группы Г складываются по формуле
(ip + ф)х = <рх + фх (ж € Г),
где (р и ф — складываемые характеры, а плюс справа обозначает сложение
в А Сумма любых двух характеров Г является характером Г и, как легко
убедиться, характеры Г образуют абелеву группу относительно сложения.
Эта группа называется группой характеров группы Г и обозначается
символом хГ. При этом группа характеров дискретной группы Г топологизиру-
ется следующим образом. Мы считаем подмножество А группы хГ
открытым в хГ, если соблюдается условие: для всякого элемента (р множества А
я) Они зависят, кроме того, от других аргументов, о чем будет идти речь ниже.
**) Л. С. Понтрягиным теория характеров была построена лишь для счетных дискретных
групп, с одной стороны, и компактных топологических групп счетного веса — с другой. Ее
обобщение на произвольные дискретные группы и произвольные бикомпактные
топологические группы, не представившее труда, было осуществлено ван Кампеном.

392 топология
найдется конечная система элементов ж,,..., х^ группы Г и положительное
число S таким образом, что всякий характер ф группы Г такой, что
\<рх. - фх{\ < 6 (mod 1) (i = 1,..., к)
будет принадлежать А. Так топологизированная группа характеров
дискретной группы оказывается бикомпактной топологической группой.
Л. С. Понтрягин установил, что связь между группой и ее группой
характеров является взаимной в том смысле, что бикомпактная
топологическая группа G тогда и только тогда топологически изоморфна группе
характеров дискретной группы Г, когда Г изоморфна xG. Иначе говоря,
построение группы характеров определяет взаимно однозначное
соответствие между классами изоморфных дискретных групп, с одной стороны,
и классами топологически изоморфных бикомпактных групп — с другой.
Это «двойственное» соответствие дискретных и бикомпактных групп может
быть прослежено и дальше. Например, всякому гомоморфизму h дискретной
группы Г в дискретную группу в соответствует сопряженный
непрерывный гомоморфизм g бикомпактной группы х# в бикомпактную группу хГ,
определяемый условием: (g<p)x = <p(hx) (х е Г, (ре х^)- Это соответствие
гомоморфизмов также является взаимным, причем обратное соответствие
определяется аналогичным образом.
Мы говорим, что группа G двойственна группе Г, если G изоморфна
(топологически изоморфна) группе характеров группы Г.
Л. С. Понтрягиным была построена для групп «теория спектров»25*,
рассматривающая следующие две двойственные друг другу конструкции:
Г. Пусть каждому элементу а направленного множества S приведена в
соответствие бикомпактная топологическая группа Га; каждой паре (а, /3}
такой, что а < /3 (S) — непрерывный гомоморфизм ш£ группы Г^ в
группу Га, причем
(3) ш£ш1 = ш2,
коль скоро а < /3 < у (S). Мы говорим тогда о системе групп Га,
рассматриваемой совместно с системой отображений ш%, что она является обратным
спектром.
Аналогично рассмотренному выше понятию полного предела спектра
пространств вводится понятие «предела» обратного спектра. Предел
обратного спектра, образованного группами Га (а е Н) и гомоморфизмами ш%
(а < (5 (Е)), есть топологическая группа, образованная нитями, т. е.
системами (ха)аеЕ такими, что ха еТа (а ЕЕ), ха = ш%х^ (а < /3 (S)). Сложение
нитей определяется формулой т
(ха) + (Уа) = (ха + Уа),
а топология в пространстве нитей вводится следующим образом:
считаем открытым всякое множество нитей А, удовлетворяющее условию: если
(ха) е А, то существуют /? ЕЕ и открытое множество Up топологической
группы Г„ такие, что всякая нить (уа), для которой ур е Е/д, также е А.
25) Эта теория относилась первоначально к счетным дискретным группам и к компактным
топологическим группам счетного веса (ср. предыдущее примечание). На произвольные
дискретные и произвольные бикомпактные топологические группы она была обобщена Н. Стинродом.

топология
393
Нетрудно видеть, что нити образуют абелеву группу относительно
сложения и что как сложение нитей, так и обратная операция — их вычитание —
непрерывны относительно введенной топологии. Иначе говоря, предел
обратного спектра определен как абелева топологическая группа. Нетрудно
далее видеть, что предел обратного спектра есть бикомпактная
топологическая группа.
2°. Вторая конструкция относится к дискретным группам. Пусть каждому
элементу а направленного множества S приведена в соответствие
дискретная группа Га, каждой паре (а, /3) такой, что а < /3(5), — гомоморфизм 7г£
группы Га в группу Т$. Пусть при этом группы Га попарно не пересекаются,
а гомоморфизмы 7г| таковы, что
*?1г; = 1г7в (а</3<7(5)).
О системе групп Га, рассматриваемой совместно с системой
гомоморфизмов 7г|, говорят тогда, что она является прямым спектром.
Рассмотрим прямой спектр, образованный группами Га (аб2) и
гомоморфизмами 7г£ (а <(3 (Н)). В теоретико-множественной сумме S групп ГЛ
определим частичное упорядочение, считая, что х < y(S), если
существуют а, /3 е Е такие, что тгрХ = у. Будем говорить об элементах х и у
множества 5, что они эквивалентны, если существует элемент z такой, что
х < z(S), у < z(S). Нетрудно видеть, что отношение эквивалентности
рефлексивно в 5, симметрично и транзитивно. Оно определяет поэтому
разбиение множества S на классы эквивалентных друг другу элементов, эти
классы называются пучками рассматриваемого прямого спектра. Всякий
элемент множества S принадлежит одному и только одному пучку.
Нетрудно далее видеть, что для всяких двух пучков и и v
рассматриваемого спектра найдется группа Га такая, что и П Га ф Л и v П Гв Ф Л. Это
дает возможность следующим образом определить сложение пучков. Для
данных пучков и и v находим а таким образом, что иГ)ГафАнуПГафА.
Складываем х и у в группе Г0. Полученный элемент группы Га
принадлежит одному и только одному пучку w, который, как легко установить, не
зависит от выбора а, х и у. Полагаем u + v — w. По отношению к так
определенному сложению пучки образуют абелеву группу. Эта абелева группа
называется пределом рассматриваемого прямого спектра.
Прямые и обратные спектры оказываются двойственными друг другу в
следующем смысле. Пусть имеем обратный спектр, образованный
бикомпактными топологическими группами Га (а е Е) и их непрерывными
гомоморфизмами ш£ (а < /?(S)). Рассмотрим группы характеров хГ« 9ТИХ
групп. Пусть 7г£ обозначает гомоморфизм группы хГа в группу хГ/*»
сопряженный с ш% (см. выше). Тогда группы хГа, рассматриваемые совместно
с гомоморфизмами 7г£, образуют прямой спектр, и предел этого прямого
спектра изоморфен группе характеров предела исходного обратного
спектра. Аналогичная конструкция дает переход от любого прямого спектра к
двойственному ему обратному спектру.
51. Простейшими объектами теории гомологии являются А-комплексы
(см. п. 39). Будем рассматривать фиксированный А-комплекс С. Пусть Г —
произвольная группа, г — целое неотрицательное число. Будем
рассматривать функции от г +1 вершин комплекса С со значениями,
принадлежащими Г. О такой функции / будем говорить, что она есть (г, Г)-цепь в С, если
соблюдаются следующие условия:

394
ТОПОЛОГИЯ
1) /(аь, • . м жг) 7^0, лишь когда д^,..., хг суть различные вершины одного
и того же остова комплекса С;
2) /К,..., a%_i, з0 ..., жг) = -/(а*,,..., xiy а^„ ..., жг) при 0< г < г.
(г, Г)-цепи в С определим также при г = —1. (-1,Г)-цепями в С будем
называть элементы группы Г. (Это соответствует рассмотрению
постоянных как функций от нуля аргументов и удобно в дальнейшем.) Условие
2) выполняется тривиальным образом при г ^ О, когда / — функция
одного аргумента, (г, Г)-цепи в С можно складывать естественным образом по
формуле
(4) (/ + д)(хо,..., хт) = f(xo,..., хг) + д(хо,..., жг),
и сумма двух (г, Г)-цепей в С, очевидно, есть (г, Г)-цепь в С Ясно, что
(г, Г)-цепи в С образуют абелеву группу относительно сложения. Эта
группа— группа (цТу-цепей в С — обозначается символом Lr(C>T).
Если при этом Г — топологическая группа, то и в Lr(Q Г) определяется
топология следующим образом. Подмножество А этой группы объявляется
открытым, если для всякого элемента / этого множества найдется
окрестность U нуля группы Г такая, что множеству А будет принадлежать всякая
(г, Г)-цепь д, удовлетворяющая условию
f(x^J...,xr)-g(x0l...1xr)eU
для всяких а\),..., xr. Lr(Q Г) становится топологической группой,
бикомпактной, если Г бикомпактна.
Фундаментальную роль в теории гомологии играют два «граничных»
оператора— «нижний», «классический», обозначаемый обычно символом А, и
сравнительно недавно введенный «верхний граничный оператор»,
обозначаемый символом V. Оба эти оператора применяются к (г, Г)-цепям в С,
нижний — лишь при г ^0, верхний — без всяких ограничений. Нижний
граничный оператор в применении к (г, Г)-цепи / (г > 0) дает (г -1, Г)-цепь Д/,
определяемую формулой
(5) Д/К,..., sr-i) = £/(s, аъ, • • -| хг-\)>
X
где суммирование производится по всем вершинам х комплекса С. Верхний
граничный оператор в применении к (г, Г)-цепи / дает (г + 1, Г)-цепь V/,
определяемую равенствами
V/(ab,...,xr + 1)=4
( r+l
£Ы)к/(Ъ> • •., afc-i, a* + u • • .1 *г) при
{:%,..., xr+l}eQ
I 0 в противном случае.
Оба оператора дистрибутивны относительно сложения и таковы, что
(6) ДД/^0, VV/^0.
В силу дистрибутивности, оператор Д определяет гомоморфизм группы
Lr(QГ) в группу Lr~l(QT), а оператор V — гомоморфизм Lr(QГ) в

ТОПОЛОГИЯ 395
Lr+,(C, Г). Эти гомоморфизмы непрерывны, если Г — топологическая
группа. Ядро первого гомоморфизма есть подгруппа Lr(С, Г), образованная теми
(г, Г)-цепями в С, для которых Д/ = 0. Эти цепи называются г-мерными
А-циклами в С по области Г. Ядро второго гомоморфизма есть подгруппа
Lr(Q Г), образовайная теми (г, Г)-цейями в С, для которых V/ = 0. Эти
цепи называются г-мерными V -циклами е С по области Г. Первая
подгруппа обозначается символом Z£(Q Г), вторая — символом 2%(С,Т). Обе
они замкнуты в Lr(Q Г), если Г — топологическая группа.
В силу (6), образ Lr + l(QГ) при гомоморфизме, определяемом
оператором Д, есть подгруппа Z£(QГ), а образ Lr~l(QГ) при гомоморфизме,
определяемом оператором V, — подгруппа Z?(Q Г). Эти подгруппы
также замкнуты в Lr(Q Г), если Г — бикомпактная топологическая группа.
Первая обозначается символом Яд (С, Г), вторая — символом Щ(С,Т). Об
r-мерных Д-циклах в С, входящих в Яд(С, Г), говорят, что они А-гомо-
логичны нулю е С; об г-мерных V-циклах, входящих в Щ(С, Г), говорят,
что они V-гомологичны нулю е С. Согласно этим определениям, г-мерный
Д-цикл / по области Г тогда и только тогда Д-гомологичен нулю в С, когда
в С существует (г + 1,Г)-цепь д такая, что / = Ад; г-мерный V-цикл /
по области Г тогда и только тогда V-гомологичен нулю в С, когда в С
существует (г - 1, Г)-цепь д такая, что / = Vg.
Так как H£(CJ)C Z£(CJ) и Щ(С,Г) с Z^(CJ), то существуют
факторгруппы Zl(C,V)/Hl(CJ) и гЩС,Г)/Щ(С,Г). Если Г —
бикомпактная топологическая группа, их можно также рассматривать как
топологические группы, и тогда все введенные группы бикомпактны. Группы
£д(<7,Г)/Я^(С,Г) и г$(С,Т)/Щ(С,Т) обозначаются символами B£(CJ) и
В^(С, Г) соответственно и называются г-ми группами Бетти
комплекса С по области коэффициентов Г, первая группа — А-группой Бетти,
а вторая — V-группой Бетти. Элементы Вд(С^Г) суть классы Д-гомоло-
гичных друг другу в С r-мерных Д-циклов в С по области Г; элементы
By(Q Г) — классы V-гомологичных друг другу в С г-мерных V-циклов в С
по области Г. При этом мы говорим, что две (г, Г)-цепи в С А-гомологичны
в С, если их разность Д-гомологична нулю в С, и аналогично определяем
(г, Г)-цепи, V-гомологичные в С,
Пусть теперь G является группой характеров Г. Тогда, как легко видеть,
группа Lr(Q G) двойственна группе Lr{QT) и гомоморфизм Lr + l(Q G)
в Lr(QG)t определяемый оператором Д, сопряжен с гомоморфизмом
Lr(Q Г) в Lr+1(Q Г), определяемым оператором V. Отсюда выводится, что
группа Вд(С, G) двойственна группе Щ(С,Г).
52. Пусть теперь D — подкомплекс комплекса С, т. е. подмножество
этого комплекса, само являющееся комплексом. Множество C\D вообще
не будет комплексом. Оказывается, однако, целесообразным ввести
понятие <(г,Г)-цепи в C\D*. Вершинами C\D будем называть элементы
остовов, принадлежащих C\D. Понятие (г,Г)-цепи в C\D определяется
дословно так же, как понятие (г, П-цепи в С, только нужно везде
заменить С на C\D. (г,Г)-цепи в C\D образуют группу Lr(C\ ДГ)
относительно сложения, определяемого равенством (4). Нижний граничный
оператор определяется формулой (5) при {а%, ...Jxr_l}eC\D и
равенством Д/(аъ,..., хг_ х) = 0 при {afc, ...,xr_x}§£C\D. Определение верхнего

396
ТОПОЛОГИЯ
граничного оператора остается mutatis mutandis прежним.
Дистрибутивность операторов А и V сохраняется, и равенства (6) остаются в силе. Но
это всё, что нужно для определения групп Бетти. Повторяя mutatis
mutandis конструкцию, описанную в предыдущем пункте, мы получаем
определения групп Бетти В£(С \ Д Г) и Щ(С \ Д Г). Так же, как для групп
B£(Q Г) и B^(Q G)t устанавливается двойственность групп В£(С\ Д Г) и
Ву(С \ Д G) при двойственных Г и G.
53. Значение групп Бетти в топологии определяется в первую очередь
возможностью их определения для весьма общих пространств в качестве
некоторых топологических инвариантов. Для полиэдров определение групп
Бетти было сформулировано давно и восходит еще к работам А. Пуанкаре.
Оно сводится к тому, что данный полиэдр X рассматривается как образ
прямолинейного полиэдра Y при некотором топологическом отображении;
Y рассматривается как сумма симплексов некоторого Е-комплекса К;
наконец, К определяет А-комплекс С, состоящий из остовов вершин
симплексов, принадлежащих К. Группы Бетти полиэдра X и определяются
как группы Бетти А-комплекса С. Законность этого определения отнюдь
не была очевидной, так как оно содержало много произвола: ведь
прямолинейный полиэдр Y и Е -комплекс К могут быть выбраны весьма
разнообразно. Однако американский математик Дж. Александер доказал, что
получаемые таким образом группы Бетти зависят лишь от самого
полиэдра X, установив вместе с тем их топологическую инвариантность. Правда,
у Александера речь шла о группах Бетти по некоторым специальным
областям коэффициентов и лишь о А-группах, однако эти ограничения не имеют
принципиального значения.
После этого усилия многих топологов как в СССР, так и за границей были
направлены к тому, чтобы надлежащим образом распространить
определение групп Бетти на возможно более широкий класс пространств. Пробным
камнем для различных предложенных определений служит теорема,
известная под названием «закона двойственности Александера — Понтрягнна*,
устанавливающая26* связь между группами Бетти подмножества п-мерного
евклидова пространства Еп и группами Бетти его дополнения в Еп. Этот
закон был первоначально установлен Александером для полиэдров в В"
и их дополнений, после того как группы Бетти были определены им для
открытых множеств * Еп. Первая попытка определения групп Бетти для
компактов была сделана Л. Вьеторисом (L. Vietoris) в 1927 г. Она, однако,
не увенчалась полным успехом, так как «закон двойственности» не
получился. Действительного крупного успеха добился Л. С. Понтрягин [7; 9],
который ввел топологические группы в качестве областей коэффициентов и
применил свою теорию характеров, что дало возможность установить
«закон двойственности» александеровского типа как связь между группами
Бетти компакта в Еп по компактной метризуемой области коэффициентов
и группами Бетти дополнительного пространства по двойственной счетной
дискретной группе коэффициентов.
Дальнейший крупный шаг был сделан А. Н. Колмогоровым [4; 6; 7; 8; 9],
который впервые ввел верхний граничный оператор и дал определения А-
^ О законе двойственности Александера — Понтрягина см. п. 61.

топология
397
и V-групп Бетти для любого локально бикомпактного пространства27*.
Весьма общее определение этих групп было дано Н. Стинродом. Это последнее
определение оказалось, однако, не вполне доброкачественным: для весьма
простых не бикомпактных пространств, таких, например, как числовая
прямая, оно давало чрезвычайно сложные группы Бетти. Существенное
дальнейшее усовершенствование было внесено П. С. Александровым [55; 60;
61; 62], определившим «внутренние группы Бетти» для открытых
подмножеств нормальных пространств и доказавшим «закон двойственности
Колмогорова» для этих групп (см. п. 54-58). Эти «внутренние группы Бетти»,
определяемые посредством прямых и обратных спектров, не обладают
недостатками групп Бетти — Стинрода и, как показал Г. С. Чогошвили [9],
совпадают с группами Бетти — Колмогорова. Мы переходим теперь к точному
изложению основ теории этих групп.
54. Два вспомогательных понятия играют существенную роль в
определении «внутренних групп Бетти — Александера» наряду с уже введенными:
понятия «симплициального отображения» и «нерва».
Пусть (р—отображение совокупности вершин А-комплекса D в
совокупность вершин А-комплекса и. Говорят, что ip есть симплициальное
отображение D в С, если ^-образ всякого остова, принадлежащего D,
есть остов, принадлежащий С.
Всякое симплициальное отображение ip А-комплекса D в А-комплекс С
порождает два оператора: оператор р^ применимый к цепям в D, и
оператор <7у,, применимый к цепям в С. Первый оператор переводит всякую
(г, Г)-цепь / в D в (г, Г)-цепь p^f в С, определяемую равенством
P,/(«b>--.f!fr) = Е /fan • • •! *r)i
где суммирование распространяется на все системы Хц,..., хТ такие, что
<рх. = у. (i = 0,..., г). Второй оператор переводит всякую (г, Г)-цепь / в С
в (г, Г)-цепь a^f в D, определяемую равенствами
а f(a. x)=f /(W>i...iW) при {аь,...,хг}бД
* ^'"""' r \ 0 в противном случае.
Чтобы эти операторы были определены и при г = -1, полагаем р f =
= Gyf = / при / € Г. Оператор р^ очевидно, определяет гомоморфизм
£Г(ДГ) в ЬГ(С,Г), а оператор ^ — гомоморфизм Lr(QT) в 1Л(ДГ).
Эти гомоморфизмы непрерывны, если Г — топологическая группа. Если G
есть группа характеров Г, то гомоморфизм Lr(Q G) в £Г(Д G),
порождаемый (Тр, сопряжен с гомоморфизмом Lr(D,Г) в Lr(QГ), порождаемым р .
Оператор р коммутирует с оператором Д, а оператор а^ — с оператором V.
В силу этого, операторы р и а9 порождают: первый — гомоморфизм
группы Вд(Д Г) в группу Вд(С, Г); второй — гомоморфизм Щ(С, Г) в Я£(Д Г),
причем эти гомоморфизмы непрерывны, если Г — топологическая группа.
Если G — группа характеров Г, то гомоморфизм Вд( Д Г) в Вд(С, Г),
порождаемый р^, сопряжен с гомоморфизмом В$(СУ G) в В^(Д G),
порождаемым аг
27) Одновременно и независимо верхний граничный оператор был введен Дж. Александером.

398
ТОПОЛОГИЯ
Особую роль играет тот случай, когда D есть подкомплекс С, а <р —
тождественное отображение совокупности вершин D. В этом случае
гомоморфизмы групп цепей и групп Бетти, порождаемые операторами р^ и сг^
носят название естественных гомоморфизмов. В этом случае
определяются также операторы Е и J «естественных гомоморфизмов» групп цепей
L Г(С \ Д Г) и L Г(Ц Г) в группы L Г(С, Г) и L Г(С \ Д Г) соответственно. А
именно, полагаем: при / eLr(C \ Д Г)
Eflx* х ) = ( tt*0''' *' ^ еСЛИ ^аь''''' Х^ опРеделено'
А3*» • • •» т) | q^ если х^ _ верШИНЫ с и /(а^,..., жг) не определено;
при feLr(Q Г)
7/(а^,...,жг) = /(а^,..., жг),
если ж,. — вершины C\D. Е коммутирует с V, a J — с Д, откуда следует,
что Е порождает гомоморфизм В^(С\ Д Г) в Щ(С, Г), a J — гомоморфизм
Вд(С, Г) в Вд(С \ Д Г). Эти гомоморфизмы также называются
естественными.
55. Если а — конечное семейство непустых множеств, то непустые
подмножества а, имеющие нейустые пересечения, очевидно, образуют
А-комплекс. Этот А-комплекс называется нервом семейства а. Согласно этому
определению, вершинами нерва а являются элементы а, и остов {А0,...
..., Аг}, где At е а (г =0,..., г), тогда и только тогда принадлежит нерву а,
когда г
ПА^Л.
Нерв а обозначается символом N(a).
56. Пусть а и /3 — конечные покрытия пространства X. Если а
—подразделение /3 (см. п. 44), то, сопоставляя каждому элементу U покрытия а
один из содержащих U элементов покрытия /?, мы получаем симплициаль-
ное отображение А-комплекса N(a) в А-комплекс N(fi). Это симплици-
альное отображение порождает, согласно вышесказанному, гомоморфизмы
групп B£(N(a)J) в группы В£(Щ/3),Г) и групп B$(N(P)J) в группы
By(N(a), Г), причем эти гомоморфизмы непрерывны, если Г —
топологическая группа. Содержащийся в построении этих гомоморфизмов произвол,
связанный с выбором одного из элементов покрытия /?, содержащих
данный элемент покрытия а,—лишь кажущийся: результирующие
гомоморфизмы не зависят от того, как этот выбор производился. Таким образом,
всякой паре покрытий (а, /3) пространства X такой, что а есть
подразделение /3, соответствуют определенный гомоморфизм группы B^(N(a), Г)
в группу Bb(N(f3), Г) и определенный гомоморфизм группы B$(N((3), Г) в
группу В^(Ща), Г).
Выделим теперь среди элементов рассматриваемых покрытий те,
замыкания которых не бикомпактны. Пусть Oq и Д> обозначают, соответственно,
совокупности тех элементов покрытий а и /3, замыкания которых в X не
бикомпактны. Тогда N(a0) и #(Д,) суть соответственно подкомплексы
комплексов N(a) и N(/3), причем, при определенных выше симплициальных
отображениях, N(a0) симплициально отображается в #($>). Будем
рассматривать группы цепей Lr(N(a)J), Lr(N({3)J), Lr(N(a)\N(a0)J),

топология
399
Lr(N(/3)\N(0o),r). К элементам первых двух групп применим оператор
естественного гомоморфизма J (см. п. 54), переводящий эти элементы
в элементы последних двух групп соответственно; к элементам
последних двух групп применим оператор Е, переводящий эти элементы в
элементы первых двух групп. Выбрав определенное симплициальное
отображение <р комплекса N(a) в комплекс N(/3), как описано выше,
будем иметь операторы р и а (см. п, 54), гомоморфно отображающие
соответственно Lr(N(a)J) в Lr(N((3)J) и Lr(N((3)J) в Lr(N(a),T).
Это дает возможность построить операторы р^ и а , гомоморфно
отображающие Lr(N(a)\ N(a0), Г) в Lr(N(/3) \ $($>), Г) и соответственно
Lr(N((3) \#(Д), Г) в Lr(N(a) \ N(a0), Г), определив их равенствами
о = Jo Е, а = Ja E.
Оказывается, что р^ коммутирует с Д, а а — с V, откуда следует, что
операторы р^ и а^ порождают гомоморфизмы групп B^(AT(a)\iV(a0), Г) в
ВЦЩр)\^(Д), Ь и В;(Щ(3) \ N((30), Г) в Щ(Ща) \ Ща0), Г)
соответственно. Эти гомоморфизмы также не зависят от выбора симплициального
отображения (р. Таким образом, каждой паре (а, (3) покрытий
пространства X такой, что а есть подразделение /?, соответствует определенный
гомоморфизм группы B£(N(a)\N(a0)J) в группу B^(N(/3)\N(/30)J)
и определенный гомоморфизм группы B^(N(/3) \ Щ(30), Г) в группу
Bv(N(a)\N(a0), Г). Обозначим первый гомоморфизм символом ш%л
второй— символом 7г£.
57. Совокупность конечных покрытий пространства X становится
частично упорядоченным множеством, если условиться считать покрытие /3
предшествующим покрытию а в том случае, когда а есть подразделение /3,
а /3 не есть подразделение а. Если X —бесконечное пространство
класса Гр то частично упорядоченное множество его конечных покрытий
направлено (П. С. Александров [55]). Имея в виду в дальнейшем
только этот случай, обозначим направленное множество конечных покрытий
пространства X буквой S. Фиксируем целое неотрицательное число г и
топологическую группу Г. Всякому элементу а множества S сопоставим
группу
Тогда при /3 < а(Е) имеем определенный выше непрерывный
гомоморфизм о/| групп Вда в группу Вд0. Нетрудно видеть, что гомоморфизмы ш£
удовлетворяют условию (3). Таким образом, группы 2?да, рассматриваемые
совместно с гомоморфизмами о;£, образуют обратный спектр, однозначно
определяемый пространством X, числом г и группой Г. Предел этого
спектра П. С. Александров [55] называет внутренней r-й ^-группой Бетти
пространства X по области Г. Это бикомпактная топологическая группа.
Мы будем обозначать ее символом В£(Х, Г).
Аналогичным образом, полагая
где Г — дискретная группа, получаем прямой спектр, образованный
группами Вуа и гомоморфизмами 7г£. Предел его П. С. Александров [55] называет

400
ТОПОЛОГИЯ
внутренней т-й V -группой Бетти пространства X по области Г. Это —
дискретная группа. Мы будем обозначать ее символом Щ(Х, Г)28>.
Легко доказывается, что группа В$(ХУ G) двойственна группе В£(Х, Г),
если G двойственна бикомпактной топологической группе Г.
58. Пусть теперь Y— замкнутое подмножество пространства X, Z =
= X \ Y. Рассматривая Y и Z как пространства, имеем внутренние группы
Бетти трех пространств: Xf Y и Z. Ситуация аналогична рассмотренному
выше случаю подкомплекса D комплекса С, когда мы имеем группы Бетти
комплексов С, D и множества C\D. Тогда были определены «естественные
гомоморфизмы» групп
адцг), b;(c\d,g), b;(c,g), вдсо
в группы
ВДСГ), Щ(С,С), В;(ДС), ВДС \ А Г)
соответственно, причем Г и G могли быть любыми группами. Аналогично
этому, П. С. Александрову [60] удалось определить «естественные
гомоморфизмы» групп
в группы
ВЦГ,Г), BMG), ЩХ,в), ВЦХ.Г)
едХ,Г), ЩЪО), Bi(YtG)9 ^(ДГ)
соответственно, причем Г — любая бикомпактная группа, G — любая
дискретная группа, X — любое локально бикомпактное нормальное
пространство. Конструкция «естественных гомоморфизмов» осуществляется
предельным переходом от случая комплексов с помощью спектров.
Подробности этой конструкции сложны, и мы не можем ее здесь привести из-за
недостатка места.
«Естественные гомоморфизмы» дали П. С. Александрову возможность
определить следующие группы: ВЩХУ> Г) — образ £д(^Г) при
естественном гомоморфизме этой группы в Вд(Х, Г); ВЩУ: X, Г) — ядро того же
гомоморфизма; Щ(Хг, G) — образ B£(Z, G) при естественном
гомоморфизме этой группы в В$(Х, G)\ B$(Z: X, G) — ядро того же гомоморфизма;
Щ(УХ> G) — образ Ву(Х, G) при естественном гомоморфизме этой группы
в BZ(Y,G); BI(ZXy Г) — образ Вд(Х,Г) при естественном гомоморфизме
этой группы в В№ r);B;(Y:X,G) = B;(Y, G)/E%(YX, G); ВЦ!: X, Г) =
= Вд(Д Г)/Вд(^Х, Г). Ядра естественных гомоморфизмов Щ(Х, G) в
B^(Y,G) и Вд(Х,Г) в Вд(ДГ) не дают ничего нового: первое
совпадает с B'(XZy G), а второе-с B£(XYJ). Группы В£(ХУ,Г), Щ(Х% G),
£^(У:Х,Г), B;(Z:X, G), Щ(УХ, G), B^ZXJ), B;(Y:X, G), B^(Z:XJ)
П. С. Александров называет группами Бетти фигуры X, Y, Z.
**) В работах П. С. Александрова внутренние группы Бетти определяются описанным
образом лишь для пространств, содержащихся в нормальных пространствах в качестве открытых
множеств.

