X. Грин
МАТРИЧНАЯ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
С предисловием
М. Борна
Перевод с английского
Б.А.Лысова
Под редакцией
А.А.Соколова
Новокузнецкий
лзико-математический
===== институт
2000

Грин X.
Матричная квантовая механика
Green H. S.
Matrix Mechanics
ISBN 5-80323-362-5
Пер. с англ. - R: ИО НФМИ, 2000.- 160 с.
Книга написана на базе лекций, прочитанных автором для студентов Аде-
лаидского университета (Австралия). В ней изложены основы классической
квантовой механики в ее матричном варианте. Рассматриваются решения
некоторых фундаментальньк задач квантовой механики (спектр осциллятора,
общая схема определения собственных значений эрмитовых операторов,
стационарная теория возмущений, расчет спектров простейших атомов,
частица в потенциальном ящике, дираковский электрон). В основу при-
применений положен метод факторизации, обычно не излагаемый в учебни-
учебниках квантовой механики.
Книга рассчитана в первую очередь на читателей, впервые приступающих
к изучению квантовой механики и знакомых лишь с основами линейной
алгебры. Она также будет полезна физикам-теоретикам, желающим озна-
ознакомиться с методом факторизации и его применениями.
Издательский Отдел Ноиоку энецкого Физико-математического института
454014, Новокузнецк, ул. Чехова, J5. Лицензия № 058723 от 13.07.93
Подписано к печати 31.05.2000. Отпечатано в типографии НФМИ
ISBN 5-80323-362-5 © Х.Грин, 1965
© ИО НФМИ, 2000

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
ПЕРЕВОДА
Выходящая в русском переводе книга известного австра-
австралийского физика-теоретика профессора Аделаидского уни-
университета X. Грина адресована не только тем читателям,
которые только еще приступают к изучению квантовой
механики, немало интересного найдут в ней и те лица,
которые уже знакомы с предметом. Книге X. Грина во
многом не похожа на известные у нас стандартные учеб-
учебники квантовой механики: от читателя не требуется лсно-
вательных знаний ни из области обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, ни из области уравнений в частных
производных достаточно, чтобы он владел методами мат-
матричной алгебры примерно в объеме университетского курса
линейной алгебры.
Наш опыт преподавания с несомненностью показывает,
что студенты, начинающие изучать квантовую механику
с координатного представления, которое в одночастичных
задачах обладает известной пространственно-временной
наглядностью, в дальнейшем при овладении элементами
теории представлений, где не последнюю роль играет
абстрактное понятие вектора состояния, встречаются с опре-
определенного рода затруднениями Поэтому можно только при-
приветствовать педагогический эксперимент проф. X. Грина,
который строит свой курс квантовой механики, вообще
не прибегая к помощи координатного представления. В его
курсе все традиционные квантовомеханические задачи на
определение энергетических уровней (даже вадача о час-
частице в потенциальном ящике) решаются чисто алгебраиче-
алгебраическим путем, что достигается благодаря систематическому
использованию метода факторизации.
В первых двух главах книги, которым предшествует
небольшой исторический обзор основных этапов развития
квантовой теории, излагается математический аппарат и
разъясняются основные физические нхжниипы киантовой
механики. В последующих четырех глаЪах покавано, как

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
эти общие положения применяются к решению различных
простейших задач атомной и ядерной физики. Здесь же
подробно рассмотрен вопрос о моменте количества движе-
движения, и в частности, исходя лишь из одной алгебраической
структуры оператора орбитального момента, весьма изящ-
изящным способом доказана целочисленность его собственных
значений.
В заключительной, седьмой главе, посвященной реля-
релятивистской квантовой механике, подробно разбирается
дираковская теория электронного спина и рассматривается
вопрос о тонкой структуре энергетических уровней водо-
родоподобного атома. Каждая глава книги снабжена боль-
большим числом задач и упражнений.
Следует еще отметить, что, несмотря на весьма неболь-
небольшой объем книги, автору удается ознакомить читателя не
только с основами, но и с рядом приложений квантовой
механики.
Проф. X. Гртг с большой заинтересованностью и вни-
вниманием отнесся к изданию русского перевода его книги и
любезно прислал нам список обнаруженных в английском
оригинале опечаток. Мы пользуемся случаем выразить ему
нашу искреннюю признательность.
Проф. А. А. Соколов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Чтение лекций, как и написание учебника, связано с отбо-
отбором самого существенного из громадного и все возраста-
возрастающего количества данных; кроме того, при этом еще нужно
соблюдать известного рода равновесие между исторической
правдой и правдой логики научного исследования. Разви-
Развитие научных исследований имеет тенденцию идти окольны-
окольными путями — следуя им, никогда не придешь к пониманию
современной обстановки.
Хотя мое знакомство с современными учебниками кван-
квантовой механики носит довольно ограниченный характер,
тем не менее у меня создалось впечатление, что существу-
существует тенденция пренебрегать историческими корнями этой
дисциплины и строить теорию опираясь на те основания,
которые на самом, деле были открыты позже. Несомнен-
Несомненно, такая методика быстро подводит к современным про-
проблемам и очень удобна для подготовки специалистов, спо-
способных на практике применять то, чему их научили; однако
я сомневаюсь, пригодна ли она для тех кому предстоит
заниматься оригинальными исследованиями, поскольку она
не показывает, каким образом находит первооткрыватель
свою собственную дорогу в джунглях неупорядоченных
фактов и малопонятных теоретических попыток их
объяснения. В настоящей книге обучение строится не на
компромиссе, а' скорее на разумном сочетании историче-
исторического и современного аспектов квантовой механики, на том,
что можно было бы назвать „идеализированной историей".
Книга начинается реалистическим историческим введе-
введением, которое, несмотря на краткость как мне кажется
(а ведь я был одним из действующих лиц в пьесе),
правильно передает существо дела.
Затем следует систематическое изложение математиче-
математических основ теории, представляющее улучшенный вариант
тех методов, которыми пользовалась Геттингенская школа
(матричная механика). Изложение носит математически стро-

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
гий и достаточно общий характер, чтобы можно было
включить в рассмотрение и подход де Бройля—Шредингера
(волновую механику). Последнее достигается с помощью
терминологии и обозначений, общепринятых в теории опе-
операторов' и матриц. Остроумный формализм, изобретенный
для этих же целей Дираком, не используется в книге,
однако его существо разъясняется в приложении.
Физические основания квантовой механики излагаются
с такой же простотой; грубо говоря, они соответствуют
первоначальным идеям Гейзенберга, которые затем, конечно,
должным образом обобщаются, с тем чтобы включить и
релятивистскую теорию Дирака.
В книге имеется небольшой параграф, посвященный
квантовомеханическим парадоксам, при рассмотрении ко-
которых проводится четкое разграничение между понятиями
„недетерминированный" (unbestimmt) и „неопределенный
(ungewiss). Мне думается, что полученное таким образом
решение вполне убедительно.
Хотя я, естественно, немного пристрастен к Геттин-
генской трактовке, которая здесь всячески подчеркивается
(у других могут быть иные вкусы), я с полной рткровен-
ностью могу сказать, что всякий, кто способен мыслить
математически, найдет в этой маленькой книге новый и
нетрудный путь к овладению квантовой механикой.
Использованные методы часто отличаются от обычных —
они оригинальны и требуют внимательного изучения, однако
усилия и время, затраченные на их изучение, окупятся
доскональным пониманием теории. Я сердечно рекомендую
эту книгу и преподавателям, и студентам.
к
Макс Борн
Бад-Пирмонт,
октябрь 1964 г.

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Квантовая механика возникла в начале XX века, когда
Планк [1] занимался исследованием термодинамического
равновесия между излучением и материей, пытаясь объяс-
объяснить наблюдаемую на опыте спектральную плотность излу-
излучения абсолютно черного тела. Перед ним стояла пробле-
проблема согласования теории Релея, которая объясняла наблю-
наблюдаемый спектр в области низких частот, с теорией Вина,
которая была хороша при высоких частотах. Путем
довольно правдоподобных рассужданий Планк получил
соотношение между плотностью энергии и частотой, нахо-
находящееся в прекрасном согласии с экспериментом во всей
спектральной области. Чтобы объяснить этот результат
теоретически, потребовалось предположить, что излучение
с циклической частотой w поглощается и испускается
материей в виде порций, кратных основному „кванту"
йа, где величина й равна 1,054 • 107 эрг • сек и известна
под названием постоянной Планка.
Сам Планк был склонен связывать открытую им ато-
атомистическую природу излучения со свойствами излуча-
излучающей материи, и лишь Эйнштейн [2] пришел к выводу,
что соотношение E = h<u, связывающее энергию с цикли-
циклической частотой, представляет собой внутреннее свойство
самого излучения, не зависящее от его источников. Придя
к такому заключению, Эйнштейн обнаружил, что анализ
фотоэффекта дает возможность подвергнуть это соотноше-
соотношение экспериментальной проверке. В своих рассуждениях
он основывался на том, что для удаления электрона из
металла требуется некоторое фиксированное количество анер-
анергии Е''. Если на металл падает излучение с заданной часто-
частотой (о и если оно состоит из отдельных квантов энергии
?=:й@, то электроны будут вырываться из металла лишь
при выполнении условия Е > ?". Фактически именно такая
закономерность и наблюдается в экспериментах по фотоэф-
фотоэффекту.

'2 ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Доказательство атомистической природы излучения, дан-
юе Планком и Эйнштейном, было лишь первым шагом
i развитии квантовой теории. Прежде чем предпринимать
сакие-либо дальнейшие шаги в этом направлении, необхо-
шмо было добиться более отчетливого понимания струк-
структуры атома. Опыты Резерфорда показали, что атом состоит
{з положительно заряженного ядра, окруженного доста-
достаточным числом электронов так, что в целом вся система
электрически нейтральна. Эти же опыты подтвердили, что
паже на малых расстояниях силы, действующие между
электронами и атомными ядрами, имеют в основном элек-
электростатическую природу. Однако такую картину атома,
состоящего из заряженных частиц, связанных электроста-
электростатическими силами, было трудно согласовать с класси-
классической электродинамикой, которая была завершена рабо-
работами Максвелла и Лоренца еще до наступления текущего
столетия. Согласно классической электродинамике, система
заряженных частиц по смой своей природе должна быть
нестабильной. Под действием взаимного притяжения отри-
отрицательные заряды должны ускоряться по направлению
к положительным зарядам и непрерывно терять энергию
на излучение. Таким образом, электроны а атоме Резер-
Резерфорда должны по спирали приближаться к ядру, и этот
процесс сопровождался бы выделением неограниченного
количества энергии в форме излучения. Разумеется, что
такого на самом деле не происходит.
Ключ к разгадке необъяснимой стабильности атомов
нашли спектроскописты, изучавшие закономерности атом-
атомных спектров. Было обнаружено, что излучение возбуж-
возбужденных атомов не распределяется по всему спектру, как
следовало бы ожидать на основании классической электро-
электродинамики, а сосредоточивается вблизи некоторых характе-
характеристических частот. Для водорода упомянутые частоты
даются эмпирической формулой Бальмера
(здесь тип — целые числа) и подчиняются комбинацион-
комбинационному принципу Ритца
«Г- * о(Я1) (о(л)/"> -Д
и

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ /3
Бор предложил интерпретировать этот результат как
подтверждение закона сохранения энергии при испускании
излучения атомами. Он заметил, что при умножении соот-
соотношения для частот на постоянную Планка получается
соотношение вида
я) =
fi(o(m)),
й@<т> я) — энергия кванта излучения, испущенного ато-
атомом, а &т) и ?? можно рассматривать соответственно как
анергию атома в начальном (возбужденном) и в конечном
состояниях. Рассматриваемые с такой точки зрения спектро-
спектроскопические данные позволяют заключить, что энергия
внутреннего состояния атома не может быть произвольной,
а должна принимать одно из фиксированных значений
&т\ где от=1, 2, 3, ... . Все это, разумеется, полно-
полностью согласуется с наблюдаемой стабильностью атомных
структур, хотя, конечно, никак не объясняет несостоя-
несостоятельность классической электродинамики.
Следующей идеей, имевшей фундаментальное значение,
мы обязаны де Бройлю [3]. В 1923 г. он предложил
интерпретацию соотношения E(m) = h<dm), связывавшего
энергию Е{т) с величиной а>{т), которая фигурировала
в комбинационном принципе. Подобно кванту излучения —
фотону, связанному с частотой (о==?"/А и прочими харак-
характеристиками волны, электрон.в атоме, по мысли де Бройля,
также связан с частотой <о<т> = ^""/й и остальными харак-
характеристиками волны. Если теперь принять во ,внимание, что
в стоячей волне, окружающей атом, может укладываться
только целое число длин волн, то это позволит объяснить
существование связи между частотой а>(т) и положительным
целым числом т. Эрвин Шредингер {4] в 1926 г. придал этой
несколько расплывчатой идее строгую математическую фор-
му. В. ряде изящных работ он развил весь математический
аппарат волновой механики, которая в настоящее время
признана как завершенная и полноценная теория, позволя-
позволяющая объяснять и предсказывать явления атомной физики.
Упоминая о Планке, Эйнштейне, де Бройле и Шредин-
гере, мы говорили о них, как о людях, сыгравших чрезвы-
чрезвычайно важную роль в развитии квантовой механики. Вклад,

J4 ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
внесенный ими, справедливо подчеркивается почти в каж-
каждом элементарном учебнике. Тем не менее мы должны
констатировать тот примечательный и достойный иронии
факт, что никто из них никогда не достиг такого пони-
понимания квантовой механики, которое позволило бы ему
примириться с общепринятой теорией. Планк [5] так выра-
выразил свое окончательное мнение: .Если бы квантовая теория
по всем пунктам превосходила классическую теорию или
же была равноценна ей, то от последней не только можно,
но и нужно было бы отказаться в пользу первой. Это,
однако, решительно не так.., И дело совсем не в том,
что квантовую теорию невозможно применять, а в том,
что, будучи применена, она приводит к результатам, кото-
которые не согласуются с нашим опытом". Эйнштейн незадолго
до своей смерти, последовавшей в 1955 г., писал [6]:
„Действительно, если статистическая квантовая теория не
претендует на полное описание индивидуальной системы
(и ее поведения во времени), то попытки найти это полное
описание индивидуальной системы где-то еще, по-видимому,
неизбежны. . . В рамках концептуальной схемы статисти-
статистической квантовой теории элементов такого описания не
содержится. С учетом этого приходится признать, что
указанная схема в принципе не может Служить базисом
теоретической физики". Еще до этого Эйнштейн сформу-
сформулировал некоторые из своих возражений против квантовой
теории в виде экспериментальных ситуаций, в которых,
как он думал, эта теория должна приводить к парадок-
парадоксальным результатам. Однако во всех подобных ситуа-
ситуациях эксперименты фактически подтвердили правильность
теории.
Что касается де Бройля, способствовавшего открытию
квантовой теории, то он неоднократно выражал удивление
по поводу той формы, которую она в конце концов при-
приобрела. На протяжении 1925—1927 гг. он пытался по-
построить теорию, способную конкурировать с квантовой
механикой, но оставил эти попытки, когда успехи послед-
последней стали очевидны. Совсем недавно де Бройль вновь
возобновил свои усилия: он по-прежнему склоняется к вы-
выводу G], что ,... возможно, в один прекрасный день
окажется, что квантовая теория дает нам лишь статисти-
статистическое представление определенных аспектов лежащей за

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ /5
ним физической реальности, которую она не в состоянии
описать полностью". Шредингер был более язвителен, фор-
формулируя свою окончательную позицию [8]: „Новая наука
(квантовая механика) дерзко претендует на право произ-
произвести переворот всей системы наших философских взглядов.
Делается вид, будто бы рафинированные измерения, под-
поддающиеся простому рассмотрению в рамках квантовоме-
ханического формализма, можно осуществить на самом
деле. Их осуществить нельзя. . . В этом фундаменталь-
фундаментальном плане действительные измерения над отдельными
индивидуальными системами никогда не рассматривались,
потому что существующая теория для этого не при-
приспособлена".
На основании этих критических высказываний, принад-
принадлежащих величайшим знаменитостям, легко может создаться
впечатление, что квантовая механика является или явля-
являлась предметом жарких споров. Однако такое заключение
было бы в корне неверным. В современной физике есть
еще несколько приверженцев взглядов Эйнштейна и де
Бройля; наиболее видные из них — Яноши [9], Бом и Вижье
[10], однако нельзя сказать, чтобы они существенно по-
повлияли на развитие научной мысли. Более интересен воп-
вопрос, почему люди, сделавшие так много для развития кван-
квантовой механики, впоследствии отказались от дела рук своих.
К этому вопросу мы вернемся, когда закончим наш истори-
исторический обзор развития квантовой механики.
В 1925 г., когда предложенная де Бройлем волновая
модель электрона уже получила права гражданства, но
Шредингер еще не закончил свою работу в Цюрихе над
основаниями волновой механики, Гейзенберг [11] в бор-
новской школе в Геттингене дал набросок нового и весьма
оригинального подхода к механике атома. В этом наброске
еще не было правильной трактовки квантовой механики,
однако в нем содержался целый ряд чрезвычайно много-
многообещающих идей, которые во время кратковременного
отсутствия Гейзенберга в Геттингене были подхвачены
Борном и Иорданом [12]. Совместно они сформулировали
матричную механику частицы, движущейся в одном изме-
измерении, а после того, как к ним присоединился вернув-
вернувшийся из отъезда Гейзенберг было найдено обобщение
%тих результатов на случай трех измерений и опубликована

16 ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
знаменитая совместная статья Гейзенберга, Борна и Иор-
Иордана [13].
Таким образом, к 1926 г. существовали два на первый
взгляд весьма различных способа решения проблем атомной
физики — шредингеровская волновая механика и матричная
механика Гейзенберга, Борна и Иордана. Вскоре, однако,
стало понятно, что эти два на первый взгляд несвязанных
метода, с одной стороны, эквивалентны, а с другой до-
дополняют друг друга. Шредингер [14] первым показал, по
каким причинам в тех областях, где применимы оба метода,
они должны приводить к тождественным результатам.
Затем Борн [15], взяв на вооружение методы вол-
волновой механики, применил их к задачам рассеяния ча-
частиц . друг на друге, так до сих пор и не решенным.
В выяснении физического и философского содержания тео-
теории, которое подверглось такой резкой критике со стороны
Эйнштейна и Шредингера, важная роль принадлежала Бору
[16]. Следующий шаг был сделан Днраком [17], которому
удалось объединить оба метода. После этого последовало
быстрое расширение области применений новой теории.
Наконец, тот же Дирак открыл релятивистскую квантовую
механику частиц со спином половина и развил квантовую
теорию свободного поля излучения [17]; применительно
к общему случаю электродинамики соответствующая тео-
теория была дана Гейзенбергом и Паули [18]. После 1945 г.
наиболее важными достижениями были развитие реляти-
релятивистской квантовой теории полей и использование нового
формалиама в ядерной физике.
Теперь у нас несколько больше оснований перейти к об-
обсуждению вопроса, почему Планк, Эйнштейн, де Бройль
и Шредингер были так обеспокоены происшедшим в 1925 г.
революционным переворотом в способе описания атомных
явлений. Всех их роднила приверженность к наглядному
представлению физических явлений в пространстве и вре-
времени. Если вспомнить успехи общей теории относительно-
относительности, то у Эйнштейна в особенности были к тому вее осно-
основания. Действительно, в теории относительности будущее,
так же как и прошлое, представляет совместно с настоя-
настоящим пространственно-временной континуум, а материя есть
просто один из аспектов геометрии этого континуума. Эту
картину невозможно согласовать с индетерминизмом,

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ J7
составляющим одну из существеннейших особенностей новой
квантовой механики. Шредингер также питал по отношению
к теории относительности глубокие чувства и в дополнение
к этому придерживался убеждения (разделявшегося также
де Бройлем), что волны, описываемые его волновым урав-
уравнением, имеют объективный физический смысл. Квантовая
механика отрицает наличие у этих волн какого-либо иного
смысла, кроме статистического, да и то лишь примени-
применительно к экспериментам определенного рода. Каждому,
кто признает волновую механику блестящим открытием,
было бы, наверное, очень трудно обойти молчанием ее
гениального изобретателя.
Этот краткий исторический очерк должен частично
извинить то полное пренебрежение к истории развития
квантовой механики, которым характеризуется остальная
часть книги. Кроме того, мы намеревались привлечь внима-
внимание к тем мотивам, которые дали нам повод написать
(и мы полагаем дают повод прочесть) эту книгу. В боль-
большинстве книг по квантовой механике основной упор делается
на ее волновой аспект, возможно, из-за того, что он счи-
считался более доступным для тех, кто уже в достаточной
мере знаком с дифференциальными уравнениями. Однако
до тех пор пока читатель не осознает, что волновая меха-
механика есть лишь особый способ квантовомеханического опи-
описания (координатное представление), он всегда будет скло-
склонен подпасть под влияние тех же идей о важности коор-
координатного представления и физической значимости волновой
функции, которые ввели в заблуждение некоторых вели-
величайших физиков нашего времени. Можно значительно вы-
выиграть в понимании физической сущности квантовой меха-
механики, знакомясь с ней в том виде, в каком она была
впервые изложена Борном и Иорданом [19]. В настоящей
книге мы намерены преподнести матричные методы в их
современном виде с учетом тех упрощений, которые ста-
становятся возможными благодаря тому, что мы не прибегаем
к представлениям специального вида.
Формализм матричной механики значительно усовер-
усовершенствован благодаря использованию метода факториза-
факторизации. Этот метод впервые был открыт Шредингером [20]

18 ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
в рамках волновой механики и развит затем Инфельдом
и Халлом [21]. В этой книге он систематически исполь-
используется для решения задач на собственные значения. Допол-
Дополнительный материал, помещенный в конце каждой главы,
служит для суммирования и расширения материала, содер-
содержащегося в основном тексте, и, кроме того, содержит
несколько задач, заимствованных из собственных рабсл
автора [22].

Глава I
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Предмет квантовой механики состоит в предсказании
результатов физических измерений, которые производятся
над атомными системами, такими, как элементарные частицы,
атомы или молекулы. Одни эксперименты определяют по-
поведение большого числа подобных систем, и поэтому резуль-
результаты измерений отражают поведение отдельных систем лишь
статистически. В других экспериментах, где используются
камеры Вильсона, пузырьковые камеры, фотоэмульсии и
счетчики поведение отдельных систем определяется непо-
непосредственно, но для получения статистически значимых
результатов необходимо произвести большое число изме-
измерений над отдельными подобными системами.
Таким образом, предсказания, составляющие предмет
квантовой механики, касаются определения возможных
результатов измерений и вероятности, с которой каждый
из этих результатов может быть получен. В одних случаях
возможные результаты индивидуальных измерений вполне
отделены один от другого; так, например, обстоит дело,
если они относятся к орбитальному моменту системы
частиц или же к энергетическим уровням связанных состо-
состояний таких систем, как атом или атомное ядро. В других
случаях эти результаты оказываются распределенными
в некотором интервале значений; так, например, бывает,
если измеряется время распада радиоактивных ядер или
же угол разлета частиц при столкновении.
Так как квантовая механика имеет дело с результатами
измерений, а сами измерения можно рассматривать как
некие операции, производимые над фиаическими системами,
то не удивительно, что математика, описывающая подобные
процедуры на фундаментальном уровне, должна быть мате-
математикой операторов. В математике операторы появляются
в различной форме. Простейшими являются операторы,

20 ГЛАВА t
представимые в виде матриц. Матричное уравнение вида
п
Лг|? = ф. т. е. 2ЛнЧ>г = Ф*
(А = 1 г 2,.... л), по существу означает, что в результате
некоторого преобразования вектор ф с компонентами tpj,
¦ф2. .. • • tyn переходит в вектор ф с компонентами ф1(
Ф2,-.... фл. Оператор, осуществляющий это преобразова-
преобразование, полностью определяется матрицей [Аш]. В матричной
квантовой механике часто приходится иметь дело с векто-
векторами и матрицами с бесконечным числом компонент и
элементов соответственно. В большинстве случаев (вклю-
(включая и те, с которыми мы встретимся в последующем
изложении) эта бесконечность счетна, поэтому компоненты
вектора можно привести в соответствие с членами натураль-
натурального ряда. Однако имеются и такие случаи, когда эта
бесконечность несчетна, так что уравнение Аф = ф сле-
следует интерпретировать как интегральное уравнение, напри-
например.
J Д(А,/)*(/)<« =<р(А).
В волновой квантовой механике в основном приходится
иметь дело с дифференциальными операторами, поэтому
Аф = ф нужно понимать как линейное дифференциальное
уравнение. При изложении необходимого математического
формализма мы попытаемся охватить все упомянутые воз-
возможности.
§ 1. Векторы в гильбертовом пространстве
Символы ф, -ф» х мы будем использовать для обозначе-
обозначения векторов, основные свойства которых перечисляются в
п. „а"—,в*. В квантовой механике мы будем иметь дело с век-
векторами в гильбертовом пространстве, которые, кроме
того, обладают свойством, сформулированным в п. ,г".
а) Любые два вектора либо тождественны (ф = ф), либо
различны (<р=5ь'ф). Если ф = -ф, то и ф = ф. Если -ф = ф и

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 21
б) Любые два вектора ф, ф имеют сумму Ф+^Р» ко-
которая сама является вектором. Векторное сложение ком-
коммутативно
и ассоциативно
По определению
Ф+Ф+Х —Ф+ОР + Х)-
в) Если а — произвольное число, действительное или
комплексное, то для каждого вектора ф определено про-
произведение сф, которое также является вектором. Умноже-
Умножение вектора на число дистрибутивно
где символ 0 обозначает нуль-вектор1). По определению
ф — ф = ф-Н— 1)ф.
г) Всякая пара векторов ф, ф обладает скалярным про-
произведением, которое обозначается посредством (ф, ф) или
Ф*ф. Скалярное произведение представляет"собой действи-
действительное или комплексное число к обладает следующими
свойствами:
1) (ф. ф) >• 0, причем (ф, ф) = 0 тогда и только тогда,
когда ф = 0;
2) (ф. ф+х)^^' W + to' X) и (ф, сф) = с(ф. ф);
3) (Ф. Ф) = (ф, Ф)'.
где (ф, ф)* обозначает величину, комплексно сопряжен-
сопряженную с (ф, ф). Следует заметить, что (ац>, ф) = (ф, сф)*=
=[с(ф. ф)Г==а'(ф. ф).
Укажем дй примера векторов в гильбертовом простран-
пространстве.
1. Конечная или бесконечная последовательность дей-
действительных или комплексных чисел ф,, ф2, q%, ... является
вектором при условии, что:
') В тех случаях, когда нет повода для недоразумение,
нуль-вектор будет обозначаться символом 0.

