Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики - Ананченко К.О. Коваленко В.С. Воробьёв Н.Т., Большаков Н.Е., Коробенок Е.В., Новик И.А.

Author: Ананченко К.О. Коваленко В.С. Воробьёв Н.Т. Большаков Н.Е. Коробенок Е.В. Новик И.А.
Tags: алгебра общая и неорганическая химия математика математический анализ естественные науки 10 класс
ISBN: 985-12-0229-0
Year: 2000
Similar
Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 10 класса
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы
Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10-12 классов вечерней (сменной) школы и самообразования
Text
                    АЛГЕБРА

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Hm(l+i)"=e»2,718281828459045...
. , . , xlxlx lx 1 Л
lim^-=l
X	х-»0 X
ПРАВИЛА ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА
lim с=с
lim (f(x) ± g(x))=lim f(x) ± lim g(x)
limcf(x)=climf(x)
lim (f(x) g(x))=lim f(x) lim g(x)
lim(f(x))”=(limf(x))"
НгтЛ(х)-фР^*) .если limg(x)*0
™g(x) limg(x)
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
Учебник для 10 класса
с углубленным изучением математики
общеобразовательной школы
с русским языком обучения
Издание второе, доработанное
Утверждено
Министерством образования
Республики Беларусь
МИНСК «НАРОДНАЯ АСВЕТА» 2000
УДК 512(075.3=82)
ББК 24.14я721
А64
Авторы:
К. О. Ананченко, В. С. Коваленко, Н. Т. Воробьев,
Н. Е. Большаков, Е. В. Коробенок, И. А. Новик
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор,
зав. кафедрой высшей алгебры БГУ О. И. Тавгень;
учитель высшей категории СШ № 50 г. Минска Г. И. Украинец
Условные обозначения:
• — конец доказательства
— советуем прочесть
Алгебра и начала анализа: Учеб, для 10-го кл.
А64 с углубл. изучением математики общеобразоват.
шк. с рус. яз. обучения/К. О. Ананченко, В. С. Ко-
валенко, Н. Т. Воробьев и др.— 2-е изд., дораб.—
Мн.: Нар. асвета, 2000.— 541 с.: ил.
ISBN 985-12-0229-0.	УДК 512(075.3=82)
ББК 24.14я721
ISBN 985-12-0229-0
© Коллектив авторов, 1996
© Коллектив авторов, доработка, 2000
© Клюяко Б. Г., оформление, 1996
© УЛ «Народная асвета», 2000
Математик, оперируя множеством
символов, явно имея дело с чисто фор-
мальными истинами, тем не менее может
достичь бесконечно важных результатов
для описания физического мира.
К. ПИРСОН
Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
1. КООРДИНАТНАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Известно, чтобы задать систему координат на пря-
мой, выбирают на ней начало отсчета, положительное
направление и единицу измерения длины. Аналогично,
для задания системы координат на окружности доста-
точно выбрать начало отсчета, направление обхода (по
часовой стрелке или против часовой стрелки) и единицу
измерения длины (на окружности естественно взять дли-
ну радиуса этой окружности).
Координатная окружность — это окружность единич-
ного радиуса, на которой выбрано начало отсчета А
и указано направление обхода (рис. 1). В качестве
положительного направления обхода выбираем направ-
ление против часовой стрелки.
Пусть начало отсчета (точ-
ка А) совпадает с правым
концом горизонтального диа-
метра.
Вертикальный и горизон-
тальный диаметры делят коор-
динатную окружность на дуги
АВ, ВС, CD, DA (см. рис. 1).
Эти дуги называют соответст-
венно I, II, III и IV четвертями
окружности.
Установим соответствие
между множеством R всех
3
действительных чисел и множе-
ством точек координатной окруж-
ности.
Из курса алгебры 8-го класса
известно, что каждому действи-
тельному числу соответствует
единственная точка на коорди-
натной прямой. Установим соот-
ветствие между точками коорди-
натной прямой и точками коорди-
натной окружности следующим
образом.
1) Числу 1 = 0 поставим в со-
ответствие точку А (рис. 2).
2) Если число />0 взято на
координатной прямой, то, двига-
ясь из точки А в положительном
направлении (против часовой
стрелки), пройдем по окружности
путь длиной t. Конец этого пу-
ти — точку М и сопоставим числу
t (см. рис. 2). Если 0</<2л, то
длина этого пути равна длине
дуги AM. Если же i^2n, то этот
путь состоит из нескольких обхо-
дов окружности и из дуги AM.
3) Если число отрицательное, то, двигаясь из точки А
в отрицательном направлении (по часовой стрелке),
пройдем по окружности путь длиной |/|. Конец этого
пути — точку М' и сопоставим числу —t.
Наглядно отображение координатной прямой на ко-
ординатную окружность сводится к «наматыванию» всей
прямой на окружность, при котором начало координат
совпадает с точкой А на окружности, положительная
полуось «наматывается» в положительном направлении,
а отрицательная — в отрицательном.
Итак, каждое действительное число однозначно изоб-
ражается на координатной окружности; по своему изоб-
ражению оно восстанавливается уже неоднозначно. При
обходе по окружности в одном направлении целого числа
оборотов мы попадаем в исходную точку, а значит,
каждой точке координатной окружности наравне с не-
которым числом t соответствует и любое число /-|-2л£,
где k^Z. Тот факт, что точка М является изобра-
жением числа t, запишем так: М (/); при этом t назо-
4
вем координатой точки М на координатной окруж-
ности.
Если длину дуги окружности радиуса R обозначить
через /, радианную меру центрального угла этой окруж-
ности, опирающегося на данную дугу, через а, то на
/
основании определения радианной меры угла — = а,
А
откуда l = Ra. Очевидно, что если R = 1, то / = а и длина
дуги окружности единичного радиуса совпадает с ее
„	180°-а
мерой в радианах. Напомним также, что арад=—-—.
Пример 1. Найдем на координатной окружности
точки А (0), В (уу С (л), Р^л^.
Числу 0 соответствует начало отсчета — точка А (0)
(рис. 3). Так как длина всей окружности равна 2л, то
л
у — это длина дуги, составляющей четверть окружности.
Значит, если мы из точки А отложим в положительном
направлении дугу, длина которой равна четверти длины
окружности, то получим искомую точку В (уУ Анало-
гично находим остальные точки (см. рис. 3).
Пример 2. Найдем на координатной окружности
точки М и N (— у'У
19 л.	Зт
Построим сначала точку М. Так как —— = 4л-|--^-, то
для отыскания точки М откладываем от точки А (0) в по-
19л . Зл
ложительном направлении дугу в —----4л = — радиан,
3-180° 1QC-O ,	..
т. е. —-—=135 (рис. 4).
5
Построив в отрицательном направлении дугу в —
рад, т. е. в 150°, получим точку N (рис. 5). Эту же точку
можно получить, построив в положительном направле-
нии дугу в — рад, т. е. в 210°. (Объясните почему.)
Пример 3. Построим на координатной окружности
точки, соответствующие числам —, где k = 1, 2, 4, 5, 7, 8,
10, 11.
Разделим на три равные части каждую из четвертей
и	Jt f Л k rr«
координатной окружности, поскольку —	Тогда
длина одной такой части равна = р Искомые точки
Е, F, Р, Q, R, S, Т, И показаны на рисунке 6.
Задание 1. п точек делят координатную окруж-
ность на п равных частей. Одна из точек изображает
число t. Запишите все числа, изображаемые этими точ-
ками.
Задание 2. Объясните следующие свойства уста-
новленного выше соответствия между множеством всех
действительных чисел и множеством всех точек коорди-
натной окружности:
а)	числам t\ и t2 соответствует одна и та же точка М
координатной окружности в том и только том случае,
когда Zj —/2 = 2лп,
б)	точки М (t) и 7V (— t) симметричны относительно
прямой ОА, где А — начало отсчета на окружности,
а О — ее центр;
в)	точки М (/) и IV (/-(-л) симметричны относительно
центра окружности.
6
Упражнения
1. Отметьте на координатной окружности точки, со-
ответствующие числам: 0;	%; 4; —2л; —-г-л; 4'»
2. о О О	2	4
Зл.	Зл 11л
Т’’	Г’ ~¥~'
2.	Укажите все действительные числа, соответствую-
щие точкам координатной окружности, изображенным
на рисунке 7 (а — е).
3.	На координатной окружности отметьте точки, со-
ответствующие числам где 3, 5, 7}.
4.	На координатной окружности отметьте прибли-
женно точку, соответствующую числу: а) 25; б) —12.
5.	В какой четверти координатной окружности нахо-
дится точка, соответствующая числу:
а) б) —в) 10; г) -7; д) л + 2; е) у + 4?
6.	Найдите соотношения между действительными
числами ti и t2, если соответствующие им точки коорди-
натной окружности:
а)	совпадают;
б)	диаметрально противоположны;
в)	симметричны относительно прямой ОА, где А — на-
чало отсчета;
Рис. 7
г)	симметричны относительно прямой ОВ, перпенди-
кулярной ОА;
д)	симметричны относительно прямой, делящей угол
ОАВ пополам.
7.	На координатной окружности точке Q соответству-
я	5л
ет число: а) у; б) —Найдите ближайшие друг к дру-
гу и соответствующие точке Q два числа, между которы-
ми расположено данное число.
8.	Как меняется число t, когда соответствующая ему
точка движется по координатной окружности: а) по
часовой стрелке; б) против часовой стрелки (при усло-
вии, что число t нигде не совершает скачка на 2л£,
*eZ)?
9.	На координатной окружности даны точки /4(0);
(у)5 С Gr)’ Gr)‘ Запишите неравенство, которому
удовлетворяют все числа, соответствующие точкам;
а) меньшей дуги ВС\ б) большей дуги BD.
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Положение точки на координатной окружности мож-
но задать ее декартовыми координатами. Выберем систе-
му координат на плоскости так, чтобы начало этой
системы координат совпало с центром О координатной
окружности, положительный луч оси абсцисс проходил
через начало отсчета А (0) на этой окружности, а поло-
жительный луч оси ординат— через точку В (-0 той же
окружности (рис. 8). За единицу длины берется радиус
окружности.
Определение. Сину-
сом действительного числа
t (обозначают sin t) назы-
вают ординату точки, ле-
жащей на координатной
окружности и соответствую-
щей числу t (см. рис. 8).
Определение. Коси-
нусом действительного чис-
ла t (обозначают cos /) на-
зывают абсциссу точки, ле-
жащей на координатной
8
окружности и соответствующей числу t (см. рис. 8).
• Запись М (/) показывает положение точки М на коор-
динатной окружности, а запись М (cos t\ sin /) — положе-
ние этой же точки на координатной плоскости.
Определение. Соответствие, по которому каждо-
му действительному числу х сопоставляют синус этого
числа, называют функцией синус и обозначают i/ = sinx.
Определение. Соответствие, по которому каждо-
му действительному числу х сопоставляют косинус этого
числа, называют функцией косинус и обозначают
у = cos х.
Областью определения этих функций является мно-
жество R всех действительных чисел. Множеством их
значений является отрезок [—1; 1], потому что, когда
точка М описывает координатную окружность, ее орди-
ната и абсцисса принимают все значения из этого от-
резка.
Введем определения тангенса и котангенса числового
аргумента.
Определение. Тангенсом действительного числа
t (обозначают tg t) называют отношение синуса этого
числа к косинусу того же числа:
sin t
cos t
если оно существует.
Определение. Котангенсом действительного чис-
ла t (обозначают ctg t) называют отношение косинуса
этого числа к синусу
того же числа:
cos t
ctg/=^-,
sin t
на нуль нельзя, то тангенс суще-
если оно существует.
Поскольку делить
ствует для всех действительных чисел I, кроме тех, для
которых cos/ = 0, т. е. кроме чисел / = у-(-лй, k<=Z. По
аналогичной причине котангенс существует для всех
чисел, кроме чисел zik, k^Z.
Дадим наглядное представление о тангенсе и ко-
тангенсе. Рассмотрим прямую х=1, проходящую через
точку А (0) координатной окружности (рис. 9).
Пусть для определенности 0</<4р Точку пересече-
ния указанной прямой с лучом, выходящим из точки О
9
и проходящим через точку М (/) на координатной
окружности, обозначим через В. Из подобия треугольни-
ков ОКМ и ОАВ получаем: — Поскольку ОА — 1,
MK = sin£, ОК = cost, то
. п sin I 2
АВ =---------= tg I.
cos t
Итак, тангенс числа t равен ординате точки В пересе-
чения луча ОМ (/) с прямой, проходящей через точку А
перпендикулярно оси Ох. Легко показать, что это верно
для любого числа t, не равного	k^Z (а не
только для чисел из промежутка ^0; -^). Поэтому эту
прямую называют линией тангенсов.
Аналогично можно показать, что абсцисса точки N
пересечения луча, выходящего из точки О и проходяще-
го через точку М (/) координатной окружности, с прямой
у=1 есть котангенс числа t (рис. 10). Эту прямую назы-
вают линией котангенсов.
Определение. Соответствие, по которому каждо-
му действительному числу + neZ, сопоставля-
ется тангенс этого числа, называют функцией тангенс
и обозначают y = tgx.
Область определения функции тангенс состоит из
всех действительных чисел, кроме чисел у-|-л£, fceZ.
Множеством значений функции тангенс является мно-
жество /? всех действительных чисел. В самом деле,
пусть у — любое действительное число. Возьмем на ли-
10
нии тангенсов точку А с ординатой у. Прямая ON пере-
секает координатную окружность в некоторой точке
Р (t). При этом y = tgt- Ввиду произвольности вы-
бора у получаем, что множеством значений функции
тангенс является множество R всех действительных
чисел.
Определение. Соответствие, по которому каждо-
му действительному числу х^=лп, n^Z, сопоставляется
котангенс этого числа, называют функцией котангенс
и обозначают y = ctgx.
Область определения функции котангенс состоит из
всех действительных чисел, кроме чисел лп, где neZ.
Множеством значений функции котангенс является мно-
жество R всех действительных чисел. (Объясните по-
чему.)
Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называ-
ют основными тригонометрическими функциями. Их зна-
чения находятся (с той или иной степенью точности)
с помощью таблиц или микрокалькулятора.
Рассмотрим прямоугольную систему координат и в
ней координатную окружность (рис. 11). Точки А (0),
S ^0, С (л),	разбивают координатную окруж-
ность на 4 дуги, называемые четвертями этой окружно-
сти. Рассмотрим изменения значений функций синус
и косинус с изменением значений аргумента от 0 до 2л.
При перемещении точки М (/) от точки А до точки В
ее абсцисса уменьшается от 1 до 0, а ордината возраста-
ет от 0 до 1. Отсюда вытекает, что на отрезке |\); yj
функция синус неотрицател!
функция косинус неотрица-
тельна и убывает от 1
до 0. Аналогичным образом
убеждаемся, что на отрезке
л^ функция синус не-
отрицательна и убывает от
1 до 0, а функция косинус
неположительна и убывает
от 0 до —1. На отрезке
Г з 1 к .
|л; ул| °бе функции непо-
ложительны, и функция си-
нус убывает от 0 до —1,
а
и возрастает от 0 до
Лчетверть
В ТчетЬерть
Шчетберть р
ЛГчетберть
Рис. 11
а функция косинус возрастает от —1 до 0. Наконец,
Гз 1
на отрезке lyn; 2л функция синус неположительна,
а функция косинус неотрицательна, и функция синус
возрастает от —1 до 0, а функция косинус
возрастает от 0 до 1.
Схематически знаки значений функции z/ = sinx с из-
менением аргумента х по четвертям показаны на ри-
сунке 12, а знаки значений функции y — cosx — на ри-
сунке 13.
„	,	, sin t /	cos t \	,
Но определению tg t=----I ctg i=----), поэтому функ-
cos t \	sin t/
ция тангенс (котангенс) положительна, если sin t и cos t
имеют одинаковые знаки, и функция тангенс (котангенс)
принимает отрицательные значения, если sin t и cos i
имеют противоположные знаки.
Из рисунков 12 и 13 вид-
но, что tg t > 0, если число /
на координатной окружности
находится в первой или в
третьей четверти, и tg/<0,
если число t—во второй
или в четвертой четверти.
Знаки значений функций
тангенс и котангенс схема-
тически показаны на ри-
сунке 14.
12
Упражнения
10.	Может ли значение функции синус быть равным:
а) 0,68; б)
11.	Может ли значение функции косинус быть
равным:
а) —2,7;
г) 1?
12.	Может ли значение функции тангенс быть
равным:
а) 5; б) 1; в) 0,87; г) О?
13.	В какой четверти координатной окружности нахо-
дится число t, если:
a) sin /<0;
г) sin I >0
е) sin />0
б) cos/>0; в) cig i<0;
и cos/<0; д) sin/С0 и cos/<0;
и tg/<0; ж) tgZ>0 и cos/<0?
14.	В какой четверти находится число /, если /е{1, 2,
3, 4, 5, 6}?
15.	Найдите значения основных тригонометрических
функций для следующих значений аргумента: 0; л; у;
л _ л Зл, л л.	2л
Т’ — Т’ ~б’ "з’	з~’
16.	Существует ли число, синус и косинус которого
одновременно равны нулю?
17.	Постройте на координатной окружности точки,
которым соответствуют числа I такие, что:
a)	cos/=—-Ь г) cos/=— ж) ctg t = 5;
О	О
9
б)	sin / = — -; д) tg/ = 3;	з) ctg/=—3.
и
9
в)	cost = —;	е) tg/=—-2;
и
3.	ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Многие процессы в природе и технике повторяются
через определенные промежутки времени. Такие процес-
сы называют периодическими. Например, если маятник
13
делает одно полное колебание за Т секунд, то его откло-
нение от положения равновесия в моменты времени t,
t-\-2T и т. д. будет одним и тем же. При вращении
Земли вокруг Солнца ее расстояние от Солнца все время
меняется, но после полного оборота Земля оказывается
на том же расстоянии от Солнца, что и год тому назад.
Изучение таких процессов приводит к необходимости
рассмотрения периодических функций.
Определение. Функция f называется периодиче-
ской, если существует такое число ТУ=0, что при лю-
бом х из области определения функций / числа (х—Т)
и (x-J-T) также принадлежат этой области и выполня-
ется равенство
t — f (х).
В этом случае число Т называют периодом функции f.
Из этого определения следует, что если Т — период
функции y = f(x), то 2Т— также ее период.
Действительно: 1) если гей(/), то x-|-7eD(/),
откуда ((%+ 7) + T)eD (/), т. е. (х + 27)е£> (/);
2) / (х + 27) = /((х-)-7)+7) = /(х+7) = /(х). Это озна-
чает, что 2Т—период функции y = f(pc).
Аналогично можно установить, что 37, 47, вообще
любое число пТ, где n^N, являются периодом этой
функции.
Докажем, что если 7—период функции z/ = /(x), то
число —7 также является периодом этой функции.
В самом деле, если x^D(f), то (х-7)еЬ(/), тогда
/(х + (-7)) = /((х-7)+7) = /(х).
Это означает, что — 7 является периодом функции.
Аналогично можно проверить, что периодами этой
функции являются также числа —27, —37, ... .
Таким образом, если 7 — период функции y = f (х), то
любое из чисел пТ, nsZ и п#=0, является периодом этой
функции.
Наименьший из положительных периодов функции f
(если он существует) называют ее основным (главным)
периодом.
Пример 1. Функция f(x) — {x} периодическая с пе-
риодом 7 (7 — любое целое число, отличное от нуля),
так как:
а)	для любого действительного числа х числа
х—7 и х-|-7 принадлежат области определения этой
функции;
14
-3-2-10	12 3х
Рис. 15
б)	эту функцию можно записать так: /(х) = х— [х],
тогда /(х-|-7’) = х+7’-[х+7] = х+7’-[х]-7’ = /(х).
Здесь мы учли, что [х+Л — И+Л где Т — любое целое
число.
Наименьшее целое положительное число равно еди-
нице. Следовательно, основной период данной функции
Т= \ (рис. 15).
Пример 2. Функция g (х) = 3 имеет периодом любое
действительное число (докажите), но наименьшего поло-
жительного периода эта функция не имеет.
Теорема 1. Функции синус и косинус периодиче-
ские с основным периодом 2л.
Доказательство. Областью определения функ-
ции синус и косинус является множество всех действи-
тельных чисел. Поэтому числа х, х + 2л, х — 2л принад-
лежат области определения функций синус и косинус.
Поскольку точки Р (х), Р(х4~2л) на координатной
окружности совпадают, то
sin (x-]-2.n) = sin х, cos (x4~2.n) = cos х.
Значит, 2л является одним из периодов функций
синус и косинус. Докажем, что 2л — основной период
этих функций.
Докажем это для функции синус. Будем искать пе-
риод Т такой, что 0<7’<2л. Тогда для любого х:
sin (х+ Т) = sin х. При х = 0 получаем sin Г = sin О —О,
откуда T=nk, k^Z. Условию 0<7'<;2л удовлетворяет
только k = l, т. е. 7’=л. Но л не является периодом,
поскольку, например, при х = — получаем siiiy=l,
a sin (у-|-л^ = ~ 1 ¥=sin Следовательно, такого пе-
риода Т не существует, и наименьший положительный
период функции синус равен 2л.
15
Аналогично доказывается, что 2л — основной период
функции косинус. •
Теорема 2. Функции тангенс и котангенс периоди-
ческие с основным периодом л.
Доказательство. Рассмотрим координатную
окружность (рис. 16). При любом значении аргумента из
области определения функции тангенс числа х-рл
и х —л также принадлежат области определения этой
функции. Пусть точка Р (х) координатной окружности
имеет декартовы координаты (а; Ь), тогда точка
Р'(х-\-л), симметричная точке Р (х) относительно начала
координат, имеет декартовы координаты (— а; —Ь). Так
как cosx = a, sinx = /?, cos (х-)-л)=—a, sin(x-|-n) =
= —b, то:
sin (x-|-n)   — b b
cos (x +n) a a
sin x
-----= tgx.
COS X
Это означает,
ции тангенс.
Аналогично:
что число л — один
из периодов функ-
cos (x + л)   —a a
sin (x-|-n)	—*
COS X
-----= ctg X.
sin X
Это означает, что число л — один из периодов функ-
ции котангенс.
Докажем, что л — основной период функции тангенс.
В самом деле, пусть существует период Т, удовлетво-
ряющий неравенству 0<7’<л. Покажем, что тогда ра-
венство tg (х+ Т) = tg х не
положим противное, т. е
tg Т — 0, откуда 7’ = л/г,
выполняется при х = 0. Пред-
что tg (0+ T) = tg 0. Тогда
:Z. Однако ни одно из значе-
ний T — nk, 6е/,не удовлет-
воряет неравенству 0<Т<
<л. Полученное противоре-
чие показывает, что Т — л —
основной период функции
тангенс.
Аналогично доказывает-
ся, что л — основной период
функции котангенс. •
Свойством периодично-
сти функции пользуются
при построении ее графика.
Если Т — период функции
16
у = f (х), то можно построить ее график на одном из
промежутков длины Т, затем произвести параллельный
перенос вдоль оси Ох на ± Г, ±2Т, ±37, ... (рис. 17).
Упражнения
18.	Докажите, что для функции у — cos 2х число
Т =—Зя является периодом.
19.	Может ли периодическая функция быть возраста-
ющей: а) на всей числовой прямой; б) на промежутке
(100; 1000); в) на промежутке (0; 4-оо)?
20.	Докажите, что функция у = х2, x^R, не является
периодической.
21.	Пользуясь периодичностью тригонометрических
функций, запишите значение функции так, чтобы аргу-
мент был выражен наименьшим возможным положи-
тельным числом:
.	35л	.	20л	, , 2021	, ,	122
a) sin—; б) cos—;	B)tg—— л; г) ctg —л.
22.	Вычислите:
1-17	• 27	.	23л
a) sin 17л;	б)	sin —л;	в) cos——;
'	'2	4
. ,	16л	,	.	35л	. , 37
г) tg —;	д)	ctg —;	е) ctg—я.
4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Если Т — основной период функции
т
у = ((х),то число — является основным периодом функ-
ции y — f (ах), где а — любое положительное число.
Доказательство. Положим
/(ax) = g(x).	(1)
Тогда для любого действительного числа х-\-1, при-
надлежащего области определения функции g (х), имеем
17
g(x + l) = f(a(x + l)) = f(ax + al).	(2)
Поскольку T — основной период функции f (х), то наи-
меньшее положительное число, при котором / (ах + а/) =
= f(ax) для любого х, есть al = T.
Тогда из равенств (1) и (2) получаем
g(x + l)=f(ax + al)=f(ax) = g(x).
т
Следовательно, /=—— основной период функции
g(x) = /(ax). ®
Например, основной период функции y = cos 2х равен
2л:2 = л, а функции z/ = cos-|- равен 4л.
2л
Теорема 2. Число Т — ~ основной период функ-
ций у=А sin (ах + 6) и у=А cos (ах4~6),« число — —
основной период функции у=А tg (ах 4- Ь).
Докажите самостоятельно.
Теорема 3. Если периодические функции у =
— (х) и y = f2 (х), х^Х, имеют один и тот же период Т,
то их сумма, разность и произведение тоже будут
периодическими функциями и число Т будет их пе-
риодом.
Докажите самостоятельно.
Например, функции y = sin2x и z; = cos2x имеют
один и тот же период л, следовательно, функции у =
= sin 2x4-cos 2х, # = cos 2х — sin 2х и у = sin 2x-cos 2х пе-
риодические и число л является их периодом.
Периоды функций Д и Т2 называют соизмеримыми,
если существуют такие целые отличные от нуля числа
тип, что т1\ = пТ2.
Пример 1. Выясним, являются ли соизмеримыми
2	3
периоды Т1=— и Т2 = -^.
Данные периоды будут соизмеримыми, если уравне-
2	3
ние — т = —п имеет решение на множестве Z\{0). Это
уравнение равносильно такому: 10т = 9л, откуда m = 9k,
n=lQk, £eZ\{0). Например, -9=-10 = 6.
Ответ: периоды соизмеримы.
Теорема 4. Если периодические функции y = ft (х)
и y = f2 (х), х^Х, имеют соизмеримые периоды Д и
то они имеют общий период.
18
Доказательство. Поскольку 7’1 и Т2 соизмеримы,
to существуют целые числа тип такие, что тТ\ = пТ2=
= Т=£0. Следовательно, Т — общий период функций
У=Ь (х) и г/ = /2(х). •
По теореме 3 Г будет также периодом функций
У = 1\	+	y=fi(x)—f2(x), y=fAx)’f2(x). •
Пример 2. Найдем период функции
у = sin Зх + sin 4х.
Функция z/ = sin3x имеет период 7'1=^-, а функция
i/ = sin4x— период Т'2 = у. Периоды Т1 и Т2 соизмеримы:
З7'| = 47’2 = 2л.
Следовательно, число 2л является периодом данной
функции.
Пример 3. Найдем период функции
t/ = cos 2x-cos 6х.
Период функции z/ = cos2x равен 1\ = л, а функции
2л л
i/ = cos6x равен 7'2=-^-=у. Периоды Т{ и Т2 соизмери-
мы, так как 1 • Т\ = 3- Т2 = л. Следовательно, период дан-
ной функции Т = л.
Не следует думать, что если Г, и Т2 — основные
периоды функций Д (х) и f2(x), то наименьшее положи-
тельное число Т, удовлетворяющее условиям: T = tnl\ =
= пТ2, m, neZ, обязательно является основным перио-
дом функций /, (х) + /2(х) и fi (x)-f2(x). Например, основ-
ные периоды функций у = sin х + sin 2х и у=—sin х
равны 2л, а основной период их суммы z/ = sin2x ра-
вен л.
Теорема 5. Пусть y = g (f (х)) — сложная функ-
ция. Тогда, если функция f (х) периодическая с перио-
дом Т, то и данная функция периодическая с перио-
дом Т.
Доказательство очень простое. Попробуйте найти его
самостоятельно.
Например, функция у = sin 2х периодическая с перио-
дом л. В силу теоремы 5 функция z/ = 3sin22x —
1 । с
--------1-5 периодическая с периодом л.
sin 2х
Не следует, однако, думать, что если Т — основной
период функции y = f(x), то Т будет основным периодом
19
и для функции y = g(f(x)). Например, основной период
функции r/ = sinx равен 2л, а основной период функции
у = (sin х| равен л.
Упражнения
23.	Найдите период функции:
a)	z/ = cosax;	в) у — 5 sin (0,25лх);
б)	z/ = sin2x;	г) z/ = cos (|х—^0.
24.	Найдите наименьший положительный общий пе-
риод двух функций, если они периодические с основными
периодами:
а)	15 и 12; в) Зл и 4л; д) и
I х I О
б)	и 4; г) -2- и е) л и 3,14.
25.	Найдите период функции:
а)	У = tg |+ sin 2х;
б)	y=sln- + tg-;
в)	z/ = sin	—j) + 5tg(3x—2-);
г)	z/ = sin 2х — 2 tg ^х — у) + 3 cos Зх.
26.	Докажите, что функция / (х) = —cos х  является
1 + sin х
периодической с периодом 2л.
27.	Докажите, что функция z/ = cosV7 не является
периодической.
5.	СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ # = sinx
Рассмотрим основные свойства функции z/ = sinx.
1°. D (sin) = /? (по определению функции синус).
2°. £(sin) = [—1; 1] (по определению синуса числа).
3°. Функция синус нечетная.
В самом деле, область ее определения симметрична
относительно нуля. Для любого действительного числа
х точки М (х) и N (— х) координатной окружности симмет-
ричны относительно оси Ох (рис. 18). Поэтому ординаты
20
этих точек отличаются друг от друга лишь знаком,
т. е. sin ( — х) =—sin х.
4°. Функция синус периодическая с основным перио-
дом 2л. (Свойство доказано в п. 3.)
5°. Нулями функции являются точки яп, где n^Z.
Действительно, на координатной окружности есть
лишь две точки, ординаты которых равны нулю,— точки
А и С (рис. 19):
Л (0) = Д (1; 0) и С(л) = С( —1; 0),
где записи Л (0) и С (л) показывают положения точек
А и С на координатной окружности, а записи Д(Г, 0)
и С( — 1; 0) — положения этих же точек на коорди-
натной плоскости.
Точкам А и С соответствуют числа 2л«, neZ, и
л-|-2лп = (2я-|-1) л, n^Z. Объединяя полученные два
множества чисел, получаем множество чисел hin\neZ},
для которых sinx = 0.
6°. Функция синус принимает положительные значе-
ния при всех хе(2лп; л-|-2лп), n^Z, а отрицательные
значения при всех хе(л4-2ллг; 2л-|-2л/г), n^Z.
Задание. Установите свойство 6°, пользуясь коор-
динатной окружностью (см. рис. 19).
7°. Функция возрастает от — I до I на промежутках
£ — -^ + 2лл; у4-2лп^, neZ, и убывает от 1 до —I на
промежутках |у + 2лп; -^ + 2л^, neZ.
В самом деле, при возрастании значений аргумента
л л
от —у до — ординаты соответствующих точек коорди-
21
функции синус равно 1
натной окружности возраста-
ют от — 1 до I, а при возра-
стании значений аргумента
л Зл
от — до -у ординаты со-
ответствующих точек коорди-
натной окружности убывают
от 1 до — 1 (рис. 20). Исполь-
зуя периодичность функции
синус, можно легко записать
все промежутки возрастания
и убывания рассматриваемой
функции.
8°. Наибольшее значение
и достигается при х = у-|-2лп,
neZ; наименьшее значение данной функции равно —1
и достигается при х=-|-л + 2л/г, n^Z.
График функции г/ = зшхна отрезке |0; л] с учетом ее
свойств показан на рисунке 21, а. Так как функция
синус — нечетная, то, отобразив построенную часть гра-
фика симметрично относительно начала координат, по-
лучим график функции на отрезке [ — л; л] (рис. 21,6).
Затем, воспользовавшись периодичностью функции си-
нус, строим ее график на всей области определения (рис.
21, в). График функции i/ = sinx называют синусоидой.
22
Упражнения
28.	Для функций z/ = 2sinx, у= |sin х|, у=— sin х
укажите: а) область определения; б) область значений;
в) периодичность; г) четность, нечетность; д) точки пере-
сечения с осями координат; е) промежутки возрастания
и убывания. Постройте графики функций.
29.	Найдите область определения функции:
a) t/ = 5 sin (Зх —2); в) У=^~', 6)y = sin|;	г) у — ~~~', х	sin X	.	sin2 х д) у=——; Sin X .	I sin х| е) У—~.	 sin X
30.	Найдите область значений функции:
а)	у = 5 sin х;	г)	у = 2 sin (Зх+ 1) — л;
б)	у = 3 sin х-f-2;	д)	z/ = sin |х|;
в)	У =---j;	е)	z/ = sin (х -f-х).
31.	Четной или нечетной является функция:
a} # = sin5x;	г) у —5 sin3 х — 2 sin х;
б)	у = 2 sin2 х;	д) z/ = sin х-р 1;
в)	z/ = sin2x-|-sin х;	е) y = x3sinx?
32.	Найдите:
, . 13л	. 53л	, . /	17 \
a) sin -; б) sin -т-; в) sin ( —— л ).
2	3	у о /
33.	Определите знаки выражений:
.	. 5л . 7л . 4л
a)	sin —-sin--sin —;
4	3	5
б)	sin 1-sin 2-sin 3>sin 4;
в)	sin 2-sin (— 3)-sin (— 5).
34.	Найдите промежутки возрастания и убывания
функции:
a) z/ = sin Зх; б) z/ = sin-^-; в) у = sin (2x4-3).
35.	Докажите, что:
a)	sin sin л; в) sin (3,7л)= — sin (0,3л);
б)	sin-2->sin	г) sin (2,2л) — sin (0,2л).
4	о
23
36.	При каких значениях х выражение sin х — 0,5:
а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
37.	Постройте график функции:
а)	у= —sin х;
б)	У=-^ sin х;
в)	у = sin 2х;
г)	z/ = sin—;
д)	у = sin (л
е) у = sin (х +
ж) у — — sin
з) у = 2 sin (Зх
и) z/ = sin-х;
□
к) у— — 2 sin /
38.	Как, зная график функции i/ = sinx, построить
график функции:
а)
б)
в)
е)	у — sin х + 2;
ж)	у — — sin х+1;
з)	у— — sin х— 1;
и)	у — sin (х + 0
к) у = 2 sin (хф-л)?
у= — 2 sin х;
// = 0,5 sin х;
у = sin 2х;
. 1
у —sm — х;
д) у = sin х —2;
39.	Постройте график функции:
a)	i/ = (Vsin х)2;
б)	// = (V^T+2)2;
40.	Постройте график функции:
а) у — |sin х|;
б) z/ = sin |х|;
, |sin х|
в) */=——;
sin X
41.	Изобразите
ство точек таких, что:
|//| =sin х;
I//I = |sin х|;
г)	у= | sin х| — sin х;
д)	у= |sin х| — sin |х|;
.	|sin л|
е)	У =--------х.
sin х
координатной плоскости множе-
на
г)	у — |//| sin х;
, sin |2х|
д)	У = -г—г;
I sin х|
е)	z/ = |sin|x — у||.
б)
\у\ = sin |х|;
21
6.	СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ y = cosx
Свойства функции z/ = cosx устанавливаются анало-
гично свойствам функции z/ = sinx (соответствующие до-
казательства проведите самостоятельно).
1°. D(cos) = #.
2°. E(cos) = [-1; 1].
3°. Функция косинус четная.
4°. Функция косинус периодическая с основным пери-
одом 2л.
5°. Нулями функции являются точки у + лп, neZ.
6°. Функция косинус принимает положительные зна-
чения при всех х е ( —2лл; у-(-2л/г), neZ, а отрица-
тельные значения при всех хе (у 4-2лп; -| л -|-2ля^,
neZ.
7°. Функция косинус возрастает от — 1 до 1 на
промежутках [ — л-|-2ля; 2лп], neZ, и убывает от 1 до
— 1 на промежутках [2лп; л + 2лп], п е Z.
8°. Наибольшее значение функции косинус равно 1
и достигается при х — 2л.п, neZ; наименьшее значение
равно —1 и достигается при х = л-|-2л/г, »eZ.
График функции z/ = cosx можно получить из графи-
ка функции i/ = sinx, сдвинув синусоиду влево на
поскольку sin ^x + y) = cos х (рис. 22).
Упражнения
42.	Для функций z/ = 3 cos х, у= |cos х|, у=—cos х
укажите:
а)	область определения;
б)	область значений;
в)	четность, нечетность;
г)	периодичность;
25
д)	точки пересечения с осями координат;
е) промежутки возрастания и убывания.
43.	Найдите область определения функции:
а)	у = 3 cos (2х — 1);	в) у= С°* *;
\ 1	\ Х
б)	i/ = cos-j—-;	г) у =----.
1—х	COS X
44.	Найдите область значений функции:
а)	у——3 cos х;	в) у = cos3 (х — л);
б)	y = 2cosx+3;	г) y = cos (х2 — х);
д) у —cos (2х-{- 1) л, D (у) — (0,25; 0,5].
45.	Четной или нечетной является функция:
a)	z/ = cos3x;	в) r/ = cos2 x-|-cos х—1;
б)	z/ = sin2 х-|-2 cos Зх; г) z/ = cos2 х-|-sin3 х?
46.	Найдите:
a)	cos 21л; в) cos (—19,5л);
б)	cos — л; г) cos (—т-л).
47.	Докажите, что число 2,5л не является периодом
функции z/ = cos2x.
48.	Определите знак значения выражения:
,6	7	2
а)	cos — л • cos — л • cos л;
7	6	о
б)	cos 2-cos 3-cos 4.
49.	Найдите промежутки возрастания и убывания,
а также нули функции:
a)	z/ = cos2x;	в) i/ = cos(x —2);
б)	у — cos 2лх;	г) y — cos~.
50.	Докажите, что:
a) coscos — >cos4;	б) cosll.nCO.
9	о	о
51.	Пользуясь свойствами функции косинус, докажи-
те неравенство cos 42° cos 43° cos 44° >4-.
О
26
52.	Как, зная график функции z/ = cosx, построить
график функции:
2
а)	#=— 3 cos х; д) y — cos-^x-,
б)	y — -^cosx\	е) 4/ = cos(x — —);
в)	4/ = cos-|;	ж) # = cos	—х);
г)	# = cos2x;	з) z/ = cos2x—1?
53.	Постройте график функции:
а)	у = |cos х|;	г)	z/ = cos х+|cos х|;
б)	# = cos |х|;	д)	// = sin х |cos х|;
в)	у = |cos |х|	е)	у = cos х ~\Jcos2 х—sin x~\]s\n2 х.
54.	Постройте график функции:
a) £/ = (Vcosx) — 1; б) //==—-cos х; в) У= jc~
7.	СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ФУНКЦИИ
y = tgx и y = ctgx
Рассмотрим свойства функции тангенс.
1°. D (tg) = |x|xei? и Хт^у + яи, n^zj.
2°. E(tg)=/? ( свойство доказано в п. 2).
3°. Функция тангенс нечетная.
В самом деле, область определения данной функции
симметрична относительно нуля и
cos ( — t)	cos t
Значит, функция тангенс нечетная.
4°. Функция тангенс периодическая с основным пе-
риодом л (свойство доказано в п. 3).
5°. Нулями функции являются точки х — лп, n^Z.
В самом деле,
sin X
cos X
о(х = л/г, nsZ).
(tgx —0)о
х = лп, neZ
х#=у + лй, feeZ
27
6°. Функция тангенс принимает положительные зна-
чения при всех хе^ли; у ф-лл), n^Z, а отрицательные
значения — при всех —y-J-лл; ля), neZ.
Задание 1. Установите промежутки знакопосто-
янства функции тангенс, исходя из промежутков знако-
постоянства функций синус и косинус.
7°. Функция тангенс возрастает на каждом из проме-
жутков — -2-4-лп; ^•флп), neZ.
Задание 2. Проследите изменения значений функ-
ции тангенс с изменением аргумента от —у до
используя координатную окружность и линию тан-
генсов.
Используя свойства функции тангенс и построив не-
сколько точек, например (0; 0),	0,	Д/з"), получим
график функции на промежутке |j); у). Воспользовав-
шись нечетностью функции i/ = tgx, построим график
функции на промежутке — У’у)- Наконец, воспользо-
вавшись периодичностью данной функции, продолжим
график на всю область определения (рис. 23). График
функции z/ = tgx называют тангенсоидой.
Свойства функции z/ = ctgx устанавливаются анало-
гично свойствам функции z/ = tgx.
1°. D (ctg)={x|xel? и х=#лп, nsZ}.
2°. £'(ctg) = /?.
3°. Функция котангенс нечетная.
28
4°. Функция котангенс периодическая с основным
периодом л.
5°. Нулями функции являются точки x = ^--j- лп,
n^Z.
6°. Функция котангенс принимает положительные
значения при всех хе^лп; y-J-nn), neZ, и отрица-
тельные при всех хе(— у4"л/г; nnj, n^Z.
7°. Котангенс убывает на каждом из промежутков
(лп; лЦ-лл), nsZ.
Поскольку ctg х— — tg (х — у), то, применяя соответ-
ствующие геометрические преобразования к графику
функции y — tgx, получим график функции z/ = ctgx
(рис. 24).
Упражнения
55.	Найдите область определения функции:
a)	y = tg x+ctg х;	в) tg (Зх4-у);
б)	z/ = tg3x-ctg2x;	г) z/ = ctg (5x4-4).
56.	Найдите область значений функции:
a)	z/ = tg(2x+l), D (г/) = [О;
б)	^ = tg|-2, £>(г/)=(0;
в)	z/ = 5ctgx, £>(£/)=	f].
29
57.	Установите, какие из следующих функций явля-
ются четными, а какие — нечетными:
a)	y = 2xtgx; г) у = tg 2х + 2sin х;
б)	у = х3 - tg3 х; д) у =
l+ctg2*
в)	У — tgx-sin2x; е) y = tg 10|х|.
58.	Вычислите:
а)	tg-^-л;	в) tg 3,5л;	д) ctg( —
б)	fg( — у”);	г) tg-^-л;	е) ctg|.i,
59.	Определите знак значения выражения:
, , 4л , Зл , 5л
a)	tg-yctg-j-tg-j-;
б)	tg 1 -tg2-ctg5.
60.	Что больше: tg 13 у или tg 22-^?
61.	Найдите промежутки возрастания и убывания,
а также нули функции:
a)z/ = tg2x;	в) г/ = 3 tg2(x+n);
б) t/ = tg|nx;	г) у = 2 ctg(x4~2).
62.	Постройте график функции:
a)y = tgx;	в) у= — 0,5 tgх;	д) z/ = tg2x;
б)	у = 0,5 tg х;	г) у=— 2 tgx;	е) z/ = tgy.
Укажите точки пересечения графиков функций с ося-
ми координат; периоды функций; значения х, при кото-
рых функции неопределены. Имеют ли функции наиболь-
шее и наименьшее значения?
63.	Постройте график функции:
а)	*/= I tg х|;	в) у= |tg |х| |;
б)	Z/ = tg |х|; - г)
tg х
64.	Постройте график функции:
. (sin х|	.	,
а)	У=~-----;	в) t/ = cosx-tgx;
tgx
б)	у=-------; г) y = cosx-|tgx|;
|cos х|
30
 д) */ = tg x-ctg х;
е) у— |tgx| -ctgx;
\ л 1
ж) У=—-tgx;
Ч |tg*l
з) У=х—----.
tg X
§ 2. ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
8. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Функция у = 3х — 1, определенная на множестве R,
такова, что двум разным значениям аргумента х{ и х2
ставит в соответствие разные значения yt и у2. В самом
деле, для нее, если Xi=/=x2, то ух = f (x^^f (х2) = Уч, так
как f(xj —/(х2) = 3(х!—х2)У=0.
Функция у = х2, определенная на множестве R, не
обладает таким свойством. Например, значение функ-
ции у—1 соответствует двум значениям аргумента
X, = — 1 и Х2 = 1.
Определение. Функцию / называют обратимой
на множестве X, если для любых х„ х2еХ из Х|=/=х2
следует, что f (xt)=#/ (х2); иными словами, если разным
значениям аргумента соответствуют разные значения
функции.
Например, функция у = 3х—1 является обратимой.
Теорема 1. Если функция y — f (х) монотонна на
промежутке X, то она обратима.
Доказательство. Пусть Х]У=х2, тогда либо
Х!<;х2, либо Xj>x2. Если функция /, например, возраста-
ет на промежутке X, то отсюда следует, что либо f (xjc
<f (х2), либо f (xl)> f (х2) и поэтому / (xj#:/ (х2). Анало-
гично доказывается, если функция / убывает на X. •
Определение. Пусть обратимая функция y = f (х)
определена на промежутке X и имеет в качестве
множества своих значений промежуток У. Поставим
в соответствие каждому у из У то единственное значе-
ние х, при котором f(x)=y (т. е. единственный корень
уравнения f(x)=y относительно переменной х). Тогда
получим функцию, для которой область определения
есть множество У, а множеством значений является X.
Эта функция называется обратной к функции / и обозна-
чается
Например, функция у = 3х— 1 обратима. Множество
ее значений есть R. Любому числу у соответствует
31
1	. 1 . 1	. 1
единственное значение х~— Формула х = —г/4-—
<5 О	«5 о
определяет обратную функцию к функции у = 3х—1.
Как правило, если функция [ обратима, то ее аргу-
мент и аргумент обратной функции обозначается одной
буквой, т. е. эти функции рассматриваются в виде у =
= f(x) и у = [~'(х).
Из теоремы 1 следует, что для любой монотонной на
X функции y = f (х) существует обратная. Чтобы ее найти,
нужно решить уравнение y = f (х) относительно х и затем
поменять местами х и у.
Теорема 2. Графики функций y = f (х) и y — f~x (х)
симметричны относительно прямой у = х.
Доказательство. Если точка М (а; Ь) принадле-
жит графику функции y — j(x), то b = f(a) (рис. 25).
Тогда а = /~~'(6) и точка A1t (b; а) принадлежит графику
функции у — /~ (х).
Верно и обратное: если точка Л4, (Ь; а) принадлежит
графику обратной функции z/ = /-1(x), то a = f~l(b).
Следовательно, b = f(a) и точка М (а; Ь) принадлежит
графику функции y = f{x).
Докажем, что точки М (а; Ь) и Mt (b; а) симметричны
относительно прямой у — х. На этой прямой лежат точки
О (0; 0) и С (1; 1), значит, и вектор АС (1; 1). Пусть Ь.
Тогда вектор имеет координаты b — а, а — Ь. Ска-
лярное произведение АС-ММ} — 1 (Ь — а)4-1(а— Ь) = 0.
Значит, эти векторы перпендикулярны, и отрезок ММ{
перпендикулярен прямой у = х. Середина отрезка MMt
аЛ-Ь	Ь + а
имеет координаты х0 — —%—, у0 = —— и лежит на прямой
у — х, поскольку х0 — у0. Итак, точки М и Д симметрич-
ны относительно прямой
у = х. Если же а = Ь, то точ-
ки совпадают и лежат на
оси симметрии у = х, т. е.
также симметричны. •
Пример. Докажем, что
.функция f(x) — x2 с обла-
а стыо определения X —
=[0; оо) имеет обратную
функцию, запишем аналити-
ческое выражение обратной
функции	y = f~'(x~),	по-
' строим ее график.
32
Функция f возрастает на X, значит, она имеет обрат-
ную. Для ее нахождения решим уравнение у — х2 относи-
тельно х, учитывая, что х^О. Получим х = "\[у. Поменя-
ем в этой формуле хну местами: у = у/х\
Итак, для функции /(х) = х2, Х = [0; 4-оо) обратная
функция имеет вид (х) = л/х~; ее область определе-
ния— промежуток [0; -f-oo). Графики этих функций
показаны на рисунке 26.
Заметим, что монотонность функции является доста-
точным условием существования обратной функции, но
не является необходимым. Так, на рисунке 27 показан
график немонотонной, но обратимой функции.
Упражнения
65. Установите,
обратную:
а) у — Зх + 2;
3
В) У = —^—г\
' a х— 1
, к 1
г) у = 5—
какие из данных функций имеют
д)	у = (х— I)2 — 2, если х^1;
е)	i/ = (x4-2)2, если —5<х<5;
ж)	у = х3 — 1;
з)	1/ = д/х —2.
66.	Найдите функцию, обратную данной. Укажите об-
ласть определения и область значений обратной функ-
ции. Постройте график данной функции и ей обратной
в одной системе координат:
з,----
a)	z/ = 3x;	е) у=\х +1 ;
б)	z/ = 2x + 3; ж) у = х2, если х^О;
в)	у=1— х;	з) у = х?, если х^О;
г)	У = ~^\	и) у = (х — 2)2, если х^2;
3 г~
д)	У—\х> к) */ = (х-|-3)2, если х<1—3.
2 Алгебра, 10 кл.
33
67.	Найдите функцию, обратную данной, и постройте
ее график:
a)	z/ = x24~8x —4, если х> —4;
б)	у — х?— 2х-|-5, если х^1;
в)	у —4 —д/х—1 ;
г)	х/ = 5+д/4 —х.
68.	Дана функция
{0,5х+1 при х^О,
2x4* 1 при х<0.
Найдите функцию, обратную ей. Постройте графики
обеих функций.
69.	Докажите, что функция, график которой изобра-
жен на рисунке 27, обратима. Постройте график обрат-
ной функции.
9. ФУНКЦИЯ i/ = arcsin х
Рассмотрим на координатной окружности (рис. 28)
множество точек <Р (х) | —	т. е. правую полу-
окружность. Выберем любое число ае[—1; 1] и прове-
дем прямую у = а. Она пересечет правую полуокруж-
ность только в одной точке Р (х0). Координату х0 этой
точки на координатной окружности называют арксину-
сом. числа а и обозначают arcsin а, т. е. х0= arcsin а,
при этом sinx0 = a или sin (arcsin а) = а.
Определение. Арксинусом числа а из промежут-
ка | —— 1 ;1 ] называется
число х из промежутка
у; yj, синус которого
равен а, т. е. sinx = a.
Заметим, что для чи-
сел а, удовлетворяющих
условию |а| > 1, аркси-
нус не определяется.
Найдем арксинус не-
которых чисел:
34
. 1л	л Г л л! . л 1
arcsin —=—, так как	—-х-;	и sin———;
2 b	О I Z	Z J	0	2
Задание. Заполните в тетрадях таблицу:
X	— 1	Уз 2	уг ~2~	—1 2	0	_1_ 2	У2~ ~2~	Уз 2	1
arcsin х		“У				Л *6			
П	1	. I Л Л I т т
Пусть дана функция у = sin х, хе I у . На дан-
ном отрезке она возрастает и принимает любое значение
из промежутка [—1; 1] только один раз (пользуясь
координатной окружностью, поясните почему). Поэтому
для данной функции существует обратная функция,
которая каждому i/e[—1; 1] сопоставляет то значе-
ние х, для которого sin х = у, т. е. значение, равное
arcsin у. Эта функция обозначается поэтому х— arcsin у.
Если аргумент ее обозначить через х, а значение
функции через у, то функцию, обратную к функции
u = sinx, хе I—-$, 4. записывают в виде
’	I 2 2 1
у = arcsin х,
при этом по определению D(arcsin) = [—1; 1].
На основании теоремы 2 (п. 8) отмечаем, что график
функции j/ = arcsinx можно получить из графика функ-
[л л!
—”2’ "2 преобразованием симметрии
относительно прямой у = х (рис. 29). На рисунке 30 он
изображен отдельно.
Приведем некоторые свойства функции у — arcsin х.
1°. D (arcsin) = [— 1;1], Е (arcsin)= у; yj.
Эти утверждения следуют из определения данной
функции как обратной к функции у = sin х, хе I —у; у|.
35
Рис. 29
2°. Функция г/= arcsin х нечетная.
В самом деле, область определения симметрич-
на относительно нуля.
По определению арксинуса числа имеем: если
|х|	1. то
Л	•/	\ Л	л -	. -Л
—2 <arcsin ( —х)<- и — у < a resin х<-.
Умножая на — 1 все члены последнего двойного
неравенства, получим:
—2< — arcsin хСу.
Значит, arcsin ( — х) и —arcsin х принадлежат одному
и тому же отрезку £—у; -jj монотонности функции
t/=sinx. Найдем их синусы: sin (arcsin (— х)) =—х (по
определению).
Так как функция синус нечетная, то
sin (— arcsin х) = —sin (arcsin х)= —х.
Итак, синусы аргументов, принадлежащих одному
[л л1
~”2’ 2г Равны’
а значит, равны и сами аргументы, т. е.
arcsin (— х)= — arcsin х.
Значит, данная функция нечетная. Поэтому график
функции у = arcsin х симметричен относительно начала
координат (см. рис. 30).
36
3°. Функция обращается в нуль в единственной точке
'х = 0; она положительна на промежутке (0; 1] и отрица-
тельна на промежутке [—1; 0).
4°. Функция возрастает от —у до у на всей области
определения. (Это следует из того, что функция у =
[л л1	,
—Т’ Т в03Растает)
5°. Функция принимает наименьшее значение у= — у
при х—— 1 и наибольшее значение У=^ при х=1.
Пример. Решим уравнение arcsin (х-}-3) = -^-.
Поскольку arcsin (х + 3) и принадлежат проме-
жутку [ —у! у]> то Данное уравнение равносильно та-
кому:
sin (arcsin (%4-3)) = sin-^,
откуда х-|- 3 = 0,5, т. е. х =—2,5.
Ответ: { — 2,5}.
Упражнения
70.	Какие из выражений имеют смысл: arcsin 0,5;
/	2 \	л
arcsin (--g k arcsin 1,5; arcsin у; arcsin
71.	Может ли arcsin а принимать значения:
а> р
5 л.
Т’
б)
72.	Вычислите:
а)
б)
в)
/2 \
/
• I 
sin I arcsin
. VT
arcsin
arcsin
, . /	. Г
г) sin ( arcsin —
\	б f
д) arcsin (— 1);
е) sin farcsin
73.	Найдите (с помощью таблиц или микрокалькуля-
тора):
a) arcsin 0,9063; б) arcsin (—0,5783).
37
74.	Вычислите:
а)
б)
в)
г)
arcsin-у-+arcsin (——J + arcsin 1;
arcsin (— 1 )-f- arcsin 0 — arcsin ( —
. V3
arcsin ---
n • V2
2 arcsin -y
arcsin —	+ arcsin (— 1);
/	1 \	Л/2*
j-3 arcsin (—-g J-|--y-arcsin 0.
75.	Вычислите:
a)	arcsin (sin-^-1
6)	arcsin (sin 1);
в)	arcsin (sin 2);
r) arcsin /sin л
76.	Верно ли равенство:
a)	arcsin 0 = л;	в) arcsinarcsin ^- = -2-;
б)	arcsin л = 0;	г) arcsin 1—arcsin/-—-0=-£-?
77.	Вычислите:
a) cos
arcsin
/ л/з \
б)	tg (arcsin—cos (arcsin (— 1)).
78.	Решите уравнение:
a)	arcsin х=-^>
б)	arcsin (х-(-2) =—у;
в)	arcsin (2х—1) = ^-;
г)	arcsin х= — 1;
.	. 2л
д)	arcsin х——\
О
ч .	Зл
е)	arcsin х=------
4
79.	Решите неравенство
arcsin x<arcsin (1 — х).
10. ФУНКЦИЯ i/ = arccosx
Рассмотрим на координатной окружности (рис. 31)
множество точек {Р (х)|0^х^ л), т. е. верхнюю полу-
окружность. Выберем любое число ае[—1; 1] и проведем
прямую х — а. Она пересечет верхнюю полуокружность
38
только в одной точке Р (х0).
Координату х0 этой точки на
координатной окружности на-
зывают арккосинусом чис-
ла а и обозначают arccos а,
т. е. х0 = arccos а, при этом
cosx0=a или cos (arccos а)=а.
Определение. Аркко-
синусом числа а из проме-
жутка [—1; 1] называется
число х из промежутка [0; л],
косинус которого равен а,
т. е. cosx = a.
lai > 1,
Для числа а, удовлетворяющего условию
арккосинус не определяется.
Найдем арккосинус некоторых чисел:
уЗ	л	л	га ।	л	v3
arccos-7— = —, так как — е[0; я] и cos—=-т-;
2	о	о	о	Z
/ д/ТЧ Зл	Зл гп	Зл
arccos! —!тг-1=-г, так как —л] и cos—=
у 2 /	4	4LJ	4
W.
~2~’
arccos (— 1) = л, так как ле[0; л] и cos = — 1.
Задание. Заполните в тетрадях таблицу:
X	— 1	Уз~ 2	1	2	0	2	у/2~ 2	д/з 2	1
arccos х	л		Зл 4					Л *6	
Пусть дана функция z/ = cosx, хе{0; л]. На данном
отрезке она убывающая и принимает любое значение из
промежутка [—1; 1] только один раз. Поэтому для
данной функции существует обратная функция, которая
каждому 1/е[—1; 1] сопоставляет то значение х, для
которого cosx = z/, т. е. значение, равное arccos у. Если
аргумент ее обозначить через х, а значение функции
через у, то функцию, обратную к y = cos х, хе[0; л],
записываем в виде
у = arccos х.
при этом по определению D (arccos ) = [—1; 1].
39
График этой функции получаем из графика функции
z/ = cosx, хе[0; л], преобразованием симметрии относи-
тельно прямой у = х (рис. 32). На рисунке 33 он изобра-
жен отдельно.
Приведем некоторые свойства функции i/ = arccos х.
1°. D (arccos ) = [—1; 1], Е (arccos ) = [0; л].
2°. Функция арккосинус ни четная, ни нечетная.
В самом деле, arccos (— х)=/= arccos х (например,
arccos (—-0=/= arccos-0 и arccos(—x)=#—arccos х
(например, arccos (--0=#= — arccos i).
3°. Функция обращается в нуль в единственной точке
х=1; она положительна на промежутке [—1; 1).
4°. Функция убывает от л до 0 на всей области опре-
деления. (Это следует из того, что функция z/ = cos х убы-
вающая на отрезке [0; л].)
5°. Функция принимает наименьшее значение у = 0
при х=1 и наибольшее значение у —л при х —— 1.
Для вычисления значений функции у = arccos х ино-
гда используется равенство
arccos( —х) = л — arccosx.	(1)
Докажем его. По определению 0^arccos( — х)^л
и 0<larccos х^л. Умножая на —1 все части последнего
неравенства, получим
— л — a rccos х 0.
Прибавляя л ко всем частям неравенства, будем иметь
О^л — arccos х^л.
40
Значит, arccos(—х) и л — arccos х принадлежит од-
ному промежутку [0; л] монотонности функции z/ = cosx.
Далее
cos (a rccos (— х)) = — х,
cos (л — arccos х)= —cos (arccos х)= —х,
т. е.
cos (arccos ( —х)) = cos (л — arccos х).
Отсюда следует, что arccos (— х) = л — arccos х. •
Например,
/	1 \	1	л	2л
arccos ( —— ) = л — arccos—= л ——=—
\ 2 /	2	<5	и
Задание. Определите функцию, обратную данной:
a) z/==sin х, хе
л Зл]
Т Тр
б) i/ = cosx, хе [л; 2 л].
Упражнения
4
80. Какие из выражений имеют смысл: arccos-т-;
<5
(2\	,	,	2л	л„
arccos( —1,5); arccos-5-; arccos—?
3/	'	'	3	4
81. Может ли arccos а принимать значение:
а)
л. л.
б’’ Z’
д/5;
б) -у-; -V5?
82. Вычислите:
a)	arccos ( —
б)	arccos 1;
х Vs"
в) arccos-^-;
г) arccos 0;
д) arccos
е) arccos
83. Найдите:
a) arccos 0,8746;
84. Найдите:
б) arccos (— 0,2145).
v (	V2 \
a) cos (arccos г.
б) cos (arccos 1).
85. Найдите:
a) arccos ^cos-^
б) arccos (cos 2);
в) arccos ^cos —
г) arccos (cos 5).
86.	Верно ли равенство:
a)	arccos—= у,
О z
1 .	Д/з" л.
б)	arccos-^4-arccos-^- = —
87. Вычислите:
a) tg (arcsin 0) —ctg I arccos
6) tg (arcsin f ~ j) + arccos
88. Решите уравнение:
a)
6)
в)
л
arccos х= —
6
4л
arccos х —
2л
3
г)	arccos (х — -0 = у;
д)	arccos х = —у;
е)	arccos(2х—1) = л..
И. ФУНКЦИЯ y = arctgx
Определение. Арктангенсом числа а называется
число х0 из промежутка у! у), тангенс которого
равен а, т. е. tgx0 = a.
Обозначается это число arctg а. По определению
имеем: tg (arctg а) = а. Су-
ществование такого числа
для любого а поясним гео-
метрически с помощью ко-
ординатной окружности и
линии тангенсов (рис. 34).
Прямая у = а пересекает
линию тангенсов в точке Т.
Соединив эту точку с цент-
ром окружности, на ней по-
лучим соответствующую
точку Р (х0), для которой ко-
ординату х0 всегда можно
42
рыбрать из интервала (—у), причем по опре-
делению тангенса tgx0 = a. Тем самым мы показали, что
для любого числа а существует число xft=arctga.
Найдем арктангенс некоторых чисел:
ном интервале функция возрастает и принимает все
значения из множества действительных чисел /? по одно-
му разу. Поэтому для данной функции существует об-
ратная, которая каждому y^R сопоставляет то значе-
ние х, для которого tgx = r/, т. е. значение, равное
arctg у. Эта функция обозначается x = arctgz/. Если
аргумент функции обозначить через х, а значение ее
через у, то функция, обратная к у = tg х, хе(— у-
записывается в виде
у — arctg х,
при этом из определения следует, что D (arctg ) = /?.
График функции у = arctg х
получаем из графика функ-
ции у = tgx, хе(-у; у),
преобразованием симметрии
относительно прямой у — х.
Он изображен на рисунке 35.
Приведем некоторые свой-
ства функции у — arctg х.
43
D (arctg)=/?, £(arctg) = ( —-J; у).
2°. Функция нечетная. (Докажите самостоятельно.)
3°. Функция обращается в нуль в единственной точке
х — 0; она положительна на промежутке (0; Д- оо) и отри-
цательна на промежутке (—оо; 0).
4°. Функция возрастает на всей области опреде-
ления.
5°. Функция наибольшего и наименьшего значений не
имеет.
Упражнения
89.	Какие из выражений имеют смысл: arctg 1;
arctg -J; arctg ( — л)?
90.	Может ли arctg а принимать значения:
а) 0, -у, д/5;
О
91.	Вычислите:
a)	arctg(—1);
б)	arctg д/з";
в) arctg ( —
г) arctg-у-.
92.	Найдите приближенное значение:
a) arctg 0,7541; б) arctg ( — 2,747); в) arctg 25,17.
93.	Найдите:
a) tg (arctg 2); б) tg (arctg ( — у)).
94.	Найдите:
a)	arctg (tg (-у));	в) arctg (tg 2);
б)	arctg (tg 1);	г) arctg(tgyb).
95.	Вычислите:
a)	tg (arccos ( —y^ + sin (arctg ( — Д/У));
6)	cos (arctg 0) —ctg (arcsin ( —
44’
96.	Решите уравнение:
a)arctgx= —J;	в) arctg ^2х-^)= —
6)arctgx= — г) arctg(|—Д/3)=-у;
д) arctg(*+ l)H-arctg(l — х)=^.
12. ФУНКЦИЯ у = arcctg х
Определение. Арккотангенсом числа а называ-
ется число х0 из промежутка (0; л), котангенс которого
равен а, т. е. ctgx0 = a.
Обозначается это число arcctg а. По определению
имеем ctg (arcctg а) = а.
Задание. С помощью координатной окружности
и линии котангенсов убедитесь в существовании аркко-
тангенса любого действительного числа а.
Найдем арккотангенс некоторых чисел:
arcctg( — 1) = -^-, так как ctg-^= — 1 и ^е(0; л);
arcctg	так как ctgy=^y- и ^е(0; л).
Задание. Заполните в тетрадях таблицу:
X	-д/з	— 1	Уз~ 3	0	д/з~ 3	1	д/з
arcctg х		Зл 4			Л з-		
Рассмотрим функцию y = ctgx, хе(0; л). На данном
интервале функция убывает и принимает значения из
множества действительных чисел R по одному разу.
Поэтому для данной функции существует обратная
функция, которая каждому y^R сопоставляет то значе-
ние х, для которого ctgx = z/, т. е. значение arcctg у. Эта
функция поэтому обозначается х = arcctg у. Введя пере-
обозначения переменных х на у, у на х, функцию, обрат-
ную к y = ctgx, хе(0; л), запишем в виде
у = arcctg х,
при этом D (arcctg) = R.
График функции z/ = arcctgx получаем из графика
45
функции z/ = ctgx, хе(О; я),
преобразованием симметрии
относительно прямой у — х.
Он изображен на рисунке 36.
Приведем некоторые
свойства функции у =
= arcctg х.
Рис. 36
1°. D (arcctg) = /?;
Е (arcctg) = (0; л).
2°. Функция ни четная,
ни нечетная. Это следует из равенства
arcctg (— х) = л— arcctg х.
(Докажите самостоятельно.)
3°. Функция в нуль не обращается. Она положитель-
на на всей области определения.
4°. Функция убывает на всей области определения.
5°. Функция наибольшего и наименьшего значений не
имеет.
Упражнения
97.	Какие из выражений имеют смысл: arcctg 0,5;
(1 \
— -г); arcctg0; arcctg^-; arcctg 1000?
О /
98.	Вычислите:
/ л/з” \
a) arcctg ( — 1); в) arcctg! —^-1;
б) arcctg д/з";
ч * V2
г) arcctg-^-.
99.	Найдите (с помощью таблиц или микрокалькуля-
тора):
a) arcctg 3,078; б) arcctg 18,35;
в) arcctg( — 2,718).
100.	Вычислите:
a)	arcsin (— 0,5)-|- arctg (— arcctg у/З;
б)	arccos ( —+ arcsin arctg (—д/з”);
в)	arcctg 1 — arctg — arccos (—0,5);
г)	arcsin (— 1) —arccos у+ 3 arctg f
46
101.	Найдите:
a) ctg (arcctg 3);
102.	Найдите:
a) arcctg (ctg
б) arcctg (ctg 2);
103.	Вычислите:
б)	ctg (arcctg (—л)).
в)	arcctg (ctg 4);
г)	arcctg (ctg (—J)).
a) cos (arcsin ( —— arcctg 0^;
sin (arcctg (—~\/T))
cos (arcsin (— 0,5))
104.	Решите уравнение:
a)	arcctgx=4‘, B) arcctg(2x—1) = -^-;
6)	arcctg	r) arcctg (| + -у=Л=Ц
§ 3. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
13. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Напомним основные формулы из тригонометрии, из-
вестные вам из курса алгебры 9-го класса, а также
рассмотрим некоторые другие формулы.
Некоторые значения тригонометрических функций.
X	0	л	л т	л "з	Л T	Л	3л T	2л
sin х	0	j_ 2	yr 2	yr 2	1	0	— 1	0
cos X	1 {	у/з 2	yr 2	2	0	— 1	0	1
tgx	0	УГ 3	1	yr	—	0	—	0
ctgx	—	yr	1	yr	0		0	—
47
1°. Основные тригонометрические тождества
sin2 а + cos2 а= 1;	(1)!
tga = ——	keZY	(2)
ctga=-^ (a=#nA, feeZ);	(3)
sin a
14-tg2a = —!—	+ k^z\ (4)
cos a X	J
l+ctg2a = —(a=/=nA, k^Z}.	(5)
sin a
Задание. Докажите, что tgactga=l при a#=
. nn -
n^Z.
2°. Формулы сложения
sin (a + P) = sin a cos P-f-cos a sin p;	(6)
sin (a —P) = sin a. cos p —sin p cos a;	(7\
cos (a + p) = cos a cos p —sin a sin P;	(8)
cos (a — P) = cos a. cos p-|-sin a sin P;	(9)
‘?((1±₽)=4гП •	<10)
l=Ftg a tg 0
(а=/=у + .ч&, py=y + nft, a±P=/=y + nA, k^Z^\
ctg 0 ±ctg a
(а#=лА, р=/=л£, a±P#=nA, 6eZ).
Задание. Докажите формулу (7), исходя из форму-
лы (6), формулу (9)— исходя из формулы (8), и формулы
(10) и (11), исходя из формул (6) — (9).
3°. Формулы приведения
Эти формулы выражают основные тригонометриче-
ские функции чисел у±а. л±а, -y-±a, 2л±а через
тригонометрические функции числа а. Их удобно запи-
сать в виде двух таблиц, поместив в одной таблице
формулы для чисел у±а и Др-±а, а в другой—для
чисел л±а и 2л.±а, указав над числами четверти,
которым они принадлежат, в предположении, что число
а принадлежит первой четверти.
48
Четверть	1	2	3	4
число ф у н к ц и	л ~2 ~a	к>| я + p	3л “2	“	3л т+а
sin	cos a	cos a	— cos a	— cos a
cos	sin a	— sin a	— sin a	sin a
tg	Ctg a	— ctg a	ctg a	— ctg a
ctg	tga	— tga	tga	— tga
Четверть	2	3	4	1
число функ ци	л — a	л-|-а	2 л — a	2 л a
sin	sin a	— sin a	— sin a	sin a
cos	— cos a	— cos a	cos a	cos a
tg	— tg a	tg a	— tga	tga
ctg	— ctg a	ctg a	— ctg a	ctg a
Например, из первой таблицы имеем: cos —aj =
= — sin а.
Легко заметить закономерности, имеющие место для
формул приведения:
функция в правой части равенства берется с тем же
знаком, какой имеет исходная функция, если считать,
что число а изображается точкой 1 четверти коорди-
натной окружности;
для чисел л±а и 2л±а название исходной функ-
ции сохраняется; для чисел yzha « ~2~а название
исходной функции заменяется (синус на косинус,
косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на
тангенс).
Задание. Докажите некоторые формулы приведе-
ния, используя формулы (1)—(9).
4°. Формулы двойного аргумента
sin 2а = 2 sin a cos а;	(12)
cos2a = cos2a— sin2 а;	(13)
49
tg2a=7T^(a?feT+4’ а*т+лЛ>AeZ); 04)
ctg2a=^p^-(a^^, k<=Z).	(15)
2 ctg a \	•*	/
Задание 1. Используя формулы (6) и (8), выведите
формулы (12) и (13).
Задание 2. Используя формулы (12) и (13), выве-
дите формулы (14) и (15).
Задание 3. Докажите, что:
а)	cos 2a = 1 — 2 sin2 a;
6)	cos 2a = 2 cos2 a — 1.
5°. Формулы тройного аргумента
sin3a = sina(3 — 4 sin2 a).	(16)
Доказательство.
sin 3a = sin (2a-|-a) = sin 2a cos a-j-cos 2a sina =
= 2 sin a cos2 a + cos2a sin a — sin3a =
= 3 sin a cos2 a — sin3 a = sin a (3 cos2 a —sin2a) =
= sina(3— 4 sin2 a). •
cos 3a = cos a (4 cos2 a — 3).	(17)
Задание. Выведите формулу (17).
6°. Формулы преобразования суммы
тригонометрических функций в произведение
sin а + sin 0 = 2 sin a-^	cos —(18)
sin a —sin 0 = 2 sin ° 2	Р	cos -	(19)
cos a + cos 0 = 2 cos	cos	(20)
cos a —cos 0 = 2 sin—sin 	(21)
.	, sin (a±p) / Л
tg a± tg 0=-— (a^=- + nA;
cos a cos p X 2
0¥=y+nA,	(22)
ctga±ctg0=-^^(a=/=nA, 0=/=лА, Ag=Z). (23)
sin a sin p
50
Задание 1. Представляя аргументы а и 0 в виде
а-|-8 . а — В п а-4-В	а — 3	д.
а=—р-4—0=—у2---------и используя формулы
(6) и (7), выведите формулы (18) — (19).
Задание 2. Выведите формулы (20) — (23).
7°. Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
sin a cos 0 = ^-(sin (а — 0)4-sin (а-]- 0));	(24)
cos а cos 0 = -^- (cos (а — 0)4-cos (а 4- 0));	(25)
sin а sin 0=-^-(cos (а —0) —cos (а4-0)).	(26)
Задание. Выведите формулы (24) — (26).
8°. Формулы понижения степени
Доказательство. Имеем:
1 —cos 2 а
2
sin2 а-l-cos2 а —cos2 а-J-sin2 а . 2
= sina.
2
о 1 4-cos 2а
cos а =-------------
(28)
Задание. Выведите формулу (28).
9°. Формулы половинного аргумента
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
51
Из формул (27) и (28), заменив в них а на у, легко
получить формулы (29) и (30), из формул (29) и (30) —
формулы (31) и (32).
Из формул (29) — (32) можно найти только модули
тригонометрических функций аргумента у. Чтобы найти
значения функций, надо знать их знаки. Для этого,
и	Л
например, достаточно знать четверть, в которой лежит
Выведем формулы (33) и (34):
sin а
_ . а а .а
2s,n'2C°S'2 S'n2
1 -f* cos а
г» 2 &
2cos у
а
C°sy
, а
tgy;
л • 2 ®
2s,n 7
1 —cos а
sin а
а
sm —
2	. а
-----= tg—• •
_ . а а а ь 2
2 sin — cos — cos —
Задание. Определите, при каких значениях а эти
равенства не выполняются.
10°. Формулы выражения основных тригонометрических
функций аргумента а через tg у
Следующие формулы имеют важное значение в курсе
математики, так как они дают рациональные выражения
sin a, cos а, tg а и ctg а через tg-^.
2tgl
sin а=-------
,+tg2T
cos а =------
1 + tg2|
2tgT
tg а =-------
1-tg* 2^
6 2
и + k<=Z
(35)
(36)
(37)
(38)
52
Действительно, разделив числители и знаменатели
правой части верных равенств
_ а а	п ct 9 ci
2 sin-COS у	COS2 у—Sin2 у
s i n a =---------- и co s a =------------
cos у + Sin у	COS2—+ sin —
на cos2 у +nfe, k^Zj, получаем равенства (35) и
(36), справедливые для любого у=/=у-|-л£, feeZ.
Заменив в формулах (14) и (15) а на у, получим
формулы (37) и (38).
Упражнения
Некоторые значения тригонометрических функций
105.	Вычислите:
а)	sin-i —cos-^H-cos л —tgOH-ctg-^-;
Зл.
б)	4 sin л cos 2л + 5 tg л — ctg
в)	2 sin у 4-2 cos у —3 tg у 4-ctg у;
г)	sin2y —2 cos2y —5 tg2y;
106.	Функция задана формулой
f (х) = 4 sin Зх-|-5 cos Зх —2 sin x.
Вычислите: a) f (0); б) / (у); в) f (у); г) /(л).
1°. Основные тригонометрические тождества
107. Докажите тождество:
а)	1	_ 1 +ctg2 a. sin2 a — cos2 a	1— ctg2 a . sin a cos a	tg a 6)	—-2	-r“=-—; cos a — sin a 1—ig a	tg a ctg2 a— 1 в) 			=1, 1— tg2 a ctg a r) 1	4-	1	_ | 1 + tg2 a 1 + ctg2 a
53
108.	Найдите:
a)	sin а и ctg а, если cosa =—^-<Са<Сл;
I о Z
б)	cos а и tga, если sin а= — 0,8, -^-<;а<2л.
109.	Существует ли действительное число а такое,
что sin а и cos а равны соответственно:
. 3	4 ч 3	1	.2	3
а)	•=• и —в)---------= и------т=; д) -г и —
5	5’	yio ддо 3	4
,.4	3	. 1	2	.31..
б)	-5 И р г) 2 и г,	е) — и -?
Если да, то найдите одно из его значений.
ПО. Найдите необходимое и достаточное условие, при
котором данные числа а и b являются синусом и косину-
сом некоторого числа.
. . .	„	3 sin a —cos a	,	1
111.	Найдите ------------, если tga = —.
sin a+ 2 cos a
. и „	,	2 sin a —cos a „
112.	Найдите tga, если -------------= 3.
sin a — 2 cos a
113.	Найдите sin a.cos a, если sin a — cosa = 4-.
114.	Найдите tg3a-|-ctg3a, если tg a-|-ctg a = 3.
115.	Верно ли равенство:
sin a 2	1 +cos a
1 -|-cos a sin a sin a
,. sin a + tg a , ,	9
6) -----—— = 1 + cos2 a;
tg a
. sin2 a sin a-4-cos a
в)----------------------------= sin a cos a;
sin a —cos a tg^a—1
r) cos3 a(14-tga)-|-sin3a(14-ctg a) = sin a + cos a;
д) a-±cos ^~1=2tg2a;
ctg a —sin a cos a
e) cos2 a (1 — tg a) (1 4-tg a) = cos4 a + sin4 a?
116. Постройте график функции:
a) t/ = sin2V —+cos2V —в) у = Д/1 — sin2 х;
б) # = sin2Vtgx + cos2Д/tg х; г) z/= 0,5 Д/1 — cos2 х.
54
117.	Докажите тождество:
а)	sin6 а + cos6 а = 1 — 3 sin2 * а cos2 а;
б)	3 (sin4 а 4-cos4 а) —2 (sin6 а 4-cos6 а)— 1;
в)	(sin a-|-tg a)(cos a + ctg a) = (l -{-sin a)(l 4-cos a);
r) ctg2 a — cos2 a = ctg2 a cos2 a.
118.	Постройте график функции:
sin x
У~~ Vl-cos2x ’
б) У
~\/1 — cos2 X
COS X
.	sin х , cos x
в) y = ----=-|----====.
yl+tg2* yin-cig2*
2°. Формулы сложения аргументов
119.	Упростите:
v cos a cos р —cos (а+р)
а)		;
cos (а — Р) — sin a sin р
sin (45° +a) —cos (45° +а)
б)	-------------------;
sin (45° + a) + cos (45° +а)
в)	sin 15°-|-tg 30° cos 15°;
. tga + tgp	tg a —tg р
tg(« + 3)	tg(a—₽)’
5
120. Найдите sin(a4~P), если sina=——,
lo
2n\ cosp= — p^fn;
\ Z	J	D \ Z /
121. Пусть cos(a4~P) = 0,3; cos(a — P) = 0,8. Найдите
sin a-sin p.
122. Пусть a, p и у — острые углы. Докажите, что:
а) если tga=j, tg Р=у, то а4-Р = 45°;
б) если tga = 2, tg р = 3, то а4-₽=135°;
в) если tga = |, tgP = -^, tgy=-^, то а4-Р + т = 45°.
ZOO
123. Докажите тождество:
а) cos а4-cos (120° — a)4-cos (120°4-a) = 0;
6) cos2 a4-cos2 (60° 4-a) + cos2 (60° — a)=p
В) ^(. + е)+.,п-(.-Ц) _(g, a + lg, j,.
2 cos a cos p
55
Г) tg a tg P + (tg a + tg P) ctg (a + 0)= 1;
д) tg(a + P) —tga —tgp = tg(a + p)tgatgp;
e) tg (45° 4-a) —tg a= 1 + tg (45° + a) tg a.
3°. Формулы приведения
124.	Вычислите:
. . 13	\	2	. . 5
a)	sin —л;	в) cos-л;	д) tg-л;
О	О	О
7	7	5
б)	cos-л;	г) cos-л;	е) ctg-л.
4	0	о
125.	Упростите:
а)	sin (— 523°) cos (- 287°)- ctg (— 296°) tg (- 604°);
6)	sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°;
. sin 110° sin 250° + cos 540° cos 290° cos 430°
в)	----------------------------------;
cos2 1260°
sin (90° + a) tg 132° cos 312° sin 270°
Г sin (180° +a) sin 222° ctg 42° cos 180°’
126.	Докажите тождество:
a)	tg (•у-4-О') tg (5л —a)4-sin (a —2л) cos	~ a) +
+ coS2(j-a)=l;
6)	ctg^-y —aj —sin (д—aj + tg(j~ a)cos^ +
+ a) = tga;
1—	2sin2(n + a)	.	1—2cos2(n —a) _____
=2 cos a;
sin (л + a) cos (л —a)—tg (i —a )
r) —/-/--Л------ctg2 “•
1 — (sin (—+ a j + sin (л — a) \
127.	Постройте график функции:
COS
a)	f/ = —
(w+y)
sin x
sin
б)	у——
(w+t)
COS X
56
4°. Формулы двойного аргумента
128.	Докажите тождество:
а)	1 4-sin а = 2 cos2 0-—у);
б)	1—sin а = 2 cos2 бт+тгУ
’	\4	2/
129.	Упростите:
1 4~cos 2а ,	1—sin2 а
’ 1—2 cos2 а’ > l+sin2a’
„ 1 — cos 2а
в) ------------•
sin 2а
130.	Выразите sin a, cos а и tg а через tgy.
131.	Вычислите:
. tg 4а —sin 4а	, „	2
а)	—--------, если tg2a = —;
tg 4a + sin 4а	15
-ч 1 + tg2 а 4-tg4 а 1 + ctg2 а4-ctg4 а	. Л_
б)	—	„	1————А—1. если cos 4 а = 0,5.
1 4-ctg2 а4-ctg4 а	1 4-tg2 a4-tg4 а
132.	Докажите тождество:
ч . 6 а в a sin2 а — 4
a) sin—— cos—=------------cos а;
sin 4а cos 2а .
б)------------------= tg а.
1 4-cos 4а 1 4-cos 2а
133.	Постройте график функции:
cos X — COS 2х COS X
а) y = sinxcosx;	в) у =------=====----;
ysin2 х
_	2 А с . 2	X	sin х —2 sin3 х
б)	1/= 0,5 cos х —0,5 sin х; г) у —-===—;
у cos2 2х
д)	y=~\Jsin2^—2 sin j cos p если xe[0; 2л];
e)	у=Л/1 — 4 cos2 x sin2 x 4~sin2 x —cos2 x.
134.	Докажите, что функция
. 14~sinx — cos x	/ л л\
/(*) = ——— -------, x<=( —5-; 7)
1 4-Sin x4" cos X	\ 2 zz
является нечетной.
135.	Докажите тождество:
а)	(sin a + sin 0)2 + (cos a + cos 0)2 = 4 cos2
6)	cos3 a sin a — sin3 a cos a=^- sin 4a;
57
в)
д)
1—cos 2а + sin 2а .
------------------= tg а;
1 +cos 2а + sin 2а
1 — cos а + cos 2а .
----------------= ctg а;
sin 2а —sin а
tg2 а + ctg2 а —6	.
-Л...-т—-9------=cos 4а;
tg а + ctg2 а + 2
sin а —4 sin —
= tg4 —.
• 2	, , . • 2 а ё 2
sin а — 4 + 4 sin —
136.	Найдите:
a)	tg а, если tg2a = 2, -^-<а<;2л;
б)	ctg а, если tg2a=—2, -^-<а<2л;
в)	tg22a, если cosa=-|-;
г)	tg22a, если sina=—
О
137.	Докажите тождество:
а)	cos 10° cos 80° = 0,5 sin 20°;
б)	sin 40° sin 50° = 0,5 cos 10°;
в)	2 sin (45° +a) sin (45° — a)=cos2a;
r) cos a cos 2a cos 4a cos 8a = sin 16a ;
16 sin a
д)	8 cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°;
e)	sin 10° sin 50° sin 70° = 4;
О
\	4 л	5л	i о с
ж)	cos — cos — cos — = 0,125.
138.	Докажите:
а)	sin 18°=-^—;—;
6)	Соз18- = У'°+2^;
4
в)	tgl8°= v ;
V10 + 2V5
г)	tg2 36° tg2 72° = 5.
139.	Упростите:
а)	sin 10° sin 50° sin 70°;
б)	sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70 X
Xsin 80°.
58
5°. Формулы тройного аргумента
140.	Докажите тождество:
о 3 tg a —tg3 а
a)	,g3“=-TZ3V^;
в)	ctg 3„ = Clg’ ‘-3 С|» °;
’	&	3ct^a-\
. sin За cos За „
г)	—--------------= 2;
sin а cos а
. cos3a — cos3a , sin3 a + sin За n
д)	1---------------------:--------= 3.
cos a	sin а
141.	Найдите cos 2а, если sin — — 2,2.
sin а
6°. Формулы преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение
142.	Представьте выражение в виде произведения
или частного:
а)	sin 40° +sin 16°;
б)	sin 2a + sin a;
в)	sin 20° — sin 40°;
r) sin a — sin 3a;
143. Представьте
или частного:
a)	sin a + cos a;
6)	cos a — sin a;
в)	tg 4a + ctg 2a;
д)	cos 15° +cos 45°;
e)	cos 2a + cos 3a;
ж)	tg2a + tga;
з)	tg 3a —tg a.
выражение в виде произведения
г)	sin2 a— sin2 0;
д)	cos2 a — cos2 0;
e)	2 sin a+ 1.
144.	Докажите тождество:
а)	д/3 - 2 sin a = 4 sin (30°-|) cos (30°+|);
б)	1 4-sin a + cos a = 2 л/2" cos cos ^45° — -0;
. cos a + V3” sin a cos (60° — a)
B)		7=-----=-----------.
cos a—уЗ sin a cos (60° 4-a)
145.	Постройте график функции:
. sinx4-sin3x	... sin 3x— sin x
a) y=—i—=’	6) ^ = T7——-
y2 cos 2x4-2	y2 — 2 cos 2x
59
146.	Упростите:
a)	sin а 4~ sin 2а-f-sin За + sin 4а;
б)	cos 2а — cos 4а—cos 6а4-cos 8а;
в)	14-cos а 4-cos 0 4~ cos (а 4-Р);
г)	cos 2а4-cos ^2а--^^4-cos ^2а4
147.	Докажите тождество:
. sin а 4-sin 2а4-sin За , „
а) ------1;--------------=tg 2a;
cos a-|-cos 2а4-cos За
cos а — cos За4-cos 5а — cos 7а ,
б) ---------------------------= tg а;
sin а 4-sin За 4* sin 5а 4-sin 7а
в) ----------------------— — sin 2а.
ctg ( а 4-jj4-ctg Г —— а 1
7°, П реобразование произведения функций в сумму
148. Преобразуйте <в сумму выражение:
а)	cos 5° cos 55° cos 65°; г) cos 3a cos 5a cos 7a;
6)	tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°; д) sin a sin 2a sin 3a sin 4a;
в)	sin 10° cos 8° cos 6°; e) 8 sin3 a cos a.
149.	Упростите:
а)----1------2 sin 70°;
2 sin 10°
6)	sin a sin 7a — sin 3a sin 5a.
8°. Формулы половинного аргумента
150.	Дано: cosa=j, 0<a<y. Вычислите: sin у,
cos p tg -J.
151.	Дано: sin2a=—0,6, 90°<a<135°. Вычислите:
cos a,. sin a, tg a.
152.	Вычислите sin-^-, cos-^-, tg-^- и ctg-^-, если
cos a = 0,8 и л^а^2л.
153.	Найдите sin-|-, cos у и tgj, если:
\	12	_^3л
a) cosa=—n<a<=-;
io	£
6)cosa = 0;6,	4^<а<2л.
60
9°. Формулы понижения степени
154.	Докажите тождество:
а)
б)
в)
sin2 За — sin2 2а = sin 5а sin а;
sin2 а —sin2 р ,	,	,	, о.
—-----------2---------= tg (а + Р) tg (а - Р);
cos а — cos р
cos 2а — sin2 а „
--------------= cos За;
cos а
. . о/9л . а\ . о/7л 1 а\ v2 • а
г)	sin2(T+T)-S1n ^_+_J=^_sin^
д)	cos2 (а-|-2р)4-sin2 (а — 2Д)— 1 = — sin 2а sin 4р.
10°. Формулы выражения основных тригонометрических
функций аргумента а через tg~
155.	Вычислите:
a)	sin а, если tg-^=2;
б)	cos а, если tg-|-=3;
в)	tg а, если tg^=‘\/3";
г)	ctg а, если tg-^=—д/2";
д)	 если tg—=3.
’ 10 sin а+г	s 2
156.	Докажите тождество:
. 2 sin х — sin 2х , 2 х_
2 sin x-f-sin 2х 2’
Л sin 2х cos х ___________, х
1 + cos 2х 1 + cos х 2
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
•УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими уравнениями называются
уравнения, содержащие тригонометрические функции.
В этом параграфе рассмотрим простейшие тригономет-
рические уравнения:
sinx=a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.
61
14. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ sin х = а
Поскольку 1 sin xl С 1 для всех хе/?, то при |а| > 1
данное уравнение решений не имеет (рис. 37, а).
При	а — 1	данное	уравнение	принимает	вид
sinx=l и имеет решения х = Д-]-2лп, neZ.
При	а = 0	данное	уравнение	принимает	вид
sinx = 0 и имеет решения x = nk, ksZ.
При а= — 1 данное уравнение принимает вид
sin х= — 1 и имеет решения х=—у + 2л/, leZ.
Чтобы найти все решения уравнения sinx = a при
0< |а| < 1, достаточно найти все решения этого уравне-
ния на любом отрезке длины 2л, так как главный период
функции синус равен 2л. Из рисунка 37, б видно, что
удобно взять отрезок [ —у:	Действительно, на
отрезке у; yj функция синус возрастает и принимает
Гл 3 I
каждое свое значение один раз, на отрезке у-, 77 лI
функция синус убывает и принимает каждое свое значе-
62
ние тоже один раз. Следовательно, на каждом из этих
двух отрезков рассматриваемое уравнение имеет по од-
ному решению. Решение данного уравнения, принадле-
жащее отрезку —у; у|, есть arcsin а по определению
арксинуса.
Для того чтобы найти решение уравнения sinx = a
при 0<|а|<;1, принадлежащее отрезку |jp "|л]’ вос"
пользуемся формулой
Если хе Up
sin x = sin (л —х).
3 1	л _ Зл
2 л], т. е. -<Х<—, то
Зл л	л
-V и 2>л~х>~
2
2Г
поэтому л — Хе^ — у
Уравнение sinx = a равносильно уравнению
sin (л — х) = а.
•	I л л I
А так как л-xel-p у|, то л —x = arcsina,
т. е. х = л — arcsin а.
Теперь, чтобы записать все решения уравнения
sin х = а, 0< |а| < 1, следует воспользоваться периодич-
ностью функции синус, тогда:
x = arcsin а-|-л-2&, &eZ,
х=—arcsin a-j-л(2&-f- 1), k^Z
или
х = (— 1)* arcsin а 4-л&, keZ.	(1)
п	W
Пример. Решим уравнение sinx=-Jy-.
По формуле (1) получаем:
х = (— 1/arcsin-^- + лй, k^Z.
и . д/2” л
Но arcsin-тр-=—, следовательно,
х = (— 1 )к -f- nk, k^Z.
Ответ: {(-1)‘р-|-лШе2}.
63
Задание. Покажите, что решение уравнения
sinx = a при а= 1, а= — 1 и а = 0 можно получить
также из общей формулы (1).
Упражнения
157.	Решите уравнение:
.	. Л/З	. .	Д/5
a)	sinx=-y;	г) smx =—у-;
б)	sinx=— у	д) sinx=y
в)	sinx=-y-;	е) sinx=y.
158.	Найдите наибольший отрицательный корень
уравнения:
д/з”
a) sinx=—б) sin х= 1; в) sinx = 0.
159.	Найдите корни уравнения sinx =
лежащие промежутку [1; 5].
д/Г
-у-, принад-
15. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ cos х = а
Поскольку |cosx|<Zl, то при |а| > 1 данное уравне-
ние решений не имеет (рис. 38, а).
При а=1 уравнение принимает вид cosx=l и имеет
решения х = 2лп, neZ.
При а= — 1 имеем cosx= —1, х = л-|-2лй, k^Z;
при а = 0 имеем cosx = 0, х = у4-л/, l^Z.
Так как основной период функции косинус 2л, то при
0<|а| <1 для нахождения всех решений уравнения
cos х = а необходимо сначала рассмотреть отрезок длины
2л. Удобнее всего выбрать отрезок [ — л, л] (рис. 38,6).
Рассматриваемое уравнение на отрезке [0; л] имеет
решение x = arccosa, а на отрезке [ — л; 0] х =
= —arccos а, поскольку функция косинус — четная.
Значит, на отрезке [ — л; л] уравнение cosx — а имеет
решения х= ± arccos а.
Вследствие периодичности функции косинус все
остальные решения отличаются от этих на 2nA(4eZ),
т. е. формула корней уравнения cos х = а (0< |а| <
<1) такова:
64
х = ± arccos a-j-2nk, k^Z.
(2)
Задание. Покажите, что решения уравнения
cosx = a при а=1, а= — 1 и а = 0 можно получить
также из общей формулы (2).
п	г>
Пример. Решим уравнение cosx==-y-.
(л/Т \
1 ), будем
иметь:
л/з
x=±arccos-^—|-2nk, k^Z,
т. е.
х— ±44-2лk, k^Z.
О
Ответ:
±-^4-2лШе2}.
3 Алгебра. 10 кл.
65
Упражнения
160.	Решите уравнение:
. л/я ч	3
a)	cosx=—~; в) cosx=—
2	4
б)	cos х = — г) cos х=УЕоГ;
д) cos x = —
е) cos х= —4-
О
161.	Найдите наименьший корень уравнения боЛВ-
ше 5:
a) cosx=—0,5; б) cosx=l; в) cosx = 0.
162.	Найдите корни уравнения cos х— — 1, принадле-
жащие промежутку |0; 10].
16. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ tgx = e
Основной период функции тангенс равен л, поэтому
для нахождения решений рассматриваемого уравнения
необходимо найти их сначала на любом отрезке длины л.
Выберем промежуток (—У’у) (Рис- 39). По опреде-
лению арктангенса на этом промежутке решением рас-
сматриваемого уравнения будет х=arctg а. Вследствие
периодичности функции тангенс
остальные корни данного урав-
нения отличаются от найденного
на nk(k^Z), т. е. формула кор-
ней уравнения tgx = a такова:
x = arctga4-nfe, k^Z. (3)
Пример. Решим уравне-
ние tgx="\/3\
По формуле (1) имеем:
х = arctgд/З^+лЛ, k^Z, т. е.
x=^-+nk, k^Z.
Ответ:
I «5	I
Упражнения
163.	Решите уравнение:
a)	tg.-x—в) tgx = 2; д) tgx=-|;
б)	tgx= —1;	r)tgx==—3;	e)tgx=—л.
164.	Найдите, используя в случае необходимости таб-
лицы или микрокалькулятор, наибольший отрицатель-
ный корень уравнения:
a)	tgx=‘\/3’;	e)tgx = 7;
б)	tgx = 0;	r)tgx=—у.
165.	Найдите корни уравнения tgx=*~\/3, принадле-
жащие промежутку [2; 5].
17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ctgx = a
Основной период функции котангенс равен л, поэтому
для нахождения решений рассматриваемого уравнения
необходимо найти их сначала на любом отрезке длины л.
Из рисунка 40 видно, что удобно взять промежуток
(О; л). На нем, по определению арккотангенса, х=
= arcctga. Вследствие периодичности функции котангенс
остальные корни данного урав-
нения отличаются от найденно-
го на nk, т. е. формула корней
уравнения ctgx=a такова:
х = arcctg a + nk, k&Z. (4)
Пример. Решим уравне-
ние ctgx=l.
По формуле (4) имеем х =
arcctg 1 -f- nk, k^Z, т. e.
х=-^--|-л/г, fteZ.
Ответ:	nfelfcezj.
67
Упражнения
166.	Решите уравнение:
a)	ctgx=V3; B)ctgx = 3; д) ctgx= — л2;
"\/з"
б)	ctgx =—у_;	r)ctgx= —1; e)ctgx = n.
167.	Найдите, используя в случае необходимости таб-
лицы или микрокалькулятор, наименьший положитель-
ный корень уравнения больше 20:
a)	ctgx=— л/з"; в) ctgx=—5;
б)	ctgx = 2; г) ctgx=n.
168.	Найдите корни уравнения ctgx = 3, принадле-
жащие промежутку (4; 8).
§ 5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Решение произвольного тригонометрического уравне-
ния, как правило, сводится к решению одного или не-
скольких простейших уравнений. Одной из основных
идей решения является идея, общая для всех типов
уравнений,— переход от одного уравнения к уравнению-
следствию или равносильному уравнению (или их систе-
ме либо совокупности), от него к следующему и т. д.,
пока не придем к простейшим уравнениям, из которых
получаем решение исходного уравнения. При переходе
используются как общие методы (пригодные для любого
типа уравнений), так и частные, основанные на использо-
вании формул тождественных преобразований тригоно-
метрических выражений.
18. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим на примерах применение основных мето-
дов к решению тригонометрических уравнений.
18.1.	ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАВНОСИЛЬНОГО ПЕРЕХОДА
И ПЕРЕХОДА К УРАВНЕНИЮ-СЛЕДСТВИЮ
Это — перенос слагаемых из одной части уравнения
в другую; умножение или деление обеих частей уравне-
ния на число или некоторое выражение; возведение
68
обеих частей уравнения в квадрат; тождественные пре-
образования отдельных частей уравнения (группировка,
применение формул сокращенного умножения, выделе-
ние полного квадрата и т. д.).
Пример 1. Решим уравнение 2cosх— 1=0.
Имеем: (2 cos х — 1 = 0)о(2 cos х— 1 )-s=>^cos %=-0,
откуда х= ± arccos 4-4-2nfc= ±-^-4-2л&, k^Z.
4	о
Ответ:	k
I о	I
Напомним, что при умножении или делении обеих
частей уравнения на некоторое выражение не всегда
получается уравнение, равносильное исходному: могут
появиться посторонние корни или могут потеряться кор-
ни. Лишние корни могут появиться также при возведе-
нии обеих частей уравнения в квадрат. Посторонние
корни исключаются с помощью проверки.
Пример 2. Решим уравнение cos х—“\/3'sinx = 0.
Разделим обе части уравнения на cos х. Если cosx =
= 0, то sinx=#=0 и cosx—У/З sinх#=0, значит, среди
нулей функции cos х нет корней данного уравнения.
Поэтому получаем равносильное данному уравнение:
(1 _д/з	= (Л о (1 -д/з tg х = 0) о
\	COS X /
-<=> (Wtg х= 0	(tg х=-у-)- откуда
х=arctgх=-^4-л6, k^Z.
О	v
Ответ: U-|-n^|<!EZ
Упражнения
169.	Решите уравнение:
. sin x-f-cos х п ,	. о , сп
а)-----------= 2ctgx; r)2tgx—5 = 0;
sin х
sin х— cos x _	чо- । n
6)-----------= 3tgx; д) 3sinx + n = 0;
COS X
в)	sin x~*~1 =0;	e) 22 cos x4* 7л = 0.
tgx+3
69
170.	Решите уравнение:
a)	cosx4-sinx=0; в) sin	х=б;, , .
б)	sinx = cosx;	г) 2 sin х—5 cos х=?=0. .
18.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ (ПОДСТАНОВКА)
Как известно, метод замены переменной (метод под*-
становии) удобен в случае, если уравнение можно пред-
ставить в виде F (ф(х))=0, где F и ф— некоторые
функции. Метод заключается в том, что вводят новую
переменную 1 = ф(х). Тогда исходное уравнение прини-
мает вид: F (0=0. Находим корни последнего уравнения
и для каждого его корня /0 решаем уравнение ф (х) = /о.
В результате получаем корни исходного уравнения.
При решении тригонометрических уравнений выделя-
ются два основных случая.
Случай 1. F — основная тригонометрическая функ-
ция, т. е. уравнение имеет вид sin (ф (х)) = 0, cos (ф (х)) =
= 0, tg (ф (х))=0 или ctg^(x)) = O, где ф — любая фун-
кция. Тогда заменой ф(х)=/ получаем простейшее три-
гонометрическое уравнение F (/)=0. Решаем его и затем
для каждого корня t0 решаем уравнение ф(х)=/0.
Пример 3. Решим уравнение cos (2х—
Положим 2х—— F Тогда cos t—±=0 или cos t=^,
.1^
откуда t= ±y+2nfe, k^Z.
Значит, 2x—±y4-2n&, a x —	+n,k, k<=Z,
Ответ: {+ ezj.
Примечание. На практике часто обходятся без явного введе-
ния переменной t, и решение выглядит так:
(cos (2х—(0=4) (2х-4=^+2nk>kez) *
о (х= ±-£-+-^-+лЛ, k^zy
Случай 2. ф — основная тригонометрическая функ-
ция, a F — любая функция (в школьной практике чаще
всего квадратичная). Полагаем ф(х)=/ и получаем
уравнение F (/)=0. Решаем его и затем для каждого его
70
корня t0 решаем простейшее тригонометрическое уравне-
ние ч>(х)=/0 (т. е. sinx = /0, cosx=/0. tgx = f0 или
ctgx=/0).
Пример 4. Решим уравнение
2 cos2x —Jcos х —2 = 0.
Это уравнение имеет вид F(cosx)=0. Сделаем заме-
ну: cosx = L Получим квадратное уравнение:
2/2 —3/ — 2 = 0.
Его корни: ti = 2, /2 =—Затем решаем уравнения
cos х=/| и cos х = /2, т. е. cos х = 2 и cos х = — Первое
уравнение решений не имеет, а второе имеет решения
х=±-^4-2лЛ, k^Z.
О-
Ответ: (±^r- + 2nfe|^ezj.
I О	J
Примечание. На практике и здесь часто обходятся без явного
введения переменной /, рассуждая так: данное уравнение является
квадратным относительно cos х, поэтому:
3±Д/з2 + 4-2-2
cos х=----—------,
4
3±5	о	1 п
т. е. cos х=—-—t откуда имеем cosx = 2 или cosx———. Решив
второе уравнение, получаем ответ.
Пример 5. Решим уравнение Vsin х = 2 sin х—1.
1-й способ. Обозначив sin х через I, получим иррацио-
нальное уравнение '\[T=2t—1. Решаем его, возводя обе
части в квадрат: / = 4/2— 2/4-1, т. е. 4/2— 5/+1=0,
откуда <!=1, /2=-^-. Проверка показывает, что корнем
иррационального уравнения является только ^ = 1. Зна-
чит, данное уравнение равносильно такому: sinx=l,
откуда х=у + 2лЛ, keZ.
Ответ: |-^- + 2nfe[feezj.
Задание. Решите уравнение из примера 5, не
вводя явно переменной t.
2-й способ. Удобнее сделать такую подстановку:
71
"Vsin x = t. Тогда sin x=f, и получаем уравнение 2f—t —
— 1=0. Его корни: /| = 1, t2 =—Значит, Д/sinх =
= 1 или "\/s*n х — ~у- Второе уравнение решений не
имеет, а первое равносильно такому: sinx=l, от-
куда х=у+2л£, k^Z.
Упражнения
171.	Решите уравнение:
a)	sin 2х = 0;
б)	2 sin 2х— 1=0;
в)	sin-i= — 1;
г)	sin 1) = 0;
д)	Sin(i-2x)=-^f;
е)	sin ^4х—-0= —0,05.
172.	Решите уравнение:
a)	cos3x=i;	г) cos (бх—j)= — У^;
б)	cos 2х= — 1; д) cos у^=Уз";
в)	cos (бх-|--|А=j;	е) 3 cos 5х —3 = 0.
173.	Решите уравнение:
a)	tg2x=-^;
б)	tgf = - 1;
в)	tg(2x+-0= — V3;
г)	Л/3 tg(j-3x) + 3 = 0;
д) 3tg(x4-l)-V3=0;
\	1 А X Л \ t Л
е) W “)-1=0-
174. Решите уравнение:
a)	ctg4x = 5;
б)	ctg 2х+Л/3^=0;
в)	ctg^Sx + y^VT;
г) УЗ ctg (2х-1 =0;
«)V3ctg(i-x)=1;
е) 3ctg|+5 = 0.
175.	Решите уравнение:
a)	sin2 x-f-2 sin х —3 = 0;
б)	cos2 х —cos х —2 = 0;
в)	2cos2x — 5cosx-p2 = 0;
72
г)	4 cos2 х—4 cos x-f- 1=0;
' д) 2 sin2 x-J-sin x— 1 =0;
e)	tg2 x —2 tg x —3 = 0;
ж)	sin23x — 3sin3x + 2 = 0;
з)	cos22x + cos2x—6 = 0;
и)	3 tg2 2x+2 tg 2x —5 = 0;
к)	tg4 3x —3 tg23x+1 =0.
176.	Решите уравнение:
a)	cos2x=l; д) tg2x = 3;
6)	sin2nx=l; e) 2|cosx| — 1=0;
в)	cos2-^-= 1; ж) |tg(2x—l)|=y.
r)	ctg2x = |;
177.	Решите уравнение:
a)	д/sin x = 2 sin x— 1;
6)	2 cos x= 1 —Д/cos x;___
в)	6 cos x — 2=V10-18 cos x ;
г)	Д/5 —2 sin x =6 sin x — 1.
18.3. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Приводим уравнение к виду / (х) = 0 и представляем
левую часть уравнения в виде произведения Д (х)-/2 С*)Х
X ... •fmix)- Тогда данное уравнение приводится к сово-
купности уравнений: f1(x) = O, f2(x) = 0, ... , /т(х) = 0.
Следует помнить, что эта совокупность не всегда равно-
сильна исходному уравнению и что здесь надо руководст-
воваться правилом: произведение равно нулю тогда
и только тогда, когда один из множителей равен
нулю, а все остальные при этом имеют смысл.
Пример. Решим уравнение sinx=-^tgx.
Представим уравнение в виде /(х) = 0 и представим
левую часть в виде произведения:
sin х—± tg х = о) о ^sin х ^1 - sin х = 0, 1	!— = 2 cos х	—L_ \ = (А 2 cos х )	/ 0.
73
Первое уравнение- имеет решение x=rt£, k&Z. Реша-
ем второе уравнение:
1 ——J, cosx—~, х— ±—-4-2ЯП, neZ.
2 cos х	*	у
Ответ: {nA:|feeZ}uf±-2-f-2«/i|nez|.
I *J	J
Упражнения
178.	Решите уравнение:
a)	tg3xcosx=0; в) tg Зх tg 6х=0;
б)	sin2xtgx = 0; г) cos (2х +3) ctg (х—1) = 0.
179.	Решите уравнение:
a)	sin2x — sinx = 0; г) ct^x—ctgx=0;
б)	cos2x— cosx=0;	д) tg2x-f-3 tg x = 0;
в)	tg5 x—- tg2 x=0;	e) tg3x—3 tgx=O.
19. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ
ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Будем добавлять к общим методам решения тригоно-
метрических уравнений последовательно тригонометри-
ческие формулы 1—10 из § 3.
19.1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
Формулы (1) — (5) из п. 13 в сочетании с общими
методами позволяют решать уже довольно много триго-
нометрических уравнений. Например, они часто позволя-
ют «подготовить» уравнение к замене переменной,
т. е. преобразовать его так, чтобы в нем фигурировала
только одна тригонометрическая функция. Рассмотрим
несколько общих видов уравнений, допускающих такую
«подготовку».
1) Первый вид — это уравнения, которые содержат
только sin х и cos х, причем sin х (или cos х) только
в четных степенях. Тогда, используя формулу (1) (п. 13),
полагаем sin2x=l—cos2x (или cos2x=l—sin2x) и по-
лучаем уравнение относительно cos х (или sin х), т. е.
уравнение вида f(cosx) = 0 (или F(sinx) —0).
74
Пр и ме р 1. Решим уравнение 2cos? х'Ц- 3 sin х=0.
Поскольку cos2x=l—sin2x, то данное уравнение
равносильно такому:
2(1 — sin2x)—3 sin х = 0,
т. е.
2 sin2x—3 sin х—*2 = 0. - .
Это квадратное уравнение относительно sin х. Реша-
ем его:
1	•	п
sinx =—или sinx = 2.
Уравнение sin х == 2 решений не имеет, а первое
уравнение имеет корни: х = (— If arcsin’(— -0 -f-
-|-лА: = ( —1)*+'-^-|-л4, fteZ.
Ответ: {(— 1/+)-^--(-яЛ|feez|.
2) Второй вид — это однородные уравнения, т. е.
уравнения вида
a sin х + 6 cos х=0,
a sin2 x-[-b sin х cos x-j-c cos2х = 0,
a sin" х + b sin"-1 cos x-|-... -|-1 cos" x = 0.
Сумма показателей степеней при sin х и cosx у всех
членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называ-
ется степенью однородного уравнения. Выписанные вы-
ше уравнения имеют соответственно первую, вторую, ...,
п-ю степень. Чаще всего в школе встречаются однородные
уравнения второй степени.
Если а^=0, то, разделив обе части такого уравнения
на cos* х, где k — степень однородного уравнения, полу-
чим алгебраическое уравнение степени k относительно
tg х. Это уравнение равносильно исходному. В самом
деле, если cos*x0=0, то в силу формулы (1) sin х0= ±1
и подставляя такое х0 в левую часть уравнения, получим
a sin* х0=( ± 1)*-а#=0. Значит, нули выражения cos*x
не являются корнями данного уравнения, и, значит,
после деления обеих частей его на cos* х получим равно-
сильное уравнение.
Находим из него tgx, а затем х.
Например, разделив обе части уравнения
a sin2 х + & sin х cos х-}-с cos2 х = 0
75
2
на eos х. получим уравнение
a tg2 * + tg х4-с = 0,
квадратное относительно tg х и равносильное первому.
Пример 2. Решим уравнение
2 sin3 х— sin2 х cos х 4-2 sin х cos2 х — cos3 х = 0.
Разделив обе части уравнения на cos3x, получим
уравнение, кубическое относительно tg х и равносильное
данному (объясните почему):
(2 tg3 х-tg2x-|-2 tg х- 1 =0) о
o(tg2x(2tgx-l) + (2 tgx—l) = 0)o
^>((2 tgx-l)(tg2x4-l) = 0)o
^/r2tgx-l=0,<	,
\[tg2x-|-1 =0 /	\	2/
•о (x = arctg -^4-лА!, k^z'j.
Ответ: {arctg-^-4-лЛ |&ezj.
К однородному уравнению легко приводится уравне-
ние вида
a sin2 x-j-fr sin х cos x-j-c cos2 x — d,
если учесть, что d = d(sin2x4-cos2x), и тогда получаем
уравнение
a sin2 х 4- b sin х cos х4- с cos2 х=d (sin2 х 4- cos2 х),
сводящееся к однородному.
Пример 3. Решим уравнение:
6 sin2 х4-3 sin х cos х—5 cos2 х = 2.
Заменив правую часть на 2 (sin2x4-cos2 х), получим:
(4 sin2 x-j-3 sin х cos х—7 cos2 х = 0)о
tgx=l,
.	7
tgx=——>
о(4 tg2x4-3tgx-7 = 0)o
откуда
я	7
x=--\-nky keZ, x=—arctg j4~nn, neZ.