ТОПОЛОГИЯ 401
В предположении, что группа G двойственна группе Г, П. С.
Александров установил следующие соотношения между группами Бетти фигуры X,
Г, Z:
(7)
в&хъ ОI щгх, G), щ(хг, G) | bkzx, г),
Bl(Y:XJ)\BS(Y:X,G)y Щ(г :X,G)\B£(Z :XJ),
Bi(Y:X,T)\B$ + \Z:X,G),
Brb(Y:XJ)*BZ^(Z:X,Y), B;(Y:X,G)*Bj+l(Z :X,G),
где вертикальная черта означает двойственность, а знак » — изоморфию
или топологическую изоморфию. Особенно интересна и важна здесь
«главная теорема двойственности» (7), связывающая группы Бетти соседних
размерностей, причем одна из этих групп относится к множеству Yt а другая —
к его дополнению в X (обе группы зависят при этом от расположения
соответствующих множеств в пространстве X).
Из главной теоремы двойственности получается «закон
двойственности» Колмогорова — Александрова*9*, относящийся к случаю «односвязно-
го» пространства. Мы говорим, что пространство односвязно в
размерности г по области Г, если
^(Х,Г) = {0}.
Очевидно, что в этом случае B£(Y: Х,Г) = B£(YJ), B^(Z:X,G) =
= Щ№ G), где G — группа характеров Г. Отсюда, в силу (7), следует
закон двойственности Колмогорова — Александрова: если локально
бикомпактное нормальное пространство X односвязно в размерностях г и
г + 1 по области Г, то для всякого его замкнутого подмножества Y
имеем
buy,T)\b;+1(X\y,g),
где G —группа характеров Г (П. С. Александров [55; 61]).
59. В терминах групп Бетти фигуры X, Y, Z просто формулируется
определение введенного П. С. Александровым понятия «гомологической
размерности». Пусть X — локально бикомпактное нормальное пространство,
Г — абелева бикомпактная топологическая группа. Будем говорить, что X
п-мерно по Г, если п — наибольшее из целых положительных чисел г,
удовлетворяющих условию: X содержит замкнутое подмножество Y такое,
что Bb~x(Y:X,Г)ф{0}; если таких г не существует, будем говорить, что
X 0-мерно по Г; если же они существуют, но среди них нет
наибольшего, будем говорить, что X бесконечномерно по Г. Таким образом всякому
локально бикомпактному нормальному пространству приписывается
определенная размерность по Г. Размерность X по Г обозначается символом
ДГХГ).
В определении числа Д(-Х, Г) речь идет не только о пространстве X, но и
о группе Г. Л. С. Понтрягиным [3] построены примеры компактов X в Е4,
показывающие, что Д(А, Г) действительно зависит от Г. С другой стороны,
имеет место теорема Александрова — Понтрягина — Франкля,
утверждающая, что для всякого компакта в ЕА все числа Д(Х, <8т), (т=2,3,4,...)
я* См.: П. С. Александров [55; 61].

402 ТОПОЛОГИЯ
... ■■^>1ri WmHiwitoih'm .himmiii u шишиг iihii wrm ''lllf^ltu^ш^^ll^'ь'hfalww^4^l^^iш,^^шl^^^ьl^■|>^l^l^|н,'^цll ui ь.м„ ,/
совпадают друг с другом и с dim X (П. С. Александров [31]), Доказано
также, что все числа Д(Х, Г) совпадают друг с другом и с dim-X\ если
X есть полиэдр (П. С. Александров [31]).
Результатом большой принципиальной значимости является теорема
Александрова — Понтрягина, утверждающая, что
А(Х,Я) = &тХ
для всякого компакта X, содержащегося в каком-нибудь
конечномерном евклидовом пространстве (П. С. Александров [31], Л. С. Понтря-
гин [9], П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и л. Хопф [1]). Таким
образом, урысон-менгеровская размерность оказывается одной из
гомологических размерностей, если ограничиться рассмотрением компактов в Еп
in = 1,2,.. .)• Как обстоит дело вне этой области, до сих пор неизвестно.
1рказательство теоремы Александрова — Понтрягина опирается на
приведенную выше теорему П. С. Александрова о существенных; отображениях
(см. п. 47), на теорему Хопфа о гомологической характеризации
«существенных отображений» полиэдров на n-мерную сферу и на закон
двойственности Александера — Понтрягина (см. п. 61).
П. С Александровым [31] установлено, что А(Х} Г) ^ dim X для всякого
компакта X в Еп. Таким образом, в области таких компактов урысон-
менгеровская размерность является наибольшей из гомологических
размерностей.
Гомологическая теория размерности построена в основном для
компактов в Еп и для областей коэффициентов: <Sm (m = 2,3,...), Я.
(Построены также определения размерностей Д(Х, <б), Д(Х,£И) и Д(Х, 9^), где
9t — аддитивная группа рациональных чисел, ^ — аддитивная группа
рациональных чисел, приведенных modi. Эти определения выпадают изЬа-
мок приведенного выше определения гомологической размерности.) Для
этих пространств и областей коэффициентов доказан ряд теорем,
аналогичных теоремам урысон-менгеровской теории. В частности, П. С.
Александровым [31] доказана для гомологических размерностей теорема
суммирования и теорема существования канторовых многообразий, содержащихся
в компактах. Они формулируются аналогично соответствующим теоремам
урысон-менгеровской теории с заменой dim X на А(Х, Г) й с условием, что
все рассматриваемые пространства суть компакты в В . Это ограничение
существенно для приводимых доказательств, так как в цих используются
гомологические свойства дополнительных по отношению к Еп множеств и
всё рассуждение относится к кругу идей «закона двойственности»
Александера— Понтрягина (см. п. 61).
Л. С. Понтрягиным [3] доказано, что для всякого простого числа р и
для всяких компактов X uY имеет место «теорема умножения*:
А(Х xY,<Sp) = А(Х, <5Р) + A(Y, в,),
тогда как для урысон-менгеровской размерности она не имеет места.
В этом отношении урысон-менгеровская размерность не является
«наилучшей* из гомологических.
Для гомологических размерностей легко доказывается «монотония»: если
А(Х, Г) и A(Y,T) определены и X есть подпространство У, замкнутое
eYtmoA(XJ)^A(YJ).

ТОПОЛОГИЯ 403
wmaamm**\^w\tWWW№>m\,№nlwiimiMiM\-\\ '^"Г" ■':,'» „■■■■«:'■";.. s=
60. Крупнейшим достижением советской топологической школы
является установленное Л. С. Понтрягиным [9] обобщение «закона
двойственности» Александера. Первоначально этот закон относился к полиэдрам в
n-мерной сфере и к группам Бетти по <82. Л. С. Понтрягину удалось
обобщить этот закон на произвольные замкнутые множества в n-мерной сфере и
произвольные группы Бетти, n-мерную сферу удалось далее заменить
произвольным «гомологическим многообразием». Прежде чем формулировать
определение этого понятия, нам придется ввести, в качестве его
комбинаторной основы, понятие «абстрактного гомологического многообразия».
Будем рассматривать произвольный А-комплекс С. Пусть Т — какой-
нибудь из его остовов. Совокупность остовов S комплекса С,
удовлетворяющих условиям:
SflT^A, SuTeC,
очевидно, является подкомплексом С. Этот подкомплекс, зависящий от С
и Г, называется представителем Т в С. (Л. С. Понтрягин [26].) Мы
будем обозначать его символом
р(Ъ с).
Мы говорим об А-комплексе, что он связный, если его нельзя представить
как сумму двух непустых непересекающихся А-комплексов. Мы говорим
об n-мерном связном А-комплексе С% что он есть n-мерное абстрактное
гомологическое многообразие, если соблюдается следующее условие:
каковы бы ни были целое неотрицательное число г, меньшее п, и г-мерный
остов Т, принадлежащий С, имеем
AV х ' ' \&е при $ = п-г-1.
Оказывается, что для .всякого n-мерного абстрактного гомологического
многообразия С имеем В£(С, <5)«<5 или В£(С, ©) = {0}. В зависимости
от этого абстрактные гомологические многообразия делятся на
ориентируемые — те, для которых осуществляется первое, и неориентируемые —
те, для которых имеет место второе. Для всякого n-мерного абстрактного
гомологического многообразия С имеем Вд (С, <&2)«<52-
Пусть теперь X — произвольный полиэдр. По определению, он гомеомор-
фен некоторому прямолинейному полиэдру Y. Y является суммой
симплексов некоторого i?-комплекса К и, наконец, К определяет А-комплекс С —
совокупность остовов вершин симплексов, принадлежащих К. Это
построение А-комплекса С по заданному полиэдру X не однозначно. Оказывается,
однако, что принадлежность построенного А-комплекса к классу п-мернцх
абстрактных гомологических многообразий не зависит от произвола
конструкции и определяется, следовательно, исключительно полиэдром X как
топологическим пространством. Это дает возможность определить
п-мерное гомологическое многообразие как полиэдр дающий n-мерное
абстрактное гомологическое многообразие при только что описанной конструкции.
Очевидно, что так определенное понятие n-мерного гомологического
многообразия является топологически инвариантным: всякое пространство, го-
меоморфное n-мерному гомологическому многообразию, само является
таковым. В дальнейшем мы под п-мерным многообразием будем понимать
n-мерное гомологическое многообразие, под п-мерным абстрактным
многообразием — n-мерное абстрактное гомологическое многообразие.

404
ТОПОЛОГИЯ
Оказывается, далее, что классификация абстрактных многообразий на
ориентируемые и неориентируемые порождает соответствующую
топологически инвариантную классификацию n-мерных многообразий на
ориентируемые п-мерные многообразия и неориентируемые п-мерные
многообразия.
61. Для формулировки закона двойственности Александера — Понтряги-
на будет удобно ввести понятия «бесконечного А-комплекса»,
«бесконечного ^-комплекса* и «бесконечного полиэдра*.
Мы говорим о множестве остовов С, что оно есть бесконечный.
А-комплекс, если оно полно (см. п. 39) и таково, что всякий остов,
принадлежащий С, содержится лишь в конечном числе остовов, принадлежащих С
(условие «локальной конечности»). Мы говорим о множестве симплексов К
в ЕГ, что оно есть бесконечный Е-комплекс в Ег, если оно
удовлетворяет условиям Г и 2° определения Е-комплекса (см. п. 42) и всякая точка,
принадлежащая какому-нибудь симплексу из К, имеет в ЕТ окрестность,
пересекающуюся лишь с конечным числом симплексов из К (условие
«локальной конечности»). Мы говорим о подмножестве пространства Ег, что
оно есть бесконечный прямолинейный полиэдр, если оно является
суммой симплексов некоторого бесконечного -Б-комплекса в Ег. Мы говорим
о пространстве, что оно есть бесконечный полиэдр, если оно гомеоморфно
бесконечному полиэдру. Оказывается, что всякое открытое подмножество
бесконечного полиэдра само есть бесконечный полиэдр (теорема Рунге).
Понятия «бесконечного А(25)-комплекса» и «бесконечного полиэдра»
являются обобщениями понятий «А(2?)-комплекса» и «полиэдра». Многие
понятия и результаты, связанные с комплексами и полиэдрами, естественным
образом обобщаются на бесконечные комплексы и бесконечные полиэдры.
Определение га-мерного А-комплекса дословно переносится на
бесконечные Л-комплексы. При определении групп Бетти бесконечного
А-комплекса С мы будем рассматривать лишь конечные (г,Г)-цепи в С,
т. е. функции / от г + 1 вершин С со значениями в Г,
удовлетворяющие условиям 1) и 2) определения (г, Г)-цепи (см. п. 51) и условию 3):
/(зъ,. • •> хт) = 0 для всех систем аргументов, за конечным числом
исключений. Здесь Г может быть любой дискретной группой. Оператор А
применяется к таким цепям совершенно так же, как и к цепям в конечном
Л-комплексе: мы получаем бесконечные суммы элементов Г, причем,
однако, лишь конечное число слагаемых отлично от нуля; такие суммы мы
трактуем как конечные, отбрасывая нулевые слагаемые. Мы получаем,
таким образом, группы Lr(QГ) (всех конечных (г,Г)-цепей в С), LUQT)
(r-мерных конечных Д-циклов в С по Г, т. е. тех /г, Г)-цепей / в С, для
которых Д/ = 0), ДГ(С, Г) (r-мерных циклов в С по Г, ограничивающих
конечные (r + U Г)-цепи в С) и ВЦЪ Г) = Ь;(С, Г)/ЯДС, Г). Группа ВЦС, Г)
называется т-й ^-группой Бетти бесконечного А-комплекса С по
области?.
Если теперь X — бесконечный полиэдр, то он гомеоморфен некоторому
бесконечному прямолинейному полиэдру Y. Y является суммой
симплексов некоторого бесконечного Е-комплекса К в ЕТ. Остовы вершин
симплексов, принадлежащих К, образуют бесконечный А-комплекс С. Хотя
этот комплекс С и не определяется полиэдром X однозначно, его
группы Бетти 2?д(С, Г) оказываются зависящими лишь от X с точностью до
изоморфии и являются топологическими инвариантами X. Эти группы мы

топология
405
будем называть группами Бетти полиэдра X по области Г и обозначать
символами ЬГ(Х, Г), полагая ЬГ(Х, Г)» В£(С, Г)30).
Заменяя в определении n-мерного абстрактного гомологического
многообразия А-комплекс бесконечным А-комплексом, получаем определение
бесконечного n-мерного абстрактного гомологического многообразия.
На его основе строится далее понятие бесконечного n-мерного
гомологического многообразия (ср. п. 60)31). Бесконечные n-мерные
многообразия X классифицируются на ориентируемые и неориентиру емые f в
зависимости от того, имеем ли мы £д(Х, Л)«Л или не имеем. Непустое
открытое подмножество бесконечного n-мерного ориентируемого многообразия
является бесконечным n-мерным ориентируемым многообразием.
Для всякого ориентируемого бесконечного n-мерного многообразия X
имеет место закон двойственности Пуанкаре:
Щ(Х,Г)ъЬп-г(Х,Т) (0<г<п),
где Г — любая дискретная группа.
Отсюда и из закона двойственности Колмогорова — Александрова
(см. п. 58) следует закон двойственности Александера — Понтрягина:
Если бесконечное n-мерное ориентируемое многообразие односвязно
в размерностях г и г+ 1 по облает!) Г, то для всякого его замкнутого
подмножества Y имеем
(8) В1(ЪТ)\Ъ*-*-\Х\Ъа).
Здесь Г — бикомпактная группа, G — ее группа характеров, 0 ^ г < п — 1.
Приведенный здесь вывод закона двойственности Александера —
Понтрягина принадлежит П. С. Александрову [61]32). В приведенной форме закона
двойственности предположение о замкнутости множества Y существенно:
без этого предположения группы Бетти, фигурирующие в (8), вообще
говоря, не определены. Однако в последнее время Г. С. Чогошвили [7; 8]
и П. С. Александрову [64; 68] удалось значительно обобщить этот закон,
распространив его некоторым образом и на незамкнутые Y.
62. Гомологичные свойства пространств и отображений интересны не
столько сами по себе, сколько в связи с другими свойствами,
представляющими непосредственный интерес. Связь гомологических свойств с
размерностью мы уже рассматривали (см. п. 59). Весьма важна связь
гомологических свойств со свойствами «гомотопическими», определяемыми с помощью
понятия «деформации».
Пусть / и g — непрерывные отображения пространства X в
пространство Y. Мы говорим, что h есть деформация f в g в пространстве F, если
h — такое непрерывное отображение пространства X xl в пространство У,
*) Группы br(Xt Г) не следует смешивать с группами В£(Х, Г) (см. п. 57).
31) Прилагательное «гомологическое» в такой связи в дальнейшем опускается.
^ При этом выводе случай г=п-1 оказался исключенным. Двойственность (8) имеет,
однако, место и при г = п -1, если многообразие X односвязно в размерности п -1. Это следует,
например, из «общего закона двойственности Александера — Понтрягина» (П. С.
Александров [61, с. 270]), после исправления ошибки в приведенной П. С. Александровым
формулировке этого закона: перед словом «по» должно быть вставлено «ограничивающих в К»; после
«цепи» должно быть вставлено «в Г».

406
ТОПОЛОГИЯ
что Л(ж, 0) = /ж, h (ж, 1) = дх при ж Е X33*. Мы говорим, что / гомотопно д
в F, если существует деформация / в д в пространстве У. Так
определенное отношение гомотопии в F, очевидно, рефлексивно, симметрично и
транзитивно. Оно ведет поэтому к разбиению непрерывных отображений X
в У на классы: два непрерывных отображений X в Y тогда и только тогда
относятся к одному классу, когда они гомотопны. Эти классы непрерывных
отображений X в Y называются классами гомотопии X в Y.
Гомотопическим инвариантом отображения X в Y называется всякая функция
непрерывного отображения X в У, принимающая одинаковые значения для
любых двух гомотопных отображении.
Одним из наиболее неожиданных открытий последнего времени в
области топологии явилось выполненное X. Аопфом доказательство
существования бесконечного множества классов гомотопии трехмерной сферы 53 в
двухмерную 52. Хопф определил при этом некоторый численный
гомотопический инвариант отображений 53 в 52 и показал, что этот инвариант
может принимать всевозможные целые значения. Л. С. Понтрягин [19]
завершил гомотопическую классификацию отображений 53 в 52, доказав, что
инвариант Хопфа является единственным:
Для гомотопии двух непрерывных отображений 53 в S2 необходимо и
достаточно совпадения их хопфовых инвариантов.
Л. С. Понтрягин [14; 15] рассматривал также общую проблему
гомотопической классификации непрерывных отображений полиэдра на сферу. Для
ряда случаев он получил интересные результаты, хотя в целом задача
является до сих пор неразрешенной. Во всех этих исследованиях Л. С. Пон-
трягина теория гомологии сыграла самую существенную роль.
Пусть А —подмножество пространства л. Говорят, что А стягиваемо
в точку в пространстве X, если тождественное отображение А,
рассматриваемое как отображение А в X, гомотопно в X отображению А в одну
точку X. Наименьшее из чисел п таких, что А может быть представлено
в виде суммы п множеств, стягиваемых в точку в X, называется
категорией А в X. Понятие «категории» было введено Л. А. Люстерником
и Л. Г. Шнирельманом [1] как одна из основ разработанных ими
топологических методов вариационного исчисления34*. Эти методы также
существенным образом опираются на теорию гомологии. С их помощью был
получен рад замечательных новых результатов вариационного исчисления;
достаточно вспомнить известную теорему Л. А. Люстерника и Л. Г. Шни-
рельмана [2; 3] о существовании трех замкнутых геодезических линий на
поверхности рода 0. Мы имеем здесь блестящий пример плодотворного
взаимодействия топологии с другими разделами математики.
Пусть X — компакт в Е , U — открытое множество в Е^. Y — полиэдр
в Ег. Под разъединением X uY в U будем понимать такую деформацию
h тождественного отображения множества X UY в Ег, что
h(YxI)CU
/1<ж,1) = Л<у,1) (ж, уеУ),
h(x,t) = x (хех\ц tel),
h(x,t)^h{y,t) (xeX, yeY,tel).
з3) Мы рассматриваем здесь точки пространства X х I как упорядоченные «пары (ж, *)»
такие, что хеХ, tel.
^ Литературу по этому вопросу см. в статье Л. А. Люстерника [14].

топология
407
Будем говорить, что компакт X в Ег образует n-мерное
гомотопическое препятствие в своей точке х, если эта точка имеет окрестность U
в Ег, удовлетворяющую условию: в любой окрестности точки х
содержится полиэдр размерности г - п — 1, не пересекающийся с X и такой, что не
существует его разъединений с X в U. П. С. Александровым [31] доказана
следующая теорема:
Компакт X в Ег тогда и только тогда п-мерен в смысле Урысона —
Менгера, когда он образует п-мерное гомотопическое препятствие
хотя бы в одной своей точке и не образует гомотопических препятствий
высшей размерности ни в какой своей точке.
Доказательство этой замечательной теоремы, характеризующей п-мерные
компакты в Ег в гомотопических терминах, связанных с расположением
этих компактов в Ег, также существенно использует теорию гомологии,
относясь к кругу идей закона двойственности Александера — Понтрягина.
63. Ряд работ советских топологов посвящен так называемым
«открытым» отображениям. Мы говорим о непрерывном отображении /
пространства X в пространство У, что оно открыто, если /-образ всякого
множества, открытого в X, есть множество, открытое в Y.
Известно, что при непрерывных отображениях размерность может
повышаться, т. е. что имеются примеры непрерывных отображений пространств
на пространства высшей размерности. Первым примером этого рода было
известное пеановское отображение отрезка на квадрат. Естественно,
возникла проблема: возможно ли повышение размерности при открытых
отображениях, иначе говоря, может ли существовать открытое отображение
пространства X на пространство Y при dim X < dim Y? Эта проблема была
решена в положительном смысле А. Н. Колмогоровым [10], построившим,
с помощью теории спектров с использованием понтрягинских компактов
(см. п. 59), открытое отображение одномерного компакта на двухмерный.
В самое последнее время Я. М. Каждану [1] удалось построить открытое
отображение одномерного компакта на квадрат.
С другой стороны, П. С. Александров доказал следующую теорему:
Если существует счетнократное открытое отображение
компакта X на компакт Y, то dim X = dim Y.
Мы говорим при этом, что отображение / множества X на множество Y
счетнократно, если мощность /-прообраза всякого элемента множества Y
не больше Н0.
П. С. Александровым поставлен остающийся нерешенным вопрос:
возможно ли открытое отображение куба 1п на куб 1т при п < га?
* * *
Хотя этот обзор и не является полным (из-за недостатка места в нем
не упоминается о многих важных вопросах, рассматривавшихся
советскими топологами), автор надеется, что читатель вынесет впечатление
значительности вклада советских ученых во все ветви современной топологии и
вместе с тем единства этой большой науки, тесно и плодотворно связанной
с другими отделами математики.
Литература
Александров А. Д.
1. О разбиениях и покрытиях плоскости // Матем. сб. Новая сер. — 1937. —Т. 2, №2. —
С. 307-318.

408
ТОПОЛОГИЯ
2. Additive set-functions in abstract spaces // Матем. сб. Новая сер. —1940.—Т. 8, No 2.—
С. 307-348.
3. Additive set-functions in abstract spaces // Матем. сб. Новая сер. — 1941. —Т. 9, № 3.—
С. 563-628.
4. О расширении хаусдорфова пространства до Я-замкнутого // ДАН СССР. —1942. —Т. 37,
№4.-С. 138-141.
5. Additive set-functions in abstract spaces // Матем. сб. Новая сер. —1943.—Т. 13, Nfc 2-3. —
С. 169-238.
6. Геометрия и топология в Советском Союзе. I // УМН. —1947. — Т. 2, № 4. — С. 3-58.
7. Геометрия и топология в Советском Союзе. И // УМН. —1947. —Т. 2, № 5. — С. 9-92.
Александров П. С.
1. Sur les proprietes locales des ensembles et la notion de compacticite // Bull. Int. Acad. Polon.
Sci. Lett. Ser. A. —1923. — P. 9-12.
2. Sur les ensembles de la premiere classe et les espaces abstraits // С R. Acad. Sci. Paris. —
1924.—V. 178. —С 185-187.
3. Uber die Struktur der bikompakten topologischen Raume // Math. Ann. —1924. — Bd. 92. —
S. 267-274.
4. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Rgume /f Math. Ann. —1924. —
Bd. 92. — S. 294-301.
5. Zur Begrundung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie // Math. Ann. —
1925. — Bd. 94. — S. 296-308.
6. Sur la dimension des ensembles fermes // С R. Acad. Sci. Paris. —1926. — V. 183. — P. 640-
642.
7. Sur les multipliers cantoriennes et le theoreme de Phragmen — Brouwer generalise //C.R
Acad. Sci. Paris. -1926. -V. 183. - S. 722-724.
8. Notes supplementaires au «Memoire sur les multipticites cantoriennes», redigees d'apres les
papiers posthumes de Paul Urysohn // Fundam. Math. —1926. — Bd. 8. — S. 352-359.
9. Uber stetige Abbildungen kompakter Raume // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. — 1925.—
Bd. 2a. —S. 997-999.
10. Об основных направлениях современной топологии // В кн.: Труды Всероссийского съезда
математиков, Москва, 1927.—М.-Л.: Главнаука, 1928. С. 64-89.
11. Sknpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie // Math. Ann. —1927. — Bd. 96. —
S. 489-511.
12. Uber kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven // Math. Ann. —1927. — Bd. 96. —
S. 512-554.
13. Uber stetige Abbildungen kompakter Raume // Math. Ann. —1927. — Bd. 96. — S. 555-571.
14. УЬег die Dtialitat zwischen den Zusammenhangszahlen einer abgeschtossenen Menge und
des zu ihr komplementaren Raumes // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl. —1927.—
S. 323-329.
15. Une definition des nombres de Betti pour un ensemble ferme quelconque // С R. Acad. Sci.
Paris. —1927. —V. 184. — P. 317-320.
16. Sur la decomposition de l'espace par des ensembles fermes // С R. Acad. Sci. Paris. —
1927.—V. 184. —P. 425-427.
17. Une generalisation nouveHe du theoreme de Phragmen — Brouwer //C.R Acad: Sci. Paris. —
1927. — V. 184. — P. 575-577.

топология
409
18. Darstellung der Grundzuge der Urysohn'schen Dimensionstheorie // Math. Ann. —1928.—
Bd. 98.-P. 31-63.
19. Uber den aiigemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren ge-
ometrischen Anschanung. // Math. Ann. —1928. — Bd. 98. — S. 617-636.
20. Zum verallgemeinerten Phragmen — Brouwer'schen Satz // Fundam. Math. — 1928. —
Bd. 11. — S. 222-227.
21. Zum aiigemeinen Dimensionsproblem // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl.—
1928.-S. 25-44.
22. Sur rhomeomorphie des ensembles fermes // С R. Acad. Sci. Paris. — 1928. — V. 186. —
P. 1340-1342.
23. Sur les frontieres de domaines connexes dans l'espace a n dimensions // С R. Acad. Sci.
Paris. —1928. —V. 186. —P. 1696-1698.
24. Bemerkung zu meiner Arbeit «Simpliziale Approximationen in der aiigemeinen
Topologies // Math. Ann. —1929. —Bd. 101. —S. 452-455.
25. Uber endlich-hoch zusammenhangende stetige Kurven // Fundam. Math. — 1929. —
Bd. 13. —S. 34-41.
26. Untersuchungen uber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension // Ann.
Math.- 1929.-V. 30.-P. 101-187.
27. Uber geschlossene Cantorsche Mannigfaltigkeiten // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-
phys. Ю. —1930. —S. 211-218.
28. Sur la theorie de la dimension у/С. R. Acad. Sci. Paris. —1930. — V. 190. —P. 1102-1104.
29. Analyse geometrique de la dimension des ensembles fermes // С R. Acad. Sci. Paris. —
1930.—V. 191. —P. 475-477.
30. Sur la notion de dimension des ensembles fermes // J. Math. Pures Appl. Ser. 9 — 1932,—
V. 11.—P. 283-298.
31. Dimensionstheorie. Ein Beitrag zur Geometrie der abgeschlossenen Mengen // Math. Ann. —
1932.-Bd. 106.-S. 161-238.
32. Uber die Urysohnschen Konstanten // Fundam. Math. —1933. —Bd. 20. —S. 140-150.
33. Uber einen Satz von Herrn K. Borsuk // Monatsh. Math. Phys. —1933. — Bd. 40. — S. 127-
128.
34. Bettische Zahlen und e-Abbildungen // Fundam. Math. —1934. —Bd. 22. —S. 17-20.
35. Sur les proprietes locales des ensembles fermes // С R. Acad. Sci. Paris. —1934. — V. 198. —
P. 227-229.
36. Les groupes de Betti en un point //СД Acad. Sci. Paris. —1934. — V. 138. — P. 315-317.
37. О простейших понятиях современной топологии, — М. — Л.: ОНТИ, 1935. 32 с.
38. Die A -Mengen und die topologische Konvergenz // Fundam. Math. — 1935. — Bd. 25. —
S. 561-567.
39. Sur les espaces discrets // С R. Acad. Sci. Paris. —1935. —V. 200. —P. 1649-1651.
40. Sur les suites d'espaces topologiques // С R. Acad. Sci. Paris. —1935. —V. 200. — P. 1708-
1710.
41. On local properties of closed sets // Ann. Math. —1935. —V. 36. — P. 1-35.
42. Алгебраические методы в топологии // В кн.: Труды II Всесоюзного математического
съезда, Ленинград, 1934. Т. 1.—Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1935. С. 89-108.
43. О некоторых вопросах топологии замкнутых множеств // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. —Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 123.

410
ТОПОЛОГИЯ
44. О счетно-кратных открытых отображениях // ДАН СССР. — 1936. — Т. 4(ХШ), № 7. —
С. 283-287.
45. Einige Problemstellungen in der mengentheoretischen Topologie // Матем. сб. Новая сер. —
1936.—Т. 1, № 5. —С. 619-634.
46. К теории топологических пространств // ДАН СССР. —1936. — Т. 2(Х1), № 2. —С. 51-
54.
47. Diskrete Raume // Матем. сб. Новая сер. —1937. —Т. 2, № 3. —С. 501-519.
48. Zur Homologie-Theorie der Kompakten // Compositio Math. — 1937. — Bd. 4. — S. 256-270.
49. Algunas problemas planteados en la topologia conjuntista // Rev. Mat. Hisp.-amer. — 1938. —
V. 13.-P. 1-33.
50. Топология // В кн.: Математика и естествознание в СССР. —М.-Л.: Изд-во АН СССР,
1938. С. 79-96.
51. О бикомпактных расширениях топологических пространств // Матем. сб. Новая сер.—
1939.—Т. 5, N° 2. —С. 403-423.
52. О размерности бикомпактных пространств // ДАН СССР. — 1940. — Т. 26, № 7. —
С. 627-630.
53. Группы Бетти и кольцо гомологии локально-бикомпактного пространства // ДАН СССР. —
1940. —Т. 26, № 7.—С. 631-634.
54. Исправление к работе П. С. Александрова и В. В. Немыцкого «Условие метризуемости
топологических пространств и аксиома симметрии» // Матем. сб. Новая сер. — 1940.—Т. 8,
№3.-С. 519.
55. Общая теория гомологии // Уч. зап. МГУ. — 1940. — Т. 45. — С. 3-60.
56. Вывод закона двойственности Александера — Понтрягина из закона двойственности
Колмогорова // Сообщ. АН ГрузССР. —1940. —Т. 1, № 6. —С. 401-410.
57. Теорема сложения в теории размерности бикомпактных пространств // Сообщ. АН
ГрузССР. —1941.—Т. 2, № 1-2. —С. 1-6.
58. Основные гомологические построения для общих проекционных спектров // Сообщ. АН
ГрузССР. —1941.—Т. 2, № 3. —С. 213-219.
59. Закон двойственности для проекционных спектров и локально-бикомпактных
пространств // Сообщ. АН ГрузССР. — 1941. — Т. 2, № 4. — С. 315-319.
60. General combinatorial topology // Trans. Amer. Math. Soc — 1941. —V. 49. —P. 41-105.
61. О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств // Изв.
АН СССР. Сер. матем.— 1942. —Т. 6, № 5. —С. 227-282.
62. On homological situation properties of complexes and closed sets // Trans. Amer. Math.
Soc. —1943. — V. 54. — P. 286-339.
63. О понятии пространства в топологии // УМН. — 1947. — Т. 2, № 1. — С. 5-57.
64. Общий закон двойственности для незамкнутых множеств n-мерного пространства // ДАН
СССР. —1947.—Т. 57, № 2. —С. 107-110.
65. Гомологические соотношения в областях двойственности // ДАН СССР. — 1947. —Т. 57,
№3. —С. 211-214.
66. Комбинаторная топология. — М. — Л.: Гостехиздат, 1947. 660 с.
67. Теоремы двойственности в комбинаторной топологии // В кн.: Юбилейный сборник,
посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции. Ч. 1. — М.-Л.:
Изд-во АН СССР, 1947. С. 134-180.
68. Основные теоремы о двойственности для незамкнутых множеств n-мерного
пространства // Матем. сб. Новая сер. — 1947. —Т. 21, № 2. —С. 161-232.

