Text
                    И-"—'—»~-'~-'—1~-'~-'—'—■—■ —i^^^j^^^j^^pj
1 I
1 1
} КЛАССИКИ J
1 ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
1 t
I 1
I 1
1 1
[ e\s .
1 ' 1
I i
1 MAT E МАТИ КА 1
} МЕХАНИКА |
l ФИЗИКА 1
| АСТРОНОМИЯ ]
I 1
1 1
1 1
1
1
! 6\9 1
1 ' 1
} I
' ■ >
L ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО \
1 ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 1
] ЛИ ТЕ РАТуРЫ ,
1 , I
1 МОСКВА-ЛЕНИНГРАД-1949 ,
1 1
1 1
Е--!-■-■.-'-i-j-i-j^-j^uasJ^j^-'—■ —■—JVJJI


u ' НАЧАЛА ЕВКЛИДА КНИГИ VII-X Жеревод с греческого и комментарии Д.Д.Мордухай-Болтооского при редакционном участии и.н.Веселооского Ч ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ | Л И ТЕ PATyPbi MOCK QA -Л Е НИ И ГРАД 19^9 J^l^-I—■I—I > —' -—' —■ —■ —' —' —■>—' —■ ■—' ■—■.—■ ■—'.—■■—'^-
11-5-4 i It s J
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА В конце прошлого года издательство выпустило в русском переводе с греческого снабжённые подробным комментарием первые шесть книг «Начал* Евклида, составившие (в нашем издании) первый том этого замечательного произведения математической мысли. Предлагаемый теперь вниманию читателя второй том евклидовых «Начал» содержит VII, VIII, IX и X книги. Из них первые три посвящены изложению вопросов арифметического и теоретико-числового характера, а десятая книга посвящена исследованию и классификации несоизмеримых величин. «Началам Евклида представляют собою полное и систематическое изложение основ геометрии, составленное в па- чале III века до н. э. одним из веллчайшчх древнегреческих математиков. Эту работу Евклид выполнил с таким искусством и такой логической строгостью, что она не только вытеснила в свое' время все сочинения подобного рода, написанные другими математиками, но и оставалась потом в течение более чем двух тысячелетий основным источником геометрических знаний для всех культурных народов. Так как Rce школьные курсы геометрии в большей или мгпъыей степени отражают «Начала» Евклида, то их новое русское издание имеет целью не только дагь в руки исследователей современный и точный перевод этого классического произведения (поскольку дореволюционные переводы
g ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА устарели и стали библиографической редкостью), но и удовлетворить естественное стремление советских педагогов- математиков ближе ознакомиться с «родоначальником» современного «курса элементарной геометрии». Новый перевод евклидовых «Начал» выполнен с наиболее достоверного греческого текста (Гейберга) профессором Ростовского университета Д. Д. МордухаЙ-Болюйским лрн самом близком участии проф. И. Н. Веселовского и снабжён ими подробным комментарием, имеющим целью облегчить читателю понимание текста и сообщить необходимые для этого историко-математическпе сведения *). Расположение материала в настоящем томе, нумерация чертежей, примечаний и условные обозначения выполнены ло образцу первого юма, лоэтому все указания, сделанные па этот счёт в предисловии переводчика к первому тому, остаются в силе и здесь. *) Комментария, принадлежащие И. Н, Вес&товскоку, отмечены инициалами //. В.
I НАЧАЛА ЕВКЛИДА книги
КНИГА СЕДЬМАЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым (1, 2, 3). 2. Число же ■— множество, составленное из единиц (4, 5, 6). 3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет*) большее. 4. «.Части» же, —если оно его не измеряет (7, 8, 9, 10). 5. Кратное же-—большее от меньшего, если оно измеряется меньшим. 6. Чётное число есть делящееся пополам, 7. Нечётное же — не делящееся пополам или отличающееся на единицу от чётного числа. 8. Четно-чётное число есть чётным числом измеряемое чётное число <раз>. 9. Четно же нечётное есть чётным числом измеряемое нечйтнос число <раз> (11). [10. Нечётно-чётное есть нечётным числом измеряемое чётное число <раз>.] 11. Нечётно-нечётное число есть цечётним числом измеряемое нечётное число <раз>. ■■") В подлиннике <г/лтз;а£тр1р>— «измеряет», но ни в коем случае не «делитг-. У Герона встречаются термины: nspKsiv —делить на части и SiaLfEtn — рассекать (о геометрических фигурах).
Ю НАЧАЛА ЕВКЛИДА 12. (Jepeoe*) число есть измеряемое только единицей. 13. Первые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой. 14. Составное число есть измеряемое некоторым числом. 15. Составные же между собой числа суть измеряемые некоторым числом как общей мерой. 16. Говорят, что число умножает число, когда сколько в нём единиц, столько раз составляется умножаемое и чго-то возникает (12). 17. Когда же два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее <число> называется плоскостным, стороны же его суть перемножаемые между собой числа (13, 14). 18. Когда же три числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его — перемножаемые между собой числа. 19. Квадратное число есть равноравное **) или объем- лемое двумя равными числами (15, 16). 20. Кубическое же — равным равноравное ***) или объем- лемое тремя равными числами. 21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвёртого будут или равнокрагными, или той же частью, или теми же «частями» (17, 18). 22. Подобные плоскостные и телесные числа суть имеющие пропорциональные стороны (19). 23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (20). *) Так в подлиннике — ярштос dsi&jidc; теперь принято говорить «простое число». *;;:) Г? подлиннике о laavx Xgo~. Слово «tca/u;» соответствует нашему «равное число раз <повторчсмое>» и выражает одинаковую кратность повторения. Термин «юбъемлемое» (nspispneviv) относится уже к геометрическому умножению: квадрат получается как площадь, образуемая двумя равными сторонами, которыми он и «объемлется». ***) В подлиннике о tcd/is iggs liiv.-.
КНИГА СЕДЬМАЯ т£ ■н Предложение I Если отложены два неравных числа и всё время при «.последовательном отнятии^ меньшего от большего *) остаток не измеряет предшествующего ему '(отнимаемого'}, пока не останется единица, то первоначальные числа будут первыми между собой. П Пусть для двух [неравных] чисел АВ, CD всё время при «последовательном отнятии» меньшего из большего остаток не измеряет предшествующего ему, пока не останется единица; я утверждаю, что АВ, CD будут первыми между собой, то-есть, что АВ <и> "I CD измеряет одна только единица (черт. 1). Действительно, если АВ, CD не будут первыми между собой, то нх измерит какое-то число. Пусть оно измеряет и будет Е; и пусть CD, измеряя BI, оставит меньшее себя I A; AI же, измеряя DH, оставит меньшее себя НС; ИС же, измеряя /О, оставит единицу QA. Поскольку теперь Е измеряет CD, CD же измеряет BI, то значит, и Е измеряет BI; оно же измеряет и всё ВА; значит, измерит и остаток AI. Но А! измеряет DH; значит, и Е измеряет DH; оно же измеряет и всё DC; значит, измерит и остаток СИ. Но СИ измеряет /G; значит, н Е измеряет /G; оно же измеряет и всё IА; значит, оно измерит и остаток — единицу AG, будучи числом, чего быть не может. Итак, никакое число не будет измерять АВ и CD; значит, АВ и CD—-первые между собой, что и требовалось доказать. 1ерт. !. *) В подлиннике cMb'faipMvisvos от dvDorpsipsiv — термин, соответствующий нашему «нахождению общей меры» или «алгорифму Евклида» (у Аристотеля в том же смысле употребляется глагол ivravacpsb). При отсутствии на русском языке подходящего термина пришлось перевести «последовательно отнимается», чтобы напомнить хорошо известный алгорифм последовательного деления при нахождении общей меры. Таким образом, паше «последовательное деление» превращается у Евклида в ^последовательное отнятие:*.
12 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 2 Для двух данных чисел, не первых между собой, найти наибольшую общую их меру. Пусть данные два числа, не первые между собой, будут АВ, CD. Вот требуется для АВ, CD найти наибольшую Т общую меру (черт. 2). Если теперь CD из- " меряет АВ, измеряет также и себя, то значит, CD есть общая мера CD, АВ. И ясно, чго и наибольшая, ибо никакое <число), большее CD, не измерит CD. ( £ q Если же CD не измеряет АВ, то дли АВ, CD при постоянном отнятии меньшего из большего останется некоторое число, которое -/ измерит предыдущее. Действительно, единица не останется; в противном случае будут АВ, Т CD цервьгми между собой (предложение 1); И это же не предполагается. Значит, останется какое-то число, которое измерит предыдущее. В *-В ^ И пусть CD, измеряя BE, оставит меньшее Черт. 2. се&1 В А, ЕА же, измеряя DI, оставит меньшее себя 1С, С/ же пусть будет измерять АЕ. Поскольку теперь С/ измеряет АЕ, АЕ же измеряет DI, то значит, С/ измерит и DI; оно же измеряет и себя самого; значит, измерит и всё CD. Но CD измеряет BE; значит, и CI измеряет BE; оно же измеряет и ЕА; значит, измерит и все ВА; оно же измеряет и CD; значит. CJ измеряет АВ, CD. Значит, С/ — общая мера АВ, CD. Вот я утверждаю, что <она> и наибольшая. Действительно, если С/ не будет наибольшей общей мерой АВ, CD, ro числа АВ, CD измерит какое-то число, большее .чем С/. Пусть оно измеряет и будет И. И поскольку И измеряет CD, CD же измеряет BE, то значит, и И измеряет BE; оно же измеряет и всё- ВА; значит, оно измерит и остаток АЕ. Но АЕ измеряет DI; значит, и И измерит £)/; оио же измеряет и всё DC; значит, измерит и остаток CJ, большее—-меньшее: это же невозможно. Значит, числа АВ, CD не измерит никакое число, большее С/; значит, С/ — наибольшая общая мера АВ и CD [что и требовалось доказать]..
КИНГА СЕДЬМАЯ 13 Следствие Из этого вот ясно, что если число измеряет два числа, от оно измерит н их наибольшую общую меру*), что н требовалось доказать. Предложение 3 Для трёх данных чисел, не первых между собой, найти наибольшую общую их меру. Пусть данные три числа, не первые между собой, будут А, В, С; требуется для Л, б, С найти наибольшую общую меру (черт. 3). Возьмём для двух Л, В общую наибольшую меру D (предложение 2); вог D или измеряет, или не измеряет С. Пусть сперва измеряет; оно же измеряет и Л, В; значит, О измеряет Л, В, С; значит, D есть для Л, В, С общая мера. Вот я утверждаю, что <она> и наибольшая. Действительно, если D для А, В, С не будет наибольшей общей мерой, то числа Л, В, С измерит какое-то число, бблыиее D. Пусть оно измеряет н будет Е. Поскольку теперь Е измеряет Л, В, С, то значит, оно измерит н Л, В; значит, оно измерит и наибольшую общую меру А, В (предложение 2, следствие). Наибольшая же общая мера Л, В есть £); значит, Е измеряет D, большее —меньшее; это же невозможно; значит, числа Л, В, С не измерит никакое число, большее D\ значит, D есть наибольшая общая мера л, в, с. Но вот пусть D ие измеряет С; я утверждаю сперва, что С, D не будут первыми между собой. Действительно, поскольку Л, В, С не первые между собой, то их измерит какое-то число. Вог измеряющее Л, В, С измерит и А, В, измерит и О—наибольшую общую меру Л, В (предложе- Я В 111 CDC Черт. 3. *) Так, как Н измеряет и АВ, CD и их наибольшую общую меру С! (Гейберг).
]4 НАЧАЛА ЕВКЛИДА ние 2, следствие); око же измеряет и С; значит, числа DT С измерит какое-то число; значит, D, С ие будут первыми между собой. Возьмём теперь их наибольшую общую меру Е (предложение 2). И поскольку Е измеряет Д D же измеряет Л, В, то значил, и Е измеряет Л, В\ оно же измеряет и С; значит. Е измеряет А, В, С; значит, Е есть общая мера Л, В, С. Вот я утвержцаю, что и наибольшая. Действительно, если Е не будет для А, В. С наибольшей общей мерой, то числа Л, В, С измерит какое-то чи:ло, большее чем Е. Пусть оно измеряет и будет /. И поскольку / измеряет .4, В, С, оно измеряет и Л, В\ значит, оно измерит и наибольшую общую меру Л, В (предложение 2, следствие). Наибольшая же общая мера Л, В есть D; значит, / измеряет Д оао же измеряет и С; значит, / измеряет Д С; значит, оно измерит и наибольшую общую меру D, С. Наибольшая же общая мера D, С есть Е; значит, / мерит Е. большее — меньшее; это же невозможно. Значит, числа Л, В, С не измерит никакое число, большее чем Е; значит, Е есть наибольшая общая мера Л, В, С, что и требовалось доказать (21, 22). Предложение 4 Всякое число по отношению ко всякому числу — меньшее по отношению к большему — будет или частью, или <?ластямиъ *). Пусть два числа будут Л, ВС, и пусть меньшее будет ВС; я утверждаю, что ВС по отношению к Л будет или частью, или «частями» (черт. 4). Действительно, Л, ВС или первые между собой, или нет. Пусть сперва Л, ВС будут первыми между собой. Тогда при разделении ВС на <заключающиеся> в нём % цёрт) — точный перевод невозможен; по-русски это звучало бы так: «всякое число всякого числа меньшее—большего есть или часть или «части», «Части» надо понимать в смысле определения 4: меньшее число есть или — большего («часть»), или же — («части*). ,
КНИГА СЕДЬМАЯ 15 единицы каждая единица из Заключающихся) в ВС будет какой-то частью А; так что ВС будет «частями» А. Но вот пусть А, ВС не будут первыми между собой; тогда ВС или измеряет А, или не измеряет. Если теперь ВС измеряет А, то ВС есть часть А. Если же нет, возьмём для А, ВС наибольшую общую меру D (предложение 2) и разделим ВС на равные D -(части) BE, EI, 1С. И поскольку D измеряет А, то D есть часть A; D же равно каждому из BE, EI, 1С; значит, и каждое из BE, EI, 1С есть часть А; так что ВС есть «части» А. Значит, всякое число по отношению ко всякому числу — меньшее по отношению к большему-—-будет или частью или «частями», валось доказать (23). Я ■ Е С 1 Черт. 4. ito и требо- Предложение 5 Если число есть часть числа и другое —такая же часть другого, то и вместе взятые (первыёу будут такой же частью вместе взятых (вторых}, как одно одного. Пусть число А есть часть [числа] ВС и другое D—такая же часть другого EI, как А от ВС; я утверждаю, что вместе взятые A, D будут такой же частью т S вместе взятых ВС, EI, как А от ВС В (черт. 5). Действительно, поскольку какая А часть от ВС, такой же частью будет и Черт. 5. jj от £/? то значит, сколько в ВС чисел, равных А, столько же будет в EI чисел, равных D. Разделим ВС на равные А <часш> ВН, НС, EI же — на равные D части EG, GI; вэт количество ВН, НС буде: равно количеству EG, GI. И поскольку ВН равно А, a EG равно D, то значит, и <вместе взятие) ВН, EG равны <вместе взятым) A, D. На основании того же вот и НС, GI ч
16 НАЧАЛА ЕВКЛИДА <равны> A, D. Значит, сколько в ВС чисел, равных А, столько и в ВС, El будет <чисел>, равных A, D. Значит, каково ВС, кратное <от> А, таким же кратным и вместе взятые ВС, El будут от вместе взятых A, D. Значит, какая А часть ВС, такой же частью и вместе взятые А, В будут от вместе взятых ВС, El, что и требовалось доказать. Предложение 6 Если число есть «части» числа и другое — такие же «части» другого, то и вместе взятые (первшу будут такими же «частями» алеете взятых (вторыху, как одно одного- Пусть число АВ есть «части» числа С и другое DE такие же части другого /, как АВ от С; я утверждаю, что и вместе взятые АВ, DE будут такими же частями вместе взятых С, I, как АВ от С (черт. 6). Т^ Действительно, поскольку какие АВ «части» от С, такими же «частями» будет и DE or /, то значит, сколько в АВ частей С, столько же будет и в DE частей /. Разделим АВ на части С, <именно> £ L АН, ИВ, a DE — на части/, <именнэ> DG, Черт. 6. GE; тогда количество АН, ИВ будет равно количеству DG, GE, И поскольку какая ЛЯ часть С, такая же и DG часть /, то значит, какая часть АИ от С, такой же частью и вместе взятые АН, DG будут от вместе взятых С, I (предложение 5). По той же вот причине и какая часть ИВ от С, такой же частью и вместе взятые ИВ, GE будут от вместе взятых С, I. Значит, какие АВ «части?) от С, такими же «частями» и вместе взятые АВ, DE будут от вместе взятых С, I, что и требовалось доказать. Предложение 7 Если число есть часть числа такая же, как отнятое отнятого, то и остаток будет такой же частью остатка, как целое целого-
КНИГА СЕДЬМАЯ 17 *Р Пусть' число АВ будет частью числа CD такой же, как отнятое АЕ отнятого CI; я утверждаю, что и остаток ЕВ будет такой же частью остатка ID, как целое АВ це- 'ого CD (черг. 7). Действительно, какая часть АЕ от С/, пусть такой же 'частью будет и ЕВ от СИ. И поскольку какая АЕ часть •^от С/, такая же и ЕВ часть от СН, то значит, fl f f Глкакая АЕ часть от С/, **Чгакой же частью будет д ] . - . . ( _...,».„ ^ / ^Зи АВ от Я/ (предло- Чукенне 5). Какая же Черт. 7. участь АЕ от С/, такой \ же частью предполагается и АВ от CD; значит, какая ^ часть АВ от HI, такой же частью оно будет и от CD; значит, HI равно будет CD. Отнимем общее CI; значит, остаток НС равен остатку ID. И поскольку какая часть АЕ от С/, такой же частью [будет] и ЕВ от НС, НС же равно ID, то значит, какая часть АЕ от 67, такой же частью будет и ЕВ от ID, Но какая часть АЕ от CI, такой же частью будет и АВ от CD; и значит, остаток ЕВ будет такой же частью остатка ID, какой целое АВ целого CD, что и требовалось доказать. Предложение 8 Если число есть тастиъ числа такие же, как отнятое отнятого, то а остаток будет такими же чла- стямиъ остатка, как целое целого. Пусть число АВ будет «частями» числа CD, такими же, как отнятое АЕ отнятого CI; я утверждаю, что и остаток ЕВ будет такими же «частями» остатка ID, как целое АВ целого CD (черт. 8). Действительно, положим t G равным АВ. Значит, какие «части» НО от CD, такими же «частями» будет и АЕ от б/. Разделим НО па CD-части НК, KG, а АЕ на 67- части AL, LE; тогда количество НК, KG будет главно количеству AL, LE. И поскольку какая НК-^щ <$В&£ч& кая же и AL часть от CI, CD же 6o^ftie б7, тозначЗфь 2 Евклид *&горь»1Е-
18 НАЧАЛА ЕВКЛИДА еГНК больше AL. Положим ИМ равным AL. Значит, какая часть ИК от CD, такой же частью и ИМ будет от CI; значит, и остаток МК будет такой же частью остатка ID, как целое ИК целого CD (предложение 7). Опять, поскольку какая KG часть 1 .....и f .!■ f от CD, такой же частью будет и EL от С/, СО j i .....I i [ f- же больше С/, то значит, и GK больше EL, Положим ? У f У f ' A7V равным EL. Значит, какая /ТО часть от CD, | Черт. а. такой же частью будет и- i£ A7V от С/; значит, и остаток NG будет такой же частью остатка ID, как целое KG целого CD (предложение 7). Доказано же, что и остаток МК является такой же частью остатка ID, как целое ИК целого CD', значит, и вместе взятые МК, NG будут такой же частью DI, как целое СИ целого CD. Вместе же взятые МК, NG равны ЕВ*), СИ же <равно> ВА; значит, и остаток ЕВ будет такой же частью остатка ID, как целое АВ целого CD, что и требовалось доказать. Предложение 9 Если число есть часть числа и другое — такая же часть другого, то и «.перестановкой», какая часть или «ча~ стиъ первое от третьего, такой же частью или такими же ч.частямиъ будет и второе от четвёртого. Пусть число А будет частью числа ВС и другое D — такой же частью от другого EI, как А от ВС; я утверждаю, что и «перестановкой», какая часть или «части» А. от D, такой же частью или «частями» будет и ВС от EI (черт. 9). Действительно, поскольку какая часть А от ВС, такая же часть и D от EI, то значит, сколько в ВС чисел, равных А, столько и в EI будет равных D. Разделим ВС на *) Действительно, НМ4-МК4-W-{-NG = AL-{-LE-\-EB и HM = AL, KN=EL (Гейберг).
Книга седьмая 19 равные Л <части> ВН,НС, аЕ1—на равные £><части> EG,GI\ тогда количество ВН, НС равно будет количеству EG, GI, И поскольку числа ВИ, НС равны между собой, также и числа EG, GI равны между собой, и количество ВН, НС равно количеству EG, GI, то значит, такая часть или «части» ВН от EG, такой же частью или такими же «частями» будет и НС от GI; так что какая часть или «части» ВН от EG, такой же частью или такими же «частями» будет и вместе взятое ВС от вместе взятого EI (предложения 5 и 6). Но ВН равно A, EG же равно £>; значит, какая часть или «части» А от £), такой же частью или такими же «частями» будет и ВС от EI, что и требовалось доказать. С х Черт. 9, Предложение 10 Если число есть гчастиъ числа и другое — такие же ъчастю другого, то и ^.перестановкой», какие ччастт или часть первое от третьего, такими же 1частямш> или такой же частью будет и второе от четвёртого. Пусть число АВ будет «частями» числа С и другое DE такими же «частями» другого /; я утверждаю, что и «перестановкой», какие «части» или часть АВ от DE, такими же «частями» или такой же частью будет и С от I (черт. 10). Действительно, поскольку какие <части» есть АВ от С, такими же «частями» будет и DE от /, то значит, сколько в АВ частей С, столько и в DE будет частей /. Разделим АВ на С-части АН, НВ, a DE на /-части DG, GE; тогда количество АН, НВ будет равно количеству DG, GE, И Черт. 2*
20 НАЧАЛА ЕВКЛИДА поскольку какая часть АН от С, такой же частью будет и DG от /, и «перестановкой», какая часть или «части» АН от DG, такой же частью или такими же частями будет и С от / (предложение 9). По той же вот причине и какая часть или «части» НВ от GE, такой же частью или такими «частями» будет и С от /; так что и [какая часть или «частно есть АН от DG, такой же частью или такими же «частями» будет и НВ от GE; и значит, какая часть или «части» есть АН от DG, такой же частью или такими же «частями» будет и АВ от DE; но какая часть или «части» есть АН от DG, такая же часть или «части» есть, как показано, и С от /, и] какие [значит] «части» или часть есть АВ от DE, такими же «частями» или такой же частью будет и С от /, что и требовалось доказать. Предложение И Если как целое к целому, так и отнятое к отнятому, то и остаток к остатку будет как целое к целому. t Пусть как целое АВ к целому CD, так и отнятое АЕ к отнятому С/ (черт. II); я утверждаю, что и остаток ЕВ к остатку ID будет, как целое АВ к целому CD. ? Поскольку как АВ к CD, так и АЕ к CI, то значит, какая часть или «части» есть АВ от CD, такой же частью или «частями» будет АЕ от CI (определение 21). И значит, остаток ЕВ ^ будет такой же частью или «частями» остат- Черт. 11. ка ID, как и АВ от CD (предложения 7, 8). Значит, будет, что как ЕВ к ID, так и АВ к CD, что и требовалось доказать. Предложение 12 Если несколько чисел пропорциональны, то будет, что как один из предыдущих к одному из последующих, так и все предыдущие ко всем последующим*). *) Подразумевается — вместе взятые к вместе взятым.
КНИГА СЕДЬМАЯ 21 Пусть будут несколько чисел А, В, С, D пропорциональны, <т. е.> как А к В, так и С к О; я утверждаю,что будет как А к В, так и А, С к В, D (черт. 12). В самом деле, поскольку как А к В, так и С к D, то значит, какая часть или «части» есть А от В, такой же частью или «частями» будет и С от О (определение 21). И значит, вместе взятые Л, С от вместе взягых В, D будут такой же частью или такими же «частями», как Л от В (предложения 5,6). Черт. 12. Значит, будет, чго как А к В, так и Л, С к в, D (определение 21), что и требовалось доказать. А В В Предложение 13 Если четыре числа пропорциональны, то и перестановкой они будут пропорциональны. Пусть будут четыре числа А, В, С, D пропорциональны, <т. е.> как А к В, так и С к £>; я утверждаю, что и перестановкой они будут пропорциональны— как Л к С, так и В к D (черт. 13). W% Действительно, поскольку как А к В, так и С к D, то значит, какая часть или «части» есть Л от В, такой же частью или такими же «частями» будет и С от О (определение 21). Значит, перестановкой, какая часть или «части* есть Л от С, такой же частью или такими же «частями» будет и В от D (предложение 10). Значит, будет, что как Л к С, так и В к D (определение 21), что и требовалось доказать. Предложение 14 Если будет сколь угодно чисел и других, равных им по количеству, взятых попарно и в том же самом отношении, то и апо равенству» они будут в том же самом отношении. Черт. 13.
22 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть будет сколь угодно чисел А, В, С и других, равных им по количеству, взятых попарно в том же самом отношении D, Е, /, — как А к В, так и D к Е, как же б к С, так и Е к I (черт. 14); я утверждаю, что и «по равенству» будут как А к С, так и D к /. В Е i 1 I' ... ■■■ ( С ' I Черт. 14. Действительно, поскольку как А к В, так и D к Е, то значит, и перестановкой будут как А к D, так и В к Е (предложение 13). Опять, поскольку как В к С, так и Е к /, то значит, и перестановкой будет как В к Et так и С к I. Как же В к Е, так и А к Л; и значит, как Л к Л, так и С к /; перестановкой, значит, будет как А к С, так и Л к /, что и требовалось доказать. Предложение 15 Если единица измеряет некоторое число, а другое число равное (число раз> измеряет некоторое иное число, то и перестановкой равное (число разу единица будет измерять третье число, а второе — четвёртое. Л В Н G С ' О Л £ И l I ' - i I 1 ' 1 Черт. 15. Пусть единица А измеряет некоторое число ВС, а другое число D равное <число раз> измеряет некоторое иное число £7; я утверждаю, что и перестановкой равное <число раз> единица А измеряет число D, а ВС — <число> EI (черт. 15).
КНИГА СЕДЬМАЯ 23 Действительно, поскольку равное <число раз> единица А измеряет число ВС, а £> —<число> El, то значит, сколько в ВС есть единиц, столько и в EI будет чисел, равных D. Разделим ВС на <содержащиеся> в ней единицы ВИ, HG, GC, а £7 —на равные D <числа> ЕК, KL, U. Тогда количества ВИ, HG, GC будет равно количеству ЕК, АХ, Ц. И поскольку равны между собой единицы ВИ, HG, GC, равны также между собой и числа ЕК, KL, LI, и количество единиц ВИ, HG, GC равно количеству чисел ЕК, KL, U, то значит, будет, что как единица ВИ к числу ЕК, так и единица HG к числу KL, и единица GC к числу LL И значит, будет, что как один из предыдущих к одному из последующих, так и все предыдущие ко всем последующим (предложение 12); будет, значит, что как единица ВИ к числу ЕК, так и ВС к EI. Единица же ВИ равна единице А, число же ЕК-—числу D. Значит, будет, что как единица А к числу D, так и ВС к El. Значит, равное <чпсло раз> единица А измеряет число D и ВС — <число> EI, что и требовалось доказать (25). Предложение 16 Если два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающие аз них будут равны между собой. Пусть будут два числа А, В я пусть А, умножая В, производит С; В же, умножая А, „ ] ]t производит D; я у гверждаю, что С будет равно D (черт. 16). ^ Действительно, поскольку А, ум- С\ — иожая В, произвело С, то, зна- « , чит, В измеряет С по <количеству> единиц в А. Также и единица ^ ' Е измеряет число А по <колц- Черт. 16. честву содержащихся> в иём единиц; значит, равное <число раз> единица Е измеряет число А, и В — <число> С. Значит, и перестановкой равное <число раз> единица Е измеряет число В и А — <число> С (предложение 15). Опять, поскольку £, умножая
2* НАЧАЛА ЕВКЛИДА А, произвело D, то значит, А измеряет D по <коли- честву содержащихся) в В единиц. Также и единица Б измеряет В по <Количеству содержащихся) в нём единиц; значит, равное <число раз) единица Е измеряет число В, и А—<число> D. Но равное <число раз) единица Е измерята число В, и А — <число> С; значит, равное <число раз) А измеряет каждое из С, D. Значит, С равно D, что и требовалось доказать (26, 27, 28), Пргдложение 17 Если число, умножая два числа, производит нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое /7"| , ■ 1 отношение, что и ум- п ножаемые. Пусть число А, умножая С* ■■ ' " ' два числа В, С, производит ;■ — -^ Dt E; я утверждаю, что будет как В к С, так и D к Е Ь ' (черт. 17). /'—' ' Действительно, посколь- Черт. 17. КУ А умножая б, произвело D, то значит, В измеряет D по количеству) единиц в А. Также и единица / измеряет число А по <количеству содержащихся) в нём единиц; значит, равное <число раз) единица / измеряет число А, и В — <число> D. Значит, будет, что как единица / к числу А, так и В к Л (определение 21). По той же вот причине и как единица / к числу А, так и С к Е; и, значит, как В к D, так и С к Е. Значит, перестановкой будет, что как В к С, так и D к Е, что и требовалось доказать. Предложение 18 Если два числа, умножая некоторое число, производят нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое отношение, что и умножающие,
КНИГА СЕДЬМАЯ 25 Пусть два числа А, С, производят D, Е; я утверждаю, что будет как А к В, так и D к Е (черт. 18). Действительно, поскольку А, умножая С, произвело D, значит, и С, умножая А, произвело D (предложение 16). По той же вот причине и С, ум- умиожая некоторое число Черт. 18. ножая В, произвело Е. Вот число С, умножая два числа А, В, произвело D, Е. Значит, будет, что как А к В, так и D к Е (предложение 17), что и требовалось доказать. Предложение 19 Если четыре числа пропорциональны, то возникающее из первого и четвёртого число будет равно возникающему из второго и третьего числу; и если В С В Е I H возникающее из первого и четвёрто- "г го число равно (возникающему), из второго и третьего, то четыре числа будут пропорциональны* Пусть будут четыре пропорциональных числа Д В, С, D, <т, е.> как А к В, так и С к D, и пусть А, умножая D, производит Е', В же, умножая С, 'производит /; я утверждаю, что Е будет равно / (черт. 19). В самом деле, пусть Д умножая С, произведёт И. Поскольку теперь А, умножая С, произвело //, умножая же D, произвело Е, то вот число А, умножая два числа С, /_), произвело И, Е. Значит, будет, что как С к D, так и И к Е (предложение 17). Но как СкД так и А к В; и, значит, как А к В, так а Нк Е. Опять, поскольку А, умножая С, произвело Н, но вместе с тем и В, умножая Черт. 19.
26 НАЧАЛА ЕВКЛИДА С, произвело /, то вот два числа А, В, умножая некоторое число С, произвели Н, I. Значит, будет, что как А к В, так и Н к / (предложение 18). Но вместе с тем и как А к В, так и Н к Е; и значит, как Н к Е, так и И к I. Значит, Н к каждому из Е, / имеет то же самое отношение; значит, Е равно / (предложение 9 книги V). Опять вот пусть Е будет равно /; я утверждаю, что будет как А к В, так и С к D. Действительно, после тех же самых построений, поскольку Е равно будет /, то значит, будет, что как Н к Е, так и Н к / (предложение 7 книги V). Но как Н к Е, так и С к D (предложение 17), как же Я к /, так и А к В (предложение 18). И значит, как А к В, так и С к D, что и требовалось доказать (29, 30). Предложение 20 Числа, наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними, равное {число разу измеряют имеющие „ -- то самое же отношение (часлау, при- Т Т чём большее (измеряет} большее, а \s меньшее — меньшее. о "^ X/ Пусть CD, EI будут числа наименьшие из имеющих то же самое отноше- " ние с Л, В; я утверждаю, что равное ■* ' " <число раз> CD измеряет A, a EJ .(измеряет) В (черт. 20). Действительно, CD не является «частями» А. В самом деле, пусть оно, Черт. 20. если возможно, будет <ими>; значит, и EI будет такими же «частями» от В, как CD от А. Значит, сколько в CD частей А, столько же будет и в El частей В. Разделим CD на А-части СН, HD, а Е/ на S-части EG, GI; тогда количество СН, HD равно будет количеству EG, GI. И поскольку числа СН, HD равны между собой, так же и числа EG, GI равны между собой, и количество СН, HD равно количеству EG, GI, то значит, как СН к EG, так и HD к GI. Значит, будет, что И как Один из предыдущих к одному из последующих, так
КНИГА СЕДЬМАЯ 27 и все предыдущие ко всем последующим (предложение 12). Будет, значит, что как СИ к EG, так и CD к El; значит, СИ, EG с CD, EI находятся в том же самом отношении, будучи меньше их; это же невозможно, ибо CD, El предполагаются наименьшими из имеющих то же самое отношение с ними. Значит, CD ие является «частями» А; значит, <оно> — часть (предложение 4). И El от В является такой же частью, что CD от А; значит, равное <число раз) CD измеряет А, и El <измеряет> В, что и требовалось доказать (31). Предложение 21 Первые между собой числа суть наименьшие из имеющих с ними то же самое отношение. Пусть будут первые между собой числа А, В; я утверждаю, что Л, В суть наименьшие из имеющих с ними то же самое отношение (черт. 21). Действительно, если иет, то будут какие-то меньшие A, В числа, находящиеся в том же самом отношении с А, B. Пусть они будут С, D. Поскольку теперь числа, наименьшие из имеющих то же самое отношение, равное (число раз> измеряют имеющие то же самое отношение, именно „ большее — большее и меньшее — меньшее (предложение 20), то-есть предыдущее—предыдущее и последующее — последующее, то значит, равное (число раз) С измеряет Л, и D (измеряет) В. -*- Вот, сколько раз С измеряет Л, пусть Черт. 21. столько единиц будет в Е. Значит, и D измеряет В по (количеству) единиц в Е. И поскольку С измеряет А по (количеству) единиц в Е, значит, и Е измеряет Л но <количеству) единиц в С (предложение 15). IIo той же вот причине Е измеряет и В по (количеству) единиц в D (предложение 15). Значит, Е измеряет А, В, являющиеся между собой первыми; это же невозможно (определение 13). Значит, не будет никаких меньших Л, В чисел, находящихся в том же самом отношении с А, В, что и требовалось доказать, 11
28 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 22 Числа, наименьшие из имеющих с ними то же самое отношение, будут первыми между собой. Пусть числа, наименьшие из имеющих с ними то же самое отношение, будут А, В', я утверждаю, что А, В будут первыми между собой (черт. 22). Действительно, если они не первые между собой, то какое-то число <их> измерит. Пусть оно измеряет и будет С. И сколько раз С измеряет А, пусть столько единиц бу- ,? ■ i дет в D', сколько же раз С измсря- „ ет В, пусть столько единиц будет в£\ % Поскольку С измеряет А по <ко- ^' ' "' личесгву> единиц в D, то значит, С, В\ 1 умножая D, произвело А (определе- с , ' иие 16). По той же вот причине и С, Чеот Т> умножая Е, произвело В. Вот число С, умножая два числа D, Е, произвело А, В; значит, будет, что как D к Е, так к А к В (предложение 17); значит, D, Е с А, В находятся в том же самом отношении, будучи меньше их; это же невозможно. Значит, никакое число не измерит числа А,- В. Значит, А, В суть первые между собой, что и требовалось доказать (32). Предложение 23 Если два числа суть первые между собой, то число, измеряющее одно из них, будет первым с оставшимся Пусть будут два числа, первые между собой, А, В, и пусть какое-то число С измеряет А; я утверждаю, что и С, В будут первыми между собой (черт. 23). Действительно, если С, В не будут первыми между собой, то [какое-то] число измерит С, В. Пусть оно измеряет и будет D. Поскольку D измеряет С, С же измеряет А} Черт. 23. то значит, D измеряет и А. Измеряет оно также и В; значит, D измеряет А, В, являющиеся между собой первыми; это же невозможно. Значит, никакое число ие измерит чисел С, В. Значит, С, В будут первыми между собой, что и требовалось доказать. , . „ . 1 Р с
КНИГА СЕДЬМАЯ 29 Предложение 24 Если два числа будут первыми по отношению к ка- KOMV-tno числу, то и возникающее из них (произведение} будет по отношению к нему первым. Пусть два числа А, В будут первыми по отношению к какому-то числу С, и пусть Л, умножая б, производит D; я утверждаю, что С, D будут пер- выми между собой (черт. 24). 1 1 Действительно, если С, D не будут | I первыми между собой, то [какое-то] -L ^ число измерит С, D. Пусть оно измеряет и будет Е. И поскольку С, А— " первые между собой, С же измеряется*) } каким-то числом Е, то значит, Л, Е -£, будут первыми между собой (предложи . ние 23). Вот сколько раз Е измеряет/), пусть столько единиц будет в /; и зна- ^еРт- 24, чит, / измеряет D по (количеству) единиц в Е (предложение 15). Значит, Е, умножая /, произвело D (определение 16). Вместе с тем и А, умножая В, произвело D\ значит, <произведение> из Е, I равно <произве- дению> из Л, В. Если же произведение крайних будет равно произведению средних, то четыре эти числа будут пропорциональны**); значит, будет, что как Е к А, так и В к /. Но Л, Е —- первые, первые же и наименьшие (предложение 21), числа же, наименьшие из имеющих то же самое отношение, равное <число раз> измеряют большее — большее и меньшее— меньшее (предложение 20), т. е. предыдущее — предыдущее и последующее — последующее; значит, Е измеряет В. 0[Ю также измеряет и С; значит, Е измеряет В, С, являющиеся между собой первыми; это же невозможно. Значит, никакое число не измерит числа С, D. Значит, С, D будут первыми между собой, что и требовалось доказать, *) Во избежание недоразумений, действительный оборот под- лищ-г.жа заменён страдательным. **) Интересно отметить, что формулировка эта не совпадает с формулировкой предложения 19, являясь с ним по существу тождественной: в данном случае мы имеем то ruv S/piav, ияо тй- lUufuv, тогда как в предложении 19 уиотреблеио ^yo^yot; In.
30 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 25 Если два числа суть первые между собой, то возникающая- из одного из них (степень}*) будет первой по отношению к оставшемуся. Т Т Т Т Пусть два числа, первые между собой, I I будут А, В, и пусть А, умножая самого I 1 себя, произведёт С; я утверждаю, что В, С бjдут первыми между собой (черт. 25). Действительно, положим D равным А. Поскольку Л, В—первые между собой, А же Черт 25 равно D, то значит, и D, В будут первые" между собой. Значит, каждое из D, А будет по отношению к В первым; значит, и возникающее из D, А будет по отношению к В первым. Возникающее же из D, А число есть С. Значит, С, В будут первыми между собэй, что и требовалось доказать. Предложение 26 Если два числа по отношению к двум числам будут— оба по отношению к каждому — первыми, то и возникающие из них будут первыми между собой. " ' ^ ' Пусть два числа Л, В 8^ ' i B\ 1 по отношению к двум чис- ^ лам С, D буду т — оба по ^^ отношению к каждому — ' первыми, и пусть А, умио- Черт, 26. жая В, произведёт Е\ С же, умножая D, произведёт /; я утверждаю, что Е, I будут первыми между собой (черт. 26). Действительно, поскольку каждое из А, В является по отношению к С первым, то значит, и возникающее из Л, В <произведение> будет по отношению к С первым (предложение 24). Возникающее же из А, В <произведение> есть Е; значит, Е, С суть первые между собой. По той *) 6 Ixtoo ivs?3'jTuv fEvojiEvoT — первоначальная форма выражения «6 мб too...»—наше «квадрат на..,^.
КНИГА. СЕДЬМАЯ 31 же вот причине и Е, D будут первыми между собой. Значит, каждое из С, D по отношению к Е является первым. Значит, и возникающее из С, D <прои.шедекие> по отношению к Е будет первым. Возникающее же из С, D <про- изведение> есть /. Значит, Е, I будут первыми между собой, что и требовалось доказать. Предложение 27 Если два числа будут первыми между собой и каждое, умножая само себя, производит что-то, то и возникающие из них (произведения") будут первыми между собой; и если первоначальные (числау, умножая эти возникающие, производят # & что-то, то и эти последние будут Т 1 первыми между собой [и то же всегда ■* будет происходить в дальнейшем*)]. Пусть два числа, первые между собой, будут A, Bt и пусть А, умножая само себя, произведёт С, умножая же С, произведёт Dt а В, умножая само себя, произведёт Еу умножая же Е} произведёт /; я утверждаю, что С, Е и D, / будут первыми между собой (черт. 27). Действительно, поскольку А, В — первые между собой, и А, умножая само себя, произвело С, то значит, С, В будут первыми между собой (предложение 25). Поскольку теперь С, В первые между собой, и В, умножая само себя, произвело Е, то значит, С, Е будут первыми между собой. Опять, поскольку А, В — первые между собой, и В, умножая само себя, произвело Е, то значит, Л, Е будут первыми между собой. Поскольку теперь два числа А, С по отношению к двум числам В, Е будут оба по отношению к каждому первыми, то значит, и возникающее из А, С по *) В подлиннике сказано: ягрьтоЬ: a'/poiK—для крайних. Ввиду того, что этот термин не встречается в самом тексте доказательства, Гейберг считает поставленпые й квадратных скобках слова позднейшей, хотя и сравнительно ранней (до Теона) интерполяцией. 1
32 НАЧАЛА ЕВКЛИДА отношению к <возникающему> из В, Е будет первым (предложение 26). И <возникающее> из Д С есть D, <возни- кающее> же из В, Е <есть> /. Значит, D, J будут первыми между собой, что и требовалось доказать. Предложение 28 Если два числа будут первыми между собой, то и оба вместе взятые*) по отношению к каждому из них будут первыми; и если оба вместе взятые Л В С являются перейми по отношению к какому-нибудь одному из них, то и f g первоначальные числа будут первыми 1 ' между собой. Черт. 28. Сложим два первые между собой числа АВ, ВС; я утверждаю, что и оба вместе взятые АС по отношению к каждому из АВ, ВС будут первыми (черт. 28). Действительно, если не будут С А, АВ первыми между собой, то какое-то число измерит СА7 АВ. Пусть оно измеряет и будет D. Поскольку теперь D измеряет С A, ABt то значит, оно будет измерять и остаток ВС**). Измеряет оно также и ВА; значит, D измеряет АВ, ВС, являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, никакое число не измерит числа СА, АВ; значит, СА, АВ будут первыми между собой. По той же вог причине и АС, СВ будут первыми между собой. Значит, СА будет первым по отношению к каждому из АВ, ВС. Затем пусть вот будут СА, АВ первыми между собой; я утверждаю, что и АВ, ВС будут первыми между собой. Действительно, если не будут АВ, ВС первыми между собой, то какое-то число измерит АВ, ВС. Пусть оно изме- *) В подлиннике соуа[крот£рос, что не вполне точно соответствует нашей «сумме»; по существу здесь идёт речь об отрезке прямой, составленном из двух изображающих числа отрезков. **) Интересно отметить, что это положение у Евклида нигде не доказывается; повидимому он, или его первоисточник, считал очевидным, что, если число измеряет сумму и одно слагаемое, то оно будет измерять и другое слагаемое; и также, что число, измеряющее оба слагаемых, будет измерять и сумму.
КНИГА СЕДЬМАЯ 33 ряет и будет D. И поскольку D измеряет каждое из АВ, ВС, то значит, оно измерит и целое С А*). Измеряет оно также и АВ; значит, D измеряет С А, АВ, являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, никакое | число не измерит чисел АВ, ВС. Значит, АВ, ВС будут ^/первыми между собой, что и требовалось доказать. f\J Предложение 29 ■О л?* Всякое первое число будет первым по отношению О^Л" каждому числу, которого оно не измеряет. ик* Пусть будет первое число А и пусть оно не измеряет \В\ я утверждаю, что В, А будут пер- „ выми между собой (черт. 29). ' Действительно, если не будут В, &1 ... — .-ч А первыми между собой, то какое-то и\ . число их измерит. Пусть их измеряет С. ■ ' Поскольку С измеряет В, А же не Черт. 29. измеряет В, то значит, С не будет тождественным А. И поскольку С измеряет В, А, то значит, оно [измеряет и Л, являющееся первым и с ним не тождественное; это же невозможно. Значит, никакое число не измерит В, А. Значит, А, В будут первыми между собой, что и требовалось доказать. Предложение 30 Если два числа, умножая друг друга, производят что-то, возникающее же из них измеряется**) каким-то первым числом, то (последнее)? измерит и одно из первоначальных. Пусть два числа А, В, умножая друг друга, производят С, и пусть С измеряется каким-то первым числом О; я утверждаю, что D измеряет одно из А, В (черт. 30). Действительно, пусть оно не измеряет А, и D есть перг вое; значит, A, D будут первыми между собой (предложе- *) См. предыдущую сноску. **) Во избежание двусмысленности, действительный оборот подлинника заменён страдательным. ,. • ■ 3 Евклид , ^ У5' ^\
34 НАЧАЛА ЕВКЛИДА ние 29). И сколько раз D измеряет С, пусть столько единиц будет в Е. Поскольку теперь D измеряет С по <количеству> единиц в Е, то значит, Д умножая Е, произвело С (определение 16). Вместе с тем и Л, умножая В, произвело С; значит, <произведепие> из D, Е рав- ^ но <произведению> из Л, В; значит, будет, что как D к А, так и В к Е. В1 ' Но D, Л —первые, первые же и р—.— i наименьшие, наименьшие же изме- ряют имеющие то же самое отношение равное <мисло раз> большее— ^' ! большее и меньшее — меньшее (пред- Черт. 30. ложение 20), то-ее гь предыдущее — предыдущее и последующее — последующее; значит. D измеряет В. Подобно вот докажем, что и если оно не измеряет В, то будет измерять Л, Значит, D измеряет одно из А. В, что и требовалось доказать. Предложение 31 Всякое составное число измеряется каким-то первым г числом. |; Пусть будет составное число А; я утверждаю, что А { измеряется каким-то первым числом (черт. 31). I Действительно, поскольку А есть составное, его изме- $ рит какое-то число. Пусть оно измеряет и будет В. И если | В первое, то заданное уже было 1 ' бы выполнено. Если же <оно> со- | д\ ,,. у ставное, то его измерит какое-то | $\ i чис.то. Пусть оио измеряет и бу- ' дет С. И поскольку С измеряет Черт. 31 5, В же измеряет А, то значит, и С измеряет Л. И если С первое, то заданное уже было бы выполнено. Если же оно составное, то его будет измерять какое-то число, Вот при производстве такого пересмотра останется какое-то первое число, которое измерит. Действительно, если бы не осталось, то число А будет измеряться бесконечным <рядом>
КНИГА СЕДЬМАЯ 35 чисел*), из кэторых каждое каждого будет меньше; это же невозможно для чисел. Значит, останется какое-то первое число, которое измерит предыдущее, которое измерит и А. Значит, всякое составное число измеряется каким-то первым числом, что и требовалось доказать (33, 34). Предложение 32 Всякое число — или первое, ила измеряется каким- то первым числом. Пусть б\дет число А; я утверждаю, что оно —или первое, или измеряется каким-то первым числом (черт. 32.) ( Я | Если теперь А первое, то заданное уже было бы выполнено. Если же— составное, то 1Т „„ его будет измерять какое-то первое число. Значит, всякое число — или первое, или измеряется каким-то первым числом, что и требовалось, доказать. Предложение 33 Для заданных в любом количестве чисел найти наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними. Пусть будут заданные в любом количестве числа А, В, С; вот требуется найти наименьшие из имеющих то же самое отношение с А, В, С (черт. 33). Действительно, А, В, С будут или первыми между собой, или же нет. Если теперь А, В, С будут первыми между собой, то они будут наименьшими из имеющих то же самое отношение с ними (предложение 21). Если же иет. то возьмём для А, В, С наибольшую общую меру D (предложение 3), и сколько раз D измеряет каждое из А, В, С, пусть будет столько единиц в каждом из F, /, И, И значит, каждое из £", I, И измеряет каждое *) Для ясности действительный оборот подлинника переделан в страдательный. 3*
36 НАЧАЛА ЕВКЛИДА отношении с Л, 5, С с fi в Е I 8 К i M из Л, В, С по (количеству) единиц в D (предложение 15). Значит, Е, [, И равное <число раз) измеряют А, £>', С; значит, Е} /, И находятся с А, В, С в том же самом отношении (определение 21). Вот я утверждаю, что <они> и наименьшие. Действительно, если не будут Е, /, И наименьшими из имеющих то же самое отношение с А, В, С, то будут [какие-то] меньшие Е, /, И числа, находящиеся в том же самом Пусть они будут G, К, L; значит, равное <число раз) G изме- I ряет А, и каждое из К, L <из- £ меряет) каждое из £, С. Сколь- ко ж:е раз G измеряет Л? : пусть будет столько единиц в М\ и значит, каждое из К, L измеряет каждое из В, С по ■(количеству) единиц в М. И поскольку G измеряет А по <ко- личеству) единиц в М, то значит, и М измеряет А по ■(количеству) единиц в G (предложение 15). По той же вот причине М измеряет и каждое из В, С но <колпчеству) единиц в каждом из К, Ц значит, М измеряет Л, В, С. И поскольку G измеряет А по количеству) единиц в М, то значит, G, умножая Ж, произвело А (определение 16). По той же вот причине и Е, умножая D, произвело А. Значит, •(произведение) из Е, D равно будет <произведению) из G, М. Значит, будет, что как Е к G, так и М к D (предложение 19). Но Е больше, чем G; значит, и Ai больше, чем D (предложение 14 книги V). И оно измеряет А, В, С; это же невозможно, ибо D предполагается для А, В, С наибольшей общей мерой. Значит, не будет никаких меньших, чем Е, I, H, чисел, находящихся в том же самом отношении с Л, В, С. Значит, Е% /, И будут наименьшие из имеющих то же самое отношение с Л, В, С} что и требовалось доказать (35). Черт. 33.
I КНИГА СЕДЬМАЯ 37 Предложение 34 Для двух заданных чисел найти, какое наименьшее число они измеряют. Пусть два заданных числа будут Л, В; требуется вот найти, какое наименьшее число они измеряют (черт. 34). Действительно, А, В будут или первыми между собой или нет. Пусть сперва А, В будут первыми между собой, и пусть Л, умножая В, произведёт С; и значит, £, умножая А, произвело С (предложение 16). Значит, А, В измеряют С. Вот я утверждаю, что <оио> и наи- д g меньшее. Действительно, если нет, ' ' ' ' то А, В измерят какое-то число, меиь- —— ■ ■ — ■■< шее С. Пуст!) они измеряют D. , В , И сколько раз А измеряет D, пусть [ 1 столько единиц будет в Е; сколько ' ' ' же раз В измеряет D, пусть столь- Черт. 34. ко единиц будет в /; значит, А, умножая Е, произвело D, а В, умножая /, произвело D (определение 16); значит, <пронзведенис> из Л, нравно (произведению) из В, I. Значит, будет, что как А к В, так и / к Е (предложение 19). Но Л, В первые, первые же и наименьшие (предложение 21), наименьшие же измеряют имеющие то же самое отношение равное <число раз), большее — большее и меньшее — меньшее (предложение 20); значит, В измеряет Е, как последующее (измеряет) последующее. И поскольку Л, умножая В, Е, произвело С, D, то значит, будет, что как В к Et так и С к D (предложение 17), Но В измеряет Е; значит, и С измеряет D (определение 21), большее—меньшее; это же невозможно. Значит, Л, В не измеряют никакого числа, меньшего, чем С. Значит, С, будучи наименьшим, измеряется Л, В. Вот пусть Л, В не будут первыми между собой, и возьмём наименьшие числа /, Е из имеющих то же самое отношение с Л, В (предложение 33); значит, (произведение) из Л, Е равно будет (произведению) из В, I (предложение 19). И ; усть Л, умножая Е, произведёт С; значит, и В, умножая /, произвело С; значит, Л, В измеряют С. Вот я утверждаю, что (оно) и наименьшее {черт. 35). Действительно, если нет, то Л, В измерят какое-то число, меньшее С, Пусть
38 НАЧАЛА ЕВКЛИДА они измеряют D. И сколько раз А измеряет D, пусть столько единиц будет в И', сколько же раз В измеряет D, пусть столько единиц будет в G. Значит, Д умножая И, произвело D, а В, умножая G, произвело D (определение 16). Значит (произведение) из А, И равно (произведению) из В, G; значит, будет, что как А 1 Я . | , -£- , к В, так и G к И (предложе- / | £ ние 19). Как же А к В, так и р I к Е; и значит, как / к Е, так 1 и G к И. Но /, £— наименьшие, t—, -_ ^ i наименьшие же измеряют имею- Н ] £ | щис то же самое отношение равное <число раз), боль- Черт, 35. ц|ее — большее и меньшее —- меньшее (предложение 20); значит, Е измеряет И. И поскольку А, умножая Е, И, произвело С, D, то значит, будет, что как Е к И, так и С к D (предложение 17). Но Е измеряет И; значит, и С измеряет D (определение 21), большее—-меньшее; это же невозможно, Значит, А, В не измерят никакого числа, меньшего чем С. Значит, С, будучи наименьшим, измеряется Л, В, что и требовалось доказать. Предложение 35 Если два числа измеряют какое-то число, то его измерит и наименьшее ими измеряемое (числоу. Пусть два числа А, В измеряют какое-то число CD, наименьшее же <ими измеряемое) Е; я ут- | t ц . i верждаю, что кЕ измеряет CD (черт. 36). С\ 1 \0 Действительно, если Е не измеряет CD, то \— — 1 пусть Е, измеряя Dl, Черт yg оставит Ci, меньшее себя. И поскольку А, В измеряют Е, Е же измеряет DI, то, значит, и Л, В измерят DI. Но они измеряют и всё CD; значит, они измерят и остаток С/, который меньше Е; это же невозможно. Значит, Е не будет не измерять CD; значит, измерит, что и требовалось доказать.