Ответ: f-j-4- nk I k ez| (J { — arctg ~4- лп | n eZ
76
3) Рассмотрим еще один вид уравнений, решаемых
методом замены переменной,— уравнения, алгебраиче-
ские относительно sin x-f-cos х и sin x-cos х, т. е. уравне-
ния вида F(sinx + cosx, sin x-cos х) = 0, где F— много-
член от двух переменных. Здесь удобно ввести заме-
Hy:sin х + cos х = t. Тогда (sin x-j-cos х)2 =/2, 14*
4-2 sin хcos х = /2, откуда sin xcos х=-1(/2—1). Получа-
ем уравнение относительно t:
F(t, 1(/2-1)} = 0.
Пример 4. Решим уравнение
2 sin х cos х 4*5 (sin x4-cos х)4~ 1 =0.
Положим sin x4-cos x = t, тогда sin x cos x=-^(/2—1).
Имеем: t2— 1 4*5/4" 1 =0. t. e. t (/4*5) = 0, откуда t =
= 0 или t— —5.
Значит, sinx4*cosx = 0 или sin x4~cos x= — 5. Вто-
рое уравнение решений не имеет (объясните почему).
Решаем первое:
1 4-tg х = 0, т. е. tgx =— 1, откуда х =—k^Z.
Ответ: {—-^-4*ak\k^z}.
Упражнения
180. Решите уравнение:
a)	2sin2x — 3cos2x = —; '	4 б)	2sin2x—cosx=l; в)	2 sin х — cos2 х —2 = 0; 181.	Решите уравнение: а)	3 sin2 2x4-7cos 2х — 3 = 0; б)	2 sin2 x4-tg2 х = 2; в)	cos4 2х4- 6 cos2 2х = -у|-. 182.	Решите уравнение: a)	sin х —cos х = 0; б)	sin x-|-cos х = 0; в)	“\/з" sin х —cos х = 0;	г)	2 cos2 х — 5 sin х = — 1; д)	sin х — cos2x4~2 = 0; е)	sin2 х —2 cos х = 0. г)	sin х4-Д/з"cos * = 0; д)	3 sin х = 2 cos х; е)	2 sin x4-cos х=0.
77
183.	Решите уравнение:
а)	2,5 sin 2х—8,75 cos 2х = 0;
б)	cos(x+£)—sin(x4~)=0;
в)	5 sin Зх=2 cos Зх;
г)	sin (*+j) + cos (-j4-x)=0.
184.	Решите уравнение:
a)	2 sin2 x — 5 sin x cos x 4- 3 cos2 x = 0;
6)	2 sin2 x=sin x cos x-hcos2x;
в)	sin2 2x4-sin 2x cos 2x — 2cos22x = 0;
r) sinz —— 3 sin — cos —4~2 cos —— 0.
185.	Решите уравнение:
a)	2cos2x — 3 sin x cos x-|-3 sin2 x= 1;
6)	3 sin2 x —7 sin x cos x-|-14 cos2x —2=0;
в)	4 sin2 2x4-sin 2x cos 2x = 3;
r)	3 sin2x4~2 cos x sin x —2 = 0;
д)	5cos2x — 2 sin x cos x = 2 4-3 sin2 x;
e)	|4 sin2x—8 sin x cos x4-10 cos2x| =3.
186.	Решите уравнение:
a)	cos2 x-|-cos x sin x = 0;
6)	sin33x — sin 3x cos2 3x=0;
в)	cos3 2x = 3 sin2 2x cos 2x;
r) 3 sin2 x cos x — 7 sin x cos2 x -|- 4cos3 x = 0.
187.	Решите уравнение:
a)	1 —2 sin x cos x4-sin x-]-cos x = 0;
6)	2 sin xcos x-J-5 sin x-f-5 cos x4-1 =0;
в)	10 sin x cos x— 11 cos x— 11 sin x4-7 = 0;
r)	sin3 2x-}-cos3 2x4*sin 2x cos 2x= 1;
д)	2(1 — sin x — cos x)4-tgx-]-ctgx = 0;
e)	2 — 2cosx-f-2sinx — sinxcosx=0.
188.	Решите уравнение:
a)	V3 tgx4-3 = —; в)Ц-----------2V3tgx-6 = 0;
COS X	sin X
6)	—l-=ctgx4-3;	r) 21g2x4-3=—^-.
Sin X	COS2 X
78
19.2. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим примеры решений тригонометрических
уравнений с помощью формул сложения.
Пример 1. Решим уравнение
tg(x+|)+3tgx = 2V3.
Применяя формулу для tg(a4-0). получим:
tgx+уг 3	= 2дуз
После замены tgx=f имеем:
4-3/= 2УЗ, т. е. Qt2- 10УЗ?4-3 = 0,
1-УП
г—	I—
откуда /=УЗ или	Значит, tgx=y3 или
tgx=-^-, а х=4-|-лЛ, heZ или x = arctg-^-4“^rt»
У	«5	У
neZ.
Ответ: (4+I е U (arctg -тг-4~ лл | п е Z
«Э	J V	*
Пример 2. Решим уравнение
sin 4х cos 2х = cos 4х sin 2х.
Имеем:
(sin 4х cos 2х—cos 4х sin 2х=0)о
-o(sin (4х —2х) = 0)o(sin 2х = 0)о
-о(2х=л&, <ieZ)o(x=:y,
Ответ: {-у-
1 л/з
Пример 3. Решим уравнение у sin х4--у- cos х= 1.
Г,	I . л уЗ	л
Поскольку 2' = siny, -у"=cos у, то это уравнение
можно записать в виде:
sin sin x4-cos-£- cos x= 1.
О	v
По формуле для cos (а—0) имеем:
^cos^x—^=1)ч>^х—^-=2лА:, k^Z^o-
-ф>(х=^г4-2яЛ, k^.Z'j.
Ответ:
Метод, примененный в этом примере, носит название
метода вспомогательного аргумента. Он сводится, как
мы видели, к применению формул сложения. Этим мето-
дом после небольшой предварительной «доработки»
можно решать любое уравнение вида
a sin x + b cos х = с,	(*)
где а, & и с — любые действительные числа.
Конечно, интерес представляет только случай, когда
все три числа не равны нулю (объясните почему).
Метод вспомогательного аргумента заключается в
следующем. Разделим обе части уравнения (♦) на
У/а2+Ь2:
а .	. b	с
—;== Sin Х4---.. — COS X =  ; -
Va2+*2 W + *2	V«2+62
„	/ а \2 . / Ь \2	,
Поскольку /	—- Л -|-/-т====г1 = 1, то существует
число ф такое, что
а .	Ь
..т — --7 = Sin ф, -; г- — ,- = cos ф.
Таким образом, получаем:
.	с
Sin X Sin ф 4-COS X COS ф==—====Г,
или, используя формулу для cos (а — 0):
cos (х —ф)=
Последнее уравнение имеет решения, если
|с|<Д/а2 + 62:
х = ф± arccos:'4~2nfe, fceZ.
Пример 4. Решим уравнение
5 sin х — 12 cos х= — 13.
1-й способ. В этом примере а = 5, Ь= —12,
уа24-62=13. Разделим обе части уравнения на 13:
5 .	12	.
— sin х—— cos х= — 1.
80
„		.	5	12
, Рассмотрим угол ф такой, что sin ф=тт> cos ф= —пр
10	1и
.5
Таким углом будет, например, угол ф = л— arcsin —
(ф = arccos (—Тогда уравнение принимает вид:
cos(x—ф)= — 1, откуда
х—ф = л4-2л£, k^Z,
х=ф4-л-|-2лй=—arcsin-гх+л(2й+1), k^Z.
1о
Ответ: ( — arcsin-рг + л(2fe+ l)|feeZ>.
Одно и то же тригонометрическое уравнение можно
решать различными способами. Так, последнее уравне-
ние, как и любое уравнение вида a sin x-\-b cos х — с,
можно решать не только способом вспомогательного
аргумента, но и иначе. Укажем несколько других спо-
собов.
2-й способ. Возводим обе части уравнения в квадрат,
после чего уравнение сводится к однородному.
3-й способ. Переносим 12 cos х в правую часть и воз-
водим обе части в квадрат, после чего уравнение реша-
ется заменой sinx = /.
4-й способ. Применяем формулы двойного угла
(см. формулы группы 4) и сводим уравнение к однород-
ному.
5-й способ. Выражаем sin х и cosx через tgy
(см. формулы 10°, п. 13).
Заметим, что при втором и третьем способах необхо-
дима проверка.
Упражнения
189.	Решите уравнение:
a)	sin2 (x4--^-) + cos2x4-sin х cos х = 2;
б)	tg(x+j) + tgx=2;
в)	2(1-|-2 sin х cos x)=tg ^x-j-^;
г)	(sin 2х-{-У/3 cos 2х)2=2 —2 cos —2х);
д)	sin^4-x^+V3’cos^ —х) = 2.
81
190.	Решите уравнение: '
a)	sin х—cos х=-у-;
б)	3 cos x-f-4 sin х=5;
в)	3 cos х4-2^3” sin х = 4,5;
г)	cos х—Уз" sin х= 1;
д)	УГ sin ЗхЧ-cos Зх— I;
е)	2 sin х—cos х = 3.
191.	Решите уравнение:
а)	УГ sinx— cosx=^VF;
б)	sin х—cos х = 1;
в)	cos х = 1 —УГ sin х;
. .	, Л/Г
г)	sin x+cos х=-у-;
д)	3 sin х —4 cos х=У26;
е)	sin 2х+УГ cos 2х=УЗ;
ж)	cos Зх= 1 —УЗ sin Зх;
з)	sin 2х=У2"—cos 2х.
192.	Найдите все действительные значения с, при
которых уравнение 4 sin х+9 cos х = с имеет решение.
193.	Докажите, что уравнение 2 sin x4-3cos х=5 не
имеет решения.
19.3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ
Рассмотрим примеры решения тригонометрических
уравнений с помощью применения формул приведения.
Пример. Решим уравнение
sin fx-}-y^ = 2 —3 Cos х.
Поскольку sin (x-|-y) = cos х, то имеем cosx=-i,
откуда х= ±44-2л£, k^Z.
О
Ответ: I±-£-j-2jifc|£ez).
О	. J
82
Увражяеиия
194.	Решите уравнение:
а)	3 sin (л-|-х)=2 sin2 л4-х^;
б)	0,5 —cos	— 5х^ cos (5х —6л) = — cos — cos
в)	4sin(3x—y) + 7cos2(3x—-0=7 |.
19.4	. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим примеры решения тригонометрических
уравнений с помощью применения формул двойного ар-
гумента.
Пример. Решим уравнение
sin2 2x = cos2 х.
По формуле для sin 2х имеем:
((2 sin х cos x)2 = cos2 х)-ф>(4 sin2 х cos2 x—cos2x = 0)o
-o-(cos2x(4 sin2x—l) = 0)o
откуда х==у-|-л£, AeZ; x=( —1)'-2--|-л/, leZ; x~
=(_1)'"+>^4-лт, meZ.
Вторую и третью серии корней можно записать одной
формулой:
х = ±-2-4-л/л, meZ.
и
Ответ: {2n£|£eZ}(j{±-£-+л/nlmezj.
Примечание. Это уравнение можно решить и другими спосо-
бами, в частности, применяя формулы понижения степени (см. форму-
лы 8°—9е, п. 13) сразу или начиная с совокупности уравнений.
83
Упражнения
195.	Решите уравнение:
a)	sin 2x + sin2x = 4 cos2 х;
б)	22cos2 х4-4 sin 2х = 7;
в)	2 cos2 x-f-sin 2х —2 = 0;
г)	2cos2x4--|-sin22x — sin4 x + cos 2х = 0;
д)	2 sin 2х + 4 sin2 х= 1 4-Д/з";
е)	cos х + 2 cos 2x = sin
ж)	cos 2х—5sinx = 3;
з)	cos2 2х — sin2 х = 0,5;
и)	sin2 (x-f-л) —cos 0-л — 2x^ = sin2^x—
196.	Решите уравнение:
)• 4	1 А 2
sin’ x + cos х=—;
б)	sin4 x-f-cos4 х = cos 4х;
в)	sin4 2x + cos4 2x = sin 2х cos 2х;
г)	sin 2-cos ?=-;
д)	sin4x—cos4 х=л/3~ sin 2х;
е)	cos4x — sin4 х = sin 4х.
19.5	. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим решение тригонометрических уравнений
с помощью формул тройного аргумента.
Пример. Решим уравнение cos3x=—2 cos х.
Применяя формулу (17) (п. 13), получим после выпол-
нения преобразований уравнение cosx(4cos2x—1) = 0,
которое равносильно совокупности уравнений cosx = 0,
1 1
cosx=—, cosx =——, откуда:
х=-^--)-лп, neZ; х=±у + 2л^; ksZ;
х=±^4-2л/, kt=Z.
*5
Последние две серии корней можно записать одной
формулой:
х= ±-т4“я/п> tn^Z.
и
84
Ответ: + |J 1
14	J I «5	I
Примечание. В этом примере также удобно использовать
формулу понижения степени для cos2x (см. формулы 8°—9е, п. 13).
Упражнения
197.	Решите уравнение:
а)	3 sin 4=sin х;
«5
3	х
б)	sin ^-х + З sin х = 3 sin р
в)	3 cos х4-3 sin x-|-sin Зх — cos 3x = 0;
г)	cos 9х — 2cos6x = 2;
д)	sin 6х4-2 = 2 cos 4х;
е)	sin 3x4-sin3x=-^p-sin 2х;
ж)	cos Зх — cos2x=sin3x;
з)	sin Зх —4 sin х cos 2х = 0.
19.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Пример 1. Решим уравнение cosx = cos3x.
Имеем:
(cos x = cos 3x)-<=>(cos х —cos 3x = 0)^>-
•<=>^2 sinsin 3x2 * = o)-*>(sin 2x-sinx=0)o
sin2x=0,\
n I, откуда x=-r-, ReZ, х = лл, neZ.
Sinx = o J	2
Первая серия корней содержит вторую.
Ответ:
Пр и мер 2. Решим уравнение cosx=sin5x.
Имеем:
-ф>^2 sin	Зх)-cos (-^4-2х) = о)^>
(cos x = sin 5x)<=>(sin (у—х) —sin 5х = 0^о
/	ч	,	ч	ч	[sin(y-3x) = 0,
! sin 3xY cos (-£-4-2х^ = (Й-ф>-	'
k	7	[>	1	1	[eos(i+2x)=0.
es
откуда: • • •-
у—3№л/г, k^Z или	neZ;
Зх=^+л/г, k^Z млн 2х=-^4-яя, neZ;
х=ттН—k^Z или х==—-|-—, neZ.
1 Z	o	о Z .
Ответ: /А+^| А>(=г|и^4-^| rt6=z|.
IX О I	у О XI	у
Примечание. С помощью формул 6° п. 13 нетрудно получить
условия равенства тригонометрических функций sina=sinp, cosa =
= cos0, tga = tgp, ctg a=ctg p. которые иногда удобно использовать
при решении тригонометрических уравнений.
1)	(sina = sin P)-«-(a=( — lyp-f-лт, meZ).
Доказательство. Имеем:
sin a = sin po(sin a — sin p = O)-e=>
/ , a —p	a + p n\ { . a—P . a + p —л
о (sin —• cos —=0 1 о (sin —sin---------=01 o
/Ta — p=2ni, ke.Z, \	/Га=Р4-2лй, keZ, \
*>\[а+р = л(2А4-1), fteZ/ \[a=-p+n(2fe4-l), k^ZJ
ч>(а=( —l)np + nm, meZ). •
2)	(cos a = cos p)o(a= ± P + 2nfe, feeZ).
Доказательство. Имеем:
(cos a=cos P)-o(cos a—cos Р = 0)-ф>-
/ . a-p . a + p _\
o( sm —^--sin —^-=0 !-«=>-
о(а±Р = 2лй, A>eZ)o(a= ±P4-2nfe,^eZ). •
3)	(tga=tgp)o(a=p+nfe, feeZ).
Доказательство. Имеем:
(tga=tgp)o(tga— tgP=O)-t>
o(sin (a —P)=0)-e>(a —р = лй, teZ)«>
-s>(a = p + nfe, k^Z).
4)	(ctg a=ctg P)-o(a = p + nk, k^Z).
Доказательство. Имеем:
(ctga = ctg p)o(ctg a —ctg p=0)*>
o(sin(a —P)=0)o(a = P + nA, keZ). •
86
Решим с помощью этих формул уравнение примера 2
Упражнения
198.	Решите уравнение:
a)	sin 3x-|-sin х = 0; д} cos 2х —cos 6х = 0;
б)	sin5x = sinx;	е) cos3x=sinx;
в)	cos 2х= — cos 6х; ж) sin cos р
г) cos 2х4-cos Зх=0; з) sin2 2x = cos2 х.
Решите эти уравнения с помощью формул 1)—4) из
вышеприведенного примечания.
199.	Решите уравнение:
a)	sin 3x4-sin 2x4-sin 4х = 0;
б)	sin х-f-sin 3x4*4 cos 3x=0;
в)	1 4-cos x-|~cos 2х4-cos 3x=0;
г)	sin х 4-sin 2x4-sin 3x4-sin 4х=0;
д)	sin x-j-sin 2x4-sin 3x= 14-cos x-|-cos 2x;
e)	sin x-j-sin 2x —sin (Зх4-л)= 14*cos x—cos (л-|-2хХ
. cos x—sin 2x ,
200.	Решите уравнение:
a)	sin x4-sin ^x4-^ = 0;
6)	cos 3x4-sin (9x4*2)=0;
в)	sin x — cos x = coSg-;
r) cos x — cos 3x=2 VTsin2 x;
д) sin 3x—sin 7х=д/3 sin 2x.
87
19.7	. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
Пример 1. Решим уравнение
cos Зх cos 6x = cos 4х cos 7х.
Преобразуем произведение косинусов в полусумму
косинусов:
j (cos (3x + 6x)+cos (Зх—6х)) =
=-^(cos (4x4~7x) + cos (4х — 7х))«$=>
-<=>(cos 9x + cos 3x = cos llx + cos Зх)ч=>
о (cos 9х —cos 11х = 0)о(2 sin 10х sin x = 0)o
/ sin 10x = 0,\
\ sinx = 0 J’
откуда
x=7o’ k^Z’
Ответ:
Пример 2. Решим уравнение
sin
ПХ 12)“ 2‘
Заменяя произведение синусов разностью косинусов,
получаем
cos 4 — cos
О
откуда
2лх+-^-= ±4+2^6, k^Z, т. е. х =—пг+Х+А, ibeZ.
О	О	О
Ответ: {л —|&ez}up+-jj
Упражнения
201.	Решите уравнение:
a)	cos 7х cos 3x = cos 4х;
б)	sin fx+-0 cos ГхЧ~) = 0,5;
88
в)	cos (х4- 70°) cos (х + 10°) = 0,5;
г) sin(x4-45°)sin(x—15°)=0,5;
д) 2 cos (х + 20°) cos х — cos 40°.
202.	Решите уравнение:
a)	cos Зх cos 6x = cos 4х cos 7х;
б)	sin х sin 7х = sin Зх sin 5х;
в)	sin 5х cos Зх=sin 9х cos 7х;
г)	0,25 — 0,5 cos 2x = cos х cos Зх.
203.	Решите уравнение:
а)	8 cos х cos sin
б)	sin х sin 2x sin 3x = i sin 4x.
19.8.	ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
И ФОРМУЛ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Эти формулы позволяют заменять квадраты тригоно-
метрических функций и сами эти функции синусами
и косинусами вдвое большего аргумента, что часто упро-
щает решение и его запись.
Пример. Решим уравнение
cos3 х + cos2 х — 4 cos2 =0.
Используя формулу (19) из п. 13, получим:
/ з ।	2 л 1+cosx п\
(cos x-j-cos х —4----------= 9
-о(cos2 x (cos x+ 1) —2 (cos x+ l) = 0)o
o((cos x-f- l)(cos2x —2) = 0)-s=>
о (cos X-f- 1 =0)<=>(cos x= — l)o
-o(x = л-(-2л/г, feeZ)o(x = л (2fe-f-1), fceZ).
Ответ: {л (26-f-l)|fceZ).
Упражнения
204.	Решите уравнение:
a)	sin2 x-f-sin2 5х= 1;
б)	sin2 -|-f- sin2 -у =1;
в)	sin2 Зх-f-i sin2 6х= 1;
89
г)	2 sin2x-^cos 4х=0;
д)	2 cos2 2x4-cos Юх— 1 =*0;
е)	2 sin2^-4-cos 2х== 0.
205.	Решите уравнение:
a)	sin22x4-sin23x4-sin24x4-sin25x=2;
б)	cos2 2х 4* cos2 4х — sin2 6х — sin2 8х=0;
в) cos2x4-cos22x4-cos23x4-cos24x=2.
206.	Решите уравнение:
a)	sin2 x-j-sin2 2x4-sin2 Зх—
б)	sin2x4-sin22x = sinЗх;
в)	3 sin x4-sin 2х = 6 sin2^-;
г)	sin2 6x4-sin2 8х=cos2 2x4-cos2 4х;
д)	sin2 Зх-f-sin2 4x = sin2 5x4-sin2 6x.
207.	Решите уравнение:
a)	sin4 x-f-cos4 x=sin x cos x;
6)	sin4x4-cos4x=-^-(3 —cos6x);
в)	sin82x4-cos82x=-^-;
Izo
. sin x n ,
r)-------= 2 ctg x;
' 1+cosx &
д) 2 cos23x4~sin 5x= 1.
19.9. ВЫРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Если тригонометрическое уравнение содержит только
тригонометрические функции одного аргумента, то фор-
мулы (35) — (38) (п. 13) позволяют привести его к урав-
нению относительно tg-£, которое решается заменой
tg^- = /. Эту замену называют универсальной тригоно-
метрической подстановкой. Следует помнить, что при
такой подстановке из рассмотрения исключаются числа
х=л4-2л£, AgZ. Поэтому, решая уравнение этим мето-
дом, надо проверить, нет ли среди исключенных чисел
корней данного уравнения, иначе может произойти поте-
ря корней.
90
Пример. Решим уравнение sin х4-5 cos х— —5.
' Применяя формулы (35) и (36) (а. 13), получим
2tg| sA-tg2!)
------1—।—1-------±£4.5 = 0,
l+te2^ 1 + tg2!
t. e. tgi=—5, откуда -£= arctg (— 5)4~nfe, feeZ,
значит, x= — 2 arctg 54-2nfe, k^Z.
Теперь надо еще проверить, нет ли среди чисел л4-
4-2лА корней данного уравнения. Проверяем."
sin (л-)-2лЛ)-}-5 соз(л4-2я/г)= —5
верное числовое равенство. Следовательно, все числа
л-\-2л1г, k^Z, являются корнями данного уравнения.
Ответ: { — 2 arctg5+ 2лА| fe eZ}J{.n + &tk\k^Z}.
Заметим, что это уравнение можно решить методом
вспомогательного аргумента и другими методами.
Упражнения
208.	Решите уравнение:
а)	2 sin 2x4-3 tg х — 5;	в) 24-sin х=3 tg-£;
б)	tg2 х + 2 cos 2х —5=0;	г) 14-cos х= — tg-£.
209.	Решите уравнение:
a)	tg 2х 4-sin 2x=-^r ctg х;
б)	1—sin x = (sin x-J-cos х) cos х;
в)	tg 2x + sin 2x=-^-ctg 2x;
г)	tg2 x4-ctg x = 4 sin 2x.
210.	Решите уравнение:
a)	2 sin2 (x—j) = 2 sin2 x—tg x;
5 sin x—5tgx . ..	\ n
6)	s—1-4(1 — cos x) = 0;
sin x4-tg x
. 1—cos2x+tgx , , . o
в)	!_— 1 sin 2x;
1—tgx
r) 3 sin 4x=(cos 2x— l)tgx.
91
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
20. ОЦЕНКА ПРАВОЙ И ЛЕВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ
Решение некоторых уравнений основывается на сле-
дующей довольно простой теореме.
Теорема. Если в уравнении
/(*) = £(*)
при всех значениях х из области определения уравнения
выполняются условия
f(x»a, g(x)^a,
где а — некоторое фиксированное действительное число,
то данное уравнение равносильно системе
f{x)—a,
g(x)—a.
Задание. Докажите теорему самостоятельно.
Из этой теоремы легко получить такие следствия.
Следствие 1. Если в уравнении f(x)-\-g(x) = a +
4-6 при всех допустимых значениях х f(x)^.a, g(x)^b,
то данное уравнение равносильно системе
f(x) = a,
,g(x) = b.
Следствие 2. Если в уравнении f(x)-g(x) = a‘b
(а>0, 6>0) при всех допустимых значениях х f(x)^.a,
g(x)^.b, то уравнение равносильно системе
f(x)=a,
g{x) = b.
Следствие 3. Уравнение f(x)+g(x)=0, где
f(x)^O, g(x)^0 при всех х из области определения
уравнения, равносильно системе
7(х)=0,
.£(*)=0.
Для доказательства следствий 1—3 достаточно пред-
ставить эти три уравнения соответственно в виде:
92
f(x) — a==b—g(x),
gW
f(x)=—g(x)
a
и затем применить теорему.
Задание. Докажите следствия 1—3, не опираясь
на теорему.
Пример 1. Решим уравнение
X2 — 8х „2 I 1
cos —-— =х*-|~ 1.
ь
£__gj.
Поскольку при любом х cos—51, а х2-^ 1^1, то
О
данное уравнение равносильно системе
х2 —8х
COS---=--
о
имеющей единственное решение х = 0.
Ответ: {0}.
Пример 2. Решим уравнение sin3x-f-cos3х— 1.
Имеем:
(sin3 %+ cos3 х — sin2 x + cos2 x)o
-o(sin2 x (1 —sin x)-|-cos2 x(l —cos x) = 0)-^=>
l'fsin2x(l— sin x)=0,\
Дсо52х(1 —cos x)=0/
sinx = 0, fsinx=l,\
. ИЛИ 1	о )•
cosx=l lcosx = 0/
откуда
х = 2лй, k^Z, х=у+2лп, neZ.
Ответ: {2nfe|AeZ)U|y + 2nn|neZ
Упражнения
211.	Решите уравнение:
a)	cos 6x4-sin-у-=2; в) sin x-f-sin 9х = 2;
б)	sin 5х—2cos2x = 3; г) sin^cos2x=l;
93
д)	sin9 x4*cos9 x=I;
е)	(cos 4х —cos2x)2=sin3x4-5.
212.	Докажите, что не имеет решений. уравнение:
a)	sin х = х24-х4- 1;
б)	cos (Зх4- 1)-х2~2x4-3;
в)	Ух2 4-5 =2 cos х;
г)	Ух2-}- 1*1 4- Ю = 3 sin х;
д)	4 sin4 х 4-cos Зх cos х=4,5;
е)	Vsinx —У[х —Vx— 1 — х2.
213.	Решите уравнение:
a)	|sin х —sin 3xf = 34-cos 2х;
б)	д/34-cosx =24-х2;
в)	'\/х24-5 =2 sin х;
г)	cos лх = х2 — 4х 4- 5.
214.	Докажите, что не имеет решений уравнение:
а) 2 sin2 х4-3 cos3 х=5;
б)	2 sin (x-j- 1) cos (Зх—1) = 3;
в)	cos2x-}-4 sin2 x-f-2 cos х—4 sin х4-2 = 0.
215.	Решите уравнение:
a)	sin5 x + cossx=24~sin4 х;
б)	| sin х-(-0,514-12 cos х — Уз"| = 0;
в)	sin х-|-3 cos 4х-|-4 = 0;
г)	cos 2x*sin 6х= 1;
д)	sin Зх4-cos (х—-0 = 2;
е)	cos2-|x-bsin2(x—0 = 0;
ж)	sin 2х cos (х4~0 = И
3)	sin24 x4-sin24 х=0.
4	о
21.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ВОЗРАСТАНИЯ
И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ
При решении тригонометрических уравнений иногда
полезно руководствоваться следующим простым фактом.
Теорема. Если функция f (ж) непрерывно возра-
94
стает на некотором промежутке (о; 6}, а функция
g (х) непрерывно убывает на этом промежутке, причем
1 (®) <8 (а)> о. f (6) >е (*)» го уравнение f(x) = g (ж)
имеет ровно один Корень на этом промежутке.
Это утверждение можно обосновать, например, рас-
сматривая графики функций ,/(х) и g(x). Уточнение
понятия непрерывности и строгое доказательство этого
утверждения будет дано позже, в главе 111.
Пример. Решим уравнение sin лх= 1 —Зх на про-
межутке (0; 0.5J.
На промежутке (0; 0,5] функция /(x)=sinnx непре-
рывно возрастает от 0 до 1, а функция g(x)=l— Зх
непрерывно убывает от 1 до —0,5. Поскольку /(0)<
<g(0), a f (0,5)>g (0,5), то по теореме уравнение имеет
ровно один корень. Легко видеть, что этот корень х0=±.
Ответ: {-I-}.
Упражнения
216.	Решите уравнение:
a) cosx=77-;	б) cosx = x—7S
’	2л	'	2
в) tg х= 1-|-л — 4х на промежутке у! у)-
217.	Докажите, что уравнение имеет единственное
решение:
a) cos2x = x-|-l; б) sin^-=2x4-5.
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства вида sinxCa, sinx>a, sinx^a,
sinx^a, cosxCa, cosx>a и т. д.— простейшие триго-
нометрические неравенства. Их решения находятся с по-
мощью графика соответствующей функции либо с по-
мощью координатной окружности.
22. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Заметим, что если /(х) — периодическая функция, то
для решения неравенства f(x)>a(/(x)<a) необходимо
найти его решения на каком-либо отрезке, длина которо-
95
го равна периоду функции f(x). Все решения исходного
неравенства будут состоять из найденных значений х,
а также всех х, отличающихся от найденных на любое
целое число периодов функции f(x).
Рассмотрим решение неравенства sin х>а (ае/?).
Поскольку |sin х| 1, то при 1 неравенство реше-
ний не имеет. Если a<Z — Г, то множество решений
неравенства sin х>а — множество всех действительных
чисел.
Пусть —Функция синус имеет наименьший
положительный период 2л, поэтому неравенство sin х>а
можно решить сначала на отрезке длиной 2л, например
на отрезке £—тр	Строим графики функций
t/ = sinх и у = а( — 1<а<1) (рис. 41).
На отрезке [—у; yj функция синус возрастает,
и уравнение sinx = a, где |а|^1, имеет один корень
%! = arcsin а. На отрезке -y-j функция синус убывает,
и уравнение sinx = a имеет корень х2 = л— arcsin а. На
числовом промежутке (х,; х2) график функции у —
= sin х расположен выше графика функции у — а( — 1
^а<1). Поэтому для всех х из промежутка (arcsin а;
л — arcsin а) неравенство sinx>a выполняется, если
— 1^а<1. В силу периодичности функции синус все
решения неравенства sin х>а (— 1	1) задаются
неравенствами вида:
arcsin а-}-2лп<х<:л — arcsin а + 2лп, neZ,
т. е.
arcsin а + 2лл<х< — arcsin а + (2л + 1) л, neZ.
Аналогично решаются
cosx>a, cosx<a.
sin х<а,
неравенства
96
Пример 1. Решим неравенство sinx>0.
Рассмотрим график функции г/ = 81пх(рис. 42) и вы-
берем из промежутка [0; 2л] на оси Ох значения аргу-
мента х, которым соответствуют точки графика, лежа-
щие выше оси Ох. Таким промежутком является интер-
вал (0; л). Учитывая периодичность функции i/ = sinx,
все решения неравенства sinx>0 можно записать так:
(J (2лй; л-]-2лй).
keZ
Ответ: U (2лй; л-|-2л&).
k^Z
Пример 2. Решим неравенство cosx<—.
Рассмотрим графики функций: z/ = cosx и У=^
(рис. 43). На отрезке [0; л] функция косинус убывает,
и уравнение cosx = -^- имеет один корень Xj = y. На
отрезке [л; 2л] функция косинус возрастает, и уравнение
cosx = -5- имеет один корень х2=‘о“- На промежутке
Л	о
гРаФик функции y = cosx расположен ниже гра-
фика функции У = т>- Значит, на числовом отрезке [0; 2л]
множество решений неравенства cosx<-^ — числовой
4 Алгебра, 10 кл.
97
Ответ: U (у-|-2л£;
Неравенство tgx>a целесообразно решать сначала
на промежутке	у) (рис. 44, а, б). Тогда
arctg а<х<~.
Учитывая периодичность функции тангенс, получаем
arctga + лп<х<^ + лп, n^Z.
Множество решений неравенства tgx>a запишем
в виде:
U ( arctg a-j-jin; -^-ф-лгг).
keZ'	2	/
Задание. Пользуясь рисунком 45, покажите, что
решениями неравенства tgxCa являются те и только те
значения х, которые удовлетворяют неравенствам:
—-^--b^CxOrctg а + лтг, neZ.
Неравенства ctgx>a и ctgxCa целесообразно ре-
шать, пользуясь графическим способом, сначала на про-
межутке (0; л). Легко показать, что их решениями явля-
ются те значения х, которые удовлетворяют соответст-
венно неравенствам:
Tin < х< arcctg а -|-лгг, neZ;
arcctg а-|-лл<х< л-|-л/г, neZ.
98
Итак, решить простейшее тригонометрическое нера-
венство можно так:
а)	построить графики содержащихся в неравенстве
тригонометрической функции и функции у — а\
б)	по графикам найти решения данного неравенства,
принадлежащие числовому промежутку, длина которого
равна периоду тригонометрической функции;
в)	учитывая периодичность тригонометрической функ-
ции, записать множество всех решений неравенства.
Упражнения
218. Решите неравенство:
. . 1
a) sin х^у,
б) cos
X	-	1
в) COS < —
4
Г) —^-<smx<-;
. 1 ^.1
Д) —2<cosx<2-;
е)	tgx> — 1;
ж)	ctg х<л/3',
з)	—V3'<ctgx<V3.
23. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОЙ ОКРУЖНОСТИ
Рассмотрим примеры решения простейших тригоно-
метрических неравенств с помощью координатной
окружности.
Пример 1. Решим неравенство sinxCj.
99
Рис. 46
Это неравенство означает,
что все точки Р (х) координат-
ной окружности при значениях
х, удовлетворяющих данному
неравенству, имеют ординату
меньше -%. Множество всех та-
ких точек — дуга I, показанная
на рисунке 46. Концы ее и Р2
не входят в рассматриваемое
множество, поскольку их орди-
наты равны у. Чтобы найти
условие, при котором точка Р (х) принадлежит указанно-
му множеству, найдем числа х1 и х2, соответствующие
1	1л
точкам Р{ и Р2 (с ординатой —). Возьмем х} = arcsin g-=-g
и выберем подходящее значение для х2 из возможных его
значений
л — arcsin^+2л£ = -^г- + 2л/г, k^Z.
Рассмотрим обход дуги от Р{ к Р2 по часовой стрелке.
Тогда х убывает, поэтому для х2 надо взять значение,
ближайшее к X] и меньшее хь т. е.
х2=| л — 2л • 1 = —
*	6	6
Все решения неравенства из промежутка	у|
7 л	л
длиной 2л таковы: —g-<x<—. Учитывая периодич-
ность функции синус, получаем все решения неравен-
ства:
—^- + 2лп<х<^-+2лп, neZ.
О	о
Ответ: (J (——4~2лп; -^- + 2лп).
пеГ' °	°	/
Пример 2. Решим неравенство cosx^—у.
На рисунке 47 показана соответствующая дуга I. На-
/	1\	1л
ходим х, и х2: Xj = arccos ( —— 1 = л — arccos — = л —3- =
100
—, а для x2 берем значение, ближайшее к х1 и меньшее
О
2л „
xt: х2 =—г-. Отсюда имеем
О
—-^--|-2лй^х^-^- + 2л^, k^Z.
<>	о
Ответ: (J Г—-^--(-2л&; -^ + 2л&1.
6eZ L J	d J
Пример 3. Решим неравенство tgx^l.
Основной период функции тангенс равен л. Поэтому
найдем сначала все решения данного неравенства, при-
надлежащие промежутку —у;у)- Для выделения всех
точек Р (х) правой полуокружности, значения х которых
удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии
тангенсов. Если х является решением неравенства, то
ордината точки X, равная tg х, должна быть больше или
равна 1. Множество таких точек X — луч MX (рис. 48),
где точка М соответствует точке Р{ Множество
точек Р (х), соответствующих точкам этого луча,— дуга /,
выделенная на рисунке (точка Рх принадлежит рассмат-
риваемому множеству, а точка Р2 не принадлежит).
Находим условие, при котором точка Р (х) принадлежит
дуге I. х,е (—у; и tgx^l, следовательно, xt =
— arctg 1 =^. Значит, х из промежутка —Д; у) должно
1 П1
Л	Л х т
удовлетворять условию —^х<у. Учитывая периодич-
ность функции тангенс, получаем:
Л I	л ।	rj
— + ЛП^Х< —+ ли,
Ответ: J Iv+nw; -х-Ч-лл
teZ L4 2
Упражнения
219. Решите неравенство:
a) sin х>^-,
б) sin х< —
в) cosх^ — g-;
г)	cosx<-|-;
ч	V2
д)	cosx2>-y~;
е)	tgx<-l;
ж)	ctgх^ —2;
з)	ctg Х<^—7j~.
220.	Решите уравнение:
а) "\/1 — sin 2х = cos х; б) у 1 — sin 2х = — cos х.
221.	Найдите область определения функции:
a)	y=~\Jsinx+^; в) у=У/3 tgx—5;
б)	у=^2 cos х+д/з"; г) у=д/2 ctg x-f-1 .
222.	При каких значениях а уравнение
х2 + 3х—cosa = 0
имеет действительные корни?
24. РЕШЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Решение произвольных тригонометрических нера-
венств сводится, как правило, цепочкой равносильных
переходов к решению одного или нескольких простейших
тригонометрических неравенств. При этом используются
те же общие приемы (замена переменной, разложение на
множители и др.) и те же тригонометрические формулы,
102
что и при решении тригонометри-
ческих уравнений, а также общие
правила решения неравенств.
Пример. Решим неравенство
2 cos 2х-|-7 sin х—5>0.
Используя формулу cos2x =
= 1—sin2x, получим равносиль-
ное неравенство:
— 2 sin 2х-|-7 sin х—-3>0,
т. е.
2 sin 2 х —7 sin х + 3<0.
Выполнив замену переменной sinx=/, получим
2/2 —7/4-3<0,
1
откуда g-<r<3.
Значит, исходное неравенство равносильно простей-
1
шему неравенству sin х>
Для его решения используем координатную окруж-
ность. Этому неравенству удовлетворяют все числа х та-
кие, которым на координатной окружности соответству-
ют точки меньшей дуги Р}Р2 (рис. 49), причем точки Pt
и Р2 с ординатой исключаются из дуги. Точке Р{ со-
ответствуют числа arcsin^+2лй=-^-+2л/г, k^Z, точке
Р2 — числа -^~ + 2лп, neZ,
Возьмем и будем обходить дугу РХР2 против
часовой стрелки. Поскольку х при этом возрастает, то
придем к значению х2, большему х, и ближайшему к х{.
Таким значением является х2=^-. Итак, проме-
(л 5л \
"б’ "б / дает все решения неравенства на проме-
жутке [0; 2л].
Ответ:
и
6eZ
^ + 2лА; -^-+2л^у
103
Упражнения
223.	Решите неравенство:
a)	sm^x + ^C—;
б)	2 cos ^4х —^>л/3~;
в) tg(x—
r)3ctg(i+i)>-V3.
224.	Решите неравенство:
a)	sin x<cos х;
б)	sin x + cos х<"\/2";
в)	|sin x + cos х| < 1;
г)	sin х — cos х^>— 1.
225.	Решите неравенство:
а)	4 sin 2х-2(д/2-1) sin х—~^2 <0;
б)	4cos2x — 2(~\/2— 1) cos х—л/2~ <С 0;
в)	tg2 х —4 tg х+л/3~>0;
г)	ctg2 х —4 ctg х+"\/^">0.
226.	Решите неравенство:
а)	1 +2 sin2 xi>5 cos х;
б)	2cos2x — 7sinx<5;
в)	sin2 х + 2 sin х cos х —3 cos2 х<0;
г)	5 sin2 x-j-sin2 2x>4 cos 2x;
д)	sin 2x cos x + cos 2x sin x — 0,5;
e)	cos 2x cos x—sin 2x sin x^ — 0,5;
ж)	4 sin2 x + 4-sin2 2x —cos 2x<0;
з)	sinx(cosx — sinx)<2.
227.	Решите неравенство:
a)	| sin 2x|
6)	sin2x<+
в)	tg2xl>3;
г)Д/+|<1.
228.	Решите неравенство:
a)	"\/sin2 x < ycos2 x;
6)	Д/sin2 x >Д/С0§2 x •
229.	Найдите корни уравнения Д/1>5 sin х = cos х,
принадлежащие числовому промежутку (— 2л; 0).
104
230.	Найдите область определения функции:
а)	г/ = "\/2 sin Зх— 1 ;	в) у=Л]1 — 2 cos 4х;
б)	z/="\/sin х + 3 Д/cos 2х;	г) у=Л]2 sin 2х— л/3~-
231.	Найдите область значений функции:
a) z/ = sin x + cos х;
б)	z/ = 2cos-i-4-tgxctgx;
в)	£/ = (1 4-tg2 х) cos2 х — sin^+x^.
232.	Решите неравенство:
а)1Д2Д±2<2; б) 4COS* + 2->2.
3 sin х+ 1	3 cos х+ 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Из истории возникновения тригонометрии
Изобретение способа измерения углов в градусах
относится к III—II тысячелетиям до н. э. За единицу
, - 1
измерения был принят угол, равный части длины
окружности. Эту единицу назвали одним дуговым граду-
сом, а центральный угол, опирающийся на такую дугу,
назвали одним угловым градусом.
Шестидесятеричное градусное измерение, как и шес-
тидесятеричная система счисления, проникло далеко за
пределы ассиро-вавилонского царства и получило широ-
кое распространение в странах Азии, Северной Африки
и Западной Европы. Оно применялось, в частности,
в астрономии и тригонометрии.
Древнегреческие ученые не знали современных обо-
значений тригонометрических функций, вместо синуса
105
они пользовались хордой, рав-
ной удвоенной линии синуса по-
ловинной дуги. Греческое слово
«хорде», от которого происхо-
дит термин «хорда», означает
«тетива лука». Первые таблицы
хорд дошли до нас в книге Пто-
лемея «Альмагест» (II в. н. э.).
Индийцы, заимствовавшие гре-
ческую хорду, перевели это сло-
во санскритским словом «джи-
ва», также означавшим «тети-
ва». В арабском языке было
близкое по звучанию слово «джайб», означавшее «пазу-
ха, выпуклость». Европейские переводчики перевели его
латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Кроме линий синуса DB и косинуса OD (рис. 50),
индийские астрономы ввели еще одну величину: обра-
щенный синус (XII в.) — sinus versus — DA — разность
между радиусом окружности и ее косинусом. В со-
временной символике это записывается так:
sinversus= 1 — cos а.
В Индии, в трактате математика Ариабхата,
в 499 г. встречаются функции синус, косинус и синус-
версус. Они рассматривались только для острого угла,
и их вычисления сводились к рассмотрению лишь прямо-
угольных треугольников.
Новые тригонометрические функции, которыми мы
пользуемся и сейчас, были введены учеными стран Сред-
него и Ближнего Востока в IX—X вв. Понятия «тангенс»
и «котангенс», как и первые таблицы этих новых триго-
нометрических величин, родились из учения о солнечных
часах (гномоники). Солнечные часы представляли собой
шест, вертикально воткнутый в землю. Время отсчитыва-
лось по длине и направлению тени, отбрасываемой ше-
стом. Циферблатом служила площадка с колышками,
вбитыми в землю. Ахмед ал-Марвази, уроженец
г. Мерва, названный ал-Хабаш ал-Хасиб, т. е. «Вычисли-
тель», кроме этих понятий, ввел еще и понятие «секанс».
Арабский астроном и математик аль-Баттани
(858—929) в трактате «Усовершенствование Альмагеста»
рассматривает уже все шесть тригонометрических вели-
чин: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косе-
106
канс, хотя они и назывались несколько иначе. Термины
«котангенс», «косеканс», образованные по аналогии
с термином «косинус», встречаются впервые в 1620 г. у
английского ученого Эдмунда Гунтера.
В Европе первым трудом, в котором тригонометрия
рассматривалась как самостоятельная ветвь математи-
ки, была работа немецкого астронома и математика
Региомонтана (псевдоним Иоганна Мюлле-
ра (1436—1476)) «Пять книг о треугольниках всех ви-
дов», написанная в 1462—1466 гг. В ней автор система-
тизировал и изложил все известные к этому времени
знания по тригонометрии.
Наиболее значительные исследования по тригономет-
рии связаны с именами Насирэддина Туси
(1201 — 1274), Джона Валлиса (1616—1703),
Джеймса Грегори (1638—1675), Исаака
Барроу (1630—1677), Роджера Ко теса (1682—
1716), Исаака Ньютона (1643—1727), Лео-
нарда Эйлера (1707—1783).
Интересно знать
В разные годы для обозначения тригонометрических
функций использовались различные символы. Р. Н о р-
вунд (1660) обозначал: синус — S; тангенс — t; се-
канс— sec; косинус — SC или CS; котангенс — Ct
или tC.
Д. Валлис (1684) обозначал: синус — S; коси-
нус— 2; тангенс — Т; котангенс — т. Например, соотно-
шение sin a = V^2 — cos2 а Валлис записывал так:
S = V:/?2 —22.
Современную символику и близкое к современному
изложение тригонометрии дал гениальный математик
Л. Эйлер во второй половине XVIll в.
Арифметические ребусы
Расшифруйте, какая цифра скрывается за каждой
буквой:
СИНУС
+ СИНУС
КОСИНУС
ТАНГЕНС
107
Расшифруйте равенства:
tg-tg = ctg;
sin-sin = arcsin.
Где ошибка?
Пусть 0<а<л, и, следовательно, 0<у<у.
Имеем:
(. а\ . а	/	, а\	а
Я + "о )<s,n V и COS ( Л+ -Г-)< COS-у.
Почленно перемножая, получим:
sin (л+у) cos (л+7) < sin-J cos у
или
J sin (2л + а)<-£- sin а,
откуда
sin (2nH-a)<sin a.
Из полученного неравенства следует, что 2л не явля-
ется периодом функции у = sin a.
Найдите ошибку!
Обе части известного тригонометрического тождества
cos2 a = 1 — sin2 a
возведем в степень 1 —:
11
cos3 a = (l — sin2 a) 2
Прибавим к обеим частям равенства 1 и возведем
в квадрат:
/	1- Y
(cos3 a-j- 1)2=\(1 — sin2 а) 2 + 1/.
Подставив в полученное равенство вместо а, напри-
мер, у, будем иметь:
( 11 ¥
(0+1)2=Д(1-1) 2 + 1/> т. е. 12=12
108
(_1 + 1)2 = (
(равенство верное). Но, подставляя вместо а число л,
получим:
11 V
(1-о) 2+м,
откуда 0 = 22 (равенство неверное).
Объясните, почему так получилось.
Ч^Панчишкин А. А., Шавгулидзе Е. Т. Тригонометрические функции
в задачах. М., 1986. 160 с.
Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математи-
ке. Решение задач: Учеб, пособие для 11 кл. сред. шк. М., 1991. 384 с.

I. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ И СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Определить знак числа: a) cos 2;
б) sin 5 —tg 4.
Решение, а) Поскольку л = 3,1416..., то -1<;2<;л.
В числовом промежутке (-1; л^косинус принимает отри-
цательные значения. Следовательно, cos2<0.
б) Поскольку л = 3,14..., -|-л = 4,71..., 2л = 6,28...,
3	Зл
то £-л<5<2л и л<4<-^-. Значит, sin5<0, tg4>0,
следовательно, sin 5 — tg4<0.
Пример 2. Что больше: sin 10 или sin И?
Решение. Составим разность и установим ее знак:
sin 11 —sin 10 = 2 sin 0,5-cos 10,5. Ho sin 0,5>0, так как
угол в 0,5 рад находится в первой четверти; cos 10,5<0,
поскольку Зл < 10,5<Зл+-1.
Составленная разность отрицательна, следовательно,
sin 11 < sin 10.
109
Заметим, что если нужно сравнить значения тригоно-
метрических функций sin р и cos 0, то следует воспользо-
ваться, например, равенством cos р = sin (у—р).
1.2.	ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Пример 1. Доказать тождество
sin x + cos х=л/2 sin (х + у).
Доказательство. 1-й способ.
sin x + cos х = д/2*	sin х+-^- cos х^ =
— У/2 (cos у sin x+cos х sin	sin (х + ^.
2-й способ.
sin x + cos x=sin x + sin (y + x) =
= 2 sin fx+^Y cos ^- = ^/2 sin fx+^Y
\	4/	4	’	\	4/
Пример 2. Вычислить sin4 a —cos4 а, если tgy=
= 0,5.
Решение, sin4 a — cos4 a= —(cos4 a — sin4 a) =
— —(cos2 a + sin2 a) (cos2 a — sin2 a) = —cos 2a.
Вычислим сначала cos a, а затем cos 2a:
2
5’
cos a =---------=-------
cos 2a = 2 cos2 a— 1 = 2~ — 1 =
Тогда
Рассмотрим примеры на доказательство равенств.
Пример 3. Доказать, что cos 36° +cos 108° = 0,5.
Доказательство. Умножим и разделим левую
часть доказываемого равенства на 2 sin 36° (sin 36°=+
э&0) и преобразуем полученные произведения синусов
и косинусов, используя формулу приведения:
ПО
осо ।	, noo 2 sin 36° cos 36’4-2 sin 36’ cos 108’
cos 36° + cos 108° =----------1------------=.
2 sin 36’
sin 72’ —sin 72’4-sin 144’ sin (180’—36°)	__
_--------------------_-------------_ (J 5
2 sin 36’	2 sin 36°
д/5”_I
Пример 4. Доказать, что sin 18°=-^—.
Доказательство. 1-й способ. Поскольку
cos 108° = cos (180° —72°)=—cos 72°,
перепишем равенство, доказанное в предыдущем приме-
ре, в виде cos 36°-cos 72° = |. Преобразуем левую
часть полученного равенства:
cos 36° — sin 18°=-^-;
1—2sin218° — sin 18°=|;
4 sin2 18°+ 2 sin 18°-l=0,
откуда
• i oo ~~~ I *V^
Sin 18 =----•.
4
Ho sin 18°>0, поэтому sin 18°=-^^—
2-й способ. Заметив, что 5-18° = 90°, т. е. 2-18° +
+ 3-18° = 90°, получаем: sin (2- 18°) = cos (3-18°), или
2 sin 18°-cos 18° = 4 cos3 18° —3 cos 18°.
Разделив обе части равенства на cos 18° (cos 18°#=0),
получаем:
2 sin 18° = 4 cos2 18°-3.
Дальнейший ход рассуждения такой же, как и при
первом способе доказательства.
3-й способ. Исходим из равенства: cos 36° = sin 54°.
Поскольку 54° = 3-18°, то sin 54° = 3 sin 18° — 4 sin3 18°,
и так как cos 36°= 1—2 sin2 18°, то получаем равенство
1—2 sin2 18° = 3sin 18° — 4 sin3 18°,
т. е.
4 sin3 18° — 2 sin2 18° — 3 sin 18° +1=0.
Значит, sin 18° является корнем уравнения
4?-2/2—3/+1=0.
Один из корней этого уравнения /| = 1 находится по
делителям свободного члена). Поэтому левая часть раз-
лагается на множители, и получаем уравнение
(/-1)(4/2 + 2/-1) = 0,
111
откуда
/2=^i±ve. /3=^£.
1	4 J 4
Так как sinl8°=#l и sin 18° > О, то sin 18° = ^~1.
Пример 5. Доказать равенство
9
COS
32
2 + ~У2+Л/2+УГ
4
Доказательство. Используя верное равенство
cosy = -^P- и формулу 2 cos2 а—l=cos2a, получаем
п 2 я ,	Л/2*	2 л 2+V2” п
2 cos — I =А-, откуда cos—=—. Поскольку
о	2	о 4
л	л V2 + V2"
COS—>0, то COS—= — .
о	о	2
„	л Vh-W
Используя доказанное равенство cos—=——— и
формулу 2 cos2 a—1 = cos 2a, получим
2 cos2 л i-V2+V2
ZCOS 16 I- 2	,
откуда
2 л	2 + V2+W	п	\2+Л]2 + У/2
cos 76=---т- е- cosl6=~----------~2-----
поскольку COS-^r>0.
Рассуждая аналогично, получим
„	2 л <	\2 + ^2 + yj2
2 cos2 32 -!=^---Vх-’
откуда	_________
р 2 - 2+Уг+У2+^
32“	4
1.3. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
ПЕРИОДИЧНОСТЬ И НЕПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Доказать, что если существует Т (Т =£=
=/=0) такое, что для любого x^D(f) имеет место ра-
венство
112
f(x+T)
_ l-f(x)
1+/(X)’
to f — периодическая функция с периодом 27’.
Доказательство.
/ (х + 27’) = / (х+ Т+
1 +
14-7 (х)
1—7 (х)
1+/(х)
=/(*);
х — 27’е£)(/) (докажите самостоятельно).
Значит, функция / — периодическая с периодом 27’.
Пример 2. Доказать, что функция у — cos~\[x не
является периодической.
Доказательство. D (у) = [0; +оо). Пусть поло-
жительное число Т — период данной функции, тогда
должно выполняться условие (х—T)^D(y) для любого
x^D(y). Но при х = 0 (х—T)q=D(y), следовательно,
7’>0 не является периодом функции. Аналогично дока-
зывается, что Т<0 не может быть периодом данной
функции.
Пример 3. Построить график функции
y = cosx-|tgx|.
Решение. Данная функция определена для всех
действительных значений х, кроме х=у-|-л/г, neZ.
Функция четная и периодическая с периодом 2л (дока-
жите самостоятельно). Поэтому сначала строим график
функции на числовом промежутке [0; л] и записываем
функцию в виде
r/ = cos х-1 tg х| =
sin х, если 0^х<у,
— sin х, если у<х^л.
Поскольку функция четная, построенную часть гра-
фика отображаем симметрично относительно оси Оу. За-
тем, пользуясь периодичностью функции, строим график
на всей области определения.
График функции z/ = cosx|tgx| показан на рисун-
ке 51.
113
Рис. 51
Пример 4. Построить график функции
/(X)
sinx
sin |х| *
Решение. Функция определена на всей числовой
прямой, кроме точек x = nk, k^Z. Если х>0 и х=/=л£,
то sin |x|=sinx=H=0 и у=\.
Функция нечетная. Ее область определения симмет-
рична относительно нуля и
Sin I —х|	sin |х|
График функции показан на рисунке 52.
Ю-------о------о-------о—
О	Л	ЗЛ “х
------о------о——-—о-/
Рис. 52
Пример 5. Дана функция f (x) = sin4 x-|-cos4 х.
7
Найти ее период, значения х, при которых f (х)>—, и по-
строить ее график.
Решение. Преобразуем формулу, задающую функ-
цию:
/(x) = sin4 x + cos4 х =
= (sin2 x4*cos2 х)2— 2 sin2 х cos2x= 1 —sin2 2х =
= 1 —In — cos 4x)=-^+4-cos 4х.
4 '	'44
Период функции Т=^-=^.
114
Найдем значения х, при которых /(х)>-х.
О
3,1 л - ?	.	1
4-+-J cos 4х>—, т. е. cos4x>—,
откуда
-4+2лА<4х<4+2лЛ,
О	О
-^+~k<x<~ + ^k(k<=Z).
1 X	&	IL,	it
1	3
График функции /(x)=jcos 4x-j--^ можно построить,
используя геометрические преобразования. (Постройте
график самостоятельно.)
1.4*. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В п. 9—12 были даны определения обратных тригоно-
метрических функций у = arcsin х, у = arccos х, у =
=arctg х, у = arcctg х и приведены некоторые важные
тождества:
arcsin ( —х) = — arcsin х (|х|	1);
arccos (— х) = л — arccos х (|х|	1);
arctg (—х) = — arctg х;
arcctg (— х) = л — arcctg х.
Докажем следующие тождества.
Теорема 1. Для любого действительного числа х,
для которого | х |	1, справедливо равенство
arcsin х-|-arccos х=у.
Доказательство. Пусть arcsin х — а, arccos х=
= Р, тогда x = sina, x=cos0, т. е. sina = cosp, откуда
sin a = sin (у—Р)- По условию
—2<а<2’	т- е‘ —2<2~₽<2-
На промежутке ; yj функция синус монотонна,
следовательно, из равенства sina = sin^y—р) следует,
л о
что а—— р.
115
Значит, 0.4-0 = -^ или arcsin х +arccos х=у. •
Теорема 2. Цля любого действительного числа х
arctg * + arcctg х=у.
Доказательство. Переписав рассматриваемое
равенство в виде arctg х=у—arcctg х, найдем:
tg 0^—arcctg х) = ctg (arcctg х) = х.
Так как 0<arcctg х<л, то
- 2<2~ аГСС^ * <2-
Таким образом, arctg х и у— arcctg х принадлежат
одному и тому же интервалу монотонности функции
тангенс (—у; -0 и имеют равные значения тангенса:
tg (arctg x) = tg (j— arcctg x).
Отсюда следует, что
arctg x = y— arcctg x,
или
arctg x+arcctg x = -^. •
Рассмотрим простейшие преобразования выражений,
содержащих обратные тригонометрические функции.
Пример 1. Упростить выражение sin (arccos х),
|х|<1.
Решение. Обозначим arccos х — у. Тогда cos у = х,
O^r/^л. Чтобы найти sin у, воспользуемся равенством
sin2//=l—cos2//. Значит, sin2//=l—х2. Но О^г/^л,
а на этом отрезке синус принимает лишь неотрица-
тельные значения. Таким образом,
sin y = yjl — х2, т. е. sin (arccos х)=Л]1 —х2.
Задание. Докажите, что
a)	cos (arcsin х) = "\/1—*2 > |х|^1;
б)	tg (arcctg х) = -^, х=^0;
116
 в) ctg (arctg х)=р x#=0;
.	.	/	i\ л/х2-1 ii^i
r) sin ( arccos — )=—---, x 1
\ x / *
д) cos (arcsin — )==_Л—^—>
Пример 2. Упростить выражение cos (2 arcsin x).
Решение, cos (2 arcsin x) =
= cos2(arcsin x)— sin2(arcsin x) = (l —x2) — x2= 1 —2x2.
Каждую из четырех обратных тригонометрических
функций можно выразить через любую из трех остальных.
Пример 3. Выразить arcsin х через arccos х,
arctgx, arcctgх при хе(0; 1).
Решение. Пусть sina = x^O<a<:-0, тогда
cos а = Л/1 — я2 > tga = -, ctg a = -—1--—,
v е х
откуда
a = arcsin х, a = arccos Д/1 — x2,
, x	, Л/1 — x2
a = arctg .	a = arcctg—-----,
т. e.
arcsin x = arccos Д/1 — x2 = a retg ^=== = arcctg
Пример 4. Выразить arctgx через arccos x,
arcsin x, arcctg x при xe(0; 1).
Решение. Пусть tg a — x	Тогда
.1	1.x
ctg a = —, cos a = .—==•, sin a —
s x Vi+7 Vhh?
, i	i
Ho a = arctgx, a = arcctg—, a = arccos^,
a = arcsin —, 
7?+^
Следовательно,
,	,1	1	.X
arctg x = arcctg —= arccos -t.— = arcsin ,
K x Vhh? Vi+?
117
1.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пример 1. Решить уравнение
Л/4 —х2 - (sin 2лх—3 соэлх) = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно таким:
Д/4 —х2 (2 sin лх cos лх — 3cos лх) = 0,
Л]4 — х2 cos лх (sin лх— 1,5) = 0.
Полученное уравнение равносильно совокупности
уравнения (1) и системы (2):
4 — х2 = 0,	(1)
откуда х=—2 либо х = 2.
лх=у-|- лп (neZ),
—2^х^2
/|х-0,5 + п,	\	/|x = 0,5 + n(neZ),\
| — 2<| + «<2	— 2,5<п<1,5	)'
откуда х = 0,5 + « при п=—2; —1; 0; 1.
Ответ: {-2; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2}.
Пример 2. Решить уравнение
1 +3 sin (л sin x)-pcos (2л sin х) = 0.
Решение. Используя тождества
1	+ cos (2л sin х) = 2 cos2 (л sin х),
2	cos2 (л sin х) = 2 (1 — sin2 (л sin х)),
приведем уравнение к виду:
2 sin2(n sin х) —3 sin (л sin х) — 2 = 0,
откуда
sin^sinx)=—или sin (л sin х) = 2.
Второе уравнение решений не имеет (| sin (л sin х)|	1),
остается решить уравнение
sin (л sin х)— —
Имеем: л sin х = ( — 1 )* + i + nk, k^Z, или
sin х = ( —1)4+1	k<=Z.
118
Откуда
1	5
sin х= — -g (6 = 0) или sin х= ——(fe= — 1).
Ответ: {( —1)я+1 arcsin l + nn|neZ)U
U{( — l)m+I arcsin-| + .nm|m^Z}.
Пример 3. Решить уравнение
V. , sin x
1+—=cos X.
Решение. Имеем:
sin X
sin х 9
—5—= cos x
О	t
3 sin1 2x + sin x = 0
sin x (3 sin x + I) = 0
I или
sin x = 0 J
sin x— —
(x =—arcsin 4-+2лп, neZ)\
и	/
Ответ: {2л£|keZ}(j{ — arcsiny+2nn|«eZ).
Пример 4. Решить уравнение
tg 77+ctg x='\/l 4~4 sin 2x cos x.
Решение. Используем равносильные переходы:
sin 2x cos x = tg g-+ctg xj o
—:— ------- 1 — cos x . cos x \
: Sin 2x COS X —-----1----I
sin x sin x/
/1 +4 sin 2x cos x ——J—
sin x/
1 4“ 4 sin 2x cos	—v“»\
sin^ X 1
119
sin2x + 4 sin2xsin 2xcos x = sin2x + cos2x,
(cos2 x (8 sin3 x— 1) = 0,
(sin x>0
0,
х = -^- + 2л/г, k<^Z,
x = (—• 1)л-^- + лп, neZ
Ответ: {у + 2л/г | k е z| U {(— 1 )"£ +л/г |/г ez}.
Пример 5. Решить уравнение
3 sin x-(-sin 2х = 6 sin2-^-.
Решение. Имеем:
3 sin x + sin 2х = 3 (1 — cos х),	(3)
3 (sin x + cos x)4-sin 2x —3 = 0.
Пусть sin x + cos x = t, тогда sin2x = /2—1.
Будем иметь уравнение относительно t:
/2 + 3/ —4 = 0,
откуда t=A или /=—4.
Поскольку для всех х sin x + cos х=+—4, то уравне-
ние (3) равносильно уравнению:
sin x + cos х= 1.
Используя метод введения вспомогательного аргу-
мента, будем иметь:
W sin (x + y)= 1,
х = (-1)^-^ + л/г, feeZ.
Ответ: {(—	—-^-+nfc|fcez}.
Пример 6. Решить уравнение
 4	।	4	5
sin x + cos х —
о
120
Это уравнение, как и многие другие, решается раз-
личными способами. Укажем некоторые из них.
1-й способ. Применяя формулу sin2х= 1 — cos2х, по-
лучаем
(1 — cos2 x)2-|-cos4 X —
Сделав замену cos2x = /, имеем
((1 - /)2+/2Ц)^(/2-*+4=°)’
1	3
откуда t=— или t = ~^- Исходное уравнение равносильно
совокупности уравнений
2	1	2	3
COS X — — И COS Х = -г,
4	4
т. е. совокупности четырех уравнений:
, 1	, л/з
cos х = ±-g, cos х = ±-у-,
откуда
х —— + —2л&, х—— -4~—£—р2л/,
х = ±-т-+2л/и,
О
5я
х= ±-^4-лп, где k, I, т, n^Z.
о
Примечание. Можно было сделать замену cosx=T Тогда
получили бы биквадратное уравнение.
2-й способ. Используя формулы понижения степени,
получаем:
121
отсюда х=±-£-+л£,	х= ±-^ + л/, l^Z.
3-й способ. Прибавляя и вычитая в левой части
уравнения 2 sin2 х cos2 х и выделяя полный квадрат,
имеем
(sin2 x-|-cos2 х)2—2 sin2x cos2 х=-|,
О
т. е.
1 —2 sin2 х cos2 х=-|-
О
Далее возможны варианты.
а)	Используя формулу sin2x=l—cos2x и сделав
замену cos2x = /, получаем
Далее смотрите 1-й способ.
б)	Используя формулу для sin 2х, имеем
fl — 4- sin2 2x=-fA<=>fsin2 2x=^^=>fsin 2x=
-<=>^2x=( —1/arcsin-^-^ + лЛ, k<=Z^<^-
^(2x= ±(- 1)*4+лЛ, k^Z\o(x = ±£+-^, k<=z\
в) Имеем
/ . 2	2	3 \	( .	. уЗ \
f Sin X COSz%=— 1 О I Sin X cos x= ±-~- \ -o
/	\/T\
-4Ф-1 sin 2x= ±-y-J, далее по способу 3,6.
г) Применяя формулы понижения степени, имеем
1 + cos 2х
2	~~
1 — cos 2х
2
5\	/ 2п 1\
8;^(cos22x=7j,
далее по способу 2.
Возможны и другие, менее значительные вариации
решения.
Этот пример поучителен в двух отношениях. Во-
первых, как много путей ведет к решению, и хотя бы
один из них нужно найти!
Во-вторых, мы видим, что при разных способах реше-
ния иногда получаются разные ответы.
122
. Однако легко убедиться в том, что эти ответы разные
только по форме записи, но определяют одно и то же
множество корней. Достаточно убедиться в этом на
промежутке [0; 2л], поскольку левая часть уравнения —
периодическая функция с периодом 2л. Для этого удобно
воспользоваться координатной окружностью, отмечая на
ней найденные корни. В результате мы замечаем, что все
три ответа на промежутке [0; 2л] дают одни и те же
„	, я , я , 2л 5л
восемь корней: ±—, ±-5-, ±-л-, ±~н".
1	о о 3 о
Ответ: (
Пример 7. Решить уравнение
3 arcsin1 2 х— 17 arcsin х — 6 = 0.
Решение. Пусть arcsin х=у, где |у| тогда
будем иметь уравнение
Зг/2-17г/ —6 = 0.
Решив его, получим г/=— у, г/= 6.
Условию |г/|г^77 удовлетворяет лишь у ——Тогда
2	<5
arcsin х— —у, а, значит, sin (arcsin x) = sin —-0, т. е.
1
х— —sin—.
«5
1.6.	ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
При решении тригонометрического уравнения часто
возникает задача исследования его корней. В результате
какая-то часть полученных значений переменной вы-
бирается или отбрасывается.
Пример 1. Найти все корни уравнения
sin3 лх-cos лх — sin лх-cos3 лх=4-,
4
принадлежащие промежутку (0; 1).
Решение. Раскладываем левую часть уравнения
123
на множители и применяя формулу синуса и косинуса
двойного угла, получим:
sin Juncos nx(sin2 лх —cos2 лх)=р
— 2 sin 2лх-соэ 2лх = 1,
sin 4лx— — 1,
откуда
4лх=—у4-2лй, k^Z,
т. е.
х=-| + |,
О X
По условию задачи корни должны принадлежать
числовому промежутку (0; 1), значит, должно иметь
место двойное неравенство
откуда 0,25<2,25. Следовательно, k=\ либо k = 2,
3	7
тогда х=— либо х=—.
О	о
~ Г3 71
Ответ:	-g-k
Пример 2. Решить уравнение ~\/х • sin х = 0.
Решение.
или
(	х>0,
(sin х = 0
-ф>(х = 0 или х = лй|йе70)о(х = лй|йе70),
где ZQ— множество всех неотрицательных чисел.
Ответ: {tik\k<=Z0}.
Полезно помнить, что произведение Л (х)-/2(*)•••• X
Xfn(x) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы
один из его множителей равен нулю, а остальные при
этом имеют смысл.
Пример 3. Решить уравнение
cos х-\- sin 2х
cos Зх
Решение. Исходное уравнение равносильно си-
стеме
cos x-{-sin 2x = cos Зх,
cos ЗхУ=0.
(1)
(2)
124
Решим уравнение (1):
(cos х — cos 3x)-f~sin 2x = 0,
2 sin 2x sin x + sin 2x = 0,
sin 2x (2 sin x + 1 ) = 0,
откуда:
a)	sin 2x = 0, x=-~, ti^Z;
6)	2 sin x+1=0, sinx =
= -l х = (-1)л+Ч+Л/г,
neZ,
cos3x=?t0, откуда x=/=^-+4m, m<=Z.
v о
Из найденных множеств решений уравнения (1) отбе-
рем те значения х, которые удовлетворяют условию (2).
Для этого воспользуемся координатной окружностью
(рис. 53). Отметим на ней точками все значения х, при
которых cos Зх=/=0. Очевидно, что корнями данного урав-
нения являются числа х = л/, где ieZ.
Ответ: {n,l\l<=Z}.
Пример 4. Решить уравнение
cos -J- cos 2х = 2.
4
Поскольку cos —	1, cos 2х^ 1, то уравнение равно-
сильно системе уравнений:
^- — 2лп, n^Z,
4
2x — 2nk, k^Z
8лп
X	g-
х = лй,
Надо найти общие корни этих двух серий корней,
т. е. пересечение двух множеств корней. Общие корни
получаются из условия
Решаем это уравнение на множестве Z. Оно равно-
сильно уравнению 8п = Зй, neZ, fteZ, откуда п = 3т,
125
k = 8m, n^Z. Значит, общие корни: х=лЛ = 8лт, meZ.
Ответ: {8nm\m^Z}.
Пример 5. Решить уравнение
sin Зх cos 5х = 1.
Решение. 1-й способ. Исходное уравнение равно-
сильно уравнению
-^-(sin 8х —sin 2х)= 1,
откуда
sin 8х — sin 2х — 2.
Полученное уравнение равносильно системе
8х = -2-4~2лЛ, k, n&Z,
2х— — у + 2лп
Умножив обе части второго уравнения последней
системы на четыре и приравняв правые части этих
уравнений, имеем:
^4-2л/г= — 2л-|-8лгг^о^==8/г — 2k — 2^.
Очевидно, полученное уравнение не имеет решений,
так как k и п — целые числа.
Ответ: нет решений.
2-й способ. Поскольку |sin Зх| 1 и |cos5x|^l, то
исходное уравнение равносильно совокупности двух си-
стем:
126
Последние два уравнения не имеют решений на множе-
стве Z. Значит, и исходное уравнение не имеет решений.
Пример 6. Решить уравнение
cos 2х Q
1 + tgx
Решение. Уравнение равносильно системе
2х==у + л^, AeZ,
x^-i+л/, /eZ,
x#=-j + nzn, meZ
Далее эту задачу можно решать двумя способами.
1-й способ. Из системы (1) находим:
х=Д(2й + 1), fc<=Z,
х^Д(4/ + 3), Zg=Z,	(2)
х=И=-^-(4/п + 2), meZ.
Задача сводится к исключению из множества нечет-
ных чисел вида 4/4-3 и 4/тг-|-2. Что касается чисел вида
4zn4~2, то их среди нечетных чисел нет. Разбиваем
множество всех нечетных чисел на два подмножества:
{4/4-H/e=Z} и {4/4-3|/eZ}.
Второе подмножество опускается, а остается только
первое. Значит,
х==Д(4/4-1), т. е. х=^4-л/, 1<=Z.
2-й способ. Из системы (1) находим:
л > лк / г*
x = T4--g-, ^eZ,
• x=£ —J-l-л/, /eZ,
meZ.
127
Исключая переменную х из системы, получаем:
k=£2l-\,
£ =/= 2/п +
Второе неравенство выполняется для любых целых
чисел k, т. Первое неравенство справедливо при k = 2l,
l^Z. Подставляя k, получаем
Х =	т. е. х = 7+л/, /е/.
Ответ: <-^-4-л/ ieZ
I 4
1.7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим несколько примеров решения тригоно-
метрических уравнений с параметрами.
Пример 1. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение sin (2х — ^ = а24-а—-1 имеет ре-
шения.
Решение. Очевидно, что искомые значения пара-
метра— это решения неравенства |а2 + а—1|^1.
Имеем:
а2 + а — 1 < 1,
а2 4- а— 1	— 1
Решив последнюю систему, получим ответ.
Ответ: [ — 2; —13-
Пример 2. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение (а2 — 4) cos х = а-|-2 имеет решения.
Решение. Если а = 2, то уравнение решений не
имеет. Если а——2, то любое действительное число
является корнем.
Если а=/=±2, то cosx = -^-£-. Тогда имеем:
128
\l «—2 I	а —2< — 1/
Ответ: ( —оо; 1](J[3; 4-oo)(j{ —2).
Пример 3. Определить количество корней уравне-
ния sinx = a на промежутке — yj в зависимости
от значений параметра а.
Решение. Изобразим график функции z/ = sinx на
(“х 2ч1
—-г-; -^-1 (рис. 54). Число кор-
V и I
ней определяется количеством точек пересечения прямых
у = а с выделенной частью графика функции у =
• О	/ Л 1 \
= sinx. Заметим, что точка ( —	—х) не принадлежит
„	ж	/2л Уз" \
выделенной части графика, а точка I-5-;	1 принад-
лежит.
*
Рис. 54
Будем двигать прямую у = а снизу вверх. Если
1	„	1 Уз
а^. то корней нет; если —то уравнение
ут ,
имеет один корень; если	то два корня; если
а=1, то один корень; если а>1, то корней нет.
Ответ: если —у или а>1, то уравнение не
имеет корней;
1 ^Уз	,
если — ~2<^а<~2~ или а=‘> т0 уравнение
имеет один корень;
Уз .
если	то уравнение имеет два
корня.
5 Алгебра, 10 кл.
129
1.8.	ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
Пример 1. Решить неравенство
— 1 <ctg х<2.
Решение. Рассмотрим
графики функций у = ctg х,
— 1 и у = 2 на промежутке
(0; л) (рис. 55). На оси Ох отме-
тим абсциссы точек пересече-
ния этих графиков и вычислим
их координаты: xt = arcctg 2,
Зл
= — •
Очевидно, что для всех х
из промежутка (arcctg 2;
исходное неравенство выполня-
ется. В силу периодичности ко-
тангенса такие промежутки бу-
дут повторяться через л. Следо-
вательно, решением исходного неравенства будет объ-
единение интервалов:
(arcctg 2 +ли; -^--|-лп), neZ.
Ответ: (J ( arcctg 2 +ли; +ли).
neZ \	4	/
Пример 2. Решить неравенство
2cos2x+'\/3' cos х — 3>0.
Решение. Пусть cosx = y, тогда исходное нера-
венство будет иметь вид: 2у2-[-~\[Зу— 3>0.
Найдем корни квадратного трехчлена 2у2-]-У/Зу— 3:
О Д/З
У1=— 3, //2=-^--
Решая квадратное неравенство 2у2-\-Л/Зу — 3>0, по-
лучаем: у< — уЗ или
Отсюда имеем:
1) cos х< —д/з", но — д/з”< — 1, и поэтому нера-
венство решений не имеет.
130
л/з
• 2) cosx2>~—. (Решите самостоятельно.)
<5
Ответ: U (—-^--|-2л£; -^--|-2л£).
Пример 3. Решить неравенство sin х— cosx>0.
Решение. Применяя метод вспомогательного аргу-
мента, получим неравенство
Д/F sin (х—
Обозначив х — через t, найдем решения неравенст-
ва sin />0. Его решения 2л/г < t < л 4* 2лл, nsZ, легко
находятся по графику функции z/ = sin/. Затем, под-
ставляя х—-j- вместо t, получаем неравенство
•^ + 2лл<х<-^- + 2лн, яе2.
Ответ: (J + 2лп; — 4-2лн^.
Пример 4. Решить неравенство
2 sin2x— 3 sin х + 1 <0.
Решение. Обозначим sinx = z/. Получим квадрат-
ное неравенство 2у2— 3z/4-l<0, решив которое будем
иметь 0,5 < г/<1. Следовательно, 0,5<sinx<l, откуда
2nk-\-^<.x<z2nk-^-^ и 2л/г4-^-<х<2лй-|--^р
Ответ:	uj^ + 2nk-, ±-|-2лй)и(-£ + 2яй; ^ +
-)-2л£^.
Пример 5. Решить неравенство
cos 2x<cos 4х.
Решение. Поскольку л является периодом функ-
ций, стоящих в левой и правой частях, то решения доста-
точно найти на промежутке (0; л).
Имеем:
cos 2х —cos 4х<0.
Преобразуем разность косинусов в произведение си-
нусов. Получим: sinxsin3x<0, но sinx>0 для всех
хе(0; л), поэтому, разделив на sin х, имеем sin3x<0.
131
Отсюда
^+лй<х<4л + лб, k^Z.
и	О
Ответ: U 6^-+л Л; 4Л + Л^\
teZ\J	о	/
Пример 6. Решить неравенство
| sin х| > |cos х].
Решение. Имеем:
(I sin х| > |cos x|)-«-(sin2x>cos2 х)-*=>
-о(cos2 х — sin2 x<0)o(cos 2x<0),
откуда
т. e.
у 4- 2лп < 2х < л + 2лп,
л 	-	3 тс ।	___
—рлл, neZ.
4	4
Ответ: U (-^-4-лп; -^4-лп).
пе/\4	4 1	;
Пример 7. Решить неравенство
cos 15x + sin 18х>1.
Решение. Имеем:
(cos 15x + sin 18х> 1)чф-
o(cos 15x+sin 18 х> sin2 x+cos2 х)о
o(sin2 х(1 — sin16x) + cos2 х(1 —cosl3x)^0)o
sin2 х(1 — sin16 x)=0,\
cos2 x (1 — cos13 x) = 0 /’
откуда получим:
x=i—+ л^, k^Z)
x = 2nl, l^Z.
При решении данного неравенства
использовано
то, что
sin2x(l — sin16x)>0, cos2x(l — cosl3x)>0
на множестве всех действительных чисел. Система урав-
нений легко решается с помощью координатной окруж-
ности.
Ответ: {у+nk|kеzjU{2л/, /eZ}.
132
Пример 8. Доказать, что sin2 а 4- sin2 0 4- sin2 у > 2,
если а, 0, у — углы остроугольного треугольника.
Доказательство. Имеем:
sin2 а 4-sin2 0 -f- sin2 у
1	—cos 2a , 1— cos 28 . .	2
-----— 4----5-^4-1 - cos2 у =
_	cos 2a Ч-cos 28	2
= 2---------------- — COS2 Y =
= 2 —cos (a4-0) cos (a — 0)—cos2 (л — (a4- 0)) =
= 2 —cos (a4-0) cos (a — 0) — cos2(a4-0) =
= 2 — cos (a + 0) (cos (a —0)4-cos (a4-0)) =
= 2 — cos (л — у) • 2cos a cos 0 =
= 24*2 cos a cos 0 cos y.
Поскольку a, 0 и у — острые углы треугольника, то
2 cos a cos 0 cos у > 0, а, следовательно,
sin2 a 4- sin2 0 4~ sin2 у > 2.
1.9.	ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим примеры решения систем тригонометри-
ческих уравнений методом подстановки либо методом
сведения системы тригонометрических уравнений к си-
стемам алгебраических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
cos x4-cos у=л/3,
х + у=^.
О
Решение. Представим левую часть первого уравне-
ния системы в виде произведения
п х+у х—у л
2	cos —cos —22~= \3.
Так как х4~*/=у, то	и полученное уравне-
ние примет вид
2.^cosi=i=V3.
Откуда cos Х~^У — 1, х — у —inn, n^Z.
133
Итак, первое уравнение системы равносильно уравне-
нию х — у — 4лп, n^Z.
Решая систему
х + у=^, ne=Z,
О
х—у — 4лп,
находим
х„=-£4-2л/г,
Уп=^~2лп.
Ответ: |^4-2лп; 2nn)|/ieZJ.
Пример 2. Решить систему уравнений
sin x-f-cos у= 1,
Sinzx4-COS у—-^.
Решение. Воспользуемся методом введения новых
переменных: u = sinx, v = cosy, тогда
u + u= 1,
Решив алгебраическую систему, найдем: u=-j, v~^-
Следовательно, исходная система равносильна си-
стеме
sinx=l
cos у=^,
откуда
х=( —	meZ,
у— ±-у+2лл, zieZ.
О
Множество всевозможных пар, составленных из этих
значений х и у, и есть множество всех решений исходной
системы.
Ответ: ((( — 1)т-^+л/п; ±у+2шЛ|т, neZ
131
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
233.	Найдите период функции:
a)	z/ = cos х + 2 sin
б)	f/ = tg—+ ctg —;
в)	#=sin Зх+cos—+g-tg—;
Г) i/=tg—+ctg-g—Ь
234.	Докажите, что если 7\ — главный период функ-
ции Д то любой период функции f имеет вид k7\, где
fteZ\(0}.
235.	Пусть 7\ и Т2 — главные периоды двух периоди-
ческих функций. Докажите, что эти функции имеют
Г,
общий период тогда и только тогда, когда число -=г
*2
рациональное.
236.	Докажите, что если функция периодическая, то
b — число рациональное:
a)	t/ = sin x+cos bx;	в) y = cos x-f-tg bx;
6)	z/ = cos x-f-sin bx-,	r) z/ = tg x + cos bx.
237.	Докажите, что функция не является периодиче-
ской:
a)	z/ = cos x-j-cosл/2х;
б)	у = х cos х;
в)	0 = sin|;
г)	y = sin (Vr)2.
238.	Постройте график функции:
а) у = | sin (*+7)
б) z/ = sin |x+-J|;
в) z/ = sin (| x | -y
r) i/ = sin 2x;
д) z/ = sin |2x—y|;
e) i/ = sin(2|x|— y
239.	Постройте график функции:
a)	t/ = [V2"cos x];	в) i/ = [2sinx];
6)	i/ = {sin x);	r) y = {cosx).
135
240.	Докажите, что функция не является обратимой:
а)	у = х2-, в) у=у/хг+ 1; д) // = [*];	ж)«/ = совх;
б)	у — |х|; г) у = 5-, e)y = sinx; 3)z/ = tgx.
241.	Может ли обратимая функция быть:
а) периодической; б) нечетной; в) четной?
242.	Докажите, что функции взаимно обратные:
а)	у = 2х и z/ = 0,5x; в) У=^~[ и
б)	и у — Зх— 1; г) у=Л]х-\-2 и у = х?—2
(D(Z/)=[O; +оо]).
243.	Верно ли равенство:
a)	arcsin 1 arcsin—=—;
. н .	.24 Зл~
б)	arctg-is + arctg —=-^?
244.	Найдите область определения функции:
a)	y=Varcsin х;	в) y = Varctgx;
б)	1/=Varccos х;	г) у = arcsin (V^+ 0-
245.	Постройте график функции:
а)	у = cos (arccos х);	в) у = sin (arccos х);
б)	y = tg (arcctg х);	г) у = cos (2 arccos х).
246.	Найдите основной период функции:
а)	// = cos’т —sin’-;
О	о
,.	/ X . X \2 с
б)	z/ = (^cos- —stn-j —5;
в)	z/ = sin 2nx-cos 2лх.
247.	Докажите:
a) sin 36°-sin 72°=^; б) tg218°-tg 54°=|.
248.	Упростите выражение:
a)	cos2(a + P) + cos2(a —Р) —cos 2a cos 2р;
б)	cos2 a + sin2 р4-cos (a + Р) cos (a —Р).
136
249.	Докажите тождество:
а)	4 cos a cos 0 cos (а— 0) — 2 cos2(а— 0) — cos 20 =
= cos 2а;
б)	sin 6а cos За — sin 9а sin 2а =
= 4 sin а sin 2а sin За sin 5а;
в)	cos 4а = 8 cos4 а — 8 cos2 а 4- Г,
г)	cos 4а = 8 sin4 а — 8 sin2 а + 1;
д)	sin5 а = 4 sin а—sin За 4--^- sin 5а.
'	о	1о	1о
250.	Докажите, что если а 4-0 +7 = л. то:
a) sin2 а + sin2 0 + sin2 у = 2 + 2 cos a cos 0 cos у;
6) cos2 а4- cos2 0 4- cos2 у = 1 — 2 cos a cos 0 cos y;
в) cos2 а 4- cos2 0 — cos2 у = 1 — 2 sin a sin 0 cos y;
r) sin2 a4~sin2 0 —sin2 y = 2 sin a sin 0 cos y.
251.	Докажите тождество:
252.	Докажите, что если А, В и С — величины углов
треугольника, то имеет место равенство:
а)	cos А 4-cos В4-cos С — 1 4-4 sin у sin у sin у;
б)	cos А 4-cos В —cos С = 4 cos у cos у sin у — 1;
В) tgytgy4-tgytgy+tgytgy=l;
г) ctg A ctg B4-ctg A ctg C4-Ctg В ctg С= 1;
, cos А , cos В , cos С „
Д)---------1---------1-------= 2.
sin В sin С sin A sin С sin A sin В
137
253.	Докажите, что если углы А, В и С треугольника
АВС удовлетворяют равенству
cos2 А + cos2 В + cos2 С = 1.
то треугольник прямоугольный.
254.	Постройте график функции:
a)	y = sin 2х — д/Т cos 2х; г) y = cos (|х| —х);
б)	у =-------;	д) y = sin4x + cos4x;
в)	у — х -	е) y = x + sinx.
sin х
255.	Постройте график функции:
а)	+
1+tg(y-2x)
б)	ctg(;t-x):in(2ji+^
tg X
--------(1 - tg х) tg (у+ Л
в)	z/=Vl —sin2х	—r—^-;
-<+;)
________cos2 ( — х) COS (-jy—*)
г)--------------t/ = Vl+tg2x -—	—>-
___________tg (4+x) sin (л+х)
t/ = Vl+ctg2x
256.	Упростите выражение:
a)	cos (arccos x +arccos у);
6)	tg (arctg x + arctg y);
в)	tg (arcsin x + arcsin y);
r) cos (2 arctg x);
д) sin (2 arcctg x).
257.	Проверьте верность равенства:
a)	arctg | +arctg |=-J;
-7,1	7	3
6)	arcsinarccos— = arccos
ZD 2t	Zu	и
138
в)	arctg |+arctg |+arctg |=Ь
.	. 4 .	.	5 .	. 16 л
г)	arcsin—+arcsin—+arcsin
□	1 о	Ob А
258.	Вычислите:
a)	ctg (з arctg—2arctg^/3^;
б)	cos ( arcsin (—-^ + 2 arcsin (-
4)).
259.	Вычислите:
a)	arccos (cos 2);
6)	cos (2 arccos x);
в)	arctg (ctg (-i
r) tg (2 arcsin x);
,	/ . Зл\
д) arccos ( sin -4- к
e) ctg (arcsin (—7
260.	Проверьте, имеет ли место равенство:
,	4 .	5 .	16	5л
a)	arcsin-4-arcsin-4-arcsin— =
’	5	13	65	2
л ।	.77	8 .	/
б)	-77+ arcsin -3=-= arcsin arccos ( —
2	ob	1/	\
261.	Докажите, что
arctg | + arctg |+ arctg |+ arctg
262.	Докажите:
a)	sin2 (arctg arctg (—!))=!;
б)	sin (2 a rctg + tg(l a resin 77) =
9
в)	cos (2 arctg 2) —sin (4 arctg 3) = —.
zb
263.	Вычислите:
з
arccos •=•
t>
a) arccos (cos (2 arcctg (j\/2 — 1)));
— 3 arcctg ( — 2));
в) cos (£ arccos — 2 arctg ( — 2));
r) ctg (-y-+{ arccos (-|));
Д) ctg (-Ц^+4 arccos ^-) + ctg (-Ц^-
1	2b\
— arccos —).
2	ay
139
264.	Исследуйте функцию
У — arctg х 4- arctg——
1 “Г Л
и постройте ее график.
265.	Докажите, что уравнение
tg4x4-2 tg3x-|-2 tg2x = 2 tgx — 1
не имеет решений.
266.	Решите уравнение:
r) |cos x2| = 1;
д) |sin x2! = 1;
el te Гх24-4х4-Д^= 1.
б)	sin |х| = 1;
в)	sin л у[х — — 1;
267.	Решите уравнение:
a)	cos2 5х = 8 sin 5х cos 5х —7 sin2 5х;
б)	(cos4x — sin4*)2 = 4 sin2хcos2х.
268.	Решите уравнение:
a)	sin4 2x+sin3 2х cos 2х —8 sin 2х cos3 2х —
— 8 cos4 2х = 0;
б)	sin5 Зх + sin3 Зх cos2 3x4-8 sin2 Зх cos3 Зх-f-
4-8cos53x = 0;
в)	sin6 x4-sin4 x cos2 x = sin3 x cos3 x-f-sin xcos5x.
269.	Решите уравнение:
a)	2 (tg x —sin x)-}-3(ctgx — cos x)4-5 = 0;______
6)	sin3 x(l 4~ctg x)4-cos3 x (1 4~ tg х) = 2Д/зт x cos x;
в)	tg3x—14---------3ctg(y—x) = 3.
COS X	/
270.	Решите уравнение:
a)	cos 14-cosx;
6)	cos 5x4-cos 7x=sin 2x;
в)	tgx —2 = sin xtgx —2 sin x;
r) sin x-j-sin 2x-{-sin 3x —cos x —cos 2x— 1 =0;
д) cos2 x 4-cos2 2x 4-cos2 3x4-cos2 4x = 2.
271.	Решите уравнение:
a)	sin x2 —sin x = 0;
6)	sin лх2—sin л (x^-j-2x);
140
в)	1 4-sin 2x=(cos Зх 4-sin Зх)2;
’ г) ctg x4-ctg 2x = ctg Зх;
a)	tg x-|-ctg 2x = 4 sin 2x;
e)	sin (cos x) = cos (sin x);
ж)	cos (cos x)= sin (sin x).
272.	Решите уравнение:
a)	(sin x-j-cos x)2 = 2 sin	+ sin —
6)	4 sin x sin (x-|--y) sin (x+-y-)-|-cos 3x= 1;
в)	ctg (x- 25°) + tg (3x4-15°) = 2 sin (2x- 50°);
r)	ctg 2x 4- ctg 3x 4--------J--= 0.
sin x sin 2x sin 3x
273.	Решите уравнение:
a)	у 2 sin2	cos 2x —4 cos x— 1 =2 sin x;
6)	cos2 x — 5 sin x — 0,5 cos 2x— 1,5 = —3 cos x;
в)	Д/б cos2 x — 5 sin x 4- cos 2x = 3 cos x;
r)
= cos
274.	Решите уравнение:
a) (x —2)2 |cos x| =cos x;
б)^+isin*i=°;
в) 41 sin x| =3 — 2 cos 2x.
275.	Найдите действительные значения x из проме-
жутка [0; 2л], при которых функции
у= 1 — cos (л — 2х) и y = sin—-----|-sin 7л ctg —
имеют одинаковые значения.
276.	Найдите действительные значения х из проме-
жутка (0; 2л), при которых функции
у= 1 4-COS (л-|-2х)—-COS 5— и z/ = cos —tg —
имеют одинаковые значения.
277.	Докажите, что уравнение sin х=-|-^ имеет ко-
рень в промежутке [93; 100].
141
278.	Решите уравнение
.	2 — 3 sin х—cos 2х „
а)—=0;
.	6 sin2 х —6 sin x+cos 2х+1_г,
12Х2 —8лх+л2
в) "\/25 — 4х2 (3 5ш2лх4~8 sin лх) = 0;
г) ^/49 — 4х2 (sin лх4~3 cos -у-) = 0.
279. Найдите все корни уравнения
3 sin лх + 3 sin лх cos 2лх = 2 sin3 лх,
принадлежащие числовому промежутку [0; 2].
280. Найдите все корни уравнения
2 cos3 лх + 3 cos лх cos 2лх — 3 cos лх,
принадлежащие числовому промежутку (0; 1).
281.	Найдите все корни уравнения
cos4 лх -|- sin4 лх — 6 sin2 лх cos2 лх = 1,
принадлежащие числовому промежутку [0; 2].
282.	Найдите координаты всех точек пересечения
графиков функций:
а)	у = 2 sin3x и z/ = cos 2x4~sin х;
б)	z/ = sin4x и у = 2 sin 2х — 2 sin2 х;
\	3	9X9
в)	у = COS X И y = C0S s’—COS X.
283.	Найдите корни уравнения, если они удовлетво-
ряют системе:
(x = 2k, k^Z,	(x = 2k-j-l, k^Z,
a' fx = 3/+l, lt=Z‘, ' |x=5/ + 2, l^Z.
284.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уравнение:
a)	sin х = а4-2; в) tgj=Va + 5;
б)	cosx = 3a—1; г) cos4x4-sin4х = а.
285.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уравнение:
a) arcsin х = (а—1) л;	б) arctg х=-^- а.
142
286.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уоавнение:
a)sinx = tga;	e)tgx=sina;
б)	sin х = cos а;	г) cos x — tg а.
287.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уравнение:
a) arcsin х = sin а-, б) cos х = arccos а.
288.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уравнение:
a) 3acosx = 2a + 2;	б) (а2 — 1) sin2 х—а+ 1.
289.	Определите, при каких значениях параметра а
имеет решения уравнение:
a) sin x + cos х = а;	б) a sin x + cos х = 2а;
в)	cos2 х + (2а + 6) cos х + (2а — 7)(1 — 4а) = 0;
г)	sin2 х —(За+1) sin х + а (2а+1) = 0.
290.	Определите количество корней уравнения на за-
данном промежутке в зависимости от параметра а:
ч •	Гл 11л1
a)	sin х = а,	0;	;
, х	Зл!
б)	cosx = a,	—-г-; -г- .
L 2	4 J
291.	При каких значениях параметра а уравнение
2sinx = a2— 2а имеет единственное решение?
292.	Решите систему уравнений:
а)
sin х = 2 sin у,
5л
Х~У=—;
sin x + cos у = 0,
sin x + cos£ у=—\
9	.	9	3
COS x + cos У = -£,
.	2
х+у=з л;
Jsin х —cos г/ = 0,
(sin2 х + cos2 у — 2;
tgx=0,
, л
х+у=-^
{sin x + cos y= 1,
sin2x — cos2 y= 1;
143
igx + igy=^,	x-y=-~,
з)	t
x + «/=£;	cos2 nx —sin 2 ш/ = -.
Z	*
293. Решите систему	уравнений:
x-y = j, a) 2	2 cos x — cos у = —	5 X — U = — Л, 3	r)	3 +	sin x = 2 sin y, 4	3
6) • * cos x sin z/=—; в)	d sin x sin // = 0,25; 294. Решите систему	. з . x + //=-?n, д)	2 sin 2x + cos // = 0; д/з" sin x sin e)	r- cos X COS //=+—. 3	4 уравнений:
V3 . COSXCOSW = +—, а)	а 4 tgxtgy=\;	sin x sin y=—^7=r, б)	У tgxtg//=~.
295.	Решите неравенство:
Л/2~	л/2*
a)	|sinx|>—g-;	в) |cosx|<+p
б)	IcosxICp	r) [sin 2x|
296.	Решите неравенство:
a)	—-^-<cos x< —в) — 2<tgx<3;
6)	y^sin x<^;	r) — 4<ctg x< 1,5.
297.	Решите неравенство:
a) sin23x>|;	6) sin2(2x —j)<|.
298.	Решите неравенство:
a)	sin4 x+cos4 x<i-|;
6)	sin4 4+ cos4 4>-s--
<3	u z
144
299.	Решите неравенство:
а)	3 sin2 2x4-7 cos 2х — 3^0;
б)	2 cos2 x-f-5 sin х — 4>0.
300.	Решите неравенство:
a)	cos х4-sin х<3 sin 2x—1;
6)	sin 2x4-sin x>0;
в)	sin 2x — sin3x>0;
r)	1 — sin 2x>cos x —sin x.
301.	При каких значениях x значения выражений
sin 2х, sin Зх, sin 4х образуют арифметическую про-
грессию?
302.	При каких значениях х значения выражений
cos х, cos 2х, cos Зх образуют геометрическую про-
грессию?
303.	Решите уравнение (х — переменная, а — пара-
метр):
a)	sin(2х-|-3) = а4-1;
б)	cos Зх = а2-|- Г,
в)	sin |х—31 = а — 2;
г)	tg2^—(2а4-1)tg2х4-а(о4-1)=0;
д)	cos4 х —(о 4-2) cos2 х —(д 4-3)=0.
304.	Найдите все целые значения с, при которых
уравнение 14-с cos х = (с+ I)2 имеет решение.
305.	Определите количество корней уравнения
cosxctgx — sinx = acos2x на отрезке [0; 2л].
Люди, незнакомые с алгеброй, не могут
представить себе тех удивительных вещей,
которых можно достигнуть в этой области
(в области знания отношений) при помо-
щи названной науки.
г. ЛЕЙБНИЩ
Глава II
МНОГОЧЛЕНЫ
Понятие многочлена от одной переменной, в частно-
сти квадратного трехчлена, вам уже знакомо из курса
алгебры 8-го класса. В этой главе мы более детально
изучим многочлены от одной переменной, а также много-
члены от нескольких переменных и рассмотрим ряд
задач, связанных с этими понятиями.
§ 8. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Понятие многочлена от одной переменной возникло
в связи с задачей решения алгебраических уравнений
с одним неизвестным, которой занимались уже в глубо-
кой древности. Известно, что в древнем Вавилоне (за
2000 лет до нашей эры) умели решать задачи, сводящие-
ся к квадратным уравнениям, а также некоторые из
задач, приводящие к уравнениям третьей степени.
Рассмотрим алгебраическое уравнение га-й степени
(га — натуральное число):
аохп+а1х"-1 + ...+ал=О,
где а0,	..., ап — действительные числа. Его левую
часть можно рассматривать как многочлен от перемен-
ной х. Естественной является постановка следующих
вопросов: что понимать под выражениями вида
яолл + а1хп-1 + ... +ая?
как определить равенство таких выражений и операции
сложения и умножения выражений такого вида?
Конечно, можно изучать выражения вида
аохл + а1хя-| + ...ал
146
как функции действительной переменной х. Однако на-
ряду с этим оказывается полезным изучать многочлены,
исходя из «чисто» алгебраического определения. Это
оправдано уже тем, что современная математика изуча-
ет и использует в общем случае многочлены от одной
переменной, у которых коэффициенты а0, а..... явля-
ются некоторыми объектами произвольной природы, а не
только числами.
25. ПОНЯТИЕ МНОГОЧЛЕНА ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Пусть R — множество всех действительных чисел.
Определение. Многочленом от переменной х над
R называется выражение вида
а0 + а,х + ...	(1)
где п — любое неотрицательное целое число и а0, at, ...,
ап — элементы множества R.
Отметим, что выражения х, х2, ..., хп, а также
atx, а2х2, ..., а„х" и а0 + atx-[-... -\-апх"
мы будем рассматривать как символы, которым не при-
писывается определенного действительного значения из
множества R.
Будем считать, что числа а из R также являются
многочленами над R, а именно: многочленами вида ах°,
где х°=1. Очевидно, что выражение ахк, где k — любое
целое неотрицательное число, и, в частности, сама пере-
менная х также являются многочленами над R.
Числа а0, а{, ..., ап называются коэффициентами
многочлена (1), а а0, арс, апх" — членами многочлена
(1). В частности, если an=#0, to апхп называют старшим
членом многочлена (1), а0 — свободным членом много-
члена (1).
Для обозначения многочленов от одной переменной
будем пользоваться символами /(х), g(x), h(x) и т. п.
или, для краткости в некоторых случаях, просто f, g,
h и т. п.
Множество всех многочленов от одной переменной
над R мы будем обозначать через R [х] и то, что
f (х) и g(x)— многочлены с действительными коэффици-
ентами от переменной х, будем коротко записывать так:
f(x), g(x)^R[x] или f, geJ?[x],
147
Определим теперь понятие равенства и операции
сложения и умножения на множестве Л[х].
Определение. Пусть / (х), £(х)е/?[х]. Много-
члены / (х) и g (х) называются равными, если много-
член / (х) состоит из тех же членов, что и многочлен
g (х), кроме членов с коэффициентами, равными нулю
(если такие имеются).
Равенство многочленов будем обозначать обычным
образом:
/(*) = £(*)•
Пример
1.	Пусть даны многочлены:
f (х)= 14-х+х2,
g (х) = 1 + х+х2+Ох3 4-Ох4,
Ф (х)= 1 +х+х2+х4.
Тогда очевидно, что f(x) = g(x), но f (х)#=<р(х), так
как ф(х) имеет член х4, не входящий в состав чле-
нов /(х).
Из определения равенства многочленов следует, что
многочлен / (х) нулевой, т. е. /(х) = 0 только в том слу-
чае, если все его коэффициенты равны нулю, или иначе,
если многочлен /(х) отличен от нуля, то это эквива-
лентно тому, что по крайней мере один из его коэффици-
ентов отличен от нуля.
Пусть даны два произвольных многочлена
f (x)=a0 + «i^ + "-+«X
и
g(x)==ft0 + Z>ix + ...+&mx'”
из множества /?[х].
Определение. Суммой многочленов / (х) и g (х)
называется многочлен, который обозначается f (х) +
+#(*), равный с0+с1х+...+с4х*, где k — наибольшее из
чисел лит, а	причем, если п>т, то следует
полагать, что bm+t = ... = 6„ = 0, и, если п</п, то следует
полагать, что а„+1 = ... =ат = 0.
Таким образом, сложение многочленов /(х) и g(x)
сводится к сложению коэффициентов этих многочленов,
стоящих при одинаковых степенях переменных.
Пример 2. Найдем сумму многочленов
/(х)=1-Зх + х3 + 2х4
и
g(x)=-l-|-3x+2x2 + x3.
148
Используя определение, получаем f (x)4-g(x)=( —14-1)4-
4-(-34-3)х4-(04-2)х24-(14-1)х34-(24-0)х4 = 2х24-
4-2х34-2х4.
Так как с,е/?, то операция сложения многочленов из
множества R [х] определена на этом множестве, т. е.,
складывая любые два многочлена / (х) и g(x) из этого
множества, мы получаем /(x)4-g(x)— многочлен из
этого же множества R [х].
Определение. Произведением многочленов f (х)
и g (х) называется многочлен, который обозначается
равный ao6o-Hflo6i4-«iM*+ - +(aA4-
+ atbk_t + ...+akb0) xk+...+anbmxn+m, причем az=0,
если i > n, и 6/ = 0, если j>m.
Таким образом, произведение многочленов / (х) и
g(x) равно сумме всевозможных произведений u-v, где
и — любой член многочлена /(х), v — любой член много-
члена g (х), при этом каждый коэффициент произведения
dk есть результат перемножения таких коэффициентов
многочленов /(х) и g(x), сумма индексов которых равна
k, и сложения всех таких произведений. В этом случае
формулу вычисления коэффициентов произведения мож-
но записать, используя знак суммы S, следующим об-
разом:
dk = 2 afij, где ke{0, 1..—	(2)
< + / = *
Пример 3. Найдем произведение многочленов
f (х)=2 — Зх-|-х34-2х4 и g (х)= — 14-3x4-2х2.
Для вычисления произведения можно воспользовать-
ся формулой (2). Например, чтобы найти коэффициент
при х4, следует вычислить сумму
#0^4 4" Я163 4- а2^2 4- а3& 1 4"	=
= 2-0+(-3)-04-0-2+1-34-2 (—1)= 1.
Убедитесь самостоятельно, используя формулу
(2), что
/ (х) g (х) = - 2 4-9х - бх2 - 7Х3 4-х4 4-8х5 4-4х6.
Так как все коэффициенты произведения многочленов
/(х), g(x) — элементы множества R, то операция умно-
жения многочленов из R [х] определена на этом множе-
стве, т. е., перемножая любые два многочлена /(х),
g (х) из R [х], мы получим единственный многочлен
/(x)-g(x) — их произведение из этого же множества.
149
Примечание. Непосредственно из правил сложения и умноже-
ния многочленов следует, что действия с нулевым многочленом на
множестве R [х] аналогичны действиям с числом 0 на множестве R. А
именно: /(х)+0=/(х) и /(х)-0=0 для любого многочлена /(х) из
/?[4
Однако сразу оговоримся, что сложение, вычитание и умножение
многочленов можно произвести и более простым способом, учитывая
свойства этих операций.
Если в многочлене f (x)=a0-}-atx-]-... + а„х" заменить переменную
х каким-либо действительным числом с, то получим действительное
число d:
d=a0+a1c + ...-banc“.
Это число d называют значением многочлена / (х) при значении
переменной х=с и обозначают через /(с).
Упражнения
306.	Определите, является ли выражение многочле-
ном над множеством R:
а)	х?+\х* + х + 3; г)
б)	х2+Уз7+1;	д)х4+д/27+1;
, X2— 1	\	4 I 1
307.	Найдите сумму многочленов:
а)	х’ + г’ + х—1 и 2х5 —х4 + х3 —х+1;
б)	х3-|-х2-|-1 и х4 + 2х3 —х —2;
в)	х6+1 и х24-х— 1;
г)	xs+2x3+4x2 —х-М и 3х5 + 2х4 + 5х+3.
308.	Даны многочлены:
/(х) = х4—6х3 + 2х-13;
g (х) = 7х5—2х4+4Х3 — 1,7х;
h (х) = - х5 + 3,5х4 + 2,Зх3 - 2,1 х -13,8.
Найдите:
a)	f (x)+g(x)—ft(x);
б)	f(x)-g(x)+h(x)-,
в)	—f(x)+g(x)+h(x);
г)	2f(x)-3g(x)+ft(x).
150
309.	Найдите произведение многочленов:
а)	(а^—1)(х2—1);
б)	(х24-х4~ !)(*— 1)(х-|-2)(х2 — 2x4-2);
в) (х4—1)(х34-х24-х4-1);
г) (х4- 1Г(х— I)2.
310.	Представьте выражение в виде многочлена:
а)	(а—1)(а24-а4-1);
б)	(а4-1)(а2-а+1);
в)	(а— 1) (а34-а24-л4- 1);
г)	(а—1)(а44-а34-а24-а4-1);
д)	(а4-1)(а4 —а3 —а4-1);
е)	(а3 —За 4-1) (2а 4-1 )2;
ж) (а —2)(а44-2а34-4а24-8а4~ 16).
311.	Докажите, что многочлен х4—2х34-2х2—8x4-16
принимает положительные значения при всех действи-
тельных значениях х.
312.	Докажите, что многочлен х8 — х5-)--*^ — х4~1 по-
ложителен при всех действительных значениях х.
313.	Докажите, что многочлен х2 можно представить
в виде разности двух многочленов, каждый из которых
является монотонно возрастающей функцией. 26
26. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Изучая основные свойства операций сложения и
умножения над многочленами из множества R [х], мы убе-
димся, что эти свойства аналогичны известным свой-
ствам операций сложения и умножения действительных
чисел (в частности, целых чисел). Об этом свидетельству-
ет следующая теорема.
Теорема. Для операций сложения и умножения
многочленов на множестве R [xj выполняются следую-
щие законы:
1) коммутативный (переместительный), т. е.
f(x)+g (x)=g (х)4-/(х) и f (х)-g (x)—g (x)f(x)
для любых многочленов f (х) и g (х) из R [xj;
2) ассоциативный (сочетательный), т. е.
f (*) 4- (g (x)+h (х)) = (/ (х) +g (x)) 4-й (x)
« / (*) (g (*) *(*))== (/ (*) g (*)) h (x)
для любых многочленов f (x), g (x) и h (x) из /?[х];
151
3)	дистрибутивный (распределительный), т. е.
(f (x) + g (х)) Л (х) = / (х) Л (х) 4-if (х) Л (х),
где f (х), g (х) uh (х) — любые многочлены из R (х);
4)	в R [х] существует нейтральный элемент относи-
тельно операции сложения 0 (нуль-многочлен) та-
кой, что
/(х)+О = /(х)
для каждого многочлена f (х) из R [х];
5)	для каждого многочлена f (х) из R [х] существу-
ет противоположный ему — f (х) из R |х] такой, что
/(*) + (-/(*))=о.
Доказательство. Отметим, что справедливость
утверждений 1—3 теоремы легко установить непосредст-
венной проверкой, используя определения операций сло-
жения и умножения многочленов из R [х], а также,
считая известным факт, что операции сложения и умно-
жения действительных чисел подчиняются коммутатив-
ному, ассоциативному и дистрибутивному законам. До-
кажем, например, ассоциативный закон умножения.
Пусть даны следующие многочлены с действительны-
ми коэффициентами:
f (x) = a0-j-aix + ...+a„_i хя-1 + алх'1,
ё (x)=bQ + blx + ...	х” +дтхт,
й(х) = Со + С1Х+...+с^1х*: ' + с*х*.
Покажем, что имеет место равенство
(/ (x)‘g (х)) h (х) = / (х) (g (х)-Л (х)).	(1)
Согласно определению произведения многочленов
/(*)•£(*) = aobQ + (а0&! + а{Ь0) х +... +
+ К- ybm + a nbm_,) x"+m-1 + anftmxn+m,
и поэтому
(/(*)•£(*)) Мх) = айЬйсй + (аоЬос{ + а^Ь^+афосо) х +
+... + (а„_ ibmck + anbm_ iCk + anbmck_ J xn+m+4-1 +
+ anV^+m+ft.	(2)
С другой стороны, аналогично
g(x)h(x) = boco + (blco + bocl)x + ... +
+ (bm_ick + bmck_l)xm+k-l + bmckxm+k
152
и
f (х) (g (x)-h (x)) = а0М>+(«0^1 + «o^o+аЛ^о) * +
+ • • • + (a«- }bmck + anbm_ ick + anbmck_ 1)xn+m+A~14-
+ апЬтскхп+т+к.	(3)
Теперь, сравнивая коэффициенты многочленов (2) и
(3) при одинаковых степенях переменной х по определе-
нию равенства многочленов, заключаем, что равенство
(1) справедливо.