22 ГЛАВА 1
а) тождественность двух последовательностей фр ф»
<р3. ... и yjpv -ф2. % • • • предполагает равенство фй =4)* Для
всех й = 1, 2, 3, ...;
б) сумма двух последовательностей фр ф2, ф3>... и
•фр %, %, ... определена как последовательность
Ф1-Г-Ф1. Фг + ^2. ФзЧ-% •••;
в) произведение числа а и последовательности <pv (jfoi
Ф3, ... определено как последовательность aq>v afy, a%
так что последовательность 0, 0, 0, ... представляет со-
собой нуль-вектор;
г) скалярное произведение двух последовательностей
Фр Фг. фз> • • • и 'Ф] > ife. 'Фз. • • • по определению равно
(ф, -ф) = ф^, + ф'т|52
или короче
Векторы такого рода общеупотребительны в матричной
механике, их можно назвать векторами в пространстве
последовательностей. Числа ф,, ф2, Фз> < • • носят назва-
название компонент вектора ф.
2. Функция ф(х) действительного переменного х, опре-
определенная на произвольном интервале b < х < с и непре-
непрерывная в нем, является вектором при условии, что:
а) из тождественности ф(л:) и ^(х) вытекает равенство-
функций <р (jc) = -ф (jc) на интервале b < х < с;
б) сумма двух векторов ц>(х) и Ор(х) в смысле вектор-
векторной теории определяется как вектор y(x)-\~ty(x);
в) произведение числа а и вектора <р(х) в смысле век-
векторной теории определяется как ау(х);
г) скалярное произведение двух векторов ф(дг) и т|>(л?)
по определению равно
(ф. *) = Jq>*
С векторами такого рода приходится обычно встречаться
в волновой механике, их можно назвать векторами в функ-
функциональном пространстве.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 23
Говорят, что конечная или счетно-бесконечная после-
последовательность векторов tJjO, -ф<2>, . .. является полной, если
любой вектор, принадлежащий тому же пространству, можно
представить в в~иде
где Су — некоторые числа. Говорят, что векторы tJjC) , г|?B), ...
линейно независимы, если любое соотношение между ними
вида
предполагает, что все Cj равны нулю. Очевидно, что нуль-
вектор не может принадлежать множеству линейно неза-
независимых векторов.
Число ||ф|| = (ф, фI/2. т. е. корень квадратный из ска-
скалярного произведения вектора <р самого на себя, называется
нормой, или длиной вектора ф. Если || <р || = 1, то говорят,
что вектор ф нормирован. Всякий вектор ф, за исключе-
исключением нуль-вектора 0, можно нормировать, разделив его
на ||ф||. Если ф*г|) = О, т. е. если (ф, -ф) == 0, то говорят,
что векторы ф и -ф ортогональны.
Пусть имеется система линейно независимых векторов ф >
где у=1, 2 и нет других линейно независимых
векторов, так что наша система является полной. В таком слу-
случае из них всегда можно построить множество нормирован-
нормированных векторов б(-", которые будут ортогональны друг другу,
т. е. таких, что (&(fe)> 6^') = 0. когда j4=k. Указанное постро-
построение осуществляется следующим образом. Вектор Ь(Х) полу-
получают, нормируя вектор -фA>
Вектор 6B> теперь можно получить, вычитая из вектора т|з(
компоненту (&A>- я|Р) 6A). которая направлена вдоль

24 ГЛАВА I
Вектора 6A\ и нормируя полученный результат:
Поскольку (бA\ 6A))==1. то
Пусть, далее, вектор д(л определен рекуррентной форму-
формулой
2
Если мы предположим, что (б(|), д(**) = 0, когда k и /
различны и оба меньше /, то отсюда будет следовать, что
поэтому (б(', 6* ) будет равно нулю и в том случае, когда
k — J. Рассуждая по индукции, мы приходим к выводу,
что (б(*}, Ьи)) = 0, когда }ФЬ.. Заметим, что
2(
не может обратиться в нуль, так как в противном случае
система векторов фA), i|?B), ... и tyU) оказалась бы линейно
зависимой. Векторы б'^' образуют так называемую орто-
нормированную систему векторов.
Система векторов 6A), 6B) построенная только что
описанным способом, является полной, поскольку была пол-
полной система векторов ty®, afiB>, ..., поэтому произвольный
вектор г|) можно представить в виде

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 25
Таким образом, вектор tj) может быть представлен в виде
вектора в пространстве последовательностей, причем его
компоненты tj)j, tJ>2, ... определяются приведенным выше
соотношением. Легко убедиться, что:
а) из равенства <р = tj) следуют равенства фу = г|ь для
всех У=1, 2, .... и обратно;
б) Сф-f ф)*=»
в) («Ф)а =
Г) (ф, tj>) = S ф^*"
Выше для векторов были введены общепринятые обо-
обозначения, которые будут использоваться всюду в дальней-
дальнейшем. Однако читателю следует также познакомиться с обо-
обозначениями Дирака, смысл которых разъяснен в приложении.
§ 2. Линейные операторы
Линейный оператор А есть соответствие или правило,
с помощью которого всякому вектору т|> сопоставляется
вектор Лг|), так что
1) Лф = Лф, если ф = i|);
2)
3)
Если А и В — линейные операторы и т|> — произволь-
произвольный вектор, то
а) сА обозначает оператор, определенный соотноше-
соотношением
б) А 4- В обозначает оператор, определенный соотно-
соотношением
в) АВ обозначает оператор г определенный соотноше-
соотношением
(АВ) ф = A (Bi|>);

26
ГЛАВА 1
г) 1 обозначает оператор, определенный соотношением
§ 3. Представление линейных операторов матрицами
Предположим, что в нашем пространстве множество
линейно независимых векторов не более чем счетно и что
6A\ б*2*, ... есть ортонормированная система, построенная
с помощью процедуры, описанной в § 1. Тогда любой век-
вектор тр можно представить в виде 2 ^л0 > в частности,
вектор б№ можно представить суммой 2 о*;)о(*'. где
Если А — произвольный линейный оператор, а Аы суть
компоненты вектора АЬ , то компоненты вектора Лг|)
будут равны #
Полный набор компонент \Akl] есть матрица, о которой
говорят, что она представляет линейный оператор А. Ли-
Линейный оператор 1 представляется диагональной матри-
матрицей [в„].
Если число векторов ортонормированной системы б'-"
(J = l, 2, ...) бесконечно, то матрица [Ак1\ будет бес-
бесконечной. Ее можно записать следующим образом:
"U "\2 ^13 • • •
А2
А,
А2
А9
33
Так как число строк и столбцов этой матрицы беско-
бесконечно, то показать все элементы, разумеется, невозможно.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 27
Однако если наши векторы принадлежат я-мерному про-
пространству, то имеется только конечное число я векто-
векторов 6(-" и у матрицы будет п элементов, которые можно
расположить в я строках и я столбцах.
§ 4. Приложение к комплексным числам
Комплексное число обычно определяется как упорядо-
упорядоченная пара действительных чисел или, в нашей тепереш-
теперешней терминологии, как вектор {г|L} с двумя действитель-
действительными компонентами г|)Л и tyr Этот вектор принято обозна-
обозначать посредством -ф^—f- Ify.
Линейный оператор i можно определить с помощью
соотношений
так что в матричном представлении он имеет вид
[Г
Пусть а, Ь, а', У — действительные числа, тогда
(al + Ъ\) (а! 1 + Ъ'\) = (аа! — bb") I ~f (ab' + baf) \.
Другие линейные операторы таковы.
Оператор С (комплексное сопряжение), такой, что
или
Оператор R (действительная часть), такой, что
или
Оператор / (мнимая часть), такой, что
или

28 ГЛАВА 1
Упражнение 1. Доказать, что
и найти матричное представление операторов С, R, / л Ы.
§ б. Собственные векторы и собственные значения
Если Лг|)=«г|), где а— число, то говорят, что а есть
собственное значение оператора Л,ат|з— соответствующий
собственный вектор (предполагается, что tj) не равно
нулю).
Если операторы А и В имеют общий собственный век-
вектор, то
(АВ — ВЛ)ф = 0.
Если а и Ь — соответствующие собственные значения, то
(АВ) ф = А (Вф) = A (bty) = ab-ty
и аналогично (ВA) tJ> = baty. Отсюда, следует, что если
каждый собственный вектор оператора А является в то же
время и собственным вектором оператора В, то АВ = В А,
т. е. операторы А к В коммутируют.
Последующие рассуждения относительно собственных
значений и собственных векторов применимы только в том
случае, когда размерность п векторного пространства S
конечна. Методы нахождения собственных значений и соб-
собственных векторов в том случае, когда 5 бесконечномерно,
но счетно, будут даны позднее. Чтобы отыскать собствен-
собственные векторы и собственные значения в случае конечного п,
обозначим посредством D(a) определитель
Исключение компонент ify из системы уравнений
4м|
приводит к уравнению D(a) = 0. Так как D(a) представ-
представляет собой полином я-й степени от а, то его можно пред-
представить в виде
О (а)-Д (
л
'а — (

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 29
и тогда числа а(^ будут собственными значениями опера-
оператора А. Когда эти последние определены, решение первых
п — 1 уравнений системы A.1) позволяет выразить т$\
•ф^ трл" Для каждого аи) через i$\ значение кото-
которого остается произвольным. Другой способ нахождения
собственных векторов, применимый, когда функция D(a)
уже вычислена, излагается ниже.
Прежде всего покажем, что собственные векторы опе-
оператора А образуют полную систему линейно независимых
векторов, если никакие два собственных значения с'-" не
совпадают между собой. Пусть ij/-" (J=l, 2, ..., n) —
собственные векторы- необходимо показать, что из со-
соотношения
следует, что Cj = O для всех J. Применяя оператор А
к данному соотношению, находим, что
аналогично находим
= 0 при /п = 0, 1.2 я
Когда все собственные значения различны, определитель
Вандермонда |(с<Л)*~!|не обращается в нуль [он равен
произведению ТТ JJ (с^1 — aw)l- поэтому для каждого
значения j с/ф(-"=О. Поскольку ф(-" + 0, то Су*=О, что
и требовалось доказать. Если же среди собственных зна-
значений имеются одинаковые, приведенное доказательство
несправедливо. В этом случае собственные векторы обра-
вуют полную систему лишь при условии, что на оператор А
наложены некоторые специальные ограничения (например,
если оператор А эрмитов).
Покажем далее, что оператор А подчиняется тому же
самому уравнению, что и его собственные значения. Если

30 ГЛАВА 1
все собственные значений оператора А различны, то соб-
собственные векторы, как мы только что доказали, образуют
полную систему, и, следовательно, всякий вектор можно
представить в виде
Действуя линейным оператором D(A) на правую и левую
части этого равенства, имеем
D (А) ф = 2 CjD (а(Л) г|>(/) = О
и D (А) = 0 ввиду произвольности вектора ty. Этот резуль-
результат можно получить и в том случае, когда некоторые иэ
собственных значений оператора А совпадают между со-
собой. Действительно, пусть 6.4—оператор с произволь-
произвольными и сколь угодно малыми матричными элементами bAkt,
тогда собственные значения а<-оа(;Г) оператора А-\-ЬА,
во-первых, будут различны и, во-вторых, будут удовле-
удовлетворять детерминантному уравнению вида
D (а 4 6а) 4- 6?> (а 4" 6а) = 0.
Рассуждение, которым мы уже пользовались, показывает,
что
D (А 4- ЬА) 4- bD (А 4- ЬА) = 0.
но при 6^4 == 0 это дает D (А) = 0.
Упражнение 2. При л = 2 проверить непосредственно,
что матрица [Ак{\ удовлетворяет уравнению D (А) = 0.
Пусть tj)—произвольный вектор, а вектор т^1' определен
соотношением
Теперь мы уже можем показать, что вектор ij/ , если он
не исчезает, является собственным вектором оператора А,
принадлежащим собственному вначению а<1>. Действительно,
в силу предыдущего

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 31
и мы всегда можем подобрать такой вектор ф, чтобы
вектор if' не обращался в нуль, перебрав для этого,
если необходимо, полный набор векторов v с компонен-
компонентами 6уЛ, определенный в § 3. Таким образом, собственные
векторы оператора А можно найти с помощью формулы
Наконец, отметим, что если собственные векторы
оператора А образуют полную систему, то коэффициенты
разложения
можно найти, умножая это равенство на JT (А—aW).
В результате имеем
1=
Если положить
то указанное разложение можно также записать в виде
Упражнение 3. Используя тождество
1 _у Ч
D{a) —Zia-аОУ
проверьте непосредственно, что 2 '*'" = 1, а также покажите,
что (Я^*J — Р<" и что pMpW = 0, когда j ф k.
§ в. Специальные типы операторов
а) Проекционные оператбры
Оператор Рг удовлетворяющий соотношению Р7 = Р,
называют проекционным оператором (иногда его также
называют идемпотентом). Очевидно, что все собственные
значения такого оператора — единицы или нули.

32 ГЛАВА I
Примеры: операторы R и /, введенные в § 4; опе-
оператор Р^К введенный в § 5.
б) Эрмитовы операторы
Линейный оператор А* называют эрмитово сопряжен-
сопряженным с оператором А, если для произвольных векто-
векторов ф и ур (Ар)*1|> = ф*(.4*1|>).
Если множество 5 счетно, то приведенное условие, оче-
очевидно, эквивалентно условиям
"). или (Alky
Оператор А называют эрмитовым, если А* = А или, иначе,
если (Alk)m=Akl.
Все собственные значения эрмитова оператора действи-
действительны В самом деле, если оператор А эрмитов и Аф«
= ai|), где г|э=?О, то из равенства
следует, что а*-ф*"ф = а-ф*-ф, а значит, а* = а, поскольку
т|>*г|) с необходимостью положительно.
Собственные векторы, принадлежащие различным соб-
собственным значениям эрмитова оператора, взаимно орто-
ортогональны. Так как из равенства
следует, что
то (¦ф(Л)*1р(*)=г=О, если аи) ф а{"\ Взаимно ортогональ-
ортогональные собственные векторы, принадлежащие собственным
значениям а1^ и alk\ можно получить и в том случае, ког-
когда о</) = а<*'. Это достигается, например, введением опе-
оператора f>A с произвольными сколь угодно малыми матрич-
матричными элементами (>Ак[. Собственные значения «'-"-j-da'^
оператора А-{-ЬА различны, а принадлежащие им соб-
собственные векторы в силу предыдущего взаимно ортогональ-
ортогональны. Таким образом, если J=hk, то
и в пределе при ЬА -> 0 это дает (i|> / ф* = О,

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 33
Ортогональные векторы с необходимостью линейно
независимы, следовательно, система собственных векторов
эрмитовой матрицы полна.
в) Унитарные операторы
Унитарный оператор U обладает тем свойством, что
его произведение на эрмитово сопряженный оператор U*
равно единичному оператору, ?/*?/ = 1.
Все собственные значения унитарного оператора равны
по модулю единице. В самом деле, если C/i|> = ta[), то
соотношение
очевидно, сводится к равенству А,*А/ф*г|) = tJ>*>|).
Упражнение 4.Найдите собственные значения и норми-
нормированные собственные векторы оператора, представленного ма-
матрицей [Ащ], где k и I могут равняться только 1 илн 2. Найдите
в этом случае проекционные операторы Р^ и Р@\ определенные
в § 5, и покажите, что
Упражнение 5. Пусть оператор А эрмитов и
где фО — ортонормированные собственные векторы оператора А.
Покажите, что
Пусть далее
(*Ч) (Ф'Ф) cos* в
покажите также, что — 1 < cos в < 1.
§ 7. Функции от операторов
Квадрат и высшие степени оператора А, а также мно-
многочлены от А были определены ранее (§ 2, п. ,ащ — ,г").
Можно определить и функцию / от оператора А при
условии, что, во-первых, существует функция /(а) для
всякого собственного значения а оператора А и, во-вто-
во-вторых, система собственных векторов оператора А полна.

34 ГЛАВА 1
Действительно, пусть ф — произвольный вектор и пусть
разложение этого вектора по собственным векторам опе-
оператора А имеет вид
(Здесь система собственных векторов' предполагается счет-
счетной.) Тогда функцию /(Л) можно определить с помощью
соотношения
2 ;(H
Пусть далее /^ — проекционный оператор для собствен-
собственного вектора г)> , т. е.
тогда
Важные функции, которые можно определить таким спо-
способом, суть еаА и Л, т. е. оператор, обратный оператору
Л (обратный оператор существует, если у Л нет равных
нулю собственных значений и если его собственные век-
векторы образуют полную систему).
Упражнение 6. Покажите, что оператор е1А существует
и унитарен, если оператор А эрмитов. Покажите также, что
еА*в = е*ев, если операторы А н В коммутируют.
§ 8. Каноническяе преобразования
Каноническое преобразование — это такое преобразо-
преобразование, при котором каждый вектор t|> заменяется на век-
вектор т}>' = Uty, а каждый линейный оператор А заменяется
линейным оператором A' = UA(J*, где U — унитарный
оператор. Так как U* = U~l, то при этом преобразова-
преобразовании все соотношения настоящей главы остаются без изме-
изменений. Например, из соотношения Лг|) = ф следует, что
или что Л'г|)/ = ф/. Еще примеры: из В = А1А2 следует,
что

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 35
или что В' — А\А'2, а из ф*-ф = с вытекает, что (?/ф)*?/ф —
= с, т. е. что (ф')*1|>' = с. Канонические преобразования
можно представлять как вращения системы отсчета
в гильбертовом пространстве.
Если (V } — произвольная полная система нормиро-
нормированных и взаимно ортогональных векторов, то всегда
можно найти такое каноническое преобразование, чтобы
tyU)/ = Ь^\ т. е. чтобы •ф^)' = 6у*. В самом деле, в силу
ортонормированности
Полагая далее Unt ~ i|>i . это соотношение можно пере-
переписать в виде Uty^ = 6(l" Если теперь U* — оператор,
эрмитово сопряженный с оператором U, так что
то соотношение ty'*'*^ = bjk будет означать, что ?/?/*= I,
и, следовательно, оператор U унитарен.
Если i|/-" являются нормированными собственными век-
векторами оператора А, то соотношение AtyU) = a(i\^ пре-
преобразуется к виду А'6()) = a{))b{i\ так что А'к] = aU)bkj.
Таким образом, после канонического преобразования опе-
оператор А будет представляться диагональной матрицей,
неисчезающие матричные элементы которой суть собствен-
собственные значения оператора Л (и А').
§ 9. Краткий очерк классической механики
Классическую механику системы частиц удобно резю-
резюмировать в рамках лагранжева формализма. Предположим,
что мгновенная конфигурация всей системы характеризу-
характеризуется некоторым числом координат qv q2, qb, ff4
вообще говоря, не обязательно декартовых. В классичес-
классической механике величины qr, разумеется, являются числами,
а не операторами. Функция Лагранжа L системы пред-
представляет собой явную функцию qT, их проивводиых по
времени qr и, возможно, кроме трго, зависит от времени
L = L(qv q2, ...; qv q2,...; t).

36 ГЛАВА I
Импульс рг, канонически сопряженный с координатой
qr, находится дифференцированием функции L по соот-
соответствующей скорости qT
dL
Р
Сила Fr, равная скорости изменения импульса рг,
находится дифференцированием функции L по qT
±?j- — f — dL
dt —rr— dqr '
Уравнения движения системы получаются из преды-
предыдущего соотношения, если в нем положить г = 1, 2.
3 Энергия системы определяется формулой
Так как
то dHjdt ос 0, если dL/dt = 0, другими словами, энер-
энергия сохраняется, если L не зависит от времени явно.
6 механике Ньютона функция L равна разности потен-
циальной анергии системы V, которая обычно зависит
только от координат, V{qv q2, ¦ ¦ ¦), и кинетической
энергии Т
L TV( q2, ...).
Если используются декартовы координаты, то

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 37
где щ — масса, соответствующая r-й координате. Урав-
Уравнения движения в этом случае принимают вид
dq, _ dV
а энергия системы равна
Если V зависит только от разностей координат и не
аависит от абсолютного положения какой-либо из частиц, то
откуда следует, что в этом случае сохраняется полный
ныпульс системы частиц
Имеется альтернативная возможность формулировки
основных результатов классической механики—так назы-
называемый гамильтонов формализм. Энергию системы Н,
выраженную в виде функции от qt и Д. (а возможно, и
времени)
ЦшпН{ях, qt, ...> pv p2, ...; О,
называют функцией Гамильтона системы частиц. Ско-
Скорости q, можно йайти, дифференцируя гамильтониан по
переменным рг\
а уравнения движения системы можно записать в виде
• дН
P
В механике Ньютона1) pr=r=mfqr, энергия же имеет вид
¦) Последние утверждения справедливы лишь при условии,
что qT — декартовы координаты. — Прим. ред.

38 ГЛАВА 1
Задачи
1. Запишите основные свойства множества векторов. Рассмо-
Рассмотрите множество функций, обладающих следующими свойствами:
1) каждая функция <р(дг) имеет производную Ф'(дг) в интервале
а < х < Ь; 2) при е, стремящемся к нулю, величина
ф' (X + Е) + ф' (X — Е) - 2ф' (х)
стремится к нулю на интервале а < х <Ь. Докажите, что эти
функции образуют векторное множество, т. е. обладают всеми
требуемыми свойствами, если: а) векторная сумма определена
как обычная, сумма ф (.л:) + "ф (х); б) нуль-вектор является особой
.функцией" 0, а отрицательный вектор ф (х) определяется как
— Ф(дг) н в) произведение вектора у(х) на число а определя-
определяется как дар (х). [Заметьте, что кроме всего прочего необходимо
показать, что ф (х) -J- ф (х), — ф (х) и аф (х) являются векторами,
если ф(лс) и i|?(jc)— векторы.]
Необходимо ли, чтобы производная ф' (х) была вектором,
когда ф (дг) является вектором?
2. Пусть <р, ф, X» • • • — векторы; докажите, исходя из основ-
основных принципов, справедливость следующих утверждений:
2) аО=О;
3)
3. Запишите определение линейного оператора. Если А, В, С—
линейные операторы, то каким образом определяются выра-
выражения А -\-В, АВ, А-\-В-\-С н А — В? Исходя из основных
принципов, докажите, что
(А'+ ВJ = Л2 -f АВ -f BA -f В2-
Пусть [А, В] означает АВ — В А; докажите, что
[А, В3]^[АВ]В'+В[А, В]В + В'[А, В],
и найдите аналогичное выражение для [А, В*]. Докажите, что
[А, [В, С] ] + [В, [С, А] ] + [С, [А, В\ ] » 0.
Пусть {А, В] означает АВ-\-ВА; покажите, что
{А, ВС] = [Л, В] С + В {A, G)
и что
[А, ВС] = {А, В}С — В{С,А) = [А,В\С-В [С, А].
4. Пусть А и В— линейные операторы со свойствами
Л2==В2=1 и {А,В}=АВ-\-ВА = 0,
И пуеть С = — iAB. Докажите, что
С2=1 и (ЛС) = {В,С}=а

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 39
Убедитесь, что собственные значения оператора А равны — 1
н -j- 1- Пусть <р — собственный вектор оператора А, принадле-
принадлежащий собственному значению -(-1; покажите, что By есть соб-
собственный вектор оператора А, принадлежащий собственному
значению —1, и что (С — IB) q> = 0. Докажите, что
(аА +ЬВ + сСу = (a* -J- Ь* + с2) 1.
Отсюда или иным способом найдите собственные значения опе-
оператора
aA+bB + c
5. Покажите, что норма (длина) вектора ф есть действи-
действительное число || ф || со следующими свойствами:
1) 11ч>11>0, причем || ер ||=0 тогда и только тогда, когда ф=0;
2)||+ф||<||И+Ш
)||ф+ф||<||фИ+Ш;
3) || аф II = | а | || ф ||, где 1 а | — модуль, вообще говоря, ком-
комплексного числа а.
Покажите далее, что
(ф. ¦>=т i" ч+¦ и2 - и» - ¦||2+; и» - '¦ и *-("
если (ф, ф) — скалярное произведение векторов (риф.
6. Пусть Л и В — линейные операторы со следующими
свойствами:
А3 = А, В3 = В и А*В + ВА2 = В.
Покажите, что
АВА=*0,
н что
С3 = С,СА — АС = 1В и А*С-{-САг = С,
если ЛВ — В А = iC. Докажите, что собственные значения опе-
оператора А равны — 1, -f- 1 и 0. Убедитесь, что
ВЛВ = 0 и ВС — СВ = М,
если к перечисленным выше условиям добавить соотношение
В» А + АВг = А.
7. В чем заключается основное свойство линейного эрми-
эрмитова оператора? Докажите, что (ЛВ)* = В*А*. Пусть В — эрми-
эрмитов оператор и А*В*=ВА; покажите, что в этом случае нз ра-
равенства Лф = а1|> следует, что либо а—действительное число,
либо (i|>, Вф) = 0.
8. Что понимается под линейным унитарным оператором?
Докажите, что оператор, обратный унитарному, сам является

40
ГЛАВА 1
унитарным и что произведение двух уиитарных операторов само
унитарно. Пусть
предполагая, что
найдите оператор, обратный оператору
c
Докажите, что оператор cos 6И -\- i sin О А унитарен, если опера-
оператор А эрмитов.
9. Пусть
(Л —
и ф — какой-либо вектор, не являющийся собственным вектором
оператора А\ убедитесь, что в этом случае
—адо н
— а2ф
являются собственными векторами оператора А. Обобщите этот
результат иа Случай собственных векторов оператора В, когда
10. Дайте определение детерминанта матрицы и вычисли-
вычислите детерминант
\А\-
Покажите далее, что соответствующую матрицу можно пред-
представить в виде
а
—d
—Ь
Ь
а
—d
—с
с
Ь
а
—d
d
с
Ь
а
где Q — некоторая матрица. Докажите, что Q4 = — 1, и найдите
собственные значения матриц Q и А. На основании этих резуль-
результатов убедитесь на частном примере матрицы А в том, что
детерминант матрицы равен произведению ее собственных зна-
значений. Определите собственные векторы матриц Q н А.