КНИГА СЕДЬМАЯ Предложение 36 Для трёх заданных чисел найти, какое наименьшее число они измеряют. Пусть три заданных числа будут Л, В, С; требуется вот найти, какое наименьшее число они измеряют (черт. 37, 38). Возьмём наименьшее измеряемое двумя Л, В <число> D (предложение 34). Вот С или измеряет D, или пет. Пусть сперва оно измеряет. Но и Л, В из- ^, , меряют D; значит, и А, В, С измс- _ ряют D. Вот я утверждаю, что <оно> ' ' и наименьшее. Действительно, если С— -1 ■ "*^ нет, то А, В, С измерят [какое-то] ^, i число, меньшее Z). Пусть они изме- ,_ ряют Е. Поскольку Л, S, С измеряют £", то значит, и Л, 5 измеряют £, Черт. 37, И значит, наименьшее, измеряемое Л, В, измерит [Е] (предложение 35). Наименьшее же. измеряемое Л, В, есть D; значит, D измерит Е, большее — меньшее; это же невозможно. Значит, Л, В, С не измерят никакого числа, /7н——4 , меньшего чем D\ В\ "— i . значит, Л, S, С наименьшее измеряют D. С* "' ' Затем, пусть £i .— ..- -f вот С не измеряет /: , _™_ч ^, и возьмём (черт. 38) наи- Черт. 38. меньшее измеряемое С, Z) число Е (предложение 34). Поскольку Л, В измеряют D, a D измеряет Е, то значит, и Л, £ измеряют £. Также и С измеряет [Е; и], значит, Л, В, С измеряют Е. Вот я утверждаю, что <оно> и наименьшее. Действительно, если нет, то Л, В, С измерят какое-то <число>, меньшее Е. Пусть они измеряют /. Поскольку Л, В, С измеряют /, то значит, н Л, В измеряют /; н значит, наименьшее, измеряемое А, В, измерит / (предложение 35). Наименьшее же, измеряемое
40 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Л, В, есть D; значит, D измеряет /. Также и С измеряет /; значит, D, С измеряют /, так что и наименьшее измеряемое D, С измерит /. Наименьшее же, измеряемое D, С, есть Е; значит, Е измеряет /, большее— меньшее; это же невозможно. Значит, А, В, С не измерят никакого числа, меньшего чем Е. Значит, Е, будучи наименьшим, измеряется Д В, С, что и требовалось доказать. Предложение 37 Если число измеряется каким-то числом, то измеряемое будет иметь часть соимённую*) измеряющему. Пусть число А измеряется каким- го числом В; я утверждаю, что А £*-• ' имеет часть, соимённую с В ?\ (черт. 39). р Действительно, сколько раз В измеряет А, пусть столько единиц Черт. 39. будет в С. Поскольку В измеряет А по <количеству) единиц в С, также и единица D измеряет число С по -(количеству) единиц в нём, то, значит, равное <число раз) измеряют единица D число С и В—<число> А. Значит, перестановкой, равное <число раз) единица D измеряет число В и С—<число) А (предложение 15); значит, какой частью единица D будет от числа В, той же самой частью будет и С от А. Единица же D есть часть числа В, соимённая ему; значит, и С есть часть А, соимённая В; так что А имеет часть С, соимённую В, что и требовалось доказать. Предложение 38 Если число имеет какую-нибудь часть, то оно будет измеряться числом, соимённым <зят#> части. Пусть число А имеет какую-нибудь часть В, и пусть соимённым части В будет [число] С; я утверждаю, что С измеряет А (черт. 40). *) В подлиннике ojawvd^i; — подо б поимённый,
КНИГА СЕДЬМАЯ Действительно, поскольку В есть часть Л, соимённая С, единица же D есть часть С, соимённая ему, то значит, какой частью будет единица D от числа С, той же самой частью бу- у71 дет и В от А; значит, равное <чис- 8*— -и ло раз> единица D измеряет число », ,-,] С я В — <число> А. Значит, перестановкой, равное <число раз> еди- Я*—* i ница D измеряет число В и С — Черт. 40. <число> А (предложение 15). Значит, С измеряет А, что и требовалось доказать. Предложение 39 Найти число, которое, будучи наименьшим, имеет заданные части. Пусть заданные части будут Л, В, С; требуется вэг найти число, которое, будучи наименьшим, имеет части А, <-■ В, С (черт. 41). >——! h— ■ ц. — .,'■ Пусть соимённые „ ^ j частям Л В, С числа бу- i ' ■ " ' ' 1 дут D, Е, /, и возьмём g наименьшее, измеряе- ч 1 « мое п £^ Д число И. И Черт. 41. Значит, И имеет части, соимённые D, Е, I (предложение 37). Соимённые же Z), Е, I части суть А, В, С; значит, И имеет части А, В, С. Вот я утверждаю, что <оио их иыеет>, будучи и наименьшим. Действительно, если иет, то будет какое-то меньшее И число, которое имеет части Д В, С. Пусть оно будет G. Поскольку G имеет части Д В С, то значит, G будет измеряться числами, соимёнными частями А, В, С (предложение 38). Частям же А, В, С соимённые числа будут Д Е, /; значит, G измеряется D, Е, /. И оно меньше И; это же невозможно. Значит, не будет никакого меньшего Н числа, которое имело бы части А, В, С, что и требовалось доказать. —"^И"
КНИГА ВОСЬМАЯ r^rexaiHj^j^jerejBj^jgj^r^ji^jz^^ Предложение 1 Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции*, крайние же из них будут первыми между собой, то они — наименьшие из (чисел-У, имеющих с ними то же отношение. Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции А. В, С, D, крайние же из них A, D пусть будут первыми между собой; Л £ я утверждаю, что А, 1 ' . В. С, D — наименьшие В I i 1 , | из имеющих с ними то С . i-j же отношение (черт. 1). 1 ' Действительно, если t В | , G ( это не так, то пусть Е, I, H, G будут числа ' черт. 1. меньшие, чем Д В, С, D, находящиеся с ними в том же отношении. И поскольку А, В, С. D находятся в том же отношении с £",/,//, G, н количество [чисел А, В, С, D] равно количеству [чисел Е, /, Н, G], то значит, по «равенству» (предложение 14 книги VII) будет, что как А к D, так и Е к G. Но A, D первые, первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же числа равно измеряют имеющие то же отношение, боль- *) В подлиннике Щч avabyov — подряд пропорциональны. Эта терминология употребляется в предложениях 1,2,3,4,6,7,13, 14,15,18,19,21,22,23,25.
КНИГА ВОСЬМАЯ шее-—-большее, меньшее же—-меньшее (предложение 20 книги VII), то-есть предыдущее — предыдущее и последующее—последующее. Значит, А измеряет Е, большее — меньшее; это же невозможно. Значит, Е, /, И, G, будучи меньше А, В, С, D, не будут в том же отношении с ними. Значит, А, В, С, D-—-наименьшие из имеющих то же отношение с ними, что и требовалось доказать (1). Предложение 2 Найти наименьшие числа в непрерывной пропорции, сколько бы их ни было назначено, в заданном отношении. Пусть заданное отношение в наименьших числах будет как А к В; должно вот найти наименьшие числа в непрерывной пропорции, сколько бы их ни было Д^ t ^ , назначено, в отношении С В £ А к В. i < I 1 I 1 Вот пусть будет , / , ( И н назначено четыре, и ~ пусть А, умножая само *--—■- -" ■ ч себя, произведёт С, # умножая же В, произведёт D, и ещё В, Черт. 2. умножая само себя, произведёт Е, и ещё А, умножая С, Д Е, произведёт /, Н, G, а В, умножая Е, произведёт К (черт. 2). И поскольку А, умножая само себя, произвело С, умножая же В, произвело Df то значит, будет, что как А к В, [так и] С к О (предложение 17 книги VII). Затем, по- поскольку А, умножая В, произвело Z), а В, умножая само себя, произвело Е, то значит, каждое из А, В, умножая В, произвели каждое из D, Е. Значит, будет, что как А к Д так н D к Е (предложение 18 книги VII). Но как А к В, так и С к D; и значит, как С к Z), так и D к Е. И поскольку А, умножая С, Z), произвело /, Я, то значит, будет—как С к D, [так и] / к И (предложение 17 книги VII). Как же С к О, так было н А к В; и значит, как А к В, так и I к Н, Затем, поскольку А, умножая D, Е,
44 НАЧАЛА ЕВКЛИДА произвело Ht G, то значит, будет как D к Е, так и И к G (предложение 17 книги VII). Но как D к Е, так и А к В. И значит, как А к В, так и И к G. И поскольку А, В, умножая Е, произвели G, К, то значит, будет, чго как А к В, так и G к К (предложение 18 книги VII). Но как А к Bt так и / к //, и Л к G. И значит, как / к И, так и И к G, и G к /С; значит, С, Л, £ и /, И, G, /С будут пропорциональными в отношении А к В, Вот я утверждаю, что они и наименьшие. Действительно, поскольку Л, В суть наименьшие из имеющих то же отношение с ними, наименьшие же из имеющих то же отношение суть первые между собой (предложение 22 книги VII), то значкг, Л, В будут первыми между собой. И каждое из A, Bt умножая само себя, произвело <соответственно> С, Е, умножая же каждое из С, Et произвело <соответственио> /, К] значит, С, Е и /, К будут первыми между собой (предложение 27 книги VII). Если же будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции, крайние же нз них будут первыми между собой, то они—наименьшие нз имеющих с ними то же отношение (предложение 1). Значит, С, D, Е и /, Н, G, К будут наименьшими из имеющих то же отношение с А, В, что и требовалось доказать (1). Следствие Из этого вот ясно, что если три числа в непрерывной пропорции являются наименьшими из имеющих с инми то же отношение, то крайние из них — квадраты, если же четыре, то — кубы. Предложение 3 Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции — наименьших из имеющих то же отношение с ними,—то крайние из них будут перейми между собой. Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции— наименьших из имеющих с ними то же отношение, А, В, С, D; я утверждаю, что крайние нз них Л, D будут первыми между собой (черт. 3).
КИИГЛ ВОСЬМАЯ 43 Действительно, возьмём два числа наименьших в отношении Л, В, С, D, <а именно), Е, 1 (предложение 33 книги VII), затем три И, G, К и так далее одним более (предложение 2), пока взятое количество не сделается равным количеству Л, В, С, D. Пусть они взяты и будут 1, М, N, X. И поскольку Е, / — наименьшие из имеющих то же отношение с ними, то они будут первыми между собой (предложение 22 книги VII). И поскольку каждое из Е, /, умножая само себя, произвело Н, /С, умножая i - 1 1 ■ "■■■ .| же каждое из //, К, с произвело Л, Xt то зна- ' чит, Я, К и L, X | £ , будут первыми между Е I н G собой (предложение 27 ' ' книги VII). И поскольку Л, В, С, Я — наименьшие из имеющих с ними то же отношение, также и L, М, N, X — наименьшие находящиеся в том Черт. 3. самом отношении с Л, В, С, £>, и количество Л, £, С, D одинаково с количеством £, М, jV, X, то значит, каждое из Л, В, С, D <соответственно> равно L, M, N, X; значит, Л будет равно L, D же <равно> X. И L, X суть первые между собой. Значит, и Л, D будут первыми между собой, что и требовалось доказать (1). Предложение 4 Для любого количества отношений, заданных в наименьших числах, найти наименьшие непрерывно пропорциональные числа в заданных отношениях. Пусть заданные отношения в наименьших числах будут -Д к В н С к D, и ещё Е к /; вот требуется иайти наименьшие непрерывно пропорциональные числа в отношениях А к В и С к D, и ещё Е к I (черт. 4). L К и 1 N I /
4° НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, возьмём наименьшее измеряемое В и С число Н (предложение 34 книги VII). И сколько раз В измеряет Н, столько же раз и А пусть измеряет G, сколько же раз С измеряет //, столько раз н D пусть измеряет К- Но Е или измеряет К, н.чи ire измеряет. Пусть сначала оно измеряет. И сколько раз Е измеряет К, пусть столько раз и / измеряет L. И поскольку одинаково А измеряет G и В <из- меряет> И, то значит, будет, что как А к В. так и G к //(определение 21 и предложение 13 книги VII). На основании того же вот, и как С к D, так и Нк К, и ещё как Е к I, „ так н К к L; значит, G, j , h 1 H, К, L будут непрерывно с j7 пропорциональны в отно- Р шениях А к В и С к D ' i г "^ и ещё Е к I. Вот я утвер- ^ // ждаю, что <они> и иаи- „ , меньшие. Действительно, i ,—i ] . .,.| если не будут G, Н, К, // / L наименьшими непрерывно пропорциональными t И I ■ ч в отношениях А к б,нС к D, и Е к I, то пусть Черт. 4. такими будут N, X, М, О. И носкольку будет как А к В, так и N к Хл и А, В — наименьшие, наименьшие же одинаковое число раз измеряют имеющие то же самое отношение, большее —- большее и меньшее — меньшее, то-есть предыдущее—-предыдущее и последующее — последующее (предложение 20 книги VII), то значит, В измеряет X. На основании вот того же и С измеряет X; значит, В, С измеряют X; и значит, наименьшее измеряемое В, С измерит X (предложение 35 книги VII). Но Н наименьшее, измеряемое В, С; значит, Н измеряет X, большее — меньшее; это же невозможно. Значит, не будет каких-нибудь, меньших чем G, Н, К, L, чисел, непрерывно <пропорциональных> в отношениях А к В и С к О, и ещё Е к I. Но вот пусть Е не измеряет К (черт. 5). И возьмём наименьшее измеряемое Е, К число М (предложение 34
КНИГА ВОСЬМАЯ кннгн VII). И сколько раз К измеряет М, пусть столько раз н каждое нз (?, И измеряет <соответственно> N, X, сколько же раз Е измеряет М, пусть столько раз н / измеряет О. Поскольку одинаковое число раз G измеряет N и И <измерпет> X, то значит, будет как G к Н, так н N к X (предложение \Ъ кннгп VII). Как же G к И, так и А к В; и значит, как А к £, так и N к X. На основании того же вот, и как С к D, так и X к М. Затем, поскольку одинаковое число раз Е измеряет М и / -(измеряет) О, то значит, будет, что как Е к /, так и М к О (предложение 13 книги VII); значит, N, X, М, О будут непрерывно пропорциональны в отношениях А к В и С к D, и ещё Е М—i " /Vi 1 _ Р\ 1 В\ 1 Л 1 Р\ ■ 1 С\ 1 *' 1 $\ Г-* Вх ! 0| , Т\ 1 /ИГ .—н-—I .—£—Л н—ч Черт. 5. к /. Вот я утверждаю, что <они> и наименьшие в отношениях А <к> В, С <к> D, Е <к> /. Действительно, если не так, то существуют некоторые, меньшие чем N, X, М, О числа, непрерывно пропорциональные в отношениях А <к> В, С <к> D, Е <к> /. Пусть это будут Р, R, S, Т. И поскольку будет, что как Р к /?, так и А к В, и А, В суть наименьшие, наименьшие же одинаковое число раз измеряют имеющие то же отношение с ними, предыдущее — предыдущее и последующее — последующее (предложение 20 книги VII), то значит, В измеряет R. На том же вот основании и С измеряет /?; значит, В, С измеряют R. И значит, наименьшее измеряемое В, С <число> измерит /? (предложение 35 книги VII). Наименьшее же, измеряемое В, С, есть И; значит, И измеряет /?, И будет, что как И к /?, так и К. к S; и значит, К измеряет S. Также и Е
НАЧАЛА ЕВКЛИДА измеряет^? (предложение 20 книги VII); значит, Е, К измеряют- Л. И значит, наименьшее, измеряемое £", К, измерит 5 (предложение 35 книги VII). Наименьшее же, измеряемое Е, /С, есть /И; значит, М измеряет S, большее — меньшее; это же невозможно. Значит, не существует никаких меньших N, X, М, О чисел, непрерывно пропорциональных в отношениях А к В и С к Д и ещё Е к I; значит, jV, X, М, О будут наименьшими непрерывно пропорциональными в отношениях А <к> В, С <к> D, Е <к> /, что и требовалось доказать (I). ' _ _ .■ Предложение 5 Плоскостные числа имеют друг к другу отношение, составленное из отношений сторон. Пусть будут плоскостные числа Л, В, и цусть сторо- нами^Д убудут'.числа^ С, £>,^г<сторонами> же В— <чнсла> Е, /; я утверждаю, что , .^ . ^ t f - ! | J -| А имеет к В отноше- g e i HHet составленное из > ■ i ..— ,,. | )-„ ,-4 ц—-\ сторон (черт. 6). j h | G _t Действительно, для данных отношений, ко- I1 i )' - i торые имеют С к £ и D к /, возьмём наи- Черт- 6- ' меньшие непрерывно пропорциональные в отношениях С <к> Е, D) <к> / числа И, G, К так, чтобы было как С к Е, так и! Я к G, как же D к I, так и G к К (предложение 4). И пусть D, умножая Е, произведёт L. И поскольку D, умножая С, произвело А, умножая же Е произвело L, то значит, будет, что как С к Е, так и А к L (предложение 17 книги VII). Как же С к Е, так и И к G; и, значит, как И к G, так н Д к 1. Затем, поскольку £, умножая Л, произвело L (предложение 16 книги VII) и вместе с тем, умножая /, произвело В, то значит, будет, что как D к /, так и L к В (предложение 17 книги VII). Но как D к /, так и G к К\ и зна-
КНИГА ВОСЬМАЯ 49 чит, как G к К, так и L к В. Доказано же, что и как И к G, так и А к L; значит, «по равенству» будет (предложение 14 книги VII), что как И к К, [так и] А к В. Но И к К имеет отношение, составленное из <отношений> сторон; и значит, А имеет к В отношение, составленное из <отиошений> [сторон, что и требовалось доказать (2). Предложение 6 Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции, первое же не измеряет второго, то и никакое другое не измерит никакого. Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции A, i?, С, D, Е, пусть же А ие измеряет В; я утверждаю, что и никакое другое ие 1_-„_4 измерит никакого (черт. 7). Теперь, что А, В, С, Dt E после- £' ' довательио друг друга ие измеряют, q, —^ очевидно; ибо А не измеряет В. Вот Д| , я утверждаю, что и никакое другое не измерит никакого. Действительно, если £"' 1 возможно, пусть А измеряет С. И сколько будет <чнсел> А, В, С, столько !l ' возьмём наименьших, имеющих то же //!———i отношение с А. В, С, чисел /, Я, G ^ ^ (предложение 33 книги VII). И по- церт 7 скольку /, //, G находятся в том же отношении с Л, Bt С, и количество A, Bt С равно количеству /, И, G, то значит, «по равенству» (предложение 14 книги VII) будет, что как Л к С, так и / к G. И поскольку будет, что как А к В, так и / к //, А же ие измеряет В, то значит, и / не измеряет И (определение 21 книги VII); значит, / не будет единицей, ибо единица измеряет всякое число. И будут /, G первыми между собой (предложение 3), [значит, / не измеряет G], И как / к G, так и Л к С; значит, и А яе измеряет С (определение 21 книги VII). Подобно вот докажем, что и никакое другое не измерит никакого, что и требовалось доказать (3). 4 Евклид
50 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 7 Если будет сколько-нибудь чисел в [непрерывной] пропорции, первое лее измеряет последнее, то оно измерит и второе. Л У" I Пусть будет сколько-нибудь чисел ^ ; в непрерывной пропорции Л, В, С, D, пусть же Л измеряет D; я утверж- ^ ' даю, что А измеряет и В (черт. 8). В) \ Действительно, если А не изме- Черт. 8. ряет В, то и никакое другое не измерит никакого (предложение 6); А же измеряет D. Значит, и ' А измеряет В, что и требовалось доказать. Предложение 8 Если между двумя числами в непрерывной пропорции*) попадают числа, то сколько чисел в непрерывной 0\ 1 #| -21 1 N\ В\ 1 /I Черт. 9. пропорции попало между ними, столько же в непрерывной пропорции попадёт и между <числамиу, имеющими [с ними\ то же отношение (4). Пусть между двумя числами А, В в непрерывной пропорции попадут числа С, D, и сделаем, чтобы как А к В, так и Е к /; я утверждаю, что сколько чисел в непрерывной пропорции попало между Л, В, столько же в непрерывной пропорции попадёт и между £, / (черт. 9). Действительно, сколько будет по количеству <чисел> А, 8, С, D, столько же возьмём наименьших, имеющих то же отношение с Л, С, D, В чисел Я, G, К, L (предло- *} В подлиннике другой термин для непрерывной пропорции— ката то o'jvt^j; avalo-(cv. Та же терминология в предложениях 9, 10, 25 (в последнем также н e5f(? avalo-yov). Н\ ii
КНИГА ВОСЬМАЯ 51 жение 33 книги VII); значит, крайние из них И, L будут первыми между собой (предложение 3). И поскольку Л, С, D, В находятся с Я, G, К, L в том же отношении, и количество Л, С, D, В равно количеству И, G, К, L> то значит, «по равенству» (предложение 14 книги VIJ) будет, что как Л к В> так и Н к L. Как же А к В, так и Е к /; и значит, как Н к L, так и Е к /. Но Н, Л—первые, первые же <суть> и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же числа одинаковое число раз измеряют имеющие то же отношение, большее — большее и меньшее — меньшее (предложение 20 книги VII), то-есть предыдущее — предыдущее и последующее — последующее. Значит, одинаковое число раз Н измеряет Е и L -(измеряет^ /. Вот сколько раз И измеряет Е, пусть столько же раз и каждое из G, К будет измерять М, N; значит, Н, G, К, L одинаковое число раз измеряют £", /И, N, /. Значит, И, G, К, L находятся с Е, М, N, I в том же отношении (определение 21 книги VII). Но Н, G, К, L находятся с А, С, D, В ъ том же отношении; значит, и А, С, D, В будут в том же отношении с £", М, Л/, /. Но Л, C, £>, В находятся в непрерывной пропорции; значит, и Е, М, N, I будут в непрерывной пропорции. Значит, сколько чисел в непрерывной пропорции попало между Л, В, столько же чисел в непрерывной пропорции попало и между £", /, что и требовалось доказать. Предложение 9 Если будут два числа, первых между собой, и между ними в непрерывной пропорции попадают числа, то сколько между ними в непрерывной пропорции попадает чисел, столько же попадёт в непрерывной пропорции между каждым из них и единицей. Пусть будут два числа, первых между собой, Л, В, и пусть между ними в непрерывной пропорции попадают С, D, и отложим Е— единицу; я утверждаю, что сколько между Л, В в непрерывной пропорции попадает чисел, столько же попадёт в непрерывной пропорции между каждым из Л, Л и единицей (черт. 10). л.*
■" НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, возьмём два наименьших, находящихся в отношении Л, С, D, В, числа /, Н, затем три G, К, L, и так далее всё время одним больше, пока количество их не сделается равным количеству Л, С, D, В (предложение 2). Пусть они взяты и будут М, N, X, О- Очевидно вот, что /, умножая само себя, произвело G, умножая же G, произвело М; и Н, умножая себя, произвело L, умножая же Л, произвело О (предложение 2, следствие). И поскольку М, N, X, О суть наименьшие из имеющих то же отношение с /, Я, то и Л, С, D, В будут наименьшими из имеющих то же отношение с /, И (предложение 3); и количество М, N, X, О равно количеству Л, С, D, В, то Ci , л, , t ^ , JJ, , - £| 1 В\ 1 М\ 1 £1—| № 1 /I 1 XI 1 с И\ 1 0\ 1 Черт. 10. значит, каждое из М, N, X, О будет Соответственно) равно каждому из Л, С, £>, В; значит, М равно Л, О же <равно> В. И поскольку /, умножая само себя, произвело G, то значит, / измеряет G по <числу> единиц в / (определение 16 книги VII). Также и единица Е измеряет / по <числу> единиц в нём; значит, одинаковое число раз измеряют единица Е число / и /—<чиело> G. Значит, будет, что как единица Е к числу /, так и / к G. Затем, поскольку /, умножая G, произвело М, то значит, G измеряет М по <числу> едшшц в / (определение 16 книги VII). Также и единица Е измеряет число / по <числу> единиц в нём; значит, одинаковое число раз измеряют единица Е число /, и G — <число> М. Значит, будет, что как единица Е к числу /, так и G к М. Доказано же, что и как единица Е к числу /, так и / к G; и значит, как единица Е к числу /, так и / к G, и G к М. Но М равно Л; зна-
КНИГА ВОСЬМАЯ 53 чит, будет, что как единица Е к числу /, так и / к О и О к Л. На том же вот основании, и как единица В к числу Н, так и Н к L и L к В. Значит, сколько между Л, В в непрерывной пропорции попало чисел, столько же чисел попало в непрерывной пропорции между каждым из А, В я единицей В, что и требовалось доказать. Предложение 10 Если между каждым из двух чисел и единицей в непрерывной пропорции попадают числа, то сколько чисел в непрерывной пропорции попадёт между каждым из них и единицей, столько „ попадёт в непрерывной \ «•— t пропорции и между 8 ними самими. „ _ _ ,, г, О U t 1 Н В самом деле, пусть и h—\ i 1 i—< i ■ i между двумя числами G К А, В к единицей С в ' ' непрерывной пропорции }• »■■ —"Н попадают числа D, Е, Ч 11 н /, Н\ я утверждаю, что сколько чисел в непрерывной пропорции попадёт между каждым из Л, В и единицей С, столько попадёт в непрерывной пропорции и между Л, В (черт. 11). Действительно, пусть D, умножая /, произведёт О, каждое же из D, /, умножая О, произведёт Соответственно) К, L. И поскольку будет, что как единица С к числу D, так и D к Е, то значит, равное число раз единица С измеряет число D, и D <измеряет> Е (определение 21 книги VII). Единица же С измеряет число D по <числу> единиц в D; и значит, число D измеряет Е по <числу> единиц в D\ значит, D, умножая само себя, произвело Е. Затем, поскольку будет, что как [единица] С к числу D, так и £ к Л, то значит, равное число раз единица С измеряет число D, и В <кзмеряст> А. Единица же С измеряет число D по <чпслу> единиц в D; и значит, Е измеряет Л по <числу> единиц в D; значит, D, умножая Е, произвело Л. На том же вот основании и /, умножая само
54 НАЧАЛА ЕВКЛИДА себя, произвело Н, умножая же И, произвело В, И поскольку D, умножая само себя, произвело £", умножая же /, произвело G, то значит, будет (предложение 17 книги VII), чго как D к /, так и Е к G, На том же вот основании, и как D к /, так и G к И (предложение 18 книги VII). И значит, как Е к G, так и G к N. Затем, поскольку D, умножая каждое из Е, G, произвело <соот- ветствеино^ Л, К, то значит, будет, что как Е к G, так и А к К (предложение 17 книги VII). Но как Е к G, так: и D к /; и значит, как D к I, так и Л к К. Затем, поскольку каждое из D, /, умножая G, произвело <соответ- ственно> К, L, то значит, будет, что как D к /, так и К к L (предложение 18 книги VII). Но как D к /, так и Л к К', и значит, как Л к АГ, так и АГ к L. Далее, поскольку /, умножая каждое нз G, И, произвело соответственно L, В, то значит, будет, что как G к И, так и L к В (предложение 17 книги VII). Как же G к И, так и D к /; и значит, как D к /, так и Z к 5. Доказано же, что и как D к /, так и Л к АГ, и К к Z,; и значит, как Л к АГ, так и К к Z,, и I к 5. Значит, Л, АГ, /,, 5 будут последовательно в непрерывной пропорции. Значит, сколько между каждым из Л, В и единицей С в непрерывной пропорции попадает чисел, столько же попадёт в непрерывной <про- порции> и между Л, В, что и требовалось доказать. Предложение 11 Для двух квадратных чисел существует одно среднее пропорциональное число, и квадрат к квадрату имеет двой- „ аое отношение стороны к стороне (5). Пусть будут квадратные числа Л, В, Вх ' ' и пусть у Л сторона будет С, у В же—- ,G\—i D; я утверждаю, что для Л, В существует „ одно среднее пропорциональное число и что А к В имеет двойное отношение С <Г| ' к D (черт. 12). Черт. 12. Действительно, пусть С, умножая D, произведёт Е. И поскольку Л — квадрат, стороной же его является С, то значит, С, умножая само себя, произвело Л.
КНИГА ВОСЬМАЯ 55 На том же вот основании и D, умножая само себя, произвело В. Поскольку теперь С, умножая каждое из С, D, произвело Соответственно) каждое из Л, Е, то значит, будет, что как С к D, так и Л к Е (предложение 17 книги VII). На том же лот основании и как С к £>, так и Е к В. И значит, как Л к Е, так и Е к В.- Значит, для А, В существует одно среднее пропорциональное число. Вот я утверждаю, и что Л к б имеет двойное отношение С к D* Действительно, поскольку есть три пропорциональных числа Л, Е, В, то значит, Л имеет к В двойное отношение Л к £", Как же Л к Е, так и С к D. Значит, А имеет к В двойное отношение стороны С к D, что и требовалось доказать. Предложение 12 Для двух кубических чисел существуют два средних пропорциональных числа, и куб к кубу имеет тройное отношение стороны к стороне. Пусть будут кубические числа Л, В, и пусть у Л сторона будет С, у б же — D; я утверждаю, что для Л, В существуют два сред- них пропорциональных и ■ 1 числа н что А нмеег В_ к В тройное отношение с S E / С к D (черт. 13}. (—' ' ' J ' ' 1 Действительно, пусть t & , , Н ■. С, умножая самого ^ себя, произведёт Е, ум- : ' ножая же £>, произ- Черт. 13. ведёт U D же, умножая само себя, произведёт Я, каждое же из С, D, умножая /, произведёт <соответс гвенно> G, К. И поскольку Л является кубом, сторона же его-— С. и С, умножая само себя, произвело Е> то значит, С, умножая само себя, произвело Е, умножая же £", произвело Л. На том же вот основании и £>, умножая само себя, произвело Я, умножая же Я, произвело В. И поскольку С, умножая каждое нз С, £>, произвело Соответственно) Е, /, то
56 НАЧАЛА ЕВКЛИДА значит, будет, что как С к D, так и Е к / (предложение 17 книги VII). На том же вот основании и как С к D, так и / к И (предложение 18 книги VII). Затем, поскольку С, умножая каждое из Е, I, произвело Соответственно) Л, G, то значит, будет, что как Е к /, так и Л к G (предложение 17 книги VII). Как же Е к /, так и С к D: и значит, как С к D, так н Л к G. Затем, поскольку каждое из С, D, умножая /, прэизвело Соответственно) G, К, то значит, будет, что как С к D, так и G к А (предложение 18 книги VII). Затем, поскольку £>, умножая каждое из /, Н, произвело Соответственно) К, В, то значит, будет, что как I к И, так и К к В (предложение 17 книги VII). Как же / к Н, так и С к D; и значит, как С к Д так иЛ к G, и G к АГ, и /С к б. Значит, для А, В существуют два средних пропорциональных О, К- Вот я утверждаю и что А имеет к В тройное отношение С к D. Действительно, поскольку есть четыре пропорциональных числа Л, G, К, В, то значит, Л имеет к В тройное отношение А к G. Как же Л к G, так и С к D; и [значит] i4 к В имеет тройное отношение С к D, что и требовалось доказать. Предложение 13 Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной про* порции и каждое, умножая само себя, производит что- то, то и возникающие из них будут пропорциональными, и если первоначальные, умножая возникшие, производят что-то, то и эти будут пропорциональными [и то же всегда будет происходить в дальнейшем^ Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной пропорции Л, В, С, <т. е.) как Л к б, так и б к С, и пусть А, В, С, умножая самих себя, произведут D, Е, I, умножая же D, Е, /, произведут Я, G, К\ я утверждаю, что D, Е, I и Н, G, К будут в непрерывной пропорции (черт. 14). Действительно, пусть А, умножая В, произведет Z,, каждое же из Л, В, умножая L, произведёт Соответственно) М, N. И далее, пусть б, умножая С, произве-
КНИГА ВОСЬМАЯ 57 дёт X, каждое же из В, С, умножая X, произвед&т Соответственно) О, Р. Подобно вот тому, как выше, докажем, что Dt L, В и Я, М, М, G будут в непрерывной пропорции в отношении Л к В, и что ещё В, Х% I и G, О, Я, К будут в непрерывной пропорции в отношении В к С И будет, что д\ 1 /п 1 8\ 1 1> 1 В\ н № 1 £\ 1 V 1 !\ 1 0\ 1 //, 1 р\ 1 С\ 1 Черт. 14* как А к В, так и В к С; и значит, £>, L, В будут с В, X, I в том же самом отношении, и ещё Я, Мл /У, G с G, О, Р, К- И количество D, L, В равно количеству £, X, Л, < количество же> Я, М, N, G—<коллчеству > О, О, Р, К; значит, «по равенству» будет, что как D к В, так и В к /, как же Як G, так и G к К (предложение 14 книги VII), что и требовалось доказать. Предложение 14 Вели квадрат измеряет квадрат, то и сторона измерит сторону, а если сторона измеряет сторону, то и квадрат измерит квадрат (6). Пусть будут квадратные числа Л, В, стороны же их пусть будут С, Д и пусть А измеряет В; я утверждаю, что и С измеряет D (черт. 15). Действительно, пусть С, умножая Д произведёт В; значит, А, £", В будут в непрерывной прэпорции в отношении С к D (предложение 11). И поскольку А, £", В
58 НАЧАЛА ЕВКЛИДА находятся в непрерывной пропорции, и А измеряет В, то значит, и А измеряет Е (предложение 7). И будет как А к Е, так и С к D; значит, С из- 1 ' меряет D (определение 21 кии- 8\ i ги VII). п{ | Затем вот пусть С измеряет D; я утверждаю, что и А измеряет В. £"' ' Действительно, произведя те церт_ [5. же самые построения, подобно докажем, что А, Е, В будут в непрерывной пропорции в отношении С к D. И поскольку будет, что как С к D, так и А к Е, С же измеряет D, то значит, и А измеряет Е (определение 21 книги VII). И А, Е, В в непрерывной пропорции; значит, и А измеряет В, Итак, если квадрат измеряет квадрат, то и сторона измерит сторону; и если сторона измеряет сторону, то и квадрат измерит квадрат, что и требовалось доказать. Предложение 15 Если кубическое число измеряет кубическое число, то и сторона измерит сторону; и если сторона измеряет сторону, то и куб измерит куб. . Я . h С В ьн i—г е Черт. 16. Пусть кубическое число А измеряет кубическое В, н пусть у А сторона С, у В же — D; я утверждаю, что С измеряет D (черт, 16). Действительно, пусть С, умножая само себя, произведёт Е, D же, умножая само себя, произведёт Н, и еще С,
КНИГА ВОСЬМАЯ 59 умножая £>, [произведёт] I, каждое же из С, D, умножая /, произведёт <соответственно> G, К. Очевидно, вот, что Е, I, И и A, G, К, В будут в непрерывной пропорции в отношении С к D (предложение 12). И поскольку Л, G, К, В находятся в непрерывной пропорции, и Л измеряет В, то оно, значит, измеряет и G (предложение 7). И будет, что как А к G, так и С к D; значит, и С измеряет D. Но вот пусть С измеряет D; я утверждаю, что и А будет измерять В. Действительно, произведя те же самые построения, подобно вот докажем, что A, G, К, В будут в непрерывной пропорции в отношении С к D. И поскольку С измеряет D, и будет, что как С к D, так и А к G, то значит, и А измеряет G, так что и А измеряет В, что и требовалось доказать. Предложение 16 Если квадратное число не измеряет квадратного чисщ^ то и сторона не измерит стороны; и если сторона не измеряет стороны, то и квадрат не измерит квадрата. /7i___, Пусть будут квадратные числа Л, В, „ стороны же их пусть будут С, D, и пусть А не измеряет В; я утверждаю, что и С ^ ' не измеряет D (черт. 17). В*——* Действительно, если С измеряет D, то „ ._ и Л измерит В (предложение 14). Но Л не измеряет В; значит, и С не измерит D. [Вот] затем пусть С не измеряет D; я утверждаю, что и Л не измерит В. Действительно, если Л измеряет В, то и С измерит D (предложение 14). Но С не измеряет D; значит, и Л не измерит В, что и требовалось доказать. Предложение 17 Если кубическое число не измеряет кубического числа, то и сторона не измерит стороны; и если сторона не измеряет стороны, то и куб не измерит куба.
60 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть кубическое число А не измеряет кубического числа В, и у А сторона пусть будет С, у В же D; я утверждаю, что С не измерит D (черт. 18). Действительно, если С измеряет D, то и А измерит В (предложение 3 5). Но А не измеряет В; значит, и С не измеряет D. В\ 1 Черт. 18. Но вот пусть С не измеряет D; я утверждаю, что и А не измерит В. Действительно, если А измеряет В, то и С измерит D (предложение 17). Но С не измеряет D; значит, и А ие измерит В, что и требовалось доказать. Предложение 18 Для двух подобных плоскостных чисел существует одно среднее пропорциональное число; и плоскостное (число*} *) к плоскостному имеет двойное отношение сходственной стороны к сходственной стороне (7). Пусть два подобных плоскостных чиста будут Л, 5, и у А пусть сторонами будут числа С, D, у В же — Е, I. И поскольку подобными плоскостными <числами> являются имеющие пропорциональными стороны (определение 22 книги VII), то значит, будет, что как СкД так и Е к I, Я утверждаю теперь, что для Л, В существует одно среднее пропорциональное число и что А к В имеет двойное отношение С к Е, или D к /, то-есть сходственной стороны к сходственной [стороне] (черт. 19). И поскольку будет, что как С к D, так и Е к /, то значит, «перестановкой» (предложение 3 3 книги VII) будет, *) В подлиннике стоит просто Ыг.-Лоч — плоское.
КНИГА ВОСЬМАЯ V 61 что как С к Е, так \\ D к /. И поскольку А является плоскостным, стороны же его С, D, то значит, D, умножая С, произвело А. На том же вот основании и Е, умножая /, произвело В. Вот пусть D, умножая Е, произведёт И. И поскольку £>, умножая С, произвело А, умножая же Е, произвело И, то значит, будет, что как С к Е, так и А к Н, Но как С к Е, [так и] D к /; и значит, как £> к /, так и -4 к Я, Затем, поскольку Е, умножая £>, произвело Я, умножая же /, произвело В, то значит, будет, чго как D Д\ 1 В\ Л—1 л 1 Hv Черт. 19. к /, так и И к В (предложение 17 книги VII). Доказано же, что как D к /, так и А к Н; и значит, как А к Н, так и Н к 5. Значит, А, Н, В будут в непрерывной пропорции. Значит, для Л, В существует одно среднее пропорциональное число. Вот я утверждаю, чго и А к В имеет двойное отношение сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть С к Е или D к I. Действительно, поскольку А, //, В находятся в непрерывной пропорции, то А имеет к В двойное отношение <Л> к Н. И будет как А к Н, так и С к Е, н D к /. И значит, А имеет к В двойное отношение С к Е или D к /, что и требовалось доказать. Предложение 19 Между двумя подобными телесными числами попадают два средних пропорциональных числа; и телесное ■(ч-ислоу к подобному телесному имеет тройное отношение сходственной стороны к сходственной стороне. Пусть два подобных телесных <числа> будут А, В, и у А стороны пусть будут С, D, Е, у В же /, Н, G. И поскольку подобными телесными <числами> являются имеющие сходственные стороны пропорциональными (опреем Л*—
62 ' НАЧАЛА ЕВКЛИДА деление 22 книги VII), то значит, будет, что как С к D, так и / к И, как же D к Е, так и И к G. Я утверждаю, что между Д В попадают два средних пропорциональных числа, и что Л к В имеет тройное отношение С к / и D к И, и ещё Е к G (черт. 20). Действительно, пусть С, умножая D, произведёт К, а /, умножая Н, произведёт L. И поскольку С, D с /, И будут в том же самом отношении и <произвсдс1Ше> из С, D будет /С, из /, Н же £*), то [значит] К, L будут подобными Д\ 1 д\ 1 £*+ ' /I—i /i'i 1 Б)—л Н\ 1 L 1 1 £\ 1 G\ 1 М\ 1 д>1 1 Xi 1 Черт. 20. плоскостными числами (определение 22 книги VII); значит, для Л", L существует одно среднее пропорциональное число (предложение 18). Пусть оно будет М. Значит, М будет <пронзведение> из D, /, как доказано в предшествующем предложении. И поскольку D, умножая С, произвело К, умножая же /, произвело М, то значит, будет, что как С к I, так и К к М (предложение 17 книги VII). Но как К к М, <так и> М к L. Значит, К, Mt L будут в непрерывной пропорции в отношении С к /. И поскольку будет, что как С к D, так и / к И, то значит, «перестановкой» (предложение 13 книги VII) будет, что как С к /, так и О к И. На том же вот основании и как D к И, так и Е к G. Значит, К, М, L будут в непрерывной пропорции *) В подлиннике сокращённая формулировка <1-ат&у ГтД> — «из С, D>, подразумевается «произведение». В геометрических книгах употребляется термин <шо "<5v Г,^», подразумевается Tt£pt£jfQ>£vcv — заключающееся, содержащееся между С, D.
КНИГА ВОСЬМАЯ Ьд в отношении С к /, и D к И, и ещё Е к G. Вот пусть каждое из Е, G, умножая М, произведёт -(соответственно) N, X. И поскольку А есть телесное <.число>, стороны же его суть С, D, Е, то значит, Е, умножая <произведение> из С, D, произвело А. -(Произведение) же из С, D есть К', значит, Е, умножая К, произвело А. На том же вот основании и G, умножая L, произвело В. И поскольку Е, умножая К-, произвело А, и вместе с тем, умножая М, произвело N, то значит, будет, что как К к М, так и А к N (предложение 17 книги VII). Как же К к М, так и С к / и D к И, и ещё £" к G; и значит, как С к I, я D к И, и Е к G, так и Л к N. Затем, поскольку каждое нз Е, О, умножая М, произвело Соответственно) N, X, то значит, будет, что как Е к G, так я N к X (предложение 18 книги VII). Но как Е к G, так и С к /, н D к Н; я значит, как С к I, я D к И, и Е к G, так и А к N, и N к X. Затем, поскольку G, умножая М., произвело X я вместе с тем, умножая L, произвело В, то значит, будет, что как М к Z, так и Л' к В (предложение 17 книги VII). Но как М к L, так и С к /, и D к W, и Е к G. И, значит, как С к /, я D к И, я Е к G, так и ие только Jk Д но и Л к N, и ;V к X. Значит, Л, /V, X, В будут в непрерывной пропорции в упомянутых отношениях сторон. Я утверждаю, что и А к В имеет тройное отношение сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть числа С к I или D к И я ещё Е к G. Действительно, поскольку имеются четыре числа в непрерывной пропорции A, N, X, В, то значит, А к В имеет тройное отношение А к N. Но как А к Л', так доказано, что и С к /, и D к И, я ещё Е к G. И значит, А к В имеет тройное отношение сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть числа С к /, и D к И, и ещё Е к G, что и требовалось доказать. Предложение 20 Если между двумя числами попадает одно среднее пропорциональное число, то <зяш) числа будут подобными плоскостными.
b* НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть между двумя числами А, В попадает одно среднее пропорциональное число С; я утверждаю, что А, В будут подобными плоскостными числами (черт. 21). [Действительно], возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с Л, С числа D, Е (предложение 33 книги VII); значит, равное число раз D измеряет А и Е <из- меряет> С (предложение 20 книги VII). Тогда сколько раз D измеряет А, пусть столько единиц будет в /; значит, /, умножая D, произвело А (определение 16 книги VII). Таким образом, А будет плоскостным <числом>, стороны же его Д I. Затем, поскольку Д Е ■ , 1 , Д ,£, -^ ,—"—^ ■ Черт. 21. являются наименьшими из имеющих то же отношение с С, В, то значит, равное число раз D измеряет С и Е <измеряег> В (предложение 20 книги VII). Тогда сколько раз Е измеряет В, пусть столько единиц будет в Н. Значит, Е измеряет В по <числу> единиц в И; значит /У, умножая Е, произвело В (определение 16 книги VII). Значит, В есть плоскостное <число>, стороны же его суть Е, И. Значит, Л, В будут плоскостными числами. Вот я утверждаю, что <оии будут> и подобными. Действительно, поскольку /, умножая £>, произвело А, умножая же Я, произвело С, то значит, будет, что как D к Е, так и Л к С, то-есть как С к В. Затем,поскольку Е, умножая каждое из /, И, произвело С, В, то значит, будет, что как / к И, так и С к В (предложение 17 книги VII). Как же С к В, так и D к Е\ и значит, как D к Е, так и / к И. И «перестановкой», как D к /( так и Е к И (предложение 13 книги VII). Значит, А, В будут подобными плоскостными числами, ибо стороны их пропорциональны (определение 22 книги VII), что и требовалось доказать.
КНИГА ВОСЬМАЯ °° '■ ' Предложение 21 Если между двумя числами попадают два средних пропорциональных числа, то <эяш> числа будут подобными телесными. Пусть между двумя числами А, В попадают два средних пропорциональных числа С, D; я утверждаю, что А, В будут подобными телесными (черт. 22). Действительно, возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с Л, С, О три числа Е, I, H (предложение 2); ft , 1 1\ ___ . 1 с, : __ л 1 е\ 1 л 1 т 1 (I—I л 1 L\ 1 Ml 1 N" XV-Л Черт. 22. \ значит, крайние из них Е,. Н будут первыми между собой (предложение 3). И поскольку между Е, И попало одно среднее пропорциональное число /, то значит, Е, И будут подобными плоскостными числами (предложение 20). Пусть теперь у. Е стороны будут О, К, у И же L, М. Значит, из предыдущего ясно, что Е, /, H будут в непрерывной пропорции в отношении G к £ и Л" к Л1 И поскольку Е, /, Н—наименьшие из имеющих то же отношение с А, С, D, я количество Е, I, H равно количеству А, С, D, то значит, «по равенству» будет, что как £ к Я, так и А к D, (предложение 14 книги VII). Но Е, Н— первые, первые же и наименьшие, наименьшие же измеряют имеющие то же отношение с ними равное число раз, большее — большее, меньшее же — меньшее, то-есть предыдущее — предыдущее, н последующее — последующее (предложение 20 б Евклид
66 НАЧАЛА ЕВКЛИДА книги VII); значит, одинаковое число раз Е измеряет А и И <нзмеряет> D. Тогда, сколько раз Е измеряет А, пусть столько единиц будет в N. Значит, N, умножая Е, произвело А (определение 16 книги VII), Но Е есть <произве- деиие> из G, К\ значит, N, умножая <произведсние> из G, К, произвело А. Значит, А будет телесным <чис;юм>, стороны же его будут G, К, N. Затем, поскольку Е, I, И будут наименьшими из имеющих то же отношение с С, D, В, то значит, одинаковое число раз Е измеряет С а И <из- меряет> В (предложение 20 книги VII). Тогда сколько раз Е измеряет С, пусть столько единиц будет в X. Значит, И измеряет В по <числу> единиц в X; значит, X, умножая Н, произвело В. Но И есть <произведение> из Z, М; значит, X, умножая <пропзведение> из L, М, произвело В. Значит, В будет телесным <числом>, стороны же его будут /., М, X; значит, А, В будут телесными. [Вот] я утверждаю, что <они будут> и подобными. Действительно, поскольку N, X, умножая Е, произвели А, С, то значит, будет, что как Лг к X, <так и> А к С, то-есть Е к / (предложение 18 книги VII). Но как Е к /, <так> G к L и К к М; и значит, как G к L, так и К к М и N к X. И G, К, N суть стороны Л, а А", I, М—стороны В. Значит, А, В будут подобными телесными числами (определение 22 книги VH), что и требовалось доказать. Предложение 22 ; . Если три числа будут в непрерывной пропорции, первое же из них квадрат, то и третье будет квадратом. Пусть будут три числа в непрерывной ч пропорции А, В, С, первое же А пусть 8* ■" "1 будет квадратом; я утверждаю, что и ^! | третье С есть квадрат (черг. 23). Действительно, поскольку для А, С Черт. 23. существует одно среднее пропорциональное число В, то значит, Л, С—подобные плоскостные <числа> (предложение 20), Но А квадрат, значит, и С квадрат, что и требовалось доказать.
КНИГА ВОСЬМАЯ Предложение 23 Если четыре числа будут в непрерывной пропорции, Первое же из них куб, то и четвёртое будет кубом. Пусть будут четыре числа в непрерывной пропорции А, В, С, Р, и ' ' пусть А будет кубом; я утверждаю, В\ ——> что и D есть куб (черт. 24). ^ , Действительно, поскольку для А, ________ D существуют два средних пропор- ' ____ > циональных числа В, С, ю значит, Черт 24. A, D будут подобными телесными числами (предложение 21). Но А куб; значит, и D куб, что и требовалось доказать. Предложение 24 Если два числа между собой имеют отношение, как квадратное число к квадратному числу, первое же есть квадрат, то и второе будет д\ __, квадратом. £ь- - Пусть два числа А, В между собой будут иметь отношение, как квадратное число -?1 ' С к квадратному числу D, А и 0_ же пусть будет квадратом; я ЧбрТ. 2.0, ,-, 1 утверждаю, что и В квадрат (черт. 25). Действительно, поскольку С, D квадраты, то значит, С, D будут подобными плоскостными <числамн>. Значит, между С, D попадает одно среднее пропорциональное число (предложение 18). И будет как Ск D, так и А к В; и значит, между А, В попадает одно среднее пропорциональное число (предложение 8). И Л есть квадрат; значит, и В есть квадрат (предложение 22), что и требовалось доказать. Предложение 25 Если два числа между собой имеют отношение, как кубическое число к кубическому числу, первое же есть куб, то и второе будет кубом. б*
ЬУ НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть два числа А, В между собой будут иметь отношение, как кубическое число С к кубическому числу Д А же пусть будет кубом; [вот] я утверждаю, что и В есть куб (черт. 26). Действительно, поскольку С, £>— кубы, то С, D будут подобными телесными <числами>; значит, между С, D по- _| падают два средних иропор- ' циональных числа (предло- 8] ' "~1 ' ■ жение 19). Сколько же q\ 1 "' ' между С, D в непрерывной и I, . i пропорции попадает чисел, столько же <попадёт) и £\ | ■» между имеющими с ними то _/, 1 же отношение (предложение 8); так что и между А, Черт. 26, в попадут два средних пропорциональных числа. Пусть поиадут Е, I. Поскольку теперь четыре числа А, Е, I, В будут в непрерывной пропорции, и А есть куб, то значит, и В куб (предложение 23), что и требовалось доказать. Предложение 26 Подобные плоскостные числа между собой имеют отношение, как квадратное число к квадратному числу. Пусть будут подобные плоскостные числа А, В; я утвер- ^' ' ждаю, что А к В имеет отно- gi -*—» шеиие, как квадратное число к ^ , квадратному числу (черт. 27). Действительно, по;кольку А, ^ ' В—подобные плоскостные <чис- Е\ • ла>, то значит, между А, В по- у, , падает одно среднее пропорциональное число (предложение 18). Черт. 27. Пусть оно попадёт и будет С, и возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с А, С, В числа Д Е, I (предложение 2); значит, крайние из иих Д I будут квадраты (предложение 2, следствие).
КНИГА ВОСЬМАЯ 69 И поскольку будет, что как D к /, так и А к В, и D, I суть квадраты, то значит, А имеет к В отношение, как квадратное число к квадратному числу, что и требовалось доказать. Предложение 27 Подобные телесные числа между собой имеют отношение, как кубическое число к кубическому числу. Пусть будут подобные телесные числа Л, В; я утверждаю, что А к В имеет отношение, как кубическое число к кубическому числу (черт. 28). В ■ ■ ■ *— ' - Черт. 28. Действительно, поскольку А, В—подобные телесные <числа>, то значит, между А, В попадают два средних пропорциональных числа (предложение 19). Пусть попадут С, D, и возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с А, С, D, В числа в равном с ин«н количестве Е, /, И, G (ггредложение 2); значит, крайние из Е, G будут кубы (предложение 2. следствие). И будет, что как Е к G, так и А к В; и значит, А имеет к В отношение, как кубическое число к кубическому числу, что и требовалось доказать (8).
КНИГА ДЕВЯТАЯ Предложение 1 Если два подобных плоскостных числа, умножая друг друга, произвздят что-то, то возникающее будет квадратом (1). Пусть будут два подобных плоскостных числа Л, В, и пусть Л, умножая В, произведёт С; я утверждаю, что С есть квадрат (черт. 1). Действительно, пусть Л, умножая само себя, произведёт D. Значит, D есть квадрат. Поскольку теперь А, умножая |?| ии| само себя, произвело D, умножая же В, произвело С, то значит, g, н - будет, что как А к В, так и D к С С' " -■" ■■ I (предложение 17 книги VII). И по- ,?, скольку А, В суть подобные плоскостные числа, то значит, между Черт. 1. д g попадает одно среднее пропорциональное число (предложение 18 книги VIII). Если же между двумя числами по непрерывной пропорции *) попадают числа, то сколько попадает между ними, столько же <будет> и между <чнслами>, имеющими то же отношение (предложение 8 книги VIII); так что и между D, С попадает одно среднее пропорциональное число. И D есть квадрат; значит, и С квадрат (предложение 22 книги VHI), что и требовалось доказать. *) Тот же самый термин ката то cuvsysi avaJ.ofov, который встречался з предложении 8 и следующих предложениях книги VIII.
КНИГА ДЕВЯТАЯ 71 Предложение 2 Если два числа, умножая друг друга, производят квадрат, то она суть подобные плоскостные числа. Пусть будут два числа Л, В, и пусть Л, умножая В, произведёт квадрат С; я утверждаю, что А, В суть подобные плоскостные числа (черт. 2). Действительно, пусть Л, умножая само себя, произведёт, D', значит, D есть квадрат. И поскольку Л, умножая само себя, произвело D, умножая же В, произвело С, то значит, будет, чго как Л к В, так и D к С £\ 1 (предложение 17 книги VII). И по- л, скольку D есть квадрат, а также н С <квадрат>. то значит, D, С J?] ' суть подобные плоскостные <чис- Черт. 2. * ла>. Значит, между Д С попадает одно среднее пропорциональное (предложение 18 книги VI11). И как D к С, так и А к В; и значит, между Л, В попадает одно среднее пропорциональное (предложение 8 книги VI11). Если же между двумя числами попадает одно среднее пропорциональное, то [эти] числа суть подобные плоскостные (предложение 20 книги VIII); значит, Л, В суть подобные плоскостные, что и требовалось доказать. Предложение 3 Если кубическое число, умножая само себя, производит что-то, то возникающее будет кубом. Пусть кубическое число Л, ' -: умножая само себя, произведёт .В; Б\ »■"«■ Л я утверждаю, что В есть куб £_ •'•• (черт. 3). Г ■ '• Действительно, возьмём <от> J' • '■ А сторону С, и пусть С, умножая Черт. 3. само себя, произведёт D. Тогда, очевидно, будет, чго С, умножая Д произвело А. И поскольку С, умножая само себя, произвело D, то значит, С измеряет D по <числу>
72 НАЧЛЛА ЕВКЛИДА своих еднннц (определение 16 книги VII). Но также и единица измеряет С по <числу> его единиц; значит, будет (определение 21 книги VII), чго как единица к С, так н С к D. Затем, поскольку С, умнэжая D, произвело Л, то значит, D измеряет Л пэ <числу> единиц в С. Также н единица измеряет С по <числу> его единиц; значит, будет, что как единица к С, так и D к А. Но как единица к С, так и С к D; и значит, как единица к С, так и С к D, и D к А. Значит, между единицей и числом А попали по непрерывной (хата то a'jvs^s;) два средних пропорциональных числа С. D. Затем, поскольку Л, умножая само себя, произвело В, то значит, А измеряет В по <числу> своих единиц; также и единица измеряет А пэ <числу> его единиц; значит, будет, что как единица к А, так и Л к В. Между единицей же и Л пэпали два средних пропорциональных числа; значит, и между Л, В попадут два средних пропорциональных числа (предложение 8 книги VIII). Если же между двумя числами*} попадают два средних пропорциональных, первое же есть куб, то и второе будет кубом (предложение 23 книги VIII). И Л есть куб; значит, и В есть куб, что и требовалось доказать. Предложение 4 Если кубическое число, умножая кубическое число, производит что-то, то возникающее будет кубом. дх \ Пусть кубическое число Л, умно- жая кубическое число В, произведёт С; я утверждаю, что С есть куб £i_ 1 (Черт. 4). j}) 1 , Действительно, пусть Л, умножая само себя, произведёт D; значит, D Черт. 4. будет кубом (предложение 3). И поскольку Л, умножая само себя, произвело £>, умножая же В, произвело С, то значит, будет, что как Л к В, так и D к С (предложение 17 книги VII). И поскольку Л, В — кубы, то А, В будут подобными те- *) Интересно, что единица такии оЗразом празтётся числэм.