топология
411
Александров П. С. и Ефремович В. А.
1. Очерк основных понятий топологии. — М. — Л.: ОНТИ, 1936. 94 с.
Александров П. С. и Колмогоров А. Н.
1. Endliche Uberdeckungen topologischer Raume // Fundam. Math. — 1936. — Bd. 26. — S. 267-
271.
Александров П. С. и Немыцкий В. В.
1. Условие метризуемости топологических пространств и аксиома симметрии // Матем. сб.
Новая сер. —1938. —Т. 3, № 3. - С. 663-672.
Александров П. С. и Понтрягин Л. С.
1. Les varietes a n-dimensions generalisees // С. R. Acad. Sci. Paris. — 1936.— V. 202.—
P. 1327-1329.
Александров П. С. и Проскуряков И. В.
1. О приводимых множествах // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1941. —Т. 5, № 3. —С. 217-
224.
Александров П. С. и Тумаркин Л. А.
1. Beweis des Satzes, dass jede abgeschlossene Menge positiver Dimension in einem lokal zusam-
menhangenden Kontinuum von derselben Dimension topologisch enthalten ist // Fundam. Math. —
1928. —Bd. 11. —S. 141-144.
Александров П. С. и Урысон П. С.
1. Une condition necessaire et suffisante pour qu'une classe (L) soit une classe (D) // С R.
Acad. Sci. Paris. —1923.-V. 177. —P. 1274-1276.
2. Zur Theorie der topologischen Raume // Math. Ann. — 1924. — Bd. 92. — S. 258-266.
3. Uber nulldimensionale Punktmengen // Math. Ann. — 192f.— Bd. 98. —S. 89-106.
4. Memoire sur les espaces topologiques compacts // Verhandel. Koninkl. Nederl. Akad. Wet.
Amsterdam. Afd. Natuurkunde. Sect. I. —1929. —Bd. 14, № 1. 96 p.
5. Sur les espaces topologiques compacts // Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Lett. Ser. A. — 1923. —
P. 5-8.
Александров П. С. и Хопф X.
1. Topologie. Bd. 1, — Berlin: Springer, 1935. 636 p. (Grundlehren der mathematischen Wis-
senschaften in Einzeldarstellungen; Bd. 45.)
Александров П. С, Понтрягин Л. С. и Хопф X.
1. Uber den Brouwerschen Dimensionsbegriff // Compositio Math. —1937. — Bd. 4. — S. 239-
255.
Барбашин Е. A.
1. О (У-покрытиях пространства // Матем. сб. Новая сер. — 1946. — Т. 18, № 3. — С. 423-428.
Бебутов М. В.
1. Одна теорема о симплициальных комплексах // ДАН СССР. — 1938. —Т. 19, № 5. —
С. 347-348.
Бебутов М. В. и Шнейдер В. Е.
1. Об одном счетном топологическом пространстве // Уч. зап. МГУ. — 1939.— Т. 30.—
157-160.
Бокштейн М. Ф.
1. Uber die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe / Матем. сб. Новая сер.—
1941.-Т. 9, № 2. —С. 365-376.

412
ТОПОЛОГИЯ
2. Универсальные системы колец V-гомологий // ДАН СССР. — 1942. — Т. 37, № 9. —
С. 275-278.
3. Полная система полей коэффициентов для V-гомологической размерности // ДАН СССР. —
1943.— Т. 38, № 7. —С. 20F-210.
4. Гомологические инварианты топологического произведения двух пространств // ДАН
СССР. —1943. —Т. 40, № 9. — С. 387-390.
Брушлинский Н. К.
1. Stetige Abbildungen und Bettische Gruppen der Dimensionszahlen 1 und 3 // Math. Ann.—
1934.—Bd. 109. —S. 525-537.
2. О группе отображений топологического пространства на группу Lie // В кн.: Труды II
Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2. — Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936.
С. 137-138.
Вайнберг Н. М.
1. О свободной эквивалентности замкнутых кос // ДАН СССР. — 1939. — Т. 23, № 3. —
С. 215-216.
2. О регулярной замкнутости топологических пространств // ДАН СССР. — 1941. —Т. 31,
№6. —С. 523-524.
Вайнштейн И. А.
1. О замкнутых отображениях метрических пространств // ДАН СССР. — 1947.—Т. 57,
№4. —С. 319-321.
2. Об одной проблеме П. С. Александрова // ДАН СССР. — 1947. — Т. 57, №15. — С. 431-
434.
Вайнштейн И. А. и Каждан Я. М.
1. Конечнократные непрерывные отображения, повышающие размерность // Изв. АН СССР.
Сер. матем. — 1944. — Т. 8, № 3. — С. 129-138.
Веденисов Н. Б.
1. Sur les espaces metriques complets // J. Math. Pures Appl. Ser. 9. — 1930-1931. — V. 9. —
P. 377-382.
2. Sur les fonctions continues dans les esapaces topologiques // Fundam. Math. — 1936. —
Bd. 27. —S. 234-238.
3. Sur un probleme de M. Paul Alexandroff // Ann. Math. —1936. —V. 37. —P. 427-428.
4. О многообразиях в смысле Е. Cech'a // ДАН СССР. —1937. —Т. 16, № 9. — С. 443-445.
5. О некоторых топологических свойствах упорядоченных множеств // Уч. зап. Моск. пед.
ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-матем. —1938.—Т. 3, № 2. —С. 15-26.
6. Замечания о непрерывных функциях в топологических пространствах // Уч. зап. Моск.
пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-матем. —1938. —Т. 3, № 2.-47-54.
7. Замечания о размерности топологических пространств // Уч. зап. МГУ. —1939. — Т. 30. —
С. 131-140.
8. Обобщение одной теоремы теории размерности // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. К.
Либкнехта. Сер. физ.-матем. —1940. —Т. 7, № 3. — С. 35-39.
9. Generalisation de quelques theoremes sur la dimension // Compositio Math. —1939-1940. —
Bd. 7. —S. 194-200.
10. О размерности в смысле Е. Cech'a // Изв. АН СССР. Сер. матем. —1941. — Т. 5, № 3. —
С. 211-216.
Верченко И. Я.
1. Об ациклических континуумах, непрерывно отображаемых в себя без неподвижных
точек // Матем. сб. Новая сер. — 1940. —Т. 8, № 2. — С. 295-306.

топология
413
Войдыславский М. Р.
1. Некоторые приложения одного критерия для того, чтобы континуум был плоским //
Матем. сб. Новая сер. — 1946.—Т. 18, № 1. —С. 29-40.
В у л и х Б. 3.
1. О метризации сходимостей в линейных пространствах // ДАН СССР. — 1939.—Т. 23,
№5. —С. 433-437.
2. О линейных пространствах с заданной сходимостью // Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем. наук. —
1940. _т# 55, № 10. —С. 40-63.
Гинзбург А. М.
1. Aufgabe der vier Farben // Зап. Харьковск. матем. о-ва. Сер. 4. — 1934. — Т. 8. — С. 73-90.
Глезерман М. Е. и Понтрягин Л. С.
1. Пересечения в многообразиях // УМН. —1947. —Т. 2, № 1. —С. 58-155.
Гордон И. И.
1. О минимальном числе критических точек функции, заданной на многообразии // В кн.:
Труды II Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2.—Л.-М.: Изд-во АН
СССР, 1936. С. 123-125.
2. On the minimal number of critical points of a real function defined on a manifold // Матем. сб.
Новая сер. —1938.—Т. 4, № 1. —С. 105-113.
Гуль И. М.
1. Топологическая формула инциденций // ДАН СССР. —1947.—Т. 56, № 9. — С. 895-898.
Ефремович В. А.
1. Zur Theorie der nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten // Math. Z. — 1928-1929. — Bd. 29. —
S. 55-59.
2. Топологическая классификация аффинных отображений плоскости // В кн.: Труды II
Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2.— Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936.
С. 127-129.
3. О неразложимости в топологическое произведение // ДАН СССР. —1945. —Т. 49, № 7. —
С. 483-484.
Ефремович В. А. и Крейнес М .А.
1. К топологии поверхностей второго порядка // ДАН СССР, — 1935. — Т. 2(VII), № 5-6. —
С. 365-367.
Зарицкий М. О.
1. Деяю властивосп поняття похщно! множини в абстрактных просторах // Уч. зап. Львовск.
гос. ун-та. Сер. физ.-матем.— 1947. —Т. 5, Mb 1. —С. 22-33.
Каждан Я. М.
1. Пример открытого отображения одномерного локально-связного континуума на
квадрат / ДАН СССР. —1947. — Т. 56, № 4. —С. 339-342.
Келдыш Л. В.
1. Непрерывные отображения компактов // ДАН СССР. —1947. —Т. 58, № 2. — С. 181-184.
2. Непрерывные отображения нульмерного компакта. // ДАН СССР. —1947. —Т. 58, № 8. —
С. 1585-1588.
Колмогоров А. Н.
1. Zur topologisch-gruppentheoretischen Begrundung der Geometrie // Nachr. Ges. Wiss.
Gottingen. Math.-phys. Kl. —1930. — S. 208-210.

414
топология
2. Zur Begrundung der projektiven Geometrie // Ann. Math. —1932. — V. 33. — P. 175-176.
3. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes // Studia Math. —
1934. —V. 5. —P. 29-33.
4. Uber die Dualitat im Aufbau der kombinatorischen Topologie // Матем. сб. Новая сер. —
1936. —Т. 1, № 1. — С. 97-102.
5. Homologierung des Komplexes und des lokal-bikompakten Raumes // Матем. сб. Новая сер. —
1936.—Т. 1, №5. —С. 701-706.
6. Les groupes de Betti des espaces localement bicompacts // С R. Acad. Sci. Paris. — 1936. —
V. 202. —P. 1144-1147.
7. Proprietes des groupes de Betti des espaces localement bicompacts // С R. Acad. Sci. Paris. —
1936.—V. 202.—P. 1325-1327.
8. Les groupes de Betti des espaces metriques // С R. Acad. Sci. Paris. — 1936.—V. 202.—
P. 1558-1560.
9. Cycles relatifs. Theoreme de dualite de M. Alexander //C.R, Acad. Sci. Paris. —1936. —
V. 202. —P. 1641-1643.
10. Uber offene Abbildungen // Ann. Math. — 1937. — V. 38. —P. 36-38.
11. Grandeurs gauches et invariants tooologiques // Тр. Семинара по векторн. и тензорн.
анализу. Н.-и. ин-т матем. при МГУ. —1937. —Т. 4. — С. 342-347.
12. Точки локальной топологичности счетно-кратных открытых отображений
компактов // ДАН СССР. — 1941. —Т. 30, № 6. —С. 477-479.
КольманЭ.
1. О разбиении круга // Матем. сб. Новая сер. — 1937. —Т. 2, № 1. —С. 65-77.
Комаревский В. М.
1. Об одном свойстве линейных континуумов на плоскости с точками ветвления // Тр.
Туркестане^ гос. ун-та. —1923. —Т. 6, № 8. —С. 19-26.
2. Теорема Euler'a о многогранниках. Историко-критический обзор различных ее
доказательств // Тр. Туркестанск. науч. о-ва при Средне-Азиатск. гос. ун-те. — 1925.—Т. 2.—
С. 141-172.
Кон-Фоссен С. Э.
1. О существовании кратчайших путей // ДАН СССР. — 1935. — Т. 3(VIII), № 8. — 339-342.
Крейн М. Г. и Крейн С. Г.
1. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций,
определенных на хаусдорфовом бикомпактном множестве // ДАН СССР. — 1940. —Т. 27, № 5.—
С. 427-431.
2. Sur I'espace des fonctions continues definies sur un bicompact de Hausdorff et ses sousespaces
semiordonnes. // Матем. сб. Новая сер. —1943.—Т. 13, № 1. — С. 1-38.
Крейнес М. А.
1. Zur Konstruktion der Poincare-Raume // Rend. Circolo Mat. Palermo. — 1932. — V. 56.—
P. 277-280.
2. Формальное умножение топологических комплексов // Матем. сб. —1934. — Т. 41, JSfe 2. —
С. 332-338.
Крыжановский Д. А.
1. До теори точкових множин (про теорему Больцано — Вейерштрасса) // Журн. н.-и. кафедр
в Одессе. — 1926. — Т. 2, № 3. — С. 96-99.
Кудрявцев Л. Д. и Роднянский А. М.
1. О мощности системы компонент множеств типа F // ДАН СССР. —1946. — Т. 52, № 1. —
С. 3-5.

топология
415
К у р о ш А. Г.
1. Kombinatorischer Aufbau der bikompakten topologischen Raume // Compositio Math. —
1935. —Bd. 2. —S. 471-476.
2. К теории частично упорядоченных систем конечных множеств // Матем. сб. Новая сер. —
1939.—Т. 5, № 2.—С. 343-346.
Лаврентьев М. А.
1. Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes // Fundam. Math.— 1924. —V. 6. —
P. 149-160.
Либерман И. М.
1. О некоторых характеристических свойствах выпуклых тел // Матем. сб. Новая сер. —
1943.-Т. 13, № 2-3.-С. 239-262.
Лихтенбаум Л. М.
1. О двух новых топологических инвариантах // Матем. сб. —1928. —Т. 35, № 4. — С. 287-
292.
2. Исследования из топологии континуумов. — М.: Изд-во Ком. акад., 1928.
3. Понятие кривой с точки зрения современной топологии.—М- Изд-во Ком. акад., 1929.
112 с.
4. Sur un invariant topologique // С. R. Acad. Sci. Paris. —1931. —V. 193. —P. 1307-1308,
5. Об одной теореме плоской топологии // Матем. сб. Новая сер. — 1936. — Т. 1, № 6. —
С. 907-916.
Лузин Н. Н.
1. Sur l'accessibilite des points // Fundam. Math. —1928. —Bd. 12. —S. 158-159.
Львовский В. Д.
1. О построении замкнутых односторонних поверхностей с замкнутыми двойными
линиями // Матем. сб. —1925. —Т. 32, № 2. —Р. 353-356.
2. О замкнутых двусторонних трехмерных пространствах // Журн, Ленингр. физ,-матем. о-
ва. —1927. —Т. 1,№2. —С. 169-181.
3. О замкнутых односторонних трехмерных пространствах // Журн. Ленингр. физ.-матем.
о-ва. —1928. —Т. 2, № 2. —С. 104-122.
4. Некоторые гомеоморфизмы областей трехмерного пространства // В кн.: Труды II
Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. — Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936.
С. 129-131.
5. Диаграмма Heegaard'a трехмерного пространства и фундаментальная группа // В кн.: Труды
П Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2.— Л.-М.: Изд-во АН СССР,
1936. С. 131-135.
Люстерник Л. А.
1. Topologische Grundlagen der aUgemeinen Eigenwerttheorie // Monatsh. Math. Phys. —
1930. —Bd. 37. —S. 125-130.
2. Uber die topoloischen Eigenschaften der Kurvenfamilien auf Flachen // Матем. сб. — 1931. —
Т. 38, №3-4. — С. 59-65.
3. Замечания к некоторым вариационным задачам // Уч. зап. МГУ. —1934. —Т. 2. — С. 17-
23.
4. Замкнутые геодезические на многомерных сферических многообразиях // ДАН СССР. —
1940.-Т. 26, № 4.-С. 328-330.
5. Пересечения в линейных в малом функциональных пространствах // ДАН СССР. —
1д40._т. 27, № 8. —С. 771-774.

416
ТОПОЛОГИЯ
6. Топологическая структура одного функционального пространства // ДАН СССР. —1940. —
Т. 27, №8. —С. 775-777.
7. Кольцо пересечений в одном функциональном пространстве // ДАН СССР. — 1943. —
Т. 38, №2-3.— С. 67-69,
8. О семействах дуг с общими концами на сфере // ДАН СССР. — 1943. —Т. 39, № 3. —
С. 85-87.
9. Размерности критических множеств // ДАН СССР. —1943. —Т..39, № 9. — С. 371-372.
10. О категориях некоторых семейств дуг // ДАН СССР. —1943. — Т. 40, № 4. — С. 147-148.
11.0 числе решений вариационной задачи // ДАН СССР. — 1943. —Т. 40, № 6. —С. 243-
245.
12. Новое доказательство теоремы о трех геодезических // ДАН СССР. — 1943.— Т. 41,
№ 1. —С. 3-5.
13. Топология и вариационное исчисление // УМН. —1946. — Т. 1, № 1. —С 30-56,
14. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом // Тр.
Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. —1947. —Т. 19. —С. 1-96.
Люстерник Л. А. и Шнирельман Л. Г.
1. $ur un principe topologique en analyse // С R. Acad. Sci. Paris. — 1929. — V. 188. — P. 295-
297.
2. Existence de trois geodesiques fermees sut toute surface de genre 0 // C. R. Acad. Sci. Paris. —
1929.—V. 188. —P. 534-536.
3. Sur le probleme de trois geodesiques fermees sur les surfaces de genre 0 // С R. Acad. Sci.
Paris. —1929. — V. 189. — P. 269-271.
4. Топологические методы в вариационных задачах // М.: ГИЗ, 1930. С 1-68.
5. Применение топологии к экстремальным задачам // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 1.—Л.-М.: Изд-ва АН СССР, 1935. G. 224-237.
6. Топологические метода в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной
геометрии поверхностей // УМН. — 1947. —Т. 2, № 1. —С. 166-217.
Мар*с<ов А. А.
1. Sur uneproprietegenerale des ensumbles minimaux de M. Birkhoff // С R. Acad. Sci. Paris. —
1991. —V. 1937— P. 823-825.
2. Sur les espaces vectoriels considered comme groupes topologiques // С R. Acad. Sci. Paris. —
1933.—V. 197. —P. 610-612.
3. Об изотопии компактных множеств в эвклидовых пространствах // ДАН СССР. ->-1934. —
Т. 3(IV), №3. —С. 137-141.
4. Uber endlich-dimensionale Vektorraume // Ann. Math. —1935. —V. 36. —P. 464-506.
5. Некоторые теоремы об абелевых множествах // ДАН СССР. — 1936. — Т. 1(Х), № 8. —
С. 599-302.
6. Ober die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe // Матем. сб. Новая сер. — 1936. —Т. 1,
№ 1. —С. 73-78.
7. О существовании интегрального инварианта // ДАЙ СССР. — 1937. — Т. 17, № 9. —
С. 455-458.
8. On mean values and exterior densities // Матем. сб. Новая сер. — 1938. — Т. 4, № 1.—
С. 165-191.
9. On the definition of a complex // Матем. сб. Новая оер. —1939. — Т. % № 3. — С. 545-550.

топология
417
10. Что такое гладкая поверхность // Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем. наук. — 1940. — Т. 55. —
С. 27-39.
11,0 свободных топологических группах // ДАН СССР. — 1941. — Т. 31, № 4. — С. 299-302.
12. О существовании периодических связных топологических групп // Изв. АН СССР. Сер,
матем. —1944. — Т. 8, № 5. — С. 225-232.
13. О безусловно замкнутых множествах // ДАН СССР. — 1944. — Т. 44, № 5. — С. 196-197.
14. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1945. —Т. 9,
№ I.-С. 3-64.
15. Основы алгебраической теории кос // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. —1945. —
Т. 16.— С. 3-54.
16. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб. Новая сер. — 1945. —Т. 18, № 1.—
С. 3-28.
Маркушевич А. И.
1. О некоторых классах непрерывных отображений // ДАН СССР. — 1940. —Т. 28, № 4. —
С. 301-304.
2. О продолжении по непрерывности // Матем. сб. Новая сер. — 1945. — Т. 16, № 1.—
С. 43-Й.
Немыцкий В. В.
1. On the «third axiom of metric space» // Trans. Amer. Math. Soc. —1927. — V. 29. — P. 507-
513.
2. Проблема метризации и аксиомы метрического пространства // 'В сб.: Сборник работ
математического раздела (Ком. акад. Секц. естеств. и точн. наук). Под ред. Л. М. Лихтенбаума,
Л. А. Люстерника и С. А. Яновской. Т. 1. 1927 г.—М.: Ком. акад., 1929. С. 6Ф-72.
3. Uber die Axiome des metrischen Raumes // Math. Ann. —1931. — Bd. 104. — S. 66-71.
4. Метод неподвижных точек для проблем анализа // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2.-^Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 141.
Немыцкий В. В. и Тихонов А. Н.
1. Beweis des Satzes, dass ein metrisierbarer Raum dann und nur danti kompakt ist, wenn er in
jeder Metrik vollstandig ist. // Fundam. Math. —1928. — Bd. 12. — S. 118-120.
Очан Ю. С.
1. Пространство подмножеств топологического пространства // ДАН СССР. —1941. — Т. 32,
№2. — С 111-113:
2. К вопросу о проблеме Суслина // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1941. —Т. 5, № 6. —
С. 423*426.
3. Об одной проблеме Бара /Изв. АН СССР. Сер. матем.-1941. — Т. 5, № 6.--С. 427-430.
4. Пространство подмножеств топологического пространства // Матем. сб. Новая сер. —
1943. — Т. 12, № 3. — С. 340-352.
Пархоменко А. С.
1. О взаимно однозначных и непрерывных отображениях // Матем. сб. Новая сер. —1939. —
Т. 5, Ml. —С. 197-210.
2. Об уплотнениях в компактные пространства // Изв. АН СССР. Сер. матем. —1941. — Т. 5,
№3.-С. 225-232.
Петров А. А.
1. О покрытии компактных пространств // Матем. сб. Новая сер. —1943. — Т. 12, № 1. —
С 109-гёО.
Петровский И. Г.
1. Sur la topologie des courses planes reetles et ateebriques // C. R. Acad. §cL Paris. —1933. —
V. 197. —P. 1270-1272.

418 ТОПОЛОГИЯ
2. On the topology of real plane algebraic curves // Ann. Math. — 1938. — V. 39. — P. 189-209.
П о л а к А. И.
1. Открытые отображения и непрерывные разбиения // ДАН СССР. — 1936. — Т. 1(Х),
№4. —С. 151-152.
2. Непрерывные отображения метрических пространств в связи с теорией открытых
отображений // Уч. зап. МГУ. — 1939. — Т. 30. — С. 165-180.
3. Об открытых отображениях локально связных континуумов // Уч. зап. МГУ. —1939. —
Т. 30. —С. 181-183.
Понтрягин Л. С.
1. Zum Alexanderschen Dualitatssatz // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl. —1927. —
S. 315-322.
2. Zum Alexanderschen Dualitatssatz. II // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl. —
1927. —S. 446-456.
3. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension // С R. Acad. Sci. Paris. —
1930. —V. 190. —P. 1105-1107.
4. Einfacher Beweis eines dimensionstheoretischen Uberdeckungssatzes // Ann. Math. —1931. —
V. 32.—P. 761-762.
5. Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze // Math. Ann. — 1931. —
Bd. 105. —S. 165-205.
6. Uber stetide algebraische Korper // Ann. Math. —1932. —V. 33. —P. 163-174,.
7. Der allgemeine Dualitatssatz fur abgeschlossene Mengen // In: Verhandlungen des
International Mathematiker-Kongresses, Zurich, 1932. Bd. 2. —Zurich: Fussli, 1933. S. 361-388.
8. The theory of topological commutative groups // Ann. Math. — 1934. — V. 35. — P. 361-388.
9. The general topological theorem of duality for closed sets // Ann. Math.— 1934, —V. 35.—
P. 904-914.
10. Sur les nombres de Betti des groupes de Lie // С R. Acad. Sci. Paris. —1935. —V. 200. —
P. 1277-1280.
11. Числа Бетти компактных групп Ли // ДАН СССР. — 1935. —Т. 1(VI), № 7-8. —С. 434-
437.
12. Sur les transformations des spheres en spheres // In: Comptes rendus du Congres international
des mathematiciens. Oslo, 1936. T. 2, —Oslo, 1937. P. 140.
13. Classification des transformations d'un complexe (n + l)-dimensionnel dans une sphere n-di-
mensionnelle. // С R. Acad. Sci. Paris. —193$.—V, 206. —P. 1436-1438.
14. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу. I // ДАН СССР. —
1938.—Т. 19, № 3. —С. 147-149.
15. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу. II // ДАН СССР. —
1938. —Т. 19, № 5. —С. 361-363.
16. Homologies in compact Lie groups // Матем. сб. Новая сер. — 1939. — Т. 6, № 3. —
С. 389-422.
17. Uber die topologische Struktur der Lieschen Gruppen // Comment. Math. Helv. — 1941.—
V. 13, №4. —P. 277-283.
18. Product in complexes // Матем. сб. Новая сер. —1941.—Т. 9, № 2. —С. 321-330.
19. A classification of mappings of the three-dimensional complex into the two-dimensional
sphere // Матем. сб. Новая сер. —1941.—Т. 9, № 2. —С. 331-363.
20. Отображения трехмерной сферы в n-мериый комплекс // ДАН СССР. — 1942.— Т. 34,
№2. —С. 39-41.

топология
419
21. Характеристические циклы многообразий // ДАН СССР. — 1942. — Т. 35, № 2. — С. 35-
39.
22. A method of calculation of homology groups // Матем. сб. Новая сер.— 1942.— Т. 11,
№1-2.-С. 3-14.
23. Некоторые топологические инварианты римановых многообразий // ДАН СССР. —
1944.-Т. 43, № З.-С. 95-98.
24. Характеристические циклы // ДАН СССР. — 1945. —Т. 47, № 4. — С. 246-249.
25. Классификация некоторых косых произведений // ДАН СССР. — 1945. — Т. 47, № 5. —
С. 327-330.
26. Топологические теоремы двойственности // УМН. — 1947. — Т. 2, № 2.— 21-44.
27. Общая топологическая теорема двойственности для замкнутых множеств // УМН. —
1947.—Т. 2, № 2. —С. 45-55. г
28. Основы комбинаторной топологии. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 143 с.
Понтрягин Л. С. и Толстова Г. В.
1. Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes // Math. Ann. — 1931. — Bd. 105. — S. 734-747.
Понтрягин Л. С. и Франкль Ф. И.
1. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie // Math. Ann. —1930. —Bd. 102,
№5. —S. 785-789.
Понтрягин Л. С. и Шнирельман Л. Г.
1. Sur une propriete metrique de la dimension // Ann. Math. — 1932. — V. 33. — P. 156-162.
Проскуряков И. В.
1. О конечных системах множеств топологического пространства // Уч. зап. МГУ. — 1939. —
Т. 30.—С. 141-151.
2. О некоторых свойствах локально компактных и локально бикомпактных пространств // Уч.
зап. МГУ. —1939. — Т. 30. — С. 153-156.
Роднянский А. М.
1. Неприводимые континуумы и локальная связность. // ДАН СССР. — 1945. — Т. 49, № 2. —
С. 83-84.
Рожанская Ю. А.
1. Uber stetige Kurven // Ргос. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. — 1926. —Т. 29.
2. О разбиении плоскости непрерывными кривыми. — М.: Ассоц. н.-и. ин-тов при физмате
I MIX 1928. 27 с.
3. Sur les decompositions continues de surfaces en des courbes cantoriennes // C. R. Acad. Sci.
Paris. —1930. —V. 190. — P. 1360-1362.
4. Uber stetige Zerlegungen von Flachen in zueinander fremde Kurven // Матем. сб. Новая
сер. —1930. —Т. 37, № Г-2. — С. 41-51.
5. Элементарные доказательства двух теорем Урысона о кривых // Матем. сб. — 1931.—
Т. 38, № 1-2. —С. 98-100.
6. О непрерывных отображениях круга // В кн.: Труды II Всесоюзного математического
съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. —Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 117-118.
7. Uber stetige Abbildungen eines Elements // Матем. сб. Новая сер. — 1936. — Т. 1, Ш 5. —
С. 745-746.
8. Uber stetige Abbildungen eines Elements // Fundam. Math. — 1937. — Bd. 28. — S. 219-232.