Глава 2
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В классической физике для понимания сущности физи-
физических явлений полезнее всего две модели: частица, кото-
которую мы представляем в виде движущейся точки, и волна,
рисующаяся нашему воображению по аналогии с волнами,
которые распространяются на поверхности воды или в
колеблющейся струне. Хотя эти модели полезны и в кван-
квантовой механике, ни одна из них не дает адекватного
описания элементарных частиц, поэтому совершенно необ-
необходимо оценить пределы их применимости и пользу,
которую из них можно извлечь. Напомним читателю, что
в XIX столетии благодаря теории Максвелла установилась
точка зрения, что свет и другие формы излучения представ-
представляют собой электромагнитные волны. Этот взгляд, однако,
крайне трудно примирить с открытым Планком и Эйнштей-
Эйнштейном фактом, что электромагнитное излучение с циклической
частотой а состоит из неделимых „квантов" с энергией ?«=й©
и импульсом p=li[X. Еще более поразительной была под*
тведжденная соответствующими дифракционными опытами
гипотеза де Бройля, что электроны, рассматривавшиеся
ранее как классические частицы, обладают некоторыми
свойствами волны, в том числе циклической частотой ©
и длиной волны X, которые связаны с их релятивист-
релятивистскими энергией Е и импульсом р точно такими же фор-
формулами. Чтобы устранить явное противоречие, содержа-
содержащееся в предположении, что фотоны, электроны и прочие
элементарные частицы могут сочетать в себе свойства
частиц и волн, требовалось, очевидно, прибегнуть к помощи
каких-то новых концепций.
Допустимо не доверять чему бы то ни было, кроме
собственных ощущений, поэтому для устранения указан-
указанного противоречия мы начнем с вопроса о приборах,
позволяющих обнаруживать и исследовать индивидуальные
частицы. Обычно для этих целей используются следующие
приборы.

42 ГЛАВА 2
Камера Вильсона. Когда заряженная частица пе-
пересекает камеру, заполненную насыщенным паром, она
ионизирует некоторые атомы, встретившиеся на ее пути.
Чтобы привести камеру в действие, ее расширяют так,
что пар становится перенасыщенным и в виде мельчай-
мельчайших капель конденсируется на ионах, делая видимой при-
примерную траекторию частицы. Если камера помещена в
магнитное поле В, то радиус кривизны трека частицы
с зарядом, е и массой т будет равен cpj(eB); его изме-
измерение позволяет определить импульс р.
Фотоэмульсия. Пролетающая заряженная частица
смещает электроны в близлежащих зернах эмульсии,
что в свою очередь вызывает смещение других электронов.
После проявления подвергшиеся воздействию зерна ста-
становятся видимыми, что позволяет приближенно судить
о траектории частицы.
Пузырьковая камера. В наши дни этот прибор
широко используется вместо камеры Вильсона. В отличие
от последней пузырьковая камера вместо насыщенного
пара содержит находящуюся при температуре кипения
жидкость.
С помощью декомпрессии жидкость перегревают и
на ионах, возникших в результате прохождения заряжен-
заряженной частицы, образуются пузырьки.
Счетчик частиц. С различными вариациями в этом
приборе быстрая частица детектируется по вызванному ею
каскаду электронов, чей импульс можно усилить и заре-
зарегистрировать. Одиночный счетчик регистрирует примерное
положение частицы и время ее появления. Два и больше
счетчиков, работающих на совпадение или же на совпа-
совпадение с задержкой, могут служить для регистрации тра-
траектории частицы и ее средней скорости. Для обнаруже-
обнаружения незаряженных частиц используются реакции, в которых
испускание или поглощение нейтральной частицы сопро-
сопровождается вылетом заряженных частиц.
У всех описанных выше приборов имеется одна общая
черта: они устроены так, что даже малейшее взаимодей-
взаимодействие отдельной частицы с прибором способно вызвать

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
43
эффект макроскопического масштаба, как правило, в ре-
результате перехода какой-либо компоненты прибора из
метастабильного состояния в состояние термодинамичес-
термодинамического равновесия.
Перейдем теперь к рассмотрению эксперимента, в ко-
котором наиболее остро проявляется конфликт между
концепциями частицы как движущейся точки и как волны.
Этот эксперимент наряду с другими аналогичными опы-
опытами был предметом полемики между Бором и Эйнштейном
Фиг. I.
в 1928 —1930 гг. Электроны или фотоны испускаются
источником 5 и после дифракции на двух имеющихся
в экране щелях А и В поглощаются фотографической
пластинкой Рл как показано на фиг. 1. Было обнаружено,
что в результате поглощения большого числа частиц на
пластинке Р возникает дифракционная картина /, совер-
совершенно не похожая на картину 2, которая возникает на
фотопластинке, когда закрывают щель Л, а затем на то
же самое время — щель В. Уменьшая должным образом
интенсивность источника, можно убедиться, что дифрак-
дифракционные полосы образуются в результате последователь-
последовательных ударов отдельных частиц, каждая из которых погло-
поглощается в определенной точке пластинки Р. Кроме того,
оказывается, что уменьшение интенсивности источника
не изменяет характера дифракционной картины, поэтому
исключается влияние частицы, проходящей через одну
щель, на частицу, проходящую через вторую щель.

4? ГЛАВА 2
Если бы частицы представляли собой движущиеся течки,
каждая из которых должна пройти либо через щель А,
либо через щель В (но не через обе сразу), то тогда
дифракционная картина, возникающая при прохождении
равного числа частиц через каждую из щелей, не зависела
бы от того, открыта или закрыта в это время другая щель.
Следовательно, когда открыты обе щели, мы можем исклю-
исключить возможность того, что частица, проходя сквозь экран,
обладает определенным положением (либо А, либо В).
С другой стороны, каждая частица попадает в определен-
определенную точку пластинки Р. Таким образом, мы можем лишь
заключить, что частица не имеет определенного положения,
за исключением тех мест, где расположены эксперимен-
экспериментальные устройства, предназначенные для определения ее
положения! Более того, мы не в состоянии даже предска-
предсказать, через какую именно щель проходит данная частица,
так как в месте расположения экрана частица не имеет
определенного положения. Конечно, если придвинуть плас-
пластинку непосредственно к экрану, то можно эксперимен-
экспериментально убедиться в том, что данная частица прошла через
эту, а не через другую щель. Однако вто изменит наше
экспериментальное устройство и воспрепятствует наблюде-
наблюдению дифракционных полос, о которых мы говорили выше;
сама же возможность предсказания, через какую именно
щель пройдет частица, конечно, не меняется, когда за
экраном происходит передвижение пластинки Р.
Всякую физическую переменную, подобную координа-
координатам, характеризующим положение частицы на экране, кото-
которая не имеет определенного значения до тех пор, пока
не поставлено экспериментальное устройство для ее изме-
измерения, называют недетерминированной. Необходимо тща-
тщательно соблюдать различие между недетерминированностью
(indeterminacy) и неопределенностью (uncertainty), которые
являются эквивалентами немецких слов Unbestimmtheit и
Ungewlssheit. Физическая величина, являющаяся просто
неопределенной, имеет определенное значение, которое,
однако, неизвестно экспериментатору. Недетерминирован*
ность всякой физической характеристики частицы или си-
системы частиц снимается в тот момент, когда частица или
система взаимодействует с измерительным прибором, что
сопровождается соответствующим эффектом на макроско-

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 43
пическом уровне. Как было показано автором [23], уже
само наличие громадного числа частиц в макроскопической
системе гарантирует снижение недетерминированности до
несущественного уровня. До тех пор пока эксперимента-
экспериментатор не замечает изменений, происшедших с его прибо-
приборами, значение измеряемой величины остается неопреде-
неопределенным, а после этого оно определено.
§ 1. Квантовомеханические парадоксы
В свете сказанного выше поучительно рассмотреть
некоторые парадоксы, выдвигавшиеся некоторыми знаме-
знаменитыми физиками с целью набросить тень сомнения на
установленные принципы квантовой теории.
а) Парадокс со шредингеровской кошкой
Шредингеру принадлежит следующий мысленный экспе-
эксперимент. Непроницаемый для звука и света ящик обору-
оборудован задвижкой, которая может быть открытой ровно
столько времени, чтобы пропустить фотон. Внутри ящика,
напротив задвижки, находится полупосеребренное зеркало,
изготовленное так, что оно отражает 50 % всех падающих
на него фотонов и пропускает остальные. Если фотон от-
отражается, то ничего не происходит. Если же фотон про-
проходит, то он приводит в действие помещенный в этом же
ящике счетчик, который электрически связан с заряжен-
заряженным ружьем. В ящике содержится кошка, и если фотон
приводит в действие счетчик, ружье стреляет и кошка рас-
расстается с жизнью. Пусть теперь задвижка открыта. Со-
Согласно Шредингеру, будет ли фотон отражен полупосереб-
полупосеребренным зеркалом или же он Тфойдет сквозь него, ничем не
детерминировано, поэтому, придет ли в действие счетчик
и выстрелит ли ружье, также не детерминировано, а сле-
следовательно, жива кошка или же мертва, тоже не детер-
детерминировано. С первого взгляда может покаааться, что
недетерминированность исчезает только тогда, когда ящик
открывают и экспериментатор заглядывает внутрь. Никто,
конечно, не мог бы согласиться с таким выводом, и по-
поэтому вся концепция недетерминированности оказывается
под вопросом.

46 ГЛАВА 2
Читатель, по-видимому, заметил слабое место в
вышеприведенном рассуждении. В действительности неде-
недетерминированность состояния кошки исчезает в тот момент,
когда происходит или же не происходит взаимодействие
фотона со счетчиком.
б) Парадокс де Бройля
Следующий парадокс, которым мы обязаны де Бройлю
на первый взгляд более загадочен. В Париже находится
закрытый ящик, внутренние стенки которого сделаны из
отражающего материала. В ящике находится одна-един-
ственная частица. Без попытки локализовать частицу
в ящик вставляется также сделанная из отражающего ма-
материала перегородка, которая делит его на две одинако-
одинаковые ячейки. Ячейки отделяют друг от друга, и один из
получившихся в результате ящиков отправляют в Токио.
Нахождение частицы в парижском ящике, таким образом,
совершенно не детерминировано. Далее, в Токио ставится
эксперимент с целью определить наличие частицы в при-
присланном ящике. В тот самый момент, когда этот вопрос
решен, выясняется и вопрос о наличии частицы в ящике,
оставшемся в Париже, и недетерминированность устра-
устраняется. Таким образом, эксперимент, выполненный в Токио,
вызывает незамедлительный эффект в Париже при отсут-
отсутствии всякой возможной связи между обоими городами.
Не правда ли, такой вывод малоправдоподобен?
В представленной де Бройлем ситуации нет ничего
такого, что бы не содержалось в любом эксперименте,
который ставится с целью определить положение частицы.
Тот факт, что ящики по условию должны разделяться
большим расстоянием, служит лишь для того, чтобы под-
подчеркнуть очевидную абсурдность предположения о том,
что детерминированность распространяется из одной точки
в другую подобно свету. С другой стороны, без этого раз-
разделения тот факт, что обнаружение частицы в одной точке
исключает возможность ее появления в то же самое время
в другой точке, по-видимому, не содержит ничего приме-
примечательного С физической точки зрения мы имеем здесь
дело с одним лишь законом сохранения числа частиц.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 47
Ввиду отсутствия каких-либо противоречий или про-
проблем теоретики, верящие в принципы квантовой механики,
утверждают, что не существует никаких действительных
парадоксов.
в) Парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского')
Парадокс де Бройля в одном отношении очень похож
на известный парадокс Эйнштейна, Розена и Подольского
(ЭРП), пытавшихся показать, что квантовая механика дает
лишь неполное описание физических систем. Однако в па-
парадоксе ЭРП внимание акцентируется на вопросе о сов-
совместимости измерений положения и скорости одной и той
же частицы. Сначала изложим содержание парадокса.
Рассмотрим две частицы, которые сталкиваются друг
с другом и затем разлетаются. Можно предположить, что
их полный импульс p = pi + p2 известен, но порознь
импульсы Pj и р2 не имеют определенных значений. До-
Допустимо также предположить, что известен радиус-вектор
их относительного положения r=q2 — q^ но порознь
радиус-векторы частиц q, и q2 с необходимостью не детер-
детерминированы. Если измеряется импульс одной из частиц,
скажем р^ то становится определенным и импульс? другой
частицы. Если же измеряется радиус-вектор q1( то ста-
становится определенным и положение второй частицы. Здесь
имеется два странных обстоятельства.
1) Измерение величины относящейся к одной частице,
влияет на детерминированность соответствующей величины,
относящейся к другой частице, которая может находиться
на значительном удалении от места, где производится из-
измерение.
2) Можно добиться детерминированности как положения,
так и скорости второй частицы, хотя в квантовой меха-
механике утверждается, что обе величины не могут иметь опре-
определенного значения.
Первая часть парадокса (если только он допускает
такое описание) подобна парадоксу де Бройля с той лишь
разницей, что полный импульс и относительное положение
частиц представляют собой переменные с заданными
1) См. работу [24].

50 ГЛАВА 2
означает, что если производится достаточно большое число
идентичных экспериментов, то со сколь угодно малой ошиб-
ошибкой доля экспериментов, в которых результат измерения
равен ad\ будет составлять р(Н-ю часть от их общего
числа.
Числа о(Л суть свойства наблюдаемой системы, веро-
вероятности ptfi являются свойствами состояния системы, за-
зависящего от условий проведения идентичных экспериментов.
Возможные результаты измерения удобно отождествля-
отождествляются с (действительными) собственными значениями аA>,
а^>. ... эрмитова оператора А, о котором говорят, что он
представляет измеряемую величину. Эрмитов оператор, пред-
представляющий измеримую величину, называется наблюда-
наблюдаемой. Два отдельных измерения могут быть либо сов-
совместимыми, либо несовместимыми. Если измерения совме-
совместимы, то наблюдаемые А я В, представляющие измеряемые
величины, будут одновременно иметь собственные значения
Д(У)> ?(*) и общИе собственные' векторы ф('*\такие, что
Как уже отмечалось в гл. 1, § 5, это возможно при ус-
условии, что А и В коммутируют. Однако если измерения
не совместимы, наблюдаемые А чуВ не будут одновременно
иметь собственных значений, так что операторы А и В не
коммутируют друг с другом. В классической физике пред-
предполагается, что все измерения совместимы друг с другом,
а наблюдаемые, представляющие все измеримые величины,
должным образом коммутативны, так что операторы могут
быть заменены числами. Однако мы уже подготовлены
к тому, что в квантовой физике наблюдаемые, представ-
представляющие координату и соответствующую ей скорость, не
должны коммутировать между собой.
Состояние атомной системы принято представлять с по-
помощью вектора г|?. Если вектор ф разложить по собствен-
собственным векторам ф( * наблюдаемой А
то член Суф(Л в этом разложении ассоциируется с возмож-
возможностью получить при измерении соответствующей величины
собственное значение ФК Альтернативно мы можем рас-

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ?/
сматривать вектор ф в качестве представителя произвольно
большого числа идентичных систем, тогда член су|)(у> будет
представлять те из них, измерения над которыми приведут
к собственному значению а^\ Если вектор 1|) и собствен-
собственные векторы 1|з нормированы, то, согласно Борну, кото-
которому мы обязаны статистической интерпретацией квантовой
механики, число с*.с . равно вероятности того, что в резуль-
результате измерения получится собственное значение а<А Так
как 2сусу=1 (см- упражнение 5 на стр. 33), то все
вероятности не только положительны, но и в сумме равны
единице, как это, разумеется, и должно быть. Среднее
значение измеряемой величины равно при этом
1 J '
Подведем теперь итоги.
1. Линейные эрмитовы операторы (наблюдаемые) служат
для представления измеримых величин, а их собственные зна-
значения—для представления результатов измерений. Если воз-
возможно одновременное измерение двух различных величин, то
представляющие эти величины наблюдаемые коммутируют
между собой, в противном случае они некоммутативны.
2. Нормированный вектор представляет состояние атом-
атомной системы (или альтернативно состояние ансамбля иден-
идентичных систем). Проекция этого вектора на нормирован-
нормированный собственный вектор i|>(" наблюдаемой А характеризует
возможность того, что измерение соответствующей величины
в качестве результата даст собственное значение а^> (или
альтернативно характеризует те системы ансамбля, для
которых измерение приводит к собственному значению в<Л).
3. Вероятность того, что при измерении в состоянии,
представленном вектором г|), будет получено собственное
значение а наблюдаемой А, равна cjCj, где cjty' есть
проекция вектора г|? на нормированный собственный вектор
г|)(Л Среднее измеренное значение величины А есть ф*Лг|).
Пусть система находится в таком состоянии, что при
измерении с достоверностью будет получено собственное
значение а^К тогда из предыдущего, разумеется, следует,
что в этом случае вектор состояния г|) есть собственный
вектор оператора А.

32 ГЛАВА 2
§ 2. Коммутационные соотношения,
содержащие энергию
Если два измерения несовместимы, то соответствующие
наблюдаемые А, В не коммутируют и необходимо оценить
их коммутатор А В — В А. Рассмотрим сначала коммутатор
АН — НА какой-либо наблюдаемой А с наблюдаемой Н.
представляющей полную энергию атомной системы. Эта
было сделано Гейзенбергом при поддержке Борна прибли-
приблизительно следующим образом.
В 1925 г. благодаря исследованиям Планка и Эйнштейна
было хорошо известно соотношение
между энергией ? кванта излучения с циклической частотой
о и постоянной Планка А (й = 1,0544 • 107 эрг • сек).
Таким образом, если атом, испускающий квант излучения
с частотой с», имеет в начальном состоянии энергию Е^1\
а в конечном —.энергию Ег\ то
Е{1) — ^/)=Ы. B.1)
Далее, если i|)(i) и г|/-^ — собственные векторы оператора
энергии атома Н, принадлежащие собственным значениям
?*'* и Я^ соответственно, то
Таким образом, из формулы B.1) следует, что
^(АН - НА) 41) = №1) -
Гейзенберг не без оснований предположил, что матричный
элемент ij)(/>*i4t|)(l> любой наблюдаемой А, относящейся
к атому, будет гармонически меняться во времени с той
же частотой, что и частота испущенного излучения; дру-
другими словами, он предположил, что
и тем самым, что
— Л/у4)ф<'> _ if, JL
dt

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 33
В предположении, что векторы $1) и г^' не изменяются
со временем, это дает
B.2)
Это коммутационное соотношение будет принято нами
в качестве постулата, подтвержденного экспериментом.
Замечание. Если бы Гейзенберг предположил, что
не оператор А меняется со временем, а векторы ф(" и ф'А
то он бы пришел к уравнению Шредингера
Это уравнение лежит в основе волновой механики, кото-
которая на первый взгляд представляется совершенно иной тео-
теорией, но которая тем не менее эквивалентна матричной
механике.
§ 8. Интегралы движения
В качестве первого вывода из формулы B.2) получаем,
что АН —НА, если оператор А является интегралом
движения, т. е. если dA/dt — О. Таким образом, всякий
интеграл движения может быть измерен вместе с энергией.
§ 4. Перестановочные соотношения между
координатами и импульсами
Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором напра-
направлении в потенциальном поле V (q), зависящем от коор-
координаты q. При этом пряная энергия равна
где q = dqjdt. Соотношение
дН — Hq =
теперь сводится к равенству

54
ГЛАВА 3
которое можно переписать в виде
-j m(qq — qq)q~\--j mq (qq — qq) = th q-
Оно, очевидно, будет удовлетворяться, если положить
подставляя выражение для импульса р = mq> получаем
B.3)
Для соответствующей трехмерной задачи имеем
v q2, q3).
где qv q2 и ^3 — пространственные координаты. На осно-
основании физических соображений можно предположить, что
все три пространственные координаты можно измерить
одновременно, а также что можно измерить одновременно
и все три скорости, т. е.
= ?е?а (а. Р = 1. 2, 3),
Тогда соотношение
удовлетворяется при условии, что
Таким образом, если pa — mqa, то
B.4)
Для системы из нескольких частиц энергия имеет вид
т

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОП МЕХАНИКИ 55
и коммутационные соотношения аналогичны. Полагая р =
= mrqn будем иметь
B.5)
§ 5. Другие перестановочные соотношения
Если
то нетрудно найти, что
Я2Р — РЯ2 =
д3р — pq* = q (q2p — pq2) -f (qp — pq) qi =
2h2{h2 m2
и по индукции
q"p— pqn=
Определяя производную функции f (q) матричного аргу-
аргумента q соотношением
е-т
мы видим, что
B.6)
здесь /(я) — какой-либо полином от q или же матричная
функция, которую можно разложить в ряд по степеням
переменной q.
Умножая равенство qp — pq = ih слева и справа на
q'1, находим, что
ч'Чяр —
и, следовательно,
q~lp — pq'1 = — ibq~2,
а также

56 ГЛАВА 2
Таким образом, предыдущий результат распространяется
на функции, которые можно разложить в ряд по обрат-
обратным степеням величины д. Если с — некоторая постоян-
постоянная, то
(q—c)p — p(q — c) = th,
и найденный результат будет справедливым для функций,
допускающих разложение в ряд по положительным и
отрицательным степеням разности q — с, тем самым он
будет справедлив для всех аналитических функций.
§ в. Уравнения движения
Рассмотрим частицу с функцией Гамильтона
где qp — pq = lh. Нетрудно убедиться, что
•_ дН — Нд ___р_
q~~ ih ~~ m
И что
,_ рН-Нр рУ(д)-У(д)Р __ „,,.
р- в т -~v w-
Несмотря на формальное совпадение этих уравнений
с классическими уравнениями движения, выводы класси-
классической теории не подтверждаются матричной механикой,
за исключением случаев приближенного совпадения при
некоторых специальных условиях. Это вызвано тем,' что
фактически мы измеряем собственные значения наблюда-
наблюдаемых, а собственные значения операторов отнюдь не удо-
удовлетворяют тем же самым уравнениям, которым подчиня-
подчиняются операторы. Однако если постоянная Планка Ь
пренебрежимо мала по сравнению с полным действием,
фигурирующим в механической задаче, то мы можем без
заметной ошибки заменить коммутационное соотношение
qp — pq — Ih равенством qp = pq. Но тогда все опера-
операторы будут коммутировать между собой и удовлетворять
тем же уравнениям, что и их собственные значения. Та-
Таким образом, в случае макроскопических систем, когда
полное действие значительно больше й, применимость
классической механики не вызывает сомнений. Однако