Докажем утверждения 4) и 5). Утверждение 4) спра-
ведливо, так как
(яо+оцх+ая-^)+(0 + 0,-* + --- 4-(Ьхл)=
=(oo4"0)+(fli+0) •*+••• +(ая+0) x"=f (*)•
Очевидно, что из того, что f(x)e/?[x], следует, что
многочлен
( — ао) + ( —«!)* + •••+(-ял) хп = — f (х)е/?[х],
так как —а0, ..., —an^R. Тогда
/(*) + ( — /(*)) = ( ао + ( — «о)) + (а । + ( — «1 ))* + ••• +
+ (ап + (-ал))хл==0
и утверждение 5) доказано. •
Остальные утверждения теоремы докажите самостоя-
тельно.
Приведем обоснование некоторых возможных преоб-
разований многочленов из R [х], основанных на дока-
занной теореме.
1.	Определим индуктивно сумму и произведение не-
скольких многочленов над R следующим образом: под
суммой Л+/2 + /з трех многочленов /2, /3 из /?[х] мы
будем понимать многочлен (/i +/г)Ч-/з, под суммой /,-|-
-Ь/г-Ь/з+Л четырех многочленов /ь f2, f3, из ₽[х]—
многочлен (/1 + /2 + /з) + /4 и т. Д- Под суммой s мно-
гочленов /ь /2, •••, fs из R [х] — многочлен (Л + /2 + ...+
+ /s-i) + A. Точно так же определяется и произведе-
ние нескольких многочленов. Определите самостоя-
тельно.
Используя ассоциативные законы сложения и умно-
жения, можно показать, что во всякой сумме и всяком
произведении нескольких многочленов из множества
R [х] можно расставлять скобки произвольно, сохраняя
153
при этом порядок следования слагаемых (сомножите-
лей). Например,
fi + /г + 7з + /4— /1 + (/2 + /з + /4) —
= (/1+/2 + 7з) + /4 = (/1 + /2) + (7з + 74).
Таким образом, многочлен /(х) = а0 + atx-f-...+ a„x"
можем рассматривать также как сумму его членов, при
этом, учитывая коммутативный закон сложения, члены
многочлена можно записывать в любом порядке следова-
ния. В частности, многочлен / (х) можно записать в по-
рядке убывания индексов коэффициентов:
/ (х) = а„хп + а„_ 1хп~1 +... + агх + а0
или, изменив нумерацию коэффициентов, в виде:
f(x) = a'oxn+a'ixn-1 +... + а'п_ ,х + а'п.
2.	Ввиду коммутативности умножения многочленов
из R [х] можно считать, что для произвольного члена
многочлена / (х) верно равенство а^=ХА1.
3.	Так как операции сложения и умножения много-
членов из R [х] связаны дистрибутивным законом, то
многочлены /(х) и g(x) можно перемножать по уже
известному нам правилу, состоящему в том, что каждый
член многочлена /(х) умножается на каждый член мно-
гочлена g(x). В результате такого перемножения мы
получим сумму выражений вида aibj^+', среди которых
могут быть подобные. Учитывая, что операция сложения
многочленов обладает свойствами коммутативности и ас-
социативности, а также операции сложения и умножения
связаны дистрибутивным законом, можем привести по-
добные члены.
4.	В современной алгебре значительное место зани-
мают исследования, связанные с изучением непустых
множеств элементов произвольной природы, на кото-
рых определены алгебраические операции сложения
и умножения элементов, удовлетворяющие следующим
аксиомам:
1)	сложение коммутативно и ассоциативно;
2)	в К существует нейтральный элемент Ок по сложе-
нию такой, что а-[-Ок=а для любого элемента из
3)	в К для любого элемента а из К существует проти-
воположный ему элемент —а такой, что а + ( — а) — Ок\
4)	умножение ассоциативно и дистрибутивно слева
и справа относительно сложения, т. е. a(b-{-c) = ab-\-ac
и с(а + Ь) — ca-^-cb для любых элементов а, Ь, с из К.
154
Такие множества называют кольцами. Очевидно, что
множества всех целых чисел Z, всех рациональных
чисел Q и всех действительных чисел R с обычными
операциями сложения и умножения чисел являются при-
мерами колец.
В частности, из теоремы следует, что множество R [х]
всех многочленов от одной переменной с действительны-
ми коэффициентами является кольцом относительно опе-
раций сложения и умножения многочленов, которое на-
зывают кольцом многочленов от одной переменной
над R. Легко видеть, что кольцами относительно опера-
ций сложения и умножения многочленов являются также
множество всех многочленов от одной переменной с це-
лыми коэффициентами Z[x] и множество всех многочле-
нов от одной переменной с рациональными коэффици-
ентами ОМ-
На основании теоремы операции над многочленами
из кольца R [х] можно производить более простым спосо-
бом. А именно:
а)	чтобы найти сумму многочленов f (x)+g(x), доста-
точно к многочлену /(х) приписать члены многочлена
g(x), а затем привести подобные члены;
б)	для нахождения разности многочленов / (х) —
— g(x) достаточно к многочлену /(х) приписать члены
многочлена g (х) с противоположными знаками, а затем
привести подобные члены;
в)	чтобы найти произведение многочленов f(x)-g(x),
достаточно каждый член многочлена f (х) умножить на
каждый член многочлена g(x) и все полученные произве-
дения сложить, а затем привести подобные члены.
Пример. Даны многочлены
/(х)= — х4 + Зх3-х+1 и g (х)= —х3 —5х—1.
Найдем их сумму, разность и произведение.
Решение.
f(x) + g(x)= —х4 + Зх3 —х+1 —х3 —5х— 1 = -х4 +
+ 2х3—6х;
/ (х)~ ё(х)— — х4 + 3х3 — х+ 1 +х3 + 5х+ 1 — — х4 +
+ 4х3+4х + 2;
f (x)'g(x) — ( — х4 -f- Зх3 —x-f- 1) ( — х3 — 5х— 1) =
= х7-|-5х5-|-х4 — Зх6— 15х4 —3x3 + x4 + 5x2-f-x —х3 —5х —
— 1 = х7—3x6-f-5x6 — 13х4 —4х34-5х2 —4х— 1.
155
Упражнения
314.	Запишите квадраты многочленов:
а)(2х+1)2;	в) (2х2-х + 0,5)2;
б)	(гЧЗх-г)2;	г) (l^-Sx+i)2-
315.	Докажите тождества:
а)	(х-1)(х+1)(х2+1)=х4-1;
б)	(х-1)(х+1)(х2-х+1)(х24-х+1) = х6-1;
в)	(х2 — х+ 1)(х2 + х+ 1) = х4 + х2+ 1;
г)	(х + 3)(х + 2)(х+1)х^(х2 + Зх+1)2-1.
316.	Докажите, что при любом натуральном k значе-
ние выражения k (fe-f- l)(fe4-2)(&-j-3) +1 является квад-
ратом целого числа.
317.	Найдите наименьшее значение многочлена
/(х) = х(х+2)(х + 4)(х + 6).
318.	Найдите наименьшее значение выражения
(х—1)(х—2)(х—3) (х-4)4-10.
319.	Запишите данное выражение в виде произведе-
ния двух многочленов:
а)	х4Ч-1; б) х54-1;
в)	(Х+1)(х+3)(х+5)(х+7)+ 15;
г)	(х+ 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4)-24.
320.	Найдите сумму коэффициентов многочлена
(2 - 5х + х3)211 (3 - 7х+Эх2 - 5х3)135.
27. СТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕНА
Пусть f(x) — произвольный ненулевой многочлен из
множества Я [х]. Тогда / (х) имеет хотя бы один коэффи-
циент, не равный нулю.
Определение. Степенью многочлена / (х) назы-
вается наибольшая из степеней его членов, у которых ко-
эффициенты не равны нулю, т. е. если многочлен / (х) =
= а04-а1х-|-... +апх“, то его степенью называется наиболь-
шее из таких чисел k, что
Например, степень многочлена
7(х) = 5 + Зх-4х2 + 0х3 + 0х4Ч-х6 + 0х6
равна 5.
156
Если степень многочлена f (х) равна п, то в этом слу-
чае многочлен всегда можно представить в виде
f (х) = аохп + а^-1 + ..•+ i* + ап
или
f (х) = а'0+а'1х + ... +а'пхп.
Так как ах° — а, то каждое действительное число
=#=0 мы будем рассматривать как многочлен нулевой
степени. Само число 0 мы будем рассматривать как мно-
гочлен, степень которого неопределена.
Используя понятие степени, мы можем достаточно
просто определить, когда два многочлена равны. А имен-
но, если
f (х)=а0+а{х+... 4- апхп (ап Ф 0)
и
Я(х)=&о+М + ---+Мт(^тУ=О)
многочлены с действительными коэффициентами, то они
равны тогда и только тогда, когда равны их степени
и равны их коэффициенты при одинаковых степенях пе-
ременной, т. е.
f (*)=g (x)o(« = m Д(а0=&0, ai==&i, .... ая = О-
Теорема. Пусть f (х) и g (х) — многочлены из мно-
жества «14 Тогда:
1) степень суммы /(x)-f-g(x) не превосходит наи-
большей из степеней слагаемых;
2) если f (х) и g (х) — ненулевые многочлены, то
степень произведения f (x)-g (х) равна сумме степеней
этих многочленов.
Доказательство. Утверждение 1) вытекает не-
посредственно из определения сложения многочленов.
Докажем 2). Пусть /(х) и g(x) — ненулевые много-
члены степеней п и пг. Тогда
/(х) = ао+а1х + ...4-аяхп(ал=#О)
и
g (х) = b0 + blX +... + bmxm (bmф 0).
По определению произведения многочленов
/(*)•£(*) = «(А+(aibo + aob j) х	. + апЬтхп+т.
Так как ап=£0 и &т=/=0, то апЬт=£0, и поэтому степень
произведения /(x)-g(x) равна n-J-m. •
Пример. Пусть
/(х)=х54-х2-|-х—2 и g (х)= — х5—х2+х+3.
157
Найдем степень суммы f(x) + g(x) и произведения
f(x)-g(x).
Очевидно, что / (x)+g (х)—многочлен первой степе-
ни, так как / (x) + g(x) = 2x-f-1, и по утверждению 2)
теоремы /(x)*g(x) — многочлен десятой степени.
Упражнения
321.	Найдите степень суммы многочленов:
а)	х4— 1 и 2 —х4;
б)х3 + Зх2-{-1 и х5+х4 + 6х2—1;
в)	х4 — Зх2—1 и x2-j- Г,
г)	5 —х + 2х2 + х3 и —х2 —Зх+5.
322.	Найдите степень произведения многочленов:
а)	(х2-1)(х3+1)(х+1) и (х-- 1)3(х+ I)2;
б)	х74-6х54-4х24- 1 и 1—х —х2;
в)	(x-f- 1)3х и х2 -|- 1;
г)	(х24-1)(х—1) и х6 + 3х2—1.
323.	Укажите, в каком случае степень суммы двух
многочленов меньше максимальной из их степеней.
324.	Покажите, что коэффициент при четной степени
х члена многочлена /(х) = (24*3х2 — х5)" не меньше коэф-
фициента при той же четной степени х члена многочлена
g (х) = (2 —Зх2 —х5)п.
28. ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
В 8-м классе уже рассматривались на множестве це-
лых чисел Z отношение делимости и его свойства. На-
помним, что целое число а делится на целое число
b(a':b), если существует такое целое число q, что a — bq.
Оказывается, на множестве R [х] всех многочленов с дей-
ствительными коэффициентами отношение делимости
определяется аналогично. Более того, как мы убедимся,
многие свойства отношения делимости в /?[х] анало-
гичны уже известным нам свойствам делимости целых
чисел.
Определение. Пусть / (х) и g (х)— многочлены из
R |х|. Многочлен f (х) делится на многочлен g (х),
если существует такой многочлен q (х) из того же мно-
жества R fxj, что / (х) —g (х)-q (х).
158
Как и для целых чисел, запись f(x) ‘:S(.x) означает,
что многочлен / (х) делится на многочлен g(x), а за-
пись f(x)'.g(x) означает, что многочлен f (х) не делится
на многочлен g (х).
Пример 1. Пусть /(х) = х3—1 и g(x) = x—1. Тог-
да /(X) :g(x), так как существует такой многочлен х2-]-
+ х+1, что х3—1=(х-1)(х2+х-|-1).
Пример 2. Пусть /(х) = х4+1 и g(x) =
= х2+'\/2х' +1. Очевидно, /(х), g (х)е/? [х]. Выясним, де-
лится ли /(х) на g(x) во множестве R [х]. Легко про-
верить, что /(х):. g(x), так как х4 +1 =(х2+’\/2^‘1“
1) <7 (х), где ^(х) = х2—(Выполните самостоя-
тельно.)
Пример 3. Однако не всегда один многочлен
делится на другой в /?[х]. Пусть /(х) = х—1 и g(x)~
— х2—1. Если бы многочлен f (х) делился на многочлен
g(x), то в этом случае в /?[х] нашелся бы многочлен
q(x) такой, что х—1=(х2—1)<?(х). Но это равенство
невозможно, так как (х2—l)qr(x)—многочлен степени
не меньше второй, а х—1 —многочлен первой степени.
Итак,
КХУ^(Х)-
Рассмотрим теперь свойства делимости многочленов
из R [х].
1°. Отношение делимости многочленов рефлексивно
на множестве R [х], т. е. f (х) • / (х) для любого многочле-
на /(х)е/?[х].
(Докажите самостоятельно.)
2°. Если f(x)-g(x) и g(x)i/(x), то f (x) = cg(x), где
се/?\{0}, т. е. многочлены f (х) и g(x) отличаются друг
от друга только множителем с нулевой степенью.
Доказательство. Так как /(x)-g(x) и
g(x):f(x), то по определению отношения делимости
Hx)=g(.x)<h(x) и g(x)=Hx)q2(x)> где ^(х), q2 (х) —
некоторые многочлены из Л[х]. Но тогда /(х) =
= (/U)?2 (*))<?!(*) или
/ (х)=/(х) (х) (х).	(*)
Если f (х)=/=0, то обе части равенства (*) разделим на
/(х). Тогда 1 — qx (х) q2 (х). Так как в левой части полу-
159
ценного равенства многочлен нулевой степени, то по
утверждению 2) теоремы из п. 27 q{ (х) и q2(x)— много-
члены нулевой степени. Итак, qi(x) = c и q2(x) — ch где
с и с1 — отличные от нуля действительные числа. Следо-
вательно, f (x) = cg (х).
Если f (х) = 0, то g (x) = f(x) q2 (х) = 0 и в этом случае
равенство f(x) = cg(x) справедливо для всех се₽. •
3°. Если многочлены f (х) и g(x) делятся на много-
член <р (х), то их сумма и разность тоже делятся на ф (х).
Доказательство. По определению отношения
делимости из того, что / (х) :ф(х) и g(x) :ф(х), следует,
ЧТО / (х) = ф (х) (х) и г(х)=ф(х)^2(х), где (х) и
<?2 (*) — некоторые многочлены из R [х]. Но тогда, склады-
вая (вычитая) почленно оба равенства и учитывая дист-
рибутивный закон, имеем:
/ (х)±£ (х)=ф (х) q{ (х)±ф (х) q2 (х) =
= ф(х)(?! (х)±?2(х)).
Следовательно, /(x)±g(x) • ф(х), так как qi(x)±.
±?2(х)еЯ[х]. •
4°. Отношение делимости многочленов транзитивно
на множестве Я [х], т. е. для любых многочленов f (х),
g(x), ф(х)<=/?[х] из /(x):g(x) и g (х) • ф (х) следует
f(x)-y (х).
Доказательство. Так как f(x):g(x) и
§(х):ф(х), то f(x) = g(x)ql(x) и g(x) = q>(x)q2(x), где
4i (х), q2 (х) — некоторые многочлены из R [х]. Следова-
тельно,
/(х) = (ф(х) ^2 (^)) <71 (^)-
Но, учитывая ассоциативный и коммутативный законы
умножения многочленов, получим
Нх) = Ф(х) (71 (х) q2 (х))
и поэтому /(х):. ф(х), так как qx (х) ^2(х)е/?[х]. •
5°. Если fi (х), ..., /а(х)(й^2) и fi (х) делится на
ф(х), то на ф(х) делится и произведение (х)...Д(х).
Доказательство. Так как /!(х):ф(х), то
Л(х) = ф(х)^!(х), где ^!(х)е/?[х].
160
Умножив обе части этого равенства на /2 (*)• • •fk (*), получим
/1 W (/2 (х)... fk (х)) = ф (х)<7, (х) (/2 (х)... fk (х)).
Теперь, учитывая свойство ассоциативности умноже-
ния многочленов, имеем
Л W /2 (*)• • • /Их) = ф (х) /у (х),
где q (x) = ql(x) f2(x)...fk(x) и q (х)(=Я[х]. Значит,
fAx)h{x\..fk{x) = ф(х). •
6°. Если каждый из многочленов Л (х), ..., fk(x)
делится на ф (х), то на ф (х) будет делиться и многочлен
fi(x) gi(x) + f2(x) g2(x)-\-... +Л(х) gk(x),
где gt (х), ..., gk(x) — любые многочлены из R [х].
Справедливость этого свойства следует из свойств 3°
и 5°. •
7°. Многочлены нулевой степени из R [х] являются дели-
телями любого многочлена из R [х].
Доказательство. Пусть f (х) = аохг‘ + я1х'1~1 +
— любой многочлен из R [х] и с — любой мно-
гочлен нулевой степени из R [х], т. е. любое действитель-
ное число, не равное нулю. Тогда f (x) = cq (х), где
<7(х)=-ух',+-у хп“‘ + ...-|--у и <?(х)е/?[х]. Следова-
тельно, / (х)  с. •
Примечание. Как уже отмечалось, свойства делимости, анало-
гичные свойствам 1°—7°, изучались нами ранее на множестве всех це-
лых чисел Z. Отметим, что при этом числа 1 и — 1 играли роль, сход-
ную с ролью многочленов нулевой степени. А именно: если а и b такие
целые числа, что а:Ь и b: а, то числа а и b отличаются друг от друга
только знаком, т. е. множителем ± 1 (сравните со свойством 2°). Всякое
целое число делится на ± 1 (сравните со свойством 7°).
Упражнения
325.	Выясните, делится ли:
а)	х3-|- 1 на х2 — х4-1;
б)	х4+1 на х2 + 2х+1;
в)	х4— 1 на х2— 1;
г)	х6— 1 на х2 + х+ 1-
6 Алгебра, 10 кл.
161
326.	Найдите необходимое и достаточное условия де-
лимости многочлена:
a)	x3-\-px-\-q на х2 + ах + 1;
б)	x^^-px-j-q на х2-|-ах-|-1;
в)	x5-\-px-\-q на х2-{-ах-\- 1.
327.	Докажите, что при любом натуральном п и a^Z:
а)	(хп — ап) :(х —а);
б)	(х2"-а2") •(*+«);
в)	(х2"-1 — а2я_| )•;(% + а).
328.	Делится ли многочлен /(х) = х-{-х2 + х(х + 1)2 +
+ х(х+1)(х4-2)2 + х(х+1)(х + 2)(х4-3)2 на хД-4?
29. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
В 8-м классе изучалась одна из основных теорем
на множестве целых чисел Z — теорема о делении
с остатком. А именно, каковы бы ни были два целых чис-
ла а и Ь (£>=#0), для них всегда найдется единственная
пара целых чисел q и г, что a = bq + r и 0г < |b|. Ока-
зывается, что аналогичная теорема имеет место и на
множестве многочленов R [х].
Определение. Пусть / (х) и g (х) #= 0 — многочле-
ны из множества R [х]. Разделить многочлен / (х) на
многочлен g (х) с остатком в R (х] — это значит найти
такие два многочлена q (х) и г (х) из того же множества
R [х], что / (х) =g (х) q (х) 4-г (х) и степень много-
члена г (х) меньше степени многочлена g (х) или
г (х) = 0.
Многочлен q(x) называют неполным частным или
частным, а многочлен г (х) — остатком от деления f (х)
на g(x).
Теорема (о делении с остатком). Каковы бы ни бы-
ли многочлены f (х) и g(x)#=0 из R [х], всегда можно
и притом единственным образом разделить / (х) на
g (х) с остатком.
Доказательство. Вначале докажем возмож-
ность деления с остатком. Пусть даны многочлены
/(х)=а0хя4-а1хп-1 + ...4-ал
и
g(x) = boxm + blxm~i + ...+bm(bo^0).
162
Если /(х)— нулевой многочлен или если п<т, то
/(x) = g (х)-0-}-г (х), в этом случае ^(х) = 0, г(х) =
= /(х) и деление с остатком возможно.
Предположим, что п~^т. Построим многочлен
Л (х) = /(х)—^x"-mg(x).
°0
Легко видеть, что многочлены / (х) и -г- xn~mg(x) име-
ют одинаковые старшие члены, и поэтому Д (х)— много-
член степени не больше п—1, т. е.
/1(х)==^хл-‘ + а;х"-2 + ... +«'_!.
Если п—\^т, то аналогично построим многочлен
/2 (х) = К (х)-^- x,‘~m~'g (х),
°0
степень которого не больше п — 2, и т. д. Продолжая про-
цесс построения многочленов с понижающимися степеня-
ми, мы получим многочлен г (х), степень которого нуле-
вая или меньше степени многочлена g(x). Итак, мы име-
ем конечную цепочку равенств:
Л
^0
/2(х) = Л(х)—^-"-^(х),
.........Jo............
г(х) = Л(х)—T-g(x) (l = n — m).
°о
Сложим почленно полученные равенства
/1 (х)+/2 (*) + ••• + f/(*) + r (х) = f (х) + f i(/(x)+• • • +
+ Мх)-Ьх"“ЧуХ^—Ч...+y^W.
\ /
Отсюда следует, что
/а	а'	а(1>\
r(x) = f(x)-(/xn-m+/x'‘-m~l + ...+-^)g(x)
\°0	°0	Р0 /
или
/(x) = g(x)?(x)4-r(x),
где
<7(х)^х-+^х--1 + ...+^.
163
Так как коэффициенты многочленов q (х) и г(х) полу-
чены при помощи операций сложения, вычитания, умно-
жения и деления действительных чисел, то q (х) и г (х) —
многочлены из /?[х]. Кроме того, г(х) = 0 или степень
г(х) меньше степени g(x). Выполнимость деления
с остатком доказана.
Докажем теперь единственность деления с остатком.
Предположим, что деление с остатком многочлена
/ (х) на многочлен g (х) выполняется неоднозначно. Пусть
f(x)=g(x)?(x)4-r(x)	(1)
и
f(x) = g(x)91(x)4-r1(x),	(2)
где г(х) = 0, или степень г(х) меньше степени g(x) и
fj (х) = 0, или степень (х) меньше степени g(x). Вычитая
из равенства (1) равенство (2), получим
ё (*) (q (х)-^ (х)) + (г (х) — г1 (х)) = 0
или
ё (Х)(Я (х)—qi^x^ — r^x)—г(х).	(3)
Предположим, что q (x)^=ql(x). Тогда q(x) — q{ (х)#=
т40 и, следовательно, г, (х) — г(х)=/=0.
Итак, в данном случае степень многочлена, стоящего
в левой части равенства (3), не меньше степени много-
члена g(x), а степень многочлена в правой части равен-
ства (3) меньше степени многочлена g (х). Полученное
противоречие следует из неверного предположения о
том, что q (х)=/= q{ (х). Следовательно, q (х)= q{(x) и по-
этому из равенства (3) следует, что rt (х) — г(х) = 0,
т. е. г1(х) = г(х). Единственность деления с остатком до-
казана. •
Пример 1. Разделим с остатком многочлен /(х) =
= 4х4 — 2х3 + 4Х2 + х — 3 на многочлен g (х) = 2х2 + х — 2.
Алгоритм деления многочленов с остатком нам уже
известен из курса алгебры 8-го класса. Это так называе-
мая схема деления «уголком»:
_ 4х4-2х3 + 4х2+х —3[2х2 + х—2
4х4 + 2х3 - 4х2	|2х2-2х + 5
_ —4х3 + 8х2+ х
— 4х3 —2х2 + 4х
_10х2 —Зх —3
10х2+5х—10
-8x4-7
164
Таким образом, 4х4 — 2х3 + 4х2 + х — 3 = (2х24** —
—2)(2х2— 2х + 5) + ( — 8x4*7) и неполное частное
q(x) = 2x2— 2x4-5, остаток г(х)=—8x4*7, причем сте-
пень многочлена г(х) меньше степени многочлена g(x).
Примечание 1. а) Решить эту задачу можно другим
методом — методом неопределенных коэффициентов. А именно, исполь-
зуя теорему о делении с остатком, можно записать: 4х4— 2х3 + 4х2 +
+ х—3 = (2х2 + х — 2)(а0х2 + а1х + а2) + (Ь0х+&1).
Для нахождения коэффициентов а0, ah а2, раскроем скобки
в правой части равенства и расположим полученный многочлен по
степеням убывания х: 4х4— 2х3 + 4х2 + х — 3 = 2а0х4 + (а0 + 2а1) х3 +
+(— 2а0 + а[ + 2а2)	—2а1 + а2 + 60) *+( — 2а2 + 6,).
Используя определение равенства многочленов, приходим к систе-
ме уравнений
2а0	=4,
а0 + 2а]	=—	2,
—2а0+а!4-2а2	=4,
— 2й| + а24-Ь0	=1,
— 2а2 +	— — 3.
Решая эту систему (проверьте самостоятельно), находим, что а0 = 2,
at= — 2, а2 = 5, Ьо—— 8, Ь^—7.
Итак, q (х) = 2х2 — 2х + 5 и г(х)=—8х + 7.
б) Методом неопределенных коэффициентов удобно пользоваться,
когда требуется найти только остаток, причем известны корни много-
члена g(x).
Например, найдем остаток г(х) от деления многочлена /(х) = х4 +
+ х3 + 2х2 — 2х+4 на многочлен g (х)—х2— 1.
Используя метод неопределенных коэффициентов при делении
с остатком, имеем:
x4 + x3 + 2x2-2x+4 = (x2-l)q(x) + (ax + b).	(4)
Так как xt— — 1 и х2=1—корни многочлена х2—1, получаем:
/ (1)= 14+13 + 2-12 —2-1+4 = 6. Из равенства (4) при х=1 имеем:
6 — а + Ь.
Аналогично f (— 1)= 1 — 1 +2 + 2 + 4 = 8 и поэтому 8=—a-f-b.
Решая систему уравнений
( а-\-Ь = 6,
{ —а + * = 8,
получаем Ь = 7 и а= — 1. Следовательно, г(х)=—х+7.
165
Пример 2. Разделим с остатком многочлен
/(х) = х6-7х4 + 8х3-7х + 7
на многочлен g (х) = 3х5 — 7х34~3х2 — 7.
Делить будем «уголком»:
_х6- 7х4 + 8х3- 7x4-7
х6—4*4+	4 х
___О_________О____
_^.х4+7х3--^-х + 7
Зх5— 7х3 + Зх2-7
Итак, f(x) = g(x)q (х)4-г(х), где q(x)=^x и г(х)=
= —ух4 + 7х3--у-х + 7.
Пример 3. Известны делимое
/(х) = 2х4 + х3 + Зх2+1,
частное q (х) = 2х2 + Зх + 2 и остаток г(х)=—4х —3.
Найдем делитель g(x).
Используя определение деления с остатком, получаем:
/(x) = g(x)<?(x)4-r(x).	(5)
Так как степень многочлена f (х) равна 4 и степень мно-
гочлена q(x) равна 2, то степень многочлена g(x) равна
2. Легко видеть, что старший коэффициент многочлена
g(x) равен 1. Следовательно, g(x) многочлен вида х2-}-
4-ах 4-6. Но тогда, в силу равенства (5), имеем
2х4 + х34-Зх2+1=(х2+ах + 6)(2х2 + Зх + 2) + (—4х —
-3) = 2х4 + (3 + 2а)х3 + (2 + За + 26)х2 + (2а + 36-
— 4)х4~26 —3.
Учитывая определение равенства двух многочленов,
мы получаем систему уравнений
3 + 2а=1,
2-{-За 4-26 = 3,
2а 4-36-4 = 0,
26-3=1.
Решая систему, находим, что а— — 1, 6 = 2. Значит,
g(x) = x2 — х4-2.
166
Примечание 2. В этом примере g (х) можно найти и другим
способом, разделив многочлен /(х)—г(х) на многочлен q (х). (Вы-
полните это самостоятельно.)
Отметим, что, выполняя деление с остатком много-
члена на многочлен, мы также выясняем, делится
первый многочлен на второй или нет. А именно,
f(x)ig(x) в том и только том случае, когда оста-
ток г(х) от деления f (х) на g(x) равен нулю. Действите-
льно, если / (х) делится на g (х), то / (*) = £ (х) (х) для
некоторого многочлена <7(х)е/?[х]. Из того, что по тео-
реме о делении с остатком частное и остаток определены
однозначно, заключаем, что г(х) = 0. Если же г(х) = 0, то
f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q(x) и поэтому /(х) ig(x).
Упражнения
329.	Выполните деление с остатком:
а)	2х5 —х'*4-3х3 + 2х2 —ЗхЦ-1 на х2 —Зх+1;
б)	Зх4 —2х34-5х —4 на х —2;
в)	х3 — 3x4-2 на х —2;
г)	Зх4 —2х5 + 5х —4 на х —2;
д)	х5-{-2 на х— 1;
е)	х6 — 2 на х2 — х-}-1;
ж)	х8—1 на х2Ч-2;
з)	х4 — 2x3-f-3x2—7 на х + 2;
и)	x4 + 2x3+5x2-f-x+6 на х3—х + 3.
330.	Известно, что многочлен х4 + 2х3 —3x2 + ax-f-&
делится на трехчлен х2 + 3х—1. Найдите частное от де-
ления первого многочлена на второй и значения коэффи-
циентов а и Ь.
331.	При каких значениях а многочлен х3 + 6х2 +
4-ax-f-5 делится без остатка на х2-|-х+1?
332.	При каких значениях а и b многочлен х4 — х3 —
—9х2 + ах-|-2 делится без остатка на х24-2х+ Ь?
333.	При каких значениях а и Ь многочлен /(х)=
= x4-f-x3 + ax2 + 4x+6 делится без остатка на трехчлен
g(x) = x2 + 2x + 2?
334.	При каких значениях а и b многочлен х—2х +
-j-ax2 — Зх + 6 делится без остатка на х2 — Зх+З?
335.	При каких значениях а и b многочлен Р4(х) =
= х4 + ах3 + 6х2-|-Зх—9 делится без остатка на (х-|-3)2?
167
336.	Многочлен Р(х) при делении на х— 1 дает оста-
ток 3, а при делении на х — 2 дает остаток 5. Найдите
остаток от деления многочлена Р (х) на х2— Зх + 2.
337. Многочлен Р (х) при делении на х—1, х-|-1,
х — 2 дает в остатке соответственно 4, 2, 8. Найдите оста-
ток от деления многочлена Р (х) на х — 2х2— х + 2.
338. Многочлен Р (х) делится на х—1 без остатка,
а при делении на х-^-2 дает в остатке 3. Найдите остаток
от деления многочлена Р (х) на х2 + х— 2.
339.	Многочлен Р (х) делится без остатка на х — а
и на х — b (а=/=Ь). Докажите, что Р (х) делится без
остатка на (х— а)(х— Ь).
340.	Многочлен Р (х) при делении на х —2 дает
в остатке 5, а при делении на х + 5 дает в остатке
2. Найдите остаток от деления многочлена Р (х) на х2 +
+ 3х—10.
341. Существует ли многочлен / (х) = ах4 + &Х2 + сх +
-\-d с целыми коэффициентами a, b, с, d такой, что
/(1)=19 и /(2)=62?
342. Существует ли такой многочлен f (х) с целыми
коэффициентами, что /(7)= 11, /(11)= 13?
30*. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ
В силу справедливости теоремы о делении с остатком
в R [х] мы имеем возможность продолжить изучение
аналогии между теорией делимости целых чисел и тео-
рией делимости многочленов из [х]. Оказывается, что
для многочленов множества R [х] можно указать метод
вычисления наибольшего общего делителя (НОД) много-
членов, аналогичный методу нахождения НОД целых
чисел. Этот метод называют алгоритмом Евк-
лида.
Пусть даны многочлены /(х) и g(x) из /?[х].
Определение. Многочлен d(x)Gfl[x] называет-
ся общим делителем многочленов f (х) и g (х), если он
является делителем каждого из них.
Так как всякий многочлен из R [х] делится по свой-
ству 7 из п. 28 на любое отличное от нуля действительное
число, то среди общих делителей многочленов / (х) и g(x)
всегда будут многочлены нулевой степени, т. е. числа из
множества /?\{0). Если других общих делителей у много-
членов / (х) и g(x) нет, то они называются взаимно
простыми.
Заметим также, что если d (х) является общим дели-
168
телем многочленов /(х) и g(x), то и любой многочлен
вида cd(x), где се/?\{0}, также является общим делите-
лем этих многочленов.
Определение. Наибольшим общим делителем
(НОД) многочленов / (х) и g (х), из которых хотя бы
один ненулевой многочлен, называется такой их общий
делитель, который делится на любой другой общий
делитель этих многочленов.
Легко видеть, что если НОД многочленов f (х) и g(x)
существует, то он определен с точностью до умножения
на отличное от нуля действительное число.
Действительно, если d{ (х) и d2(x) наибольшие общие
делители многочленов f (х) и g(x), то по определению
НОД di (х) • d2 (х) и d2 (х) • d{ (х). Следовательно, по свой-
ству 2 из п. 28 d2(x) = cdi (х) для некоторого се/?. Если
С] — любое действительное число, отличное от нуля, то
многочлены dt (х) и Cidr (х) являются общими делителя-
ми многочленов f (х) и g(x). Но, по определению НОД,
любой общий делитель многочленов f (х) и g(x) является
делителем dt (х) и поэтому многочлена ctdi (х). Следова-
тельно, Cjd) (х)—НОД многочленов f (х) и g(x).
Покажем теперь, что НОД существует для любых
многочленов f (х) и g(x)=/=0 из /?[х], а именно: опишем
вполне определенный способ нахождения НОД, называе-
мый алгоритмом Евклида. Предварительно докажем
лемму.
Лемма. Пусть f (х) и g(x)=/=0 такие многочле-
ны, что
f (x)=g (х) q (x) + r (х).	(1)
Тогда многочлены f (х) и g (х) имеют те же общие
делители, что и многочлены g (х) и г (х).
Доказательство. Пусть d (х) — любой общий
делитель многочленов /(х) и g(x). Так как из равенства
(1) следует, что г(х) = /(х) — g(x)</(x), то по свойству 3
из п. 28 r(x)-d(x), а поэтому d (х) — общий делитель
многочленов g(x) и г(х). Аналогично каждый делитель
многочленов g(x) и г(х) является общим делителем
многочленов f (х) и g(x). (Убедитесь в этом самостоя-
тельно.) •
Возьмем теперь два многочлена f (х) и g(x)#=0. Если
f (x)i g (х), то в этом случае НОД / (х) и g (х) равен g (х).
Предположим, что /(x)-g(x). Тогда по теореме о деле-
нии с остатком
/(x) = g(x)<7,(x) + r1(x)	(2)
169
и степень г, (%) меньше степени g(x). Затем разделим
многочлен g(x) на остаток г{ (х). По теореме о делении
с остатком g (x) = rl (х) q2 (х) + г2 (х)> причем степень
многочлена г2(х) меньше степени многочлена (х) или
г2(х) = 0.
Если г2(х) = 0, то g (х) • rt (х) и НОД многочленов
g (х) и Г1 (х) равен г1 (х). Но в силу равенства (2) по
лемме множества всех общих делителей многочленов
/(х) и g(x) и многочленов g(x) и г, (х) одинаковы. Сле-
довательно, в этом случае НОД многочленов / (х) и g(x)
равен г1 (х). Если степень многочлена г2(х) меньше сте-
пени многочлена (х), то разделим многочлен rt (х)
с остатком на многочлен г2(х) и продолжим такой про-
цесс аналогично. Степени получающихся при этом остат-
ков Г] (х), г2(х), ... будут, очевидно, убывать. Но целые
неотрицательные числа не могут убывать бесконечно.
Поэтому через конечное число шагов мы должны прийти
к остатку, равному нулю. Запишем весь процесс такого
деления как систему равенств:
/(х) = £(х)<71(х)-+-Г1(х),
g(x) = rj (x)g2(x)+r2(x),
гi (x) = r2(x) q3(x) + r3(x),
(3)
гк-г (х) = rk_, (х) qk (х) + rk (х),
r*_,(x)=r4(x)g*+l(x),
где степени многочленов g(x), п (х), ..., гк(х) связаны
цепочкой неравенств:
ст. g(x)>CT. rj(x)>CT. г2 (х)>... >ст. rt(x)>0.
Теорема 1. Наибольший общий делитель много-
членов f (х) и g(x)¥=0 всегда существует. Он равен
последнему отличному от нуля остатку в системе ра-
венств (3), если f (х) не делится на g (х) и совпадает
с g (х) в противном случае.
Доказательство. Рассматривая равенства (3)
сверху вниз, на основании леммы заключаем, что пары
многочленов f (х); g(x); g(x), r\ (х); rx (х), r2(x); ...;
(x), rt(x); rk(x), 0 имеют одни и те же общие делите-
ли. Отсюда следует, что общие делители многочленов
/(х) и g(x) совпадают с делителями многочлена rk(x) —
последнего отличного от нуля остатка в системе ра-
170
венств (3). Но тогда гк (х) — общий делитель многочленов
/•(х) и g(x) и делится на любой другой общий делитель
многочленов / (х) и g (х), т. е. гк (х) — НОД многочленов
/ (х) g(x). ®
Как уже отмечалось, НОД двух многочленов опреде-
ляется с точностью до множителей нулевой степени,
т. е. с точностью до умножения на отличное от нуля
действительное число. Поэтому условимся в дальнейшем,
что если d (х) — НОД многочленов f (х) и g (х), то его стар-
ший коэффициент всегда равен 1. В этом случае
d (х) определен однозначно и мы можем его записывать
по аналогии с НОД целых чисел: d (х) = НОД (/(х),
g(x)) или просто ^ = НОД (/, g). Учитывая такое обозна-
чение, получаем, что многочлены f (х) и g(x) взаимно
просты в том и только в том случае, когда НОД (/ (х),
Рассмотрим теперь примеры нахождения НОД мно-
гочленов.
Пример 1. С помощью алгоритма Евклида найдем
НОД многочленов
/ (х) = хе —7х4-]-8х3— 7х4~7 и g(x) = 3x5 — 7х3 + Зх2— 7.
Разделим сначала /(х) на g'(x) с остатком.
х6 - 7х4 + 8х3 - 7х + 7	Зх5 —7х34~3х2—7
6	4 . з 7	1
Х° — ?Х’+ х3 — ?х	— х
О	О	О
—-у X4 + 7х3—-у х + 7
Итак, г| (х)= — у х4 +7х3—ух + 7.
Далее разделим g(x) и (х):
Зх5 — 7х3 + Зх2 — 7	—у х4 + 7х3-у х + 7
~Зх5-|х4 + Зх2-4х|Ах-§
|х4-7х3 + |х-7
171
Мы получили, что г2(х)—
Разделим теперь г{ (х) на г2(х).
—Их4 + 7х3—^хф7
-^х-28
О
_7х3	+7
7х3	+7
О
Таким образом, третий остаток г3(х) = 0. Следова-
тельно, НОД многочленов /(х) и g(x) это г2(х) — по-
следний отличный от нуля остаток в цепочке алгоритма
Евклида. Записывая его со старшим коэффициентом 1,
имеем
НОД(Дх), g(х))= — 4r2(х) = х3+1.
Примечание 1. Так как постоянные множители не влияют на
делимость многочленов, то в процессе применения алгоритма Евклида,
чтобы избежать громоздких вычислений с дробными числами, делимые
многочлены и делители можно умножать на любые отличные от нуля
числа. При таком преобразовании получающиеся остатки будут нахо-
диться с точностью до постоянных множителей, хотя неполные част-
ные и будут искажаться. Однако это не повлияет на процесс на-
хождения НОД, так как при нахождении НОД рассматриваются
остатки.
Пример 2. Найдем НОД многочленов
/(х) = х4 + х3 — 2х2 —х —2 и g (х) = 2х3 + 5х2 + х — 2.
Разделим / (х) на g(x), чтобы избежать дробей
при этом делении, умножим сначала многочлен f (х)
на 2:
_2х4 + 2х3 — 4х2 — 2х — 4	2х3 + бх2 4-х — 2
2х4 + 5х3+ х2 —2х х
— Зх3 — 5х2	—4 = <р(х)
Процесс деления f (х) на g(x) не закончен. Но, чтобы
избежать в дальнейшем дробных вычислений, умножим
172
многочлен <р(х) на 2 и разделим на g(x). Тем самым мы
исказим второй член частного: чтобы отметить это, мы
отделим его от первого двумя чертами. Таким обра-
зом, процесс деления / (х) на g (х) с остатком запи-
шем так:
_2х4 + 2х3- 4х2 — 2х —4
2х4 + 5х3 + х2 — 2х
— Зх3 —5х2
— 6х3—10х2	-8
— 6х3 — 15х2 — Зх + 6
5х2 + 3х—14
2х3бх2-|-х — 2
х|| — 3
Значит, г} (х) = 5х2 + 3х— 14. Разделим g (х) на rt (х),
предварительно умножив g (х) на 5:
_10х3 + 25х2+ 5х — 10	5х2 + Зх—14
10х3+ бх2 — 28х	2x11 + 19
19x2+ ЗЗх— 10 (умножаем на 5)
95x2+ 165х — 50
—95x2+ 57х —266
108х + 216 /	1 \
— (умножаем на
х + 2 V	1087
Итак, г2(х) = х + 2. Разделим гх (х) на г2(х):
5х3+ Зх—14	х + 2
5х3+10х	5х —7
— 7х—14
~—7х — 14
0
Таким образом, НОД(/(х), g (х)) = х + 2.
В некоторых случаях процесс нахождения НОД
многочленов удобно записывать столбиком сверху
вниз.
Пример 3. Найдем НОД многочленов /(х) = х3—1
и g(x) = x2+l.
173
Итак, НОД(х3 — 1, х2-}-1) = 1, т. е. данные многочлены
взаимно просты.
Напомним, что в 8-м классе при изучении целых
чисел с помощью алгоритма Евклида было доказано
следующее утверждение: если г/=НОД(а, Ь), то d =
= au-\-bv для некоторых целых чисел и и v. Аналогичное
утверждение справедливо и для многочленов из /?[х].
Теорема 2. Пусть d (х) — наибольший общий де-
литель многочленов f (х) и g (х)=#0. Тогда существует
такая пара многочленов и (х) и v (х) из /?|х|, что
d (х) =f (х) и (х) +g (х) v (х).
Доказательство. Запишем систему равенств ал-
горитма Евклида:
7(x) = g-(x)?1(x) + r1(x),
gW=r! (x)q2(x)+r2(x),
гi (х) = г2(х)7з(х) + г3(х),
r„-2 (х) = rk~, (х) qk (х) + rk (х),
r*_,(x)=rA(x)^+I(x).
В силу теоремы 1 d (х) = НОД(/ (х), g(x)) = rft(x).
Выразим из предпоследнего равенства системы НОД.
Получим:
d(x) = rft_2(x) — rk_x(x)qk(x).	(4)
Затем из предыдущего равенства
rk-3 (х) = гА_2 (х) qk_i (х) + rk_{ (х)
174
выразим rA_i(x) и получим
rk_ Лх)=гк_3 (х) — rk_2 (х) qk_! (х).
ПодставихМ полученное значение rk_t(x) в равенство
(4). Тогда
d(x) = rA_2(x)— (rk_3(x)—rk_2(x) qk_) (х)) qk(x) =
= rk_2 (х) (1 + qk-1 (х) qk (х)) + rk_3 (х) (— qk (х)).
Таким образом, НОД представляется в виде:
d (х) = ГА_2(х) «j (Х) + ГА_3 (X)	(х),
где щ (x)=l + ^_t (x)qk(x), щ (х)= —qk(x) — многочле-
ны из /?[х]. Далее из равенства
га_4(х) = га_3(х)^_2(х)+ г*_2(х)
выражаем rk_2(x), подставляем в (4) и аналогично
получаем
d (х) = rk_3 (х) и2 (х) + г4_4 (х) и2 (х),
где (х) и v2(x)— некоторые многочлены из R [х] и т. д.
до тех пор, пока не получим равенство
d (х) = /(х) uk_l (x) + g(x) vk_i (х).
Обозначая uk_l(x) = u(x) и (х)= v (х), имеем ра-
венство
d(x)=/(x)u(x) +g(x)u(x), где u(x), а(х)еД[х]. •
Теорема 3 (критерий взаимной простоты). Много-
члены f (х) u g (х) взаимно просты тогда и только
тогда, когда существуют такие многочлены и (х) и о (х)
из R [х], что
f(x)u(x) + g(x)v(x) = l.
Доказательство. Пусть многочлены f (х) и g (х)
взаимно просты. Тогда НОД(/(х), g (х))= 1 и равенство
/ (х) и (x) + g (х) v (х)= 1 (и(х), п(х)е/?[х]) выполняется
по теореме 2.
Предположим, что f (х) и (x) + g (х) v (х)= 1. Тогда,
учитывая свойство отношения делимости многочленов
(см. свойство 3 п. 28), заключаем, что каждый общий
делитель многочленов f(х) и g(x) является делителем
1 и поэтому имеет нулевую степень. Это означает, что
многочлены /(х) и g(x) взаимно просты. •
Если 4/(х) = НОД (/(х), g(x)), то представление d(x)
в виде d (x) = f (х) и (x)-|-g (х) v (х) называют линейным.
175
Рассмотрим пример нахождения линейного представ-
ления НОД для конкретных многочленов.
Пример 4. Найдем линейное представление НОД
многочленов
/ (х) = 2х4 + 3х3 — Зх* 2 — 5х + 2 и g(x) = 2x3 + x2— х—1.
Вначале, используя алгоритм Евклида, найдем
d (х)= НОД(/ (х), g(x)). Для нахождения линейного
представления d (х) используем неполные частные, по-
этому не допустим их искажения, которое может возник-
нуть, если домножать в процессе деления на постоянные
множители.
Разделим /(х) на g (х):
__2х4 + Зх3 — Зх2 — 5х + 2	2х3 + х2 — х — 1
2х4+ х3— х2— х х+1
_2х3-2х2-4х + 2
2х3 + х2 — х — 1
— Зх2 — Зх + 3
Таким образом: / (х) — g (х) q{ (х) + г! (х), где q{(x) =
= х-{-1, г1 (х)= — Зх2 —ЗхД-З.
Разделим g(x) на гДх):
2х3 + х2 — х — 1
'2х3 + 2х2 —2х
— X2 + X — 1
х2 —х+1
2х —2
— Зх2 — Зх + 3
2	. 1
3 х+з
2	1
Итак, g(x) = rl (х)72(х) + /-2(х), где q2 (х)= — у x+^-j
г2 (х) = 2х — 2.
Разделим ц (х) на г2(х):
__— Зх2 — Зх + 3 I 2х — 2
— 3х2 + 3х	3	о
-------------- л о
— 6х + 3	2
— 6х + 6
Следовательно, г1 (х) — г2(х) ^3(х) + г3(х), где q3(x) =
= —|х — 3, г3(х)=—3.
176
Так как г3(х)— многочлен нулевой степени, а на него
Делится любой другой многочлен, то остаток г4(х) = 0.
Таким образом, НОД f (х) и g(x) равен г3(х) или, как мы
условились для однозначности записи, d(x)=l =
= —-^г3(х), т. е. многочлены /(х) и g(x) взаимно
просты.
Для нахождения линейного представления НОД, ис-
пользуя для удобства краткость обозначений, запишем
полученную цепочку равенств алгоритма Евклида. В
данном случае:
f = g4i + rl,
g = rlq2 + r2,
ri = r2q3 + r3.
Выразим г3 из третьего равенства:
O = <i — f2q3,	(5)
затем г2— из второго. Получаем r2 = g — rrq2. Подста-
вим выражение значения г2 в равенство (5):
r3 = г! - (g — гj?2) q3 = г, (1 + q2q3} + g (— q3\
Наконец, в последнее равенство подставим выраже-
ние г, из первой строки алгоритма Евклида и получим
линейное представление г3. Так как r{ = f — gqlt то
Т< = (/ —£Д)(1+<Мз) + £(-'7з) =
=/(14- q2q3)+g(—qi—q^h—q3)-
_	...	r3(x)
Отсюда, учитывая, что а(х)=--------х-, получим
—— о
d{x) = f(x) и (x) + g(x) v (х), где и(х) = ^^^^-,
, ч <71(х) + ?1(х)'72(х)‘7з(х) + <7з(х)
v (*)=---------------------з----------•
После подстановки
<71(х) = х+1, 92(х)= —|-х4-|, 9з(х)=—|х —3,
получим, что
, х 2х2 + Зх , х 2х3 + 5х2 —6
н(х)=------ё---, v(x) =----6----.
(Проверьте самостоятельно.)
Отметим, что, используя критерий взаимной простоты
многочленов, можно установить также свойства много-
членов из R [х], аналогичные свойствам целых чисел.
177
Теорема 4. Справедливы следующие утверж-
дения:
1) если произведение А (х) А (х) делится на /3 (х)
и (х) взаимно прост с f3 (х), то f2 (х) делится на
h (х);
2) если fi(x) и f2(x) оба взаимно просты с g(x),
то их произведение /((х) f2(x) взаимно просто
с g (х).
Доказательство. Докажем утверждение 1). Так
как многочлены А (х) и /3(х) взаимно просты, то по
теореме 3 А (х) и (х) + /3(х) v (х) = 1 для некоторых мно-
гочленов и(х), и(х)ей[х]. Умножим обе части получен-
ного равенства на /2(х), получим:
/1 (х) /2 (х) и (х)+f2 (х) /3 (х) v (x)=f2 (х).
Так как /1 (х)/2 (х):/3 (х) по условию и, очевидно,
/2 (х) /з (х) v (х) • /3 (х), то по свойству 3 отношения делимо-
сти (см. п. 28) /2 (х) • /з (х).
Докажем утверждение 2). По теореме 3 существуют
такие многочлены щ (х), vt (х), u2(x), и2(х)е/?[х], что
A(x)uI(x) + g(x)t/1(x)=l и f2(x)u2(x) + g(x)v2(x)=l.
Перемножив почленно эти равенства, получим:
(А (х) Щ (x) + g (х) Vi (х)) (/2 (х) и2 (x) + g (х) v2 (х)) = 1.
или
(Л (х) /2 (х)) «1 (х) и2 (х)+£ (х) (А (х) щ (х) v2 (х) +
+ V\ (х) f2 (х) и2 (х)+ V, (х) g (х) v2 (х))= 1.
Итак,
(Л (х) /2 (х)) и (x) + g (х) v (х)= 1,
где и(х) = «1(х)ы2(х), о (х) = А (х) «1 (х) v2(x)+o! (х)Х
Х/2(х) и2 (х)-|-И1 (х) g (х) v2 (х) — многочлены из R [х]. Та-
ким образом, по критерию взаимной простоты многочле-
ны А(х)/2(х) и g(x) взаимно просты. •
Примечание 2. Как и для целых чисел, НОД нескольких
многочленов f2(x), .... А(х) может быть найден индуктивным
способом на основании следующей формулы:
НОД(Л(х), /2(х).fk-i(x), ft(x))=
= НОД (НОД (Л (X), .... А_!(х)), Л(х)).
178
Согласно этой формуле для нахождения НОД многочленов Д (х),
f,2(x), ..., /s(x), находят сначала d (х) = НОД (/, (х), /2 (х)), затем
й,(х) = НОД(й(х), /3(х)) и т. д. ^_!(х)=НОД(^_2(х), Л(х)).
Как и для целых чисел, для многочленов из R [х]
вводится понятие наименьшего общего кратного много-
членов:
наименьшим общим кратным (НОК) многочленов
/, (х), /2 (*)> •••» fk (х) называется такой многочлен
ф (х)е/?[х], который обладает следующими свойствами:
1) ф (х) делится на каждый из многочленов Д (х),
f2 (х), fk (х), т. е. является их общим кратным;
2) любое общее кратное многочленов (х), /2 (*)>
fk(x) делится на ф (х).
Как и НОД, НОК многочленов определяется с точно-
стью до многочленов нулевой степени. Поэтому усло-
вимся, что если ф(х) НОК многочленов Д (х), f2(x), ...,
Д(х), то его старший коэффициент равен 1. В этом
случае ф(х) определяется однозначно и можем записы-
вать по аналогии с НОК целых чисел: ф(х) = НОК(Л (х)>
/2 U). •••, /*(*))» или просто ф = НОК(/„ f2, •••. ft)-
Для нахождения НОК двух многочленов /(х) и g(x),
как и для целых чисел, используется формула
НОК(/(х), g(x)) = c—,
НОД(/(х), g(x))
где с — некоторое действительное число, отличное от
нуля.
Пример 5. Найдем НОК многочленов
/(х) = 2х3 + х —3 и g(x) = x2 + x —2.
Вначале при помощи алгоритма Евклида найдем
</(х)=НОД(/(х), g(x)).
__2х3+ х —3 I х2 + х—-2
2х3 + 2х2 —4х	I 2х —2
— 2х2-{-5х—3
j	—2Х2 —2x4-4
7х —7
_х2 4- х — 2 х— 1
х?— х х-{-2
2х — 2
“2х-2
О
179
Итак, d(x) = x — 1. Но тогда, используя формулу,
доказанную в примечании 2, имеем:
НОК(/(х), g(x))=^^
и\л)
g(x) _
d(x)
= (2х3 + х —3) (х + 2) = 2х4 + 4х3 + х2 —х —6.

Упражнения
343.	Найдите НОД многочленов:
а)	х2—!, х4—1, х3 —х2 + х—1 и х3 + х2 + х+1;
б)	у3 — 6у2 + Пу — 6, у3 —9у2 + 26у —24 и у3 —8у2 +
4- 19у —12;
в)	г2+ 1, г3- 1 и z4 + z2+l.
344.	Найдите НОД многочленов:
а)	х34-Зх2 + 4х+12 и х3 + 4х2 + 4x4-3;
б)	У4- 7у3 + 8у2 + 28у- 48 и у3 + 2у*- 29у + 42;
в)	z4 —3z —4, z4 —z3 —z2 —z —2 и z —3z3 + 3z2 —
— 3z + 2.
345.	Найдите НОД многочленов /(х) и g(x) и его
линейное представление для многочленов:
а)/(х) = х3 —х2 —4х —6 и g (х) = х3 + х2 — 10х — 6;
б)	/(х) = х4 + х3 —Зх2 —6х —3 и g(x) = x3 + 2x2 +
-4-12x4-1;
в)	/ (х) = х5 —х4 + х3 — х2 + 2х —2 и g(x) = x5—Г,
г)	f (х) = х6—х4 + 3х3 — 2х + 2 и g(x) = x3 + 2.
346.	Найдите НОД и НОК многочленов f (х) и g(x):
а)	/(х) = х3(х + 1 )2(х — 2)(х — 1), g(x) = x3(x +
+1) (х+3);
б)	/(х) = (х—1)(х + 2)2(х —3), g(x) = x2 + x — 6.
31*. ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ПРИ ПОМОЩИ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА
Ранее вы уже знакомились с некоторыми простыми
задачами освобождения от иррациональности в знамена-
телях дробей. Например, чтобы избавиться от иррацио-
нальности в знаменателе дроби мы умножали ее
числитель и знаменатель на "\^"+1 и получали —- =
=~\]2 + 1. В этом параграфе, используя теорию многочле-
180
нов, мы рассмотрим постановку и решение такой задачи
на множестве R с общих позиций.
Пусть /? — множество всех действительных чисел
и Q — множество всех рациональных чисел.
Определение. Многочлен р(х) положительной
степени называется неприводимым над R (над Q), если
р(х) не может быть разложен в произведение двух много-
членов меньшей положительной степени с действитель-
ными коэффициентами (рациональными коэффициен-
тами).
Пример 1. а) Многочлены х2-]-1, х2-|-х+1 непри-
водимы над R и, следовательно, над Q, так как они не
имеют действительных корней;
б) многочлен х2 — 2 неприводим над Q, но не является
неприводимым над R, так как х2 —2 = (х + д/2)(х-Д/2)-
Пусть р(х) неприводимый многочлен степени n^s
^2 над Q, а /(х) и g (х) многочлены над Q, причем а не
является корнем многочлена g (х), т. е. g-(a)#=0. По-
становка задачи освобождения от иррациональности
в знаменателе состоит в следующем: требуется преобра-
зовать дробно-рациональное выражение таким об-
разом, чтобы оно оказалось равным целому рациональ-
ному выражению от а с рациональными коэффициента-
ми, т. е.
/(а) =
h (а),
где h (х) — некоторый многочлен над Q.
Рассмотрим один из способов решения указанной
задачи.
Покажем вначале, что взятые ранее (см. постановку
задачи) многочлены р (х) и g(x) взаимно просты. Пред-
положим (от противного), что это не так. Так как
р(х) — неприводим над Q, то тогда g(x)-p(x) и
поэтому
g(x) = p(x)<7(x), где q(x)<=Q[x].
Полагая в последнем равенстве х = а, получаем
g (а)=р (a) q (а)=0-q (а)=0,
т. е. а — корень многочлена g (х), что противоречит
условию g(a)=/=0 в постановке задачи.
Так как р(х) и g (х) взаимно просты, то существуют
181
такие многочлены u(x) и v (х) над Q, что справедливо
равенство
g(x)tz(x) + p(x)u(x)=l.	(1)
Положим в (1) х = а. Тогда
g(a) u(a)=l,	(2)
так как a — корень многочлена р(х).
Теперь, используя (2), преобразуем дробь
где й(х)е(?[х].
Пример. Освободимся от алгебраической иррацио-
нальности в знаменателе дроби:
1
^/4"Ч-2 Л/2~— 1
Исходя из условия задачи, замечаем, что число
3 __
а=д/2^ является корнем многочлена /?(х)=х3 —2, непри-
3_ ЗА-
ВОДИМОГО над Q; знаменатель дроби у4 -|-2 у2 — 1 явля-
ется значением многочлена g(x) = x2-f-2x—1 при
3/_
х=у2. Итак, имеем дробь
J ч, где g(x) = x2 + 2x— 1.
«(w)
Так как многочлены р(х) и g(x) взаимно просты, то для
них существует такая пара многочленов м(х) и v (х) над
Q, что
g(x)u(x)+p(x)D(x) = cf,
где d — некоторое рациональное число.
Для отыскания многочленов и(х) и v(x) применим
к многочленам g(x) и р(х) алгоритм Евклида. Разделим
с остатком р (х) на g (х):
_х3—2	I х2 + 2х-1
х3 — 2Х2 — х	I х —2
— 2х? + х —2
~-2х2-4х + 2
5х—4
182
Итак, p(x) = g(x)?1(x)4-r1(x), где ql(x) = x — 2,
Г( (х) = 5х — 4.
Разделим теперь g(x) на
И (x):
2	4
ь
*4	1
Vх-1
—14	56
~5Х	25
31
25
5х —4
1	~14
5 Х“*~25
Итак, g(x) = rl(x)q2(x) + r2(x), где q2(x) = -^x+
1 14	/ ч 31
+ 25> г2(х) 25-
Так как Л(х):г2(х), то г3(х) = 0. Найдем линейное
представление г2(х). Так как
r2(x) = g(x) — rl(x)q2(x) и rl(x) = p(x) — g(x)ql(x),
то
г2 (X) = g (х) - р (х) q2 (х) 4- g (х) qx (х) q2 (х).
Следовательно,
Р (х) (— q2 (х)) + g (х) (1 -J-q 1 (х)• q2 (х)) =
3 __
Положим в последнем равенстве х=\2. Тогда
g (^2 ) (1 4- qx (д/2 ) q2
Итак, если умножить знаменатель дроби на число
d=l+qi№) •^(д/г), т0 получим рациональное число
31 п
—. Поэтому умножим числитель и знаменатель данной
дроби на число d. Вначале вычислим число d:
28
25
3
3
183
Следовательно,
4^)=i(5A/4 4-4A/2-3), поэтому
,	-к^-нд/Г-з)
^4- + 2Д/2-1	-Ц
=^-(5Л/4+4Л/2-з).
Упражнения
347.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
а)
б)
в)
г)
2
уу’
1
Vs ’
1
2+V3 ’
3
у/З-2’
1
1+Л/5’+Л/25’
ж) -т=-—=;
\2+V3+W
l+V^'+V2’
348.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
а)-——; в)	;
VP+V4	VP - V<7
1 \ 1
4	4	’ Г) 6	6	’
VP — V4	\Р + V4
349.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
. 4+2У5 .	\ л/25~+л/5~—2 .
а)	W+V2+1 ;	В) fa+2^-1 :
3VU1	1
б)	4--4---; г) ------з----5— •
Ve'+W+l	1+'\^’+2'\/4
184
* * *
350. Найдите значение функции
tч х+1	. х— 1	2 уз
/(*) =-И---------лГ-2- при х=—д-
х+\х^ + х	х—\х? + х	3
352. Докажите тождество:
если а>0, 6>0, О О, х>0.
353. Докажите, что число
ется корнем уравнения х3 + 6х—10 = 0.
2
з--------явля-
д/б'+д/зз'
354. Докажите, что
ется корнем уравнения
31---- 1
число y\/F — 1 — q	— явля-
W-i
х3 + Зх + 2 = 0.
32. ТЕОРЕМА БЕЗУ. СХЕМА ГОРНЕРА
Изучим подробнее один из частных случаев деления
с остатком —деление многочлена f (х) на двучлен х — с,
где с — любое действительное число.
185
Пусть /(х) = аохп + а1хл“' + ... +a„_!x + an произволь-
ный многочлен с действительными коэффициентами. За-
меним в нем переменную х каким-нибудь действитель-
ным числом с. Получим действительное число d следую-
щего вида:
й = айсп + а1сп~х + ... +an_lc-j-a„.
Это число d называют значением многочлена f (х) при
значении переменной х — с и обозначают через / (с).
Исходя из определения равенства двух многочленов
/(х) и g(x), легко заключить, что если /(x) = g(x), то
f (c) = g (с) для любого действительного числа с.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена
f (х) на двучлен х — с равен значению f (х) при х = с.
Доказательство. Разделим / (х) на х — с. По
теореме о делении с остатком получим остаток г и част-
ное q (х). Так как делитель является многочленом первой
степени, то остаток будет многочленом нулевой степени
или нулем. Таким образом,
/(х) = (х —с)?(х) + г,	(1)
где г — действительное число.
Как уже отмечалось, если многочлены равны, то и их
значения равны при любом значении неизвестного
х. В частности, при х = с получим из (1) верное равенство:
f (с) = (с — c)q(c) + r, т. е. f(c) = r. •
Деление многочлена на двучлен удобно производить
при помощи способа, который называют способом
Горнера. Рассмотрим сущность этого способа по-
дробнее.
Пусть дан многочлен
f (x) = aox''-j-a1xn-1+ ... +a„_ix + a„
степени га^1. Разделив его на двучлен х—с, получим
равенство
7(х)==(х —с)?(х)4-г.
Тогда, в силу свойств степеней, многочлен q(x) имеет
степень га—1, т. е.
q(x) = boxn~l + blxn~2 + ... +bn_2x + bn_l.
Таким образом,
айх" + а^-1 +•... + ап_ {х -ф ап =
=(х — с)(&ох" * + М“ +-..4Л-2*+^»-!)+г-
1S6
Выполняя действия над многочленами в правой части
равенства, получаем:
аохп-)-а1хп 1 + • •• + an—iX + ап = boxn + (^i — cb0)xn 1 4*
+ (fe2 — cbx) хп 2 + ... +(6n_i — cbn_2) х + (г— cbn_l).
Но два многочлена равны тогда и только тогда, когда
равны коэффициенты при одинаковых степенях перемен-
ной х. Следовательно, a0 = bQ, ax = bx— cb0, а2 = Ь2— cblt
..., an_l = bn_l — cbn_2, an = r — cbn_x.
Теперь мы можем выразить коэффициенты частного
q (х) и остатка г через коэффициенты многочленов
/(х) и с: 6о==«о> bx = ax + cba, b2 = a2 + cbx,	bn_x =
= й„_1 + с6я_2, r = a„ + cbn_l.
Вычисление коэффициентов b0, Ьх, ..., Ьп_х, частного
и остатка г на практике удобно располагать в виде
следующей таблицы, которую называют схемой
Горнера.
	«0	«1	а2	«3		ап-1	а„
С	«0	cb0 + ax	cbx -|- а2	cb2-\-a3		сЬп_2 + ап_х	cbn_x + an = r
В верхней строке таблицы выписывают один за дру-
гим все коэффициенты многочлена f (х), а во второй
строке слева — число с. Коэффициенты частного и оста-
ток от деления /(х) на х — с вычисляются и записыва-
ются последовательно во второй строке.
Таким образом, все коэффициенты частного, начиная
с blt вычисляются по одному и тому же правилу: чтобы
получить какой-либо коэффициент частного Ь^ доста-
точно предыдущий коэффициент частного bk_x умножить
на с и прибавить соответствующий (т. е. с тем же индек-
сом) коэффициент делимого. Чтобы получить остаток г,
достаточно умножить последний коэффициент (свобод-
ный член) частного на с и прибавить свободный член
делимого.
Пример 1. Разделим многочлен Зх4 + 2х3— бх2-!-
-]-х — 7 на х—2, используя схему Горнера:
	3	2	— 6	1	— 7
2	3	2-34-2 = 8	2-8+(-6)=10	2.104-1=21	2-21 4-(-7) = = 35
187
Таким образом, частное q (х) = Зх34-8х24- 10x4-21
и остаток г = 35.
Пример 2. Разделим /(х) = х5 —х44~3х2 — 6x4-4
на х4-1. Выполняя вычисления по схеме Горнера,
получим:
	1	-1	0	3	-6	4
— 1	1	— 2	2	1	— 7	И
Итак, частное ^(х) = х4 — 2х34-2х24-•*: — 7 и остаток
r = f(- 1)= 11.
Упражнения
355.	Пользуясь схемой Горнера, разделите многочлен
f (х) на двучлен (х — а):
а)	/(х) = х4 —8х34-24х2 —50x4-9, а = 2;
б)	/(х) = х44-2х3 —Зх2 —4x4-1, а= — 1;
в)	7(х) = 4х34~32 —х5 —8х2, а= — 2;
г)	f (х) = 2х2 — Зх3 — х4~х54- 1, а— — 1;
д)	f\x)=3x$, а = 3.
356.	Разложите многочлен f (х) по степеням двучлена
(х-с):
а)	/(х) = х44-2х3 — 7х24~Зх— 1, с = 2;
б)	/(х) = 2х54-х24- 1, с=—3;
в)	/(х) = х54-7х44~ 16х34~8х2— 16х— 16, с=—2.
357.	Разложите на простейшие дроби:
х34-2х—3.	2Х2 —5x4-1.	х44-х-Н
а) (х+3)4 ’	’	(х-2)5 ’ В} (х-Ь5)6 •
358.	Расположите многочлен по степеням х:
а)	(х4-3)4-3(х4-3)34-5(х + 3)-2;
б)	2 (х-3)6 + 7(х-3)54-(х-З)4-5(х —3)24-4.
359.	Вычислите /(3), если / (х) = 4х5 — 7х44-5х3 —
-2x4-1-
360.	Вычислите значение многочлена
f (х) = 3х4 — 5х34~7х2 — х4-6
при х = 2,95; х = 3,2; х = 4,99; х = 5,02.
188
361.	Разложите на множители:
' а) /(х) = ((х + 2)(х + 4))2-5(х + 2)(х + 4) + 6;
б) /(х) = (х2 + Зх+1)(х2 + Зх + 2)-6;
в) /(х) = (х+1)(Зх + 2)(12х-1)(4х4-1)-4.
362.	Найдите остаток от деления многочлена
х3 — Зх2 + 6х —5 на х —2.
363.	Найдите остаток от деления многочлена
32х4 — 64х3 + 8х2 + 36х + 4 на 2х—1.
364.	При каком значении а многочлен
/ (х) = х4 + ах1 + Зх2 — 4х — 4
делится без остатка на х — 2?
365.	При каких значениях а и b многочлен
h (х) = ах3 + 6х2 —73х+ 102
делится без остатка на трехчлен х2 — 5x4-6?
366.	При каких значениях а и b многочлен
g (х)=х44-а*3—9х24- 1.1x4-^
делится без остатка на трехчлен х2 — 2x4-1?
367.	При каком значении а многочлен /(х) = х54-32
делится без остатка на g (х) = х4-а?
368.	При каких значениях а и b многочлен /(х) = х44-
4-х34-Зх24~а*4-4 делится без остатка на трехчлен g(x) =
— х2— x-\-b?
369.	Многочлен f (х) делится без остатка на х4~1>
а при делении на х2 — Зх дает в остатке 7х—1. Найдите
остаток от деления многочлена f (х) на х3—2х2—Зх.
370.	Докажите, что при любом натуральном га:
а)	32л+2— 2"+1 делится на 7;
б)	34я+4 — 43л+3 делится на 17;
в)	33'l+24- 5 ’ 23n+1 делится на 19;
г) 32'4-2_|-26'i+1 делится на 11;
д) 52я+‘ 4-2л+44-2',+1 делится на 23.
371.	Докажите, что многочлен
пхл+1-(га-1)хл-1
делится без остатка на х—1 при любом натуральном п.
189
372.	Многочлен / (х) — апх"-\-... -f-ajX-4-Ло при деле-
нии на (х — а) дает в остатке а2, при делении на (х — Ь) —
число Ь2, а при делении на (х— с) — число с2. Найдите
остаток от деления многочлена f (х) на (х — а)(х —
— 6)(х — с), где а, Ь, с попарно не равные между собой
числа.
33. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА
Рассмотрим случай, когда многочлен f (х) делится на
двучлен х — с. Этот случай связан с понятием корня
многочлена.
Определение. Корнем многочлена f (х) из 7?[х]
называется такое значение а переменной х, при котором
значение многочлена равно нулю, т. е. —
Теорема 1. Действительное число а является
корнем многочлена f (х) тогда и только тогда, когда
f (х) делится на х — а.
Доказательство. Если /(х) делится на х — а, то
остаток г = 0. Но по теореме Безу f(a) = r. Следователь-
но, /(а) = 0 и число а — корень многочлена /(х).
Обратно, если а — корень многочлена /(х), то /(а) =
= 0. По теореме Безу г = /(а), где г — остаток от деле-
ния многочлена / (х) на двучлен х — а. Следовательно,
г = 0, и поэтому /(х) делится на х — а. •
Пример 1. Выясним, являются ли корнями много-
члена f (х) = 2х4 + Зх3 — 4х2 + 2х—3 числа 1 и 2.
Найдем /(1) и /(2) или выясним, делится ли много-
член на х—1 и х — 2. Воспользуемся схемой Горнера,
причем деление на х—1 и х —2 рассмотрим в одной
таблице:
	2	3	— 4	2	— 3
1	2	5	1	3	0
2	2	7	10	22	41
Итак, /(1) = 0 и /(2) = 41. Следовательно, число 1 —
корень многочлена f (х), а число 2 не является корнем
этого многочлена. По доказанной теореме f(х): (х—1)
и /(х):(х —2). Исходя из. данных таблицы, мы
можем записать также разложение многочлена f (х) на
множители:
/(х)=(х-1)(2х3 + 5х2 + х + 3).
190
Примечание 1. Иногда вместо «корень многочлена» говорят
«корень алгебраического уравнения n-й степени с действительными
коэффициентами», т. е. уравнения вида
аох’ + а1хя~’ + ...+а„=О,	(1)
где а0, ah .ап — действительные числа. При этом под корнем уравне-
ния (1) подразумевают корень многочлена
f (х) = аох"-\-atxn~l ф... фа„,
который является левой частью уравнения (1). Однако знак равенства
в записи уравнения (1) нельзя понимать как знак равенства многочле-
нов, здесь под неизвестным х подразумевают любой из корней много-
члена /(х).
Определение. Пусть k^N. Число а называется
6-кратным корнем многочлена / (х) е/? [х], если / (х) де-
лится на многочлен (х — a)k, но не делится на многочлен
(х — а)к+1.
Если 6=1, то корень а многочлена /(х) называется
корнем кратности 1 или простым корнем.
Пример 2. Найдем кратность корня х=1 много-
члена
/(х) = х5-2х4 + х3 + х2-2х+1.
Найдем наибольшую степень многочлена х—1, на
которую делится / (х). Для этого можно делить много-
член /(х) на многочлены х— 1, (х— I)2, (х— I)3, ... до тех
пор, пока не получится отличный от нуля остаток. Одна-
ко мы, используя схему Горнера, поступим иначе: разде-
лим /(х) на х—1, затем полученное частное q{ (х) разде-
лим на х — 1 и т. д. до тех пор, пока не получим частное
qk(x), которое не делится на х— 1. Тогда кратность корня
будет равна 6, так как
/(х) = (х — 1) (х) = (х — 1 )2 <у2(х) = ... =(х— 1)* qk(x).
Весь процесс решения мы запишем в виде таблицы:
	1	-2	1	1	—2	1
1	1	—2	0	1	— 1	0
1	1	0	0	1	0	
1	1	1	1	2		
Итак, /(х)=(х — 1)2(х3-|- 1) и кратность корня много-
члена /(х) равна 2.
191
Возникает вопрос, сколько корней может иметь мно-
гочлен / (х)е/?[х]. Ответ дает следующая теорема.
Теорема 2. Число корней многочлена f (х) e^R [х]
не превосходит степени п этого многочлена, если каж-
дый корень считать столько раз, какова его крат-
ность.
Доказательство. Если степень многочлена /(х)
равна нулю, то он не имеет корней (число корней равно
нулю).
Предположим, что степень многочлена f (х) равна
п (д>1). Пусть (от противного) /(х) имеет более п кор-
ней. Тогда по теореме 1 / (х) разлагается в произведе-
ние множителей:
f(x)=(x-aj\x-a2)4..(x-a/'g(x).	(2)
Так как число корней многочлена f (х) больше п, если
каждый из них считать столько раз, какова его крат-
ность, то -I-&2 +• • • -\-kt>n. Но тогда из (2) получаем
по теореме из п. 27, что степень многочлена f (х) больше
п, что невозможно, так как по условию степень многочле-
на / (х) равна п.
Следствие 1. Если степени многочленов f (х) и
g (х) не превосходят п и многочлены принимают одина-
ковые значения более, чем при п различных значениях
переменной х, то f (x) = g(x).
Доказательство. Предположим (от противного),
что f (x)^=g(x). Составим многочлен /г(х) = /(х) — g(x).
В силу теоремы из п. 27 степень многочлена h (х) не
превосходит п. Следовательно, по теореме 2 он имеет не
более п корней. Но по условию Л(х) имеет более п кор-
ней. Получили противоречие. Следовательно, /г(х) =
= 0 и поэтому f (x) — g(x). •
Следствие 2. Если многочлены f (х) и g(x) из
R [х] принимают равные значения при любых действитель-
ных значениях переменной х, то они равны.
Следствие 2 следует из следствия 1.
Таким образом, исходя из указанного ранее (см. п.
27) и следствия 2, мы можем определить функциональ-
ное равенство многочленов:
два многочлена f (х) и g (х) из R [х] равны тогда
и только тогда, когда для любого действительного зна-
чения х их значения равны.
Кроме того, в п. 27 мы определили равенство много-
членов f (х) и g(x) с алгебрической точки зрения:
многочлены f (х) и g(x) равны тогда и только тогда,
192
когда равны их степени и равны их коэффициенты при
одинаковых степенях переменной.
Сказанное позволяет сделать вывод о том, что поня-
тия функционального и алгебраического равенства мно-
гочленов с действительными коэффициентами эквива-
лентны. Поэтому многочлены из R [х] можно рассматри-
вать так же, как функции действительной переменной х.
Упражнения
373.	Докажите, что многочлен с положительными ко-
эффициентами не может иметь положительных корней.
374.	Докажите, что число 1 является корнем много-
члена тогда и только тогда, когда сумма его коэффици-
ентов равна нулю.
375.	Докажите, что число — 1 является корнем мно-
гочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффи-
циентов, стоящих на четных местах, равна сумме ко-
эффициентов, стоящих на нечетных местах.
376.	Пользуясь схемой Горнера, проверьте, является
ли корнем многочлена f (х) число а:
а)	/(х) = х4 —Зх3-{-5х —3, а——3;
б)	/(х)=х5 + 2х4-7х3-Зх2+12х-20, а=-2, а = 2;
в) /(х) = х6 + 7х5-6х3 + 5х-9, а = 3.
377.	Найдите кратность k корня а многочлена f(x):
а)	/(х) = х4 — бх3+ Юх2 — 6x-f-9, а = 3;
б)	/(х) = х5 + 6х4+11х3Ч-2х2-12х-8, а=—2;
в)	/(х) = х5 —5х4-|-7х3 —2х2+4х —8, а = 2;
г)	/(х) = х5 + 7х4-|- 16х3-|-8х2— 16х — 16, а= — 2.
378.	Многочлен /(х)=2х34-х2-}-ах4-/> при делении
на х +1 дает остаток 18, а на х—2 делится без остатка.
Найдите корни многочлена.
379.	Многочлен f (х) = х3-|- ax2-f- bx-j-c при делении
на х4~1 и на х-}-2 дает остаток 12. Один из корней
многочлена / (х) равен 1. Найдите остальные корни
многочлена.
380.	Число 1+V3 является корнем многочлена х4-|-
+ ах3 + bx2-f-6х + 2. Найдите а и Ь, если известно, что
они рациональные числа.
7 Алгебра, 10 кл.
193
34. ФОРМУЛЫ ВИЕТА
Из курса алгебры 8-го класса нам уже известна
связь коэффициентов квадратного трехчлена с его корня-
ми (формулы Виета). Оказывается, что связь между
корнями и коэффициентами можно установить и в общем
случае для многочленов степени и>2 из [лс].
Пусть многочлен / (х) с действительными коэффици-
ентами имеет степень п и п корней (с учетом их кратно-
стей, т. е. каждый корень считается столько раз, какова
его кратность). Тогда его коэффициенты могут быть
выражены через корни и старший коэффициент по так
называемым формулам Виета.
Обобщенная теорема Виета. Пусть f (х) =
= OqX"+а^~1 +... + а„_ । х+а„ — многочлен степени п из
я И и х{, х2, х„ — его корни, причем каждый из них
повторен столько раз, какова его кратность. Тогда ко-
эффициент ak(k^{\, 2, ..., п}) равен произведению
(— 1 )* а0 на сумму всевозможных произведений по
k элементов из х(, х2, ..., хп, т. е. справедливы фор-
мулы:
«1= —«о (xt+x2 + ... +*„),
а2 = а0 .(х^гЧ-х.Хз-Ь... +x„_txj,
ая ==(-!)" ао*.*2-*я-
Доказательство. Используя теорему 1 из п. 33,
мы можем многочлен f (х) представить в виде:
f(x) = a0(x—x])(x — x2)... (х — х„).	(2)
Отметим, что числа xh х2, ..., хп не обязательно различ-
ны: каждый корень многочлена f (х) встречается в после-
довательности Ху х2, ..., хп столько раз, какова его
кратность. Следовательно, столько же раз повторяется
и линейный множитель в правой части равенства (2).
Выполним теперь умножение многочленов правой ча-
сти равенства (2), используя дистрибутивный закон
(см. утверждение 3 теоремы из п. 26). После приведе-
ния подобных членов мы получаем равенство много-
членов:
(IqX71 -f- а txn ' -|- а2хп 2 -I-... -f- а
= аохп — ao(xi+x2 + ... +x„)xn~i + a0(xlx2 + xix3 + ... +
+ xn-ixn)xn 2 + ...+( — l)n a0xix2...xn.
194
Но если два многочлена равны, то их коэффициенты
при одинаковых степенях переменной совпадают. Следо-
вательно,
ai=—a0(xl + x2 + ...+xn),
а2 = а0 (х,х2 + х,х3 +... + х„_ ,х„),
а„=(—1)"
В правых частях полученных равенств стоят всевоз-
можные произведения корней по одному, по два и т. д.
Итак, формулы (1) верны. •
Следствие 1. Если f (х) — хп-]-а1хп~1-$-а2хп~2-1-
4-а„ — многочлен из R [х] и xlt х2, ..., х„— его
корни, то имеют место формулы:
Х1 + х2+---+*я=— at,
Х1Х2 + Х1Х3 + -.. + Хл_1Х„ = О2>	(3)
х1х2...хл = ( — \)пал.
Доказательство. Из формул Виета (1) мы полу-
чаем формулы Виета в виде:
+	+*я= —
«о
х1х2 + х1х3 + ...+хл_1хл=^,	(4)
«о
х1х2...хп = (-\)''^. •
«о
Теперь, полагая в (4) а0=1, получаем формулы (3).
В частности, из следствия 1 имеем теорему Виета.
Теорема Виета. Если х, и х2— корни приве-
денного квадратного уравнения
x2+px-\-q = Q (р, qe=R),
то их сумма равна второму коэффициенту с противо-
положным знаком, а произведение свободному чле-
ну, т. е.
*i + *2=— Р, xtx2 = q.
Пример 1. Известно, что многочлен
/ (х) = х4 —4х34-Зх—1
195
имеет четыре действительных корня хь х2, *з> *<• Запи-
шем для него формулы Виета:
х14-х24-х34-х4=4,
Х]Х2 + XjX3 4- XjX4 + *2*3 + *2*4 + *3*4 = 0.
*1*2*3 + *1*2*4 + *2*3*4 + *1*3*4 = ~ 3,
х1х2х3х4 = — 1.
Пример 2. Вычислим сумму квадратов корней мно-
гочлена / (х) из примера 1.
Так как xt + х2 4- х3 + х4 = 4, то (Xj4-х24-х34-х4)2 =
= 16. Следовательно,
*1 4" *2 4" *3 4" *4 4"
-f- 2 (Х|Х2 4- *1*3 4- *1*4 4- *2 *3 4- *2*4 4- *3*4) = 16.
Но по формулам Виета для /(*):
*1*2 4" *1*3 4- *1*4 4- *2*3 4- *2*4 4- *3*4 =
Следовательно,
*14“*24_*з4_*4=16.
Используя теорему Виета, легко показать, что если
X), х2, х„ действительные корни многочлена
/(х) = хя4-а1хп-14-... +а„
из U[x], то их сумма квадратов
*? 4- 4 4-... + *2 = а2 — 2 а2.
(Докажите самостоятельно.)
Пример 3. Определим а, b и с так, чтобы они были
действительными корнями многочлена
/ (х)=х3 — ах24-^х — с.
По теореме Виета получаем систему уравнений отно-
сительно неизвестных а, b и с:
а + Ь + с = а,
ab 4- ас 4- Ьс = Ь,
abc — c
Возможны два случая:
1) 6 = 0. Тогда с = 0, а — любое действительное число
и /(х) = х3 —ах2.
2) 6=j40. Тогда из первого уравнения с=^=0. Разделим
почленно второе уравнение на Ь, третье на с. Имеем:
196
(7> + с = 0д	/а= — 1Д
с=1,	|о( + =-1,1
ab=\ /	\(с=1	/
Следовательно, искомый многочлен в данном случае:
/(х) = х3 + х2-х-1.
Пример 4. Найдем многочлен /(х)е^[х] со стар-
шим коэффициентом 3, имеющий простые корни 1 и
— 1 и двукратный корень 5.
Искомый многочлен представим в виде
/ (х) = 3 (х4 + а{х2 + а2х2 + а3х + а4).
По формуле Виета
tij = —(+ + х2 + х3 + -Ч) — —(1 — 1+5 + 5) = — 10;
а2 = х,х2 + х^з + х,х4 + х2х3 4- х3х4 + х2х4 =
= -1+5 + 5-5 + 25-5 = 24;
Д3 = — (XjX2X3 + Х[Х2Х4 + Х2Х3Х4 + Х|Х3Х4) =
= -(-5-5-25 + 25)= 10;
а4 = Х|Х2х3х4= —25.
Таким образом,
/ (х) = 3 (х4—10х3 + 24х2+10х —25) =
= Зх4 - ЗОх3 + 72Х2 + ЗОх - 75.
Примечание. Все утверждения, доказанные для многочленов
из R [я], справедливы и для множества многочленов из Qfx|.
Упражнения
381.	Пусть хь х2, х3 — корни многочлена х3 + 2х2 —
— х — 5. Вычислите:
a)	S1 = x,+x2+x3; г) S4 = x? + 4 + х£
б)	S2 = x,x2 + x1x3 + x2x3; д) S5=—+— + —;
в)	S3 = X!X2x3;	е) S6=xj + x| + x| —ЗХ|Х2х3.
382.	Дан многочлен х3рх2qx-\-г. Запишите мно-
гочлен, корни которого являются квадратами корней
данного многочлена.
383.	Пусть хь х2, х3 — корни многочлена х3 —2х + 5.
Составьте многочлен, корнями которого были бы числа:
1	1 1
d. —	Дп — , da — п 1 ’ .
*2*3	*3*1	*1*2
384.	Найдите сумму квадратов и сумму кубов корней
многочлена •2х3 — 2х2+4х—1.
197
35*. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Обратимся к более детальному изучению подмно-
жеств множества многочленов из R [х], а именно, изучим
многочлены из множеств QW(Z[x]), т. е. многочлены от
переменной х с рациональными (целыми) коэффициента-
ми. Это связано с задачей нахождения рациональных
корней многочлена с целыми коэффициентами.
Пусть f(x) = aoxn4-aIxn~l + ... + ал — многочлен сте-
пени с рациональными коэффициентами. Если п =
= 1, то задача отыскания рациональных корней много-
члена f (х) решается просто: достаточно решить линейное
уравнение t^x 4-04 = 0 и мы получим рациональный ко-
рень х=——. Поэтому в дальнейшем мы будем предпо-
“о
лагать, что многочлен /(х) имеет степень л>1. Легко
видеть, что всякий многочлен <р (х), коэффициенты кото-
рого рациональные числа, может быть представлен
в виде у/(х), где f (х)— многочлен с целыми коэффици-
ентами, aeZ, beN. Поэтому нам достаточно научиться
находить рациональные корни многочлена /(х), так как
у многочленов <р(х) и f (х) одни и те же корни. Итак,
в дальнейшем пусть / (х)— многочлен с целыми коэффи-
циентами, т. е. [ (x)eZ[x],
Способ нахождения рациональных корней основан на
следующей теореме.
Теорема 1. Пусть f (x)eZ |х]. Если несократи-
мая дробь (реZ, qeN) является корнем многочлена
f (х), то q является делителем старшего коэффициента
этого многочлена, а р — делителем его свободного
члена.
Доказательство. Пусть / (х) = аохл4-а1хя-1+
+ ...-}-ап — многочлен с целыми коэффициентами. До-
кажем, что aa-q и ап'.р. Так как корень многочлена
/(х), то справедливо равенство
«о + «I	+ • • • + а"-1 f+а" = °-
Умножим обе части полученного равенства на qn.
Тогда
аоР" + atp"~'q + ...-f- ап_ }pqn~' + anqn = 0.
198
Отсюда получаем равенства
аоРп—~ q(alpn~l-[-...+an_{pqn-2 + anqn-')	(1)
и
ап<7"= - р(аоРп~1 + Л1Рл~2? + ---+ал-1?п~1)-	(2)
Правая часть равенства (1) делится на q. Следова-
тельно, a.Qpn'.q. Но числа р и q взаимно просты и поэтому
взаимно просты числа рп и q. Итак, aQpn\q и НОД (рп,
q)=\. Следовательно, по свойству взаимно простых чи-
сел а0 • q.
Доказательство того, что а„: р, производится анало-
гично с использованием равенства (2). (Проверьте это
самостоятельно.) •
Следствие 1. Целый корень многочлена с целыми
коэффициентами является делителем свободного члена.
Доказательство. Пусть
f(x) = aoxa + alxn~i + ...+an и f(x)e=Z[x].
Если р — целый корень многочлена /(х), то его можно
представить в виде у = Р и тогда по теореме 1 ап :р. •
Следствие 2. Многочлен f (х)=х" + а 1хл~1 + ... +ап
со старшим коэффициентом, равным единице, и с целыми
коэффициентами ах, ап может иметь в качестве
рациональных корней только целые числа.
Доказательство. По теореме 1 знаменатель ра-
ционального корня -^(q^N) является делителем стар-
шего коэффициента, т. е. единицы. Следовательно, q =
= 1 и поэтому число ~~Р целое. •
Так как каждое целое число, отличное от нуля, имеет
конечное число делителей, то теорема 1 позволяет путем
конечного числа испытаний дробей ^(q^N) с числите-
лем р, делящим свободный член, и со знаменателем q,
делящим старший коэффициент, найти все рациональ-
ные корни многочлена / (х) или убедиться, что таких
корней многочлен f (х) не имеет.
Однако на практике число таких испытаний можно
значительно сократить. Для этого докажем следующие
теоремы.
Теорема 2. Частное от деления многочлена f (х) с
целыми коэффициентами на двучлен х — с, где c^Z,
является также многочленом с целыми коэффициен-
тами.
199
Доказательство. Пусть
f (х) = аохл + а1хл-г + ... 4-ал_]Х-|-ап—
многочлен с целыми коэффициентами. Разделим, исполь-
зуя схему Горнера, /(х) на х — с. Согласно схеме Горне-
ра коэффициенты частного b0, bh ..., b„_t находятся по
формулам
b0 = a0, bi — cbo-^-Ui, ..., &„_i = cZ>„_24-an_).
Но Ьо — число целое. Следовательно, число bt также
целое, так как числа аь Ьо и с целые, и т. д. Наконец,
число 6„_| — целое, в силу того что числа ап_}, Ьп_2, с
целые. •
Теорема 3. Если несократимая дробь ~ (p^Z,
q^Z) является корнем многочлена
с целыми коэффициентами, то для любого целого числа
f (k)
k дробь p_k() число целое при условии, что p — kq^O.
Доказательство. Умножим многочлен f (х) на qn.
Тогда
qn-f(x)== а0 (qx)n + qa{ (qx)n~l +... + qnan.	(3)
Обозначим qx через у и подставим в равенство (3).
Получим многочлен от у:
qn -f(x) = аоуп +	4-... + q"an.
Обозначим его через ц>(у). Так как по условию число
— — корень многочлена f (х), то целое число р, очевидно,
корень многочлена <р(р). Но тогда по теореме 1 из
п. 33 <р(у):(г/— р). Следовательно,
ф(у) = (р — Р)Ч>(У)-	(4)
Но по теореме 2 ф(р)— многочлен с целыми коэффици-
ентами, т. е. ф (у) е Z [р].
Пусть k — любое целое число такое, что р — kq=£-
=/=0. Так как ф(р)е£[р], то значение многочлена
ф(р) при y = kq — число целое. Но тогда из равенства
(4) следует, что
т p — kq p — kq
200
,	(]nf (&)
'Следовательно, число целое, т. е. qnf (k)-(p — kq).
Покажем теперь, что числа qn и р — kq взаимно
просты. Для этого достаточно выяснить, что взаимно
просты числа q и р — kq. Действительно, если числа
q и p — kq не взаимно просты, то дробь -	=£- — k
будет сократимой, т. е. —=у-, где 0<Zqi<.q. Но
тогда, получили бы, что ~=~—и поэтому
Р _ Pi + ^i^
я Я\
(5)
Значит, в (5) имели бы, что -у совпадает с дробью с мень-
шим знаменателем и дробь была бы сократимой, что
противоречит условию. Остается признать, что числа
q и p — kq взаимно просты и поэтому взаимно просты
числа qn и p — kq. Таким образом, q"f (k)-(p — kq) и НОД
(</", p — kq) = 1. Следовательно, / (k) • (р — kq). Это означа-
, и*)
ет, что дробь --— число целое. •
P — kq
Рассмотрим теперь нахождение рациональных корней
многочленов на конкретных примерах. Вначале рассмот-
рим примеры нахождения целых корней многочлена. Так
как числа —1 и 1 всегда являются делителями сво-
бодного члена и для многочлена f (x)^Z [х] легко вычис-
лить значения / (1) и f (— 1), то по теореме 3, если целое
число а является корнем многочлена f (х), то дроби
/(-1)
а-{- 1
и
должны быть целыми числами. Таким образом,
подлежат испытанию лишь те делители а свободного
члена, отличные от 1 и —1, для которых каждая из
л - А(1) /(-1)	~	,
дробей ---т-, ——- является целым числом. Этот факт
а — 1	а+1
мы будем использовать для нахождения целых корней.
Пример 1. Найдем рациональные корни много-
члена
/ (х) = х4 —х2-|-х — 10.
Данный многочлен имеет старший коэффициент 1,
и поэтому по следствйю 2 теоремы 1 все его рациональ-
ные корни — целые числа. В силу теоремы 1 все целые
корни многочлена / (х) следует искать путем испытаний
среди делителей свободного члена, а именно, чисел ±1,
±2, ±5, ±10. Так как /(1) =—9 и /(— 1)= — 11, то
числа 1 и —1 являются корнями многочлена /(х). Более
того, как уже отмечалось, число испытаний можно со-
кратить, учитывая тот факт, что если целое число а яв-
ляется корнем многочлена /(х), то в данном случае
—9	—11
числа ----г и —гт являются целыми,
а— 1	а-|- 1
Проверим устно это условие для чисел ±2, ±5,
±10. Результаты испытаний запишем в таблице:
	-10	-5	— 2	2	5	10
— 9 а— 1	Д	д	ц	ц	д	ц
— И а-|- 1			Ц	д		Ц
Таким образом, целыми корнями многочлена f (х) мо-
гут быть только числа —2 и 10. Очевидно, что /(10)#=
#=0. Остается проверить, является ли число —2 кор-
нем. Мы выясним это, используя схему Горнера:
	1	0	— 1	1	-10
— 2	1	— 2	3	-5	0
— 2	1	— 4	И	¥=0	
Итак, многочлен /(х) имеет единственный рациональ-
ный корень —2 кратности 1.
Пример 2. Найдем целые корни многочлена
/(х) = Зх4 + х3-5х2-2х4-2.
По следствию 1 теоремы 2 целые корни многочлена
/(х) следует искать среди делителей свободного члена.
В данном случае делителями свободного члена являются
числа ±1, ±2. Вычислим /(1) и /(—1):
/(1) = 3+ 1 -5-24-2= - 1,
/(_ 1)=3—1-54-24-2= 1.
202
Следовательно, числа 1 и — 1 не являются корнями
данного многочлена. Остается проверить, являются ли
числа 2 и — 2 корнями. Составим таблицу:
а	— 2	2
— 1 а— 1	д	ц
1 а 1		д
Таким образом, при ае{ — 2, 2} числа —и —J-т- не
г	г	а— 1	а-(-1
могут быть одновременно целыми. Следовательно, дан-
ный многочлен целых корней не имеет.
Обратимся к примерам отыскания рациональных
корней многочлена как дробных, так и целых.
Пример 3. Найдем рациональные корни много-
члена
/ (х) — Зх4 + 5х3 + х2 + 5х — 2.
Задачу отыскания рациональных корней данного
многочлена сведем к задаче отыскания целых корней
нового многочлена, который может быть получен из
данного. Для этого преобразуем данный многочлен та-
ким образом, чтобы заменой переменной можно было
получить из данного новый многочлен с целыми коэффи-
циентами и старшим коэффициентом 1, т. е. такой мно-
гочлен, все рациональные корни которого целые
числа.
В данном случае для этого умножим многочлен
/ (х) на З3 и, полагая z/ = 3x, получим многочлен
Ф (У) = У4 + 5/ 4- Зг/2 + 45у — 54.
Найдя целые корни многочлена <р(у) и разделив каждый
из них на 3 (так как *=-0. получим все рациональные
корни многочлена /(х).
Вычислим по схеме Горнера <р (1):
	1	5	3	45	-54
1	1	6	9	54	0
203
Следовательно, один из целых корней многочлена
<!(//) — число 1. По теореме 1 из п. 33:
<₽ (*/) = (*/—1)ф|(4/)>	(6)
где ф, (i/) = z/3 + 6z/2 + 9z/ + 54.
Найдем целые корни многочлена ф| (у). Вычислим
вначале, используя схему Горнера ф,(1) и ф|(— 1):
	1	6	9	54
1	1	7	16	70
— 1	1	5	4	50
Итак, ф1(1) = 70, фД —1) = 50 и числа 1 и — 1 не
являются корнями многочлена ф| (</). Так как делители
свободного члена многочлена Ф1 («/) числа ±1, ±2, ±3,
±6, ±9, ±18, ±27,±54, то для дальнейшего испыта-
ния чисел, которые могут быть корнями, составим таб-
лицу:
	-54	— 27	-18	— 9	-6	-3	— 2	2	3	6	9	18	27	54
70 а— 1	Д	д	д	ц	Ц	д	д	ц	И	д	д	д	д	д
50 а +1				д	ц			д	д					
Таким образом, целым корнем многочлена ф, (у) может
быть только число —6. Проверим это по схеме Горнера:
	1	6	9	54
-6	1	0	9	0
— 6	1	— 6	45	
Итак, число —6 — простой корень многочлена ф) (у)
и, следовательно, в силу равенства (6), многочлена ф (г/).
Таким образом, рациональные корни многочлена f (х)—
1 о
числа -т- и — 2.
о	,
Отметим, что задачу отыскания’ рациональных кор-
ней многочлена, в силу теорем 1 и 3, можно и не сводить
к задаче отыскания целых корней этого многочлена.
Пример 4. Найдем рациональные корни много-
члена
/(х) = 12х5 — 41х4 + х3 + 47х2-4х- 12.
По теореме 1 корнем данного многочлена может быть
несократимая дробь -^(p^Z, q^N), в которой q явля-
ется натуральным делителем числа 12, а р делителем —
— 12. Все такие делители для q — числа 1, 2, 3, 4, 6, 12,
для р — числа ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Различных
всевозможных комбинаций — несколько десятков. Поэто-
<7
му для сокращения испытаний воспользуемся теоремой
3. Вычислим f(1) и /(— 1) по схеме Горнера:
	12	-41	1	47	— 4	-12
1	12	-29	-28	19	15	3
-1	12	-53	54	— 7	3	-15
Таким образом, /(1) = 3 и /(—1)= — 15, и числа 1
и —1 не являются корнями данного многочлена. Вос-
пользуемся теперь теоремой 3. Число — может быть
корнем многочлена /(х), если дроби и целые
числа, т. е. р — q является делителем числа 3, a p-\-q—
делителем числа —15. Следовательно,
р — ?е{±1; ±3}, а р-1-q{± 1, ±3, ±5, ±15}.
Выпишем вначале все несократимые дроби такие,
чтобы р — <?е{±1, ±3}, учитывая при этом, что
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12), a q<={\, 2, 3, 4, 6, 12},
причем знак «минус» отнесем к числителю таких дробей.
Очевидно, что такими дробями с числителем ± 1 явля-
ются только дроби —, -g, с числителем ±2 —
_______2 2 2	3 3
дроби —т—, т, с числителем ±3 — дроби —, —, с числи-
1 о 1	а 4
4 4
телем ±4 — дроби -т-, с числителями ±6, ±12 несо-
3 1
205
кратимых дробей нет. Итак, теперь испытанию подле-
— 2 —12 314 3 2 4 ,,	,
жат числа —г-, —, -х, -7, тг, тг, т- Из них выберем
12	3 4 2 3 2 7 1	г
такие, чтобы р + (?е{±1, ±3, ±5; ±15). Очевидно, что
такими числами являются:
— 2 —12 1 3 2 4
1 ’ 2 ’ 3’ 2’ 2’ 1’ Г
Чтобы сократить число испытаний, применим снова
теорему 3. Для этого с помощью схемы Горнера вычис-
лим /(—2) и /(2):
	12	-41	1	47	— 4	— 12
2	12	— 17	-33	-19	— 42	-96
Итак, /(2)^=0 и 2 не является корнем данного
многочлена. По теореме 3 число является целым,
если ——корень многочлена. Поэтому р — 2q должно
быть делителем числа —96.
Так как р — 2q по модулю не превосходит 5 для чисел
из последовательности (7), то р — 2^е{±1, ±2, ±3,
±4}. Очевидно, что этому условию удовлетворяют следу-
1 2 3
ющие числа из (7): —2, р p -%, 4. Являются ли оставши-
еся числа корнями многочлена / (х), проверим при помо-
щи схемы Горнера. При этом не обязательно вычислять
р
значение многочлена для каждого из чисел —, если
Я
в результате промежуточных вычислений очевидно, что
	12	-41	1	47	— 4	-12
— 2	12	— 65	131	-215	¥=0	¥=0
Итак, число —2 не является корнем многочлена /(х).
	12	— 41	1	47	— 4	-12
	12	-35	_33 2	155 4	123 8	¥=0
206
• Следовательно, числоне является корнем многочле-
на /(х).
	12	— 41	1	47	— 4	— 12
£ 3	12	-33	-21	33	18	0
2 3	12	—25	113 2	^=0	¥=0	
Таким образом, число — рациональный корень мно-
и
гочлена /(х) кратности 1. Дальнейшие испытания остав-
шихся чисел можно провести по схеме Горнера уже для
многочлена q (х)= 12х4 — ЗЗх3 — 21х2 + 33х+ 18, так как
(2 \
х — — \q(x). Более того, в данном случае q{x) —
= 3<7!(х), где qx (х) = 4х4 — 1 lx3 — 7х?-\-11х + 6. Значит,
можно ограничиться проверкой для q{ (х):
	4	— И	— 7	11	6
2 2	4	— 5	_ 29 2	=А0	¥=0
Следовательно, числоне является корнем многочле-
на /(х).
	4	— И	— 7	11	6
4	4	5	13	¥=0	¥=0
Число 4 также не является корнем данного многочле-
на. Таким образом, многочлен f (х) имеет единственный
2
рациональный корень — число —.
«5
Упражнения
385.	Решите уравнение:
а)	х3 — Зх2-рх —3 = 0;
б)	х3 — х2 — 8х ~Р12 = 0;
в)	х3 —2х2 —4х-р 12 = 0;
г)	х4— Зх3 — вх2—12*4-16 = 0;
д)	х4 —Зх3 — 2Х2 — 6х — 8 = 0;
е)	хг>4-х4 —6х3—14Х2—14х —3 = 0.
386.	Решите уравнение:
а)	2х34-7х2-28x4-12 = 0;
б)	2х4 — 5х3 — х2 -р Зх -р 1 = 0;
в)	2х4-рх3— 49х24-96х — 36 = 0;
г)	6х4—11х34~9х2—11*4-3 = 0.
387.	Решите уравнение 2х3-р 1 lx2-}- 17х-Ра = 0, если
известно, что один из его корней равен —0,5.
388.	Уравнение 2х3-р а*2 4~	4~ 12 = 0 имеет корни
х, = 1, х2= —2. Найдите третий корень этого уравнения.
389.	Определите, при каких значениях т один из
корней уравнения z! —(т2 —т-р7) z —(3m2— Зт —6) = 0
равен —1. Найдите два остальных корня уравнения при
этих значениях т.
390.	Решите неравенство:
а) х3-Зх24-2>0; б) х3-р2х2-3>0.
391.	Разложите на множители многочлен:
а)	х4 — 1 Ох2 -р 9;
б)	х4— Юх34-З5х2 — 50х-р24;
в)	х44-20х3-Р 140х24-400x4-384;
г)	х4 — х3 — Зх2-р5х — 2;
д)	х4 —2х3 — 2х24-4х-р4;
е)	х44-4х34-4х2 —4х —5;
ж)	х44-2х3 —х —2;
з)	х6-рЗх5-р7х44-9х34-х2 — Зх— 18.
392.	Сократите дробь:
х3-1	. Зх2-pi2х-|-9
а) х4 + х24-1;	В) х5 + 5х34-6 ’
х8-рх44-1. х х6 -р х4 + х2 4-1
х24-х+1’ Г х34-х2-}-х4-1 ’
208
393.	Решите уравнение:
4(х + 3)	5
d I 1"“гг _ г “|Г 1	1 -———————
’ 2х3 + >? — 8х — 4	2Х2 —Зх —2
-,	х2 — 5х — 6	4Х2 — 20 п
б)		;-5------------5----= 0;
’ гх-’ + Зх2 — 2х — 3	2х24-х —3
. х'-2х3 + Ъх?________х2	х2 _ .
в' X4 —х2 + 4х —4	х2 + х — 2 ’’ х2 — x-f-2 —
394.	Упростите:
. х? . х ,	х	1
а' х2 + х+1 +х2 + х-2’’"х3 + Зх2 + Зх+1 ~х3-Г
х2 5х	20х	.	40х
' х —5 ~ х—1 ~ х2 —8х-|-15 ' х3—9х24-23х—15’
. / Зх + 6	х-Ь2 \/ 5	3
В) \х34-х24-х-|-1	х3-х2-|-х—1/’\х24-1 ' 2х-|-2
3 Y
2х —2/’
395.	Постройте график функции:
а) у = |/-..3х+2|.; б) у = 13^~ГЗ~О21-
’ у х—1	' v	х24-х —2
396.	Решите неравенство:
а)
16х —7
х24-х4-1
х3 — бх2 — 2х 4- 6 g
х3—2х24-х —2
§ 9*. МНОГОЧЛЕНЫ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
36*. ПОНЯТИЕ МНОГОЧЛЕНА ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Пусть R — множество всех действительных чисел.
Понятие многочлена от нескольких переменных является
обобщением понятия многочлена от одной переменной
над R.
Определение. Многочленом от переменных х,, х2,
.... хп над R называется выражение вида
а ,х“ ’х22. ..хаап + а2х?'х22... х’“ +... + а$х“'*22- • •	(1)
в котором аи а2, ..., as действительные числа, называе-
мые коэффициентами, а,, а2, ..., а„; р,, р2, ...,	а>(, ь>2,
209
.... со. — целые неотрицательные числа и х®=1 («е{1, 2,
•••> "
При этом выражения вида а^х/х/... х„", £е{1, ..., s)
называют членами выражения (1) или одночленами
и предполагается, что в (1) нет подобных членов,
т. е. членов, отличающихся друг от друга только коэффи-
циентами. Также предполагается, что в записи члена
можно опускать коэффициент, равный 1.
Например, 1 • х?х2х3х4 = xfx4, х?х2х3х4х® = I.
Любое действительное число а мы будем рассматри-
вать как многочлен переменных хь х2, ..., хя над R,
а именно, как многочлен ах?х2...хя. Более того, выраже-
ния вида ах{'х2...хпп, где kh k2, ..., kn — целые неотрица-
тельные числа, также являются многочленами от xt, х2,
.... х„ над R.
В частности, сами переменные xh х2, ..., хя являются
многочленами от х,, х2, ..., хп над /?. Например, пере-
менную X] можно рассматривать как многочлен
l-х^..х".
Для обозначения многочленов от п переменных будем
пользоваться символами f (х,, х2, ..., x„), g(xlt х2, ..., х„),
й(хь х2, ..., х„), ч>(х1, х2, ..., х„) и т. п. или для краткости
в некоторых случаях /, g, h, <р и т. п. Множество всех
многочленов от переменных хь х2, ..., х„ над R будем
обозначать через R [х,, х2, ..., хя] и тот факт, что
f (хь х2, ..., х„) и g(xb х2, ..., х„) многочлены с действи-
тельными коэффициентами от переменных Xj, х2, .... хя,
будем кратко обозначать:
/e/?[xb х2, ..., x„], geR [хь х2, ..., хя].
Определим теперь понятия равенства, суммы и про-
изведения многочленов от п переменных над /?.
Определение. Два многочлена / (xt, ..., х„) и
g (Х|, ..., х„) над R называются равными, если f (xlt
..., х„) состоит из тех же членов, что и многочлен g (xt,
..., хя), кроме членов с коэффициентами, равными нулю
(если такие есть).
В этом случае будем писать, что /(хь ..., xn) = g(xt,
.... хя), или просто f = g.
Пример 1. Рассмотрим многочлены / = х?х|-|-
4-х1х2х3+ 1 и g = 0 • xfx2x3+х^х^ + х,х2х3+ 1, а также много-
члены <p = 2x!x2 + x?xf и <р — х,х2 + Х,Х%.
Очевидно, что f = g, но ф=#=ф-
Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю,
210
будем считать равным нулю и называть нулевым много-
членом.
Определение. Пусть f, g^R (хи х2, .... хя|. Сум-
мой f + g многочленов f и g называется многочлен,
который получается, если приписать к f со знаком « + »
все члены многочлена g и затем привести подобные
члены (если они имеются), т. е. сложить коэффициен-
ты ak и Ь( подобных членов akx\'x^...ж*" и blxi'x’^...xn"
и вместо этих членов записать только один член
(а* + 6() х*'х*2...х*".
Пример 2. Найдем сумму многочленов
/ = х1х2 + Х1Х3 + 2 и g = 4x1x2 —xtx3 + 3.
Очевидно, что
/-|-g = xIx2-|-x1x3+2-|-4X|X2-|-( — х1х3)Ч-3 = 5х1х2-|-5.
Определение. Пусть f, g^R[xt, ..., х„]. Про-
изведением f-g многочленов f и g называется такой
многочлен, который получается после умножения каждо-
го члена многочлена f на каждый член многочлена
g и приведения полученных при этом подобных членов,
причем произведение произвольного члена ах“'х22... х“"
многочлена / на произвольный член Ьх['х%г...х*я много-
члена g определяется по следующему правилу:
(ax“'x^...x“") (6х?'х22...х^)=а6Х1'+₽|х?+₽2...ж“я+₽*.
Примечание 1. Как и в случае многочленов от одной перемен-
ной над R, на множестве многочленов R [х„ х2. х„] определены
операции сложения и умножения, т. е., складывая (перемножая) любые
два многочлена из этого множества, мы получим единственный много-
член — их сумму (соответственно произведение) из этого же множества
* [х„ х2..х„].
Для многочленов из R [хь х2, ..., х„] имеет место
теорема, аналогичная теореме из п. 26, описывающая
свойства операций многочленов, аналогичные известным
свойствам чисел.
Теорема. Для операций сложения и умножения
многочленов из R [xlt х2, .... х„] выполняются коммута-
тивный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кро-
ме того, в R (Ж|, х2, ..., хл| существует нейтральный
элемент относительно операции сложения, т. е. такой
многочлен е, что f-\-e = f для каждого многочлена f из
211
R [*!, x2,	x,], а также для каждого многочлена f. из
R jx(, х2, x„j существует в этом же множестве
противоположный ему многочлен —f такой, что /4-
+ (-/)=о.