КНИГА ДЕВЯТАЯ 73 лесными <числами>. Значит, между Л, В попадают два средних пропорциональных числа (предложение 19 книги V11I); так что и между D, С попадут два средних пропорциональных числа (предложение 8 книги VIII). И D есть куб, значит, и С куб (предложение 23 книги V11I), что и требовалось доказать (2). Предложение 5 Если кубическое число, умножая некоторое число, производит куб, то и умноженное число будет кубом. Пусть кубическое число Л, умножая некоторое число В, произведёт куб С; я утверждаю, что В есть куб (черт. 5). Действительно, пусть Л. умножая само себя, произведёт D; значит, D будет кубом (предло- В\ ~( женне 3). И поскольку Л, умно- су— • - ■■■ ■ "—-I жая само себя, произвело D, умно- _ _, жая же В, произвело С, то значит, будет, что как А к В, гак и D Черт. 5. к С (предложение 17 книги VII). И поскольку D, С кубы, о:ш подобные телесные. Значит, между D, С попадают два средних пропорциональных числа (предложение 19 книги VIII). И будет, что как D к С, так и Л к В; и значит, между Л, В попадают два средних пропорциональных числа (предложение 8 книги V11I). И Л есть куб; значит, и В будет кубом (предложение 23 книги VIII), что и требовалось доказать. Предложение 6 Если число, умножая само себя, производит куб, то и само будет кубом. Пусть число Л, умножая само себя, произведёт куб В; я утверждаю, что и Л есть куб (черт. 6). Действительно, Пусть Л, умножая В, произведёт С. Поскольку теперь Л, умножая себя, произвело В, умножая же В, произвело С, то значит, С есть куб. И поскольку Л, умножая само себя, произвело В, то значит, 4 измеряет В
74 НАЧАЛА ЕВКЛИДА по <числу> своих единиц. Также и единица измеряет Л по <числу> его единиц. Значит, будет, что как единица к Л, так и Л к В. И поскольку Л, умножая В, произвело С, то значит, В измеряет С по <числу> единиц в Л. Также и единица измеряет Л по <числу> ^' ч его единиц. Значит, будет, ч го как #, 1 единица к А, так и В к С. Но с, : | как единица к А, так а А к В; и значит, как А к В, так и В Черт. 6. к С. И поскольку В, С —кубы, они подобные телесные. Значит, для В, С существуют два средних пропорциональных числа (предложение 19 книги VIII). И будет, что как В к С, так и А к В. И значит, для А, В существуют два средних пропорциональных числа (предложение 8 книги VIU). И В есть куб, значит, и А будет кубом, что и требовалось доказать. Предложение 7 Если составное число, умножая некоторое число, производит что-то, то возникающее будет телесным. Пусть составное число А, умножая некоторое число Bt произведёт С; я утверждаю, что С есть телесное (черт. 7). /?| 'J Действительно, поскольку А 8\ 1 '• \ составное, то оно будет измеряться пх . некоторым числом. Пусть оно бу- i т- ' ■ дет измеряться <числом> D, и ^' н Е{ /;Y ' - сколько раз D измеряет Л, пусть столько единиц будет в Е. По- Черт. 7. скольку теперь D измеряет А по • <числу> единиц в Е, то значит, Е, умножая D, произвело А (определение 16 книги VII). И поскольку Л, умножая В, произвело С, А же есть <произведенне> из D, Е*), то значит, <произведение> из D, Е, умножая В, произвело С; значит, С будет телесным, стороны же его будут Dt Е, В, что и требовалось доказать. *) В подлиннике просто 6 h twv Л, Е —<то, что> из Д £,
КНИГА ДЕВЯТАЯ 75 Предложение 8 Если будет сколько угодно последовательно*) пропорциональных чисел от единицы, то третье от единицы**) и [все] через одно**'*) будут квадратами, четвёртое же и [все] через два Кбудуту кубами, седьмое же и [все] через пять одновременно квадратами и кубами (3). Пусть будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел от единицы А, В, С, D, Et I; я утверждаю, что третье от единицы В и все через одно будут квадратами, четвёртое же С и все через два S\ - ■ i <будут> кубами, седьмое же / и с\ 1 ■ ' чсе через пять — одновременно „ .___^^_. :вадратами и кубами (черт. 8). Действительно, поскольку бу- fl ' дет, что как единица к Л, так и /i 1 А к В, то значит, равное количество раз измеряют единица— число Черт. 8. А и Л — <число> В (определение 21 книги VII). Единица же измеряет число Л по -(количеству) единиц в нём; и значит, А измеряет Впо ^количеству) единиц в Л, Значит, Л. умножая само себя, произвело В', значит, В есть квадрат. И поскольку В, С, D последовательно пропорциональны, В же есть квадрат, то значит, и D будет квадратом (предложение 22 книги VIII). На том же вот основании и / будет квадратом. Тогда подобным же образом докажем, что и все через одно будут квадратами. Вот я утверждаю, что и четвёртое от единицы—С будет кубом, и все через два. Действительно, поскольку будет, что как единица к Л, так и В к С, то значит, равное количество раз единица измеряет число Л н В—<число> С. Единица же измеряет число Л по ^количеству) единиц в Л; и значит, В измеряет С по <количеству> единиц в А; значит, А, умножая В, произвело С. Поскольку теперь А, *) В подлиннике употреблён термин Щ$. **) Мы бы сказали «второе от единицы»; греки же, ведя счет от какого-нибудь объекта, всегда включают в счёт и его. ***) В подлиннике ol in twhht>r.s4 — оставляющие одно между.
76 НАЧАЛА ЕВКЛИДА умножая само себя, гтрэизвело 5, умножая же В, произвело С, то значит, С будет кубом. И поскольку С, D, Е, I последовательно пропорциональны, С же есть куб, то значит, и / будет кубом (предложение 23 книги VIII). Доказано же, что <оно> и квадрат; значит, седьмое от единицы будем кубом н квадратом. Подобным же вот образом докажем, что и все через пять будут кубами и квадратами, что и требовалось доказать. ГТрздложение 9 Если будет сколько угодно последовательных чисел в непрерывной пропорции*) от единицы, (число} же за единицей квадрат, то и все оегшльные будут квадратами. И если (число/у за единицей куб, Д{' " ' то и все остальные будут кубами. g\ 1 Пусть будет сколько угодно по- „ ~~ следовагельньгх1 пропорциональных чисел от единицы А, В, С, D, Е, I, Я{ ' <чнсло> же за единицей А пусть £\ 1 будет квадратом; я утверждаю, что ,. _; н все остальные будут квадратами (черт. 9). Черт. 9. Теперь, то, что третье от единицы, <именно> В, н все через одно будут квадратами, доказано (предложение 8); я утверждаю [вот], что и остальные все суть квадраты. Действительно, поскольку А, В, С последовательно пропорциональны, и А есть квадрат, то [значит] н С будет квадратом (предложение 22 книги VIII). Затем, поскольку [и] В. С, D последовательно пропорциональны, и В есть квадрат, то [значит] и D будет квадратом. Подобным же вот образом докажем, что и все остальные будут квадратами. Но вот пусть А будет кубом; я утверждаю, что и остальные все будут кубами. Теперь, то, что четвёртое от единицы С и в:е через два будуг кубами, доказано (предложение 8); я утверждаю *) В подлиннике — оба термина: oTtoscaoGv f*ijs хата то j'-myii;
КНИГА ДЕВЯТАЯ 77 [вот], чти н остальные все суть кубы. Действительно, поскольку будет, что как единица к Л, так и А к В, то значит, одинаковое число раз единица измеряет А и А — <число> В. Единица же измеряет А по <чнслу> единиц в нём; значит, и А измеряет В по <числу> своих единиц; значит, А, умножая само себя, произвело В. И А есть куб. Если же кубическое число, умножая само себя, производит что-то, то возникающее будет кубом (предложение 3); значит, и В будет к,, бом. И поскольку четыре числа А, В, С, D последовать; ъ:;о пропорциональны, и А есть куб, то значит, и D будет кубом (предложение 23 книги V1I1). На том же вот основании и Е будет кубом, и подобным образом все остальные будут кубами, что и требовалось доказать (4). Предложение 10 Если будет сколько угодно {последовательно} пропорциональных чисел от единицы, ■(числоу же за единицей не квадрат, то и никакое другое не будет квадратом, кроме третьего от единицы и всех через одно. И если (числоу за еди- Ях ~~' нити не куб, то и никакое другое В\ 1 не будет кубом, кроме четвёртого g , от единицы и всех через два. Пусть будет сколько угодно последовательно пропорциональных чи- Е\— -— - " ' сел от единицы Л, В, С, D, Е, I, ц i <число> же за единицей Л пусть не будет квадратом; я утверждаю, что еРт- ®- и никакое другое не будет квадратом, кроме третьего от единицы [н <исех> через одно] (черт. 10). Действительно, если возможно, пусть С будет квадратом. Также и В квадрат (предложение 8); значит, В, С имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу. И как В к С, так и Л к В; значит, Л, В имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу; так что Л, В будут подобными плоскостными <числами> (предложение 26 книги VIII). И В—квадрат; значит, и Л будет квадратом; этого же не предполагалось.
78 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Значит, С не будет квадратом. Подобным же вот образом: докажем, что и никакое другое не будет квадратом, кроме третьего от единицы и всех через одно. Но вот пусть А не будет кубом. Я утверждаю, что и никакое другое не будет кубом, кроме четвёртого от единицы и <всех> через два. В самом деле, если возможно, пусть D будет кубом. Также и С куб, ибо оно четвёртое от единицы (предложение 8). И как С к D, так и В к С; и значит, В имеет к С отношение, как куб к кубу. И С есть куб; значит, и В будет кубом (предложение 25 книги V1I1). И поскольку как единица к Л, так и А к В, единица же измеряет А по <числу> его единиц, то значит, и А измеряет В по <числу> своих единиц; значит, Л, умножая само себя, произвело куб В. Если же число, умножая само себя, производит куб, то н само будет кубом (предложение 6). Значит, и А будет кубом; этого же не предполагается. Значит, D не будет кубом. Подобным же вот образом докажем, что и никакое другое не будет кубом, кроме четвёртого от единицы и <всех> через два, что и требовалось доказать. Предложение 11 Если от единицы сколько угодно чисел будут последовательно пропорциональны, то меньшее измеряет боль- • „j шее по (количеству единицу в каком- либо аз находящихся среди пропорцио- 8[ ' нальных чисел. С\ 1 Пусть будет ог единицы А сколько угодят. ( но последова^льно пропорциональных чисел В, С, D, Е; я утверждаю, что из В, ^ ' С, D, Е наименьшее В измеряет Е по Черт jj <количеству единиц> в каком-либо из С, D (черт. 11). Действительно, поскольку будет, ч го как единица А к В, так и D к Е, то значит, равное число раз единица А измеряет число В и D—<чпсло> Е; значит, и перестановкой, равное число раз единица А измеряет D и В <изме- ряет> Е (предложение 15 кннги VII). Единица же А изме-
КНИГА ДЕВЯТАЯ ft ряет D по <числу> единиц в нём; значит, и В измеряет Е по <чнслу> единиц в D; значит, меньшее В измеряет большее £" по <количеству единиц) в каком-либо нз находящихся среди пропорциональных чисел. Следствие И ясно, что какое место от единицы имеет измеряющее, то же самое <место> имеет и то, по <числу единиц) в котором оно измеряет, <еслн считать) от измеряемого <назад> к предшествующему, что н требовалось доказать. Предложение 12 Если будет от единицы сколько угодно последовательно пропорциональных чисел, то какими первыми числами измеряется последнее <числоу, теми же самыми измерится и то, которое при единице. Я^* £\—i В\ 1 Л ч Л 1 Н\ 1 В\ » 6*—< Черт. 12. Пусть будет от единицы сколько угодно пропорциональных чисел Л, В, С, D; я утверждаю, что какими первыми числами измеряется D, теми же самыми нзмерится и Л (черт. 12). Действительно, пусть D измеряется каким-нибудь первым числом Е; я утверждаю, что Е измеряет А. Действительно, пусть не <нзмеряет>; и Е первое; всякое же первое число будет первым со всяким, которого оно не нз> еряет (предложение 29 книги VII); значит, Е, А будут первыми между собой. И поскольку Е измеряет D, то пусть оно измеряет его по <числу единиц) в /; значит, Е, умножая /, произвело D. Затем, поскольку А измеряет D по
oU НАЧАЛА ЕВКЛИДА <числу> единиц в С (предложение 11, следствие), то значит, Л, умножая С, произвело D. Но также и Е, умножая /, произвело D; значит, <произведение> из Л, С равно <пронзведению> из Е, J. Значит, будет, что как А к Е, так и / к С (предложение 19 книги VII). Но Л, Е первые, первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же равное число раз измеряют имеющие с ними то же самое отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее —последующее; значит, Е измеряет С. Пусть оно будет измерять его по <числу единиц в> И; значит, £", умножая /7, произвело С. Но также на основании предыдущего и Л, умножая В> произвело С (предложение 11, следствие). Значит, <произве- денне> из Л, В равно <ироизведению> из Е, И. Значит, будет, что как Л к Е, так и Н к В (предложение 19 книги VII). Но Л, Е первые, первые жен наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же числа равное число-раз измеряют имеющие с ними то же самое отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее — последующее; значит. Е измеряет В. Пусть оно измеряет его по <числу единиц в> G; значит, Е, умножая О, произвело В. Но также и Л, умножая само себя, произвело В (предложение 8); значит, <лроизвсдспие> из Е, О равно <квад- рату> на Л*). Значит, будет, что как Е к Л, так и А к О (предложение 19 книги VII). Но Л, Е первые, первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же одинаковое число раз измеряют имеющие то же самое отношение, предыдущее — предыдущее и последующее — последующее (предложение 20 книги VII); значит, Е измеряет Л, как предыдущее —предыдущее. Но оно также и не измеряет; это же невозможно. Значит, Е, А не будут первыми между собой. Значит, <они> составные. Составные же измеряются каким-нибудь [первым] числом (определение 15 книги VII). И поскольку Е предполагается первым, первое же не измеряется никаким другим числом, кроме как самим собой (определение 12 книги VII), то значит, Е измеряет Л, Е; *) тй ото zoo Л—терминология, обычная в геометрических книгах, но встречающаяся первый раз в арифметической.
КНИГА ДЕВЯТАЯ 81 так что Е измеряет А. Измеряет оно также и D; зиачит, Е измеряет A, D*). Подобным же вот образом докажем, что какими первыми числами измеряется D, теми же самыми будет измеряться и А, что и требовалось доказать. Предложение 13 Если будет от единицы сколько угодно последовательно пропорциональных насел, то же (число, что'} за едини- цей, будет первое, то наибольшее (числоу не будет измеряться никаким [дру' ^ гам], кроме находящих- ' ' ' ' ся среди пропорциональ- В* ' /•———' них чисел. с\ 1 н\ i Пусть будет ог едини- цы сколько угодно последовательно пропорции- Черт, 13, нальных чисел А, В, С, D, то же <число, что> за единицей — А пусть будет первым; я утверждаю, что наибольшее из иих D не будет измеряться иикаким другим, кроме А, В, С (черт. 13). Действительно, если возможно, пусть оно будет измеряться Е, и пусть Е не будет тождественным никакому из А, В, С. Тогда ясно, что Е первым не будет. Действительно, если Е первое и измеряет D, то оно измерит и А, являющееся первым, не будучи с ним тождественно; это же невозможно (предложение 12). Значит, Е не будет первым. Значит, оно составное. Всякое же составное число измеряется каким-нибудь первым числом (предложение 32 книгн VII); значит, Е измеряется каким-нибудь первым числом. Вот я утверждаю, что оно не измерится никаким иным первым <числом>, кроме Л. Действительно, если Е будет измеряться другим <числом>, Е же измеряет D, то значит, то <число> измерит н D; так что оно измерит и А, являющееся первым, ие будучи с ним тождественно - „ *) ЭтУ ФРазУ' как не входящую в формулировку теоремы, 1 еибсрг считает лишней и, может быть, иеподлннной, не вставляя её, однако, в квадратные скобки. *3 Евклид
*■«* НАЧАЛА ЕВКЛИДА (предложение 12); это же невозможно. Значит, А измеряет Е. И поскольку Е измеряет D, пусть оно измеряет его по <числу единиц в> /. Я утверждаю, что / не будет тождественно нн одному из А, В, С. Действительно, если / тождественно одному из А, В, С и измеряет D по <числу единиц в> Е, то значит, и одно из А, В, С измеряет D по <числу единиц в> Е. Ко одно из А, В, С измеряет D по <числу единиц в> каком-нибудь из А, В, С (предложение 11); и значит, Е будет тождественно с одним из А, В, С; этого же не предполагается. Значит, / не будет тождественно с одним из А, В, С. Подобным же вот образом докажем, что / измеряется А, показавши опять, что / не будет первым. Действительно, если <так> и оно измеряет D, то измерит и А. являющееся первым (предложение 12), не будучи ему тождественно; это же невозможно; значит, / не будет первым; значит, оно составное. Всякое же составное число измеряется каким-нибудь первым числом (предложение 32 книги VII); значит, / измеряется каким-нибудь первым числом. Вот я утверждаю, что оно не будет измеряться никаким другим первым <чнслом>, кроме А. Действительно, если какое-нибудь другое первое <число> измеряет /, а / измеряет D, то значит, то <чнсло> измерит D; так что оно измерит и А, являющееся первым, ие будучи с ним тождественно (предложение 12); это же невозможно. Значит, А измеряет /. И поскольку Е измеряет D по <числу единиц в> /, то значит, Е, умножая /, произвело D. Но также и А, умножая С, произвело D (предложение 11); значит, <произведение> из А, С равно <произведению> из Е, I. Значит, будет пропорция — как А к Е, так и / к С (предложение 19 книги VII). Но А измеряет Е; значит, и / измеряет С. Пусть оно его измеряет по <числу единиц в> И. Тогда подобным же образом докажем, что И не будет тождественно ни с одним из А, В и что оно измеряется А. И поскольку / измеряет С по <числу единиц в> И, то значит, /, умножая И, произвело С. Но также н А, умножая В, произвело С (предложение 11); значит, Произведение) из А, В равно <произведенцю> из /, И. Значит, <будет> пропорция — как А к /, <так и> Н к В (предложение 19 книги VII). Но А измеряет /; значит, и И изме-
КНИГА ДЕВЯТАЯ °6 ряет В. Пусть оно измеряет его по <числу единиц в> G, Тогда подобным же образом докажем, что G не будет тождественным с А. И поскольку И измеряет В по <числу единиц в> G, то значит, И, умножая G, произвело В. Но также и Л, умножая само себя, произвело В (предложение 8); значит, <произведсние> G, И*) равно квадрату на А. Значит, будет как G к А, <так и)^н //(предложение 19 книги VII). Но А измеряет //; значит, н G измеряет А, являющееся первым, не будучи с ннм тождественно, что нелепо. Значит, наибольшее D не будет измеряться никаким другим числом, кроме А, В, С, что и требовалось доказать (5, 6, 7, 8). Предложение 14 Если число будет наименьшим измеряемым •(данными'} первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших <#го> (9). Пусть число А будет наименьшим измеряемым ^' i В\ 1 первыми числами В, С, D\ £y~—t С*—* я утверждаю, что А не ,| намерится никаким иным первым числом, кроме В, Черт. 14. С, D (черт. 14). Действительно, если возможно, пусть оно измеряется первым <чнслом> Е, и пусть Е не будет тождественно ни с одним из В, С, D. И поскольку Е измеряет А, пусть оно измеряет его по <числу единиц в> /; значит, Е, умножая /> произвело А. И А измеряется первыми числами В, С, D. Если же два числа, умножая друг друга, производят что-то, возникающее же из них измеряется некоторым первым числом, то <последнсе> измерит и одно из первоначальных (предложение 30 книги VII); значит, В, С, D измерят одно из Л, /. Теперь Е оии не измерят, ибо Е есть первое н ни одному из В, С, D не тождественное. *) Опять геометрический термин: о иго 9t H; в арифметических книгах до сих пор для обозначения произведения употреблялся термин 6 Ь. -.т 9, И — что из О, //{подразумевается: «получается»). 6*
84 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Значит, они измерят /, являющееся меньшим А; это же невозможно, ибо А предполагается наименьшим измеряемым В, С, D. Значит, А не будет измеряться <другим> первым числом, кроме В, С, D, что и требовалось доказать. Предложение 15 Если три последовательно пропорциональных числа будут наименьшими из имеющих то же отношение с ними, то два какие-нибудь сложенные будут первыми с оставшимся. Пусть три последовательно пропорциональных числа, наименьшие из имеющих то же отношение с ними, будут „l , , А, В, С; я утверждаю, что из А, В, С два какие-нибудь ело- °х ' ffi г " i; женные будут первыми с остав- С\ 1 шимся, т. е. А <и> В с С, Черт, ig а В <и> С с Л и, наконец, А <и> С с В (черт. 15). Действительно, возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с А, В, С два числа DE, El (предложение 2 книги V111). Ясно тогда, что DE, умножая само себя, произвело А, умножая же El, произвело В, и ещё El, умножая само себя, произвело С. И поскольку DE, EI — наименьшие, они будут первыми между собой (предложение 22 книги VII). Если же два числа будут первыми между собой, то и вместе взятые они будут первыми с каждым <из первоначальных) (предложение 28 книги VII); значит, и DI будет первым с каждым из DE, El. Но и DE является первым с El; значит, DI, DE будут первыми с El. Если же два числа будут первыми с некоторым числом, то н возникающее из них будет первым с оставшимся (предложение 24 книги VII); так что <произведенне> из /Z), DE будет первым с EI; так что и <произведение> из ID, DE будет первым с <квадратом> на El. [Действительно, если два числа будут первыми между собой, то и возникающее из одного из них будет первым с оставшимся] (предложение 25 книги VII). Но <произведение> из ID, DE представляет <квадрат> на DE вместе с <произведением> из DE, El (пред-
КНИГА ДЕВЯТАЯ 85 ложение 3 книги И); значит, <квадрат) на DE вместе с <произведением> из DE, EI будет первым с <квадратом> на EI. И <квадрат> на DE будет А, -(произведение) же из DE, EI есть В, <квадрат> же на El есть С; значит, А, В сложенные будут первыми с С. Подобным же вот образом докажем, что и В, С -(сложенные) будут первыми с А. Вот я утверждаю, что и А, С <сложенньге> будут первыми с В. Действительно, поскольку DI будет первым с каждым из DE, El, то н <квадрат> на DI будет первым с <произведением> из DE, El (предложение 25 книги Vll). Но <квадрату> иа DI равны <квадраты> на DE, El вместе с дважды <взятым произведением) из DE, El (предложение 4 книги И); и значит, квадраты на DE, El вместе с дважды <взятым произведением) DE, El*) [будут] первыми с ^произведением) DE, El. По отнятии**) <квадраты> на DE, El вместе с один раз <взятым произведением) DE, EI будут первыми с Произведением) DE, EL Ещё по отнятии <квадраты> на DE, EI будут, значит, первыми с -(произведением) DE, El. И -(квадрат) на DE есть А, -(произведение) же DE, El <есть) В, <квадрат> же на El <есть) С. Значит, А, С сложенные будут первыми с В, что и требовалось доказать. Предложение 16 Если два числа будут первыми между собой, то не будет, что как первое ко второму, так а второе к какому-нибудь иному. Пусть два числа Л, В будут первыми Я* • между собой; я утверждаю, что не будет »} , как А к В, так и В к какому-нибудь иному _^_ (черт. 16). *' ' 4 Действительно, если возможно, то Черт. 16. пусть будет, что как А к В, так и В к С. Но А, В первые, первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же числа равное число *) ото iwv DE, EI вместо обычного Н. **) В тексте SisUvrt, хотя ыи о какой производной пропорции нет в речи; просто отбрасывается делящееся на самого себя произведение DE-EI.
86 НАЧАЛА ЕВКЛИДА раз измеряют имеющие то же самое отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее— последующее. Значит, А измеряет В, как предыдущее— предыдущее. Измеряет оно также и само себя; значит, А измеряет А, В, являющиеся первыми между собой, это же нелепо. Значит, ие будет, что как А к В, так и В к С, что и требовалось доказать. Предложение 17 Если будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел, крайние же из них будут первыми между собой, то не будет, что как первое ко второму, так и последнее к какому-нибудь иному. Пусть будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел А, В, С, Z), крайние же из них A, D ffi 1 С\ ■ В\ 1 Е\ 1 Черт. 17. пусть будут первыми между собой; я утверждаю, что не будет как А к В, так и D к какому-нибудь иному (черт. 17). Действительно, если возможно, пусть будет, что как А к jS, так и D к Е; перестановкой, значит, получится (предложение 13 книги VII), что как А к Z), так и ВкЕ. Но A, D первые, первые же н наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же числа измеряют имеющие то же отношение равное число раз (предложение 20 книги VII) предыдущее — предыдущее и последующее — последующее. Значит, А измеряет В. И будет, что как А к В, так и В к С. Значит, и В измеряет С (определение 21 книги VII): так что и А измеряет С. И поскольку будет, что как В к С, <так и> С к D, В же измеряет С, значит, и С из-
КНИГА ДЕВЯТАЯ 87 меряет D (определение 21 книги VII). Но А измеряло С; значит, А измеряет и D. Измеряет оно также и само себя. Значит, А измеряет A, D, являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, не будет, что как А к В, так и D к какому-нибудь иному, что и требовалось доказать. Предложение 18 Для двух данных чисел исследовать, можно ли подыскать к ним третье пропорциональное. Пусть будут данные два числа А, В, и пусть должно будет исследовать, можно ли подыскать к ним третье пропорциональное (черт. 18). Вот А, В будут или первыми между собой, или нег. И если онн первые между собой, то доказано, что невозможно подыскать к ним третье [пропорциональное (предложение 16). ^^"", Но вот пусть не будут А, В 8\ \ первыми между собой и пусть В, ^, , умнэжая само себя, произведёт С. п Тогда А или измеряет С, или ие ""* измеряет. Пусть сначала оно его Черт. 18. измеряет по <числу единиц в> D; значит, А, умножая D, произвело С. Но также и В, умножая само себя, произвело С; значит, <произведение> из А, D равно <квалрату> на В. Значит, будет, что как А к В, так и В к D (предложение 19 книги VII); значит, к А, В подыскано третье пропорциональное число D. Но вот пусть А не измеряет С; я утверждаю, что к А, В невозможно подыскать третье пропорциональное число, В самом деле, если возможно, то пусть будет подыскано D, Значит, <произведение> из Л, D равно <квадрату> на В (предложение 19 книги VII). <Квадрат> же на В есть С; значит, (произведение) из A, D равно С. Так что Л, умножая D, произвело С; значит, А измеряет С по <чнслу -диниц в> D. Но оно также предполагается и не измеряющим; это же нелепо. Значит, невозможно к А, В подыскать третье пропорциональное число, если А не измеряет С, что и требовалось доказать.
*s НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 19 Для трёх данных чисел исследовать, когда возможно подыскать к ним четвёртое пропорциональное. Пусть будут данные трн числа А, В, С, и пусть должно будет исследовать, когда возможно подыскать к ним четвёртое пропорциональное (черт. 19). Теперь они нлн не будут последовательно пропорциональными и их крайние будут первыми между собой, или будут последовательно пропорциональными н их крайние не будут первыми между собой, илн ни они не будут последовательно пропорциональными, ни их крайние не будут первыми между собой, илн н они будут последовательно пропорциональными и их крайние будут первыми между собой. 0\ 1 если теперь А, В, С будут последо- ji | вательно пропорциональными и их край- - ние А, С будут первыми между собой, то доказано, что невозможно к ним ^' 'ч подыскать четвёртое пропорциональное Черт. 19. число (предложение 17). Тогда пусть не будут А, В, С последовательно пропорциональными при крайних, опять являющихся первыми между собой, Я утверждаю, что и так невозможно подыскать к ним четвёртое пропорциональное, В самом деле, если возможно, пусть будет подыскано D, так чтобы было как А к В, так и С к D, и пусть будет сделано, что как В к С, <так и> D к Е, И поскольку будет, что как А к В, <так н> С к D, как же В к С, <так и> D к Е. то значит, «по равенству» (предложение 14 книги VII), как А к С. <так и> С к Е. Но А, С — первые, первые же и наименьшие (предложение 21 книги Vll), наименьшие же измеряют имеющие то же самое отношение, предыдущее — предыдущее и последующее—последующее (предложение 20 книги Vll). Значит, А измеряет С, как предыдущее <измеряет> предыдущее. Измеряет оно также и само себя, значит, А измеряет А, С, являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, к А, 5, С невозможно подыскать четвёртое пропорциональное.
КНИГА ДЕВЯТАЯ о» Но вот пусть опять будут А, В, С последовательно пропорциональными, Л, С же пусть не будут первыми между собой. Я утверждаю, что возможно подыскать к ним четвёртое пропорциональное. Действительно, пусть В, умножая С, произведёт D; значит, А или измеряет £>, или ие измеряет. Пусть сперва оно его измеряет по <числу единиц в> Е\ значит, А, умножая Е, произвело D. Но вместе с тем и В, умножая С, произвело D; значит, произведение) из Л, Е равно <произведению> из В, С. Значит, [будет] пропорция — как А к В, <так и)Ск£' (предложение 19 книги VII); значит, к А, В, С подыскано четвёртое пропорциональное Е. Но вот пусть А не будет измерять D; я утверждаю, что невозможно к А, В, С подыскать четвёртое пропорциональное. В самом деле, если возможно, пусть будет подыскано Е; значит, <произведение> из А, Е равно ■(произведению) из В, С (предложение 19 книги Vll). Но <пронзведение> из В, С есть D; и значит, <произведение> из А, Е равно будет D. Значит, А, умножая Е, произвело D\ значит, А измеряет D по <числу единиц в> Е, так что А измеряет D. Но оно и не измеряет, что нелепо. Значит, невозможно подыскать к А, £, С четвёртое пропорциональное, когда А не измеряет D. Но вот пусть не будут ни Л, В, С последовательно пропорциональными, ни крайние первыми между собой. И пусть В, умножая С, произведёт D. Подобным же вот образом докажется, что если А измеряет D, то возможно подыскать к ннм <четв'ертое> пропорциональное, если же не измеряет, то невозможно, что и требовалось доказать. Предложение 20 Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел. Пусть предложенные первые числа будут А, В, С; я утверждаю, что первых чисел существует больше, чем Л В, С (черт. 20). Действительно, возьмём наименьшее <число>, измеряемое Л, В, С (предложение 36 книги VH), и пусть оно
90 НАЧАЛА ЕВКЛИДА будет DE, и приложим ft DE единицу DI. Вот El или будет первым, или нет. Пусть сперва оно будет первым; значит, найдено первых чисел А. В, С, Е! больше, чем А, В, С. Но вот пусть El не будет первым; значит, оно измеряется некоторым первым числом (предложение 31 книги VII). Пусть оно будет измеряться первым <числом> И; я утверждаю, что И не будет тождественным ни с одним из Л, i ■ \В i \н Черт. 20. В, С. В самом деле, если возможно, пусть будет. Но Л, В, С измеряют DE; значит, и И измерит DE. Оно же измеряет и El', и остающуюся единицу DI измерит И, будучи числом; это же нелепо. Значит, Н не будет тождественным ни с одним из A, В, С. И оно предполагается первым; значит, найдено первых чисел больше предложенного количества Л, В, С, <а именно), А, £, С, И, что и требовалось доказать (10, II, 12, 13, 14). Предложение 21 Если складывается с/соль/со угодно чётных чисел, то целое будет чётным (15). Пусть складывается сколько угодно чётных чисел /Ш, ВС, CD, DE; я утверждаю, что целое АЕ будет чётным (черт. 21). Д В С В 5 I 1 £—£ 1 Черт. 21. ' ' ^•Цйвртэительно, поскольку каждое из АВ, ВС, CD, DE я^дяедзд четным, то оно имеет половинную часть (опреде-
КНИГА ДЕВЯТАЯ ление 6 книги VII); так что и целое имеет половинную часть. Чётным же числом является делящееся пополам (определение 6 книги VII); значит, АЕ будет чётным, что и требовалось доказать. Предложение 22 Если складывается сколько угодно нечётных чисел, количество же их будет чётным, то целое будет чётным. Пусть складывается сколько угодно нечётных чисел в чётком Я В ^ У . , количестве АВ, ВС, CD, DE; я утверждаю, что целое АЕ будет Черт. 22. чётным (черт. 22). Действительно, поскольку каждое из АВ, ВС, CD, DE является нечётным, то после отнятия от каждого единицы каждый из остатков будет чётным (определение 7 книги VII); так что и составленное из них будет чётным (предложение 21). Также и количество единиц будет чётным. Значит, и целое АЕ будет чётным, чго и требовалось доказать (16). Предложение 23 Если складывается сколько угодно нечётных чисел, количество же их будет нечётным, то и целое будет нечётным. " 1—£ Щ Черт. 23. Пусть складывается сколько угодно нечётных чисел, количество которых будет нечётным, <а именно>, АВ, ВС, CD; я утверждаю, что и целое AD будет нечётный (черт. 23). Отнимем от CD единицу DE; значит, остаток СЕ бу- де. чётным (определение 7 книги VII). Также и С А чётное (предложение 22); значит, и целое АЕ будет чётным. И есть единица DE. Значит, AD будет нечётным (определение 7 книги VII), что и требовалось доказать.
92 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 24 Если от чётного числи отнимается чётное, то остаток будет чётным. Пусть от чётного АВ отнимается чётное ВС; я утверждаю, что остаток СА будет чётным (черт. 24). /г С В » н 1 Черт. 24. Действительно, поскольку АВ есть чётное, то оно имеет половинную часть. На том же вот основании и ВС имеет половинную часть (определение 6 книги VII); значит, и остаток [СА имеет половинную часть; значит] чётным будет АС, что и требовалось доказать. Предложение 25 Если от чётного числа отнимается нечётное, то остаток будет нечётным. Пусть от чётного АВ отнимается нечётное ВС; я утверждаю, что остаток СА будет нечётным (черт. 25). Лу С ]/ f Черт. 25. Действительно, отнимем от ВС единицу CD; значит, DB будет чётным (определение 7 книги VII). Также и АВ чётное; значит, и остаток AD будет чётным (предложение 24). И есть единица CD; значит, СА будет нечётным (определение 7 книги VII), что и требовалось доказать. Предложение 26 Если от нечётного числа отнимается нечётное, то остаток будет чётным. Пусть от нечётного АВ отнимается нечётное ВС; я утверждаю, что остаток СА будет чётным (черт, 26).
КНИГА ДЕВЯТАЯ 93 Действительно, поскольку АВ является нечётным, то отнимем единицу BD; значит, остаток AD будет чётным. А С U8 Черт. 26. Тогда на том же основании и CD будет чётным (определение 7 книги VII); так что и остаток СА будет чётным (предложение 24), что и требовалось доказать. Предложение 27 Если от нечётного числа отнимается чётное, то остаток будет нечётным. Пусть от нечётного АВ отнимается чётное ВС; я утверждаю, что остаток СА будет нечётным (черт. 27). ЯД С В • [Действительно], отнимем единицу AD; значит, DB будет чётным Черт. 27. (определение 7 книги VII). Также и ВС чётное; значит, и остаток CD будет чётным (предложение 24). Значит, СА будет нечётным (определение 7 книги VII), что и требовалось доказать. Предложение 28 Если нечётное число, умножая чётное, производит что-то, то возникающее будет чётным. Пусть нечётное число А, умножая чётное В, произведёт С; я утверждаю, что С будет чётным (черт. 28). «, А Действительно, поскольку А, умножая В, произвело С, то значит, С складывается из ■ i стольких <чисел>, равных В, сколько будет ^ tB А единиц (определение 16 книги VII). lJepT. 28. и В чётное; значит, С складывается из чётных. Если же складывается сколько угодно чётных чисел, то целое будет чётным (предложение 21). Значит, С будет чётным, что и требовалось доказать.
У4 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 29 Если нечётное число, умножая нечётное число, производит что-то, то возникающее будет нечётным. Пусть нечётное число А, умножая не- ' чётное В, произведёт С; я утверждаю, £i 1 что q будет нечётным (черт. 29). ^i | Действительно, поскольку А, умножая В, произвело С, то значит, С склады- Черт, 29. вается из стольких <чисел>, равных В, сколько будет в А единиц (определение 16 книги VII). И каждое из А, В нечётно; значит, С складывается из нечётных чисел, количество которых нечётно, Так что С будет нечётным {предложение 23), что и требовалось доказать. Предложение 30 Если нечётное число измеряет чётное число, то оно будет измерять и его половину. Пусть нечётное число А измеряет чётное В; я утверждаю, что оно будет измерять и его половину (черт. 30). / в L Действительно, поскольку А измеряет В, то пусть оно измеряет его по <числу единиц в> С; я утверждаю, что С не будет нечётным. В самом деле, если возможно, пусть будет. И поскольку А измеряет В по <числу единиц в> С, то значит, А, умножая С, произвело В. Значит, В складывается из нечётных чисел, количество ц „Q которых нечётно. Значит, В будет нечётным (предложение 23); это же нелепо, ибо оно предполагается чётным. Значит, С не будет нечётным; значит, чётным будет С. Так что А измеряет В чётное число раз. Тогда на основании этого*) оно измерит и его половину, что и требовалось доказать. *) Так как половина будет измеряться в соответствии с числом, равным половине того, которым'измеряется целое (Гейберг),
КНИГА ДЕВЯТАЯ 95 Предложение 31 Если нечётное число по отношению к некоторому числу будет первым, то оно будет первым и по отношению к его удвоенному. Пусть нечётное число А по отношению к некоторому числу В будет первым, пусть же удвоенное В будет С; я утверждаю, что А [и] по отношению к С будет первым (черт. 31). ' Действительно, если не будут [А, В*~—-—i С] первые, то их измерит некото- с\ - ~\ рое число. Пусть оно измеряет и будет D. И А нечётное; значит, и D — нечётное. И поскольку D, будучи Черт. 31 нечётным, измеряет С, и С является чётным, то значит, [D] измерит н половину С. Половина же С есть В; значит, D измеряет В. Измеряет оно также и А. Значит, D измеряет А, В, являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, ие будет А по отношению к С не первым. Значит, Л, С будут первыми между собой, что и требовалось доказать. Предложение 32 Из чисел, получаемых удвоением от двойки, каждое будет только четно-чётным. Пусть от двойки А будет получено удвоением сколько угодно чисел В, С, D; я утверждаю, что В, С, D будут только чётно-чётными (черт. 32). Теперь, что каждое [из В, С, D] будет чётно-чётным, Ду—i очевидно, ибо оно получено удвоением от двойки (определение 8 книги VII). Я утверждаю, что и только. Действи- С>- тельно, отложим единицу. Г\ i Поскольку теперь от единицы будет сколь угодно последовательно Черт. 32. пропорциональных чисел, и то, <что> за единицей, <т. е.> А, первое, то наибольшее из А, В, С, D, <именно> D, не нзмерится никаким другим, кроме Л, В, С (предложение 13). И каждое
96 НАЧАЛА ЕВКЛИДА из Л, В, С есть чётное; значит, D будет только чётно-чётным (определение 8 книги VII). Подобным же вот образом докажем, что [и] каждое из В, С будет только чётно-чётным, что и требовалось доказать. Предложение 33 Если число имеет нечётную половину, то оно будет только четно-нечётным. Пусть число А имеет нечётную половину; я утверждаю, что А будет только чётно-нечётным (черт. 33). Теперь, что оно будет чётно-нечётным, очевидно; ибо > его половина, будучи нечётным, измеряет его i Я у чётное число раз (определение 9 книги VII). Вот я утверждаю, что и только. Действительно, Черт. 33. если А будет и чёгно-чётным, то оно измерится чётным по <числу единиц в> чётном числе (определение 8 книги VII), так что и половина его измерится чётным числом, будучи нечётной; это же нелепо. Значит, А будет только чётно-нечётным, что и требовалось доказать. Предложение 34 Если число не будет из получаемых удвоением от двойки и не имеет нечётную половину, то оно будет и чётно-чётным и чётно-нечётным, Пусть число А не будет нз получаемых удвоением от двойки и пусть оно не имеет нечётную половину; я утверждаю, что А будет и чётно-чётным и чёт- ио-нечётным (черт. 34). Теперь, что А будет чётно-чётным, очевидно, ибо оно не имеет нечётной половины Д (определение 8 книги VII). Вог я утверждаю, что оно будет и чётно-нечётным. Действительно, если А разделим пополам и половину его Рт* пополам, и будем делать это всё время, то дойдём до некоторого нечётного числа, которое будет измерять А по (числу единиц в> чётном числе. Действи-
КНИГА ДЕВЯТАЯ 97 тельно, если нет, то дойдём до двойки, и |будет А из получаемых удвоением от двойки; этого же не предполагается. Доказано же, что оно и чётно-чётное. Значит, Л будет и чётно-чётным и ^чётио-нечётным, что и требовалось доказать. Предложение 35 Если будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел и от второго и последнего будут отняты (числау, равные первому, то будет, что как остаток второго к первому, так и остаток по- „ \, "! следнего ко всем ему \—i предшествующим (вме- сте>. В /, К G I Пусть будет сколько угодно последовательно Черт, 35. пропорциональных чисел Л, ВС, D, EI, начиная от наименьшего Л, и пусть от ВС и EI будут отняты равные Л каждое из ВН, /G; я утверждаю, что будет как ИС к Л, так и EG к Л, ВС, D <вместе> (черт. 35). Действительно, отложим IK, равное ВС, и IL1 равное D. И поскольку IK равно ВС, и в них /G равно ВН, то значит, остаток GK равен остатку 'ИС. И поскольку будет, что как EI к D, так и D к ВС, и ВС к А {предложение 13 книги VII), D же равно IL, ВС же—IK, A же—/G, то значит, будет, что как EI к IL, так и Ц к IKalK к IG. «Выделяя» {предложения 11 и 1 3 книги VII), как EL к Ц, так и LK к IK и KG к IG. Значит, и как один из предыдущих к одному из последующих, так и все <вместе) предыдущие ко всем <вместе> последующим (предложение 12 книги VII); значит, будет, что как KG к IG, так и EL, LK, KG к LI, IK, GI. Но KG равно СИ, IG же A, a Ut IK, GI <равны> D, ВС, Л; значит, будет, что как СИ к Л, так и EG к D, ВС, А. Значит, будет, что как остаток второго к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим, что и требова- слось доказать. 7 Евклид
98 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 36 Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно ^пропорциональныху чисел в двойном отношении, до тех пор, пока вся <,иху совокупность сложенная не сделается первым <числомУ и вся совокупность, умноженная на последнее ■(числоу, произведёт что-то, то возникающее ^числоу будет совершенным. н В С 3 . ■,' , Е | , В N К ■ ' ■ ' л -;' ' ' I 1 i L [ i Z1--4 Черт. 36, Пусть от единицы будут отложены сколько угодно чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная ие сделалась первым <числом, а именно), А, В, С, D, и пусть Ег равно будет <этой> совокупности, н £, умноженное на D, произведёт !Н. Я утверждаю, что JH будет совершенным <числом> (черт. 36). Действительно, каково будет количество А, В, С, £>, столько же возьмём or £ в двойном отношении <чисел> Е, GK, L, М. Значит, «по равенству» (предложение 14 книги VII) будет, что как А к D, так и Е к М. Значит, <произведение> из Е, D равно будет <произведению) из А, М (предложение 19 книги VII). И <произведение) из Е, D есть Ш; и значит, ^произведение) из А, М будет Ш. Значит, А, умножая М, произвело W; значит, М измеряет Ш по <числу> единиц в А ИЛ есть двойка; значит, Ш будет вдвое больше М. Также и М, L, GK, Е будут последовательно вдвое больше друг друга; значит, £, Gf(, L, Мл IH последовательно пропорциональны в двойном отношении. Тогда отнимем от второго GK и от последнего JH <соответет-
КНИГА ДЕВЯТАЯ 99 веино> каждое из GN, IX, равных первому Е; значит, будет, что как остаток второго числа к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим (предложение 35). Значит, будет, что как NK к Е, так и ХН к М, L, KG, E (вместе). И NK равно Е; значит, н ХИ равно М, L, GK, Е (вместе). Также и IX равно Е, Е же <равно> А, В, С, D и единице. Значит, всё IH равно Е, GK, L, М н А, В, C, D и единице; и оно измеряется имн. Я утверждаю, что и Ш ие измерится никаким иным <числом>, кроме А, В, С, D, E, GK, ^ М и единицы. В самом деле, если возможно, пусть какое-то О измеряет IH и пусть О ие будет тождественно ии с одним из А, В, С, D, E, GK, L, М. И сколько раз О измеряет IHt пусть столько единиц будет в Р; значит, Р, умножая О, произвело Ш. Но вместе с тем и Е, умножая D, произвело IH', значит, будет {предложение 19 книги VII), что как Е к Pt <так и> О к D. И поскольку от единицы будут последовательно пропорциональные <числа> А, В, С, D, то значит, D не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С {предложение 13). И предполагается, что G не тождественно ни с одним нз А, В, С; значит, О не измерит D. Но как G к D, <так н> Е к Р; значит, н Е не измеряет Р {определение 21 книги VII), И Е-—первое; всякое же первое число [будет] первым по отношению ко всякому, кого оно не измеряет {предложение 29 книги VII). Зиачнт, Е, Р будут первыми между собой. Первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же равное число раз измеряют имеющие с ними то же отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее н последующее — последующее; и как Е к Р, <так и> О к D; значит, равное число раз Е измеряет О а Р <изме- ряет> D. Но D не измеряется никаким иным, кроме А, В, С, значит, Р будет тождественно одному из А, В, С. Пусть оно тождественно В. И каково будет количество В, С, D, (начиная) от Е> возьмём столько же <чнсел>—Е, GK, L. И Е, GK, L с В, С, D будут в том же самом отношении; значит, «по равенству» будет {предложение 14 книги VII), что как В к D, (так н> Е к L. Значит, <произведение> из Bt L равно <произведению> из D, Е {предложение 19 книги VII); но <произведение) из D, Е равно (произведению) 7*
100 НАЧАЛА ЕВКЛИДА из Р, О; и значит, -(произведение) из Р, О равно -(произведению) из В, L. Значит, будет, что как Р к В, <так и) L к О (предложение 19 книги VII). И Р тождественно с В; значит, и L будет тождественно с О; это же невозможно; ибо О предполагается ие тождественным ни одному из отложенных <чнсел>. Значит, Ш не измерится никаким числом, кроме Л, В, С, D, Я, GK, L, М и единицы. И доказано, что Ш равно А, £, С, D, E, GK, L, М и единице. Совершенным же числэм будет то, которое равно своим частям (определение 23 к.шги VII); значит, Ш будет совершенным, что и требовалось доказать (17, 18, 19). -^ L,
КНИГА ДЕСЯТАЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (1) 1. Соизмеримыми (2) величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же — для которых никакая общая мера не может быть образована. 2. Прямые являются соизмеримыми в степени, есл и квадраты на них измеряются одной и той же площадью, несоизмеримыми же, если для квадратов на них не может бить образована никакая площадь как общая мера. 3. При этих предположениях доказывается, что для заданной прямой существует бесконечное количество прямых как соизмеримых, так и несоизмеримых, (причём) некоторые (соизмеримы или несоизмеримы) только линейно, другие же и в степени. Назовём теперь заданную прямую рациональной, а соизмеримые с ней, как и линейно и в степени, так и только в степени, будем называть рациональными, несоизмеримые же с ней — иррациональными (3). 4. И назовём квадрат па заданной прямой рациональным, и <все площади), с ним соизмерлмые, рациональными, несоизмеримые же с ним — иррациональными, и <линии>, их квадрирующие *), — иррациональными, <причём> если <эти площади) являются квадратами, то — самые стороны, если же какими-нибудь иными прямолинейными фигурами, то—<линии, на которых) строятся равные им квадраты (4). *) aiSuvajtevai wka — мы сказали бы просто — квадратные Корни из этих^гоющалей.
102 ■* ■ * ^ НАЧАЛА ЕВКЛИДА ■ - - Предложение 1 Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины. Пусть будут две неравные величины АВ, С, из которых большая АВ; я утверждаю, что если от АВ отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше величины С (черт. 1). Черт. 1. Действительно, С, взятая Достаточное число раз> кратной, станет когда-нибудь больше АВ (определение 4 книги V). Будем брать её кратной, и пусть DB будет кратной С и большей АВ, и разделим DE на равные С <части> D/, 1Н, НЕ, и отнимем от АВ ббльшую половины <часть> BG, от AG же — большую половины участь> GK, и будем делать это постоянно, пока деления в АВ не сделаются равными по количеству делениям в DE. Пусть теперь деления АК, KG, GB будут равными по количеству <делениям> DI, IH, НЕ; и поскольку DE больше АВ, и от DE отнимается меньшая половины <часть> ЕН, от АВ же большая половины <часть> BG, то значит, остаток HD будет больше остатка GA. И поскольку HD больше GA, и отнимаются от HD половина HI, от GA же большая половины <часть> GK, то значит, остаток D! будет больше остатка АК. Но DI равно С; и значит, С больше АК. Значит, АК меньше С. Итак, от величины АВ остаётся величина АК, являющаяся меньшей заданной меньшей величины С, что и требовалось доказать. Подобным же образом докажется и если бы отнимаемые были половинами (5,6,7,8), , ....-,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 108 Предложение 2 Если для двух [г ада иных] неравных величин при постоянном попеременном*) вычитании меньшей из большей остающееся никогда не будет измерять своего предшествующего, то величины будут несоизмеримыми. Пусть для двух, являющихся неравными, величин АВ, CD, <из которых> метшая АВ, при постоянном попеременном вычитании меньшей из большей остаток никогда не измерит своего предшествлкщего; я утверждаю, что величины АВ, CD будут несоизмеримыми (черт. 2). ,7, .-_- „__+, _ ~р Черт. 2. Действительно, если они соизмеримы, то некоторая величина их измерит. Пусть, если возможно, она измеряет и будет Е; и пусть АВ, измеряя ID, оставит меньшую себя <часть> Cf, CI же, измеряя ВН, оставит меньшую себя <часть> АН, и пусть это происходит постоянно, пока не останется некоторая величина, которая будет меньше Е. Пусть это случится и плеть останется АН, меньшая Е. Поскольку теперь Е измеряет АВ, но АВ измеряет D1. то значит, и Е измерит ID. Она же измеряет и всю CD; значит, она измерит и остаток Cf. Но С/ измеряет ВН; значит, и Е измеряет ВН. Она же измеряет и всю АВ; значит, измерит и остаток АН, большая — меньшую; это же невозможно. Значит, никакая величина не измерит величин АВ, CD; значит, величины АВ, CD будут несоизмеримыми (определение 1). Итак, если для двух неравных величин и т. д. (9). **) В тексте (ЫКгртаоэцЬсэ — тот же самый термин, что и в предложении 1 книги VII. Так как avri значит «против, напротив», то операцию avb'jyitezc^ следует мыслить как попеременное вычитание второй величины из первой, затем остатка первой из второй, остатка второй из остатка первой, причем мыслятся двачряда величин, в заглавии которых стоят обе заданные первоначально величины, а под каждой из иих соответственно полученные вычитанием их остатки.
104 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 3 Для двух данных соизмеримых величин найти их наибольшую общую меру. Пусть данные две соизмеримые величины будут АВ, CD, из которых меньшая АВ; вот требуется для АВ, CD найти наибольшую общую меру (черт. 3), Величина АВ или измеряет CD, или нет. Если теперь она измеряет, измеряет также и самоё себя, то значит, АВ Черт. 3. будет общей мерой АВ, CD; и ясно, что и наибольшей. Ибо <величина>, большая величины АВ, не будет измерять АВ. Тогда пусть АВ не измеряет CD. И при постоянном попеременном вычитании меньшего из большего, остаток когда- нибудь измерит предшествующий ему, вследствие того, что АВ, CD не являются несоизмеримыми (предложение 2); и пусть АВ, измеряя ED, оставит меньшую себя ЕС; ЕС же, измеряя /В, пусть оставит меньшую себя AI; А! же пусть будет измерять СЕ. Поскольку теперь AI измеряет СЕ, но СЕ измеряет 1В, то значит, и AI измерит /В. Она же измеряет и самоё себя; значит, AI измерит и всю АВ. Но АВ измеряет DE; значит, и AI измерит ED. Она же измеряет и СЕ; значит, измеряет и всю CD; значит, AI будет общей мерой АВ, CD, Вот я утверждаю, что и наибольшей. Действительно, если нет, то будет некоторая величина, большая AI, которая измерит АВ, CD. Пусть это будет И, Поскольку теперь И измеряет АВ, но АВ измеряет ED, то значит, и Н измерит ED. Она же измеряет и всю CD; значит, Н измерит и остаток СЕ, Но СЕ измеряет IB; значит, и И измерит IB. Она же измеряет и всю АВ, н измерит остаток AI, большая — меньшую; это же невозможно. Значит, никакая величина, большая Af} не измерит
КНИГА ДЕСЯТАЯ 105 АВ, CD; значит, А/ будет для АВ, СО наибольшей общей мерой. Итак, для двух данных соизмеримых величин АВ, CD найдена наибольшая общая мера, что и требовалось доказать. Следствие Вот из этого ясно, что если величина измеряет две величины, то она измерит и их наибольшую общую меру. Предложение 4 Для трёх данных соизмеримых величин найти их наибольшую общую меру. Пусть данные три соизмеримые величины будуг А, В, С; вот требуется для А, В, С найти наибольшую общую меру (черт, 4). Возьмём для двух <величин> Л, В наибольшую общую меру, и пусть она будет D (предложение 3); тогда D или измеряет С, или не [измеряет]. Пусть сперва измеряет. Поскольку теперь D ^'" l измеряет С, измеряет также и А, В, то g\«» н , значит, D измеряет А, В, С; значит, D ^ ( для А, В, С будет общей мерой. И S Е I ясно, что и наибольшей, ибо <величи- *~~~* ""* ■"""" на>, большая величины D, не измеряет Черт. 4. А, В. Тогда пусть D не измеряет С. Я утверждаю сперва, что С, D будут соизмеримыми. Действительно, поскольку А, В, С соизмеримы, то их измерит некоторая величина, которая, конечно, измерит н А. В, так что она измерит и общую наибольшую меру А, В. <т. е.> D (предложение 3, следствие). Она же измеряет и С, так что упомянутая величина измерит С, D; значит, С, D будут соизмеримыми. Возьмём теперь их наибольшую общую меру (предложение 3), и пусть она будет Е. Поскольку теперь Е измеряет D, но D измеряет А, В, то значит, Е измерит и А, В, Оиа же измеряет и С. Значит, Е измеряет А, В, С, значит, Е для А, В, С будет общей мерой. Вот я утвер-
106 НАЧАЛА ЕВКЛИДА ждаю, что и наибольшей. Действительно, если возможно, пусть будет некоторая большая Е величина / и пусть она измеряет А, В, С. И поскольку / измеряет А, В, С, то значит, она измерит и А, В, измерит и наибольшую общую меру А, В (предложение 3, следствие). Наибольшая же общая мера А, В есть D; значит, / измеряет D. Она же измеряет и С; значит, / измеряет С, D; значит, / измерит и наибольшую общую меру С, D (там же). Она же есть Е; значит, / измерит Е, большая—-меньшую; это же невозможно. Значит, никакая [величина], большая величины Е, не измеряет А, В, С; значит, Е будет наибольшей общей мерой А, В, С, если D не измеряет С, если же измеряет, то сама D. Итак, для трёх данных соизмеримых величин найдена наибольшая общая мера [что и требовалось доказать]. Следствие Из этого вот ясно, что если величина измеряет три величины, то она будет измерять и их наибольшую общую меру. Подобным же вот образом возьмётся наибольшая общая мера и для большего количества <величии>, и результаты продвинутся далее, что и требовалось доказать. Предложение 5 " - Соизмеримые величины имеют между собой отношение, ках число к числу {Щ. , ■ ■ ' ■ /; # £ Черт. 5. Пусть соизмеримые величины будут А, В; я утверждаю, что А имеет к В отношение, как число к числу (черт. 5).