420
ТОПОЛОГИЯ
9. Введение в теорию непрерывных отображений // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. К. Либк-
нехта. Сер. физ.-матем. — 1938. —Т. 3, № 2. —С. 27-46.
Рожанская Ю. А. и Степанов В. В.
1. Очерк развития топологии в СССР за 10 лет // Матем. сб. —1928. — Т. 35 (доп. вып.). —
С. 43-о4.
2. Топология // В кн.: Математика в СССР за пятнадцать лет. Под ред. П. С. Александрова,
М. Я. Выгодского и В. И: Гливенко,— М.-Л.: ПТИ, 1932. С. 191-224.
Рохлин В. А.
1. Гомотопические группы // УМН. —1946. —Т. 1, № 5-6. —С. 175-223.
Сирвинт Ю. Ф.
1. К геометрии линейных пространств // ДАН СССР. — 1940.—Т. 26, J6 2. — С. 119-122.
2. Пространство линейных функционалов // ДАН СССР. —1940. — Т. 26, № 2. — С. 123-126.
Стебаков С. А.
1. Об основной теореме теории бикомпактных пространств //, Уч. зап. МГУ. — 1939. —
Т. 30. —С. 161-164.
2. К теории Я-замкнутых топологических пространств // В сб.: Научные доклады
Воронежского авиационного института. 1942-1943 учебный год.—Ташкент, 1944. С. 47-49.
Степанов В. В. и Тумаркин Л. А.
1. Uber eine Erweiterung abgeschlossener Mengen zu Jordanschen Kontinuen derselben
Dimension // Fundam. Math. —1928. — Bd. 12. — S. 43-45.
Тихонов А. Н.
1. Uber einen Metrisationssatz von P. Urysohn // Math. Ann. —1925. — Bd. 95. — S. 139-т142.
2. Sur les espaces abstraits // С R. Acad. Sci. Paris. —1926. —V. 182. —P. 1519-1522.
3. Uber die topologische Erweiterung von Raumen // Math. Ann. —1930; — Bd. 102. — S. 544r
561.
4. Uber die Abbildungen bikompakter Raume in Euklidische Raume // Math. Ann. —1935. —
Bd. 111. —S. 760-761.
5. Uber einen Funktionenraum // Math. Ann. —1935. —Bd. 111. —S. 762-766.
6. Ein Fixpunktsatz // Math. Ann. —1935. — Bd. 111. — S. 767-776.
7. Об универсальном топологическом пространстве // ДАН СССР. — 1936. — Т. 3(ХИ),
№2. — С. 49-51.
8. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. —1945. — Т. 39, № 5. — С. 195-198.
Тихонов А. Н. и Веденисов Н. Б.
1. Sur le developpement moderne de la theorie des espace abstraits // Bull Sci, Math. —1926. —
V. 50.—P. 15-27.
Тумаркин Л. .А.
1. Uber stetige Zerlegungen kompakter metrischen Raume in zueinander fremde abgeschlossene
Mengen // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. —1925. —V. 28.
2. Zur allgemeinen Dimensionstheorie // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet.— 1925. —V. 28.—
P. 994-9%.
3. Nouvelle demonstration d'un theoreme de Paul Urysohn // Fundam. Math. — 1926. — Bd. 8. —
S. 360-361.

топология
421
4. Beitrag zur allgemeinen Dimensionstheorie // Матем. сб. — 1926. — Т. 33, № 1. — S. 57-86.
5. Ueber Dimension von Komponenten n-dimensionalerabgeschlossenen Mengen // Матем. сб. —
1928.—Т. 35, № 1. —S. 133-138.
6. Sur la structure dimensionnelle des ensembles fermes // G. R. Acad. Sci. Paris. —- 1928. —
V. 186.-P. 420-422.
7. Uber die Dimension nicht abgeschlossener Mengen // Math. Ann. —1928. — Bd. 98. — S. 637-
656.
Урысон П. С.
1. Les multiplicites cantoriennes // С R. Acad. Sci. Paris. —1922.—V! 175. —P. 440-442.
2. Sur la ramification des lignes cantoriennes // С R. Acad. Sci. Paris. —1922. -^V. 175. —
P. 481-483.
3. Sur la metrisation des espaces topologiques // Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Lett. Sen A. —
1923. —P. 13-16.
4. Об одной задаче Caratheodory // Матем. сб. —1922. —Т. 31, № 1. — S. 86-90.
5. Ein Beitrag zur Theorie der ebenen Gebiete unendlich hohen Zusammenhandes // Math. Z. —
1924. —Bd. 21. —S. 133-150.
6. Uber die Metrisation der kompakten topologischen Raume // Math. Ann. —1924. — Bd. 92. —
S. 275-293.
7. Der Hilbertsche Raum als Urbild der metrischen Raume // Math. Ann. —1924. — Bd. 92. —
S. 302-305.
8. Les classes (D) separables et 1'espace Hilbertien //C.R Acad. Sci. Paris. — 1924. — V. 178. —
P. 65-68.
9. Memoire sur les multiplicites* cantoriennes // Fundam. Math. — 1925. —Bd. 7. —S. 29-137.
10. Uber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen // Math. Ann. — 1925. — Bd. 94. —
S. 262-295.
11. Zum Metrisationsproblem // Math. Ann. —1925. —Bd. 94. —S. 309-315.
12. Sur les points accessibles des ensembles fermes // Proc. Koninki. Nederl. Akad. Wet. —
1925.-Y. 28. -P. 984-993.
13. Sur un espace metrique universel // С R. Acad. Sci. Paris. —1925. — V. 180. — P. 803-806.
14. Memoire sur les multiplicites cantoriennes // Fundam. Math. — 1926. — Bd. 8. — S. 225-359.
15. Beispiel eines nirgends separablen metrischen Raumes // Fundam. Math. —1927. — Bd. 9. —
S. 119-121.
16. Une propriete des continus de M. Knaster // Fundam. Math. —1927. —Bd. 10. —S. 175-
176.
17. Sur un espace metrique universel // Bull. Sci. Math. Ser. 2. —1927. —V. 51. —P. 43-64.
18. Sur un espace metrique universel // Bull. Sci. Math. Ser. 2. — 1927. — V. 51. — P. 74-90.
19. Uber in kleinen zusammenhangende Kontinua // Math. Ann. — 1927-1928.— Bd. 98.—
S. 296-308.
20. Memoire sur les multiplicites cantoriennes. II: Les lignes cantoriennes // Verhandel. Koninki.
Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Afd. Natuurkunde. Sect. I. —1927.—V. 13, № 4. P. 172.
Урысон П. С. и Александров П. С.
1. Uber Raume mit verschwindender ersten Brouwerscher Zahl // Proc. Koninki. Nederl. Akad.
Wet. —1928. — V. 31. — P. 808-810.

422
ТОПОЛОГИЯ
Фомин С. В.
1
Т. 8,
К теории, расширений топологических пространств // Матем. сб. Новая сер. — 1940. —
S, №2. — С. 285-294.
2. Расширение топологических пространств // ДАН СССР. —1941, —Т. 32г № 2. —С. 114-
117.
3., Extensions of topological spaces // Ann. Math. —1943. —V. 44. — P. 471-480.
Франк М. Л.
1. Uber die Einseitigkeit von schiefen algebraischen Regelflachen ungerader Ordnung //
Матем. сб. —1933. — Т. 40, № 4. — С. 508-513.
2. Об одном критерии односторонности поверхностей // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда. Ленинград. 1934. Т. 2.—Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 93-95.
Франкль Ф. И.
1. Topologische Beziehungen in sich kompakter Teilmengen euklidischer Raume zu ihren Kom-
plementen // Sitzungsber. Osterr. Akad. Wiss. Wien. Math.-naturwiss. Kl. Abt. Ila. —1927. —
Bd. 136. —S. 689-699.
2. Uber die zusammenhangenden Mengen von hochstens zweiter Ordnung // Fundam. Math. —
1927. —Bd. 11. —S. 96-104.
3. Charakterisierung der (n- l)-dimensionalen abgeschlossenen Mengen der R n // Math. Ann. —
1930. —Bd. 103. —S. 784-787.
4. Zur Primendentheorie // Матем. сб. — 1931.—Т. 38, № 3-4. —С. 66-69.
5. Zur Topologie des dreidimensionalen Raumes // Monatsh. Math. Phys. — 1931. — Bd. 38. —
5. 357-364.
6. К топологии трехмерного пространства // Матем. сб. Новая яер. —1946. —Т. 18, № 2. —
С. 299-304.
Фролов С. В. и Эльсгольц Л. Э.
1. Limite inferieure pour le morobre des valeurs critiques d'une fonction, donnee sur variete. —
Матем. сб.— 1935. —Т. 42, № 5. —С. 637-643.
2. Нижняя граница числа критических значений функции, заданной на многообразии // В кн.:
Труды II Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2.— Л.-М.: Изд-во АН
СССР, 1936. С. 125-127.
Худеков Н. Н.
1. О некомбинаторном определении индикатрисы многообразия // В кн.: Труды II Всесоюзного
математического съезда. Ленинград, 1934. Т. 2. — Л.-М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 119-122.
Цветкова А. И.
1. К теореме Л. С. Понтрягина о снятии цикла // ДАН СССР. — 1947. — Т. 57, № 4. —
С. 331-334.
Чеботарев Н. Г.
1. К теории узлов // Уч. зап. Казанск. гос. ун-та. —1931. — Т. 91, № 4. —С. 9-23.
2. Курс топологи. — Харюв — КиТв: Держ. наук.-техн. вид-во УкраТни, 1934. 103 с.
Черкасов А. Н.
1. Uber Unstetigkeitspunkte allgemeiner Kontinuen // Матем. сб.— 1926.— Т. 33, № 1.—
С. 99-108.
2. Sur les points de ramification des continues irreductibles // Матем. сб. — 1928.—Т. 35,
№ 1. —С. 25-29.

топология
423
3. О равностепенных гомеоморфизмах // Матем. сб. Новая сер. — 1940. — Т. 8, № 2.—
С. 349-361.
Чогошвили Г. С.
1. On a theorem in the theory of dimensionality // Compositio Math. —1938. — Bd. 5. — S. 292.
2. On the homology theory of topological spaces // Сообщ. АН ГрузССР. — 1940. — Т. 1, № 5. —
С. 337-342.
3. О пространствах сходимости // Матем. сб. Новая сер. — 1941. — Т. 9, № 2. —С. 377-^383.
4. Behaviour of some topological invariants on level surfaces // Сообщ. АН ГрузССР. — 1942. —
Т. 3, JSfelO. — С. 995-999.
5. О соотношениях двойственности в топологических пространствах // ДАН СССР. — 1945. —
Т. 46, №4. —С. 143-145.
6. О законе двойственности в нормальных пространствах // ДАН СССР. — 1945. —Т. 48,
№4.-С. 249-252.
7. Закон двойственности для ретрактов // ДАН СССР. — 1946. — Т. 51, № 2. — С. 87-90.
8. Theoreme de dualite pour le polyedre infini // С R. Acad. Sci. Paris. —1945. — V. 221. —
P. 15-17.
9. О соотношениях двойственности в топологических пространствах. — Дисс, Матем. ин-т
им. В. А. Стеклова. М., 1947.
Шанин Н. А.
1. О специальных расширениях топологических пространств // ДАН СССР. — 1943. — Т. 38,
№ 1. —С. 7-11.
2. Об отделимости в топологических пространствах // ДАН СССР. — 1943. —Т. 38, № 4. —
С. 118-122.
3. К теории бикомпактных расширений топологических пространств // ДАН СССР. — 1943. —
Т. 38, №5-6. —С. 166-169.
4. О погружениях в степень топологического пространства // Изв. АН СССР. Сер. матем. —
1944. —Т. 8, № 5. — С. 233-242.
5. Одна теорема из общей теории множеств // ДАН СССР. — 1946. — Т. 53, № 5. — С. 403-
404.
6. О взаимном пересечении открытых подмножеств произведения топологических
пространств I/ ДАН СССР. — 1946. —Т. 53, № 6. —С. 503-506.
7. О произведении топологических пространств // ДАН СССР. — 1946. — Т. 53, № 7. —
С. 595-598.
8. О даадических бикомпактах // ДАН СССР. — 1946. — Т. 53, № 9. —С. 785-788.
Шклярский Д. О.
1. О разбиениях двумерной сферы // Матем. сб. Новая сер. —1945. — Т. 16, № 2. — С. 125-
128.
Шнирельман Л. Г.
1. Uber eine neue kombinatorische Invariante // Monatsh. Math. Phys. — 1930.— Bd. 37.—
S. 131-134.
Шумбарский М.
1. Sur la decomposition des elements euclidiens en produits cartesiens // Матем. сб. Новая
сер.—1945. —Т. 16, № 1. —С. 39-42.

424
ТОПОЛОГИЯ
Шура-Бура М. Р.
1. Бикомпактные пространства как образы дисконтинуумов // ДАН СССР. — 1940. — Т. 27,
№5.-432-436.
2. К теории бикомпактных пространств // Матем. сб. Новая сер. —-1941. —Т. 9, № 2. —
385-388.
Эльсгольц Л. Э.
1. Теория инвариантов, дающих оценку числа критических точек непрерывной функции,
заданной на многообразии. // Матем. сб. Новая сер. — 1939, — Т. 5, № 3. — 551-558.
2. Изменение чисел Betti поверхностей уровня непрерывной функции, заданнрй на
многообразии // Матем. сб. Новая сер. — 1939. —Т. 5, № 3. — С. 559-564.
3. Длина многообразия и ее свойства // Матем. сб. Новая сер. — 1939. — Т. 5, № 3.-Т-565-
571.

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ В БУЛЕВСКИХ АЛГЕБРАХ*)
1. Существуют два способа аксиоматизации теории вероятностей:
теоретико-множественный (Колмогоров) и теоретико-структурный (Гливен-
ко). Второй способ является более простым и естественным, однако его
проведение требует построения теории меры и теории интегрирования в
булевских алгебрах.
2. При теоретико-структурной аксиоматизации теории вероятностей в
основе рассмотрений лежит булевская алгебра событии с определенной в ней
мерой — вероятностью событий. Случайные величины рассматриваются как
приближенные функции событий, причем под «приближенной функцией»
понимается функция, значения которой суть множества вещественных
чисел.
3. Простым и естественным образом может быть определено понятие
интеграла от приближенной функции в булевской алгебре при данной мере.
Оно дает понятие математического ожидания случайной величины.
4. Может быть определено понятие точно измеримой приближенной
функции в булевской алгебре. Точно измеримая приближенная функция
в поле событий интерпретируется как случайная величина, допускающая
измерение с любой точностью. Точно измеримые приближенные функции
интегрируемы, что дает теорему существования математического ожидания.
5. Указанное построение теоретико-структурной аксиоматики теории
вероятностей опровергает критические замечания Колмогорова об этой
аксиоматике как о слишком сложной (см. Математика в СССР за XXX лет. —
М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 727).
' Тезисы доклада на VI научной сессии ЛГУ, 1949 г. — Л., 1949.

ПРИЛОЖЕНИЯ
И КОММЕНТАРИИ

К ВЫЯСНЕНИЮ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ
ЭФИРНЫХ МАСЕЛ У ХВОЙНЫХ. IV
ОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕВРАЩЕНИЕ
ЭФИРНОГО МАСЛА у Pinus cembra*>
Задача нашего исследования — выяснить условия образования эфирного
масла у хвойных, определить характер изменений, претерпеваемых
эфирным маслом в течение жизни хвои.
Вопросов, связанных с установлением природы исходных веществ,
образующих эфирное масло, с выяснением промежуточных соединений, мы не
затрагиваем, так как считаем это несвоевременным.
Изучению процесса накопления и превращения эфирного масла у
хвойных было до последнего времени уделено мало внимания. Причины этого,
с одной стороны, — общего характера: трудность вообще изучения
эфирных масел, в силу их сложного состава и малого содержания в растении; с
другой стороны — индивидуальные черты хвойных, заставляющие
вырабатывать свою особую методику исследования.
Нам приходится считаться с индивидуальными особенностями у
отдельных экземпляров одного и того же вида. Отсюда вытекают трудности
изучения при вполне однородных условиях. Жизнь иглы не ограничивается одним
годом. В силу этого, при изучении процессов накопления и превращения
эфирного масла приходится считаться и с этим фактом.
Указанные причины объясняют нам бедность литературы, касающейся
хвойных растений.
Душистым растениям из семейств зонтичных, губоцветных и некоторым
другим посчастливилось больше. Мы имеем ряд исследований Шарабо (Cha-
rsbot) и его сотрудников: Рабак (F. Rabak), Биркеншток (A. Birckenstock),
Рур-Бертран (Rour-Bertrand); В. Н. Любименко и его сотрудников.
Эти работы позволяют сделать выводы общего характера. Выяснилось,
что различите органы растения (стебель, листья, корень, цветы) содержат
не, одинаковое количество эфирного масла. Многолетние растения
отличаются содержанием масла. С повышением возраста растения увеличивается
содержание эфирного масла в листьях. Количество эфирного масла в разных
органах меняется в течение вегетационного периода. Для листьев
наблюдается увеличение масла к периоду цветения и затем, после цветения, —
уменьшение.
Дня выяснения качественных изменений в составе масла ценными
являются исследования Шарабо и его сотрудников. Вышеупомянутые
исследователи констатировали, что прежде всего образуются спирты. Этерификация
спиртов происходит позднее. Из спиртов отнятием элементов воды
происходят углеводороды. Ададегнды и катоны образуются окислением спиртов.
Для хвойных, как мы уже упоминали, сведений об условиях образования
эфирных масел и их превращения имеется весьма мало.
*) Жури. Русск. физ.-хим. о-ва при Ленингр. ун-те. Часть хин. — 1924. — Т. 55 (1^4). —
С. 175-Ш. {Совм. с Г. В. Пигулевским и В. В. Владимировой.)

430
ПРИЛОЖЕНИЯ
Отметим данные, полученные Умни (Umney) и лабораторией. Умни
определял выход масла Pinus silvestris в июне и декабре месяце. Масло
выделялось из побегов (хвоя не отделялась от веточек). В июне месяце выход
получился 0,5%, в декабре — 0,13%.
При повторении этих опытов лабораторией Шиммеля0 были получены в
июле месяце 0,55%, в декабре — 0,45%, Результаты, Мы видим, довольно
противоречивые.
Умни была сделана попытка качественно исследовать июньское и
декабрьское масло. Состав масла в июне и декабре месяцах был следующий2*:
40%
Фракция . . . .
— и — . . . .
— и— . . . .
— II — . . . .
— и — . . . .
-и- ....
. . . 157°-167°
167е-177°
177°-187°
. . . 187е-197°
. . . 197е-240°
. . . 240°-242°
Июнь
27 ^55%
20.
3
7
6
29
Декабрь
1
24 >
J
6
7
4
37
Эти данные говорят о некотором преобладании в июне месяце низкоки-
пящих фракций.
К сожалению, все эти результаты не позволяют делать определенные
выводы, так как метод работы неточный. Автор получал масло из побегов
(смеси хвои и веток) разного возраста. Материал, следовательно,
физиологически неоднородный.
Такими же коренными дефектами обладает и работа Трегера и Бейтина3).
Названные исследователи, пользуясь *ем, что Бертрам и Вальбаум4)
изучили масло Pinus silvestris, полученное в декабре месяце, решили выделить
эфирное м(асло из весенних побегов Pinus silvestris и сравнить его состав с
декабрьским маслом.
Согласно наблюдениям Бертрама и Вальбаума, сосковое масло
обладает следующим составом: d-пинен, d-сильвестрен, кадинен и 3,5% эфира
(возможен борнилацетат).
Трегер и Бейтин не обнаружили в весеннем масле сильвестрена и
кадинена, они констатировали пинен, 9,3% свободного алкоголя и 3,2% эфира.
Метод, которым пользовались Трегер и Бейтин для обнаружения
указанных соединений, основывался на получении нитрозохлоридпинена, нитро-
ламинпинена и дихлоргидрата кадинена. Для обнаружения сильвестрена
!> Pharmaceutical Journ. —1895. — V. 55, № 161. — P. 542.
2>Schimmel. — Bericht. II. 1896. 76 S.
3> Arch. Pharmazie. —1904. — Bd. 242. — S. 521.
4) Arch. Pharmazie. —Bd. 231. —S. 300.

ПРИЛОЖЕНИЯ
431
пользовались качественной реакцией: действие серной кислоты на уксусно-
ангидридный раствор масла.
Омыление масла и его ацетилирование позволяло определить количество
свободного и связанного алкоголя (расчет производился на ацетат борнео-
ла —С10Н17ОСОСН3).
На основании полученных данных авторы делали заключение, что кади-
нен и сильвестрен образуются в более позднюю стадию развития из
спиртов, которые существуют в масле.
Относительно кадинена, как мы далее увидим, их предположения в нашем
исследовании не подтвердились (по крайней мере для Pinus cembra).
Все же мы думаем, что при той постановке опыта, какую мы наблюдаем у
вышеупомянутых исследователей (отсутствие физиологически однородного
материала), делать какие-либо определенные выводы — преждевременно.
Приступая к исследованию процесса образования эфирных масел у
хвойных, мы старались избегнуть ошибок предыдущих исследователей,
стремились провести опыты с физиологически однородным материалом во вполне
тождественных условиях.
В этой работе нам приходилось пользоваться советами А. Ф. Петрушев-
ской, которой выражаем свою искреннюю благодарность.
Наши наблюдения велись над сибирским кедром, Pinus cembra, в имении
Александрия (Новый Петергоф).
Некоторые указания, как надо ставить опыт, были даны в статье
Г. В. Пигулевского «Черты, характеризующие процесс образования
эфирного масла у Pinus cembra>5). В этой работе было констатировано различие
в содержании масла у рааных экземпляров кедровой сосны. Тогда же
было высказано предположение, что возраст деревьев и освещение могут быть
факторами, влияющими на накопление масла в хвое. Изучение
качественного состава масла хвои у отдельных индивидуумов дало вполне определенную
картину,
Масла содержат пинен и кадинен в различных процентных
соотношениях. Благодаря разной оптической деятельности пинена (+38,86°) и кадинена
(-69,40°) вращение масел, полученных с различных деревьев, колеблется
в широких пределах: от -0,88е до +22,96 . Однако не удалось найти
объяснение разнообразию в качественном составе масла.
Все вышеуказанные наблюдения послужили для нас опорными пунктами
для постановки опытов, касающихся образования и превращения эфирного
масла у сибирского кедра.
Считаясь с большими колебаниями в выходе и в составе масла, мы
принуждены были проводить всю серию наблюдений в течение вегетационного
периода на одном дереве.
Только в таком случае мы могли до некоторой степени создать
однородные условия опыта. За два года изучения у нас получился ряд таких серий
наблюдений. Нам, конечно, пришлось считаться с возрастом хвои. Молодые
иглы тщательно отделялись от одногодичных игл, одногодичные отделялись
от двухгодичных. Первый вопрос, который мы хотели выяснить, касался
условия накопления эфирного масла. Нам желательно было проследить все
этапы накопления эфирного масла, выяснить, в каком отношении это
накопление масЛа находится к росту хвои.
Другой вопрос, затронутый нами, непосредственно связан с первым:
происходит ли в течение вегетационного периода одновременно с образованием
5> Журн. Русск. хим. о-ва. —1922. —Т. 54. — С. 260.

432
ПРИЛОЖЕНИЯ
масла качественное его изменение; если это наблюдается, то в каком
направлении.
Для того чтобы ответить на первый вопрос, нужно проследить развитие
хвои с момента распускания почек до прекращения ассимиляционной
деятельности. Такие наблюдения нами были проведены в течение весны и лета
1922 года.
Для этой цели периодически через неделю анализировались молодые
побеги сибирского кедра: определялся вес свежих игл и вес высушенных.
Каждый раз подвергались анализу четыре веточки. Веточки брались с
одного и того же дерева. Первые наблюдения были сделаны 9 июня.
Ниже мы приводим полученные результаты.
Время взятия пробы
9 июня 1922 г.
18 июня 1922 г.
27 июня 1922 г.
4 июля 1922 г.
12 июля 1922 г.
22 июля 1922 г.
11 августа 1922 г.
21 августа 1922 г.
31 августа 1922 г.
9 сентября 1922 г.
3 октяюря 1922 г.
Вес ста
свежих игл
1,2980
1,7923
1,7685
1,6577
2,5715
2,6530
2,2189
2,7540
2,8700
2,8761
2,6570
2,8831
3,7800
4,3375
3,8002
3,7841
4,5305
4,7608
4,8424
4,5440
3,6494
4,4520
3,2274
4,1245
5,0746
4,9355
4,5575
4,3645
3,9530
4,4769
3,9289
3,8818
5,0198
5,1159
4,5035
4,2572
2,8755
3,6354
3,5313
Среднее
1,54
1,71
2,55
2,81
3,92
4,67
3,86
4,73
4,05
4,63
3,57
Вес ста
абсолютно
сухих игл
0,3515
0,3866
0,6012
0,3809
0,6215
0,5690
0,5596
0,6469
0,7032
0,7678
0,7203
0,6023
1,0261
1,1216
1,0520
1,0869
—
1,7458
1,4100
1,6702
1,4138
1,6475
1,1643
1,6097
1,5832
1,6097
1,5328
1,4450
1,3415
1,5004
1,2952
1,3288
1,7394
1,8349
1,6223
1,5920
1,1772
1,3929
1,3508
Среднее
0,34
0,49
0,60
0,70
1,07
1,61
1,46
1,54
1,35
1,63
1,38
Содержание
сухого
веса в %
27,0
21,0
33,9
23,0
24,2
21,4
25,2
23,5
24,5
26,7
27,0
20,9
27,1
25,86
27,9
28,7
—
36,6
29,1
36,7
38,7
37,1
36,1
39,0
31,1
32,6
33,6
33,1
33,9
33,5
33,1
34,2
34,6
35,8
36,0
37,4
40,9
38,3
38,2
Среднее
24,3 1
28,5
23,6
24,8
27,3
34,1
37,7
32,6
33,2
35,2
38,7
Просматривая эту таблицу, мы видим, что между 12 и 22 июля прирост
сырой массы достигает максимума. Около 22 июля замедляется и накопле-

ПРИЛОЖЕНИЯ
433
ние сухого вещества. Таким образом, наиболее интенсивное развитие хвои
происходит в период между 20 мая и 22 июля. Метеорологические данные6)
в этот период времени следующие: за май месяц сумма температур 304,5°,
осадков 64,3 мм; за июнь месяц сумма температур 447,3°, осадков /6,7 мм;
за июль месяц сумма температур 531°, осадков 17,1 мм.
Результаты, полученные нами относительно развития хвои, говорят, в
общем, об интенсивном росте в течение первого вегетационного периода.
В этом смысле наши наблюдения находятся в согласии с исследованиями
Мейснера7), которые устанавливают отсутствие многолетнего нарастания
хвои в длину. Интересно теперь сопоставить с приростом сухого вещества
накопление эфирного масла.
В этом направлении нами были поставлены опыты с тремя деревьями. К
описанию этих наблюдений мы и перейдем8).
Опыт 1. Сосна номер № 27.
Время
взятия пробы
29 июня 1922 г.
41-
9 августа 1922 г.
41-
2 октября 1922 г.
-II-
Навеска
342 г
318 г
311 г
334 г
216 г
187 г

Содержание
воды
в %
73,1
73,1
61,7
61,8
66,8
66,8
Продолж.
гонки
2 ч. 05 м.
2 ч. 10 м.
2 ч. 25 м.
2 ч. 30 м.
2 ч. 05 м.
2 ч. 30 м.
Выход
масла
В куб. В г
см
0,55 0,48
1,10 0,96
2,2 1,92
2,4 2,10
1,6 1,40
1,4 1,22
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,14
0,30
0,62
0,63
0,65
0,65
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
0,52
1,12
1,62
1,64
1,%
1,96
Эти наблюдения говорят, что в то время как прирост сухого вещества
замедлился (около 22 июля) и, следовательно, рост хвои достиг максимума,
накопление эфирного масла продолжается вплоть до конца сентября.
Эти взаимные отношения представлены в виде кривых на диаграмме.
Изучая накопление эфирного масла по мере развития молодых игл, мы
одновременно определяли содержание эфирного масла у годичных игл. Нам
было желательно выяснить, вдет ли накопление эфирного масла в
следующие годы.
6) Метеорологические сведения были любезно предоставлены в наше распоряжение
Метеорологическим отделением Петергофского Естественно-научного института. Пользуемся
случаем выразить благодарность заведующему Отделением Сперанскому.
7) Studien uber der mehrjahrigen Wachsen der Kiefernadeln Botanische Zeitung. 1894.
8) При определении выхода масла удельный вес масла принимался D}5,5 = 0,8739.