Доказательство. Все арифметические законы
операций сложения и умножения многочленов из R [хь
х2,..., х„] доказываются непосредственной проверкой с ис-
пользованием определений сложения и умножения мно-
гочленов из Л[Х|, х2, .... хп], а также с учетом того, что
операции сложения и умножения действительных чисел
подчиняются этим законам.
Докажем, например, коммутативный закон умноже-
ния. Для этого возьмем два произвольных мно-
гочлена f и g из R [Х|, х2, ..., хп] и покажем, что
f-g = g'f-
Без ограничения общности можем считать, что
/ =	.. х“" +... + атх“'х22... х“”
И
.	»1 а, ая .	, L и. to2 w_
g = b{Xi x22... x/ +... + bmxv x22... xn".
Действительно, в случае необходимости можем доба-
вить к одному из многочленов члены с коэффициентами,
равными нулю, и всегда добиться того, чтобы каждый
член одного многочлена был подобен некоторому члену
другого многочлена.
Согласно определению при умножении многочлена
с	v	Vt Vo V-
f на многочлен g нужно каждый член а*х,‘х2...хя много-
члена f умножить на каждый член btXi х2...хп многочле-
на g по следующему правилу:
(а^ 'х22... xl") (btx\'x?... хч„") = а*6,хр+v,x22+v2... х^Х
При умножении каждого члена многочлена g на
каждый член многочлена / получаем тот же результат.
А именно:
так как умножение действительных чисел коммутативно.
Ввиду произвольности выбора членов многочленов [ и g,
заключаем, что f‘g = g‘f-
Справедливость того, что в R [х(, х2.х„] существует
212
нейтральный элемент по сложению е, вытекает из опре-
деления сложения, если положить
Ось» а. .	,	(о
Действительно,
/ + е = (Ц,+0)х?...х/ + ...+(«т + 0)хГ'...х:" =
а. а_ ,	,	о. св f.
= а1х1'...хп" + ... -\-атх1 ...хп
Тот факт, что для каждого многочлена f из /?[хь х2,
..., х„] существует в R [xt, х2, ..., х„] многочлен — f такой,
что / + (—/) = 0, легко проверить, если положить
=(—а,)х1‘х2'!...хп', + ... +( — ат) хл х2 ...хп .
(Проверьте самостоятельно.)
Примечание 2. В силу доказанной теоремы сложение много-
членов из Я[х„х2.х„] коммутативно и ассоциативно. Следовательно,
многочлен из /?[*,- хг> •••• *»] можно рассматривать как сумму его
членов, причем члены можно писать в любом порядке.
Так как умножение многочленов из Л[хь х2.х„] коммутативно
ki
и ассоциативно, то символ х, можно рассматривать как л,-ю степень
переменной х, и тогда каждый член	••Хяп многочлена f можно
рассматривать как произведение степеней переменных х,, х2, ..., х„
и некоторого действительного числа ак и
акх\'ху/... х’'" = Хрх22... х^’%.
Как уже отмечалось, в математике непустые множе-
ства К элементов произвольной природы, на которых
определены алгебраические операции сложения и умно-
жения, причем операция сложения коммутативна, ассо-
циативна, операция умножения ассоциативна, и обе опе-
рации связаны между собой дистрибутивными законами,
и в которых имеется нейтральный элемент ОК по сложе-
нию (т. е. а-\-ОК = а для любого а из К и для каждого
элемента а из /( есть противоположный ему —ае/(
такой, что а-^-( — а)=ОК), называют кольцами.
Из теоремы п. 26 следует, что множество R [х] всех
многочленов с действительными коэффициентами явля-
ется кольцом относительно операции сложения и умно-
жения многочленов.
Справедливость аналогичной теоремы для множества
/?[Х|, х2, .... х„] всех многочленов с действительными
213
коэффициентами от п переменных х1г х2,х„ только что
установлена.
Таким образом, множество /?[хь х2, •••, хп] всех
многочленов от п переменных над R является кольцом
относительно определенных на /?[хь х2, •••> х„] операций
сложения и умножения. Отметим, что кольцо /?[хь х2,
..., хп] называют кольцом многочленов от п переменных
над R. Частным случаем его (при п= 1) является кольцо
R [х]— кольцо многочленов от одной переменной над R.
Упражнения
397.	Упростите:
a)	(Зах+2Ь//)(Зах— 2by);
б)	(х + у + 2)(х + у-2);
в)	(а + 2Ь-3)(а — 2Ь + 3);
г)	(x-f-a) (х — а) (х2 + ах + а2) (х2 — ах-]-а2);
д) (a-j-2b)(a — 2b) (а2 + 4b2) (а4 4- 16b4).
398.	Запишите квадраты многочленов:
а) (Зх + 2г/ + 5)2;	в) (х2 + Зху + у2)2;
б) (0,5 — ху + 2у2)2;	г) (д х2 — 4ху + г/3)2.
399.	Выполните действия:
а)	— b)3;
б)	(5x+v)3;
в)	(Xя — уп)3;
г) (х"-^-1)3.
400.	Представьте многочлен в виде произведения
множителей первой степени по отношению к перемен-
ным, которые в нем имеются:
а) (13Х2—by2)2—(12x24-4z/2)2;
б) 4Ь2с2-(Ь2 + с2-а2)2;
в) 4(ab + cd)2-(a2 + b2-(?-d2f,
г) (ab-\-cd-\-b2 — d2)2 — (ad-]-be).
401.	Докажите тождество:
a)	(a2-f-b2) (с2 + </2) = (ас — bd)2-]-(bc— adf;
б)	(a2-4-b2-]-c2)(m2-]-n2-]-p2) — (am-]-bn-]-cp'f-]-(cn —
— bp)2-]-(ар — cm)2-]-(an— bm),
в)	(a2 + b2 + c2 + di)(x2 + y*+z2 + t2)=(ax + by + cz +
-]-dt)2 + (bx — ay-\- dz — ctp + (cx—dy — az + btf -\-(dx-\-
-\-cy — bz — at)2;
214
г)	(rt4-Z> + c-|-c?)2 + (a + ^ — c — ^)24-(a + c — fe — d)24-
+(а + d — & — cf == 4 (а24*/>2 + с2 + « )•
402.	Докажите, что:
а)	если a, b, с, d — положительные действительные
числа и a44-&4 4- с4 + d4 — 4abcd, то a = b = c = d',
б)	если а + 64-с = 0> то a3-b-b3-j-c3 = 3abc(a, Ь, с —
действительные числа);
в)	если а + Ь + с = 0, то (а2-{-Ь2-^-с2)2 — 2 (а4 + Ь4-\-
+ с4)(а, Ь, с — действительные числа);
г)	если (а + &-|-с)2 = 3 (Ьс-^-са + аЬ), то а — Ь = с (а, Ь,
с — действительные числа).
37*. СТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕНА ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГТГ	£	®1	i	I	®1
Пусть f = a1x1‘x7...x„“ 4-... -4-amXi х2 ...хп" — ненуле-
вой многочлен над R.
Определение. Степенью члена а^'х^2...х„’ много-
члена / называется сумма показателей Т14-?2+---+Тл
переменных. Тогда степенью многочлена f называется
наибольшая из степеней его членов.
Например, степень многочлена х2х2х24~Хз— x1j^4~*iJ^
равна 6, а многочлен х2 4-х^ 4~ Х14**\Х2 имеет степень,
равную 2, и в этом многочлене все члены имеют такую
степень.
Отметим, что, как и в случае многочленов от одной
переменной над R, степень нулевого многочлена не опре-
делена, а все действительные числа, кроме нуля, явля-
ются многочленами нулевой степени из /?[хь х2, ..., х„].
Однако, в отличие от многочлена от одной переменной,
многочлен от нескольких переменных в общем случае
невозможно расположить по убыванию или возрастанию
степеней его членов, а также невозможно однозначно
определить старший член многочлена.
Определение. Многочлен <р#=0 из R |хп х2, ...,
хя] называется однородным многочленом степени т, если
все его члены имеют одну и ту же степень т.
Например, х14-х24~х3 — однородный многочлен сте-
пени 1, а х?4-44-х1Хз4-х2х1 — однородный многочлен
степени 5.
Непосредственно из определений однородного много-
члена и операций над многочленами следуют свойства:
1°. Сумма двух однородных многочленов одной и той
же степени — однородный многочлен той же степени.
215
2°. П роизведение однородных многочленов степеней
ГП\ и ш2— однородный многочлен степени m{-\-m2.
Если в многочлене сгруппировать члены одинаковой
степени, то получится представление данного многочле-
на в виде суммы однородных многочленов одинаковых
степеней, причем такое представление единственно. Со-
ставляющие его однородные многочлены называются
однородными компонентами данного многочлена.
Пример. Найдем однородные компоненты много-
члена
/(%!, х2, х3)=х^4-х1х2х3 + х?х3+х?х^+х1х3 + х|.
Легко видеть, что xfx2-|-xfx2 — однородный компонент
степени 6, x?x3 + XiX2x3 — однородный компонент степени
3 и х(х3 + хз — однородный компонент степени 2.
Теорема. Степень произведения двух ненулевых
многочленов из R [х,, х2, ..., х„| равна сумме степеней
этих многочленов.
Доказательство. Пусть даны два многочлена
/ и g из R [хь х2,..., х„], причем многочлен f имеет степень
п, а многочлен g— степень пг. Представим каждый из
этих многочленов в виде суммы однородных многочле-
нов. Ввиду того, что многочлен / имеет степень п, в нем
есть однородный компонент fn степени п. Аналогично
многочлен g имеет однородный компонент gm степени
т. По определению произведение f-g — это сумма всевоз-
можных однородных компонентов многочлена f на одно-
родные компоненты многочлена g. Среди произведений
таких компонентов будет произведение fngm, причем
так как /„=/=0 и gm=£0 и степень f„gm равна п +
-f-m. Очевидно, что все другие произведения однородных
компонентов имеют меньшую степень. Следовательно,
степень произведения f-g равна п-\-т. •
Как уже отмечалось, члены многочлена из R [х]
можно однозначно упорядочить по убыванию или возра-
станию степени. Однако, если число неизвестных п>1,
в многочлене над R такое упорядочение в общем случае
неоднозначно, так как могут быть члены многочлена
одинаковой степени, но с разными наборами показате-
лей. Для однозначного упорядочения членов многочлена
используется так называемое лексикографическое упоря-
дочение ненулевых членов.
216
38*. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ ЧЛЕНОВ
МНОГОЧЛЕНА.
ВЫСШИЙ ЧЛЕН МНОГОЧЛЕНА
Определение. Пусть / — ненулевой многочлен из
/? [«!, Хц,х„] и ф = а*|'х22. ..х", гр = 6Х|'х22. ,.хл“ — ненуле-
вые его члены.
Одночлен ср предшествует одночлену ф или ф следует
за ф, если либо	либо — но £2>Z2, либо
ki = lit k2 — l2, но k3>l3 и т. д. В этом случае будем писать
ф>-ф ИЛИ ф<(ф.
Легко видеть, что отношение «>» на множестве
ненулевых одночленов из /?[хи х2, ..., х„] обладает
свойством транзитивности, т. е. если ф^>ф и ф>-г>,
ТО ф>1».
Пример 1. Пусть даны одночлены х,х^, xf, х$х3, х^х\.
Тогда согласно определению
Х?>х,х^>х^>х£г1.
Примечание 1. Из примера 1 следует, что лексикографиче-
ское упорядочение многочлена не связано с упорядочением многочлена
по степеням, т. е. первый член в лексикографическом упорядочении
может иметь степень меньшую, чем последующие. Например, степень
х%Х$ равна 5, а степеньх%х* равна 6, хотя х|х|>-х^х4.
Примечание 2. Сам термин «лексикографическое упорядоче-
ние» вполне объясним: если рассматривать наборы показателей одно-
членов как «слова», составленные из «букв» алфавита 0, 1, 2, .... то
расположение многочленов в порядке возрастания лексикографически
является обычным алфавитным — оно аналогично расположению слов
в словарях (лексиконах).
Пример 2. Расположим лексикографически мно-
гочлен
/ = х(х2 4- xfx4 4- xfx3x4 4- х%х< 4- х2.
Так как
х?х4 > xtx2 > х^х4 > Х^Х3Х4 > х2,
то / = 4х44-х1х24-х^х44-^х3х44-х2.
Среди членов любого ненулевого многочлена
f^R[xb х2, ..., х„] всегда найдется такой член, который
является первым в лексикографическом упорядочении
многочлена.
Действительно, если члены
kn kn
<p — axix2...x„n
и ф = Ьх^'х22... х,"
217
многочлена / не подобны между собой, то имеет место
в точности одно из соотношений: ф>ф или ф^>ф. Это
следует из того, что для первых неравных друг другу
показателей	2, ..., п} имеем и, значит,
Ф>ф, или и, значит, ф>-ф. Кроме того, как уже
отмечалось, отношение «)>» транзитивно. Следователь-
но, все ненулевые и неподобные одночлены Ф/(/е{1, 2,
.... т}), суммой которых является /, можно располо-
жить следующим образом: Ф|)>Ф2^>---/’Фт- Значит, для
f однозначно определяется одночлен фь который предше-
ствует всем остальным его членам.
Такой одночлен многочлена называется высшим чле-
ном этого многочлена. В частности, в примере 2 высший
член — х?х4.
Рассмотрим два свойства лексикографического упо-
рядочения.
1°. Если ф, ф и v — ненулевые одночлены из R [хь х2,
.... х„] и ф>ф, го фп)>фи.
Доказательство. На основании правила умно-
жения одночленов при умножении одночленов ф и ip на
одночлен и к показателям переменной xt(iе{1, 2, ..., п}
в одночленах ф и ф прибавляется одно и то же число,
равное показателю степени переменной х, в одночлене
V. Но тогда, очевидно, если ф5»ф, то фо>-фп. •
2°. Если Ф>ф и Ф!>ф1, то ФФ1>ффи
Доказательство. Так как ф>ф, то по свойст-
ву 1 ФФ1Х-ФФ1- Аналогично из Ф|)>Ф1 следует, что фф1>-
^-ффр Но отношение «)>» транзитивно, следовательно,
ФФ!>фф1. •
Рассмотрим теперь приложение доказанных свойств
для нахождения высших членов произведения ненулевых
многочленов из R.
Теорема. Высший член произведения двух ненуле-
вых многочленов из R [xh х& хп] равен произведению
их высших членов.
Доказательство. Пусть f, g — ненулевые много-
члены из R [х„ х2,..., х„] и ф и ф — их высшие члены. Так
как произведение fg равно сумме всевозможных про-
изведений членов многочлена f на члены многочлена g,
то в эту сумму войдет и произведение фф, причем фф#=0,
так как ф=#0 и ф#=0. Остается только показать, что
произведение фф является первым членом в лексикогра-
фическом упорядочении многочлена f-g. Для этого возь-
мем произвольный член ф, многочлена /, отличный от ф,
и произвольный член ф1 многочлена g, отличный от ф.
218
Так как <р — высший член многочлена f, то <p>-(pi
й поэтому по свойству 1 фф Аналогично, по свой-
ству 1 из ipj следует ф,ф 5* Ф1'фр Но тогда по свойству
транзитивности отношения «>-» мы имеем, что <рф^>
>Ф,ф|. Это означает, что любой член произведения, отлич-
ный от фф, следует за фф, т. е. фф — высший член про-
изведения многочлена f-g. •
39*. ПОНЯТИЕ СИММЕТРИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА.
ОСНОВНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Рассмотрим многочлен
/(%!, х2, x3) = x3lx2 + xixl + ^lx3 + xlxl + x32x3-[-x2xl.
Легко проверить, что
/ (Х|, х2, Х3) = /(х2, х3, х1) = /(х1, х3, х2) =
= /(х3, Х2, Х1) = /(х3, хь х2)=/(х2, Х„ х3).
Например, / (х3, х2, xl) = x33x2^-x3x32 + xlxl + x3x3l +
+ x2Xj + х2Х[ = f (хь х2, х3), так как многочлен /(х3, х2, xj
отличается от данного только порядком следования чле-
нов и сомножителей в членах. Отметим, что многочлен
получается из исходного следующим образом: в исход-
ном многочлене переменную xt заменяем на перемен-
ную х3, переменную х2 оставляем без изменения и пере-
менную х3 заменяем на переменную хь Итак, многочлен
не меняется при любой перестановке переменных.
Определение. Пусть f (xt, х^ хя)—много-
член над R. Многочлен f (xt, x# хя) называется
симметрическим над R, если он не изменяется при
любой перестановке переменных xt, х^ х„.
К симметрическим многочленам над R мы можем
прийти также, используя формулы Виета. А именно,
известно, что если многочлен хл4-а1х',_1+ ая над R
имеет корни а1( а2, ..., а„, то его коэффициенты выра-
жаются через корни по формулам Виета:
ai— —(ai + <ч+- • • + ал).
а2 = а1а2 + а1а3-|-...+ая_1ая,	(1)
ая=( — 1)"а1<*2-••«/>•
Используя формулы (1), построим п симметрических
многочленов от переменных хь х2, ..., х„:
а1 = х1Ч-х2 + ...+хя,
о2 = х,х2 + х,х3 +... + х„ _ |ХЛ,	(2)
оя = х1х2...хя.
219
Многочлены (2) называются основными или элемен-
тарными симметрическими многочленами от переменных
X,. х2,	х„.
В курсе высшей алгебры одним из важных утвержде-
ний является основная теорема теории симметрических
многочленов, которую мы приведем без доказатель-
ства для частного случая — случая многочленов
над /?.
Основная теорема о симметрических
многочленах. Каждый симметрический многочлен
f (xu х2,	х„) над R (в частности, над Q) может быть
единственным образом представлен в виде многочлена
от основных симметрических многочленов о(, о2,	<т„
над R (соответственно над Q), т. е.
f(xu х2, ..., x„)=g(oi, о2, .... ©„),
где g (о„ Ог, ...» о„)—многочлен от переменных оио2,...,оп
над R (соответственно над Q).
Отметим, что сам метод выражения симметрического
многочлена через основные содержится в доказательстве
основной теоремы. Мы ограничимся знакомством с этим
методом, рассматривая конкретные примеры.
Пример 1. Выразим многочлен
f = х3 + х2 + х| — 2х(х2х3
через основные симметрические многочлены.
1-й способ. Очевидно, что данный многочлен симмет-
рический и его высший член х3. Запишем систему пока-
зателей, соответствующую высшему члену: 300(xfx2x3).
Такой же высший член имеет многочлен af“°o2_(,a3 =
= о? = (х, + х2 + х3)3 = х3 + х2 + х33 + 3xfx2 + Зх,х2 + ЗХ|Х3 4-
4- 3X|Xj 4- Зх2х3 4- Зх2х3 4- 6Х|Х2х3.
Вычисляя разность / — of, получим / —о3==—Зх,х2—
— Зх,х2 — Зх^х3 — Зх,х§—Зх2х3 — Зх2х3 — 8xjX2x3.
Высший член этого многочлена —3xfx2. Ему соответ-
ствует система показателей 210(х?х2х3). Такой же выс-
ший член будет и у многочлена —Зо?~1о2_0о3 =
= —30^2= — 3(x14-x24-^з)^xlx2 + xlJI:з4-^2xз) —
= — 3 (х?х2 4- xfx3 4- XjX2 4“ Xjxf 4- Х^Х3 4- Х2Х3 4- ЗХ|Х2Х3).
Составим теперь разность (/ — о3) —( — Зо1<т2), полу-
чим многочлен f — О|4-Зо1о2- Вычисляя эту разность,
имеем f— of4-3olo2 = x1x2x3 = o3. Таким образом,
/ = а? — 30)02 4-03.
220
2-й способ. На практике эту задачу можно решить
проще, если знать заранее вид произведений о“'сг22...ог“'‘,
которые вычитаются из многочлена f. Это можно сделать,
если учесть следующие факты:
1)	произведение ог“‘о/!...0““ основных симметрических
многочленов вполне определяется своим высшим членом,
т. е. если оно имеет высший член xt'х2...хпп, то Л,—
k2, О>2 ~ ^2	^3- • • • >
2)	высший член вычитаемого из f многочлена
o“lc42...cr“'’ расположен в лексикографическом упорядоче-
нии не ранее высшего члена многочлена /;
3)	показатели переменных хь х2, ..., хп в высших
членах образуют неубывающую последовательность, т. е.
если ах{'х2...хп" — высший член, то k^k2'^...'^kn',
4)	если многочлен f однородный, то сумма показате-
лей всех его членов, а следовательно, и всех вычитаемых
из него членов постоянна.
Пользуясь перечисленными правилами, решим при-
мер более простым способом. Для этого всевозможные
высшие члены данного многочлена расположим в виде
следующей таблицы:
Возможные высшие члены многочленов 3-й степени от трех переменных	Соответст- вующие им системы показателей	Произведения основных симметрических много- членов, имеющих ука- занные высшие члены
ах?х2х°	300	аЗ-оао-оао=0з
	210	ас2! 'а'2 °аз = а<Т|<т2
ftXjX-jXj	111	/ю[~'а2~*аз=Лсгз
Подчеркнем, что в данном случае при составлении
всевозможных высших членов многочлена с показателя-
ми klt k2, k3 от переменных х(, х2, х3 исходили из двух
условий:
k\ /С2	== 3 И k['^k2'^k3.
Итак,
/=<т?4-ао1о24-6о3.	(3)
Для нахождения коэффициентов а и Ь подставим
в (3) конкретные значения хь х2, х3 и вычислим значения
0i—*i-b-x2-b-x3, о2=х1х24-х2х34-х1х3, о3 = х|х2х3, а также
соответствующее каждому конкретному набору значений
221
xb x2, x3 значение многочлена f, исходя из условий приме-
ра. Придем к системе уравнений относительно а и Ь,
решив которую найдем выражение / через основные
симметрические многочлены. При этом вычисления удоб-
но проводить при помощи следующей таблицы:
X,	*2	Хз	f	”1	а2	
1	1	0	2	2	1	0
1	1	— 2	—2	0	-3	-2
Подчеркнем, что удобнее подставлять такие значения
jq, х2, х3, при которых хотя бы один из симметрических
многочленов а2, а3 равен 0. Подставляя данные из
таблицы в (3), получаем систему:
|2 = 234-а-2-1 4-6-0
( —2 = 034-а-0-( —3)4-6-(—2)
или
(2а— — 6,	(а— — 3,
\-2Ь=-2 [6=1.
Итак, /=о?—Зо^г4- °з-
Примечание. Если симметрический многочлен felt [х,, х2, ....
х,,] неоднородный, то, как отмечалось ранее, его можно однозначно
представить в виде суммы однородных компонентов /1( /2, ..., f„, каж-
дый из которых будет симметрическим многочленом из J?[хь х2, ..., х„].
В этом случае для нахождения выражения f через основные симметри-
ческие многочлены егь о2, .... а„ вначале выражают через <Th с2, .... от,
каждый из однородных компонентов /2, ..., fk и находят сумму таких
выражений.
Пример 2. Выразим многочлен
/=4*24- *4 4- х]х3 4- х^+ х2х3 4- х2х3 4- 4- 4 4- 4
через основные симметрические многочлены.
Данный многочлен симметрический, и он представля-
ется в виде суммы двух однородных симметрических
многочленов, а именно: / = /14-/2, гДе /1=х[х2-Ь
4-Xi^4-xtx34-x1x^4-^x34-x2x^ и /2=х? 4- х^ 4- х3.
Выразим вначале многочлен /( через основные сим-
метрические многочлены о^х^Хг-Ь^з, o2 = xix2-h
4-Х|Х34-Х2Х3, о3=х1х2х3.
222
Очевидно, что высший член многочлена Л — это х*х2.
Составим таблицу для определения всевозможных вы-
сших членов многочлена, в данном случае, исходя из
условий для их показателей: k। + k2k3 = 5 и kt^k2^k3.
Высшие члены	Системы показателей	Произведения основных симметрических многочленов
	410	
ах?х£	320	aa?_2<^“°aj=
ЙХ2Х2Х3	311	fc a? ~1 о2 ~1 <Тз = ft a?a3
сх?х2х3	221	ca?-2c^_‘аз = са2ст3
Таким образом,
+	+	+	(4)
Придадим переменным х„ х2, х3 различные значения
и результаты вычислений запишем в виде следующей
таблицы:
*1	x2	*3	f		a2	<*3
1	1	1	6	3	3	1
1	1	0	2	2	1	0
1	1	— 1	2	1	-1	-1
Используя равенство (4) и данные таблицы, получаем
систему уравнений:
6 = 814- 2.1а + 9& + Зс,
2 = 8 + 2а,
2 = — 1Ц- а — Ь-\-с.
Решая эту систему, находим: а——3, Ь —— 1, с = 5.
Итак,
/1 = ^2 — 3<Tj О2 — of о3 + 5а2о3.
Аналогично выражаем многочлен f2 = х3 + + -*з че"
рез основные симметрические многочлены <ylt а2, <г3.
В данном случае таблица всевозможных высших членов
следующая:
223
Высшие члены	Системы показателей	Произведения основных симметрических многочленов
х?х2х°	300	
	210	Л	1^1 —	„ $3—
Ь^х'^	111	6|(Т[ (Jg ^3	^1^3
Следовательно,
/2 = оч+ «1^10'2 +ftio3-	(5)
Для вычисления коэффициентов ах и Ь{ предваритель-
но составим таблицу:
Х|	х2	Хз	/	«1	«2	»з
1	1	0	2	2	1	0
1	1	— 2	-6	0	-3	— 2
Используя данные таблицы и равенство (5), имеем
2 = 84* 2а,,
-6= — 2bt.
Следовательно, at =—3, ^ = 3, поэтому
/2 = ^1 —30102 + 3аз-
Таким образом, исходный многочлен выражается че-
рез основные симметрические следующим образом:
f = а, о2 — Зо( о| —- afo3 4* 5о2ст3 4~ о? — 3ctj о2 + Зо3.
Упражнения
403. Определите, какие из следующих многочле-
нов от переменных хь х2, х3 являются симметри-
ческими:
a) *1 (х2 — х^ + х2(х3 —	+	— ^г)2;
б) (^14-х2)(х14-х3)(х24-х3);
В) х, (^2 — Хз) + х2(х3 — х1)4-х3(х| — х2);
г) (х,— х2)(х2 — х3)(х3 — xj.
224
404. Дополните следующие функции от трех перемен-
ных до симметрических многочленов и выразите их через
основные симметрические многочлены:
а)	/(Х|, х2, х3) = х?-х2-р...;
б)	/ (X], Х2, х3) = (х, 4-х2)2 + . • • •
405.	Выразите многочлены через основные симметри-
ческие многочлены:
а)	х? + ^4-х^ —2x?xf—2х?хз—2xfx|;
б)	(xt — х2)2 (Х| — х3)2(х2 — х3)2;
в)	(*14-*2+ 1)(х1_Ь*з+ О(*2-1-*з+1);
Г) xf-|-Х2 + Х3 — Х^Хз — х2х3 — х2х2.
406.	Дан многочлен f (х) = х3+2х—1. Составьте мно-
гочлен, корнями которого являются:
а)	квадраты корней многочлена / (х);
б)	кубы корней многочлена /(х).
407.	Найдите площадь и радиус круга, описанного
около треугольника, стороны которого равны корням
кубического уравнения х3— ах24~6х — с = 0.
40*. О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ
СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Рассмотрим теперь приложение симметрических мно-
гочленов к решению некоторых конкретных задач.
Пример 1. Разложим выражение а3-р&34~с3 — ЗаЬс
на множители.
Очевидно, что а3-\-Ь3-}-с3 — ЗаЬс можно рассматри-
вать как симметрический многочлен от переменных а,
b и с. Выразим его через основные симметрические много-
члены О| = а + 6-|-с, a2 — ab-j-ac-]-bc и a3 = abc. Для
этого мы можем воспользоваться результатами примера
2 из п. 39. (Нам уже известно, что /\ = х3 + х24-х3 = о?-—
3(Т| о2 -р Зо3.)
Итак, а3~Р^3 + с3— о3— Зо^-рЗсгз. Но —ЗаЬс= —
— Зо3. Следовательно,
а3 -р Ь3 -р с3 — ЗаЬс = o'3 — 3ot о2 = а1 (of — Зо2).
Выражая и а2 через а, Ь, с, получаем:
а3 4- Ь3 + с3 — ЗаЬс =
= (а + &-Рс)(а2-рб24-с2 — ab — ас — Ьс).
Пример 2. Найдем многочлен, который имеет свои-
ми корнями кубы корней многочлена f (х) = хг + px + q.
8 Алгебра, 10 кл.
225
Обозначим корни многочлена /(х) через xt и х2. Пусть
искомый многочлен g (х) — х2 + ах + &. Тогда его корнями
будут числа х? и х2. Но по теореме Виета
Х? + Х2— ~а>
х3х2 = Ь.
Но выражения xf + x3 и xfx2 являются симметрически-
ми многочленами от переменных хх и х2. Выразим их
через основные симметрические многочлены Oi = Xi4-x2,
а2 = х1х2. В данном случае очевидно, что х?х'2 = (х,х2)3 =
= а
*? + *2 = (*i + *2)3 — 3XjX2 (х( + х2) = о? — ЗсК] <т2.
Но по теореме Виета о1 = х1 + х2 =—р и о2 = х,х2 = q,
так как х( и х2 — корни исходного многочлена. Но тогда
из того, что а=—(xf-|-x2), следует, что
а = — (о3 — Зо1<т2) = р3 — 3pq и b — o^ = q3.
Таким образом, искомый многочлен
g (х) = х? + (р3 — 3pq) х + q3.
Пример 3. Решим уравнение
Д/40 + х +Д/42 —х = 4.
Пусть д/40 + х = и и Д/42 —х = и. Тогда получаем, что
u-j-v — 4 и и4 + у4 —82. Выражения u-f-v и u4-f-o4 мы
можем рассматривать как симметрические многочлены
от двух переменных. Выразим и4-|-и4 через основные
симметрические многочлены — a2 = uv. Составим
таблицу всевозможных высших членов:
Высшие члены	Системы показателей	Произведения основных симметрических многочленов
«V	40	of
au3v'	31	aafa2
bu2v2	22	ba^
Таким образом, / = и4-J-v4 = of + acrfo2 + feof.
Вычислим коэффициенты а и Ь.
226
Пусть u=i, v=l. Тогда f = 2, or, = 2, o2=l. Если u =
•—1, v— — 1, то f = 2, Oj — 0, o2—— 1.
Итак,
2 = 4a16,
2 = b.
Следовательно, a= — 4, b = 2 и поэтому
и4 + v4 = of — 4(Т]О2 + 2 erf.
Таким образом, мы получили следующую систему
уравнений относительно оь о2:
J сг* — 4of о2 + 2о2 = 82,
I	«1 = 4.
Значит, 256 —64о2 + 2о2=82 и поэтому о2— 32<т2 +
4-87 = 0. Так как корни уравнения 3 и 29, то согласно
условию о2 = 3. Итак, мы получаем систему уравнений
и + v = 4,
«о = 3.
Тогда «!=!, о, = 3 или «2 = 3, о2=1.
4 _____
В первом случае, учитывая обозначения «=у40-|-х,
о=д/42— х, получаем хх=—39, во втором — х2 = 41.
Пример 4. Решим систему уравнений
(х3 + / = 35,
(х + 1/ = 5.
Выразим левые части уравнений через основные сим-
метрические многочлены О| = х4-г/, <з2 — ху. Используя
результаты примера 2, имеем x34-z/3 = of — Зс^О;,. Таким
образом, получаем систему уравнений
of — Зо^г = 35,
сг1 = 5.
Следовательно, 0^ = 5, ст2 = 6 и имеем систему уравнений
(х+у — 5,
I хг/ = 6.
Ее решения х, = 2, i/i = 3; х2 = 3, у2—2.
227
Упражнения
408. Разложите на множители:
а)	х2(х — 2) + ху (у — 2) + 2x2z/;
б)	bc(b — с) + са(с — a)-}-ab(a — Ь);
в)	ab (а — Ь) — ас (а-(- с)-(-Ьс (2а— Ь-(-с);
г)	(а — х)у3 — (а — у)х3+(х — у)а3;
д)	x4 + / + z4 — 2х2у2 — 2xlzi — 2 у2 г2.
409. При каких значениях k многочлен
x? + y3 + z3 + kxyz
делится без остатка на х-рг/4-2?
410. Разложите на множители симметрический много-
член:
а)	6х4— 1 lx3# — 18Х2/ — 1 lx/ + 6/;
б)	1 Ox4 - 27х3у - 11 Ox V - 27ху3 + 10/;
в)	2х4 — х3# + Зх2/— х/+ 2/;
г)	2х4 + 7ry + 9дг/ + 7/х + 2/;
д)	2х4 + Зх3# + 6х2#2 + Зх/+2/;
е)	18х4 —21х3# —94Х2/ —21х/+18/.
411. Решите уравнение:
а)	Л/х —2 +Д/6 —х =2;
б)	Л/77 + х +Л/20-Х — 5;
в)	Д/97—-х +д/х"=5;
г)	\'80 + х +д/2 —х =4.
412. Решите систему уравнений:
х4 + /=17(х + //)2,
xz/ = 2(x + y);
х3у + /х = ^-(х + /2,
x4y + /x = |(x + t/)2;
х3 — /=19(х — у),
х4 + / = 0,5(х + /;	(х3 + / = 7 (х + у).
228
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Краткие исторические сведения
Задолго до нашей эры в Китае в трактатах по мате-
матике встречались преобразования, содержащие одно-
члены и многочлены. В те годы отсутствовала математи-
ческая символика, и потому все формулы у них были
известны не в таком виде, в каком мы их изучаем сейчас,
а в словесной формулировке.
Древние греки многие алгебраические задачи решали
геометрически. Им также были известны формулы со-
кращенного умножения, но не в словесной форме,
а в геометрической. Вот, например, как Евклид
(III в. до н. э.) изображал формулу (а4-b)2 = а2 + Ь2 +
~Ь~2аЬ (рис. 56). Сейчас мы применяем этот рисунок для
того, чтобы лучше понять формулу, а у
греков это был основной способ записи
формулы квадрата суммы двух чисел.
Вместо формулы (а + Ь)2 = а2 + Ь22аЬ
говорили, что площадь квадрата, по-
строенного на отрезке, равном сумме
двух отрезков, равна сумме площадей
квадратов, построенных на слагаемых
отрезках, и удвоенной площади прямо-
угольника, сторонами которого являют-
Рис. 56
ся эти отрезки.
Формулы
(a — b)2 = a2 + b2 — 2аЬ и a2 — b2 — (a — b)(a + b)
записаны по-гречески соответственно на рисунке 57, а, б.
Одночлены вида a3, a2b, abc трактовались как объемы
геометрических тел.
Клинописные тексты, найденные в Древнем Вавило-
не, свидетельствуют о том, что некоторые из формул
(см. рис. 56, 57) были известны 4000 лет назад. Произве-
229
Рис. 57
дение «аЬ» вавилоняне называли прямоугольником,
«а2» — квадратом.
Долгий путь развития и становления прошли алгебра
и алгебраическая символика. Только в конце XVI в.
Ф. Виет, основываясь на частично уже разработан-
ной до него символике, предложил обозначать бук-
вами не только неизвестные, но и коэффициенты при
них, ввел общие буквенные символы. Дальнейшее совер-
шенствование алгебраическая символика получила в
трудах Р. Декарта, И. Ньютона, Л. Эйле-
ра, Г. Лейбница в XVII—XVIII вв.
Алгебра и анализ развивались в XVII—XVIII вв. в
тесной взаимосвязи. В алгебру проникли функциональ-
ные представления, а в анализе использовалась симво-
лика алгебры. Во многих случаях изучение многочленов
как более простых функций дало возможность создать
общую теорию функций, хотя в математике наблюдается
тенденция сводить изучение более сложных функций
к многочленам или рядам многочленов (простейший при-
мер— так называемый ряд Тейлора).
Если приравнять многочлен нулю либо какому-либо
действительному числу, то получаем алгебраическое
уравнение. Исторически первой задачей алгебры было
решение таких уравнений. Решение линейных уравнений
и задач, приводящих к квадратным уравнениям, было
известно еще в древности, задолго до начала нашей эры.
Формулы для решения уравнений третьей и четвертой
степеней были открыты итальянцами в XVI столетии.
Невозможность решения в радикалах уравнений пятой
степени и выше строго доказал норвежский математик
Н. А б е л ь в 1826 г.
Теория симметрических многочленов начала разви-
ваться в связи с доказанными Ф. Виетом формула-
ми, выражающими коэффициенты многочлена как сим-
метрические функции его корней. Английский математик
230
Э. Варинг (1734—1798) вывел формулы, выражаю-
'щие степенные суммы через элементарные симметриче-
ские функции. Он доказал, что любой симметрический
многочлен Р (Х|, х2, ..., хп) от п переменных может быть
записан как многочлен от элементарных симметрических
многочленов:
сг1 = х1-|-... 4-х„;
и2 = х1х2 + ... +хп_1хп;
о„ = х[х2...хп.
Этьен Безу (1730—1783) — французский математик, член Париж-
ской Академии наук. Основные труды по исследованию свойств систем
алгебраических уравнений высших степеней и исключению неизвестных
в таких системах. Известна теорема Безу о делении многочлена на
линейный двучлен.
Уильям Джордж Горнер (1786—1837) — английский математик.
Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем
связана схема деления многочлена на двучлен х—а (схема Горнера).
Схема была предложена Горнером в 1819 г.
Пафнутий Львович Чебышев
(1821—1894) — русский математик и
механик, создатель петербургской на-
учной школы, академик Петербург-
ской Академии наук. Многие открытия
Чебышева обусловлены прикладными
исследованиями. Он создал теорию
наилучшего приближения функций с
помощью многочленов. Его труды по-
ложили начало развитию многих но-
вых разделов математики.
Математическая игра
На доске написан многочлен
х34-...х2 + ...х4-... .
Играют двое. Первый ставит на любое из пустых мест
(оно обозначено тремя точками) целое число, отличное от
нуля (положительное или отрицательное). Затем второй
ставит целое число на одно из оставшихся мест. Нако-
231
нец, первый ставит целое число на последнее свободное
место.
Докажите, что первый может играть так, чтобы неза-
висимо от хода второго все три корня получившегося
многочлена оказались целыми числами.
Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. М.,
1967. Данилов Ю. А., Многочлены Чебышева. Мн., 1984. 157 с.
II. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
2.1.	О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ,
СВЯЗАННЫХ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ МНОГОЧЛЕНОВ
При решении некоторых задач, связанных с преобра-
зованием многочленов, используется метод неопределен-
ных коэффициентов. Сущность его состоит в следующем.
Пусть нам известно, что в результате некоторых
преобразований получается выражение определенного
вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выраже-
нии. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами
и рассматривают как неизвестные. Затем для определе-
ния этих неизвестных, исходя из определения равенства
многочленов, составляется система уравнений.
Пример 1. Доказать, что выражение
(х+1)(х + 2)(х+3)(х+4)+1
является квадратом трехчлена.
Доказательство. Так как данное выражение
есть квадрат трехчлена, то имеет место равенство:
(х-f-1) (х + 2)(х+3) (х + 4)+ 1 =(S + ax + b)2,
где а и b — искомые коэффициенты.
Раскрывая в этом равенстве скобки и сравнивая
коэффициеты при х3 и хг в левой и правой частях, полу-
чаем систему
|	2а=10,
1<г2 + 2/> = 35,
232
откуда находим а = 5, Ь = 5. Легко проверить, что при
этих значениях а и b равны коэффициенты и при х и х°.
Искомый квадрат трехчлена имеет вид (x2 + 5x-j-5)2.
Заметим, что для отыскания многочлена f (х) степени
не выше п, принимающего в данных (ra-f-l) точках с,, с2.
с„+| данные значения, удобно записать его в виде
f(x) = b0 + bi (x — cJ + Mx—Ci)(x —с2) + ... +
+ М*~ с,)(х — с2)... (х —с„).
Затем, подставляя в это равенство вместо х его значения
с,, с2, ..., сл+|, получим систему линейных уравнений для
определения «+1 неизвестных коэффициентов b0, blt
b„.
Указанный метод нахождения многочлена с данными
значениями называют способом интерполяции Ньютона.
Пример 2. Существует ли многочлен /(х) с целы-
ми коэффициентами такой, что /(0)=19, /(1) —85,
/(2) =1997?
Решение. Искомый многочлен запишем в виде
f (x) = ax24-&x-f-c.
Подставляя в это равенство х = 0, х=1, х = 2, получаем
для определения коэффициентов а, Ь, с систему линей-
ных уравнений
с—19,
• а 4- й-ф с = 85,
4а + 26 + с=1997.
Решив систему, находим: а — 923, Ь=— 857, с— 19.
Откуда f (х) = 923Х2 — 857х + 19.
Пример 3. Докажите, что для любого действи-
тельного числа а многочлен
а10 —а94-а5 —а3 + а2 —аф-1
принимает неотрицательные значения.
Доказательство. Рассмотрим три случая.
1)	а^О. Неравенство очевидно, поскольку а в четной
степени и —(a2t+l)(/гe^) — неотрицательные числа.
2)	0<а^1. Группируя члены левой части неравен-
ства, имеем:
а|0 + (-а94-а5) + (-а3 + а2)4-(-а+1)>0,
поскольку каждая скобка — неотрицательное число.
233
3)	а>1. Группируя члены левой части неравенства,
имеем:
(а10 —а9) + (а5 —а3) + (а2 —а)+ 1 >0.
(Легко заметить, что каждая скобка — неотрицатель-
ное число.)
При выполнении тождественных преобразований по-
лезно знать и уметь применять следующее утверждение
из алгебры многочленов, которое вытекает из следст-
вия 1 п. 23:
если многочлены f(x) и g(x), степени которых
не превосходят п, принимают равные значения при
(л+1)-л значении переменной х, то они тождественно
равны.
Например, пусть требуется доказать тождество
(х—Ь) (х—с)	(х. — а)(х — с) (х—а)(х—Ь) _
(a — b)(a — c) (b — a)(b — c)	(с — а)(с — Ь)	’
где a^b, Ьфс, а^с.
Доказательство. Легко убедиться, что равен-
ство имеет место при х — а, х = Ь, х = с. Поскольку левая
и правая части тождества являются многочленами от
одной переменной х, имеющими не более чем вторую
степень, то из верности данного равенства при трех
различных значениях переменной х следует, что данное
равенство является тождеством.
2.2.	ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
Любой многочлен f (х) степени п делится на много-
член g(x) степени	либо нацело, либо с остат-
ком. В первом случае (при делении нацело) частное от
деления, а во втором случае (при делении с остатком)
частное и остаток можно найти методом неопределенных
коэффициентов.
Пример 1. Известно, что многочлен 2х4 — х3 + 2Х2+
+1 делится на многочлен х2—x-f-l- Найти частное от
деления.
Решение. Частным от деления многочлена четвер-
той степени на многочлен второй степени будет много-
член второй степени, который можно записать в виде
ах2-)-6x4 Тогда имеем равенство
2х4 — х3 4- 2Х2 + 1 =(х2 — х-f- 1)(ах2-]-6х-|-с) =
= ах4 + (6— а) х34-(а + с — Ь)	— c)x-j-c.
234
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях х, получаем систему
а —2,
b — a = 1,
а-\-с—Ь = 2,
Ь — с = О,
с= 1,
откуда а —2, b = 1, с = 1.
Итак, частное от деления многочлена 2х4 — х3 4~ 2х2 4-
4-1 на многочлен х2 — х-|-1 есть многочлен 2х24-*4-1-
Пример 2. Найти остаток от деления многочлена
Р(х) = х'00-х504-2х25-4
на многочлен Q(x) = x2—1.
Решение. По теореме о делении с остатком остаток
от деления многочлена Р(х) степени 100 на многочлен
Q (х) степени 2 есть линейный многочлен, который мож-
но записать в виде ах-\-Ь, т. е.
х'оо —x504-2^25 —4 = (х—!)(х4-1)S(x)4-«x-|-ft,
где S (х) — частное от деления.
Подставляя в это равенство значения х, равные
1 и —1, получаем систему уравнений для определения
коэффициентов а и Ь:
— 2 — а-\-Ь,
— 6= — а-\-Ь.
Решив систему, получим: а = 2, Ь=—4.
Итак, остаток от деления многочлена Р (х) на Q (х) —
многочлен 2х — 4.
Пример 3. Многочлен Р„(х) при делении на
х — 2 дает остаток 5, а при делении на х — 3 дает оста-
ток 7. Найдите остаток от деления многочлена Рп(х) на
(х-2)(х-3).
Решение. Так как остаток от деления многочлена
Р„(х) на х —2 равен 5, а на х —3 равен 7, то по теоре-
ме Безу
При делении многочлена Р (х) на (х — 2)(х— 3) (т. е.
на многочлен второй степени) получаем по теореме о де-
235
лении с остатком в общем случае линейный многочлен
ах 4- р:
P„(x) = (x-2)(x-3)S„_2(x) + ax-|-p,	(1)
где S„_2(x)— частное.
Так как Р„(2) = 5 и Р„(3) = 7, то, подставляя х — 2
и х = 3 в равенство (1), получим:
Рп (2) = 2а + р = 5, Рп (3) = За + Р = 7.
Составляем систему уравнений
(2а 4-0 = 5,
(За 4-0 = 7,
решив которую находим: а = 2, 0=1.
Итак, остаток от деления многочлена Р„(х) на
(х — 2)(х — 3)—многочлен первой степени 2x4-1.
Пример 4. Доказать, что если дан многочлен
/ (х)= аохп + а^"-14-а2х"-2 +... 4-ап_(х4-а„
с целыми коэффициентами, то для любых целых чисел
end целое число /(c) —/(d) делится на число c — d.
Доказательство.
f(c) — f(d) = (ancn + alcn~' + ... +an_lc + a„) —
— (aQdn4-a{dn ' + ••• 4-an-i^4‘O„ =
= a0 (c" —dz')4-a1 (c"-1 —d',_|)4----4-an-i (c —d).
Из курса алгебры 8-го класса известно, что для
любого натурального k(k^2) справедливо равенство
c*-dk=(c — d)(ck-' + ck~2d + ... +cdk~2 + dk-1).
Поэтому каждое слагаемое в полученном равенстве для
/(с) — /(d) делится на с — d, а значит, и вся сумма
делится на с — d.
Пример 5. Существует ли многочлен р (х) с целыми
коэффициентами такой, что р(1) = 19, р(19) = 85?
Решение. Составим разность р (19) — р (l) = 6b.
Число 66 не делится на 18 (19—1 = 18), следовательно,
согласно утверждению, доказанному в примере 3, такого
многочлена р(х) не существует.
Сформулируем следствия из теоремы Безу, которые
широко применяются при решении задач.
1)	Многочлен хп — ап делится на х — а при любом
натуральном п, т. е. разность одинаковых степеней де-
лится на разность их оснований, причем
236
= Xя - ’ 4-X" - 2а 4-Xя - V +... + xV -3-I-
*	х — а
4-xa'!-24-a',_|.	(2)
2)	Многочлен x2n— a2n делится на x-\-a при любом
натуральном п, т. е. разность одинаковых четных степе-
ней делится на сумму их оснований, причем
„2п	~2п
х ~а _„2л-1 „2п-2„ । „2п-3„2
,	'" л	Л И | Л U	• • »
х+а
— х2а2л-34-^а2л-2 —а2"-1.	(3)
3)	Многочлен х2л+14-я2л+1 делится на х4~ а при лю-
бом натуральном п, т. е. сумма одинаковых нечетных
степеней делится на сумму их оснований, причем
^2л4-1 | „2л+1
+аа— = х2'1 - X2'- 'а + х2п-2а-...+
4-х2а2л~2—ха2"-1 — а2п.	(4)
Докажем следствие (3).
Действительно, пусть / (х) = х2л+14-а2"+1 и тогда
/( —а) = (— а)2л+14-“ +1, т. е. /(— а) = 0. Следователь-
но, /(х) делится на х —(— а), т. е. х-^-а.
Выполняя деление (по правилу «деления уголком»
или по схеме Горнера), нетрудно получить равенство (4).
Аналогично доказываются первые два следствия.
Пример 6. Разделить многочлен
f(x) = x5 —243 на х —3.
Решение. Так как / (х) = х5 — 3d, то по следствию 1
многочлен / (х) делится на х — 3, причем
= х4 4- х3 • 3 ’ 4- х2 • З2 4- х • З3 4- З4 =
= х4 4- Зх3 4- Эх2 4- 27х 4- 81.
Пример 7. Разделить многочлен
/(х) = х204- 1 на х44-1
Решение. Положим х4 = у, тогда /(*/)=у'1 + 1. По
следствию 3) этот многочлен делится на y-f-l:
^ТТ = У4-У3 + У2 — У+ 1-
Отсюда следует, что
237
Пример 8. Доказать, что при любом натураль-
ном п значение выражения 42л— З2" Д-23,г—1 делит-
ся на 7.
Доказательство. Так как 42я=16л, 32л = 9л и
23л = 8я, то 42л-33л + 23л—1 = 16Л-9Л4-8Л—1. Согласно
следствию 1) из теоремы Безу, при любом натуральном п
значение выражения 16л — 9Л делится на 7 (так как 16 —
— 9 = 7) и значение выражения 8я—1 делится на 7 (так
как 8—1=7). Следовательно, при любом натуральном
п значение выражения 16я — 9Я + 8Я—1 делится на 7,
поскольку (16я —9я): 7 и (8я—1): 7.
2.3.	КОРНИ МНОГОЧЛЕНА
При нахождении корней многочлена над R полезно
использовать следующие утверждения (некоторые из них
нами были доказаны).
1)	Многочлен п-й степени имеет не более п действи-
тельных корней (с учетом их кратности).
2)	Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один
действительный корень.
3)	Теорема Виета.
4)	Если f (x) = g (х)'у (х), то каждый корень много-
члена f (х) есть корень хотя бы одного из многочленов
g (х) и q (х), а каждый корень многочлена g (х) и каж-
дый корень многочлена q (х) являются корнями много-
члена f (х).
5)	Если а — корень многочлена f (х) степени п, то
/ (х) = (х —а) (х), где q (х) — некоторый многочлен сте-
пени п — 1.
6)	Если на концах отрезка [а; 6] значения многочлена
имеют разные знаки, то на интервале (а; Ь) существует
хотя бы один корень этого многочлена.
Рассмотрим теперь решение некоторых задач, свя-
занных с отысканием корней многочлена.
Пример 1. При каком значении параметра а много-
члены х4 + ах2+1 и х3+ах-]-1 имеют общий корень?
Решение. Пусть /(х) = х4 + ах2-|-1, a g(x) — x3-)-
4-ах+1. Для того чтобы многочлены f (х) и g (х) имели
общий корень х0, нужно, чтобы оба они делились на
многочлен х — х0 (см. теорему 1 п. 34). Найдем общий
делитель наибольшей степени двух многочленов с по-
мощью алгоритма Евклида. Разделим многочлен f (х) на
g (х) с остатком:
238
x4 4~ ax2 + 1 x3-|-ax4-1
—	|x
x4 + ax2 + x
1 —x (остаток)
Затем разделим многочлен g (х) на х—1 и получим
остаток а 4-2:
g(x) = (x—1)(х2 + х + а+ 1) + (а + 2).
Если а=—2, то остаток равен 0 и, следовательно,
многочлены f (х) и g(x) имеют общий делитель х—1.
Значит, многочлены f (х) и g(x) имеют общий корень
х=1 при а=—2. Чтобы убедиться в этом, доста-
точно приравнять к нулю f (1) и g(l)— оба числа рав-
ны а 4-2.
Пример 2. Найти многочлен f (х) с целыми коэффи-
циентами, имеющий корни х, =д/2 4-Д/з' и х2 = д/2’+УЗ-
Решение. Пусть д/2"+~\/з'=у, тогда 3 = (г/— \^)2,
откуда у2 — 2yfiy— 1 =0, т. е. {у2— 1)2 = 8ц2, z/4—10у24~
4-1=0. Итак, многочлен f\(x) = x*—10х24-1 обраща-
ется в нуль при Х = Д/2Ч-УЗ.
Рассуждая аналогично, построим многочлен с корнем
z = у/2 4-Д/з”: 3 = (z— Д/2")3, откуда 3 = z3— ЗД/^г2-}-
4-6z — 2Д/2”, т. е. (г3— 6z — З)2 = (3z24-2)2• 2, или 26 —
— 6z4 — 6z3+ 12z2 — 36z+ 1 =0. Значит, многочлен
/2(х) = х6— 6х4 — 6х34-12Х2 — 36x4-1 обращается в нуль
при x=W+V3.
Многочлен / (х) можно записать в виде
/ (х) = Д (х) /2 (х).
Этот многочлен обращается в нуль при тех значениях х,
при которых обращается в нуль каждый сомножитель,
в том числе при х = д/2 4-Д/3 и х = д/2 4-Л/3-
Искомый многочлен
/(х) = х10- 16х8 4-6х7 4-73х6 4-24х5 - 125х44-354х34-
4- 2Х2 — 36х 4- 1 
2.4.	РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Многочлен можно разложить на множители различ-
ными способами. Укажем некоторые из них:
239
1)	вынесение общего множителя за скобки и способ
группировки;
2)	использование формул сокращенного умножения
и других формул;
3)	введение вспомогательных членов;
4)	предварительное преобразование данного много-
члена;
5)	разложение с помощью отыскания корней данного
многочлена;
6)	использование теоремы Безу.
В общем случае указанные приемы не могут устано-
вить разложимости или неразложимости данного много-
члена. При решении задач отдельные приемы использу-
ются в различных комбинациях.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
/ (х)=(х+1)(х+3)(х+5)(х + 7)+15.
Решение. Поскольку
(х-Ы)(х+3)(х + 5)(х + 7)=
=((х+1)(х + 7))((х + 3)(х + 5)) =
= (х2 + 8х + 7)-(х2 + 8х+ 15),
то, полагая х2+ 8х4- 7 = у, многочлен f (х) можно запи-
сать в виде
У(у + ?) + 15, или у24-7//+ 15.
Тогда z/2 + 7i/+ 15 = (i/ + 3)(«/ + 5), где числа —3 и
— 5 — корни квадратного трехчлена z/2 + 7t/+ 15.
Переходя от у к х, получаем:
f (х) = (х2 + 8х+ 10)(х2 + 8х+ 12).
Разложив на множители квадратные трехчлены
х2 + 8х+10 и х2 + 8х+12,
будем иметь:
f(x) = (x + 2)(x + 6)(x + 4-V6)(x + 4 + V6).
Пример 2. Разложить на множители многочлен
f (х) = х3 + 4х2 + 5х + 2.
Решение. 1-й способ. Легко заметить, что f (— 1 ) —
= 0, следовательно, многочлен / (х) делится на х-}-1.
Разделив многочлен /(х) на двучлен х+1 (исполь-
240
зуя метод неопределенных коэффициентов, либо деление
«уголком», либо схему Горнера), получим:
/(%) = (%+ 1)(х2 + Зх + 2), т. е. f(x) = (x+l)2(x + 2).
2-й способ, f (х) = (х3 + х2)4-(Зх2-|-Зх) + (2х + 2) =
= х2(х+1) + Зх(х4-1) + 2(хН-1) = (х+1)(х2Ч-Зх + 2) =
= (х+1)(х+1)(х + 2) = (х+1)2(х + 2).
2.5.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
Преобразования алгебраических выражений, содер-
жащих радикалы, выполняются согласно общим законам
действий с алгебраическими выражениями и правилам
действий с радикалами.
Напомним, что для любых натуральных чисел т^2
и п^2 и положительных чисел а и b верны равенства:
Заметим, что при а<0 и 6<0 имеют место равен-
ства:
а) л]аЬ — "\/( — а)( — ft) = — а  Л] — Ь;
2ntn г—.....— 2пт 	п ____
в) \а2т =	=\-а, meN, ne=N, п^2.
Некоторые формулы сокращенного умножения можно
применять, записав их с использованием радикалов сле-
дующим образом:
а — Ь — (у[а — д//Г)(д/гГ + д/^Г), а^О, Ь^О;
\[а —y[b = (^а"—+\/ь), а>0, 6>0;
п г— п / 2п __ 2п \ /2п 2п __\
уа— \Ь=\уа— \Ь )\\а \Ь ), а^О, Ь^О;
а — Ь = (л[а (V#2*+ V^")i
a + b = (yfa +V^") (Va2^—У/ab Н-Д/б2”)-
241
Пример 1. Упростить выражение:
Решение. Преобразуем данное выражение:
Для освобождения от иррациональности в знаменате-
ле дробей вида
Л
используется формула
(х — г/) (Xя-*4-х"-2//4-... +хуп-2 + уп-') = хп — уп.
п Г~	п
Если х=\а, у=\Ь, то получаем
(Va -’V^)(Var7r + ^ая~2Ь 4-... + \jabn~2 4-
+ \[F=T) = a-b.
Следовательно,
А _ А (\&ГТ+^ап-2Ь +... +У/аЬя~2 +V*"rr)
п1— пг-	а — Ь	'
\а —\Ь
где а=£Ь (а^Ь, Ь^О, если п — четное; а, b — любые
действительные числа, если п — нечетное).
Аналогичным образом поступают при освобождении
от иррациональности в знаменателе дробей вида
А
п __ п __’
\а —
Пример 2. Освободиться от иррациональности
в знаменателе дроби:
242
Решение, а) Так как (х — у)(х* + х2у + ху* — у3) =
'	4 ._	4 __
= х4 — у\ то, полагая х=\7, у = \3, имеем:
1
4 _	4 —
\7 -уГ
__	У?7-НД/т7•'Уз'+Ут~-Д/з7 4-Уз7	_
(Ут’-Уз')(д/77+^7Г-Уз-+-Ут’-Д/зГ+У^)
_ Уз43'+У147' + УбЗ' + У27'
—	4
б) Так как (х + //) (х4 — х3у + х2у2 — ху3 + у4) = х5 + у5,
5 _	5 г_
то, полагая х=\р, y=\q, имеем:
1
-х/а +V77-xW+V7
р+я
При преобразованиях выражений с радикалами ино-
гда может оказаться полезной формула сложного ради-
кала:
yiZa = дД^^± д/л--^
где Л>0, В>0 и Д2-В>0.
Пример 3. Упростить выражение
Решение. Воспользуемся формулой сложного ради-
кала. Пусть А —	В —а и тогда
л2 о /а + ^Х2	а2 + 2ах2+х'1 — 4 ах2 /а — д^Х2
д — о = | —х— I — й —--------з-------= I —л— I .
\ 2х /	4Х2	\ 2х J
243
Значит, \]А2-В —г-'27““ I- Тогда имеем:
м=у/а+у/в' - у]а-у[в = 2	=
Поскольку	и я>0, то х>0. Поэтому:
б) если х2>а, то М
Пример 4. Доказать, что ~\/з — у/2 есть число
иррациональное.
Доказательство. Обозначив Д/з —л/2~ через
3 г~
а (а>0), будем иметь а2 —3= — у2 и (а2 —З)3= — 2, или
а6 —9а4 ± 27а2 —25 = 0.
Значит, число а является корнем многочлена с целы-
ми коэффициентами. Однако по следствию 2 из теоре-
мы 1 п. 35 многочлен с целыми коэффициентами не
может иметь дробных рациональных корней. Целые его
корни могут быть лишь среди чисел: ±1, ±5, ±25. По-
скольку 0<а<2, то достаточно проверить число 1. Оно
не является корнем. Значит, число а не является рацио-
нальным.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
413.	Дана функция /(х) = ах±1 — а.
а)	Докажите, что ее график проходит через точку
/1(1; 1).
б)	Найдите точки пересечения графика с осями коор-
динат.
в)	Найдите все действительные значения а, при кото-
рых уравнение /(х) = х2 имеет корни.
г)	Найдите все действительные значения а, при кото-
рых неравенство /(х)^4х— х2 —3 выполняется при всех
значениях х.
д)	Пусть а отрицательно. Найдите наименьшее значе-
244
ние площади фигуры, отсекаемой графиком функции / от
обей координат.
414.	3 адайте квадратичную функцию формулой вида
у — ах2 + Ьх4-с, если:
а)	вершина параболы М (— 2; 3) и график функции
проходит через точку N (3; —2);
б)	график пересекает ось Ох в точках А (3; 0) и В (7;
0) и проходит через точку С (8; 20);
в)	график функции проходит через точки Д(1; 1),
6(2; 13) и С(-1; 7).
415.	На графике функции у = х2 взяты три точки,
абсциссы которых составляют геометрическую прогрес-
сию. Составят ли геометрическую прогрессию их орди-
наты?
416.	На графике функции у — х2 взяли три точки,
абсциссы которых составляли арифметическую, а ордина-
ты — геометрическую прогрессию. Докажите, что, по
крайней мере, одна из этих точек не имеет рациональной
абсциссы.
417.	Разложите на множители;
а)	а44-4;
б)	х6 + 1;
в)	х64-27;
г)	х4 4-х2 4-1;
д)	х34-х2 — 2х — 2;
е)	х44-4х34-5х24-4х4-4;
ж)	27х4 — Эх2 4- 14х — 4;
з)	(х24-х)24-4(х24-х)-12.
418. Разложите многочлен х94-х4 —х—1 на 5 множи-
телей.
419. Решите уравнение методом введения новой пере-
менной:
а)	7х4 — 9х24-2 = 0;
б)	х8—15х4—16 = 0;
в)	(5х24-х—I)2 — (5х24-х—1) = 2;
г) (Зх24-х4-1)2=18х24-6х4-1;
,16	. .	20
д)		= 1 4---------------
(х+1)(х-6)	(х—2)(х—3)
, х2 , 36	16 /х 6\
е)
ж)	21 — 4 у/х — х;
3)	2^2+1 = -34--^;
и)	2sin2x — (sin х| — 1=0.
245
420.	Решите уравнение:
а)	(х+1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40;
б)	(х4-1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = 9;
в)	(х—1)(х —5)2(х —9)= —39;
г)	(х2 + 6х-4)(х2 + 6х-3)=12.
421.	Решите уравнение:
a)	(x + 5)44-U + 3)4 = 2;
б)	(х—4,5)4 + (х- 5,5)4= 1;
в)	(3-х)4 + (2-х)4 = (5-2х)4;
г)	4х4 + 12х3 —47х2+ 12х + 4 = 0;
д)	х4-2х3 — 13х2 — 2х+ 1 =0;
е)	(х2-Зх+1)2 + 3(х-1)(х2-Зх+1) = 4(х-1)2.
422.	Решите уравнение:
а)	|х-2| + |х-3| = |х-4|;
б)	Л/(х+1)2 +У(х + 2)2 +У(х + 3)2 =6;
в)	"\/х + 2д/х — 3 —2~-\-^х — 2^х— 3 —2 =х — 3;
г)	у1х + 2-\[х^2—1 + Д/х~2\/х —2 —1 = х-2.
423.	Постройте график функции:
а)	у = y/x-[-2\fx— 1 ;
б)	у = У]х — 2Д/х — 1
в)	у=+	—1 +VX — 2\/х—1 •
424.	Решите неравенство:
а)	(х— 1)2(х2 — 2х — 3)^ — 4;
б)	(х —З)4 —4 (х2 —6х)> 32;
в)	х4— 1 Ох3 + 35х2 — 50х + 24>0;
г)	Зх2 (х —4)2<32 —5 (х —2)2.
425.	Решите неравенство:
а)	|24х2-39х-8| < 118х2-25х + 32|;
б)	|х3-Зх+1|<|х3 + х2-1|;
в)	|х3-Зх+ 11	|х3 + х2- 11;
г)	|х3-Зх-{-2| > |х3 + х2 —2|.
426.	Докажите, что при любых действительных значе-
ниях х справедливо неравенство:
246
a) x4 —4x34- 12x2 —24x4~24>0;
' 6) (x3 + x2 + 3)2>4x3(x-1)2.
427.	Докажите, что если xL>0, то справедливо нера-
венство
х3 ,2
х
428.	Докажите неравенство
(а + 6)8<128(а8-Н8),
где а и b — любые действительные числа.
429.	Докажите неравенство
а4 + 64 -|- с4 2 (а2Ь2 4- а2 с2 4- Ь2с2),
где а, Ь, с — стороны треугольника, в частности, вырож-
денного.
430.	Постройте график функции:
а)	у — соз^лх —в) У = \ cos (лх—^|;
б)	у = cos (л|х| — -2-Y,	г) у — | cos (л|х| — -01.
431.	При каких значениях а число является кор-
нем уравнения 3 cos 6x4-2 sin 5x4-5 cos 4x — 3sin3x4~
4- 2 cos 2x — sin2 x = a?
432.	Докажите, что при всех значениях а уравнение
х2 —(2 cos a — 3)x-|-cos2a — 4cosa4-7 = 0 не имеет дей-
ствительных корней.
433.	Докажите, что сумма
"\Jsin4 х-|-4 sin2 (у—х) 4-"^cos4 х-|-4 cos2 (х—
является постоянным числом, не зависящим от х.
434.	Найдите:
а)	sin4 а4*cos4 а, если sin2a=y,
б)	cos(60° — а), если tga=-|- и 180°<a<270°.
1-f-cosa/.	(1—cosa)2\
435.	Упростите выражение ---------(14-------2---J
sin a \ sin a /
и найдите его значение, если cosa=—0,8; у<а<л.
247
436.	Докажите тождество:
a)	(cos a —cos P)2 + (sin а —sin Р)2 = 4 sin2 а~^;
б)	(cos а + cos p^ + ^in a —sin Р)2 = 4 cos2 а~
в)	(cos a —cos Р)2 —(sin a —sin р)2 —
= —4 sin2 - cos (а + р);
sin2a —sin2 0
Г) —г-----TT = tg(a-P)tg(a + p);
cos a —sin p
д)	(1 — cos a cos P)2 —sin2 a sin2 p =
л • 2 a-f-B . 2 a — В
= 4 sinz 2 r stnz —2“^;
e)	sin2 a + sin2 Pcos2 a cos2 p —sin2 a sin2 B = 1;
ж)	cos2 a + sin2p + sin2 a cos2 p —sin2 p cos2a= I;
з)	cos2 a + cos2 p —sin2(a + P) =
= 2 cos (a + P) cos a cos P;
и)	sin2a + sin2p —sin2(a —P) =
= 2 cos (a—p) sin a sin p.
437.	Решите уравнение:
a)	sin 5x + sin x= 1 — 2 sin2 x;
6)	sin 5x — cos 15x = 0;
в)	cos 2x + 4 sin2 x=A/3"sin 2x;
r) sin (x+-0—(sin x + cos x) sin 2x;
д) sin 2x+1 = —5 (sin x + cos x);
e) 8 cos4 x= 1+cos 4x.
438. Упростите выражение:
. /tg a + sin a . , a	3.t
a) \/~-------:----Fctg-, если л<а<—;
у tg a — sin a	z
-\ /tg a — sin a
у tg a + sin a
+ tg-|, если -у<а<2л;
в)
Д/l +sin а +^1 — sin а
Л/1 +sin а —Л/1 — sin а
•ctgy—1,
3	_
если — л<а<л;
yl+sina — yl— sin а a ।
+sin а +Д/1 —sin a
л ^,3
2<a<4 Л;
248
 д) V(1 — tg2a)(ctg2a — 1) -tg 2a4-2,
Л	Л
если — CaC-^;
4	2
e) ДД1 + tg2 a) (ctg2 a + 1) • sin 2a + 2,
л	3
если j-<a<-j.
439. Решите уравнение:
а) 2 cos x — 1 = д/cos x;
6) 3 sin x— 1 =2~\/sin x;
в) ylcosx+^ =siny;
r) Д/cos x+| = cos
, cos 2x
д)	=t;
yl 4-sin 2x
, cos 2x
e)	- -	-..= —1;
у 1 — sin 2x
ж)	"Vi —cos x = sin x;
з)	Л/1 — sin x =cos x.
440. Решите систему уравнений:
(sin x-f-sin y = 1,
a) 1 .
{х + у = л-
{cos x —cos y — 0,
x + y = n\
B)
r)
4
sin X-f- sin y—-^,
tg-vtgi/ = 3;
3
cos x cos y=—,
3	4
ctgxctgi/ = 3.
441. Решите неравенство:
a)	sin 4x-|-cos 4x ctg 2х> д/3~;
6)	sin 4x — cos 4x tg 2x<“\/3^;
в)	sin-2-cos 2x — cos-2-sin 2x>-^;
x 2^3	• 9 / JT 3	\ _	1
r) cos (jX-jJ-sm (__-x)>-;
д) 4 sin (4—l,5x) cos (l,5x —
\ o	J \	<5 /
442.	Чему равна сумма углов аир, еслг tg а и tg р
являются корнями уравнения 6х2—5х4-1=0?
249
443.	Дана функция /’(x) = sin х sin Зх.
а)	Решите уравнение f (х) = 0,5;
б)	найдите область значений функции /;
в)	найдите наименьшее положительное решение си-
стемы
Нх) = 0,
cos 5х— 1.
444.	Дана функция z/ = cos 2x-|-cos х—4cos2-|-.
а)	Выразите у как функцию от cos х;
б)	решите уравнение у=—3;
в)	докажите, что при всех значениях х выполняется
неравенство г/<0;
г)	сколько корней в зависимости от а имеет уравне-
ние у = а на отрезке [0; л]?
Весь анализ бесконечных вращается
вокруг переменных величин и их функций.
Л. ЭЙЛЕР
Глава III
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 10. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
41. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим множество N всех натуральных чисел
# = {1, 2, 3, ..., п,
Определение. Пусть каждому п из множества
натуральных чисел сопоставляется действительное число
х„. Тогда говорят, что задана числовая последователь-
ность
х2, х3, ..., х„.	(1)
Кратко числовая последовательность обозначается
{хл}, или (х„), или хл = /(п), n^N. При этом х„ называется
п-м членом или общим членом последовательности. Все
члены последовательности можно пронумеровать, что
и подчеркивается в обозначении хп. Индекс п указывает
номер члена последовательности.
Например, 1; 4; 9; ...; л2; ... —числовая последова-
тельность. Общий ее член хп = п2 показывает, что каждо-
му натуральному числу п сопоставляется квадрат этого
числа.
Непосредственно из определения числовой последова-
тельности следует, что задание последовательности хп =
= f (п), n^N можно рассматривать как задание функ-
ции, областью определения которой является множество
всех' натуральных чисел. И наоборот, функция / (п),
областью определения которой является множество всех
натуральных чисел, определяет числовую последователь-
ность:
/(1), /(2), .... /(»), ... .
251
Если положить f(n) = x„,
то получим последователь-
ности в виде (1).
Поэтому можно дать вто-
рое равносильное определе-
ние числовой последователь-
ности.
Определение. Чис-
ловой последовательностью
называется функция, обла-
стью определения которой
является множество всех на-
туральных чисел, множест-
вом значений — некоторое
подмножество действительных чисел.
Как и числовую функцию, последовательность можно
изображать графически в виде точек координатной плос-
кости, по оси абсцисс которой откладываются значения
п, по оси ординат — значения хп (рис. 58).
Чаще последовательность (х„) изображается в виде
точек координатной прямой (рис. 59).
х, х3 О х4 х2 xs х7 хе хв х3 хю
Рис. 59
Пример. Изобразить на координатной прямой пер-
вые пять членов последовательности х„ = (— 1 у п^-
1	2
Полагая п=1; 2; 3; 4; 5, получим xt=—-т-, х2~—,
х3 = —j, x4=-i, х5= ——. На рисунке 60 показано, как
изображаются члены последовательности на координат-
ной прямой.
XSX3 X,	_________Xz	t
5 3 £ О	2. ±
~6	~ 2	3 5
Рис. СО
Упражнения
445.	Напишите первые 5 членов числовой последова-
тельности, если каждому натуральному числу п соответ-
ствует число:
а)	обратное квадрату п;
б)	противоположное п;
в)	обратное кубу п, если п — нечетное, равное 0, если
п — четное;
г)	равное сумме неотрицательных целых чисел, пред-
шествующих п.
446.	Изобразите на координатной прямой и коорди-
натной плоскости первые 7 членов последовательности:
а)	n^N;
nsN.
447.	Изобразите на координатной плоскости первые
9 членов последовательности:
а)	[f], ne=N;
б)	1’ neN;
\О J о
. п (п— 1) ж
в) х„ = sin —-—, пеN;
л (л— 1)
г) */n = cos —з—, гаеЛГ.
42.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Поскольку последовательность есть частный случай
функции (функции натурального аргумента), то и спосо-
бы задания последовательностей такие же, как и спосо-
бы задания функций.
Чаще всего последовательность задается аналитиче-
ским способом, т. е. при помощи формулы, указываю-
щей, какие математические операции нужно выполнить
над числом п, чтобы получить число хп = f (п).
Например:
1)	хп = 2п—1. Придавая п последовательно значения
1, 2, 3, 4, ..., получим развернутую запись этой последо-
вательности:
1; 3; 5; 7; 9;	2п- 1; ... .
2)	х,1=1. Очевидно, каждый член последовательности
с таким общим членом равен единице:
Г, 1; 1; ...; 1; ... .
253
—, если п — нечетное,
«V	П
3)	хп = - п
——, если п — четное.
1«+1
В развернутом виде получим последовательность
.. £• 1- ±- 1-
*’ 3’ 3’ 5’ 5’ "• •
До сих пор, задавая последовательность, мы ука-
зывали ее общий член. Однако иногда выписывают
только несколько первых членов, считая, что сам их
вид дает достаточно оснований для того, чтобы судить
о законе образования последовательности. Например,
естественно считать, что запись 2; 4; 6; 8; ... подразуме-
вает задание последовательности с общим членом хп —
— 2п. Но это совершенно не обязательно, так как после-
довательность могла бы быть продолжена и так: 2; 4; 6;
8; 11; 17; ... .
Строго говоря, бесконечную числовую последователь-
ность нельзя без специальных словесных добавлений
задать никаким конечным числом членов.
Последовательность также задается словесным спо-
собом. Например, последовательно находя и записы-
вая приближенные значения квадратного корня из числа
2 с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. с недостат-
ком, получим последовательность чисел: 1; 1,4; 1,41;
1,414; ... .
Здесь формулы общего члена нет, но закон образова-
ния последовательности указан словесно: для получения
п-го члена последовательности нужно извлечь квадрат-
ный корень из числа 2 с точностью до с недо-
статком.
Кроме указанных, существуют и другие способы за-
дания последовательности. Так, иногда общий член по-
следовательности задают при помощи рекуррентной
формулы, т. е. формулы, которая выражает n-й член
последовательности через предшествующие (через члены
с меньшими номерами). При этом один или несколько
первых членов должны быть заданы.
Например:
1) Рекуррентной формулой xn+l — xn-{-d (где d — не-
которое число и х,—а) задается последовательность
a; a-j-d; a-f-2d; ...; a-\-d(n—1); ...,
<254
которую называют арифметической прогрессией. Эту
прогрессию можно задать также формулой
xn — a + d{n— 1).
2) Рекуррентной формулой хя+1 = ^хл (где q — неко-
торое число, отличное от нуля, хх = а) определяется по-
следовательность
a; aq\ aq2', ...; aqn~}', ...,
которая называется геометрической прогрессией.
Формула xn = aq"~\ n^N задает ту же прогрессию.
Упражнения
448. По заданным первым членам последовательно-
сти подберите одну из формул общего члена:
а) 2,	5,	10,	17,	26,	37,
_1_	_1_	_1_	1	1	1
°' 2’	5’	8’	11’	14’	17’
. 1 8 27 64 125
в' ТГ’ 21’ 3! ’ 4! ’ 5! ’
.	1-4 1-4-7 1-4-7-10 1-4-7-10-13
А‘ *’ Тб’ ТГэ’ 1-5-9-13’ 1-5-9-13-17’
е) 1, 14-1 1+| + |’ 1+1 + 1+7’ 1+| + 4 +
4-I4-I.....
‘7'9.......
449. По заданным первым членам последовательно-
сти найдите одну из формул общего члена:
а) 2, -		2, 2, —2, 2,	—	2, ...;	
б)	— 1,	1 1	1	1	
		W W л	/4”	д/Т ””	
в)	4-1,	— 9-2, 14-22,		-19 - 23, 24 - 24, .	• • >
г)	-1,	1 -3 1 - 2’ д’ 4’	5,	1 — 7 1	; 6’	’ 8’	’	
д)	1, -	1 1		1 1	1
		\Тз"		д/ГЁГ д/бТ’	д/ёТ’
е)	1, 1	—L	1—L Д/2	гН"	._L 1—L4 V3	V2	1 1 Д/З- Д/41
255
450.	Найдите сотый член последовательности, задан-
ной аналитически:
а)	хя = "\/л(п + 21)(п -|-44), n^N;
б)	ап = п{~Х}П n^N;
п
в)	сп= 2 k, n^Z;
k=i
г)	г/я = 3-2,0°- S 3-2'-
/=|
451.	Напишите первые шесть членов последователь-
ности, заданной рекуррентным соотношением:
а)	х, = — 3, хя+1 = 2хя4-5;
б)	ол+1=—2	> at — l> й2 — 2;
в)	^i = l, .У2 = 2, уп+2 = уп+1 — уп;
\	1 ( I 1 \	о
Г) Xn+I=-(хя+—), х, = 2.
\ Лп /
452.	Найдите члены х^ и х1997 последовательности
(хя), если Х! = 1, х2 = 2, хя+2 = ^2..
453.	Найдите члены и а886 последовательности (ая),
если ^=0, а2=1, а„+2 = ал+1 — а„.
454.	Найдите формулу n-го члена последовательно-
сти, заданной рекуррентным соотношением:
а)	х, = 10; хя+,=|хя;
б)	х, = 2; хя+1=х„4-5;
в)	61 = 6; bn+i = 2bn — 3;
г)	х( = Г, хя+1= — Зх„ + 2;
д)	Х1=—7; хл+1 = 10хя — 3-5";
е)	at = 7-, ая+1 = Зая4-5-2л;
ж)	а. = 4, ая+1 = з^-;
. О	2а„
3)	о, = 3; «.+ .-5^;
И) а. = 5; ап+1 = 4^;
.	1	2 "
к) х,=-; хя+1 = з—.
256
455. Найдите формулу n-го члена последовательно-
сти, заданной рекуррентным соотношением:
а)	х, = 0, х2 = |, х„+24-5хл+14-6хл = 0;
б)	Х|=|» *2 = 0, х„+2 = Зхл+1 — 2х„;
ч 1 . 1
в)	X,—-g, Х2— 1, Хл + 2 — Хя+1 ^Хл,
г) х, = 6, х2 = 3, хл+2 = 6хл+1 —9х„;
д) х, = 2, х2 = 3, Зхл+24-хл+1 —2хл = 5;
е) X! = 1 —, х2 = 2, 9хл+2 + 6хл+| + хл = 32.
456.	Найдите n-й член последовательности («„), где
ип = Л/хп + уп — гп, если х„=444...4, г/л= 111...1 ,
2п цифр	п -}-1 цифр
z„ = 666...6, neN.
к _ ________>
п цифр
457.	Найдите лг-й член последовательности (х„), где
хл = ал + ^л, если ал=66...6, />„=88...8, n^N.
п цифр	п цифр
458.	Докажите, что n-й член последовательности (х„),
где х„ = ал-/>„4-1, n^N, является квадратом натураль-
ного числа, если ап= 11...1, Ьп= 100...05.
п цифр	п 4- 1 цифр
43*. СУММА л ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть дана числовая последовательность (х„):
X], х2, ...» х„, ... .
Обозначим сумму п первых ее членов через S„, т. е.
$„ — Х[ 4* х2 4-... 4- х„.
Кратко ее можно записать с помощью знака сумми-
рования 2 (прописная греческая буква «сигма»), а имен-
но так:
S„= 2 х/! = х1-|-х24----+*п-
k= 1
Читается: «сумма xk от k—1 до k = n». Здесь xk —
k-й член последовательности. Индекс k может быть заме-
нен любой из букв i, j, s, I и т. д.
9 Алгебра. 10 кл.
257
Например, в развернутом виде запишем:
п
1) 2 aqk~l — a^-aq-j-aq^-j-... -f-a?"-1;
*=i
N .	2	«
’ л! 1! ' 21 '	' Л/1
n — i
Здесь л! = 1-2-3-...-n (читается n факториал);
у (2л)!1 _ 2 , 2-4 , 2-4-6 .
* (2п+1)!!	1-3 + 1-3-5 ' 1-3-5-7 '
/1=1
2-4-6-8
1-3-5-7-9"
Здесь учтено, что
(2п)!! = 2-4-6-...-2п,
(2п+1)!! = 1-3-5.7-...-(2п+1).
Общих методов нахождения суммы первых п членов
последовательности нет, и не всегда сумму можно найти
в виде простой формулы. Для получения формул сумм
первых п членов арифметической и геометрической про-
грессий использовались известные приемы, основанные
на свойствах последовательностей. Мы рассмотрим при-
ем нахождения суммы первых п членов последовательно-
сти (х„), члены которой обладают определенным свой-
ством, а именно: если для последовательности (хк) суще-
ствует последовательность (ак) такая, что хк = ак+х— ак,
k~^ 1, то
п
$п — 2 хк = ап+х — а{, п>1.
А=1
Для доказательства запишем S„ в развернутом виде:
5„ = х1 + х2 + -- - + *„-1+ *„==
= (а2 — at)+(a3— а2) + --- +(а„ — ап_,) + (ал+1 — ап).
Раскрывая скобки, замечаем, что все слагаемые, кроме
— ах и а„+1, в сумме дают нуль. В результате получаем:
Sn=an+l-al.
Пример. Найдем сумму
с _ у 1	— 1___I__—
" Z=f*(*+1) 1-2^2-3
1
«(«+!)
258
Решение.
Хк~ k(k+i)~~	*+1	(	k)~ak+' йк'
1 -г
где ak——Тогда по доказанному утверждению
V 1	'll”
- -О' до ---	4- 1 -	,
л==1 *(*4-1)	+	Л+1	л+*
Задание 1. Докажите, что
2 /г2 = 12 + 22 + З2 + ... +ra2=n(n±-1)6(^-±1.\
Л=1
Задание 2*. Дана последовательность с общим
членом
x* = fe(£+l)(fc + 2) ... (k + m), k<=N,
где т — некоторое натуральное число. Докажите, что
2 ^ = 7ГГ9«('г+1)(« + 2) ... (/i + ffi+l).
t=i	+
Указание. Убедитесь, что хк — ак + 1—ак, где
ak=-±—(k-V)k(k+\)(k + 2) ... (k + m).
m-f- 2.
Упражнения
459.	Найдите сумму первых п членов последователь-
ности:
а)	х„ = 5л— 2, n^N;	г) an = 5-2l-n, n^N\
б)	х„ = 4 —Зл, n<=N\	д) ап = ( — 1)л_1 •г-б-",
ле АГ;
в)	х„ = 9-Ю"-', neN; е) а„ = л (л-|-1), n^N.
460.	Найдите сумму п первых членов последователь-
ности:
а) хя=	леАГ; б) х„= 333...30, леАГ.
л цифр	П-1 цифр
259
461.	Найдите сумму п первых членов последователь-
ности:
а) хп
б) хп
в) хп
_______1______
(2л—1)(2п+1)’
_______1______
(Зл— 1)(Зл + 2)’
_______1______
л (л+ 1) (л + 2)’
n^N;
n^N;
n^N;
п	(4л—1) (4л+ 3) (4л+ 7)’
д) хп= л/—гг ~Г7=> n^N'y
ул-|-1 — ул
е) Хп Д/2л+1 — д/2л— * ’
44. МОНОТОННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим несколько конкретных числовых последо-
вательностей:
1; 4; 9; ...; п2; ...;	(1)
1, 2, 3, ..., п, ...,	(2)
0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; ...;	(3)
_1- 1- _1-	 (-О""'. 2’ 3’	4’	п ’	’	(4)
Для последовательности (1) характерно, что каждый
последующий член больше предыдущего. Поэтому такую
последовательность естественно назвать возрастающей.
Каждый последующий член последовательности (2)
меньше предыдущего, и ее можно назвать убывающей.
В последовательности (3) каждый член, начиная со вто-
рого, равен или больше предыдущего. Относительно
такой последовательности можно сказать, что она не
убывает. Наконец, в последовательности (4) последую-
щий член то больше, то меньше предыдущего, т. е. ее
члены не убывают и не возрастают.
Понятиям, которые мы использовали при рассмотре-
нии этих последовательностей, можно дать строгие опре-
деления.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется возрастающей (убывающей), если для любо-
го п выполняется неравенство хл+)>х„ (хп+,<хп).
260
Согласно определению последовательность (1) возра-
стающая, последовательность (2) убывающая.
Опр е д е л е н и е. Числовая последовательность (х„)
называется неубывающей (невозрастающей), если для
любого л выполняется неравенство x„+t'^x„ (хя+,^х„).
Таким образом, по определению последовательность
(3) неубывающая. Подчеркнем, что возрастающая после-
довательность является неубывающей, убывающая по-
следовательность является невозрастающей, но неубыва-
ющая (невозрастающая) последовательность может быть
возрастающей (убывающей).
Определение. Числовая последовательность не-
убывающая (невозрастающая) называется монотонной.
Возрастающая (убывающая) последовательность назы-
вается строго монотонной.
Таким образом, последовательности (1), (2), (3) —
монотонные, последовательности (1), (2) — строго моно-
тонные, причем (1) можно назвать монотонно возрастаю-
щей; (2)—монотонно убывающей; (3)—монотонно не-
убывающей.
Если последовательность не является монотонной, то
ее называют немонотонной.
Задание 1. Приведите примеры монотонных,
строго монотонных, немонотонных числовых последова-
тельностей.
Задание 2. Является ли последовательность а, а,
а монотонной?
Упражнения
462. Докажите, что последовательность является воз-
растающей:
а)	х„ = и2 + 4, neN; г) ая = \/п-{-8, neN;
б)	х„ = n^N; д) c„ = cosp n<^N;
в)	ал==_£_, n<=N; е) ип=3П-2п+1, n^N.
оЧ — 1
463. Докажите, что
убывающей:
. Зп —2
а) а„=~.----n<=N;
’ п 4л — 3
2
в) х = sin —, n^N;
'	" п
последовательность является
г)	хп — 1000f4Y,
\ u /
2
n^N; д) сП = —, nt=N;
О
2я
и"=(7П)!’ n^N-
261
464.	Докажите, что последовательность является мо-
нотонной, начиная с некоторого номера:
а)	ап = 3я — 1 On, n^N;
,	(3/1+1)2 лг
б)	Ьп = -'	n<=N-,
О
в)	сп= — п2|п— 4|, пеЛГ;
г)	хл = п|п2 — 9|, n^N',
,	л2—4л+3	• г
Д) Х‘ = 2л —3 ’ n^N'
е) un = 2n+i-3a-', ns=N.
465.	Найдите наибольший член последовательности:
.	2л+ 5	жг
а)	хп=з73Т’ n^N<
б)	хп = — n2+-4n-+ 11, neN-,
в)	ап = 2-л-3-4-'’, n^N;
г)	а„= — и24* 14п — 45-|--—, n^N.
’ "	1	1 (2л-17)2 + 2
466.	Найдите наименьший член последовательности:
б)
в)
. 100
ап — п-\--, пел;
Л	I п
хп = "\/л2 — 4п + 12, n^N;
l+2 + З + ...+л . 1
а. — —  :----!------—, ш
л(л+П «
9
г) хп = п2 — 8п+ 15 - --л—
’ п	(Зл—16/+ 6
467.	Докажите, что последовательность (х„) монотон-
ная при любом Х| = а:
а)	х„+1 = хл (1 — х„);	г) хп+1=9х2 —7хл4-2;
б)	х„+1 = х2 —х„4-2;	д) xn+, = x„4-cosxn4-l;
в)	хп + х = хп(хп — 3)4-4;	е) хл + 1 = хп 4- cos ха— 1.
45*. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Обратимся к последовательностям (1) — (4) предыду-
щего пункта.
Последовательность (1) обладает той особенностью,
что все ее члены больше или равны 1, т. ё. для n-го члена
при любых п верно неравенство х„^1. Такой же осо-
бенностью обладают и последовательности (2) — (4): для
'262
последовательности (2) z/„ = —>0 для любых л; для
последовательности (3)	для последовательности
(-1)"-’ 1
и = ----._-------
" п	2’
Говорят, что последовательности (1) — (4) ограниче-
ны снизу.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется ограниченной снизу, если существует число
т такое, что для всех значений п выполняется нера-
венство х„^т.
Для числовой последовательности (2) при всех п вы-
полняется неравенство у„——^Л, для числовой последо-
вательности (4) при любых п и„<1. В таких случаях
говорят, что последовательность ограничена сверху.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется ограниченной сверху, если существует число
М такое, что для всех значений л выполняется нера-
венство х„^.М.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется ограниченной, если она ограничена снизу
и сверху, т. е. существуют такие числа т и М, что для
всех л выполняются неравенства
т^.х„^.М.
С геометрической точки зрения это означает, что
каждый член последовательности принадлежит отрезку
[лг, /И] координатной прямой (рис. 61).
Рис. 61 Ш Хп+1 X, х3 \ Хп Х2 М
Если в качестве числа L взять наибольшее из чисел
|лг| и |М|, т. е. положить E = max(|m|, |М|), то при
выполнении неравенств т^.хп^.М будут верны и нера-
венства —	Поэтому можно дать другое опре-
деление ограниченной последовательности.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется ограниченной, если существует неотрица-
тельное число L такое, что для всех л выполняется
неравенство
Например, числовая последовательность (2) предыду-
щего пункта ограничена, так как |«/„|<^1, последова-
тельность (4) ограничена, так как
(-1Г1 К 1
п I п
263
Определение. Числовая последовательность, ко-
торая не является ограниченной, называется неограни-
ченной.
Это определение можно дать и в другой форме.
Определение. Числовая последовательность (х„)
называется неограниченной, если для любого положи-
тельного числа L можно указать такой номер k, что
1**1 >£•
Иначе говоря, в неограниченной последовательности
существуют члены сколь угодно большие по модулю
любого положительного числа.
Упражнения
468. Докажите, что последовательность (хп) ограни-
ченная:
а)		л + 2 . Зп —2’	г)	п sin п Хп	Л2+1 ’
б)	хп~	4л2 —3. п2+ 1	д)	хл=Д/9/г2 + п — Зл;
в)		2" 3’ + 2"’	е)	, . 1 , 1 . ,1 Хп— 1	+ ^2 +••• z	о	п
469*. Докажите, что последовательность (ап) ограни-
ченная, если:
__2
а)	а( = 2, ап+1 = -3_
б)	= an+1=|a„+-i-;
12 + 22 + 32 + ...+п2 "
в> “=-----'
470.	Докажите, что последовательность (хп) неограни-
ченная:
а) хп —п— 2\/п;
т
б> х* = ^
ч	_ 1 4-2 + 3 + ... +п
Vх»- „+1
471.	Докажите, что любая возрастающая последова-
тельность ограничена снизу. Приведите примеры.
472.	Докажите, что любая убывающая последова-
тельность ограничена сверху. Приведите примеры.
264
§ 11.	ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
46. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие предела последовательности является одним
из основных понятий математического анализа.
Рассмотрим это понятие вначале на нескольких при-
мерах, ограничиваясь наглядными, интуитивными пред-
ставлениями.
1.	Пусть задана последовательность с общим членом
1
хп = — или в развернутом виде
Отмечая члены последовательности на координатной
прямой (рис. 62), замечаем, что члены этой последова-
тельности с возрастанием п сколь угодно близко прибли-
жаются к нулю. Иначе говоря, какой бы интервал,
содержащий точку О, ни взять, найдется номер N такой,
что члены последовательности xw+1, xN+2, ... будут при-
надлежать этому интервалу, а вне его будет распола-
гаться только конечное число членов.
О 1 1 1	1	1
Рис. 62	8 4 з	2
Например, если взять интервал	то, на-
чиная с П-го члена, все члены последовательности
-j^-, ... будут принадлежать этому интервалу, а вне его
будут расположены только первые Ю членов. Это свой-
ство данной последовательности можно выразить так:
/1 \
последовательность 1 — 1 при возрастании п имеет своим
/1\
пределом нуль, или последовательность 1 — \ сходится
к нулю. Этот факт записывают так:
Нт — = 0.
Л —>-СО П
2.	Пусть задана последовательность с общим членом
265
Рис. 63
Изобразим члены этой последовательности на коор-
динатной прямой (рис. 63).
Данная последовательность обладает, как видно,
аналогичным свойством. С ростом номера п члены после-
довательности все меньше отличаются от 1, приближа-
ются сколь угодно близко к 1, «скапливаются» около нее,
и какой бы малый интервал, содержащий 1, ни брать,
начиная с некоторого номера, все остальные члены по-
следовательности будут попадать в этот промежуток.
В заштрихованный интервал (см. рис. 63) попадают все
члены, начиная с 5-го, т. е. х5, х6, х7, ... . Поэтому можно
записать
lim х„ = 1.
П-*-со
3.	Пусть задана последовательность t/„ = sin
ti^N, т. е. 1; 0; —1; 1; 0; —1; ....
Изобразим члены этой последовательности на коор-
динатной прямой (рис. 64). Расстояние между точками
— 1 и 1 равно 2. Поэтому в интервал, длина которого
меньше 2, обе точки —1 и 1 попасть не могут. Это озна-
чает, что вне интервала, содержащего любую точку а
и имеющего длину меньше 2, содер-
— ------.----.—» жится бесконечное число членов
0	’ данной последовательности. В этом слу-
Рис. 64	чае можно сказать, что данная по-
следовательность не имеет предела.
Чтобы дать строгое определение предела числовой
последовательности, введем понятие окрестности точки
координатной прямой, е-окрестности (эпсилон-окрестно-
сти) точки.
Определение. Окрестностью точки а называется
любой интервал, содержащий точку а (рис. 65).
а
Рис. 65
266
я-f а а+€
Рис. 66
Определение, е-окрестностью (е>0) точки а на-
зывается интервал (а—е; а 4-е) (рис. 66).
По определению е-окрестность точки а представляет
собой множество всех точек х координатной прямой,
удовлетворяющих неравенствам
а — е < х < а + е.
(1)
Расстояния от этих точек до точки а меньше е,
т. е. неравенство (1) равносильно условию |х—а|<е.
Теперь обратимся к рассмотренным ранее последова-
тельностям. Число 0 для последовательности 0-) облада-
ет тем свойством, что, если выбрать любую окрестность
точки 0, то, начиная с некоторого номера N+1, все
члены данной последовательности попадают в эту окре-
стность, а вне ее будет находиться только конечное число
членов. Иначе, какую бы е-окрестность точки 0 ни взять,
начиная с некоторого номера ЛГ-|-1, члены последова-
тельности будут попадать в выбранную е-окрестность,
т. е. при n>N будет выполняться неравенство |-^ |<е.
Найдем этот номер Л/:
Значит, М=|—]—целая часть —. Следовательно, все
Iе J	е
члены попадут в любую е-окрестность точки 0, начиная
с номера + При е=10~3 это произойдет, начиная
с 1001 номера, т. е. в такую окрестность попадут
ill D
члены -тт—р -уту, -7^, .... Вне этой окрестности ока-
1 yJ\J I 1 \J\J£ 1 \JXj\J
жутся первые 1000 членов.
В такой ситуации говорят, что почти все члены после-
довательности попадают в указанную окрестность.
Аналогичным свойством обладает число 1 для после-
(_ i)n+l
довательности х„= 1	—. Какую бы е-окрестность
точки 1 ни взять, начиная с некоторого номера, все
267
(_1 у + 1
члены последовательности = 1 -Ь--------— будут попа-
дать в эту окрестность, т. е. будет выполняться нера-
венство
|Xn_1| = |i+kzl£2_1|==l<e.
I	л I п
Это произойдет при Отсюда
Указанное свойство чисел 0 и 1 для рассмотренных
последовательностей и является определяющим для по-
нятия предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом чис-
ловой последовательности (х„), если для любого положи-
тельного е существует номер N, зависящий от е, такой,
что для всех номеров n>N, т. е., начиная с номера
W+L выполняется неравенство
|х„ — а| <е.
Последнее неравенство равносильно условию
а — 8<Схл<а + е,
т. е. при n>N члены последовательности попадают
в любую е-окрестность точки а, но тогда вне такой
окрестности содержится конечное число членов последо-
вательности. Поэтому можно дать другое определение
предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом чис-
ловой последовательности, если любая окрестность
(е-окрестность) точки а содержит бесконечное число чле-
нов (при n>2V), а вне этой окрестности находится
конечное число членов последовательности.
Тот факт, что а является пределом последовательно-
сти (хп), записывают так:
limxn = n, или хп-+а, при л—-оо,
Л-*-ОО
lim — сокращение латинского слова limes, означающего
«предел». Первую запись читают: «предел хп при п,
стремящемся к бесконечности, равен а». Вторую запись
читают «хл стремится (сходится) к а» или подробнее «при
п->-оо последовательность (хл) сходится к а».
Определение. Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся; последовательность, не
имеющая предела, называется расходящейся.
268
Например, мы ранее доказали, что
lim — = 0,
п „_и \ nJ
поэтому говорим, что последовательности
а (н
сходящиеся, в то время как последовательность ^sin
расходящаяся.
Пример 1. Докажем, что число 2 является преде-
/2л —3\
лом последовательности (------), т. е.
,. 2л — 3 о
lim---------= 2
—со
Доказательство. Требуется показать, что для
любого е>0 найдется номер N такой, что при любых
п> N выполняется неравенство
2п —3
п
2 | <е.
Посмотрим, при каких п оно справедливо. Для этого
решим данное неравенство, считая е известным:
I	—2 1= |2 — - — 2|= I— -1=-
I п || п |	| п | п
3
Получаем равносильное неравенство — <е. Отсюда
з
п>—. Таким образом, как бы ни было мало е, для всех
3
номеров п> — выполняется неравенство
2п —3
л
2 | <е.
Иначе говоря, для любого е>0 находим такой номер
Л/=£у], что почти все члены последовательности,
а именно члены с номерами МЦ-2, .... попадают
в е-окрестность точки 2. Следовательно,
269
Задание. Для б=?=0,03 укажите члены последова-
тельности, которые попадут в е-окрестность точки 2, и те,
что не попадут в эту окрестность.
Пример 2. Докажем, что последовательность
(5 — Зл) расходится.
Доказательство. Предположим противное.
Пусть некоторое число А является пределом данной
последовательности. Это значит, что для любого е>0,
начиная с некоторого номера N +1, т. е. при всех n>N,
выполняется неравенство
|5 — Зл— Л | <е,
которое равносильно двойному неравенству
— е < 5 — Зл — Л < е.
Отсюда А — 8 — 5<—Зл<Л + е— 5,
5—е—А	_5+е—А
—5— <л<^—'
(2)
Полученный результат означает, что неравенство
|5 — Зл — А | <е не выполняется ни при каком л, если
при выборе е окажется ----------^1, либо выполнится
о
только при конечном числе значений л, удовлетворяю-
щих неравенству (2). Таким образом, не существует
числа Л, в любую 8-окрестность которого попало бы
бесконечно много членов последовательности, т. е. дан-
ная последовательность не имеет предела—она рас-
ходится.
Этот результат можно было ожидать, если обратить
внимание, как располагаются члены последовательности
на координатной прямой с ростом номера л (рис. 67).
Члены последовательности неограниченно удаляются от
точки О и не приближаются сколь угодно близко ни
к какой точке.
х5	х3 хг Xf
40	-7	4~0 Т
Рис. 67
27в
Упражнения
473. Укажите, с какого номера п члены последова-
тельности (х„) попадают в е-окрестность точки а:
а)	х. = —, n^N, а = 0, если е = 0,1; е = 0,01; е = 0,001;
б)	ха =n^N, а— 1, если е = 0,1; е — 0,04; е = 0,001.
474. Для любого е>0 укажите номер М = Л/(е) та-
кой, что |хл — а|<е для каждого n>N, если:
\	1	п	\	1 —п	1
а)	х=—2, а = 0; в) хп=~п, а= - 1;
б)	а = 2;	г)* х„=^, а = 0.
"	о
475. Пользуясь определением предела последова
тельности, докажите, что:
а)	lim Л—»-оо	п Зл + 2	_ 1, 3’
б)	lim Л —* QO	2м + 3 л+1	= 2;
,.	/ cosn\
в) limI 1 -|—-=- )=1;
П—► оо \	\П /
г)	,im
'	с\п	1
д)	10—д//Г) = О;
л—>оо
е)	lim ("\/»2 + «—л)—4-.
л-»- оо
476. Докажите, что последовательность (х„) расхо-
дится:
а) хп = 2 + (-1)п, n<=N\
б) х„ = п2, n^N\
в) х„ = 2га + 3, n<=N\
г) xn = 2'1, n^N.
47*. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся последо-
вательностей.
1°. (О единственности предела.) Сходящаяся последо-
вательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим противное:
limxn = a, limxn = 6, a=£b. Выберем непересекающиеся
л-*оо	п—*-оо
окрестности точек а и Ь. Так как хп-+а, то в выбранной
окрестности точки а содержится бесконечное число чле-
нов последовательности, а вне ее, значит, и в выбранной
окрестности точки b—конечное, что противоречит усло-
271
-О-.....•.......О'-	"О-------*-  о—
a-t а а+Е b-£ b	Ь+£
Рис. 68
вию х,,->-Ь. Это противоречие и доказывает, что а = Ь
(рис. 68). •
2°. Сходящаяся последовательность является ограни-
ченной.
Доказательство. Пусть хп->-а. Тогда, по опреде-
лению предела, для е=1 найдется такой номер Nit что
при всех л>ЛГ, выполняется неравенство
|х„ — а|<1.	(1)
Пусть d — наибольшее из чисел 1, |Х]— а|, |х2 — а|,
..., Ix/V —а|, тогда, учитывая, что неравенство (1) выпол-
няется для n>Af,, для всех п имеет место неравенство
|х„ — а\s^d,
т. е. для всех п
а — d х„ а + d,
а это и означает, что последовательность ограниченная.
Снизу она ограничена числом а — d, сверху — числом
a-\-d. •
Обратная теорема неверна. Последовательность (х„)
— 1; 1; —1; ... ограниченная, поскольку |хп| 1, но
предела не имеет, т. е. расходящаяся (объясните почему).
Таким образом, свойство 2° утверждает, что ограни-
ченность числовой последовательности является лишь
необходимым условием ее сходимости. Из этого свойства
непосредственно следует достаточный признак расходи-
мости последовательности.
Теорема. Если числовая последовательность нео-
граниченная, то она не имеет предела.
3°. Если последовательность (х„)
хь х2, ..., х„, ...
(2)
сходится к а, т. е. Iimx„ = a, то для любого фиксиро-
ванного натурального числа k последовательность (хк+„)
Х*+1> Xk-t-2’ •••» Xk + n< 	(3)
также сходится к а, т. е. \im хк+п=а.
Доказательство. По условию хп->-а. Значит,
в любую е-окрестность точки а попадают почти все
члены последовательности (2), а следовательно, и все,
272
или почти все, члены последовательности (3). А это
иозначает, что limx^+n = a. •
п-*-оо
Задание. Докажите, что если последовательность
(3), т. е. (xk+n) при n^N, сходится, то сходится и после-
довательность (хл).
4°. Если все члены сходящейся последовательности
положительны (отрицательны), то ее предел не может
быть отрицательным (положительным).
Доказательство. Пусть х„>0 для любого п и
хп->-а. Требуется доказать, что а^О. Допустим противное:
а<0 (рис. 69). Тогда, по определению предела, начиная
с некоторого номера члены последовательности попада-
/3 а\
ют в интервал (— а; —), т. е. они отрицательные, что
противоречит условию хп>0 для любого п. Следователь-
но, предположение, что а отрицательное, неверно. Зна-
чит, а^О. •
^ZZZZZ^ZZZZZZZg
а 2
Рис. 69
_________oZZZZZZZZZ/Z^ZZZ//ZZ//Z/Zg
О £ ьг 1Ьг
Рис. 70
Случай х„<0 для любого п рассматривается анало-
гично (рис. 70). (Докажите самостоятельно.)
Примечание 1. Свойство 4° справедливо и при условии,
когда члены сходящейся последовательности одного знака, начиная
с некоторого номера No.
5°. (О переходе к пределу в неравенствах.) Если
последовательность (х„) сходится к а, последователь-
ность (уп) сходится к b и для всех п выполняется нера-
венство хл^2уп (хп^уп), то а^.Ь (а^Ь), т. е.
limxn< lim уп (lim х„> limz/J.
ч -* оо	П~*- оо	П—► ОО	п-+-оо
Доказательство. Пусть х„^.уп для всех номеров
п. Предположим, что а>Ь. Выберем непересекающиеся
окрестности точек а и Ь. Так как х„-+а и уп-*-Ь, то почти
все члены последовательности (х„) попадают в выбран-
ную окрестность а, и почти все члены последовательно-
сти (уп) будут принадлежать окрестности точки Ь. По
предположению окрестность точки а на координатной
прямой расположена правее окрестности точки Ь. Следо-
273
вательно, существует номер т, для которого хт>ут.
Получили противоречие, ведь по условию хп^.у„ для всех
номеров. Значит, предположение а>Ь неверно, и спра-
ведливо неравенство а^.Ь.9
Случай хп^уп для всех номеров п рассматривается
аналогично. (Докажите самостоятельно.)
Примечание 2. Свойство 5° остается верным, если условие
выполняется, начиная с некоторого номера WO>1, а не
для всех п.
6°. Если последовательности (х„) и (уп) сходятся,
причем Пгпхл = limz/„ = a, и для всех п члены последова-
тельности (зл) удовлетворяют неравенствам
xn^zn^y„,	(4)
то последовательность (zn) сходится и limzn = a.
Доказательство. Так как хл->а, уп-+а, то можно
подобрать такие числа и N2, что для любого е>0
а — е<хл<а + е при n>Nlt
а — е<г/л<а-|-е при n>N2.
Если за N принять наибольшее из ЛГ( и N2, то при
n>N будут, при учете условия (4), выполняться нера-
венства
a — e<x„<zn<z/„<a4-8,
т. е. для любого е>0 подобран номер N = max(Wb N2)
такой, что при п> N справедливы неравенства
а — е<гл<а-|-е или |гл —а|<е.
Это и означает по определению предела последова-
тельности, что limz„ = a, т. е. последовательность (zn)
сходится. •
Примечание 3. Свойство 6° справедливо, если условия (4) вы-
полняются, начиная с некоторого номера No>\.
пг
Пример. Докажем, что lim —=— = 0.
л-оо «3+1
Доказательство. Отмечаем, что для всех
Z4	И	tl 1
а ”. Г
но limO=!im—=0. Тогда по свойству 6°
«-►оо	«“►оо п
П -►оо П3+ 1
0. •
Упражнения
477. Дана последовательность с общим членом
п
1
—, если п — нечетное,
п
. 1
1----, если п — четное.
п.
При нечетном п имеем lim х„— lim — = 0, при чет-
п->-оо	п->оо
ном— lim х„= lim ^1—^=1. Можно ли утверждать,
что данная последовательность (хя) имеет два различных
предела?
478. Пусть последовательность (хя) такова, что
limx2„_| = a и Птх2я = а. Докажите, что limx„ = a.
л —► ОО	л —>-ОО	Л —»-оо
479*. Н айдите предел последовательности (х„), если:
а) хя>0 для всех n^N и lim x2„_t = 3c2— 4,
л-*со
lim х2я = с2— с — 1;
б)	хя<0 для всех n^N и lim х2я_1 = с2-|-с, lim х2я =
Л-*-оо	Л —* оо
= 2 4-4с2 — с;
в)	хя>0 для всех n^N и lim x2k_l==c2-\-c— 3,
lim х2* = 2с-|-3;
г)	х„<0 для всех n^N и lim x2k_l = 3c2-{-2с,
lim х2к = 1 + Зс — Зе2.
480*. Найдите lim хя, если известно, что при лю-
л—*-оо
бом n^N:
\ '* 1
Зп + 2<'Х"<~3'
б)	2<хя<
2я + 3.
л 4“ 1 ’
к 5л 4~ 1	5л 4~ 3
в)	—— <х„<——;
' л п п
п	пf—
г)	V2 <хя<д/3.
275
48*. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Особую роль в математическом анализе играют бес-
конечно малые последовательности.
Определение. Числовая последовательность (а„)
называется бесконечно малой, если предел ее равен О,
т. е.
lim а„ = 0.
п —»-оо
Если вспомнить определение самого предела, то мож-
но сказать так:
числовая последовательность называется бесконечно
малой, если для любого положительного е найдется
такой номер N, зависящий от е, что при всех
выполняется неравенство | ап| < е, т. е., начиная с неко-
торого номера, все члены последовательности попадают
в е-окрестность точки 0.
Например, ранее мы показали, что lim — = 0,
п-иоо П
п2 п	/1\
lim -г— = 0,	так что последовательности	I —I,
,<^оо ПЭ+1	\П/
/ п2 \
( з } ) — бесконечно малые последовательности.
Члены бесконечно малых последовательностей обыч-
но обозначаются греческими буквами ап, 0„, у„ и т. д.
Пример 1. Докажем, что последовательность
а = ——, n<=N,
р г~
\п
является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Выберем любое число е>0
и покажем, что можно подобрать такой номер N,
чтобы при всех n>N выполнялось неравенство
Iyi— I <Z е. Посмотрим, при каких п оно действительно
д/й" I
может быть справедливо. Для этого решим последнее
неравенство. Учтем, что -—>0. Поэтому
д/«~
1 _
—< е,
Р Г~
уп
276
Отсюда, каково бы ни было мало 8, если положить
# =
то при n>N неравенство
8 ВЫПОЛ-
няется. Значит, Нт ——=0
п^°°
последовательность.
Пример 2. Докажем,
р>0 последовательность
/ 1 \ ,
и /----\ — бесконечно малая
I р/— I
\ Д/л /
что при любом рациональном
8.=—, n^N,— бесконечно
ГП пр,
малая последовательность.
Доказательство. 1-й случай. Пусть Р=~£, k и
т — натуральные числа. Тогда справедливы неравенства
л 1	1	1
0< — = -k—— для всех п.
~\[г? л/п
п‘
Так как Нт
* Г-
ДЛЯ
по свойству 6°
Нт — = 0.
П —»-ОО
2-й случай. Пусть
всех п имеем 0<?
О (см. пример 1) и Пт 0 = 0, то
Л-НОО
сходящихся последовательностей
р — натуральное число. Тогда для
—	.' Так как Нт 0= Нт — =
ПР П	п-*-оо п~*-оо
= 0, то Нт —=0.
п -»-оо Лр
Итак, данная последовательность — бесконечно
малая.
Пример 3. Докажем, что при любом а, удовлетво-
ряющем условию |а | < 1, последовательность (ап), n^N,
является бесконечно малой последовательностью, т. е.