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 57
в случае атомных систем выводы, основанные на класси-
классической механике, могут оказаться правильными лишь по
чистой «случайности".
Упражнение 7. Пусть qT и рт — наблюдаемые, пред-
представляющие собой координаты и канонически сопряженные им-
импульсы системы частиц. Покажите, что
д/
если f {Д\, <?2, ...) — аналитическая функция только от одних
координат. Убедитесь, что наблюдаемые удовлетворяет уравне-
уравнениям движения классической теории, если
Задачи
1. Дайте четкую формулировку различия между неопреде-
неопределенностью н недетермннированиостыо. Рассмотрите радиоактив-
радиоактивное ядро, помещенное в фотоэмульсию и окруженное счетчиками,
которые регистрируют испускание ^-частицы, если ядро распада-
распадается. Через некоторое время эмульсия удаляется, проявляется
и затем изучается; после этого, проверяются показания счетчи-
счетчиков. На какой стадии этого эксперимента (если это вообще
имеет место) снимается а) недетерминированность н б) неопреде-
неопределенность того, что 1) ядро распалось и 2) ядро не распалось?
2. Обсудите вопрос о трудностях, которые могут возникнуть
при попытке получить точные значения смещения частицы н ее
скорости в следующих случаях: 1) в камере Вильсона, помещен-
помещенной в магнитное поле, когда трек частицы используется для
определения ее положения, а кривизна трека—для определения
ее импульса; 2) когда частица проходит через два небольших
отверстия, имеющихся в двух последовательно расположенных
экранах, а время, нужное частице, чтобы покрыть расстояние
между ними, измеряется с помощью счетчиков, которые распо-
располагаются вблизи отверстий н работают на совпадении с задерж-
задержкой.
Применительно к первому случаю обсудите эффекты, свя-
связанные с плотностью газа в камере н с интенсивностью магнит-
магнитного поля. Во втором случае обсудите эффекты (если таковые
имеются), связанные с диаметрами отверстий и с расстоянием
между экранами.
3. При каких обстоятельствах можно достоверно предсказать
результат эксперимента? Что означают слова: .Вероятность не-
некоторого частного результата имеет определенное значение"?
Частицу с известным значением импульса заставляют стадкн-

58 ГЛАВА 2
ваться с другой частицей, а затем впускают в область магнит-
магнитного поля в камере Вильсона, которая, однако, не приведена
в действие. На какой стадии эксперимента можно говорить
о вероятности того, что частица имеет импульс, величина кото-
которого заключена в определенных пределах?
4. Как в квантовой механике представляются возможные
результаты измерений н как представляется состояние системы,
над которой измерение производится? Что такое наблюдаемая?
Каково условие совместимости двух различных измерений? Чем
определяется вероятность получить при измерении некоторый
частный результат? Дайте резюме физической интерпретации
квантовой механики.
5. Каковы физические основания нашей уверенности в спра-
справедливости законов сохранения энергии и импульса на атомном
уровне? Дайте резюме гамильтоновой и лаграижевой формулиро-
формулировок классической механики и покажите, что из обеих формулиро-
формулировок вытекают законы сохранения энергии и импульса, за исключе-
исключением некоторых специальных случаев, которые могут быть
строго оговорены. Что неправильно в механике Гамильтона и
Лагранжа? Как это сказывается на справедливости законов со-
сохранения?
в. Пусть правило коммутации имеет вид
dA
АН НА 1Ь
где Н — оператор Гамильтона. Пусть далее
¦фП*А^{1) _ const x е- ш^
где^'' н фО — векторы, представляющие начальное и конечное
состояния атома, а ш — циклическая частота испущенного излу-
излучения. Докажите, что энергия испущенного излучения равна ha.
Пусть оператор U определяется формулой
и, кроме того,
Покажите, что в этом случае
7. Пусть

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 59
Покажите, что коммутацноиное соотношеине для энергии будет
выполнено, если
qp-pq=ih(l+2l),
где
р = m'q и tp-\-pt = 0.
Докажите, что lq -f- ql аитикоммутирует с р к что эта величина
не зависит от времени, если от него не зависит /.
8. Возможный смысл полученного в задаче 7 дополнительно-
дополнительного .решения" коммутационных соотношений можно уяснить иа
следующем примере. Положим
of = of = 1 и а3 = — /aj<J2 = iotf33.
Пусть, кроме того, q = (qit qt, q3) означает радиус-вектор ча-
частицы, а р=(р\. Pi, рз) — ее импульс. Согласно обычным пере-
перестановочным соотношениям, имеем
относительно же всех оа будем предполагать, что они комму-
коммутируют со всеми qa и ра.
Положим теперь по определению
q = q . a = ?1a, + ?so2 -f qsa3,
p = p ¦ a = p,a, -f p3a3 -f p8a3,
th = (q X P) • о + Й = (<1гРз — qsPi) <Ji + (9sPi — 9iP»)
Убедитесь в том, что
<7 q, РР\
9. Покажите, что
qpn — p"q=-nibpn~l
и, следовательно,
qg-fP/" — e-laplhq = ae-lap/h,
или
Таким образом, унитарное преобразование, производимое опе-
оператором elapth, приводит к смещению частицы из точки q
в точку q-\-a.
10. Запишите гамильтониан системы двух частиц, потенци-
потенциальная энергия взаимодействия которых V (г) зависит только
от расстояния г, где

вО ГЛАВА 2
a f = q2 — q, —относительное смещение частиц. Пусть /я, и
т2 — массы частиц, и пусть
покажите, что
гаРф
Убедитесь также, что
xaPxfi —PxpXa
если
„ т№\ +я»гд2
*~ mi + m2 и Р^ =
Покажите, что гамильтониан можно представить в виде
1 Р2 ,1
+
В чем смысл такого представления?

Глава о
ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В атомной физике довольно часто приходится встре-
встречаться с простым гармоническим осциллятором. Например,
в двухатомной молекуле относительное движение атомов
с хорошей степенью точности можно считать гармониче-
гармоническим, если амплитуды колебаний не слишком велики. То
же самое справедливо и для относительного движения
атомов в более" сложных молекулах. Движение атомов или
ионов в кристалле также можно разложить «а большое
число простых гармонических колебаний. Наконец, как мы
увидим ниже, электромагнитное излучение эквивалентно
системе гармонических осцилляторов — по два на каждую
частоту.
Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора
имеет вид
Перед нами стоит задача — отыскать собственные значе-
значения этой наблюдаемой, называемые энергетическими уров-
уровнями осциллятора. Решение задачи однозначно определено
вышеприведенной формулой для энергии и коммутацион-
коммутационным соотношением qp—pq=lh. В целях упрощения за-
задачи положим
2с
ю8 =
т
и с помощью соотношений
введем новые переменные, в которых
H=z^(P»+<p)lto C.1)
(QP -PQ) = fi (QP - PQ),

62
ГЛАВА 3
а следовательно,
QP — PQ = l. C.2)
Заметим, что здесь со — циклическая частота колебаний
классической теории.
Итак, требуется найти собственные значения опера-
оператора '/г (P^-hQ2)- Это можно сделать с помощью общего
метода, существо которого будет разъяснено ниже; сейчас
же мы просто выпишем решение поставленной задачи.
§ 1. Решение задачи
Рассмотрим бесконечную матрицу, определенную соот-
соотношениями
о. 1
где а — комплексное число, равное по модулю единице,
a k, /s=l, 2, 3 Элементы эрмитово сопряженной
с ней матрицы [Аи] равны
О, А=М-И.
al", -fe ===== / —{— 1.
где а* — число, комплексно сопряженное с а, причем
а*а = 1.
Выпишем эти матрицы в явном виде
0 1 0 0 .
А = а
0 0 2
Чг
0 0 0
0 0 0
1 0 0
о .
о1/.
0 2'"
о о
о
Непосредственное перемножение дает

ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
63
10 0.
0 2 0.
0 0 3.
отсюда А А* — А* А = 1.
Если теперь положить
то
А* А —
0 0 0 0.
0 10 0.
0 0 2 0.
0 0 0 3.
АА* = 4с{ф+Р*)—7
— PQ).
А* А = 1 (Q2 + Я2) + ^ (QP — PQ);
вычитая одно из другого, имеем
QP — PQ = l,
что и требуется по формуле C.2). Таким образом, если
Q
то коммутационное соотношение выполняется автоматиче-
автоматически. Следует заметить, что определенные таким способом
операторы Q и Р эрмитовы, и, следовательно, их можно
рассматривать как наблюдаемые. Далее имеем
А) =
-
"(/3
- 1
0
0
0
2+
0
3
2
0
0
Q2)
0
0
5

0
=
0.
0.
0.
т
Т'

64 ГЛАВА i
Из этой формулы нетрудно усмотреть, что собственные
значения оператора lh(P2-\-Q2) равны 1/2, 3/2, 5/г- ••• и
что в выбранном представлении собственный вектор, при-
принадлежащий собственному значению '/г (Я/—1). есть век-
вектор гр^ с компонентами ^P(ft;) = 6yft-
Следовательно, энергетические уровни гармонического
осциллятора, иначе говоря, собственные значения опреде-
определенного формулой C.1) оператора Н, таковы:
Здесь j — положительное целое число, а со — циклическая
частота, фигурирующая в классической теории. Измерение
энергии должно привести к одному из этих собственных
значений, поэтому осциллятор может приобретать или же
терять энергию только порциями, кратными fiw, т. е. ин-
интервалу между последовательными уровнями. В наинизшем
состоянии осциллятор обладает энергией l/2h<x>, а не нуль,
как в классической теории.
До тех пор пока речь идет об отыскании собственных
значений, фигурирующая в определении матрицы А ком-
комплексная величина а остается произвольной, однако она
должна удовлетворять перестановочному соотношению,
которое было постулировано Гейзенбергом,
Так как
то
АН — НА = (А А* — A* A) Aha = АЫ,
поэтому должно быть
tA — aA, или /а = <»а.
Последнему уравнению можно удовлетворить, положив
a = e-totf-'o),
где t0 произвольно. Если иметь дело с наблюдаемыми
лишь в фиксированный момент времени /0, то можно по-
положить a = 1, однако следует помнить, что наблюдаемые,
не являющиеся интегралами движения, меняются с тече-
течением времени.

ПРОСТОЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 65
Упражнение 8. Пусть N = А"А; покажите, что собст-
собственные значения N равны 0, 1, 2, ..., а также докажите по ни*
дукцин, что для положительных целых значений л
(А*)а(А)" =ьN{N — 1) ... (ЛГ — и + 1).
§ 2. Дедуктивный метод решения
Чтобы решить ту же самую задачу, не зная заранее
ответа, необходимо представить наблюдаемую '/г (^2-(-Q2).
собственные значения которой требуется найти, в виде
|(/>2+Q2)==/lM+Ci> C.3)
где сг — некоторое число. Обычно это можно сделать не-
несколькими способами, в нашем случае — двумя. Если по-
положить
то с помощью перестановочного соотношения QP — PQ = I
можно показать, что с1 = —'/г! если же положить
то получим с, = '/г- В общем случае всегда выбирается
тот способ, который приводит к наибольшему значению
величины с,; так, в настоящей задаче следует положить
А = ±
Пусть т|? — какой-либо собственный вектор оператора
N=A*A. и пусть к—соответствующее собственное значе-
значение, так что М|) = Ад|>. Пусть, кроме того, <р(п) = /1я\1>,
тогда
<р<-V'« 0*4)' ЛЧ = V (А*У (А)" ар.
Далее, из перестановочного соотношения QP — PQ = t
следует, что А А*— А*А — 1, и поэтому, согласно упраж-
упражнению 8,
(А*)" А" = N (N — 1) ... (W — я ¦+¦ 1).

б? глава a
Подстановка этого соотношения в предыдущую формулу
дает
= \(К — 1) ... (А.—л
==Л,(Х.— 1)... (Я.—л
здесь предполагается, что t|) нормировано подходящим
образом. Но если теперь q^n) (А —1, 2, 3, ...) суть ком-
компоненты вектора <$я\ то
и, следовательно,
C.4)
!)...(>, — я+1)>0.
Это неравенство, справедливое при а = 1, 2, 3, ....
полностью определяет собственные значения оператора N,
аналогично тому, как уравнение D(A,) = 0 определяет
собственные значения конечной матрицы. При я — 1 оно
сводится к неравенству Х,>-0, которое показывает, что
у N нет отрицательных собственных значений. При я = 2
это неравенство имеет вид А, (Л—1)^-0, откуда следует,
что X не может быть меньше единицы, за исключением
того случая, когда оно равно нулю. При п = 3 мы имеем
ЦЯ,— 1)(Я, — 2)>0.
и, следовательно, значения X не могут быть меньше 2, исклю-
исключая 0 и 1. Продолжая рассуждать таким же образом, находим,
что X должно быть неотрицательным целым числом. Итак,
собственные значения оператора N равны 0,1,2, .... По-
Поскольку далее Ci = l/2> то из формулы C.3) видно, что
собственные значения оператора V2(^24~Q2) равны '/г-
3/2, 5/2 что и было найдено в § 1.
Другая часть задачи заключается в отыскании явного
вида матриц, удовлетворяющих требуемым условиям. Это
можно сделать следующим образом. Пусть if1* есть нор-
нормированный собственный вектор, принадлежащий наимень-
наименьшему собственному значению А. = 0, так что N^==0.
Как мы сейчас покажем, все остальные собственные век-

ПРОСТОИ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР (J7
торы можно выразить через вектор ijjW. Так как АА* —
= JV+1. то
NA* = А* А А' = А* (Л? -)-1)
и
Л*
поэтому A'lftV есть собственный вектор оператора N, при-
принадлежащий собственному значению Я, = 1. Аналогично по-
получаем соотношение
N (А* V») = A* (N + 1) (Л*^»>) ш, 2^V1}.
показывающее, что Л* ^ есть собственный вектор опе-
оператора N, принадлежащий собственному значению Я, = 2.
Очевидно, что вообще, действуя оператором А* на неко-
некоторый собственный вектор, мы будем получать другой
собственный вектор с увеличенным на единицу собствен-
собственным значением. Таким образом, Л*"^*1) есть собственный
вектор оператора N, принадлежащий собственному значе-
значению Х = п. Чтобы нормировать эти собственные векторы,
заметим, что АА* = ЫЦ-1 и что
= АА*(АА*+1)
по индукции
АпА*п = (N+1) (W+ 2) ... (ЛГ-f л).
Следовательно, если вектор ф^ нормирован, то
Если же, кроме того, а — комплексное число с модулем,
равным единице, то
V C.5)
будет правильно нормированным собственным вектором,
принадлежащим собственному внвчению Х-*п.

68 ГЛАВА 3
В силу того что if>(-" являются собственными векто-
векторами эрмитова оператора, они ортогональны между собой
Следовательно, можно воспользоваться таким представле-
представлением, в котором t|)p) = 6yl, н определить матричные эле-
элементы оператора А при помощи соотношения
Из формулы C.5) следует
так что
в согласии с результатами § 1.
Упражнение 9. а) Пусть с — произвольное число; пока-
покажите, что вектор ф с компонентами
есть собственный вектор оператора А, и найдите соответствую-
соответствующее собственное значение,
б) Покажите, что
Af{N) = f{N + l)A и A*f(N) = f{N — 1)A*,
если / (п) — функция, определенная для целых значений п.
§ 3. Средние значения и флуктуации
Предположим, что имеется осциллятор в состоянии с
энергией (у — 112)Ьа>, нормированный собственный вектор
которого равен i|)( . В § I было выбрано такое пред-
представление, в котором оператор энергии имел в'ид диаго-
диагональной матрицы, и поэтому у его собственных векто-
векторов гр(-" все компоненты гр!/' (= dys), за исключением У-й,
равнялись нулю, значение же отличной от нуля компо-
компоненты равнялось единице. Если придерживаться такого
выбора, то среднее значение любой наблюдаемой в рас-
рассматриваемом состоянии будет равно yf^'L^^ — Ljj.

ПРОСТОЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
69
Так, например, среднее значение наблюдаемой
равно нулю, так как
среднее вначение величины
также равно нулю. Разумеется, такой результат следовало
ожидать. Подсчитаем, однако, средние значения величин
Так как
1 (_ Л2 — Л*2 +
 0/2 0 •
0 0 0 /б '
0 0 0 0 '.
"О 0 0.
О 0 0-
УТ 0 0 "
о уъ о'.
А* А).
то
Из формул, приведенных выше, имеем
t А А *"\ ^~~ / иг / Л jW ¦"""
поэтому

70 ГЛАВА S
Следовательно, среднеквадратичная флуктуация коорди-
координаты частицы равна
а среднеквадратичная флуктуация ее импульса имеет вид
(АрJ = (р% = тЬа> (У -1) •
Таким образом,
Даже в состоянии с наименьшей энергией — в основном
состоянии — ни Ар, ни Ад не равны нулю (Ар А^ = 11ф),
что можно было бы предвидеть на основании того, что
и энергия основного состояния 11ф<л не нуль. Нулевая
энергия не может быть отобрана от осциллятора, и в ряде
приложений она играет весьма существенную роль.
§ 4. Приложения
Развитую выше теорию легко распространить на слу-
случай осцилляторов с несколькими и даже многими степе-
степенями свободы. В этом случае энергию можно привести
к виду
г г
Вели теперь ввести обозначение
так чтобы Н = 2 Нт, то с помощью перестановочных
t
соотношений B.5) можно убедиться, что все Нт комму-
коммутируют между собой. (Зтсюда следует, что все они од-
одновременно имеют собственные значения и собственные
векторы, и уровни энергии в ?том случае равны

ПРОСТОИ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Л
где <?% — 2cJmr, а ]г— квантовое число, характеризую-
характеризующее г-е нормальное колебание. Отметим также, что энер-
энергия нулевых колебаний равна Y^S®?'
г
При построении матриц, представляющих различные
наблюдаемые, мы сталкиваемся с задачей о представлении
набора операторов А и соответствующих эрмитово сопря-
сопряженных операторов, удовлетворяющих условиям
АТАТ — А,АГ = 1,
но
когда s=fcr. Это проще всего сделать, записав интересую*
щие нас операторы в виде
Л3 = 1Х1ХАХ1Х... и т. д..
где знак X означает прямое произведение. В такой за-
записи матричный элемент оператора Ах, например, будет
равен
где Аы — матричный элемент простой матрицы А, най-
найденный нами ранее.
Упражнение 10. Энергия двумерного осциллятора
имеет вид
где с, > 0 и е^2 > с1; покажите, что заменой переменных
Ч\ =*tfacos9-f tfft8ln9,
ft = ?» cos-8 — qas\nQ,
где tg29i=2c/(Cj — с,), она приводится к нормальному виду,
и определите мергетические уровни осциллятора
а) Колебания атомов
Рассмотрим двухатомную молекулу. Потенциальная
энергия ее атомов, находящихся на расстоянии г друг
от друга, равна V (г). Если qt и q2 — радиус-векторы

72 ГЛАВА S
рассматриваемых атомов, то- г следует определить как
арифметическое значение квадратного корня из оператора
Di — ЧгJ' т- е- как такой оператор, все собственные зна-
значения которого не отрицательны и который коммутирует
со всеми наблюдаемыми, коммутирующими с г2 = (qx—q2J-
Точно так же, как и в .классической механике, энергию
двухатомной молекулы можно разделить на энергию транс-
трансляций Ятр, энергию вращений Нвр и энергию колебаний,
равную
4
В этом выражении рт означает составляющую относи-
относительного импульса вдоль оси, соединяющей оба атома,
а через m обозначена приведенная масса. Импульс рт —
канонически сопряженная переменная по отношению
к координате г, следовательно, он удовлетворяет соот-
соотношению
rpf—prr = lb.
Здесь мы предположим, что как полный импульс,
так и момент молекулы относительно ее центра масс оба
равны нулю (точнее говоря, предполагается, что молекула
находится в состоянии, для которого собственные значе-
значения импульса и момента равны нулю). В этом случае
Ятр = Явр = 0 и Я = ЯКОЛ.
Потенциальная энергия как функция расстояния между
атомами, которые могут образовать молекулу, всегда
имеет минимум при некотором расстоянии а, которое
в классической механике соответствовало бы положению
равновесия. Таким образом, V'(r) = 0 при г—а\. Следо-
Следовательно, разложение V (г) вблизи точки г = а\ имеет вид
Если теперь пренебречь членами порядка (г — alK, то
для энергии будем иметь
Поскольку
(г — а\) рг — рг{г — а\) = (И,

ПРОСТОЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 73
то теория, развитая выше для простого гармонического
осциллятора, применима и в этом случае, так что теперь
энергетические уровни равны
У(а) + (У —-j)to-
причем
2_ 2с __ У"(а)
т т
б) Излучение
Остановимся кратко на одном из важнейших прило-
приложений— квантовой теории излучения. Как известно из
теории Максвелла, плотность энергии электромагнитного
поля равна в единицах Хевисайда 1j2 (E2 -J- В2), где Е —
напряженность электрического поля, а В — вектор маг-
магнитной индукции. Таким образом, энергия, заключенная
в кубе объемом V = BnK, не содержащем зарядов, будет
равна
0 0 0
Это выражение можно преобразовать к другому виду,
если выразить Е и В через векторный потенциал А,
Е = — A, B=rotA,
который затем в области интегрирования разложить
в трехмерный ряд Фурье
A = 2q(n) «'""•*,
п
где q(—n) = q*(n), так как потенциал А действителен.
В результате получается разложение
где qA(n) и q7(n) — соответственно действительная и мни-
мнимая части q (n). Отсюда следует, что динамически поле из-
излучения эквивалентно системе гармонических осцилляторов,

74 ГЛАВА S
по одному на каждый волновой вектор п (по два на
каждую пару золновых векторов п и —п). Цикли-
Циклическая частота осциллятора, соответствующего волновому
вектору п, есть ю(п) = с|п|, и, следовательно, энерге-
энергетические уровни такого осциллятора равны (/—ll2hto(vi).
Таким образом, поле может терять или приобретать энер-
энергию только определенными порциями, или квантами,
?(о(п), где (о(п) есть частота рассматриваемого излучения,
что подтверждает гипотезу Планка о дискретной природе
излучения.
Упражнение 11. Попытайтесь подробно проделать все
выкладки, приводящие к указанному выше выражению для Н.
Учтите при этом соотношение divA = O, которому должен
удовлетворять векторный потенциал.
Задач и
1. Пусть
9 = ар— ibq,
где qp— pq — ih, а а и Ь — положительные действительные
числа, и пусть
докажите, что
69* = Н + abh, 9*9 = Н — abh;
4e*fi);
9Я9*Я = (9*9 + 2аЬЬ) (9*9 -f iabh) ... (9*6 -f- 2nabb);
.,. (9*9 — Inabti).
Предполагая далее, что ф — нормированный собственный вектор
оператора 9*0, а X — соответствующее собственное значение
@*9ф Лф, где ф*ф=1), покажите, что
++ .. (K — 2nabh),
если <р„ = 9"г|). Получите отсюда, что
Я.>0, Л(Л— 2abh)>0,
К (X — 2abb) (К — 4abh) > О,
.. (Л —
и что Я, не может иметь значений, заключенных между 2 (л—1) abh
и 2nabh, где п — положительное целое число. Каковы в таком
случае собственные значения оператора 9*6; оператора //?

ПРОСТОИ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
л
2. В обозначениях задачн 1 предположите, что /Лр0
где ij)^o = 1. Покажите, что
и
если ф, = в*»)),,. Убедитесь, что
Яфл = Bо+1)а*% н
если
(p»., и ф„ =
Выведите отсюда, что
и что
[rt!Ba*A)»]y»
есть нормированный собственный вектор оператора Н.
3. При условиях задач 1 и 2 покажите, что 0\|>о = 0. В пред-
предположении, что вектор х удовлетворяет соотношению /% = 0,
покажите, что
Замечание, В волновой механике Шредингера, где ?
трактуется как действительная переменная, перестановочное
соотношение qp — pq = lb удовлетворяется, если оператор р
трактовать как дифференциальный оператор
р ib±.
dq
В таком представлении вектор % становится числовой постоян-
постоянной, а фо> как показано выше, — просто функцией переменной д.
4. В обозначениях предыдущих задач покажите, что
Зив'х.-, —<2в*Й«IЛ.
а также что
и
Докажите, что
ф—ф = 0, если п ^= п,
Ф«в® фд ^ 0, если т =jfe л —}— 1
н
ф 9ф_ =» О, если т =р п — 1.

76 ГЛАВА S
5. Покажите, что
и, воспользовавшись этим, вычислите Хт/'ЗСл в случаях:
т <п — 1, /м = л — 1, /п = л, т = п-\-1 и т>п-\-\.
Вычислите Хщ?Хл ПРИ произвольных значениях тип.
6. Дейтрон представляет собой связанное состояние системы,
состоящей из протона и нейтрона. Массы этих частиц почти
одинаковы, так что мы будем считать их равными и обозначим
через М. Их взаимную потенциальную энергию, зависящую от
расстояния г, можно представить операторной функцией
где r' = (qi — q2)s, a V положительно. Так как внутри дейтрона
расстояния между частицами всегда невелики, то можно восполь-
воспользоваться приближением
тогда оператор Гамильтона примет вид
Покажите, что в этом приближении энергия связи дейтрона равна
Нижеследующее значительно труднее. Предположим, что ф
есть собственный вектор приближенного гамильтониана Н. Более
точное значение энергии связи можно получить, вычислив вы-
выражение
7. Объясните, каким образом в квантовой механике вычи-
вычисляются средние значения. В условиях задачи 6 найдите среднее
значение кинетической энергии двух частиц, среднее значение
их взаимной потенциальной энергии, а также среднеквадратичное
расстояние между ними.
8. Рассмотрите вопрос о представлении электромагнитного
поля в виде набора гармонических осцилляторов, поступив еле-

ПРОСТОЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 77
дующим образом. В отсутствие зарядов и токов уравнения
Максвелла имеют вид
VXE-—?, VXB "»-§-,
V • Е = О, V • В = 0.
Покажите, что эти уравнения удовлетворяются при
если
Покажите также, что последним двум уравнениям можно удо-
удовлетворить, воспользовавшись разложением Фурье
при условии, что
k-q(k)=O
и что q (k) удовлетворяет следующему уравнению для гармони-
гармонического осциллятора:
9. Плотность энергии электромагнитного поля в единипах
Хевисайда имеет вид '/г (В2 + Е2), поэтому полная энергия, за-
заключенная в прямоугольной области R, равна
И - ^ J (Е2
Положим
B«»VXA, E- — А
и внутри области R разложим А в ряд Фурье
где
КЧ(к)=« Г \e-ik<xdzx,
R
а V — объем области R, поскольку
v.