434
ПРИЛОЖЕНИЯ
Время
взятия пробы
30 июня 1922 г.
41-
9 августа 1922 г.
| -II-
2 октября 1922 г.
-II-
Навеска
315 г
297 г
286 г
269 г
201 г
212 г

Содержание
воды
в %
58,58
58,58
60,97
60,97
65,2
65,2
Продолж.
гонки
3 ч. 00 м.
2 ч. 40 м.
3 ч. 20 м.
3 ч. 10 м.
2 ч. 05 м.
2 ч. 00 м.
Выход
масла
В куб. В г
см
3,25 2,84
3,5 3,06
2,6 2,27
2,4 2,10
1,4 1,22
1,4 1,22
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,90
1,03
0,79
0,78
0,61
0,58
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
2,17
2,49
2,02
2,00
1,75
1,67
Цифры этой таблицы не дают оснований предполагать дальнейшее
увеличение эфирного масла. Скорее они говорят в пользу уменьшения с течением
времени эфирного масла.
Опыт 2. Сосна номер № 20.
Наблюдения над сосной, зарегистрированной у нас номером двадцатым,
производились в течение вегетационного периода 1921 года. По сравнению
с предыдущим захвачен более ранний период. В метеорологическом
отношении май — июнь месяцы 1921 года были более жаркими: сумма температур
за май месяц 459°, осадков 60,8 мм; за июнь месяц сумма температур 466,1 ,
осадков 81,7 мм. Всего за май и июнь месяц 925,1°, осадков 141,/ мм. В
1922 году за это же время сумма температур 751,8°, осадков 141 мм.
Следовательно, в 1921 году мы можем ожидать несколько более раннего
развития хвои.
Время
взятия пробы
12 июня 1921 г.
41-
19 июня 1921 г.
20 июня 1921 г.
Навеска
222 г
223 г
210 г
250 г

Содержание
воды
в %
76,44
76,44
73,0
73,0
Продолж.
гонки
2 ч. 20 м.
2 ч. 20 м.
—
2 ч. 00 м.
Выход
масла
В куб. В г
см
0,2 0,17
0,77 0,67
0,46 0,40
0,57 0,50
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,08
0,30
0,19
0,20
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
0,34
1,27
0,70
0,74

ПРИЛОЖЕНИЯ
435
Время
взятия пробы
20 июня 1921 г.
22 августа 1921 г.
-II-
Навеска
270 г
573 г
504 г

Содержание
воды
в %
73,0
66,0
66,0
Продолж.
гонки
2 ч. 15 м.
4 ч. 00 м.
—
Выход
масла
В куб. В г
см
0,99 0,86
5,4 4,72
4,54 3,97
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,32
0,84
0,79
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
1,19
2,47
2,32
Результаты, мы видим, получились аналогично предыдущему. В августе
месяце содержание эфирного масла у молодых игл достигает максимума.
Определение содержания эфирного масла у годичных и двухгодичных игл
не показывает дальнейшего увеличения эфирного масла; наблюдается даже
некоторое уменьшение в содержании масла.
Время
взятия пробы
22 августа 1921 г.
23 августа 1921 г.
| 19 июня 1921 г.
Возраст
игл
Молодые
Одногодичные
Двухгодичные
Навеска
—
738 г
210 г

Содержание
воды
в %
—
54,02
73,0
Выход
масла
В куб. В г
см
— —
6,75 5,90
0,46 0,40
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,81
0,80
0,71
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
2,38
1,74
—
Опыт 3. Дерево номер № 21.
Опыт был поставлен летом 1921 и 1922 года. Дерево по сравнению с
предыдущими производило впечатление угнетенного.
Время
взятия пробы
13 июня 1921 г.
26 июня 1921 г.
27 июня 1921 г.
Навеска
449 г
468 г
511 г

Содержание
воды
в %
77,0
72,7
72,7
Продолж.
гонки
1 ч. 20 м.
2 ч. 10 м.
1ч 20 мин
Выход
масла
В куб. В г
см
0,52 0,45
0,73 0,64
1,06 0,93
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,10
0,14
0,18
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
0,30
0,51
0,35

436
ПРИЛОЖЕНИЯ
Время
взятия пробы
5 июля 1922 г.
-II-
15 августа 1922 г.
-II-
Навеска
297 г
299 г
493 г
609

Содержание
воды
в %
68,2
—
62,8
62,8
Продолж.
гонки
2 ч. 20 м.
2 ч 30 мин
3 ч 00 мин
2 ч 30 мин
Выход
масла
В куб. В г
см
0,35 0,31
0,45 0,39
3,00 2,62
3,60 3,15
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
0,10
0,13
0,53
0,52
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
0,31
0,41
1,42
1,40
Для этого опыта характерно небольшое содержание эфирного масла,
достигающее максимума в августе месяце.
Опыт 4. Дерево номер № 23.
Наблюдения производились летом 1921 года.
Задачею этого опыта было выяснить — происходит ли накопление
эфирного масла у игл одногодичных и двухгодичных.
Время
взятия пробы
26 августа 1922 г.
27 августа 1922 г.
28 августа 1922 г.
-II-
Возраст
игл
Молодые
Одногодичные
Двухгодичные
-и-
Навеска
—
303 г
522 г
575 г

Содержание
воды
в %
66
54
—
—
Выход
масла
В куб. В г
см
— —
3,32 2,9
7,2 6,3
7,6 6,6
Выход
масла
в % на
сырое

вещество
1,16
0,%
1,21
1,11
Выход
масла
в % на
сухое

вещество
2,90
2,09
—
—
Выход масла на свежий материал остается одинаковым независимо от
возраста игл. При перечислении на сухое вещество замечается некоторое
уменьшение в содержании эфирного масла. Для двухгодичных игл, к
сожалению, нет данных для содержания воды. Надо предполагать уменьшение
воды с возрастом хвои. В таком случае содержание эфирного масла у
двухгодичных игл будет уменьшаться при перечислении на сухое вещество.
На основании вышеизложенного мы приходим к заключению, что
процессу интенсивного накопления эфирного масла предшествует процесс
накопления сухого вещества.

ПРИЛОЖЕНИЯ
437
Следующий вопрос, разработанный нами, касается изменений, которые
претерпевают эфирные масла в течение жизни хвои.
В состав эфирного масла зрелой хвои кедровой сосны, согласно
исследованиям Флавицкого (1894 г.) и Пигулевского9\ входят углеводороды
пинен— С!0Н!6 и кадинен — С15Н24. Являлось желательным проследить в
связи с накоплением эфирного масла изменение в его составе.
Метод, которым мы пользовались в данной работе, был разработан одним
из нас10). Он основывался на различной вращательной способности пинена
и кадинена: в то время как пинен вращает плоскость поляризации вправо
(ad = +33,86°), кадинен — влево (ctd = -69,40°). Следовательно, смесь их
будет иметь знак вращения, зависящий от процентного состава
углеводородов ее составляющих. С увеличением содержания пинена будет
увеличиваться вращение эфирного масла.
Таким образом, зная вращение масла, мы можем предугадать его состав.
Одно из затруднений, с которым приходится сталкиваться, — трудность
получения однородного материала.
Каждый раз, когда мы хотим сравнить между собой качество масла
молодых игл, одногодичных и двухгодичных, нам необходимо исходить из одного
и того же сбора материала. В противном случае, если бы мы с этим не
считались и пользовались иглами различных годов, взятых из различных проб,
у нас может быть несравнимый материал.
Нам надо считаться с тем, что не только каждое дерево
индивидуально в накоплении масла, но и каждая ветвь дерева, до некоторой степени,
автономна в процессе накопления и превращения эфирного масла.
Перейдем теперь к изложению полученных результатов.
Опыт 5. Дерево номер № 1.
Время сбора
материала
19 авг. 1920 г.
17 сент. 1920 г.
11 июля 1921 г.
41-
-II-
Возраст
игл
Смесь игл
рази. возр.
-II-
Молод, иглы
-II-
Одногод.
Выход
масла
иа 100 г
св. матер.
в куб. см.
1,10
0,87
0,%
0,67
0,80
0,59
0,79
«с
+13,14°
+10,98°
+3,60°
+5,80°
+6,48°
<*d
+15,64°
+12,92°
+3,24°
+5,96°
+7,00°
«е
+18,44°
+14,56°
+1,68°
+5,28°
+6,64°
af
+20,18°
+15,60°
-1,04°
+3,40°
+5,08°
t°
12,5°
11,9°
20,3°
20,3°
20,5°
9) Исследования химического состава эфирного масла из хвои сибирского кедра.
10> Журн, Русск. хим. о-ва. —1922. — Т. 54. — С 260.

438
ПРИЛОЖЕНИЯ
В эту таблицу вошли данные 1920 и 1921 года. Масло, полученное из
молодых игл, обладает меньшим вращением, нежели масло из одногодичных
игл, и, следовательно, большим содержанием кадинена. Надо заметить, что
в июле месяце уже прекращается прирост сухого вещества и заканчивается
ранняя стадия накопления эфирного масла.
Опыт 6. Дерево номер № 23.
Время сбора
материала
26 авг. 1921 г.
29 авг. 1921 г.
29 авг. 1921 г.
Возраст
игл

Одногодичные

Двухгодичные
-и-
Выход
масла
на 100 г
св. матер.
в куб. см.
1,08
1,24
1,18
"с
+7,04°
+14,88°
+15,04°
<*d
+7,52°
+18,04°
+18,04°
<*е
+7,36°
+21,60°
+21,84°
af
+5,76°
+24,04°
+24,40°
*°
15,8°
15,8°
15,8°
Мы видим, что масло игл двухгодичных обладает более значительным
правым вращением по сравнению с маслом из одногодичных игл.
Следовательно, мы можем отсюда заключить, что в масле старых игл находится
больше пинена, нежели в масле молодых игл. Таким образом, процесс
качественного изменения масла сводится к исчезновению кадинена и
увеличению содержания в масле пинена.
Опыт 7. Дерево номер № 13.
Время сбора
материала
23 июля 1921 г.
23—1|—1921 г.
25—11—1921 г.
25—11—1921 г.
Возраст
игл
Молодые
—

Одногодичные
—
Выход
масла
на 100 г
св. матер.
в куб. см.
1.17
1.14
0,97
1,13
«с
+5,20°
+2,72°
+9,00°
+7,16°
<*d
+5,40°
+1,88°
+10,32°
+7,64°
«е
+5,20°
-0,60°
+10,92°
+7,36°
af
+3,00°
+4,20°
+10,32°
+6,04°
*°
21°
21°
21°
21°
В этом опыте мы' также наблюдаем в масле старых игл более правое
вращение и, следовательно, большее содержание пинена.

ПРИЛОЖЕНИЯ
439
Опыт 8. Дерево номер № 20.
Время сбора
1 материала
22 авг. 1921 г.
22 —|| 1|—
23 —|| 1|—
25 —|| 1|—
Возраст
игл
Молодые
иглы
-II-

Одногодичные
Двух
годичны
Выход
масла
на 100 г
св. матер.
в куб. см.
0,96
0,90
0,91
1,81
«с
+7,60°
+8,16°
+13,32°
+15,68°
<*d
+8,16°
+9,08°
+15,80°
+19,20°
«е
+8,04°
+9,12°
+18,36°
+23,08°
af
+6,36°
+7,98°
+19,56°
+25,72°
t°
19,3°
19,3°
15,8°
15,8°
Этот опыт дает также убедительные результаты для подтверждения
нашей мысли об изменении состава эфирного масла с течением времени в
сторону обогащения его пиненом.
Таким образом, на основании ряда опытов мы можем с определенностью
утверждать, что масло сибирского кедра претерпевает изменения в течение
жизни иглы. В начале вегетационного периода идет образование
углеводорода кадинеиа С15Н24 и пинена С10Н16, с течением времени количество
кадинена уменьшается и увеличивается содержание пинена.
Полученные нами результаты расходятся с данными Трегера и Бейтина.
Как мы уже говорили, вышеупомянутые авторы предполагают образование
кадинена в более поздний период. Правда, Трегер и Бейтин вели
наблюдения над Pinus silvestris, но мы не думаем, чтобы была существенная разница
в направлении изменения состава масла.
Если мы, исследуя состав эфирного масла у игл разного возраста,
подметили определенную разницу, то не могли ли мы в пределах одной иглы
встретиться с тем же самым явлением?
В таком случае различные части иглы разного возраста производили бы
масло различного состава.
Нами в этом направлении были поставлены опыты.
Мы исходили из той мысли, что смоляные ходы, проходящие через всю
иглу, представляют капиллярные трубки, заполненные жидкостью, раствором
смоляных кислот в эфирном масле. В таких капиллярных трубках явление
диффузии будет слабо выражено.
Если смоляные ходы, отдельные их части, будут заполнены смолами
различного состава, у нас может быть надежда констатировать разницу в
составе эфирного масла, разрезая иглы пополам и получая масло из верхних
половинок и нижних половинок. С нашей точки зрения, верхние половинки
игл, как более старые части иглы, должны содержать масло более богатое
пиненом, чем нижние половинки игл. К описанию полученных результатов
мы и перейдем.

440 ПРИЛОЖЕНИЯ
Первые опыты были поставлены зимою 1920 года и весною 1921 года в
сотрудничестве одного из нас с Ю. Н. Ловягиным. Иглы не были
разделены по возрасту. Бралась смесь игл разного возраста, и иглы делились
пополам. Эфирное масло, полученное из верхних и нижних половинок игл
после высушивания над сернокислым натром, подвергалось изучению. Эти
опыты носили предварительный характер. Описав их, мы затем перейдем к
изложению наших наблюдений, произведенных в течение лета 1921 года.
Опыт 9.
№
с
о
с
н
ы
11
30
13
IS
3
14
Время
сбора
материала
25/XI 1920
41-
23/ХИ 1920
—II—
—II—
20/1 1921
н-
-""II"-"
13/IV 1921
_—Ц—
—II*—
13/V 1921
—II—
—II—
4/УГ 1921
—II—
~"~
Навеска
262 г верхи,
полов, игл
326 г нижи;
полов, игл
322 г верхи,
полов, игл
292 г нижн.
полов, игл
J271 г цельн.
игл
284 г верхи,
полов, игл
314^ г нижн.
полов, игл
343 г цельн.
игл
366 г верхи,
полов, игл
357 г нижн.
ПЪЛОВ. ИГЛ'
434 г цельн.
игл
279 г верхн.
полов, игл
244 г нижн.
пйлов. игл
387 г цельн,
игл
205 г верхи,
полов; игл
217 г нижн.
полов, игл
344' г цельн.
игл

Содержание
воды
в %
53,3
38,3
59,93
60
60
58,0
57,66
56,34
—
—
—
—
—
—
56,0
54,33
55,00
Выход
масла
в куб.
см.
4,45
3,47
3,35
2,80
1,63
1,35
2,50
3,38
2,09
1.1
3,25
1,50
1,3©
2,75
0,62
0,30
0,80*
Выход
масла
в куб.
см. на
100 г
св. матер.
1,7
1,06
1,04
0,96
0,60
0,47
0,80,
0,98
0,57
0,3
0,75
0,33
0,95
0,69
0,30
0,14
0,23
- -
<**
+9,24°
+5,04°
+3,36°
-9,36е
-3,52°
+10,24°
4-2,16°
+15,64*
+21,00°
+21,00°
+17,08°
+14,20°
+14,20*
+18,52°
*—
—~
а
*0
11,6°1
4°
9,2°
9,2°
9,2°
5°
5°
5°
14°
14°
14°
17,5°
17,5°
17,5°
—
—
U..4.J
Приведенные джше, хдг* они получат е швеуитвяг недостаточно
однородным (иглы были взяты разного возраста)» дают едиу и ту же картину:
везде в верхних половинках игл мы кояетагаруздг эфирное масло с вра-

ПРИЛОЖЕНИЯ
441
щением большим, нежели в масле нижних половинок игл, иначе говоря, в
масле из верхних половинок игл заключается больше пинена, чем в масле
из нижних половинок игл.
Летом 1921 года мы продолжили эти наблюдения. В серии летних
опытов мы пользовались материалом более однородным. Для опытов брались
молодые иглы и иглы одногодичные.
Опыт 10. Дерево номер № 31.
Время сбора
материала
26 июня 1921 г.
26 -|| 1|-
27 —|| 1|—
27 —|| 1|—
27 —|| 1|—
27 -|| 1|-
Возраст игл
Верхние половинки молодых игл
Нижн. —И— —И— —II—
Верхн. -||- Н|- -||-
Нижн. -||- -||- -||-
Верхние половинки одногодичных
игл
Нижн. половинки одногодичных
нгл
Навеска
в г
218
250
249
269
473
442

Содержание
воды
в %
72,7
72,7
72,7
72,7
63,4
58,7
Выход
масла
в куб.
см. на
св. мат.
0,65
0,08
0,43
0,63
1,71
1,26
Выход
масла
на 100 г
св. мат.
в куб.
см.
0,29
0,03
0,17
0,23
0,36
0,28
Вращение плоскости поляризации полученных масел:
Время сбора
материала
26 и 27 июня
-и-
27 июня
-и-
Возраст игл
Верхние половинки молодых игл
Нижн. -||- -||- -||-
Верхние половинки
одногодичных игл
Нижн. -||- -||- -||-
«с
-0,5°
-16,4°
+1,20°
-13,2°
<*d
-1,6°
-23,0°
+0,12°
-18,9°
<*е
-3,8°
-33,4°
-2,52°
-28,0°
af
-9,0°
-43,3°
-6,28°
-38,5°
<!
19,5^
19,5^
19,54
19,54
Этот опыт, произведенный в сравнительно ранний вегетационный период,
дал нам вполне определенные результаты: масла из верхних половинок игл
обладают хотя и левым вращением, но значительно меньшим, нежели масла

442
ПРИЛОЖЕНИЯ
из нижних половинок. Следовательно, здесь мы наблюдаем в верхних
половинках более значительное содержание пинена по сравнению с нижними
половинками.
Опыт 11. Дерево номер № 1.
Время сбора
материала
4 июля 1921 г.
-II-
Возраст игл
Верхние половинки молодых игл
Нижн. -||- -||- -||-
Навеска
в г
508
490

Содержание
воды
в %
72
72
Выход
масла
в куб.
см. на
св. мат.
4,40
3,2
Выход
масла
на 100 г
св. мат.
в куб.
см.
0,87
0,65
Вращение плоскости поляризации:
| Верхние половинки
Нижнние половинки
"с
+10,36°
-1,76°
<*d
+12,28°
-4,04°
<*е
+13,88°
-8,16°
а/
+ 14,08°
-13,68°
~*ч
20,3°
20,3°
Этот опыт также подтверждает наши взгляды.
Опыт 12. Дерево номер № 23.
Время сбора
материала
26 авг. 1921 г.
26-11- -||-
26-Ц- -||-
126 —1|— -||-
27-Ц- -||-
27-Ц- -||-
Возраст игл
Верхние половинки молодых игл
Нижн. -||- -||- -||-
Верхн. -||- -||- -||-
Нижн. -||- -||- -||-
Верхние половинки
одногодичных игл
Нижн. половинки одногодичных
одногодичных игл
Навеска
в г
485
487
405
411
520
497

Содержание
воды
в %
66
66
66
66
54
54
Выход
масла
в куб.
см. на
св. мат.
6,05
6,95
4,85
5,90
6,10
6,75
Выход
масла
на 100 г
св. мат.
в куб.
см.
1,25
1,43
1,20
1,44
1,17
1,33

ПРИЛОЖЕНИЯ
443
Вращение плоскости поляризации полученных масел:
Верхние половинки молодых игл
-и—и—и—II-
Нижн. -|| 1| 1|-
-II II II II-
Верхние половинки одногодичных
игл
Нижн. половинки одногодичных
игл
Выход
масла
1,25
1,20
1,43
1,44
1,17
1,36
«с
+10,04°
+10,32°
+0,80°
-0,08°
+12,28°
+8,44°
<*d
+11,56°
+11,88°
-0,60°
-1,88°
+14,60°
+9,48°
«в
+12,80°
+13,12°
-3,84°
-5,56°
+16,92°
+10,04°
af
+12,76°
+13,44°
-6,44°
-10,64°
+18,20°
+9,52°
t°
+18,4°
+18,4°
+18,4°
+18,4°
+18,8°
+18,8°
Вышеописанный опыт был произведен с большою тщательностью: были
взяты довольно большие навески, для молодых игл сделаны контрольные
определения. Как для молодых, так и для одногодичных игл нижних
половинок получилось больше масла, чем из верхних половинок.
Вращение плоскости поляризации масел из верхних половинок больше
вращения масел из нижних половинок. Следовательно, в верхних
половинках заключается масло с большим содержанием пинена, нежели в нижних
половинках. Таким образом, мы имеем в тщательно поставленном опыте
хорошее подтверждение нашей мысли о превращениях, которые претерпевает
эфирное масло в смоляных ходах иглы.
Исследование превращения, которое претерпевает эфирное масло,
накопляющееся в смоляных ходах иглы, приводит нас к твердо установленному
факту появления на ранних стадиях развития иглы кадинена,
принадлежащего к классу сесквитерпенов состава С15Н24. В продолжение жизни иглы
количество его уменьшается, увеличивается содержание пинена.
Естественно возникает вопрос: куда же девается кадинен, какова его
судьба? Нам кажется, что здесь можно дать различные ответы на поставленный
вопрос.
Первое предположение. Кадинен превращается в пинен
углеводород— С!0Н!6. Это предположение, думается, неправдоподобно. Надо в
этом случае предположить разрушение частицы кадинена и затем синтез
из разложенных элементов пинена.
Второе предположение. Кадинен, претерпевая изменения,
превращается в составную часть смол (смоляной кислоты, резинолы и т. д.).
Благодаря этому эфирное масло обогащается пиненом.
Третье предположение. Кадинен образуется на ранних стадиях
развития иглы, в более позднюю стадию образуется пинен.
Нам кажется, что третье предположение опровергается тем, что процесс
изменения масла наблюдается во второй и третий год жизни иглы, когда
уже не приходится говорить о накоплении эфирного масла. В таком случае,
остается второе предположение — что кадинен, окисляясь, превращается в
составную часть смол.

444
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таким образом, мы вплотную сталкиваемся с вопросом о
взаимоотношении эфирных масел и смол (главным образом, смоляных кислот и их
эфиров).
Этому вопросу мы предполагаем посвятить специальное исследование.
Заключение
Отметим главнейшие выводы нашей работы.
С момента распускания почек идет процесс накопления эфирного масла.
Максимальное накопление происходит в период, когда прекращается
прирост сухого вещества и рост хвои замедляется. Во второй и третий год
жизни хвои не происходит увеличения содержания эфирного масла. Наоборот,
наблюдается уменьшение его.
С момента образования эфирного масла идет процесс качественного
изменения его состава. Состав масла изменяется в сторону исчезновения
углеводорода — кадинена С15Н24 и увеличения содержания пинена — С10Н16.
Тот же процесс качественного изменения масла происходит в пределах
одной иглы. Различные части иглы разного возраста дают эфирное масло
качественно различное.
Исчезновение кадинена с течением времени может быть объяснено его
превращением в составные элементы смол (смоляные кислоты, их эфи-
ры и т. д.).
Поступило 18 июля 1923 г.

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЙ ПО ПОВОДУ
ОДНОГО ДОКЛАДА А. А. МАРКОВА НА 2-М
ВСЕСОЮЗНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ СЪЕЗДЕ*)1)2)
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов
В своем докладе («О теории стационарных колебательных процессов акад.
Н. М. Крылова и д-ра Н. Н. Боголюбова»), имевшем место на 2-м
Всесоюзном математическом съезде в наше отсутствие (мы узнали об этом докладе
лишь после окончания Съезда), А. А. Марков выступил с критикой против
нашей теории стационарных колебаний, изложенной в § 1 нашей моногра-
?>ии «Исследование продольной устойчивости аэропланов» (М.: Авиаиздат,
932), пытаясь доказать ее „ошибочность" и неприменимость к
практическим приложениям.
Ввиду произвольности, с которой А. А. Марков толкует полученные там
результаты, скажем предварительно несколько слов о содержании
критикуемого параграфа. В нем были изложены наши самые ранние
исследования в области теории стационарных колебательных процессов, где мы
поставили себе целью распространить известные в астрономии методы
типа Линдштедта (Lindstedt) на неканонические системы дифференциальных
уравнений вида
О) ^ + йл—/.(* *;&••..*) <—1....,»).
Из рассуждений, деталированных на стр. 9-20 нашей вышеупомянутой
монографии, вытекает, что если числа Ах,..., Ап удовлетворяют уравнениям
2* 2*
(2) j... |д (A, sin £„..., Ав sin £п;
A, w, cos £„..., Апшп cos £n sin £t)d£,'... d£n = 0
и если якобиан левых частей этих уравнений по А,,..., А„ отличен от нуля,
то система дифференциальных уравнений (1) имеет решение вида
(3) q. = Q,(u>lt,...,u>nt,e),
*) В кн.: Труды Н Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. Л. — М.:
Изд-во АН СССР, 1936. С. 247-249.
') Добавление к протоколу заседания 27 июня 1934 г.
2) [От редакции иТрудов».] Акад. Н. М. Крылов и д-р Н. Н. Боголюбов не получили
Бюллетеня Съезда и не были, таким образом, извещены о докладе проф. А. А. Маркова,
о котором они узнали лишь после окончания Съезда. Ввиду этого редакция «Трудов» в
составе В. И. Смирнова, Б. И. Сегала и В. Д. Купрадзе, по указанию Президиума Всесоюзной
математической Ассоциации, сочла возможным, не входя в обсуждение возникшей полемики
по существу, предоставить страницы «Трудов» для ответа акад. Н. М. Крылова и д-ра
Н. Н. Боголюбова, а также напечатать письмо в редакцию проф. А. А. Маркова по поводу
этого ответа.

446
ПРИЛОЖЕНИЯ
где ш8(е) и <2e(f i> • • •> fn» е)> ПРИ достаточно малых е, представляются
степенными рядами
(4) Q.Ui,-^n^)=i^Q^uu...,U; ч(0=ЁеЧ".
»/=0 i/ = 0
где ш$и) — постоянные, a Qe(l/)(f i> • • •> fn) будут выражениями вида
(5) (#">(*„ &, • •., U = £ • • • Е4?..,^'(*,+,л+-+,л)-
Далее на стр. 21 той же монографии мы заметили, что если правые
части уравнений (1) не зависят от производных ^-, то общее решение этих
уравнений будет стационарным колебательным (в первом приближении,
разумеется).
Именно эти два утверждения и являются предметом критики со стороны
А. А. Маркова.
Нетрудно, однако, убедиться, что вся эта критика основана по существу
либо на простом недоразумении, либо на непонимании.
Дело в том — и это совершенно ясно, — что поскольку мы совершенно
не рассматривали в нашей монографии вопросов сходимости разложений
(4), (5), то решения, о которых идет речь в вышеприведенных двух
утверждениях, явятся не точными, а так называемыми формальными решениями,
которые, как об этом будет речь дальше, вполне пригодны для целей
приближенных вычислений, при достаточно малых значениях е.
Однако А. А. Марков, отмечая отсутствие доказательств сходимости и
тем самым как будто имея ясное представление о том, что в критикуемой
им работе дело идет о формальных решениях, тем не менее в своей
аргументации оперирует с этими решениями как с точными.
Это обстоятельство и является причиной тех противоречий, к которым
пришел А. А. Марков и которые он приписывает „ошибочности" нашей
теории.
В своем первом примере на частном случае системы уравнений
4 , *2 l-gf dqs ( л оч
^ + "»9» = g(i+g?)(iW)^ (s = 1'2)
А. А. Марков показал, что разложение (5)
о,'"«,.^=£Е^.>"''"г":',(о^-"-"-^'
\zx = ±(2n + 1), *2 = ±2n; n = 1,2,...],
содержащее «малые делители», оказывается расходящимся для значений
отношения а = ^Ц лежащих в некотором повсюду плотном множестве.
По этому поводу надлежит заметить, что существование повсюду
плотного множества точек расходимости является характерным свойством целого
ряда методов небесной механики, например метода Линдштедта.
Любопытно отметить, что уже в конце прошлого столетия, в томе III «Les methodes

ПРИЛОЖЕНИЯ
447
nouvelles de la mecanique celeste», Пуанкаре показывает, что возражения
против метода Линдштедта (а тем самым и против изложенного в нашей
монографии метода, являющегося, как выше было сказано,
распространением методов Линдштедта на неканонические системы), основанные на факте
существования повсюду плотного множества точек расходимости, не имеют
никакого значения для вопроса о практической пригодности метода. Дело в
том, что упомянутое множество точек расходимости (и неабсрлютной
сходимости) имеет меру нуль, и потому так как числа w{, ш2, определяемые из
опыта, всегда известны лишь с некоторым приближением, то в пределах
допустимой погрешности всегда можно ши ш2 выбрать таким образом, чтобы
для отношения а = шх/ш2 рассматриваемый ряд абсолютно и равномерно
сходился.
Кроме того, на практике разложения (5) мы всегда можем считать
состоящими из конечного числа членов.
Что же касается второго примера А. А. Маркова, то тут дело основано
уже на явной ошибке критика, ибо А. А. Марков применил для
исследования резонанса специфически нерезонансный метод (малых делителей) и,
естественно, пришел к противоречию.
В нашем ответе на доклад А. А. Маркова, помещенном в нашей
монографии «Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных
колебаний» (Киев: Изд-во ВУАН, 1934), мы показали, что при
использовании в его примере нашего «резонансного» метода уже первое приближение
дает наглядное представление о характере решения. Заметим мимоходом,
что тут были даны, вместе со строгими математическими доказательствами,
подробные формулировки теорем, деталировать которые было неуместно, по
нашему мнению, в критикуемой монографии.
Вообще, надо сказать, что все возражения А. А. Маркова указывают лишь
на тот совершенно ясный и, можно сказать, даже тривиальный факт, что
решения, бывшие предметом нашего рассмотрения в монографии «О
продольной устойчивости аэропланов», являлись не точными, а формальными
решениями, имеющими определенные границы применимости.
Разумеется, для строгого математического исследования рассмотрение
формальных решений может играть роль лишь эвристического метода. На
практике же, для целей приближенного анализа, формальные решения
могут быть использованы в значительно более широком масштабе. Так, уже
начиная с прошлого столетия, формальными решениями, построенными для
канонических систем теории возмущений, широко пользуются в
астрономии, причем полученные результаты обладают столь исключительною
точностью, которая по справедливости вошла в поговорку об «астрономической
точности». Равным образом теория возмущений в современной квантовой
механике также по существу основана на рассмотрении формальных
решений, что совершенно не мешает ей быть одним из самых мощных орудий
современной физики.
Таким образом, допустимость применения формальных решений для
приближенных вычислений в вопросах техники не может быть подвергнута
сомнению, и во всяком случае теория, основанная на их анализе, ни в коем
случае не может быть квалифицирована как „ошибочная".
Только что сказанное относительно важной роли формальных решений в
прикладной математике никоим образом, однако, не может рассматриваться
как устраняющее необходимость строгого математического исследования
характера точных решений.