КНИГА ДЕСЯТАЯ 107 Действительно, поскольку А, В соизмеримы, то их измерит некоторая величина. Пусть она измеряет и будет С. И сколько раз С измеряет А, пусть столько единиц будет в D, сколько же раз С измеряет В, пусть столько единиц будет в Е. Поскольку теперь С измеряет А по <количеству> единиц в D, также и единица измеряет D по <количеству> единиц в иём, то значит, равное число раз единица измеряет число D, н величина С <измеряег> А; значит, будет, что как С к А, так и единица к D (определение 21 книги VII); значит, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как А к С, так и D к единице. Затем, поскольку С измеряет В по <количеству> единиц в Е, так же и единица измеряет Е по <количеству> единиц в нём, то значит, равное число раз единица измеряет £Г, н С <измеряет> В\ значит, будет (определение 21 книги VII), что как С к В, так и единица к Е. Доказано же, что и как А к С, <так ц> D к единице; «по равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как А к В, так и число D к Е. Игак, соизмеримые величины А, В имеют между собой отношение, как число D к числу Е, что и требовалось доказать. Предложение 6 Если две величины, имеют между собой отношение, как число к числу, то эти величины будут соизмеримыми. Пусть две величины А, В имеют между собой отношение, как число D к числу Е; я утверждаю, что величины А, В будут соизмеримыми (черт. 6). Действительно, сколько будет в D единиц, на столько же равных <частей> разделим At и пусть С будет равна одной из них; сколько же будет в Е единиц, из стольких равных С величин составим /. Поскольку теперь, сколько будет в D единиц, столько же и в А будет величин, равных С, то значит, какой частью D является единица, той же самой частью А является С; значит, будет, что как С к А, так и единица
108 НАЧАЛА ЕВКЛИДА к D (определение 21 книги VII). Единица же измеряет число D; значит, и С измеряет А. И поскольку будет, что как С к А, так и единица к [числу] D, то значит, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как А к С, так и число D к единице. Затем, если сколько будет в Е единиц, столько будет ив/ равных С <величин>, то значит, будет, что как С к /, так и единица к [числу] Е (опре- Д ВС h—, 1 (—| у—4 1 1 ь—I ' ХВ /, i Черт. 6. деление 21 книги VII). Доказано же, что и как Л к С, так и D к единице; «по равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как Л к /, так и D к Е. Но как £> к Е, так будет и А к 5; и значит, А как к 5, так и к /. Значит, А к каждому из В, I имеет то же самое отношение; значит, В равно / (предложение 9 книги V). Также С измеряет /; значит, оно измеряет и В. Но вместе с тем и А; значит, С измеряет А, В. Значит, А соизмеримо с Б. Итак, если две величине имеют между собой и т. д. (И). Следствие Из этого вот ясно, что если будут два числа, как например, D, Е, и прямая, как например А, то возможно сделать так, чтобы как число D к числу Е, так и прямая к прямой. Если же для А, / взять среднюю пропорциональную, как например. В, то будет, что как А к /, так и <квадрат> на А к <квадрату> иа В, то-есть как первая к третьей, так и подобная и подобно построенная на первой <фигура> к <такой же> иа второй (предложение 20 книги VI, следствие 2). Но как А к I, так будет и число D к числу Е; значит, получилось, что и как число D к числу Е, так и <квадрат> иа прямой А к <квадрату> на прямой В, что и требовалось доказать,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 109 Предложение 7 Несоизмеримые величины не имеют между собой отношения, как число к числу. Пусть будут несоизмеримые величины А, В; я утверждаю, что А к В не имеет отношения, как число к числу (черт. 7). i ,—( Действительно, если А имеет к В отношение, ^ 8 х как число к числу, то А будет соизмерима с В (предложение 6). Она же не <сонзмерима>; значит, Черт, 7. А не имеет к В отношения, как число к числу. Итак, несоизмеримые величины не имеют между собой отношения н т. д. Предложение 8 Вели две величины не имеют между собой отношения, как число к числу, то эти величины будут несоизмеримыми. i ) Пусть две величины А, В не имеют между В собой отношения, как число к числу; я утверждаю, что величины А, В будут несоизмеримы- Черт. 8. мн (черт. 8), Действительно, если они будут соизмеримыми, то А будет иметь к В отношение, как число к числу (предложение 5). Она же не имеет. Значит, величины А, В будут несоизмеримыми. Итак, если две величины не имеют между собой и т. д. Предложение 9 Квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу; и квадраты, имеющие между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу, будут иметь и стороны линейно соизмеримые. Квадраты же на линейно несоизмеримых прямых не будут иметь между собой отношения, как квадратное число к квадратному числу; и квадраты, не имеющие между
НО НАЧАЛА ЕВКЛИДА собой отношения, как квадратное число к квадратному числу, не будут иметь и линейно соизмеримых сторон (12), Пусть А, В будут линейно соизмеримыми; я утверждаю, что квадрат на А к квадрату на В имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу (черт. 9). Действительно, поскольку А линейно соизмеримо с В, то значит, А имеет к В отношение, как число к числу (предложение 5). Пусть оио имеет <отношение>, как С К О. Поскольку теперь будет, что как А к В, так и С к Л, но отношение квадрата на А к квадрату на В будет двойным отношением А к В; ибо подобные ! £ | " i фигуры находятся в двойном отиэше- С нин соответственных сторон (предло- д жение 20 книги VI, следствие); двой- 1 ' ' ным же отношением [числа] С Черт. 9. к [числу] D будет отношение квадрата на С к квадрату иа D; ибо для двух квадратных чисел существует одно среднее про- порциэиальное число, я квадратное <число> к квадратному [числу] имеет двойное отношение стороны к стороне (предложение 11 книги VIII); значит, будет, что как квадрат иа А к квадрату иа В, так и квадратное [число] на С к квадратному [числу] иа [числе] D. Но вот пусть будет, что как квадрат на Л к <;квад- рату> иа В, так и квадрат на С к [квадрату] на D; я утверждаю, что А будет линейно соизмеримо с В. Действительно, поскольку будет, что как квадрат на А к [квадрату] на В, так и квадрат на С к*[квадрагу] на D, ио отношение квадрата на А к [квадрату] на В будет двойным отношением А к В, отношение же квадратного [числа] иа [числе] С к квадратному [числу] на [числе] D будет двойным отношением [числа] С к [числу] D, то значит-, будет, что и как А к В) так и [число] С к [числу] D, Значит, А имеет к В отношение, как число С к числу D; зна=- чит, А будет линейно соизмеримо с В (предложение 6). Но вот пусть А будет линейно несоизмеримо с В; я утверждаю, что квадрат на А к [квадрату] на В не имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 111 Действительно, если квадрат на А к [квадрату] на В имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу, то А будет соизмеримым с В. Но оно не будет; значит, квадрат иа А к [квадрату] иа В не имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу. Затем вот пусть квадрат иа А к [квадрату] на В не имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу; я утверждаю, что А будет линейно несоизмеримо с В. Действительно, если А соизмеримо с В, то квадрат иа А к квадрату на В будет иметь отношение, как квадратное число к квадратному числу. Ок же ие имеет; значит, А не будет линейно соизмеримо с В. Итак, квадраты иа линейно соизмеримых и т. д. (13). Следствие И из доказанного будет ясно, что линейно соизмеримые всегда <соизмеримы> и в степени, <соизмеримые> же в степени ие всегда <соизмеримы> и линейно, [поскольку квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют отношение, как квадратное число к квадратнэму числу, имеющие же отношение, как число к числу, являются соизмеримыми. Так что линейно соизмеримые прямые соизмеримы не только линейно, но и в степени. Далее, поскольку какие квадраты имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу, <те>, как доказано, соизмеримы линейно и будут соизмеримыми в степени по той причине, что квадраты имеют отношение, как число к числу, то значит, какие квадраты ие имеют отношения, как квадратное число к квадратному числу, но просто как число к числу, то эти квадраты будут соизмеримы в степени, но никак не линейно; так что линейно соизмеримые будут всегда <соизмеримы> и в степени, < соизмеримые) же в степени не всегда <соизмеримы> и линейно, если только они не имеют отношения, как квадратное число к квадратному числу. Тогда я утверждаю, что [и] несоизмеримые линейно не всегда будут <несоизмеримыми> и в степени, поскольку соизмеримые в степени могут и ие иметь отношения, как
112 НАЧАЛА ЕВКЛИДА квадратное число к квадратному числу, и вследствие этого соизмеримое в степени будут несоизмеримыми линейно. Так что несоизмеримые линейно не всегда -(несоизмеримы) и в степени, но являющиеся несоизмеримыми линейно могут в степени быть и несоизмеримыми и соизмеримыми. Несоизмеримые же в степени всегда несоизмеримы и линейно; действительно, если они линейно соизмеримы, то будут соизмеримы и в степени. Предполагаются же они несоизмеримыми; это же нелепо. Значит, несоизмеримые в степени всегда -(несоизмеримы) и линейно]*). Лемма (14) Доказано в арифметических <кингах>, что подобные плоскостные числа имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу (предложение 26 книги VIII), и что, если два числа имеют между собой отношение, как квадратное число к квадратному числу, то они будут подобными плоскостными числами**). И из этого ясно, что неподобные плоскостные числа, то-есть не имеющие пропорциональных сторон, не имеют между собой отношения, как квадратное число к квадратному числу. Действительно, если они будут иметь, то будут подобными плоскостными; это же ие предполагается. Значит, неподобные плоскостные числа не имеют между собой отношения, как квадратное число к квадратному числу. Предложение 10 К предложенной прямой приискать две несоизмеримые прямые, одну —только линейно, другую же — и в степени. *) Почти весь текст следствия за исключением лишь начальных строк Гейберг считает неподлинным, основываясь и на разнице в языке с несомненно евклидовыми произведениями, а также и на том, что во второй половине следствия (со слов «тогда я утверждаю?) доказывается больше того, что было предложено в начале. **) По существу эта теорема у Евклида нигде не доказана, но она представляет положение, обратное предложению 26 книги VIII,
КНИГА ДЕСЯТАЯ ПЗ Пусть предложенная прямая будет .4; вот требуется к А приискать две несоизмеримые прямые, одну — только линейно, другую же — и в степени {черт. 10). Возьмём два числа В, С, не имеющих между собой отношения, как квадратное число к квадратному числу, 'ю-еегь неподобные плоскостные (см. лемму), и сделаем, чтобы как В к С, так и квадрат на А к квадрату D, ибо мы выучились <этому> (предложение 6, следствие); значит, <квадрат> на А соизмерим с <квад- ратом> на D (предложение 6). ^————- И поскольку В к С не имеет рх я отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, '' и <квадраг> па А к <квадрату> i'1 -™~™—~ 1 па D не имеет отношения, как ^ квадратное число к квадратному Чеот 10 числу; значит, А будет линейно несоизмеримо с D (предложение 9). Возьмём для Л, D среднюю пропорциональную Е: значит, будет, что как А к D, так и квадрат на А к <квадрату> па Е (определение 9 книги V). Но А линейно несоизмеримо с D; значит, и квадрат па А несоизмерим с квадратом на £*); значит, А будет несоизмеримо с Е в степени. Итак, к предложенной прямой А приисканы две несоизмеримые прямые D, Е, причём D —только линейно, Е же — в степени и, конечно, линейно [что и требовалось доказать]. Предложение 11 Если четыре величины будут пропорциональны, первая же соизмерима со второй, то а третья будет соизмерима с четвёртой; и если первая несоизмерима со второй, то и третья будет несоизмерима с четвёртой (15). *) По существу это вытекает из следующего предложения {11-го), почему есть серьёзные основания полагать, что это предложение вместе с вводящей его леммой не принадлежит к числу подлинно евклидовских. О Евклид
114 нлчалл ьвклидл Пусть четыре величины А, В. С, D будут пропорциональны; как .4 к В, так и С к D; пусть же А будет соизмеримо!! с В; а утверждаю, что и С будет соизмеримой с D (черт. 11). ДейС[ВптельгЮ, поскольку А соизмерима с В, значит, А имеет к В отношение, как число к числу (предложение 5). И будет как А к В, так и С к D; и значит, С имеет к D отношение, как число к числу; значит, С б)дет соизмерима с D (предложение 6). р .—.—.—i m —, Черт. П. Но вот пусть А будет несоизмерима с В; я утверждаю, что и С будет несоизмеримой с С, Действительно, поскольку А несоизмерима с В, то значит, А не имеет к В отношения, как число к числу (предложение 7). И будет как Л к В, так и С к D; значит, и С не имеет к D отношения, как число к числу; значит, С будет несоизмерима с D (предложение S). Итак, если четыре величины и т. д. Предложение 12 Соизмеримые с одной и той же величиной будут соизмеримы и между собой. /91 ■ ■' 6\ i 8\ I I (£ h—tf Черт. 12. Пусть каждая из А, В будет соизмеримой с С. Я утверждаю, что и Л будет соизмерима с В (черт. 12).
КНИГА ДЕСЯТАЯ lld Действительно, поскольку А соизмерима с С, то значит, Л имеет к С отношение, как число к числу (предложение 5). Пусть она имеет <отношсние> как D к Е. Затем, поскольку С соизмерима с В, \о значит, С имеет к В отношение, как число к числу (предложение о). Пусть она имеет <отношение>, как / к Н. И для всяких заданных отношений, т. е. тех, какие имеют D к Е и / к Я, возьмём последовательно числа в заданных отношениях, <а именно), О, К, L (предложение 4 книги VIII); так, что будет как D к Е, так и G к К, как же I к И, так и К к L. Поскольку теперь будет, что как А к С, так и D к Е, по как D к Е, так и G к К, то значит, будет, что и как А к С. так и G к К (предложение 11 книги V). Затем, поскольку будет как С к В, так и / к //, но как / к И, [так и] К к L, то значит, как С к В, так и К a L. Было же и как А к С, так и G к К; значит, «по равенству» (предложение 22 книги V) будет, что как А к В, так и G к £. Значит, А имеет к В отношение, как число G к числу L; значит, А будет соизмерима с В (предложение 6). Итак, соизмеримые с од.юй и той же величиной будут соизмеримы и между собой, что и требовалось доказать. Предложение 13 Если будут две соизмеримые величины, одна же из них несоизмерима с некоторой величиной, то и оставшаяся будет с ней несоизмерима. Пусть будут две соизмеримые величи- Я •— < ны Л, В, одна же из них А п\сть будет и\ , i несоизмерима с некоторой другой С; я утверждаю, что и оставшаяся В будет с С с' ' несоизмерима (черт. 13). „ ,3 Действительно, если В соизмерима с С, но и Л соизмерима с В, то значит, А будет соизмерима с С (предложение 12). Но она и несоизмерима; это же невозможно. Значит, не будет В с С соизмерима; значит, несоизмерима. Итак, если будут две соизмеримые величины и т. д. (15). 8*
НАЧАЛА ЕВКЛИДА Лемма Для двух данных неравных прямых найти, чем больше в квадратах*) будет большая <посравнению с>меньшей (16). Пусть две данные неравные прямые будут АВ, С, из которых большая пуаь будет АВ; вот требуется найти, чем больше в квадратах буде г АВ <по сравнению с> С (черт. 14). Опишем на АВ полукрут ADB, и в iiero вставим (опре- I, ,4 деление 7 книги IV) равную С <прямую> AD (предложение 1 книги IV), и соединим DB. Ясно вот, что угол ADB будет прямым (предложение 31 книги III) и что в квадратах АВ будет на DB больше AD, то-есть С (предложение 47 книги 1). Подобным же образом и для двух данных прямых квадрирующая **) их находится таким образом. Пусть данные две прямые будут AD> DB и пусть должно найти их квадрирующую. Отложим <их> так, чтобы они заключали прямой угол, который между AD, DB, и соединим АВ; тогда ясно, что квадрирующая AD, DB будет АВ (предложение 47 книги 1), что и требовалось доказать. Предложение 14 Если будут четыре пропорциональные прямые, в квадратах же первая будет больше второй на (квадрату на [линейно] с ней соизмеримой, то и третья будет в квадратах больше четвёртой на квадрат на [линейно] с ней соизмеримой. И если в квадратах первая будет больше второй на (квадрату на [линейно] с ней несоизмеримой, то и третья будет в квадратах больше четвёртой на (квадрату на [линейно] с ней несоизмеримой. *) В подлиннике tlvl ^еЕС&у Sova-at — чем больше квадрирует, •г. е. для а'уъ находится разность Уа2 — № . **) В тексте S^yajxivij —- дающая квадрат, равный сумме квадратов на заданных прямых, т. е. Ya% -f- *а~-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 117 / Пусть будут четыре пропорциональные прямые А, В, С, D, как А к В, так и С к D, и пусть в квадратах А будет больше В на <квадрат> на Е, С же в квадратах будет больше D на <квадрат> на /; я утверждаю, что если А будет соизмерима с Е, то и С будет соизмерима с /, если же несоизмерима будет А с Е, то несоизмерима будет и С с / (черт. 15). Действительно, поскольку как Л к Б, так ii С к D, го значит, будет, что и как <квадрат> на А к <квадрату> на В, так и <квацрат> на С к <квад- рагу> на D (предложение 22 книги VI). Но <квадрату> па А равны <квадраты> па Е, В, <квадрату> же па С равны <квадраты> на D, I. Значит, будет, чго как <квадраты> на Е, В к <квадрату> па В, так и <квадраты> на D, I к <квадрату) па D; значит, «выделяя» (предло- д # ~£ ~jj жение 17 книги V), будет как <квад- q .- рат> на Е к <квадрату> на В, так и <квадрат> на / к <квадрату> на D; значит, будет (предложение 22 книги VI), что и как Е к В, так и / к D; значит, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие), будет, как В к Е, так и D к /. Но также и как А к В, так и С к D; значит, <ш*) равенству» (предложение 22 книги V) будет как А к Е, так и С к /. Если теперь 4 соизмерима с Е, -го и С будет соизмерима с /; если же А несоизмерима с Е, то [I С несоизмерима будет с / (предложение 11). Итак, если и т. д. Предложение 15 Есл-i две соизмеримые величины составляются (вместе'}, w> и целое будет с каждой из них соизмеримо; и*если, целое соизмеримо с одной из них, то и первоначальные величины, будут соизмеримы (17). Составим две соизмеримые величины АВ, ВС; я утверждаю, что и целое АС будет с каждой из АВ, ВС соизмеримо (черт. 16).
118 НАЧАЛА ЬВКЛИДЛ Действительно, поскольку АВ, ВС соизмеримы, то их измерит некоторая величина. Пусть она <их> измеряет и будет D. Поскольку теперь D измеряет АВ, ВС, то она измерит и всю AC. Она же измеряет и АВ, ВС. Зна- г чит, D измеряет АВ, ВС, АС; i -и 1 значит, АС будет соизмерима с каждой из АВ, ВС (определение 1). Но вот пусть АС будет соизмерима с АВ; я утверждаю вот, что и АВ, ВС будут соизмеримы. Действительно, поскольку АС, АВ соизмеримы, то их измерит некоторая величина. Пусть она <их> измеряет и будет D. Поскольку теперь D измеряет СА, АВ, то она измерит и остаток ВС. Она же измеряет и АВ; значит, D измерит АВ, ВС; значит. АВл ВС соизмеримы. Итак, если две соизмеримые величины и т. д. Предложение 16 Если две несоизмеримые величины составляются •(вместе'}, то и целое будет с каждой из нпх несоизмеримо; и если целое несоизмеримо с одной из них, то и первоначальные величины будут несоизмеримы. Составим дне несоизмеримые гселичнны АВ, ВС; я утверждаю, что и цейое АС будет с каждой из АВ, ВС несоизмеримо (черт. 17). Действительно, если не будут несоизмеримы СА, АВ, то [их] измерит некоторая величина. Пусть она измеряет, если возможно, и будет D. С Поскольку теперь D измеряет СА, АВ, то зна- Черт. 17. чит, она измерит и остаток ВС. Она же измеряет и АВ; значит, D измеряет АВ, ВС. Значит, АВ, ВС соизмеримы; они же предположены и несоизмеримыми; это же невозможно. Значит, никакая велнчюа не измерит СА, АВ; значит, СА, АВ несоизмеримы. Подобным же вот образом докажем, что и АС, СВ будут несоизмеримы. Значит, АС будет несоизмерима с каждой из АВ, ВС.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 1 19 Но вот пусть АС будет несоизмерима с одной из АВ, ВС. Пусть вот сперва с АВ; н утверждаю, что и АВ, ВС несоизмеримы. Действительно, если они будут соизмеримы, Tj их измерит некоторая величина. Пусть она измеряет и будет D. Поскольку теперь D измеряет АВ, ВС, то значит, она измерит и всю АС. Она же измеряет и АВ; значит, D измеряет СА, АВ. Значит, СА, АВ соизмеримы; они же предположены и несоизмеримыми; это же невозможно. Значит, никакая величина не измерит АВ, ВС; значит, АВ, ВС несоизмеримы. Итак, если две несоизмеримые величчпы и т. д. Л о м м а Если к некоторой прямой прилагается *) параллелограмм**) с недостатком в виде квадоата, то приложенный ■(параллелограмм) равен <прямоугольни- ку> на отрезках прямой, возникших из В приложения. Пусть к прямой АВ будет приложен __^_ параллелограмм AD с недостатком в /? С 8 виде квадрата DB; я утверждаю, что „ „ AD равен «(прямоугольнику > на АС, СВ (черт. 18). И это само по себе ясно; ибо поскольку DB квадрат, то DC равно будет СВ. и AD есть <прямоугольник> между AC, CD, то-есть -(прямоугольник) между АС, СВ. Итак, если к некоторой прямой и т. д. Предложение 17 Если будут две неравные прямые, /с большей же приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмму, равный четвёртой части {квадрат«> на меньшей, и если *) глэз?>,тОт„ zioifcl-h — знаменитое «приложение» площадей («Начала-, 1, 44; II, 5, 6; VI, 27, 28, 29). **) Здесь (впервые у Евклида) «параллелограмм» употребляется в смысле прямоугольника; у Архимеда подобное понимание термина «параллелограмм» является обычным.
120 НАЧАЛА Г.ВКЛИДА <ow) разделяет её на соизмеримые линейно (частиу, то в квадратах большая будет больше меньшей на -^квадрату на соизмеримой с собой [линейно] (прямойу. И если в квадратах большая будет больше меньшей на ^квадрату на соизмеримой с собой [линейно] (прямойу, к большей же приложен с недостатком в виде квадрата (параллелограмму, равный четверти (квадратау на меньшей, то он разделяет её на соизмеримые линейно (отрезкиу. Пусть будут две неравные прямые Д ВС, из которых большая ВС; к ВС же пусть будет приложен с недостат- ком в виде квадрата <нараллело- 1— 1 1 грамм>, равный четвертой част г! ■(квадрата) на меньшей Д тэ-есть | | -(квадрату) на половине Д н пусть I—I— 1 j-— это бутет -(прямоугольник) между 31 Е U L BD, DC; пусть же BD будет ли- Черт. 19. нейнэ соизмерима с DC; я утверждаю, Что в квадратах ВС будет больше А на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой> (черт. 19). Действительно, разделим ВС пополам в точке £ и отложим El, равную DE. Значит, остаток DC будет равен BL И поскольку прямая ВС рассечена на равные в Е, на неравные же в D <части>, то значит, (предложение 5 книги П) заключающийся между BD, DC прямоугольник вместе с квадратом на ED будет равен квадрату на ЕС; <равны также будут) и учетверённые; значит, четырежды ■(прямоугольник) между BD, DC вместе с учетверённым ■(квадратом) на DE равен четырежды квадрату на ЕС. Но учетверённому <прямоугольнику) между BD> DC равен квадрат на Д учетверённому же <квадрату) на DE ранен квадрат на D/, ибо DI есть удвоенная DE, Учетверённому же <квадрату> на ЕС равен квадрат на ВС; ибо опять ВС будет удвоенной СЕ. Значит, квадраты на A. DI <вместе) равны квадрату иа ВС; так что <квадрат> на ВС будет ■(квадратом) на DI больше <квадрат а) па .4; значит, и квадратах ВС больше А на DI. Должно показать, что ВС будет и соизмерима с DI, Действительно, поскольку BD соизмерима с DC линейно, то значит, и ВС будет соизмерима с CD линейно (предложение 15). Но CD соизмерима
КНИГЛ ДЕСЯТАЯ >*l линейю с CD, BI. ибо CD равна BI, И значит, ВС соизмерима с BI, CD линейна (предложение 12); так чго ВС будет соизмерима линейно и с остатком ID; значю, п квадратах ВС больше Л на <квадраг> на соизмеримой с собой •(прямой). Н) пот пусть ВС в квадратах будет больше Л на <квадрат> на соизмеримой с собой <ирямой>, пусть же к ВС будет приложен с недостатком в виде квадрата <па- раллслограмм)-, равный четверти <квадрата> па Л, и nycri, уто будет <прямоуголы[ИК> между BD, DC. Должно доказать, что BD сош-мерима с DC линейно. Действительно, приготовив го же самое, подобным же образом докажем, что в квадратах ВС больше Л на <квад- рат> на ID. В квадратах же ВС больше Л на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой>. Значит, ВС будет линейно соизмерима с ID; так чго ВС будет линейно соизмерима и с остатком-—вместе взятыми BI, DC (предложение 15). Но вместе взятие BI, DC соизмеримы с DC [линейно]. Так что и ВС будет соизмерима с CD линейно (предложение 12); значит, и «выделяя>■, BD будет соизмерима с DC линейно. Итак, если будут две неравные прямые и т. д. (18). Предложение 18 Если будут две неравные прямые, к большей же приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмм у, равный четвёртой части {квадратау на меньшей, и если он разделяет ее на несоизмеримые [линейно] {частиу, то в квадратах большая будет больше меньшей на {квадрату на несоизмеримой с собой {прямой'у. И если в квадратах большая будет больше меньшей на {квадрату на несоизмеримой с собой {прямойу, к большей же приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмму, равный четверти {квадращау на меньшей, то он разделяет её на несоизмеримые [линейно] {отрезкиУ. Пусть будут две неравные прямые Л, ВС, из которых большая ВС; к ВС же пусть будет приложен с недостатком в" виде квадрата <параллелограмм>, равный четвёртой
1-" НАЧАЛА ЕВКЛИДА [части] <кват,рата> на меньшей А, и пусть это будет <прямоугольник) между BD, DC', пусть же BD будет линейно несоизмерима с DC; я утверждаю, чго в квадратах ВС будет больше А на <квадрат> на несоизмеримой с собой <прямой> (черт. 20). Действительно, приготовит* то же самое, что и выше, подобным же образом докажем, что в квадратах ВС больше А на <квадрат> на ID. Дэлжно показать [теперь], что ВС будет линейно несоизмерима с D1. Действи- "^ Т тельно, поскольку BD несоизмерима с DC ли- р нейт, то значит, и ВС будет несоизмерима с CD 1 линейно (предложение 16). Но DC соизмерима с вместе взятыми BJ, DC (предложение 6); и -; значит, ВС несоизмерима с вместе взятыми В1. . .$ DC (предложение 13). Так чго ВС будет несоизмерима линейно и с остатком ID (предложе- ■-С ние 16). И в квадратах ВС больше А па <квад- Чеот 20 Р31'* на ^' значит' R кваДратах ВС больше А 'на <квадрат> на несоизмеримой с собой <пря- мой>. Затем пусть ВС в квадратах будет больше А на <квад- рат> на несоизмеримой с собой <прямой>; пусть же к ВС будет приложен с недостатком в виде квадрата «(параллелограмм), равный четверти <квадрата> на Л, и пусть это будет <прямоуголышк> между BD, DC. Должно показать, что BD несоизмерима с DC линейно. Действительно, приготовив то же самое, подобным же образом докажем, что R квадратах ВС больше А на <квад- рат> на ID. Но в квадратах ВС больше А на <квадрат> на несоизмеримой с собой <прямой>. Значит, ВС будет линейно несоизмерима с ID; так что ВС будет несоизмерима и с остатком — вместе взятыми BJ, DC {предложение 16). Но вместе взятые В/, DC соизмеримы с DC линейно (предложение 6); значит, н ВС будет несоизмерима с DC линейно (предложение 13); так что, и «выделяя», BD будет несоизмерима с DC линейно (предложение 16). Итак, если будут две неравные прямые и т. д. (19, 20; 21, 22).
КНИ1Л ДЕСЯТАЯ Лемма (23) Поскольку доказано (предложение 9, следствие), что соизмеримые линейно всегда [будут соизмеримы] и в степени, <соизмсричые> же в степени ие всегда будут соизмеримыми и линейно, по могут быть линейло и соизмеримыми и несоизмеримыми, то ясно, что если с отложенной рациональной <прямой> какая-нибудь прямая будет соизмерима линейно, то она называется рациональной и соизмеримой с ней не только линейно, но и в степени, поскольку соизмеримые линейло будут всегда <сонзмеримы> и в степени. Если же с отложенной рациональной какая-нибудь <прямая> будет соизмерима в степени, то, если она Соизмерима) и линейно, она и в таком случае называется рациональной и соизмеримой с ней линейно и в степени. Если же какая- нибудь <прпмая>, будучи опять соизмеримой в степени с отложенной рациональной, будет с ней несоизмерима линейно, то она и в таком случае иазывается рациональной соизмеримой только в степени. Предложение 19 Прямоугольник, заключённый между рациональными линейно соизмеримыми в каком-нибудь из вышеуказанных смыслов прямыми, будет рациональным- Пусть прямоугольник АС заключается | ' р между рациональными линейно соизмеримыми —. с прямыми АВ, ВС; я утверждаю, что АС будет рациональным (черт. 21). Действительно, построим на АВ квадрат д —=—\ AD; значит, АО будет рациональным (определение 4). И поскольку АВ соизмерима'с ВС Черг' 2{- линейно, АВ же равна BD, то значит, BD будет соизмерима с ВС линейно. И будет, что как BD к ВС, так и DA к АС (предложение 1 книги VI). Значит, DA будет соизмерим с АС. Но DA рационален; значит, будет рациональным и АС. Итак, прямоугольник, заключённый между рациональными линейно соизмеримыми и т. д.
i-*4 Ц\ЧАЛЛ ЕВКЛИДА Предложение 20 Если рациональная •(площадь'} прикладывается к рациональной (прямой}, то производит ширину, рациональную и линейно соизмеримую с той, к которой прикладывается. Пусть рациональная < площадь > АС будет приложена к рациональной опять в одном из вышеуказанных смыслов „ прямой АВ, образуя ширину ВС; я утверждаю, что ВС будет рациональна и с ВА линейно соизмерима (черт. 22). 8 Я Действительно, построим на АВ квадрат AD; значит, AD будет рациональным (определение 4). Также и АС рационален; значит, DA будет соизмерим с АС. И будет, что как DA к АС, так и DB к ВС (предложение 1 книги VI). Значит, и G DB будет соизмерима с ВС (предложение 11); DB Черт. 22. же равна ВА; значит, и АВ будет соизмерима с ВС. Но АВ рациональна; значит, и ВС будет рациональной и соизмеримой с АВ линейно. Итак, если рациональная <площадь> прикладывается к рациональной <прямой> и т. д. Предложение 21 Прямоугольник, заключённый' между рациональными соизмеримыми только в степени прямыми, будет иррациональным и его квадрирующая будет up- рациональной; пусть же она называется медиа лью*). Пусть прямоугольник АС заключён между g ~ д рациональными соизмеримыми только в степени прямыми АВ, ВС; я утверждаю, что АС иррационален и квадрирующая его иррациональна; пусть же она называется медиалыо (черт. 23). Черт. 23. *) В полликнике jiiaii — средняя. Латинский термин, употреблённый Герхардом Кремойским — первым переводчиком Евклида, будет medlalls.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 1^0 Действительно, построим на АВ квадрат AD; зьачит, AD будет рациональным (определение 4). И поскольку АВ несоизмерима с ВС линейно, ибо они предполагаются соизмеримыми только в степени, АВ же равна BD, то значит, и DB будет несоизмерима с ВС линейно. И будет, что как DB к ВС, так и AD к АС (предложение 1 книги VI); значит, DA несоизмерим с АС (предложение 11). Но DA рационален; значит, АС будет иррационален (определение 4), так что и квадрирующая АС [то-есть квадри- рующая равный ему квадрат] будет иррациональна; пусть же она называется медиалыо; это и требовалось доказать (24). Леи м а Если будут две прямые, то как первая ко второй, так и <квалраг> на первой к <прямоугольнику> между обеими прямыми. Пусть будут две прямые IE, EH. Я утверждаю, что как IE к ЕМ, так и <к'аадрат> на IE к (прямоугольнику), между IE, ЕЯ (черь 24). f Действительно, построим на IE i 1 ■ квадрат Dl и дополним НО. Поскольку теперь будет, что как IE к ЕЯ, так и ID к ОН, и ID есть у <квадрат> на IE, DH же <црямо- ^ерт 24. угольник) между DE, ЕЯ, то-есть между IE, EH, то значит, будет, что как IE к ЕЙ, так и <квадраг> на IE к (прямоугольнику) между IE, EH, Подобным же вот образом и как (прямоугольник) между НЕ, EI к <квадрату> на EI, то-ссть как НО к ID, так и НЕ к EI, что и требовалось доказать. Предложение 22 Квадрат на медиа ли. приложенный к рациональной <.прямойу, производит ширину, рациональную и несоизмеримую линейно с той, /с которой он прилагается. Пусть медиа ль будет А. рациональная же <прямая> СВ, и пусть равная <квадрату> на А прямоугольная площадь BD
120 ц\ЧЛЛА )■ 1КЛИДЛ будет приложена к ВС, производя ширину CD; я утверждаю, что C.D буде г рациональной и несоизмеримой линейно с СВ (черт. 25). Действительно, поскольку А—медиа.чь, го она квадри- рует площадь, заключённую между рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми> (предложение 21). Пусть она будет квадрировать HI. Также она квадрирует и BD; значит, BD равен HI. Он же и равноуголен с ним; у равных же и равноугольных параллелограммов стороны при равных углах обратно пропэрцио- ■ 1 нальны (предложение 14 книги VI); ■ 1 значит, будет пропорция —- как ВС к ЕН, так и £7 к CD. Значит, будет и как <квадрат) иа ВС к д <квадрату> на ЕН, так и <квадрат> t'> jj f J на El к <квадрату> на CD (предложение 20 книги VI). <Квадрат> же Черт. 25. ua £Q соизмерим с <квадратом> на ЕН, ибо каждая нз этих <прямых> рациональна; значит, н <квадраг> иа EI будет соизмерим с <квадратом> на CD (предложение 11). < Квадрат) же на EI рационален; значит, рационален и <квадрат> па CD (определение 4); значит, будет рациональна и CD. И поскольку EI несоизмерима с ЕН линейно (ибо они соизмеримы только в степени), как же EI к ЕН, так и .(квадрат) на EI к <примоугольнику> между IE, ЕН (см. лемму), то значит, <квадрат> на El будет несоизмерим с <прямо- угольником> между IE, EH (предложение 11). Но с <квадратом) на EI соизмерим <квадрат) на CD, ибо они рациональны в степени; <с прямоугольником) же между IE, EH соизмерим < прямоугольник) между DC, С В, ибо они равны <квадрату) на А; значит, и <квадрат) па CD будет несоизмерим с <прямоугольником> между DC, СВ (предложение 13). Как же <квадрат) иа CD к -(прямоугольнику> между DC, СВ, так будет и DC к С В (см. лемму); значит, DC будет линейно несоизмерима с СВ (предложение 11). Значит, CD будет рациональна и несоизмерима линейно с СВ, что и требовалось доказать.
КНИГА ДКСйТАЯ 127 Предложение 23 Соизмеримая, с медиалью есть медиаль. Пусть будет медиаль А и пусть с А будет соизмерима 'В; я утверждаю, чго и В будет медиалью (черт. 26). Действительно, отложим рациональную <прямую> CD и приложим к CD равную <квадрату> на А прямоугольную площадь СЕ, производящую ширину ED; значит, ED будет рациональной и несоизмеримой с CD линейно (предложение 22). К CD также приложим равную <квадрату> на В прямоугольную площадь 67, производящую ширину DI. Поскольку теперь А соизмерима с В, то и <квадрат> на А будет соизмерим с <квад- # , , 8 ±, ратом> на В. Но квадрату на А равен ЕС. /; <квадрачу> же па В равен 67; значит, ЕС I ~| соизмерим с CI. И будет, что как ЕС к CJ, так и ED к £>/ (предложение 1 кшип VI); значит, ED соизмерима с D1 линейно (предложение 11). Но ED рациональна и £ ;; / несоизмерима с DC линейно; значит, и D1 будет рациональна (определение 3) и несоизмерима с DC линейно (предложение 13); значит, CD, DJ будут рациональные, соизмеримые только в степени. Квадрпрующая же <ирямоуголышк> между рациональными, соизмеримыми только в степени, есть медиаль (предложение 21). Значит, квадрпрующая -(прямоугольник) на CD, DI будет медиалью; и <прямо\<гольник> между CD, DI квадрируется В; значит, В есть медиаль. С л е д с г в и е Из этого тогда ясно, чго <площадь>, соизмеримая с медиальной площадью, есть медиальная [ибо их квадрнруют прямые, которые будут соизмеримыми в степеш и одна из которых медиаль; так что и остающаяся будет медиалью] *). *) В тексте [3ivav-ai -^ар Gum EUEbm, i'l e!oi &jyi;asi coaiiSTpoi, (ov -i\ ё-ioa iiE07)p wot; xai ^ \о\.щ агтг) rbtiv]. Слова эти, как не совсем ясные, Гейберг оставил без перевода, считая их неподлинными.
128 начала ьвклидл [Лемма] (25) Совершенно так же, как из сказанного относительно рациональных (предложение 18, следствие), следует и относительно медиалей, <а именно, чго прямая), лшейно соизмеримая с медпалыо, называется медиалью и соизмеримой с ней не только линейно, но и в степени, поскольку вообще соизмеримые линейно всегда <соизмеримы> и в степени. Когда же какая-нибудь <прямая> будет соизмерима с медиалью в степени, то, если она и линейно <с ней соизмерима), то в таком случае <обе прямые) называются медиалями и соизмеримыми линейно и в степени, если же только в степени, то назывлюгся медиалями, соизмеримыми только в степени. Предложение 24 Прямоугольник, заключённый между медиальными линейно соизмеримыми в каком-нибудь из указанных емыс- • лов прямыми, будет медиальным. Пусть прямоугольник АС заключается между медиальными линейно соизмеримыми прямыми АВ, ВС; я утверждаю, что АС будет медиаль- Я 3 пым (черт. 27). Действительно, построим на АВ квадрат AD; значит, AD будет медиальным. И поскольку АВ У соизмерима с ВС линейно, АВ же раина BD, Черт. 27. то значит, и DB соизмерима с ВС линейно; гак что a DA будет соизмерим с АС (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). Но DA медиа- лен; значит, и АС медпалеп (предложение 23, следствие); чго и требовалось доказать. Предложение 25 Прямоугольник, заключённый между медиальными сои? нвримыма только в степени прямыми, будет или рациональным или медиальным. Пусть прямоугольник АС заключается между медиальными, соизмеримыми только в степени прямыми АВ, ВС;
КНИГА ДЕСЯТАЯ 129 я утверждаю, чш АС будет или рациональным или медиальным (мер г. 28). Действительно, построим на АВ, ВС квадраты AD, BE; значит, каждый из AD, BE будет медиальным. И отложим рациональную <прямую> IH и приложим к 1Н равный AD прямоугольный параллелограмм НО, производящий ширину IG; к GM же приложим равный АС прямоугольный параллелограмм -.ИЛ", производящий ширину ОД*; и ещё подобным же образом к Д*ЛГ приложим равный BE ^параллелограмм) NL, производящий ширину ДХ; значит, IG, GK. Д*/. будут но Черт. 28. прямой. Поскольку теперь каждый из AD, BE будет медиальным, и AD равен HGy BE же <равеа> Л/Л, то значит, и каждый из HG, NL медналец. И прилежат они к рациональной /Н; значит, каждая из IG, ДХ будет рациональной и несоизмеримой с IH линейно (предложение 22). И поскольку AD соизмерим с BE, то значит, и НО соизмерим с АЛ. И будет, что как НО к NL. так и IG к KL (предложение 1 книги VI); значит, JG будет соизмерима с ДХ линей ю (предложение 11). Значит, IG, KL будут рациональными линей,ю соизмеримыми; знание, •(прямоугольник) между /О, ДХ рационален (предложение 19). И поскольку DB раина ВА, ХВ же <равна> ВС, то значит, будет, что как DB к ВС, так и АВ к ВХ, Никак DB к ВС, так ц DA к АС (предложение 1 книги VI); как же АВ к ВХ, так и АС к СХ\ значит, будет, что как DA к АС, гак и АС к СХ. Но AD pane ( HG, АС же МК, СХ же NL\ .значит, будет, чш как HG к МК, так и МКк ЛХ; значит, будет, что и как IG к ОД", так и ОД" к ДХ (предложение 1 9 Евклид
130 НАЧАЛА Г.ВКЛИДА книги VI); значит, <прямоугольник> между/G, ДХ равен <квад- рату> на Gf( (предложение 17 книги VI). <Прямоуголышк> же между JG, f(L рационален; значит, будет рациональным и квадрат па ОД*; значит, GA' рациональна. И если она соизмерима с Ш линейно, то G,V будет рациональным (предложение 19); если же она несоизмерима с IH линейно, то A"G, GM будут рациональными соизмеримыми только в степени; значит, GN будет медиальным (предложение 21). Итак, GN будет или рациональным или медиальным. Но GM равен АС; значит, АС будет пли рациональным или медиальным. И гак. прямоугольник, заключённый между медиальными соизмеримыми только а степени и т. д. Предложение 26 Медиальная медиальную (площадь} не превышает на рациональную (черт. 29). Действительно, если возможно, п_\<сть медиальная <пло щат.ь> АВ превышает медиальную АС па рациональную DB; „ и отложим рациональную <прямую> El и к El приложим равный АВ прямоугольный параллелограмм /G, производящий ширину EG, и отнимем IH, равный АС; значит, остаток' BD будет равен остатку KG. Но DB рационален; значит, будет рациональным и f(G. Поскольку теперь каждый из АВ, АС метиален, и АВ равен IG, АС же <равсн> IH, то значит, и каждый из /G, J И будет медиальным. И прилежат они к рациональной Е}\ значит, каждая из GE, ЕЙ будет рациональной Чей г 29 несоизмеримой с El линейно (предложение 22). И поскольку рационален \DB и равен At?, то значит, будет рационален и } At?*). И прилежит к рациональной El; значит, и HG будет рациональной *) Слова, поставленные в фигурных скобках, Гейберг считает шлишшши и, возможно, позднейшей вставкой, хотя и не выделяет ах особо и тексте.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 131 и соизмеримой с El линейно (предложение 20). Но и ЕН рациональна и несоизмерима с El линейно; значит, ЕН будет несоизмерима с HG линейно (предложение 13). И будет, что как ЕН к НО. так и <квадрат> на ЕН к <прямоуголь- пиКу> между ЕН, НО (иредложение 21, лемма); значит, несоизмерим будет <квадраг> на ЕН с <прямоугольнико_м> между ЕН, НО (предложение И). Но с <квадратом) на ЕН соизмеримы квадраты на ЕН, HG, ибо оба рациональны; с <прнмоугольником> же между ЕН. HG соизмерим дважды <взятый прямоугольник между) ЕН, HG (предложение 6), ибо он вдвое его больше; значит, <квадраты> на ЕН, HG будут несоизмеримыми с дважды .(взятым прямоугольником) между ЕН. HG (предложение 13); значит, и вместе взятые <квадраты> на ЕН, HG и дважды <прямоугольник> между ЕНЛ HG — это же есть <квадрат> на EG (предложение 4 книги II) — будут несоизмеримы с <квадратами> иа ЕН, НО (предложение 16). <Квадраты> же иа ЕН, HG рациональны; значит, <квадрат> на EG иррационален (определение 4). Значит, EG будет иррациональна. Но она и рациональна; это же невозможно. Итак, медиальная медиальную <площадь> не превышает на рациональную, что и требовалось доказать. Предложение 27 Найти соизмеримые толь/со в степени медиа ли, заключающие рациональную (площадь), (26). Отложим две рациональные, соизмеримые только и степени <прямые> Л, В, и возьмем для Л, В среднюю пропорциональную С (предложение 13 книги VI), п сделаем, чтобы как А к В, так и С к D (предложение 12 книги VI) Т т (черт. 30). I J 1 1 И поскольку А, В рациональные соизыс- л В С J} римые только в степени <прямые>, то значит, <прямоугольник) между А, В, то-есть <квад- рт' ■ рат> иа С, будет медиальным (предложение 21). Значит. С есть медиаль (предложение 21). И поскольку будет, чго как .4 к В, [так и] С к D, <црямые> же А, В 9*
b^s НАЧАЛА КВКЛИД.\ соизмеримы только в степени, то значит, и С, D будут соизмеримыми только в степени (предложение 11). И С есть медиаль; значит, и D медиаль (предложение 23). Значит, С, D будут медиали, соизмеримые только в степени. Я утверждаю, что они и заключают рациональную <площадь>. Действительно, поскольку как А к Д так и С к D, то значит, перестановкой (предложение 16 книги V) будет, что как А к С, <так и> В к D. Но как А к С, <так п> С к В; и значит, как С к б, так и В к D (предложение 11 книги V); значит, <примоугольник> между С, D равен будет <квадрату> на В (предложение 17 книги VI). <Квад- рат> же на В рационален; значит, [будет] рациональным и «(прямоугольник> между С, D. Итак найдены соизмеримые только в степени медиали, заключающие рациональною <площадь>, что и требовалось доказать. Предложение 28 Найти соизмеримые только в степени медиали, заключающие медиальную (нлощадьу. Отложим [три] рациональные, соизмеримые только в степени <пр5гмые> А, В, С, и возьмём для А, В среднюю пропорциональную D (пред- /?'—: 1 и , ложение 13 книги VI), н сде- £\ : | лаем, чтобы как В к С, так Л— -4 и D к Е (предложение 12 книги VI) (черт, 31). 4ерт. 31. Поскольку Л, В рациональные, соизмеримые только в степени <(прямые\ то значит, «(прямоугольник), между Л, В, то-есть <квадрат> на D (предложение 21), будс! медиальным. Значит, D медиа ль (предложение 21). И поскольку В1 С соизмеримы только в степени, и как В к С, так и D к Е, то значит, и D, Е соизмеримы только в степени (предложение И). Но D медиаль; значит, и Е медиаль (предложение 23); значит, D, Е будут медиалями, соизмеримыми только в степени. Вот я утверждаю, что они и заключают медиальную <площадь>. Действительно, поскольку как В к С, <так и> D к Е, то значит, нереста-
КИНГА ДГСИГЛЯ 133 новкой (пред южсние 16 книги V), как В к D, <так и> С к Е. Как же В к D, <так и> D к А; и значит, как D к А, <гак и) С к Я; значит, <ирямоугольн(гк> между А, С равен ^прямоугольнику) между D, Е (предложение 16 книги VI). -(Прямоугольник) же межау А, С чедиален; значит, медиа- лен и <прямоугольник) между D, Е. Итак, найдены соизмеримые только в степени меднали, заключающие медиальную <площадг>), что и требовалось доказать. Лемма (27) Найти два квадратных числа так, чтобы и <число), составленное из них, было квадратным (черт. 32). Отложим два числа АВ, ВС, пусть же они будут пли чётными, или нечётными. И поскольку, когда от чётного отнимается четное и когда от нечётного— нечётное, д остаток будет чётным (предложения 24, 26 книги IX), то значит, остаток АС будет чётным. Раз- „ делим АС пополам в D. Пусть же и АВ, ВС будут или подобными плоскостными <числами), ' или квадратами, которые, конечно, и сами подобные плоскостные; значит, <произведсние) нз АВ, ВС В вместе с квадратом на CD равно будет квадрату Черт. 32. на BD (предложение 6 книги II). И Произведение) из АВ, ВС есть квадрат, поскольку уже доказано, чго когда два подобных плоскостных <числа>, умножая друг друга, производят что-то, го возникающее будет квадратом (предложение 1 книги IX). Значит, найдены два квадратных числа <именнэ, произведение) нз АВ, ВС и <квад- рат) на CD, которые сложенные производят квадрат на А. И ясно, что опять найдены два квадрата, <именно) на BD и на CD, так, что разность их—Прямоугольник) между АВ, ВС— будет квадратом, если АВ, ВС будут подобные плоскостные <числа). Если же они не будут подобными плоскостными, то найдены два квадрата—иа BD и на DC, разность которых—- <прямоуголышк) между АВ, ВС — не будет квадратом, что и требовалось доказать,
134 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Л емма Найти два квадратных числа так, чтобы <число>, составленное из них, не было квадратным (черг. 33). Пусть <произведение> из АВ, ВС будет, как мы сказали, квадратный, н пусть СА четное, и разделим СА пополам <в> D. Ясно вот, что <нроизведенис> из ЛВ, ВС, <являющесся> квадратом, вместе с квадратом на CD равно „ будет квадрату на ЯО(см. прет, лемму). Отнимем единицу DE\ значит, <произветенне> из АВ, ВС '7 вместе с <квадраточ> на СЕ будет меньше квадрата на BD. Теперь я утверждаю, что <произве- '!\',-] дение) иа АВ, ВС, <являющееся> квадратом (нред- £- ложечие 1 книги IX), вместе с <квадратом> ма ч. _ . СЕ не будет квадратом. Действительно, если оно будет квадратом, го оно ил и равно <квадрату> на BE или меньше <1<вадрата> на BE, по никоим же образом не больше, для того, чтобы единица не делилась. Пусть, .# если возможно, сперва <произведение> из АВ, ВС Черт. 33. имеете с " <квадратом) на СЕ будет равно ^квадрату) на BE, и пусть удвоенная единица будет ИА. Поскольку теперь вся АС будет вдвое бэльтие всей CD, <причём> в них АИ вдвое больше DE, то значит, и остаток НС будет вдвое больше остатка ЕС; значит, ИС разделена в Е пополам. Значит, <произведенис> из ИВ, ВС вместе с <квадратом> па СЕ равно <квадрату> на BE (предложение 6 к;шги II). Но и <произведение> из АВ, ВС вместе с <квадратом> на СЕ предполагается равным <квад- рату> на BE; значит, <произведение> из ИВ. ВС вместе с <квадратом> на СЕ равно <произведению> из АВ, ВС с <квадратом> на СЕ. И после отнятия общего <квадрата> на СЕ оказывается АВ равным ИВ; это же нелепо. Значит. <произведение> из АВ, ВС вместе с <квадратом> на СЕ не равно <квадрату> на BE. Вот я утверждаю, чго оно и не меньше <квадрата> на BE. Действительно, если возможно, пусть оно будет равно <квадрагу> на В/, и пусть GA будет удвоенной DI. И опять окажется, что GC вдвое больше CI; так что и CG разделилось пополам в /,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 135 и вследствие этого -(произведение) из GB, ВС вместе с <квадратом) на 1С слетается равьым <квадрату) на В} (предложение 6 книги 11). Предполагается же, что н «(произведение) из ЛВ, ВС имеете с «(квадратом) на СЕ равно -(квадрату) на В/. Так что и .(произведение) из GB, ВС вместе с <квадратом) на С/ равно будет -(произведению) из ЛВ, ВС вместе с <Е<вадра"гом> иа СЕ, это же иэлегю. Значит, <прог13веде[ше> из ЛВ, ВС вместе с -(квадратом) на СЕ не будет равно «(площади), меньшей -(квадрата) на BE. Доказано же, чго оно не <равно> и [самому] «(квадрату) на BE. Значит, ((произведение) из ЛВ, ВС вместе с «(квадратом) на СЕ не будет квадратом [хотя возможно и многими способами выявить вышеуказанные числа, но ограничимся вышесказанным, ч i оби не растягивать ещё болыие сочинение, которое и так уже велико]; это и требовалось доказать. Предложение 29 Найти две рациональные, соизмеримые только в степени (прямые"} так, чтобл в квадратах большая била больше меньшей на (квадрату на соизмеримой с ней самой линейно (28). Отложим некоторую рациональную «(прямую > ЛВ и два квадратных числа CD, DE так, чтобы их разноси, СЕ не была квадратом, и опишем на ЛВ полукруг Л/В, и сделаем, чтобы как DC к СЕ, так и квадрат на ВЛ к квадрату на Л/ (предложение 6, следствие), и соединим IB (черт. 34). А Поскольку [теперь] будет, чт к- как <квадрэ[) иа ВЛ к <квадра!у) ■'' на Л1', так и DC к СЕ, то значит. Черт. 34. ■(квадрат) на ВЛ к <квадрату) на Л! имеет отношение как число DC к числу СЕ\ значит, <квадрат) на ВЛ будет соизмеримым с «(квадратом) на Л! (предложение 6). -(Квадрат) же на ЛВ рационален (определение 4); значит, ц Л1 рациональна. И поскольку DC не имеет к СЕ отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, н <квадрат> на ВЛ к <квадрату> на Л! не имеет отно- (2±
136 НАЧАЛА ЕВКЛВДД шения, как квадратное число к квадратному числу; значит, А В будет линейно несоизмерима с А1 (предложение 9); значит, ВА, А/ будут рациональными, соизмеримыми только в степени. И поскольку [будет], что как DC к СЕ, так и <квадрат> на ВА к <квадрату> на А/, го значит, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), как CD к DE, так и <квадрат> на АВ к <квадрату> на BI. Но CD к DE имеет отношение как квадратное число к квадратному числу; и значат, <квадраг> на АВ к <квадрату> на В! имеет оттоиснче. как квадратное число к квадратному числу; значит, АВ будет соизмерима с BI линейно (предложение 9). И <квадра-|> hi АВ равен квадратам на AI, }В <вместе> (предложение 31 книги Ш; предложение 47 книги 1); значит, в квадратах АВ буд:т больше Л/ на В!—-соизмеримую с собой <прямую>. Итак, найдены две рациональные, соизмеримые только в степени <прямые> ВА,А1, так, что в квадратах большая AS будет больше меньшей А} на <квадрат> на BJ, соизмеримой с ней самой линейно. Предложение 30 Найти две рациональные, соизмеримые только в степени (прямые*} ток, чтобы в квадратах большая была больше меньшей на квадрат на , /^ ^\ несоизмеримой с ней самой ли- //***+>^ \ нейно. (I ^**"4**'^- \ Отложим рациональную АВ и #*• —^8 два квадратных числа СЕ, ED, С f п так, чтобы составленное из них 1 ' * ' CD не было бы квадратом, и опи- Черт. 35. шем на АВ полукруг AIB, и сделаем, чтобы как DC к СЕ, так и <квадрат> на ВА к <квадоату> на А} (предложение 6, следствие), и соединим 1В (черт. 35). Подобна же вот предыдущему докажем, что ВА, А! будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямымн>. И поскольку как DC к СЕ, так н <квадрат> на ВА к <квадрату> на 4Л т0 Значит, «переворачивая»
КНИГЛ ДГСЯГЛЯ ll" (предложение 19 книги V, следствие), как CD к DE, \зк и <квалрат> на АВ к <квадрату) на В! (предложение 31 книги III; предложение 47 книги I). Но CD к DE не имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадра|) на АВ к <квадрату> на В! но имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, АВ будет несоизмеримо с В! линейно (предложение 9). И в квадратах АВ болыпе А] на <квадрат) на IB, с ной самой несоизмеримой (предложение 31 книги 111; предложение 47 книги I). Итак, АВ, А\ суть рациональные, соизмеримые только в степени < прямые), и в квадратах АВ больше А] нл •(квадрат) на IB, несоизмеримой с ней самой линейно, что и требовалось доказать. Предложение 31 Найти две медиали, соизмеримые только е степени, заключающее рациональную <площадь~у так, чтобы в квадратах большая была больше меньшей на ■(квадрату на соизмеримой с ней самой линейно (29} (черт. 36}. Отложим две рациональные, соизмеримые юлько в степени «(прямые) А. В так, чтобы А, будучи большей, была в квадратах более меньшей В на <квадрат> иа соизмеримой с ней самой линейно (предло- у жение 29). И пусть .(прямоугольник у> между А, В будет равен <квадраг|) на С. •(Прямоугольник) же между А, В меднилен; [ \_ > значит, и <квадра*|> на С меаиален (предло- Я Ь Ь' & жение 21); значит, и С медшль. Пусть же Черт 36 •(квадрату) на В будет равен «(прямоугольник) между С, D; <квздрат) же. на В рационален; рационален, значит, и <прямоугольннк) между С, D. И поскольку будет, что как А к В, так и «(прямоугольник) между Л, В к <квадрату> hi В (предложение 21, лемма), но Огрямоугольнику) между А, В равен <квадрат) на С, <квадрату> же на В равен .(прямоугольник) между С, D, то значнт, как А к В, так и <квадрат) И) С к «(прямоугольнику) междч С, Р, Как же <квадрат) hj С к <пря-
138 НЛЧЛЛЛ ЕВКЛИДА моугольннку> между С, D, гак и С к D (предтожение 21, лемма}; и значит, как Л к В, гак и С к D. Но А соизмерима с В только в степени; значит, и С соизмерима с D только в степени (предложение 11}. И С есть медиаль; значит, и D медиаль (предложение 23). И поскольку как А к Bt <так н> С к D, в квадратах же А больше В на <квадрат> на соизмеримой с ней самой, то значит, и С в квадратах больше D на <кпадраг> на соизмеримой с ней самой. И гак, найдены две меднали С, D, соизмеримые только в степени, заключающие рациональную <плогггддь>, и в квадратах С больше D на <квадрат> на соизмеримой с ней самой линейгго. Подобным мсс во г образом докажстся и <что в квадратах С больше Dy на <квадрат> на несоизмеримой, когда в квадратах Л больше В на <квадрат> на несоизмеримой с ней самой (предложение 30}. Предложение 32 Найти две медиали, соизмеримые только в степени, заключающие медиальную площадь так, чтобы в квадратах большая была больше меньшей на (квадрату с ней самой соизмеримой (30} (черт. 37). Отложим три рациональные <прямые> А, В, С, соизмеримые только в степени, так, чтобы в квадратах А бы- „ ла больше С на <квад- //I 1 раг> с ней самой соиз- gfi i j меримой (прсдложение29), ^i 1 н пусть .(прямоугольнику> церт 37. между А, В будет равен <квадрат> на D. Значит, <квадрат> на D медиа.тен; значит, и D будет ыедиалью (предложение 21}. Пусть же .(прямоугольнику) между В, Сбудет равен <прямоугольник> между D, Е. И поскольку будет, что как <прямоугольннк> между А, В к «(прямоугольнику) между Б, С, так н А к С (предложение 21, лемма}, но -(прямоугольнику) между А, В равен <квадрат> на Z), -(прямоугольнику) же между В, С равен <прямоугольник> между Z), Я,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 139 то значит, будет, что как А к С, так и <квадрат) на D к <[[ря\юугодьнику> между D, Е. Как же <квадрат> па D к «(прямоугольнику) между Z), Е, так и D к Е; (предложение 21, лемма); и значит, как Л к С, так и D к Е. Но А соизмерима с С [только] в степени. Значит, и D соизмерима с Е только в степени (предложение 11}. Но D — медиаль; значит, и Е медиаль (предложение 23). И поскольку будет, что как Ак С,<так и> D к Е, в квадратах же А больше С на <квадрат) с ней самой соизмеримой, то значит, и D будет в квадратах больнее Е на <квадрат> с ией самой соизмеримой (предложение 24}. Вот я утверждаю, что «(прямоугольник) между D, Е будет медиальным. Действительно, поскольку <нрямоугольнит<> между В, С равен <прямоугольнику> между D, Е, «(прямоугольник) же между Ву С медиален [ибо В, С суть рациональнее, соизмеримые только в степени] (предложение 21}, то и «(прямоугольник) между D, Е медиален. Итак, найдены две медиали Z), Е, соизмеримые только в степени, заключающие медиальную < площадь), гак, чго в квадратах большая больше меньшей на <квадрат) с ней самой соизмеримой. Подобным же вот образом докажется опять, < что в квадратах D больше Еу на <квадрат) несоизмеримой, когда А в квадратах больше С на < квадрат) с ней самой несоизмеримой (предложение 30}. Лемма (31} Пусть будет прямоугольный треугольник ABC, имеющий <уго.т) А прямой, и проведём перпендикуляр AD; я утверждаю, что <прямоугольник) между Сб, BD будет равен < квадрату ) на ВАЛ < прямоугольник ) же между BCt CD равен < квадрату) на САл и < прямоугольник ) между BDt DC равен < квадрату) на AD, и ещё < прямоугольник) между ВС, AD равен [будет] < прямоугольнику) между &4, АС (черт. 38). И сперва, чго <прямоугольник ) между СВ, BD равен [будет] <квадрату) на ВА.