78 ГЛАВА 3
Покажите, что
И ЧТО
а значит
J
J (V X A)s d?x = V J] *sq<k) • q (-k),
причем q (— k) = [q (k)]* в силу действительности потенциала А.
Положите теперь
и покажите, что
Полученное выражение представляет гамильтониан системы ос-
осцилляторов. Каковы ее энергетические уровни?
10. Дайте физическую интерпретацию полученных в задачах
8 и 9 результатов, рассуждая следующим образом. Состояние
с минимальной энергией поля есть вакуум. Если возбужден
один из осцилляторов, например сопоставленный с .координатами*
qRk или q/k, то присутствует один фотон (с импульсом йк или
— fik).
Пусть, далее, \|>0 есть вектор, описывающий вакуум; пока-
покажите, что
есть ненормированный вектор, описывающий состояние с одним
фотоном, и найдите соответствующий нормированный вектор, пред-
предполагая, что вектор ф0 уже нормирован.

Глава 4
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
Изучая гармонический осциллятор, мы столкнулись
с некоторыми вопросами, которые заслуживают обсужде-
обсуждения с более общей точки зрения, чем это было возможно
в рамках гл. 3. Теперь мы уделим внимание общему рас-
рассмотрению таких вопросов.
§ 1. Зависимость операторов от времени
В формулах для операторов А и А*, как они были
написаны в гл. 3, § 1, вся временная занчсимость содер-
содержалась в множителях а и а*. В других задачах зависи-
зависимость матриц от времени может оказаться гораздо более
сложной; в связи с этим посмотрим, каким образом можно
удовлетворить уравнению Гейзенберга
at
Фактически это можно сделать с помощью подстановки
где Lo—значение L в начальный момент времени ? = 0.
Поэтому, если произвести каноническое преобразование
в котором t/ = e-'W*>, то преобразованные координаты
и импульсы не будут зависеть т времени. С другой сто-
стороны, вектор состояния ij? -> iJj0 = ?/ф станет зависящим
от нремени. В результате этого преобразования мы пере-
переходим к так называемому представлению Шредингера.
Обычно при отыскании матричного представления оле-
раторон сначала удобнее определять не зависящие от
времени матрицы, представляющие q0, p0 и т. д., а затем,
используй связь между q и fy, p и р0 и т. д., искать

80 ГЛАВА 4
матрицы, зависящие от времени. В представлении, в котором
оператор энергии диагоналей, это осуществляется особенно
просто. Действительно, если i|><;) и ij/ —нормированные
собственные векторы оператора И, а ? и ?**'—соот»
ветствуюшие собственные значения, то
Приведенные выкладки по существу являются обращением
тех, с помощью которых было получено уравнение Гей-
зенберга.
§ 2. Определение собственных значений
Метод, использованный в гл. 3, § 2 для нахождения
собственных значений оператора 11г{01-\- Р2), является
весьма общим, и его можно применять к любому эрмитову
оператору, собственные значения которого ограничены
снизу.
Пусть нам нужно определить собственные значения не-
некоторого оператора А. Положим А = Аг и представим Аг
в форме
где с<У — некоторое число. В том случае, когда это можно
сделать более чем одним способом, выберем тот, который
приводит к наибольшему значению с^. Затем положим
и попытаемся представить оператор А2 в форме
так чтобы величина а® имела наибольшее возможное зна-
значение. Ясно, что должно иметь место неравенство а® ^-а^.
Продолжая этот процесс, определием Aj+1 рекуррент-
рекуррентной формулой
где 6j и а^> удовлетворяют соотношению

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 81
Покажем теперь, что величины а<^ суть собственные зна-
значения оператора А, расположенные в порядке возрастания.
Пусть ij> — какой-либо нормированный собственный век-
вектор оператора А, а — соответствующее собственное зна-
значение и
Имеем
поскольку .Л1г)> = а|ф и 1|Лф=1. Так как фС^рМ ^-0, то
а ^ аA), и, таким образом, у оператора А нет собствен-
собственных значений, которые были бы меньше а<'\
Прежде чем продолжать доказательство, заметим, что
Поэтому, например, имеем
— (а — а®) (а — а№)
и отсюда
(а —аB))(а —аО)>0.
Таким образом, если аФа<У, то с^-а<2). Совершенно
аналогично
_ (а _ а(я
и, следовательно,
(а — а(п>) (а — а<я~!») ... (а — а^) > 0.

82 ГЛАВА 4
В силу этого неравенства заключаем, что либо a^-rtn),
либо
(а — аС-1)) ... (а — аМ) = 0;
поэтому собственное значение а либо должно равняться
одному иа чисел а'1). а<2\ .... atn\ либо быть больше
любого из них. Так как полученный результат справедлив
при любом л и аМ+Ч^.а<Л, то в случае неограниченной
последовательности а^, а®, ... величина а должна со-
совпадать с одним из чисел а<Л Если же последователь-
последовательность а№, а®, ... ограничена и имеет своей верхней грани-
границей а(макс>, то а или может совпадать с одним из чисел а^\
или же принимать непрерывный ряд значений, каждое из
которых не меньше чем а<макс'. В любом из этих случаев
собственные значения оператора А полностью определены.
Вышеприведенные рассуждения часто бывают полезны
и при определении соответствующих собственных векторов.
Предположим, что в качестве вектора ty был взят соб-
собственный вектор ф^', принадлежащий собственному значе-
значению aW>, так что qf.J-^qf.J-1) > 0, но <р(Л*ф(./) —О, и,
следовательно, <рМ = 0 или, иначе, Qj-qf-J-V =0. Но тогда
соотношение
(Лу — а(») срС-1) = в}вуф(Ы) = о
показывает, что ср^-У есть собственный вектор опера-
оператора Aj с собственным значением а<Л Отсюда, когда
с помощью соотношения Afi*j = Q*jAj+\ получаем
Итак, если предварительно найден вектор ф^-Ч, удо-
удовлетворяющий уравнению 9уф(-'~1' = 0, то полученная выше
формула для ф(Л позволяет определить собственный вектор
оператора Л, принадлежащий собственному значению ^\

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 83
Отметим, что. применяя этот метод в задаче о гармо-
гармоническом осцилляторе, мы имели
„ Q + tP
для всех значений /.
% 8. Вывод уравнения Шредннгера
Предположим, что нас интересуют собственные значе-
значения оператора энергии частицы И, находящейся в поле
с потенциалом V (q):
Введен обозначение
А = 2т#= р2+ 2mV (q).
Наименьшее собственное значение а'1) оператора А можно
найти, представив его в такой форме:
А = 1р - // (?)] IP + if (?)] + оA).
чтобы величина а*1' имела наибольшее возможное значение.
Сравнивая два выражения для А, мы видим, что они экви-
эквивалентны друг другу, если
2mV (q) - [/ (q)p -l[f(q)p- pf (q)) + eW e
где штрих означает дифференцирование.
Положим теперь /=А1Р'/11Г. так что при этом
f =/i
тогда приведенное выше соотношение принимает вид
или
(_ tfW + 2mVW) =
Это и есть уравнение Шредингера для рассматриваемой за-
задачи *). Когда используется метод Шредингера, собственные
') Следует отметить, что этому уравнению удовлетворяет
любое собственное значение, а не только наименьшее, как пред-
предполагается выше. —Прим. ред.

84 ГЛАВА 4
значения нсегда появляются в качестве собственных зна-
значений дифференциальных операторов.
Читатель, уже знакомый с волновой механикой, знает,
по-видимому, что уравнение Шредингера само по себе еще
не достаточно для определения собственных значений. В до-
дополнение часто постулируют, что Ч?" как функция коорди-
координаты должна быть конечна непрерывна и однозначна.
В действительности сформулированные ограничения оказы-
оказываются слишком жесткими — они достаточны, но не не-
необходимы, и иногда приводят к потере допустимых соб-
собственных значений. Фактически необходимо и достаточно
потребовать, чтобы величина | W |2 как функция коорди-
координаты была интегрируема и однозначна. Эти условия можно
назвать слабыми условиями, необходимыми для определе-
определения собственных значений из уравнения Шредингера.
Именно наличие этих слабых условий, а не сильных
условий волновой механики подразумевается в матричной
механике. Действительно, в матричной механике требуется,
чтобы длина ijAp всякого вектора ф была конечной. Урав-
Уравнение Шредингера можно получить из равенства
взяв представление, в котором ty = yP(q), т. е. рассматри-
рассматривая ty как вектор в функциональном пространстве,
ар — как оператор р = — 1Ъ(d/dq). В этом представлении
поэтому, если величина я^ф конечна, то будет существо-
существовать и интеграл.
Упражнение 12. Найдите собственные значения опе-
оператора
положив
где а/; и b/f — действительные числа. [Ответ: а'-" = — (/j),
где либо j — целое число, либо а>0.] В связи с полученным
результатом обсудите вопрос об энергетических уровнях атома
водорода, предположив, что и момент, и импульс атома равны
нулю.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 85
§ 4. Принцип неопределенности Гейзенберга
В гл. 3, § 3 мы видели, что у осциллятора, находя-
находящегося в основном состоянии, среднеквадратичные флук-
флуктуации координаты и импульса &q и Ар связаны равенством
Ар А? = -^ Ь.
Теперь мы покажем, что среднеквадратичная флуктуация
любой координаты q и среднеквадратичная флуктуация ка-
канонически сопряженного с ней импульса р удовлетворяют
неравенству
Ар Ay > y *•
Обозначим посредством ч|> какой-нибудь нормированный
вектор. В состоянии, описываемом вектором г[>, средние
значения наблюдаемых q и р равны
<?> = *•**. (р)=ГрУ.
а их среднеквадратичные флуктуации даются формулами
Пусть теперь
где с — действительное число; тогда
но E^*) Eя()) ^. 0, следовательно (в предположении, что
с>0),
Далее, если А? и Ар фиксированы, а с считается пере-
переменным, то левая часть этого неравенства достигает мини-
минимума, когда

86 ГЛАВА 4
т. е. при tf = Ay/Aj5. Для этого значения с неравенстве
приводится к виду
или
Таким образом, в основном состоянии осциллятора произ-
произведение Д?Др достигает своего абсолютного минимума.
Вышеприведенное неравенство, открытое Гейзенбергом,
показывает, что неопределенность в импульсе Др должна
увеличиваться по мере уменьшения неопределенности в коор-
координате Sq, и наоборот. Таким образом, если справедлива
квантовая механика, то тщетно надеяться осуществить
когда-либо одновременное измерение наблюдаемых q и р
с точностью, превышающей некоторый определенный предел.
§ б. Внешние н внутренние степени свободы
Мы уже упоминали в гл. 3, § 4, п. „а", что энергию
двухатомной молекулы (так же как и в классической ме-
механике) можно разделить на энергию трансляций, вращений
и колебаний. Разберемся подробнее, каким образом это
делается.
Предположим для начала, что энергию можно пред-
представить в форме
44
где r = (q2)l/>, a q = qj — q2. Чтобы отделить энергию
трансляций, положим
М =
/Wj -p /Ид
где т — приведенная масса; тогда
2m, "r 2m2 2Л1 ~*~ 2« '

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 87
Очевидно, что Р2/2/И есть та часть энергии, которую мы
назвали энергией трансляций Hfp. Оператор Р коммути-
коммутирует с р и q, а следовательно, и с г, поэтому в гамиль-
гамильтониане слагаемое Р2/2я* можно рассматривать как обыч-
обычное число. Соответствующие собственные значения, оче-
очевидно, положительны, в остальном же на них не наложено
никаких ограничений.
Далее, ясно, что член р2/2/и представляет кинетическую
энергию, связанную с внутренними степенями свободы, и
может быть разбит на кинетическую энергию вращений
и кинетическую энергию колебаний. Прежде всего заметим,
что
=
и поэтому q и р являются канонически сопряженными пе-
переменными, как это и предполагается нашими обозначе-
обозначениями. Импульс рг, канонически сопряженный с г, опре-
определяется соотношением
rpr — q'p — lh, D.1)
в правой части которого добаилено слагаемое —to, для
того чтобы сделать оператор рт эрмитовым.
Упражнение 13. Доказать соотношения
a) q-p — p.q=.3fl>;
в)
г) q8p-q(q-p)-qX(qXP)-
Теперь мы должны доказать, что, во-первых.
rp,— Ptr = tb
и, во-вторых, р* = рг.
Что касается первого равенства, то оно непосредственно
следует из формулы D.1)
rpT—ptr = r-* (rq • р —q • pr) = /A,
при этом мы учли, что

88 ГЛАВА 4
Для доказательства второго равенства произведем в фор-
формуле D.1) эрмитово сопряжение, воспользовавшись равен-
равенством (АВ)* = В*А*,
r r
Отсюда р* = рг.
Наконец, покажем, что
Р2=Р?+г-21А D.2)
где L = q X Р — момент количества движения относительно
центра масс. Для этого разобьем р на две составляющие,
одна из которых параллельна q, а другая перпендику-
перпендикулярна q, воспользовавшись формулой векторной алгебры
P==(qT1[q(q-p)-qX(qXP)]-
Умножая последнее равенство слева скалярно на р, получаем
Р2 = Р • {(q2) [q (q • Р)- q X (q X P)l}-
Далее
и так как р X q = — q X Р> To в результате это дает
J ) • (qX P)l
Окончательно имеем
r~7(q • P — Щq • p = r-^pT (rpT-\-lK) =
что и подтверждает формулу D.2). Очевидно, что слагае-
слагаемое /—2L2/2/« представляет собой энергию вращений Нвр,
и, следовательно, полная энергия действительно преобра-
преобразуется к виду
Я = Ягр4Явр + 1
как и предполагалось в гл. 3, § 4.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 89
§ в. Собственные значения оператора момента
Формула D.2), доказанная в § 5,
и метод определения собственных значений оператора
(см. гл. 3, § 4)
*-?+«¦
дают возможность косвенным, но весьма простым путем
найти собственные значения оператора L2. Предположим,
что
так что T|>(t) есть собственный вектор оператора L2, а
А/*'—соответствующее собственное значение. Так как
каждая компонента оператора L = q X Р коммутирует с г2
и р2, а следовательно, и с р), то оператор L2 коммути-
коммутирует с гамильтонианом И. Поэтому i|/ft> можно выразить
через общие собственные векторы \tfJk) операторов Н и L2:
= 0»? 4-
Собственные значения оператора Н мы уже знаем, они
равны
где ©2 = 2с/т. Следовательно,
причем

SO глава 4
может принимать значения О, 1, 2 Полагая теперь
вх = р, 4- tkr-i — / Bтс)Чг г,
имеем
в!вг — Pr -f 1кг~* — B/*c)Vl r]2 — АЛ/-2 —
при условии, что
О(») = Bотс)>А Bft + А) = B/»с)'А B/A) + 3) Ь.
Следовательно,
(« ) А.
Таким образом, собственные значения оператора L2 имеют
вид /(/+О*2> ГДе ' принимает значения 0, 1, 2
Этот результат мы подтвердим более непосредственно
в следующей главе.
Задачи
I. Пусть А и В—какая-нибудь пара эрмитовых операторов.
Введем оиределеиия
С = — ЦАВ — ВА).
Пусть далее
Где а — постоянная. Покажите, что
Ф*Ф = (Л^)' 4- а2 (ДВJ — о (С)
и, следовательно,
1
Докажите также, что

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
Покажите, что q> = 0 и
если
Убедитесь, что произведение kphq достигает наименьшего зна-
значения только в том случае, когда t|> есть вектор состояния
гармонического осциллятора.
2. Пусть А, В, С — произвольные векторные операторы
в трехмерном пространстве, а произведение В X С означает опе-
оператор с компонентами
(В X С)з = B*Ci — Bfii,
Покажите, что
- 2 ЛВСа-(АВ)С.
а
т. е. что
[А X (В X С)]э
а
н выведите следующие формулы:
(qXpK=qap2-(qp)(q-p-«)
8. Докажите, что (q X Р)8 коммутирует с q8 и р*. Пусть
q* = qa и /> = q-'(q-p — /ft);
убедитесь, что в этом случае имеют место соотношения
и поэтому р* = р, а также qp — pq = /ft
ft
Используя результат задачи 2, выведите формулу
и получите отсюда, что в состоянии с нулевым момен-
моментом KXHO]

д2 глава 4
4. Пусть
где
и k— положительная постоянная; покажите, что
yi = e*9i — k2,
где
е,=*р+ ihq-' — lk
Пусть далее
и
покажите, что
"л" л ~rfT = -"л ="л+1"л+1 ^п i 1J •
и выведите соотношения
5. Предполагая выполненными условия предыдущей за-
дачи, покажите, что
-т) • • • (А+-S") *
если
а ф—собственный вектор оператора А. Предположив далее, что
вектор $ нормнрован и что соответствующее собственное значе-
значение равно а, получите соотношение
и, воспользовавшись неотрицательностью левой части этого ра-
равенства, убедитесь, что единственные отрицательные собствен-
собственные значения оператора А равны
*' 4 л»
6. Полная энергия атома водорода имеет вид

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
Здесь е — заряд электрона в единицах Хевисайда, а г2 = (q, — q2)*.
Проверьте справедливость следующей формулы:
где
(гХр,J р? ^_
2отг* + 2от 4яг'
Получите отсюда энергетические уровни S-состояний (состоя-
(состояний с нулевым моментом) для случая, когда центр масс атома
неподвижен
0
7. Используя условия и обозначения задачи 5, покажите,
что если а = — *2/п2, то «Pn-i^O, но 9„фя_,=»(). Пусть далее
— k\ и
покажите, что 0,^0 = 0; оцените выражения
и получите отсюда
8. Используя условия и обозначения предыдущей задачи,
оцените выражение ^(Oj — в*) -ф0 и выведите отсюда, что
Докажите, что (р>о = 0 и что {р*H= k*. Пусть
A/>=[((P-<P)o)8)o]V> и bq
покажите, что Др Ду => V~3 й/2.
9. Пусть

94 ГЛАВА 4
где а и Ъ — положительные постоянные. Покажите, что
где
если и =. в~Ч* b9lh. Рассмотрите вопрос о собственных значениях
оператора А, предполагая, что 2а = пЬ.
10.' Потенциальную энергию взаимодействия протона с ней'
троном в дейтроне можно представить формулой
v (/•)=—vvVj *"¦/*.
Найдите энергию связи дейтрона, предполагая, что он находится
в чистом 5-состоянии (орбитальный момент равен нулю).

Глава 5
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Момент количества движения любой системы, не нахо-
находящейся под воздействием внешних сил, является интегра-
интегралом движения и, следовательно, может быть измерен сов-
совместно с полной энергией системы. Мы вскоре увидим,
однако, что три компоненты момента не могут быть изме-
измерены одновременно; самое большее, что мы можем сде-
сделать,— это измерить полный момент и одну из его
компонент 1).
Еще до открытия матричной механики Бор ясно пони-
понимал, что правильное объяснение атомных спектров может
быть достигнуто только в том случае, если предположить,
что момент принимает лишь вполне определенные значения,
которые являются целыми кратными постоянной Планка Ь.
Однако полное понимание поведения момента атомных
систем пришло лишь с развитием матричной квантовой
механики.
Так же как и в классической механике, момент коли-
количества движения частицы определяется как пространствен-
пространственный вектор L = q X Р с компонентами
— ЯзР2>
ЯгР\ —
где qv q2, q9 — пространственные координаты частицы,
a Pi. Pi' Ръ—соответствующие компоненты ее импульса.
В классической механике, где координаты и скорости
можно измерять одновременно, обычно предполагается,
что они измеряются по отношению к некоторому физически
не существенному стационарному началу отсчета. В кван-
квантовой механике концепцию стационарной точки следует
отбросить, однако мы можем рассматривать qv q2, q3 как
>) Исключение представляет случай, когда момент равен
нулю. — Прим. ред.

96 ГЛАВА S
относительные координаты двух частиц, a р1г рь р3—-как
компоненты их относительного импульса. Если одна из час-
тнц свободна от воздействия сил, то она может служить
удобным началом отсчета, но ее нельзя представлять себе
неподвижной и в то же время локализованной в прост-
пространстве.
§ 1. Коммутационные соотношения
Перестановочные соотношения, которым удовлетворяет
оператор момента, легко вывести, воспользовавшись фор-
формулами
6 целях сокращения записи введем общепринятые обо-
обозначения
[А, В] = АВ — В А. E.1)
Вышеприведенные формулы, например, в этих обозначе-
обозначениях будут выглядеть следующим образом:
Часто бывают полезны следующие тождества:
[В, Л] = — [А. В),
[А, ВС] = [А, В\С-\-В[А, С],
[АВ, C]z=A[B, C]-J[-IA, С] В.
Используя определение компонент момента ij, ?2 и L3
находим
[Lv L2]s
— Чг 1Рз> ?з! Pi -f Pi \Яг- Рг\ Я\ —
и аналогично
li2, L3] = ihLy. и \L3, Lx\ =

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 9?
Эти результаты можно объединить, если воспользоваться
векторными обозначениями
L X
E.2)
Эта формула, в частности, показывает, что в тех случаях
когда компоненты вектора L являются операторами, правило
векторной алгебры L X L = 0 выполняется отнюдь не
всегда! Тот факт, что компоненты момента, например Lx
и Ц, не коммутируют между собой, означает, что они
не измеримы одновременно. Тривиальное исключение пред-
представляет случай, когда измеренное значение полного мо-
момента равно нулю, т. е. когда собственное значение опера»
тора L2 равно нулю; тогда одновременно равны нулю и
собственные значения всех трех операторов компонент
момента.
Покажем, что всегда имеется возможность измерить
одну из компонент момента, скажем L^, одновременно с IA
Действительно,
[Ц, L\] -в [?3. Lt] Ц -f- Lx [L3, Ц) —
[Ц, Щ = [U. L2] L2 +1* [L3. Li)«
Складывая эти равенства с равенством [La, La] = 0.
получаем
[ ?^41
или
В силу циклической симметрии
[La, L2l = 0, a=±l. 2. 3.
Займемся теперь вычислением коммутаторов, содер-
содержащих 1^ и функции от q и р. Соответствующие резуль-
результаты можно резюмировать в виде двух теорем.

98 ГЛАВА $
Теорема 1. Если 5 — зависящая от q и р скалярная
функция, то [La, 5) = 0.
Доказательство. Всякий скаляр, построенный
из q и р, является функцией от q2, p2 и q • р, поэтому,
если теорема имеет место для этих трех скаляров порознь,
то она будет справедлива и в случае произвольного ска-
скаляра. Для q2 доказательство выглядит следующим образом'
[L3, q\] = [Ly </,] 4l -f 4l [Ly 4l]
[L3. q2] = [qtp2 — q2pi, q2] = q{ [p2, q2] = —
Отсюда после сложения получаем [?3, q2] = 0, и в силу
циклической симметрии [La, q2] = 0.
Чтобы доказать аналогичный результат для р2, заметим,
что перестановочные соотношения и компоненты момента
не изменятся, если всюду заменить q на ф и одновре-
одновременно р на /q. Произведя указанную замену в выкладках,
использованных при доказательстве равенстза \La, q2]=0,
получим \La, p2] = 0.
Для доказательства аналогичного результата в случае
произведения р • q заметим, что как перестановочные соот-
соотношения, так и компоненты момента не изменятся, если
заменить q на 72(Ч + Р) и одновременно р на р — q.
Произведя такую замену в доказательстве равенства
[^о- q2] = 0, получим
[?„. (q-r РJ1 = О,
и поскольку
[La, q2] = [i0, p2] = 0,
то [La, q • р] = 0 Разумеется, этот результат можно полу-
получить и с помощью прямых вычислений.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 99
Теорема 2. Если А — произвольный пространствен-
пространственный вектор, построенный из q и р, то имеют место
соотношения
[Lu А2] = [А„ ?2] =
[?2, Л,]^^. ?,]= — 1ЬА3.
[L2, Л3] = И2, 1,] = /*^,,
[?3, Л2] = [Л3, L2] = — ihAx.
[Lx. AZ\ = [AX, L3] =
Сводку приведенных формул можно записать значительно
короче, введя символ еа„г который равен нулю, когда
какая-нибудь пара индексов совпадает; равен +1, когда
индексы а, р, у образуют четную перестановку из чи-
чисел 1, 2, 3, и равен —1, когда они образуют нечетную
перестановку из чисел 1, 2, 3:
Доказательство. Мы намерены показать, что:
1) теорема справедлива для A = q и А = р, 2) если тео-
теорема верна для А = В и А = С, то она верна и для
SjB-f-ScC где Sb и Sc—скаляры, и 3) если теорема
верна для А = В и А = С, то она верна и для А = В X С.
1. При доказательстве теоремы 1 было показано, что
Отсюда следует, что
\Ч\' Ls\ = — ihq2. [q2. L3] = lhqx,
и, таким образом, все соотношения, содержащие ?3, спра-
справедливы при A —q, а в силу циклической симметрии
справедливы и все соотношения, содержащие Lx и L2.
Так как перестановочные соотношения и компоненты мо-
момента не меняются при одновременной замене q на /р
и р на /q, то теорема 2 справедлива и для А = /р, а сле-
следовательно, и для А —р.