Нт а" = 0, |а| < 1.
Доказательство. При а = 0 имеем последова-
тельность 0, 0, 0, ..., и результат
Пусть 0<а<1, тогда -^->1
7>0 такое, что -^-=1+^. Тогда
венства Бернулли (1 +<?)'
очевиден.
и существует
а" =—i—. Из
П-НГ
1 -\-tiq следует
число
нера-
(1 +<?)"	1 + nq
277
Тогда получаем, что для всех п>1 0<Zan<Z-^. Но
lim 0= lim —=0. Поэтому на основании свойства 6°
Л-*-оо	п-*-оо
сходящихся последовательностей
lim ап = 0, если 0^а<1.
и—*-оо
Пусть — 1 <а<0. Тогда 0< |а| < 1 и, по доказанно-
му в первом случае, lim |ап| =0. Это означает, что для
любого е>0 найдется номер N такой, что при n>N
справедливо неравенство (а^Се. С другой стороны, это
означает, что lim хп= lim ап = 0.
Итак, при любом |а| < 1 последовательность (а"), пе
еЛ(—бесконечно малая последовательность, т. е.
lim ал = 0, если |а| <. 1.
Например,
lim (|Y = 0, lim (Д/2 - 1)" = 0, lim
П->со /	л->оо	п—^со \	/
5я
Пример 4. Докажем, что lim — = 0, т. е. последо-
П->оо
/5"\	«
вательность (—I — бесконечно малая последователь-
\ п! /
ность.
Доказательство. При л>6 имеем
0<-- —=- - - - - - -	lL<&/5\n-5
U<~ л! ~~ 1 ’ 2'3 *4 * 5* 6 ‘ 7* " ‘я/^4! \6/
п — 5 множителей
Так как lim 5 = 0 (см. пример 3) и lim 0 — 0, то
но свойству 6° для сходящихся последовательно-
стей lim -т = 0.
Л ~ОО «!
ап
Примечание. Можно доказать, что lim —=0. где а — любое
л-»оо п!
действительное число.
Пример 5. Докажем, что
г «₽ л
lim — = 0
П -* оо
где р — натуральное число, а>1.
278
Доказательство. Представим общий член по-
следовательности в виде
(1)
fjr	fl
-—>-0, если------->-0 при п-»~оо. Так как 1, то & = 1 + й,
а"	Ьп
где /г>0. Тогда
0< —= —-—<
b" (l+ft)"
<с п <z п
2
(л-1)Л2'
Здесь использовали неравенство
(l+hy^l+nh+^-^-h2.
Итак, для п> 1
0<—<--------.
bn (n-l)h2
Учитывая, что lim 0 = 0 и lim ---------- = 0, то по свой-
П—^ОО	П-^ОО (П- 1 ) Й
ству 6° сходящихся последовательностей lim -^- = 0, но
Я—-оо ЬЛ
Пр
тогда из равенства (1) следует lim — = 0.
п-^оо О
Примечание. Можно доказать, что это равенство верно при
любом р. Например,
о
lim -----= lim
«-►оо 10	л —► оо
„1000
п
10"
Нт
п -* со
279
Упражнения
481. Пользуясь е — Доопределением, докажите, что
последовательность (ал) бесконечно малая:
в) ап==-т^. ne=N;
п +5
а) ап=~,
482. Пусть (Рп)—бесконечно малая последователь-
ность. Могут ли в этой последовательности все члены
быть:
а)	больше 106;
б)	отрицательными;
в)	больше 10-8;
г)	меньше 10~8?
483. Ученик, формулируя е — Доопределение беско-
нечно малой последовательности, вместо «выполняется
неравенство |ал| <е» сказал «выполняется неравенство
ал<е». Докажите, что при таком определении последова-
тельность — 10, —10, —10, ..., —10, ... бесконечно
малая.
484*. Докажите, что (а„) — бесконечно малая после-
довательность, если:
а)	—<ал<—, n<=N;
’ 'Sn	2
б)	0<ал<-Ц-, neN;
п п!
49*. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Отметим следующие свойства бесконечно малых по-
следовательностей.
1°. Сумма конечного числа бесконечно малых после-
довательностей есть бесконечно малая последователь-
ность.
В частности, если (ал) и (р„)— бесконечно малые
280
последовательности, то (a„4-₽«)— бесконечно малая по-
следовательность.
Доказательство. Пусть (ая) и (0Я) — бесконечно
малые последовательности, т. е. lim ал = 0 и lim Ря = 0.
Это означает, что для любого е>0, начиная с некоторого
номера N 4-1, выполняются неравенства |ая|<тр
|ря|<-|. Но тогда при n>N справедливо неравенство
la« + Pn| < 1ая| + 1₽л|	+ е>
т. е. |ая4-Рп|<е, что и означает по определению, что
(ая-|-рл) — бесконечно малая последовательность. •
2°. Разность двух бесконечно малых последователь-
ностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказывается аналогично, так как
|а„—|ая| 4- |РЛ|- •
3°. Если последовательность (а„) — бесконечно ма-
лая, а последовательность (хл) ограниченная, то последо-
вательность (алхя) — бесконечно малая.
Доказательство. Пусть последовательность (хя)
ограниченная, т. е. существует число L>Q такое, что для
всех п справедливо неравенство |хя| L и (ая) — беско-
нечно малая последовательность, т. е. для любого е>
>0 найдется номер N такой, что при всех n>N вы пол-
няется неравенство |ая|<—.
Таким образом, для любого е>0 найдем X такое,
что для всех n>N справедливо неравенство
1«яхя| = |ал| • |х„| <-|--Т = е,
т. е. |аяхя|<е. Это и означает, что lim алхл = 0; последо-
п -коо
вательность (аях„)—бесконечно малая последователь-
ность. •
Свойство 4° следует из свойства 3°.
4°. Произведение бесконечно малых последователь-
ностей есть бесконечно малая последовательность. (Объ-
ясните почему.)
Пример 1. Докажем, что
..	10я л (п+1) А
lim —г cos—7 .	=0.
л! д/з«2+ ю
281
Доказательство.
ность ( cos , .	),
\	У3п2+1О/
1, В ТО
Отметим, что последователь-
n^.N, ограниченная, так как
„„„ л(п+1)
COS ,	:
V3«2+ ю
/10"\	<	/	Л лоч
{—1 — бесконечно малая (см. пример 4 п. 48),
10"
lim —- = 0. Следовательно, по свойству 3° бесконечно
Я —Я.
же время последовательность
т. е.
малых последовательностей
.. Ю” л(«+1) п _
lim —у cos —= 0. •
n-oo П- V3 Л2+10
Между сходящимися и бесконечно малыми последо-
вательностями существует определенная связь, смысл
которой устанавливает следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы последовательность (хл)
сходилась к числу а, необходимо и достаточно, чтобы ее
общий член хп имел вид хп — а-{-ап, где (ал)—беско-
нечно малая последовательность.
Доказательство. Необходимость. Пусть хп->-а,
следовательно, для любого е>0 существует такой номер
АГ, что для всех n>N выполняется неравенство
|хл— а|<е, но по определению бесконечно малой по-
следовательности это означает, что (хп— а) — бес-
конечно малая последовательность. Обозначив ее
общий член через ал, получаем хп — а — а„, т. е.
х„ = а + ал.
Достаточность. Пусть хл = а4~ал, (ал) — бесконечно
малая последовательность. Отсюда ал = хл — а, и по опре-
делению бесконечно малой последовательности для
любого е>0 найдется номер М такой, что при
всех n>N справедливо неравенство |ал|<е, т. е.
|х„ — а|<е, а это означает по определению, что
а= lim х„. •
л —► оо
Эта теорема, в частности, обосновывает один из спо-
собов вычисления пределов последовательностей. Пока-
жем его применение на примерах.
Пример 2. Найдем:
. ..	2л2-|-5
Я) hm
П-+ОО OR
б) lim
л-*-оо
2п + 7
Зя 4-5’
282
п	ч 2л2 4-5	2.1 ..	1 п
. Решение, а) — Т =--j—7, Нт — = 0.
5л2 а гг n-t-x п
2/г2 —I—5	2
Значит, по доказанной теореме Нт —4— = —.
п —* оо 5 ft	5
2л + 7 _ 6л + 21 2_2/. 	11	\_2.22	1
' Зл + 5— 6«+10’з —3V'’~6zi+10/ —3' 3 "Зл + 5*
т	..	22	1 л	..	2л + 7	2
Так	как	Нт —♦ -  =0,	то	Нт
п->оо 3 Зл + 5	Зл + 5	3
Упражнения
485. Используя свойства бесконечно малой последо-
вательности, найдите:
а)	Нт п--*-оо	Зл3+ 1. л4 ’	е)	Нт «-►оо	1 -|-sin 2л. д/лГ
б)	Нт «-►оо	Зл2+5л-7. п3 (2 л—I)3	ж)	Нт «—►ОО	£Ч-_Г-£- 10" 3я — 5”
в)	Нт «-►оо	л4 ’ sin (л-|-3)	з) и)	Нт «-►оо	л! ’ л10-л6+ 1
г) д)	Пт «—►оо Нт Л —► оо	л2	’ 1 — cos Зл п	’		Нт «-►оо	2я
486. Используя теорему о связи сходящейся последо-
вательности с бесконечно малой, найдите:
а)	Нт
Л • ► оо
б)	Нт
оо
в)	Нт
П -► оо
2л2 + 5.
(Зл + 2)3.
г) Нт
Л —► оо
д) Нт
«-►оо
е) Нт
Л —► оо
(V10-5);
54-Зл!.
л! ’
Зл — sin л
50*. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ИХ СВОЙСТВА
Рассмотрим последовательность с общим членом
х„ = (-1)пп2, n<=N,
т. е. -1; 4; -9; 16; -25; ...; (-1)"п2, ... .
Обратим внимание на следующее свойство этой по-
следовательности: каково бы число А>0 ни выбрать,
начиная с некоторого номера члены последовательности
по модулю начнут превосходить число А. В самом деле,
283
неравенство |( — 1)"/г2|>А выполняется, если п2>А,
т. е. при п>л/А. Если положить N=[~\[А], то для всех
имеет место неравенство |( — 1)" и21 >А. Напри-
мер, пусть А — 10 ООО, то при п >"\/10 ООО = 100 имеем
|( - 1)" п2| > 104.
Иначе, все члены последовательности, начиная со
101-го члена, т. е. х)01, х102, х103, ..., по модулю оказыва-
ются больше 10 000. Последовательности, которые обла-
дают таким свойством, называются бесконечно боль-
шими.
Определение. Последовательность (хп) называ-
ется бесконечно большой, если для любого положи-
тельного числа А найдется номер N такой, что для всех
n>N справедливо неравенство |х„|>А.
Если (х„) — бесконечно большая последовательность,
то пишут
lim хп= оо или хя->оо.
п -* оо
Читают: «предел х„ при п, стремящемся к бесконечно-
сти, равен бесконечности» или «хя стремится к беско-
нечности».
Если при этом, начиная с некоторого номера, все
последующие члены последовательности положительны,
то пишут так:
lim хп = -4- оо.
П —► оо
Если же, начиная с некоторого номера, все последующие
члены отрицательны, то делают запись
lim хп = — оо.
п—►оо
Обратите внимание на различие понятий: «бесконеч-
но большая последовательность» и «неограниченная по-
следовательность». Для бесконечно большой последова-
тельности характерно, что неравенство |хп|	(для
любого Л>0) выполняется для всех номеров n>N,
а для неограниченной последовательности неравенство
|х„| > А должно выполняться для некоторых номеров.
Например, последовательность с общим членом хя —2я-|-
+ (— 1)Я2Я, т. е. 0; 8; 0; 32; 0; 128; ... является неограни-
ченной, но не является бесконечно большой.
284
Бесконечно большие последовательности обладают
Следующими свойствами:
1°. а) Если lim хп=4-°о, lim уп=-\-со, то
П-*-оо	п~+оо
lim (х„+ //„)=-(-оо.
Л->-0О
б) Если lim хп= — оо, lim уп —— оо, то
п-+со	п—*-оо
Пт (хп-\-уп)= — оо.
2°. Если lim х„=оо, Пт уп=ео,то Пт (хп-уп)= оо.
П-*-оо	п-»-оо	п-*оо
3°. Если Пт х„ = а=/=О и Пт у„=оо, то
П-*-оо	Л->оо
Нт (хп-уп)= оо.
п->оо
Задание. Доказательство проведите самостояте-
льно.
4°. Теорема о связи бесконечно большой последо-
вательности с бесконечно малой последовательностью:
Если (х„) — бесконечно большая последовательность
и х„=£ О для всех п, то — бесконечно малая после-
довательность, т. е.
если lim х„=оо, х„=#0, то lim —=0.
л —оо	п -* оо %п
Доказательство. Пусть хяУ=О для всех п и
п->оо. Тогда для любого 4>0 найдется номер N такой,
что при n>N справедливо неравенство |х„| >А. Отсю-
, , 1 ,
да, каково бы ни было ъ=-д, будет верным неравенство
— <е. Это означает, что (—— бесконечно малая
Хп	\XJ
последовательность. •
Примечание 1. В смысле данного свойства понимается симво-
лическая запись: —— = 0.
оо
Можно доказать и обратное утверждение.
Теорема. Если (а„) — бесконечно малая последо-
вательность и а„ #= 0 для всех п, то (—— бесконечно
\ а« /
большая последовательность.
Примечание 2. В смысле данной теоремы понимается запись:
1
о~°°'
285
Пример. Докажем, что последовательность с об-
щим членом х„ = ап, |а| > 1—бесконечно большая по-
следовательность.
Доказательство.	Так	как I а I	> 1, то	-Дг=
|а|
I 1 I	_,	(/ 1 \л)	/ 1 \	-
= —	<	1	и последовательности	<( -т-н >	и	(—)	—	беско-
I а I	l.\lal/ J	\anJ
нечно малые последовательности (см. пример 3 п. 48).
Тогда (ап) при | а | > 1 бесконечно большая последова-
тельность. (Объясните почему.) •
Например, последовательности (5"),	{("У") } —
бесконечно большие.
Задание. Докажите, что последовательность (хп)
бесконечно большая:
2’
а)	=	n<=N;
б)	хп=—, n^N.
’ л 10
Замечание 3. Свойства бесконечно больших последовательно-
стей показывают, что для символов оо, +оо, —оо можно записать
следующие равенства:
(+ оо) + (+ оо)= + оо,
(— оо) + (— оо)= — оо,
00 - 00 = 00,
а- оо = оо,
смысл которых раскрыт в содержании свойств бесконечно больших
последовательностей. Иначе, в определенном смысле над этими симво-
лами можно выполнять некоторые арифметические операции.
Упражнения
487. Исходя из определения, докажите, что последо-
вательность (хл) бесконечно большая:
а)	х„ = л34-4, n^N;
б)	х„ — п2 — п, neN;
4 —
в)	х„= — ул, n^N;
г)	хя = (-3)я, ле=АГ.
488. Приведите пример последовательности (хл), для
которой:
a)	lim х„=-|-оо; б) lim х„= — оо; в) lim хл=оо.
л-*-оо	п-*оо	л-*оо
286
489*. Докажите следующие утверждения:
' а) если х„->+ оо и последовательность (уя) ограниче-
на снизу, то хя 4-уп->- + о°;
б)	если х„->— оо и последовательность (уп) ограниче-
на сверху, то х„ + уп-*—оо;
в)	если х„-»-+ оо и последовательность (у„) такова,
что	начиная с некоторого номера п0, то
ХпУ„~++ оо;
г)	если хя—>4- оо и последовательность (уп) такова,
что у„^х„, начиная с некоторого номера п0, то у„->~+ оо.
490.	Докажите, что:
a)	lim —^-г= 4-оо;	г) lim (2Л —3")= — оо;
б)	lim ” — — °о;	Д) Ит (2я —/г|000)= 4" о°;
л-*оо *	я-*-оо
в)	lim 3 =4-о°; е) Um ("\/пп21 ) = — оо.
П-.ОО 2+1	п-*оо
491.	Докажите, что последовательность (хп) является
неограниченной, но не является бесконечно большой:
a)	xn = ncos-^-, n^N; б) хп = пзт-^, n^N.
51*. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассмотрим ряд теорем, которые выражают правила,
позволяющие вычислять пределы последовательностей,
т. е. так называемые правила предельного перехода.
Теорема 1. Предел последовательности (а):
а, а, а, ...
равен а, т. е. lim а = а.
п—*~оо
Доказательство. В любой окрестности точки
а содержатся все члены данной последовательности.
Отсюда lim а = а. •
п-*оо
Теорема 2. Предел суммы конечного числа схо-
дящихся последовательностей равен сумме пределов
этих последовательностей.
Доказательство. Поскольку х„-+а, уп-*-Ь, ...,
zn-+c, то по теореме, устанавливающей связь между схо-
дящимися и бесконечно малыми последовательностями,
287
x„ = a + an, yn=b + $n, zn = c + yn, где (a„), (p„),
(y„) — бесконечно малые последовательности. Отсюда
xn + f/п + • •  + 2Л == а + 6 -f-... -|- с + (an + Рп + • • • 4" ул),
причем (<х„-}-. +ул) — бесконечно малая последо-
вательность по свойству 1°. Тогда, согласно той же
теореме,
1*т (Хл + */п + ---+z«) = a + Z> + ...+с =
= lim х„+ lim ул + ... + lim z„. •
П-*-оо	П-^ОО	П-+ОО
Теорема 3. Предел разности двух сходящихся
последовательностей равен разности пределов этих по-
следовательностей, т. е. если х„-»-а, у„-+Ь, то
Нт (х„ — у„)= Нт х„ — Нт уп = а — Ь.
Доказательство. Так как
хп~^а, ул-+Ь, то х„ = а + а„, y„ = b + fl„,
где (а„), (£„) — бесконечно малые последовательности.
Тогда
х„ — уп = (а + ап) — (Ь + $„) = (а — Ь) + (ап — р„).
Здесь {ал— 0„}— бесконечно малая последовательность,
поэтому Нт (хп — у„) = а — Ь. •
Теорема 4. Предел произведения двух сходящих-
ся последовательностей равен произведению пределов
этих последовательностей, т. е. если хл-+а, уп->-Ь, то
Пт (*„«/„)= Пт х„- Пт ул = а-Ь.
П~*-0О	Л-»-ОО	Л “* ОО
Доказательство. Так как
ул-+Ь, то хл = а + ал, «/„ = * +Рл,
где (а„) и (р„) — бесконечно малые последовательности.
Тогда
хпУп — (.а + ал) + Рп) — ab-[- а„& + Р„а + ссРп-
Здесь (алЬ), (Р„а), (алРл)— бесконечно малые последова-
тельности по свойству 3°. Следовательно, по свойству 1°
бесконечно малых последовательностей {(a„Z» + |3na +
+ а„Рл)} — бесконечно малая последовательность. Отсюда
следует, что
Нт (хпул) = а-Ь = Пт хл- Нт ул. •
288
Примечание. Это свойство распространяется на любое ко-
нечное число сомножителей.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вы-
носить за знак предела, т. е. если хп-*-а, то
lim сх„ = с lim хп.
Следствие 2. Если хп->-а, то х^-»-ап, т. е.
lim x” = (lim x„)m, m^N.
п-*-ск>	л—►<»
Теорема 5. Если lim хп = а, lim ya = b (6#=0), то
л-*-оо	л-*-оо
lim х„
, . Хя Д л —► оо
Л -оо Уп о lim у„
Л—*-оо
т. е. если предел знаменателя отличен от нуля, то
предел частного двух сходящихся последовательностей
равен частному их пределов.
Доказательство. По условию хп-+а, уп-*-Ь, отсю-
да х„ = а-\-ап, у = Ь +	где (а„), (0„) — бесконечно ма-
лые последовательности. Тогда
а+ал
6+Рл b)~
_а Ьа„ — а^„
~~ * + М6+₽л)’
Исследуем второе слагаемое. По предыдущим тео-
ремам
Jim b (6 + ₽„)= Hm (b2-\-bfin) =
= lim b2+ lim bp„ = b2-f-b lim —62>0.
n—► oo	fl —► oo	n—► oo
Тогда члены последовательности {b (b-\- p„)}, начиная
с некоторого номера, попадают в окрестность точки Ь2,
отмеченной на рисунке 71 штриховкой. Это значит, что,
начиная с некоторого номера NQ, будет выполняться
Ь2
неравенство b (Ь-\-^п)>-^- и при n>N0 справедливы
неравенства
о<—!
Н*+₽л) Ь2
Рис.71 О f а
х„ _ а + ал __а ./
уп Ь + £„
10 Алгебра, 10 кл.
289
Отсюда следует, что последовательность	огра-
ничена. На основании свойства бесконечно малых после-
довательностей последовательность {апЬ — f}na) бесконеч-
но малая, а значит, и последовательность
1
*(* + ₽„)
(1)
является бесконечно малой.
Таким образом, отношение — представлено в виде
Уп
суммы постоянной 1 и бесконечно малой последователь-
ности (1). Поэтому
lim
п-*<х>
Уп
а
~Ь
lim х,
п-^оо
lim у,
п-*оо
a)	lim
«-►оо
б)	lim
Л—►оо
в)
г)
lim
«-►оо
lim
П—► оо
(V4n2 + n — 2п);
Зл^б^З”
п + 5п + 2 • 3" ’
Находим
Пример. Найдем:
Зл -f- б.
4 —7л’
n3S ;
2 л2 + л’
Решение, а)
нателя дроби:
lim (Зп-|-5) = -|- оо;
«-►оо
пределы числителя и знаме-
lim (4 — 7п)= — оо.
Л-*оо
В таком случае говорят, что имеем неопределенность
вида Раскрыть неопределенность — значит найти
предел. Для этого делим числитель и знаменатель дроби
на п и используем правила предельного перехода:
lim
Л—►оо
lim
«-►оо
3+-
п
13
п
2
7'
3+ lim 1
Л—►оо л
lim 1—7
л-»-оо л
з+о
0-7
Зл + 5 _
4 —7л ~
290
б)	И в этом примере имеем неопределенность
вида (Объясните почему.) Для того чтобы раскрыть
ее, делим числитель и знаменатель дроби на п3 (высшая
степень п в данном выражении). В результате получим
 г 3
1— lim —
п—»-оо ГГ	/ 1
..	2 , ..	1	\0j
lim —Н lim —
п-*-оо Fl п-*-оо Fl
Символ употребляется здесь условно, чтобы под-
черкнуть: предел числителя равен 1, предел знаменателя
равен 0, а это означает, что данная последовательность
бесконечно большая. Поэтому и пишем, что ее предел
равен оо.
в)	Здесь lim « — + 00, Пт 2п=-|-оо. В та-
ком случае говорят, что имеем неопределенность вида
(оо — оо). Раскроем ее так:
lim	lim	=
Ч-*-ОО	Л-*СО	(V4n2 + n +2n)
4л2+л —4л2	..	n
= lim —=====--------— lim —=====--------=
у4л2-(-л + 2л «-►«о у4п2 + л +2л
1 _ 1 _ 1 _ 1
T	А Г Г 2+2 ~ 4’
— lim
п
г)	Решение этого примера приведем кратко без по-
яснений:
lim
л-*-со
Зл2 + 5я + Зя
л+5я + 2-Зя
Зл2
1- 5"
lim------
я-»оо п I
3\л
_2
3 lim-----1- I + lim
5"	Л-*ОО
lim —+1+2 lim
П-+ОО 5я	Л-4-00
3-0+1+0 _ .
0+1+2-0- L
291
Здесь мы учли, что
lim lim -^-=0 и lim (-|-Y = 0.
П -*-оо 5 л-*-оо 5	п—.оо \5 /
Упражнения
492. Найдите:
а)	lim и) lim
Л->оо	п-^-оо
б)	lim 2— 7--	к) Нт
л->оо 3 —5л
в)	Нт	—;	л) Нт
п-*<х> л 4-4л-|-7	fi-^oo
\ i-	2л2 — 3/г-|-5	ч ..
г)	lim —z-----------—; м) lim
п—ьоо Зл 4-5л — 7	оо
д) Нт
е) lim
л (л4-1) (л4-2)
(2п- 1) (л + 3) (2л 4-3)’
2 + Зл — л4.
л3 4-8 ’
ж) lim
п—»-оо
/4л 4-3 2л—1\
у 5л -f-1 Зл ~}~ 1 /
в) lim l±l±Z±^.+ <3-2};
Д—>00 14-34-54--. • + (2л—1)
493. Найдите:
а) Нт
п -* оо
б)	Нт
в)	Нт
Л-»-сю
Ул+ 2	.
W+T+W
Зл4-2
Д/л2+1 +Ул2 + 4’
Ул 4-1 — л.
Уп-Н +«’
г)	lim (Д/2л+ 1 —Л/2п)',
д)	Нт (\/п2 — п —п);
п—»-оо
е)	Нт З/i (Д/«2 + 5—л).
494. Найдите:
а) Пт
П - * сю
2" 4-2.
2" 4-5’
О
/2л —3	Зл4-1 V
\Зл(-2 4 —2-3"/’
б) Нт
в) Нт
3-4'= 4-5.
2 —7.4"’
З-б'1 —л2 .
5л+14-л2’
Д) Нт
Л—»-оо
е) Нт
3.2'14~4л2—1 .
2п+24-2л-|-1 ’
З" 4~ 4" 4~ б"
2’ 4-6"
292
495. Найдите:
а)
б)
lim (зл+5',-8-7'!);
"ihn -"!+<1+2)! ;
„^оо ((« + !)! + «!)«’
52*. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛА
МОНОТОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим некоторые примеры последовательно-
стей.
. , , 1 1 1
•	’ 2’ 3’ п' ••• •
Эта последовательность монотонно убывающая и
ограниченная снизу, хп>0 для всех п. Члены этой после-
довательности, убывая, не могут «переступить» точку
О на координатной прямой. Ранее мы доказали,
что lim — = 0, т. е. последовательность оказалась при
П-~^00
этих условиях сходящейся.
2 Г V 1- 2- I- 2L	-1 !_•
2' 4’ 8’ 16’	1	2"’ “ ’
Данная последовательность монотонно возрастает,
так как уп+\>уп для всех п (проверьте), и в то же время
ограничена сверху, поскольку z/„=l—— <1 для всех п.
Убедимся в том, что эта последовательность сходящаяся,
вычисляя предел:
3. (z„): 1; 4; 9; ...; /г2; ... .
Эта последовательность монотонно возрастающая, но
не ограниченная сверху. Она бесконечно большая:
lim и2= 4- оо.
Следовательно, последовательность расходится.
Рассмотренные примеры наталкивают на мысль, что
293
монотонность и ограниченность последовательности яв-.
ляются достаточными условиями ее сходимости. Этс>
действительно так.
Теорема. Если последовательность неубывающая',
(невозрастающая) и ограниченная сверху (снизу), то>
она сходится (имеет предел).
Иногда эту теорему формулируют так: если последо-
вательность монотонная и ограниченная, то она схо-
дится (имеет предел).
Примем эту теорему без доказательства, ограничива-
ясь лишь наглядными, интуитивными представлениями.
Пусть последовательность (хп) монотонно возрастает
и ограничена сверху. Если изобразить члены этой после-
довательности точками координатной прямой (рис. 72),
то каждая следующая точка будет лежать правее преды-
дущей. Так как последовательность ограничена, то суще-
ствует точка а, около которой члены последовательности
«скапливаются», но «переступить» через нее не могут.
Эта точка а и будет являться пределом последователь-
ности.
....»...  —	«   » —•—•—• •»••••--------—з»-
X, >2	*3 *4 Х5 °
Рис. 72
Данная теорема выражает один из достаточных при-
знаков сходимости числовой последовательности. Она
устанавливает сам факт существования предела, но не
дает метода его вычисления. Однако для некоторых
последовательностей предел можно найти, используя
данную теорему.
Пример. Докажем, что последовательность, задан-
ная рекуррентным соотношением
х “I- 2
х„+1——, причем Xi = 0,
О
сходится. Найти предел этой последовательности.
Доказательство: выпишем несколько первых
членов последовательности
А 2	8	26
Xj=O, х2=—, х3=д, х4=27........
Заметим, что члены последовательности приближа-
ются с ростом номера к 1.
Докажем, что для всех п верно неравенство хл<1.
294
В самом деле, при п= 1 имеем х, = 0 (Х| < 1). Предпо-
ложим, что неравенство верно для n — k. Покажем, что
оно верно для л==^4*1- В самом деле, хА+1=-^—, по
предположению хЛ<1, следовательно, хА+1<——=1.
Рассуждая по индукции, получаем, что х„<1 для
всех п. Это значит, что последовательность (х„) ограниче-
на сверху.
Покажем, что она монотонно возрастает.
Действительно,
______х„ + 2 х„ + 1 + 1	х„ + х„ + х„ Зх„ 
Хп+, —	— — J	3	— — — Хп,
т. е. для всех п справедливо неравенство хл+1>хл.
Значит, последовательность монотонно возрастает и
ограничена сверху. Отсюда, по теореме существования
предела, она имеет предел.
Пусть lim хп = А, тогда и lim х„+1—А.
Переходя к пределу в рекуррентном соотношении,
получим
lim х„ + 2
lim х„+1== з ,
я->оо	°
т. е. А — ~^2-. Отсюда 4 = 1. Таким образом, lim х„=1.
п—»-оо
Упражнения
496. Пользуясь теоремой о пределе монотонной по-
следовательности, докажите, что существует предел по-
следовательности (x„), n<=N:
а)
б)
в)
г)
д)
Я
5л3—2
I ।	1	।	1	।	1	1
+2.2’,"з.22‘+’’"
Х” я+1 я + 2	2л’
295
е) хп п ~h п _|_ ] ~Ь п _|_ 2 ~Ь • • • “Ь 4П >
п2 пЗ	ап
ж) хп= 1 -|-2+2;-4-ду+--- +~р
,	—	1 I 1 I I 1
Vn2+1	д/л2 + 2	+ n
497. Последовательность (хп) определена рекуррент-
ным соотношением. Докажите существование предела
последовательности и найдите его:
.	1	1 I Л.
а)	х1 — 2’ х«+1 — 2 + 2 ’
б)	X! = a>0, ^+i=2^7;’>
54-х2 , ।
в)	*„+1 =--2J7~’ х1 = а>5’-
Г) х„+1==д/34-х„, Х!=д/3.
53.	число е
Рассмотрим последовательность с общим членом
Выпишем несколько первых членов:
_ 9.	_64.	_ 625.	_ 1296.
х1~~2’ х2—4> хз— 27> х4— 256’	3125’
или в виде десятичных дробей:
Xj = 2; х2 = 2,25; х3 = 2,37...; х4 = 2,44; х5 = 2,48...; ... .
Покажем, что данная последовательность сходится
к некоторому числу. Для этого введем последователь-
ность (у„), где
Заметим, что если последовательность (уп) имеет пре-
дел, то сходится к тому же пределу и последовательность
(х„), так как
lim у„ lim уа
[	1- Уп	П-*- оо	п—» оо	«.
lim хп = lim ------г=------------— =---------—= hm уп.
П-ОО ]+2_ Пт	»-ОО
П п-*<х> \ П}
296
Учитывая этот факт, достаточно показать, что после-
'довательность (уп) имеет предел.
Сначала докажем, что последовательность (уп) убы-
,,	/л+1\»+1	//1+2V+2
вает. Учитывая, что уп = (—=	.
составим отношение:
У„ _/п+1 у +1./п + 2у + 2_ (п+1)п+1-(п+1)п+2 _
\ п ) An+lJ — пл+1 -(п + 2)П+2
_ (п+1)2(я+1> п+ 1 _ / (п+1)2 \л+' п+1 _
пл+1(п + 2)л+1 п + 2 \п(п + 2)/ п + 2
_ /(п2 + 2п)+ 1 у+> п+1 _ А .	1	у+1 п+ 1
— \ п2 + 2п )	п + 2 —\ ' п2 + 2п/	п + 2’
Воспользовавшись неравенством Бернулли, получим
+ —^Y+1>i+2L±L
п2+2п/	п2 + 2п
но, так как
4±1_> 1 +"J.1........ = 1 + -Д+L =
n2 + 2n n2 + 2n+l (n+1)2
_। । 1  n + 2
—	' n+ 1 — n+ Г
то	n + 2	1 — I
</„+1	«+> n + 2
Отсюда для любого n верно неравенство уп+\<уп, это
значит, что последовательность (уп) убывает. Она
ограничена снизу, поскольку согласно неравенству
Бернулли
М1 +Т1 > 1 +<”+ »7=2+7>2-
Итак, последовательность (//„) монотонно убывает
и ограничена снизу числом 2, поэтому, на основании
теоремы о сходимости монотонной последовательности,
она сходится к некоторому числу, не меньше 2. Пре-
дел этой последовательности принято обозначать
через е. Числу е будет равен и предел -последова-
тельности (хп):
Доказано, что число е — иррациональное:
е = 2,718281828459045... .
297
Примечание 1. Обратим внимание на особенность общего
/. । 1\я
члена X„ = f I последовательности, предел которой е. Во-пер-
вых, основание степени представляет сумму 1 и /г-го члена бесконечно
малой последовательности an = —, n^N. Во-вторых, показатель сте-
пени п есть общий член бесконечно большой последовательности (—\
\W
члены которой обратны соответствующим членам бесконечно малой
последовательности (ап). Эта особенность оказывается определяющей,
так как можно доказать:
если а.„=^0 и (а„) — бесконечно малая последовательность, то
1
lim (1 +а„)% = е.
fl оо
Примечание 2. При вычислении пределов последовательно-
стей, связанных с числом е, часто используется свойство сходящих-
ся последовательностей, которое мы здесь примем без доказа-
тельства.
С в о й с т в о*. Если lim х„ = а, причем х„>0 и а>0, и lim уп —
П—^оо	п—*-оо
= Ь, то последовательность {хУ"} сходится и lim хУпп = аь.
п-+со
Примечание 3. Если при вычислении предела последова-
тельности {хУ"} окажется, что lim х„=1, a lim у„=оо, то говорят,
Л—* оо	л—*-оо
что имеем неопределенность вида (1“), так как в этом случае предел
последовательности {х*л} может быть конечным, бесконечным или во-
обще не существовать.
Пример 1. Найдем:
a)	lim fl 4~— V ;	в) lim
П~*-оа \	п/	л—>оо
б)	lim Г1+—’У", где т, рУ=0; г) lim
П- оо \	П /	л -к оо
'2»+1 \з.
,2/1-3;/ ’
<5л + 3\«2
< 5л /
298
.	1- /i । т\Р” ..
б) lim(l+ —) =lim(i+—)m =
л-коо \ п /	п->оо \ п /
в) Так как
,.	2n+1	,. п 2	.	.. п
lim—-----= lini ----=-=1 и lim— — оо,
п-*-<к>	” я-*-оо 2__	п-»-оо
П
то в этом примере, как и в предыдущих, имеем неопреде-
ленность вида (1°°). Чтобы раскрыть ее, разделим числи-
тель и знаменатель основания степени на 2п. В результа-
При вычислении пределов в числителе и в знаменате-
ле использовали формулу из примера б).
г) lim	lim (1+3.(1)")=1 + 3-0=1;
п-*-оо \ О / п-юо \	\°/ /
lim п2 — оо.
п~*-со
Значит, и здесь мы имеем неопределенность вида
(I00). Раскроем ее:
5"
(3
1-1—)3 = е, а
/
° /
.	/ 5ft -f- 3 \«2 о ।
Поэтому получаем lim (—~—) —е =1.
П~*СО \	5”	/
lim
п -*ОС
— = 0.
5"
Упражнения
498. Найдите.
а).'™ (*+т)т
6> ± (^;
в)
lim
Л->ОО
499. Найдите:
. ..	/ л2 + 5 \«2
a)	lim ( , ' 1 ;
«-►оо \ л +2 /
..	/2" + 5\п2
б)	lim (—!— 1 ;
'	\ Ол /
л—коо \ X /
з"
3” + л \ 2п — 1
3" /
в) lim
п -► оо
§ 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
54. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
При исследовании функции и построении ее графика
очень важно знать, как изменяются значения функции
при неограниченном увеличении |х|, т. е. при безгра-
ничном удалении точки х влево и вправо вдоль коорди-
натной прямой.
Пусть функция у — f (х) определена на всей числовой
прямой и график ее представлен на рисунке 73. Вид
графика показывает, что при безграничном удалении
точки х влево и вправо по числовой прямой соответству-
ющие значения функции х все меньше отличаются от А,
т. е. модуль разности |/(х) — А | становится сколь угодно
малым. В этих случаях говорят, что функция стремится
к А при х, стремящимся к бесконечности, записывают
lim / (х) = Л,	(1)
Х-*-оо
У
300
и читают: «предел /(х) при х, стремящимся к беско-
нечности, равен Л».
Например, пусть функция задана формулой
/(х) = ^±1(х^0).
Ее можно записать в виде f (х) = 5-|--^- и заметить, что
при неограниченном увеличении |х| дробь — становится
сколь угодно малой, т. е. стремится к 0, а значения
функции как угодно мало отличаются от 5, т. е. стре-
мятся к 5. Поэтому
5х2+1 с
lim  5— = 5.
X—>оо	*
Это лишь интуитивное представление о понятии пре-
дела функции при х, стремящимся к бесконечности.
Точный смысл понятия «значения функции /(х) прибли-
жаются к числу А, если |х| неограниченно возрастает»
раскрывается, если дать определение.
Определение. Число А называется пределом
функции y = f(x) при х, стремящимся к бесконечности,
если для любого е>0 существует такое число N, что при
всех х, удовлетворяющих неравенству |х| >N, справед-
ливо неравенство
|/(х) - А | <е,
или	А — е</(х) <А -|-е.	(2)
Данное определение и раскрывает точный смысл
записи (1).
Двойное неравенство (2) означает, что точки с коор-
динатами (х, f (х)) графика функции расположены при
|х| внутри полосы, ограниченной прямыми у —А— е
и г/ = Л + е. Поэтому A— lim f (х) с геометрической точ-
ки зрения означает, что, какую бы 8-окрестность точки
А на оси ординат ни взяли, найдется такое число N, что
при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > /V, со-
ответствующие точки (х, / (х)) графика функции попада-
ют в полосу, ограниченную прямыми у = А— е и у=А +
+ е (см. рис. 73).
Может оказаться, что поведение функции y = f(x)
при неограниченном удалении точки х вправо и влево по
координатной прямой различно, т. е. при х->--|-оо и
301
х—>—оо; или функция определена только на проме-
жутке (Ь\ + оо) или (— оо; а). На рисунке 74, а, б, в от-
ражены как раз эти случаи. Поэтому можно говорить
о пределе функции при х оо и пределе функции при
х->— оо и записывать соответственно:
lim /(х) = А,
х-^4- оо
lim f(x) = B.
х—*— оо
Смысл этих равенств раскрывается определениями.
Определение 1. Число А называется пределом
функции y — f(x) при х->+оо, если для любого
в>0 найдется такое число N, что при всех x>N спра-
ведливо неравенство
|/(х)—А|<е.
Определение 2. Число В называется пределом
функции y = f(x) при х->—оо, если для любого
8>0 найдется такое число N, что при x<zN спра-
ведливо неравенство
|/ (х) - В| <8.
Задание. Геометрический смысл этих определений
раскройте самостоятельно.
Примечание. Понятия «предел функции при оо» и «пре-
дел последовательности (х„) при п->оо» в определенном смысле анало-
гичны. Если lim /(х) = Д и lim х„=А, то различие состоит в том,
Х-+-4-ОО	Л —► оо
что для любого е>0 для функции f неравенство |/(х)— Д| <е выпол-
няется для всех чисел, удовлетворяющих неравенству x>N, а для
последовательности неравенство |х„—4|<е выполняется для нату-
ральных чисел, удовлетворяющих неравенству n>N. Эта аналогия
связана с тем, что числовая последовательность рассматривается
как частный случай функции, заданной на множестве натуральных
чисел.
302
, Пример. Докажем, что lim-^-=0.
Доказательство. Выберем любое е>0 и вы-
ясним, при каких х будет выполняться нера-
I 1 I п
венство I | < е. Решим неравенство
-4<е, х2>-, |х| >-?=.
хг	е
Если N = —J=, то при всех х, удовлетворяющих нера-
Ve
венству |х| >N=—==, справедливо неравенство -j <8,
а это означает, что
lim -t = 0.
X—>оо XT
Q
Точно так же можно доказать, что lim —=0, где
х-оо Xя
С — постоянная, m^N.
Часто встречаются функции, например /(х) = х2,
z \	4	2
g(x) = x —значения которых неограниченно возра-
стают по модулю, если точка х безгранично удаляется
влево или вправо по оси абсцисс, т. е. когда х->оо.
В этом случае пишут
lim / (х)= оо
и говорят, что при х->оо предел функции равен беско-
нечности, а функцию f (х) называют бесконечно большой
на бесконечности.
Определение. Функция y = f(x) называется бес-
конечно большой на бесконечности или при х->оо имеет
предел, равный оо, если для любого положительного
числа М найдется число N такое, что при всех х, удов-
летворяющих неравенству |х| >N, справедливо нера-
венство |/(х)| >М.
Например, для функции /(х) = х3, график которой
показан на рисунке 75, можно записать lim х3=оо.
х->оо
Геометрически это означает, что, какую бы точку М,
расположенную выше точки О на оси ординат, ни взяли,
можно найти на оси абсцисс точку N такую, что значения
функции в точках заштрихованных промежутков на оси
Ох, т. е. при значениях |х| >W, будут попадать
303
Рис. 76
в промежутки, заштрихованные на оси ординат (выше
точки М или ниже точки — М).
Аналогичный смысл и таких обозначений:
a) lim /(%)= + оо;	б) lim f(x) =— оо;
х-*-4-оо	х->4-оо
в) lim /(%)= +оо;	г) lim f (х)= — оо.
х—* — ОО	Х~К — оо
Например, смысл записи б) такой: для любого числа
M>Q найдется такое положительное число что при
всех х, удовлетворяющих неравенству x>N, справедли-
во неравенство /(х)< — М.
Один из возможных вариантов случая б) показан на
рисунке 76.
Задание. Раскройте смысл записей а), в), г) и
представьте их возможные графические варианты.
Между бесконечно большими функциями и функция-
ми, предел которых равен нулю и которые называются
бесконечно малыми функциями, существует такая же
связь, как и между бесконечно большими и бесконечно
малыми последовательностями.
Теорема. Если lim/(x) = оо, то lim—-— = 0.
X—*-оо	х—*-ОО /(*)
И наоборот, если а (х)=/=0 при |х| >а и lim а (х) = 0,
«-►оо
то lim -----— оо.
х-»оо а (ж)
304
Упражнения
500. Пользуясь определением предела функции на
бесконечности, докажите, что:
a)	lim Дг = О;
6)	,'1“7ТТ=1;
в) lim ....: — 0;
х-+оо Ух-1
г) lim Д/5 — 2х = + оо.
X—► — оо
501. Приведите пример функции y = f(x), для ко-
торой:
a)	lim /(х)=1;
х->4- оо
б)	lim f (х) = 2;
в)	lim /(х) = 0;
г)	lim /(х)=3;
х-*-оо
д)	Нт /(х)=4-оо;
Х—+ ОО
е)	Нт /(х) = + оо.
X-*— оо
502. Приведите пример графика функции y = f(x),
для которой:
а)	Нт/(х) = 3; в) Нт /(х)=—2, Нт /(х) = 4;
б)	lim /(х)=1;г) Нт /(х) = 5, lim /(х)= —00.
X -*— ОО	X —— оо	х—►4"0О
55.	СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Аналогия между пределом функции на бесконечно-
сти и пределом числовой последовательности была уже
отмечена. Она позволяет предположить, что и свойства
функций, имеющих предел на бесконечности, аналогичны
свойствам сходящихся последовательностей. Сформули-
руем эти свойства.
1°. (О единственности предела.) Если функция f на
бесконечности имеет предел, то он единственный.
2°. Если функция f на бесконечности имеет конечный
предел, то на некоторых промежутках (—оо, а) и
(Ь, + оо) она ограничена.
3°. Если /(х)^0 (f (х)<:0) на промежутках
( — оо, а) и (Ь, + оо), то предел функции f не может быть
отрицательным (положительным).
4°. Пусть функции fug определены на промежут-
ках (—оо, а) и (Ь, 4-оо) и на этих промежутках
f (x)^g(x)(f (x)^g(x)). Тогда, если lim f(x)=A и
\lmg(x) — B, то А^В (Аз^В).
305
Это свойство является аналогом свойства 5° для
числовых последовательностей.
5°. Если на промежутках ( — оо, а) и (Ь, + оо) спра-
ведливы неравенства	g (x)^.f (x)^.q>(x)	и
lim g(x)= lim ф(х) = А, то lim f(x) = A.
x-*oo	x —► oo	x -► oo
Все эти свойства доказываются так же, как и со-
ответствующие свойства сходящихся последовательно-
стей.
На основании свойства 5° и того, что
1 •	/1 । 1 V
lim (1 -|—) —е,
П-»-0О	\	Л/
в полных курсах математического анализа доказыва-
ется, что
1 	(t । 1V
lim ( 1 4—) =е.
х —* оо \
Этот предел в анализе называют вторым замечатель-
ным пределом. Отличие от предела последовательности
| здесь состоит в том, что х «пробегает» все
значения, не равные нулю, а не только натуральные
числа.
Аналогия между пределом последовательности и пре-
делом функции на бесконечности позволяет перенести
правила вычисления пределов числовых последователь-
ностей на вычисление пределов функций на бесконечно-
сти. Обоснованием такого переноса служат, в частности,
следующие две теоремы.
Теорема 1. Если lim f (х) =А и lim <р (х) = В, то
a) lim C/(x)±(p(x)”) = lim /(x)±lim ф(х) =
х—► оо	х—► оо	х—►оо
=А±В,
б) lim (f (х) <р (х)) = Нт / (х) • Нт ф (х) =А-В;
х-*-оо	х—►оо	х—»-оо
Пт /(х)
в) Нт -----—	— если ф(х)540, В=/=0.
х-оо <р(х) Нт <р(х) В’	W . т-
«-►оо
Теорема 2. Если Нт f (х) = А, А =Н= 0, а Нт g (х) =
= оо, то lim/ (х) g (х) = оо.
«-►оо
Доказательство. Так как lim /(х) = А=#0
и lim g(x)=oo, то найдется число N>0 такое, что при
«-►ОО
306
всех |х| выполняются неравенства
|/(х)|>М и |£(x)|>JL.M,
X	|/1 |
где М — любое положительное число. Ясно, что число
N зависит от выбора М. Тогда получаем, что для любого
М при |х| справедливо неравенство:
|/(x).g(x)| = |/(x)|.|g(x)l>41-||T-^ = ^’
Z I /1 I
т. е.
|/(x)g(x)|>M.
Это означает по определению, что
lim f(x)g(x) =
Пример 1. Найдем:
Здесь использованы равенства
и
307
Пример 2*. Найдем lim (-\С-.
Х->оо X ^~Г ' .
Решение. Так как
lim
X—*-оо
2х — 1
2x4-1
— lim
X —QO
2—-
х
24--
= 1,
£
2
то здесь имеем неопределенность вида (1°°). Раскроем ее:
Упражнения
503. Существует ли предел функции f при х->оо:
a)	lim /(х) = 3, lim /(х) = 5;
X-»-— ОО	x-+--f-oo
б)	lim /(х)=—2, lim /(х)=—2;
Х->— ОО	Х->4- оо
в)	lim /(х)=—3, lim /(х) = с2 — 5c-J-1, се/?;
X — со	х оо
г)	lim f (х) = 2р + 1, lim f (х) = р2 + Зр — 11,
х-> — оо	оо
ре/??
504. Найдите lim /(х), если:
х-*-оо
a) ^</(х)<-^,
505. Найдите:
a) lim
X—►оо
Зх
2х 4- 5 ’
ж) lim (д/*2 + 54-х );
X —'-оо
б) lim
х—»-оо
Sx^ + x—l
Зх2 —4x4-5’
з) lim
Х-*+ оо
(х4-5)
х24-3	’
308
В)
г)
lim
X -*-оо
(х—1)5(4л 1 7)\
(2х —3)е
lim
х-*-Ь оо
x+l
V4x2+3 ’
д) lim
х —— оо
И)
К)
л)
lim
д —* — оо
х2 (х + 2)
2/ —9
.	(1+х)(14-2х)...(1 + Юх).
1ГП	10 ,,	’
—► оо	X -f- 1
lim Wx3 |-1 -\//4 х
>_о° V16/4-1
Л/^+з ’
е) lim (лД2 + 1 — х);
X -* + оо
506. Вычислите приближенно значение функции
у = f (х) с точностью Д при х= 125,25:
а)	/(х) = 2х + -^-, Д= 10-2, Д=10~6;
б)	/(х) = 4х —0,35—Д=10-2, Д=10“6.
’ ' v ’	/4-4
507*. Найдите:
56. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Рассмотрим функцию г/ = /(х), заданную графически
(рис. 77). В точке х0 можем считать, что функция не
определена (точка Р как бы «выбита» из графика функ-
ции). Из рисунка видно, что при приближении точек
309
х к точке х0 соответствующие значения функции
f (х2), /(х3), ... все меньше, начиная с некоторого Мо-
мента, отличаются от А или, если сколь угодно близко
точка х приближается к точке х0 на оси абсцисс, со-
ответствующие значения функции все ближе приближа-
ются к точке А на оси ординат. В таких случаях говорят,
что число А является пределом функции / в точке х0,
и пишут
lim f (х) = А.
Читают: «предел / (х) при х, стремящимся к х0, ра-
вен А».
Например, если /(х) —х2, то ясно, что при приближе-
нии х к точке 2 значения функции приближаются к 4,
т. е. можно записать:
lim х2 = 4.
Это лишь наглядное, интуитивное представление
о понятии предела функции в точке. Точный смысл
приближения значений функции к А, если х стремится
к х0, раскрывает следующее определение.
Определение 1. Число А называется пределом
функции y — f (х) в точке х0, если для любого положи-
тельного е найдется такое б, зависящее от е, что для всех
х, удовлетворяющих неравенствам
0<|х —х0|<б,	(1)
справедливо неравенство
|/(х)-А|<е.	(2)
Данное определение предполагает, чтобы функция
f была определена в некоторой окрестности точки х0, за
исключением, быть может, самой этой точки х0. Левая
часть неравенства (1) (|х—х0| >0) как раз и исключает
из рассмотрения точку х0.
Неравенства (1) и (2) можно записать соответственно
в виде
х0 — 6<х<х0 + б(х=#х0),	(1')
А — е</(х)< Д-|-е.	(2')
Неравенства (1) и (1') указывают, что значения х вы-
бираются из б-окрестности точки х0, кроме ее самой.
Такую окрестность точки называют проколотой Ь-окре-
стностью. Неравенства (2) и (2') указывают, что значения
310
функции принадлежат 8-окрестности точки А на оси
ординат, а соответствующие точки с координатами
(х, /(х)) графика функции расположены внутри полосы,
ограниченной прямыми у = А — е и у — А-\-е.
Данное определение предела функции в точке назы-
вается определением на е — 6-языке.
Раскрыв смысл неравенств (1) и (I'), (2) и (2х), можно
дать геометрическую интерпретацию предела функции
в точке:
число А является пределом функции y = f(x) в точке
Xq, если какую бы Е-окрестность точки А на оси ординат
ни взяли, найдется проколотая 6-окрестность точки х^,
значения функции в каждой точке которой попадают
в е-окрестность точки А, или точки (х, f (х)) графика
функции попадают в полосу А — е < г/< Д-f-8.
Из определения предела функции в точке х0, и именно
из условия, что в этой точке функция может быть не
определена, непосредственно следует:
если функции f и <р таковы, что f (х) = <р (х) в неко-
торой проколотой окрестности точки х0 и пределы этих
функций в точке х0 существуют, то lim f (x)=lim <р (х).
*—*0	*—*о
Это утверждение часто используется при вычислении
пределов функций (см. пример 2).
Пример 1. Докажем, что lim (Зх-|-2) —8.
х-*-2
Доказательство. Здесь дана функция /(х) =
= 3x4*2, D(f) = R и требуется доказать, что ее предел
в точке 2 равен 8. Возьмем произвольное число е>0
и выясним, при каких значениях х будет справедли-
вым неравенство
|/(х)-8| = |(Зх+2)-8| <8.
Так как |(Зх + 2) — 8| = |3х — 6|, то получаем
|3х —6|<8. Отсюда 3|х —2|<8 и |х — 2|
Итак, если для любого 8>0 выбрать 6=4, то для
о
всех х, удовлетворяющих неравенству |х — 2|<6=-|-,
справедливо неравенство |(2х4-3) —8| <8. Это и означа-
ет, по определению предела функции в точке, что
lim (Зх-|-2) = 8. •
х—2
311
Пример 2. Докажем, что lim ——— 4.
х—-2 х + х
Доказательство. Область определения данной
^ — 4
функции /(х)=——5 множество всех действительных
' 4
чисел, кроме точки х0 = —2. При х=/= —2 /(х)==——у —
х 2
= х —2 = <р(х).
Покажем, что lim (х — 2)=—4. Возьмем произволь-
х—-2
ное е>0. Неравенство |(х —-2) — ( — 4)| < е выполняется,
если 0<|х + 2|<б = е. Это означает, что
lim (х — 2)= — 4, тогда и lim = — 4.
х-> —2	х-*—co
Рассмотрим произвольную последовательность (х„),
которая сходится к х0, т. е. lim х„ = х0, члены которой
принадлежат области определения функции и отлича-
ются от х0. То, что хл —*-х0, означает: какое бы б для
любого е мы. не нашли, начиная с некоторого номера
W4-1, именно при n>N, все члены последовательности
попадут в б-окрестность точки х0, т. е. будет справедливо
неравенство 0< |х„— х0| <б. Но тогда, согласно опреде-
лению предела функции, при n>N выполняется нера-
венство |/(х„)— Л|<е, и это при любом выборе е, что
означает lim f(x„) — A.
Итак, если число А есть предел функции / в точке х0
по определению 1, то при любой последовательности
чисел (х„), причем хя=/=х0, предел которой равен х0,
соответствующая последовательность значений функций
{f (хл)} сходится к А, т. е. lim /(х„) = Д.
Л —>-оо
В полных курсах математического анализа доказыва-
ется и обратное утверждение. Поэтому можно дать вто-
рое, равносильное первому определение предела функ-
ции в точке.
Определение 2. Число А называется пределом
функции f в точке х0, если для любой последовательно-
сти точек (х„), сходящейся к х0, причем хл=#х0, соответ-
ствующая последовательность значений функции {/ (х„)}
сходится к А.
Данное определение называют определением предела
функции в точке на языке последовательностей. Это
определение позволяет вычислять пределы функций,
312
пользуясь правилами вычисления пределов последова-
тельностей.
, Пример 3. Найдем:
a) lim (Зх2 — 5x4-— \	б) lim .
х^2 \	х/	1 2х — 1
х'”¥
Решение.
а)	Здесь / (х) = 3х2 —5х4~—, х0 = 2. Выберем любую
последовательность (х„), х„=/=2 и х„=#0, чтобы lim хп — 2.
Тогда последовательность соответствующих значений
функции задается общим членом
/(хп) = 3х^ —5х„ + Л
лп
Найдем ее предел:
lim /(хя)= lim (Зх^ —5х„4-^Л = 3(lim х„)2 —
— 5lim х„4-----— = 3-22 — 5-24-4=4.
л->оо	lim х„	I
Значит, lim ^Зх2 — 5x4-—^ = 4. Здесь мы использова-
х—2 \	х/
ли правила предельного перехода для последовательно-
стей.
б)	Возьмем произвольную последовательность (х„),
xn#=i которая сходится к т. е. lim х„=4- Найдем
предел последовательности соответствующих значений
функции:
lim
П ->ОО
4x^—1 _
2х„-1 ~
(2х„-1)(2х„+1)_
2х„-1

= Нт (2х„4- 1) = 2( lim хп)+ 1 =2-|-|- 1 =2.
«-►ОО	Л—КОО
Таким образом,
lim
।
х-> Т
4х2— 1
2х—1
2.
313
Упражнения
508.	Для функции /(х) = 2х-|-3 по заданному е>0
найдите б>0 такое, чтобы из неравенства |х—1|<б
следовало неравенство |/(х)— 5|<е:
а) е=1; б) е = =, в) е = 0,01.
__9
509.	Для функции g (х) = 2л._9 по заданному е>0
найдите 6>0 такое, чтобы из неравенства 0< \х— 3| <
<6 следовало неравенство |g(х) — 2| <е:
а) е = 1; б) 8 = 0,01; в) е=^.
510.	Пользуясь е — 6-определением предела функции
в точке, докажите, что lim f(x) = A:
а)	х0 = 2, А=-±
б)	/(х)=^=Д х0 = 3, /1 = 5;
в)/(х) = ^1, х„ = 1 Л = 2;
г> /(х)=2^т. Х.-1. Л-1
511. Пользуясь определением предела функции в точ-
ке «на языке последовательностей», найдите предел
функции:
.. Зх2—5
, .. х2 —Зх-|-2
в) lim---------5—;
’ х-*-2	4-Х2
.. ЗЛ/х"—1
Г) 1'ГП -	.
х—1/9 УХ—1
57*. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию
/(х) =
х2, если х< 1,
3 —х, если х> 1,
график которой показан на рисунке 78.
Функция определена в любой проколотой окрестности
точки 1, но не в самой точке х0=1. По виду графика
314
замечаем, что если точка х У
приближается к 1, оставаясь \
меньше 1, т. е. слева, то со- \
ответствующие значения функ- \ 2 а
ции все меньше отличаются от \	иК
1, это значит, приближаются \ / -—у? X.
к 1. В таком случае говорят,	Х^
что 1 есть предел функции	о	Х^х
f слева в точке х0=1. По
графику также отмечаем, что
при приближении х к 1	Рис.78
справа, т. е. когда х принима-
ет значения больше 1, соответствующие значения функ-
ции как угодно близко приближаются к 2. В этом случае
говорят, что число 2 является пределом функции f спра-
ва в точке 1. Записывают эти факты следующим об-
разом:
lim /(х)=1, lim / (х) = 2.
х-И-0	х-И+О
Такие пределы называют односторонними.
Символ х—>1—0 читают: «х стремится к 1 слева»,
подразумевая, что х<1.
Символ х —читают: «х стремится к 1 справа»,
подразумевая, что х>1.
Допускается и такое чтение: «х стремится к 1 плюс
(минус) нуль».
Точный смысл односторонних пределов в общем слу-
чае раскрывает следующее определение.
Определение. Число А (число В) называется
пределом слева (справа) функции y=f (х) в точке х0,
если для любого положительного числа е найдется такое
число 6, зависящее от е, что для всех х, удовлетворяю-
щих неравенствам х0 — 6<х<;х0 (х0<х<;х0+6), спра-
ведливо неравенство
|/(х) —А| <е (|/(х) —В| <е).
Записывают это так:
lim f(x)=A, lim f(x)=B.
x-<-x0 —О	x->xo-f-O
Если xo = O, то вместо символов x->0 — 0, и x->-0-|-
-|—0 используются символы x-t—0, x->4-0. Односто-
ронние пределы часто также обозначаются /(х0 —0)
и /(хо+О).
315
Пример. Найдем односторонние пределы функции
/(х)=~ в точке 0.
Решение. Пусть х<0, тогда |х| =—х и
f (х) = —^-= — 1, х#=0. Поэтому предел слева:
/(-0)= lim ^- = lim (-I ) = - 1.
х —-О х х->--0
Пусть х>0, тогда |х| ==х и /(х)=у= 1, х =/=(). Поэто-
му предел справа:
/( + 0)= lim —= lim 1 = 1.
х-> + 0 X X—+0
Если построить график функции /(х) = -^- (рис. 79),
то этот результат можно увидеть наглядно.
Определение. Разность правого и левого преде-
лов функции / в точке х0, т. е.
Л = /(хо + О)-/(х0 —0),
называется скачком функции в точке х0.
I X I
Например, для функции /(х) = — скачок в точке 0
равен 2.
Пределы функции слева и справа в точке называют,
соответственно, левым и правым пределом функции
в точке. Ясно, что в случае, когда предел функции
в точке х0 существует, то в этой точке левый и правый
пределы совпадают и равны пределу функции в этой
точке, т. е.
lim / (х) = lim /(x)=lim /(х).
Х-*ХО — О	Х-»Х0 + 0	х->-х0
Доказывается и обратное утверждение: если левый
и правый пределы функ-
ции / (х) в точке х0 равны
А, т. е. /(х0 —О) = /(хо + О) =
/1--------------- =А, то предел функции в
этой точке существует и ра-
____________________ вен А, а скачок функции
О	равен 0.
Отсюда следует доста-
----------точный признак отсутствия
Рис. 79 предела:
316
если функция f определена в некоторой проколотой
окрестности точки х0 и в этой точке [ (х0 — 0)=/=/(хо4~О),
то функция в точке х0 предела не имеет.
Упражнения
512. Сформулируйте
щие утверждения:
с помощью неравенств следую-
а)	lim /(%) —4;
х-»-2 —О
б)	lim f (х) = 5;
х —-3-0
в)	lim /(х)=10;
х-* + 0
г)	lim 7(х) = 7;
х-^5 + 0
д)	lim f(x) = A;
х—-0
е)	lim g(x) = B.
х-И -О
513. Найдите односторонние пределы функции в точ-
ке х0 и постройте ее график:
. ,, .	(1 — 2х при х<0,
а)	/(*)={	хо = О;
I V и пи V 11	и ’
б)	f (х)— -г- ту, Хт^З, х0— 3;
|л — О|
(2
в) !(х) =
х0=1;
г) /(х)—х2 — 2|х — 2|, х0 = 2.
514. Докажите, что функция / в точке х0 не имеет
предела. Найдите скачок функции в точке х0. Постройте
график функции:
а) /(*) =
1 ,
—	при x<Z — 1,
о	Х(
2х при х> — 1,
б) /(*) =
’ |х|
—	при х<0,
х	хо = О.
1 —х2 при х>0,
58*. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ В ТОЧКЕ
Свойства функций, имеющих предел в точке, анало-
гичны свойствам сходящихся последовательностей и
свойствам функций, имеющих предел на бесконеч-
ности.
317
1°. Если функция в точке имеет предел, то он единст-
венный.
2°. Если функция в точке имеет предел, то в некото-
рой проколотой окрестности этой точки функция ограни-
чена.
Доказательство*. Пусть lim/(x) = A. Тогда,
Х-Х0
выбирая е>0, найдется число 6 такое, что при
О < | х — х01 < б,
т. е. в б-проколотой окрестности точки х0 справедливо
неравенство
|/(х)~ А|<е, или А — е</(х)<А + ₽.
Таким образом, в указанной проколотой окрестности
функция ограничена снизу числом А — ей сверху числом
А + е, т. е. она является в этой окрестности точки х0
ограниченной. •
3°. Если в некоторой проколотой окрестности точки
х0 выполняется неравенство /(х)2>0 (/ (х)<10), то предел
функции f в точке х0 не может быть отрицательным
(положительным ).
Доказательство. Пусть в проколотой окрестно-
сти точки х0 справедливо неравенство
/(х)^0 и lim f(x) — A.
Составим из чисел этой окрестности последовательность
(х„), сходящуюся к х0. Тогда последовательность соответ-
ствующих значений функции {/ (х„)} сходится к А. Но
члены этой последовательности /(хл)^0, и ее предел не
может быть отрицательным, т. е. А^О. •
Доказательство для случая /(х)^0 проведите само-
стоятельно.
4° (о переходе к пределу в неравенствах). Пусть
в некоторой проколотой окрестности точки х0 справедли-
во неравенство f (x)^g (х)(/ (x)^.g (х)). Тогда, если
lim /(х) = А, lim g(x) = B, то А^В(А^В).
х-Хц
х-^-х0
Доказательство. Если в проколотой окрестности
точки х0 /(x)^g(x), то для любой последовательности
чисел (х„), взятых из этой окрестности, / (x„)^g(x„).
Отсюда по свойству последовательностей полу-
318
чаем lim /(хя)^ lim g(xn), т. e. Д>В. Аналогично рас-
•	Х-иоо	X —>оо
сматривается и случай / (x)^.g (х). •
5° (теорема сравнения). Если в некоторой проколотой
окрестности точки х0 справедливы неравенства
g(x)^/(x)s^<p(x) и lim g(x)= lim <р(х) = А,
то lim / (x)=A.
Доказательство. Выберем из данной проколотой
окрестности произвольную последовательность чисел
(х„), которая сходится к х0. Для всех этих чисел спра-
ведливы неравенства g (хп)^/(хя)^<р (х„), причем по
условию lim g(xn)= lim ф(х„) = А. Тогда по свойству 6°
л-*-оо	п-*-оо
для сходящихся последовательностей lim f(xn) = A.
Л-*-оо
Значит,
lim f(x) — A. •
х-*-х0
Примечание. В свойствах 4° и 5° нестрогие неравенства для
функций можно заменить строгими неравенствами.
Пример. Докажем, что lim х sin—=0.
х-*0	х
Доказательство. Так как для всех х=#=0 спра-
ведливо неравенство | sin |	1, то при х#=0
0< |х sin -^| = |х| -j sin	|х|.
Очевидно, что lim 0 = 0, lim |х| =0. Тогда по теореме
х-<-0	х-<-0
сравнения 5° lim Ixsin — I =0. Отсюда
х—О I х I
lim х sin —=0
х->0	X
(функция f(x) = xsin-^ вточкех0=0 не определена). •
319
Упражнения
515. Найдите значения с, при которых возможно ра-
венство lim f (х) = с2-|-2х— 3, c^R, если в некоторой
X—*0
проколотой окрестности точки х0:
а)/(х)>0;	б)/(х)<0.
516. Докажите, что в некоторой проколотой окрестно-
сти точки х0 выполняется неравенство:
а)	/(*)>0, если lim /(х) = 0,01;
Х^Х0
б)	/(х)<0, если lim /(х)=—0,05;
в)	|/(х)|>2, если lim f(x) =—4;
г)	1/(х)|>3, если lim /(х) = 6.
Х->-Хо
517. Найдите lim/(x), если в некоторой проколотой
х-0
окрестности точки хо = О выполняются неравенства:
а) /(х) = Д/1+х2 + х4, 1+1х2</(х)<1+х2;
6)/(x) = cosx, 1 —-^-х2С/(х)^ 1;
в) /(х)==—, х=#0, cos х</(х)< 1.
59. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Теоремы о пределах функций в точках выража-
ют определенные правила, с помощью которых мож-
но вычислять пределы функций, если они заданы
формулой (аналитически). Эти теоремы являются анало-
гами соответствующих теорем о пределах сходящихся
последовательностей и пределах функций на бесконеч-
ности.
Теорема 1. Если функция f(x) — C при всех х~^
^Xq, где С — постоянная, то lim / (х)= lim 6 = С.
Х-»ХО	х-»х0
Доказательство. Для любого е>0 неравенство
|/(х)—С| = |С — С| <е, т. е. 0<е выполняется в любой
проколотой окрестности точки х0. Поэтому lim С = С. •
х-*х0
320
Теорема 2 (о пределе суммы и разности функций).
Если lim / (х)=А, lim ф (х) = В, то существует предел
*-*в	*-*о
функций y — f(x)±g(x) при х Хд, равный А±^В, т. е.
lim (/ (х)±<р(х))= lim / (х)± lim ф (х)=А±В.
Теорема 3 (о пределе произведения функций).
Если lim /(х)=А и lim ф(х) = В, то существует пре-
дел функции у — f (х) • ф (х) при х->-х0 и он равен
А-В, т. е.
lim (/(х) -ф(х)) = lim /(х) • lim ф(х) =А -В.
*-*0	*-**0	к-*<>
Теорема 4 (о пределе частного функций).
Если lim/(x)=A и Птф(х)=В (В=#=0), причем в не-
которой проколотой окрестности точки х0 значения
f (ж)
ф(х)=#0, то существует и предел функции у=---------,
<₽ (*)
. А
равный -ц, т. е.
lim /(х)
цт 1 <*> х "х° —А
х^х„ ф(х) lim ф(х) в'
Доказываются теоремы 2—4 аналогично, поэтому
докажем одну из них.
Доказательство теоремы 4. Выберем из некото-
рой проколотой окрестности точки х0 произвольную по-
следовательность (х„), сходящуюся к х0. Поскольку
lim f(x„)—A, !im ф (хл)—В (В =/=0), то на основании тео-
ремы о пределе частного последовательностей получаем:
г, х lim fix.)
lim = "-°	А
ч>(х„) lim <р(х„) в
Этот результат в силу произвольности последователь-
ности (х„) означает по определению предела функции
в точке, что
..	И*) А
lim------=-5-.
Г-ХО <р(х) В
II Алгебра, 10 кл.
321
Следствие 1. Если, lim fi(x)=Ait lim /2 (•*)== A2,
X—Xg	*-**0
.... lim fm(x)=Am, to:
X —X0
а)	функция y = h (x)+/2(x)-|-... +/m(x) имеет пре-
дел в точке Xq, равный Л1 + Л2 + ---т. е.
lim (Л (х) + /2(х) + ...+/т(х)) =
X—Х0
= lim Л(х)+ lim f2(x)-|-... + lim /т(х);
х-*-х0	x-*Xq	x~^xq
б)	функция y = fi(x)'f2(x)’...’fm(x) имеет предел в
точке Xq, равный Л1 *Л2*... т. е.
lim (Л(х)-/2(х)-...-/т(х)) =
Х->ХО
= lim Л(х)- lim /2 (х)*... • lim /т(х).
X—Х0	Х->Х0	Х-ИХ0
Это следствие доказывается по индукции на основа-
нии теорем 2 и 3.
Смысл следствия 1 в том, что предел суммы (произве-
дения) конечного числа функций, имеющих предел в точ-
ке х0, равен сумме (произведению) пределов каждой из
этих фукций в точке х0.
Следствие 2. Если Вт/(х) = Л, то функция у —
х — хд
= с • f (х), где С — постоянная, имеет предел в точке Xq,
равный С-А, т. е.
lim (С/(х)) = С lim /(х).
Х->Х0	X— Хо
Постоянный множитель можно выносить за знак пре-
дела.
Доказательство. Так как lim С = С (теорема 1),
X—Х0
а Пт/(х) = Д (по условию), то по теореме 3
Х->Х0
имеем lim (C-/(x))=lim С-lim f(x) = CM. •
X—ХО	Х->ХО	X—ХО
Следствие 3. Если Нт/(х) = Л, то функция у =
X-^Xfj
— (/(х))'", г&е m — натуральное число (т^2), имеет
в точке х0 предел, равный Ат, т. е.
Пт (/ (х)Г=( lim f (x))n=Am.
Х-^ХО
322
Это следствие непосредственно следует из утвержде-
ния 16.
Примечание. Следствие 3 справедливо и при целом т<0, но
при условии, что lim f(x)=A (А »/=0).
Пример 1. Известно, что litnf(x)=—2 и
X—х0
I-	/чей- I- /2«43g(x)
limg(x) = 5. Найдем lim----------.
х-хое	х->х0 f(x)-g(x)+6
Решение. Вычислим предел знаменателя:
lim (/(х)-^(х)4-6)= lim (/(х)-£(х))+ lim6 =
х-х0	X—Х0	X —Хо
= lim /(%)• lim g (х) + 6 = ( — 2)-5 +6 = —4 (— 4=#0).
X —Хц	Х-КХд
Следовательно,
t2, , , „ , , Пт (/2(Х)+3г(Х))
Ггп +	— *-х°______________—
*-х0 /(*)•£ (х) + 6 lim (/(x)-g(x)-|-6)
X—Х0
( lim /(х))2+3 lim g(x)
Х-ХО	х-х0 (-2)2 + 3(-2)	1
-4	2‘
—4
Задание. Назовите, какие теоремы о пределах
функций и их следствия использовались при решении
примера 1.
Пример 2. Найдем:
a) Нт^3х4-4Д^—-у-
в)
lim
1
'“* 2
4г2— 1 .
8х3—1’
б)
..	Зх24-5х—2
lim —;
ж__2 5х2+13х+6
г) lim — 2.
’ г4 X —4
Решение.
а)	Применяя теорему о пределе суммы и разности
функций, получим:
lim (Зх4-4Д/х —=
= lim 3x4- lim 4 д/х" — lim —.
х-4	х-4	х—4 х
323
Так как постоянный множитель можно выносить за. знак
предела, то
lim (Зх+4 д/х —7) =
= 3 limx + 4 lim ~\fx —24 lim —.
x-*4	хч4	x—4 x
Вычисляем пределы: limx = 4 (по условию x->4),
x-**4
lim 1
lim Vx —~\[4= 2, lim -=^—=- (по теореме о пределе
частного и пределе постоянной).
Таким образом,
lim (3x + 4Vx—^-) = 3-4 + 4.2-24.|= 14.
Обычно каждый раз при решении таких примеров
ссылки на ту или иную теорему не делают, но имеют их
в виду. Тогда решение примера можно записать так:
lim (Зх4~4Ух — — ^ = 3 limx+4 lim У/х— 2-- =
х-*-4 \	% /	х-*~4	х-*-4	lim X
= 3*4+4*2-^-=14.
4
б)	Вначале найдем предел знаменателя:
lim (бх2-)-13x-f-6)=5( lim х)2+13 lim x-f- lim 6 =
х —2	х-*—2	*-*—2	хч — 2
= 5( —2)2+13(-2)4-6 = о.
Теоремой о пределе частного воспользоваться нельзя.
Найдем предел числителя:
lim (Зх24-5х—2)=3( lim x)2-f-5 lim х—2 =
хч — 2	хч — 2	хч — 2
= 3(-2)2+5(-2)-2 = 0.
В случаях, когда пределы числителя и знаменателя
равны 0, говорят, что имеем неопределенность вида
Раскрыть неопределенность — значит найти предел. Для
этого предварительно числитель и знаменатель данной
дроби раскладываем на линейные множители:
3,4-5,-2 3('+2>(«4)
5^+8*-1-6 б(х+2)(х+|у
324
Так как х принадлежит проколотой окрестности тоЧ
ки (— 2), т. е. х=£—2, на (x-j-2) можно сократить.
В результате получим:
3 lim х— 1
х —2
lim —-----------
2 5х24-8х-|-6
3(-2)-1
5 lim х-|-15	5( —2)4-15
X—-2
.. Зх—1
lim -т——гр-
_2 5x4-15
в)	Найдем предел знаменателя: lim(8x3—1) =
= 8(lim х)3—1 =8 Q-J5—1 =0. Вычисляем предел
х-”7
лителя: lim (4Х2—1) = 4 (lim х2)—1 =4
t	1
X-* —	X-* —
2	2
чис-
По-
лучили неопределенность вида I-qI. Раскроем ее:
.. 4Х2—1	/0\	..	(2х-1)(2х+1)
lim—,— = (—) = lim-------------—--------—
। вх3-1	\о/	1 (2х-1)(4х2+2х4-1)
Х-К2
2 lim х4" 1
t
..	2x4-1	х~*"2”
= lim —5----------=-------^-5----------
1 4Х24-2x4-1	4( lim х)24-2 limx-H
\ 1-	У/х—2	/0\	.. У/х— 2
г)-----lim ---==(-) = 11т ~Г7=^-—
х-~4 х—4	\0/ х-4 (УГ)2 —22
..	V7-2	1	1
= lim —==— -----=-— нт -7=—=-r.
х^4 С\х -2)(Vx 4-2)	x-4^42	4
325
Упражнения
518. Известно, что Пт/(х)=Д, limg(x) = B.
Най-
дите:
a)	lim (3f(x)+10g(x));
б)	Tim (f(x)g(x)-5g(x) + 3B);
Х-ХО
в)	lim (/2(x) + 4g2(x));
г)
X—Х0
lim
X —х0
/(x)+x2g(x)
Г(х)+5
а)
б)
в)
г)
д)
е)
519. Найдите:
..	/ 2х
lim (—---------
x^i ЧхЧ 1
..	1-Эх2
11т ;
х-1/з Зх1 —х
<• х2 —7х + 6.
lim-----------
х—* 6
lim
х-»0
lim
Х-.5
х2+х-42’
(1+х)(1+2х)(1+Зх)-1
ж) lim
х —О
з) lim -
х—2
Л/х4-4 —2.
Д/х4-9 -З’
Д/х4-2 —д/2х
Д/х4-7 — Д/2х4-5
х —5
60. ПРЕДЕЛ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим степенную функцию /(х) = х’р, где р —
любое рациональное число.
1-й случай. Пусть р — п, где п — натуральное число.
Тогда областью определения степенной функции явля-
ются все действительные числа, т. е. D(j)=R.
Возьмем любое число х0. По следствию из теоремы
о пределе произведения функций имеем
lim хл = ( lim х)', = хЗ.
Х^ХО	Х^хо
326
2-й случай. Пусть р——п, где п — целое отрица-
тельное число (лG^), т. е. f (х) = хр = —. Областью
определения степенной функции в этом случае являются
все действительные числа, кроме точки х = 0.
Возьмем из области определения любую точку х0. На
основании теоремы о пределе частного имеем
lim хр= lim —
х-х0	х— х0 х"
1
( lim хр
— х0-
*0
Итак, при целом отрицательном р
lim x₽ = xg.
X—х0
3-й случай. Пусть р —— — дробное положительное
число (/и>0, />0). При любом р в этом случае область
определения функции составляет все положительные
числа (х>0).
Пусть х0>0. Найдем Нтхд.
X —Х0
Введем обозначение: [р] = л, [р] —целая часть числа
р, будем учитывать, что n<p<n4~l.
Если х->-хо4-О, т. е. х>х0, то — >1, и тогда по
хо
свойству степени числа справедливы неравенства
На основании доказанного 1-го случая имеем:
lim х-кхо + О	lim х" 	х-хо+° 	xg	 \хо/	xg	xg
lim (— х->х0+0 \х0.	lim	+ l	. 	x-»-xo4-O			 )	/1+1	,«+l	*•
Следовательно, по теореме сравнения
lim
х-<-х0+°
Если х —+х0— 0, т. е. —<1, то по свойству степени
Хо
числа справедливы неравенства:
327
Так как
го по теореме сравнения lim ( —) =1. Для функции
х->хо-О \*0/
S (Х)=(~У в точке х0 пределы слева и справа равны
между собой. Значит,
Отсюда по теореме о пределе частного имеем:
lim —;
Х-*ХО *0
lim хр
lim xj
х—х0
lim хр
т. е.
lim x₽ = xg.
Г-»ХО
Смысл этого равенства в следующем.
Теорема 1. Предел степенной функции в любой
точке из области определения равен значению функции
в этой точке.
3.- 3.--- 3 г-
Например, lim ух2 = уЗ2 = у9;
х-»3
lim (х^) = 32Д/32 = 64, так как х~\Гх=хь.
х-»32
Теорема 2 (о пределе степени функции).
Если lim/(x)=A (А>0), го в точке х0 существует
предел функции y=(f (х))₽, где р — любое рациональ-
ное число, причем этот предел равен Ар, т. е.
Пт (/(х))р= ( lim f(x»p = Ap.
х~*хв	х~^*о
Доказательство теоремы сложно, поэтому только по-
ясним его. Так как по условию lim/(x)=A и А>0, то
*—*0
в некоторой проколотой окрестности точки х0 функция
/(х)>0. Поэтому в указанной окрестности функция у =
—(f (Х)У определена. Это сложная функция. Если проме-
328
жуточный аргумент обозначить через и, то данную функ-
цию можно задать в виде
У = ир, u = f(x).
По условию теоремы lim f (х) = Л (А >0). Это значит
в новых обозначениях, если х->-х0, то и->~А, но тогда
(мы только что доказали) степенная функция ир будет
иметь предел, равный Ар.
Итак, получаем
lim (/ (х)У= limир = Ар.
х -* х0	и -*• А
Примеры. Найдем:
a) lim Д/б^ + ЗхЧ- 1; б) lim
х —3	х->2 Х — Л
Решение.
з _________ —
a)	lim у6х^-|-Зх-|- 1 — lim (6х24-Зх-|- I)3 =
х —3	х —3
1	-i. 3 _
=(lim (6х24-Зх+1))з=(6-32 + 3.34-1)3=Уб4 =4.
х—— 3
б)	Найдем предел знаменателя и числителя:
lim (х —2) = 2 —2 = 0;
х —2
lim (“\/4х4- 1 —3)=-\/Пт (4x4- 1)—3=Л/9~—3 = 0.
х—2	Vx-2
Получили неопределенность Для того чтобы
найти предел, умножим числитель и знаменатель на
Л/4х4-1 4-3=/=0.
В результате получим:
= lim -3)(V47+T + 3) =
х—2	(x-2)(V4x+ 1 4-3)
..	(^4x4-1 ^-З2
— lim ?v......-______==
x-»2 (х-2)(д/4х4-1 4-3)
..	4x4-1—9
— h m------Г7===—г =
«-2 (x-2)(V4x-bi 4-3)
329
— lim.....УГ2)
z->2 (x-2)(V4x+l +3)
. ..	1	4
= 4 11 m , -=----= —, — -
r—2 y4x4-l 4-3 л / lim (4x-
_	4	_ 4 _ 2
~ V9 4-3 ~ 6 ~ 3’
Упражнения
520. Найдите:
a)
6)
в)
г)
д)
lim
r-> 1
lim
x-*-22
lim
л-*-1
lim
x —— 1
4 ,- 3 __
5 yx3 —2 yx4-7 .
3 V? + 5 V?
Vx4-5 -3.
x—22 ’
X2—1	’
3x4 —4x34-3.
’ 3x —x3 —2 ’
lim ^Д/З — 8л2 -f
з) lim
x->2
(x3 —3x24-4)50.
(x2—3x4-2)'°°’
и) lim
X —»1
к) lim
X —♦ I
(хг4-х-2)3°	.
(x4 —2x34-2x—1)'°’
x + x2 + ... 4-Xя — n
x-1
521. Найдите lim /(x), если:
X-X0
	(х'°-1
а) /(х) =		г- при Х< 1, г	х0=1; 10 |х— 2| при х> 1, Vx44-1 —	;	 при Х<0,
б) /(х) =	х ,		хо = О. 2 —2 ух 4-1	„ —г====	 при х>0. ЗД/гх-ЬЭ- 9
61*. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
ИХ СВОЙСТВА
Понятие бесконечно малой функции в точке анало-
гично понятию бесконечно малой последовательности,
бесконечно малой функции на бесконечности. Интуи-
тивный смысл этого понятия состоит в том, что функция
330
у = а(х) в некоторой достаточно малой проколотой
6-окрестности точки принимает сколь угодно малые, близ-
кие к нулю, значения.
Определение. Функция у — а (х) называется бес-
конечно малой в точке х0, если
lim а (х) = 0.
Пользуясь определением предела функции в точке
(предел здесь равен нулю), это же определение можно
сформулировать и таким образом.
Определение. Функция у = а (х) называется бес-
конечно малой в точке х0, если для любого положитель-
ного е можно подобрать число б, зависящее от е, что для
всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<|х — х0|<б,
справедливо неравенство |а(х)|<е.
Задания. 1. Раскройте геометрический смысл
этого определения, используя понятие окрестности
точки.
2. Сформулируйте определение бесконечно малой
функции в точке на «языке последовательностей».
Иногда вместо термина «бесконечно малая функция
в точке» говорят: «бесконечно малая функция при х->-
-*-х0». Обозначают бесконечно малую функцию грече-
скими буквами а, 0, у, ... .
Примерами бесконечно малых функций в точке явля-
ются:
а(х) = х2 в точке х = 0 (или при х->0);
0 (х) = (х-|-2)3 в точке х=— 2 (или при х->—2).
Здесь важно не то, что а(0) = 0, 0(— 2) = 0, а то,
что lim х2=0, lim (х-|-2)3 = 0.
х->0	х-*-—.2
Можно привести и такой пример. Дана функция
, ,	(х2 при х#=0,
V (х) = 4
(1000 при х = 0.
Будет ли эта функция бесконечно малой в точке 0?
Да, будет, так как lim у (х)= lim х* = 0.
х-*0	х—0
При вычислении предела мы учли, что х->0,
но х#=0.
Бесконечно малые функции в точке обладают свой-
331
ствами, аналогичными свойствам бесконечно малых по-
следовательностей.
1°. Сумма конечного числа бесконечно малых
функций в точке х0 является бесконечно малой
функцией.
2°. Разность двух бесконечно малых функций
в точке есть бесконечно малая функция в этой же
точке.
3°. Если функция f ограничена в некоторой окрестно-
сти точки Xq, а функция у = а(х) — бесконечно малая
функция в этой точке, то у —а, (х) f (х) — бесконечно
малая функция в точке х0.
4°. Произведение конечного числа бесконечно малых
функций в точке есть бесконечно малая функция.
Свойства 1°, 2° непосредственно следуют из теорем
о пределах.
Доказательство 3°. По условию функция / огра-
ничена в некоторой е-окрестности точки х0, т. е. во всех
точках ее справедливо неравенство |/(х)| ^.М, где М —
некоторое число. Также по условию а(х)— бесконечно
малая функция, поэтому для любого числа найдем
б такое, что при выполнении неравенств 0< |х — х0| <6
будет справедливо неравенство |а (х)| Итак, полу-
чаем, что для любого е>0, можно найти б такое, что при
всех х, которые удовлетворяют неравенствам 0<|х —
— х0|<6, справедливо неравенство
I а (х) / (х)| = | а (х)| I/ (х)| <£ М < е,
или |а(х)/(х)| <е, т. е. по определению z/ = a(x)/(x) —
бесконечно малая функция. •
Между функциями, имеющими предел в точке, и бес-
конечно малыми функциями существует определенная
связь, которую устанавливает следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы lim f(x)=4, необходи-
мо и достаточно, чтобы в некоторой проколотой окре-
стности точки х0 выполнялось равенство
/ (х)=4 + а (х),
где lim а(х) = 0, т. е. а — некоторая бесконечно малая
*->Х0
функция.
Необходимость следует из определений предела
332
функции и бесконечно малой функции в точке. В самом
деле, если lim f(x) — A, то для любого е>0 существует
число 6(e) такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенствам 0< |х — х0|<6, справедливо неравенство
|/(х)— Л|<е. По определению бесконечно малой функ-
ции это означает, что функция а(х) = /(х) — А — беско-
нечно малая в точке х0. Отсюда / (х) = А 4-а (х).
Рассмотрим достаточность. Пусть /(х) —Л-|-а(х) в
некоторой проколотой окрестности точки х0 и lim а(х)=0.
Тогда на основании теорем о пределах функции в точке
lim /(x)=lim (Л4-а (х)) =
Х-Х0	Х->Х0
= 4+lim а(х)=Л4~0=Л. •
х—х0
Эту теорему можно использовать при вычислении
пределов.
Пример. Найдем lim ^3 4-х2 cos (х Ч"))-
Решение. Функция i/ = cosfx4~) — ограничен-
ная, так как I cos fx-f-— 1 при х=#=0; lim х2 = 0. Сле-
I \	х/\	х—0
довательно, при х->х0 a(x)=x2cos (х4~) — бесконеч-
но малая функция (свойство 3°). Тогда по теореме
lim (34-х2 cos (х4--0) = 3.
Упражнения
522.	Пользуясь определением бесконечно малой функ-
ции, докажите, что функция у = а(х) является беско-
нечно малой в точке х0:
a)	a(x) = (2x—I)3, х0=-Ь
б)	а(х)='\/3х24-5х —8, х0= 1;
, . ^4-Зх2—4	о
в)	а(х) =	х+2 > *о=-2;
.	, ,	V1+ 5X2-! п
г)	а(х)= "	, хо = 0.
333
523.	Укажите точки, в которых функция у = а(х) бес-
конечно малая:
а)	а (х) = (2х— 1)'°;
б)	а(х) =------....... ;
в)	а(х)=—7;
г)	а (х)=Д/1 +3х—2х.
524.	Докажите, что функция у = $(х) бесконечно ма-
лая в точке х0:
а)
б)
0 (х) = х2 cos
0 (х) = х4 sin
ЛХ
X
хо = О;
хо = О;
в) p(x) = (x + 2)sin^-+x2 —4, х0=—2;
г) р(х) = (3 — x)cosnx-|-x2 — 4x4-3, х0 = 3.
525. Найдите:
а) Игл ^24-х2 cos у); б) lim х3 siп —-Д1'
в) lim ^3— х sin —4-х2 cos —\
г->-0 \	х	х /
г) lim ((х— 1 )2 cos 2 Д — 4).
62*. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ,
ИХ СВОЙСТВА
Рассмотрим функцию y — f(x), показанную на ри-
сунке 80. Из рисунка видно, что функция в точке х0 не
определена, но обладает свойством: какое бы положи-
тельное число М ни выбрать, во всех точках некоторой
проколотой окрестности точки х0 вблизи х0 значения
функции по модулю будут больше М. Так как М про-
извольное, можно сказать, что функция в проколотой
окрестности точки х0 принимает сколь угодно большие
значения по модулю. В таких случаях пишут
lim /(х) = оо
X—Х0
и говорят, что функция f в точке х0 имеет бесконечный
предел, или функцию y = f(x) называют бесконечно
большой в точке х0.
334
Точный смысл бесконечного предела функции рас-
крывает следующее определение.
Определение. Функция y = f (х) в точке х0 имеет
бесконечный предел, если для любого положительного
числа М найдется число 6, зависящее от М, такое, что
для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<|х—
— х0|<б, справедливо неравенство |/(х)|>Л1.
Если в указанной проколотой окрестности точки х0
функция принимает только положительные (отрицатель-
ные) значения, т. е. выполняются неравенства f (х)>
>Л4(/(х)<—М), то пишут:
lim /(х)=4-оо, (lim /(х) =— оо).
х-х0
для любого М>0
—!—->М. Отсюда
(х-2/
Например, функция	,
(х 2)
принимает значения больше М, если
-—->Л4 или 0< |х — 2|<4г=6.
\х—2|	м
Таким образом, для любого Л4>0, если положить
6=-^-, при выполнении неравенства 0< |х — 2| <6=
справедливо неравенство -—т. е-
.. 1 .
lim------=-)-оо.
х-*2 (х-2)2
335
График функции/(х)=
1
(x-2f
показан на рисунке
Заметим, что бесконечными пределами могут быть
и односторонние пределы функции. Например, функция
график которой показан на рисунке 82,
имеет следующие бесконечные пределы в точке х0— 1:
lim —Ц- =— оо; lim —!—-=-|-оо; lim—Ц- — оо.
-1-0 Х~1	х-1+о	х-1
Эти записи мы сделали, рассматривая рисунок.
Обычно поступают наоборот.
Для функции, заданной, формулой y — находят
левый и правый пределы в точке, в которой функция не
определена, но задана в некоторой правой или левой
окрестности. Затем по этим пределам выясняют поведе-
ние функции в окрестности данной точки.
Между функциями, имеющими бесконечный предел
в точке, и бесконечно малыми функциями есть связь,
которую устанавливают следующие теоремы.
Теорема 1. Если lim f(x) = сю, то lim 77-7 = 0-
X —ХО	х —ХО 1\х)
Теорема 2. Если lim а (х) = 0 и а (х) ^=0 в некото-
х-х0
рой проколотой окрестности точки Хо, то
Доказательство. 1. По условию
lim
I
а(х)
оо.
lim f (х)= оо,
Х-Х0
что означает: для любого Л4>0 найдется число б такое,
что при выполнении неравенств 0<|х — х0|<б спра-
ведливо неравенство |/(х)| >М, которое равносильно
336
I 1 I 1
неравенству |-^-у|<-^=е.
Отсюда и следует, что
2.	По условию lim а(х) = 0. Это значит, что для
Х->Х0
любого е =—>0 найдется число б (е) такое, что для всех
х, удовлетворяющих неравенствам 0<С |х— х0| <6, спра-
ведливо неравенство |а(х)|<е, которое при а(х)=#=0 по
условию равносильно неравенству I—!— |>——М. По-
I <* (х) | е
следнее означает, что lim --= оо. •
х-х0 а (х)
Например:
lim (х4-2)3 = 0. Значит, lim —J—T=oo;
_________	х—а (х + 2)’
lim ~\]х—3 =0, значит, Нт —===-(-оо.
х —3+0	х-4-3+0 ух —3
Примеры. Найдем:
. ..	7-2х
а)
б)
lim
х — + о ух
... COS X
в) lim
х-0 W
Решение.
а)	Так как Нт—!—-=4-оо и Нт (7 —2х)= — 3, то
х-5 (х —5)	х-5
в некоторой проколотой окрестности точки 5 данная
функция
7 ~2х . л	..	7 — 2х
б)	Так как lim —4~оо, lim (*4-l)==l, то при
х-^+0 у*	х->4-0
хл_ 1
х>0 функция /(х)=—у=->0. Поэтому
г *4-1	1
Нт —j=-= + оо.
х—+о ух
в)	Так как Нт —!—= 4-oo, lim cos x = cos 0= 1, то
х-0 1*1	х-0
в некоторой проколотой окрестности точки 0 функция
/(Х)=-^>О. Поэтому
Пт
х —О
COS X
“|7Г
+ ОО.
337
Упражнения
526. Приведите пример функции y = f(x), для ко-
торой:
a)	lim /(*)= + оо;
X—* 1
б)	lim /(х)= — оо;
х-> 1
в) lim / (х) = оо
X —► 1
527. Найдите:
. ,.	х2 +1
a)	lim —1—;
х-*-0 X
I-	х2—2
б)	lim —5—;
х —О X2
в) lim
Х->-1
х2 —2х —3 .
(х+1)2 ’
Зх —8
г) lim
х—3
9 —5х .
(х-3)2’
д) lim ----------,
х—2 + 0 V* — 2
лх
sin —
е) Нт--------т.
’ Х-.1 (Х-1)2
63. ПРЕДЕЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Для нахождения пределов тригонометрических функ-
ций, а также функций, формулы для которых содержат
тригонометрические функции, нам потребуется следую-
щая лемма.
Лемма. Для всех х, удовлетворяющих условию
0<|х|<-|-, справедливо неравенство
I sin х| < |х| < | tg х|.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай
0<х<у. На координатной плоскости построим еди-
ничную окружность (/? = 1) с центром в точке О (рис. 83).
На окружности возьмем точку Р так, что /LAOP = x
(рад), и проведем АТ перпендикулярно оси Ох. Из ри-
сунка видим, что для площадей
треугольников ОАР и ОАТ и
площади сектора ОАР справед-
ливы неравенства
S Д ОАР < Зсект < &ОАТ-
Эти площади легко найти:
5до4/>=^- ОА-OP sinx^jsinx;
338
SbOAT=^OA-AT=±OA.OA-igx==^x-,
•$сект=4СМ2-Х=4Х-
Подставляя величины площадей в неравенства,
получим
J Sin X<jXCj tgx,
или
sinx<x<tgx.	(1)
Так как при 0<х<у выполняются условия х>0,
sinx>0, tgx>0, то
х=|х|, sinx=|sinx|, tgx=|tgх|.
Поэтому полученные неравенства (1) записываем
в виде
I sin х| < |х| < I tg xl.
Таким образом, для ОсхСу лемма доказана.
Пусть —у<х<0. Тогда 0<|х|<у, и в силу дока-
занных неравенств (1) имеем
sin |х| < |х| <tg |х|.	(2)
Так как функции sin х и tgx нечетные, то при усло-
вии —^<х<0 выполняются следующие равенства:
sin |х| =sin (—х)= —sin х= |sin х|;
tg lx| = tg( — х)= — tgx= |tgx|.
В результате неравенства (2) принимают вид
I sin х| < | х| < | tg х|. •
Примечания. 1. Так как sinO = tgO = O, то, если в условии
леммы принять, что |х|<-^-, будут справедливы нестрогие неравен-
ства |sin х| |х|	| tg х|.
Равенство возможно только при х=0.
2.	Доказано, что неравенство |sinx|^|x| справедливо для всех х,
। । л
удовлетворяющих условию IxK-^-.
Поскольку |sin х| 1, то оно выполняется и при любых х.
339
Теорема. Предел тригонометрических функций
в любой точке х0 из области определения равен значе-
нию функции в этой точке, т. е.:
a)	lim sin х — sin х0;
Ж"*'Х0
б)	lim cos x = cos х0;
в)	Jim tgx = tgx0, х0=/=-у+лл, n<=Z;
г)	limctgx = ctgx0, х0=£лл, n<=Z.
х-*0
Доказательство, а) Возьмем любое е>0 и по
нему подберем число б, зависящее от е, чтобы для всех х,
удовлетворяющих неравенствам 0<|х — х0|<6, было
справедливым неравенство |sinx — sinx0|<8. Исполь-
зуя формулы для разности синусов, перепишем это нера-
венство в виде
|2 sin
•cos
<8.
I	* + х0 I
Если теперь учесть, что |cos—1 и по дока-
| . X —Хо I	|х —Хд|
занной лемме | sin——2—, то получим
Isinx — sin х0| =21 sin 1 • |cos
|x—Xol .	.
2 • g * 1 — I % I •
Это значит, что для любых х
|sin х—sin х0| < |х—х0|.
(3)
Тогда, если для любого е>0 положить, напри-
мер, б = е, то, как только будет выполняться условие
0<|х—х0|<6 = е по неравенству (3), будет справедли-
вым и неравенство
I sin х—sin х0| С 1х—х0| <б = е,
т. е. |sin х—sin Хо1 <8. А это означает, по определению
предела функции в точке, что
lim sin x=sin х0.
340
Пункт б) теоремы доказывается точно так же, только
используется при этом формула разности косинусов.
в) Так как tgx=-^~^- и при х0=£^-{-лп, n^Z,
COS X	*
lim cos х = cos x0Ф0, то по теореме о пределе частного
имеем:
. .	,	, .	3111 Л
lim tg х — lim------------
х—Xj)	х-*х0 COS X
lim sin x
x —x0	sin Xq
lim cos x	cos x0
Пункт г) доказывается аналогично. •
Например, используя теоремы о пределах, находим:
2 lim cos х
lim
л
2 cos х
tg X —ctg X
о 71
2 cos —
6
Примеры. Найдем:
a)	lim tgx; б) lim tgx; в) lim tgx.
x-4	x^-0	x-4+0
Решение, а) Точка x0=y не входит в область
определения функции у = tg х, поэтому использовать
предыдущую теорему нельзя. Тогда поступают так. По-
скольку
. sin х ..	п
tgx—---------, limcos x = cos—= 0,
COS X я	I
X~*~2
а значит,
lim—!—=oo, lim sin x = sin-^-= 1, to:
я COS X	я	2
X~* 2	Ж*”'2
limtg x= lim (—!—sin x^= oo.
я	я \COS x	/
X~" 2	2
34t
б)	Так как lim —5—= 4* оо (объясните почему),
я COS X
х->--0
a lim sin х= 1, то
Я
~2~°
lim tgx = lim (------sinx)=4-oo.
я .	л Acosx /
х-*--0	х-*--О
2	2
в)	Докажите самостоятельно, что lim tgx= — оо.
То, что lim tgx= + оо, указывает, что при прибли-
женин х к — слева точки графика функции y = tgx
неограниченно «поднимаются вверх», приближаясь к
вертикальной прямой, уравнение которой х = у.
Далее такие прямые будут называться вертикальны-
ми асимптотами графика функции.
График функции y = tgx показан на рисунке 23. По-
скольку функция тангенс периодичная (период равен л),
то такие же односторонние пределы функция имеет
и в точках х=-2- +л/г, n^Z.
Примеры.
a) lim ctg х;
х->0
Решение,
зуем формулу
2 '	’
Найдем:
б) lim ctg х; в) lim ctg х.
х-*-—О	Х-»+0
Для того чтобы найти пределы, исполь-
ctgx = ——, х#=лп, neZ.
tgx
а)	Так как limtgx=tgO = O и в некоторой проколо-
х->0
той окрестности точки х0 значения tgx=#O, то
lim ctg х = lim-= оо.
х-4 0	Х-4 0 tg X
б)	Поскольку Х-+- — 0, то рассматриваются только
х<0. При этом условии вблизи точки хо = О справедливо
неравенство ctgx<0. Поэтому
lim ctgх= — оо.
Х-4 -О
342
в)	Аналогично при х->- 4-0 выполняется условие
Х>0 и вблизи точки хо=О справедливо неравенство
ctgx>0. Следовательно,
lim ctgx = + 00 •
х-+0
Примечание. Функция </ = ctgx периодическая с периодом л,
поэтому такие же, как и в точке х0, будут односторонние пределы
в точках ял, neZ. Например,
lim ctgx = lim ctgx=— оо;
*->•—л—о	х-*л —о
lim ctgx= lim ctgx=-f-oo.
x—► —л-f-O	х-*-я4-0
Этот результат указывает, что при приближении к точкам ял, пе
eZ, справа точки графика функции неограниченно «поднимаются вверх»,
а при приближении х слева к ял точки графика «уходят вниз». В обоих
случаях точки графика приближаются к прямым х=лл, neZ.
Упражнения
528. Найдите:
a)	lim (cos х — 2Л/з" sin х);
я
,, ,.	Л/з” + 2 cos х
б)	lim ------------;
2s 1 — sin X
X —►-
3
529. Найдите:
. sin2 х — 3 sin х + 2
a)	lim-----------------;
я sin x-f-sin x—2
T
2 cos2 x—3 cos x—2
6)	lim -------------------;
6 COS x+13 COS x + 5
x~"~2
530. Найдите:
. ,. cos 2x — cos x
a)	lim--------------;
X—0	• x
sm 2
6)	|im SinX + sin2x.
Х-..Л sin 2x-f-sin 3x
, ..	sin 3x—sin x
qi lim ______________•
B)
r)
lim (14-4 cos2 x) tg x;
Я
X-* —
lim
5n
sin 2x
1 — 3 ctg x
.	3 sin2 x — 4 cos x — 4
в)	lim--------------------;
х-+-я 2 sin x—3 cos x—3
. ..	tg2 X— 1
r) lim------.
л 2 tg2x—tgx—1
X—► —
4
r)
Д)
e)
lim
n 14-ctgX
,. cos 2x
lim —=-----;
л y2 sin x— 1
Пт.^х-Уз tgx
‘4 cos(x+|)
343
531. Найдите:
a) lim ftg х-—Y,	г) lirn (1 — sin 2х) tg х;
х-х-1+(Л	C0SX'	—т+0
(3 \	/	1 \
tgx-----); д) lim (ctgx----------г,
cos х J	ж-»- — o\.	sinx/
в) lim (1 —sin 2x)tgx; e) limfctgx-----— Y
_x_n	x-» + o\	sinx/
2
64. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ хч-0
X
На рисунке 84 показан график функции /(х)=-----,
которая определена для любого хУ=0. Если судить по
графику, то предел этой функции в точке хо = О равен 1.
Докажем, что
.. sin х ,	...
lim-—=1.	(1)
х-*0 х
Пусть 0< |х| <у. Тогда по лемме (п. 63) выполня-
ются неравенства
|sin х| < |х| < |tgx|.
Разделив все части неравенств на |sinx|>0, по-
лучим
> sin х I |cos х|
Учитывая, что —— >0, cosx>0, при 0< |х| <4,
sin х
полученные неравенства можно записать в виде
344
Отсюда получаем, что
sin х
Так как lim cos x = cos 0=1
Х--0
сравнения имеем
sin х
lim-------------------------=
х-*0 х
и lim 1 = 1, то по теореме
х—О
1. •
Этот предел называют первым замечательным пре-
делом.
п	а	.. , smx
Примечание. Функция /(х) =----в проколотой окрестности
точки 0 представляет собой отношение синуса бесконечно малой функ-
ции а(х)=х к этой же бесконечно малой функции. Такая особенность
функции является определяющей, и можно доказать, что
sin а (х)
lim ----------
х->х0 а (х)
1,
(2)
если lim а(х)=0.
Х^Х0
На основании формул (1) и (2) можно вычислять пределы некото'
рых функций.
Пример. Найдем:
... х	х sin Зх
а)	ит-----; в) lim------;•
*-►0 sin х	Х-+0 х
-V ,. tgx	... 1—cosx
б)	lim -5—;	г) lim----—.
х->0 х	х-»0	*
Решение.
а)	Hm-^=(§) = lim-l- =--------— =4=1;
х-^о sin х \и/ х-»о sin х , sin х 1
---------------------- lim -----
X х-»0 х
tgx /0\	,. /sin х
б)	lim-S-=(-) = lim(—-
х--0 х	\U/	х-^о \ х
sin х 1	,1	,
= lim--------------- 1 •—= 1;
х_»о х lim cos х 1
х—0
. ,. sin Зх
в) lim----
х—0 х
= 3-1=3;
1
COS X
sin Зх\ _ sin Зх
—)“3
о
346
Упражнения
532. Найдите:
.. sin 10х
lim------;
x-0 x
а)
и)
6)	lim х-иО	sin 7x sin 4x	к)	lim X-* —-
в)	lim r-^0	1 —cos 4x x sin 3x	л)	lim x-*- — 1
Г)	lim x-*0	tg5x 2x ’	м)	lim Я x~*~~2
д)	lim x-0	sin 3x tg7x’	h)	lim X-*	
e)	lim x-+- Я	sin 2x sin 7x	0)	lim  л T
ж) lim X — 1 з) lim X—*-Д		sin лх. tg Злх* X — я. tg 2x’	n)	lim - х-*я
1 4-2 sin х
cos
6 S'n \ o,
l-tgx .
1 + cos 3x
tg26x ’
tg x—sin x
sin3 2x
,.	4 cos x
lim 2—
„ л — 4X2
2
8 sin3 x+ 1.
я 6x + л ’
"б
sin x4-sin 1 _
533. Найдите:
... sin 3x
a) lim------r
6)
,. cos 3x
lim -------------=;
5л 2 cos x + V3
.. 6 sin 3x
lim • ,   —-
. .. ctg X— I
r) lim ,	
Д/cos 2x
4	’	____
.	1—Л/cos X
д) hm -—1—7=;
X-++0 1—cos yx
...	1 — cos x Л/cos 2x Л/cos 3x
e) lim---------1------------
x-o	x3
346
§ 13. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
65. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
И НА ПРОМЕЖУТКЕ
Рассмотрим функцию y = f(x), заданную графически
на рисунке 85. По виду графика можно отметить, что на
некоторых промежутках, а именно (—сю; а), [а, й],
(й, с) и (с, + сю), график функции вычерчивается, не
отрывая карандаша от листа бумаги. В таких случаях
и говорят, что на данном промежутке функция непре-
рывная. Это лишь наглядное представление о непрерыв-
ности функции.
Возьмем любую точку из перечисленных про-
межутков, например х0. По графику отмечаем, что
lim f(x) — f(x0). То же наблюдаем и в точке xlt в ко-
*—*0
торой lim /(*) = /(*i). В этих точках функция, как ви-
дим, обладает тем свойством, что ее предел равен значе-
нию функции в данной точке. Такое свойство и является
определяющим для непрерывной функции в точке.
Определение. Функция y = f(x) называется не-
прерывной в точке х0, если
lim f(x) = f(x0).
Х-Х0
Пример 1. Функция /(х)=х3 непрерывна в точке
х0 = 2, поскольку lim x3 = (lim х)3 = 8 = / (2).
х-»2	х —2
Пример 2.При хо>0 доказано, что lim л/х~="^х7.
_	х-хо
Значит, функция f(x)—\jx непрерывна при всех х0>0.
347
Пример 3. Для линейной функции f(x) = kx-^-b
в любой точке х0
lim (kx + b)= lim kx-{- lim b =
x—xo	* —*0	x^x0
= k lim x-\-b — kx0-\-b = [(x0).
x—x0
Значит, линейная функция непрерывна в любой точке.
Определение. Функция, непрерывная в каждой
точке промежутка, называется непрерывной на этом
промежутке.
Например, функция ё(х) = У[х непрерывна при всех
х>0. Значит, она непрерывна на промежутке (0; +«>).
: Ранее было доказано, что если х0 принадлежит обла-
сти определения, то
lim x₽ = xg; lim sinx = sinx0;
X —X0	X-»X0
lim cos x = cos x0; limtgx = tgx0; lim ctgx = ctgx0.
X-»XO	x-XO	X-»XO
Это означает, что справедливы следующие утверж-
дения.
Теорема 1. Степенная функция у = х? непрерывна
в своей области определения.
Теорема 2. Тригонометрические функции непре-
рывны в своей области определения.
В частности, функции y = sinx и «/ = cosx непрерыв-
ны на всей числовой прямой; функция */ = tgx непре-
рывна на всей числовой прямой, кроме точек х=у+лп,
n^Z. Функция r/ = ctgx непрерывна во всех точках,
кроме х — лп, n^Z.
Обратимся еще раз к рисунку 85. По графику функ-
ции y — f(x) видим, что функция в точках х — а и х = Ь
пределов не имеет, но
lim f (x) — A=f (a), lim f (x) = B = f (b).
x-^a-f-0	x-+b—0
В таких случаях говорят, что функция непрерывна
справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь. Точный
смысл этих понятий раскрывает следующее определение.
Определение. Функция y = f(x) называется не-
прерывной слева (справа) в точке х0, если:
lim / (х) =/(х0), ( lim /(*)=/(х0)).
ж—хо-о	х — Хо+О
348
Например:
. ,	2
а)	функция у—— непрерывна справа и непрерывна
слева в точке х0=1, так как
lim —= lim —= 2 — y(l);
х-»1 —О x x-.lfO x
б)	кусочно-заданная функция
(2х, если х>0,
|х4-2, если х=С0
не является непрерывной слева в точке хо = О, поскольку
lim f (х) = lim 2х = 0=#/(0)=2,
X—-0	х->-0
но является непрерывной справа в точке хо=О, так как
lim /(х) = lim (x-f-2)=2=/(0).
х—+о	х-*+0
Можно показать, что функция y = f(x) непрерывна
в данной точке тогда и только тогда, если она непрерыв-
на и слева и справа в этой точке, т. е. при условии
f(xo-O)=f(xo+O)=/(xo).
Упражнения
534.	Сформулируйте с помощью неравенств на
8 —б-«языке» утверждение lim /(х)=/(х0).
х-х0
535.	Найдите 6>0 такое, что |/(х) —/(2)| < j при
|х—2|<б, если /(х)=5х—3.
536.	Найдите б>0 такое, что lg(x)—g(0)| при
|х| <6, если g(x)=3x2—5.
537.	Найдите 6>0 такое, что	ПРИ
р—-^|<6, если <р(0=7—2/.