140 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, поскольку в прям ^угольном треугольнике из прямого угла к основанию проведён перпендикуляр AD, то значит, ABO, ADC будут треугольники, подобные п всему ABC и между соб)й (предложение 8 книги VI}. И поскольку треугольник ABC подобен тре\тольнику АВО, то значит, будет, что как СВ к В А. так и ВА к ВО (предложение 4 книги VI); значит, < прямоугольник) между СВ, ВО будет равен < квадрату) на АВ (предложение 17 книги VI). Вследствие того же вот и < прямоугольник) между ВС, СО будет равен <квадрату) па АС. И поскольку, когда в прямоугольном треугольнике из прямого угла Черт. 38 проведён перпендикуляр, проведённая < прямая) будет средней пропорциональной между отрезками основания (предложение 8, следствие книги VI), то значит, будет, что как ВО к ОА, так и АО к- ОС; значит, < прямоугольник > между ВО, DC будет равен < квадрату) на ОА (предложение 17 книги VI}, Я утверждаю, что и < прямоугольник ) между ВС, АО будет равен < прямоугольнику) между ВА, АС. Действительно, поскольку, как мы сказали, ABC будет подобен АВО, то значит, будет (предложение 4 книги VI). что как ВС к С А, так и В А к АО [если же четыре прямые пропорциональны, то <прямоугольник> между крайними равен < прямоугольнику > между средними]. Значит, < прямоугольник > между ВС, АО равен < прямоугольнику) между ВА, АС (предложение 16 кдиги VI), что и требовалось доказать. Предложение 33 Найти две несоизмеримые а степени прямые, образующие составленную из квадратов на них < площадь > рациональную, < прямоугольник ) же между ними медиальный. Отложим две рациональные <прямые> АВ, ВС, cohi- меримые только в степени, так, чтобы; в квчдратах большая
КНИГА ДЕСЯТАЯ 141 АВ была больше меньшей ВС на < квадрат > с ней самой несоизмеримой (предложение 30}, и рассечём ВС пополам в D, и приложим к АВ равный <кцадрату> на каждой из BD, DC параллелограмм с недостатком в виде квадрата (предложение 28 книги VI}, н пусть это будет < прямоугольник) между АЕ, ЕВ, н опишем на АВ полукруг AIB, и проведём El под прямыми < углами) к АВ, и соединим Л/, IB (черт. 39}. И поскольку будут [две] неравные прямые А В- ВС, и в квадратах АВ более ВС на < квадрат) с ней самой несоизмеримой, и к АВ приложен равный четверти <квадрата> Е S J 0 Черг. 39, на ВС, то-ссть <; квадрату > на её половине, параллелограмм с недостатком в виде квадрата, и он образует < [фямо- уголышк > между АЕ, ЕВ, то значит, АЕ будет несоизмеримой с ЕВ (предложение 18). И как АЕ к ЕВ, так: и < прямоугольник) между ВА, АЕ к <прямоугольнику) между АВ, BE, -(прямоугольник > же между ВА, АЕ равен < квадрату) на Л/, < прямоугольник) же между АВ, BE < квадрату > на BI; значит, < квадрат > иа AI будет несоизмерим с < квадратом > на IB; значит, Л/, IB будут несоизмеримы в степени (предложение 11}. И поскольку АВ рациональна, то значит, будет рациональным и < квадрат > на АВ; так что и составленная из < квадратов > на Л/, IB < площадь > будет рациональна (предложение 47 кннгн I). И затем, поскольку < прямоугольник > между АЕ, ЕВ равен < квадрату > на £7, предполагается же <прямоугольник> между АЕ, ЕВ равным и .(квадрату > на BD, то значит, IE равна будет BD; значит, ВС вдвое больше IE; так что и <пря- иоутольник) между АВ, ВС будет соизмерим с .(прямоугольником) между АВ, EI (предложение 6}. .(Прямоугольник) же между АВ, ВС медиалеи (предложение 21}; значит, и
НЛЧЛЛЛ ЕВКЛИДА <прямоугольник > между ЛВ, EI медиален (предложение 23, следствие). ^Прямоугольник > же между ЛВ, EI равен < прямоугольнику > между .4/, IB (лемма); значит, медиален и < прямоугольник > между Л1, IB. Доказано же, что составленная т квадратов на них < площадь будет) и рациональной. Итак, найдены две несоизмеримые в степени прямые Л1, IB, образующие составленную из квадратов на них <пло- щадь) рациональную, <прямоугольник> же между ними медиальный, чго и требовалось доказать (32). Предложение 34 Найти две прямые, несоизмеримые в степени, образующие составленную из квадратов на них < площадь > медиальную, < прямоугольник > же между ними рациональный (33). Отложим две медиали ЛВ, ВС, соизмеримые только в степени, заключающие между собой рациональный < пря- лТе в с Чсрг. 40. моугольник), так, чтобы в квадратах ЛВ была больше ВС на < квадрат > с ней самой несоизмеримой (предложение 31), и опишем на ЛВ полукруг ЛОВ, и рассечем ВС пополам в Е, и приложим к ЛВ равный <; квадрату) на BE параллелограмм с недостатком в виде квадрата (предложение 28 книги VI), именно < параллелограмм) между AI, IB; значит, .4/ [будет] несоизмерима с IB линейно (предложение 18). И проведём из / под прямыми <\гламн> к ЛВ < прямую > /£>, и соединим AD. DB (черт. 40). Поскольку ,4/ несоизмерима с IB, то значю, и < прямоугольник) между ВЛ, Л/будет несоизмерим с < прямоугольником > между АВ, В/ (предложение 11). < Прямоугольник ) же между ВА, А/ равен < квадрату > иа/Ш, < прямоугольник > же
КНИГА ДЬСЯТАЯ 143 между ЛИ, BI—-< квадрату) на DB (предложение 32, лемма); значит, и <квадрат > на AD будет несоизмерим с < квадратом > на DB. И поскольку квадрат на АВ медиа- лен, то значит, медиальна и составленная из < квадратов) на AD, DB ^площадь) (предложение 31 книги III; предложение 47 книги I). И поскольку ВС вдвое больше DI, то и < прямоугольник) между АВ, ВС вдвое больше < прямоугольника ) между АВ, ID. < Прямоугольник ) же между АВ, ВС рационален; значит, рационален и < прямоугольник ) между АВ, ID (предложение 6). < Прямоугольник ) же между АВ, ID равен <прямоугольнику ) между AD, DB (предложение 32, лемма); так что н < прямоугольник ) между AD, DB будет рационален. Итак, найдена две прямые AD, DB, несоизмеримые в степени, образующие составленную из квадратов на них < площадь ) медиальную, < прямоугольник ) же между ними рациональный, что и требовалось доказать. Предложение 35 Найти две прямые, несоизмеримые в степени, образующие составленную из квадратов на них < площадь ) медиальную и <; прямоугольник) между ними медиальный и ещё несоизмеримый с составленной из квадратов на них (площадью'} (34). Отложим две медиали АВ, ВС, соизмеримые только в степени, заключающие медиальную < площадь ), так, чтобы в кзадратах АВ была больше ВС на < квадрат) с ней самой несоизмеримой (предложение 32), и опишем на АВ полукруг ADB, и сделаем всё остальное подобно тому как- выше (черт. 41).
144 НАЧАЛА ЕВКЛИДА И поскольку AI несоизмерима с IB линейно, и АО будет несоизмерима с DB в степени (предложение 11). И поскольку < квадрат) на АВ медиален, то значит, медиальной будет и составленная из < квадратов > на AD, DB < площадь > (предложение 23, следствие). И поскольку < прямоугольник > между Л/, IB равен квадрату на каждой из BE, О/, то значит, BE будет равна DI; значит, ВС вдвое больше ID, так что и < прямоугольник > между АВ, ВС будет вдвое больше <прямоугольника) между АВ, ID. < Прямоугольник > же между АВ, ВС медиален; значит, медиалеи и < прямоугольник ) между АВ, ID. Ион равен < прямоугольнику > между AD, DB (предложение 32, лемма); значит, и < прямоугольник ) между AD, DB медиален. И поскольку АВ несоизмерима с ВС линейно, СВ же соизмерима с BE, то значит, и АВ несоизмерима с BE линейно (предложение 13); так что и < квадрат > па /Шбудсг несоизмерим с < прямоугольником ) между АВ, BE (предложение 21, лемма; предложение 11). Но < квадрату > на АВ равны < квадраты ) на AD, DB (предложение 47 книги I), < прямоугольнику > же между АВ, BE равен < прямоугольник) между АВ, ID, то-есть <; прямоугольник) между AD, DB; значит, составленная из < квадратов ) на ЛО, DB < площадь ) будет несоизмерима с < прямоугольником > между AD, DB. Итак, найдены две прямые AD, DB, несоизмеримые в степени, образующие составленную из квадратов на них <; площадь ) медиальную, и < прямоугольник ) между ними медиальный, и ещё несоизмеримый с составленной из квадратов на них площадью, что и требовалось доказать. Предложение 36 Если составляются две рациональные, соизмеримые только в степени прямые, то целая будет иррациональной', пусть она называется биномаалыо*) (35). Пусть составляются две рациональные, соизмеримые только в степени < прямые ) АВ, ВС; я утверждаю, что целая АС будет иррациональной (черт. 42). *) ex 5io dwcjidTtav —из двух имён; и латинском переложении ex duobus nominlbus; правильнее было бы название «биноминаль».
КНИГА ДЕСЯТАЯ ' 145 Действительно, поскольку АВ несоизмерима с ВС линейно (ибо они соизмеримы только в степени), как же АВ к ВС, так и < прямоугольник > между АВ, ВС к < квадрату > на ВС (предложение 21, лемма), то значит, прямоугольник между АВ, ВС будет несоизмерим с < квадратом > на ВС (предложение 11). Но с < прямоугольником > между АВ, несоизмерим дважды взятый <прямоугольник> между А ВС , -—i i Черт. 42. АВ, ВС (предложение 6), с < квадратом > же на ВС соизмеримы <квадраты> на АВ, ВС <вместе); ибо АВ, ВС суть рациональные <прямые), соизмеримые только в степени (предложение 15); значит, дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС несоизмерим с < квадратами > на АВ, ВС (предложение 13). И, «присоединяя», дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС вместе с < квадратами > на АВ. ВС, то-есть квадрат на АС (предложение 4 книги II), несоизмерим будет с составленным из < квадратов> на АВ, ВС (предложение 16). Составленное же из < квадратов > на АВ, ВС рационально; значит, < квадрат > иа АС [будет] иррациональным (определение 4); так что н АС будет иррациональной; пусть она называется биномиалью, чго и требовалось доказать. Предложение 37 Если составляющей две соизмеримые толь/со в степени медиали, заключающие рациональную < площадь >, то целая будет иррациональной) пусть она называется первой бимедиалью *). Пусть составляются две соизмеримые только в степени медиали АВ, ВС, заключающие рациональную < площадь > (предложение 27); я утверждаю, что целая АС будет иррациональной (черт. 43). *) !х Sjo [uacov itp<iT7) — кз двух медиалей первая. 10 Евклид
. 146 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, поскольку ЛВ несоизмерима с ВС линейно, то значит, и < квадраты > на ЛВ, ВС будут несоизмеримы с дважды взятым < прямоугольником > между ЛВ, ВС; и, «присоединяя» <; квадраты > на ЛВ, ВС вместе с дважды взятым < прямоугольником > между АВ, ВС (а это будет й ВС I j 1 Черт. 43. < квадрат > на АС) (предложение 4 книги И), несоизмеримы с < прямоугольником > между ЛВ, ВС (предложение 16). < Прямоугольник > же между АВ, ВС рационален, ибо АВ, ВС предполагаются заключающими рациональную < площадь >; значит, иррационален < квадрат у на АС; значит, иррациональна АС (определение 4); пусть она называется первой бимедиалью; что н требовалось доказать. Предложение 38 ■'/> j Если составляются две соизмеримые только в степени медиали, заключающие медиальную площадь, то целая будет иррациональной; Я\ 1 \С пусть она называется второй В /7 Н бимедиалью*). I Пусть составляются две соизмеримые только в cienenH I.„ I медиали ЛВ, ВС, заключающие £ I медиальную < площадь > (пред- Чепт 44 ложе ни е 28); я утверждаю, что АС будет иррациональной ■ ■ (черт. 44). Действительно, отложим рациональную < прямую > DE и приложим к DE равный < квадрату > на АС <параллело- грамм > DI, производящий ширину DH (предложение 44 ~н) Н Sue [isowv Звитгра — ш двух медиалей вторая.
КИИГА ДЕСЯТАЯ 147 книги 1). И поскольку < квадрат > на АС равен < квадратам > на АВ, ВС и дважды взятому < прямоугольнику > между АВ, ВС < вместе > (предложение 4 книги II), то вот приложим к DE равный < квадратам > на АВ, ВС < параллелограмм > EG; значит, остаток GI будет равен дважды взятому < прямоугольнику > между АВ, ВС. И поскольку каждая из АВ, ВС медиаль, то значит, будут медиальными и < квадраты > на АВ, ВС. Медиальным же по предположению будет н дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС. И < квадратам > на АВ, ВС равен EG, дважды же взятому < прямоугольнику > между АВ, ВС равен GI; значит, каждый из EG, GI будет медиальным. И прилагаются они к рациональной DE; значит, каждая из DG, GH будет рациональной н несоизмеримой с DE линейно (предложение 22). Поскольку теперь АВ несоизмерима с ВС линейно, и будет, что как АВ к ВС, так и < квадрат > на АВ к < прямоугольнику > между АВ, ЕС (предложение 21, лемма), то значит, <квадрат> на АВ несоизмерим с < прямоугольником > между АВ, ВС (предложение 11). Но с < квадратом > на АВ соизмерима составленная из квадратов на АВ, ВС < площадь > (предложение 15), с < прямоугольником > же между АВ, ВС соизмерим дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС (предложение 6). Значит, составленная нз < квадратов > на АВ, ВС < площадь > будет несоизмерима с дважды взятым < прямоугольником > между АВ, ВС (предложение 13). Но < квадратам > на АВ, ВС равен EG, дважды же взятому -(прямоугольнику > между АВ, ВС равен G/. Значит, EG будет несоизмерим с G/; так что и DG будет несоизмерима с GH линейно (предложение 11; предложение 1 книги VI). Значит, DG, GH будут рациональными соизмеримыми только в степени. Так чго DH иррациональна (предложение 36). Но DE рациональна; прямоугольник же, заключённый между иррациональной и рациональной, будет иррациональным (предложение 20); значит, иррациональной будет площадь Dft и кнадрирующая [её] будет иррациональной (определение 4). Но D/ квадрируется < прямой > АС; значит, АС будет иррациональна, nycib она называется второй бймедиалью, что и требовалось доказать. 10*
148 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 39 Если составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие составленное из квадратов на них рациональным, прямоугольник же между ними медиальным, то целая прямая будет иррациональна; пусть она называется большей. Пусть составляются две прямые АВ, ВС, несоизмеримые в степени, вьшолняя предложенное (предложение 33); я утверждаю, что АС будет иррациональной (черт, 45). Я в С . |„ , i 1 Черт, 45. Действительно, поскольку < прямоугольник > между АВ, ВС медиален, то [значит] и дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС будет медиальным (предложения 6, 23, следствие). Составленное же из < квадратов > на АВ, ВС рационально; значит, дважды взятый < прямоугольник > между А В, ВС несоизмерим с составленным из < квадратов > hj АВ, ВС (определение 4); так что и < квадраты > на АВ, ВС вместе с дважды взятым < прямоугольником > между АВ, ВС— это же будет < квадрат > на АС (предложение 4 книги II) —будут несоизмеримы с составленным из < квадратов > на АВ, ВС (предложение 16) [составленное же из <квадратов> на АВ, ВС рационально]; значит, < квадрат> на АС иррационален. Так что и АС будет иррациональной (определение 4); пусть она называется большей; что и требовалось доказать. Предложение 40 Если составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие сумму квадратов на них медиальной, прямоугольник же между ними рациональным, то целая прямая будет иррациональной; пусть он» называется рационально и медиально кеадрирующей*). ') pTJTOV t.<l\ (IJOCV SjV3|i£VT).
КНИГА ДЕСЯТАЯ 149 Пусть составляются две прямые АВ, ВС, несоизмеримые в степени, выполняя предложенное (предложение 34); я утверждаю, что АС будет иррациональной (черт. 46). Действительно, поскольку составленное из<квад- ратов> на АВ, ВС медиально, дважды же взятый <пря\юугольник> между АВ, ВС рационален, то значит, составленное из <квадратов> на АВ, ВС будет несоизмеримо с дважды взятым <прямоутоль- -В ником> между АВ, ВС; так чго н <квадрат> на АС несоизмерим с дважды взятым <прямоуголь- -Ч" ником> между АВ, ВС (предложение 16). Дважды Черт. 46. же взятый <пря\шугольник> между АВ, ВС рационален; значит, <квадрат> на АС иррационален. Значит, АС будет иррациональна (определение 4); пусть она называется рационально и медиально квадрирующей; что и требовалось доказать. Предложение 41 Если, составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие сумму квадратов на них медиальной и {прямоугольнику между ними медиальным и, кроме того, ^____^ „ несоизмеримым с суммой квадратов на них, то целая прямая будет иррацио- И / нальной; пусть она называется бимедиально квадрирующей. Пусть составляются две прямые АВ. ВС, несоизмеримые в степени, выполняя Я f предложенное (предложение 35); я утвер- Д в С ждаю, что дс будет иррациональной 1 ' rt (черт. 47). Черт. 47. Отложим рациональную DE и приложим к DE <пзраллелограмм> DI, равный <квадратам> па ЛВ, ВС, и <параллелограмм> НО, равный удвоенному <прямоуголь!шку> между АВ, ВС] значит, весь DQ будет panel квадрату на АС (предложение 4 книги 11). И поскольку составленное из <квадратов> на АВ, ВС медиально и равно О/, то значит, и DI будет медшльныи, И о i прилагается к рациональной DE; значит, DH будет рациональной и несоизмеримой с DE линейно (предложение 22). На том же
150 НАЧАЛА КВКЛИДА вот основании и НК будет рациональной и несоизмеримой линейно с HI, то-есть с ОЕ. И поскольку несоизмеримы <вме- сте взятые квадраты> на АВ, ВС с дважды взятым <прямо- угольником> между АВ, ВС, то О! будет несоизмерим с НО; так что и ОН несоизмерима с НК (предложение 11; предложение 1 книги VI). И они рациональны; значит, ОН, НК будут рациональными, соизмеримыми только в степени; .значит, ОК будет иррациональной, так называемой биномиалью (предложение 36). Но ОЕ рациональна; значит, OG будет иррациональным, и его квадрирующая будет иррациональной (определение 4). Квадрируется же OG <прямой> АС; значит, АС будет иррациональной; пусть она называется би- медиально квадрирующей; что и требовалось доказать. Лемма А что упомянутые иррациональности едшктвенным образом разделяются па прямые, из которых <как). производящих складываются предложенные виды, докажем, предпослав такую леммочку: Отложим прямую АВ и рассечём всю её на неравные <части> в каждой из <точек> С, О, предположим АС большей, чем ОВ; я утверждаю, что <квадраты> на АС, СВ бочьше <квадратов> на АО, DB (черт. 48). i 1—i—i i Л [! £ С В Черт. 48. Действительно, рассечём АВ пополам в Е. И поскольку АС больше ОВ. то отнимем общую <часть> ОС; значит, остаток АО будет больше остатка СВ. Но АЕ равно ЕВ; з тчит, ОЕ меньше ЕС; значит, точки С, О ие одинаково удалены от делящей пополам. И поскольку Прямоугольник между АС, СВ вместе с <квадратом> иа ЕС равен <квадрату> иа ЕВ, но вместе с тем и <прямоугольник> между АО, ОВ с <квадратом> на ОЕ равен <квадрату> на ЕВ (предложение 5 книги И), то значит, <прямоуголь- ник> между АС, СВ вместе с <квадратом> на ЕС равен <прямоугольнику> между AD, DB вместе с <квадратом>
КНИГА ДЕСЯТАЯ 151 на DE; из них <квадрат> на DE меньше <квадрата> на ЕС; и значит, остающийся <прямоугольник) между АС, СВ будет меньше <прямоугольника) между AD, DB. Так что и дважды <нрнмоуголышк) между АС, СВ будет меньше дважды .(прямоугольника) между AD, DB. И значит, остаток, составленный из <квадратов> на АС, СВ, будет больше составленного из <квадратов> на AD, DB, что и требовалось доказать (36, 37). Предложение 42 Бчномиаль разделяется на рационала *) только е одной точке (38). Пусть будет биночиаль АВ, разделённая на рацчонали в С; значит, АС, СВ будут рациональные .(прямые), соизмеримые только в степени (предложение 36). Я утверждаю, что АВъ иной точке не разделяется на две рациональные, соизмеримые только в степени <прямые>(черт. 49). _D Действительно, если возможно, то пусть она будет разделена ц в D гак, что и AD, DB будут /> рациональными, соизмеримыми только в степени <нрямыми>. Ясно вот, что АС не будет тождественной с DB. Действительно, если возможно, пусть ]_„ будет. Тогда н АО будет тождественной с СВ; и „ .„ будет, что как АС к СВ, так н ВО к DA, н ерт" будет АВ ив/) рассечённой тем же самым сечением, что в С; этого же не предполагается. Значит, АС не будет тождественной с DB. Тогда вследствие этого и точки С, D не одинаково удалены от делящей пополам (лемма). Значит, чем <вместе взятые квадраты) на ЛС, СВ разнятся от <вместе взятых квадратов) на AD, DB, тем и дважды ^прямоугольник) между AD, DB разнится от дважды <прямоугольника) между АС, СВ, вследствие того, что н <квадраты) на АС, СВ вместе с дважды <прямо *) -.a uvd^.a-i — буквально «имена*. Поскольку «имеющий имя» по греческой терминологии тождественно с «рациональными, то здесь и в дальнейшем мы будем переводить этот термин словом «рациональ».
152 НАЧАЛА ЕВКЛИДА угольником) между АС, СВ, и <квадраты> на AD, DB вместе с дважды Прямоугольником) между AD, DB равны будут <квадрату) на АВ (предложение 4 книги II). Но <квадраты) на АС, СВ разнятся от <квадратов> на AD, DB на рациональную <величину>, ибо и те и другие рациональны; значит, и дважды «(прямоугольник) между AD, DB на рациональную <величину> разнится от дважды <пря- моугольника) между АС, СВ, будучи <оба> медиальными (предложение 21); это же нелепо, ибо медиаль не превосходит медиалн на рациональную <величнну) (предложение 26). Итак, биномиаль в одной и другой точке не разделяется; значит, только в одной, что и требовалось доказать. Предложение 43 Первая бимедиаль разделяется только в одной точке. Пусть будет первая бимедиаль АВ, разделённая в С так, что АС, СВ будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими рациональ- д q £ "q ную <площадь>; я утверждаю, что АВ в иной точке <так> ие разде- )6рТ. Ои, / rni ляечся (черт. 50). Действительно, пусть, если возможно, она будет разделяться и в D так, что и AD, DB будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими рациональную <площадь). Поскольку теперь, чем дважды Прямоугольник) между AD, DB разнится от дважды <прямоугольника) между АС, СВ, тем и <вместе взятые квадраты) на АС, СВ разнятся ог <вместе взятых квадратов) на AD, DB; но дважды Прямоугольник) между AD, DB разнится рациональным от дважлы Прямоугольника) между АС, СВ, ибо оба рациональны; значит, и <квадраты> на АС, СВ рациональным разнятся от <квадрагов> на AD, DB, будучи <сами) медиальными; у то же нелепо (предложение 26). Итак, первая бимедиаль не делится в одной и другой точке на рацнонали; значит, только в одной, что н требовалось доказать.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 153 Предложение 44 Вторая бимедиаль разделяется только 8 одной точке. Пусть будет вторая бимедиаль АВ, разделённая в С так, что АС, СВ будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими Л U С G Черт. 51. медиальную <площздь> (предложение 38); ясно вог, что С не будет делящей пополам, потому что <отрезки> ие будут линейно соизмеримыми. Я утверждаю, что АВ r иной точке <так> не разделяется (черт. 51). Действительно, пусть, если возможно, она будет разделяться и в D так, что АС не будет тождественной с DB, но <пусть будет) АС по предположению большей; ясно вот, что и <вместе взятые квадраты) на AD, DB, как мы доказали выше (предложение 41, лемма), меньше <вместе взятых квадратов) на АС, СВ; и AD, DB будут соизмеримыми только в степени медиалями, заключающими медиальную <площадь). И отложим рациональную Ef, и приложим к Ы равный <квадрагу) на АВ прямоугольный параллелограмм ЕК, отнимем же ЕЙ, равный <квадратам) на АС, СВ; значит, остаток GK будет равен дважды «(прямоугольнику) между АС, СВ (предложение 4 книги II). Затем, отнимем El, равный <квадратам> па AD, DB, которые по доказанному меньше <квадратов) на АС, СВг значит, и остаток МК равен дважды <црямоугольнику) между AD, DB. И поскольку <квадрати> на АС, СВ ме- диальиы, то значит, медиален [и] ЕЙ. И он прилагается к рациональной Ef; значит, EG будет рациональной и несоизмеримой с Ef линейно (предложение 22). Вследствие того же вот и GN будет рациональной и несоизмеримой с Ef линейно (предложение 22). И поскольку АС, СВ медиа: и, соизмеримые только в степени, то значит, и АС будет несоизмерима с СВ линейно. Как же АС к СВ, так и <квадрат) на АС к Прямоугольнику) между АС, СВ (предложение 21, лемма); значит, <квадрат) на АС несо-
154 НАЧАЛА ЕВКЛИДА измерим будет с <прямоугольником) между АС, СВ (предложение 11), Но с <квадрагом) на АС соизмеримы -(вместе взятые квадраты) на АС, СВ; ибо АС, СВ соизмеримы в степени. С -(прямоугольником) же между АС, СВ соизмерим дважды <прямоугольник) между АС, СВ (предложение 6). И значит. -(квадраты) иа АС, СВ будут несоизмеримы с дважды <прямоугольником) между АС, СВ (предложение 13). Но <квадратам) на АС, СВ равен будет ЕЙ, дважды же -(прямоугольнику) между АС, СВ равен GK; значит, ЕЙ будет несоизмеримым с GK; так что и EG будет линейно несоизмерима с GN (предложение 1 книги VI, предложение 11 книги X) . И они рациональны; значит, EG, GN будут рациочальные -(прямые), соизмеримые только н степени. Если же составляются две рациональные, соизмеримые только в степени «(прямые), то целая будет иррациональной так называемой биномиалью (предложение 36); значит, £7V будет биномиалью, разделённой в G. Тем же вот самым образом докажется, что и ЕМ, MN <являются) рациональными, соизмеримыми только в степени; и EN будет биномиалью, разделённой в одной и другой точках — G и М, и не будет EG тождественной с МЫ, потому что <квадраты) на АС. СВ будут больше <квадратов) на AD, DB. Но <квадраты) на AD, DB больше дважды Прямоугольника) между AD, DB; значит, тем более и <квад- раты) иа АС, СВ, то-есть ЕЙ, будут больше дважды .{прямоугольника) между AD, DB, то-есть МК\ так что и EG будет больше MN (предложение 1 книги VI). Значит, EG не будет тождественной с MN, что и требовалось доказать, Предложение 45 чБбльшая^ (иррациональная") разделяется только в одной а той же точке. Пусть будет «большая» иррациональная ABt разделённая в С так, что АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, делающими составленное из квадратов на АС, СВ рациональным, <лрямоугольник> же между АС, СВ медиальным (предложение 39); я утверждаю, что АВ в иной точке <так) не разделяется (черт. 52).
КНИГА ДЕСЯТАЯ 155 Действительно, пусть, если возможно, она будет разделяться и в D так, что AD, DB будут несоизмеримыми в степени, делающими составлешюе из <квадратов> на AD, DB рациональным, <прямоугольник> же между ними медиальным. И поскольку чем разнятся <вместе взятые ^ квадраты) на АС, СВ от <квадратов> на AD, DB, тем разнится и дважды -(прямоугольник) между AD, DB от дважды -(прямоугольника) между АС, СВ . д (предложение 41, лемма), но <вместе взятые квадраты) на АС, СВ рациональным превосходят <вместе ■ с взятые квадраты) на AD, DB, ибо оба рациональны; значит, и дважды <прямоугольиик) между AD, DB рациональным превосходит дважды <прямоугольник) Уд между АС, СВ, будучи <оба) медиальными; это же невозможно (предложение 26), Значит, «боль- Черт. 52. шая» не разделяется в одной и другой точке; значит, она разделяется только в одной и той же, что и требэвалэсь доказать. Предложение 46 Рационально и медиально квадрцрующая разделяется толькэ в одной точке. Пусть будет рационально и медиально квадрирующая АВ, разделённая в С так, что АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, делающими составленное из <квадратов) „ на АС, СВ медиальным, дважды же <прямоугольник) между АС, СВ рациональным (предложение 40); я утверждаю, что АВ в иной точке <так) не раз- Л деляется (черт, 53). Действительно, пусть, если возможно, она будет ■О разделяться и в О так, что AD, DB будут несоизмеримыми в степени, делающими составленное из <квадратов) на AD, DB медиальным, дважды g же <прямоугольник) между AD, DB рациональ- Черт 53 ным' Поскольку теперь чем разнится дважды «(прямоугольник) между АС, СВ от дважды -(прямоугольника) между AD, DB, тем разнятся и <вместе взятые квадраты) на AD, DB от <квадратов> на АС, СВ, дважды
156 НАЧАЛА ЕВКЛИДА же <прямоугольник) между АС, СВ рациональным превосходит дважды -(прямоугольник) между AD, DB, значит, и <квадраты> uaAD, DB рациональным превосходят <квадраты> на АС, СВ, будучи медиальными; это же невозможна (предложение 26). Значит, рационально и медиально квад- рирующая не разделяется в одной и другой точке. Значит, она разделяется в одной точке, что и требовалось доказать. Предложение 47 Вимедиально квадрирующая разделяется только в одной точке. Пусть будет [бимедиально квадрирующая] АВ, разделённая в С, так Ч1о АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, делающими составленное из <квадратов> па АС, СВ медиальным и <прямо- угольник) между АС, СВ медиальным и ещё несоизмеримым с составленным из <квадратов> на них (предложение 41). Я утверждаю, что АВ не разделяется в иной точке, выполняя предложенное (черт. 54). Действительно, пусть, если возможно, она будет разделяться и в £>, 'так что, конечно, опять АС не будет тождественной с DB, ио <пусть будет) АС по предположению большей; и отложим рациональную <прямую) EI, и приложим к EJ равную <вместе взягьщ квадратам) на АС, СВ <площадь> ЕЙ, дважды же <прямоугольнику) между АС, СВ <равную площадь) 0К\ значит, весь ЕК будет равным квадрату на АВ (предложение 4 книги II). Бот затем приложим к EJ равную <вмесге взятым квадратам) на AD, DB <площадь> EJL; значит, остающийся дважды -(прямоугольник) между AD, DB будет равен остающейся -(площади) МК. И поскольку составленное из <квадратов) на АС, СВ предполагается медиальным, то значит, медиальным бу- ,дет и ЕЙ. И он прилагается -к рациональной EI; значит, £ М В Л Я В с -в . I Черт. 54. //
КНИГА ДЕСЯТАЯ 157 GB будет рациональной и несоизмеримой с EJ линейно (предложение 22). На основании того же вог и GN будет рациональной и несоизмеримой с EJ линейно. И поскольку составленное из <квадратов> на АС, СВ несоизмеримо с дважды <прямоуголышком> между АС, СВ, то значит, и ЕЙ будет несоизмерим с HN; так что и EG будет несоизмерима с GN (предложение И; предложение 1 книги VI). И они рациональны; значнт, EG, GN буду г рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми>; значит, EN будет бино- миалью, разделёииойв G (предложение 36). Подобным же вот образом докажем, что она разделится и в М. И не будет EG тождественной с AW; значит, биномиаль разделилась в одной и другой точке; это же невозможно (предложение 42). Значит, бимедиально квадрирутощая не разделяется в одной и другой точке; значит, она разделяется в одной только [точке]. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВТОРЫЕ 1. Если предложена рациональная <прямая> и биномиаль разделена иа две рационали, из которых большая рацио- иаль будет в квадратах более меньшей на <квадрат> на линейно с собой соизмеримой <прямой>, то, когда большая рациональ соизмерима будет линейно с отложенной рациональной, пусть [вся] <биномиаль> называется первой биномиалыо. 2. Когда же меньшая рациональ будет соизмерима линейно с отложенной рациональной <прямой>, то пусть называется второй биномиалыо. 3. Если же ни одна из рационалей не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной <прямой>, то пусть называется третьей биномиалыо. 4. Затем, когда ббльшая рациональ будет в квадратах больше [меньшей] на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно <прямой>, то когда большая рациональ будет соизмерима линейно с отложенной рациональной <прямой>, пусть называется четвёртой биномиалыо. 5. Когда же меньшая <рациональ соизмерима), то — пятой. 6. Когда же ии та, ни другая, то — шестой (38, 39, 40, 41, 42).
№ НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 48 Найти первую биномааль (46) (черт. 55). Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное из них АВ имело к ВС отношение, как квадратное число к квадратному числу (лемма предложения 28), к СА же не ■ имело бы отношения, как квадратное число к квадратному А С В ^ jj{ , Sl , , ' „ - , Черт. 55. числу, н отложим какую-нибудь рациональную <пря- мую> £>, и пусть EJ будет линейно соизмерима с D. Значит, и EI будет рациональной (определение 3). И сделаем, чтобы как число ВА к АС, так и <квадрат> на EJ к <квадрату> на JH (предложение 6, следствие). Но АВ имеет к АС отношение, как число к числу; значит, и <квад- рат> на EJ имеет к <квадрату> на /Я отношение, как число к числу; так что <квадрат> на EJ соизмерим будет с <квадратом) на /Я(предложение 6). И EJ рациональна; значит, рациональна и /И. И поскольку В А не имеет к АС отношения, как- квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат> на EI не имеет к <квадрату> на /Я отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, EJ будет линейно несоизмерима с /Я (предложение 9). Значит, £7, /Я будут рациональными соизмеримыми только в степени прямыми).; значит, ЕЙ будет биномиалью (предложение 36). Я утверждаю, что и первой. Действительно, поскольку будет, что как число ВА к АС, так и <квадрат> на EI к <квадрату> на /Я, и ВА больше АС, то значит, н <квадрат> на EI больше <квад- рата> на /И (предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> на EJ равны будут <вместе взятые квадраты> на /Я, G. И поскольку будет, что как ВА к АС} так н <квадрат> на EI к <квадрату> на /Я, то значит, «перево-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 159 рачивая» (предложение 19 книги V), будет, что как АВ к ВС, так и <квадрат> на Е/ к <квадрату> на G. Но АВ имеет к ВС отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на EI имеет к <квадрату> на G отношение, как квадратное число к квадратному числу. Значит, Е/ будет линейно соизмерима с G (предложение 9); значит, в квадратах Е/ больше /Яна <квадрат> с собой соизмеримой <прямэй>. И El, Ш будут рациональны, и EI соизмерима с D линейно. Значит, ЕЙ будет первой биномиалью (определения вторые, 1), что и требовалось доказать. Предложение 49 Найти вторую биномиаль (черт. 56). Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное из них АВ имело к ВС отношение, как квадратное число к квадратному числу, к АС же не имело бы отношения, как квадратное число к квадратному числу п (лемма предложения 28), и отложим рациональную <грямую> D, н пусть El будет с D линейно соизмерима; значит, El будет рацио- х^ нальна. Сделаем тогда, чтобы как число СА к АВ, так был бы и <квадрат> на El к <квадрату> на IH (предложение 6, следствие); значит <квадрат> на EI соизмерим будет с <квадратом> на IH, Значит, рациональной будет и/Я. И поскольку число СА не имеет ^ к АВ отношения, как квадратное число Черт. 56. к квадратному числу, то и <квадрат> на EJ не имеет к <квадрату> на IH отношения, как квадратное число к квадратному числу. Значит, EI будет несоизмерима с Ш лииейио (предложение 9); значит, £7, Ш будут рациональными соизмеримыми только в степени <прямыми>; значит, ЕЙ будет биномиалью (предложение 36). Ьот следует доказать, что и второй. Действительно, поскольку «обращая» (предложение 7 книги V), будет, что как число ВА к АС, так и ■(квадрат) на HI к <квадрату> на IE, но ВА больше АС, зиа- 1' ■/
160 НАЧАЛА ЕВКЛИДА чит, [и] <квадрат> на Я/ больше <квадрата> на IE (предложение 14 книги V). Пусть <[<вадрату) иа Я/ равны будут <вмесге взятые квадраты) на £/, G; значит, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, что как ЛВ [С ВС, так и <квадрат> иа /Я к <квадрату> на G. Но ЛВ имеет к ВС отношение, как квадратное число к квадра гному числу, значит, и <квадрат> на /Я к ■(квадрату) на G имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу. Значит, /Я будет соизмерима с G линейно (предложение 9), так что /Я в квадратах больше IE иа <квадраг> на соизмеримой с собой <прямой). И /Я, /Е будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и Е[ — меньшая рациоиаль — будет линейно соизмерима с отложенной рациональной <прямой) Д , Значит, ЕЙ будет второй биномиалью (определения вторые, 2), что и требовалось доказать. Предложение 50 Найти третью биномиаль (черт. 57). Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное из них АВ имело к ВС отношение, как квадратное число к квадратному числу, к АС же не имело бы отношения, как квадратное число >. С * к квадратному числу. Отложим же и какое-нибудь дру- ^' ' *'' ' ^' ' гое, не квадратное число Д I— п ь и пусть оно к каждому из ВА, АС не имеет отношения, как квадратное число к квадратному числу; и отложим какую-нибудь рациональную прямую Е, и сделаем, чтобы как D к АВ, так был бы и <квадрат) иа Е к <квадрату> на /Я (предложение 6, следствие); значит, <квадрат) на Е соизмерим с ^квадратом) иа /Я (предложение 6). И Е рациональна; значит, рациональной будет и /Я. И поскольку D не имеет к АВ отношения, как квадратное число к квадратному числу, то и <квадрат) иа Е ие имеет к <квадрату) на /Я отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, Е несоизмерима будет с [И линейно (пред- Черт. 57,
.КНИГА ДЕСЯТАЯ ложение 9). Вот сделаем затем, чтобы как число ВА к АС, так был бы и <квадрат> на Hi к <квадрату> на HG (предложение 6. следствие); значит, <квадрат> на /Я будет соизмерим с <квадратом> на НО (предложение 6). Но /Я рациональна; рациональна, значит, и HG. И поскольку ВА не имеет к АС отношения, как квадратное число к квадратному числу, то и <квадрат> иа /Я не имеет к <квад- рату> на GH отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, /Я несоизмерима будет с HG линейно (предложение 9). Значит, /Я, HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прячыми>; значит, /G будет биномиалыо (предложение 36). Вот я утверждаю, что и третьей. Действительно, поскольку будет, что как D к АВ. так и <квадрат> на £ к <квадрату> на /Я, как же ВА к АС, так и <квадрат> на /Я к <квадрату> на HG, значит, «по равенству» (предложение 22 книги V) будет, что как D к ЛС, так и <квадрат> на Е к <квадрату> на HG. Но D не имеет к АС отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, н <квадрат> на Е не имеет к <квад- рату> на HG отношения, как квадратное число к квадрат- лому числу; значит, Е будет несоизмерима с HG линейно (предложение 9). И поскольку будет, чго как ВА к АС, так и <квадрат> на /Я к <квадрату> на НО, то значит, <квадрат> на /Н больше, чем <квадрат> на НО (предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> на /Н будут равны <вмссте взятые квадраты) на HG, К; значит, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), [будет], что как АВ к ВС, так и <квадрат> на IH к <квадрату> на К. Но АВ имеет к ВС отношение, как квадратное число к квадратному числу; и значит, <квадрат> на /Я к <квадрату> на К имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит JH [будет] соизмеримо с К линейно. Значит, IH в квадратах больше HG на <квад- рат> на с собой соизмеримой <прямой>. И IH, HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми>, и никакая из них не будет соизмерима с Е линейно. Значит, Ю будет третьей бнномиалью (определения вторые, 3), что и требовалось доказать. 11 Евклид
162 ЦАЧАЛАТЕВКЛИДА Предложение 51 Найти четвёртую биномиаль (черт. 58). Отложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело ни к ВС, ни также к АС отношения, как квадратное число к квадратному числу (предложение 28, лемма). И отложим рациональную <лряиую> D, и пусть EI будет линейно соизмерима с D\ значит, и EI будет рациональной. И сделаем, чтобы как число ВА к АС, так был бы <квад- рат> на El к <квадрату> на IH (предложение 6, „ следствие); значит, <квадрат> на El будет соизмерим с <квадратом> на IH (предложение 6)j . р знлчит, рациональной будет и /Н. И поскольку "' ВА не имеет к АС отношения, как квадратное 1 число к квадратному числу, то и <квадрат> на !,' н El не имеет к <квадрату> на 1Н отношения, как квадратное число к квадратному числу;зна- Черт. 58 чит' Ei несоизмерима будет с 1Н линейно {предложение 9), Значит, EI, IH будут рациональными, соизмеримыми только в степени прямыми; значит, ЕН будет биномиалыо (предложение 36). Bit я утверждаю, что и четвёртой. Действительно, поскольку будет, что как ВА к АС, так и <квадрат> на El к <квадрату> на IH [ВА же больше чем ACJ, то значит, <квадрат> на EI больше <квадрата> на 1Н {предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> на El равны будут <вместе взятые квадраты) на IH, G; значит , «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), как число АВ к ВС, так и <квадрат> иа El к <квадрату> на G. Но АВ ие имеет к ВС отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на El ие будет иметь к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к квадратному числу. Значит, EI будет линейно несоизмерима с G (предложение 9); значит, El в квадратах будет больше HI на <квадрат> иа несоизмеримой с собой <прямой>. И EI, IH будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямьши>, и EI соизмерима линейно с D. Значит, ЕН будет четвёртой биномиалью (определения вторые, 4), что и требовалось доказать.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 163 Предложение 52 Найти пятую биномиаль (черт. 59). Отложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело к каждому из них отношения, как квадратное число к квадратному числу (предложение 28, лемма), и отложим какую-нибудь рациональную прямую D, н пусть EI будет соизмерима [линейно] с £>; значит, EI будет рациональной. И сделаем, чтобы как СА к АВ, так был бы <квадрат> на EI к <квадрату> на IH (предложение 6, следствие). Но СА не имеет к АВ отношения, как квадрат- ное число к квадратному числу; значит, и <квадра1> иа EI не имеет <к квадрагу> на IH s отношения, как квадратное число к квадратному числу. Значит, EI, IH будут рациональ- . с 1 ными, соизмеримыми только в степени <пря- мыми> (предложение 9); значит, ЕН будет биномиалью (предложение 36). Вот я утверждаю, что и пятой. Действительно, поскольку будет, что как Черт. 59. С А к АВ, так и <квадраг> на EI к <квадрату> на IH, то, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как ЗА к АС, так и <квадраг> па IH к <квадрагу> на IE; значит, <квадрат> на HI больше <квадрата> иа IE (предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> иа HI будут равны <вместе взятые квадраты> на EI, G; значит, еперево- рачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, что как число АВ к ВС, так и <квадрат> иа HI к <квадрату> на G. Но АВ не имеет к ВС отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на IH не имеет к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к квадратному числу. Значит, IH несоизмерима с G линейно (предложение 9); так что IH в квадратах больше IE на <квадрат> на несоизмеримой с собой <прямой>. И HI, IE будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прлмьши>, и меньшая рациональ EI будет линейно соизмерима с отложенной рациональной <прямой> D. Значит, ЕН будет пятой бииомиалью (определения вторые, 5),что и требовалось доказать. 11*
'64 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 53 Найти шестую биномиаль (черт. 60), Огложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело к каждому из них отношения, как квадратное число к квадратному числу (предложение 28, лемма); пусть же будет и другое число D, не являющееся квадратом и не имеющее к каждому из АВ, ВС отношения, как квадратное число к квадратному числу; и отложим некоторую ра- '' Т Т циональпую прямую Е, и сделаем, чтобы как D р £ к АВ, так и < квадрат > на Е к < квадрату > на 1 ///(предложение 6, следствие); значит,<; квадрат > .£ I иа £ соизмерим с < квадратом > на IH (предложение 6). И Е рациональна; рациональна, зна- 1чиг, и /И. И поскольку D не имеет к А В отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и < квадрат > на Е не имеет к -S < квадрату > на /// отношения, как квадрашое Черт 60 число к квадратному числу; значит, Е будет линейно несоизмерима с /// (предложение 9). Вот сделаем затем, чтобы как ВА к АС, так и < квадрат > на [И к < квадрату > на HG (предложение 6, следствие). Значит, <квадраг> на /// соизмерим с <квадратом> иа HG (предложение 6). Значит, < квадрат > на GH рационален; рациональна, значит, и GH. И поскольку ВА не имеет к АС отношения, как квадратное число к квадратному числу, то и <квадрат> иа /// пе имеет к <квадрагу> на HG отношения, как квадратное число к квадрагному числу; значит, /// будет линейно несоизмерима с HG (предложение 9). Значит, ///, HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми>; значит, /G будет биномиалью. Вот следует доказать, что и шестой. Действительно, поскольку будет, что как D к АВ, так и < квадрат> на Е к < квадрату > иа ///, будет также, что и как ВА к АС, так и <квадрат> на /// к <квадра'[у> на //G, то значит, «по равенству» (предложение 22 книги V) будет, что как D к АС, так и < квадрат > па Е к < квадрату > на HG. Но D не имеет к АС отношения, как квадратное число к квадратному числу; также, значит, и <квад-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 165 рат > на Е не имеет к < квадрату> иа НО отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, Е будет линейно несоизмерима с НО (предложение 9). Доказана же, что она несоизмерима и с IH; значит каждая из Ш, НО будет линейно несоизмерима с Я. И поскольку будет, что как ВА к АС, так и < квадрат> ил Шк < квадрату > па HG, то значит, < квадрат > на IH больше < квадрата > на HG (предложение 14 книги V). Пусть теперь < квадрату > на /И равны будут < вместе взятые квадраты> на НО, К; значит, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), как АВ к ВС, так и <квадрат> на IH к < квадрату > на К- Но АВ не имеет к ВС отношения, как квадратное число к квадратному числу; так что и < квадрат > на IH ие имеет к < квадрату > на К" отношения, как квадратное число к квадратному числу. Зиачиг, IH будет линейно несоизмерима с К. (предложение 9); значит, IH в квадратах больше HG на < квадрат > на несоизмеримой с собой < прямой >. И IH, HG будуг рациональными, соизмеримыми только в степени < прямыми >, и ни одиа из них ие будет линейно соизмерима с отложенной рациональной < прямой > Е. Значит, Ю будет шестой бицомиалью (определения вторые, 6), что и требовалось доказать. Лемма (47) Пусть будут два квацрата АВ, ВС, и поместим их так, чтобы DB была по прямой с BE; значит, и IB будет по прямой с ВИ. И дополним параллелограмм АС; я утверждаю, что АС будет квадра- tft—= 1 ,[, том, и что DH будет средней пропорциональной для АВ, ВС, и ещё что DC будет О — —Е средней пропорциональной для АС, СВ (черт. 61). Действительно, поскольку DB равна .' I -, iff BI, BE же <равна> ВИ, то значит, вся ! DE будет равча всей IH. Но DE равна Черт, 61. каждой из АО, КС, a IH равна каждой из АК, GC (предложение 34 книги 1); и значит, каждая из AG, КС равна каждой из АК, ОС. Значит, парачлело-
166 НАЧАЛА ЕВКЛИДА грамм АС будет равносторонним; он же и прямоугольный; значит, АС будет квадратом. И поскольку будет, что как IB к ВН, так и DB к BE, но как /В к ВН, так и АВ к DH, как же DB к BE, так и DH к ВС (предложение 1 книги VI), и значит, как АВ к £>//, так и DH к ВС Значит, для АВ, ВС средней пропорциональной будет DH. Вог я утверждаю, что и для АС, СВ средней пропорциональной [будет] DC. Действительно, поскольку будет, что как AD к DK, так и КН к НС; ибо каждая равна [будет] каждой; и, «присоединяя» (предложение 18 книги V), как АК к f(D, так и КС к СН, но как АК к KD, так и АС к CD, как же КС к СН, так и DC к СВ, и значит, как АС к ОС, так и DC к ВС Значит, для АС, СВ средней пропорциональной будет DC; это и предложено было доказать *). Предложение 54 Если площадь заключается между рациональной (прямой'} и первой биномиалыо, то квадрарующая эту площадь будет иррациональной, так называемой биномиалью. Пусть площадь АС заключается между рациональной <прячой> АВ и первой биномиалыо AD; я утверждаю, что квадрирующая площадь АС будет иррациональной, так называемой биномиалью (черт. 62). Действительно, поскольку AD есть первая бшгомиаль, то разделим сё в £ на рационали, и пусть большая рациональ будет АЕ. Ясно вот, что АЕ, ED будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и что АЕ в квадратах будет больше ED на <квадрат> на соизмеримой с собой <лрямой>, и АЕ линейно соизмерима с отложенной рациональной <лрямой> АВ (определения вторые, 1). Разделим вот ED пополам в точке /. И поскольку АЕ в квадратах *) Необычная форма заключения (а jtfos*a-o Ssi^at вместо fksp ihi Ssi'sii), a также тот факт, что первая часть этой леммы, равносильная пропорции х2:ху = ху.у2, по существу уже была доказана в предложении 11 книги VIII, заставляют сомневаться в подлинности этой леммы (Heath).