100 ГЛАВА 5
2. Если Sb и Se — скаляры, образованные из q и р, то
[La. S»] = [La, 5c] = 0.
и поэтому
[La. 5sB4-5cC] = 5e[La. b] + Sc[La, С].
Таким образом, если теорема 2 справедлива для А = В
и А«=С, то она будет справедлива и для SbB~\-SeC.
3. Предполагая опять, что теорема верна при А = В
и А<=з С, имеем
[1з. (В х С),] = [?3. в2с3 - ед =
= [L3, B2]C3-B3[L3, C2] =
ihB3Cl =
[Ц, (В X СJ] = [i3. ВЪС,
1ЬВ2Сг —
[i3. (В X CK] = Jij. BXC2 - B.fx\ =
Oj ^— *лиj^ — (— lnDx) t» 1 — t>2 \loL>2) == 0.
Остальные результаты для В X С следуют из формулы
[La. (В X С)] = - [(В X С). Ц]
и циклических перестановок.
Упражнение 14. Пусть А — какой-либо пространствен-
пространственный вектор, образованный из q и р; покажите, что
[L», A]-2/ft[(AXL) — /ЙА]
и что оператор В« А X L — /ЙА эрмитов н удовлетворяет
соотношению
[V, BJ — 2/й [(А • L) L — AL2 — /ЙВ].
§ 2. Момент количества движения системы частиц
Если имеется система частиц с координатами q<r> и им-
импульсами рС>, то момент такой системы равен

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 101
где L(r) = qfr)Xprr). Когда г Ф a, [l%\ 44 = 0. так как
при этом №\ pL'M = 0. Следовательно,
ел., iid-а 21 №41-
Аналогично находим, что
[Ц, Ц\ = 1ЫХ и \L3. ЬХ]=
Таким образом, для системы частиц, точно так же,
как и для отдельной частицы, имеет место соотношение
L X L = ihl.
Так как, кроме того,
то
[LF]htfp и т. д.
и аналогично
[?,. Py\ = ihp%> и т. д.
Рассуждая по индукции, мы можем, следовательно,
доказать следующие две теоремы, аналогичные теоремам 1
и 2 иа § 1.
1. Если 5— какой-либо скаляр, -образованный иа коор-
координат и импульсов частиц, то он коммутирует с каждой
из составляющих суммарного момента.
2. Если А — какой-либо пространственный вектор,
образованный из координат и импульсов частиц, то
[La. Лэ]=[Иа. ?р] =

Ю2 ГЛАВА S
§ 3. Спиновые матрицы
Некоторые частицы наряду с моментом относительно
начала координат обладают также моментом, известным как
спиновый момент, который можно сравнить с моментом
количества движения твердого тела относительно его центра
инерции. Мы будем обозначать спиновый момент частицы
посредством S; этот пространственный вектор не зависит
ни от координат, ни от импульсов частицы и, следова-
следовательно, ' коммутирует с q, p и L; тем не менее спиновый
момент S удовлетворяет тому же равенству SXS —Ш5,
что и L.
Упражнение 15. Пусть J = L -\- S, докажите, что
J X J = №.
Различие между операторами L и S заключается в том,
что у частиц определенного типа оператор S2 имеет одно-
единственное собственное значение, в то время как у L2
имеется бесконечное множество собственных значений.
Таким образом, матрицы, представляющие S, конечны,
в то время как матрицы, представляющие L, бесконечны.
Прежде чем заниматься сравнительно сложными матрицами,
представляющими оператор орбитального момента, полезно
сначала изучить более простые спиновые матрицы.
Прежде всего дадим определение квантового числа s,
которое носит название спин. Если X есть собственное
значение оператора S2. то неотрицательное число s, удо-
удовлетворяющее соотношению
называется спином.
Спин нуль. Равенству SXS = /AS тривиальным обра-
образом удовлетворяет „матрица" с одним столбцом и одной
строкой, единственный элемент которой равен нулю.
Полагая
находим, что S2=[0]. Таким образом, собственное значе-
значение S2 равно нулю и, следовательно, спин также равен
нулю. Спин нуль имеет частица пион (п-мезон).

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 103
Спин половина. Равенству SxS = /*S можно также
удовлетворить и с помощью матриц с двумя столбцами
и двумя строками. Пусть
°1=(i о)' а>={ о + ij'
тогда а\ =±= а\ = 1 и
О -14
-1 О)'
Поэтому, полагая о2= — /o3ai» будем иметь
OiCJo ~4~ вс%Ол :^= — / fOiCU -4— (j^Oi^ Oi ~~~ 0
°2°3 + °3°2 = — '°3 (О1°3 + a3°l) = 0.
Эти соотношения можно записать короче:
Так как, кроме того,
то
°2°3 = - /(J3aia3 = /01°3 = 1<3V
oa°p = 12 eapvav
Полагая теперь по определению S = 1/a*<J> находим
= -4 *2@i02 — a2°i) =
и аналогичные соотношения, получающиеся при цикличе-
циклических перестановках. Таким образом, определенные выше
матрицы удовлетворяют равенству SXS = /fiS.
Матрицы о называются матрицами Паули (обратите вни-
внимание, что они идентичны матрицам 1С, /I и С из гл. 1,
§ 4) — по имени Паули, который первым предположил,

104 ГЛАВА I
что они связаны со спином электрона. Иногда их также
называют клиффордовыми матрицами — по имени Клиф-
Клиффорда, который изучал их математические свойства еще
в XIX веке. (Кватернионы Гамильтона также являются
по существу операторами типа с0 -J- /с • о.)
Так как
то
Это показывает, что для выбранного представления спин
равен половине. Электроны, мюоны (ц-мезоны), протоны,
нейтроны, нейтрино и многие гипероны — все имеют спин
половика.
Упражнение 16. Покажите, что если а и b — обычные
пространственные векторы, то
)»2 а-b,
(а • а) (Ь • а)« а • b -Ma • (а X Ь)
Спин единица. Существует также матричное пред-
представление с тремя столбцами и тремя строками, которое
связано со спином фотона.
Пусть
так что
Определим матрицу р3 соотношением
-1 О (Г
-№* = | 0 0 0
о о -и

момент количества движения юз
При этом
/о о о\
РРз = ( О О 41 I. РзР
\о о о/
и РРз — РзР —Р- Производя в последнем равенстве эрми-
эрмитово сопряжение с помощью соотношения (АВ)* = В*А*.
находим также, что
РзР — Р Рз — Р •
Определим теперь матрицы р, и р3 формулами
Р
Эти матрицы эрмитовы и удовлетворяют соотношениям
yf IP. Ы -
Итак, РХР^'Р. и, следовательно полагая S = Лр, имеем
SXS — /AS.
Чтобы определить спин, соответствующий рассматри-
рассматриваемому представлению, вычислим сумму
Pi+Pi - т (Р2 -ь рр*+Р'Р + р*
-f-5-(-P24PP*-f Р'Р-р)

106 ГЛАВА б
Таким образом, 02 = 2 и
где s = l. Следовательно, введенные выше матрицы со-
соответствуют спину единица.
Упражнение 17. Докажите соотношение
(Указание: сначала считайте все индексы равными, затем только
два равными и, наконец, все различными.)
§ 4. Собственные значения оператора момента
В этом параграфе мы определим собственные значения
операторов М3 и М2, когда М есть векторный оператор,
удовлетворяющий соотношению МХМ = lbt\. Мы уже
видели, что этому равенству удовлетворяют орбитальный
момент L, спиновый момент S, а также сумма J = L-fS
(см. упражнение 15). Следовательно, развитая ниже тео-
теория будет применима к любому из перечисленных случаев.
Так как [Ма, М21 = 0, то операторы М3 и М2 будут
иметь собственные значения одновременно. Если обозна-
обозначить через ф их общий собственный вектор, который мы
будем предполагать нормированным, а посредством m3h и
т (т.-\-1) Ь2 — соответствующие собственные значения, то
М3т\> = т3Ц, M2i|> —«(«-г 1)#N>. E.3)
Можно предположить, что т. не отрицательно В этом
параграфе мы покажем, что. во-первых, т должно быть
либо целым (возможно, нулем), либо полуцелым и что,
во-вторых, т3 может принимать лишь значения — т,
— /и-f-l т. Таким образом, число т3 также либо
целое, либо полуцелое в зависимости от того, каким яв-
является т, и, кроме того, |/и3|^от.
Способ, с помощью которого определяются интере-
интересующие нас собственные значения, аналогичен способу,
примененному в задаче о гармоническом осцилляторе, где
мы воспользовались тем обстоятельством, что выражение

M0MEH7 КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 107
не может быть отрицательным. Здесь мы вос-
воспользуемся неотрицательностью выражений
(Мя+$ м"+ Ф и (ЛИф)'ЛЦф.
в которых
Mf = M,-f Ш2 и М_ = М\=М1 — 1М2.
Чтобы вычислить указанные выражения, нам понадобятся
следующие результаты.
Результат 1. Пусть /(М3)— некоторый полином
от М3, тогда
и по индукции
t = Ml/ (Ж3 — ftA).
где k — положительное целое число
Доказательство.
Из- М+] = [Ма, Л1,] + / [ЛГ3. Л*
= ihM2-\- hM{ —
поэтому
и по индукции
Отсюда следует, что если f (М3) есть произвольный по-
полином от Ж3, то
Заменяя / (М3) на /* (Ж3 — й), имеем
Производя в последнем равенстве эрмитово сопряжение и
учитывая, что Ж* =Ж_, окончательно находим

108 ГЛАВА t
Результат 2.
_М+ = М2 — M3(M3+h).
Дока»ательство.
г 4
1М2) (iWl —
\— 1[Ми
Результат 3.
[Л134-(* -
4м- — П {M2— UM8 — (ft —
Доказательство. Первую из приведенных фор*
мул можно получить, воспользовавшись несколько pas со*
отношением
= МЧ~1 [М2 — М3
1ХЧ1 № (я—
Вторая формула получается аналогичным способом с по-
помощью соотношения
,(Л,- А)] ЛГ1
2- |Afa — (я -

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ /09
Теперь мы в. состоянии выполнить интересующие нас
вычисления
- V Д {М2 - [М3 + (к - 1)ЪЦМг + Щ) ^)=»
Выше мы также учли формулу E.3) и условие нормировки
ф*ф ess 1. Аналогично
Таким образом, мы имеем
„ E-4)
Д [/»(/»+1)-(/»з-*
Отсюда, когда
следует, что
а когда
«з — *4* 1 <—«.
то
т(т+1)-(т3-к-{ 1){т3 — к)<0;
поэтому неравенства E.4) будут выполняться при всех
вначениях л, если
т(т+ 1) = (т3+*+ — l)(m3 + *+).
где k+ — какое-либо целое положительное значение к, и
если

НО ГЛАВА S
где &_ — какое-либо другое целое положительное значе-
значение k. Следовательно,
— т — щ — ?-¦+ 1.
где k+ и k_ — положительные целые числа. Вычитая эти
равенства одно из другого, получаем
2m = fc+-f fc_ — 2,
отсюда 2т— неотрицательное число. Кроме того, видно, что
т — /и3 —&+ — 1^-0 и щ-\~tn — k.. — 1^-0;
поэтому | тъ | -^ т, а т3 может отличаться от т лишь на
целое положительное число.
Прежде всего посмотрим, как применить эти резуль-
результаты к спиновым матрицам. Если оператор S2 имеет своим
собственным значением величину s(s-\-l)h2, то s может
быть либо целым, либо полуцелым числом. В § 3 мы рас-
рассмотрели случаи, когда спин равен 0, '/г и 1; можно
также построить матрицы, соответствующие спину 3/2, 2 и
т. д. При заданном значении s одновременно существуют
собственные значения s3h оператора S3, причем s3 может
быть равно — s, —s-j-1, ... и s. Так, например, когда
s = 0, s3~0; когда * —'/г- *з==1/а или —Чг, когда
s=l, s3 = —1, 0 или -j-1. К этому же заключению
можно прийти и на основании явного вида матричного
представления, рассмотренного в § 3
Полученные результаты позволяют также утверждать,
что если /(/-j-l)/j2 является собственным значением опе-
оператора L2, то оператор Ls имеет своим собственным зна-
значением величину 1ф, причем /3— — '• 'з— — ^~^~^< ¦ и
/3=/. Однако в этом случае, как мы увидим в следующем
параграфе, / может принимать только целые значения.
§ 5. Собственные значения оператора орбитального
момента
Чтобы доказать, что собственным значением опера-
оператора L2 является величина / (/ -f- 1) й2, где / принимает
только целые значения, мы воспользуемся соотношением
q-L = q1 (q2p3 — q3p2) -f q2 (qaPl —

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ///
(К сожалению, волновой квантовомеханический вывод соб-
собственных значений операторов L3 и L2 в том виде, как он
изложен в большинстве учебников, обладает дефектом:
предполагается, что волновая функция W должна быть
однозначной, хотя из физических соображений нужно тре-
требовать однозначности только для | W |2.)
В этом параграфе с помощью соотношения q • L = О
мы докажем, что если величина /(Z-f-l)A2 является соб-
собственным значением оператора L2, то таковой же является
и величина /(/—1)А2. Очевидно, что это приведет к ис-
исключению значения / == • /2, так как ни одно собственное
значение оператора L2 не может быть отрицательным.
Действительно,
(?аг|>)*(?аф)==г|э*?а^>0 при а==1, 2, 3,
поэтому г|>*Ь5ф ^- О, и если
то отсюда требуется, чтобы /(/ —1)^-0.
В целях упрощения доказательства воспользуемся двумя
новыми результатами.
Результат 4. Пусть Z.0 = <T-L, где Oj, о2 и о3 —
определенные в § 3 матрицы Паули, тогда
Доказательство
4-СГзО!
= ii4
4- /а, (.
= L2-
Z.3L,
-Z-2
M
-A(i
4- o,»3Z.i
4-^3 + /'
11,^4-0,.
?3 —
т-/а2(
ti4-o
2 — ^2^-0
?3ii — i
;2L2)=L2
Результат 5. Если qa==o-q, то

112ГЛАВА S
Доказательство.
+я А - 2ФА+2<^А4-2<^ А+
4" 4^-0 4" • • • ==
Перейдем теперь к доказательству нашего утвержде-
утверждения. Пусть i|> — собственный вектор оператора L2,
а /(/4" 1)А2'—соответствующее собственное значение, так
что при этом
С помощью результата 4 последнее равенство можно пре-
преобразовать к виду
или
Таким образом, если ввести обозначения
то
Поэтому ij5(+) и 'Ф^~' суть собственные векторы опера-
оператора La, а/Ни —(Z-f-l)A — соответствующие собствен-
собственные значения.
Теперь мы воспользуемся результатом 5 и покажем, что
+ ft) V~'=
Следовательно, q> = qa$(~] есть собственный вектор опе-
оператора L2, принадлежащий собственному вначению 1A—1)й2.
Поэтому допустимы лишь целые значения /, что можно
показать с помощью рассуждений, которые уже приводи-
приводились ранее.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Упражнение 18. Покажите, что если /(/-)- 1) Аг — какое-
либо собственное значение оператора L', то таковым является
и (/+1) (/ + 2) #"• Выведите отсюда, что величина / не ограни-
ограничена сверху.
§ в. Собственные векторы и матричные элементы
В этом параграфе будет развит общий метод, позво-
позволяющий строить как спиновые матрицы, рассмотренные
в § 3, так и матрицы, представляющие операторы Ц,
In и L\.
В этих целях снова удобно рассмотреть матрицы Mv
М2 и Мэ, о которых лишь предполагается, что они удо-
удовлетворяют условию МХМ = /AM.
Пусть ф(<" есть общий собственный вектор операторов
М* и Мя, нормированный с помощью условия $U)*yU) = 1
и удовлетворяющий уравнениям
М>У! = т (т + 1) b\U); M3${i) «= m3HU)-
Можно без труда показать, что если Л1+ = Ж, -f- IMV то
M+tyU) также является собственным вектором операторов
М2 и М3. Действительно, |М2, M+j = 0. поэтому
Ма (А1+ф(Л) - Л1+М У» - я (я + I)
и далее, согласно результату 1 из § 4,
поэтому
Таким образом, под действием оператора М+ собственные
значения М3 не изменяются, а собственные значения М3
увеличиваются на А. Однако вектор Л1 + ф<-" пока еще
не нормирован; чтобы его нормировать, мы восполь-
воспользуемся результатом 2 из § 4, согласно которому
+1)—щ («з 4- 01 а2;

114 ГЛАВА 5
при этом мы учли, что вектор V нормирован. Следова-
Следовательно, вектор у$ , определенный с помощью формулы
также нормирован. Начав с вектора г|)A), который удовле-
удовлетворяет уравнению
мы можем с помощью этой формулы построить собствен-
собственные векторы, принадлежащие собственным значениям
— (т — \)h, —(т — 2)й, ... оператора Мъ. Очевидно,
что вектор г|) будет принадлежать собственному значе-
значению (—m-\-j—l)h, т. е.
Собственные векторы г|>(;) оператора М3 нормированы
и взаимно ортогональны; с их помощью можно построить
представление, в котором собственное значение М2 равно
т{т-{-\)Ъ2, а матрица Ж3 диагональна. В этом предста-
представлении ¦ф(-') = б(^, а матричные элементы операторов Ма
имеют вид
№,* - V;)XVA) СУ- * = 1 • 2 2т 4-1).
Так как
M3Vft) = (— m-\ k — l)/h|/*'.
то
(M3)jk = ^М3^ = (- т -Ь k
а в силу того что
М^(к) == [Bт4-1 — к) к]Чг Лг
мы имеем

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ //5
Наконец, учитывая соотношение (/W_).ft = (M+)* , находим
|/
/ АЛ \ f/'Owf—L 1 f\ /I ftA
V ~*' f ft ~~~" l\ "" t" 1 —— J ) J \ Itv J I I Jk j
и так как
то
(M{)jk = y [B/л -j~ 1 — k) k]'' /?6j? ft+1 +
/4 = — 1 /1B» + 1 - A) ft]'/s My, fe y,
Применение этих формул к спиновым матрицам три-
тривиально; действительно, при w = 0, V2 и 1 мы сразу же
получаем представление матриц Slt 52 и 53, найденное
ранее в § 3. Если же положить т = 3/2 и 2, то тем же
способом мы получим матрицы, соответствующие высшим
значениям спина, однако в настоящее время нельзя с уве-
уверенностью сказать, что частицы с такими значениями спина
существуют в природе.
Предыдущие формулы можно использовать и для полу-
получения матричного представления оператора орбитального
момента, однако при этом т уже не будет ограничено
каким-то одним значением, а будет принимать каждое из
значений 0, 1, 2 Если обозначить через AfO матрицу,
соответствующую случаю, когда т равно /, то матрица,
представляющая оператор La, будет иметь вид
ж?> о
О
т. е. /.„ есть прямая сумма матриц м!?\ М{? Оче-
Очевидно, что матрица ?„, построенная таким способом, удо-
удовлетворяет соотношению LXL = /AL в силу того, что
ему удовлетворяет каждая из матриц М*?. Кроме того,

116
ГЛАВА I
оператор L2 имеет своими собственными значениями 0.
2Й2, 6й2 т. е. отдельные собственные значения ма-
матриц М(. У матрицы М(а имеется 2/4-1 строк и
столько же столбцов — нх число увеличивается с ростом I.
С учетом этого явный вид матриц Llt L2 и L3 следующий:
0
Нули
0 /2 0
/2 0 /2
0
Нули
Нули
0 /4 0
0
/ 0
0 /6 0 УЪ О
о о уъ о у/1
О О О Y~4 О
X
1
2
}
<У
"X
0
-/2
0
ли
Нули
Y~2
0
-VI
0
/2
0
0
—V''¦
0
0
0
Нули
/4
0
-/6
0
0
0
/6
0
-/6
0 -
0
0
/6
0
V4
0
0
0
0

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
117
1,-А
Нули
—1
0
0
Нули
0
0
0
0
0
1
—2
0
0
0
0
Нули
0
j
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
_ i i
Само собой разумеется, что эти матрицы бесконечно-
бесконечномерны.
Упражнение 19. Прямыми вычислениями получите из
•тих матриц матрицу, представляющую оператор L*.
I. Исходя нэ перестановочных соотношений
LtLt — ?,?» — Ш.,,
Задачи
покажите, что Lt коммутирует с
Положив
и L_— Lt —
выразите L_L+, L+L_, Ln_L\ и L^LI через L2 и L3.
2. Считая выполненными условия задачи 1 и предполагая,
что
покажите, что 1) 2/ должно быть целым числом; 2) 2/$ должно
быть целым числом, заключенным между —2/ и 21; 3) 2/—2/}
четно.

118 ГЛАВА 5
Указание. Воспользуйтесь тем обстоятельством, что выра-
выражения 1?*?1?^ф и if*/-" ?1Ф не должны быть отрицательными
ни при каких значениях п.
3. Предположим, что операторы Lb L2 и Ls удовлетворяют
перестановочным соотношениям задачи 1 н что операторы Мь
Мг н Af3 удовлетворяют аналогичным перестановочным соотно-
соотношениям
МгМ3 — М3М2 = 1ПМ{ и т. д.
Предположим также, что все L коммутируют со всеми М
LaMp = MpLa.
Пусть далее К = L -f- M; докажите, что
ihKi и т. д.
и что К2 коммутирует- с L2, М2 и L • М. Покажите что
(L • М) ф = j [k (k + 1) - / (/ + 1) - т (т + ! I Й
если
4. Пусть
N = M2L— (LM)M
и \|7*iO = 1 (обозначения те же, что и в задаче 3). Покажите, что
t|)' (N • N*) t|) =. hem (m + 1) I / (/ -|- 1) т (т + 1) —
--j-[* (* + 1) -М/+ О - « С* + I)]2}.
и, следовательно (если т Ф 0), что
(/ + -j) (« + у) > -| [* (* + 1) -/ (/ + 1) - и (я + 1)].
Покажите, что из этого неравенства следует
и выведите отсюда, что k^l-\-m. Докажите, что *=W, когда
т = 0. С помощью аналогичных рассужденнн покажите, что
/< k-\-m и /и < k-\-l
Можно ли построить треугольник, стороны которого были бы
равны k, l и /я?

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 119
5. Пусть Ьг (/" = 1, 2, 3, ...) — некоторый набор неэрмнто-
вых операторов, удовлетворяющих соотношениям
где [А, В], как обычно, означает АВ — ВА, а 6„=1 при
и 6„ = 0 в противном случае. Покажите, что
и что [Ь*, Ьг] коммутируют с [б*. 6,]. Покажите, что всем этим
соотношениям можно удовлетворить, если либо
1) (>у=о и {*;*}*
где {А, В) означает АВ + ВА, либо
2) >
6. Пусть L(, =» ff • L, где L удовлетворяет условиям задачи 1, и
/о3.
Покажите, что если
то
и, следовательно, 2/ должно быть целым числом. Пусть
qa = q . о, и пусть L =• q X Pi проверьте, что
L2 (?„ф) = (/ - 1) W (qa$)-
7. Обозначим через Р оператор инверсии, который изме-
изменяет знак каждого вектора координаты и каждого вектора им-
импульса и, следовательно, удовлетворяет соотношениям
0, Рр + рР -. 0.
Покажите, что Р2 => 1 и что он коммутирует с L =• q X Р-
Используя обозначения задачи б, покажите, что
если Рф = 1|). и выведите отсюда, что собственные значения опе-
оператора Р равны ± (— 1)*.

/20 ГЛАВА S
8. Покажите, что
?i cos q _ qt s)n f)
q2 cos о + qy sin 0
и, следовательно, унитарное преобразование
, «в/* -и в/*
q->q'«« ° qe °
эквивалентно повороту осей координат иа угол 6 вокруг оси qa.
9. Операторы спинов двух частиц, нейтрона и протона, обра-
образующих дейтрон (ядро Н2), равны соответственно
где о*1' и о*2' — два коммутирующих между собой набора матрип
Паули (о^Ц2' — <$)<J<al))' Пусть о12 ¦» *»(|) • ff{2); покажите, что
[¦у 0+•»)]*-Ь
н выведите отсюда, что собственные значения оператора oit
равны 4*1 и ~3- Известно, что спин дейтрона равен единице,
следовательно, его вектор состояния ф удовлетворяет уравнению
Покажите, что при этом о,2-ф —«ч)х Покажите также, что для
состояния ф', в котором спины нейтрона н протона аитипарал-
лельны, Оиф'•" — 3ij>'-
10. Операторы спинов трех частип (протона и двух нейтро-
нейтронов), образующих ядро трития Н', равны
S"» —у Й^1», S& - у ЬоA) и S«3> - -у Ло<3'.
Пусть о// — о<".0<Л; покажите, что
(Ои + Ои + Оаэ)* —9,
и получите отсюда, что собственное значение оператора <ТиЧ"
+ ai3 + or»« равно либо —3, либо 3. Известно, что ядро трития
имеет спнн '/г: получите отсюда, что вектор состояния удовле-
удовлетворяет уравнению
(°и + "is + "за) if — — Зтр.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
121
Докажите, что о12 коммутирует с о,»-}-<»,», и убедитесь, что
в случае трития имеет место нижеследующее представление:
1
О
С -Э-
Ч -/I
-/I i
/I i
Рассмотрите аналогично дополнительный вопрос о спинах
четырех частиц (двух протонов и двух нейтронов), образующих
а.дестицу (ядро Не4)- Спнн а-частицы равен нулю.

Глава 6
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Применим развитые методы к решению некоторых
простых задач атомной и ядерной физики.
§ 1. Энергетические уровни атома водорода
Рассмотрим атом водорода или же какую-либо иную
систему, состоящую из сферически симметричного поло-
положительного иона, взаимодействующего с электроном (на-
(например, ион Не+). Обозначив заряды положительного иона
и электрона через Ze и — е соответственно, для потен-
потенциальной энергии двух частиц, находящихся на расстоя-
расстоянии г, будем иметь — Ze2jr (в электростатических едини-
единицах). Если щ и pi — масса и импульс электрона, а т2
и р2 — масса и импульс положительного иона, то полная
энергия будет равна
pf р| Zt
П *
2m, "г 2т2 ~ г "
Как уже объяснялось в гл. 4, § 5, кинетическую энергию
можно разбить на три части: трансляционную, вращатель-
вращательную и колебательную, поэтому полную энергию можно
представить в форме
Трансляционная энергия коммутирует с гамильтонианом Н,
то же относится и к оператору L2, который коммутирует
с любым скаляром, поэтому у операторов Ц, Р2/B/И)
и L2 имеются общие собственные векторы. Если ф — их
общий собственный вектор, а Е, Т и /(/-)-l)fi2 — соот-
соответствующие собственные значения, то

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 123
ИЛИ
где с = mZe2. Таким образом, чтобы определить энерге-
энергетические уровни, нам необходимо найти собственные зна-
значения линейного оператора
Согласно теории, развитой в гл. 4, § 2, эти собствен-
собственные значения представляют собой последовательность
чисел а^\ определяемых рекуррентными соотношениями
где в случае неоднозначности выбор 6^ на каждом этапе
определяется максимальным значением а^К
В нашей задаче форма оператора А наводит на мысль
взять 8; в виде
где dj и bj — действительные числа, подлежащие опреде-
определению. В таком случае имеем
9,9', =P;-!•(«¦; +-7-)'-
r-'J-

124 ГЛАВА 6
Так как из сравнения двух выражений для оператора А
следует, что
то нетрудно видеть, что ах и Ьх нужно выбрать так, чтобы
«1*1== —с h Фх - Ь) = 1A+1) А2;
тогда «('> будет решением уравнения
оA> -f о? = 0.
Имеются две возможности:
1) &i = — lh, когда
а'в? и "<1)в-(Я|г! или
2) Ь\ = {1-\- 1)Л, когда
с
Так как во втором случае значение а'1* больше, то выби-
выбирается именно эта вторая возможность; таким образом,
мы полагаем &! = (/-}-1)й.
Поскольку, кроме того, из сравнения двух выражений
для Aj+l вытекает, что
то мы должны выбрать о^+, и bj+l так, чтобы
тогда а<-/+1) будет определяться формулой
Здесь опять-таки имеются две возможности:
когда
— uj н а<-/+|)

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ /25
или же
2) Ъ}+х=*Ь} + Ь*т ... =ft,-f yfi = (/4- 1 +У)й.
e/+i*/+i —вЛ— ¦• — «,*, = — с.
eO^+a^W + a?» ... = а"Ч «1 = 0.
Первый вариант, очевидно, неприемлем, поэтому собствен-
собственные значения гамильтониана Н будут даваться формулой
2m (E — T) = —
где I — неотрицательное, a j—положительное целые чи-
числа. Для покоящегося атома Г = 0 и
Наряду с этими дискретными энергетическими уров-
уровнями, согласно теории гл. 4, § 2, имеются собственные
значения, величина которых превосходит верхнюю грань
(нуль) чисел а{1). Таким образом, существуют ничем не
ограниченные положительные значения энергии; они соот-
соответствуют тем состояниям, в которых электрон в атоме
не связан, т. е. атом водорода ионизован.
Теория показывает также (см. гл. 4, § 2), что соб-
собственный вектор г|}(^ определяется формулой
(или <р@) при j—\). где вуф"' = 0.
т. е.
Это дает возможность построить собственные векторы
с помощью способа, который указан в упражнении 20.

126 ГЛАВА 6
Упражнение 20. Пусть % — собственный вектор опера-
оператора рг принадлежащий нулевому собственному значению, т. е.
рд = 0; покажите, что
§ 2. Дейтрон
Дейтрон представляет собой связанное состояние про-
протона и нейтрона. Так как нейтрон нейтрален, то электро-
электростатические силы не играют роли, н мы имеем дело
исключительно с короткодействующими ядерными силами.
Осложнения, возникающие благодаря спиновым эффектам,
виртуальному рождению пар и т. д., приводят к тому,
что детальная структура ядерных сил оказывается весьма
запутанной, однако энергию взаимодействия протона с ней-
нейтроном с хорошей степенью точности можно представить
потенциалом Хюльтена
где g — известная постоянная; ц — масса я-мезона, умно-
умноженная на cjh, и с — скорость света. На основании дан-
данных о малой величине электрического квадрупольного
момента дейтрона известно, что нулевое собственное зна-
значение оператора L2 является преобладающим. Хотя с малой
вероятностью может встретиться и собственное значе-
значение 6й2, здесь мы такой возможностью будем пренебре-
пренебрегать. Таким образом, предполагается, что энергия покоя-
покоящегося дейтрона имеет вид
где m — приведенная масса, составляющая примерно по-
половину массы протона.
Итак, мы должны выяснить вопрос о собственных
значениях оператора
а
¦А — Pr -\ir j >
где c = 2mg. На этот раз мы положим

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 127
и отсюда
Аналогично
ИГ 1 * t
Так как А = Q]Qi -{- aA), то отбрасывая случай bi == О,
получаем, что
*i = fyi. Bai — fi{A)&i = — 2с и aAL-fli —О,
поэтому
^т^-i-и aA)=
Найденное выражение и является отрицательной энергией
связи дейтрона.
Упражнение 21. Найдите величину а*2) и условия, ко-
которым должна удовлетворять постоянная с, для того чтобы
у дейтрона существовало второе связанное состояние, (в дей-
действительности эти условия не выполняются, и у дейтрона име-
имеется только одно связанное состояние, однако возбужденные
уровни представляют интерес с точки зрения теории нейтрон-
протонного рассеяния.)
§ 3. Частица в потенциальном ящике
Рассмотрим частицу в прямоугольном ящике, у которой
все собственные значения Xq оператора любой координаты
q заключены в интервале
где / — длина ящика в рассматриваемом направлении.
Энергия движения в этом направлении есть просто

128 ГЛАВА t
(Полная энергия будет суммой трех членов такого типа;
они. коммутируют между собой, и поэтому имеют об-
общие собственные векторы.) Чтобы найти собственные
значения оператора А = 2тН = р2, мы положим
ваметив при этом, что наибольшие по модулю собствен-
собственные значения операторов bjq, а именно ± ljibjl, не дол-
должны превосходить по модулю я/2, так как для этих значений
аргумента'тангенс не существует и, таким образом, должно
быть |6у|-^л/Л Отсюда находим
6*9/ = р2 + a,V(*tf)+ iaj [p
Р2 + a) tg2 (bjq) + a,bjh sec2 (bjq) = p2 + ajbjb -f
= pl - ajbjh + a, (a, - bjb) tg2 (b,q).
Так как
то мы должны, отбрасывая случай а1 =« 0, взять
т. е. a, = — ftjft; кроме того,
и поэтому
Максимальное значение величины оA) получается гфи под-
подстановке максимального значения величины bv которое, как
уже отмечалось, равно я//; следовательно, л = (nhjl) .
В качестве следующего шага мы воспользуемся фор-
формулой
в силу которой необходимо положить
= bj и aJ+i(aJi-i-+-bj+lb)= aj(aj— bjti)

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ /29
и которая показывает, что собственные значения удовлет-
удовлетворяют рекуррентной формуле
au+i)+ aj+lbJ+lh = aU) - a,b}h
или
Поэтому с(-" = о/ , где
так как
, я_
После отбрасывания решения ay+i= —aj это дает
яй
= <*!— -р —— -""Y—•
Следовательно, aj = — /лй/Z и
Таким образом, собственные значения гамильтониана Н
равны (у'дй//J/Bт), где j — положительное целое число,
полная же энергия частицы, заключенной в ящике со
сторонами {,, /2, /3> равна
,2 ,2 ;2 ,
где jv j2 и Уз—положительные целые числа.
Упражнение 22..Пусть б^ — 0 и
докажите, что в/р^~ч = О, и выразите отсюда собственные век-
векторы, соответствующие собственный значениям а^\ через ^^-

130 ГЛАВА в
§ 4. Теория возмущений
Только простейшие задачи матричной квантовой меха-
механики допускают точное решение, поэтому очень часто
приходится использовать приближенные методы. Один из
наиболее полезных приближенных методов — метод теории
возмущений. Основные идеи метода теории возмущений
таковы.
Предположим, что задачу о собственных значениях и
собственных векторах оператора Н точно решить невоз-
невозможно, но что Н = H0-?-aV, где собственные значения
и собственные векторы оператора Но известны, а числен-
численный параметр о можно считать малым. В таком случае
уравнение, определяющее собственные значения,
Щи) = (Н0-{-аУ)^л = ^1}) F.1)
можно разрешить, разлагая i|/" и ?* в ряды по сте-
степеням а
Подставляя эти выражения в уравнение F. IX имеем
X (%л + cn|V>+аЩП +...)= 0.
Так как полученное уравнение справедливо при всех зна-
значениях а, мы можем порознь приравнять коэффициенты
при различных степенях а нулю. Это дает
(Н0 - 4Л) 4J)+(V - Е\Л) 4Р - 0, F.2)
M'W-^V^ о
и т. д. Первое уравнение показывает, что ?&Л есть одно
из известных собственных значений оператора Ио,
а i|>{j" — также известный соответствующий собственный
вектор. Величины Щ и % можно определить из вто-

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 131
рого уравнения. Действительно, умножая его на
пользуясь формулами
получаем
или
W - 4я) 4f4f+С*ЧЛ=о
причем мы предположили, что вектор щ* нормирован.
Аналогично после умножения этого же уравнения на
где k^J и. следовательно, ^*'*ф|/> = 0, имеем
или
и, таким образом,
=2 Dя - О'; ОС
Аналогичным путем мы можем использовать третье урав-
уравнение F.2) для определения ?^Л и ^Л и т. д. Однако
если потенциал aV действительно мал по сравнению с Но,
то энергетические уровни с хорошей степенью точности
описываются выражением f^-f-af^, а векторы ф[/Ц-<м^Л
весьма близки к соответствующим точным собственным
векторам.
Этот метод находит многочисленные применения. Так,
например, им можно воспользоваться для определения
эффектов, обусловленных членом lj6V" (a)(r—alK, которым
мы пренебрегли в гл. 3, § 4, п. „а"). Другое очень важное
приложение — это задачи о рассеянии. В этом случае /Уо
обычно представляет сумму кинетических энергий двух
слабо взаимодействующих частиц, а aV — энергию их
взаимодействия; ф^' описывает состояние частиц до рас-
рассеяния, а arj?^ приближенно описывает их состояние после
того, как рассеяние произошло. В этих задачах очень

132 ГЛАВА в
Часто интересуются так называемой б'-матрицей с элемен-
элементами if^S^ , которая представляет оператор S, опре-
определенный соотношением i|/;) = Si$\ В соответствии с по-
полученными выше результатами приближенно имеем
§ 5. Непрерывные представления
В приложениях, рассмотренных в этой книге, мы всюду
имели дело с векторами, обладающими счетным мно-
множеством компонент. Хотя на самом деле нет таких задач,
которые нельзя было бы рассматривать в рамках указан-
указанного подхода, тем не менее часто бывает полезно исполь-
использовать такие представления, где векторы обладают не-
несчетным множеством компонент, и tyk должны рассматри-
рассматриваться в качестве функции iJ)(A) непрерывной переменной А.
Операторы, действующие на такие векторы, часто оказы-
оказываются интегральными или дифференциальными операторами.
Важный частный случай возникает, когда компоненты
вектора представляют собой собственные векторы опера-
операторов координат, которые все коммутируют между собой,
и, следовательно, одновременно обладают собственными
вначениями. В. этом случае мы можем рассматривать коор-
координаты qa скорее как числа, а не как операторы. При
этом перестановочные соотношения
будут удовлетворяться, если считать />« дифференциаль-
дифференциальным оператором:
4
Это представление наряду с описанным в гл. 4, § 1
зависящим от времени каноническим преобразованием
используется в волновой механике. Имеются, однако, и
другие непрерывные представления; например, часто ис-
используется представление, в котором компоненты вектора
суть собственные векторы импульса. В этом представле-

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 133
нии ра можно рассматривать как числа, а координаты
считать дифференциальными операторами
В этой книге почти вся математическая сторона дела
совершенно не зависит от того или иного частного пред-
представления, которое имеется в виду, и в равной мере
остается в силе и когда операторы представляют собой
матрицы, и когда они являются интегральными или же
дифференциальными операторами. Для студента, уже зна-
знакомого с волновой механикой, будет весьма поучительно
подставить вместо импульсов там, где они появляются,
дифференциальные операторы и сравнить наши выкладки
с выкладками, которые чаще всего используются в эле-
элементарной волновой механике.
Задачи
1. Пусть
! »
к qp — pq^ it, покажите, что А можно представить в виде
где
Выведите отсюда, что наименьшее собственное значение опера-
оператора А при *>0 равно — *2/('+l)s. н определите остальные
собственные значения. С помощью подстановки Й* = mZe3 по-
получите энергетические уровни атома водорода.
2. Частица массы т заключена внутри большой сферы
радиуса к с центром в начале координат. Представьте энергию
частицы в виде
где грТ — ргг = /й. Предположим, что tty есть общий собствен-
собственный вектор операторов Н и L2, принадлежащий собственному
значению / (/ -f-1) ft8 оператора LJ, так что если Х{ — собствен-
собственное значение оператора 2/пН, то

/34 ГЛАВА 6
Рассмотрите сначала случай / = 0. Воспользовавшись тем обстоя-
обстоятельством, что собственные значения г заключены между Он/?,
покажите, что 6; следует взять в виде
и что /-е собственное значение равно
3. Г]рн тех же условиях, что и в задаче 2, получите наи-
наименьшее собственное значение l\l> при произвольном значении 1>
поступив следующим образом. Положите
и покажите, что задача о собственных значениях сводится к ре-
решению уравнения
Докажите, что
Выведите отсюда, что собственный вектор, принадлежащий
наименьшему собственному значению Xf\ находится по формуле
при условии, что (ft удовлетворяет уравнению
[p, + /c,fictg(c,r)]<p, = O
и что cf 4- Лр. Докажите также, что
и вообще
где
Покажите, что ct следует выбрать так, чтобы

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 135
изменялось от —оо до -+- оо, когда 0 < b < R, и что поэтому cj/?
есть наименьший положительный корень трансцендентного урав-
уравнения gt (CjR) = 0.
4. Условия и обозначения те же, что и в задачах 2 и 3. До-
Докажите, что А,Р'=»с^, где С{—второй по величине положитель-
положительный корень уравнения ?,(с,Я)=»0- Обобщите этот результат,
с тем чтобы определить л}Л
5. Рассмотрите частицу массы /я, находящуюся в поле с по-
потенциалом V (г), когда задача о собственных значениях сводится
к решению уравнения
где %i — собственное значение оператора 2тН. Считая частицу
заключенной внутри сферы радиуса R, покажите, что при / = 0
0у следует выбрать в виде
где
2mV (г) - [/, (г)]2+»/[ (г) + 4"
н
6. С теми же обозначениями, что и в задаче 5, рассмотрите
.прямоугольную* потенциальную яму
Покажите, что при 6 < а
/,(*) — c,fictg(c,«)
Покажите, что при
где c[/?4-t)j = я, если а^^О, и, следовательно, связанные

136 ГЛАВА 6
состояния отсутствуют. Убедитесь, что сдвиг фазы ц, получается
методом исключения из системы уравнений
cji ctg (erf = c[h ctg (c[a + г\г),
где с[ Л2/Bт) — энергия частицы.
7. Покажите, что
когда Ь > а, и что С\ определяется уравнением
sin (с^) = —^—
Определите энергию связанного состояния. Обозначения те же,
что и в задаче 6.
8. Обобщите результаты задачи 6 на случай, когда связан-
связанные состояния отсутствуют, показав, что
/, F) =/cyfi ctg (с/6) при
при
Выведите отсюда, что постоянные Cj, c'j и i\j определяются из
системы уравнений
cj ctg (С)а)-с) ctg (e'j
2о V /2-9
.. к' _ s g' fj'
• п.
9. В рамках условий задачи 6 предположите существование
второго связанного состояния. Найдите минимальное значение V,
при котором оно появляется, н определите Х$К
10. Пересмотрите решение задач 5—9 в случае / =* 1.

Глава 7
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Механика Ньютона и обычная квантовая механика осно-
основываются на принципах, включающих в себя два кинема-
кинематических постулата.
1. Интервал времени между двумя событиями предста-
представляет собой такую физическую величину, которая при за-
заданных единицах измерений имеет определенное, не зави-
зависящее от наблюдателя значение.
2. Расстояние между двумя одновременно происходящими
событиями является физической величиной, имеющей при
заданных единицах измерений определенное значение, также
не зависящее от наблюдателя.
Понятие об абсолютной одновременности основано на
концепции абсолютного времени, и, следовательно, содер-
содержание первого постулата включается во второй постулат.
Эти постулаты устанавливают связь между описаниями со-
событий, которыми пользуются наблюдатели, находящиеся
в относительном движении. Если х есть разность радиус-
векторов двух событий Ех и Е2, t — интервал времени
между ними с точки зрения наблюдателя О, а х' и t'— соот-
соответствующие величины с точки зрения наблюдателя О', ко-
который движется со скоростью v относительно О, то на
основании постулатов 1 и 2 можно заключить, что
t' = t, х' = х —v/
(предполагается, что наблюдатели О и О' пользуются си-
системами координат, оси которых параллельны между собой).
Таким образом, если м = х/^есть измеренное наблюдате-
наблюдателем О среднее значение скорости какого-либо сигнала,
вышедшего из Ех и принятого в Е2, то среднее значение
скорости этого же сигнала, измеренное наблюдателем О',
будет равно

J38 ГЛАВА 7
Экспериментально было обнаружено, что скорость света
не зависит от состояния движения наблюдателя, поэтому
если | и |==с, то у нас должно было бы получиться | и—v \=c
вне зависимости от значения v. Поскольку именно это за-
заключение и неверно, в релятивистской теории следует от-
отказаться от постулатов 1 и 2. В ней они заменяются одним
и по своей внутренней сущности более простым постулатом.
3. Интервал между двумя событиями, который в уже
разъясненных обозначениях равен по определению
¦('-?•)*•
является физической величиной, имеющей при заданных
единицах, измерений одно и то же значение для всех на-
наблюдателей при условии, что последние свободны от воз-
воздействия внешних сил.
Из этого постулата непосредственно вытекает, что
если О и О' — свободные от воздействия сил наблюдатели,
а сигнал, связывающий два события Ех и Е2, распростра-
распространяется со скоростью с, так что для наблюдателя О\ х \)t = c,
то s' = s = 0 и | х' ]/t' = с также и для наблюдателя О'.
Таким образом, на основании эмпирических данных мы
можем отождествить с со скоростью света. Постулат 3
приводит к соотношениям (они известны под названием
преобразований Лоренца), которые связывают простран-
пространственный х и временной / интервалы, разделяющие два со-
события в системе отсчета наблюдателя О с соответствую-
соответствующими величинами х' и t1 в системе отсчета наблюдателя О':
(V • х') = У (V • X — V20. V X *' = V X Х-
В приведенных соотношениях предполагается, что- наблю-
наблюдатели О и О' пользуются системами координат, оси ко-
которых параллельны между собой.
Для нас особенно важно следующее следствие сфор-
сформулированных выше результатов. Пусть dq есть смещение
частицы за время dt, измеренное наблюдателем О; тогда
интервал
4

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 139
представляет собой инвариант, т. е., другими словами, имеет
то же самое значение (в одинаковых единицах) и для лю-
любого другого свободного от воздействия сил наблюдателя О',
причем
d<\ — v2 df), v X ^q'== v X ^q-
Дальнейшие отличия классической механики от механики
релятивистской касаются вида функции Лагранжа L. Эту
функцию следует выбирать весьма осторожно, с тем чтобы
уравнения движения имели один и тот же' вид для всех
свободных от воздействия сил наблюдателей. В частности,
для этого требуется, чтобы действие
t
А = [ Ldt
не зависело от состояния движения наблюдателя. Для отдель-
отдельной частицы в отсутствие внешних сил это требование,
очевидно, будет выполняться, если положить
где т — масса частицы. На первый взгляд это выражение
совершенно не похоже на нерелятивистский лагранжиан
LB'=il2m(i2 свободной частицы, однако легко усмотреть,
что в том случае, когда q2/c2 мало, разность La—Ь**втс2
оказывается постоянной и не будет сказываться на уравне-
уравнениях движения частицы.
Электромагнитные силы являются единственными силами,
которые нам надлежит учесть. Мы предположим, что
уравнения Максвелла и в частности, уравнения
где Е — напряженность электрического поля, В — магнит-
магнитная индукция, остаются неизменными. Следовательно, этим

140 ГЛАВА 7
уравнениям можно удовлетворить обычным образом, полагая
где ф и А — скалярный и векторный потенциалы поля.
До тех пор пока на потенциалы не наложены дополнитель-
дополнительные ограничения, они определены не полностью. В реля-
релятивистских расчетах удобнее всего пользоваться условием
Лоренца
V.A —±-
Релятивистскую функцию Лагранжа частицы с заря-
зарядом е, находящейся в электромагнитном поле, мы возьмем
в виде
где Ф(я) и A(q) — скалярный и векторный потенциалы
в точке нахождения частицы q. Это выражение отличается
от соответствующего нерелятивистского лагранжиана лишь
первым слагаемым: вместо */г mq2 здесь появилось выра-
выражение
¦тс2
2 1 _.
Импульс частицы получается, как обычно, путем диффе-
дифференцирования L по q:
"~%i-A(q),
а уравнения движения частицы принимают вид
dp dL д
Так как
-^-(q • A (q)] - q-^- A(q) = q X B(q)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 141
(здесь мы учли, что B = VX А), то эти уравнения можно
переписать в виде
Наконец, энергия частицы равна
Если q2/c2 мало, то справедливо приближение
Н «а тс2 +  «Я2 + «Ф (Q)-
Последнее выражение отличается от нерелятивистского га-
гамильтониана
лишь на постоянную тс2. Выразив q через импульс р, мы
можем придать энергии гамильтонову форму
В этом кратком очерке классической релятивистской
механики частицы величины q, q и р, разумеется, следует
рассматривать не как операторы, а как обычные перемен-
переменные, принимающие числовые значения. Оставшуюся часть
настоящей главы мы посвятим изучению квантовомехани-
ческих обобщений.
§ 1. Переход к квантовой механике
Формула для импульса
и выражение

142 ГЛАВА 7
заимствуются релятивистской квантовой механикой без изме-
изменений из классической теории, однако q, q и р считаются
теперь некоммутирующими операторами. Коммутационное
соотношение нерелятивистской теории
Ш — HL = ib-^-
остается неизменным; в частности, должно выполняться
равенство
Ему можно удовлетворить, положив
так как тогда
Mfр> - ас [Р -
a Mfр> - ас [Р
Если отсюда исключить р, то правая часть этого равен-
равенства перейдет в ihq. Кроме того, должно быть
это дает уравнение
dp _ дН(д,р)
dt ~ dq
представляющее собой просто классическое уравнение дви-
движения в операторной форме.
Будь задачей квантовой механики одно лишь отыскание
операторов q и р в момент времени t, когда заданы их
„значения" q0 и р0 в момент времени t0, ответ можно было
бы выписать немедленно
„ —в„ g
q — е цое
g-Ш «-
_ еШ (<-<о)/*р g
Однако действительные проблемы, подлежащие решению,
здесь не такие, как в классической механике. Фактически