538.	Пользуясь определением непрерывности в точке,
докажите, что функция непрерывна в указанной точке:
а)/(х)=^х2+5х—6, х0 = 2;
б)	g(x)=x2cos х, х0=л;
349
В) ф(0=2ГИ-, 4 = 4;
5/—1 при /<1,
Д) Г(х)=
sin 2х при х=/=0,
при х = 0, хо = О.
539.	Изобразите график функции y = f(x), опреде-
ленной на всей числовой прямой, непрерывной при всех
х, кроме:
а) точки 2; б) точек —1 и 1; в) точек 1, 2, 3.
540.	Приведите пример формулы для функции f,
определенной при всех хе/?, кроме:
а)	точки —2;	в) лп, n^Z;
б)	точек —1; 0; 1; г) у-|- nk, k&Z.
541.	Докажите, что функция y — f(x) непрерывна сле-
ва в точке х0, и постройте график функции:
Л/2х" при 0^x<J2,
542.	Докажите, что функция y = g(x) непрерывна
справа в точке х0, и постройте график функции:
[1 —х2 при х< 1,
a)g(x)=3_	х0=1;
ух2 при х>1,
------------т при х<2,
б) g(x)= (*-2)	х0 = 2.
Зх—х2 при xi>2.
350
543*. При каких значениях а функция
/(*) =
х3 — х2 — 4	, п
ПРИ Х^2’
х-\-а при х = 2
будет непрерывной в точке х0 = 2?
544*. Найдите значения а и Ь, при которых функция f
будет непрерывной в точке х0=1, если:
а) /(%) =
’ах2+5х+2
х—1
при х> 1,
2х-\-Ь при х^ 1;
б)
ах2+&х+3
x^i
при х< 1;
х+ 1 при х> 1.
66. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Уже известно, что непрерывная в точке х0 функция
y = f(x) при х —х0 имеет предел, равный /(х0). По-
этому из свойств предела функции непосредственно
следуют основные свойства функций, непрерывных
в точке.
1° (свойство локальной ограниченности). Если функ-
ция y = f(x) непрерывна в точке х0, то существует
6-окрестность точки х0, в которой функция f огра-
ничена.
На рисунке 86 показан график функции, непрерыв-
ной в точке х0, и заштрихована б-окрестность точки х0,
в каждой точке которой
выполняются неравенства
m<zf (х)<.М, т. е. по графи-
ку функции видим, что функ-
ция f в указанной окрестно-
сти точки х0 ограничена.
2° (свойство устойчивости
знака). Если функция у =
— f(x) непрерывна в точке х0
и / (х0)>0 (/(х0)<0), то су-
ществует 6-окрестность точки
х0, в каждой точке которой
/(х)>0(/(х)<0).
Геометрическая иллюстрация этого свойства дана на
рисунках 87, 88.
Доказательство*. Пусть f(x0)>0. По усло-
вию функция / в точке хй непрерывная, значит,
lim /(х)=/(х0). Отсюда, по определению предела функ-
/(Хо)
ции при х->х0, Для е==—2~ существует 6-окрестность
точки х0, в каждой точке которой
/(x)>f(x0)-e = f(x0)—
т. е. /(х)>-^>0.
Итак, в указанной 6-окрестности точки х0 выполня-
ется неравенство /(х)>0. •
Аналогичные рассуждения проведите для случая
/(х0)<0.
3°. Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны
в точке х0. Тогда в точке х0 непрерывны и функции:
a) ^ = f(x) + g(x);	б) y=sf(х)—g(x);
в) y = f{x)-g(x)-,	г) г/=-Ц^, если g(xo)=#O.
g(x)
Смысл этого свойства состоит в том, что сумма,
разность, произведение и частное непрерывных в точке
х0 функций есть непрерывная в этой точке функция (для
частного, если знаменатель в точке х0 отличен от нуля).
Доказательство этого свойства проводится на основе
теорем о пределах и определения непрерывной функции
в точке.
Доказательство 3°. в) По условию функции f и
g непрерывные в точке х0. Значит, lim /(х)=/(х0),
*—*о
352
lim g (x) = g (x0). Тогда по теореме о пределе произведе-
ния функций для функции F (x) = f (х)-g (х) получаем:
lim F (х)= lim (f (x)-g(x)) = lim /(x)- lim g(x) =
x —+>	X^xo	X—Xo	X—XQ
= fUo)-g(-^o) = /:’Uo). t. e. lim F(x) = F(x0).
X—x0
Это означает, что в точке х0 функция F(x)=f(x)X
Xg(x) непрерывная.
Так как постоянная функция f(x)=C и степенная
функция у = хр, р — натуральное число, непрерывны
в любой точке х координатной прямой, то из свойства 3°
непосредственно следует:
1) функция, представленная в виде многочлена, т. е.
f (х) = адх" + atx"~1 4-... 4- ап_! х+ап,
непрерывна на всей координатной прямой;
2) функция, которую можно представить в виде отно-
шения многочленов, т. е.
aoxn + a1xm-*,+...+am_| * + а„
G ( X )  -------:-------------,
djX’+fe,/1 +...+&я_1
непрерывна на всей координатной прямой, за исклю-
чением точек, в которых знаменатель равен нулю. За-
метим, такие функции называются рациональными функ-
циями. •
Пример. Исследуем на непрерывность функцию
~фх COS X
х2—5х-|-4'
Решение. Область определения данной функции
находим из условий: х^О и х2 — 5х4-4=/=0, т. е. х^О,
х^=1, х=#4. Следовательно,
О(/)=[0; i)U(l; 4)U(4; +оо).
В точке х = 0 функция определена. Найдем предел
справа в этой точке:
V—	lim Vx”• lim cos х
^1=^------------p+0------ =
X— +o‘	' X—+0X1—5x4-4	lim (x2—5x4-4)
x-+6
=±l=o=/(O),
12 Алгебра, 10 мл.
353
т. е. функция / в точке хо=О непрерывна справа.
Здесь мы использовали теоремы о пределе произведе-
ния, частного и тот факт, что функции у = ~\[х, y = cosx,
у = х? — 5x4-4 непрерывны в точке хо=О.
Эти же функции непрерывны и в любой другой точке
из области определения. Значит, по теореме о непрерыв-
ности произведения и частного функций с учетом, что
х2 — 5х4-4#=0, функция f также непрерывна в этих
точках.
Итак, данная функция непрерывна в каждой точке
области определения, причем в точке хо=О — непрерыв-
на справа.
Упражнения
545. Найдите все значения х, при которых функция
y = f(x) непрерывна:
a) /(x)=Vx 4-^-р
3 _
г/ \	2*+1 . ух2
в)
У/хг
В)/(Х) = ^±3;
sin X
г) f(x)=^±*;
COS X
д) /(х) = (5х3 — Зх-|- l)tgx;
546. Докажите, что в некоторой окрестности точки х0
функция y = g(x) принимает значения одного знака.
Определите его, если:
.	, ч	5х4 — Зх3—2х+8	о ' s v ’	Зх2 + 2х-|-14	°
.	. .	Зх5—xV? б) g(x)=—	, х0=1;
5 V7-|-2x2-9
.	. .	2 sin х+4 cos2 х—4,01	л
„чз-збх* *« </
Г) gw=4J7',;‘g\l. 4х24-(4 —л) х—л-|-1	4
354
67. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию у = '\/1—х?. Каждому х из
промежутка [—1; 1] сопоставляется определенное у,
которое вычисляется по данной формуле. Эту функцию
можно задать с помощью двух функций y=f(u) и
«=g(*). W /(и)=д/«7, g(x)=l—х2.
В самом деле, по заданному х из промежутка [ — 1; 1]
находим соответствующее значение и, т. е. g(x). Затем по
значению и вычисляем значение у, т. е. f (и). В таких
случаях говорят, что данная функция является сложной
функцией.
Определение. Пусть fug — две функции. Слож-
ной функцией f от g называется функция y = f(g(x)).
Читают: «у есть f от g от х».
Очевидно, что сложная функция y = f(g(x)) опреде-
лена для тех х, для которых определена функция g и для
которых значения g (х) принадлежат области определе-
ния f.
Сложную функцию y — f(g(x)) записывают и так:
y = f(u), u = g(x).
При этом и называют промежуточным аргументом
функции. Например, функцию у = (х2+1)3 зададим
в виде
у —и3, м = х24- 1.
Промежуточных аргументов у сложной функции мо-
жет быть и несколько.
Например, функцию z/ = sin4(5x —2) зададим в виде
у = и\ u — sinv, v — 5x — 2.
Здесь два промежуточных аргумента и и v.
Задание. Укажите функции, которые составляют
сложную функцию:
а) у='\/5 + х2; б) z/ = cos23x.
Пример 1. Даны две функции }(х)—У/х, g(x) =
= 3-j-sinx. Запишем формулу для функций:
a) y = f(g(x));	б) y = g(f(x)).
Решение, a) y=^34-sin х; б) y = 34-sinд/х".
Теорема 1 (о непрерывности сложной функции).
355
Если функция u = g (х) непрерывна в точке Xq, а функ-
ция y = f (и) непрерывна в точке и0—g (х0), то сложная
функция y = f (g (х)) непрерывна в точке Xq.
Доказательство. По условию функция g непре-
рывна в точке х0, поэтому lim g (x) — g (x0)=u0, т. e. при
*—*0
x —x0 промежуточный аргумент ы->-и0. Так как функ-
ция f непрерывна в точке и0, то lim — f (и0). Учиты-
« —«О
вая, что u — g(x), ии=g (х0), а условие выполня-
ется при х->х0, получаем
lim Mg(x)) = f(g(x0)),
Х-Х0
т. е. предел функции y = f(g(x)) равен ее значению
в точке х0. Следовательно, сложная функция непрерывна
в точке х0. •
Теорема 2. Если lim g(x) =А, а функция y = f(u)
х0
непрерывна в точке и=А, то
lim f (g (х))=/(lim g (x))=f (A).
X-X0	X->X0
В теореме 2 в отличие от теоремы 1 требуется лишь
существование предела функции g в точке х0, но не
непрерывности.
Пример 2. Найдем:
... . / Л COS X \	/л sin
a) lim tg I—-—1; б) lim cos I—5—1.
х-л \ 4 /	x —о	\ Лх /
Решение.
а)	Функция g(x)=YC0SX непрерывна в точке х0=л
как произведение постоянной на тригонометрическую
функцию, причем g (л) = -^- cos л = —
Функция f(u) = tgu непрерывна в точке и0——
Следовательно, по теореме о непрерывности сложной
(л cos х\
—-—I в точке х0=л является непре-
рывной функцией. Поэтому
.	/П COS х\ t /л COS Л \	,	/ л\ 1
lg	vr J=tg (-т)“
356
б)	Функция g(x) = —-х— в точке хо = 0 не является
непрерывной, но
,. л sin х
lim —х—
х-0 Зх
sin х
lim--------
л ._л
з"Т’
а функция /(u) = cos и непрерывна в точке и0=^-. Поэто-
О
му по теореме 2
..	/ л sin х\	л sin х\ л 1
lim cos I—7— =cos I lim—-— )== cos—=7-.
x-o \ 3x /	\x-*-o 3x /	3	2
Упражнения
547.	Даны функции f и g. Запишите формулу для
сложной функции y — f(g(x))‘.
а)	/(х) = х2, g(x) = V* 4-1;
б)	f(x) = Vx, g(x) = x24-l;
в)	/(х) = 3х'2 + р g(x) = sinx;
3 --
г)	/(х)= Vx2, g(x) = tgX.
548.	Даны функции /, и, v. Запишите формулу для
сложной функции y — f {и (и (х))):
a)	f(u)=w3, и=Уй”+1, у=х2-4- 1;
б)	/(и)=«54-1, u = sinu, о = 5х+1;
в)	и = и24-4, u = cosx;
Vй
г)	/(u) = tgu, и = д/о", и = 44-х2.
549.	Запишите функции, которые составляют данную
сложную функцию:
а)	г/ = (2х + 3)5;	д) y = tg5 (1 —х);
б)	s = 3 sin2/;	е) у=Л/(1 +sin2 х)2;
в)	A=V1 4-cos21; ж) у = arctg Vl 4-^1
10	5.------------
г)	У~ 'i ...... ’ з) y=y(arccos 5х)4.
^2 +cos Зх
357
550.	Докажите, что функция / непрерывна в каждой
точке области определения:
а) / (х) — Л/5 — х;
I	у 1 + х’
в) /(*)=—к-;
sin Зх
г) f (х) —у[х cos2
Д) Дх)=Д/14-х-1;
е) f (x) = ctg3Q^).
551. Найдите:
ч ..	. ( п(х— 1)	\
a)	lim sin ( ——5——-- 1
7 x^i \2 х2—36x4-5/
б)	lim cos (л cos Зх);
9
в) lim
X-.4
'x-l-12 -4/
(cos х -|- cos2 х -f-... + cos" x —
з
68.	СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Определение. Функция y — f(x) называется не-
прерывной на отрезке \а; 6], если она непрерывна на
интервале (а; 6); в точке а непрерывна справа, а в точке
b непрерывна слева, т. е.
lim /(х)=/(а), lim f (x)=f (6).
x-*a + 0	x-*b — 0
График непрерывной функции на отрезке показан на
рисунке 89. Из рисунка видно, что при вычерчивании
графика нельзя «подняться» выше некоторой прямой
y = L и «опуститься» ниже прямой у= —L. А это значит,
что при всех х из отрезка [а; 6] справедливо неравенство
|/(х)| т. е. на отрезке [а; Ь] функция ограниченная.
Итак, можем сформулировать следующие свойства
функций, непрерывных на отрезке.
1° (об ограниченности непрерывной функции на от-
резке). Если функция y — f (х) непрерывна на отрезке
[а; 6], то она на этом отрезке ограниченная.
Доказательство данного свойства не приводится
<см. графическую иллюстрацию — рис. 89).
358
2° (о достижении наибольшего и наименьшего значе-
ний на отрезке). Если функция y = f(x) непрерывна на
отрезке [а; &], то она на этом отрезке достигает сво-
его наибольшего (М) и наименьшего (ш) значе-
ний, т. е.
а)	существует, по крайней мере, одна точка х2 на
этом отрезке, что f(x2)—M, причем для всех осталь-
ных точек отрезка справедливо неравенство f (х)^М
(см. рис. 89).
Наибольшее значение М функции f на отрезке [а; 6]
обозначают символом тах/(х) и пишут тах/(х) = Л1;
(а. 4]	[а; ft]
б)	существует, по крайней мере, одна точка х{ на
этом отрезке, что /(х1) = т, причем для всех осталь-
ных точек отрезка справедливо неравенство
/(х)>т.
Наименьшее значение m функции / на отрезке [а; 6]
обозначают символом min/(x) и пишут min/(x) = /n.
(а; *]	[а; ft]
Примем это свойство без доказательства. Геометри-
чески оно понятно, так как при вычерчивании графика
непрерывной функции на отрезке, не отрывая каранда-
ша от листа бумаги, мы обязательно достигнем прямой
у — М (на чертеже в точке с абсциссой х2) и не сможем
«опуститься» ниже прямой у-m (на чертеже достигаем
ее в точке с абсциссой х,). Во всех остальных точках
будут выполняться неравенства.
tn^f (х)<Л4.
Это и означает, что /n = minf(x), М = max/(х),
[a; ft]	(о; ft]
3° (теорема о промежуточном значении). Если функ-
ция y — f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и f (a)=£f (b),
359
то, каково бы ни было число у, лежащее между
f (а) и f (Ь), найдется хотя бы одна точка с на интервале
(а; Ь), что f(c) = y.
Дадим лишь геометрическое пояснение к данной тео-
реме (см. рис. 89). Поскольку функция / непрерывна, то
ее график состоит из одного «куска» кривой. Эта кривая
соединяет точки с координатами А (а; /(а)) и В (b\ f (b)),
одна из которых лежит ниже прямой у = у, а другая —
выше. Поэтому график функции должен пересечь пря-
мую, по крайней мере, в одной точке с абсциссой, равной
с, причем a<Zc<Zb. Но тогда /(с) = у, что и утверждается
в теореме.
Частным случаем этой теоремы является следующая
теорема.
Теорема (о существовании нуля непрерывной
функции). Если функция y = f (х) непрерывна на отрез-
ке [а; Ъ\ и f (а) •/ (6) <0, т. е. на концах отрезка функ-
ция принимает значения разных знаков, то существует
на интервале (а; 6), по крайней мере, одна точка с, что
f (с) = 0 (рис. 90).
Доказательство. Действительно, так как /(а) и
[(b) разных знаков, то у = 0— промежуточное значение
функции между / (а) и f (Ь), и это значение по предыду-
щей теореме функция принимает хотя бы в одной точке с
из интервала (а; Ь), т. е. / (с) = 0. •
4°. Если функция у — f (х) непрерывна на отрезке
Га; />] и min f(x)=m, max f (х) = М, то для любого числа
[а; б)	[а; 4]
у, удовлетворяющего условию пг-^.у^.М, существует
хотя бы одна точка се[а; Ь] такая, что f (с) = у.
Доказательство*. 1) Если у — пг (у = М), то по
свойству 2° непрерывная функция на отрезке [а; 6]
принимает значение у как наимень-
шее (наибольшее).
2) Пусть пг<у<М. По свой-
ству 2° /п = /(Х|), ЛГ = /(х2),
где Xi^[a-, 6], х2е[а; 6]. Для
определенности положим х2>хР
Тогда на отрезке [х^ х2] функ-
ция f непрерывна, и по теоре-
ме о промежуточном значении
найдется, по крайней мере, одна
точка се(х,; х2)о:[а; &] такая, что
/(с)=у. •
5°. Если функция y — f(x) не-
в некоторой точке с
360
прерывна на отрезке [а; />] и f (а) = / (Ь) — 0 и не равна
нулю ни в каких других точках отрезка [а; 6], то на всем
интервале (а-, Ь) функция либо отрицательна, либо поло-
жительна (рис. 91, а, б).
Доказательство*. Пусть в некоторой точке
хое(а; Ь) значение функции отрицательно, т. е. f (х0)-<0.
Покажем, что во всех точках х интервала (а; Ь) спра-
ведливо неравенство /(х)<0.
Предположим противное: в точке х^(а\ Ь) функция
положительна, т. е. /(х,)>0. Тогда по теореме о суще-
ствовании нуля непрерывной функции найдется точка
с между точками х{ и х2, в которой f (с) = 0. По условию
же теоремы ни в одной точке между точками а и b функ-
ция не обращается в нуль. Получили противоречие, кото-
рое и доказывает справедливость свойства. •
Рассуждения для случая, когда в некоторой точке
хое(а;&) функция положительна, т. е. 7(х0)>0, проведите
самостоятельно.
В свойствах 1°—4° непрерывных функций существен-
ным требованием является непрерывность функции на
концах отрезка.
Функция, график которой показан на рисунке 92, а,
непрерывна на промежутке [а; Ь), но не на отрезке [а; д],
и свойство ограниченности не выполняется: какое бы
число L>0 ни взять, в некоторой проколотой окрест-
ЗЫ
ности точки х0=b будет справедливым неравенство
Для данной функции не выполняются, есте-
ственно, и свойства 2°—4°.
Функция, график которой показан на рисунке 92, б,
непрерывна на интервале (а; Ь). Для этой функ-
ции очевидно, что свойство 1° выполняется, так как
Li</(x)<;L2> но не выполняется свойство 2°. Данная
функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.
Для функции (рис. 92, в), определенной на отрезке
[а; б] и непрерывной на промежутке (а; б], причем
не выполняется свойство 3°, в то время как
свойства об ограниченности и достижении наибольшего
и наименьшего значений на отрезке выполняются.
В отличие от свойств 1°—4° свойство 5° в смысле
постоянства знака имеет место и для функции, непре-
рывной на интервале (а; Ь) (см. рис. 92, б). Доказывая
свойство 5°, мы тем самым и установили, что справедли-
ва следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f (х) непрерывна на
интервале (а; Ь) и не обращается в нуль на нем, то во
всех точках этого интервала функция положительна
(отрицательна).
На основании этой теоремы, чтобы установить знак
непрерывной функции на интервале, достаточно опреде-
лить ее знак в какой-нибудь точке этого интервала.
Пример I. Найдем все значения параметра с, при
которых функция
Зх2 —2x4- 1
у — —;------
а х24-4х4-с
будет ограниченной на любом конечном промежутке.
Решение. Данная функция дробно-рациональная.
Она непрерывна на любом промежутке, если ее знамена-
тель не равен нулю. Найдем значения с, при которых
уравнение х2 + 4х-|-с = 0 не имеет корней. Эти значения
с определим из условия отрицательности дискрими-
нанта D:
-J = 4-c<0.
Отсюда получаем, что при всех с>4 знаменатель
дроби при всех х отличен от нуля. Поэтому при
с>4 данная функция непрерывна на любом конечном
отрезке числовой прямой, а, следовательно, по свойству
1° и ограниченная. При любых других с(с^4) существу-
ют точки, в которых знаменатель обращается в нуль.
362
Предел функции в этих точках будет бесконечным (поче-
му?). Следовательно, в окрестности любой точки, в кото-
рой знаменатель обращается в нуль, функция будет
неограниченной.
Итак, данная функция ограничена при с>4.
Пример 2. Докажем, что уравнение
2 У/х* — х +1 = х + 3
имеет, по крайней мере, два различных действительных
корня.
Доказательство. Рассмотрим функцию
у = 2 Д/x4 —х+1 — х — 3,
которая определена для всех действительных чисел. (До-
кажите, что х4>х—1 для любого хе/?.) Функция
/ (х) = 2 Д/х4 — х+ 1 непрерывна при всех х по теоре-
ме о непрерывности сложной функции. Функция
g(x) = x + 3 непрерывна как многочлен первой степени.
Данная функция есть разность двух непрерывных функ-
ций и поэтому непрерывна на всей числовой прямой.
Определим знаки функции в некоторых точках:
//(-1) = 2Д/3 -2 = 2 (УЗ -1)>0;
Д0)=2-3=-1<0, г/(2) = 2\/Г5-5>0.
По теореме о существовании нуля непрерывной функции
заключаем: между точками —1 и 0; 0 и 2, т. е. на интер-
валах (— 1; 0), (0; 2), которые не пересекаются, располо-
жено, по крайней мере, по одному корню уравнения.
Следовательно, хотя бы два различных корня данное
уравнение имеет. •
Упражнения
552. Докажите, что функция / ограничена на любом
отрезке координатной прямой:
а) /(х) =
(х2+ 1) sin Зх
х4 + х2+1 ’
б) /(X)
х3+1
Зх2 4- 5х + 3 ’
в) =	+3cos2x;
Л I 1
Б	sin2 х
Г) /(x)=y7+T-^-i—.
V1- x2-f-x4
363
553.	Докажите, что функция / на указанном отрезке
достигает наименьшего и наибольшего значений:
а)	/(х) = -Ар4-2х24~!, хе [—у; |],
б)	f (х) = Л/2х2 + Зх + 5 cos р хе^|, Юр
.	.	1	Г5	7 1
В) /(Х)=-—5-----хекл; тл ;
4 sin х— 1 L4 4 J
х2	Г 5 41
г) / (х) =---, хе - .
cos лх	LD
554.	Функция f задана следующим образом:
., . fx2 —4,	xe[0; 2);
/ (х) = {
[(х — 4)24~6, хе[2; 4].
а)	Существует ли точка х0 такая, что хое[О; 4]
И /<Х0)=1?
б)	Существует ли точка х0 такая, что хое[О; 4] и
/(х0) = 7?
555.	Функция g задана следующим образом:
g(x) =
У/7 — |х| , хе[-3; 3],
.11 — |9 —х2! —х2, |х|>3.
а)	Существует ли точка х0 такая, что / (х0)= ул2 —6 ?
3 г~
б)	Существует ли точка х0 такая, что /(х0)=у7?
556.	Докажите, что множеством значений непрерыв-
ной на отрезке функции является отрезок.
557.	Пусть для функции y = f(x), непрерывной на
отрезке [0; 1], область значений есть отрезок [0; 1]. Дока-
жите, что существует точка . хое[О; 1] такая, что
/ (х0)=х0.
558.	Докажите, что уравнение имеет хотя бы один
действительный корень:
а)	х3 + 9х —7 = 0;
б)	х4 —2х34-4х24-х —5 = 0;
в)	бх3 — х2 —20x4-12 = 0;
г)	27х34-8-(х —I)3-(2х4-3)3 = 0.
559.	Функция f непрерывна на отрезке |0; 1]. Изве-
стно, что для любого х из этого отрезка функция прини-
364
мает только рациональные значения, причем f
(yj2\
2~)'
560.	Функция g непрерывна на отрезке [0; 1]. Из-
вестно, что для любого х из этого отрезка функция
принимает только иррациональные значения, причем
/Q)=W- Найдите /
561.	Докажите, что уравнение имеет более одного
действительного корня:
а)	х3- 19х — 30 = 0;
б)	(х6— 1)4-2 (х4—1)4-1 =0;
в)	2Л./2Х2 — х-|- 1 — х —3 = 0;
г)	|х| — |х — 2| — |х-|-2|-|-3 = 0.
69.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Напомним, что если функция y = f(x) возрастает
(убывает) на множестве X, т. е. строго монотонна, то для
нее существует обратная функция x = g(y), и она также
возрастает (убывает) на множестве значений данной
функции /.
Обычно и для функции, обратной функции y = f(x),
аргумент обозначают буквой х, а значение функции
буквой у. Тогда обратная функция запишется в виде:
z/ = g(x), хе£(/).
Уже известно, что график обратной функции y = g(x),
x^E(f), симметричен графику функции # = /(х), хе
е£)(/), относительно прямой у — х, т. е. биссектрисы
первого координатного угла (рис. 93).
Иначе говоря, чтобы получить график функции
y = g(x), обратной функции
У— f {х\ достаточно повер-
нуть плоскость чертежа вме-
сте с графиком функции / во-
круг биссектрисы первого ко-
ординатного угла на 180°.
Очевидно, если функция
y = f(x) на некотором проме-
жутке непрерывная и моно-
тонно возрастающая (убыва-
ющая), т. е. график ее пред-
365
ставляет непрерывную кривую, то при указанном по-
вороте эта линия перейдет также в непрерывную кри-
вую. Следовательно, обратная функция будет непре-
рывной.
Таким образом, из наглядных соображений мы мо-
жем сделать следующее утверждение.
Теорема (о непрерывности обратной функции).
Если функция y = f (х) строго монотонная (убывает или
возрастает) и непрерывная на отрезке [а; 6], то обрат-
ная функция y — g(x) непрерывная на отрезке [a; 3L
где [а; Р] — множество значений функции f.
Условие строгой монотонности функции f на отрезке
[а; />] обеспечивает существование функции g, обратной
f. Требование непрерывности функции f обеспечивает
непрерывность обратной функции.
Примечание. Данная теорема имеет место, если ее условия
относятся не к отрезку [a; ft], а к некоторому промежутку, конечному
или бесконечному.
На основании теоремы о непрерывности обратной
функции, используя непрерывность тригонометрических
функций, доказывается следующая теорема.
Теорема (о непрерывности обратных тригономет-
рических функций). Обратные тригонометрические
функции:
a)	x/ = arcsinx, х<=[—1; 1], £(у)=^—j;
б)	г/= arccos х, хе[—1; I], £(у)=(0; л];
в)	y = &rctgx, xgeR, Е (у) = ( —Ь Д);
г)	у — arcctg х, xeR, £(у) = (0; л)
непрерывные в каждой точке своей области опреде-
ления.
Доказательство, а) Функция y = sinx на отрез-
ке £—у; yj строго монотонная (возрастающая), непре-
рывная и принимает все значения из отрезка [ — 1; 1].
Следовательно, ее обратная функция z/ = arcsinx,
хе[—1; 1] на основании теоремы о непрерывности об-
ратной функции является непрерывной в любой точке
отрезка [—1; 1]. При этом в точке х0 =— 1 функция
непрерывна справа, а в точке 1 — слева. •
366
Доказательства п. б), в), г) теоремы аналогичны.
Пример 1. Найдем:
.	2 arcsin х — arctg х	arcsin х
a) lim ------------—;	б) lim----.
х->1— о arccos х+ arcctg х	х->-о х
Решение.
а)	Функции у = arcsin х и у — arccos х в точке х0= 1
непрерывны слева, функции у= arctgx, у = arcctgх в
этой точке непрерывны по теореме о непрерывности
обратных тригонометрических функций. Следовательно,
функция
2 arcsin х—arctg х
у=---------j;—
arccos х+arcctg х
непрерывна в точке х0=1, так как arccos 1 +arcctg 1 =
= 0+1=/=0. Поэтому
..	2 arcsin х—arctg х 2 arcsin ]—arctg 1
11Ш --------------— —:------------—
x->i—о arccos x+arcctg x	arccos 1 + arcctg J
9
= 2 4 =3.
°+т
б)	Функция z/ = arcsinx в точке xo=O непрерывна,
поэтому lim arcsin x — arcsin 0=0. Так как и lim x = 0, то
x-i-0	x-*-0
здесь имеем неопределенность вида ^^.Для того чтобы
раскрыть неопределенность, введем новую переменную
arcsin х = у. Тогда при х—>-0 переменная z/->0. Учиты-
вая, что x = sinz/, получаем
limarcsinx = 1.m^==------1--	1 j
X—0	х	y^osxny	sin у 1
lim ---
У-+0 У
Пример 2. Докажем, что уравнение
х arcsin х+ arccos х=у/2
имеет, по крайней мере, один корень на интервале (0; 1).
Доказательство. Рассмотрим функцию
/(х) = х arcsin хarccos х, хе[0; 1].
На данном отрезке функция / непрерывна (почему?).
Вычислим значения функции на концах отрезка:
/(0)=1,/(1)=|.
367
Так как 1<V2 <у, то функция f по теореме о про-
межуточном значении на интервале (0; 1) принимает
хотя бы в одной точке значение, равное л/2~. Это означа-
ет, что данное уравнение на интервале (0; 1) имеет, по
крайней мере, один корень.
Упражнения
562. Для функции y = f{x) найдите обратную функ-
цию и докажите ее непрерывность в каждой точке обла-
сти определения; постройте ее график:
а)	/(х) = (х—I)2, х<==[1; 4-оо);
6)	/(х) = (х—I)2, хе(-оо; 11;
в)	f	4х, хе [2; 4-оо);
г)	f(x)=x?— 4х, хе(- оо; 2];
Д) /(x)=sinx, xe|j;
е)	/(x)=2cosy, хе[ —2л; 0J;
ж)	= xs^;
з)	/ (x)=ctg х, хе(л; 2л).
563.	Докажите, что функция z/ = x+arctg х, хеЛ,
имеет непрерывную обратную функцию, определенную
на всей числовой прямой.
564.	Найдите:
a) lim (3 arcsin х — 2 arccos х);
i
7
565.	На отрезке [—1; 1] задана функция
arcsin х, хе[- 1; 0),
f(x) =
arccos х, хе(0; 1].
Принимает ли функция на заданном отрезке наиболь-
шее и наименьшее значения?
368
70. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Определение. Точку х0 называют точкой разрыва
функции, если в некоторой окрестности точки х0 функ-
ция определена, но не является непрерывной в этой
точке.
Если функция f такова, что в точке х0 существуют
левый и правый пределы функции, т. е. f (х0 — 0) и
/(хо + О), но ПРИ этом не выполняется условие
/ (Хо + О) = /(х0 —О) = /(хо),
то, очевидно, в точке х0 функция не является непрерыв-
ной, т. е. она разрывна. При этом точку х0 называют
точкой разрыва первого рода.
На рисунках 94—99 приведены шесть графиков
функций, имеющих разрыв первого рода в точке х0.
Буквой А обозначена точка с координатами (х0; / (х0)),
принадлежащая графику функции. Концевые точки
«куска» кривой, помеченные «сплошной» точкой, при-
надлежат графику функции, «пустой» — не принадле-
жат графику функции. Стрелки указывают направле-
ние — «слева», «справа» — приближения к соответству-
ющей точке на графике функции. Ординаты концевых
точек и дают левый или правый предел функции
в точке х0.
На рисунке 94 все три точки /(х0), /(х0 —0), /(хо4*О)
различны, поэтому функция разрывна в точке х0, причем
разрывна слева и справа.
На рисунке 95 функция непрерывна слева в точ-
ке х0 (/(хо—О)=/ (х0)), но разрывна справа в точке
(/(х0-+-а)У=/(х0)).
369
На рисунке 96 / (хо4-О) = f (х0), но /(х0 —О)^/(хо),
поэтому функция непрерывна справа в точке х0, но
разрывна слева.
На рисунке 97 /(х()—0) = /(хо4-0)=^/(х0). В этом
случае говорят, что функция / в точке х0 имеет устрани-
мый разрыв, так как можно изменить значение функции
в точке х0, положив /(х0) —/(х0 — 0) = /(хо+О), и она
станет в этой точке непрерывной.
На рисунке 98 функция в точке х0 не определена, но
левый и правый пределы функции в этой точке суще-
ствуют, причем Дх0—О)=#=/(хо + О).
На рисунке 99 функция в точке х0 тоже не определе-
на, но / (х0—О) = /(хо+О). Поэтому в данном случае
х0 — точка устранимого разрыва, так как, если функцию f
доопределить в точке х0, положив /(х0) = /(х0 — 0) =
= / (хо + 0), функция становится непрерывной в этой
точке.
Пусть теперь функция y = f(x) определена в некото-
рой проколотой окрестности точки х0, но хотя бы один из
односторонних пределов функции в этой точке — правый
370
или левый — не существует или, в частности, является
бесконечным. В этом случае точку разрыва х0 называют
точкой разрыва второго рода.
На рисунках 100—107 приведены восемь графиков
функций, у которых х0— точка разрыва второго рода.
На рисунке 100 функция в точке х0 определена, имеет
конечный предел слева, но предела справа не существу-
ет— значения функции при приближении х к х0 справа
колеблются около точки А. Так как f (х0—О) = /(хо) = Л,
то функция в точке х0 непрерывна слева.
На рисунке 101 функция в точке х0 не определена,
имеет в этой точке конечный предел справа, но не имеет
предела слева.
На рисунке 102 функция при х = х0 не определена
и не имеет пределов слева и справа в точке х0.
На рисунке 103 функция непрерывна слева в точке х0,
так как / (х0 — О) = /(хо), но имеет бесконечный предел
(-f-оо) справа в этой точке, т. е. f (xo-f-O)= + оо.
371
На рисунке 104 предел слева в точке х0 равен —оо,
a f(x0 + Q)^f(x0).
Функция, график которой показан на рисунке 105,
в точке х0 не определена, и lim /(х)=оо, причем
х-^х0
/(х0 —0)= + ОО, f(хо4-О)= — ОО.
Отметьте особенности функций в точке х0, заданных
графиками на рисунках 106 и 107.
Примеры. Найдем точки разрыва функции:
а)	в) x/ = ctgx;
372
Схематично покажем график каждой из функций в окре-
стности точек разрыва.
Решение.
а) Дробно-рациональная функция не является непре-
рывной в тех точках, в которых знаменатель равен нулю.
В данном случае при xi—х — 2 = 0, т. е. в точках
х,=— 1 и х2 = 2. Эти точки и есть точки разрыва функ-
ции. Исследуем поведение функции в окрестности каж-
дой из точек разрыва. Для этого найдем односторонние
пределы функции в этих точках:
..	Зх—2	Зх—2
lim --------= lim ---------------
х-> — I— о х2 — х— 2	х-> — i—о (х-|-1)(х — 2)
,.	/ 1	Зх —2\
= lim —т-----------7-)= — 00,
х- _ 1 _о \*+1 х—2 /
так как
(с учетом, что x<Z — 1, т. е. х+1<0) и
Зх-2_3(-1)-2_5	0
х —2 ~ -1-2 ~ 3
Зх —2	/ 1	Зх—2\	.
im -т----= lim (——-------—	00,
-1+0 х2—х—2 х—-i+о \х-М х—2 )
так как lim ——-= 4- 00 (учитываем, что х>— 1,
х — -1+0 *т1
т. е. х + 1 >0) и lim —-+=4>0.
х—-1+0 х~2	3
Итак, точка х= — 1 —точка разрыва второго рода.
Аналогично для х = 2 находим:
lim
х-^2-0
Зх-2
х2 —х—2
..	/ 1 Зх—2\
lim (----7-— ) =— 00, так как
-2-0\*-2 х+1 /
..	1	..	Зх—2	3-2 — 2	4
lim ---= — 00, lim —тг— о,
х—2—о х—2	х-и2—о	2 +1	3
..	Зх—2	..	/ 1	Зх —2\	,
lim -5---- lim (----
X — 2+0 х — х — 2 X — 2+0 \х — 2
так как lim —Ц-= + оо и
х-2 + 0 *~2
оо.
Зх-2 4
lim —
-►2 + 0 *+ 1	3
График функции в окрестностях точек 2 и — 1 схема-
тически показан на рисунке 108.
б)	Функция f/ = tgx непрерывна во всех точках обла-
сти определения. Поэтому точки разрыва определяются
373
из уравнения cosx = 0, т. е.
это точки х=-^-+шг, neZ.
Ранее было показано, что
lim	tg х— + оо,
*->-у+ЯЛ — о
lim	tgx =— оо.
X—-2-4-пл+О
_	Так что	все точки	разрыва
Рис. 108	.	*
функции	y = tgx являются
точками	разрыва	второго
рода.
в)	Функция y = ctgx имеет точки разрыва второго
рода: х—лп, n^Z. (Почему?)
. .	sin х
г)	Функция у — х определена и непрерывна при
всех х=/=0. Следовательно, х = 0 — точка разрыва,
причем
,. sin х ,. sin х ,
lim ----= lim -----=1.
x-»-— 0 x	x
Значит, это точка устранимого разрыва. График этой
функции в окрестности точки 0 показан на рисунке 109.
Если доопределить функцию в точке 0, положив
i/(0)= 1, т. е. рассмотреть функцию
sin х
если х=#=0;
1, если х = 0,
то эта функция будет не-
прерывной во всех точках
числовой прямой.
Упражнения
566. Исследуйте функцию на непрерывность, непре-
рывность слева и справа, установите характер точек
разрыва и постройте ее график:
374
X3-!.
X—1 ’
9=
	х?—4
б) у=	х —2 ПрИ
	0 при
	х2 —9|
в) У — ~	х—3 ПРИ
х —2;
д)
е)
.а)
|х2 при х<1.
(2 — х3 при х> Г,
—при 0<х<1,
х2-}- 1 при х^ 1;
567. Функция f не определена в точке х0. Определите
значение /(х0) так, чтобы функция стала непрерывной
в точке х0:
а>
б)	/(Х)=—— хо=О;
в)	/(*)=—уЕ?"2’ *о = 2;
г)	/(x)=^L±iJZ±> хо = О.
VT+7-i
71. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИЙ
К РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ
Пример 1. Решим неравенство
(1 —х2) arcsin 77>0-
Решение. Рассмотрим функцию
/ (х)=(1 —х2) arcsin
Область определения f находим из условий 1.
т. е. —2^х^2. На отрезке [ — 2; 2] функция / непре-
рывна как произведение непрерывных функций у= 1 —х2
и у — arcsin р причем вторая из них непрерывна как
сложная функция, составленная из непрерывных функ-
ций z/ = arcsin«, «=р х^[ — 2; 2]. Найдем теперь нули
функции из уравнения
(1 — х2) arcsin у=0,
375
Рис. 110
которое равносильно совокупности уравнений
1—х2 = 0 или arcsin-^ = 0.
Итак, нулями функции являются: Х]==— 1, х2 = 0,
х3=1. Эти точки разбивают область определения на
четыре промежутка. Отметим их на координатной пря-
мой (рис. 110). На каждом из этих промежутков функция
непрерывна, не обращается во внутренних точках в нуль,
а следовательно, на каждом интервале сохраняет посто-
янный знак (свойство 5°). Определяем знак функции по
отдельным точкам интервалов:
|е=(0; 1), /(|) = (1—4) arcsin |>0;
~\/Уе(1; 2), /(л/3^) = (1—3) arcsin-^-<0.
Так как функция / нечетная, то на промежутке
( — 1; 0) функция отрицательная, на (— 2; —1)—поло-
жительная. Отмечаем знаки на координатной прямой
и проводим кривую знаков (см. рис. ПО). Из рисунка
видно, что множеством решений неравенства является
объединение промежутков (— 2; —1) и (0; 1).
Пример 2. Решим неравенство
Ух—2 4-х — 8
х —4	~~~
Решение. Рассмотрим функцию
Область определения функции / определяется усло-
виями х^2 и х=/=4, т. е.
D(/)=[2; 4) U (4; 4-оо).
Найдем нули и точки разрыва функции. Нули функ-
ции определяются системой
Д/х —2 + х — 8 = 0,
х^4.
376
Получили иррациональное уравнение ух— 2=8-х.
Решая его методом возведения в квадрат или методом
равносильных преобразований, найдем один корень х = 6.
Точкой разрыва является точка х = 4, причем
lim/(x)=oo. Отмечаем область определения, нули
х—* 4
и точки разрыва функции на координатной прямой
(рис. 111).
Обратите внимание на специальные обозначения то-
чек на координатной прямой: в точке 2 функция имеет
значение f(2)=/=0; в точке 4 функция не определена,
в ней она имеет бесконечный предел, в точке 6 функция
обращается в нуль. Функция непрерывна на каждом из
интервалов (2; 4), (4; 6), (6; +<») (объясните почему)
и не обращается в нуль. Следовательно, на каждом из
них функция сохраняет знак. Установим эти знаки по
отдельным точкам:
х = 3, хе(2; 4), /(3) = ^^±^>0;
х = 5, хе(4; 6), / (5) = ^J±^ =2^2<0;
х=11, хе(6; 4-оо), f (11) =	= |>0.
Отмечая знаки значений функции на координатной
прямой, проведем кривую знаков (см. рис. 111). Так как
решаем нестрогое неравенство, то нули функции (в дан-
ном случае число 6) включаем в решение, а из рисунка
видно, что множеством решений неравенства является
промежуток (4; 6].
Метод решения, который мы здесь использовали,
называется методом интервалов. Раньше этот метод вы
применяли к решению рациональных неравенств, и его
обоснованием служили свойства линейной и квадратич-
ной функций. Сейчас на примерах убедились в том, что
метод интервалов является достаточно универсальным
методом. Его можно применять к любым неравенствам,
содержащим непрерывные функции на промежутках.
Обоснованием его выступают свойства непрерывных
функций и, в частности, теорема о постоянстве знака
непрерывной функции на промежутке.
х\\\\\\\\\\\\\
Рис. 1 1 1
377
Приведем общую схему применения метода интерва-
лов для решения неравенства вида
/(х)>0 (/(х)<0).
1°. Находим область определения функции /, т. е.
D(f).
2°. Определяем нули и точки разрыва функции.
3°. Разбиваем область определения функции / этими
точками на интервалы.
4°. На основании теоремы о постоянстве знака непре-
рывной функции на промежутке по отдельным точкам
определяем знак функции на каждом из интервалов.
5°. По кривой знаков на координатной прямой опре-
деляем множество решений данного неравенства.
Примечание. При решении нестрогих неравенств во множе-
ство решений включаются нули функции. В частности, поэтому удобны
специальные обозначения точек на координатной прямой, о которых
было сказано раньше.
Упражнения
568. Решите неравенство:
а) (Зх-2)(х —2)3(х+ 1) (х-|-2)2<0;
б (х+3)(х+2)(х-Ц)	0.
х(х — 3)(х—4)	’
(х3—1)(х24-5х —6)
в) сг+.)(,-з> <0-
г) (2х2-Зх+1)Д/Зх-1 <0;
569. Решите неравенство:
а)	Г)
«) V2*~'_~r+2<0;	А)
в) ^±^<0;	е)
(x-1)V-x+x2-2
д)-----ci---з----
6 + х—хг
. х ^2 + Зх—бх2 „
е) Юх2 —Зх—1
1-V1-4X2
----------о,
X
Д/2х24-7х-4	1.
х+4	<*2’
1—Л/21—4х—х2 „
х+1	'
570. Решите неравенство:
а)	(4Х2—1) (2 arccos х — л)<0;
б)	(х2 —2х —35) arctg х<0;	.	_______
в)	(х4 — 2х2) arctg хЗ>0; г) (х2—-0yarctgx ^=0.
378
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Из истории развития понятия «предел»
Определение предела впервые появилось в XVIII в.
Элементы теории пределов содержатся в работах анг-
лийского математика и физика И. Ньютона. Матема-
тики XVII и XVIII вв. не ставили своей задачей постро-
ить строгую теорию пределов. Эта задача была постав-
лена и решена лишь в XIX в. Большая заслуга в этом
принадлежит французскому математику О. Коши
(1789—1857). Современная теория предела основана на
его строгом определении, данном О. Коши, и была
существенно продвинута работами математиков XIX в.
К. Вейерштрасса (1815— 1897) и Б. Боль-
цано (1781 — 1848).
Огюстен Луи Коши (1789—
1857) — французский математик, ино-
странный почетный член Петербургской
АН, член Парижской АН.
Инженер по образованию, ученый
по призванию, он работал преподавате-
лем в колледже, а позже стал профессо-
ром Сорбонны — Парижского универси-
тета. Научная продуктивность Коши бы-
ла исключительной. Биографы насчиты-
вают 789 опубликованных им работ. Наи-
большее их число относится к математи-
ческому анализу и его приложениям,
остальные — по геометрии, теории чисел, алгебре, теории упругости,
оптике. Авторитет Коши среди ученых был огромен. С 1821 по
1828 г. он опубликовал свои знаменитые лекции по матанализу в 3 то-
мах. В них впервые матанализ последовательно строился на основе
теории пределов, что привело к коренной перестройке этой науки
и к современному ее состоянию.
379
Карл Теодор Вильгельм В е й е р ш-
трасс (1815—1897) — немецкий матема-
тик. Ему принадлежат труды по математи-
ческому анализу, теории функций, диффе-
ренциальной геометрии, алгебре. Вейершт-
расс разработал систему логического обос-
нования математического анализа на осно-
ве построенной им теории действительных
чисел.
Интересно знать
lim — это первые три буквы латинского слова limes,
которое обозначает «предел». Слово limes для обозначе-
ния предела впервые употребил И. Ньютон, символ lim
ввел французский ученый С. Люи лье (1750—
1840) в 1786 г., выражение lim первым записал англича-
л-*- оо
нин У. Гамильтон в 1855 г.
Найдите ошибку
Докажем, что гипотенуза равна сумме катетов в рав-
нобедренном прямоугольном треугольнике.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный тре-
угольник АВС. Пусть АС = ВС — а (рис. 112). Из рисунка
видно, что
AF + FD + DE + EB=~l = 2a-,
AK+KG + GQ + QD + DR +
+ RH + HIA-IB=^8 = 2a-,
AB + BL + LS + SQ+TM + ...=
IQ —2а и т. д.
О
Очевидно, что если каждый
катет разделить на п равных ча-
380
стей, то сумма катетов будет 2а——-2п. Но при
«-►оо длина ломаной
AR + RL + LS + CG + ...+-+AB = 2a.
Где ошибка в рассуждении?
III. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
3.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Пример 1. Написать какую-нибудь формулу для
п-го члена последовательности, если известны ее первые
пять членов:
1-5, 4-52, 7-53, 10-54, 13-55, ... .
Решение. Числа 1, 4, 7, 10, 13 образуют арифмети-
ческую прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Ее
п-й член равен 1+3(п—1) = 3п— 2. Общий член геомет-
рической прогрессии 5, 5 , 53, 54, 55 равен 5Л. Поэтому
в качестве формулы для n-го члена данной последова-
тельности можно выбрать
хп = (3п — 2)5".
Эта формула не является единственной. Например,
формула
хя=(3« —2)5я+(«—1)(« —2)(« —3)(я —4)(« —5)
тоже удовлетворяет условию задачи.
Пример 2. Найти первые пять членов после-
довательности (а„), заданной рекуррентным соотно-
шением
ап+ 1 — а1 + а2 + а3 + • • • + ап>
причем а,= 1.
381
Решение. Полагая в рекуррентном соотношении
последовательно:
n= 1, a2 = al = 1;
и = 2, а3 = а,4*а2= 11 =2;
п=3,	й2 Ч- йз== 1Ч-1Ч* 2 == 4:
п = 4, U5=Uj -j- п2 Ч* йз Ч* й4 =: 1Ч-1 Ч~ 2 Ч~ 4 = 8.
Пример 3. Вычислить 2000-й член последователь-
ности
__ л3 —2л! —2п-Н976
ап~ л2+2л + 5
n<=N
с точностью до 0,001.
Решение. Выполняя деление многочлена на много-
член, получим
а„ = п —4
л 4-1996
л2 2 л -|- 5
При п^2000 имеем
л 4-1996 п 4- п <-'%п
л24-2л-|-5	л24-2л4-5 л2
2	2
л	2000
0,001.
Поэтому при п^2000 члены последовательности с точно-
стью до 0,001 вычисляются по приближенной формуле
aawn — 4.
В частности, 02000 = 2000 — 4=1996.
Пример 4. Найти формулу для n-го члена последо-
вательности (х„), заданной рекуррентным соотношением
х„+1 = 4х„4-5, если хх = а.
Решение. Будем искать х„ в виде хп = уп-\-а, где
а — некоторое число. После подстановки хп в рекуррент-
ное соотношение получим
^л+1Ч-а==4 (y„ + a)4-5,
т. е. yn+i = 4z/„ + 3a4-5. Число а выберем таким, чтобы
3a-f-5 = 0. Отсюда а=—-т-. Тогда для последовательно-
<5
сти (у„) имеем рекуррентное соотношение yn+i = 4yn. Это
значит, что последовательность (уп) представляет геомет-
рическую прогрессию со знаменателем q = 4. Поэтому по
формуле n-го члена геометрической прогрессии находим
*/я = г/1ф4',_|. Тогда x„ = i/1-4',_|—4. Поскольку по уело-
«5
5	5
вию xt —а, то « = //,——. Отсюда //1 = аЧ_Т’ и Для w'ro
О	о
382
члена данной последовательности получаем формулу
Пример 5. Для последовательности хл = «•«!, n^N
найти сумму первых п членов.
Решение. Пусть S„ — сумма первых членов данной
последовательности, т. е.
5„=Ы!-4-2-2! + 3-3! + ...+«.и! = £ k-k\
Л=1
Так как xk = k-k\ = (k-}~ 1)! — k\ — ak+x — aky ak~k\y то
5„ = an+i — а1 = (л4-1)! — 1.
Пример 6. Доказать, что последовательность
/г2 дг
r“SN
возрастающая.
Доказательство. Представим с„ в виде
С=1______4—
я2+4’
Составим разность:
с"+1 - Сп=(1 “(ГнЛн) “ (1 ~ т+т)=
_ 4___________________4
п24-4	(л-f-1)2+4’
Для любого 1 имеем (n-f- 1)2>га2, тогда (п-|- 1)2 +
-|-4>-га2-|-4. Отсюда
4	4
(«+1)2+4<'Я2 + 4’
Поэтому с„+1 — с„>0 для любого Й>1 И Сл+1>С„, что
и означает, что данная последовательность возраста-
ющая.
Пример 7. Доказать, что последовательность
дл=“\/л24-1 — п, n^N
ограниченная.
Доказательство. Так как "\М2+ 1 >У[г^—п, то
для всех п имеем 6л>0, т. е. последовательность ограни-
чена снизу. С другой стороны
383
__ П2+1-Л2 _	1
V«2+i + л V«2+i +л ’
Но для всех п имеем ~\]п24- 1 + л д/2" 4~ 1. Следова-
тельно,
т. е. последовательность ограничена и сверху.
Таким образом, для всех п имеем
0<fe„<V2-1.
Значит, данная последовательность ограниченная.
Пример 8. Доказать, что последовательность
х„=—г, n<=N
п п!
ограниченная. Найти ее наибольший член.
Доказательство. Очевидно, что для всех п верно
10" Л
неравенство-^->0, т. е. последовательность ограничена
снизу. Покажем, что она ограничена и сверху. Составим
отношение:
*п+1	10"+' . л! = 10
х„ —(л-f-l)! ’ Ю" “ л+Г
Отсюда следует, что при n-f-1 <210, т. е. при п<19,
*л+1
отношение—1, или хл+1^хл. Значит, первые 10 чле-
нов не убывают, и наибольшим среди них будет
109
х9 = хш=-др При n-f-l>10, т. е. при п^9, отно-
шение ^1,или хл+1^хл. Значит, начиная с девятого
номера, члены последовательности не возрастают, и наи-
большими среди них будут х9 и х10. Таким образом, при
,	Ю9 о
всех п хл^х9 = х10=—. В результате имеем
10 109
л!	9! ’
384
Следовательно, данная последовательность ограни-
.. X	Ю9
ченная. Наибольшими членами ее являются х9=х10=-^-.
Пример 9. Найти наименьший член последователь-
ности
ха — п2 — 8п
7	жг
----------, n<=N.
n2—lOn-j-28
Решение. Запишем (хл) в другом виде, выделяя
в квадратных трехчленах
полные квадраты:
хп = (« - 4)2 — 16
\П — □) -f- «3
Обозначив ап = (п — 4)2—16, видим, что последова-
тельность (ап) возрастает, начиная с номера /? = 4, а до
этого номера члены последовательности убывают, т. е.
а1>а2>а3>«4-	(3)
(Вспомните, где квадратичная функция убывает, а где
возрастает.)
Если положить сп — (п— 5)2-(-3, то аналогично после-
довательность (с„), начиная с пятого номера, возрастает,
7
но тогда последовательность (dn), где dn — —, сл=/=0, убы-
Сп
вает при д^5. Следовательно, последовательность (Ь„),
где (Ьп)=-----, возрастает, начиная с 5-го номера, но
Сп
при этом
&1>&2>Ьз>Ь4>^5-	(4)
Учитывая, что хп — ап-\-Ьп из неравенств (3) и (4) и по-
следующего возрастания ап и Ь„, наименьший член после-
довательности (хл) содержится среди членов х4, х5. Непо-
средственным вычислением находим:
х4= - 16-- 17-5-; х5=_ 15-|= -171
’	4	4	о	о
Итак, наименьшим членом данной последовательно-
17 3
сти является х4= — 1/ -г-
Пример 10. Доказать, что при h> — 1 члены по-
следовательности хл = (1+Л)п, n^N, не меньше соответ-
ствующих членов последовательности уп = I nh, n^N,
т. е. выполняется неравенство:
(1 4- h)a 1 nh при h > — 1.	(5)
Это неравенство называют неравенством Бернулли.
13 Алгебра, 10 кл.
385
Доказательство проведем по общей схеме при-
менения метода математической индукции.
1)	Проверяем справедливость неравенства при п=1:
т. е. нестрогое неравенство (5) при «=1 верно.
2)	Предполагаем, что оно верно и для n — k, т. е.
и доказываем, что неравенство выполняется и для
п = ^+ 1.
Для этого умножим обе части последнего неравенст-
ва на 1 +/г (1 -|-/г>0 по условию):
(1 +й)*+1 >(1 + kh) (1 +Л)= 1 +(*+1) h + kh2.
Опустив последнее слагаемое kh2, мы усилим нера-
венство, т. е. получим верное неравенство
(1 4-/z)‘+1 > 1 +(*+ 1) h.
Сравнив его с неравенством (5), видим, что оно
справедливо при п = /г-|-1. Подчеркнем еще раз, если
оно верно при n = k.
3)	Проводим рассуждения по индукции:
неравенство верно для п=1 (это проверено), но тогда
оно верно и для п = 1 + 1 = 2 (это доказано), поэтому оно
верно для « = 24-1 (доказано) и т. д. Делаем вывод:
неравенство Бернулли справедливо для всех n^N.
Примечание. В каждом конкретном случае рассуждения по
индукции можно не проводить, а сделать на третьем шаге вывод: так
как утверждение верно для п=1 и из предположения справедливости
его при n — k следует, что утверждение верно и для n = k-\-1, то утвер-
ждение справедливо для всех натуральных чисел п.
Задание. Методом математической индукции уточ-
ните неравенство Бернулли. Докажите, что при — 1
для всех натуральных чисел справедливо неравенство
(1 4-h)"> 1 4-nh + п(я~1- к2.
386
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Т-Т	1 п	2л — 1
Пример 1. Дана последовательность хп=
4AZ о
n^N.
Начиная с какого номера п, почти все члены последо-
вательности попадут в е-окрестность точки -^? Дать ответ
для е = 0,1; 0,001; 0,0003132.
Решение. Члены последовательности попадут в
8-окрестность точки координатной прямой, если их
номера удовлетворяют неравенству
2п— 1	1
4л4-3	2 <е'
Так как	2л—1	__1_ 2	=	5	то это неравенство
	4л+ 3			2 (4га + 3)’	
равносильно	неравенству			5	< 2 (4л + 3)	8. Решая его, нахо-
5	3
дим	— —. Учитывая, что пеЛГ, получаем при
е = 0,1: начиная с 6-го номера, члены последовательно-
сти принадлежат 8-окрестности точки при е = 0,001 —
начиная с 625-го номера; при 8 = 0,0003132 — с 1996-го
номера.
Пример 2. Доказать, что если lim х„ — а, то
п~-*- оо
lim |xj = |а\.
Доказательство. Возьмем любое 8>0. Так как
хп-»-а, то для этого 8 существует номер N такой, что при
всех n>N справедливо неравенство |х„ — а|<е. Тогда
для номеров n>N по свойству модуля числа имеем
| |хл| — |а| К\х„ — а\ <8.
А это означает, что lim |xn| = |а|.
Л —* оо
П
Пример 3. Пусть а>0. Доказать, что lim у а — 1.
П-> оо
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
И —	п . .
когда а>1. Тогда у а > 1 и у а =14-ап, где а„>0. Из
последнего равенства а = ( 1 + аД". Далее используем
неравенство Бернулли: а = (1 +an)'!^ 1
387
Отсюда
а— 1
л
О
и так как lim -—- = 0 и lim 0 = 0, то lim а„ = 0. Итак,
л-*- оо	л-*- оо	л-> оо
Vo" = 1 4- ал.
где ап — бесконечно малая последовательность. Поэтому
по теореме, устанавливающей связь между сходящимися
и бесконечно малыми последовательностями, имеем
Л __
lim уа = 1 (а> 1).
л-*- оо
Пусть 0<а<1, тогда a=j:
lim
л —* ос
п
т='-
Таким образом, при
Пример 4. Найти
л
любом а>0 lim \а =1.
Л-> оо
..	Д8л3+1 +л
Пт .	—.
оо V 4 л2+5 л
Решение. Разделим числитель и знаменатель на п,
т. е. на старшую степень п, которая содержится в данном
выражении. Если под знаком корня — многочлен относи-
тельно п, то степень определяется отношением степени
многочлена к показателю корня. Тогда:
Пт У8л..+ 1.+
П—► оо у4л2 + 5л
оо \	..
—)— lim
. °°/ Я-оо
’/------Г
Д/8+ lim Д + 1
у л->оо П	__
дА-Ь lim —
V л-оо п
Здесь использованы правила
(назовите какие) и примечание к
Пример 5. Найти
г /1 । 2 ।	।
пт	4
П- оо \гг п2
предельного перехода
примеру 3.
л-1
л2
п
2+ 1 _ 3
2 — 2’
388
Решение. Теоремой о пределе суммы воспользо-
ваться нельзя, так как при п-^оо число слагаемых
неограниченно растет. Для последовательности, предел
которой находим, общий член можно записать в другом
виде, если учесть, что числа 1, 2, ..., п—1 образуют
арифметическую прогрессию с разностью, равной 1. Сле-
довательно,
+±zL\^lim 1+2+-+^-0==
ПГ /	,-^со	Л
Пример 6. Пусть
Х" = (1 ~ 2\) 0 - зО 0 “)• "О
Найти lim хп.
Решение. Теорему о пределе произведения исполь-
зовать нельзя, так как число сомножителей при п->-оо
неограниченно растет. Преобразуем выражение для х„,
используя тождество
1-------—г —  * , • -r-ГТ- (Проверьте!)
(*4-1)2	*4-1 *4-1 н н ’
Тогда
Итак,
 — 1	” + 2 — 1 I 1
2‘л+1	2 ' 2(/г4~1)
Нт xn = |4-l lim
п -►оо	& х~* оо
1
«4-1
_1_
И'
389
Пример 7. Пользуясь теоремой о пределе монотон-
ной последовательности, доказать, что существует пре-
дел последовательности:
Решение. Выпишем первые 6 членов данной после-
довательности:
xt = l + l=2; х2 —xi + 2Г —2,5; х3=х2+«
«2,6667; х4 = х3 +А-«2,7084; х5 = х4+-А = 2,7167;
+ ~ «2,7181.
Как видим, члены последовательности с ростом номе-
ра стабилизируются: начиная с 4-го члена, первый знак
после запятой остается постоянным, начиная с пятого,—
второй знак после запятой сохраняется. Естественно
предположить, что последовательность сходится.
Покажем, что данная последовательность возрастаю-
щая. В самом деле,
х«+1 = Хп + -(^у>Хп ДЛЯ любого п.
Докажем, что она ограничена сверху. Так как
п! = 1.2.3-4-...-л>1.2-2-2-2....-2 =
= 2Я~| >0, то Ц-,
л!	2п—1
причем при п>2 имеет место строгое неравенство
1^1 ГТ
— <----г. Поэтому
л! 2Л—
Хп= 1 + 1 +^г + ^г + ^г + --- +^< 1 + 1 +
2~.—— 1
1_|_± । ± । I 1	—1 I______2	—
'2 ' 22	23	2л~‘	~	1.
2
= 3 —  *_t <3, т. е. хп<3 для любого п.
Итак, данная последовательность возрастающая и
ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел.
Доказывается, что
390
= 2,718281828459045... .
Пример 8. Формулируя определение предела после-
довательности, ученик вместо «для всех номеров n>N»
сказал «для всех номеров п». Какие последовательности
будут иметь предел при таком определении?
Решение. При данном определении любая е-окре-
стность точки а содержит все члены последовательности.
Такой последовательностью может быть только последо-
вательность а, а, а, ....
Пример 9. Формулируя определение предела по-
следовательности, ученик вместо «для любого положи-
тельного е» сказал «найдется положительное е». Какие
последовательности будут иметь предел при таком опре-
делении?
Решение. При данном учеником определении все
ограниченные последовательности имеют предел. Дока-
жите.
Пример 10. Пусть lim (хпг/„) = О. Следует ли от-
сюда, что lim хл = 0 или lim z/„ = 0?
Решение. Нет, не следует. Например,
(хп): 2, 0, 2, 0, 2, ..., 1 + (- 1 )п~*, ...;
(упу. 0, 2, 0, 2, 0, ..., 1 +(-!)", ...;
(х„г/Д: 0, 0, 0, .... 0.
Как видно, lim (хпуп) — 0, но пределы последователь-
я-*-оо
ностей (хп) и (уп) не существуют.
3.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ»
Пример 1. Пользуясь определением предела функ-
ции на бесконечности, доказать, что
.. х2 1
lim — = —.
п -»оо 2Х2 -|- 1	2
Решение. Надо показать, что для любого е>0
можно указать такое число N, что при всех х, удов-
летворяющих неравенству \x\>N, справедливо нера-
венство
х2 1 I	{1 \
2х2+1	2|<е-
391
Так как
х2	1
2х?+1	2
1 1
2(2х2+1)	2(2х2+1)
1
4Х2’
1
то, если —7<е, т.
ii^ 1
I х I >—т=, имеем
2 уе
2	1
е. при х а значит, при
Таким образом, для
АГ Г 1 1
например л =—= ,
любого е>0 существует число jV,
что при всех |х|>У выполнено
' ** 1
л-»-оо 2х2+ 1	2
неравенство (1). Это означает, что lim - , , =
Пример 2. Найти:
a) lim (0,001x3-J- ЮООх2);
Х-*± оо
б) lim (ЮООх3—0,001 х4).
Решение.
a)	lim 0,001х3= + оо и lim 1000х2=4~оо, следо-
вательно, lim (0,001х3+1000х2)= + °0-
Если х—»—оо,то lim 0,001х3 =— оо, lim 1000х2 =
х—>—оо	оо
= + оо и в данном случае имеем неопределенность
вида (—оо-|-оо). Поэтому функцию /, предел которой
находим, запишем в другом виде:
/ (х) = 0,001х3+ 1000х2 = х3 (0,001 +-^
Так как lim х3 =— оо, lim ^0,001+—^—) =
= 0,001 >0, то lim (0,001х34-1000х2)= — оо.
б)	Данный предел находится аналогично, поэтому
решение оформим кратко с учетом действий над симво-
лами + оо и —оо.
lim (ЮООх3 —0,001х4) = ( + оо — оо) =
Х-»--р 00
= lim x4f—-0,00Л= 4-оо (—0,001)= —оо.
х->4- оо \	•*	/
392
Рассмотрим второй случай:
lim (ЮООх3 — 0,001 х4) = — оо — оо = — оо.
X —*•— оо
На основании примера 2 сделаем замечание общего
характера.
1°. Любой многочлен степени п^1 на бесконечности имеет беско-
нечный предел, т. е. представляет бесконечно большую функцию.
2°. При х->4~ оо знак бесконечного предела определяется знаком
коэффициента многочлена при старшей степени х.
При х->-— оо знак бесконечного предела противоположен знаку
коэффициента при старшей степени х.
Например, lim (5х6— 29х54~х—10)= + оо, так как 5>0;
X—ОО
lim (5 — Чх — х3)=4-оо; lim (0,01х3-|-9х) =— оо;
х-+-—с»	х-»-—оо
lim ^5 —5x4-ЮООх2 —-|-хЛ= — оо.
Х-> + оо \	3	)
Пример 3. Вычислить приближенно значение
функции
/ (х) = 3% + 2
х2 —4х —4
х34-х
при х = 1275,436 с точностью до А при А = 0,001; А =
= 0,00001.
4х —4
Решение. Рассмотрим функцию g(x) —-------------j-j---
и вычислим ее предел при х-»--|-оо:
1	4	4
Следовательно, при достаточно больших х функция
g (х) принимает сколь угодно малые значения. Выясним,
при каких х эти значения по модулю будут меньше
заданной точности А, т. е. будет справедливо неравен-
ство:
х2 —4х —4
х34-х
<д.
393
При больших значениях х имеем:
х2 — \х — 4
х2 —4х —4	х2 —4х —4 < х2 _ J_
xJ + х	х3 х3 х'
Поэтому, как только — < А, т. е х>—, функция g при-
нимает значения g(x)<A. Таким образом, при х>~£
значения данной функции приближенно с заданной сте-
пенью точности вычисляются по формуле /(х)«Зх + 2.
В данном примере при А = 0,001 условие	=
= 1000 выполняется. Следовательно,
/ (1275,436) «3-1275,436 + 2 = 3828,308.
При А = 0,00001 и х = 1275,436 условие не вы-
полняется 0-=1ООООО^. Поэтому полученной прибли-
женной формулой воспользоваться нельзя. Ее надо уточ-
нить. Для этого преобразуем функцию g:
g(x)
х2 — 4х — 4  1 х2 — 4х — 4
х3 + х х	х2 + 1
= 1А	4х+5\
х \	х2+1/
Тогда функцию f можно записать в виде
/(х) = Зх + 2 + 1-^±^
х X - - X
Учитывая, что lim — = 0, при достаточно больших
х->-оо х2 + х
х имеем
4x4-5 4x4-5	4x-f~x  5
х34-х	х3 х3	х2’
Поэтому при условии -^-СА, т. е. при
можем использовать приближенную формулу
/(х)«Зх + 2 + |.
394
В данном примере
'275’436 > Vii£r =	>700'
Следовательно,
/(1275,436)« 3828,308 +	'	= 3828,308784.
Примечание. Полученные приближенные формулы называ-
ются асимптотическими формулами для функции y = f(x).
Пример 4. Найти
т.
.. л ул -fi
lim -=^=2=.
X J-+ оо Д/2х3 + х+ 1
Решение. Разделим числитель и знаменатель на
старшую степень х, входящую в
з_
е. на х2. В результате получим:
данное выражение,
lim ..........— = lim
--4-00 V2*3 + x+1
I + lint —
x-»+ oo 2
v2
.. ’ll- 1
hm —-+ lim —
2
Пример 5. Доказать, что при
ном m
любом натураль-
,.	(1 + x)”' - 1
lim -—!— -----— m.
Доказательство. Так как
lim ((1+x)m—1) =
x-*0
i- л	/0\
= limx = 0, то здесь имеем неопределенность вида ().
х->-0	\и/
Чтобы ее раскрыть, представим данную дробь в виде
1(1+ хг — 1
(1 |-х)— 1 и сРавиим ее с формулой суммы m первых
395
членов
видно,
М?'"—1) v
геометрической прогрессии о„, = —-—।. Как
данная функция представляет собой сумму
т первых членов геометрической прогрессии с 1^ = 1, q =
= 1 + т. е.
1, 1+х, (1+*)2, .... (1+х)т~'
Поэтому
---L = |im (1 +(1 +х) +
х-ьО * х	х-^0
+ (1+х)2+...+(1+хГ->).
Предел каждого слагаемого равен 1, а число слагае-
мых т. Следовательно,
1 im -—— -= т
х->0 х
Пример 6. Найти:
, ..	(1 +х)!0°-1	(Зх —2)5—1
a) lim	; б) lim-----------.
’ х-»-0 (1 -X)50- 1	х—1	х-1
Решение.
а) Пределы числителя и знаменателя при х->-0 рав-
ны 0. Имеем неопределенность вида Разделим чис-
литель и знаменатель дроби на х и воспользуемся преде-
лом частного:
(1 + O1W-1 lim (i+x)lw-l
..	х	х—о х	100	п
х-.о (1—X)50—1 Iim (1—х)50— 1	50 ( — 1)
х	X—0	—X
б) Имеем неопределенность вида (Проверьте.)
Введем новую переменную х — 1=4/, т. е. х=\-}-у. Если
х-»-1, то £/->0, и наоборот. Тогда
.. (Зх —2)5—1	.. (3 (у+ 1)-2)5 — 1
x-l x~l y-*-0	У
= lim (1 +3y)5~1 = lim	.3 = 5.3=15.
у —о	У у-*-о ^У
Пример 7. Найти
.. V(1 +х)3 -1
lim	!— ---.
х-.О	х
396
Решение. Так как
lim ($/( 1 + jc)3 - 1 ) = lim (1 + х)4 - 1 =( 1 + О)7- 1 = О,
х-0	х~*О
го имеем неопределенность вида	Введем новую
4 !---
переменную Лу1-|-х— 1=У, тогда
1 +% = (! + у)4 и х = (1 + У)4- 1.
При	х—>-0	переменная г/->-0, так как lim у =
х--0
= lim (д/1 +% — 1) = 0. Подставляя в данную функцию
х--0
вместо х выражение (1+#)4 — 1, а вместо 1-}-х выраже-
ние (l-f-z/)4, получим:
..	Д/(1-|-х)3 -1
lim	!— ------—
х -О х
(1+у)3-1
..	(1+{/)3—1	.. у
lim ----------= lim------2------.
^о(1 + //)4-1 у-.о (1W-1
У
Применим теорему о пределе частного. При этом
lim ——------— 3, lim——-------— 4.
у-+0 У	у-*- О У
В результате получаем
4	1
lim vv ’------= lim -	--=-.
x->-0	x	x -*0 x
Примечание. Точно так же можно доказать, что
q ------ —
.. (14-х)’ -1 р
lim --------------= lim ------------=—.
х->0 х	х-.о х	q
Так что формула для предела функции, рассмотрен-
ной в примере 5, справедлива при любом рациональном
числе т.
3^_____
1_г	। • V 1 Т X — 1	1 •
Например, lim —------------=lim
х-.О х	х-О
3’
. . V 1 Л — 1	I
lim --------=уг.
х^О х	2
Этот результат может быть использован для прибли-
397
женного вычисления корня n-й степени из чисел, близких
к n-й степени некоторого числа.
В самом деле,
.. Vi+х -I	1
11 m ——----= —.
х-*-0	*	п
Значит, при малых х можно записать приближенное
V1 +% — 1	1 „
равенство ———-------. Отсюда получаем:
х_>0.
В частности,
I----- 1	31------ 1
Vl +х « 1 +-Г- х; V1 +* » 1 +т X и т. д.
Z	<3
Погрешности этих приближенных формул пока не
указываем. Можно только сказать, что, чем ближе к ну-
лю х, тем они точнее, поэтому пишем х—+.
Пример 8. Пользуясь полученными формулами,
вычислить приближенно Д/16,8, "\/8,4 .
Решение. 1) Д/16,8 =Д/16 + 0,8 =д/1б(1+^) =
= 4 Д/1 +0,05 «4 (1+|.0,05) = 4,1.
2) Д/8Л =Л/8 + 0,4 = 3^8(1 +-^) = 2Д/1 + 0,05 «
^2(1+-^)» 2,03.
cos2 х —3
Задание. Найдите с помощью калькулятора более
точные значения этих чисел и сравните с полученными.
Пример 9. Найти
,.	2 sin2 х-I-sin х— 1
lim----
Я 4
х->- —
6
Решение. Так как
...	л	1
lim smx = sin—=—,
л	о 2
6
lim cos x = cos 5г = +-~,
то, используя правила предельного перехода, находим:
398
lim (2 sin2x + sin x— 1) = 2	1 =0;
*~’”e
lim (4 cos2 x — 3) = 4	—3 = 0.
Имеем неопределенность вида Введем новую
переменную sinx = z/. Тогда cos2х= 1 — sin2х— 1 — у2.
При переменная У~*-^- Поэтому
lim
4cos2x —3	i 4(1— у2) — 3	1	1— 4//2
2 (// 2)(У+Р =	(2у 1)(у+ 1)
(1-2у)(1+2у)	1 (1 - 2у) (1 +2у)
2
lim (4/+ 1)
lim -*±1- = —_______= _2^+1= _ 3
1 1+2// lim (1+2//)	1 + 1	4
Пример 10. Найти:
a) lim
х —0
sin 5х
tg 2х — sin 2х
в) lim
х—0
б)
г)
lim
Л
Х->*2
1 — sin х
(л — 2х)2 ’
Решение, а) Здесь имеем неопределенность вида
(-0. (Поясните почему.) Чтобы раскрыть ее, сведем этот
предел к уже известным пределам, выполнив преобразо-
вания данного выражения:
sin 5х
lim --------
"*° yjl+x-l

sin 5х
~~5х~
Vl+x-1
, sin 5х
lim —-----
=	-----= 5 4= 15.
lim У1-±..х„~21	3
x-0 x
399
б) Имеем неопределенность вида (1). (Объясните
почему.) Введем новую переменную У=^>—х< т- е-
х = у — у. Если х—то z/->0, и поэтому
1 —sin
lim —---
/„о /
,.	1 —sin х
lim--------x
я (л —2x)2
Г-*- —
2
2sin2^-	sin2-|
,.	1 — cos у
= hm—
= lim
y~^O
2
2
=1-1=1.
8	8
, tg 2х—sin 2х
в) lim ь
(sin 2х
—5—
2х
X3
1 — cos 2x
.2
sin 2х I-------
\ cos 2х
im-----------—X-----
sin 2x ,.	2 sin2 x
—x-----lim-------j—
2x x-0 x
/	\ 2
1 л ( »- SIH X \z n	.
I -2 ( lim-----) 2 = 4.
2	\
-------- ) = 11 m
COS 2х J х->-0
X2 lim—:—
x->0 cos 2x
г) Так как lim 0- —x) = 0, lim tg2x=oo (объясните
почему), то в этом примере имеем неопределенность вида
(0-оо). Для того чтобы раскрыть ее, введем новую
переменную У=-^—х. При х~>~^ переменная z/->0. По-
этому
lim
о
4
..	/ 2у 1
= 1Ш1 (—— —
\sin 2у х,
(cos 2у \
Z/---- 1 =
sin 2у J
\	..	11..	о
у 1 = lim----lim cos 2t/ =
/	у—о sin 2у х у_^0
1.1.1=1.
12	2
400
3.4.	ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ»
Пример 1. Пользуясь определением непрерывности
функции lim /(х) = /(х0), доказать непрерывность функ-
Х-Х0
ции в точке х0:
а)	хо= — 1;
б) g(x) =
cos x-f- 1
(л-х)1 2 ’
1, если
х0 — л.
х = л,
Решение, а) В точке х0 = — 1 функция f определе-
на, и/(-1 )=-^_ =
— 0,5. Найдем предел функции
в этой точке, используя правила предельного перехода:
lim х3
х->— 1
lim (1 +х2)
Х->—1
lim /(х)= lim j =
Х->-1	Х-н-1 1+Х-
(lim х)3
х-<- — 1
1 +(lim х)2
х ——1

(-1)3
1+(-1)2
Следовательно, функция / непрерывна в точке х0= — 1.
б)	Функция g определена в точке х0 = л, и £(л)=1.
Найдем предел функции g в точке л. Так как х->л и
. lim cos x-f-1
,	,.	/ \ I- cos х+1 х-л	/0\
х=/=л, то lim p(x)=lim----------r =г =1лг1 —
х->п ' х^п (л-х)2	lim (л —х)2
неопределенность.
Введем новую переменную л — x = t, х — л— t. Если
х —>-л, то	Тогда
/4	1- СО5(Л —/)+1
lim g(x) = lim----------------
х-*-я	t—*~0	*
1 — cos t
e
2 sin2I
= lim—
r->o r
Получили, что lim g (x) = ^y=g (л)= 1.
401
Следовательно, функция g в точке х0 = л не является
непрерывной — она разрывна.
Заметим, что если в точке х0 = л функцию g переопре-
делить — положить g(n) = —, то функция
1COS X— 1
	если х=#л,
(л — X)
I	’
•g, если х = л
будет непрерывной в точке х0 = л.
Ответ: а) непрерывна; б) разрывна.
Примечание. Если при исследовании функции на непрерыв-
ность невозможно применить непосредственно правила предельного
перехода, то используют определение непрерывности функции в точке,
раскрывающее смысл равенства lim /(х)=/(х0), т. е. следующее
Х-»ХО
определение.
Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной
в точке х0, если для любого положительного е существует число 6,
зависящее от е, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
|х — х0|<6, справедливо неравенство |/(х) — /(х0)| <е.
Это определение называется определением непрерывности на
в — 1>-«языке».
Пример 2. Исследовать на непрерывность
функцию
?	1х, если х — рациональное число,
| — х, если х — иррациональное число.
Решение. Пусть хо = О. Какую бы 8-окрестность
точки 0 ни выбрать на оси ординат для всех х, удовлет-
воряющих неравенству |х| <е, будет справедливо нера-
венство |/(х)| = |х| <8, т. е. 6 = 8. Это означает,
что lim f (х) = 0 = / (0). Функция / в точке 0 непрерывна.
х-»-0
Возьмем теперь значение (любое) x0^Q, например
рациональное. Тогда /(х0) = х0, и для любой достаточно
малой е-окрестности точки /(х0), т. е. для х0 на оси
ординат невозможно указать б-окрестность точки х0 на
оси абсцисс, значения функций в каждой точке которой
попали бы в 8-окрестность точки / (х0). В самом деле,
в 6-окрестности будут находиться и иррациональные
402
точки, в которых /(х) =—х. Значит, в точках хо=/=О
функция не является непрерывной.
Пример 3. Пусть f(x) = 9x — 5. Найти такое б>0,
что |/(х)-/(1)|<-1. при |х—1|<6.
Решение. /(1) = 9-1—5 = 4. Выясним, при каких
значениях х справедливо неравенство |9х— 5 — 4|<—.
Данное неравенство равносильно неравенству 9 \х—
— т’ е’ Iх-Следовательно, можно при-
- 1
НЯТЬ, ЧТО 6=9Q.
Пример 4. Пользуясь е — 6-определением, дока-
зать, что функция /(х) = -^у-^- непрерывна в точке 2.
Доказательство. Функция в точке 2 определена,
у
и /(2) = -=-. Выберем е>0. Требуется доказать, что суще-
□
ствует 6>0, что при выполнении неравенства \х — 2| <6
справедливо неравенство |/(х)— /(2)|<в. Для этого
в последнем неравенстве проведем равносильные пре-
образования:
I г / , с / о \ I_I + 3	7 I	I 2х — 4 I
|/(х)-/(2)| =|—----------|<Ео|—^—|<е^
-ф>-~ |х — 2| <во |х — 2| <4 е.
Итак, если принять 6=-g е, то при условии |х— 2| <6
справедливо неравенство |/(х)— /(2)|<е. Следователь-
но, функция непрерывна в точке 2.
Пример 5. Исследовать на непрерывность и по-
строить график функции
/(х) = lim (%— 1) arctg хп.
п-*-оо
Чтобы вычислить значение функции при заданном х,
надо найти предел последовательности. Например,
/ (— 1)= lim (—2 arctg (— 1)л), но предел последователь-
П-*-оо
ности {(— 1)л}= — 1, 1, —1, ... не существует, значит,
функция / в точке х0 =— 1 не определена:
/( — 0,5)= Пт (— 1,5 arctg(—0")= —1-0 = 0.
403
Так как lim (— 0,5)л = 0, а в силу непрерывности функ-
П-+оо
ции y = arctgx lim arctg f —-1Y = arctg 0 — 0.
П-^оо	\
/(!)= lim Oarctg l" = 0-y = 0,
Л->00
/(2)= lim 1 arctg 2"= 1 •-£,
так как при л->оо, 2'1->4-оо, а
lim arctg х — ^-.
«-►оо
Решение. При х^— 1 функция не определена.
При |х|<1 имеем lim х” = 0, и так как функция у =
— arctgx непрерывна в точке 0, то
lim arctg x” = arctg 0 = 0.
►оо
Следовательно, /(х) = 0. Ранее было получено /(1) = 0.
При х>1 х"->+оо, arctgx'1-►у, и в результате
получаем /(х)= lim (х—1) arctg х" = (х—1)у.
Итак, функция / является кусочно-заданной:
f(x) =
0, если — 1 <х^С 1,
у(х— 1), если х> 1.
На промежутке (— 1; 1) функция непрерывна как
постоянная, на промежутке (1; + оо) непрерывна как
линейная. В точке х = 1
lim /(х) = lim 0 = 0;
х-И—О	х~»1—О
lim /(х)= lim ^-(х—1) = 0,
х-И-f-O	х->14-0^
т. е.
/(1-0) = /(1+0) = /(1),
и функция в точке 1 непре-
рывна.
График данной функции
показан на рисунке 113.
404
Задание. Как доопределить данную функцию
в 1ючке х0 = — 1, чтобы она была в этой точке непрерыв-
ной справа?
Пример 6. Пусть у = у(х), г/ = ф(х)— непрерыв-
ные функции, определенные при всех значениях х. Дан-
ная функция f (х) = ф (х) ф (cos х-|-х3ф (х2)) непрерывна
при хеЯ Поясните, откуда это следует.
Решение. Функция g(x) = x2 непрерывна как сте-
пенная функция, а функция ф непрерывная по усло-
вию, но тогда по теореме о непрерывности сложной
функции непрерывна и функция г/ = ф(х2), а по теореме
о непрерывности произведения функций будет непрерыв-
ной функция у = х3ф (х2), так как г/ = х3 непрерывна
как степенная функция. Далее, функция # = cosx непре-
рывна при всех х (теорема о непрерывности тригоно-
метрических функций). Значит, непрерывна и функция
/г (x) = cos хД-х3ф (х2) как сумма непрерывных функций.
По теореме о непрерывности сложной функции будет
непрерывна и сложная функция.
у — ф (cos х + х3ф (х2)).
Учитывая, что функция ф непрерывна, на основании
теоремы о произведении непрерывных функций заключа-
ем, что данная функция
f (х) = ф (х) ф (cos х + х3ф (х2))
непрерывна в любой точке х.
Пример 7. Пусть функция f непрерывна на отрез-
ке [—1; 1], /( —1)=1, /(0)= —1 и /(1)=1. Каково
наименьшее возможное число корней имеет уравнение
/(х) = 0 на интервале ( — 1; 1)? Начертить схематически
возможный график функции, удовлетворяющий указан-
ным условиям и имеющий на этом интервале наимень-
шее число нулей. Построить другой график, где число
нулей больше на два.
Решение. Так как функция / непрерывна на отрез-
ке [—1; 1], то она непрерывна и на отрезках [—1; 0] и
[0; 1]. На концах этих отрезков по условию функция
принимает значения разных знаков: /(—1) = 2>0,
/(0) =—1<0, /(1)=1>0. Следовательно, по теореме
о промежуточном значении или по теореме существова-
ния нуля на каждом из интервалов (— 1; 0), (0; 1) суще-
ствуют нули функции, т. е. корни уравнения /(х) =
= 0. Значит, наименьшее число корней уравнения равно
двум.
405
График функции, которая имеет два нуля, показан на
рисунке 114; функции, имеющей четыре нуля,— на ри-
сунке 115.
Пример 8. Доказать, что если функция у =
— f (х) непрерывна в точке х0, то в этой точке непрерыв-
на и функция y=\f(x)\.
Доказательство. Из непрерывности функции /
в точке х0 следует, что для любого е>0 найдется 6>0,
что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х—х0| <
<6, справедливо неравенство |/(х) — /(х0)| <е. Но тог-
да на основании свойства модуля числа \а —	||о| —
— |6| | для любого е>0 мы указываем б такое, что если
|х —х0| <б, то:
П/(х)|-|/(х0)||<|/(х)-/(х0)|<е.
А это означает, что функция y=\f(x)\ непрерывна
в точке х0.
Пример 9. Пусть дана функция
gW=
д/5— |х| , если |х|<1,
3 — х2+|х2—1|, если |х| > 1.
4 __
Существует ли точка С такая, что g(C) — у 17?
Решение. Исследуем сначала функцию g на непре-
рывность. Функция определена при всех хе!?. Функция
у — х непрерывна при любом х, а значит, непрерывна
и функция у=\х\. Тогда по теореме о разности непре-
рывных функций непрерывна и функция <р(х) —5—|х|.
Функция у = у[й непрерывна при «^0 как степенная
функция, а поскольку при хе[—1; 1], <р(х)^0, то по
406
теореме о непрерывности сложной функции на отрезке
[—1; 1] функция g (х)=Д/<р (х), т. е. £ = Д/б — |х| непре-
рывна, причем в точке х= — 1 непрерывна справа,
а в точке х—1 —слева.
При |х| > 1 формулу для функции можно изменить,
так как 3 — х2 + |х2 — 11 =3 — х2 + х2 — 1 = 2 и g(x) — 2,
т. е. при |х| > 1 функция g непрерывна как постоянная.
В точках х—1 и х =— 1 имеем
lim g(x) — lim 2 = 2 = g (1),
х-И+0	х-И+О
lim g(x) = lim 2 = 2 = g(—1).
x-- —I—0	x ——1-0
Следовательно, и в этих точках функция непрерывная.
Итак, данная функция непрерывна во всех точках
хе/? и все значения принимает на отрезке [—Г, 1], на
котором вследствие непрерывности достигает наимень-
шего и наибольшего значений. По виду функции
g (х) = д/5 — |х| , хе[-Г, 1], определяем:
min g (х) = д/б—Т=2, max g (х) = "\/5 — 0 =	(Объяс-
4 __
ните почему.) Данное в условии задачи число у 17 явля-
ется промежуточным между значениями 2 и д/ЁГ. В са-
мом деле,
4 __ 4 ___ 4  -	__
2 = Л/16 <Д/17 <Д/25 =Д/5.
Тогда по теореме о промежуточном значении непре-
рывной функции на отрезке существует, по крайней
мере, одна точка С на интервале (— 1; I) такая, что
/(С)=Д/Т7'-
Пример 10. Функция y = f(x) непрерывна на от-
резке [2; 5]. Известно, что при любом х из этого отрезка
функция принимает только рациональные значения
и f (4) = у. Найти [(e), где е = 2,718 ... .
Решение. Пусть /(е) = Д=Лу- Для определенности
5
будем считать, что Д>у. На отрезке [е; 4] функция
непрерывна по условию ([е; 4J — часть отрезка [2; 5]).
Следовательно, по теореме о промежуточном значении
407
функция принимает все значения, заключенные между —
и А, которые можно записать в виде
t/ = y + 0 (Д — у), где О<0< 1.
В этом легко убедиться. То, что #>у, очевидно.
Покажем, что при любом 0е(О; 1) у<А. Для этого
определим знак разности А и у.
Д-г/ = Д_|_0(д_|) = (д_|)(1-0)>О,
т. е. при любом 0 справедливо неравенство у<.А.
Пусть 8=4<1. Тогда значение
О
t/o—1 + | (^-|)
является иррациональным числом, так как е — иррацио-
нальное число, но Д — рациональное по условию — функ-
ция принимает только рациональные значения. Получа-
ем, что в некоторой точке / (С) = уй, т. е. функция приня-
ла иррациональное значение, а это противоречит усло-
вию, что функция принимает только рациональные
§
значения. Поэтому предположение, что А^=—, неверно.
5
Следовательно, / (е) — —.
Пример 11. Доказать, что функция
2	1
/(х)=-arcctg хД-у-^, 0<х<Д-оо
имеет непрерывную обратную функцию.
2
Доказательство. Функции у = — arcctgx и
1
у = 1 —-g непрерывные и убывающие на промежутке
[0; Д-оо). Значит, и данная функция, как сумма непре-
рывных и убывающих функций, также непрерывная
и убывающая на этом промежутке. Поэтому, так как
/(0) = |- + Д-1=2
и
lim (— arcctg хД-Л =
х^+оо	1+х2/
=— lim arcctg хД- lim —Ц7 = 0Д-0 = 0,
x-Ч- ОО	X-* Д- СО 1 4"
408
то множеством значений функции / является промежу-
ток (0; 2]. Следовательно, по теореме существования
непрерывной обратной функции данная функция имеет
непрерывную убывающую обратную функцию х = g(y),
У^(0', 2]. Явную формулу для обратной функции в этом
примере записать нельзя, так как невозможно выразить
х через у из формулы для f (х). Если аргумент обратной
функции обозначить через х, а ее значения через у, то
обратная функция запишется в обычной форме: y = g(x),
хе=(0; 2].
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
571.	Вычислите значение выражения:
если а = 0,5;
если й = 4.
б)
572.	Решите уравнение:
а)	2.—+Д/2х + 3 =Д/5%+1 ;
V2x+3	v ।	>
б)	^== + А/2х-1 =л/й+5;
в)	х2 4-Зх 4-д/*2 + Зх —6 = 0;
г)	х2 —х —Д/х2 —х —2 —4 = 0.
573.	Разложите на множители:
а)	х4 — 1 Ох34-35х2 — 50х + 24;
б)	х4 — 2х3—13х24-14x4-24.
574.	Упростите выражение:
. -» / cos 2а
а) Д/j^z^
б) д/~,|л 4“
V Ctg a —tg <
409
B)	(VS^ + l)(clg^+1)+ctg!i'если 4"
а < 2л;
r>(Vjn^+1)(,g^1) + le!7’ ссли ”
«<|я.
575.	Докажите тождество:
а)	4 sin a sin (60° — а) sin (60° + а) = sin За;
б)	4 cos а cos (60° — а) cos (60° + а) = cos За;
в)	cos4 а — 6 sin2 а cos2 а + sin 4а = cos 4а;
г)	sin6 а + cos6 а + 3 sin2 а cos2 а = 1.
Идея производной возникает из более или
менее ясного представления о некоторой
скорости, с которой всякое явление совер-
шается.
Э. ПИКАР
Гливи IV
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Понятие производной является одним из важнейших
в курсе математического анализа. Многие задачи как
самой математики, так и естествознания и техники при-
водят к этому понятию. Всюду, где есть неравномерно
меняющиеся величины, скорость их изменения выража-
ется производной.
§ 14. ПРОИЗВОДНАЯ
72. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
Рассмотрим сначала материальную точку, движущу-
юся по прямой. Выберем на этой прямой начало отсчета,
единицу измерения и направление движения. Положение
точки на прямой будет определять ее координата х =
= f(t) — закон движения точки. В этом случае средней
скоростью движения за промежуток времени от tt до /2
называют отношение пути, пройденного за этот промежу-
ток, к величине промежутка. При этом пройденный путь
равен разности х2 — xx = f(t2)— /(/]), если от момента
?! до t2 направление движения не изменялось, а промежу-
ток времени равен t2—-Ц. Поэтому средняя скорость
выражается формулой
_Ж) ——*1
С₽	^2—^1	^2 ^1
Если положить tx = t, t2 — t~\-\t	— единый сим-
вол), то средняя скорость за промежуток А/ окажется
равной
_/(/ + Д/)-/(/)_дх
с₽ д/	д/ •
411
Пользуясь терминами ме-
ханики, можно говорить о
скорости изменения функ-
ции г/ = /(х) на отрезке
[х, х-f-Ах], определяя ее по
формуле
_ /(х + Ах) —/(х) = Ау_
с₽	Ах	Ах ‘
При этом разность /(х-|-
+ Ах) — / (х) называется при-
ращением функции в точке х и обозначается Az/(x) или
А/(х), а Ах — приращением аргумента (рис. 116). Дробь
называется разностным отношением функции в точке
х для приращения Ах.
Итак, чтобы найти среднюю скорость изменения функ-
ции y = f(x) на отрезке [х, х + Ах], надо приращение
функции разделить на приращение аргумента. Из ри-
сунка 116 видно, что есть не что иное, как угловой
коэффициент хорды, соединяющей точки М (х, f (х)) и
Af(x-f-Ax, 7(х-|-Ах). Таким образом, понятие сред-
ней скорости изменения функции связано, с одной сторо-
ны, с угловым коэффициентом секущей, с другой — со
скоростью прямолинейного движения точки. Однако зна-
чение средней скорости за какой-то промежуток времени
дает мало информации о характере движения. Напри-
мер, фраза «средняя скорость ракеты за первую минуту
была равна 8 км/с» мало говорит о том, как фактически
происходило движение. Ведь в начале движения ракета
стояла на месте, потом начала двигаться все быстрее
и быстрее. Ясно, что конструктора ракеты интересует не
средняя скорость за какой-то промежуток времени,
а скорость ракеты в какой-то момент времени, т. е. мгно-
венная скорость.
Упражнения
576. Закон движения материальной точки по оси Ох
задан формулой х = /(<), где t — время (в секундах),
х—координата (в метрах). Найдите среднюю скорость
движения точки за промежуток времени от t0 до /0Ц-А/,
если:
a)	f (t) = t2—1, f0=2, А/| =0,1 с, А/2 = 0,01 с, А/3 =
= 0,001 с;
412
б)	/(/) = /2—/4-1, to = o, А/ = 2 с;
' в) f(t)=2t — t2, /о = О, А^ = 0,05 с, Д/2 = 0,1 с;
Д/3 = 0,01 с;
г) f{t) = 2t — t2, tQ = 0, А/=1,5 с.
577.	Тело вращается вокруг оси по закону <р = 2/2, где
t — время (в секундах), <р — угол поворота (в радианах).
Определите среднюю угловую скорость вращения <оср
и вычислите ее за промежуток времени:
а) от /] = 1 до t2 — 1,05; б) от /j=l до t2 = 1,01.
578.	Докажите, что средняя скорость изменения функ-
ции f (x) = kx-\-b на любом промежутке [х; х-фАх]
постоянная. Найдите ее.
579.	Найдите среднюю скорость изменения функции
y = f(x) на отрезке [1; 1,21]:
а) 7(х) = Л/х~;	0) f(x) = x2; в) /(х) = х3.
73. МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
Рассмотрим свободное падение тела. Закон свободно-
го падения задается формулой
Тогда средняя скорость свободного падения за время
от момента t до /4-Д^ равна:
g_ (i+btf—P _ g_ 2Ш + Д/2 _
с₽ 2 Д/ 2 М
=|(2/4-Д0.
Будем уменьшать длину промежутка времени, не
меняя его начала, т. е. будем рассматривать среднюю
скорость иср при все меньших значениях А/. Тогда сред-
няя скорость будет меняться, причем она стремится
к значению gt. В самом деле,
lim у = lim ^(2t + \t) = gt.
Л/-.0 ai—о z
Это значение, т. е. предел средней скорости за проме-
жуток времени А/, когда А/->0, естественно принять за
величину мгновенной скорости падения в момент време-
ни t. Вспоминая формулу для средней скорости движе-
413
определение мгновенной скорости
lim *(* + Д0-*(*)
уср= lim ------------
ния, можно записать
движения так:
vMr„= lim
д/-^о
т. о. мгновенной скоростью прямолинейно движущейся
материальной точки в момент времени t называют пре-
дел средней скорости этой точки на промежутке времени
(/; /-)-Д/|, когда Д£->0.
Упражнения
580. Закон движения материальной точки по оси Ох
задан формулой x = f (t), где t — время (в секундах), х —
координата (в метрах). Пользуясь определением, найди-
те мгновенную скорость движения в момент времени /0:
а)	/(/)=/2-/-Н, *о = 2; в) f(/) = 2cos/, /о = О;
б)	/(/) = 2/ —Л *о = О; Г)	+ /О==о.
58!. Тело вращается вокруг оси по закону <р = 2/2
(см. задачу 577). Определите мгновенную скорость вра-
щения тела со и вычислите ее в момент времени /0 = 2 с,
582. Найдите скорость изменения функции y = f(x) в
точке х0 = 1:
a) f(.x)=yjx; б) f(x) — x2; в) f(x) = x3.
Сравните полученные значения.
74. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие производной является математическим ана-
логом разобранного ранее понятия мгновенной скорости
движения и характеризует мгновенную скорость измене-
ния функции в данной точке.
Определение. Пусть функция y = f (х) определе-
на в некоторой окрестности точки х0. Производной функ-
ции / в точке х0 называется предел отношения прираще-
ния функции в этой точке к приращению аргумента при
стремлении к нулю приращения аргумента, если этот
предел существует.
Обозначается производная функции в точке как f' (х0)
или у' (х0). Соответственно читаются: «/ штрих от х0»,
«у штрих от х0».
Часто производную обозначают и читают: «дэ
игрек по дэ икс».
414
Таким образом, по определению:
/'(*о)= Нт
Ах-»- О
А/<Х0)	..	f{x0+&x)—f{x0)
~—= Нт -----------------
Дх Ах-*-0	Ах
Иначе, данное определение можно сформулиро-
вать так:
Производной функции / в точке х& называется предел
разностного отношения функции в этой точке для прира-
щения Ах при стремлении Дх к нулю, если этот предел
существует.
Определение. Функция, имеющая производ-
ную в точке х0, называется дифференцируемой в этой
точке.
Механический смысл производной функции в точке
заключается в следующем. Пусть функция f описывает
закон прямолинейного движения материальной точки,
т. е. х = / (/). Здесь х — координата, t — время. Тогда из
определения мгновенной скорости в момент времени
и определения производной функции в точке непосредст-
венно следует, что если функция x = f (t) описывает
зависимость координаты материальной точки от време-
ни, то ее производная в момент времени t0 есть мгно-
венная скорость в этот момент времени, т. е.
v(t0) = f'(t0).
При движении точки в одном направлении всегда
можно выбрать систему отсчета, в которой значение
координаты х совпадает с длиной пути s, пройденного
к данному моменту времени. В этом случае закон движе-
ния записывают в виде s = f (/) и можно сказать: мгно-
венная скорость точки при ее прямолинейном движении
есть производная пути по времени, т. е.
v = s' (t).
Применяя термины механи-
ки, отметим, что для любой диф-
ференцируемой функции произ-
водная ее характеризует ско-
рость изменения функции.
На рисунке 117 показаны
графики трех дифференцируе-
мых функций в точке х0, у =
= f(x), У=ё(х) и у = у(х). Что
можно сказать о значениях
Г(ХО), g'(*o) и Ф'(хо)? По виду
415
графиков отмечаем, что в окрестности точки ха функция
f изменяется медленно, функция g — несколько быстрее
и еще быстрее возрастает функция <р. Поэтому оче-
видно, что
Г (x0)<g' (x0)<q>' (*о)-
Упражнения
583. Пользуясь определением, найдите производную
функции в заданной точке:
а)	/(х)=7> х0==2; в) <p(x)=V* — 1 > х0 = 5;
б)	g(x)=-^, х0=1;	г)/(/) = 3/2 + / + 2, /0=-1-
Vх
58	4. Докажите, что функция y = f (х) дифференцируе-
ма в точке х0, если:
a) f (х)="\/2х+Тхо = О; б) /(x) = sin2x, хо = О.
75. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ — НОВАЯ ФУНКЦИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Пусть Dt — множество точек из области определения
функции y = f(x), в каждой из которых функция диффе-
ренцируема. Тогда каждому х из можно сопоставить
значение производной функции в точке х /'(х), т. е. на
множестве D, будет определена новая функция, которая
и называется производной функцией от f и обозначается
/' (или пишут y' = f'(x), причем D =
Определение. Производной функции y — f(x) на
множестве Dt называется функция f', которая каждо-
му x<^Dt сопоставляет /'(х).
Обратите внимание на то, что производная функции
в точке есть число, производная функции есть функция.
Процесс нахождения производной функции называ-
ется дифференцированием.
Для нахождения производной, исходя из ее определе-
ния, надо:
1.	Найти значения # = /(х) в точках (х04-Ах) и х0,
т. е.
/(х0 + Дх), /(х0).
2.	Определить соответствующее приращение функ-
ции:
= f (х0 + Дх)—/(х0).
416
3.	Составить отношение приращения функции к при-
ращению аргумента:
Ay  f (х0 + Ах) —f(*o)
Ах	Ах
4.	Вычислить предел этого отношения при Ах->-0:
lim -^= lim	=	).
Лх-0 Дх Дх-0	Д*
Пример 1. Дана линейная функция f (x) = kx-\-b.
Исходя из определения производной, найдем /'(х).
Решение. Для значений аргумента х и х + Дх
имеем соответственно:
f (x) — kx-\-b и f (х-\- &x) = k (х + Ах)+ 6.
Находим приращение функции в точке х:
А/(х) = k (х-j- Ах)+ Z>—(kx-\-b) = k\x.
Составим разностное отношение:
Ах=/=0.
Ах Ах
Переходя к пределу при Ах-»-0, находим производ-
ную функции в точке х:
Cf / \	1-	д/(*)
/ (х)= hm ——
Лх—О
Итак, (kx + b)' = k.
Заметим, что в частных случаях:
a)	k=l, b = 0, (х)' = 1.
Смысл этого результата следующий: производная не-
зависимой переменной равна 1.
б)	k = 0, b — любое действительное число, (6)' = 0,
т. е. производная постоянной равна 0.
Пример 2. Дана функция /(х) = х2. Найдем ее
производную:
а) в произвольной точке х; б) при х = 3.
Решение.
а)	Для значений аргумента х и х-|-Ах будем иметь
соответственно /(х) = х2 и f (х-(- Ах) = (х + Ах)2.
Находим приращение функции:
А/ (х) — (х + Ах)2 — х2 = 2х • Ах + (Ах)2.
Составим отношение
Ах
^^гхдАх + САх^^^
Ах	Ах
lim k = k.
Лх—0
14 Алгебра, 10 кл.
417
Перейдем к пределу при Дх->0 и найдем производ-
ную от данной функции в точке х:
/'(х) = lim -^-= lim (2х + Дх)=2х.
Итак, (х2)' = 2х.
б)	При х==3 имеем /'(3) = 2-3 = 6.
Заметим, что в случаях а) и б) применяется термин
«производная». Так, в случае а) говорят: «производная
функции у = х2 есть функция у = 2х», а в случае б) «про-
изводная функции f (х) в точке 3 есть число 6».
Пример 3. Дана функция /(х) = х3. Найдем ее
производную: а) в произвольной точке х; б) при х = 2.
Решение. Для значений аргумента х и х-^-Ах
будем иметь соответственно /(х) = х3 и / (х-|-Дх) =
= (х + Дх)3.
Найдем приращение функции:
Д/ (х) — (х + Дх)3 — х3 = Зх2Дх + Зх (Дх)2 + (Дх)3.
Составим отношение
Дх
= ЗА,+3,(Лх>Ч<^ = Зх. 3лДх ( Дх)!
Дг/	Дх	'	'
Перейдем к пределу при Дх->0 и найдем производ-
ную данной функции в точке х:
//(х) = lim = lim (Зх2 + ЗхДх + (Дх)2) = Зх2.
Дх —О Лх	Дх —О
Итак, (х3)' = Зх2, /'(2) = 3-22= 12.
Пример 4. Докажем, что
По определению производной для функции / (х)=у
в точке х0 при хо^О имеем:
1_____1_
г/ / ч , хо+Дх х0 1-	х0 — (х0 + Дх)
/ (xQ)= lim -----------— lim -------------=
Дх — О Ах	Дх—0 Дх (х0+Дх) х0
..	—Дх	..	-1	1
= lim ------------= lim ------------= —j.
Дх—о Дх (х0 + Дх) х0 дх —0 (х0-|-Дх)х0 Х$
418
Упражнения
585.	Для функции y = f{x)y	найдите функ-
цию y' = f'(x) и укажите ее область определения:
a)	/(x) = ax2 + 6x-f-c, хе/?;
б)	/(х) = х+д/х", хе[0; +°°);
в)	f (х)=д/4 + х, хе[-4; + °о);
„	.	1	,	2
586.	Исследуйте дифференцируемость функции в ука-
занной точке:
а) У —
х sin —, если х#=0,
X
О, если х = 0
в точке х=0;
{х2, если х^О,
х3, если х<0
в точке х = 0.
76. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Геометрический смысл производной функции в точке
связан с задачей о касательной к графику функции.
Рассматривая эту задачу, Г. Лейбниц определял про-
изводную функции так: производная функции f в точке
х0 есть наклон касательной к графику функции в точке
(х0, /(х0)). Здесь под наклоном прямой понимается ее
угловой коэффициент.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Для линейной функции y = kx-\-b гра-
фиком является прямая. Касательная к ней в каждой
точке — это сама прямая. По этому определению про-
изводной сразу имеем (kx-\-b)' = k, так как k — угловой
коэффициент.
Пример 2. Пусть у =
=Д/1 —• График этой
функции — верхняя полу-
окружность радиуса 1 с
центром в начале коорди-
нат (рис. 118). По рисунку
определяем наклон каса-
419
параболы, кроме ее
уравнение
тельной в____точке М (х; у),
где у = У]1 — х2:
tg a = tg(y+ ₽)= - ctg p =
_______ X ___ X
Следовательно, по опреде-
лению Г. Лейбница, имеем:
Пример 3. Пусть у — х2.
График этой функции — пара-
бола (рис. 119). Для всех точек
вершины, касательную можно
определить как прямую, имеющую с параболой только
одну общую точку. Найдем наклон касательной к
параболе у = х2 в каждой точке с абсциссой х=#=0. Урав-
нение касательной запишем в виде y = kx-\-b. В точке
касания у равен х2. Поэтому для ее абсциссы получаем
x2 = kx-\-b, или х2 — kx — b = 0.
Это уравнение имеет один корень (общая точка одна).
Значит, дискриминант D = 0, т. е. &2-|-4£> = 0. Отсю-
. k2
Да Ь=—
Итак, в точке касания справедливо равенство
9	,	. k2 л	/ k \2 л
хг — kx-\-— — 0, или (х—-^1 =0.
Отсюда следует, что для любой точки параболы у —
= х2 угловой коэффициент касательной равен 2х(& —2х).
Следовательно, по определению Г. Лейбница, (х2)' = 2х.
Чтобы применять опреде-
ление Г. Лейбница к другим
функциям, надо дать строгое
определение касательной. Те
определения, которые даются
для окружности и параболы
в общем случае, не годятся.
Например, для графика фун-
кции на рисунке 120 суще-
ствует множество прямых,
4UB
имеющих единственную общую точку А с графиком,
но ни одна из них (помечены цифрами 1, 2, 3) не явля-
ется касательной, которую интуитивно представляем как
прямую, «прилегающую» к кривой в точке А. Такому
пониманию соответствует прямая 4, хотя она пересекает
график функции и в других точках.
Дадим определение касательной к графику функции
в общем случае.
Пусть точка М0(х0', у0) принадлежит графику функ-
ции у=/(х), определенной на некотором интервале
(рис. 121). Возьмем на кривой еще одну точку М (х; у),
где х = х04-Дх, у — у0-\-&у, и проведем прямую М0М,
которая называется секущей. При движении точки М по
графику функции секущая М0М изменяет свое положе-
ние, совершая поворот вокруг точки Л40. В процессе
приближения точки М к Мо может оказаться, что секу-
щая займет предельное положение, которое зависит от
того, как точка М приближается к точке Мо (на рис.
121 это положение прямой М0Т).
Определение. Касательной к графику функции
y = f (х) в точке Л40(х0; /(х0)) называется прямая, пред-
ставляющая предельное положение секущей MqM, если
оно существует, когда точка М (х; f (х)) стремится к точ-
ке Л40.
Надо иметь в виду, что не в каждой точке графика
функции может существовать предельное положение се-
кущей. Например, на рисунке 122 показаны графики
функций, которые в точках х0, 0, xh х2, х3 соответственно
не имеют касательной, так как предельные положения
секущей М0Т будут зависеть от того, с какой стороны —
справа или слева—точка М приближается по графику
функции к точке Л40. Возможные предельные положения
421
секущей при приближении слева или справа в этих
точках показаны на рисунке штриховыми линиями.
Теперь легко установить геометрический смысл про-
изводной, определенной как предел разностного отно-
шения.
Пусть функция у = f (х) дифференцируема в точке х0.
Найдем угловой коэффициент секущей (см. рис. 121). Из
треугольника M0NM (M0N\\Ox)
MN Ду(х0) f(x0 + Ax) — f(xa)
te a—-r—-—-----—-------:-----.	(* >
t. e. угловой коэффициент секущей равен разностному
отношению функции в точке х0 для приращения аргу-
мента Ах. Если Ах->0, то точка М по графику функции
стремится к точке Мо, предел разностного отношения при
этом существует и равен /'(х0). Следовательно, будет
существовать предельное положение секущей (касатель-
ная МТ) с углом наклона <р, для которого из равенст-
ва (*)
tg<₽ =/'(*<>)•
Итак, геометрический смысл производной функции
в точке:
производная функции y = f (х) в точке х0 есть угловой
коэффициент (наклон) касательной к графику функции
в точке (х0; f (х0)).
Это утверждение, как видим, полностью согласуется
с определением производной, данным Г. Лейбницем.
Например, угловой коэффициент касательной к гра-
фику функции у = х3 в точке с абсциссой Х] = 0 будет
равен kr — y'(Q). Так как у' = 3х?, то = у' (0) — 0. В точ-
ке с абсциссой х2 = 2 угловой коэффициент касательной
k2 — y' (2) = 3-22=12.