КНИГЛ ДЕСЯТАЯ / D G L С Р больше ED на <квадрат> на соизмеримой с собой, то значит, если к ббльшей АЕ приложить с недостатком в виде квадрата <площадь>, равную четвёртой части <квадрата> на меньшей, то-есть <квадрату> на El, то она разделит её па соизмеримые <части>. Приложим теперь к АЕ равный <;квадрату> на El <прямоугольник> между АН, НЕ; значит, АН соизмерима будет с ЕН линейно, И проведём из Н, Е, Т параллельно каждой из АВ, CD <прямые> HG, EK, IL\ и построим равный <параллелограмму> AG квадрат SN, <параллелограмму> же НК равный <квадрат> NP (предложение 14 книги II), и расположим так, чтобы MN была по прямой с NX; значит, и RN будет по прямой с N0. И дополним параллелограмм SP; значит, SP будет квадратом (см. лемму), И поскольку <лрямоугольник> между АН, НЕ равен <квадрату> на EI, то значит, будет, что как АН к El, так и IE к ЕН (предложение 17 книги VI); и значит, как AG к EL, <так и> EL к Д77 (предложение 1 книги VI); значит, EL будет средним пропорциональным для AG, НК. Но AG равен будет SN, ШГже равен NP; значит, EL будет средним пропорциональным для SN, NP. Также и MR будет средним пропорциональным тех же самых SN, NP (см, лемму); значит, EL равен будет MR; так что он равен будет и ОХ (предложение 43 книги I). Также и AG, НК <вместе> равны будут SN, NP; значит, весь АС равен будет всему SP, то-есть <квадрату> на MX; значит, <прямая> MX будет квадрировать АС. Я утверждаю, что MX будет биномиалью. Действительно, поскольку АН соизмерима с НЕ, то и АЕ будет соизмеримой с каждой из АНу НЕ (предложение 15). Предполагается же и АЕ соизмеримой с АВ; значил, н АН, НЕ будут соизмеримы с АВ (предложение 12). И АВ рациональна; рациональной, значит, будет и каждая из АН, НЕ (предложение 14); рациональным, значит, будет и каждый из AG, НК (предложение 19), и AG будет V .! N 1 Черт. 62,
НАЧАЛА ЕВКЛИДА соизмерим с ИК. Но AG равен SN, ИК же NP; и значит, SN, NP, то-есть <квадраты> на МЫ, NX, будут рациональны и соизмеримы. И поскольку АЕ несоизмерима с ED линейно, но АЕ соизмерима с АН, DE же соизмерима с EI, то значит, и АН несоизмерима с El (предложение 13); так что и AG будет несоизмерима с EL (предложение \ книги VI; предложение 11 книги X). Но AG равен SN, EL же MR; значит, и SN будет несоизмерим с MR. Но как SN к MR, <так и прямая> ON к NR (предложение 1 книги VI); значит, ON будет несоизмерима с NR (предложение 11). Но ON равна MN, NR же NX; значит, MN несоизмерима будет с NX. И <квадрат> на МЫ соизмерим с <квадратом> на NX, и каждый рационален; значит, А1Ы, NX будут рациональными, соизмеримыми только в степени. Значит, MX будет биномиалыо (предложение 36) и квадрирует АС, что и требовалось доказать. Л N Е ! D Предложение 55 Если площадь заключается, между рациональной <Лря- мойу и второй баномиалью, то квадрирующая эту площадь будет иррациональной, так называемой первой бимедиалью. Пусть площадь ABCD заключается между рациональной <прямой> АВ и второй биномиалыо AD; я утверждаю, что квадрирующая площадь АС будет первой бимедиалью (черт. 63). Действительно, поскольку AD есть вторая биномиаль, то разделим её в Е на рационали так, чтобы АЕ была большей рациональю; значит, АЕ, ED будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и АЕ в квадратах более ED на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой>, и меньшая рацио- наль ED будет линейно соизмерима с АВ (определения вторые, 2). Разделим ED пополам в / и к АЕ при- it t 1 N ( ь Р X S Черт. 63.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 169 ложим с недостатком в виде квадрата равный <квад- рату> на EI <прямоугольник) АНЕ*)\ значит, АН будет линейно соизмерима с НЕ (предложение 17). И через Н, Е, I параллельно АВ, CD проведём HG, ЕК, И, и построим равный параллелограмму AG квадрат SN, Параллелограмму) же ИК равный квадрат NP, и расположим так, чтобы MN была по прямой с НХ\ значит, и RN [будет] по прямой с N0. И дополним квадрат SP; тогда ясно из доказанного выше (предложение 53, лемма), чго MR будет средним пропорциональным для SN, NP и равным EL и что MX квадрирует площадь АС. Вот следует доказать, чго MX будет первой бимедиалыо. Поскольку АЕ линейно несоизмерима с ED, ED же соизмерима с АВ, то значит, и АЕ несоизмерима с АВ (предложение 13). И поскольку АН соизмерима с ЕН, то и АЕ б^дет соизмеримой с каждой из АН, НЕ (предложение 15). Но АЕ линейно несоизмерима с АВ; и значит, АН, НЕ будут несоизмеримы с АВ (предложение 13). Значит, BAt АН, НЕ будут рациональными соизмеримыми только в степени; так что каждая из <пло- щадей) AG, HK будет медиальной (предложение 21). Так что и каждый из SN, NP будет медиальным. И значит, MN, NX будут медиаля\ш. И поскольку АН линейно соизмерима с НЕ, то и <площадь> AG будет соизмерима с НК, то-есть SN с NP, то-есть <квадрат) на М\г с <квад- ратом) на NX (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X) [гак чго MN, NX будут соизмеримыми в степени]. И поскольку АЕ линейно несоизмерима с ED, ио АЕ соизмерима с АН, ED же соизмерима с EI, то значит, АН несоизмерима с Ef (предложение 13), так что и AG несоизмерима будет с EL, то-есть SN с MR, то-есть <прямая> ON с NR, то-есть MN будет линейно несоизмерима с NX (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). Доказано же, что MN, NX являются и медиалямн, и соизмеримыми в степени; значит, MN, NX будут медналями, соизмеримыми только в степени. Вот я утверждаю, что они и заключают рациональную <ллощадь>. Действительно, поскольку DE предполагается соизмеримой с каждой из *) Т. е. произведение прямых АН-НЕ.
170 НАЧАЛА ЕВКЛИДА НЕ] V АВ, EI, то значит, и EI соизмерима с ЕК. И каждая из них рациональна; рациональна, значит, н <ллощадь> EL, то-есть MR (предложение 19); MR же есть <прямоуголь- ннк> между MN, NX. Если же составляются две соизмеримые только в степени медиалн, заключающие рациональную <площадъ>, то целая будет иррациональной, называется же первой бимедиалью (предложение 37). Значит, ЖА'будет первой бнмедиалью, что и требовалось доказать. Предложение 56 Если площадь заключается между рациональной (прямой'} и третьей биномиалью, то /свадрирующая эту площадь будет иррациональной, так называемой второй бимедиалью. Пусть площадь ABCD заключается между рациональной <прямой> АВ и третьей биномиалью AD, разделённой в Е рацчоналн, из которых большей будет АЕ; я утверждаю, что квадри- рующая площадь АС будет иррациональной, так называемой второй бимедиалью (черт. 64). Действительно, произведём те же самые построения, что и раньше. И поскольку AD третья бнномиаль, то значит, АЕ, ED будут рациональными, соизмеримыми только в степе- пи, и АЕ в квадратах более ED на <квадрат> на соизмеримой с собой, и никакая из АЕ, ED не [будет] соизмеримой с АВ линейно (определения вторые, 3). Тогда, подобно вышедоказанному, покажем, что MX будет квадрирующей площчдь АС и чго MN, NX будут медиалячи, соизмеримыми только в степени; так что MX будет бимедиалью. Следует вот доказать, чго и второй. [И] поскольку DE несоизмерима линейно с АВ, то-есть с ЕК, DE же соизмерима с El, то значит, EI несоизмерима будет с ЕК линейнт (предложение 13). И они рациональны; G К S N О Черт. 64.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 171 значит, IE, EK будут рациональными, соизмеримыми только в степени. Значит, <площадь> EL, то-есгь MR [будет] медиальной (предложение 21); и она заключается между MN, NX; значит, <прямоугольник> MNX*) будет медиальным. Значит, MX будет второй бимедиалью (предложение 38), чго и требовалось доказать. / В G К Я С Предложение 57 Если площадь заключается между рациональной (прямой} а четвёртой биномиалью, то /свадрирующая эту площадь будет иррациональной, так называемой «большей-». Пусть площадь АС заключается между рациональной <прямой> АВ и четвёртой биномиалью AD, разделённой в £ на рационали, из которых большей пусть будет АЕ; я утверждаю , что квадрирующая площадь АС будет иррациональной так нэзел- ваемой «большей» (черт. 65). Действительно, поскольку AD четвёртая биномиаль, то значит, АЕ, ED будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и АЕ в квадратах более ED на <квадрат> на несоизмеримой с собой, и АЕ [будет] линейно соизмерима с АВ (определения вторые, 4). Разделим DE пополам в / и приложим к АЕ равный <квадрату> на EI параллелограмм, что между АН, НЕ; значит, АН будет линейно несоизмерима с НЕ (предложение 18). Параллельно АВ проведём HG, EK, U- и сделаем остальное то же самое, чго пред этим; тогда ясно, что квадрирующей площадь АС будет MX. Следует вот доказать, чго MX будет иррациональной, так называемой «ббльшей». Поскольку А, I несоизмерима с ЕЙ линейно, то и <площадь> AG будет несоизмерима с Нк, то-есть SN с ЫР (предложение 1 N S О Черт. 65. *) То-есть MN-NX.
172 НАЧАЛА ЕВКЛИДА книги VI; предложение 11 книги X); значит, МЫ, NX будут несоизмеримы в степени. И поскольку АЕ соизмерима с АВ линейно, то АК будет рациональной <пло- щадыо> (предложение 19); и она равна <вместс взятым квадратам) на ЛШ, NX; значит, рациональным буде г н составленное из <квадратов) на MN, NX. И поскольку DE [будет] несоизмеримой линейно с АВ, то-есть с ЕК (предложение 13), но DE будет соизмерима с El, то значит, EI будет несоизмерима с ЕК линейно (предложение 13). Значит, ЕК. EI будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, <площадь) LE, то-есть MR, медиальнз (предложение 21). И заключается она между МЫ, NX; значит, (прямоугольник) между МЫ, NX будет медиальным. И [составленное] из <квадратов> на МЫ, NX рацио- нально, и MN, NX будут несоизмеримыми в степени. Если же составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие составленное из квадратов на них рациональным, -(прямоугольник) же между ними медиальным, то целая (прямая) будет иррациональной, называется же «большей» (предложение 39), Значит, MX будет иррациональной, так называемой «большей», и квадрирует площадь АС, что и требовалось доказать. Предложение 58 Если площадь заключается между рациональной (прч- моиу и пятой биномиалыо, то ктдрирующая эту площадь будет иррациональной, mate называемой рационально и медиально квадрирующей. Пусть площадь АС заключается между рациональной <прямой> АВ н пятой биномиалыо АО, разделённой в Е на рационалн так, чтобы большей была АЕ; я утверждаю [тогда], что квадрнрующая площадь АС будет иррациональной, так называемой рационально и медиально киадрирую- щей (черт. 66). Действительно, произведём те же самые (построения), что и в доказанных выше; тогда ясно, что квадрирующей площадь АС будет MX. Следует вот доказать, что MX будет рационально и медиально квадрирующей. Действи-
книга 'десятая 173 й н в м f 1 i h L R // Р О тельно, поскольку АН несоизмерима с НЕ (предложение 18), то значит, и <площадь> AG будет несоизмерима с GE, то-есть <квадрат> на MN с <квадратом> на NX (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит, МЫ, NX будут несоизмеримыми в степени. И поскольку AD есть пятая бнномиаль, и меньшим её отрезком [б^дет] ED, то значит, ED линейно соизмерима с АВ (определения вторые, 5). Но — АЕ несоизмерима с ED; и значит, АВ будет линейно несоизмерима с АЕ (предложение 13) [ВА, АЕ будут рациональными, соизмеримыми только в степени]; значит, <площадь> АК, то-есть составленное из <квадратов> на AIN, NX будет медиальным (предложение 21). И поскольку DE будет линейно соизмерима с АВ, то- есть с Я/С, но DE соизмерима с El, значит, и £7 будет соизмерима с ЕК (предложение 12). И ЕК рациональна; рациональна, значит, и <площадь> EL, то-есть MR, то- ссть <прямоугольник) MNX*) (предложение 19); значит, MN, NX будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальным, (прямоугольник) же между ними рациональным. Значит, MX будет рационально и медиально квадрил рующей (предложение 50) и квадрирует площадь АС, что и требовалось доказать. 0 Черт. 66. Предложение 59 Если площадь заключается между рациональной (пря~ мойу и шестой биномиалью, то тадрарующая эту площадь будет иррациональной, так называемой бимедиалъно гсвадрирующей. Пусть площадь ABCD заключается между рациональной <прямой> АВ и шестой биномиалью AD, разделённой в Е на рациоцали, так, чтобы большей рациональю была *) Произведение MN-NX*
174 НАЧАЛА ЕВКЛИДА я / в м .г i F ! В К L fi N Р О Черт. 67. АЕ\ я утверждаю, что квадрнрующая АС будет бнмеди- ально квадрнрующей (черт. 67). [Действительно], произведём те же самые, что н в выше- доказанных, ^построения). Тогда ясно, что квадрнрующей <площадь> АС будет MX, н что MN будет несоизмерима в степени с NX. И поскольку ЕА будет линейно несоизмерима с АВ (определения вторые, 6), то значит, ЕА, АВ будут рациональными соизмеримыми только в степени; значит, <площадь> АК, то-есть составленное из ■(квадратов) на MN, NX, будет медиальным (предложение 21). Затем, поскольку ED линейно несоизмерима с АВ (определения вторые, 6), то значит, и IE будет несоизмерима с ЕК (предложение 13); значит, IE, EK будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, <площадь> EL, то-есть MR, то-есть -(прямоугольник) MNX*), будет медиальным (предложение 21). И поскольку АЕ несоизмерима с EI, то и <шющадь> АК будет несоизмерима с EL (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). Но АК будет составленным нз <квадратов> на MN, NX, a EL будет <прямоугольннк> MNX; несоизмеримы, значит, будут составленное нз <квадратов> па MN, NX н <ирямоуголь- ннк> MNX. И каждое нз них будет медиальным, и MN, NX будут несоизмеримыми в степени. Значнг, MX будет бимедиально квадрнрующей (предложение 51) и кнадрирует <площадь> АС, что и требовалось доказав. [Лемма (48) Если прямая линия рассечена иа неравные, то квадраты на неравных будут больше дважды прямоугольника, заключающегося между неравными**). *) То-есть MM- NX. **) Гейберг считает эту лемму неподлинной, поскольку Евклнл уже молчаливо использовал её при доказательстве предложения 44. Она легко получается из предложения 7 книги П.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 175 Пусть прямая будет АВ; рассечём <её> иа неравные в С, и пусть большей будет АС; я утверждаю, что -(квадраты) на АС, СВ будут больше дважды (прямоугольника) между АС, СВ (черт. 68). Действительно, рассечём АВ пополам в D. Поскольку теперь прямая линия рассечена на равные в D, иа неравные же в С, то значит, (прямоугольник) между АС, СВ вместе с (квадратом) на CD будет равен (квадрату) иа AD (предложение 5 кичгн II); так что (прямоугольник) между АС, СВ будет меньше (квадрата) на AD; значит, дважды (прямоугольник) между АС, СВ Черт. 68. будет меньше удвоенного (квадрата) на AD. Но (вместе взятые квадраты) на АС, СВ вдвое больше [будут] (квадратов) на AD, DC (предложение 9 кннгн II); [значит, (квадраты) на АС, СВ будут больше дважды (прямоугольника) между АС, СВ, что и требовалось доказать]. Предложение 60 -(Квадрату на биномиали, приложенный к рациональной кпрямойу, образует шириной первую биномиаль. Пусть будет биномиаль АВ, рассечённая в С на рацио- налн так, чтобы большей ращюналью была АС; отложим рациональную (прямую) DE, н прн- ,-• — - \ ft—у—¥ ложнм к DE равный (квадрату) на АВ (параллелограмм) DEIH, обра- I зующий ширину DH; я утверждаю, £ £ I х ! что DH будет первой бнночналью Я U В ^ерт. 69). Действительно, приложим к DE Черт. 69. равную (квадрату) иа АС (площадь) DG, <квадрату) же на ВС равную (площадь) KL; остающийся, значит (предложение 4 книги II), дважды (прямоугольник) между АС, СВ равен будет <площади) ML Разделим МН пополам в /V и проведём NX параллельно [каждой из ML, Hf\. Значит, каждый нз МЛ, N1 будет равен один раз (взятому прямоугольнику)
176 НАЧАЛА ЕВКЛИДА ЛСВ*), И поскольку АВ—-биномиаль, рассечённая в С на рационали, то значит, АС, СВ будут рациональными, соизмеримыми только в степени (предложение 36); значит, <квадраты> на АС, СВ будут рациональны и соизмеримы между собой; так что и составленное из <квадратов> на АС, СВ [соизмеримо будет с <квадратами> на АС, СВ (предложение 15); значит, составленное из <квадратов> на АС, СВ будет рациональным]. И равно оно DL; значит, DL будет рациональным, И прилагается он к рациональной DE; значит, DM будет рациональна н соизмерима с DE линейно (предложение 20). Затем, поскольку АС, СВ будут рациональными, соизмеримыми только в степени, то значит, дважды <пряыоугольник> между АС, СВ, то-есть Ml, будет медиальным (предложение 21), И прилагается он к рациональной ML; значит, и ЛШ будет рациональна и линейно несоизмерима с ML, то-есть с DE (предложение 22). Также и MD рациональна и линейно соизмерима с DE; значит, DM будет линейно несоизмерима с МИ (предложение 13). И они рациональны; значит, DM, МИ будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, DH будет биномиалью (предложение 36). Следует вот доказать, что и первой. Поскольку для <квадратов> на АС, СВ средним пропорциональным будет <1фямоугольник> АСВ*) (лемма предложения 21), то значит, н для DG, KL средним пропорциональным будет MX. Значит, будет, чю как DG к MX, так и MX к KL, то-есть (предложение 1 книги VI) как <прямые> DK к MN, <гак и> МЫ к МК, значит, (прямоугольник) между DAT, KM будет равен <квадрату> на МЫ (предложение 17 книги VI). И поскольку <квадрат> на АС соизмерим с <квадратом> на СВ, то и <площадь> DG соизмерима будет с KL; так что и <прямая> DK будет соизмерима с КМ (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И поскольку <вместе взягые квадраты> на АС, СВ больше дважды <прямоугольннка> между АС, СВ (см. лемму), то значит, и <площадь> DL больше Ml; *) То-есть АС-СВ.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 177 так что и <прямая> DM будет больше МИ (предложение 1 книги VI; предложение 14 книги V). И ■(прямоугольник) между DK, КМ будет равен <квадрату> на МЫ, то-есть четверти <квадрата> на МН, и DK соизмерима с КМ, Если же будут две неравные прямые, к большей же приложен с недостатком в виде квадрата <иараллелаграмм>, равный четвёртой части <квадрата> на меньшей, и если он разделяет её на соизмеримые <части>, то в квадратах ббльшая будет больше меньшей на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой> (предложение 17); значит, DM в квадратах будет больше МН на <квадрат> на соизмеримой с собой. И DM, МН суть рациональные <прнмые>, и DM, будучи большей рациональю, соизмерима будет линейно с отложенной рациональной <прямой> DE. Значит, DH будет первой бинэчиалью (определения вторые, 1), что и требовалось доказать. Предложение 61 Квадрат на первой бимедиал'л, приложенный к рациональной -(прямой}, образует шириной вторую биномаалъ. Пусть будет первая бимедиаль АВ, разделённая в С на медиали, из которых большая АС', огложнм рациональную (прямую) DE и приложим к DE равный <квадрату> на АВ паралле- В К №. N И лограмм DI, образующий шири- ну DH; я утверждаю, что DH будет второй бинормалью (черт, 70), I LJ Действительно, произведём те же и L X / самые ^построения), что и выше. ^ С В , И поскольку АВ— первая бимедиаль, ц _п рассечённая в С, то значит, АС, ер1' ' " СВ будут соизмеримые только в степени медиали, заключающие рациональную <площадь> (предложение 37); так что и <квадраты> на АС, СВ буд^т медиальными (предложение 21). Медиальной, значит, будет и <площадь> DL, И прилагается она к рациональной <пря- мой> DE; значит, MD будет рациональна и несоизмерима с DE линейно (предложение 22). Затем, поскольку рацио- ' 2 Евклид
178 НАЧАЛА ЕВКЛИДА нален дважды <прямоугольннк> между АС, СВ, рациональна будет и <площадь> Ml, И прилагается она к рациональной ML; рациональной, значит, [будет] и МН, и линейно соизмеримой с ML, то-есть с DE (предложение 22); значит, DM несоизмерима будет линейно с МН (предложение 13). И они рациональны; значит, DM, МН будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, DH будет бнпомиалью (предложение 36). Следует вот доказать, чго и второй. Действительно, поскольку <вместс взятые квадрагы> на АС, СВ больше дважлы прямоугольника> между АС, СВ, то значит, н <площадь> DL больше AM (предложение 9, лемма); так что и DM <больше> МН. И поскольку <квадрат> на АС соизмерим с <квадратом> на СВ, то и <площадь> DG соизмерима с KL; так что и <прямая) DK будет соизмерима с КМ (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И <црЯ11оугольник> DKM*) равен <квадрату> на MN; значит, DM в квадратах больше МН на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 17). И МН линейно соизмерима с DE. Значит, DH будет второй биномиалыо (определения вторые, 2). Предложение 62 (Квадрату на второй бамедиали, приложенный к рациональной (прямойу, образует шириной третью бино- миаль. Пусть будет вторая бимедиаль АВ, разделённая в С на медиали так, чтобы большим отрезком был АС, пусть же будет какая-нибудь рациональная DE, и приложим к DE равный <квадрату> на АВ параллелограмм DI, образующий ширину DH; я утверждаю, чю DH будет третьей биномиалыо (черт. 71). Действительно, произведём те же самые <построеиия>, что и в вышедоказанных. И поскольку АВ — вторая бимедиаль, разделённая в С, то значит, АС, СВ будут соизмеримые только в степени медиали, заключающие медиальную *) То-есть DK-KM.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 179 <площадь> (предложение 38); так что и составленное из <квадратов> на АС, СВ будет медиальным. И они равны DL; медиальной, значит, будет и (площадь) DL, И прилагается она к рациональной DE; значит, и <прямая> MD будет рациональна и несоизмерима с DE линейно (предложение 22). На том же вот основании и МИ будет рациональной и линейно несоизмеримой с ML, то-есть с DE; значит, каждая из DM, МИ рациональна и линейно иесоизме- ^ к. ';' у Н рима с DE. И поскольку АС линейно несоизмерима с СВ, как же АС к СВ, так и <квадрат> на АС к <прямоутоль- }. \—j j-— нику> АСВ*) (предложение 21, лем- ° 'р ма), то значит, и <квадрат> на АС < 1 несоизмерим с <прямоугольником) АСВ*) (предложение 11). Так что Черт, 71. н составленное из <квадратов> на АС, СВ будет несоизмеримым с дважды <прямоугольником> АСВ*), то-есть <площадь> DL с Ml; так что и <прямая> DM будет несоизмерима с МИ (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И они рациональны; значит, DH будет бнномиалью (предложение 36). Следует [вот] доказать, что н третьей. Подобно вот предыдущему заключаем, что DM будет больше МИя DKсоизмерима с КМ. И <прямоугольник) DKM **) равен <квадрату> на МЫ; еначит, DM в квадратах более МИ на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 17). И никакая из DM, МИ не будет линейно соизмеримой с DE. Значит, DH будет третьей бнномиалью (вторые определения, 3), что н требовалось доказать. Предложение 63 Квадрат на большей {иррациональной}, приложенный }с рациональной {прямой'}, образует шириной четвёртую биномиаль. *) То-есть АС-СВ. **) То-есть DK-KM. 12*
180 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть будет «большая» <иррациональпая> АВ, разделённая в С так, чтобы АС была больше СВ, рациональная же <прямая) DE, и приложим к DE равный <квадрату> на АВ параллели рамм DI, образующий ширину DH; я утверждаю, что DH будет четвертой биномиалью (черт. 72). Произведём те же самые построения, что и в выше доказанных. И поскольку АВ есть «большая» <иррациональная>, разделённая в С, то АС, СВ будут не- /г ,—Z 1 ' соизмеримыми в степени <прямыми>, об- I j I разующими составленное из квадратов на них рациональное, <прямоугольник) / I. , X [ же между ними медиальный (предложе- д , н иие 39). Поскольку теперь составленное i 1 из <квадратов> на АС, СВ рационально, Черт. Т2 то значит, <площадь> DL будет рациональной; рациональна, значит, и <прямая> DM и линейно соизмерима с DE (предложение 20). Затем, поскольку дважды <прямоугольник) между АС, СВ, то-есгь М/} медиален и находится при рациональной ML, то .значит, и МИ будет рациональной н линейно несоизмеримой с DE (предложение 22); значит, и DM будет линейно несоизмерима с МИ (предложение 13). Значит, DM, МИ буду г рациональными, соизмеримыми только в сге- цени <[[рямымц>; значит, DH будет бинзмиалыо (предложение 36). Следует [ног] доказать, что и четвёртой. Подобно вот том\, как выше, докажем, чю DM будет больше МИ и что <прямоугольнпк> DKM*) равен <квад- рату> на A1N. Поскольку теперь <квадрат> на АС несоизмерим с <квадратом> на СВ} то значит, и <площадь> DG несоизмерима с KL; так что и <прямая> DK будет несоизмерима с КМ. Если же будут две неравные прямые и к большей приложен с недостатком в виде квадрача равный четвёртой части <квадрата> на меньшей параллелограмм и если он разделяет её на несоизмеримые <части>, то в квадратах большая будет больше меньшей на <квадрат> на линейно несоизмеримой с собой <прямой> (предложение 18); *) То-есть DK-KM.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 181 значит, DM в квадратах более МНт <кнадрат) на несоизмеримой с собой <пря.мой>. И DM, MH будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми), и DM соизмерима с отложенной рациональной DE, Значит, DH будет четвёртой биномиалью (определения вторые, 4), чго и требовалось доказать. Предложение 64 (Квадрат") на рационально и медиально кеадрирующей, приложенный к рациональной (прямой"), образует шириной пятую биномиаль. Пусть будет рационально и медиально квадрнрующая АВ, разделённая на прямые в С, чак, чтобы АС была большей; отложим рациональную .■(Прямую) DE и приложим к DE р к м N H равный <квадрату> на АВ <параллело- грамм) DI', образующий ширину DH; я утверждаю, что DH будет пятой \ g—7 \— биномиально (черт. 73). „ СИ Произведём те же самые <по- i . ! строения), чго и выше. Поскольку Чсрт 73 теперь АВ есть рационально и. медиально квздрирующая, разделённая' в С, то значит, АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное, прямоугольник) же между ними рациональный (предложение 40). Поскольку теперь составленное из <квадратов) на АС, СВ медиально, то значит, (площадь) DL будет медиальной; так что DM будет рацнонатьной и линейно несоизмеримой с DE (предложение 22). Затем, поскольку рационален дважды <прямоугольник) АСВ *), то-есть Ml, то значит, <прямая) МИ рациональна н соизмерили с DE (предложение 20). Значит. DM несоизмерима с МИ (предложение 13); значит, DM, МН будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, DH будет биномналью (предложение 36). *) То-есть АС- СВ.
'82 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Вот я утверждаю, что и пятой. Действительно, подобным же образом докажется, что (прямоугольнику DKM *) будет равен <квадрату> иа MN и DK несоизмерима с КМ линейно; значит, DM в квадратах более МН на <квадрат> на несоизмеримой с собой (предложение 18). И DM, МН [рациональные] соизмеримые только в степени, и меньшая МН соизмерима с DB линейно. Значит, DH будет лятой биномиалью (определения вторые, 5), что н требовалось доказать. Предложение 65 (Квадрату на бимедиально квадрирующей, приложенный к рациональной (прямойу, образует шириной шестую биномиаль. Пусть будет бимедиально квадрирующая Л#, разделённая в С, рациональная же пусть будет DE, и к DE при- ложнм равный <квадрату> на АВ <па- ' —,—[ 1—1 раллелограмм> £>/, образующий ширину DH; я утверждаю, что DH будет шестой биномиалью (черт. 74). ; pi х i Действительно, произведём те же самые <пос[роения>, чго выше. И по- i -г а скольку АВ будет бимедиально квадри- рующей, разделённой в С, то значит. Черт. 74. АС, СВ буду г несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное и <прямоугольник> между ними медиальный, и ещё составленное из квадратов на них несоизмеримым с <прямоугольником> между ними (предложение 41); так что, согласно вышедоказанному, каждая из <площадей> DL. АН будет медиальной. И они прилагаются к рациональной DB; значит, каждая из <прямых> DM, МН будет рациональной и линейно несоизмеримой с DE (предложение 22). И поскольку составленное из <квадратов> на *) То-есть D%-KM.
КНИГА ДЕСЯТАЯ '83 АС, СВ несоизмеримо с дважды <прямоугольником> между АС, СВ, то значит, и <плошддь> DL несоизмерима с Ml. Значит, и <прямая> DM несоизмерима с МИ (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит, DM, МИ будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, DH будет биномиалью (предложение 36). Вот я утверждаю, что и шестой. Опять во г подобном же образом докажем, что <прямо угольник> DKM*) будет равен <квадрату> на MN и что DK будет линейно несоизмерима с КМ; и вот па том же основании DM в квадратах больше МИ на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно (предложение 18). И никакая из DM, МИ не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной DE. Значит, DH будет шестой биномиалью (определения вторые, 6), что и требовалось доказать. Предложение 66 Линейно соизмеримая с биномиалью и сама будет биномиалью, и той же самой по рангу (49). Пусть будет биномиаль АВ и пусть CD будет линейно соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет биномиалью, и той же самой по рангу, что АВ (черт. 75). Действительна, поскольку АВ биномиаль, то разделим её на рационалив Е, и пусть Добудет большей рациональю; значит, АЕ, ЕВ будут рациональными, соизмеримыми только в степени <цря- Я Е В мыми> (предложение 36). Сделаем (пред- п 10 ложение 12 книги VI), чтобы как АВ V- —»—— ' к CD, так и АЕ к С1\ и значит, оста- це 75 ток £73 буде i к остатку ID, как АВ к CD (книга V, предложения 16 и 19, следствие). Но АВ линейно соизмерима с CD; значит, и Добудет соизмерима с С/, ЕВ же — с ID (предложение 11). И АЕ, ЕВ рациональны; значит, и С/, ID будут рациональны. И [поскольку] будет, что как АЕ к С/, <так п> ЕВ к ID (предложение 11 книги V), *) То-есть Df(-f(M.
/ 184 НАЧАЛА ЕВКЛИДА то значит, «переставляя): (предложение 16 книги V), будет, что как АЕ к ЕВ, <так и> CI к ID. Но АЕ, ЕВ соизмеримы только в степени; значит, и С/, ID будут соизмеримы только в степени (предложение 11). И они рациональны; значит, CD будет биномиалью (предложение 36). Вот я у]верждаю, что по рангу она будет той же самой, что АВ. Действительно, АЕ в квадратах будет больше ЕВ или на <квадрат> на соизмеримой с собой, или на <квадрат> на несоизмеримой. Если теперь АЕ п квадратах больше ЕВ на <квадра']> на соизмеримой с собой, то и С/ в квадратах будет больше ID на <квадрат) на соизмеримой с собой (предложение 14). И если АЕ соизмерима с отложенной рациональной <прямой>, то и CI будет с ней соизмерима (предложение 12), и вследствие этого каждая из АВ, CD будет первой бпномиалью (определения вторые, 1), то-есть той же самой ио рангу. Если же ЕВ соизмерима с отложенной рациональной, то и ID будет с ней соизмерима (предложение 12), и вследствие этого опять будет по рангу той же, что АВ; ибо каждая из них будет второй биномиалью (определения вторые, 2). Если же никакая из АЕ, ЕВ не будет соизмерима с отложенной рациональной, то никакая из С/, ID не будет с ней соизмеримой (предложение 13), и каждая будет третьей (определения вторые, 3). Если же АЕ в квадратах более ЕВ на <квадрат> на несоизмеримой с собой, то н С! в квадра]ах больше ID на (квадрат) на несоизмеримой с собой (ггредложеш/е 14). И если АЕ соизмерима с отложенной рациональной, то и CI будет с ней соизмерима (предложение 12), и каждая будет четвёртой (определения вторые, 4). Если же ЕВ <будет соизмерима), то и ID, и каждая будет пятой (определения вторые,, 5). Если же никакая из АЕ, ЕВ ■(несоизмерима), то и никакая из CI, ID не будет соизмерима с отложенной рациональной, и каждая будет шестой (определения вторые, 6). Таким образом, линейно соизмеримая с биномиалью будет биномиалью, и той же самой по рангу, что и требовалось доказать.
КИИГЛ ДЕСЯТАЯ 185 Предложение 67 Линейно соизмеримая с бимедиалью и сама будет бимедаалыо, и той же самой по рангу. Пусть будет бимедиаль АВ, и пусть CD будет линейно соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет бимедиалью, и той же самой но рангу, что АВ (черт. 76). Действительно, поскольку АВ бимедиаль, то разделим её на медиали в Е; значит, АЕ, ЕВ будут медиалями, соизмеримыми только в степени. И сделаем, чтобы как АВ к CD, <так и> АЕ к CI (предложение 12 книги VI); и значит (книга V, предложения 'f f" f 16 и 19, следствие), остаток ЕВ к остатку ID будет как АВ к CD. Но АВ линейно £ * ^ соизмерима с CD; значит, и каждая из АЕ, ЕВ будет соизмерима с каждой из CI, ID . ЧеРт- 76- (предложение 11). Но АЕ, ЕВ медиали; медиали, значит, и CI, ID (предложение 23). И поскольку будет, что как АЕ к ЕВ, <так и> CI к ID, и АЕ, ЕВ соизмеримы только п степени, то [значит] и CI, ID будут соизмеримы только в степени (предложение 11). Доказано же, что они и медиали; значит, CD будет бимедиалью. Вот я утверждаю, что и по рангу она будет той же самой, что АВ. Действительно, поскольку будет, что как АЕ к ЕВ, <так и> CI к ID, то значит (предложение 21, лемма), и как <квадрат> на АЕ к <прямоуголышку> АЕВ*), так и <квадрат> на CI к <прямоугольнику> CID'MX)', «переставляя» (предложение 16 книги V), как <квадрат> на АЕ к <квадрату> на Cl, так и <ирямоугольник> АЕВ*) к <прямоугольиику> CID**). <Квадрат> же на АЕ соизмерим с <квадратом> на CI; значит, и <нрямоутольннк> АЕВ*) соизмерим с <прямоугольником> CID**) {предложение П). Если теперь <прямоугольник> АЕВ*) рационален, то и <прямоугольник> CID**) будет рационален [и вследствие *\ То-есть АЕ'НВ. **) То-есть С/-ID,
г i / 186 НАЧАЛА ЕВКЛИДА этого будет первая бимедяаль]. Если же медиален <пер- вый>, то медиален <и вгорой> (предложение 23, следствие) и каждая будет второй <бимедиалью> (предложения 37,38). W вследствие этого CD будет той же самой по рангу, что и АВ, что и требовалось доказать. Предложение 68 Соизмеримая с < большей» иррациональной и сама будет «большей-». Пусть будет «большая» <иррациональная> АВ, и пусть CD будет соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет «большей» <иррациональной> (черт. 77). Разделим АВ в Е; значит, АЕ, ЕВ будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них рациональное, произведение же из них Т медиальное (предложение 39); и сделаем то же самое, что и выше. И поскольку будет, что как АВ к CD, так и АЕ к CI, и ЕВ к ID, и зна- [■- чит, как АЕ к CI, так и ЕВ к ID (предложс- # ние И книги V). Но АВ соизмерима с CD; я* значит, и каждая из АЕ, ЕВ соизмерима с ка- Черт. 77. ждой из CI, ID (предложение И). И поскольку будет, что как АЕ к CI, так и ЕВ к ID, и «переста- вляя» (предложение 16 книги V), как АЕ к ЕВ, так и CI к ID, и значит, «присоединяя» (предложение 18 книги V), будет, что как АВ к BE, так и CD к DI; и значит, как <квадрат> иа АВ к <квадрату> на BE, так и <квадрат> на CD к <квадрату> на Ы (предложение 20 книги VI). Подобным вот образом докажем, что и как <квадрат> на АВ к квадрату на АЕ, так и<квадрат> иаСОк <квадрату> на CI. И значит, как <квадрат> на АВ к <вмесге взятым квадратам) на АЕ, ЕВ, так и <квадрат> на CD к <квадратам> на С/, ID; и «переставляя» (предложение 16 книги V), значит, будет, что как <квадрат> иа АВ к < квадрату> иа CD, так и <квадраты> на АЕ, ЕВ к <квадратам> на CI, ID. <Квадрат>же на ЛИ соизмерим с <квадратом) на CD; значит, и <квадраты>на АЕ, ЕВ соизмеримы с <квадратами> на С/, ID (предло-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 187 жение 11). И <квадраты> на АЕ, ЕВ вместе будут рациональны, <значит>, и <квадраты> на CI, ID вместе будут рациональны. Подобным же образом и дважды •(прямоугольник) между АЕ, ЕВ будет соизмерим с дважды <прямоугольником> между CI, ID. И дважды прямоугольник) между АЕ, ЕВ медиален; медиален, значит, и дважды <прямоугольник> между CI, ID (предложение 23, следствие). Значит, CI, ID будут несоизмеримыми в степени (предложение 13), образующими составленное из квадратов иа них вместе рациональное, дважды же <прямоуголь- ник> между ними медиальный; значит, вся CD будет иррациональной, так называемой «большей» (предложение 39). Итак, соизмеримая с «большей» будет «большей», что и требовалось доказать. Предложение 69 Соизмеримая с рационально и медиально квадрирующей [и сама] будет рационально а медиально квадрирующей. Пусть будет рационально и медиально квадрирующая АВ, и пусть CD будет соизмерима с АВ; еле- ^ - лует доказать, что и CD будет рационально и медиально квадрирующей (черт. 78). Разделим АВ на прямые в Е; значит, АЕ. [ ЕВ будут несоизмеримыми в степени, образую- Е ш,им[1 составленное из квадратов на них меди- альиое, <прямоугольник> же между ними рацио- ^ иальный (предложение 40); и устроим го же Черт. 78. самое, что и раньше. Вот подобным же образом докажем, что н С/, ID будут несоизмеримыми в степени, и составленное из <квадратов> на АЕ, ЕВ соизмеримо с составленным из <квадратов> на CI, ID, <прямоугольиик> же между АЕ, ЕВ <соизмерим> с <прямоугольником> между CI, ID; так что и составленное из квадратов на CI, ID будет медиальным, <прямоугольннк> же между CI, ID — рациональным. Значит, CD будет рационально и медиально квадрирующей, что и требовалось доказать.
loo НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 70 Соизмеримая с бимедиально квадрирующей будет би- медиально квадрирующей. Пусть будет бимедиально квадрирующая АВ, и CD соизмерима с АВ; следует доказать, что и CD будет бимедиально квадрирующей (черт. 79). Действительно, поскольку АВ бимедиально квадрирующая, то разделим её на прямые в Е; значит, АЕ, ЕВ д ц будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из [квадратов] на них медиальное, и <прямоугольник> между ними медиальный, и ■ ■/ ещё составленное из квадратов на АЕ, ЕВ иесо- Е" измеримое с .(прямоугольником) между АЕ, ЕВ (предложение 41); и устроим тоже самое, что и „ 7д раньше. Вот подобным же образом докажем, что и CI, ID будут несоизмеримы в степени, и составленное из <квадратов> на АЕ, ЕВ соизмеримо с составленным из <квадратов> на С/, /D, •(прямоугольник) же между АЕ, ЕВ .(соизмерим) с <прямоуголь- ником> между CI, ID; так что и составленное из квадратов на CI, ID будет медиально и <прямоугольник) между С/, ID медиален, и ещё составленное из квадратов на С/, ID несоизмеримо с .(прямоугольником) между С/, ID. Значит, CD будет бимедиально квадрирующей, что и требовалось доказать. Предложение 71 При соединении рационального и медиального возникают четыре иррациональных — или биномналь, или первая би- медиаль, или ъбдльшая» ■(иррациональная'}, или рационально и медиально квадрирующая (50). Пусть рациональное будет <плопгадь) АВ, медиальное же CD; я утверждаю, что квадрирующая площадь., AD будет или биномналью, или первой бнмедиалью, или «ббль- шей» -(иррациональной), или рационально и медиально квадрирующей (черт. 80).
КНИГА ДЕСЯТАЯ 189 Действительно, АВ будет или больше, или меньше CD. Пусть она сначала будет больше; и отложим рациональную El, и приложим к El равную АВ <площадь> ЕН, образующую ширину EG; приложим к El и равную DC ■(площадь > GJ, образующую ширину GK. И поскольку <пло- щадъ> АВ рациональна и равна ЕН, то рациональной будет и ЕН. И она прилагается к [рациональной] El, образуя ширину EG, значит, EG будет рациональна и соизмерима с El линейно (предложение 20). Затем, поскольку CD медиальна и равна GJ, то значит, медиальной будет н GJ. И она прилагается к рациональной El, образуя ширину GK; значит, GK будет | -■—■ . 1 '■ рациональна и несоизмерима с El линейно (предложение 22). И поскольку CD медиальна, АВ же рациональна, то значит, АВ будет I \ несоизмерима с CD; так что п ЕН I ИЗ будет несоизмерима с GJ. Как же g /j <площадь> ЕН к GJ, так будет н ц 8Q <прямая> EG к GK (предложение 1 кннгн VI); значит, и EG будет несоизмерима с GK линейно (предложение 11). И обе они рациональны; значит, EG, GK будут рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми); значит, ЕК будет бицомналыо, разделенной в G (предложение 36). И поскольку <площадь> АВ больше CD и АВ равна ЕН, CD же GJ, то значит, и ЕН больше GJ\ и 3nd- чит, EG будет больше GK (предложение 14 книги V). Теперь EG в квадратах больше GK или на <квадрат> на соизмеримой с собой линейно, пли на <квадрат> на несоизмеримой. Пусть сначала будет в квадратах больше на <квадрат> на соизмеримой; н большая GE будет соизмерима с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет первой бнномиалью (определения вторые, 1). Но El рациональна; ес;[И же площадь заключается между рациональной и первой биномиалью, то квадрнрующая эту площадь будет бнномиалью (предложение 54). Значит, квадрирующая <пло- щадь> EJ будет биномиалью; так что и квадрирующая ■(площадь > AD будет биномиалью. Но вот пусть EG будет
190 НАЧАЛА ЕВКЛИДА в квадратах больше GK на <квадрат> на несоизмеримой с собой; и большая EG будет соизмерима линейно с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет четвёртой биномиалыо (определения вторые, 4). Но EI рациональна; если же площадь заключается между рациональной н четвёртой биномиалыо, то квадрирующая эту площадь будет иррациональная, так называемая «большая» (предложение 57). Значит, квадрирующая площадь EJ будет «большей», так что н квадрирующая AD будет «большей:». Но вот пусть АВ будет меньше CD; и значит, ЕН будет меньше GJ (черт. 81); так что и <прямая> EG будет меньше GK (предложение 1 книги VI; ■—г j предложение 14 книги V). В квадратах же GK будет больше EG или на ■(квадрат) на соизмеримой с собой, или же g л на <квадрат> на несоизмеримой. Пусть сперва в квадратах она будет больше Е\ 1/ иа <квадрат> на соизмеримой с собой д = // линейно; и меньшая EG будет линейно 1/\ ь соизмерима с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет второй бино- рт, * миалью (определения вторые, 2). Но El рациональна; если же площадь заключается между рациональной и второй биномиалыо, то квадрирующая эту площадь будет первой бимедиалью (предложение 55). Значит, квадрирующая площадь EJ будет первой бимедиалью; так что и квадрирующая AD будет цервой бимедиалью. Но вот пусть GK в квадратах будет больше GEna <квадрат> иа несоизмеримой с собой. И меньшая EG будет соизмерима с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет пятой биномиалыо (определения вторые, 5). Но El рациональна; если же площадь заключается между рациональной и пятой биномиалыо, то квадрирующая эгу площадь будет рационально н медиально квадрирующей (предложение 58). Значит, квадрирующая площадь EJ будет рационально и медиально квадрирующей; так что и квадрирующая площадь AD будет рационально и медиально квадрирующей.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 191 Итак, при соединении рационального и медиального возникают четыре иррациональных — или биномиаль, или первая бимедиаль, или «ббльшая? <иррациональная>, или рационально и медиально квадрирующая, что и требовалось доказать. Предложение 72 При соединении двух несоизмеримых между собой медиальных возникают остальные две иррациональные — или вторая бимедиаль, ила бимедиалъно квадрирующая. Соединим две медиальных несоизмеримых между собой <илощади> АВ, CD; я утверждаю, что квадрирующая площадь AD будет или второй бимеди- алыо, или бимедиально квадрирующей 'С —i—1 (черт. 82). Действительно, АВ будет или больше или меньше CD. Пусть, если слу- g jj чится, сначала АВ будет больше CD', и отложим рациональуго £/, и приложим £i -i/ к El равную АВ <площадь> ЕН, обра- г _И зующую ширину £"G, а также равную CD '^ fj <площадь> GJ, образующую ширину GK И поскольку каждая из АВ. CD ЧсРт- 8Z будет медиальной, медиальна, значит, и каждая из EH, GJ. И они прилагаются к рациональной IE, образуя ширины EG, GK; значит, каждая из EG, GK будет рациональной и несоизмеримой с El линейно (предложение 22). И поскольку <площадь> АВ несоизмерима с CD, и будут АВ равна ЕЙ, CD же GJ. то несоизмерима, значит, будет и <площадь> ЕН с GJ. Как же ЕН к GJ, так будет и <ирячая> EG к О/С (предложение 1 книги VI); значит, EG будет песо- измерима с GK линейно (предложение 11). Значит, EG, GK будут рациональными, соизмеримыми только в степени прямыми; значит, ЕК будет биномиалью (предложение 36). В квадратах же EG будет больше GK или на <квадрат> на соизмеримой с собой, или на <квадрат> на несоизмеримой. Пусть сначала в квадратах <она будет больше) на <квадрат> на соизмеримой с собой линейно; и никакая из EG, GK не будет линейно соизмерима с отложенной рацио-
НАЧАЛА ЕВКЛИДА нальной EI; значит, ЕК будет третьей биномиалью (опреде- ления вторые, 3). Но EI рациональна; если же площадь заключается между рациональной и третьей биномиалью, то квадрирующая эт) площадь будет второй бимедиалью (предложение 56); значит, квадрирующая <площадь> EJ, то-есть AD, будет второй бимедиалью, Но вот пусть EG будет в квадратах больше GK на <квадраг> на несоизмеримой с собой линейно; и каждая из EG, GK будет несоизмерима с El линейно; значит, ЕК будет шестой биномиалью (определения вторые, Q). Если же площадь заключается между рациональной и шестой биномиалью, то квадрирующая эту площадь будет бимедиально квадрирующей (предложение 59), так что и квадрирующая площадь AD будет бимедиально квадрирующей. [Подобным же вог образом докажем, что и если АВ будет меньше CD, то квадрирующая площадь AD будет или вторая бимедиаль или бимедиально квадрирующая.] Итак, при соединении двух несоизмеримых между собой медиальных возникают остальные две иррациональные — или вторая бимедиаль, или бимедиально квадрирующая. Биномналь и <получающиеся> после неё иррациональные не будут тождественными ни с медиалью, ни друг с другом. Действительно, <квадрат> на меднали, приложенный к рациональной, образует ширину рациональную и линейно несоизмеримую с той, к которой прилагается (предложение 22). <Квадрат> же на биномиали, приложенный к рациональной, образует шириной первую биномиаль (предложение 60), <Квадрат> же на первой бимедиали, приложенный к рациональной, образует шириной вторую биномиаль (предложение 61). <Кйадрат> же на второй бимедиали, приложенный к рациональной, образует шириной третью биномиаль (предложение 62). <Квадрат> же на «большей» иррациональной), приложенный к рациональной, образует шириной четвёртую бинохшаль (предложение 63), <Квадрат> же на рационально н медпалыю квадрирующей, приложенный к рациональной, образует шириной пятую биномиаль (предложение 64). <Квадрат> же на бимедиально квадрирующей, цри-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 193 ложсиный к рациональной, образует шириной шестую бииомиаль (предложение 65). Вышеупомянутые же ширины отличаются от первой и между собой, от первой —потому что она рациональна, между собой же — потому что по рангу они не будут теми же самыми; так что и сами эти иррациональные различаются меж,ту собой (51, 52, 53, 54, 55). Предложение 73 Если от рациональной отнимается рациональная, только в степени соизмеримая с целой, то остающаяся будет иррациональной; пусть называется она вычетом*) (56). Пусть 01 рациональной АВ отнимается рациональная ВС, только в степени соизмеримая с целой; я утверждаю, что остающаяся АС будет иррациональной —так называемым вычетом (черт. 83). fi с В Черт. 83. Действительно, поскольку АВ линейно несоизмерима с ВС и как АВ к ВС, так и ^квадрат) па АВ к <прямо- угольнику) между АВ. ВС (предложение 21, -лемма), ю значит, <квадрат> на АВ будет несоизмерим с •(прямоугольником) между АВ. ВС (предложение 11). Но с <квадратом> на АВ соизмеримы <вмесге взятые квадрат],]> на АВ, ВС (предложение 15), с .(прямоугольником) же между'ЛД ВС соизмерим будет дважды <прямоугольник> между АВ. ВС (предложение В). И поскольку <квадрат]>|> на АВ, ВС равны дважды <прячоутолы1ику> межд\МД .ВС вместе с <квадратом> на СА, то значит, <вместе взятые квадраты) на АВ, ВС будут несоизмеримы и с остатком — <квадратом> на АС (предложения 13, 16). <Квадраты> же на АВ, ВС рациональны; значит, АС будет иррациональной; пусть называется она вычетом; что и требовалось доказать. *) Другое название: ацотома {«] я-ото^). 13 Евклид
194 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 74 Если от медиали отнимается медиаль, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая рациональную (площадь}, то остающаяся будет иррациональной; пусть называется она первым медиальным вычетом. Пусть от медиали АВ отнимается медиаль ВС, только в степени соизмеримая с АВ, образующая же вместе с АВ о рациональную <площадь — прямоугольник) между АВ, ВС; я утверждаю, что остающаяся АС будет иррациональной; пусть называется она первым медиальным вычетом (черт. 84). ■С Действительно, поскольку АВ, ВС — медиали, то и <кватраты> на АВ, ВС будут медиальными. ' ^ Дважды же <прямоугольиик> между АВ, ВС рацио- Черт. 84, нален; значит, <вместе взятые квадраты) на АВ, ВС несоизмеримы с дважды <прямоугольником> между АВ, ВС; значит, дважды .(прямоугольник) между АВ, ВС (предложение 7 книги II) будет несоизмерим и с остающимся <квадрагом> па АС, поскольку если и целое с одной из них несоизмеримо, то и первоначальные величины будут несоизмеримыми (предложение 16). Дважды же <прямоугольник> между АВ, ВС рационален; значит, <квад- рат> иа АС иррационален; иррациональна, значит, и АС (определение 4); пусть она называется первым медиальным вычетом. Предложение 75 Если от медиали отнимается медиаль, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая медиальную (площадьу, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется вторым медиальным вычетом. Пусть от медиали АВ отнимается медиаль СВ, только в степени соизмеримая с целой АВ, вместе же с целой АВ заключающая медиальную «(площадь — прямоугольник) между АВ, ВС (предложение 28): я утверждаю, что оста ю-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 195 шаяся АС будет иррациональной; пусть она называется вторым медиальным вычетом (черт. 85). Действительно, отложим рациональную <прямую> DI и приложим к DI равную <вместе взятым квадратам) на АВ, ВС <площадт>> DE, образующую ширину DH, к DI же приложим равную дважды <пря,\шугольиику> между АВ, ВС <площадь> DG, образующую ширину DZ; значит, остаток <площадь> ZE равен будет <квадрату> на АС (предложение 7 книги II). И поскольку <квадраты> на АВ, ВС медиальны и соизмеримы, то Значит, медиальна и <площадь> DE. И при- i % -_ 1 латается она к рациональной DI, образуя ширину DH; значит, DH будет рациональной и несоизмеримой с DI линейно (предложение 22). Затем, поскольку <прямоугольник> между АВ, ВС медиален, то значит, и дважды <прямоугольник) между АВ, ВС будет медиальным (предложение 23, следствие). И он равен DG; значит, и DG будет медиальным. И ои приложен к рациональной DI, образуя ширину DZ; значит DZ будет рациональной и несоизмеримой с DI линейно (предложение 22). И поскольку АВ, ВС соизмеримы только в степени, то значит, АВ будет несоизмеримой линейно с ВС; значит, и квадрат на АВ несоизмерим с <прямоуголышком> между АВ, ВС (предложение 21, лемма; предложение 11). Но с <квадратом> на АВ соизмеримы <вмес1е взятые квадраты) на АВ, ВС (предложение 15), с <прямоугольником> же между АВ, ВС соизмерим дважды «(прямоугольник) между АВ, ВС (предложение 6); значит, дважды Прямоугольник) между АВ, ВС будет несоизмерим с <вместе взятыми квадратами) на АВ, ВС (предложение 13). <Квадратач> же на АВ, ВС равна <площадь> DE, дважды же <прямоугольнику> между АВ, ВС — <площадь> DG; значит, DE [будет] несоизмерима с DO. Как же DE к DG, так и HD к DZ (предложение 1 книги VI); значит, HD будет несоизмерима с DZ (предложение 11). И обе они будут рациональными; значит, HD, DZ будут рациональными, соизмери- 13*
196 НАЧАЛА ЕВКЛИДА мыми только в степени: значит, ZH будет вычетом (предложение 73). <Прямая> же DI рациональна; <площадь> же, заключающаяся между рациональной и иррациональной, будет иррациональной (предложение 20), и квадрирующая её будет иррациональна. И <площадь> ZE квадрируется <прямой> АС; значит, АС будет иррациональна (определение 4); пусть она называется вторым медиальным вычетом; что и требовалось доказать. Предложение 76 Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, образующая же с целой <_ква- дратыу на них вместе (взятыеу рациональные, (прямоугольнику же между ними медиальный, то остающаяся будет иррациональной', пусть она называется «меньшей» (иррациональной"}. // Г в Черт. 86. Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС, несоизмеримая в степени с целой и образующая предложенное (предложение 33). Я утверждаю, что остающаяся АС будет иррациональной гак называемой «меньшей» (черт. 86). Действительно, поскольку составленное из квадратов на АВ, ВС будет рациональным, дважды же •(прямоугольник) между АВ, ВС медиальным, то значит, <вместе взятые квадраты> на АВ, ВС будут несоизмеримы с дважды ^прямоугольником) между АВ, ВС; и, «переворачивая», с остатком (предложение 7 книги II) — ■(квадратом) на АС—будут несоизмеримы <вместе взятые квадраты) на АВ. ВС (предложение 16). <Квадраты) же на АВ. ВС рациональны; значит, АС будет иррациональна; пусть она называется «меньшей»', чю и требовалось доказать.
КИНГА ДЕСЯТАЯ 197 Предложение 77 Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая со- ставленное из квадратов на них медиальное, дважды же (прямоугольнику между ними рациональный, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется образующей с рациональным целое ме- ]// диальное. Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС, несоизмеримая в степени с АВ и образующая пред- с ложеипое (предложение 34); я утверждаю, что остающаяся АС будет вышеупомянутой иррацио- -Ц? нальной (черт. 87). Черт. 87. Действительно, поскольку составленное из квадратов па АВ, ВС медиально, дважды же «(прямоугольник) между АВ, ВС рациональный, то значит, <вместс взятые квадраты) на АВ, ВС будут несоизмеримыми с дважды «(прямоугольником) между АВ, ВС; значит, и остающийся (предложение 7 книги II) <квадрат) на АС будет несоизмерим с дважды (прямоугольником) между АВ, ВС (предложение 16). И дважды (прямоугольник) между АВ, ВС рационален; значит, <юзадраг> на АС иррационален; иррациональна, значит, и АС; пусть она называется образующей с рациональным- целое медиальное; что и требовалось доказать. Предложение 78 Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая составленное из квадратов на них медиальное, дважды же прямоугольник между ними медиальный и ещё квадраты на них, несоизмеримые с дважды прямоугольником между ними, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется образующей с медиальным целое медиальное. Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС, несоизмеримая в степени с АВ и образующая предложенное; я утверждаю, что остающаяся АС будет иррациональной, назы- т раемой образующей с медиальным целое медиальное (черт. 88).