448
ПРИЛОЖЕНИЯ
Вопросы существования квазипериодических решений, несомненно,
являются особо актуальными для математической теории, и мы в своих
исследованиях, упоминания о которых А. А. Марков берет в кавычки,
устанавливаем существование квазипериодических решений для целого
класса весьма важных в приложениях нелинейных дифференциальных
уравнений.
В этих наших исследованиях в области дифференциальных уравнений
нелинейной механики мы стали на совершенно новую точку зрения, связав
доказательства существования с приближенными методами решения,
причем стремились создать приемы, позволяющие установить определенное
соответствие между свойствами квазипериодичности точных и приближенных
(формальных) решений.
Особо важное значение в нашем анализе играют известные теоремы
Пуанкаре о характеристиках на поверхности тора, блестяще дополненные в
1932 г. современным французским математиком Данжуа.
Именно это дополнение и дало нам возможность упростить наши
доказательства, а тем самым и ускорить опубликование наших исследований о
квазипериодических решениях, о которых мы упоминали в наших
предыдущих работах, посвященных формальным решениям.
Выше цитированная монография «Приложение методов нелинейной
механики к теории стационарных колебаний», в которой опубликованы наши
исследования строго математического характера о квазипериодических
решениях, и является по существу прямым ответом на ту критику, которая
была представлена А. А. Марковым вниманию 2-го Всесоюзного
математического съезда.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ «ТРУДОВ СЪЕЗДА»*)1)
К сожалению, предыдущая статья Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова2* не
дает мне возможности снять в какой бы то ни было мере мои возражения
против высказанных ими ошибочных утверждений, так как содержание этой
статьи не соответствует истинному положению вещей.
Так, упоминая в своей монографии «Приложение методов нелинейной
механики к теории стационарных колебаний» (Киев: Изд-во ВУАН, 1934),
вышедшей после моего доклада, они заявляют, что в ней «были даны, вместе
со строгими математическими доказательствами, подробные формулировки
теорем, деталировать которые было неуместно», по их мнению, в
критикуемой монографии 1932 г., и что монография 1934 г. «является по существу
прямым ответом на ту критику, которая была представлена А. А. Марковым
вниманию 2-го Всесоюзного математического съезда».
В действительности же, в монографии 1932 г. рассматривается
система уравнений d2qk/dt2 = Д(д„ ..., gn, dqjdt,..., dqjdt) (к = 1,..., п), где
п—любое натуральное число, тогда как в монографии 1934 г. рассмотрен
лишь частный случай такой системы п = 2. Уже поэтому ошибочные
утверждения, содержащиеся в первой монографии, никоим образом нельзя
рассматривать как неподробные формулировки теорем, «деталированных»
во второй монографии.
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов возмущаются тем, что «А. А. Марков,
отмечая отсутствие доказательств сходимости и тем самым (sic!) как будто
имея ясное представление о том, что в критикуемой работе дело идет о
формальных решениях, тем не менее в своей аргументации оперирует с
этими решениями как с точными».
Очевидно, однако, что я мог бы иметь «ясное представление» о том, что в
критикуемой монографии авторы сознательно предлагают лишь
«формальные решения», только в том случае, если бы это было там же сказано. В
действительности же на всем протяжении монографии самый термин
«формальное решение» ни разу не встречается. Там говорится просто о решениях
и о представлении их некоторыми рядами. Так как термин «решение
системы дифференциальных уравнений» и выражение «функция представляется
рядом» (без каких-либо оговорок) имеют в современной математике вполне
определенный смысл, то нет никаких оснований считать, будто в
критикуемой монографии они применяются в каком-то другом смысле, тем более,
что ее авторы сопоставляют свои ряды со сходящимися рядами
Пуанкаре. Из факта же отсутствия доказательств сходимости у Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова, разумеется, вовсе не следует, что они предлагали свои
ряды в качестве «формальных решений».
' В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934. Т. 2. Л. — М.:
Изд-во АН СССР, 1936. С. 250-251.
) См. сноски 1) и 2) на с. 445.
2) Некоторые замечания по поводу одного доклада А. А. Маркова на 2-м Всесоюзном
математическом съезде. В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 1934.
Т. 2. Л. — М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 247-249. Перепечатано в настоящем сборнике
(см. с. 511-514).

450
ПРИЛОЖЕНИЯ
Ссылаясь на том III «Methodes nouvelles» Пуанкаре, они приписывают
последнему утверждение о том, что «возражения против метода Линдштедта,
основанные на факте существования повсюду плотного множества точек
расходимости, не имеют никакого значения для вопроса о практической
пригодности метода».
В действительности же, ни в томе III «Methodes nouvelles», ни во II, где
именно и рассматривается сходимость рядов Линдштедта, этого ошибочного
утверждения нет.
По поводу моего 2-го примера они приписывают мне «явную ошибку», так
как я якобы «применил для исследования резонанса специфически
нерезонансный метод (малых делителей) и, естественно, пришел к противоречию».
В действительности же дело обстоит так. В критикуемой монографии
содержится неправильное утверждение о стационарности общего решения
исследуемых дифференциальных уравнений в случае, когда последние не
содержат первых производных. Никаких оговорок о «первом приближении»
(ср. с предыдущей статьей!) при этом не делается. Никаких указаний на
возможность «резонанса» не дается. Мой пример выявляет ошибочность этого
утверждения Н. М. Крылова и Н, Н. Боголюбова. Исследование этого
примера основано у меня на рассмотрении общеизвестных тригонометрических
рядов для эллиптических функций и на некоторых результатах X. Бора и
О. Нейгебауэра, а вовсе не на «специфически нерезонансном методе малых
делителей» Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Пример этот противоречит
результатам, полученным ими с помощью этого метода, но это противоречие
указывает на их «явную ошибку», а не на мою.
Ввиду всего вышеизложенного, я не могу рассматривать предыдущую
статью как удовлетворительный ответ на мои критический доклад.
Ленинград, 24 ноября 1935 г.
А. Марков

ОПЫТ ПРОФЕССОРА ИВАНОВА
15 июня 1971 г. в 58 отделение милиции г. Москвы пришел спокойный и
серьезный пожилой гражданин и попросил, чтобы его немедленно провели
к начальнику отделения.
— Я — профессор Иванов, — сообщил он начальнику отделения, —
заведующий кибернетической лабораторией Московского Государственного
Университета имени М. В. Ломоносова. Только что в моей лаборатории
произошел несчастный случай, в результате которого погиб мой лучший
друг профессор Петров. Я прошу Вас срочно прислать экспертов на
место происшествия для освидетельствования трупа и установления причин
смерти.
Тотчас же в лабораторию профессора Иванова была направлена
компетентная комиссия во главе с судебно-медицинским экспертом тов. Ковырял-
киным. Профессор Иванов подвел членов комиссии к массивной запертой
двери и сказал:
— За этой дверью находится комната, где работал мой лучший друг
профессор Петров. Сейчас я отопру дверь и вы увидите его труп.
С этими словами он отпер дверь, которая тихо скрипнула, и члены
комиссии вошли в комнату.
— Но тут нет никакого трупа! — с удивлением воскликнул тов. Ковырял-
кин.
И, действительно, комната была совершенно пуста, если не считать
находившегося в ней свежего воздуха (газообразной смеси кислорода с азотом
при температуре 10° С).
— Это что? Розыгрыш? — уже кричал тов. Ковырялкин. — Вы отрываете
занятых людей от дела ради каких-то там несуществующих трупов!
В этот самый момент открылась дверь в глубине комнаты и вошел
профессор Петров, которого тов. Ковырялкин хорошо знал. Профессор Петров
был живой и невредимый.
— Это уже просто издевательство! — заорал тов. Ковырялкин.
Но профессор Иванов остался невозмутимым.
— Так Вам нужен труп? — спокойно спросил он, — Сейчас он будет.
И с этими словами он выхватил из заднего кармана брюк припасенный
на этот случай револьвер и в упор выстрелил в своего лучшего друга. Труп
профессора Петрова повалился на пол.
* * *
Началось следствие.
Оно не было особенно интересным; факт убийства был налицо.
Создавалось даже впечатление, что профессор Иванов умышленно убил своего
лучшего друга профессора Петрова в присутствии многих компетентных
свидетелей. Личности убийцы и убитого были известны. Профессор Иванов
был крупным ученым, прославившимся своими исследованиями в области
генетической социальной бионики на субклеточном уровне в норме и
патологии. Профессор Петров был крупнейшим ученым по метатеоретической
психобиохимии. Научные пути обоих ученых соприкасались, но никакого
соперничества в науке между ними не могло быть. Искать женщину тоже не

452
ПРИЛОЖЕНИЯ
приходилось. Оба ученых были известны своей моральной устойчивостью,
преданностью науке и аскетическим образом жизни.
Прежде всего, разумеется надо было выяснить, не является ли
профессор Иванов душевнобольным. Однако, психиатрическая экспертиза быстро
дала отрицательный результат: профессор Иванов психически здоров, как
четырнадцать тысяч быков.
Тогда следователь тов. Живоглотов задал профессору Иванову прямой
вопрос:
— Почему вы убили вашего лучшего друга профессора Петрова?
На это профессор Иванов ответил следующее:
-* Совершенное мною убийство моего лучшего друга профессора
Петрова является началом проводимого мною научного эксперимента. В данный
момент было бы преждевременно излагать сущность этого эксперимента,
так как это пагубно отразилось бы на его дальнейшем ходе. Я обещаю Вам,
однако, надлежащим образом освятить эту сущность на предстоящем
судебном заседании. Больше я ничего не скажу Вам по этому поводу.
Тов. Живоглотов вынужден был удовлетвориться этим, хотя и немало
удивился тому, какой там эксперимент будет проводить профессор Иванов,
находящийся под стражей.
* * *
Наконец настал день суда над профессором Ивановым.
Перед началом судебного заседания он передал судье тов. Придиркину
запечатанный синий конверт и попросил судью не распечатывать его, пока
он, Иванов, не попросит об этом. Судья удивился, но обещал.
Началось заседание. Был зачитан очень краткий и сухой обвинительный
акт, после чего слово было предоставлено прокурору.
Прокурор йроизнес речь, он заклеймил этого «изверга от науки»
профессора Иванова, не остановившегося перед убийством своего лучшего друга
якобы ради какого-то с позволения сказать научного эксперимента, тогда
как в законодательстве любой цивилизованной страны есть статья,
предусматривающая суровое наказание за производство каких бы то ни было
экспериментов, вредящих здоровью, не говоря уже о жизни граждан.
— Да и что это за эксперимент, — воскликнул прокурор, — когда один
просто палит в другого из револьвера!
В заключение он потребовал для профессора Иванова сурового
наказания.
После этого слово было предоставлено профессору Иванову,
отказавшемуся от официального защитника.
Профессор Иванов сказал:
— Как я уже заявил на предварительном следствии, осуществленное
мною убийство моего лучшего друга профессора Петрова являлось
началом проводимого мною научного эксперимента. Его цель — выявление
причин одного часто наблюдаемого явления, происходящего при определенных
условиях. Я хотел для этого еще раз наблюдать это явление, искусственно
воспроизведя его путем создания этих самих условий. К сожалению, мой
эксперимент, который сейчас можно считать законченным, не удался. Мне
удалось воспроизвести интересующее меня явление, но я по-прежнему не

ПРИЛОЖЕНИЯ
453
понимаю, почему оно происходит. Это явление называется „речь
прокурора на процессе об убийстве". В данном случае я полностью предвидел во
всех деталях ожидаемое явление. Я знал, что и как скажет прокурор.
Доказательство тому содержится в конверте, который я передал судье перед
началом данного заседания. Я прошу судью вскрыть этот конверт и огласить
содержащийся в нем документ.
Просьба профессора Иванова была выполнена. Судья вскрыл синий
конверт, вынул из него бумажку и зачитал ее. Присутствующие были
поражены: до того точно предвидел профессор Иванов речь прокурора. Тут были
и слова «изверг от науки», и ссылка на законодательство любой
цивилизованной страны, и «один просто палит в другого из револьвера». Различие
состояло только в том, что судья читал бумажку деревянным тоном без
присущей прокурору патетики.
— Таким образом, — продолжал профессор Иванов, — я довольно
точно воспроизвел ожидаемое явление путем убийства своего лучшего друга
профессора Петрова. И все же я не понимаю, почему прокурор произнес
эту патетическую речь и почему он вообще испытывал какие-то эмоции по
поводу этого убийства.
Ведь прокурор, я в этом уверен, детерминист как и я. Он убежден в том,
что все происходящее во Вселенной, происходит согласно законам
природы, однозначно определяющим ход всех процессов, когда известно
начальное состояние. В частности, и убийство моего лучшего друга профессора
Петрова, осуществленное в моей лаборатории 15 июня 1971 года,
определялось однозначно состоянием нашей Вселенной миллиард лет тому назад.
Законы природы таковы, что в упомянутом месте и в упомянутое время
ничего другого и не могло произойти. Спрашивается, против чего же так
негодовал прокурор? Против законов природы?! Но уж если уместно
испытывать какие-либо эмоции по поводу существования законов природы,
то разве лишь положительные. Надо радоваться тому, что законы природы
есть. Ведь какой был бы хаос, если бы их не было!
Вы хотите знать, был ли мой лучший друг профессор Петров согласен
играть ту роль, которая была отведена ему в моем эксперименте. Я даже не
спрашивал его об этом, настолько я был уверен в его согласии. Я хорошо
знаю профессора Петрова и не сомневаюсь в том, что ради науки он был
готов пожертвовать своей жизнью.
Я заканчиваю. Я убежденный детерминист. И, между прочим,
осуществленное мною предсказание речи прокурора — еще одно свидетельство в
пользу детерминизма. Я, однако, не понял, почему эта речь была столь
патетичной. Я предвижу, что вы приговорите меня к суровому наказанию. Что
ж, ради науки я готов к смерти! Я надеюсь, что мой талантливый учение
Сидоров продолжит мои исследования.
Суд удалился на совещание, которое было кратким. Все было ясно.
Суд вернулся в зал заседания. Судья начал оглашать приговор.
Но едва он произнес первую фразу, как дверь в глубине зала отворилась
и вошел профессор Петров, живой и здоровый. Зал ахнул и замер.
Воцарилась глубокая тишина. Медленно подошел профессор Петров к профессору
Иванову и сказал:
— А это вы тоже предвидели?

454
ПРИЛОЖЕНИЯ
i^jto ч^^" ^Ц*^ ад«м° Ч-**30 ^

АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ
(К пятидесятилетию со дня рождения)**
Ю.В.Линник Н. А. Шанин
22 сентября 1953 г. исполнилось 50 лет со дня рождения выдающегося
советского математика члена-корреспондента АН СССР, профессора
Ленинградского государственного университета, Андрея Андреевича Маркова.
Детские и юношеские годы Андрея Андреевича протекали в постоянном
общении с его отцом академиком Андреем Андреевичем Марковым — одним
из наиболее выдающихся математиков конца XIX и начала XX века.
Академик А. А. Марков был воспитателем своего сына не только в семейной
обстановке, но в течение некоторого периода времени он оказался школьным
учителем сына. В 1917/18 учебном году семья академика А. А. Маркова
жила в маленьком городке Зарайске и академик А. А. Марков, стремясь
удовлетворить свою потребность в педагогической деятельности,
преподавал математику в школе, в том классе, где учился его сын.
В 1919 г. Андрей Андреевич окончил среднюю школу, а в 1924 г. —
физико-математический факультет Ленинградского государствен него
университета по отделению физики. После окончания университета он
несколько месяцев работал научным сотрудником Государственного
физико-технического института, а затем перешёл в Астрономический институт. В
Астрономическом институте Андрей Андреевич сначала состоял аспирантом
(1925-1928 гг.), а по окончании аспирантуры — научным сотрудником (до
1935 г.).
В 1934 г. началась деятельность Андрея Андреевича в Ленинградском
государственном университете. В 1935 г. ему была присуждена (без
защиты диссертации) степень доктора физико-математических наук, а в начале
1936 г. — звание профессора. В октябре 1953 г. А. А. Марков был избран
членом-корреспондентом АН СССР. С 1939 г. А. А. Марков работает в
Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова.
Первые опубликованные в печати научные работы А. А. Маркова
относятся к теоретической физике и небесной механике. О содержании этих работ
некоторое представление дают их названия: «Об одном минимальном
свойстве шредингеровских волновых групп» (1927 г.), «О некоторых случаях
движения в проблеме трёх тел» (1928 г.), «Закон десяти третей и
классификация соударений в общей задаче трёх тел» (1929 г.), «О выводимости
мировой метрики из отношения „раньше чем"» (1932 г.).
В начале 30-х годов научные интересы А. А. Маркова концентрируются
вокруг проблем общей теории динамических систем. В работах А. А.
Маркова дано независимое от дифференциальных уравнений общее определение
динамических систем, лежащее в основе современного аксиоматического
направления в этой теории, получены тонкие критерии почти
периодичности движений, установлен ряд глубоких свойств минимальных множеств.
К работам по теории динамических систем примыкают исследования
А. А. Маркова об интегральных инвариантах и о мере в абстрактных
пространствах. В этих исследованиях проводится более общая точка зрения,
*) Успехи матем. наук. — Т. 54, № 1.

456
ПРИЛОЖЕНИЯ
чем та, которая характерна для аксиоматической теории динамических
систем. В теории динамических систем существенную роль играет понятие
интегрального инварианта. А. А. Марков обобщает это понятие на тот
случаи, когда рассматриваются произвольное множество Е, произвольное
вполне аддитивное семейство 9Л, произвольная вполне аддитивная
функция и, определённая на 9Jt, и произвольное абелево множество
отображений1' Г, удовлетворяющие условию ip'l(A)efOtt каковы бы ни были А еЯЯ
и ц> е Г. Применительно к этому весьма общему случаю А. А. Марков
устанавливает простые необходимые и достаточные условия существования
интегрального инварианта относительно заданного абелева множества
отображений Г. С этими результатами тесно связаны исследования А. А.
Маркова па теории меры в топологических пространствах, в которых полностью
выясняется связь между внешними плотностями множеств в нормальных
топологических пространствах и функционалами специального типа (так
называемыми средними значениями) на множестве непрерывных
ограниченных функции. Здесь же исчерпывающим образом характеризуется связь
между свойствами полуинвариантности и инвариантности внешней
плотности по отношению к заданному непрерывному отображению пространства
в себя и свойством инвариантности соответствующего среднего значения
по отношению к тому же отображению.
Наряду с теорией динамических систем и теорией меры внимание
А. А. Маркова привлекает топология. Важным достижением А. А.
Маркова в комбинаторной топологии является полная алгебраизация проблемы
свободной эквивалентности замкнутых кос и проблемы комбинаторной
эквивалентности произвольных зацеплений, а также глубокое алгебраическое
исследование группы кос.
Одновременно с теорией динамических систем, теорией меры и
топологией А. А. Марков занимается некоторыми вопросами теории полиномов.
Им получена интересная характеризация тригонометрических полиномов,
усилен результат Артина о представлении дефинитных функций
(являющийся решением одной из проблем Гильберта) посредством обобщения его
на относительно дефинитные функции, найден алгорифм для определения
числа вещественных корней полинома с рациональными коэффициентами,
лежащих в области, определяемой системой алгебраических неравенств с
рациональными коэффициентами.
Сочетание топологических и алгебраических интересов А. А. Маркова
особенно ярко проявилось в большом цикле работ по топологической
алгебре. Первые исследования А. А. Маркова в этой области посвящены
топологической характеризации конечномерных линейных топологических
пространств среди всевозможных топологических групп. В работе «О
конечномерных векторных пространствах» (1935 г.) устанавливается, что
всякая коммутативная, локально бикомпактная и связная
топологическая группа может быть отображена на конечномерное векторное то-
пологическое пространство посредством непрерывного гомоморфизма,
обладающего следующим свойством: полный прообраз любого
бикомпактного множества является бикомпактным множеством. Из этого
глубокого результата вытекает следующая теорема:
*) Множество Г, состоящее из отображений множества Е в себя, называется абелевым
множеством отображений, если, каковы бы ни были у>,ф еГ и хеЕ, выполняется условие
(р(ф(х)) = ф(<р(х)). Если /(£, х)—динамическая система в фазовом пространстве Е, то
отображения множества Е в себя, получаемые из /(t, x) посредством фиксации первого аргумента,
образуют абелево множество отображений.

ПРИЛОЖЕНИЯ
457
Топологическая группа G тогда и только тогда топологически
изоморфна некоторому конечномерному векторному пространству,
когда G локально бикомпактна, связна, коммутативна и не имеет
бикомпактных подгрупп, содержащих более одной точки.
Дальнейшие работы А. А. Маркова по топологической алгебре
посвящены свободным топологическим группам. Эти исследования были начаты
в 1940 г. и завершены к 1946 г.
Л. С. Понтрягиным было доказано, что топологическое пространство
всякой топологической группы вполне регулярно. После этого возникла
проблема о существовании топологических групп, не являющихся нормальными
топологическими пространствами. Эта проблема была решена А. А.
Марковым посредством создания специального метода, который позволил ему
не только доказать существование топологических групп, топологическое
пространство которых не удовлетворяет условию нормальности, но и
выработать понятие свободной топологической группы, детально разработать
теорию таких групп и с её помощью разрешить ряд глубоких проблем
общей теории топологических групп. В частности, методами теории свободных
топологических групп А. А. Марковым доказано существование связных
периодических топологических групп любой мощности, не меньшей мощности
континуума, установлено для любой счётной группы совпадение так
называемых алгебраических подмножеств группы с теми подмножествами,
которые оказываются замкнутыми при любой топологизации группы, получен
простой алгебраический критерии существования нетривиальной
топологизации счётной группы. Теория свободных топологических групп явилась
значительным этапом в развитии топологической алгебры.
Начиная с 1946 г., научные интересы А. А. Маркова концентрируются
в новой области — в теории алгорифмов и математической логике. Здесь
творческая сила А. А. Маркова проявилась наиболее ярко и дала особенно
глубокие научные результаты.
В математике ещё со времени Евклида стихийно складывалось и
применялось понятие алгорифма. Однако это понятие до недавнего времени не
имело точного определения и потому не могло служить предметом
математического исследования. Около 20 лет назад в математике произошло
событие большого принципиального значения — было выработано точное
математическое понятие арифметического алгорифма. Почти
одновременно различные авторы — Тьюринг, Черч, Клини (последний — основываясь
на работах Эрбрана и Гёделя) — предложили несколько совершенно
различных по форме, но эквивалентных по существу математических понятий,
уточняющих стихийно сложившееся неточное понятие арифметического
алгорифма. Среди таких математических понятий наибольшую известность
приобрело понятие частично рекурсивной функции (Клини). Частными
случаями этого понятия являются понятия примитивно рекурсивной функции
и общей рекурсивной функции.
Одна из первых работ А. А. Маркова в теории алгорифмов посвящена
рекурсивным функциям. В ней получен результат, исчерпывающий вопрос
о представлении частично рекурсивных и общих рекурсивных функций
посредством примитивно рекурсивных функций.
Арифметические алгорифмы составляют довольно узкий класс
алгорифмов, применяемых в математике. Во многих случаях объектами применения
алгорифмов служат слова в каком-либо фиксированном алфавите. Для этих
случаев точное понятие алгорифма может быть сформулировано на
основе точного понятия арифметического алгорифма с помощью специального

458
ПРИЛОЖЕНИЯ
приёма — так называемого метода арифметизации слов. Этот метод состоит
в фиксации некоторого конкретного (уже не арифметического) алгорифма,
сопоставляющего каждому слову в рассматриваемом алфавите некоторое
натуральное число и позволяющего однозначно восстановить слово по
соответствующему числу. Уже понятие частично рекурсивной функции
довольно сложно, а привлечение метода арифметизации слов делает точное
понятие алгорифма в любом алфавите, необходимое для алгебры,
математического анализа, математической логики и других областей математики и
получаемое на указанном выше пути, очень громоздким, технически
сложным и в значительной степени косвенным.
Замечательным и очень важным достижением А. А. Маркова является
разработка совершенно нового по замыслу понятия нормального алгорифма,
непосредственным образом решающего проблему уточнения общего
понятия алгорифма в произвольном алфавите и весьма выгодно отличающегося
от всех ранее предложенных вариантов решения этой проблемы своей
неожиданной простотой и наглядностью.
А. А. Марковым разработана глубокая и богатая принципиальными
результатами теория нормальных алгорифмов. Понятие нормального
алгорифма дало возможность А. А. Маркову радикально усовершенствовать и
продвинуть вперед теорию алгорифмов, поставить эту теорию на простую и
наглядную основу и значительно расширить возможности различных её
приложений.
Соотношение между нормальными алгорифмами и алгорифмами,
определяемыми с помощью частично рекурсивных функций, исследовано В. К. Дет-
ловсом — учеником А. А. Маркова. В кандидатской диссертации В. К. Дет-
ловса доказана эквивалентность этих двух уточнений общего понятия
алгорифма.
Большую роль в математике играют так называемые массовые задачи.
Каждая такая задача состоит в нахождении алгорифма, который в
применении к любому объекту некоторого точно охарактеризованного типа давал
бы ответ на вопрос, обладает или не обладает рассматриваемый объект
некоторым определённым свойством. С тех пор, как в математике было
выработано точное понятие алгорифма, получил точный смысл и вопрос о
разрешимости тех или иных массовых задач. Начиная с 1946 г., А. А. Марков
предпринимает исследование ряда массовых проблем алгебры и получает
в этом направлении результаты большого научного значения. В частности,
в 1946 г. им доказана невозможность алгорифмов, дающих решения
проблемы тождества и проблемы односторонней делимости для некоторых
конкретных ассоциативных исчислений. В дальнейшем эти результаты были им
развиты до теорем большой общности, касающихся целых классов массовых
задач теории ассоциативных исчислений. Далее, А. А. Марков
устанавливает невозможность алгорифмов, дающих решения некоторых массовых задач
теории целочисленных матриц. Из числа этих результатов приведём одну
особенно замечательную теорему.
Пусть UU...,U — фиксированные квадратные целочисленные матрицы
порядка п. О квадратной целочисленной матрице U порядка п говорят,
что она представила через матрицы Ul9..., Upy если существуют такие
целые положительные числа д, г1?..., iq (1 ^ ik ^ р), что матрица U равна
произведению матриц К ,..., Ц .
Теорема А. А. Маркова. При всяком п > 6 может быть
так построена система целочисленных матриц их,...,и порядка п,

ПРИЛОЖЕНИЯ
459
что окажется невозможным алгорифм, распознающий для любой цело-
численной матрицы U порядка п, представима ли она через матрицы
с/,,..., ир.
Итог своих обширных исследований в области теории алгорифмов и её
приложений к алгебре А. А. Марков подвёл в капитальной монографии
«Теория алгорифмов».
Приведённый выше обзор не исчерпывает круга научных интересов
А. А. Маркова. Им выполнен также ряд важных работ в
теоретико-множественной топологии, геометрии, в области аксиоматики теории множеств.
В период Великой Отечественной войны А. А. Марков обращается к темам
прикладной математики. 3 частности, находясь в осаждённом Ленинграде
в течение тяжёлой блокадной зимы 1941/42 г. и разделяя со всеми
жителями города общие гражданские обязанности, опасности и лишения, он не
прекращает научной деятельности и пишет работу по теории пластичности.
За время своей многолетней педагогической деятельности в
Ленинградском университете Андрей Андреевич воспитал значительное число
учеников, для которых всегда оригинальные и всегда насыщенные новыми идеями
лекционные курсы Андрея Андреевича служат превосходной школой
точного и глубокого математического мышления.
К своему пятидесятилетнему юбилею Андрей Андреевич приходит в
расцвете творческих сил и с большими творческими замыслами на будущее.

КОММЕНТАРИИ
Об одном минимальном свойстве шрёдингеровых волновых групп
1. В знаменитом цикле статей 1926 г. «Квантование как задача на собственные значения
I—IV» [1] Э. Шрёдингер построил основы квантовой механики. В завершающей, четвертой
статье этого цикла, посланной в редакцию 21 июня 1926 г., впервые появляется
фундаментальное уравнение квантовой теории — нестационарное уравнение Шрёдингера. В примыкающей
к этому циклу статье «Непрерывный переход от микро- к макромеханике» [2], также
опубликованной в 1926 г., Э. Шрёдингер рассмотрел в рамках нестационарной квантовой механики
специальный пример — линейный планковский (одномерный гармонический) осциллятор. Этот
пример играет важную роль не только в квантовой механике, но и в современной квантовой
теории поля.
Уже менее чем через год в комментируемой работе!) А. А. Марков ставит и решает задачу
о минимальном временном среднем среднеквадратичного разброса (ширины) волнового пакета
для одномерного гармонического осциллятора. Эта задача представляет естественный интерес
в связи с упомянутой работой Шрёдингера [2] (см. ниже п. 3) и сохраняет свое значение до
настоящего времени (ср. [4]).
2. Задача А. А. Маркова в современной терминологии (как это необходимо, скажем, для
задач из [4]) может быть сформулирована следующим образом. Рассмотрим задачу Коши для
нестационарного уравнения Шрёдингера в случае одномерного гармонического осциллятора:
lv>(*,0) = Vb(</).
Требуется найти такую начальную волновую функцию i>0(q), быстро убывающую на
бесконечности: ( lim i/>0(q) • qk = 0, Vfc € Z+), для которой было бы минимальным среднее по времени
Mt(x) ширины волнового пакета
00 ОО
x(t) = ^(x-t(t))2»(x,t)dx/ j n(x,t)dx,
где
ОО ОО
£(*)= j xn(x,t)dx/ J Ai(x,t)<fe,
-00 -00
Ai(x,t) = V(x,t)?(x,t))
— 24/^*
А. А. Марков решает поставленную им задачу классическими методами, в духе
Петербургской математической школы, в терминах коэффициентов {an}"s0 разложения %(х) по
полной ортонормированной системе функций {<рп}^=0» связанных с полиномами Чебышева —
Эрмита. На этом пути он изящно доказывает в общем случае неравенство Mt(x) ^ 1/2 и
указывает явный вид коэффициентов {«»}*« о» для которых имеет место знак равенства, что и
дает решение задачи минимизации.
3. В упомянутой работе [2] Э. Шрёдингер указывает конкретный набор коэффициентов
{ап}"а0, оправдываемый лишь а posteriori удобством перехода от микро- к макромеханике.
А. А. Марков подчеркивает, что эти коэффициенты (как он пишет, «произвольно выбранные
') Статья А. А. Маркова датирована 13 марта 1927 г. Она была в числе первых работ по
квантовой теории, выполненных в СССР (самыми первыми были работы В. А. Фока [3]).