422
Упражнения
587.	Пользуясь определением касательной к окруж-
ности и к параболе как прямой, имеющей с кривой одну
общую точку, на основании геометрического смысла
производной в точке найдите производную функции:
а)	у=\4 — х2; в) у = х2 — 2х;
б)	г/="\/4х —х2; г) у = х2-}-2х.
588. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс
касательной, проходящей через данную точку А графика
функции f:
а)	/(х) = х3, Л (1; 1);
б)	f (х) = х2 + 2х, Л (1; 3);
в)	/(х)=|х3-х, А (2; |);
г)	/ (х) = 3 cos х, А 0^;
д)	/(x)=sinx+l, Л (л; 1);
е)	/(х)= —tgx, А (л; 0).
77. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
Пусть функция y — f(x) дифференцируема на некото-
ром интервале. Мы уже знаем, что к графику такой
функции можно провести касательную в любой точ-
ке. Относительно касательной нам известна точка
М0(х0; f (х0)), через которую она проходит, и ее угловой
коэффициент k = f'(x0). Если вспомнить уравнение пря-
мой, проходящей через точку (х0; yQ) с известным угло-
вым коэффициентом k, т. е.
У~ Уо = к(х — х0),
то уравнение касательной к графику функции у =
= [(х) в точке М0(х0; / (х0)) записывается в виде
У~ f(xQ) = f'(x0)(x — х0).	(1)
Опр едсление. Нормалью к графику функции у =
= / (х) в точке Af0 (х0; у0) называется прямая М0Р, прохо-
дящая через данную точку перпендикулярно касатель-
ной (см. рис. 121).
Из определения нормали следует, что ее угловой
коэффициент kn связан с угловым коэффициентом k ка-
423
сательной равенством, выражающим условие перпенди-
кулярности двух прямых:
Поэтому уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке
Л40(х0; #о) будет иметь вид
У — Уо = ~77— (х — х0).	(2)
Г (Хо)
Например, составим уравнения касательной и норма-
ли к кривой у = х3 в точке А40(2; 8).
Точка А40(2; 8) лежит на кривой, так как ее координа-
ты удовлетворяют данному уравнению. Найдем значение
производной при х0 = 2. Так как у' — Зх2, то у'(2) —
= 3-22=12.
Из уравнений (1) и (2) получаем уравнения каса-
тельной и нормали:
у —8= 12 (х —2), 12х —(/—16 = 0,
у — 8= — -^(х—2), х 4-12г/ —98 = 0.
Упражнения
589.	Составьте уравнения касательной и нормали
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0:
а)	/(х) = 3х2 —2x4-1, х0 = -^;
б)	/(х)=х4-"\/^> х0=1;
в)	f (х) = “\/44-х, х0 = 5;
г)	^х)=з7Т2’ *o=-l
590.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у — f (х) в точке пересечения его с осью ор-
динат:
a) г/ = х2— 4x4-1;	б) у = Зх24-2х4-5;
в) z/ = 44-V’?4-ctg (2лх4-у).
591.	Под каким углом график функции h пересекает
ось абсцисс:
а) /г(х) = х2— 5x4-6; б) Л(х)=-^|-?
424
592.	Напишите уравнение общей касательной к пара-
болам у = х2-\-2х, у — х2— 4х.
593.	При каком значении а касательная к графику
функции /(х) = а— х2 отсекает в первой четверти коорди-
натного угла равнобедренный треугольник с площа-
9 э
дью 32?
594.	Докажите, что касательные к графику функции
1
У = — отсекают от координатного угла треугольник по-
стоянной площади.
595.	Найдите уравнение параболы у = х2-\-Ьх-[-с, ка-
сающейся прямой у = х в точке М (1; 1).
596.	Найдите площадь треугольника, образованного
биссектрисами координатных углов и касательной
к кривой у = х2— 5 в точке М (3; 4).
78. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Известно, что функция y = f(x) непрерывна в точке
х0, если lim /(х) = /(х0). Это условие равносильно то-
му, что lim(f(x)— f (хо)) = О. Разность f (х) — / (х0) есть
по определению приращение функции в точке х0, т. е.
/(х)-/(х0) = Д/(х0). Поэтому можно дать еще одно
определение непрерывной функции в точке, которое ча-
сто используется в анализе.
Определение. Функция y = f(x) называется не-
прерывной в точке х0, если
lim Д/(х0) = lim (/ (х) — f (хо)) = О.
X—ХО	Х-ИХ0
Так как при х->х0 приращение аргумента Дх =
— х — х0—>-0, то условие х->х0 можно заменить условием
Дх->0, и тогда данное определение непрерывности функ-
ции приобретает следующий смысл: функция / непре-
рывна в точке х0, если lim Д/ (хо) = О, т. е. бесконечно
Ах->0
малому приращению аргумента (Дх->0) соответствует
бесконечно малое приращение функции в данной точке
(А/(х0) -> 0). Как видим, для непрерывности функции
в точке очень важно поведение приращения функции
в этой точке. .
Сейчас мы выведем важную формулу, связывающую
425
приращение дифференцируемой функции y — f(x) с про-
изводной этой функции.
Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируе-
ма в точке х0, то ее приращение в этой точке выража-
ется формулой
А/(х0) = (/'(х0)+а)Лх,	(*)
где а О, когда Ах -> 0.
Доказательство. По определению производной
имеем
Г//	\	<•	д/(*о)
/ Uo) = lim ——
Лх->0 Лх
Но функция, имеющая предел, является суммой зна-
чения предела и бесконечно малой функции. Поэтому
=f (хц)-|-а, где а->0 при Ах->-0.
Тогда
А/(х0) = (/'(х0) + а) Ах. •
Рассмотрим, например, функцию у — х3. Ее производ-
ная г/' = 3х . Приращение Ау для этой функции в любой
точке х равно:
Af (х) = (х Ах)3 — х3 = Зх3Дх + ЗхАх2 + Ах3 =
= (Зх2 + ЗхАх + Ах2) Ах.
Здесь а = ЗхАх-|-Ах2. Очевидно, что а->-0 при
Ах 0.
Из доказанной теоремы вытекает важное следствие.
Следствие. Если функция y = f (х) дифференциру-
ема в точке Хц, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По условию функция f диффе-
ренцируема в точке х0. Значит, на основании доказанной
теоремы имеет место формула (*). Но тогда по правилам
предельного перехода имеем:
lim Af (х0)= lim (/' (х0) + а) Ах —
Дх~* 0	Ах—»- 0
= /'(х0) lim Ах-|- lima- lim Ах —0.
Дх-*-0	Ax->0	Дх-*0
Следовательно, функция в этой точке непрерывна. •
Обратное утверждение может не выполняться.
Например, функция /(х)=|х — 2| непрерывна на
промежутке (— оо; + оо), но в точке х = 2 производной
не имеет. Докажем это утверждение.
426
Находим:
Д/(х) = /(х + Ах) —/(х) = |x-f-Ax—2| — |х — 2|;
А/(2) = |2 + Ах —2| -0= | Ах|;
Д/ (х) _ | Дх|
Дх Дх
Если Ах>0, то -Ц—=—=1; если Ах<0, то
Дх Дх
= _А1—— 1. Следовательно,
Дх
..	д/(х)	(	1 при Ах>0,
| i ----— г
дх->о Дх (— 1 при Ах<0,
т. е. при Ах->-0 функция не имеет предела. Значит,
в точке х = 2 функция /(х)=|х— 2| не имеет произ-
водной.
Данный пример показывает, что существуют функ-
ции, непрерывные в некоторых точках, но не диффе-
ренцируемые в них.
Упражнения
597. На основании результатов упражнения 585 и тео-
ремы о непрерывности дифференцируемой функции
укажите, на каких промежутках функция z/ = /(x) непре-
рывна:
a)	f (x) = ax2-\-bx-{-c, x^R;
б)	/ (x)=x+V^> х е [0; + °°);
в)	/ (х) = ^4-^-х, хе[ — 4; +оо);
598. Докажите, что функция y = f{x) непрерывна
в точке х0, но не является дифференцируемой в этой
точке. Изобразите график функции на координатной
плоскости:
х0=-1;
г) /(*) =
д/Зх" при х^З,
6 — х при х>3.
427
§ 15. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
79. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Решение многих задач сводится к отысканию про-
изводных, или, как принято говорить, к дифференцирова-
нию функций. Чем большее число функций мы будем
уметь дифференцировать, тем больше задач сможем
решить. При дифференцировании функций нет необходи-
мости каждый раз обращаться к определению производ-
ной. Вместо этого применяется ряд правил, с помощью
которых осуществляется дифференцирование функций.
Сформулируем их в виде теорем.
Теорема 1. Производная постоянной функции
у = с равна нулю, т. е. (с)' = 0.
Теорема 2 (о производной суммы функций). Если
функции fug дифференцируемы в точке х, то в этой
точке дифференцируема и функция y = f(x) + g(x),
причем
(f(x)+g(x)Y = f'(x)+g'(x).
Правило: Производная суммы двух дифференци-
руемых функций равна сумме производных этих
функций.
Доказательство. Находим значения функции
в точках х и х4~Ах соответственно:
У (х) = / (х) + g (х), у (х 4- Ах) = f (х 4- Ах) 4- g (х 4- Ах).
Запишем приращение данной функции y = f(x) +
4-g(x):
A.V=(Z (х4-Ах)4-£(х4-Ах))=(Дх)4-£(х))=
= (/(х4-Ах) —/(x)4-(g(x4-Ax) —g(x))) =
= A/(x)4-Ag(x).
Составим разностное отношение:
by  А/(х)Ч Ag (х)  А/ (х) Ag(x)
Ах	Ах	Дх Ах
При Ах-+0в силу дифференцированности функций
fug предел разностного отношения существует и равен
/'(x)4-g'(х). Следовательно, данная функция дифферен-
цируема и
/ = //(х)4-^'(х). •
428
Правило о производной суммы имеет место для любо-
го конечного числа дифференцируемых функций. В част-
ности,
(/1 (х) + /г (х) + ••• + /т (Х))/==/1 (Х) + 7г (х) + ••• + /т (х))-
Например:
а)	(5х+3 + 1)' = (5х + 3)' + (1)' = 5-;Ь
б)	(х3 + х2 + Юх)' = (х3)' + (х2)' + (10х)' = 3х2 + 2х+ 10.
Теорема 3 (о производной произведения функ-
ций). Если функции fug дифференцируемы в точке х,
то в этой точке дифференцируема и функция
y=f{x) g (х), причем
U (*) g (*) У = Г (*) g (*) +/ (*) g' (х).
Доказательство. Значениями функции в точке
х и х-фДх будут
у (х) = / (х) g (х), у (х+Дх) = / (х + Ах) g (х4- Дх).
По определению для приращения функции имеем
\у (х) = у (х + Дх) — у (х) = f (х + Дх) g (х + Дх) —
— f(x)g(x).
Проведем для этой разности тождественные преобра-
зования:
&y(x) = f(x + bx)g(x + bx) — f(x)g(x + &x) +
+f (х) g(x + &x) — f (х) g(x)=(j (x-j-Дх) —/ (х))Х
Xg (х-Ь Дх) + / (х) (g (х+Дх) — g (х)).
Отсюда, учитывая определение приращения функции
в точке, получаем
by (х) = Ь[ (х) g (х+Дх)+/ (х) Д§ (х).
Составим разностное отношение
= ALW g (Х + Дх) f (х) ^1.
\х Дх ь v ' 1 '	' Дх
Перейдем в этом равенстве к пределу при Дх->-0.
Так как / и g — дифференцируемые функции, то
..	Д/(х)	,. . ,	.. Д§ (х)	.
hm ——=/'(х), hm —— = g'(x),
дх_0	Дх-0
429
а поскольку из дифференцируемости функции g следует
ее непрерывность, то lim g (хф- Ax) = g (х), и в результа-
Лх->0
Аг/
те получаем, что предел разностного отношения суще-
ствует и равен Г (х) g(x)-\-j (х) g'(х).
Поэтому
У' = У (х) g(x)+j (х) g' (х). •
Следствие 1. Если функция у = f (х) дифференци-
руема в точке х и с — некоторая постоянная, то функция
y = cf(x) также дифференцируема в этой точке, причем
(cf(x)Y = cf'(x).
Кратко это правило формулируется так: постоянный
множитель можно выносить за знак производной.
Доказательство.
(с/ (х))' = (с)7 (X) + Cf'(x) = 0 • / (х) + cf'(x) = cf'(x). •-
Следствие 2. Производная произведения конечно-
го числа функций fx, /2, ..., /т, дифференцируемых в точ-
ке х, существует, причем:
(Л (x)-f2(x)-...-fm(x)Y = rdx)-f2(x)-....fm(x) +
471 \x)-f'2\x)-... 7m(x)+--- +/1(х)72(х)-... -f'AxY
Доказательство проводится методом математической
индукции. Можете провести его самостоятельно.
Например:
а)	(ах2 + Ьх-\- су = (ах2у ~Y(bx-Y cY = а (х2)' + b —
= а2х + b = 2ах -ф 6;
б)	((2х+1)(5-1)У = (2х+1)'(5-1) + (2х+1)Х
х(5_1)' = 2(5-1) + (2х+1)(5--(1)')=1°-Я +
+ (2х+ 1)±= 10 + ±.
хг	хг
Теорема 4. Если функция f дифференцируема
в точке х и f (х) #=0, то в этой точке дифференцируема
. 1
и функция у=------, причем:
f (х)
ziyz /,(х)
430
Доказательство. Функция f дифференцируема
в’ точке х. Следовательно, в этой точке она и непрерывна,
причем по условию /(х)#=0. Тогда по свойству непре-
рывных функций об устойчивости знака значения /(х)
отличны от нуля и в некоторой окрестности точки х. По-
этому в этой окрестности функция у
1
-д-у определена,
в частности, в точке х-\-\х, в которой у (х-[- \х) =
--------. Тогда
/(х + Дх).
/ (х + Дх)
1 _ 7 (х) — /(х + Дх)
/ (х)	7 (х)/(х + Дх)
Д/(х)
7 (х)/(х+Дх)'
Составим разностное отношение А* и запишем его
в виде
Л/ (х)
Ду (х) _	Дх________1
Дх ~	7(х) "/(х + Дх)
Так как lim — f'(x) в силу дифференцируемости
Дх->0 Дх
/ в точке х, Нт/(х + Дх) = /(х)#=0 в силу непрерывно-
Дх^О
Ду (х)
сти, то существует предел разностного отношения  д~—,
который по определению равен у'(х). Таким образом,
lim
,	,. Ду(х)	д%-* о Дх	/'(х)
у = Jim —-—  -------------------------------т. •
Дх-*о дх	/ (х) lim / (х + Дх) (/(х))
Дх->-0
Например:
/ 1 \'_ (х2 + 4)'_ 2х
\х2 + 4/ ~ (х2 + 4)2 ”	(х2 + 4)2’
Следствие 1. Если функция / удовлетворяет усло-
виям теоремы 4, а с — некоторая постоянная, то:
/ с V — — с^х'1
V(x)/	(7W)2‘
Доказательство.
/ с Y____/ 1 Y_____ ( 1 Y____—	•
vTw/	_ (/(x))2’
431
Следствие 2 (правило дифференцирования част-
ного функций). Если функции fug дифференцируемы
в точке х и /(х)У=0, то в этой точке дифференцируема
S (х)
и функция у =----, причем
g(x)\' _g'(x)f(x)—g(x) f'(x)
f(x)J	U(x)f
Доказательство. Значения функции f в некото-
рой окрестности точки к отличны от нуля (см. доказа-
тельство теоремы 4). Поэтому в этой окрестности опреде-
лена и данная функция » —g Тогда на основании
/(*)
теорем 3 и 4 имеем:
UW/ \	f(*)/	f(x)
I / ч /	f(x) \ __g’(x) gjx)f'(x) _ g'(x)f{x) — g(x) f'(x)
4	(/W)V f(x)	U(x)f	(/(x))2
Правая часть равенства определена. Следовательно,
производная частного существует. 0
Например:
/ х3 V _ (х3)'(х2+1)-х3(х2+1)' _
(№4-1)2
_ Зх2 (х2-)-1)—х3 2х _ Зх44 Зх2 —2х* _х2(х2-|-3)
~	(X2+1)2	“	(х2-<-1)2	~ (X2-!-!)2 •
Упражнения
599. Найдите: /'(2), g'( 1), <р'(— 2), если:
a) f (х) = 3х2 — 5х-|-6;
б) g (х) = (х24-2х-|-5) (х24~2х-|-7);
в) ф(х)=77Г; г) /(Х)^7ТТ-
600.	Найдите производную функции:
a)	i/=10-2x+y;
б)	^=|-5х + 2;
в)	i/ = (4x-[-5) (2х24-5х4~6);
г)	S =	1-+1)(4 + 5/ + 2);
432
ч 2x—l	,	3
. д) w = ——;	ж) и = —.---;
' *	х+5	'	/2 + /+1
\ х 6 ч 4
е>	3> f = 3W
601.	Составьте уравнения касательной и нормали
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0, если:
а) /(х)=х-|, х0=2; б) /=	х0= — 1;
в) /(х) = (х—1)(х —2)(х—-3)(х —4), х0=4;
г)/(х)=(х+1)(2х+1)(Зх+1), х0=-|.
602.	Найдите величину и направление скорости дви-
жения материальной точки в начальный момент времени
/о = О, если она движется по закону:
97	4
а) х(/) = /+-^з (м); б) х(/)=-2Z-——- (м).
I “f“ О	XI "р 1
В какой момент времени мгновенная скорость будет
равной нулю?
603.	Найдите на графике функции й(х) = Зх3 — 4х2 +
-f-1 точку, касательная к которой образует с осью Ох
угол
604.	В каких точках касательная к графику функции
у = ±х3— 2,5х2 + 7х —4 образует с осью Ох угол 45°?
и
605.	Покажите, что ни одна касательная к графику
функции у = х3 + + х + 1 не параллельна оси Ох.
606.	В точке А (5; 0) проведена касательная к графи-
ку функции У — — д-- Найдите длину отрезка каса-
тельной, заключенного между осями координат,
607.	К графику функции у = 2х4 — х3 — у x-f-1 в точке
пересечения его с осью ординат проведена касательная.
Найдите расстояние от начала координат до этой каса-
тельной.
80. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
Теорема. Степенная функция f(x)—x? с рацио-
нальным показателем р дифференцируема в каждой
точке х (х=£0) области определения D (/), причем
(хр)' — рхр ' ’.
433
Доказательство. Пусть	х-}- ДхеД (/).
Приращение степенной функции определяется по
формуле
д/ (х) = (х + Дх/-хр = хр	- 1 у
т. е.
Д/(х) = х"((1+^у-1).
о	„	„	/ а\Р ар
Здесь мы использовали свойство степеней ( —) =—,
\°/ Ь”
Составим разностное отношение:
При Дх->0 предел отношения в правой части ра-
венства существует. Вычислим его. Для этого введем
Л у
новую переменную / = —(при Дх->-0 и /->0), поэтому:
Л+^У-1
lim -----------= lim -——4---=
Дх->0 Дх	/->-0 xt
1 ..	(1 + /Г-1 Р
=— lim 2——7----= —.
х г_0	< х
Таким образом, предел разностного отношения для
степенной функции существует и равен
хрР. = рхр-\
х г
т. е. степенная функция в любой точке х^=0 из области
определения имеет производную, причем
(х₽)' = рх₽-'. •
Полученный результат можно сформулировать так:
производная степенной функции равна произведению
показателя степени на степень аргумента с показателем
на единицу меньше.
Например:
а)	(д/7)' = (х2) = |х2 =|х 2=-Д=>
z	2 ух
т. е. (“\/х)' = —!у=- (полезно запомнить!);
434
6)	\x’\[x?)' — yx3 ) =4*3 =4x3 = -^д/х2', x<=R\
<5	и	О
в)	^4x3 + V^ + -^y = 4(x3)' + (Vx)' + (x-2)' = 4-3x2 +
+—Ь + (-2)х-3=12х2 + -±=-4.
2уГ	2 \x x
Примечание. Можно показать, пользуясь определением про-
изводной функции в точке, что производная степенной функции при
в точке х = 0 равна 0 (докажите!).
При остальных значениях р, если 0 принадлежит области определе-
ния функции, производной в этой точке не существует. В частности,
предел разностного отношения в нуле оказывается бесконечным. В та-
ком случае говорят, что функция имеет в точке бесконечную производ-
ную. Этот результат получается как непосредственно из определения
производной функции в точке хо = О, так и из полученной формулы
для производной степенной функции. Можем условно сказать, что эта
формула имеет место в определенном смысле и для точки х=0.
Например:
a)	f(x)=xi0, f'(x)—l0x9, /'(0)=0;
б)	g(x) = "\/x", g'(x) — —!-=•, g'(0) не существует, но можно найти
2У]х
предел разностного отношения в точке 0 справа (Дх->4-0):
..	Др(0)	У1кх	1
lim —Р ---—— hm —-------— lim —----= -f- оо
Лх-*4- 0 Дх Дх->4- О ^Х	Дх—.0 уДх
Тот же результат получаем и из формулы g'(x) = —!-=:
2 \х
lim g'(x) = lim —!—-=-|-оо.
x—f-0	х-+0 2ух
В таких случаях говорят, что функция имеет бесконечную правую
производную в точке.
Упражнения
608.	Найдите у'(х0), если:
а) у = 32х4 — д/х -]—Ц-, х0 — 4
/ »	Vi 64л,2- о 4
х V?+l	1
х ’	8’
б) У
в) У
_ х6 + х‘1 + х2+ 1
~ х2
х0= — 1;
435
609.	Найдите производную функции:
a) */ = (W+0(V^ + 2)(V^ + 3);	=
ух
3	4
б)г/ = 2Д/7+т!--г) у=-^~.
др 2	1+W
610.	Для функции
{х3 при х<2,
ах-}-Ь при х>2
подберите коэффициенты а и b так, чтобы функция g
была непрерывной и дифференцируемой в точке х0 = 2.
611.	Проверьте равенство /'(1)4- /'(0) =—4/(0), если
/ (х) = х5 + Зх2 — 2х — 3.
612. Решите неравенство /'(х)>g'(x), если:
а) /(х) = х34-х —	б) /(х) = 2х3 — х2+л/3-,
g(x) = 3x2 + x+A/2;	g(x) = x34-|x2--V3.
2
613. Решите неравенство f'(x)^g'(x), если /(х)=—,
g(x) = x —х3.
614. Найдите точки касания графика функции у =
=/(х) и данной прямой:
а)	/ (х) = 3х24-2х —5, у = 2х— 5;
б)	/(х) = х3— 5х + 8, £/ = 7x4-24;
в)	/(х) = х5 —2х34-2, у = 2 — х;
г)	/(х) = х4— 4х34-5x4- 11, у = 5х — 16.
615. Напишите уравнение касательной к графику
функции y = f(x), параллельной оси Ох:
а)	/(х) = х2 — 6;	в) /(х) = х4-|-2х — 3;
б)	/(х) = х34-Зх24-Зх4-4;	г) /(х) = х64-6х — 2.
81. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Функции у = sin х, у = cos х диффе-
ренцируемы в любой точке x^R, причем:
(sin x)' = cos х, (cos х)'— — sin х.
436
' Доказательство. Рассмотрим функцию у = sin х,
x^R. Выберем любые точки х и хД-Дх. Значения функ-
ции в этих точках z/(x) = sinx, у (х-{- Ax) = sin (x-j- Дх).
Для приращения функций имеем \у (x) = sin (х + Дх)—
— sin х. Применяя формулу для разности синусов, получим
Д«/(х) = 2 sin —cos (* + -2-
Составим разностное отношение функции в точке
х для приращения Дх и запишем его в виде
Ду (*)
Дх
Дх
2	/ . Дх\
77-cos(x + -r).
2
Перейдем к пределу при Дх->-0. Существование пре-
дела доказывается его вычислением. По правилам пре-
дельного перехода
. Лх
.. txy (х) t. 2 ..	/ . Дх\
lim —-—= lim —-— hm cos(x4-—) =
Лх—О	Дх —О	дх-о \	2 /
2
= 1 - COS X = COS X,
так как iim —-—=1 (первый замечательный предел),
дх—о ДД
2
a lim cos fx-]--^-') = cos х, поскольку lim fx + -^-') = x
Лх —О	V 2 /	Дх—о \	2 /
и функция косинус непрерывна в любой точке.
Итак, предел разностного отношения существует, и по
определению производной имеем
(sin x)' = cos х. •
Для функции y — cosx доказательство теоремы мож-
но провести тем же способом, используя формулу разно-
сти косинусов. (Сделайте это самостоятельно.)
Однако эту часть теоремы можно доказать и на
основе геометрических представлений о производной.
В самом деле, график функции y = cosx, т. е. у =
= sin (*+-0, строится путем параллельного переноса гра-
фика функции у = sin х на у влево (рис. 123). При таком
преобразовании наклон (угловой коэффициент) каса-
437
у I Рис. 123
тельной в соответствующих точках и М2 не меняется.
Поэтому производная функции z/ = cosx в точке х равна
производной функции z/ = sinx в точке Но
(sin x)' = cos х. Значит,
(cos x)' = cos +	—sin х. •
Пример. Найдем производную функции:
а) /(0=	б) g(x) = x3sinx.
1 + sin t
Решение.
а)	По правилу дифференцирования частного на-
ходим:
___(cos t)' (1 +sin /) —cos t (1 -|-sin t)'
I V/
(1 +sin I)2
— sin t (1 -f- sin t) — cos t cos t	— sin / — sin2 t — cos2 i
(1 + sin /)2	(1 + sin I)2
__ sin 1+1 _____	1
(1 -f- sin I)2	1 +sin t
б)	По правилу дифференцирования произведения на-
ходим:
g'(x) = (x3)'sin х + х3 (sin х)/ = 3х2 sin хЦ-х3 cos x —
= x2 (3 sin x + x cos x).
Теорема 2. Функции у —tgx, y = dgx дифферен-
цируемы в каждой точке своей области определения,
причем:
438
(tg*)' = —V’ (ctgx)' =
cos' x
1
sin2 x
Доказательство. В каждой точке области опре-
деления функции y = tgx по теореме о производной
частного имеем:
(tg x)' = (
sin xV (sin x)'cos x—sinx(cosx)'
cos x /	cos2 x
cos x cos x — sin x (— sin x) I
--------------------=——. •
COS X	cos X
Аналогично доказывается, что (ctgx)' =-------—. (До-
sin' X
кажите самостоятельно.)
Упражнения
616. Найдите производную функции:
а) у = 2 cos х + 3 sin х — 5; д) и = 2 tg х + 2 ctg х — 3;
—	{.Р" X
х cos х;	е) у=----------;
l+ctgx
в) f (x) = sin х (1 +cos х); ж) у = х sin x-|-cos х;
г) g(t)=—-------3)s = cos-/.
1 + cos t	z
617.	Найдите все значения х, при которых выполня-
ется равенство <р'(х) + <р (х) = 0, если <p(x) = cosx.
618.	Докажите тождество
2Л(х + |)/'(х-^) = Л°)-/(2х + ^.
где f (х) = cos х.
619.	Найдите все значения параметра а, при которых
производная функции y = j(x) в некоторых точках равна
нулю, если:
a)	f (х) = (2а — 3)х + 2а cos х;
б)	/(х) — (4 — а)х + (3а — 2)sinx.
620.	Найдите уравнения касательной и нормали
к графику функции y = f{x) в точке с абсциссой х0=-у,
если:
a)/(x) = tgx; б) f(x) = ctgx.
439
621.	Найдите синус угла наклона касательной к гра-
фику функции y = cos(x — у) в точке с абсциссой х = 0.
622.	Найдите точки графика функции g, в которых
касательная параллельна оси Ох:
a)	g (х) = х3 — Зх24-Зх;	в) g (х) = 2 cos х-{-х;
б)	g (х) = 3х4 — 6х2 + 2;	г) g (х) = л/2х — 2 sin х.
623. Под каким углом пересекаются графики функ-
ций z/ = sinx и z/ = cosx?
82. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Дифференцируемость и правило нахождения произ-
водной сложной функции устанавливается следующей
теоремой.
Теорема. Если функция g имеет производную
в точке х0, функция f имеет производную в точке и0 =
= g (х0), то сложная функция y = f (g (х)) имеет про-
изводную в точке х0, причем
y'(x0) = f'(ua) g'(x0)=f'(g(x0)) g'(x0).
(1)
Например, найдем у'(4), если у = (\[х — 1)2, пользуясь
известными уже правилами и по формуле (1).
1-й способ. Преобразуем формулу для функции:
г/ = ("\/Г)2— 2Д/х"-{-1. Отсюда у = х — 2Д/х"+1- Тогда
/ = (x-2\^+1)'-1-2-2==1-J=,
В результате получаем г/'(4)= 1----^= —
2-й способ. Данная функция сложная. Ее составляют
функции y = f(ti), u = g(x), где f(u) — u2, g (х) = у[х — 1.
Тогда по формуле (1) имеем:
/(4) = /'(«0) g'(x0), где х0 = 4, u0 = g (4)=д/4 — 1 = 1.
Учитывая, что /'(u) = 2u, g'(x) = —^=, находим:
Решение по формуле (1) оказалось более громоздким.
Казалось бы, следует отдать преимущество первому
440
способу. Самостоятельно оцените, какой способ будет
предпочтительнее, если решить эту задачу для функ-
ции у = (\[х — 1)1996.
Доказательство* теоремы. Функцию z/ = /(g(x))
представим в виде
z/ = /(u), u = g(x),
где и — промежуточный аргумент. В точке х0 функция
g дифференцируема, поэтому при переходе от точки х0
к точке х0 + Дх функция g получает приращение
Au = Ag- (x0)=(g'Uo)+a)
где lim а = 0. При этом функция y = f(u) в точке и0 =
Дх->0
— g(xo) получит приращение:
Дг/ = Д/(Цо) = (/'(«о) + Р)
так как функция / по условию дифференцируема в точке
и0, причем lim (3 = 0. Составим разностное отношение для
Ди->0
сложной функции в точке х0:
^У(ха) (.и^	Ьи
Перейдем к пределу в этом равенстве при Дх->0, при
этом в силу непрерывности функции u = g(x) в точке х0
имеем Д«-»-0.
Таким образом, получаем:
Д(/ (х0)	/	ди\
= lim (Z'Uo + P) I'm 77 = /'(«») ч'(хп) = f'(g (x0)) g'(xu). •
Дц->0	Дл->0
Возьмем теперь любую точку х из области определе-
ния сложной функции y = f(g(x)), но в которой условия
теоремы выполнены. Тогда
y'(x) = f'(g(x))g'(x).	(2)
Обратите внимание: символ f'(g(x)) обозначает не
производную функции y = f(g(x)), а производную только
функции f в точке g(x). Если ввести промежуточный
аргумент и, т. е. g(x) = u, то f'(g (х)) = /'(«) называется
производной сложной функции по промежуточному аргу-
менту, которая коротко обозначается еще и так: у'и
441
(читается: «у' по и»). Учитывая, что g'(x) — u', то
для производной сложной функции можно записать
формулу
г/' = £/'ц', где u — g(x).
Эта формула выражает следующее правило:
производная сложной функции равна произведению про-
изводной функции по промежуточному аргументу на
производную промежуточного аргумента.
Данное правило носит название цепного правила.
Оно применимо и в случае нескольких промежуточных
аргументов. Например, если y = f (и), u = u(v), v — v(x),
то
У'(х) = У'Мг
Пример. Найдем производную функции:
a)	i/=(x2 + x+l)10;	в) f (/) = sin3((o/ + q>).
КА Л /*3+1
б)	У =
Решение.
а)	Функция y — (x2 + x-j- I)10 сложная. Представим ее
в виде у = и‘°, u = x2-j-x-j- 1.
Тогда по цепному правилу
у' = (м10)/м/= 10u9 (х2 + хД- 1)' —
= 10 (х2 + х + I)9 (2х+ 1).
Запишем коротко:
((х2 + х+1)10У=10(х2 + х+1)9.(х2 + х+1у =
= 10(х2 + х+1)9(2х-Н).
/—	х3-!- 1
б)	Представим функцию в виде у=\и, и=—-—.
Тогда по цепному правилу
2 д/х^х’+О 2|х| А/х'+х ’
442
Запишем коротко:
в) Решим пример коротко:
/,(/) = (sin3((o/4-<p))/ = 3 sin2(to/ + <p)(sin (cat -f- <р))' =
= 3 sin2 (со/-|- <p) cos (co/-f-<p) (ю/-|-ф)' =
= 3 sin2 (at 4- <p) cos (co/ + ф) w =
= 3co sin2((o/ + <p)cos(<o/ + (p).
Упражнения
624. Найдите производную функции:
a)	f/ = (x34-5)10;
б)	// = (х2+Зх-5)4;
в)	y =
г)
д) $=у 1 4-/2;
е) Л=Л/(/4 + 4)2;
ж) t/=(V^+^z);
ч 4 з
3 S (VF+2)5’
и)	х — sin2 (3/4-2);
4 ---------
к)	У= V1 4-cos2 5х;
л)	Z/ = tg3(x2— 1);
м) r = ctg (ф4~'\/1+ф2)-
625. Найдите производную функции:
а)	(/ = (2x4- I)3cos
б)	y='\[xl+ 1 sin (2—Зх);
в)	У=У/х tg2Vx;
г) У =
sin Зх
Уи-Зх2 ’
ж)	У — х VI 4-sin2x;
\ х
з)	У=,   2-
у 1 + cos2 X
и)	М=Д//4-’\^' Si4
443
626.	Точка движется по параболе у —5— х2 так, что
ее абсцисса изменяется с течением времени t по закону
•	Т Т V
x = sin-g-. Найдите зависимость от времени скорости
изменения ординаты точки.
627.	Составьте уравнение касательной к графику
,	(х . 1 \3
функции # = (—4-—1, параллельной прямой х—
— 2г/4*2 = 0.
628.	В каких точках графика функции z/ = sin2x нор-
маль будет перпендикулярна прямой х — \^2у = 2?
629.	Является ли прямая у = 2х—1 касательной
к графику функции у=~\/4х — 3 ?
630.	При каких значениях а касательная к графику
функции у = (ах— I)3 в точке (1; (а—I)3) параллельна
прямой:
а)6х —z/=l; б) у — Ь(а— 1)х4-5?
631.	Найдите уравнение прямой, проходящей через
точку Р (0; 2), касающейся графика функции у —
= 8(Д^+Т-1) и пересекающей в двух различных точ-
ках параболу t/ = x24-6x4-3.
632.	Найдите все значения х, при которых производ-
ная функции / (х) = (2х—1)д/х —а равна нулю.
633.	Найдите все значения а, при которых касатель-
ная к графику функции
/(х) = (а2 —3a-|-2)(cos2-^—sin2-0 + (a— l)x4-sin 1
в любой точке не параллельна оси Ох.
634*. Найдите все значения х, при которых производ-
ная функции f (х) = 2 sin a cos х+4 cos Зх4—.	рав-
3	у4а —а2
на нулю.
83. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Решим задачу. Зная производную функции у =
= f (х) в точке х0, найти производную обратной функции
x = g(y) в точке y0=f(x0).
Теорема. Если обратимая функция y = f (х) имеет
производную в точке х0, причем f'(xe)^=Q, и возрастает
(убывает) в некоторой окрестности этой точки, тогда
444
обратная функция x — g (у)
имеет производную в точке
yo = f(xa), причем
т. е. производная обратной
функции равна обратной вели-
чине производной данной фун-
кции.
Эта теорема допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. На рисунке 124 показан график функ-
ций y = f(x) и x = g(y) (для функции f аргумент х, для
функции g аргумент у). Поскольку производная функции
в точке есть тангенс угла наклона касательной, то из
рисунка tg(p = /'(x0) и tg Q = g'(y0). Очевидно также, что
0 = f-Ф.
Тогда
tg 0 = tg (-J- ф) = ctg ф =р-.
Отсюда и получаем, что g'(y0)=-77,—г.
/ (хо)
Доказательство*. Так как функция / диффе-
ренцируема в точке х0, значит, она непрерывна в этой
точке, а поскольку функция / и строго монотонная, то
обратная функция x — g (у) существует, непрерывна
и строго монотонная в некоторой окрестности точки у0 —
= /(х0). Из непрерывности fug следует, что если Ах =
= х— х0, /Ху = у — у0, то условия Ах->0 и Аг/—>-0 равно-
сильны.
Составим разностное отношение для обратной функ-
ции x = g(y) в точке у0 для приращения Аг/ и запишем
его в виде
Ag (Уо) _ Ах (у0) __	1
Ау ~ Ду ~ Ду (х0) ’
Ах 5^ О, Ai/#=0.
Дх
По условию функция y = f(x) дифференцируема
в точке х0 и /'(xo)^O. Следовательно, предел правой
1 ГТ
части существует и равен -т-—Но тогда, учитывая
/ (х0)
равносильность условий Ах->0 и Az/->0, получаем
,. Ag (Уо)	,. Ag(go) 1
lim —-—=Jim —-—=тг—.-
Aj/^O АУ	Дх-т-О Ay	/(x0)
445
Но по определению, если предел разностного отноше-
ния функции в точке существует, то он равен производ-
ной. Поэтому
Пример. Функция f (х) = 2х3Д-х возрастающая.
Пусть x = g{y) — функция, обратная /. Найдем g'(0) и
g'(3).
Решение. Нам надо вычислить значения производ-
ной обратной функции в точках гл = О, у2 = 3. Установим,
при каких х функция f принимает значения 0 и 3. Для
этого решим уравнения 2х3 + х = 0 и 2х3-|-х = 3. Нетруд-
но увидеть, что корень первого уравнения Xj = O, второго
уравнения х2=1. Тогда согласно доказанной теореме
и учитывая, что f'(x) = 6x1 2-{-1, имеем:
ё (0)==7(0) = 2-0+1 = 1; е (3)=7й) = 3-12+1 = 4’
Примечание. Для любой точки х из области определения
функции у —fix), в которой выполняется условие теоремы, полученную
формулу записывают в виде
Упражнения
635. Для функции y = f (х) найдите производную об-
ратной функции x = gr(y) в точке г/0, если:
a)	f (х) = х3 + 2х, у0=— 3;
б)	/ (х) = (2х —5)5 —2, z/o = 3O;
в)	/(х) = х2+^-, xe(0; -j-oo), t/0 = 3;
г)	/(х) = х3 —х>0, г/0 = 2Д/3.
84. ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
1. Пусть z/ = arcsinx, —l^Cx^l.
Эта функция является обратной функции x = sin#,
у	На этом промежутке функция х= sin у диф-
446
ференцируемая, возрастающая и при у^=±-% ее про-
изводная (sin z/)' = cos z/#=0. Поэтому для t/e^ —у)
и соответственно хе(-1; 1) по теореме о производной
обратной функции имеем
, . v 1 1
(arcsin х) =-----—-----.
(sin у)’ cos у
Но для z/e(—у; -0 cos у = Л]1 — sin2 у = Д/1 — х2.
Следовательно,
(arcsin х)' =	хе( — 1; 1).
УГУ?
2. Пусть у = arccos х, —l^x^l.
Данная функция, обратная к функции x=cosz/, z/e
е[0; л]. По аналогии с предыдущей функцией получаем
,	V	1	1	1
(arccos х) —-----—-------=.......     =
(cosy)' — sin	yi—cos2!/
— Vi-У
Итак,
(arccos x)'=---------,—, xe(— 1; 1).
УГГ?
Заметим, что эта формула также следует из тожде-
ственного равенства
arcsin x + arccos х = у
и первого примера (проверьте).
3. Пусть z/ = arctgx, хе/?, —
Данная функция является обратной функции х =
= tg у (у^(^ — у; возрастающей, дифференцируемой
на этом интервале, причем (tg у)'= —— =£0. Поэтому по
cos у
теореме о производной обратной функции получим:
(a rctg х)'=—!— — —;— —----Ц— = 1
(tgz/Г 1 H-tg2y 1 + *2
cos2 у
Таким образом, для любого хе/?:
(arctg x)z = —bj.
447
4.	Пусть у = arcctg х, x^R, //е(0; л).
Производную этой функции можно получить анало-
гично. Здесь мы используем тождество, которое имеет
место для всех x^R, а именно arctgx-f-arcctgх=^.
Отсюда:
(arcctg xY = (j—arctg x) = — y-J-j.
Итак, для любого хе/?:
(arcctg х)'=-уу-у.
Например:
a)	(arcctg (2x4-3))'=—-—-I—(2x4-3)' =
_ 1 _ 1
—	4x4 12+10 ~_г^+бх+б’
б)	(arccos Vl-x2)'=-(Vl-^2)' =
Vi-(V^?)2
= -f*ivb(1-x2^-^b7(-2x)=
~ kiVi-*2 ’
Упражнения
636.	Найдите производную функции:
а)	у — х arcsin x-Y~\Jl—x2;
б)	г/= arccos х—Д/1 —х2;
з,------------
в)	«/=Varc^g 2х;
г)	у = arcctg (x+VT+x^);
(х\2
arcsin ;
. arccos t
е) *=—— •
637.	Найдите угол между графиками функций у —
= arcsin х и у = arccos х в точке их пересечения.
638.	Найдите уравнения касательной и нормали
к графику функции у — arctg у в точке с абсциссой
х0 = 2.
448
85*. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция у = /(х) дифференцируема в точке
х0. Тогда по теореме о связи приращения функции с ее
производной в точке имеем
А/(хо) = /'(*о) Ах + аДх,	(1)
где lim а = 0. Конечно, а зависит от Ах и х0. При доста-
Дх-»-0
точно малых значениях Дх при /'(хо)=#=О основной вклад
в значение Д/(х0) вносит слагаемое /'(х0)Дх, так
как lim —— = - — » lim а = 0. Естественно, значение
Дх—-О f'(x0) &Х I Uo) Дх-.О
аДх при малых Дх составит малый процент от числа
Д/(х0). Особенностью первого слагаемого в формуле
(1) является то, что оно пропорционально Дх или ли-
нейно зависит от Дх. Такая часть приращения функ-
ции имеет специальное название — дифференциал
функции.
Определение. Дифференциалом функции у =
=f (х) в точке х0 называется линейная часть приращения
функции относительно Дх.
Обозначается дифференциал в точке х0 dz/(x0) или
df (х0) (читается: «дэ эф от х0», символ df единый, это не
d-/). Итак, по определению
d/(х0) = //(х0) Дх	(2)
и дифференциал связан с приращением функции в точке
х0 приближенным равенством
Д/(x0)«d/(x0).	(3)
Отметим, что в формуле (1) для дифференциала Дх
может принимать любые значения, не обязательно ма-
лые. Конечно, точка х04~Дх не должна выходить из
области определения функции. Но при больших значени-
ях Дх приближенное равенство будет давать зна-
чительную ошибку и потеряет для практики свое зна-
чение.
Дифференциал функции в точке имеет простой гео-
метрический смысл. Учитывая, что f'(x0) = tg <р, по ри-
сунку 125, а, б видно, что
df (хо) = /'(*о) Ах = tg <₽М D = DK,
т. е. дифференциал функции в точке есть приращение
ординаты касательной к графику функции в соответству-
15 Алгебра, 10 кл.
449
Рис. 125
ющей точке. Это непосредственно следует и из уравнения
касательной:
У — /(*о) = Л(*о)(х — х0).
Разность у — /(х0)— приращение ординаты касатель-
ной, произведение /'(х0)(х— х0) = /'(х0) Ax = d/(x0)—
дифференциал.
Выясним механический смысл дифференциала. Пусть
тело движется прямолинейно по закону s = f (t) (s —
путь, t — время). Его мгновенная скорость в момент tQ
есть v0=f'(t0). Тогда
ds = f'(l0) &t = v0 АЛ
В этом случае дифференциал функции равен длине
пути, пройденного телом за время А/, если бы оно двига-
лось равномерно со скоростью
Формулу для дифференциала функции y — f(x) в лю-
бой точке х, где функция имеет производную, записыва-
ют так же, как и формулу (3):
dy = f'(x) \х, или d/(x) = /z(x) Ах.
Для того чтобы запись была симметрической, обозна-
чим приращение Ах независимой переменной dx и на-
зовем дифференциалом независимой переменной, т. е.
по определению принимаем dx = l±x (х—независи-
мая переменная). Тогда для дифференциала функции
имеем
dy — f'(x)dx,	(4)
т. е. дифференциал функции равен произведению про-
изводной функции на дифференциал независимой пере-
менной.
450
. Отсюда следует, что = Это означает, что
производная функции есть отношение дифференциала
функции к дифференциалу независимой переменной. Од-
нако символ обычно рассматривается как единый
(читается: «dy по dx», но не «dy на dx»). Такое обозначе-
ние производной было впервые введено Г. Лейбницем
и оправдано тем, что с его помощью легко запомнить
правила дифференцирования сложной и обратной
функций:
для сложной функции правило y' = f'(u)u' выгля-
дит так:
du du du ,	. ч
-г- = -г--— (сокращать нельзя!);
dx du dx ' г	’
для взаимно обратных функций (y = f(x) и x — g(y))
\ 1
правило У \х) = -^—^ записывается так:
dy _ 1
dx dx ’
dy
Отметим, что процесс нахождения дифференциала
функции, как и производной, называется дифференциро-
ванием функции и осуществляется по тем же правилам,
что и для производных.
1°. d(/(x) + g(x)) = d/(x) + dg(x);
2°. d (f (х) g (x)) = g(x) df (x) + f (x) dg (x);
3°. d (c[ (x))=cdf (x);
4°- d (f (g (x)))= f'(g (x)) d (g (x)), или df (u)=f'(u) du,
где u = g(x).
Пример. Найдем дифференциал функции:
а)	у=~—cos х’,	в) /(x) = sin3(3x + 5);
б)	у — х2 arcsin х;	г) g (х) = arctg д/х2— 1 •
Решение.
a)	dy = (yj~x — cos х) dx =	sin х) dx;
б)	1-й способ. dy = (x2 arcsin x)'dx = ((x2)'arcsin x-p
(x2 \
2x arcsin x-4—-] dx;
451
2-й способ, dy = d(x? arcsin х) = arcsin xd(x2)4*
-f-x2^ (arcsin x) = arcsin x2xdx4-x2 ^=L== dx =
— I 2x arcsin x4—,	j dx\
\	Vl — X2 /
в)	df (x) — d (sin3 (3x + 5)) = 3 sin2 (3x + 5) d (sin (3x-|-
4-5)) = 3 sin2 (3x-|-5) cos (3x4-5) d (3x4-5) = 3 sin2 (3x-|-
4-5) cos (3x-|-5) 3dx = 9 sin2 (3x4-5) cos (3x-)-5) dx;
r) dg (x)=d (arctg V*2-! )=—Д"4=(2 d (V*2—1 )=
=± —2= d(x2-l)=^ —-----------2xdx=
=? 2 Vx2-!	^2 Л/х2—1 X Vx2-1
Упражнения
639.	Найдите приращение и дифференциал функции
У — f (•*) в точке х0 = 2 при Ах = 0,1 и при Ах = 0,01:
а)	/(х) = х2 —Зх; в) /(х) = 5х4~3;
б)	/(х)=х34~1; г) /(х) = 2х2—х4-3.
640.	Найдите дифференциал функции:
a)	z/ = ^-x4-|-x3 —2x4-1; д) z/ = cos2 =
б)	г/='\/х2-)- 10;	е) iz = /2cos/;
в)	z/ = sin2 Зх;	ж) у = arcsin Зх;
г)	z/ = xsin2x;	з) <р(/) = (2/4-3)'°;
и) h (z/) = tg2 (V/4- 1 ).
86*. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Дифференциал функции применяется непосредствен-
но как к приближенным вычислениям, так и к оценке
погрешностей при косвенных измерениях. Приложения
дифференциала основаны на приближенном равенстве
Af(x0)«d/(x0). Так как А/(х0) = /(х04-Ах) —/(х0), то,
положив х0-рАх = х, получим приближенную формулу
f(x)«f(x0)4-rff(x0).
(1)
Например, требуется приближенно найти д/4960. Это
есть значение функции /(х) = д/х* ПРИ х = 4960. Выберем
452
, ближайшую к х точку хо = 49ОО, тогда Дх = 4960—
— 4900 = 60 и / (хо) = -\/49ОО =70. Вычислим df (хй).
Поскольку /'(х) = (^х)'==у^=, то /'(х0) = 7-Ь=7к
1	3
и df (х0) = /'(х0) Дх=-р^--60 = у. Значит, по формуле
(1) находим:
V4960 «70 + | «70,43.
Оценка погрешностей. Пусть при измерении некото-
рой величины х допускается погрешность |Дх|, которая
называется абсолютной погрешностью измерения. Она
еще не характеризует точности измерения. Поэтому вво-
дят относительную погрешность измерения 6, которая
равна модулю отношения абсолютной погрешности к
значению измеряемой величины, т. е. б = .Ее обычно
выражают в процентах.
Пусть ошибка — абсолютная погрешность — измере-
ния величины х составляет |Дх|. Величина у при этом
вычисляется по формуле y = f(x), естественно, ошибка
в измерении х повлечет за собой ошибку &у. При малых
погрешностях Дх в качестве Дг/ приближенно выбирается
dy, т. е. ky^dy. Тогда относительная погрешность опре-
делится так:
6 = 1-^ 1 = I ffA** | = |Ж |Дх|.
I У I I f (х) I I /(X) I
Пример. Площадь круга вычисляется по фор-
муле S — nr2. При измерении радиус оказался рав-
ным (5,2±0,05) см. Определим абсолютную и от-
носительную погрешности при вычислении площади
круга.
Решение. По условию задачи абсолютная погреш-
ность измерения радиуса г составила Дг = 0,05 см. Тогда
для абсолютной погрешности площади круга имеем:
|Д5| « |dS| «= |2лг-Дг| = 2л • 5,2 • 0,05 = 0,52л « 1,63.
Найдем относительную погрешность:
I AS I ~ I dS I_I 2лг • Ar I _р I Ar I
|ТГ1~1Т| —I лг2 I П7Г
Обратите внимание: относительная погрешность вы-
числения площади круга равна удвоенной относитель-
453
ной погрешности измерения радиуса. Проведем вычис-
ления:
|^.|=2|—I = 2--^.=—«002,
I s I I г I 5,2	52	’ ’
т. е. относительная погрешность составляет пример-
но 2 %.
Упражнения
641.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите
приближенное значение функции y — f(x) при заданном
значени х:
а)	f (х)=х5-|-Зх4—2х34-х2+Зх— 1, х= 1,001;
б)	f (х) = arctg ^=2,02;
в)	f (х)=Д/3^2 + 2х —4, х= 1,001.
642.	При изменении стороны квадрата она получи-
лась равной (2,5±0,1) см. Найдите абсолютную и отно-
сительную погрешности при вычислении площади квад-
рата.
643.	При определении величины ускорения свободно-
го падения тело сбрасывалось с высоты h. Время паде-
ния оценивалось по секундомеру и оказалось равным
(2,5±0,01) с. Найдите относительную погрешность вы-
числения ускорения свободного падения.
644.	Вычислите приближенно с помощью дифферен-
циала:
з ___ .__________
а) 4,052; б) д/б4,48; в) Л/35Д)Т; г) 1,983; д) 0,954;
е) д/27,06; ж) Л/Т^2; з) Д/9 + 3,982; и) Д/28 + 6,032.
§ 16. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
87. ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некото-
ром интервале (а; Ь). Продифференцировав ее по х,
получаем так называемую первую производную от функ-
ции f (х).
Производная от первой производной называется про-
изводной второго порядка, или второй производной от
454
, первоначальной функции и обозначается у", или /"(*)>
d?y .
или
y"=(y'Y=f"(x).
Если, например, у = х\ то #' = 4х3, и вторая про-
изводная функции у будет у" — (4х3)' = 12Х2.
Выясним теперь механический смысл второй про-
изводной.
Пусть тело движется по закону s = Известно, что
в данный момент мгновенная скорость тела v равна
первой производной от пути по времени:
,	As ds
& = $' = *lm	=
дг->-0 At dt
За промежуток времени Д/, истекший с момента /,
скорость изменится и получит приращение Дц.
Средним ускорением за время Д/ называется отноше-
ние приращения скорости Ди к приращению времени ДН
____Да
а^~ ~At’
Мгновенным ускорением (ускорением в данный мо-
мент) называется предел отношения приращения скоро-
сти к приращению времени при стремлении приращения
времени к нулю:
। * Аи /	/ r\t г/ d s
au, = lim — = v —(S) = s' =—
st^o Ы	de
Следовательно, ускорение прямолинейного движения
равно второй производной от пути по времени. В этом
и заключается механический смысл второй производной.
Пример. Найдем скорость и ускорение а свободно
падающего тела, если зависимость расстояния s от вре-
мени t задана формулой
s=4£/2 + D()/ + S(”
где £ = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения; s0 =
= s/=0 — значение 5 при / = 0.
Решение. v = s'= gt-\-vQ', при / = 0 v = v0,
a = v' = s" = g —9,8 м/с2.
455
Упражнения
645.	Найдите производную 2-го порядка:
а)	у=-^;	г) z/(0=-|-tg3/;
б)	z/ = (5x+l)4;	у = -^-
в)	х (t) = 3 cos ^2/+^; е) y = (l +х2) arctg х.
646.	Вычислите /"(х0), если:
а)	/(%)= arcsin р х0=1;
з.______________
б)	/ (х) = Л/4%+ 15, х0 = 3.
х__з
647.	Докажите, что функция У=х_^_4 удовлетворяет
равенству 3(у')2 = (у—1)у"-	______
648.	Докажите, что функция s=\2t — t2 удовлетво-
ряет равенству s3-s"-|- 1 =0.
649.	Материальная точка движется прямолинейно по
t3
закону %(/)= — Ц-1,5/2 + 3/ — 5 (м). Найдите ее ускоре-
ние в момент времени /0 = 2 с.
650.	Материальная точка движется прямолинейно по
закону х(/) = у /3 + /2 — 4/ + 2 (м). В какой момент време-
ни ее ускорение будет равно 8 м/с2?
651.	Тело массой 0,1 кг толкают по горизонтальной
плоскости без трения по прямой. Закон движения тела
Z3 Z2
%(/) = — + —. Найдите силу, приложенную к телу в мо-
мент времени / = 5 с.
652.	Пуля массой 30 г вылетает из ружья в гори-
зонтальном направлении и погружается в вязкую жид-
кость, где она движется прямолинейно. Закон движения
пули в жидкости
%(/)= 1 — 0,01 (100 —/)4 (м)
при 0^/^ЮО с. Найдите силу сопротивления жидкости
движению пули: а) при /=10 с; б) при / = 50 с.
456
88. ПРОИЗВОДНАЯ л-го ПОРЯДКА
Производная от второй производной называется про-
изводной третьего порядка, или третьей производной,
и обозначается у'", или f"'(x), или
Например, у'" = (х4)"' = (у")' = (12х2)' = 24х.
Определение. Производной n-го порядка от фун-
кции f(x) называется производная (первого порядка) от
производной (п— 1)-го порядка и обозначается у^, или
Производные высших порядков обозначаются также
с помощью римских цифр, например z/lv, у\ yvl, ....
Упражнения
653.	Найдите производные третьего и четвертого по-
рядков функции:
а)	/(*) = (-£•+1)4; в) g(O=sin 2/;
б)	<Р(*)=27+ц; r)s = /cos/.
654.	Найдите /(lv,(0), если:
а)	б) f(x) = xcos-£; в) /(х) = х(1 Н-х)5.
1 -г X	х,
655.	Найдите п-ю производную функции:
а) =	б) у = 2хп+1 + хп-,
в) у — cosг) z/ = sin3x.
89*. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ.
ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЕ ЛОПИТАЛЯ
Рассмотрим отношение----, где функции / и е опре-
g(x)
делены и дифференцируемы в некоторой окрестности
точки а, исключая, быть может, саму точку а. Может
оказаться, что при х-*-а обе эти функции бесконечно
малые или бесконечно большие. В этих случаях говорят,
457
f (х)
что отношение ----- в точке а имеет неопределенность
О оо	„
вида или — соответственно. При определенных усло-
виях раскрыть неопределенность, т. е. найти предел
данного отношения при х-+а, можно с помощью
производных функций fug. Это правило свя-
зывают с именем французского математика Ло-
п и т а л я.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно ма-
лых или бесконечно больших функций равен пределу
отношения их производных (конечному или бесконечно-
му), если предел существует.
Доказательство. Здесь мы ограничимся более
простым случаем и рассмотрим только неопределенность
вида Предположим, что функции f и g в точке а диф-
ференцируемы, а их производные непрерывны, причем
g'(a)=#0.
Итак, по условию принимаем lim f (x) = f (а) = 0,
Х-*оо
limg (x) = g (а) = 0. Так как f и g дифференцируемы
х->а
в точке а, то по формуле Тейлора 1-го порядка имеем:
/(х) = /(а)4-/'(а)(х —а) + о(х —а) =
— f (а) (х — а)+ о (х — а),
g(x)=g(a) + g' (а)(х — а) + о(х — а) =
= g' (а)(х — а) + о(х — а).
Тогда
lim^
х-н. g(x)
с i о(х —а)
limr(a)(x-a)+o(x-a) = limZ...a+^^~
х-а g'(a) (х — а)4-0 (х— а) х_а ,, Ч1 о(х —а)
В
Но lim—— = 0 по определению бесконечно малой
х — а % в
Л	гт	,.	/(х)	/'(а)
более высокого порядка. Поэтому имеем lim-------=-------.
x-^ag(x) g’(а)
В силу дополнительного предположения о непрерыв-
ности /' и g' имеем
,.	/'(х) р (а)
x-ug'(x) g' (а)
458
, Сравнивая полученные равенства, делаем вывод:
.. /(*) .. Г(х) _
lim-----= lim---------. •
x-»ag(x) x^ag'(x)
Доказательство правила Лопиталя при более общих
оо
условиях, а также для раскрытия неопределенности —
опускаем.
Пример. С помощью правила Лопиталя найдем:
. .. sin 2х	.. х — sin х ...	.	, хл
a) lim-----; б) lim-------; в) lim (1 — х) tg-^-.
х—* Л Sin Зх	х —О х	х-*-1	2
Решение.
а)	Функции i/ = sin2x и i/ = sin3x дифференцируемы
в любой точке и обращаются в нуль при х = л, т. е. име-
ем неопределенность вида у По правилу Лопиталя
находим:
sin 2х /0\ (sin 2х)'	,. cos2x-2
lim-----= (7Г I — lim------= lim--------=
x->nsin3x \и/ х-^л (sin Зх)' х-*-л cos Зх-З
__2 cos 2л 2
3 cos Зл	3
б)	В этом примере числитель и знаменатель обраща-
ются при х = 0 в нуль, поэтому имеем неопределен-
0 п	п
ность -q. Применим правило Лопиталя:
х — sin
im-------
->о х
lim
х->0
1 — cos X
Зх2
0\
О/
1 ..	(1 — cos х)'
= -^ lim-------;------
з х->о	(X2)'
1 г
х- пт
13 х--0
sin х
2х
1 .. sin х
=-z lim----------
6 х-*0 х
В этом примере применили правило Лопиталя
дважды.
в)	Так как lim (1—х) = 0, limtg-^=oo, то в этом
случае имеем неопределенность вида 0-оо. Эту неопре-
459
(1—х)'	..
= lim -г-----—- = lim
,	I	1
деленность с помощью формулы tg а —---------сведем
ctg а
/0\
определенности ( —I:
lim (1 — х) tg-^ = (O- oo) = lim -J—— =	=
x-iV ' & 2 к 7	х_! ctg «£ W
-1
1	/ ЛХ Y
. о лх \ 2 /
sin Т
sin2 i
____2__2_
л л’
У
не-
. 9 ЛХ
sin т
= lim-------------
х—»-1	21
2
Упражнения
656. Пользуясь правилом Лопиталя, найдите:
.. гх’ч-Зх2—1
lim--------5---т;
_ 13 4-5х + х2 — х3
хД/x” — Зх -|- 4
a)
б)
.. х3-8х + 3
lim —5-----1;
х-~3 Х2 + х —6
..	х‘°4-х —2
lim —т-t------;
x-i 5х44-2х—7
4 ___
.. у2х3 — 2
hm г-
х-*-2 X —4
д)
lim
657. Пользуясь
,. sin 5х
lim------;
х —* я tg Зх
..	14- cos лх
lim----------;
х1 tg ЛХ
,. arcsin Зх
lim--------;
х-*о arctg 2х
б)
ЗХ/(2х4 1 )4 — 4х —3
1 i m -д-	--------.
х*3 V(*+8)4 — 8х —48
правилом Лопиталя, найдите:
е)
х-0\	х.
. х—arctg х
д) lim----5,
х->0 х3
УГ+^-1
• 2
sin X
е) lim
х —о
658. Найдите:
a) lim (%2 — 3x + 2)tg-^;
в)
lim
1—2 tgx
1 4-3 ctg 2x’
б) lim (sin — *ctg лх
x-*-1 X X
„	. ЛХ
. 3-ctgv
r) lim--------
ХЧ-0 24-ctg ЛХ
460
§ 17. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
90. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непре-
рывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интерва-
ле (а; Ь) и f (a)—f (6), то найдется, по крайней мере,
одна точка с^(а; Ь) такая, что //(с) = 0.
Доказательство. Так как функция f непрерывна
на отрезке [а; Ь], то она на этом отрезке достигает наи-
меньшего и наибольшего своих значений, соответственно
m и М.
Пусть ш = М, тогда из неравенств
(х)^.М = т,
верных для всех хе[а; Ь], следует, что f (х) = т. Отсюда,
f'(x) — Q во всех точках интервала.
Пусть т^=М, тогда одно из этих значений достига-
ется хотя бы в одной точке се(а; Ь). Для определенности
предположим, что се(а; Ь) и f{c) — M. Тогда, прираще-
ние функции в этой точке будет
Д/ (с) = / (с-|-Дх) —/ (с) = / (с +Дх)— М<0,
поскольку М — наибольшее значение функции. Для раз-
ностного отношения имеем:
при Дх<0,	0 (числитель и знаменатель, если
Д/(с)^0, отрицательны);
при Дх>0,	(числитель и знаменатель, если
Д/(с)У=0, противоположных знаков).
По условию теоремы функция / — дифференцируема
в точке с, поэтому
lim
Дх-*0
А/(х)_
Дх
f' (с).
Но если Дх-j—0(Дх<0), предел неотрицательной
функции не может быть отрицательным, значит, f' (с)^0.
Аналогично при Дх->4-0 (Дх>0) получаем f' (с)^0. Эти
два неравенства одновременно выполняются только при
Г(С)=О. •
Теорема Ролля допускает простую геометрическую
интерпретацию. На рисунке 126 показан график функ-
ции, непрерывной на отрезке (кривая состоит из одного
461
Рис. 127
куска) и дифференцируемой в каждой точке интервала
(кривая без изломов). Направление касательной изменя-
ется плавно, и /(«) = /(/>). Как видно из рисунка, суще-
ствует точка Т с абсциссой с, в которой касательная
параллельна оси Ох, т. е. f' (с) = 0. Но поскольку f (а) —
= [(Ь), то касательная параллельна, можно сказать,
стягивающей хорде АВ.
Сразу возникает вопрос, будет ли последнее утверж-
дение о параллельности касательной и хорды верным,
если в теореме Ролля снять условие f (а) = f (b) (рис.
127)? Из рисунка видно, что это действительно так. Но
тогда должно выполняться условие параллельности ка-
сательной в некоторой точке	и	хорды АВ.	Из	рисунка
,	ВК	—
также видно, что лЛя = -гг=----------, а угловой ко-
АВ	АК	/(6)-/(a)’	}
эффициент касательной равен	f' (с). Поэтому	следует
ожидать, что найдется точка се(а; Ь), что будет спра-
ведливым равенство
Упражнения
659.	Проверьте выполнение условий теоремы Ролля
для функции z/ = /(x) на отрезке [а; д]. В случае выполне-
ния условий найдите точку се(а; Ь), в которой /' (с) = 0:
а)	/(х) = х3—-2Х2 — х-р4, а = 1, Ь — 2;
б)	/ (х)=|(х2 + |), а=1, Ь = 2;
в)	f(х)= \2х— 11, а —О, Ь—\;
г)	f (х)==4д/з"х3Н-9х2 — 4\/У, а= — 1, Ь=\.
462
660.	Докажите, что все корни производной от много-
члена Р (х)—(х + 1)(х— 1)(х — 2)(х — 3) действитель-
ные, и укажите промежутки, каждому из которых при-
надлежит только один корень.
661.	Задайте графически функцию y = f(x), диффе-
ренцируемую на интервале (а; Ь), удовлетворяющую
условию f (a) = f (b), но для которой нет точки се(а; Ь)
такой, что /'(с)=0.
662.	Задайте графически функцию y=f(x), непре-
рывную на отрезке [а; 6], удовлетворяющую условию
/(а)=/(6), для которой нет точки се(а; Ь), в которой
Г(с) = 0.
663.	Приведите пример функции, которая бы удов-
летворяла условиям: а) упражнения 661; б) упражне-
ния 662.
91*. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Теорема Лагранжа. Если функция y = f (х)
непрерывна на отрезке [a; 6J и дифференцируема на
интервале (а; 6), го найдется, по крайней мере, одна
точка с^(а; Ь), что справедливо равенство:
f(b)-f(a)=f'(c) (Ь — а).
Доказательство. Составим вспомогательную
функцию
g(x) = f(x)-f(a)~(х-а).
Значения этой функции являются разностями орди-
нат соответствующих точек кривой и хорды. Почему?
Функция g непрерывна на отрезке [а; Ь] и диффе-
ренцируема на интервале (а; Ь), так как представляет
разность непрерывных и дифференцируемых функций
/(х) и линейной. При этом:
g (a) = / (a) - / (Z>) -	(д — a)=0;
g(6) = f(&)-/(a)—^^(6-a) = 0;
Таким образом, для этой функции выполняются все
условия теоремы Ролля, и поэтому существует хотя бы
одна точка се(а; Ь) такая, что g' (с) = 0. Но
463
Следовательно, g' (c) = f' (с)— ?	= 0. Отсюда
f (b) —f (a) — f'(c)(b — a), c^(a-, b). •
Доказанное равенство называется формулой Лагран-
жа, или формулой конечных приращений. Последнее
название связано с тем, что эта формула содержит
приращение аргумента (Ь — а) и приращение функции
f (Ь)— f (а) на всем отрезке [а; 6].
5_^2
Пример 1. Функция f (х) = имеет на концах
отрезка [—1; 1] равные значения /(— 1) = /’(1) = 4. Най-
дем нули производной и объясним, почему не выполня-
ется заключение теоремы Ролля.
Решение. Найдем Д(х):
/'О)=(^)' = (|-7)'= 5(х-<у-(х-Д=
= —20х-5 + 2х-3—-^ (— 10-]-х2); /'(х) = 0 при х2=10.
Нулями производной являются точки х=	и обе
точки не принадлежат интервалу (— 1; 1). Нарушение
заключения теоремы объясняется тем, что не выполнено
условие непрерывности функции на отрезке. Функция
в точке 0е[—1; 1] разрывна.
Пример 2. Пусть /(х) = х(х—1)(х —2)(х —3). До-
кажем, что уравнение /' (х) = 0 имеет три различных
действительных корня.
Решение. Функция / — многочлен, следовательно,
она непрерывна и дифференцируема при всех х. Оче-
видно, что / (0) = 0; /(1) = 0; / (2) = 0 и / (3) = 0. Поэтому,
по теореме Ролля, на каждом из интервалов (0; 1); (1; 2),
(2; 3) существует, по крайней мере, по одной точке с,, с2,
с3, в которых Д(х) = 0. Принимая во внимание, что
/'(х) — многочлен 3-й степени, он не может иметь более
трех корней. Поэтому отмеченные три точки и только они
являются корнями уравнения /' (х) = 0.
Пример 3. В формуле Лагранжа определим значе-
ние с для функции f (х) = 4х3 — 5х2 + х — 2 на отрезке
[0; 2].
Решение. Воспользуемся формулой Лагранжа:
/(й)-/(а) = Д(С)(6-а).
464
В данном примере / (6) = /(2)= 12, f (a) = f (0) =—2,
/'(х)=12х2—10x4-1; /'(с)= 12с2—10с4~ 1- Подставляя
эти значения в формулу Лагранжа, получим 12 — (— 2) =
=/' (с) (2 — 0), т. е. /' (с)=7. Из уравнения 12с2— Юс 4-1=7,
или 6с2 —5с — 3 = 0 определяем сх=^-^~, с2=-—
Так как с2<^(0; 2), то
Упражнения
664.	Проверьте выполнение условий теоремы Лагран-
жа для функции y = f(x) на указанном отрезке:
а)	/ (х) = 3х2 — 2д/х”, хе[1; 4];
б)	/(х) = 2х4-т^2> хе[-1; 1].
665.	Задайте графически функцию y = f(x), непре-
рывную на отрезке [а; 6], но такую, что нет точ-
ки на графике, касательная в которой была бы па-
раллельна прямой, проходящей через концевые точ-
ки графика.
666.	Задайте графически функцию y = g(x), диффе-
ренцируемую в каждой внутренней точке отрезка [а; Z>],
но такую, что нет точки на графике, где касательная
параллельна прямой, проходящей через точки А (а; / (а)),
B(b\ [(b)). Приведите пример такой функции.
667.	На параболе z/ = x24-3x4-l найдите точку, в ко-
торой касательная параллельна хорде, соединяющей точ-
ки А(— 1; —1) и В(1; 5).
668.	Какому из условий теоремы Лагранжа не удов-
летворяет функция y — g(x) на указанном отрезке:
а)	g(x)=^-5x, [-2; 2];
б)	g(x)=|V?+4x-l, [-1; 1J?
X	о
669.	Запишите формулу Лагранжа для функции
у = [(х) на отрезке [xf, х2]:
a)	/(x) = cos|;
в) /(*) = arctgx;
б)	/(x) = sin Зх;
г) /(x) = V?-
465
670.	В формуле Лагранжа f (b)—f (a)—fr (с)(Ь — а)
найдите значение с для функции у = х3 + Зх26 на отрез-
ке [1; 2].
671.	В формуле Лагранжа найдите точку с на отрез-
ке [а; &] для функции:
а) /Ч*) — *2;	б) f(x) = 5x3 + 2x.
672.	Докажите, что для а>Ь>0 и n^N справедли-
во неравенство ап — bn'^nbn~{ (а — Ь).
673.	Докажите, что для любых положительных чисел
х и у имеет место неравенство
674.	Докажите, что для любых а и ₽ из промежутка
[0; л] имеет место неравенство
sin a —sin 0^(а — Р) cos 0.
675.	Докажите, что при ОсрсаСу справедливо
неравенство —7-<tga — tgp<—
cos р	cos а
92*. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть дана функция y = f(x), которая в некоторой
окрестности точки х0 имеет производные до порядка
п включительно, т. е. определены /'(х), f" (х), ..., /(я)(х)
на некотором интервале, содержащем точку х0.
Надо построить многочлен n-й степени Тп(х), значе-
ния которого и производных его в точке х0 были бы
равны соответственно значению функции f и ее про-
изводным в этой точке, т. е.
7’п(х0) = /(х0), 7’'(х0) = /'(х0), Т" (x0) — f" (х0), ...,
W(x0) = fM(xQ).	(1)
Будем искать многочлен в виде
Тп (х) = С0 + с, (х — х0) + с2 (х — хо)2 + ... + сп (х — х0)",
где с0, ct, ..., сп — некоторые коэффициенты. С помощью
условий (1) их легко найти. Сначала найдем:
T'Ax) = Ci + 2c2(x — х0)+... +лс(х —х0)"-‘,
Т" (х) = 2с2 + 2-3-с3(х — х0) + ... 4-п(п— 1)с„(х —Хо)"-1,
.......77(xj = n-(«-‘lj-(n-2)-/.-2.bc; = n!c;. ’
466
. Отсюда 7'я(х0) = с0, 7';(х0)=с1, Т" (х0) = 2!-с2,
= п\сп. Сравнивая эти равенства с условиями (1),
получаем:
г/ \ FZZ А Г(*о)	/°”Uo)
c’o = /(xo); Ci = f'(x0); с2 = ——;	сп = ——.
Итак, для функции y = f(x), если она дифференци-
рована п раз в окрестности точки х0, всегда можно по-
строить многочлен, причем единственный, который удов-
летворяет условиям (1). Таким многочленом, как мы
показали, будет
Л (*) = /(«») + /'(Zo)(x—х„)+-Ц^(х — х0)г +
и называется он многочленом Тейлора для функции у =
= / (х). У этого многочлена и функции / много общего—•
условия (1). Если разность между / (х) и /'„(х) обозна-
чить через Rn (х), то получим:
f(x)=f (х0) + Г (х0) (х — х0) + (х — х0)2 +
+^(х-х0)3 + ...+^^(х-х0Г+/?я(х). (2)
Формула (2) называется формулой Тейлора n-го по-
рядка; R„ (х) называется остаточным членом.
Так как Rn (x) = f (х)— Тп (х), то функция y = Rn (х)
обладает следующими свойствами:
1°. /?п(хо) = /?Ихо) = /?;'ио) = е)(хо) = О.
Это свойство следует из условий (1). Проверьте.
2°. /?*,п+1)(х)=/<”н,(х), если функция / имеет про-
изводную порядка (л 4-1).
Это свойство следует из того, что (Тп (х))(п+1) = 0 для
любого х. (Объясните почему.)
И еще одним важным свойством обладает остаточный
член Rn(x). Оказывается, что
(Докажите самостоятельно.)
467
Упражнения
676.	Запишите формулу Тейлора 1-го порядка с оста-
точным членом в форме Лагранжа для функции у =
= f (х) в окрестности точки х0:
а)	/(*) = х3, х0 = 2;
б)	/ (*)=р *о=1;
в)	/(х) = Д/*.' *0 = 8;
г)	f (*)=т^7’*о=з.
677.	Дайте оценку погрешности вычисления 2,053 по
формуле Тейлора 1-го порядка, используя формулу оста-
точного члена в форме Лагранжа.
з.-----
678.	Дайте оценку погрешности вычисления у27,06
по формуле Тейлора 1-го порядка, используя формулу
остаточного члена в форме Лагранжа.
679.	Для функций, заданных в упражнении 676 б) и
в), запишите формулу Тейлора 2-го порядка в окрестно-
сти указанной точки.
680.	Для функции у — arcsin х запишите формулу
3-го порядка в окрестности точки хо = О.
681.	Для функции у — arctgx запишите формулу
3-го порядка в окрестности точки х0 —0.
93*. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНА.
БИНОМ НЬЮТОНА
Пусть /(х)— некоторый многочлен степени п, т. е.
Нх) = Рп(х) = а0 + ахх-\-а2х2-\-... +апхп-
Многочлен имеет производную любого порядка при
всех х, поэтому для него применима формула Тейлора.
Найдем производную n-го порядка от многочлена. При
дифференцировании степень многочлена каждый раз по-
нижается и «исчезает» одно слагаемое. Поэтому /(")(х) =
= 7х"’ (х)=апп\, следовательно, /<п+1)(х) = Р(',+ 1)(х) = 0, для
всех хе/?. Это означает, что остаточный член фор-
мулы Тейлора га-го порядка для многочлена степени
п равен нулю. Отсюда формула Тейлора для многочлена
Р„(х) принимает вид
Ря(х) = Рл(хо) + Р'(*о)(*-*о) + :—- (х-хо)2 + ... +
468
т. е. формула Тейлора для многочлена представляет его
разложение по степеням (х — х0).
Пример 1. Разложим многочлен
Р (х)= 1 —2х + 3х2 —4х3
по степеням (х+1).
Решение. В данном случае х0= — 1, потому имеем:
Р (х)= 1 —2х +Зх2 —4х3, р( — 1)=10;
Р/(х)=-2 + 6х-12х2, Р' (- 1 ) = -20;
Р"(х) = 6 —24х,	Р"( —1)=30;
Р"'(х)=—24,	Р"'( — 1)=— 24.
Следовательно,
Р (Х)= 10-20 (х+1)+ 15 (х+1)2 —4 (х+1)3.
Пример 2. Разложим по степеням х функцию
/(х) = (а + х)п, а+=0, n^N.
Решение. Полагая в формуле Тейлора хо = О,
найдем:
/(0) = ая,
/'(x) = «(a + x)rt-1,	f' (0) = n+~‘;
/"(х) = л (п — 1) (а + х)я~2,	/" (0)=n (n—1) ая-2;
f"'(x) = п(п-1)(п-2)(а + х)я~3, Г(fi)=n(n— Щп-^тГ-3;
fW(x)=n(n- 1)(п-2)(п-^+ 1)(а + х)я-\
fW(0) = n(n-l)(n-2)...(n-k+l)an-k-
f^(x) = n\
Подставляя эти значения в формулу Тейлора,
получим:
(а + х)я = ап + па” ~ 1х+а” ~ гх2 +... +
_t_n(n-l).+rt-fe+l) a„_kxk+
Полученное равенство в примере называется биноми-
нальной формулой Ньютона, или формулой бинома Нью-
тона. Коэффициенты перед произведениями ап~кхк назы-
ваются биноминальными коэффициентами и обознача-
ются Скп, т. е.
Qk я(л—1)(« —2)...(n —fe+1)
469
Упражнения
682.	С помощью формулы Тейлора разложите много-
член Р (х) = х3 — 2*4-5 по степеням (х—1).
683.	Разложите многочлен Р (х) = х4-|-2х — 17 по сте-
пеням (х-|-2).
684.	Используя формулу Тейлора, докажите, что
х0=-^ — корень кратности 2 для многочлена Р (х) = 8х3—
— 4х2 — 2х-}-1-
685.	При каких значениях а и b многочлен
Р (x) = x44-3x34-2x24-a*4~6
имеет корень х=—2 кратности 2?
686.	При каких значениях а, Ь, с многочлен
Р (х)=ах44-6х3-|-сх24-2х4-3
имеет корень х= —1 кратности 3?
687.	Разложите по степеням х с помощью бинома
Ньютона:
а) (х4~2)4; б) х(х —5)5;	в) (х4~ I)6; г) (2х—З)4.
§ 18. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Общая схема исследования функции и построения ее
графика включает в себя такие элементы, как нахожде-
ние промежутков возрастания и убывания, точек экстре-
мума, точек перегиба и т. д. Применение производной
позволяет упростить исследование функции.
94. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ВОЗРАСТАНИЕ
И УБЫВАНИЕ
Напомним, что функция называется возрастающей
(убывающей) на интервале (а; Ь), если для любых х, и х2,
принадлежащих интервалу (а; Ь), из неравенства х1<х2
следует неравенство f (xi)<f (xz) (/(Xi)>/(x2)). При
этом функция / (х) неубывающая (невозрастающая) на
(а; Ь), если /(х1)^/(х2)(/(х1)^/(х2)). Напомним также,
что невозрастающие или неубывающие на интервале (а; Ь)
функции называются монотонными на этом интервале.
Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на
470
(fi; b) функция f (x) не убывала (не возрастала) на этом
интервале, необходимо и достаточно, чтобы
г (х)>0(/' (х)<0)
для всех х из интервала (а; Ь). Если же для любого х из
(а; Ь)
Г (х)>0 (/' (х)<0),
то функция f (х) возрастает (убывает) на этом интер-
вале.
Доказательство. Необходимость. Если /(х) не
убывает (не возрастает) на (а; Ь), то для всех х из интер-
вала (а; Ь) при Дх>0 будем иметь
Д^=/(х04-Дх)—/(х0)>0 (Дг/<0),
следовательно,
Дх \Дх /
Отсюда в пределе при Дх-*-0 получаем /'(хо)^О
(/'(хо)^О). В случае Дх<0 имеем Ду<0. Следова-
тельно, "^7^0 (4х Переходя к пределу, получаем,
что
/'(хо)>О(/'(хо)<О).
Достаточность. Пусть f' (х)^0 (случай /' (х)^0 рас-
сматривается аналогично). Тогда по формуле Лагранжа
имеем
/(х2) —/(х1) = //(с)(х2 —х,)>0,
так как /' (с)^0 (xl<Zc<Zx2). Отсюда / (x2)^f (х,),
т. е. функция f (х) не убывает.
Если же /'(х)>0(/'(х)<0) на (а; Ь), то
Г(С)>0(Г(с)<0)
и поэтому
/(Х2)>/(Х1)(/(Х2)</(Х1)),
т. е. функция / (х) возрастает (убывает). •
Примечание 1. Полезно знать: если касательная к графику
функции y = f(x), определенной на промежутке (а; 6), проведенная
в любой точке графика, образует с осью Ох острый угол a (tg а>0), то
функция возрастает в этом промежутке (рис. 128). Если касательная
к графику функции образует с осью Ох тупой угол a(tga<0), то
функция убывает в соответствующем промежутке.
471
Пример. Найдем промежутки возрастания и убыва-
ния функции / (х) = х3 — 9№-J-15х27.
Данная функция определена и имеет производную на
всей числовой прямой. Так как f' (x) = 3jr— 18хД- 15 =
= 3(х — 1)(х —5), то /'(х)>0 на промежутках ( — оо; 1)
и (5; “Г* оо) и /'(х)<0 на промежутке (1; 5). Решим
неравенство, например, методом интервалов. Следова-
тельно, функция / возрастает на промежутках (— оо; 1)
и (5; + оо) и убывает на промежутке (Г, 5).
Примечание 2. Если функция f непрерывна на каком-либо из
концов интервала возрастания (убывания), то эту точку следует присо-
единить к интервалу возрастания (убывания).
Тогда ответ предыдущего примера можно записать так: функция
возрастает на каждом из промежутков (—оо; 1] и [5; +°о), убывает
на промежутке [1; 5].
Примечание 3. Если функция имеет в какой-то точке области
определения производную, равную нулю, го эту точку можно присоеди-
нить к промежутку возрастания или убывания.
Например, функция /(х)=х3 возрастает на всей числовой прямой,
а ее производная /'(х) = 3х2 положительна при любом хе^, за исклю-
чением точки х = 0, в которой /' (0) = 0.
Примечание 4. Если функция у = f (х) является возрастаю-
щей (убывающей) на каждом из промежутков /, и /2, то она может не
обладать этим свойством на объединении этих промежутков.
Например, функция у = — убывает на каждом из промежутков
(— оо; 0) и (0; -ф- оо ), но на множестве (— оо; 0)(J(0; -)- оо) не является
убывающей (рис. 129).
Примечание 5. Если функция / возрастает (убывает) на
промежутках (а; с] и [с; 6), то f возрастает (убывает) на (а; Ь).
472
,	Упражнения
688.	Найдите промежутки возрастания и убывания
функции:
а) /(х) = х3 —Зх2— 9х;	г) g (х)=	;
б)/(х) = х2 —х;	д) g(x)^(x~2)J1-
в) /(х)=|—х;	е)£(х)=Т~£-
689.	Найдите промежутки монотонности функции:
а)	g(x) = x3— 2х|х — 2|, хе[0; 3];
б)	g (х)= — 5х3 + х|х— 11, хе[0; 2];
в)	ё (х)="\/8х2 —х4;	г) g (х) = хД/2 —х2.
690.	Докажите, что функция монотонна на указанном
множестве:
а)	/(х)=|х3+-|-х2 + 7х + 4, хе/?;
б)	/(x) = sin х + Зх + 5, хе/?;
в)	f (х)= 1 + 12Х + ЗХ2 — 2х3, хе( — 1; 1);
г)	f (x)=sin 2х — cos 2х — 5х;
д)	/(x)=3cos(5 — 2х) — х3 — 6х.
691.	Найдите значения параметра с, при которых
функция
/(х) = (с-12)х3 + 3(с-12)х2 + 6х + 7
монотонно возрастает при всех х.
692.	При каких действительных значениях а функция
у= — х3 + ах2 + а2х + 5
возрастает на промежутке [ — 6; 2]?
693.	Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых функция
у = а sin 4х— 10х+ sin 7х-|-4ах
всюду убывает.
473
95. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ,
ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
Существенную роль при исследовании функции игра -
ют критические точки.
Определение. Внутренние точки области опреде .
ления, в которых производная не существует или paBHit
нулю, называют критическими точками.
Такой точкой, например, является точка х=х
(рис. 130), /' (х1)==0, поскольку касательная к графику,
функции в точке (хх; f (jq)) параллельна оси абсцисс;
(угол а, образованный касательной с осью Ох, равен(
нулю), поэтому f' (xj = tg а = 0.
Пусть на промежутке (а; Ь) задана непрерывная
функция у — f (х), график которой показан на рисун-.
ке 131. В точках х| и х3 функция имеет значения, боль-
шие по сравнению с ее значениями во всех точках,
достаточно близких к точкам х} и х3. В этом случае
значения аргумента х{ и х3 называют точками максиму-
ма, а значения функции в этих точках называют макси-
мумами функции.
В точках х2 и х4 (см. рис. 131) значения этой функции
меньше по сравнению с ее значениями во всех точках,
достаточно близких к точкам х2 и х4. В этом случае
значения аргумента х2 и х4 называют точками минимума,
а значения функции в точках минимума — минимумами
функции.
Определение. Точка х0 из области определения
функции называется точкой максимума этой функции,
если существует такая б-окрестность точки х0, что для
всех х=#х0 из этой окрестности выполняется неравенство
/ (*)</ (*о)-
474
Определение. Точка xj из области определения
функции называется точкой минимума этой функции,
если существует такая 6-окрестность точки х'о, что для
всех х^х'о из этой окрестности выполняется неравенство
На рисунке 132, а х0— точка максимума, а на ри-
сунке 132,6 х'о — точка минимума.
Точки максимума и минимума функции называют
точками экстремума, а значения функции в этих точ-
ках — экстремумами функции.
Максимум f(x0) будем обозначать так: ymax=f (х0),
а минимум — ymin=f (х^.
Одна и та же функция в области определения может
иметь несколько максимумов и минимумов, причем ми-
нимум может оказаться равным или большим максиму-
ма (см. рис. 131).
Покажем, что точки экстремума следует искать среди
критических точек функции.
Теорема Ферма (необходимое условие экстре-
мума дифференцируемой функции). Если х0 — точка эк-
стремума функции y=f (х) и в этой точке существует
производная, то //(хо)=О.
Доказательство. Пусть х0 — точка минимума.
Следовательно, в некоторой окрестности этой точки
Д/(х0) = /(х0-|-Дх) —f(x0)>O при Дх=/=0. Поэтому при
Дх<0 разностное отношение	и в силу диффе-
ренцируемости функции в точке х0 имеем
lim -
Ах-> —О
А/ (х„)
Дх
/'(Хо)<о
(предел отрицательной функции не может быть положи-
,	* л	Д/ Uo) л
тельным); при Дх>0 разностное отношение —>0,
475
откуда
Пт ^=Г(хо)>О
Дх-k +0
(предел положительной функции не может быть отрица-
тельным).
Итак, получили f' (хо)^О и f' (хо)^О, что возможно,
если /' (хо) = О. •
Определение. Критические точки, в которых про-
изводная равна нулю, называются стационарными.
Например, найдем стационарные точки функции
f (х) = х3 + 2х2 — 7x4*5. В данном случае
/' (х) = Зх2-(-4х —7.
Стационарными точками являются корни уравнения
Зх2 + 4х — 7 = 0, т. е. X, = — 2-^-, х2= 1.
и
Задание. Проведите доказательство самостоятель-
но для точки максимума.
Теорема Ферма имеет следующий геометрический
смысл: если в точке х0 функция y = f(x) имеет экстремум
и в этой точке существует производная, то касательная
к точке Л40(х0; у0) графика данной функции параллельна
оси Ох.
В самом деле, в этом случае угловой коэффициент
касательной равен нулю:
6 = tg а = /'(хо) = О.
Условие /'(хо) = О является необходимым, но не до-
статочным условием экстремума функции f (х) в точке х0.
Например, функция /(х) = х3 в точке хо = О имеет про-
изводную, равную нулю, но х0 не является точкой экстре-
мума. В самом деле, /(х)<0 при х<0 и /(х)>0 при
х>0, и, следовательно, не существует такой окрестности
точки х0, для всех точек которой выполнялось бы одно из
неравенств:
/(х)</(х0) либо /(х0)</(х).
Функция может иметь в некоторой точке из области
ее определения максимум или минимум и в случае, когда
производная в этой точке не существует или равна ± оо.
Например, функция /(х)=|х—1| (рис. 133) в точке
х=1 имеет минимум: /(1) = 0, однако производная
в этой точке не существует.
476
Итак, наличие у функции	У,
критических точек является
лишь необходимым условием	/
существования у нее экстре- 'К	/
мума. Вопрос о достаточном	/
условии экстремума можно	х. /
решить с помощью первой ------------------------*>
или второй производной.
Теорема (первое доста-
точное условие экстремума).	Рис. 133
Пусть функция y — f(x)
определена на интервале (а; Ь) и непрерывна в точке х0
из этого интервала, тогда:
а)	если f' (х) >0 на интервале (а; х0) u f' (*) <0 на
интервале (х0; 6), то точка х0 является точкой максиму-
ма функции f (х) на интервале (а; Ь);
б)	если f' (х)<0 на интервале (а; х0) и f' (х)>0 на
интервале (х0; 6), то точка х0 является точкой миниму-
ма функции f (х) на интервале (а; 6).
Доказательство, а) Так как /'(х)>0 на ин-
тервале (а; х0), то из достаточного признака возраста-
ния функции следует, что /(х) возрастает на интервале
(а; х0), и, значит, /(х)^/(х0) для всех х из промежут-
ка (а; х0].
На промежутке [х0; Ь) функция убывает (докажите
самостоятельно), и, значит, /(х)^/(х0) для всех х из
промежутка [х0; Ь). Следовательно, /(х)^/(х0) для всех
х из интервала (а; Ь), т. е. по определению х0 — точка
максимума функции / (х). •
Задание. Проведите самостоятельно доказатель-
ство теоремы для случая б).
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой
этой теоремы:
а)	если в точке х0 производная меняет знак с плюса
на минус, то х0 есть точка максимума;
б)	если в точке х0 производная меняет знак с минуса
на плюс, то точка х0 есть точка минимума.
Тот факт, что точка х = х0 является точкой экстрему-
ма непрерывной функции, можно охарактеризовать таб-
лицей:
477
Знак производной		Вывод
х<х0	Х>Х0	Хо
+ + 1 1	+ 1 + 1	Не является точкой экстремума Точка максимума Точка минимума Не является точкой экстремума
Задание. Приведите графическую иллюстрацию
для каждого из приведенных в таблице случаев.
Теорема (второе достаточное условие экстрему-
ма). Если функция y = f(x) в некоторой окрестности
стационарной точки х0 имеет непрерывную вторую про-
изводную и f" (х0) #= 0, то х0 — точка экстремума, при-
чем х0 — точка максимума, если f" (х0) <0, х0 — точка
минимума, если f" (х0) > 0.
Доказательство. Пусть /" (х0)<0 (/"(х0)>0).
Так как f" непрерывная функция в некоторой окрестно-
сти точки х0, то по свойству устойчивости знака непре-
рывной функции существует 6-окрестность точки х0, в ко-
торой f" (х)<0 (/" (х)>0). Для всех х из указанной
6-окрестности f (х) может быть представлена формулой
Тейлора первого порядка (почему?):
/ (х) = / (х0) 4- Д (х0) (х — х0)+(х — х0)2.
Точка х0 по условию теоремы стационарная, так что
/' (хо) = О. Тогда
/(х) = /(х0) + ^(х-х0)2,
где точка с лежит между х0 и х. Поскольку с из б-окре-
стности точки х0, то f" (с)<0 (/" (с)> 0). Поэтому при
всех х=/=х0 из указанной окрестности точки х0 имеем:
± Г (с) (X-х0)2<0 (± /" (с) (х -х0)2> о).
Следовательно, из формулы Тейлора получаем
f (х)</(х0)(/(х)>/(х0)).
Это означает, что х0 — точка максимума (миниму-
ма). •
Итак, если функция / дифференцируема в окрестно-
сти точки х0, то тогда:
478
Если	И	То в точке х0
/'(хо)=О Г(Хо)=О	/z,(Xo)<O Г(х0)>0	максимум минимум
Пример 1. Найдем максимум и минимум функции
f(x)= — x4 + 2Z
Решение. Первая производная /'(х) =—4х3 +
+ 4х= —4х(х2—1) равна нулю при Х]= —1, х2 =
= 1 и х3 = 0.
Вторая производная /"(х)= — 12х24*4 при х{ =— 1,
х2=1 и х3 = 0 в нуль не обращается: f" (—1)=—8,
/"(1)=—8, Г(0) = 4.
Так как /"( —1)<0 и /"(1)<0, то точки xt= — 1
и х2=1—точки максимума; поскольку f" (0)>0, то
х3 = 0 — точка минимума.
Значения экстремумов: /(— 1)=1, /(1)= 1» f(0) = 0.
Пример 2. Исследуем на экстремум функцию
/ (х) = х4— 5.
Решение. Находим f' (х) = 4х3. Решая уравнение
4х3 = 0, получаем критическую точку х = 0. Находим
Г (х) =12x2 и f"(0)=0.
В критической точке вторая производная обращается
в нуль, поэтому исследование проводится по первому
достаточному условию.
Так как /' (х)<0 при х<0, a f' (х)>0 при х>0, то
в точке х = 0 данная функция имеет минимум, причем
ymm = f (0)= —5.
Упражнения
694.	Найдите критические точки и исследуйте на
экстремум функцию:
a)	v (х) = 2х3 — х2 — 4x4-5; в) g (х) = х3 + 9х— 1;
б)	/(х) = 3х —г) /(х) = х+Л/5 —х.
695.	Найдите критические точки функции:
а) У |x-f-11 -)-х-|- 1; б) у=\х — 3| — |х-|-3|.
696.	Найдите все значения а, при которых функция f
имеет критические точки:
/(х) = (3а —2) cos Зх + (2а —5) х.
479
697.	Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых функция
у = sin 2х — 8 (а+ 1) sin x-j- (4а2-|-8х—14) х
является всюду возрастающей и не имеет критических
точек.
698*. Найдите все значения а, для которых уравнение
х3 — ах—1=0 имеет единственное решение.
699.	Найдите экстремумы функции:
a)	h (х) = 2х3Н~Зх2—12х + 5;	в) h (х)=	;
x-f- 1
б)	/ (х) = (х— 1 )2 (х —5)2;	г) /(x) = %2~x^4.
700.	Найдите экстремумы функции:
а)	х; б) у—У1{х-\-\)2 (х —5)2;
в) у — х? — 2х|х — 2|, хе[0; 3];
г) z/= —5х3 + х|х—11, хе[0; 2].
701.	Найдите экстремумы функции:
a) z/ = 2 sin x-f-cos 2х; б) у = cos х• cos 2х.
702.	Найдите экстремумы функции f (х)=—х +
+ cos2x на промежутке (—0^.
703.	Найдите все значения х, при которых функция
i/ = sinx — cos2 х—1 принимает наименьшее значение.
Какое это значение?
704.	При каких действительных значениях а и b все
экстремумы функции f (х) = -^~ х3 + 2ах — 9х + й положи-
тельны и максимум находится в точке х0= —-д?
96. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО
И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Многие задачи на отыскание наибольшего и наимень-
шего значений функции сводятся к исследованию непре-
рывных функций на различных промежутках: отрезке,
интервале, прямой и т. д.
Если функция y — f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь],
то, как гарантирует одна из теорем о непрерывной
480
функции на отрезке, она достигает на [а; 6] наибольшего
или наименьшего значения.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения
непрерывной функции на отрезке [а; 6], имеющей на
интервале (а; Ь) конечное число критических точек, до-
статочно вычислить значения функции во всех критиче-
ских точках функции, принадлежащих интервалу (а; Ь),
а также на концах отрезка и из полученных чисел вы-
брать наибольшее и наименьшее.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее
значения функции f (х) = 2х3— 6x4-1 на отрезке [ — 3; 0].
Решение. Вычислим значение функции в критиче-
ских точках, принадлежащих интервалу (— 3; 0), а также
на концах отрезка, а затем выберем наибольшее и наи-
меньшее из них.
Поскольку функция f (х) = 2х3 — 6x4* 1 дифференци-
руема на всей числовой прямой, то критические точки
данной функции найдем, решая уравнение /' (х) = 0,
т. е. уравнение бх2— 6 = 0. Корни этого уравнения:
х{ =— 1, х2= 1. Из них только х{— — 1 принадлежит
интервалу (— 3; 0). Вычислим теперь значения функции
в точках х— — 1, х=—3, х = 0:
/(- 1) = 5, /( —3)= —35, /(0)=1.
Ответ: max/(х) = 5, min/(x) =—35.
[-3; 0]	[-3; 0]
Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее зна-
чения функции / (x) = cos2^- sin х на отрезке [0; л].
Решение. Найдем:
r/z \ n X /	х\ 1	,	2 X
f' (х) = 2 COS — ( — Sin — J -g Sin X4-COS g- cos x =
Найдем критические точки функции:
х Зх рЛ
cos — cos — = 01
X А
cos j —0,
Зх п
cos — = 0
х = л-|-2лп, neZ,
16 Алгебра, 10 кл.
481
(л 2	)
Получили множество <-^+-5-nk\k^Z\ критических
точек. Определим, какие из критических точек принадле-
жат интервалу (0; л), решив неравенства
0<4+|nk<Zn, где ke^Z,
О о
т. е.
0<^+Ъ<1 (k^Z),
о О
откуда k = Q и х=у— только одна критическая точка,
принадлежащая интервалу (0; л).
Вычислим значение функции в точках х=-^-, х=0,
«J
х — л:
=	Н0) = 0, /(л) = 0.
з W
Ответ: max f (х) =—5—, min/(x) = 0.
[0; л]	8	[0; л]
Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее зна-
чения функции
/ (x) = sin2 x + cos х — 0,5.
Решение. Данная непрерывная функция имеет пе-
риод 2л (проверьте самостоятельно). Значит, ее наиболь-
шее и наименьшее значения совпадают соответственно
с наибольшим и наименьшим значениями функции
/(х) на отрезке [ — л; л].
Найдем критические точки данной функции на интер-
вале (— л; л):
f' (х) = 2 sin х cos х— sin х.
Тогда
(2 sin х cos x —sin x = 0) -ФФ-
sin x = 0,
1 о
cos x = —
х = л/г, neZ,
х=±у + 2л£, k^Z.
Уравнение sinx = 0 на интервале ( — л; л) имеет
единственный корень х,=0. Уравнение cosx = -^- на этом
482
промежутке имеет два корня: х2 = —у и х3 = у.
Вычислим значения функции /(х) в точках хь х2, х3
и на концах отрезка [ — л; л]:
/(0)=|;	/(-л)=/(л)=-|.
з
Значит, наибольшее значение функции / (х) равно р
3
а наименьшее значение равно — —.
Пример 4. Найдем наибольшее значение функции
f(x)= |х3-|-6х2 + 9х + 7|
на отрезке [ — 3; 1].
Решение. Пусть h (х) = х3 4~ бх2 + 9х + 7 и
— 3<х<1. Найдем Л'(х):
h' (х) = 3х2+ 12x4-9 = 3 (х+ 1) (х + 3).
Определим критические точки:
h' (х) = 0 при — 3<х<1, откуда х= —1.
Так как й(—-3)=1, Л (—1)=—3, А(1)= 17, то наи-
большее и наименьшее значения функции h (х) равны
17 и -3.
1) Если й(х)^0, то Л(х)^17 и
/(х)=|Л(х)|=/г(х)<17,
причем / (1) = ft (1) = 17.
2) Если й(х)<0, то /г(х)^—3 (почему?) и
f (х)= \h (x)i = — h (х)<3< 17.
Следовательно, наибольшее значение функции /(х)
на отрезке [ — 3; 1] равно 17.
Если функция f (х) исследуется на интервале
(а; Ь) либо на промежутках [а; Ь), [ц; -}-оо), (—оо; 6].
(а; -|- оо), (— оо; Ь), (а; 6], то на таких промежутках
непрерывная функция может и не иметь наибольшего
(наименьшего) значения.
Так, например, функция г/ = х4~1 не имеет: на проме-
жутке [0; 2) наибольшего значения; на промежутке
(0; 2] наименьшего значения; на промежутке (0; 2) ни
наибольшего, ни наименьшего значений. Функция у =
= х2 — 5 на всей числовой прямой не имеет наибольшего
значения, а у = х3 не имеет ни наибольшего, ни наимень-
шего значений.
483
Если непрерывная функция /(х) на промежутке
[а; Ь) ([а; 4- оо)) возрастает (убывает), то на этом проме-
жутке она имеет наименьшее (наибольшее) значение,
которое достигается в точке х = а.
Аналогичное утверждение и для функции, заданной
на промежутке (а; ft] ((—оо; 6]).
Если непрерывная функция / (х) на интервале (а; Ь)
имеет критическую точку х0, принадлежащую рассмат-
риваемому промежутку, и возрастает (убывает) на
промежутке (а; х0] и убывает (возрастает) на проме-
жутке [х0; Ь), то на рассматриваемом промежутке функ-
ция f (х) имеет наибольшее (наименьшее) значение в точ-
ке х0.
Если функция, непрерывная на некотором промежут-
ке (а; Ь), имеет на нем только один экстремум, то он
будет или наибольшим значением функции на данном
промежутке, когда экстремум является максимумом, или
наименьшим, когда экстремум является минимумом.
К нахождению наибольшего и наименьшего значений
функции приводит решение многих практических задач.
Они решаются, как правило, по следующему плану.
1)	выбирают одну из переменных и выражают через
нее ту переменную, для которой находится наибольшее
(наименьшее) значение, т. е. составляют функцию, на-
пример, z/ = /(x);
2)	указывают промежуток изменения аргумента;
3)	исследуют данную функцию на наибольшее (наи-
меньшее) значение на указанном промежутке.
Пример 5. Нужно построить прямоугольную пло-
щадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон
она была огорожена проволочной сеткой, а с четвер-
той — примыкала к стене. Для этого имеется сетка
длиной 40 м. При каких размерах площадка будет иметь
наибольшую площадь?
Решение. Обозначим стороны площадки через
х и у (рис. 134). Тогда площадь площадки S — xy. По
условию задачи 2х + # = 40, откуда у = 40 — 2х и
S = x(40 — 2х). Площадь S не может быть отрицатель-
ной, следовательно, 0^х^20.
Исследуем функцию S(x) = 40x — 2х2 на отрезке
[0; 20] на наибольшее значение:
S'(х) = 40 —4х, 40 —4х = 0, откуда х=10.
Вычислив S (0) = 0, S(20) = 0, S(10) = 200, получим,
что наибольшее значение на отрезке [0; 20] непрерывная
функция S (х) принимает при х=10.
484
Рис. 134
Рис. 135
шжтишшиитшт
А
Пример 6. Завод D нужно соединить дорогой с пря-
молинейной железной дорогой, на которой расположен
город А (рис. 135). Расстояние DB до железной дороги
равно 10 км, расстояние АВ по железной дороге равно
50 км. Стоимость перевозок по шоссе в 5 раз дороже
стоимости перевозок по железной дороге. Как провести
шоссе DC к железной дороге, чтобы стоимость перевозок
от завода к городу была наименьшей?
Решение. Очевидно, что DC — отрезок и точка
С не должна лежать правее В и левее А. Пусть АС — х,
тогда 0^х^50. Пусть стоимость тонно-километра про-
воза по железной дороге равна К, тогда стоимость тонно-
километра провоза по шоссе равна 5К. Общая стоимость
провоза:
Р (х) = Кх + 5 К Д/Ю0 + (50 —х)2.
Следовательно, нужно найти наименьшее значение
функции на отрезке [0; 50]. Используя правило вычисле-
ния производной сложной функции, получим:
Р'(х)==К+ЛК(Х-ы)..>
У100+(х-50)2
Р' (х) = 0 при х = 50 —-у=.
Вычислив
Р(0) = 50Ку/26, Р(50)=100К, Р
=K(50+f}
убеждаемся в том, что наименьшее значение функция
5
Р принимает при х = 50 — -^==.
Ответ: шоссе должно выходить к железной дороге
V6 \	.
-— ) км от города А.
на расстоянии
485
Пример 7. Каким должен быть
угол при вершине равнобедренного
треугольника, вписанного в данный
круг, чтобы его периметр был наи-
большим?
Решение. Пусть треугольник
АВС вписан в данный круг (рис. 136).
АС = ВС, ААСВ = а (0°<а<180°).
Тогда Z.CAB — ЛСВА = 90°
По теореме синусов
АС = ВС = 2R sin (90°-|) = 2/? cos|.
4S = 21?sina, где R— радиус описанной окружности.
Обозначим через р периметр треугольника АВС.
Тогда
2 sin2 ^-4-sin у — 1 =0,
0°<a<180°
a 1	\
Sin2~2’	)ЧФ-(а = 60°).
0°<a<180°/
a = 60° — единственная точка максимума данной
функции на интервале (0; 180°) (проверьте самостоятель-
но). Поэтому при a = 60° периметр треугольника наи-
больший.
Ответ: 60°.
Упражнения
705.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции:
а)	f (х) = х3 — Зх2 + 4 на отрезке [1; 3];
б)	/(х) = 6х3— Зх2—12х + 7 на отрезке [—1; 2];
486
в)	f (х) = х3 — Зх2 + Зх + 2 на отрезке [ — 2; 2];
г)	/ (х) = Зх4 + 4х3+1 на промежутке [ — 2; 1];
Д) = на отрезке [1; 6];
е) / (х) = х2 Д/З —х на отрезке [1; 3].
706.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции:
a)	ft(x) = sinx — х на отрезке [0; л];
б)	ft(x) = cos2x— х на отрезке [0; 2л];
в)	h, (х) = 2 sin х + sin 2х на отрезке |о;
г)	h (х)= 15 — 3 cos x + cos Зх на отрезке |\); yj.
707.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции:
a)	z/=l+cos2x на промежутке I —	;
L * ь j
б)	t/ = cos2^-sin х на промежутке [0; л].
708.	Докажите, что
max f (х)<0,77,
хе [ — л; л]
если /(x) = sin х sin 2х.
709.	Докажите, что
min /(Х)>—L
хб(-л; я]
если / (x) = cos2 х sin х.
710.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции на указанном промежутке:
а)	у=\х— 3| на промежутке [0; 4];
б)	г/ = х2+ |х + 2| на промежутке [ — 3; —1].
711.	Найдите наибольшее значение функции:
а)	/г(х) = 4х3— х|х —2| на отрезке [0; 3];
б)	h (х) = lx2 — х — 6|—х3 на отрезке [ — 4; 4].
712.	Найдите наименьший член последовательности
а„ — п4 — 5п? — Зл2.
487
713.	Докажите, что если
— 1<х<0, то |х3 + 2х+1|<2.
714.	Представьте число 48 в виде суммы двух нату-
ральных слагаемых так, чтобы сумма куба первого
числа с квадратом второго была минимальна.
715.	Число 26 представьте в виде суммы трех поло-
жительных слагаемых, сумма квадратов которых наи-
меньшая, если известно, что второе слагаемое втрое
больше первого.
716.	В арифметической прогрессии четвертый член
равен 4. При каком значении разности этой прогрессии
сумма попарных произведений первых трех членов про-
грессии будет наименьшей?
717.	Н айдите наибольшее значение х, которое удов-
летворяет уравнению х2= I -j-4a— а2, где а — некоторое
действительное число.
718.	На координатной плоскости изображен график
параболы у — х2. Найдите абсциссу точки параболы,
ближайшей к точке М (0; 2).
2
719.	На графике функции У = ~^ найдите координаты
точки, ближайшей к началу координат.
720.	Найдите расстояние между ближайшими точка-
ми графиков функций /(х) = х2 + х4~1 и g (х) = 2х — 2.
721.	В какой точке графика функции у — 3 — х2(х>0)
следует провести касательную, чтобы она отсекала от
первого координатного угла треугольник наименьшей
площади? Найдите эту площадь.
722.	Из всех прямоугольников данного периметра
найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
723.	В прямоугольный треугольник с гипотенузой
длиной 32 см и углом 60° вписан прямоугольник, основа-
ние которого лежит на гипотенузе. Какой должна быть
длина сторон прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей?
724.	В треугольник, имеющий длину основания 4 м,
длину высоты 3 м, вписан прямоугольник наибольшей
площади. Найдите площадь этого прямоугольника.
725.	Докажите, что из всех прямоугольных треуголь-
ников с заданной гипотенузой наибольшую площадь
имеет равнобедренный треугольник.
726.	Боковые стороны и меньшее основание трапеции
имеет длину 20 см. Найдите наибольшее основание тра-
пеции так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
488
727.	Концы отрезка длины а находятся на сторонах
прямого угла. Найдите длины катетов полученного тре-
угольника, имеющего наибольшую площадь.
728.	Заготовлена изгородь длиной 480 м. Этой изго-
родью надо огородить с трех сторон земельный участок
прямоугольной формы, примыкающий к реке. Каковы
должны быть размеры участка, чтобы его площадь была
наибольшей при данной длине изгороди?
729.	Требуется изготовить закрытый ящик с квадрат-
ным дном, объем которого равен 8 дм3. Каковы должны
быть линейные размеры ящика, чтобы его полная по-
верхность была наименьшей?
730.	Корабль находится от точки А берега на рассто-
янии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением
в штаб В, расположенный от точки А на расстоянии
10 км по берегу (ZB/1K = 9O°). Лодка движется со
скоростью 4 км/ч, а гонец, выйдя из лодки, может в час
пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать
лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в крат-
чайшее время?
731.	По двум перпендикулярным дорогам к перекре-
стку движутся две автомашины со скоростью 40 км/ч
и 50 км/ч соответственно. В данный момент они нахо-
дятся от перекрестка на расстоянии 20 км и 30 км со-
ответственно. Через какое время расстояние между
машинами будет минимальным?
97*. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ
Свойство выпуклости функции, как и монотонности,
интуитивно понятно из геометрических представлений
о графике функции.
Например, на рисунке 137, а график функции /' есте-
ственно назвать выпуклым вверх, на рисунке 137, б гра-
489
фик функции вогнутый, или выпуклый вниз. В таких
случаях функцию называют выпуклой на интервале.
Введем понятие выпуклости для дифференцируемых
функций на интервале, в каждой точке графиков кото-
рых можно провести касательную.
Определение. Дифференцируемая на интервале
(а; Ь) функция f называется выпуклой вверх, если для
любых х0 и х из этого промежутка справедливо нера-
венство
(х —х0) + /(*о),
(1)
и выпуклой вниз, если
f (*) >Г (*о) (* —*о) +/ (*о)-
(2)
Соответственно говорят: график функции выпуклый
вниз, выпуклый вверх.
Пример. Пользуясь определением, докажем, что на
всей числовой прямой функция /(х) = х2 выпуклая вниз.