193 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, отложим рациональную DJ и приложим к D! разную <вместе взятым квадратам) на АВ, ВС <площадь> DE, образующую ширину DH, отнимем же <площадь> DG, равную дважды <прямоугольннку> между АВ, ВС [образующую ширину DZ\. Значит, остающаяся <площадь> ZE будет равна квадрату на АС (предложение 7 книги П); так что АС квадрирует <площадь> ZE. И поскольку составленное из квадратов иа АВ, ВС медиально и равно <пло]цади> DE, то значит, и DE [будет] медиальпа. И она прилагается к рациональной D/, образуя ширину DM; значит, DH будет рациональной и несоизмеримой с D! линейно (предложение 22). Затем, поскольку дважды <прямоугольник> между АВ, Черт. 88. ВС иедиален и равен <площади> DG, то значит, DG будет медиальна. И прилагается она iv рациональной D/, образуя ширину DZ; значит, и DZ будет рациональной и несоизмеримой с Df линейно (предтожение 22). И поскольку <вместе взятые квадраты) на АВ, ВС несоизмеримы с дважды <;прямоугольником> между АВ, ВС, то значит, и <площадь> DE несоизмерима с DG. Как же DE к DG, так будет и <прямая> DH к DZ (предложение 1 книги VI); значит, DH будет несоизмерима с DZ (предложение 11). И обе они рациональны; значит, HD, DZ будут рациональными, соизмеримыми только в степени. Значит, ZH будет вычетом (предложение 73); ZG же рациональна. [Прямоугольная] же <площадь>, заключающаяся между рациональной и вычетом, будет иррациональной (предложение 20), ц квадрнрующая её будет иррациональной. И <площадь> ZE квадрируется <прямой> АС; значит, АС будет иррациональна; пусть она называется образующей с медиальным целое медиальное; что и требовалось доказать. ■ Предложение 79 С вычетом сочетается*) одна [только] рациональная прямая, только в степени соизме щмая с целой. *) В подлиннике xpcazp^a— прилаживается. , , D Z Н / Q £
КНИГА ДЕСЯТАЯ 1У>' Пусть вычет будет ЛВ, сочетающаяся же с ним «(прямая) ВС; значит, АС, СВ будут рациональными, соизмеримыми только в степени (предложение 73); я утверждаю, что с АВ не сочетается другая рацполатьная <прямая), только в степени соизмеримая с целой (черт, 89). Действительно, пусть, если возможно, <с ней) будет <так> сочетаться BD; и AD, DB, значит, будут рациональными, соизмеримыми только в степени (предло- ц жение 73). И поскольку, чем <вместе взятые квадраты) на AD, DB превышают дважды <пря- _ д моугольник) между AD, DB, тем и <вмесче взятые квадраты) на АС, СВ превышают дважды Прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба они превы- г шают одним и тем же <квадратом> на ЛВ (предложение 7 книги II); значит, «перестановкой», чем & <квадраты) на AD, DB превышают <квадраты) Черт.89. на АС, СВ, тем [и] дважды <прнмоугольник) между AD, DB превышает дважды <прямоугольник) между АС, СВ. <Квадраты) же на AD, DB рацио,гальньш превышают /квадраты) па АС, СВ, ибо оба рациональны. Значи[, и дважды <прямоугольник) между AD, DB рациональным превышает дважды <прямоугольник) между АС, СВ; это же невозможно; ибо оба они медиальны.(предложение 21), медиальное же медиальное не превышает рациональным (предложение 26). Значит, с АВ не сочетается другая рациональная прямая, только в степени соизмеримая с целой. Итак, с вычетом сочетается только одна рациональная <прямая>, только в степени соизмеримая с целой, что и требовалось доказать. Предложение 80 С первым медиальным вычетом сочетается только одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая рациональную (площадьу. Пусть первый медиальный вычет будет АВ и пусть с АВ будет сочетаться ВС; значит, АС, СВ будут медиали, соизмеримые только в степени, заключающие рациональный
^00 НАЧАЛА ЕВКЛИДА <прямоуголышк> между АС, СВ (предложение 74); я утверждаю, что с АВ не сочетается другая медиальная <пря- мая>, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая рациональную <площадь> (черт. 90). Действительно, пусть, если возможно. <с ней> будет <так> сочетаться и DB; значит, AD, DB будут медиали, соизмеримые только в степени, заключающие рациональный <прямоугольник> между AD, DB (предложение 74). И по- /; скольку, чем <вмесге взятые квадраты> на AD, DB превышают дважды <прямоугольник> между AD, DB, тем и <вместс взятые квадраты) на АС. СВ превышают дважды ^прямоугольник) между АС, СВ, ибо [опять] они превосходят тем же самым г_ <к'вадратом> на АВ (предложение 7 книги II); значит, «перестановки», чем <квадраты) на AD, *В DB превышают <квадраты)на АС, СВ, тем и дважды Черт. 90. Прямоугольник) между AD, DB превышает дважды Прямоугольник) между АС, СВ, Дважды же Прямоугольник) между AD, DB рациональным превышает дважды Прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба рациональны. Значит, и ^квадраты) на AD, DB рациональным превышают [квадраты] на АС, СВ; это же невозможно, ибо оба медиальны (предложение 24); медиальное же медиальное не превышает рациональным (предложение 26). И[ак, с первым медиальным вычетом сочетается только одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с пел )й заключающая рациональную <площадь), что п требовалось доказать. Предложение 81 Со вторым медиальным вычетом сочетается только одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая медиальную (площадьу. Пусть будуг второй медиальный вычет АВ и сочетающаяся с АВ Прямая) ВС; значит, АС, СВ будут медиали, соизмеримые только в степени, заключающие медиальный ^прямоугольник) между АС, СВ (предложение 75); я ут-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 201 верждаю, что с АВ не сочетается другая медиальная прямая, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая медиальную <площадь> (черт. 91). Действительно, пусть, если возможно, <(с ней> будет <так> сочетаться BD; и, значит. AD, DB будут медиальными, соизмеримыми только в степени <прямыми>, заключающими медиальный <прямоугольник> между AD, DB (предложение То). И отложим рациональную EZ, и приложим к EZ равную <вместе взятым квадратам> на АС, СВ <илош,адь> ЕЙ, образующую ширину ЕМ; отнимем же равную дважды * f f ;; ■(прямоугольнику) между АС, СВ ^лошадь) GH, образующую ширину GM\ м if значит, остаток EL будет равен <квад- i д рату> на АВ (предложение 7 книги 1!), так что АВ квадрирует <площадь> EL, Затем вот приложим к EZ равную <квадратам> па AD, DB <площадь> EI, образующую ширину EN; также и и м < площадь) EL будет paBiia квадрату на АВ; значит, остаток G1 будет равен ^ ,J дважды <прямоуголЬнику> между AD, Черт. У1. DB (предложение 7 книги 11 ). И поскольку ^прямые) АС, С В медиальны, то значит, медиальными будут и <квадраты) на АС, СВ, И равны они <площади) ЕЙ; значит, медиальной будет и ЕЙ. И прилагается она к рациональной EZ, образуя ширину ЕМ; значит, ЕМ будет рациональной и несоизмеримой с EZ линейно (предложение 22). Затем, поскольку медиален <прямоугольник> между АС, СВ, то и дважды <прямоуголь- ]1ик> между АС, СВ б^дет медиальном (предложение 23, следствие). И равен он <площади> GH; значит, и GH будет медиальным. И прилагается он к рациональной EZ, образуя ширину GM; значит, рациональной будет и GM и несоизмеримой с EZ линейно (предложение 22). И поскольку АС, СВ соизмеримы только в степени, то значит, АС будет несоизмеримой с СВ линейно. Как же АС к СВ, так будет и <квадрат> на АС к <прямоугольнику> между АС, СВ (предложение 21, следствие); значит, <квадрат>
202 НАЧАЛА ЕВКЛИДА на АС несоизмерим будет с <прямоугольником> между АС, С В (предложение 11). Но с <квадратом> на АС соизмеримы <вмесге взятые квадра гы> на АС, СВ, с -(прямоугольником) же между АС, СВ соизмерим дважды ■(прямоугольник) между АС, СВ; значит, и <квадраты> на АС, С В будут несоизмеримы с дважды -(прямоугольником) между АС, СВ (предложение 13). И <квадратам> на АС^ СВ равна <площадь> ЕЙ, дважды же -(прямоугольнику) между АС, СВ равна <площ\здь> НО; значит, ЕЙ несоизмерима с GH. Как же Ей к GH, так будет и <прямая> ЕМ к ОМ (предложение 1 книги VI); значит, ЕМ .будет несоизмерима с MG линейно (предложение 11). И обе они рациональны; значит, ЕМ, MG будут рациональными соизмеримыми только в степени -(прямыми); значит, EG будет вычетом (предложение 73), ОМ же — сочетающейся с ним ■(прямой). Подобным же вот образом докажем, что с ним сочетается и ОЫ\ значит, с вычетом сочетаются одна н другая прямая, только в степени соизмеримые с целой; это же невозможно (предложение 79). Итак, со вторым медиальным вычетом сочетается только одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая медиальную <площадь>, что и требовалось доказать. Предложение 82 С «.меньшей» (иррациональной} сочетается только одна прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая (составленное} из квадратов на них рациональное, дважды же (прямоугольник} между ними мед"альный. Пусть будет «меньшая» -(иррациональная^ АВ и пусть сочетающаяся с АВ будет ВС; значит, АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них рациональное, дважды же <прямоугольник> между ними медиальный (предложение 76); я утверждаю, что с АВ ие сочетается другая прямая, образующая то же самое (черт, 92).
КНИГА ДЕСЯТАЯ 203 Действительна пусть, если возможно, <с ней> будет <так> сочетаться BD\ и значит, AD, BD будут несоизмеримые в степени -(прямые), образующие вышесказанное. И поскольку, чем <вместе взятые квадраты) на AD, DB превышают <вместе взятые квадраты) на АС, СВ, тем и дважды <прямоуголышк> между AD, DB превышает Я 8 С В I _-J ___*—! —I Черт. 92. дважды <прямоугольник> между АС, СВ, квадраты же на AD, DB рациональным превышают квадраты на АС, СВ, ибо оба рациональны; значит, и дважды -(прямоугольник) между AD, DB рациональным превышает дважды -(прямоугольник) между АС, СВ; это же невозможно (предложение 26}, ибо оба медиальньг. Итак, с «меньшей» соче!ается только одна прямая, несоизмеримая в степени с целой и образующая квадраты на них вместе рациональными, дважды же -(прямоугольник) между ними медиальный, что и 1ребовалось доказать. Пргдложение 83 С (прямой^, образующей с рациональным целое медиальное, сочетается только одна_ прямая, несоизмеримая 8 степени с целой, вместе же с целой образующая составленное из квадратов на них медиальное, дважды же (прямоугольнику между ними рациональный. Л В С В I —! 1 Черт. 93. Пусть образующая с рациональным целое медиальное будет АВ и пусть с АВ будет сочетаться ВС; значит, АС, СВ будут несоизмеримые в степени <прямые>, образующие предложенное (предложение 77); я утверждаю, что с АВ не сочетается другая <прямая>, образующая то же самое (черт. 93).
204 ■ НАЧАЛА ЕВКЛИДА Действительно, nycib, если возможно. <с ней> будет <1'ак> сочетаться BD; и значит, AD, DB будут прямые, несоизмеримые в степени, образующие предложенное (пред- ложение 77). Поскольку теперь, чем <вместе взятые квадраты) на AD, DB превышают <вместс взятые квадраш) на АС, СВ, тем и дважды прямоугольник) между AD, DB превышает дважды <прн\юугольник> между АС, С£, в соответствии с тем, что выше; дважды же ■(прямоугольник) между AD} DB рациональным превьпиает дважды ■(прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба они рациональны; н значит, <квадраты) на AD, DB рациональным превышают ■(квадраты) на АС, СВ; это же невозможно, ибо оба они медиальиы (предложение 26). Значит, с АВ не сочетается другая прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая вышесказанное; значит, только одна сочетаекя, что и требовалось доказать. Предложение 84 С (.прямой1}, образующей с медиальным целое медиальное, сочетается только одна прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая „ о f ,, составленное из квадратов i 1—i на них медиальное, дважды же (прямоугольник"} между I [ 1—. ними медиальный и еще несоизмеримый с составленным из (квадратов) на них. Пусть образующая с меди- ■ ; j jj—, альным целое медиальное будет АВ, сочетающаяся же с ЧеРт' 94' ней ВС; значит, АС, СВ будут несоизмеримыми в степени, образующими вышесказанное (предложение 78). Я утверждаю, что с АВ не сочетается другая прямая, образующая вышесказанное (черт. 94}. Действительно, пусть, если возможно, <с ней) будет <так> сочетаться BD, так что AD. DB будут несоизмеримыми в степени, образующими квадраты на AD, DB вместе.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 205 медиальные и дважды <прямоугольник> между AD, DB медиальный и ещё <вместс взятые квадраты) па AD, DB, несоизмеримые с дважды Прямоугольником) между АО, DB (предложение 78|; и отложим рациональную EZ и приложим к EZ равную <вмесге взятым квадратам) на АС, СВ <площадь) ЕЙ, образующую ширину ЕМ, к EZ же приложим равную дважды Прямоугольнику) м_ежду АС, С В Площадь) GH, образующую ширину GM; значит, остаток — <чквадрат) на АВ (предложение 7 книги II) — будет равен <п,-1сщади> EL\ значит, АВ квадрируст EL, Затем, приложим к EZ равную <квадратам) на AD, DB <площадь) £У, образующую ширину EN. Также и <квадрат> на АВ равен ЕЦ значит, остаток (предложение 7 книги II) — дважды Прямоугольник) между AD, DB-—равен [будет] Площади) О/. И поскольку составленное из ^квадратов) на АС, СВ медиально и равно <площади> ЕЙ, то медиальной, зьачит, будет и ЕЙ. И прилагается она к рациональной EZ, образуя ширину ЕМ\ значит, ЕМ будет рациональна и несоизмерима с EZ линейно (предложение 22). Затем, поскольку дважды Прямоугольник) межДУ АС, СВ медиален н равен Площади) GH, то медиальца, значит, и GH. И прилагается она к рациональной EZ, образуя ширину GM; значит, GM будет рациональна и несоизмерима' с EZ линейно (предложение 22). И поскольку <вместе взятые квадраты) на АС, С В несоизмеримы с дважды Прямоугольником) между АС, СВ, то и Площадь) ЕЙ несоизмерима будет с GH; значит, и иРямая> ^^4 будет линейно несоизмерима с MG (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И обе они рациональны; значит, ЕМ, MG будут рациональные, соизмеримые только в степени Прямые); значит, EG будет вычетом (предложение 73), GA1 же — сочетающейся с ним Прямой). Подобным же rot образом докажем, чго EG опять будет вычегом, GN же—с ним сочетающейся. Значит, с вычетом сочетаются одна и другая рациональные прямые), только в степени соизмеримые с целой; это же по доказанному невозможно (предложение 79). Значит, с АВ не сочетается другая прямая. Итак, с АВ сочетается только одна прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая
206 НАЧАЛА ЕВКЛИДА квадраты на них вместе медиальные и дважды <прямоуголь- ник> между ними медиальный и ещё квадраты на иих, несоизмеримые с дважды <прямоугольником> между ними, что и требовалось доказать. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕТЬИ 1. Если при отложении рациональной <прямой> и вычега целая в квадратах будет больше сочетающейся на <квад- рат> на соизмеримой с собой линейно и целая будет линейно соизмерима с отложенной рациональной <прямой>, то пусть <вычет> называется первым вычетом. 2. Если же сочетающаяся будет линейно соизмерима с отложенной прямой и целая в квадратах будет больше сочетающейся на <квадрат> на соизмеримой с собой, то пусть <вычег> называется вторым вычетом. 3. Если же никакая не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной и целая в квадратах будет больше сочетающейся на <квадрат> на соизмеримой с собой, то пусть <вычет> называется третьим вычетом. 4. Опять, если целая в квадратах будет больше сочетающейся на квадрат на несоизмеримой с собой [линейно], то если целая будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, пусть <вычет> называется четвёртым вычетом. 5. Если же (соизмерима будет) сочетающаяся, то — пятым. 6. Если же никакая <не будет соизмерима), то — шестым (57). Предложение 85 Найти первый вычет (черг. 95). Отложим рациональную <прям}Ю> А и пусть ВИ будет соизмерима с А линейно; рациональной, значит, будет и ВИ. И отложим два квадратных числа D.E, £7, разность ID которых пусть не будет квадратом (предложение 28,,лемма); значит, н ED не будет иметь к DI отношения, как квадратное число к квадратному числу. И сделаем, чтобы как ED к DI, так <был бы н> квадрат на ВИ к квадрату
КНИГА ДЕСЯТАЯ 207 на ИС (предложение 6, следствие); значит, квадрат иа ВИ соизмерим будет с квадратом на ИС (предложение 6). <Квадрат> же на ВИ рационален; рационален, значит, и <квадрат> на ИС; рациональной, значит, будет и НС. И поскольку ED не имеет к DI отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат> на ВИ /?1 , f c Y к <квадрату> на ИС не имеет отношения, как квадратное ^' ' £ J "jj число к квадратному числу; значит, ВИ будет несоизме- Черт. 9о. рима с НС линейно. И обе они рациональны,- значит, ВИ, НС будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и первым. Действительно, пусть то, чем <квадрат> на ВИ больше <квадрата> па НС (предложение 13, лемма), будет квадрат на G. И поскольку будет, что как ED к ID, так и <квад- рат> на ВИ к <квадрату> иа НС, то значит, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, чго как DE к £7, так и <квадрат> на ИВ к <квадрату> на G. Но DE имеет к EI отношение, как квадратное число к квадратному числу, ибо каждое из них квадрат; и значит, <квадрат> на НВ к <квадрату> на G имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит, ВИ будет соизмерима с G линейно (предложение 9). И ВН в квадратах больше НС на <квадрат> на G; значит, ВН в квадратах больше НС на <квадрат> на соизмеримой с собой линейно. И целая ВН будет линейно соизмерима с отложе.шой рациональной А. Значит, ВС будет первым вычетом (определения третьи, 1). Итак, найден первый вычет ВС, что и требовалось найти. Предложение 86 Найти второй вычет (черт. 96). Отложим рациональную А и соизмеримую с А линейно НС. Значит, НС будет рациональной. И отложим два
208 НАЧАЛА ЕВКЛИДА квадратных числа DE, El, разносib D! которых пусть квадратом не будет (предложение 78, лемма 1). И сделаем, чтобы как ID к DE, так <был бы и> квадрат на СИ к квадрату на ИВ (предложение 6, следа вне). Значит, квадрат на СИ будет соизмерим с квадратом на ИВ (предложение 6). .(Квадрат) же на СИ ра- i : 1 циоиален. Рациональным, значит, [буде|] f С __// и <квадрат> иа ИВ; значит, ВИ буде! д рациональна. И поскольку квадрат на у ~} ■ „ ИС не имеет к <квадрату> на ИВ отно- i 1 ■■-- шепия, как квадранюе число к квадрат - Черт 96 ному числу, то СИ будет несоизмерима " с ИВ линейно (предложение 9), И обе они рациональны; значит, СИ, ИВ будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и вторым. Действительно, пусть то, чем <квадраг> на ВИ больше <квадрага> на НС, будет <квадрат> иа G (предложение 13, лемма). Поскольку теперь будет, что как <квадраг> на ВИ к <квадрату> на ИС, так и число ED к числу DI, то, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, значит, что как <квадраг> на ВИ к <квадрату> на G, так и DE к El. И каждое из DE, El квадрат; значит, <квад- рат> на ВИ имеет к <квадрату> на G отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит, ВИ будет линейно соизмерима с G (предложение 9). И в квадратах ВИ более ИС на <квадрат> на G; значит, ВИ в квадратах более ИС на <квадраг> на соизмеримой с собой линейно. И сочетающаяся СИ будет соизмерима с отложенной рациональной А Значит, ВС будет вторым вычетом (определения третьи, 2). Итак, найден второй нычет ВС, что и требовалось доказать. Предложение 87 Найти третий вычет (черг. 97), Отложим рациональную Л и отложим три числа Я, ВС, CD, не имеющие между собой отношения, как квадратное
КНИГА ДЕСЯТАЯ 209 число к квадратному числу; пусть же СВ будет иметь к BD отношение, как квадратное число к квадратному числу, и сделаем, чтобы как Е к ВС, так <был бы и> квадрач на Л к квадрату на IH (предложение 28, лемма 1), как же ВС к CD, так <был бы и> квадрат на Ш к квадрату на HG. Поскольку теперь будет, что как Е к ВС, так и квадрат на А к квадрату на /Я, то значит, соизмеримым будет квадрат на А с квадратом на \И (предложение 6). Квадраг же иа А рационален. Рациона- „ лен, значив, и <квадрат> на 1И\ значит, v т4 JH будет рациональна. И поскольку £ | _^— 1 не имеет к ВС отношении, как квадрат- „ ное число к квадратному числу, то значит, и квадрат на А не имеет к [квад- J" ~~~^ „ рату] на IH отношения, как квадрат- 1— < иое число к квадратному числу; значит, „ „_ А будет линейно несоизмерима с Ш (предложение 9). Затем, поскольку будег, что как ВС к CD, так и квадраг на IH к <квадрагу> иа HG, то значит, < квадрат), на /Я будет соизмерим с <квадратом> на НО (предложение 6). <Квадрат> же на IH рационален; рационален, значит, и <квадрат), lfa HG\ рациональной, значит, будет и HG. И [госкольку ВС не имеет к CD отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <кеадрат). на 1Н не имеет к <квадрату> на HG отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, Щ будег линейно несоизмерима с HG (предложение 9). И обе они рациональны; значит, Ш> HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, IG будет вычетом (предложение 73). Во г я утверждаю, что и третьим. Действительно, поскольку будет, что как Е к ВС, так и квадрат на Л к <квадрату> на /Я, как же ВС к СО, так и <квадрат> иа IИ к <квадрату> на GH, то «по равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как Е к С-О, так и <квадрат> на Л к <квадрату> на GH. Но Е не имеет к CD отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на А ие имеет к <квад- рату> на HG отношения, как квадратное число к квадрат- 14 Евклид
210 НАЧАЛА ЕВКЛИД\ |юму числу; значит, А несоизмерима будет с HG линейно (предложение 9). Значит, никакая из /Я, НО не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной А. Пусть теперь то, чем <квадрат> на /Я больше <квадрата> иа HG, будет <квадрат> иа К (предложение I'd, лемма). Поскольку теперь будет, что как ВС к CD. так и <квадраг> на /Я к <квадрату> иа НО, то, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что как ВС к BD, так и квадрат на }Н к <квадрачу> на К. Но ВС имеет к BD отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадраг> на Ш к <квадрат>> на К имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу. Значит, IH будет линейно соизмерима с .^(предложение 9), и в квадратах /Я более HG на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой). И никакая из /Я, HG не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной А; значит. IG будет третьим вычетом (определения третьи, 3). Итак, найден третий вычет Ю, что и требовалось доказать. Предложение 88 Найти четвёртый вычет (черт. 98). Отложим рациональную А и соизмеримую с А линейно ВН; рациональной, значит, будет н ВН. И отложим два числа Dl, IE так, чтобы вся DE не имела к каждой из DL El отношения, как квад- Н Г Н ду— | , ^ | ратное число к квадратному числу. И сделаем, чтобы как DE к £7, £, 1 и 4 ч так 0Ь[Л 5ы и> квадрат на ВН к <квадрату> на НС (яредложе- lepr, 98. ние ^ следствие); значит, -(квадрат) на ВН будет соизмерим с <квадратом> на НС (предложение 6). <Квадрат) же на ВН рационален; рационален, значит, н <квадрат) на НС; рациональна, значит, и НС. И поскольку DE не имеет к El отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат> на ВН не имеет к <квадрагу> на НС отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, ВН б^дет линейно несоизмерима с НС (предложе-
КНИГА ДГХЯТЛЙ ^И мне 9). И обе они рациональны; значит, ВИ, ИС будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом (предложение 73). [Вог я утверждаю, что и четвёртым]. Пусть теперь то, чем <квадрат> на ВИ больше <квад- рата> на ИС, будет <квлдрат> на G (предложение 13, лемма). Поскольку теперь будет, что как DE к £7, так и <квадрат> на ВИ к <квадрату> на ИС, то значит, и «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, что как ED к DI, так и <квадрат> па ИВ к <квадрату> на G. Но ED не имеет к DI отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на ИВ не имеет к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, ВИ несоизмерима будет с G линейно (предложение 9). И в квадратах ВИ более ИС на <квадрат> на G; значит, ВИ в квадратах более ИС на <квадрат> на несоизмеримой с собой. И вся ВИ соизмерима линейно с отложенной рациональной А. Значит, ВС будет четвёртым вычетом (определения третьи, 4). Итак, иайден четвёртый вычет, что и требовалось 'доказать. Предложение 89 Найти пятый вычет (черт. 99). Отложим рациональную А, и пусть СИ будет линейно соизмерима с А; значит, СИ [будет] рациональна. И отложим два числа DI, IE так, чтобы DE опять не имела к каждой из D/, IE отношения, как квадратное число к квадратному числу; и сделаем, чтобы как IE к ED, так <был бы и квадрат) на СИ к <квадрату> на ИВ. Рационален, значит, и <квадрат> на ИВ (предложение 6); рациональна, значит, будет и ВИ. И поскольку будет, что как DE к Е/, так и <квадраг> на ВИ к < квадрату> на ИС, DE же не имеет к El отношения, Черт. 99. как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат> па ВИ не имеет к <квадрату> на ИС отношении, как квадратное число к квадратному i 14*
212 НАЧАЛА ЕВКЛИДА числу; значит, ВИ несоизмерима будет с НС линейно (предложение 9). И обе они рациональны; значит, ВИ, ИС будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и пятым. Пусть, действительно, то, чем <квадраг> на ВИ более <квадрата> на /УС, будет <квадрат> на О (предложение 13, лемма). Поскольку теперь будет, что как <квадрат> на ВИ к <квадрату> на /УС, так и DE к Е/, то, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что как ED к DI, так и <квадрат> на ВИ к <квадрату> на G. Но ED не имеет к DI отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на ВИ не имеет к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, ВН несоизмерима будет с G линейло (предложение 9). И в квадратах ВИ более НС на <квад- рат> на G; значит, НВ в квадратах более ИС на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно. И сочетающаяся СИ будет линейно соизмеримой с отложенной рациональной А; значит, ВС будет пятым вычетом (определения третьи, 5). Итак, иайден пятый вычет ВС, что и требовалось доказать. Предложение 90 Найти шестой вычет (черт. 100), Отложим рациональную А и три числа Е, ВС, CD, не имеющие между собой отношения, как квадратное число „, к квадратному числу; ещё же пусть и СВ не будет иметь к BD отношения, г у. ~м как квадратное число к квадратному „! числу; и сделаем, чтобы как Е к ВС, так <был бы и квадрат) на Л к <квад- ^' ' рату> на IH, как же ВС к CD, гак i 1 1 <был бы и квадраг> на IH к <квадра- 5 в С ту> на HG. Черт. 100. Поскольку теперь будет, что как Е к ВС, так и <квадрат> на А к <квад- рату> на IH, то значит, <квадрат> на А соизмерим с <квадратом> на IH (предложение 6), <Квадрат> же
КНИГА ДЕСЯТАЯ 213 на А рационален; рационален, значит, и <квадрат> на 1И\ рациональной, значит, будет и Ш. И поскольку Е не имеет к ВС отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат> на А не будет иметь к <квЕ)драту> иа Ш отношения, как квадратное число к кЕадратному числу; значит, А будет несоизмерима с JH линейно (предложение 9). Затем, поскольку будет, что как ВС к CD, так и <квадрат> на IH к <квадрату> на HG, то значит, <квадрат> па IH соизмерим с <квадра- том> на HG (предложение 6). <Квадра1> же на IH рационален; радиола лек, значат, и <юзадрат> на HG; рациональна, значит, и HG. И поскольку ВС не имеет к CD отношения, как квадратное число к квадратному числу, то значит, и <кпадрат> на IH не имеет к <квадрату> на HG отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, /И будет несоизмерима с HG линейно (предложение 9). И обе они рациональны; значит, IH, HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, IG будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и шестым. Действительно, поскольку будет, что как Е к ВС, так и <квадрат> на А к <квадрату> на Ш, как же ВС к CD, так и <квадрат> иа IH к <квадрату> на HG, то значит, «■поравенству» (предложение 22 книги V) будет, что как Е к CD, так и <квадрат> на А к <квадрату> на HG. Но Е не имеет к CD отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, и <квадрат> па А не будет иметь к <квацрату> на HG отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, А будет линейно несоизмерима с HG (предложение 9); значит, никакая из IH, HG не будет линейно соизмерима с рацио тльиой А. Пусть теперь то, чем <квадрат> на IH больше <квадрата> иа HG, будет <квадрат) на К (предложение 13, лемма). Поскольку теперь будет, что как ВС к CD, так и <квадрат> на [И к <квад- рату> на ИЗ, то, «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что как СВ к BD, так и <квадраг> на JH к <квадрагу> на К. Но С В пе имеет к BD отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, ц <квадрат> на Ш не имеет к <квадрату> на К
НАЧАЛА ЕВКЛИДА отношения, как квадратное число к квадратному числу; значит, IH будет несоизмерима с К линейно (предложение 9). И в квадратах IH более HG на <квадрат> на К; значит, IH в квадратах более HG на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно. И никакая из IH, HG не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной А. Значит, IG будет шестым вычетом (определения третьи, 6). Итак, найден тестой вычет IG, что и требовалось доказать (58). Предложение 91 Если площадь заключается между рациональной и первым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет вычетом. Пустую площадь АВ заключается между рациональной АС и первым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая площадь АВ будет вычетом (черт, 101). Действительно, поскольку AD есть первый вычет, то пусть сочетающаяся с ним будет DH; значит, АН, HD „ Е 2' н ^УДУт рациональные, соизмеримые только в степени <прямые> (предложение 73)- И вся АН соизмерима с отложенной рациональной АС, и в квадратах АН более HD на <квад- рат> на линейно соизмеримой с собой (определения третьи, 1); значит, если приложить к АН с недостатком в виде квадрата <площадь>, равну ю <квадрату> на DH, то она разделит эту <прячую> на соизмеримые <ча- сти> (предложение 17). Рассечём DH пополам в Я и приложим к АН с недостатком в виде квадрата <площадь>, равную <квадрату> на ЕН, и пусть это будет <прямо- угольник> между AZ, ZH; значит, AZ будет соизмерима с ZH. И через точки Е, Z, Н параллельно АС проведём EG, ZI, НК. И поскольку AZ будет соизмерима с ZH линейно, то значит, и АН будет линейно соизмерима с каждой из AZ, G I I 0 Y/ /и '/ -/ Черт. 101.
\ \ \ I КНИГА ДЕСЯТАЯ 215 2\H (предложение 15). Но АН соизмерима с АС; значит, и каждая из AZ. ZH будет линейно соизмерима с АС (предложение 12). И АС рациональна; рациональна, значит, и каждая из AZ, ZH; так что и каждая из <цдощадей) At, ZK будет рациональной (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И поскольку DE будет соизмерима с 1ЕИ линейно, то значит, и DH будет линейно соизмерима с (каждой из DE, ЕЙ (предложение 15). Но DM рациональна и несоизмерима с АС линейно; значит, и каждая vi3\DE, ЕЛ будет рациональна и несоизмерима с АС линейно (предложение 13); значит, каждая из <площадей) DQ, ЕК будет медиальной (предложение 20). 1 Тогда положим равный <цлощ1ди) AI квадрат LM, равный же <площади> ZK квадрат NX, имеющий с ним общий угол LOM, отнимем; значит, квадраты LM, NX, будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть их1 диаметр б\<дст OR, а достроим <известный> чертёж (см. предложения 4, 7, 8 книги И). Поскольку теперь заключающийся между AZ, ZH прямоугольник равен квадрату на ЕЙ, то значит (предложение 17 книги VI), будет, что, как AZ к ЕМ, так н ЕЙ к ZH. Но как AZ к ЕЙ, так и <площадь> AI к ЕК, как же ЕЙ к ZH, так будет и ^площадь) ЕК к KZ (предложение 1 книги VI); значит, для <площадей> AI, KZ средней пропорциональной будет ЕК- Также и для <площадей> LM, 1\Х средней пропорциональной будет MN, как это доказано в предыдущих {предложение 53, лемма), и < площадь) AI равна квадрату LM, <площадь> же KZ <равна> NX; значит; и <лло- 1цадь> MN равна будет ЕК. Но ЕК равна DG, MN же —АЛ" (предложение 43 книги I); значит, DK равна будет гномону YFU и ещё <квадрату) NX. Так же и -(площадь) АК равна квадратам LM, NX; значит, остаток АВ будет равен <площади> ST. Но ST будет квадратом на LN; значит, квадрат на LN будет равен <плошдди> АВ; значит, LN квадрирует <площадь> АВ. Вот я утверждаю, что LN будет вычетом. Действительно, поскольку каждая из <площадей> Af, ZK рациональна и равна -(соответственно) LM, NX, го значит, будет рациональна и каждая из <площадей) /,/И, NX,
ЛЬ НАЧАЛА ЕВКЛИДА J то-есть <кзадратов> на каждой из LO, ON; значит, и каждая из L О, ON б у дет рациона ль ной. Затем, посколь ку <площадь> DG медиальна и равна LX, то медиальной, значит, будет и LX. Поскольку теперь <площадь> LX медиальна, NX же рациональна, то значит, LX будет несоизмерима с NX', как же LX к NX, так будет и <прямая> Ц) к ON (предложение 1 книги VI); значит, LO будет линейно несоизмерима с ON (предложение 11). И обе аги рациональны; значит, LO, ON будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, LN будет вычерм (предложение 73). И он квадрнруег площадь АВ; зкачп, квадрирующая площадь АВ будет вычетом. j Итак, если площадь заключается между рациональной и т. д. / Предложение 92 Если площадь заключается между рациональной и вторым вычетом, то квадрирующая эту площадь буЬет первым медиальным вычетом. Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС и вторым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая площадь АВ будет первым медиаль- Я & ^ ir-M пым вычетом (черт. 102). Действительно, пусть сочетаю- __ щаяся с AD будет DH; значит, АН, I К HD будут рациональными, соизмеримыми только в степени (предложение 73), и сочетающаяся DH будет соизмеримой с отложенной рациопаль- *П у а > г ной АС, целая же АН в квадратах будет больше сочетающейся DH на <квадрат> на соизмеримой с собой линейно (определения третьи, 2). Поскольку теперь АН в квадратах больше HD на <квадрат> на соизмеримой с собой, то значит, если приложить к АН <пло- щадь>, равную четвёртой части <квадрата> на HD, с недостатком в виде квадрата, то она разделит эту <пря- мую> на соизмеримые части (предложение 17). Рассечём. ,'' Y/ /и F/ Черт. 102.
КНИГА ДЕСЯТАЯ *>' теперь DH пополам в Е; и приложим к АН равную <квад- рату> на ЕЙ <площздь> с недостатком в виде квадрата, и пусть это будет <прямоугольник> между AZ, ZH\ значит, AZ будет соизмерима с ZH линейно. И, значит, АН будет линейно соизмерима с каждой из AZ, ZH (предложение 15). Но АН рациональна и несоизмерима с АС линейно; и значит, каждая из AZ, ZH будет рациональной и несоизмеримой с АС линейно (предложение 13); значит, каждая из <площадсй> AI, ZK будет медиальной (предложение 20). Затем, поскольку DE соизмерима с ЕЙ, то значит, и DH будет соизмеримой с каждой из DE, ЕЙ (предложение 15). Но DH соизмерима с АС линейно [значит, и каждая из DE, ЕЙ будет рациональной и линейно соизмеримой с АС]. Значит, каждая из <площадей) DG, ЕК будет рациональной. Построим теперь равный <площади> AI квадрат LM, равный же <площади> ZK <квадрат> NX, <цаходнщнйся> при том же самом, что и LA4, угле, <а именно), угле LOM, отнимем; значит, квадраты LM, NX будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги V). Пусть их диаметр будет OR, и достроим <известный> чертёж. Поскольку теперь <площади> AI, ZK медиальны и равны .(соответственно квадратам) на LO, ON, то и <квадрать[> на LO, ON будут [значит] медиальными; значит, и ■(прямые) LO, ON будут медиальными, соизмеримыми только в степени. И поскольку <прямоугольник> между AZ, ZH равен <квадрату> на ЕЙ, то значит, будет (предложение 17 книги VI), что как AZ к ЕН, так п ЕЙ к ZH, но как AZ к ЕЙ, так и <площадь> А1 к ЕК (предложение 1 книги VU; как же ЕН к ZH, так [будет] и <площадь> ЕК к ZK значит, для <площадей> AI, ZK средней пропорциональной будет ЕК. Также и для квадратов LM, NX средней пропорциональной будет МЫ (предложение 53, лемма); и <площадь> AI равна LM, ZK же <paB;ja> NX; значит, и <площадь> AiN равна будет ЕК. Но <площади> ЕК равна [будет] DG, <площади> же MN равна LX (предложение 43 книги I); значит, вся <шющздь> DK равна будет гномону YFU и <ещё квадрату) NX. Поскольку теперь вся <площадь> АК равна <вместе взятым> LAi, NX, из которых DK равна гномону YFU п <ещё квадрату) NX, то значит, остаток,
-'° НАЧАЛА ЕВКЛИДА <площадь> АВ равна будет TS. Но TS будет <квадратом> на LN; значит, <квадрат> на LN будет равен площади АВ; значит, <прямая> LN квадрирует площадь АВ. [Вот] я утверждаю, что LN будет первом медиальным вычетом. Действительно, поскольку <площадь> ЕК рациональна и равна LX, то значит, рациональна будет и LX, то-есть <прямоугольник> между LO, ON. Доказано же, чго NX мсдиален; значит LX будет несоизмерим с NX; как же LX к NX, так будет и .(прямая> LO к ON (предложение 1 книги VI); значит, LO, ON будут линейно несоизмеримыми (предложение 11). Значит, LO, ON будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими рациональную <площадь>; значит, LN будет первым медиальным вычетом (предложение 74); и она квадрируег площадь АВ. Итак, квадрирующая площадь АВ будет первым медиальным вычетом, что и требовалось доказать. / К Предложение 93 Если площадь заключаемся между рациональной и третьим вычетом, то квадрирующая эту площадь будет „ с 7 н 8тоРим медиальным вычетом. —[ г-—|—| Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС и третьим I вычетом AD\ я утверждаю, что квадрирующая площадь АВ будет вторым медиальным вычетом (черт. 103). Дсйствит ельно, пусть сочетающаяся с CD будет DH; значит, АН, HD будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и никакая из АН, HD не будет линейно соизмеримой с отложенной рациональной ДС, целая же АН в квадратах будет больше сочетающейся DH на <квад- рат> на соизмеримой с собой (определения третьи, 3). Поскольку теперь АН в квадратах больше HD на <квадрат> на соизмеримой с собой, то значит, если приложить к АН равную I X /' /и _F/ Черт. 103.
КИНГА ДЕСЯТАЯ ^У четвёртой части <квадрата> на DH <площадь> с недостатком в виде квадрата, то она разделяет эту <прямую> на соизмеримые <часги> (предложение 17), Рассечём теперь Dh пополам в Е и приложим к АН равную <квадрату> па ЕЙ (площадь) с недостатком в виде квадрата, и пусть это будет <т!рямо>гольник> между AZ, ZH. И проведём через точки Е, Z, И параллельно АС (прямые) EG, ZI', НК, значит, соизмеримыми буду1 <прямые> AZ, ZH соизмерима, значит, и (площадь) А! с ZK (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги" X), И поскольку AZ, ZH линейно соизмеримы, то значит, и АН будет линейно соизмеримой с каждой из AZ, ZH (предложение 15). Но АН рациональна и несоизмерима с АС линейно, так что и <прямыс> AZ, ZH (будут несоизмеримы с АС линейно) (предложение 13). Значит, каждая из (площадей) А!, ZK будет медиальной. Затем, поскольку DE линейно соизмерима с ЕН, то значит, и DH будет линейно соизмерима с каждой из DE, ЕЙ (предложение 15). Но HD рациональна и линейно несоизмерима с АС; значит, и каждая из DE. ЕМ рациональна и линейно несоизмерима с АС (предложение 13); значит, и каждая из (площадей) DG, ЕК будет медиальной (предложение 20). И поскольку АН, HD соизмеримы только в степени, то значит, АН будет линейно несоизмерима с HD. Но АН будет линейно соизмеримой с AZ, DH же с ЕН; значит, AZ будет линейно несоизмерима с ЕН (предложение 13)- Как же AZ к ЕН, так будет и (площадь) AJ к ЕК (предложение 1 книги VI); значит, (площадь) А! будет несоизмеримой с ЕК (предложение И). Построим теперь равный <'площадп) А] квадрат LM, равный же (площади) ZK (квадрат) NX, находящийся при том же самом угле, что и LM, отнимем; значит (площади) LM, NX будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет OR, и достроим (известный) чертёж. Поскольку теперь (прямоугольник) между AZ, ZH равен (квадрату) па ЕН, то значит, будет, что как AZ к ЕН, так и ЕН к ZH (предложение 17 книги VI). Но как AZ к ЕН, так будет и (площадь) AF к ЕК (предложение 1 книги VI); как же ЕН к ZH} тдк будет
220 НАЧАЛА ЕВКЛНДА и <площадь> ЕК к ZK: и значит, как <площадь> А! к ЕК, так и ЕК к ZK\ значит, для AI, ZK средней пропорциональной будет ЕК. Также и для квадратов LM, NX средней пропорциональной будет <площадь> MN (предложение 53, лемма); и (площадь) AI равна будет LM, ZK же NX; и значит, ЕК равна будет M.N. Но MN равна LX (предложение 43 книги I), ЕК же равна [будет] DG; значит, и вся <площадь> DK равна будет гномону YFU и <ещё квадрату) NX. Также и <площадь> АК равна <вместс взятым) LM, NX; значит, остаток— (площадь) АВ — равен будет ST, то-есть квадрату на LN; значит, LN квадрирует площадь АВ. Я утверждаю, что IN будет вторым медиальным вычетом. Действительно, поскольку доказано, что (площади) А[, ZK медиальны, и они равны <соответственцо квадратам) на LO, ON. то значит, и каждый из <квадратов) на LO, ON медиален; медиальна, значит, каждая из (прямых) LO, ON. И поскольку <площадь> AI соизмерима с ZK (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X), то значит, и <квадрат> на LO соизмерим с <квадратом> на ON. Затем, поскольку <площадь> AI оказалась несоизмеримой с ЕК> то значит, и <площадь> LM несоизмерима будет с MN, то-есть (квадрат) на LO с <прямоугольником> между LO, N0; так что и (прямая) LO будет линейно несоизмерима с ON (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит, LO, ON будут медиалями, соизмеримыми только в степени. Вот я утверждаю, что они заключают медиальную (пло- щадь). Действительно, поскольку доказано, что <площадь> ЕК медиальна и она равна (прямоугольнику) между LO, ON, то медиальным, значит, будет и (прямоугольник) между LO, ON; так что LO, ON будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими медиальную (площадь). Значит, LN будет вторым медиальным вычетом (предложение 75): и она квадрирует площадь АВ. Итак, квадрирующая площадь АВ будет вторым медиальным вычетом, что и требовалось доказать.
КНИГА ДЕСЯТАЯ Предложение 94 Если площадь заключается между рациональной и четвёртым вылетом, то к&адрирующая эту площадь будет «.меньшей» (иррациональной}. Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС и четвёртым вычетом AD; я утверждаю, что квадри- рующая площадь АВ будет «меньшей» <иррацнональной> (черт. 104). Действительно, пусть сочетающаяся с AD будет DH; значит, АН, HD будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и АН будет линейно д ^ £ z н соизмерима с отложенной рацио- нальной АС, целая же АИ в квадратах будет больше сочетающейся DH на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно (определения третьи, 4). Поскольку теперь АН в квадратах более HD на <квадрат> на несоизмеримой с собой линейно, то значит, если приложить к АН равную четвёртой части <квадрата> па DH <площадь> с недостатком в виде квадрата, то она разделяет эту <прямую> на несоизмеримые <часги> (предложение 18). Рассечём теперь DH пополам в Е, н приложим к АН равную <квадрагу> на ЕН <площадь> с недостатком в виде квадрата, и пусть это будет <нрямоугольник> между AZ, ZH; значит, AZ будет несоизмеримой линейно с ZH. Проведем теперь через Е, Z, Н параллельно AC, BD <прямые> EG, Zl, HK. Поскольку теперь АН рациональна и линейно соизмерима с АС, то значит, вся <площадь> АК будет рациональна. Затем, поскольку DH линейно несоизмерима с АС и обе они рациональны, то значит, <пло1цадь> DK будет медиальной (предложение 21). Затем, поскольку AZ линейно несоизмерима с ZH,to значит, и <шющадь> AI б_\дет несоязыери- мой с ZK (предложение 1 книги VI; предложение И книги X). Построим теперь равный <площади> А\ квадрат LM, ,'' У/ F / .-'' Черт. 104.
Ш НАЧАЛА ЕВКЛИДА равный же <площадн> ZK при том же самом угле LOM <квадрат> NX отнимем. Значит, квадраты LAI, NX будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет OR, и достроим <известиый> чертёж. Поскольку теперь <прямоуголышк> между AZ, ZZ/равен <квадрату> на ЕЙ, то значит, будет пропорция — как AZ к ЕЙ, так и ЕЙ к ZH (предложение 17 книги VI). Но как AZ к ЕЙ, гак будет и <площадь> А! к ЕК, как же ЕЙ к ZH, так будет и <площадь> ЕК к ZK (предложение 1 книги VI); значит, для A!, ZK средней пропорциональной будет ЕК- Также и для квадратов LM, NX средней пропорциональной будет <площадь> MN (предложение 53, лемма), и <площадь> А1 равна будет LM, ZK же <равна> NX; и, значит, ЕК равна будет MN. Но <площади> ЕК равна DG, <площади> же MN равна LX (предложение 43 книги I); значит, вся DK равна будет гномону YFU и <ещё> квадрату NX. Поскольку теперь вся АК равна <взя- тым вместе) квадратам LM, NX, у которых DK равна гномону YFU и квадрату NX, то значит, остаток, — <пло- щадь> АВ-—равен б>дет ST, то-есть квадрату на LN; значит, LN квадрирует площадь АВ. Я утверждаю, что LN будет иррациональной, так называемой «меньшей». Действительно, поскольку <площадь> АК рациональна и равна квадратам на LO, ON, го значит, составленное нз <квадратов> на LO, ON будет рационально. Затем, поскольку <площадь> DK медиальна, и DK будет равна дважды <прямоугольнпку> между LO, ON, то значит, дважды <гфн- моугольник> между Z,0; ON будет медиален. И поскольку <плоп1ддь> AI оказалась несоизмеримой с ZK, то значит, и квадрат на LO несоизмерим будет с квадратом на ON, Значит, LO, ON будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них рациональное, дважды же <прямоугольиик> между ними медиальный. Значит, LN будет иррациональной, так называемой «меньшей» (предложение 76). И она кпадрирует площадь АВ. Итак, квадрирующая площадь АВ будет «меньшей» иррациональной, что и требовалось доказать.
КНИГА ДЕСЯТАЯ / К Предложение 95 Если площадь заключается между рациональной и пятым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет «образующей с рациональным целое медиальное». Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС и пятым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая площадь АВ будет «образующей с рациональным целое медиальное» (черт. 105). Действительно, пусть сочетающаяся с AD будет DM; значит ЛИ, HD будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и сочетающаяся HD будет линейно соизмерима с отложенной ^ ?—— £ "L рациональной АС, целая же АН в квадратах будет больше сочетающейся DH на <квадрат> на несоизмери- С мой с собой (определения третьи, 5). Значит, если при ложи ib к Л//равную четвёртой части <квадрата> на DH <площадь> с недостатком в виде квадрата, то она разделит эту <пря- мую> на несоизмеримые <части> (предложение 18). Рассечём теперь DM пополам в точке Е и приложим к АН равную <квадрату> на ЕЙ <площадь> с недостатком в виде квадрата, и п\сть это будет <прямэугольник> между AZ, ZH; значит, AZ будет линейно несоизмерима с ZH. И поскольку АИ линейно несоизмерима с СА и обе они рациональны, го значит, <пло1дадь> АК будет медиальной (предложение 21). Затем, поскольку DH рациональна и линейно соизмерима с АС, то <площадь> DK рациональна (предложение 19). Построим теперь равный <площади> А1 квадрат LMt равный же <площади> ZK квадрат NX при том же yive LOM отнимем; значит, квадраты LMy NX будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет OR, и достроим <известный> чертёж. Подобным же вот образом докажем, что LN квадрн- рует площадь АВ. ,-- Y / /и F / } X 1.1 Черт. 105.
'224 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Я утверждаю, что LN будет «образующей с рациональным целое медиальное». Действительно, поскольку <площадь> ЛК оказалась медиальной и она равна <квадратам> на LO, ON, то значит, составленное из (квадратов,; на АО, ON медиально. Затем поскольку <площадь> DK рациональна и равна дважды <прямоутольник;у> между LO, ON, то и он будет рационален. И поскольку <пло)цадь> AJ несоизмерима с ZK, то значит, и <квадрат> на LO будет несоизмерим с <квадрагом> на ON; значит, LO, ON будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное, дважды же <прямоуголышк> между ними рациональный. Значит, остающаяся (прямая) LN б>дет иррациональной, так называемой «образующей с рациональным целое медиальное» (предложение 77); и она квадрирует <площадь> АВ. Итак, квадрирующая площадь АВ будет «образующей с рациональным целое медиальное», что и требовалось доказать. Предложение 96 Если площадь заключается между рациональной а шестым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет образующей с медиальным целое ме- ^ диальиое. Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС и шестым вычетом AD; я угвеождаю, что квадрирующая площадь АВ будет образующей с медиальным целое медиальное (черт. 106). Действительно, пусть сочетающаяся с AD будет ОН; значит, АН, HD будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и никакая из них не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной АС, целая же АН в квадратах будет больше сочетающейся DH на <квадрат> на линейно с собой несоизмеримой (определения третьи, 6). Поскольку теперь /'■ Y/ /и s/ ■'' Черт. 106.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 225 АН в квадратах больше HD на <квадрат> на линейно с собой несоизмеримой, то значит, если приложить к АН равную четвертой части <квадрата> на DH <площадь> с недостатком в виде квадрата, то она разделит эту <пря- мую> на несоизмеримые <часга> (предложение 18). Разделим теперь DH пополам в [точке] Е, и приложим к АН равную <квадрату> на ЕН <площадь> с недостатком в виде квадрата, и пусть это будет <прямоугольннк> между AZ, ZH; значит, AZ будет несоизмеримой с ZH линейно. Как же AZ к ZH, так будет и <прямоугольник> Al к ZK (предложение 1 книги VI); значит, А! будет несоизмерим с ^/^(предложение 11). И поскольку АН, АС будут рациональными, соизмеримыми только в степени, <площадь> АК будет медиальной (предложение 21). Затем, поскольку AC, DН рациональны и линейно несоизмеримы, то и <|[лощадь> DK будет медиальной. Поскольку теперь АН, HD соизмеримы только в степени, то значит, АН будет несоизмерима с hD линейно. Как же АН к НО, так будет и <площадь> АК к KD (предложение 1 книги VI); значит, АК будет несоизмерима с КО (предложение П). Построим теперь равный <площадн> А! квадрат LM, равный же <плош,ади> ZK при том же самом угле <квадрат> NX отнимем; значит, квадраты LM, NX будут на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет О/?, и достроим <известную> фигуру. Подобно вот тому, как выше, докажем, что LN ксадрирует площадь АВ. Я утверждаю, что LN будет образующей с медиальным целое медиальное. Действительно, поскольку <плогцадь> АК оказалась медиальной, и она равна <квадратам> на LO, 0/V, то значит, составленное из <квадратов> на 10, ОЛГ будет медиальным. Затем, поскольку оказалась медиальной <площадь> DK, n она равна дважды -(прямоугольнику) между Z.0, 0ЛГ, то и дважды <прямоугольник> между LO, ON будет медиальным. И поскольку АК оказалась несоизмеримой с DK, то [зна- чи-] несоизмеримы будут и <вместе взятые) квадраты на LO, ON с дважды <прямоугольником> между LO, ON. И поскольку <нлощадь> А! будет несоизмерима с ZK, то значит, и <квадраг> на L0 несоизмерим с <квадратом> на ' О Евклид
226 НАЧАЛА ЕВКЛИДА ON; значит, Z.0, ON будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное и дважды <прямоуголышк> на них медиальный, и еще квадраты на них <вместе взятые), несоизмеримые с дважды <прямоугольником) между ними. Значит, LN будет иррациональной, так называемой образующей с медиальным целое медиальное (предложение 78); и она квадрирует площадь АВ. Итак, квадрирующая эту площадь будет образующей с медиальным целое медиальное, что и требовалось доказать. Предложение 97 (Квадрату на вычете, прчложенный к рациональной образует шириной первый вычет (60). Пусть будет вычет АВ, рациональная же CD, и приложим к СО равную <квадрату> на АВ <цлощадь> СЕ, образующую ширину С/; я утверждаю, что С/ У I j будет первым вычетом (черт. 107). Действительно, пусть сочетающаяся q j tj % м с АВ будет ВИ; значит, АИ, ИВ бу- | Г~| I дут рациональными, соизмеримыми только в степени (предложение 73). И при- I 111 лэжим к СО равную <квадрату> на АН Я £ х £ i <площадь> CG и равную <квадрату> Черт 107 иа ВН <площадь> АХ. Значит, вся <пло- щадь> CL равна будет <вместе взятым квадратам) на АИ, ИВ; из них <площадь> СЕ равна будет <квадрату> па АВ; значит, остаюк—<площадь> IL — равен будет дважды <прямоуГольнику> между АИ, ИВ (предложение 7 книги II), Разделим 1М пополам в точке N и проведём через ..Упараллглыю СО <прямую>Л^; значит, каждая из <плош,адей> IX, LN равна будет ^прямоугольнику) между АИ, ИВ. И поскольку <квадраты> на АИ, ИВ <вме- сте> рациональны, и <квадратам> на АН, ИВ равна <пло- щадь> £Ш, то значит, рациональной будет и <плэщадь> ОМ. И приложена она к рациональной CD, образуя ширину СМ; значит, СМ будет рациональной и линейно соизмеримой с CD (предложение 20). Затем, поскольку дважды Прямоугольник) между АН, ИВ медиален, и дважды <прямо-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 227 угольник) между АН, ИВ равен <плоЩади> IL, то значит, медиальна и /X, И она прилагается к рациональной CD, образуя ширину 1М; значит, /Ж будет рациональна и песо- измерима с CD линейно (предложение 22). И поскольку <квадраты> на АН, ИВ <вместе> рациональны, дважды же <прямоугольник> между АН, ИВ медиален, то значит, <квадраты) на АН, ИВ <вместе> будут несоизмеримы с дважды -(прямоугольником) между АН, ИВ, И -(вместе взятым квадратам) иа АН, ИВ равна <площадь> CL, дважды же -(прямоугольнику) между АН, ИВ — -(площадь) IL; значит, DM будет несоизмерима с IL, Как же -(площадь) DM к IL, так будет и <прямая> СМ к IM (предложение 1 книги VI). Значит, СМ будет несоизмерима с IM линейно (предложение 11). И обе они рациональны; значит, CM, AM будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, С/ будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и первым. Действительно, поскольку для <квадратов> на АН, ИВ средним пропорциональным будет -(прямоугольник) между АН, ИВ (предложение 21, лемма), и <квадрату) на АН равна <площадь) CG, -(квадрату) же на ВН равна -(площадь) АХ, -(прямоугольнику) же между АИ, ИВ— <лло- щадь) NL, то значит, для CG, K.L средней пропорциональной будет -(площадь) NL; значит, будет, чго как CG к NL, так и NL к KL. Но как .(площадь) CG к NL, так будет и -(прямая) СК к NM (предложение 1 книги VI); как же <площадь) ЛХ к АХ, так будет и -(прямая) NM к КМ; значит, -(прямоугольник) между СК, КМ равен будет <ква- драту) на ММ (предложение 17 книги VI), то-ссть четвёртой части <квадрата) на Ш. И поскольку <квадрат> на АН соизмерим с <квадратом) на ИВ, то соизмерима [будет] и •(площадь) CG с АХ, Как же CG к KL, так и -(прямая) СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит, СК будет соизмерима с КМ (предложение 11). Поскольку теперь будут две неравные прямые CMt Ml, и к СМ приложена равная четвёртой части -(квадрата) на 1М -(площадь) с недостатком в виде квадрата, -(именно прямоугольник) между СК, КМ, и СК соизмерима с КМ, то значит, СМ в квадратах будет больше Ml на <квадрат) па соизмеримой 16*
228 НАЧАЛА ЕВКЛИДА с собой линейно (предложение 17). И СМ линейно соизмерима с отложенной рациональной СО; значит, С! будет первым вычетом. Итак, <квадрат) па вычете, приложенный к рациональной, образует шириной первый вычет, что и требовалось доказать. Предложение 98 (Квадрату на первом медиальном вычете, приложенный к рациональной, образует шириной второй вычет. Пусть будет первый медиальный вычет АВ, рациональная же CD, и приложим к СО равную <квадрагу> на АВ пН <плоидадь) СЕ, образующую шири- i —н н iiy CI; я утверждаю, что С/ будет вторым вычетом (черт. 108). С / N /( м Действительно, пусть сочетаю- I I 1 щаяся с АВ будет ВИ; значит, АН, ИВ будут медиалями, соизмеримыми ; £ *—L—} только в степени, заключающими рациональную <площадь> (предложе- Черт. 108. пие 74). Й приложим к СО равную <квадрату> на АИ <площадь> CG. образующую ширину СК, и равную (квадрату) "а ИВ <площадь> АХ, образующую ширилу КМ; значит, вся <площадь> CL равна будет <вместе взишм квадратам) на АИ, ИВ; значит, медиальной будет и CL. И прилагается она ]с рациональной СО, образуя ширину СМ; значит, СМ будет рациональной п несоизмеримой с CD линейно (предложение 22). И поскольку <плошадь) CL равна <квадратам) на АИ, ИВ, из которых (квадрат) на АВ равен •(площади) СЕ, то значит, остаток—-дважды Прямоугольник) между АИ, ИВ—равен будет <площдди) [L (предложение 7 к.шги JJ). Дважды же <прямоугольник) между АИ, ИВ [будет] раачочален; значит, (площадь) IL рациональна. И прилагазтея о щ а рацио шьной IE, образуя ширину 1М; рациональной, значит, будет и 1Л4 и соизмеримой с CD линейю (предложение 20). Поскольку теперь <вместе взятые квадраты) иа АИ, ИВ, то-есть <площ,адь) CL, меди- альны( дважды же <прямоугольник) меж-ду АИ, ИВ, то-есгь
КНИГА ДЕСЯТАЯ 229 <площадь> 1L, рационален, то значит, CL несоизмерима будет с 1L. Как же <площадь> CL к Я., так будет и -(прямая) СМ к 1М (предложение 1 книги VI); значит, СМ будет несоизмерима с 1М линейно (предлол<ение 11). И обе они рациолатьны; значит, CM, Ml будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, С/ будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждаю, что и вторым. Действительно, разделим 1М пополам ъ N \\ проведём '/ерез А/ параллельно CD <прячуго> NX; значит, каждая из <площадей> IX, /VI равна будет <прямоугольнику> между АН, НВ. И поскольку для квадратов на АН, ИВ сродним пропорциональным будет -(прямоугольник) между АН, ИВ {предложение 21, лемма), и <квадрат> на ЛЯ равен ^лошади) CG, -(прямоугольник) же между АН, НВ — -(площади) NL, <квадрат> же наВН—<нлощади> KLt то значит, для CG> KL средним пропорциональном будет <площадь> NL; значит, будет, что как CG к NL, так и NL к K.L. Нэ как < площадь) CG к 2VL, так будет и <прямая> СК к NM, как же <площадь) NL к KL, так будет и -(прямая) NM к МК (предложение 1 книги VI); значит, как СК к NM, так- будет и NM к КМ; значит «(прямоугольник) между СК, КМ равен будет -(квадрату) на AVW (предложение 17 книги VI), то-ссть четвёртой части -(квадрата) на М/ [и поскольку <квадрат> на АН соизмерим с ■(квадратом) на ВН, той <площадь> CG соизмерима будете^/., то-есть <прямая> СК с КЩ, Поскольку теперь будут две неравные прямые CM, Ml, и к большей СМ приложена равная четвертой части <квадрата> на Ml <площадь) с недостатком в виде квадрата, -(именно прямоугольник) между СК, КМ. и разделяет её на соизмеримые -(части), то значит, CM в квадратах будет больше Ml на <квадраг> на соизмеримой с собой линейно (предложение 17), И сочетающаяся /М будет линей'Ю соизмеримой с отложенной рациональной CD; значит, С/ будет втором вычетом (определения третьи, 2). Итак, <квадрат) на первом медиальном вычете, приложенный к рациональной, образует шириной второй вычет, что и требовалось доказать.
НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 99 с и 4ej h 1. 109 Ч 1 А " 1 (Квадрату на втором медиальном вычете, приложен' ный к рациональной, образует шириной третий вычет. Пусть будет второй медиальный вычет АВ, рациональная же CD, и приложим к CD равную <квадрату) на АВ <плошадь> СЕ, образующую ширину С/; я утверждаю, что С/ будет третьим вычетом (черт. 109). Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет ВН\ значит, АН, НВ будут медиалями, соизмеримыми только в степени, заключающими медиальную <площадь> (предложение 75). И приложим к CD равную <квадрагу> на АН <площадь> CG, образующую ширину СК, к KG же приложим равную <квадрату) на ВН <площадь> KL, образующую ширину КМ; значит, вся <площадь> CL равна будет .(вместе взятым квадратам) на АН, НВ [и <квадраты> иа АН, НВ меднальны]; медиальна, значит, и CL. И она приложена к рациональной CD, образуя ширину СМ; рациональной, значит, будет и СМ и несоизмеримой с CD линейно (предложение 22). И поскольку вся <площадь> CL равна <вместе взятым квадратам) на АН, НВ, у которых ■(площадь) СЕ равна <квадрату> на АВ, то значит, остаток— <площадь> LI— равен будет дважды .(прямоугольнику) между АН, НВ (предложение 7 книги II). Разделим теперь !М пополам в точке N и параллельно CD проведём NX; значит, каждая из <площадей> IX, NL равга будет -(прямоугольнику) между АН, НВ. <Пряиоугольник> же между АН, НВ медиален; медиальной, значит, будет и <площадь) IL. И прилагается она к рациональной Е!, образуя ширину !М; рациональна, значит, и !М и несоизмерима с CD линейно (предложение 22). И поскольку АН, НВ будут соизмеримы только в степени, то значит, АН [будет] линейно несоизмерима с НВ; значит, и <квадрат) на АН будет несоизмерим с .(прямоугольником) между АН, НВ (предложение 21, лемма; предложение 11). Но с <квадра- том> на АН соизмеримы <квадраты) на АН, НВ, с <прямо-
КНИГА ДЕСЯТАЯ угольником) же между АН, ИВ— дважды <прямоугольник> между ЛИ, ИВ; значит, <вместе взятые квадраты) на АН, ИВ будут несоизмеримы с дважды <прямоугольникоч> между АН, ИВ (предложение 13). Но <вместе взятым квадратам) на АН, НВ равна <площадь> CL, дважды же Прямоугольнику) между АН, ИВ равна <площадь> IL; значит, <пло- щадь) CL будет несоизмерима с /L. Как же CL к IL, так будет и <прямая) СМ к 1М (предложение 1 книги VI); з,1ачнг, СМ будет несоизмерима с /М линейно (предпоже- ние 11). И обе они рациональны; значит, CM, Ml будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит. С/ будет вычетом (предложение 73). Вот я утверждал, что и третьим. Действительно, поскольку <квадрат) на АН соизмерим с <кваз.ратом> иа ИВ, то значит, и <площадь) CG соизмерима с КЦ так что и <прямая> СК с КМ (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). И поскольку для <квацратов) иа АН, НВ средние пропорциональным будет <прямоугодьиик> между АН, НВ (предложение 21. лемма), и <квадрату) иа АН равна будет <площадь) CG, <ква- драту) же на НВ рз.вна <площддь> KL, <ирячоугольнику) же между АН. ИВ равна <площ/щь> NL, то значит, для CG, KL средним пропорциональным будет NL; значит, будет, что как CG к NL, так и NL к АХ. Но как <пло- щадь) CG к NL, так будет и <црячая> СК к NM (предложение 1 книги VI), как же <площадь) NL к KL, так будет и <прямая) NM к КМ; зиаччт, как <прямая> СК к MN, так будет и MN к КМ; значит, (предложение 17 киигн VI) <прячоугольняк> между СК, КМ равен будет [<квадрату) на MN, то-есть] четвёртой части <квадрата> на 1М. Поскольку теперь будут две неравные прямые СМ, Ml, и к СМ приложена равная четвёртой части <квад- рата) па 1М <площадь> с недостатком в виде квадрата и разделяет её на соизмеримые <части), то значит, СМ в квадратах будет бэлыие Ml на <квадрат> Пл соизмеримой с собой <ирямой>. И никакая нз СМ, Ml не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной CD; значит, С1 будет третьим вычетом (определения третьи, 3).
232 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Итак, <квадрат> на втором медиальном вычете, приложенный к рациональной, образует шириной третий вычет, что и требовалось доказать. Предложение 100 (Квадрату на «.меньшей?: (аррацип сальной), приложенный к рациональной, образует шириной четвёртый вычет. Пусть будет «меньшая» <иррациональная> АВ, рациональная же CD, n приложим к рациональной CD равную <квадрату> на АВ <площадь> СЕ, образующую ширину CI; я утверждаю, что С/ будет четвёртым i 1 1 вычетом (черт. 110). Действительно, пусть сочетающаяся С J N К м с АВ будет ВН\ значит, АН, НВ будут I ГТ I несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на АН, 1 1—i—1 НВ рациональное, дважды же <прямо- ^ X G L уГ0ЛЬНИК^ между АН, НВ медиальный Черт. 1J0. (предложение 76). И приложим к CD равную <квадрату> на ,4//<площадь> CG, образующую ширину СК, и равную <квадрату> па£?//<пло- щадь> ДХ, образующую ширину КМ; значит, вся <площадь> CL равна будет <вместе взятым квадратам) на АН, НВ. И составленное из <квадратов> на АН, НВ рационально; рациональной, .значит, будет ег <площадь> CL. И она прилагается к рациональной CD, образуя ширину СМ; рациональна, значит, и СМ и соизмерима с CD линейно {предложение 20). И поскольку целая <площадь> CL равна <в\:есте взятым квадратам) на АН, НВ, у которых <площадь> СЕ равна <квадрату> на АВ, то значит, остаток —<площадь> JL — равен будет дважды <прячоугольншсу> между АН, НВ (предложение 7 книги II), Рассечём теперь IM пополам в точке Л' и проведём через Л' параллельна каждой из CD. ML <прямую> NX; значит, каждая из <площадей> IX, NL равна будет <прямоугольнпку> между АН, НВ. И поскольку дважды <прямоутольник> между АН, НВ ме- диален и равен <площади> JL, то значит, и <площадь> IL.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 233 будет медиальна. И прилагается она к рациональной IE, образуя ширину IM; значит, IM будет рациональна н линейно несоизмерима с CD (предложение 22). И поскольку составленное из <квадратов> на АН, НВ рационально, дважды же <прямоугольник> между АН, НВ медиален, то [значит] несоизмеримы будут <выесте взятые квадраты> иа АН, НВ с дважды <прямоугольником> между АН, НВ. <Площадь> же CL [будет] равна <квадратам> на АН, НВ, дважды же <прямоугольнику> между АН, НВ равна <плошадь> IL; значит, CL [будет] несоизмеримой с IL. Как же <площадь> CL к 1L, так будет и <ирямая> СМ к Ml (предтожешге 1 книги V]); значит, СМ будет несоизмерима с Ml линейно {предложение 11). И обе они рациональны; значит, C/Vf, AM будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, С/ будет вычетом {предложение 73). [Вjг] я утверждаю, чго и четвёртым. Действительно, поскольку АН, НВ несоизмеримы в степени, то значит, и <квадрат> на АН несоизмерим с <кпад- ратом> на НВ, и <квадрату> на АН равна будет <площадь> CG, <квадрату> же на НВ равна <нлощадь> KL; значит, CG будет несоизмеримой с KL. Как же CG к KL, так будет <прЯмая> СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит, СК будет линейно несоизмерима с КМ (предложение 11). И поскольку для <квадратов> на АН, НВ средним пропорциональным будет <прямоугольник> между АН, НВ (предложечне 21, лемма), и <кпадрат> на АН равен будет <нлощади> CG, <квадрат> же на НВ — <площади> KL, <прямоугольник> же между АН, НВ— <площади> NL, то значит, для CG, KL средней пропорциональной будет <площадь> NL: значит, будут, что как CG к NL, так и NL к KL. Но как CG к NL, так будет и <пря- мая> СК к NM, кап же NL к KL, так будет н <пря- маи> NM к КМ (предложение 1 книги VI); значит, как СК к МЫ. так будет и MN к КМ; значит, Прямоугольник) между СК, КМ равен будет <квадрату> на MN, то-есть четвёртой части <квадрата> на IM {предложение 17 книги VI). Поскольку теперь будут две неравные прямые CM, Ml, и к СМ приложена равная четвёртой части <квадрата> на Ml <площадь> с недостатком
234 НАЧАЛА ЕВКЛИДА в виде квадрата —<именно прямоугольник) между СК, КМ, и разделяет её иа несоизмеримые части, то значит, СМ в квадратах будет больше Ail иа <квадрат> иа несоизмеримой с собой (предложение 18). И целая СМ будет линейно соизмеримой с отложенной рациональной CD; значит, CI будет четвёртым вычетом {определения третьи, 4). Итак, <квадрат> на меньшей <иррациональной> и т. д. Предложение 101 (Квадрату на образующей с рациональным целое медиальное, приложенный л* рациональной, образует шириной пятый вычет. Пусть образующая с рациональным целое медиальное будет АВ, рациональная же CD, и приложим к CD равную С I N К М <кваДратУ> иа АВ <площадь> СЕ, [ 1—|—| образующую ширину CI; я утверждаю, что С/ будет пятым вычетом ; \ LJJ (черт. 111). u t tub Действительно, пусть сочетаю- .. н щаяся с АВ будет ВН\ значит, АН, НВ будут прямыми, несоизмеримыми Черт. 111. в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное, дважды же <мрямоугольник> между ними рациональный (предложение 77). И приложим к CD равную <квадрату> на АН <площадь> CG, и равную <квадрату> на НВ <площадь> KL; значит, вся <площадь> CL равна будет <вместе взятым квадратам> на АН, НВ. Составленное же из <квадратов> из АН, НВ имеете будет медиа 1Ьно; медиальной, значит, будет <и площадь> CL, И прилагается она к рациональной CD, образуя ширину СМ; значит, СМ будет рациональна и несоизмерима с CD (предложение 22). И поскольку вся <площидь> CL равна будет <вместе взятым квадратам> иа АН, НВ, у которых <площадь> СЕ равна <квадрату> иа АВ, то значит, остаток — <площадь> IL — равен будет дважды <прямоугольнику> между АН, НВ {предложение 7 книги II). Рассечём теперь IM пополам в TV и проведём через N параллельную каждой из CD,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 235 ML <прямую> NX; значит, каждая из <площадей> IX, NL равна будет <прямоугольнику> между АН, НВ. И поскольку дважды <прямоугольник> между АН, ИВ булег рационачеи и [будет] равен <площади> IL, то значит, JL будет рациональна. И прилагается она к рациональной Ef, образуя ширину IM; значит, IM будет рациональна и сопзмерт!а с CD линейно {предложение 20). И поскольку <площадь> CL медиа.тьна, IL же рациональна, то значит CL будет ■несоизмерима с IL. Как же CL к IL, так и <прячая> СМ к Ml (предложение 1 книги VI); значит, СМ будет несоизмерима с MJ линейно {предложение 11). И обе они рациональны; значит, CM, Ml будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, CI будет вычетом (предложение 73), Вот я утверждаю, что и пятым. Действительно, подобным же образом докажем, что Прямоугольник между СК, КМ будет равен <квадрату> на MN, то-есть четвёртой части <квадрата> на IM. И поскольку <квадрат> на АН несоизмерим с <квадратом> на НВ, <квадрат> же на АН равен <илощади> CG, a <квадрат> па НВ—<площади> АХ, то значит, CG несоизмерима с АХ. Как же CG к KL, так и <прямая> СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит, СК линейно несоизмерима с КМ {предложение 11). Поскольку теперь будут две неравные прямые CM, Ml, и к СМ приложена равная четвёртой части <квадрата> на IM <площадь> с недостатком в виде квадрата и разделяет её ца несоизмеримые <части>, то значит, СМ в квадратах будет больше Ml на <квадРат> на несоизмеримой с собой (предложение 18). И сочетающаяся IM соизмерима с отложенной рациональной CD; значит, С/ будет пятым вычетом (определения третьи, 5), что и требовалось доказать. Предложение 102 -^Квадрату на образующей с медиальным целое медиальное, приложенный к рациональной, даёт шириной шестой вычет.
236 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Пусть образующая с медиальным целое медиальное будет АВ, рациональная же CD, и приложим к CD равную <квадрату> на АВ <площадь> СЕ, образующую ширину С/; я утверждаю, что С1 будет шестым вычетом (черт. 112), Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет ВЙ; значит, АН, ИВ будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них медиальное и дважды <прямоугольник> на АН, НВ медиальный, и ^вместе взятые квадраты) на АН, ИВ несоизмеримые с дважды Прямоугольником) между АН, НВ {предложение 78). Приложим теперь к CD равную <квадрату) на 1 II—^—!/ АН <площадь> CG, образующую ширину СК, и <квадрату) на ВН Травную площадь) KL; значит, вся В £ х 6 l <плогцадь> CL равна 63'лет <квадра- , | , там) на АН, НВ; значит, и CL будет Л В Н медиальной. И прилагается она к ра- Черт 112 цюнальпой CD, образуя ширину СМ; значит, СМ будет рациональной и линейно несоизмеримой с CD {предложение 22). Поскольку теперь Площадь) CL равна <вместе взятым квадратам) на АН, Hh, / которых ^площадь) СЕ равна <квадрату> на АВ, то значит, остаток — <площадь> /L-—-равен будет дважды Прямоугольнику) между АН, НВ {предложение 7 книги II). И дважды Прямоугольник) между АН, НВ медиален; значит, и <ш]ощадь> 1L будет медиальна. И прилагается она к рациональной 1Е% образуя ширину IM; значит, Ш будет рациональна и несоизмерима с CD линейно (предложение 22). И поскольку <вмссте взятые квадраты) на АН, НВ несоизмеримы с дважды Прямоугольником) между АН, НВ, и <квад- ратам) на АН, НВ равна будет <площадь) CL, дважды же Прямоугольнику) между АН, НВ равна Площадь) IL, то значит, CL несоизмерима [будет] с II, Как же CL к IL, так будет и Прямая) СМ к Ml {предложение I книги VI); значит СМ будет несоизмерима с Ml линейно {предложение 11). И обе они рациональны. Значит, СМ, Щ будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, С/ будет вычетом. Бот я утверждаю, что и шестым.
КНИГА ДЕСЯТАЯ 237 Действительно, поскольку <площадь> /Z, равна дважды <прямоугольнику> между АН, ИВ, рассечём пополам IM в TV и прозедём через N параллельную CD <прямую> NX; значит, каждая из <площ,адей> IX, NL равна будет <пря- моугольнику> между АН, ИВ. И поскольку АН, ИВ несоизмеримы в степени, то значит, <квадрат> на АН несоизмерим Судет с <квадратом> на ИВ. Но <квадрату> на АН равна будет <площадь> CG, <квадрагу> же на ИВ равна будет <плогцэдь> КЦ значит, CG будет несоизмерима с KL. Как же CG к f(L, так будет и <прямая> СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит, САГ будет несоизмерима с КМ (предложение 11). И поскольку для <квадратов> на АН, ИВ средним пропорциональным будет <прямоугольник> между АН, ИВ (предложение 21, лемма) и <квадрату) на АН равна будет <плошддь> CG, <квадрату> же tia ИВ равна <ллощадь> KL, <прямоугольнику> же между АН, ИВ равна <площадь> NL, то значит, для CG, A7L средним пропорциональным будет NL; значит, будет, что как CG к NL, так и NL к KL- И вследствие того же <нрямая> С/И в квадратах будет больше Ml иа <кпадрат> на несоизмеримой с собой (предложение 18). И никакая из них не будет соизмерима с отложенной рациональной CD; значит, С/ будет шестым вычетом (определения третьи, 6), что и требовалось доказать. Прэдложение 103 Линейно соизмеримая с вычетом будет вычетом и тем же самым по рангу. Пусть будет вычет АВ, и пусть СО будет линейно соизмеримой с АВ; я утверждаю, что п CD будет вычетом и тем же самым по ^ { f рангу, что АВ (черт. 113). Действительно, поскольку АВ вычет, ь . то пусть сочетающаяся с ним будет BE; значит, АЕ, ЕВ будут рациональными, Черт. 113. соизмеримыми только в степени (предложение 73). И сделаем, чтобы с отношением АВ к СО было бы тождественно отношение BE к £)/ (предложение
238 НАЧАЛА ЕВКЛИДА 12 книги VI); и, значит, как одни к одному, так и все [будут] ко всем (предложение 12 книги V); будет, значит, что как вся АЕ ко всей С/, так и АВ к CD, Но АВ соизмерима с CD линейно; значит, и АЕ соизмерима с CI, BE же с DI (предложение 11). И АЕ, ЕВ рациональные, соизмеримые только в степени; значит, и CI, ID будут рациональными, соизмеримыми только в степени (предложение 13), [значит, CD будет вычетом. Вот я утверждаю, что и по рангу тем же самым, что АВ]. Поскольку теперь будет, что как АЕ к С/, так и BE к DI, то значит, «перестановкой» (предложение 16 книги V) будет, что как АЕ к ЕВ, так и С/ к ID. Тогда в квадратах АЕ будет больше ЕВ или иа <квадрат> на соизмеримой с собой, или же иа <квадрат> на несоизмеримой. Если теперь АЕ в квадратах больше ЕВ на <квадрат> на соизмеримой с собой, то и С/ в квадратах будет больше ID иа <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 14). И если АЕ будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, то и С/ (предложение 12), если же BE, то н DI, если же никакая из АЕ, ЕВ, то и никакая из С/, ID (предложение 13). Если же АЕ в квадратах больше [ЕВ] иа <квадрат> на несоизмеримой с собой, то и CI в квадратах будет больше ID иа <квадрат> иа несоизмеримой с собой (предложение 14). И если АЕ будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, то и С/, если же BE, то и DI (предложение 12), если же никакая из АЕ, ЕВ, то и никакая из CI, ID (предложение 13). Значит, CD будет иычетом (предложение 73) и по рангу тем же самым, что АВ (определения третьи, 1—6), что и требовалось доказать. Предложение 104 Соизмеримая с медиальным вычетом будет медиальным вычетом а тем же самым по рангу. Пусть будет медиальный вычет АВ, н пусть CD будет линейно соизмерима с АВ; я утверждаю, что и CD будет
КНИГА ДЕСЯТАЯ 239 медиальным вычетом и тем же самым по рангу, что АВ (черт. 114). Действительно, поскольку АВ медиальный вычет, то пусть сочетающаяся с ним будет ЕВ. Значит, АЕ, ЕВ будут медиалями, соизмеримыми только в степени {предложения 74—75). И сделаем, чтобы как АВ к CD, так и BE к DI (предложение 12 книги VI); значит, и АЕ [будет] соизмерима с CI, BE же с DI {предложение 12 книги V; предложение 11 книги X). Но АЕ, ЕВ суть медиали, соизмеримые только в степени; значит, и CI, JD будут медиалями (предложение 23), соизмеримыми только в степени (предложение 13); значит, /7т С CD будет медиальным вычетом (предложения 74—75). Вот я утверждаю, что и по рангу она будет тем же самым, что АВ. " [Действительно], поскольку будет, что как АЕ к ЕВ, так и С/к ID (предложения 12, 16 книги V) [но как АЕ к ЕВ, так и <квадрат> иа АЕ f к <прямоугольнику), между АЕ, ЕВ, как же С/ . . к ID, так и <квадрат> на CI к <прямоугольнику> р между CI, ID], значит, будет (предложение 21, лемма), что и как <квадрат> на АЕ к (прямоугольнику) между АЕ, ЕВ, так и (квадрат) на С/ к <прямоугольнику> между CI, ID [и перестановкой, как <квадрат> на АЕ к <квадрату> на С/, так и <прямоугольннк> между АЕ, ЕВ к <прямоугольнику> между CI, ID]. <Квадрат> же на АЕ соизмерим с <квадратом> на С/; значит и (прямоугольник) между АЕ, ЕВ будет соизмеримым с (прямоугольником) между С/, ID (предложение 16 книги V; предложение 11 книги X). Теперь, если (прямоугольник) между АЕ, ЕВ рационален, то рационален будет и (прямоугольник)- между С/, ID {определение 4), если же медиален [будет] (прямоугольник) между АЕ, ЕВ, то медиальным [будет] и (прямоугольник) между CI, ID (предложение 23, следствие). Значит, CD будет медиальным вычетом и по рангу тем же самым, что АВ (предложения 74—75), что и требова* лось доказать.
240 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 105 Соизмеримая с «меньшей» (иррациональной), будет ^меньшей.ъ Пусть будет «меньшая» <иррациональная> АВ и с АВ соизмерима CD; я утверждаю, что н CD будет «меньшей» (черт. 115). Действительно, сделаем то же самое (как выше); и поскольку АЕ, ЕВ несоизмеримы в степени (предложение 76), то значит, и CI, ID будут несоизмеримы в степени (предложение 13). Поскольку теперь будет, что как АЕ к ЕВ, гак и CI к ID (предложения 12 и 16 книги V), то будет, значит, что и как (квадрат) на АЕ к (квадрату) на ЕВ, так и <квадрат> на CI к (квадрату) п п па ID {предложение 20 книги VI, следствие). «Присоединяя» (предложение 18 книги V), значит, будет, что как (вместе взятые квадраты) В ■ на АЕ, ЕВ к <квадрагу) на ЕВ, так и (вме- ■Ц сте взятые квадраты) на CI, ID к <квадрату) на £*■ ID [и перестановкой]; <квадрат) же иа BE соизмерим с (квадратом) на DI; значит, и / составленное из квадратов иа ЛЕ, ЕВ соизме- Черт 115 Римо с составленным из квадратов на С/, ID (предложение 16 книги V; предложение 11 книги X). Составленное же из квадратов на Л£, ЕВ рационально (предложение 76); значит, рациональным будет и составленное из квадратов иа CI, ID (определение 4). Затем поскольку будет, что как <квадрат> на АЕ к (прямо- угольннку) между АЕ, ЕВ, так и <квадрат> на CI к (прямоугольнику) между CI, ID (предложение 21, лемма), квадрат же па АЕ соизмерим с квадратом иа С/, значит, и (прямоугольник) между АЕ, ЕВ будет соизмерим с (прямоугольником) между CI, ID. (Прямоугольник) же между АЕ, ЕВ медиален (предложение 76); медиалеи, значит, и (прямоугольник) между CI, ID (предложение 23, следствие); значит, CI, ID будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на них р.- циональиое, (прямоугольник) же между ними медиальный. Значит, CD будет «меньшей» (иррациональной) (предложение 76), что и требовалось доказать.
■ КЦИГЛ ДГ.СЯТЛЛ ^41 Предложение 106 Соизмеримая с «образующей с рациональным целое медиальное?' будет «образующей с рациональным целое медиальное» ■ Пусть будет «образующая с рациональным целое медиальное» АВ и с АВ соизмерима CD; я утверждаю, что и CD будет «образующей с рациональным целое медиальное» {черт. 116). Д-t r£ Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет BE; значит, АЕ, ЕВ будут нееопзмерп- мымл в степени, образующими составленное из квадратов на АЕ, ЕВ медиальное, <прямоугодь- Л ник> же между ними рациональный {предложение 77). И устроим то же самое <как выше). Подобным же вот образом, как и раньше, докажем, что С/, ID будут в том же самом отиоше- Черт, 116. ннн с АЕ, ЕВ, и составленное из квадраюв па АЕ, ЕВ будет соизмеримо с составленным из кватратов на С/, ID, <прячоуголышк> же между АЕ, ЕВ с <нрячо- угольником) между С/, ID, так что и С/, ID будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на С/, ID медиальное, <пря\юутольпнк> же между ними рациональный. Значит, CD будет «образующей с рациональным целое медиальное» (предложение 77), чго и требоиалось доказать. Предложение 107 Соизмеримая с «.образующей с медиальным целое медиальное^ и сама будет «образующей с медиальным целое медиальное». Пусть будет «образующая с медиальный целое медиальное» АВ и пусть с АВ будет соизмерима CD; я утверждаю, что и CD будет «образующей с медиальным целое медиальное» {черт. 117). Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет BE, и устроим те же самое <как выще>; значил", АЕ, ЕВ будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное 16 Евклид
242 НАЧАЛА ЕВКЛИДА В В из квадратов на них медиальное и <прямоугольник> между ними медиальный, и ещё составленное из квадратов иа них несоизмеримое с <пря\юугольником> между ними (предложение 78). И будут, как доказано, АЕ, ЕВ соизмеримы с CI, ID и составленное из квадратов на АЕ, ЕВ с составленным из <квадратов> на CI, ID, <прямоугольник> же между АЕ, ЕВ с <прямоугольником> между С/, ID; и значит, CI, ID будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов на иих медиальное и <прямоугольник> между 1 ними медиальный, и ещё составленное из квадратов на них несоизмеримое с прямоугольником) между ними. Значит, CD будет «.образующей с медиальным целое медиальное* (предложение 78), что и требовалось доказать. h Черт. 117. Предложение 108 При отнятии медиальной площади от рациональной квадрирующан остающуюся площадь бывает одной [из двух иррациональных—или вы* четом, или «меньшей». /? L ? Пусть отнимается медиальная <площадь> BD от рациональной ВС', я утверждаю, что квадрирующа'я остающуюся <площадь> ЕС бывает одной из двух иррациональных — или вычетом или «меньшей» (черт. 118). Действительно, отложим рациональную/// н приложим ° и на к 1И равный <площади> ВС ЧеРт" Ш' прямоугольный параллелограмм HG, и отнимем ИК равный <площади> DB; значит, остаток ЕС будет равен LG. Поскольку теперь <площадь> ВС рациональна, BD же медиальиа, и ВС равна HG, BD <же равна) ИК, то значит, HG будет рациональна, НКжъ L_ Н
КНИГА ДЕСЯТАЯ 243 медиальна. И прилагаются они к рациональной 1Н\ значит, <прямая> Ю рациональна и соизмерима с 1И линейно (предложение 20), IK же рациональна и несоизмерима с IH линейно (предложение 22); значит, IG будет несоизмеримой с IK линейно (предложение 13). Значит, Ю, IK будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, КО будет вычетом (предложение 73), KI же — с ней сочетающейся. Тогда Ю в квадратах будет больше IK или на <квадрат> на соизмеримой, или же нет. Пусть сперва в квадратах она будет больше на <квад- рат> иа соизмеримой. И вся GI будет соизмерима линейно с отложенной рациональной IH; значит, KG будет первым вычетом (определения третьи, 1). Квадрирующая же заключённую между рациональной и первым вычетом <пло- щадь> будег вычетом (предложение 91). Значит, квадрирующая <площадь> LG, то-есть ЕС, будет вычетом. Если же GI в квадратах будет больше IK на <квадрат> на несоизмеримой с собои\, и вся IG будет линейно соизмерима с отложенной ращюналыюй !Н, то KG будет четвёртым вычетом. Квадрирующая же заключённую между рациональной и четвёртым иычею.ч <площадь> будет «меньшей» <прршцюнальной> (предложение 94), чго и требовалось доказать. Предложение 109 При отнятии рациональной (площадиу от медиальной возникают другие две иррациональные —или первый медиальный вычет, или образующая с рациональным целое медиальное. Пусть от медиальной <площади> ВС отнимается рациональная BD. Я утверждаю, что квадрирующая остаток ЕС бывает одной из двух иррациональных — или первым медиальным вычетом, или образующей с рациональным целое медиальное (черт. 119). Действительно, отложим рациональную IH и подобным же образом <как выше> приложим площади. Тогда соответственно будут— /О рациональной и несоизмеримой с IH линейно, К1 же рациональной и линейно соизмеримой с IH; значит, /О, IK будут рациональными, соизмеримыми только 16*
244 НАЧАЛА ЕВКЛИДА в степени (предложение 13); значит, КО будет вычетом, /А же — сочетающейся с ней (предложение 73). Тогда G/в квадратах будет больше IK или па <квадрат) па соизмеримой с собой, или на <квадрат> на несоизмеримой. Если теперь QIв квадратах будет больше IK на <квадрат> на соизмеримой с собой, и сочетающаяся /А* будет линейно соизмеримой с отложенной рациональной IH, то KG будет вторым вычетом (определения третьи, 2). Но Ш рациональна; так что квадрирующая <илощадь> LG, то-есть ЕС, будет первым медиальным вычетом (предложение 92). Если же О/ в квадратах будет больше IK на <квадраг> на несоизмеримой, и сочетающаяся /К будеч линейно соизмеримой с отложенной рациональной IH, то KG будет пятым вычетом (определения Третьи, 5); так что квадрирующая <площадь> ЕС будет образующей с рациональным целое медиальное (предложение 95), что и требовалось в в 1 е L i к Черт. 119. Предложение ПО При отнятии от медиальной (площадиу медиальной, несоизмеримой с целой, возникают остальные две иррациональные— или второй медиальный вычет, или образующая с медиальным целое медиальное. Отнимем, как на ранее предложенных чертежах, от медиальной <площади> ВС медиальную BD несоизмеримую с целой; я утверждаю, что квадрирующая ЕС будет одной из двух иррациональных—или вторым медиальным вычетом, или «образующей с медиальным целое медиальное» (черт. 120). Действительно, поскольку каждая из <площадей> ВС, BD медиальиа, и ВС несоизмерима с BD, то соответственно будет каждая: из /О, /К рациональной и несоизмеримой с IH линейно (предложение 22). И поскольку <пло-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 245 щадь> ВС несоизмерима с BD, то-есть HG с ИК, то и <прямая> QI несоизмерима с IK (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит./О, /Кбунут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, КО будет вычетом (предложение 73), [IK же сочетающейся. Тогда IQ в квадратах будет больше IK или иа <квадрат> на соизмеримой, или на <квадрат> иа несоизмеримой с собой]. Вот если 10 в квадратах будет больше /А'на <квад- рат> на соизмеримой с собой, и никакая из /О, IK не будет линейно соизмерима с отло- . ,, „ жепной рациональной IH, го KG i г— будет третьим вычетом (определе- g £ низ третьи, 3)г Но АХ рацнопаль- I "' '" I I на, прямоугольник же, заключающийся между рациональной и третьим вычетом, будет иррациональным, и квадрирующая его | I I I 1 будет иррациональной, называется Л S S Н I л же вторым медиальным вычетом Черт. 120. (предложение 93); так что квадрирующая <площадь> LQ, то-есть ЕС, будет вторым медиальным вычетом. Если же 10 в квадратах будет больше /К на <квадра"1 > на несоизмеримой с собой [линейно], и никакая из QI, JK не будет линейно соизмерима с IH, то KG будет шестым вычетом (определения третьи, 6). Квадрирующая же <пря- моугодьннк> между рациональной и шестым вычетом будет «образующей с медиальным целое медиальное» (предложение 96). Значит, квадрирующая <пЛощадь> LG, то-есть ЕС, будет «образующей с медиальным целое медиальное», что и требовалось доказать. Предложение 111 Вычет не будет тождественным с биномиалью. Пусть будет вычет АВ\ я утверждаю, что вычет не будет тождественным с биномиалью (черт. 121). Действительно, пусть, если возможно, будет; -и отложим рациональную DC и приложим к CD равный <квадрату>
ЖЬ НАЧАЛА КВКЛИДЛ на АВ прямоугольник СЕ, образующий ширину DE. Поскольку теперь АВ вычет, DE будет первым вычетом (предложение 97). Пусть сочетающаяся с ним будет EI; значит, DI, IE будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и DI в квадратах будет больше IE на <квадрат> па соизмеримой с собой, и DI будет линейно соизмерима с отложенной рациональной DC (определении третьи, 1). i Затем, поскольку АВ биномиаль, то 1 ""* 'в значит, DE будет первой биномиалью (предложение 60). Разделим её на ра- ционали в Н, и пусть большая рацио- наль будет DH, значит, DH, НЕ, будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и DH в квадратах будет больше НЕ на <квадрат> на соизмеримой с собой, н большая <рациональ> DH будет линейно соизмерима с отложенной рациональной DC (определения вторые, 1). Значиг, и DI будет линейно соизмерима с DH (предложение 12); Черт. 121. значит, и остаток HI будет линейно соизмерим с DI (предложение 15). [Поскольку теперь DI соизмерима с HI, DI же рациональна, то рациональной, значит, будет и/У/. Поскольку теперь DI линейно соизмерима с Hi], DI же несоизмерима линейно с EI (предложение 13), то значит, и IH будет линейно несоизмерима с El (предложение 13). Значит, HI, IE [будут] рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, ЕН будет вычетом (предложение 73). Но вместе с тем и рациональной; это же невозможно. Итак, вычет не будет тождественным с биномиалью, что и требовалось доказать. [С л е д с т в и е] Вычет и (идущие} после него иррациональные не будут тождественными ни с медиалью, ни друг с другом. Действительно, квадрат на медиали, приложенный к рациональной, образует шириной рациональную и линейно несоизмеримую с той, к которой он прилагается (предло-
КНИГА ДЕСЯТАЯ 247 жеиие 22), <квадрат> же на вычете, приложенный к рациональной, образует шириной первый вычет (предложение 97), <квадрат> же на первом медиальиэм вычете, приложенный к рациональной, образует шириной второй вычет (предложение 98), <квадрат> же на нтором медиальном вычете, приложенный к рациональной, образует шириной третий вычет (предложение 99), <квадрат> же на «меньшей», приложенный к рациональной, образует шириной четвёртый вычет (предложение 100), <квадрат> же на «образующей с рациональным целое медиальное», приложенный к рациональной, образует шириной пятый вычет (предложение 101), <квадрат> же на «образующей с медиальным целое медиальное», приложенный к рациональной, образует шириной шестой вычет (предложение 102). Поскольку теперь упомянутые ширины отличаются как от первой, так и друг от друга,—-от первой поточу, что она рациональна, между Собой же потому, что они ие одни и те же по рангу, — то ясно, что и сами эти иррациональные отличаются друг от друга. И поскольку доказано, что вычет не является тождественным с биномиалью, <следующие> же за вычетом иррациональные, приложенные к рациональной, образуют ширинами вычеты, каждая соответственного ранга, Следующие) же за биномиалью <образуют> биномиали и тоже соответственного ранга, то значит, различными будут и <следующие> за вычетом, и <следугощие> за биномиалью, так что по рангу будет всех иррациональных 13; медиаль, бниомиаль, первая бнмедиаль, вторая бнмедиаль, ббльшая <иррациоиальная>, рационально и медиально квадрирующая, бнмедиально квадрирующая, ■ , вычет, ' . - - '„ - \ первый медиальный вычет, второй медиальный вычет, <- . ■ ' меньшая <иррациоиальная>, образующая с рациональным целое медиальное, ( образующая с медиальным целое, медиальное (61), :•
24S НАЧАЛА ЕВКЛИДА [Предложение 112 (Квадрату на рациональной, приложенный к биноми- али, образует шириной вычет, рационали которого соизмеримы с рационалями биномиали и в том же самом отношении и ещё возникающий вычет будет иметь тот же самый ранг, что биномчаль (62). Пусть рациональная будет А, биномиаль же ВС, большая рациональ которой пусть будет DC, и <квадрату> на А пусть будет равен <прямоугольник> между ВС, BI; я ■ ^ и :. в\ 1 \с н\— ■ ■ u.vi - * - --,-_ . Черт, 122. утверждаю, что El будет вычетом, рацисшали которого будут соизмеримы с CD, DB и в том же самом отношении, и ещё, что EI будет иметь тот же самый ранг, что ВС (черт. 122). Действительно, пусть опять <квадрату> па А будет равен <прямоуголышк> между BD, И. Поскольку теперь <прямо- угольник> между ВС, El равен <прямтугольнику> между BD, И, то значит, будет, что как СВ к BD, так и И к El (предложение 16 книги VI). Но СВ больше BD; значит, и И будет больше El (предложения "14, 16 книги V). Пусть EG будет равна И; знлчиг, будет, что как СВ к BD, так и GE к EI; значит, «выделяя» (предложение 17 книги V), будет, чго как CD к BD, так и О/ к IE. Сделаем, чтобы как QI к IE, так <было бы> и 1К к КЕ; и, значит, вся GK ко всей KI будет, как 1К к КЕ; иб>, как один из предыдущих к одному из последующих, так и все предыдущие ко всем последующим (предложение 12 книги V). Как же IK к КЕ, так будет и CD к DB; и, значит, как GK к KI, так и CD к DB. <Квадрат> же на CD соизмерим с <квад- ратом> на -DB (предложение 36); значит и <квадрат> на GK будет соизмерим с <квадратом> на Щ (предложение 20,
КНИГА ДЕСЯТАЯ 249 книги VI, следствие; предложение 11 книги X). И будет, что как <квадрат> на GK к <квадрату> на К/, так и GK к КЕ, поскольку три <прямые> GK, KI, КЕбуцуг пропорциональны (определение 9 книги V). Значит, GK линейно соизмерима с КЕ (предложение 11); так чю и GE будет линейно соизмерима с ЕК (предложение 15). И поскольку <квадрат> на А равен прямоугольнику) между EG, BD, <квадрат> же на А рационален, то значит, рационален будет и прямоугольник) между EG, BD, И прилагается он к рациональной BD; значит, и EG будет рациональной и линейно соизмеримой с BD (предложение 20); так что и соизмеримая с ней ЕК будет рациональной (определение 3) и линейно соизмеримой с BD (предложение 12). Поскольку теперь будет, что как CD к DB, так и IK к КЕ, a CD, DB соизмеримы только в степени, то и IK, KE будут соизмеримы только в степени (предложение 11), Но КЕ рациональна; рациональной, значит, будет и IK. Значит, IK, КЕ будут рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, EI будет вычетом (предложение 73). В квадратах же CD будет больше DB или на <квадрат> на соизмеримой с собой, или же на <квадрат> па несоизмеримой. Если теперь CD в квадратах будет больше DB на <к'вад- рат> на соизмеримой [с собой], то и IK в квадратах будет бол ыне КЕ на ^квадрат) на соизмеримой с собой (предло^ жение 14). И если CD будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, то и //('(предложения 11, 12); если же BD, то и КЕ (предложение 12); если же никакая из CD, DB, то и иикакая из IK, КЕ. Если же CD в квадратах больше DB на <квадрат> па несоизмеримой с собой, то и IK в квадратах будет больше КЕ па <квадрат> на несоизмеримой с собой (предложение 14). И если CD соизмерима будет линейно с отложенной рациональной, то и JK, если же BD, то и КЕ; если же никакая из CD, DB, то и иикакая из IK, КЕ; так что IE будет вычетом, рационали IK, КЕ которого соизмеримы с рацио- иалями CD, DB биномиали, и в том же отношении, и </£> имеет тот же самый ранг что и ВС (определения вторые и третьи); что и требовалось доказать.
$50 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 113 В {Квадрату на рацисналъной, приложенный к вычету, образует шириной биномиалъ, рационали которой соизмеримы с рациона.ш.ии вычета и в том же самом отношении, ещё же возникающая биномиалъ имеет тот же самый ранг, что и вычет. Пусть рациональная будет А, вычет же BD, и <квадрату> па А пусть будет равен <ггрямоугольник> между BD, KG, так что <квадрат> на рациональной А, прилагаемый к вычету BD, образует ширину KG; я утверждаю, -\С \Н г что KG будет биномналью, рационали kq- торой соизмеримы с рационалями BD, и в том же самом отношении, и ещб, что KG имеет тот же самый ранг, что и BD (черт. 123). Действительно, пусть сочетающаяся с BD будет DC; значит, ВС, CD будут рациональными, соизмеримыми только в степени (пред- - ложеиие 73).И пусть <квадрату> на А будет Черт 123 равен и <пряыоугольник> между ВС, И. <Квадрат> же на А рационален; рационален, значит, и <прямоугольник> между ВС, И. И приложен он к рациональной ВС; значит, и И будет рациональной и линейно соизмеримой с ВС (предложение 20). Шскольку теперь <прямоугольник> между ВС, И равен <прямоуга:1Ы[ику> между BD, KG, то значит, будет (предложение 16 книги VI) пропорция — как СВ к BD, так и KG к И. Но ВС больше ВО; значит, и KG больше И (предложения 14, 16 книги VI), Отложим КЕ равною И; значит, КЕ будет линейно соизмерима с ВС. И поскольку будет, ч1'о как СВ к BD, так и GK к КЕ, то, «переворачивая1* (предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что как ВС к CD, так и KG к QE. Сделаем, чтобы как KG к GE, так <было б[.[> и GI к IE; значит, и остаток KI будет к /О, как KG к GE, то-есть [как] ВС к CD (предложение 19 книги V). Но ВС, CD соизмеримы только в степени; значит, и К1', /G будут соизмеримыми только в степени (предложение 11). И поскольку будет, что как KQ к QE, <та# и> К1 N. /О»
КНИГА ДЕСЯТЛЯ 251 но как КО к 0Е, <так и> GI к IE, и, значит, как Д7 к IG, <так и> GI к /£; так что и как первое к третьему, <так и квадрат> па первом к <квадрату> на втором (определение 9 книги V); и значит, как Ю к IE, так и <квадрат> на KI к <квадрату> на 10. <Квадрат> же на Ю соизмерим с <квадратом> на 10; ибо Ю, Ю соизмеримы в степени; значит, и А7 будет линейно соизмерима с IE (предложение 11); так что KI [будет] линейно соизмерима и с КЕ (предложение 15). Но КЕ рациональна и линейно соизмерима с ВС; значит, и KI рациональна и линейно соизмерима с ВС (предложение 12). И поскольку будет, что как ВС к CD, так и KI к IG, то «перестановкой» (предложение 16 книги V), как ВС к KI, так и DC к 10. Но ВС соизмерима с KI; значит, и 10 линейно соизмерима с CD (предложение 11). Но ВС, CD рациональные, соизмеримые только в степени; значит, и KI, 10 будут рациональными (определение 3), соизмеримыми только в степени (предложение 13); значит, КО будет бнномиалью (предложение 36). Если теперь ВС в квадратах больше CD на <квадрат> на соизмеримой с собой, то и KI в квадратах будет больше 10 на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 14). И если ВС будет соизмерима линейно с отложенной рациональной, то и KI (предложение 12), если же CD соизмерима будет линейно с отложенной рациональной, то и 10, если же никакая из ВС, CD, то и никакая из К/, 10 (предложение 13). Если же ВС в квадратах больше CD ira <квадрат> на несоизмеримой с собой, то и KI будет в квадратах больше 10 на <квадрат> иа несоизмеримой с собой (предложение 14). И если ВС соизмерима будет линейно с отложенной рациональной, то и KI, если же CD, то и 10 (предложение 12), если же никакая из ВС, CD, то никакая из KI, Ю. Значит, КО будет бииомиалыо, рациоиали KI, IG которой соизмеримы с рациоиалями ВС, CD вычета и в том же самом отношении, н ещё КО будет иметь тот же самый ранг, что и ВС (определения вторые и третьи); что и требовалось доказать (63), .
252 НАЧАЛА ЕВКЛИДА Предложение 114 Если площадь заключается между вычетом и бино- миалъю, рационала которой соизмеримы с рационаляма вычета и в том же салюм отношении, то кеадрирующая эту площадь будет рациональна. Пусть площадь между АВ, CD заключается между вычетом АВ и биномналью CD, ббльшая рациона ль которой пусть будет СЕ, и пусть рационали СЕ, ED бнномиа.чи будут соизмеримы с рационалями AI, IB вычета и в том же самом отношении, и пусть квадрирую- h £ { щая <прямоугольник> между AB, CD, С ЕВ будет И; я утверждаю, что И будет 1 ' 1 рациональной (черт. 124). //I—____н Действительна, отложим раднональ- pi l ную G и приложим к CD равную „ , м <1свадрату> на G <площадь>, образую- ■ i ■ i 1 щую ширину KL; значит, АХ будет Черт 124 вычетом, рационами которого пусть будут ЮИ, ML, соизмеримые с рационалями СЕ, ED биномиали п в том же самом отношении (предложение 92). Но и СЕ, ED соизмеримы с Л/, IB и в том же самом отношении; значит, будет, что как AI к IB, так и КМ к ML. «Перестановкой» (предложение 16 книги V), значит, будет, что как AI к КМ, так и BI к LM, значит, и остаток АВ будет к остатку АХ, как AI к КМ (предложение 19 книги V), Но Л/ соизмерима с КМ (предложенье 12); значит, и АВ будет соизмерима с KL (предложение 11), И как АВ к АХ, так и <прямоутольник> между CD, АВ к <[[ря\1оугольнику> между CD, KL (предложение 1 книги VI); значит, и <пря\юугольиик> между CD, AB будет соизмерим с <прямоугольником> между CD, KL (предложение 9). <Прямоугольник> же между CD, KL равен <квад- рату> на G; значит, <прямоугольник> между CD, AB будет соизмерим с <квадраточ> на G. <Прямоугольннку> же между CD, AB равен <квадрат> на И; значит, <ь'вадрат> иа И соизмерим с <квадратом> на G. <Квадрат> же на G рационален; рационален, значит, будет и <квадрат> на Н;
КНИГА ДЕСЯТАЯ ^^3 значит, рациональна будет и И. И она квадрируст <прямо- угольннк> между CD, АВ. Итак, если площадь заключается между вычетом и бин> миалью, рационали которой соизмеримы с рационалями вычета и в том же самом отношении, то квадрирующая эту площадь будет рациональна. Следствие И сделалось нам вследствие этого ясно, что рациональная площадь может заключаться между иррациональными прямыми. Что и требовалось доказать. Предложение 115 Из медаала возникают в бесконечном множестве иррациональные, и никакая никакой из предыдущих не тождественна. Пусть будет медиаль А\ я утверждаю, что из А возникают в бесконечном множестве иррациональные, и никакая никакой из предыдущих не тождественна (черт. 125). Вх ч С\ • 1 д* И Черт, 125. Отложим рациональную В, и пусть <лрямоугольнику> между В, А равен будет <квадрат> на С; значит, С будет иррациональной (определение 4); ибо <прячоугольннк> между иррациональной и рациональной будет иррациональным (предложение 20). И она никакой из предыдущих не тождественна; ибо <квадрат, построенный) на любой из предыдущих, будучи приложен к рациональной, не образует шириной медиаль. Затем, вот пусть <прямоугодьннку> между В, С будет равен <квадрат> на D; значит, <квадрат> на О
254 НАЧАЛА ЕВКЛИДА будет иррациональным (предложение 20). Значит, D будет '. иррациональна (определение 4); и никакой нз предыдущих ! не тождественна; ибо <квадрат, нос*1роенный> на любой из I предыдущих, будучи приложен к рациональной, не образует I * шириной С. Подобным же вот образом, при продвижении i такого же строя до бесконечности, очевидно, нз мсдналн ,[ возникают в бесконечном множестве иррациоиальчые, и никакая никакой из предыдущих не тождественна; что и требовалось доказать] (64, 65). !
КОММЕНТАРИИ JXD.Mojidyxau-!%)OJi*noeckoio е^э
я КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VII. 1. Единица. Для Евклида единица ещё не число, она занимает особое положение в Арифметике, и поэтому то, что доказано для числа вообще, для единицы приходится доказывать особо. Так и поступает Евклид, доказывая сперва, что если a;b = c:d, то a;c=-b;d, а затеи снова, что если l:a = c:d, то \;c = a;d. На вопрос, что такое единица, Евклид даёт неясное определение. Число — множество, составленное из единиц. Единица же — это что-то, вследствие чего существующее является единым. (Моуэт; Iotw, улЪ' Чр гч'аат&у -iov oviiuv it ).г(гс:<1.) Это определение, конечно, столь же логически мёртвое, как евклидово определение точки; оно тоже по существу является отрицательным. Чисто метафизические определения пифагорейцев, наоборот, положительны1). Согласно пифагорейдам3), единица — «граница между числом и частями*, т. е. между целыми числами и дробями, причём прибавляется, что она «семя и вечный корень», <то, с обеих сторон чего отношения возрастают?, т.е. единица является общей границей рядов 1, 2, 3, 4, ... и 1 — — - ' 2 3 4 Другие определяют единицу как границу малости. Это что-то вроде нашей низшей грани, не принадлежащей уже множеству но определяющей то, ниже чего не могут опуститься его элементы Тсон Смирнскцй3) выдвигает единицу как определяющую границу некоторой операции, именно вычитания: из едниипы уже нельзя вычесть никакого целого числа. Ч Н е a t h T. L., The thirteen Books of Euclid's Elements Cambridge, 1926, vol. II, Book VII, стр. 279. 2) GantorM, Vorles. uber Gesch. der Math., Bd L Leipzig, 1907. y *) T h e о n I s Smyrnaei philosoplii platonici expositio re- rum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, ed Hiller Leipzig, 1878. 17 Евклид
258 комментарии Аристотель 4) подчёркивает неделимость единицы: «Единица — эго неделимое в категории количества^. Он указывает на отличне арифметической единицы от точки, которая, являясь аналогичным элементом, имеет положение. Единица им называется точкой без положения. Ямблнх5) определяет единицу как «форму форм*,вследствие того, что единица потенциально содержит все формы числа: плоскостные, телесные и т. д. Это определение сближается с современным и логистическим (Рссселя) <>) определением числа как класса эквивалентных классов. Античные авторы очень резко подчёркивают, что единица во всяком случае не число. Мы находим зто утверждение не только у Аристотеля, но и значительно позже у Теона, у Марциана Капеллы"), у Боэция. На той же точке зрения стоят и арабские математики. Для Бен-Музы единица — общий корець чисел, но не число. То же говорит [ 1селл 8j. Даже Беха-Эддии э) — составитель арабского учебника XVI века — юворнт то же. Можно сказать, что только средние века дали единице право гражданства. Орозм 10) определённо говорит, что единица — истин- ног число. Утверждение, что единица — число, защищается Раму- сом1!), а за ним Стевиноу'3). Аргументы Стевина следующие: 1) Части — той же природы, что целое; поэтому, если целое — число, то единицы — числа. Единица — часть совокупности единиц или множества, а потому той же природы, что и это множество. 2) Если изданного числа вычитается то, что не является числом, т. е. никакое число, то число остаётся тем же. Но если из числа вычесть единицу, то остаётся другое число. ■*) Aristoteles, Metapliysica (русск. пер. А. В. Кубицкого, М.-Л., 1934). •^ lamb И thus, IntrodiicUo in Nicomachi arithmeticam, ed. Tennuliois, Arnhei.i], 1668. Ё) Russel (and W h i t e h e a d), principia Mathematica, Cambridge 1910—1913. ij Mardanus С a p e 11 a, De nuptiis Philologiae et Mcrcurii et de septcm anions iiberalibus, cd. Kopp, 1836, Fraukf. a. M. "*) P-scllns, Compendium Maihematicam Bataviae, 1647. y) В с chu - E ddi n, Essenz der Rechenkunst (Nesselman), Berlin, 1843, l(lj Oresmus в «Bibliotneca Mathema