КОММЕНТАРИИ
461
Шрёдингером») совпадают с коэффициентами, найденным» из условия минимума Mt(x), что
дает естественное объяснение конкретному набору {«„}*. о, использованному в работе [2]. С
современной точки зрения, это особенно ясно, ибо указанный набор коэффициентов {an}™sg
определяет так называемое когерентное состояние. Выделенность этого состояния (волновой
функции) видна также из доказанного А. А. Марковым факта, что для таких состояний функция
/х(х, t) оказывается гауссовской и соответственно x(t) = const = 1/2.
4. В работе А. А, Маркова еще не используется предложенная ,М. Борном вероятност-
оо
ная интерпретация волновой функции, где $ /х(х, t)dx= 1. А. А. Марков использует для
ц(х,&) интерпретацию Шредингера — как плотности распределения электрических масс на
прямой [1]. Неадекватность этой интерпретации видна уже из рассмотрения квантовомехани-
ческих задач для неодномерных осцилляторов. Однако переход к вероятностной интерпретации
совершенно не меняет точных результатов, полученных А. А, Марковым в комментируемой
работе.
5. В наше время, используя явное решение уравнений движения квантовой теории
одномерного гармонического осциллятора в представлении Гейэенберга для оператора
^) = exp(«4t)?exp(-^41)
(см., например, [4]), результаты А. А. Маркова можно получить гораздо проще.
Литература
1. S с h rod i n g e г E. Quantisierung als Eigenwertproblem. I-IV // Ann. Physik. — 1926. —
Bd. 79. —S. 36L-376; S. 489-527; Bd. 80. — S. 437-490; Bd. 81. —S. 109-139. Имеется
перевод в кн.: Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. — М.: Наука,
1976.
2. Schrodinger E. Der stetige Obergang von der Mikro- zur Makromechanik // Natur-
wissenschaften. — 1926. — Bd. 14. — S. 6647666. Имеется перевод в кн.: Щрёдингер Э.
Избранные труды по квантовой механике. — М.: Наука, 1976.
3. F о с к V. A. Zur Schrodingerschen Wellenmechanik // Z. Phys. — 1926. — Bd. 38. —
S. 242-250; Uber die invariante Form der Wellen- und die Bewegungsgleichungen fur einen gelade-
nen Massenpunkt // Z. Phys. — 1926. — Bd. 39. — S. 226-232.
4. S с h u 1 m a n L. S. Two time Localization // Ann. Phys. —1988. — V. 183. — P. 320-
336.
Л. А. Халфин
О некоторых случаях движении в задаче трех тел
В данной статье А. А. Марков показал, что наличие симметрии состояния движения в
общей пространственной задаче трех тел относительно либо инвариантной оси системы* либо ее
инвариантной плоскости может быть охарактеризовано одним красивым условием:
инвариантная ось системы находится во время движения в одной плоскости со всеми тремя телами. В
дальнейшем проблема описания симметричных случаев в задаче п тел, но уже при n ^ 4,
также исследовалась разными авторами, в частности в связи с задачами регуляризащигуравнений
движении: Близкие к результату А. А. Маркова результант* были получены в случае п = 4. В
частности, показано, что если положения всех четырштя&тжкричныотношгълыю неко-
торой плоскости, то либо все тела лежат в этой плоскости, либо их можно перенумеровать
так, что для масс выполняется условие: тх = т^, т^ — m+s
Н. Я. Васильев

462
КОММЕНТАРИИ
Закон десяти третей и классификация
соударений в общей задаче трех тел
Полученные А. А. Марковым в статье результаты продолжают классические
исследования Сундмана (К. Sundman) о соударениях в общей задаче трех тел. В свое время Шази
(J. Chazi) была выдвинута гипотеза [впоследствии опровергнутая Мазером (J. Mather) и Мак-
геи (R. McGehee)], что все сингулярности в общей задаче п тел, т. е. моменты времени, за
которые не могут быть продолжены решения, являются моментами столкновения тел,
образующих группы из к < п тел. Эта гипотеза верна, однако, при п < 3, а случай, кргда общий момент
движения в системе отличен от нуля, согласно Сундману допускает лишь двойные
соударения. В этом случае, когда особенность является алгебраической и может быть регуляризована
путем введения униформизующей переменной, А. А. Марковым получены практически
исчерпывающие результаты о классификации двойных соударений. Оказалось, что
классифицировать такие соударения можно, рассмотрев асимптотику функции расстояния 8 между телом,
не участвующим в соударении, и инвариантной плоскостью системы. При этом в общем
положении выполняется выведенный А. А. Марковым закон десяти третей: s^(t{- t)10/3, где
t{ —момент соударения. Случаи, когда коэффициент при (tx - t)10'3 обращается в нуль,
связаны с наличием некоторой симметрии (ортогональный равнобедренный и неравнобедренный
случаи) и соответствуют асимптотикам вида *a(tj — t)4Ha£(t| — t)13/3. Таким образом, в
этой статье А. А. Марковым классифицированы все возможные столкновения, допускающие
регуляризацию по Сундману. Впоследствии Зигелем (С. L. Siegel) было показано, что в случае
общих тройных столкновений регуляризация уравнений движения невозможна; таким
образом, данная публикация А. А. Маркова практически завершила важный этап в исследовании
особых точек задачи трех тел.
Я. Я. Васильев
Статьи по теории динамических систем
Теории динамических систем посвящены следующие работы А. А. Маркова:
1. О почти периодических движениях // С. R. Acad. Sci. Paris. — 1929. — V. 189. — P. 732-
734.
2. Об одном общем свойстве минимальных множеств Биркгофа // С. R. Acad. Sci. Paris. —
1931. — V. 193. —P. 823-825.
3. Устойчивость по Ляпунову и почти периодичность // Math. Z. — 1933. — Bd. 36.—
S. 708-738.
4. Почти периодичность и гармонизуемость // В кн.: Труды II Всесоюзного математического
съезда. Т. 2.— Л.-^М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 227-231.
5. О теории стационарных колебательных процессов акад. Н. М. Крылова и д-ра Н. Н.
Боголюбова // В кн.: Труды II Всесоюзного математического съезда. Т. 2. — Л. — М.: Изд-во АН
СССР, 1936. С. 241-246.
6. О существовании интегрального инварианта // ДАН СССР. — 1937. — Т. 17, № 9. —
С. 455-458.
Эти работы выполнены в конце 20-х — начале 30-х годов и относятся к числу тех, в
которых закладывались и прояснялись сами основы теории, как тогда говорили, абстрактных, а
по современной терминологии — топологических динамических систем. Их определение как
однопараметрической непрерывной группы гомеоморфизмов было дано А. А. Марковым в
работе [2]. Весь цикл, как и близкие работы московской школы (А. А. Андронов и др.),
отталкивался, с одной стороны, от качественной теории дифференциальных уравнений и ее
приложений к нелинейной теории колебаний, а с другой — от работ А. Пуанкаре и, в особенности,
Дж. Биркгофа по общей теории. Следует учесть некоторую обособленность А. А. Маркова.
Он жил тогда в Ленинграде, где, по-видимому, никто больше из математиков не занимался

КОММЕНТАРИИ
463
близкой проблематикой. Вклад А. А. Маркова здесь чрезвычайно существен. Он
характеризуется построением принципиальных примеров, точнее контрпримеров, и установлением связей
между различными классами динамических систем.
Соотношения между различными понятиями устойчивости, минимальности, почти
периодичности, строгой эргодичности и т. д. интересовали в то время и теоретиков, и прикладников.
Имевшиеся тогда в ходу примеры сводились к системам с дискретным спектром и близким к
ним. Более сложные движения лишь постепенно открывались. Первый вопрос, поставленный
А. А. Андроновым и А. А. Виттом, состоял в установлении связи между минимальностью (т. е.
отсутствием собственных замкнутых инвариантных непустых подмножеств) и почти
периодичностью (т. е. дискретностью спектра). А. А. Марков доказал, что минимальная, положительно
устойчивая по Ляпунову система является почти периодической. Этот результат,
содержащийся в работе [3] и краткой заметке [4], подтверждает гипотезу Андронова — Витта и усиливает
одну теорему Ф. Франклина.
Нехватка примеров могла после такой теоремы подтолкнуть к неоправданному выводу о
близости понятий минимальности и почти периодичности. Но А. А. Марков построил пример
минимальной, не почти периодической системы2). Дело в том, что минимальность есть
свойство, инвариантное относительно непрерывных замен времени в системе, т. е. топологическое
свойство фазового портрета, тогда как почти периодичность, как показал А. А. Марков, не
сохраняется при заменах времени. Системы, получаемые из почти периодических с помощью
непрерывной замены времени, А. А. Марков назвал гармонизуемыми. Наконец, в работе [4]
он строит пример негармонизуемой минимальной системы. Любопытно, что его пример есть
фактически нильпоток, т. е. факторсдвиг на компактном многообразии, а негармонизуемость
А. А. Марков предлагает доказывать с помощью топологического инварианта —
некоммутативности фундаментальной группы. Этот весьма современный способ действия, как и сама работа
остались, по-видимому, незамеченными последующими авторами; во всяком случае, эта
тематика — потоки на нильмногообразиях — подробно изучалась (см. книгу: Ауслендер Л.,
Грин Л., Хан Ф. Потоки на однородных пространствах. М.: Мир, 1966), а ссылок на
работу А. А. Маркова я не встречал.
Еще один замечательный пример А. А. Маркова, не публиковавшийся отдельно, но ставший
известным благодаря включению его в книгу В. В. Немыцкого и В. В. Степанова
«Качественная теория дифференциальных уравнений», по-видимому, завершал работы А. А. Маркова по
данной проблеме. Это пример минимальной, но не строго эргодической системы» т. е. системы
с несколькими инвариантными мерами (иногда строго эргодические системы называют одноэр-
годическими). Этот пример также носил в то время взрывной характер» так как противоречил
имевшимся представлениям и сложившемуся запасу примеров. Теперь это хорошо понятно,
имеются и другие простые примеры: например, Фюрстенберг построил расширение сдвига на
торе с этим свойством; встречаются они и в системах алгебраического происхождения. Но
пример А. А. Маркова, как и многие другие его примеры в разных областях математики,
замечателен своей изобретательностью. Он строился в универсальном пространстве (мы бы
сказали — в символическом представлении), что было в те времена новостью. Заметим еще,
что сравнительно недавно (1972) была поставлена последняя точка в построении подобных
примеров: Джуитт и Кригер доказали, что строгая эргодичность (и тем более минимальность)
не налагает никаких ограничений на метрический тип системы, кроме эргодичности, т. е.
любой спектр, энтропия и т. п. могут появиться в строго эргодической системе на некотором
компакте канторовского типа. В то же время, исследование вопроса о том, как реализовать ту
или иную динамическую систему наиболее экономичным способом группой гомеоморфизмов
компакта, продолжается и в самое последнее время.
Особняком стоит работа [6], в которой дается критерий существования инвариантной меры,
эквивалентной данной квазиинвариантной, относительно некоторой абелевой полугруппы, —
он состоит в равномерной непрерывности плотностей на полугруппе. Эта проблематика также
получила в последующие годы серьезное развитие и, начатая в работах Биркгофа, Э. Хопфа,
Крылова — Боголюбова и Маркова, к настоящему времени изучена довольно хорошо.
А. М. Вершик
2' Теперь известно множество таких примеров — от потоков на торе до примеров апп^окси-
мационного характера (первые из них были, впрочем, предложены еще в работах фон Неймана
в 30-х гг.).

464
КОММЕНТАРИИ
О выводимости мировой метрики из отношения «раньше чем»
Формально содержание работы таково. Рассматривается отношение строгого порядка,
подчиненное, кроме стандартных для этого отношения аксиом, еще аксиоме конечнозвенности
упорядоченных цепей между любыми двумя точками и аксиоме охвата одним интервалом
любой пары точек. В этих условиях на парах «мировых точек» задается определенная
целочисленная функция, предназначенная на роль метрики для упорядоченных во времени (zeitartig)
интервалов. Затем вводится в рассмотрение координатно заданный четырехмерный пример
отношения порядка, удовлетворяющий указанным аксиомам. В этом примере отношение порядка
лоренц-инвариантно, а упомянутая функция для «больших» длительностей мало отличается от
псевдоевклидова расстояния (оценка близости выписана точно).
Данная статья написана А. А. Марковым в возрасте 31 года и стоит особняком среди его
работ. Позже он «икогда в печати не возвращался к подобной тематике. Эта работа, бесспорно,
является пионерской, со всеми положительными и отрицательными качествами пионерства.
Осознание места отношения «порядок» в теории относительности только-только пробивало
себе дорогу. Правда, еще в 1914 г. А. А. Робб строил специальную теорию относительности
с привлечением идеи порядка. Но, во-первых, Робб по существу использовал также и другую
(аффинную) структуру. Во-вторых, он не выделял в чистом виде «порядок» как
математическую структуру, в его терминологии порядок порой именовался «одновременностью». Однако
работа Робба долгое время оставалась незамеченной. В 1926-29 годах А. С. Эддингтон явно
формулирует мысль о том, что «теория относительности есть по сути теория некоторой
абсолютной структуры» и настаивает на том, что структура эта есть световой конус, причинное
взаимодействие, т. е., как сказали бы мы теперь, «порядок».
Рассматриваемая работа А. А. Маркова распадается на две слабо связанные части: 1)
некоторые общие теоремы об отношении «раньше чем» и 2) координатный лоренц-инвариантный
пример, который в современной терминологии можно назвать примером «несвязного порядка»
(свой интерес к последнему автор мотивирует связью с обсуждавшейся уже в квантовой
физике идеей «самых маленьких временных промежутков». Свойства этого примера составляют
главное содержание работы, а аксиоматика имеет подчиненный характер.
Настойчиво подчеркиваемая в статье А. А. Маркова мысль о фундаментальной роли
отношения порядка в основаниях теории относительности получила у нас в стране подкрепление в
начале 50-х годов, когда А. Д. Александров доказал ряд принципиальных теорем, проясняющих
с новой стороны статус отношения порядка в упомянутой теории. В конце 60-х годов (после
переоткрытия Зиманом теорем А. Д. Александрова) в работах Е. Кронхейнера и Р. Пенроуза
была предпринята разработка «каузальной структуры» пространства-времени, и сейчас мысль
о фундаментальности отношения порядка для теории относительности стала общепризнанной.
Работа А. А. Маркова второй своей частью предвосхитила некоторые исследования по хро-
ногеомет,рии. В работах В. Я. Крейновича, А. И. Левичева и др. (70-80-е годы) интенсивно
рассматривается как раз несвязный порядок. В частности, В. А. Крейнович построил пример,
в котором конус устроен так, что в нем никакой порядок, кроме несвязного, существовать
не может. Этому же автору принадлежит доказательство того, что при несвязном порядке
не существует непрерывных изотонных кривых (в старой терминологии — мировых линий).
Последнее обстоятельство может служить объяснением того, что результаты А. А.
Маркова не приобрели популярности: неясно, может ли оказаться продуктивным такой вариант
пространства-времени.
В работе А. А. Маркова оставлены открытыми некоторые вопросы. Один из них — о
строении группы мх преобразований координат, которые сохраняют отношения (7) и (8). В
настоящее время можно утверждать, что эта группа совпадает со связной компонентой
группы Лоренца. Высказанная в работе надежда ш то, что «общую инфиыихцую риманову
метрику можно вывести таким же образом из подходящего ч-охношеимя» и что «в этой проблеме
не возникает никакой принципиальной трудности», «е оправдывается уже потому, что
существуют пространственно-временные римановы метрики, которые не дрлусмшт ориентации во
времени (на первое такое простраыстао-время обратил тшшше К. Хёдельв 4949 г.). Но и для
метрик, допускающих ориентацию во времени, но не допускающих все же единого глобального
отношения порядка, неизвестны какие-либо результаты «в духе» статьи А. А. Маркова.
Р. И. Пименов

КОММЕНТАРИИ
465
К вопросу об «опровержении» квазиэргодической
гипотезы проф. Я. Френкелем
1. Я. И. Френкель ответил на критику А. А. Маркова в том же номере журнала [7]. Обе
статьи Я. И. Френкеля (критикуемая А. А. Марковым и ответ на критику) не перепечатывав
лись, не переводились на русский язык и не включались в сборники трудов Я. И. Френкеля.
Резюме ответа Я. И. Френкеля: 1) А. А. Марков прав, я действительно допустил оплошность,
перепутав квазиэргодическую гипотезу с теоремой о возвращении, доказанной А. Пуанкаре,
К. Каратеодори и Э. Цермелло; 2) вопрос о допустимости использования теории множеств
в математических доказательствах не имеет отношения к теме статьи; 3) верно, что квази-
эргодическая гипотеза не может быть опровергнута рассмотрением условно периодических
движений и что приведенное в моей статье доказательство невыполнения этой гипотезы для
замкнутой условно периодической системы можно рассматривать как тривиальность; 4) я
плохо знаком с исследованиями Биркгофа — фон Неймана, но полагаю, что рассматриваемые ими
квазипериодические системы с точки зрения квантовой теории значительно менее важны, чем
условно периодические движения; иной подход потребовал бы фундаментального пересмотра
всей квантовой механики, для чего нет веских оснований; 5) А. А. Марков не заметил
основного содержания критикуемой им статьи, состоящего в доказательстве того, что при наличии
хотя бы слабого внешнего возмущения условно периодическая система будет удовлетворять
условию квазиэргодичности, если это возмущение нарушает когерентность величин действия
(Wirkungsgrofie).
2. В настоящее время термин «квазиэргодическая гипотеза» вышел из употребления. Дело
в том, что первоначально выдвинутая гипотеза («фазовая траектория замкнутой системы с
течением времени проходит через любую точку постоянной энергии в фазовом пространстве»)
была вскоре опровергнута и ее место заняла предложенная П. Эренфестом и Т.
Афанасьевой — Эренфест «квазиэргодическая гипотеза» (ее формулировка приведена в
комментируемой статье), которую вскоре стали называть просто «эргодической гипотезой» (уже в 1932 г.
Я. И. Френкель в критикуемой А. А. Марковым статье называет эту гипотезу «эргодической
или квазиэргодической гипотезой»). Впоследствии» следуя А. Я. Хинчину [5, с. 44; 6],
«эргодической гипотезой» стали называть то положение, для обоснования которого и была
введена эргодическая гипотеза. Ныне эргодической гипотезой называется предположение о том,
что средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их
средним статистическим значениям. Физические системы, для которых эргодическая гипотеза
справедлива, называют эргодическими или эргодичными.
3. Отмеченная А. А. Марковым «сомнительность» утверждения, будто движение
заключенной в конечном объеме изолированной системы носит в общем случае условно периодический
характер, получила впоследствии новые подтверждения. Как отмечено в современном обзоре,
стохастические слои (в фазовом пространстве), в которых движение заведомо не будет условно
периодическим, играют чрезвычайно существенную роль для широкого класса динамических
систем [4, с. 115-116; 122]). А. Н. Колмогоров считает, что, по-видимому, в известном
смысле слова «общим случаем» является такой, когда множество точек, для которых решение
канонической системы уравнений движения условно периодично, при всех положительных
значениях параметра, определяющего изменение функции Гамильтона, имеет всюду плотное
дополнение (см. [1], последний абзац).
4. Отношение А. А. Маркова к антиномиям теории множеств и к теоретико-множественным
методам доказательства впоследствии (примерно с 1948 г.) коренным образом изменилось [3].
Его уже не удовлетворяло то, что в аксиоматической теории множеств антиномии не
обнаружены, поскольку ее непротиворечивость не доказана и перспективы такого доказательства
проблематичны. Поскольку подход А. А. Маркова по существу был подходом
естествоиспытателя, стремящегося к тому, чтобы результаты теории имели возможно более реальный и
ощутимый £МЫС4, он отказывался признавать осмысленность «чистых» доказательств
существования, обычно опирающихся на принцип исключенного третьего и не дающих никаких
указаний на способ вычисления или построения числа или иного объекта, существование
которого утверждается [2, с. 7]. Содержащийся в комментируемой статье аргумент, что «без
теории ммажестеиж во многих случаях оказались бы беспомощными», в значительной степени
утратил свое значение после того, как в 30-е годы было выработано уточнение общего понятия
алгорифма и позднее на этой основе намечены пути конструктивного построения ряда суще-

466
КОММЕНТАРИИ
ственных разделов математического анализа. Подробнее об эволюции взглядов А. А. Маркова
по этим вопросам см. [3, с. 207-213].
Последние два пункта из ответа Я. И. Френкеля не имеют отношения к содержанию статьи
А. А. Маркова, и поэтому в этом комментарии не затрагиваются.
Литература
1. Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движений при малом
изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. — 1954. —Т. 98, № 4. — С. 527-530; см.
также: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. — М.: Наука, 1985.
С. 311-315.
2. Нагорный Н. М. Предисловие к кн.: Марков А. А., Нагорный Н. М.
Теория алгорифмов. — М.: Наука, 1984. С. 6-21.
3. Нагорный Н. М., Шанин Н. А. Андрей Андреевич Марков. К 60-летию со
дня рождения // Успехи матем. наук. — 1964. —Т. 19, № 3. —С. 207-223.
4. Синай Я. Г. Стохастичность гладких динамических систем. Элементы теории КАМ
(Колмогорова — Арнольда — Мозера) // В кн. Итоги науки и техники. Сер. Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления; Т. 2. — М.: ВИНИТИ, 1985. С. 115-
122.
5. X и н ч и н А. Я. Математические основания статистической механики. — М.: Госте-
хиздат, 1943.
6. X и н ч и н А. Я. Эргодическая гипотеза // В кн.: Физический энциклопедический
словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1983. С. 905-906.
7. F г е n k е 1 J. Antwort auf die vorhergehende Kritik von A. Markoff // Phys. Z. Sow. —
1932. —Bd. 2, № 3. —S. 291-293.
Э. С. Орловский
Об одном свойстве тригонометрических полиномов
Работы были написаны в период «бури и натиска» теории почти периодических функций
и отражают тогдашнее увлечение ею. Основной результат второй работы представляет собой
интересную детализацию единственной теоремы первой работы, дающей в некотором смысле
арифметическую характеризацию тригонометрических полиномов с периодом 1 без свободного
члена. Ф. Л. Назаров заметил, что доказательство можно существенно сократить и избежать
ссылок на упомянутую теорию.
In |
£ f(k<x) <MQ <+oo(n= 1,2,...). Тогда
при любом натуральном I k = I
\£ f(la + ka)\ = \lj:f(ka)- £ f(ka)\^2Ma (n^l,2,...).
In I
£ f(x + ka) ^ 2Ma, если x = /a, а 1 и n — натуральные числа.
* = i '
Вследствие 1-периодичности функции / можно считать, что эта оценка верна и при х = т+
+ /а, где m — любое целое. По теореме Кронекера множество всех таких х всюду плотно, и по
п
непрерывности функции / суммы Fn(x)= £ f(x + ka) ограничены по модулю числом 2Ма
к = \
00
(равномерно по а; и по п). Если ряд Фурье функции / есть £ акег , то для Fn он имеет
к = -оо
вид Е KySn,Je2^W^n,*^
к = -оо
оценка коэффициентов Фурье дает \А^к /В% к \ ^ 2Ма (п = 1,2,...; к = 0, ±1, ±2,...), т. е.
имеет место оценка (8) из статей А. А. Маркова. Завершить доказательство теоремы можно
так же, как у А. А. Маркова.
В. П. Хавин

КОММЕНТАРИИ
467
Об изотопии компактных множеств в евклидовых пространствах
Условие слабой изотопии, рассматриваемое в этой работе, является, конечно, значительным
ослаблением условия изотопии. В то время как изотопия компакта А, лежащего в
пространстве Ет, требует наличия изотопической деформации всего пространства Ет, слабая изотопия
требует наличия изотопической деформации только самого компакта А, а это далеко не одно и
то же. Так, например, все вложения окружности 51 в трехмерное евклидово пространство Е3
слабо изотопны, в то время как существуют вложения 51 в £3, называемые узлами, не
изотопные «стандартно расположенной» окружности. В работе А. А. Маркова показывается, что,
с другой стороны, понятие слабой изотопии в некоторых ситуациях — «достаточное хорошее».
В частности, слабо изотопны все вложения компакта А в Ет при условии: т ^ 2 • dim A 4- 2.
В этой теореме слабую изотопию нельзя заменить изотопией, как показывает пример Антуана
(1921), дающий неизотопные вложения некоторого нульмерного компакта в £ .
А. А. Иванов
О конечномерных векторных пространствах
В этой работе, которой предшествовала краткая заметка «О векторных пространствах,
рассматриваемых как топологические группы» (Sur les espaces vectoriels consideres comme groupes
topologiques // С R. Acad. Sci. Paris. —1933. —Bd. 197. —S. 610-612), А. А. Марков ставит
задачу характеризации конечномерного векторного пространства как топологической группы.
Постановка вопроса отличается от целей аксиоматик геометрического (Гильберт) или алгеб-
ро-геометрического (Г. Вейль) характера и примыкает к теории непрерывных групп. Результат
состоит в том, что локально компактная (тогда говорили «бикомпактная») связная
коммутативная группа без нетривиальных компактных подгрупп есть аддитивная группа конечномерного
пространства над R. Следует помнить, что теория топологических групп в те годы только
зарождалась и результат А. А. Маркова получен прямыми методами. Разумеется,
использование теории характеров локально компактных абелевых групп, созданной чуть позже (Ван-
Кампен — Понтрягин) позволяет получить его довольно просто. Последующая деятельность
по пятой проблеме Гильберта о группах Ли дает еще более мощные методы для
доказательства подобных характеризации. Впрочем, метод А. А. Маркова (теорема уплощения) содержит
некоторые черты метода экспоненциального отображения.
А. М. Вершик
Некоторые теоремы об абелевых множествах
Теорема 1 известна сейчас под названием «теорема Маркова — Какутани» (см.,
например, [1]). В статье Какутани [2], появившейся позже статьи Маркова, содержится другое
доказательство той же теоремы, не опирающееся на теорему Тихонова. Теорема 1
допускает следующее обобщение: в формулировке теоремы семейство Г коммутирующих
преобразований можно заменить группой аффинных преобразований, удовлетворяющей так
называемому условию аменабельности. Это условие накладывает ограничения лишь на внутреннюю
тополого-алгебраическую структуру группы и состоит в том, что (топологическая) группа Г
имеет лево- или правоинвариантное среднее. Последнее означает, что существует функционал
М на пространстве Ь°°(Г) ограниченных измеримых функций на самой группе,
удовлетворяющий свойствам Г -4° из теоремы 23). Более того, аменабельность Г есть необходимое и
достаточное условие того, что Г обладает общей неподвижной точкой при каждом аффинном
действии на компакте (см., например, [3]). Класс дискретных аменабельных групп был впервые
выделен фон Нейманом в [4] (в этой статье аменабельные группы назывались измеримыми).
Отметим, что прообразом понятия инвариантного среднего служит банахов предел.

468
КОММЕНТАРИИ
Аменабельность эквивалентна многим другим свойствам группы. См. по этому поводу книгу
[5] и комментарии к упомянутой статье фон Неймана в [6].
Теорема Маркова — Какутани стимулировала изучение пространств мер на компакте и
групп их преобразований.
Литература
1. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: ИЛ, 1959.
2. Kakutani S. Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets // Proc.
Imp. Acad. Tokyo. — 1938. —V. 14. — P. 242-245.
3. R i с k e г t N. Some properties of locally compact groups // Trans. Amer. Math. Soc. —
1967. —V. 142.
4. von Neumann J. Zur allgemeinenTheoriedesMasses // Fundam. Math. — 1929. —
Bd. 13. —S. 73-116. (Русский перевод см. в [6]).
5. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения. —
М.: Мир, 1973.
6. фон Нейман Дж. Избранные труды по функциональному анализу. Т. 1. — М.:
Наука, 1987.
А. А. Лодкин
О свободной эквивалентности замкнутых кос.
Основы алгебраической теории кос
Среди разнообразных по своей тематике работ А. А. Маркова, где мы можем найти труды
и по функциональному анализу, и по топологии, и по теории динамических систем, и по
топологической алгебре и, конечно, фундаментальные исследования по математической логике, —
эти две работы, посвященные теории узлов и кос, занимают особое место. Насколько нам
известно, в других работах к этой теме А. А. Марков не возвращался и долгое время они были
известны очень узкому кругу специалистов. Некоторая необычность истории первой из этих
статей в том, что совсем недавно она оказалась в самом центре нового прогресса в теории
узлов.
В первой работе А. А. Марков делает важный шаг по реализации программы Александера —
Артина, состоящей в алгебраизации теории узлов. Напомним, что Дж. Александер в 1923 г.
доказал, что каждый узел (или зацепление) комбинаторно эквивалентен некоторой замкнутой
косе, а в 1925 г. Э. Артин описал группу кос в терминах образующих и соотношений.
Эти результаты преследовали цель сведения проблемы комбинаторной эквивалентности
зацеплений к алгебраической задаче о классификации элементов группы кос. И вот именно в
этой работе А. А. Марков сделал завершающий шаг, а именно, сформулировал понятие
эквивалентности элементов групп кос, которое равносильно комбинаторной эквивалентности ручных
зацеплений. Мы приведем этот результат в современной формулировке ниже, а сейчас
заметим, что в статье содержится описание ряда преобразований кос и намечено доказательство
того, что эти преобразования задают нужную эквивалентность. Окончательная формулировка
приводится в конце статьи в виде гипотезы, которая несколькими годами позже (1939) была
заявлена в краткой заметке ученика А. А. Маркова — Н. М. Вайнберга (ДАН СССР. —1939. —
Т. 23, № 3. — С. 215-216). Следует помнить, что статья самого Маркова есть по существу
доклад, прочитанный на I Международной топологической конференции в Москве (1935). В
1954 г. на топологическом семинаре в Принстоне (США) работа А. А. Маркова была подробно
прореферирована одним из его участников, и на основе этого реферата присутствовавшая там
Дж. Бирман, впоследствии известная специалистка по теории узлов, дала полное
доказательство, приведенное позже в ее книге [1]. Некоторые авторы называют с тех пор этот результат
теоремой Маркова — Бирман. Вот в чем он состоит.
Пусть Вп, п = 2,... — группа кос с п нитями, ВтсВп% и <гх... <тп_ х — ее стандартные
образующие. Замыкания кос w € Bm и v e Bn комбинаторно эквивалентны тогда и только

КОММЕНТАРИИ
469
тогда, когда существуют такие натуральные JV, к и элементы wl =wtw2i...iwk =v группы
BN, что w{ и wi + l связаны одним из двух типов преобразований:
а) w% +1 = 9*>i9~lI 9€BN (сопряженность),
б) если Wi = aafx, а е Вг _ {, то wi + l=a или, наоборот, w{ = а е Вт _ {, wi + l= aafx
(преобразование Маркова).
Необходимость условий почти очевидна, но достаточность, как указано в работе, требует
рассмотрения большого числа случаев. Заметим, что и современное доказательство остается
громоздким (см. [1]). Результат Маркова завершает алгебраизацию проблемы комбинаторной
эквивалентности зацеплений и узлов, поскольку сводит вопрос к классификации классов
сопряженности относительно преобразований Маркова.
В частности, полную систему инвариантов зацеплений в принципе можно получить,
описав все функции (например, виртуальные характеры), которые инвариантны или ковариантны
относительно преобразований Маркова и постоянны на классах сопряженности. Однако до
последнего времени этот результат не давал реальной пользы, поскольку для его применения
необходим запас обозримых представлений группы кос, а таковые, если не считать
известного представления Бурау (1936), дающего старый вариант — полином Александера, появились
лишь в 1984 г. в работе американского математика В. Джонса. Джонс открыл замечательную
серию представлений групп кос, пропускаемую через алгебры Гекке; их характеры
удовлетворяют условию Маркова и дают новый вариант зацеплений — полиномы Джонса. Эта работа
открыла новую страницу в топологии узлов и зацеплений, прочно связав их с теорией
представлений групп и алгебр. Последовал большой цикл работ (см., например, [2-7]), приведший
к пересмотру и обобщению всей теории. Замечательное обстоятельство, обнаруженное
попутно — связь с квантовой теорией поля, точнее, с уравнением Янга — Бакстера, которое по
существу (без спектрального параметра) совпадает с определяющим соотношением группы
кос.
В настоящее время (1988) по этой схеме, в основе которой* в частности, лежит
преобразование Маркова, получены другие инварианты; возможности метода пока далеки от исчерпания.
Подчеркнем, что этот прогресс привел фактически к полному слиянию проблемы
классификации узлов и зацеплений с некоторыми разделами теории представлений и теории квантового
уравнения Янга — Бакстера (квантовый метод обратной задачи), при этом каждая из областей
обогатилась новыми средствами.
Вторая работа А. А. Маркова посвящена более техническим вопросам теории групп кос —
описание их нормального ряда, структура нормальных делителей, их образующие и
проблема равенства слов. Впоследствии изложение этих вопросов было усовершенствовано, а сами
результаты продолжены. В работе Ф. Гарсайда [8] была решена проблема сопряженности,
а в книге Дж. Бирман [1] дано последовательное изложение структурной теории групп кос.
Плодотворная связь групп кос с алгебраической теорией функций и анализом была найдена
B. И. Арнольдом, который заметил, что пространство Эйленберга — Маклейна К(Вп, 1) есть
пространство неупорядоченных наборов п различных комплексных чисел. Это дало
возможность, в частности, привлечь топологическую технику к доказательству структурных теорем о
группе кос. Э. Брискорн и др. продолжили работу Арнольда, перенеся понятие группы кос на
случай произвольных групп Кокстера.
Литература
1. В i г m a n J. Braids, links and mapping class groups // Ann. Math. Studies. — 1974. —
V. 82.
2. Jones V. Hecke algebra, representations of braid groups and link polynomials // Ann.
Math. —1987. — V. 126. — P. 335-388.
3. Freyd P., Yetter D., Hoste J., Lickorsh W., Millet K., Ocneanu
A. A new polynomial invariant of knots and links // Bull. Amer. Math. Soc. — 1985. — V. 12.
4. Connes A. // Semin. N. Bourbaki 1985. — V. 647. — P. 1 -20.
5. T у р а е в В. Г. Уравнение Янга — Бакстера и инварианты зацеплений // Алгебра и
анализ. —1989. —Т. 1, № 5. — С. 223-232.
6. Решетихин Н. Ю. Квантовые универсальные обертывающие алгебры, уравнение
Янга — Бакстера и инварианты зацеплений // Алгебра и анализ. — 1989. — Т. 1, № 6. —
C. 169-175.