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 143
нас в конечном счете всегда будет интересовать вопрос об
определении собственных значений и собственных векторов
оператора, энергии.
§ 2. Частицы и античастицы
Рассмотрим сначала нейтральную или заряженную частицу
в отсутствие электромагнитного поля. В этом случае
Квадратный корень, фигурирующий в релятивистском га-
гамильтониане, заключает в себе неопределенность: суще-
существует, конечно, не только один квадратный корень из
оператора и даже не два, как это было бы в случае чисел.
При выяснении вопроса о том, какой имение квадратный
корень имеется в виду, перед нами открываются новые воз-
возможности, ведущие к важным физическим следствиям.
Пусть i|> есть собственный вектор оператора Н, а
Е — соответствующее собственное значение, так что
Тогда
сЧт2с* -4- р2) ф =
т. е.
В гл. 6, § 3 было показано, что у частицы, заключен-
заключенной внутри прямоугольного параллелепипеда с длинами
ребер /j, l2 и /3, собственные значения операторов pv p2
и р3 соответственно равны
ь ь — J*nti ь — J*n
Ri ~ТГ"' 2~ h ' *3~-~~Ц~'
где jlt У2 и Уз — целые числа. Следовательно,

144 ГЛАВА 1
Пусть теперь i|>+ и гр_ — собственные векторы, при-
принадлежащие соответственно собственным значениям
4-c(m2c2+k2)v> и —
так что
Щ+ = с (гс2с24- k2I/laj)+.
_ = — с
Последнее уравнение можно было бы интерпретировать
в том смысле, что в состоянии, которое мы связываем
с собственным вектором •ф^., измеренное значение энергии
отрицательно. Однако за частицами с отрицательной энер-
энергией нельзя признать права на существование по целому
ряду весьма веских физических причин.
1. Существование таких частиц привело бы к наруше-
нарушению принципа причинности. Так, например, предположив,
что они испускаются Землей и поглощаются Солнцем, мы
обнаружили бы, что Земля стала теплее прежде, чем
Солнце рассталось с частью своей энергии!
2. Частица отрицательной энергии, сталкиваясь с ка-
какой-либо системой с положительной энергией, например
с атомом водорода, могла бы без нарушения законов сохра-
сохранения энергии и импульса приобретать некоторый импульс
и в то же самое время передавать энергию и импульс
атому. Это привело бы к реализации физически неприем-
неприемлемого процесса получения неограниченных количеств энер-
энергии из ничего.
3. На основании эмпирических соображений мы знаем
о существовании состояния с наименьшей энергией, так
называемого вакуума, которому общепринято приписывать
нулевую энергию. Если бы в природе были частицы с отри-
отрицательной энергией, то существование такого состояния
с наименьшей энергией было бы невозможно.
Таким образом, мы должны признать, что вектор i|>_
нельзя связать ни с каким физическим состоянием. Тем не
менее мы не можем просто отбросить это допускаемое
специальной теорией относительности дополнительное ре-
решение проблемы собственных значений.
Чтобы разрешить возникшую дилемму, мы поступим
следующим образом. Введем оператор С, антикоммутирую-

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 145
щий с A — q^c2)"'', но коммутирующий с q и q и рав-
равный квадратному, корню из единичного оператора:
qC — Cq = 0,
qC —Cq = O.
Будем предполагать, что эти соотношения справедливы
как для нейтральных, так и для заряженных частиц и что
они остаются в силе безотносительно к наличию электро-
электромагнитного поля. В том случае, однако, когда частица
нейтральна или когда электромагнитное поле отсутствует,
мы имеем
поэтому
= - CA/tJ) = с (т2с2 + к2)''1 (Сг|>_).
Таким образом, имеется два собственных вектора ф+
и Оф_ оператора Н, принадлежащих одному и тому же
положительному собственному значению с(т2с2~\- к2I'.
Обычно векторы ф+ и Cip_ различны, и их следует свя-
связывать с различными физическими объектами. Условившись
связывать -ф+ с некоторой частицей, мы будем также
говорить, что Сф_ относится к соответствующей амяш-
частице. Существование античастиц предсказывается ре-
релятивистской квантовой механикой. Впервые это предска-
предсказание было сделано Дираком. У всех частиц в природе
имеются античастицы. Так, например, позитрон является
античастицей по отношению к электрону, отрицательный
пион — по отношению к положительному пиону. Только
у фотона и нейтрального пиона античастицы неотличимы
от самих частиц (CiJ)_ = i|>+).
Предположим, что теперь мы имеем дело с заряженной
частицей, находящейся в электромагнитном.поле. В этом
случае по-прежнему имеются собственные векторы ij>+ и

146 ГЛАВА J
т|5_ оператора Н, принадлежащие собственным значениям
Е+ и Е_, которые приближаются соответственно к
и —
при стремлении поля к нулю
Собственный вектор ty в том виде, в котором он здесь
появился, с физической точки зрения неприемлем, однако
его можно сделать таковым, подействовав на него опера-
оператором С. Действительно, пусть
Тогда
и
Н' (Сф_) == — СЩ_ = — Е
Следовательно, если
г|>1==Сг|)_, Е' = — Е
то
где
Таким образом, ¦§'_ есть собственный вектор оператора Н',
который представляет собой гамильтониан частицы с мас-
массой т и зарядом —е. Эта частица по отношению к части-
частице, описываемой первоначальным гамильтонианом Н,
является античастицей. Оператор С, называемый операто-
оператором зарядового сопряжения, обладает теми же свойствами,
что и оператор, введенный нами ранее в гл. 1, § 4 и
обозначавшийся там также посредством С. Действительно,
из соотношений
qW— Wq = ffiq и qW — И'(\

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 147
следует, что
С (ttq) = С (qtf — Hq) =
— — /fiqC,
и поэтому
Этот результат показывает, что оператор i, появляющийся
как в нерелятивистской, так и релятивистской квантовой
механике, следует рассматривать не просто как мнимый
множитель при единичном операторе, а как полноправный
оператор, что и предполагалось в гл. 1, § 41).
Упражнение 23. Докажите, что перестановочное соот-
соотношение
есть следствие соотношения
§ 3. Дираковская теория электронного спина
В основе дираковской теории электрона лежит особая
интерпретация квадратного корня в релятивистском выра-
выражении для энергии. Предполагается, что в отсутствие
электромагнитного поля
(mV -+- р2)''2 — mcp -j- p • о.
где р" и а—операторы, не зависящие ни от т, ни от р
и коммутирующие с q и р. Чтобы убедиться в существо-
существовании таких операторов, возводим предыдущее равенство
в квадрат. Это дает
тУ + р2 = т\ V -f pWi + phi -f Phi -f-
-|-отс{р. р • a) -j- ptf2 [ax, ajj-r-
+ РъРг К a3) + РъРх {«3. «i).
О С Последними выводами автора нельзя согласиться. Мии-
маи единица, фигурирующая в приведенных выше соотношениях,
как, впрочем, и всюду в квантовой механике, есть не оператор,
а число. Дело заключается в том, что вопреки предположению
автора операторы С и q' следует считать иекоммутирующимн. —
Прим. ред.

148 ГЛАВА 7
где (Л, В), как обычно, означает АВ-\-ВА. Это равен-
равенство обращается в тождество в том и только том слу-
случае, когда {$ и а удовлетворяют соотношениям
{p, a} = {a,, a2} = (a2> a3) — {a3, a,}=0.
Пусть теперь
тогда.
O\ = — а2а3ага3 = a3a2a3 = a3 = 1.
Совершенно аналогично получаем о2 = о3 = 1 и
{О3 = a3ala2a3 = °2°1-
Напомним, что именно так выглядят основные соотноше-
соотношения, которым подчиняются матрицы Паули, использующие-
использующиеся, как мы видели в гл. 5, § 3, для описания спинового
момента S = V2Ao частиц со спином половина1).
Полагая далее
Р' = — /<Xia2a3,
будем иметь
a = р'о == о'р',
р" = 1. {р. р'}=0.
Таким образом, р\ р' и*р"= — /р"{$' образуют второй на-
набор матриц Паули, причем все они коммутируют се
спиновыми матрицами. Формула
(/я2с2 -f p2)'/j = mcp + Р • OP'
показывает, что оператор
о —?Л
" ~ .1 р I
(оператор | р | есть корень квадратный из р2 и по опре-
определению имеет лишь положительные собственные значения)
¦) Следует иметь в виду, что введенные здесь автором ма-
матрицы а представляют на самом деле прямое произведение
матриц Паули на двухрядную единичную матрицу и являются
в отличие от них четырехрядными матрицами- — Прим. ред.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА /49
коммутирует с (m2c2 -|- р2)'/з, а следовательно, и с гамиль-
гамильтонианом. Так как
то собственные значения оператора ар равны -f-1 и — 1.
Таким образом, всего существует четыре независимых
вектора, удовлетворяющих уравнениям
Эти векторы таковы:
и
нетрудно видеть, что они обладают следующими свой-
свойствами:
Два из них, т|з и ф относятся к частицам, спины
которых соответственно, параллельны и антипараллельны
импульсу р-, два других, тр^+ и т|I_, — к античастицам
со спинами, параллельными и антипараллельными их им-
импульсам.
Из соотношений [С, /)=0 и
{С, р} = {С, (яА1А}
которые справедливы в отсутствие электромагнитного поля,
нетрудно усмотреть, что оператор С коммутирует с а, но
антикоммутирует с р", в и {$' •). Теперь легко найти четы-
четырехрядные матрицы2), обладающие всеми нужными свой-
') По поводу соотношения {С /}=0 и следствий из него
ем. примечание на стр. 147. — Прим. ред.
2) Система четырехрядных матриц о, р определяется не одно-
однозначно, а лишь с точностью до унитарного преобразования.
В квантовой механике, следуя Дираку, общепринято использо-
использовать другое представление матриц а и {$
/О а'\ //' 0 \
На' о)' Но -/')'
где а'—двухрядные матрицы Паули, а/' —двухрядная единич-
единичная матрица. Заметим также, что требование коммутативности С
и а совершенно не обязательно. — Прим. ред.

150
ГЛАВА 7
а, =
ствами, например,
0 1 О
1 О О
0 0 О
0 0—1
0 0 10
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
Упражнение 24. Покажите, каким образом можно раз-
разложить произвольный вектор % удовлетворяющий уравнениям
0
0
1
0
• р==
0
0
/
0
1
0
0
0
0
0
0
/
0
-т-1
0
0
— /
0
0
0
0
0
1
0
0
—1
0
0
0
0
0
1
*
рф = И>,
по компонентам ф++( ф+_, у'_+ и ф' , если они определяются
формулами
1+
тф + к-а
тф — к • a
• a I
тф — к • a
rJLJLl,
Дайте интерпретацию полученного результата.
§ 4. Заряженная частица в электромагнитном поле
Нетрудно обобщить результаты предыдущего параграфа
на случай неисчезающего электромагнитного поля. Если
е — заряд частицы (у электрона заряд считается отрица-
отрицательным), то предполагается, что ее гамильтониан имеет
вид

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 151
где аир удовлетворяют тем же соотношениям антиком-
антикоммутации, что и раньше. Следует, однако, отметить, что
не является в точности квадратным корнем из выражения
поэтому в приведенной формуле уже содержится некото-
некоторое отклонение от классической теории. Действительно,
(И - еъ? = с» [mc|j + (р —L а)," а]2 =
— 7^2- Рг — 7
— jA3, />, — 7^1
Здесь В — магнитная индукция, и мы учли, что
и т. д. и что
[А2. />ij — [Аг, p2] = ihBa и т. д.
Таким образом,
mcfi 4- (р — f А)' a
является точным квадратным корнем из выражения
так что в нерелятивистском приближении мы будем иметь

JS2 ГЛАВА 1
Дополнительный член — eho • В/Bтс), появившийся в га-
гамильтониане, можно связать с внутренним магнитным мо-
моментом электрона, который следует считать равным
Ц — 2тс'
Таково предсказание теории Дирака, вполне надежно под-
подтвержденное экспериментальными данными. Заметим, что
для электрона — е положительно.
Вопрос, который нам следует обсудить далее, касается
движения заряженной частицы в сферически симметричном
электростатическом поле. Такое поле задается потенциалами
где К — константа, a r2 = q2, причем q есть смещение
частицы от некоторой фиксированной точки q0. Примени-
Применительно к атому водорода q0 представляет собой центр
инерции атома. Стоящая перед нами задача заключается
в отыскании собственных значений оператора И, когда
последний имеет вид
Н = с ( /яср -|- Р • а у у
Однако, как выяснится в дальнейшем, удобнее сначала рас-
рассмотреть вопрос о квантовании момента количества дви-
движения.
§ 5. Состояния с определенным моментом
Полный момент частицы со спином половина равен
где
Прежде всего мы хотим показать, что для частицы в цен-
центральном поле оператор J коммутирует с гамильтониа-
гамильтонианом Н. Так как L коммутирует с г, а0 — с р и р' (на-

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
помним, что а = р'о), то нам достаточно показать, что J
коммутирует с р • о. Действительно,
\L3, р • о] = ih (р2ог —
[S3, p • о] =
поэтому У3 коммутирует с р • о. Аналогично показывается
коммутативность р • о с операторами Jt и У2. Таким обра-
образом, все три оператора Н, У3 и J2 коммутируют друг с дру-
другом и обладают общими собственными векторами
где, согласно гл. 5, § 4, /3 и У принимают либо целые,
либо полуцелые значения и. кроме того, —У-^Уз^»У-
В нашем случае У3 = /3 -f- *3, где /3 и s3 — соответственно
собственные значения операторов ЩЬ и SJh, а так как /3
целое и «3= ± '/г- то Уз должно принимать только полу-
полуцелые значения. Следовательно, j тоже принимает только
полуцелые значения.
Упражнение 25. Покажите, что либо _/ = /-(- '/г, либо
] = I — l/s> ГДе *(' + !) —собственное значение оператора L*/fi2.
На основании результата, сформулированного в преды-
предыдущем упражнении, мы можем заключить, что собствен-
собственные значения оператора
L.S=-i(J2 —L2—S2)
должны равняться
т. е. либо Ч^иР, либо—1BA-\-1)Л2. Тот же результат
можно доказать, воспользовавшись формулой
которая по существу (если принять во внимание соотно-
соотношение L • S = ll<fiLl}) была установлена в гл. б, § 5. 'Дру-
'Другой существенный результат, который мы также позаим-
позаимствуем из гл. 5, § 5, гласит:
(L • S + I й») q • S4 q • S(L
l/J) = 0.

154 ГЛАВА Г
Если положить
Л = - IBL • S4-tf)+-~(q • S)P'.
то из приведенного соотношения сразу же следует, что
Л2 = -ij BL • S -f Л2J — K2h2.
В вышеприведенных выражениях К — числовая постоянная,
а р'2=1.
Таким образом, собственные значения Л2 равны
1J — /С2]й2 и (/2 — /С2) А2,
а так как при К =
то собственные значения %+ и А,_ оператора Л должны
равняться
§ 6. Тонкая структура энергетических уровней
атома водорода
Теперь мы уже в состоянии определить допустимые
собстзенные значения оператора энергии заряженной ча-
частицы со спином половина, находящейся в центральном
поле. Пусть Е — одно из таких собственных значений и
¦ф — принадлежащий ему собственный вектор, тогда
Положим теперь
Вектор х Должен удовлетворять уравнению

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 155
Учтем далее, что (это было показано в гл. 4, § 5)
и что
2L-SBL.S-f Й2)
поэтому
Кроме того,
следовательно,
где Л определено так же, как и в предыдущем пара-
параграфе. Последнее уравнение представляет собой релятивист-
релятивистский аналог нерелятивистского уравнения
где Ев есть нерелятивистское собственное значение энер-
энергии, равное приблизительно Е — тс2.
Таким образом, релятивистская задача сводится к оп-
определению собственных значений линейного оператора
-р2 2/СД ]
Собственные значения Л нам уже известны из предыду-
предыдущего параграфа, что же касается собственных значений
оператора
А—а>\ 2д'6' I M»i —Д)
то они были найдены в гл. 6, § 1 для произвольных зна-
значений ах и bv В нашем случае
п . КЕ
или ft,—

156 ГЛАВА 7
и собственные значения оператора А определяются форму,
лами
а^ = -а2п,
, . КЕ
flA = °i*i — —— •
bn — nh-\-bx — h, если ?>!>(),
bn — nh — bv если ftj<t),
где п — положительное целое число. Следовательно,
с'
причем
или
Таким образом, окончательно имеем
в—«-
Применительно к атому водорода
_
* 137,04 '
где е — заряд электрона (в единицах Хевисайда), поэтому
К2 мало по сравнению с единицей, а Ьп почти, хотя и не
в точности, кратно h. Когда п-\-\ фиксировано, а /при-
/принимает различные значения, для Ьп и, следовательно, для
Е также будут получаться слегка различные значения.
Такова дираковская теория экспериментально наблюдаемой
тонкой структуры энергетических уровней атома водорода.
Задачи
I. Рассмотрите квантовомеханическую задачу о движении
электрона в постоянном магнитном поле В, поступив следующим
образом. Сначала' покажите, что в этом случае вектор-потенциал
равен А = Х/2В X х, так что гамильтониан имеет вид
Затем предположите, что поле В направлено вдоль оси х3 и счи-

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1S7
тайте, что собственный вектор оператора Н, принадлежащий
собственному значению Е, имеет вид
получите отсюда уравнение
ihe _ е п . I
н покажите, что
22 /2 -('• ±
где /»д — собственное значение оператора р3, 1%Ь — собственное
значение оператора ?3 (поэтому 1% — целое число), а п —поло-
—положительное целое число. Докажите также, что л>|/8|-|-1.
2. Исследуйте аналогичным образом поведение Электрона
в постоянном электромагнитном поле, потенциалы которого имеют
вид
А = 7гв X х и ф = — Е • х.
3. Нейтрино представляет собой безмассовую нейтральную
частицу со спином половина, причем вектор состояния нейтрино ф
всегда обязан удовлетворять уравнению f5'tf = ij). Покажите, что
спин нейтрино всегда антипараллелен его импульсу, а спин анти-
антинейтрино всегда параллелей его импульсу.
4. Произведем поворот осей координат на угол 9 вокруг,
осн х%, так что новые координаты будут связаны со старыми
соотношениями
х[ = хх соз 9 — #2 sin 9,
х'2 = х2 соз 9 -4-*1 sin 9,
хг = х3.
Считая, что при повороте матрицы а и fS не меняются, покажи-
покажите, что вектор состояния частицы со спином половина должен
преобразовываться по закону
для того чтобы в новых координатах уравнение Дирака имело
бы прежний вид. г

J58 глава 1
5. Покажите, что преобразования Лоренца, связывающие
координаты и времена, используемые двумя наблюдателями О
и О', относительная скорость которых равна cthu и направлена
вдоль оси хх, можно записать в виде
х[ аз #,ch« — ct sh и,
дс2 = х3, х3 = ха.
Убедитесь, что векторы ф и ty', используемые наблюдателями О
и О' для описания частицы со спином половина, должны быть
связаны соотношением
у-(ch -|--ai8h
6. В специальной литературе вместо матриц {5 и а исполь-
используются матрицы Ya, (^"=, 1, 2, 3), определяемые соотношени-
соотношениями
Покажите, что если р0»///с, то уравнение Дирака можно за-
записать в виде
н что
(VoA> — Y-pJ

Приложение
ДИРАКОВСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Скобочные обозначения, изобретенные Дираком и ис-
используемые многими читателями его хорошо известного
курса [17], представляют собой простое видоизменение
тех обозначений, которыми мы пользовались, до сих пор.
Вместо rj> для обозначения произвольного нормированного
вектора используется символ кет |), а сопряженный вектор
г|Л компоненты которого комплексно сопряжены с компо-
компонентами if> обозначается посредством символа бра(|]).
Нормированный собственный вектор оператора А, при-
принадлежащий собственному значению а, обозначается с по-
помощью кет-вектора |а). Общий собственный вектор опе-
операторов А и В, принадлежащий соответственно собствен-
собственным значениям а и Ь, обозначается посредством \а, Ь).
Скалярное произведение векторов <р = |а) и ty = \b) в
этих обозначениях равно ф'ф => (а | Ь). Приведенные ниже
равенства в достаточной мере иллюстрируют применение
скобочных обозначений
А)а
а\ bik))^
(a\B[b)=*b(a\b),
Полезно иметь в виду еще и следующие эквивалентные
способы обозначений:

ЛИТЕРАТУРА
Planck M., Deutsch. Phys. Qesell. Verh., 2, 202, 237 A900)
Einstein A., Ann. der Phys., 20, 199 A906).
de Broglie L., Contes Rendus, 177, 507 A923); 179,39
A924).
Schrodinger E., Ann. der Phys., 79, 361, 489 A926).
Planck M., The Universe in the Light of Modern Physics,
London, 1931.
Albert Einstein: Philosopher Scientist, ed. P. A. S с h 1 i p p,
New York, 1951.
d e Broglie L., Journ, Phys. Rad,. 20, 963 A959).
Schrodinger E., Nuovo Cimento, X, 1, 5 A955).
Janossy L., Acta Phys. Hungar., 1, 423 A952).
В о h m D., V i g i e r J. P., Phys. Rev., 96, 208 A954)
Helsenberg W., Zs. Phys., 33, 879 A925).
Born M., Jordan PJt Zs. Phys., 34, 858 A925).
Heisenberg W., Born M., Jordan P., Zs. Phys.,
35, 557 A926).
Schr6dinger E., Ann. der Phys, 79, 734 A926).
Born M., Zs. Phys., 37, 863; 38, 803 A926).
Bohr N., Phys. Rev., 48, 696 A935).
D i г а с Р. А. М., Quantum Mechanics, Oxford, 1935. (Имеет-
(Имеется перевод: П. А. М. Дирак, Принципы квантовой меха-
механики, Физматгиз, i960.)
Heisenbe-rg W., Paul! W., Zs. Phys., 56 A929);
59, 169 A930).
Born M.. Jordan P., Eiementare Quantenmechanik, Berlin,
1930.
Schr6dinger E., Proc. Roy. Irish Acad., A46, 9, 183 A940);
47, 53 A941):
Infeld L., Hull Т. Е., Rev. Mod. Phys., 23, 21 A951).
[Имеется перевод в сб. .Математика*, 10, № 3, 39 A966).]
OreenH. S., Phys. Rev., 90, 270 A953).
Огеел Н. S., Nuovo Cimento, X, 9, 880 A958).
О г е е n H. S., Nucl. Phys., 54, 505 A964).
Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A114, 243, 710 A927).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 7
Предисловие 9
Историческое введение 11
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХА-
МЕХАНИКИ 19
§ 1. Векторы в гильбертовом пространстве 20
§ 2. Линейные операторы 25
§ 3. Представление линейных операторов матри-
матрицами . . . 26
§ 4. Приложение к комплексным числам .... 27
§ 5. Собственные векторы и собственные значения 28
§ 6. Специальные типы операторов ......... 31
а) Проекционные операторы 31
б) Эрмитовы операторы 32
в) Унитарные операторы 33
§ 7. Функции от операторов 33
§ 8. Канонические преобразования 34
§ 9. Краткий очерк классической механики .... 35
Задачи 38
ГЛАВА 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 41
§ 1. Квантовомехаиические парадоксы 45
а) Парадокс со щредиотеровской кошкой . . 45
б) Парадокс де Бройля 46
в) Парадокс Эйнштейна, Розеиа и Подоль-
Подольского 47
§ 2. Коммутационные соотношения, содержащие
энергию 52
§ 3. Интегралы движения > . • . 53
§ 4. Перестановочные соотношения между коор-
координатами и импульсами 53

162 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5, Другие перестановочные соотношения ... 55
§ 6. Уравнения движения 56
Задачи 57
ГЛАВА 3. ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 61
§ 1. Решение задачи 62
§ 2. Дедуктивный метод решения 65
§-3. Средние значения и флуктуации 68
§ 4. Приложения 70
а) Колебания атомов 71
б) Излучение 73
Задачи 74
ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 79
§ 1. Зависимость операторов от времени 79
§ 2. Определение собственных значений 80
§ 3. Вывод уравнения Шредингера ... v .... 83
§ 4. Принцип неопределенности Гейзенберга ... 85
§ 5. Внешние и внутренние степени свободы ... 86
§ 6. Собственные значения оператора момента ... 89
Задачи 90
ГЛАВА 5. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 95
§ 1. Коммутационные соотношения 96
§ 2. Момент количества движения системы частиц 100
§ 3. Спиновые матрицы 102
§ 4. Собственные значения оператора момента ... 106
§ 5. Собственные значения оператора орбиталь-
орбитального момента ПО
§ 6. Собственные векторы и матричные элементы 113
Задачи 117
ГЛАВА 6. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 122
§ 1. Энергетические уровни атома водорода .... 122
§ 2. Дейтрон 126
§ 3. Частица в потенциальном ящике 127
§ 4. Теория возмущений 130
§ 5. Непрерывные представления 132
Задачи 133
ГЛАВА 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 137
§ 1. Переход к квантовой механике 141
§ 2. Частицы и античастицы 143

ОГЛАВЛЕНИЕ 163
§ 3. Дираковская теория электронного спина ... 147
§ 4. Заряженная частица в электромагнитном поле 150
§ 5. Состояния с определенным моментом .... 152
§ 6. Тонкая структура энергетических уровней ато-
атома водорода 154
Задачи . 156
ПРИЛОЖЕНИЕ. ДИРАКОВСКИБ ОБОЗНАЧЕНИЯ 159
Литература 160