Доказательство. Функция г/ = х2 дифференциру-
ема при всех х. Выберем любые два числа х0 и х. Тогда
/(x0)==Xq, /(х) = х2 и /'(х) = 2х. Покажем, что будет
верным неравенство (2), т. е.
х2 2х0 (х — х0) + Хц.
Выполнив равносильные преобразования
х2 — 2хох + 2xq — Xq О,
х2 — 2xqX + х^ 0, (х — хо)2^О,
приходим к верному при всех х и х0 неравенству. Значит,
неравенство (2) справедливо для всех х и х0. Следова-
тельно, данная функция выпуклая вниз на всей числовой
прямой.
Данное определение выпуклой функции имеет про-
стой геометрический смысл. Вспомните уравнение каса-
тельной к графику функции в точке (х0; /(х0)):
У — f(x0)=f'(x0)-(x — х0) или г/ = Д(х0)(х —х0) + /(х0).
Так что неравенства (1) и (2) — это результат сравне-
ния ординат соответствующих точек графика функции
и касательной. Поэтому можем сказать: дифференцируе-
мая функция выпуклая вверх (вниз) на интервале (а; Ь),
если все точки графика функции лежат не выше (не
ниже) касательной, проведенной к графику функции
в любой точке (х0; /(х0)), хое(а; Ь) (см. рис. 137, а, б).
490
Известно, что знак первой производной функции ха-
' рактеризует свойство монотонности. Нетрудно из геомет-
рических представлений увидеть, что знак второй про-
изводной функции указывает на направление выпукло-
сти. Например, если на интервале (a; b) f" <0, то это
означает, что функция /' на этом промежутке убывает.
Следовательно, при движении вдоль графика функции
слева направо наклон касательной уменьшается (см.
рис. 137, а), что соответствует случаю выпуклости вверх.
Теорема (достаточное условие выпуклости функ-
ции). Если функция y~f (х) в каждой точке х из интер-
вала (а; Ь) имеет непрерывную вторую производную
и j" (х)=/=0, го на этом промежутке функция выпуклая,
причем:
а)	если /"(х)<0, го выпуклая вверх;
б)	если f" (х)>0, го выпуклая вниз.
Доказательство. Так как /"— непрерывная
функция на интервале (а; Ь), то для функции f имеет
место формула Тейлора 1-го порядка:
f(x)=f(xQ) + f'(x0)(x — х0) + -^р(х — х0)2>
где х0 и х — любые точки из (а; 6), а с — некоторая
промежуточная точка между х0 и х.
Пусть для всех хе(а; b) f" (х)<0, тогда j" (с)<0,
j" (с)
и поскольку (х —хо)2^О, то —g— (х — хо)2^О. Тогда из
формулы Тейлора непосредственно следует
/ (х)</ (х0)4- f' (х0) (х — х0)
для любых х и х0 из (а; Ь). Это означает по опреде-
лению, что функция / — выпуклая вверх на интервале
(а; Ь). •
Случай /" (х)>0 рассмотрите самостоятельно.
Эта теорема позволяет находить интервалы выпукло-
сти графика функции. Например, найдем интервалы
выпуклости вверх (вниз) функции / (х) = х3 + Зх2 — х + 5.
Для этого найдем:
/'(х) = 3х24-6х—1, Г(х) = 6х + 6.
Функция выпуклая вверх, если /"(х)<0, т. е. 6х-(-6<0,
значит, при х< — 1. Функция выпуклая вниз при усло-
вии /" (х)>0, т. е. при х> — 1. Таким образом, на
интервале (—оо; —1) функция выпуклая вверх, на
интервале ( — 1; + оо ) — выпуклая вниз.
491
Упражнения
732. Найдите промежуток, на котором функция вы-
пуклая вверх:
а)	у — х3 — 6х2 + 2х — 6;
б)	у = х4 — 2х34-6х — 4;
в)	у = х4 — 2х3 — 12х2 + 24х + 8;
, х2 . 8
д)
3 .---------------
е) z/ = 2+V(x—17;
ж) z/ = sin 2x-f--i-x3 —3.
98*. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ (ГРАФИКА ФУНКЦИИ)
Определение. Точка х0 из области определения
функции y = f(x) называется точкой перегиба функции
/, если:
1) в этой точке функция непрерывная;
2) существует б-окрестность точки х0 такая, что на
интервалах (х0 —б; х0), (х0; х04-б) направления выпук-
лости функции противоположны.
Данное определение имеет ясную геометрическую
интерпретацию. По рисунку 138 видно, что на интервале
(х0 —б; х0) функция f выпуклая вниз, на интервале (х0;
х0-|-б) функция / выпуклая вверх. Поэтому можно ска-
зать, что при переходе через точку перегиба слева на-
право направление выпуклости функции изменяется на
противоположное.
Теорема (необходимое условие точки перегиба).
Если х0 — точка перегиба функции f, то в этой точке
либо f" (хо)=О, либо вторая производная f" не суще-
ствует.
Доказательство. х0 —
точка перегиба функции /.
Пусть в этой точке функция
имеет непрерывную вторую про-
изводную. Предположим, что
f" (хо)7=О- Положим для опреде-
ленности f" (х0)>0. Тогда из не-
прерывности /" следует, что в
некоторой б-окрестности значе-
492
ния х0 вторая производная положительна. Отсюда по
достаточному условию на интервале (х0— б; х04-6) функ-
ция выпуклая вниз. Это противоречит условию, что на
интервалах (х0 —б; х0); (х0; х0 + б) направления выпукло-
сти противоположны. Полученное противоречие и дока-
зывает, что /"(хо) = О. о
Возможные случаи, когда в точке перегиба вторая
производная не существует, показаны на рисун-
ках 139 и 140.
На рисунке 139 касательная к графику функции
вертикальная, т. е. первая производная в точке х0
бесконечна, а следовательно, не существует и вторая
производная. На рисунке 140 первая производная
в точке х0 не существует (это точка возврата), поэ-
тому не существует в этой точке и вторая произ-
водная.
Теперь можно указать схему исследования функции
z/ = /(x) на выпуклость.
1.	Устанавливаем область определения функции.
2.	Находим вторую производную функции.
3.	Определяем точки разрыва второй производной
и находим из уравнения /"(х) = 0 нули второй произ-
водной.
4.	Точками разрыва и нулями второй производной
разбиваем область определения функции на интервалы.
В каждом из отмеченных интервалов определяем знак
второй производной. Строим кривую знаков.
5.	По кривой знаков отмечаем интервалы выпуклости
вверх (вниз) данной функции и точки перегиба.
з --
Пример 1. Исследуем функцию f(x)=\x2 на вы-
пуклость.
Решение.
1.	Область определения функции D(f) = R.
493
2.	Найдем вторую производную функции:
£ _£ _£
Г(х) = (Л)' = |* \ Г(х)=-|х“7=--------2—
Эх^/х
3.	Нулей f" (х) не имеет. Точкой разрыва является
точка хо = О.
4.	Точка 0 разбивает область определения R на два
интервала. Определяем знаки: /" (—1)<0, /"(1)<0
(рис. 141).
5.	На интервале (— оо; 0) и (0; -|- оо) функция вы-
пуклая вверх. Точек перегиба нет.
Пример 2. Исследуем функцию у = х2-\- — на вы-
пуклость.
Решение.
1.	Область определения: D(y) = ( — оо; 0)(J(0; +°о).
2.	Найдем вторую производную:
, о 8 zz о . 16
/ = 2%--^, /' = 24-^5-.
3.	Точка разрыва: х( = 0. Нули второй производной
найдем из уравнения 2 + ^- = 0. Откуда х2= — 2.
4.	Точками 0 и —2 разбиваем область определения
функции на интервалы (рис. 142). По некоторым точкам
определяем знаки у"'.
/'(-3)=2—^>0; /'(-1)==2 + г^п<0;
/'(1) = 2+16>0.
Строим кривую знаков.
5.	По кривой знаков устанавливаем: на интервалах
(—оо; —2), (0; -|-оо) функция выпуклая вниз; на интер-
вале (— 2; 0) функция выпуклая вверх; х——2 — точка
перегиба. На графике точкой перегиба будет точка
(-2; 0).
Рис. 141
Рис. 142
494
Упражнения
733. Найдите точки перегиба графика функции:
а) у = хл-х\	в) z/ = y—j;
।	3 -----
б) у = —х3 —Зх2-|-8х —4; г) у = 3х4-у(х+I)5.
<J
99*. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой
графика функции y = f(x), если хотя бы один из преде-
лов /(х0— 0) или /(хо4~О) равен оо. Например, прямая
х=1 является вертикальной асимптотой графика функ-
ции /(х) =—Ц-, так как lim / (х) = ± оо (см. рис. 82).
х~ 1	х—1±0
Прямая y = kx-\-b называется наклонной асимптотой
графика функции f (х) при х-*ф-оо(х->—оо), если
/ (х) = йх-(- 6-ф а (х),
lim а(х) = 0.
X * 4 ОО
(X —— 00)
Существование асимптоты графика функции означа-
ет, что при х-> + оо (х~>— оо) функция у = ] (х) отлича-
ется от линейной функции y = kx-\-b на бесконечно ма-
лую функцию (рис. 143).
Укажем теперь способ определения коэффициентов
k и b наклонной асимптоты y = kx-\-b.
Теорема. Д,ля того чтобы прямая y=kx-\-b явля-
лась наклонной асимптотой графика функции
y = f (х) при х->4~ оо (х-*— оо), необходимо и доста-
точно существование конечных пределов
lim — k и lim (/(х) — kx)— b.
X—» -1-00 X	x-t-
(x—oo)	(x-* — оо)
Доказательство. Огра-
ничимся случаем х-*-4~°о.
Необходимость. Если у =
= kx-\-b — асимптота графи-
ка функции у = ](х) при х->-
—4- оо, то:
495
lim	lim (k + -+^) = k
x-*--}-oo x x-*-+oo \ x	x /
и lim (/(%) — kx) = lim (b + a (x)) = b.
X-+ co	X —* 4- co
Достаточность. Пусть существуют пределы (*). По-
скольку предел (Дх) — kx) равен Ь, то:
/(х)— kx-b-)-a(x), a(x)->0 при х->оо,
откуда следует, что / (х) = kx + b -f- а (х), т. е. прямая у —
= kx-\-b — наклонная асимптота графика функции f (х)
при х->+ оо.
Пример. Найдем асимптоты графика функции
Решение. Так как
lim —1— =4-оо,	lim -----s-= — оо,
Х^2 + Ох-2	х->-2 —О*-2
то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту:
,	<• f(x) |.	х2+1	.
к= lim -----= lim ----------=1,
х-*±оо х х~* ± оо X (х—2)
b = lim (/(х) — kx) — lim (—ii — х^ =
Х->±оо	Х->±оо\*	4	/
,.	х241 — д + 2х ..	2x41	„
= lim —4---------L—= hm —Ц- = 2.
х-*±оо х 2	х->-±оо х 2
Итак, при х->оо график функции имеет наклонную
асимптоту z/ = x-|-2.
Таким образом, функция / (х) имеет вертикальную
асимптоту х — 2 и наклонную у = х-)-2.
Упражнения
734. Найдите асимптоты (если они существуют) гра-
фика функции:
з
>)
г> »-4Ух»-9.
496
100.	ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Наиболее полное исследование функции и построение
ее графика можно провести по следующей схеме.
1.	Найти область определения функции, точки ее
разрыва.
2.	Исследовать изменение функции при х, стремя-
щемся к концам промежутков области определения
и точкам разрыва.
3.	Исследовать функцию на периодичность, четность
или нечетность.
4.	Найти точки экстремума и промежутки возраста-
ния и убывания.
5.	Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
6.	Найти точки пересечения графика функции с коор-
динатными осями.
7.	Определить асимптоты графика функции, если они
есть.
Пример 1. Построим график функции
/ (х) = х3 — бх2 4- 9х — 3.
Решение.
1.	Функция определена на всей числовой прямой, так
как f (х) — многочлен, т. е. D(J) = R.
2.	Функция непрерывна в £)(/):
lim /(х)— — оо; lim /(x)=-j-oo,
х-*-— оо	х—*- + оо
3.	Функция не является ни четной, ни нечетной; кро-
ме того, она не является периодической (обоснуйте само-
стоятельно).
4.	Найдем точки экстремума и промежутки возраста-
ния и убывания функции. Для этого найдем f' (х) и кри-
тические точки функции:
/'(х) = 3х2 — 12x4-9 = 3 (х2-4х + 3) = 3(х— 1)(х-3).
/' (х) = 0 при Х] = 1 и х2 = 3.
Составим таблицу:
X	( — оо; 1)	1	(1; 3)	3	(3; + оо)
/'(*)	+	0	—	0	+
f(x)		1		-3	л
497
ка пересечения с осью
ка с осью Ох в данном
5.	Найдем промежутки вы-
пуклости и точки перегиба:
/" (х)=6х—12.
Точка х0=2 разбивает об-
ласть определения функции
на два промежутка (—оо;
2) и (2; 4-о°). В первом из
них f" (х)<0, а во втором —
/"(х)>0, т. е. в проме-
жутке (—оо; 2) кривая вы-
пуклая вверх, а в промежутке
(2; + оо) — выпуклая вниз.
6.	Полагая х = 0, получа-
ем у=—3. А (0; —3) — точ-
Оу. Точки пересечения графи-
случае определить трудно.
7. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
График функции показан на рисунке 144.
Пример 2. Построим график функции
Дх)
...Jx+1)2
х — 2 
Решение.
1.	Область определения функции:
D (/) = (- оо; 2)U(2; + со).
2.	Функция непрерывна в области определения.
Исследуем функцию f в окрестности точки х = 2:
lim f (х)— — оо; lim f(x)=A-°°-
х->2-0	х—2-f-O
Следовательно, прямая у = 2 является вертикальной
асимптотой.
3.	Найдем наклонные асимптоты по формуле
y = kx-\-b, где
L 1-	/(*)	|-	(х+1)2	.
k = lim -—= lim 2——£- = 1,
х х^^ х-2
b= lim (/(%)— kx)— lim —-tl==4.
x—»- no	x-f co %
Следовательно, прямая у = х-|-4 является асимптотой
графика.
4.	Найдем f'(х) и f" (х):
(х 4-1) (х—5)
'	Z'—	(х-2)2
18
(х-2)‘
498
5.	Исследуем функцию на монотонность и экстре-
мум. Критические точки: xt =— 1, х2 = 5.
Дальнейшее исследование можно проводить двумя
способами.
а)	Составляем таблицу:
X	(— оо;— 1)	— 1	(-1; 2)	(2; 5)	5	(5; +оо)
/'(*)	+	0	—	—	0	4-
	X	0	\	х	12	х
б)	f" (— 1)<0, значит, в
точке х0— — 1 — максимум,
f" (5)>0 — в точке х0 = 5 — ми-
нимум.
Итак, ( — 1; 0) — точка мак-
симума, (5; 12) — точка мини-
мума.
6. Найдем промежутки вы-
пуклости, вогнутости, точки пе-
региба. Для этого нужно найти
критические точки второй про-
изводной. Таких точек нет. Это
означает, что на каждом из про-
межутков определения функция
/"(х) сохраняет свой знак:
f" (х)<0 при х<2, и, зна-
чит, функция выпуклая вниз,
f" (х)>0 при х>2, и, значит,
функция выпуклая вверх.
7. Находим точки пересечения графика с осями коор-
динат: (О; — -0, (— 1; 0).
График показан на рисунке 145.
Упражнения
735. Исследуйте функцию с помощью производной
и постройте ее график:
а)	/ (х) = —-^-х3 + х2;	в) /(х) = — х4 + 2х2 + 3;
б)	/(х) = х3-Зх2 + 4;	г) /(х) = 4х5 + 5х4;
499
д)	/(х) = х3 — Зх2-]-?;	S(r\— 2x3 •
j;/W-x2 + 1.
е)	/(х) —у —х2 —Зх-|-4; и) /(х) = х2 + 1+1;
ж)	/(х) = 4~2х2 + Зх;	к) /(x)=V^(2 + x).
736. Исследуйте функцию с помощью производной
и постройте ее график:
а)	ср (х) = х — Vх":	в) <р (х) = х2 \/х — 3 ;
б)	<р(х) = х"\/2 —-V2;	г) <р (x) = V7 + "\/4 —х.
737. Исследуйте функцию с помощью производной
и постройте ее график:
а) у = 2 sin х — cos 2х; б) z/ = 2x-|-4 arctg х.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Из истории возникновения дифференциального ис-
числения.
Понятие производной возникло еще в XVII в., задолго
до построения строгой теории пределов, рассмотренной
во второй главе. Формирование понятия производной
исторически связано с двумя задачами: задачей проведе-
ния касательной к кривой и задачей нахождения скоро-
сти движения.
Французский математик и юрист П. Ферма
(1601 —1665) не позднее чем в 1629 г. предложил способы
отыскания наибольшего и наименьшего значений функ-
ции и проведения касательных к произвольным кривым,
которые, по существу, основывались на применении про-
изводных. Другой французский математик и философ
Р. Декарт (1596—1650) разработал к 1637 г. метод
координат и основы аналитической геометрии. Научная
500
переписка между ними помогла выработать общее поня-
тие касательной, понимаемой как предельное положение
секущей.
Работы Р. Декарта и П. Ферма способствовали от-
крытию интегрального исчисления и его постепенному
обоснованию.
В 1666 г. английский ученый И. Ньютон (1643—
1727) и независимо от него несколько позднее немецкий
математик Г. Лейбниц (1646—1716) разработали
теорию прозводных, получившую название дифференци-
ального исчисления. И. Ньютон, исходя из вопросов
механики, представлял аргумент функции как время,
функцию времени называл флюентой (т. е. текущей
величиной), а ее производную рассматривал как ско-
рость течения (т. е. изменения) функции и называл
флюксией. И. Ньютон обозначал функции последними
буквами латинского алфавита и, х, у, z, а их флюк-
сии, т. е. производные от флюент по времени,— соот-
ветственно теми же буквами с точкой над ними:
«, х, у, z.
Вопрос о взаимосвязи между непрерывностью фун-
кции и существованием ее производной сыграл важ-
ную роль в проблеме строгого обоснования математи-
ческого анализа. Дело в том, что в течение XVII,
XVIII и первой половины XIX в. ученые-математики
считали, что любая непрерывная функция имеет про-
изводную. Это утверждение основывалось на том, что
непрерывную кривую представляли как траекторию
движения тела, а производная — это скорость движе-
ния, тогда естественно считать, что всякое движение
совершается с некоторой скоростью. Немецкий матема-
тик К. Вейерштрасс (1815—1897) в 1875 г. по-
строил пример непрерывной функции, не имеющей про-
изводной ни в одной точке. Геометрически это значит,
что кривая непрерывна, но ни в одной точке не имеет
касательной. Пример К. Вейерштрасса показывает, что
интуиция в некоторых случаях не подводит. Можно
различными способами построить непрерывные функции
на некотором промежутке, но не имеющие производной
ни в одной точке.
501
Интересно знать
В середине XVIII в. Л. Эйлер стал пользоваться
греческой буквой Д для обозначения приращений пере-
менных величин, т. е. Дх = х2— xi- ^У — У1— У\ и т- Д- Это
обозначение используем и мы:
Обозначение /'(х) для производной функции z/ = /(x)
было введено Ж. Лагранжем (1736—1813).
Г. Лейбниц обозначал ту же производную через
d (х)	df	dy
—-—, или или -~-
dx	dx	dx
no dx» или «dy no dx»).
d(x2
(читается: «df
Например,
d (5х + 6)
dx	’ dx ’ dx
Термин «производная» является буквальным пе-
реводом на русский французского слова derivce.
О. Коши, используя начальную букву этого термина,
обозначал производную символом Dy или Df (х).
Терминология И. Ньютона (флюенты, флюксии) и его
символы производной утратили свое значение. Иногда
лишь в физике в некоторых случаях обозначают точками
над буквами производные по времени.
Символ df Г. Лейбниц выбрал для обозначения диф-
ференциала функции /.
Знаете ли вы?
Почему все молочные цистерны цилиндрической фор-
мы? Почему такой же формы вагоны поездов, кузова
машин для перевозки бензина, нефти, живой рыбы;
нефтехранилища? Чтобы ответить на эти вопросы, рас-
смотрим схему решения двух задач.
Задача 1 (о размерах сосуда). Найдите размеры
сосуда, при которых на его изготовление потребуется
наименьшее количество материала (при данном объеме).
Процесс решения состоит из трех этапов. Во-первых,
требуется выразить площадь поверхности сосуда как
функцию его размеров; во-вторых, найти минимум этой
функции; наконец, проверить, что найденный ответ явля-
ется минимальным.
502
Решение задачи дает возможность сделать следую-
щие выводы: 1) из сосудов одной высоты наиболее выгод-
ными будут сосуды цилиндрической формы (цистерны).
2) Наилучшим, с точки зрения экономии материала,
будет тот сосуд, у которого высота равна диаметру
(нефтехранилища).
Задача 2 (о наивыгоднейшей скорости речного
судна). Затраты во время хода судна складываются из
стоимости топлива и некоторых других расходов. Стои-
мость топлива А связана со скоростью хода судна следу-
ющей формулой: Л = 0,03и3, где v — скорость судна
в км/ч. Остальные расходы пусть составляют В рублей
на каждый час хода. Определить скорость, при которой
расходы, приходящиеся на каждый пройденный кило-
метр, будут наименьшими.
Пояснение к задаче. Если скорость движения судна
мала, то расход топлива невелик, но судно будет так
долго в пути, что другие расходы непомерно возрастут.
Увеличение скорости уменьшит время движения, но топ-
лива потребуется много больше. Поэтому должна суще-
ствовать такая скорость, при которой сумма расходов
A-f-B окажется наименьшей. Работники водного транс-
порта называют эту скорость экономической. Такую ско-
рость необходимо найти в предложенной задаче.
Решение. Выразим расходы как функцию скоро-
сти. Полную стоимость одного часа хода обозначим
S р./ч. Тогда 3 = Д-]-В, или 3 = 0,03и3 + В р./ч. Расходы
на 1 км пройденного пути получим, если расходы, прихо-
дящиеся на 1 ч, разделим на число пройденных за час
километров. Скорость как раз и есть число километров,
проходимых в час. Поэтому, если обозначить через 30
стоимость одного километра пройденного пути, то
о S	о 0,03v3-|-S р. ™ 2 ।
So = — или 30=-------1— = 0,03ц А—.
и V	V	V
Расходы на 1 км пути получены как функция скорости.
Найдем теперь минимум функции.
30 = 0,03о2 + Вц-’;
S'o = O,Q6v — Bv-2-,
0,06ц-4
V
О, откуда 0,06v3 — В = 0, т. е.
Если В, например, 480 р., то ц = 20 км/ч. При такой
скорости расходы на 1 км пути будут наименьшими.
503
Найдите ошибку
По теореме Лагранжа имеем
/(х+Ах) —/(х) _ .,
Дх	'
где х<с<% + &х. Перейдем к пределу при Дх->-0. При
этом % + Дх-*- х, а поэтому с -> х. Значит,
I- г/ 1 \ I- f (х + Ах) — / W г,/
hm/'(c)= lim —------ ’	=f'(x),
с-* х	Дх->-0
т. е. производная любой функции, удовлетворяющей на
некотором отрезке условиям теоремы Лагранжа, непре-
рывна на этом отрезке.
Задачи по математике. Начала анализа: Справочное пособие / Ва-
вилов В. В., Мельников И. И. и др.— М., 1990.—608 с.
Фаддеев Д. К , Никулин М. С., Соколовский И. Ф. Элементы вы-
сшей математики для школьников.— М., 1987.—336 с.
Тарасов Л. В. Математический анализ: Беседы об основных поня-
тиях: Пособие для учащихся.— М., 1979.—144 с.
IV. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
4.1.	СРЕДНЯЯ И МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
Известно, что средняя и мгновенная скорость тела
определяется, соответственно, по формулам
As ,. As
уср = -Т7> v= llm Т7>
Р А/	д/
где Д.9 — путь, пройденный телом за время Д/. Рассмот-
рим задачи на вычисление средней и мгновенной скоро-
сти тела, если задан закон движения.
Пример 1. Материальная точка движется вдоль
оси Ох по закону % = /(/), где t — время (в секундах),
504
х — координата (в метрах). Найти среднюю скорость дви-
жения за промежуток времени t0t/0 + А/, если:
а)	/(/) = 2/-|, /0=2 с, А/ = 0,2 с;
б)	/(/) = 2-|/3, /0=1 с, А/ —0,3 с;
в)	/ (/) = /2 —4/-|-3, /0=1 с, А/ = 2 с.
Р е ш е н и е.
а)	Функция /(/) = 2/—на данном промежутке
[/0;	возрастающая, так как возрастают 2/ и — у,
т. е. координата х при движении увеличивается, точка
перемещается в положительном направлении оси Ох.
Поэтому
Д5 = Ах = / (/0 + А/)-/ (/0) = 2 (/0 + А/)---4--
‘О Т а‘
откуда
В результате получаем:
УсВ=4т = 2Н-----5---, уср = 2+—U~2,23 (м/с).
ср д/ ' Г0(/0 + ДО’ ср 2-2,2	\ / /
Р
б)	Функция / (/) = 2—у убывающая, т. е. координата
х с течением времени уменьшается, точка перемещается
в отрицательном направлении оси Ох. Поэтому в данном
случае
As= -Ах = /(/0)-/(/0 + А/) = 2 —|-
/о Ро+Д<)3\
V 3	)'
откуда
As = t20 Д/ + /0 (А/)2 + | (А/)3.
О
В результате получаем:
^==47=/«+/«(д/)+1<а^2-
505
Если закон
при движении
Подставляя значения /0=1, A/ = 0,3, находим иср =
= 1,33 (м/с).
По свойству квадратичной функции /(/) = /2 — 4х + 3
координата х до момента времени / = 2 с уменьшается,
а затем, начиная с этого момента, увеличивается. Это
означает, что на промежутке времени от /0=1 до t =
= 2 с точка движется в отрицательном направлении оси
Ох, а в течение времени от / — 2 до / = 3 с в положитель-
ном направлении. Поэтому путь, пройденный точкой за
промежуток времени 1 t 3, будет равен
As = /(l)-/(2) + (/(3)-/(2)) = /(l)-2/(2) + /(3).
Учитывая, что /(1) = 0, /(2) =— 1, /(3) = 0, находим
As = 2 м. Так как Д/ = 2 с, получаем
УсР = ^7=1 (м/с).
1 движения тела задан в виде х = /(/), то
। в положительном направлении оси Ох
As = Дх = / (/-(-Д0~/ (О,
в противоположном направлении
Д$ = / (t) — /(/-|-Д/)= — Дх.
Поэтому для вычисления мгновенной скорости использу-
ется формула
v— lim ——= lim ------—-----.
д/-иО д;-»о	м
Знак скорости, вычисленной по данной формуле, ука-
зывает на направление движения тела. При и>0 ско-
рость направлена вдоль положительного направления
оси Ох, при у<0 — противоположно.
Пример 2. Точка движется вдоль оси Ох по закону
х = 2 —О,
<5
при движении
где t — время (в секундах). Найти мгновенную скорость
точки в момент времени i0 = 1 с.
Решение. В момент времени t0 координата точки
равна х0 — 2 — у О, а в момент времени /04-Д/ она равна
х0 + Дх = 2 — Й/о + ДО3, т. е.
и
Дх = 2 —1 (/0 + ДО3-(2-1О).
506
, Откуда Ax = — /о A/ —t0 (А/)2 — (А/)3. Тогда
«5
v= lim 4т= lim f — t20— *о	— —t20.
м-»-о дг д/->-о \	J /
При /0—1 с получаем v— — 1 м/с. Величина скоро-
сти равна 1 м/с, а знак минус указывает, что направле-
ние мгновенной скорости противоположно направлению
оси Ох.
Пример 3. Тело вращается вокруг оси по закону
(p = t-j-2(2 (радиан). Найти мгновенную угловую скорость
вращения (» и вычислить ее в момент времени /0 = 0,2 с.
Решение. В момент времени t угол поворота по
условию равен <р (/)=/ +2/, в момент времени
будет равен <р + А<р = t-f-Д/-4-2(t А/)2. Угол поворота
за время А/ составит Д<р = /-|- At + 2 (t-p At)2— (/-}-2/)2,
т. е. Аф = (1 +2/) A/-J-2 (А/)2. Тогда средняя скорость
вращения за промежуток времени от t до t-f-At будет
равна
<otp = ^=!+4t + 2At.
Мгновенную угловую скорость определяем по фор-
муле:
<о„гн= Нт т. е. <омгн = lim (1+4t + 2 At)= 1+4t.
д;->-о	Д/-4-0
При /==1,2 с получаем юМГ|| = 1 + 4 • 1,2 = 5,8 (рад/с).
4.2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
ЛЕВАЯ И ПРАВАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пример 1. Пользуясь определением, найти про-
изводную функции в указанной точке х0:
б) z/ = cos2x, х0=~',
в) у = х21 х |, х0 = 0;
1 — COS X
, х=£0
хо = О.
507
Решение.
а)	Находим значения функции в точках х0=
и х0 + Дх — — £•+Дх:
9(-{+д,)=^ ^ ,--2—.
Определяем приращение функции:
А^(-1)==^(-1+Ах)~К~^)=
_	1	. 1 _ 1 Дх
~ 2Дх —2 + 2 —2 Дх—Г
Составляем разностное отношение:
44) .
Дх 2 Дх—Г
Тогда по определению:
б)	Находим значения функции в точках х0 —и
х0 + Дх=^- + Дх:
У (t) = cos7 = 0:
у (д- + Дх) = соэ (-2- + 2Дх)= —sin (2Дх).
Приращение функции будет равным:
А^ (т) = у (т+Ах) ~ у (z) = “sin <2 Ах>-
Тогда по определению:
У
..	Л^\4/	— sin (2Дх)
= lim —r—L-= Hm --------------
Дх-*-0	Дх-»-0
= _2 Пт !!!!£¥>.=-2.
Дх-О 2Дх
508
в)	Находим значения функции в точках хо=О и
х0'+Ах = Ах:
z/(0) = 0; г/(Ах) = (Ах)2 | Ах|.
Тогда приращение функции будет равным:
ку (0) = у (Ах) —1/(0) = (Ах)2 | Ах|.
По определению производной:
у' (0) = Нт ^121= Пт Ах|Ах|=0.
Дх-j-O	Дх-*0
г)	Находим значения функции в точках хо = О и
х0 +Ах = Ах:
//(0) = 0, у (Ах)
1 — cos Дх
Дх
Запишем приращение функции:
АУ(О)
1 — cos (Дх)
Дх
Тогда
У' (0)= lim
Дх-»-0
(Дх)2
Пример 2. Доказать, что функция
(х2— 14, если x<J4,
/—
ух, если х>4
непрерывна в точке х0 = 4, но не является дифференци-
руемой в этой точке.
Решение. Значение функции в точке х0 = 4 равно
/(4)=42—14 = 2. Найдем пределы функции в точке 4
слева и справа:
lim /(х)= lim (х2—14) = 2, lim /(х) =
Дх -► 4 — 0	Дх 4 — 0	Дх -* 4+0
= lim yfx=2.
Лх-.-4 + О
509
Так как /(4 —0) = /(4-|-0) = /(4) = 2, то функция
в точке х0 = 4 непрерывна.
Значение функции в точке х0 + Дх = 4 + Дх зависит от
знака Дх. При Дх<0 видно, что
44-Дх<4 и /(4 + Дх) = (4 + Дх)2— 14 =
2-|-8Дх + (Дх)2.
Если Дх>0, то 44-Дх>4 и /(4 + Дх) = "\/4 + Дх.
Соответственно и для разностного отношения имеем:
А/(4) _/(4 + Дх)-/(4) _
Дх	Дх
84~Дх, если Дх<0,
Д/4 + Дх —2
Дх
если Дх>0.
Отсюда
lim	 = lim (8 + Дх) = 8,
Дх---О ДХ	Дх —О
lim
Дх —+ 0
А/(4)
Дх
।.	Л/4 + Дх — 2	..	4 + Дх — 4	1
lim -А—4------= lim ----z .	----- =-.
дх—4-0 Дх дх—о Дх (у44-Дх+2)	4
Односторонние пределы разностного отношения раз-
личны, поэтому предела отношения приращения функ-
ции к приращению аргумента в точке не существует.
Следовательно, в точке х0 = 4 функция не дифференциру-
ема и не имеет производной. Однако в таких случаях
говорят о существовании левой и правой производной
в точке.
Определение. Предел разностного отношения
слева (справа) функции y — f(x) в точке х0, если он
существует, называется левой (правой) производной
функции в этой точке.
Обозначаются левая и правая производная функции
в точке соответственно f' — (х0), f' + (x0). Так что по
определению:
с/ / \ г дН*о) г, , , ч	д/(хо)
f — (х0)= lim ——/' + (х0)= lim ——.
Дх —-0 Лх	Дх—+ о Лх
В рассматриваемом примере /' — (4) = 8, // + (4) = -^-.
Если функция f дифференцируема в точке х0, то f'—
— (Хо) = /' + (хо) = //(х0). Верно и обратное утверждение.
510
4.3. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
На форзаце книги приведена таблица производных
некоторых элементарных функций. Правая часть этой
таблицы заполнена по правилу дифференцирования
сложной функции. Например, получим формулу
(H< = fTW(x).
Данную функцию у = $р(х), введя промежуточный
аргумент и, запишем в виде у — ир, u = f(x). Тогда по
правилу дифференцирования сложной функции:
у' = (иру-и'х = рир-'-и', т. е. y' = pfp~' (х)-Г (х\
Аналогично функцию у— arcsin / (х) представляем
в виде у = arcsin и, u = f(x). Тогда
j/ = (arcsin и)'и'х=	- и'х = — 1 — f' (х).
У v	A/l-fW
Задание. Получите формулы:
a)	(tg/(x))' = —1—/'(х);
cos / (х)
б)	(arctg/(x))'=—/'(х).
С помощью таблицы производных находим:
4.4. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
К основным задачам о касательной отнесем:
А. Найти уравнение касательной к графику функ-
ции y = f(x) в точке М0(х0; f (х0)).
511
Б. Найти уравнение касательной к графику функ-
ции z/=/(x), проходящей через точку Р (хр, у}).
В. Найти угол между графиками функций у —
= f(x) и y = g(x) в точке их пересечения.
Решение задачи А приведено в п. 77.
Задача Б не всегда имеет решение. Она может иметь
и несколько решений.
Пример 1. Найти уравнение касательной к графи-
ку функции у— у! —х2, проходящей через точку Р(0; 2).
Решение. Уравнение касательной, проходящей че-
рез точку Р (0; 2), имеет вид
у — 2 = kx, k — y' (х0), у' (х) = (V1—х2) = —
\/1—ЙГ
Координаты точки касания (х0; у0) удовлетворяют
уравнению касательной и уравнению у=~\/1 —х?. Поэто-
му можем записать систему уравнений:
П	1 V3
Решая эту систему, находим Уо—-^, х0=-^~ и вычис-
ляем угловой коэффициент k =—~\/3. Таким образом,
получили уравнение касательной у =—~\/Зх-}-2.
Пример 2. При каких значениях параметра а из
точки Р(2; 1) можно провести касательную к графику
функции у=У[х-\-а>
Решение. Уравнение касательной, проходящей че-
рез точку Р (2; 1), имеет вид
г/—1 = ^(х —2), где k = y'(x0), а у'(х) = —
Координаты точки касания должны удовлетворять
системе уравнений
Уо 1	/— (хо 2),
2 \ха
,Уо='\/х^+а-
Отсюда для х0 получаем уравнение
х0 —2 д/х7+а = 0, т. е. (д/х^—1)2= 1 —а.
512
Это уравнение имеет решение, если а^1. Поэтому
при йе(-оо; 1] из точки Р (2; 1) к графику данной
функции можно провести касательную.
Прежде чем переходить к решению задачи В, введем
следующие понятия.
Определение. Углом между двумя пересекающи-
мися прямыми называется наименьший из углов, возни-
кающих при пересечении этих прямых. Угол между
параллельными прямыми считается равным нулю.
На основании этого определения величина угла меж-
ду прямыми равна наименьшему из чисел |о.г — а2|
и п—|й] — а2|, где гц и а2 — величины углов наклона
каждой из данных прямых к положительному направле-
нию оси Ох (рис. 146, а, б). Поэтому, если угол между
прямыми обозначить через а, в любом случае при а=#-~
имеем tg а= |tg(a1--a2)|.
Пусть прямые заданы уравнениями г/ = й1х-(-61 и у =
= k2x-}-b2, т. е. tg а,1 = £1, tga2 = fe2. Тогда, принимая во
внимание формулу для тангенса разности двух углов,
получаем:
Из этой формулы непосредственно следует, что:
а)	две прямые параллельны тогда и только тогда,
если kt = k2 (условие параллельности прямых);
б)	две прямые перпендикулярны тогда и только тог-
да, если k{k2 =— 1 или k2=—-i- (условие перпендику-
«1
лярности прямых). Объясните почему.
Например, прямые у = 2х— 3 и у = 2х-|-5 параллель-
17 Алгебра, 10 кл.
513
у|	ны, так как ki = k2—2\ пря-
мые у = 5х— 3 и у =—-ix + 4
перпендикулярны, так как
___^1^2+1=5(-1)+1=0.
y^gw/ 0>	* Определение. Углом
между графиками функций « =
Г	1*х/	и y—.glx} в точке их
пересечения называется угол между касательными к гра-
фикам в этой точке (рис. 147).
В случае, когда этот угол равен нулю, графики
функций касаются друг друга.
Решение задачи В покажем на примере.
Пример 3. Найти угол между графиками функций
,—	J
у—\2х и У=~2 в точке их пересечения (с положитель-
ной абсциссой).
Решение. Абсциссы точек пересечения находим из
уравнения '\г2х	х2, которое равносильно уравнению
2x = j%4. Решая его, получаем х = 0 или х — 2. Вычислим
угловые коэффициенты касательных к графикам данных
функций в точке с абсциссой, равной 2:
Ы2хУ=-4= (2х)' =
2Л/2?	д/2?
Откуда й1=-^==г=у, k2 = 2 и
tga =
2-2
+Ц
2
4’
Значит, графики данных функций в точке с абсциссой 2
. 3
пересекаются под углом a = arctg—.
Пример 4. Найти все значения параметра а, при
которых графики функций /(х)=-у и g(x) — ax2 пересе-
каются под углом arctg д/2.
Решение. Абсцисса точки пересечения удовлетво-
а4 ?
ряет уравнению — = ах .
514
Из условия задачи очевидно, что а#=0. Поэтому
решением данного уравнения будет х0 = а. Угловыми
коэффициентами касательных к графикам функций
в точке с абсциссой х0 будут /' (х0) и g'(x0). Учитывая, что
=	= —	g'M=-(ax2)' = 2ax,
находим kl — f'(a)=—a2, k2 = g'(a)=2a2. Но тогда
tga =
2a2 + a2 I
1—2a4 |
По условию tga=V2". Отсюда возможные значения
а удовлетворяют уравнению
I За2
I 1—2а4
которое равносильно совокупности уравнений:
За2
1—2а4
у/2 или
За2
1—2а4
-А/2,
т. е. 2 д/2"а4-|-За2—~\/2—0 или 2У/2а4 — За2—д/2" = 0,
а2У=^-.
Положив а2=/ (/>0), получаем:
2д/2/2 + 3/—Д/2 =0 или 2Л/^/2-3/-Д/2 =0, /=И=0,5,
/>0.
Решая эти квадратные уравнения при указанных
условиях, получаем:
t = —или	т. е. а2=—или а2=\[2.
2Д/2	2 у2
Таким образом, графики данных функций пересека-
ются под углом а rctgV2, если |я| =-j— или \а\=у/2,
д/8
т. е.
Решения многих задач на нахождение уравнения
касательной сводятся к рассмотрению основных задач
или содержат их в качестве составных частей.
515
Пример 5. Найти уравнение касательной к графи-
ку функции у = х3 + Зх2 — 5, перпендикулярной к прямой
2х — бу 4-1=0.
Решение. Задачу сведем к задаче А, если найдем
точку касания (х0; у0). Так как касательная перпендику-
лярна данной прямой, то их угловые коэффициенты
обратны по величине и противоположны по знаку. Для
данной прямой угловой коэффициент	Следова-
тельно, для касательной k= —3. С другой стороны, k —
= у'(х0). Учитывая, что ^/(х) = (х34-3х2 —5)' = Зх2-|-6х,
имеем Зх^4-6х0=—3, где х0 — абсцисса точки касания.
Отсюда и находим х0 = — 1. Принимая во внимание, что
у( — 1) = (— 1)34-3(— I)2 —5=—3, записываем уравне-
ние касательной:
у —(— 3)= — 3 (х —(— 1)), т. е. Зх + у + 6 = 0.
Пример 6. Даны функции f (х) = х2 — 4x4-2 и
g(x)=2x—11.
а)	Найти уравнение касательной к графику f, па-
раллельной графику функции g.
б)	Найти расстояние между касательной и графиком
функции g.
Решение.
а)	График функции g — прямая с угловым коэффи-
циентом, равным 2. Из условия параллельности прямых
заключаем, что угловой коэффициент касательной также
равен 2. Так как /'(х) = 2х —4, для абсциссы точки
касания получаем уравнение 2х —4 = 2. Отсюда х0 = 3,
а £/0 = /(х0) = 32 — 4 - 34-2= — 1, и уравнением касатель-
ной будет:
z/4-1 =2(х — 3), т. е. у = 2х— 7.
б)	На рисунке 148 показаны графики функций z/ =
= 2х — 7 и у — 2х—11. Так как tga = 2, то sina = -^L,
"у 5
и из треугольника MNK находим
MN = 2-^==^-.
5
4
Пример 7. К гиперболе У=— проведена касатель-
ная параллельно прямой у=— 4х. Найти площадь тре-
угольника, образованного этой касательной с осями коор-
динат.
516
Рис. 149
Решение. Поскольку угловой коэффициент каса-
тельной равен значению производной в точке касания, то
получим уравнение
4
--^=—4, откуда х— — 1 либо х=1.
Следовательно, точки А (1; 4) и В (— 1; —4) являются
точками касания (рис. 149).
Уравнение касательной, проведенной через точку А,
имеет вид у — 4=—4 (х—1).
Эта прямая пересекает оси координат в точках
0(0; 8) и 0(2; 0). Тогда
S&cod — '2 С®'	= 8-
Аналогично находим уравнение другой касательной,
проведенной через точку В: у А-4=—4(х-|-1), и точки
ее пересечения с осями координат: С1 (0; —8), D{ (— 2; 0).
Тогда
^^ciod1 — ~2	~8.
Пример 8. Доказать, что площадь треугольника,
ограниченного осями координат и любой касательной
й	1	о
к гиперболе У — —< равна 2.
Доказательство. Пусть ^х0; у-) — любая из то-
чек гиперболы. Тогда уравнением касательной к ги-
перболе в этой точке будет г/ = -^-(2х0— х) (проверьте
самостоятельно).
517
Найдем координаты точек пересечения касательной
с осями:
(9 \
0; 4) и (2х0; 0).
*0/
Отсюда площадь прямоугольного треугольника ока-
зывается равной
4.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Применение производной упрощает исследование ря-
да свойств функций.
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убы-
вания функции
_ Х3+1
~ х2 •
/(*)
Решение. Областью определения функции явля-
ется множество £>(/) = (—сю; 0)0(0; -|-оо). В каждой
точке области определения функция дифференцируема:
лх)=(х+л)=1-г
Критические точки находим из условия /'(х) = 0,
2	3 I—
т. е. 1---j = 0. Отсюда х0=у2, Эта точка разбивает
область определения функции на три промежутка
(- оо; 0), (О; Д/г) и (д/^; оо). На каждом из этих
промежутков производная, как непрерывная функция,
сохраняет постоянный знак. Его определяем по знаку
(з _\
v2 1
2~
/'(2)>0. Отмечаем знаки на каждом из промежутков
координатной прямой (рис. 150) и устанавливаем, что
функция возрастает на промежутках (— оо; 0) и (^2; + оо),
убывает на интервале (о; У/я').
(г7)	Так как функция в точке
—	3 г—
—+ Vf +—х0=у2 непрерывна, то прихо-
/	г /	дим к следующему результа-
Рис. 150	ту: функция возрастает на
518
'промежутках (—оо; 0) и [\2; -ф оо), убывает на
(О; Ш
Пример 2. Найти точки экстремума функции
i/ = (x+l)3(x-l)2.
Решение. Функция определена, дифференцируема
и непрерывна при всех х. Найдем производную функции:
/ = 3(х+ 1)2(х- 1)2 + U+ I)3 2 (х- 1) =
= (х+1)2(5х-1)(х-1).
Решая уравнение z/' = 0, определяем критические точ-
ки: Xi= — 1, х2 = -^, х3 = 1. Отмечая эти точки на коорди-
натной прямой (рис. 151), в каждом из получившихся
промежутков определяем знак производной. При перехо-
де через точку xt =— 1 производная не меняет знака —
функция в этой точке не имеет экстремума; при переходе
через точку х2 — -^ знак производной изменяется с «-]-»
и
1
на «— », значит, х2=—— точка максимума; при перехо-
де через точку х3=1 производная изменяет знак с «—»
на « + », поэтому х3= 1—точка минимума.
Пример 3. Найти экстремум функции
g(/)=l-^(/-l)2.
Решение. Функция определена и непрерывна при
всех t. Найдем производную функции:
_ 1
\ т. е. g'(t) =-.
3 V<-1
Отмечаем, что g'(x)=^=0, но в точке t0— 1 производная не
существует. Так что /0=1— критическая точка. Эта
точка разбивает координатную прямую на два проме-
жутка (— оо; 1) и (1; + оо) (рис. 152). Установим знаки
производной на каждом из них. Так как при переходе
Рис. 151
Рис. 152
519
через точку /0= 1 производная меняет знак с «4~» на
« —», то 1—точка максимума, причем gmaxG)=l-
Пример 4. При каких значениях а функция
/(х) = 2ах34-3 (3 —2а) х2 —36x-f-4
Г1 з к
возрастает на отрезке 1;	?
Решение. Имеем
/'(*) = бах2 + 6 (3 —2а) х —36,
т. е.
/'(*) = 6 (х —2) (ах 4-3).
Найдем все а, при которых /'(х)^0 на отрезке
[31	Г 3 1
1; I. При хе I 1; g-I х — 2<0, поэтому достаточно
потребовать, чтобы ах4-3^0 при всех х из указанного
з
отрезка. Для этих х получаем a<i ——. Так как функция
3	Г 3 1
у—— — возрастает на 11; I, то min у —у(1)== —3.
Отсюда а<—3.
4.6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТОЖДЕСТВ И НЕРАВЕНСТВ
При доказательстве тождеств часто бывает полезной
следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы непрерывная функция
у = f (х) была постоянна на некотором промежутке, не-
обходимо и достаточно, чтобы ее производная во всех
внутренних точках этого промежутка была равна нулю.
(Докажите самостоятельно.)
Пример 1. Доказать тождество
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию / (x) = cos2 х — cos 2х, которая определена
и имеет производную на множестве всех действительных
чисел. Для всех х из Я производная равна нулю.
В самом деле,
/'(*)= —2 cos х sin x-f--^- 2 sin 2х = 0.
520
Следовательно, при любом действительном х
cos2 х—cos 2х = С.
Поскольку
/ (0) = cos2 0 —1 cos (2-0)= 1 —1 = 1,
то
2	1 о 1
cos х — cos 2х=—.
Откуда
о 1 4- cos 2х
COS X —---------------------•
Пример 2. Доказать тождество
sin6 x + cos6 хЧ-1 sin2 2х = 1.
4
Доказательство. Функция
g (x) = sin6 x + cos6 х + -1 sin2 2х
определена и дифференцируема при любом х из /?.
Найдем производную функции g(x):
g'(x) = 6 sin5 х cos x + 6 cos5 x (— sin x) +1 • 2 sin 2xX
Xcos 2x-2 = 3 sin 2x(sin4 x —cos4 x + cos 2x) =
= 3 sin 2x(sin2x —cos2x + cos2x —sin2x) = 0.
Итак, sin6 x + cos6 x+-l sin2 2x = C.
«4
Для нахождения С вычислим значение функции g (х),
например, при х = 0:
C = sin60 + cos60 + l sin2(2-0)= 1. •
Пример 3*. Доказать тождество
arctg х+ arcctg х=у.
Доказательство. Функция
/ (х) = arctg х +arcctg х
определена и имеет производную для всех х из /?, а
521
Следовательно, arctg х-|- arcctg х = С при любом дей-
ствительном х.
Но /(0) = arctg 0+arcctg 0 = 0 + ^- = у и
С = Т •
Применение производной для доказательства нера-
венств чаще всего связано с исследованием функции на
монотонность и экстремум. Рассмотрим примеры.
Пример 4. Доказать неравенство
х* + (1-х)5>±
при любом х из R.
Доказательство. Составим функцию
/(х) = х5 + (1-х)5-^.
Она непрерывна и дифференцируема в любой точке
числовой прямой. Тогда
Д(х) = 5х4 — 5(1— х)4.
Найдем критические точки функции:
(5х4-5(1-х)4 = 0)<^(х2-(1 —х)2)Х
Х(х2 + (1-х)2) = 0о(х2-(1-х)2) = 0о
-ф>(х = 0,5).
При х<0,5 /'(х)<0 (объясните почему) — функция
убывает; при х>0,5 /'(х)>0 — функция возрастает. Сле-
довательно, только в точке х = 0,5 функция / (х) имеет
минимум и / (0,5) = 0. Отсюда следует, что
/(х)>0, т. е. х5 + (1-х)5>-^.
Пример 5. Найти наименьшее значение функции
на отрезке [0; 5].
Решение. Функция g (х) дифференцируема в каж-
дой точке интервала (0; 5), кроме точки х = 2, а поэтому
При 0<х<2 g'(x)>0 — функция возрастает. Отсю-
да, в силу непрерывности ее в точке 0, min g (х) = g (0) =
|0; 2]
522
= 1. Найдем критические точки функции, принадлежа-
щие интервалу (2; 5):
откуда х = 4.
При переходе через точку х = 4 производная меняет
знак с «—» на « + », т. е. х — 4— единственная точка
минимума функции на (2; 5]. Поэтому ming(x) —
(2; 5)
= £(4) = 0.
Выбирая из чисел g(0)=l и g(4) = 0 наименьшее,
получаем ming(x) = 0.
(О. 5]
Пример 6. Доказать, что sin x-|-tg х>2х при
хе (°; f).
Доказательство. Пусть
/ (x) = sin x-|-tg х — 2х и хе 0;
Тогда
f'(x) = cos х Н----2 > cos2 х ------2 > 0,
cos2 х	cos2 X
поскольку cosx>cos2x и cos2x-|------1—~>2 при хе
COS X
е^О; у), так как /'(х)>0 при хе^О; у), то функция
/ (х) возрастает на интервале ^0; у). Следовательно,
/ (х)> / (0) = 0, т. е. sinx + tgx>2x при хе^О; -0.
Пример 7. Доказать неравенство
tgx>x + ^- при 0<Х<у.
О
Доказательство. На промежутке |0; yj рас-
X3
смотрим функцию /(x) = tgx — X-—.
Найдем производную этой функции:
Д(х) = —---I — x2 = tg2x — x2 = (tgx — x)(tgx+x).
COS X
Она положительна на промежутке ^0; так как
х>0, tgx>0 и tgx>x. Следовательно, функция f (х)
523
на промежутке |0; -0 возрастает. Так как / (0) = 0, то
для всех х>0 будет и / (х)>0, т. е.
X3	X3
tgx —х—т>0, или tg х>х + —.
О	о
Заметим, что, хотя неравенство нужно доказать на
интервале (б; вспомогательную функцию мы рас-
смотрели на промежутке, включающем точку 0.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
738.	При каких действительных значениях а график
функции г/ = х24*я будет касаться прямой:
а)	у= — 4x-f-5; в) у=—2х;
б)	у = 2х — 7; г) у = 6х — 11?
739.	Найдите величину угла, под которым парабола
z/ = x2— 3x4*5 видна из точки А (1; —1).
740.	Найдите действительные значения параметра р,
при которых прямая z/ = 7x4*P будет касательной к гра-
фику функции у = х3 — 5х — 7.
741.	При каком действительном значении параметра а
прямая i/ = ax4*4 касается графика функции у=——?
742.	Найдите все значения а, при которых касатель-
ная к графику функции y = cos 7x4*7 cos х в точке с абс-
циссой а параллельна касательной к этому же графику
в точке с абсциссой %-.
О
743.	Найдите координаты точки, которая лежит на
графике функции z/=14*cosx при О^х^л и удалена
на наименьшее расстояние от прямой Д/З”-x4*2i/4-4 = 0.
744.	Проведены касательные к графику функции у =
= 3х —х2 в точке с асбциссой а = 2 и в точке минимума.
Найдите площадь треугольника, образованного осью ор-
динат и этими касательными.
745.	Найдите производную функции
1+Vl-F-^l-l-x4 .
746.	Дана функция / (х)= |х—11-j**^*- Постройте
график функции f'(x).
524
.	747. Найдите область значений функции:
a)fU) = ^T1; б) / (х) = 0,25х4 —2х2+1.
л “г 1
748.	Сколько раз пересекает ось абсцисс график функ-
ции /(х)=1 —12х + х3?
749.	Найдите промежутки, на которых функция
/(х) = -^х4—-i-x3 — Зх2-)-! возрастает.
750.	Найдите промежутки возрастания функции
у = 6х3 — 3 | х — 11.
751.	Докажите, что функция / (х) = х3+5х2— 2х—1
убывает на промежутке [—1; 0].
752.	Найдите все целые неотрицательные значения а,
при которых функция /(х) = (а4— 9а2—10) х — х2 убы-
вает.
753.	Найдите все действительные значения парамет-
ра а, при которых функция у— —2х3 + 4х2 — ах — 7а— 21
убывает на промежутке (—Г, 1).
754.	При каких действительных значениях параметра
т функция у = 2х3— 3 (m-j-2) x2-f-48/nx + 6x— 3 возраста-
ет на всей числовой прямой?
755.	При каких действительных значениях параметра
2
а функция у = - ——- убывает на отрезке [За; а 4*3]?
756.	При каких значениях параметра а сумма квадра-
тов корней уравнения х1 — 2ах + 2а2 — ба-|-8 = 0 явля-
ется наименьшей? Чему равна эта сумма?
757.	При каком действительном значении параметра
а наименьшее значение функции z/ = 3x2 — 2ах — 4 равно
наибольшему значению функции у = 3ах2 — 2ах — 8?
758.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а)^ = (х2—I)2; д) г/ = хД/2 —х;
б)	г/= |х3 — 4х |;	е)	у = х2 Л/х + 1 ;
в)	у= ,	1—;	ж)	« = 2 sin х —cos 2х;
' у №-2x4-2	’	у
г)	у = -^~——;	з)	u = sin х — 0,5	sin	2х.
’ * х2 + х+1	’	у
759.	Докажите, что если хе(0; то:
a)	cos х> 1 —
б)	sin Х>Х-------тг.
6
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава I
2. а) — ^--j-2nn, neZ; б) ±-^-+2лп, neiZ; в) ( — ly^-J-nn, neZ;
4	3	о
г) ±-^-+лп, beZ; д) л + 2лп, —-^-+2л/га, п, m^Z; е) п, n^Z.
12	2	о
5. а) Во второй; б) в первой; в) в третьей; г) в четвертой; д) в четвер-
той; е) во второй. 6. a) t2 — tl = 2nn, neZ; б) /2 —^ = л(2/г+1), neZ;
в) f2+<i=2nn, neZ; г) 124-/1==л(2п-|-1), neZ; д) = (^-\-2nj,
n^Z. 7. а) —-^г-; б) —8. а) Убывает; б) возрастает.
3	3	6	6
9. а) — -+2nn^t^^- + 2nn, aeZ; б) ^--|-2л/г</<^--|-лл или
О	О	О	и
Атт	тт
----—}-2лл^/^-—+2лга, /ieZ.
О	о
10. а), в) может; б), г), нет.
16. Нет. 19. а) Нет; б) да; в) нет. 22. а) 0; б) —1-; в) г) А/з":
д) -Д/з". 23. а) у-; б) л; в) 8; г) -у. 24. а) 60; б) 4; в) 12л; г) Зл; д) -уЬ.
25. а) 60; б) 4л; в) 2л; г) 6л. 30. а) £(у)=[-5; 5]; б) £(//)=[-1; 5];
в) £(z/)=[-2; -1]; г) £(//)=[-2-я; 2-л]; д) Е(г/)=[-1; 1];
е) Е (у)=[— 1; 1]. 31. б), е) четные; а), г) нечетные. 32. а) 1;
л/з"
б) —в) —0'5- 33. а) Минус; б) минус; в) минус. 36. а) При любом
хе(^--[-2як; Д2-+2л&\ б) при любом xsf-^--|-2nA; -^2--|-2лй\
\6	6/	\ 6	6	/
4eZ; в) при х=у+2л£ или при х=-у + 2лй, 4eZ. 44. а) Е(у)=
=[-3; 3]; б) £(//) = [!; 4]; в) £(у)=[-1; 1]; г) £(//) = [-!; 1];
д) Е (г/)=(0; 1]. 45. а), б), в) четные. 48. а), б) минус. 57. а), д), е) чет-
1
ные; б), в), г) нечетные. 60. tgl3—. 65. а), б), в), г), д), ж), з).
3
66. а) У=^‘, б) z/=y—1,5; в) у=1—х; г) У=±4 д) У —Л е) y = xi— 1;
ж) у = у/~х; з) у=— ~\[х; и) у = л/7 + 2; к) у= —Л/х —3. 67. а) у =
У/х+12-4; б)у=-^х-4 + 1; в) а = /-8х+17, х<4; г)//=-х2 +
4-10х—6, х>5. 68. у = 2 (х— 1) при х>1; у=0,5(х— 1) при x<Z
<1. 71. а) Да; нет; да; б) нет, да; да. 72. а) —у б) в) i; г)
4 о ио
526
•д) е) 0,5. 74. a) -i б) —у, в) г) 0. 75. a) у б) 1; в) л —2;
&	1 Z	О 1Z	О
Л
г)——. 76. а) Нет; б) нет; в) да. 79. [0; 0,5). 81. а) Нет; да; да; б) да; нет;
О
нет. 82. а) -у б) 0; в) у г) Л Д) 84. а) Ж б) 1. 85. a) б) 2;
О	О Л 4	Z	4
Зл
в)	-2-; г) 2л —5. 86. а) Нет; б) да. 90. а) Да; да; нет; б) нет; да;
да. 93. а) 2; б) -	94. а) -у б) 1; в)2-л; г) - 96. д) {-Д^Г; Д/Г}.
100.	а) —у б) -у в) —у г) —у. 101. а) 3; б) -л. 105. а) 0; б) 0;
в) д/г’-гд/з'; г) -5; д) ЗД/З. 106. а) 5; б) 3; в) -5-Д/З;
12	5	1
г)	—5. 108. a) sin а — —, ctga=——; б) cos а —0,6, tga= — 1 —.
10	1 £,	О
4
111.	0,2. 112. tga = 5. 113. —. 114. 18. 115. а) да; б) нет; в) да; г) да;
д)	да. 119. а) tg a tg 0; б) tg а; в) г) — 2 tg a tg 0. 121. 0,25.
О
д/о”	д/Т	.__
124. а) 0,5; б) в) -0,5; г)--------у; д) -Д/3. 125. а) cos2 17°;
__ I _д/r” оо
б) 0; в) —1. 131. б) 194. 136. а) - 2 .....-; в) 141. cos2a =
= 0,6. 142. а) 2 sin 28° cos 12°; в) — д/У sin 10°; д) Д^З” cos 15°.
143. а) Д/5" cos (а — 45°); б) л/2 sin (45° — а); г) sin (а + (5) sin (а—р);
.	.	, 0. ч . . а-|-30° а —30°
д) sin (р — a) sin (а + р); е) 4sin-----— cos-------—. 146. а)
4 sin 2,5а cos a cos 0,5а; б)
— 4 cos 5а sin 2а sin а;
Ct 6
в) 4cos —cos—X
Xcosг) 0. 148. а) If^ + VT ), б) 3; в) |(sin24° +
+ sin 12° + sin 8° — sin 4°). 149. а) 1; б) —sin 2a sin 4a. 155. а) 0,8;
б) —0,8; в) —Д/з”; г) д) — •• 164. а) — -у, б) —л. 165. у.
167. а) -25-; б) arctg2; в) —arctgS + л; г) arcctg л. 168. arcctg3-|-n;
6
arcctg34-2n. 169. а) + л£|kеz|; б) | — arctg-2- +лй | еz|;
в) |y + 2nfc|6sz|; г) {arctg 2,5 +л/г |£<sZ); д) 0; е) {± arccos у +
527
+ 2n*|ftezl. 170. a) { -£ + nk|keZI; в) (-^ + n*|*eEZ
/	I 4	)	к 3
172. 6) / —n*|£ez); г) (— -5- + л£|Л<=г1; д) farctg4 +
I 4	)	i о	j	Io
+ nft|AsZ|. 173. в) /-i- arctg^- + -^-|kez\. 184. a)
J	t.3	5	3 J
[j{arctg 1,5-|-яд|д <=Z):	6)	{-^- + n£|feez{u{nn — arctg 0,5|neZ);
в) {'§’ + -y'|£ezju{ — arctg 2+^-lnezj ; г) |у + 2л^|*е
eZ)(j{2 arctg 2 + 2nn|neZ). 185. a) {-^- +n£|£ez} (J(arctg 0,5 + nn|«e
eZj; 6) {arctg 3 + nk |£eZ}|j{arctg 4 +лп| л eZ); в)
{JT 7lk I ,
- + —|*EZ}U
o Z	)
U I— arctg 3+^. I nezl; r) {arctg ( — 1 ±\/Т) + лЛ, fceZ};
д)	-2-+a£|£ezju{arctg-|- + nn|nez|; e) {i + ^fe|feezju
U{arctg7 + nn|n<=Z}. 186. a) {^ + nfe|*ezju{-j + nn|nezj;
6) p£|feez}u{±-^+^|«ez}; в) {i+^l^z} U {±-^ +
+ -y-lneZj; r) {-^ + .-rfe|^sZ| U {arctg y+ nn | nszj U +
-\-xm\m<=Z}. 187. a) {±-^ + -|- + 2n£|&Ez|; 6) {— -^- + nfc|Z:szj;
(л VF	)	(i	i
в) |y±arccos-j^- + 2nfe|feeZ|; r) {n*|A:sZ} U |-^- + nn|«EZk
Д) f-^- + .4X:|^ez|ulv±arccos‘^—3^- + 2nnlnez|; e) f ±— —
(4	,1.4	4	J I. 4
—+ 2nk I k e z\. 188. a) -j-^ + .n^ + ezl J {Зля | n s Z); 6) f ——+
4	J	16	I	I 4
+ nk[keZ} U {arcctg 2 + nn|neZ); в) + nk I ftszl J | — ^- +
l_b	)	{	3
nnfneZ}; r) {2nklkeZ}. 190. a) {(— Г)"4L + 4-+ лгг|«ezl; в) f-^- +
I 6	4	J 13
528
I v3	I
arctge) нет решений. 191. д) Нет
15	I
решений;
ж) n|nez) и (A|AezV, з) (-5- +ЯП Inez).
х.'Э	J I У О	I	О	)
195. a) arctg (—1 ±У5) + лА, AeZ; б) arctg-^- + лА, k^Z; —-^- + лл,
neZ, в) лА, ieZ; -2-+лп, neZ; г) ±-^-+лА, keZ. 196. a) f±yX
*Ъ	О	у 4
/	1 \	Л/2	I	( ЛГ	Т	I
Xarccos ( — — )Ч—— |n«=Zk в) + ^-n | neZk г){2ял±
у	О /	2	I	! О	2	I
± arccos f—0|nezj; е) |^- +лл| л ezl U |( —	k, keZ
197. а) ЗлА, AeZ; б) 2лА, 4eZ; в) —-2- + яА, AeZ; r)
2я , 2ял _ . лА ,	„ я , „	_ я , , ,	_
dz-jr-H——, neZ; е) —, AeZ; ±—+ 2лл, neZ; ж) — — + лА, ^eZ;
ч/	О	£	\J
Л	г” *\/2 *г
——+ 2лл, neZ; ( — l)m у2 arcsin -т~+‘т +лт, meZ; 2л/, (eZ.
201. а) k^Z; ±-^- + -^, nesZ; б) ±-^ + лА, keZ; в) -10° +
7	3	3	6
+ 180°А, ieZ; -70°+180°л, neZ; г) 45° + 180°A, 4eZ; — 75° +
+ 180°л, nezZ; д) -60° + 180°A, keZ; 40° + 180° л, neZ.
202. a) fceZ; б) ±-£ + лА, keZ; в) -10°+180°/;, AeZ; -70° +
10	6
+ 180’л, neZ; r) ±^- + nfe, JfeGEZ. 203. a) ±-£ + -^, AeZ; 6)
6	9	3	2
~ л nn _	. л ,	ak .	_ Л ЛЛ	„	Л , Tlk	,
^Z; -g+-p	n^Z. 204. a) —+—, ieZ; -+—,	neZ;	6) - + —,
_ л ,	_	.	л , яА	,	_	я , ял	_	,	я . яА ,	_
eZ; тг+лл,	neZ; в)	-^-+-х-,	AeZ;	-пг+-т-, n^Z\	г)	-{-+-5-, AsZ;
2	6	3	12	6	4	2
+-2- + ЛЛ, n^Z; д) ^-+-^-, AeZ; 77+^-, neZ; е) -^- + лА, AeZ;
о	6	3	14	/	2
±4 + 2лл, neZ. 205. а) (у +•£ л|nezzl J (-тт + ^у- I k(^z
О	I *1 z
В) {-^(2л+1)| nszju{j(2A+l)| Aez}. 206. а) у+^-, k^Z;
i-^ + nn, neZ; д)keZ; neZ. 208. а) ^- +лА, AeZ; б) ±-?-+
о	2	У	4	3
+ лА. AeZ; в) у + лА AeZ; г) —у + 2лА, AeZ. 209. а) -2- + лА, AeeZ;
529
±arctg-i-+nn,neZ; 6) nk,keZ; -2-4-2лл, neZ. 210. a) zh^+nk,keZ;
A	2	4
6)	±2 arctg~\/-^- 4-2лй, JeZ; в) —-2-4-лй, keZ; arctg 4-4-лл, fieZ;
V a	4	2
r) ±arctgД/Т+лА, JgZ; ±-2--|-лл, neZ. 211. а) {л4-4nm|m<^Z};
о
6) {-2--|-2лл|ле7^; в) ^y+2.i^ezj; r) {n + 4nn\n^Z}-, д) {2лл|ле
ezZ}{A^+2nk\ke=z\. 215. a) l^+2nk\kez\. 219. a) U ^-2-4-2лй;
1.2	)	I*	) k<=Z \t>
5л \	/4л 5л \	Г 2л o 2л
— 4-2лй);б) U (— 4-2лл; —-4-2лл ); в) U----------—4-2л£; —- 4-
о / лег \ 3	J / kez L 3	3
-|-2лй]; r) U f arccos 4-4-2лй; 2л — arccos 4-4-2лй\ д) U [——-)-
J AeZ \	3	3	/ neZ L 4
4-2лл; -2-4-2лл|; е) U f—-2--|-лл; — arctgж) U (лл;
4 J neZ \	2	2 J neZ
arctg (—2)4-лл]; з) U (-2-4-лл; л4-лл ); 220. б) U [-2--|-2лл; 42-4-
ле2 \3	/	neZ|_2	2
4-2лл|. 221. а) [--2-4-2лй; -^-4-2лй], feeZ; б) [ —^4-2лй;
J	L ь о J	L °
4- 2лй 1, keZ; в) [arctg -|- 4- лй; -2-4-лй!, fteZ;
О	J	L d	2 I
(11	Г 4
nk\ — arcctg—+л£|; k^Z. 222. ае I arccos ——л+ 2л£;
2 J	L 9
4	1	/4	4	13	4	\
— arccos— 4-л-|-2яй|, ftsZ. 223. a) U (— л4--^-лл; -—4--г- лл t
9	J	nez \9	3	9	3	/
в) U ( — i-l- лл; лл\ г) U f лл;-2-4-лл\ 224. a) U (—-^2.4-2лп;
лег \	4	/ лег \	2	/	n^z \	4
-2-4-2лл ]; б) <хеД и х^-2-4-2лл I neZ}; в) U (-2--J-лл; л4-лл J.
4	/ I	4	)	п^г\2	/
225. а) (—2- -|- 2лй; -2- 4- 2л*Л (J (^- 4- 2лй; 4- 2лД feeZ;
\	6	4	)	\ 4	о )
в) ( —тг4~лй; -2-4-л^и[--г4-лй; -5-4-лй\ keZ. 226. a) U [-2-4-2лл;
\ 2 Ь /\3	2	/	,iez 1.3
^•4-2лл|;б) U f—-2-4-2лл; ^2-4-2лл\ в) U (лп— arctg3; —-|-лл\
3 J r.eZ \	6	6	/ nez \	4	7
Г) и бтг + лл; -^-4-2лл\ ж) U f—2-4-2лй; -2-4-2лй\ 3) R.
n<^z\6	6	) k^Z\ 6	6	)
530
227. a) U
n^Z
[Л ПИ Л Jlfl 1	п /	।	। \ \
б+^-; з+хг б)„^(-з+™; Т+Л7в)
.	. л ,	, \,, / л, , л. ,1,	~ к ч I / л , _ л.
Ч-л£; —Ч~лй )U( —-х-Ч-лй; ——Ч-лб , 6g=Z; г) U ( —тЧ-2лл; — Ч-
2	/	\	2	О J	neZ \	2	2
Ч-2лЛ229. —У- л. 233. а) Юл; б) 36; в) 121; г) 60. 241. а) Нет; б) да;
в) нет. 243. а) Верно; б) нет. 244. а) £>(</) = |0; 1]; б) D(y) = [—1; 1];
в) D(y)=[0; Ч-оо); г) £>(у) = {0}. 246. а) Зл; б) 4л; в) 0,5. 248. а) 1.
256. a) xy-VT^Z-Vi^Z; бА±^; в) *+ З
1 -ху	-\ll-x1 .yjl-y2 Ч-ху
. 1—х2 2х	,	2х Vl —X2 .	./77-
г) , , Д) , , , 259. а) 2; б) 2№—1; г) —  ——; е) — V15.
1Ч- х2 14-х2	1—2Х2
260. а) Равенство не имеет места; б) равенство имеет место.
ч Зл	И	\ 2ЛДГ ../77Г „ . а _____________ ,	8
263. а) —; б) —; в)---—; г) V10 —3; д) ——.
4	2	0	О
266- а) W
keZ;6) ^±!1±1я|й=0, 1,2, 3,...}; д) |± у —- л|й=0, 1,... |;
в) (ik— -А , k^N. 267. а) т^г-Ь-тг’. k^Z-, arctg-2 Ч~
’ \	2/	7 20	5	5 ь 7	5
neZ. 268. a) nk, 6eZ; -1ч-лл, neZ; б) ——arctg 2Ч~л&, fceZ;
4	о
л
в) — -ink, keZ; arctg 7 Ч~ пп, neZ; arctg 3-i пт, meZ.
270. 6) fl4-n«|nezju{-^(4fe-l)l*ezjul^(14-4/)|/szj;
в) {arctg 2 4- лл I n e Z] (J 4- 2nklk^Zp г) ^-1ч-лл|ле/| U
и(±|лЧ-лШе2]и1(-1)'£ч-/л|/ег); д) n\n z] (j
I о	j I о	1142	I
и(т77+^ Alftez). 271.a) 1 (1+Д/1 Ч-8л* ), 1 (-1±V1 Ч-4л (2A+1) ),
X 1 V 0	J	A	Li
k = 0, 1, 2........ 272. a) nk, fesZ; -2-Ч-лл, neZ; г) нет решений.
1	3
283.	а) 6лгЧ~2, meZ; б) 10гл-|-3, meZ. 284. a)—^a^—; 6) 0^
0	i	<
; в) —5^a<4-°°- 285. a) —	; 6) — l<a<l. 287.
<5	2	2
/	21
a)	а — любое; 6) cos 1 а 1. 288. a) ( — оо; — ~I (J [2; + oo);
\	5 1
531
б)	{ —1} и [2; 4-00). 289. а) -Л/2^а^У/2; б)
в)	0sja^0,5 и 3^а^4; г) —l^as^l. 290. а) Если а<— 1 или
а>1, то корней нет; если а= — 1 или —0,5<а<0 или а=1, то
один корень; если — 1<а^—0,5 или 0^а<1, то два корня; б) если
4/2"	д/2*
а<—У— или а>1, то корней нет; если —или а = 1,
то один корень; если 0<а<1, то два корня. 291. а=1±д/ЁГ. 292.
. Iя .	7л\ -г Iя , L п Л /я , я
a)	(-х- + лп;лп--),neZ;6) (—4-лА; — — лк ), (— + лп;— — лп
\ £	О J	\ Z ®	/ \ о л
k, пе2; в
) (лк; —лк\ neZ; г) (arctg 24-ял; arctg 2 — лп), n<=Z;
Д) ((-1)‘^4-лЛ;±4я4-2л/\ ((-1У+1 -2-4- лп; ± i 4- 2лт
\	6 о / \	6	3
/ TJ	\
k, /, п, m^Z; ж) I-у + 2л&; — + л/г к /г, n&Z;
3) (k~^k + ^\
\ Ь о/
t_ _ п лло \ (t	1 \fe Л . Л л£ .	. .ь Л Л , Tlk \	.	_
k^Z. 293. а)	(-1/-4-- + —;	-1)*	+ у keZ;
\	662	662/
б)	0+nft> ^+ла\в) 0-4-ла, feeZ;Г) (-у-4-лА,
—2-4-ла\ AeZ; д) (лк; ~- — лк\ k^Z;
fv4-2nn; — 2лп
\3	6
neZ;
(-у 4- 2лп,
—2лЛ ntzZ; е) (y+^-(rt + 2ft)’>
± + l(n-2k)\	(^+^(n + 2k); ±+^(n-2k)\ k, n^Z. 294.
О Z	/	\ 0 z	о z	/
а)	0;7<*+2л);-г+4(*-2'гД ft+4<*+2n); v+y(*-2«A
yOZ	о z	/x^oz	<j z	/
ke.Z, n<=Z; 6) (^-+2(k + n) n; ^-\-2(k — n) л\ f-^-4-2(fc4-zi) n;
\4	D	/ \o
-2-4-2 (k — n) n\ k^.Z, neZ. 295. а) Л2-|-пЛ; -52.-|-лА k^Z;
4	!	\4	4	)
6)	(-2- 4- л.к; -J- nA k e. Z; в) I-2- 4- лк; -2- 4- nfe , k <= Z;
\3	3	/	14	4 I
Г) (~4+^r;4+‘ir)’ *eZ- 296- a) (~^r+2nk'’ —v+2nfe)u
\ о z о z у	\6	о /
II |-^-4-2яЛ; -^-4-2лй1 , feeZ; 6) lYarcsi-n -i-4-2n£; -2-4-2лАиГД?-4-
L з о j	L\ о 6	/ \ 6
4-2лй; л—arcsin-^-4-2nfe
AeZ; в) ( —arctg 2-|-nA; arctg 3-|-лА),
AeZ; r) (arcctg 1,54-nA, л —arcctg 4 4-nA),
AeZ. 297. a) +
\ io и
532
5я . nt\ . ,	/ я , яй 7я . лй\ _ —о . Гл , -1*
У&+-)' б) (~24 + Т-; 24 + т} ksZ- а) |ё +-;
4+^-1, teZ; б)х^^+^, k^Z. 299. а) Г-^+яй;^+
4-n&|,6eZ;6) f—+	Дт~ +nfe\ feeZ. 300. a) /— — arccos—^= +
J	\ 6	6	)	\ 4	3 у2
4-2л6; ^-4-arccos—^=4-2лбАи/л-|-2л&; -^.-|-2лл\ teZ; б) (2л£;
4	3\/2	/ X	* 2	/
/ л	Зл	\ / 9л	\
л4-2л£), k^Z\ в) (— 4-2л/*; -7-4-2л£ ) U (—И 2л/?; 2л4-2л£),
\ 5	5	/ \ b	/
6eZ; г) |— у + 2лй; 2лА| U |y + 2nfe; •^ + 2л*|, 6eZ.
Глава II
311. Указание, х* — 2х3-|-2х2— 8х-|-16 = х2(х—1)24-(х4-
+ 4)2. 313. Указание. х2=1(х-Ь 1)3-1(х34-Зх4-1). 318. Наи-
О	о
меньшее значение выражения равно 9. 319. а) (х4-1)(х3—х24-х—1);
б) (х+1)(х4-х3 + х2-х+1); в) (х2 4-8x4-12) (х2 4-8х-|-10); г) (х24-
4-5х-|-10)(х24-5х). 320. 0. 328. Да. 329. з) частное равно х3 — 4х24~
4-Их — 22, остаток равен 37: и) частное равно x-f-2, остаток бх2.
330. а = 4 и b= — 1; искомое частное —х2 —х-|-1. 331. а = 6. 332. <1 =
= 6= — 1 либо а = 4, 6 =—2. 333. а — 3, 6 = 6. 334. а —2, Ь =
= 6. 335. а = 7, 6=14. 342. Не существует, / (х 4~ 4) — / (jc) всегда де-
лится на 4. 343. а) х4—1; б) у*—10g34-35g— 501/4-24; в) z6—1.
344. а) х4-3; б) у2 — 51/4-6; в) z3 — 2z24-z — 2. 345. а) НОД (A g)—(x —
-3 = 0,25(x4-4)f-0,25(x4-2)g; б) НОД (/, g) = (x4-1)=|(3х4-
4-1)/-у (Зх2-2х — 10) g; в) НОД(/, g)=(x-l)=-l-(x3-x24-3x4-
4-6)f4-(-x34-2x2-5x-l)g; г) НОД (A g)=4 =/-(х3-х- 1) g.
346. а) НОД (/, g) = x3(x4-l), НОК(A g) = x3(x4-1)2(х-1)(х-2)(х4-
4-3); б) НОД(А g)=l, НОК(А g) = (x-1)(х-2)(х-}-2)2(х2-9).
347. б) в) 2-УЗ; г) 34-V6; д)	349. б)
О	21
4 I—	I— 4 ,—	3    3 .—	3 .—	3 _
3V8 4-2 Д/2 4- V2 -5 ч —6 у25-|-уб 4-39 х -\44-7У2-3
3	; в)	-	; г)	-	.
350. 1 —351. а) аД/2~, если Зх^а3; , если Зх<а3; б)"\/—,
3	V а	\ а
если а3^36; а'^2 , если а‘<36;в) 2^b — 1 , если 6^2; 2, если 1<6<
533
<2; г) 1.355. a) q (х) = х3 — 6х2 + 12х — 26, г = 38; б) q (х) = х3 + х2 — 4х,
г=1; в) <?(х) = — х4 + 2х3 —8х+16, г = 0; г) <? (х) = х4 —х3 —2х2 + 4х —
— 5, г = 6; д) q (х) = Зх4 + 9х3 + 27х2-|-81х4- 243, г = 729. 356. a) f (x) =
= (х — 2)4+10(х — 2)3 + 29(х —2)2 + 31 (х —2)4-9. 357. Указа-
ние. Разложите числитель по степеням двучлена х — а:
а) —---------т-Р-29.......,.....^-т-	358. а) х4 + 9х3 + 27Х24-32x4-
х + 3 (х + 3)2 (х + З)3 (х + 3)4
4-13. 360. Указание. Используя схему Горнера, вначале
расположите f (х) по степеням х —3, х —5. /(2,95)= 11,33913125;
/(3,2) =15,4976; / (4,99)= 174,06818501; /(5,02)= 179,912920. 361. а)
/(х)=(х4-3-д/з)(х4-34-АД)(х4-1)(х4-5); б) /(х) = (х- 3+/^)X
х(х—3-Vl3^(x2 + 3x + 4)(x- ~3~^1з~)(х2 + Зх + 4); в)/(х) =
= (х - ‘1	) (х —~ И ) (12х2 + 11x4-3). 362. г=3.
363. г=18. 364. а=— 2. 365. а = 2, 6 = 7. 366. а=1, 6=—4. 367. а =
= 2. 368. а. = —2, 1^ = 1; а2 = 7, 62 = 4. 370. а) Указание. А =
= 9л+1 —2л+1=(9 —2)(9л + 9л~|-2 + ...+2"); б) указание. 4 =
= 81"+1 — 64л+1; в) указание. А = 9-27,‘ + 10-8л, прибавить и вы-
честь 9-S’ и т. д.; г) указание. А = 9-32л + 2-82л = И -32л +
+ 2-82л — 2-32л и т. д.; д) указание. А = 5-52л+ 18-2'’, прибавить
и вычесть 5-2л и т. д. 371. Указание. Используя теорему Безу,
определите остаток. 376. а) Не корень; б) 2—корень, —2 — не явля-
ется корнем; в) не корень. 377. a) k = 2; б) 6 = 3; в) 6 = 3; г) 6 =
= 4. 378. { — 3; 0,5; 2}. 379. х2 = -3, х3 = 2. 381. S, = -2; S2= — 1; S3 =
= 5; S4 = 6; S5= —0,2; S6= — 14. 382. x3 — (p2 — 2q)x2 + (q2 — 2pr)x — r2.
,	2	1
383. a —a — TTF- 384. Сумма квадратов корней многочлена равна
— 3, а сумма кубов равна —3,5. 385. а) {3}; б) {—3; 2); в) {±2; 3); г) {— 2;
- 1; 2; 4}; д) { - 1; 4); е) {- 1; 3}. 386. а) {-6; 0,5; 2); б) {-0,5; 1; ±д/2);
в) { — 6; 0,5; 2; 3}; г) Н; Гб). 387. {-3; —2; -0,5}; а = 6. 388. 3.
I и J
390. а) [1 - д/Т; iJuD+Vs": + ~)1 б) [1; + оо). 391. а) (х + 3)(х +
+ 1)(х- 1)(х-3); б) (х—1)(х —3)(х —4); в) (х + 2)(x-f-4)(х + 6)(х +
+ 8); г) (х— 1)3(х + 2); д) (х+ 1)2(х —2)2; е) (х + 1)(х— 1) (х2+ 4х +5);
ж) (х + 2)(х-1)(х2 + 2х4-1); з) (х-1) (х +2) (х2 + х +З)2. 392. а)
—-------;б) (х2 —х+ 1)(х4-х2+ 1); в)
х2 —х+ 1
3(х + 3)	х4-Ц
х4 — х’+бх2 — 6х + 6* Г' х+Г
393. а) {-1; -1,5}; в) {!}.	394. а) 1; б) х; в) 1; г)
534
зад. а) ( 3	з-^'зо и (1. +оо); б) (г-дДо-; !)и
и (2; 2 + VloT). 397. г) х6 *-ас; д) а8-25668. 400. а) (5х +у) (5х—у)Х
Х(х + 3z/)(x — Зг/); б) (/> + с + а)(Ь + с — а) (а + b — с) (а — b + с);
в) (а4-6-|-с — d)(a + b — c + d)(c + d + a — b)(c + d — а + b), г) (b + d)X
X(b — d) (acb — d)(a — c-^b-^-d). 403. Многочлены из а), б), в).
404. a)/(x„ x2, x3) = x3lx2 + xlx32 + x3lx3 + xlxl + x32x3 + x2x?i = o2la2 — ale2 —
— 2a|; 6) f(x„ x2, x3) = (x, 4- x2)2 (x, 4- x3)2 (x2-|- x3)2 = a2ie22 — 2ala2<!3 + o23.
405. а) а, — 2а2 —За|О2-|-За34-4о!а3; б) У<т2 — 4а3а3 — 4а24- 18а|О2а3 —
— 27а3; в) <3lo24-a2-\-2at-\-a2—а34~ 1; г) af — 4Уа24’^2 +6а,а3. 406. a)
х34-4х2-|-4х—1; б) х3 — Зх24~11х—1. 407. Указание. Выразите
площадь и радиус круга в виде симметрических многочленов
от его сторон. S = 0,25 ~\ja (4ab — а3 — 8с), /? = —  С 
\а (4ab — а3 — Ьс)
408. а) (х + у)х(х + у — 2); в) (а4-с)(а — 6)(6 — с); г) (а — х)(а — у)Х
X (х — у)(х 4- у 4- а); д) (х 4- У4~г) (х — у — г) (х 4- у — г) (х — у + г).
409. k——3. 410. а) (2х24-3х;/ -(-2у2) (х — 3у)(3х— у); б) (2х-)-у)Х
Х(х + 2у)(х—5у)(5х — у); в) (х2 — ху + у2) (2Х2 + ху + у2); г) (х4-2«/)Х
Х(2х + у)(х2 + ху 4-у2); д) (х2 +ху + 2у2) (у2 + ху+ 2^); е) (х — Зу)Х
Х(3х-у)(2х + 3у)(3х + 2у). 411. а) {2; 6); б) {-61; 4}; в) {16; 81);
г) {-79; 1). 412. а) {(0; 0), (-2; 1), (1; -2), (3; 6), (6; 3)}; б) {(0; 0),
(1; 1)}; в) {(0; 0), (-2; - 1), (- 1; -2), (1; 2), (2; 1)}; г) {(0; 0), (д/Г; \7),
(-W; -\7). (Л/нГ; -УПГ), (-УПГ; д/ПГ), (2; 3), (-2; -3), (3; 2),
(—3; —2)). 414. а) у= —0.2Х2-0,8x4-2,2; б) z/ = 4x2 —40х-|-84; в) у =
= 5х2 —Зх—1. 415. Да. 417. в) (х24-3)(х2-Зх-|-3)(х2 + 3x4-3); д) (х +
4-1)(х4-\7)(х-Л/2); е)(х4-2)2(х2+1); ж) (х4-1)(Зх- 1)(Эх2-6x4-
4-4); з) (х4-2)(х-1)(х24-х4-6). 418. (х-1)(х-Н)(х24-х4-1)(х3-
-х24- 1)(х24-х4- 1). 420. б) {-4; -4±У10'}; в) {з±у/\3; 5±У/з};
г) { — 7; -6; 0; 1). 421. а) {-4}; б) {4,5; 5,5}; в) {3; 2); г) (г, 0,5;
424. а) {1±Ш 425. а) Г-|; -|1 U Г|; -У; б) [1; 4- °°);
L	L * I
„> [_2±ViL; _|>6]и[0; ^±VtL]u[1: +оо); „
431. а =-6,75. 437. а)
{^4-^1^4и{(- 1)Л-Т^+^Г I
т	10 О I	I
6) I in + е Z( U iln + Тл	в)^4-лп|лег};
I	О	II 4U	I v	I I О	I
535
г) {~+лл|лег}и{(—l)*-g-+-yj *e=z|; д) ^+л£|й«=г};
e) | ±4+л/Ф,е2Г 442- a4-p = 45°+180°*, k<=Z. 443. а) 1Д-+
I о	J	I 4
H-i kIke=zl и I ±+ мInez|; 6) [—1; -У; в) 2:t.
£	j I О	1	[	1 U I
Глава III
2
492. a) 1,5; 6) —0,4; в) — I; г) д) 0,25. 493. a) 0,5; 6) 1,5; в) - J;
<J
г) 0; д) -0,5; e) 7,5. 494. a) 1; б) -Д; в) 0,6; г) 1; д) 0,75;
е) 0. 495. а) 0; 6) 1; в) 2; г) 0,75. 498. а) б) ; в) е2; г) Д; д) е;
О .-------------------------------------------------- рЛ
е) -Д 499. а) е3; б) 1; в) У/ё. 503. а) Не существует; б) существует и
е
равен —2; в) существует при с=1, с = 4 и равен —3; г) существует
при р = 3, р=—4 и равен соответственно 7 и —7. 504. а) 0; б) 1.
о
505. а) 1,5; б) в) 0,25; г) 0,5; д) -0,5; е) 0; ж) 0; з) 1; и) 0,5;
О
к) 10!; л) —2. 507. а) -Д; б) е2; в) -. 508. а) 0,5; б) 0,25; в) 0,005.
е	е
509. а) 1; б) 0,03; в) 0,001. 511. а) 30; б) 1,4; в) —0,25; г) 0,5.
515. а) с<=( — оо; — 3]U[1; +<»); б) се=[-3; 1]. 517. а) 1; б) 1;
„	, Л+х?В
в) 1. 518. а) ЗЛ + 10В; б) ЛВ-2В; в) Л2 + 4В2; г) —j——. 519. а) —2;
А ~}~ 5
5	1
б) 0; в) —6; г) —; д) 6; е) —; ж) 1,5; з) 1,5.
Глава IV
576. а) 3,1 м/с; 3,01 м/с; 3,001 м/с; б) 1 м/с; в) 1,95 м/с; 1,9 м/с;
1,99 м/с; г) Указание. Учтите, что в момент времени /=1 с
5
изменяется направление движения (объясните почему). — м/с.
о
577. а) 4,1 рад/с; б) 4,02 рад/с. 578. k. 579. а) «0,5; б) 2,21; в) 3,6741.
580. а) 3 м/с; б) 2 м/с; в) 0; г) 0,5 м/с. 581. 8 рад/с. 582. а) 0,5; б) 2;
в) 3; 0,5<2<3. 583. а) — 1; б) —1,5; в) 0,25; г) -5. 585. а) у' = 2ах + Ь,
хе/?; б) «'= 1-|-=, хе(0; 4-оо);в)и'=----—, хе( — 4; + оо );
2 ух	2 Д/4 4-х
536
xe(-oo; -|W-1 +oo\ 587. a)--------=±=s
(3x4-2/	\	3/ \ 3	/	V4—x2
2 ~ x
6) —.	;b)2x—2; r) 2x4-2. 589. a) 4x-4#4- 1 =0, 4x4-4//-5=0;
V4x—x2
6) 3x —2//-|-l=0, 2x+2>y — 8 = 0; в) X-6//4- 13 = 0, 6x+y — 33 = 0;
r) 3x+ «/-!-4 = 0, x — 3y — 2 = 0. 597. a) R; 6) (0; -(-оо); в) ( — 4; -(-оо);
o(— 4) и (4
к
600. a) —2-f-х2; б) —
4-oo J. 599. a) 7; 6) 72;
-5; в) 24x24-60x4-49; r)
+ f + 2\ д)	11 -cl 6	2х3~1ж)	3<2f+1>  3)	8
+ )’ } (x4-5)2’ x2 (x34-l)2’ (e + t+\f (34-2<p)2'
601. a) 5x — 4y — 4=0; 8x4- 10// — 31 =0; 6) 2//4-l=0, x4-l=0;
в) 6x—y — 24 = 0, x 4-6// —4 = 0; r) 2x-|-4//-|-1 =0, 2x —//4-1=0.
602. a) 2 м/с, противоположно направлению оси Ox, as 2,2 c; 6) 6 м/с,
/	1 230 \
по направлению оси Ox, 0,5 c. 603. A (1; 0), В I ——; ——). 607. 0,6.
m. a) 3i+n + 6. б) И4+44; ,) .^.3£+з?-2;
r) —-------!------ 610. a=12, *=-16. 612. a) (-oo; 0)(J(2; 4-°°);
4 Vx^ (1 4-V*”)
6) (—oo; 0) U (1; 4*oo). 613. [—1; 0). 616. a) —2 sin x-|-3 cos x;
cosx—2xsinx	1	, j .
6) --------=-----; в) cosx —cos 2x; r) -------; д) 2(tg/x —ctg x);
2 ух	1 4- cos t
e) —	-~h2	; ж) x cos x; з) —0,5 sin/. 617. — 4-лл, neZ.
(1-f-ctgx)2	4
619. a) ae[0,75; 4- oo); 6) ae(- oo; — lj(J[l,5; 4~ 00)• 620. a) 4x — 2//4-
4-2 — n = 0, 4x4-8// — 8 — n = 0; 6) 4x4-2# — 2 — n = 0; 4x —8#4-
4-8-л = 0. 624. a) 30x2(x34-5)9; 6) 4 (2x 4-3)-(x2-(-Зх - 5)3;
3 (2x- 1)2(xV?4- 1).	4x	/ .
1	 r,_<7+5?’ д,уГТ7’
e) < ;
3"\/<44-4
3 sin (6/4-4);
к)
5 sin 10/	exlg’tx2-1)	<p4-^l -|-<p2
4Д/14-соз2 5/)3 cos2(x2-l) V14-<₽2 •sin2(<p4-V14-<₽2)
625.	a) (2x4-1)2(cos-^—(x4-l)sin-0; 6) ^4L_. sin (2 — 3x) —
— 3Vx2 + 1 cos (2 — Зх); в) (tg2	4-	-|- 1\ tg ~\fx;
\	2yx /
537
г)
е)
з)
3 ((44-Зх2) cos Зх—х sin Зх) 2х (1 4-х2 tg (х2))
(4 + Зх2)^4 + Зх2 ’	cos(x2)
• /о	2л\ л
sin (2х--г-} —4х	о	л
\	3 /		2 sin2 х + х sin 2x4-2
4x^/7 cos2fx-)	2\/14-sin2x
\ 'J /
2 cos2 x 4- x si n 2x 4- 2
2(14-cos2 x) Vl + cos2 X
(2Л/Г4-1) sin |4-2t(\7+l) cos
и) --------Я====--------• 626. -4 Sin nt. 627. x — 2y —
4^(<+VF)	2
V2
— 1=0, x — 2i/4-7 = 0. 628. ±arccos-^—|-2n&, k^Z. 629. Да. 630.
a) a = 2; 6) {— 1; 1; 2}. 631. y — 2x + 2. 632. Если a<0,5, to x = 0,8a 4-0,1,
при a>0,5 производная нулей не имеет. 633. (0; 1)U(1; 4). 634. Если
/о л1),/’5л Л	, 1	(	14-2sina\
aelO; gjUI-g-i 4), то х — лп или х=±—arccos I----------14-
4-лп, »eZ; если	то х = л&, k^Z. 635. а) 0,2; б) —17-;
о о	160
в) 0,2; г) — V2 — V3 . 636. a) arcsinx; б) —* - ;
12	yf-
2	1	arcsin
3 (4х24-1) V(arctg 2х)2	2 (1 + *)	^4 —
х+УТ-7
arccos х	cqo 1	। л пс
е)----—--,	----. 637. arctg 2 V2. 638. у—--х-]—-—0,5,
хзу~г	4 * * * * 4
(/=—4x4-84-2-. 639. а) 0,11 и 0,1; 0,0101 и 0,01; б) 1,261 и 1,2;
«0,1206 и 0,12; в) 0,5 и 0,5; 0,05 и 0,05; г) 0,72 и 0,7; 0,0701 и 0,07. 640.
dx
а) (х34-3х2 — 2)dx\ б) —	; в) 3 sin 6xrfx; г) (sin 2х-|-2х cos 2х) dx\
Ух24-Ю
д) — "J sin-у-; е) *(2 cos х—х sin х) </х; ж) ~~^2’ 3) 20 (2/4~3)9 <Д;
и) • , 4у3	- - dx 641. а) 5,016; б) 2,85; в) 1,0016. 642. 0,05;
V/4-1 cos2 V//4 4-1
0,8 %. 643. 0,8 %. 644. а) 16,4; б) 4,01; в) 5,995; г) 7,76; д) 0,8; е) 3,002;
ж) 1,975; з) 4,984; и) 4,25. 645. а) б) 300 (5x4-I)2;
538
\ io Zoi । л\ \ 12 sin 3/	2x(x2— 6)	, 2x
в) — 12 cos I 2t+— ); r) ---------; д) —i----—4; e) 2 arctg x4-------
\	4 J	cos’St (1+x2/	1+x2
\/T	32
646. a)	649. 4 м/с2. 650. 1, 5 c. 651. 0,2 H. 652. a) 29,16 H;
б) 9 h. 653. a) 3(*~t8); -A-; 6)----------------г,----------г,
512	512	(2x+l I)4 (2x4-ll)s '
16 sin 2Г; r) — 3 cos t-j-1 sin t\ 4 sin t +1 cos t. 654. a) —24; 6) 0; в) 240.
144
1159
в) - 8 cos 2t;
655. a) (- 1)л-1-^г; 6) ((2«4-2)x+!)«!; в) ± cos
X T	£	.
r) -^-sinf4+n4\ 656- a> -34; 6 *> 0>5; B) °-75; r) -°.75; a) 3;
3“	\ 3	2 /	3
2	1	2
e) 8. 657. a) -1 = 6) 0; в) 1,5; г) 0; д) -; e) 0,25. 658. a) --; 6) 1;
3	3	л
в) 1 4-i г) —2. 688. a) Ha (—oo; —1) и на (3; 4-°°) возрастает; на
о
[—1; 3] убывает. 689. а) На
убывает, на
возрастает;
б) на [0; 0,2] возрастает; на [0,2; 2] убывает; в) на [ —2Д/2”; —2] и на
[0; 2] возрастает; на [ — 2; 0] и на [2; 2 ~\/2~] убывает; на [—д/2*; — 1] и на
[1; лДП убывает, на [—Г, 1] возрастает. 691. 12^с^14. 692. asC—6
3
или а^18. 693. а.<.—. 695. а) (—оо; —1]; б) (—оо; —3]U[3; +°°).
О
697. ае(—оо; — 2 —Д/5~)иС\/5"+ 00)• 698. as/—оо; у—\ 699.
\ W/
а) х=1—точка минимума, х= — 2 — точка максимума. 700.
g
а)х = 0— точка минимума, х = —— точка максимума; б) х= — 1 —
точка минимума; х = 0,5 — точка максимума; х = 5 — точка минимума;
2
в) х=
— точка минимума; г) х = 0,2 — точка максимума. 705. а) 4 и 0;
б) 19 и 2; д) 2,125 и
и 0. 706. а) 0 и —л; б) 1 и
/ S 7	/	г~
----^-л; в)3 VL5 и 2; г) 15 и 15-2 Д/2.710. а) 3 и 0; б) 10 и 2. 711.
2
а) 105; б) 78. 714. 48 = 54 43. 715. 26 = 44 124-10. 716. d = 2—. 718.
-AL или 719. (-V?; 1)или (^24 0- 720. 0,55 Д/ЁГ. 721. (Г, 2); 4.
722. Квадрат. 723. 16 см и 4 д/У см. 724. 3 м3. 726. 40 см. 727.	~^=.
Д/2 Д/2
23
728. 240X120. 729. Ящик имеет форму куба с ребром 2 дм. 731. —- ч.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Тригонометрические функции
§ 1.	Тригонометрические функции числового аргумента ...	3
1.	Координатная окружность ...........................................—
2.	Тригонометрические функции числового аргумента . .	8
3.	Периодичность тригонометрических функций .... 13
4.	Некоторые	свойства периодических функций	....	17
5.	Свойства	и	график функции y = sinx..............20
6.	Свойства	и	график функции y = cosx..............25
7.	Свойства	и	графики функций y = tgx	и	</ = ctgx	.	.	27
§ 2.	Обратные тригонометрические функции .................................31
8.	Обратная функция...................................................—
9.	Функция у— arcsin х ..............................................34
10.	Функция у — arccos х ..............................................38
11.	Функция i/ = arctgx ...............................................42
12.	Функция у = arcctg х ..............................................45
§ 3.	Тождественные преобразования тригонометрических выраже-
ний ........................................................47
13.	Основные формулы тождественных преобразований три-
нометрических выражений	.....................  —
§	4.	Простейшие тригонометрические	уравнения .61
14.	Решение уравнения sinx = a ........................................62
15.	Решение уравнения cosx = a ........................................64
16.	Решение уравнения tgx = a	......66
17.	Решение уравнения ctgx=a	......67
§	5.	Основные методы решения тригонометрических уравнений 68
18.	Общие методы решения тригонометрических уравнений —
19.	Использование формул тождественных преобразований
тригонометрических выражений ...........................74
§ 6.	Функциональный подход к решению тригонометрических
уравнений...................................................92
20.	Оценка правой и левой частей	уравнения ............................—
21.	Использование свойств возрастания и убывания функций 94
§ 7.	Тригонометрические неравенства	.......................................95
22.	Решение простейших тригонометрических неравенств гра-
фическим методом ....................................... —
23.	Решение простейших тригонометрических неравенств с
помощью координатной окружности.........................99
24.	Решение произвольных тригонометрических неравенств 102
Математическая мозаика....................................................105
I.	Практикум по решению задач.............................................109
1.1.	Вычисление и сравнение значений тригонометрических
функций ................................................ —
1.2.	Тождественные преобразования тригонометрических вы-
ражений ..............................................ПО
1.3.	Графики тригонометрических функций. Периодичность
и непериодичность функций ............................ 112
1.4*	. Преобразования выражений, содержащих обратные
тригонометрические функции ........................... 115
1.5.	Примеры решения тригонометрических уравнений . .118
1.6.	Отбор корней тригонометрических уравнений	. . . 123
1.7.	Тригонометрические уравнения с параметрами . . . 128
540
1.8.	Примеры решения тригонометрических неравенств . 130
1.9.	Примеры решения систем тригонометрических урав-
нений .................................................133
Задачи на повторение ..................................... 135
Глава If. Многочлены
§ 8. Многочлены от одной переменной........................146
25.	Понятие многочлена от одной переменной. Операции над
многочленами ..........................................147
26.	Свойства операций над многочленами ...............151
27.	Степень многочлена ...............................156
28.	Отношение делимости многочленов и его свойства . 158
29.	Деление с остатком ...............................162
30*	.	Алгоритм Евклида для многочленов................168
31*	. Освобождение от иррациональности в знаменателе при
помощи алгоритма Евклида .........................180
32.	Теорема Безу. Схема Горнера ......................185
33.	Корни многочлена................................,.	190
34.	Формулы Виета.....................................194
35*	. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми
коэффициентами ........................................198
§ 9*. Многочлены от нескольких переменных .................209
36. Понятие многочлена от нескольких переменных. Опера-
ции над многочленами................................—
37*. Степень многочлена от нескольких переменных . . 215
38*. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
Высший член многочлена............................217
39*. Понятие симметрического многочлена. Основные симме-
трические многочлены..............................219
40*. О некоторых приложениях симметрических многочленов 225
Математическая мозаика.....................................229
11. Практикум по решению задач ............................232
2.1.	О некоторых задачах, связанных с преобразованием
многочленов ........................................... —
2.2.	Делимость многочленов............................234
2.3.	Корни многочлена.................................238
2.4.	Разложение многочлена на множители...............239
2.5.	Преобразование некоторых выражений, содержащих ра-
дикалы ...............................................241
Задачи на	повторение ..................................... 244
Г лава 111. Введение в анализ
§	10.	Числовые последовательности........................251
41.	Понятие числовой последовательности .............. —
42.	Способы задания последовательности ...............253
43*	. Сумма п первых членов последовательности . . . 257
44.	Монотонные числовые последовательности .... 260
45.	Ограниченные и неограниченные последовательности 262
§ 11.	Предел числовой последовательности..................265
46.	Понятие предела числовой последовательности . . —
47*	. Свойства сходящихся последовательностей	.... 271
48.	Бесконечно малые последовательности..............276
49.	Свойства бесконечно малых последовательностей . . 280
50.	Бесконечно большие последовательности и их свойства 283
51*. Теоремы о пределах числовых последовательностей . 287
541
52*. Существование предела монотонной ограниченной по-
следовательности ................................293
53.	Число е ...........................................296
§ 12.	Предел функции.........................................300
54.	Предел функции на бесконечности	...................—
55.	Свойства и вычисление пределов функций на беско-
нечности ............................................305
56.	Предел функции в точке.............................309
57*	. Односторонние пределы функции....................314
58*	. Свойства функций, имеющих предел	в точке	.	. . 317
59.	Теоремы о пределах функции в точке. Вычисление пре-
делов ...............................................320
60.	Предел степенной функции ..........................326
61.	Бесконечно малые функции в точке,	их	свойства	. . 330
62*	. Бесконечные пределы функции в точке, их	свойства	334
63.	Пределы тригонометрических функций..................338
64.	Предел функции —при х-»-0	.................344
§ 13.	Непрерывность функции..................................347
65.	Непрерывность функции в точке и на промежутке . —
66.	Основные свойства функций, непрерывных в точке . 351
67.	Сложная функция. Непрерывность сложной функции 355
68.	Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . 358
69.	Непрерывность обратной функции .....................365
70.	Точки разрыва функции ..............................369
71.	Применение непрерывности функций к решению не-
равенств ............................................375
Математическая мозаика.......................................379
111. Практикум по решению задач .............................381
3.1.	Примеры решения задач на числовые последователь-
ности и их свойства ................................. —
3.2.	Примеры решения задач на пределы числовой после-
довательности .......................................387
3.3.	Примеры решения задач по теме «Предел функции» 391
3.4.	Примеры решения задач по теме «Непрерывные
функции».............................................401
Задачи на повторение ....................................... 409
Глава IV. Производная и ее приложения
§ 14.	Производная ...........................................411
72.	Средняя скорость.............................—
73.	Мгновенная скорость ................................413
74.	Понятие о производной ..............................414
75.	Производная функции — новая функция. Дифференци-
рование функций по определению..................416
76.	Касательная к графику функции.	Геометрический
смысл производной ..................................419
77.	Уравнение касательной и нормали	к	графику	функции	423
78.	Непрерывность дифференцируемых функций . . . 425
§ 15.	Правила дифференцирования..............................428
79.	Основные правила дифференцирования ...................—
80.	Производная	степенной функции.....................433
81.	Производные	тригонометрических функций .... 436
82.	Производная	сложной функции ......................440
83.	Производная	обратной функции .....................444
542
84.	Производные обратных тригонометрических функций 446
•	85*. Дифференциал функции ..............................449
86*. Применение дифференциала функции к приближенным
вычислениям .....................................452
§ 16.	Производные высших порядков ...........................454
87.	Вторая производная, ее механический смысл ... —
88.	Производная n-го порядка ..........................457
89*. Применение производной к вычислению пределов. По-
нятие о правиле Лопиталя ..........................—
§ 17.	Основные теоремы о дифференцируемых функциях . . . 461
90.	Теорема Ролля...................................—
91*. Теорема Лагранжа ..................................463
92*. Формула Тейлора ...................................466
93*. Формула Тейлора для	многочлена.	Бином	Ньютона	.	468
§ 18.	Приложения производной к исследованию функций . . 470
94.	Исследование функций	на возрастание	и убывание	.	—
95.	Критические точки функции, ее максимумы и ми-
нимумы ..............................................474
96.	Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего зна-
чений функции........................................480
97*. Выпуклые функции. Достаточное условие выпуклости
функции .........................................489
98*. Точки перегиба функции (графика функции) . . . 492
99*. Асимптоты графика функции .........................495
100.	Общая схема построения графика функции .... 497
Математическая мозаика.......................................500
IV. Практикум по решению задач ..............................504
4.1.	Средняя и мгновенная скорость ...................—
4.2.	Производная функции в точке. Левая и правая произ-
водные функции в точке...............................507
4.3.	Таблица производных ...............................511
4.4.	Производная и касательная............................—
4.5.	Исследование функций...............................518
4.6.	Применение производной для доказательства тождеств
и неравенств ........................................520
Задачи на повторение ....................................... 524
Ответы.......................................................526
(Название и номер школы)
Учебный год		Имя и фамилия ученика	Состояние учебника при получении	Оценка ученику за пользование учебником
20	/			
20	/			
20	/			
20	/			
20	/			
Учебное издание
АНАНЧЕНКО Константин Онуфриевич
КОВАЛЕНКО В ильям Сергеевич
ВОРОБЬЕВ Николай Тимофеевич
БОЛЬШАКОВ Н иколай Егорович
КОРОВЕНОК Евгений Вениаминович
НОВИК Ирина Александровна
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики
общеобразовательной школы с русским языком обучения
Издание второе, доработанное
Редактор К. М. Лукашевич. Художник Б. Г. Клюйко. Художественный
редактор Л. В. Павленко. Технический редактор 3. В. Романкевич.
Корректоры С. Т. Асташевич, И. С. Еремчик, Т. Н. Ведерникова.
Сдано в набор 30.06.2000. Подписано в печать 12.10.2000. Бумага офс.
Хг 1. Формат 84X108'/32. Гарнитура литературная. Высокая печать
с ФПФ. Усл. печ. л. 28,56+0,21 форз. Усл. кр.-отт. 29,4. Уч.-изд.
л. 20,37+0,35 форз. Тираж 30 300 экз. Заказ 1199.
Налоговая льгота — Общегосударственный классификатор Республики
Беларусь ОКРБ 007-98, ч. 1; 22.11.20.100.
Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная
асвета» Государственного комитета Республики Беларусь по печа-
ти. Лицензия ЛВ № 4 от 08.09.2000. 220600, Минск, проспект Ма-
шерова, 11.
Республиканское унитарное предприятие «Полиграфический комбинат
им. Я. Коласа». 220005, Минск, Красная, 23.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
I	с' = 0, где с	— постоянная
II	=» -Г- -te II li $ -J	(f'(x))'=/>r'(x)f'(x) =’Hx)f<X) (V<W )=-!—f(x) 2 WO
III	(sinx)’=cosx (cosx)'=-sinx (,gX)'=^ (ctgx)--sk	(sin f(x))’=cos f(x)T(x) (cos f(x))'= -sin f(x) f'(x) (,8Г(Х)>'=С-ЬЙ)Г(Х) (ctgf(x))'=-Jf(7)r(x)
IV \		(arcsin x)'= J—, yl-x (arccos x)'= —J— yl-x (arctg x)=ylp- (arcctgx)' = -pip	(arcsin f(x))'= *_.Г(х) Vl-f'(x) (arccos t(x))'=- , *.	f'(x) а/йТо (arctg f(x))'= [+}-i(x) • Их) (arcctg f(x))'= - 1+fi(x) f(x)
ЛГУ'
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Монотонность		
	(а; х,)	X,
Г(х) f(x)	+ возрастает	0 max
		
xeD(f)	(а; х,)	х,
Г(х) f(x)	«ниа	|| ф
Формула Т(х)=Т(а)+Г(а)(х-а)+Ц^(х		
N ЖТрмуМЫ		' л V
(х,; х.)	х.	(х,; Ь)
убывает	Кв сущвет- tyeet min	+
иость		
(х,; х,)	Xj	(х,; Ь)
выпукла вверх	0 нюкка лврвгыба	+ выпукла вою
Тейлора г-а)'+...+	Ctel(x-ar+R.(x)	
a
2000
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА Q