470
КОММЕНТАРИИ
7. Вер шик А. М., Керов С. В. Характеры и реализации представлений бесконечной
алгебры Гекке и инварианты узлов // ДАН СССР. —1988. — Т. 301, JSfe 4. — С. 777-780.
8. Garside F. A. The braid group and other groups // Quart. J. Math. — 1969. —
V. 20. — P. 235-254. (Русский перевод см. в Математика. Сб. переводов. Т. 14, JSfe 4.)
А. М. Вершик
О средних значениях и внешних плотностях
Эта статья содержит теорему об интегральном представлении линейного положительного
функционала, заданного на пространстве ограниченных непрерывных функций C(R), где R —
топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости ТА (такие пространства
называются автором нормальными, хотя замкнутость одноточечных множеств не
предполагается). Тем самым достигнута почти максимальная общность в серии работ на эту тему.
Первый строгий результат об интегральном представлении линейных непрерывных
функционалов на C(R) был доказан Ф. Рисом [1] в 1909 г. (предварительные утверждения были
опубликованы ранее Ж. Адамаром и М. Фреше) для случая, когда R — отрезок. При этом
функционал представляется в виде интеграла Римана — Стилтьеса. Затем Радон [2] в 1913 г.
обобщил теорему Риса на случай компактного множества в Rn, а С. Банах [3] в 1937 г. — на
случай метрического компакта R.
А. А. Марков рассматривает ситуацию, более общую сразу в двух аспектах —
отбрасывается предположение метризуемости и не предполагается компактность R. При этом в случае
некомпактного пространства для представления функционала привлекаются конечно
аддитивные меры.
Дальнейшее развитие вопрос получил в работе А. Д. Александрова [4] 1940 г., в которой
теорема о представлении была доказана (с существенным использованием метода А. А.
Маркова) для несколько более общих пространств функций и для функционалов, принимающих
значения любого знака (с заменой мер зарядами). Этим кругом вопросов занимались также
Сакс, Какутани и другие.
Литература
1. R i e s z F. Sur les operations fonctionnelles lineaires // С. R. Acad. Sci. Paris. — 1909. —
V. 149. —P. 974-977.
2. Radon J. Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen // S.-
B. Akad. Wiss. Wien. —1913. —Bd. 128. —S. 1295-1438.
3. Сакс С. Теория интеграла. —М.: ИЛ, 1949.
4. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. I, II, III // Матем.
сб. —1940. —Т. 8. —С. 307-348; 1941. —Т. 9. —С. 563-628; 1943. —Т. 13. —С. 169-238.
А. А. Лодкин
Поверхностное распределение постоянного
тока в случае наклонного проводящего слоя
Работа А. А. Маркова «Поверхностное распределение постоянного тока в случае
наклонного проводящего слоя» была опубликована в 1938 г. Она относится к периоду сотрудничества
А. А. Маркова с профессором Ленинградского университета В. Р. Бурсианом,
основоположником отечественной геоэлектрики. В работе дано решение задачи об электрическом поле
точечного источника, расположенного над наклонной поверхностью идеального проводника.
Речь идет о фундаментальной задаче теории геоэлектрики. Первое решение этой задачи было
предложено Л. Альпиным в 1935 г. Альпин рассмотрел клин с углом п/п (п — целое) и
применил метод изображений. А. А. Марков снял ограничение на угол клина и построил общее
решение задачи в кольцевых координатах. Решение А. А. Маркова удобно для расчета, так как

КОММЕНТАРИИ
471
потенциал представлен в виде ряда Фурье с коэффициентами, выражаемыми через
гипергеометрические функции. Для приближенного расчета Марков предложил разложение потенциала
по функциям Макдональда. Работа А. А. Маркова открыла путь к анализу электрического
поля над наклонными слоями. В дальнейшем этой проблемой занимался А. Н. Тихонов,
который в 1946 г. опубликовал решение задачи для клина, подстилаемого средой произвольного
сопротивления.
М. Н. Бердичевский
К определению понятия комплекса
Предложенный в этой статье А. А. Маркова вариант понятия евклидова симплициального
комплекса оказался весьма удобным. Использование этого варианта позволило упростить
формулировки и доказательства ряда теорем, в частности» теоремы об е-смещениях евклидовых
симплициальных комплексов (теорема 2 в рассматриваемой работе).
А. А. Иванов
Что такое гладкая поверхность
При равномерном растяжении во все стороны (т. е. при гомотетии с коэффициентом,
больше единицы) искривленность гладкого подмногообразия евклидова пространства уменьшается.
Поэтому естественно ожидать, что при гомотетиях с центром в какой либо точке гладкого
подмногообразия с коэффициентом, стремящимся к +оо, в пределе получается, касательная
плоскость к этому подмногообразию в рассматриваемой точке. Это утверждение легко доказать, но
прежде всего необходимо, конечно, выбрать, какой смысл вкладывается в сходимость образов
при гомотетиях к предельному множеству. Метрика Хаусдорфа, Например, непригодна. Не
лежащие на касательной плоскости точки подмногообразия будут уходить От нее все дальше и
дальше и, значит, расстояние Хаусдорфа между образом подмногообразия и касательной
плоскостью при росте коэффициента гомотетии будет все больше и больше. Поточечный предел
тоже не годится: каждая точка, за исключением, конечно, самого центра гомотетий, убегает
на бесконечность.
Однако в метрике Хаусдорфа пересечение растянутого подмногообразия с шаром
фиксированного размера стремится к пересечению этого шара с касательной плоскостью исходного
подмногообразия в рассматриваемой точке. Так получается одно из наиболее геометричных
определений касательного пространства гладкого многообразия. Но нового определения
понятия гладкого подмногообразия (а именно таков предмет статьи Маркова) так просто не
получается. Дело в том, что даже в случае подмножеств евклидова пространства, весьма непохожих
на подмногообразия в указанном выше смысле, результаты растяжения множества с центром
в фиксированной точке и с коэффициентами растяжения, стремящимися к +оо, обладают
пределами. Достаточно вспомнить пример, приведенный (по близкому, но все же другому поводу)
А. А. Марковым: объединение двух окружностей, касающихся друг друга.
А. А. Марков предлагает другое, более тонкое понятие сходимости, да и сам процесс
растяжения рассматривает более изощренно — одновременно рассматривает растяжение с центрами
во всех точках подмногообразия. На первый взгляд, такая сходимость слишком сложна, чтобы
быть естественной и приводить к результатам, имеющим философское звучание. Но А. А.
Марков доказывает удивительную теорему: результаты растяжения подмножества евклидова
пространства от каждой точки этого подмножества обладают пределами (в смысле Маркова при
стремлении коэффициента растяжения к +оо) тогда и только тогда, когда подмножество
является гладким подмногообразием класса С1. Сложная часть доказательства — доказательство
гладкости в случае существования пределов — проделывается крайне эффективно: строятся
локальные параметризации.
Результат этой статьи перебрасывает мост между обычным аналитическим аппаратом
дифференциальной геометрии и иаглядно-геометрическими представлениями. Его
направленность — скорее философская, чем математическая. Мне не известно, какое влияние оказали

472
КОММЕНТАРИИ
доказательства, содержащиеся в згой статье. Как это часто бывает, наиболее трудные и
сложные части работы оказали, быть может, наименьшее и наименее прямое действие. Работа
А. А. Маркова, в которой основной пафос — в определении гладкого подмногообразия как
пространства, имеющего в каждой своей точке касательное пространство в весьма сильном
смысле, подталкивала к ослаблениям этого понятия, позволяющим расширить область
действия геометрических идей. Думаю, что такого рода влияние (не знаю, прямое или косвенное)
она оказала на М. Л. Громова в его геометрических работах по теории групп.
Другой круг идей, соприкасающихся с этой работой А. А. Маркова, возникает, если задаться
вопросом: что, если заменить гомотетии какими-то другими преобразованиями? Не повысит
ли это класс гладкости с 1 ? Одним из наиболее естественных обобщений гомотетий являются
квазигомотетии, т. е. преобразования евклидова пространства, описываемые в подходящей
системе координат формулами
(x1,...,xn)^(t-ix1,...,tw-xn),
где показатели ш{,..., шп — показатели квазиоднородности — могут быть различны. Если они
все равны, то это обычная гомотетия.
Пусть X — гладкое А;-мерное подмногообразие n-мерного евклидова пространства. Выберем
систему координат так, чтобы точка аеХ была началом координат, a fc-мерная плоскость
хк + !=... = хп = 0 оказалась касательной плоскостью многообразия X в точке о. Рассмотрим
квазигомотетии
(«1, • •.. «n)1—>(tx\> • • м txk> *2** +1» • • •» *2*n)-
Легко сообразить, что пределом образов множества X относительно этих квазигомотетий
при t —► +oo окажется соприкасающийся параболоид (что бы это ни означало: ведь
соприкасающиеся параболоиды, и вообще параболоиды, рассматриваются обычно только при п — к +1).
Здесь сходимость понимается в смысле более наивном, чем у Маркова, — мы рассматриваем
только квазигомотетии с одним и тем же центром. Точно так же, рассматривая более
сложные однопараметрические группы преобразований (в задании которых параболоид играет роль,
исполненную касательной плоскостью хА + 1=... = хп = 0в только что рассмотренном приме
ре), можно получить последующую локальную алгебраическую или, лучше сказать, струйнук
аппроксимацию подмногообразия и т. д.
Группы преобразований, участвующие в построении высших струйных аппроксимаций
подмногообразий, составляются не из квазигомотетий. Группы квазигомотетий с показателями
квазиоднородности, отличными от 1 и 2, позволяют строить по той же схеме аппроксимации
подмногообразий в их особых точках. Эти соображения оказались очень полезны, когда мне
привелось заниматься построением возмущений особых алгебраических гиперповерхностей с
контролируемым изменением топологии.
На первый взгляд, некоторую неудовлетворенность вызывает то обстоятельство, что речь
идет только о С ^гладкости. Теперь известно, что в некоторых отношениях С*-теория сильно
отличается от Сг с г > 1. По-видимому, вопрос о переносе результата Маркова на Сг-случай
с г > 1 остается открытым. Можно предположить, что его можно решить, либо рассматривая
другие группы преобразований (такие, как квазигомотетии, имеющие отношение, возможно,
к случаю г = 2), либо перейдя в произведение евклидова пространства на соответствующее
грассманово многообразие и вложив это произведение в евклидово пространство большей
размерности.
О. Я. Виро
О нахождении числа корней алгебраического
уравнения, принадлежащих данной области
Эту работу А. А. Маркова можно рассматривать в ряду других исследований, берущих
свое начало от известного метода Штурма для нахождения количества вещественных корней
полинома на полупрямой или на отрезке. В обозначениях комментируемой работы это
соответствует случаю, когда тп= 1, a fx —* полином первой или второй степени. Как отмечено
в работе, решение для случая, когда т= 1, a fx —полином произвольной степени, дается

КОММЕНТАРИИ
473
обобщенной теоремой Эрмита — Сильвестра. А. А. Марков делает дальнейшее обобщение —
на случай произвольного т и произвольных степеней у полиномов flf...,/m.
В 1951 г. А. Тарский опубликовал чрезвычайно общий результат [2] о разрешимости
элементарной теории поля вещественных чисел (подробное доказательство этого результата см. также
в [1]). Найденный А. Тарским алгоритм позволяет устанавливать истинность или ложность
любого утверждения, которое можно записать с помощью конечного количества переменных для
вещественных чисел, связанных кванторами общности или существования, операций
сложения и умножения, знаков равенства и неравенств и логических связок. В частности, алгоритм
Тарского может быть применен и к задаче, рассматриваемой А. А. Марковым. Тем не менее
результат А. Тарского не обесценил работу А. А. Маркова, ибо универсальный алгоритм
Тарского чрезвычайно трудоемок, так что остается актуальной задача нахождения более быстрых
алгоритмов для распознавания истинности утверждений специального вида.
Литература
1. Cohen P. J. Decision procedures for real and p-adic fields // Comm. Pure Appl.
Math. —1969. — V. 22. —P. 131-151.
2. T а г s k i A. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. — Berkeley, 1951.
Ю. В. Матиясевич
Статьи по топологической алгебре
Работы А. А. Маркова [14, 17] по топологическим группам вместе с работами А. Н.
Колмогорова и Л. С. Понтрягина заложили фундамент топологической алгебры в нашей стране.
Исследования А. А. Маркова нашли дальнейшее развитие в работах советских и зарубежных
математиков в области топологической алгебры (см. [6, 7, 8, 19, 21, 32]).
Алгебраические объекты, наделенные топологической структурой (топологические
векторные пространства, топологические группы преобразований, группы Ли и др.), издавна
привлекали внимание математиков, работающих в различных областях науки. При этом ими
изучалось взаимное влияние топологической и алгебраической структур. Одним из важных свойств
пространства топологической группы явилась его полная регулярность. Естественно возник
вопрос о том, будет ли это пространство также и нормальным.
Отрицательный ответ на этот вопрос был получен А. А. Марковым в работе [14]. Для
этого он ввел понятие свободной топологической группы F(X) над вполне регулярным
пространством X как группы, содержащей в себе X в качестве подпространства, алгебраически
порождающего F(X)w такого, что всякое непрерывное отображение пространства X в любую
топологическую группу G может быть продолжено до непрерывного гомоморфизма из F(X)
в G. Здесь же им было доказано, что X —замкнутое подпространство в F(X)t
являющееся системой свободных образующих в F(X), и что группа F(X) является единственной с
точностью до топологического изоморфизма, отображающего всякую точку из X в себя.
В работе [17] были приведены подробные доказательства результатов из [14]. В частности,
была предложена конструкция свободной топологической группы F(X):
— F(X) есть свободная группа, порожденная пространством Х\
— для семейства ЯЯ всех норм N на F(X), согласованных с X (т. е. функция
N(a~xxy~la) :Х х X —► R, х, у € X, является непрерывной для любого об F(X)), берется
топология T = sup{Tjy|JVr€SD,l}, где rN — топология на F(X)% индуцированная нормой N.
Тогда (F(X)y r) — свободная топологическая группа.
М. И. Граев в работе [1] дал несколько иное определение свободной топологической группы
F'(X), а именно: фиксировался некоторый элемент е еХ, и в определении F'(X) требовалось,
чтобы всякое непрерывное отображение из X в любую топологическую группу G,
переводящее е в единицу группы G, продолжалось до непрерывного гомоморфизма из F'(X) в G.
Тогда доказательство существования F*(X) упрощалось: на свободной группе F'(X)
задавалась топология r = sup{r'|(F'(A'), т') — топологическая группа}. Определение М. И. Граева
давало возможность построить и группу F(X), свободную в смысле А. А. Маркова: к
пространству X нужно было добавить изолированную точку е, тогда группы F'(Xu{e}) и F(X)

474
КОММЕНТАРИИ
будут топологически изоморфны (но не всякая группа F(X), свободная в смысле Маркова,
оказывается свободной по Граеву).
Конструкция А. А. Маркова свободной топологической группы получила свое развитие
также в работах Накаямы [28] и Какутани [26].
В работе [14] А. А. Марков исследовал также релятивистский аспект понятия свободной
топологической группы —- когда она должна удовлетворять некоторому заданному множеству
абстрактных соотношений на X (равенство значений определенных слов свободной группы
F(X) при подстановке в них значений переменных из X). Было доказано существование такой
относительно свободной топологической группы для всякого вполне регулярного пространства
X и ее единственность с точностью до топологического изоморфизма.
Эти идеи А. А. Маркова были развиты А. И. Мальцевым в работе [13], где он
осуществил систематический подход к построению теории свободных топологических алгебраических
объектов в рамках общей теории алгебраических систем. А. И. Мальцев также несколько
изменил понятие свободной топологической группы при обобщении его на алгебраическую
систему произвольной сигнатуры: он потребовал лишь наличия непрерывного отображения X
в свободную топологическую алгебру F(X), а также топологическую порождаемое^ F(X)
с помощью X (т. е. в F(X) не существует собственной замкнутой подалгебры, содержащей
X). Было введено понятие примитивного класса топологических алгебр как семейства всех
алгебр данной сигнатуры, удовлетворяющих фиксированной системе тождеств, и рассмотрены
подклассы алгебр в нем, замкнутые относительно взятия подалгебр и прямых произведений.
Как в примитивных классах, так и в упомянутых подклассах были построены относительно
свободные объекты. Идеи этой работы в дальнейшем нашли свое развитие в трудах по теории
многообразий топологических алгебр (см. [9, 12, 23, 27, 31]).
При рассмотрении элементов дискретного кольца R как унарных операций в качестве
следствия из работ А. И. Мальцева [13] и С. Сверчковского [30] получаем, что для любого вполне
регулярного пространства X существует свободный топологический Л-модуль F(X),
порожденный пространством X. Вопрос о существовании свободного топологического модуля над
недискретным кольцом был положительно решен в работе [1].
Изучение таких объектов, как топологические модули (в частности, топологические
векторные пространства), естественно привело к развитию понятия свободной алгебраической
системы с непрерывной системой операций. Исследования таких систем активно проводились
М. С. Бургиным [1Q], М. М. Чобаном и С. С. Думитрашку [12, 25).
В работе [14] А. А. Марковым был поставлен вопрос: будут ли гомеоморфны пространства,
свободные топологические группы которых топологически изоморфны? М. И, Граевым [11] был
дан отрицательный ответ на этот вопрос, что привело к возникновению понятия
М-эквивалентности пространств (когда их свободные топологические группы топологически изоморфны).
Это дало толчок к проведению цикла исследований по соотношению различных
топологических инвариантов с понятием М-эквивалентности (см. [8]).
В работах [15, 18] А. А. Марков исследовал безусловно замкнутые подмножества
топологических групп. Для счетных групп была дана алгебраическая характеристика безусловно
замкнутых подмножеств.
В работах [15,18], а также в работе [17] А. А. Марковым был поставлен вопрос о
существовании бесконечных (в частности, счетных) групп, не допускающих отделимых недискретных
топологий. Пример такой несчетной группы был приведен в работе [29], а А. Ю. Ольшанским
в [21] были построены примеры таких счетных групп.
В работе [17] А. А. Марков построил пример периодической группы произвольной
мощности, не допускающей связной топологизации. В этой же работе им был поставлен вопрос
о существовании связных топологизации периодических групп. В [16] им был развит общий
метод построения коммутативных связных топологических групп, все канонические элементы
которых имеют порядок, равный двум.
Дальнейшим развитием этого направления исследований явилась серия работ, в которых
изучался вопрос о возможности введения отделимых недискретных топологий в кольцах,
модулях над дискретными кольцами, а также в полугруппах и квазигруппах (см. [32]). Были
получены, в частности, следующие результаты: всякое счетное, не обязательно
ассоциативное, кольцо допускает недискретную отделимую кольцевую топологию [2]; всякое
бесконечное ассоциативно-коммутативное кольцо допускает недискретную отделимую кольцевую
топологию [4]; существует бесконечное неассоциативное кольцо, не допускающее недискретных
отделимых кольцевых топологий [3]. Из работы [2] следует, что всякое счетное тело допускает

КОММЕНТАРИИ
475
недискретную отделимую кольцевую топологию, но вопрос о существовании такой топологии
тела остается открытым (см. [20]). Попытка его решения была предпринята А. Д. Таймановым
в работе [24].
Как это характерно и для других циклов работ А. А. Маркова, его работы [14-19]
чрезвычайно богаты научными идеями и дали мощный импульс развитию ряда направлений современной
топологической алгебры.
Литература
1. Алексей А. Ф., Арнаутов В. И. О свободных топологических модулях // Ма-
тем. исслед. Кишинев. — 1972. — Т. 3, № 25. — С. 3-18.
2. Арнаутов В. И. Недискретная топологизируемость счетных колец // ДАН СССР. —
1970.—Т. 191, № 4. —С. 747-750.
3. Арнаутов В. И. Пример бесконечного кольца, допускающего только дискретную
топологизацию // Матем. исслед. Кишинев. — 1970.— Т. 3, № 17.— С. 182-185.
4. Арнаутов В. И. Недискретная топологизируемость бесконечных коммутативных
колец /I Матем. исслед. Кишинев. — 1970.—Т. 4, № 18. —С. 3-15.
5. Арнаутов В. И. О топологизируемости бесконечных модулей // Матем. исслед.
Кишинев. —1972. —Т. 4, № 26. — С. 241-243.
6. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Михалев А. В. Введение в теорию
топологических колец и модулей. — Кишинев: Штиинца, 1981.
7. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Главацкий С. Т., Михалев
А. В. Конструкции топологических колец и модулей. — Кишинев: Штиинца, 1988.
8. Архангельский А. В. Алгебраические объекты, порожденные топологической
структурой. — Итоги науки и техники. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 25. — М.:
ВИНИТИ, 1987.
9. Б ей дар К. И., Главацкий С. Т., Михалев А. В. Многообразия
топологических о;-групп // Изв. вузов. Сер. матем. — 1989. —Т. 6, № 325. —С. 40-42.
10. Бургин М. С. Топологические алгебры с непрерывными системами
операций // ДАН СССР. — 1973. —Т. 213, № 3. — С. 505-508.
11. Граев М. И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. —
1948.—Т. 12, № 3. — С. 279-324.
12. Думитрашку С. С, Чобан М. М. О свободных топологических алгебрах
с непрерывной сигнатурой // ДАН СССР. — 1981.—Т. 256, № 6. —С. 1314-1318.
13. Мальцев А. И. Свободные топологические алгебры // Изв. АН СССР. Сер.
матем. —1957. —Т. 21, №2. —С. 171-198.
14. Марков А. А. О свободных топологических группах // ДАН СССР. — 1941. —
Т. 31, №4. —С. 299-301.
15. Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах // ДАН СССР. — 1944.—
Т. 44, №5. — С. 196-197.
16. Марков А. А. О существовании периодических связных топологических
групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1944. — Т. 8. — С. 225-232.
17. Марков А. А. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР. Сер.
матем. —1945. —Т. 9, № 1. —С. 3-64.
18. Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб.— 1946.—
Т. 18, №1. —С. 3-28.
19. Мухин Ю. Н. Топологические группы. Итоги науки и техники. Сер. Алгебра.
Топология, Геометрия; Т. 20. —М.: ВИНИТИ, 1982.
20. Нерешенные задачи топологической алгебры. — Препринт. Ин-т математики, ВЦ АН
МолдССР. Кишинев, 1985.
21. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М:
Наука, 1989.

476
КОММЕНТАРИИ
22. П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы. 4-е изд. — М.: Наука, 1984.
23. Протасов И. В., Сидорчук А. Д. О многообразии топологических
алгебраических систем // ДАН СССР. — 1981. —Т. 256, № 6. —С. 1314-1318.
24. Т а й м а н о в А. Д. О топологизируемости счетных алгебр // В сб.: Математический
анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск, 1978. С. 254-275.
25. Ч о б а н М. М. Общие условия существования свободных объектов // Уч. зап.
Тартуск. ун-та.— 1989. —Т. 836. —С. 157-171.
26. Kakutani S. Free topological groups and infinite direct product of topological
groups // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1944. — V. 20. — P. 237-262.
27. Morris S. A. Varieties of topological groups. I // Bull. Austral. Math. Soc. —1969. —
V. 1,№2. —P. 145-160.
28. N a k а у a m a T. Note on free topological groups // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1943. —
V. 19. —P. 471-475.
29. S h e 1 a n S. On problem of Kurosh, Jonsson group, and applications // In: Word
Problems. Vol. 11. —Amsterdam: North-Holland, 1980. P. 373-394.
30. Swierczkowski S. Topologies in free algebras // Proc. London Math. Soc. —
1964. _v. 14, № 55. —P. 566-576.
31. Taylor W. Varieties of topological algebras // J. Austral. Math. Soc. —1977. — V. 23,
№2. — P. 207-241. *
32. Arnautov V. I., Glavatsky S. Т., Mikhalev A. V. Introduction to the
theory of topological rings and modules. — New York: Marcel Dekker, 1996.
В. И. Арнаутов, С. Т. Главацкий, А. В. Михалев
О вариационных принципах в теории пластичности
Конец 1943 г., война... А. А. Марков находится в г. Казани вместе с эвакуированным туда
ЛОМИ. Из чувства патриотизма многие стараются работать в областях, возможно более
близких к приложениям. А. А. Марков также обращается к прикладным задачам математической
физики и получает в них важные результаты.
Рецензируемая статья, вышедшая из печати лишь в 1947г., посвящена установлению
вариационных принципов в варианте теории пластичности, который обычно связывают с именем
Мизеса, а также — доказательству на их основе теорем единственности решения ее трех
основных статических граничных задач — задач а), б) и в) в случаях задания на границе F
области G соответственно:
а) скоростей смещений v среды;
б) нормальной составляющей скорости и касательной составляющей г вектора напряжений
и, наконец,
в) полного вектора напряжений тп.
При этом граница F подчиняется обычным условиям гладкости, а скорость смещений v
относится к классу функций из С2.
В статье полная система уравнений теории пластичности сводится к системе четырех
дифференциальных уравнений в частных производных для функций vx, vyi vg и р, где р — среднее
давление в среде. Затем удачно вводится энергетический функционал Ф(, выраженный через
функции vxtv t vg (к которому в случаях б) и в) добавляются-«еще специальные доапммые),
и обычным образом показывается, что условие стационарности функционала 6ФХ влечет за
собой удовлетворение уравнений для Пир. Центральным же в статье оказывается получение
(на основе использования неравенства Шварца и интегральных преобразований, подобных тем,
какие уже выполнялись при вычислении 6ФХ) выражения дая конечного приращения
энергетического функционала, отвечающего произвольным оистемам функций v и v* из С2. Такое
выражение позволило А. А. Маркову легко доказать, что в классе функций 3>€<72,
удовлетворяющих граничным условиям v = v0 на F и уравнению несжимаемости внутри!?, решение

КОММЕНТАРИИ
477
задачи а) доставляет функционалу абсолютный минимум. Отсюда уже элементарно вытекает
и теорема о единственности решения задачи статики при граничных условиях а). Подобным
же образом рассматриваются и задачи с условиями б) и в).
Для статьи характерна «марковская» точность высказываний и ясность изложения. Ее
несомненно можно отнести к категории образцовых статей по проблемам прикладной
математической физики.
Г. Я. Петрашень

МАРКОВ АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ. ТОМ I
НАУЧНЫЙ РЕДАКТОР И СОСТАВИТЕЛЬ НАГОРНЫЙ Н. М.
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
МЦНМО
121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 34,5. Бумага офсетная № 1.
Гарнитура литературная. Подписано к печати 20.06.2002.
Заказ №114.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Облиздат»
248640, г. Калуга, пл. Старый торг, 5.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга». Адрес
магазина: Москва, Бол. Власьевский пер., д. 11. Тел. (095)-241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru