Л. М. БАТУНЕР, М. Е. ПОЗИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
В ХИМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
6-е издание, исправленное
под общей редакцией пр оф. М. Е. И03 ИН А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ХИМИЯ»
Ленинградское отделение
1971
(эnl
УДК 51166
Л. M. Батунер, М. Е. Позии, Математические
методы в химической технике, Изд-во «Химия»,
Л. 1971. 824 стр., 82 табл., 207 рис. -
В книге показаны способы решения раз-
личных задач в химии и химической технике
с помощью высшей математики. Приведенные
многочисленные примеры взяты из лаборатор-
ной и заводской практики и являются типич-
ными. Аналогично этим примерам решаются
задачи, с которыми постоянно встречаются
химики в своей практической деятельности.
Книга рассчитана на широкий круг хими-
ков и инженеров, занимающихся расчетами
химико-технологических процессов. Она может
служить пособием для студентов химико-тех-
нологических вузов и для аспирантов.
3-14-1
74-71
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Математика все шире внедряется в химическую практику —
математический анализ становится неотъемлемым средством хими-
ческой науки и техники. В соответствии с этим пятое издание книги
существенно дополнено. Большинство глав расширено, в них включены
новые задачи и примеры.
Добавлены новые главы: Математическое моделирование химиче-
ской кинетики, Определители и матрицы, Линейное программирова-
ние, Гиперболические функции, Эллиптические интегралы и функ-
ции. Эти главы также содержат типичные примеры из химии и
химической технологии.
В пятое издание книги внесены исправления и изменения в соот-
ветствии с замечаниями, полученными авторами как от советских
читателей, так и в связи с изданием переводов этой книги во многих
зарубежных странах. Авторы благодарят всех читателей, способ-
ствовавших улучшению книги. Все новые замечания и пожелания также
будут приняты с благодарностью.
Главы I-XX, XXI (§ 3—19), XXII, XXIII (§ 2-9) и XXIV
(§ 4—17) написаны кандидатом технических наук доцентом
Л. М. Батунером.
Глава XXI (§ 1 и 2), § 1 гл. XXIII, гл. XXIV (§ 1-3) и
гл. XXV написаны доктором технических наук проф. М. Е. Позиным.
Авторы приносят благодарность Б. В. Филиппову за ценные со-
веты при просмотре дополнений к этому изданию.
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Прошло уже более двухсот лет с тех пор, как химия перестала
быть наукой, только описывающей наблюдения над превращением
веществ. После того, как гениальный М. В. Ломоносов ввел в химиче-
скую практику весы, знание математики стало необходимым для
каждого химика. Роль математики, как сильнейшего орудия химии,
усилилась с развитием физической химии, химической термодинамики
и кинетики, теории расчетов химической аппаратуры ii пр. Еще
1*
3
в 1741 г. М. В . Ломоносов, в своем сочинении «Элементы математиче-
ской химии», писал: «. . .если математики из сопоставления не-
многих линий выводят очень многие истины, то и для химиков я не
вижу никакой иной причины, вследствие которой они не могли бы
вывести больше закономерностей из такого обилия имеющихся опытов,
кроме незнания математики».
Использование приемов высшей математики в решении химиче-
ских и химико-технологических вопросов позволяет получить наиболее
ценные результаты, достижение которых иными путями часто
оказывается невозможным.
Для химика важно умение пользоваться математическим ап-
паратом, он должен уметь выбрать из многочисленных методов и
приемов математики те, которые нужны для решения данной ин-
женерной задачи, и правильно воспользоваться ими. Но это требует,
прежде всего, знания таких методов и приемов.
Авторы книги «Математические методы в химической технике» —
не математики, а химики, и эта книга не является ни учебником,
ни монографией по математике. Она написана с целью показать
химикам эффективность использования методов высшей математики
в их практической деятельности и дать им возможность освоить эти
методы. Понятно, что эта цель может быть достигнута только
путем изложения примеров решения конкретных задач химической
техники. Настоящая книга содержит много таких примеров, часть
которых составлена авторами, а часть заимствована из разных
трудов по прикладной математике, химии и химической технологии.
В книге приводятся основные важнейшие элементы высшей матема-
тики в том объеме, который может быть освоен и использован хи-
миком. Авторы не стремились к строгости выводов рекомендуемых
в книге математических приемов, поскольку ими преследовались
лишь практические цели.
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
Методы дифференциального исчисления применяются, главным
образом, при рассмотрении таких явлений, при которых состояния
тел и их свойства непрерывно изменяются.
К какому бы роду явлений ни принадлежало рассматриваемое
нами явление, его исследование только тогда можно считать удовле-
творительным, когда достигаются два общих результата: 4) когда
становится известным закон, выражающий общий ход явления, и
2) когда установлено, как протекает явление в каждый произвольно
взятый момент и чем оно определяется. Очевидно, что общий ход
явления и отдельные моменты его должны находиться в причинной
связи.
Достаточно знать общий закон, управляющий явлением, чтобы
путем вычисления определить отдельные его моменты и свойства;
точно так же с помощью вычисления можно вывести общий закон
явления, если известна закономерность для отдельных его фаз. До-
стигается это с помощью методов высшей математики.
Так, например, исходя из общего закона действующих масс,
можно установить те формулы, которые показывают ход химического
процесса и определяют его конечное состояние. Точно так яте, сделав
допущение, что тепловой поток прямо пропорционален разности
температур, можно дать способы вычисления распределения тепла
в любом проводнике тепла.
Каковы же те представления, которые дают возможность прила-
гать математические методы к рассмотрению различных процессов?
Каковы те вспомогательные средства, с помощью которых можно
безошибочно переходить от общего закона к частному случаю, и
наоборот?
Когда воздух, передающий звук своими колебаниями, претерпе-
вает ряд попеременных разрежений и сгущений, когда при взрыве
газа температура быстро возрастает до определенного максимума,
а затем снова быстро падает, — всякий раз мы имеем дело с явле-
ниями, картина которых в любой момент отличается от существо-
вавшей в предыдущей. Чтобы уяснить себе эти явления, мы
5
обыкновенно разлагаем их на «элементарные составные части», на
целый ряд одиночных явлений, длящихся минимальное время, и до-
пускаем, что в течение означенного промежутка времени явления
протекают равномерно. Такой прием имеет весьма важное значение.
Приведем пример.
Скоростью тела, движущегося прямолинейно и равномерно,
называется путь, пройденный им в секунду. Но если тедо движется
неравномерно, то, чтобы получить представление о его скорости,
приходится прибегнуть к вспомогательному способу, состоящему
в том, что мы расчленяем процесс движения на ряд малых промежут-
ков и предполагаем, что в течение каждого из них явление идет
равномерно, т. е. с постоянной скоростью, причем от одного интер-
вала к другому скорость изменяется скачками.
Совершенно аналогично поступаем и в других случаях. Если же-
лательно получить представление о действии силы тяжести, необ-
ходимо прибегнуть к допущению, что через одинаковые малые про-
межутки времени эта сила сообщает падающему телу импульсы,
каждый раз сразу изменяющие скорость движения и притом таким
образом, что в течение всего промежутка времени скорость эта
остается постоянной.
Рассматривая расширение жидкости при нагревании, или сжатие
газа при изменении давления, или ход химической реакции, или лю-
бые другие процессы, мы обычно расчленяем их на отдельные эле-
менты, что облегчает нахождение искомых закономерностей.
Описанный прием исследования явлений имеет поэтому характер
приближенного метода. Чем меньше взятые интервалы, тем больше
степень приближения.
Значительное число встречающихся на практике задач связано со
скоростью превращений или изменений с течением времени, как это
имеет место в периодических процессах, но часто переменной явля-
ется скорость изменения какой-либо величины не относительно
времени, а относительно положения массы в пространстве, концентра-
ции и т. п. Так, например, для теплообменника непрерывного дей-
ствия может быть установлен закон изменения скорости, с которой
передается тепло в каждой точке аппарата; закон трения определяет
переменные, влияющие на величину потери напора при движении
жидкости в трубопроводе.
При изучении зависимостей, описывающих различные процессы,
в первую очередь встает вопрос о нахождении скорости этих про-
цессов. Задача об определении скорости, с которой изменяется пере-
менная величина, приводит к одному из важнейших понятий на-
уки — к понятию производной.
Представим себе, что по прямой линии движется точка М. Обо-
значим через х — время, а через у — путь, пройденный точкой за
время х. Так как точка движется, то у будет изменяться с измене-
нием ж; у будет функцией от х, т. е. у = /(ж). Если придать перемен-
ной х приращение Дж, то у получит некоторое приращение Ду =
= /(ж-]-Дж)—/(ж). Рассмотрим промежуток времени от х рр
6
л 4- Дж и вычислим среднюю скорость движения на этом промежутке.
Для этого путь, пройденный точкой, нужно разделить на величину
самого промежутка времени, т. е. Ду разделить на Дж:
Ду
Средняя скорость движения =-д^-
Если теперь предположить, что Дж уменьшается, приближаясь
при этом к нулю, то выражение будет давать средние скорости
движения для уменьшающихся промежутков времени от ж до
ж-|-Дж, Предел, н которому стремится , если Дж стремится к О
(если он существует), выражает истинную скорость v, с которой
движется точка в момент времени ж:
г д?у
p = lim "л?
Дх^-0 ах
Отметим, что необходимым условием существования этого пре-
дела является: Ду -> О при Дж -> 0; иначе -> оо при Дж -> 0.
К нахождению подобного предела приводят многочисленные за-
дачи. Поэтому возникает необходимость изучить самостоятельно
процесс вычисления подобного предела и выявить его свойства.
Предел, рассмотренный нами, представляет собою некоторую но-
вую функцию от ж, которая называется производной от исходной
функции и обозначается
у' ИЛИ / (ж) = 11Ш -Г-	(1)
Дх->0 &х
Итак: производной функции у по независимому переменному х
называется предел отношения приращения функции \у к соот-
ветствующему приращению независимого переменного \х, при \х ->0.
Какой бы процесс ни описывался изучаемой нами функцией
у = / (ж), производную у' с физической точки зрения можно пред-
ставить себе как скорость, с которой протекает этот процесс.
Еслит — время, a Q — количество вещества, полученного в ре-
зультате некоторой реакции к моменту т, то Q есть функция от т;
производная Q есть функция, выражающая скорость, с которой
протекает реакция.
Если т — время, a Q — количество электричества, протекающего
через сечение проводника в единицу времени, то Q' есть изменение
силы тока.
Наконец, если Q выражает собой переменную температуру на-
гревающегося тела, то производная Q' есть скорость нагревания.
Если отвлечься от физического смысла переменных ж и у, то
производная от у по ж выражает скорость изменения у в зависимости
от изменения ж.
7
Производная имеет важный геометрический смысл.
Пусть кривая (рис. 1-1) представляет график функции у — / (ж).
Найдем угловой коэффициент* касательной к этой кривой в неко-
торой точке Р (х, у), лежащей на этой кривой.
Возьмем на кривой точку Р1(х-[-Дх, у-[-Ду), близкую к точке Р.
Угловой коэффициент хорды РРг будет, очевидно, = Если
теперь Дх (и Ду) начать приближать к нулю, то направление хорды
РРГ будет приближаться к направлению касательной в точке Р.
Следовательно
На основании определения производной, данного выше, мы видим,
что с геометрической точки зрения производная функции у = f(x)
в точке х = а есть тангенс того угла, который касательная к кривой
у = f(x) в точке х — а образует с положительным направлением
оси ОХ.
Из геометрического смысла производной следует, что если в ка-
кой-либо точке производная положительна, то сама функция возра-
стает в этой точке; если же производная отрицательна, то функция
убывает.
Отметим, что не всякая функция имеет производную. Для суще-
ствования производной необходимо, чтобы отношение стремилось
к определенному пределу при Дх -> 0. Для этого обязательно, чтобы
к кривой, изображающей функцию у — f(x), можно было провести
определенную касательную (и притом непараллельную OY). На
рис. 1-2 изображен график функции, не имеющей производной
в точках А и В.
Операция отыскания производной некоторой функции назы-
вается дифференцированием этой функции.
* Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, который эта
прямая образует с Положительным направлением оси ОХ.
8
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В настоящем параграфе мы установим правила дифференцирова-
ния и выведем основные формулы для производных от элементарных
функций.
1. Производная постоянной величины равна нулю. Это следует
из физического смысла производной: постоянная величина не меня-
ется, скорость ее изменения равна нулю.
2. Производная степенной функции у = хп. Если х получает
приращение Дж, то у получит приращение
Ду = (а: + Да:)п —а:п
Предполагая п целым и положительным, преобразуем (ж + Дж)"
по формуле бинома Ньютона. Найдем
Ду = па/1-1 • Да: + . . .
причем точками обозначены слагаемые, содержащие Дж в степени
выше первой:
Ду
— = иа:п-14-Да: (. . .)
Переходя к пределу при Дж -> 0, найдем:
y' = lim -T^- = lim [na:n-1 +Да: (. . .)] = na/1-1
Дх->0 && Дх->0
Отметим, что выведенная нами формула
(аУ1)' = пхп~1
справедлива также и для дробных и отрицательных п. Например
(а:3)'=За:2;	(1) = (аГ1)' = — 1 • а:"2 = —
(/ж)' = (а:2) =|а: 2
Если объем газа V находится под давлением Р, то Р и V, как
известно, связаны зависимостью:
VP = V0P0
где Vo и Ро—первоначальные объем и давление.
Если эту зависимость решить относительно V
и- р
то, взяв производную, получим скорость изменения объема в зави-
симости от изменения давления:
r__
г — р2
9
Ду = sin (х + Дж) — sin х = 2 cos
Дж
sin —
---;---- = COS
Дж
Ay
Дж
Производная оказалась отрицательной. Это означает, что при
увеличении давления объем уменьшается.
8. Производная синуса н косинуса. Пусть у = sin х\ если ®
получает приращение А®, то у получит приращение
Дж
sm —
. Дж
гЧ Sin~
) кх
Если А® —> 0, то первый множитель правой части стремится
к cos х, а второй множитель приобретает неопределенный вид .Для
нахождения предела, к которому стремится второй множитель, вос-
пользуемся следующей важной теоремой, доказываемой в теории
пределов.
Если угол х измерен в радианах и если ®->0, то
sin ж
. Дж
sm —
Отсюда заключаем, что —-------> 1, когда А®->0.
Дх	1
Следовательно
Ду
lim -г—= совж; (sin ж)'= cos ж
л^п а*
Аналогично можно показать, что
(cos ж)'= —sin ж
4.	Производная алгебраической суммы нескольких функций равна
такой же сумме производных отдельных слагаемых. Если у = и(х);
z = v (х); t = w(x), то
(у-|-Z t} ~у -]-Z —t
Например, если р = ж4 + cos ж, то у'=4ж3 — sin®.
5.	Постоянный множитель выносится за знак производной.
Если у = аи(я:), где а — постоянное, то
у’ = аи (ж)
Например, если у = 4ж®, то у' — 20г4.
6.	Производная произведения. Пусть у ~-uv, где и и v —
функции от х. Тогда
Ду = (и+ Ди) (и + Ди)	— иу = уДи-(-и Ду + ДиДу
Ду	Ди	,	Ду Л Ду
"Т	д	"4“	~ Л “I” А и -т
Дж	Дж	Дж Дж
10
Если \х -> 0, то -тг~,	, -у-^стремятся, соответственно, к у', и',
’ Дж Дж Дж г
v', а Ди-> 0. Тогда имеем:'
у' = (uv)' = uv'
Примеры. 1) ?=ж8тж; у' = (ж)' sin х-\-х (sinх)' = в!пж-(-ж cos х;
2)	jy = sin ж cos ж; у' = (sin х)' cos ж-f-sin х (cos ж)' = соз2 х—sin 2 х.
7.	Производная частного. Пусть г/ = -^,где и и v — функции
от х. Перепишем это соотношение в виде u = yv н продифферен-
цируем, применяя формулу для производной произведения. Найдем
,	,	,	, и v'
u=yv-\-yv, откуда у— —-------У~
Заменяя здесь у на у, приходим к формуле
, u'v— v'u
у =——
ТГ—	.	0111
Пример. y = tg^ = -^-;
(sin ж)'cos ж—(cos ж)'sin ж ___	1
cos2 ж	cos2 ж
Аналогично можно убедиться, что производная от ctg ж равна
8.	Производная логарифма. Пусть y—\gax. Тогда
Ap = lga(* + A*) — ках=1ёа
to_i 1 Л , Дг>_1 Л,
Дж Дж + ж J \ + ж J
Для исследования предела, к которому стремится это выражение,
когда Дж —> 0, примем
Ду__i_
х t
Тогда
£-4i+if
Если Дя->0, то t неограниченно возрастает, и мы имеем:
1
= '57=18аГИт (1+т) ]
Дх->0	Lf->co \	* / J
Предел, стоящий в квадратных скобках, имеет важное значение
в науке и технике.
И
В теории пределов доказывается, что если t неограниченно воз-
растает, то	стремится к конечному пределу; этот предел
обозначают символом е:
Приближенное численное значение е равно:
е = 2,71828 ...	(4)
Таким образом, возвращаясь к отысканию производной лога-
рифма, мы видим, что
1
У' = (Igo *)' = tea е * = 4" tea е
Эта формула упрощается в том случае, когда за основание а
системы логарифмов принято само число е, т. е. если а = е. В этом
случае lgae — l, и мы имеем:
(tee®)' = 4
Система логарифмов, за основание которой взято число е, имеет
важные теоретические преимущества и называется натуральной
системой логарифмов. Натуральный логарифм числа х будем в даль-
нейшем обозначать In х.
Для натуральных логарифмов составлены таблицы, которые по-
мещены во всех полных математических справочниках. Укажем.фор-
мулу, связывающую десятичный и натуральный логарифмы одного
и того же числа:
In а = 2,303 lg a; 1g a = 0,434 In a
Приведем еще следующие формулы, связанные с числом е:
1 1
lim (1 + ж) х =е; lim (1 х =
х->о	х-»-о
9. Производная обратной функции. Пусть мы имеем такую
функцию у ~f (ж), что, решая уравнение у — /(аг)=О относительно ж,
приходим к однозначной функции ж = <р(у). В таком случае функ-
ции / и <р называются обратными. Найдем соотношение между про-
изводными у' (х) и х' (у). По определению имеем:
, Ду ,.	1	1	1
у — lim -г2- = lim ——  -------г— = —г
д*->о Дг д</->о Д^	]•_ &х	х
Ду	д“+о Ду
Следовательно
12
10. Производная показательной функции. Пусть у — ах. Тогда
1	1
a:=lga(/ и ж'(у)=—lgae = —lgae
у	и
Пользуясь формулой производной обратной функции, находим:
у' (х) =	= ах -Д— = ах In а
х (У} lga*
В частности, если а = е, то (е*)' = 6х.
И. Производные обратных круговых функций. Пусть у =
= arcsin х, причем мы рассматриваем главное значение аге, т. е.
зт	зт
- у У у •
Тогда
х = sin у; ж'== cos у = 1^1— sin2 у—V1 — х2
Перед корнем здесь следует брать знак + , так как ПРИ
—	=5 у косинус положителен. Отсюда заключаем:
*-4-=; (arcsin хУ
Аналогично можно доказать, что
1 1,1
(arccosz)	(arctg ж)' = £—; (arcctgz)	5
12. Производная сложной функции (функции от функции). Вы-
веденные формулы не дают возможности находить производные от
таких функций, как
у —У а2 — ж2 ; у = In sinх; у = arcsine*
и др. Подобного рода функции называются функциями от функ-
ции или сложными функциями. Действительно, первая из них есть
функция (корень квадратный) от подкоренного выражения, которое
само есть функция от х.
В общем случае пусть
у —у (и), a и=и(ж)
причем и (ж) и у (и) предполагаются дифференцируемыми функциями.
Тогда у является сложной функцией от х. Мы найдем:
Ду Ду Ди
Дж	Ди Дж ’
,. Ду .. Ду >. Ди
lim —— = lim —— lim -г—
Дх->0 Д* Да->о Д“ Дх-»0
Переходя к пределу, найдем следующую формулу для производ-
ной сложной функции:
у' (ж) = у' (и) - и' (ж)
13
т, е. производная сложной функции равна производной этой функ-
ции по промежуточному аргументу, умноженной на производную
этого промежуточного аргумента по основному.
Примеры.
1)	У = Уа2 — z2 ; у'
(а2 —а:2)'
2 Уа2~х2
—X
У а2 —х2
2) у = In sin х;
(sin г)'
sin г
cos х
sin х
— ctg X
1	ex
3) у = arcsin ex\ y' =	- (e*)' = — 
У1— e2X	yf — e2X
В заключение приводим сводку основных формул дифференци-
рования:
1- р=С; у'=0
2.	у = г'1; у' = пхп~1	
3.	y = sinx;	у* = COS X
4.	у = cos х;	у' ~~ sin#
5.	y = tg г;	'=—1— У	COS2 X
6.	У = dg х<	, =	1_ V	sin2
7.	у = аи(ху,	у' = аи' (х)
8.	у =• и (г) 4-v (а) — w (г);	
(аг) 4-1'' (») — w' (г)
9» y = uv‘, у' — u'vy-uv'
Ю. у=^- у'
11.	^ = 1пг; у'
12.	у = ах; у' =
13.	у = ех-, у1—
14.	у= arcsin х;
15.	у = агссозг;
16.	i/ = arctg«;
17.	у = arcctg г;
и v — v и
V2
= £
х
 ах In а
ех
1
у ух^УУ
1
У ~ УУ^2
, 1
У 14-г2
14-г2
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
К понятию дифференциала приводит нас задача о вычислении
приращения функции. Пусть кривая (рис. 1-3) есть график функ-
ции у — f(x).
Рассмотрим на этой кривой две точки Р и с абсциссами х
и х Аж. Приращение функции между этими точками равно Аг/
и геометрически представляется отрезком LPх.
Заменим теперь дугу кривой РРГ касательной РТ к этой кривой
в Точке Р и рассмотрим то приращение, которое получила бы функ-
ция, если бы точка описывала не дугу РРХ, а отрезок касательной
РТ. Это приращение обозначают dy и называют дифференциалом
функции:
dy^LT
44
Условимся в дальнейшем приращение независимого перемен-
ного Аж обозначать dx-.
Ax — dx	(5)
Тогда из треугольника PLT имеем tg т = у'
dy = LT — PLtgx — у' dx	(6)
Т. е, дифференциал функции равен производной вшой функции,
умноженной на приращение независимого переменного.
Приведем выражения для дифференциалов некоторых рассмотрен-
ных нами функций:
d sin х = cos х dx* d cos x = — sin x dx
dx	dx
digx =-------— <	d ctg x =----—x—
cos2 x *	& sin2 x
else
d (xn) = пхп-1 dx* d In x = — и т. д.
Присоединим сюда также формулы для
суммы, разности, произведения и частного:
d(u-}-v — iv')=du-\-dv — dw 
d (uy) “ у du —и dv	(7)
(u\ v du — и dv
-------------------
d[cf (x)]=c df (x), dc = O и т. д.
Примеры.
1) d (гIn г) =ln xdx-^-x-^ =м (1 +ln x) dx
ox л ( a - x \ _ (a + *)~ ~	(g __ ~2<jdx
2)	(a-H)2	(а+г)2
3>
/ 1+ж\
\ 1—ж /  (1—a) d (1 ?л)-(1
(1 — ж) &4~ (1+ ж) _____dx______
2 (1 — x) /1 — жа (1 — x) Kl — z2
4) y = ln (ж+ 1 +ж2 )
, d (х-]-У1-1~х2 ) dx-]-d yi-4-х^
ay -------- - .iw----	-----ff — =
^+rl+^2	x + r 1 + x2
x dx
X-\-,	______
V 1 + ^2	dx-$-xdg_____ dx
х-\-УТ+^ Vl  x'i	/1-1-г2
15
5) у = sin2 (тх —а)
dy = 2 sin (тх—а) d [sin (тх— а)] = 2 sin (тх—а) cos (тх—a) d (тх—а) =
= 2 sin (гаг—а) cos (тх—a)mdx
Приведем еще одну часто употребляемую формулу, получаемую
при делении формулы (7) на uv, а именно:
d (uv)_ du , dv
uv u'v
Если рассмотреть вопрос с физической точки зрения, то диффе-
ренциал функции равен тому приращению, которое получила бы эта
функция, если бы на участке от х до х dx она изменялась с по-
стоянной скоростью, а именно с той скоростью, с которой функция
изменяется в точке х.
В технических приложениях обычно вместо приращения функции
рассматривают ее дифференциал. Это приводит к сильным упроще-
ниям в вычислениях. Однако следует помнить, что при этом совер-
шается ошибка, которая будет тем меньше, чем меньше dx. Можно
показать, что эта ошибка приблизительно равна A (dx)2, где А — не-
которая постоянная. С уменьшением dx эта ошибка быстро стремится
к нулю.
Из формулы (6), определяющей дифференциал, следует;
, dy
Производную функции можно, таким образом, рассматривать как
отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого
переменного. Наряду со штриховым обозначением производной,
весьма употребительно также обозначение ее в виде отношения
дифференциалов (8)..
Метод применения дифференциального исчисления к изучению
различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разби-
ваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем
протекающим равномерно. При этом приращение функции, опреде-
ляющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом.
Так, например, тело при нагревании в течение промежутка вре-
мени dx получает приращение тепла, выражаемое дифференциалом
dQ( при сжимании газа dV является тем изменением объема, которое
вызывается приращением давления dP', в химическом процессе в те-
чение времени dx количество превращенного вещества выразится
дифференциалом dx от запаса вещества, способного подвергаться
превращению, и т. д.
16
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Если от производной у’ = f\x), которая является функцией
от х, взять еще раз производную, то получим новую функцию, ко-
торая называется второй производной данной функции f(x). Вторая
производная обозначается следующим образом:
у" или /" (х) или
Так как первая производная с физической точки зрения пред- .
ставляет собою скорость изменения данной функции, то вторая про-
изводная, очевидно, выражает собою ускорение, с которым изменя-
ется данная функция.
Если от второй производной взять снова производную, то по-
лучим третью производную, которую обозначают так:
ш ,,,,	d3y
у или /	(х) или
ах3
Аналогично определяются производные любого порядка. Для
производной порядка п применяют следующие обозначения:
у<п> или Д'” или
dxn
Производные высших порядков обычно находятся путем последо-
вательного дифференцирования.
Пример.
y = 1пг; / = 2х In х-|-х
2
у" = 21пг+3; У'" = ~ и т- Д-
§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Зная геометрический смысл производной, мы можем, имея график
некоторой функции, построить график ее производной.
Пусть верхняя кривая, изображенная на рис. 1-4, есть график
функции у = Проведем в точках с абсциссами х = 1, 2, 3 . . .
касательные к этой кривой и рассмотрим треугольники оа'а, о^'Ъ,
о^с'с и т. д.
2 Заказ 1706
17
Производные в точках о, olt о2 и т. д. будут равны величинам от-
резкова'а, Ь'Ь, с'с и т. д., так как стороны оа', огЬ', о2с', . .  равны
единице.
Если на нижнем графике построить точки с координатами (0, а'а),
(1, Ь'Ь), (2, с'с) и т. д. и соединить эти точки плавной кривой, то эта
кривая и будет графически представлять собою производную данной
функции. При этом следует обратить внимание на то, что ординаты
второй кривой могут оказаться отрицательными.
§ 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Во многих случаях переменная величина и зависит от двух и боль-
шего числа независимых переменных; функция имеет вид:
и = / {х, у, z, ...)	(9)
При наличии только двух независимых переменных функциональ-
ную зависимость и ~ f(x, у) можно представить геометрически по-
верхностью в пространстве.
Если мы примем у за постоянное, то и станет функцией от одного
только х. Производная функции и, вычисленная при этом предпо-
ложении, называется частной производной от и по ж и обозначается .
Аналогично производная от и, вычисленная в предположении, что
меняется только у, а х сохраняет постоянное значение, обознача-
ется и называется частной производной от и по у.
_	ди	„	-
Геометрически есть тангенс того угла, который образует с по-
ложительным направлением оси ОХ касательная к кривой, получа-
емой сечением поверхности и = f(x, у) плоскостью, перпендикуляр-
ной оси OY и проходящей через точку, в которой вычисляется про-
/ .	ди \
изводная. ^Аналогично . )
Частная производная выражает собою скорость изменения функ-
ции в предположении, что меняется только одно независимое пере-
менное, а другие сохраняют постоянные значения.
Выражения dx и ^dy называются частными дифференциа-
лами функции и (по г и по у); они с точностью до малых величин
высшего порядка относительно dx и dy равны тем приращениям, ко-
торые получает функция и, когда изменяется только одно из неза-
висимых переменных.
Если изменяются оба независимых переменных, то полное при-
ращение, которое получает при этом функция, с точностью до малых
величин высшего порядка относительно dx и dy определяется полным
дифференциалом функции, который обозначается du и который равен
сумме ее частных дифференциалов:
, ди ди ,
du = — dx-]- — dy
дх ду
(Ю)
18
Первая частная производная функции и по х есть функция от х
ну, и ее можно продифференцировать по х, оставляя у постоянным.
В результате получим вторую частную производную и по х, обо-
д2и
значаемую .
Если продифференцировать по у, считая х постоянным, то
д2и
изводные второго порядка
полученная при этом производная обозначается Д .
Таким же образом дифференцирование дает две частные про-
. Можно доказать, что при
д%и
и -Т—т-
ду дх
некоторых условиях
д2и   д2и
дх ду	ду дх
Применим понятие полного диф-
ференциала к уравнению газового
закона:
Построив прямоугольник (рис.	Рис- 1-5.
1-5) с высотой Р и шириной V,
получим, что площадь его А, разделенная на Н, должна равняться Т.
Если Р и V получают бесконечно малые приращения dP и dV, то
полный дифференциал Т на основании (10) будет равен:
дТ дТ V Р
Приращение Т, вызываемое приращениями dP и dV, пропор-
ционально общему приращению площади прямоугольника, т. е.
сумме зачерненных прямоугольников и небольшого углового ква-
драта.
Между тем дифференциал dT, как видно из уравнения, пропор-
ционален сумме зачерненных площадей
VdP + PdV
и отличается от истинного приращения на небольшую площадь, про-
порциональную произведению дифференциалов dP dV. Эта площадь
является бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению
с dP и dV. Она пропорциональна той погрешности, которую мы
допускаем, когда приращение функции заменяем ее полным диффе-
ренциалом.
§ 7. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЛОСКОСТНОГО И ОБЪЕМНОГО
РАСШИРЕНИЙ
Пусть мы имеем прямоугольную плоскую пластинку незначитель-
ной толщины, обладающую, благодаря своему строению, различ-
ными по разным направлениям коэффициентами расширения, —
2*
19
например, пластинку кристалла ромбической системы, вырезанную
перпендикулярно к одной из главных осей, между тем как стороны ее
совпадают с двумя другими осями. Если ее нагревать, то она будет
расширяться неодинаково по двум главным направлениям, сохра-
няя, однако, свою прямоугольную форму. Требуется определить
ее термический коэффициент расширения е.
Этот коэффициент равен производной от площади F по темпера-
туре, отнесенной к единице площади. Таким образом
dF 1
dt ' F
прямоугольника F со сторонами х и у равна:
F = xy
Площадь
Тогда:
Деля обе
получаем:
dF .OF
dF — —— dx -4- —— dy
Ox 1 dy
части равенства на dt и замечая, что
dF	dF
У, а —— = ж
ду
dx
AF
~dT=y
dx . dy
dt X dt
x = y = l; в таком случае последняя формула даст
Положим
нам искомый коэффициент расширения площади F:
dF	dx	. dy
dt	dt dt
Так как и —не	что	иное,	как коэффициенты	линейного
расширения по двум главным направлениям, то, следовательно,
коэффициент плоскостного расширения равен сумме коэффициентов
линейных расширений по главным направлениям.
Производные от х и у по t найдутся из выражения тех зависимо-
стей, которые определяют расширение по обоим направлениям,
например, в первом приближении:
y=l+₽f
Следовательно
dx	dy о
dt	dt р
и для коэффициента плоскостного расширения получим:
dF
е= —= а+₽
Аналогично этому можно вывести коэффициент объемного расши-
рения прямоугольного параллелепипеда, неодинаково расширя-
ющегося по трем осям, как это имеет место, например, в кристалле
ромбической системы, ребра которого направлены по трем главным
кристаллографическим осям. Если ребра соответственно равны х, у
и г, то объем
V = х  у  z
20
и для коэффициента объемного расширения в случае х = у = z = 1
мы, как и выше, получим
__ dx t dy f dz
6 dt ' dt ' dt
т. e. коэффициент объемного расширения для куба равен сумме-
коэффициентов линейных расширений.
Последняя формула остается в силе при всякого рода зависимо-
стях х, у и z от t. В наиболее простом случае, когда
ж = 1+а<, у=1 + ₽<, z = l-j-yt
мы найдем:
e=a+P+Y
Для изотропного тела а = р=у, и мы получаем известную фор-
мулу
т. е. коэффициент объемного расширения равен утроенному коэф-
фициенту линейного расширения.
§ 8. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ
Говорят, что функция у = f (х) достигает максимума в точке
х — х0, если ее значение f(x0) в этой точке больше всех ее значений.
в ближайших точках, т. е.
если Дг/ О для всяких Дж,
положительных и отрицатель-
ных, достаточно малых по
абсолютной величине.
Аналогично говорят, что
/ (ж) достигает минимума
в точке ж = ж0, если /(ж0) <С
< / (ж) для всех ж, доста-
точно близких к ж0.
Кривая ABCDE (рис. 1-6)
представляет функцию у —
= / (ж). Значения у вблизи
точек А а С меньше значений у в точках А и С, и функция в этих;
точках имеет максимум.
Точно так же, вследствие того, что значения у вблизи точек В
и D больше значений у в этих точках, функция в этой точке имеет
минимум. Обращаем внимание на то, что термины «максимум» и
«минимум» не обязательно выражают наибольшее и наименьшее
значения, которые принимает функция.
Геометрически из графика видно, что если в точке максимума
или минимума существует определенная касательная, то тангенс угла
наклона кривой в этой точке равен нулю или бесконечности, и так
как этот наклон определяется производной /'(ж), то для нахождения
точек максимума и минимума надо решить уравнение /'(ж) = О,
а также найти те значения ж, при которых /'(ж) обращается в беско-
нечность.
21
Однако, определив эти значения х, мы найдем не только точки
максимума и минимума, но вообще все точки, в которых касатель-
ная параллельна оси ОХ или оси OY. Но к этим точкам принадлежит
также такая точка, как Е, в которой функция не имеет ни макси-
мума, ни минимума (называемая точкой перегиба). Так как в при-
ложениях, главным образом, приходится встречаться с такими
максимумами и минимумами, в которых f'(x) = 0, то точки, в ко-
торых /'(х) = о®, мы рассматривать не будем.
Итак, решая уравнение f'(x) = 0 относительно х, мы получим
точки, в которых можем предполагать наличие максимума или мини-
мума.
Для исследования вопроса о том, имеется ли в полученной точке
максимум или минимум или же нет ни того, ни другого, можно при-
менять разные приемы. Простейший из них основан на геометри-
ческом смысле знака первой производной. Мы видели, что если
в какой-либо точке первая производная положительна, то функция
в этой точке возрастает, а если отрицательна, то функция убывает.
Пусть в точке, в которой первая производная равна нулю, вторая
производная оказывается положительной. Тогда первая производная
в этой точке будет возрастающей, а так как она равна нулю в этой
точке, то, следовательно, она переходит от отрицательных значений
к положительным. Но если первая производная обращается в нуль
в некоторой точке, переходя при этом от отрицательных значений
к положительным, то сама функция из убивающей становится воз-
растающей и, следовательно, в этой точке функция имеет минимум.
Аналогично можно доказать, что если в точке, в которой первая
производная равна нулю, вторая производная оказывается отрица-
тельной, то в этой точке функция имеет максимум.
Однако, пользуясь этим методом, мы не можем установить нали-
чие или отсутствие максимума или минимума в точках, в которых
•одновременно f'(x) = 0 и f’(x) = 0.
Итак, если в некоторой точке
у' = 0; / > 0
то в этой точке функция имеет минимум, а если в какой-либо точке
у' = 0; у” < 0
дю в этой точке функция имеет максимум.
§ 9. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ
ПРИ ДВУХСТУПЕНЧАТОМ СЖАТИИ ГАЗА
Рассмотрим двухступенчатое обратимое адиабатное сжатие газа
от начального давления Рг до конечного Р3. Если принять, что
производительность компрессоров в основном не зависит от проме-
жуточного давления, отыскание оптимальных условий работы будет
заключаться в определении промежуточного давления Р2, для кото-
рого общий расход энергии является минимальным. Если газ посту-
22
пает с температурой 7\ и охлаждается до температуры Т между
ступенями сжатия, то работа выразится формулой:
W=NRTi~.--7
к — 1
где W—работа, кГ .да;
fe-i	fe-i
! Pi \ k „ , / -Рз \ *
крг; ~2+vpt) J
N—количество сжимаемого газа, кмоль-,
R—универсальная газовая постоянная;
к — отношение теплоемкости при постоянном давлении к теп-
лоемкости при постоянном объеме;
Т\— температура поступающего в компрессор газа, °К.
Если величина W должна быть минимальной, то производная
должна быть равна нулю, т. е.
аР2	& — 1
l-fe 1	. fe-1 l~2fe ~l
р й р'й _(J__L\р й р k 1=0
1	2	\ к / 8 а J
Решая это уравнение относительно Р2, получим
2fe-2 fe-1 й-1
Р2 к = Р3 к P!k
откуда
Р2 = /РЛ	(11)
Такое соотношение и выбирается для оптимального промежуточного
давления при двухступенчатом сжатии. В полученном выражении
для Р2 отсутствует величина к, и поэтому оно справедливо для лю-
бого политропического сжатия.
Решенная нами задача о компрессоре может быть обобщена на
случай трехступенчатого сжатия.
Для оптимальных значений двух промежуточных давлений по-
лучим следующие значения:
Р2 = ¥Р1Р~1 и =
§ 10. ЗАДАЧА ОБ ЭКСТРАКЦИИ УКСУСНОЙ КИСЛОТЫ
Рассмотрим экстракцию уксусной кислоты из разбавленного вод-
ного раствора бензолом. Общий объем бензола В распределяется
на три части, а именно Ьг, Ь2ти Ь3, для трех последовательных экст-
рагирований кислоты из водного слоя.
Начальная концентрация уксусной кислоты в объеме а водного
слоя составляет х0. Примем, что при перемешивании не происходит
изменения объема и что закон распределения остается в силе после
каждой экстракции, т. е. уг = кх., у2 = кх2 иу3 — кх3, где у — ве-
совая концентрация кислоты в бензоле, а индексы 1, 2, 3 относятся
к порядковому номеру экстракции.
Из материального баланса для первой экстракции имеем
ах§ = Н-:= b]kxi -j— ах±
2а
откуда
Q.Xq
Х-» ~~~	.	
х а Ъ^к
Для второй экстракции:
____ ах±
Х"~ а-±Ь2к
Для третьей экстракции:
__ ах2	а3х0
Хз a-]-b3k	(a + bjfc) (a-}-b2k) (а-\-Ь3к)
Чтобы получить наиболее полное извлечение при данном коли-
честве бензола, значение х3 должно быть минимальным. Так как а3х3
является постоянной величиной, то знаменатель в уравнении для х3
должен иметь максимальное значение. Обозначим знаменатель через
и и приравняем частные производные от и по Ьг и Ь.> нулю; замечая,
что В = Ъг 4- Ь2 + Ь3, получим
и,— (а Ь^к) (а-\-Ь2к) (а -]-Ь3к) = (а-^-Ь^к) (а 4-b2fc) (а-]-Вк— Ь±к — Ь2к)
= (а-]~Ь2к) [(а4-ДА — Ь^к — Ь2к) к — (a4-bjfc)fc] = О
-д— {а-\-Ь)к) [(а 4-Bfc — Ь^к —Ь2к) к — (а-\-Ь2к) fc] = 0
002
откуда
B~b1 — b2=b3 = b1 и В — ьг — ь2=ь3=ь2
т. е. ^ = 62 = 63.
Нетрудно видеть, что этот результат является общим и, следо-
вательно, для максимального извлечения вещества при экстракции
следует пользоваться равными количествами растворителя в виде
отдельных порций, независимо от того, на сколько частей разделено
общее количество растворителя В.
§11. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ОКИСЛЕНИЯ
ОКИСИ АЗОТА
Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Требуется
найти концентрацию кислорода, при которой содержащаяся в смеси
окись азота окисляется с максимальной скоростью.
В условиях практической необратимости скорость реакции 2N0 4-
4- 02 = 2NO2 выражается формулой:
v = кх3у
где х — концентрация NO в любой момент времени;
у — концентрация 02;
к — константа скорости реакции, не зависящая от концентрации
реагирующих компонентов и зависящая только от темпера-
туры.
:24
Концентрации газов, будем выражать в объемных процентах.
Тогда
^ = 100 — х и у = Л,л:2(100 — х) = к(10(№— х3)
Найдем первую производную этой функции:
= к (200ж— Зж2) = О
Решая последнее уравнение, приняв во внимание, что к О,
находим: хг = 0,	= 66,7%. Для того чтобы установить, какое
из полученных значений х соответствует максимальной скорости
окисления, найдем вторую производную функции:
/72 и
44 = А: (200 - 6*)
ах*
Подставляя значения хт и х2, находим, что при х = хт = 0 вто-
рая производная больше нуля, т. е. скорость окисления минимальна
при концентрации окиси азота, равной нулю, что очевидно также из
физического смысла задачи. При х = х.2 — 66,7% вторая производ-
ная равна А: (200—6  66,7), т. е. меньше нуля, следовательно, функ-
ция, т. е. скорость окисления, имеет максимальное значение.
Когда х — 66,7%, у = 100—66,7 = 33,3%, т. е. максимальная
скорость окисления окиси азота будет в том случае, если в газовой
смеси содержатся 33,3% кислорода, следовательно, при стехиометри-
ческом соотношении у : х = 0,5. Поскольку в процессе реакции
стехиометрическое соотношение сохраняется, то при содержании
в исходной смеси 33,3% кислорода скорость реакции будет отно-
сительно максимальной в течение всего процесса. Этот вывод спра-
ведлив для осуществления реакции окисления при любой темпера-
туре, при которой реакция является практически необратимой, так
как полученный результат не зависит от величины константы ско-
рости реакции к.
§ 12. СЛУЧАЙ, КОГДА В ГАЗОВОЙ СМЕСИ СОДЕРЖАТСЯ
ПОСТОРОННИЕ КОМПОНЕНТЫ
Решим задачу, аналогичную предыдущей, но для случая, когда
в газовой смеси, помимо окиси азота и кислорода, содержатся и дру-
гие компоненты, не принимающие участия в химической реакции
окисления окиси азота. Определим, при каком отношении у : х
скорость окисления максимальна.
Обозначим через z концентрацию компонентов газа, не участву-
ющих в реакции. Остальные обозначения — те же, что и в предыду-
щей задаче.
В этом случае х -(- у -(- z = 100% и у — 100 — z — х. Подста-
вляем это значение у в основное кинетическое уравнение:
v = кх3 (100 — z — х) = к [(100—z) г2 — г3]
где к — постоянная величина.
25
Находим первую частную производную этой функции по х и
приравниваем ее нулю:
=к [2 (100—г) х—3x2] = о
2
Находим корни последнего уравнения: хх = 0, а:2=-5-(100 —z).
О
Подставив значения этих корней во вторую частную производную
по х
~г^- = к[2 (100-2)-6х]
убеждаемся, что максимуму скорости окисления соответствует зна-
чение а: = -|-(100 — z).
О
Так как у = 100 — z — х, то у = (100 — z) —(100 — z) = -j- (100 — z).
Следовательно, заданному условию максимальной скорости окис-
ления отвечает отношение у : х = 0,5, т. е., как и в предыдущем
примере, стехиометрическое соотношение. Отсюда делаем вывод,
что максимальная скорость окисления окиси азота кислородом
будет иметь место при концентрации кислорода в смеси вдвое меньшей,
чем концентрация окиси азота, вне зависимости от того, присут-
ствуют ли в смеси другие компоненты, не принимающие участия
в реакции, и в каких количествах.
§ 13. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ОКИСЛЕНИЯ
ПРИ СМЕШЕНИИ ГАЗА С ВОЗДУХОМ
Газ, содержащий окись азота, смешивается с воздухом. Опреде-
лить, при каком содержании кислорода (в %) в полученной смеси
скорость окисления азота максимальна и какой объем добавляемого
к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси,
Обозначим:
х — число объемов воздуха, добавляемого к 1 объему исходного
газа;
а — объемная доля окиси азота в исходном газе;
Ъ — объемная доля прочих (инертных) компонентов в исходном
газе;
с — объем кислорода, вводимого с воздухом на 1 объем исходного
газа;
п — объем азота, вводимого в смесь с воздухом.
Тогда « + ^ + с-]-п = 1 + х, причем а+5 = 1 и с-}-п — х. Так
как в воздухе 20,8% О2 и 79,2% Na, то п = 	с = 3,81 с. Поэтому
Z(j,o	v
ж = 4,8(с и с=~.
26
Концентрации окиси азота и кислорода в смеси, выраженные
в объемных долях, будут:
а
Концентрация окиси азота=	
1 "I- %
Концентрация кислорода =	= 481 (i+a;)-
Подставив эти концентрации в выражение для скорости окисле-
ния окиси азота v = [NO]2 [О2] (см. две предыдущие задачи), полу-
чим:
V = \1+*)2 ' 4,81 (1+®) ИЛИ V = к "ХвТ ’ (1+*)3
Для определения значения х, при котором скорость окисления v
имеет максимум, при заданном а находим первую производную
от v по х и приравниваем ее нулю:
dv   ka2	1—2х  
dx	4,81	(1+®)4
Производная обращается в нуль при х = 0,5.
Таким образом, при х = 0,5, т. е. при добавлении к 1 объему
исходного газа 0,5 объема воздуха, состав газовой смеси будет
удовлетворять условию максимальной скорости окисления окиси
азота. Соответствующая этому концентрация кислорода в смеси
должна быть равной:
W+4 -ДиТад -о-»®' ’ '• т
Итак, при смешении не содержащего кислорода нитрозного газа
с воздухом состав смеси, соответствующий максимальной скорости
окисления NO, получается при добавлении к газу вдвое меньшего
объема воздуха (для любого данного состава исходного газа); этим
обеспечивается концентрация кислорода в смеси, равная 6,93%.
При такой концентрации кислорода, вне зависимости от концентра-
ции окиси азота в исходном газе, имеет место максимальная скорость
окисления. Эта скорость, максимальная в начале процесса, будет
оставаться относительно максимальной в течение всего процесса,
если концентрация кислорода будет поддерживаться равной6,93%.
§ 14. ЗАДАЧА О НАИВЫГОДНЕЙШЕЙ ФОРМЕ СОСУДА
Требуется изготовить прямоугольный сосуд из прямоугольника,
вырезав углы его и загнув затем края, причем объем сосуда должен
быть максимальным.
27
Пусть стороны прямоугольника (рис. 1-7) равны а и Ь; высота
загнутого края пусть будет равна х; в таком случае объем V получен-
ного сосуда выразится так:
V = (а — 2х) (Ь— 2х) х= abx — 2 (а Ь) х2 -|-4ж3
Составим первую производную от V:
dV
= йЬ — 4 (я + &) ж + 12ж2
Для нахождения максимума надо решить уравнение
12ж2 —4 (я-|-b) x-{-ab = 0
Рис. 1-7.
Отсюда
_ а + Ь±/(а-}-Ь)2—Зяб __
Х~	6	~
а + Ь±/я2 —а& + &2
~	6	- '
Чтобы исследовать полученные ре-
шения, найдем вторую производную:
d2V
——.=-.24ж-4(я+6)
Подставляя сюда значения х из (12), получаем:
= 4 (я -|- 6) ± 4 У^я2 — а& -j- &з — 4 (я + 6) = ± 4 а2 — ab-\-b2
Отрицательный знак соответствует максимуму, положительный —
минимуму. Поэтому максимальный объем получится, когда:
а -|- Ь — а2 — ab -|- Ь2
§ 15. ЗАДАЧА ОБ ИЗГОТОВЛЕНИИ КОНУСООБРАЗНОГО ФИЛЬТРА
Вырезать из круга сектор так, чтобы из него можно было сделать
конусообразный фильтр с максимальным объемом.
Для упрощения предположим, что радиус круга равен единице
(рис. 1-8), и обозначим центральный угол сектора, из которого
требуется сделать фильтр, через <р (в радианах).
Если радиус окружности основания конуса обозначить через г,
то должно быть:
„	Ф
2лг = <р; г = ~-
Принимая высоту конуса равной h, найдем, что объем его равен:
28
Ho h и г являются катетами треугольника, гипотенуза которого
представляет образующую конуса, по условию - равную единице,
откуда
h =	==l/r1__g.
F 4л2
Заменяя в формуле (13) г и h их значениями, получим:
. <«)
Будем искать максимум функции
К1 = 12лГ=<р2 1/ 1—у-х-
г 4л2
По общему правилу, приравниваем производную нулю:
Отбросив решения, не имеющие физического смысла, найдем:
Ф
2л
Я
Чтобы выразить искомую дугу в градусах, нужно определить х
из пропорции:
<р : 2л = х: 360
где ж—искомое число градусов. Найдем:
*=-^--360 = 3601Л|-
2л	г 3
Отсюда получаем приближенное значение х = 294°. Следова-
тельно, вырезать нужно сектор с центральным углом, равным при-
близительно 360° — 294°=66°.
Максимальный объем фильтра Кмакс найдем из формулы (14):
л 2 1 Г 1 _ 2л 1 Г 1
Т’Тг г "з
29
§ 16. О МИНИМАЛЬНОМ РАСХОДЕ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТОВ
I. Реакционный аппарат имеет форму открытого цилиндра. При
изготовлении аппарата материал идет на образование стенок и дна
цилиндра. Если г — радиус основания и Л — высота цилиндра, то
сумма площади основания и боковой поверхности цилиндра выра-
зится так:
F = nr2 + 2nrh
Вместе с тем объем V цилиндра равен
V = nr2h
Исключив отсюда h, получим:
2V
F=nr2 + -^
Задача заключается в том, чтобы при заданном объеме V цилинд-
ра найти такое значение г, при котором поверхность F имеет минимум.
Дифференцируя последнее равенство по г и приравнивая первую
производную нулю,	получаем dF	„	2V	п —г~ = 2лг	=- = 0 аг	г2
откуда	2лг3= 2V
Так как	^=4 лг2
то отсюда находим:	h = r
Поскольку вторая	производная dr2	2 + г3
положительна, то при h = г поверхность аппарата будет минималь-
ной.
II. Реакционный аппарат имеет форму закрытого цилиндра.
Найти радиус цилиндра так, чтобы при заданном объеме У его
поверхность была наименьшей.
Пусть г — радиус основания, а Л — высота цилиндра. Полная
поверхность цилиндра равна
F = 2п (г2 -|- rh)
Так как V = лг2А, то, исключив h, найдем:
/	V \	2V
F=2л ( г2 ---) = 2лг2 4--
\	пг )	г
30
Дифференцируем это выражение по г и приравниваем производ-
ную нулю:
Отсюда следует, что
2лг3 = V
ИЛИ
2лг3 = лг2/г
Следовательно
h = 2r
§ 17. МАКСИМАЛЬНАЯ ОСВЕЩЕННОСТЬ
ДЛЯ ФОТОХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Процессы сульфирования и хлорирования органических соеди-
нений часто осуществляются с применением света. Найдем, на какой
высоте х над площадкой следует поместить источник света, чтобы
освещенность площадки была мак-
симальной. При этом предпола-
гается, что площадка не перпен-
дикулярна лучам (рис. 1-9).
Известно, что освещенность пло-
щадки обратно пропорциональна
квадрату расстояния ее от источ-
ника света и прямо пропорциональна
косинусу угла падения световых
лучей:
г к
J = —— COS I
г2
Из рис. 1-9 находим:
г2 = а2 -4- я2; cos i — —
/я2+х2
Следовательно
,	з
Дифференцируем эту функцию по х и производную приравни-
ваем нулю:
з
J'= к (а2-\-х2) 2 [1— Зя2 (а2+х2)-1] = 0
Так как к и а2 4-х2 не равны нулю, то множитель в квадрат-
ных' скобках должен быть равен нулю, т. е.
1 = 3я2 (а24-я2)-1
Положительный корень этого уравнения равен
1 / а2
х=|/ — = 0,707а
Так как вторая производная в этой точке отрицательна, то найденное
значение х есть точка максимума и является искомой высотой.
31
§ 18. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Л (х)
Допустим, что нам нужно найти значение функции <P(a:)==yi-^
при некотором частном значении х — а. Пусть при этом /х(а)=0;
/2 (а) = 0. Тогда наша дробь при х = а приобретает неопределенный
вид -у. За значение этой дроби при х = а условимся принимать
следующий предел:
А (®)
Иногда этот предел можно найти при помощи элементарных
преобразований дроби В других случаях предел можно найти,
применяя так называемое правило Лопиталя, которое заключается
в следующем: если при х = а функции /1(х) и /2(х) обращаются
в нуль или в бесконечность, то предел их отношения равен пределу,
к которому стремится отношение их производных, если этот послед-
ний предел существует.
Математически это правило выражается следующим образом.
Если
/1 (ж)	0	<зо
- . , '  = -7Г- ИЛИ - при х=а
f2 (ж)	0	со
то
,1тгл141 „.ш..
L /г (х) Jx->-a f2 (“)
Если полученная дробь также неопределенная, то дифференци-
рование повторяют снова, пока не достигнут определенного значения.
§ 19. ЗАДАЧА ИЗ РАСЧЕТНОЙ ПРАКТИКИ ПО АБСОРБЦИИ
В расчетной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции
и выщелачиванию встречается следующая функция:
_ ж«+1 — ж
У Xn+1 — i
Для случая абсорбции применительно к системам с постоянным
коэффициентом распределения у представляет долю растворяемого
вещества, поглощаемого в башне с п теоретическими тарелками,
ах — отношение скорости жидкости к скорости газа, разделенное
на коэффициент распределения.
Значение этой функции приходится отыскивать для значений х,
изменяющихся в пределах от 0 до очень больших чисел. Значение у
легко находится для любых значений х, за исключением того слу-
O n
чая, когда х равно единице, приводящего к дроби -у. В результате
применения правила Лопиталя находим предельное значение у
при х -> 1
жл+1—ж	(п-|-1)жл—1 п
^+i-i	(«+d^	л+1
что составляет искомое значение для у при х — 1.
Глава II
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. ДВЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛАМ
Для уяснения смысла интегрирования рассмотрим следующий при-
мер. Предположим, что тело движется по прямой линии с постоян-
ной скоростью w.
Пусть х представляет расстояние (в км), пройденное телом,
ат — время (в ч). Скорость w выражается производной которая
в рассматриваемом случае является постоянной.
Время, необходимое для прохождения участка пути, например,
от 200 до 500 км, при постоянной скорости 50 км/ч, будет равно:
500— 200	_ #2 —Ж1   ^2 —Ж1
50	4 w	dx
dt
При переменной скорости расчет усложняется. Примем, что w
линейно зависит от т; пусть, например:
» = 0,05®	(1)
Время, необходимое для прохождения отрезка пути от 200 до
500 км, может быть вычислено приближенно при использовании
средней скорости, например, 17,5 км/ч, соответствующей 350 кило-
метру пути. При этом затраченное время составит:
jQQ-200
17,5	1744 4
Более точный результат получим, если, используя средние ско-
рости, вычислим отдельно время прохождения участков пути от 200
до 300 км, от 300 до 400 км и от 400 до 500 км и сложим полученные
числа. На каждом из этих участков точка движется со средней
скоростью 12,5 км, 17,5 км и 22,5 км; следовательно, первый уча-
сток будет пройден за 8 ч, второй за 5,71 ч и третий за 4,45 ч. Весь
путь будет пройден за 18,16 ч.
При дроблении 300-километрового пути на еще более мелкие
участки суммирование дало бы еще более точный результат. Точный
8 Заказ 1706
33
результат, очевидно, получим, если будем предполагать, что число
участков неограниченно возрастает, так что длина каждого участка
стремится к нулю.
Время Ат, необходимое для прохождения пути Дх, получается
делением Дх на w, что дает:
л Дх
Дт 6Ж
Чтобы получить все время, необходимое для прохождения пути
от 200 до 500 км, надо сложить все промежутки времени Дт. Полу-
ченное при этом значение для времени будет тем точнее выражать
истинное значение времени, чем мельче будут отрезки пути Дх, на
которые мы разбили весь путь от 200 до 500 км. Если рассмотреть
не сумму всех Дт, а предел этой суммы, в предположении, что все
Дх стремятся к нулю, то этот предел даст нам точное значение иско-
мого времени:
500-Дх
2Дх
(2)
' 200
Подобиде пределы сумм называются в математике определен-
ными интегралами и обозначаются так:
500-Дх	500
2Дх	f	dx
j Tw
' 200	200
Численное значение этого интеграла оказывается равным 18,33 ч.
Рассмотрим другой пример, именно — инверсию сахара. При-
меняя закон действующих масс к этому процессу, заключаем, что
количество сахара, инвертируемого в единицу времени, прямо про-
порционально количеству сахара в растворе.
Пусть а — первоначальное количество сахара в растворе и пусть
за время т инвертируется количество сахара х, т. е. к моменту вре-
мени т в растворе остается а — х сахара. Допустим, что в течение
промежутка времени от т до т + Ат реакция протекает равномерно
и пусть при этом количество инвертируемого сахара равно dx.
Для этого промежутка времени, по приведенному выше- закону,
скорость реакции пропорциональна наличному количеству сахара
а — х, и так как мы эту скорость считаем постоянной, то количество
инвертируемого сахара в этот промежуток времени будет равно
к (а — x)dx, где к — некоторый множитель пропорциональности.
Следовательно, мы имеем:
dx=k (а — х) dx
ИЛИ
dx , ,	,
—— = к (а —х)
dx
(3)
34
Химический какой получил математическое выражение, и нам
остается решить задачу, состоящую в нахождении функциональной
связи между х и т, выраженной этим уравнением. Для нахождения
этой функциональной зависимости запишем уравнение (3) так:
Легко убедиться, что
1 , а
т = Л-1п---------------------------	(5)
к а — х	''
В самом деле, дифференцируя (5), получаем:
Решение химической задачи мы привели к математической задаче
нахождения функции по заданному ее дифференциалу. Эта задача
обратна той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где
Требуется найти производную или дифференциал по данной функций.
В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые
изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым
изменениям другой величины на основании данного закона, связы-
вающего эти две величины, т. о. когда известна функциональная
зависимость между этими величинами.
В решенной нами задаче были даны бесконечно малые изменения
одной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям
другой, и требовалось найти функциональную зависимость между
этими двумя величинами.
Область математики, занимающаяся решением таких задач, носит
название интегрального исчисления.
§ 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обозначим через / (.г) производную от функции F (х). Будем счи-
тать функцию / (х) заданной, а функцию F (х) искомой:
= i (*)	(6)
dF (х) = f (ж) dx	(7)
Всякая функцця F(x), удовлетворяющая (7), называется перво-
образной функцией от/(я). Если ? (х) есть первообразная oxf(x),
то F (х) -J- С, где С — любая Постоянная, тоже будет первообразной
от / (х). Действительно, так Как производная постоянного равна
нулю, то производная от F (х) -j-С равна производной от F{x),
т. е. /(я-):
[-F (ж) + С]' =	(ж)]' = f (х)
3'
35
Можно показать, что если F(x) есть какая-либо первообразная
от f(x), то функция F (х) Ц- С представляет собой общее выражение
всех первообразных от f(x).
Общее выражение всех первообразных от / (х) называют неопре-
деленным интегралом от /(х) и обозначают:
J f (х) dx=F (х) -\-С	(8)
Функция / (х) называется подынтегральной функцией, af (x)dx —
подынтегральным выражением.
Из определения следует, что производная от неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал не-
определенного интеграла равен подынтегральному выражению.
В самом деле, из определения интеграла следует, что если:
j/(a:)da: = F(a:)-|-C, то-^-=/(ж)
или
А J у (х} dx=A [J- w+С]==f (X)
d J f (х) dx = f ух) dx
Последнее равенство показывает, что интегрирование и дифферен-
цирование представляют собою обратные действия. Точно так же
J du~ u-|- С
Всякой формуле дифференциального исчисления
F' (х) = у (ж); dF (х) = У (х) dx
соответствует формула интегрального исчисления:
У у (ж) dx = F (х) -|- С
Приведем таблицу основных интегралов. Таблица эта является
обращением таблицы основных производных:
/ хт \
d (xf1) = ms"1'1 dx или d (-1 = .г"1-1 dx
rtn
xrn-i dx= — +C
m
Положив m—l = n, находим (при n^= — 1):
2.	dlnz=-— • C—= lnz + C
X 1 J X
dax = ax In a dx', d(--------------= ax dx; C axdx = -^---------------------1- C
\ in a /	J	In a
3.
36
Если а = е (основанию натуральных логарифмов), то
За.	j ех dx	=e«4-C	
4.	d sin ж = соз x dx,	J COS x dx =	sin x 4- C
5.	d cos x = —sin x dx,	j1 sin x dx =	—cos x-j-C
	,	dx	(	’ dx	
6.	d tg x —	-— ,	' e	COS2X ’	„	) COS2 X	 tgx + C
	,	dx	(	’ dx	
7.	dctg,r =	,	1 e	sin2 X ’ J	I sin2 x	—etg x-j-C
8.	,	.	dx d arctg x —	— , s	l-f-ж2 ’	P dx J 14-^2	—- arctg x 4- C
	,	.	dx	I	* dx	
9.	a A FCSin X—	 1		— arcsin x -J- C
	Vi— X* ’ l	' У1 — ж2	
При изучении дифференцирования мы установили ряд простых
правил, с помощью которых можно легко найти производные любых
элементарных функций. Для интегрирования подобные общие пра-
вила не существуют, — можно лишь указать отдельные приемы
интегрирования, пользуясь которыми удается проинтегрировать
некоторые функции. Существуют элементарные функции, неопреде-
ленные интегралы от которых нельзя выразить через элементарные
функции.
Перечислим некоторые правила интегрирования.
1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака инте-
грала:
j Ct (ж) dx = 6 J j (s) dx	(9)
2. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической
сумме интегралов отдельных слагаемых:
J [u (ж) -|- v (х) — w (ж)) dx = J и (х) dx 4- J v (х) dx — J w (х) dx	(10)
Например
J* ^4ж3 * -|- 5 Ух—^=^dx= 4 J* xs dx 5 x 2 dx — 2 J* x 3 dx =
= a:4 + 4r- x Ух — 3 :|/ ^ + C
О
3. Если нам известен интеграл
J j (ж) dx = F (х) 4- С
то, заменяя х линейной функцией ах 4- Ь, будем иметы
f(ax-t~b)dx = — F (ах-\-Ь)-}-С	(Ц)
37
Например
Г	1
I cos axdx= — sin ax-\-C	(12)
P dx 1 x , „
I —5-:—5-= — arctg-----PC	13
J a2-j-x2	. a s a 1
J /^" = arCSiDv + C	(14)
-(а^+1~~ +C	(15)
J [a—x)n = (n —1) (а —ж)""1 +C	(16)
[_^ = 1п(а + ж) + С	(17)
J a-^-x
C	—Ь (а—ж)+ C	(18)
4.	J3o всех приведенных формулах x можно заменить какой-либо
функцией/(х), так что каждая из Этих формул обнимает множество
частных случаев, соответствующих различным видам функции/(х).
Таким образом, имеем, например, следующие формулы:
f[/(x)]«d/(x)=f [f (x)]nf (X) dx = -^^~ -\-С	(19)
V .	i)	" “Г 1
5^==.УХШ^^’П/(Ж)+С
§ef	(x)dx = ef <х> + в	(21)
По формуле (20) найдем:
С	Г созжйж , .	_
I ctg х dx= l —sin~~— =~ “ sin	(22)
Г . , f sin x dx	f d cos x	.	, „	/n„.
\ tgxdx= \ ------= — \	=—In cos C	(23)
J	J cos ж	J cOsx
5.	Интегрирование по частям. Если и и v — функции от х, то
d (uv) = и dv + v du
откуда
up = J и dv-]-^v du
ИЛИ
§udv = uv—J v du	(24)
Эта формула носит название формулы интегрирования по частям.
С ее помощью мы сводим вычисление интеграла, стоящего в левой
38
части, к вычислению другого интеграла, — стоящего в правой части.
Часто этот интеграл оказывается проще исходного.
Примеры.
1)	J In х dx.
Полагая
и = 1пж, dv = dx
находим:
, dx
du =--, v — x
х
Поэтому
J In xdx — x In x—§ x= x In x — x-\-C
2)	J xex dx.
Полагая
u = x, dv = exdx
имеем:
du = dx, v = §exdx = ex
Отсюда
J xe33 dx = xex — §exdx = xex—
3)	J x sin x dx.
Полагая
и=ж, du = sinxdx
получаем:
du = dx, v — J sin xdx=—cosx
Отсюда
J x sin x dx — —x cos жf cos x dx= —x cos « + sin x-\-C
Нельзя дать общего правила, как нужно разлагать подынтеграль-
ное выражение на множители и и dv. Во всяком случае разложение
это следует делать так, чтобы можно было определить функцию v
и чтобы полученный новый интеграл был известен или, по крайней
мере, проще первоначального.
6. Интегрирование посредством замены переменных заключа-
ется в том, что при вычислении интеграла
J / («) dx
39
вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х
некоторой зависимостью. Эту зависимость стараются выбрать так,
чтобы преобразованный интеграл был проще данного интеграла.
Общих методов для выбора подстановки указать нельзя, выбор этот
определяется математической структурой подынтегральной функции.
Примеры.
1) J sin2 х cos х dx.
Полагаем:
sinz = Z; cos xdx=dt
Р	Р	/3	Ч1Т|3 х
I sin2 х cos х dx=\ t2 dt — ——[-C =-— -----p C
t/	t/	о	о
Тот же интеграл можно вычислить иначе:
J. . j	С • л 7 / 1 \ sm2 д: > л
sm2 х cos х ах == \ sm2 ха (sin х) = — -р С
V
2) f-Д-
J sin X
Полагаем:
-— In г С — In tg— 4~
При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бес-
численное множество функций, отличающихся друг от друга постоян-
ным слагаемым. Для того чтобы из совокупности первообразных
функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое
дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что
задается числовое значение искомой первообразной функции при
некотором значении независимого переменного. Это дает возмож-
ность найти то числовое значение, которое следует придать произ-
вольному постоянному.
Рассмотрим для примера свободное падение тел. Ускорение
прямолинейного движения равно производной от скорости w. Для
свободного падения;
Отсюда
w = Jg dx-\~O
Следовательно

(25)
40
Пусть в момент времени т = 0 вертикальная составляющая ско-
рости движения равна w0. Из (25) вытекает:
и>о = С
Следовательно, функция
U> = gT-|-U>0
определяет скорость падения тела в любой момент т.
Рассмотрим еще пример с инверсией сахара. Мы нашли, что
Отсюда интегрированием получаем:
т=4-1п—-------\-С	(26)
к а — х 1
Значение постоянной С можно найти следующим образом: если
считать время от начала реакции, то при т = 0 количество инвер-
тированного сахара х = 0, откуда
-I 1
0 = 2-in — 4-С
к а 1
Определяя отсюда С и подставляя его значение в формулу (26),
имеем:
к	а — х	как	а—х
И
Л=±1п——	(27)
Т а — х
На практике обыкновенно определяют С иначе. Опытным путем
находят количество сахара х±, инвертированного за время tx; тогда
Ti = 4-ln— -ре
к	а—х^
откуда легко определить С. Подставляя значение С в формулу (26),
имеем
к а — хг к а — х к	а — х^
откуда
к =--i----In а~?-	(28)
Ti—Т а — Xi
§ 3. ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
В СЕПАРИРУЮЩЕЙ ЦЕНТРИФУГЕ
Найти форму поверхности жидкости в сепарирующей центрифуге
во время ее работы, а также угловую скорость, с которой должна
вращаться жидкость, чтобы достичь заданной высоты Zx.
41
В сепарирующей центрифуге жидкость вращается около оси
цилиндра с постоянной угловой скоростью W.
Примем ось цилиндра за ось Z, направив ее вертикально вверх.
За начало координат возьмем точку пересечения оси Z с основанием
цилиндра. В этой точке, следовательно, будут пересекаться оси X '
и У, которые расположатся в плоскости основания цилиндра. Оче-
видно, что поверхность жидкости будет поверхностью вращения,;
так что в каждом вертикальном сечении этой поверхности, проходя-
щем через ось вращения, получится одна и та же кривая. Достаточно,
следовательно, исследовать
поверхности
плоскостью
касательной
одно из таких сечений.
Рассмотрим сечение
вращения координатной
XZ и найдем наклон
в точке Р (х, z) этого сечения.
На частицу Q, находящуюся в точке
Р (рис. П-1), действуют две силы:
1) сила тяжести mg, направленная по
вертикали вниз и изображенная век-
тором PL, и 2) давление жидкости,
действующее нормально к поверхности
и изображенное вектором PN. Вели-
чины этой силы мы не знаем, но зато
известна равнодействующая сил PL и
PN. Именно, так как частица Q дви-
жется равномерно по окружности
радиуса х, то ее ускорение РМ направлено к центру и равно
т®2х. Таким образом, зная величину и направление равнодейству-
ющей и одной из составляющих, можно найти величину и направле-
ние другой составляющей — давления. Величина давления нас не
интересует, направление же давления PN позволяет сразу опреде-
лить направление касательной, которая перпендикулярна к PN.
Таким образом мы найдем угол а, образуемый касательной с осью ОХ.
Рассмотрим треугольник MPN, в котором угол при точке NTi
как легко видеть, равен углу а. Из этого треугольника находим:
dz	МР т(Л го2ж
dx 6 MN mg	g
Интегрируя, получаем:
a>2x ,	<о2ж2 . _
	dx = —--k- C
g--------------2g 1
Z=s
Так как при ж = 0 координата z = z0=OS, то постоянная С —
= z0 й
(О2Ж2
г —г0 =
(29)
2g
Таково уравнение сечения поверхности; это — уравнение пара-
болы.
42
Уравнение самой поверхности получим, подставив в (29) вместо х
величину Ух2 -f- у3, выражающую радиусы окружностей, образу-
ющихся при пересечении параболоида плоскостями, параллельными
координатной плоскости XY. Мы придем к уравнению параболоида
вращения:
(О2 (ж2	у2\
Z-"°~ 2i
У стенки сосуда жидкость достигает высоты:
где г —радиус центрифуги.
Ниже будет показано, что между высотой h жидкости в непо-
движном состоянии и только что определенными величинами z0 и zt
Существует простое соотношение:
Л=4-(*о-Ь*1)	(31)
Тогда, исключив из формул (30 и 31) величину z0, получим
следующее выражение для угловой скорости, с которой должна
вращаться жидкость, чтобы достичь заданной высоты z^
(о = -^-Уё (zi—h)
Покажем, что расстояние h — z0 вершины параболоида от уровня,
который имела жидкость до вращейия, равно вИсоте —h подъема
краев жидкости над этим уровнем (рис. П-1).
Объем жидкости V = nr2h. G другой стороны, так как кривая
меридиана параболоида вращения, лежащая в плоскости XZ, имеет
уравнение
л 2g(z-z0)
ТО
Р = яг2г л f М dz
J <o2
Zo
Приравнивая оба значения V и выполняя интегрирование, по-
лучаем:
[-g- X (г-2о)2]^
или

43
Отсюда, приняв во внимание формулу (30), получим:
1 1
Л =  — (Z1—г0) = -у (zj + zq)
ИЛИ
h—zo = zi—h
§ 4. ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЗ СОСУДА
Сосуд, стенки которого образуют некоторую поверхность вра-
щения с вертикальной осью, наполнен жидкостью до высоты h.
Пусть в дне этого сосуда сделано отверстие с площадью /, через
которое жидкость вытекает из сосуда.
Требуется определить время, необходимое для того, чтобы
жидкость опустилась до заданного уровня или вытекла полностью.
При этом мы принимаем, что в течение всего процесса не происхо-
дит притока жидкости в сосуд и что разностью давлений воздуха
у поверхности и у выходного отверстия можно пренебречь.
Количество жидкости dQ, вытекающей за время dx со скоростью
через отверстие, очевидно, равно fwx dx. Уровень жидкости, по-
верхность F которой в течение времени dx будем считать неизмен-
ной, понизится за это время с некоторой скоростью w на высоту
w dx, а следовательно, объем жидкости в сосуде уменьшится на вели-
чину Fw dx. Эта величина должна равняться величине dQ.
Отсюда получаем
dQ = /о»! dx = Fa> dx
или, сокращая на dx:
fW1 = Fw	(32)
По известному закону, скорость wx истечения жидкости из отвер-
стия с площадью поперечного сечения / равна скорости, которую
приобретает свободно падающее тело, пройдя расстояние, равное
высоте столба жидкости над отверстием.
Введем теперь плоскую прямоугольную систему координат, взяв
за ось ОХ ось сосуда, а за ось OY — любую перпендикулярную
к ней прямую, лежащую в плоскости, с которой совпадала поверх-
ность жидкости в начале процесса (в момент х — 0). Ось ОХ напра-
вим вертикально вниз. Тогда в соответствии с вышеуказанным
законом мы получим для скорости истечения wY из отверстия в мо-
мент х следующее выражение:
»i = V 2g (h—х)	(33)
где g — ускорение силы тяжести;
h — начальная высота столба жидкости (при х = 0);
х — уровень в момент т.
Подставив это значение для wx в формулу (32), получим для ско-
рости w падения уровня в момент х выражение:
U> = j-^g (k—x)	(34)
44
Взяв h и х в сантиметрах, получим ш в см]сек (при этом g при-
нято равным 981- см] сек2).
Если сосуд имеет форму вертикального цилиндра или призмы,
то F постоянно. Если же сосуд представляет собой тело вращения,
образующая которого имеет уравнение y=f(x) (рис. П-2), то
F = лу2.
Подставив в (34) ~ вместо w, получим!
или
F dx
—^=-
fV2g V h — x
Это и есть уравнение, позволяющее
ответить на вопрос, поставленный в за-
даче. Заметим, что истинная скорость
истечения
ской. В
нимают:
(35)
Рис. 11-2.
всегда меньше теоретиче-
практических расчетах при-
=	V2g (h — x)
Г
где ср — коэффициент истечения. Он зависит от жидкости и от формы
отверстия, через которое происходит истечение. Среднее значенйе ф
составляет 0,6—0,7.
Решим с помощью формулы (35) следующую задачу. Призмати-
ческий или цилиндрический сосуд с поперечным сечением F см2,
имеющий в дне отверстие площадью в / см2, наполнен жидкостью
до высоты h см. Сколько времени (в секундах) нужно для того,
чтобы уровень понизился вследствие истечения на х см? Через
сколько времени вытечет вся жидкость?
Интегрируя обе части уравнения (35), находим:
F f dx
т =---—	— • т =
f V2g J V h — x ’
Vh—x + C
fVg
В начальный момент истечения понижение уровня жидкости
равно нулю. Значит, если т = 0, то ж = 0; отсюда находим:
f Vg
Внося это значение С в формулу для т, получаем:
fVg
Если учёсть практический коэффициент истечения, то
т=Х^.(/л_ГГ^)
<₽/ V g
45
Полагая х — h, мы получим время тА, за которое вытечет вся
жидкость:	_
F V~2h 2Fh
Л ф/ Vg <Pf V2gh
Если благодаря постоянному притоку уровень жидкости под-
держивается на одной и той же высоте h, то скорость истечения опре-
делится формулой
и> = -уг V2$h
так как высота столба жидкости над отверстием будет здесь посто-
янно равна h.
. Время, за которое первоначальный уровень жидкости понизится
на Л, будет равно:
Fx
ф/ V2gh С
Постоянную С здесь, очевидно, надо взять равной нулю. Время
iv, за которое вытечет первоначальный объем жидкости, при не-
изменном уровне, получим, полагая х = hi
 ' Fh
V <р/ V2gh
Мы видим, что ту вдвое меньше, чем тА.
Посмотрим, как изменится результат предыдущей задачи, если
в сосуд в каждую секунду будет притекать количество жидкости
Уменьшение объема жидкости в сосуде за элемент времени dx
составит теперы
F dx = dQ — Qr dx
Так как, согласно найденному выше, имеем! .
dQ = fwxdx=i "K2g (h—х) dx
то
F dx = / V 2g [h — x) dx — Qi dx
Отсюда, вводя практический коэффициент ср, получим:
,	F dx
dx =------ - " -	---
<р/ y2g'(h — x) — Qi
Время т выразится следующим интегралом:
, =а F С	dx
J <р/ V2g {h — xi — Qi
46
Для вычисления этого интеграла положим:
<21 = //2g*
Интеграл будем вычислять методом замены переменной:
z = ф У h — х; dx=* —
Получим:
т=-----(71+	---------[z+/Hn(z-]/T)] + c
Ф2/ V2g J \ z-Vk J ?2//2g
Возвращаясь к старой переменной х, найдем:
т =----~7=~ I ф У к—х + У к In (ср V	— /*)] + С
ф2/ У2g
Постоянную С определяем из условия: ж = 0 при т = 0. Это дает:
С =-----7=“ 1ф Vh + (ф Vh— /*)]
ф2/ У 2g
Окончательно для искомого времени т получаем следующее вы-
ражение:
* = ~2f*V + ГФ	Ук — Х + /* 1П
Ф2/ У 2g	фУ h—х— У к
Уровень жидкости будет понижаться, пока
<	?1 < ф/ /2g (Л—г)
После того как будет достигнуто равенство
<	?i = qV/2g (А—ж)
жидкость перестанет опускаться.
Если в начале процесса, когда ж=»0,
Ф/ V2gh < Qi
жидкость в сосуде будет подниматься и поднимется на высоту х,
удовлетворяющую равенству:
<	?1 = Ф7/2£
После этого подъем прекратится.
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пусть требуется найти интеграл:
С dx
J (а — х)
47
Покажем сначала, что можно найти два числа а и р, удовлетво-
ряющие равенству
1	. Р
(а — х) (6 — х)	а — х’Ь— X
Действительно
а । Р ______ а (6 — ж)4-р(а — х)   аЬ+Ра—ж(а + Р)
а — х '• Ь — х (а — х) (Ь — х)	(а— х) (Ь— х)
Если взять а и Р так, чтобы
а6-|-Ра = 1
а+Р = О
(36)
то числитель последней дроби будет равен 1. Уравнения (36) оп-
ределяют а и Р; решив их, получим:
а=—1—. р = _ —!—	(37)
о—а •	о—а
Таким образом
f dx _________Cl dx fl dx
J (a— x) (b — x)	J b— a a — x	J b — a b — x
4	4 h - - x
= —-[1п(6-ж)-1п (a-z)] = -—-In------+C	(38)
{/ "	£4»	(z " U	tv  “ tAs
Аналогично вычисляется следующий интеграл:
С---+ dx
J (a — x) (о — x)
где А и В—постоянные числа.
Найдем два числа аир так, чтобы
(а — х) (Ь — х)	а — х ‘ Ъ—х
Поступая, как и раньше, найдем, что
a , Р __________ ab-|~ Ра—ж (a+ Р)
а — х ‘ 6—х	(а — х) (Ь— ж)
откуда аир должны удовлетворять уравнениям!
ab Ра = А
-(а + Р) = В
Решая эту систему уравнений, получаем:
А-\-Ва - А + ВЬ
b — а ’ Р а — Ъ
(39)
48
Таким образом, мы находим
АА-Вх , С a dx
----—-г--— dx = I --
(я— ж) (о — х) J а—х
А-\-Вх	.	1
-----—тт---г dx = a In	
(я—х) (о — х)	а — х
jJ dx
b — х
(4©)

причем а и Р определяются формулами (39).
Примеры.
.. f dx	2 — х , „
J (1-z) (2-z) -1П 1-z+ С
2> j (1-X)
Только что рассмотренный метод распространяется и на тот слу-
чай, когда в интегрируемом выражении знаменатель содержит более
двух множителей.
§ 6. ХИМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ИОНИЗАЦИИ
При ионизирующем действии постоянного излучения в газовой
среде в 1 сек образуются q положительных и столько же отрицатель-
ных ионов на единичный объем газа. Вследствие того что положи-
тельные и отрицательные ионы снова соединяются между собой,
количество их убывает.
Из общего количества п положительных ионов в каждую секунду
исчезает часть их в количестве, пропорциональном п2, поскольку
попарное соединение ионов протекает как необратимая бимолеку-
лярная реакция.
Дифференциальное уравнение этого процесса имеет следующий
вид:
Коэффициент а зависит от природы и состояния газа. Решение
этого уравнения дает зависимость между количеством ионов п
и временем т.
Отделим переменные и проинтегрируем это уравнение:
dn
q — ап?
Обозначив — = к2, получим:
1 С dn
a J /с2 — я2
4 Заказ 1706
49
1 1
Разложим подынтегральное выражение fc2_ra2 (fe-{-n) (к~~п) на
элементарные дроби:
1 _ 1 . 1
(к-\-п)(к— п) 2к(к-\-п) ‘ 2к (к — И)
Подставив в интеграл, получим:
1 ГС dn , С dra ~1  1 . fc + ” д
1 2ак |_J k-f-n ‘ J к — nJ 2afc П к —га '
При т = 0 и п~0, поэтому С = 0 и, следовательно
к + п _ лЛх
к-п
Отсюда можно найти т
П = «  ----»
§ 7. КИНЕТИКА АВТОКАТАЛИТИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Если во время реакции одно из взаимодействующих веществ
действует как катализатор, то такой процесс носит название авто-
катализа. Рассмотрим случай, когда превращаемое вещество дей-
ствует как катализатор. Тогда константа скорости реакции зависит
от концентрации вещества, действующего как катализатор. Полага^
эту зависимость линейной, примем ее равной к -f- к' (а х). Тогдй
для скорости реакции найдем:
=[* + *' (а —ж)] (а —ж)
Разделение переменных, интегрирование и подстановка z =
=a — х дают:
Jdx	_ С dz
(fc4-fc'(a — ж)] (a — ж) J [k-}-k'z]z
Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби:
1	__	1___к'
[k-f-k'z]z	kz	k(k-\-k'z)
Отсюда получим:
— С	1	С	।	f	dz
* J	(k-\-k'z)z	к	J	z	‘ к	J 44-^*2
= -Т1пг+'Г1п (*+fc'z)+c= j 1п^Ь^4-с=
* 1п£+*Ча.-£).+ с
к	а — х
50
Постоянную интегрирования С найдем из условия: х — 0 при
т = 0. Это нам дает:
0= 1 1пА±£1 + с
к а
Подставляя в формулу, определяющую т, вместо С ее значение,
получаем:
т_ 1 Г| к-\-к' (а — х)	к-^-к'а П 1_ 1П a!И + *, (а—ж)]
к L а —х	а J	к	(а — х) (к-\-к’а')
В том случае, когда катализатором является получающееся в ре-
зультате мономолекулярной реакции вещество, дифференциальное
уравнение принимает вид:
dx
~d^=(k + k'x) (а —ж)
Как и выше, имеем:
Sdz	1 С dz к' (* dz
__   _________—- — ____ I  ——	. , 1	-
[& + &' (а — z)]z	к^-к'а J з	к-\-к'a J [fc-|-V(a—z)J
— 1 Г С d + (g~z)] _ f ~1
к —к z |_J к к (ji — z) J z ]
1 ri r, , /// П I 1	1 I кА-к'(a—z)
{In fc + fc (a —z) —lnz} = 	. In—I-i---- =
к-\-к а 1 1	'	к-\-к a	z
Используем начальное условие: х=0 при т=0:
Таким образом, окончательно имеем:
1_Г1П _in±"1 =	1_in
к-\-к а |_ а—х a J к-\-к а к (а — х)
§ 8. ПОТЕРЯ ТЕПЛА В ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ
Цилиндрический бак диаметром 1,5 м и длиной 3,65 м, покрытый
асбестовой изоляцией толщиной 51 мм, расположен горизонтально
на эстакаде и применяется как приемник для выдержки продуктов
химической реакции, осуществляемой периодически. Жидкость
поступает в бак при температуре 93° С и находится в нем в течение
5 суток,
Используя приведенные данные, можно рассчитать конечную
Температуру жидкости и построить график для температуры жидкости
В. зависимости от времени.
4*	51
Коэффициент теплоотдачи для жидкостной	ккал
пленки • • • ........................ “1	= 122-6 м^-ч-град
Теплопроводность изоляции...............X	—0,15
Коэффициент теплоотдачи поверхностью за	ккал
счет конвекции и теплоизлучения . . . аг = 8,83	. 4 ‘гра^’
Плотность жидкости.......................у	= 1018 кг/лЗ
Теплоемкость жидкости................... с	= 0,6 ккал/кг • град
Изменение температуры окружающей среды (атмосферы) может
быть принято в соответствии с такой закономерностью
t = 12,76—9,44 cos (лт/12)
где т—время, ч. Температура атмосферы к моменту загрузки
жидкости составляет 21,1° С.
Поверхность бака:
2л • 1 52
5 = л • 1,5 • 3,65 + —  • = 6,6л л2
4
Часовая потеря тепла жидкостью:
r1 = ai5 (Т — 7СТ)
Часовая потеря тепла изоляцией:
r2 = ~i (Тст — З’яов)
где Т~ температура массы жидкости, °C;
Т„ — температура стенки бака, °C;
Тпов —температура наружной поверхности изоляции, °С|
I — толщина изоляции, м.
Таким образом, имеем:
Скорость потери тепла_ Скорость теплоотдачи Скорость потери тепла
жидкостью ~ через изоляцию = поверхностью
015 (71 Уст) = —।— (Тст Тпов) = аг5 (Удов О
Преобразуя первую часть этого равенства к виду
Тст “1 +	= а1 ? -j—— Тпов
и подставляя в последнюю часть, мы получим
Т’пов = t + [———] (Т ~ t)
или
т = t . Г________________0,15-122,6_____________-]
пов '	122,6 • 8,83 • 0,051 +122,6 • 0,15 + 8,83 • 0,15 _Р ’
= t + 0,246Г — 0,2461 = 0,246? + 0,754*	(I)
В2
Рассматривая тепловое равновесие для жидкости, мы будем
иметь:
Скорость притока тепла = О
Скорость оттока тепла = а25 (7ПОВ—О
Скорость накопления тепла = Vус
Используя числовые значения соответствующих величин н под-
ставляя для Тпов выражение (I), мы найдем:
8,83 • 6,6л
Л Vvc (2noB—ч— ----------- , r2	'UnoB — ч —
Т	3,651018-0,6
4
= -0,0465 (0,2467 + 0,754* -f)
или
dT
+ 0,01147 = 0,0114* = 12,76 • 0,0114 -
— 9,44 • 0,0114 cos (лт/12) = 0,145—
—0,108 cos (лт/12) (II)
Выражение (II) представляет ли-
нейное дифференциальное уравнение,
которое может быть решено с по-
мощью интегрирующего множителя
go.oiw в следующем виде:
Тео,0114т = о,145 J ев,«Шт dx +
+ 0,408 J е0’0114'1 cos (лт/12) dx
Второй член правой части равенства может быть проинтегрирован
по частям; в результате получится:
0,0714^+0,262^’ (0’°114 C°S °’262т + 01262 Sin 01262т)
Таким образом, для полного решения (II) будем иметь:
7 —12 76 I 0Д08~ 0,114 cos 0 262т I 0.108-0,262 sin о 262т I Cc~fi nll4r
~ 7 * * * 11 12’7Ь + 0,01142 + 0,2622 С0® °’262Т + 0,01142 + 0,2622	°’262Т +
При граничных условиях, когда Т— 93° С при т=0, найдем
4-С
»о_127Е,	0,108-0,0114
11	0,01142 + 0,2622
откуда
С = 93 — 12,76 = 80,24
Итак, окончательно имеем:
7 = 12,76 + 0,175 cos 0,262т + 0,465 sin 0,252т + 80,24е-в-«1Ит	(III)
Исследование (III) показывает, что второй член равенства может
изменить величину Т в пределах ±0,175. Третий член равенства (III)
53
для данных условий также представляет пренебрежимо малую вели-
чину. Поэтому для вычислений можно пользоваться упрощенным
уравнением
Т = 12,76 + 80,24г-°’01Ш	(IV)
На рис. П-З изображен график зависимости Т от т, построенный
по уравнению (IV); через 120 ч температура жидкости в баке достиг-
нет Т = 34,0° С.
§ 9.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рассмотренная в начале этой главы задача о вычислении времени,
в течение которого движущаяся точка проходит определенный уча-
сток пути, привела нас к необходимости вычислить предел некоторой
суммы при бесконечно возраста-
Рис. П-4.
ющем числе слагаемых. Такие пре-
делы сумм очень часто встречаются
при решении многих технических
задач. Они приводят нас к опреде-
ленным интегралам. Рассмотрим
ближе структуру определенного
интеграла.
Пусть при а х sg Ъ нам задана
непрерывная функция у = / (х).
£. Найдем площадь, ограниченную
кривой у = / (я), осью абсцисс
и двумя ординатами х == a w. х = Ь.
Для этого разделим отрезок оси
ОХ от а до b на п равных мелких
участков (рис. П-4); длину каждого из этих участков обозначим Да:;
построим ординаты в полученных точках деления. Тогда вычисля-
емая площадь представит сумму площадей криволинейных трапеций,
основания которых — ординаты точек деления, а все высоты
равны Да:. Каждую из этих трапеций заменим прямоугольником,
построенным на основании Да: с высотой, равной ординате, соответ-
ствующей произвольной точке промежутка Да:. (На чертеже эти
ординаты обозначены пунктиром.) Если абсциссы точек, в которых
мы строим ординаты, равны а:х, а:2, . . ., хп, то высоты этих прямо-
угольников будут соответственно равны
/(ж1), /(ж2)..ZW
Сумма площадей всех прямоугольников, которой мы прибли-
женно заменяем всю вычисляемую нами площадь, будет равна
2 f (®)Дж
i=l
Погрешность, которую мы при этом делаем, будет тем меньше,
чем меньше Да:, т. е. чем больше мы возьмем число частичных про-
межутков. Естественно ожидать, что при безграничном возраста-
-54
нив п (числа промежутков) эта сумма будет стремиться к пределу,
который будет равен площади, ограниченной кривой у = / (х), осью
абсцисс и ординатами в точках х ~ a w х ~ Ъ. В курсах интеграль-
ного исчисления доказывается, что при весьма широких предполо-
жениях о функции У (х) (и во всяком случае для всех непрерывных
п
функций) выражение "S / (xt) t\x стремится к определенному пределу
t=i
при п->оо. Предел этот и называется определенным интегралом
функции / (х) в пределах от а до &:
f f (ж) dx — lim 2 У (*«) Дж	(41)
а	п СО 1=1
С геометрической точки зрения интеграл выражает собою площадь,
ограниченную кривой у — f (х), осью ОХ и двумя ординатами х — а
а х — Ь.
§ 10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ
ИНТЕГРАЛАМИ
К вычислению определенных интегралов приводит всякая гео-
метрическая и техническая задача, связанная с необходимостью
вычислять предел суммы бесконечно большого числа бесконечна
малых слагаемых.
Однако непосредственное вы-
числение определенного интеграла,
основанное на его определении (41)
как предела суммы бесконечно
большого числа бесконечно малых
слагаемых, обычно бывает весьма
затруднительным. Поэтому для вы-
числения определенного инте-
грала применяют другой метод,
основанный на зависимости, кото-
рая связывает неопределенный и
определенный интегралы.
X
Определенный интеграл J* f (х) dx выражает собою переменную
а
площадь ABCD, зависящую от х (рис. П-5).
Положим:
X
J (х) — J f (ж) dx
а
Найдем производную —• Вспоминая процесс построения про-
изводной, образуем А7; очевидно, AJ представляет площадь DCFE
х+Дх
и выражается интегралом J* f(x)dx. Будем для определенности
X
считать функцию f (ж) возрастающей. Тогда
55.
Площадь DCKE < площадь DCFE < площадь DMFE
или
/(ж) Дж < ДУ < / (ж +Дж) Дж
Деля на Дя, имеем:
УМ < ’^7 < /(® + Л®)
Переходя здесь к пределу при Да: ->• 0, мы получаем
f (*) < ~~ У (ж)
ах
dj 4, \
•откуда заключаем, что ~-^ = ]i..x).
Вспоминая определение неопределенного интеграла, мы видим,
что J (х), т. е. определенный интеграл
X
J У (ж) dx
а
•представляет собою одну из первообразных от f(x)i
X
J f(x)dx=F (ж) + С
а
Остается только определить значение постоянной С. Заметим,
что если х — а, то левая часть этого равенства обращается в нуль,
так как площадь ADCB в этом случае вырождается в прямую АВ.
Следовательно
О=/(в) + С, т. е. C = —F (а)
Отсюда
X
J f(x)dx = F (х) — F (я)
а
Так как х здесь может принимать любое значение между а и Ь,
то, полагая х = Ъ, найдем:
ь
J f(x)dx = F (b)-F (а)	(42)
а
Это — основная формула интегрального исчисления. Она сводит
вычисление определенного интеграла к нахождению интеграла
неопределенного.
Определенный интеграл равен разности значений первообразной
функции при верхнем и при нижнем пределах интегрирования.
Можно показать, что сделанное выше предположение о том, что
/ (х) — возрастающая функция, — несущественно.
Чтобы показать практическое приложение этих выводов, решим
задачу, которую уже раньше решили при помощи неопределенных
интегралов, приводя их к определенным:
dx , ,
т- — к {а — х)
Нт	'
56
Отсюда!
, dx
dx = -r~.---
к (a — X)
Если значениям хг и х2 соответствуют значения и т2, т°, со-
гласно последним выводам, можно написать:
—Т1 =
dx
к (а — х)

1 Г1П_1_Т«= 1 In-^L
к L а — х Jx,	к а — х2
§11.	ЗАДАЧА О НАГРЕВАНИИ
Определить количество тепла, необходимое для того, чтобы на-
греть 10 кг железа, имеющего температуру 20° С, до 100° С, если тепло-
емкость ct железа при температурах от 0 до 200° С определяется
формулой:
ct = 0,1053 + 0,000142г
Прежде всего напомним, что теплоемкостью тела называют коли-
чество тепла, необходимое для того, чтобы повысить температуру
единицы массы этого тела на 1 град. Однако опыты показывают, что
это количество тепла оказывается различным при различной темпе-
ратуре тела. Поэтому под теплоемкостью мы будем понимать про-
изводную:
где dQ — дифференциал количества тепла, которое необходимо сооб-
щить единице массы этого тела, чтобы нагреть его от температуры t
до температуры t + dt. (За единицу массы мы принимаем грамм,
а за единицу количества тепла — калорию.)
В поставленной задаче:
ct =	= 0,1053 + 0,000142г
Поэтому количество тепла, потребное для нагревания 1 кг железа
от 20 до 100° С, будет:
100
(?= J (0,1053 + 0,000142i) dt = [0,1053г + 0,000071г2]Й° = 9,106 ккал
20
Для 10 кг железа искомое количество тепла равно 91,06 ккал.-
§ 12.	ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ ИЗ ОТВЕРСТИЙ
Состояние газов и паров при пх истечении изменяется согласно
известному закону!
PiVi = pvn = const	(43)
где	и р, v — давления и объемы, соответственно, в начале
и в конце процесса;
п — показатель политропы.
5 7
Совершаемая при истечении газов и паров работа равна:
pi
А = J v dp
р
На рис. П-6 работа представлена площадью, заключенной между
кривой политропы и осью ОР. Вычислим эту площадь, которую обо-
значим через F. Примем следующие обозначения: х = р, y = v,
п ——i-; тогда у = схт, где с—постоянная. Мы найдем:
х3
Xm+1 1*»_ х^+1—х^+1
т-1-1	т-|-1
Так как
!/1 = сх^г; р2 = сх^
то для площади получим следующее вы-
ражение:
£ _ СХ^-Х2 — сх^-Х1 _ у2ж2—
т-1-1	m-j-1
Следовательно, для искомой работы имеем
такое выражение:
р*
А =
_Л_(р1У1_рг,) =
р
п
п — 1
п-1 
Р1»1 1
Кинетическая энергия вытекающего газа определится следу-
ющей формулой:
где пг—масса, полученная из расчета 1 кГ — ing',
g—ускорение силы тяжести;
w—скорость истечения.
Так как W = А, то для w отсюда получим следующее выражение:

(44)
Если площадь отверстия /, то количество газа или пара, проте-
кающего через него в секунду, составит:
г , 1 .ip
V V
где — величина, обратная объему v, отнесенному к едииице ве-
сового количества газа или пара.
58
Подставим сюда выражение для w из формулы (44) и выражение
для v из (43); найдем:

Найдем теперь величину давления р = pOi соответствующего
наименьшему сечению / = /0 отверстия сопла или насадки при по-
стоянном расходе G. Для этого мы должны определить максимум
функции под корнем:
2	п+1
Приравниваем ее производную к нулю:
2 ,	»+;
_ 2 р V	” + * ( р \ п
dp = npi k Pi )	пр! \ Pi )
Решаем это уравнение относительно — I
Значение давления р0, как видно, зависит только от показателя
политропы п и от начального давления рг газа или пара, но не зави-
сит от /0.
Величина р0 носит название критического давления, а назы-
вается критическим отношением давлений. Чтобы убедиться в том,
что при полученном значении р = р0 функция q> (р) действительно
имеет максимум, Найдем ее вторую производную:
<Р" (Ро) =
«2Р1
Так как <р" (р0) <С 0, то найденное нами значение рв соответствует
максимуму функции <р (р).
Критическому давлению р0 соответствует определенная ско-
рость ш0, которую можно получить из формулы (44), Подставив в нее
вместо р его значение из равенства (45). Найдем:
--------Г-------- п ц Ц I _____
2^т~гр^ [1-(т4т)^г п ] = У2ё^тР1Р1
Эта скорость в сечении сопла или насадки называется крити-
ческой скоростью; она представляет собой наибольшую скорость,
которая может быть достигнута с помощью малых отверстий.
59
Заменяя в уравнении (46) значения рг и vY через р0 и и0
ветственно, из формул (43) и (45), имеем:
соот-
и
“’о = У 2g	povo = Vgnpovi
f	fl 1	it
Пример. Для воздуха в количестве 1 кг при давлении 10 ат
100000—) и 27° С имеем p1v1 = RT1 = 29,27 (273 + 27) =
=8781 и, следовательно, значение ]/гр1а1 — 93,7. Показатель сте-
пени п = 1,4. Таким образом:
Ро = 0,528-10 = 5,28 ат
»о=3,38-93,7 = 316,7 м/сек
-^==2,1451/—=-^1М-= 2289 кг/м*-сек
t Г vi	V RTr
§ 13.	КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИИ
При выявлении скорости химических реакций определяют кон-
центрацию (или не относящиеся к ним другие величины) некоторых
реагентов, как функции времени при контролируемых, обычно изо-
термических, условиях. В дальнейшем задача заключается в том,
чтобы найти соответствующее уравнение, которое позволило бы
получать результаты при переходе к другим условиям работы.
Обычно такого рода уравнение находят путем подбора.
Часто с целью отыскания вида кинетического уравнения в пер-
вую очередь испытывается стехиометрическое уравнение реакции.
В том случае, когда этот путь не приводит к цели, составление кине-
тического уравнения па основе опытных данных представляет изве-
стные трудности (см. гл. III, стр. 112).
Рассмотрим реакцию аА -|- ЬВ -> сС 4- . . . при постоянном объ-
еме и постоянной температуре. Кинетическое уравнение этой реак-
ции имеет вид:
7г = Мпао-^)аЬМ- —
(47)
В этом уравнении для удобства постоянная величина объема реак-
ционной системы V включена в к.
В уравнении (47) к, а и Ь постоянные, которые должны быть вычис-
лены на основе экспериментальных данных. Метод их определения
может быть наиболее ясно описан при рассмотрении специального
69
случая, когда а = Ь и начальные количества реагентов равны между
собой. Тогда кинетическое уравнение примет следующий вид:

(48)
1.	Метод дифференцирования. Производная dxldx может быть
определена на основе опытных данных графическим или численным
способом (гл. XXIV). Так как
Рис. II-7.
Рис. П-8.
то к и п могут быть найдены с помощью логарифмического графика
(рис. П-7). При использовании двух точек на этой линии будем
иметь:
_ Ig (dx/dx)^— lg (dx/dx)i
~ 1g (nO0 —^2) —!g («ао —^1)
k = (dx/dx)i
(nao—xi)n
Если линия не является прямой, то реакция должна рассматри-
ваться как сложный процесс.
2.	Метод интегрированного уравнения. За исключением случая
когда п = 1, интеграл выражения (48) составляет:
(т^Г-иг—*’-
Необходимо принять некоторое значение для п с целью построения
графика в координатах [1/(геа0 — х)]п~1 и т. Если график рис. П-8
представляет прямую линию, то выбор значения п является пра-
вильным; величина к при этом вычисляется из тангенса угла наклона
линии. Отметим, что при п = 1 график строится в координатах
1g («яо — я) и 't-
изменения величины к в широких пределах для всех испытанных
значений п служат указанием на то, что реакция осложняется побоч-
ными процессами.
61
3.	Метод полураспада. Для 50% превращения, т. е. при х ==
« 0,5ия0, интегрированные уравнения кинетики принимают про-
стые форМЫ!
dx , .	.	__ In 2
-jf = k(na0—z);	т,/8---
^~k(na0-x)*,
л r	2n-1 1
-5— = k (na0—x)>*; Xi, —-г--tt—гт--	n#=l	(49)
dx	'* к (n — 1) «go1 ’
Представим последнее равенство в таком виде:
Ort—1_л
— (га —1) 1g гая0
Тогда график (рис. П-9)
для 1g т> /„ относительно 1g пя0
Давление р
Рис. П-10.
Рис. П-9.
должен быть прямой линией, наклон которой 1 — п и величина к
определится из равенства
,с : 2"-1-Г
г‘"г1>пао1
Этот метод имеет наибольшее значение в тех случаях, когда
реакция изучается при нескольких температурах или же при дру-
гих Переменных условиях, которые вызывают изменение величины к
при сохранении порядка реакции.
Пример. В процессе димеризации бутадиена были произведены
измерения общего давления во время протекания реакции при 326° С
и постоянном объеме. Эти данные представлены в первых двух столб-
цах табл. П-1. Остальные величины в таблице были вычислены при
решении этой задачи.
Кинетическое уравнение реакции принято в таком виде!
Найдем значения к и п с помощью указанных выше методов.
62
ТАБЛИЦА П-1
Г, MUH	p, мм pm. cm.	p = 2P-P0	dp dt	1000 p
0	632	632	8,8	1,58
5 	611	590	8,0	1,695
10	592	552	7,2	1,81
15	573,5	515	6,3	1,94
20	558,5	485	5,7	2,05
25	545	458	5,1	2,18
30	533,5	435	4,5	2,30
35	523	414	3,9	2,42
40	514	396	3,3	2,525
45	505	378	3,4	2,645
50	497	362	3,0	2,76
55	490	348	2,6	2,87
60	484	336	2,2	2,98
65	478,5	325	2,2	3,07
70	473	314	2,2	3,18
75	468	304	2.0	3,29
80	463	294	2,0	3,40
85	458	284	2,0	3,52 .
90	453	274	. . .	3,65
Парциальное давление бутадиена
Р=2Р-Р0
Метод 1. Производные —dpjdx вычисляются посредством фор-
мулы (57) (стр. 74). Приведем эти вычисления для трех точек при
п = Ат = 5:
(тг-) =0,1 (-3 - 632 + 4 - 590 - 552) = -8,8
\ аТ /о
( 4Ц = 0,1 (-632+552) = -8,0
\ аТ J1
(^Л =0,1 (632 - 4 - 590 + 3 - 552.) =-7,2
\ аТ / 2
и т. д. (см. табл. П-1).
Из графика для 1g относительно 1g р (рис. П-10) имеем
Ig(-dp/dT)—Ig 10 = Jg 10—1g 2
lg p - 1g 663	1g 663 —1g 296	,w
откуда
$- = 2,28-10-6p2
63
Метод 2. Принимая уравнение второго порядка, получим для
его интеграла
lit
y-w=AT
График для 1/р относительно т представляет прямую линию
(рис. П-11), что подтверждает правильность предположения о том,
что п — 2. Наклон этой линии
к	• 10"3 = 2,28-10-6 (лои рт. ст)'1 мин'1
84 — 0
Метод 3. Парциальное давление
достигает половины своего начального
значения при п/2 = 69. Следовательно,
из (49) для реакции второго порядка
1 ______1_ =
Ti/2Po 69-632
= 2,28 • 10-6 (мм рт. ст)'1 мин'1
Сопоставляя уравнения кинетики, в ко-
торых движущая сила выражена через
давление и концентрацию
Рис. 11-11.	--—- — кр^ и—^- = *сС2
UT,	’ и V
получим
кс = кИТ — 2,28 • 10~Б • 62,4 • 599 = 0,85 л  моль'1  мин'1
§ 14.	СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Основные свойства определенного интеграла следующие.
1.	Если верхний и нижний пределы равны между собою, то опре-
деленный интеграл равен нулю:
а
J / (х) dx = 0
а
2.	При перестановке местами пределов интегрирования опреде-
ленный интеграл меняет знак:
Ь	а
| / (х) dx = — J / (х) dx
а	b
3.	Если мы имеем три числа а, & и с, то
Ь	с	с
J / (х) dx~\~ J / (х) dx= J / (х) dx	(50)
aba
Это, в сущности, значит, что площадь, заключенная между а и с,
равна сумме площадей между а и Ъ и между Ь и с.
64
Формула (50) справедлива и тогда, когда b не заключено между
а и с. Пусть, например, а <С с < Ь, тогда
ebb
J / (х) dx-j- J / (х) dx = J / {х) dx
а	с	а
НО
Ь	с
J / (х) dx = — J f (х) dx
с	Ь
Вычтя второе равенство из первого, найдем:
с	b	с
J f {х) dx= J f {х) dx + у / (х) dx
а	а	Ь
Таким образом, формула (50) оказалась верной и для данного
случая.
Если подынтегральная функция / (ж) при а < х <$ Ь отрица-
ь
тельна, то определенный интеграл J j{x)dx будет иметь отрица-
а
тельное значение. Например
2 it
У sinjcda: = —(cos 2л—cos л) = —2
1С
Следовательно, при вычислении площадей кривых, расположен-
ных под осью ОХ, мы получим для величины соответствующего
интеграла отрицательное значение.
Отсюда становится понятным следующее.
а
Определенный интеграл § / (x)dx равен нулю, когда функция
-а
f(x) — нечетная, т. е. если / (х) — — / (ж).
а
Например, J хп dx — 0 (при п нечетном).
-а
§ 15. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Под средним значением функции / (х) на промежутке [a, L ] пони-
мают следующее число:
ь
1 С
Т=7 J f[x}dx
5 Заказ 1706
65
Интеграл J f(x)dx выражает собою площадь криволинейной
а
трапеции APQE (рис. П-12). Если построить прямоугольник АСВЕ,
равновеликий площади этой трапеции, то, очевидно:
ь
(b — a)FD=§f(x)dx	(51)
а
Отсюда заключаем, что среднее значение функции есть орди-
ната FD. Если абсцисса точки F есть с, то FD = / (с) и формулу (51)
можно записать так:
ь
J t(x)dx=(b— a) f (с)	(52)
а
Формула (52) выражает так называе-
мую теорему о среднем значении опреде-
ленного интеграла.
Пример. Определить среднее значе-
ние ут функции у == sin ах в интер-
вале (О, ^-) •
По правилу нахождения среднего зна-
чения имеем
7С
а
ут= — sin (ах) dx =	= 0,6366
о
т. е. ут не зависит от а.
Пример. Если тело, находящееся вблизи поверхности земли,
выходит из состояния покоя и начинает падать, то, как известно,
пройдя при падении путь S = 6\, оно приобретает скорость ц\ =
= /2^, где g = 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести. (Сопро-
тивление воздуха в расчет не принимается.) Показать, что на проп-
с	2
денном пути о, средняя скорость tecp равна -у а\-.
st
J	О	о
о
Если взять среднюю скорость по отношению не к пути, а ко вре-
мени падения тг, то она окажется равной половине конечной ско-
рости w-i — gx1, ибо здесь мы будем иметь:
Т1
1 С ,	1,1
к’ср = — \	= у = у а>1
о
66
Из этого примера можно видеть, что среднее значение непре-
рывно изменяющейся величины определяется не только совокуп-
ностью значений последней, но также и выбором аргумента, в зави-
симости от которого мы изучаем изменение нашей величины.
§ 16. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ РЕАКЦИИ
Для инверсии сахара была выведена формула (5):
где а — количество вещества, присутствующего в начале реакции;
к — постоянное число.
Отсюда
x=a(i-e~k^	(53)
Определим зависимость скорости реакции, с которой совершался
этот процесс, от величины х.
Скорость реакции w находим дифференцированием функции (53)
по времени:
w =	= аке~к~
dr
Исключая е~к~- отсюда и из формулы (53), находим:
и> — к (а — х)
В первом случае скорость реакции w выражена через продолжи-
тельность процесса, а во втором — через количество превращенного
вещества.
Определим теперь среднюю скорость реакции для обоих случаев.
Пользуясь формулой для среднего значения функции, получим:
1 С । -ьт j а(е~кч—е~к11) Wo — ivt
w,=------- I акек- dx = —-— ------ =	s—г2—-
Т1— т0 J	Тх—т0 1пи>0 — Inwj
то
И
wx= -1 f к (a-x)dx^^~^	=
*1-*о J v '	2(Х!-ХО)	2
лг0
И здесь среднее значение изменяющейся величины зависит от
выбора аргумента.
Причина этого, на первый взгляд, странного факта такова: сред-
нее значение функции у есть предельное значение среднего арифме-
тического из значений функции у, взятых через равные промежутки
аргумента х.
В самом деле, если между а — хй и Ъ — хп вставить числа хъ
ж2, • • ., хп_г так, что
& — а.
,	х0 — —^1=“ . . . — — хП-1—'““Т *
5’
67
то среднее арифметическое значений у0 = ср (,г0), у, = ср (zj, . .
Уп-i = Ф (^л-1) бУДет Равно:
(Р+о)++(*1) + . • • + ф(*И-1) 
п
<pto>) (г1~ *<>) +<р+1) +2—^1) + • • • + ф tol-1) tol~*n-l) _
b — a
n •-------------------------
n
2<Pto)to+i —
b — a
Если теперь вместо аргумента х ввести другой аргумент т, то
через равные промежутки времени его изменения функция у будет
принимать уже не те значения, причем может оказаться, что, напри-
мер, интервал, где у принимает сравнительно большие значения,
относительно удлинится, и тогда среднее значение функции будет
бблыпим, чем в первом случае.
С чисто математической точки зрения подходящей заменой неза-
висимой переменной можно получить в качестве среднего значения
любое значение функции у в промежутке (а, Ь).
§ 17. СРЕДНЯЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ БЕНЗИНА
Для бензина зависимость теплоемкости с (при постоянном давле-
нии) от температуры t выражается формулой:
с = 0,2237 + 0,0010228г
Найдем среднюю теплоемкость ст бензина для температур, лежа-
щих в йнтервале от 116 до 218° С:
218	218
1 С	1 С
\ cdt = ~Tm \ (0,2237 + 0,0010228г) dt = 0,3945
21g —НО J	j
116	116
§ 18. ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим графический способ построения первообразной функ-
ции F (х). Для этой цели запишем F (х) в виде определенного инте-
грала с переменным верхним пределом:
X
F (х) = J f (х) dx	(54)
*0
Если величину этого интеграла принять за ординату точки на
новой кривой, соответствующей абсциссе х, то эта кривая и будет
графиком первообразной функции F (х). Имея эту кривую, мы смо-
жем графически получить величину интеграла (54) при любом х.
Изменение нижнего предела xQ в интеграле (54) равносильно
прибавлению к F (х) некоторого постоянного числа.
Допустим, что функция / (х) изображается ступенчатой линией
ABCDEFGH (рис. 11-13). Пусть ординаты отрезков АВ, CD, EF,
68
GH соответственно равны: 0,5; 1; 0,25 и —0,5. На ординате точки А
выбираем где-либо точку А', которую примем за начальную точку
кривой у = F (х). Так как функция у — / (х) имеет постоянное зна-
чение 0,5 в интервале АВ, то функция у = F (х) есть в этом интер-
вале отрезок прямой А’С, образующей с ОХ угол, тангенс которого
равен 0,5. Точно так же в ин-
тервале CD функция у = F (х)
есть отрезок CD’ прямой, про-
ходящей через точку С и об-
разующей с ОХ угол, тангенс
которого = 1. Таким же образом
построим отрезки D'F' и F'H',
соответствующие последним
двум отрезкам графика функ-
ции / (х).
Тангенсы углов наклона f 4
можно графически определить
следующим образом: на оси
абсцисс влево от начала коор-
динат отложим отрезок ОР,
равный единице в масштабе оси
абсцисс. Пусть отрезок АВ
проектируется на ось ординат в точку V. Соединим точки Р
и V. Тангенс угла, который PV образует с осью ОХ, будет, очевидно,
равен ординате отрезка АВ. Для построения графика А'С нужно
через А' провести отрезок, параллельный отрезку РУ.
Иногда пределы изме-
нения х и у бывают та-
ковы, что пользование
одинаковыми масштабами
для координатных осей х
и у является непрактич-
ным. При этих обстоя-
тельствах может быть вы-
ведено простое соотно-
шение между масштабом
построения графика кривой
у = / (х), расстоянием ОР
(называемым полярным рас-
стоянием) и масштабом для измерения ординат интегральной кривой.
Пусть их и иу — длины единиц масштаба на осях ОХ и OY для кривой
/ (х), Р — Длина полярного расстояния ОР и ut — длина единицы
масштаба, в котором строятся ординаты интегральной кривой. Для
того чтобы можно было пользоваться вышеуказанным построением,
при котором отрезок С D параллелен PV, мы должны иметь; —
их Р
откуда:
и,- р
(55>
69
Это равенство выражает зависимость, связывающую длину поляр-
ного расстояния р с масштабами на координатных осях ОХ и OY
и масштабом для измерения ординат интегральной кривой.
Из рис. И-13 ясно, что их = иу = р = uz.
На рис. П-14 показано применение к любой функции этого
способа построения интегральных кривых.
Кривая у = / (ж) заменяется ступенчатой линией, которая стро-
ится так, чтобы площади следующих друг за другом треугольников,
расположенных выше и ниже данной кривой, были приблизительно
равны между собой. После того, как ступенчатая линия построена,
откладывается полярное расстояние и применяется вышеизложен-
ный метод.
Точность полученной таким образом интегральной кривой будет
зависеть от числа построенных треугольников и от того, насколько
строго выполнено условие равенства площадей.
На рис. П-14 длина масштабной единицы на оси ОХ принята
равной единице, а длина масштабной единицы на оси OY равна 2.
Полярное расстояние равно 2,5.
Из формулы (55) имеем длину масштабной единицы для изме-
рения ординат интегральной кривой:
иг = -|у- = 0,8
§ 19. АБСОРБЦИЯ ХЛОРА ИЗ ВОЗДУХА
РАСТВОРОМ ЕДКОГО НАТРА
(ХИМИЧЕСКАЯ АБСОРБЦИЯ)
Газовая смесь, содержащая 50% хлора и 50% воздуха, обраба-
тывается раствором едкого натра с целью удаления 99,5% хлора.
Скорость газового потока при 15,5° С и атмосферном давлении
составляет 113,4т1 м3/ч.
Процесс абсорбции предполагается провести в башне диаметром
0,3 м. Экспериментальные данные для абсорбции хлора из газовых
смесей представляются таким выражением:
Хга = 0,5СМ
гдеЛй — общий коэффициент массопередачи в газовой фазе,
кмоль/ч • м2 • ат;
а — поверхность насадки на единицу объема башни, м2/м3;
G — массовая скорость газа, кг/ч-м2.
Определить высоту насадочного слоя в башне.
Можно принять, что процесс абсорбции находится в зависимости
от сопротивления газовой фазы и парциальное давление хлора у
на поверхности раздела фаз равно нулю, так как хлор мгновенно
вступает в реакцию в жидкой фазе.
Мольная скорость потока воздуха в колонне:
„	56,7	273	4	.
Смв ~ 22j ’ W 3,14 - 0,09 = 33,8 КМ°ЛЬ14 ' М
70
Мольная скорость хлора при поступлении в колонну:
33,8 кмолъ/ч • м2
Мольная скорость хлора при выходе из колонны:
33,8 • 0,005 = 0,169 кмолъ/ч • м2
Будем рассматривать колонну по секциям и примем, что коэффи-
циент массопередачи изменяется пропорционально отношению Р/рт
Кга = 0,5 —gm
’	Рмв
где Р — общее давление в си-
стеме;
рмв— средняя логарифмиче-
ская разность давле-
ния воздуха в газе рв
и на поверхности фаз.
Так как парциальное давле-
ние воздуха на поверхности
раздела фаз равно 1 ат, то
В пределах рассматриваемых
здесь концентраций эта раз-
ность будет приближенно сред-
ней арифметической. Тогда:
Р
*"	Рмв Рв+1 2 у
где у = рв/Р.
Высота насадочного слоя определяется графическим интегриро-
ванием (рис. П-15), причем в первую очередь правая часть этого
равенства должна быть вычислена для нескольких промежуточных
значений у. На выходе из колонны имеем:
°’169 nw.
^='W=0’005
В любой точке колонны мольная скорость потока хлора равна
G -у -
мв 1-у •
Для массовой скорости газа:
G= (29+71	) GMB
Найдем значения величин G, К(;а и l/KGa (1 — у)г(у — У) для
нескольких промежуточных значений у (см. табл. П-2).
71
ТАБЛИЦА П-2
№ точек	Вход	2	3	4	5	Выход
У	0,5	0,3	0,2	0,1	0,05	0,005
У/(1— у)	1,0	0,43	0,25	0,11	0,05	0,005
71 (у/1 — у)	71,0	30,5	17,7	7,8	3,5	0,35
G = 33,8 (29+^0	3380	1975	1580	1242	1100	990
GO,в	660	426	362	301	292	250
2	1,33	1,18	1,11	1,05	1,02	1,00
2-У						
К а =	G»<» G 2 —у	440	250	200	157	148	132
1	0,0183	0,0272	0,0390	0,0785	1,49	1,52
KGa (1 —у)2 у						
Интегрирование проводится в пределах между у = 0,5 и 0,1.
Неудобным является интегрирование для у < 0,1, так как интеграл
быстро возрастает при малых значениях у.
Площадь под кривой дает:
0,6
0,1
dy
KG<4i — y}2y
= 0,012
Таким образом, получим:
Z1 = 33,8 -0,012 = 0,405 м
Для у < 0,1 могут быть использованы уравнения, которые при-
меняются для расчета абсорбции компонентов из разбавленных
смесей газов. Кроме того, \у—у, так как у=0. Поэтому имеем:
,	G 'M	i n
^2 — iz п .......
KG-aP у2
При промежуточном значении у = 0,05:
°““33-8 (1+-5»“35-в
KGa = 148
Следовательно
35,6 , 0,1
22 = Ч48Г1ПОЖ=0-75
Общая высота насадочного слоя:
z = zt+z2 = 0,405 + 0,75 = 1,15 ж.
72
§20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА МАСЛА, ПРОТЕКАЮЩЕГО
В ТРУБОПРОВОДЕ
Для дополнительной иллюстрации графического метода интегри-
рования рассмотрим задачу об определении количества масла, про-
текающего в трубопроводе, причем предполагаем, что жидкость
обладает большой вязкостью и распределение скорости по диаметру
трубопровода характеризуется функцией w ~ f (г).
Радиус трубопровода R, w — скорость движения масла на рас-
стоянии г от центра. Выделим в поперечном сечении трубопровода
кольцевой полукруг толщиной dr и длиной пг (рис. 11-16). Площадь
этого элементарного кольца равна яг dr, и объем потока масла, про-
текающего через это сечение, будет umrdr м3/сек. Значение объема
потока для половины поперечного сечения трубо-
провода получим интегрированием потоков жидко-
сти, проходящей через элементарные сечения, ра-
диусы которых меняются в пределах от 0 до Я. Так
Как объемы потоков для обеих половин трубопро-
вода одинаковы, то полный объем потока будет равен:
R
V	= 2 л J wr dr
о
Заменяя w через / (г), найдем:
R
V	= 2л J / (г) г dr	(56)
о
Рис. 11-16.
Возможность интегрирования этого выражения обычным методом
зависит от вида функции / (г). Однако графически оно может быть
проинтегрировано очень легко. Для этого нужно построить график
функции г/ (г) и умножить величину площади, ограниченной полу-
ченной кривой в пределах от г = 0 до г — R, на 2л. Так как г dr =
= -^-d(r2), то формулу (56) можно написать следующим образом:
V = л Р f (r')d (r2)
o'
Интегрирование осуществляется графически, причем по оси ОХ
откладываются значения г2, а по оси OY — значения / (г).
Помимо графического метода вычисления интегралов, существуют
и другие приближенные способы нахождения интегралов, весьма
употребительные на практике. Так как определенный интеграл
геометрически выражает собою некоторую площадь, то его вычисле-
ние можно заменить вычислением площади соответствующей фигуры.
Если .график интегрируемой функции нанесен на клетчатую бумагу,
причем площадь каждой клетки известна, то вычисление интеграла
сводится к подсчету числа клеток и их частей.
73
Для измерения площади, ограниченной замкнутой линией, можно
также пользоваться планиметром. При таком измерении нужно
обвести планиметром контур, ограничивающий измеряемую пло-
щадь, а также контур квадрата или прямоугольника с известной
площадью и сделать два отсчета на планиметре, после каждого
обвода.
Искомый интеграл получим, умножив площадь прямоугольника
на отношение двух отсчетов на планиметре.
§ 21. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В тех случаях, когда подынтегральная функция в определенном
интеграле такова, что вычисление неопределенного интеграла затруд-
нительно или даже невозможно, пользуются приближенными мето-

дами вычисления. Эти ме-
тоды позволяют найти при-
ближенно определенный
интеграл также и в тех
случаях, когда аналитиче-
ское выражение подын-
тегральной функции не-
известно, а задана лишь
кривая, соответствующая
подынтегральной функции,
или известна лишь та-
блица числовых значений
подынтегральной функции для некоторых значений аргумента.
Существует много методов для приближенного вычисления инте-
гралов. Наиболее употребительны два: метод трапеций и метод Симп-
сона.
Пусть нам требуется вычислить определенный интеграл:
ь
J f (я) dx
а
где / (х) — непрерывная функция. Разобьем промежуток Ь — а
на п равных частичных промежутков точками а — х0, ж1, х2, . . .,
ж„_1, а"п = Ь (рис. П-17) и проведем в этих точках ординаты у0,
Ух,  	Уп-1> Уп- Точки пересечения этих ординат с кривой соеди-
ним последовательно хордами МгМ2 и т. д. За приближенное
значение определенного иптеграла примем сумму площадей полу-
ченных таким образом трапеций. Если принять
^1	^0 —	— • • • —	З'Л-1 —
то для определенного интеграла получим следующее приближенное
значение:
ь
J / (я) dx h	+ Уг +  • • + У п-1 +	(57)
а
74
Эта формула называется формулой трапеций. Для
пользования ею необходимо знать значения подынтегральной функ-
ции в точках х0, жх, х2, . . ., хп. Если подынтегральная функция
задана графически, то эти значения снимаются с чертежа, а если
она задана аналитически, то у0, ух, у2, . . ., уп находятся вычисле-
нием, путем подстановки в подынтегральную функцию абсцисс
Для получения формулы Симпсона промежуток интегрирования
b — а следует разбить на четное число промежутков длины h
точками х0 = а, жх, ж2,. . ., х2п_1, х2п = Ъ и провести в этих точ-
ках ординаты у0, Ух, у2, , Уъп до
пересечения с кривой в точках Мо,
Мг, М2,. . ., М2п (рис. П-18). Да-
лее через точки M0MxM2 прово-
дится парабола с осью, параллель-
ной оси ОУ, через точки М2Л/3М4
проводится другая парабола, с осью,
параллельной оси OY, и так далее.
Дуга кривой М0М2п заменяется,
таким образом, [дугами п парабол,
проходящими через точки M2k,
М2ь+х, M2k+2 (к — О,
п — 1), оси которых параллельны
оси OY. Принимая за величину
интеграла площадь, ограниченную этими дугами парабол, осью ОХ
и крайними ординатами, мы получим формулу Симпсона:
ь
I f (х) dx [г/о+4 (2/1-Н/з+- • •+.'/2п-1) + 2 (//2 +/М + • • > + У2п-2) + У2п]
а
(58)
При одном и том же числе частичных подразделений формула
Симпсона дает, как правило, значительно более точный результат,
чем формула трапеций.
§ 22. КИНЕТИКА АДИАБАТНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Если а — начальная мольная концентрация реагирующего ве-
щества, аж — его убыль к моменту времени т, то в случае моно-
молекулярной необратимой адиабатной реакции х оказывается свя-
занным с т следующим уравнением
dx
— ==К(а—х)	(59)
причем К является уже не константой, а следующей функцией
температуры Табс:
75
Температура, которую принимает реакционная масса в момент,
когда прореагировало х молъ!л, находится с последней величиной
в такой зависимости:
(a-x)qb = Q (Тк-Т)	(60)
где q — тепловой эффект реакции;
Ъ — объем реакционной массы;
Q — теплоемкость, отнесенная ко всей реакционной массе;
Тк — конечная температура.
Найдем время, которое потребуется для того, чтобы температура
реагирующей массы повысилась от Тх до Т2.
Поскольку переменными являются х и Т, то, дифференцируя
равенство (60), найдем:
dT   qb dx
dx	Q dx
Исключая отсюда и из исходного дифференциального уравне-
dx
ния , получим:
Используя уравнение (60), исключим отсюда (а—х):
Разделяя переменные, получим:
После интегрирования находим:
т = е’Е f ~F~TdT
J 1 к L
Этот интеграл невозможно выразить через элементарные функции.
Применяя формулу Симпсона, найдем его приближенное значение,
приняв за пределы интегрирования Тг и Т2. Разобьем промежуток
интегрирования Г2 — Тх на два частичных промежутка. Тогда
« = 2—’ а значения подынтегральной функции в точках 1Х
А	2А	А
е т,	е-т^т7	е Тг
ТК~ТХ ’	Т\+Т2 ' тк-т2
1 К	Г
76
Подставив эти величины в формулу Симпсона, найдем:
Эта формула с успехом была применена при исследовании ско-
рости каталитического разложения перекиси водорода в присут-
ствии ионов иода.
Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ПРОЦЕССЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Многие химические реакции и физические процессы характери-
зуются тем, что скорость изменения переменной величины пропор-
циональна значению этой же переменной в первой степени. Такие
процессы называются процессами первого порядка.
Процессы эти описываются уравнением:
dx
di
= kx
(1)
В случае химической реакции входящие сюда величины означают:
х — количество вещества;
k — постоянная величина (константа скорости реакции);
т — время.
Рассмотрим следующие примеры.
а)	Радиоактивный распад. Радиоактивный распад происходит
таким образом, что уменьшение количества атомов — dN за время dx
пропорционально числу N оставшихся атомов, т. е.:
—dN*=KNdx
(2)
где X — свойственная данному веществу постоянная, называемая
константой радиоактивности.
Требуется вычислить с помощью уравнения (2) количество N
атомов, не распавшихся к моменту т, если в момент х = 0 было No
атомов.
Разделим обе части уравнения (2) на N и проинтегрируем левую
часть по N, а правую — по т; получим
St—
откуда
1пА = —Хт4-С
(3)
78
Значение постоянной интегрирования С находим из условия, что
при т = О N = No. Отсюда С = In Ne. Подставив это значение
в формулу (3), получим:
1п-^-=-Хт»	(4)
Яо
Особый интерес представляет определение времени т = t, в тече-
ние которого число атомов уменьшится вдвое. Для этого нужно
N 1
в формуле (4) положить —.
Тогда будем иметь
—Хг = In -|-
откуда
t { Ш 2 =	(5)
Время t называют периодом полураспада. Например, для радона
1 = 2,084-10-8 (при измерении времени в секундах). Подставив
эту величину в формулу (5), получим период полураспада радона
t — 3,15 суток.
б)	Средняя продолжительность существования атома радиоактив-
ного вещества. Пусть No — число атомов радиоактивного вещества
в момент т = 0. Вычислим на основании предыдущего примера
среднюю продолжительность существования одного атома.
Количество атомов, сохранившихся в течение времени т и рас-
павшихся в последующий промежуток времени dr, на основании
уравнений (2) и (4) равно:
dN = dx
Это выражение представляет собой количество атомов, имеющих
продолжительность существования, равную т. Для того, чтобы полу-
чить среднюю продолжительность существования атома, нужно
это количество dN атомов умножить на время т, в течение которого
эти атомы существовали, проинтегрирова ть по т в пределах отт = 0
до т = оо и разделить на первоначальное количество атомов 2У0.
Обозначив искомую среднюю продолжительность чё^ез 0, будем
иметь:
СО
а I' лг -1- //	1
о
Так как для радона X = 2,084-IQ-8 сек-1, то средняя продолжи-
тельность существования атома радбйа равна:
0= Ю6 : 2,084 = 5,552 суток - 133,26 ч
в)	Изменение концентрации раствора. В резервуаре имеется
100 л раствора, содержащего 5 кг растворенного вещества (соли).
79
В него поступает чистая вода со скоростью 30 л]мин. Одновременно
из этого резервуара с той же скоростью удаляется раствор. Пере-
мешивание обеспечивает одинаковую концентрацию соли во всем
резервуаре. Сколько соли останется в резервуаре к .моменту вре-
мени т?
Простейший способ составления дифференциального уравнения
для задач на скорость истечения заключается в написании очевид-
ного соотношения:
Приращение dg = приход — убыль	(6)
где g—количество соли.
Очевидно
Убыль g= (скорость истечения раствора) • (концентрация) • (время) (7)
а также:
0
Концентрация = ~
где V — объем раствора, a g — общее количество соли ко времени т.
В данном случае количество поступающей соли равно нулю,
так как в резервуар поступает чистая вода.
Концентрация соли в удаляемом растворе равна у-, скорость
истечения раствора составляет 30 л/мин.
Следовательно
Убыль соли=30- dr = 0,3g </т
так как объем раствора постоянен и равен 100 л.
Подставляя зти данные в (6), получим:
dg = — 0,3g dr
Интегрирование при начальном условии g — 5 при т = 0 дает
In у = — 0,3т
откуда:
г)	Определение константы скорости реакции гидролиза двубром-
янтарной кислоты. Двубромзамещенная янтарная кислота, взя-
тая в количестве 5,11 г, гидролизуется в воде, нагретой до определен-
ной температуры, по реакции: GOOH—СН2—СВг4—СООН -f-Н 2О =
в СООН—СН2—СО—СООН -j-2НВг. При этом количество кислоты
для различных моментов времени определяется следующими
цифрами;
Время т, мин............... 0	10 20 30 40 50 60
Количество кислоты с, г... 5,11 3,77 2,74 2,02 1,48 1,08 0,80
80
Требуется вычислить константу скорости реакции к в предполо-
жении, что эта реакция первого порядка, и установить, окажется ли
при этом к постоянной величиной.
Если с обозначает количество кислоты (в граммах), остающейся
ко временит, а с0 — начальное количество кислоты, то из уравнения
для процессов первого порядка (см. пример а, стр. 78) имеем In — =
со
= —Лт.	ТАБЛИЦА Ш-1
2,303 1g —	т, мин	С Со	ig с&	ft
Таким образом, к =		—-°‘				
Подставляя вместо с и т их значения, получим следующие				
	10	0,738	-0,1319	0,031
данные (табл. Ш-1).	20	0,536	—0,2708	0,031
Постоянство значений к свиде-	30 40	0,395 0,290	-0,4034 —0,5376	0,031 0,031
тельствует о том, что данная	50	0,211	-0,6757	0,031
реакция является реакцией пер-	60	0,157	—0,8041	0,031
вого порядка. д) Задача о вентиляции цеха.	Воздух	в поме	щении це;	'са, име-
ющего размеры 30 X 30 X 12 м3, содержит0,12% двуокиси углерода.
Сколько свежего воздуха (в м3) должно поступать в 1 мин для того,
чтобы через 10 мин содержание двуокиси углерода не превышало
0,06%? (Концентрация двуокиси углерода в свежем воздухе равна
0,04%.)
Допускаем, что смешение свежего воздуха с загрязненным про-
исходит медленно.
Примем следующие обозначения:
у— концентрация СО2 ко времени т, объемн. доли;
а — количество поступающего воздуха, м3!мин;
V — объем помещения, At3;
у0—начальная концентрация СО2, объемн. доли;
g — концентрация СО2 в свежем воздухе, объемн. доли.
На основании (7) заключаем, что ко времени т
Приход СО2 за время dx — agdx
Так как загрязненный воздух выходит через неплотности в две-
рях и окнах с той же скоростью, с какой поступает свежий воз-
дух, то
Убыль СО2 за время dx — aydx
Общее количество СО2 ко времени т равно Vy,
Отсюда следует, что приращение СО2 за время dx равно d (Vy)
или V dy, так как V — постоянная величина.
йользуясь зависимостью (6), получаем:
Vdy = agdx — aydx	(8)
Для решения этого дифференциального уравнения и доказатель-
ства, что рассматриваемый процесс есть процесс первого порядка,
введем новую переменную х:
z=y—g
в Заказ 1706
81
Отсюда имеем dx = dy, так как g — постоянная величина. Тогда
уравнение (8) может быть написано в виде:
dx а
~dx'== “V Х
Разделив обе части этого уравнения на х и проинтегрировав,
получим:
dx	а а
— —-----=	dr; 1пх = —=г-т + С
х	V V
При т = 0 у обращается в у0, а х в у0 — g; обозначим у0 — g —
= х0. Тогда для С получаем значение С = 1па:0 и, следовательно*
откуда
Возвращаясь к переменному у, имеем:
Подставим сюда следующие числовые значения: И = 10 800;
т=10; у = 0,0006; у0 = 0,0012; g = 0,0004. Находим:
= 1080 • 1,386 = 1500 я?/мин
На самом деле потребуется значительно меньшее количество-
свежего воздуха, который, вопреки принятому допущению, смеши-
вается с загрязненным не немедленно, а постепенно, и в значитель-
ной мере вытесняет его.
е) Закон охлаждения тела. Тело имеет температуру tr, а окру-
жающая его среда — постоянную температуру t0, причем t0 <
Требуется найти закон охлаждения этого тела.
Во время охлаждения температура тела падает от t1 до t0. Допу-
стим, что в некоторый момент времени т температура тела равна £
и, следовательно, превышает температуру £0 окружающей среды
на t — tQ. Известно, что бесконечно малое количество тепла —^dQ,
отданное телом в бесконечно малое время dx, пропорционально
разности температур тела и окружающей среды:
—dQ — к (t— Zo) dx
где к — постоянная.
82
Количество тепла, отдаваемого телом при охлаждении от t до t0,
определяется формулой:
Q = mc(t— г0)	(10)
где т — масса тела;
с — его теплоемкость, которую будем считать постоянной.
Дифференцируя (10), получаем:
dQ = тс dt
Подставив это выражение для dQ в (9), найдем:
—mcdt = k(t—t0)dx	(11)
Написав уравнение (11) в виде
тс dt
------------- dx
к t — to
и проинтегрировав, получим:
— -^1п(«-г0) = т + С	(12)
Если т = 0, то t — tlt а поэтому
(13)
Вычитая (13) из (12), находим:
Решив это уравнение относительно i, найдем закон охлаждения тела:
/?т
ж) Задача о барометрическом давлении. Два пункта располо-
жены вертикально один над другим на высотах h2 и h.2'J> hA над
уровнем моря. Пусть барометрические давления в этих пунктах
равны, соответственно, Ъг и Ъ2 ммрт. ст. Найти зависимость между
разностью высот /г2 — h2 и барометрическими давлениями на этих
высотах, если столб воздуха между обеими точками имеет всюду
одинаковую температуру 0° С и лишен водяных паров (изменением
ускорения силы тяжести с высотой пренебрегаем).
Как известно, давление, производимое газом, обратно пропор-
ционально его объему и, значит, пропорционально плотности газа.
Обозначим через р давление, которое производит воздух на
горизонтальную площадку, расположенную на высоте h над уровнем
моря, а через р -|- dp обозначим давление на такую же площадку
йа высоте h -f- dh. Разность этих давлений dp равна, очевидно,
весу (отнесенному к единице поверхности) столба воздуха с высотой
6*	83
dh, который находится между обеими площадками. Поэтому, если у
есть плотность воздуха на высоте h, то мы будем иметь:
dp = —ygdh	(14)
Если у0 обозначает плотность воздуха при давлении ра, то:
PYo
р:ро = ?:?о; 7 = -^
Ро
Подставив это значение у в (14), получим:	. v
dh=-J*
gYo P
Пусть pY и p2 — давления на высотах hY и Л2. Проинтегрируем
левую часть этого уравнения в пределах от h = hx до h = h2, а пра-
вую — в пределах от р ~pt до р = р2:
h,	р
J gYo J Р
bi	Pi
Получим:
Л2—Л1= — (In р2 —Inpi)	—
gYo	gYo Р2
Так как показания барометра пропорциональны давлению воэ-
П.	Ьл
духа, то вместо — можно подставить —
Р2	Ь2
Таким образом:
Л2—hi ='-^2-]п-^.
gYo bi
Обозначив ~~ через к, получим:
Л2—hi = k ln-^1-
&2
или
ht-ht
bi = b2e k
У поверхности земли при температуре 0° С числовые значения р0
и gye для сухого воздуха:
Ро= 10333 кГ/л2; gy0 = 1.293 кГ/м»
Отсюда
.	.	10 333-2.303 , bi
^-^=^293-----------lg77
При помощи этой формулы можно приближенно вычислить так
называемую ступень высоты, т. е. высоту (выраженную в метрах),
84
на которую нужно подняться, чтобы показание барометра измени-
лось на 1 мм. Для ее вычисления примем = 760 лам, тогда Ь.>
будет равно 759 мм. Мы найдем:
Л2—Л1 = 10,5 м
з) Кинетика сушки. Твердый материал подвергается сушке воз-
духом в сушильном вращающемся барабане диаметром 1,5 м и дли-
ной 15 м. Барабан заполнен по всей длине на одну треть площади
поперечного сечения; ось его образует некоторый малый угол с гори-
зонтом. Материал поступает в аппарат с постоянной скоростью
и передвигается под влиянием силы тяжести. Исходный материал
содержит 2 масс. ч. воды на 1 масс. ч. сухого вещества. При выходе
из сушилки материал содержит 0,1 масс. ч. воды на 1 масс. ч. сухого
вещества. Между объемом высушиваемого материала и количеством
содержащейся в нем воды предполагается линейная зависимость.
Насыпная плотность поступающего в аппарат материала 500 кг/м9,
а конечного продукта 330 кг/м3. Производительность сушилки 220 кг!ч
по готовому продукту. Скорость сушки принимается пропорциональ-
ной влагосодержанию. Требуется определить продолжительность
сушки.
Из условий задачи имеем, что производительность сушилки,
считая на сухое вещество, составляет:
220-0.9 = 198 кг/ч
Так как процесс является установившимся, то это количество
сухого вещества проходит в 1 ч через каждое сечение аппарата.
Пусть v обозначает объем 1 кг высушиваемого материала, а т —
кассу содержащейся в нем воды. По предположению, v есть линейная
функция от т, т. е.:
v = am-\-b
где а и Ъ — постоянные.
Далее, обозначим через w скорость движения материала в сече-
нии на расстоянии х от места загрузки, а через F — площадь попе
речного сечения материала, которая составляет V3 площади сечения
аппарата. Плотность материала р равна —. Количество материала,
проходящего в 1 ч через любое сечение барабана:
и>р/*’ = 198 кг/ч
1
Заменив здесь w на
циальному уравнению:
dx
а р на	b- > мы придем к дифферен-
(15)
198 ,	,
Это уравнение содержит три переменных: х, т и т. Второе диф-
ференциальное уравнение можно составить, исходя из того, что
скорость испарения пропорциональна влагосодержанию:
dm .
---.— — fern
dr
(16)
85
Мы при этом принимаем, что поток воздуха в барабане доста-
точно велик для того, чтобы считать влагосодержание в нем практи-
чески постоянным. Коэффициенты а и b найдем, используя данные
о скорости движения материала при входе и выходе из сушилки.
Из условий задачи видно, что в 1 ч в сушилку поступает 198-3 кг
сырого материала. Так как насыпная плотность этого материала
равна 500 кг/м3, то, следовательно, объем этого материала будет
равен
198-3 „,
Площадь сечения аппарата, занимаемого материалом:
1	0,785 • 2,25
Л----— = —---------—--
4	3	3
Отсюда следует, что скорость движения материала при посту-
плении в аппарат равна:
198-3-3 оп ,
500 • 0,785 • 2,25	2,0
Аналогично найдем скорость движения материала при выходе
из сушилки:
220 -3	. .о ,
330  0,785 • 2,25	1,13 М'4
Так как т = 2 у места загрузки и т = 0,1 при выходе из су-
шилки, то, подставив эти данные в уравнение (15), получим:
2 = 335 (2а + Ь)
1,13 = 335 (0,1а-f-Ь)
Решив эти уравнения, найдем:
а=0,00154 и Ь = 0,00325
Следовательно
= 335 (0,00154m + 0,00325)	(17)
Для нахождения т используем уравнение (16):
dm 1 j
—— = — k dx
т
Из этого уравнения находим:
т = тое~1п	(18)
Внося это выражение для т в уравнение (17), получаем:
335 (O,OO154moe-ftT 4-0,00325)
86
Интегрируя, имеем:
г = 335 ( 0,00325т- О-00^54"!» g-*-) +С	(19)
Для определения постоянной С используем краевое условие
х = 0; при т = 0
„ О,ОО154то
С = 335 ——----
Подставив это значение в (19), получим:
г= 335 Г0,00325т + °-00154^о (1	(20>
L,	к	J
Эта формула дает нам выражение длины аппарата х как функ-
цию от времени сушки.
Из формулы (18) имеем:
т т т	0,1 т
Подставляем значение к в (20):
г = 335 Го,00325т + °'00154'2т. (l-e'S)!
L	o>(J	J
Решив это уравнение относительно т при заданном х = 15, по-
лучим продолжительность сушки:
т = 10,6 ч
§ 2. ПРОЦЕССЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Реакцией второго порядка называется такая реакция, скорость
которой пропорциональна произведению концентраций двух реаги-
рующих веществ или, как особый случай, — квадрату концентра-
ции одного из реагирующих веществ.
Пусть сг и с 2 — концентрации двух реагирующих веществ, ах —
концентрация одного из продуктов реакции, протекающей без изме-
нения объема реагирующей массы. Если реакция -эта — второго
порядка, то ее скорость определяется уравнением:
(21)
Принимая а и Ъ за начальные количества двух веществ, а за
единицу измерения — грамм-эквивалент вещества, имеем:
a — х и c2~b — х
Уравнение (21) получает вид:
dx
^— = к (a—x) (b—x)	(22)
87
Перепишем это уравнение так:
dx	, ,
----—yr----= к ах
(а — х) (Ь— х)
Разлагая левую часть на сумму двух дробей, приведем это
уравнение к виду:
dx ( 1	1	\	,	; ,
---Г ( Т----------) = к dx
а — о \ b—х	а — х )
Интегрируя это уравнение, имеем:
---[In (Ь — г)—In (а— х)] — Лгт<7	(23)
Подставив сюда х = 0 и т = 0, получим:
1
------г (In Ь — Ina') —С
а — о
Подставляя это значение С в (23), получим:
т = гг 1П	(24)
к (а — о)	(о— х) а
Решая это уравнение относительно х, находим:
abteab---^)
aeak---be»^
Существенное различие между процессами первого и второго
порядка состоит в том, что при реакциях и процессах первого порядка
постоянная к не зависит от принятой единицы измерения незави-
симой переменной, в частности от концентрации, тогда как при
реакциях . и процессах второго порядка значение постоянной к
изменяется с выбором единицы измерения. Действительно, опре-
делим к, которое характерно для процессов первого порядка:
к = ~ In
т
а
а — х
Если а и х заменить на па и пх, то к от этого не изменится.
Если же определить к из (24)
Л = —1—In-^g-	(26)
т (а — Ь)	(Ь— г) а
то к изменится, если а, b и х заменить на па, пЪ и пх.
а)	Установление порядка реакции. Найдено, что при взаимо-
действии 0,5638 моль гидроокиси натрия с 0,3114 моль уксусно-
88
дтилового эфира количества этих веществ в реакционной смеси
изменяются следующим образом:
Время т, сек ... О 393
Количество щелочи,
моль ................ 0,5638	0,4866
Количество эфира, . .
моль ................ 0,3114	0,2342
669	1010	1265
0,4467 0,4113 0,3879
0,1943 0,1589 0,1354
Требуется доказать, что это — реакция второго порядка.
Уравнение химической реакции представляется в виде:
СН3СООС2Н5+NaOH = С2Н5ОН + CH3COONa
Если принять, что эта реакция практически необратима, то ско-
рость образования спирта должна быть пропорциональна концен-
трациям как гидроокиси натрия, так и эфира.
Обозначим через а и Ъ (в моль) начальные количества, соответ-
ственно, щелочи и эфира и через х — количество спирта (в ноль),
образовавшееся ко времени т; тогда а — х и b — х будут оставшиеся
Количества молей щелочи и эфира, взаимодействующих в момент
времени т. Отсюда следует, что значения х будут удовлетворять
уравнению (22) при условии, что соображения о природе реакции
являются правильными.
Для того чтобы это проверить, поступаем, как в примерах для
реакции первого порядка.
Проинтегрируем уравнение (22), приняв за пределы интегриро-
вания по т числа 0 и тп а по х — числа 0 и х^.
*1	'1
Г	г, ,
\	---С — \kdx
J (а — х) (Ь — х) J
и	о
После интегрирования найдем:
2,303 Qlg (а—£1)—lg (b—хг)~ lg -2.J = (a — b)
Вычисляя по этой формуле значения А: при различных х1, соот-
ветствующих опытным данным, приведенным в условии настоящей
задачи, убедимся, что величина к является постоянной, так как
расхождения отдельных ее значений не выходят за пределы экспе-
риментальной ошибки:
tj......... 393	669 1010 1265
к • Ю5 .... 138 141	140 143
Это доказывает, что исследуемая реакция — второго порядка.
б)	Реакции второго порядка в случае эквивалентного количества
(веществ. Рассмотрим, как изменится уравнение (24), которым мы
вльзовались для определения времени т продолжительности реак-
•Эш, если Ь = а, т е. если в реакционной смеси находятся эквива-
лентные количества веществ.
89>
В случае а — Ъ уравнение (22), из которого мы исходили при
получении (24). принимает вид
откуда, интегрируя, получим:
1
--i—=/ст + С
а — х
j
При х = 0 т = 0, следовательно, С = — и
11,	х
	= кх-, Т = г—--
а — х а-------------ка(а — х)
В случае реакции n-го порядка уравнение реакции будет:
После интегрирования получаем:
1
---—1------ =кх+С	(27)
(га— 1) (а — х)л-1	~
При х= 0 и т = 0
-------Г = С
(га —1) а"-1
Подставляя это значение С в (27), найдем:
кх_____1 г 1____________1-1
га—1 L(a —г)"-1	a""1 J
в)	Экстракция серы кипящим бензолом. В лаборатории проведена
пробная экстракция серы кипящим бензолом из отработанной газо-
очистительной массы, содержащей 52% серы. Количество взятой
пробы 25 г, количество бензола 100 г.
При этом были получены следующие данные:
Время, мин .......... 0	10	20	30	40 50	60	70	80	90
Концентрация, г серы/ЮО е
бензола ............. 0 2,15 3,4 4,32 5,10 5,73 6,32 6,78 7,04 7,42
Растворимость серы в бензоле при температуре кипения соста-
вляет 11,7г/100г бензола.
Найдем зависимость, которая представляла бы полученные ре-
зультаты в пределах точности опыта (около 5%).
Сначала было принято, что скорость извлечения серы пропорци-
ональна количеству остающейся нерастворенной серы, что пред-
полагает процесс первого порядка. Для того чтобы это проверить,
была построена диаграмма (рис. Ш-1), на которой точками пред-
ставлена зависимость логарифма числа, выражающего количество
нерастворенной серы, от времени. Если провести через эти точки
90
линию, то она окажется кривой, а яе прямой. Это означает, что
экстракция серы бензолом не является процессом первого порядка.
Предположим, что скорость извлечения серы пропорциональна
количеству нерастворенной серы, а также разности между факти-
ческой концентрацией раствора в данный момент и концентрацией
его в состоянии насыщения, т. е. что:
dW
— = —kW(S — c)
где W — количество нерастворенной серы ко времени т, а;
5 — концентрация серы в насыщенном растворе, г/100 г кипя-
щего бензола;
с — концентрация серы в растворе ко времени т, г/100 г.
Это дифференциальное уравнение содержит три переменных: W,
с, т. Но Whc связаны между собой в силу того, что общее количество
2,303 jjg (13 —c)— lg (11,7 —c)-1g
ТПт"] = (13-11,7) кт
Если эта зависимость действительно описывает данный процесс,
(13__________________________________________с)
то, построив диаграмму для величины 1g	—у относительно т,
(11,7 с)
мы должны получить при использовании опытных данных ряд точек,
лежащих почти на прямой линии. Такая прямая в действительности
и получается на графике с достаточной степенью точности.
г)	Продолжительность реакции третьего порядка. Найти общее
выражение для определения продолжительности необратимой реак-
ции третьего порядка, когда вещества А, В и С взяты в различных
количествах а, & и с молей.
Имеем:
^ = k (a-x) (b—x) (c—x)	(28)
Интегрирование этого уравнения и последующее определение
Постоянной интегрирования из условия х = 0 при т = 0 приводит
к следующей зависимости:
т =_________*________1П
к (а—Ь) (Ь — с) (с — а)
(29}
91
Решим аналогичную задачу для случая, когда вещества В и С
имеются в одинаковом количестве b молей. Эта задача приводит
к уравнению:
-^- = А:(а — х) (Ъ— х)2	(30)
Интегрируя, получаем:
1	I,	Ъ — х	.	а — Ь )	•
т — —г—,---{In--------—г------ z Ч- с
к (а — о)2	(	а—х	'	о — х)	1
Нетрудно убедиться, что
постоянная интегрирования
С равна:
1	(. Ь , а —Ь\
~ к (а — Ь)2 j ПТ ' Ъ /
Таким образом, получаем
окончательно:
т------* х
к (а — Ь)2 74
{. (Ь— х) а . (а — Ь) х }
1П (а — х) Ь + Ъ(Ь — х) J
(31)
Допустим теперь, что все
три вещества взяты в рав-
ных количествах, т. е. что
а= Ъ = с.
(32)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия, получим:
кт_ х(2а — х)
2а2 (а — х)2 ’
х= а 1-- —
(33)
д) Экстракция горячего плава в тонком слое. Процесс экстра-
гирования горячего плава состоит в следующем. Горячий пасто-
образный плав поступает непосредственно из печи через желоб
на вращающийся барабан (рис. Ш-2). Последний установлен внутри
камеры. Нижняя половина барабана омывается водой. Плав наби-
рается барабаном в виде пленки, которая застывает, образуя корку.
Толщина слоя плава регулируется вторым прижимным барабаном.
Барабан при вращении подает застывший плав к воде, протекающей
через камеру; в этой камере происходит экстрагирование плава.
Пульпа с помощью шнека подается в смеситель, а оттуда в отстойник.
Плав представляет собою физическую смесь растворимых в воде
веществ с нерастворимой частью, причем объем последней изме-
52
няется в зависимости от количества содержащихся в ней растворимых
веществ. Примем эту зависимость линейной.
Таким образом, объем массы плава, подвергаемого экстрагиро-
ванию, изменяется в соответствии с уравнением:
V = aw-\-b
где V — объем плава в расчете на единицу массы неизменного
остатка;
w — количество растворимых веществ, кг на 1 кг неизменного
остатка;
а — удельный объем растворимой части плава;
b — удельный объем неизменного остатка.
Количество М неизменного остатка, проходящего в единицу
времени при вращении барабана, составляет (в кг!ед. времени):
M = upf	(34)
где р — количество неизменного остатка в единице объема плава;
и — линейная скорость движения плава;
/ — поперечное сечение слоя плава на барабане.
Имеем:
_ dl	М
U~ dr	pf
М (aw-\-b)
ИЛИ и —------у f ----
(35)
где I — длина пути, проходимого частицей плава;
т — время;
_ 1
Р aw-\-b‘
В процессе экстрагирования толщина слоя плава на барабане
является переменной величиной. Определим ее по правилам нахо-
ждения среднего значения функции [см. формулу (51) гл. II]. Со-
гласно этой формуле примем среднюю толщину слоя плава равной:
А:р —
^1~ ^2
ln#
где и А2 — соответственно начальная и конечная толщина слоя
□лава.
Тогда поперечное сечение слоя плава:
/ “ 4ср5
где S — длина барабана.
Таким образом, уравнение (35) представится в следующем виде!
dl M(aw-{.b)
-dT=—(30)
В это уравнение входят две неизвестных величины, а именно I
11 w. Для его решения необходимо составить еще однб уравнение.
93
Этим вторым уравнением является кинетическое уравнение про-
цесса экстракции (см. § 2, стр. 91):
dw
-_ = to(Co-C)
(37)
где w — содержание извлекаемого вещества в плаве в момент вре-
мени т;
с0 — концентрация насыщенного раствора при данной темпе-
ратуре;
с — концентрация раствора в момент т;
к — константа скорости процесса.
Кроме того, из материального баланса для процесса экстрагиро-
вания имеем:
w + те =	(38)
где т — отношение массы жидкости к массе неизменного твердого
остатка в плаве;
w0 — начальное количество извлекаемого вещества в плаве.
Исключая w из (37) и (38), мы придем к следующему дифферен-
циальному уравнению:
‘ (-?-') »
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (22), и полу-
чается из него при:
а = —— • о = Сп
т ’
Используя найдем:	полученное на стр. 88 решение этого уравнения, ( -^2-fez	А ^рср т	) С 0О) т
Умножив числитель и знаменатель правой части на — тп, а затем
------------йт
разделив на е т , получим:

кг(с0-^-\
— u>o-l~come  т '
Обозначив к
(со
— ) = а, будем иметь:
т /
шосо —1)
тсоеа" — шр
(41)
94
Из формулы (38) определим теперь w:
еэт —1
w = w0 — woco-----
— —
т
Внося зто выражение для w
к следующему виду:
—1 \
— w° I
сот /
в уравнение (36), приведем его
dl М
di
е^ — 1
е*~-------
сот
(42)
/ 1
Умножая обе части на dr и интегрируя, получим для I следу-
ющее выражение:
I =—j—я- I (atro+ Ъ) х + aw0
"ср4^ 1
Полагая
____и ______ga-t
Сот
1
ш0
Сот
dx
найдем:
Wq
-------e^ = z; di =
dz
ae'”
i г
------------Г ^2
JfO____gat
Com
^ln------z----_|_c2=^-ln
a^’o wo	atr0
com
Отсюда получим следующее значение для Z:
f =	l(au>0-l-b) т— -^5-
In
trp
com
Постоянную интегрирования С' найдем из условия, что / = 0
при т = 0.
Тогда
М
/4СрУ
awa
а
СрГП
ш0
1
^0	1
сот
+ С' = 0
Inf^
\ сот
1
Следовательно
/ = |(ам,о + ь)т-+
aw° Tin W0~e0m
a L u’o-" comem
. co« ln ^o-come^ 7П
(44)
95
Определим время, за которое частица экстрагируемого плава
опишет путь I — л/{, равный половине длины окружности барабана,
где R — радиус барабана.
Учитывая значение а из формулы (44), найдем:
п м
(aw0 + Ь) т ......аи,°---
\ т
In
ш0—сот
frt (с0
ш0 — Cf/ne ' т '
| CqTTI in w0—come	' m
e V m ’ (u,o-com) .
(45)
Формула (45) устанавливает функциональную связь между
радиусом барабана, производительностью его М и временем т.
§ 3. ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ
Многие процессы могут быть легко изучены, если их рассматри-
вать как результат двух или более простых процессов, происходящих
одновременно. Сущность этого вопроса сделается ясной после рас-
смотрения ряда частных примеров.
а) Определение констант скорости реакции радиоактивного рас-
пада. Радиоактивное вещество дает два продукта распада, каждый
с разной скоростью. Известно, что скорость образования каждого
продукта пропорциональна количеству присутствующего исходного
вещества.
Каждый продукт распада получается непосредственно из исход-
ного вещества. Таким образом, процесс состоит из двух простых
реакций первого порядка, протекающих одновременно.
Примем следующие обозначения:
с — количество	вещества, присутствующего	ко	времени	т,	г;
х — количество	первого продукта распада	ко	времени	т,	г;
у — количество	второго продукта распада	ко	времени	т,	г;
к± — константа скорости первой реакции;
/с2 — константа скорости второй реакции.
Найдем кг и к2 и выразим х, у и с в функции от времени т. Диф-
ференциальные уравнения для отдельных реакций могут быть
написаны в виде:
dx ,	dy ,
lh=klC и =
Эти уравнения содержат три неизвестных: х, у и с. Но сумма х,
у и с равна начальному количеству с0 исходного вещества:
У-\~с—со
(47)
96
Решим эту задачу для следующих условий:
с = Ю; х = 0; у = 0 при т = 0
с=5; г=4; у = 1 при т = 3
(т— в сутках; с, х и у — в ед. массы).
Разделим второе из уравнений (46) на первое с тем, чтобы
исключить dx- В результате получим:
dy __ ^2
dx ~~ ki
Интегрируя, имеем:
Л'9
у='кГх+с
Для определения постоянной интегрирования С полагаем х = 0.
Но при х-0у--0; следовательно, С = 0. Таким образом, имеем:
у
х ki	(48)
т. е. количественное отношение двух продуктов процесса остается
постоянным и равно отношению констант скоростей элементарных
процессов. Это характерное свойство одновременно идущих про-
цессов имеет важное значение, так как оно дает возможность на
практике отличить параллельные (одновременно идущие) реакции
от обратимых или последовательных реакций.
Так как х = 4 при у = 1, то из (48) находим:
^1 = 4^2	(49)
Сложим уравнения (46))
= (fei + ^) с	(50)
Дифференцирование уравнения (47) дает:
d{x-\-y) ——de
. Следовательно, уравнение (50) можно записать так:
-^j-= — (*1 + *г)с	(51)
Мы пришли к уравнению вида (1).
Отсюда видно, что превращение исходного вещества протекает,
как и при реакции первого порядка, причем константа скорости
равна сумме констант скоростей отдельных реакций.
Согласно условию задачи можем теперь написать:
^+^=-4lnt--4ln^=-Tlni	(52>
7 Заказ 1706	97
Из (52 и 50) находим значения кг и к2:
*1 = 0,185 и, /с2 = 0,046
Из (51) получаем выражение с через т-’
Наконец, из (47) и (48) определим х и. у:
£
5
*»“*» (т)'
X
10-10
б) Определение констант скорости реакции образования ди-
нитробензола. При приготовлении динитробензола из мононитро-
бензола и азотной кислоты найдено опытным путем, что если пользо-
ваться тремя эквивалентами азотной кислоты на один эквивалент
нитробензола в начале процесса, то по истечении 20 мин расхо-
дуется половина нитробензола и что к тому же времени получа-
ющиеся орто-, мета- и пара-соединения динитробензола присутствуют
в весовых соотношениях, соответственно равных 6,4; 93,5 и 0,1.
Реакция образования каждого из этих трех веществ — второго
порядка, причем скорости реакций пропорциональны как концен-
трации нитробензола, так и концентрации азотной кислоты. Тре-
буется найти константы скорости всех трех реакций.
Пусть
с — число эквивалентов нитробензола, оставшегося ко вре-
мени т;
с — число эквивалентов азотной кислоты, оставшейся ко вре-
мени т;
х, у, z — числа эквивалентов орто-, мета- и пара-продуктов ко
времени т.
Рассматриваемые три одновременно идущих процесса характери-
зуются следующей системой кинетических уравнений:
dx ,	, dy ,	, dz .	,
—— = кхсс ; -j— — к2сс ;	= к3сс
dx	dx ' dx
Далее, один эквивалент азотной кислоты расходуется на каждый
эквивалент любого из трех образующихся продуктов; то же имеет
место и в отношении нитробензола.
Отсюда имеем;
с = с0—(ж + г/Н-г) и с'=— с'о (x + y + z)
где с0 и Cq — начальные количества исходных реагентов (при т = 0).
Решение может быть осуществлено так же, как в предыдущей
задаче.
Разделив последовательно одно дифференциальное уравнение
на другое и проинтегрировав, получим:
х : у : z = Ад : к2 : к3
98
Учитывая, что молекулярные массы орто-, мета- и пара-соединений
одинаковы, можно заменить отношение чисел эквивалентов отноше-
нием массовых количеств. Поэтому
х : у : г = ki: к2 : А'з = 6,4 : 93,5 : 0,1
С другой стороны, суммируя три дифференциальных уравнения
и приравнивая х -|- у -|- z = и, получим:
-^-= (*1 + *2+М (с0~ “) (^ — и)
Мы видим отсюда, что решение задачи сводится к решению урав-
нения вида (22).
в) Истечение воды из цилиндрического резервуара. Цилиндри-
ческий резервуар диаметром 1,8 м наполнен водой; в определенный
момент в стенке резервуара открываются два отверстия для выпуска
воды. Уровень воды в резервуаре составляет 3 м. Одно отверстие
находится на 1,8 м, а другое на 2,4 м ниже начального уровня воды.
Коэффициент истечения равен 0,61. Диаметры верхнего и нижнего
отверстий равны, соответственно, 50 и 100 мм. Вывести уравнение
для определения продолжительности т понижения уровня воды до
определенного предела.
Обозначим через Н уровень воды в резервуаре в момент т. Вы-
сота наполнения (в метрах столба воды) над верхним отверстием
будет: Н — 1,2, а над нижним отверстием: Н — 0,6. Скорость исте-
чения из отверстий, как известно из гидравлики, подчиняется закону
ш = ф У 2gh
где w — скорость истечения воды через отверстие, м/сек;
g — ускорение силы тяжести, м/сек2;
h — высота столба воды над отверстием, м.
Постоянная q> есть коэффициент истечения, который для идеаль-
ной жидкости, свободной от трения и поверхностного натяжения,
и идеального отверстия был бы равен единице, но в действительности,
найденный опытным путем, составляет примерно 0,61 для обыкно-
венных малых отверстий с острыми краями.
Обозначим скорость истечения из верхнего отверстия через wx,
а из нижнего — через w2- Тогда:
W1 = 0,61 У 2-9,81 (Я —1,2)
и	____________ (53)
1г2 = 0,61 /2-9,81 (Я —0,6)
Объем воды, вытекающей в 1 сек через каждое отверстие, будет,
соответственно, ic1S1 и w2S2, где и S2 — площади отверстий (в м2).
Величина, на которую уменьшается высота слоя воды в резервуаре,
7*	99
равна объему выходящей из него воды, разделенному на площадь
поперечного сечения резервуара. Следовательно, имеем:
dH __   ^1^1 +^2^2	ЦП
dX 4-1,82
4
Вводя сюда вместо Wj и w2 их значения из (53) и подставляя
числовые значения и S-2, придем к уравнению:
4?— -	। ^й^+tvir^t
dx	4 • 3,24
Для интегрирования перепишем это уравнение в виде:
4 • 3,24_________dH_________
О 0061 К19Д5 /Я —1Т+4/Я —0,6
В начальный момент времени т = 0 высота наполнения Я = 3.
Следовательно, мы должны интегрировать левую часть этого уравне-
ния в пределах от 0 до т, а правую часть — от 3 до Н. Получим:
н
х = _	1 Г __________dH________
Т 0,0021 J	—1,2 +4 /Я—0,6
3
Эта формула и устанавливает искомую нами зависимость. Вычис-
лим время, в течение которого уровень жидкости понизится от 3
до 1,5 м. Время это, очевидно, выразится следующим интегралом:
з
1 - 0 ________dH
0,0021 J /Я-1,2 +4 /Я-0,6
1,5
Для вычисления этого интеграла умножим числитель и знаме-
натель подынтегральной функции на 4]Лнг—0,6—4#—1,2
и затем представим интеграл в виде суммы двух интегралов. Мы
найдем:
1
0,0021
1,5
3
/Я-0,6
15Я-8.4
dH-
1,5
3
VH-1,2
15Я-8.4
dH
4
Полагаем в первом интеграле Н — 0,6 = а:2, а во втором инте-
грале Н —1,2 = у2. Тогда получим следующие изменения в пре-
делах интегрирования:
при Я=3 х = 1^2,4 = 1,549 и у= К1,8 = 1,342
при Я=1,5 х — Ка09 = 0,949 и у = /ОЗ = 0,548
Следовательно
[0,949	0,548
_ Г	8x2	С	2г/2	,
J	15x2 + 0,6	J	IS;/2+9,6
1,549	1,342
100
Эти интегралы просто вычисляются, если их привести к виду:
С dx 1
J (ах)2 + 1 а 8
С этой целью представим дроби таким образом:
8x2	.	8	8	8	1	8
15x2 + 0,6	"I	15	15	—	15	*	25x2 + 1	15 J
2у2______2_	.	2	__	_	2	1	2
15j/2 + 9,6	15	15	15	‘	25	, , + 15
1бг/2 + 1
Тогда интегралы приводятся к следующему виду:
1
0,0021
0,949
1,649
0,548
8
15
1	8
25x2 +1	15
Получим:
1
Т 0,0021
1,342
г/2 + 1
16 а
2 \ ,
тг I dy
15
0,949	0,548’
I 8	, г 8 I I 8	.5	2 I
|_ arctg5x—— ж |	—arctg-у- —у |
1,549	1,342-1
 - Г<arctg 4-745-arctg 7’745)“°-506 + °-826“
w,Uv^l |_ /О
(arctg0,685 —arctg 1,6775) —0,073 — 0,179"I
/и	J
Т = 7+^Г [4- <1,363 — 1,442) + 0,32—4 (0,601-1,033)-0,10б1
Ujvu^l L /О	/О	J
0,252
Т = —1---= 120 сек
0,0021
Рассмотрим вторую задачу на истечение воды из резервуара.
В дне наполненного водой резервуара, представляющего собой
прямой цилиндр или призму, имеется прямоугольное отверстие со
сторонами а и ft, закрытое заслонкой. Пусть эта заслонка в момент
времени т = 0 начинает равномерно скользить вдоль сторон со ско-
ростью и?, открывая отверстие. На какую величину ху опустится
уровень воды за время тх, в течение которого заслонка полностью
откроет отверстие ^т1==4^, если первоначальный уровень воды —
Я, а площадь поперечного сечения резервуара — F*
1
* В химической технике часто встречаются случаи истечения, подобные
рассмотренному в данном примере, относящиеся не только к истечению жидкос-
тей, но и сыпучих материалов, например в дозирующих питателях. В последнем
случае задачу можно решить способом, аналогичным рассмотренному, с учетом
тех поправок, которые должны иметь место в силу некоторого отличия свойств
сыпучих тел от жидкостей.
101
Обозначим через х расстояние от уровня жидкости в момент т
до уровня жидкости в начальный момент.
По аналогии с предыдущим примером [см. уравнение (54) 1 имеем
=аштц> У 2 g (Н—х)
так как в момент т < тг отверстие будет представлять собой прямо-
угольник со сторонами а и wx. Умножая на dx и интегрируя, мы
получим
о	о
откуда
2F	= -^2g г? =
Решая это уравнение относительно xlt находим:
ya6Ti K2g
2F V
фабц V 2g\
SF /
Решим еще одну задачу на истечение жидкости.
В тонкой вертикальной стенке призматического сосуда, напол-
ненного водой, проделана щель — прямоугольное отверстие, горизон-
тальные края которого находятся на расстоянии h и Н 4> h от уровня
воды, а ширина равна Ъ. Какое количество воды Q будет вытекать
через это отверстие за 1 сек, если уровень воды поддерживается
с помощью соответствующего притока на постоянной высоте?
Горизонтальные прямые, проведенные на стенке сосуда на рас-
стояниях х и х -{- dx от поверхности воды, выделяют на прямоуголь-
ном отверстии элементарную полоску с площадью bdx. Через эту
полоску будет протекать в 1 сек количество воды dQ = (pbj/^gx dx.
Интегрируя это равенство в пределах от h до Н, мы и получим
общее количество воды Q, протекающее в 1 сек через отверстие:
в 1	/ з 2_\
Q — yb V 2g f х 2 dx = фб Y 2g \H2 — h2 )
h
Если h, = 0, t. e. если прямоугольное отверстие начинается
у самого уровня воды и образует выемку или водослив, то
(2 = 1 Ф6Я K2gT = | фЛ ^2gH
3	3
где А — площадь прямоугольной щели.
102
§ 4. ОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
Если два одновременно идущих процесса взаимозависимы и, про-
тиводействуя друг другу, дают противоположные результаты, —
они являются обратимыми.
Пусть вещество С превращается в другое вещество X, причем
эта реакция — первого порядка. В то же время X переходит обратно
в С также в результате реакции первого порядка.
Через сих обозначим эквивалентные количества С и X
в момент т.
Экспериментальные данные;
т = 0	5 оо
с = 10 7 3
а: = 0 3 7
Требуется найти константы скоростей реакций и &2.
Уравнение (6) материального баланса, составленного для веще-
ства х, имеет вид;
dx = kjLc dx— к2х dx	(55)
Это уравнение содержит два неизвестных х и с, но так как общее
число эквивалентов обоих веществ не изменяется ни в той, ни в дру-
гой реакции, то
Х-]~ с — Xo-j-Cf)
где х0 и с0 — значения х и с при т = 0.
Исключив с из (55), получим:
-^- = *i(c0+a:0) — (*i + A:2)a:	(56)
Это дифференциальное уравнение имеет два важных свойства.
Во-первых, из самого уравнения видно, что с увеличением х ско-
рость реакции будет уменьшаться, оставаясь при этом положи-
тельной. С другой стороны, из физико-химических соображений
следует, что система будет стремиться к состоянию равновесия.
При равновесии, т. е. когда скорости прямой и обратной реакции
равны, — =0. Обозначив х при равновесии через Жсо, получим:
^1 (со + хо) — (^1 + ^г) -^со
Л,
z”=‘/7TT^(Co+z,))	<57>
Обозначив далее
у = хт-х
преобразуем дифференциальное уравнение (56) в уравнение:
^г = -(к1 + к2)у	(58)
103
показывающее, что скорость реакции пропорциональна степени
отклонения системы от состояния равновесия и что это — процесс
первого порядка относительно переменной у, которая определяет
эту степень отклонения.
Чтобы найти константы скоростей реакций, необходимо сначала,
пользуясь экспериментальными данными, определить их отношение.
Затем находят их сумму, пользуясь уравнением (58). Зная сумму
и отношение констант, легко вычислить значения самих констант.
а) Образование уксусноэтилового эфира. Уксусная кислота
и этиловый спирт вступают в реакцию с образованием уксусно-
этилового эфира и воды:
СН3СООН-|-С2Н5ОН СН3СООС2Н5 + Н2О
Процесс обратим, причем протекающие в обоих направлениях
реакции — второго порядка.
Наблюдалось, что при условиях, когда:
	т = 0	64	оо	сутки
Количество	кислоты = 1	0,750	0,333	моль
»	спирта = 1	0,750	0,333	»
»	эфира = 0	0,250	0,667	»
»	воды = 0	0,250	0,667	»
Требуется составить уравнение кинетики этого процесса.
Как обычно, сначала составим общее уравнение для такого рода
процессов.
Обозначим через х, у, и и и количества молей, соответственно,
спирта, кислоты, эфира и воды в момент т; при т = 0 эти величины
будут, соответственно, х0, у0, и0 и и0.
Тогда дифференциальное уравнение скорости превращения спирта
представится в таком виде:
-^7 = —kixy + k2uv	(59)
Чтобы исключить у, и, и v, пользуемся стехиометрическими
соотношениями
х0 — х — у0 — у=и— u0 = v — v0
из которых следует:
У — х + Уо—хо;	и=х0+и0—х; v — х0 + v0 — х	(60)
Пользуясь к виду	(60), приводим дифференциальное уравнение (59) ^.^ах^ + Ьх + с	(61)
где	а = /с2 — Ад 6=(*1 —2Л2) х0 ——*2u0—*2и0	(62) с = /с2 (*o + «o) (*o + yo)
104
Обозначим через х^ значение х при равновесии. В этом случае
aa^o + taoo + c = 0	(63)
Вычитая (61) из (63), получим;
--^- = а(а;2оо-а:2)+Ь(а:оэ-а:)	(64)
Разложив правую часть уравнения (64) на множители, имеем:
dx ,	I	Ь \
~	=	(*+*«>+7)	(65)
Для решения этого уравнения используем уравнение (59), напи-
санное для равновесного состояния. Из (59) при ^- = 0 находим:
Из этого выражения следует, что если известны предельные зна-
чения переменных, мы можем найти отношение констант скоростей
реакций. Кроме того, если мы не в состоянии получить даже из
опыта какое-нибудь одно из этих предельных значений, то тем не
менее можем сделать наши вычисления значительно более простыми,
введя зто отношение как одно из неизвестных.
Обозначим это отношение через т:
к л
(67)
Теперь обратимся к дроби у, находящейся во втором множителе
правой части уравнения (65). Пользуясь значениями а и Ъ из (62)
и вводя тп из (67), находим:
6	1
— ==	К1 — 2m) хй — ув — ти0 — nw0]
Из рассмотрения этой формулы следует, что если известны равно-
весные значения переменных и их начальные значения, то известно
также и у и уравнение (65) может быть написано так;
(68)
где
Уравнение (68) того же типа, что и уравнение (22); поэтому и реше-
ние уравнения (68) будет аналогично решению (24) уравне-
ния (22).
105
Пользуясь вышеприведенными данными для спирта и кислоты,
находим из (66):
, п	1
^1 = 4^2 или ТП,——
4
Подставляя в уравнение (68) найденные значения постоянных,
приведем его к виду:
dx Зк, /1	\,
d7 = —(з~а;)(а:+1)
б)	Реакции окиси углерода. Рассмотрим реакцию первого по-
рядка в одном направлении, но реакцию второго порядка — в обрат-
ном направлении.
Окись углерода разлагается на углерод и двуокись углерода
в присутствии большого избытка углерода по уравнению:
2С0	С + СО2
Существуют различные точки зрения на природу, механизм
и кинетику этой реакции. В данном случае мы будем исходить из
условного допущения, что скорость разложения окиси углерода
пропорциональна квадрату ее концентрации, между тем как обрат-
ная реакция протекает как реакция первого порядка.
Эти скорости реакций обосновываются теоремой кинетической
теории газов, по которой скорость любой реакции зависит от вероят-
ности столкновения взаимодействующих молекул.
Принятые здесь положения относительно скоростей реакций
основаны на предположении, что реакции имеют место при постоян-
ной температуре и постоянном общем объеме.
Пусть х и у — концентрации, соответственно, СО и СО2 в мо-
мент т, выраженные в эквивалентах на единицу объема или, если
зто удобнее, — в парциальном давлении. Тогда имеем:
-^- = М2-*2у	(69)
Объем (или давление) исходной СО вдвое больше такового для
СО2, образующейся из нее. Из этого следует, что
х0—х = 2(у — j/o)	(70)
Исключая у из (69) и (70), получим:
= к^ + х—(zo + 2i/o)	(71)
При равновесном состоянии имеем:
0 = ^1а:от ++^-(жо+2уо)	(72)
Вычитая (71) из (72), получим уравнение:
dy ,	, /	к« \
=кЧх°>-х^х + х°> + йГ)	(73)
106
Если мы примем
Л9 о , т
е=^+—	№
то получим с помощью уравнения (69)
где т определяется из условий равновесия.
Этот прием более удобен, так как в большинстве случаев условия
равновесия изучены полнее, чем скорости реакции.
Учитывая, что на основании (70) dy = -^dx, и используя (74),
приводим дифференциальное уравнение (73) к виду:
Лх
=2*1(®о0~а:) (ж+Р)
Решение этого уравнения аналогично решению уравнения (22).
Рассмотрим случай, когда обратимая реакция протекает в одном
направлении как реакция третьего порядка, а в обратном направле-
нии — как реакция второго порядка. Такие реакции, в частности,
встречаются при взаимодействии газов; например
2СО+О2 2СО2
Пусть концентрации окиси углерода, кислорода и двуокиси
углерода будут, соответственно, х, у и z.
Тогда
~-=^k1x2y — k2z2
Приравнивая, как и раньше, правую часть уравнения нулю,
получим:
^2	Х°°У со
ro = -j— =-5--
Z2
Мы имеем также следующие стехиометрические соотношения:
X—x0 = z0—Z~2(y — Уо)
Исключая у и z и вводя хт таким же способом, как в преды-
дущем примере, имеем:
4?=°° ~(*2+Ьх+с) *
где
Ь = «оо— *о + 2 (Уо— mY, c = bxo0 +4т (x0-f-z0)
107
Если начальные условия, так же как и условия равновесия,
известны, то Ъ и с легко вычислить. Переменные величины могут
быть теперь разделены:
dx	__ ki
(хоо а;) (^2-|--|-с)	2
Левая часть этого уравнения может быть разложена на част-
ные дроби таким образом:
A dx (Bx-\-C)dx
хт — х ' x2-\-bx — с
где
А= В =	1	• с =	6 + *°°
^oo+faoo+c ’	х2т+Ьхоа+с
откуда А, В и С сразу же вычисляются и интегрирование произ-
водится обычным методом с помощью таблиц интегралов.
Любые другие случаи обратимых реакций могут быть исследо-
ваны подобными способами, если только известий начальные усло-
вия и условия равновесия.
К уравнениям только что рассмотренного вида иногда приводят
также и не химические задачи. Если переменная уменьшается по
одной причине и увеличивается по другой, то дифференциальное
уравнение для этой переменной часто имеет вид дифференциального
уравнения обратимой реакции. Рассмотрим следующий пример.
§ 5. ЗАДАЧА О РАСТВОРЕНИИ СОЛИ
Предположим, что дно резервуара, рассмотренного в примере в
(стр. 79), покрыто слоем слежавшейся твердой соли. Примем поверх-
ность последней постоянной, а скорость растворения соли про-
порциональной разности между концентрациями действительного
и насыщенного раствора (0,3 кг/л).
Остальные условия, приведенные в § 1 (пример в), сохраняются.
Требуется выразить общее количество растворенной соли как
функцию от времени, причем известно, что если вода в баке была бы
чистой, то скорость растворения составила бы 1 кг/мин.
Применяя уравнение (6), получим:
g
dg = k (gHac —g) dx-w- — dx
где к — константа скорости растворения соли;
V — объем раствора в резервуаре (100 л);
g — количество соли в растворе в момент т, кг;
?нас — количество соли, которое должно находиться в растворе
заданного объема при его насыщении, равное 0,3-100 =
= 30 кг;
w — скорость истечения раствора (30 л/мин).
10!
Подставив в это уравнение числовые значения величин, получим:
dg = к (30—g) dx — 0,3g dx	(75)
По условию задачи при g = 0 -^-=1кг/лин. Подставив эти
значения в уравнение (75), пайдем к = -^.
Используя это значение к, получим:
dg = 4r (30—g) dx — 0,3g dx
O\J
После упрощения это уравнение принимает вид:
Так как dg = d(g — 3), то
d(gd73) =-f(g-3)	(76)
Интегрируя (76), получаем:
1
In (g—3) = — -д Т + С
По условию задачи при т = 0 g = 5, -поэтому
С = ]п (5 —3) = 1п 2
откуда получаем искомую зависимость, связывающую g и т:
£-3 = 2/7	(77)
Анализ этой зависимости приводит, между прочим, к следующему
заключению. Подставив в (77) т = оо, получим g — 3. Это значит,
что при заданных условиях предельное количество соли, содер-
жащееся в растворе, составляет 3 кг.
В приведенных примерах были использованы такие данные, что
предел, к которому стремилась переменная, мог быть найден непо-
средственно из опыта. Если такие данные отсутствуют, то задача
усложняется, во-первых, по причине возникновения чисто матема-
тических затруднений, во-вторых, потому, что данные сами по себе
недостаточны. Следующий пример дает один из возможных методов
решения такого рода задач.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ СКОРОСТИ РЕАКЦИИ
ДИФЕНИЛХЛОРМЕТАНА С ЭТИЛОВЫМ СПИРТОМ
Дифенилхлорметан вступает в реакцию с этиловым спиртом
с образованием хлористоводородной кислоты и эфира. Предпола-
гается, что реакция идет по схеме:
RCl+R'OH HC1 + ROR'	(78)
109
Желательно проверить это предположение и определить кон-
станты скоростей прямой и обратной реакции. Имеются следующие
данные:
т, мин.................. 13	119	142	162	182	212
Количество НС1, моль	. . . 0,00346 0,02680 0,0309 0,0343 0,0375 0,0418
Очевидно, что здесь равновесие не было достигнуто даже в каком-
либо приближении.
Количество спирта было настолько велико (около 21 моль), что
в процессе реакции оно оставалось практически постоянным. Началь-
ное количество дифенилхлормегана х0 = 0,09966 моль.
Примем следующие обозначения:
х — число молей дифенилхлорметана ко времени т;
у — число молей НС1, а также молей эфира ко времени т.
При Т -> Too У Уоо-
Если реакция соответствует уравнению (78), то дифференциальное
уравнение задачи следующее:
^. = к1Х-к2У2	(79)
где кх и к2—константы.
Из стехиометрического соотношения имеем: x-f-y = x0, вслед-
ствие чего х может быть исключен и уравнение (79) приобретает вид:
-^-=*1(*о— У)— кгУ2	(80)
В состоянии равновесия у = ут а-^=Ь:
0 = *1(а:0 —г/оо) —*2^	(81)
Вычитая (81) из (80), получим:
du	I , КЛ-^Уоо \
7Г= *2 О'»-«')(/' +-------)	(82)
Мы имеем также непосредственно из (81):
«1 =-------
х0— Усо
Полагая
К+^У^ ЭДоо
Р к2	х0 — Усо
приведем дифференциальное уравнение (82) к следующему виду:
=	(J'oo-J'j^+P)
Интегрируя это уравнение, придем к следующей зависимости:
1п/±^-Ш^ = (₽ + М^
» ОО у	* 00
110
Сущность метода дальнейшего решения задачи состоит теперь
в том, чтобы, задаваясь значениями для неизвестного упостроить
графики для 1g —— относительно т.
У оо у
При этом, если одно из выбранных значений г/ю окажется дей-
ствительно правильным и если гипотеза о природе реакции верна,
то в результате мы должны получить ряд точек, расположенных
настолько близко к прямой линии, насколько позволяет точность
экспериментальной работы. На рис. III-3 показаны результаты для
пробных значений уот, равных 0,070, 0,075, 0,080 и 0,083 и обозначен-
ных знаками, соответственно, X, | , и >.
Верхняя и нижняя кривые дают весьма незначительную вогну-
тость, направленную, соответственно, вверх и вниз, хотя отклонение
от прямой линии здесь в каждом случае находится в пределах экспе-
риментальных ошибок.
т*—г--г
Рис. Ш-3.
Определенные для четырех проб значения к2 составляют 0,0170,
0,0118, 0,0082 и 0,0064. Таким образом, первое значение превышает
последнее более чем в два раза.
На основе такого подбора данных можно прийти к единственному
заключению, что если реакция действительно протекает по уравне-
нию (78), то константа Л2, вероятно, находится либо в интервале
между полученными наибольшими и наименьшими значениями,
либо вблизи от них.
Чем ближе к равновесным данные, полученные опытным путем,
тем более точно может быть определена А3 этим методом, так как
дифференциальное уравнение (80) показывает, что влияние к2 воз-
растает с увеличением значения у.
Константа кг вычисляется легче: вышеприведенные данные вполне
достаточны для определения ее значения, так как кг является кон-
стантой, которая оказывает большее влияние в начале реакции.
Нетрудно убедиться, что все четыре пробы дают почти одно и то же
значение
§ 7. ОБРАТИМЫЕ РЕАКЦИИ
Явление обратимости химических реакций представляет интерес
также в том отношении, что оно приводит к взаимосвязи между
константой скорости реакции и термодинамикой. Рассмотрим
реакции:
fe,	кг
44-В ►<? + £; C + D  ► А + В
111
Действительная скорость разложения вещества А, которое уча-
ствует в обеих реакциях, составляет:
1 dna
V ’ dr
1 ( dna \ .1 / dna \
V \ dr /i ' V \ dx
па rib к пс nd
—*2Т'Т (83}
При равновесном состоянии действительная скорость разложе-
ния равна нулю, т. е.
или
где К—константа равновесия, а индекс «р», относится к условиям
равновесия.
Подставляя в (83) величину К, получим:
1 dna , ( папъ 1 ncnd \
(85)
Выразим зто равенство через х, которое представляет умень-
шение количества вещества А:
[("ао-*) (^-^) -	+	=
Ari
“ yjr КК — 1) 3:2 (Л*па0Кп(,о + псо-|-ndo) х-\-КпаоП1,а —	(86)
или
dx „о
-^-=аа:2 — px + Y
Если величина q2 = Р2 — 4ау положительна, то интеграл предста-
вляет:
Мт —?о)	, (2ах—Р —g) (2az0—Р+?)
KV q	(2аа:—Р + ?) (2ах0—Р —9)	( '>
Другие кинетические уравнения, где по крайней мере в одном
направлении изображена реакция второго порядка, имеют свои
решения в виде равенства (87) при надлежащих значениях a, 8 и у.
В табл. Ш-2 зти результаты обобщены для более общих случаев
химических реакций.
Для реакции первого порядка в обоих направлениях А В
с кинетическим уравнением
77 = *1 (па0~х) — к2 («6о + х)
112
ТАБЛИЦА III-2
Обратимые реакции второго порядка
к (т — 1 KV	о) _ 1 1д (2az—Р~g) (2аа:0 q	(2ах—P + g) (2аа:0	~P + g) — P —g)	g=^p2-	-4ay
Реакция	dx dt	a	3	7
A C + D	-^y[KV(nae-x)- (исо + а:) (ndo + Ж)1	-1	К F ncB 4- + nd0	KVna0- — ncOndO
2АС	-£у\_К <.naO — z)2 —	К	2KnaB -f-	Kn^ — Vnc0
	-r (”“+t)]			
2А C+D	-(^o+y)(«do+f)]	K~^ 	5	4" । nc0 4" ndQ +	2	Knl9- ncOndO
А + В<±С	[K (na0 — x) (nb0— x)~ — V (nco + *)l	К	(nao + + nbo) +	KnaOnM — — VnC0
А-\-В # C+D	-gylK ^a0—X) (Пы>~х}~ (nCO + x) (nd0 + *)]	K-l	К («аО + + nfto) + + nc0 + ndD	Kna0nb0 — — ncOndO
имеем
т _ т —	1	1 n < "ао ~ до) ~	(”ьо + ^р)
° *1+^2	*1(п0о-х)-*2(п6о+^)	(88)
Для наиболее важного случая, когда пЬо == 0 и хв = 0, из (88)
получим
’фавн , -Травн
т—То = ------In--------
"‘1по0 •Травн х
О термодинамической совместимости. Выше было указано
(см. гл. II), что обратимая реакция а А + ЪВ # сС может иметь ско-
рость для прямой реакции
Г1^кг (Са)Р {СЬ)Я
где р и q не обязательно должны совпадать по своим значениям
со стехиометрическими коэффициентами а и Ъ. Константа термоди-
намического равновесия определяется из (84а), поэтому для ско-
рости обратной реакции имеем:
=	(Се)’
где s может быть найдена из равенства
(Ce)s = (CcY (Са)Р~а (СьУ-ъ
8 Заказ 1706
113
Например, в случае реакции
С0 + С12	С0С12
скорость прямой реакции была определена в таком виде:
Следовательно, для скорости обратной реакции должно быть
_^<^Ы_<1(СОСЦ(С1).,.
Некоторые кинетические уравнения обратимых реакций полу-
чены экспериментально и они не находятся в соответствии с (84а),
как это видно из примера.
Пример. В табл. Ш-З приведены данные для реакции между
иодистым метилом и диметил-ге-толуидином в растворе нитро-
бензола.
Стехиометрическое уравнение рассматриваемой реакции:
СН3СвН4/СНз
CH3CeH4N(CH3)2 + CH3I H3C^N;
Н3С
Константа равновесия
Начальная концентрация каждого реагента составляет
0,05 молъ/л‘, продукт реакции отсутствует к началу процесса.
Приведенные ниже четыре кинетических уравнения подлежат
проверке с
вильными;
тем, чтобы установить, какие из них являются пра-
dx
-_ = к1(а-х)
(I)
Решения
dx
- = к2(а-х)*
(П)
dx	Г“
— = к3(а — х}^ — к_3х = к3\ (а—Х)*—
dx
^4 (я—1)2 — k_ix'^ =
этих уравнений:
(Ш)
(IV)
I 1 2 1 I
Al = — In ------у—
X 1 — х/а
1 х/а
2~ X a (1 — х/а)
114
то
Так как
•£р
К== (0,05-Хр)2 = 69’8

хр = 0,02946
^<«=0,589
а 0,05
Рассчитаем для первой точки значения констант скорости реак-
ции с помощью указанных выше уравнений:
ln Т—
.	' 1	0,175 _п,лк
*2 10,2’0,05 (1-0,175)	°’
,	0,589	, 0,175 (1-0,589 - 0,175) _ 9
3	10,2 - 0,05 (1-0,589)2	0,052 (0,589 - 0,175)
, __________0,589________, 0,589 + 0,175 (1-2-0,589) =
4 2 • 10,2 • 0,05 (1 —0,589 )	0,589 — 0,175
Эти результаты, а также				ТАБЛИЦА HI-3		
значения для остальных то-						
чек помещены в табл. Ш-З. Отсюда видно, что уравне-	т	а	fel	feg	fe»	А’4
	10,2	0,175	0,0187	0,415	8,89	0,421
ние (IV), соответствующее						
обратимой реакции, где она	26,5	0,343	0,0158	0,394	4,15	0,412
в обоих направлениях вто-	36,0	0,402	0,0143	0,273	3,25	0,405
рого порядка, наилучшим об- разом удовлетворяет опытным	78,0	0,523	0,0096	0,281	1,78	0,371
данным, несмотря на то, что уравнение (III) соответствует стехио-
метрии. Постепенное уменьшение к2 в таблице типично в тех
случаях, когда для обратимой реакции принимается механизм не-
обратимого процесса.
8'
115
§ 8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим также процессы, являющиеся результатом двух более
простых процессов, следующих один за другим. Примером таких
процессов могут служить превращения радиоактивных веществ.
Предположим, что какое-либо вещество, начальное количество
которого равно g0, превращается в другое вещество, а последнее,
в свою очередь, также изменяется, причем скорости этих двух реак-
ций различны. Примем, что это — реакции первого порядка.
Пусть: g — количество исходного вещества ко времени т;
х — количество первого продукта, образовавшегося ко времени т
по первой реакции;
у — количество второго продукта, образовавшегося ко вре-
мени т.
Тогда х — у равно количеству первого продукта, получившегося
ко времени т.
По условию задачи в процессе протекания реакций скорость
изменения х пропорциональна g, т. е. пропорциональна g0 — х,
а скорость изменения у пропорциональна х — у. Поэтому диффе-
ренциальные уравнения для хну будут:
dx	dy , ,
^ = *1(?о-^) и -^ = к2(х-у)
Первое из этих двух дифференциальных уравнений может быть
сразу же проинтегрировано:
x = g0(i — e~klX)
Это значение х подставим во второе дифференциальное
ние. При этом получим:
+^21/ = ^2?0 (1—е
Полученное уравнение принадлежит к типу линейных
ний. Решение его мы дадим в гл. V, где будут изложены
решения линейных уравнений. Здесь же только приведем это решение:
у=^+тгпге^х-т^ге'^
aj—zig	'*'1 — '*•2
Уравнение (91) является уравнением кинетики образования
конечного продукта в результате двух последовательных процессов
первого порядка.
Иногда возможно предпринять раздельное или независимое
исследование двух реакций и, следовательно, найти константы их
скоростей кг и &2.
Предположим, что исходное вещество — совершенно чистое и ко-
личество его равно единице, т. е. g0 = 1. Предположим также,
что полный анализ образца был сделан ко времени т, и оказалось,
что к этому времени содержание наличного количества первого
продукта равно 0,4, второго продукта 0,3, а следовательно, содер-
(89)
уравне-
(90)
уравне-
методы
(91)
116
жание исходного неизменившегося вещества также 0,3. Примем,
что т = 3, т. е. пусть мы нашли с помощью анализа, что х — у =
= 0,4 и у = 0,3 при т = 3. Покажем, как может быть решено (см.
гл. XXV) трансцендентное уравнение (91) относительно постоян-
ной к2, если кг рассматривать как известную величину. Поскольку
первая реакция есть простой процесс первого порядка, то к± нахо-
дится непосредственно с помощью методов, рассмотренных в начале
этой главы.
Решим уравнение (91) относительно е~кг\ а множитель
исключим путем подстановки его значения из (89).
Мы получим:
В этом уравнении все величины,
кроме к2, известны. Для его нахо-
ждения построим на миллиметровой
бумаге график функции е~к^, рассма-
тривая к2 как переменную и при-
нимая т равной 3. Далее таким же
образом построим график правой
части уравнения (92). Мы получим
прямую линию, которая пересечется
с графиком функции e~k*\ вообще
говоря, в двух точках (рис. Ш-4).
Одна из этих точек будет иметь
своей абсциссой значение, равное
уже найденному значению къ Дру-
гая точка будет иметь своей абсцис-
сой значение искомой к2.
После того, как первое при-	Рис. Ш-4.
ближение для к2 найдено, можно
уточнить это значение, применяя метод последовательных прибли-
жений, изложенный в гл. XXV. Для этого представим уравне-
ние (92) в виде:
и, подставив в его правую часть вместо к2 найденное приближенное
значение, получим второе приближение для к2, которое в ряде слу-
чаев оказывается более точным, чем первое. Подставляя это второе
приближенное значение для к2 снова в правую часть, получим третье
приближение. В ряде случаев (см. гл. XXV) этот процесс оказы-
вается сходящимся и позволяет определить к2 с любой степенью-
точности.
Применим этот метод к вышеприведенным числовым данным.
С помощью метода, изложенного в начале главы, мы получим к1 =
j
=-----In 0,3 — 0,4. Уравнение (92) обращается в
О
е-8*» = —Лг + 0,7	(93)
ИТ
Построением графика определяем первое приближение к корню:
й2 = 0,35.
Запишем теперь уравнение (93) в виде:
*2 = 0,7 —е"3*’
и найдем второе приближение, подставляя в правую часть этого
уравнения к2' = 0,35. Мы найдем &(22’ == 0,34995. Подставляя это
второе приближенное значение снова в правую часть уравнения,
получим третье приближение к23) = 0,34999.
При пользовании этим методом, конечно, нужно учитывать точ-
ность, с которой заданы постоянные, входящие в уравнение.
Покажем теперь, что в двух последовательных процессах пер-
вого порядка количество первого продукта возрастает до максимума
и затем падает до нуля. Найдем также максимальное количество
первого продукта и значение т, при котором этот максимум
достигается.
Вычитая (91) из (89), получим:
(94)
«2 — ^1
Для нахождения максимума х — у нужно приравнять производ-
ную от х — у нулю; решая относительно т полученное при этом
уравнение, найдем:
1п>
т = ——2-
*1 — *2
При этом значении времени т достигается максимальное коли-
чество первого продукта.
Чтобы найти значение максимального выхода первого продукта,
подставим это значение т в формулу (94). Мы получим:
x~y=g0
По этой формуле можно вычислить х — у, т. е. максимальный
выход первого продукта.
§ 9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И ОДНОВРЕМЕННО ПРОТЕКАЮЩИЕ
РЕАКЦИИ
В том случае, когда вещество участвует одновременно в несколь-
ких реакциях, действительная скорость его образования или
разложения составляет алгебраическую сумму его скоростей в эле-
ментарных реакциях.
118
Рассмотрим такую группу реакций:
Л+ в —С
С+А	D + E
D + E	С + А
Для общих скоростей будем иметь:
га~ (га)1 + (га)2 + (га)з — kiCaCb к2С aCc + k2CdCe
rb = к^СдСь
г с - к!СаСь -к2СаСс + k3CdCe
rd = к%СаСс k3CdCe
Ге~ к^СаСсА^кзС^Се
При интегрировании этих уравнений некоторые переменный
могут быть исключены с помощью материального баланса.
Пример. Имеем следующие реакции:
А В; В —С
Кинетические уравнения:
^-=^к1Па	(95>
dx	а
^. = klna-k2nb	(96)
Материальный баланс:
пао4-п6о + пс0==па + пб+по
Для (95) получим:
Па = па(<*‘Т	(97)
Подстановка (97) в (95) и (96) дает линейное дифференциальное
уравнение первого порядка (гл. IV)
^ + к2пь = kinatf~k'x
решение которого составляет (гл. V):
Пь=пЪ^ + ~^-{ае-^-е-^)
Таким образом
пс = пяо + пЬо + паО — па—пЬ =
= пй0 + nbo + nco~na0e-^-nboe-^-	-е~^)
К2 —
119-
Пример. Для реакций
. kt	k» - л kt _
А----> В; А — > С; А —D
нанишем кинетические уравнения:
= (^1 + Ла + *з) па = ^па
dnb
Интегрирование первого уравнения дает:
па~паОе~кх	(98)
При интегрировании остальных уравнений после подстановки (98)
шолучим:
пЬ = »6о+	(1 — е“Ат)
л
пс = пс0+	(1 -
К
Отметим, что количества образующихся веществ по-прежнему
находятся в таком же соотношении, как константы скорости реак-
ций, т. е.
<пь — пЬо): (пс — ис0) : (nd — nd0) = fcj : Л2: к3
Пример. Для вывода кинетического уравнения применительно
к реакциям со сложным механизмом рассмотрим реакцию образо-
вания НВг из его элементов, протекающую при 300° С по следую-
щей схеме:
Вг2 —> 2Вг	(а)
Вг+Н2 —> НВг+Н	(Ь)
Н + Вг2—>НВг+Вг	(с)
Н + НВг--►Щ + Вг	(d)
2Вг--> Вга	(е)
В итоге имеем:
На + Вг2  > 2НВг
420
в соответствии с (а) и (е) получим:
- 7-	г^-Ах (Вг2) + Л-8 (Вг)2^()	(А)
ах
Экспериментально показано, что количество атомарного водо-
рода, присутствующего в любой момент, ничтожно мало и, таким
образом, действительная скорость его образования равна нулю:
~5~ = А2 (Вг) (Н2)—А3 (Н) (Вг2)—А4(Н) (НВг) = 0	(В)
Скорость образования НВт составляет:
= *а (Вг) (На) -(-А3(Н) (Вг2) — А4 (Н) (НВг)	(С)
Решая уравнения (А) и (В) относительно (Вг) и (Н), получим:
И
к (И ) ] < Aj (Вг2)
(Вг) (Нг) 2 Нг 7‘5
' ' А3 (Вг2) + А4 (НВг) А3 (Вг2) + А4 (НВг)
Подставляя эти значения в (С), найдем:
______ к /тт , 1/ Ах (Вг2)
= Аа (Н2) У-^(Вг^ +(А3 (Вг2) — А4 (HBr)J J—LL—=
аъ	Г	ЛЗ (012/т*^4 (ЛоГ/
2А2А3]/-^(Н2)(Вг2)<м
Некоторые относительно простые комбинации реакций приво-
дят к математическим уравнениям, которые не всегда могут быть
решены аналитически. Рассмотрим, например, реакции:
А — -> В и В + С — -> D
где
и*о—га</о = О
пай — псО
Материальный баланс:
гааО	= пЬ “Ь
n.’ = nM—nd^nc0—na0+na—nb = na—nd
121
(99)
(100)
Кинетические уравнения получим в таком виде:
dna ,
~ = к1па--^-пьпс=^к1~^^ ПаОе-^ + 1^_
При использовании материального баланса и решения (99) отно-
сительно па аналитическое решение (100) для пь невозможно.
Другое затруднение, которое встречается при рассмотрении
сложных реакций, даже тогда, когда интегрирование возможно,
состоит в том, что решение усложняется настолько, что константы
скорости реакций не могут быть вычислены на основе эксперимен-
тальных данных. В подобных случаях целесообразно работать с диф-
ференциальными уравнениями, но не с их решениями. Используем,
например, выражение (100), пусть экспериментальные данные пред-
ставляют измерения пь в зависимости от времени. Применив эти
данные, мы можем вычислить производные dn^di. При подстановке
двух групп величин (с?пй/с?т, пь и т) в дифференциальное уравнение
неизвестные кг и Л2 могут быть определены методом последователь-
ных приближений (см. гл. V, § 16 и гл. XXV, § 6).
Изменяя условия эксперимента, представляется возможным упро-
стить определение величины к. Например, если одна из реакций
второго порядка, то, применяя избыток одного из реагентов, мы
получим реакцию псевдопервого порядка. Подобным образом, если
одна из стадий реакции обратима, то имеется возможность исполь-
зовать только начальные данные, когда система смещена от равно-
весия настолько, что обратная реакция не имеет значения.
Пример. Для двух реакций
А + В 2С; А+С D
имеем:
Лд —0,10 м3/кмоль - мин
к% = 0,05 м3/кмоль • мин
4о = ЗВо = О,9 кмоль/м3
Со = О0 = 0
Рассчитаем концентрацию четырех веществ, участвующих
в реакции, как функцию времени.
Материальный баланс:
С=3(В0 —В)—(40— 4) = 4 — ЗВ
D = (Ао—А) —(Во —В) В — А
Кинетические уравнения:
dA
---j— = kiАВ + k2AC = kr АВ + k^A (А — ЗВ) = 0,1 АВ + 0,054 (4 — ЗВ)
— ДД = Ад АВ = 0,1 АВ
dt
122
Для определения последовательных значений А и В восполь-
зуемся формулой Тейлора (гл. XIII)
+• • •
причем
£n+i — хп-1 + 2h.xn
Примем
А = Дт=1 мин
Тогда будем иметь:
(4+ ) = -0,1 • 0,9 • 0,3- 0,05 • 0,9 (0,9-3 • 0,03) = -0,0270
() = -04 • 0,9 • 0,3 = -0,0270
\	/0
 (-й-).----»•* ( л	+в Гг ).—“•• <-ода>+°-3 <-»«1 - °.“324
(^) Л “ba 4*) _„,05Гл (%.-з44) +
\ ат /0	\	1 dx Jо L \ ^т dx /
+ (4 - ЗВ) ~1 = -0,1 [0,9 (-0,027) + 0,3 (-0,027)]-
at Jq
- 0,05 [0,9 (—0,027 + 0,081) + 0] = 0,0008
Применяя формулу Тейлора, получим:
41 = 0,9+ (-0,027)+ 0,5 - 0,0008+. . . = 0,8734
В1 = 0,3+(-0,027)+ 0,5-0,0032 + . . . = 0,2746
Таким образом
(	) = —0,1 • 0,8734 • 0,2746 — 0,05 • 0,8734 (8734—3 • 0,2746) = -0,0262
= -о,1.0,8734 • 0,2746 = —0,0241
Далее
42 = 40 + 2 (	= 0,9000 + 2 (-0,0262) = 0,8476
В2 = 0,3 + 2 (-0,0241) = 0,2518
и
(	= —0,1.0,8476 • 0,2518 - 0,05 • 0,8476 (0,8476 — 3 • 0,2518) = -0,0253
X аТ / 2
(= -0,1 • 0,8476 - 0,2518 = -0,0214
\ dx /2
121
Продолжая, найдем:
А3 = 0,8734+2 (-0,0253) = 0,8228
В3 = 0,2746+2 (-0,0214) = 0,2318
и т. д. для других точек.
Кинетические уравнения для некоторых других сложных
даны в табл. Ш-4.
ТАБЛИЦА Ш-4
систем
т	А	В	С	D	dA dt	г В at
0	0,9000	0,3000	0	0	0,0270	0,0270
1	0,8734	0,2746	0,0532	0,0012	0,0262	0,0241
2	0,8476	0,2518	0,0930	0,0042	0,0253	0,0214
3	0,8228	0,2318	0,1274	0,0090	0,0244	0,0191
4	0,7988	0,2136	0,1580	0,0148	0,0233	0,0170
5	0,7762	0,1978	0,1828	0,0216	0,0223	0,0154
6	0,7542	0,1828	0,2064	0,0286	0,0216	0,0138
7	0,7330	0,1702	0,2224	0,0372	0,0207	0,0125
8	0,7128	0,1578	0,2396	0,0430	0,0197	0,0112
9	0,6936	0,1478	0,2502	0,0542	0,0189	0,0102
10	0,6750	0,1374	0,2628	0.0624	0,0182	0,0093
11	0,6572	0,1292	0,2696	0,0720	0,0174	0,0085
12	0,6402	0,1204	0,2790	0,0802		
4 Л С 5 —- С
I. Реакции
Кинетические
уравнения
II. Реакции
апс	-й t	•kt
-^— = klna + k2nb = k1naae 1 +Л2иЬое
2А -ч- В В —ч С
Кинетические------^2- = А1”а
Уравнения	"
dnb
dx
к1па	,
—у------к2пь =
пао____А о „
i+kin^lV }	2 Ь
III. 1'еакцив 2 А —-> В 2В —ч С
Материальный пЬо = пс0 = О
баланс	иао = na +	+ 4пс
Кинетические ~Па =----------1Па_
уравнения	dx	v
dnb  !;}п2а	1,.гп2
dx “ V V
dnc  ^-2пь   k2 / na0 — na — 4nc	к2
dx V ~ V \	2 J 7TX
IV. Реакции A — -» В В —ч A В —ч С С —ч В
121
Материальный баланс	«ьо = псо = 0 пм-=па+пь + пс
Кинетические уравнения	=—ki>ia-]-к2пь аХ кгпа — к2пь — кзпЬ + к±пс = (кг — Л4) па — (к2 + к3 + к^) X ах X + ^4пао (^т + ^г + ^з + ^а) j -}-(^1Аз +Л1Л1-|-Л2Л4) ах*	ах  к2к^Пд0^=^О
V. Реакции	А+В	с + Е А + С	D+E
Материальный баланс	nco = ndo=nco — 0 па — nb~¥nd — па0 — пЬо + ndo nb~\~nc~\~nd — nbo + псо + ndo па~¥пс = пао + псо
Кинетические уравнения	_ кгпапь— к2папс = к^папь dnc ~^-= k1nanb — k2nanc dnd , -^^к2папс § 10. ПРОЦЕССЫ СМЕШАННОГО ТИПА. ПОЛУЧЕНИЕ ВОДЯНОГО ГАЗА
Рассмотренные процессы, а именно параллельные, обратимые
и последовательные, очень часто протекают совместно. Число воз-
можных сочетаний весьма велико, но методы их анализа, в общем,
подобные вышеприведенным, могут быть использованы и в этом
случае для составления дифференциальных уравнений. Эти уравне-
ния, однако, не обязательно окажутся с разделяющимися перемен-
ными или линейными.
Следующий пример дает представление о ходе решения, связан-
ного с указанными процессами.
При пропускании водяного пара через раскаленный уголь полу-
чается водяной газ, который представляет собой смесь водяного
пара, двуокиси углерода и водорода.
Имеются следующие опытные данные по составу газовой смеси
Объемная доля пара . . . .1,000 0,906 0,709 0,556 0,376 0,056
Объемная доля СО2 . . . .0,000 0,041 0,100 0,123 0,099 0,0242
Требуется показать, что эти результаты достаточно хорошо
согласуются с предположением, что реакции протекаю! в соответ-
ствии с уравнениями:
С + 2Н2О = СО2 + 2Н2	(А)
С + Н2О = СО + Н2	(Б)
С + СО2=2СО	(В)
125
а также с предположениями, что все три реакции — первого порядка
и что ни одна из них в условиях опыта не является в заметной сте-
пени обратимой.
Определить также отношение констант скоростей реакций.
Пусть кг, к2 и к3 — константы скоростей, соответственно, реак-
ций (А), (Б) и (В).
Двуокись углерода образуется в (А) и используется в (В). Обо-
значив через х и у объемы пара и СО2 ко времени т, мы, па основе
сделанных предположений, получим дифференциальное уравнение
для переменной у.
~гт = ^1х — к3у	(101)
аТ
С другой стороны, пар используется как в реакции (А), так и в (Б),
причем обе реакции идут одновременно и должны рассматриваться
на основе принципов, установленных для побочных процессов,
между тем как (В) — последовательная реакция.
При составлении уравнения (101) константа к, была выбрана
таким образом, чтобы она соответствовала скорости образования
одного объема С0.2, образующегося из двух объемов пара. Следова-
тельно, дифференциальное уравнение для переменной х будет:
-	——— к2х	(102)
С целью исключения dx разделим (101) на (102):
в к1Х — к3у
dx	—2klx — kix
Разделив числитель и знаменатель на кг и приняв обозначения
пслучим из уравнения (103):
dy = £у — х
dx ах
(104)
Это уравнение является линейным относительно у, и интегриро-
вание его будет дано в гл. V.
Значения а и [3 могут быть найдены методом подбора, и, следова-
тельно, отношения 4^- и 4^- становятся известными.
«1	«j
Можно было бы предположить, что реакция (А) — второго по
рядка, но это привело бы к такому дифференциальному уравнению,
которое не согласуется с экспериментальными данными. Следует
отметить, что эта реакция протекает на поверхности угля и отли-
чается от гомогенных газовых реакций.
126
§ 11. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пусть в аппарате периодического действия протекает процесс
при постоянной температуре по схеме
А —> x4-q	(105)
где q — тепловой эффект реакции, ккал/молъ.
Общее количество тепла, выделяющееся при переработке одной
порции материалов (одной загрузки), обозначим через Q ккал. Коли-
чество выделяющегося тепла изменяется со временем, причем оно
зависит от количеств взаимодействующих веществ.
Примем следующие обозначения:
аначальная концентрация или количество вещества А;
х — концентрация или количество получаемого продукта X в любой
-- момент времени;
т — время;
тк — продолжительность процесса;
к — константа скорости реакции.
Для мономолекулярной реакции, как известно, имеем следующее
кинетическое уравнение:
J±=lc(a-x)	(106)
dr
Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях:
х = 0 при т = 0
Решением уравнения (94) является функция
х — а (1 —е~к~)
Если тк—конечный момент времени, а хк — значение концен-
трации для этого момента, то
zK = a(l-e-ft'«)	(107)
Очевидно, что количество выделившегося или поглотившегося
тепла Q прямо пропорционально степени превращения А в ве-
щество X и, следовательно
(? = фяк = <ра (1 — <Г*'К)	(108)
где <р — коэффициент пропорциональности.
Для любого момента времени т предыдущее равенство может быть
переписано так:
Ox = <pa (1— е~кг)	(109)
Разделив (109) на (108) и перенеся Q вправо, получим фирмулу,
выражающую закон тепловыделения и теплопоглощения в реак-
ционном аппарате:
4 - -
<??=<?---7—	(НО)
1-е к
127
Поскольку количество теплоносителя или охлаждающего агента
прямо пропорционально величине Q, то расход их должен меняться
во времени в соответствии с равенством:
W.= W
1 —erkt
(111)
где W—расход теплоносителя или охлаждающего агента на весь
процесс;
Wx—количество теплоносителя или охлаждающего агента, рас-
ходуемого за время т.
Для аппаратов непрерывного действия будем иметь:
4 _I
<?/ = <?--(112)
1 — е к
где 1К — конечная длина или высота аппаратов, равная произведе-
нию скорости и времени.
Пример. Некоторый химический процесс, проводимый в аппа-
рате периодического действия, протекает согласно уравнению моно-
молекулярной реакции. Начальная концентрация исходного про-
дукта равна единице, степень превращения 0,96, константа скорости
реакции к = 0,000895 сек-1, а общее количество выделяющегося
тепла (при 96 %-ном превращении) составляет 10 000 ккал.
Вычислить данные для построения графика тепловыделения и гра-
фика расхода охлаждающей воды, если известно, что процесс про-
водится при постоянной температуре.
Продолжительность процесса, протекающего по уравнению моно-
молекулярной реакции, может быть найдена по формуле, приведен-
ной на стр. 81:
Из (110) находим значение Qx для отрезков времени, соответ-
ствующих 10, 20, 30, 40 и 50 мин с момента начала реакции:
(?10= 10 000		1	2 718”0’ 000895.600		 = 10 000	1—0,582 1—0,04		 = 4350	ккал
		1-	‘2 718-0,000895.3600					
(?20 =	10 000-	1-	•2 718“0’000895’1200		1-	-0,342	• = 6850	ккал
		1-	•2 718-0.°°о895‘3боо		1-	-0,04		
<2зо =	10 000-	1- 1-	2.71 8-0’000895’1800 2 718~°’000895’3600	= 10 000-	1- 1-	-0,2 -0,04	= 8330	ккал
Qto —	10000-	1- 1-	2 718“0’000895’2400 2 718'"0’000895’3600	= 10 000-	1- 1-	0,116 0,04	= 9200	ккал
<2 50 =	10000-	1- 1-	2 718-0,000895,3000 2 718-° 000895,3800	= 10000-	1 — 1-	0,068 -0,04	= 9700	ккал
128
Общий расход охлаждающей воды:
W=-----
10 000
1 (20—12)
1250 кг
где 1к = 20°С — конечная температура воды;
tH = 12° С —начальная температура воды.
Расход охлаждающей воды в каждый данный момент времени
определяется по формуле (111), соответственно чему можно найти
значение IV- для 10, 20, 30, 40 и 50
с момента начала реакции:
1Г1о = 1250 1~°’58/ = 544 кг
1 — v,v4f
^20= 1250 j-°o^- = 857 кг
^зо = 1250  iZqm =1040 кг
И^о=125О 11Zo.1O4"- = 115° Кг
1J7	, 1|ГЛ 1 0,068 ,nt,
И0>о = 1250 — _ Q ^=1214 кг
MUH
На основании полученных данных можно построить графики
тепловыделения и расхода охлаждающей воды (рис. III-5).
§ 12. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Для реакции второго порядка количество получающегося в любой
момент времени продукта в соответствии с формулой (25) на
стр. 88 будет:
аЪ (еа^~ — еь^~}
х —---:--------
aeak-r — Ъеь^~
-где а и b — количества или концентрации исходных веществ. Это
значение х и подставляется в уравнения (108) и (109):
Q = <ра: = <р
/ ah' bkt \
аЪ\е к — е А)
afo i. Ь1г'к
ае к — be к
aft —ebllx)
аеа^х— Ъеь^х
9 Заказ 1709
129
Исключая из этих соотношений <р, получим!
(еакх — ebkz)	— be’1***-)
Q^Q\ae^-beb^{ea^-eb^
Для аппарата непрерывного действия получим:
(в°*1—gbkl^ (ае°^к —
1	(аеак1 — Ъеь1!‘) (eak‘ii — ebltlii')
(ИЗ)
(И4)
Пример. Рассмотрим кинетические и тепловые соотношения
реакции омыления уксусноэтилового эфира щелочью:
CHaCOOCaHs + NaOH = CH3COONa + С2Н5ОН
Ниже приведены опытные данные (табл. Ш-5).
ТАБЛИЦА Ш-5
т# мин от начала опыта	и °C	Количество 0,01 н. HG1, употребленное для торможения реакции, лсл	Количество 0,01 и. NaOH, пошедшее В обратное титрование, мл
10	30,0	10	1,0
20	30,2	10	2,8
30	30,1	10	4,0
65	29,8	10	4,6
80	30,0	10	4,8
8 суток	20,0	10	5,0
Поскольку эта реакция второго порядка, используем для опре-
деления константы скорости реакции формулу (26):
2,303	. (а — х)Ь
т (а — 6) & (b— х) а
где а = 15 — начальное количество щелочи, мл;
Ь=10—начальное количество эфира, мл;
а — х —количество свободной щелочи, мл;
b—х —количество свободного эфира, мл.
Таким образом
™ 1g 0,67
т ®
а — х
Ь —х
Вычисление занесем в табл. Ш-6.
Средне© Значение константы скорости реакции:
АСр = 12,5 люаь_1 • лши~1
130
ТАБЛИЦА Ш-6
мин	а — х	Ь — х	0,67 £	- О — X	, « « а — х 1g 0-67—ж	fe, М0ЛЪ~1 ‘MUH~i
10	9,0	4,0	1,49	0,17	12,0
20	7,2	2,2	2,20	0,34	11,9
30	6,0 .	1,0	4,00	0,60	14,0
65	5,4	0,4	13,50	1,13	12,2
80	5,2	0,2	26,00	1,42	12,5
8 суток	5,0	0			
Тепловой эффект реакции равен разности сумм теплот образо-
вания продуктов реакции и исходных веществ:
% = ^CHsCOONa + ?С,Н,ОН ~5сНзСООС,Н5 ~ ?NaOH
где
?CH»COONa = ?СНзСООН + 9нейтр + 9NaOH — 9Н2О
Следовательно
?р = ?С,НзОн + ^СНзСООн + 12-9 —б8’4 —’СНзСООСЩз
СНзСООС2Н.5=С4Н8О2
Яо = 94,4С + 34.19Н — ?Сг = 94,4 • 4 + 34,19 • 8 — 540= 110,4 ккал/моль
СНзСООН^СгЩОз
?о = 94,4-2-|-34,19 - 4 — 209,4= 115,88 ккал)моль
С2Н5ОН = С2Н8О
?о = 94,4 • 2 + 34,19 • 6—328 = 65,52 ккал/моль
Тепловой эффект реакции:
9р = 65,52+115,88 +12,9 — 68,4 —110,4 = 15,5 ккал!моль
Количество тепла, выделяющегося в любой момент времени:
(еа*т—	—ЬеЬ к)
Qz = Q (eah^-ebk^\ae^-be^)'
Подставляя а =1,56, получим:
п еьях (ео,5бкх — 1) е
(^.бб^к _ bkz^ ъ (1 5el>56ftT
йЧ(115е°'5Й*ТК-
ebk'- (1,5с1 sf,ft'r —
е0,5ЬЙТ __1
8*
181
ТАБЛИЦА III-7
M.UH	0,0415т	lg. е0,0415т	е0,0415т	1>5е0,0415х	е0,0415т_ }	li5e0,0415t_ !	
0	0	0	1	1,50	0	0,50	0
10	0,415	0,178	1,50	2,20	0,50	1,25	102
20	0,830	0,360	2,29	3,44	1,29	2,44	135
30	1,245	0,635	3,50	5,25	2,50	4,25	150
40	1,600	0,690	4,80	7,50	3,80	6,20	157
50	2,080	0,860	7,25	10,90	6,25	9,90	163
60	2,490	1,070	11,70	17,60	10,70	16,60	168
Считая на 1 кг этилацетата, найдем:
Рис. Ш-б.
/>0,56^7 _4	рОЛъЬт. А
1,6 ---—	=255—------------1-
I 5g0-56/?~ _j	^50,66*1 __1
Так как
п гд/, 0,5*0,01*12,5	пл/,*
и,эол:т = —-----—------— т = 0,0415т
1,5
окончательно получим:
g0,0415т_________________________1
Qt = 255 ggO 0415т__j
Определяя Qx, заполним следующую
расчетную табл. 1'11-7.
На основе этих данных строим график
тепловыделения, соответствующего кине-
тике реакции омыления уксусноэтилово'го
эфира щелочью (рис. Ш-6).
§ 13. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ СЛОЖНОГО ХАРАКТЕРА.
КАТАЛИТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЕРНОКИСЛОЙ СОЛИ
О-МЕТОКСИФЕНИЛДИАЗОНИЯ
Синтетическое производство гваякола из о-анизидина основано
на следующей схеме:
I. Получение сернокислого о-анизидина
ОСНз
2^Xj|-NH2+H2S°4 ~*
' ОСНз
 H2SO4.
2
132
IL Диазотирование сернокислой соли о-анизидина
“ ОСНз ’
|
А-™'
_А/
H2SO4+H2SO4+2NaNO2 —>
" ОСНз
I
ArN=N
-А/
SO~ + Na2SO4 + 4H2O
2
III. Каталитическое разложение сернокислой соли о-метоксифе-
нилдиазония:
“ ОСНз
I
A-n=n
-А/
SO~+2H2O
2
катализатор
ОСНз
2|^||_0Н +N2 + H2SO4
А/
В качестве катализатора разложения о-метоксифенилдиазония
применяется медный купорос.
Пример. Скорость разложения сернокислого о-метоксифенил-
диазония определялась по объему азота, выделяющегося при раз-
ложении соли диазония. Опытные данные для этого процесса
приведены в табл. III-8.
ТАБЛИЦА Ш-8
т, мин от начала опыта	Температура,	Количество выделивше- гося азота, смВ 9	Количество азота» приве- денного к нормальным условиям сма	Степень разложения соли диазония, %	
2	96	2,6	2,5	5,7	0,029
4		5,3	5,0	11,4	0,031
6		8,3	7,9	18,0	0,033
8		11,7	11,1	25,2	0,036
10		15,1	14,3	32,5	0,039
12		18,5	17,5	39,3	0,042
14		21,7	20,6	46,8	0,045
16		25,2	23,8	54,1	0,048
18		28,3	26,8	61,0	0,052
20		31,4	29,7	67,6	0,056
24		36,5	34,6	78,7	0,064
30		41,8	39,6	90,1	0.076
©О		46,4	44,0	100,0	
В табл. Ш-8 kt есть константа скорости реакции, вычисленная
с помощью уравнения реакции первого порядка. Эта величина,
как видно, изменяется и не может характеризовать процесс.
133
Используем в данном случае следующее видоизмененное выраже-
ние для константы скорости реакции, усложненной процессами
неизвестного характера:
2,3	. А В + х
С~ т (Л+В) g А —х ' В
где т — время от начала опыта;
А — начальная концентрация исходного вещества, т. е. соли
диазония (выраженная в мл азота, выделившегося при пол-
ном разложении диазораствора);
В — величина, характеризующая особенности процесса;
х — количество вещества, вступившего в реакцию (количество мл
азота, приведенного к нормальным условиям при т).
Вычисляем величину к‘.
ТАБЛИЦА Ш-9
MUH	в	A	2,3	X	A B+x A — x В	ё A — x В	h
			’W+B)				
2	11	44	0,0210	2,5	1,30	0,114	0,0024
4	11	44	0,0100	5,0	1,64	0,215	0,0022
6	11	44	0,0070	7,9	2,09	0,318	0,0022
8	11	44	0,0050	11,1	2,73	0,436	0,0022
16	11	44	0.0040	14,3	3,40	0,532	0,0021
12	11	44	0,0035	17,5	4,30	0,633	0,0022
14	11	44	0,0030	20,6	5,40	0,732	0,0022
16	11	44	0,0026	23,8	6,90	0,840	0,0022
18	11	44	0,0023	26,8	8,78	0,950	0,0022
20	11	44	0,0021	29,7	11,37	1,056	0,0022
24	11	44	0,0017	34,6	19,40	1,288	0,0022
30	11	44	0,0014	39,6	46,00	1,662	0,0023
Среднее значение константы скорости реакции:
к = 0,0022 мин~1
Тепловой эффект реакции разложения сернокислого о-метоксй-
фенилдиазония Вычисляем следующим образом:
9т — ^HjSOi "Ь 2?гваякола 9диазос. 2?н ,0
где q — теплоты образования исходных веществ и продуктов реак-
ции, ккал/молъ.	:
Для определения теплоты образования Диазосоединения напи-
шем уравнение реакции диазотирования о-анизидина:
ОСН3
I
2|^X|rNH2 + 2H2SO4 + 2NaNO2 —>
ОСНз	ОСНз
I	I
—►	s°4- N=N-+ Na2SO4+ 4H2q +
134
Теплоты образования по справочным данным:
9NaNO2 = 83,2 ккал/моль-,	9Na2SO4 = 326 ккал!моль
= 68,4 ккал/ моль\ 9h2so4 = 192,2 ккал]моль
Теплоты образования о-анизидина и бнс-метоксифенилдиазосуль-
фата (диазосоединения), принимая во внимание отсутствие данных
в литературе, определяем через теплоту сгорания этих соединений
по методу Караша:
<7сг=26,05п+2Вд
где qZT — теплота сгорания моля органического вещества, ккал/молъ;
26,05 — тепло, выделяющееся при перемещении одного электрона
от углерода или водорода к кислороду, ккал]моль- элек-
трон-,
п — число электронов в молекуле, перемещающихся при сго-
рании;
£ — число одноименных заместителей в молекуле соединения;
Д — тепловая поправка на заместитель.
Для о-анизидина имеем:
п=4-7 + 9—2 = 35
Тепловые поправки:	,
ДОСНа = 19’5; ДЫНг = 6>5
Теплота сгорания о-анизидина:
<7СГ = 26,05 • 35 + 26 = 937,75 ккал/молъ
Теплота образования о-анизидина:
<7обр = 94,4С + 34.19Н — ?сг = 94,4 • 7 + 34,19 • 9 — 937,75 = 39,76 ккал/моль
Для диазосоединения имеем:
п = 4-14+14,1 —4 = 66
В литературе нет тепловой поправки на азогруппу, поэтому
определяем ее с помощью экспериментальных данных следующим
образом. Рассмотрим суммарную реакцию диазотирования анилина
с последующим сочетанием:
2CeH8NH2 + NaNO2+ НС1 —> CeH5N=NCeH4NH2 + NaCl + 2H2O + 9
Тепловой эффект реакции получения га-аминоазобензола экспе-
риментально определен В. В. Свентославским:
9=43,2 ккал/моль
Теплота сгорания п-аминоазобензола:
<7сг = 1574 ккал/моль
135
Теплота образования п-аминоазобензола:
<7обр = 94,4-12 + 34,19- И —1574=—68 ккал/моль
Теплота образования анилина составляет —6,6 ккал/моль. Та-
ким образом, тепловой эффект реакции образования п-аминоазобен-
зола равен:
(?обр = [—68+ 97,7 + 2 • 68,41 —[2 (—6,6) +83,2 + 39,3] = 57,2 ккал/моль
Следовательно, тепловая поправка на азогруппу равна:
57,2 — 43,2=14 ккал/моль
Сумма тепловых поправок для диазосоединения:
14-2 + 19,5-2 = 67
Теплота сгорания:
?сг = 26,05 - 66 + 67 = 1786,3 ккал/моль
Теплота образования диазосоединения:
?0бр = 94,4 • 14 + 34,19 • 14 + 69,3 —1786,3 = 82,26 ккал/моль
Далее, для теплоты сгорания гваякола имеем:
?сг — 26,05га + £Д
где
га = 4-7 + 8 —4 = 32
Aqchs = 19,5; ДОн = 3,5
Таким образом:
?сг = 26,05 • 32 + 23 = 858 ккал/моль
и
9обр = 94,4 • 7 + 34,19 • 8 —858= 75 ккал/моль
Тепловой эффект реакции:
?р = (192,2 + 2 • 75) — (83,26 + 2 • 68,4) = 122,14 ккал/моль
где
?Нг8о =192,2 ккал/моль; О = 68,4 ккал/моль
При использовании формулы (ИЗ) примем:
а = 5,55
где а — начальное количество воды;
Ь—начальное количество диазосоединения.
136
ТАБЛИЦА Ш-10
лшн	0,014т	1g е0,014т	е0,014т	5,5еО,ОНт	jO.OUT-!	5,5е0’01	1	Qt
0	0	0	1	5,5	0	4,50	0
5	0,070	0,0304	1,075	5,61	0,075	4,61	89,4
10	0,140	0,0606	1,165	6,40	0,165	5,40	166,0
15	0,210	0,0910	1,230	6,75	0,230	5,75	217,0
20	0,280	0,1230	1,330	7,30	0,330	6,30	284,0
25	0,350	0,1520	1,420	7,80	0,420	6,80	335,0
30	0,420	01850	1,580	8,45	0.530	7,45	386,0
Тогда будем иметь:
_	(e5,56^ _еьк^ b (5,5e5-5&feTK_ е^тк) _
(/’56^к_/йтк) 6(5,5^ 56^ _е(,*т)
gbkz (^л.ъьЬ- _!) ebk\ (б^е*'5^* —1) = £ ф 5 5 е4’5ь*т —1
ebk\	— ebk-/55e4,56fex _ 1)	’	5,5е4"'’6*- — 1
Считая на 1 кг гваякола, найдем:
_ 1000  122,14 сА,5ЬАт — 1 
124	"
^4,5*1,44*0,0022- |
= 5430 ge4,5-1,44-0,0022т _ j
е0,014т_4
= 5430^^^
Результаты вычислений сведем
в табл. Ш-10.
На основе этих данных строим гра-
фик тепловыделения (рис. Ш-7), соот-
ветствующего кинетике реакции разло-
жения о-метоксифенилдиазония.
Рис. Ш-7.
§ 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ТРУБЧАТОГО РЕАКЦИОННОГО
АППАРАТА
Рассмотрим элементарный объем реакционного аппарата dV
длиной dz. При наличии химической реакции в этом случае для
материального баланса будем иметь:
Приток —У быль + Источник — Сток = Приращение	(115)
Обозначим один из компонентов реакционной массы через А
и примем время реакции в рассматриваемом объеме dx.
Приток и убыль представляют собой количества вещества при
поступлении и выходе из рассматриваемой зоны реактора за
137
время di. Они составляют изменение количества А в пределах между
элементарным объемом и окружающей средой.
Источник выражает массу компонента А, который появляется
внутри элементарного объема за время dt, а сток — количество
компонента А, исчезающего за этот же промежуток времени вслед-
ствие химической реакции. Для установившегося состояния при-
ращение равно нулю.
Примем следующие обозначения:
F — скорость потока, кг/сек;
ха — число молей А, вступающего в реакцию в любой точке аппа-
рата на 1 кг жидкости, моль/кг;
Га — скорость убывания А в любой точке аппарата на единицу
объема, молъ'м3 -сек;
пА — число молей А в любой точке аппарата на 1 кг жидкости,
молъ/кг-,
па0 — число молей А при поступлении в аппарат на 1 кг жидкости,
моль! кг-,
Уд — объем реактора, ж3.
Для промежутка времени dt материальный баланс относительно А
и объема dVR в соответствии с (115) и при учете того, что приращение
и источник равны нулю, составит:
г d(Fn.\	7
^а-[^а+-УйГ2-^]-'-айгн = 0	(Ив)
или
-d(FnA) = rAdVR	(117)
При установившемся состоянии F постоянная, и мы имеем:
пА = пА~хА
Следовательно
dFnA = F • dnA = F • dxA	(118)
Подставляя (118) в (117), получим:
F -dxA = rA-dVr	(119)
Пример. Смесь озона с кислородом проходит через трубчатый
реактор при 1 ат и 100° С со скоростью 0,0155 м/сек.
Принимая, что в начальной смеси 10% озона, определить длину
реактора, которая необходима для 50 %-го разложения озона.
Реакция может быть написана в таком виде:
2О3—> 30 2
Константа скорости реакции в уравнении
Г = Л(Оз)2
составляет:
к = 8,6 • 10"2 м3]кмоль • сек
138
Используя (119), найдем объем реактора:
V = Л —
я J г
о
(120)
Скорость потока равна:
f =	48+ °’0Х2 '373—32 = 0,001557 кг/сек
U,UoZ • о / о	О Uoi • 61 6
И
0,0155 • 1 • 0,1 • 1
=	0,082 • 373	=	кмоль
0’ О, 0,001557	’ кг питающей смеси
Из каждого моля О3, вступающего в реактор, образуется 3/2
моля О2.
Общее число молей в питающей смеси составляет 0,02976 моль/кг
смеси. В точке, где х молей О2 на 1 кг питающей смеси оказы-
вается разложившимся, общее число молей будет равно:
, 1
Щ = «о
Концентрация Оа равна:
с по,о3~~х
Оз nt(RT/P)
Скорость реакции:
0,086 (% о —я)2
г =-----------------кмоль/л3 • сек	(121)
(”o+4*) (RTlp}2
Подставляя (121) в (120), получим:
X	X /	. 1	\2
Г	fCo+2^ (122)
PH = F I 0,086 (n0.o,-z)2	0.086P2 I («0,o,-^)2
J (n0-±.z\ (RT/P)*	J
о \	2 /	о
Примем следующие обозначения:
nOi Оа = а = 0,002976 кмоль Оз/кг питающей смеси;
п0 = J = 0,02976 моль/кг питающей смеси,'
с = 0,5;
я= 0,002976/2 = 0,001488.
После этого подынтегральное выражение представим в таком
виде:
(Ь-J-cz)2 Л2 | 2Ьсх . c2z2
(а — z)2	(а — z)2 ' (а — z)2 ' (а — z)2
139
Мы получим
причем
(я — -г)2 dx Ь |_ а —х Jo 
2Ьсх	Г-----------------“—Т.
(а—г)2	L	а — х Jo >
e2a?2	Г	а~ “]*
------—-dx ——с2 (а — х} — 2а In (а — х\------------I
(а —г)2	L	a — zjo
62 = (2,976 • 10~2)2 = 8,857 • 10’4;
а - х = 0,002976 — 0,001488 = 0,001488;
(в —z)2 = 2,214-Ю"8;
*2 = (2,976 • Ю’2)2 = 8,857 • 10+
а — х = 0,002976 - 0,001488 = 0,001488;
(а _г)2 = 2,214 • 10'6;
2Ьсх = 2 • 0,02976 • 0,5 • 0,001488 = 4,428 • 10+
с2ж2 = о,25 (1,488 • 10'3)2 = 0,5535 • 10+
2Ьс = 2 • 0,02976 • 0,5 = 0,02976;
In (я ~х) = In 0,001488 = —6,511;
In я = In 0,002976 = —5,818;
с2 = 0,25;
я2 = 8,857 • 1О‘в
Первый интеграл:
f &2	Г 1	1 п
J 7^.dx = 8’857 • 10~4 LwW - -797640=5-J = 2’986 •1(п
Второй интеграл:
f -2hcx	dx _ 2 П76.10-2 Г- 6 511 + 5 818 + 2’976 •10'3 - 2'976-10~31 -
J (0_г)2 **—2,976 10	6,511 + 5,818 + 1488 10_3	2>976.10-з J -
= 0,9136 -10’2
Третий интеграл:
С &х	г
J ТТТ^)2 ** = -0,25 I 0,001488 —0,002976 — 5,952 • 10’3 (-6,511 + 5,88)-
/ 8,857-Ю-e \	8,857 • 10-е Т
\ 1,488 • Ю'3 )	2,976 • IO-3 J 8,48 10
Таким образом, уравнение (122) может быть написано так:
v п = 0,0()1557 (0’082-373)2	0 009136 + 0 000085) = 5,18 .и3
v,Uob • 1
Длина трубчатого реакционного аппарата с единичной площадью
поперечного сечения равна:
£^5,2 .«
140
§ 15. ВЫСОТА (ДЛИНА) КОНТАКТНЫХ ЭКСТРАКТОРОВ
Для высоты экстрактора имеем:
Z=NH	(123)
где Z — высота; N — число ступеней экстракции; Н — высота,
эквивалентная ступени экстракции.
Рассмотрим схему экстракции, изображенную на рис. Ш-8.
Для бесконечно малой высоты dz поверхность фазового контакта
на единицу площади поперечного сечения колонны обозначим через
dS м2!м2 сечения колонны.
Скорость массопередачи при экстракции может быть предста-
влена следующим образом:
d (Rx)=d (Еу) = KR {x—x') dS — КE (y' — y) dS	(124)
где R — скорость потока рафинатной фазы, кмоль!м2 • ч;
Е — скорость потока экстрактивной фазы, кмоль'м2 -ч‘,
х — мольные доли извлекаемого материала в рафинатной фазе;
у — мольные доли извлекаемого материала в экстрактивной
фазе;
ж' — концентрация извлекаемого вещества в рафинатной фазе
при равновесии с экстрактивной фазой состава у;
у’ — то же в экстрактивной фазе при равновесии с рафинатной
фазой состава х;
Кц — коэффициент массопередачи в рафинатной фазе, кмоль! м2 X
X чмол. доля;
Ке — коэффициент массопередачи в экстрактивной фазе,
кмоль/М2-Ч-ЫЫ1. доля.
.	.W2
Обозначим поверхность фазового контакта через a следо-
вательно:
dS = a dZ	(125)
Величина а объединяется с коэффициентами массопередачи
в виде KRa и КЕа.
Как рафинатная фаза, так и экстрактивная фаза изменяются
по высоте колонны. Но если взаимная растворимость обеих жидкостей
постоянна, то R (1 — х) также остается постоянной. Поэтому
d (Rx) = R (1 — х) d	— = -3—.
'	'	1—х	1—х
(126)
Если концентрация извлекаемого вещества изменяется значи-
тельно по высоте колонны, то величина KR (1 — х)м должна быть
более постоянной, чем KR, причем (1 — .т)м представляет среднее
значение концентрации вещества в рафинатной фазе.
141
Тогда уравнение (124) примет следующий вид!
R dx KR • я (1	(® ®') dZ
1—х	(1 — ж)дг	<127)
или
(1 г)м	dx Кц'а(1—x)]ii'dZ
1 — х	х — х'	~R	(428)
Интегрируя (128), получим число ступеней массопередачи
XZ	Уг мольная доля растворимою
Рис. Ш-8.
(1 ~х)м
i-x
dx	Z
х — х'	Н
(129)
где
н—кЛДГ-х}м (130)
выражает высоту, экви-
валентную ступени экс-
тракции или массопер э-
дачи.
Для (1 —х)м имеем:
При умеренна разбав-
ленных растворах эта ве-
личина составляет
= (131)
Подставляя (131) в (129), найдем:
J х — х 1 2
Xt
(132)
Интеграл этого уравнения вычисляется графически.
Если х принимается в массовых долях, то в правой части (132)
будет дополнительно
1 j хъ (г—1) + 1
2	Xi {г-1) + 1
где г — отвошение молекулярных масс нерастворимой и раствори-
мой частей в рафинатной фазе.
Если концентрации извлекаемого вещества выражаются так:
,	кг С
х —----------------------
кг рафинатного остатка
142
и
,	__________кг С____________
~ кг экстрактивного остатка
то для ступеней экстракции будем иметь:
Рис. Ш-9.
<133)
Кроме того, если равновесный и рабочий графики прямолинейны
в пределах рассматриваемых концентраций, то можно Доказать, что
в данном случае применимы средние логарифмические разности
конечных концентраций:
___ XI—х2
и
и ДЕ =
Ух—г/2
(у —У)м
(134)
Здесь имеют место следующие эквивалентные соотношения:
R (»! — х2) = Е (уг — у2) = КRaZ (х — х)м *= КЕ • aZ (у' — у)м	(135)
Если для данной экстракционной системы действителен закон
Генри: у = тх и равновесный график есть прямая линия, проходя-
щая через начало координат, то аналогично случаю в процессах
абсорбции мы получим:
(186)
тЕ
где т— константа Генри.
143
Пример. Определить число ступеней массопередачи (экстракции)
для процесса противоточной экстракции уксусной кислоты из вод-
ного раствора изопропиловым эфиром. Концентрация -уксусной
кислоты в начальном растворе составляет 30%; экстрагированная
жидкость содержит 2% уксусной кислоты.
Выразим х и у в массовых долях уксусной кислоты. Имеем:
— 0,30; у2 = 0; г2 = 0,02; я = 0,10
			Расчетная диаграмма изобра-
X	х'		жена на рис. III-9, откуда с по-
	—		мощью рабочей и равновесной
0,30	0,230	14,30	линий находим значения х и х'
0,25	0,192	17,25	при различных значениях у.
0,20	0,154	20,75	Величина площади под кривой,
0,15	0,114	27,80	построенной на	диаграмме:
0,10	0,075	40,00	
0,05	0,030	50,00	х (абсцисса) и ——(ордината)
0,02	0	50,00	в пределах от я; = 0,3 до х = 0,02,
			составляет 8,40.
Поскольку взаимная растворимость изопропилового эфира и воды			
для этих	эастворов совершенно незначительна, мы можем принять,		
что величина			
?	18 — мол. масса воды ____
60—мол. масса уксусной кислоты ’
Применяя формулу (132) с дополнением, получим число ступе-
ней экстракции:
ЛГ-840+ 1 In 1-0’02 4- 1 In 0,02(0,3-1) + !
N - 8,40+у In	+ - In W(0)3_1) + 1 - 8,46---9
Пример. Проведены опыты по экстракции диэтиламина из воды
с помощью толуола в насадочной колонне диаметром 0,15 м и высо-
той 1,2 м.
Насадочными телами являются кольца Рашига 12,7 мм. Скорости
потоков водного раствора диэтиламина и толуола составляют, соот-
ветственно, 6,2 и 0,92 м3/м3-ч. Температура экстракции 30,8° С.
Концентрации диэтиламина в водном растворе:
при входе в колонну 0,252 кмоль/м3;
при выходе из колонны 0,231 кмоль/м3.
Концентрации диэтиламина в толуоле:
при входе в колонну 0;
при выходе из колонны 0,137 кмолъ/м3.
При данной температуре коэффициент распределения диэтил-
амина (т. е. концентрация диэтиламина в воде, разделенная на кон-
центрацию диэтиламина в толуоле) составляет 1,156.
Диспергированной фазой является толуол.
144
1) определить экстракционные характеристики насадки для дан-
ных условий;
2) вычислить концентрации потоков, выходящих из колонны
с высотой насадки 2,5 м.
1. Пусть водный раствор — рафинатная фаза, а толуольный
раствор — экстрактивная фаза. Тогда будем иметь следующие выра-
жения:
СЙ 1
т — ® =-2— =о,865;
Сд 1,156
СЕ1 = 0,137; сЕ1 = 0;
СД1 = 0,252; Сд2 = 0,231
Из (135) получим:
VE (СЕ, ~СЕг) = KEaZ (СЕ ~ Се)м
где
Vд=0>92 Ретракта
в	м2  ч
Далее
CEi = mCRi = 0,865 • 0,252 = 0,217
И
С‘Ег = тСд2 = 0,865 • 0,231 = 0,200
,r. r .________(СЕг СЕг) (CEi CE1) (0,2—0) —(0,217—0,137) _
(('E~ ье)м~
С‘ —С„
In - Es-SJ.
С' —С„
iSl £51
1	0,2-0
П 0,217-0,137
= 0,132 кмолъ/м^
Таким образом, имеем
0,92 (0,137 - 0) = КЕа  1,2 • 0,132
откуда
0,92-0,137 _п„пг. кмоль
Кпа~ 1;2' 0Д32_“ °’795 м?-ч\СЕ
Применяя к рассматриваемому случаю формулу
КRciтчКЕ&
найдем
,	кмоль
Кпа = 0,865  0,795 = 0,687 -7-77-
н	.wS . ч • ДСд
Имеем
КЕа^=СКЕа
где С — мольная плотность экстрактивной фазы, кмоль]м3.
Ю Заказ 1706
145
Для указанных разбавленных растворов плотность и средняц
молекулярная масса экстрактивной фазы могут быть приняты такимй
же, как для чистого толуола, соответственно, 856 кг/м3 и 92,1.
Следовательно, мольная плотность равна:
856 п о кмоль
~~ 92,1 -'9,3 мз
Таким образом
Г*	Л Л Л ЯШ Л
КFa = 9,3 • 0,795 = 740 —5----------
а	мд - ч  мол. доля
Количество экстрактивной фазы:
Е = V„ С = 0,92 • 9,3 = 8,55
Л	м* *ч
Высота насадочных тел, эквивалентная ступени экстракции:
HF = Л	Е	8-55	4 <е 7,40	1116 М
	КЕа	
С другой стороны, мы	также	получаем:
н — -	Л	°'92 -116 м
аЕ	K'Fa Л	0,795 1ЛЬ Л‘
Для характеристики насадки		по рафинатной фазе имеем:
н —	VE	612 -90 л»
nR	KRa	0,687	910 М
2. Пусть Сцг — концентрация диэтиламина в воде, а СЕ, —кон-
центрация диэтиламина в толуоле при выходе из колонны с высо-
той насадки 2,5 м.
Используя (136),
получим:
_	6,2	_
mVE 0,865-0,92	1,1
N = —~	= о 277
Яй 9,0	U’2'7
СН1 = 0,252; СЕ| = 0
Следовательно
0,277 =
откуда
In 4^ (1-7,78)+7,78
сп,__________________.
1—7,78
СНг = 0,224 кмолъ/м3
146
Материальный баланс для диэтиламина
FE(CEl-CE2) = Ffi(CH1-CHl)
ИЛИ
0,92 (СЕ1 — 0) = 6,2 (0,252—0,224)
откуда
CEi =0,189
§ 16. ФИЛЬТРОВАНИЕ СУСПЕНЗИЙ
Перечислим наиболее важные факторы, влияющие на процесс
фильтрования суспензий: 1) перепад давления; 2) площадь фильтро-
вания; 3) вязкость фильтрата; 4) сопротивление фильтрующего слоя;
5) сопротивление фильтрующей ткани и начального слоя осадка.
Движение жидкости через фильтрующий слой
В данных условиях мы имеем, в отличие от других случаев,
движение жидкости через фильтрующий слой при непрерывном
увеличении его высоты. Таким образом, если давление фильтрования
постоянное, то скорость потока будет постепенно уменьшаться и, на-
оборот, если скорость потока должна быть постоянной, то давление
должно, постепенно увеличиваться.
Вследствие того, что частицы, образующие при фильтровании
осадок, обычно достаточно малы, а скорость движения фильтрата
незначительна, мы имеем здесь почти всегда условия ламинарного
течения. Поэтому для всех случаев процессов фильтрования дей-
ствительна формула
1 . е3 , АР (137)
A dx 5(1— е)2 £2 ц1
где А — общая площадь поперечного сечения слоя твердых частиц;
V — объем жидкости, протекающей за время т;
ДР — перепад давления;
I — толщина слоя;
е — порозность;
р, — динамический коэффициент вязкости жидкости;
S — удельная поверхность насадочного материала.
Фильтрующие осадки могут быть несжимаемыми и сжимаемыми.
В случае несжимаемого осадка обусловливаемое им сопротивление
движению фильтрата почти не зависит от перепада давления в слое,
а также скорости образования его. С другой стороны, при сжима-
емом осадке увеличение перепада давления или скорости потока
способствует образованию более плотного осадка с большим сопро-
тивлением. Рассмотрим несжимаемые осадки, для которых в в (137)
может быть принята постоянной.
Ю*	147
е»
Тогда величина , с будет выражать свойства частиц,
Э ^1 в) “ О “
из которых состоит осадок, и, следовательно, последняя должна
быть для данного материала постоянной. Таким образом, мы можем
написать:
1 rfV   АР
A dx	rpZ
(138)
где
(139)
5(1-е)2 52
Г	es
Формула (138) является основным уравнением фильтрования.
Постоянная г дает удельное сопротивление и численно равна пере-
паду давления, необходимому для получения единичной скорости
потока фильтрата, имеющего единичную вязкость, через слой осадка,
объем которого составляет единичный куб. Размерность для г
будет Ь~г.
Зависимость между толщиной осадка и объемом фильтрата
Формула (138) содержит переменные I и V и их взаимная связь
может быть найдена следующим образом.
Количество Твердого вещества в фильтрующем осадке (в кг):
т = (1 — е) Л/рд
где ps — плотность твердых частиц.
Количество жидкости, остающейся в осадке:
т — eAlp
где р — плотность фильтрата.
Тогда, если J есть доля твердой массы в начальной суспензии,
то
j (1 е) Alps Масса твердых частиц в фильтрующем осадке
1 —/ (V-j-eAl) р Масса фильтрата + масса жидкости в осадке
или
(1—J) (1 — е) Л/pg = /Ур+ АеЛр
Следовательно
__________/Ур_________
~ Л [(! — /) (1 — е) pg —/ер]	(14°)
Обозначив объем осадка, образующегося при прохождении еди-
ничного объема фильтрата, через
_	Jp	,
. V (1-/) (1-е) Pg-/ер	(141)
148
получим
(142)
(143)
1 А
Подставляя в (138), найдем:
dF A'i  АР
dx rpVv
Если сопротивление потоку к началу процесса равно нулю
и объем V фильтрата проходит в период времени т, то (143) может
быть проинтегрировано при условии, что зависимость между Р, V
и т известна. Рассмотрим следующие два важных случая.
а. Фильтрование проходит при постоянной скорости.
Имеем
dV	V
—:— =  = COnSt
dr	т
Следовательно
V А*. АР
ИЛИ
rjiVv
т __ гцр
V А*-АР
(1441
откуда находим, что разность ДР прямо пропорциональна объему V.
б. Фильтрование проходит при постоянном давлении.
Интегрируя (143), получим:
2
Д2 ДРт
rpv
(145)
или
т _ гцр
V	2 Л2 * * * * 7 ДР
(146)
Отсюда видно, что для фильтрования при постоянном давлении
существует линейная зависимость между Рит или между -у- и V.
В формулах (145) и (146) было принято, что фильтрование про-
водится при постоянном давлении за весь период процесса, т. е.
V = 0 при х = 0. Однако в большинстве случаев перепад давле-
ния ДР в начале процесса постоянно увеличивается и давление при-
водится к его конечному значению только через некоторое время т1т
в течение которого проходит фильтрат в количестве Vt. Тогда после
интегрирования (143) получим:
±(F2-F?) = ^^-(t-t1)
Таким образом
7 А- АР
(F-Fx) (F-F1 + 2F!)=	-(т-тх).
14»
или
Т--Т1	ГЦ.1>	,17	17 , , 'IwVl
V~ Kt —' 24'2 Др (F— 1)-1 .42 ДР	<147)
Нетрудно видеть, что между V2 и т, а также между	и
V — V\ устанавливается линейная зависимость. Здесь т — Tj пред-
ставляет время, в течение которого фильтрование протекает при
постоянном давлении, и V—V1 — соответствующий объем получен-
ного фильтрата.
Фильтрование суспензии с учетом совместного влияния ткани
и осадка
Гидравлическое сопротивление движению жидкости, оказываемое
тканью, не может быть определено, так как последняя всегда содер-
жит в себе частицы осадка. Совместное сопротивление ткани с вклю-
ченными в нее твердыми частицами осадка значительно превышает
сумму их отдельных сопротивлений.
Предположим, что фильтрующая ткань и начальные слои осадка
по своему гидравлическому сопротивлению эквивалентны толщине L
осадка, получающегося при дальнейшей стадии процесса. Тогда,
обозначив через ДР разность давлений по общей высоте фильтру-
ющего слоя, получим в соответствии с (138) и (142):
1 dV _ др
A dx гр (Z 4-£)
И
dV  ААР	Л2 АР
Это выражение мы можем проинтегрировать в пределах т=0,
У = 0 и т = т1, V — V1. при постоянной скорости фильтрования и
в пределах т = Т!, V = У1 при постоянном давлении фильтрования.
Для постоянной скорости фильтрования имеем:
Vt 	А*. АР
или
Т1 _ rPv TZ I _rVL
Vi Л2ДРГ1+ ААР	(148)
ШЛИ
7? + — Vi = А2 ~ Xi	(149)
Для постоянного давления фильтрования найдем:
4	TA	А2 А Р
j-	-	(150)
150
или
{V-F1 + 2Fi) (F —Fx) + ^- (F—Fx) =	(T_T1)
или
T-T! _ ГЦР	^1.1.	,151>
V— Fx 2А2ДР (	1, ГЛ2ДР^4А7'	цо1/
Мы, таким образом, получили линейную зависимость между
р—~ и у— yij причем тангенс угла наклона пропорционален
удельному гидравлическому сопротивлению, как и в случае движе-
ния жидкости через слой осадка (формула (147)), с тем отличием,
что здесь линия на графике не проходит через начало координат.
Точка пересечения прямой с осью ординат дает возможность
определить эквивалентную толщину осадка за счет сопротивления
фильтрующей ткани, хотя такого рода результаты не могут быть
воспроизведены из-за того, что это сопротивление существенна
зависит от начальных условий опыта.
Сжимаемые фильтрующие осадки
Вследствие гидравлических потерь на трение, возникающих
при движении фильтрата через слой осадка, мы здесь будем иметь
градиент давления. При взаимодействии твердых
частиц с жидкостью осадок будет уплотняться.
Поскольку уплотняющая сила, проявляемая жид-
костью, распространяется к частицам по глубине
осадка, изменение ее будет происходить от нуле-
вого значения на свободной поверхности осадка
до максимального на фильтрующей ткани.
Уплотняющее давление, в действительности,
зависит от структуры осадка и природы контак*
тов между частицами, но оно может быть
выражено как функция разности давлений
осадка Р2 и на глубине z, т. е. Рг (рис. Ш-10),
в любой точке будем иметь:
на поверхности.
Для порозности.
е2=/(Р2—Р2)
Нетрудно видеть, что порозность уменьшается по мере пере-
хода от свободной поверхности к фильтрующей ткани при одно-
временном увеличении гидравлического сопротивления. В этом
случае (138) примет следующий вид:
* .j£L = J-.-Ё^	(152)
А ат rzu. dz
где гг — удельное сопротивление в
мы можем написать так:
данной точке. Это равенства
1 dV__________el_______1_ dP^
А ‘ dr ~ 5 (1—ег)2$2 ' (1 ‘ dz
(153}
151
Бесконечно малая толщина слоя осадка dz должна быть связана,
с малым объемом фильтрата dV, проходящего во время его образо-
вания. Так как осадок сжимаем, то объем последнего, получающе-
гося при прохождении единичного объема фильтрата, не будет посто-
янным, однако его количество (масса) с почти не зависит от условий,
при которых образуется осадок. Имеем:
Из (153) найдем:
1 dV _ el (1—ez) РдА 1 dPz
Т "7Г = 5(1—й2)2 ,$'2	с (Г ' ~dV~ 5
dV _ ez  Pg Д2 dPz _ Д2 dPz
dx 5(1— ez)S* ' p-c ’ dV	' dV
где
-	5 (1 — ez)
г 4PS
Удельное гидравлическое сопротивление г отнесено к потоку
фильтрата на единицу массы осадка, образующегося на единич-
ной площади, в то время как г имело своей основой поток фильтрата,
проходящего через единичный объем осадка. Сопоставление (138)
и (154) показывает, что для сжимаемого осадка
- V
cr — vr. г ~г • —
с
и размерность для г будет 1ГгЬаМ~1 =M~1L.
Для любого фильтрования суспензии из (154) имеем!
J ат цс J г
о	Рг г
Так как по толщине	dV осадка	является	постоянной	величиной
то получим:	Р1 dV __ Л2 Р dP2 dx Рцс J Рг г		(155)
Выше было показано, что rz есть функция разности давлений
Р2— Рг и что она не зависит от абсолютного значения давления.
Напишем
гг=г' (Р2-Рг)п'
где г' не зависит от Рг.
152
Тогда
Pi	Pi
f 1Рг = _1 Г dP2______________1_ . (P2 — P/1-"' _ 1 APW1'
J rz r J ip p \4' ~~ r' '	1 — n'	~	1 — n'
pt	Pt 2
Таким образом
dV = Л2__________\P________Л2 \p _ Л2 ДР
Ррсг (1 — n') APn’ Vp,cr"APn’ Viler
ГДе
r"=(l — n')r'; r = r" l±Pn'
Выражение (156) может быть проинтегрировано таким же обра-
зом, как и для несжимаемого осадка, причем формула для несжима-
емого осадка здесь также остается в силе, если vr заменить величи-
ной сг.
Оптимальный режим фильтрования суспензии
Оптимальная толщина лепешки на фильтрпрессе зависит от со-
противления, оказываемого фильтрующим осадком, и от времени,
расходуемого на разборку и сборку аппарата. Получение более тон-
ких фильтрующих осадков приводит к ускорению процесса фильтро-
вания, но вместе с тем, здесь имеет место более частая разборка
фильтра и, следовательно, увеличенный расход времени на прове-
дение процесса фильтрования. Для фильтрования при постоянном
давлении из (150) имеем:
где Вг и В2 — постоянные.
Решая (157) относительно т, получим:
t=b1P2 + B2V
Обозначим через т' время для разборки и сборки фильтрпресса,
причем последнее не зависит существенно от толщины лепешки.
Общая продолжительность процесса фильтрования, при котором по-
лучается фильтрат объемом V, будет т т', и общая скорость фильт-
рования составит:
щ. --------------
ф	В^ + ВгР+т'
Величина IV ф будет максимальной, если -^Й- = 0. Дифференци-
РУЯ по V и приравняв производную нулю, найдем:
+ В2Р+т' - V (2В1Р+ В2) = 0
153
откуда
1' = ВтУъ
Промывка осадка на фильтрпрессах
Для промывания осадков на фильтрпрессах могут быть приме-
нены «простой» и «полный» способы. При первом способе промывная
жидкость проходит по тому же пути в каналах осадка, по которому
проходила суспензия; в этом случае имеет место эрозия осадка.
По второму способу промывки жидкость поступает в отдельные
каналы, расположенные в так называемых промывных плитах, и про-
текает через осадок по всей его толщине сперва в обратном направ-
лении, а затем в том же направлении, что и фильтрат. Площадь
промывки вдвое меньше площади фильтрования и, кроме того, про-
мывная жидкость здесь должна пройти дважды через слой осадка.
Таким образом, скорость промывки составляет примерно четвертую
часть конечной скорости фильтрования.
Расчет фильтрования на основе опытных данных
Фильтрование суспензии производится на фильтрпрессе с 12 ра-
мами; площадь рамы составляет 0,1 м2, толщина ее равна 25 мм. В те-
чение первых трех минут давление фильтрования постепенно увели-
чивается до конечного значения в 4 кПсм2, причем скорость фильт-
рования поддерживается постоянной. После начального периода
фильтрование проводится при постоянном давлении и по истечении
следующих 15 мин завершается образованием осадка. Затем следует
в течение 10 мин промывка осадка водой при давлении 3 кПсм2 по
способу «полной» промывки. Требуется определить объем фильтрата
и необходимое количество воды для промывки.
Предварительно было проведено фильтрование образца суспензии
на лабораторном листовом вакуум-фильтре площадью в 0,05 м2
при вакууме 500 мм рт. ст. Объем фильтрата, собранного за первые
5 мин, составляет 250 мл, а в конце следующих 5 мин — 150 мл.
Осадок несжимаем. Сопротивление фильтрующей ткани на вакуум-
фильтре и фильтрпрессе принимается одинаковым.
На вакуум-фильтре процесс фильтрования проводится при посто-
янном давлении. Поэтому в соответствии с (150) имеем;
p2+2J£f==2^t
V	гци
На' фильтрпрессе сперва получается фильтрат в количестве Vt
при постоянной скорости фильтрования за время т15 после чего про-
цесс протекает при постоянном давлении. Пользуясь (149), найдем:
1 Ь	гци
154
Далее, из (150) имеем:
АТ	д р 42
(F2 _ у?) + 2 (V _ F1) = 2	(т_Т1)
Данные опытного фильтрования
т = 5лим; т=10лмн
V = 0,25 л; V = 0,40 л
А = 0,05	\Р = 0,7 кГ/см*
Подставляя эти величины, найдем:
0,252 + 2 . о,О5 — • 0,25 = ——'7' ®’-— - 5
V	гр.и
0.42 + 2 • 0,05 — • 0,4 = 2' °’7 ' °’05- • 10
V	фР
или
0,0625 + 0,025	= °’^75-
0.160 + 0,04 — = °’°350-
V r[W
откуда
— =3,5, rjw = 0,116
Объем фильтрата Vlt собранного в течение периода работы
фильтрпресса при постоянной скорости фильтрования, может быть
найден из равенства (при /1 = 24-0,1 = 2,4; ДР = 4; т = 3):
V12 + 2,4-3.5F1 = A^--3
или
FJ +8,4^—600=0
откуда
71 = 21
Для периода фильтрования при постоянном давлении имеем
т—= 15 мин.
Мы можем написать
(V2-441)+16,8 (V-21) = 400-15
или
V2 +16,8 V—5204=0
откуда
7 = 71 л
Конечная скорость фильтрования в соответствии с (138) и (142):
...	АРД2	4.2,42	„	.
*  - 0,116 (7,4-2.4-ЗД = 2'48 4/'“"
155
Так как скорость промывки равна конечной скорости фильтро-
вания, то скорость промывки при 4 кГ!см2 равна 0,62 л!мин\ скорость
промывки при 3 кГ/см2 равна 0,46 л/мин. Следовательно, расход
промывной воды в течение 10 мин составляет:
<2 = 0,46-10 = 4,6 л
Комбинированное фильтрование
Суспензия, содержащая 0,9 кг твердого (плотность 3 кг/дм2)
на 1 кг воды, подается на барабанный фильтр, длина которого 0,6 м,
а диаметр также 0,6 м. Барабан делает один оборот за шесть минут
и 20% фильтрующей поверхности его находится в непосредственном
соприкосновении с суспензией в любой момент времени. Какова тол-
щина осадка на барабане при вакууме 500 мм рт. ст., если скорость
получения фильтрата составляет 273 кг/ч, а порозность осадка 0,5.
Некоторое время спустя работа барабанного вакуум-фильтра при-
останавливается и процесс фильтрования осуществляется на фильтр-
прессе с поверхностью рамы в 0,1 м2. На разборку фильтра рас-
ходуется 2 мин, на сборку — также 2 мин, причем 2 мин требуются
дополнительно для удаления осадка с каждой рамы. Если фильтро-
вание проводится при давлении 17,5 кГ!см2 с той же скоростью, кото-
рая была для вакуум-фильтра, то какое минимальное число рам
потребуется в этом случае и какова их толщина? Осадок принят
несжимаемым и сопротивлением фильтрующей ткани можно пре-
небречь.
Барабанный вакуум-фильтр. Фильтрующая поверхность
барабана:
А = л - 0,6 • 0,6 = 0,36л -и2
Скорость фильтрования:
И'ф =	= 0.00455 м^/мин
ьи
Объемная скорость образования осадка:
0,00455 • 0.9 •	• 4- =	= 0,00274 m^Imuh
О,о 3 l.bb
Продолжительность соприкосновения фильтрующей поверхности
с суспензией равна:
6 • 0,2= 1,2 мин
Объем осадка, образующегося за один оборот барабана, соста-
вляет:
0,00274 • 6 = 0,0164 Л43
156
Толщина осадка:
0,0164 -1000	...
0.36 TO~ = 14’5^
Далее из (138) и (143) имеем:
dV _ ЬРА _ АРА2
dx rp,Z rp,Vp
При постоянном давлении из (145) получим:
9
V2 = — АРА2х=К АР Л2т
ИЛИ
(0,00455 • 6)2 = К • 0,66 (0,36л)2 1>2
откуда
К = 0,00073
Фильтрпресс. Пусть фильтрпресс имеет п рам толщиной
6 мм.
Продолжительность полного цикла фильтрования составляет
г = тф + 2п + 4
где Тф — время фильтрования, мин.
Общая скорость фильтрования равна:
ГФ
----г-т—— = 0,00455 м^/мин
Тф + 2п + 4	'
где Гф — полный объем фильтрата в течение одного цикла.
Далёе
объем рам фильтрпресса	, „„ „
Иф = —р-----------——--------------j------- = 1,66га6
’ объем лепешки х единица объема фильтрата
Кроме того, имеем:
Ц = 0,00073 • 17,5 (2 • 0,1п)2 тф = 1,66л262
откуда
1,662^2 62
Тф~ 0,00073-17,5  4 • 0,01л2
= 0,005462
Таким образом, получим:
0,00455 = о,ОО5462 + 2п+4
Упрощая, найдем:
0,005462 + 2п+4 = 0,00365лб
откуда
_ 4 + 0.005462
П~ 0,03656 + 2
157
Величина п является минимальной при = 0, т. е. когда
(0,03656 + 2) 0,116 —(4 - 0,005462) 0,0365 = 0
ИЛИ
0,00020762 + о,О22б—0,1460 = О
Решая это квадратное уравнение, получим:
б == 45 мм
Следовательно
п = 4,15
и минимальное число рам составляет 5.
$ 17. КИНЕТИКА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СУШКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для того чтобы определить время сушки твердых тел, протека-
ющей по кривой, изображенной на рис. Ш-11, воспользуемся сле-
дующими соображениями.
Напишем уравнение скорости сушки:
(158)
A dx
ТТ7	кг испаряющейся влаги
где W—скорость сушки, —-----------------------------
м	r J ' м2 поверхности твердой массы • ч ’
L —количество твердой массы, считая на сухой остаток, «а;
о	кг влаги
х- содержание влаги в твердой массе, сухого оета~;
А —площадь сушки, ж2;
т— время, ч.
Интегрируя (158) в пределах от Хг до Х2, получим:
1	Xi
f J L f dX
T- J dX~~A J W
0	X,
»
1. Для периода сушки с постоянной скоростью, когда Хг и
Х2>Хкрит и И/ = И/П0СТ, уравнение (159) принимает следующий
вид:
(159)
£(Х1-Х2)
/Wn0CT
(160)
2. Для периода сушки с убывающей скоростью, когда X г и Хг <
< Хкр, имеем два случая.
а) Общий случай. Для любого вида кривой сушки уравнение
(159) может быть проинтегрировано графически с получением соот-
ветствующего значения т.
158
б) Специальный случай. Величина W линейна относительно X,
как, например, в области CD на рис. Ш-11. В этом случае
W = mX+b	(161)
угла наклона прямолинейной части
где т — значение тангенса
кривой;
Ъ — постоянная.
Подстановка W в (159)
Xi
_L_ С______
T=Z= A J тХ +&
дает:
dx
Так как Wr = тХ± + Ъ, W2~
v , j.	Wi — W^,
= тХ<,-[-Ь и т = —^——, то
Xi —л2
(162) приводится к следующему
виду:
(162)
£ 1„	+ &
mA тХ2+Ь
х, кг влаги/кг твердого
Рис. Ш-11.
(163)
L(Xx-X2}
AlWj-Wz) W2
_ £(Xx-X2)
ЛИТр
где TVcp —средняя логарифми-
ческая разность между при
Xj и W2 при Х2.
За неимением соответству-
ющих данных, часто кривая
скорости сушки может быть
принята прямолинейной между
Тогда
точками С и Е (рис. Ш-11).
Импост (-У -У')
(164)
И7 = т(Х —Х-) =
где X’—равновесное содержание
Хкр-Х-
кг влаги
влаги,------------------
кг сухого остатка’
кг влаги
влаги, ---------------
кг сухого остатка ’
кг
(165)
Хкр— критическое содержание
РИпост—постоянная скорость сушки, .
Таким образом, для (163) имеем:
Л(Хкр— Х-)	Х — Х-
Т° И'постЛ П Х2-Х-
Пример. Влажная твердая масса, сушке которой соответствует
кривая, изображенная на рис. Ш-11, имеет начальную влажность
25% и конечную 6%. Начальное количество влажного материала
159 кг, а площадь сушки противня составляет 0,1 л2/3,65 кг сухого
остатка.
Определить время сушки.
159
Имеем:
4 = 39
А
При 25 %-ной влажности
Хл = 0^5 =	----кг влаги---
1—0,25	кг сухого остатка
При 6%-ной влажности
х °'06 — 0 061	ке влаги
2 1—0,06	’ кг сухого остатка
При исследовании кривой найдем, что здесь процесс включает
в себя периоды постоянной и переменной сушки.
Период сушки с постоянной скоростью
Из приведенного графика имеем:
Х1 = 0,333, Хкр = 0,200, Жпост = М62
Используя (160), получим:
т_ L(Xt~X2) _ 39 (0,333-0,200)
Лапост	1,462
Период сушки с переменной скоростью
Имеем:
Хкр = 0,200 и Х2= 0,064
Воспользуемся формулой (159). Из кривой на рис. Ш-11 полу-
чаем следующие данные:						Строим кривую на гра-
						фике, где ординаты и абс-
X	W	1/W	X	W	1/W	циссы, соответственно, i/W и X. Величина площади
		0,682			1,365	
						под кривой между X = 0,20
0,20	1,462		0,10	0,732		и X =0,064 составляет 0,218.
0,18 0,16	1,300 1,170	0,768 0,854	0,09 0,08	0,474 0,454	2,115 2,200	Следовательно
0,14	1,018	0,984	0,07	0,342	2,920	
0,12	0,880	1,135	0,064	0,312	3,200	т = 39-0,218 = 8,48 ч
Общая продолжительность процесса сушки:
т' = 3,54+ 8,48 =12,0 ч
Поскольку на графике между X = 0,20 и X = 0,10 имеем пря-
мую линию, то, применив (163), получим:
т - L(X^-Xn) |П ^пост _ 39 (0,20-0,10) . 1,462
'ЦИ'пост-И'р) H7d 1,462-0,732	0,732-
160
Графическое интегрирование между X = 0,1 и X = 0,064 дает
с помощью (159) дополнительно 4,79 ч и, таким образом, общая про-
должительность для периода сушки с переменной скоростью
составляет
3,70+4,79 = 8,49 ч
Представляя кривую сушки в виде прямой линии между С и Е,
мы получим для этого же периода в соответствии с (165) приближен-
ное значение
7,(Хир—X’) хкР —X- __ 39(0,20—0,05) .	0,2-0,05 q
ЖПОСТЛ Х2-Х*	1,462 П 0,064 — 0,05	’
И Зака.< 17®в
Глава IV
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Математический анализ технических задач состоит из трех
частей: 1) перевод условий задачи на язык математики; 2) решение
полученной таким образом математической задачи; 3) оценка полу-
ченных результатов.
Первая часть работы заключается чаще всего в составлении диф-
ференциального уравнения и является наиболее трудной. Для со-
ставления дифференциальных уравнений нет общих методов, и навыки
в этой области могут быть приобретены лишь в результате изучения
конкретных примеров.
Практическая ценность дифференциальных уравнений обуслов-
ливается тем, что, пользуясь ими, можно установить связь между
основным физическим или химическим законом и часто целой груп-
пой переменных, имеющих большое значение при исследовании
технических вопросов.
Применение даже наиболее простого физического закона к про-
цессу, протекающему при переменных условиях, может привести
к весьма сложному соотношению между переменными величинами.
§ 1. ПРОЦЕСС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ПОТОКОВ
Рассмотрим для примера процесс взаимодействия двух потоков А
и В, при котором получается осадок, уносимый потоком С (рис. IV-1).
Реакция идет быстро, и перемешивание обеспечивает равномерность
состава содержимого в аппарате.
Пусть скорости потоков А и В равны, соответственно, а м3 и Ъ м3
в 1 мин. Если изменением объема, вследствие реакции, пренебречь,
то скорость потока С будет равна (a -f- b) м3/мин.
Чтобы обеспечить надлежащее качество осадка, необходимо под-
держивать кислотность реакционной массы в аппарате равной п0 кг
кислоты на 1 м3 с допустимым отклонением до п0 — Р кг на 1 м3
раствора. Кислотность поддерживается исчезающе малым объемом
кислоты, вводимым с потоком А, причем как только концентрация
кислоты в растворе достигает п0, ввод кислоты автоматически пре-
кращается и возобновляется при падении концентрации до пй—Р.
162
Для подбора автоматического регулятора подачи кислоты требуется
определить промежуток времени, в течение которого концентрация
кислоты может измениться от п 0 до п0—Р, а для этого нужно уста-
новить зависимость, связывающую концентрацию кислоты со вре-
менем после прекращения подачи кислоты. Очевидно, что при дан-
ных условиях может быть использовано уравнение материального
баланса:
Приход — убыль = приращение
Соотношение, которое связывает критическое время ткр и кон-
центрацию п0—Р, дается относительно сложной формулой:
(1)
где V — объем жидкости в аппарате.
Для того чтобы получить эту фор-
мулу, запишем основной материальный
баланс в виде дифференциального ура-
внения, которое затем проинтегри-
руем.	т
С этой целью, начиная с момента д
прекращения подачи кислоты (т. е. -------->
с момента, когда концентрация равна
и о), общую продолжительность процесса	---------------
изменения концентрации разобьем на	Рис. IV-1.
ряд коротких промежутков времени Ат.
Пусть концентрация кислоты в аппарате в некоторый момент
составляет п кг/м3 и количество кислоты в нем равно Vn. Кислота
вытекает из аппарата со скоростью п(а Ь) кг/мин. За промежуток
времени Ат концентрация кислоты изменяется на Ан и становится
равной п Ди. Изменение количества кислоты в аппарате выра-
жается разностью между ее количеством, имеющимся ко времени
т Ат, и количеством в момент времени т:

Убыль кислоты за промежуток времени Ат можно получить
также умножением средней концентрации за этот промежуток вре-
мени пср на объем вытекающей из аппарата жидкости (а Ь) Ат.
Очевидно, что
—пср (а~1~Ь) Дт = V Ап
(2)
Для того чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо
знать пср. Поэтому на практике для определения ткр можно пользо-
ваться следующим методом.
Примем п = пп\ п -I- Ан = пл; рассмотрим среднее значение
концентрации:
11*
163
Подставляя это значение иср в уравнение (2), мы сможем опреде-
лить промежуток времени Дт1, в течение которого концентрация
меняется от до п±.
Повторяя тот же расчет для п1 и полагая ncp = п1 -|- мы
найдем промежуток времени Дт2, в течение которого концентрация
меняется от п1 до &п.
Эти вычисления следует повторять до тех пор, пока концентрация
кислоты не достигнет значения п0—Р. Тогда искомую величину
гкр получим, складывая промежутки времени Дт, 4- Дт2 + Дт3 -|-
4~ • • • ^кр-
Очевидно, что чем большая точность желательна для ткр, тем
меньшие следует брать приращения Ди так, чтобы среднее арифме-
тическое значение и приближалось к истинному значению пср. Не-
удобство этого метода решения связано с тем, что здесь требуется
много работы для получения решения, которое является только при-
ближенным.
Хотя в химической технике имеется много процессов, для кото-
рых соотношение между переменными настолько сложно, что данный
последовательный метод решения является единственно практически
приемлемым, все же для многих случаев, как, например, для данной
задачи, можно получить точное решение с помощью дифференциаль-
ного уравнения.
Уравнение (2) может быть преобразовано;
Дга гаср
---------Г(« + 6)
Если Дт устремить к нулю, то пср
XV ~* ’ и УРавнение (3) обратится в
нение:
(3)
будет стремиться к п,
дифференциальное урав-
получим:
dn	” / I М
_	dl
Умножая обе части уравнения на ,
_ <а + ь1дт
п	V
Проинтегрируем обе части этого уравнения. Пределы интегри =
рования получим из условия, что при п = пот = 0 и при п = п —Р
т = Ткр’
Интегрирование дает:
In --------------------
пй—Р
кр
dn f (a-J-6) ,
' । ~—г—
о '
м0
(а + ^)
У 1КР
п
Решая это уравнение относительно Ткр и переходя к десятичным
логарифмам, получим формулу (1).
164
§ 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Уравнения, связывающие независимое переменное, некоторую
функцию его и производные этой функции, называются дифферен-
циальными уравнениями.
Установим некоторую терминологию, связанную с дифферен-
циальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
старшей производной, входящей в уравнение.
Степенью дифференциального уравнения называется высший по-
казатель степени, в которой старшая производная входит в уравне-
ние после того, как уравнение освобождено от дробей и приведено
к рациональному виду.
Например:
dl!
1) -j— = j/2 _|_ х2 _ дифференциальное уравнение первого порядка и первой
степени;
, d^y .Г I dy \21 ®/г
2) -=-+• = 7 (ж) 1 + 1 -г~ )	— дифференциальное уравнение второго по-
ях& L \	/ J
рядка и второй степени.
Общее решение дифференциального уравнения содержит произ-
вольные постоянные. Число этих постоянных равно порядку урав-
нения.
Если постоянным в общем решении придать частные числовые
значения, то получим частное решение дифференциального уравне-
ния. Например: у^ Сх1 есть общее решение уравнения =
1	2
а у = —— частное решение.
При решении технических задач, приводящих к дифференциаль-
ным уравнениям, важно бывает не только найти общий интеграл
уравнения, но также и определить значения постоянных, входящих
в этот интеграл, так, чтобы решение соответствовало данной задаче.
В случае уравнения первого порядка для этого достаточно одного
дополнительного условия (начального условия), обычно задаваемого
числовым значением функции при каком-либо частном значении
независимого переменного. В данном выше примере значение С — —
получено из условия: у = 1 при х = 3.
Уравнения, содержащие обыкновенные производные или диффе-
ренциалы, называются обыкновенными дифференциальными урав-
нениями-, уравнения, содержащие частные производные, называются
дифференциальными уравнениями с частными производными.
К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводит изу-
чение процессов, в которых все искомые величины являются
функциями лишь одной независимой переменной.
Так, например, в одноходовом противоточном теплообменнике,
работающем при определенных конечных условиях (рис. IV-2),
165
достаточно с помощью только одной переменной определить поло-
жение материальной точки в теплообменнике, чтобы стали известны
все остальные переменные в этой точке на основе физических зако-
нов, контролирующих систему.
В непрерывнодействующей абсорбционной башне (рис. IV-3) со-
ставы жидкости и газа изменяются по мере их прохождения через
~	башню, но если фиксируются конечные
С—,.----------------->- условия, то достаточно установить длину
пути, пройденного взаимодействующими
<_________|__________ веществами, чтобы рассчитать свойства
।	как жидкого, так и газового потоков.
1	В каждом из этих случаев мы можем
Рис. IV-2.	рассматривать длину пути или время
контакта как независимую переменную,
поскольку определение ее в теплообменнике или в башне равно-
сильно определению времени контакта между двумя потоками, дви-
жущимися относительно друг друга с известными
Предположим теперь, что конечные условия
в предыдущих примерах не являются установив-
шимися.
Пусть скорость поступления холодного потока
в теплообменник или же скорость поступления
жидкого растворителя в башню изменяется со
временем по какой-либо известной закономерности.
В этом случае мы имеем условия неустановившегося
состояния, и для того чтобы определить процесс
в любой точке указанных аппаратов, необходимо
учитывать зависимость от двух независимых пе-
ременных, а именно: положения материальной
точки и времени, или скорости движения потока.
Тогда состояние системы в данный момент будет
уравнением, включающим в себя искомые переменные
скоростями.
Рис. IV-3.
и их частные производные.
К дифференциальным уравнениям с частными производными
могут приводить и установившиеся процессы.
§ 3.	МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ПРОЦЕССА ПРОСТОЙ ПЕРЕГОНКИ
Рассмотрим для примера начальную стадию перегонки, схемати-
чески изображенную на рис. IV-4.
Целью перегонки является очистка бензола и толуола от нелету-
чих примесей, находящихся в небольшом количестве. В перегонный
куб загружают вначале 20 кмоль смеси бензола и толуола, в кото-
рой бензол составляет хг = 0,32 мол. доли. Скорость питания смесью
равна 10 кмоль! ч, и расход тепла регулируют так, чтобы общее ко-
личество жидкости в перегонном кубе оставалось постоянным и
равным 20 кмоль.
166
Жидкость из куба в процессе перегонки не удаляется. Требуется
определить время, необходимое для получения дистиллята, име-
ющего состав у = 0,4 мол. доли бензола.
Для малого промежутка времени di может быть принято, что
перегонка бензола происходит при постоянной скорости и приход
бензола за время di будет равен:
Приход = 10 • 0,32 di
а так как общее количество молей в перегонном кубе остается посто-
янным, то
Убыль = 10:/ dx
Приращение = d (20х2) = 20Лгг
где xz — содержание бензола в кубовой
жидкости, мол. доли.
Составляя уравнение для материаль-
ного баланса, получим:
3,2 dx — iOy dx = 20 dx2
откуда
Для того чтобы проинтегрировать
это уравнение, нужно переменную у, вхо-
дящую в правую часть, выразить через х2.
Смесь бензола и толуола подчиняется закону Рауля, согласно
которому парциальное давление любого компонента в парах над
смесью жидкостей равно давлению насыщенного пара этого ком-
понента (при данной температуре), умноженному на его мольную
долю в жидкости, т. е.
₽A = Va
где Ха — мольная доля чистого компонента А в жидкости;
РА — парциальное давление этого компонента в парах;
Ра — давление паров этого компонента.
Зная общее давление над смесью и парциальное давление легко-
летучего компонента А, мы можем определить содержание его
в парах, выраженное в мольных долях:
Y
р
где Р — общее давление.
Обозначим дополнительно к предыдущему.
Рв — давление паров чистого менее летучего компонента В;
рв — парциальное давление паров менее летучего компонента В.
167
По закону Рауля при принятых обозначениях имеют место
равенства:
Рд = РАХА'’ Рв = РВ —
С другой стороны, по закону Дальтона общее давление Р паров
смеси равно сумме парциальных давлений компонентов, т. е.
р^Ра+Рв = раха + рв (1~*а)
Следовательно
у РА___________ХАРА______
А“ р ~ хара + ^~ха)рь
р
Обозначая отношение давлений чистых веществ — = а, найдем:
аХА	аХА
у -________2_____________е____	(ср
А аХА + (1-Хд)	1 + (а-1)ХА	w
Последнее уравнение выражает аналитическую связь УА и Ха,
необходимую для построения кривой равновесия. Отношение давле-
ний а называется относительной летучестью. Значение а в данном
случае можно принять равным 2,48.
При этих обстоятельствах
Подставляя у в уравнения (4) и упростив, получим:
(20 + 29,6х2) &г2
Т	3,2 —20,1 х2
Пределы интегрирования устанавливаются из условия, что при
т = 0 ~ хг — 0,32, а к концу искомого периода времени т х2 =
= 0,21; последнее получается при подстановке в уравнение (6)
у = 0,4. Таким образом
0,21
С (20+ 29,6х2) dx2
J 3,2— 20,1^2
0,32
0.32
= 1,47 j (1-F
0,21
0,83 \
х — 0,16 /
dx —
= l,47k + 0,83 In (x-O,16)]8;g = l,47-0,11 + 1,22 In yi|- = l,58 ч
§ 4.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС
Газ с примесью туманообразной смолы удаляется из аппарата
при 0,33 ат и подается в резервуар при 1 ат посредством поршне-
вого компрессора, работающего по адиабатному процессу. Газовая
смесь содержит 0,2 кг смолы на 1 кг чистого газа и поступает в ком-
168
прессор при 95° С. Будем считать, что газ обладает свойствами иде-
ального газа.
Смолистый туман имеет температуру газа и теплоемкость
0,5 ккал!кг -град', он оказывает охлаждающее действие при сжатии
газовой смеси, уменьшая тем самым расход энергии по сравнению
с адиабатным сжатием идеального газа в пределах тех же давлений.
Теплоемкость газа при постоянном объеме составляет
3,5 ккал/кмоль • град. Средняя молекулярная масса газа 24. Рабочий
объем компрессора 0,01 м3. Требуется рассчитать минимальную ра-
боту, необходимую для сжатия газа. Согласно закону сохранения
энергии затраченная работа должна быть равна увеличению внут-
ренней энергии газа и смолы. Обозначим через Р давление (в ат,
кГ/см2 или кГ/м2), t — температуру (в °C) в какой-либо точке,
Т — абсолютную температуру в этой точке.
Количество газа, находящегося в рабочем объеме компрессора,
определяем по газовым законам, пренебрегая незначительным объ-
емом смолы:
ад,(тё?к)ода(2Й-)-'т26''
Количество смолы составляет 0,2-0,0026	0,0005 кг.
При бесконечно малом ходе поршня процесс является обрати-
мым. Работа, затрачиваемая на изменение некоторого объема V
газовой смеси от V до V -f- dV, будет равна dW — PdV.
Увеличение внутренней энергии газа равно произведению его
количества на теплоемкость и на изменение температуры:
ч 5
0,0026 • dT
Увеличение внутренней энергии смолы:
0,0005 - 0,5 dT
Применим к содержимому цилиндра компрессора, как к системе,
первый закон термодинамики:
Изменение внутренней энергии системы = теплу, полученному системой,
минус работа, совершенная системой.
Тепло, выделяемое системой, рассматривается как отрицатель-
ное, а работа, совершенная системой,— как положительная. При
бесконечно малом ходе поршня условия процесса сжатия газа могут
быть приняты постоянными и первый закон термодинамики выра-
жается в дифференциальной форме так:
dj — dq — dW
(7)
dJ = ( 0,0026 •	-J- 0,0005 • 0,5 ) dT = 0,0006 dT
169
При адиабатном процессе dq = 0, и уравнение (7) принимает
вид:
427-0,0006 77’ = — PdV	(8)
где 427 кГ • м/ккал — механический эквивалент теплоты.
Прежде чем интегрировать уравнение (8), следует исключить
одну из трех переменных величин. Пренебрегая давлением пара
смолы, воспользуемся соотношением между Р и V, имеющим место
для идеального газа:
Г»
PV= — RT	(9)
где G — масса V м3 чистого газа, кг;
М — средняя молекулярная масса газа;
R — универсальная газовая постоянная, кГ-м/кмоль-град;
Т — абсолютная температура, °К.
Так как относительно изменений V еще ничего неизвестно, в то
время как начальное и конечное значения Р заданы, то лучше всего
заменить dV выражением, содержащим Р и Т.
Дифференцирование уравнения (9) дает:
PdV = ^dT — V dp = ^ dT
м	м
GRT
МР
dP
После подстановки в (8) и некоторых преобразований получим:
(n^4-G'R V1T -GR dP
^0,26 + TJ -у ~ —
Так как T = Tr — 368°К при Рг — 0,33 ат и Т = Т2 при Р, =
= 1 ат, то интегрируем левую часть этого уравнения по Т в преде-
лах от 368°К до Т2 и правую — по Р в пределах от 0,33 до 1 am-.
(0,26+»^)	=0,089
368	0,33
После интегрирования получим:
0.35 In = 0,089 In 3
ООО
откуда
0,089
7’2 = 368-3 °’35 =485° К
Значение величины работы получаем интегрированием (8) в пре-
делах от 7\ = 368 до 7’2=-485°С:
485	Vt	W
0,26 \ dT = — J pdF = -J dW = —W
368	0,01	0
Таким образом, работа на сжатие 0,01 м3 газа составляет:
I ИЧ= +0,26 (485-368) =30,4 кГ. м
170
концентраций и равной 550 ккал/кг
§ 5.	ВЫПАРИВАНИЕ В НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Раствор, содержащий 10% КОН (по массе), концентрируется до
25% при давлении 1 ат в однокорпусном испарителе.
Во время выпаривания жидкость не удаляется и в аппарат посту-
пает разбавленный раствор так, чтобы общее количество раствора
в испарителе было постоянным и составляло 4000 кг. Когда концент-
рация раствора достигает 25%, выпаривание прекращается, скон-
центрированный раствор выгружается и испаритель снова загру-
жается 10%-ным раствором. Температура греющего пара 120° С.
Коэффициент теплопередачи К для начальной стадии процесса
равен 2000 ккал/м2 - ч-град и может быть принят пропорциональ-
ным квадрату разности температур конденсирующегося пара и кипя-
щей жидкости. Поверхность
нагрева А равна 55 м2.
Требуется определить про-
должительность периода выпа-
ривания.
Зависимость повышения тем-
пературы кипения раствора от
количества содержащегося в нем
КОН представлена на рис. IV-5.
Повышением температуры
(AZ) за счет гидростатического
давления жидкости пренебре-
гаем. Теплота испарения воды
из раствора КОН принимается
постоянной в данных пределах
испаряемой воды.
Температура поступающего раствора 100° С. Пусть с — массовая
доля КОН в испарителе в момент т.
Для промежутка времени di приход тепла составит КА At di,
и по тепловому балансу количество испарившейся воды равно
AAAfdT
550
Искомое
с помощью
количество
остается постоянным, то водный баланс складывается из следующих
частей:
кг.
дифференциальное уравнение может быть составлено
баланса по воде для промежутка времени di. Так как
раствора в испарителе (вода плюс твердое вещество)
,	тт	„ л К A Af di
Приход = 0,9 —г—--
ээО
,	КА At dx
УбЫЛЬ = ~ 550 '
Приращение = d [4000 (1 — с)] = —4000 de
Подстановка в уравнение для материального баланса дает:
КА At di КА At di /nnn,
°’9 ~ЙО---------550 — = -4000&
171
или
J 2,2 • 10’ de
dx = —A---~К&Л
(10)
В том случае, когда правую часть равенства надлежит интегри-
ровать аналитически, все величины должны быть выражены в виде
функции одной переменной. Выше было указано, что значения К
пропорциональны (At)2, следовательно, величина К может быть заме-
нена выражением a(At)2, где а — постоянная, значение которой
может быть определено из усло-
вия, что К = 2000 для начала
выпаривания при с = 0,1.
Известное соотношение между
At ис может быть выражено
приближенно эмпирическим
уравнением по одному из опи-
санных ниже способов (см.
гл. XXIV); однако здесь целе-
сообразнее применить графиче-
ское интегрирование.
Пределы интегрирования:
т = 0, с = 0,1 и т=т, с= 0,25
Уравнение (10) после под-
становки А = 55, К = а (М)г
и интегрирования принимает
вид:
0,25
_ 220 О 10Мс
Т 55а J (АО3
0,1
Значение интеграла может
быть определено графически.
С этой целью по данным табл. IV-1 строим кривую, выражающую зави-
симость между с и Ддтуз~ (рис. IV-6), и определяем площадь, ограни-
ченную кривой, осью абсцисс и конечными ординатами с = 0,1
и с = 0,25. Величина этой площади равна 6,1.
ТАБЛИЦА IV-1
С	Повышение температуры кипения	t кип	д<=12°- 'кип	(ДО»	10» (АО3
0,10	2,4	102	18	5830	17,2
0,13	3,4	103	17	4910	20,3
0,16	4,6	105	15	3380	32,5
0,19	6,0	106	14	2740	36,5
0,22	7,6	108	12	1730	57,8
0,25	9,7	110	10	1000	100,0
172
При с = 0,1 разность температур At = 18 и Л" = 2000, откуда
Следовательно, искомая продолжительность периода выпари-
вания:
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОЦЕСС ИОННОГО ОБМЕНА
Рассмотрим следующий пример.
Из разбавленного отбросного раствора надлежит извлечь медь
с помощью ионного обмена. Концентрация CnS04 в растворе состав-
ляет 20 мг-экв Си++/л; скорость потока раствора 37 850 л/ч. Для осу-
ществления данного процесса ионного обмена предусматривается
установка непрерывного действия, где раствор и регенерированный
ионит проходят через вертикальную башню в противоположных
направлениях. Степень обмена Си++ равна 0,99. Этот процесс может
быть осуществлен и на ленточном аппарате с перекрестно-противо-
точным движением фаз.
Регенерация ионита производится во второй башне при противо-
точном контактировании с 2 н. H2SO4.
В примере для расчета приняты:
Извлечение Си+ +. Скорость движения жидкости 2,2 л1см2 • ч\
скорость массопередачи 2,0 мг-экв Си++/ч-г ионита• мг-экв Сп++/л.
Регенерированный ионит содержит 0,30 мг-экв Си++/г ионита (т:2),
причем его количество составляет 1,2 М, где М — минимальное
отношение количеств ионита и раствора.
Регенерация ионита. Скорость движения жидкости
0,17 л'см2-ч, скорость массопередачи 0,018 мг-экв Си++ /ч-г ионитах
X мг-экв Сп+ + /л.
Степень использования кислоты 70%.
Равновесное состояние при ионном обмене Сп++—Н+ для кон- ‘
центраций 20 и 2000 мг-экв катиона /л изображено на рис. IV-7
и IV-9.
Требуется определить скорость прохождения ионообменной массы
и ее количество в каждой башне.
1.Извлечение Си+ + . Известно, что скорость потока раствора
37 850 л/ч; концентрация раствора сг = 20 мг-экв Си+ + /л, с2 =
0,01-20 = 0,20 мг-экв Си++/л.
Количество обмениваемой Си++ составляет:
37 850 (20 — 0,20) = 750 000 мг-экв/ч
Величина х2 = 0,30 мг-экв Си+ + /г ионита. На рис. IV-7 отмечаем
точку (с2, х,2). При минимальном отношении количеств ионита и
раствора и бесконечно большой высоте башни рабочая линия про-
ходит также через точку Р при х = 4,9, соответствующую равновесной
173
концентрации Cj. Тогда минимальная скорость движения твер-
дой массы будет равна:
J^F = 163000 8/4
Умножив на 1,2, получим:
163 000-1,2 = 196 000 г/ч
Баланс по меди дает:
750 000=196 (Xi—0,30)
откуда
xi = 4,12 мг-экв Си++/г ионита
Изобразим на том же графике
точку (clt Xj), после чего проведем
прямую линию, которая при данных
низких концентрациях является ра-
бочей линией.
Количество ионита в башне мо-
жет быть определено с помощью
кинетического уравнения (11), кото-
рое получается при составлении
материального баланса:
7de = -y-(c—c-)d (SZp) (И)
где V—количество жидкости, л/ч;
с—концентрация Си++ в растворе, мг-экв/л раствора;
с' — концентрация Си++ в растворе при равновесии с твердой
массой, мг-экв/л раствора;
—----коэффициент массопередачи, мг-экв/ч-г ионита-мг-экв/л',
К—коэффициент массопередачи в жидкости, мг-экв/ч-м2 X
X мг-экв/л',
а — поверхность частиц ионита, jh2/jh3;
р — плотность ионита, г/см*',
SZp — количество ионита в башне, г;
S—площадь поперечного сечения башни, см2-,
Z — высота башни, см.
Преобразуя это уравнение и интегрируя его, получим:
(12)
~Р~ С,
Для с на рабочей линии между сг и с2 имеем соответствующие
значения с , определяемые с помощью равновесной кривой при том
же значении х (табл. IV-2).
174
ТАБЛИЦА IV-2
С	2®	16	12	в	4	2	1	0,2
с	2,4	1,9	0,5	0,25	0,10	0,05	0,02	0
1 с—с	0,0568	0,0710	0,0870	0,129	0,256	0,513	1,02	5,0
j
Строим кривую в координатах с (абсцисса) и с__~ и вычисляем
графически интеграл в пределах от до с3. Площадь под кривой
(рис. IV-8) составляет 5,72.
Подставляя это значение в уравнение (11), найдем!
2. Регенерация ионита. Для обмена 750 000 мг-экв
Си+ + /ч требуется такое же количество мг!экв Н+/ч. При 70%-ном
использовании серной кислоты последняя должна содержать:
	= 1 071 000 мг-экв Н+/ч
или	1071 000	„ с„ , ——=536 л 2н. H2SO4/4
Имеем:	<ц = 0
И	750 000	_ + ., с2 =———= 1400 мг-экв Си++/л
Кроме того	„	. . „ мг-экв Си+ + *1 = 0,30 и *2 = 4,12	 *	г ионита
175
Отмечаем на графике (рис. [V-9) точки (с1, х^ и (с2, х2) и прово-
дим рабочую линию.
Интегрирование кинетического уравнения (11) в данном случае
(где как рабочая, так и равновесная линии являются прямыми)
дает:
(13)
V (C2 — Ci)=-^~SZf> (с’—c)m
где (с—с)т — средняя логарифмическая разность движущих сил
на концах башни
с;—£1 = 120 — 0 = 120
,	, ,	„ мг-экв Си++
с- — с2 = 1700—1400 = 300----------
и
,	,	300 — 120	мг-экв Си++
~с)т=зоо“ = 96,5-------------
'П
Подставляя это значение в уравнение (13), найдем
750 000 = 0.018 (SZp) • 196,5
откуда получаем количество ионита в регенерационной башне:
5Zp = 212 000 г, или 212 кг
Содержание Сн++ в выходящем из аппарата растворе увеличи-
лось в
что равнозначно испарению из начального раствора 37 500 л воды/ч.
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ
Сравнение рассмотренной ниже задачи с задачей по диффузии,
сопровождающейся химической реакцией (см. главу X, § 7), может
служить иллюстрацией математического подобия между совершенно
различными явлениями.
Расположенный горизонтально металлический стержень
(рис. IV-10) опирается своими концами на опоры. Расстояние между
опорами равно L м.
Левый конец стержня поддерживается при постоянной темпера-
туре а правый — при постоянной температуре t2 < t1.
Стержень сделан из металла с теплопроводностью X в виде
бруска малой толщины с периметром поперечного сечения Р м и пло-
щадью сечения А м2. Коэффициент теплоотдачи от поверхности
стержня к окружающей среде (а ккал/м2  ч  град) может быть при-
нят постоянным.
176
Температура окружающей среды равна ts. Требуется установить
соотношение между температурой стержня в любой точке и расстоя-
нием этой точки от горячего конца.
Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциаль-
ному уравнению с частными производными, так как температура
в поперечном сечении стержня не вполне постоянна и является функ-
цией расстояния х и расстояния от поверхности стержня.
Однако, если стержень достаточно тонкий и если теплопровод-
ность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь
температурными градиентами в направлениях, перпендикулярных
к оси стержня, и принять температуру постоянной в каждой точке
поперечного сечения, перпендикулярного оси ОХ. При таком допу-
щении температура является функцией только одного независимого
переменного х и распределение температуры может быть описано
обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением.
м процесс
странения тепла в эле
ном отрезке длиной
расстоянии х от того
стержня, температура
рого t{.
Количество тепла, проходящего за время dx через сечение стер-
жня, находящееся на расстоянии х от начала стержня, согласно
теории теплопередачи, будет равно:
, . dt
—лА —;— ат
dx
Количество тепла, прошедшее за время dx через сечение, нахо-
дящееся на расстоянии х -р dx от начала, будет равно:
распро-
Рис. IV-10.
dx на
конца
кото-
\ dx 1
dx'2
dx ) dx
Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими
от начала на расстояниях х и х -f- dx, вследствие теплопроводности,
приобретет за время dx количество тепла, равное разности указан-
ных количеств, т. е.
, <72« , ,
Л А , dxdx
dx2
За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую
среду будет равна:
аР dx (t — ts) dx
Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то
d'it
t.A——- dx dx = аР dx (t — tA dx
dx2	' s/
12 Заказ 1706
177
Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному
уравнению
решение которого дано в гл. V.
Уравнение (14) аналогично уравнению (Л) гл. X. Несмотря на то,
что задачи, рассмотренные здесь и в § 7 гл. X, физически различны,
математически они тождественны, так как приводят к дифферен-
циальным уравнениям одного и того же вида.
§ 8. ЭКСТРАКЦИЯ В ШНЕКОВЫХ (ВИНТОВЫХ) АППАРАТАХ
В шнековых аппаратах процесс экстракции может осуществляться
противоточным или прямоточным способом.
Переход извлекаемого вещества из сырья в растворитель можно
рассматривать как с точки зрения уменьшения его содержания в
сырье, таки сточки зрения увеличения концентрации в растворителе.
Будем искать выражение для концентрации извлекаемого вещества
по длине аппарата. Обозначив время соприкосновения раствори-
теля с обрабатываемым веществом через т, получим:
de
(15)
где с — концентрация извлекаемого вещества в растворе;
х — содержание его в обрабатываемой массе;
с' — концентрация извлекаемого вещества, содержащегося на
поверхности обрабатываемой массы;
к и К — постоянные коэффициенты.
Будем считать, что с' и х связаны между собой линейно:
,	, х
х = ас ; с =—
а
(17)
Подставив в (15) и (16) значение с', получим:
и
(18)
(19)
Интегрирование этих уравнений дает решение, описывающее
процесс экстракции в шнековых аппаратах.
Обозначим через U и и, соответственно, количества обрабаты-
ваемой массы и растворителя, поступающие за единицу времени
178
в аппарат (в ед. массы/ед. времени). Обозначим концентрации извле-
каемого вещества в обрабатываемой массе и растворителе в точке
поступления последних в аппарат соответственно через х0 и с0.
Обычно с0 = 0. Количества вещества, отдаваемого обрабатываемой
массой и получаемого растворителем, равны между собой:
(х0 —х) г/ = (с —с0) и
При со = О получим:
и
х = хо— — с
(20)
(2D
Подставив значение х в (18), получим:
dx \ а
Умножив обе части этого уравнения на —имеем:
После интегрирования получим:

Постоянную интегрирования С найдем, исходя из того соображе-
ния, что в начальный момент т = 0 концентрация с также равна
нулю. Это нам дает:
С = 1п —-
а
Отсюда
lnE^“ G5/+1) = (^ + 1)+1п^Г	(22)
Далее, обозначив время пребывания растворителя в аппарате
через тс, а время пребывания обрабатываемой массы в аппарате
через хх, получим:
Разделив первое уравнение на второе, имеем:
de	к dxc
dx	К dxx
12’
179
Из соотношения (20) найдем:
de _ U
dx и
Сравнивая между собой два последних равенства, получим:
U   к dxc
и К dxx
Коэффициенты /си К являются постоянными. Установим, в каком
случае они будут равны между собой. Это будет, например, если
ихс = Uxx	(23)
Принимаем, что к — К = ^^-^^, где А — поперечное сечение
аппарата, а р — постоянная, зависящая от природы обрабатывае-
мого вещества, растворителя и температуры.
Подставим эти значения к и К в (22), предварительно записав
это равенство следующим образом:
После подстановки получим:
In Г1 —-----1-—) Я =	(-^4-а)
L \ Ux0 х0 J J А2а \ Ь )
Так как ux — V, где V—объем экстракционной системы по рас-
творителю (воде), то
«2	UV „ lu
, V
где 1 = ----длина аппарата.
Обозначив через р, получим:
in[i_2_(p+a)]==_J^(p + a)
или
Обозначив
-^-(р + а) = Л0; -^2— = с-0
аЛ ' и’ р + а °
и решая последнее уравнение относительно с, получим окончательно
следующее выражение для концентрации с извлекаемого вещества
по длине аппарата:
с=е’„ (1 — е ка1)
180
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРИ БЕНЗОЛА ПРИ ЕГО ХРАНЕНИИ
В СОСУДЕ, СООБЩАЮЩЕМСЯ С АТМОСФЕРОЙ
В цилиндрическом резервуаре хранится бензол. Паровое про-
странство над бензолом имеет объем Vo = 250 м3; оно сообщается
с внешней атмосферой с помощью трубы. Максимальная и минималь-
ная суточные температуры составляют 37,8 и 10° С. Барометрическое
давление 760 мм рт. ст.
Требуется оценить максимально возможные потери бензола
в сутки.
Парциальное давление бензола может быть найдено из формулы:
1g Р = 7,962--^Д-	(24)
где Р выражено в мм рт. ст., а Т— в °К.
Потеря бензола имеет место в то время, когда бензольно-воздуш-
ная смесь в паровом пространстве воспринимает тепло из окружа-
ющей среды и, расширяясь, выходит через трубу в атмосферу. При
понижении температуры свежий воздух засасывается в паровое про-
странство и снова вытесняется уже в смеси с некоторым количеством
бензола при последующем повышении температуры.
В случае отсутствия какого-либо внутреннего источника тепла
максимальная потеря бензола будет иметь место при полном насы-
щении воздуха, находящегося над жидким бензолом, парами бензола
при температуре окружающей среды.
Потеря бензола обусловливается двумя процессами, протека-
ющими одновременно, причем каждый из них вызывает увеличение
объема паро-воздушной смеси над бензолом. Первый процесс возни-
кает в силу того, что присутствующая паро-воздушная смесь под-
вергается простому термическому расширению; при этом увеличение
объема будет:
Второй процесс заключается в увеличении концентрации содер-
жания бензола в паро-воздушной смеси с ростом температуры, со-
гласно формуле (21).
Обозначим через у мольную долю бензола в паровом пространстве.
Тогда его объем, отнесенный к общему давлению, составит yF0.
При изменении состава паро-воздушной смеси вследствие увели-
чения давления пара бензола при повышении температуры коли-
чество испарившегося бензола dVy будет равно:
d 0jvo} = vоаУ
Следовательно
dV = dVTJrdVy=Va^^--\-dy'^	(25>
181
Изменение объема жидкости пренебрежимо мало по сравнению
с общим объемом паро-воздушного пространства, поэтому величина
Vo может быть принята постоянной. Мольная доля бензола у
р
равна -ygQ-, где Р — парциальное давление бензола при Т и
Для определения потери бензола необходимо установить коли-
чество бензола, соответствующее объему dV. Это соотношение вы-
текает непосредственно из газовых законов:
dN —
PdV
RT
где dN — количество киломолей бензола, уносимого с dV м3 воздуха,
насыщенного парами бензола.
Так как
7? = 850 кГ  м/кмоль  град
ТО
dN «<0,0012 ~dV
Подставляем в это уравнение dV из (25), заменив Vo его зна-
чением 250 м3:
,f Р dT . Р dP \
dN — 0,3 Q	Yggy )	\26)
Из приведенного выше соотношения (24) между Р и Т находим:
2,3 (7,962 —
Р = е '
Определяя отсюда -у-, получим:
7,962 1п Р
1
~т
(27)
2,3
1,781
После подстановки этих значений в уравнение (26) имеем:
2,з (7,962dT
е
П 1 760-1,781 (7,962	2,3
Интегрирование последнего уравнения в пределах от Тг = 283
до Т2 = 310,8° К при соответствующих значениях для Р, полу-
чаемых из уравнения (27), дает:
7	1,781
(7,962--—
dN = 0,3
2,3
—	е
2,3*1,781 L
о-з
2
0,3
т2= 310,8
760-1,781 -2,3
_ Т1=283
1	,	0,3-7,962
4 JJp, 760-1,781-2 1 2	11
N
182
После подстановки пределов получим:
А = 0,0268 кмоль
Так как молекулярная масса бензола 78, то максимальная потеря
бензола в сутки равна 0,0268-78 = 2,1 кг.
| 10. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
В ГОМОГЕННОЙ СРЕДЕ
Рассмотрим необратимую реакцию в общем виде:
яА 4-&Л -4-сС-> dD-\-eE-\-fF	(28)
где а, Ъ, с — стехиометрические количества молей взаимодейству-
ющих веществ Л, В и С.
Пусть NA представляет число молей А, имеющихся в момент т;
dA .
тогда выражает число молей А, вступающих в реакцию в еди-
ницу времени. С увеличением т величина NA уменьшается, следо-
dAA	dN.
вательно, производная —-— отрицательна. Эта производная ——f
(L А	CLA
очевидно, пропорциональна присутствующему числу молей веще-
ства А, т. е. пропорциональна NА.
Уравнение (28) может быть написано и в таком виде:
А-4-(а — 1) А-\-ЬВ-\-сС	dD-\-еЕ-\-fF
Следовательно, дифференциальное уравнение, определяющее ско-
рость превращения вещества А при постоянной температуре, примет
вид:
dA.
^A = -KAaC“-i^^c	(29>
где С — концентрация в молях на единицу объема.
Уравнение (29) представляет собой общее уравнение скорости
реакции в гомогенных системах.
Если начальные количества вступающих во взаимодействие ве-
ществ известны, то с помощью уравнений для материальных балан-
сов и стехиометрических соотношений представляется возможным
выразить все концентрации в виде функции от N А. Тогда переменные
Na и т вместе с их дифференциалами могут быть сгруппированы так,
что уравнение (29) оказывается возможным проинтегрировать.
В случае адиабатной реакции температура взаимодействующих
веществ будет изменяться и К, являясь функцией температуры,
становится переменной величиной. Зная теплоемкость веществ,
можно выразить температуру реакции в виде функции N А и, следо-
вательно, получить К как функцию NА.
188
При этих условиях аналитические приемы решения уравнения (29)
сложны и поэтому удобнее, написав уравнение (29) в виде
применить метод графического интегрирования.
Для частного случая, когда реакция протекает при постоянном
объеме V
N.
Са=~г-; NA^dcA
уравнение (29) принимает вид:
dCA
^ = -КС°АС*вС'с	(30)
Уравнение (30) определяет закон скорости реакции, приводимый
•обычно в учебниках физической химии. Как видно, оно не применимо
к практически важному случаю реакции при постоянном давлении,
если только при этом не происходит изменение общего числа молей,
которое приводит к постоянному объему, или если изменением
•объема за время dx можно пренебречь.
Определив из уравнения (28) стехиометрические соотношения
между реагентами и продуктами реакции, можно легко преобразо-
вать уравнение (29) применительно к любому виду взаимодейству-
ющих молекул. Так, например, мы можем проследить образование
вещества D путем подстановки в уравнение (29) выражения
а
-dNA = -dND
после чего уравнение (29) приводится к виду:
Г d \
=	<31>
При использовании уравнений типа (29) и (31) могут возникнуть
некоторые трудности. Прежде всего, общая реакция, представляемая
уравнением (29), может быть обратимой, причем вещество А расхо-
дуется при прямой реакции и образуется при обратной реакции.
Для того чтобы проследить за количественными изменениями любого
вещества во времени, уравнение (29) должно быть записано как для
прямой, так и для обратной реакции.
Дополнительные осложнения могут появиться еще в том случае,
когда стехиометрическая формула не соответствует механизму реак-
ции. Так, например, во время реакции могут быть получены проме-
жуточные соединения, которые впоследствии распадаются с образо-
ванием конечных продуктов.
184
В этом случае уравнение скорости составляется для контролиру-
ющей реакции, а входящие в него величины определяются из общего
стехиометрического уравнения.
Наконец, возможны превращения как реагентов, так и промежу-
точных продуктов, в силу побочных реакций в дополнение к основ-
ной реакции. Если количества вещества, вступающего во взаимодей-
ствие по этим побочным реакциям, значительны, то составление
уравнения для скорости превращения любого из реагентов произво-
дится на основе данных опыта.
§ 11. СИСТЕМА ОБРАТИМЫХ РЕАКЦИЙ,
ПРОТЕКАЮЩИХ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
Рассмотрим обе обратимые реакции, протекающие по схеме
А	В
В	С
Пусть в начале реакции имеется 1 моль исходного вещества;
обозначим через х, у, z число молей, соответственно, А, В и С, при-
сутствующих ко времени т.
Пусть fcj и к2 — константы скорости, соответственно, прямой
и обратной реакций (а), а к3 и — константы скорости прямой
и обратной реакций (б).
Согласно уравнению (30) скорость превращения А
(32)
и скорость превращения В'.
= —(А2 + А-з) г/ + А-1-г + А'41	(33)
В соответствии с указанным выше условием имеем:
•г+г/+2 = 1
Дифференцируя уравнение (32) по т, получим:
Подставим вместо - его выражение из формулы (33):
GT
/72 т	ч*
-т—- = —ki -г-— к2 (Л’2 + />’з) У + к«кгхк2к&
и Iм	a v
Заменим z его значением (1 — х — у) и подставим у из уравне-
ния (32); после соответствующей перегруппировки получим
</2 д*	dx
 И-	4~^*) , 4” (Мз 4*	х—— 0	(35)
(IX*1	GT
т. е. линейное уравнение с постоянными коэффициентами, решение
которого будет дано в гл. V.
183
§ 12. РЕАКЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ТРАНСПОРТИРОВАНИИ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ПОД ПОСТОЯННЫМ
ДАВЛЕНИЕМ
При применении уравнения (29) й реакции, протекающей изо-
термически в условиях непрерывного процесса с постоянным давле-
нием и изменяющимся объемом, возникает дополнительное ослож-
нение вследствие того, что время контакта представляет собой функ-
цию скорости движения газа и длины реакционной трубки.
Для этих условий типичен следующий пример.
Для необратимой реакции второго порядка разложения ацеталь-
дегида
2СН3СНО --> 2СН4 + 2СО	(36)
найдено значение константы скорости при 518° С:
К = 0,331 л/моль  сек
Реакция осуществляется при давлении 1 ат путем испарения
альдегида в сосуде, с последующей подачей паров в один конец
реакционной трубки, изготовленной из кварца, и удалением продук-
тов реакции из другого конца.
Содержимое реакционной трубки поддерживается при 518° С.
Требуется установить зависимость степени завершенности реакции
•от длины реакционной зоны трубки.
Обозначим через Na, число молей альдегида, поступающего не-
прерывно в реакционную трубку за один час, а через т — время
прохождения паров альдегида через реакционную трубку. Пусть
из общего числа молей Na, исходного альдегида некоторая часть,
равная Na моль, остается неразложенной по истечении какого-либо
промежутка времени с момента начала разложения.
Применение уравнений (29) и (36) дает:
dNA
-^ = -KNACA	(37)
Для решения этого уравнения следует исключить одну из пере-
менных, входящих в уравнение (37). Целесообразнее, однако, выра-
зить переменные С а и т через переменный объем реакционной зоны,
который обозначим VR.
Пусть V есть общий объем неразложившегося альдегида и про-
дуктов ею разложения, соответствующих Na в любой момент после
начала разложения.
Пользуясь уравнением состояния идеального газа и стехиометри-
ческим уравнением (36), получим:
v=^~ [naA(Na-na)}
Если х — расстояние от входного конца трубки до некоторого
ее сечения (рис. IV-11), то объем трубки на протяжении длины х
"будет Sx, где S — поперечное сечение трубки.
486
Следовательно
dVR = S dx
Примем, что скорость паров в любом сечении трубки является
постоянной; линейная скорость U массы газа, проходящего путь dx
за промежуток времени dr, будет равна
dx _ dVR _ V
U~~dr~Sdr
откуда
S л dVR
dr = -dx=-^~	(38>
Величина V представ-
ляет собой объем вещества,
образующегося после вво-
да в реакционную трубку
Na, моль альдегида в еди-
ницу времени, и может
рассматриваться как объем
газов, проходящих в
— 80 см
единицу времени через сечение X.
Рис. IV-11.
Уравнение (38) устанавливает зависимость между продолжи-
тельностью т контакта во время реакции в трубке и объемом,
трубки VR.
Остается выразить С а через Na-
Как известно
na	Nap
СА~ V -RT(2Na-Na)
(39)
Подстановка уравнений (38) и (39) в уравнение (37) дает:
™А
dVR
K'N2a
72
Разделение переменных приводит к уравнению:
МП, 4Л\
N2a na
(40>
В задаче требуется определить мольную долю разложившегося
альдегида при заданном объеме реакционной трубки Vr, т. е. Na/Na,,
Обозначим
NA/*A=f
тогда уравнение (40) примет следующий вид:

187
Интегрируя левую часть этого уравнения по / в пределах от 1
до /, а правую часть по VR в пределах от 0 до Vr, получим, прене-
брегая незначительным изменением Р вследствие трения в трубке:
4	,	К г Р \ 2
Vr (41)
Ао \	/
Эта формула дает возможность вычислить / для данной скорости
поступления альдегида в молях в единицу времени при использова-
нии реакционной трубки с объемом Vr.
Пусть внутренний диаметр трубки составляет 3,3 см, длина ее
80 см и скорость поступления альдегида 50 г/ч. Подставив в при-
веденные выше формулы числовые данные, указанные в условии
задачи, можно получить:
К = 0,331 л/моль  сек
so
=ЗД6'10'4 М°ль/Сек
Здесь 44—молекулярная масса СН3СНО. Далее:
Р= 1 ат
Г =5184-273 = 791° К
R = 0,08206 л • атм/моль - град
л • 3,32 • 80
4 • 1000
== 0,683 л
к ( р V у _	°-331
na, \ RT ) R	з,1б-Ю“4

Сравнение (41) при этих числовых данных принимает вид:
3-у — 9,21g/4-/ = -0,17
Решая это уравнение, получим / = 0,87, т. е. при прохождении
через реакционную трубку 13% альдегида окажется разложенным.
Глава V
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Обыкновенные дифференциальные уравнения характеризуют со-
бой процессы, связанные только с одной независимой переменной
величиной. Дифференциальное уравнение, включающее в себя одну
зависимую и одну независимую переменные, может быть записано
в следующем общем виде:
х dy df2y dSy
Х' У' dx ’ dx2 ’ dx3
dx" )
(1)
Всякая функция у (x), которая, будучи подставлена вместе со
своими производными в дифференциальное уравнение (1), обращает
его в тождество, называется решением или интегралом этого урав-
нения.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что общее
решение дифференциального уравнения порядка п содержит п про-
извольных постоянных и, стало быть, имеет вид:
F (ж> У, Ci, f 2 • • • Ci) — 0	(2)
С геометрической точки зрения общий интеграл представляет
собою семейство некоторых кривых, зависящих от п параметров
и называемых интегральными кривыми данного уравнения.
Если в общем интеграле постоянным Clt (72, . . . , Сп придать
какие-либо определенные числовые значения, то получим частный
интеграл (или частное решение) данного уравнения. С геометриче-
ской точки зрения частный интеграл представляет собой отдельную
интегральную кривую, входящую в состав семейства интегральных
кривых, определяемых общим интегралом.
Отыскание решений дифференциального уравнения часто бывает
связано с большими трудностями. Решения многих дифференциалы
ных уравнений не выражаются через элементарные функции.
Так, например, уравнение
dx
не имеет решения, выражающегося через элементарные функции.
189
В данной главе будут рассмотрены наиболее важные типы диф-
ференциальных уравнений, имеющих приложения в технике, и ука-
заны способы их решения.
§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.
УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНЫЕ И ПРИВОДИМЫЕ К ОДНОРОДНЫМ
Любое дифференциальное уравнение первого порядка и первой
степени относительно может быть представлено в виде:
М dx-\- N dy = Q	(3)
где М и N — функции от х и у.
Укажем важнейшие методы решения уравнений этого типа.
а) Разделение переменных. Если уравнение (3) может быть
приведено к виду
Л (х) dx + /2 (у) dy = o	(4)
то последнее называется уравнением с разделенными переменными
и его общим решением будет:
J (х) dx+J /2 (у) dy = C
Постоянные, сопровождающие оба неопределенных интеграла
в левой части уравнения, могут быть объединены в одну постоян-
ную С.
К уравнению вида (4) могут быть приведены уравнения следу-
ющего вида:
h (*) gl (к) ^+/2 W S2. W dy = O
Для приведения нужно разделить уравнение на gi(p)/2(^).
Пример.
(1-4-г/2)2 +^(1 + ^2)2 -^-=0
Для разделения переменных нужно умножить это уравнение на dx
1 1
и разделить на (1+ж2) 2 (1+у2) 2 :
xdx , ydy
1 ~Г 1	и
(1+х2)2	(1+у2)2
Интегрируя, находим общий интеграл:
1 1
(1+^2) 2 +(1+у2)2 = С
В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть
приведены к уравнениям с разделяющимися переменными путем
замены переменных.
190
Пример. Уравнение
(хУ2-[-У') dx—xdy = O
преобразуем, положив xy = z.
Тогда dz — xdy-[-ydx и уравнение преобразуется к виду:
[ г2 , z \	, z dx
(  --1---) dx -|-------dz = О
\ х ‘ х ]	х
dx dz
х z (z + 2'i О
После интегрирования получаем:
1н Х+ ± In =
Lt
Отсюда
х2 (i+JL) = c
\ ху /
Большинство уравнений, решенных нами в гл. III и IV, были
уравнениями с разделяющимися переменными.
б) Однородные уравнения. Функция / (х, у) называется однород-
ной функцией п-а степени, если при умножении х и у на t эта функ-
ция умножается на i". Таким образом, если функция / однородна
относительно х и у, то
/ (tx, ly) =tnf (х, у)
Если принять t = —, то эта зависимость может быть записана
в виде /^1, у ) =	/ (х, у), откуда видно, что всякая однородная
функция степени п может быть представлена в виде:
/ (х, у) = хпу —
Таким образом, если в уравнении
Л (-г, у) dx-\-f2 (х, у) dy^=o
коэффициенты при dx и dy однородные функции степени ге, то это
уравнение можно записать в виде:
х"ф1 ) dx-\- х"([>2	) dy = Q
или
dy
dx
= Ф
191
Если положить у = их, то это уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными
+ или
du __________ dx
<(; {и) — и	х
общий интеграл которого будет
In х=С-\-
du
<р (и) — и
Пример. Рассмотрим однородное уравнение
или
У2 dx-\-',x2 — ху) dy = O
dy _ у2
dx	ху — х2
Полагая у = их, приведем уравнение к виду:
du , и2	du
X —--1- U =--г- ИЛИ X -т—
dx и—1	dx
Разделяем переменные:
и—1 , dx
----=	
и---X
Интегрирование этого уравнения дает:
и — In и = In х—In С
откуда
In ж + ln —-— = 1пС
х х
Упрощая, получаем общий интеграл исходного уравнения:
In у = Су -J-—
1 х
в) Уравнения первого порядка и первой степени с линейными
коэффициентами. В уравнении
(ах-[-by-[-с) dx + (gx + hy -|-1) dy=i)
(5)
коэффициенты при dx и dy линейны относительно х и у. Обычно
такое уравнение может быть приведено к однородному с помощью
подстановок:
x = w-[-m; dx — dw )
(6)
=	dy =dv J
где w и v — новые переменные;
m и n — постоянные числа, которые выбираются так, чтобы они
удовлетворяли уравнениям
am -|- bn -j- с = О
gm “р Лп -р I = О
(7)
192
После такой замены уравнение (5) приводится к однородному.
Пример. Применим этот метод к уравнению:
(®+3p + 4) dx-[- (2ж + г/+3) dy = 0	(8)
Уравнения (7) в этом случае дают
m + 3n + 4«=0
2т+« + 3 = 0
откуда
n = m = —1
и уравнение (8) приводится к виду:
(ш+Зе) dw -\-(2w -\-v) dv = O
Это уравнение:является однородным* для его решения положим’.
v = uw', dv = udw-\~wdu
Мы найдем:
(» -|-Зи!0) dw -[-(2w -\-uw) (udw-\-w du) — Q
Разделив на w, получим:
dw । (2 + и) du n
““Ti+Sb + bS “°
Интегрирование дает:
.	1	. 2в + 5 —1^21 i 1 .	„
In ш---— In---------+ — In (1 + 5b + b2) ==
2/21	2b+5 + /21	2
Для нахождения общего интеграла уравнения (8) следует вернуться к ста-
у _|_ 1
рым переменным, положив ш = лг4-1;	‘	.
^ + 1
§ 2. ПРОЦЕСС ХЛОРИРОВАНИЯ ОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
Процесс хлорирования многих органических соединений может
быть представлен в общем виде уравнением:
RH„-|-nC12 = RCln + nHCl
где RH„ — хлорируемое сырье;
п — число атомов водорода, замещаемых атомами хлора;
RCIn — продукты хлорирования.
При хлорировании получаются моно-, ди- и трихлорзамещенные
продукты. Соотношение между их количествами может быть уста-
новлено на основании законов химической кинетики.
Примем следующие обозначения:
а — начальная концентрация хлорируемого продукта, мол. доли;
х — концентрация прохлорированного продукта, мол. доли;
у — убыль монохлорпроизводного, мол. доли.
13 Заказ 1706	193
с — концентрация хлора, мол. доли;
п — порядок реакции по хлору;
т — время;
кг — константа скорости реакции «монохлорирования»;
Zca — константа скорости реакции «дихлорирования».
Исходя из того, что реакции образования хлорзамещенных имеют
одинаковый порядок и протекают последовательно, можем написать
следующие кинетические уравнения:
-^- = fcicn(a —х)
A-= fcaC" (*-!/)
Разделив второе уравнение на первое, получим:
dy _ k-t (х — у) = к х — у
dx ki(a — х)	а—з
Представим это уравнение в следующем виде:
(а — x)dy—{кх—ky)dx = O	(9)
Уравнение (9) принадлежит к типу (5). Для приведения этого
уравнения к уравнению с разделяющимися переменными применим
подстановку (6)—(7), в результате которой получим:
—fcm-|-/cra = 0; —« + « = 0
откуда
т = п —а
Подстановка х = w а-, у =* v -{-а приводит уравнение (9)
к виду:
(—kw-\-kv) dw—w dv = Q
Сделаем еще подстановку:
v — uw; dv~udu>-[-wdn
Тогда уравнение примет следующий вид
[—kw-[-k (u»u)] dw— uw dw—w2 du=Q
или, после упрощений:
(—fc-|-fcn—и) dw = w du
Мы пришли к уравнению с разделяющимися переменными:
dw_____________________________du____
w	{к — 1) и—к
Интегрируя это уравнение, получим:
(к — 1) In w = In [(Л—1) и—fc]4-C
194
Общий интеграл исходного уравнения получим, если вернемся
к старым переменным х и у:
(к — l)ln(a — я) = 1п£(1— к) 7E7 + 1] +С	(Ю)
При т = 0 имеем ж = 0, у — 0. Отсюда находим:
С = — (1 — к) In а
Подставляя это значение С в уравнение (10), получим:
(!-*•)1п "7=7 = 1п Г(1 ~к} СТГ + 1*1
U Л/	1	JU И
Потенциируя, находим:
( ——\~k = (1 -к)	+1
\ а — х J	а — х
Обозначим концентрацию непрореагировавшего продукта а — х
через хн, концентрацию монохлорзамещенных х — у через хы и ре-
шим последнее уравнение относительно хы. Мы получим формулу,
позволяющую вычислить выход монохлорзамещенных по заданной
концентрации непрохлорированного сырья:
аь х„
*м=-СТ-х«—СТ	(11)
Определим, при каком значении хя функция х„ имеет максимум.
Для этого найдем производную и приравняем ее нулю:
1—k~k— 1	1 л
= ---— а1 Кх% 1-т-= О
dx„	1 — к	1 — к
Отсюда определим жн:
1
хя = ак1~к
' Максимальное значение хм получим, подставляя это значение ха
в формулу (11):
k
max хм = afc	(12)
Из этой формулы следует, что максимальный выход монохлор-
производных зависит от соотношения констант скоростей реакций
: Ah = к и начальной концентрации а хлорируемого вещества.
Вычислим максимальное содержание хлорбензола в хлориро-
ванной жидкости, которое может быть достигнуто при хлорировании
бензола, если известно, что соотношение констант скоростей реакций
/с
образования полихлоридов и хлорбензола -т^- = к = 0,118.
13'
195
Для решения используем формулу (12). Начальная концентрация
(в мол. долях) хлорируемого бензола а = 1. Следовательно
0,118
max zM= 1 • 0,118 1-0,118 =0,75 мол. доли
§ 3. РАСХОД РЕАГЕНТА ПРИ МАКСИМАЛЬНОМ ВЫХОДЕ
ЦЕЛЕВОГО ПРОДУКТА В СЛОЖНЫХ РЕАКЦИЯХ
Жидкий бензол подвергается хлорированию в аппарате периоди-
ческого действия. При условии, что реактор снабжен мешалкой,
обеспечивающей полный расход поступающего хлора, и выделя-
ющийся из аппарата газ представляет только хлористый водород,
определить количество хлора, необходимого для получения макси-
мального выхода монохлорбензола. Процесс протекает изотерми-
чески при 55° С с отношением констант скоростей реакций
A*i	Аг о
-— = 8 и ~— = 30
«2	*3
дричем klt к2, к3 относятся соответственно к реакциям
СвНв + С12 —> СвН5С1-ЬНС1
,	С6Н5С1+С12----> СвН4С12 + НС1
С6ЩС12 + С12 --► СвН8С1з+НС1
Примем для расчета 1 моль бензола и введем следующие перемен-
ные для определения состояния системы ко времени т:
p — мольная		доля присутствующего		хлора;
Q —	»	»	»	бензола;
r —		»	»	монохлорбензола;
s —	»	»	»	дихлорбензола;
t —	»		»	трихлорбензола.
Тогда будем иметь
g-pr-h«+t = l	(13)
и общий расход хлора составит:
I/= г-\-2s-\-3t	(14)
Теперь примем, что объем реакционной массы V является посто-
янным. Таким образом, скорость реакций для бензола представляется
так
v -57- = -*1₽9	(15)
а скорость образования каждого продукта будет равна:
dr
Г-^7 = klPq~ к2рг	(16)
т_ ds ,
V — k2pr—k3ps	(17)
tz dt
V-^ = k3ps	(18)
196
Время т может быть исключено, если мы разделим уравнения
(16) и (18) на уравнение (15). Следовательно
dr = fe2r _ _ г—8g
dg	~ 8q
(19)
Мы получили однородное дифференциальное уравнение первого
порядка, которое может быть решено путем подстановки.
Пусть
r = vq	(20)
поэтому
dr , dv
-d^-v + ^	<21>
Подстановка (20) и (21) в уравне-
ние (19) с последующим интегри-
рованием дает;
lng = lnC — — In (7г> + 8)	(22)
где С—постоянная интегриро-
вания.
Освобождаясь от логарифмов,
найдем:
О О? 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Расход хлора, моль
Рис. V-1.
»^(^Г
(23)
Для т = 0 имеем д=1, г = 0 и С = 8в/’.
После преобразования (23) получим:
r = 8(g1/8“7)/7	(24)
Аналогично из уравнений (15) и (17) можно показать, что
ds s г
~dq~ 240g	(25)
При исключении г с использованием (24) выражение (25) приво-
дится к дифференциальному уравнению, которое может быть решено
посредством интегрирующего множителя. Мы получим:
» = 7 Л4°9чо (29g-239g1/s + 210g1/24°)	(26)
Для любого значения q можно определить соответствующие значения
г и s из (24) и (26), а затем значение t из (13). Аналогично с помощью
(14) определяется общее количество расходуемого хлора. Эти стадии
расчета являются арифметическими и поэтому не приводятся
детально; результаты вычислений подытожены графически на
рис. V-1, где мольная доля каждого галоидизированного угле-
водорода изображена относительно общего количества расходу-
емого хлора. Количество хлора, необходимого для максимального
выхода монохлорбензола в соответствии с диаграммой на рис. V-1,
составляет 1 моль хлора на 1 моль загружаемого бензола.
197
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОЦЕСС ГИДРОЛИЗА ТВЕРДОГО ЖИРА
В РАСПЫЛИТЕЛЬНОЙ КОЛОННЕ
Твердый жир в количестве 3660 кг/ч в смеси с 1030 кг/ч горячей
воды под высоким давлением подается снизу в распылительную
колонну, работающую при температуре 232° С и давлении 42,18к77сл12.
При этих же условиях температуры и давления вода в количестве
1870 кг/ч распыляется при подаче в верхнюю часть камеры и опу-
скается вниз в виде капель через поднимающуюся вверх жирную
фазу.
Глицерин образуется в жирной фазе вследствие реакции гидро-
лиза, экстрагируется опускающейся вниз водой и, таким образом,
2530 кг/ч конечного экстракта с содержанием
12,16% глицерина непрерывно выходит снизу
колонны. Одновременно 4050 кг/ч рафината,
состоящего из жирной кислоты и содержащего
0,24% глицерина, уходит сверху колонны.
Принимая, что эффективная высота колонны
22 м и диаметр 0,72 м, эквивалентное содержа-
ние глицерина в твердом жире 8,53%, а отно-
сительное распределение глицерина между во-
дой и жирной фазой при заданных температуре
и давлении в колонне составляет 10,32, опреде-
лить изменение концентраций глицерина в каж-
дой фазе по высоте колонны. Установить также,
какая часть высоты колонны требуется для
осуществления главным образом химической
реакции.
Реакция гидролиза псевдопервого порядка
и константа ее скорости составляет 0,17 сек-1.
На рис. V-2 показана схема потоков для экстракта и рафината
в колонне, где протекает гидролиз. Через L обозначена скорость
движения рафината в кг/ч, а через G— скорость движения экстракта
в кг/ч\ с помощью индексов указывается положение материалов
по высоте колонны.
Примем следующие обозначения:
х — массовая доля глицерина в рафинате;
У — »	доля глицерина в экстракте;
У' — »	доля глицерина в экстракте при равновесии с рафи-
натом для значения г;
z — массовая доля гидролизуемого жира в рафинате;
S — площадь поперечного сечения колонны;
а — межфазная поверхность на единицу объема колонны;
К — общий коэффициент массообмена;
т — коэффициент распределения;
к — константа скорости реакции;
р — масса жира на единицу объема колонны;
h — длина колонны, считая от ее основания;
198
w — количество жира на 1 кг глицерина, кг\
Н — эффективная высота колонны.
Применительно к элементу колонны с высотой 6Л мы будем иметь:
количество глицерина, переходящего от жира к водной фазе
KaS(y'~y}bh	(27)
скорость расщепления жира вследствие гидролиза
kpSzbh
Таким образом, скорость образования глицерина составляет
kpSzbh/w	(28)
Для баланса глицерина относительно элемента колонны с высо-
той 6Л на рис. V-2 получим:
-l(x+^L б/Л = Gy-G (y + ^-t>h\ = KaS (у'-у) 6h (29)
иу	\ йи у	\ ct/i f
Баланс по глицерину в пределах между элементарным объемом
и нижней частью колонны представляется в таком виде:
^-l-Gy = LX+^-+Gy0	(30)
Наконец, для распределения глицерина между фазами имеем:
у' = тх	(31)
Из последних двух частей равенств (29) и (31) вытекает, что
KaSmx = KaSy — G	(32)
Подставляя (30) в (29), получим:
Умножим равенство (33) на (KaSm/LC) и подставим значение х
из (32):
kpS2Ka Г mzn , mG ,	ч "1 kpS t KaS dy \
—LG— L-^ + ~	J----L~ (— y-~)~
l KaS dv d2y \ . KaSm dv
Уравнение (34) содержит следующие группы постоянных величин,
которые могут быть обозначены с помощью таких параметров:
mG	kpS	KaS
— >	q = ~
Подстановка последних в* уравнение (34)
ствующего преобразования:
^ + (Р+9)± + ™=75-(г,.
(г-1)
дает после
mzQ
w
(35)
соответ-
(36)
199
Мы получили линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами, для которого имеем следующее характери-
стическое уравнение:
т!+(р+г) т1+рг=о	(37)
Корни (37)
т1 = —р; т1^=—q
и поэтому частное решение представляется в таком виде:
ус = Ае-Р^^-Ве-^	(38)
Правая часть (36) есть постоянная величина и, таким образом,
частный интеграл является постоянным и он равен правой части
уравнения (36), разделенной на коэффициент при у:
yp^lPo-jnzo/u> = c	(39)
Полным решением рассматриваемого уравнения будет!
' у=Ае-Р^ + Ве-^+П2=^.	(40)
где А и В произвольные постоянные, которые должны быть вы-
числены из следующих граничных условий:
ж=0
h = H‘ у = 0
Из (32) и (40), соответственно, имеем:
и
-^- = — pAe-Pb + qBe-M	(41)
ап
Следовательно, при h — 0
A+B + ~-(pA-qB) + C=^Q	(42)
а при h = H найдем:
Ле-Р/1 + Ве-«'> + С = 0	• (43)
Выражения (42) и (43) представляют совместные уравнения отно-
сительно А и В. Произвольные постоянные наилучшим образом
вычисляются из этих двух уравнений>путем определения дополни-
тельной постоянной. Пусть
200
Подстановка этой постоянной в уравнения (42) и (43) дает:
В (ve~pl1 — re~pH) — С (е~рН — и)	(45)
A (ve-»H - ге~рН) = С(г- е-Чн)	(46)
После подстановки значений А и В в уравнение (38):
у {ге~ча—ге~рН) — С [ (г—е~рН) е~рН(е~рН— v) е-<!Н— ге~рН] (47)
и представления у0 через С в значениях других переменных с исполь-
зованием того факта, что у = у0 при h = 0, получим:
„„ =___е-рн , е-чн \
Уо	r-v	r-v )
(48)
Подстановка этого значения у0 в (39),
а затем в уравнение (47) дает:
го
(г —У)
е рН— v _nh ve QH — re~pH
r-e-pH e~ + r-e-pH
(49)
О О? 0,4 0,6 0,8 1,0
Массовые доли
Рис. V-3.
Уравнение (49) дает массовую долю
глицерина в экстрактивной фазе в зави-
симости от высоты колонны h.
С учетом растворимости воды в массе твердого жира, средних
значений для скоростей потоков, а также числовых данных задачи,
найдем:
£ = 3880 кг; 0 = 1700 кг; у0 = 0,188
Кроме того
Г = 4,55;	Р = 0,0605; д = 0,202Ка
250
Ка
Решая (49) для Ка при Н = 22 м, мы получим значение коэффи-
циента массопередачи
/fa = 238 кг/м3 • ч
При использовании величины Ка = 238 значения у, у тз. z могут
быть определены с помощью (49), (32), (31) и (30), как функции
высоты колонны. Результаты арифметических вычислений предста-
влены графически на рис. V-3. Из этого же графика следует, что хими-
ческая реакция фактически завершается в нижней части колонны
на протяжении 9 м, которая составляет 40% длины всей колонны.
201
§ 5. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Напомним, что полным дифференциалом функции F (х, у) назы-
вается выражение dx 4- dy = dF. Пусть нам надо проинте-
грировать дифференциальное уравнение
М (х, у) dx + N (х, y)dy = O
про левую часть которого известно, что она является полным диф-
ференциалом некоторой функции F (х, у). Тогда
, dF ...' dF
М(х,у)=— и N(x,y) = —
и, очевидно, должно выполняться соотношение:
ЗМ _ dN
dy dx
В этом случае наше уравнение можно записать так
dF (х, у)=0
а общий интеграл его будет:
F (х, у)=С
Значит, для того чтобы получить общий интеграл уравнения,
левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции
F (х, у), надо отыскать эту функцию и приравнять ее произвольному
постоянному.
Покажем на примере, как это делается. Левая часть уравнения (6уа«4-2у3)Х
Х</ж4-(6®2у4-6у2а:4-2у) dy =0 есть полный дифференциал, так как ——=*
= 12ху + бу2 и	= 12жу 4-бу2. Значит,	6уа» 4-2у8 и 4^- = 6х2у4-
ох	ох	оу
+	2у>
Интегрируя первое из этих соотношений по х, считая у постоянной, полу-
чим F (х, у) = 3у2ж2 + 2у8ж+ф (у), причем ф (у) здесь играет роль постоянной
интегрирования, так как, интегрируя по х, мы считали у постоянной. Диф-
dF
фёренцируя по у, найдем —— = fix2 у 4-6уах + ф (у). Приравнивая вто значение
dy
dF
для — выражению 6ж2у 4-6у2®4-2у, получим ф' (у) = 2у, откуда ф (у) = у2 4-С.
Значит, функция F (х, у), полный дифференциал которой равен левой части
уравнения, будет равна F (х, у)~Зх2у2 + 2у3х+Уг + С. Общий интеграл пред-
ложенного уравнения получим, приравнивая эту функцию произвольному
постоянному Зх2у2^-2уах^у2— С.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Линейным называется дифференциальное уравнение, в которое у
и у' входят линейно (т. е. в первой степени и не умножаясь друг
на друга). Общий вид такого уравнения:
y'+Pv^Q	(50)
где Р и ()—функции от х.
202
z Наиболее употребительный способ рещения этого уравнения
Называется методом вариации произвольного постоянного. Он за-
ключается в следующем. Решаем сначала уравнение:
/+Р(ж)у = 0	(51)
Его общий интеграл будет:
y=Ce^P(X)dX	(52)
где С — постоянное.
Будем считать С функцией от х и постараемся подобрать ее так,
чтобы уравнение (52) удовлетворяло (50). Для этого дифференци-
руем первое иэ них по х
у' = С'е^ PdX- СРе~^ Р dX	(53)
и подставляем уравнения (52) и (53) в (50). Получаем следующее
уравнение для определения С:
C'e^PdX = Q, или C’ = QJPdX
Отсюда находим функцию С:
C = Pdxdx+A
где А — произвольная постоянная.
Подставляя это значение С в уравнение (52), получим общее реше-
ние предложенного уравнения (50) в виде:
-( р dx Г (• - ( Р dx 1
у = е J	1Л + 1 QeJ
В качестве примера решим уравнение (90) гл. III:
-^- + Л2У = ^о(1-^'т)	(54)
Общий интеграл уравнения ~ кгу = 0 есть
y=Ce-k^	(55)
Считая С функцией от т, подберем ее так, чтобы уравнение (55)
удовлетворяло (54). Мы имеем:
Подставляя у и в уравнение (54), найдем
203
откуда интегрированием получаем:
с = goek‘x - ,	х + А
Л2 —^1
где А — произвольная постоянная.
Подставляя это значение С в уравнение (55), получим общий
интеграл исходного уравнения:
У = ёо+-)^-е-^+Ае-^
К1— *2
Для уравнения (90) в гл. III мы имели следующие начальные
условия: при т == 0 должно быть у — 0. Отсюда следует, что
А =----KS°kl, - и искомое частное решение задачи есть
«1 -^2
В качестве второго примера решим уравнение (104) из гл. III:
=____L
dx ах а
Общий интеграл уравнения -----|^- = 0 есть
3
у = Сха
Считая С функцией от х, ищем производную:
А=ж« 4^- + — Сх “
ах ах 1 а
Подставим у и — в исходное уравнение:
з
dC	1 "Т
__ =-----х
dx	а
откуда
1
' +л
Общий интеграл данного уравнения будет:
в
1	• а
У “о—— + Ах
р — а
204
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Нередко встречаются такие уравнения второго порядка, которые
не содержат у или х или и у иг. Надлежащими подстановками можно
такие уравнения свести к уравнениям первого порядка.
а) Первый случай. Уравнение не содержит у. Если при этом урав-
нение не содержит также и то оно может быть написано в таком
виде
dx2 w
и решение его находится посредством двукратного интегрирования
правой части.
Если ~ входит в уравнение, то последнее имеет вид:
Подстановка ~ = р приводит уравнение (56) к уравнений) пер-
вого порядка:
Допустим, что общий интеграл этого уравнения есть
р = Ф(ж, С)
Тогда общий интеграл уравнения (56) будет:
y = J ф (х, С) dx-l-Ci
Пример. Решим уравнение
#»у . xdy
dx2 ' dx х
rr dy	d2y	d p
Пусть -5— = p, следовательно, -^-4- — ~~.
dx	dx2 dx
После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными
-- =xdx
1 — Р
интегрируя которое, имеем:
-т2
—1п(1 —р)= ——In Ci
После преобразований получим:
205
Вторичное интегрирование дает:
X*
у = х—С1^е 2dx-j-C]	(57)
Интеграл в формуле (57) не может быть выражен через конечное
число элементарных функций.
б) Второй случай. Уравнение не содержит х. Примем за новую
функцию Р = а за новое независимое переменное примем у.
Тогда
dy	. d*y	dp	dp	dy	_ dp
dx	dx%	dx	dy	dx dy
и данное уравнение сводится к уравнению первого порядка.
Для примера рассмотрим уравнение
Указанные выше подстановки приводят к уравнению
в котором переменные будут разделены:
р dp dy
1-Р-р4 =Я У
Интегрирование дает:
у In (1+р2)=1пу + -|-1пе1
Определим отсюда р:
СИ
Второе интегрирование приводит к общему интегралу:
j ус^—! VCi
$ 8. ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные уравнения
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка назы-
вается уравнение следующего вида:
(58)
Если Q (х)	0, то уравнение называется неоднородным, если
Q (х) ~ 0, то уравнение называется однородным.
206
Теория линейных дифференциальных уравнений отличается боль-
шей простотой, чем теория нелинейных уравнений, вследствие чего
эта теория разработана лучше, чем теория нелинейных уравнений.
С точки зрения приложений линейные уравнения представляют собой
наиболее важный тип дифференциальных уравнений; большинство
технических вопросов, решаемых в первом приближении, приводят
к линейным уравнениям.
Перечислим основные свойства линейных уравнений.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
7&+P1(z)ir+P8(*)i,=0	(59)
1. Если уг (х) и у2 (х) — два каких-либо частных интеграла од-
нородного уравнения (59), то функция:
У = С1У1 (х) + С2у2 (х)	(60)
где Сг и С2 — произвольные постоянные, также есть интеграл этого
уравнения.
2. Если уг (х) и у2 (х) — линейно независимые интегралы, т. е.
если — const, то функция (60) есть общий интеграл уравне-
У1 (я)
ция (59).
Таким образом, для того чтобы найти общее решение уравнения
(59), достаточно найти два его линейно независимых частных решения.
Пример. у"-|-у=О. Частные интегралы этого уравнения легко найти:
У1 = созх; у2~ sin г; эти интегралы линейно независимы. Следовательно, об-
щий интеграл данного уравнения будет:
у = С1созх-|-С2 sin ж
Структура общего интеграла неоднородного уравнения опреде-
ляется следующей теоремой:
Общий интеграл неоднородного уравнения равен сумме общего
интеграла однородного уравнения и какого-либо частного интеграла
неоднородного уравнения.
Если у и г обозначают общий интеграл однородного уравнения
без правой части и частный интеграл неоднородного уравнения,
то общий интеграл Y неоднородного уравнения будет:
Y = v + z
Таким образом, решение неоднородного уравнения сводится
к следующим двум задачам:
1) к нахождению общего интеграла соответствующего однород-
ного уравнения, для чего нужно найти два линейно независимых
интеграла;
2) к нахождению частного интеграла неоднородного уравнения.
Первую из этих задач в общем виде, т. е. для уравнения (59),
с коэффициентами, зависящими от х, разрешить нельзя. Мы не умеем,
207
как правило, находить интеграл однородного уравнения для случая,
когда его коэффициенты — произвольные функции от х.
Поэтому рассмотрим частный случай, для которого отыскание
частных интегралов не представляет затруднений. Это — тот слу-
чай, когда коэффициенты уравнения (59) не зависят от х и являются
постоянными числами. К уравнениям с постоянными коэффициентами
приводят важнейшие задачи техники.
§ 9.	УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим сначала однородное уравнение
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что
нахождения частных интегралов уравнения (61) надо составить
называемое характеристическое уравнение
(61)
для
так
к2 -|- а^к а2 = О
и найти его корни.
а)	Пусть его корни кх и к2 вещественны и различны. Тогда част-
ные интегралы уравнения (61) будут
щ = Лл: и y2 = ek‘x
и так как -~=4С, то эти интегралы линейно
интеграл уравнения (61) будет:
у = С1е'г1Х + С2Лд:
независимы. Общий
(62)
б)	Пусть корни характеристического уравнения — комплексные
сопряженные числа:
= а + fi; /с2 = а—
Формула (62) в этом случае применима, но она неудобна для ре-
шения технических задач, так как содержит комплексные числа.
Оказывается, что от них можно освободиться. Общий интеграл урав-
нения (61) для случая комплексных корней характеристического
уравнения пишется так:
У □= е*х (Сх cos Рх + С2 sin рх)	(68)
или
у = Ae^sin (Px + qp)	(64)
В последней формуле произвольными постоянными являются А
и ф.
в)	Пусть характеристическое уравнение имеет равные корни
кг = к2-
208
В этом случае уравнение (61) имеет линейно независимые частные
интегралы:
У1 *= tklX и y2=xek'x
Общий интеграл уравнения (61) в этом случае будет:
У-=(СГ + С2х)е^х	(65)
Примеры.
а)	-у^—|-у = 0
dx2
Характеристическое уравнение к2 +1 = 0 имеет корни ki = i; к2 =—
Общий интеграл на основании формулы (62) будет:
y = Ci cos x-^-Ci sin х
6)	-Й-3-^ + 2«-0
'	dx2 dx
Характеристическое уравнение к2 — 3k+ 2 = 0 имеет корни /с1 = 2; &г = 1.
Общий интеграл на основании формулы (25) будет:
y^C^ + CtfX
.)
'	dx2 ах '
Характеристическое уравнение к2 — 6k+9 = 0 имеет кратные корни ki =«
==/с2 = 3. Общий интеграл на основании формулы (65) будет:
y = (Ci + C2x)e3x
Перейдем теперь к методам нахождения частного интеграла
неоднородного уравнения.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что если
известен общий интеграл однородного уравнения, то, применяя
метод вариации произвольных постоянных, можно найти частный,
а следовательно, и общий интеграл неоднородного уравнения.
Этот метод применим к любому линейному уравнению, независимо
от того, какой вид имеет правая часть уравнения.
Для некоторых частных видов правой части уравнения при на-
хождении частного интеграла применим более простой метод, который
можно назвать методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим
его применительно к некоторым видам правой части уравнения.
а)	Пусть правая часть уравнения есть многочлен степени и.
Тогда частный интеграл уравнения следует искать также в виде много-
члена степени а е неопределенными коэффициентами:
г = АпхП + Ал-1Хп~1 + . . . +Ло
Если среди корней характеристического уравнения имеется один
корень, равный нулю, то частный интеграл следует искать в виде:
2 = Апхпн + Лп_1хл+ . . . +ЛОХ
14 Заказ 1706
209
Если два корня характеристического уравнения равны нулю, то
частный интеграл определяется в виде:
г = Л„хп+2 + Ля_1жп+1+ . . . + Лох2
Для того чтобы найти неопределенные коэффициенты искомого
интеграла, надо подставить его в уравнение. Получим равенство
двух многочленов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
пенях х в этом равенстве, получим систему линейных алгебраических
уравнений, из которой найдем искомые коэффициенты.
Пример.
Корни характеристического уравнения i и — /; общий интеграл однород
ного уравнения
у — Cl cos ж 4- С2 sin х
Частный интеграл неоднородного уравнения отыскиваем в виде!
z = А зхЗ -|- A 2х2 -|- Ajx -|- А о
Находим вторую производную:
я® 6 Л 2Х + 2 Л 2
Подставляя в уравнение, получим:
Л3хЗ + Л2ж2 + (Л1 + 6Лз) ж+Л0 + 2Л2 = »8 + »а
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а, получим систему
уравнений:
Л» = 1;	Лаз1; Л1 + 6Лз = 0; Л0-(-2Л2 = О
Отсюда
Лз=1; Л2 = 1; Лх®36—6; Л 0 —2
Частный интеграл неоднородного уравнения будет
3 =в <С»_|_я2 —5# — g
и его общий интеграл:
y — Ci cosx-\-C2 sin х-|-х*-)-®2-6х —2
б)	Если правая часть уравнения имеет вид
И
(где Рп(х)— многочлен степени п), то частный интеграл уравнения
ищем в виде:
г = в"(Л„гп+Л„_1гп-1+ . . • + ло)	(66)
Если число а — простой корень характеристического уравнения,
то искомый интеграл (66) следует умножить на х, а если а — дву-
кратный корень, то частный интеграл (66) умножается на х2.
в)	Если правая часть уравнения имеет вид
е** [J*n (х) cos рх + Qn (х) sin рх]
210
(где Рп (ж) и Qn(x) —данные многочлены степени а), то частный ин-
теграл уравнения следует искать в виде:
2 = евЛ[(Лпхл + Лл.1а/,“Ч- . . . + Лв) cos0z-|-
+ (Bnzn + Вп.1^-1 + . . . + В») sin М	(67)
Если комплексные числа а ± (Ji являются корнями характеристи-
ческого уравнения, то искомый частный интеграл (67) следует умно-
жить на х.
Неопределенные коэффициенты находятся так же, как в случае а).
г)	Если правая часть уравнения есть сумма функций Qx (х)
и (?2 (х), то следует найти частный интеграл уравнения с правой
частью, равной и частный интеграл z2 уравнения с правой частью,
равной Qt. Частный интеграл уравнения с правой частью, равной
Ci + (?2, будет:
*i +*»
$ 10. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ
Рассмотрим установившееся движение жидкости в капилляре,
радиус R которого мал по сравнению с длиной L; вследствие смачи-
вания у стенки капилляра возникает
На рис. V-4 изображен продоль-
ный разрез капилляра с протека-
ющей жидкостью. Скорость жидко-
сти w возрастает по мере удаления ее
слоев от стенки и приближения
к оси капилляра. Вообразим вну-
три потока жидкости плоскую пло-
щадку величиной F, параллельную
оси капилляра.
Вследствие разности скоростей
движущихся слоев жидкости между
ними появляется трение. Если пло-
щадку F взять так, как она показана
на рисунке, то верхние слои будут
действовать ускоряюще на нижние,
в то время как нижние будут тормо-
неподвижный слой.
зить движение верхних.
Согласно закону Ньютона, действующая на площадку F сила /
равна:
f г. div
/ = T|F——
dy
где т] — коэффициент пропорциональности.
Рассмотрим теперь поток жидкости, имеющей форму полого
цилиндра с внутренним радиусом г и внешним радиусом г dr
(рис. V-5). Пусть его ось совпадает с осью капилляра. В силу ма-
лости dr будем считать скорости частиц жидкости в этом полом
14*	211
цилиндре одинаковыми; длина цилиндра равна единице. На внутрен-
нюю поверхность 2лг этого цилиндра действует в направлении дви-
жения сила:
т]2лг ~
dr
На наружную поверхность действует противоположно направлен-
ная сила, величина которой будет равна:
dw , f „ dw \
-r]2nr —-d^2nr—)
Следовательно, сумма этих двух сил равна:
„ ,/ dw \
~x^n^\r~df~)
В случае установившегося движения сила трения по своей вели-
чине должна быть равна силе, которая передвигает полый цилиндр
вдоль оси. Последняя обусловливается
	-х. перепадом давления, убывающего в капил-
q—(Н)	----- л___ лярах линейно; поэтому перепад давления
уу	J	на концах полого цилиндра с единичной
длиной равен рг — р2. Движущая сила
Рис. V-5.	оказывается, таким образом, равной:
2лг (Pi —р2) dr
Следовательно, мы имеем:
—t;2nd	= (Р1 —Ра) 2лг dr
d ( dw \ _ "Pi —Ра
dr \ dr J	r|
(Pw Г dr*	, dw	n
	1 dr ~	
d%w .	1 dw 		Pi—Pa
	r dr	n
Обозначим		
тогда
Общий интеграл этого уравнения есть
С г
у=*-~а1
откуда
dw   С Pi — р2 г
dr г г] 2
212
При следующем интегрировании получим:
ш = С1пг—Р1~Р?-Г2^-С
41]
Так как при г = 0 скорость движения имеет конечное значение,
то С = 0. С другой стороны, для г = R имеем w = 0. Следовательно
С =	да
4р
и
Ш = _Р1~Р2, (да _г2)
4г|
Эта формула дает распределение скорости движения жидкости
по радиусу капилляра. С ее помощью может быть определен секунд-
ный расход жидкости, протекающей через сечение капилляра.
Количество жидкости, протекающей в секунду через элементарное-
кольцо с центром на оси трубки, радиусом г и толщиной dr, соста-
вляет:
2лги> dr = 2л	(R2~-r%) г dr
Интегрируя по г в пределах от 0 до R, найдем количество жидко-
сти, протекающей через сечение капилляра в единицу времени:
н	R
С 2nrwdr = -^- ——— С (Я2 —г2) г dr
J	2 n J '
о	о
= JL Pi-Pa Г „2 Z2__Zf]R e 9 р1~Р2. Ri
2 i] L 2	4 Jo 8 Ц
За время т расход жидкости будет равен:
V = i- Р1~ Р2- Д4Т
8	»]
Для капилляра длиной L получим:
V = " . Р1-Т_Р2. д4т
8	»]£
Эта формула может быть использована для определения коэффи-
циента вязкости жидкости ц.
§ И. УРАВНЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СОСТАВ СИСТЕМЫ,
В КОТОРОЙ ПРОТЕКАЮТ ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ
Найти уравнение для определения состава системы, в которой
протекают две последовательные реакции первого порядка; исходной
вещество А превращается в В через промежуточное вещество Е.
Обозначим х, у, z — число молей, соответственно, веществ А,
Е, В в момент времени т. Примем, что х -|- у + z = const.
213:
Напишем уравнения скорости превращений веществ:
для вещества А: —
»	»	В:	-^-	= к,у
dx
<	*	и.	dy	dx	dz
»	»	E:	-J—--------;---:—^=kiX — k»y
dx dx dx 1 J
(68)
Допустим, что при т = 0 значение х равно единице (т. е. рассмот-
рим превращение 1 моль исходного вещества А).
Тогда
х-|-у + 2 = 1	(69)
Дифференцируя второе уравнение (68), получим:
Прибавляя и вычитая к^2у и производя перегруппировку членов,
получим:
-j^ + ^i+As) Ма(®4-У)=0	(70)
Из (69) имеем: —(х + у) == z — 1. Использовав это равенство
и учитывая, что dz = d (z — 1), приводим уравнение (70) к виду:
--2-^7---Н&1 + *2) - 2^1'-+М2 (« —1) = 0
Это уравнение является уравнением второго порядка относи-
тельно z — 1с постоянными коэффициентами. Его общее решение
будет:
j-l = Cie~*1T + C2e'V	(71)
Для определения постоянных интегрирования Cj и С4 поступаем
следующим образом.
Полагая в уравнении (71) т = 0, z = 0, имеем:
-1 = С14-С'8	(72)
Далее, дифференцируя уравнение (71), получим:
= _Л1(71в-^ _ к2С2е~к^	(73)
Из уравнения (68) следует, что — 0 при т = 0; используя это,
из уравнения (73) найдем:
-Л!С1-Л2С2 = 0	(74)
Из уравнений (74) и (72) находим:
314
Подставляя полученные значения и Сг в (71), находим:
х + у==1_г = —кА—
Ai — К2	'Ч — «2
констант ско-
изложеиными
Эта формула определяет х 4- у. Зная соотношение
ростей реакций kt и к2, можно, пользуясь методами,
в гл. III, найти х и у.
Очень часто встречаются такие уравнения, к которым вышеизло-
женные методы не применимы. В таких случаях необходимо прибег-
нуть к решению с помощью рядов, к графическому или числовому
способу.
Решения некоторых уравнений, представляемые с помощью ря-
дов, встречаются настолько часто в прикладной математике, что
их пришлось подвергнуть специальному изучению.
Сюда относятся, например, бесселевы функции, рассматриваемые
в гл. XVI.
При решении прикладных задач с помощью дифференциальных
уравнений оказывается необходимым найти не столько общий инте-
грал уравнения, как его частный интеграл, удовлетворяющий некото-
рым добавочным условиям. Эти добавочные условия дают возмож-
ность найти значения постоянных, входящих в общий интеграл.
В случае уравнения Второго порядка общий интеграл содержит две
произвольные постоянные; для их определения достаточно двух
условий. Например, если нам известны значения функции при двух
значениях независимого переменного (граничные условия), то отсюда
обычно можно определить обе произвольные постоянные. Геометри-
чески это равносильно заданию двух точек, через которые должна
проходить искомая интегральная кривая.
В задачах, которые будут рассмотрены в дальнейшем, мы не огра-
ничимся отысканием общего интеграла, а будем находить частный
интегралы, удовлетворяющие некоторым граничным уеловиям.
§ 12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ
В гл. IV было выведено дифференциальное уравнение, устанавли-
вающее зависимость между температурой t и координатой х точки
нагретого стержня, отдающего свое тепло окружающей среде:
где ts — температура окружающей среды, °C;
а — коэффициент теплоотдачи от стержня к окружающей среде
(примем его равным 10 ккал/мг-ч-град и постоянным);
Р — периметр стержня, м;
А — коэффициент теплопроводности, который принимаем рав-
ным 330 ккал/м • ч • град',
А — площадь сечения, м2.
21 &
Пусть ширина стержня равна W.
Если W достаточно велико по сравнению с толщиной стержня,
то периметр стержня Р будет равен 2W7.
Для краткости примем -^-=а2.
Заметим, что при ts = const
dt
dx dx
d* (‘—is) __ d*t
dx2	dx%
Поэтому уравнение (75) может быть написано так:
<22 (2 —t,\
a (t — ts)~ О
Это — уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий
интеграл будет:
;-;s = C1^ + C2e-«J'	(76)
Используем это уравнение для построения кривой зависимости
температуры стержня от расстояния по его длине.
Постоянные Сг и С2 могут быть определены из граничных усло-
вий. Для данной задачи эти условия следующие-
Пусть температура в начальной точке стержня, т. е. при х = О,
поддерживается постоянной и равной t = tv а температура в конеч-
ной точке, т. е. при х = L, равна t2.
Тогда из уравнения (76) находим:
21— 2S = Ci-f-C2; 22— ts = (\eaL — С2е	(77)
Из этих уравнений можно выразить С\ и С2 через известные
величины. Решая уравнения (77) относительно Сх и С2, получим:
с *2-*s-(2i-*s) e-aL
1	2 sh aL »
Подстановка значений С± и С2
_ («2— 2s)shaa:+(;1 — 2s)sha(L — х)
t-ts---------------(80)
Формула (80) дает возможность легко построить кривую темпе-
ратуры в зависимости от х, так как значения гиперболического си-
нуса могут быть найдены из таблиц.
Подставим в эту формулу числовые данные:
-^-=72,5; Х = 330; а = 10; а =	= 1,48; L = 1
2s = 0; 21 = 200; 22==100
Р ___ (21	2S) е (22 2S)
2	2 sh aL
(78)*
в
дает:
* Функция sh aL в формулах (78) есть гиперболический синус. Напомним,
ято гиперболические синус и косинус определяются следующими формулами:
рХ ..р“Х	рХ I р"~X
Shx=-~e . Ch*= -Т- 
(79)
216
Из таблиц находим! sh aL = sh 1,48 == 2,083.
Формула (80) в этом случае принимает вид:
t = 47,9 sh 1 &8z+95,8 sh 1,48 (1 — x)
Соответствующие значения t и x приведены в следующей таблице
и представлены графически (рис. V-6):
X, м
0
0,2
0,4
0,6
t, ?С х, м t, СС
.200,0
.156,3	0,8	...	. 99,4
.126,7	0,9	...	. 99,2
.108,4	1,0	.. .	.100,0
Интересно отметить, что при задан-
ных условиях кривая проходит через
минимум около холодного конца стержня.
Чем больше значение а2 в уравнении (75),
тем более резким будет этот минимум.
При а2=0 уравнение (75) принимает
Рис. V-6.
вид —— = 0; его общий
ах*
интеграл t = Ax-\-B. Интегральные кривые — прямые линии.
§ 13. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОБРАТИМЫХ РЕАКЦИЙ,
ПРОТЕКАЮЩИХ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
Рассмотрим еще уравнение (см. гл. IV, §11)
dr2 +	-j-	+	+ х ~ к2кц
являющееся уравнением кинетики последовательных обратимых
реакций типа А # В; В # С.
Обозначая 4- к2 4- /с3 4- /г4 = а; к±к3 -J- k2ki -f- k1ki = b, приведем
уравнение к виду:
d2x .	dx .
—Г а~3---Г bx = ktkl
dx2 1	dx 1
Корнями характеристического уравнения г2 4- аг 4- b — 0 явля-
ются числа:
—а± У'а2 — 4b
ri,t-------2
Следовательно, общий интеграл однородного уравнения будет:
х=С1е~Г1'1-1-С2е-г’т
Частный интеграл неоднородного уравнения здесь равен
и общий интеграл:
(81)
217
Постоянные и С2 определим из следующих начальных усло-
вий: при т = 0, х = 1; ^-= — кг Подстановка т = 0 и х = 1 в (81)
дает:
l = Ci+C24--^-	(82)
Дифференцируем уравнение (81):
-g. = riCie-n_raCae-v	(83)
После подстановки т = 0 в (83) получаем:
riCi4-r2C2 = Ai	(84)
Из (82) и (84) находим:
&1 , к2кл	.	,	как*	kt
-------к------1-----1----г------
г* Ь----------------------------	Ь--г±-
22-—1	’	1-21
r2	Г1
Подставляя эти значения С± и С2 в общий интеграл (81), получим
частный интеграл предложенного уравнения, удовлетворяющий при
т —0 начальным условиям х — 1; -^-=—К-
Обращаем внимание на то, что постоянные и С2 выражаются
здесь через константы скоростей реакций.
§ 14. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
При отстаивании суспензий имеет место медленное осаждение
твердых частиц под действием силы тяжести, причем вначале проис-
ходит свободное падение частиц. Требуется найти закон движения
частицы, оседающей в жидкости без начальной скорости.
Пусть в течение т сек точка проходит путь h, который мы будем
считать положительным при движении вниз. Если т — масса точки
и g — ускорение силы тяжести, то вес точки будет mg. Сопротивле-
ние, направленное вверх и пропорциональное скорости, будет
равно — kw.
Равнодействующая сил, приложенных к точке, будет поэтому
f — mg—kw
Но на основании закона Ньютона F = та = т-^~ , следовательно
dx
, dw dw dx
mg—kw — m —;— • -----:— =---
dx ’ mg — kw m
Интегрируя, получим:
ln(mg — kw) = -~-x + C	(85)
Так как w = 0 при т==0, то
In mg = С
218
Подставляя это значение С в (85), найдем:
k т
mg — kw = mge т
Отсюда имеем:
/ \
=	т /	(8в>
Так как w =	, то, интегрируя еще раз уравнение (86), находим:
fe
, 7 tn2g ~ т Х \ Г
mgr—kh = — '—-— е	+ С
к
Но h — 0 при т = 0, следовательно
mtg
с~~ к
вследствие чего имеем:
к* 4	z 1 к
Величины к и т по своему физическому смыслу положительны,
k
поэтому с возрастанием т величина е т будет уменьшаться; если т
велико, то этой величиной можно пренебречь в сравнении с едини-
цей. Из уравнения (86) заключаем, что через достаточно большой
промежуток времени скорость осаждения можно считать практически
постоянной:
§ 15. СКОРОСТЬ ОСАЖДЕНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В СУСПЕНЗИИ
Аналогично примеру, приведенному в § 5, гл. IV, решается
задача о скорости осаждения твердых частиц в суспензии. В данном
случае дифференциальное уравнение процесса имеет следующий вид:
dh _ kD2 (ут—ус)
dr	z
где h — высота уровня суспензии;
т—время осаждения;
к— коэффициент пропорциональности;
D — средний размер частиц;
ут — удельный вес частиц;
ус—удельный вес суспензии;
z—относительная вязкость суспензии*.
* Вязкость суспензии рассчитывается по формуле Бачинского:
(1 + 4.5Ф)
где	— вязкость чистой жидкости, ф—объемная концентрация твердого ве-
щества в жидкости.
219
Вычислим скорости осаждения в водной суспензии частиц крем-
незема размером 10 мкм с удельным весом 2,54. Температура среды
20° С.
Запишем дифференциальное уравнение таким образом:
---—---= kD2 dx
Ут —Ус
Z
где Ус и z являются переменными величинами и могут быть выражены
как функции от h.
Рис. V-7.
600 800 1200 1600 2000 2600 2800 3200 3600 6000 6600 6800
Т, сек
Рис. V-8.
Чтобы получить кривую зависимости между Лит, применим гра-
фическое интегрирование этого уравнения на основании данных
следующей таблицы:
/г, Л1Л1	Отношение Т : Ж, кг/ кг	1С	Ч- 1с	г	г	Площадь под кривой	Вычисленное время осаждения, сек
					7Т Тс		
100	0,391	1,222	1,320	2,20	1,67				
90	0,434	1,247	1,293	2,52	1,95	18,4	317
80	0,488	1,278	1,262	3,00	2,37	40,8	703
70	0,558	1,318	1,222	3,73	3,05	57,2	1160
60	0,652	1,370	1,170	5,10	4,36	105,0	1810
55	0,711	1,403	1,137	6,70	5,45	127,0	2130
45	0,868	1,496	1,046	10,40	9,95	213,0	3670
40	0,978	1,555	0,985	14.90	15,12	265,0	4570
220
На оси ординат (рис. V-7) откладываем величины в соот-
ветствии со значениями h в качестве абсцисс. Площадь между кривой
и отрезком на оси абсцисс, обозначающим пределы h, равна kD2x.
Значение kD2, т. е. углового коэффициента прямой (рис. V-8),
построенной в координатах I----------т, равно 0,058.
I 7т 7с
Z
На диаграмме (рис. V-9) представлена искомая кривая скорости
осаждения, полученная по расчету; кружки около кривой соответ-
ствуют экспериментальным данным.
§ 16. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В большинстве случаев решение дифференциальных уравнений
не приводится к нахождению интегралов; как говорят, не сводится
к квадратурам; для решения таких уравнений приходится приме-
нять приближенные методы. Рассмотрим, например, метод последо-
вательных приближений в применении к дифференциальным уравне-
ниям первого и второго порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
dy
(88)
при начальных условиях: у = у0 при х = х0. Правую часть / (х, у)
уравнения будем считать непрерывной функцией от х и у в некото-
рой окрестности точки ж0, у0.
Будем находить решение этого уравнения при помощи процесса
последовательных приближений. В качестве первого приближения
примем у = у0; подставим в правую часть уравнения (88) у = у0
и найдем интеграл:
г/1 = г/о+ J t (х, у0) dx
Эту функцию примем за второе приближение к искомому решению.
Подставив в правую часть уравнения функцию уг вместо у,
найдем второе приближение:
X
У2 = Уо+ J / («1, У1) dx
Xq
Поступая дальше таким же образом, найдем ys, у^ . . уп.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что последо-
вательность функций yv у2, . . ., уп при и, стремящемся к бесконеч-
ности, стремится к функции у (ж), которая будет решением уравне-
ния (88), удовлетворяющим условию у = у0 при х — х0.
221
Пример. Рассмотрим линейное уравнение:
у' — у—х	(89)
К уравнениям этого типа приводят задачи о последовательных процессах
(гл. III, § 8).
Его решение, удовлетворяющее условию у = 0 при ж = 0, может быть
найдено методом, изложенным в § 6 этой главы. Этим решением служит функция:
, ,	„ ж2 х3 х*
,= 1+ж-е*=_—_ —
Решим это уравнение также методом последовательных приближений.
Примем г/о = 0 и подставим эту функцию в правую часть уравнения.
Мы получим
dy
I  — —X
dx
откуда найдем первое приближение:
ж2
У1 = - —
Для нахождения второго приближения подставим эту функцию в правую
часть данного уравнения:
dy	ж2
— _ х —
Интегрируя, найдем:
ж2	ж3
g	g-
Продолжая таким же образом дальше, мы получим последовательность
функций, вмеющих своим пределом функцию 1-(-ж—е*.
Если вычисление интегралов, встречающихся при нахождении
последовательных приближений, оказывается затруднительным, то
эти интегралы находят приближенно, пользуясь формулой Симпсона
(см. гл. II)
•r0+2h
J f (ж) dx = ~ [f (ж0)+4/ (ж04-Л) + / (жо + 2Л)1	(90)
или формулой:
с	h
J /(ж) йж = —[5/(ж0)+8/(ж0 + Л) —7(ЖО + 2Л)]	(91)
#0
Первая из них позволяет найти значение нового приближения
при х = х0 + 2k, а вторая — при х — хд + h, если известны зна-
чения подынтегральной функции в точках х = хд, хд + h, хд +
+ 2h.
Пример. Применим этот метод к уравнению (89), приняв жо = О, уд — 0,
Л = 0,25. Взяв за нулевое приближение у = 0, находим:
X
У1= — J ж dx
о
222
Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), находим значения функ-
ции pi в точках х = 0,25 и ж = 0,50:
V1 (0,25) =	[5,0+ 8 (-0,25) - (-0,50)1 = -0,031
14
У1 (0,50)=-^—- [0+4 (-0,25)+ (-0,50)] = -0,125
О
Таким образом, функция, являющаяся первым приближением к искомому
решению, принимает в точках ж = 0; ж = 0,25; ж = 0,50, соответственно, значе-
ния: 0; —0,031; —0,125.
Второе приближение определяется интегралом:
X
У2=]’ (У1—®) dx
О
Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), получим:
У2 (0,5) =	[0 + 4 (-0,281) + (-0,625)] = -0,146
и
Vt (0,25) =	[5,0 + 8 (-0,281) - (-0,625)1 = -0,034
Аналогично можно найти третье приближение:
V» (0,5) = -— [0 + 4 (-0,284) + (-0,646) ] = -0,1485
У, (0,25) =	[0 + 8 (-0,284) - (-0,646)] = -0,0239
14
Этот результат можно считать удовлетворительным, тан как, вычисляя
значения функции 1+ж—г* в точках х = 0,5и ж=0,25, получим довольно хо-
рошее совпадение:
V (0,5) = 1 + 0,50 -ео-и = 1,50—1,6487 = -0,1487
V (0,25) = 1 + 0,25—е0,25 = 1,25 —1,2840 = —0,0340
Для нахождения значений искомой функции в точках ж = 0,75 и ж = 1
следует поступать так же, только в качестве начальных условий следует при-
нять у ——0,1487 при ж = 0,5.
Таким образом, можно найти приближенные значения искомого интеграла
для ряда равноотстоящих значений ж.
Метод последовательных приближений может быть применен
к решению уравнений второго порядка. Пусть требуется решить
уравнение
при начальных условиях: у = у0, у' = у’о при х ~ х0. Заменим
данное нам уравнение второго порядка системою двух уравнений
первого порядка с двумя неизвестными функциями. Для этого
223
dy	d*V	dz	о
положим -Л = z; -5-4- = -у- • данное уравнение заменится такой
dx	ахй	ах *
системой
которую надо решать при условиях у = у0; z = у'в при х = х0.
В качестве нулевых приближений для искомых функций у и z
примем их начальные значения у и у'о, подставим их в правые части
системы:
dz	, dy ,
-^ = ЦХ,у0.у0У, -^ = уй
Интегрируя эти уравнения по х, мы получим новые функции yt
и zv которые будут первыми приближениями к искомому решению:
X	X
Ч = Уо+ f / (z. Уо. у'о) dx- уг — уо+ J у' dx
XQ	Xq
Подставим эти функции в правые части уравнений системы вместо
У и z:
dz , .	. dy
Вычисляя интегралы от правых частей этих уравнений, получим
вторые приближения к искомому решению:
X	х
з2 = Уо+ J Ж Й. y'i)dx\ Уг = Уо+ f zxdz
Af0	Хй
Поступая таким же образом дальше, мы получим две последова-
тельности функций уг, у2, . . ., уп, ... и zt, z2, . . ., zn, . . .,
первая из которых будет иметь своим пределом искомое решение
у (х), а вторая — у' (я).
Пример. Решить уравнение
d*y _п
dx* V °
при начальных условиях: у=1, у' —О
Заменим это уравнение системой
при z = 0

и в качестве нулевых приближений возьмем:
Уо = 1; zo = 0
Подставляя эти приближения в правые части уравнений системы, получим:
А = 1- ^. = 0
dx ’ dx
224
Отсюда найдем:
Z1 = j* dx = х\ ух = 1 + J 0 dx = 1
о	о
Подставим функции ух и zx в правые части уравнений системы:
dz л.
dx dx
Интегрируя эти равенства, получим вторые приближения:
%	%	х*
Zg ~ J dx = х' 1 Ч~ У ®dx= 1 -j- —т—
о	о	2
Для нахождения третьих приближений
уравнений системы:
подставим у2 и z2 в правые части
dz _ j «2 rfy
dz ~ ~ 2 ' dx
Интегрируя еще раз, получим:
М (1+4)
о
X
У2= 1 + J * d«==l + -j
о
Поступая таким же образом дальше, мы получим для функции у ряд,
сумма которого будет искомым решением данного уравнения: y = ch«.
§ 17. ХИМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ С ДИФФУЗИЕЙ
В ТРУБЧАТОМ РЕАКТОРЕ
В потоке идет диффузия вещества М. Этот поток входит в реактор,
где одновременно с диффузией осуществляется реакция первого
порядка
ЛГ—>7V
Длина реактора L, площадь его
поперечного сечения 1 м2.
Константа скорости реакции к ч-1.
При условии, что скорость питания
w м3/ч, концентрация М равна с0, а ко-
эффициент диффузии М принимается
постоянным со значением D м2/ч, определить концентрацию М как
функцию длины реактора.
Примем х для обозначения расстояния по длине реактора и пусть
с есть переменная концентрация М при поступлении в аппарат
{х<^ 0), а у представляет концентрацию М в любом сечении реактора
(х >0), как показано на рис. V-10.
Для материального баланса применительно к элементарной длине
&х на расстоянии х от места поступления реагента будем иметь:
15 Заказ 1706
225
х-|-Дх
Поток реагента М
Диффузия М
wy
dx
—D
wy + w^ Az
Ах
Накопление в данном случае равно нулю, но приход должен пре-
вышать расход с тем, чтобы обеспечить протекание реакции в эле-
ментарном объеме.
। Скорость исчезновения М вследствие реакции будет ку\х, так
как площадь сечения аппарата равна единице. С другой стороны,
это произведение величин может быть использовано как для харак-
теристики потока у выхода из реактора, так и для расчета накопле-
ния; мы можем записать уравнение:
+ = (92)
После упрощения, деления на Аж и преобразования получим:
tLJC**	их
Аналогично для входного сечения аппарата материальный ба-
ланс дает:
d^c	de
= Q	(94)
dx*	dx
Уравнение (94) может быть получено также из (93) путем удале-
ния слагаемого для скорости реакции.
Выражения (93) и (94) являются линейными уравнениями вто-
рого порядка. Общим решением их в обоих случаях будет
Dm2 — wm — к = О
причем
w (1 ± а)
___:______ т~ 2D
где а = 1/"1+4ЛП/ша-
Таким образом, имеем (см. § 8 гл. V):
у = А	(l + a)J + & exp	(1-«)]	(95)
и
с = а 4- 3 (wxjD)	(96)
с четырьмя произвольными постоянными А, В, а и 0. Для четырех
граничных условий найдем:
прия ——оо с — с0	(97)
при « = 0 с —у	(98)
23В
.	de dv	rnr^
ПрИг = 0	(99)
du
-^- = 0	(100)
Первое условие определяет состояние питающего потока, а вто-
рое обеспечивает непрерывность состава. Третье условие, преду-
сматривая (98), необходимо учитывать для закона сохранения мате-
рии на границе, причем диффузия на обоих сечениях принимается
одинаковой. Последнее условие исключает диффузию в реакторе.
Равенства (97), (98), (99) и (100), соответственно, дают:
а = с0	(101)
а+₽=Л + В	(102)
2₽=4(1 + а)+В(1-а)	(ЮЗ)
4(1 + а)ехр£^~(1+а)^ + £(1 — я) ехр	(1—a)J = O	(104)
Исключим а и Р из (101), (102) и (103):
2с0= 4 (1 —а) + jB (1-f-я)	(105)
Решая (104) и (105) относительно А и В, получим:
. З^оСя —1)	/ wla \	„Л„.
А~ К	"Ц—20 )	‘106>
в_ 2а<1+л„р
Л	\ IL) J
где
Х = (я4-1)2ехр (wLalZD) — {а —1)2 exp (—uiLa/ZD)	(108)
Подставляя эти значения А и В в (95), получим окончательный
результат:
i = 4еХр (S) +	+
4-(я-1)ехр^—(109)
В том случае, когда диффузией можно пренебречь, т. е. когда D ->
-> 0, уравнение (109) приводится с помощью правила Лопиталя
к такому виду:
——= 1 — exp (—kL/w)	(110)
15'
Глава VI
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКОЙ
КИНЕТИКИ
В инженерной практике встречаются две группы технических
задач, отличающихся своей постановкой. К первой из них отно-
сятся задачи, в которых требуется получить численный результат
решения математической задачи для использования его в каком-либо
исполнительном органе. Во второй группе задач требуется ис-
следовать характер какого-либо процесса, оценить влияние из-
менения того или иного параметра на ход процесса, сопоставить
различные варианты однотипных конструкций. Для решения пер-
вой группы задач используются вычислительные — «счетно-
решающие» приборы и устройства, а второй — моделирующие
установки.
Наиболее важным классом машин непрерывного действия яв-
ляются электронные машины, предназначенные для интегрирования
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти машины
называются электронными интеграторами или электронными мо-
делирующими установками. Последнее название объясняется
тем, что с помощью этих установок воспроизводятся математиче-
ские зависимости, описывающие (моделирующие) изменение
различных систем. В электроинтеграторах математические действия
осуществляются с помощью электрических решающих схем, а уча-
ствующие в решении задачи величины изображаются в виде напря-
жений.
Электронные интеграторы относятся к числу современных бы-
стродействующих математических машин. Принципиальной осо-
бенностью электроинтеграторов является то, что они имеют в ка-
честве независимой переменной текущее время, в частности, и при
решении дифференциальных уравнений, описывающих быстропроте-
кающие процессы.
Пример. С целью моделирования рассмотрим две последова-
тельно идущие химические реакции первого порядка
А—^В—ьС
(1)
228
для которых имеем
(2)
(3)
(4)
dx
-г- ~ —кгх
dx 1
dy >	>
— =
dz ,
— =
где х, у и z — концентрации веществ, соответственно, А, В и С.
Способ моделирования вытекает из основных понятий о модели-
рующей установке.
Основным для электронных моделирующих установок является
коэффициент усиления, изображаемый
(рис. VI-1).
следующим образом
вход
Выход
Рис. VI-1.
Усиление или отношение выходного напряжения к входному
напряжению обычно колеблется в пределах между 20 000 и несколь-
кими миллионами. Если выходное напряжение не превышает
100 в, то на входе оно будет меньше 5 мв. Вследствие большого коэф-
фициента усиления напряжение на входе усилителя, таким образом,
близко к нулю.
В структурной модели элементы независимы и соединяются
между собой при подготовке модели к решению каждой конкретной
задачи. Семейство решений представляется в виде диаграмм на
экране электронного осциллографа.
Начальные условия, т. е. начальные значения моделируемых '
переменных величин, должны быть заданы на выходах интеграторов
модели в виде напряжений, с которых начинается отработка реше-
ния задачи. Сопротивления и емкости присоединяются к усилителю
для образования устройств, с помощью которых выполняются сло-
жение, умножение и интегрирование.
Для сложения и умножения составляется цепь в таком виде,
как показано на рис. VI-2. Сила тока, проходящего через сопроти-
вление, равна величине падения напряжения, разделенной на
сопротивление. Таким образом, имеем
для	Сила тока=—=-----
„	z-.	е<>.— еа
Для Л2 Сила тока = —=75-----
л2
для На Сила тока = е°_ е°-
Ra
229
Поскольку вход усилителя присоединен к сетке лампы, то ток
не может пройти в усилитель. Поэтому сила тока, проходящего через
сопротивление Ra, равна сумме токов, идущих через Rr и /?2:
^0 еа ______ ^1	«?о . ер
На Hi Н2
Кроме того, так как величина е0 принята равной нулю, то мы
можем написать
_ еа _ ^1	. ?2
На Hi + Н2
И
Г" I "1
е°=~ 1яГе1+ я? e2J	(5)
Для интегрирования используется схема, изображенная на
рис. VI-3.
Сила тока, проходящего через емкость, представляется здесь
выражением С (dE/dx), где С — величина емкости, а Е — напряже-
ние в емкости.
Составляя, по-прежнему, равенство для токов, получим
С d (go gg)gl gp । g2 gQ
dx Hi * Н2
Так как eo = O, то
_ d (ea) = Г ei g2 “I
dx L HiC "T H2C J
И
gp —ggp = —
dx-[
1
H2C
e2 dx
Процесс умножения осуществляется с помощью потенциометра
(рис. VI-4).
Применяя эти принципы к решению задачи химической кине-
тики, начнем с уравнения (2):
dx
— =—kiX
dx
230
Выходное напряжение интегрирующего усилителя пусть выра-
жает значение концентрации х. Тогда напряжение у входного со-
противления в соответствии с (6) представляет — dxldx.
Отметим, что при составлении структурных схем из звеньев,
основанных на принципе отрицательной обратной связи, следует
учитывать, что каждое звено, производя математическую опера-
цию, дает результат с обратным знаком. Интегрирующий усилитель,
как показано на рис. VI-5, есть усилитель с включенной параллельно
емкостью и сопротивлением, ведущим к входному току. Должны быть
также предусмотрены провода от зажимов для «начальных условий»
с целью фиксирования значения х при т = 0.
Из (2) имеем
С помощью потенциометра мы получим кгх из х. Условие, при
котором — dxldx должна быть равна кгх, получается путем соедине-
ния точек, представляющих эти величины (см. рис. VI-5).
Использование емкости с 1 мкф и сопротивления в 1 Мом тре-
бует, чтобы время было выражено в секундах.
Структурная схема для у изображается подобным же образом.
Операции сложения и интегрирования выполняются посредством
таких же усилителей. Пусть выходная величина равна —у и, сле-
довательно, сумма входных значений будет dyldx.
231
Согласно (3)1
Рис. VI-7.
а
с
Рис. VI.-8.
§
й
s'
Напряжение, представляющее к^х,
получается из —у с помощью другого
жено на рис. VI-6, при использовании указанных сопротивлений
и емкостей.
Наконец, моделирование величины z выполняется в результате
приравнивания выходной величины третьего усилителя значению z,
входной — производной dz/dx,
учетом, что
dz ь
Напряжение, соответствую-
щее — к2у, уже определено. Эта
часть структурной схемы пока-
зана на рис. VI-7.
Решение обычно начинается
с того, что три переключателя,
которые шунтируют усилители,
открывают последовательно. Реше-
ние получается в виде трех кри-
вых, изображающих зависимость
напряжения от времени, которая
является аналогией для связи
между концентрацией и временем.
На рис. VI-8 представлены
кривые, полученные для началь-
ных условий:
X = 100, у = Z — 0 при = 0,4 и = 0,3
Кинетические уравнения были
решены также аналитически и на
графике показаны расчетные точ-
ки для сравнения.
неизвестной реакции образования
уже определено, и —к2у
потенциометра, как изобра-
Пример. При исследовании
карбида магния (Mg2C3) из хлористого магния и карбида кальция
232
, в расплавленном состоянии были приняты следующие уравнения:
kt
MgClg + CaCa	MgC2 + CaCl2
MgC2—* i/aMg2Cs+VaC	(1)
1/2Mg2C8	Mg + s/2C
Из шести соединений, участвующих в этом процессе, только
два — Mg2C3 и Mg — доступны для измерения. Молекулярные кон-
центрации карбида магния и магния определялись с течением вре-
мени. Для анализа каждый раз ход реакции приостанавливался
Рис. VI-9.
и расплавленная масса подвергалась гидролизу. Содержание про-
дуктов гидролиза, а именно, ацетилена и пропина, дает количества
образующегося и вновь разлагающегося карбида магния.
Для электронного моделирования процесса в соответствии с пред-
ставленным в уравнениях (1) его ходом необходимо составить диф-
ференциальные уравнения. Принимая, что первая реакция следует
закону действующих масс, а остальные две реакции представляют
процессы разложения, мы получим следующие уравнения:
= ^1с1с2 + ^2С3С4
de л Ji*	\
— Л2сзс4 — Л3С4	(2)
=1/2^3С4 — ^4СБ
-^- = 2*4<»
ах
233
При этом с{ обозначают молекулярные концентрации:
c1 = [MgCl2]; с2 = [СаС2]; С8 = [СаС121; c4=[MgCl2];
c6 = [Mg2C3); ce = [Mgl
Величины kt выражают константы скорости реакций.
Система кинетических уравнений (2) по-прежнему программи-
руется. Константы скорости реакций к{, которые на моделирующем
устройстве устанавливаются с помощью потенциометра, подби-
рают таким образом, чтобы теоретические кривые для карбида магния
и магния совпали достаточно хорошо с экспериментальными точ-
ками.
На рис. VI-9 представлены результаты этих исследований (сплош-
ные линии). Действительное разложение карбида магния к концу
реакции совершается медленнее, чем должно быть по расчету из
уравнений реакции. Это указывает на обратимость реакции. С по-
мощью электронного моделирующего устройства теперь предста-
вляется возможность простым способом проверить и при необходи-
мости изменить первоначально принятые соображения о механизме
реакции с учетом влияния побочных процессов. Так, например,
реакция разложения MgC2 должна быть принята обратимой в урав-
нении (1). В этом случае (пунктирные кривые) удается еще лучше
приблизить к измеренным величинам рассматриваемый здесь ход
процесса.
Искомые константы скорости реакции могут быть определены
при использовании потенциометров.
Повторяя теперь эти исследования при других температурах,
мы сможем найти также зависимость значений констант скорости
реакций от температуры или установить возможное отклонение от
закона Аррениуса.
Глава VII
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
Значительная часть физических, физико-химических и техноло-
гических процессов описывается линейными алгебраическими диф-
ференциальными уравнениями. Решение системы линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами сводится
после некоторых преобразований к решению алгебраических урав-
нений. Поэтому знание эффективных способов, применяемых для
решения этих уравнений, весьма важно для исследователя и ин-
женера. Одним из таких способов является использование рассмот-
ренного в этой главе метода определителей и матриц, относящегося
к элементам линейной алгебры.
§ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МИНОРЫ
Определитель второго порядка
I ai
I й2
&2
представляет собой число, равное разности произведений чисел,
стоящих на его диагоналях:
—	— a2bi
а2 ^2 I
При решении систем, содержащих более двух уравнений, прихо-
дится вычислять определители порядка выше второго. Например,
определитель третьего порядка записывается в виде:
bi ci
а2 ^2 с2
аз Ьз сз
(А)
Выберем какой-либо элемент этого определителя; вычеркнем
в определителе столбец и строку, на пересечении которых располо-
жен выбранный элемент. Получим определитель второго порядка,
235
называемый минором взятого нами элемента. Например, минором
элемента а2 будет определитель
&1 С1 I ,	,
,	I = 61е 3 — &3С1
&з сз I
Предположим, что номера строки и столбца, на пересечении
которых стоит выбранный нами элемент, представляют собой числа
или оба четные, или оба нечетные. В этом случае алгебраическим
дополнением взятого элемента называют его минор.
Если же номера строки и столбца, на пересечении которых рас-
положен взятый элемент, представляют собой один — число четное,
а другой — число нечетное, то алгебраическим дополнением этого
элемента называют его минор, взятый с обратным знаком.
Алгебраическое дополнение какого-либо элемента определителя
принято обозначать той же буквой, что и сам элемент, но только
заглавной. Например, для определителя (А):
Л2 = —
I&1
I 6g
СЗ
= 63^—&1С3;
I а1
Я2==
I о3
С1
сз
= а1с3 —«3^1
Пользуясь понятием алгебраического дополнения, можно свести
вычисление всякого определителя к вычислению нескольких опре-
делителей порядка на единицу ниже.
Имеет место следующая теорема.
Определитель любого порядка равен сумме произведений эле-
ментов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические
дополнения этих элементов.
Пользуясь этой теоремой, можно вычисление определителя
третьего порядка свести к вычислению трех определителей второго
порядка. Например, разлагая определитель третьего порядка по
элементам первого столбца, получим:
«Г
О2 62 с
аз 63 с3
62
63
Если тот же определитель разложить по элементам третьей
строки, то мы получим:
ai bi
о2 62
я3 Ьз
<=1
с2
сз
61
62
С1 . I а1 С1 .
— оз Н-оз
I й2 <?2 |
01
02
611
62 I
« аз
Применяя эту теорему к определителю четвертого порядка,
можно свести его вычисление к вычислению четырех определителей
третьего порядка.
236
Пример. Вычислить определитель, разлагая его по элементам
цервой строки
2 4 0
14 21	111 21	14
И 4 21 =2	—4	+0	=
|3 15	| 5 15 '5 3
5 3 15
= 2 (60 - 63) —4 (165 —105) + 0 (3 — 20) = -6 - 240 = -246.
Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неиз-
вестными:
СуХ —|— Ьуу —|- CyZ —
Я2*^4“ + cz% “ dz
0з® + 6зУ+’сз2 = й3
Основным определителем D этой системы называется определи-
тель, образованный из коэффициентов при неизвестных:
D =
Й2 &2 с2
аз сз
Дополнительные определители системы получаются из основного
путем замены в нем какого-либо столбца свободными членами системы
dy by су
dz b% c2
ds Ьз cs
Dy=
ay dy cy
az d2 c2
аз ds c3
<Z1 dy
Dz= a2 &2 dz
аз bs ds
Если основной определитель системы не равен нулю, то данная
система имеет единственное решение, которое находится по следу-
ющим формулам Крамера:
Пример. Решить при помощи определителей следующую
систему линейных уравнений:
3-z + 2у + z —15
8« —5у— 7z = 22
4z+5y — z = 6
Вычисляем основной и дополнительные определители:
£> =
3	2	1
8 -5 —7
4	5-1
-5 —7
5 -1
-2
8 -7| + 1|8 ~5
4 -1|	|4	5
= 3
= 3-40-2-20 + 1 -60=140
237
Dx
15
22
6
2
-5
5
1
-7
-1
= 15
-5 -7
5 -1
22
6
—7
-1
22 -51
6	5|
— 2
= 15-40—2-20 + 1 -140=700
= + 3-20 —15-20-1 -40=—280
= -3 • 140 + 2 • 40 + 15 • 60= 560
Неизвестные x, y, z находим по формулам Крамера:
x=
700
140
= 5; y=
—280
140
—2;
560
140
z
§ 2. РАСЧЕТ НИТРУЮЩИХ СМЕСЕЙ
При расчетах нитрующих смесей обычно бывают заданными
следующие величины: общее количество смеси, которая должна быть
приготовлена, ее состав и состав всех исходных компонентов смеси;
искомыми величинами являются количества исходных компонентов,
входящих в состав смеси.
В наиболее общем случае нитрующая смесь составляется из трех
компонентов, в состав которых входят азотная и серная кислоты
и вода.
Примем следующие обозначения:
G — количество приготовляемой нитрующей смеси, кг;
I — содержание азотной кислоты в приготовляемой смеси, %;
т — содержание серной кислоты в приготовляемой смеси, %;
п — содержание воды в приготовляемой смеси, %;
Ga — количество компонента а, идущего на приготовление смеси, кг;
1а — содержание азотной кислоты в компоненте а, %;
та — содержание серной кислоты в компоненте а, %;
па — содержание воды в компоненте а, %;
Gb — количество компонента Ь, идущего на приготовление смеси, кг;
1Ь — содержание азотной кислоты в компоненте Ь, %;
ть — содержание серной кислоты в компоненте Ь, %;
пь — содержание воды в компоненте Ь, %;
Gc — количество компонента с, идущего на приготовление смеси, кг1,
1С — содержание азотной кислоты в компоненте с, %;
тс — содержание серной кислоты в компоненте с, %;
ос — содержание воды в компоненте с, %.
288
Сумма количеств всех компонентов должна равняться количе-
ству приготовленной смеси, т. е.
Ga -f- Gb + Go = G	(a)
Количество азотной кислоты, которое будет находиться в при-
готовленной смеси:
Gl = Ga • la + Gb • 1ь + Ga • Iq	(б)
Количество серной кислоты в смеси:
Gm = Ga-zraa + G6-m64-G(,-m(;	(в)
Количество воды в смеси:
Gn = Ga • па -j-Gb • nb-j- Ga • nc
(r)
Решим совместно
§ 1, получим:
1 1
I a I = la lb
уравнения (б), (в) и (г); используя результаты
1
1с —(1а — lb) (та тс)— (la lc) (та mb)
та ть те
Таким образом, имеем:
1 1 1
G I 1ь 1с
G___________._________т ть тс___________________
(1а — lb) (та — fnc) (la lc) (та mb)
(lc — l) {mc — mb) — (lc~lb) (mg — m)
(la lb) (ma ,nc) (la lc) (lna — mb)
1 1 1
G la I lg
HIq Hl HIq
6 _ (Za —Z&) (ma~mg)~(la — lc') (ma — mb)
__q (lg — l) (Пд Klc)— (lg	lc) (ma m)
(lg ’— lb) (ma — mc) (lg	lc) (та mb)
g________________ma ть m______________
C (la —lb) (ma — mg)~(la-~lg) (ma — mb)
_ q (lg I) (mb ma) (lb ' lg) (ma —m)
(la lb) (^a mc) ’(la lc) (^a mb)
Пример. Нитрующая смесь состава:
HNO3 . . . Z = 16%
H2SO4 . . . m = 62%
H2O . . . n = 22%
расходуется в количестве 4250 кг.
239
Эта смесь Приготовляется из следующих растворов:
меланж
HNO3 —Za = 85%, H2SO4—та~ 10%, Н2О — па = 5%
олеум (20%-ный)
HNO3 — Z6 = 0; H2SO4—т6 = Ю4,5%; Н2О— П(, = 0
отработанная кислота
HNO3 —/с = 0; H2S04-mc = 70%; Нг0-пс = 30%
Требуется определить расход кислот, идущих на приготовление
нитрующей смеси данного состава.
Подставляя соответствующие значения в расчетные формулы,
получим следующие расходы веществ.
Расход меланжа:
г (0 — 16) (70—104,5)-(0 - 0) (70 - 62) .
(za 4250 (85 _0) (10 - 70) —(85 - 0) (Ю-104,5)	‘
Расход олеума:
Г -	(0~16) (10 - 70) -(85 - 0) (70 - 62)
Gb 4250 (85 - 0) (10 - 70)-(85 - 0) (10-104,5)	400
Расход отработанной кислоты:
G = 4250 <85~16) (104,5 —10) — (0 — 85) (10 - 62) =
4250 (85_0) (ц)-70)-(85-0) (10-404,5)	30 5
Проверяя общее количество смеси, имеем
G = Ga + Gb + Gc = 795 + 400 + 3055 = 4250 кг
что соответствует заданному количеству нитрующей смеси.
§ 3. ДАВЛЕНИЕ ПАРА ХЛОРИСТОГО МЕТИЛЕНА
Для хлористого метилена, применяемого в качестве охлажда-
ющего средства, известны следующие три значения давления пара:
Р1 — 0,0355 ат при —309 С; (Т = 243° К)
/>2 = 0,190 ат при 0° С;	(Г = 273° К)
Рз = 1.020 ят	при 40° С;	(7’ = 313°К)
Требуется найти давление пара хлористого метилена при —15° С
и при 20° С. Используем следующую формулу:
я
lgp=--y-+51g7’ + C
(а)
240
„ cpD~cpF
1,987
причем cpD и cpF — средние мольные теплоемкости вещества, соот-
ветственно, в парообразном и жидком состоянии при постоянном
давлении
C=lg Pi+^r-в\ётг
Т — температура, °К.
Подставляя в (а) известные значения для Р и Т, получим три
уравнения с тремя неизвестными А, В и С.
Имеем:
Л + (18Л)В + С = 1ёй
---А + (1g тв + С = 1g Р2
1 2
---rr~ А (1g Т 3) В -J- С = 1g Рз
1 з
Кроме того
—=-41 • 152 • 10’4; 1g 7’1 = 2,38561; lg рх = -1,44977
11
—	= -36,630 • 10‘4; 1g 7*2= 2,43616; lg р2 = -0,72125
1 2
— 4- = 31,949-10"4; 1g 7’з = 2,49554; lg р3 = -0,00860
Отсюда по-прежнему получаем:
lg Pi lg Ti 1
1g Рз IgT1» 1
1g Рз lg Уз 1
"Т? IgT! 1
lgy2 I
* 2
-4- igy3 1
1 3
Igpl 1
— V" lg Pi 1
i 2
1
- y~ lg Рз 1
* 3_________
1
“TT IgTi 1
~4~ IgT’a 1
/ 2
IgT’s 1
7 3
16 Заказ 1706
241
или
А = (1g Р2—Pl) Ug Уз—lg Л)~ (lgP3~ JgPl) (Ig 7*2—Jg Л)
(77- r, ) ('s’-^>-(77-77) ^-'г^
17-77) 118 р’-1гй)~(т7-77)"» '’-'«и!
77- 77 ) "8 г«-18 r->Ч77 - IT) "8 T’-’8 Tt>
Величина С определяется при подстановке найденных значений
А и В в одно из начальных уравнений. В итоге получаем:
.	0,72852 - 0,10993-1,45837 - 0.05055	.о0,„
Л —	_ -_______ — 149 з о
4,522 • 10“4 • 0,10993 — 9,203 • 10’4 • 0,05055
В = —3,4426
А
С =Ag р^-------В\%Тъ = —0,72125 + 7,3099 + 8,3867 = 14,9754
7 2
Таким образом
lg Р = - — у5’-6- - 3,4426 1g т +14,9754
С помощью этой формулы окончательно найдем
/>=0,470 ат при 20° С (Т =293? К)
Р = 0,0867 ат прп —15° С (Г = 258° К)
§ 4. КИНЕТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим смесь, состоящую из т веществ с концентрациями
Аг, А 2, . . ., Ат, и предположим, что каждое из них может вступать
во взаимодействие соответственно реакции первого порядка. Напри-
мер, при т = 4 схема взаимодействия веществ будет следующей
(аналогичную схему можно составить для любого значения т)1
242
Пусть константы скоростей реакций будут кс/, причем первый
индекс относится к веществу, вступающему в реакцию, а второй —
к образующемуся продукту. Примем, что стехиометрические уравне-
ния выражают соотношения, при которых из одного моля исходного
вещества образуется один моль продукта. Тогда система из т сте-
хиометрических уравнений кинетики приобретает следующий вид:
 . ~= кцА/— ^12^1 + • • • + ^1/ • » ~\-kmlAm (t = 1» . . m)
ат
ИЛИ
dA'
“(	^2	• • • kirn) А( -\~kiiAi -j- . . <-l~kmAm (i~l, . . m)
W
Эта система из m обыкновенных дифференциальных уравнений
с т зависимыми переменными решается в конечном виде.
Перепишем (1) следующим образом:
, . т
_L+2^M/ = 0	(2)
s=»i
где Ktj^—kij при J^=l и Кц = ^ к1р
p=i
Будем искать частное решение в виде
	(3)
где постоянные Bt и к отыскиваются из условия удовлетворения
начальным условиям задачи и уравнению (2). Подстановка (3)
в (2) с последующим исключением экспоненты дает систему одно-
родных линейных уравнений относительно величины Bt:
—kBi + '^lktjBj=Q	(г = 1, ..., m)	(4)
/=1
ИЛИ
X (кц-бцк) В 1 = 0	(i = l, 2, . . ., т)	(5)
м
(0 г=И=7
гда8'И1 1-»
Однородная система (5) имеет не нулевые решения В/ только
в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов,
равен нулю, т. е.
I k[j буХ | = 0	(6)
В развернутом виде это есть алгебраическое уравнение т-й
Фтепени относительно к, которое должно иметь, вообще говоря, т
различных корней. Обозначим эти значения к через кг, где
16'
243
г = 1, 2, . . т. Для каждого мы будем иметь группу значений
Bj, которые являются решениями (5) и определены с точностью до
произвольного множителя. Обозначим их через В]Г.
Как правило, с помощью одного только решения оказывается
невозможным удовлетворить начальным условиям концентрации.
Поэтому необходимо получить общее решение, которое для линей-
ных дифференциальных, уравнений равно, линейной комбинации
частных решений (см. гл. V). Пусть
т	у
(7)
,	,	г=0
где Qr — неопределенные коэффициенты, которые могут быть най-
дены из начальных условий.
Пример. Рассмотрим химическую реакцию, протекающую по
схеме:
т. е. две последовательно-обратимые реакции первого порядка.
Пользуясь изложенным выше методом решения, выпишем сна-
чала уравнение (6), которое в данном случае имеет следующий вид:
&12 —X
—^12
О
— ^21	9
—^32
— />’23	^32—
Расписывая определитель в строку, получим:
Х3-4-Х2(&12-|-^214~^2з4~^32) —(^12^-23 4'^21^32'4'^12^32) ~ О
Это алгебраическое уравнение имеет три решения:
Xi = О
*2 = |(р4-<?)	(9)
^з = у (Р~?)
где р — А12 4" &21 + &23 + ^32 и
'/=[р — 4 (^12^2з4~ ^21^32 4-^12^32)]
Подстановка значений Хг в (5) да₽т три уравнения, из которых
независимыми будут только два. Поэтому из них можно определить
только два неизвестных (например, В2г и В3г), а третье (В1г) остается
произвольным, которое можно положить равным единице.
244
Имеем
5<>=1
п	*12 — Хг
«2г —---Т.---
*21
*23*12 — Хг
3'~*21 (*32~Хл)
Тогда общее решение примет такой вид:
з
Л1
(Ю)
2—М
*12
3
г=1
3
*12—X/-) '
*21
(И)
Л, V g0 *2з(*12~Х,) /У
Г *21 (*32— Хг)
г=1
Пусть при т = 0 имеем А1 — А° и А2~ Аа=0, т. е. в начале
процесса присутствует только один реагент. Решения (11) будут
удовлетворять этому условию, если
г-1
з
Q0 *23 (*12~Хг)
г=1
3
fl= V (10 *23 (*12~ Хг)
Г *21 (*32—ХА)
г=1
Решая относительно Q°r, получим:
^0=Л? W32.
А^З
/10_ jo *12 (Хг + *23—*зг)
V2 Г Х2(Х2-Х3)
ПО— Л9 *12 (*2з + *32— Хз)
8	Хз(*2 — Хз)
(12)
(13)
Подставляя (18) в (11), после упрощения окончательно получим:
*21*32 I *12 (Хз—*23—*3г) „-)'2
Х2Х3 Х2 (Х2—Х3)
1 *12 (*23~(~*32 — Хз) -Хат)
Хз (Хг —Хз)
_ дп (*12*32 I *12(*32~ Хг) 
2	( Х2Х3 I2 (Хг—Хз)
д — ДО ( *12*23 |	*12*23	-
3	\ Х2Х3 Хг (Хг — Хз)

*12 (Хз —*32) g-XaT
Хз (*2 —Хз)
*12*23 е-Хат)
Хз (*2 — Хз) J
(14)
245
Это решение, естественно, включает в себя частный случай реак-
ций первого порядка, рассмотренных в гл. Ill, § 1. Нетрудно видеть,
что при к12 = klt к23 = А2 и &21 = &32 = 0 выражения для А1г
А 2 и А3 совпадают с (4), (82) и (85) в гл. III.
§ 5. ПОНЯТИЕ О МАТРИЦЕ
1. Квадратная матрица и-го порядка есть таблица пг элемен-
тов (которые могут быть как действительными, так и комплексными
числами).
Символически квадратная матрица записывается в виде:
я11я12
а21я22
ап1ал2
ащ
а2П
апп
(1)
где изображает элемент, расположенный в i-й строке и в /-м
столбце. Определитель, состоящий из тех же элементов, которые
содержатся в квадратной матрице ||а||, обозначается через |а| и
называется определителем матрицы.
Следует отметить, что наравне с матрицами, элементами которых
являются числа, рассматриваются матрицы, элементами которых
могут быть и функции.
При определении матрицы необходимо подчеркнуть два обстоя-
тельства: во-первых^ понятие матрицы подразумевает, что ее эле-
менты рассматриваются как единое целое, в некотором заданном
расположении; во-вторых, матрицы есть нечто большее, чем просто
таблицы, составленные из элементов, так как, пользуясь определен-
ными правилами, их можно складывать и перемножать между собой.
Так, например, вектор трехмерного пространства представляется
тройкой чисел его компонент, расположенных в одну строку; напря-
женное состояние в точке сплошной среды можно охарактеризовать
девятью числами, расположенными в три строки и три столбца и т. д.
Кроме квадратных множеств, подобных (1), имеются также прямо-
угольные множества или матрицы с т строками и п столбцами.
2. Мы здесь перечислим основные свойства матриц, которые
впоследствии будут использованы для исследования практически
интересных задач.
а)	Две матрицы ||а|| и || &|| одного и того же порядка равны между
собой, тогда и только тогда, если их соответствующие элементы
равны между собой, т. е. ||а|| = ||Ь|| при условии, что все aif =
= ЪИ-
Ь)	Если ||а|| и ||Ь|| представляют матрицы одинакового порядка,
то их сумма ||«|| 4- || 51| равна матрице || с ||, каждый элемент кото-
рой есть сч = az/ 4- Ь1{.
Аналогичным образом имеем ||d|| = ||n|| — ||И при условии,
что dit = alf — blf.
246
Так, например
IIЯ1
hi
^2
62
«1
di
«2
«/2
11(а1+е1) (а2 + с2)
11(61 + ^1) (62+^2)
с)	Умножение матрицы ||а|| на число приводит к новой матрице
||ft|| = к\\а элементы которой равны btj — kati.
Например
II I II ^^1 II
& =
II &1 ь21 Н&! ль2||
d)	Обозначив через М, N и Р матрицы, а через к и I числа,,
получим:
М|.У = У-|-М
М + (У + F) = (М + N) + Р
kM + kN = k[M-\-N)
кМ + 1М =(k + l) М
е)	Две матрицы могут быть перемножены только в том случае,
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются конформ-
ными матрицами. Произведение двух матриц ||а|| и || Ь\\ записывается
в виде:
1ИЫ1Н=И
k~p
где О/ = 2
k=i
При этом, если ||а|| есть mp-матрица, а ||&|| — рп-матрица, про-
изведение ||я|| и ||&|| будет /пи-матрицей.
Если матрицы квадратные и каждая из них порядка п, то эле-
менты матрицы ||с||=||а|| -ЦЬЦ совпадают с элементами опреде-
лителя | с| = |а| • | &|. Например
а1
bi
а 2 II
62II
«1
di
«2 II
^2 II
а1а1 + я1^2
61^1 -f-b^di
ala2 “F а2^2
61а2 “1“ 62^2
Так как равенство матриц обусловлено равенством их элементов,
то отсюда следует, что в общем случае ||&||-||а|| отличается от
||а|| • ||Ь||. Поэтому, образуя произведение ||а||-||Ь||, мы говорим,
что матрица ||&|| слева умножается на ||п|| или что матрица || а ||
справа умножается на ||&||.
В том случае, если ||а|| • || Ь|| = || Ь|| • ||а||, матрицы ||а|| и ||
называются перестановочными или коммутирующими.
f)	Умножение матриц ассоциативно и, следовательно, множи-
тели можно группировать как угодно:
(МНН1-И1)=И (1ИЫИ1)
Произведение п квадратных матриц, равных ||а||, обозначается
через || а||", т. е.
II а р = || а || • || а || • || а || . . . || а ||
247
g)	Единичной матрицей порядка и называется диагональная
матрица порядка п, все элементы которой, расположенные на глав-
ной диагонали, равны единице. Такая матрица обозначается через
Еп или просто Е, т. е.
Единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матри-
цей того же порядка. Таким образом, имеем:
||а||£ = £||а|| = ||а||
h)	Если М — квадратная матрица, а 0 есть число, то матрица,
равная разности М — QE, называется характеристикой по отноше-
нию к матрице М.
Так, например
м-0£=||й1 М-е)1 °|=|й1“0	й2 II
II	^2II II0 4. II ||	— 0 II
i)	Если приравнять определитель характеристической матрицы
нулю, то получим алгебраическое уравнение относительно 0, назы-
ваемое характеристическим уравнением. Так, например
| .	.	„ | = 02-|- (—&2—а1) 0 + Я1&2 — а2Ь1 = 0
I а1	а2 — ° I
Квадратная матрица удовлетворяет собственному характеристи-
ческому уравнению:
#1 IP || 0-1 О-ь II
,	А	"На	h	&2—а1) + (а2^1 —а2^1)
а1	а2 II II а1 а2 II
11° 0
||о о
1 О
О 1
= 0
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ МАССООБМЕНА
В РЕКТИФИКАЦИОННЫХ АППАРАТАХ
Рассмотрим бинарную смесь, например бензола и толуола. Смесь
бензола и толуола подчиняется закону Рауля, согласно которому
парциальное давление любого компонента в парах над смесью
жидкостей равно давлению насыщенного пара этого компонента
(при данной температуре), умноженному на его мольную долю
в жидкости, т. е.
Ра-хара
где хА — мольная доля чистого компонента А в жидкости;
Ра — парциальное давление этого компонента в парах;
Ра — давление пара этого компонента.
Зная общее давление над смесью и парциальное давление легко-
летучего компонента А, мы можем определить содержание его в па-
рах, выраженное в мольных долях:
Ра
Ра-~
где Р— общее давление.
248
Обозначим дополнительно к предыдущему:
Рв — давление пара чистого менее летучего компонента В;
рв — парциальное давление пара менее летучего компонента В.
По закону Рауля при принятых обозначениях имеют место
равенства:
Ра = раха’’	Рв = Рв (! ~ хл)
С другой .стороны, по закону Дальтона общее давление Р паров
смеси равно сумме парциальных давлений компонентов, т. е.
Р = Ра + Рв — раха+рв (1~ха)
Следовательно
Ра	хара
Уа Р - *аРа + (1-ха)Рв
р
Обозначая отношение давлений чистых веществ = а, найдем:
рв
ахА	ахА
ахА + ^~хА) ~ 1 +
Последнее уравнение выражает аналитическую связь уА и хА,
необходимую для построения кривой равновесия. Отношение давле-
ний а называется относительной летучестью. Значение а в данном
случае можно принять равным 2,48.
При этих обстоятельствах содержание легколетучего компонента
в парах будет
2,48г
у~ 1 + 1.48*
или в общем виде для уравнений равновесной кривой имеем:
У к±-}-к2х	(1)
где Aj-f- к2 — 1, кхк2>>0.
Уравнение рабочей линии имеет следующий вид:
у = тх-]-Ь	(2)
Задача состоит в том, чтобы найти число ступеней ректификации
между двумя значениями х, одно из которых соответствует составу
продукта, а другое дает точку пересечения равновесной кривой
с рабочей линией для пространства колонны над местом ввода ис-
ходной жидкой смеси. Такого же рода расчет необходим и для ниж-
ней части ректификационной колонны.
Обозначим координату у точки 1 на диаграмме через d
(рис. VII-1).
Тогда координатами точки 2 будут:
249
Для точки 3 значение у мы получим из уравнения (2) путем под-
становки величины ж, найденной для точки 2. Таким образом, для
координат точки 3 имеем:
kid	(kim — k%b) d-\-b
—k%d -j- I * —k^d —I
Повторяя эту операцию по ступеням, мы найдем координаты х
и у для точки 4:
(klm-f-d-}-k]b	(Jc^m — k2b) d-'-b
(—k2—	(—&2&+1) ’	—Zc2d-f-l
а также координаты x и у для точки 5t
(kfm — k^k^b) d~\-kib
(—k2 — к\к2т-\-к^1) d~f- (—Tc2b-J-1)
(Af m2 — Zkjkomb — k2b -)- A |62) d -|- {kyk2m -|- к2№ -|- b)
(—k2— к^к 2mк 2b} d -|- (—
(4)
Мы можем теперь найти координаты для
любой конечной ступени ректификации пу-
тем повторения этого процесса; здесь имеется
по которой они полу-
ступеней массообмена
определенная схема,
чаются. Но способ образования координат
не является вполне очевидным и пока остается неизвестным.
Поэтому рассмотрим координату у в конце первой полной ступени
массообмена (точка 3):
___(к^т — k2b)d-]-b
У -k2d+l .
Образуем матрицу
M = |(*im — к2Ь) Ь|
рпустив знак деления и d в числителе и знаменателе.
Пользуясь правилом (е) для матричного произведения, найдем;
М • М = j^m~&2b) Ь j || (А^т—Л2Ь) Ь|_
II — к2 1|| ||	— к2 1||
Ц kfyfi —2^ik^mb /с|&2 кугпЬ — к$№ + b II
|| —kiкуп —f— к%Ь—к%	-—к%Ь 1 ||
Сопоставляя это равенство с выражением (4) для величины у,
цайдем, что после введения множителя d у элементов первого столбца
эти выражения становятся идентичными. Если мы образуем
M.M*=\\(kim~k*b} Ь3
II —к 2	1
ТО получим после подстановки знака деления и d координату у
в конце третьей ступени массообмена.
250
Применяя математическую индукцию, можно показать, что
д/„ II (*1™ —‘М)
11	—^2	1 II
будет соответствовать координате у для конечной n-й ступени после
ввода знака деления и d.
Из правила (г) нам известно, что характеристическое уравнение
квадратной матрицы имеет следующий вид:
I (kirn — к2Ь — 0) п
I — к2	1 — 0
Последнее выражение представляет собой квадратное уравнение:
02 + Ci0 + c2 = o	(5}
где
с\ — — к^т-]- к2Ь— 1;	с2 — к\т
Из правила (г) мы также знаем, что М удовлетворяет характери-
стическому уравнению, следовательно
№ -|- с\М -|- с2 = О
Умножим обе части уравнения на Мп~2, получим:
Мп = — схМ п~х — с2Мп~2	(6)
Равенство (6) можно рассматривать как разностное уравнение
относительно матрицы М. Прежде чем воспользоваться известным,
методом его решения, нам необходимо найти корни квадратного,
уравнения (5). Они будут:
0= -i- [/cjm — Л26-{-1 ± V (—krm + k2b — I)2 — 4&im]
Обозначив эти корни через rt и га, получим решение (6) в таком:
виде:
M^pri + qr^	(7)
Так как и г2 являются числами, то р и q должны быть квадрат-
ными матрицами. Обозначим их следующим образом:
Р11 Р12
Р21 Р22
911
9 =
II 921
912 ||
922 II
Формула (7) справедлива для любых значений п и, в частности,,
для п = 0 и п = 1. Если п — 0, то
О
1
1И0 = 1= 1
II о
.Р11 Р12
Р21 Р22
911 912
921 922
а в случае п = 1, имеем:
Ml = |j (7q'n~/С2Ь) ь || = Г] || Р11	Р12|| + г3|| 911 912
II —^2	ill ' И ?21 Р22II 2II921 922
254
1 — P22“l~ 922
1 = Г1Р22 + г2922
О = P21 + 921
—^2 = Г1Р21 + г2?21
Пользуясь правилами сложения матриц, умножения матрицы
на число и равенства матриц, получим следующие алгебраические
уравнения для pCj и
1 = Pii + 9п
крп—2^'= г19п /-29ц
0= Р12+ 912!
6==Т1Р12 4-Г1912
Эти уравнения могут быть решены попарно и мы получим:
(8)
Pll='	—A'jHl	Г2 r2 —Г1	911 =	крп — k^b — /д
			Г2 — Г1
P12 —	—b	912 =	b
	r^ — ri ’		Г2—Г!
P22 —	—14~r2 , r2 —Г1 ’	922 =	1-ri Г2 — Г!
P21 =•	A?2	921 =	— ^2
	Г2—Г1 ’		Г2~Г!
Общее решение (7) разностного уравнения (6) теперь может быть
написано так:
Мп =
Р11 Р12 I „+ 911 912
Р21 Р22 II 11921 922
Применяя правила (а) и (6), найдем:
мп I (Р11Г? + 911Г?) (Р12Г1 + 912^)
I (Р21Г1 + 92irg) (TWl + 922^1)
Отсюда следует, что если обозначить через е значение у для пол-
ных ступеней, то
_ (P1V1+9nrg) ^ + (Р12'~1+912га)
(Р21г1 + 921^*2) d + (Р22Г? + 912^)
Решая относительно п, получим:
ig
п =
е (</?214~922^ — №11 + 912)
(dpn + Р12) —е (dpu + рз3)
Jg^-
r2
где п — число ступеней массообмена в ректификационном аппарате.
Пользуясь формулами (8), это выражение можно привести к виду:
р-1-/-! (d —g)
п = __Р + г2 +—<0
lg 2Х
S r-i
где р = (Ь—е) (d—ktd—ij—k-pnd.
252
(9)
Обозначив через dp состав продукта, а через ef координату на
оси х в точке пересечения линии q с рабочей линией для верхней
части колонны, получим:
e — efm-yb
d = dpm -|- Ъ
Подставляя эти значения в (9), найдем:
е/—(<гр'п+&) (е/^2 + ^i) + rl (dp~ef)
8 «f— <dpm + b) (e/ft2+/ci)+r2 (dp — ef)
где т\ и r2 —корни следующего уравнения:
02 + (—+	— 1) 0 4- к^т = О
Формула (10) может быть использована для расчета числа ступе-
ней массообмена при ректификационных процессах, причем этот
расчет должен быть выполнен отдельно для верхней и нижней частей
аппарата.
Пример. Проиллюстрируем использование формулы (10) на
примере расчета процесса ректификации бинарной смеси бензола
и толуола, поступающей в колонну при температуре кипения. Из-
вестно, что для этой смеси равновесная кривая имеет следующее
уравнение (см. выше):
X
V~~ 0,41 + 0,59*
Предположим, что поступающая смесь, дистиллят и кубовый
остаток содержат, соответственно, 0,40, 0,995 и 0,005 мол. долей
бензола. Если флегмовое число составляет 3, то уравнения рабочих
линий над и под местом ввода исходной жидкой смеси, соответственно,
будут:
г/= 0,75*+ 0,249
у »= 1,3773*+0,001886
Характеристические уравнения, соответственно, имеют следу-
ющий вид:
03 — 1,160590 + 0,30750 = 0
02—1,565800 + 0,56469 = 0
Корни этих уравнений составляют:
И = 0,75132; г2 = 0,40927
В.
Fi = 1,00250; г2 = 0,56330
Подстановка этих значений в формулу (10) дает число ступеней
^ректификации 9,61 и 9,08, соответственно, для верхней и нижней
Частей колонны. Эти данные совпадают с результатами, получающи-
мися при пользовании графическим методом расчета.
Глава VIII
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ
Во многих случаях решение производственных и других задач
требует рассмотрения большого количества вариантов. Между тем
найти наилучшее, оптимальное решение, не рассматривая все воз-
можные варианты, позволяет получившая развитие в последние годы
новая отрасль математики — линейное программирование *.
Предметом линейного программирования является разработка
различных математических методов для решения так называемых
экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.
Линейное программирование дает возможность решать задачи
только такого типа, которые могут быть выражены в точной мате-
матической форме, когда все факторы, влияющие на решение, а также
само решение, могут быть выражены-в цифровых показателях и когда
задача состоит в том, чтобы выбрать некоторую комбинацию аль-
тернативных решений из более или менее значительного числа
возможных решений.
Методы линейного программирования основаны на теории линей-
ной алгебры и линейных неравенств.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Рассмотрим основные свойства определителей.
Свойство 1. Если в определителе заменить строки соответству-
ющими столбцами, то значение этого определителя не изменится:
= 3-11 — 7- (—41 = 61
3 7
—4 11
= 3-11-7- (—4) = 61
1 Линейное программирование — раздел математики — не следует смеши-
вать с программированием (составлением программ) для решения задач на
электронных цифровых вычислительных машинах.
254
Свойство 2. Определитель, у которого две строки или два столбца
равны между собой, равен нулю:
“8 5=-8-5-(-8)-5=0
-8 5
Свойство 3. Если в определителе две строки или два столбца
поменять местами, то знак определителя изменится на противополож-
ный:
I0’4 31 = 0,4-2-1,1-3=-2,5
11,1 2)
и
I3 0,4 =3-1,1-1-0,4 = 2,5
|2 1,1
Свойство 4. Если все элементы какого-нибудь столбца или какой-
нибудь строчки умножить на некоторое число к, то значение опре-
делителя изменится в к раз:
2	71
= 2-15 —13-7 = —61
13 151
I 2,3
113,3
= 6-15—39-7 = —183
Свойство 5. Если элементы двух строк или столбцов определи-
теля пропорциональны, то такой определитель равен нулю:
-17 3,5
-34 7
-17	3,5
-17-2 3,5-2
= —17- 7—(34)-3,5 = 0
Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки определи-
теля есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме
двух определителей того же порядка; в одном определителе соответ-
ствующая строка состоит из первых слагаемых, а в другом — из
вторых слагаемых, остальные строки этих двух определителей те же,
что и в заданном:
IT
4+(-7)
3
8 4	3—7
+	=16 + 23 = 39
2 3	2	3
Это свойство справедливо и для столбцов определителя:
1—2 + 1 7
I 3 + 02
—2
7
2
1 7
„ =—25 + 2 = —23
0 2
Свойство 7. Если ко всем элементам какой-нибудь строки опре-
делителя прибавить соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число, то значение определителя не
изменится:
113 7	113 + 6-4 7 + 6-11
I 4 1 =| 4	1 Г"15
Это свойство справедливо и для столбцов определителя.
255
Свойство 8. Если все элементы &-го столбца определителя, кроме
одного aik, равны нулю, то такой определитель равен произведению
этого элемента на его алгебраическое дополнение:
Например
D = aikAih
= 58
Свойством 8 удобно пользоваться для вычисления определителя,
так как для этого достаточно вычислить одно произведение aikAck.
Но этим свойством можно воспользоваться только тогда, когда у оп-
ределителя все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца,
кроме одного, равны нулю. Поэтому сначала при помощи первых
семи свойств заданный определитель нужно преобразовать в опре-
делитель, у которого в каком-нибудь столбце или в какой-либо
строке все элементы, кроме одного^ равны нулю, а потом использо-
вать восьмое свойство и представить его в виде произведения этого
элемента на его алгебраическое дополнение.
Рассмотрим этот метод на примере вычисления следующего опре-
делителя:
2 6
3 5
-3 7
Сделаем так, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого,
стали нулями. Для этого прибавим к элементам второй строки соот-
ветствующие элементы первой строки, получаем определитель
1	2 6
О	5 11
2-3	7
который на основании свойства 7 равен исходному. Для наглядности
изобразим сделанное сложение стрелкой, идущей от первой строки
ко второй:
1
-1
2 6
3 5
-3 7
1	2 6
О 5 И
2-3 7
О 3
2 1
О 8
1
4
1
и
2
1
2
Теперь прибавим к элементам третьей строки
умноженные на «—2»; получается
1	2	6	1
О	5	11	= О
24-1-(-2) -34-2-(-2) 74-6-(-2) О
элементы первой,
2	6
5 И
—7 -5
256
Этот определитель на основании свойства 7 также равен исходному.
Теперь можно использовать свойство 8:
1	2	6
О 5 И
О -7 -5
5 И
-7 -5
= 52
= (—1)1+1.1
Употребляя стрелки для пояснения сделанных сложений и про-
ставляя около них числа, на которые умножаются соответствующие
столбцы или строки, все сделанные преобразования можно записать
в следующем виде:
1
-1
1
2
3
-3
2
5
-3
6
11
7
2
5
-7
6
и
-5
5
—7
И
-5
= 52
(+1)|—
6
5
7
f—25
1
О
2
1
О
О
(-1)1+1 • 1 •
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЧЕТЫРЕХ УРАВНЕНИЙ С ЧЕТЫРЬМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Система четырех уравнений с четырьмя неизвестными записы-
вается в общем виде следующим образом:
а11 Ж1 + а12х2 + а13х3 + а14#4 =Л1
а21х1 ~Ь а22х2~Г ^23^3 + а24х4 “ ^2
а31х1 + а32х2 + «33*3 + а34*4 •“ ^3
а41*1 + «42*2 + «43*3 + а44*4 = ^4
Решение этой системы можно записать с помощью определителей
4-го порядка:
и *4 = -^-
Знаменатель D есть определитель данной системы, он является
определителем 4-го порядка и составляется из коэффициентов данной
системы. Таким образом, имеем:
а11	«12	«13	«14
«21	а22	а23	«24
а31	«32	«33	«34
«41	«42	«43	«44
Такой определитель равен алгебраической
	«22 «23 «24		«12 «13 «14	
а11	«32 а33 «34	— «21	«32 а33 «34	+ а31
	«42 «43 «44		«42 «43 «44	
	«12	«13	а14
— «41	«22	«23	а24
	«32	а33	а34
сумме:
а12	а13	а14
а22	а23	Я 24
а42	а43	а44
17 Заказ 1706
257
Определители Dv D2, D3 и получаются, как известно, из
определителя D путем замены элементов соответствующих столбцов
свободными членами системы:
	bi	«12	a13	a14		au	bi	«13	«14
	^2	a22	“23	«24	; d2=	«21	Ъг	«23	«24
	b3	«32	a33	«34		«31	Ьз	a33	«34
	bi	«42	a43	«44		«41	bi	«43	«44
	au	«12	Ь1	«14		aii	«12	«13	bl	
D3 =	«21	«22	Ь2	«24	;	^4 =	«21	«22	«23	Ь2	
	«31	«32	Ьз	«34		«31	«32	«33	Ьз	
	«41	«42	bi	«44		«41	«42	«43	bi	
Если в определителе			D	вычеркнуть		!-Ю	строку и		/-Й столбец и	
умножить его на (—1),+/, то получим алгебраическое дополнение Ац
элемента alf. Тогда выражение (1) можно записать в следующем
виде:
°= а11^11 + а21^21 + а31^31 + а41^41
Когда определитель D выражается в виде такой суммы, то гово-
рят, что он разложен по элементам первого столбца. Значение опре-
делителя можно подсчитать, разложив его не только по элементам
первого столбца, а и по элементам любого столбца:
Z) = ацАц-]- «2/^2/+ аз/-^з/ + alj-Aij
Например, подсчитаем значение определителя
3 14 1
2 1 ° 3
12 3 1
114 1
разложив его по элементам первого столбца и четвертого столбца.
Для этого вычислим значения соответствующих алгебраических				
дополнении:				
	1 0 3		1 4 1	
Ли = (-1)1+1	2 3 1	= 14; Л21 = (-1)2+1	2 3 1	= 0;
	1 4 1		1 4 1	
	1 4 1		1 4 1	
^31 = (-1)3+1	1 0 3	= 0; Л„ = (-1)4+1	1 0 3	= -14;
	1 4 1		2 3 1	
	2 1 0		3 1 4	
Л14 = (-1)1+4	1 2 3	= —9; Д24 = (-1)2+4	1 2 3	= 10;
	1 1 4		1 1 4	
	3 1 4		3 1 4	
^34=(-1)3+4	2 1 0	= -8; Ли = (-1)4+4	2 1 0	= 15
	1 1 4		1 2 3	
258
Вычислим определитель D, разложив его по элементам первого
столбца:
йцЛцН-021-421+ а31 ^31 + 041^41 = 3 •14 + 2- 0 + 1+ + 1* (—14) =28
Если разложить определитель D по элементам четвертого столбца
и подсчитать его значение, то получим тот же результат:
О = 014-414+ а244 24+ O34 Лз4 + O44 444 = 28
Если этот определитель разложить по элементам любой другой
строки и подсчитать его значение, то получим то же число 28. Под-
счет значения определителя облегчается, если сначала «сделать
нули» в каком-либо столбце или какой-либо строке.
Определители четвертого порядка тоже обладают всеми свой-
ствами, о которых говорилось в предыдущем параграфе; поэтому
порядок вычисления определителя четвертого порядка состоит
в следующем: -
1)	используя свойство 7, преобразуют определитель к такому
виду, чтобы в какой-либо строке или в каком-либо столбце, кроме
одного элемента atj, все остальные стали бы нулями;
2)	после этого, записав его в виде суммы произведений элементов
atl на алгебраические дополнения Лг/, переходят к вычислению
Atj, которые являются определителями третьего порядка.
Пример. Вычислить значение определителя
3	4 2 4
1-331
2-242
-1	7 18
Преобразуем этот определитель к таковому, у которого все эле-
менты четвертой строки, кроме aig, станут равными нулю. Для этого
к элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы
третьего столбца; значение определителя от этого не изменится,
а мы получим определитель, у которого = 0:
3 + 2	4 2 4
1 + 3-331
2 + 4-242
-1+1	718
5	4 2 4
4-331
6-242
О 7 18
Теперь к элементам второго столбца прибавим соответствующие
элементы третьего столбца, умноженные на —7, получим опреде-
литель, равный заданному, и у которого а41 и а42 равны нулю:
17
D=
5
4
6
О
4
-3
—2
7
2 • (-7)
3-(-7)
4-(-7)
1 • (-7)
5
4
6
О
-10
—24
-30
О
259
+
2
3
4
1
4
1
2
8
2
3
4
1
4
1
2
8
Чтобы получить а41 — 0, нужно к элементам четвертого столбца
прибавить соответствующие элементы третьего столбца, умноженные
на —8, получим:
5 -10 2 4 + 2-(-8)
4 -24 3 1 + 3-(-8)
6 -30 4 2 + 4* (—8)
0	0 18 + 1 • (—8)
На основании свойства 8:
Z>= 1 . (—1)4+3
5 -10 2 -12
4 -24 3 -23
6 -30 4 -30
0	0	1	0
-10 -12
-24 -23
—30 —30
Подсчитаем значение полученного определителя третьего порядка!
2 —10
4	24
6 —30
-12
-23
—30
5 -10 -12
4 -24 -23
1 —20 —18
5 —10 -12
0	56	49
0	90	78
0	56	49
'~51- 1 —20 —18
1 —20 —18
90 78
56 49
6
Поэтому
§ 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ п-го ПОРЯДКА
Определителем n-го порядка
ап • • » а1п
ат • • • атп
называется число, равное алгебраической сумме
а11А1 + °21 ^21 + • • • + ап1Дя
где Аа является определителем (п — 1) порядка, получаемого из ис-
ходного вычеркиванием первого столбца и i-ой строки и умножением
полученного определителя на (—1)1+;:
а12 • • • а1п
Аа = (-1)м
ai-l • •  ai-ln
al+l • • • аМп
ап2 • • • апп
260-
Таким образом, определитель n-го порядка, так же как опреде-
лители 2, 3 и 4-го порядка, определяются через определители низ-
ших порядков. Определители w-го порядка обладают теми же свой-
ствами, что и определители 2, 3 и 4-го порядков. Поэтому для вычи-
сления определителя n-го порядка вместо того, чтобы вычислять и
определителей (п — 1) порядка, нужно сначала преобразовать его
к такому виду, чтобы в каком-нибудь столбце или в какой-нибудь
строке все элементы, кроме одного, были равны нулю. На основании
8-го свойства такой определитель равен произведению этого неравного
дулю элемента на его алгебраическое дополнение, т. е. вычислить
придется один определитель (п — 1) порядка.
При помощи определителей в-го порядка можно найти решение
системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.
Такие системы имеют вид:
° 11^1 + “12^2 Ч~ • • • а1ПхП=Ь1
aiixi~kaizxz4~ • • • Ч~атхп —
ап1х1 Чг’ап2х2~1~ • • • ~^аппхп — Ьп
Более сокращенно эту систему можно записать так!
аПх1 + а12х1 + • •  + а1ПхП — bi
(где i = 1, 2, . . ., п), или еще короче:
2 aHxi = b^ (* = 1.2,.. п)
Если определитель этой системы =^=0, то неизвестные находятся
по формуле:
в11 • • • alj-lblaij+i - • • а1п
ani  • • anj-ibnanj^i . . . апп
°И • • • а1п
ап1 • • • апп
где I = 1, 2, . . п.
Знаменателями этих дробей является определитель системы,
а числителем — определители, получаемые из определителя системы
заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить систему
—^1Ч“3^2— ^зЧ-^Ч-	3
Ч~ З^з 5^5=	2	,
Х1	Ч-З^з 4-^5=	5
—г4Ч- xt~	1
2ж2	4-^14- х&= 4
261
Решение:
ш* —13—1	1	1
0	0	3	0	—5
D= -	1 0	3	О	1
10	0-1	1
0	2	0	1	1
0 3	2	1	2
003	0-5
.*103	0	1
(-dI- 10	0-1	1
0 2	0	1	1
0	3	2	1	2
0	0	3	0	—5
0	0	3	1	О
100—1	1
0	2	0	1	1
2 1
3 О
3 1
О 1
t I
<-31
2
-5
О
1
3
О
3 -1 1
О 3 0
О 0 1
2 —3 1
-5
1
-оГ1 <
I -з 1
Кроме того
Поэтому
*1 =
^- = 1-
D ’
х2 =
1;
Х’=Т = 1»
D
«4 = ^-=1 И Ж5=-^-=«1
262
§ 4. ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Одним из важных методов изучения процессов с многокомпо-
нентными продуктами и решения уравнений материальных балансов
является линейное преобразование.
Преобразование одного многокомпонентного продукта в другой
описывается линейным преобразованием в том случае, если каждый
компонент получающегося продукта выражается в виде суммы ли-
нейных функций от компонентов первоначального продукта. Ма-
тематически линейное преобразование записывается следующим
образом:
Ж1 — ап^1 + а12^ г+ • • • +«Л -
ж2 = ®21^1 + а22^г + • • • + а2п^п
(1)
•Т/г=^а«1У1 + а«2^2+ • • • + аппХп
где Уг, . . ., Yn — компоненты первоначального продукта, хг, . . .,
хп — компоненты конечного продукта, ап, . . ., а1п, а21, . . ., апп —
постоянные числа. Это преобразование можно рассматривать так же
как переход от системы переменных Ух, У2, . . ., Yn к новой си-
стеме переменных х17 х2, . . ., хп.
Преобразование (1) можно записать и в матричном виде. Дей-
ствительно, в соответствии с правилом умножения матриц соот-
ношение (2):

а11, а12> • • •> а1П
а21> а22> • • •, а2п
(2)
аП1> аП2’ • • atltl
эквивалентно линейному преобразованию (1).
Пример. При смешении и чистых компонентов получаются п
сложных продуктов. Стоимость тонны каждого компонента соответ-
ственно равна Yv У2, . . ., У„. Требуется определить стоимости
продуктов смешения, если известно, что на образование i-ro про-
дукта ушло ai{ тонн j-ro компонента. Ясно, что величины xlt
х2, . . ., хп, получающиеся в результате преобразования (1) и (2),
как раз и будут искомыми стоимостями конечных продуктов.
Если количество начальных и конечных компонентов различно,
то взяв за п наибольшее из них и дополнив нулями до п наимень-
шее, можно свести задачу к преобразованиям (1) или (2). Действи-
тельно, если в рассматриваемом здесь примере и есть количество
исходных веществ, т — количество конечных продуктов и, напри-
мер т <; п, то необходимо взять хт+1 = 0, хт+2 = 0, . . ., хп = 0.
Очевидно, что и количества чистых веществ, участвующих в про-
цессе образования (т + 1)-го, (т + 2)-го, . . ., n-го конечных
263
продуктов (они в процессе смешения не образуются), мы также
должны положить равными нулю, т. е.
аяг+1,1 = 0. ат+Ъ2 — 0, • •	— 0   ..........апп = 0
Преобразование (1) в этом случае запишется в виде
Ж1 = “11^1 + а12^2 + • • • ~TalnYn
хт ~ ат^Х1 + ат2^2 + • • • + атп^п
0 = 0*У1~|-0*У2_Н • • • “Ь 0 • Yn
0 = 0• Y14-0• Y2-j- . . . 4-0-Уп
а эквивалентное ему преобразование (2) будет:
Матрицу
а11. а12.........а1п
а21> а22. • • •> а2п
anl, art2i • • •> апп
обычно называют матрицей преобразования. Каждому линейному
преобразованию можно поставить в соответствие определенную
матрицу. Каждой матрице соответствует вполне определенное линей-
ное преобразование. Таким образом, изучение линейных преобразо-
ваний сводится к изучению матриц.
§ 5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Для приложения математики к экономике важным является
понятие обратной матрицы.
Квадратная матрица называется единичной, если она диагональ-
ная и все элементы диагонали равны единице. Единичную матрицу
условимся обозначать через Е.
Если ab = 1, то а по отношению к Ъ будет обратным числом и,
конечно, если а обратно к Ь, то Ъ обратно к а.
Найти матрицу, обратную матрице А, означает найти такую ма-
трицу В, чтобы АВ равнялось Е, т. е. единичной матрице, или
найти такую матрицу Вх, чтобы ВХА равнялось Е.
264
В первом случае мы говорим о матрице В обратной справа, а во
втором случае о матрице Ву обратной слева.
Если определитель М! = О, то матрица называется вырожденной,
в противном случае матрица называется невырожденной. Для того
чтобы произведение двух матриц было вырожденной матрицей,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из матриц сомножи-
телей была вырожденной матрицей.
Если матрица А вырожденная, то у нее обратной матрицы быть
не может, так как определитель матрицы Е равен единице |Е | = 1,
т. е. |Е | невырожденная матрица. Из этого также следует, что выро-
жденные матрицы обратных матриц не имеют.
Таким образом, только невырожденная матрица имеет обратную
матрицу, причем единственную, при этом обратные матрицы справа
и слева совпадают.
Следует также ознакомиться с присоединенными матрицами.
Если дана невырожденная матрица А, то присоединенной к ней
матрицей Лпр называется матрица того же n-го порядка, элементы
которой представляют собой транспонированные алгебраические
дополнения соответствующих элементов матрицы А:
а11а12 • • • а1П
а21а22 • • • а2п
•^11^21 • • • АП1
4l2^22 • • • Ап2
ап1ап2 • • • апп
АщА^п • • •
Если перемножить матрицу А на матрицу Лп^, то мы должны
получить какую-то матрицу С, элементы которой будут равны:
«11 — а 11^11	а12-412 +
«12 = а11 ^21 + “12^22 +
-\~alnAm — I А |
+ а1п^2п = 0
«1п= а11 ^4/il+ “12^12 + • • • + а1пАгл = 0
«21 = а21-411_Ьа22-‘412_1'• • • 4~а2п-41п:= О
«22 = a21^21 _Ьа22'422-Ь • •  ~Ьа2пА2п=1 -^1
Следовательно, равно пулю, если i^=j, и равно j Л), если
I = j-, тогда
С — А • Лпр —
I А | 0 ... О
О | Л| ... О
О 0 . ..|А]
265
Как видим, обратная матрица может быть получена из присоеди-
ненной, если все элементы присоединенной матрицы разделить на
определитель матрицы Ai
^11	^21	Л11
|Л|	|4|	|4|
^12	-^22	_^П2
Ml	mi    М I
Умножая матрицу А на обратную матрицу Айр и, наоборот,
матрицу Л „J на матрицу А, легко убедиться, что в том и другом
случае в произведении получится единичная матрица, а это значит,
что матрица будет по отношению к матрице А обратной как
справа, так и слева.
Решение матричных уравнений с использованием свойств обрат-
ных матриц можно проследить на примере. Дано матричное уравне-
ниэ:
II 1 2 II	II 3 5 II
|| 3 4 ||	|| 5 9 ||, где х—матрица
Имеем:
1 2
3 4
= 4 — 6 = — 2
Следовательно, матрица невырожденная:
I1 2 Г1!1 2L=I1 2 Г|3 Ч
|| 8 4 || И 3 4 ||	| 3 4 I || 5 9 ||
или
1 0II _||1 2 Г1 3 5
О 1 Г I 3 4 II	5 9
1	2	Г
3	4 ||
3	5	I
5	9 II
Обозначим
ную матрицу,
II 1 2
матрицу 3 4
через А и найдем ее присоединен-
для чего определим алгебраические дополнения:
•4ц = (—1)1+1 • 4=4; Л12= (—1)1+2  3 = —3; Д21=. (-1)2+1.2 = -2;
Л22= (-1)2+2-1=1.
Таким образом, присоединенная
4 —2
-3	1
матрица Лпр будет равна
, а обратная матрица
4	—2
—2	-2
-3	1
—2	—2
—2 1
2 2
266
тогда
3 5
5 9
Таким
Далее
ветствует
II ~2 1
х= 3 —1
II 2 2
Перемножив матрицы, получим:
ац = —2  34~1 • 5 = —1; Я12 = —2-54-1 -9 = —1
3 „ 1 _ „	3 г 1 „ „
а21 “ 2 ’ 3 2 " — 2; а22 — 2 ' 5 2 " 9 — 3
образом, искомая матрица
II -1 -1
х =
II 2 3
посмотрим, какому же линейному преобразованию соот
обратная матрица. Если мы имеем матрицу
а11а12  • • а1П
а21а22  • • а2П
А =
аП1аП2    аПП
составленную на основе системы уравнений
х1 = ацУ1 + а12^2+• • -+а1пТга
х2~ a21Y 1 4- а22^ 2 +
п
хп — а1,г^14-24- • • • 4-annYп
и если мы нашли обратную матрицу
4?р =
С?11<й2 .	• di п
^21^22 •	• ^2П
	• ^пп
соответствующую системе уравнений
У1 = </ц214~^12^2 4- • •  + dinZn
У2 = ^12^1 4" ^22^2 4-  • •'Yd’inZ'n
Yn — dniZi dnzZz	4- dnnZn
и при этом нам уже известно, что
1
О
О ... О
1 . . .0
E=A.Afp =
О
О . . . 1
267
следовательно
xi — 1 • Zj 4~ 0  Z24- • . . -j- 0  Zn ~ Zj
хг — О • Z( 4“ 1  ^2 4“ • • • 4~ О • Zn = Z2
хп — О • Zj 4* о • Z2 4~ • • •4'1' %п — Zn
Из этого следует, что
Hi = <1ц£14~ <112а:2+• • •4_,11па’л
У2 = ~ГТ • • • ~Г°2аЛ1
У« — dnl^l 4"	4" • • • 4" ^ппхп
Таким образом, если прямая матрица давала нам систему коэф-
фициентов, при помощи которых переменные хх, х2,   ., хп опре-
делялись через переменные Уг, У2, . . ., Уп, то обратная матрица
дает нам систему коэффициентов, при помощи которых переменные
Ух, У2, . . ., У„ определяются через переменные xlt х2, . . ., хп.
§ 6.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО
БАЛАНСА В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ ПЛАНИРОВАНИИ
Рассматриваемый здесь метод решения уравнения материального
баланса принято называть шахматной схемой, так как задача ста-
вится и может быть решена только при полной взаимозависимости
составляющих.
Если обозначить через:
Хх, X 2, . . ., Хп — валовые выпуски 1, 2, . . ., п отрасли про-
мышленности;
Хц, ж12, . . ., а:1п— количество продукта 1-й отрасли, которое рас-
ходуется в качестве сырья как для изготовле-
ния продукта этой же отрасли, так и для
2, 3, . . ., п отрасли и т. д.;
;г21, ж22, . . ., х2п — количество продукта 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья как для изготовле-
ния продукта этой же отрасли, так и для
1,3, . . ., п отрасли и т. д.;
хГ11, хп2> • • хпп — количество продукта га-й отрасли, которое рас-
ходуется в качестве сырья как для изготовления
продукта этой же отрасли, так и для 1, 2, 3, . .
(га — 1) отрасли;
Ух, У2, . . ., Yn — конечный спрос 1, 2, 3, . . ., га отрасли про-
мышленности, т. е. та часть валового выпуска,
которая уходит потребителю.
268
Тогда схему баланса можно представить в виде следующей
системы уравнений:
Хц #12	• * •	— Tj
%2 — Ж21—ж22—•  •—х2п = ^2
ХП--Xnl-ХП2 • • •-хпп— Yn
В такую систему необходимо ввести постоянные коэффициенты.
Их место может быть занято так называемыми технологическими
коэффициентами, или, как их принято называть, нормами расхода
сырья, материалов и т. п. на изготовление единицы продукции.
Такие коэффициенты будут обозначать!
а1Г — количество изделий, материалов и т. п. 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для изго-
товления единицы продукции той же отрасли;
а12 — количество изделий, материалов и т. п. 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции 2-й отрасли;
а1п — количество изделий, материалов и т. п. 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции n-й отрасли;
а21 — количество изделий, материалов и т. п. 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции 1-й отрасли;
а22 — количество изделий, материалов и т. п. 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции той же отрасли;
а2п - и т. д.
Тогда в составленную выше систему уравнений вместо значений
ж12 и т. д. можно поставить произведение значений технологи-
ческих коэффициентов на валовые выпуски соответствующих
отраслей:
xii = aii • Xi
^12 = “12 • Х2
xll = ail 
Подставим полученные произведения в нашу систему уравнений!
Х1 —	— «12^2 — •
Х2 — а21Х1 — а 22Х 2 — 
— а1пХп~
— а2ПХп = ^2
Хп — ап1Х1 — ап2Х2
аппХп —
269
Группируем члены уравнений с одинаковыми значениями X :
(1 — «ц) Xi — «12X2 —, . . — а1пХп — У1
—«21-X/ + (1—«22) -^2—• • • — a2nXn^Y2
—«пА — ап2%2 — • • • + (1 — «пга) Xn = Yt
Эту систему уравнений можно рассматривать, как линейное
преобразование переменных, т. е. переход от совокупности пере-
менных Уг, У2, . . Yn к совокупности Х\, X 2, . . ., Хп-
Следовательно, данной Системе уравнений можно сопоставить
матрицу:
в =
(1—«11)	—«12 •••—«!«
— «21	(1—«22) • • •’—«22
---аП1 ----а-П2 • • • (1--апп)
Используя свойство обратных матриц, можно осуществить пере-
ход от совокупности переменных Х2, . . ., Хп к совокупности
Уг, У2, . . Уга. Запишем матрицу, обратную матрице- В, в виде:
^11^12 • • • <hn
^21^22 • •  ^2П
Тогда
^П1^п2 • • • ^пп
%1 — dnY 1 + </] 2^2	. -|- dinYп
Х2 = <?21У1 +^22^2-]- • • -+^2пГп
Xn~dniYi-\-dn^Y2-\-. • --}-dnnYn
Выясним, что же обозначают коэффициенты dz/ при неизвестных
Yj. Если мы изменим конечный выпуск, например, только 2-й отрасли
на одну единицу, тогда У2 будет равен У2 + 1. При этом должен,
естественно, измениться и валовой выпуск 2-й отрасли. Если
— ^11^1 + ^12 (У2 + 1) + • • • + dlriYn
то изменение валового выпуска во 2-й отрасли должно произойти
На величину
Xi — Xi = di2 (У2 +1) — d\%Y2 — <^12^2 + ^12 — di^Y2 — di2
Таким образом, элемент обратной матрицы показывает, на
сколько нужно увеличить валовой выпуск продукции t-ой отрасли,
чтобы обеспечить увеличение конечного спроса /-ой отрасли на
одну единицу. Или иначе элемент обратной матрицы rfz/ (обычно
его принято называть коэффициентом полных затрат, a eZ/- — коэф-
270'
фициентом прямых затрат) обозначает количество продукции i-ой
отрасли, которое обеспечивает увеличение валового выпуска /-ой
отрасли на единицу. Как видим, элементы обратной матрицы полу-
чили конкретный экономический смысл.
Далее следует показать, что выражение Хг, Х2, .. ., Хп по
указанным формулам равносильно выражению их по формулам
Крамера. Если определитель матрицы В обозначим через Д, то
элементы обратной матрицы можно выразить как частное от деления
соответствующего алгебраического дополнения на определитель
матрицы В:
J -S11	.7	-821 j _ . Bni
«11 = —д— > «12 “ ~Х~’ •  ”	— ~~Х~
Тогда можно будет определить по формуле:
TZ	В Ц у. . В%\ уг .	, Вт уг
=	Г1+“Д- Г2+--- + — Yn
и т. д.
или
_ 5цУ14~ Д21У2 4~ • • '•-}-ВтХп
д
Если воспользоваться для определения Хг формулой Крамера,
то первоначальное уравнение будет иметь следующий вид:
Yi — «12 • • • —«in
У2(1 — а22) • • • —а2п
Y1 — «12 • • • —«in
Е2(1—а22) • • •—а2п
1 п ап2 • • • (1 «ггп)
(1 —«ц) —«12 • • • а1п
— «21 (1 — а22) • •  а2гг
ап1 ап2 • • • (1 апп)
Yn— «п2 • • • а апп)
А
Для X / определитель числителя раскрывается, как известно,
по первому столбцу. Тогда
у	ВцХ1 + S21E2+ • • • + BmYn.
Как видим, выведенное уравнение аналогично уравнению, которое
составлено на основе использования свойств обратных матриц.
Пример. Необходимо увязать производство трех групп химиче-
ских заводов как по линии взаимных связей, так и по линии точного
выполнения заданной им программы на производство продукции
для удовлетворения нужд потребителей (конечная продукция).
Увяжем группу заводов нефтехимической промышленности, кото-
рой задана программа на конечную продукцию У1 = 50 000 т,
химической промышленности, которой задана программа Y2 =ь
=• 30 000 т продукта, и группу заводов, изготовляющих изделия
из пластмассы, которой задана программа на конечную продукцию
Y3 = 80 000 m изделий. При этом известны (найдены расчетом,
271
опытом и т. п.) прогрессивные величины норм расхода этих продук-
тов, как сырья для взаимного и собственного воспроизводства, т. е.
ап = 0,08 т/т— норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т этого продукта на нефтехими-
ческих заводах;
а12 = 0,04 т/т — норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т продукта на химических за-
водах;
а1з — 0,01 т/т — норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т продукта на заводах пластмасс;
а2Г — 0,07 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
товления 1 т продукта на нефтехимических
заводах;
а22 = 0,06 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
товления 1 т продукта на химических заводах;
а23 = 0,02 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
товления 1 т продукта на заводах пластмасс;
а31 = 0,09 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для полу-
чения 1 т продукта на нефтехимических заводах;
а32 = 0,08 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для получе-
ния 1 т продукта на химических заводах;
азз = 0,01 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для полу-
чения 1 т продукта на заводах пластмасс.
Тогда валовые выпуски данных групп заводов (Хг — нефтехимии,
Х2 — химии, Х3 — пластмасс) будут увязаны следующей системой
уравнений:
(1— Яц) X1-a12X2-al3X3 = Yl
—a2iX\-i- (1 —а22) Х2— а2зХ3 — У2
—a3iXi — <132^2+ (1—азз) X3—Y3
Подставляем в систему известные нам значения а и У и опреде-
ляем валовые выпуски Xi
(1—0,08) Xi - 0,04Х2—0,01Х3=50 000
-0,07X1 -J- (1 - 0,06) Х2 - 0,02Х3 = 30 000
-0,09X1 -0,08Х2 + (1 -0,01) Х3 = 80 000
Системе соответствует матрица
| 0,92 -0,04 -0,01]
Я = -0,07 0,94 -0,02 II
11—0,09 -0,08 0,991|
Находим определитель |5| матрицы В. С целью использования
для решения определителя | В | свойства алгебраических дополне-
ний, превращаем элементы второй и третьей строк третьего столбца
определителя в нули, для чего первоначально первую строку умно-
272
жаем на 2 и вычитаем иэ второй строки и вторично первую же строку
умножаем на 99 и прибавляем к третьей строке, а именно!
0,92 —0,04 —0,01
•0,07	0,94	—0,02
•0,09 —0,08 0,99
0,92 —0,04 —0,01
-1,91	1,02	0
—0,09 —0,08 0,99
0,92 -0,04 -0,01
—1,91	1,02	0
90,99 —4,04	0
= -0,01 (-1)1+3
I —1,91 1,02 I
I 90,99 -4,041
= 0,01 [(-1,91) (-4,04) —90,99 • 1,02] «=< 0,85
Далее находим значения алгебраических дополнений каждого
из элементов определителя матрицы В:
Яц=(-1)1+1
0,94 0,02 =	. (0,02) = дз
—0,08 0,99]
В12 = (-1)г+2
—0,07 —0,02
—0,09 0,99
= —1 [0,99 (—0,07) — (—0,09) (—0,02)] =0,07;
В1з=(-1)1+3
-0,07	0,94
-0,09 -0,08
= (-0,07) (—0,08) — (-0,09) • 0,94 = 0,09;
I___о 04 _о 01 I
Й21 = Н)2*Н	’	’	=-1 [(-0,04)-0,99-(-0,08). (0,01)] = 0,04;
I 0,08 0,991
Й22=(-1)2+2
0,92
-0,09
-0,01
0,99
= 0,92 • 0,99-(—0,09) (-0,06) = 0,91;
В& = (-1)2+3 I 0’^ I = -1 [0,92 • (-0,08) - (-0,09) (-0,04)] = 0,08;
I —0,09 —0,Uo I
Взг=(-1)3+1
Й32=(~1)3+2
•0,04 —0,01
0,94 —0,02
0,92 —0,01
0,07 —0,02
= (-0,04) (-0,02) -0,94 (-0,01) =0,01;
= -1 [0,92 (—0,02) -(-0,07) (—0,01)] = 0,02;
Язз = (~1)3+3 I °| = 0,92 • 0,94- (—0,07) (-0,04) = 0,86
Определяем обратную матрицу:
	0,93 0,85	0,04 0,85	0,01 0,85	II 1,094 0,047 0,012
5'1 =	0,07 0,85	0,91 0,85	0,02 0,85	= 0,082 1,070 0,024
	0,09 0,85	0,08 0,85'	0,86 0,85	10,106 0,094 1,010
Определяем валовой выпуск группы нефтехимических заво-
дов — X группы химических заводов —X 2, группы заводов
пластмасс — Х3:
Х1 = 1,094 • 50 000+0,047 • 30 000 + 0,012  80 000 = 57 070 т
X2 = 0,082 • 50 000+1,070  30 000 +0,024 • 80 000 = 38 120 т
Х3 = 0,106 • 50 000+0,094 • 30 000 +1,010 • 80 000 = 88 920 т
18 Заказ 1706
Глава IX
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ТЕОРИИ ХИМИКО-ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводятся
задачи, в которых требуется найти соотношение между зависимой
и независимой переменными в условиях, когда последние изме-
няются непрерывно. Однако при исследовании многих вопросов
химической технологии функция бывает задана только для опре-
деленного числа дискретных значений независимой переменной.
Примером может служить изменение состава жидкости (зависимая
переменная) при переходе от одной тарелки к другой в абсорбцион-
ной колонне. Независимой переменной здесь будет номер тарелки,
являющийся целым Числом. Очевидно, что состав жидкости на та-
релке с номером 7,26 не имеет смысла. В подобных случаях решение
задачи приводит к так называемым уравнениям в конечных раз-
ностях.
Разностные уравнения имеют и другое важное применение:
ими пользуются при приближенном решении дифференциальных
уравнений (см. гл. XVIII — «Численное решение уравнений в част-
ных производных»).
§ 1. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
Пусть функция / (х) определена для следующего ряда равно-
отстоящих дискретных значений х:
х\ х-\-Хх\ х-|-2 Хх\ . . .; х-\-к Дх; . . ,
Обозначим величину функции в точке x-j- к Ах через у с соответ-
ствующим индексом:
f (x + kXx} = yx+kt^x	(1)
Первой разностью функции в точке х называется приращение
у при переходе от точки х к точке х + Ах. Эта разность обозна-
чается Аух.
Следовательно
Аух — Ух+^х Ух
(2)
274
Вторая разность, или разность второго порядка получается
подобным же образом, если воспользуемся приращением первой
разности:
&2Ух~ ^Ух+2 &Х &Ух Ух + 2 &Х ~Ух+\Х ~1~Ух	(3)
Аналогично имеем:
&зУх = Ух+З &х ^Ух+2 &х~^~ЗУх+&х Ух	(4)
Разностное уравнение есть соотношение между разностями сле-
дующего вида:
6 (ДПУ, &П-1У, • • Ду, У, X) =0	(5)
При подстановке (2), (3) и (4) в (5) получим эквивалентную форму
этого уравнения:
(Ух+п Дх’ Ух+(п-1) Лх’ • • •’ ^гс+Лх’ &х’	®
Решение разностного уравнения есть зависимость между у и х,
которая тождественно удовлетворяет данному разностному уравне-
нию.
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Рассмотрим	таблицу	разностей	функции:
		у = хЗ _|_ 2x2 _|_	ж-|-1
X	У	Ду Д2У	ДзУ	ДтУ
0	1		
		4	
1	5	10	
		14	6
2	19	16	0
		30	6
3	49		
		22	
		52	
4	101		
Как видим, разности третьего порядка постоянны и равны 6,
а разности четвертого порядка равны нулю. Это свойство имеет
место и в общем случае: разности n-го порядка полинома степени п
апх^ -|- ап^1хп~1 -|- . . . 4-щх + ао
постоянны и равны апп!, а разности более высокого порядка'равны
нулю. Это замечание позволяет сразу написать решение простейшего
разностного уравнения:
ДпУ = «	(7)
Таким решением, очевидно, будет служить функция:
У = -^г + с1хП~1+с2хП~!1+ •  • +<’п-1^+сп	(8)
где с — произвольные постоянные.
18*	275
§ 3. ОПЕРАТОР Е*
Действие, которое сопровождается изменением значения функции
в соответствии с изменением приращения независимой переменной,
обозначим символом Е.
Таким образом
ЕУй~ У1
Аналогично имеем:
Уп~Е СЗДп-г) = EzUn-z= • • • Епу	(9)
Равенство (9) показывает, что Еп применяется п раз для у0
с целью увеличить значение функции соответственно п-кратному
увеличению приращения независимой переменной. Индекс п в Еп
может принимать любое положительное или отрицательное значе-
ние. Следовательно
E.jf (*о) = f (*о—h)	(Ю)
где индекс (—1) устанавливает, что функция уменьшается до ближай-
шего нижнего значения независимой переменной. Оператор Е имеет
смысл только в том случае, когда находится перед функцией или
переменной. Он рассматривается как алгебраический символ и под-
чиняется законам алгебры.
Поскольку знаки Е и А выражают действия с конечными разно-
стями, Которые подчиняются одним и тем же правилам алгебры, то
следует ожидать, что между ними существует связь. Действительно,
можно показать, что
Уп+1 — Еуп	(11)
И
У п+1 Уп — Еуп	(12)
Подстановка (11) в (12) дает:
(Е— 1) Уп — ЕУп	.	(13)
Последнее равенство может быть записано как тождество между
операторами в таком виде:
^=1 + 4	(14)
Это соотношение весьма важно, так как оно дает возможность
упрощать алгебраические выражения при использовании обыкно-
венных алгебраических действий. Так, например, если х независи-
мая переменная, которая может принимать следующие значения:
^о,	+ h, х0 + 2h, и т. д., то
f (x0-\-h) =£/(х0)	(15)
В соответствии с формулой Тейлора имеем:
£/(xo)=/(xo+A)=/(xo)+A£»/(xo)+4tz)2/(xo)+-^-Z)9/(xo)+ ...	(16)
* См. стр. 287.
276
где символ D представляет дифференцирование, т. е. djdx. Из (16)
получаем:
[1 + ЛО+-^-+-^-+ . . .] / (ж0) =£7 (ж0) = (14-Д) / (х0)	(17)
Выражения в квадратных скобках образуют ряд степенной
функции ehD. Уравнение (17) устанавливает связь между дифферен-
циальным оператором и операторами для конечных разностей, т. е.
£=14-A = e'lD	(18).
Все три символа в равенстве (18) являются операторами и могут
быть обработаны как алгебраические величины. Для любого значе-
ния показателя степени т мы можем также написать:
Л"« = (1 + Д)'« = е'лЛВ	(19)
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Если уравнение, связывающее у, ку, Д2у, . &пу, содержит
эти величины линейно, то оно называется линейным разностным
уравнением re-го порядка. Такое уравнение можно привести к виду:
^п-1Ух+п-1 + • •  + AlUx+i + АоУх = Ф (ж)
Это уравнение имеет много общего с линейными дифференциаль-
ными уравнениями.
Если Ф (х) — 0, то разностное уравнение
АпУх+п + -^n-ll/x+n-l + • • • +AiJ>x+i-|-Аоул = 0
называется однородным.
Решения однородного уравнения следует искать в таком виде:
(при Р=4=0)
где р — некоторая постоянная, подлежащая определению. Напри-
мер, в случае уравнения второго порядка постоянную р можно найти
следующим образом. Пусть дано уравнение:
^2Ух+2~Ь ^1Ух+1Ч~ ЛоУх = О	(20)
Полагая у = рх, получим:
(И (А2р2 + Лгр+ Ло) = 0
Отсюда следует, что Р должно быть корнем квадратного урав-
нения
A2p2 + AP + Ao = O	(21)
Если это квадратное уравнение имеет два действительных различ-
ных корня pt и р2, то общее решение уравнения (20) имеет вид:
г/ = С1Р1-R2P2
где сг и с2 — произвольные постоянные.
277
Если = р2, то общее решение будет
y=(Q + ^)P*	(22)
Если корни уравнения (21) комплексные и сопряженные
Р = г (cos а + г sin а)	(23)
то решением уравнения (20) будет функция:
y = rx (cr cos ах + с2 sin ах)	(24)
Как и в случае линейных дифференциальных уравнений, общее
решение неоднородного линейного уравнения в конечных разностях
есть сумма общего решения соответствующего однородного уравне-
ния и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.
Пусть, например, дано неоднородное уравнение:
Ух+2—5г/х+1+6ух = Зж2
Общее решение соответствующего однородного уравнения будет:
Ус = с12х 4- йгЗ*
Частное решение неоднородного уравнения будем находить
методом неопределенных коэффициентов; для этого примем:
Ур = Ъ±х^ -|- Ь2х -|- Ьд
При подстановке в разностное уравнение найдем:
(* + 2)2 + &2 (* + 2) + Z>3-5&i (х + 1)2-5&2 (* + 1)-5Ь3 + бМг4-
4“ (>Ь2Т 4" 6&3 = Ззс2
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях xi
bi — 5&i == 6&i = 3
4&1 -f- 6g 562 10^14“ 6^2 = б
46j 4" 2Ь2 4“ 63 — 5&1— 5Ьз— 5Ь2 4~ 863 = 0
Решая эту систему уравнений, найдем:
,	3	'	9	,	15
=	62=2-; Ьз = Т
Следовательно, общее решение предложенного уравнения будет!
У = с12х + ^гЗ* 4" тух2 4- тг х +
d	di	di
§ 5. ПРОТИВОТОЧНАЯ ЭКСТРАКЦИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Противоточная экстракционная установка состоит из М ступе-
ней (рис. IX-1). При установившемся состоянии в экстрактор п
поступает L моль экстрактного растворителя и R моль рафинатного
растворителя. После перемешивания и последующего отстаива-
.278
ния рафинат направляется в экстрактор п + 1, а экстракт — в аппа-
рат п — 1.
Такого рода процесс имеет место в каждом экстракторе.
Исходный рафинатный раствор, идущий в экстрактор 1, состоит
из R моль растворителя, в котором на 1 моль содержится  у0 моль
извлекаемого вещества А. Начальная масса экстракта, подаваемого
в аппарат М,- состоит из L моль экстрактного растворителя, в кото-
ром на 1 моль содержится извлекаемого вещества А. Рафинат
и экстракт представляют собой несмешивающиеся жидкости.
В каждом экстракторе достигается равновесное состояние, кото-
рое может быть выражено так:
хп = куп	(25}
Рис. IX-1.
Определим зависимость между составом раствора для данной
ступени экстракции и содержанием извлекаемого вещества в началь-
ном растворе.
Из материального баланса для ступени п будем иметь:
Приход A = Ryn.l + Lxn+l
Убыль A — Ryn + Lxn
Приращение
Сопоставляя
должно быть равно нулю. Следовательно
Ry п-1 Lxn+i = Ryn -\-Lxn	(26)
(25) и (26), получим:
Уп+1 (а + 1) Уп + «Рп-1 о	(27)
R
а~-—-
Lie
к разностному уравнению, решение которого дает
где
Мы пришли
искомую зависимость между уп, числом ступеней п и составами
начальных потоков рассматриваемой здесь экстракционной системы.
Ищем решение однородного уравнения в виде
у = ₽п
где р определяется из уравнения:
₽2 — (а 4-1) Р + а = о
Корни этсго уравнения:
Pi = 1 и ₽2 = а
27»
Общее решение уравнения (27) будет:
Уп = с1+С2аП
Постоянные с2 и сг могут быть определены из следующих краевых
условий)
У — Уо при п=0
У =—— = Ум+1 ПРИ п^М + 1
Для исходного выражения окончательно получим:
гм-г/о _ «" — 1
Ум^-Уо ам+1-1
§ 6. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В СИСТЕМЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТОВ
Реакторы, число которых М, снабжены мешалками (рис. IX-2).
В каждый реактор поступает L м3/ч раствора. Питающий раствор
Рис. IX-2.
.для первого реактора содержит с0моль/м3 вещества А. В реакторах
протекает необратимая реакция по схеме:
А---► В
Скорость, с которой вещество А вступает в реакцию, определяется
следующим выражением:
----= (KVc)n моль/ч
где W — количество продукта реакции;
V — объем массы;
с — концентрация.
Константа скорости реакции К одинакова для каждого реактора.
Покажем, что максимальная концентрация вещества В, которая
может быть достигнута в реакционной системе, получается при
условии, что
„	. . . =Vtl
зз общий объем
п=М
Соб= 2 Vn
остается постоянным.
280
Материальный баланс компонента А для реактора п + 1 соста-
вляет:
с — 	Сп
"+1 кел+1+1
где
о -
Придавая п значения 0, 1, . . М— 1, получим!
с1 = —
1	К61 + 1
_ С1  ____________£о_______
2	яеа+1	(А'е1+1)(^е24-1)
См (Ае14И)(ке2+1)(яе3+1).. .(яем+1)
Наивысшая концентрация В в потоке жидкости, оставляющей
систему, будет в том случае, когда концентрация вещества А
в том же потоке является минимальной. Для минимального значения
этой величины, как известно, требуется, чтобы
м
^==24^=° 
При ЭТОМ
дсМ ~Кс0
д6„	Р(А0„ + 1)
где
р=(Аех+1) (ке2+1) (А0з+1).. .(xeM+i)
Сопоставляя (28) и (29), получим:
, -Ке» У
dcM р ^KGn+l 0
М-1
Так как
м
20/i==^=:=consfc
«=1
то
м
Отсюда следует, что
М-1
п=1
(28)
(29>
(30)
281
Подставляя это значение dQM в (30), найдем:
М-1
—Кс0\’Г/ 1	1 Ъп1—п
dcM~ р Zi |1м+1	К0м+1 / "I
n=l L
Так как величины 0Х, . . 0М_Х независимы, то
___*________L_=o
ке„+1 яем+1
Решая эти уравнения относительно 0„, найдем:
en=eM (»=i, 2...м-1)
Отсюда следует, что
у1=уа = у3= . . . = У„
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ТАРЕЛОК (СТУПЕНЕЙ МАССООБМЕНА)
В АБСОРБЦИОННЫХ КОЛОННАХ
При расчете числа тарелок абсорбционной колонны обычно вна-
чале определяют число так называемых теоретических тарелок,
которые затем делят на к. п. д. тарелок. Этот метод дает неточный
результат, за исключением таких случаев, когда рабочая и равно-
весная линии являются параллельными.
Покажем, что ойределение числа тарелок в абсорбционной ко-
лонне можно осуществить путем решения некоторого линейного
разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
циентами.
Примем следующие обозначения:
уп — мольные доли растворимого в газе, оставляющем п-к> та-
релку;
хп — мольные доли растворимого в жидкости, оставляющей п-ю
тарелку;
уг — мольные доли растворимого в газе, поступающем в колонну;
у2 — мольные доли растворимого в газе, оставляющем колонну;
х2 — мольные доли растворимого в жидкости, поступающей в ко-
лонну;
грж — скорость поступления жидкости, кмоль/ч]
wr — скорость поступления газа, влоль/ч;
т] — коэффициент полезного действия тарелки (общий);
п — порядковый номер тарелки в колонне, считая снизу;
N — общее число тарелок в колонне;
Л mwT
Приравнивая количество поступающего на тарелку растворимого
газа количеству его при оставлении той же тарелки, получим:
™гУп-1 +	= ™гУп +	(31)
282
Исключим из (31) хп и хп+1, воспользовавшись для этого равновес-
ным соотношением:
Уп = тхп + Ь	(32)
Мы получим:
+	=	+	(33)
Далее, с помощью формулы для к. п. д. тарелки
__Уп У п-1
Уп Уп-1
исключим из (33) у' и р’+1, где у’ — равновесная концентрация.
Мы найдем, что линейное разностное уравнение, подлежащее
решению, имеет следующий вид:
Уп+1 — (* + 1) Уп+^Уп-1 = 0	(34)
где
Л = 14-т] (X —1)
Будем искать решение этого уравнения в виде
Уп= ₽"
Тогда получим:
₽а —(ЛН-1) ₽ + к = 0
Корни этого уравнения будут:
₽i = l; ₽2 = к
Следовательно, общее решение уравнения (34) будет:
Уп 	4“ с^кп	(35)
Постоянные с1 и са определяются на основании граничных усло-
вий. Граничное условие у входа газа в колонну дает:
У1 ~ С1 + с2	(36)
Прежде чем ввести второе граничное условие хп = х2 при
п = N + 1 установим зависимость хп от п. Эта связь может быть
найдена путем исключения уп из (32), (33) и (35):
тхп-1-Ь = -~- уп+1 — 1~П	= +	(37)
Из второго граничного условия получим:
mzw+1+5^mza-|-6 = yj=Ci + c2M:JV+1	468)
Решая совместно (36) и (38), будем иметь:
883
Для значения уп в формуле (37) имеем
У1—Уп _ 1—
йУ1 — У г 1 — kkN
и концентрация растворимого в отходящем газе определяется фор-
мулой:
У1 —У2
У1~Уг	1—м"
Напишем это равенство в таком виде:
yi — y'i =	1	_ i — MN
У2 — У2	, У1~Уг
У1 — У2
Решая (39) относительно N, получим:
ч	§ 8. ХИМИЧЕСКАЯ АБСОРБЦИЯ И ДЕСОРБЦИЯ
В ТАРЕЛЬЧАТОЙ КОЛОННЕ
Газ для взаимодействия с жидкостью вводится в колонну снизу.
В тарельчатой колонне вследствие химической реакции непрерывно
•образуется новый газ. Реакция протекает в жидкой фазе в присут-
ствии катализатора, циркулирующего в колонне в виде раствора.
Реакция первого порядка осуществляется в тот период, когда
реагирующий газ поглощается жидкостью на тарелках. Газовые
продукты реакции отделяются от жидкости восходящим потоком
газа и улавливаются непрерывно в отдельном абсорбере; остаток
подается снова в реакционную колонну.
Требуется найти выражение для концентрации продукта в газо-
вой и жидкой фазах на любой тарелке.
Примем следующие обозначения:
Л = ш —~ •
“’ж ’
А = 1— г| (X — 1);
ткН
•а = -.-
“’ж
ла— растворимость чистого реагента — газа в жидкости, мол. доли;
к — константа скорости каталитической реакции в жидкой фазе,
КЛ1ОЛБ В
Ч • МОЛ. ДОЛИ А • Л1® ЖИДКОСТИ ’
Н — количество жидкости на тарелке, кмоль;
284 .
т] — общий к. п. д. тарелки для процесса десорбции, —•
Уп — Уп-1 ’
т — константа растворимости, определяемая из соотношения
Уп = тхп;
п — порядковый номер тарелки, причем п — 1 принят для дна
колонны;
N — общее число тарелок;
У! — концентрация взаимодействующего продукта в исходном газе,
мол.доли;
у2 — концентрация взаимодействующего продукта в отходящем
газе, мол. доли;
хг — концентрация взаимодействующего продукта в поступающей
жидкости, мол. доли;
х2 — концентрация взаимодействующего продукта в выходящей
из колонны жидкости, мол. доли;
— скорость поступления жидкости, кмоль/ч',
wr — скорость поступления газа, кмолъ/ч.
Пусть в жидкости, насыщенной реагентом А, протекает реакция:
А----> В
Скорость реакции будет:
кха кмоль В /ч- м3
Материальный баланс продукта реакции В для n-й тарелки
составит:
и>гУп-1 +	+ кНха = хгуп + и?жхп	(41)
где Н в ж8. Зависимость между составами оставляющих одну и ту
же тарелку газа и жидкости может быть получена из уравнения,
определяющего к. п. д. тарелки, и из уравнения равновесного
состояния:
у„=тхп	(43)
Из. (42) и (43) находим:
1	1—Д	,,,,
т£п г\	rj
Исключая хп и хп-1 из (41) с помощью (44), получим следую-
щее разностное уравнение:
Уп+1 — [2 + п (Л—1)1 + и + п (k — 1)] Уп-1 =—ar\xn	(45)
где
mkH „ miVr.
a =------, Х =----Е-
1РЖ	^ж
Граничные условия, которым уравнение (45) должно удовлетво-
рять:
У—У1 при n=Q
285
т. е. газ, поступающий внизу колонны, содержит ух мол. долей В;
•^1 ” ^л+1
т. е. жидкость, выходящая из колонны, сразу же возвращается на
верх колонны и, таким образом, возможность протекания реакции
вне колонны исключена.
Следует искать решение однородного уравнения в виде:
Ул=₽п
Подставляя (5" в левую часть уравнения (45) без правой части,
получим:
₽2—[24-n а—1)] Р+Ш-Т) а-1)] = 0	(46)
Корни этого уравнения будут
₽х = 1; р2 = 1 + т](Ь-1)=С
и решение, таким образом, имеет вид:
yn=^l + C2Qn	(47)
Частное решение находим как решение неоднородного уравнения:
Подставляя в (45), найдем:
Общее решение уравнения (45):
Уп — cl~\-c2,Qn-lr |
Первое граничное условие дает:
У1 = С! + с2	(48)
Прежде чем воспользоваться вторым граничным условием, нам
необходимо получить уравнение, в котором х выражалось бы через п.
Применяя для этой цели (44), найдем:
mxn = c1 + c2X<2n"1 + -^r (4‘ + ге —0	(49)
Подставляя в (49) п = 1 и n = 2V’-|-l, мы, соответственно, будем
иметь:
= +	+	(50)
wa!x+i=ei+^x<?jV+'^zrr (^+ЛГ)	(б1)
Приравнивая друг другу правые части (50) и (51), получим:
286
Из уравнения (48):
ахя N
(53>
Таким образом, окончательное решение будет:
Уп-Уг =	<54)
Для хп имеем:
>1-»-OT-(v+"-*)] <эд
§ 9. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ИДУЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО
В БАТАРЕЕ РЕАКТОРОВ
Для некоторого химического процесса чистое вещество А в жид-
ком состоянии должно поступать непрерывно в количестве 4540 кг/ч
в первый аппарат батареи, состоящей из двух одинаковых по разме-
рам реакторов с мешалками; реакторы работают последовательно.
Определить объем аппаратов при максимальном выходе продукта В,
если температура в них поддерживается таким образом, что обеспе-
чивается последовательный процесс:
A в С
Константы скоростей реакций составляют к1 = 0,1 мин"1 и к2 ~
= 0,05 мин-1 при температуре реакционной массы, плотность кото-
рой постоянна и равна 960 кг/м3.
Пусть концентрации веществ А, В и С при выходе потока из
любого реактора п равны, соответственно, СА, Св, „ и Сс, п- Тогда
для материального баланса применительно к стадии п в соответствии
с общими понятиями об уравнениях в конечных разностях будем
иметь
Компонент А:
С А, п-1	^А,П~^1^А,ПТ	<56)
где т продолжительность пребывания жидкости в аппарате;
Компонент В:
С В, n-i~^B, n = lt2p В, пх~~к1^ А, лт	<5?)
Решение уравнения (57) выполняется обычным путем. Примем
к1т = а и /с2т = р. Тогда (см. стр. 276)
(1-)-а) СА> п — СА' п_1 = 0
[£ (1 -|- а) 1] СА> п = 0
или
=	(58)
где Кг — произвольная постоянная, а рх = 1/(1 -)-<х).
287
Подстановка для С^, п из уравнения (58) в (57) после преобра-
зования дает:
[(1 + Р)	11	= aKipf	(59)
Общим решением уравнения (59) будет
в, п ^2Р”
где К2 — произвольная постоянная и р2 = 1/(1 + 0).
Для частного решения применим здесь метод обратных операто-
ров. Рассмотрим уравнение в конечных разностях второго порядка
(2?2 АЕ В) Уп — Ф (п)
Частным решением этого уравнения будет
Уп=( £2^1^4-д)Ф(ге)	(60)
в соответствии с методом обратных операторов (см. стр. 287).
Оператор Может быть представлен как произведение множителей
и разложен по частям. Таким образом, имеем:
_____1	_______1________ а__________а
Е*-АЕ+В~ (tf-Pi) (£-ра) ~ Я-Pi E—Pt
где а = 1/(р1—р2).
Каждая составляющая последнего равенства может быть написана
в таком виде:
«____ « Гц а т1 а Г1______-__। А2 . -
£_Р1 i-PiL^i-piJ i-pi L i-pi (i-pi)*
(61)
и
«	«Г, Д . Да______________"I
Ра = 1 —Ра L 1 —Ра ' (1 —Р2)2	‘ ’ J
Операторы (60) и (61) весьма удобны для отыскания частного ре-
шения, если Ф(п) является полиномом по п, так как для разложе-
ния потребуется только конечное число членов.
В том случае, когда Ф(п) = kQn, наиболее эффективным оказы-
вается другой способ. Имеем:
Еап = а«+1 = а  а«
И
Етап = ат+п = ат .ап
В общем виде
7(£)-а« = /(а).а«	(63)
при условии, что / (Е) может быть представлена как полином для Е.
Уравнение (62) является ключом к частному решению, когда
Ф(и) = кап.
Таким образом, переписав (60) с Ф(п) = kaai	—
(Е% —АЕВ) уп —кап	(60')
288
и используя (63), мы получим частное решение
Vn= (fi—Aa + B
при условии, что аг — Аа-\-В=^=§.
Для частного решения (59), таким образом, мы можем написать
при использовании (63):
в> п-1 - L(l + f5)£-l J аЛ1Р1 - (1 + Р) Р1-1 р-а
Тогда полным решением (59) будет:
Cs,n = ^ + j^P?	(64)
Так как в реактор поступает чистое вещество (реагент) А при
п = 0, Са=Са,о и Св—0, то
*1 = Сд,о
и
После подстановки этих значений в уравнение (64) получим:
есС л Л
св,п = 7^(Р1П-Р?)	(65)
Искомое условие должно дать максимальную величину концен-
трации Св, п для п = 2 при некотором значении т. Этот максимум
легче найти путем варьирования п при фиксированной величине т,
чем варьированием т при постоянном п. Продифференцируем (65)
и результат приравняем нулю:
dC п п А о
= -р^г{р" 111Р1 -Раln ра w
Мы получим:
Р" __ 1п Р1
pg In р2
1ак как
11 11
Р1~ 1+а “ 1 + 0,1т » Ра=1+Р 0,05т
то
/ 1+0,05Т \ 2 _ in (1 +0,05т)	,
\ 1 + 0,1т ) Ы (1 + 0,1т)
Применяя для решения (66) методы, описанные в гл. «Приближенные
вычисления», найдем:
т = 0,456 мин
19 Заказ 1708
289
Таким образом, мы будем иметь
Объем реактора ___________________________ V
Объемная скорость питания	4540	— ’
960 • 60
Оптимальный объем каждого реактора батареи составляет
у=^0-.0^6
960 • 60 W ‘
§ 10. ПРОЦЕСС ГИДРОЛИЗА ЖИВОТНОГО ЖИРА С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ
ЭКСТРАКЦИЕЙ В РАСПЫЛИТЕЛЬНОЙ КОЛОННЕ
Животный жир в количестве 3877 кг/ч подвергается гидролизу
и экстрагируется в распылительной колонне при использовании
1707 кг/ч воды. Колонна работает в условиях противотока; процент-
ное содержание гидролизуемого глицерина
8,53 масс. %, а количество глицерина в жир-
ной кислоте, оставляющей колонну, равно
0,24 масс. %. Определить число теоретических
ступеней в колонне.
Материальный баланс дает концентрацию
глицерина в воде, равную 18,8%. Общее ко-
личество жирной фазы в колонне 5538,8 кг.
Коэффициент распределения Глицерина между
водой и жиром 10,32; константа скорости реак-
ции 10,2 ч"1.
Для расчета числа теоретических ступеней
N рассмотрим схему тарельчатой колонны,
изображенной на рис. IX-3, где использованы
следующие обозначения:
L — количество жирной фазы, поднимающейся
в колонне, кг/ч-,
G — количество водной фазы, опускающейся
в колонне, кг/ч-,
Н — количество жирной фазы, приходящейся на одну ступень, кг\
х — массовая доля глицерина в экстракте;
z — массовая доля непрореагировавшего жира в рафинате;
w — количество жира, необходимого для получения 1 каглицерина,ка;
к — константа скорости реакции псевдопервого порядка в значе-
ниях концентрации жира, ч-1.
Для баланса по глицерину применительно к n-й ступени имеем:
п-1 4* Lxn+i -J- —— zn — Gyn	Lxn
(67)
Эквивалентный баланс по глицерину между п-й тарелкой и основа-
нием колонны дает:
~w ZN+1 JrG'.Jn-i = Gy^~r L {jn + -^- )	(68)
§90
Равновесное соотношение:
Уп — тхп
(69)
где т — константа равновесия.
Подстановка zn/w из (67) в уравнение (68) и исключение х при
использовании (69) дает:
mG ,	ч	, IfH ( т	mG mG \
~£—(Уп-1 — Уп)~\~Уп+1— Уп~\-L~\~wZn+1 --^~Уп-1---L~ Уп) - -Ч l70)
Приравнивая mG/L = а, кН/L = 0, мы получим после преобразо-
вания (70):
!М+1— (a + P + l) У/г~г(а4-аР) Уп-1 — Р (ау^ — zjv+i^ (71)
(72)
(73)
(74)
Уравнение (71) есть линейное уравнение в конечных разностях.
Вспомогательное уравнение составляет
[£2_ (а + Р + 1) £+а4(1+₽)] уп = 0
Общим решением будет
yn=4a« + 2?(l + P)"
Частное решение представляется в таком виде:
1__________________________________г
Уп (Е—а) (£-!-₽)
где
C=p(ayw — — zN+1)
Так как С не зависит отпиЕ = 1 + Д,то величина Е может быть
заменена единицей. Следовательно, уравнение (74) принимает такой
вид:
Тогда общее решение уравнения (71) будет
ayN — mzN !w
+	+------a_^ 1 ~	(76)
при граничных условиях: п = 0, у — 0; п = N + 1; х — 0.
Подстановка этих значений для граничных условий в (76) дает:
л ^N-mzN+ilw (l + P)^1-!
И	a —1	’ вЮ1_(1 + р)Ю1
ayN — mzN+l]w	сЛ*1 —1
B~~	a-1	’ ajv+1—(1-j-P)jv+1
В итоге после упрощения получим:
_ mzN^i ' Г n , (a-1) ajV-P(l + P)Nl	/77)
w(a —1)|_а + (1-а+р) (l + ₽)jv J
19*
291
Определим числовые значения а и 0:
mG 10,32 • 1707
а~ L
3877
= 4,54
ЛЯ 10,2 • 5538,8	14,6
~ L ~~	3877jV	®
где 5538,8/N = Н представляет количество жидкости, приходящейся
на ступень.
Таким образом, в соответствии с (77) мы получим
10,32  0,0853 Г N , 3,54-4,54jv —(14,G/7V) (14-14,6/7V)jv
4,51 +	/14,6	„к.\/, , 14,6 V
1“-3’54)(1 + —)
(78)
0,188=----,
4,54n+1-1
откуда методом подбора найдем:
• Я = 2,8
§ И. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Такие уравнения встречаются при решении инженерных задач
и они с трудом поддаются решению, а иногда и вовсе не решаются.
Однако нелинейные уравнения первого порядка могут быть решены
графически, а некоторые уравнения второго порядка решаются спе-
циальными подстановками. Эти методы рассматриваются ниже в от-
дельности.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим нелинейное уравнение первого порядка в конечных
разностях:
Уп+1-У2п+^Уп+В = 0	(79)
где А а В постоянные.
Расположим (79) так, чтобы его слагаемые были разделены соот-
ветственно их индексам:
Ауп В	(80)
Выбирая произвольно некоторый ряд значений уп, мы получим
из (80) соответствующий ряд значений г/л+1. Таким образом, примени-
тельно к уп и г/п+1 может быть составлена таблица, и по ее результа-
там может быть построен график в прямоугольных координатах
для уп относительно уп+1. Кривая А Б на рис. IX-4 представляет ура-
внение (80). Для того чтобы найти его решение строим диагональ
Уп — У п+1, которая на рис. IX-4 изображена линией РО. Начиная
с граничного условия у0 в точке А (координаты у0, у и проведя
ординату, мы найдем точку С на диагонали, где у0 — yv Из точки С
проводим обратно горизонтальную линию до пересечения с кривой АВ
в точке D. Координаты точки D составляют (у{, у2) соответственно
уравнению (60'), с помощью которого вычисляется у2. Продолжая
этот процесс ступенчатого построения графика до /V-й ступени, мы
292
получим значение y.v+1 и, следовательно, значение у, соответству-
ющее любой величине п. Это метод разработан для всех уравнений
первого порядка при условии, что они могут быть приведены к та-
кому простому виду, какой имеет уравнение (80). Следует отметить,
что легче выбрать значения переменной для наиболее сложной части
уравнения и найти решение для другой переменной. Например,
проще выбрать ряд значений для уп и решить уравнение (80) для г/„+1,
чем принять значения для г/,1+1 и решить квадратное уравнение
Для уп.
Пример. Этиловый спирт в количестве 454 кг/ч подвергается
этерификации при взаимодействии с уксусной кислотой, расход
которой составляет 386 кг/ч. Реакция
осуществляется при 100° С в батарее
реакторов непрерывного действия с
перемешиванием, причем объем каж-
дого аппарата 0,85 ж3.
При условии, что равновесное со-
отношение таково, что этерифици-
руется 75,2% кислоты, определить
число реакторов, необходимых для
60%-ной конверсии.
При 100° С константа скорости
реакции этерификации равна 4,76 X
X 10-4 моль-1 -мин-1, а для реакции
гидролиза эфира она составляет 1,63 X
X Ю'4 моль-1 -мин-1. Плотность реак-
ционной смеси 925 кг/м3.
Для материального баланса применительно к реактору т в бата-
рее из N аппаратов с внутренним перемешиванием имеем:
А, т-1 ЦС А, т
(81)
где СА, т— концентрация реагента А при выходе из m-го аппарата;
г — скорость реакции;
q — объемная скорость потока;
V — объем реактора.
Для реакции второго порядка
А-\-В zz? C+D
скорость химической реакции будет
r = /i1C^-C^	• С(82)
Если перемешивание является полным, то концентрация компо-
нентов на выходе из аппарата будет такой же, как внутри аппарата.
Поэтому равенство (81) принимает следующий вид:
С А, т-1 С А, т~ (klC А^ В £>)щ ®	(83)
где 0 — время пребывания реакционной массы в аппарате.
293
Если концентрация В превышает таковую реагента А на коли-
чество с в начале процесса, то эта разность будет поддерживаться
во всей системе, т. е. в любом реакторе т концентрация реагента В
будет (СА,т + с).
Исходя из стехиометрических соотношений, можно записать, что
концентрация каждого продукта составляет (САо — СА,т)-
Подставив значения этих концентраций для компонентов В, С
и D в (83), мы после преобразования получим:
СА, m-i = CA, m+ [^А, m (СА, т + с) ~ki(CA, 0~~СА, т)2] 0
Выражение (84) есть нелинейное уравнение первого порядка
в конечных разностях, которое надлежит решить графически для
общего числа реакторов при 60%-ной конверсии уксусной кислоты.
Принимая, что питающая жидкость перемешивается равномерно,
мы получим для концентрации уксусной кислоты:
„	386 - 865 „АО кг	398-1000	„ моль
САо = 386 + 454 =398 ^ ИЛИ САо = -Щ)+60- = 6’63“
Аналогично
Св 0 = 10,18 моль!л
Таким образом
и
с=10,18—6,63 = 3,55 молъ/л
„ 0,85 • 865 • 60
6 =-------840-----
= 52.6 мин
Подстановка этих значений в (84) дает:
С A, mn = С а. т + [ 4,76 • 10-*С4> т (QA т + 3,55) -
-1,63-10’4 (6.63-С\ т)21 5,26 = 0,01646^ т + 1,202Сл т-0,376	(85)
Произвольные значения СА, т, при-
веденные в таблице, были выбраны
и подставлены в уравнение (85) с тем,
чтобы получить соответствующие зна-
чения СА, т_х-.
6,6
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
8,27
7,43
6,05
4,70
3,38
2,09
294
Значения С a, m-i изображаются на диаграмме (рис. IX-5) отно-
сительно С а, т- Отметив состав питающей смеси моль/л, опреде-
лим с помощью диаграммы число реакторов следующим образом.
Желательная конверсия принята равной 60%. Следовательно,
концентрация уксусной кислоты на выходе будет:
0,40  6,63 = 2,65 молъ/л
Число реакторов при этих условиях составляет 7.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В настоящее время лишь незначительное число нелинейных
уравнений в конечных разностях могут быть решены аналитически
и они решаются только потому, что могут быть приведены к линей-
ным уравнениям.
Пусть, например, мы имеем уравнение в конечных разностях:
0п+2Уп=1/п+1	(86)
Представляя (86) в логарифмической форме, получим:
lg J/n+a + lg Уп~ 2 1g Уп+1	(87)
Примем
«n = lgyn
Тогда (87) становится линейным уравнением второго порядка:
«п+2—2ип+1 + «п = 0	(88)
Решение (88) известными методами дает:
Су С2п
или
1g Уп~
Теперь примем
Ci=lg А и С2= 1g В
Таким образом
Уп=АВ"
Решение уравнения (86) стало возможным только после его линеа-
ризации.
Нелинейным уравнением в конечных разностях второго порядка,
которое встречается в инженерных задачах, является уравнение
Риккатти:
Уп+1Уп+ АУп+1 + Вуп + С = 0	(89)
где А, В и С — постоянные величины. Оно обращается в линейное
уравнение следующим образом.
Пусть
Уп = г/п + в	(90)
295
Подставим (90) в (89) и напишем результат в таком виде:
(!1п+1 + 6) (ип + 6) + A (un+i 4- 6) + В (ип 6) 4- С = О
Ип+1ип4-(-^ + ^) «n+l 4-С® + 6) кп + (624-М+ В) 6-j-C] = 0	(91)
Если 6 выбрано так, что
62 (Л + В) 6 + С = 0
то после разделения (91) на ип+1ип мы получим:
(В 4*6) —---(-(^4-6) ——Н1 = 0	(92)
ип+1	ип
Подставим
1 1
&п — '	с ‘
ип Уп О
Тогда (92) примет такой вид:
а7г+14- Рхп 4- Q = 0	(93)
Равенство (93) есть линейное уравнение в конечных разностях,
причем
+ S	Q  1 
В4-6	v В4-6
и решение его известно. Оно приводится к следующему оконча-
тельному виду:
1 к (	Л4-6 V _	1	,д4)
Уо~Ь \	В4-6/	Л + В4-26	’
где постоянная К должна быть вычислена из граничных условий
задачи.
Пример. Бензольно-толуольная смесь, содержащая 60 мол. %
бензола, поступает непрерывно в ректификационную колонну.
Между кубом и питающей тарелкой имеется 9 тарелок и конечный
продукт содержит 98 мол. % бензола, в то время как жидкость
при выходе из куба содержит 2 мол. % бензола. Определить общий
коэффициент полезного действия колонны.
Питающая смесь поступает в колонну при ее температуре кипе-
ния и относительная летучесть бензола по отношению к толуолу
постоянна и составляет 2,3. Флегмовое число 3,0.
Для расчета примем 100 кмоль питающей смеси и пусть
D — число киломолей дистиллята;
W — число киломолей кубового остатка.
Таким образом
100 = D 4- W
и
60 = 0,98В 4- 0,02 (100 - В)
откуда
/) = 60,4 к.иоль и W = 39,6 кмоль
296
Материальный баланс в пределах между основанием колонны
и любой ее тарелкой п составляет:
Лаг/г+1 = Gyn + Wxn	(95)
где L — число киломолей флегмы, опускающейся вниз по колонне;
G — мольная скорость пара, поднимающегося вверх по колонне.
Так как относительная летучесть а постоянна, то для равновес-
ного соотношения будем иметь:
ахп
или
Уп 14-(а-1)^«
Подстановка (96) в (95) дает:
т	aGzn ,
LXn+1~ i+(a-i)Xn
(96;
X ,Х I Хп+1
ьп-лхп ~г“;	г
I* ~ 1
а —1) W хп
(а-1)
Wx№
L (а-1)
(97)
Напишем
L=F-i-RD= 1004-3 -60,4 = 281,2 кмолъ/ч
Обозначив
1	1
Л = —1—=,-±- = 0,769
а —1	1,3
= аб4-(а-1) Wxy _ 2,3 - 4 - 60,44-1.3 - 39,6 - 0,02 =	3
Л (а — 1)	281,2-1,3
С = —Wxw.— = 39,6 ' °’?2. = 0,0022
Л (а-1)	281,2-1,3	"
мы для (97) получим уравнение Риккатти:
хп+1^п 4“ Ахп+1 — Вхп -С = 0	:
(98)
(98) может быть найдено таким образом. Пусть
1
—	г
— О
Решение уравнения
где б получается из
или
уравнения
62-F(Л — В) 6-С^0
62—0,7456 = 0,0022
Корни уравнения:
6 = 0,757 пли —0,003
Общее решение уравнения (98):
z -	1	1
" Хп — 6 \В — &)	А — #4-26
297
Выбирая корень б = —0,003 и подставляя значения граничных
условий, для которых при п = 0 имеем хп= 0,02, найдем
 д: = 42,2
Значение п, соответствующее хп — 0,60, определяется из равен-
ства
1,66 = 42,2
Имеем
п = 7 тарелок
Исключая из этого числа куб колонны, мы получим общий к. п. д.
колонны	= 67 %.
V)V
§ 12.	РЕКТИФИКАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ТАРЕЛЬЧАТОЙ КОЛОННЕ
Бинарная смесь, состоящая из компонентов А и В, поступает
в ректификационную колонну непрерывного действия. Относитель-
ная летучесть смеси а постоянна.
Для тарелок, расположенных над местом подвода смеси, выве-
дем разностное уравнение, которое выражает зависимость состава
жидкости от числа тарелок, если к. п. д.
тарелок составляет 100%.
Примем следующие обозначения:
хп — мольная доля легколетучего компо-
нента в жидкой фазе на n-й тарелке;
xD — мольная доля легколетучего ком-
понента в жидкой фазе на n-й та-
релке;
у„ — мольная доля легколетучего компо-
нента в паре, находящемся в равно-
весном состоянии с жидкостью со-
става хп',
уп — мольная доля легколетучего ком-
понента в паровой фазе, оставля-
ющего n-ю тарелку; имеем уп = уп, если к. п. д. тарелки
100%;
L — мольная скорость жидкости, проходящей через колонну, рас-
положенную над питающей тарелкой (зта величина принята
постоянной);
—	мольная скорость исходной смеси;
—	кубовый остаток;
—	мольная скорость потока пара, поднимающегося вверх по
колонне (принята постоянной);
— мольная скорость продукта, выходящего из конденсатора.
Составим материальный баланс для легколетучего компонента.
На рис. IX-6 изображена ректификационная установка, где пункти-
ром обозначена рассматриваемая часть аппарата. Имеем:
V.Vn-i
F
W
V
D
(99)
298
Выражение (99) представляет уравнение рабочей линии на фазо-
вой диаграмме процесса ректификации.
Введем относительную летучесть
Уп (1 —
(1— Уп) *п
(100)
Для той же диаграммы формула (100) соответствует уравнению
равновесной линии.
Комбинирование (99) и (100) дает:
х	Dxn(a — l) — aV	Dxd
^-1+-^г+-	<101>
Пусть
1
a ---------------------------—
'	а —1
DxD(a — 1) — aV
Ь= L(a-l)
C~ L(a— 1)
Тогда (101) примет следующий вид:
xnxn_1 + axn + bxrl_-l + c = 0	(102.
Равенство (102) есть уравнение Риккатти.
Вводя
Vn = —Ц-	(103
получим
(b+6)F„+(a + d)P„_i+l=0
при условии, что
62 + (й_рй) в + с = О	(104)
или
в = ~(а + Ь) ± /(«——4с	(105f
Решением линейного разностного уравнения будет
’'--Д-^тУ-'с+б^+б)	'	<1Ю
где К — произвольная постоянная.
Комбинирование (106) и (103) дает:
^ = б+	+	1	—- -	(107)
' \ Ь-рО )	4- 0) 4- It -j- 6)
209
Пусть пересечение равновесной и рабочей линий происходит
в точке Xj и yL. Эта точка должна удовлетворять (99) и 100):
Vy, — Lxi —Dxd = 0
Vi (I—*,-)
(1— Vi) xt
Исключив yh получим:
zy+(a + 6)xz + c = 0	(108)
Уравнение (108) идентично (104), которое определяет значение S.
Следовательно
б = х(-
и смещение осей, которое требуется для линеаризации разностного
уравнения Риккатти, получилось путем принятия начала координат
в точке пересечения равновесной и рабочей линий.
Значение произвольной постоянной К в (107) зависит от условий
в нижней части колонны. Вычисление этой величины возможно
в том случае, когда известен состав жидкости, питающей тарелки.
§ 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В предыдущих параграфах было показано, что химические уста-
новки, состоящие из многих ступеней, могут быть исследованы
с помощью уравнений в конечных разностях, если производственные
условия являются стационарными. Однако в том случае, когда та-
кого рода установки подвергаются в своей работе ступенчатому
изменению, находятся в периоде пуска или выключаются, то составы
потоков реакционной массы, проходящей через эти ступени, изме-
няются со временем. Это приводит к появлению бесконечно малых
величин в дополнение к выражениям в конечных разностях, которые
в целом составляют так называемые «дифференциально-разностные»
уравнения. Следует отметить, что во многих случаях конечное
дифференциально-разностное уравнение, описывающее процесс, ста-
новится очень сложным для аналитического решения и тогда необ-
ходимо воспользоваться счетно-решающим устройством с целью
получения анализа по рабочим ступеням Аппарата.
Аналитическое решение дифференциально-разностных уравнений
выполняется путем приведения их к уравнениям в конечных разно-
стях на основе преобразования Лапласа. Полученное уравнение
решается с представлением итога к такому виду, чтобы можно было
показать, как изменяется со временем процесс при прохождении
реакционной массы в установке в течение переходного периода.
Пример. Система состоит из N аппаратов с мешалками, распо-
ложенных каскадно; объем каждого из них составляет v м\ При
условии, что в каждом аппарате сначала имеется чистая вода и
раствор соли с концентрацией а:0 кг/м9 поступает в первый аппарат
со скоростью R м9)ч, рассчитать концентрацию на выходе из послед-
300
него аппарата как функцию времени, если эффективность перемеши-
вания является 100%-ной.
Использовать полученный результат для сопоставлении переход-
ного состояния всей системы, имеющей общий объем Nv = V
(постоянный).	>
Для материального баланса по соли применительно к n-й сту-
пени имеем!
Rxn-i — Rxn — v	(109)
Преобразование Лапласа (см. гл. X) для уравнения (109)
с целью удаления производной дает!
Rxn-i — Rxn=vpxn
Решая это линейное уравнение в конечных разностях методом,
приведенным в § 12, получим:
Вследствие того, что состав питания является постоянным, имеем:
Таким образом
Из таблицы оригиналов и изображений получаем:
Следовательно
TN-lg-g- 1 _	1
(п — 1)! J (p-|-a)iV
Г 1	]__ С тл-1е~ах
Ь'г [p(p+«)w J ” J
(111)
Интегрирование правой части (111) по частям (N — 1) раз дает:
£-1---------=	1	[	е-ат +	--L С тАт-%-аг
p(p-]~a)N (N— 1)! L а	а v
—TiV'1e-a' ,
~ a(N — l) ’ а (Лг—2)! ~~ ’
Используя (112), мы из (110) получим:
XN==X(t .
е~ах ,	1
aN + aN
(112)
(Rx/v)N~l -rz/v
(TV —1)!
301
или
х —х„ д..с~Дт/г [1 I	L J- (/?TZE)------1	(113)
Это равенство есть решение первой части задачи.
Для второй части задачи, когда V — Nv, уравнение (ИЗ) при-
водится к такому виду:
х	, NRt , QVflT/V)2	(NR /П.Ц1 114)
— xo xoe Ut у "T 2! л • • • j (jy_____________________j\| J '	'
В частности, если Лг = 1, то
^=^о-^е-йт/”	(И5)
и если N = 4:
^=,._v-.«vv[i+№+8(4Ly+^(4iy]	««
Вычисление (ИЗ), когда N -> сю, затруднительно, но подстановка
V — Nu в уравнение (110) дает равенство
№ р V + RN )
которое разлагается по биномиальному закону так:
- z0 Г Vp 7V + 1 / Vp \2 (jV+i) (.V4-2) / Vp\3	-1
•v FL R~ + ~r\~ir) 3bV2 V R J
Если N велико, то выражение в квадратных скобках приближенно
может быть написано в виде:
Оригинал, изображения (117) может быть найден из таблицы
оригиналов и изображений й, таким образом, при Лг —
XN ► х0^к (т)
где k = V/R.
Равенства (114), (115), (116) и (117) графически изображены
на рис. IX-7 для того, чтобы показать зависимость концентрации
от изменения значений N. Мы можем сделать заключение о том,
что батарея из большого числа смесительных аппаратов, располо-
женнйгё пйСледовательно,' подвержена таким же воздействиям в отно-
шении изменения режима работы, как отдельный трубчатый аппарат
того же объема с поршневым потоком массы. Справедлив также
и обратный вывод: поток в трубе с незначительным обратным смеше-
нием может быть представлен цепью смесительных аппаратов с та-
ким же общим объемом.
Пример. Уксусный ангидрид подвергается гидролизу в лабора-
торной батарее смесительных реакторов, состоящей из трех сосудов
302
одинакового объема. В каждый реактор загружается 1800 мл рас-
твора ангидрида с концентрацией 0,21 молъ/л при 40° С и 600 мл/мин
раствора, содержащего 0,137 молъ/л уксусного ангидрида, непре-
рывно поступает в первый реактор.
Определить время, необходимое для работы системы реакторов,
чтобы привести их к установившемуся состоянию.
Константа скорости реакции гидролиза уксусного ангидрида
при 40° С составляет 0,38
Пусть мы имеем батарею, например, из п реакторов, располо-
женных последовательно. Для материального баланса примени-
тельно к яг-му реактору примем
следующие обозначения:
q — объемная скорость потока;
V — объем каждого реакционного
аппарата;
С — концентрация ангидрида в рас-
творе.
Если плотность жидкости и тем-
пература в каждом реакторе по-
стоянны, то будем иметь:
QCm_i — qCm = rmV-[-V
Обозначим:
Рис. IX-7.
V а
— = о — продолжительность пребывания
г,„ = кСт — скорость реакции.
Таким образом
dCm Ст-1 ( 1
Л ~ 0 ~Ьт \
материала в реакторе;
(118)
Так как все аппараты одинакового размера и батарея работает
в изотермических условиях, то 1	 = М (const)
Используя преобразование Лапласа для уравнения (118) в соот-
ветствии с гл. X:
/-(^) = pCm(p)-Cm(O)
мы получим:
рСт (р) — Ст (0) МСт (р) —g- Cm-i (р) = 0	(119)
где Ст(р) — изображение.
Но, реакционная масса в аппаратах в начале процесса имеет
одинаковые составы и поэтому Ст (0) = 0,21. Уравнение (119) может
быть представлено в виде дифференциального уравнения первого
порядка следующим образом:
д(р + М}Ст(р)-Ст_1{р) =0,219	(120)
303
Решая (120) методами, описанными выше (гл. X), мы получим:
(Р)- л [9 (,+ »)!- +
где А — произвольная постоянная.
При т = 0 имеем С0 = 0,137. Следовательно
Г /гЛ 0’317
Со (р)=——
И
0,137 л 0,210
Р	+0(р + М)-1
(121)
(122)
откуда находим А. Подстановка в (121) и соответствующее преобра-
зование дают:
0,137	,	0,210	Г	1
= p0m (p-|-M)n ' 0 (р-|-Л7) —1 L1	дт (р + М)т . * 123
_____01137______+0210 Г_________-_____+_________-_____+	+_________-_______
р0т (р + М)т и|_ 0 (.Р + М) ~ 02 (Р + 1И)2 Т • • • Т 0т (р + М)т
(123)
Каждое выражение в квадратных
скобках может быть непосредственно
обращено в оригинал при использо-
вании таблицы оригиналов и изо-
бражений, а первое слагаемое
может быть инвертировано при-
менением изображения (см. гла-
ву X).
Следовательно, решением будет
Равенство (124) есть общее выражение для концентрации на выходе
из любого реактора в батарее из п смесительных аппаратов с одина-
ковыми объемами, причем каждый из них начинает работать с одной
и той же концентрацией.
В рассматриваемом здесь конкретном случае последний реактор,
который должен работать при установившемся режиме, является
третьим и так как
М =	= 4+0,38 = 0,713
и 3
0М = 2,14
304
то
Сз=0,014—0,014(1+0,713т+0,254т2) е-о^ + 0,21 (1+0,333т+0,056т2) е-о.пз^
Таким образом
С3 = 0,014+(0,196+0,ОбОт + 0,0082т2) е-о,71зт	(125)
\
Равенство (125), которое дает С3 — состав потока на выходе из
последнего реактора как функцию времени, — изображено графи-
чески на рис. IX-8. Этот график показывает, что лабораторная
батарея реакторов достигает установившегося состояния через
15 мин от начала опыта.
20 Заказ 1706
Глава X
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рассматриваемые в операционном исчислении методы дают воз-
можность находить решения многих дифференциальных и интеграль-
ных уравнений, а также систем уравнений. Эти методы основаны
на так называемом преобразовании Лапласа и часто значительна
упрощают решения задач и сокращают вычислительную работу.
Операционные методы по существу сводят решение уравнения к оты-
сканию функциональных преобразований в таблице. Однако в совре-
менном своем состоянии операционное исчисление применимо лишь
к линейным дифференциальным уравнениям (обыкновенным и с част-
ными производными).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим зависимость между двумя функциями / (/) и F (р),
выраженную следующим образом:
^(p) = pj* erPtfftdt	(1)
о
Здесь р, вообще говоря, — комплексная переменная величина,
а / (t) — функция, которая при отрицательных t равна нулю:
/(0 = 0; (<<0)
(2)
Кроме того, относительно f (/). допустим, что для некоторой
области изменения переменных р интеграл (1) существует. Преобра-
зование, определяемое зависимостью (1), будем обозначать следу-
ющим образом:
F(p) = Lf(t)	(3>
Функция / (/) называется оригиналом, а функция F (р) — изо-
бражением. Зависимость между / (/) и F (р) также записывается
в виде:
/(t) = L'iF(p)
(4)
306
Символ L"1 обозначает преобразование, обратное преобразова-
нию (3).
Сущность операционных методов состоит в том, что исследуется
не сама функция (оригинал), а ее изображение.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть имеем зависимость между функциями х (£) и у (р)
P(P) = pJ e~P^x(t)dt	(5)
о
или в символической записи:
у (/>)=£* (О
dx
Найдем изображение производной, т. е. L —, выразив его че-
(it
рез у(р).
На основании равенства (5) имеем:
£^=pf .->'(%) <11
dt J \ dt /
о
Интегрируя по частям, получим:
со	со со
dt~ pe~ptx (4) | + Р2 J е~Р*х (4) dt
о	.00
Так как
lim [е~Р*х (1)]=0
t -> со
ТО
L^- = — Р^о + РУ	(6)
где
х0 = х (0)
Формула (6) определяет изображение производной , если из-
вестно изображение функции х и значение функции х при t = 0.
Для нахождения изображения производной второго порядка
d2x
примем, что
dx
U = -ГГ-
dt
Тогда из формулы (6) имеем:
, d%x r du	r dx	,	.
l-^2= L~dF = ~Puo + PL	P*1~P2xo + P2y	(7)
где хг есть значение производной при t = 0.
20*	307
Аналогично для изображения производных высших порядков
получим:
г d3x „	„	„
L	= Р3У — рзХо _ р2Х1 — pz2
г ^Х .
L = ply — р*х0 — рЗ.Х] _ р2х2 — рХз
и
L^- = Psy—(Psxo+ P^Xi-]- ps~2x2+ ... +pxs_i)	(8)
где xs есть значение при x = 0.
Формула (8) имеет большое значение при решении линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
4^ + м-О	(9)
at
при начальном условии:
х = г,, при t = О
Применим преобразование (5) к уравнению (9). Мы найдем:
РУ — Р^оН- ау = О
Отсюда
Согласно принятой нами символике, переменная х отсюда выразится сле-
дующим образом:
Остается найти функцию, изображение которой есть рЛ*.а‘ ® конце
книги приведена таблица, в которой помещены оригиналы некоторых функ-
ций. Из формулы (7) этой таблицы находим:
Следовательно
х = хйе^а*
Пример. Решить дифференциальное уравнение
(ftx
ы2.г = cos at	(10)
при начальных условиях:
dx
*=*о: ~аГ=х1 п₽и <==0
По предыдущему, обозначим y = L(x) и заменим каждый член уравнения
(10) его изображением.
308
Из таблицы изображений (см. Приложение I, формула № 10) находим:
,	Р2
L cos (Dt = ———-
р2
Учитывая формулу (7), уравнение (10) преобразуем к виду:
р2
p2y-p2X()-pXt+^y = -j-—_
Из этого уравнения получим:
ц : P2;r<> I Pxi I Р2
*	p2_j__Cl32 ~ р2 4-И2 Л (р2+<о2)2	U '
Обращаясь к таблице изображении (№№ 10, И и 21), найдем оригиналы
функций, стоящих в правой части равенства (11), и найдем х:
, sin cot . t
Х -= Xt. COS (Dt -X,---k —--sm (Dt
u	1 1 CO 1 2(D
Таким образом, переходя от оригинала к изображению при помощи пре-
образования (5), мы операцию дифференцирования оригинала функции заме-
няем алгебраическими операциями над изображением, благодаря чему решение-
линейного уравнения с постоянными коэффициентами приводится к решению
алгебраическое о уравнения.
§ 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для того чтобы решить уравнение с постоянными коэффициентами,
в общем виде
dnz . dn~lx .	dx	..
rfpr+«i-^pr+- .•+««-!sr+w-fW	(12)'
положим у = Lx и Фх (p) = Lf (t) и заменим в уравнении (12) про-
изводные от х по t их изображениями на основании формулы (8).
Мы получим:
(p"4-«iPn"1 + • • • +ап) У=Ф1 (Р) + Фг (Р)
где
(P) = (P^-l + P2zn-2+ • • • +P"Z(>) +
+ Я1 (Ргп-2 + Р2;ГП-з+ • • • +Р”-1;Ео) +
Ч-а2 (Pzn-3 Ч-Р^п-лЧ* • • • Ч~ P”-2;Eo) Ч~ • • • 4*an-l(Pzo)
Если положить
in (P)=Pn —«lPn-14- •• • +ап
то уравнение (13) можно переписать так:
(13>
(14)
Для решения уравнения (14) относительно х (t) мы должны найти
оригинал функции, изображение которой есть у (р)‘.
х= (р)
309
„	,	ф,(р) ф2 (p)
Для этого нужно разложить дроби и L на простей-
шие дроби и затем найти в таблице преобразований соответствую-
щие им оригиналы.
Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
+ 3 4т-~10ж = 47 cos 31 — sin 3/	(15)
at6 (it
при начальных условиях:
ж(0) = 3; + (0) = -1	(16)
Берем изображения от обеих частей уравнения (15):
, 3 dx
L-dT = 3py~9p
L-^^y-W + p
ЛТр2—2р
L (47 cos 31 — sin 31)  -t-t-t—
P2 + 9
Следовательно, дифференциальное уравнение (15) при начальных усло-
виях (16) заменяется следующим алгебраическим по отношению к неизвест-
ной у.
РгУ + ЗРУ — Юр — Зр2—8 р = 47Р
или
(Р2 +3р-10) у = 47feq3p' +3р2 + 8р
р -r у
Решая это алгебраическое уравнение, получаем:
= Зр4+8р8+74р2 + 69р
У (Р2 + 9)(р + 5)(р-2)
Остается по изображению у найти его оригинал х. Для этого разложим
уравнение (17) иа сумму простейших дробей. Дак как для операционного исчи-
сления простейшими являются дроби, отличающиеся от простейших дробей
интегрального исчисления наличием множителя рв числителе, то расклады-
,	х У
наем с помощью обычных приемов дробь — :
у_ Зр2+8?2 + 74р+69 = ,'Ар + В
Р (Р2 + 9) (Р + 5) (р — 2)	Р2 + 9
р + 5 р 2
где А, В, С, D — подлежащие определению числа.
Умножая на общий знаменатель, получаем:
8рЗ + 8р2 + 74р + 69 = (4р + В)’( р2 + Зр -10) +
+ С(р2 + 9)(р-2) + В(р2+9)(р+5)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получим систему
уравнений
л+с+в=з
ЗЛ + В — 2С г 5D = 8
-310
—ЮЛ + ЗВ + 9С + W = 74
—10В —18С + 45В=69
решив которую, находим А ——2, В = 3, С = 2, В = 3
Следовательно:
у —2р4-3 ,2,3
т— Р2 + 9 р + 5	Р —2
Умножив обе части этого равенства на р, имеем:
у * рМТ Р2т9 Т р + 5т р-2
Пользуясь таблицей изображений, находим:
х= — 2 cos 3t +sin 3t +2e-5/ +3e2<
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Для нахождения изображения функции / (/) следует вычислить
интеграл, стоящий в правой части формулы (5).
Найдем изображение функции, определенной следующим обра-
зом:	.	( 1 <>o / (t) =< 1 I 0	t<0
Функцию эту в операционном исчислении называют единичной
и обозначают символом 1 (/). Мы имеем:
Bl(Z) = pJ e~P(dt = p^—) | ««1	(Р>0)
о •	о
Таким образом, изображение единичной функции есть единица.
Найдем изображение постоянной величины:
f (г) = 4 = const (/>0)
Имеем при р>0:
ОО	оо
р	/ __Ae~pt \ I
LA(t) = p\ е~Р* A (t) dt = р	) | =« 4
о	о
Пусть
/(t) = e-a<
В этом случае
£e-a< = p J e-Pt e~at dt — р J e~lp+a)tdt = ——	(₽ + а^>0)
o	o	P+a
Отметим, что если /(f)=ea<, то:
Leat=-^- 	(p>a)
p — a	'
31t
Найдем изображение функции tm. Интеграл (5) при / (1) = im
через элементарные функции не выражается. Интеграл этот детально
изучен и свойства его хорошо известны. Приведем некоторые из них.
Гамма-функция положительного аргумента п определяется следу-
ющим образом:
Г (и) = J dx	(18)
о
Очевидно, что
Г(1)=У e~xdx=t	(19)
о
Интегрированием по частям может быть установлено следующее
тождество:
Г (и-]-1)= J хпе~х dx = n у xn~le~x dx-[- (—хпе~х) | =п у xn~le~x dx (20)
оо	оо
Сопоставляя уравнения (20) и (18), получим:
Г (« + 1)=пГ (п)	(21)
Формула (21) выражает основное свойство гамма-функции. Из
этого свойства вытекает, что, если значения функции Г (н) известны
для всех п между любыми следующими одно за другим целыми
числами, то значение Г (п) для любого положительного значения п
может быть найдено путем последовательного применения (21).
Интеграл (18) не имеет смысла при отрицательных п. Однако
формула (21) может быть использована для определения Г (п) для
неположительных значений п. Мы можем написать (21) в таком виде:
Г (П) = -Г-1П+Я.	(22)
' п
Если 0 < п 1, то правая часть этого равенства определена
посредством формулы (18); следовательно, формула (22) позволяет
определить функцию Г (ге) для —1<п^0.
Далее, мы можем найти Г (и) для —2 /г -< —1, так как для
этих значений п правая часть (22) определена, и т. д. Таким образом,
имеем возможность определить Г (п) для любых вещественных
значений п.
Из формулы (19) имеем:
Г(1) = 1
Пользуясь формулой (21), получим
Г (2) = 1 • Г (1) = 1
Г (3) =2-Г (2) = 2• 1
Г (4) = 3-Г (3) = 3-2-1
Г (п 4~ 1) = п!
при условии, что п является положительным целым числом.
312
Отсюда видно, что удобно считать:
О! = Г (1) = 1
подстановку
Последовательное применение формулы (22) показывает, что
гамма-функция становится равной бесконечности, если п есть нуль
или отрицательное целое число.
Сделав в основном интеграле
х=У2
получим:
Г(П) = 2| у^-1е-У*
О
При п=^1/2 имеем:
Г(4)=2р” iy
4 z о
В курсах математического
анализа доказывается, что ин-
теграл, стоящий в правой части
этой формулы, равен Ул. Сле-
довательно	Рис. Х-1.
Применяя этот результат совместно с (22), получим:
2
Далее имеем:
2
На рис. Х-1 представлен график функции Г (п). В конце книги
приведена таблица значений функции Г (п).
Возвратимся к нахождению изображения функции / (1) = tn.
Подставив в интеграл (18) х = pt, получим:
ОО
г (п) = рп $	dt
О
= р Ге-P^dt
pn-i J
(23)
ИЛТ1
313
Сравнивая уравнение (19) с основным интегралом преобразова-
ния (1), имеем:
и
Ип~г =
Г(»)
рП-1
(n>0)
получим:
£"1 —— •____________
рт ' ’1, рт	Г (т 4-1)
В частности, если т есть целое число, то
Г (« + !) = «!
Заменив n— 1 на т,
Ltm = UH+Jl
tm
(m>—1)
(24)
ml	1
рШ	pin
§ 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В химической кинетике и во многих других областях техники
анализ процессов часто приводит к решению системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для
решения такой системы методы операционного исчисления оказы-
ваются весьма эффективными.
Применение этих методов к решению системы дифференциальных
уравнений ничем принципиально не отличается от рассмотренного
выше решения одного уравнения. В каждом дифференциальном
уравнении системы от оригиналов переходят к изображениям; при
этом система дифференциальных уравнений заменяется системой
алгебраических уравнений, которая решается обычным способом;
затем от полученных изображений искомых функций снова перехо-
дят к оригиналам.
Пример,
jb+4^a+3„=„
Пусть начальные условия будут:
г1 = 0)
> при t=О
i2 = 0 )
Положим £#1 = 44, Ьхг = у2 и в данной системе перейдем от оригиналов
к изображениям. Получим:
(Зр + 2) Р1 + РУ2=1 1
РР1 + (4р + 3) р2 = 0 /
Решаем одновременно эти два уравнения относительно у^
__	ч у о	_ у
У1~ (Р+1) (11Р+6) ~ Х1
314
Пользуясь таблицей изображений (№ 25), находим оригинал функции:
Решая относительно у2, получим:
Vi~ (Нр+6) (р+1) “ Lxa
Из таблицы изображений (№ 14) находим значение оригинала функции:
/ 61 \
=	—е П )
э \	/
Пример. Решить систему дифференциальных уравнений
dx „	„	,
— = — 2х~ 2p—4z
dt
^- = —2x + y — 2z
•^- = 5z+2!/ + 7z
at
при начальных условиях:
ж(0) = -2, р(0) = 0, z(0) = 3
Примем:
Lx = X; Ly~Y\ Lz = Z
Составим операторные уравнения:
(P + 2) X + 2K+4Z = -2p
2X + (p-l)P + 2Z = 0
-5Х-2У+(р-7) Z = 3p
Решая эту систему относительно X, У, Z. найдем:
v 2р 2р , 2р
Р-З р—2 ~ р —1
Y =----£----1-£—
р-3	р-1
z = Зр I 2р _ 2р
р—3 р —2 р—1
Обращаясь к таблице оригиналов и изображений, получим:
Х = -2е3‘—2е** + 2е*
Z = 3e31 +2ез1—2е*
315
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Найдем функцию, дающую распределение температуры в полу-
•ограниченном твердом теле (область ОО на рис. Х-2), которое
имело постоянную температуру t0 в начальный момент времени;
затем температура его поверхности была внезапно понижена до tc.
Эта температура на поверхности в дальнейшем поддерживается
неизменной.
Температура в этом теле зависит от двух аргументов: от временит
и от абсциссы точки х; поэтому дифференциальное уравнение для
.поля температур имеет вид:
дх ° дхЪ
.где ,&~t — tc—избыточная температура.
Начальное условие:
при т = 0 и 0 «'j х оо имеем О — t0 — tc = At
Граничные условия:
при т > 0 и х = 0	имеем О — tc—tc--- О
dQ
при т Ji 0 и х —> оо имеем ---> О
дх
(25)
(26)
(27)
Идея решения этой задачи мето-
дом операционного исчисления заклю-
чается в следующем.
Помножим уравнение (25) на e~pxdx
и проинтегрируем по т в пределах от О
до со. Мы придем к обыкновенному
(не в частных производных) дифферен-
циальному уравнению для функции
и = р J Ое-'’” dx
1
которая является изображением искомой функции б1.
Интегрируя это обыкновенное уравнение, найдем изображение и
искомой функции б-. Затем с помощью таблицы для перехода от
изображения и к оригиналу $ определим искомую функцию О'.
Подвергнув указанному преобразованию соотношения (25) и (27),
получим:
со	со
р}~дхе dx = ap\l^e dx	(28)
о	о
При х--0 имеем;
J dx = О
о
316
При х -> оа имеем:
Р' dx=~
ах*
о
Выполним преобразование отдельных членов в этих формулах:
СО	со
Г	, d2 (
о	о
Интегрируя по частям левую часть формулы (28) и используя
условие (26), получим:
pf -е~Р~ dx = pfte~P~ \ 4-p2 f x)e~p~ dx = pu— p
J дх	I J
о	oo
Таким образом, дифференциальное уравнение для функции и
имеет следующий вид:
d2u	р	рМ
—г------и 4-------- О
dx2	а а
Граничные условия для функции и будут такие!
При х = 0 имеем и = 0
du п
При ж —> оо имеем —---> О
r	dx
(29)
Общее решение уравнения (29) будет:
и - Схе
Дифференцируя и по х,
а +С2е г а +дг
найдем:
е Г а
е
Используя граничные условия, получим для Сх и С2 такие
значения:
— Oj С*2 — —
Подставляя эти значения Сх и С2 в общий интеграл, получим
изображение и искомой функции й:
— е ’ “J
Воспользуемся таблицей перехода от изображения к оригина-
лам (см. Приложение I).
317
Из этой таблицы следует (№ 26), что изображению 1 — е
соответствует оригинал:
е~п‘ dn
Отсюда для О находим следующее выражение:
2 /ат
2 Г е-пгап
/л J
Следовательно
t = tc4
С е-п‘ап
Кл J
О
Пример. Начальная температура стенки печи равна 20° С; эта
температура для наружной поверхности стенки остается постоянной,
в то время как температура внутренней поверхности печи мгновенна
повышается до 600° С и после этого остается постоянной.
Определить время, необходимое для получения температуры 200° С
для плоскости, расположенной на расстоянии I — 46 см от наруж-
ной стенки печи. Коэффициент температуропроводности стенки
а = 0,0042 см2/сек.
Применим формулу (30), положив в ней t = 200, tc — 20,
t0 => 600:
9	1
V ат
nnr r 2 (600—20) f
200 — 20——t| e n dn
Ул J
ИЛИ
4On 1160 ,
I
2 Кат
Так как
V a = Ko,0042 = 0,065
то отсюда получим:
0,155 = erf с
46
2 • 0,065 К т
, Зо5
318
Для определения из этого уравнения величины т, приведем вы-
держку из таблицы функции ег/с.
	1	_ 1	_ 1
	I2	2 355Х	2 ег/гЗббт
1,1 • 10й	332	1,070	0,1298
1,2 • 10й	347	1,020	0,1497
1,3 • 10й	361	0,981	0,1659
1,4- 10й	374	0,946	0,1800
При помощи интерполирования найдем:
т = 1,27 • 105 сек = 35 ч
§7. ДИФФУЗИЯ, СОПРОВОЖДАЮЩАЯСЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
При поглощении газа раствором процесс диффузии газа в раствор
сопровождается химической реакцией первого порядка, скорость
которой пропорциональна концентрации растворенного в жидкости
газа. Скорость диффузии в жидкости принимается пропорциональной
градиенту концентрации.
На рис. Х-3 представлен диффузионный слой жидкости, примы-
кающий к межфазной границе газ — жидкость. Требуется найти
функциональную зависимость, выражающую изме-
нение концентрации растворенного газа по толщине
диффузионного слоя.
В любой плоскости, перпендикулярной к на-
правлению диффузии, условия процесса являются
одинаковыми. Выделим в пограничном слое эле-
мент толщины dx, ограниченный плоскостями,
параллельными плоскости раздела фаз и проведен-
ными на расстоянии х их + dx от этой плоскости;
составим материальный баланс для этого элемента.
Площадь элемента примем равной единице.
Скорость диффузии в точках плоскости, отстоя-
щей от плоскости раздела фаз на расстоянии ж, бу-
дет равна:
<7с
dx	Рис. Х-3.
где D — коэффициент диффузии, ас — концентрация газа в жид-
кости на глубине х.
Так как концентрация уменьшается в направлении диффузион-
ного потока, то коэффициент диффузии взят со знаком минус.
Количество газа, продиффундировавшего за время dx через эту
площадку, будет равно:
г,	„ de .
Приход = —Р — dx
ах
319
dx
Аналогично, количество газа, продиффундировавшего через про-
тивоположную границу элементарного слоя, отстоящую от пло-
скости раздела фаз на х 4- dx, будет
Убыль = —£> Г-^-
L dx
так как концентрационный градиент в этой плоскости будет равен:
de (x-’-dx'i   de / de \
dx	dx ' \ dx )
Во время диффузии через элементарный объем газ взаимодей-
ствует с жидкостью со скоростью, пропорциональной его количе-
ству, находящемуся в этом слое.
Так как объем рассматриваемого элемента равен dx, то количе-
ство диффундирующего вещества через элементарный объем полу-
чится умножением этого объема на концентрацию с.
Но скорость химической реакции пропорциональна концентра-
ции и, следовательно, равна кс, т. е.
de
---— = кс
dx
где к — константа скорости реакции.
Таким образом, количество диффундирующего газа, вступающего
в химическую реакцию, в элементарном объеме dx за время dx
составит:
кс dx dx
Если процесс диффузии считать установившимся, то при соста-
влении материального баланса по обычной схеме:
Приход— убыль = приращение
следует принять приращение равным нулю. Поэтому уравнение
материального баланса будет иметь следующий вид:
-D dx+D [ ( £ ) + d (	] d т - к с dx Л = 0
После упрощений это уравнение принимает вид:
d2c к
~dx2~~DC
Для решения этого уравнения обозначим через а2; уравнение
примет вид:
с" (ж) — а2с (ж) = О
Обозначим у (р) изображение функции с (х), которую будем счи-
тать оригиналом. На основании формулы (7) найдем, что изображе-
ние у (р) удовлетворяет следующему алгебраическому уравнению:
Р2у — р2ж0 — рх! —а2у=0
320
Решая его относительно у (р), получим:
, , Р2 । £1 Ра
V(P)-X0 р2_а2 + а ’ р2_а2
Пользуясь соотношениями 12 и 13 таблицы изображений и ориги-
налов функций (см. Приложение I), найдем оригинал, т. е. функ-
цию с (я):
с (х) = х0 ch ах +	sh ах
Здесь х0 = const есть значение функции с (х) при х = 0, a xt —
значение ее производной, т. е.
х, = с' (0) =	— const
dx
Если хв и xt считать произвольными числами, то найденная нами
функция является общим интегралом уравнения. Эту функцию
можно представить в виде
с (х) = kieax к2е~ах
Пусть нам известна концентрация газа в пограничном слое,
а также в слое, расположенном на расстоянии I от пограничного.
Допустим, что с = Cj при х = 0 и с = с2 при х = I. Тогда
С1 =	+ ^2,' с2 =
Решая эти уравнения относительно и к2, получим:
с2 —Cie°; —с2
1	2 sh al >	2	2 sh al
Подстановка kx и кг в общий интеграл дает:
,	।	, ,,	,	eg sh 1/”-4- • х + cj sh ]/"-тг (1 —я)
_ с2 sh ах + sh а (? — х)   f D________г D_______
с~ sh^Z	~	, 1//Г
sh |/ D .1
§ 8. РАСТВОРЕНИЕ СОЛИ В БАССЕЙНАХ
Дно бассейна покрыто слоем слежавшейся соли. Для промывки
дна бассейн залит водой. Найти зависимость между концентрацией
соли с в бассейне и временем т для точки, находящейся на расстоя-
нии х от дна бассейна.
Возьмем уравнение диффузии в следующем виде:
дс . о д2с
— п2---------
01 дх*
(31)
21 Заказ 1706
321
Обозначим ск концентрацию соли в растворе на дне бассейна.
Найдем решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям:
с = ск; ж = 0 при т>0 1
с = 0; ж>0 при т=0 J
Обозначим через и(х, р) изображение функции с(х, т):
Lc (х, т) = и (х, р)
Тогда, переходя от оригинала с к изображению и в уравнении (31)
и учитывая (32), получим:
.д*и р
Их* ~И*и
Мы получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами
относительно функции и.
Общее решение уравнения (33) есть
- ]/ -гр -х
и=Ае r h + Be й
Так как концентрация не растет неограниченно при бесконечном
возрастании х, то
В = 0
Далее, так как с = ск при х 0, мы должны иметь:
ск = Л
Следовательно
и = ске
Для определения функции с по ее изображению и, примем а
тогда
и = ске~а	с = £*1еке*а
Обращаясь к таблице оригиналов функций и их изображений,
используем зависимость № 26:
2 /Г
^Z-Vo/P=i—-L f e-n’dn
Уп J
о
Отсюда для искомой концентрации с соли в бассейне получаем
следующее выражение:
с (х. т) = ск 1
322
§ 9. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА АБСОРБЦИИ
На поверхности раздела жидкой и газовой фаз, как известно,
имеет место равновесное состояние, которое выражается согласно
закону распределения следующим соотношением:
У1 = mxt
где р(- — концентрация поглощаемого вещества в газе, мол. доли;
xt — концентрация этого вещества в жидкости, мол. доли;
т — постоянная.
Принимая, что фазы безграничны в направлении, перпендикуляр-
ном к поверхности раздела фаз, найдем выражение для скорости
абсорбции в зависимости от продол-
жительности контакта.
На рис. Х-4 изображена схема вза-
имодействия рассматриваемых фаз.
Дифференциальные уравнения,
определяющие концентрационные
профили, имеют следующий вид:
для газовой фазы
Г>	дУ
r dz* ~ дх
для жидкой фазы
(35)
(Ы)
л д*х дх
£>ж~дг1"=~дх
Граничные условия:
1.	у = тх при zx = z2 = 0;
2.	Dr = — D,K при zx = z2 = 0;
г dzx	ж dz2 1	1 z
о ду дх ~
3.	-/- = -z— = 0 при z1 = z2 = oo;
<?zx dz2	1 i
4.	y = yQ для всех значений zx при т = 0;
5.	х — х0 для всех значений z2 при т = 0.
Применяя к уравнениям (34) и (35) преобразование Лапласа,
получим:
^-Цйг=-Цу0	(36)
и
=	(37)
где =	=
21*	323
Тогда для граничных условий имеем:
	пшж при Zj = z2 = 0	(38)
Г) ^иг и? ~~1— —  azj	rx duyu	Л ПРИ 21 = 22 = °	(39)
dur dzr	dU-SK -J,	=0 при Z1 = Z2=00 aZ2	(40)
Соответствующими решениями уравнений (36) и (38) будут:
“г = ЛхЛ2”* + Bre	+ у0	(41)
“ж ~ A2e xZ‘ + В 2е Хжг! + г0	(42)
Третье граничное условие требует, чтобы At = А2 = 0.
Подставляя уравнения (41) и (42) в (38) и (39), получим:
Bi + y0 = mB2 + mx0
DrBikr— ВжВ2кх
Решая эти уравнения относительно произвольных постоянных,
найдем:
В1 =---£о-^о	(43)
1+m-FT-
^Ж^Ж
	Уо —mz0 ^2	D 1	(44) m_i__ 1 DrXr
Таким образом, имеем:	для двух рассматриваемых здесь изображений " _ „„	У0~тх0 -Хгг, r Vo	вгхг 1+т Г) Л
mDrkr
Для определения скорости абсорбции на поверхности раздела
фаз воспользуемся одним из этих выражений, а именно (43). Тогда
изображение для скорости абсорбции, выраженной в молях на еди-
ницу площади в час, будет:
= _£_______Уотх° _ Р ______________Ур-тх0	i/t
ВТ 1 I т RT ' ( I \‘/« ,	/ 1 у/. 'р
£*жУк	\ ВТ )	V £*ж )
324
Переходя к оригиналу, получим:
N Р	!/о — тх0 1
Общее количество абсорбируемого материала в любой момент
составит:
Следовательно, коэффициент абсорбции
§ 10. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА
В ДИФФУЗИОННЫХ АППАРАТАХ. АДСОРБЦИЯ
Скорость, с которой устанавливается равновесное состояние
диффузионных процессов, имеет большое значение при эксперимен-
тальном определении эффективности работы диффузионных аппа-
ратов.
В случае ректификации и дистилляции с большим числом тарелок
очень важно иметь возможность предсказывать ход изменения состава
продукта со временем, так как нередко экономически оказывается
наиболее выгодным производить отбор продукта из колонны до уста-
новления равновесного состояния, т. е. при переходном режиме.
В таких диффузионных процессах, как адсорбция, ионный обмен,
а также теплообмен при рекуперации, рассматриваемые явления
вообще могут происходить только в условиях переходного режима
работы аппаратов.
Степень отклонения от равновесного состояния обусловливает,
кроме того, продолжительность цикла диффузионного процесса.
Для анализа переходного режима в диффузионных аппаратах
рассмотрим процесс адсорбции паров из газовой смеси в слое твер-
дого адсорбента.
Примем следующие обозначения:
у — мольная доля адсорбируемого пара в газе;
х — мольная доля адсорбируемого пара в твердой массе;
у’— мольная доля адсорбируемого пара, находящегося в равно-
весном состоянии с твердой массой, содержащей х мол. долей
адсорбируемого пара;
п— число ступеней адсорбции, в а ;
z—высота аппарата, считая от места поступления газового потока;
32.5
в. с. а. — высота, эквивалентная одной ступени адсорбции (массо-
— х G
обмена), —;
0 — время, необходимое для массообмена в объеме, соответ-
ствующем одной ступени адсорбции;
Н
r h :
Н — количество твердой массы в аппарате;
t — время;
h — количество пара в аппарате;
G—массовая скорость газового потока, кг/м2-ч;
а — поверхность фазового контакта;
к — коэффициент пропорциональности.
Дифференциальные уравнения материального баланса с учетом
приведенных выше обозначений имеют следующий вид:
дх
Н^г = -ка(у-у)
G-^-=ka(y — y)
Эти уравнения могут быть представлены в более удобном виде,
если использовать следующие величины:
z	zka
п =------= ———
в. с. a. G
и
Л fe(B. с. а.)
е=  —.
Тогда получим:
п дх
ге7Г = — &’-у)
В дальнейшем мы будем, кроме того, пользоваться следующей
безразмерной величиной для времени:
Следовательно, рассматриваемые дифференциальные уравнения
окончательно приводятся к виду
дх
т-=-(у-у)	(45)
ду
(46)
причем т определяется из равновесного соотношения:
у- = тх-{-Ь
(47)
326
Система уравнений (45), (46) и (47) может быть представлена
следующим образом:
т-^-=- (тх+Ъ-у)	(48)
— =.тх + Ь-у	(49)
Положив
U = en+z (у — тх — Ь)	(50)
найдем последовательным дифференцированием, что
5С7	„п+, Г	, . ду дх 1	Г дх 1
дп L	dn дп J	L дп J
W _+т Г дх , д дх~[ п.Г Sx । 3 дх "I
= ~е Lm ~д^+т ~dl ’	= ~гое 1^Г+ J =
__ея-н -------JL. (тх-^-Ь—p)J = ——«zl+'t lmx-\-b — y) = U (51)
Примем, что прит = 0 концентрация адсорбируемого пара в твер-
дой массе распределена равномерно, т. е.
х (п, 0) = х0 = const	(52)
и что содержание пара в газе при его поступлении в аппарат по-
стоянно, т. е.
у (0, т) = у0 = const	(53)
Дополнительные граничные условия могут быть получены при
использовании (45) и (46). Так при т = 0 мы имеем в соответствии
с (46)
[г/ (и, 0)] = mzo+b — У (п. 0)
поэтому
р (п, 0) = mz0 + 5— (тхц + Ь — у0) е~п	(54)
Аналогично из (45) имеем:
[тх (0, т)] = у0 — тх (0, г)— Ь
Следовательно
тх (0, т) = у0 Ь — (у0—тхй—Ъ) е~^	(55)
Наконец, вследствие (54) и (55), с учетом (51), найдем:
17 (п, 0) = Уо~+	. (56)
U (0, х) = у0 — (тх0 + Ъ)	(57)
Применяя теперь преобразование Лапласа, получим:
L (U) = и (n, р) =р J e~pU (п, т) di
о
327
Изображения производных будут
L-^- = pu — p(U)x^
и в силу (52)!
д2Ц	( dU_\ _ du_
дп дх & dn $ \ дп /т=о dn
Таким образом, изображение дифференциального уравнения (51)
мы нашли в следующем виде:
du
Р ~У~ = и
dn
т. е. в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка, решение которого есть:
и= Аер
Из граничного условия (57) имеем:
и = (0, т) —- у0 — (mxQ + Ь) = const
Следовательно
п
U (n, P) = [yo — (mxo + b)]ep
Оригинал этого выражения определяется с помощью таблицы
изображений и оригиналов. Предварительно разложим в ряд мно-
п
житель е р:
“(ге- Р) = [0о-(™*о + О](1 + ^+-^ + ойз + • • Л
Пользуясь упомянутой выше таблицей, получим:
{f2,"Z	^З'рЗ *
1+ТГТГ"*”^1Г+'зГзГ+’ • • (	(58)
Найденный в (58) ряд является разложением функции Бесселя
мнимого аргумента (гл. XVI). Таким образом, имеем:
U (п, Т) = [(/(, — (mz0 + 6)] 10 (2 /м )
Подставляя в (48) и (49) значения их правых частей иэ (51),
получим:
™ ~ = е~^и = [1/0 -{тх0 + 6)] е-^Ч0 (2 /^Г)
= _е-(«+г)£/ = _ [у_ (тХ() + 6)] е-(П+т)/() (2 /^Г)
328
После интегрирования найдем:
тх (п, т)
Уо — (тх0 + Ь)
е~х1о (2 l^nr”) йт + Ci
(«)
и
_Л^__=е-г j е-п/о (2 )dn + c2 (Т)
О
В этих уравнениях постоянные интегрирования являются функ-
циями второй независимой переменной. Эти постоянные могут быть
определены из граничных условий (52) и (53):
С1(ге) =----е2(т) = 1 + -
Уо~ (тх0 + Ь) ’	Уо — (тхп-]-Ь)
Рис. Х-5.
Следовательно, окончательные выражения для содержания пара
в твердом адсорбенте и в газовом потоке имеют следующий вид:
тх (п, т) —тх0
Уо — (тх0 4- Ь~)
У (», т) — (m.rt) + Ь) __
Уо — (тх0 + Ь)
п
1+е-~ J e~nI0
о
dx
1
2 (пт) 2
(59)
(60)
329
й

И
а-
(q+ °xwj- ° А
(я.+аХШ)'(2'^А
5 6 1 о я го зо ы so so too
Уравнения (59) и (60) воспроизведены для различных значений п
на рис. Х-5 и Х-6. На абсциссах этих диаграмм отложены значе-
ния т; точки на осях ординат соответствуют левым частям (59) и (60),
причем первая из этих диаграмм дает возрастание концентрации
адсорбируемого пара в твердом адсорбенте, а вторая — уменьше-
ние содержания пара в газовом потоке.
для - вы-
(61)
(62)
§ И. АДСОРБЦИЯ ВЛАГИ ИЗ ВОЗДУХА СИЛИКАГЕЛЕМ
При адсорбции влаги из воздуха силикагелем найдено
соты, эквивалентной ступени массопередачи (адсорбции):
1.42 ( DG \о,51
в. с. а. =-- ----)
а \ р )
где D — размер частиц силикагеля;
р, — вязкость воздуха.
Равновесное влагосодержание для силикагеля равно:
ж = 0,55 — или />• = 1,82жр
Р
где х — содержание влаги в адсорбенте;
р' — парциальное давление водяного пара в газе, находящегося
в равновесном состоянии с влагой адсорбента, ат;
р — давление водяного пара при данной температуре, ат.
Величина р'/р есть относительная влажность газа при равно-
весном состоянии системы.
Для сушки воздуха при атмосферном давлении в соответствии
с законом Дальтона имеем:
МГР
Р' = У'~— = 1&У'	(63)
МА
где MG — средняя молекулярная масса воздуха;
Ма — молекулярная масса адсорбтива;
Р — общее давление (1 ат).
Сопоставляя (62) и (63), получим:
1.82
У =	(64)
где .
т= 1,122р
Для специального случая изотермической адсорбции водяного
пара силикагелем из (61) имеем:
(65)
G в. с. а.	\ Ц /
331
Из (61) и (64) найдем:
_ т ____	т	__ Gm	i,i22Gp
Р - г0 ~ уадс h (в. с. а.) “ уадс (в. с. а.) — уадс (в. с. а.)
h G
1Л22Сг.т^) °'" 07B9gp t
Таде	Таде \ Н
Пример. Воздух пропускается через слой силикагеля толщиной
0,3 м при 26,6° С с относительной влажностью 80% (Уо = 0,0179 кг/ка
сухого воздуха). Фиктивная скорость воздуха 30,5 м/мин. Размер
частиц силикагеля в среднем составляет D = 0,00273 м\ насыпная
плотность силикагеля уад(. == 625 кг/м3.
Определить:
1)	влажность выходящего из аппарата воздуха по истечении 2 ч;
2)	среднюю влажность выходящего из аппарата воздуха за пе-
риод времени, равный 2 ч;
3)	распределение влаги в слое адсорбента к концу периода вре-
мени, равного 2 ч;
4)	среднее содержание влаги в адсорбенте к концу 2-часового
периода работы аппарата.
1. Имеем:
Уадс = 625 ка/л»; ув03д = 1,145 кг/л»
G — 30,5 • 1,145 = 35 кг/м2  мин
Рвозд= 111 • Ю’5 кг/м  мин
Из справочных таблиц найдем величину удельной поверхности
силикагеля:
а х= 930 м2/м?
Следовательно
DG 0.00273 • 35 • 105
Т=----------ш-----~87’4
Давление водяного пара при 26,6° С:
Р = 0,0345 ат
Из (65) получим:
а= — -----------= 0,703 • 930 • 0,1025 = 67 м~1
G в. с. а.
Используя (66), найдем:
Р= -Z- =0,789 —'-f^345  930 • 0,1025 = 0,145 мин-1
332
Таким образом
т=^=Тё*=0’145‘120=17,4
и
п =-- az = ~ = 0,305 • 67 = 20,5
Сг
Из рис. Х-6 имеем:
-р—=0,34
* о
откуда
Y = 0,34 -0,0179 = 0,0061 кг воды/кг сухого воздуха
2. Для определения средней влажности воздуха при выходе из
аппарата необходимо проинтегрировать значения конечных влаж-
ностей за период, равный 2 ч. Величина Y вычисляется для различ-
ных отрезков времени таким же		образом,	как в разделе 1s
t, мин	X	У/Уо	Y
0	0	0	0
20	2,90	0	0
40	5,80	0.003	0,00005
60	8,74	0,016	0,00029
80	11,60	0,065	0,00116
100	14.50	0,185	0,00331
120	17,40	0,340	0,00610
Графическое интегрирование		значений	Y относительно t дает
(рис. Х-7):			
Y=0,0010	кг влаги/ке сухого		воздуха
3. Распределение влаги в слое адсорбента в конце 2-часового
периода работы аппарата найдем с помощью диаграммы, изображен-
ной на рис. Х-7. Имеем:
t = 120 мин; i=Pf=17,4; Уо = О>О179
Из (62) получим:
хо = 0.55 • 0,80 = 0,44
333
Значения х/х0, соответствующие величинам п = az, определяются
из диаграммы на рис. Х-5 для постоянной абсциссы т = 17,4,
а именно:
z, м n^az x/xq
0	0	1,00	0,440
0,1	4,1	1,00	0,440
0,15	8,2	0,92	0,405
0,20	12,3	0,78	0,344
0,25	16,4	0,57	0,250
0.30	20,5	0,30	0,132
Распределение влаги в слое адсорбента показано графически
на рис. Х-8.
4. Среднее значение влажности в слое адсорбента к концу 2-ча-
сового периода работы можно найти путем графического интегриро-
вания значений х относительно z; оно составляет
zcp = 0,348 кг влаги/кг сухого воздуха
§ 12. РЕКУПЕРАЦИОННАЯ УСТАНОВКА ДЛЯ БЕНЗОЛА
Пары бензола должны быть адсорбированы из воздуха на реку-
перационной установке при пропускании воздуха сверху вниз через
слой силикагеля при 21° С и атмосферном давлении.Массовая скорость
воздуха 36,6 кг сухого воздуха/ж2 -мин. Период работы адсорбента
желательно установить в течение 60 мин с минимальной степенью
извлечения бензола из воздуха, равной 90%. Воздух при поступле-
нии в аппарат содержит 0,90 объемн. % бензола. Размер (диаметр)
частиц силикагеля в среднем составляет 0,0039 м. Порозность ад-
сорбента равна 0,5, насыпная плотность уадс = 665 кг/м*.
Для адсорбции до 20% адсорбтива от массы силикагеля количество
поглощаемого бензола прямо пропорционально парциальному да-
влению р бензола в воздухе согласно уравнению х = 1,67 —. Давле-
ние бензола р равно 0,125 атм при 21° С.	р
Определить:
1) толщину слоя адсорбента;
2) содержание бензола в силикагеле наверху, посредине и внизу
слоя адсорбента по истечении 60 мин.
1. Имеем:
D=* 0,0039 м; а =665 м2/м$
Ивозд=111 • IO'5 кг/м  мин; G = 36,6 кг/м2 • мин
Таким образом
DG 0,0039  36,6  Ю5
и	и =- Ш =129
=0,0825
Из (61) получим:
а = 0,703а (р-)”0 81 = °-703 • 665 • 0,0825 = 38,6
334
Для отыскания значения р определим величину т следующим
образом. Так как по закону Дальтона
уМвР
Р~ МА
то
я = 1.67-£_. р-
Р ’
р-Р-29 _ хр
78	1,67
_ У Р-78
т х ~ Р. 29 -1,67
Аналогично (66) имеем:
□ _ т __________Gm ________ 1,60  36,6»0,125
~~ rQ ~ уадс(в. с. а.) — ?адс (в. с. а.) Р
1,60 • 36,6 • 0,125 Л/о,
----------!---------0,42/лин
Следовательно
ee5W-‘
Имеем:
т = р; = 0,42 - 60 = 25,2
•£- = 0,1
Г о
Из диаграммы на рис.
(при 90%-ном извлечении бензола)
Таким образом
Х-6 при т = 25,2 получим:
n = az = 36
1,60-^-
Z =
= 0,935 М	1,0 м
00,0
2. Для определения содержания бензола в указанных выше ме-
стах слоя адсорбента воспользуемся формулой:
^0 — 1.67-^-=	=0,120 кг/кг адсорбента
Из предыдущего имеем:
a = 38,6; т = 25,2
Z....................
az ..................
х/х0 (рис. Х-5) . .
Верх	Середина	Низ
0	0,500	1
0	19,300	38,6000
1,000	0,830	0,0790
0,120	0,099	0,0095
§ 13. СИНТЕЗ ХЛОРИСТОГО ВИНИЛА
Используя приведенные ниже данные, получить приближенное
значение для диаметра труб, устанавливаемых в реакторе с неподвиж-
рым слоем катализатора, который используется для синтеза хлори-
стого винила из ацетилена и хлористого водорода. В трубах находится
335
катализатор — хлористая ртуть, осажденная на частицах углерода
размером 0,25 мм. Теплота реакции должна быть использована для
образования пара при 121° С. Температура внутренней поверхности
труб поддерживается равной 150° С, Теплопроводность катализа-
тора А, = 6,0 ккал]ч-м-град. Теплота реакции при температуре
слоя катализатора АН = 2570 ккал]кмолъ. Насыпная плотность
катализатора у — 2880 кг/м2.
Скорость реакции является функцией температуры и концентра-
ции, но для предварительной оценки примем (на основе опытных
данных), что скорость реакции выражается в виде:
r — rQ (1 -J-АТ) кмоль в 1 ч на 1 кг катализатора
Рис. Х-9.
где г0 = 0,12, А = 0,0133, а Т — температура
(в °C) над уровнем 93° С (т. е. Т = t — 93, где
t — температура катализатора).
Максимально допустимая температура ката-
лизатора, при которой еще обеспечивается его
удовлетворительное действие, составляет 265° С
(т. е. Т = 172° С).
Рассмотрим схему на рис. Х-9, которая ил-
люстрирует дополнительные обозначения, не-
обходимые для описания процесса:
G— скорость потока, кг/ч-м2 поперечного
сечения реактора;
R — радиус трубы, м;
х — радиальная координата;
z — осевая координата от начала поступления реакционной массы;
Ср — теплоемкость газа, ккал/кг-град.
Составляя тепловой баланс применительно к элементарному
объему, изображенному на рис. Х-9, получим:
Приход = —2лжА	6г + 2nx6xGCp7’ -j- 2лж6ж6гу ДЯг
(67)
Убыль = — 2 л ж А	6z + -^- Г— 2лхА. -^-”1 6г + 2лж6жССр	6г^ (68)
ox ox L	ож J	r \ oz } ' >
Приращение равно нулю, так как процесс протекает в установив-
шемся состоянии. Но
Приход—Убыль = Приращение
Разделив все члены равенства на 2лА.хбхбг, найдем:
SAT	, 1	дТ	gcp	дТ , у ДЯг	„
дхг	х	дх	A	dz "J” А	(69)
Мы получили дифференциальное уравнение в частных производ-
ных, устанавливающее зависимость между температурой и разме-
рами реактора. Для предварительной оценки примем, что темпера-
336
тура катализатора достигает максимума для всех значений радиусов
при одной и той же величине z. Тогда для данного радиального се-
чения слоя катализатора dT/dz будет равна нулю, несмотря на то,
что температура изменяется с изменением х. Температура макси-
мальна на оси трубы и не должна превышать 265° С. Следовательно,
на оси трубы dTjdx будет также равна нулю, но эта производная
имеет конечное значение для всех радиусов, величина которых больше
нуля. Таким образом, дифференциальное уравнение (69) в част-
ных производных становится обыкновенным дифференциальным
уравнением в каждом сечении z = const, т. е.
-2-+т--£-+^т^(1+Л7,)=0	<7°)
Выражение (70) легко может быть приведено к бесселевому урав-
нению нулевого порядка с последующим решением методом, описан-
ным в § 6. Но для этого необходимо еще использовать преобразо-
вание Лапласа.
Представим (70) в виде
^+17+^-(1 + ^)x=0	(71>
Используя (7) и (6), получим:
l (х~рТ (°)~т' <°>1 = -р2г' + 2рТ ~Т <°> (72>
\ ил у	и fJ
С помощью (6) найдем:
<’3>
Мы также имеем:
Далее в соответствии с (6) этой же главы:
(75)
Подставляя изображения (72), (73), (74) и (75) для соответству-
ющих величин в уравнении (71), мы получим после упрощения:
I Р Т(р)=-________?___ /7Ю
dp + P2 + Q	Р2 (р2 + <?)	(76)
где Q =	и Р ~ уАНг0/Х. Уравнение (76) может быть
решено с помощью интегрирующего множителя (см. гл. V). В этом
случае получим:
С Р
п”
22 Заказ 1706
337
Для перехода к оригиналам используем таблицу изображений
и оригиналов, тогда
T^CI^xVq)-------L	(78)
где С — произвольная постоянная интегрирования, которая может
быть вычислена так:
при х = 0	+ (х/0) = 1 и г = 1722 С
получим
172 = С---(79)
Но Л = 0,0133; 1/Л=96,5 и (7=172 + 96,5 = 268,5. Далее:
„	2880 '2570 • 0,0133 -0,12	. ___
Q ~----------6^---------------- 1500
И
/ё=/1500 ==38,8
Уравнение (78) приводится к виду:
Т = 268,5+ (38,8г) —96,5	(80)
Для границы х = 7? имеем Т = 56° С. Таким образом
56 = 268,5+ (38,8г) —96,5
или
+ (38,8/?) = —^=0,565
Zoo, О
Из таблицы бесселевых функций (см. ниже, стр. 798) имеем
38,87? = 1,4
откуда
/? = -Цг = 0,036 м или 36 мм
Глава XI
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. ПОНЯТИЕ О СКАЛЯРЕ И ВЕКТОРЕ. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ И УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР
В технике приходится встречаться с величинами двух родов.
Одни из этих величин вполне определяются своим численным зна-
чением, — такие величины называются скалярами. Примерами ска-
ляров являются температура, плотность, энергия. Другие величины
характеризуются, кроме своего численного значения, также и напра-
влением. Величины эти называются век-
торами. Таковы, например, сила, ско-	\ _
рость, ускорение.
Векторы принято изображать напра- s'	\
вленными отрезками. Обозначают век-	Д
торы начальными буквами латинского ал-	4
фавита, напечатанными жирным шриф-	рис хы.
том, или обыкновенными буквами, но со
стрелками над ними. Два вектора считаются равными, если они
имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены.
Для сложения двух векторов А и В (рис. XI-1) совместим на-
чало вектора В с концом вектора А. Вектор С, соединяющий на-
чало вектора А с концом вектора В, называется геометрической
суммой векторов А и В'.
С = А + ~В	(1)
Очевидно, что
В + А=А + В	(2)
т. е. геометрическая сумма не зависит от порядка слагаемых (за-
кон переместительности).
Геометрическая сумма трех векторов А, В и С получается
путем прибавления к сумме А А-В вектора С. Нетрудно убедиться,
что сложение векторов подчиняется закону сочетательности:
(А + В) + С=А+(В + С)
22*
339
Геометрическая сумма равна нулю, если при построении слага-
емые векторы образуют замкнутый многоугольник (рис. XI-2).
Для того чтобы вычесть В от А, следует к А прибавить — В,
как показано на рис. XI-З. Если на векторах А и В построить
параллелограмм, то одна из его диагоналей будет суммой А + В,
а другая — разностью А — В этих векторов (рис. XI-4).
Рис. XI-2.
Под произведением вектора а на скаляр п понимают вектор
А = па, длина которого равна произведению длины вектора а на
абсолютную величину числа п и который имеет то же направление,
что и вектор а, или прямо ему противоположное, в зависимости
от того, является ли скаляр положительным или отрицательным
числом.
Векторы, имеющие длину, равную единице, называются единич-
ными векторами, или ортами. Единичные векторы, направления
которых совпадают с направлениями осей координат, называются
основными и обозначаются i, j, k.
Вектор i есть единичный вектор, имеющий направление оси ОХ\
вектор J имеет направление оси OY, а вектор к имеет направление
оси 01 (рис. XI-5).
340
Если Ах, Ау и Az— проекции вектора А, соответственно, на
оси ОХ, OY и OZ, то
4 = Ау-^кАг	(3)
Векторы 1АХ, ]Ау, кАг направлены по координатным осям, и
их сумма равна вектору А. Эти три вектора называются компо-
нентами вектора А.
Если нам известны длина | А | вектора А и углы, которые он
образует с осями координат, то его проекции на оси координат выра-
жаются следующим образом:
4Z = | A] cos (А, X)
Ау=А Л | cos (4, Y)
4г=| 4 | cos (4, Z)
(4>
Если, наоборот, даны три компонента вектора, то вектор А одно-
значно определяется как диагональ параллелепипеда, построенного
на векторах iAx, ]АУ и kAz. При этом длина вектора А будет
рарна
M| = /4|+4«+4?	(5)
а его направление определяется тремя косинусами, которые могут
быть найдены из уравнений (4) и (5).
§ 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением двух векторов называется произве-
дение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов А и В есть скалярная
величина; ее обозначают А-В:
4-B=|4||B|cos(4, В)
(6)
Перечислим основные свойства скалярного произведения.
1.	Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных век-
торов равно нулю.
2.	Скалярный множитель можно выносить из-под знака скаляр-
ного произведения:
(mA • В) = т (А • В)
3.	Скалярное произведение не изменяется от перестановки
местами сомножителей А и В (закон переместительности):
4  в = В  4	(7)
341
4.	Для скалярного произведения справедлив распределительный
закон:
(А+~В)-С=А.С+В -с
5.	Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его
длины А • А = | А |2. В частности
i-i~j -7 = к- к=1 I
I • j = у • к = к • г = 0 )
Отсюда следует:
-	А-В=$Ах + ^Ау+кА^-$Вх^Ву + кВ2) = АхВх+АуВу-\-АгВг (9)
§ 3.	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Векторным, или внешним, произведением двух векторов А и В
•называется новый вектор, направленный перпендикулярно к их пло-
скости в такую сторону, чтобы при взгляде с конца этого вектора,
вращение от первого вектора ко второму на наименьший угол вокруг
вновь полученного вектора происходило таким же образом, как
_ t	и вращение от оси ОХ к оси ОУ вокруг оси OZ
А*В	в выбранной системе координат. Так как вы-
бранная нами система координат правая,
~ то вращение это должно совершаться про-
Ктив часовой стрелки (рис. XI-6).
Длина этого вектора равна площади парал-
лелограмма, построенного на данных векторах,
т. е. произведению длин векторов-сомножите-
-- лей, умноженному на синус угла между ними.
' Векторное произведение обозначается так:
1}*А	^АхВ = С
Рис, XI-6.	Перечислим основные свойства векторного
произведения.
1.	От перестановки местами сомножителей векторное произведе-
ние меняет свое направление на противоположное:
ЛхВ = -ВхЛ	(10)
2.	Если векторы Л и В параллельны, то А X В — 0.
В частности
АхА = 0	(И)
3.	Скалярный множитель можно выносить из-под знака вектор-
ного произведения:
тА/Вт (Ах В)
.342
4.	Для векторного произведения имеет место закон распредели-
тельности:
(А4-В) Х.С АхС4“ВхС
5.	Векторные произведения основных единичных векторов даются
следующей таблицей:
гХ/ = Л; jXk = f, kxl — j
iXi = jXf = kxk — O
IXi = —k; kxj = —i', ixk = —j 
(12)
6.	Если векторы А и В заданы своими проекциями на оси ко-
ординат
А-— i А х j Ау -f-кА-
B = iBx-f-jBy-{-kB.
(13).
то векторное произведение А хВ определится следующей формулой^
А хВ = (г Ax-\-j АуА~ kAz) х(iBx-\-fBy-\-kBz) =
= i (AyBz AzBy)-\-j (AZBX AXBZ) -j-/c (AxBy AyBx)	(14)
Это выражение можно представить более компактно в виде опре-
делителя третьего порядка:
ЛхВ =
i
В,
АУ
By
к
A
В;
(15)3
Рис. XI-7.
§ 4.	ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
Рассмотрим важнейшие виды произведений трех векторов.
а)	Произведение вектора и скалярного произведения двух дру-
гих векторов, т. е. А. (В-С). Здесь В-С — скаляр, следовательно
А (В- С) есть вектор, параллельный А.
Порядок умножения играет здесь
существенную роль: векторы А (В-С)
и (А - В) С вообще не равны между
собой.
б)	Скалярно-векторное произведе-
ние. Рассмотрим произведение А X
X (В X С). Если на векторах А, В и С
построить параллелепипед, то произ-
ведение А -(В X С) будет предста-
влять собою скаляр, равный объему
взятому со знаком плюс, если векторы А, В и С образуют правую»
34&
этого параллелепипеда
систему осей, и со знаком минус, — если левую (рис. XI-7). Ска-
лярно-векторное произведение не меняется при циклической пере-
становке векторов сомножителей:
А • (ВхС) =^В  (СхА) = С • (АхВ)	(16)
При перестановке местами только двух сомножителей скалярно-
векторное произведение меняет свой знак. Например
Д.(ВхС) = -Л-(Сх5)
в)	Двойное векторное произведение. Рассмотрим произведение:
D=Ax(BxC)
Это произведение представляет собой вектор, лежащий в пло-
скости векторов В и С и перпендикулярный к вектору А. Его можно
представить следующим образом:
D = B(AxC) + C (АхВ)	(17)
При перестановке местами сомножителей двойное векторное про-
изведение меняется.
§ 5.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
Рассмотрим переменный вектор А, изменяющийся в зависимости
ст времени г. Будем откладывать этот вектор из фиксированной
точки, например, из начала
координат (рис. XI-8). Рас-
смотрим два значения этого
вектора, соответствующие двум
близким моментам времени т
их + Ат. Разность векторов А X
X (т + Ат) и А (т) будет некото-
рым вектором АЛ, имеющим на-
чало в точке В и конец в точке С.
Частное представит собою
опять некоторый вектор, напра-
вленный по прямой ВС. Если
Ат приближать к нулю, то век-
Рис. XI-8.
тор будет стремиться к не-
которому пределу. Предел этот называется производной вектора А
по скалярному аргументу т и обозначается Вектор этот напра-
влен по касательной к кривой, описываемой концом вектора А.
344
Если материальная точка перемещается по некоторой траектории,
то радиус-вектор этой точки г будет некоторой функцией времени т.
Производная ~ есть вектбр скорости движения!
dr -*
-5— =v (т)
dx '
Так как производная вектора есть опять переменный вектор,
зависящий от времени, то от него также можно взять производную.
Эта производная будет вектором, который называют второй произ-
водной данного вектора.
Вторая производная по времени радиуса-вектора движущейся
точки есть вектор ускорения:
d2r	dv -*
dx2	dx U
Все основные свойства дифференцирования функции у = / (ж)
сохраняются при дифференцировании вектора по скалярному аргу-
менту:
d * dA . dB
~J  ( “Ь    7  П 1—
dx ' 1 ' dx 1 dx
d
dx
du da
I- "3
dx 1 dx
-^-(4.В)=В~ +Л~
dx v	dr 1 dx
d	dA ~f, , Д
-7- ДХВ =-7- x^ + ^X-7-
dx	dx	dx
В последней формуле порядок множителей в правой части не
может быть изменен.
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ
Пусть нам задана некоторая скалярная функция <р (®, у, z) коор-
динат точки, определенная в некоторой части пространства или во
всем пространстве (например, температура в этой точке или давле-
ние). В таком случае говорят, что в этой части пространства задано
скалярное поле.
Если в поле отметить все точки, в которых функция сохраняет
постоянное значение, то эти точки образуют поверхность уровня.
Уравнение поверхностей уровня:
<р (х, у, z) = C	(18)
345
При перемещении по поверхности уровня функция <р не меняется.
Если же переместиться по направлению нормали к поверхности
уровня, то в этом направлении функция <р (х, у, z) будет изменяться
быстрее, чем в любом другом направлении. Построим в точке М(х, у, z)
поля вектор, перпендикулярный к поверхности уровня, проходящей
через эту точку, направленный в сторону возрастания функции <р
и имеющий своими проекциями на оси координат:
dtp dtp dtp
дх ’ ду ’ dz
Вектор этот называется градиентом скалярного поля:
grad <р = -^Г+-^Г+-^ к	(19)
Вектор-градиент имеет направление быстрейшего возрастания
функций в данной точке, а длина его равна скорости изменения
функции <р (х, у, z) в этой точке.
Скорость изменения функции <р в любом направлении, исходящем
из некоторой точки М, равна проекции вектора-градиента в точке М
на это направление.
Для обозначения градиента иногда применяют символический
дифференциальный оператор, называемый «набла». Вектором-набла
называют символический вектор, который обозначается:
(20)
С помощью этого вектора градиент можно представить следу-
ющим образом:
Будучи применен к скалярной функции <р, дифференциальный
оператор у дает градиент функции <р.
§ 7. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ВИХРЬ
Если в каждой точке некоторой области пространства нам задан
вектор А, то говорят, что в этой области пространства задано век-
торное поле. Например, в трубе определено поле скоростей частиц
текущей жидкости. Векторное поле наглядно изображается вектор-
ными линиями. Векторной линией называется такая линия, в каж-
дой точке которой вектор, соответствующий этой точке, направлен
по касательной к векторной линии.
Рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с векторным
полем. При изучении этих понятий будем приписывать векторам поля
некоторый физический смысл: будем считать, что векторное поле
есть поле скоростей текущей жидкости.
346
Выделим в векторном поле поверхность S (замкнутую или не-
замкнутую). Вычислим объем жидкости, протекающей через эту
поверхность за единицу времени. Для этого разобьем поверхность
на малые элементы ASU AS2, . . ., А5„. Объем жидкости, протека-
ющей через элемент AS за единицу времени, будет, очевидно, равев
At cos где А( — вектор поля, взятый в какой-либо точке эле-
мента поверхности А5,, а <р£- — угол между вектором Л, и нормалью
к элементу А5(. Через всю поверхность S за единицу времени про-
течет объем жидкости, приближенно равный:
п
У, cos <ц- Д5/
Если п увеличивать до бесконечности, уменьшая при этом размеры
каждой элементарной площадки до нуля, то объем жидкости будет:
п
lim У, А{ cos <Р( Д5г
n-bCO^j
Пределы подобного вида называются интегралами по поверх-
ности S и обозначаются следующим образом:
п
lim A, cos <р/ Д5/ = f f A cos q> dS	(22}
П->ОО^
1=1	S
Интеграл (22) называется потоком вектора А через поверхность S.
Поток вектора может быть записан еще следующим образом:
J* J* A cos q>dS = j" j“ (A  n) dS =
S 	s
x cos (nx) Ay cos (ny) + A2 cos (nz)] dS
s	s
где rt—единичный вектор нормали к поверхности; Ах, Ау, Аг,
Ап — проекции вектора А, соответственно, на оси координат
и на нормаль к поверхности; (nx), (ny), (nz) — углы этой нормали
с осями координат.
Возьмем какую-нибудь точку поля Р, окружим ее малым объе-
мом V, поверхность которого обозначим 5; вычислим поток вектора
через эту поверхность S. Рассмотрим предел, к которому стремится
отношение этого потока к объему V при условии, что объем V стяги-
вается в точку Р.
Предел этот называется дивергенцией, или расходимостью вектора:
J J AndS
div А = lim —-—---- (23)
V=o v
347
Если вычислить этот предел, то окажется, что
* дАх . дАи дА-
div А=—A -j-—*-4--г--
дх 1 ду 1 dz
(24)
Дивергенцию можно рассматривать как скалярное произведение
вектора А и символического вектора v (набла):
div А = V • А
Действительно, вычисляя это скалярное произведение по фор-
муле (9), получим:
-* дАх . дА„ . дАг	-*
V • А = —— 4---~ 4 —- = div А
’ дх ду ' dz
Пусть поле вектора А есть поле скоростей несжимаемой жидкости,
причем в начале координат имеется источник жидкости обиль-
ности е; в этом случае дивергенция вектора А, вычисленная для
начала координат, будет равна -j-e.
Если в начале координат имеется не источник, а сток, то дивер-
генция в этом случае будет равна —е. Вообще дивергенция поля
скоростей текущей жидкости в данной точке есть относительное
изменение плотности элемента жидкости, отнесенное к единице
времени.
Основная теорема, связанная с понятием дивергенции, — теорема
Остроградского — заключается в следующем.
Пусть области V пространства задано поле некоторого вектора А.
Обозначим через S поверхность, ограничивающую этот объем.
Формула Остроградского устанавливает зависимость между тройным
интегралом, взятым по объему, и интегралом, взятым по поверх-
ности S:
J J" J" div A dV = J* J* AndS	(25)
V	s
Объемный интеграл от дивергенции вектора равен потоку вектора
через поверхность, ограничивающую этот объем.
Рассмотрим в векторном поле какую-либо кривую L. Линейным
интегралом вектора А вдоль кривой L называется следующий криво-
линейный интеграл, взятый по кривой L:
J (Ах dx 4- Ау dy -j- Az dz)
Если кривая L замкнутая, то линейный интеграл (26) называется
циркуляцией вектора А по кривой L. Понятие линейного интеграла
аналогично понятию работы. Если точка перемещается по кривой L
под действием силы А, проекции которой на оси координат равны
348
Ах, Ау, Az, то линейный интеграл (26) представляет собой работу,
совершенную этой силой.
Линейный интеграл (26), вообще говоря, зависит не только от
конечной и начальной точек интегрирования, но также и от кривой,
по которой производится интегрирование. Интегралы (26), взятые по
разным кривым, соединяющим данные фиксированные точки, —
различны.
Однако, если подинтегральное выражение в линейном интеграле
(26) есть полный дифференциал dtp некоторой однозначной функции
<р (х, у, z):
Axdx-[- Ау dyAz dz = dtp	(27)
то интеграл (26) не зависит от вида кривой L, а зависит только от ко-
нечной и начальной точек пути интегрирования. В этом случае
интеграл (26) равен разности значений функции ср (х, у, z) в конеч-
ной и начальной точках:
j (Axdz-\-Aydy+ Azdz) = tp(x1, ylt zx) — <p (ar0, y0, z0)
L
Условие (27) будет выполнено, если вектор А удовлетворяет сле-
дующим условиям:
2^._£^=0- -^-1^ = 0- дАх дА -0
dz ду ’ дх dz ’ ду дх
(28)
Если проекции вектора Ах, Ау, Az удовлетворяют условиям (28),
то вектор А называется потенциальным. В этом случае эти проекции
являются частными производными функции ср по координатам
Ах~ дх » АУ~ ду > z~ dz
(29)
и, следовательно, вектор А можно рассматривать как градиент ска-
лярного поля, образованного функцией ф (х, у, z):
А = grad ср
Отметим еще, что независимость линейного интеграла (26) от пути
интегрирования равносильна равенству нулю интеграла по любой
замкнутой кривой, проведенной в векторном поле. Отсюда следует,
что циркуляция потенциального вектора по замкнутому контуру
равна нулю.
Допустим, теперь, что вектор А не потенциальный. Тогда левые
части в равенствах (28) не равны нулю.
Рассмотрим вектор, проекции которого на оси координат равны:
дАу	dAz
dz ду ’
dAz	дАх дАх
дх	dz ’ ду	дх
(30)
349
Этот вектор называется вихрем, или ротором, вектора А и обозна-
чается так:
rot А = curl А =
дАг
ду
дАу\?, ( ЭАХ
dz / dz
дх )

Очевидно, что вихрь потенциального вектора равен нулю:
rot grad <р = 0
(32)
Если вектор А есть вектор скорости текущей жидкости, то век-
тор rot А для некоторой точки является удвоенной угловой скоростью
вращения бесконечно малого объема, окружающего эту точку, в пред-
положении, что этот объем в данный момент времени затвердел.
Вихрь можно выразить при помощи символического вектора-
набла. Применяя формулу (14), легко проверить, что вектор-вихрь
можно рассматривать как векторное произведение вектора-набла
на вектор А:
rot А = v х А	(33)
Основная теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема
Стокса.
Пусть S — некоторая поверхность, ограниченная контуром L
и целиком расположенная в поле. Теорема Стокса устанавливает
связь между циркуляцией вектора по кривой и интегралом, взятым
по поверхности S.
Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку
вектора rot А через поверхность, ограниченную этим контуром:
J (Axdx-{- Aydy-[- Azdz) = J J rotn AdS	(34)
L	S
§ 8. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Рассмотрим движение сжимаемой жидкости, плотность которой
р (z, У, 2, т) меняется со временем. Пусть W есть вектор скорости
этой жидкости.
Выделим в потоке этой жидкости-неподвижный объем V, ограни-
ченный поверхностью S. Если на поверхности выделить элементар-
ную площадку dS, то за единицу времени через эту площадку вытечет
количество жидкости, масса которой равна:
pWndS
За то же время через всю поверхность S из объема вытечет коли-
чество жидкости с массою:
С= J J pWndS
(35)
350
С другой стороны, масса жидкости, содержащейся в объеме V,
равна:
SSS^
V
За единицу времени эта масса изменится на
HR-
V
Следовательно, за единицу времени из объема V вытечет коли-
чество жидкости, равное
«HSR-"'
V
Приравнивая правые части формул (35) и (36), получим:
И--—MR-
S	V
Применяя к интегралу, стоящему в левой части этого равенства,
формулу Остроградского, получим:
Ш [£+"’'‘’"'’к-0
V
Так как объем V взят произвольно, то отсюда следует!
-|L+v.(pir) = 0	(87)
Это — основное уравнение гидродинамики, известное под назва-
нием уравнения неразрывности. Для случая несжимаемой жидкости
имеем р = const, следовательно
-^-=0; р(уИЭ = 0	(38)
Если поток не имеет вращения, то
V-jy = O
Из § 7 известно, что в этом случае W есть градиент некоторой
скалярной функции <р, так что
W—vq>
В случае несжимаемой жидкости из уравнения (38) имеем
v-ir=o
351
и, следовательно, функция ср должна удовлетворять уравнению:
V-(V<P)=0
или
div grad ср = О
Это уравнение определяет потенциал скорости для несжимаемой
жидкости, находящейся в движении; оно называется уравнением
Лапласа.
§ 9. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
Пусть точки некоторого твердого тела имеют различную темпе-
ратуру и (х, у, z). В теле будет происходить распространение тепла.
Выделим в этом теле некоторую элементарную площадку dS. Пусть
"к"
А — коэффициент теплопроводности и п — единичный вектор нор-
мали к площадке dS. Из теории теплопроводности известно, что коли-
чество тепла, протекающего Через площадку dS за время dx, равно:
Q — к dS dx | grad„ и (x, у, z) |
Выделим в данном теле некоторый объем V, ограниченный за-
мкнутой поверхностью S. За время dx объем V отдает окружающему
его пространству количество тепла:
dQ~ —dx J J A gradn и dS
s
(39)
Подсчитаем ту же величину другим путем.
Если р — плотность вещества, ас — теплоемкость, то на увели-
чение температуры элемента dV на du необходимо затратить коли-
чество тепла, равное
ди , ,TZ
ср —— dx dV
OX
Следовательно, тепло, теряемое всем объемом V за время dx,
выразится следующим образом:
=	(40)
V
Приравнивая правые части формул (39) и (40), найдем:
J J A, grad„ и dS = j J j ср dV
S	v
Применим к левой части этого равенства формулу Остроград-
ского (25);
ср—div (A, grad а)^| dV = 0	(41)
V
В силу произвольности взятого нами объема V отсюда следует,
что подынтегральное выражение должно быть равно нулю
cp-|^- = div (A. grad и)	(42)
352
или, применяя оператор v:
V- (X V“) = CP-^-
(43)
Запишем это уравнение подробно, считая, что X является постоян
ной величиной. В этом случае div (Л, grad и) = Л div grad и =
7 ди , ди ди , 7 д2и . д2и . д2и \
= Xdiv —— г 4--Т—7+-т—/с ) = л, —-я-4-—- 4~ —) и уравнение
\ дх ' ду 1 ' dz )	\ дх2 1 ду2 1 dz2 )
(42) записывается так:
где
— — h2 Гд2и I д2и I д^и 1
дх L д^2 ' ду2 ' dz2 J
(44)
(45)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (44), обо-
значается символом:
v«=v2«=^H
д2и . д2и
ду2 ' dz2
(46)
Этот символ называется оператором Лапласа. Следовательно,
уравнение (44) можно записать так:
ди J.» о
—— = h2 v/2u
дх
(47)
Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Это же
уравнение будет характеризовать процесс диффузии, если через и
выражать концентрацию (вместо температуры) и через h2 — коэ<| фи-
циент диффузии (см. гл. XVIII).
Приложения понятий векторного анализа и дополнительные при-
меры, условия которых выражены в векторной форме, даны также
в гл. XII и XVIII.
23 Заказ 176в
Глава XII
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ
§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
При рассмотрении процессов, связанных с несколькими незави-
симыми переменными, оказывается необходимым обобщить понятия
производной и дифференциала, введенные при изучении процессов,
связанных с одним независимым переменным.
В этой главе излагаются основные свойства частных дифферен-
циалов и производных и иллюстрируются некоторые важные при-
ложения их.
Если в функции, содержащей п переменных
w = f(z1, z2, . . ., Хп)
переменным х2, х3,. . хп придать постоянные значения, то w станет
функцией только одного независимого переменного хг..
Эта функция может иметь производную, определяемую методами,
применяемыми к функциям от одной независимой переменной. Такая
производная называется первой частной производной от / или от w
по х, и обозначается символом („ или Таким же
. \ dzi ..Хп	дХ1
путем определяются частные производные относительно каждой
иэ остальных переменных х2, х3,. . ., хп.
В случае п 2 мы не имеем возможности пользоваться геометри-
ческим представлением функции и производных, аналогичным тому,
какое применяется при п = 1 и п — 2. ‘
Символ частной производной	х указывает:
1)	на функцию /, которая дифференцируется;
2)	на переменную xlf по которой производится дифференциро-
вание;
3)	на переменные, которые при дифференцировании считаются
постоянными.
354
Индексы опускаются, если нет необходимости подчеркивать,
какие переменные принимаются за постоянные. Символ функции /
часто заменяется зависимой переменной w, и производная обозна-
die
чается ——.
oxi
„	dw	dw	Y
Частные производные ..........сами являются функциями
переменных xlt х2,. . ., хп. Если их продифференцировать вторично
по одной из переменных, то получим частные производные второго
порядка. Если частную производную продифференцировать
по переменной хг, то найдем частную производную, которую обозна-
чают следующим образом:
d2w
дх^ дх2
Пусть, например
w = (ж2 4- г/2)"
Тогда
= п (г2 + у2)п~1 2х
^~=‘п (г2+г/2)я"12г/
Отсюда могут быть найдены четыре частные производные второго
порядка:
А (	= п (X* + у2)П-1.2+п (п _ 1) (Х2 + у2)П-2 . 4ж2

-у- (4^-) = / V- = (п —1) (®2 + г/2)я 2 2г/	(2)
ду \ ду J ду дх
<а:2 + г/2)'1"1+ге(ге-1) (^ + г/2)-4</2
Сопоставление уравнений (1) и (2) показывает, что
d2w d2w
ду дх	дх ду
т. е. что частные производные второго порядка не зависят от порядка
дифференцирования.
Можно доказать, что зто утверждение справедливо для любой
функции, если только соответствующие частные производные не-
прерывны.
23»
355
В гл. I мы определили частные дифференциалы для функции,
зависящей от двух независимых переменных следующим образом:
(£-)/*
d^dyU^—^dy
Здесь индекс при частных дифференциалах dxf и dxu обозначает
переменную, относительно которой производится дифференциро-
вание.
Аналогично определяются частные дифференциалы для функции
от п переменных w =- / (хг, х2,. . ., ха)\
dr w = -7— dx-,; dx. w = —— dx„
x' dxt	dxn n
Если придать переменным z2i хз,-  •, xn постоянные значения
и дать переменной хг бесконечно малое приращение Azj, то прира-
щение \X1w, которое получит при этом функция w, будет отличаться
от частного дифференциала dXtw на бесконечно малую величину
второго порядка относительно \хг.
Следует особо подчеркнуть, что если в случае одного независи-
мого переменного символ представляет собою дробь (отношение
дифференциала функции к дифференциалу независимого неремен-
.	ди ди
ного), то символы частных производных — и — уже не явля-
ются дробями.
Сумма всех частных дифференциалов функции
“7=/(а:1. х2, • • •, хп)
называется полным дифференциалом этой функции и обозначается
dw:
dw = 4~dxi.+^~dx2 + ••• + ^~dxn	(3)
(7^1	иХ%	иЯ'П
Полный дифференциал функции отличается от полного прираще-
ния этой функции на бесконечно малую величину второго порядка
относительно приращений независимых переменных.
В технических задачах часто полное приращение функции заме-
няется ее полным дифференциалом.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Если в функции
™=t(xl, х2, • - •, хп)
переменные a-j, х2,. . ., хп являются функциями одной независимой
переменной t
Х1— /1 (0> х2 — /2 (0> • • •> хп—fn®
356
то их дифференциалы dxr, dx2, . . dxn будут равны:
‘-ТГ1	dt =	^-dt at	
	dt =	dXa , dt	14)
dx df" a n~ dt	dt =	^-dt dt at	
Подставляя (4) в (3), получим:
Г д/	dx" ~)
L to! ' dt "T to2 ’ dt "T • • • "T dxn dt J
Отсюда получим:
dw __ df	dx± df	dx2 .	. Of	dxn	.
dt	dxx	dt ' dx2	dt '	' ‘	' dxn	dt
Так как аргументы xlt x2?. . xn первоначальной функции
являются функциями t, то w представляет собой функцию только
одного переменного t, и производная w по t уже не является частной
производной. В том случае, когда аргументы xv х2,. . ., хп функ-
ции w сами по себе являются функциями других переменных
w носит название сложной функции этих переменных.
Примем, что в функции w = f (xlt x2t. . xn) аргументы x,
x2,. . ., xn являются функциями двух переменных (из:
г1 = Ф1 (t, «) i
Х2 = Ф2(1, s) I	(6)
хп=Фп (*, *) >
Найдем полные дифференциалы этих функций:
, дх, дх, ,
^1 = -д7“ dt~\—ds
х at 1 ds
ton , , дх2 ,
dx2 = —-2- dt 4—-2- ds
dt ds
(7)
= dt+^ds
Подстановка (7) в (3) дает:
,	„ / dj дхх J Of дх2 ,	df дхп X ,
du’=df=\-d^'-w+~д^~+-• • +-8^--drrt+
( df dxy . df dx2 ,	। df dxn \
+ V tof 8s + 9x2 ’ ds +•••+ to„ ds J
357
Ho w представляет собой функцию от t и от s; эта функция может
быть получена путем исключения xlt х2,. . хп из функции w =
= / (хи. . хп) при помощи уравнений (6):
М>= / [Фх О, »)• ®2 (г. S). • • • ®л (*,	=	«)
Полный дифференциал этой функции будет равен!
dw	dw	OF	OF
dw — dFdtds =dl-f——ds	(9)
dt	ds	dt	ds
Сравнивая формулы (8) и (9), мы получим частные производные
функции w по t и s, если приравняем коэффициенты при dt и ds.
Для коэффициента при dt найдем:
dw____ df	dx±	,	df	dx2 ,	,	df	dxn
dt	dxx	dt	'	dx2	dt ‘	‘	dxn	dt
(10)
Следует обратить внимание на обозначения в формуле (8). Нет
df
указывающие
необходимости ставить индексы при
dx 1 дх%
на те переменные, которые мы принимаем за постоянные, так как
дифференцирование функции / производится по одному из ее аргу-
ментов хг, х2,. . ., хп, а остальные должны быть приняты постоян-
ными. По аналогии с этим также нет надобности писать индексы
dx-i	dx„	dx\	dxn	..	Y _
У • •» м и	п0 той причине, что при дифференцирова-
ОС	Ot	OS	OS
нии по одному из аргументов предполагается, что другой сохраняет
постоянное значение.
Формулы (3), (5) и (10) являются основными при дифференци-
ровании сложных функций. Отметим некоторые часто встречающиеся
частные случаи этих формул.
Первый случай: w = / (х) и х = F (и).
Применение формулы (5) дает первую производную:
dw  df dx
du dx du
Вторая производная имеет вид:
d / dw X  d2w   df d2x . dx d / df X
du \ du )	du2	dx du2 ' du du \ dx J
Первая производная сама по себе — функция х, и при диф-
ференцировании по. и ее надо опять рассматривать как сложную
функцию от и. Мы находим:
Отсюда имеем:
d ( df \  d2f dx
du \ dx J dx2 du
d2w df
du% dx
d2x
dx X2 d2f
du / dx2
358
Пример.
w — xn и х—и2— 2
dw
---= пх
dx
л-i.
dx
~Г=2и
du
—— =тгхя-1 • 2и = 2пи (м2 — 2)я-1
-g. = „(„-!) ^-2;
й2г
Л^ = 2
2 =2игя=1 + (2и)2 п (п — 1) Xя-2
Второй случай: w = f(x) и x — F (и, v).
Применяя формулу (10), получим две первые частные производ-
ные:
dw	 dw	дх	dw dw	дх
ди	dx	ди ’	dv dx	dv
d2w ___ dw d	f dx	\ t	dx d	f dw \	tttx
du2	dx du	\ du	)'	du du	\ dx	)
„	d [ dw \
Производную (-jj-J следует отыскивать как производную от
сложной функции; применяя формулу (10), получим:
д	/ dw \ __ d2w	дх
ди	\ dx )	dx2	ди
После подстановки в уравнение (11) имеем:
d2w	_ dw д2х	.	/ дх	\2	d2w
ди2	dx ди2	'	X ди	)	dx2
Таким же путем получаются остальные две частные производ-
ные второго порядка:
d2w  dw	д2х	.	дх	дх d2w
ди dv	dx	ди dv	'	ди	dv dx2
d2w	dw	d2x	.	/	dx \2	d2w
do2	dx	dv2	'	\	dv /	dx2
Пример.
w — (;r-j-3)2 и x=u2 — v2
dw	dx	dx
-т- = 2(^-гЗ ; -г— = 2«; 	-г— = — 2v
dx '	du	dv
Отсюда найдем:
<l2w _	d2x   d2x  d2x
dx2 ==2’ du2 ~2’ dv2	dudv
^- = 4(^ + 3)+8u2
d2w
du dv
= —8uv
-7^2	4 (г+ 3) + 8t>2
359
Третий случай: w = f (х, у); х — Fi (и); у = F2 (и).
Здесь мы будем иметь только одну производную первого порядка,
так как, после исключения х и у, w станет функцией лишь одной
переменной и.
Пользуясь формулой (5), получим:
dw   dw dx . dw dy
du	dx du "t" dy du
Применяя формулу (5) к каждому слагаемому правой части,
получим вторую частную производную:
d2w	dw d2x , dx d I dw \ f dw d2y , dy_ d ( dw \
du2	dx ‘ du2 du du \ dx }' dy du2 ‘du du \ dy J
Ho и являются функциями ОТ J и у, и формулу (5)
о ии
можно применить к каждой из них; мы получим:
d
dx
, d
dx ._____
du
dy
dy
du
d2w dx , d2w
dx2 du dy dx
dy
du
dx
dx
du
dy
d2w
dx . d2w
dy
Подстановка в формулу (12) дает:
d2w dw
du2 = dx
du dx dy
___	_____ dy_
du "T- dy2 du
d2x , d2w
du2
dx2
d2w dx dy dw d2y
dx dy du du dy du2
d
d
Пример.
d2^
dx2
w = x2-j-y2; x=u2; y—u2
dw	dw	n dx	„ . dy
— = 2ж; —- = 2y; -T-=3u2; -/-=2и
dx	dy	du	du
= 2x • 3u2 + 2y • 2u = &xu2 + 4yu
du
d2w __ dw _________ d2x ______ ф d2p ____
dy2 dx • dy ’ du2 U\ du2
= I2xu + I8ui + 4y + 8u2
au^
Четвертый случай: w = f(x,y), где я^/^и), y=/2(y). Ha
основании (10) имеем:
dw   dw dx dw dy
du	dx du "I- dy du
В этом случае у не зависит от и и, следовательно, — = 0. Да-
лее, вследствие того что х есть функция только одной переменной
dx	dx
и, вместо — следует писать
360
Следовательно, формула (13) принимает следующий вид:
. dw	dw	dx
ди	дх	du
Таким же образом получим:
dw __ dw	dy
dv	ду	dv
Далее найдем:
d2w   dw d2x . dx d / dw \
flu2 dx du2 'du du \ dx )
Но есть функция от x и у и на основании формулы (5) имеем:
д f dw \   d2w dx
ди \ дх ) дх2 du
И
d2w	dw	d2x	d2w	/	dx	\2
du2	dx	du2 "T-	dx2	\	du	)
По аналогии получим:
d2w	dw	d2x	d2w	f	dx	\2
dv2	dy	dv2 "I-	dy2	\	dv	)
И
d2w _ dx dy d2w
du dv du dv dx dy
Пример. Требуется упростить уравнение
где а и Ь — постоянные, а Ф—функция от х и у, вводя вместо х и у новые
независимые переменные и и v, связанные с х и у зависимостями:
х — иа, y — vb
Дифференцируя функцию Ф, находим
откуда
Таким же путем получим:
Подставляя это выражение в исходное уравнение, приведем его к виду:
Пятый случай: w = f(x, у); х =	v); y = F2(u, v).
361
Применяя формулу (1Q), получим две первые частные произ-
водные:
dw _ dw	dx	।	dw	dy
du	dx	du	‘	dy	du
dw	dw	dx	,	dw	dy
-x-=-5---5-15)
dv	dx	dv	1	dy	dv
Вторые частные производные получаются путем дальнейшего
дифференцирования уравнений (14) и (15):
d2w _ dw	d2x i dx	d f dw \ dw	d2y . dy	d / dw \
du2	dx	du2 ‘ Su	du \ dx ) "• dy	du2 "7” du	du \ dy /
-Ж-T dw	dw r	r	Y V
Ho — и —, будучи функциями x и у, могут быть продиффе-
ренцированы с помощью формулы (10); дифференцируя, получим:
0 /	dw \_ d2w	dx [ d2w	dy
du \	dx )	dx2	du ”7” dx dy	du
d [	dw \	d2w	dx ! d2w	dy
du \	dy j	dy dx	du "7” dy2	du .
Подстановка (17) в уравнение (16) дает:
(17)
d2w _ dw	д2х . d2w	fdx"^ d2w	dx	dy .
du2	dx	du2 "I- dx2	\ du )	% dx dy	du	du "7”
I dw d^.d^w ( dy_\2	,, .
"r dy du2 dy2 \ du )
Очевидно, что для получим выражение, аналогичное урав-
нению (18); надо лишь в уравнении (18) и заменить на v. Третья
частная производная второго порядка получается в результате при-
менения формулы (10) либо к (Г4), либо к (15):
о2«>	dw д2х	,	to	d f dw
du dv	dx	du dv	1	dv	du \ dx
dw d2y . dy d f dw
dy du dv "7” dv du \ by
,-r	d ( dw \ d ( dw \
Подставляя сюда выражения для	и	из О')’
придем к окончательной формуле:
d2w ___ d2x dw , d2y dw . 02w Г dy dx . dy dx ~1 .
du dv du dv dx "* du dv dy ' Ox dy |_ dv du "7~ du dv J "7~
d2w dx dx d2w dy dy
"7” dx2 du dv "7” dy2 du dv
Воспользуемся еще одним примером, из рассмотрения которого
станет понятно, почему в некоторых случаях бывает необходимо
в обозначении частных производных указывать те переменные, кото-
рые при дифференцировании принимаются за постоянные.
302
Возьмем известные из термодинамики однокомпонентных систем
уравнения:
P=fi(v, Т)	(20)
v = fi(S, Т)	(21)
где v — объем;
р — давление;
Т — абсолютная температура;
5 — энтропия.
Подставляя значение v из уравнения (21) в (20), получим р как
функцию только S и Т, а именно:
P = /iI/2(S, Т), T] = f3(S, Т)
Будем искать частную производную от р по Т при постоянной S.
На основании выведенных формул мы получим:
(др_\ _ p/i X (—\ I p/i \
\dTjs \ dv }т\дт Js~r\дТ Jv
Если /х заменить зависимой переменной р и опустить индексы,
то эта формула примет вид:
др др dv i др	. ,
If ~dv ‘ IF "J" Ft	<22
Здесь два члена — взаимно уничтожаются, и мы приходим
к формуле	— которая вообще неверна.
Это объясняется тем, что частные производные стоящие в ле-
вой и правой частях формулы (22), вычислены при разных пред-
положениях. Поэтому в подобного рода примерах не следует опускать
у частных производных индексы, указывающие на то, какие пере-
менные принимаются за постоянные.
С другой стороны, если пользоваться только уравнением (20),
не прибегая к уравнению (21), то в обозначении частной производ-
„ др	„	«
нои можно опустить индекс, так как единственной второй неза-
висимой переменной, кроме Т, является и и поэтому переменную и
следует считать постоянной при дифференцировании по Т.
§ 3. ПЕРЕХОД ОТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
К ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Формулы дифференцирования сложных функций имеют приложе-
ния при преобразованиях различных дифференциальных зависи-
мостей, связанных с преобразованиями координатных систем (см
стр. 468).
Рассмотрим переход от прямоугольной к цилиндрической системе
координат. Соотношение между этими двумя системами видно из
363
рис. ХП-1. Цилиндрическими координатами точки Р являются:
х, г и Ф, где г — длина перпендикуляра из точки Р на ОХ, а Ф —
угол, образованный этим перпендикуляром и плоскостью XOY.
Между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеют
место следующие соотношения:
х=х\ z = rsinO
</ = гсозФ; Г=]Л/2_|_22
(23)
Цилиндрическая координатная система весьма удобна, в част-
ности, при изучении вопросов теплопередачи и массопередачи
в цилиндрических телах, оси которых совпадают с ОХ.
2	Общее уравнение теплопроводности в не-
установившемся состоянии в прямоугольной
системе координат х, у, z имеет следующий
h	вид:
I ''г	at ( a2t । a2t । a2t A
n $ К X	0T “ \ dz2 + dy2 + 5z2 /	( )
Z----№-----
/_	Посмотрим, как изменится это уравнение
х	при переходе к цилиндрической системе коор-
/у	динат.
Рис ХП-1	Переход этот осуществляется по формулам:
^=гсозФ; z = г sin Ф
(25)
Следовательно, здесь имеет место пятый случай замены перемен-
ных, рассмотренный в § 2. Для выражения производных от t по
старым переменным у и z через производные от t по новым перемен-
ным г и Ф следует воспользоваться формулами (14), (15) и (18), за-
меняя в них ш, х, у, и, v, соответственно, на t, г, Ф, у, z.
Вычислим сначала частные производные от г и Ф по у и z:
dr	У	.dr	z	. _
— = —. = cos Ф; — = r .	= sin Ф
ду	]/^2_|_г2	dz
Из рис. ХП-1 находим:
_ Z	-	Z
tg Ф =	, откуда Ф = arctg —
Отсюда имеем:
ЗФ _ z ________ sin Ф дФ у _____________ cos Ф
dy У2 +z2	г ’ dz y24-z2 г
Вычислим теперь частные производные второго порядка:
(26)
й2г . ЗФ sin2 Ф
-Г-»" - — Sm (
ду2
д2г Л
1^=С08Ф
дУ	Г
ЗФ	cos2 ф
32Ф d / z \ 2yz
dy2 = — ~dy k y2 + z2 ) = (j<2 + z3)2
д2Ф	d f у \ —2yz
dz-i	dz Ууг^^)— (^2+z2)2
(27)
364
Подставим найденные частные производные в формулу (18),
изменив, соответственно, обозначения переменных:
d2Z	di	d2r d2Z	Zdr\2 <	92*	9г	д2ф	d2t рф\2
ду2	дг	ду2 ' дг2	'^дг <9Ф	ду	ду <9Ф ду2	<9Ф2 \ ду J	'2®^
d2i__dZ да .да (dr\2 d2t дг дФ , dt д2Ф . d2t f дФ \2
dz2~ dr ’ ~dz2'~ dr2 \dz ) + 2 дг дф' dz’ dz + дФ ’ dz2 + d®2 \ dz )	(29>
Складывая эти выражения, получим:
да . да _ az р да , да "1 , да г/у / аг ул d2z
ду2 "г" dz2	~ dr L ду2 + dz2 J + dr2	|_\	\ dz / J + 2 дг	дф Х
Г dr ^Ф	. dr ^Ф Л dt Г d2ф	d2ф	Л	dftt Г/ 9ФУ ,	/ дФ\2~1
L ду ду	' dz dz J "I” дФ |_ ду2	dz2	J	d®2 [_ \ ду )	\ dz J J
Подставляя в эту формулу вместо производных от г и Ф по у и г
их значения из формул (25)—(27), получим:
d2t d2t 1 dt . d2t 1 d2t
ду2 + dz2~’r’dr'~ dr2 r2 ' дф2
Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе коорди-
нат записывается следующим образом:
9t _ ( 921 I 1 9t _L_ 1	94 _l 92t	/ЧПх
дх а \ дх2 + г ‘ дг + г2 ‘ d®2 + dr2 )	(d0)
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Если зависимость между независимым переменным х и функцией
от него у задана аналитическим выражением, не разрешенным отно-
сительно у, т. е. если задано уравнение / (х, у) = 0, то говорят, что
это уравнение определяет у как неявную функцию от х.
Вышеописанные методы весьма удобно применяются при диффе-
ренцировании неявных функций с двумя переменными. Дифферен-
цирование функции f (х, у) = 0 дает:
df df
df=-^-dx-j- — dy = O
дх 1 ду
Отсюда получаем формулу для производной неявной функции:
df
=	.	(31)
dx df
ду
Аналогичные соотношения могут быть получены для функции
с любым числом переменных. Если мы имеем функцию / (жп хг,
х3,. . ., хп, z) = 0 и если мы примем х1г хг,. . хп за независимые
365
переменные, a z — за их функцию, то частная производная от z
по xk выразится следующими образом:
Of
dz
Пусть, в частности, мы имеем функцию:
f (ж. у, = О
На основании формулы (32) получим:
(°L\
ду \	\ дх )у, г	(	dz \____V ду	} х, г	(	8х\	\ dz	J х, у
дх )г	fdf_\	’	\	ду )х~	/ 5/	\	’	\	dz )у~	( df	\
\ ду )х. г	\	dz	)х, у	\ дх	)у,	2
Перемножая эти формулы, придем к следующей зависимости:

(33)
§ 5. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Экспериментально установлено, что физическое состояние одно-
родной жидкости определяется заданием двух из трех переменных
величин, фигурирующих в уравнении состояния: температуры t,
объема v и давления р. Между этими переменными существует зави-
симость:
f(p,v, t) = 0	(34)
Уравнение (34) называется уравнением состояния жидкости.
Так как три переменных р, v, t связаны одной зависимостью (34),
то одну из этих переменных можно рассматривать как функцию
двух других.
Применим формулу (33) к уравнению состояния (34). Мы получим:
\ dv J t\ dt Jр\ dp J
ИЛИ
Воспользуемся этой формулой для определения величины давле-
ния, развивающегося при нагревании жидкости, которая занимает
весь объем закрытого реакционного сосуда. Пусть жидкостью
является вода, нагреваемая от 40 до 50° С. Пренебрегая расширением
866
сосуда, этот процесс можно считать протекающим при постоянном
объеме. После интегрирования по t равенства (35) получим:
Используя определения коэффициента объемного расширения а
1 ( ди \
(X =— I   I
V \ dt j р
и коэффициента сжатия р
0=1^
р V \ др )t
формулу (36) можно переписать следующим образом:
t,
С а
Рг — Р1=— j -J-Л	(37)
Л
Подынтегральная функция в формуле (37) зависит от давления
и от температуры, и уравнение (37), строго говоря, есть интеграль-
ное уравнение, так как искомое давление содержится под знаком
интеграла. Однако в рассматриваемом интервале изменения темпера-
туры коэффициенты аир, являющиеся функциями t и р, с доста-
точной степенью точности могут быть приняты постоянными.
Если а — 0,3-10“3 град-1 и р = —38-10“6 am-1,	= 40° С,
t2 = 50° С, то, решая уравнение (37), получаем:
.	0,30-Ю'3 лп 3000
38-Тб-в-10=^8-=79я,№
§ в. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПО ПАРАМЕТРУ
Пусть подынтегральная функция в определенном интеграле,
кроме переменной интегрирования х, зависит еще от некоторого
параметра с. В этом случае определенный интеграл также будет
зависеть от этого параметра:
ь
Ф (с) = J f(x,c}dx
а
Функция Ф (с) представляется площадью acdb (рис. ХП-2).
Если с дать приращение Де, то Ф (с + Де) будет равно площади
tefb, а ДФ будет представлять собой заштрихованную площадь cejd.
367
Часто бывает нужно вычислить скорость изменения Ф в зависимости
с/Ф	ГЛ	йФ	•>
от изменения с, т. е. . ота производная —равна:
ас	ас
ъ
аФ С df (х, с)
——— == 1	' и dx
de J де
Если пределы интегрирования а и b также являются функциями с,
то приращение Ф представится заштрихованной площадью
(рис. ХП-З).

Рис. XI1-2.
Рис. ХП-З.
а	Ь
Валу	„ _	„
этом случае определяется следующей формулой:
ь
ЛФ	(х. с)	db ,,	' da
-т— — I —~ dx4-f (b, c) —-f (a, c) ——
de J de 1 ‘ ’ 1 de 1 ' ’ ’ de
a
Дифференцирование определенного интеграла по параметру при-
меняется, например, в задаче отыскания максимума и минимума
при выполнении технико-экономических расчетов.
§ 7. ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
В § 5 гл. V было показано, что выражение
М (х, у) dx-\-N (х, у) dy	(38)
является полным дифференциалом некоторой функции и (х, у), если
выполняется следующее условие:
дМ dN
ду ~ дх
368
Метод нахождения функции и (х, у), полный дифференциал кото-
рой равен М (х, у) dx -j- N (х, у) dy, изложен там же.
Если функция и зависит от трех независимых переменных, то ее
полный дифференциал du равен:
, ди	, ди	ди
du = —~ dx-\-——dydz
дх	' ду	dz
(40)
Пусть нам задано выражение:
М (х, у, z) dx-\-N (х, у, z) dy-\-P (х, у, z) dz
Как и в случае двух независимых переменных, можно показать,
что для того чтобы уравнение (40) было полным дифференциалом
некоторой функции и (х, у, z), необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
dM___dN_' дМ__дР_^ dN дР
ду дх ’ dz дх ’ dz ду
(41)
Аналогичные соотношения могут быть получены для функции
с любым числом независимых переменных.
В § 7 гл. XI было установлено, что криволинейный интеграл
J М (х, у) dx±N (х, у) dx
L
взятый между точками (Xj, г/i), (ж2, р2), не зависит от пути интегри-
рования, если подынтегральное выражение есть полный дифферен-
циал du некоторой функции и (х, у). Величина интеграла в этом
случае оказывается равной:
“ (г2> Дг)~ “ (хъ У1)
Аналогично, если нам дан криволинейный интеграл, взятый по
пространственной кривой L между точками («1, р15 zj и (х2, у2, z2)
J М (ж, у, z) dx + N (ж, у, z) dy-\-P (х, у, z) dz
L
то он не будет зависеть от пути интегрирования, если подынтеграль-
ное выражение есть полный дифференциал du некоторой функции
и (х, у, z), т. е. если выполняются условия (41). В случае выполнения
этих условий интеграл будет равен:
“ (х2, У2. z2> — “ (г1< У1, zl)
В качестве примера рассмотрим некоторое количество однородной
жидкости. Ее физическое состояние определяется значениями любых
двух переменных величин из следующих трех: давления, объема
^температуры. Между этими тремя величинами р, v и Т существует
функциональная зависимость; будем считать риг независимыми
переменными: тогда эта зависимость может быть представлена
в виде: Т = f(p, v).
24 Заказ 1706
369
Совокупность значений р и и дает некоторую точку на плоскости
pv', каждой такой точке соответствует значение Т (рис. ХИ-4).
Дифференциал Т
dT =~—dp+ -^—dv
др ди
есть полный дифференциал. Если состояние системы, определяемое
точкой А, изменится так, что оно будет определяться точкой В, то
температура в точке В может быть найдена из формулы:
?в — f (Рв’ vb)
Для отыскания значений работы, совершаемой системой в резуль-
тате изменения ее состояния при переходе от Л к В, требуются допбл-
if
Рис. XI1-4.
Р
нительные данные. Считая рассматриваемый
здесь процесс обратимым, работу системы вы-
”в
числим с помощью интеграла Wa~b — J pdv,
который представляется геометрически пло-
щадью под кривой на диаграмме р — v. Так
как из точки А можно перейти в точку В по
разным кривым, то, следовательно, и площади
между этими кривыми и осью v будут различ-
ны. Значение работы W зависит, таким обра-
зом, не только от положения точек А и В, но
также и от пути АВ.
Экспериментально найдено (хотя непосредственно из диаграммы
р — v это не видно), что количество тепла Q, проходящего через
границы системы во время изменения ее состояния в пределах А — В,
также зависит от пути, по которому изменяется это состояние.
Следует отметить, что, несмотря на то, что количества тепла
и энергии, связанные с изменением состояния от Л до В, зависят как
таковые от пути, пройденного системой, разность их не зависит
от пути. Утверждение, что изменение Q — W, где Q — поглощенное
системой тепло, a W — совершенная системой работа, определяется
только состоянием системы в Л и В, равнозначно утверждению, что
изменение разности Q — W характеризует изменение некоторой
функции состояния системы. Этой функцией является внутренняя
энергия U:
^a^b = (Q-W)a^b = F(pb,Vb)-F(Pa,ua)	(42)
Мы можем также написать:
dU = dQ — dW = -^-dp+-^-dv	(43)
Если из точки Л описывается замкнутый путь в плоскости pv
(на рис. ХП-4 этот путь представлен пунктирной линией), то криво-
370
линейный интеграл от dU по этому пути может быть напи-
сан так:
Ра
J dU = UA-UA = 0	(44)
Для краткости этот криволинейный интеграл называется цирку-
ляцией и обозначается символом (|), где I — замкнутая кривая.
(I)
Циркуляция полного дифференциала всегда равна нулю {см. гл. XI).
Перейдем к рассмотрению другой функции состояния системы —
к энтропии. Энтропия определяется только переменными, характери-
зующими физическое состояние системы, и при переходе системы
от А в В изменение энтропии не зависит от пути этого перехода.
При этом
_ С d(?°6p
ЛЛА->В— J у
А
где dQобр — количество тепла, проходящего через границы системы
в течение обратимого процесса, а Т — абсолютная температура.
Для бесконечно малого изменения состояния:
dQcifjri
dS = —^ и dQo6p = TdS
Заменив dQ и dW в уравнении (43) их значениями, получим урав-
нение
dU = T dS — pdv	(45)
содержащее функции точки и полные дифференциалы.
При интегрировании уравнения (45) получим U, как функцию
двух переменных, а именно S и v. Выразив это соотношение
уравнением
U = fv(S,v)	(46)
нетрудно видеть, что
JTr ( ди \	, ( аи \ J
' dU = ( 	) dS 1 —— ) dv
\ OS Jv \ dv J S
И при сопоставлении с уравнением (45) имеем:
Если уравнение (46) известно для данной массы любой однород-
ной жидкости, то, очевидно, свойства Т, р tU могут быть вычислены
Для любого физического состояния жидкости, которое определяется
независимыми переменными 5 и и. Поэтому уравнение (46)
называется основным уравнением. Функция U иногда называется
«термодинамическим потенциалом энтропии и объема».
24*
371
§ 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Любые два свойства достаточны для определения состояния одно-
компонентной системы, и если S и v оказываются неудобными, то
можно рассматривать, например, S и р путем введения нового свой-
ства Н, выражаемого через U, р и v уравнением:
я=г/ + ру
Полный дифференциал dH будет равен:
dH = dU -j- pdv-j-v dp
Подставляя вместо dU его значение из уравнения (45), получим:
dH = TdS-\-vdp	(48)
Очевидно
H=fH(S,p)	(49)
Сопоставление с уравнением (48) показывает, что
( дН\ _	( дН \
Ы)ГТ и
Величина Н известна под названием энтальпии, или тепло-
содержания.
С практической точки зрения более удобным является выбор
температуры и объема или температуры и давления в качестве не-
зависимых переменных.
При выборе Т и v определяется новое свойство F, выражаемое
через U, Т и S уравнением F = U -— TS.
Дифференцирование дает:
dF — dV — Т dS — S dT
Подставляя вместо dU его значения из уравнения (45), получим:
dF =—S dT—р dv	(50)
Таким образом, F является функцией Т и v, что может быть
записано так
F=fF{T, v)
откуда имеем:
\ дТ Jv \ dv Jt
Сопоставление с уравнением (50) показывает, что
372
Функция F называется свободной энергией и, как видно, является
термодинамическим потенциалом, когда температура и объем —
независимые переменные.
При выборе р и Т в качестве независимых переменных характе-
ристическая функция при этих переменных выразится уравнением
Ф — V — TS + pv
дифференциал которой будет равен:
с/Ф -- dU — Т dS — S dT р dv -pv dp
Заменив dU его значением из уравнения (45), получим:
d<P ——SdT-\-vdp	(5i).
С другой стороны, имеем
ф = Гф(Лр)
\ дГ J р \ др )т
откуда, после сопоставления с уравнением (51), вытекает, что
\->Th—S " hr)?""
Функция Ф представляет собой термодинамический потенциал„
когда температура и давление — независимые переменные. Она на-
зывается изобарным потенциалом, а иногда — свободной энергией.
§ 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ
ОДНОФАЗНЫХ СИСТЕМ
Практический интерес к только что рассмотренным термодинами-
ческим функциям обусловливается теми упрощениями, которые
они вносят в расчет различных тепловых и энергетических эффектов,
сопровождающих физико-химические процессы. Большое значение
имеют таблицы этих функций; здесь мы приводим методы расчета
последних на основе величин, которые могут быть непосредственна
измерены.
Рассмотрим метод расчета изменения внутренней энергии в зави-
симости от объема при постоянной температуре.
В этом случае требуется найти производную	как функцию-
от и. Если функция U известна при Т — Т А и v = vA, то ее значе-
ние при Т = Тв и v = vb определится следующим образом:
J (4-),«»
VA
.373-
Для того чтобы найти	как Функцию от и, будем исхо-
дить из уравнения:
U = fv(S,v)	(52)
Так как для определения состояния системы достаточно любых
двух переменных, будем рассматривать S как функцию Т и щ
5 = Ф(Г, р)	(53)
При подстановке в уравнение (52) вместо S ее значения из урав-
нения (53), U становится функцией Т и и может быть продифферен-
цирована по v при постоянной температуре. Это дифференцирование
дает:
\ dv )т~ \ dS )v\ dv )т' X dv )s\ dv )t
Но = следовательно
( dU \ = Z \	\ ( dU \
\ dv )т	X dS /a\ dv ) т' X dv JS
Из уравнения (47) имеем
поэтому
Из уравнения (50)
dF — —S dT—pdv
и, так как dF есть полный дифференциал, то на основании уравне-
ния (39):
/ OS \ . / dp \
X dv )т \ дТ )v
Подстановка в уравнение (54) дает:
и
ав
(ив-иА)т^ J [у (тгХ-р]*’	(55)
«А
Производная легко вычисляется из данных о соотношениях
между р, v и Т для рассматриваемого вещества, а интеграл полу-
чается как площадь под кривой построенной по значениям величин,
находящихся в скобках, относительно у; все величины отнесены
к температуре Т.
374
Следует отметить, что такое вычисление допустимо только при
изотермическом изменении U. С помощью только одних данных
о соотношении между р, v и Т невозможно вычислить изменение U
с изменением температуры.
Пример. Вычислим величину изменения энтальпии системы
в зависимости от давления при постоянной температуре.
Вместо того чтобы применить тот же метод, который был принят
для вывода уравнения (55), начнем непосредственно с уравне-
ния (48):
dH=T dS + vdp
Разделив на dp и учитывая принятое ограничение (постоянство
температуры Т), получим:
= + (56)
Но из уравнения (51) известно, что
<7Ф = —S dT -j- у dp
Так как с/Ф есть полный дифференциал, то
( dS \	( dv X
\dpjT~ \0Т)р	(57>
Подстановка в уравнение (56) приводит к
' / ОН \	_ / dv \ ,
Величина изменения энтальпии при переходе системы от состоя-
ния при Т, Ра к состоянию Т, рв определяется уравнением:
рв
РА
Рассмотрим теперь процесс изменения теплоемкости в зависи-
мости от давления при постоянной температуре. Из определения
теплоемкости имеем:
\ dl )р
Но dQ — T dS, следовательно
СР = Т
dS \
дТ )р
375
Далее, 5, в свою очередь, — функция р и Т, и, так как порядок
дифференцирования не имеет значения, мы можем написать:
Е£(Ш-Е^(Ш
Подставляя вместо
ее значение из Уравнения (57),
по-
.лучим:
и
г Г 3 f A 1__________г ( a2v А
др )т L дТ к дТ )р}р к дТ* )р
рв
Кср)рв-(ср)ра]т = - § 7’(тг2')р<гр
§ 10. ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ПЕРВЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Выше были введены десять важных термодинамических величин,
и именно: р, v, Т, S, U, Н, F, Ф, Q и W. Теплоемкости Ср и Са сюда
не входят, так как они определяются производными, содержащими
основные величины.
Будем рассматривать частные производные» гДе х, I/, z—
любые из перечисленных выше термодинамических величин. По-
скольку этих термодинамических величин десять, то общее число
таких частных производных равно числу размещений из 10 элементов
по три, т. е. 720.
Каждая из этих величин может быть выражена как функция
других двух величин. Любая из 720 производных может быть пред-
ставлена как функция трех других производных. Согласно теории
сочетаний число таких соотношений между производными дости-
гает 11 миллионов. Нет никакой необходимости в том, чтобы все эти
соотношения были перечислены, но вместе с тем чрезвычайно важно
иметь метод, с помощью которого можно было бы вывести любые
из этих соотношений.
Для вывода этих соотношений введем понятие о якобиане.
Пусть заданы две функции и и v двух независимых переменных х
и У\ будем предполагать, что эти функции дифференцируемы по х
и по у. Якобианом этих функций называется следующий опре-
делитель:
/ ди \	/ ди \
\ дх )у к ду )х
к дх )у к ду ]х
fdv_\ (ди_\ [д^\
к дх )у\ ду ]х к ду Jх\ дх )у
376
Якобиан функций и и у принято обозначать следующим образом:
D (и, и)
-777-(- или J (и, V)
D (х, у)
Если в якобиане (59) поменять местами функции v и и или же
переставить местами аргументы х и у, то якобиан изменит знак на
противоположный:
D (и, v)   D (v, и)   D (и, и)   D (и, v)
D (ж, У)	D (х, у)	D (у, х)	D (у, х)
Кроме того:
D (“ ц) п
D (х, у)
Для системы функций и (х, у) и v (х, у) двух независимых пере-
« D (и, v)
менных якобиан	во многих отношениях играет ту же роль,
dz
как и производная по отношению к функции z (х) одной незави-
симой переменной.
Пусть у есть функция от двух независимых переменных х и z-
Рассмотрим две функции:
y = y(x,z) и z = z
Частную производную можно рассматривать как якобиан
. Действительно
и (X, Z)
D (У, z) _
D (х, z)
Пусть к и у — две функции независимых переменных х и у,
если вместо хну ввести две новые независимые переменные аир,
связав их с х и у зависимостями
х=х(а, ₽); у = у(а, ₽)
то имеет место следующая, основная в теории функций нескольких
независимых переменных, зависимость:
D (и, и) D (и, v) D (ж, у}
D (а, Р) ~ D (X, У) * D (а, Р)	(60)
Эта формула является обобщением правила дифференцирования
сложной функции в случае одной независимой переменной.
В качестве следствия формулы (60) имеем следующую формулу,
важную для дальнейшего:
Z? (у, z) _ / fly \ D (х, z)_
D (а, Р) \ Эх )г D (а, Р)
377
Отсюда:
(JUL\ -.d^- zY . D(x-z>
\дх )г	D (a. P) ‘ D (a, 0)
Пусть дано уравнение
F (x, у, z) = О
Мы можем по нашему усмотрению выбрать любые две переменные
(х, у или z) в качестве независимых переменных, а третью рассматри-
вать как их функцию. Вычислим произведение
( аУ \ ( дх\ (
\ дх )г\ dz )у\ ду )х
Заменяя сомножители, входящие в это произведение, отноше-
ниями определителей (62), будем иметь:
D (у, z)	D (х, у)	D (z,	х)
В («, Р) . D (a, Р) ф D (а.	Р) = _.
D (х, z)	D (z, У)	D (у,	х)
D (а, Р)	D (а, Р)	D (а,	Р)
Итак
(».<)/(<)-
В качестве второго следствия рассмотрим зависимость:
dU =Т dS — р dv
Обозначив через хну любые две термодинамические переменные,
получим отсюда:
_г(“)
X дх jУ	\ дх /у \ дх /у
Выражая частные производные посредством якобианов, приведем
эту зависимость к виду:
Д (U, У) = т D (S, У) _ D (у, У)
D (х, у) D (х, у) D (х, у)
ИЛИ
J (U, у) = TJ (S, y)—pJ (v, у)
Соотношение
\ dv )s \ dS )v
являющееся условием того, что dU есть полный дифференциал,
может быть написано так:
D(T,S) D(p,v)
D (у, S) ~~ D(S v)
Меняя местами независимые переменные в правой части, найдем:
J(T S) = J(p, V)	(64)
378
Еще одно соотношение получается из равенства
dz=(i\dx+^)xdy
которое с помощью уравнения (62) может быть написано так:
_ D tz, у) , . D (z, х\ ,
Если х, у и z выразить в виде функции двух других термодина-
мических переменных, то, воспользовавшись зависимостью (60),
получим отсюда следующую формулу:
J (х, y)dz-\-J (у, z) dx-\-J (z, х) dy = 0	(66)
Будем теперь рассматривать х, у и з как функции двух новых
переменных, например, переменных и и w, тогда из формулы (66)'
найдем следующую зависимость:
7 (х'	+7 (z’(77) =0
\ &U fW	.	\ ОН / iff	\ OU / iff
Заменяя здесь частные производные на якобианы на основании
формулы (61), мы получим:
J (х, у) J (z, w) +7 (у, z) J (х, W) + J (z, х) J (у, и>) =0	(67)
При х = р, y = v, z = T и w = S формула (67) дает важное со-
отношение
J(p, v)J(T, S) + J(v, T)J(p, S) + J(T, p) J (t>, S) = 0	(68)
причем в качестве независимых переменных, по которым берутся
частные производные во входящих сюда якобианах, могут быть
взяты любые термодинамические переменные.
Формула (67) делает возможным систематическое решение задачи,
поставленной в начале этого параграфа.
Примем р и Т за независимые переменные и рассмотрим пере-
менные U и Н как функции от р и Т.
Тогда найдем:
/ dU X _ D (U, Н) D (U, Н) . D (у, Я)
\ dv D (v Н) ~ D (р. Т) : D (р Т)
/ дЦ_\ (дН_\ _(М_\ ( aU \
— \ дР	h \ <^Р ) i\8T )р
( dv \ (	\	”У
Vdp М дТ )р V др )[\ дТ )р
Из формулы (58) имеем
37&
и из определения Ср и Н в сочетании с первым законом следует:
/ дН \
\.~дГ)ГСр	(71)
Далее, из формулы (45) имеем:
I dU \	„ I dS \ I dv \
( дТ )Р~Т (.~дТ )Р~р ( дТ	(72)
Но из равенства dQ = Т dS видно, что:
\ дТ J р	и \ дТ J р
Заменяя в формуле (72) Т через Ср, получим:
(тг) =cp~p(w}
\ 01 / Р	\ 01 )р
Единственной величиной в формуле (69), которая нами еще не
определена, является	Для ее определения рассмотрим фор-
мулу (45). Из нее следует:
( dU \	/	\ __ ( dv \
k dp )т~ \др)т Р\др/Т
Последнее соотношение после замены (на — (на
\ др )т	\ 01
основании формулы (57) принимает вид:
Заменим в формуле (69) частные производные
/ ЗУ \	(дН\	( дН\
к др )т’	к дТ )р>	к др )т' \дТ )р
их выражениями на основании формул (70) —(73). Мы найдем:
После преобразований эта формула принимает следующий вид:
\ dv ]в	„ [ dv \ , „ / dv \2	/ dv \
380
Метод, примененный для вывода формулы (75), отличается гро-
моздкостью и требует некоторого опыта в обращении с термодина-
мическими уравнениями. С целью упрощения вычислений может
быть использована таблица, которая содержит значения J (х, у),
выраженные через величины р, v, Т и S.
Введем следующие обозначения:
J (р, Т)= —J (Т, р) = а
J (р, v) = J (Т, $)= —J (р, р)= -J (S, Т) = Ь
j(p, S)=—J(S, р) = к
J{p, n=-J(T, p) = l
J (p, S) = —J (S, v) = m
(76)
В этих обозначениях формула (68) принимает следующий вид:
b* + ak — lm = 0	(77)
Значение J (х, у) находится из таблицы на пересечении строки,
соответствующей переменной х, со столбцом, соответствующим пере-
менной у. Эти значения J (т, у) получаются из выражений для dU,
dH, dF и т. д. в форме якобианов.
Так, например, dH = TdS -|- vdp принимает вид:
J (Н, y) = TJ (S, y)+vJ {р, у)
где у—любая термодинамическая переменная.
При у = Т имеем:
J (Н, T) = TJ (S, T) + vJ (р, T)~—Tb-+-vl
Таким же образом из dQ = TdS получаем:
J (Q, P) = TJ (S, р)= — Тк
С помощью указанной таблицы выразим (4р")т чеРез ПРОИЗ~
водные, включающие в себя р и Т в качестве независимых пере-
менных.
/ дН \	..
Сначала выразим	посредством якобианов:
( дН \ J (Н, Т)
\ др )т J (р, Т)
Вместо якобианов подставляем их значения из таблицы на
стр. 382
—Tb.+.vl lb
J(p,T)~~ I ~ I	(78>
Из таблицы, а также из уравнения (76) видно, что b = J(p, v)
и l = J(p, Т). Поэтому
\ др JT
TJ (р, р)
J (Р, Т)
381
ТАБЛИЦА
Но, с другой стороны
J (Р, V) _( ду \
J(P,T) \дт)р
следовательно
Выразим теперь	через производные, в которых незави-
симыми переменными являются v и 8.
Из формул (77) и (78) имеем:
/ дД \	Г&	Tbm
\ др )т	I 'V b2-\-ak 'V
Искомое выражение может быть получено из этой формулы и из
таблицы на стр. 382. Мы имеем:
(*L\ =___________________________+„	(79)
\ др )т J (P,v)*+J (v,T)J (P,S)^	W
Так как
т/ X д(р,и)	I дР \	Т, О' д (^. $) .
J(‘P,V)~d\e,S)	\ds)v> J{V,S) d(v,S)	1
7lr . d(v, T) _(dT\ .	d(p,S)	f dp \
d(v,S) \ds)v’ J('P'S) d(v, S)	\dv )s
то, подставляя зти значения в формулу (79), получим:
Пример. Определить соотношение между дифференциальным
дроссель-зффектом р =	теплоемкостью при постоянном
давлении Ср и производной	=Ф.
Из таблицы на стр. 382 имеем:
/ дТ \ _ J (Т, Н) _ Tb—vl
и \ др }н J (р, Н) ~ Tk
г _(W.\ -J(Q’P) -pk
р^ \ дТ )р J (Т, р) ~1
ф__(дН^\ J (И, Т) _ —Tb + vl
\ др )т J (р, Т) I
Из этих соотношений легко установить зависимость:
f—
г_____Ф______ \ др )т
р “	р
(80)
383
382
Пример. Пользуясь таблицей на стр. 382, выразить
рез наименьшее число производных, содержащих р и Т в
независимых переменных:
/ dU V	_ — Tvk — p(Tm — vb) __
V dv )н J (v, H)	Tm — vb
__ —TvJ {p, S)—pTJ (v, S)-\-pvJ (p, v)
TJ (y, S) — vj (p, v)
I че-
н
качестве
(81)
Если за независимые переменные принять р и Т, то якобиан
J (v, S) приводит к четырем производным, а остальные якобианы —
каждый к одной производной. С целью исключения некоторых произ-
водных воспользуемся формулой (77). Так как независимыми пере-
менными являются р и Т, то
Z = J(p, Г) = 1
/(р, S) = m = №-i-ak = J(p, v)^ + J(v, T)J(p, S)
Внося это значение для J (v, S) в формулу (81), найдем:
( dU \ TvJ (р, S)~pTJ(p, v^ — pTJ (v, T) J (p, S) + pvJ (p, v)
k dv )H	TJ(p,v^ + TJ(v,T)J(p,S] — vJ(p,v)
Ho
,P’ d(p, T) \dT )p T
"’’-JTTTt-O)
о (p, T) \ дТ /p
{	’ d(p,T) \ dp )t
гт	/ dU \
Искомое выражение для )д получим, внося зти значения
для якобианов в формулу (82).
Пример. Найдем выражение для зависимости изменения фуги-
тивности / от температуры при постоянной энтальпии через произ-
водные Ср,	и через основные термодинамические переменные.
Так как таблица на стр. 382 не содержит фугитивности, то зна-
чение последней получим из ее определения:
d<t> = RTd In /
Производные
<»>
и	определяются из таблицы:
( дФ\ 7(Ф, Я) -Т (Sb-vk) + vSl
\dT )н	Tb-vl	(84)
384
Из формулы (80) имеем:
„ Тк , Cpl
СР--Г' k-~f~
/ ЭН \	-Tb + vl
J(P. Т) ~\7Г)т~Фн - I
откуда
Цр-Фн)
Г
Подставляя зти выражения для k и b в формулы (83) и (84),
найдем:
/ д In / \	jj-f-vCp
\ дТ )в~ —ФВНТ
Пример. Определить дифференциальный дроссель-зффект для
идеального газа, уравнение состояния которого:
pv=RT
Примем за независимые переменные р и Т. Тогда
Z=J(p, T) = i
отсюда:
Допустим теперь, что уравнение состояния газа есть pv = CRT,
где С — коэффициент сжимаемости, определяемый опытным путем
и являющийся функцией температуры и давления.
В этом случае:
Следовательно:
м-	f
ЬР
25 Заказ 1706
Глава XIII
РЯДЫ
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОМЫВКИ ОСАДКА
Бесконечные ряды находят широкое применение в технических
расчетах. Результаты анализа многих процессов часто выражаются
в виде ряда; разложение функции в ряд позволяет найти ее числен-
ное значение. Ряды имеют большое значение в решении обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, а также при решении уравнений
с частными производными и в приближенных вычислениях.
Рассмотрим последовательную промывку осадка с использова-
нием каждый раз свежей воды. Начальная пульпа содержит а кг
воды с х0 кг растворенной соли на 1 кг воды.
При каждой промывке пульпа подвергается интенсивному пере-
мешиванию со свежей водой, которая поступает в количестве b кг.
После перемешивания раствор отстаивается и сливается,
а в пульпе остается а кг воды. Если концентрация раствора после
n-й промывки равна хп, то
ах0 — axi bxi
откуда концентрация раствора после первой промывки:
Концентрация после n-й промывки равна:
’Н'Щ') х°
Общее количество растворенной соли, извлекаемой промывной
водой, будет:
ta1 + b^2-|-te3 + . . • + ь^=[^у + (тр') + . . .
Это количество после п промывок выражается многочленом оте-
а
пени п относительно —-г-.
а-|-6
С увеличением числа промывок, т. е. при п, стремящемся к со,
количество соли, остающейся в пульпе, будет стремиться к нулю,
386
а количество извлеченной соли будет стремиться к ах0, и мы полу-
чаем следующее равенство:
“о=[Т^у + (-7^-)2(7^-)3+...]^о = ^о 2 (трг)" (1)
м=1
Правая часть полученного равенства представляет собою беско-
нечный ряд.	~
В общем случае рядом называется выражение:
“1 + м2 + и3 + • • • + “«+• • •
где ип — числа, закон построения которых нам задан.
Так как в рассматриваемом примере а и b — положительные числа
п
Д	°	С!
и, следовательно, является правильной дробью, то
стремится к нулю с увеличением п. Сумма п членов ряда (1) стре-
мится к определенному пределу, когда п стремится к бесконечности.
Ряд (1) называется сходящимся.
§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
Бесконечный ряд
“1 + и2+цз+ • • • + “«+• • •	(2)
называется сходящимся, если сумма первых его п членов Sn = иг -f-
и 2 + . • . + ип стремится к пределу S, когда число п возрастает
до бесконечности. Число S в этом случае называется суммою
этого ряда.
Если же Sn при безграничном возрастании п не стремится ни
к какому пределу, то ряд называется расходящимся.
Для наших приложений важны исключительно сходящиеся ряды
(хотя расходящиеся ряды также находят себе применение при реше-
нии технических задач); поэтому займемся установлением при-
знаков, по которым можно было бы судить о сходимости или расг
ходимости ряда.
Прежде всего, напомним, что ряд а aq 4- aq2 4- . . ., изуча-
емый в элементарной математике и называемый геометрическим
рядом, будет сходящимся (и будет иметь сумму если <1;
он будет расходящимся, если | <? | ^.1.
В случае, если ряд знакопостоянный, то о его сходимости или
расходимости можно судить по следующим признакам.
1. Признак сравнения. Пусть даны два знакопостоянных ряда
w-i 4~ ^2 Ч- • • • Ч- Ч- * •. и 4~ и2 4- • • • Ч- Ч- • * •> причем
члены второго ряда больше или равны соответствующим членам пер-
вого ряда: иг Vj, и2 v2,. . .,ип ==s vn ,.  . Если второй ряд сходится,
25*
387
то и первый сходится, и если первый ряд расходится, то и вто-
рой расходится. Например, гармонический ряд 1 -J- — -J-— + — + • •.
к	2 О 4
расходится, так как ряд с меньшими членами
'+W+D+
+ (т+'8’+т+т) + - • • *т-е- ряд 1 + т+т+т + - • • оче’
видно расходится.
1 1
Ряд 1 + ~^s + -js" + • •• ПРИ s<jl также расходится, что еле-
А о
дует из сравнения его с гармоническим рядом.
2. Признак Даламбера. Если ряд (2) знакопостоянный и если
отношение —-*1- при бесконечном возрастании п стремится к пре-
I ип I
делу, меньшему 1, то данный ряд (2) сходится; если стремится
I ип '
к пределу, большему 1, то данный ряд (2) расходится; если этот
предел оказывается равным 1, то, пользуясь данным признаком
нельзя решить вопрос о сходимости ряда.
Если члены ряда имеют произвольные знаки, то справедливо
следующее утверждение:
Ряд ux + и2	ип + . . . будет сходящимся, если схо-
дится ряд | их| + | u2 | -f-. . . -j- | ип | + . . ., составленный из абсо-
лютных величин его членов.
Если данный ряд знакочередующийся, то имеет место признак
Лейбница; знакочередующийся ряд их — и2 и3 — ut будет
сходящимся, если члены его монотонно убывают и стремятся к нулю.
Отметим, что из сходимости ряда их и2 . не следует схо-
димость ряда | их | -f-1 и2 |	. Поэтому, если дан ряд, члены кото-
рого имеют любые знаки, и если этот ряд сходится, то могут быть
два случая:
1) Ряд |их| +|п2| . . ., составленный из абсолютных величин
членов данного ряда, сходится, — в таком случае данный ряд назы-
вается абсолютно сходящимся.
2) Ряд | мх | -f-1 и21	. расходится. В таком случае данный ряд^
их + и2 . называется условно сходящимся.
Примеры.
1111
1. Ряд 1-—-J- --—-J- — • • .сходится и притом абсолютно, ибо
2	4 о 16
4	111
ряд 1-J- —, также сходится. Оба эти ряда —геометри-
2	4 о 12
веские ряды со знаменателем, абсолютная величина которого меньше 1.
111
2. Ряд 1-——-----т-+ • •  также сходится (по признаку Лейбница),
2 о 4
111
но уже условно, так как ряд	• • • расходится (как гар-
монический).
888
§ 3. ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ
Если ряды
а1 + а» + аз+> • • + “«+• • •
2>i + + Ьз +. . . + bn -f-. . ,
сходятся и если суммы их, соответственно, равны А и В, то, склады-
вая ряды почленно, получим новый ряд
(а1 + &1) + (“2+^2) + • • • + (ам + ^п) + > • •
сумма которого равна A -f- В.
Частичные суммы Ап и Вп (т. е. суммы п членов каждого ряда)
определяют со сколь угодно малой погрешностью суммы А тл В при
достаточно большом п, а следовательно, Ап + Вп определяют сумму
A -j- В с любой степенью точности. Таким образом, последователь-
ность сумм
А1+^1 = (а1 + &1)
В2= (а1 + ^1) +(вг + ^2)
4з+ В3 = (ai+ &1) + (а2 + Ь2) + (аз + Ъ3)
имеет предел А-\-В.
ОО	оо
Если ряды 2 aiи 2 абсолютно сходящиеся, то в каждом из них
i=i	i=i
без влияния на суммы можно изменить произвольно порядок в рас-
положении членов, а следовательно, при суммировании двух абсо-
лютно сходящихся рядов не обязательно суммирование соответ-
ственных членов *.
Например, суммируя абсолютно сходящиеся ряды
l + ?+?2+94 + 98 + ?’ + ?8 + ?10 + ?11 + 913- • •; 1 ?1 < 1
93 + 9® + 99 + 912 + - • •
не обязательно брать сумму в виде:
d + 93) + (<? + 96) + (92 + ?9) + - ..
Удобнее эту сумму представить так:
1 + 9 + 92 + «3+?4 + 95 + 96 + - < •
Сказанное относительно суммы двух рядов целиком распростра-
няется на разность их.
Если все члены сходящегося ряда умножить на постоянное
число с, то получим новый ряд, сумма которого равна произведению
числа с на сумму первоначально данного ряда.
Так, если
2 ап — а
п=1
* Отметим, что для условно сходящихся рядов это утверждение неверно.
089
то
оо	оо
с ап = слл — с Д
м-1	п-1
При умножении двух абсолютно сходящихся рядов друг на друга
следует применять правило умножения конечных сумм: произведе-
ние двух рядов равно сумме ряда, который получим, если каждый
член первого ряда умножим на каждый член второго и полученные
произведения сложим.
Перемножая два абсолютно сходящихся ряда
Si = «1 4- и24-• • .4-“n4-* • •
<?2 = У1 4* v2 4- • • -4-yn- • •
мы получим ряд:
У1 = ‘Ь’х-Ь’г = «1^1 + («1^2 + u2yl) + (“1^3 4" U2V2 4* u3yl) 4*
4-(uip4 4-«2^3 4-^2 4-^1) 4-- • •	(3)
§ 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенные ряды:
f (х) — а0 4- а1х-\-а2х2 4- а->хя 4- • • •	(4)
имеют большое практическое значение. Многие функции могут быть
представлены как суммы степенных рядов; экспериментальные дан-
ные часто выражаются посредством многочленов или бесконечных
степенных рядов. Сумма степенного ряда представляет собой непре-
рывную функцию х в пределах сходимости ряда.
Применяя признак Даламбера для определения сходимости ряда,
1а хп I
----П га-1
ап-1^ I
стремится к пределу, меньшему 1, при возрастании п до беско-
нечности. Если при этом —— имеет своим пределом F, то для
I ап-1 |
сходимости ряда достаточно, чтобы было меньше 1.
Это будет выполнено, если х заключается в пределах:
1 1
Число -у называется радиусом сходимости ряда. Если | z |	,
то ряд будет расходящимся. При ж = ±— ряд может оказаться как
сходящимся, так и расходящимся.
Операции сложения, вычитания, умножения и деления можно
производить со степенными рядами по правилам действий с много-
членами, расположенными по возрастающим степеням, при условии,
г ।	1
ЧТО I X К — .
390
Можно показать, что степенной ряд можно дифференцировать
почленно и можно интегрировать почленно между любыми преде-
лами а и Ь, удовлетворяющими условию —- < а < b <4	, где -=—
Г	Г	г
радиус сходимости ряда. При этом радиус сходимости рядов, полу-
ченных дифференцированием или интегрированием данного степен-
ного ряда будет тот же, что и радиус сходимости данного ряда.
Одной из важнейших задач анализа является отыскание такого
степенного ряда а0 4- аг (х — а) 4- а2 (х — а)2 4- . . ., сумма кото-
рого равнялась бы данной функции / (х). Не для всякой функции
это возможно сделать. Если такое представление возможно, то коэф-
фициенты искомого разложения в ряд определяются следующим
образом:
1 1 1
a0=/(a); а1 = f (а); а2=—f(a); а3 = —j-f'(a); . . .ап =—г /'«> (а). . .
Таким образом, если искомое разложение возможно, то оно имеет
следующий вид:
/(x) = /ta) = ^Ll f (а) +	/" (а) + (* Г" (а) + . . .+
+ -^ТП/'П)(а) + - ••	(5)
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, называется рядом
Тейлора. Отметим, что не всякую функцию можно разложить в ряд
такого вида. Для возможности такого разложения, в первую очередь,
необходимо, чтобы функция и все ее производные существовали
при х = а. Например, функции In (х — а) и ]/я— а не могут быть
разложены в степенные ряды, расположенные по степеням х — а.
Однако даже если функция и все ее производные существуют при
х = а, то отсюда еще не следует, что ее можно представить в виде
ряда указанного вида. Исчерпывающе этот вопрос разрешается
в теории функций комплексного переменного.
Если в ряде Тейлора положить а — 0, то получим частный слу-
чай — ряд Маклорена:
/И = /(О) + ТГ/'(О)+-2Г/"(О)+^ГГ'(О) + .. . + ^-/'”’(0). . .	(6)
Приведем разложения в ряды важнейших элементарных функций
с указанием областей их сходимости:
-•2	7*3
£Л=1+г+4г+4г+- • • +^т+- • • (-^<^<00)
4 1 О 1	*
х£
COSX=1--4-.— — ...	( —оо<г<оо)
391
у I ± х
sha: = a:+-^- + ^-+• • • (-оо<г<оо'>
ф2 ^4
сЬл:=1+у|- + Yf+ • • * (оо<г<оо)
ln() + l)=I-^-+^---J-. . . (-!<»«!)
(i+»y.=l+„J_-rL^=*r"<"~у <"~2> js-i-. .. (-кк,)
Z I	0 1
4	< . Ч	4 • Ч • S
aTCSin^-p — Х3+__^_Ж5+__^_Л;7+. . .	(-1 ==^=£1)
arctg х=х—--------^-+. . . ( —
0	0/
Чем меньше |х |, тем меньше членов следует брать в этих рядах
для вычисления числовых значений / (х) с желаемой точностью.
Если значение |ж| весьма мало, то достаточно ограничиться только
одним или двумя первыми членами, отбросив все остальные. Таким
образом можно получить весьма простые приближенные формулы
для вычисления / (х).
Приведем некоторые, наиболее часто встречающиеся приближен-
ные формулы:
п П 	. х
т/ 1 ±Х Ж ±-• Sin X X
’	п ’
«#!+—• COS X «=« 1-2—
п »	2
(1 ± х)п л* 1 ± пх; tg х х
а* 1 -|- х In a; In (1 ± х} ± х
Если нам известны значения функции / (х, у) и всех ее частных
производных при х=аиу=Ьи если эту функцию можно пред-
ставить как сумму некоторого степенного ряда, расположенного
по степеням х — а и у — Ь, то значение функции в точке х, у опре-
деляется следующим рядом:
/(»> у) = Ца, b) + £ (X - а)	+ (у-Ь)	+
+я|>—>’S+2<'—
причем частные производные вычисляются в точке (а, Ь).
Ряд, стоящий в правой части формулы (7), называется рядом
Тейлора для функции двух независимых переменных. Формула (7)
является обобщением формулы (5) на случай функций, зависящих
от двух независимых переменных.
Аналогичные ряды могут быть получены для функций, зависящих
от любого числа независимых переменных.
392
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К РЕШЕНИЮ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если дифференциальное уравнение у' — / (х, у) не приводится
к квадратурам (т. е. к вычислению неопределенных интегралов), то
во многих случаях решения этого уравнения могут быть получены
посредством степенных рядов.
Если мы ищем интегральную кривую уравнения у' = / (х, у),
проходящую через точку (а, Ь), то следует искать решение в виде
ряда Тейлора, расположенного по степеням х — а:
у(х)=у (а) + у' (a) -j-	/ (а) +. . .	(8)
Задача сводится к отысканию коэффициентов у (а), у' (а) .. .
этого ряда. Но у (а) — Ь, согласно начальному условию, а у' (а),
у” (а) .. . могут быть найдены из самого дифференциального уравне-
ния и из уравнений, которые получаются из него дифференци-
рованием по х.
Пример. Найдем интеграл уравнения
(9)
удовлетворяющий условию' у = Ь при х=а. Мы имеем:
у’ (а) = а 4-6*
Дифференцируя данное уравнение, найдем:
®—(S-).-2(“,+w+‘+3H) ’•
Подставив эти значения в формулу Тейлора (8), получим:
1
?==& +(а-|-М) (х—а)+— (1+2а&+2&3) (z-a^-f-
+ 4г(а2 + 4аЬ2-Ь6 + 364)(*-а3) + . • •	(10)
о !
В частности, если принять а=1, Ь = 0, то решение (10) обращается в
„ Гт	< 2(а-1)3	6(а-1)4
Разложение в степенной ряд искомого интеграла можно получить
иначе. Если мы ищем интегральную кривую, проходящую через
точку (а, Ь), то полагаем
Р = &_|_а1 (х— а) + <12 (х— а)2 + - . .
и подставляем этот ряд вместе с производной у' в дифференциальное
уравнение. В полученном при этом тождестве приравниваем
393
коэффициенты при одинаковых степенях х — а. Получим систему
уравнений, из которой можно, вообще говоря, определить коэффи-
циенты искомого разложения alt а2,. . .
Пример. Решим уравнение (9) этим методом. Ищем интегральную кри-
вую, проходящую через точку (0, а0).
Предиолагая, что искомая функция у может быть разложена в степенной
ряд, ищем решение уравнения (9) в виде
у=а0-\-а1х-{-а2хЪ-{-а3х3+. . .	(И)
откуда
(/2 = a§ + 2«oai'r+(2«oa2 + ai) г2 + (2аоаз + 2а1а2) ж3 + - • •
и
dy
= а1 + 2^2^-(“Зл3а;2-{-4а4^3+• • •
Подставляя эти выражения в уравнение (9), получим:
Ч- 2^2*^	Ч-"* • • ~ Ч- (1Ч- 2лр ai) х Ч~ (2л0^2 Ч- Ч-
+ (2aQa3-|-2a1a2) г3+. • •
Приравнивая коэффициенты при х С одинаковыми показателями степеней
будем иметь:
а1 = ао
2a2 = l +2aoai
За3 = 2аой2+а1
4a4 = 2aofl3 + 2aia2 И т. Д.
Выражая значения а1г а2, а3, . . . через а0, получим:
al=aoi а2 = а0-Ь ', а3 = а0 Ч--' а4 = а0 ”Ь "12" а0
1 1
а5= а® ао-1-'20' и т-
Подставляя эти значения аг, а2, а3, ... в (И), находим решение уравне-
ния (9):
У ~ ао+ аож4- ао “I""2”) г“ + ао +"д ) ®3 "Ь (
+(а§+-|- “о+ЧЧ х5+- • •	<12>
Если мы выберем произвольную постоянную а0 так, чтобы кривая, со-
ответствующая функции (12), проходила через начало координат, то из (И)
получим ао = О. Следовательно, решение уравнения (9), удовлетворяющее
начальному условию у —0 при х = 0, будет:
111
У =  -I-------- Х^ -f--#8 _L ,
2	20	160
Особенно удобен этот метод в применении к линейным уравнениям.
394
При получении решения в виде ряда, естественно, возникают
вопросы, связанные со сходимостью полученного ряда. Мы не можем
здесь касаться этих вопросов. Отметим лишь, что даже не всякое
линейное уравнение можно решить этим методом.
§ 6. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ РАСХОДОМЕР СО СВОБОДНЫМ СЛИВОМ
В этом измерительном приборе расход пропорционален высоте
слоя жидкости. Такого рода приборы используются для контроля
работы автоматически регулируемых запорных устройств, а также
в качестве расходомеров и дозеров.
Пусть отверстие свободного слива ограничено вертикальными
ребрами DR = а и CF — а + Л, горизонтальным гребнем CD = Ь
и кривой SR, уравнение которой от-
носительно осей, показанных на
рис. XIII-1, необходимо установить
таким образом, чтобы была обеспечена
пропорциональность расхода.
Обозначим Q расход жидкости че-
рез свободный слив и примем, что ли-
ния MN, проведенная для удобства
расчета и практического пользования
на расстоянии ота/Зот гребня, является
началом отсчета. Тогда будем иметь:
(13)

где к — коэффициент пропорциональности.
Известно (см. гл. II § 4), что расход через полоску сечением bdz,
расположенную на dz ниже уровня жидкости, составляет
\Z~2gz-bdz. Следовательно, расход Qt через прямоугольное отвер-
стие CDRO будет
— aih- <>	—
<21 = 61^2? f Vzdz—^-b у2g	— к’/г]	(14)
а расход Q2 через отверстие ORSF равен:
h
Qz=2g f Vh—yxdx	(15)
О
Приравнивая Q сумме Qr и Q2, получим:
Л ^ + -y-)=-3-&/2g[(a-|-^)S/' —^’/Sl+K2g У Vh—yxdx (16)
395
Это соотношение действительно для всех неотрицательных значе-
ний h.
Положив h = 0, найдем
откуда	__
k = bV2ga	(17)
Подставляя это значение к в (16), получим:
^ltbV2g(h + ^=^
_	__ h _______
bV2g 1(а4-Л)а/1—A8/,] + /2g [ Vh — yxdy\
о
	Г	о
У Vh — у x dy = b	—
о	<J _J
(18)
-F
Задача состоит в том, чтобы найти х как функцию от у при усло-
вии, что равенству (18) удовлетворяют все положительные значе-
ния а и h. Так как характер функциональной зависимости между х
и у не предопределен, то естественно принять для х бесконечный ряд,
включающий в себя у, и определить коэффициенты таким образом,
чтобы (18) было удовлетворено. С этой целью потребуем, чтобы пра-
вая часть (18) была выражена в виде ряда:
Г xVh — y dy = ^b (h'l‘ —	+	—
g	3	\	8	lb
3
128
(19)

Очевидно, что x]fh — у может быть представлено рядом, кото-
рый после интегрирования относительно у с последующей подста-
новкой пределов дает ряд, идентичный с правой частью (19).
Установлено, что это условие удовлетворяется, если
А2у,/г+ Азу3^ + А4у1/‘+ А5у,/г+ ...	(20)
где 4Х, А2, А3,. . . — постоянные коэффициенты, значения которых
должны быть определены.
й
Подставив это выражение для х в^х^к—ydy, получим:
о
fi ___ h _________ ft _________
У X Vh — у dy= Ar у Vh — у dy + A2 У Vhy — у2 dy +
0	oo
h ________
4- A3 у у Vhy — y2dy +. . ,	(21)
о
396
Интегрируя (21) почленно, будем иметь:
( х Vh — у dy = ^	+ А лА2Л2-|-
о	6	8
1^7
+ —ЯЛАЗ+__ЯЛ^+ — лЛА5+ ...	(22)
При сопоставлении (22) с (19) найдем:
A = А2 = -—а-'1‘Ь; А9=-£- а-Ч‘Ъ;
л	Зл
Л4 =-а"’^2&; А-а = —— а~^‘Ь . , ,
5л	7л ’
Следовательно
Г 2 I у /2	а6/2	и7/2
Но
И» «5	и7
arctgu=u з' + ~5--7~+---;	1«1<1
Таким образом, окончательно получим
*=b(1-^arctg <24)
Уравнение (24) и есть уравнение кривой 8 PR.
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
При решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении
других задач математического анализа приходится пользоваться
также и не степенными рядами. Особенно часто применяются так
называемые тригонометрические ряды. Под тригонометрическим
рядом мы понимаем ряд
/ (г) = Яц-ря! cos z-|-a2cos 2х-$- ... 4- ап cosnx-j- ... -j-&j sin г +
+&2sin2^+ . . . +bnsmn«+ ...	(25)
расположенный по синусам и косинусам кратных дуг.
Так как каждый член этого ряда есть периодическая функция
с периодом 2л, то и сумма ряда имеет тот же период.
Пусть на промежутке — л < я < л нам задана функция у —
= f (х). В курсах математического анализа доказывается, что если
функция может быть представлена в виде ряда (25), то коэффициенты
этого ряда должны иметь следующие значения:
•те
1 С
«0 = -Т=- \ / (*) dx
-я
(26)
/ (г) cos кх dx;
f (х) sin кх dx
397
Разложение функции в тригонометрический ряд упрощается,
если функция / (х) является функцией четной или нечетной.
Если / (х) — четная функция, т. е. если / (х) = / (—х)
(рис. ХШ-2), то она может быть разложена в ряд по одним только
косинусам:
/ (л:) = а04-а1 cos x-f-a2 cos 2x-f-as cos 3^+ . . .	(27)
Коэффициенты этого ряда имеют следующие значения:
1
/ (*)
ао — ~
л
•те
2 С
ak = — I f (х) cos кх dx
О
Если / (х) — нечетная функ-
ция, т. е. если / (х) = —/ (—х)
(рис. XII1-3), то она может быть
разложена в ряд по одним только
синусам
/ (х) = bi sin x-\-b2 sin 2®+&3 sin 3^+. . •
(29)
(30)
Рис. XIII-2.
причем:
f>k — — I
л J
о
Выше мы видели, что для возможности разложения функции / (х)
в степенной ряд, расположенный по степеням х — а, необходимо,
чтобы функция была непрерывна в точке а и имела в этой точке
производные всех порядков. Для возможности представления функ-
ции тригонометрическим рядом нет необходимости требовать ее
непрерывности на промежутке от —л до л, так как коэффициенты
разложения выражаются посредством интегралов от функции / (х).
Можно показать, что если функция / (х) удовлетворяет на про-
межутке от —л до л следующим условиям:
1) если она имеет на этом промежутке конечное число точек
разрыва (или непрерывна), причем все эти точки разрыва первого
рода *; 2) если она имеет на этом промежутке конечное число точек
* Если в точке х функция / (х) имеет разрыв, то этот разрыв называется
разрывом первого рода, если при подходе к этой точке слева и справа функ-
ция / (х) стремится к определенным, конечным пределам.
398
максимума и минимума (или совсем их не имеет), то тригонометри-
ческий ряд (25), соответствующий функции / (х), имеет своей суммой
/ (х) во всех тех точках промежутка — л < х < л, в которых
функция / (х) непрерывна.
В точках разрыва сумма ряда (25) равна полусумме предельных
значений функции / (х) при подходе к этой точке слева и справа.
Если в ряд (25) вместо х подставить число, лежащее вне основного
промежутка —л < х < л, то, ввиду периодичности всех членов
тригонометрического ряда, сумма его будет представлять собою
функцию, являющуюся периодическим повторением с периодом 2л
функции / (х).
Пример. Разложим функцию
/(г) = 1— х	(31)
в ряд в промежутке от —л до л. Подставляя (31) в формулу (28), получим:
ао = -^- J (1— х) dx = i
-ТС
а„ = -^- J (1—х) cos пх dx = 0
-ТС
тс
Ь1г=-^~ у (1—х) sin пх dx =	(—l)a
-ТС
Следовательно, функция (31) разлагается в следующий ряд:
2	1
1 — х = 1 — 2 sin x-|-sin 2х—— sin Зг+— sin 4г+ , . .	(32)
О	Z
Отсюда можно получить такое разложение:
till	"I
sin ж--sin 2г + — sin Зг—rsin4x-|- ...	(33)
2	3	4	J
Если функция задана лишь на промежутке 0 < х < л, то при-
веденные выше соображения позволяют по нашему выбору разлагать
данную функцию в ряд, содержащий только одни синусы или одни
косинусы. Если желателен ряд с косинусами, то функция опре-
деляется в интервале от —л до 0 так, чтобы было / (—х) = / (х);
тогда коэффициенты ап определяются из формул (28). Если желате-
лен ряд с синусами, то функция определяется так, чтобы было
/(-*) = —/ W
и коэффициенты Ьп определяются из формулы (30).
Пример. Функцию / (ж) = 1 (0 < х < л) разложить в ряд по синусам.
Тогда при —л<ж<0 мы должны принять / (г) = — 1. Коэффициент Ьп най-
дем из формулы (30):
ТС
к 2 С •
Ьп =--- I SinnXOOJ
Л J
о
399
При п нечетном мы имеем =	, а при п четном bn = Q. Таким образом
9
и данная функция разлагается в следующий ряд:
4 Г	1	1
/ (х) = — sin хsin Зх4- — sin ах . . .
я L	3	5
(34)
Если построить графики отдельных слагаемых, входящих в квадратную
скобку формулы (34), то получим ряд синусоид. В результате графического
сложения этих синусоид получим прямую, па-
раллельную ОХ. На рис.ХЩ-4 построены гра-
фики частичных сумм ряда (34):
1 .
у = sin х\ y = sin я-)- —sin Зг
О
1 1 .
у = sin х 4- — sin Зя -|- — sin 5 я
3	5
Эти кривые при увеличении п стремятся к
л
прямой линии у = — .
г Если требуется разложить в тригонометрический ряд функцию,
заданную на промежутке (—I, I), то вместо ряда (25) мы полу-
чим ряд
«°+2(
пях , ,
ап cos —i-----[-bn sin
ИЯХ \
(35)
400
коэффициенты которого определяются следующими формулами:
i
ао = -±Г^Ш<1х	(36)
-i
i
1 С , . . плх
Оп = -р \ / (я) cos——dx	(37)
-I
I
6n = y J / (х) sin dx	(38)
-I
Пример. Разложить в тригонометрический ряд функцию / (л), равную
двум в интервале от — 2 до 0 и равную х в интервале от 0 до 2.
На рис. XIII-5 изображен график этой функции.
В соответствии с формулами (36), (37) и (38) имеем:
о	2
fl°=z J	J ^^=4
-2	О
О	.2
1	Г Л	пях	,	.	1	Г	плх	.
ап=-^	\ 2cos——	dx+—	\ ясов——	dx
-2	О
4
а„ = 0 при четном п и а„ =-—- при нечетном п.
” г	л£п£
О	2
.	1 (* _ . плх , , 1 С . плх ,	2
Ьл = 7 j 2sm— dx+- j xslQ—dx=- —
-2	0
При подстановке коэффициентов в ряд получаем следующее разложение:
,, ,	3	4 I лх . 1 Злх , 1 5ля
f <Х) = 2 ” ZT (C0S — + У C0S — + 25 C°S ~
2
л
. лх
sin ~2"
1 .
2 Sln
2лх
~г
sin
Злх
1
з
Если в ряд, стоящий в правой части, подставить вместо х нуль, т. е.
абсциссу точки разрыва данной функции, то правая часть обратится в
2 л2 к 9 ~ 25 ~	/
Так как сумма тригонометрического ряда в точке разрыва непрерывности
равна полусумме предельных значений функции при подходе к этой точке
справа и слева, то это выражение должно быть равно единице. Отсюда можно
получить сумму ряда, стоящего в скобках:
. , 1 । 1 ।	Д2
1+ 9 + 25 + ' ‘ '	8
26 Заказ 1706
Глава XIV
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Аналогично круговым, тригонометрическим функциям, которые
часто вводятся с помощью некоторых соотношений в окружности,
гиперболические функции удобно связывать с некоторыми соотно-
шениями для гиперболы.
В курсах дифференциального исчисления доказывается, что пло-
щадь сектора POQ (рис. XIV-1) составляет
1
dA = — г2 <29
В прямоугольных координатах
в силу того, что
Г2 =	-|- у2.
И
,Л ,	. у	xdy — ydx
dO = d arctg — =--2—
° х xz—y2
мы имеем:
1
dA — — (xdy — у dx}
где х и у — прямоугольные координаты точки Р.
Рассмотрим окружность с единичным радиусом и гиперболу
на рис. XIV-2. Обозначим через и площадь сектора ОРАР' при
О А — 1, выразим прямоугольные координаты х и у точки Р через и.
С расширением этого сектора точки Р и Q перейдут, соответственно,
в Р’ и Q'. Таким образом, дифференциал площади и равен удвоенной
площади элемента POQ, т. е.
du = xdy — у dx	(1)
Так как для окружности и гиперболы справедливы следующие
соотношения:
Х>- + у2 = 1 И X2 — у2 — 1
'402
то подставляя в (1) сначала значение у из уравнения окружности,
а затем значение у из уравнения гиперболы, будем иметь:
для гиперболы
du = xd Ух2 — 1 — Ух2 — 1 dx =
— —— V х — 1 I dx =
[Ух2 — 1	/
__ dx
Ух2 — 1 ’
	(x-^y^Tj);
Ух2 — 1
еи = х-)-У х2 — 1;
е2и — 2хеи -|-г2 = ж2 — 1;
еи (еи —2х) — —1
для окружности
du — xd У1 — х2 — У1—х2 dx —
\ У1 —X2
—dx
У1 — х2 *
dx =
Рис. XIV-2.
----= ch и
—dx
-	= arc cos х
У1 — х2
1
г = соз и
Таким образом, мы имеем:
Выражая у через и, получим:
для окружности
для гиперболы
у— У1— Х2 =
= У1—cos3 и= sin и
у= Ух2 — 1 = У ch2 и — 1 =
|/>“+2+е-2Ц
26*
403
следовательно
еи—е~и
sh и —
2
(б)
И
ch2 и — 1 = sh2 и
По аналогии с круговыми функциями имеем:
А1 sh и
th и= —:—
ch и
cth и ~ -и---
th и
k 1
sch и— ——
ch и
, 1
csch и =» ——
sh и
§ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
ch2 и—sh2 и = 1	(la)
sch2 и = 1 — th2 и	(2)
csch2 и = cth2 и — 1	(3)
sh (—и) — — sh и	(4)
ch (—u) = ch и	(5)
th (—u) = th и	(6)
sch (—w) = sch и	(7)
csch (—и) = csh и	(8)
cth(—и) = cth и	(9)
sh (u-|-p) = sh uchp-|-ch wsht>	(10)
sh (u—i’) = sh uchu —ch wsht>	(H)
ch (u -|- v) — ch и ch v -|- sh и sh t>	(12)
ch (u — v) = ch и ch v — sh и sh v	(13)
sh 2u — 2 ch и sh и	(14)
ch 2u = ch2 и -|- sh2 и	(15)
sh и = ch и au	(16)
d к —— ch и = sh и au	(17)
J sh udu=ch w	(18)
f ch udu=sh и	(19)
404
S|1U=U | ±l+±L+±i+. . .	(20)
,	,	.	и2 . ifi , ue	,	,na.
сЬ“=1+тт+^г+бТ+--'	(21)
shiw = isinu	(22)
ch iu = cos и	(23)
Формула (la) была выведена в § 1. Для получения (2) восполь-
зуемся определением гиперболических функций
(ри___p-U \	z
-Ц -. _и ) = { и , Зцч2 == sch2 и
еи е-и j ^еи е и)2
Формула (4) может быть выведена следующим образом:
sh (—и) =------= — sh и
Чтобы получить (10) сложим (а) и (б) (см. § 1):
eu = ch w-|-shw 1
е~и = ch и. — sh и J
Затем из (б) найдем:
sh (w-|-p)=-y [е"+° —e~(u+B,] = y (е“е° —e-“e"°)
Применяя (24), найдем:
1
sh (u-|*c) = [(ch u+shn) (ch p-f-shi’) — (ch и—sh u) (ch v — sh c)] =
— sh и ch t>+ch и sh v
Формулы (16) и (19) определим следующим образом:
d , d еи — е~и	«“ + «-“	,
-т- sh и= -z-------=----1----— ch и
du du 2	2
Отсюда имеем:
J ch и du = sh и
Далее для (20), (21), (22), (23) имеем:
shu = -^-(e“— e“u) =
и3
=у[(1 + ц+тг+уг
\	( ,	. и2	И®
’/	V “+ 2!	3!
U3 U5
+ 5i -H • •;
405
ch и = -|-(«“ + «-“) = 1 + -^-4--тт +
di	di •	44 I
Мы можем использовать эти ряды для функций sh и и ch и и в том
случае, когда и является мнимой величиной. Пусть и = iv, тогда
sh^) = lv + -3T- + -yr+- • • =41?“тг+тт~- • • ; = г31П1!
Из (22) и (23) имеем:
1	1
sinr = — sh (г'г) = — (etv — e~iv)
1	1
cos а = —ch (iv) — — (etv -j-e~‘v)
I	di
(25)
Кроме того, приведем дополнительно следующие соотношения:
х , х-)-^х2 + а2	х , a-j-j^a2~(-x2
arcsh •— = In —!  arcsh — = ± In —— --------------------------- 26)
а	а '	а	х	>
х 1 , a-t-х	, х . a ±Y а2-\-х2
arcth — = — In —!— • arccsch — = In------------------------1--- (27)
a 2	a — x ’	a	x	1
sin (я-)- г’У) — sin x ch 1 cos г sh у	(28)
cos (s-f-iy) = cos x ch y — i sin ж sh у	(29)
sh (z-|-ij) = sh x cos y-\-i ch x siny	(30)
ch (ж4-гг/) = сЬж cos г/ + « shxsini/	(31)
§ 3. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
Пусть твердая частица осаждается в жидкости, причем сопроти-
вление, направленное вверх, пропорционально квадрату скорости,
предельная скорость (см. гл. V, § 14) равна v, а начальная скорость
равна нулю.
В данном случае дифференциальное уравнение движения частицы
имеет следующий вид:
dw	-i о
— т — /.w2
dx
т
~g
Условия задачи:
u>T=o = O. w = v при ^- = °
dH
я-»=0 где W=^T
Выразим коэффициент X через у. Так как при ~ = 0 постоянная
скорость w = у, то имеем:
т — 7.v2 = О
406
или
т
и2
Дифференциальное уравнение примет вид!
div
dx ~ %
(‘
IV-
Отделяя переменные, получим:
v2 dw ,
v2-w2 ~8 Х
Интегрирование этого выражения дает [см. формулы (26) и (27)]:
v areth —=gT-f-C
Так как w |т_0 = 0, то С = 0 и
(32)
ТУ
Подставляя вместо w и снова интегрируя, найдем:
Н = — lnch-^-4-Ci	(33)
g г
Постоянная интегрирования Cj здесь также равна нулю, так как
Н — 0 при т = 0.
Исключим из (32) и (33) величину т следующим образом:
сЪ —	=------1------ =
V Sh^-	1/1-4
v У	V , F	V£
Подставляя в (33), будем иметь:
Формулы (32), (33) и (34) дают полные решения поставленной
задачи.
§ 4. ЗАДАЧА О КАПИЛЛЯРНОСТИ
Явление капиллярности характеризуется следующими законо-
мерностями.
1. На граничной поверхности, отделяющей жидкость от газа,
существует поверхностное натяжение, одинаковое по величине в лю-
бой точке.
2. На границе этой поверхности и твердой стенки поверхность
жидкости образует угол с поверхностью твердой стенки, величина
которого зависит только от свойств стенки, жидкости и газа.
407
Рассмотрим пластинку MKNL, погруженную вертикально
в жидкость (рис. XIV-3). Под действием сил поверхностного натяже-
ния смачивающая пластинку жидкость поднимется, а не смачива-
ющая опустится. Требуется определить форму поверхности жидкости.
Найдем уравнение, которому она подчиняется. Рассмотрим случай,
когда пластинка очень длинная (KN = ML велика). В этом случае
кривые пересечения (АВ и А'В') поверхности жидкости и вертикаль-
ных плоскостей, перпендикулярных пластинке, можно считать
одинаковыми, т. е. поверхность
ным из семейства одинаковых
жидкости можно считать составлен-
линий АВ. Таким образом, задача
стала плоской и для определения
уравнения поверхности достаточно
найти уравнение плоской кри-
вой АВ.
Рассмотрим систему коорди-
нат XOY так, как показано на
рис. XIV-3. Так как поверхность
находится в равновесии, то ее
уравнение найдем из условия ра-
венства нулю суммы всех сил, дей-
ствующих на каждый элемент по-
верхности.
Возьмем на поверхности жид-
кости полоску АВА'В' шириною
А А' = 1 см. Выделим из этой
полоски элемент PQP'Q', причем
PQ = и РР' = 1; следовательно, площадь полоски составляет
Д5 см2. Рассмотрим теперь столбик жидкости PQP'Q'RSR'S', огра-
ниченный элементарной поверхностью. Примем следующие обозна-
чения (рис. XIV-4):
Т — поверхностное натяжение, т. е. сила, направленная по каса-
тельной к поверхности жидкости, дин/см2\
0 — острый угол между касательной и вертикалью в любой
точке Р;
408
a — фиксированный угол контакта между жидкостью и пластинкой;
г — радиус кривизны, PD, кривой АВ в точке Р, см\
р — плотность жидкости, г!см3.
В соответствии с закономерностью 1 поверхностные натяжения Т
на обоих концах элементарной поверхности равны между собой.
Вследствие этих натяжений результирующая сила, нормальная
к элементарной поверхности, составит:
2Т cos < PKD = 2Г sin < PDK = 2Г sin -5-
£i
Предельная величина этой силы, считая на единицу площади,
равна:
0.0
2Г sm — т sin т
lim —= Ит -------—
Д9->0	Л"5	Д9->0 г АО г
2
Вертикальная составляющая рассматриваемой силы, а именно
“A5sin0, поддерживает столбик жидкости PQP Q RS R S высо-
той у и с поперечным сечением A5sin0; вес этого столбика
равен у AS sin 0pg.
Поэтому уравнение равновесия имеет вид
т
~ AS sin 9 = У AS sin 9pg
или
T
~=pgy
Обозначим pg]T через 4/c2, т. e.
Для радиуса кривизны имеем следующее известное соотношение:
_ (1+/У/г
у"
Используя эти равенства, мы получим дифференциальное уравнение
кривой капиллярности:
у" \у
(1+/у/.-7Г
(35)
Для решения этого уравнения сделаем следующие подстановки
(см. гл. V):
у'
„ dp
»=?-тУ
409
Тогда получим:
pdp ____ 4у dy
d+p2)3/! с2
После интегрирования будем иметь:
1	. 2^2 , г
/1+72 С2 + 1
Так как р = -^-==0 нри у = 0, то С± = — 1; следовательно
1	с2 — 2г/2
,	=-----36)
/1+д2 с2
Пусть h0 есть высота, которую жидкость достигает на пластинке,
т. е. значение у при х = 0. Для х = 0 имеем р = —cotg а. Подста-
новка этих значений в (36) дает формулу для h0:
sin ct =
с2 —2Л§
С2
откуда
,	1 —sin а . / а \
h« = c у -------= csin^459 —~2)
_ 4 г/2 (с2 — г/2)
Р~ (с2-2у2)
Возвращаясь к (36), возведем в квадрат обратные величины обеих
частей уравнения:
С&
14-02=----_----
(С2-2^)2,
rfy __ __ 2г/ /с2 —г/2
" dx	С2 — 2^2
При извлечении квадратного корня мы выбрали его отрицатель-
ное значение по той причине, что тангенс угла наклона здесь отри-
цателен. Отделяя переменные, получим:
ах =----Лу = —,	----—  ---;	' '
2уУс^ — г/2	yc2__j,2	2 ууе2_у2
Интегрируя, найдем (см. гл. V):
х4-с2 = —Vc2—.^2_|__£. arcsch —
Li	с
Так как y = ha при ж = 0, то
^2 = — Vc^-hfi + — arcsch -^2-
Таким образом, уравнение кривой капиллярности имеет следу-
ющий вид:
х= /с2 — лд + Т.arcsch-^— Ус2 — г/24~-~ arcsch —
Li	С	Li	С
ИЛИ
Ус%— у%—= ( arcch-^—arcch-4') (37)
2 \ У	ha 1
410
§ 5. КРИТИЧЕСКАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ЦЕНТРИФУГИ
Рассмотрим вращение центрифуги, расположенной на горизон-
тальном валу длиной 2L (рис. XIV-5). Общий вес центрифуги с на-
грузкой составляет т кПм; угловая скорость вращения со рад/сек.
При медленном вращении силы упругости преобладают над центро-
бежной силой и возвращают вал в начальное положение. Если же со
постепенно возрастает, то скорость вращения может достигнуть
такого значения, при котором вал деформируется, принимая форму
кривой, вращающейся вокруг своей начальной оси. В этом случае
говорят, что вал подвергается разрушению; скорость <ос, соответ-
ствующая состоянию разрушения вала, называется критической.
Расположим ось х так, чтобы
она совпала с начальным положе-	у
нием вала, а ось у проведем через	р
среднюю точку на горизонтальной
линии вала. Обозначим через у0
максимальное отклонение вала,	—L-—L —к—-•'-—.Л 4.
т. е. расстояние его средней точки
от оси х. Найдем критическую уг-	рис
ловую скорость юс и соответству-
ющее уравнение кривой вала.
Дифференциальное уравнение линии изгиба вала имеет тот же
вид, что и для линии изгиба балки, находящейся под распределенной
нагрузкой:
Wv = —(38)
8
где Е — модуль Юнга, кГ/м2-,
I — момент инерции, ж4.
Обозначив d/dx через D, получим:
(Д4 — Л4) у = о
где
Общее решение (38) будет (см. гл. V):
y = ci ch кх-\-с2 sh кх-\-с3 cos kx-f-c^ sin kx
(39)
(40)
(41)
Мы должны определить четыре постоянных; но две из них, ввиду
симметрии относительно оси у, могут быть опущены. Так как у
остается неизменным при переходе от х к —х, то имеем:
у = су ch кх— с2 sh fca:4-c3 cos kx — c4 sin kx
Вычитая это равенство из (41), получим:
с2 sh кх-~с^ sin kx = 0
Это выражение действительно для всех значений х в пределах
от — L до L; поэтому с2 = с4 = 0. Тогда (41) примет следующий вид:
у = ci ch кх-[-с3 cos кх	(42)
411
После дифференцирования (42) получим:
у' = к (ex sh кх — с3 sin кх)	(43)
у" = к (ci ch кх— с3 cos кх)	(44)
Уравнение (43) удовлетворяет условию, что вал имеет горизон-
тальное положение в средней своей точке, т. е. у' = 0 при х = 0.
Рассмотрим теперь два случая.
I. Подшипники эластичные. Предположим, что подшипники
сконструированы так, что они качаются и позволяют валу на его
концах образовать угол с линией, параллельной оси х (жирная
линия на рис. XIV-5). Мы имеем два условия: у' = 0 при х = L
и у" = 0 при х — L-, второе условие вытекает из того, что кривизна
вала на концах равна нулю. Используя эти условия для (43) и (44),
получим:
cosh xL + с3 cos kL = 0	(45)
Ci cosh kL—c3 cos kL = 0	(46)
Складывая (45) и (46), имеем c± cosh kL = 0 и так как cosh kL =#= 0,
to e2 = 0. Вычитая (46) из (45), получим c3 cos kL = 0.
Тогда либо c3 = 0 и уравнение (42) примет вид у = 0, т. е. вал
остается прямолинейным, либо cos kL = 0 и, следовательно, наи-
меньшим значением к будет Таким образом, для сос имеем:
_ л2 1/gEI
“с ~ Тй V т	(ч7)
Подставляя ^=0 и = в уравнение (42), получим у =
к
= c3cos 2^-. При х = 0 имеем у = у0- Следовательно, с3 = ув и урав-
нение линии изгиба вала будет иметь следующий вид:
y=y0cos —.	*	(48)
И. Подшипники жесткие. В этом случае подшипники устроены
так, чтобы вал на своих концах оставался в горизонтальном поло-
жении (пунктирная линия на рис. XIV-5). Здесь мы имеем следующие
два условия:
у = 0 при x = L\ у'—0 при x=L
Подставляя эти значения в (42) и (43), получим:
С! cosh kL с3 cos kL = 0	(49)
sinh fcL —с3 sin fcL = 0	(50)
Эти уравнения образуют систему двух однородных линейных
уравнений с неизвестными с± и с3. Они имеют очевидное решение
Ci = с3 = 0, что дает у = 0 для случая^ когда вал остается прямо-
линейным. Единственное условие, при котором уравнения (49)
412
и (50) имеют решение, отличное от сх = с3 = 0, характеризуется
тем, что определитель из коэффициентов равен нулю, т. е.
I ch kL cos kL
I sh kL —sin kL
или
tg fc£-J- th Л£=0	(51)
Решая методом подбора это уравнение, получим kL = 2,365.
Следовательно, значение критической скорости юс мы найдем,
z/ni г 2,365
подставив в (49) к=—-f—:
Li
Отношение значений критической угловой скорости с жестко
укрепленными концами вала и критической угловой скорости с гиб-
кими концами дает нам:
юс ... (2,365)2	/4,73\2_ 97
сос л*/* — \ л )
Решая (49) относительно сг и подставляя результат в (42),
получим:
I , cos kL , . \ с» (ch kL cos кх—cos kL ch кх)
17 = Co I COS kx-Ch kx ) = -2---------r-Гт----------
v 3 \	ch kL /	ch kL
При x — 0 имеем y = y0, следовательно
_____y0 ch kL
Сз~ ch kL—cos kL
и уравнение линии кривизны вала в данном случае примет вид:
chkLcoskx — cos kL ch kx
У=Уо------------chkL-c^kL--	(53)
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ИОНИЗАЦИИ ГАЗОВ
В гл. II § 6 мы получили для процесса ионизации следующее
дифференциальное уравнение:
dn
----5"=С[ Л
ft2— ге2
где а—константа ионизации.
Интегрируя, как и ранее, это уравнение, найдем:
1	и
-у- arcth — = ах 4- С
к	к
Так как при т = 0 п = 0, то С = 0, и мы имеем:
7i = fcthfcaT	(54)
413
При т, стремящемся к бесконечности, th кат будет стремиться
к единице и, таким образом, для установившегося состояния мы
имеем (см. выше):
«о = к =	(55)
Опытным путем установлено, что при ионизации газа, в электри-
ческом поле возникает ток, причем зависимость силы тока / от напря-
жения Е соответствует кривой. Эта кривая может быть разбита
на четыре отдельных участка.
На участке 1 между силой тока / и разностью потенциалов Е
имеет место прямая пропорциональная зависимость в соответствии
с законом Ома; этот участок называется «областью закона Ома».
Участок 2 соответствует так называемому «току насыщения». Все
образовавшиеся в газе ионы доходят до электродов, и поэтому сила
тока насыщения не зависит от приложенной разности потенциалов
и является мерой энергии, затраченной на ионизацию газа. На уча-
стке 3 наблюдается постепенное возрастание силы тока по мере
повышения разности потенциалов. Участок 3 называется «областью
ударной ионизации». При дальнейшем повышении разности потен-
циалов участок 3 переходит в участок 4 — «область пробоя газа».
Пусть для данного ионизирующего агента мы имеем на 1 см3
газа q положительных и q отрицательных ионов в секунду; обозна-
чим через е заряд одного иона. Если ток протекает через поле между
двумя пластинками, то в 1 сек 1/е положительных ионов будет пере-
двигаться к отрицательному электроду и 1/е отрицательных ионов —
к положительному электроду, т. е. в 1 сек в газе будет убывать 1/е
положительных и столько же отрицательных ионов. Так как число
убывающих ионов не может быть больше числа образующихся ионов
за тот же период времени, то имеем 1/е и; qv или 1 и; qev. Следо-
вательно, сила тока насыщения будет = qev.
Пользуясь равенством (54) и приведенными выше опытными дан-
ными, мы можем экспериментально определить значение а следу-
ющим образом.
Газ подвергается непрерывному воздействию ионизирующего
агента в электрическом поле, создаваемом вращающимся сектором,
причем это поле является нулевым при начальном вращении сектора
и достаточно большим, чтобы произвести полное насыщение при
дальнейшем повороте сектора. Результирующий ток за полный цикл
этого периодического процесса измеряется электрометром. Пусть Т
есть время одного оборота сектора, — часть этого промежуточ-
ного времени, в течение которого электрическое поле не воздействует
на газ и Т 2 = Т — Тг — продолжительность действия электриче-
ского поля. Тогда в начале процесса число ионов в 1 см3 составит
пг = k th каТ3 и, следовательно, общий заряд, воспринимаемый
электрометром, будет для Т:
n^ev = kev th kaTi
где e — заряд каждого иона; v — объем газа.
414
За время Т2 имеем IsT^,.
Таким образом, сила тока Z, измеряемого электрометром, со-
ставляет:
IT = kev th каТ^ -|- IgT^
Так как e = Is/qv = 1 s/k2av, to
IT = — th kaT14-It}T<l
ka 1 1 s 2
Наконец, пусть 712 = r71, где г<1, так что 7\ = (Z — г) Т и пусть
х=каТ±. Тогда имеем:
IST
th х =
Is(I-r)T
- th х
х
И
r~rIs
(I-r)	(56)
Следовательно, если I, Is и г известны, то х из (56) может
быть найдено методом подбора. Далее, зная величины е и v, мы
получим q = Is[ev, а так как х = каТ1 = 1\ ]/ад, мы найдем иско-
мую величину:
ж2 era2
(57)
Глава XV
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
§ 1. СПРЯМЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА
Рассмотрим уравнение эллипса:
х2 . у2
а2 "Г &2 ~
(1)
где а —О А — большая площадь и Ъ — ОВ — малая	площадь
(рис. XV-1).
Пусть ОР' есть радиус окружности с центром в начале коорди-
нат О, Ф — угол между ОР' и положительным направлением оси у,
а Р (х, у) точка пересечения пер-
пендикуляра P'Q к оси X с эллип-
сом. Тогда непосредственно из
чертежа видно, что
Рис. XV-1.
x — OQ — a sin Ф
и в соответствии с (1):
у = PQ= Уа2—х2 =Ъ cos® (2)
Найдем длину дуги S эллипса,
заключенную между точками/? и Р.
Мы будем иметь:
=	= J У<1з2 + <1у2 =
Ф _____________________________
f ]/а2 cos2 Ф d2® + Ь2 sin2 Ф d2®
так как dx = a cos Ф йФ и dy — — Ъ sin ФйФ, причем верхний
предел интегрирования есть значение Ф, соответствующее точке
Р (х, у). Подставляя вместо cos2 Ф выражение 1 — sin2 Ф, получим:
ф	ф ______________
5 = ВР = j/a2 —(a2 —Z>2) sin2® d® = a j |/1—^^-sin2®d® =
О	о
Ф '________
= aj У1— A2sin2® d®	(3)
416
У al — 62
где к =-----------эксцентриситет эллипса, величина которого
меньше единицы. Интеграл (3) не берется в элементарных функциях
от Ф и определяет собой новую функцию, обозначаемую
через Е (к, Ф):
ф ____________
£ (fc, ф)= J/1 —*2sin2 Ф йФ (0<Л<1)	(4)
о
Вследствие своего происхождения Е (к, Ф) носит название эллип-
тического интеграла. Следует отметить, что Е (к, Ф) представляет
собой функцию двух аргументов: параметра к, которое называется
модулем эллиптического интеграла, и верхнего предела Ф, называ-
емого амплитудой эллиптического интеграла.
Согласно принятой в настоящее время классификации эллип-
тических интегралов, функция Е (к, Ф) называется эллиптическим
интегралом второго рода.
Из чертежа и из формулы (3) следует, что полная длина эллипса
равна
Я
т
L = 4а j /1 —йЩ2ф <?Ф = 4а£ ( fc, у)	(5)
О
Это значение функции £ (к, Ф) при Ф = у называется полным эллип-
тическим интегралом второго рода и обозначается через Е (к)
или просто Е:
Я
т ___________
£=£(*)= у/!—*2sin2<p </<р (6<Л<1)	(6)
о
В гл. XIII было показано, как вычисляются интегралы типа (4)
и (6) с помощью бесконечных рядов; значения эллиптических ин-
тегралов приведены в таблицах, используемых в расчетной
практике.
Пример. Дан эллипс хг -Ф- У3 = 6. Определить общую длину
эллипса, а также длину дуги между точками с координатами х = 1-
и х — 1,5.
Полуоси эллипса составляют
а—Уб и Ь=У2
Следовательно
У аг — Ь^	Уб
к= ----=---= Аг" = 0,8165
а	3
Общая длина эллипса:
L = 4а£ (к) = 4 Уб Е (0,8165)
В таблицах эллиптических интегралов значения Е (к) связаны
С тригонометрической функцией arcsin к.
27 Заказ 1706
417
В данном случае имеем:
arcsin 0,8165 = 54° 44'
Далее находим:
Е (sin 54°) = 1,2681 и Е (sin 55°) = 1,2587
После интерполирования получим:
Е (sin 54° 44') = 1,2612
и
Л = 4/б  1,2612 = 14
При определении длины дуги между х=1 и х = 1,5 имеем:
sK:}’5 = s]£:J>5 = s]*:i
Так как ic = asinCD, то
Ф]x=i = arcsin -ХУ = 24° 6'
О
1^6
Ф]х-1,5= arcsin—2-= 37° 46'
Следовательно
Ий’5= /б {Е (0,8165; 37° 46') —Е (0,8165; 24° 16')]
Для вычисления этих двух эллиптических интегралов необходимо
произвести двойное интерполирование данных таблицы.
Удобнее производить расчеты при помощи таблицы:
х.	а Ф	45°	54° 44'	60°	N.	а Ф	45°	54° 44'	60е
35°	0,5928	0,5866	0,5833	20°	0,3456	0,3444	0,3438
37° 46' 40°	0,6715	0,6285 0,6624	0,6575	24° 6' 25°	0,4296	0,4124 0,4273	0,4261
Таким образом, имеем окончательно:
зД:}’5 = У в (0,6285 — 0,4124) = 0,529
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим колебания жесткого маятника (рис. XV-2), который
представляет собой груз весом т, сосредоточенный в одной точке
и подвешенный на нерастяжимом и невесомом стержне длиной L.
Величина угла, в пределах которого совершаются колебания,
равна 2а. Пусть груз в момент т находится в точке Р (х, у), а 0 обозна-
чает угол между АР и осью у. Очевидно, что —а 0 а. Если s
есть длина дуги, отсчитываемая от точки 0, то производная
c^s'dx1 представляет собой касательную составляющую ускорения,
418
которая в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна
касательной составляющей силы веса — т sin 0.
Таким образом,
т d?s . .
----тт = m sin 0	п\
g di2
При малых значениях а мы можем, как известно, принять sin 0
равным 0. Тогда, вследствие того, что s = LB, уравнение (7) при-
водится к линейному дифференциальному уравнению второго по-
рядка, решение которого соответствует гармоническим колебаниям
с периодом 2л , не зависящим от а.
Однако здесь мы не будем пользоваться этим упрощающим пред-
положением, а попытаемся решить нелинейное уравнение (7).
Пусть V — —, тогда
(Ps dv _ dv ds f dv \
dx'i dx ds dx \ ds /
Кроме того, мы имеем sin0 = -^ и,
стало быть, уравнение (7) принимает сле-
дующий вид:
dv	dy
v -~r = —S~x-
ds	ds
Умножая обе части равенства на ds,
мы получим обыкновенное дифферен-
циальное уравнение первого порядка с
переменными у и v. Интегрируя его,
найдем:
у2
— ^-gy + Ci
Обозначим через h максимальную высоту точки Р над осью х,
причем h < 2L. Поскольку v = 0 при у = 0 имеем 0 = —gh -|- Clt
т. е. Ci = gh. Следовательно
— = g (Л —;/)
или
'-’ = V = ±V2g (h—y)
Но ds — и, так как (из рис. XV-2)
то
,hdy
VzLy-y*
27*
419
Отсюда найдем!
/2g Vh — у • V2Ly —у2
Если движение тела направлено вверх и, таким образом, dy
остается положительным, то это равенство берется с плюсом; тогда
получим:
ZZ2
Т1 У-Уг — С _______________
2g J yh-y .V2Ly-y2
У,
т. е. время, необходимое для перехода от точки Рг (хъ уг)
к (х#, у2).
Если же движение тела направлено в противоположную сторону,
то dy будет отрицательным и выражение для dx мы должны взять
со знаком минус. В этом случае
У-	U,
Т1^ = — —— f_________________— L f____________________
У=Уг V2g J Vhy .ViLy-у2 /2g J Vh-y - V2Ly-y2
Уг	У*
Таким образом
Т]У~У1 — глУ-У1
1У-У1 Л'У-Уг
и мы нашли, что интервалы времени, необходимого для движения
по одной и той же дуге в противоположных направлениях, равны
между собой. В частности, время, необходимое для движения по дуге
от точки О до любой точки Р (х, у) (или от Р до О), равно:
У
L С_________dy________
Т /2g J /rZ?./2Lg-g2
Произведем замену переменных. Пусть
у = h sin2 Ф	(8)
тогда
dy — 2h sin Ф cos Ф <7Ф;	/ft —g =/^ cos Ф
и
ф	ф
_ L С________2h sin Ф cos Ф с?Ф______2L С</Ф
2g J /Г cos Ф V2Lh sin2 Ф — h sin4 Ф /2g J /2L —hsin2®
где к=у	BePXHH® предел Ф соответствует точке Р (х, у).
420
Интеграл в этом выражении есть функция, которая носит назва-
ние эллиптического интеграла первого рода; она обозначается
через F (к, Ф):
ф
F (fc, Ф) = С	,	0<Л<1	О)
J У\ —fri sin2 Ф
е
Таким образом, имеем:
Ф=/^(4,Ф)	(Ю)
и
=/у и (*. ф2) -F ф1)1-
где г/1 = h sin2 Фх и y^ — h sin2 Ф2.
Выразим к и Ф через первоначальные переменные. Так как
(из чертежа) h — L (1 — cos а), то
			/ 1 —cos а	а = sin —	(11)
и	sin Ф =	\[ У ]	[ 1 —COS0	. 0 SIM у	(12)
		г Л г	1 —cos а	а sin ~2	
Обозначив через Т период колебаний маятника, получим:
К
о
<?ф
У \— № sin2 Ф
«Ч)
В том случае, когда верхний предел интеграла (9) равен у, функция
называется полным эллиптическим интегралом первого рода; ее
обозначают через К:
Я
2
С ______йФ__________
У1 — Л2 sin2 Ф ’
о
0</с<1
(131
Таким образом
Г=41/ — К
г g
(14)
Значения эллиптических интегралов (9) и (13) для различных к
и Ф также имеются в справочных таблицах.
Пример. В вибрографе для записи горизонтальных колебаний
фундамента центрифуги маятник (рис. XV-3), состоящий из рычага
с грузом на конце, может качаться вокруг горизонтальной оси пол
421
действием собственного веса и спиральной пружины. Период коле-
баний маятника Т = 2 сек. Требуется найти: а) длину маятника
для 2а = 120° и б) время, необходимое для того, чтобы этот маятник
опустился на 30° по дуге, считая от наивысшей точки.
а) Мы
тельно
и
Рпс. XV-3.
и из (14)
откуда
имеем а = 60°, Т = 2 сек. Следова-
.. а 1
*=sinT = T
найдем
g 2К
1
2-1,6858
Т -	9’81	А ОС
L~ (2 • 1,6858)2 ~ 0,85 М
б) При
ставляет 90°;
имеем
0 = 60° величина Ф, очевидно, со-
при 0 = 30° мы также из (12)
. 0
sin —
sin Ф =---------
«
sin —
А
sin 15° = 0,2588
sin30°-	0,5000	’
2 = 4
1
откуда
Ф=31° 10'
Пользуясь формулой (10), получим:
=Ку [к ({) -F (| -31010') ] =
= 0,5000
0,5505
2 • 1,6858
0,337 сек
§ 3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
Если в формуле (9) мы сделаем подстановку х = sin Ф, то получим
другой вид эллиптического интеграла первого рода:
о
dx
/(1 —Х2) (/1—*2^')
(15)
(0<*<1)
422
Аналогично, подставляя х — sin Ф в (4), мы получим эллипти-
ческий интеграл второго рода в следующем виде:
*'»•*>-* ,t.- J/ ц	««>
О	о
0</с<1
Эллиптический интеграл второго рода можно записать в таком
виде:
ф	ф
Е Ф> = J l-fc2 sin2O ЛФ = J Vi~k2 81112 Ф ЛФ
О	о
Следует отметить, что подынтегральные выражения (15) и (16) пред-
ставляют собой рациональные функции от х и корень квадратный
из многочлена 4-й степени, т. е. каждый из этих интегралов является
частным случаем следующего интеграла:
J R (г, V а0х4	ядя3-]- агх2 ag^-f- а4) dx	(17)
где R — символ рациональной функции ее двух аргументов.
Некоторые интегралы типа (17) могут быть представлены через
элементарные функции. К ним относится интеграл типа
~I*-	-j- 2а2^ —[— а3
*	J Уя()ж4 a1x3-j-a2x2 -|-а3г-|- я4
Однако в общем случае интеграл (17) включает в себя две функ-
ции (15) и (16) и эллиптический интеграл третьего рода, который
имеет следующий вид:
х
._ f*	dx
J (1—пх2) р(1 — г2) (1—к2х2)
где п — постоянная.
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим графики (рис. XV-4) подынтегральных выражений
эллиптических интегралов первого и второго рода:
у — —	,	у = У1 — к2 sin2 Ф
У 1 — к2 sin2 ф
Мы видим, что первая функция имеет период л с осями симметрии
Ф — 0, ±у, ± л, . . ., причем ее значения колеблются в пределах
от минимума, равного единице, до максимума, зависящего от вели-
чины к. Аналогично функция г/ — ]/"! — /с2зш2Ф имеет период л
с осями симметрии Ф = 0, ± у-, ± л, . . ., но здесь максимум равен
единице, а от модуля к зависит минимальное значение.
Вследствие периодичности и симметрии этих графиков и так как
эллиптические интегралы F (к, Ф) и Е (к, Ф) представляются гео-
метрически площадями под соответствующими отрезками кривых,
для табулирования F (к, Ф) и Е (к, Ф) необходимо иметь данные
только для значений Ф в пределах от 0 до 90°.
§ 5. ЯВЛЕНИЕ КАПИЛЛЯРНОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
В гл. XIV, § 4, мы рассмотрели теорию капиллярности и полу-
чили дифференциальное уравнение, описывающее зто явление:
у" _ pg ,,=±,,
т У С-2 У	<35>
Мы решили зто дифференциальное уравнение для случая, когда
одна вертикальная пластинка частично погружена в большой объем
жидкости. Было найдено, что высота подъема жидкости на пластинке
определяется формулой:
где а — угол в точке соприкосновения жидкости с пластинкой.
Предположим теперь, что мы имеем две вертикальные пластинки
АС и BD, погруженные в жидкость на расстоянии 2а друг от друга
(рис. XV-5). Найдем уравнение, описывающее форму поверхности
жидкости между пластинками. Как и ранее, задача фактически пло-
ская, поэтому достаточно найтн форму поверхности в плоскости ух,
т. е. решить уравнение (35) с учетом новых физических условий.
Начало координат наметим между пластинами на одинаковом рас-
424
стоянии от них. Пусть у о есть координата точки поверхности на оси у,
a h — максимальная высота подъема жидкости между пластинами.
Как и ранее, примем у' — р, у" = р-^\ таким образом, имеем:
Откуда, интегрируя, найдем:
где (\— постоянная интегрирования.
Так как р —-^|- = 0 ПРИ У~Уо> то —	— и> следова-
тельно
1	9
(,2_,2)	(18)
Отметим, что поскольку р = ctg а при y — h, то из (18) имеем
sin а = 1—~ (Л2—5,2)
И
a2~yg = c2—(19)
В соответствии с формулой на стр. 424. Отсюда видно, что h, макси-
мальная высота подъема жидкости между пластинками, всегда
больше Л о, т. е. высоты капиллярного подъема жидкости на внешних
стенках пластинок при условии, что у0 =И= 0.
Решая (18) относительно р, получим:
'	[<*~2(У2-У?)]2
Или
dy /с4-[С2-2(у2_у2)]2 _ /4с2(г/2__г/2)_4(г/2_г/2)
dx	С2—2(У«—У§)	С2- 2(^2- J,2)
И
dx =	_/2-2(У2-Уо2) d
/с2 (5,2 _ 5,2) _ (j,2 _ 5,2)
При извлечении корня квадратного мы выбрали положительное
dy
значение для рассматривая только правую часть кривом капил-
аХ
лярности ввиду ее симметричности относительно оси у.
При интегрировании последнего уравнения сделаем подстановку
У* — Уй — cos2 Ф, откуда
у= KyJ + c2 cos2 Ф
(2Э)
425
Тогда
у dy =—с2 cos Ф sin Ф АФ
или, учитывая (20)
/с2 (г/2 —.!/?) — (г/2—г/о) =с2 cos ф sin ф
и
?	с2— 2с2 cos2 Ф [ с2 cos Ф sin Ф йФ \  с2—2с2 sin2 Ф
Х~~ 2с2 cos Ф sin Ф ( Уу^ — сз cos2 Ф /	2 /г/g + c2 cos2 Ф
Далее, примем
с2
/,:2 —_____
у1 + с2
где, очевидно, k<Ji. Следовательно
(21)
(22)
с'2 — 2с- sin2 Ф _ ск	dФ	с 1 — 1 + кг sin2 Ф
/Г- /£2 8фГф ~~2~' /l-^sin2® к ’ у j _ /-2 sin2 ф
к
= (rf<i' —	± / 1-/г2 gin2 Ф йФ
\ 2 kJ у! — /с2 sin2 Ф к
Таким образом, поскольку ф = Д- при у = уй или при х — хй,
интегрирование между пределами дает:
^dx---x ( —-----f	~4~~7~ f 1^1 — ^‘2 sin2 Ф </Ф =
J \ 2 к ) J	к J
О	тс	т.
т	т
к	тс
/ с ск \ р с?Ф	с С	.
= ( -----— ) \ -у--:—=--------7Г \ V1 — ki sin2 Ф аф;
\ к	2 / J /1— /с2 sin2 Ф	к J
Ф	Ф
х^~ ((1-^-) [K — F (к, Ф)]-[Е (к) — Е (к, Ф)]1	(23)
Величины к и Ф в этом выражении зависят от у0, которое нам пока
неизвестно. Но мы знаем расстояние между пластинками, равное 2а,
т. е. известно, что х = а при у — h и поэтому — значение Ф
для х = а — дается формулой
Vh.2 — yl h0	-i/'l—sina
cos =----——5- = -2- = I/ -------- (24)
c-	v F	i
в соответствии с уравнениями (19) и (20). Следовательно
а=(т ~ (fe’ ф)] “ Т[2? W ~Е {к' Ф)1	(25)
Мы можем продолжить решение следующим образом. Сначала
методом подбора находим значение к из (25), в котором с = 2	»
426
а Ф1 определяется из (24). Затем из (22) получаем уи и, наконец,
формулы (23) и (20) дают значения х и у, выраженные через пара-
метр Ф.
§ 6. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ПРИ КОЛЬЦЕВОМ ТОКЕ
Для покрытия некоторых предметов пленко-образующими веще-
ствами применяется электрическое поле, создаваемое кольцевым
током.
Рассмотрим, как изменяется напряженность электрического поля
в любой точке внутри и вне токопроводящего кольца. Воспользуемся
законом Ампера, согласно которому интенсивность магнитного поля
в любой точке Р составляет
где ds — длина дуги кольцевого сегмента, по которому протекает
ток силою I, г — расстояние от Р до ds, а — угол между PQ и ds.
Исследуем два случая.
1. Точка Р внутри круга
в р
Предположим, что ток 1 проходит по замкнутому кольцу ради-
уса а и точка Р находится на расстоянии Ь от центра окружности
(рис. XV-6), причем b < а. Обозначим через 0 угол между PQ и ли-
нией, проходящей через О и Р.
Если As — QA есть длина дуги
окружности, то угол APQ будет
А0. Из центра в точке Р опишем
радиусом г дугу, пересекающую
РА в точке В и обозначим че-
рез Р угол между QB и As. Так
как QB перпендикулярна PQ и а
есть угол между PQ и А5, то угол
а = 90° — р. Отсюда As-sin а =
= As-cos р. Но As-cos р равно
приближенно г А0. Таким образом
ДЯ1=^-
дает приближенное значение на-	Рис’ XV-6.
пряженности поля в точке Р, обу-
словленное током в дуге As. Если мы будем суммировать такие вы-
ражения по кругу и устремим As -> 0, то получим интеграл
2"
о
(27)
вначение которого и дает полную напряженность поля в точке Р.
427
Из треугольника OPQ, согласно закону косинусов, имеем:
а2 = Ь2 + Г2 _ 2br cos (180° — 0) = Ь2 + г2 + 26r cos 0
Решая зто квадратное уравнение относительно г, найдем:
г = —b cos 0 ±	cos2 0-|-а2 — 62 =—b cos 0 ±	— 62 sin2 0
Так как г величина положительная, то мы должны выбрать
знак плюс. Подставляя в (27) выражение для г, получим:
2it
я=7 с
J У а?—62 sin2 0—6cos0
о
Умножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения
на (]/а2—b2 sin2 0 4- Ь cos 0), будем иметь:
2W	2л
J „ С (/a2-62 sin2 0 + 6 cos 0) <20 = „	С /а2 — 62 sin2 0 <20
а2 — 62 J	а2 — о2 J
о	о
2л
Причем J cosQdQ — O. Далее, ввиду того, что график у =
о
= ]/аа — b2 sin2 0 является симметричным (см. § 4), мы можем на-
писать:
«	1t
Т	~2*
Ях = j ]4a2 —62sin20 <20 =	§ V/-^sin2© <20
о	о
где ki — ~<^1. Разделив числитель и знаменатель коэффициента
интеграла на а2, мы окончательно получим:
„ЦЕ (Ад)	.
(28)
Для &! = (), т. е. для случая, когда точка Р располагается в цен-
тре круга, мы найдем, — так как £(0) = -^-, —известную формулу;
а
Если кг устремится к единице, что соответствует положению Р
на проводнике, то Е (кг) также будет стремиться к единице и Н1
становится равным бесконечности в соответствии с формулой (26),
выражающей закон Ампера.
42 8
2. Точка Р вне круга
В данном случае b > а (рис. XV-7). Обозначим по-прежнему
угол OPQ через 0, As = QA, Д0 = ^APQ; проведем дугу QB из
точки Р радиуса г. Так как As sin а = As -cos (а — 90°) = г А0
то мы снова имеем:
В силу того, что
.. дя2
1™“Д0-~Т’ П0ЛУтам‘
dH2 = I —
(29)
Кроме того, поскольку Е и F представляют точки пересечения
линии ОР с окружностью, a D есть точка соприкосновения с окруж-
ностью касательной, прове-
денной из Р, мы имеем
два выражения для ра-
диуса-вектора г, а именно,
когда точка, например Q,
находится на окружности
между D и Е или, положим,
в Q' между D и F. Если ОС
перпендикулярна г, то ОС =
= b sin 0, PC = b cos 0,
QC = Q'C\fa2 — &2sin20.
Следовательно, мы полу-
чим для точки Q
г = PC — QC = b cos 0 — У а2—62 sin2 0
и для точки Q'i
r = PC-\-Q'C = b cos 0+ ]Уа2 — Ь2 sin2 0
Так как sin OPD = у, то угол 0 изменяется в пределах
между ± arcsin —; тогда, подставляя в (29) значение г и произведя
суммирование по окружности, мы получим, приняв из удобства
01 = arcsin -^з
4	о
Г 9«
С _____________dQ____________
J b cos 0—V а2 — fe2 sin2 0
Lo
____________________
6 cos 0-|- ]Уа2—i2 sin2 0
b cos 0 -|- V a2 — b2 sin2 0
о
f*	d0
.J & cos 0—V a2 — b2 sin2 0
-0»
429
Приведем, в первую очередь, знаменатель к рациональному виду,
затем в третьем и четвертом интегралах заменим 0 на —0, а во вто-
ром и третьем интегралах изменим порядок интегрирования. Мы
получим:
i2 —а2
J (b cos 0 + У а2— fea sin2 0 ) <70— J (icos0—У a-—62 sin2 0) <70—
.0	0
0,	_________________ 0,	________________
— J (b cos 0 — У a2 —b% sin2 0 ) <70 -|- J (fi cos 0 4- )za2 — b2 sin2 0 ) <70
о	oJ
0i
-75^-5- I /a2-&2 sin2 0 <70
o2—a2 J
о
He сразу видно, что этот интеграл эллиптический, так как здесь
b >> а. Но если мы положим b sin 0 = a sin Ф, то будем иметь:
b cos 0 <70= a cos Ф <7Ф, J^a2 —i2 sin2 0 = a cos Ф
1t
т
„	4/ f* a cos Ф • a cos Ф <7Ф
"2~ *2—а2 I	ft COS 0
о
2
41 Р а2 — a2 sin2 Ф
*(*2-а2)	”-а —' =^Ф
J 1/ 1--ТГsin2 Ф
or b2
(30)
Наконец, примем &2—тогда
it	я
2	Т
77„ =	47 f А2Ад sin2 Ф =	41 f А2-14-1 -A* sin2 Ф
2 b(l—k$)j /1 — A|sin2 Ф b(i — kl) J ^i-A2 sin2 Ф
С	л	о	1
2
4/ I Г z-------------
= 4-7---iT \ ^1-*|8Ш2Ф
о I — А| J 1
о
<7Ф
У1 —А| sin2 Ф
,	41 Г А2£ (А2)
2 a L 1-Л?
(31)
При fc2 -> 0, т. е. когда точка Р удалена в бесконечность, фор-
мула (31) показывает, что Н2, как и следовало ожидать, равна нулю.
В том случае, когда к2 стремится к единице, выражение (31) стано-
вится неопределенным, но из (30) легко видеть, что Н2 равна беско-
нечности.
Глава XVI
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:

(1)
где п — постоянная величина.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Бес-
селя. Поскольку последнее представляет собой уравнение второго
порядка, то оно имеет два линейно независимых решения. Однако
решения эти в общем случае через элементарные функции не выра-
жаются. Лишь в случае, когда п равно целому числу с половиной,
оказывается возможным выразить их через элементарные функции.
Покажем, как это сделать. Подставим в уравнение (1):
Тогда это уравнение примет вид:
~с№
и = 0
Если, например
то уравнение (2) становится уравнением с постоянными коэффи-
циентами
общий интеграл которого будет:
u = Ci sin ж-p С2 cos ж
431
I
Следовательно, при n = ± —, общий интеграл уравнения (1)
будет:
где Сг и С2 — произвольные постоянные.
При п, не равном целому числу с половиной, решение уравнения
Бесселя (1) находим в виде степенного ряда, расположенного по сте-
пеням х.
§ 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
БЕССЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Будем искать решение уравнения (1) в виде ряда:
у =	а1Ж?+1	а2я<>+2
Отыщем число р и коэффициенты а такими, чтобы этот ряд удо-
влетворял уравнению (1). Мы имеем:
00	00
У = 2 у' = 2 as (Р +s)х?+’-1
s=0	s«0
У" = 2 «s (Р + ») (Р + S -1) *?+’“2
8=0
Подставляя эти ряды в уравнение (1), получим»
2 as [(p + s)2—га2] xP+s+ 2 as®?+s+2 = 0
s=0	s=0
Для того чтобы это равенство было тождеством, необходимо,
чтобы коэффициенты при х?, х?+1,. . . были равны нулю. При-
равнивая нулю коэффициент при х?, найдем
а0 (р2 — п2) = 0
откуда:
р = ± п
Примем сначала, что р = -]-п.
Если приравнять нулю коэффициент при ж<>+1, то придем к ра-
венству
а1 [(р + 1)2—п2] = 0
из которого заключаем, что аг — 0. Приравнивая нулю коэффициент
при жР+1 (s	2), придем к соотношению
«s [(Р + s)2 — »21 + «S-2 = О
которое позволяет выразить коэффициент as искомого разложения
через предшествующие ему коэффициенты:
а —	а$~2
s s2+2ps
432
Отсюда видно, что, поскольку — 0, то все коэффициенты а
« нечетными номерами будут равны нулю. Для коэффициентов с чет-
ными номерами мы получим такие выражения:
п — а0 _
2~	22 (п+1)
_______«2	_______«О________
4	8(« + 2) = 2*-2! (п + 1) (п + 2)
=______а* ________________2о__________
’	12(»+3)	26-3! (п + 1) (п + 2) (п + 3)
а —(____ns________________и0_____________
й V ' 22»s! (п + 1) (п+2) . . . (n + s)
Подставляя эти коэффициенты в исходный ряд, мы получим:
у — айхп 1
/ X \2
k~2 )
1! (п + 1)
(|)‘
2! (п+ 1) (п + 2)
/ х \в -
________________________
3! (п + 1) (п + 2) (п + 3)
Ряд в квадратных скобках сходится при всяком значении х.
Полученная функция, т. е. у, удовлетворяет данному дифферен-
циальному уравнению при любом выборе оставшегося неопределен-
ным коэффициента а0. Из соображений симметрии обычно принимают:
1
а°“ 2ЯГ (п + 1)
Если п — целое число, то
1
°0- 2пп1
Полученная таким путем функция обычно обозначается Jn (х)
и называется Бесселевой, или цилиндрической, функцией первого
рода порядка п
Jn = 2"Г (п + 1)
11 (п+1)
2! (п + 1) (п + 2)
или, сокращенно:
$=оо
/л (Ж) = 2 Г (s + 1)(Г (п + s+ 1)
s=0
(3)
Если принять р — —п, то таким же путем можно получить вто-
рое решение уравнения (1), которое обозначается J_п (х):
(—l)s	/ X \2s-n
Xl г («+1)Г (s-n + D \ 2 )
s»0
1
тп-----ГТГ ОТ-
Г (s — n +1)
Если п—число дробное, то числа	и
личны от нуля при любых s. Функции Jn (х) и У.,, (х) в этом случае
28 Заказ 1706
линейно независимы, т. е. одна из них не получается из другой умно-
жением на некоторую постоянную. Таким образом, при п дробном
мы можем написать общее решение уравнения (1) в таком виде:
и = AJn (х) + BJ_n (х)	(4)
При п целом функции Jn (ж) и J_п (ж) оказываются линейно зави-
симыми друг от друга и формула (4) уже не дает общего интеграла
уравнения Бесселя. Действительно, коэффициенты при первых п
слагаемых ряда J_п (ж) обращаются в нуль. Поэтому
_____(-l)s	( Х_ у S-
Г (4- + 1)Г (s-n + 1) \ 2 )
Приняв
получим:
г^+ТГгУ+П U)
Таким образом, функции Jn (ж) и J_п (ж), как было сказано выше,
линейно зависимы при целом п.
Следовательно, для построения общего интеграла уравнения (1)
нужно найти новый частный интеграл этого уравнения, линейно
независимый от Jп (х).
§ 3. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКА п ВТОРОГО РОДА
Для отыскания частного интеграла уравнения (1), линейно неза-
висимого от Jп (ж) в случае целого п, рассмотрим функцию:
si-гал [cos nn.Jn (х) —J_n (г)]
(6)
Так как эта функция линейно зависит от функций Jn и J_n, то
она является решением дифференциального уравнения Бесселя
порядка п. При п целом эта функция принимает неопределенный вид,
так как sin rm = 0, а выражение в квадратных скобках также обра-
щается в нуль вследствие равенства (5). Можно, однако, с помощью
правила Лопиталя раскрыть эту неопределенность, найдя величину
предела выражения (6) при г, стремящемся к целому числу (см.
гл. I, § 18). Обозначим этот предел через Yn (ж):
Г Jr (х) COS ГЛ—J.r (я)
„ L sin гл
434
Приведем лишь окончательный результат вычислений:
оо	[п+г
Y. W=4Л W [|S (-i) и]-42 <-!>' тЧДщЗ ’*+
Г=О	\гл=1
— 1g п ) = 0,577215
где у — постоянная Эйлера:
Y= lim
П -> Сх
Наличие логарифмического слагаемого в функции У„ (ж) пока-
зывает, что зта функция при х — 0 обращается в бесконечность.
Таким образом, общее решение уравнения Бесселя в случае
целого п имеет вид:
y=C\Jn (х) + С2УП (х)
где Сг и С2 — произвольные постоянные.
Функция Yn носит название функции Бесселя второго рода.
§ 4.	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ
На практике часто встречается дифференциальное уравнение:
+	= 0	(7)
dx2 1 х dx 1 \ х2 /
Примем:
z = кх
Тогда при подстановке в (7) получим уравнение Бесселя
z2‘S-+z’2'+(z2“re2)s/=o
решение которого будет:
и = AJn (z) + BYn (z)
где А и 5 — произвольные постоянные.
Возвращаясь к старому независимому переменному, получим
решение дифференциального уравнения (7):
y=AJn (kx)+BYn (кх)
Имеется много дифференциальных уравнений, решения которых
выражаются через функции Бесселя. Так, например, с помощью
надлежащей замены переменной можно показать, что уравнение
d2y .a dy
dx2 xdx' ^
28*
435
имеет решение!
J=AJn (х Vb) + BYn (xVb)
где	.	1—а
п = ~2^~
и Л и В—произвольные постоянные.
§ 5.	БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
I 1	I ( 4	/ОХ
dxA + х dx + \ 1 & }U 0	®
Это уравнение можно получить из уравнения (7), если принять
к = i. Следовательно, решением уравнения (8) будет функция Jn'(xi).
Обычно в качестве канони-
ческого решения этого уравне-
ния берут функцию
In (*) = i~nJn (^)
Рис. XVI-1.
которую называют модифици-
рованной функцией Бесселя
первого рода порядка п.
В качестве второго интегра-
ла уравнения (8) обычно берут
функцию Кп (х), определяемую
следующим образом:
Л
“о"
= sin гая ~1п
Общее решение уравнения (8) можно написать в таком виде:
у= А1п{х) + ВКп{х)
где Л и В — произвольные постоянные.
На рис. XVI-1 приведены графики функций 10 (х) и Ко (х). Из них
видно, что/0 (0) — 1; АГ0 (0) = оо ; при стремлении а: к бесконечности
10 стремится к бесконечности, а Ко стремится к нулю.
§ 6.	РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Jn (х)
Между тремя функциями Бесселя Jn_t (х), Jn (х), Jn+1 (х),
индексы которых отличаются на единицу, существует простая линей-
ная зависимость. Ее легко получить, исходя из разложения зтих
функций в ряды. Дифференцируя почленно ряд (3), получим:
2(— 1)» (w+-2s)  / X X«+2S
Г (s) Г (га +s+D \ 2 /
s«0
S“OO
-г^пи+'-м)
S=1
Заменив в последней сумме
s = r4-l
долучим:
г«со
V?	(_1У	/ X ХЛ + 1+2Г
xj'n = njn-x^ г(г + 1)Г(„ + 2 + г)	= nJn-xJnA (9)
г=в
Таким же образом можно показать, что
ц nJfi ==s xjfi_\	(10)
Сложив уравнения (9) и (10), получим!
2/n=,0i-l Jпл!	(11)
Подставим в уравнение (И) п = 0 и воспользуемся (5), тогда
получим:
(12)
(1»
Л — Ji
При умножении (9) на я-"-1 имеем:
х~п J'n = x~n~rnjn—X~nJn+1
Следовательно
A(ar-v„) = -^-V„+1
ил
Подобным же образом можно показать, что
{хП]п) ~	п-1
Вычитая уравнение (10) из (9), получим!
~~ Jn = Jn-l~l~Jп+1
(14)
Полученные нами рекуррентные формулы для функций Бесселя
полезны тем, что они сводят вычисление бесселевых функций с боль-
шим номером к вычислению бесселевых функций с меньшим номером.
Например, имея таблицу значений J0 (х) и Jr (х), можно с помощью
формулы (14), полагая в ней п — 1, составить таблицу значений
функции J 2 (#)i
2
J 2 (ж) = “ Jl (ж) J0 (х)
Зная и J2, можно найти J3 по формуле
4
Л)(ж) = —->2 (®)—A (®)
и т. д.
43Z
Функции Yn (х), 1п (х) и Кл (х) были определены раньше с по-
мощью функций Jn (х). Для этих функций имеют место следующие
рекуррентные зависимости:
УЛ-1 (х) + Yn+1 (х) = ~ Уп (х)
Уп-1 (х)~ Уп+1 (х) = 2У„ (х)
4.1 4) 4+1 (х) — —— 1п (х)
х	Н-э)
4+1 {х)=хп	хп1п< х)
1п+г (х) = хп	[х-'Чп (г)]
Рекуррентные формулы для Кп (х) имеют следующий вид:
К п-1 (х) — Ял+1 (х) = —	Кп (х)
к П-l (х) + Ал+1 (х) = -2АЛ (х)	(1Ь)
К'о (х) = —(х)
§ 7. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ Jn (г), ИНДЕКС КОТОРЫХ РАВЕН
ЦЕЛОМУ С ПОЛОВИНОЙ
j
Подставив в ряд (3) п — — , получим:
S=OO
То Г(,? + 1)Г	4 1
Далее, так как
Г (s -|-1) = «Г (s)
и при целом s
Г (s+l) = s!
то имеем:
Применяя формулы
и
sin х _	х'1 . ж*
х	31 ' 5!
найдем, что
Ju (х) = 1/ sin х
/г ' ' Г ЛЖ
438
Подобным же образом можно показать, что
J i, (х) — 1/ —cos X
j
Таким образом, при п функции Бесселя выражаются через
элементарные.
Так как функции Yn (х) и 1п (х) выражаются через Jn (х), то
Учг (х) и Zi/2 (х) также могут быть выражены через элементарные
функции.
Подставив в рекуррентную формулу (14) п = ~, получим:
Л,
“ТЛ=/-1/а	+j3/i &
Отсюда
Л/а	= V(^Г—C0S *)
Полагая в (14)	найдем:
' J 3 / -J1 / -1- J 5 !
X /2	/2	' 2
откуда	___
Т 3 г т лГ~ъ~! з —Ж2 .	3	\
Л, =— J3,—J4 = I/ — (—5—sin Ж-----------созж
/г Ж '« '2ГЛЖ\Ж2	X /
Аналогично можно показать, что все функции Бесселя, номер'
которых равен целому числу с половиной, выражаются через эле-
ментарные функции.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
В приложениях функций Бесселя к технике часто возникает
необходимость разложить произвольно заданную функцию F (х)
в ряд по функциям Бесселя.
Существует несколько видов таких разложений; для нас пред-
ставляет интерес рассмотреть одно из таких разложений.
В теории функций Бесселя доказывается, что функция Бесселя
Jn (х) имеет бесконечное множество положительных корней. Рас-
положим эти корни в возрастающем порядке и обозначим их alt
052) ССз, • * * 1 s* * *
В приложениях часто возникает задача о представлении произ-
вольно заданной функции F (х) в ряд следующего вида:
У (х) = C,Jn -j- п (а2ж) -|- C3Jn (язж)	.
ИЛИ
F (x} — ^\CsJn (asx)
s=l
Не ставя перед собой задачи исследовать возможность такого
представления, мы покажем лишь, как вычислить коэффициенты
43»
этого разложения, если предположить, что такое представление
возможно.
Предварительно установим одно весьма важное свойство функ-
ции Бесселя, а именно, свойство их ортогональности. В § 4 было
показано, что уравнению
d3y
dx3
£
х
удовлетворяет функция y — Jn(ax). Если в этом уравнении сделать
и
подстановку у =	,
У х
то мы придем к уравнению
d3u
dx3
(17)
которое, очевидно, имеет решение;
u=V~xJn (ах)
Подобным же образом убедимся, что функция
v== VxJn (bx)
удовлетворяет уравнению;
Помножив уравнения (17) и (18), соответственно, на v и на и,
вычтем из одного произведения другое; мы получим:
(Ь3—a3)uv—u"v— v"u	(19)
Проинтегрируем обе части равенства (19) по г в пределах от
О до я:
X	X
(62 — a3) J uv dx= J (u"i> — v"u) dx
о	o’
НО
u"v— v"u = ~~ (vu'— uv')
dx 4	’
•следовательно
XX	X
(62 — a3) § uv dx= J	(vu' — uv') dx = (vu’ — uv') |
оо	о
T. e.
x
(62—a3) J xJn (ax) Jn (bx) dx—x(ajn (bx) J'n (ax) —bjn (ax) J'n (bx)\	(20)
о
440
Если мы теперь последнее равенство продифференцируем по b
и в полученном выражении положим b — а, то получим:
X
2а J xj^ (ах) dx = x [axj% (ах)—Jn (ах) J'n (ах) — axjn (ах) (ах)]	(21}
о
Положим теперь в формуле (20) х = 1:
1
(Ь2 _а2) J xjn (ах) Jn (bx) dx—ajn (b) J'n (a) —bjn (a) J'a (b)
a
До сих пор мы считали а и Ь произвольными числами. Пред-
положим теперь, что а и & — два неравных между собой корня уран
нения:
Jп (х)= О
Тогда мы получим:
г
(&2 — д2) J xJn (ах\ Jn (bxj dx=0
0
и так как а =^=6, то
г
J xjn (ах) Jn(bx) dx=0	(22 г
о
Свойство функций Бесселя, выражаемое этим равенством, назы-
вается ортогональностью. Это свойство позволит нам найти коэф-
фициенты Cs искомого разложения
F (х) = *£ CsJn(asx)	(23>
S-1
где as — положительные корни уравнения Jn (а) = 0.
Для того чтобы получить значения коэффициентов этого раз-
ложения, умножим обе части (23) на xjn (а^х) и проинтегрируем
в пределах от х = 0 до х = 1, тогда на основании (22) получим:
1	г
J xjn (а^х) F (х) dx=Ck§ zJ2n (akx) dx
о	о
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, может быть
вычислен с помощью формул (21) и (13):
1
С	1
j zj2 (akx) dx = — J2+1 (aft)
о
Таким образом, имеем:
i
Gs = -r5 Л7Т 1 xJa	F & dx
>n+i (as) J
0
Задачи, решаемые с иомощыо разложения функции в ряд по
функциям Бесселя, рассматриваются в гл. XVII.
441
§ 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КЛИНОВИДНОМ СТЕРЖНЕ
Рассмотрим задачу, приводящую к уравнению Бесселя.
Медный клин имеет в поперечном сечении форму треугольника
(рис. XVI-2).
Основание этого клина поддерживается при постоянной темпе-
ратуре tj; при этом тепло, вследствие конвекции и излучения, те-
ряется в окружающее пространство, имеющее температуру t2. Коэф-
фициент теплопроводности клина равен Z. Требуется определить
зависимость между температурой некоторого сечения клина и рас-
стоянием от его конца.
Обозначим через t температуру сечения клина на расстоянии х
от его конца и для упрощения примем, что изменением температуры
в направлении, параллельном
/у ’	основанию, можно пренебречь.
/ щ	/ Для вывода дифференциаль-
/ /	/ ного уравнения составим тепло-
р—р;-----	/ вой баланс применительно к эле-
I	* О	менту клина толщиной dx.
Площадь сечения клина будет
Рис. XVI-2.	пропорциональна х, т. е. равна
fta, где р — коэффициент пропор-
циональности. За единицу времени через сечение х в этот элемент
за счет теплопроводности поступит количество тепла:
д = — }$хккал/ч
За то же время через сечение х dx в элемент поступит тепла:
9 +	(* + ^) [-£ +
Следовательно, количество тепла, поступающего в единицу вре-
мени в рассматриваемый элемент клина за счет теплопроводности,
будет равно:
dx+xdd)]
При этом мы пренебрегаем членом, содержащим произведение
дифференциалов.
Поверхность элемента клина будет равна Pdx, где Р — постоян-
ная величина, характеризующая зависимость периметра сечения
от длины ребра х. Если а — коэффициент теплоотдачи от поверх-
ности ребра к воздуху, то количество тепла, отданного элементом
клина в атмосферу, равно:
dq — a (t — /2) Р dx
Напишем уравнение теплового баланса:
a \t — Z2) Р dx= лр [ —— dx -f- xd (
d 42
Разделив обе части уравнения на dx, получим:
аР	dt	d2t
ХР (Z	dx+x dx2
или
4-Т + 4------т (/ —/2) = 0
ах2 1 dx
где
аР
Полагая y = t —12, приведем это уравнение к виду:
d2y , dy
------------------------------тУ = ®
axf 1 ах
Это дифференциальное уравнение
Бесселя следующим образом. Если
z = 2 Утх, мы придем к уравнению
d2y . 1 dy
dz2 ‘ z dz
которое является частным случаем уравнения (8) при п = 0.
Так как общий интеграл уравнения (25) будет
?/= AZo(z) + -BA'o (2)
(24)
(25)
можно привести к уравнению
сделать замену переменного
У = 0
то, возвращаясь к старому независимому переменному х, получим
общий интеграл уравнения (24) в следующем виде:
t —12 = 4/0 (2 У тх) + ВКо (2 У тх)	(28)
Из таблиц функций Бесселя находим, что Ка (2Утх) стремится
к бесконечности, когда х стремится к нулю, а из физииеских сообра-
жений ясно, что температура t клина должна оставаться конечной;
следовательно, постоянная В = 0.
Допустим, что температура основания клина С поддерживается
равной 100° С, а температура окружающей среды t2 = 40° С. Если
т = 0,3 и если длина клина равна 0,3 м, то формула (26) дает:
/-40 = А /0 (2 КббД)
Постоянную А определим из условия t = 100° С, если х = 0,3.
Отсюда имеем:
100—40=Л/О(0,6)
Из таблицы функций Бесселя имеем 70 (0,6) = 1,09. Значит
ЮО—40 = 1,09 Л
откуда
4 = 55
Следовательно, решение задачи дается следующей формулой:
/ = 40 + 55/о (2 /бой)
443
Значения температур вдоль клина получаются простым вычисле-
нием с помощью табл. XVI-1 функций Бесселя.
ТАБЛИЦА XVI-1
X	1,095 Vr	l, (1,095 Vx)	t, ®c
0,	0,	1,000	95,0
0,10	0,345	1,030	96,8
0,15	0,388	1,040	97,2
0,20	0,490	1,065	98.5
0,25	0,548	1.080	99,4
0,30	0,600	1,090	100,0
§ 10. ПОТЕРЯ ТЕПЛА ЧЕРЕЗ СТЕНКУ ПЕЧИ
Потеря тепла происходит за счет его перехода к воздуху от листо-
вого металла, покрывающего изоляцию печи. Металлическое покры-
тие представляет собой сталь толщиной 0,015 л с теплопроводностью
400 ккал/м, -ч-град. Коэффициент теплоотдачи от стенки к воздуху
составляет 12 ккал/м2-ч-град. Диаметр головки болта 50 мм. Тем-
пература окружающей среды 70° С; температура головки болта
постоянна и равна 150° С. Считая, что тепловые потери обусловли-
ваются только теплопроводностью стержня болта, определим темпе-
ратуру наружной металлической стенки в нескольких точках на
расстоянии до 1 м от болта.
Для составления необходимого дифференциального уравнения
введем следующие переменные величины: температуру и координаты
положения точки. Так как температурная функция симметрична
относительно головки болта, то для определения положения точки
может быть использована переменная г, т. е. радиальная длина
от центра болта. Из теплового баланса для кольцевой поверх-
ности имеем:
, „ dt
д = м2яг -у-
dr
где q — скорость притока тепла для радиуса г;
X — теплопроводность;
а — толщина металлической стенки.
При г -)- dr скорость отдачи тепла будет:
д-|-А? = —Ха 2лг	(—Ха 2лг	dr-\-a (t —10) 2лг dr
где а — коэффициент теплоотдачи;
t и i0 — температуры, соответственно, металла в данной точке
и окружающей среды.
При постоянных значениях X и а получим:
d^t .1 dt a (t—10) _
dr2 ‘ r dr Xa
(27)
444
Пусть y = t—tQ и Р = а/Ла, тогда из уравнения (27) будем иметь:
(28)
rfr2 dr	'
Решение (28) есть
у=СЛ (г Г Р) + С2К0 (г /р)	(29)
В этом случае слагаемое /□(гУ^Р) не имеет физического смысла,
так как оно увеличивается с возрастанием положительных значений
переменного и не может представлять температуру при больших
расстояниях от болта^ которая, очевидно, уменьшается, достигая
ассимптотически величины 20° С. Следовательно, будем иметь:
t~20 = C%Ko(r /р)	(30)
Из приведенных выше формул найдем:
^-=-/Р Ку (г /р); г#=0
§-=--7^-Х1(г/'р) + рЯ2(гГ'р); г ^0
При подстановке в уравнение (28) левая часть его приобретает
следующий вид:
-г Vр Ку (г /Р) + г2рк2 (г Vр)-Г V Р Ку (г V Р) - г2р£0 (г VР)
Из (16) видно, что сумма первого и третьего членов равна сумме
второго и четвертого членов и, таким образом, это выражение равно
нулю. Следовательно, использование Ко (г]/р) в качестве решения
(28) оправдывается.
Переходя к численному решению, найдем:
о	а _	12
Р	U 40-0,015
И
го —	= 0.025 л
ТАБЛИЦА XVI-2
Г, Л4	г /20	К„ (г /20)	t, °C
0,05	0,223	1.65	128
0,1	0,446	1.04	106
0.2	0.892	0,493	87
0.4	1,785	0.155	75.5
0.6	2,61	0,051	718
0,8	3 57	0,018	70.6
1,0	4 17	0.006	70,2
445
Таким образом, имеем:
150-70 = С2Кй (0.025 /2О) = С2Ао (0,116) = 2,ЗС2
откуда С2 = 34,8. Окончательно получим:
t —70 = 34,8Х0 О’/20)
Приведенная выше табл. XVI-2 дает температуры, вычисленные
для различных значений г.
§ 11. ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ ФИЛЬТРОВАНИЕ
Пусть в промываемом на патронном фильтре осадке с общим
коэффициентом фильтрования к имеется центральное отверстие
с радиусом г0. Будем принимать, что у концов фильтрующего ци-
Рис. XVI-3.
вертикально;
будет у нижнего края
линдра, вследствие недостаточной очистки
их, жидкость течет через поры осадка
вертикально.
Напоры жидкости у верхнего и ниж-
него концов цилиндра примем, соответ-
ственно, равными h-j_ и /г2, а коэффи-
циенты фильтрования кг и fc2.
Процесс фильтрования происходит сле-
дующим образом: через среднею (глав-
ную) часть фильтра длиной I фильтрование
протекает горизонтально. У верхнего
края фильтра имеется часть этого филь-
тра длиною 1г, через которую фильтро-
вание будет проходить
такая же часть
фильтра; длину ее будем считать рав-
ной /2.
Выделим в
фильтра кольцо толщиной dr и высотой /.
Это кольцо ограничено сверху и снизу
линиями равных напоров h, которые обу-
словливают цилиндрическое фильтрование
к стенке аппарата (рис. XVI-3).
Пользуясь приведенными в гл. XVII (стр. 469) рассуждениями,
найдем объемы втекающей и вытекающей жидкости через цилиндри-
ческие поверхности кольца за единицу времени. Разность этих объ-
емов будет:
средней (главной) части
2 л/с/
dr
Кроме того, через верхнее основание кольца на линии равного
напора h за единицу времени втекает объем
2лгА'1 —Б----dr
h
446
а через нижнее основание на линии равного напора h с той же пло-
щадью втекает объем:
Л , h9 — h ,
2лг/с2 ——J----dr
В последних двух выражениях величины

Л1 —h
11
h2—h
h
и

представляют собой скорости фильтрования жидкости через верхний
и нижний слои осадка с высотами и 12.
Складывая последние три выражения, получим изменение объема
жидкости внутри элементарного кольца за единицу времени. Это
изменение объема вследствие несжимаемости жидкости равно нулю;
следовательно
, , d I dh\ hx — h h2 — h
kl [г — + ktr —-----bk2r —---= 0
dr \ dr J	l\ ‘ l2
Полученное уравнение приведем к виду
d2h , 1 dh , hi hi — h , k2 h2— h n
'7~dr^Tl Ti	Г Tl T2 = °
или же
,	1	_____1 / f	A2 M ,	1	/	kihi । Ma \	_n
dr2	'	r dr	kl \ li '	l2 )	hl	\	li ' l2 )
Преобразуем последнее уравнение следующим образом:
d2h	1	dh____1_ /	Ад	А2 \ [\	kil2hi + k2lih2~]
dr2	~г г	dr	kl К	li	' l2 j L	kil2 + k2li J	U
Если обозначить
s kl UM 1г J
kihil2-\-k2h2li
° к1^г + ^2^1
(31)
(32)
то уравнение (32) примет вид:
, 1 dh
dr2 ' r dr
Пй-Яо) = О
(33)
где £ и Но — постоянные числа.
Введем в уравнении (33) новую искомую функцию
5 = яо-/г
тогда это уравнение приобретает вид
d^S 1 dS £
'dr2 ‘ г dr
(34)
447
который является частным случаем уравнения (8) при п — 0. Сле-
довательно, общий интеграл уравнения (34) будет:
s = Сх/о (VI г) +	(VI г)	(35)
где Сх и С2— постоянные, I0(]V^r) и К0(]/%г)— модифицирован-
ные функции Бесселя нулевого порядка.
Определим постоянные в полученном решении.
При г = оо в рассматриваемом слое имеется лишь вертикальное
фильтрование, обусловленное разностью напоров, фильтрования же
по направлению радиуса не происходит, т. е.
Следовательно, уравнение неразрывности (31) представится
в виде
Til— h	hi — h
ki—i^~+k2
откуда
kjhi । k2h2  ( k^	k2 \
G ^2	\	^2 j
или
> _ kthil2-}-k2h2li _
~ кг12 + к21г ~ 0
т. e. при r = оо имеем 5 = 0.
В § 5 было отмечено, что при х, стремящемся к бесконечности,
Zo (х) неограниченно возрастает. Отсюда следует, что в общем инте-
грале (35) должно быть Cj = 0, т. е.
h = H0 + C2K0 (VI г)	(36)
Для определения постоянной С2 найдем скорость фильтрования
у стенки фильтра:
, dh V
И7 — —к — = ——г
йг 2лгог
где V — расход фильтрата.
С, другой стороны, дифференцируя выражение (36) и исполь-
зуя (16), найдем:
~ = -С2 /Ui (VI г)
где Кг — функция Бесселя первого порядка.
Из двух последних выражений вытекает, что у стенок фильтра
^ТГ = С2 VI Кг (VI г0)
а следовательно
2nkrolVlKi(Vtro) _
448
Таким образом, из уравнения (36) получаем следующее оконча-
тельное выражение для напора *
„-и._______
2nkrol V^Ki (/gr0)
(37)
пользуясь которым можно построить кривую напоров в рассматри-
ваемом фильтре.
Допустим, что из экспериментальных исследований известно Но.
Применяя уравнение (37) к стенке фильтра, т. е. полагая г = г0,
можно определять расход фильтрата:
2лкг01 VI (ffo — hoj Кг (VI г0)
Ж)	(38)
где h о — напор в патронном фильтре.
* V берется с отрицательным знаком (см. гл. XI).
29 заказ 1706
Глава XVII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Уравнение, содержащее частные производные, называется диф-
ференциальным уравнением с частными производными. Таковым
является, например, уравнение
Дифференциальные уравнения с частными производными широко
используются при решении технических задач, в которых искомые
переменные величины представляют собой функции нескольких
независимых переменных.
Обычно задача состоит в том, чтобы найти соотношение между
переменными и, х и у, установив для него функциональную зависи-
мость вида и = / (х, у), которая удовлетворяет некоторому дифферен-
циальному уравнению с частными производными и дополнительным
частным условиям данной задачи.
Уравнение (1) можно решить следующим образом.
Интегрируя уравнение (1) по х, получим:
>=/<«) «
После интегрирования уравнения (2) по у найдем:
и=|/1 (У) dy + fz (z) = f3 (у)+ /2 (х)	(3)
Функция (3) является решением уравнения (1), независимо от
вида функций /3 (у) и/2 (х), которые являются произвольными.
В то время как общее решение обыкновенных дифференциальных
уравнений содержит произвольные постоянные, решение дифферен-
циальных уравнений с частными производными включает в себя
произвольные функции.
450
Рассмотрим еще уравнение
д2и
дх2
= а$и
(4)
причем функцию и мы рассматриваем как функцию от г и от у.
Общее решение его:
u=Creax + C2e-ax	(5)
где Сх и С2 — любые функции, не зависящие от х. Заменяя Сх
на /i (j/)> а С2 на /2 (j/)> напишем (5) в виде:
u = eaxt1(y) + e-axfi{y)	(6)
С геометрической точки зрения решение дифференциального
уравнения с частными производными, в случае двух независимых
переменных, представляет собою некоторую поверхность. Решения
(3) и (6) уравнений (1) и (4) представляют собою совокупность бес-
численного множества интегральных поверхностей. Для того чтобы
получить определенное решение уравнения с частными производ-
ными, следует использовать дополнительные данные относительно
искомого решения. Эти дополнительные данные в технических
задачах обычно определяются физическим смыслом решаемой задачи.
Общих методов для нахождения решений уравнений с частными
производными не существует. Лишь для отдельных частных случаев
разработаны методы, позволяющие отыскивать решения этих урав-
нений. Рассмотрим простейшие из этих случаев.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим уравнение
У,	У,	У, и)	(7)
Для его интегрирования следует решить систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dx du du
-P—Q—1T	<8>
Пусть интегралы этой системы будут:
ф (*, у, И) = С1 и ip (ж, у, и) = С2	(9)
Образуем уравнение:
Ф [ф (ж, у, и), ф (ж, у, и)]=0	(10)
где Ф — произвольная функция своих аргументов.
Функция и, определяемая зависимостью (10), будет удовлетворять
исходному дифференциальному уравнению (7).
29*	451
Пример. Рассмотрим уравнение:
ди , ди
Хи1Г+УиЦ = ХУ	(11)
Образуем систему:
dx  dy du	„ .
хи уи ху
Первое уравнение этой системы
dx du
~х~~~
имеет решение у=Сгх. Подставив это выражение для у во второе уравнение
системы
dy du
уи ~ ху
получим:
Cydx  du
и х
Общее решение этого уравнения будет:
Cj хЛ = и^ С2
Таким образом, интегралы системы (12) имеют следующий вид:
^-=С1; ху — и2 = С2
Мы получим решение данного уравнения (И), если свяжем эти инте-
гралы произвольной зависимостью:
Ф (^ху — и2,	= О, или и2 = ху-|-<р
где <р — произвольная функция от —.
§ 3. УРАВНЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим не установившееся движение несжимаемой жидкости,
содержащей растворенное вещество, через какой-либо аппарат.
Пусть wx, wy, w2 представляют составляющие скорости по осям
координат. Обозначим через с концентрацию растворенного вещества
(в весовых единицах на единицу объема), а время — через т.
Выделим в аппарате элементарный объем, представленный на
рис. XVII-1 в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz. Скорость
потока в направлении, указанном стрелкой, будет wx, и количество
вещества, поступающего через левую грань, равно wxcdydz. Коли-
чество вещества, выходящего из параллелепипеда у противополож-
ной грани, будет:
452
Аналогичные формулы имеют место и для прочих граней. Общее
количество растворенного вещества, поступающего через три грани
параллелепипеда, будет равно
wxc dy dz -f- WyC dx dz -|- wzc dx dy
в общее количество вещества, вышедшего через три противополож-
ные грани, будет:
д	Г w^c	dyl fa _|_ Г и,^с |	fa~\ Ду fa
OX J	L	Од J	L	OZ J
Изменение количества веще-
ства, вызванное изменением кон-
центрации с, составит:
дс , , ,
dx dy dz
in
Подставляя найденные выра-
жения в общее уравнение мате-
риального баланса, найдем:
flic . д (wxc)
Si ' дх
Уравнение материального баланса в дифференциальной форме
(13) математически тождественно с уравнением неразрывности,
имеющим важное значение в гидродинамике (см. гл. XIX).
§ 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим процесс передачи тепла в неустановившемся состоя-
нии, когда температура в каждой точке нагреваемого тела меняется
со временем.
Обозначим через х, у, z — координаты точки, t — температуру,
т — время. Будем считать, что изучаемое нами твердое тело изо-
тропно, так что теплопроводность %, теплоемкость с и плотность у
постоянны. Выделим в нашем теле элементарный параллелепипед
с ребрами dx, dy, dz и с гранями, параллельными координатным
плоскостям.
За время dx на нагревание этого элементарного параллелепипеда
потребуется количество тепла, равное:
dQ = су dx dy dz dx
453
С другой стороны, согласно теории теплопроводности, общее коли-
чество тепла, поступающего в параллелепипед через обе грани,
перпендикулярные ОХ, будет равно
d2t
К —- dx dy dz dx
дх2
Совершенно так же мы найдем, что через грани, перпендикуляр-
ные OY и OZ, в элементарный параллелепипед поступает следующее
количество тепла:
d^t
К -x-s- dx dy dz dt
ду2
d2t
К —=- dx dy dz dt
dz*
Таким образом, за время dx через все грани параллелепипеда
поступает количество тепла:
, Гй2/ । f)2t ।	j j
dQ=dx dv dz dx
Приравнивая полученные нами два выражения для dQ, получим
следующее уравнение теплопроводности:
dt __ А, Г d2t , d2t	d2t 1
dx су L дх2 ду2	dz2 J
Обозначая выражение, стоящее в скобках, через у2£ или Ai
(см. стр. 353), запишем уравнение (14) следующим образом:
dt k	„	dt К
= —	v2t,	или	—— = —At	(15)
dt су	дт су	' '
Символ А, или у2, называется оператором Лапласа. Он обозна-
чает следующую операцию:
Л2 Q2 Q2
(16)
Уравнение теплопроводности (14) решено для многих случаев,
имеющих практическое значение.
Прежде чем перейти к изложению способа решения уравнения
(14), рассмотрим еще один пример составления дифференциального
уравнения с частными производными.
Рассмотрим жидкость, движущуюся с постоянной скоростью w
в направлении оси ОХ в пространстве, внутри которого имеется
источник тепла. Составим дифференциальное уравнение теплопро-
водности для этого случая.
Количество тепла, поступающего через левую грань элементар-
ного параллелепипеда в направлении ОХ за время dx, вследствие
теплопроводности и за счет физического тепла, вносимого с потоком
жидкости, составит:
cyuit dy dz dx — К — dy dz dx
454
Физическое тепло вычисляется относительно произвольно при-
нятой начальной температуры t = 0.
Для того же промежутка времени dx количество тепла, входящего
в параллелепипед через противолежащую грань, будет равно
- [(cyurt	dx)-к (JL	dy dX Л
Общее количество тепла, входящего через две грани, перпенди-
кулярные ОХ, будет равно
/ dt „ d2t \
~\CyiV-^-K^)dxdydZdX
Совершенно так же, как и в предыдущей задаче, мы получим
следующие выражения для приращения тепла за счет теплопровод-
ности 6 направлениях OY и OZ-.
K^+^)dxdydzdx
Сумма двух последних величин будет равна изменению коли-
чества тепла в параллелепипеде, которое, как мы видим, составляет;
dt , , , ,
су ах ay az ах
Следовательно
dt . / т .	. d*t \ dt
Если изучаемый процесс установившийся, т. е. если температура
является функцией только положения точки, но не времени,
равно нулю и уравнение (17) приводится к виду;
dt
w —- = av2j
dx
(17)
X	у у
где а =-----коэффициент температуропроводности,
су
§ 5. УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРОВАНИЯ
Уравнение движения жидкости в фильтрующем слое имеет следу-
ющий вид;
, dh
w= —к ——
dS
РДе к — коэффициент фильтрования;
h — напор жидкости в слое, находящемся на расстоянии 5
от места начала фильтрования;
— градиент изменения напора жидкости по направлению филь-
трации. При этом скорость w и напор h рассматриваются
как непрерывные функции от 5.
455
Проекции скорости на три оси координат будут:
, dh	dh	dh
wx=~kx~\ wy=-ky-^', wz=-kz—	(18)
где kx, ky и кг — коэффициенты фильтрования в направлениях,
соответственно осям х, у и z.
Выделим в фильтрующем слое элементарный параллелепипед
с ребрами dx, dy и dz. В § 1 гл. XIX показано, что полное прира-
щение массы жидкости в этом параллелепипеде за единицу времени
равно:
(19)
L дх ду “ dz J v	,
Масса жидкости, содержащейся в элементарном объеме, соста-
вляет:
N — р0 Дх Ду Дг
где 0 — порозность фильтрующей массы.
Если фильтрующая масса, а также и жидкость сжимаемы, то
плотность жидкости, порозность фильтрующей массы и вертикаль-
ный размер элементарного объема будут переменными величинами.
Примем направление фильтрования за направление оси OZ и про-
дифференцируем по т обе части последнего равенства:
4г=[0-й-Аг+р4гЛг+р0^]4г4г/	(2о)
Высота элементарного объема изменяется в соответствии с изме-
нением вертикальной составляющей сжимающего усилия аг в филь-
трующей массе:
d — — a &zdaz
или
(21)
где а — коэффициент сжимаемости в направлении OZ.
Естественно считать, что объем V твердой массы в параллелепипеде
остается постоянным, так как сжимаемость ее отдельных зерен мала
по сравнению с сжимаемостью жидкости и изменением порозности.
Следовательно
А 7 = (1 — 0) Дх Ду Дг = const
или
d (Д7) = [(1 — 0) d (Дг)—Дг<10] Дх Ду = О
откуда:
dQ  d (&z)
tl
j0=lz±£(^l=_a(1_0
dx dz dx	' dx	' '
456
Вертикальная составляющая сжимающего усилия аг и давление
жидкости р находятся в равновесии с внешними силами. Величина
+ °г) может быть приравнена собственному весу всей массы
& фильтре, тогда:
р + <т2 = const или daz=—dp	(23)
Между плотностью жидкости и ее давлением имеется зависи-
мость:
<24>
уде р — коэффициент сжимаемости, или величина, обратная объем-
ному модулю упругости;
р0 — начальная плотность, обычно принимаемая при атмосфер-
ном давлении.
Пользуясь формулами (21) и (23), найдем для скорости изменения
Толщины слоя фильтрующей массы и для скорости изменения пороз-
Ности следующие выражения:
d (Дг)	dp
—з   а Дг -у-	(25)
dx	dx
я-	<26>
U v
Подставляя (24), (25) и (26) в уравнение (20), получим:
= Г0Рр° 77 + ра (1 “ е) ’ТГ+р0а тг1 Дх Ду Дг
Ct v	Le	СТ С	Ct v	Ст с |
вли
= (0₽р0 + ар) ~ \х Ду Дг
Ct l	их
Приравнивая это выражение (19), получим после предельного
перехода и разделения на dxdydz:
9 (PU’x)	d(pwy)	d(pw2) _~f Ri « \ dP
ax ay dz 0p\p+e?7r	(27)
При этом разностью между р0 и р, как бесконечно малой величи-
ной, мы пренебрегаем.
Для установившегося движения — 0, следовательно
д (Р^х) । д (pwy) . 0 (pwz) _
dx	' dy ‘ dz
Вли
I dw, , dwu ,	dw, \ ,	dp , dp	,	<5p
p (-HH — H) 4-«’x-rL+u’« -T~ + “T-= 0	28)
r \ dx 1 oy 1	dz j 1	dx 1	й dy	1	dz
457
Проекции скорости могут быть выражены через гидравлические
градиенты (18). Компоненты градиента плотности выразим так!
е9,)
TF =-<*(£-')	(29с>
Подставляя в (28) эти величины, а также выражения для проекций
скорости из формул (18) и предполагая фильтрующую среду изотроп-
ной, получим:
, (dill . d2h . dih \ , ,
. ( dh \2 dh
"Г\ dz ) dz
(30)
Коэффициент к сокращается; предположим коэффициент р на-
столько малым, чтобы можно было пренебречь вторым членом этого
уравнения по сравнению с первым. Тогда мы получим следующее
приближенное дифференциальное уравнение установившегося дви-
жения жидкости в гомогенной и изотропной фильтрующей среде:.
d^h	dih dih
дх-	ду% * dz^
(31)
Для неустановившегося движения жидкости через фильтрующую
массу уравнение (27) преобразуется следующим образом:
, [ d‘-h . dih . dih \	[ „ а \ dp
— °(р+т) ДГ (32)
ИЛИ
^J.^L	„ох
dxi 1" dyi I" dzi к V ' 0 J dx
Существенно отметить, что полученные дифференциальные урав-
нения фильтрования (31) и (32) с математической точки зрения
тождественны уравнениям теплопроводности и диффузии.
§ 0. СФЕРИЧЕСКОЕ ФИЛЬТРОВАНИЕ
Имеется сферический сток с радиусом г0 (рис. XVII-2). Все линии
стока пересекаются в одной точке. Поверхности равных напоров h
являются концентрическими сферами. При изучении сферического
фильтрования удобно пользоваться сферическими координатами г,
ср, ф, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:
х = г sin <р cos ф, y = r sin ф sin ф, г = гсозф
Выделим элементарный объем, ограниченный тремя парами бес-
конечно близких координатных поверхностей (рис. XVI1-3). Обозна-
чим через Wr, W.? и проекции скоростей жидкости на направле-
458
ния координат. Через левую грань выделенной ячейки за единицу
времени втекает масса жидкости:
pWrr sin ф dip г йф
где г sin ср dip и г dtp — длины сторон левой грани. Через правую
грань за то же время вытекает:
pWrr sin <р dipr йф + (pWrr sin <р dipr d<p) dr
Рис. XVII-2.
Накопление массы жидкости в ячейке равно разности обеих масс:
-----(рЖгг2) sin <р dr dtp dty
Через верхнюю грань за единицу
времени втекает масса жидкости
pWy dr г sin ф dip
а через нижнюю грань вытекает:
pW,f dr г sin ф ^1р + -Д- (Р^<р r sin Ф <г’Ф) dq
Следовательно, накопление массы
за единицу времени равно
—s’n r dr df^
Через переднюю грань за единицу времени втекает масса
pPF^drrdcp, а через заднюю грань вытекает
рЖф dr г d<p-f--~(pW^dr г йф) dip
Следовательно, накопление массы равно
—(Р^Ч) r dr d(P
Складывая полученные три выражения, найдем:
Г д (pWrr2) . 3(рЖ 81Пф)	3(рИ7б) -]
-	—sm ф+——гr Jdr d,f
Заметив, что объем выделенной ячейки равен dr г sin ср dip г dtp,
найдем, что приращение массы жидкости за единицу времени будет:
др ,	.	,	,
dr г sin ф dtp г dip
Приравнивая два выражения для приращения массы и сокращая
•полученное равенство на dr г sin ср dip г dcp, мы получим уравнение
неразрывности в сферических координатах:
1 д (р!УЛг2) 1 ^(рУУу sin ф) j З(РИ^) эр Q
г2 dr г sin ф дф	г sin ф Sip St
(34)
459
Элементарные перемещения dSr, dS,f, dS^ в направлениях коор-
динат г, q> и гр будут соответственно равны.
dSr — dr\ dSy~rdy, = r sinq> eh|>
Проекции скорости фильтрования на эти направления будут
иметь вид:
7 dh ПТ	I. 1	ПТ	I. 1	/о-,
Wr — — к —- •	= — к-------— • Wa. — — к —.--——	(о5)
dr ’	¥	г йгр 1 Т	rsin(p дг|>
Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности (34)
и полагая р — const, получим:
9
(36)
Мы получили уравнение фильтрования, которое является урав-
нением Лапласа в сферических координатах.
Так как в данном случае имеем одномерное фильтрование, то
уравнение (36) представится в виде:
Интегрируя данное уравнение, получим:
(37)
Второе интегрирование дает:
Л= —у-+6’а	(38)
460
Но
На основании формул (35) и (37) получим значение постоянной Cxt
к
Сх =
(39)
V
W -------
г° 4лг2
где V — объем жидкости, протекающей через поверхность сферы
радиуса г0 за единицу времени.
Отсюда для Ct получаем следующее выражение:
V '
(40)
;о
С1 ink
Далее определим постоянную С2.
Положим, что при г = г0 напор равен Ло. Подставляя в формулу
(38) h — h0, г — г0 и заменяя Сг найденным его значением, получим:
С2=~^— + h0
4л/сг0 1 w
Теперь подставим значения обеих постоянных в уравнение (38):
, V • / 1
п = —— ( —
4 л к \ r0
Полученная зависимость позволяет определить напор h в любой
точке области фильтрования.
Положим, что на известном расстоянии R от стока напор h = Н.
Тогда фильтрационный расход определится на основании (40):
v _ 4л А (Я—М
_1_________1_
Гц R
Так как при большой величине R величиной — можно пре-
1
небречь по сравнению с —, то расход с достаточной точностью
определяется по формуле:
V = 4nkr0 (Н — h0)
При вытекании жидкости из источника, т. е. при Сх <Z 0, вместо
(40) получается зависимость:
h
;о
Отсюда определяется расход
„ 4л/с (Ло —Я)
_1____1_
Гц R
или же при относительно большой величине R1
V = 4пкгц (h0—H)
461
§ 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
Решим общее уравнение теплопроводности применительно к пла-
стине бесконечной длины. Задача состоит в том, чтобы найти решение
дифференциального уравнения (14), которое удовлетворяло бы неко-
торым заданным условиям. Представим себе, что в пластине, распро-
страняющейся бесконечно в направлениях OY и OZ, имеющей
начальную температуру tlt внезапно стенки охладились до темпера-
туры окружающей среды t0. Какова зависимость
между температурой и временем от начала охлажде-
ния для различных точек внутри пластины?
Начало координат поместим в точке на одной из
стенок; расстояние между стенками пластины обо-
значим 2R (рис. XVI1-4).
,	Тепло теряется через обе стенки и, так как пла-
' • — стина распространяется бесконечно в направлениях
OY и OZ, то, очевидно, теплопередача совершается
nvr	d2t d2t
только вдоль Ол. Следовательно, и равны
нулю и уравнение (14) принимает вид:
dt t)2t
дт а дх2	(41)
Начальные и краевые условия, вытекающие из
формулировки задачи, таковы:
Рис. XVII-4.
t = tr при т = 0
f = i0 при т=оо
t — tQ при х = О
t = t0 при х = 2R
Введем новую переменную А, связав ее с t зависимостью:
Если переменная t меняется от до t0, переменная А меняется
от 1 до 0. Уравнение (41) принимает вид:
Начальные и краевые условия задачи будут:
Д = 1	при	т = 0	(43)
д=о	при	т = оо	(44)
д=о	при	ж = 0	(45)
д=о	при	x = 2R	(48)
462
Требуется найти решение уравнения (42), удовлетворяющее усло-
виям (43)—(46).
Примем, что А может быть представлена в виде произведения <рф,
где q> является функцией только от х, а ф зависит только от т. Пола-
гая в уравнении (42) А = фф, приведем его к следующему виду!
или
1 __ 1
ср dx^ аф dx
По определению функция ф не зависит от ж; следовательно, при
изменении х правая часть уравнения остается постоянной. Аналогич-
но левая часть остается постоянной при изменении т; следовательно,
обе части уравнения равны одному и тому же постоянному числу.
Обозначая эту постоянную через —А:2, получим два уравнения
_fc2
ср ах2
аф dx
которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Общие интегралы этих уравнений следующие:
<р = С! cos fc^ + CaSin kx,	(47)
ф=Сзе-“^	(48)
Искомая функция А определяется как произведение функций
(47) и (48):
Д = фф=С3е"а*2т (С2 cos kx-i-C2 sin kx)
Функция эта уже удовлетворяет условию (44); она будет также
удовлетворять условию (45), если принять, что (\ = 0. Поэтому
решение, удовлетворяющее условиям (44) и (45), будет:
Д = Cte~a>t2x sin kx
гд,е С, — С&.
Для того чтобы удовлетворить условию (46), надо потребовать,
чтобы множитель sin кх обращался в нуль при х = 2R. Это приводит
к уравнению
0=sin 2kR
которое позволяет определить к. Именно, мы имеем: к = где
п — любое целое число.
Таким образом, мы пришли к решению:
~4Д2	. ПЛХ
b = Cte	8111	(49)
463
Остается подчинить это решение также условию (43).
В решении (49) можно положить п равным любому целому числу,
например, п = 1, п = 2, ... Но исходное уравнение (42) является
линейным дифференциальным уравнением, и сумма любого числа его
решений также будет его решением.
Следовательно, если всевозможные решения (49), каждое с различ-
ным значением п, сложить, то полученная сумма будет также реше-
нием уравнения (42), и мы можем написать:
СО	Ш12П2Т
2Л	4Н2	. ппх
Апе	sin
п=1
ИЛИ
. л ~4Яг . ПХ		4Я2	. 2па;	4Я2	. Зля	,
Ь^А^ sin —— -{-А2е	sm—--(-Лде	sin—-}-.., (50)
iiii
где Alt A 2 и т. д. — посто-
янные величины, которые
мы подберем так, чтобы удо-
влетворить условию (43). Это
условие дает:
.	. . пх .	. 2пх .
1 = Л18щ—+Л2 Sin — +
+ Аз Rin ППГ + • ' ' (51)
Постоянные Alt А 2,
А3, ... могут быть опреде-
лены путем почленного
сравнения этого ряда с три-
гонометрическим рядом, да-
ющим разложение функции
/ (х) — 1 по синусам в ин-
тервале от 0 до 2R.
Этот ряд имеет вид:
,	4 Г . пх . 1 . Зла: 1 . 5м “I
1 = vLsin2iT + т31П17г + тЯ1П^7г + -Ч (52)
Сравнивая разложения (51) и (52), находим, что Ап равно
при п нечетном и Ап = 0 при п четном.
Следовательно1, Ап может быть записано следующим образом:
О
а„=[1-(-1)«]-£-
464
Подставляя эти значения А„в формулу (50), получим в конечном
втоге:

-Ш2'.
е sin
пх
~2R
Зла:
~2R
где	На рис. XVII-5 даны графики
зависимости А от „4 для
4П
некоторых значений г.
Теплосодержание пластины может быть выражено интегралом от
произведения температуры и теплоемкости. Если через Е обозначим
отношение теплосодержания полосы, считая от температуры
к количеству тепла, теряемого при охлаждении всей полосы от /
до /0, то
2R
Е = ~^R J Л dx
о
Значение Е легко получается почленным интегрированием ряда
(53) по х в пределах от 0 до 2R:
(54)
Ряд, стоящий в правой части, сходится быстро, и поэтому при
приближенных расчетах можно ограничиться лишь одним первым
членом этого ряда; формула (54) в этом случае принимает вид:
Эта зависимость Е от г изображается прямой линией па полуло-
гарифмической сетке.
§ 8. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С НЕРАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
Рассмотрим случай, аналогичный приведенному в предыдущем
примере, отличающийся, однако, тем, что до внезапного охлаждения
наружной поверхности тела до t0 температура полосы tx не одинакова
во всех точках, а является некоторой функцией ф (х) положения
точки. Таким образом, функция ф (х) характеризует начальное рас-
пределение температур. Ход решения этой задачи тот же самый,
что и в предыдущем примере до стадии определения постоянных.
В качестве нового переменного введем t, = t — t0. Дифференци-
альное- уравнение (42) сохраняется, если А заменить на £; также
остаются и условия (44), (45) и (46).
30 Заказ 1706	465
Если обозначить <р (х) = гр (ж) — 70, то условие (43) принимает
вид: £ = ф (ж) при т = 0. Положив в решении (50) т = 0, получим:
2,	. плх
АП sin	(55)
п=1
Для определения коэффициентов Аг, А2, ... нужно разложить
в тригонометрический ряд по синусам на промежутке от 0 до 2R
функцию ф (ж). Мы имеем:
со	2Н
, .	1 X? • плх Г , , . плх ,
v(x) = ~R 2 Sln ~2^~ J ф (Х) Sin "2Я~ dX	(б6)
П=»1	О
Сопоставляя два разложения (55) и (56) одной и той же функции
Ф (ж), получим:
2Я
.	1 С , , . плх 1
Ап = ~й\ ф	Sln ~2R~ dx
о
Отсюда получаем искомое решение задачи в следующем виде:
Нетрудно показать, что это решение приводится к виду (53) для
Ф (ж) = 1, так как
ЗЯ
f . плх	.	27?
\ sin - —	(—Г/------
J 27?	1	’ пл
о
§ 9. ВЗАИМНАЯ ДИФФУЗИЯ ДВУХ ГАЗОВ
Коэффициент диффузии для двойной газовой смеси устанавли-
вается экспериментально путем измерения скорости взаимной диф-
фузии двух газов, введенных с противоположных концов в цилиндр,
разделенный тонкой перегородкой на две равные части. Перегородка
быстро удаляется, и газы диффундируют в течение некоторого про-
межутка времени.
Затем диафрагма снова устанавливается и газы в каждой части
цилиндра тщательно перемешиваются и анализируются. При отсут-
ствии конвекции коэффициент молекулярной диффузии получается
путем сравнения результата с решением основного дифференциаль-
ного уравнения диффузии, которое имеет следующий вид:
др _. D <>2Р
дх = дх2
(57)
где р — парциальное давление одного из газов, a D — коэффициент
диффузии.
466
Для решения уравнения (57) удобно заменить величину р некото-
рой новой временной, которая изменялась бы от 1 до 0 с увеличе-
нием т от нуля до бесконечности. Обозначим через р0 начальное пар-
циальное давление. Если обе части цилиндра имеют одинаковый
объем, то р будет изменяться в пределах от р0 до — р0.
Определим в соответствии с этим новую переменную Рх
Подставляя в уравнение (57), приведем его к виду:
дР	д2Р
дх	дх2
(58)
Если газы чистые и находятся под одинаковым давлением Ро
в обеих половинах, то концентрации будут симметричны относи-
тельно средней точки в цилиндре и решение нужно найти только для
одной половины цилиндра. Расположим начало координат в центре
и положим, что длина цилиндра равна 2R.
Тогда начальные и краевые условия будут:
Р = 1 при т = о	(59)
Р = 0	при т == оо.		(60)
Р = 0	при	ж = 0	(61)
4L=0 дх	при	ж=7?	(62)
Последнее условие вытекает из тех соображений, что в конце
дР
цилиндра диффузия не происходит и поэтому — = 0. Уравнение
(58) тождественно с уравнением (41) теплопроводности, которое мы
решали в предыдущем параграфе. Изменились только начальные и
краевые условия. Записав решение уравнения (58) в виде
Р = C3e~-DaS'c (С\ cos аж-)- С2 sin аж)
определим постоянные так, чтобы удовлетворить условиям (59)—
(62).
Из условия (61) следует, что Сг — 0.
Из условия (62) имеем:
„	(2га —1) я
cos aR = 0; а=------— • га — целое чис ло
2л ’
Условие (60) уже выполнено.
Придавая п всевозможные целые значения и складывая все полу-
ченные таким образом решения, будем иметь:
со „ (гга-!)2’!^
2.	«Я2	. (2га—1) я
Л„е	sin----— х

30*
467
Подставляя сюда т = 0 и учитывая условие (59), найдем:
2.	.	(2л — 1) ла:
Ап 81П------2Й~
П=1
Сравнивая это разложение с полученным выше разложением (52)
единицы но синусам, получим:
Ап =
4
л (2n—1)
Следовательно, для функции Р получаем следующее выражение
Р = — I е
л \
лх . 1	"9
. Зла:
Sm~2R~
которое математически совпадает с решением (53) уравнения тепло-
проводности для бесконечной пластины.
Если обозначим массу одного из исходных газов, оставшуюся
в той половине цилиндра, в которую он был введен, через F, то
я	/
О	\
I 1
+т*

+ й5е	+--J
Пользуясь этой формулой, можно определить продолжительность
выдержки, необходимой для приготовления газовой смеси требуемой
степени однородности.
§ 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА
Решение уравнения (14) в случае задачи о теплопроводности или
диффузии в цилиндре бесконечной длины подобно решению анало-
гичной задачи о бесконечной пластине. Разница в решении заклю-
чается лишь в том, что вместо тригонометрического ряда- исполь-
зуется ряд по бесселевым функциям. Примем ось цилиндра за ось ОХ.
Рассматриваемую задачу удобнее решать не в декартовых, а в ци-
линдрических координатах. Если в уравнении теплопроводности
dt _	/ дЧ d*t
дх а \ дх- ‘ ду2
перейти к цилиндрическим координатам, то, как зто было показано
в гл. XII, мы придем к следующему уравнению:
dt ( дЧ \ 1	___L
9т	а \ Эг2 ‘г дг г2 ЭФ2
— а
(14)
а
(68)
468
Это же уравнение может быть получено и непосредственно, если
рассматривать тепловой поток в бесконечно малом элементе цилиндра.
Рассмотрим бесконечно малый объем цилиндра dn dr dx
(рис. XVII-6), где г — расстояние точки от оси цилиндра, х — рас-
стояние ее вдоль оси от начальной плоскости, Ф — угол между
радиусом и определенной плоскостью, проходящей через ось, и dn —
длина бесконечно малой дуги rd<D. Пользуясь обычным приемом соста-
вления теплового баланса, получим тепловой поток в направлении я:
. dt
—X -г— dr dn в сечении х
дх
/ Qi	\
—X ( —----к А  dx ] dr dn в сечении x-\-dx
\ дх 1 дх* J
Приращение количества тепла в направле-
нии X'.
d^t
X — dx dr dn
дх*
В радиальном направлении, на расстоянии
г от оси цилиндра, количество тепла, протека-
ющего через элементарную площадку, равно:
—X	dx dn = —X	г dx <7Ф
dr	or
Количество тепла, проходящего через площадку на расстоянии
г + dr от оси, будет:
-Ь +	(r + dr)dxd<b
Приращение тепла в радиальном направлении составит:
X Гг dr-^-^- dr-^--^- (dr)2"] </Ф dx
L dr* 1 dr 1 dr* J
Пренебрегая членом, содержащим (dr)2d&dx, получим:
, 7 d4 , dt \	W , 1 dt \ , , ,
X ( r —— 4- —— ) dr d<£> dx = X ( —-5- 4-7— ) dn dr ax
\ дгг ' dr )	\ dr2 1 r Or J
Аналогично найдем, что приращение тепла в рассматриваемом
элементе в направлении изменения п будет:
X а2* Л Л Л
Общее приращение количества тепла в рассматриваемом элементе,
таким образом, равно
, 7 52f . 04 , 1 dt . 1	d4\ , , ,
469
Так как это выражение должно быть равно изменению тепло-
содержания нашего элементарного объема, то мы находим:
dt ,	, / d2t , d2t , 1 dt , 1 d2t \ , , ,
dndr dx=>A —r- 4- —4-------— -4------) dn dr dx
dx	\ dx2 ' dr2 1 r dr 1 г2 ЗФ2 j
откуда
dt__! d2t d2t 1	Ji 1	d2t \
dx	° \ dx2 ‘ dr2	‘ r	dr	' г2	ЗФ2 J
Мы снова получили уравнение (63).
При распространении тепла в цилиндре может и не быть радиаль-
ной симметрии в распределении температуры. Это зависит от того,
распределена ли начальная температура симметрично или несим-
метрично вокруг оси. Для упрощения задачи примем, что начальная
температура / (г) является функцией только г. Допустим, что поверх-
ность цилиндра быстро охлаждается до температуры i0 и для любого
последующего момента времени температура распределяется сим-
метрично вокруг оси цилиндра. В этом случае
d2t	d2t
ЗФ2 ’ dx2 Q
и следовательно
dt [ d2t . 1 dt X	, „
dx — a k dr2 r ’ dr )
С целью упрощения граничных условий без изменения диффе-
ренциального уравнения, обозначим, как и раньше, t — t0 через
Когда t уменьшается с течением времени от до t0, § изменяется
в пределах от f (г) до 0.
Таким образом, начальными и граничными условиями будут:
£ = /(г)	при	т = 0	(65)
:=о	при	Т= оо	(66)
С=о	при	r = R	(67)
Будем решать уравнение (64) тем же методом, каким мы решали
уравнение теплопроводности в случае бесконечной пластины.
Примем £ = UF, где U является функцией только г, a F — функ-
цией только т. Уравнение (64) при этом преобразуется так:
или
dx \ dr2 1 г dr J
1	dF	1 _____________1	dU
aF	dx	U	dr2 ‘ rU	dr
Левая часть этого уравнения не зависит от г; правая часть не за-
висит от т; следовательно, каждая из них равна одной 'И той же
постоянной — к2.
470
Мы приходим к двум обыкновенным дифференциальным урав-
нениям:
и
dF
dx
f- №aF — Q
dW
dr-
1 dU
r dr
(- k2U = 0
Первое из этих уравнений имеет следующий общий интеграл:
F = Cie-k!Sax
Второе уравнение после умножения на г2 приводится к уравне-
нию:
г2 4т~+г4г'+/с2г2г7=()
dr2 ' dr 1
Это есть уравнение Бесселя (см. гл. XVI). Его решением является
функция J0 (кг). Таким образом, определяемая нами функция §
имеет следующий вид:
(Ь)
(68)
Найденная нами функция £ удовлетворяет не только дифферен-
циальному уравнению (64), но также и условию (66). Она будет
также удовлетворять и условию (67), если мы выберем к так, чтобы
Zo(W?)=O	(69)
В теории функций Бесселя доказывается, что уравнение Jo (х) =
= 0 имеет бесчисленное множество корней. Значения этих корней
можно найти из таблиц бесселевых функций.
Уравнение (69) определяет, таким образом, бесчисленное мно-
жество значений к:
к^ к%ч к?1, . . .
Подставляя эти значения к в (68), получим бесчисленное множе-
ство решений исходного уравнения (64), каждое из которых будет
удовлетворять условиям (66) и (67). Так как уравнение (64) линей-
ное, то сумма этих решений, умноженных на произвольные постоян-
ные, также будет решением. Мы пришли, таким образом, к следую-
щему решению:
°° 2
£ = 2 Ane-k^J0(knr)	(70)
п=1
Нам остается только удовлетворить условию (65). Подставляя
в (70) т = 0, получим:
/ (г) = AVJ0 (к^г) -{- A2J0 (^2Г) + ‘Wo (/сзг) + . • •	(71)
Коэффициенты Ап могут быть найдены путем сравнения этого
ряда с рядом, образованным в результате разложения функции / (г)
471
в ряд по бесселевым функциям. В теории функций Бесселя доказы-
вается, что разложение это имеет следующий вид:
п= со	R
/ (г) = 2 Я2 [/°1 (/^Я)]2 Jг/ (г) /о dr	(72)
n=i	о
где R — радиус цилиндра.
Сравнивая (71) и (72), определим Ап, подставляя которые в (70),
получим:
П=СО ,2	R
(73)
п~1	0
Чтобы применять эту формулу к решению задач, необходимо
иметь таблицы для функций Jo (ж) и (х), а также таблицы корней
функции Jo (х).
В простейшем случае, когда / (г) = 1, интеграл, стоящий в пра-
вой части формулы (73), имеет следующее значение:
в
f г/0(Л„г)^=-^-А(Л„Я)
•)	кп
о
Окончательное решение для случая f (г) = 1 будет:
_2_ -V- е-^ат/0 (кпг)
R & knJ\ (knR)
п=1
где knR, как и раньше, есть n-й положительный корень уравнения
J. (knR) = 0.
§ 11. СУШКА БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ
Приведенные выше методы решения задач, связанных с тепло-
проводностью, могут быть использованы при решении некоторых
задач, связанных с диффузией.
Для примера рассмотрим распределение влаги в бесконечной пла-
стине, подвергаемой сушке с обеих сторон при постоянной скорости
Р кг/ч-м3. Как известно, скорость диффузии влаги в твердом теле
пропорциональна градиенту влажности. Пусть толщина пластины
равна 27?. Поместим начало координат в любой точке на поверх-
ности пластины, а ось ОХ направим перпендикулярно к этой по-
верхности.
В теории диффузии доказывается, что если с — влажность мате-
риала (в кг воды на 1 м3 объема массы) и D — коэффициент диффузии
воды в материале, то
да _р д2с
дх дх2
(74)
472
 Пусть начальное содержание влаги равно сг и она равномерно
распределена в пластине. Граничные и начальные условия будут
иметь вид:
с ~ ci при т = О
_ дс о
О-^- = р при х=0
Р-А——Р при x=2R
Продифференцируем уравнение (74) по х
д2с
дх дх
дс	44
заменяя — на р, найдем:
др
дх
„ д-'С
D
dzs
(75)
дх-
Дифференциальное уравнение не изменилось по своему виду, но
условия теперь будут иные:
р = 0 при т = 0	(76)
Р = -|п ПРИ х=°	(77)
р = —А- при x=2R	(78)
Уравнение (75) при условиях (76), (77), (78) может быть решено
тем же методом, какой мы применяли для решения задач по тепло-
проводности и диффузии. Мы приведем лишь окончательный ответ.
Искомая функция с имеет следующий вид:
с=С1+-А„. r2xR-^-R2-x*-2DT~f +
WK L о	J
n=oo	f n V Dt
. 47?P № 1 г/ 1 n ~п '"У' R2 nnx
+i]e	COS'27T <79>
Zl=l
где постоянная интегрирования Сг представляет собой начальное
содержание влаги в пластине. С возрастанием т сумма ряда умень-
шается и распределение влагосодержания приближенно характери-
зуется при достаточно большом т параболической зависимостью с
от х. Для любого процесса сушки величина с не может быть отри-
цательной, поэтому формула (79) справедлива для значений т, не
превосходящих некоторой границы.
§ 12. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Решение задач на теплопроводность при установившемся состоя-
нии сводится к решению уравнения (14), в котором следует поло-
са л
жить — = 0.
дх
473
Для примера рассмотрим распространение тепла в квадратной
пластине (рис. XVII-7), одна сторона которой имеет температуру
а температура остальных трех сторон поддерживается постоянной
и равной i0. Пластина имеет небольшую толщину б, причем ~ = 0.
Пусть стороны квадрата имеют длину R. При установившемся
режиме и плоской задаче уравнение (14) примет вид:
а2:   дЧ
дх2	дуЪ
Применяя тот же прием, что и в § 7, обозначим А = -г- —
А ~ го
и будем искать решение в виде А — со0, где со зависит только от у,
a 0 от х. Мы придем к двум обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
1	d20______1 d2to _	2
6 d®2 со dz/2 а
где а — постоянная величина.
Определив из этих уравнений и и 0
и подставляя их значения в А = юО,
получим:
Д = (Аеау -\-Ве~ау) (С sin ax-\-D cos ах)
Краевыми условиями являются (см.
рис.	XVII-7):		
Д = 0	при	x — Q	(80)
Д = 0	при	x = R	(81)
Д = 1	при	У = 0	(82)
д = о	при	y=R	(83)
Из условия (80) следует, что D — Q.
В силу условия (81) sma/? = 0, откуда
где п — любое целое число. Вследствие этого
Л<У”г-|-2?е-'г’1=0
аЙ = яп и
(83) дает
ПЛ
а —
откуда
Таким образом
А= ~ Be~2ri~
-~R-
е —е
плх
sm-^—
Д = ^
Придавая п всевозможные целые положительные значения и обра-
зуя сумму этих решений, найдем:
ПК
—е
Д =
ПЛХ
81ПТ“
474
Используя (82), получим:
fi=CO
1 = 2 В'п (1 — е-2'1’1) sin
П=1
Значение В'п определяется путем сравнения с разложением (52):
, 2[1—(—1)д]
п пла—е-^)
Таким образом, искомое решение имеет следующий вид:
Дифференцируя по у, получим температурный градиент в напра-
влении у. После подстановки у = 0 и интегрирования по х находим
количество тепла q, распространяющегося от нагретой стороны
пластины:
П
о
§ 13. ЗАДАЧА О МАССОПРОВОДНОСТИ
Пусть сосуд с единичным поперечным сечением и высотою h
заполнен раствором соли (рис. XVII-8). Этот сосуд с-содержимым
погружен в емкость с большим количеством
воды, так что открытый край сосуда нахо-
дится непосредственно под поверхностью
воды. Примем, что верхний край сосуда
всегда находится в соприкосновении с чистой
водой. Здесь протекает процесс диффузии
соли в соответствии с законом Фурье —
Фика:
дс д^с
~дх к
(84)
где с — концентрация соли в растворе;
к — коэффициент диффузии;
т — время;
х — высота слоя раствора в сосуде.
Граничные условия процесса:
5с
при ж=0 -^- = 0
Рис. XVII-8.
(85)
при x=h
(86)
475
с = 0
Начальное условие:
при т = 0 с—сй	(87)
Будем искать частные решения уравнения (84) в виде:
с = е-х+?-	(88)
где аир — постоянные величины.
Подставив эту функцию в уравнение (84), получим после сокра-
щений:
Следовательно, если р связана с а этой зависимостью, то функция
(88) будет решением уравнения (84) при любом значении а.
Для дальнейшего удобно вместо а писать ср/ (г — мнимая еди-
ница).
Тогда р = — Тсф2 и мы получаем следующее решение:
Функция, сопряженная с этой функцией, также будет решением.
Следовательно, мы имеем два решения уравнения (84):
e-kf2xei<fx и e-k<fH e-iyx^
Полусумма и полуразность этих решений
— е~к^г {е^х ± е~^х)
2
также являются решениями уравнения (84).
Используя формулы Эйлера
e'fX‘ _|_ e~vx‘ — 2 Cos жф и efXl—e~'fXi = 21 sin жф
получим следующие решения уравнения (84):
ae~fe<p2T cos фж и be~k<f2z sin фж
где а и Ъ — постоянные величины. Сумма этих решений также будет
решением. В итоге имеем решение уравнения (84) в виде:
с = (я cos фж -|- b sin фж) e~fe‘p2't	(89)
Теперь остается определить значения постоянных а и b примени-
тельно к условиям (85)—(87).
Первое условие (85): -|~- = 0 при ж = 0.
Дифференцируя интеграл (89), получим:
= (— яф sin фж -|- &ф cos фж)
Используя граничное условие, найдем Ъ — 0.
Второе условие (86): с = 0 при х = h.
476
Для того чтобы функция (89) удовлетворяла второму условию,
мы должны иметь:
cos ф/г = о
Следовательно, второе условие удовлетворится, если <р будет
равно одному из следующих чисел:
л	Зя	5л	(2п—1) л
’I’1 — 2h ’	~ 2h ’ Cl’3 ~ 2h ’ ^п~~ 2h
Подставим эти значения <р последовательно в интеграл (89). Взяв
сумму полученных таким образом функций, помноженных на неко-
торые постоянные, получим следующее решение:
с = а^е	cos
пх
~2h
,	\ 2/1 ' Зяж .
cos-^-+...	(90)
которое удовлетворяет первым двум условиям (85) и (86).
Коэффициенты аг, а2, ... в (90) подберем такими, чтобы было
удовлетворено третье условие: с = с0 при т = 0. Подставляя в (90)
с — с0 и т = 0, найдем:
пх ,	Зпх .
c0=ra1cos-^r+a2cos-^-. .
Последнее уравнение должно быть справедливо для всех значе-
ний х в пределах от 0 до h.
Из теории тригонометрических рядов известно, что коэффициенты
аг, а2, . . . этого разложения определяются следующим образом
(гл. XIII, формулы 24—26):
h
2с0 С	л.г
= —iT \ cos dx
h J	2h
о
4c0
л ’
Злж __
2h ~
—4с9
Зя
„ _ (-1)"-14с0
п~ (2га —1)п
Подставив эти значения ах, а2, ... (в 90), получим решение,
удовлетворяющее всем условиям задачи:
С
4^о V
л
н=1
( 2П-1
l)""1
—1 е
2п — 1
cos ——7— пх •
2А
(91)
Функция (91) определяет концентрацию соли в зависимости от
времени и от высоты слоя жидкости в сосуде.
Формула (91) служит основой для решения целого ряда задач
по диффузии.
Определим количество вещества G, продиффундировавшего через
некоторое горизонтальное сечение раствора в сосуде к моменту
времени т. Допустим, что площадь этого сечения равна единице.
Тогда количество соли, продиффундировавшей через это сечение за
477
время dx, будет— кнаходя из формулы (91) и беря
ох	ох
в ряде только два первых члена, получим:
Г ( гс	( 31и W
,,, г. дс J 2с0/с	~\~йГ)	. ях	. Зпж
dG = — к —— dx = —£— е	sm —т е	sin —т— dx
дх	h L	2h	2/г
Интегрируя это выражение по т в пределах от 0 до т, получим!
Определим, далее, количество соли вышедшей из сосуда за
время т. Подставив в (92) х — h, получим:
G1—ХТ'|Д1~*	z + tv-' /1	<93)
Покажем еще, как на основании формулы (93) определить коэф-
фициент к, если известны G\, с0 и х. Ограничиваясь в формуле (93)
одним первым членом, разрешим полученное при этом равенство
относительно к‘.
it2	it2 .
Tl2gj _ .	4h2 Т 4ft2 Т_____ . ft^Gi
8c0h	е	’ е	8c0h
— п2 кх = In (1 — n2gl
4/г2 кХ 1 к1 8с0/г )
Окончательно
Т-ь(1
п2т \
к =
n2gt \
8с0/г /
По истечении достаточного промежутка времени достигается
равновесное состояние, когда концентрация соли в любых частях
сосуда становится постоянной. Это происходит в том случае, когда
емкость сосуда достаточно велика и жидкость на его дне поддержи-
вается в состоянии насыщения при непосредственном соприкоснове-
нии с твердой солью.
Найдем выражение для концентрации диффундирующего вещества
в различных частях сосуда после того, как процесс диффузии уста-
новился.
В этом случае -|~ = 0 и из уравнения (84) получим:
^£-=о
дх*
Интегрируя последнее равенство, найдем:
с = ах Ъ
(94)
478
где а и b — постоянные, которые можно определить эксперимен-
тально.
Формула (94) показывает, что при установившемся процессе
концентрация будет изменяться линейно по высоте сосуда.
§ 14. КИНЕТИКА ИОННОГО ОБМЕНА В ПРОЦЕССАХ ВОДОПОДГОТОВКИ
Рассмотрим процесс водоподготовки, который состоит в удалении
из воды ионов металлов путем обмена их на ион натрия, которым
заряжена ионообменная смола. Обратная реакция осуществляется
при регенерации ионита посредством обработки его раствором пова-
ренной соли.
Скорость ионного обмена при постоянной температуре и постоян-
ной скорости потока, согласно экспериментальным данным, пропор-
циональна произведению концентрации, например, ионов кальция
в воде и квадрату концентрации натрия в смоле.
Таким образом, имеем:
для скорости прямой реакции
'i = 4? = kiUv2	05)
для скорости обратной реакции
'•2= МЫ)2 Р	(96)
Суммарная скорость реакции:
rn = k1uvi — /с2 (7а?)2 р	(97)
Где р — содержание кальция в смоле, эквивалент на ед. массы;
v — содержание натрия в смоле, эквивалент на ед. массы;
q — содержание натрия в воде, эквивалент на миллион ед.
массы воды;
и — содержание кальция в воде, эквивалент на миллион ед.
массы воды;
гх — эквивалент извлекаемого из воды кальция/ед. массы-ед.
времени;
г2 — эквивалент кальция, переходящего из смолы в раствор/ед.
массы-ед. времени;
гп — суммарная скорость понижения жесткости воды, эквива-
лент/ед. массы-ед. времени;
<уа — коэффициент активности для иона натрия в растворе (при
низких концентрациях уа = 1).
Найдено, что константы скорости реакции не зависят от скорости
Потока, но возрастают с уменьшением размеров частицы ионообмен-
ной смолы, а именно!
ММ ki
0,5	2,86
0,7	2,29
1.0	1,91
1,4	1,62
479
Константа равновесия для данной реакции
К =	= 241 000
«2
Таким образом, в период понижения жесткости воды скорость
обратной реакции пренебрежимо мала.
Переменные и, v, р и q являются функциями расстояния х и вре-
мени т. Будем находить выражения для и и v в зависимости от х и т.
Для элементарного слоя ионообменной смолы толщиной dx на рас-
стоянии х с единичной площадью сечения, расположенного нор-
мально к направлению потока,- имеем
G I ди , X ,	, / др \ . yBvt ди , ,
dx)d^^edx^— dX^-^.— dxdX (98)
Последний член равенства (98) представляет собой изменение
содержания кальция в воде для свободного пространства ионообмен-
ной смолы, которое достаточно мало по сравнению с количеством
протекающей воды. Пренебрегая этой величиной, получим
_ 106Унае дР	, .
дх ~ G ‘ дх	.
Здесь унас — насыпная плотность ионообменной смолы, кг/м3;
ув — плотность воды;
G — массовая скорость воды, кг/м2-мин;
Vf — объем, занимаемый водой в смоле.
Так как при ионном обмене кальций заменяется натрием в экви-
валентном отношении, то будем иметь:
Р —Po = vo—v
или
dv   др
дх	дх
При сопоставлении (95), (99) и (101) найдем:
(100)
(101)
(102)
где
а=—108и Ь = -кг
(т
Математически задача свелась к интегрированию системы двух
дифференциальных уравнений (102) в частных производных с двумя
неизвестными функциями и и v.
Требуется найти такое решение этой системы, для которого
и (0, т) = и0; v (х, O) = i>o	(ЮЗ)
480
Для получения этого решения заметим, что из уравнений (102)
следует
д (Ьи) _ д (av)
дх дх
а это означает, что
av dx-\- bu dx
есть полный дифференциал некоторой функции / (ж, т). Если найти
»ту функцию, то и и v определяется формулами
1	df	1	df
v ----и==__
а	дх	’	Ь	дх
(104)
и =
Легко составить дифференциальное уравнение, которому удо-
влетворяет функция / (х, т). Если в (102) заменить их выражениями
через / при помощи формул (104), то мы придем к уравнению
dfif _ df f df У
дх дх ' дх \ дх )
определяющему функцию /. Это уравнение запишем в виде:
df д I 1 \
77=-а77 7Г	(105>
\дх )
Найдем, при каких дополнительных условиях нужно интегриро-
вать это уравнение. Положив в первом равенстве (104) т = 0, на
основании второго условия (103), найдем:
I df \
<106>
Интегрируя это равенство по х, имеем:
/(х, 0) = аиож4-с1	(107)
где сг — произвольная постоянная.
Точно так же из второго уравнения (104) находим:
(Гт’)д;=о°=д“о; /(°’ т) = д“о'с + с2	(108)
Полагая в условии (107) х = 0, а в условии (108) т = 0, найдем
сг = с2. Значит, уравнение (109) нужно интегрировать при условиях
/ (X, 0) = avox+c; /(0, т)=Ьиот-|-с	(109)
Интегрирование уравнения (105) по т дает:
.	а I	«
/=~^г+ф(ж); 77= ф>)_/	(110)
дх
31 Заказ 1706
481
Здесь Ф (х) означает произвольную функцию, зависящую только
от х. Для нахождения этой функции положим в последнем уравне-
нии т — 0. Тогда, используя (106) и (109), получим:
а
avn =	,---------
Ф(ж) — аиох — с
Отсюда определяем функцию Ф (ж):
I
Ф (х) = аиож-|-с-(- —
vo
Уравнение (110) обращается, таким образом, в следующее обык-
новенное дифференциальное уравнение:
df '	a	dx , с .	1 f
-^-=----------------- ИЛИ -гг= VqX-{----------------- (Hl)
dx	,	, 1	, df	a 1 av0 a
avQX-[-c-\----f
vo
Интегрируя это линейное относительно х уравнение, найдем его
общее решение:
*	fv0 — In (/ — av&c—с) = ф(т)
где ф (т) — произвольная функция одного т.
Для нахождения функции ф (т) положим х = 0 и воспользуемся
вторым условием (109). Найдем:
ф (т) = &uovot -|- са0—Ъийх
Следовательно, функция / определяется следующим неявным урав-
нением:
/а0—1п (/— avgx—с) = buovot -f- cv0—In Ьи0 т	(112)
Для нахождения зависимости, определяющей функцию и, вос-
пользуемся уравнением (111). Принимая во внимание первую зави-
симость (104), найдем:
1 1
/=«>>о* + * + — —-
Внесем это выражение для / в формулу (112). Мы получим следующее
уравнение, определяющее функцию - у:
(113)
av^-bu^.
_ 1 = — buQVffi
Функцию и можно выразить через функцию и следующим образом.
Продифференцируем равенство (113) по т и на основании уравнения
(102) заменим	на Ъи.
'	'	v2 dt
После ряда преобразований получим:
“о \ v0 J \ bu0v0t ]
(114)
482
Уравнения (ИЗ) и (114) дают окончательные решения систе-
мы (102).
Для упрощения примем:
S = —feuovoT = к^ийийх )
V	J
Тогда из (113) и (114) получим:
lnZ+z=lnS + S — г
V __	1
Vo = 1+Z
и _ 1 + 1/S
Uq	1 + 1/Z
(115)
(116)
С целью ускорения расчетов для практических задач построена
диаграмма (рис. XVII-9) в соответствии с уравнениями (116), где
переменные представлены в виде безразмерных групп г, S, S/r и и/и0
Пример. Желательно определить остаточную жесткость воды
после того, как ионообменный фильтр проработал в течение 16 ч;
рода проходила через слой ионита толщиной 0,912 м со скоростью
16,35 л/мг-мин. Начальная жесткость воды соответствует 300 частям
углекислого кальция на миллион частей воды, что составляет
6,0 кг-экв иона кальция на миллион кг воды. Начальное содержание
заменяемого натрия в ионообменной смоле эквивалентно 57 250 г
СаСО3/л43.
Насыпная плотность ионита 450 кг/м3; размер зерен ионита 1,0 мм.
Имеем
Унао = 450 кг/м3;	я=0,912 м
^1 = 1,91 мин'1; б? = 16,35 кг/ ле2- мин
57 250
100
0,00255 кг-акв Na+/«2 смолы
«о —6,0 кг-экв иона Са2+ на миллион кг воды
т = 16 - 60 = 960 мин
Из (115) получим:
_ ЮвунасМ® _ 108 • 450 • 1,91 • 0.002552 • 0,912
G	16,35	~31’3
S = /c1uovo'c = 1.91- 6,0 • 0.00255 • 960 = 28,1
Используя (116), будем иметь:
In Z + Z = In S + <$—г = In 28,1 + 28,1 — 31,3 = 0,14
или
Z = 0,62
31*
483
О»
п
Далее!
1+ S 1,0356
2,61
= 0.397
и
Следовательно, искомая величина и состави-т и = 0,397-6,0 =
= 2,38 кг-экв Са++ на миллион кг воды, оставляющей ионообменный
фильтр в конце 16 ч.
Так как г = 31,3 и S = 28,1, то Sir = 0,898. Значение и!и0, со-
ответствующее этим данным, равно 0,36 (см. график на рис. XVII-9).
Пример. Определить константу скорости реакции для ионо-
обменного фильтра. Толщина слоя ионообменной массы 0,912 м
с насыпной плотностью унас = 450 кг!м3. Максимальная ионообмен-
ная емкость составляет 57 250 г СаСО3 на 1 м3 смолы. Вода, содержа-
щая начальную жесткость в количестве 300 частей углекислого
кальция на миллион частей воды, проходит через фильтр со ско-
ростью 16,35 л/м?-мин в течение 14,1 ч, причем конечная жесткость
воды составляет 7 частей СаСО3 на миллион частей воды.
Имеем:
ио=6,00; i>o —0,00255; G = 16,35 кг/м2 • мин
— — 0,0233; т = 846 мин
и0
£. =	6 • 16,35 • 846
г	106 • 450 • 0,00255 • 0,912	’
На графике (рис. XVII-9) точка пересечения S/r = 0,79 с и/и0 —
— 0,0233 дает значение г = 32.
Таким образом, искомая величина составляет!
. rG	32-16,35	:
1 10вунаеф: 106.450.0.002552 • 0,912
§ 15. ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИФФУЗИИ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НЕУ СТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Графические способы позволяют получить приближенные реше-
ния таких задач, аналитическое решение которых представляет
большие трудности. Эти способы могут быть применены без знания
формальных методов решения дифференциальных уравнений с част-
ными производными.
Рассмотрим уравнение теплопроводности (117) для бесконечной
пластины:
dt d2t
дх а дх2	(117)
где t есть температура в точке с абсциссой х, т — время и а — коэф-
фициент температуропроводности (тепловой диффузии). Пусть Ат
представляет малое, но конечное приращение времени и \х пред-
ставляет также малое, но конечное приращение х.
485
Обозначим через Axt малое приращение t при постоянном значе-
нии х и через &xt — приращение t при постоянном значении т.
Заменим теперь в уравнении (117) частные производные и
dt	Дт£	Дх^
—, соответственно, через -г1- и —г—.
дх	Дт	Дж
Обозначим через Д|£ разность между двумя последовательными
значениями обусловленную изменением х на Дж. Тогда уравне-
ние (117) может быть написано так:
дт«	д&
--1— — а-i-_
Дт	(Дж)2
или
* Ат
= (117а)
Обозначим через tn,m температуру точки, имеющей абсциссу
п&х в момент времени mAt (рис. XVII-10).
Тогда
Д-4 = tn, m+1 — *п, т
&xt = tn+1, т tn< т
Д|?=ДХ (ДхО = (tn+1, т — tni т) — (tn, т —	т)
Подставляя эти значения в уравнение (117а), получим:
Дт
tn, m+1 tn, т = а	K^n+l, т tn, т) (tn, tn tn_lt m)]	(118)
При решении конкретной задачи мы можем принять за Дж и Дт
произвольные малые числа. Выберем Дж и \t так, чтобы было
Дт 1
aW=I	<119>
Тогда уравнение (118) приводится к виду:
1
tn, m+1 tn> т =-- — [in+l ttn 2tn, m~l~tn-l, т]
ИЛИ
1
tn, т+1~~2' (tn+l. m'i- (п-1, т)	(120)
Из этого соотношения заключаем, что температура в любой точ*
ке ж для момента времени т есть средняя арифметическая
температур двух соседних точек, имеющих абсциссы ж — Дж и ж 4-
Дж, причем эти температуры соответствуют моменту времени
т — Дт.
Так, например, на рис. XVII-10 новая температура средней точки
ж = пДж по истечении времени (т + 1) Дт есть средняя арифмети-
ческая температур в точках (п — 1) Дж и (п 4- 1) Дж, вычисленных
для момента времени тпДт. Ясно, что зта температура может быть
получена графически путем проведения отрезка прямой линии через
486
точки, соответствующие температурам точек (п — 1) Ах и (п 4- 1) Ах
в момент времени лгДт и деления этого отрезка пополам.
На рис. XVII-11 показано применение этого метода для решения
задачи по охлаждению бесконечной пластины. Пластина симметрична
относительно центральной плоскости, поэтому достаточно будет
подвергнуть рассмотрению только ее половину, толщину которой
обозначим через R, Разделим ее на три равные части (Ах=-^Л.
Поскольку Дж выбрана, прира-
щение времени Дт определится йз
формулы (119).
Начальная температура пла-
стины представляетсягоризонталь-
ной прямой кс.
Температура наружной поверх-
ности пластины понижается мгно-
венно до t0. Эта температура пред-
ставляется на чертеже точкой 0.
Рис. XVII-10.
Следуя приведенному выше правилу, температуру плоскости В,
по истечении промежутка времени Дт, находят как среднюю ариф-
метическую двух начальных температур плоскостей А и С. Эта
температура изображается точкой Ь на прямой oz.
Новое значение температуры для плоскости С определяется точ-
кой z, расположенной посередине между р и с. Распределение тем-
пературы ко времени Дт идет по ломаной линии ozc. В течение следу-
ющего промежутка времени температура плоскости С падает да
значения d на прямой линии Ъс. В течение этого промежутка времени
температура центральной плоскости D не изменяется, так как на рас-
стоянии Дж вправо от центральной линии температура будет такой
же, как и для плоскости С, и новая точка с будет лежать посередине
487
между z и z'. В конце третьего промежутка времени температура
плоскости В определится точкой /, расположенной на прямой od.
Температура центральной плоскости в конце третьего промежутка
времени определяется горизонтальной линией, проведенной через d,
поскольку точка, соответствующая d на плоскости, расположенной
на расстоянии \х вправо от центральной линии, имеет ту же орди-
нату, что и d.
Этот процесс может быть продолжен, причем каждая точка дает
температуру для двух или более последовательных значений лгДт.
Так, например, на центральной плоскости точка с дает темпера-
туру для значений времени 0, Ат и 2Ат; точка е соответствует тем-
пературе для отрезка времени ЗАт и 4Ат, точка g — для 5Ат и 6Ат
и т. д. Температура для любого момента времени и для любой пло-
скости лучше всего получается путем проведения плавной кривой
через точки на графике t — т, при этом лгАт, выражается в единицах
времени, так как Ат есть известное приращение времени, полученное
из уравнения (119).
В качестве численного примера рассмотрим охлаждение беско-
нечной пластины стали толщиной 0,3 м, имеющей начальную тем-
пературу 700° С; наружные плоскости ее мгновенно охлаждаются
и их температура поддерживается равной 100° С. Требуется опре-
делить значение температуры в среднем сечении, параллельном
наружным плоскостям, по истечении 15 мин. Плотность стали у =
= 7800 кг/м3, теплоемкость с = 0,14 ккал/кг -град и коэффициент
теплопроводности X = 39 ккал/м-ч-град.
Приращение Аж примем равным 0,025 м. Коэффициент темпе-
ратуропроводности вычисляется из формулы:
а = А =	39	=0,036 м2/ч
су 0,14-7800	'
Соответствующее значение Ат получается из уравнения (119):
Дт =	=0,0087 ч или 0,522 мин
А • 0,03b
Таким образом, для построения графика необходимо ностроить
15
т — —-----~ 29 интервалов
0,522
Построение диаграммы показано на рис. XVI1-12; на средней
линии даны точки, соответствующие значениям т. Точки на
рис. XVII-13 показывают температуру среднего сечения в зависи-
мости от значений т.
Из графика видно, что по истечении 15 мин температура сред-
него сечения будет 382° С.
В рассмотренном примере начальная температура распределяется
симметрично относительно средней линии. Если это условие не имеет
488
700
места, то построение графиков ведется для всей полосы и линии,
пересекающие среднее сечение, уже не будут горизонтальными.
Рассмотрим еще задачу о взаимной диффузии двух газов в цилин-
дрическом сосуде, аналитическое решение которой дано выше
(стр. 466).
Примем, что перегородка в середине цилиндра, имеющего длину
125 см, разделяет равные количества гелия и метана, находящихся
фундировать друг в друга. Допускаем, что перемешивание идет
только за счет молекулярной диффузии; требуется определить время,
необходимое для получения средней концентрации метана 0,7 мол.
доли для одной половины и 0,3 для другой. Коэффициент диффузии
может быть принят равным 0,131 см2/сек.
Построение диаграммы показано на рис. XVII-14; здесь
каждая половина цилиндра разделена на шесть частей — Дж =
= 10,42 см.
Очевидно, что содержание обоих газов в середине цилиндра при
удалении перегородки станет мгновенно равным 0,5. Построение
диаграммы для каждой половины цилиндра начинается с середины
цилиндра. Построение диаграммы показано для обеих половин
цилиндра, хотя ясно, что система симметрична относительно своего
центра и достаточно было бы привести только одну поло-
вину.
Используем уравнение (119), заменяя в нем коэффициент темпе-
ратуропроводности а коэффициентом диффузии D.
490
Найдем!
.	(Лж)2	10,42
Ат = -к2/Г = -Г(ШГ==/|1/| сек
Так как среднее содержание метана должно быть в одной части
цилиндра 0,7, построение диаграммы продолжается до тех пор, пока
площадь под кривой будет равна 0,7 первоначальной площади.
Таким образом, находим, что число интервалов составляет 20.
Отсюда определяем продолжительность диффузии!
20-414 . .	t
3600 ~2,3
Глава XVIII
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Уравнения в частных производных, которые получаются при
рассмотрении инженерных задач, могут быть решены аналитически
лишь в редких случаях. В тех случаях, когда эти методы не могут
быть использованы, применяются численные методы решения ука-
занных уравнений. Один из возможных численных методов решения
уравнения в частных производных состоит в замене производных
отношениями конечных разностей, в результате чего дифферен-
циальное уравнение обращается в разностное уравнение.
§ 1. ЗАМЕНА УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
УРАВНЕНИЕМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Приведение уравнения в частных производных к разностному
уравнению наиболее просто выполняется посредством ряда Тейлора.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (см. гл. XVII):
д2Т _ су дТ
дх^ ~ К ' дх	(!)
Разложим функцию Т (х, т) в степенной ряд по т, считая х по-
стоянным;
АТ Ат2 Л2Т
Т (х, т + Ат) = 7’ (х, Т) + ДТ—4--^-+	(2)
Поскольку Ат мало, то членами ряда Ат2 и более высокими
-	-	дТ
степенями можно пренебречь и в первом приближении вместо
можно взять:
дТ Г (ж, т-рАт) —Г (z, т)
дх	Ат	(3)
Аналогично
дТ Т(х-\-кх, т) — Т (х, т)
~дГ =----±----Ь~х-------	(4)
4С2
тт	«	агт
Для получения первого приближения  * используем два сле-
дующих разложения в ряд:
m , . .	.	_ ,	... 52" , Дж2 522" .
Г(ж+Дж, т) = Т(ж, т) + Дж — + —	• •
дТ № д2Т
Если сложить эти формулы и отбросить члены, содержащие Аж
в степени выше 2, то получим:
522" Т (ж + Дх, т) — 22" (ж, т) + 2" (ж —Дх, т)
5х2	Дх2
Предположим, что отыскивается ре-
шение дифференциального уравнения (1)
в области S, представленной на
рис. XVIII-1.
Покроем эту область сеткой прямо-
угольников со сторонами Аж и Ат и бу-
дем находить функцию Т в узлах этой
сетки.
Примем следующие обозначения:
Тт, п~значение функции 2" в точке (ж, т)
Т т+1, п		»		)»	(х-|-Дх, т),	Рис. XVIU-1
Тт, п+1					(ж, т-|-Дт)
тт, п+2				»	(х, т + 2Дт)
Т т+1, п+1	)»	»	»		(х-|-Дх, т-|-Дт)
При этих обозначениях формулы (3)—(5) примут следующий
вид:
(	т, п+1 Тт, п / 52" \	Тт+1, п Тт, п
\	)т, п	Дт	’ \	) т, п
/ 522" \	_ T’m+l, п — 2Тт, пЧ~Тт-1, п	. .
к 5x2 )т п-'	fat	(7)
Подставим выражения для производных (6) и (7) в данное диф-
ференциальное уравнение (1). Мы придем к следующему уравнению
в конечных разностях
Тщ+1, п 2Тт, п~Ь Тт-1, п	CV _ Тт, п+1— Тт, п
Az2	К	Дт
решая которое относительно Тт,п+1, найдем:
т Тт-1, пЧ~	— 2) Тт, п~Ь Тт+1, п	. .
1 т, п+1-------------------------- (7а)
где
м=^_ д^_
Л Дт
4ЭЗ
Если известны значения функции Т в точках (m — 1, п), (т, п),
(т 4- 1, п), то по формуле (7') можно найти значение Т в точке (т,
п 4- 1).
Пусть требуется найти лучшее приближение к , чем в ура-
внении (3). Разложим Т (х, т 4~ 2Лт) в ряд:
Т{х, т4-2Дт) = 7’(х, т)4-2Дт^-4-2Дт2^-4-АДгЗ-^-4-...
Вычитая отсюда равенство (2), умноженное на 4, и пренебрегая
членами, содержащими Дт в степени выше второй, получим:
__ 47’nt. п+1 З^пт, п — Тт, п+2
дт	3 Дт
Приближение (8) является улучшением по сравнению с уравне-
нием (3).
Далее, пусть требуется найти приближение в конечных разностях
для ~яг я„ • Используем ряд Тейлора:
УТ ОХ
гт+1,пИ = Гт.п+Л1-^- + Л’	—h
(Д^+2Д14,
1 2 \ дх* 1	9т дх 1	9т2 J
Г,	дТ д*т дТ д^Т /п.
заменив дх2 ’» и в (") их соответствующими при-
ближениями в конечных разностях ^например, и выраже-
ниями из формул (3) и (5) J, найдем:
д2^ _ 27ni+l, п+1 — ЗУщ+х, п ЗУпг, п+14~	п—Тт-1, п — ? т,
дт дх	2 Дт Дх	ц ’
Подобные методы могут быть использованы для получения при-
ближений к производным более высоких степеней.
Пример. Плоская керамиковая плита толщиной 4,0 см подвер-
гается сушке с двух сторон. Начальное содержание равномерно
распределенной влаги (cj составляет 0,500 г/см3. Распределение
влаги внутри массы происходит за счет диффузии; коэффициент
диффузии D = 0,25 см31ч. Известно, что при данных условиях сушки
процесс протекает за период постоянной скорости сушки со скоростью
0,1 cIh-cm2 воды до тех пор, пока поверхностное содержание влаги
остается выше 0,22 г!см3.
Желательно заранее установить продолжительность периода по-
стоянной скорости сушки, количество испаряющейся воды и рас-
пределение влаги внутри керамиковой пластины к концу периода
постоянной скорости сушки. Решение задачи сводится к тому, чтобы
определить время, необходимое для получения содержания поверх-
ностной влаги 0,22 г!см3 при соответствующем распределении ее
концентрации внутри высушиваемого образца.
494
. Для материального баланса по воде применительно к бесконечно
малому элементу пластины имеем
д^с 1 дс
дх*
при краевых условиях (см. стр. 474):
(11)
F = —D
—0,1 при z = 0
(12)
F=— D
x=L
(13)
где F — материальный поток.
Уравнение (11) идентично (1). Обозначив
ят Д®2
м~ Dbx
получим по аналогии с (7а):
ст+1>л+(Д^ ст, п~\~ ст-1, п
ст, п+1-----------м
,	дс	__
(12)	производную — выражением с:
г. _ О (Со, л—с1, л)
Fn-------Тх-----
времени п &%.
Заменим в условии
где Fn поток влаги ко
Отсюда находим:
(14)
(15)
, Дж	0,1 Дж
со, л— ci, лт	— С1’п Jj
Подобное соотношение мы найдем и для другой стороны плиты.
Вследствие симметрии мы можем принять для расчета половину
толщины образца.
Пусть М = 2 и Дж = 0,25. Тогда будем иметь:
Ат_ 0.252 __0125 ,,
2-0,25	°’1254
(16)
Для нахождения ст>п+1 используем формулы (14) и (16):
со, л—с1, п—0,100	(17)
При т = 0 (и = 0) имеем с0)0 = 0,500 в соответствии с началь-
ными условиями; между тем,,уравнение (17) дает 0,400. Примем сред-
нее значение с0,0 = 0,450. Значение с для последующих моментов
времени мы будем вычислять с помощью формулы (17). Результаты
приведены в табл. XVIII-1.
495
М— 2', Дж =0,25 см
ТАБЛИЦА XVIII-1
СО X го S «о Й	У	Со	С1	Сг	Сз	с4	С6	Се	С,	Се	С»
Кв отр< времев	Время,	х=0	х= = 0,25	х = 0,5	х= = 0,75	х= 1,0	х= = 1,25	х = 1,5	х= = 1,75	х=2,0	х= = 2,25
0	0	(0,450)	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
1	0,125	0,375	0,475	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
2	0,250	0,3375	0,4375	0,4875	0,500	0,500	0,500	0,500	0 500	0,500	0,500
3	0,375	0,3125	0,4125	0,4688	0,4938	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
4	0,500	0,2907	0,3907	0,4532	0,4844	0,4969	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
5	0,625	0,2720	0,3720	0,4376	0,4751	0,4922	0,4985	0.500	0,500	0,500	0,500
6	0,750	0,2548	0,3548	0,4236	0,4649	0,4868	0,4961	0,4993	0,500	0,500	0,500
7	0,875	0,2392	0,3392	0,4099	0,4552	0,4805	0,4931	0,4981	0,4997	0,500	0,4997
8	1,000	0,2246	0,3246	0,3972	0,4952	0,4942	0,4893	0,4964	0,4991	0,4997	0,4991
9	1,125	0,2109	0,3109	0,3849	0,4357	0,4673	0,4853	0,4942	0,4981	0,4991	0,4981
Поверхностная влажность 0,22 г/см2 достигается по истечении
1,125 ч. Распределение влаги в высушиваемой пластине дано в ниж-
ней строке. Количество испаряющейся воды составляет 0,1 X 1,125 =
= 0,1125 г/см2.
Отметим, что в табл. XVIII-1 концентрации для середины плиты
получены при использовании формулы (18), причем вследствие сим-
метрии cm+li п принято равным сш_1> п. Следует также отметить, что для
избежания ошибок округления приняты значения с большим
числом цифр, чем в исходных данных. Для окончательных величин
числа с тремя значащими цифрами являются достаточными.
§ 2. ТЕПЛООБМЕН В РЕГЕНЕРАТОРЕ
ДЛЯ ХОЛОДИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Регенератор тепла предусматривается в холодильной установке
для сжижения воздуха. Аппарат состоит из колонны, заполненной
медными сферическими телами.
Требуется вычислить температуры воздуха и медных шаров в те-
плообменнике в зависимости от расположения последних по высоте
аппарата и от времени при следующих условиях работы:
1) начальная температура медных шаров и воздуха внутри реге-
нератора — 118° С (115° К);
2) в аппарат подается «теплый» воздух (рис. XVIII-2) при —79° С
(194° К) и 50 ат; плотность воздуха 368 кг/м3. Скорость движения
воздуха Go = 9780 кг/м2-ч. Примем следующие обозначения:
а — поверхность теплообмена для шаров (130 м2/м3 объема реге-
нератора);
ср — теплоемкость воздуха при постоянном давлении (0,23 ккал/кг X
X град);
с — теплоемкость шаров (0,067 ккал/кг -град).
496
/ — порозность (0,345 №/№);
а — коэффициент теплоотдачи между насадочными шарами и воз-
духом (100 ккал/м2-ч-град);
G — массовая скорость потока воздуха, кг!м2-ч;
L — высота насадки в регенераторе (1,45 ж);
т — время, ч;
Т — температура газа, °К;
1>в — плотность воздуха, кг/л3;
у — плотность медных шаров (8900 кг/л3);
0 — температура медных шаров, °К.
Индексы:
ш — для отрезков длины;
п — для отрезков времени.
Упрощающие предпосылки:
1)	тепловые свойства остаются постоянными;
2)	радиальный температурный градиент в медном шаре незна-
чителен;
3)	теплоотдача между шарами в местах соприкосновения, а также
в воздухе за счет теплопроводности отсутствует;
4)	свойства воздуха (скорость, плот-
ность, температура и др.) не зависят
от радиального положения;
5)	плотность воздуха обратно про-
порциональна абсолютной темпера-
туре;
6)	падением давления можно пре-
небречь;
7)	изменением содержания массы
воздуха в любой части аппарата можно
пренебречь;
8)	стенки аппарата являются адиа-
батными с незначительной теплоем-
костью.
Разделим регенератор по вы-
соте на определенное число равных
отрезков с длиной AZ, как показано на
объем, заключенный между плоскостями ш и m + 1 к моменту
времени кДт.
I. Энергетический баланс в конечных разностях для воздуха
в рассматриваемом объеме составляет:

Рис. XVIII-2.
. XVIII-2.
Gm, ncpTm, n — Gm+i, ncpTm+i, n a AZa	n — n) —
bZfcp
Дт
[(Тв^)т+>/г, п+1	(УвТ')т+1/г, n]
(19)
Так как ув изменяется пропорционально ЦТ и давление остается
постоянным, то правая часть уравнения (19) равна нулю.
32 заказ 1706
497
Кроме того, пренебрегая изменением содержания воздуха в аппа-
рате, получим:
<?m+l = (?OT = Go
Обозначив
М=
GpCp
аа Дг
для уравнения (19) будем иметь:
1
Ущ+1,п — Тт, п = ~м (вт+Ч„ п~Тт+Чг, л)
(20)
II. Составим энергетический баланс в конечных разностях для
воздуха и медных шаров, содержащихся в рассматриваемом объеме:
GpCp (Тт, п — Тт+1, п) =	дт“?е ' (®т+?/г, л+1-л) (21)
Обозначив
дг.„ AZ(l-/)ye
GpCp Дт
для уравнения (21) получим:
1
®т + */2, п + 1 ®m+i/i, п	т, п Тт+1, л)	(22)
Формула (20) содержит Тт+*/,, п- Приближенно будем иметь:
у,	_ ^т+1, п~\~?т, п
1 т+Ч2, л	2
Тогда формула (20) может быть представлена в таком виде:
^m+t/г, л “ j -)-2ЛГ	л4~(2-^ 1)^т, л]	(23)
Комбинируя уравнения (22) с (23), найдем:
о,„+1„,1+1=т[(4+1-2М)7’-.п+(1+2^-4-)7’т+1>"] (24)
Выражения (23) и (24) являются рабочими формулами.
Для того чтобы выбрать подходящие значения для модулей М
и N, воспользуемся некоторыми соображениями. Из рассмотрения
формулы (23) заключаем, что /’„.„и Zm+1>nHe будут отрицательными,
если М ^=1/2- Удобные значения N могут быть получены,
если исключить Тт+1<п из формул (23) и (24):
[JV(l + 2M)-2iem+1/i,n+2rm,„
%+*/,. n+1	;V(1+2M)	(25)
Следовательно
1 + 2М
498
Значение, выбранное для М, фиксирует ДИ; значение, выбранное
для N, фиксирует, в свою очередь, Дт, если ДИ установлена. Пусть
М — N = 1, что удовлетворяет указанным выше условиям. Тогда
.	0,175 (1-0,345)-8900-0,067 п
ДТ =--------9750 • 023-------= °'°305 4
олН8,23 стуценей
Выражения (23) и (24) принимают, соответственно, следующий
вид:
Гт+i, л = х/з (20т+»^г1 п 4-Гт, п)	(26)
и
л+1 = 1^2 (Тт, л + Гт+1, п)	(27)
При п —0 имеем:
0= 155е К для всех т
Тт, о= 155® К для т > 0
При т = 0 будет:
Тй, п = 195s К для всех т
В расчетах с конечными разностями желательно принять
r0l0=-^-±.ff.=B1753K
и
Го, л =195® К
для всех последующих отрезков времени (п > 0). С целью уменьше-
ния объема расчетных работ вычтем из обеих частей формул (26)
и (27) величину 155. Тогда новыми переменными будут
О' = е —155
Т' = 7-155
с граничными условиями:
е«, 0 = 0; П,о = 2О; l%,„ = 40 (п > 0)
и
0 = 0 (т > 0)
Вычисления начинаются с использования уравнения (27):
е;/.11 = 1/2(20 + 0) = 10, т = 1/2; п = 1
О»/,, i =	1 =	=	(04-0) =0
И т. д.
32*	499
После того как температуры медных насадочных тел для всех
ступеней (т + V2) и при п = 1 определены, применим равенство (26)
для расчета температур воздуха при п = 1:
^1,1=3/з (2-10+40) = 20
i = Vs (2 -0+20) = 6,65
T’i, i = Vs (2 • 0 + 0,082) = 0,027
2%, 1 = х/з (2 • 0 +.0,027) = 0,009
Далее из уравнения (27) имеем:
0V2,2 = 1/2 (40+20) =30
Оз/2, 2 = V2 (20 + 6,65) = 13,35
0'13/2_ 2 = 1/2 (0,082+0,027) = 0,0545
0V/2, г = V2 (°-027 + 0,009) = 0,018
Применяя формулу (26), получим:
T’i, 2=1/3 (2 - 30 + 39,9) = 33,3
Т'3< 2 = х/з (2-13,55+33,3) =20,0
Т'ъ 2 = Vs (2-0,0545+ 0,683) = 0,264
2 = Vs (2 • 0,018 + 0,264) = 0,100
Из уравнения (27) найдем:
e;Zj 3=i/2 (40+зз,з)=зб,6
е;/2,3=1/2 (зз.з+20,0) =26,7
®>3/2, з = 1/г (0,683+ 0,264) =0,473
0J,/tj з = V2 (0,264 + 0,100) = 0,182
Определяем температуры воздуха для п = 3:
К, 3 = Vs (2 • 36,6 + 40) = 37,7
2%, s = V3 (2-26,7+ 37,7) = 30,4
T’i, 3 = Vs (2-0,473+ 2,7) = 1,2
T’it 3 = Vs (2-0.182+1,2) =0,5
Далее, из уравнения (27) для и = 4 имеем:
е;/в, 4=Va (40 + 37,7) = 38,9
03/2, 4=1/2 (37,7+ 30,4) = 34,0
6:’/2, 4 = 1/з (2 7 + 1,2) = 1,9
6»./„ 4=V2(1.2+0,5)=0,9
К « Еч	О	ТОО	ого	0,50	1,80	4,40	8,60
			сч	□о	©	©	©
	о	о	о		о		
ф			©'	©'	©	сч'	©
		со	СО	о	©	©	S
КГ	о	о ©'	СЧ ©'	сч -^ч	со со'	ОС	со
uj			LQ О		© о	© сч	©
« ф			о	о	-^ч	LQ	©'
* Ф		00 о	оо CD	о	© о	,00	,90
Еч		о	О	сч'	со'		ф
			СО		,	©	©	© 1(Л
		о	чч	сч	сч	со	е<**Г
о			©	-^ч		о	
		LQ сч		СО	о	,30	,90	О
Еч		©'		ио	сч	О	СО сч
			о	ю	©	©	©
	о	о	©'	© сч	ю ОС	16,1	23,'
КГ	о	©	4,18	11,30	20,0	27,50	32,70 I
Л	о	о	ОС	6,90	15,70	24,30	30,70 i
» сс Еч	о	сч сч	сч СО	0,00	О ОС	© © м*'	6,70
		о		СЧ	сч	со	СО
					1	©	©	о
Л				□о	сч	сч	
* «	о	о			110	сч	
ф				-^ч	сч	со	со
			0	О	©	©	©
ч ез	о	со	о. ©'	М* ©	ОС ио	ю.	ОС ОС
			сч	со	со	со	со
1О			о?	о	§	о	ф со
	о	о	со'	со		со	ОС
ф			т4	сч	со	со	со
			О	о	©	©	©
а		о	СО		со		
Еч		сч	со'		СТ)	СТ)	S
			со	со	со	со -	со
				о	©	©	©
«о		о	о	со	ст>	со	ю
«. о			со	со	ОС	00	СТ)'
ф				со	со	со	со
ч О	S'	©	о	©	о	о	©
Еч				ХР	ХР	ХР	ХР
S	0	т4	сч	со	X?	ю	со
			сч	со	ч-Н	ю	со
у			CD	о	сч	ю	ОС
а.	0	о	0	о			
		о ,	©	о	ф	©'	о
Примечание. Такого рода анализ может быть применен и для процессов абсорбции, адсорбции, ионного обмена и
500
501
Таким образом, из уравнения (26) получим:
Т[, « = х/з (2 • 38,9 + 40) = 39,3
T't, 4 = Vs (2 • 34,0+39,3) = 35,8
7’;,4 = 1/з(2.1,9+6,9) = 3,6
+в, 4 = 1/з (2 • 0,9+3,6) = 1,8
Из уравнения (27) найдем:
6;/ti 5 = 1/2 (40+37,7) = 38,6
е'/«, 5 = 1/г (37,7+35,8) =36,7
е;»/1,в = 1/2(6,9+3,6) = 5,2
е;./г,5 = 1/2(3,6 + 1,8) = 2,7
Далее, из уравнения (26) будем иметь:
Т'1,5 = 1/з (2 - 38,6 + 40) = 39,1
2%, 5 = 7з (2 • 36,7 + 39,1) = 37,5
2п;,5=1/з (2-5,2+ 13,0) = 7,8
Т'ъ, 6 = 1/з (2-2,7+ 7,8) = 4,4
Наконец:
^/г.9 = 11з (40 + 39,1) = 39,5
0’/„ е(39,1+37,5) = 38,3
0»/«,в = 1/2(13.О + 78) = 1О,4О
0"/!,в = 1/2(7,8+4,4) = 6.1О
и
Т’1, в=1/з (2-39,5+40) = 39,70
Т'г, в = Vs (2 • 38,3 + 39,7) = 38,80
Т,, в = 1/з (2-10,4+19,9) = 13,60
Т’в, в=1/з (2 • 6,1+13.6) = 8,60
Полученные результаты сведем в табл. XVI П-2.
§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ РЕКТИФИКАЦИЯ
С ВОЗВРАТОМ ФЛЕГМЫ
В процессе периодической ректификации условия работы колонны
изменяются со временем. При расчете состава продукта необходимо
учесть количество жидкости в аппарате, к. п. д. тарелки, изменя-
ющуюся теплоту парообразования и прочие обстоятельства. В общем
случае эти факторы исключают возможность аналитического реше-
ния задачи, но метод конечных разностей позволяет почти всегда
найти приближенный ответ на поставленные вопросы.
502
Рассмотрим периодическую ректификацию бинарной смеси, состо-
ящей из компонентов А и В, в колонне с Р действительными тарел-
ками и кубом. Желательно найти возможность предсказать состав
продукта во время процесса дистилляции (рис. XVII1-3). Примем
следующие обозначения:
С — содержимое конденсатора в любой момент, моль;
D — скорость получения продукта, моль/ч;
Е° — к. п. д. тарелки;
F — доля загруженной жидкости,
Н — количество жидкости, нахо-
дящейся на тарелке, моль;
L — скорость жидкости, стекаю-
щей с тарелки, .моль/ч;
Р — число действительных таре-
лок;
R — флегмовое отношение, L/D;
S — количество жидкости в кубе
для любого момента времени,
МОЛЬ',
т — время, ч;
V — скорость пара, моль/ч;
х — мольная доля легколетучего
компонента в жидкости;
у — мольная доля легколетучего
компонента в паровой фазе;
у— мольная доля легколетучего
компонента в паровой фазе,
уходящей в виде продукта;
Рис. XVIII-3.
находящейся в равновесном состоянии с жидкостью.
Индексы:
D — продукт;
т — номер тарелки, считая снизу колонны;
Р — верхняя тарелка;
п — число приращений AF;
s — куб.
Материальные балансы:
для куба
г v -as
(28а)
LiXi—V sys =	(Sxs)	(286)
для тарелки т
(^m+1	Ут Vm-1)------(Нт)	(29аЛ
(^m+l-^m+l ^тп-2™) У тУт ^m-lVm-1) — (Нтхт)	(29б)
503
для конденсатора
vp ~ (D + ld) —(30a)
VpVp — + LD) xd — ~fa (9xd)	(306)
при условии, что материал в кубе, на каждой тарелке и в конден-
саторе однородного состава.
Отметим, что тарелка 1 имеет своим источником питания куб,
а тарелка Р — конденсатор. В общем случае скорость пара и стока,
а также содержимое колонны в молях являются функциями времени
и точки пространства.
Примем некоторые упрощающие предположения:
1)	содержимым конденсатора можно пренебречь;
2)	жидкость в молях на тарелке и коэффициент полезного дей-
ствия постоянны и одинаковы для всех тарелок;
3)	сток в молях и скорость парообразования не зависят от рас-
положения тарелок.
Тогда уравнения (28а) и (30а) приводятся к следующему равен-
ству:
«5$' ГТ/ п
— =L-V = -D	(31)
Значение т удобно заменить переменной Fi
F==—S^-	(32!
Тогда получим
s0 dF
dx = ~^~	(33)
и выражения (28)—(30) преобразуются к виду:
~dp — ।(Я («1, п—xs, п) (R 4-1) (ySi	п — xs, „)]	(34а)
^р- —fp	(хи+1> п хт, п) (ЯН-1) (Ут, п	Ут-1, п)1	(34б)
dp = jj	(Ур, п хр, п) (Я 4-1) (Ур, п	У р-i, «)]	(34в)
где
Ур — Х^ Уо~У$
Кроме того, используем сведения о составе загружаемого сырья,
о равновесном соотношении
Ут = Ф (хт)
а также выражения для к. п. д. тарелки:
Ут-1 Ут~ Ет (Ут-1 Ут)
504
Уравнения в конечных разностях, эквивалентные уравнениям
(34а, б, в), получаются путем замены производных конечными раз-
ностями.
В итоге имеем:
я-Н г я ,	, ,	,-] ,
xs, п+1	(1/Д7?)_п |_Я + 1 Ж1’ п Xs' n Ws,n xs, п) J ~г xs, п
AFSO(R+1) Г Я	ч	Л ,
хт, п+1	jj I ЯЧ-1 'Хт+11 п — хт, п)— \Ут, п — Ут-1,п) “Г хт, п
(35а';
(356)
ДЯУ0 (Я-f-l) Г Я .	1
xP,n+i~ jj L Я + 1 \У * *Р-п~хР, п~хр, п)~(Ур, п~Ур-1, п)^+хр, п
(35в)
Ур=хР), У(> = Уг,
Выбор подходящего значения для AF должен быть обусловлен
физическими соображениями. Естественно предположить, что этот
метод расчета является устойчивым, если масса в молях данного
компонента, вносимого с любым потоком, поступает на тарелку
и оставляет ее во время изменения AF в количестве, которое меньше
его мольного содержания на тарелке. На этом основании мы можем
написать:
Использование уравнений в конечных разностях рассмотрим
на конкретном примере.
Пример. Пусть требуется разделить эквимолекулярную смесь А
и В в колонне периодического действия, имеющей три тарелки и куб.
К. п. д. тарелки Ей = 0,5, а к. п. д. куба равен 1. Относительная
летучесть системы а = 2. Содержимое для каждой тарелки соста-
вляет 5 моль; содержимым конденсатора можно пренебречь. Куб
загружается через флегмовую линию жидкостью в количестве
115 моль при температуре кипения. Флегмовое отношение 4. Опре-
делить состав продукта в зависимости от количества отгоняемой
жидкости в кубе.
В соответствии со способом, применяемым для загрузки куба,
сперва жидкость на тарелках колонны имеет одинаковый состав
(х = 0,5), S'o = 100 и Н = 5. Приращение F, AF, принимается
равным 0,005, которое удовлетворяет критерию (36). Расчетные
формулы приводятся к следующему виду:
xs, п+1 — 2QQ_п t4/5 п Xs’ ^s’ п	n (37а)
хт, п+1 = 1 /2 [4/б (хт+1, п хт< п) (Ут, п Ут-1, п)] А'хпу, п	(37б)
ХР. п+1 = 1/г [‘/5 (Ур, п~хР, п)-(Ур, п-Ур-1, «)] +ХР, п	(37в)
У’т = 1 + (а-1)хт = (Ч + хт )п	(38)
Vs = Vs	(39)
(ут-1 — Ут)п=0,5 (ут-1	Ут)п Для т > 0	(40)
505
После этого расчеты выполняются следующим образом:
1.	В таблице записываются значения величин при начальных
условиях (и =0).
2.	Для отыскания xS1, xllt . .., хР1 используются выражения
(37а, б, в).
3.	Для определения у при п = 1 применяется уравнение (38).
4.	Величины у$, у и,	уР1 вычисляются с помощью уравнений
(39)	или (40).
5.	Этот процесс повторяется для п = 2 и последующих интер-
валов.
Результаты подобных расчетов, произведенных для рассматрива-
емого примера, представлены в табл. XVIII-3.
ТАБЛИЦА XVIII-3
п	Г	xs	ys	Xj	v;	Vt	x2	У 2	V2	x3— —Xp	Vp	yP== =xD
0	0	0,5	0,667	0,5	0,667	0,667	0,5	0,667	0,667	0,5	0,667	0,667
1	0,005	0,496	0,664	0,5	0,667	0,665	0,5	0,667	0,666	0,567	0,724	0,695
2	0,010	0,492	0,660	0,499	0,666	0,662	0,526	0,690	0,676	0,604	0,754	0,715
3	0,015	0,488	0,657	0,508	0,670	0,664	0,550	0,710	0,687	0,629	0,772	0,730
4	0,020	0,484	0,653	0,523	0,686	0,670	0,570	0,726	0,698	0,666	0,800	0,749
5	0,025	0,480	0,649	0,533	0,695	0,672	0,595	0,746	0,709	0,674	0,865	0,757
Материальный баланс для конечного, пятого приращения дает
57,1 моль легколетучего компонента в колонне и дистилляте. В на-
чальной загрузке это содержание составляет 57,5 моль. Полученная
ошибка незначительна.
Глава XIX
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ
Достоверность обобщений, получаемых экспериментальным путем,
значительно выросла, когда были разработаны принципы моделиро-
вания изучаемых явлений, основанные на соблюдении условий,
обеспечивающих их подобие. Работы М. В. Кирпичева и его школы
в области подобия тепловых процессов привели к созданию общей
теории подобия и обеспечили широкие возможности для проникнове-
ния методов теории подобия в различные отрасли инженерной
практики, в частности и в химическую технологию. Теория подобия
дает возможность изучать сложные процессы и теоретически и экспе-
риментально. Только чистое экспериментирование, без теоретических
обобщений, не позволяет распространить выводы, полученные таким
путем, на другие, не исследованные случаи. Только теоретический
метод не в состоянии охватить всего многообразия условий физи-
ческого процесса и, кроме того, весьма часто приводит к неразреши-
мым математическим уравнениям.
Основные процессы химической технологии протекают, главным
образом, вследствие движения вязких (сжимаемых и несжимаемых)
жидкостей, а также в результате теплообмена и диффузии, и при
моделировании их особое значение приобретает гидродинамическое,
тепловое и диффузионное подобие. Поэтому прежде чем перейти
к изложению теории подобия и метода анализа размерности, рас-
смотрим уравнения гидродинамики, теплообмена и диффузии.
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим неустановившееся движение жидкости, при котором
скорости и давления в каждой точке потока меняются с течением
времени.
Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный парал-
лелепипед с ребрами dx, dy и dz (рис. XIX-1).
Вследствие неразрывности потока, весь объем выделенного парал-
лелепипеда будет постоянно заполнен движущейся жидкостью.
При этом масса поступающей и выходящей из параллелепипеда сжи-
маемой жидкости в общем случае будет различна, что обусловлено
непостоянством величин скорости w и плотности р.
507
Через левую грань А, параллельную плоскости YOZ, жидкость
движется под влиянием составляющей скорости wx, параллельной
оси ОХ. Будем считать эту составляющую, а также плотность р
постоянными во всех точках этой грани и равными их значениям
в точке Ai
»>x=Fi (*, v. z, т)
Р = ^а (х, у, z, т)
В этот же момент времени для противоположной правой грани В
эти величины будут равны
. dwx j	, др ,
Wx + ^rdx'
Через площадку dy dz левой грани за единицу времени вытекает
количество жидкости, выраженное в единицах массы, равное!
dMXi = pwxdy dz
Масса жидкости, вытекающая через противоположную грань
за это время, будет;
<1МХг= £ри,л:+17 (Р®*)dy dz
Таким образом, приращение массы жидкости за единицу времени
в параллелепипеде, вызванное различием значений wx и р на левой
и правой его гранях, равно:
&МХ = (pivx) dx dy dz
508
Для направлений, перпендикулярных к осям OY и OZ, получим
аналогично выражения для &МИ и ДЛГ2.
Полное приращение массы жидкости в параллелепипеде за еди-
ницу времени будет равно:
А7И =	+	+	(Р«-г)] dx dy dz
При неразрывности потока изменение массы в объеме dx dy dz
вызвано изменением плотности жидкости в этом объеме. Следова-
тельно
ДМ = — 4^- dx dy dz
дх v
Приравнивая друг другу два полученных выражения для ДЛ/,
находим:
[1^ (pWx>++ ТГ	J dx dy dz = — 1ft dx dy dz
Поделив на dx dy dz и перенеся все члены в левую часть равенства,
получим:
д д	д	$
£ (р^ = °
(1)
Полученное уравнение носит название уравнения неразрывности,
или сплошности.
В частных случаях уравнение неразрывности принимает следу-
ющий вид:
1.	Для капельной жидкости (р = const)
дх ' ду ' dz
или в векторной форме:
div w = О
Отсюда следует, что при неразрывном движении жидкости объем
ее, втекающий в некоторую ограниченную часть пространства, равен
объему, вытекающему из него за это же время.
2.	Для однородного газа [р = F2 (т)]:
др dw* _]_ dWy _]_ ди>Д п
и+р Гаг+~дГ+~дГ) -0
или
+ р divi»=0
ОХ
609
3.	Для установившегося движения ^-^- = 0
(Р«-х) +	(Р^) + ~ (Р«Ъ) =°
или
div (ри>)=0
Из уравнения (1) при условии = 0 находим, что для данного
пространства в условиях установившегося движения жидкость не
изменяет своей массы, т. е. массы
втекающей и вытекающей жидкости
равны между собой.
Переходим к выводу уравнения движения, который основан на
известном законе механики: сила равна массе, умноженной на уско-
рение.
В любой точке движущегося потока должно иметь место равно-
весие сил, обусловливающих движение. Такими силами являются
сила тяжести, силы давления (перепад давления) и силы трения.
Выделим в жидкости, находящейся в движении, элементарный
параллелепипед с объемом dV и с ребрами dx, dy и dz.
Найдем проекции на ось ОХ (рис. XIX-2) силы тяжести, силы
давления и силы трения, действующих на этот элементарный объем.
Для силы тяжести, приложенной в центре тяжести элемента dV,
имеем:
gxP dV = gxP Лх dy dz	(2)
где gx — проекция ускорения силы тяжести (м/сек2) на ось ОХ.
Обозначим удельное давление жидкости р кГ/м2. Тогда сила
давления жидкости на верхнюю грань элемента будет равна р dy dz.
На нижнюю грань действует сила, равная
—	Лх^ dy dz
Здесь dx есть изменение гидростатического давления в направле-
нии оси ОХ по всей длине ребра dx. Эта сила действует против напра-
510
вления движения жидкости. Проекция равнодействующей сил да-
вления:
р dy dz — (p-\-^-dx\ dy dz =-^-dxdydz	(3)
\ OX J	ox
Действие силы трения рассмотрим вначале на примере движения
плоского ламинарного потока, в котором проекция скорости шх
аависит только от у. В этом случае сила трения возникает только
на боковых гранях элемента.
Направления и величины сил трения показаны на рис. XIX-3.
В сечении у имеем силу трения, равную —Sdx dz и направленную
против движения, так как скорость движения жидкости здесь меньше,
чем в самом элементе. В сечении у + dy сила трения равна
I У -7— dy \ dx dz
и направлена в сторону движения, поскольку в этом случае скорость
движения жидкости больше, чем в самом элементе.
Проекция равнодействующей этих сил будет:
)dS
dxdz — S dx dz = —— dxdy dz
dy
(4)
где S — сила трения на единицу поверхности.
Но по закону Ньютона S = ц , где р, — вязкость среды.
Подставляя это значение S в выражение (4) для проекции, полу-
чим:
dS	dzwx
— dV = p-—?-dV
dy	dyz
В общем случае, когда скорость шх изменяется во всех трех
направлениях, проекция силы трения на ось ОХ будет равна:
( dzivx , дги>х , dzivx \ ,,,	.	,,
где символ у2, называемый оператором Лапласа, обозначает сумму
вторых частных производных от проекции скорости на ось ОХ (см.
стр. 454).
Складывая проекции (2), (3) и (4'), получим проекцию на ось ОХ
равнодействующей всех сил, приложенных к объему dVi
Г др [ 0zu>x dzwx . dzwx
|_PS> — 5х+|А\, dxz "1“ ду* dzz	®
Эта равнодействующая равна произведению массы элемента dV
Dwx
на его ускорение 	:
Dwx ЛГ Г ди>х , д^х , divx , dWu "I
511
Символ называется полной, или субстанциональной, про-
изводной wx по т.
Эта производная расшифровывается следующим образом: скорость
изменения wx в данной точке характеризуется частной или местной
(локальной) производной wx по т
dwx	wx (М, т + Дт)— wx{M, т)
дх -	0	Ат
где М означает какую-либо постоянную геометрическую точку в про-
странстве.
Чтобы охарактеризовать изменение шх для данной частицы,
жидкости за промежуток времени Дт, следует за приращение wx
взять разность между значениями функции wx в момент т + Дт
в том положении частиц М’, в котором она находится в этот момент,
и значением функции и>х в момент т в начальном положении ее М.
Предел отношения этого приращения к Дт при Дт -> 0 и называется
субстанциональной производной.
Связь между частной и полной производными заключается в том,
что, когда мы составляем полную производную от функции
w (х, у, z, т), мы считаем х, у, z функциями от т, так как частица,
имевшая в момент т координаты х, у, z, за время Дт переместится
по некоторой кривой.
Рассматривая и> (х, у, z, т) как сложную функцию от т, получим:
Dwx	dwx .	dwx	dx	.	dwx dy	.	dwx	dz __
dx	dx '	dx	dx	'	dy dx	'	dz	dx
dwx	,	dwx	dwx ,	dwx
dx	'	dx	'	y dy r	dz
т. e. выражение, -стоящее в квадратных скобках формулы (6).
Сравнивая формулы (5) и (6), найдем:
dwx ,	( dwx , dwx dwx \
р---—+ р I wr-— + w„ -— A-w,-— ) =
р dt ' Р \	дх ' у dy	2 dz )
dp	I d2wx , d2wx , d2wx \
= P^-^+M	+	(7)
Аналогичным путем получаются уравнения для равнодейству-
ющих проекций сил на оси OY и OZ:
dWg I duly dWg dwg \
р_аГ+рГ* ~dT+Wy ~df +
_ „ _dp	I d*u>y d2wy d2wy
&y dy	\ dx2 ' dy2 ' dz2 )
dw, ,	/ dw, , dw, dw, \
p ~dT+p	~dT+w*-dT) =
dp ,	/ d2w, . d2w, . d2w, \
~Pez~~dz+il \~~dd2 । dy2' "1“ ~d^~)
(8)
(9)
512
Уравнения (7), (8) и (9) образуют систему дифференциальных
уравнений движения несжимаемой жидкости Навье — Стокса; эта
система справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного
движения.
Если |а постоянно, то уравнения (7), (8) и (9) можно заменить
одним векторным, а именно:
р — + р (u>, grad) iv—gp —gradp + p. v2u>
или
(А)
|^-+ grad) w = g— -i- gradp + v у2ш
где v — -у—коэффициент кинематической вязкости, м*]сёк.
Применяя к каждому члену уравнения (А) векторную операцию
«вихря», упростим это уравнение. Операция «вихрь» определяется
следующим образом (см. гл. XI): для любого вектора N".
\ дх ду )	'\ ду dz ) '\ dz дх J
где I, j и к—единичные векторы, направленные по осям коорди-
нат х, у, z.
Вследствие того, что в уравнении (A)g— постоянный	вектор,
имеем:
Далее:
rot g = О
_	др -* др + др 1
gradp = -z£- « + г + т~*
6 г дх 1 ду 1 dz
Произведя операцию «вихря» над grad р, получим:
*%.)*.. . . _о
6	\ ду дх ду дх ] г
g----grad р\
в уравнении (А) исключается; оно приобретает следующий вид: 1
rot rot (u>, grad) iv = у rot y2ta
Уравнения Навье — Стокса могут быть выведаны и для сжима-
емых жидкостей. Первое из этих уравнений (относящееся к оси ОХ)
имеет следующий вид:
f dwx , dwx , dwx X	dp ,
p
i .. Г1	i । dwz \ । d2tvx , d2ivx .. д2Фх
+ и [3 77 \	' dy ' dz ) * дх* “I dyi г Л2
(10)
33 Заиаз 1706
513
Подобные же уравнения имеют место для направлений OY и OZ.
Уравнение (7) для несжимаемой жидкости получается из уравне-
ния (10), если учесть, что при р == const уравнение неразрывности
будет:
dwx dwy
дх ' ду ' dz
К этим уравнениям присоединим еще уравнение теплового ба-
ланса.
Поступающее в рассматриваемый единичный объем тепло при
установившемся состоянии равно такому же количеству отходящего
тепла. К данному объему, так же как в уравнении (7), тепло под-
водится вследствие теплопроводности и с помощью материальных
частиц, протекающих через единичный объем при одновременном
его охлаждении. Если температура t этого объема не изменяется
со временем, то общее количество подведенного тепла должно рав-
няться нулю, и если учесть наличие источника тепла с интенсив-
ностью qi (ккал/м3), то мы придем к следующему уравнению:
/	dt dt \ . [ дч . дч .	\	....
где с — теплоемкость, у — плотность, X — теплопроводность.
В левой части уравнения (11) представлено количество тепла
в единичном объеме, которое используется для нагревания на dt
частиц, протекающих через параллелепипед с ребрами dx, dy, dz.
Это тепло покрывается за счет подвода тепла из окружающей
среды (первый член правой части уравнения) и за счет источника
тепла qt. Разделив обе части уравнения на су, получим
dt , dt , dt ( дЧ , дЧ . дЧ \ , q,
= + + (12>
или в векторной форме:
(u>, grad f) = « у2/ 4-
где а — коэффициент температуропроводности.
Уравнения (1), (7), (8), (9) и (12) образуют систему из пяти диф-
ференциальных уравнений с частными производными.
Эти уравнения совместно с граничными условиями полностью
описывают процесс движения вязкой жидкости.
Вблизи стенки поток является ламинарным, следовательно,
передача тепла происходит в результате теплопроводности, и по изве-
стному уравнению имеем:
d^~l(i)FdF
где dF поверхность теплообмена;
п — нормаль к dF‘,
514
—температурный градиент жидкости непосредственно
у стенки.
В такой же мере следует иметь в виду начальные условия, как,
например, распределение скорости и температуры в поперечном
сечении трубопровода у места входа.
Количество передаваемого тепла выражают обычно с помощью
коэффициента теплоотдачи а ккал/м2-ч> град. Пользуются следу-
ющей формулой Ньютона:
<2 = а — t0)Fz ккал	(14)
или
—=7 = а	—<Q) F ккал]ч
(14')
Несмотря на то, что коэффициент теплоотдачи а не входит в диф-
ференциальные уравнения (1)—(13), он все же является весьма полез-
ным в тепловых расчетах и постоянно применяется в практической
работе. Дифференцируя (14'), мы получим:
d9 = a (tp-t^dF^-k^-^-^dF	(15)
где tp — температура стенки;
t0 — температура жидкости.
Таким образом, имеем:
(16)
Эта зависимость позволяет коэффициент теплоотдачи а ввести
в систему дифференциальных уравнений для конвективной тепло-
передачи.
Так как температурный градиент в формуле (16) зависит
от температур стенки и жидкости и от толщины пограничного слоя,
т. е. от характера (режима) движения, то коэффициент а, следова-
тельно, зависит от всех тех величин, которые содержатся в уравне-
ниях (1)—(13).
§ 2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
Непреодолимые трудности, встретившиеся при решении многих
задач с помощью дифференциальных уравнений с частными производ-
ными, приведенных в § 1, заставили инженеров искать необхо-
димые решения экспериментальным путем.
По опытным данным, полученным на одном аппарате, делались
приближенные выводы о возможной работе другого, —- такого же,
но более крупного аппарата, что привело к идее моделирования
процессов и аппаратов, получившей свое выражение в теории
подобия.
33*	515.
Теория подобия — это учение о подобии явлений. В случае гео-
метрического подобия двух фигур отношение всех соответственных
размеров этих фигур постоянно. Треугольники подобны между собой,
если их соответственные углы равны, а сходственные стороны про-
порциональны, т. е. если
Здесь А — коэффициент пропорциональности или константа подо-
бия. Таким образом, условие (17) является математической форму-
лировкой геометрического подобия двух треугольников.
В двух кинематических системах будет иметь место кинемати-
ческое подобие, если их сходственные частицы передвигаются по гео-
метрически подобным путям в промежутки времени, отличающиеся
постоянным множителем, т. е. в этом случае мы можем говорить
о подобии движения, например, двух потоков жидкости. При дина-
мическом подобии многоугольники сил, построенные для пары сход-
ственных частиц, расположенных подобным образом в пространстве
и во времени, должны быть подобны, т. е. различаться лишь мас-
штабом.
Понятие подобия можно также распространить на тепловые
и физико-химические процессы.
Используя это понятие, можно решить многие практически важ-
ные задачи. Из геометрии известно, что, используя свойства подобия
треугольников, можно определить высоту башни или ширину реки,
не произведя непосредственных измерений их.
Для использования понятий о подобии необходимо найти условия
подобия рассматриваемых явлений. При этом возникают следующие
вопросы:
1.	Возможно ли известные опытные данные, например такие,
которые связаны с температурным полем, полученные путем изме-
рения в одном аппарате (на модели), перенести в точности на другой
аппарат (производственный)?
2.	Каковы условия, при которых допустим такой перенос или
пересчет?
3.	Как следует поступить, чтобы полученные во время опыта
на модели данные были правильно применены для производственного
аппарата?
Перенос опытных данных с модели на производственный аппарат
принципияльно возможен в таких случаях, где имеется подобие
обоих процессов. Разумеется, это подобие не должно ограничиваться
только геометрическими формами; все другие величины, которые
влияют, например, на теплопередачу, должны в модели и в про-
изводственном аппарате находиться в определенных отношениях
подобия.
Отыскание условий подобия производится следующим образом.
Мы сравниваем такие два случая, при которых потоки для всех
величин, встречающихся в уравнениях (1)—(16), подобны. .
51&
а)	Таковыми являются координаты х, у, z производственного
аппарата, которые относительно х', у', z' модели могут быть равно-
мерно увеличены.
Следовательно, мы сопоставляем потоки, которые проходят через
геометрически подобные тела или вокруг них. Тогда все отрезки
границ потока 1г, 12, 13, ... производственного аппарата, соответ-
ствующие Zj, Zj, Z3, ... модели, будут в определенной пропорции
увеличены:
х’ у’  z'   Г2 _____________________________________fl’
х ~~ у “ z — Zj — "7Г‘ I
(18)
Углы между соответствующими отрезками остаются неизмен-
ными.
При строгом соблюдении геометрических условий подобия, неров-
ности (шероховатости) поверхностей по форме и величине в произ-
водственном аппарате и в модели должны быть Подобны. Однако
практически это условие вряд ли может быть выполнено.
б)	Поле скоростей в производственном аппарате и модели должно
быть подобно. В соответственных точках с координатами х , у', z
и х, у, z отношение
(19)
должно быть одинаковым, и кроме того, направление соответству-
ющих скоростей для производственного аппарата и модели должно
быть одно и то же (равенство углов). Нельзя, следовательно, пы-
таться найти подобие между ламинарным и турбулентным потоками,
так как распределение скоростей в обоих потоках принципиально
различно.
Можно сравнивать только ламинарные потоки между собой
и турбулентные потоки между собой.
! в) Следующей важной величиной является температурный гра-
dt dt dt г,	е!	е!
диент — >	 (Распределение градиентов должно быть подоб-
ным, т. е.	dt’	dt’	dt’	
	dx’	dy’	dz’	
	dt	dt	~ dt ~ grad ‘	(20)
	dx	dy	dz	
Отсюда и из	(18) имеем:		
dt — ^gtad t dt — dt	(21)
где	
'Igrad t ^1— At	(22)
Интегрируя уравнение (21), получим:	
t’-t’0=At (t-t0)	(23)
ИЛИ	
Af t-t0	(24)
517
где температуры и to представляют произвольные постоянные
интегрирования для соответственных, но произвольно выбранных,
точек х'о, у'о, Zq и х0, у0, z0. В модели и производственном аппарате
температуры t’o и t0 могут быть выбраны, например, у входа в трубо-
провод или на большом расстоянии от стенки в зависимости от целе-
сообразности. В уравнение подобия температурных полей входят,
таким образом, не собственно температуры, а их разности по отно-
шению к температуре произвольно выбранной точки.
Из уравнений (18), (20) и (21) следует:
dt’
®Х   Af . ®Х  
dt	Al > d№t	Л2	’
дх	дх%
Во многих случаях имеет значение соблюдение подобия градиен-
тов концентраций в материальных потоках, проходящих через аппа-
раты. Условия подобия концентрационных и температурных гра-
диентов аналогичны.
г) Статическое давление входит в дифференциальные уравнения
др
в виде градиентов — и т. д.; по аналогии с температурным полем
можем написать условия подобия для поля давления:
д) Подобие полей физических свойств среды обусловливает сле-
дующие постоянные соотношения для всех соответственных точек
производственного аппарата и модели:
<3 II | о чГ II *8 II в|в	
”4* II зд II •ч* II	(27)
	
р	I1	
Следует отметить, что при выполнении условий подобия не все
масштабные множители (числа) (20)—(27) могут быть произвольно
выбраны; здесь после выбора некоторых немногих величин опре-
деляются остальные. Это становится ясным из следующего
примера.
Если увеличить скорость движения жидкости в трубопроводе
вдвое, т. е. если положить Aw = — = 2, то перепад давления р—р0,
вследствие трения, возрастает, как известно, пропорционально
квадрату скорости, т. е. 4„ = — —— = 4, и нам, очевидно, следует
Р—Ро
принять Ар = 4 и масштабный множитель Ао в данном случае опре-
деляется через подобие скоростных полей.
518
Пользуясь этими соображениями, прйходим к заключению, что
число независимых масштабных множителей по сравнению с при-
веденными в уравнениях (18)—(27) мощет существенно сократиться
в силу дополнительных условий.
Если две системы подобны, то отношение любых сходственных
величин в пределах каждой системы, характеризующих то или иное
ее состояние, является безразмерным и постоянным для обеих систем.
Пусть, например, физическое состояние одной из систем характе-
ризуется некоторыми величинами /?х, /?2 . . . а другой, подобной
ей, системы — величинами гх, г2, . . ., г„. Тогда условие подобия
требует равенства:
Лх _ п
Яг гг
Иначе говоря, отношения сходственных величин в одной системе
равно их отношениям в подобной системе. Эти постоянные безраз-
мерные отношения называются инвариантами подобия и обозна-
чаются символом I.
Инварианты подобия, являющиеся отношением простых одно-
о	I	о Pl
родных величин, например, линейных размеров^-, давлении
вязкостей —ит. п., называются симплексами подобия.
Инварианты подобия могут быть выражены и более сложными
безразмерными отношениями, составленными из нескольких простых
dwo
параметров, например —
В этом случае они называются критериями подобия. Критерии
подобия могут быть определяющими и неопределяющими.
Определяющими критериями являются такие, у которых вели-
чины заданы наперед условиями однозначности. Критерии, содержа-
щие искомую величину, называются неопределяющими. Выводы
и описание критериев подобия изложены ниже.
В основе теории подобия лежат три теоремы, которые формули-
руются следующим образом:
1-я теорема. Если физические процессы подобны друг другу,
то одноименные критерии подобия этих процессов имеют одинаковую
величину,
2-я теорема. Уравнения, описывающие физические процессы,
могут быть представлены в виде функциональной связи между кри-
териями подобия.
3-я теорема (теорема Кирпичева — Гухмана). Для того чтобы
физические процессы были подобны друг другу, необходимо и доста-
точно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы *, а их
одноименные определяющие критерии — численно одинаковы.
* Качественно одинаковыми называются таки : процессы, математическое
описание которых во всем совпадает, кроме содержащихся в них именован-
ных чисел.
519
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
ДЛЯ МОДЕЛИ
Дифференциальный уравнения теплообмена для модели мы напи-
шем в соответствии с уравнениями § 1 этой главы, причем все входя-
щие величины снабдим штрихами, в отличие от величин для про-
изводственного аппарата.
Полагая qt — ft = 0, получим (для оси ОХ')',
. 9(P'wy> . 5(рХ) n
р
i ди/х
w- ____—
х дх’
I-"'!/
9и>х
ду'
др’
дх’
, , дш'х \	, ,
, Г1 д {dw'x , 9и,у dw'}: дгшх । д^ш'х । дЪу’х ]
+ И [3 дх' \дх' ду' + dz'	aZ’ + ду'1 +17г']	( J
Подобные уравнения можно составить и для проекций на оси OY’
и OZ'. Аналогично уравнению (12) имеем:
(30)
(31)
В эти уравнения мы можем, согласно соотношениям (20)—(27),
подставить х' = Atx, w' = Aww, р' = Арр, где величины беэ штриха
относятся к производственному аппарату. Таким образом, получаем
из уравнения (28):
Г 9 (рЦ'х) I 9 (Р*М I д (ршг) ] _
Al L дх "Г ду "* dz ]~и
Из уравнения (29) следует:
АрА®,
~аГ
wx
dwx i
дх
\	. .	Ар ар
... ) = Л^-лГ^-+
р
I	.. Г 1	9 ( 9wx I	\ I д*и>х ,
"f" А» и L 3 ' дх К дх "Г • • ' J ^~д^	г • • •
(33)
Аналогичные уравнения получаются и для направлений OY и OZ.
Из уравнения (30) имеем:
, А( { dt ,	\ A.At	[ дч .	\
Aw At (Wxdx + • • • ) ~ ApApAgA» ( дх* + • • • )	(34)
Уравнение (31) дает:
Г—"I
Л/ tp —
(36)
520
Будем считать подобными только такие процессы, для которых
масштабные значения Ah Aw, As и т. д. таковы, что множители,
стоящие перед скобками в уравнениях (32)—(35), одинаковы, т. е.
А А
~аГ~
АрА&	Ап
-L---= A.Ag = -f- =
А[ Р * At
л At__________
w Ai AcA^AgAj
. A
(36)
(37)
(38)
Следовательно, если численные значения Az, Aw, Ар удовлетво-
ряют уравнениям (36)—(38), то в уравнениях (32)—(35) масштабные
множители могут быть сокращены и для модели остается система
дифференциальных уравнений, которые полностью идентичны урав-
нениям для производственного аппарата, а именно — уравнениям (1),
(7), (8), (10) и (12).
Следовательно, интегралы дифференциальных уравнений для
аппарата и модели также будут идентичны. Это означает, что только
в этом случае распространение потоков со скоростными и темпера-
турными полями на протяжении модели и производственного аппа-
рата осуществляется одинаково.
Отсюда вытекает следующее важное положение.
Подобными процессами теплообмена в установившемся состоянии
при отсутствии источников тепла являются только такие, у которых
масштабные множители удовлетворяют пяти уравнениям (36)—(38).
Таким образом, из числа масштабных множителей пять выра-
жаются через остальные при помощи уравнений (36)—(38).
Теперь представим уравнения (36)—(38) в более удобной форме —
в виде уравнений в критериях подобия.
§ 4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
Из уравнений (36), выведенных из уравнения гидродинамики,
имеем:
Ар Ац, А^Ащ
~^4Г = ~~АГ~
или
Ар Аш Ai
Подставив вместо Ар, Aw и т. д. их значения из уравнений (27),
получим:
owl p'w'l'	wl w'l'
—— = —— или  = ——	(39)
где v'— кинематическая вязкость.
Равенство комбинации ~ для модели и производственного аппа-
рата выражает, таким образом,необходимое условие подобия потоков.
521
Инвариант — называется критерием Рейнольдса и обозна-
чается Re:
Wl г,
------ Re
v
Из уравнений (36) также имеем
Ар
Ai ~~~АГ
откуда аналогично предыдущему:
Р —Ро _ р' —Ро
Р®2	р'и>’2
Этот критерий подобия назван именем Эйлера:
Z=£o. = Eu
ри>2
Из тех же уравнений (36) выбираем третье равенство:
(40)
Отсюда следует, что
Умножая на равенство
Р —Ро
Р
pgl2	p'g'l'
ЦШ	n'lv'
(39) и учитывая, что	получим:
g^3 _ Р' —Ро
V2	р'
g'i''
,2
V
где р0 — начальная плотность.
Этот критерий называется критерием Грасгофа:
P^L.< = Gr
р V2
В тех случаях, когда подъемная сила обусловливается разностью
температур, мы имеем:
£=Р»=Р(Г0-Г)
где р — коэффициент расширения.
В соответствии с этим
Gr=
Для идеальных газов р определяется из уравнения состояния
идеальных газов:
522
Таким образом
При использовании данных, полученных на модели, должны быть
удовлетворены для всех соответственных точек на модели и в про-
изводственном аппарате три условия
Re' = Re, Eu' = Ей и Gr' = Gr	(41)
или, иначе!
Re = idem,* Eu = idem, Gr = idem
Однако теория и практика показывают, что при однородных
потоках в модели и производственном аппарате устанавливаются
такие профили скоростей, которые подобны между собой. Поэтому,
для того, чтобы убедиться в подобии процессов, нет необходимости
проверять наличие условий (41) для всех сходственных точек. Если,
например, в трубопроводе вдоль его оси найдено, что Re0Cb = ReoCb
(где Re0Cb= ц’ос^-^ для производственного аппарата и модели, то
соответственно этому Re = idem также и для остальных точек сече-
ния потока. Однородными потоками называются такие, которые
имеют, например, турбулентный режим движения, подобные началь-
ные условия (профиль скоростей при входе в аппарат) и подобные
краевые условия. Последнее условие в отношении скорости движения
всегда выполняется по той причине, что скорости у стенки как в мо-
дели, так и в производственном аппарате всегда равны нулю, т. е.
Юст = 0 и юст = 0.
Остальные условия подобия — геометрическое подобие (включая
и шероховатость) и др., естественно, должны быть также выполнены.
Возникает вопрос: возможно ли вообще соблюдение условий подобия
и в положительном случае — при каких обстоятельствах.
Если, например, при протекании жидкости в трубопроводе (твер-
дые границы) появляются свободные, поверхности жидкости, то для
их учета было бы необходимо ввести дополнительные условия подо-
бия, определяемые физическими законами их образования. Это важно
например, в процессах выпарки с образованием пузырьков пара,
где число, форма и величина пузырьков в модели и в производствен-
ном аппарате, вообще, зависят скорее всего не от масштаба длины At
в выпарных аппаратах, а от давления, поверхностного натяжения
и т. д. Таким образом, при свободных поверхностях невозможно
одновременно выполнить все условия подобия. То же самое произой-
дет, когда свойства вещества, как, например, ц, р и др., не являются
постоянными, а изменяются с температурой вдоль потока.
Для потоков, где эти трудности не имеют места, число условий
подобия можно еще дополнительно сократить, исходя из следую-
щих соображений. Вдоль потока перепад статического давления,
* idem = то же самое.
523
определяемый из уравнения (40), Eu = -P , будет изменяться
вследствие: 1) превращения потенциальной энергии в кинетическую
(Р~Ро)ш» 2) трения (р—рв)тр и 3) изменения высоты столба жидко-
сти в промежутке между рассматриваемыми поперечными сече-
ниями (р—р0)п-
Первая часть перепада давления (р—p0)w прямо пропорцио-
нальна квадрату скорости, вследствие чего эта доля критерия Эйлера
при подобных полях давления и скорости для модели и производ-
ственного аппарата становится равной:
= (р'~р°)ц) = const
РИ’2	p'w'
Вторая часть перепада давления при турбулентном режиме, как
известно из гидравлики, составляет
(Р -Ро)тр = 4 •	= -J	(Re)
(42)
или
_(Р__.Ро)тр_ = I f (Re)
ри,2 d т '
и является функцией критерия Рейнольдса.
При ламинарном режиме имеем:
.	4idw 16и1и>
(Р-Ро)тр=-^- = —.
Умножив числитель и знаменатель на wp, получим:
(р- Ро)тр = 32 ~р«>2/л (Re)
(43)
или
(43')
(Р Ро)тр I
ри>2 =	<Re>
т. е. другую функцию критерия Рейнольдса.
При подобных потоках су=^-исйе = Re' и эта часть крите-
рия Эйлера оказывается равной для модели и производственного
аппарата.
Так как статическое давление само по себе в большинстве случаев
не оказывает существенного влияния на образование потока, то мы
можем пренебречь величиной (р—РоУн^ Это может быть сделано
применительно ко всем потокам несжимаемых жидкостей. То же
остается в силе и для газов при не очень большом повышении давле-
ния, так как сжатием вдоль потока (изменением плотности) можно
пренебречь. Из уравнений (42), (43) и (44) следует, таким образом,
что для таких подобных потоков условие Eu = idem неизбежно
выполняется, поскольку Re = idem. Условия подобия (41) сокра-
щаются тем самым до двух, а именно:
Re = idem и Gr = idem
524
§ 5. ТЕПЛОВОЕ ПОДОБИЕ
Чтобы сделать, аналогично предыдущему, дифференциальные
уравнения теплоотдачи для модели и производственного аппарата
идентичными, необходимо иметь равные коэффициенты в уравне-
нии (37):
_ А^А/
А/ ~~ АсА?АгА^
Отсюда следует:
wl	w'V
~~к~= X
cpg	Cp'g'
о	1
Заменив —
ср
через а (коэффициент
температуропроводности),
получим критерий подобия Пекле:
wl w Г „
— = —т- = Ре
а а
Таким образом, условием теплового подобия для модели и про-
изводственного аппарата является:
Ре = idem
В этом случае образуются подобные температурные поля до
стенки, при условии, что температуры стенки, как внешние условия,
включаются в то же температурное подобие. На это обстоятельство
указывает соотношение коэффициентов из уравнения (35):
. А
или
al а'Г
Это — так называемый критерий Нуссельта
», al
Nu = -—
Л
(44)
(45)
пользование которым весьма облегчает расчеты по теплопередаче.
Его численные значения для всех потоков с одинаковыми Re, Gr
и Ре равны между собой и зависят только от значений этих величин.
Следовательно, при геометрически подобных границах потоков:
Nu = f (Re, Gr, Ре)	(46)
Где / — неизвестная еще функция. Последняя, однако, может быть
определена опытным путем; при этом, согласно (46), для геометри-
чески подобных аппаратов только три величины оказывают влияние
на критерий Нуссельта, что представляет большое упрощение по
сравнению со множеством зйачений, характеризующих потоки
и среду.
525
Вместо критериев Re, Gr, Ре можно ввести и другие, которые
получаются в результате иного комбинирования уравнений (36),
(37) и (38).
Весьма удобным является критерий Прандтля, а именно:
wl
„Ре	a	v
Рг = -г;— == —— == —
Re	wl	а
v
Этот критерий содержит только физические константы веществ,
находящихся в движении, в то время как в критерии Re, Gr, Ре вхо-
дят также размеры аппарата и характеристика потока.
Следовательно, можно написать:
Nu= /о (Re, Gr, Pr)
где /о — другая, устанавливаемая опытным путем, функция.
Критерий Нуссельта зависит также и от геометрической формы
аппарата. В общем критерий Нуссельта связан также с величиной,
выражающей отношение длин За 10 принимается характерная
длина, например диаметр трубопровода, а за I — размеры границы
потока.
Вводя симплекс геометрического подобия , получаем:
го
Nu = /!	, Re, Ре, Gr)
(47)
ИЛИ
Nu=/20- , Re, Pr, Gr)
(48)
ИЛИ
, Nu = /3 (-J-, Ре, Pr, Gr)	(49)
Формулы (47), (48) и (49) выражают одну и ту же закономерность.
В практической работе предпочитают то уравнение, которое является
более удобным для расчета.
Часто искомой величиной служит коэффициент теплоотдачи а
от стенки к какой-либо среде. Из уравнений (45) и (48) находим:
a=TNu==T ^Gr’Re,Pr,Gr)
Приведенные выше уравнения действительны только в том случае^
если величины X, с, р, р. и др. по длине потока остаются постоян-
ными, так как только при этом обеспечивается постоянство масштаб-
ных множителей. Вследствие того, что температура влияет на р, %, р,,
строгое выполнение условий подобия бывает очень редко. Все же
влияние температуры не столь велико, особенно, когда при расчете
берут значения физических величин для средней температуры.
526
Для обобщения результатов опытов эти результаты обрабаты-
ваются так, чтобы можно было их выразить в критериях подобия.
Функциональная зависимость между этими критериями предста-
вляется в виде степенной функции, например:
Nu = CRe'!Prm
где С, тип — постоянные и отвлеченные числа. Такие зависимости
не могут быть найдены теоретически, — они определяются экспери-
ментально. Приемы нахождения такого рода зависимостей заклю-
чаются в следующем.
Допустим, например, что зависимость между Re и Nu выражается
уравнением:
Nu = CRe”
Изображая эту зависимость графически на логарифмической
сетке, получим прямую линию:
lg Nu = lg С -f- п lg Re
Для упрощения представим это уравнение в таком виде
Y=A + nX
обозначив lg Nu через Y, a lg С и lg Re, соответственно, через А
и X. Величина п есть тангенс угла наклона прямой к оси ОХ.
Nu
Из соотношения Nu = С Re" находим постоянную С =	.
Если точки, соответствующие экспериментальным данным, удо-
влетворяют этому уравнению, т. е. если все точки практически укла-
дываются на прямую, то сделанное предположение о стеиенной зави-
симости следует признать справедливым. Если вместо прямой полу-
чается кривая линия, то ее заменяют ломаной, и тогда применительно
к отдельным ее участкам значения С и п различны. Если, например,
при всяких прочих неизменных числах Pr, Gr, ~ в уравнении (48)
ч>
необходимо отыскать влияние на теплоотдачу числа Re, то, имея
в виду степенной вид функции, можно написать
Nu = CfcRen
где
Q=ciw(i)’
или, логарифмируя, имеем:
lg Nu = lg Ck-\-n lg Re
Это уравнение представляется в виде прямой линии в коорди-
натах lg Nu и lg Re. Построив зту прямую по результатам опытов,
находим числовые значения lg Ck и показатель п. Аналогично могут
быть найдены числовые значения т, г и q.
527
§ 6. ДИФФУЗИОННОЕ ПОДОБИЕ
Экспериментально установлено, что скорость диффузии компо-
нента А в неподвижном газе или жидкости выражается следующей
зависимостью:
Ga = —D grad сА	(50)
где Ga — скорость диффузии» или поток массы на единицу площади;
D — коэффициент диффузии;
сА — концентрация массы диффундирующего компонента А.
Для мольных соотношений будем иметь:
Na = —D grad СА	(51)
где Na — мольная скорость диффузии компонента А;
СА — мольная концентрация, т. е. число молей А на единицу
объема среды.
При идеальном газе зависимость между парциальным давлением
и мольной концентрацией представляется в таком виде:
Pa^caRt	(52)
Таким образом, для диффузии газа при постоянной температуре
получим:
кт	D ,
NA = -~Hf№&PA	(53)
Формулы (50), (51) и (53) справедливы в том случае, когда кон-
центрация диффундирующего компонента мала.
Рассматривая с точки зрения кинетической теории взаимную
диффузию двух газов А и В в направлении оси 2, получим:
1 дпА -
RA^nAw0 — у КА~ VA	(54)
где пА — мольная плотность газа А;
w0 — общая скорость газовой смеси в направлении оси z;
ЪА — средняя длина свободного пробега молекул А;
— средняя мольная скорость газа А.
Аналогично для В имеем:
дп& __
#в = nBwo — -3 Ч — vb	(55)
При постоянном общем давлении:
ПА —|— П д — COHSt —
или
828
Исключая w0 из (54) и (55) при использовании (56), найдем:
nBNA~nANB=—J (ПВКа"а + ПАКВ"В)	(57)
Для случая одинаковой и противоточной молекулярной диффузии
двух газов должны быть Na = —Nb и поэтому:
_	1 nB}~AVA^nA}~BVB дпА
А------------- —	(58)
Обозначив коэффициент диффузии
i nBKAvA + nAKsvB
з' «д + «в	( ’
получим для (58)
или в общем виде:
Na = — D grad пА	(60)
Последнее выражение идентично (51), так как мольная концен-
трация С а и мольная плотность пА равнозначны.
При диффузии газа А через неподвижный газ В имеем Nb — 0
и из (57) найдем:
„___1 nB^AvA^nA^BvB . дпА
А	3	пв	dz
ИЛИ
NA = ~ -£-Dg™&nA	(61)
В
rjifi коэффициент диффузии D определяется с помощью (59).
Выражение (61) может быть представлено в таком виде:
J^A = --~-DetadnA	(62)
к в
или
Р В
NA = -^-nfg^pA	(63)
где рв — парциальное давление неподвижного газа В;
р — общее давление газовой смеси, которое принимается по-
стоянным.
Если парциальное давление рА диффундирующего компонента А
мало и рв приближенно равно р, то (63) может быть заменено равен-
ством (53):
NA = - -p^g^PA
34 Заказ 1706
529
Для установившейся молекулярной диффузии в направлении
одной оси при конечном отрезке z из (51) после интегрирования
найдем
N °<СА-САг)
(64)
и аналогично из (53):
v _ D РА,~РА,
А~ RT z
(65)
Эти результаты для диффузии в жидкости и газр действительны,
как было указано выше, при условии, что концентрация или пар-
Рис. XIX-4.
меняться (62) или (63). Из (63) для
циальное давление диффун-
дирующего компонента малы.
Полученные выражения
аналогичны таковым для
одномерной теплопровод-
ности в твердых телах при
установившемся состоянии.
Однако для диффузии
в неподвижном слое со зна-
чительным парциальным да-
влением диффундирующего
компонента должны при-
одномерной диффузии имеем:
р D dPA
рв RT dz
(66)
При постоянном общем давлении рА рв = р, откуда
dPA dPB
-1Г=-----dT	(67)
Следовательно, уравнение (66) может быть записано так:
n	р D dPB
А рв ' RT ‘' dz
После интегрирования от рв, до рв, найдем:
na = pD
А RTz
i рВг
In-----
Рв,
Z
или
у = в . р
А RT рв
т
Рв, Рв, __ D . р _ РА,~РА,
z	RT рв	z
°т
(68)
где р Вт — средняя логарифмическая разность парциальных давле-
ний для неподвижного газа В.
Рассмотрим теперь объем V внутри жидкости, поверхность кото-
рого 5 (рис. XIX-4). Если массопередача компонента А имеет место
530
вследствие диффузии, то в любой точке на поверхности будет про-
исходить движение массы со скоростью GA на единицу площади
и в соответствии с уравнением (50) можем написать:
Ga == —D grad сА
где сА — концентрация или плотность вещества А.
Для скорости накопления вещества А внутри объема будем иметь
(см. гл. XI):
Интенсивность прохождения вещества А через поверхность за счет
конвекции при скорости w для жидкой массы в соответствии с фор-
мулой Остроградского — Гаусса (см. стр. 348) будет:
(j) cAw dS = J div (СдИ>) dV
8	V
Скорость выхода вещества А через поверхность за счет диффузии
составляет;
f Ga dS = f div Ga dV
s v
Подставляя значение GA из (50), получим для правой части по-
следнего равенства:
-\D^cA dV
При постоянстве массы диффундирующего компонента А мы
должны иметь
-Дг J СА ^Г.= — J div (cAw) dV + J D ^cA dV
V	v	V
или для бесконечно малого объема:
дсА	*
—+ div (eAw) =D^ca	(69)
Это уравнение подобно уравнению непрерывности (37) в гл. XI;
здесь имеется дополнительный член D\2cA, описывающий молеку-
лярную диффузию.
Выражение (69) может быть записано в таком виде (см.
стр. 511, 512):
£>сл	->
+ сА div w=D^ca	(70)
где символ DcaI(Lt по-прежнему есть полная, или субстанциональная,
производная сА по т, т. е.
DcA дсА -
34»
531
Если жидкость несжимаема и, следовательно, плотность жидкой
смеси постоянна, то div w = 0 и (70) примет следующий вид:
5с .
-^- + “'-Vca=-dV^a	(71)
Последнее равенство есть основное уравнение массопередачи
в потоке жидкости. При установившемся состоянии будем иметь:

(72)
При двух потоках с геометрически подобными границами мы
можем найти условия подобия массопередачи. Пусть W± — харак-
терная скорость, I — характерная длина и р — плотность жидкой
смеси.
По-прежнему введем безразмерные группы величин:
, IV	, X
W = -^ И т. д.; X' = — и т. д.
Ж1Т
Тогда (71) может быть представлено в безразмерном виде:
или
(73)
Для данных граничных условий решение (73) зависит только
от D/W^L.
Обратное отношение WyLID есть аналог критерия Рейнольдса
W1L/v. Этот критерий дает меру относительных величин массо-
передачи за счет конвекции й массопередачи посредством диффузии.
Отмечая справедливость равенства
Ж1Л WiL v
найдем, что условием полного подобия для движения жидкости и
массопередачи в двух случаях принудительной конвекции при гео-
метрически подобных границах является равенство чисел Рей-
нольдса и отношение v/D. Величина v/D известна под названием кри-
терия Шмидта Sc и является аналогом критерия Прандтля в тепло-
передаче. Подобно критерию Прандтля, он включает в себя только
величины физических свойств жидкости.
Обращаясь к (50), мы можем для массопередачи выделить мно-
житель GALlt) • Дед, где Дед — общая разность концентраций; для
532
Вольных отношений -NaLID-\Ca- Эти безразмерные группы вели-
чин аналогичны критерию Нуссельта в теплопередаче.
Из уравнений (7) и (73) мы можем заключить, что для массо-
передачи посредством принудительной конвекции в геометрически
подобных системах:
G.L N.L
-----=7 (Re, Sc)	(74)
Если по аналогии с теплопередачей примем для коэффициента
массопередачи
ga na
ад~^ ЬсА — ДСЛ
то безразмерные величины для коэффициента массопередачи в урав-
нении (74) могут быть написаны так:
•^ = 7 (Re, Sc)	(75>
Для диффузии газов в вычислениях обычно используют величину
парциального давления вместо значения концентрации. В этом
случае
na
а° *Ра
Для критерия Нуссельта получим:
a rLRT
-%-----= /(Re, Sc)
(76)
(77)
Еще одна комбинация параметров для массопередачи имеет
следующий вид:
ga _ na	aa
Wi  ЬсА Wi • ДСА	1У1
(78)
Эта безразмерная группа величин является аналогом критерия
Стантона в теплопередаче.
В соответствии с уравнением (74) мы можем написать:
= / (Re, Sc)	(79)
Для газообразных веществ будем иметь:
arRT
= 7 (Re, Sc) ' ‘	(80)
Критерий St выражает отношение действительной скорости
массопередачи при комбинированном процессе диффузии и конвек-
ции к потоку массы компонента А, распространяющегося в лами-
нарной струе, имеющей скорость Wv Критерий Нуссельта, с дру-
гой стороны, представляет отношение действительной скорости
533
массопередачи для данных условии к гипотетической скорости
массопередачи, имеющей место при чистой диффузии с концентра-
ционным grad \ca!L.
Экспериментальное изучение рассматриваемого здесь вопроса
с последующей обработкой результатов приводит к критериальным
формулам для массопередачи, приведенным в табл. XIX-1 с графиком
(рис. XIX-5).
Рис. XIX-5.
ТАБЛИЦА XIX-1
Кри- вая	Условия движения потока	X	У	Пределы Sc
1	Внутри труб .....	Re	af.P jD = -#-Sc2/3 = U	(jM = ^-Sc2/«	0,6—3000
2	Движение газов через пучок труб 		Re	arP iD=	SC-se U	'"M	0,6—2,6
3	Газовый поток, омыва- ющий	сферическое тело		Re - Sc2/s	aodp  IO*3 D	0,6—2,7
4	Движение газов парал- лельно плоским стен- кам 		Re	arP iD=-c— Sc	0,6—2,1
5	Движение жидкостей через насадку ....	Re/e	7D-1O*1 =	164—10 690
6	Движение газов через насадку . 		Re	2	о 3	II	/ %	£	"o co	2	co h|	q a,l Bp '"Bp II	II	0,6
534
Здесь jD—	безразмерный комплекс величин = / (Re,	Sc);
ах —	коэффициент	массопередачи	для моль/м2-ч-мол. доля;	жидкостей.
aG —	коэффициент массопередачи для газов, X (моль/ед. объема)',	молъ/м2 -ч X
аи ~	коэффициент массопередачи для газов, X (масса A/масса В);	молъ/м2 • ч У.
	диаметр частиц;	
Р —	давление;	
Gm —	скорость газа, кмолъ/м2 • ч;	
Lm—	скорость жидкости, кмолъ/м2-ч;	
е —	порозность насадки.	
§ 7. ДИФФУЗИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ.
УВЛАЖНЕНИЕ ВОЗДУХА
Определить скорость испарения воды из сосуда, установленного
в виде дна для газохода, через который проходит воздух со ско-
ростью 6 м/сек. Площадь поперечного сечения квадратного сосуда
0,09 л»2; температура поверхности воды 37,8° С. Температура воздуха
при 1 ат 60° С, парциальное давление водяных паров в воздухе
0.0315 ат. Средняя молекулярная масса воздуха 28,7. Плотность
воздуха:
28,7	273	„
W 273 + 60 == 1’°5 Кг/М
Вязкость воздуха:
Ц = 0,0195 спз или 0,07 кг/м-ч
Длина стенки сосуда Z = 0,3x.
Критерий Рейнольдса:
Ве =°'3 •63600 ^ 97 50Q
ц	0,07
Коэффициент диффузии D для паро-воздушной смеси при 25,9° С
составляет:
D =0,258 см2]сек
В пересчете на 60° С получим:
Д = 0,258 (	/2= 0,306 см2/сек или 0,11 л2 /ч
Критерий Шмидта:
Sc = -Ь- =	= 0.608
yD 1,05-0.11
Из рис. XIX-5 и табл. XIX-1 найдем (линия 4)
/л-0,0037-^^1 Sc1'-
/
535
причем
„ u>Y 6-3600-1,05 „пп . „
Gм =	=-------28д----= 790 кмоль/м2 ’4
Парциальное давление водяных паров на поверхность воды
при 37,8°С:
РА1 = 0,0475 ат
Парциальное давление водяных паров в газовом потоке:
PAG = 0,0315 ат
Парциальное давление воздуха на поверхности раздела фаз:
PBi = 1—0,0475 = 0,9525 ат
Парциальное давление воздуха в газовом потоке:
pBG = 1 —0,0315 = 0,9685 ат
Следовательно, среднее парциальное давление воздуха будет:
0,9685 + 0,9525 лт
Рв. ср =----2------=0,961 ат
Коэффициент массопередачи составляет:
0,0037GM	0,0037 • 790
а,г =-------— —----------г— = 4,18 кмоль/мг • ч • ат
PB.cpSc,/s 0,961-0,608 /з
Количество испаряющейся воды в соответствии с уравне-
нием (76):
ЛГА = aG '	~ 4,18 (0,0475 — 0,0315) = 0,67 кмоль/м*  ч
Скорость испарения воды:
L = 0,67 • 0,09 • 18,02 = 0,98 кг/ч
По опытным данным эта величина составляет 0,865.
§ 8. ДИФФУЗИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПОДОБИЯ
Опытным путем для скорости испарения воды с поверхности
влажных круглых дисков различных диаметров найдено следующее
выражение:
	= 3,3 • 10‘7 (ud)0,5e
Рд — Рь
где гр— скорость испарения, г в оды/см* -сек;
рд — давление водяных паров при температуре на поверхности
диска, мм рт. ст.',
рь — парциальное давление водяных паров в воздушном потоке,
мм рт. ст.',
и — скорость воздуха, см/сек;
d — диаметр диска, см.
536
Температура воздуха при атмосферном давлении была 25° С.
Преобразовать эту эмпирическую формулу к критериальному
виду, — приняв показатель степени для критерия Шмидта Sc рав-
2	с
ным ~д-, — с тем, чтобы сделать данное выражение полезным для
расчета скорости испарения других жидкостей с поверхности диска.
Имеем:
Рд — РЬ = АРат‘76О; w г НаО/с.м2 • сек = NA • 18,02 моль НаО/с.м2-сек
Таким образом, получим:
Кроме того
JVA = aG -Др
откуда
3,3 • 10~7 • 760	_ 1,39 • 10~5 (ad)0'56
18,02d	d
Далее из табл. XIX-1 найдем:
, __ ас^7срРв. ср а/,	1,39 • 10~5 (ud)0,56 Sc*Z“Д^срРв. ср _
1d~ иу с —
_ 1,39 • 10~5 Sc‘z*jtfCpPB- ср (у/и)0'44
у (duY/p)0’44
Для условий опыта при Мср = 29, р = 0,00018 па, Sc =0,60, у =
• =0,001186 а/сл®, рв. ср = 0,95 ат будем иметь:
г/	(	0 001186	\о,м
а М п	1,39 • 10~5 • 0,60/s-29-0,95
. __ас2ИсрРв. ср	\	0,00018	7
Ьс =“	0,001186Re°'44	“
_ 0,527
Re0'44
§ 9. ТЕПЛО-ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ СУШКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ГАЗОМ, ПРОХОДЯЩИМ ЧЕРЕЗ СЛОЙ МАТЕРИАЛА
Рассмотрим слой твердой массы, через который проходит газ
с влажностью Ух при скорости Gc кг сухого газа/ж2-ч. Максимальная
скорость сушки И^акс будет в том случае, если газ при выходе
из аппарата насыщен парами жидкости при температуре адиабат-
ного насыщения и имеет, следовательно, влажность Удн*
^накв=Сс(УоН-У1)	(81)
где W — количество испаряющейся вЛагй, кг влаги/л2-ч.
Обычно газ уходит с влажностью Уа, и скорость сушки в любой
момент времени будет:
f	(82)
537
Для бесконечно малого сечения слоя материала, где влажность
газа изменяется на dY и конечная его влажность составляет Y,
скорость сушки равна:
dW = GcdY = ауdS (YaH - Y)
(83)
где ay — коэффициент массопередачи в газовой фазе, кг испаря-
ющейся влаги/.м2-ч- ДУ;
5 — поверхность контакта фаз, м2/м2 поперечного сечения слоя
материала.
Обозначим через а поверхность фазового контакта на единицу
объема слоя материала, толщина которого zc', тогда получим:
dS = a dzc
Уравнение (83) примет следующий вид
У8	z
Г	dY f 4ya.dzc
J Yaii-Y
'1	0
(84)
(85)
откуда имеем:
In YaH — Yl _N_ aYaZc
11 V* V —	— Г»
1 aH — 1 2
где N — число ступеней массопередачи в газовой фазе рассматри-
ваемого слоя материала.
Средней движущей силой для процесса испарения влаги будет
средняя логарифмическая разность величин УаН — Уг и УаН — У2.
Сопоставляя уравнения (81), (82) и (86), получим:
W
^макс
YaH-Y2
YaH~Yi
= 1— е~N = 1 _e-“ya2c/G-:
(87)
Последнее равенство дает скорость сушки W при условии, если
<aya и N известны. Величина N установлена для следующих специаль-
ных случаев.
1. Сушка твердого материала без пор
Размер частиц от 2,00 до 0,075 мм, применительно к высоте
слоя материала z^> 11,5 лш. Для этого случая постоянная скорость
сушки определяется с‘ помощью уравнения (81). Выражение (87)
может быть использовано как для постоянной, так и для переменной
скорости сушки. Величина а изменяется с содержанием влаги, и по-
этому более удобно определять число ступеней сушки посредством
эмпирической формулы:
О 332 / drfi \0'218
<v— I —I	(Yv z \o,e«
~ 40,35 \ р )	\AYuaczc)
(88)
538
где dp — диаметр частиц, м;
Унас — насыпная плотность, кг сухого материала/.^3;
G — массовая скорость газа, кг газаЛм2-ч;
р, — вязкость газа, кг/м-ч;
X — содержание влаги в твердой массе;
dpGlp — критерий Рейнольдса.
Пример. Лепешка кристаллического осадка подвергается сушке
воздухом, проходящим через слой этого материала.
Частицы лепешки не обладают пористостью, их средний диаметр
0,203 мм. Вследствие нерастворимости осадка в воде равновесная
влажность его ничтожно мала. Толщина слоя осадка составляет
17,8 мм; унас материала 1360 кг сухой массыЛм3. Начальная влаж-
ность осадка 2,5%, а конечная 0,1%. Скорость прохождения
воздуха через слой материала 853 кг сухого воздуха/.^2-ч при 32,2° С
и 50%-ной влажности.
Определить время сушки.
Имеем:
=0,0256 кг воды/кг сухой массы
1 — 0,025
Х2 =	= 0,001001 кг воды/кг сухой массы
С помощью диаграммы I — d найдем
У1 = 0,0158 кг воды/кг сухого воздуха
4aH = 23,9sC
Yai{ = 0,0190 кг воды/кг сухого воздуха .
Для среднего значения потока воздуха имеем:
G = 853 + 853 О’01-58+-2’2190. = 86785 кг/м2 . ц
Применяя (81), получим:
^мака = 853 (0,0190—0,0158) = 2,74 кг испаряемой воды/л2 -ч
Вязкость воздуха при средней температуре J3|85^+32’2 = 28° С
составляет:
р = 0,018 спз или 0,0425 кг/м-ч
Таким образом, для критерия Рейнольдса имеем:
„ rlpG 0,000203 - 867,85	,л,
Re =-----=------------------ 4,14
р	0,0425	\
Используя (88), получим число ступеней сушки:
w 0,332 • 4,14°>216 • (X • 1360 - 0,0178)°-м	0 в)
0,000203°’35	-5УДЛ ’
Скорость сушки в соответствии с (87) будет:
1Г = 2,74 (l-e-59’^’’64)
539
Следующая таблица дает значения скорости сушки W (в кг
коды/м2 -ч) в зависимости от X (в кг воды/кг сухой твердой массы)
•соответственно последней формуле:
X
W
0,0256	0,02	0,015	0,010	0,008	0,006	0,004	0,002	0,001
2,722	2,720	2,680	2,605	2,560	2,438	2,240	1,830	1,360
Рис. XIX-6.
По этим табличным данным
на рис. XIX-6 изображена
кривая скорости сушки. Про-
должительность сушки опреде-
лится при нахождении пло-
щади под кривой, постр оенной
в координатах HW относи-
тельно X:
Величина площади под этой кривой составляет 0,0097. Так как
= 1360 • 0,0178 = 24,2 кг сухой твердой массы/.и 2
то время сушки составляет:
т = 24,2 • 0,0097 = 0,235 ч или —14 .мин
•	2. Сушка пористых тел
Размер частиц от 3,0 до 20,0 мм применительно к высоте слоя
материала от 10,0 до 65 мм.
Во время сушки при постоянной скорости газ уходит ненасыщен-
ным, и эта скорость процесса определяется посредством (87). Вели-
чина а у может быть найдена из формулы
cty = /pGc/Sc	(89)
причем /о, в свою очередь, вычисляется с помощью кривых на
рис. XIX-5. Величина поверхности контакта фаз может быть прирав-
нена величине поверхности частиц. При сушке твердых тел возду-
хом критерий Шмидта Sc = 0,6.
Пример. Гранулы влажного пористого катализатора, имеющие
форму цилиндров диаметром 13,45 мм и высотой 12,85 мм, подвер-
гаются сушке в аппарате при пропускании воздуха через слой
материала. Катализатор в слое высотой 50,8 мм, считая на сухой
остаток, расположен на ситчатых противнях. Скорость прохождения
воздуха равна 3900 кг сухого воздуха/м2 -ч при 82° С, влажность воз-
духа 0,01 кг воды/кг сухого воздуха. Насыпная плотность катализа-
тора 605 кг сухого материала/^3, а поверхность его частиц составляет
282 м2!м2 слоя катализатора.
540
Определить скорость сушки, а также влажность и тзмпературу
воздуха при выходе из аппарата в течение периода постоянной ско-
рости сушки.
Имеем:
Yi = 0,01 кг воды/кг сухого воздуха
Из диаграммы I—d находим влажность воздуха в состоянии
насыщения
YaH = 0,031 кг воды/кг сухого воздуха
при соответствующей температуре адиабатного насыщения:
;аН = 32,2?С
Средняя скорость воздуха:
С=3900 + 3,900 O'O1+°’.O1L. = 3978 кг/м2. ч
Средняя вязкость воздуха:
|х = 0,019 спз или 0,0685 кг/м-ч
Поверхность частицы катализатора:
/ = 0,785 • 0.013452 -2+3,14 • 0,01345 • 0,01285 = 0,00083 м2
Диаметр сферической частицы с такой же поверхностью соста-
вляет:
,	0,00083 nn.oo
d= I/ ------= 0,0163 м
V л
Найдем число Рейнольдса:
„ dPG 0,0163 - 3978	...
Re= —=	0,0685'	=945
Кривая б на рис. XIX-5 дает:
/д = 0,06
Критерий Шмидта Sc для системы воздух — водяной пар:
Sc = 0,6
Используя (89), получим:
0,06 - 3900	. .v
av =----Г. — 330 кг воды/м2.4-&Y
Y 0,6/з
Число ступеней сушки равно:
330-282-0,0508
Gc	3900	-1,21
Максимальная скорость сушки в соответствии с (81):
1¥мака = Gt (¥яН—¥i) = 3900 (0,031 — 0,01) = 82 кг воды/л« . ч
541
Применяя (87), получим
откуда:
И7 = 57,5 кг испаряемой воды/л2»ч
Влажность воздуха при выходе из сушилки:
И2 = 0,0162 кг воды/.кг сухого воздуха
С помощью диаграммы I — d определяем температуру выходя-
щего из аппарата воздуха:
t = 66,5s С
Так” как
=yczc = 605 • 0,0508 = 30,8 кг сухой твердой массы ]л&
то из уравнения материального баланса имеем для скорости сушки:
dX гт А 57,5	, о	,
---5—= ГГ	= ——- = 1,87 кг воды/кг сухого катализатора • ч
§ 10. ПОВЕРХНОСТНОЕ ИСПАРЕНИЕ ВЛАГИ ПРИ НЕПОДВИЖНОМ
ВОЗДУХЕ
Слой воды с поверхностью 1 Х1 л2 находится в соприкоснове-
нии с воздухом при температуре 21,1° С и относительной влажности
50%. Температура поверхности воды составляет 32,2° С.
Определим количество воды, испаряющейся в 1 ч с квадратного
метра ее поверхности, считая воздух неподвижным. Молекулярные
массы воздуха и воды принимаются, соответственно, равными 29 и 18.
Давление равно 1 am.
Для воздуха при 21,1° С и 50%-ной относительной влажности
Рводы = 0,0126 кГ/см2
Рвозд = 1,033—0,0126 = 1,02 кГ/см2
для воздуха при 32,2° С в состоянии насыщения
Рводы = 0,0485 кГ/см2
Рвозд = 1,033—0,0485 = 0,985 кГ/см2
Значения для плотности, вязкости, теплопроводности :i гепло-
емкости воздуха возьмем при средней температуре 26,6° С:
у= 1,185 кГ/м3 или р = 0,1205 кг.сек2!лА
|х = 0,0655 кг/м-ч или 18,6• 10"7 кг/м. сек
X = 0,022 ккал/м • ч • град
С? — 0,24 ккал/кг -град
542
Для критериев Грасгоффа и Нуссельта в данном случае имеем:
gl3 / ymf
Gr = —Z- -----
V2 \yms
где ymf и tms обозначают плотности смеси, соответственно, над поверх-
ностью и у самой поверхности жидкости
Nu= Ф (Gr - Рг)
причем на основе опытных данных можно принять
Nu = 0,75 (Gr - Рг)*Ч
Подставляя соответствующие величины, получим:
9,81 • /з / 29 • 305,2
ЬГ / 18,6-10-7 X 2 \ 29-294,1
0,43 • 108/з
и
„	0,24-18,6-IO-’-3600-9,81	'
Рг - — ------------------= 0.71.
0,022	’
Таким образом
Nu=0,75 (0,43 • 10®/3 • 0,71)*7 ‘ = 56,2/ >7‘
Коэффициент теплопередачи а равен:
а = 56,2/3 71 •	ккалград
I
Используем для влагообмена (массопередачи) следующее выра-
жение
а..I	,,	,,
—=0,75 (Gr) 7‘(Sc) 7‘
где D — коэффициент диффузии;
Sc — критерий Шмидта.
Разделив критериальное уравнение массопередачи на крите-
риальное уравнение для теплообмена, получим:
ам/
D _ /Sc у/а	(	Y7<-7 K Yz<
al ~\Pr) ~~ \ СpHf>D ) ~ \ CppD J
v
Решая для ам, найдем:
_ aD / X Y/x
ам~—
После подстановки значения а будем иметь:
а 1-24Р ( * Yz<
ам~
543
Для коэффициента диффузии D из таблиц имеем:
£> = 0,0992 м^/ч
Тогда
_ 1,24-0,0922 /	0,022	\'/«	16,3	.
“м /‘/«-0,022 \ 0,24-1,185-0,0922 )	~1*1* М/Ч
Здесь имеем случай диффузии одного газа — водяного пара —
в газовую среду, т. е. воздух, где действительна такая зависимость
для массы испаряющейся воды:
N = аМ ( ДТРср ) (PAI — РАг)
При подстановке числовых значений получим:
„ _ 16,3 • 1,033 (0,0485 — 0,0126) • 10 000	0,0246 кмо ль
l->-.820.W(^+W) "	- «
Так как 1 = 1 м, то величина массопередачи составит
А = 0.0246 • 18 <=> 0,443 кг/м* - ч
§11, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ РЕАКЦИОННОЙ СМЕСИ В ПАРОВОЙ ФАЗЕ.
ПРИГОТОВЛЕНИЕ ВОЗДУШНО-ПАРОВОЙ СМЕСИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО
ПАРОФАЗНОГО КАТАЛИТИЧЕСКОГО ОКИСЛЕНИЯ ТОЛУОЛА
При проектировании опытной установки для исследования про-
цесса, включающего в себя парофазное каталитическое окисление
толуола, предусматривается возможность непрерывного пригото-
вления смеси толуола с воздухом, содержащей 5 мол. % толуола
при 32,2° С и 1 ат. Производительность аппарата по воздуху 111 кг!ч.
Способ приготовления смеси состоит в адиабатном охлаждении воз-
духа испаряемым толуолом в башне, наполненной насадочными седло-
видными телами, размером 37,5 мм. Определить размеры насадоч-
ной части аппарата.
Молекулярные массы, соответственно, воздуха и толуола соста-
вляют 29 и 92,1. При 5%-ной концентрации толуола в смеси содер-
жание толуола на 1 кг воздуха У' равно:
v,__5	92,1	кг толуола
*	95	29	’ кг воздуха
Кроме того, имеем:
*Gt = 32,22C, Св = 0,24 ккал/кг-град, С _д = 0,30 ккал/кг .град
Теплосодержание смеси:
С= 0,24 + 0,30 • 0,1675 = 0,29 ккал/кг • град
Имеем:
tG, - taa4 = (Пая - Y't)	= 32,2 - /иач = Г на, - 0,1675)
544
Значения tHa, и Уаач определяем методом подбора; последние
составляют:
tHa4 = 31,22 С и
^нач = 0,170
кг толуола
кг воздуха
Теплота парообразования толуола при температуре насыщения
А,нач = 102 ккал!кг. Для чистого воздуха
у;=о
получим:
«щ-31,2 = (0,1700-0)-^
Таким образом, температура, до которой поступающий в аппарат
воздух должен быть нагрет, составляет:
tr =103,5° С
tri	’
Температура циркулирующего толуола 1нач = 31,2° G.
Учитывая, что наименьший диаметр башни принимают мысленно
равным восьмикратному размеру насадки, получим:
D = 37,5 • 8 == 300 мл- 0,3 м
Площадь поперечного сечения башни
/’ = 0,785-0,32=0,073 ^2
и
111	,_9Л кг воздуха
Gs ~ w - 1520 ——
Удельный объем воздуха:
у _ 22,4 г+ 273 1 _ 22,4 ЮЗ.5 + 273	л»3
H1 М 273 Р 29	273	’ кг воздуха
Скорость потока воздуха:
1520-1,07	,
W=—ой™— — 0,452 м/сек
Пользуясь эмпирической формулой для коэффициента массо-
передачи применительно к системе воздух — вода, получим для
максимальной плотности орошения 33 200 кг/м2-ч:
kYa = O,5G's<>’asL'o’ts = 0,5 • 15 200,39 • 33 200°’48 = 13 НО кг толуол а/.и3 • ч ДУ'
Для других паро-воздушных систем значение ДГ изменяется
обратно пропорционально величине критерия Шмидта в степени 0,5.
Критерий Шмидта для системы воздух — вода составляет Sc = 0,60,
а для системы воздух — толуол Sc = 2,0. Следовательно, имеем;
/06 \°’5
/суа = 13100(	= 7210 кг/м2 . ч • ДУ'
Кроме того
2 3031g	°’1700 -0	= ^-
,l5 й 0,1700-0,1675	1520
35 Заказ 1708
545
откуда высота слоя насадки:
Z—0,9 м
Общая высота башни должна включать в себя дополнительно
0,150 м для распыления жидкости, 0,150 м для насадки над распы-
лителем, улавливающей частицы жидкости (брызги) из газа, и
0,300 м для пространства под решеткой, поддерживающей насадку.
Таким образом, высота башни составляет 1,5 м.
§ 12.	ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПРОТОЧНОЙ ЭКСТРАКЦИИ
Процесс экстрагирования — процесс диффузионный. Движущей
силой диффузии является разность концентраций растворенного
вещества в соприкасающихся слоях жидкости; вследствие этого
растворенное вещество перемещается в сторону меньшей концен-
трации.
В экстракционных процессах диффузии почти неизменно сопут-
ствует движение либо жидкости — растворителя, либо экстрагиру-
емой массы, или той и другой. Эти факторы влияют существенным
образом на процесс экстрагирования. Поэтому уравнение диффузии
оказывается недостаточным для характеристики экстрагирования
в проточной системе. В нашем случае имеет место движение жидко-
сти — растворителя.
Дифференциальное уравнение для диффузии в движущейся среде
имеет вид:
П ( д2с I д2с I д2° А	дс , дс I dC	tnn\
(90)
где с — концентрация вещества в растворе;
D — коэффициент диффузии.
Это уравнение описывает распределение концентрации в движу-
щейся среде и аналогично дифференциальному уравнению конвектив-
ной теплопередачи.
Так как, кроме концентрации, переменной является еще ско-
рость, то уравнение (90) должно рассматриваться в совокупности
с дифференциальными уравнениями движения жидкости и неразрыв-
ности (сплошности) потока при экстрагировании.
Уравнение движения в данном случае (жидкость несжимаемая)
имеет вид:
dwx ,	/ dwx dwx , dw-, \
P—+	+	) =
dp /	, d%wx d^w,, \
— Pgj:-"ax ( d& Jr~dy^")r dz2 )
При установившемся движении = 0.
Для вывода уравнения неразрывности применительно к проточной
экстракции примем следующие обозначения:
с — концентрация извлекаемого вещества в жидкости, кг/л3;
z — содержание извлекаемого вещества в обрабатываемой массе,
кг/.м3;
546
V — количество проходящей через аппарат жидкости, м3/м2-ч;
т — объем жидкости на единицу площади сечения аппарата и на
погонный метр длины (или высоты) аппарата, м3/м2-м',
п — объем обрабатываемой массы в том же выражении, м3/м2~м.
Обозначим через dx бесконечно малое приращение пути х, про-
ходимого потоком вдоль аппарата за время Дт. Рассмотрим часть
аппарата между точками х и х 4- dx.
Через с обозначим среднее значение с в течение времени Дт.
Тогда -сУДт представляет собой поступающее через сечение
в точке х за время Дт количество извлекаемого вещества и с 4- de
равно среднему значению с в точке х X dx в течение времени Дт.
Отсюда (с 4- <2с)УДх равно количеству извлекаемого вещества,
выходящего через сечение в точке х 4- dx за время Дт.
В результате вычитания находим, что увеличение количества
извлекаемого вещества в пределах пространства между сечениями
в точках х и х 4- dx за промежуток времени Дт составляет — УйсДт.
Допустим, что с' — среднее значение концентрации с в пределах
пространства, соответствующего отрезку пути dx к моменту т.
Тогда тс'dx выражает количество извлекаемого вещества, содер-
жащегося в жидкости в этом пространстве к моменту т.
Пусть z' равно среднему значению концентрации z для обрабаты-
ваемой массы в пространстве, соответствующем отрезку dx к мо-
менту т.
Тогда nz'dx равно количеству извлекаемого вещества, содержа-
щегося в обрабатываемой массе для этого пространства к моменту
времени т.
Ко времени т 4 Ат величина с' становится равной с' X Дс' и z*
принимает значение z' 4* &z'  Поэтому выражение
[т (с' 4- Дс')-|-п (z' Дз')] dx
представляет собой общее количество извлекаемого вещества ко вре-
мени т 4* Дт.
Следовательно
[т (с' 4- Дс') -|-п (z' 4- Д2')] dx— (тс' -|-nz') dx — [m № -|-п Дз'] dx
есть увеличение количества извлекаемого вещества за промежуток
времени Дт.
Приравнивая вновь полученное выражение первоначальному,
ПОЛУЧИМ;
V de Дт-|-т Дс' dx-}-n Дз' dx = 0
Разделим это уравнение на йжДт и каждый из этих множителей
устремим к нулю. После предельного перехода найдем окончательно!
Т7 де , дс , dz
-г—+ « —= 0	(92)
дх дх дх	' '
Это уравнение и есть уравнение неразрывности (или сплошности)
для рассматриваемого здесь процесса проточного экстрагирования.
547
35*
Таким образом, мы имеем систему из трех дифференциальных
уравнений, описывающих процесс проточного экстрагирования.
Для одномерного движения эти уравнения будут:
дс	д2с
w---=D-----—
дх	дх2
(93)
dw	др , d2w
(94)
TZ дс I дс 1 dz	п
V —----h т —----pa — =0
дх дх дх
(95)
Совместное решение этих уравнений даст искомую формулу для
описания процесса проточного экстрагирования. Введем масштаб-
ные множители в соответствии с теорией подобия:
х' л . Ш' л х' л V' л
х 1 w w' т х v v
дс' . ‘ дс _	. дс* t дс __ .
дх' ' дх grad С*’ дх' ' дх gra<^
dz' dz ____	dw' dw ____
’ar7': IT STadz’ ~dT':~dT~ eradw
Из этих уравнений имеем:
дх'
de = Лgraj с%  de — -^grad сх^1 de ~	de
de = -^grad с т qx de ~ -^4grad de ~	de
Далее:
дх'
dz = Agra(^ zdz = Agra(^ ZAX dz = Az dz
dx'
dw = -<4grad w qx dw — -^grad w^l dw =	dw
Из уравнений (17) —(20) получаем:
дс'		д2с'	
дх'	- А° .	дх'3	Ас
дс	А1 ’	д2с	А1
дх		дх2	
дс'		dz'	
дх'	•<4С	дх'	Аг
дс	Лт >	dz	
дх		дх	
dw'		d2w'	
дх'		дх>г	_ А&х
dw	>	d2w	А1
дх		дх2	
548
Дифференциальные уравнения диффузии для модели напишем
в соответствии с уравнениями (93)—(95), причем входящие сюда
величины, в отличие от величин для производственного аппарата,
снабдим штрихами:
D'^
dx'
др' , d^w'
дх' дх'2
, de
iv ---
дх
, divf ,	, ,
w ~д^р-рg
дс , дс dz
И	—к- т ——г 4- п —~т — О
дх дх дх
В эти уравнения
шениям, подставить
мы можем, согласно вышеприведенным соотно-
х' = Ар-, w' = Aww; т‘
= Лтт; с' = Асс
z = Azz- р' = Лрр; т’ = Атт; п' — Апп; D' = A&D
где величины без штриха относятся к производственному аппарату.
Таким образом, для модели получаем из уравнения (93):
. А. дс . Ас dAc
~Ai"dx~ A°D ’ ~drf
Уравнение (94) дает:
Awx dw	. ,	А с <70 , . Awx g2u;
AwW~AT''dx ApP=A?PAS^ — ~X7'	"Д2 ft#
Из уравнения (95) имеем:
. т, Ас дс , , Ае дс A, dz
А v v	‘ 17+А тП ~а; ‘ 1?+АпП ~а; ' jr=0
<7 0
По аналогии с теплопередачей можем написать выражение для
коэффициента экстракции аэк
дс'
'	г,’ дх>
a™ = ~D -yzze
c co
тогда:
D
с —с0
_ ada,
я«экаэк- А/А(
Принимая во внимание только такие процессы, для которых зна-
чения масштабных множителей перед производными можно было бы
сократить, мы получим:
л Ас _ AdAc
w Ai ' Aj
. Awx .	, , Ap . AWX
Aw~aT A?=AeAs
(96)
(97)
549
. Ад .	. Ay
Av~Ar==Am'A^An~A^
4 =4
“ЭК Al
08)
(99)
Следовательно, если масштабные множители удовлетворяют соот-
ношениям (96)—(99), то в дифференциальных уравнениях эти мно-
жители могут быть сокращены и для модели остается система диффе-
ренциальных уравнений, которые полностью идентичны уравнениям
производственного аппарата.
Представим соотношения (96)—(99) в более удобной форме.
Из (96) имеем!
	А[
Отсюда следует	wl	w'l' ~D ТГ
т. е. имеем аналог критерия подобия Пекле:
Из (97):	ре =-р-
ИЛИ	Л^А^ А]	А, Ас
Из (98) получаем:	wlp	io'1'р'	„ —— =	— = Re ц	и.
ИЛИ	Д		 Д Al m А Vt V'x' _ 	= —;— = Ф, ml ml
Критерий подобия рителя. Далее!	Фх характеризует кратность обмена раство-
или	. Ас   АпАг V Al	Д Vex	V'e'x’ —;— = rr-r- = Ф, nlz	n l z	a
550
Критерий подобия Ф2 характеризует степень экстрагирования.
Имеем также:
или
тс т'с' А
----------------------------_=ф
nz п Z °
Критерий подобия Ф3 характеризует коэффициент распределения
растворенного вещества между двумя фазами.
Далее
или
«ЭК^  «ЭК* __________________________ пт /
D D'
т. е. получаем аналог критерия Нуссельта. Его численные значения
для всех потоков с одинаковыми Re, Pez и др. равны между собой
и зависят только от значений этих величин.
Следовательно, при геометрически подобной границе потоков:
Nu' = /0(Re, Ре', Фх, Ф2 Ф3)
где /о — функция, устанавливаемая экспериментально.
Вместо критерия Ре можно ввести и другой, который получается
в результате иного комбинирования уравнений (96)—(99). Весьма
удобным является аналог'критерия Рг', а именно:
и>1
, Ре'	D	v
Рг —----= ----= —
Re	wl	D
v
где v — кинематическая вязкость.
Этот критерий содержит в себе только физико-химические постоян-
ные вещества, находящегося в движении.
Тогда уравнение проточной экстракции можно написать так:
Nu' = f (Re, Рг', Фь Ф2, Ф3)
где / — другая функция.
Искомой величиной служит коэффициент экстракции аэк на по-
верхности раздела фаз:
Nu'£>
«эк— t
где аэк — коэффициент экстракции, м3/м2-ч-м/ч',
I — характерный линейный размер, м;
D — коэффициент диффузии, №/«.
Зависимость между критериями подобия обычно представляется
в виде степенных функций; в данном случае имеем:
Nu' = i|>Rea • Рг'ь • Ф£. Ф% . Фе3
где ф, a, b,c, d и е являются постоянными и отвлеченными числами,
определяемыми экспериментально.
551
§ 13. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОХИМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В ТОНКОМ СЛОЕ
Рассмотрим процесс диазотирования; для успешного, его проведе-
ния требуется ускоренный отвод тепла от реакционной массы и не-
прерывное удаление из сферы реакции образующихся продуктов.
Эти условия могут быть выполнены при наличии максимально раз-
витой поверхности теплообмена и аппарата непрерывного действия.
Для осуществления этих условий исходные вещества, как, напри-
мер, анилин, соляная кислота и раствор нитрита натрия непрерывно
подаются в два кольцевых канала 1 и 2, расположенные один над
другим (рис. XIX-7); к ним присоединены патрубки 6 и 7. Из этих
каналов потоки распределяются по радиальным канавкам (лоткам) 3.
Аппарат снабжен рубашкой 4 с патрубками 5 для охлаждения реак-
ционной массы водой или рассолом.
Процесс диазотирования протекает по мере движения реакцион-
ной массы по канавке (лотку) в тонком слое.
В данном случае имеем процесс теплопередачи в сочетании с хи-
мической реакцией или же химическую реакцию, протекающую
в тонком слое при одновременной теплопередаче. Количество тепла,
отводимого от реакционной массы, примем пропорциональным гра-
диенту концентрации вновь образующегося продукта и тепловому
эффекту реакции (тепловыделению).
Рассмотрим в реакционной массе две единичные площадки, парал-
лельные дну лотка и расположенные на расстояниях h и h -f- dh
от уровня реакционного слоя. Количество тепла, выделяющегося
через эти площадки за время dx, будет:
? =	Q' = q
где q — тепловой эффект реакции, ккал • м3/кг • ч;
с — концентрация вновь образующегося вещества, кг/м3;
— концентрационный градиент, кг/м-м3.
Если рассмотреть элементарный столбик реакционной массы,
основания которого совпадают с упомянутыми выше единичными
площадками, то количество тепла, выделяющегося из этого объема
за время dx, будет равно:
Q'-Q-id (^dx=^dhdx
То же количество тепла, очевидно, пропорционально количеству
образующегося в этом объеме вещества, т. е. пропорционально de dh.
Из дифференциального уравнения скорости химической реакции
-±- = Л(4-С) (Д-с)
552
(где к — константа скорости реакции, м3/кг-ч-,
А и В — концентрации исходных продуктов, кг/м3) следует:
de dh = к (Л —с) (В — с) dh dx
Отсюда находим:
(Рс
аод~Ш^^к ^А~с'> (в—с)
где а о — тепло-диффузионный коэффициент пропорциональности
кг‘М2[ккал'М3.
553
Последнее уравнение можно представить в виде:
_ к
dh2 aoq
В результате мы получили дифференциальное уравнение второго
порядка, устанавливающее функциональную зависимость между h
и с.
Данный процесс характеризуется, кроме того, уравнением тепло-
проводности в движущейся среде [см. формулу (12), стр. 514]:
dt
a -^~7, = w——
дх2 dx
где а—— — коэффициент температуропроводности жидкости, м2/ч.
На границе жидкой пленки и стенки аппарата имеет место тепло-
отдача. Поэтому на основании формулы (16) имеем:
а = —X
t-t0
где a — коэффициент теплоотдачи от реакционной массы к стенке,
ккал/м2 - ч-град;
— температурный градиент;
dt
dh
t0 — температура стенки, °C;
t — температура жидкости, °C.
При диазотировании в тонком слое режим движения жидкости
в радиальных канавках (лотках) может быть ламинарным или вол-
новым.
В том и другом случае уравнение одномерного движения имеет
вид [см. формулу (7)1:
dw	др , d2w
" лГр=рг-^+р^г
В итоге получим следующие дифференциальные уравнения,
описывающие термохимический процесс диазотирования в тонком слое
«Ре к
d2t dt
'г	а dxi~W dx
dw	dp , d2w
“’•«7P=pp—+p те
(100)
(101)
(102)
и условие на границе:

(103)
554
Совместное исследование этих уравнений методами подобия дает
критериальное уравнение тепло- (или термо-) кинетики непрерыв-
ного процесса диазотирования в тонком слое и, вообще, физико-
химических процессов, протекающих в подвижных слоях или плен-
ках жидкости.
Вводя масштабные множители, получим следующие критериаль-
ные зависимости (§ 12)
(I)
(П)
^- = Не
М-
pgx __	1
Р Fr-Eu
причем критерий Фруда характеризует силу тяжести, а критерий
Эйлера — перепад давления.
Далее имеем:
wh >
---= Ре
«0
(III)
и
(IV)
АЛ2
----= Di	(
а0?
где к — постоянная, характеризующая скорость реакции, ч—1;
h — толщина слоя реакционной массы, м;
а0 — тепло-диффузионный коэффициент пропорциональности,
кг • м?
-------5- = кг ккал • м;
ккал• м3
q — тепловой эффект реакции, ккал'М3/кг -ч.
Критерий Di характеризует реакционнопроводность взаимодей-
ствующей среды, отнесенную к количеству тепла, отводимого с 1 л2
поверхности теплообмена в час, при протекании процесса в движу-
щемся слое жидкости.
Наконец:
,т «А
Na = —
При геометрически подобной границе потоков:
Nu = f0 [Re (Fr> Eu), Ре'. Di]
где /0 — функция, устанавливаемая экспериментально.
Критерий Ре' можно заменить более удобным критерием Прандтля:
о > Ре'
Рг=^=—
Re
Тогда получим:
Nu = f [Re (Fr- Eu), Рг'. Di]
Приводя критериальную зависимость к степенной функции,
находим:
Nu = i|>Rem (Fr-En)«Pr' rDi2
где ф, тп, п, г, z — постоянные и отвлеченные числа, устанавлива-
емые экспериментально.
555
Искомой величиной является коэффициент теплоотдачи а на
поверхности раздела жидкости и внутренней стенки рубашки:
Этот процесс с целью определения расхода v должен быть рас-
смотрен дополнительно с гидродинамической точки зрения. Мы имеем
здесь установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой
несжимаемой жидкости при наличии одной твердой плоской стенки
и одной свободной границы, причем вторая жидкость — газ на сво-
бодной поверхности имеет сравнительно малую плотность.
В теории динамики вязкой несжимаемой жидкости доказывается,
что в этом случае на свободной поверхности раздела нормальная
составляющая напряжения должна быть равна постоянному давле-
нию, а касательная составляющая должна обращаться в нуль.
Таким образом, вдоль свободной границы давление не будет зависеть
от х, т. е.
-^-=0	(104)
дх
Следовательно, здесь перепада давления вдоль течения не может
быть и само течение может происходить при наклоне твердой стенки
к горизонту, т. е. под действием силы тяжести. Для решения задачи
обратимся к уравнениям (7) и (8) данной главы, а также (38), выве-
денному в главе XI.
Так как траектории всех частиц строго прямолинейны и парал-
лельны между собой, то имеем:
wy = 0, w2 - 0	(105)
При этом предположении из уравнения неразрывности:
ди>х
дх
(106)
Таким образом, единственная проекция вектора скорости и вдоль
всей траектории будет оставаться постоянной и может изменяться
только в поперечном к траекториям направлении.
С учетом (105) и (106) дифференциальные уравнения движения
жидкости упростятся:
+ । ^=0
р дх “ V ду* ~ dz2 )
— . ЁР-
Р ’ ду
___др
р d
(107)
556
Обозначим угол наклона твердой стенки (дна) к горизонту через а
и выберем ось х параллельно направлению стенки (рис. XIX-8).
Так как проекция силы тяжести на ось х будет равна
gx = gsina
то первое уравнение (107) при учете (104) и предположении, что
скорость wx не зависит от координаты z, представится в виде:
d?Wx
dy2
g .
—— sin a
v
(108)
В силу условия прилипания имеем
wx = 0 при у = 0
(109)
и так как на свободной границе сила
вязкости на единицу площади должна
обращаться в нуль, то соответственное
граничное условие для скорости будет
представляться в виде:
= 0 при y = h (НО)

Рис. XIX-8.
Общее решение дифференциального уравнения (108) имеет вид
(см. гл. V):
wx=—	sin «г/2 + ?1У + с2
На основании граничных условий (109) и (110) получим:
gh 
ci = -2— sin a
V
C2 = 2
Таким образом, решение рассматриваемой задачи будет предста-
вляться в виде:
«’x=-^-sina(2yft—№)	(111)
Максимальная скорость имеет место на свободной границе:
Расход v равен:
h
C	j 1 gh3 .
v = \ wx dy = ----------sin a
J	O	V
0
(112)
(ИЗ)
§ 14. КИНЕТИКА ИОННОГО ОБМЕНА
В ионообменной колонне протекают в основном три процесса,
а именно: проточная экстракция, реакция обменного разложения,
сопровождающегося диффузией, и фильтрование, т. е. движение
жидкости через слой ионита.
gh2 .
^макс----2v~ S1D a
557
Будем исходить из основных положений о кинетике химических
реакций для случая двух противоположно направленных реакций
второго порядка (см. гл. Ш). Уравнение скорости реакции в этом
случае будет [формула (65), гл. Ш1;
— d ^dx^'^ к (с°° ~~ сНе +Р)dx=dx
или
d (с Ах)
----
где к—постоянная величина, характеризующая природу реакции;
/(с) = (сО0 — с)(с+Р); р = соо+-^.
Количество вещества, вступающего в реакцию ионного обмена
в элементарном объеме за время dx, составит;
\
g = —d (с dx) = kj (с) dx dx
Составляя материальный баланс таким же образом, как для
диффузии, сопровождающейся химической реакцией (см. гл. X),
получим уравнение:
~D-i dx+D [(£)+<* G£)] dx-kw dxdx=°
где D — коэффициент диффузии.
Упрощая, придем к дифференциальному уравнению второго
порядка;
Как и для проточной экстракции (см. стр. 546), имеем дополни-
тельные дифференциальные уравнения, описывающие процесс ион-
ного обмена в колонне:
dtc de
D~difl~W lx
dw	dp , tPw
T7 de	de , dz
F-s~ + 'ra-3-+n-T-=0
dx	dx dx
de
Применим метод масштабных множителей для приведения диффе-
ренциального уравнения ионного обмена [формула (114)1 к крите-
риальному виду;
с' = Асс; х' = Ари; к' = А^к; D' — A&D
558
Таким образом, для модели из дифференциального уравнения
получаем:
Асс d2c А^к • Acf (с)
~Af"dx2 Т^Б
или
J__ Лк
AD
Отсюда находим
кР
~D
k'l'2
D'
т. e. критерий, характеризующий реакцию обменного разложения,
сопровождающуюся диффузией.
Обозначим критерий ионного обмена через U0, тогда
Следовательно, критериальное уравнение рассматриваемого здесь
процесса, вытекающее из представленных выше дифференциальных
уравнений, принимает следующий вид:
Nu = i|>Rea-Pr6-OJ(115)
где ф, а, Ъ, с, d, е, h — постоянные и отвлеченные числа, устанавли-
ваемые экспериментально.
§ 15. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИОНООБМЕННЫХ ФИЛЬТРОВ
Соображения, приведенные в § 14, могут быть использованы для
моделирования ионообменных фильтров. С этой целью рассмотрим
ионообменную реакцию:
NaCl-ЬКат [Н]	Кат [Na]+ НС1
Так как степень завершенности процесса ионного обмена предста-
вляет собой заданную максимально возможную величину, то кри-
терий подобия Ф3 может быть опущен в экспериментальных иссле-
дованиях.
Дополнительно к предыдущим приняты следующие обозначения:
w — фиктивная скорость жидкости, м!сек\
I — конечная высота слоя ионита, м;
у — кинематический коэффициент вязкости раствора, м2/сек;
р. —динамический коэффициент вязкости раствора, кг/м^сек',
V —объем раствора, профильтрованного до «проскока», ма/м2-сек}
с — концентрация извлекаемого вещества в жидкости, кг/м3',
z —содержание извлекаемого вещества в твердой массе, кг/м3',
т — объем жидкости на единицу сечения фильтра и на 1 м высоты
аппарата, мэ/м2’м;
559
п — объем ионита на единицу сечения фильтра и на 1 м высоты
аппарата, м3/м2  м;
а — коэффициент массопередачи, м3/м2-сек или м!сек‘,
d — диаметр фильтра, м;
D — коэффициент диффузии, №/сек;
т — время, сек;
ур — плотность раствора, кг/лг3;
уист — истинная плотность катионита КУ-2, кг/л*3;
унас — насыпная плотность катионита КУ-2, кг/л*3;
GK — масса катионита, кг;
Ун к — объем набухшего катионита с раствором, л3.
Коэффициент массообмена а, входящий в критерий Нуссельта,
определяется по формуле:
G
а~ F  Дет
где G — количество поглощенного вещества, кг;
F — поверхность зерен катионита, .и2;
Д® — средняя движущая сила ионообменного процесса;
т — время фильтрования, сек.
Значения Д® вычисляются по формуле:
2,3031g "п—
«о —г
где г — динамическая емкость до «проскока» для единицы объема
катионита, кг/лл3;
а о — статическая емкость, отвечающая состоянию равновесия,
отнесенная к единице объема катионита, кг/м2.
Значения вычисленных критериев подобия представлены
в табл. XIX-2.
Зависимость (115) может быть найдена путем обработки экспери-
ментальных данных.
Определение коэффициента а. Используя экспериментальные
значения критерия Nu при переменных величинах Re, получим:
lgNu = lgC+algRe
Изобразим зависимость между Re и Nu графически на логарифми-
ческой сетке (рис. XIX-9); значение показателя степени равно:
а = 0,92
Определение коэффициента Ь. Определяем экспериментально Nu
при переменных значениях Рг. Имеем:
lg Nu = lg C2 + d 1g Рг
Из графика на рис. XIX-10 найдем:
С =—2,90
560
Рис. XIX-11.
36 Заказ 1706
ТАБЛИЦА XIX-2
№№ п/п	W	G-104	£)• 10?»	Р.-104	У-103	с	Z	ТР	До	
	г	г	«10?	fe*10®	Re	Рг	Nu	Ф1	Фз	Uo
0,025 н. NaC1
1	0,0013	4,28	2,3	1,8	967	0,575	18,5	1000	15,8		14 500	18,8	78	4,2	10	5100	3,04	18,6	0,220	2 440
2	0,0033	3,78	2,3	1,8	870	0,575	16,4	1000	17,3		5150	16,7	180	11,1	25	5100	7,05	16,8	0,248	6 270
3	0,0066	3,38	2,3	1,8	780	0,575	14,6	1000	18,5		2 250	14,8	346	17,2	50	5100	13,6	15,1	0,280	10 500
4	0,0099	3,18	2,3	1,8	750	0,575	13,8	1000	19,1		1500	14	472	22.3	75	5100	18,5	14,5	0,295	12 500
									0,05 н.		NaCl									
5	0,0013	4,20	2,7	1,19	440	1,15	18,3	1000	15,8		6750	18,5	166	7,38	10	4350	5,52	8,7	0,256	3520
6	0,0033	3,43	2,7	1,19	390	1,15	14,8	1000	17,5		2320	15,1	360	17,2	25	4350	12,0	7,5	0,318	8220
7	0,0066	3,34	2,7	1,19	360	1,15	14,5	1000	18,4		1100	14,7	715	34,4	50	4350	23,6	6,9	0,322	16 800
8	0,0099	3,18	2,7	1,19	356	1,15	13,8	1000	19,1		720	14,0	975	47,5	75	4350	32,7	6,8	0,340	22 600
									0.1 н.		NaCl									
9	0,0013	4,1	3,2	1,2	230	2,3	17,8	1002	16		3450	18,1	321	12,4	10	3680	9,04	4,4	0,530	5 000
10	0,0033	3,4	3,2	1,2	189	2,3	14,8	1002	18,4		980	15	870	31,8	25	3680	22,0	3,6	0,640	12 800
11	0,0066	3,1	3,2	1,2	186	2,3	13,5	1002	19,2		520	13,7	1350	58,3	50	3680	38,0	3,5	0,700	23 400
12	0,0099	2.94	3,2	1,2	160	2,3	12,8	1002	19,7		320	13,0	1980	123,0	75	3680	55,5	3,0	0,740	49 500
0,2 н.	NaG1
13	0,0013	3,5	3,9	1,21	110	4,6	15,2	1006	17.5		1460	15,4	586	34,0	10	3060	13,5	2,4	1,27	11300
14	0.0033	2,97	3,9	1,21	90	4,6	12,9	1006	19,7		510	13,0	1268	72,0	25	3060	29,6	1,7	1,50	24 000
15	0,0066	2,97	3,9	1,21	83	4,6	12,9	1006	19,7		250	13,1	2560	134,0	50	3060	59,4	1,6	1,50	44 500
16	0.0099	2,72	39	1,21	82	4,6	1,18	1006	20,4		170	11,9	3320	17,2	75	3060	77,0	1,5	1,64	5 700
Примечание. F = 2,36 ж*/кг; Z=0,36 ж, Тист=1400 кг/м»; г „ = 800 кг/лг3; а0=	26,8^Ke/«s; GK= 10• 10-3 кг; d-9-10 3 л«| Уи к= 23-10“° jk3; т-2,28; п-0,56.
*1СГ	HqC	г	v	х
36*
563
562
Определение коэффициента с. Определяем экспериментально Nu
при переменных значениях Фх. Производя аналогичные построения,
найдем из графика на
рис. XIХ-11:
с = —6,20
Определение коэффициента d.
Из графика на рис. XIX-12
находим:
d = 5,40
Определение коэффициента h.
Определяем Nu при перемен-
ных значениях критерия ион-
ного обмена Uo. Пользуясь
графиком на рис. XIX-13, по-
лучим:
h = l
Таким образом, критери-
Uo альное уравнение процесса
ионного обмена между раство-
Nu = ip
ром хлористого натрия и смо-
лой имеет следующий вид:
Полученное уравнение позволяет определить характер и степень
влияния переменных факторов на данный процесс ионного обмена
и, следовательно, установить рациональный режим работы фильтра.
§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ВЕЛИЧИН В КРИТЕРИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Определение функций и показателей степени в критериальных
уравнениях покажем на примере абсорбции.
Частные коэффициенты скорости абсорбции для газовой и жидкой
фаз даются следующими критериальными уравнениями:
Kr = h Ве*Рг* У м/сек
К,„ = Re® PrP f -у-У м/сек
в
Уравнение для общего коэффициента абсорбции, выраженного
кг/мг -ч-мм рт. ст., имеет вид:
К =
1
______________1______________+______________I_____________
f, A.Re*prZ (1 V 3600М	р /3600g
d	22,4-760	2 d НжРлЧ/г/ 760
564
или
-----------1------------1-------------i----------
0,211/1-^RerftPr^^-)mM 4,73/a -^f-R^PrP (4)" H
где /i и /2— искомые величины;
к, I, т, п, р, q — показатели степени критериев подобия;
М — молекулярная масса поглощаемого газа;
Н—константа Генри, кг!м2-ат-,
Rer — число Рейнольдса для газа (Rer = —)•
Иеж— число Рейнольдса для жидкости (Re>K =-^— )•
Ргг —число Прандтля для газа
Ргж —число Прандтля для жидкости (Ргж = ^-)-
Dr—коэффициент диффузии для газа, м2]сек',
Dx — коэффициент диффузии в жидкой фазе, л2/сек;
d — эквивалентный диаметр насадки, м;
h—высота элемента насадки, .и;
vr — кинематическая вязкость газовой фазы, м2/сек-,
vx — кинематическая вязкость жидкости, м*/сек.
Определение коэффициента к. Определяем экспериментально
общие коэффициенты скорости абсорбции К при переменном значе-
нии Rer.
1
Для Reri находим Ki = —д----—
» Rer
Г2
» Rer
Re*
Г2
1
Кж
где
0,211/i-^Pr' М
1
Имеем три уравнения с тремя неизвестными: А, к, При со-
вместном решении этих уравнений находим, что к определяется из
уравнения;
а =
Rt4
Rer.
1
1
Лз
56^
Величина:
J 1
Л = —^1—
2_____1_
Re* Re*
Il	1 2
И
1 _ 1______А_
Кж Ki Re*
Г]
Определение коэффициента т. Определяем К при переменных
d
значениях -г.
h
Вследствие того, что А зависит от , мы должны для каждого
из значений найти А из трех значений К.
Предположим, что и соответствует Аг и А%.
Получаем:
7)_ I / г \
0,211/1 -5^ РгН 4-) м
d г \ h /1
Л2 =---;—-— ----у-------
0,211/1 Рг/ (4V м
d \ h
Составляя отношение -Л, логарифмируя и определяя из ПОЛу-
^а
ченного при зтом уравнения т, найдем:
Определение коэффициента I. В данном случае К определяется
при переменных значениях Рг, которые могут быть получены путем
испытания какого-либо другого газа. Однако при этом изменяются
не только Рг, но также М и Dr. Значение А зависит от Ргг, поэтому
необходимо для различных газов установить А из трех значений К.
Предположим, что для одного газа, для которого известны Ргг, Drl,
Mlt найдено Alt а для другого газа, для которого известны Ргг2,
Z)r2, М2, найдено Л2.
Таким образом
Л1=___________________
ыг , / л \т
0,211/1 -f-РгЦу) Mi
Dr / d \'п
0,211/1—р- Pd (-=-) м2
d г» \ h J
566
откуда
I A Mj Dr,
, g A2 M2 Dri
Prr
12——
g Ptr.
Определение коэффициента fv Если l и m известны, то значе-
ние функции /г легко определяется из уравнения:
(А \ т
т) м
где А — среднее значение этой величины (поскольку коэффициенты
к, I, т вычислены по нескольким значениям 4).
Определение коэффициента п. Величина К находится при пере-
менных значениях Йеж, т. е. при изменении плотности орошения.
Имеем:
для	Веж<	^1=—j------£-
*	Ж1
для	КеЖ2	К2 — -
Re”
для	ИеЖг	К^—--J—j-
Иеж
1	Жз
где
____________________________________1__________
4,83f2 2f-Ргж (4У В
Показатель степени п, при решении этих уравнений, опреде-
ляется из соотношения
(а« —1) = г (1—Р«)
где
1	1
К1_____Кг
1	1
К2	Кз
567
Величина!
1 1
„ Kl к2
Е=—i-------Г~
Нв", Не"2
1 _ 1	Е
Кг Ki	Re«f
Определение коэффициента q. При переменных значениях у-
находим К и определяем значения Е.
. Пользуясь вышеуказанным способом, получим:
1g
___ Д2
ig-T-
/г2
Определение показателя степени р. Переменной величиной здесь
является Ргж. При этом одновременно с РгЖ) который изменяется
при пользовании другим газом, изменяются Рж и Н.
Следовательно
E^H^D^
р Рг
lg —
g РГ»,
Определение функции /2. При наличии известных показателей
степени р и q эта функция определяется так:
4,73РжРгР НЕ
Пример. В трубе диаметром 32 мм с переменной высотой от 320
до 1280 мм при стекании воды по внутренней поверхности аппарата
создавалась пленка. Процесс абсорбции М. Д. Кузнецовым изучался
применительно к NH3, SO2 и НС1 в смеси с воздухом.
Использованы следующие физические константы.
Коэффициенты диффузии в воздухе:
£>NHs = 17,3- Ю-6 -«2/сек
£>нс1= И,8 • 10-е мг/сек
^so2 ~ 8-9 • Ю-® м^/сек
Коэффициенты диффузии в воде:
^nh3 = 7’3,10’6 м2/сек
Z>HCI = 9,73- 10-е м^/сек
Z>S02 = 5,4 • IO-® м2/сек
568
Константы Генри:
^NHs ~ ^2® кг/^з • ат
^НС1= 721 кг/ Л1З. ат
ЯцОг = 105 кг /Л13 • ат
Кинематическая вязкость воздуха:
Твозд = 22,5  IO'8 м2/сек
Кинематическая вязкость воды:
Тводы = 3,6 * 10 з № /ч
Применив вышеприведенную математическую обработку к опыт-
ным данным, М. Д. Кузнецов получил:
к = 0,752;	7 = 0,628; т = 0,066; А = 0,0445
п=0,324; р=0,165;	0,503; /2=471.
Используя эти величины, находим:
ЛГг = 0,0445 -^-Re?’75?PrO’62 ^-^-У’°вв м/сек
И
D™	, r ! d X о,5ОЗ
Л'ж = 471 Re^324Pro,ie5	м/сек
§ 17. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ
Многие процессы, встречающиеся на практике, бывают настолько
сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифферен-
циальными уравнениями. В таких случаях весьма ценным математи-
ческим приемом для выявления соотношения между переменными
величинами служит анализ размерности. Этот метод анализа процес-
сов не дает полных сведений о соотношении между переменными,
которое, в конечном итоге, должно быть выявлено экспериментально.
Тем не менее этот метод позволяет значительно сократить объем
экспериментальных работ.
Таким образом, эффективное использование метода анализа раз-
мерности возможно только при комбинировании его с эксперимен-
том; причем должны быть известны все факторы или переменные
величины, влияющие на исследуемый процесс.
Анализ размерности дает логическое распределение величин
по безразмерным группам.
В общем виде функциональная зависимость N может быть пред-
ставлена так
N = t(u>. L. р, и, g,p,.. .)
или
А = / (п1; п2, п3, . , nk)	(116)
569
Сюда входят, включая и величину N, (к -|- 1) величин. Они могут
быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными.
Однако в данном случае требуется, чтобы для численных величин,
входящих в уравнение, характеризующее физическое явление, была
принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблю-
дении этого условия уравнение остается справедливым при произ-
вольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные
единицы должны быть независимыми по своим размерностям,
а число их таким, чтобы имелась возможность представить через них
размерности всех других величин, входящих в функциональную
зависимость (116).
Такими единицами измерения могут быть какие-либо три вели-
чины, входящие в уравнение (116) и являющиеся независимыми друг
от друга в отношении размерности. Приняв, например, за единицы
измерения длину L и скорость ш, мы тем самым имеем заданными
единицу длины L и единицу времени Т —	. Таким образом, для
третьей единицы измерения нельзя принимать какую-либо величину,
размерность которой содержит лишь длину и время, как, например,
ускорение, так как единица этой величины уже является заданной
в результате выбора единицы длины и скорости. Следовательно,
дополнительно должна быть выбрана какая-либо величина, в раз-
мерность которой входит масса, например, плотность, вязкость,
сила и т. п.
На практике, например, при гидравлических исследованиях,
оказывается целесообразным принять следующие три единицы изме-
рения; скорость и>0 какой-либо частицы потока; какую-либо длину,
например, диаметр трубопровода D или его длину L; плотность р0
выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
[w0] = м/сек; [Z] = м и [р] = вГ • сев2/л1*
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии
с уравнением (116) может быть представлено в следующем виде:
[Л = коР [ЬоР [PoF; [«d - [«’of1 [L0]yi [p0]2f
Значения величин Nt и nt, взятых в системе основных единиц
(метр, секунда, кГ-сила), можно выразить безразмерными числами:
„ N	- _ nt
"Ж ’
Следовательно, вместо уравнения (116) можно написать уравне-
ние, в котором все величины выражены в относительных единицах
(по отношению к ш0, Lo и р0):
N Л	п2	nk \
«’?Ш k ’ u’Wp.2’ ’ ’ ‘
570
Так как пх, п2, п3 представляют собой, соответственно, w0, Lo
и р0, то первые три члена уравнения превращаются в три единицы
и функциональная зависимость принимает вид:
я = / (1, 1, 1, я4, я5, яв, . . . , яй)
Итак, функциональная зависимость в общем случае между к -|- 1
размерными величинами N и п{ (w, L, р, ц, g, . . .) выражается как
соотношение между (к -|- 1 — 3) величинами ли я( (I = 4, 5, . . . к),
каждая из которых есть безразмерная степенная комбинация вели-
чин, входящих в функциональную зависимость.
Эта теорема называется л-теоремой; она позволяет при исследо-
вании определить связь не между самими переменными, а между
некоторыми, составленными по определенным законам безразмер-
ными их отношениями.
Безразмерные числа л носят характер критериев подобия, как это
видно из следующего примера.
Пример. Функциональную зависимость для силы сопротивле-
ния Т кГ, которую испытывает пластина при обтекании ее жидкостью
в направлении ее длины, можно представить в виде:
T = f (jv, S, р, р, g, p, , 6° )
Требуется определить эту зависимость в критериях подобия.
Основные единицы:
iv — скорость обтекания;
S — площадь пластины;
р — плотность жидкости.
Величина есть отношение высоты пластины к ее длине, 0° —
угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины 4- и 0° безразмерны, остальные шесть —
размерны; три из них: ш, S и р приняты за основные. В соответ-
ствии с л-теоремой здесь возможны только три безразмерных
соотношения. Следовательно
я = / ( 1,1, 1, я4, яБ, я6,	, 0° )
или
Т	. Р-	g	Р	а 0о\
u?xSvpz \ wXtSv'pz' * u>x‘SV2pZ! * u>X3SVspz’ ’ L ’	)
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя,
найдем показатели степеней
[7’1 = [ivx S« рг]
или
кГ= (м/сек)х (м2)У (кГ • сек2 /мА)’
571
откуда
1 = з (показатели слева и справа при к Г)
0 = г + 2// — 4з (показатели при метрах)
0=—я+2z (показатели при секундах)
решение этих уравнений дает:
z= 1; х = 1; у — 1
Аналогично получим:
zi = l; Ж1 = Г и //1 = 0,5
з2 = 0; xz = 2 и yz = — 0,5
зз = 1; гз = 2 и £/3 = 0
Отсюда имеем:
Т	ц	g Vs р
w2Sp	wpy s	w2 pw2
Очевидно, значения л4 и лв являются критериями Рейнольдса
и Эйлера. Величина лБ представляет собой критерий Фруда:
учитывающий влияние сил тяжести. Обычно в качестве критерия
Фруда принимают более удобную для расчетов обратную величину:
Искомая функциональная зависимость имеет вид:
=	Fr.Fu.A, в.)
Отсюда можно сделать вывод, что, исследуя данный процесс при
некоторых размерах, скоростях и т. п., мы можем установить, как
он будет протекать при других, размерах и скоростях в том случае,
если безразмерные отношения, составленные из этих переменных,
для обоих случаев будут одинаковыми.
Следовательно, выводы, полученные из опытов с телами данных
размеров, движущихся с данной скоростью и т. д., будут, очевидно,
справедливы и для любых других размеров-тела, скорости и т. д.
при условии равенства безразмерных отношений л с теми, которые
наблюдались при опытах.
Пример. Внутри греющей трубы куба ректификационной ко-
лонны (рис. XIX-14) протекает теплоноситель со средней скоростью
w0 м/сек. Диаметр трубы d, а длина I.
572
Температура теплоносителя при входе в трубу составляет t0T.
Температура стенки трубы постоянна по ее длине и равна te <^t0T.
Найти уравнение подобия для теплоотдачи в трубе.
Средняя тепловая нагрузка поверхности трубы, т. е. количество
тепла, передаваемое через единицу площади в единицу времени
(см. стр. 475), равна:
i
Ку f дЬ I ,
q-—r\-d7\r=±dx	(117)
о	2
где Хт — теплопровод-
ность тепло-
носителя;
& = t — tc — разность ме-
жду темпера-
турами теп-
лоносителя и
стенки трубы.
Распределение разности
температур й и скорости iv
в потоке описывается сле-
дующими дифференциальными
уравнениями:
(tv grad О) = а у2 О
rot (w grad) w = v rot у2 О
(118)
(119)
div w = Q
(120)
В качестве граничных условий задают Ъ, I, v, а, А*, а также рас-
пределения температуры и скорости на твердых и жидких границах
потока:
1
2
и О = «от — «С = Д«
А
2
(121)
Из уравнений (119), (120) и граничных условий для скоростей
(121) следует, что
w = h(r,x,v,d,tv0)	(122)
Из уравнения (118) и граничных условий для температуры (121)
следует, что
й=/2(г, х, w, a, d, Дг)	(123)
Подставив (122) в (123), получим:
ф = /2 (г, х, a, v, d, ш0, Д{)	(124)
Подставив (124) и (117), найдем величины, от которых зависит
средняя тепловая нагрузка поверхности трубы:
i
q = —у- J	h (г, х, a, v, d, и>0, Д«)^_ d dx=ktfi (у, a, d, w0, Дг, Z) (125)
о	2
Уравнение (125) содержит n — 6 размерных величин, для опре-
деления которых использовано к = 3 первичных единицы измерения:
метр, секунда, градус:
[d] = M; [я] = [у] =-н2/сек; [ia0] = м/сек; Д< = град; -£-— = град[м
Следовательно, безразмерная форма уравнения (125) должна
содержать п — к = 6 — 3 = 3 критерия подобия.
Для получения уравнения подобия уменьшим метр, секунду
и градус, соответственно, в L, Т и 0 раз и перепишем (125) в новых
7 ш сек град X
единицах (*-j-, -у- и-^g-j:
Y---г- = /а (va-^-L, d*L, ta0 ~ , M.Q, 1>L	(126)
Положив d•/,= !,	у-= 1 и	AZ-0 = 1,	получим:
,	1 L 1 Q	1
L = —-, — —— и 9= —r—
d T u>0	&t
Подставив L, T и 0 в (126), найдем:
qd 7 v	a . . I X
АТД£ * \ wad ’ wod ’ ’ ’ ’ d J
Заменив /4 на / и учитывая, что =а, перепишем последнее
уравнение так:
ad  f wod wad	/ X
Ат	\ V ’ <z ’ d )
ИЛИ
Nu=/ f Re,	Рг, -И	(127)
\ a / v d /
§ 18. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРОВ
Рассмотрим плоскую стенку с толщиной, равной единице, рас-
положенную под углом Ф к горизонтальной оси (рис. XIX-15).
Пусть на расстоянии х от верхнего конца этой стенки толщина
слоя жидкости составляет s. Сила ускорения, действующая на
элемент массы конденсата в направлении оси х на расстоянии
s — у, будет
(s — у) dxyg sin Ф
где у — плотность жидкости;
g — ускорение силы тяжести.
574
Тормозящая сила состоит из задерживающего усилия со стороны
газа или пара на свободной поверхности конденсата и из задержи-
вающего усилия внутренней граничной пленки рассматриваемого
элемента жидкости. Эта сила равна
ц ——dx
ду
где р. — вязкость.
Для равновесных условий имеем:
dwy
(s—у) dxyg sin Ф = ц —dx
где w — скорость жидкости
Таким образом
, yg sin Ф ,	. ,
dwy= -------(s — у) dy
P
И
Vgsin® (	1	\ .
wy=s—^—(л~ту ) + с
При у = 0 имеем wu — 0; следовательно С = 0. Количество
жидкости G, проходящей над поверхностью, равно
G = J |~ yg sinФ (SJf=:Д_	у dy._ Тгг8*пФ	 v2g sin Ф.^
и средняя скорость жидкости будет:
yg sin Ф®2
Wcp= ЗЙ
Для вертикальной стенки имеем:
81ПФ = 1 и i0(,p = -!i—
575
Так как в данном случае жидкость получается в результате
конденсации пара, то на верхнем конце стенки толщина слоя пленки
равна нулю и по мере приближения к основанию последняя увели-
чивается.
При установившихся условиях разность значений массовых ско-
ростей жидкости на отрезках длин х и х -|- dx зависит от конден-
сации паров над малым элементом поверхности по длине dx (рис. XIX-
16). Если толщина слоя жидкостной пленки увеличивается от s до
s -|- ds, то увеличение массовой скорости потока жидкости
составит:
3 / y2g sin Os3\^s_ Y2g gin Os2 ds
ds \	3|i J	p
Обозначим температуры пара и стенки, соответственно, через ta
и tCT, тогда для количества тепла, передаваемого за счет теплопро-
водности, будем иметь:
« ..	. . dx
Л iCT)
где X — коэффициент теплопроводности конденсата.
Таким образом, скорость конденсации на рассматриваемой пло-
щадке стенки равна:
л	dx
Л гст)
sr
где г — теплота парообразования жидкости.
Следовательно
dx y2g sin Ф«2 ds
* ~ *ст) 17 = p
После интегрирования получим:
1
рЛ (tn — <CT) x = y2g sin Os« — r
Имеем:
s__j Г 4рЛж (tn lCT)
— V g sin Фгу2
Коэффициент теплоотдачи а при x — x равен X/s, поэтому
_ * Г y2g sin ФгХ3
F	(С--^Ст)
И
. ах 4 [ y2g sin Фгх3
Nu =/ a /, -ГУ
Л г	(*п“^ст)
Это выражение дает значения а и Nu для отдельных точек при
х — х.
576
Среднее значение коэффициента теплоотдачи для всей поверх-
ности стенки между х = 0 и х = х равно:
, .	4 д. / 4
Kx~'*dx =— К——
X _3_
4
_ 4 к.-' ! _	_ 0,043 V
о	о	г рл А?
Для вертикальной поверхности sin Ф = 1 и поэтому
аср = 0,943
V рх Д4
§ 19. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ДЛЯ СТРУЙ ИЗ ЖИДКОСТНЫХ
КАПЕЛЬ
В этом случае мы будем рассматривать поток жидкости, выте-
кающей из распылительной трубы или сопла с образованием струи
из жидкостных капель. Представляет интерес определение среднего
диаметра капель жидкости в струе.
Примем
<*о = /(у, и. ст, g, d, w)
где d0 — средний диаметр капель;
w — скорость движения жидкости в трубе;
d — диаметр открытого конца трубы;
о — поверхностное натяжение жидкости.
Используя у, d и w в качестве основных величин, получим:
Для d0
Я1=-Л-
d
для р,
л2 =	— обратное число Рейнольдса
для о
л3 =	— обратное число Вебера
для g
Таким
л4 =	— обратное число Фруда
образом, окончательно будем иметы
d0 __ f \wd yufid	iv'2 \
d ~ \ p ’ CT ’	gd )
вли
A=a/(Re, We, Fr)
а
37 Заказ 1708	67Т ,
§ 20. ПРИНУДИТЕЛЬНАЯ КОНВЕКЦИЯ ПРИ ВЫСОКОЙ СКОРОСТИ
ПОТОКА
Если при движении жидкости происходит частичный обмен
между тепловой энергией и направленной кинетической энергией,
например, при истечении газа из сопла или диффузора, то мы не
можем придавать теплу независимые размерности. В этом случае
возможно применить такой же метод анализа размерностей, как и
для принудительной конвекции в трубе, но с использованием только
четырех основных единиц измерения ц, L, т и t.
Теперь мы должны принять
5=/(Д«, X, ср, V, ц, d, w0, tcp)
Выбирая следующие основные величины с учетом указанных выше
единиц измерения, получим
At X d w0
t ML/%4 L L/r
В результате анализа размерностей найдем:
для
9
лг =	— критерий Nu
Для
ср
ср Д< 1ср At
л2 = или—-------------механический коэффициент тепла

Для
Y
яз=-до-
Для

для
гср
Л4 = -^
да
гср	At
Л 5 = —т— ИЛИ ---
ZAb	tCp
Отметим, что лг • л2 = 1 Re • Рг и л 2 • л4 = Рг; новым здесь является
безразмерное отношение л2 или его обратная величина, которая
более удобна для пользования.
Таким образом
Физический смысл критерия wllIcD /At становится ясным из того,
1	2
что у Wo выражает кинетическую энергию, отнесенную к единице
массы потока, в то время как Icp&t есть мера изменения энтальпии
на единицу массы при повышении температуры на At
578:
Значение нового критерия может быть обосновано также извест-
ным уравнением для сжимаемого потока идеального газа при отсут-
ствии теплоотдачи и работы трения:
1
1ср + — w2 = const
В связи с этим можно утверждать, что г^о/2 1ср указывает порядок
величины колебаний температуры, которые имеют место в потоке
вследствие явлений сжатия. При низких скоростях эта динамиче-
ская температурная разность обычно мала по сравнению с измеря-
емой разностью At. Однако при высокой скорости потока они могут
быть одного порядка. Для идеального газа мы можем написать
1ср = —У—R
"	7 — 1
Следовательно
где а0 — ]/\й£Ср—скорость звука в газе при температуре tcp.
Таким образом, отношение w1/IcpM равно (у—1)Ма2, где
Ma = wja^ — критерий Маха для потока в данной точке. В ито-
ге имеем:
Nu = /(rb, Рг, Ма,
\	*ср /
Используя другие основные величины, например At, ср, у, d,
wa, мы получим для лх
л, = -т—-— = —-------критерий Стантона (St)
Mywocp yw0Cp Г г	\ /
и соответственно
St = q>(Re, Рг,4-У St =
1 \	' d )’ ReРг
При наличии высоких температурных разностей следует учесть
изменения физических констант с температурой. Поэтому в допол-
нение к At вводится еще одна величина tcp — средняя температура
массы жидкости. Тогда
Nu = /(Re, Рг, Л«//ср)
Опытным путем установлено, что для случая турбулентного
потока в длинной трубе с Re > 2100 и для жидкостей с числом
Pr>s0,5 коэффициенты скорости теплоотдачи могут быть вычислены
из следующего выражения:
Nu = 0,023Re°’8Pr°’4
37*
579
Для ламинарных потоков и вязких жидкостей имеем!
Nu = 0,027	Не°'8рг<мз
\ Нет /
где р. и — вязкости соответственно при средней температуре
массы и температуре стенки.
§ 21. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ
Примем, что тепловой поток q для случая теплоотдачи конвек-
цией от вертикальной стенки зависит от следующих переменных
величин, включая и высоту стенки Li
q = f(M, Pg, у, %, ср, ц, Д)
где Р — коэффициент расширения жидкости.
Эта зависимость между восемью величинами приводит к соотно-
шению между тремя безразмерными группами при использовании
М. L, т, t и h в качестве основных единиц измерения, причем
h — количество тепла.
Выберем следующие величины
Д/ X 7 р. L
Соответственно t h/Lxt M/L? М/Lx L
с размерностями
Тогда будем иметь:
ДЛЯ q
qL aL	.. ,,
Jll = ‘XtX=-X---критерии Nu
Для Pg
PgAtyW	PgAzi3	„
л2=-^~^------= у5--------критерии Gr
Для cp
n3 = -jj--критерии Pr
Таким образом, для теплоотдачи свободной конвекцией от вер-
тикальной стенки получим
Nu = /(Gr, Рг)
Для ламинарного потока с произведением Gr*Pr в пределах
от 104 до 108 практически найдено
Nu = 0,56Gr!/1Pr‘/4
Если Gr-Pr> 10®, то Nu пропорционален величине (Gr-Pr)‘/«.
В этом случае могут быть использованы следующие формулы:
для газов Nu =0,12Gr*^3Pr‘/s
для жидкостей Nu = 0,17Gr1''2Pr'^’
^80
Для теплоотдачи конвекцией от горизонтальных цилиндров в кри-
териях Nu и Рг используется значение диаметра и при Gr-Рг <; 108
имеем
Nu = 0,47Gr’/‘Pr’/-
§ 22. РАСХОД ЭНЕРГИИ ДЛЯ ВЕНТИЛЯТОРА
Рассмотрим серию геометрически подобных вентиляторов. Пусть п
и d, соответственно, скорость вращения и диаметр колеса, a v объем
потока. Примем, что расход энергии N на вращение вентилятора
есть функция у, р, п, d, v или
f(N, у, ц, п, d, р) = 0
По-прежнему имеем шесть переменных величин при трех основных
единицах измерения и, следовательно, анализ должен завершаться
тремя безразмерными отношениями.
Выберем у, п и d в качестве первичных единиц. Для Oj устана-
N
вливаем .
ya'nb'dCl
Приравнивая размерности числителя и знаменателя, найдем:
ai —1, bi = 3, «1 = 5
и
N	XX
jTt =.	—коэффициент расхода энергии
Для п2 получим -JL—
и а2 = 1, Ъг = 1, с2 = 2.
Таким образом,
л2 = -^2— обратное число Рейнольдса
Для имеем ——т—г »
3	yasnbadCz
а3 =0, b3 — 1, с3 = 3
и
V
Пз~~п&
В результате получим:
N ____ , f у ynd2 \
yns<fi \ rad3 ’ р )
Отметим, что здесь поток газа принят несжимаемым.
Так как движение газа при его прохождении через вентилятор
является сильно турбулентным, то эффект изменения вязкости
будет пренебрежимо мал по сравнению с инерционными явлениями.
581
Поэтому мы можем не учитывать изменения, связанного с числом
Рейнольдса, и для практических целей пользоваться упрощенным
выражением
\ пср )
§ 23.	РАСХОД ЭНЕРГИИ НА ПЕРЕМЕШИВАНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
В РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТАХ
Для подобия в двух смесительных системах требуется:
1.	Геометрическое и граничное подобие, при котором отношения
величин для рассматриваемых систем должны быть равны между
собой.
2.	Кинетическое подобие, где скорости в соответственных точках
должны быть в таком же отношении, как скорости в других соответ-
ственных точках. Таким образом, пути движения жидкости должны
быть подобными.
3.	Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение
сил в соответственных точках было равно отношению сил в других
соответственных точках.
Если граничные условия фиксированы, то мы можем выразить
одну переменную,’ например, мощность Р через другие независимые
переменные
Р = Ф (D, ц, g, у, N)
где Р — диаметр;
N — скорость вращения мешалки.
Представляя эту зависимость в виде произведения степеней,
получим:
P^=K(Danb^ffNl)
При использовании единиц измерения L,M и Т найдем:
М Yf £ Yf м УМ У~|
уз \LT } \ ГЧ \L* ) \ Т ) \
Приравнивая друг другу размерности в обеих частях равен-
ства, будем иметь:
для L\ 2 —а— b-f-e— 8/
для М: 1 = b /
для Г: — 3= — Ъ — 2е — j
Выразим эти значения через Ь и е, тогда получим:
/=1-Ь
а — 2 + b — е+3 — 36 = 5 — 2Ь — е
7 = — 6 —2е + 3
И
Р = К [D-20-e+5H0geYl-(,.V-<,-2e+3] = к Г(ПБуДГЗ) ( YM	(-YY-YH
582
или
Р _ Г D2Ny -1-* Г DN2 -1-е
£5A13-*L и J L g J
или
Np = KRenFTr
Критерий Рейнольдса Z)27V/p здесь представляет отношение
силы инерции к силам вязкости, а критерий Фруда — влияние
силы тяжести. Для трехлопастных мешалок К = 41.
§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСКОМЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ МОДЕЛИ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Для процесса охлаждения воды воздухом спроектирован новый
тип трубчатого теплообменного аппарата. Данные о гидравлическом
сопротивлении потоку воды в таком теплообменнике отсутствуют.
Предполагается испытать модель теплообменника, длина которого
составляет 1/w длины производственного аппарата. Скорость воды
в производственном аппарате 756 л/мин при средней температуре
49° С.
1. Какая скорость воздуха при 15,7° С и давлении 1 атм в мо-
дели может создать условия, подобные таковым в производственном
аппарате?
2. Если перепад давления в модели для скорости потока, уста-
новленной в 1, равен 760 мм вод. ст., то какой перепад давления
будет в производственном аппарате?
Для воды при 49° С:
V = 0,0567 • 10'5 м2/сек.
р = 987 кг/м?
Для воздуха при 15,7° С.’
v = 0,147-10’4 м2)сек
р = 1,22 кг/лг3
где v—вязкость; р — плотность.
1. Для динамического подобия производственного аппарата в мо-
дели необходимо, чтобы числа Рейнольдса были равны между собой.
Величины, входящие в критерий Рейнольдса, представлены
в табл. XIХ-3.
Из равенства чисел Рейнольдса получим:
„ 10-0,756-0,147-10-4	„„
100 • 0,0567 • IO'» — 2’° м' /мин
Таким образом, скорость воздуха в модели должна быть равна
2,0 м31мин.
2. Если между моделью и производственным аппаратом суще-
ствует динамическое подобие, то должны быть равны между собой
числа Эйлера (табл. XIX-4).
583
ТАБЛИЦА XIX-3
Величины	Модель	Производственный аппарат
Длина	 Объемная скорость по- тока, м3!мин .... Скорость	 Кинематическая вяз- кость, м^/сек .... Число Рейнольдса . . .	L Q Q 1Л 0,147 • 10’4 ь_£_.	 £2 о,147 • IO"4	10£ 0,756 0,756 100£2 0,0567 • 10-ь 0,756	1 10£ 100£2 ' 0,0567 • Ю'5 ТАБЛИЦА XIX-4
Величины	Модель	Производственный аппарат
Длина 	 Перепад давления, мм вод. ст ....... Скорость	 Плотность, кг/м3 . . . Число Эйлера		L 760 2,0 £2 1,22 760g	10£ ДР 0,756 100£2 987 APg
	1,22 (2,0/£2)2	987 (0,756/100£2)2
Так как числа Эйлера равны между собой, то имеем:
„ 760 • 987  0,7562
ДР । 22 • 2 Q2 • 100^ — 8,82 мм вод. ст.
Мы нашли величину перепада давления в производственном
аппарате, которая соответствует перепаду давления 760 мм вод. ст.
для модели.
Глава XX
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей в абстрактной форме отражает закономер-
ности, присущие случайным событиям массового характера. Нельзя,
например, судить о качествах данной партии продукта без предвари-
тельного испытания. С другой стороны, если положить в основу
результаты пробных испытаний многих партий продукта, то с извест-
ной степенью вероятности можно предвидеть качества и неиспытан-
ной партии. Таким образом, произведенные в большом количестве
испытания выявляют некоторые новые закономерности, служащие
основой для предвидения.
При большом количестве испытаний, каждое из которых дает
случайные результаты, взаимно уравновешиваются влияния слу-
чайных факторов и вступают в действие главные, постоянные при-
чины, которые проявляются в некотором постоянстве средних
чисел.
Если испытания, в результате которых может появиться изу-
чаемое случайное событие, могут быть повторены в одних и тех же
условиях неограниченное число раз, то такое случайное событие
называется массовым или статистическим или, наконец, стохасти-
ческим.
Изучение «случайных» событий составляет предмет теории веро-
ятностей.
Вероятностью события называется отношение числа благоприят-
ствующих событию случаев к числу всех возможных:
_ Число благоприятствующих случаев
р~ Число всех возможных случаев
Разумеется, что при подсчете случаев ни один из благоприят-
ствующих или возможных случаев не должен быть упущен; кроме
того, эти случаи должны быть равновозможными и несовместимыми,
т. е. взаимно исключающими друг друга.
585
Понятие «равновозможность», очевидно, необходимо для правиль-
ной оценки вероятности.
Вероятность, обычно обозначаемая буквой р, заключена между
нулем и единицей: O^p^l.
Вероятность события А обозначается р (Л). Если из общего
числа п равновозможных и несовместимых случаев появлению собы-
тия А благоприятствуют тп случаев, то вероятность этого события:
, m
= ~ (1)
Событие, которое должно произойти обязательно, называется
достоверным. Его вероятность р —	= 1. Если же ни один из
случаев не благоприятствует появлению события, оно будет невоз-
g	можным и его вероятность р == — = 0.
Т '"Х Практически к категории достоверных часто
f	относят события, для которых 0,99sgp=gl;
/	Л к категории невероятных относят события,
для кот°рых o^p^o,oi.
-------------Иногда число благоприятствующих на-
Рис XX 1----ступлению события случаев и число всех
возможных случаев бывают бесконечно боль-
шими.
Предположим, что материальная точка падает на площадь,
имеющую контур АВС А (рис. ХХ-1). Пусть эта точка с одинаковой
вероятностью может упасть на любую геометрическую точку, нахо-
дящуюся в пределах рассматриваемой площади. Здесь число всех
возможных случаев бесконечно. Число случаев, благоприятствующих
попаданию точки в область, ограниченную внутренним конту-
ром аЬса, также бесконечно. Принимают, что вероятность попадания
точки в область abca пропорциональна площади аЪса и обратно
пропорциональна площади АВС А. Поэтому эту вероятность есте-
ственно определить как отношение этих площадей:
_ Площадь аЬса
Площадь АВС А
Вероятность события можно определить по вероятности другого
события, которое противоположно первому. При этом полагают,
что противоположное событие представляет собой появление одного
из всех остальных возможных событий, за исключением выбран-
ного.
Если производится большое число испытаний и результатом каж-
дого испытания является возникновение одного из п равновозмож-
дых событий, то каждое из них должно появляться приблизительно
одинаково часто. Если при этом появлению события А благоприят-
ствует m из п равновозможных случаев, т. е. если вероятность собы-
586
тия А равна — , то при большом числе N испытаний событие А
должно появиться М раз, причем приблизительно:
(2)
Отношение числа появлений события А к общему числу испы-
V	М	„	„
тании, равное у, называется относительной частотой или просто
частотой события А. Из формулы (2) следует
М т
"N Т
т. е. частота события приблизительно равна его вероятности. Чем
больше число испытаний, тем точнее это приближенное равенство.
На этом основывается возможность применения теории вероят-
ностей к познанию явлений природы. Однако не следует забывать,
что математические приемы оценки этих явлений всегда требуют
практической проверки. В конечном счете только практический
опыт ведет к познанию объективной реальности. Как бы велика
ни была вычисленная вероятность события, оно может не случиться
при практической проверке, так как возможны и маловероятные
события.
§ 2.	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При вычислении вероятности события часто приходится пользо-
ваться основными зависимостями теории соединений. Различают
три основных типа соединений.
1.	Размещения — это соединения, отличающиеся друг от
друга составом входящих в них элементов или порядком их рас-
положения.
2.	Перестановки — соединения, содержащие одни и те
же элементы и отличающиеся друг от друга только их порядком.
3.	Сочетания — соединения из данного числа элементов,
отличающиеся друг от друга входящими в них элементами. Таким
образом, если два сочетания различны, то в одном из них содержится
хотя бы один элемент, не содержащийся в другом.
Число размещений из п элементов по т обозначается символом
Ап и находится по формуле:
Л"» =п (п-1) (п-2). . , (п-пг-Ц)=
Как следует из определения, перестановки, по существу, пред-
ставляют размещения из п элементов по п. Поэтому число переста-
новок, обозначаемое символом П„, равно
П„ = п!
так как
Пп= Лй = п (n — 1) . . . 2 • 1 = nl
587
Число перестановок из п элементов, среди которых встречается
г одинаковых элементов одного рода, s одинаковых элементов другого
рода, t одинаковых элементов третьего рода, равно:
П - ге1
Un г! si И
Например, число перестановок из п элементов, среди которых
имеется т одинаковых элементов одного рода и п — т элементов
другого рода (т. е. всего два сорта элементов), равно:
” ml (и — т) I
Число сочетаний из п элементов по т обозначается символом Сп.
Из каждого сочетания этого типа, переставляя всеми способами его
элементы между собой, получают Пт = т\ размещений.
Проделав эту операцию со всеми сочетаниями, получим всего
С„Пт размещений из п по т.
Поэтому
4"1 = Сй’т!
Отсюда, принимая во внимание предыдущие формулы, получим:
ст = А" <= п fo-1) • • • (га~та + 1) га!
" Пт	ml	ml (n—т) 1
При вычислениях с факториалами больших чисел можно пользо-
ваться следующей формулой Стирлинга для приближенного вычисле-
ния факториалов больших чисел:
,____ ~П+ -i-
п 1 я» у 2пе~п п 2
Если по этой формуле вычислить 101, то мы получим 3 598 696,
тогда как на самом деле 10! = 3 628 800. Ошибка составляет 0,8%.
Относительная погрешность формулы Стирлинга тем меньше, чем
больше п.
При вычислениях по формуле Стирлинга естественно пользо-
ваться логарифмами:
Ignl Л* 1g/2л —n lg + Ign
При вычислении вероятности событий пользуются следующими
теоремами.
I. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна
единице. Пусть Лх и А2 — два противоположных события. Если из b
возможных случаев событию Лх благоприятствуют ах случаев,
а событию А2 благоприятствуют а2 случаев, то ах -J- аа = Ь и
588
следовательно
РШ + />(А)=|+| = ^=1	(3)
II. Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления
при некотором испытании какого-либо одного (безразлично какого
именно) из событий Alt Аг, . . Ап равна сумме вероятностей этих
событий, если каждые два из них несовместны между собой.
Пример. Химический завод получает сырье из трех рудни-
ков — № 1, 2 и 3, причем сырье доставляется из каждого рудника
в среднем одинаково часто. Для завода желательно получить очеред-
ную партию сырья либо из рудника № 1, либо из рудника № 2.
Требуется найти вероятность этого события.
Вероятность того, что прибудет партия сырья из рудника № 1,
равна у ; такова же вероятность получения сырья из рудника № 2;
искомая вероятность прибытия партии сырья из рудника № 1 или
№ 2 будет равна
J, 1 = _2
з *“ 3 = 3
т. е. сумме вероятностей прибытия сырья из рудника № 1 и из руд-
ника № 2.
III.	Сумма вероятностей событий, образующих полную си-
стему, равна единице. Рассмотрим п событий: Ах, А2, . . ., Ап, при-
чем при каждом отдельном испытании совершается одно и только
одно из них.
Такую совокупность событий называют полной системой. Так,
например, любая пара противоположных событий представляет
собой полную систему.
Из понятия о полной системе следует, что два события в этой
системе несовместны. Так как в каждом испытании должно насту-
пить одно из событий Ах, А2, . . ., Ап, то, по теореме сложения?
Р (А) + Р (Л2) + . . . +Р(^га) = Р(А. либо А2, либо . . ., либо Лга) (4)
Правая часть равенства (4) равна единице, так как она выражает
вероятность достоверного события.
Следовательно
Р(А) + Р(42)+ . . . +Р(Л„) = 1	(5)
IV.	Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного
наступления двух зависимых друг от друга событий равна произве-
дению вероятности первого события на (условную) вероятность
второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоя-
лось.
Пусть появлению результата В благоприятствуют т случаев
из п возможных, а появлению результата А в т таких операций,
в которых наступает результат В, благоприятствуют I случаев.
583
Следовательно, случаев, благоприятствующих появлению обоих
результатов, будет I.
Имеем:
КН«)4-1Л-ри.)>ви	w
Вероятность Рв (Л) носит название условной, поскольку собы-
тие А рассматривается при условии наступления события В.
Понятно, что порядок появления результатов А и В может быть
изменен. Поэтому наряду с вышеприведенной формулой можно
написать
Р(4и В)=Р(Л)-РА(В)
откуда получаем:
Р(А)-Ра(В) = Р(В)'Рв (Л)
Пример. Проверкой установлено, что получаемая заводом-
потребителем с сернокислотного завода башенная серная кислота
в 96 случаях из 100 является кондиционной (событие А), причем
в 70% кондиционных партий концентрация кислоты равна 76%
(событие В). Найти вероятность того, что завод-потребитель получит
в очередной партии 76%-ную кислоту.
Искомой величиной является Р (А и В), так как для того2 чтобы
серная кислота была 76%-ной, нужно, чтобы она была кондиционной
(событие А) и 76%-ной (событие В). Имеем по условию:
Р (Л) = 0,96;' Рл(Б) = 0,70
Следовательно
Р(Ли Я) = 0,96-0,70 = 0,672
V.	Вероятность совместного наступления любого числа взаимно
независимых событий равна произведению вероятностей этих со-
бытий. Предположим, что появлению события А благоприятствуют
т1 случаев из п1 возможных, а появлению независимого от И собы-
тий В благоприятствуют т2 случаев из п2 других возможных. Тре-
буется найти вероятность совпадения этих двух событий.
Поскольку события А и В независимы между собой, то каждый
из случаев может совпасть (комбинироваться) с любым из т2
случаев и, таким образом, число случаев, благоприятствующих
наступлению обоих событий, составляет иг1иг2 из пхп2 возможных.
Отсюда находим, что вероятность появления обоих событий
равна:
Р(Ли5)=-^ = -^.-^ = Р(4).Р(5)	(7)
590
Теорему умножения, очевидно, можно применить и к сложному
событию, состоящему из совмещения трех или более событий.
Таким образом, вероятность повторения событий к раз при к
испытаниях равна fc-й степени вероятности событий при условии, что
вероятность события р не меняется при испытаниях.
Пример. Для трех аппаратов вероятность остановки на протя-
жении 1 ч составляет: для I аппарата 0,2, для II — 0,15 и для
III — 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трех
аппаратов на протяжении 1 ч.
Здесь бесперебойность работы аппарата — событие, противопо-
ложное работе с остановкой. Поэтому вероятности бесперебойной
работы для отдельных аппаратов составят:
Pi=0,8; Рц = 0,85 и Рш = 0,88
Так как работа каждого аппарата не зависит от работы других
аппаратов, то, применяя теорему умножения, найдем:
Р, U, ш = 03-о,85-0,88 = 0,5984
Пример. Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы
на протяжении одного часа составляет для I — 0,75, а для II — 0,8.
Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно
работать на протяжении 3 ч?
Вероятность бесперебойной работы каждого аппарата на протя-
жении 3 ч, соответственно, определяется по теореме умножения:
Pi = 0,75 • 0,75 • 0,75 = 0,422
Рп = 0,8-0,8-0,8 = 0,512
Вероятность бесперебойной работы обоих аппаратов на протяже-
нии 3 ч определяется снова по теореме умножения:
Р (I и II) = 0,422- 0,512 я» 0,216
VI.	Если Р обозначает вероятность появления события при
каком-либо испытании, то вероятность Рт<п того, что оно по-
явится т раз при п испытаниях, выражается формулой:
Рт.п^рпа-Р)'1-"1	(8)
или
<9>
Вероятность того, что событие не совершится при одиночном
испытании, равна 1 — Р, Вероятность, что оно не совершится ни
разу при п испытаниях, равна (1 — Р)п.
Вероятность того, что событие случится подряд при первых т
испытаниях, а после этого при остальных п — т испытаниях
вовсе не произойдет, равна
рт ____рхп-т
591
Последнее выражение есть также вероятность того, что событие
произойдет т раз и не совершится п — т раз и при другом порядке
появления и непоявления событий.
В соответствии с теоремой сложения вероятностей имеем:
рт,п=рт а—р)п-т+Рт а—р)п~т+... +Рт (i—P)n-m
Число слагаемых в правой части этого равенства, согласно
теории соединений, равно числу сочетаний из п элементов по т.
Следовательно, вероятность того, что событие совершится т раз при
п испытаниях и не совершится п — т раз, будет равна:
_ п (п-1) . . , (n-m-Ц)
п-----------г (1 г)	(10)
Этой формулой можно пользоваться и при т = п и при т = О,
условившись под символом 0! понимать 1.
Правая часть формулы (8) представляет собой общий член разло-
жения бинома Ньютона. Поэтому, если мы будем придавать числу т
появлений события А значения п, п — 1, п — 2, . . ., 3, 2, 1, О,
то получим соответствующие выражения вероятностей:
Рпп = рп...............вероятность	появления события А во всех испытаниях;'
п = nPn~rq . . . вероятность появления события А во всех п испыта-
ниях, кроме одного; здесь <? = 1— Р',
Р%. п = СпР2<1п~г   • вероятность появления события А в двух испытаниях;
Pl, n — nPqn~l .... вероятность появления события А водном испытании;
ра,п = Я.п.........вероятность	непоявления события Л ни в одном испы-
тании.
При п независимых испытаниях достоверно появление события А
либо п, либо п — 1, . . ., либо 2, либо 1 раз, либо ни разу, а это
означает, что
рп, п + РП-1, П~ЬРП-2,	• • • + ₽2, л + ^1, п+ Ро, П— 1
Таким образом, известная формула разложения бинома Нью-
тона
(Р + «)" = Рп + npn~lq + С&™ • q2 4- . . . -bQp2qra-2 + npgn-14-9n
дает распределение вероятностей между всеми единственно возмож-
ными и несовместимыми результатами проведения п независимых
испытаний на появление события А.
Биноминальное распределение вероятностей позволяет определить
не только вероятность появления интересующего нас события задан-
ное число раз при п независимых испытаниях, но также и вероят-
ность того, что число т случаев появления этого события заключено
в заданных границах между числами тг и тп2.
Покажем это на ряде примеров.
Пример. Появление колонии микроорганизмов данного сорта
в определенных условиях оценивается вероятностью 0,8. Какова
вероятность, что из 5 случаев эта колония микроорганизмов по-
явится не меньше 4 раз?
592
Имеем:
4	1
п = 5, Р = — и ? = — •
5	о ’
т 4, т. е. принимает значение 4 или 5.
Искомая вероятность:
Р (т 2s4)=P
(ИЛИ 4 ИЛИ 5) = Р4,8 + ^5,5=5
(4)Ч+(4)’=
-(4)‘+(4)’
2304
3125
= 0,73728
Пример. Вероятность того, что расход воды на некотором пред-
приятии окажется нормальным (не больше определенного числа
3
литров в сутки), равна Найти вероятность того, что в ближайшие
6 суток расход воды будет нормальным в течение 0,1,2, 3, 4, 5, 6 суток.
Обозначив через Рт в вероятность того, что в течение т суток
из шести расход воды будет нормальным, и полагая Р = —, найдем
по формуле (9):
р. ~	6!	( 3	\ 6		729		
г в, в —	6! 0!	\ 4		4096			
Р- Л	6!	( 3	)6(	1		1458	= 0,36
* б	5111	U		. 4		4096 ~	
Рл а		6!	( 3	У(	1	У 1215		«0,30
* 4» б	4!2!	\ 4		4		4096	
Р3. в —	6!	f 3	)3(	' 1	,у_	540	«0,13
	3! 3!	\ 4		. 4		’ 4096 "	
р Л	6!	( 3	У(	’ 1	Y-	135	«0,03
* 2> в	2! 4!	к 4		. 4	/	4096	
Л,в=	6!	Р	н	1 '		18	= 0,004
	115!	\4		4 ,		4096 ~	
рЛ -	6!	( 1	)6		1	0,0002	
*0, в	0161	\4			4096		
Мы видим, что вероятность Ро> в не иметь нормального расхода
воды ни в один из шести дней, или, что то же, каждый день из шести
иметь перерасход воды, практически равна нулю. Вероятность
перерасхода воды в течение пяти или шести дней (Р ъ в + Р 0, в)
также практически равна нулю. Наиболее вероятным будет пере-
расход воды в течение одного дня из шести:
Ръ, в = 0,36
Пример. Длительной проверкой качества стандартных ампул
с жидкостью установлено, что из каждой сотни не имеют дефектов
38 Заказ 1706	’	593
75 штук. Составить биноминальное распределение вероятностей
пригодности для взятых наудачу 6 ампул.
Имеем:
0,0041

Эти результаты показывают, что наиболее вероятным оказывается
наличие пяти пригодных ампул из шести и что практически можно
рассчитывать на пригодность не менее трех ампул, поскольку
Р {т>2} = 0,963
Графическое представление этого рас-
пределения дано на рис. ХХ-2.
Биноминальное распределение, как мы
видели, позволяет, в частности, установить,
какое число появлений события А наиболее
вероятно. В предыдущем примере таким
числом оказалось 5.
Покажем, что отыскание такого числа
может быть выполнено непосредственно без
составления полного биноминального рас-
пределения.
Определим максимальное значение в формуле(9) вероятности Рт, п,
которую условимся обозначать Рт. Для этой цели подставим в зту
формулу q вместо 1 — р и найдем Pm-i и Рт+11
р . =----------!---------ora-m+ipm-i
"'-1	(т-1)! (п-т + 1)! 9 Р
р , =	_____ll________„п-m-i „т+1
(т + 1)! (п-т— 1)! 9 Р
Если значение Рт максимальное, то
Р т+1 < Рт ^>Рщ-1
594
или
Произведя деления и сокращения, получим:
Рт = п—т±1
Рт-1 т ' д
и
Рт  т~Ы д
Р т+1	п—П р
Из (11) следует:
(n —m+1) p>mg
или
(n+1) р>т (р + д)
но
Р + ? = 1
Следовательно
т<р (п + 1) =пр + р
Из уравнения (12) аналогично находим:
(т+1) д	(п — т) р
или
т is пр — д
(Н)
(12)
Таким образом, наибольшая вероятность получится, если т
заключено между числами пр — qa пр-}-pi
пр—q<m<inp + р
Разделим все члены этого неравенства на т
Числа р и д оба меньше единицы, число же п больше единицы,
а при большем п величины и ~ представляют собою малые
правильные дроби. Таким образом, мы видим, что для того т, при
котором Рт наибольшее, отношение весьма близко к р.
Так как есть частота появления события при п испытаниях,
то полученный результат можно сформулировать так: при большом
числе п испытаний частота появления события — весьма близка
п
т	п
к его вероятности! — р. Сто свойство частости носит название
«закона больших чисел».
Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых
Стандартных изделий показали, что в среднем брак составляет
7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных
изделий в партии из 50 штук.
38*	595
Обозначая вероятность выпуска исправного изделия через р,
будем иметь q = 0,075 и р = 1 — q = 0,925. Так как здесь п — 50,
то искомое число можно найти из неравенства (13): 50-0,925 —
— 0,075 ssm ===50-0,925 4- 0,925 или
46,175 т 47,175
Отсюда наивероятнейшее число исправных изделий равно 47.
§ 3. РЕДКИЕ СОБЫТИЯ (формула Пуассона)
Если р обозначает очень малую вероятность того, что событие
произойдет при каком-либо испытании, то вероятность Рт, „, что
оно случится т раз при очень большом числе испытаний п, прибли-
женно равна:
(пр)"
*т. п=^, т| е	(14)
%
Обозначим: X = пр’ тогда р = —. Поэтому в соответствии с фор-
мулой (10) искомая вероятность равна:
га (п-1) (га-2)  . . (ra-m-Ц) 1	/	1 У"
ml	пт	\	т J \ п J
кт га (я—1) (га —2) . . . (га —m +1)
т! ‘	пт
кт п—1 п—2	n —m-f-l
т\ п га	п
„	га—к „ к	п
Поскольку —-—=1——, то для Рт,п получаем такое выраже-
С заметно отличными от нуля вероятностями можно ожидать
только случаи, соответствующие небольшому числу т наступлений
события в п испытаниях. Поэтому т будем считать конечным и
небольшим.
1
Поскольку, кроме того, п велико, то множители 1 ——,
1 —^-, . . . , 1 — можно приближенно считать равными еди-
нице.
а	/	% хт
Так как ~ = Р близко к нулю, то выражение ^1——) при-
ближенно также можно считать равным единице. Поэтому
?т, п
596
Известно, что
Следовательно, при достаточно больших п можно считать, что
G-—
\ nJ
Тогда
Р

е~> =
(пр)т
ml
е-пр
Пример. Зерна порошка в количестве N штук рассыпаны в бес-
порядке на поверхности, имеющей S единиц площади. Показать, что
вероятность нахождения т зерен порошка иа поверхности площадью»
в я единиц равна;
aN
Л ' е~ 8
ml
(15)
Вероятность того, что поверхность площадью dS содержит одно
NdS	-
зерно, равна -у- = р. Если выбранная поверхность содержит а
единиц площади, то мы можем предположить, что каждая пло-
щадка dS есть испытание и, следовательно, число таких испытаний.
а
составит jy = п.
Таким образом, вместо пр в формулу (14) мы ддлжны подста-
вить -^у, после чего получим формулу (15).
Пример. Вероятность изготовления нестандартного продукта
в некотором производстве равна 0,004. Найти вероятность того, что-
в партии из 1000 единиц окажется пять нестандартных.
Имеем; пр = 1000-0,004 = 4, а т = 5.
Подставляя эти значения при т в формулу (14), найдем РБ; 1ом =
= 0,1563.
§ 4. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При больших значениях пит формула (10) приводит к чрез-
мерно громоздким вычислениям. В зтих случаях для вычисления Рт-
удобнее пользоваться следующей приближенной формулой, выво-
димой в полных курсах теории вероятностей;
,	__2_(22._РГ
Рт &	1 е № ^п
V 2лпрд
ИЛИ
597
где
,	1 / п	т
h = I / -т •	х —----р
г 2рд ’	п г
Для быстрого, вычисления значения Рт служит таблица функ-
ции
^> = 7^
через которую вероятность Рт выражается следующим образом:
Л
Таблица функции ср приведена в конце книги в приложении IV.
Пользуясь формулой (16), можно решить и более сложный во-
прос о нахождении вероятности того, что частота наступления
события будет заключаться в намеченных пределах
По теореме сложения вероятностей, вероятность того, что собы-
тие произойдет т1 или т2, или т3, . . ., или mk раз, равна:
Заменяя Рт,, Рт„ ... их значениями по формуле (16) и выпол-
нив вычисления, можно найти искомую вероятность.
Для практических приложений представляет интерес задача
о нахождении вероятности того, что частота наступления события
будет отличаться от вероятности этого события в ту или другую
сторону не более чем на заданную величину. Опираясь на формулу
(16), можно доказать весьма важную в теоретическом и практиче-
ском отношениях теорему Лапласа.
Вероятность, что при большом числе предстоящих испытаний
отклонение частоты события от известной его вероятности р не
превзойдет по абсолютному значению некоторой величины г, т. е.
вероятность неравенства
приближенно равна!
hr
О
где
698
Определенный интеграл в последней формуле зависит от своего
верхнего предела hr. Обозначим его Ф (х):
X
ф(ж)=-гт' J e~t2dt	(17)
о
Функцию Ф (х) называют функцией Лапласа или интегралом
вероятностей. Таблица значений этой функции приведена в конце
книги в приложении V.
При помощи функции Лапласа искомая вероятность выражается
следующим образом:
Теорему Лапласа используют при решении следующей прак-
тически важной задачи.
Пусть известно, что вероятность наступления некоторого собы-
тия при отдельном испытании равна р. Сколько испытаний нужна
произвести для того, чтобы с практической достоверностью можне
было утверждать, что уклонение частоты наступления события
от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некото-
рого заданного числа г? Условимся считать событие практически
достоверным, если его вероятность не меньше 0,99. Мы имеем:
ф (hr) =0,99
Пользуясь таблицей значений интеграла (17), данной в Прило-
жении V, находим:
Лг=1,82
Уклонение частоты от вероятности по условию задачи должно
быть не больше г; следовательно
т. е.
т _ т _
	р г;	— рЗ*— г
п--------------------------------п
Отсюда находим, что
пр — пг	т пр^-пг
1 82
Так как hr— 1,82, то г = —подставляя это значение г в по-
лученное выше неравенство, найдем, что число т наступлений собы-
тия при п испытаниях с практической достоверностью будет заклю-
чаться в следующих границах:
1,82	, 1,82
пр---:— п т пр Н-----;— п
h	h
599
Если в этой формуле заменить h его значением, то мы получим,
что т будет заключено в следующих границах:
пр—2,58 V пр (1 — р) sg т sg rap-f-2,58 ^гар(1 — р)	(19)
Пример. Опытным путем установлено, что при этоксилировании
n-нитрохлорбензола на производстве одна из каждых двадцати
серий может дать недоброкачественный n-нитрофенетол. Сколько
серий следует предусмотреть в проекте, чтобы 500 из них оказались
удачными и тем самым проектная мощность доброкачественного
продукта была бы обеспечена?
В данной задаче вероятность р доброкачественности данной
19
серии равна -g^-. Число доброкачественных серий равно 500; число
п серий, предусматриваемых проектом, неизвестно. На основании
формулы (19) найдем, что п должно удовлетворять неравенству:
19 , „ ко 1/ 19 Л ЙП
п 20 + 2’58 V п 20 V 20 )
"^-2.58
Определяя отсюда п, найдем:
п = 540
1-
Следовательно, для того, чтобы с практической достоверностью
(т. е. с вероятностью, не меньшей 0,99) быть уверенным, что 500
серий будут доброкачественными, в проекте нужно предусмотреть
540 серий.
До сих пор речь шла о предстоящих испытаниях при известной
вероятности события р. Однако справедлива и обратная теорема
Лапласа, позволяющая оценить неизвестную вероятность события
на основании ряда произведенных наблюдений.
Вероятность того, что неизвестная вероятность события р отли-
чается от наблюденной частоты не более чем на величину г, т. е.
вероятность неравенства
равна:
hr
Р -%= С dt
/л J
(20)
тде
Л =
Аналогичным путем из формулы (20), задавшись вероятностью
Р — 0,99, можно получить границы вероятности события, если
-600
известно число испытаний п и число т случаев, когда событие на-
блюдалось:
т   2,58 1 Г т(п—т)	m  2,58 1 Г т(п — т)
п	п г п	п ' п V п	'
Формула (21) — приближенная и дает хороший результат лишь
m	g,
в том случае, когда п велико и отношение — не очень близко к нулю
или единице.
Пример. При 62 сериях синтеза 8-оксихинолина по методу Скра-
упа произошли три взрыва. Дать с вероятностью 0,99 заключение
о вероятности этого события.
Задача решается по формуле (21):
_3___2,58 1/~^59~	3 , 2,58 у/ 3,59
62	62 Г 62 "Р	62 *" 62 Г 62
-0,02 ==S Р =£= 0,12
Поскольку вероятность не может быть отрицательной, то отсюда
следует, что с вероятностью 0,99 можно сделать заключение о том,
что вероятность взрыва меньше, чем 0,12. Однако этому результату
-	т
нельзя особенно доверять, так как — мало.
В заключение приведем следующую теорему, позволяющую на-
ходить вероятность будущих событий.
Если событие, о вероятности которого нам ничего неизвестно,
случилось т раз при п испытаниях, то вероятность того, что при
следующих пг испытаний оно случится т1 раз, равна:
р = (m + mi)l . (я-Ц)!»х! . (n——mi)!
ml mi!	(n +1 + Щ)! (n — m)l(ni — mx)!	'
Пример. Для производства ванилина получена партия из 100 би-
донов гваякола, качество которого неизвестно. Из 10 бидонов взяты
пробы, и испытания их дали хорошие результаты. Можно ли счи-
тать, не производя обследования остальных бидонов, всю партию
хорошего качества?
Чтобы это установить, найдем вероятность того, что событие,
имевшее место 10 раз подряд, повторится и при следующих 90 испы-
таниях.
В этой задаче т = п — 10;	— пг = 90. Подставляя эти дан-
ные в формулу (22), получим:
100!	111901, 0!____1£_
10190!	101!	0!0!	101	’
Эта вероятность очень невелика. Вполне понятно, почему обще-
союзный стандарт в правилах приемки требует взятия проб от каж-
дого бидона.
601
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К КИНЕТИКЕ
СМЕШЕНИЯ И ЭМУЛЬГИРОВАНИЯ
раздела
Рис. ХХ-3.
Пусть смеситель загружен веществами А и В, имеющими поверх-
ность раздела (рис. ХХ-3). Назначение аппарата состоит в том,
чтобы увеличить первоначальную поверхность раздела между
слоями. Это действие можно рассматривать как перемещение частиц
в трехмерном пространстве.
Количественное соотношение между величиной поверхности раз-
дела S в данный момент и продолжительностью перемешивания т
характеризует кинетику процесса перемеши-
вания.
Допустим, что за время т была развита
поверхность раздела, отношение которой к мак-
симально возможной поверхности раздела обо-
значим Yt. При этом полагаем, что характе-
ристики перемешиваемых веществ, как-то:
вязкость, удельный вес и т.п., а также режим
процесса, остаются постоянными.
Приращение величины поверхности раздела
пропорционально разности между максималь-
ной и фактической поверхностью раздела (про-
цесс первого порядка), а следовательно
yt+1=yT+g(l-Kx)	(23)
где £—коэффициент пропорциональности.
Обозначив
Zx = i-Yx	(24)
представим зависимость (23) в следующем виде:
ZT+1 = ZT (1-g)
Отсюда следует, что
ZT=ZO(1—E)’	(25)
Согласно (24) имеем:
Zq = 1 — Y а
Для преобладающего большинства случаев перемешивания отно-
шение первоначальной величины поверхности раздела к макси-
мально возможной будет пренебрежимо малым; поэтому можно
принять Y 0 = 0.
Отсюда следует, что
Zft 1
вследствие чего зависимость (25) можно переписать так:
Zx = (l-gr
Возвращаясь к переменной Yx, получим:
1 — = (1 — ВУ1 = 1П (1Ч)
602
Положив
с = In
будем иметь:
1
1-i
Ут=1— е~хС
Величина 5 поверхности раздела в момент времени т будет равна!
S = 5p(l-e-«)	(26)
где Sp — максимально возможная поверхность- (при т = оо). Хотя
формула (26) представляет собой выражение кинетической законо-
мерности для процесса перемешивания,
все же очевидно, что сама по себе эта
формула недостаточна для определения S,
потому что значение Sp не может быть
определено экспериментально.
Так как перемешивание рассматри-
вается как процесс перемещения частиц
в трехмерном пространстве, то для оценки этого процесса вели-
чинами, которые могут быть найдены экспериментально, необхо-
димо основываться на степени распределения исходных ве-
ществ во всем объеме загрузки. Другими словами, мы должны
быть в состоянии оценить полноту перемешивания путем наблюде-
ния за распределением элементов поверхности раздела во всей
массе материала. Если объем всей загрузки разделить на большое
число элементарных равных объемов Ап (рис. ХХ-4), а поверх-
ность — на п равных элементов AS (рис. ХХ-5), то результат пере-
мешивания может быть выражен величиной, характеризующей
равномерность распределения элементов развитой поверхности раз-
дела среди этих элементарных объемов. Кроме того, для этой цели
достаточно, чтобы в любой части элементарного объема присутст-
вовал по крайней мере один элемент поверхности раздела.
Пусть п будет большое, но определенное число. По мере увели-
чения поверхности раздела величина AS = — возрастает. Вероят-
ность Ut того, что элемент поверхности ASZ будет находиться
603
в некотором определенном элементарном кубике, пропорциональна
величине А5,, следовательно, Ut = kASh где к — коэффициент
пропорциональности.
Так как все элементы поверхности раздела равны между собой,
а элементарный объем является случайно выбранным, то это соот-
ношение остается справедливым для всех элементов поверхности
раздела, независимо от их номера, т. е.
Ut = k AS
где i может изменяться от 1 до п.
Вероятность того, что по крайней мере один из элементов данной
поверхности раздела попадет в кубик Л и, оценивается в соответствии
с рассмотренными теоремами теории вероятностей. Применяя эти
теоремы (§ 3) к рассматриваемой системе, найдем, что вероятность
того, что по крайней мере один из элементов данной поверхности
попадет в кубик Др, выразится следующим образом:
P„ = AS-^2S2 + ^3,y3__LA4S4+ . . . _|_1_22 knSn (27)
При п -> оо правая часть равенства (27) стремится к
l-e-ks
Отсюда следует, что
P = l—e~fca
Заменяя здесь S его выражением из формулы (26), найдем:
„ -ftS_
Р = 1 —е	(28)
Формула (28) дает вероятность попадания в случайно выбранную
часть объема загрузки по крайней мере одного из элементов поверх-
ности раздела, полученной при перемешивании в течение вре-
мени т.
Формула (28) остается справедливой, если в ней Р заменить
вероятностью Рх, определяющей ту часть общего количества элемен-
тарных объемов, которая состоит из кубиков, содержащих по край-
ней мере один из элементов поверхности раздела. Следовательно
Л =	(29)
Обозначим через х число кубиков вещества А в системе, имеющей
объем V. Тогда
V: х= v
будет обозначать число единиц объема, содержащих вещество А.
Очевидно, что полнота перемешивания может быть оценена
числом v единиц объема, который содержит распределенный мате-
риал А.
604
Предположим, что для определения kSp и с в уравнении (29)
были взяты образцы объемом Vo.
Согласно уравнению (28) вероятность отсутствия одного из ком-
понентов смеси в любой части объема Vo определяется выражением:
e-kSp (i-e-«)
Вероятность отсутствия одного из компонентов смеси в объеме v
будет:
[e-fcsp(i-e“xC)]D/y"
Следовательно, можно записать:
(?,)E = l-[e't3P(1-'~I0)I0/Tt	<30)
где (PJe является значением той доли общего числа объемов и,
которая состоит из объемов v, содержащих компонент смеси А.
Таким образом, в том случае, когда (РХ)Е принимается как ко-
нечное значение для удовлетворительного результата перемешива-
ния, можно получить искомое время, необходимое для достижения
этого результата, решая относительно т уравнение (30), в котором
значения kSp и с уже были определены путем взятия пробы Vo.
Уравнения (29) и (30) применимы к любым смесительным систе-
мам, так как при работе всех смесительных устройств и систем
преследуется одна цель — увеличение поверхности раздела фаз
и предусматривается возможность перемещения компонентов по-
верхности раздела к отдельным составляющим объема загрузки.
Ниже приведены примеры пользования уравнениями кинетики
перемешивания.
§ 6. ПРОЦЕСС СМЕШЕНИЯ ПРИ ПРОМЫВКЕ МАСЛА ВОДОЙ
При рафинировании масла часто бывает необходимо про-
мывать его водным раствором соли для того, чтобы удалить из него
растворимые в воде примеси, причем соль служит для высаливания
масла во избежание его потерь.
Пусть 1,89 № масла должны быть промыты 0,340 м3 водного
раствора, содержащего 10,0 кг поваренной соли. Методом для опре-
деления содержания воды в отбираемых пробах смеси может быть
анализ на ион хлора.
В конце первой минуты перемешивания отобрано некоторое число
проб смеси объемом Vo = 25 см3 каждая. Найдено, что 0,2 этих
проб содержат не менее 10 мг NaCl. В конце пятиминутного пере-
мешивания доля проб, содержавших не менее 10 мг NaCl, соста-
вляла 0,75.
Условием удовлетворительности перемешивания является нали-
чие не менее 10 мг NaCl в пробах, составляющих по своему коли-
честву 0,9 и, т. е. 0,9 общего количества проб объемом v. Здесь и
является частным от деления общего объема смеси на количество
605
10-миллиграммовых порций хлористого натрия, содержащегося
в загрузке. Какой промежуток времени потребуется, чтобы выпол-
нить эти условия?
Для решения этой задачи пользуемся уравнением (29):
0,2 = 1— e~kSP
0,75=1 — e~hsP
Из этой системы уравнений находим:
1п 1-0,2	1п 1-0,75
1—е~с	Р	1—e~sc
Отсюда имеем:
Следовательно
1—е-6с = 6,22 —6,22е-е
Пусть
у = е~°
После преобразования получим:
У* -6.22^ + 5,22 = 0
или
у6 -у_ 5,22^ + 5,22 = 0
Разлагая левую часть этого уравнения на множители, будем
иметь:
(У-1) (!74 + !/3 + !/2+!7-5,22)=0
Так как y^l, то решение задачи сводится к решению уравнения
У4 + У3 + У2 +!/— 5,22 = 0
один из корней которого, очевидно, лежит в пределах между
1 и 2.
Решая это уравнение методом, изложенным в гл. XXV, найдем
у — 1,109. Следовательно, е~с = 1,109 и
In 1,25	0,0969 _
ksp -	= 2’3	—2,045
Далее, так как общий объем смеси равен 1,89 + 0,34 = 2,23 л3,
то
у = 2,23 сл43/10 мг
Подставляя найденные нами величины в формулу (30), придем
к уравнению!
2.23
0 9^1—[е2,045	25
вое
Для решения этого уравнения запишем его так:
2,045 •	(1 — 1,109х) = In 0,1
Zo
или
1,109х =13,62
Отсюда найдем:
т = 25,2 мин
Итак, для получения заданной степени смешения потребуется
приблизительно 25-минутное перемешивание компонентов.
§ 7. ПРОЦЕСС СМЕШЕНИЯ ГАЗОВОЙ САЖИ С УГЛЕКИСЛЫМ
КАЛЬЦИЕМ В СМЕСИТЕЛЬНОМ АППАРАТЕ
В смесительном барабане, имеющем постоянную скорость враще-
ния, смешиваются 0,062 л3 газовой сажи с 0,10 л3 углекислого
кальция. Опробование содержимого, которое было произведено
после того, как барабан сделал 10 оборотов, показало, что 20%
проб, объемом в 1 см3 каждая, содержали не менее 1 мг СаСО3.
Пробы такого же объема были взяты после 20 оборотов и показали,
что 86,5% проб содержат не менее 1 мг СаСО3. Удовлетворительная
степень перемешивания характеризуется 95%-ным наличием объем-
ных единиц v, содержащих по меньшей мере 1 мг СаСО3, где v опре-
деляется как частное от деления общего объема загрузки на общее
число миллиграммов присутствующего углекислого кальция.
Насыпной вес углекислого кальция 320 кг/м3. Требуется опреде-
лить необходимое число оборотов барабана для достижения заданных
условий перемешивания.
Пользуясь формулой (29), мы можем написать:
0,2 = 1 —e~hSP (1-е-1ос)
0,865 = 1 —e~hsP О-е~200)
После преобразования этих уравнений получим
1 1 1 1
1-0.2	1-0,865
1__e-ioo р ।________е-200
откуда находим с — —0,2075.
Подстановка этого значения в формулу
1_е-1ос — kSP
дает —0,0319.
607
Значение v для данного случая будет:
(0,062 + 0,10) • 10е
0,1 • 320 • 10е
0,00508 см?!мг СаСОз
Применяя формулу (30), получим
0.00Е
0,95=1-[ео’оз19(1-еО,2О”Т)]	1
откуда т — число оборотов, необходимое для получения заданной
степени смешения, оказывается равным 47.
Глава XXI
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ОШИБОК
§ 1.	СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Случайной величиной называется количественный результат
опыта, результат которого нельзя точно предсказать. Пусть, напри-
мер, из партии, содержащей 10 000 изделий, наудачу отбирается
100 и определяется число х бракованных изделий. Число х есть
случайная величина. Случайной величиной также будет ошибка,
которую делает экспериментатор при измерении той или иной ве-
личины.
Случайная величина называется непрерывной, если она может
принимать любые значения, принадлежащие некоторому числовому
интервалу. Если же случайная величина может принимать лишь
некоторые определенные числовые значения, то ее называют прерыв-
ной или дискретной.
Количество бракованных изделий в некоторой партии предста-
вляет собою дискретную случайную величину; ошибка измерения
является непрерывной случайной величиной.
При обработке статистических материалов, в частности резуль-
татов экспериментальных наблюдений, большое значение имеют
средние величины.
Если величины х определяют некоторое свойство совокупности,
то средней величиной будет такое значение х, при замене на которое
отдельных значений х это свойство совокупности не изменится.
Из этого следует, что средние значения величин могут определяться
различными способами, выбор которых обусловлен связью между
усредняемыми величинами и тем свойством, которое они определяют.
Рассмотрим важнейшие средние и их свойства.
Средняя арифметическая. В общем виде средняя арифметиче-
ская значений ж1, х2, . . ., xk, имеющих веса или частоты пу,
п2, . . nfc, определяется равенством:
- = ”1*1+ ”2*2 +   - + nk^k = S П1Х‘
nl+n2+, > •+nft	У, nt
89 Заказ 1706
609
Это — средняя арифметическая взвешенная. Если вес или ча-
стота каждого значения xL одинаковы, то х является простой
средней арифметической:
-	*i+z2+- • •+**
к -~ПГ
Пример. Смешиваются равные объемы v трех газов, имеющих
разные плотности: ух, у2, у3. Найти плотность смеси.
Исходим из того, что вес смеси равен сумме весов отдельных
газов, а объем смеси равен сумме их объемов, т. е. Зк; тогда
ууг + И’г+ ^3 = 317
откуда
-	Y1+Y2 + Y3
Y 3
Полученное значение у является средней арифметической отдель-
ных значений плотностей газов.
Пример. Смешиваются разные объемы г?х, г?2 и г?3 трех газов,
плотности которых соответственно равны у15 у2 и у3. Найти плот-
ность смеси, если ее объем v = v± + v2 + v3.
В этом случае
^iYi+^ + ^Ys^i + ^ + ^Y	(1)
откуда
-	щух + ^гУг+^зУз
Y	^х + ^г + ^з
Полученная таким путем у является средней взвешенной арифме-
тической.
Очевидно, что среднюю взвешенную всегда можно представить
в виде средней арифметической; обозначив всем = Xni значенийх,
расположенных в любом порядке, через ж'11, ж121, . . ., xin}, получим:
х<п+ж(2)+. . ,+а;(Л)	2ж<г1
х-----------п	— ~~Г~
Из равенства (2) следует, что
2 Ж(<1 = пХ или У, —пх = 0
откуда
У, (жсп — г-) = О
т. е. сумма отклонений значений х от их средней арифметической
равна нулю. Если каждое из отклонений наблюдалось nt раз, то
2п,(ж, —ж)=0.
Важным свойством средней арифметической является следующее:
сумма квадратов отклонений значений х от их средней арифметиче-
610
ской х меньше суммы квадратов отклонений их от любой другой
величины а, т. е.
У, (г<‘) — 5)2 < У (z'f —а)2
или
У П; (Xi — г)2 < У П( (х, —а)2
где а^х.
Средняя арифметическая является статистической характери-
стикой некоторой совокупности. Кроме этого, в тех случаях, когда
наблюдению (измерению) подвергается постоянная величина, сред-
няя арифметическая является приближением к истинному значению
этой величины. Например, если измеряется размер кусков мине-
рала, то средний арифметический размер является лишь статисти-
ческой характеристикой, так как величина кусков не имеет постоян-
ного значения. Если же измеряется плотность этого минерала, то
средняя арифметическая ряда частных значений является не только
их статистической характеристикой, но и приближенным значением
постоянной величины — плотности.
Если из очень большой совокупности случайных значений вели-
чины х сделать произвольную выборку части этой совокупности, то
средняя арифметическая х значений, попавших в выборку, прибли-
женно равна средней арифметической всех значений совокупности.
Это позволяет определять среднюю, пользуясь лишь некоторой долей
большого количества частных значений, что существенно экономит
время, затрачиваемое на измерения и вычисления. Например, если
требуется найти средний размер зерен осадка, нет необходимости
измерять все зерна, а можно ограничиться измерением лишь части
их. Естественно, что чем больше будет количество измеренных зерен,
тем больше вычисленная средняя будет приближаться к среднему
размеру всех зерен.
При наличии большой совокупности случайных значений изме-
ряемой величины вычисление средней взвешенной по формуле (1)
становится весьма громоздкой операцией. В этом случае проще
пользоваться равенством:
Упг-(ж, — а)
х— а-\-----------
п
где а — произвольно выбранное число. Величину а следует выби-
рать так, чтобы разности (xt — а) были возможно меньше, т. е. а сле-
дует взять приблизительно равным средней арифметической х,
оцениваемой предварительно приближенно, на глаз, без вычис-
лений.
Пример. В первом столбце табл. XXI-1 приведены данные ана-
лизов содержания сульфата магния (в %) в слое некоторого место-
рождения калийных солей. Образцы для анализов отобраны из одной
39*	611
скважины с различных глубин, указанных во втором столбце. Найти
среднее содержание сульфата магния в слое соляной породы, харак-
терное для данной скважины.
ТАБЛИЦА XXI-1
% MgSO4 (хр	Глубина, м	ni	х.—а		
3,15	289-295	6	0,05	0,30	18,90
2,98 	295—300	5	< —0,12	-0,60	14,90
3,18	304—308	4	0,08	0,32	12,72
3,24	308—312	4	0,14	0,56	12,96
3,02	318-323	5	-0,08	-0,40	15,10
3,08	323—325	2	—0,02	-0,04	6,16
3,06	327—329	2	-0,04	-0,08	6,12
3,16	329—334	5	0,06	0,30	15,80
2,99	335—340	5	—0,11	-0,55	14,95
3,10	340—343	3	0,00	0,00	9,30
3,13	352-359	7	0,03	0,21	24,91
а,20	362-365	3	0,10	0,30	9,60
3,21	365—369	4	0,11	0,44	12,84
-3,06	385-387	2	-0,04	—0,08	6,12
3,09	396—403	7	-0,01	—0,07	21,63
		64		0,61	199,01
Так как результат каждого анализа (жг) характерен для опреде-
ленных пределов глубины скважины, то число метров глубины,
заключенное в этих пределах, может быть принято за вес или ча-
стоту п{ отдельных значений х{. Величины nt приведены в третьем
столбце таблицы. Просматривая результаты анализов, принимаем
ориентировочно а — 3,10 и вычисляем значения жг- — а и nt (xt — а),
помещенные в четвертом и пятом столбцах. Затем находим = 64
и — а) = 0,61. Искомое среднее: ,
0,61
х=3,10+ -^- = 3,11 %
Тот же результат можно получить, вычислив nixl (шестой стол-
бец) и разделив = 199,01 на '^inl = п — 64.
Медиана. Медианой (Me) называется такое среднее значение,
которое делит совокупность значений величин ж, на две равные по
количеству членов части, причем в одной из них все значения xi
меньше медианы, а в другой — больше.
Если расположить все члены совокупности в ряд в возрастающем
порядке, то при нечетном числе членов, т. е. при п = 2т + 1,
медианой будет значение среднего члена ряда, т. е. Me = жт+1.
Если же число членов ряда четное, т. е. п = 2т, то за медиану
принимается среднее арифметическое двух значений хп и жт+1,
находящихся в середине ряда, т. е. Ме= Хт~1'Хт+1.
612
Если в данном ряде члены, достаточно удаленные от медианы,
подвергаются малым изменениям, то медиана при этом не меняется,
в то время как средняя арифметическая изменится. Поэтому, если,
как это часто бывает, значения х(, находящиеся на концах ряда,
не точны, — в качестве средней лучше пользоваться медианой,
а не средней арифметической. Поясним это следующим примером.
Пример. Определим среднее значение давления окислов азота
над нитрозой определенного состава, если измерения, произведенные
при неизменной температуре методом струи, дали следующие резуль-
таты (в мм рт. ст.), расположенные в возрастающем порядке:
«1=3,12
«2 = 3,14
«з = 3,26
«4 = 3,31
«5 = 3,33
«в = 3,34
«7 =3,34
«8 =3,35
«9 =3,35
«ю = 3,35
«11 = 3,36
«12 = 3,37
«13 = 3,39
«14 = 3,44
«15 = 3,52
«1в = 3,60
«17 = 3,69
Оценивая результаты измерений, можно предположить, что зна-
чения х, находящиеся в начале и в конце возрастающего ряда,
имеют относительно меньшую точность. Однако нет оснований для
того, чтобы отбросить какие-либо из них, поскольку нет явных
признаков их ошибочности. При этих условиях значение средней
арифметической х = 3,37 оказывается менее надежным, чем меди-
аны, значение которой Me = хй = 3,35 и следует считать средним.
Мода. Модой (Мо) называется наиболее вероятное значение
случайной величины или то значение этой величины, частота которого
наибольшая.
Мода применяется для характеристики наиболее часто встреча-
ющихся значений в совокупности случайных величин.
Пример. Ситовой анализ молотой руды дал следующие резуль-
таты (табл. XXI-2).
TAB ЛИЦА XX1-2
Крупность зерен, мкм	Выход, %	Крупность зерен, мкм	Выход, %	Крупность зерен, мкм	Выход, %
Более 800	2,0	550—500	3,8	- 250-200	13,6
800—750	0,7	500—450	5,0	200—150	5,9
750-700	0,9	450—400	6,5	150—100	2,8
700—650	1,2	400—350	8,9	100-50	1,4
650-600	1,9	350—300	14,2	Менее 50	3,5
600—550	2,8	300—250	24,9		
Очевидно, что одним из характерных признаков качества раз-
мола будет размер зерен наибольшей фракции, т. е. фракции зерен
300— 250 мкм. Величина зерен этой фракции является модой, которая
в данном случае служит одним из критериев работы размольной
машины.
613
Средняя логарифмическая. Многие естественные процессы под-
чиняются логарифмическому закону. В этих случаях кривая распре-
деления имеет логарифмический характер и величиной, характе-
ризующей среднее значение, является средняя логарифмическая.
Средняя логарифмическая двух величин есть отношение их раз-
ности к разности их натуральных логарифмов:
—х2 —z2
жср. ЛОГ— |п _|п
In —
Смысл средней логарифмической и ее вычисление покажем на
следующем примере.
Пример. Скорость мономолекулярной химической реакции харак-
dx	г?
теризуется уравнением = —Кх, где х — концентрация веще-
ства, убывающая в результате реакции, т — время, К — константа
скорости реакции. Найти среднюю концентрацию вещества за время
от до т2, если его концентрация в момент тх равна хг.
Проинтегрировав заданное уравнение, получим зависимость,
из которой может быть найдена концентрация вещества в любой
момент времени
In х — In хй — Кх
где ж о — концентрация вещества при
т = О, или
In — = Кх
X
или:
х = хйе'К'	(3)
Зависимость между х и т вы-
— ражается кривой (рис. XXI-1), ко-
торая является кривой изменения
(распределения) концентрации во
времени.
Средним значением х за время от тх до т2 будет такая величина жср,
произведение которой на тх — т2 равно площади, заключенной
между кривой, осью абсцисс и ординатами при тх и т2. Величину же
заштрихованной площади дает интегрирование функции х = / (т)
в пределах от тх до т2.
Поэтому
ч
*ср(т2 —xi)=pdx	(4)
ч
или
Ч Ч
хер J dx = J х dx
ч ч
Т„-0 Т,	Г2
Рис. XXI-1.
.614
откуда
J х dx
*СР = -Ч
I dx
T,
т. e. среднее значение может быть определено как отношение инте-
грала функции к интегралу независимой переменной.
Подставив в правую часть формулы (4) значение х из уравне-
ния (3) и проинтегрировав, получим:
*ср (Т2 ~ Т1) = 4г *о (е~Кх‘ — е~КХг)	(5)
Л
Но
1 . Xq	1 . Xq
T2=-F-ln— И Ti= —1П —
К x2	К %x
поэтому
*2--ri=4(lnT— InT-)=4’IniL (6)
Л \ Х%	/ л. ^2
Из формулы (3) следует
е-Кч=_51_ и е-кгг= *2.
Хд	Xq
поэтому
— е~к~2 =-?-(£! — х2)	(7)
х0
Подставляя эти выражения для т2 — Ti и e~KXi — е~КХг в форму-
лу (5), найдем
1,^1	1	1 . ,
IcP7lnT = Tl0' — (г1-^)
Л *2	Л	Xq
откуда
= *1~*2
Полученное значение жср является средним логарифмическим
в пределах от хг до х2, или средним логарифмическим величин
и х2.
Заметим, что средняя логарифмическая величин всегда меньше их
средней арифметической.
Когда значения двух величин и х2 мало отличаются друг
от друга, их средняя логарифмическая без большой погрешности
может быть заменена средней арифметической, причем ошибка тем
меньше, чем меньше разница между хг и х2. Практически, если при
Хх > х2 отношение < 2, погрешность от замены средней лога-
рифмической средней арифметической не превышает 4,4%.
615
Допустимость приближенной замены средней логарифмической
близких по значению величин х2 и х2 их средней арифметической
можно показать следующим образом.
Полагаем1 —а > из этого равенства следует:
д. *1 —*2
Я1 + г2
Так как разность хг — х2 значительно меньше суммы xt -|- ж2,
то а намного меньше единицы и тем меньше, чем ближе между собой
значения xt и х2. Поэтому можно воспользоваться приближенными
равенствами:
1п(1+а) = а и 1п(1 —а)=—а
откуда
In 1 + = 2а
1 —а
Тогда
-” ^2	^2	~ L	*^1 "”f~ '4'2
In^i_ ln 1 + « ' ~ 2а я?1—а:2	2
х2 1—а	re!-f-гс2
т. е. при рассмотренных условиях средняя логарифмическая при-
ближенно равна средней арифметической.
Пример. Воздух нагревается в паровом трубчатом подогревателе
от 20 до 40° С. Температура насыщенного греющего пара 120° С.
Вычислить среднюю движущую силу теплопередачи от пара к воздуху.
Разность температур между паром и воздухом: начальная
120 — 20 = 100° С, конечная 120 — 40 = 80° С. Известно, что движу-
щая сила теплопередачи определяется как средняя логарифмиче-
ская начальной и конечной разности температур. Однако, так как
100
-gjy- < 2, то можно воспользоваться проще вычисляемой средней
у	«	о 100 + 80 пло
арифметической и считать движущую силу равной —— = 90 С
(средняя логарифмическая равна 89,7° С).
Средняя квадратическая. Средней квадратической п положи-
тельных или отрицательных величин хг, х2, . . ., хп называется
положительное значение квадратного корня из суммы квадратов
этих величин, деленной на их число:
х _ . 1/ 4+4+ • • • +4
®СР. КВ - + I/	-
Пример. Газ поступает в газохранилище по двум трубам, диа-
метры которых dj и d2. Линейная скорость движения газа в трубах
одинакова и равна v. Если заменить разные трубы одинаковыми,
то каков должен быть их диаметр d при условии, что общее коли-
чество поступающего газа и линейная скорость его движения должны
остаться прежними?
616
При данной скорости объем W проходящего по трубе газа
пропорционален квадрату ее диаметра	. Поэтому из
условий задачи имеем
^-^ + 4-ф = 2-^-52р
4	4	4
откуда
5=-|/Л+1
Пример. Газ поступает в газохранилище по двум трубам, име-
ющим диаметры и d2; линейные скорости движения газа в трубах
соответственно равны к1 и v2. Если заменить обе трубы двумя но-
выми трубами одинакового диаметра, то каким должен быть этот
диаметр d, чтобы общая пропускная способность труб и линейная
скорость газа в каждой трубе остались прежними?
Из условий задачи имеем
— d1v14- — d2v2 = — d2vi -|- —d2v2
откуда
5-1/~ Фг + Фъ
V	vt + v2
В двух последних примерах величина d является средней
квадратической.
Средняя геометрическая. Средней геометрической п положитель-
ных величин х2, . . ., хп называется положительное значение
корня n-й степени из их произведения:
гср. геом= + V г1г2, • • • ,	(8)
Среднйя геометрическая (или средняя пропорциональная) двух
положительных неравных величин всегда меньше их средней ариф-
метической.
Среднюю геометрическую удобнее вычислять из формулы, кото-
рая получается логарифмированием формулы (8):
_ lg®l + lg«2+ • • •
хср. геом---------------------
Таким образом, логарифм средней геометрической равен средней
арифметической логарифмов частных значений величины.
Пример. В результате медленного окисления основного вещества
в растворе, циркулирующем в аппаратуре цеха, постепенно нака-
пливается вредная примесь. В 1-м столбце табл. XXI-3 дано содер-
жание примеси в растворе, определявшееся в начале каждых суток
в течение недели. Вычислить средний суточный процент роста кон-
центрации примеси.
617
Обозначим через х, х2, . . ж7 — процент роста концентрации
примеси за 1-е, 2-е, ...,7-е сутки, а через х — средний суточный
процент роста этой концентрации. Тогда х находится из равенства:
(100+ х)? = (lOO + ii) (100 + *2) . . . (100+*7)
или
100 + * = У (100+ *1) (100+ *2) . . . (100+ *7)
Величина 100 +- х является средней геометрической чисел
(100	(100 +- х2) и т. д., приведенных во втором столбце
табл. XXl-З; в третьем столбце помещены их логарифмы. Средняя
арифметическая этих логарифмов равна логарифму 100 +
1g (100 + *) = Л0060 + 2.0107+  .  +2,1418	К4068 = 2>0582
	ТАБЛИЦА XXI-3		Отсюда:
Концентрация примеси,	100+ х;	1g (100+xz)	100 + *= 114,3; * = 14,3%
г/л			Пример. В реакционной камере
36.2			взаимодействуют два компонента
	—		находящегося там газа; концен-
36,7 37,6	101,4 102,5	2,0060 2,0107	трации этих компонентов тг и тг
40,2	106,9	2,0290	поддерживаются постоянными пу-
44,3	110,2	2,0422	тем непрерывного питания камеры
52,2	117,8	2,0711	реагирующими газами и отвода
66,7 92,4	127,8 138,6	2,1065 2,1418	продукта реакции. Изменением ре- жима питания реакционной ка-
		14,4073	меры требуется создать условия, при которых концентрации взаи-
	•м		модействующих газов были бы
одинаковыми (т), но все прочие условия и, в частности, скорость
процесса остались бы прежними. Каково должно быть значение т?
Скорость реакции при прочих равных условиях пропорциональна
произведению концентраций реагирующих компонентов тл-т,_. При
равенстве концентраций взаимодействующих веществ скорость реак-
ции пропорциональна т-т, т. е. т2. Из условия задачи т1 • т2 — т2,
откуда:
т= Ут1т2
Величина т является средней геометрической величин тх и т2.
Средняя гармоническая. Средней гармонической п положитель-
ных величин хг, х2, . . ., хп называется величина Н, обратное зна-
чение которой равно среднему арифметическому обратных значений
величин жп жа, . . ., ж„, т. е.:
_L_|_ J_ _i_
Н	п
1
хп
618
Следовательно
Х1 ^2	хп
Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда при-
ходится иметь дело с величиной, зависящей от обратных значений
частных величин.
Средняя гармоническая всегда меньше средней геометрической,
а следовательно, и меньше средней арифметической.
Пример. Газовая смесь состоит из трех газов, кинематические
вязкости которых v1; v2 и v3. Определить кинематическую вязкость
смеси, если доли каждого компонента смеси соответственно равны
т2 и т3.
Кинематическая вязкость газовой смеси может быть вычислена
по приближенной формуле:
т2 . т3
vCp *1 '	v3
Таким образом, искомая величина средней вязкости равна:
1
VCD --------------
"?| I m2 I m3
Vl ' v2 ' v3
В данном случае vcp есть средняя гармоническая взвешенная.
Если бы смесь состояла из равных объемов трех газов, то средняя
вязкость была бы равна простой средней гармонической:
1
Пример. Смешиваются две жидкости, теплосодержания которых
и Q2, а температуры и t2. Найти среднюю температуру t смеси,
полагая, что теплоемкости обеих жидкостей остаются в пределах
температур от до t2 постоянными.
Обозначим массы жидкостей через и т2, а теплоемкости сг и с2.
Тогда
а температура смеси
t Ql+Qz  <?1+<?2
wlcl+m2c2 (?1 , Q<j
ti t2
или
1 __	1 (Ql_ , _g2.\
t Q1+Q2 \ fl t2 )
619
Следовательно, искомая температура смеси t есть средняя взве-
шенная гармоническая температур смешиваемых жидкостей, причем
«весом» является теплосодержание этих жидкостей.
Если бы их теплосодержание было одинаковым	= Q),
то средняя температура определялась бы из равенства
т. е. была бы простой средней гармонической.
Пример. Электрическая печь питается током, подводимым парал-
лельно по двум проводникам, сопротивления которых гг и г2. Каково
их среднее сопротивление г?
Средним сопротивлением двух проводников при параллельном
включении называется такое сопротивление, которое будет иметь
два проводника с равным сопротивлением, обеспечивающие прежнюю
силу тока. Если электродвижущая сила равна Е, то постоянство
силы тока обусловливает равенство:
Е , Е	Е , Е
Г1 1 г2	г 1 г
Следовательно
1	1 ( 1 । 1 \ „	2
— — — (---------I и г —---------
Г 2 \ rt ‘ г2 /	1		1
Г1 г2
т. е. средним сопротивлением параллельно включенных проводников
является средняя гармоническая их сопротивлений.
Пример. Руда состоит из трех минералов, содержание которых
nlt п2 и п3 масс. %, а их плотности соответственно dx, d2 и d3 г/см3.
Найти среднюю плотность d руды.
Так как + п2 4- п3 = 100%, то
щ । ”з _______ 100
til tZ2 d3 d
откуда
1 _ 1 /”1 I [ »з\
d 100 \ di d2 d3 /
т. e. плотность руды есть взвешенная средняя гармоническая плот-
ностей минералов. Если бы руда содержала равные массовые
100 Л
доли минералов, т. е. если пх ~ п2 = п3 = -5-, то
• о
d 3 \ di d2 d3)
В этом частном случае средней плотностью руды явилась бы
средняя гармоническая простая. Если бы содержание минералов
в руде было дано не в массовых, а в объемных долях, то средняя
620
плотность руды равнялась бы средней взвешенной арифметической
плотности отдельных минералов, причем «весом» служили бы
объемные доли минералов.
§ 2.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим вопрос о значениях, которые может принимать неко-
торая величина х в зависимости от случайных, т. е. не поддающихся
учету причин. При этом каждое значение х{, полученное в результате
единичного испытания, является случайной величиной, вероятность
появления которой р{. Зависимость между значением случайной вели-
чины и ее вероятностью называется распределением этой величины.
Допустим, что при большом количестве N испытаний дискретная
величина х принимает значения хг, х2, . . ., хп соответственно mlf
тг, . . ., тп раз. Тогда среднее значение х равно:
- '»л+'ад+ • • • + тпхп т1 „ . т2 „ ,	< тп „
х------------Л	— -у- *1 + -дГ *2+ • • • +-дТ Яп
Когда N велико, относительные частоты —,	. .., прибли-
женно равны вероятностям р2, . . .,рп появления значений
, х2, . . .,хп (см. § 1 гл. XX). Поэтому при большом числе испыта-
ний среднее значение х мало отличается от
Pi*i+Ргг2 + • • •
Величина называется вероятным значением случайной вели-
чины х или ее математическим ожиданием и обозначается М (ж):
м (х) = 2 Pixl
Таким образом, математическое ожидание М (х) является теоре-
тической величиной, к которой приближается среднее значение х
случайной величины х при большом числе испытаний.
Приведем без доказательств некоторые свойства математического
ожидания.
Очевидно, что если случайная величина постоянна (х = Л), то
математическое ожидание равно ей самой:
М(А) = А
Математическое ожидание произведения случайной величины на
постоянный множитель равно произведению математического ожида-
ния случайной величины на этот множитель:
М {Ах} - AM {х}
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме
их математических ожиданий:
М у + . . . + z) = М {х} + М {у} + . . . + М (z)
621
Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
М (xyz) = М (х) М (у) М (z)
Математическое ожидание квадрата отклонения случайной вели-
чины от ее математического ожидания М (х) называется дисперсией
величины х и обозначается о2:
О2=М[Х—М(х)]2
Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах.
Она является мерой рассеяния значений х около их математического
ожидания. Пользуясь приведенными выше свойствами математиче-
ского ожидания, нетрудно показать, что дисперсия случайной вели-
чины равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата
ее математического ожидания, т. е.
(fi = M[x — М(х)]^ = М (х2)— М2 (Х)	(9)
Если появление некоторого события в каждом испытании имеет
вероятность р, то математическое ожидание частоты т этого события
при п испытаниях равно:
М (т) — пр	(10)
Из (9) и (10) следует, что дисперсия частоты:
О2=пр(1— р)
Для редких событий, т. е. для малых р, величиной р2 можно
пренебречь, и
о2= пр
Для бесповторной выборки дисперсия частоты:
„	,	, N — n
О2 = пр (1—р) N—
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий.
Положительное значение квадратного корня из дисперсии назы-
вается средним квадратическим отклонением или стандартом.
0= +/М (х2)—М2(х)
§ 3. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КРИВАЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Приведенные выше формулы для средних значений случайной
величины, ее математического ожидания и дисперсии относились
к случаю, когда случайная величина дискретна и число возможных
ее значений конечно. Если же случайная величина непрерывна, то
множество значений, которые она может принимать, бесконечно;
вероятность каждого отдельного значения такой величины равна
нулю.
622
Для определения понятий математического ожидания и дисперсии
непрерывной случайной величины нужно ввести новое понятие —
плотности распределения.
Обозначим через X некоторую непрерывную случайную величину,
которая может принимать любые числовые значения из промежутка
(а, Ь).
Пусть х есть некоторое число из этого промежутка. Определим
вероятность dP того, что величина X принимает значения, заключен-
ные между х и х 4- dx. Эта вероятность, очевидно, пропорциональна
dx (при бесконечно малом dx) и зависит от х. Поэтому положим:
dP = q (х) dx
Функция ср (х) называется плот-
ностью распределения вероятностей
случайной величины X, произведе-
ние ср (х) dx — элементом вероятно-
сти. Кривая у = ср (х) называется
кривой распределения вероятностей
данной случайной величины.
Важнейшее свойство этой кривой
состоит в следующем: вероятность
того, что случайная величина при-
мет значение, принадлежащее про-
межутку (ж1; х2), равна площади,
ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и двумя ордина-
тами, проведенными в точках х = и х = х2 (рис. XXI-2).
Это непосредственно следует из того, что произведение ср (х) dx
выражает вероятность Р (х < X < х 4- dx) и в то же время при-
ближенно выражает площадь между кривой распределения, осью
абсцисс и ординатами в точках х и х 4- dx.
Отсюда следует, что если нам известна плотность распределения
ср (х) случайной величины, то вероятность того, что значения, при-
нимаемые этой величиной, будут заключены в промежутке между
хг и х2, равна следующему интегралу:
xt
р (хг < х < х2) = J <р (х) dx
Для всякой кривой распределения должно быть
00
J ф (х) dx = 1
-00
так как этот интеграл выражает вероятность того, что величина
х примет любое числовое значение между —оо и 4-00, т. е. вероят-
ность достоверного события.
Знание плотности распределения ср (х) позволяет нам опреде-
лить математическое ожидание непрерывной случайной величины
623
следующим образом. Пусть распределение случайной величины х
характеризуется плотностью распределения <р (ж). Разделим отрезок
ab изменения х, на котором определена эта функция, на элементар-
ные отрезки длины Дж (рис. XXI-2). На основании определения
Ф (ж) вероятность того, что случайная величина ж примет какие-
либо значения из отрезка (ж, ж 4- Дж), равна ф (ж) Дж. Следовательно,
приближенно математическое ожидание будет равно:
М (х) <=> 2 ®<р (я) д®
X
Если устремить промежутки Дж к нулю, то сумма обратится
в пределе в интеграл, и мы найдем, что
ь
М (х) = j* ахр (г) dx	(11)
о
где Ф (ж) — плотность вероятности случайной величины.
Математическое ожидание представляет собой то постоянное для
данных условий число, около которого будут колебаться средние
арифметические, подсчитанные по результатам многочисленных на-
блюдений. Так, например, при вполне устойчивом технологическом
процессе математическим ожиданием действительного качества про-
дукта будет то качество, на которое этот продукт рассчитан.
Известно, что качество продукта в отдельных партиях при этом
будет различным. Но если взять большое число проб из некоторого
числа п образцов, то окажется, что: 1) средние арифметические зна-
чения, характеризующие качество продукта, подсчитанные по этим
пробам, колеблются около постоянного числа М (ж), являющегося
математическим ожиданием качества продукта, и 2) с увеличением
числа п образцов в пробе средняя арифметическая приближается
к математическому ожиданию, т. е. случайные колебания как бы
затухают при увеличении числа наблюдений.
Пример. При сушке продукта в сушильном аппарате берется
проба из 10 образцов. Вероятности получения в пробе образцов,
выходящих по содержанию влаги из контрольной зоны с границами
± -j-6 (6 — допуск) от середины допуска (назовем такие образцы
624
Математическое ожидание числа внезональных образцов будет
равно!
М (х) = 0,24 • 0+0,38 • 1 + 0,26 • 2 + 0,10 • 3 + 0,02 • 4 = 1,28 шт.
Пусть пробы по 10 штук отбирались по 10 раз в день при двух-
сменной работе, т. е. примерно через каждые 1,5 ч. Аппарат был
отрегулирован на середину допуска. Были получены по дням сле-
дующие распределения проб (табл. XXI-5), по числу «внезональных»
образцов за 5 дней работы аппарата.
ТАБЛИЦА XXI-5
В последней графе помещены средние числа «внезональных» образ-
цов за каждый день работы аппарата. Эти средние колеблются около
математического ожидания. Однако средняя за все пять дней работы
аппарата (1,34) ближе к математическому ожиданию, чем средние за
отдельные дни.
Пример. Пусть непрерывная случайная величина х распределена
равномерно в пределах от а до Ъ. Тогда <р (х) постоянна и равна
ь
„, .	1 С ,	1 Г Т
М (х) = -т-- \ х ах = ---- —
V ’	Ь — а J Ь—а L 2 Ja
а
а + Ь
2
Этот результат можно было предвидеть сразу.
§ 4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если плотность распределения вероятностей случайной величины
имеет вид
ф(ж)= * г*
V л
то говорят, что случайная величина распределена нормально.
40 Заказ 1706	625
Кривую распределения (см. рис. XXI-4)
и - h e-h‘
V~ /JT
называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса.
Нормальный закон распределения имеет чрезвычайно широкое
распространение в природе, так как это предельный закон, к кото-
рому приближаются многие другие законы распределения при опре-
деленных условиях. А. М. Ляпунов показал, что если случайную
величину можно рассматривать как результат суммарного воздей-
ствия многих независимых факторов, то закон распределения такой
случайной величины будет близок к нормальному.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины, подчиняющейся нормальному закону распределения. Мате-
матическое ожидание определяется формулой (11). Следовательно,
для нормального распределения:
М (г) = —^= \ e~h‘ х dx
/л J
- 00
Положим х— a = z. Тогда получим:
00	оо
ят / х	С ~hsz2 •>» ah. С -h*2* >
М (х) = -  \ ze п z dz -4 —• \ е п z dz
Ул J	Ул J
-00	-оо
Первый из этих интегралов равен нулю, так как его подынтег-
ральная функция четная, а пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат. Второй же интеграл равен
как это показывается в курсах анализа. Следовательно
М (г) = а
Точно так же можно показать, что дисперсия величины, подчи-
няющейся нормальному закону распределения, будет равна
и, значит, среднее квадратическое отклонение связано с параметром h
следующей зависимостью:
1
(12)
Отсюда следует, что уравнение кривой нормального распределе-
ния может быть записано в следующем виде:
626
Если математическое ожидание а равно нулю, то это уравнение
упрощается и принимает вид:
§ 5. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК
Результаты опытного измерения величин никогда не бывают
вполне точными, а всегда имеют некоторые погрешности. Эти по-
грешности или ошибки опыта вызваны причинами, определенным
образом изменяющими результаты измерения, хотя бы и по неиз-
вестному нам закону. Такими причинами могут быть, например,
неисправность прибора, внешние условия опыта, искажающие его
результаты, и т. п. Ошибки, возникающие по этим причинам, назы-
ваются систематическими ошибками и могут быть учтены или даже
в достаточной мере устранены.
Ошибки, имеющие место в результате большого количества
разных случайных, не поддающихся учету причин, называются
случайными ошибками.
Пользуясь закономерностями, характерными для больших сово-
купностей случайных величин, можно в среднем учесть погрешность
опыта, вносимую случайными причинами, и степень точности резуль-
тата опыта.
Допустим, что при измерении величины А, повторенном п раз,
получен ряд значений
^1, ^2» • • •»
случайные ошибки которых соответственно равны
• • •> хп
Очевидно
Л = Я1 — хг; А = а2 — х2;	. . . А = ап — хп	(13)
Установим аналитическое выражение для закона распределения
случайных ошибок измерений. Обозначим через dp вероятность того,
что ошибка измерения заключена между х и х -f- dx:
dp = q>(x)dx
Примем, что эта вероятность должна удовлетворять следующим
условиям:
1)	она должна убывать при возрастании абсолютной величины
числа х, так как большие ошибки менее вероятны, чем малые;
2)	она должна быть четной функцией от х, так как ошибки,
одинаковые по абсолютной величине и имеющие противоположные
знаки, равновероятны;
3)	при всех значениях х она должна быть положительной;
40*
627
4)	хотя, теоретически, возможны ошибки, имеющие лколь угодно
большую абсолютную величину, но практически ошибки, которые
можно совершить при измерении, не превосходят некоторого пре-
дела хм. Следовательно, искомая функция должна практически обра-
щаться в нуль при | х | > хм',
5)	так как появление ошибки, заключенной между —хм и 4-®м,
является событием достоверным, то сумма всех вероятностей, соот-
ветствующих этому промежутку, должна быть равна 1. Если на оси
абсцисс откладывать величину ошибки х с учетом ее знака, а на оси
ординат — значение функции ср (®), то на плоскости получим кри-
вую, обладающую свойствами:
1)	при отрицательных х она возрастает, а при положительных х
убывает;
2)	она симметрична относительно оси ординат;
3)	расположена выше оси абсцисс;
4)	при | х | > хм она практически совпадает с осью абсцисс.
Вероятность совершить ошибку, заключенную между х и х 4- dx,
геометрически равна площади, ограниченной этой кривой, осью
абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках с абсциссами
х и х -j- dx. Так как появление ошибки, заключенной между —хм
и хм, является событием достоверным, то
5)	площадь кривой, заключенной между х = хм и х = —хм,
равна 1.
Всем этим требованиям, кроме четвертого, удовлетворяет функ-
ция Гаусса, определяющая закон нормального распределения:
Ф(д)= J— е 2,‘
а У 2л
628
или
ф(х) =
h
К2л

Однако при достаточно больших значениях эта функции
практически равна нулю.
Опыт показал, что случайные ошибки измеренгя действительна
подчиняются нормальному закону распределения.
Выясним физический смысл параметра h. Этот параметр характе-
ризует точность измерений, так как от него зависит характер группи-
ровки ошибок вблизи нуля. Действительно, сопоставляя кривые
(рис. XXI-3) при Л = 1, h = 2, h = 3, можно видеть, что вероят-
ность ошибки, заключенной между —dx и -{-dx при h = 2 вдвое,,
а при h = 3 втрое больше, чем при наблюдениях, характеризу-
ющихся коэффициентом Л = 1. По этой причине коэффициент h
называется мерой точности.
Пользуясь нормальным законом распределения ошибок, можна
ответить на ряд вопросов, возникающих в измерительной практике.
§ 6. НАИВЕРОЯТНЕИШЕЕ значение измеряемой величины
Пусть при измерении некоторой величины, неизвестное истинное
значение которой есть х, получен следующий ряд значений:
®1,	....хп
Тогда ошибки этих значений соответственно равны:
Предполагая, что ошибки измерения подчинены нормальному
закону распределения, найдем, какое значение для неизвестной изме-
ряемой величины будет наивероятнейшим.
Вероятность того, что ошибка измерения будет заключена между
х — xt и х — хс -f- dx, окажется равной:
-A. e~h‘ (x-xiY dx
/л
Условимся говорить, что это есть вероятность того, что при изме-
рении сделана ошибка х — х{. Применяя теорему умножения вероят-
ностей, найдем, что вероятность того, что при п измерениях будут
сделаны ошибки х — хг, х — х2, . . х — хп, определится формулой:
/AAV*' е^г . e'h' ^х'х^ (dx)»
\ Vл /
или
[ h \п
17= е	(А)
\ И л /
Нам надо определить, при каком значении х это выражение
будет иметь максимум. Это, очевидно, будет в том случае, когда
62»
показатель степени у числа е будет иметь минимум, т. е. при мини-
муме суммы:
2 (*—*z)2
Известно, что для нахождения этого значения х нужно приравнять
нулю первую производную:
2 У (я—х/)=0
Определяя отсюда х, найдем:
xi + хч + • • • хп
х= -------------
п
Мы нашли, что наивероятнейшим значением измеряемой величины
является среднее арифметическое из полученных результатов изме-
рений:
хнаив — х
§ 7. ОЦЕНКА МЕРЫ ТОЧНОСТИ И СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ
ОШИБКИ ОТДЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Согласно нормальному закону распределения, вероятность того,
что в процессе измерений получены ошибки, заключенные между
х — х( и х — Х[ -|- dx (i =1,2, . . ., ri), равна:
/ hdx\n -h* 2
~7= e
\ Кл /
Определим, при каком h зта вероятность будет наибольшей.
Прологарифмируем предварительно выражение (Л) и, взяв затем
производную по h, приравняем ее нулю. Мы придем к уравнению
j—2/г2
из которого найдем h:
h=]/r 2	(14)
Знаменатель подкоренного выражения мы вычислить не можем,
так как истинное значение х измеряемой величины нам неизвестно.
Обозначим через х среднее арифметическое измерений и установим
связь 2 (х — xt)2 с легко вычисляемой суммой квадратов отклонения
отдельных наблюдений от их арифметического среднего 2(ж —
Для этого обозначим через £ разность между истинным значе-
нием х и средним арифметическим х
1 = х— X	(15)
-630
и найдем ее приближенное значение. Очевидно
или
= 2 (*—**)
Возводя последнее равенство в квадрат, получим*:
п212=2(^-ч)2+22 (x—xi) (х~ xi)
i=l	i j
Сумма 22 будет содержать как положительные, так и отрица-
« /
тельные слагаемые, причем если п велико, то число положительных
и отрицательных слагаемых будет приблизительно одинаково; зна-
чит, при большом числе наблюдений второй суммой можно прене-
бречь. Таким образом
2(х —XZ)2=n2g2	(16)-
1=1
п
Составим ту же сумму 2 (х— несколько иначе. На основа-
i=i
нии формулы (15) х—^-\-х и, следовательно
х х{ — -j- х Х[
Возводя в квадрат и суммируя по всем i от единицы до п, получим;
(х—*()2 = Е;2 + 2Е; (х —х(-) + (х —хг)2
У (х —Xl-)2=ng2 + 2g2	х<) + 2 (х~х1)2
или, учитывая, что 2 (%— #/) = 0:
^(х-х^=п^ + У1 (Х-Х^	(17)-
Исключив из системы уравнений (16) и (17) величину найдем:
<18>
Подставляя это выражение в знаменатель подкоренного выраже-
ния формулы (14), найдем:
fe = l/"	- (19)
|/ 2^(x-xtf
* Суммирование идет по всем i и j от 1 до п, кроме членов i = j.
631
Пользуясь этой формулой, можно найти выражение для среднего
квадратического отклонения и для дисперсии отдельных измерений.
Вспоминая, что величины о и h связаны зависимостью (12)
о /2
ПОЛуЧИМ!
0=1/”	. С2 = S
У	п—1	’	п — 1
(20)
Формула (19) определяет то значение меры точности h, при кото-
рой вероятность получения данной системы ошибок будет наибольшей.
Зная меру точности, можно
решить целый ряд практи-
чески важных вопросов по
оценке точности измерений.
Пусть для заданной се-
рии наблюдений найдено их
среднее арифметическое х,
вычислена по формуле (19)
мера точности h и построен
график функции нормаль-
ного распределения:
/(1) = -^^;	1=х-~х
V л
Определим, пользуясь
этим графиком (рис. XXI-4),
какова вероятность, что ошибки отдельных наблюдений не пре-
восходят по абсолютному значению заданной величины г, т. е.
заключаются в пределах от —г до -f-r.
На основании изложенного выше эта вероятность изображается
площадью ABCDE, т. е. интегралом:
Р= [е-ЬЧ’d£
J /л
-Г
Учитывая четность подынтегральной функции h и производя
замену переменной интегрирования = t, получим следующее
выражение для искомой вероятности:
hr
Р =	(21)
Ул J
о
Вспомним функцию Лапласа Ф (х), уже встречавшуюся нам при
изучении биноминального распределения:
X
Ф (х) ——V e~il dt
Уп J
о
632
Искомая вероятность (22) выразится через эту функцию следу-
ющим образом:
Р (| х — х|<<г) = Ф (Лг) = Ф
(22)
Таблица функции Ф приведена в конце книги.
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ РАЗМЕРОВ
Рассмотрим твердую частицу произвольной формы с объемом V
и поверхностью А. Диаметр Dc шара с тем же объемом находится
из уравнения:
^-D3C = V
6 е
Он равен:
1
Величина Dc называется номинальным (условным) диаметром
частицы. Площадь поверхности этого шара равна Ас — Рас-
смотрим отношение 1 = А : Ас. Величина 1/1 называется сферич-
ностью данной частицы. Для специального случая сферической
частицы 1 = 1, но для других форм 1 > 1.
Если номинальный диаметр частицы установлен каким-либо
способом (например, максимальным линейным размером частицы)
и обозначен через Dp, то объем V и площадь поверхности А могут быть
выражены так:
Р = фо21рз. А = Фа^р
где Фв — объемный коэффициент;
Фа — поверхностный коэффициент.
Эти коэффициенты определяются формулами:
В химической технике мы обычно встречаемся со смесью частиц
различных размеров. Рассмотрим сперва N частиц одинаковой формы,
но с разными диаметрами Dp. Введем понятие «среднего диаметра»
частиц. В приложениях приходится встречаться с различными опре-
делениями этого понятия.
Средним вероятным диаметром частицы называется такое
число Z>cp в, которое обладает следующим свойством: половина ча-
стиц имеет диаметр меньший, чем Dcp в, а половина — больший,
чем Z)cp. в.
Другие средние диаметры для смеси частиц определяются
следующим образом:
633
^р
Средний арифметический диаметр £>ср. а = —
Средний геометрический диаметр Dc„. г = DPiDPtDP3. . . DN.
У
Средний поверхностный диаметр Z)?p. s = —у—.
У ДЗ
Средний объемный диаметр Dcp. v — —.
^idp
Средний диаметрально-поверхностный диаметр Dcp. * =	---=
2j dp
Dcp. s
^cp- a	—,
Dcp о
Средний диаметрально-объемный диаметр Dcp dv = ~^--= -н--•
7, Dp	Dcp. a
n	-	c	<	n	^D3p	Dlp.v
Средний поверхностно-объемный диаметр Dn sv = „	=	---.
7, D2p ucp s
Предположив, что распределение размеров частиц для смеси
следует нормальному закону Гаусса, введем величину х, равную
отклонению диаметров частиц от их среднего арифметического:
X — Dp Dpp. а
Покажем, как найти число частиц, для которых эти отклонения
находятся в заданных границах.
Число частиц, отклонение размеров которых от среднего арифме-
тического заключено между х и х -f- Дж, будет равно:
dN — 	e~h‘x‘ dx	(23)
V л
Число частиц с отклонением размеров, превышающим некоторое
число х0, определяется путем интегрирования выражения (23):
оо
n(x>x0)=-JL ( е-^й=Л[1-Ф (Лх0)1
V л J	*
х0
Число частиц, отклонения диаметров которых меньше числа
будет:
X
п(х<х0) = у^ f e~htxi dx=^-^~ [1 + Ф (Лх0)1
У л J
-со
Подставляя х = 0, получим, что число частиц с диаметром, превы-
шающим значение £>ср а , равно , что естественно в силу симме1рич-
ности распределения отклонений.
634
В некоторых случаях оказывается более удобным определить
величину х иначе, а именно принять
X = In Dр — In Z)cp г; Dp = exDcp_ r	(24)
и искать количество частиц, для которых величина х оказывается
расположенной в заданных границах.
Можно показать, что число частиц, для которых величина х
имеет значения, не превышающие заданного числа х0, определяется
формулой:
n(x<x0) = -^L' V e'h2xldx = ^- [1 — Ф (Лх0)]
ул J	2
-оо
Зная количество частиц, для которых х заключено в данных
границах, мы можем легко найти массу этих частиц.
Масса частиц, для которых величина х заключена между х
и х + dx, равна:
JUT zT.	r-iQ	~h2v2 ,
(Ш = рФ0 — D3p	e n x dx
O V л
Это выражение можно привести к следующему виду:
<ш = рфа4 Дср. re4h2 41 e^dy
6	ул
(25)
где
3
2Л2
Отсюда общая масса частиц будет равна:
9	+
м = рфа 4 Дер. г* f e'h‘y‘ dy
0	У л J
или
9
М=рФауДзр
Таким образом, доля массы тех частиц, для которых величина х
заключена в пределах от х до х -f- dx, будет:
dM
М
п -Н2иг ,
= \7=г е аУ
у л
(26)
Доля массы тех частиц, для которых х меньше некоторого х0,
определится формулой:
Fo
~ \^dy
У 71 J
-оо
езь
§ 9. НАИБОЛЬШАЯ ВОЗМОЖНАЯ ОШИБКА. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ
Пользуясь формулой (22), найдем вероятность того, что ошибка
измерения по абсолютной величине не превзойдет Зо:
Р(|х—/|<Зо) = Ф /—^=') = Ф (2,13) = 0,997
\о V 2 /
Вероятность того, что случайная ошибка по абсолютной величине
превзойдет число За, будет равна:
Р (| х - х I > за) = 1 — 0,997 = 0,003
Эта ошибка ничтожно мала. На этом основании в измерительной
практике применяют следующее правило трех сигм: прак-
тически все ошибки измерения заключены между —За и Зо.
Число За принимают, таким образом, за верхнюю границу оши-
бок измерения.
Однако следует обратить внимание на условность этого правила.
Ошибки, большие трех сигм, возможны, но они встречаются крайне
редко — в среднем в трех случаях на тысячу. На этом основании
число А = Зо называют наибольшей возможной ошибкой.
§ 10. ВЕРОЯТНАЯ ОШИБКА ИЗМЕРЕНИИ р
Вероятной ошибкой измерений называется такая величина, для
которой с одинаковой вероятностью можно ожидать, что действи-
тельные ошибки по абсолютной величине окажутся как меньше ее,
так и больше. Иными словами, при большом числе наблюдений при-
близительно половина отклонений | х — xt | окажется меньше р, а поло-
вина отклонений — больше р.
В соответствии с этим определением вероятную ошибку можно
4
найти из формулы (22), полагая в ней Р = — и г = р:
<Н = -^
hp = 0,477
Согласно таблице
p=O^L = O,477
r h
n
t-i__________
n — 1
Площадь LMCNP на рис. XXI-4 равна половине всей площади,
ограниченной кривой и осью абсцисс.
636
§11. ТОЧНОСТЬ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО
Процесс обработки измерений не может считаться законченным
после того, как найдено наивероятнейшее значение измеряемой
величины и различные ошибки измерений. Необходимо еще оценить
точность полученных результатов, т. е. найти меру точности, сред-
нюю квадратическую, вероятную и наибольшую возможную ошибки
среднего арифметического.
Поскольку результаты измерений хг, х2, . . ., хп представляют
собой случайные величины, то их среднее арифметическое х является
также случайной величиной. Эта случайная величина распределена
нормально. Не останавливаясь на выводах, приведем лишь формулы,
которые позволяют оценить точность среднего арифметического.
Пусть h есть мера точности отдельного измерения, определяемая
формулой (19). Обозначим через Н меру точности среднего арифме-
тического. Можно показать, что Н и h связаны зависимостью:
Я2=пЛ2;	H = hVn
или, на основании (19)
|/ —
(27)
т. е. мера точности среднего арифметического больше меры точности
отдельных измерений и пропорциональна квадратному корню из
числа измерений.
Если число измерений увеличить, например, в 4 раза, то точность
среднего арифметического увеличится вдвое.
Вероятность того, что среднее арифметическое отличается от
истинного значения на величину, меньшую г, т. е. вероятность
неравенства
| X— X
выразится интегралом:
Hr
P = -4=r f e-‘2dt
Ул J .
(28)
Средняя квадратическая ошибка о0 среднего арифметического
связана с мерой точности таким же соотношением, как и в случае
ошибок отдельных наблюдений; она определяется формулой:
п
2 (*—
1=1_________ __ я
n(n —1) ~~~У^
(29)
где о — средняя квадратическая ошибка отдельного измерения.
637
Вероятная и наибольшая возможная (при Р = 0,997) ошибки
среднего арифметического соответственно равны
2
го = 0,675оо^^Оо и До = 3оо	(30)
При записи среднего арифметического принято указывать его
среднюю квадратическую ошибку.
Обработку серии измерений следует проводить в следующем
порядке:
1)	определить среднее арифметическое;
2)	найти среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения;
3)	определить наибольшую возможную ошибку А отдельного
измерения и убедиться, что среди результатов измерений нет таких,
которые отличались бы от среднего арифметического более чем на А.
Если бы таковые оказались, их следует отбросить и начать обработку
сначала;
4)	определить среднюю квадратическую ошибку о0 среднего
а рифметическ ого.
Остальные характеристики (r0, Ао, h и Н) находятся только
в случае необходимости.
§ 12.	ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
1.	Обработать шестнадцать измерений, приведенных во 2-м столбце
табл. XXI-6, представляющих собой результаты анализа раствора
на содержание в нем MgCl2.
ТАБЛИЦА XXI-6
Исходные данные		Первая обработка		Вторая обработка		
№ по пор.	г/л хг	х—xz	(х—х.)2	Xi	X—х^	(х—х^)2
1	102	0	0	102	-2,53	6,4
2	98	4	16	98	1,47	2,2
3	99	3	9	99	0,47	0,2
4	100	2	4	100	—0,53	0,3
5	97	5	25	97	2,47	6,1
6	140	—38	1444	—	—	—
7	95	7	49	95	4,47	20,0
8	100	2	4	100	—0,53	0,3
9	98	4	16	98	1,47	2,2
10	96	6	36	96	3,47	12,0
11	102	0	0	102	—2,53	6,4
12	101	1	1	101	—1,53	2,3
13	101	1	1	101	—1,53	2,3
14	102	0	0	102	-2,53	6,4
15	99	3	9	99	0,47	0,2
16	102	0	0	102	—2,53	6,4
	1632	0	1614	1492	0,15	73,7
638
Находим среднее арифметическое:
1632
16
= 102,0
В 3-й столбец заносим отклонения отдельных измерений от сред-
него арифметического, а в 4-й — их квадраты *.
Далее вычисляем по формуле (20) наибольшую возможную ошибку
отдельных наблюдений:
Сопоставляя ее с цифрами 3-го столбца, видим, что шестое на-
блюдение приходится отклонить, как недоброкачественное (38 >
> 31).
Производим в столбцах 5—7-м вычисления заново:
i=^=99,47
15
o=|/^-=2,21;	A = 31/lg_=6>6
г 14	г 14
Все числа 6-го столбца — менее 6,6, и, следовательно, все пятнад-
цать оставшихся наблюдений должны быть учтены.
По формуле (29) вычисляем среднюю квадратическую ошибку
арифметического среднего:
Сто
73,7
15-14
0,6
Результат обработки можно записать одним из следующих
способов:
х = 99,5±0,6
7=99,5 (1 ±0,006)
х=99,5 с точностью 0,6%
Найдем вероятные ошибки отдельных измерений и среднего ариф-
метического, а также меры их точности.
Для вероятной ошибки отдельных измерений находим следующее
значение:
г = 0,6750 = 0,675 • 2,21 = 1,5
Вероятную ошибку среднего арифметического найдем по формуле
(30):
гв = О,675о0 = 0,675 • 0,6 = 0,4
* Сумма 2 (r“ должна быть равна нулю, что является контр,лем
правильности вычислений.
63Э
Меру точности отдельных наблюдений и меру точности среднего
арифметического определим по формулам (19) и (27):
h = 1 Л....---------- = 1/ -14  = 0,309
|/	2 У (х— х,-)2	' 2 • 73,7
H = h Vn =0,309 К15 =1,20
Кривая распределения вероятностей имеет уравнение:
ф (Х)— 0,309 е-(х-вв,5)'-0,309
Эта кривая представлена на рис. XXI-4.
2.	Пробными испытаниями установлено, что относительная ошибка
газоанализаторов данного типа равна 12%. Сколько дублирующих
газоанализаторов надо поставить, чтобы обеспечить относительную
точность результатов в 10, 5, 3 и 1%?
Ошибка среднего арифметического равна:
Отсюда
(31)
Соответственно заданным точностям, получим:
(12 \
1 = 1,4: газ = 5,8; га3 = 16; raj = 144
Таким образом, следует взять, соответственно, 2, 6, 16 и 144
газоанализатора.
3.	Точность планиметра, с помощью которого определяется пло-
щадь замкнутой кривой, составляет 6%. Сколько раз надо повторить
измерение площади, чтобы точность среднего арифметического полу-
ченных измерений была равна 2%?
Применяем формулу (31):
га= ) =9 раз
4.	Точными приемами установлена величина давления в авто-
клаве 104,2 ат. При испытании манометра для давления получены
следующие значения:
109,9;	105,3;	103,6; 104,4; 104,5;	104,1;
102,1;	103,5; 103,7 и 103,9
Выяснить, нет ли в этих измерениях постоянной ошибки и, исклю-
чив ее, определить точность измерения манометром.
Отличие среднего арифметического из показаний (103,7) от точ-
ного значения (104,20), очевидно, и будет постоянной поправкой
640
манометра (±0,5). Находим среднюю квадратическую и вероятную
ошибку наблюдения:,
и
40=0,6
Эти ошибки и характеризуют точность определения давления
манометром.
5.	Произведено несколько испытаний специальной стали, пред-
назначенной для колонны синтеза аммиака. Получены следующие
данные временного сопротивления:
2 = 35;	40;	38;	37;	41;	34;	42 и 37 кГ/мм2
Определить с вероятностью 0,999 низшую границу временного
сопротивления.
Произведя обычную обработку, находим:
z = 38,0
и	____________ ________
h = 1 / -..Л"1--- = ]/ тДу = 0-25 кГ/мм2
у	F 2'56
Из таблицы функции Ф находим, что при Р = 0,999 будет
hr = 2,33, откуда
2,33	„ о г. 9
г=О2Г = 9,3 кГ/мм
Следовательно
z = 38 ± 9.3 кГ/мм2
Низшая граница временного сопротивления будет:
2 = 28,7 кГ/мм1
§ 13.	О НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ
1-й случай. Пусть даны два ряда измерений, причем все измере-
ния и первого и второго ряда произведены с одинаковой точностью.
Если каждый ряд содержит одинаковое число измерений, то резуль-
таты обработки рядов будут равноточны; если же число измерений
в рядах не одинаковое, то результаты обработки рядов будут не
равноточны.
Это следует из того, что в формулу средней квадратической ошибки
арифметического среднего
входит число измерений п.
а
а°=тт
(29)
41 Заказ 1706
641
2-й случай. Если даны два ряда измерений, но измерения каж-
дого ряда произведены приборами разной точности, то арифмети-
ческие средние рядов будут не равноточны, даже в том случае, если бы
число измерений в каждом ряду было бы одинаковым, так как в фор-
мулу (29) входит число о.
Сущность обработки рядов неравноточных измерений заключается
в том, что после введения некоторых коэффициентов, называемых
«весами», обработку неравноточных измерений производят так же,
как и равноточных.
Рассмотрим числовой пример, относящийся к первому случаю.
Допустим, что диаметр отверстия регулирующего клапана
определялся четырьмя группами измерений, представленными
в табл. XXI-7, причем для каждой группы измерений определены
арифметические средние.
ТАБЛИЦА XX1-7
№ по пор,	1-я группа	2-я группа	3-я группа	4-я группа
1	107,10	107,57	107,51	107,41
2	107,68	107,45	107,57	107,00
3	107,45	107,07	107,16	
4	107,62	107,35	107,48	
5	107,68	107,17		
6	107,08	107,46		
7	107,44			
8	107,28			
Сумма ....	859,33	644,07	429,72	214,42
п		8	6	4	2
X		107,416	107,345	107,430	107,210
Так как все измерения равноточны, то для нахождения среднего
арифметического нужно сложить данные всех 20 измерений и сумму
разделить на 20. Дальнейшую обработку нужно проводить так же,
как и при обработке равноточных измерений.
Предположим теперь, что задаются только арифметические сред-
ние каждой группы и число измерений в ней. В этом случае обра-
ботку результатов следует проводить путем введения «весов» наблю-
дений.
«Весом» наблюдений в данном случае можно считать количество
измерений в каждой группе, ибо «вес» — это степень доверия
к результатам наблюдения, а эта степень, очевидно, тем больше, чем
больше наблюдений в группе. Таким образом, в рассматриваемом
случае можно считать веса пропорциональными числу наблюдений
в группе. В данном примере мы имеем четыре средних арифметиче-
ских с разнымр весами:
107,416 с весом 8
107,345 »	»	6
107,430 »	»	4
107,210 »	»	2
642
Окончательная средняя арифметическая, называемая «общей
арифметической серединой» или «взвешенной средней», будет:
107,417-8+ 107,345-6+107,430-4+107,210-2
Х	8 + 6 + 4 + 2	-107,38
Если мы имеем п арифметических средних хг, х2, . . ., хп с соот-
ветствующими весами g±, g2,   gn, то общая арифметическая сере-
дина находится по следующей формуле:
~_?1д1 + 1>2а:г+ • • • +?пдп /=1
?1 + ?а+ • •  +?п	"
(32)
2?/
/=1
Рассмотрим теперь второй случай нахождения общей арифмети-
ческой середины, когда число измерений неизвестно, но заданы сред-
ние квадратические ошибки результатов измерений. Здесь опять-таки
надо начать с установления «весов» каждого результата.
Найдем математическую связь между «весом» и средней квадра-
тической ошибкой результата.
Из формулы (29), выражающей среднюю квадратическую ошиб-
ку о0 среднего арифметического через среднюю квадратическую
ошибку о отдельного измерения и число и измерений, можно по-
лучить:
Если отдельные измерения обладают одинаковой точностью, то
средним арифметическим отдельных групп наблюдений следует при-
писывать веса, обратно пропорциональные квадратам их средних
квадратических ошибок. Так как средняя квадратическая, вероятная
и наибольшая возможная ошибки пропорциональны друг другу,
то в качестве весов средних арифметических можно взять числа,
обратно пропорциональные квадратам любых этих ошибок.
Пример. Угол смачивания при осуществлении процесса аэрации
флотируемой пульпы измерен 3 раза (сделано три группы наблюде-
ний); по каждой группе вычислены средние квадратические ошибки;
результаты представляются в следующем виде:
30° 15' 30" ± 40"
30° 15' 15" ± 20"
30° 15' 20" ± 10"
Требуется найти общую арифметическую середину х.
б качестве весов каждой группы наблюдений можно принять
любые числа, обратно пропорциональные числам 402,202 и 102, т. е.
1 . 1 . 1
1б00 • 400 • 100
41*
643
Следовательно, можно принять:
?i = l; ?г = 4;	?з=16
По формуле (32) находим взвешенное арифметическое среднее:
-=30915, + зо"-..1+15;^+2о-.16 15,
1 +4+16
§ 14. О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И О ДИСПЕРСИИ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть случайная величина представляет собой линейную функ-
цию независимых случайных величин х и у:
z= ах -\-Ьу
где а и Ъ — постоянные величины.
Обозначив средние значения z, х и у через z, х и у, а их средние
квадратические отклонения, соответственно, через ог, ох, оу, можно
показать, что
z = ax-\-by	(33)
И
с£=а2ах+Ьг<$	(34)
В частности, если z — x-\-y, то мы имеем:
2 = ^+г/ II cf = G®+o®
Пример. Предположим, что х может принимать значения 10, 11,
12, а у может принимать значения 6, 8, 10. Следовательно, х = 11
и у — 8, и мы имеем:
. _ 2	. _ 8
х 3 ’ у 3
Если z = х + у, то z может принимать девять значений, которые
получаются путем прибавления трех значений х к каждому из трех
значений у, а именно:
16	18	20
17	19	21
18	20	22
Отсюда следует, что г—19; это подтверждается равенством
z = a: + p.
Точно так же
2 32-+22 +2 • I2 +0 + 2 • I2 +22 + 32 10
аг----------------	_ —
что подтверждает формулу (34).
644
Если z — х—у, то значения для z будут
4 5 6
2 3 4
О 1	2
и, стало быть, z = 3 в соответствии с z = x — у. В этом случае для
дисперсии получим:
2 З2+224-2• I2+0+ 2• I2+ 22+ 32 _ 10
°г~ _ _
что подтверждает формулу (34).
Формулы (33) и (34) обобщаются на случай линейной функции
любого числа случайных величин.
Предположим, что х1, х2, . . ., хп — независимые случайные вели-
чины, средние значения которых соответственно равны: хх, х2, . . .,
хп. Обозначим дисперсии этих величин через н2, of, . . ., <J„.
Рассмотрим некоторую линейную функцию
z==A:1a:14-A:2x24- . . . + кпхп
этих величин, которая также будет некоторой случайной величиной.
Можно показать, что среднее значение величины z будет
Z = кгхг 4- Л2ж24- . . , 4-Лпхл	(35)
а дисперсия величины z определится по формуле:
О? = *101 + к%% 4- . . . -++<+	<-	(36)
Формулы (33) и (34) .являются частными случаями формул (35)
и (36). Отметим некоторые частные случаи этих формул.
1.	Пусть
Z = X} 4- х2 + • • • + хп
Тогда
z = x1 + a:24- . . . 4-х„: о2 = о?4-^4- . . . 4-о2	(37)
2.	Если все величины х1, х2, . . ., хп обладают одной и той же
дисперсией о2, то дисперсия их суммы z = х± + х2 + . . . + хп будет:
of = w2	(38)
Среднее квадратическое отклонение ог в этом случае будет равно:
(39s
3.	Пусть z есть среднее арифметическое п случайных величия
п
645
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение величины z
определяется по формулам:
Р2= р?+р2+^.-..-+р1. аг = ±Га? + ^+ . . . +а*	(40)
4.	Если ог — о2 = . . . = оп = о, то
„о2	а
а1=-’ (41)
Отсюда, между прочим, следует, что если xlt х2, . . ., хп —
результаты измерений какой-либо величины, то точность среднего
арифметического в ]/7Г раз больше точности отдельных измерений,
что было получено ранее.
Пример. Для одной и той же величины имеются 250 наблюде-
ний с средней квадратической ошибкой 3 и 400 наблюдений с сред-
ней квадратической ошибкой 5.
Вычислить среднюю квадратическую ошибку для среднего ариф-
метического каждой серии наблюдений и среднюю квадратическую
ошибку разности между этими средними.
Средние квадратические ошибки для средних первой и второй
серий наблюдений будут:
~^= =0,19
/250
и
»	—Л— =0,25
/400
Средняя квадратическая ошибка разности между двумя средними
будет:	__________________
о=1 Л 3 у / 5 у =0131
|/ \ /250 )	\/400 /
Предположим теперь, что z есть произвольная функция несколь-
ких случайных величин. Для простоты допустим, что z есть произ-
вольная функция двух случайных величин х и у:
z = (х, у)
Обозначим, как и раньше, х ъ у — средние значения величин х
и у, а о| и о2 — их дисперсии.
Мы можем найти приближенные выражения для среднего значе-
ния z и для дисперсии о>, применяя следующий метод линеаризации
функции ф (х, у).
Разложим эту функцию в степенной ряд по степеням х — х
и у — у, причем ограничимся лишь первыми степенями этих разностей:
2 = ф {х, У>	<Х~ Х)	/	№
646
Здесь и означают частные производные функции <р,
вычисленные при х = х и у — у. Формула (42) дает уже линейную
зависимость между z и х, у.
Применяя формулы (35) и (36), найдем для среднего значения z
и дисперсии Oz следующие выражения:
^=ф(х,Г); °22=(-£)42+(-J-)2 °*	ОЗ)
Эти формулы и решают вопрос о нахождении среднего значения
и дисперсии нелинейной функции двух случайных величин.
Следует подчеркнуть, что эти формулы — приближенные, так
как при их выводе была использована приближенная формула (42).
Пример. Радиус цилиндра х — 2,1 ± 0,1 см, его высота у =
= 6,4 ± 0,2 см.
Определить объем цилиндра и его среднюю квадратическую
ошибку. Среднее значение объема находим по формуле:
P = jtz2^ = 3,14 • 2,12- 6,4 = 88,7
Дисперсию определим, применяя формулу (43):
av = (2лг<2 0,01 + (зтх2)2 0,04 = 73,93
Извлекая квадратный корень, найдем среднюю квадратическую
ошибку определения объема цилиндра:
о = 8,6
Следовательно
V= 88,7 ±8,6
Пример. Показатель преломления для стекла призмы
sin у (A + D)
п — j
sin у А
где А — угол призмы;
Р — угол минимального отклонения.
Результаты нескольких измерений А и D дают:
А = 60° 5,2' ± 0,2' и D = 46° 36,6' ± 0,4'
Определить показатель преломления призмы для известной длины
волны света.
Так как
(А + #) = 53° 20,9'
Y Л = 30?2,6'
647
то
_ siny(H + Z>)
”= •
sm-Л
_ 0,802280
0,500655
= 1,60246
Применяя (43), найдем для средней квадратической ошибки:
111 11 1
— sin — ^cos —(Л + Z))——sin —(Л + D) cos у л
ОН	it	и	Ы	ii	и	и
дА	sin2 А
= 8'П^Д = _ .8Ш ~2 °	_ sin 23° 18,3'	_0
„ , , 1 .	1— cos Л '	1 — cos 605 5,2
2 sin2 — А
дп -^^s — (A+D) cQs 53„ 2()д, 0|577
9D . 1 .	2 sin 305 2,6'	10 U’W
sin-Л
Но
аА = ± 0,2' = ± 0,000058 рад
и
aD= ±0,4'= ±0,000116 рад
Следовательно, на основании формулы (43)
с2 = (0,79 • 0,58 • 10-4)2 + (0,60 • 1,16 • 10’4)2 = 0,65 • Ю"»
откуда
о„ = 0,86 • 10~4
Следовательно, коэффициент преломления призмы можно пред-
ставить в виде:
п = 1,60246 ± 0,00008
§ 15. КРИТЕРИЙ %2
В технологической практике часто приходится встречаться с за-
дачами следующего рода. Некоторое испытание производится не-
сколько раз, причем известна теоретическая частота появления
некоторого события при этом испытании. Однако на практике фак-
тическая частота оказалась несколько отличной от теоретической.
Важно установить, можно ли объяснить имевшее место расхождение
между частотами случайными причинами? Пусть, например, извест-
но, что процент брака при выпуске некоторой продукции в сред-
нем равен а.
Если среди выпускаемой продукции процент брака окажется
равным р =^= а, то можно ли это расхождение объяснить случайными
причинами или это расхождение существенно и вызвано улучшением
648
или ухудшением технологии производства этой продукции? Для
решения этого вопроса поступают следующим образом.
Построим некоторую величину, которую можно было бы принять
за меру расхождения между фактической и теоретической частотой.
Эту величину называют критерием значимости.
Определим вероятность того, что в силу случайных величин,
критерий значимости примет значения, равные или большие того
значения, которое получено из опыта. Если эта вероятность ока-
жется малой, то это будет означать, что мала вероятность того, что
в силу случайных причин критерий значимости примет то числовое
значение, которое для него получено из опыта, или превысит его.
Следовательно, критерий значимости достиг этого значения не в силу
случайных причин и расхождение между теоретической и фактической
частотами существенно.
Если же эта вероятность окажется немалой, то расхождение
между теоретической и фактической частотами следует признать
случайным.
Вопрос о том, какую вероятность нужно считать малой, не может
быть решен методами математики; он зависит от характера рассма-
триваемой задачи. Часто при решении подобных вопросов вероятность
считают малой, если она меньше 0,05 (пятипроцентный уровень зна-
чимости). Однако следует иметь в виду, что при этом в одном из
каждых 20 случаев мы будем утверждать наличие эффекта, не суще-
ствующего в действительности. Если такой процент ошибки считается
слишком большим, следует принять более высокий, например,
1%-й уровень значимости.
Если нам нужно определить, случайно ли отличается частота по-
явления некоторого события от ожидаемого значения, то применяют
так называемый %2 критерий. За меру расхождения между теорети-
ческой и наблюдаемой частотой принимают число:

где Ф — фактически полученное значение частоты;
Е — ожидаемая частота.
Суммирование производится по всем исходам опыта.
Не рекомендуется применять критерий %2 в тех случаях, когда
какое-либо Е меньше 5.
После того, как %2 найдена, нужно из таблицы величины %2
(см. приложение в конце книги) определить вероятность того, что
в силу случайных причин %2 примет значение, равное или большее
того, которое найдено из опыта.
Таблица функции составлена по двум аргументам. Одним из
них является вероятность р, а другим — так называемое «число
степеней свободы». Под числом степеней свободы понимают число
классов, значения которых можно задать произвольно. Иными сло-
вами, это есть общее число классов минус число ограничений, нало-
женных на изучаемую систему.
649
Если найденная по таблице вероятность мала (например, меньше
0,5 или меньше 0,1), то расхождение между опытной и теоретической
частотами нельзя считать случайным.
Отметим, что критерий %2 применяется также и при сравнении
опытных частот, полученных в результате нескольких опытов.
Пример. Прочность безопасного стекла испытывается с помощью
стального шарика, который падает на стеклянный лист с определен-
ной высоты.
В одной серии испытанию подвергались 10 листов, причем 5 из
них были разбиты, в другой серии из 20 листов другого состава
не выдержали испытания 14 листов. Можно ли считать, что прочность
стекла обусловливается различием состава или же различие в резуль-
татах опытов по сериям объясняется случайными причинами?
Так как испытанию подвергались 30 стекол и из них оказались
разбитыми 19 стекол, то вероятность того, что стекло окажется
разбитым, равна 19/30, а вероятность того, что оно не разобьется,
равна 11/30. Следовательно, теоретическое число разбитых стекол
в первой серии равно • 10 = 6,33, а во второй серии • 20 =
= 12,66. Теоретическое число уцелевших стекол в первой партии
равно -^-•10 = 3,66, а во второй партии -^-•20 = 7,33.
Вычисляем критерий %2:
2= (5—6,33)2 . (14-12,66)2 , (5-3,66)2	(6-7,33)2
*	6,33	"г"	12,66	-г"	3,66	"Г 7,33	1,14
Число степеней свободы находится как число классов, значения
которых могут быть заданы произвольно. В нашем случае мы имеем
два класса — класс разбитых и класс уцелевших стекол; однако
произвольно мы можем задать численность только одного из них,
в результате чего определится численность второго класса. Если
общее число образцов составляет 30 листов и 19 из них оказались
разбитыми, то количество уцелевших должно быть 11. Поэтому число
степеней свободы равно единице. Обращаясь к таблице %2 для одной
степени свободы, находим, что вероятность нашей гипотезы составляет
около 0,29. Так как зта вероятность не мала, то на основе проведен-
ных опытов нельзя утверждать, что здесь имеется различие свойств
испытываемого состава стекла.
Пример. При отсчетах по шкалам измерительных приборов по-
следние цифры показаний обычно оцениваются лишь приблизительно
в долях деления шкалы.
При этом часто можно отметить предпочтение, которое даже опыт-
ные наблюдатели оказывают одним цифрам перед другими. В табл.
XXI-8 приводится распределение 200 случаев оценки последней
цифры одним из наблюдателей при отсчете по измерительному при-
бору в долях деления шкалы.
Табл. XXI-8 обнаруживает, что цифры 0 и 8 встречаются значи-
тельно чаще, чем другие. Вопрос заключается в том, имеем мы здесь
650
ТАБЛИЦА XXI-8
Цифры	Наблюденные численности	Математические ожидания численностей	уклонения	(ф — Е)2 Е
1	2	3	4	5
0	35	20	15	11,25
1	16	20	-4	0,80
2	15	20	—5	1,25
3	17	20	—3	0,45
4	17	20	—з	0,45
5	19	20	-1	0,05
6	11	20	-9	4,05
7	16	20	—4	0,80
8	30	20	10	5,00
9	24	20	4	0,80
	200	200	0	24,90
дело с систематической ошибкой в отсчете или нет. Этот вопрос,
естественно, решается сравнением наблюденного распределения с те-
оретически допускаемым равномерным, при котором вероятность
получения любой из цифр 0, 1, 2, . . ., 9 равна
В графе 4 таблицы указаны значения уклонений наблюденных
численностей от их математических ожиданий и в графе 5 сделаны
подсчеты %*. Число степеней свободы равно 9. Из таблицы вели-
чины х2 находим, что значению х2 — 24,9 соответствует вероятность
меньшая, чем 0,01. Следовательно, расхождение между частотами
нельзя считать случайным.
Пример. Ниже приведены данные выпуска сверхплановой про-
дукции по сменам (в условных единицах);
Смена
А . . . . 1
В . . . . 7
С . . . .	7
Проверим, можно ли считать расхождение между количеством
сверхпланового выпуска по сменам случайным.
Так как среднее число по сменам равно 5, то для критерия х2
находим:
ODD
Число классов в данном примере равно 3; мы можем произвольно
задать численность только двух из них, так как численность третьего
класса при этом определится. Поэтому число степеней свободы
равно двум.
651
Из вышеприведенных данных найдем, что соответствующее зна-
чение вероятности близко к 0,09. Эту вероятность нельзя считать
малой; поэтому расхождение между данными выпуска сверхплановой
продукции можно считать случайным.
Решим ту же задачу, но с иными числовыми величинами:
Смена
А .... 2
В .... 14
С . . . . 14
Критерий %2 в этом случае равен
(2 —10)3 , (14-Ю)2 , (14-Ю)2.
%	10	10	10
При двух степенях свободы этому значению %2 соответствует
вероятность, меньшая 0,01. Следовательно, есть основание считать
различие в выпуске сверхплановой продукции по сменам неслу-
чайным.
Пример. В табл. XXI-9 приведены некоторые данные о процессе
размалывания бумажной массы в аппарате. Испытывались четыре
Проверим гипотезу, что нет связи между частотой случаев засоре-
ния и методом загрузки, т. е. что частота случаев засорения не за-
висит от метода загрузки. Согласно этой гипотезе, частота засорения
должна быть одинакова при любом методе, т. е. должна равняться
-^- = 0,8 на цикл.
40
Вычисляем %2:
„,2 -	~5)2	1 (8 —8)2	,	(7,2-9)2	,	(10-10.4)2
%	6,4	"Г 8	-г"	7,2	-г"	10,4
Число степеней свободы равно трем, так как число классов равно
четырем и при общем количестве засорений 32 численность только
трех классов может быть заполнена произвольно.
Обращаясь к таблице %2 (см. приложение) для трех степеней
свободы, видим, что вероятность приблизительно равна 0,85. Эта
вероятность не мала. Следовательно, приведенные данные хорошо
согласуются с гипотезой, что частота засорений не зависит от метода
загрузки.
652
Пример. Допустим, что в первой выборке в 1000 изделий было
20 случаев брака; в другой выборке в 500 изделий было 15 случаев
брака.
Оправдывается ли с достаточной уверенностью предположение,
что совокупности, представляемые этими двумя партиями, различны?
Всего на 1500 изделий мы имеем 35 случаев брака; вероятность
ее'
брака равна = 0,0233. Теоретическое число бракованных изде-
лий в первой и второй выборке соответственно равно 23,3 и 11,6.
Вычисляем величину х2:
2 = (23.3 —20)2 , (15-11.6)2 , (976,7 —980)2 . (488,4-485)2 =
Х 23,3	'г'	11,6	''	976,7	-г"	488.4
Число степеней свободы — единица.
Из таблицы (в приложении) находим, что этому значению %2
соответствует вероятность 0,2; эта вероятность не мала. Следова-
тельно, расхождение можно признать случайным.
§16. КРИТЕРИЙ F И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗ
Рассматриваемый здесь критерий применяется при сравнении
точности двух рядов измерений, при проверке устойчивости техноло-
гического процесса и т. п. Функция F есть отношение выборочных
дисперсий!
О?

Значения этой функции для уровней значимости 0,5 и 0,1 табу-
лированы при соответствующих степенях свободы каждой из двух
дисперсий (см. приложение). При сравнении двух дисперсий обычно
в числителе критерия F содержится большая дисперсия.
Пример. При определении содержания хлора в полимерном
соединении использованы два метода анализа, результаты которых
приведены ниже (в %):
Метод А	Метод В
27,5	27,9	27,0
27,0	26,5	27,4
27,3	27,2	27,3
27,6	26,3	26,8
27.8		
Предположим, что нет различия между методами анализа в отно-
шении воспроизводимости устойчивости анализов. Для проверки
этой гипотезы воспользуемся критерием F. При выполнении расчетов
мы будем вычитать 27% из каждого значения в столбце А и 20% —
в столбце В. Это не влияет на дисперсию.
653
Имеем:
rs.__
XA
re—1
Таким образом:
2*A=2,2
2 *1 = 1,34
(S*a)‘
n
= 0,093;
— 56,4
£ 4 = 399,48
° в=——----------------------= °.266
F_ 0,266
F“ 0Ж“2'86
В таблице значений F (см. приложение) находим F = 6,09 при-
менительно к вероятности в 0,05 при 7 степенях свободы для о?
и 4 степенях свободы для of.
Так как полученное значение F — 2,86 значительно меньше
табличного, то наше предположение при данных условиях не опро-
вергается.
§ 17. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА
Английский химик В. Госсет, писавший под псевдонимом «Стью-
дент», получил закон распределения, носящий теперь его имя.
Предположим, что случайные величины и и v независимы друг
от друга, причем и распределена нормально, a v — по закону %2
с к степенями свободы. Тогда величина
tv=—^=	(44)
имеет следующую плотность распределения, которая известна под
названием «закона Стьюдента»:
Т{> Уы г (A) I + к )
где Г (—тр-) и Г (-у) —гамма-функции (см. стр. 312).
Отсюда видно, что это распределение зависит только от к.
Распределение Стьюдента довольно близко к нормальному, осо-
бенно если к не мало. На рис. XXI-5 приведены для сравнения кри-
вые нормального распределения 1 и распределения Стьюдента 2
при к = 4. Различие между этими кривыми существенно лишь при
малых п. Если к 20, то распределение Стьюдента практически
совпадает с нормальным распределением. Поэтому при решении
задач распределением Стьюдента следует пользоваться лишь при
/г <20.
654
Для совокупности, распределенной с отклонением от ее
среднего X, будем иметь:
Так как (п — 1) о2/о0 имеет распределение по закону %2 с (п — 1)
степенями свободы, то из (44) получим:'
Таким образом, критерий Стьюдента t есть отношение отклонения
среднего х данной выборки, состоящей из п индивидуумов, от истин-
ного значения X всей совокупности к стандартному отклонению о/]/п.
Значения t табулированы.
Пример. В нижеследующей таблице представлены результаты
анализа процентного содержания пластификатора до (I) и после (II)
обработки массы в печи:
		(I) 17,5 17,8 17,4 17,5 17,7	(П) 17,0 17,0 17,4 17,0 17,3
V X х *	. . . .	. 87,9	85,9
п	• • • •	. 17,58	17.18 = 5
У			. 1545,39	1475,89
V	Sх2 га —1	га (га —1)	/0,032 = о
655
Если в приемах исследования не было постоянных различий,
то следует ожидать, что в случае отсутствия потерь разность между
значениями в сериях должна в среднем равняться нулю.
Требуется установить, значимо ли отличается их среднее от нуля.
Величина t равна:
t =	= 17,58-17,18	0,4 = 67
1/ ai Д- °2	1/ °-027 । °.°32	°>109
V п ' п	V 5*5
Обращаясь к таблице Стьюдента, найдем, что при к — 8 (из 5
анализов 4 независимы для каждой из двух групп) величина 3,355
соответствует вероятности 0,01 и поэтому имеем меньше одного
случая из 100 для утверждения, что случайные образцы из отдельной
выборки будут отличаться друг от друга на 0,4%.
Таким образом, предположение об отсутствии потерь не является
обоснованным.
§ 18. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Если для оценки неизвестного параметра 0 мы определим вместо
одного два значения А и В таким образом, что здесь имеется вероят-
ность 1 — а осуществления неравенства 4<9<В, тоЛиВ назы-
ваются 100 (1 — а)%-ными доверительными пределами, а интервал
между ними является 100 (1 — а)%-ным доверительным интервалом.
Так как вероятность того, что этот интервал не включает в себя 0,
составляет а, то при обратном утверждении мы рискуем ошибиться
на 100 а%. Следует подчеркнуть, что мы не утверждаем, что 0 имеет
вероятность 1 — а для попадания в область между данными преде-
лами. Значение 0 есть просто неизвестная постоянная, и поэтому мы
не можем относительно нее сделать такого рода предположения.
Любая статистическая характеристика является приближенной.
Поэтому она может иметь определенный смысл лишь в том случае,
когда указываются границы возможной погрешности оценки или,
иначе говоря, указывается интервал, о котором с известной вероят-
ностью можно утверждать, что он покрывает оцениваемое нами,
вообще говоря, постоянное значение параметра. Предположим, на-
пример, что мы желаем по данным выборки оценить характеристику
Л центра группирования нормальной генеральной совокупности,
среднее квадратическое отклонение которой мы считаем известным.
В этом случае величина х подчинена нормальному закону
с центром X и дисперсией о2/п.
Следовательно, величина 1 =—-—]/ п есть нормированное
отклонение нормально распределенной случайной величины х от
центра группирования. Если мы имеем
Р (I t |>t„) = a, то P(-ta<t<ta)=p(-«e<-^^-Kn<^ = l-a
при любом значении X.
$56
Далее, заметим, что неравенство

х— X
о
равносильно неравенству	х v-<х V п
Неравенство	х— X о
равносильно неравенству	Vn
В силу того, что 0^0	V п
Аналогично найдем равносильными;
, х~X
~ta<~ и х<х+~рТ
____________________________________"%
Следовательно, утверждение, что —-— V п попадет между —£а
и ta равносильно утверждению, что мы будем иметь:
и

Мы можем теперь написать
Р х
т. е. интервал между х---и x-j--^- есть 100(1 — а)%-ный
V п	V п	__
доверительный интервал для неизвестного среднего х, если диспер-
сия о2 известна.
Рассмотренный выше доверительный интервал имеет конечные
границы. Иногда приходится решать задачи определения вероят-
ности 1 — а для значений, которые только больше или только меньше
чем X. Такие интервалы называются односторонними доверитель-
ными интервалами.
Предположим, что мы выбираем значение £2а таким образом,
что Р (|	Тогда, вследствие симметрии нормального распре-
деления, будем иметь:
Р(<<<2«) = 1 —“ и Р (*>~«2а) = 1 — «
42 Заказ 1706
657
или
= и <Л K2><2aj = 1—a
На основании изложенного выше можем написать:
(— СЧо-
х--^=-<Х 1 = 1—a
Vn	/
Р fx+—7=-< Х^ = 1 —a
\ Vn	)
Таким образом, интервалы со значениями больше, чем х—
F п
и меньше, чем x-j—являются искомыми односторонними
Vn
100 (1 — а)%-ными доверительными интервалами для неизвестного
среднего X.
Доверительные интервалы могут быть применены к любой нор-
мально распределенной переменной с известным стандартным откло-
нением. Например, если мы имеем две выборки пг и п2 из нормальной
совокупности со средними и Х2 и дисперсиями о| и о|, то d —
= xv — х2 будет нормально распределенной со средней 8 — Хг — Х2
и с дисперсией о2 = 0i/n1 + о2/п2. Следовательно, если о2 и
известны, то двусторонним доверительным интервалом для б будет:
2—
Пример. В течение продолжительного срока при анализе данного
материала на содержание железа установлено стандартное отклоне-
ние 0,12%. Если 6 анализов дают среднее содержание железа 32,56%,
то 95%-ный доверительный интервал для истинного содержания
железа в образце определится так:
012  	012
32,56-1,96 -^<Х<32,56+1,96
Кб	Кб
или
32,46 <Х <32,66
где K = fo,o5 — 1,96 (из таблицы, см. Приложение).
Если мы заинтересованы только в установлении нижнего предела
для возможного содержания железа в образце, то при #2а = £0,10 =
= 1,645 будем иметь:
012	—
32,56-1,645
Кб
или
Х> 32,48
658
§ 19.	СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Получение экспериментальных данных часто имеет целью вы-
сказать некоторое суждение относительно совокупности по опытным
данным, которые получены для отдельных образцов. Пусть, напри-
мер, мы желаем определить, дает ли новый технологический процесс
увеличение выхода продукта по сравнению со старым.
Использование экспериментальных данных для ответа на вопросы
такого рода называется испытанием или проверкой гипотез. Простей-
ший случай испытания статистической гипотезы состоит в следующем.
Мы принимаем, что рассматриваемая совокупность может быть
описана некоторой функцией распределения, которая зависит от
одного неизвестного параметра 0. Тогда на основании исследования
образца хг,. . ., х„, взятого из этой совокупности, мы желаем либо
принять, либо опровергнуть гипотезу о том, что 0 имеет некоторое
частное значение 0О.
Испытание статистической гипотезы в общем производится так:
1)	по результатам наблюдений или измерений . ., хп вы-
числяем соответствующие статистические данные для отдельных
образцов;
2)	принимая, что гипотеза верна, определяем вероятность откло-
нения статистических величин от ожидаемого значения;
3)	если таким образом полученная вероятность меньше некото-
рого малого значения доверительной вероятности а, то мы гипотезу
опровергаем.
Например, если на основании испытания выборки с величинами
ху,. . ., хп, имеющими нормальное распределение с известной диспер-
сией о2, мы желаем проверить гипотезу, что среднее X = Хй, то
мы должны определить вероятность среднего отклонения от гипо-
тетического среднего (х — Хо) и отклонить гипотезу, если эта вероят-
ность мала. Такого рода испытания часто сводятся к испытанию
значимости, и если гипотеза отклоняется, то говорят, что истинная
величина 0 сильно отличается от гипотетического 0О при уровне
значимости а.
Для того чтобы прийти к определенному заключению хотя бы
вероятностного характера, мы делаем гипотетическое допущение
о равенстве 0 = 0О. Такого рода вспомогательные гипотезы об от-
сутствии интересующего нас различия между параметрами часто
называют «нулевыми гипотезами», так как мы никогда не утверждаем,
что 0 = 0О, а только полагаем, что эта величина не отличается зна-
чимо от 0О.
Необходимо отметить, что в каждом случае доверительные пре-
делы для параметра 0 определяют испытание гипотезы 0 = 0О,
так как если 0О не попадает в область между этими пределами, то
мы можем с 100 а%-ным риском или при уровне значимости а
заключить, что 0 =£= 0О.
При испытании гипотез могут быть ошибки двоякого рода. Во-
первых, отклонение гипотезы возможно тогда, когда она верна;
42*
659
мы уже определили вероятность такой ошибки путем выбора уровня
значимости а. Во-вторых, ошибка возможна и при утверждении
неверной гипотезы.
Пусть, например, гипотеза, которая подлежит испытанию, со-
стоит в том, что с изменением некоторого процесса выход продукта
не увеличивается. Тогда, принимая, что выход увеличивается, когда
в действительности этого нет, мы совершаем ошибку первого рода,
но утверждение, что выход не увеличивается, когда фактически
имеет место обратное явление, приводит к ошибке второго рода.
График вероятности ошибки второго рода в зависимости от воз-
можных значений 0 называется кривой рабочей характеристики
испытания. Такие кривые очень важны при определении объема
испытания, необходимого для отклонения неверных гипотез.
Рассмотрим подробнее задачу испытания гипотезы о том, что
неизвестное среднее X равно некоторому значению Хо на основании
результатов наблюдения хг,. . ., х.п. По-прежнему имеем:
в качестве нормированной переменной нормального распределения.
Предположим, что t выбрана таким образом, что
Р (111>*«) = « _ _
Д._
Тогда, если абсолютное значение t0 = —-—уп превышает ta,
мы отклоним гипотезу X — Хо, утверждая, что разность X — Хй
значима при уровне 100а%. Если же неизвестное среднее X дей-
ствительно равно Хо, то
P(l«ol>U = «
причем а есть вероятность отклонения гипотезы, когда она досто-
верна, или утверждения, что разность х — Хо значима, когда гипо-
теза недостоверна.
Теперь предположим, что гипотеза неверна и что X действительно
равно некоторому другому значению Xt. Тогда мы желаем исследо-
вать вероятность того, что i0 будет иметь абсолютное значение,
меньшее, чем £а, или что гипотеза не будет отклонена, когда она
неверна (ошибка второго рода).
В этом случае величина
, х —Ху ,г-
будет нормированной переменной нормального распределения,
которая может быть представлена так:
х~Х° Vn= Х1~Х° yn = t0-dVn
а	о
где
Xi-X0
а --------
660
Таким образом
«о = О + d Vn
Следовательно
= P (— г« — d VnV^n)
Отметим, что с увеличе-
нием п и при постоянном
d величины
—га—dVn и t^—dVn
уменьшаются (или возра-
стают при отрицательных
значениях </) и, следова-
тельно, вероятность того,
что попадет между ними,
приближается к нулю. Это
означает, что для больших п
вероятность того, что невер-
ные гипотезы не будут от-
клонены (т. е. ошибка вто-
Рис. ХХ1-6.
рого рода) очень мала.
На рис. XXI-6 и XXI-7 изображены графики зависимости
Р (| t0| < ta) от d при а = 0,05 и а = 0,10 и нескольких значе-
ниях п, т. е. зависимости вероятности того, что гипотеза X =
не будет отклонена от d. Эти
Рис. XXI-7.
кривые представляют рабо-
чие характеристики испы-
тания.
При d = 0, т. е. когда
X = Хо, вероятность того,
что гипотеза не будет откло-
нена, равна
1 — а = 0,95 или 0,99
Пример. Для химического
процесса очень важно, чтобы
раствор, используемый в ре-
акции, имел pH, равный 8,30.
Метод определения pH дает значения, которые распределяются по
нормальному закону около истинного pH раствора со стандартным
отклонением о = 0,02. Шесть определений pH раствора, получен-
ные для частного случая проведения процесса, представляют еле
дующие величины:
8,29; 8,30; 8,31; 8,30; 8,32; 8,34
А. На основании этих измерений мы желаем испытать гипотезу
о том, что раствор в этом частном случае имеет pH = 8,30. Примем
уровень значимости а = 0,05. Тогда (см Приложение):
= 1,96
661
Мы получили число, которое является стандартным нормальным
отклонением в сторону увеличения по абсолютной величине с вероят-
ностью 0,05. Таким образом, величина ta, равная 1,96, должна
встретиться всего 1 раз из двадцати, если испытываемая гипотеза
правильна.
Для данной выборки имеем:
п = &, х = 8,31; о = 0,02
Испытанию подвергается Хо = 8,3.
Следовательно
(=	/п= 8:31-8.3	1,22
Таким образом, на основании данной выборки мы не должны
отклонить при 5 %-ном уровне вероятности гипотезу, что истинная
pH была равна 8,3.
Б. Рассмотрим другой вопрос. Предположим, очень нежела-
тельно, чтобы гипотеза pH = 8,30 была принята в том случае, когда
истинная pH больше 8,33 или меньше 8,27.
Тогда, выбрав а = 0,05, определим необходимое число измерений
pH для того, чтобы при условии х 8,33 или х sg 8,27 вероятность
не отклонить гипотезу была меньше, чем 0,05.
Так как вероятность того чтобы не отклонить гипотезу умень-
шается при увеличении разности х — Хо, то мы должны учесть
•случай Xt — 8,33 (или же Хг — 8,27). Имеем:
Для определения наименьшего значения п воспользуемся следу-
ющим выражением:
Р {—ta—d Vn<*<7a—d Vп) =
= Р (-1,96-1,5 /Й<«<1,96 —1,5 /й)<0,05
где t — стандартизованная нормальная переменная.
Решаем методом подбора п с последующим определением вероят-
ности по таблицам. Так, например, для п = 5 вероятность равна
'0,0823, а для п — 6 вероятность составляет 0,0431. Следовательно,
наименьшее число измерений, которое гарантирует требуемое усло-
вие, равно 6.
С уменьшением значения d объем (п) выборки быстро возрастает.
Например, если бы требовалось получить ту же гарантию против
возможности принятия того, что истинное значение pH было больше
8,31 и меньше 8,29, то необходимое число измерений будет 52. Во
многих случаях такое число измерений выходит за пределы реальных
возможностей. Поэтому мы должны либо принять меньшую
гарантию против неверных гипотез, либо должны разработать более
точный метод измерения (анализа) с меньшим стандартным откло-
нением о. Это может привести к следующему вопросу.
•662
В. Какая точность требуется для метода определения pH, если
мы должны иметь вероятность Р 0,05 для того, чтобы не принять
гипотезу pH = 8,30 на основании шести измерений при условии, что
действительная pH больше 8,31 или меньше 8,29?
По-прежнему, используя а = 0,05, получим из выражения
Р (-1,96-d /б<t< 1,96-d /б)<0,05
наименьшее значение d = 1,47.
Так как
d= Х1~Х0 — 0.01
о о
то будем иметь:
или
о <0,0068
Таким образом, для данных условий потребуется метод измере-
ния pH со стандартным отклонением, меньшим 0,0068.
В предыдущем испытании гипотеза X = Хо одинаково опровер-
галась как в случае X < Хй, так и в случае X > Хо. Однако мы
часто заинтересованы в том. чтобы, при возможности, отклонить
нулевую гипотезу, если X )> Хй, но остаемся безразличными к тому,
опровергается ли эта гипотеза, если X < Хо.
Действительно, в последнем случае принятие нулевой гипотезы
может оказаться более приемлемым. Например, исследуя влияние
изменения процесса, предназначенного для увеличения выхода про-
дукта, мы могли бы испытать гипотезу о том, что выход не изменяется,
но нам остается только отклонить эту гипотезу в случае увеличения
выхода. Для практических целей уменьшение выхода является менее
пригодным, чем неизменный выход, и поэтому испытываемая нулевая
гипотеза заключается в том, что выход не изменяется.
Естественно при таких обстоятельствах отклонять нулевую гипо-
тезу X = Ха только тогда, когда действительное значение (не абсо-
лютное значение) t0 больше, чем i2a, причем i2o выбирается таким:
образом, чтобы
P(|N>*2«) = 2a
Для вероятности не отклонить гипотезу X = Хо при X = Хг
будем-иметь:
Р da^Zf^—P — d У'п)
Пример. Предположим, что в примере на стр. 661 важным было
чтобы pH не превышала намного значения 8,30. Тогда следовало бы
испытать гипотезу X = 8,30 против X > 8,30. Так как t = 1,22
меньше t2(0 05> — Ч, ю = 1,645, то мы еще не имеем основания
отклонить её.
663
Пусть мы желаем, чтобы вероятность не отклонить нулевую
гипотезу при X 8,33 была меньше или равна 0,05. Тогда мы
должны иметь п достаточно большим настолько, чтобы
Р	= Р Gi< 1,645- 1,5 /й)<0,05
По-прежнему найдем, что при п = 4 вероятность равна 0,0877,
а для п — 5 она составляет 0,0437. Следовательно, пяти определений
будет достаточно для односторонней гарантии.
Рассмотренные выше случаи могут быть применены для любой
переменной, распределенной по нормальному закону. Например,
даны две выборки с известными стандартными отклонениями; мы
можем испытать гипотезу 6 = 0 или Хг = Х2 путем расчета
f,_ х1—хг X1~Xi
i/sL+^L
Г ‘ п2
с последующей обработкой полученного результата.
Пример. Используя упомянутый на стр. 658 метод анализа на
содержание железа, для которого отклонение 0,12%, мы получим
четыре определения для каждой из двух выборок. Среднее содержа-
ние железа для одной выборки 36,45%, а для другой — 36,82%.
Для испытания гипотезы о том, что между содержанием железа
в двух образцах нет существенной разницы, определим:
х!-^	_	36,82-36,45
*	»«......	"	'	f. -	•
1/ I £1	1/ 0.0144 . 0,0144
Г пг * п2 У 4^4
Так как iOj 01 = 2,576, то мы отклоняем гипотезу о равенстве
между выборками и заключаем, что здесь имеется разница в содер-
жании железа для двух образцов.
Пример. Используя тот же метод анализа на содержание железа,
определим число анализов п = пг — п2 для двух образцов, содержа-
щих — 30% железа, с целью получить вероятность 0,05 для гаранти-
рования 5% уровня значимости применительно к односторонней
разности 0,3% в содержании железа между образцами.
Имеем:
Р (-«« - d	<?<««- d /у) < 0,05
где
Для п = 2:
Р (-1,964-2,5<t< 1,96 + 2,5) =0,2946
Аналогично для п = 3, 4 и 5 вероятности, соответственно, будут
0,1357; 0,0570 и 0,0233. Следовательно, для каждого образца потре-
буется пять определений.
Глава XXII
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Способ наименьших квадратов применяется в тех случаях, когда
искомые величины жх, х2>. . хп не могут быть измерены непосред-
ственно или представлены в виде явных функций измеренных вели-
чин. Пусть, например, известно, что между двумя величинами г и к
должна существовать линейная зависимость вида:
г = кх-\-у
где жиг/ — неизвестные параметры этой зависимости.
Если заданную зависимость иллюстрировать графиком и замерить
несколько пар значений гик
к . . . —2,0 1.0 3,0 5,0 7,0
г . . .	0,1 1,5 2,0 3,4 3,9
то можно составить пять уравнений:
0,1 = — 2a:-|-0
1,5=	х-\-у
2,0= Зж-j-J/'
3,4= 5х-\-у
3,9= 1х+у
для определения наивероятнейших значений параметров жиг/.
Для нахождения п неизвестных величин достаточно произвести
п серий наблюдений, чтобы составить число уравнений, необходимое
для определения неизвестных. Обычно же число серий увеличивают
и получают системы т уравнений с п неизвестными (т > п).
Избыточные измерения обеспечивают контроль и предохраняют
от грубых ошибок, дают возможность вывести более точные резуль-
таты и позволяют оценить ошибки как отдельных измерений, так
и окончательных выводов.
В то же время, вследствие неизбежных случайных ошибок изме-
рений, избыточные наблюдения приводят к различным невязкам.
Вместо однозначного решения задачи мы получаем несколько реше-
ний, которые необходимо увязать между собой.
665
Способ наименьших квадратов и дает возможность подобрать
такие значения неизвестных в системе уравнений:
/1 = а1х1 +	+ • • • + hxn
/з= а2а:1+Ь2Ж2-(- . . . -\-l2xn	(1)
1т~ атх1Л~^тх2~\~ • • • “t" ^тхп '
при которых эти противоречия были бы возможно меньшими.
Система т линейных уравнений относительно п неизвестных
в случае, когда число уравнений больше числа неизвестных (т п)
и уравнения несовместны, называется системой условных урав-
нений.
§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К СЛУЧАЮ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Если правые части уравнений (1) нелинейны, то задачу линеари-
зируют. Для этого следует из каких-либо п уравнений данной си-
стемы найти грубо приближенные значения для неизвестных.
Обозначим эти приближенные значения неизвестных хх, ж2,. . ., хп
и положим:
^1 = ^1 + Е1; х2 = х2 + &, • • • хп = хп+£п
Числа являются поправками, которые нужно прибавить к гру-
бым значениям неизвестных xlt хг,- • ., хп, чтобы получить наиболее
вероятные их значения.
Подставив эти значения в данную систему уравнений, получим:
Фг (a^i-f-El. x2 + lz, • • • . xn + ln') = h (г = 1, 2, . . .. т)	(2)
Разложим левые ’ части этих уравнений в ряды Тейлора (см.
гл. XIII — «Ряды») и ограничимся членами с первыми степенями.
Получим:
3<pz d(fi
dxi 1 дх2
(i — 1, 2, .
(3)
., т)
Эта система, определяющая поправки к найденным выше прибли-
женным значениям неизвестных, является линейной. В силу этого
в дальнейшем ограничимся лишь рассмотрением линейных систем
условных уравнений вида (1).
§ 3. ПРИВЕДЕНИЕ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНЫМ
Обозначим искомые наивероятнейшие значения неизвестных
через х2,. . хп.
При подстановке этих значений в условные уравнения, они,
вообще говоря, удовлетворяются не точно: в правых частях мы полу-
666
чим некоторые отличные от ft числа, которые обозначим через
a^i + bix2+ . . . +bixn — f1 = li (1 = 1,2, . . m)	(4>
Будем искать неизвестные xlt х2,. . хп, исходя из следующего
требования: сумма квадратов правых частей равенств (4) должна
принимать минимальное значение. Мы приходим к решению задачи
на минимум для следующей функции:
2^i = 2 (aixl + bixz +    +lixn — fi)2
j=l 1=1
Приравнивая нулю частные производные от этой функции
xlt х2,. . хп, придем к следующей системе уравнений:
2 2 (aixl + bix2 + • ‘ • + lixn — fl) «1 = 0
1=1
2 2 (aixi 4“ bix2~l~ • • • + hxn — ft) bi — Q
t=i
2 У (a,-^ 4- b,x2 4- . . . +liXn— fi) li = 0
!=1
Собирая вместе члены, содержащие xt, х2,. . ., хп, получим:
’ п	\	/ П	\	/ П	\	п
2 а1 *1+1 2 aibi *2 + • • • +1 2 aili хп~^а^1 = 0
l~l	/	\i=l	/	V=1	/	i=l
У bt<4) zi+12 bi) *«+ • • • +12 bilt) xn—2h‘f‘=°
.1=1	/	V=1	/	V'=l / i”l
(5)
У iibi j zi+ f У ifit j z2+ ... -1- f 2 k ) *« —2 w<=°
1=1	/	V=1	/	\»=1 /	1=1
Полученная система n уравнений с n неизвестными называется
системой нормальных уравнений и служит для отыскания наивероят-
нейших значений неизвестных, при которых сумма квадратов не-
вязок (ошибок) в уравнениях будет минимальной. Отсюда и название:
«способ наименьших квадратов».
Введем следующие обозначения:
2“«А=[я61; • • •; 2г<'^==[И]
667
Тогда система нормальных уравнений примет следующий вид!
[аа] [аб] ®2 + • • • + [aZ] хп~ [®/1
[Ьа] ад-НЬЬ] z2 + . . . -]-[bl] xn = [bf]
[Ze] ад-HZb] z2+ • • • + [й] z„= [Z/]
Мы имеем n уравнений с n неизвестными, решив которые, получим
наивероятнейшие значения искомых величин.
§ 4.	ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ НАЙДЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Средняя квадратическая ошибка неизвестного xk, найденного
по способу наименьших квадратов, определяется по формуле:
(п— т)
(Л = 1, 2, . . ., п)

п
В этой формуле 2 £2 есть сумма квадратов правых частей услов-
/=1
яых уравнений после подстановки в них найденных из нормальных
уравнений наивероятнейших значений неизвестных.
Величина G* равна отношению определителя, составленного
из коэффициентов нормальных уравнений
[аа] [аб] [ас] . . . [ab]
[Ьа]	[66]	[6с]	.	.	.	[6Z]
[са]	[сб]	[сс]	.	.	.	[cZ]
[Za]	[Z6]	[Zc]	.	.	.	[ZZ]
Исходные данные					Первое нормальное уравнение				
1	2	3	4 ’	5	6	7	8	9	
№ по пор.	ai	Ъ; I		Ii = az + +Ь(+Л	а1	ai'’l	aifl	al°t	
1	5,7	-4,1	-1,4	-0,1	32,5	—25,1	-8,0	-0,6	
2	3,6	1,9	9,1	14,6	13,0	6,8	32,8	52,6	
3	4,1	8,2	22,7	35,0	16,8	33,6	93,1	143,5	
4	8,4	3,1	18,3	29,8	70,6	26,0	153,7	25'0,3	
5	ИЛ	5,2	26,0	42,2	1210	37,2	286,0	464,2	
—	32,8	14,0	74,7	121,5 121,5	253,9	98,9	557,6	910,0 910,0	
«68
к тому минору, который получается из него путем вычеркивания
строки и столбца, имеющих номер к.
Доверительные границы найденных значений и их характери-
стики можно получить следующим образом. По доверительной веро-
ятности а и значению к = п — m из таблицы Стьюдента (см. при-
ложение) найдем значение la. С вероятностью а можно утверждать,
что истинное значение неизвестной отличается от найденного
методом наименьших квадратов не больше чем на величину
Пример. Решить методом наименьших квадратов систему урав-
нений:
5,7г —4,4// = —1,4
3,6г + 1,9?/ = 9,1
4,1г + 8,2{/= 22,7
8,4г + 3,1г/= 18,3
11,0г-{-5,2у = 22,0
Для составления нормальных уравнений и для оценки точности
корней, составим табл. ХХП-1.
Для контроля вычислений в таблицу введены дополнительные
столбцы 5, 9 и 13, содержащие суммы коэффициентов нормальных
уравнений и их произведения. Итоговые числа (121,5; 910,0; 626,9)
получаются суммированием по вертикали и горизонтали и должны
быть равны друг другу. Небольшие расхождения (626,9 и 626,8),
конечно, не играют роли.
Полученные нормальные уравнения
25.3,9г+98,5?/ = 557,6
98,5г 126,8^ = 401,5
имеют корни:
г0= 1,381; у0 = 2,090
ТАБЛИЦА ХХП-1
	Второе нормальное уравнение				Оценка точности			
	10	11	12	13	14	15	и;	17
	ьл	Ч		hi°i	а1хй	ь,Уо	м	г
	-25,1	19,4	6,2	0,4	7,88	-9,21	0,07	0,00
	6,8	3,6	17,3	27,7	4,97	3,97	0,16	0,03
	33,6	67,2	186,1	287,0	5,66	17,15	0,11	0,01
	26,0	9,6	56,7	92,4	11,60	6,48	0,22	0,05
	57,2	27,0	135,2	219,4	15,20	10,88	0,88	0,01
	98,5	126,8	401,5	626,8 626,9	—	—	—	0,10
669
Gy.
Для оценки их квадратичных ошибок в столбцах 14—17
табл. XXII-1 вычислены Sll=o,io. Находим величины Gx и
входящие в формулу (6):
I 253,9	98,5 I
„ _ I 98,5	126,8 I _ 22 500
--------ВД	127“-17'
_ 22 500 _
у~ 254 -89
Следовательно, по формуле (6):
477°(5-2) =0014
'‘«-|'Z-®- = 0'W9
§ 5.	ПРОВЕДЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ
Решить систему уравнений, приведенных на стр. 665 или, что
то же, провести через указанные
на рис. ХХП-1 точки наиболее
близко проходящую к ним
прямую.
Составляем нормальные
уравнения и решаем их:
88*+14г/= 51,6
14* + 5 г/ = 10,9
Имеем: х = 0,432 и у =
= 0,971.
Следовательно, уравнение
искомой прямой будет:
г = 0,432^+0,971
§ 6.	ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При проведении кристаллохимических исследований измерены
углы (рис. ХХП-2):
у—^. AOB = 32q 20' 23" при относительном весе gi = 1
у = ВОС = 409 14' 50" »	»	» £2 — 1
z=^ COZ> = 30q42' 30" »	»	» g3 = l
Более точное измерение углов дало:
х-\-У=^ АОС— 72s 35'09" при относительном весе gi = 5
*+.v+z=^ AOZ>=103? 17' 51" »	»	»	g2	=	5
j/ + z=^ BOD— 70° 57'25" »	»	»	g3	=	5
670
Требуется найти наивероятнейшее значение ЛОВ, ВОС
и COD.
Запишем первоначальную (условную) систему уравнении:
у = 32s 20' 23"; х+у = 725 35' 09"	„
г/= 405 14'50"; г+г/ + г=103а 17'51"
I = 30® 42' 30";	у+z = 70s 57' 25"	*
0^---------1-----в
Примем за новые неизвестные следующие ук	'
величины;	\	4
= г —32s 20' 23"	\ X.
\ г X.
U =	409 14' 50"	Г С
Вз = z ~ 309 42' 30"	Рис. XXII-2.
Мы придем к следующей системе условных уравнений:
11=0
В2 = 0
Вз = 0
В1+В2 = —4"
В1 + Вг + Вз = 8"
Вг + Вз = 5"
Приписывая первым трем уравнениям веса, равные 1, а послед-
ним трем — веса, равные 5, получаем табл. XXII-2 для составления
нормальных уравнений:
							ТАБЛИЦА					XXII-2
g	а	ь	с	gaa	gab	cae	gbb	gbc	gec	ga/	gb/	get
1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
1	0	(’	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
5	1	1	0	5	5	0	5	0	0	-20	—20	0
5	1	1	1	5	5	5	5	5	5	40	40	40
5	0	I	1	0	0	0	5	5	5	0	25	25
				[gaa]=	[gab] =	[gac] =	[gbb] =	[gbc] =	[gcc] =	1 gay i =	[gb/] =	lgc/J =
				= + 11	= + I0	= + 5	=+16	= + 10	= + 11	= 20	= 45	= 65
Система нормальных уравнений будет:
11В1 + Ю|2+ 5|3 —20 = 0 1
ЮВ1 + 16|2 + 10|з-45 = 0	(7)
5|i + 10|2 +11Вз-65 = 0 J
671
Решая эту систему, получим:
51 = —0",357;	5j = 2",320; 5з = 0",982
Следовательно
ж=329 20' 22",643
Р = 409 14' 52" ,320
z = 30s 42' 30",982
Для оценки найденных значений по формуле (6) вычислим опре-
делитель системы (7) и его диагональные миноры.
Имеем:
D =
11
10
5
Dy=
10
16
10
11
5
5
10
11
5
11
= 366;
= 96;
Р.= | 16 10
I 10 И
= 76;
яг=
И 10
10 16
= 76
Далее, находим невязки и взвешенную сумму их квадратов:
51 = —0",4; 52=-2",3; 53=1',0; §4=б",0;
Ь = 5",0; |в=-1",7
£ £15? = 70,34
1 =Т-=‘^’ = 0’23;	=’^Г = 0’29
£з Зоб	£г 336
Рх=5’,0; p.z/=6",6; |хг = 5",0
границы найдем таким образом. Положим, что
вероятность а = 0,8. Тогда по а = 0,8 и к =
gi
Д оверительные
нас удовлетворяет
= т — п = 3 В таблице Стьюдента, приведенной в приложении,
находим:
*«= 1,638
Следовательно
*oJ*x = 8",2; ^ = 9",1; «арг = 8",2
Окончательно, с вероятностью 0,8, получим:
329 20' 14"<ж<329 20' 31"
409 14' 43"<j,<40? 15' 02"
ЗО9 42' 22"<z<302 42' 40"
§ 7. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ДРОБЛЕНИЯ
И ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ В ЗАДАННЫХ УСЛОВИЯХ
Зависимость между числом оборотов (скоростью вращения) шаро-
вой мельницы и ее производительностью по опытным данным
составляет:
G, т/ч . . . 4,о	5,0	7,0
N, об/ч . . 140	240	650
672
Выбирая (см. гл. XXIV — «Эмпирические формулы») тот , или
другой вид‘зависимости, например N = xGy, мы можем составить
несколько уравнений для определения хну:	 -
140 = х^у
240 = х5«
650 = г7»
Эта система уравнений приводится к линейным уравнениям
относительно неизвестных 1g х и у:
1g 140= lg х lg 4 илп Igx+0,60210—2,1461 = 0
lg 240= lg ®+0 lg 5 или lgx +0,69900 - 2,3802=0
lg 65O=lgx+0 lg7 или lg г+ 0,84510—2,8129 = 0
Способ наименьших квадратов позволяет найти наиболее вероят-
ные значения 1g х и у.
Составляем табл. ХХП-3 для образования нормальных урав-
нений:
ТАБЛИЦА XXII-3
а	ъ	аа	аЬ	ЬЬ	af	bf_
1	0,6021	1	0,6021	0,3625	—2,1461	-1,2800
1	0,6990	1	0,6990	0,4776	—2,3802 •	—1,6600
1	0,8451	1	0,8451	0,7142	—2,8129	—2,3712
		[аа] = 3	[а6] = 2,1462	[66] = 1,5543	[а/] = —7,3392	[Ь/1 = = —5,3112
Находим нормальные уравнения:
3 1g х+2,14620 — 7,3392 = 0
2,1462 1g х+ 1,55430 —5,3112 = 0
Решая эти уравнения, получим:
х=2,53
0 = 2,86
§ 8. КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ РЕАКЦИИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
Опытным путем определены значения константы скорости реак-
ции к при шести различных температурах t. Зависимость константы
скорости реакции от абсолютной температуры Т выражается пока-
зательной функцией вида:
Е
к = кое RT
(T = t-i-273)
,43 Заказ 1706	673
Найти численные значения коэффициентов к0 и у.
Логарифмируя, приводим функцию к линейному виду;
Е 1
1п/с=1п кй-
£1	1
В первом и втором столбцах табл. ХХП-4 приведены результаты
наблюдений (к и /). Определяем значения In к = 2,303 1g к и вносим
j
их в третий столбец. По данным t вычисляем величину у (четвертый
столбец).
ТАБЛИЦА ХХП-4
h	t	Id k	1 т	(Я	-l-.infc	%ыч
3,23	400	1,1725	1,486.10-3	2,208 • IO-»	1,742 • IO"3	3,73
7,80	452	2,0541	1,379 • 10'3	1,902 • IO’6	2,833 • IO-3	8,39
15,43	493	3,7363	1,306 • IO'®	1,706 • IO'»	3,574 • IO’3	14,96
24,21	528	3,1867	1,248 • IO-3	1,558 • IO'3	3,977 • IO-3	24,27
37,95	561	3,6362	1,199 • IO'8	1,438 • IO’®	4,360 • IO'3	36,56
60,09	604	4,0958	1,140 • IO-3	1,300 • IO'8	4,669- IO'3	59,70
		16,8816	7,758 • IO"3	10,112 • IO-»	21,155-10-3	
Положив In к^ = хх и—у = х2, приходим к шести условным урав-
нениям:
ад 4-1,486 • 10'3X2 = 1,1725; ад + 1,379 • 1О’За:2 = 2,0541
ад 4-1,306 • 1О‘Зх2 = 2,7363; xj. 4-1,248 • Ю’За^ = 3,1867
х1 4-1,199 • 10“3х2 = 3,6362; ад 4-1,140 • 10-3а:2 = 4,0958
Так как число неизвестных равно двум, то число нормальных
уравнений также должно равняться двум. Для составления этой
системы находим следующие величины:
[аа] = б;	[а6] = 7,758- 10’3
[а/] = 16,8616; [Ы>] = 10,112- IO'»
[6/1 = 21,155.10-3
Используя эти величины, получим окончательно следующую
систему уравнений:
16,8816 = 6 In кй — 7,758 • Ю’3 -f-
К
21,155 • 10-з=7,758 • 10*3 In к0 - Ю,Ц2 • 10"» ~
п.
674
Решая эту систему, находим:
—®2=-^- = 8328 и х1 = In Ло=13,582
п
откуда:
АО=7,9 «IO5
Таким образом, зависимость константы скорости изучаемой
реакции от температуры выражается формулой:
8828
* = 7,9-10®е т
Значения к, вычисленные по этой формуле, даны в последнем
столбце табл. ХХП-4.
Глава XXIII
КОРРЕЛЯЦИЯ В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
§ 1. ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Когда две переменные величины X и Y зависят друг от друга так,
что каждому значению одной из них соответствуют вполне опре-
деленные одно или несколько значений другой, то между ними
имеется функциональная связь. Эта связь может быть выражена
уравнениями
У = /(Х) или Х=<р(У)
причем вид этих уравнений определяется характером существующей
зависимости.
Иногда приходится иметь дело с такими переменными величинами,
между которыми существует зависимость, но эта зависимость не
является вполне определенной: каждому значению одной из величин
(например, X) соответствует некоторая совокупность значений дру-
гой (например, У), причем распределение Y меняется определенным
образом при изменении X. В этом случае связь, существующая
между переменными X и У, называется корреляционной связью.
Корреляционная связь величин заключается в том, что при
задании одной из них устанавливается не одно точное значение,
а вероятности различных значений другой. Таким образом, зависи-
мость обнаруживается не между самими величинами, а между каж-
дой из них и соответствующим ей математическим ожиданием
другой.
Корреляционная связь устанавливается на основе статистических
методов анализа. Она является промежуточной между точной зави-
симостью, даваемой функциональной связью, и совершенной неза-
висимостью переменных.
Примерами корреляционной связи могут служить зависимости:
между содержанием А12О3 и SiO2 в боксите данного месторождения;
между среднегодовыми температурами или количествами атмосфер-
ных осадков и концентрациями солей в соляных озерах и т. п.
Во всех таких случаях мы имеем парные значения соответству-
ющих друг другу величин X и У: (Хх, Ух), (X 2, У2),. . (Xп, Yn).
Если изобразить их на диаграмме в координатах X — У, то полу-
чится система точек, например, такая, как на рис. ХХШ-1.
676
Здесь каждому значению X не соответствует вполне определенное
значение Y, но очевидна тенденция к расположению точек определен-
ным образом, полосой, что дает возможность установить некоторую
связь, а именно корреляцию X и Y.
Если нанести на диаграмму средние значения У, (обозначены
крестиками), соответствующие каждому значению Xit и провести
прямую АВ, «наилучшим» образом выравнивающую систему этих
средних значений, то будет получена функциональная зависимость
Y=aX-\-b '	(1)
являющаяся уравнением прямой АВ и приближенно отражающая
связь между X и У. Линия АВ называется линией регрессии У по X.
Для данной задачи линия регрессии оказалась прямой.
Для того чтобы прямая АВ «наилучшим» образом выравнивала
средние значения У, ее необходимо провести так, чтобы сумма квад-
ратов расстояний от нее (измеренных параллельно оси У) всех точек
была наименьшей, т. е. меньше, чем от любой другой прямой. Все
значения У, полученные из проведенной таким способом линии
регрессии, имеют наибольшую корреляцию с действительно наблю-
давшимися.
Аналогичным путем находится линия регрессии X по У, прибли-
женное уравнение которой будет:
~Х=сУ-\-й	(2)
На диаграмме эта линия CD выравнивает средние значения Xt
(отмечены кружками).
677
В общем случае уравнения регрессии имеют вид
У = /(Х) и Х = <р(У)
и линии регрессии изображаются кривыми. При этом наиболее
удобным является отыскание корреляционной связи в форме пара-
болических зависимостей, например:
Y = а-\-ЪХсХ*. . + 1Хт
Уравнения (1) и (2) соответствуют наиболее распространенному,
но частному случаю линейной корреляционной связи, когда линии
регрессии прямые.
Если между X и Y существует не функциональная, а корреля-
ционная связь, то понятие о «наилучшем» значении Y, соответству-
ющем данному значению X, теряет смысл и заменяется понятием
о наиболее вероятном значении Y из совокупности наблюденных его
значений. Чем «теснее» расположены эти значения Y, тем ближе они
к наиболее вероятному значению, тем определеннее связь
между X и Y.
Наиболее важным показателем этой связи служит коэффициент
корреляции г, характеризующий степень линейной связанности X и Y.
Абсолютная величина г всегда меньше единицы; когда она равна
единице, X и Y связаны функциональной линейной связью (прямые
регрессий Y по X и X по У совпадают); когда г = 0, между X и Y
линейной корреляционной связи не существует. В этом случае пря-
мые, выраженные уравнениями (1) и (2), идут соответственно парал-
лельно осям ОХ и OY. Однако здесь может существовать корреляция
с нелинейной регрессией.
Если имеется ряд значений X t. и соответствующий ему ряд Yt,
а X и Y средние арифметические значения, то
=	yi = Yl-Y
являются отклонениями от средних, а средние квадратические
отклонения будут:
Коэффициент корреляции выражается следующими формулами,
легко выводящимися одна из другой:
% (Xi—X) (Yt—Y)
пахОу
678
У XtYg — nXY
(£у?_„У2)
n^XtYi-^Xi^Yi
Последняя формула, несмотря на свою громоздкость, часто ока-
зывается наиболее удобной для вычисления.
Представленные выше в общей форме линейные уравнения регрес-
сии (1) и (2) приводятся к следующему виду!
-- Сц ________	Си
Y~Y = ra	ИЛИ У = г-Х~х	(к)
их	их
Х-Х = г^-(У —У) или x=r^.j,	(5).
аУ	ау
Уравнение (4) является уравнением прямой регрессии У по X,
а (5) — уравнением прямой регрессии X по Y.
Уравнение (4) определяет наиболее вероятное значение Y по за-
данному X, а уравнение (5) — наиболее вероятное значение X по
заданному Y. Важно отметить, что значение Y в (4) не может быть
получено путем решения (5) относительно Y. Нельзя также
получить X из уравнения (4).
Угловые коэффициенты г^иг- прямых (4) и (5) определяют
°*
наклон линий регрессии на диаграмме в координатах х — у и назы-
ваются коэффициентами регрессии Y по X и X по Y. Произведение
этих коэффициентов равно г2. Очевидно, что прямые регрессии Y
по X и X по Y совпадают лишь в том случае, когда г = ±1.
Пример. Сырье, поступающее на завод из близлежащего карьера,
содержит два полезных компонента — минералы А и Б. При этом
в партиях сырья с повышенным содержанием А обычно обнаружи-
вается и более высокое содержание Б, так что имеются основания
ожидать, что эти величины находятся в связи друг с другом.
Анализы 10 образцов сырья, поступившего в разное время из
разных мест карьера, приведены в табл. XXIII-1. Найдем коэффи-
циент корреляции.
ТАБЛИЦА ХХ1П-1
№ образца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
%А	67	54	72	64	39	22	58	43	46	34
°/0Б	24	15	23	19	16	Б	20	16	17	13
679
Обозначим процент минерала А через X, процент минерала Б —
через Y. Имея в виду для вычисления г воспользоваться форму-
лой (3), составляем предварительно табл. ХХШ-2.
ТАБЛИЦА ХХШ-2
X	У	х1	У»	XY	X + Y	(Х+У)2
67	24	4489	576	1608	91	8281
54	15	2916	225	810	69	4761
72	23	5184	529	1656	95	9025
64	19	4096	361	1216	83	6889
39	16	1521	256	624	55	3025
22	И	484	121	242	33	1089
58	20	3364	400	1160	78	6084
43	16	1849	256	688	59	3481
46	17	2116	289	782	63	3969
34	13	1156	169	442	47	2209
499	174	27175	3182	9228		48813
Последние два столбца этой таблицы составлены для проверки
вычислений. Так какХ(^ + Y)2=^X2+2i Y2 + 2^XY, то итог
последнего столбца должен равняться сумме итогов третьего и чет-
вертого и удвоенного итога пятого столбцов. Проверка
27 175 + 3182 + 2 • 9228 = 48 813
показывает, что вычисления сделаны без ошибки.
Последовательно находим:
—	499	—	174
Х = 4^-=49,9; У = -ИА = 17,4
10	10
-^Q75 - (*9-9)2 = 15.09; аУ =	- (17,4)2 = 3,93
-—-—49,9-17,4
Г= 15,09 • 3,93	=°’92
Полученный коэффициент корреляции г = 0,92 достаточно высок,
что указывает на наличие тесной связи между X и Y, т. е. между
содержанием минералов А и Б в сырье. Найдем уравнения регрессии,
которые позволяют вычислять наиболее вероятное содержание одного
из минералов, если известно содержание другого. Определим, на-
пример, регрессию УпоХ.
Коэффициент регрессии Y по X:
г-^ = 0,92--^. = 0,24
<зх 15 09
Согласно (4), уравнение регрессии У по X;
У = 17,4+ 0,24 (А—49,9)
680
или
У = 5,42 + 0.24Х
В табл. ХХШ-З вычисленные по этому уравнению значения УВЬ1Ч
сопоставлены с заданными значениями Y, найденными в результате
анализов; совпадение получилось удовлетворительным.
ТАБЛИЦА ХХШ-З
X	67	54	72	64	39	22	58	43	46	34
Y	24	.5	23	19	16	11	20	16	17	13
у 1 выч	22	18	23	21	15	И	19	16	16	14
При вычислении корреляционной связи двух переменных, пред-
ставленных большими рядами чисел, предварительно составляется
корреляционная таблица. В такой таблице каждая строка и каждый
столбец являются распределением численностей переменных. Каж-
дый столбец чисел соответствует значениям X, заключенным в неко-
торых пределах, и называется иксовым строем игреков, а каждая
строка чисел соответствует значениям Y, заключенным в некоторых
пределах, и называется игрековым строем иксов. Порядок постро-
ения корреляционной таблицы и использование ее для дальнейших
вычислений рассмотрим на следующем примере.
Пример. Концентрация рапы в бассейнах. Имеются два испари-
тельных бассейна для концентрирования озерной воды, содержащей
систему солей морского типа. В качестве бассейнов используются
лагуны, отделенные от озера естественными косами и дамбами.
Из испарительных бассейнов рапа периодически перекачивается
в садочные бассейны, в которых происходит ее дальнейшее концен-
трирование и кристаллизация солей.
Испарительные бассейны I и II соединены между собой постоянно
открытым проливом. Вследствие различного профиля дна, различ-
ного рельефа берегов (что создает неодинаковые условия воздушных
течений над зеркалом испарения), а также вследствие неравномерной
фильтрации озерной воды через перемычки, проникновения почвен-
ных вод и других причин, концентрация рапы в каждом из бассейнов
обычно несколько различается. Поскольку концентрация рапы
в каждом испарительном бассейне зависит от многих, в том числе
и от некоторых уже указанных неопределенных факторов, установить
точную функциональную зависимость между концентрациями в I
и во II бассейнах не представляется возможным. Тем не менее дли-
тельные наблюдения показали, что между этими величинами имеется
известное соответствие, и это позволяет найти корреляционную связь.
В табл. ХХШ-4 представлены результаты пятилетних наблюде-
ний, относящихся к периодам испарительного сезона (апрель —
681
682
ТАБЛИЦА ХХП1-4
	260—280	280—300	300—320	320—340	пу	Y	u		V2	t	tu
					4	90	—6	—24	144	-19	114
					9	110	-5	-45	225	—28	140
					И	130	—4	-44	176	-34	136
					19	150	-3	—57	171	-32	96
					34	170	—2	-68	136	-22	44
					67	190	—1	—67	67	19	-19
					93	210	0			69	
	3				75	230	1	75	75	144	144
	7	2			39	250	2	78	156	108	216
	13	6	1	1	26	270	3	78	234	109	327
	2	4	1		7	290	4	28	112	34	136
		1	2	2	5	310	5	25	125	31	155
	25	13	4	3	389			—21	1621		1489
	270	290	310	330							
	4	5	6	7							
	100	65	24	21	379						
	400	325	144	147	2195						
	64	43	17	13							
	256	215	102	91	1489						
683
сентябрь). В течение этого времени было произведено 389 одновремен-
ных определений концентрации рапы в обоих бассейнах. Концентра-
ция рапы (общее содержание солей в г/л) в бассейне I обозначена
через X, в бассейне II — через Y.
В каждой ячейке численности (левая верхняя часть таблицы)
помещено число, показывающее частоту значений X и Y, находив-
шихся в определенных пределах. Так, число 24 показывает, что
из всех 389 наблюдений было 24 случая, в которых концентрация Y
находилась в пределах 200—220 г/л, а концентрация X — 180—
200 г/л.
В столбце Пу находятся суммы численностей каждой строки,
а в строке пх — суммы численностей каждого столбца. Таким обра-
зом, имеются два суммарных распределения — одно (в строке пх)
по отношению к концентрации рапы в бассейне I и другое
(в столбце пу) по отношению к концентрации рапы в бассейне II. Оче-
видно, что итоги строки пх и столбца пу равны (Snx=Sn9 = 389).
Построив основную корреляционную таблицу, производим даль-
нейшие вычисления, результаты которых записываем в две вспомо-
гательные таблицы. Их удобно разместить справа и снизу от основ-
ной таблицы (в дальнейшем будем их называть «правой» и «нижней»
таблицами).
В столбце Y правой таблицы и в строке X нижней таблицы за-
писываем срединные значения Y и X для соответствующих интерва-
лов концентраций.
Например, для значений Y в интервале 160—180 срединным зна-
чением будет 170; для значений X в интервале 120—140 срединное
значение — 130.
При вычислениях с большими числами работа упрощается, если
взамен X и Y ввести новые аргументы:
где Д — интервал значений X и Y, выбранный при составлении
корреляционной таблицы, а А и В — произвольные начала, от кото-
рых измеряются X и Y. При этом за начало А, от которого изме-
ряется X, принимают некоторый произвольный признак, близкий
к среднему арифметическому ряда X, а за начало измерений В —
признак, близкий к среднему арифметическому ряда Y. Таким
образом, единицей измерения и и и является выбранный интервал
значений X и Y.
В рассматриваемом случае интервал значений X и Y при соста-
влении корреляционной таблицы был выбран равным 20. Поэтому
Д = 20. В качестве А принимаем значение X — 190, а в качестве В —
значение Y = 210. Тогда
X —190	У —210
V 20 И U~ 20
684
Вычисляем по этим формулам величины v и и и вносим их в ниж-
нюю и правую таблицы. Затем вычисляем nxv, nxv2, п^и и
эти величины нужны для определения средних значении и их квад-
ратических отклонений.
В столбце t правой таблицы находятся суммы произведений чисел,
заключенных в каждой ячейке численности одной строки, на соот-
ветствующее значение условного аргумента v. Например, t — —22
получено следующим образом:
!•(—3)= — 3
5-( —2)=—10 '
16-( —1) = —16
7-0	=	0
4-1=4
1-3	=3
ч	— 22
Аналогичные величины находятся в строке s нижней таблицы —
суммы произведений чисел ячеек численности одного столбца на
соответствующее значение условного аргумента и. Далее вычисляем
произведения tu (последний столбец правой таблицы) и произведе-
ния sv (последняя строка нижней таблицы). Равенство сумм У, tu=
= 2	— 1489 служит контролем правильности вычислений.
Теперь последовательно находим:
средние значения и и у
2П*Р
2»,
2”уц
2 пУ
—21
389
— 0,0540; v
379
389
0,9743
средние квадратические отклонения оц и о0
(—0,0540)2 = 2,041
о0 =
2195
389
2,
2п*
0,97432 = 2,166
Пользуясь формулой (3), которая
приводится к виду
в принятых обозначениях
SV—VU
0v0u
находим коэффициент корреляции;
4^--(0,9743) (-0,0540)
Г = —----9Ш9№К-----------=°’880
2,16Ь*2дМ5
685
Далее имеем!
X = V& + А = 0,9743 - 20+ 190 = 209,486
У = гаЛ + « = ( — 0,0540) • 20 + 210=208,92
2,035 • 20
2,166-20
0,829
Следовательно, уравнение регрессии Y по X будет
ТАБЛИЦА ХХШ-5
У = 208,92 + 0,829 (X —209,486)
				или, окончательно! У = 0,829X 4-35,21
				Подставляя в это уравнение значе-
70 90	93,2 109,8	100,0 103,3	—6,8 65	нияХ, концентраций в бассейне I (X
ПО	126Л	127,5	—1,1	= 70; Хъ = 90 и т. д.), получим
130	143,0	125,0	18,0	приближенные значения У®ыч (У5ЫЧ =
150	159,6	155,5	4,1	= 91,5; У|ыч = 108,2 и т. д.) соот-
170 190	176,1 192,7	180,7 195,3	—4,6 —2,6	ветствующих средних величин концен-
210	209,3	209,8	-0,5	траций в бассейне II (Уг, У2 и т. д.).
230	225,9	225,9	0,0	Табличные значения концентраций
250	242,5	237,4	5,1	
270	259,0	261,2	—2,2	Уг, Уа,. . . определяются по фор-
290	275,6	276,2	—0,6	мулез
310	292,2	295,0	-2,8	У у_
330	308,8	296,7	12,1	пх
Значения Y приведены в «правой» таблице (табл. ХХШ-4),
ап — численности каждой ячейки столбца г,
В табл. ХХШ-5 сопоставлены результаты наблюдений (Yt)
и вычислений по уравнению регрессии (У®ыч).
Вероятная ошибка коэффициента корреляции г при большом п
определяется по формуле!
„	1 —г2
0,6745 —
У га
Для рассмотренного примера
г=0,880 ±0,008
Значения Y находятся путем вычисления средних из игрековых
строев. Поэтому средняя квадратическая ошибка при вычислении Y
определяется как средняя арифметическая квадратов квадрати-
ческого отклонения этих строев. При этом численности строев служат
весами квадратов их квадратических отклонений. Другими словами,
средний квадрат ошибки (S|) при вычислении Y является средним
арифметическим квадратов отклонений отдельных точек диаграммы
от линии регрессии Y по X (причем зти отклонения измеряются
по направлению, параллельному оси OY).
686
Когда средние арифметические игрековых строев точно совпадают
с линией регрессии Y по X, средняя квадратическая ошибка вычисле-
ния Y равна:	____
8у = ОуУТ=Г»	(6)
Здесь 1/1 — гг является показателем недостоверности значе-
ний Y, вычисленных по уравнению регрессии.
Для рассмотренного выше примера г — 0,880 и при допущении,
что регрессия линейна!
Sy = 0,475Oj/
Это значит, что изменчивость строев концентраций рапы в бас-
сейне II, соответствующих определенным концентрациям в бас-
сейне I, составляет около 0,5 средней изменчивости всех концентра-
ций в бассейне II. Следовательно, зная, какова концентрация рапы
в бассейне I в данное время, невозможно уверенно предсказать,
какой будет концентрация рапы в это же время в бассейне II.
Однако для некоторого, сравнительно большого периода времени
можно с достаточной уверенностью предсказать среднюю концен-
трацию рапы в бассейне II, соответствующую какой-либо определен-
ной концентрации в бассейне I.
Для многих целей можно ограничиться использованием прибли-
женного значения коэффициента корреляции, которое быстро опре-
деляется графическим методом. Этот метод заключается в следующем..
По координатным осям ОХ и OY откладываются интервалы зна-
чений переменных. Затем в каждом интервале X наносится точка,
соответствующая среднему взвешенному значению Y для данного
интервала X; эти точки размещаются посредине интервалов X.
687
На рис. ХХ11У2 нанесены такие средние точки (обозначены кре-
стиками) для рассмотренного выше примера корреляции между
концентрациями рапы в двух бассейнах. Проводится прямая, наи-
лучшим образом соответствующая этим точкам, т. е. с учетом весов,
приписанных каждой средней точке, и положения центральной
точки (X, У). Эта прямая А А — линия регрессии У по X. Анало-
гично строится прямая ББ — линия регрессии X по У по средним
значениям X (отмечены кружками).
Затем определяются наклоны линий регрессии а — (и
,	/ dY \
о = (-jy- и коэффициент корреляции г вычисляется как квадрат-
ный корень из отношения . Для рассматриваемого примера
а —0,86, 6 = 1,04, г = |/-рЦ- = 0,91. Совпадение со значением
г = 0,880, вычисленным ранее, достаточно хорошее.
§ 2. КОРРЕЛЯЦИЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
При изучении связи между тремя переменными две из них (напри-
мер, X г и Х2) принимаются за независимые переменные, а третья
(У) — за функцию.
Пример. Рассмотрим табл. ХХШ-6 экспериментальных данных
о вязкости раствора, содержащего два склонных к осмолению веще-
ства: X j — концентрация вещества Alt г/л-, Х2 — концентрация
вещества А2, г/л', Y — вязкость раствора, спз.
ТАБЛИЦА ХХШ-6
Xi	хг	У	X,	х2	Y
25,8	98	14,8	10,7	8	4,5
15,8	116	9,7	6,4	83	4,0
18,1	104	11,3	16,9	105	20,2
13,3	99	26,0	12,2	96	20,5
20,1	153	44,7	13,4	90	18,9
10,1	98	21,0	15,0	24	26,4
17,1	103	25,2	13,8	153	25,4
21,0	112	13,7	17,8	82	9,4
23,7	113	38,5	20,4	82	21,1
11,2	80	5,8	7,9	66	9,2
10,2	87	17,7	16,0	118	41,1
16,4	138	40,0	12,8	135	31,3
15,9	98	17,1	20,7	104	28,5
8,0	102	3,0	29,6	96	38,8
26,0	155	37,3	13,8	92	9,0
2,4	107	9,7	35,4	120	13,7
7,5 15,9	142 110	36,3 21,2	9,3	105	16,2
			Средние 15,731	104,914	20,894
«88
Изучение корреляционной зависимости между переменными X п
Х2 и Y можно начать с нахождения уравнений парных регрессий
между переменными X1tiY,X2tiY,X1tiX2, & также соответству-
ющих коэффициентов корреляции. Обозначая
Х1 — Хг—х2— Х2— Х2; у — Y— Y
находим:
2 4 = 1600,136;	2 *1*2 = 1537,594; 2 *1 2 = 23554,743
2^=1016,476;	2*2^ = 5742,783;	2^ = 4785,779
Применяя формулы (4) и (5), найдем:
а)	уравнение парной регрессии вязкости по первому компо-
ненту
У—20,894 = 0,635 (Xi-15,731); ryXi =0,3673	(7)
б)	уравнение парной регрессии вязкости по второму компоненту
У—20,894 = 0,244 (Х2 —104,914); гух* = 0,5409
в)	уравнение парной регрессии второго компонента (Х2) по
Первому (XJ-.
Х2- 104,914 = 0,961 (Xi — 15,731); ^=0,2504
Однако эти уравнения не дают полного представления о взаимной
связи между обоими компонентами и вязкостью раствора. В самом
деле, при Составлении уравнения (7) фактор X х нами не был изоли-
рован. А между тем, факторы X , и X 2 связаны друг с другом неко-
торой корреляционной зависимостью (с коэффициентом корреляции
0,25). Поэтому для полного изучения линейной зависимости между
X Х2 и Y нужно составить такое уравнение регрессии, которое
позволило бы исключить влияние фактора X 2, корреляционно свя-
занного с X j.
Это позволяет сделать теория множественной рег-
рессии.
§ 3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
При изучении множественной регрессии мы ограничимся пред-
положением, что эта регрессия линейная, определяемая зависи-
мостью:
Y — а + Ъ-jX j + Ъ2Х 2	(8)
С геометрической точки зрения это уравнение определяет пло-
скость в пространстве переменных X 15 X 2, Y. Для определения вхо-
дящих сюда параметров а, Ьг и Ь2 применим способ наименьших
квадратов. Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений факти-
ческих аппликат от аппликат Yt, вычисленных по уравнению
регрессии, которую обозначим через /, было наименьшим:
1— 2 (й~У<)2 =min	(9j
i-1
44 Заказ 1706
689
Подставим в (9) значение Y из (8), причем для упрощения опустим
индекс i у переменных у, X г и X 2.
Функция / будет иметь минимум, если а, Ьг и Ъ2 удовлетворяют
системе уравнений:
2L=0- JLL==0; Ав0
да ’ dbl ’ дЬ2
Дифференцируя функцию / по переменным а, Ьг и Ь2 запишем эту
систему в следующем виде:
2 У — Tia-\- У Xi + Ь2 У, Х2	(10а)
ZyXi^a^lX1 + bl'^Xl + b2^XlX2	(106)
2 уХ2 ^a^Xi+Ьг^ Х1Х2 + Ь2 2 XI	(10в)
Для решения этой системы разделим уравнение (10а) на п;
получим:
а = у—Ь1Х1—Ь2х2
Подставив это значение для а в формулу (8) и в уравнения (106)
и (10в), найдем, что формула множественной регрессии с тремя
переменными имеет следующий вид
Y-y=b1(X1-Xi) + b2(X2-X2)	(И)
причем коэффициенты Ьг и Ъ2 множественной регрессии находятся
из следующей системы линейных уравнений:
bi У. ^ + Ь2 У 2*ii/i
v?	(12)
bl У, ххх2-\-Ь2 У, х1= У, х2у2
где приняты следующие обозначения:
2*?= 2(*!-Xi)2;	2(Xi-Xi); 24=2(х2-х2)
Отметим важный физический смысл коэффициентов множествен-
ной регрессии. Например, коэффициент в формуле (11) отвечает
на вопрос, на сколько единиц в среднем изменяется Ylt если X г
изменяется на одну единицу в предположении, что X 2 при этом
сохраняет постоянное значение.
Таким образом, формулы множественной регрессии позволяют
исключить влияние фактора X 2, корреляционно связанного с фак-
тором X 1, и изучить влияние X х на Y, так сказать, в чистом виде.
Применяя эти формулы к примеру предыдущего параграфа,
получим
61 = 0,4278; Ь2 = 0,2159
Соответственно зтим данным уравнение регрессии (11) будет:
Y -20,894 = 0,4278 (Xi -15,731) + 0,2159 (Х2 -104,914)
690
Для оценки тесноты связи между переменными в случае множе-
ственной корреляции вводится коэффициент множественной корреля-
ции R, который определяется следующей формулой:
2(Уг-П2	b1^ixl+b^xl + 2b1b2^ix1x2
я-^^-----------------------27------------ (В)
Здесь у, — значения переменной У, взятые из корреляционной
таблицы, a Yt — значения переменной Y, вычисленные по корреля-
ционной формуле.
Для рассмотренного выше примера формула (13) дает R = 0,59.
Этот коэффициент корреляции оценивает силу связи между перемен-
ной Y и переменными X г и X а.
Выше мы видели, что парные коэффициенты корреляции Y по X j
и Y по X 2 соответственно равны:
г =0,37; г =0,54
УХ\	Ух2
Можно показать, что всегда R ryXj и R ryxi, что, впрочем,
ясно и из физических соображений.
Из формулы (13) можно получить следующее выражение для
коэффициента множественной корреляции через коэффициенты пар-
ных корреляций:
/>2 -I /»2	_О** f • jr
9 ух^ ухл * ухх ух, Х1Х9
(14)
§ 4. ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ
При исследовании зависимости переменной Y от переменных X t
и X 2 иногда бывает нужно установить степень влияния каждой
из переменных X j и X а на переменную Y.
Для оценки этого влияния в статистике применяют частные коэф-
фициенты корреляции. Не останавливаясь на выводах, приведем
формулы, выражающие эти коэффициенты.
Пусть изучается корреляционная зависимость между функцией Y
и аргументами X t и X 2, корреляционно связанными друг с другом.
Начнем с вычисления парных коэффициентов корреляции ryXl,
rBXt и rXsXi. Для примера, рассмотренного в § 2, зти коэффициенты
были следующими:
=0,3673; Г =0,5409; г	= 0,2504
У&1	Ул9
Частные коэффициенты корреляции, обозначаемые ryX1.Xi,
и гухг-хч определяются по следующим формулам:
2	(ryxt~ryxlrxtxl)2
.	42	U5)
2	.	Г»Х1ГХ,Х1)
ух*'х' (i—U)(i-'-U)
44*
691
Частный коэффициент корреляции ryXt.Xt оценивает степень вли-
яния фактора X х на переменную Y при условии, что влияние второго
фактора X 2 на Y исключено.
В обозначении частного коэффициента корреляции этот исклю-
ченный фактор поставлен в индексе после точки.
Для рассмотренного выше примера
ГУХ, -Хг =	Гух1-х, = 0.3
§ 5. ПОГЛОЩЕНИЕ ОКИСЛОВ АЗОТА С ОДНОВРЕМЕННЫМ
ОТВОДОМ ТЕПЛА
Поглотительная установка работает под давлением для получе-
ния азотной кислоты. Процесс абсорбции окислов азота сопрово-
ждается выделением тепла. Для понижения температуры имеется
водяной холодильник. Отвод тепла происходит также за счет кон-
векции и излучения в окружающую среду. Некоторое количество
окислов азота уходит вместе с газами. Эту потерю азота будем счи-
тать зависимой переменной Y.
Определим зависимость Y от температуры, поступающей в холо-
дильник воды X х и от температуры воздуха X 2.
Данные об этих трех переменных собраны за 139 дней и при-
ведены в табл. XXII1-7. Начальные точки и масштабы переменных
взяты так, чтобы таблица содержала только целые числа. Примем:
Y = ay. 12"Ь^1. з (Xi-Xi)+ bj,2-1 (Хг —Х2)	(16)
Здесь ау. 12 — значение, которое величина Y имела бы, если бы
Xi и Х2 были постоянными и равнялись своим
средним значениям;
byi.2 — скорость изменения Y при увеличении Х1г если бы
Х2 была постоянна;
б^г. 1 — скорость изменения Y при увеличении Х2, если бы
Xi была постоянна.
Требуется найти значения этих трех коэффициентов, наиболее
соответствующие имеющимся опытным данным.
Таблица наблюдений (с условными нулевыми точками для пере-
менных) за 139 дней имеет следующий вид (см. стр. 693) *.
Находим средние
Ti = 2,92; Х2 = 0,0072! Y =10.64
а также суммы, которые входят в уравнения (12), определяющие
коэффициенты множественной регрессии:
2^=2270,1; 2*2=10525;	2 у2=83 340
V	= 8477;	2	= 17 329,5; 2 *1*2 = 3530,1
* Таблица приведена не полностью.
692
ТАБЛИЦА XXHI-7
Дни	Y	X,	х,	XtX,	XiY	Х2У
1	-20	—6	-И	66	120	220
2	-9	1	—3	-3	-9	27
3	-18	1	—2	—2	-18	36
4	—6	-1	—1	1	6	6
5	-3	2	—3	—6	—6	9
6	-5	—5	-10	50	25	50
7	-20	2	-20	—40	-40	400
8	4-19	5	4-14	70	95	266
9	—4	-1	—14	14	21	56
Итого . . .	1479	406	1	3533	12 797	17 340
Уравнения для коэффициентов регрессии примут вид:
8477=22706^1. 24" 35306^2.1
17 329 = 35306^. 2 + Ю 5256^. i
Отсюда находим:
6^1. 2 = 2,454; Ъу2,1 = 0.8234
Уравнение, определяющее Y, принимает вид:
(У - у) = 2,454 (Xi - Xi) + 0,8234 (Х2 - *2)
или
У = 3,4665 4- 2,454X14- 0,8234Х2
Коэффициент множественной корреляции, оценивающий тесноту
связи, устанавливаемой этим уравнением, находим по формуле (13):
R = 0,65
Парные коэффициенты регрессии имеют в нашем примере следу-
ющие значения:
, У УХ1 8477
^1 = ^ = ^ = 3’734
_ ^ух2 _ 12 329 _ , с ,а
т Уг’ 10 525	1,64Ь
Эти коэффициенты регрессии значительно больше соответству-
ющих частных коэффициентов Ъу1 2 и Ъу21. Это вполне объяснимо.
Подсчитаем коэффициент корреляции между X х и X а по формуле
(стр. 678):
2 *1*2	3530
'— /——————	у-——?—. —. —.. — 0j7222
V 2270-10525
693
Так как г12 довольно близок к единице, то это говорит о наличии
сильной связи между X г и X 2. Это определяется природой процесса.
Условия погоды, вызывающие понижение температуры воздуха
Х2, повлекут и снижение температуры охлаждающей воды Хг.
Поэтому для парных коэффициентов регрессии Y по X мы полу-
чили большие значения, чем для соответствующих частных коэф-
фициентов регрессии.
Для парных коэффициентов корреляции в рассматриваемом при-
мере получаем следующие значения:
^12= 0,72; ^ = 0,62; гу% ~ 0,58
Частные коэффициенты корреляции находим по формулам (15):
2 — 0,35; гу2.1 — 0,26
Мы видим, что частные коэффициенты корреляции меньше, не-
жели соответствующие парные коэффициенты.
§ 6. КОРРЕЛЯЦИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим пример связи между четырьмя переменными. Пусть
качество некоторого продукта зависит от температуры, давления
воздуха и давления содержащегося в нем пара. В табл. ХХШ-8 при-
ведены результаты 88 наблюдений *, причем принято!
X j — температура +20° С;
X 2 — давление воздуха — 610 мм рт. ст.;
X з — давление пара, мм рт. ст.;
Y — качество продукта в условных единицах — 60.
ТАБЛИЦА ХХП1-8
Х1	Хг	Хз	Y	xt	Хз	Хз	Y
4,8	23,8	1,11	14,4	20,7	6,8	3,48	7,9
1,6	21,4	0,83	13,0	14,8	8,5	2,78	9,1
7,3	21,1	1,35	15,4	13,4	4,3	2,13	9,9
19,0	19,1	2,84	13,6	14,5	8,4	2,59	8,0
20,4	16,4	4,31	13,1	14,1	11,7	2,14	10,3
15,6	22,0	2,90	14,2	16,0	12,6	2,53	10,8
9,4	25,0	1,66	16,4	18,5	10,6	3,12	11,1
Определим средние значения переменных:
Х1== 18,099;	температура . . .—1,901
Хг~20,818;	давление........630,818
Хз= 3,222;	давление	пара . . . 3,222
Y = 13,250;	качество.........73,250
* Таблица приведена не полностью.
694
Приняв X j, X 2, X g за аргументы, а У за функцию, напишем урав-
нение регрессии в следующем виде:
Y = У-\~ (Xi —Xj) + ^2 (Хъ —Х2) 4" &з (Хз — Хз)	(17)
Можно показать, что коэффициенты регрессии определяются
с помощью системы уравнений:
bi 2«i+&22*1*2+&з 2*1*з= 2^
2 *1*2 + ^2 2 *2 + 63 2 *2*3 = 2 Ух2
Ь1 2*1*з+Ь2 2*г*з + 6з2*з=2б'*з
(18)
Для рассматриваемого числового примера эта система уравнений
имеет вид:
1884,5106!+ 480,82262 + 322,06663= 151,941
480.8226J+3235,3316а + 81,96963 = 877,881
322,06661+ 81,969ба+ 65,8726з = 20,841
Для решения системы (18) можно применить любой метод, изве-
стный из курса алгебры. Одним из наиболее удобных методов, при-
годных для решения симметричных систем линейных уравнений,
является метод, предложенный Фишером. Этот метод состоит в сле-
дующем.
Составляем и решаем следующие три системы линейных уравнений
«п 2 +ci2 2 xixz+ci3 2 *1*3=1
«11 2 ®1®2 4~ «12 2 *2 4~ «13 2 *2*3 = 0
«11 2 *1*3 + «12 2 *2*3 + «13 2 Х3 = 0
«21 2 *1 + «22 2 *1*2 + «23 2 *1*3 = 0
«21 2 *1*2 + «22 2 Х1 + «23 2 *2*3 = 1
«212*1*з + «22 2 *2*3 4" «23 2*3 ==0
«31 2 Х1 + «32 У *1*2 + «33 2 *1*3 = 0
«31 2 *1*2 4“ «32 2 *2 4~ «33 2 *2*3 = 0
«31 2 *1*3 4* «32 2 *2*3 + «33 2 *3 = 1
(19а)
(196)
(19в)
левые части которых одинаковы и совпадают с левыми частями
данной системы уравнений (18).
Найдя числа с^, получим неизвестные 6lt &2 и Ъ3, удовлетворя-
ющие системе уравнений (18) посредством следующих формул:
61=сц 2 y*i+«12 2 ^*2+«1з 2 ^*з
62 = «21 2 ^*1 4- «22 2 ^*2 4- «23 2 ^*3
63=«з1 2 ^*14-«з2 2^*2 4-«33 2 ^*3
(20)
695
Для данного примера числа ctj имеют следующие значения:
с11== 0,003249; ci3 = c2i= — 0,000083; с13 = с31= —0,015782
с22 = 0,000321; с23=с32 = 0,000006;	с33 = 0.092333
Коэффициенты Ьг, Ь2, Ь3, определяемые по формулам (20), имеют
следующие значения:
61 = 0,1056; 62 = 0,2692; 63=—0.5349
Подставив эти коэффициенты, а также найденные выше значения
средних в уравнение (17), получим следующее уравнение множе-
ственной регрессии:
Y = 13,250+0,1056 (Xi —18,099) + 0,2692 (Х2-20,818) -0.5349 (Х3-3,222)
Коэффициент корреляции R находится по формуле (13):
R = 0,47
§ 7. ПОГЛОЩЕНИЕ ОКИСЛОВ АЗОТА С ОТВОДОМ ТЕПЛА И УЧЕТОМ
КРЕПОСТИ КИСЛОТЫ В АБСОРБЦИОННОЙ БАШНЕ
Возвратимся к примеру, рассмотренному в § 5, и предположим,
что функция Y, кроме X х иХ 2, зависит еще от третьего аргумента Х8,
представляющего собой крепость кислоты в поглотительной башне.
Определим коэффициенты в уравнении
У = аУ. 12з+^1. 23X1 + 6^2.13X2 + 61,3.21X3
в котором обозначения имеют тот же смысл, что и прежде: ау_ 123 —
значение, которое имела бы величина У, если бы X 1? Х2 и Х3 под-
держивались постоянными и равными их средним значениям, Ъу1 23 —
определяет скорость возрастания у при увеличенииX х приХ 2 иХ3,
постоянно равных их средним значениям.
Аналогично определяются Ъу2 13 и Ъуз 21.
Мы не приводим всего числового материала, касающегося аргу-
мента Х3. Приведем лишь значения сумм квадратов и сумм произ-
ведений, необходимых для определения коэффициентов:
2^=1479;	2 У2 = 99077;	2 у2 = 83340,014
2^1 =	406;	]£Х?= 3456;	2^=2270,1295
2х2=	1;	2^2=10 525;	2*2=10524’9928
2х3=	70;	2Х^ = 36 364;	2^3 = 36328,7482
2уХ1 = 12 797;	2	= 8477,0431
2 ХХ2 = 17 340;	2 Ух* = 17329,3597
2^3=12 931; 2^»=12186>1799
696
2^Л = 3533;
2^2^3 = 5365;
2X3^ = 1943;
Теперь требуется решить три
2 «1«з= 3530,07914
2 #2«з = 5364,4964
2^1=1788,5396
системы трех уравнений:
ci 2ж?+с2 2*1*з + сз 2ж1жз=1’	01 0	(А)
<?! 2^14-Сг 2а:з4-С3 2 «3*2 = 0,	1, 0	(В)
Ci 2«2«14-с2 2 *2«з + СЗ 2*2==0>	°’ 1	(С)
Первая система уравнений имеет в правых	частях (А), (В) и (С)
соответственно 1, 0, 0; решения этой системы будут с1г, с12 и с13.
Вторая система имеет в правых частях 0,1 и 0; ее решения будут с21,
с22 и с2з- Третья система имеет в правых частях 0, 0, 1; ее решения
будут с31, с32 ис33.
Для решения этих уравнений приведем здесь следующий прием,
который дает возможность устранить случайные ошибки.
Вписываем уравнения в строки А', В' и С' табл. ХХШ-9. Под-
ставляя вышеуказанные значения, получим строки А", В" и С".
Подразумевается, что все цифры в столбце Cj являются значениями
коэффициентов при сх в соответствующих уравнениях, аналогично
в столбцах с 2 и с3. Правые части уравнений временно увеличены
в 10* раз, чтобы избежать в дробных уравнениях чрезмерно больших
количеств нулей после запятой. Затем записываем значения А" еще
раз в строку А"'; под ними записываем частные от деления их на
коэффициент при сг, взятый с обратным знаком (здесь это — 2270,
1295). Обозначаем эти величины через D. Далее, записываем значе-
ния В" еще раз в строку В'". Умножаем А"' на коэффициент при с2,
стоящий в строке D (здесь — 0,76583279). Получаем значения Е.
Складывая их с В"', получаем значения F. Деля F на коэффициент
при его первом члене, взятый с обратным знаком (т. е. на
—34 997,3536), получаем (G).
Затем записываем значения С" еще раз в графу G"'. Умножаем А'"
на коэффициент при с8, стоящий в графе D (т. е. на —1,55501223);
получаем значения Н. Кроме того, умножаем F на коэффициент
при с3, стоящий в графе G, и получаем значения I. Складывая G",
Н и I, получаем значения J. Деля последние на коэффициент при с3
(4833, 3424), получим значения К.
Три числовых значения К, стоящие в правой части таблицы,
являются решениями для с31, с32 и с33, умноженными на 104.
Возьмем значения G и, подставляя в столбце с3 решения для с31,
сз2 и сзз> получим значения L15 Ь2 и L3. Отсюда сразу получаем
значения L^, L2 и L3, являющееся решениями для с21, с22 и с23.
Теперь подставляем решения с2 и с3 в D, получая величины Мг,
М2 и М3; от последних приходим к величинам Мп М2 и М3, которые
являются решениями для сг1, с12 и с13.
697
g	ТАБЛИЦА ХХП1-9 AD		 - - -  - 			 --							.										
Строки	•1	»s	«в	Первая системах! 04	Вторая системах 10*	Третья система х 10‘
A' 	 B' 	 C‘ 		2*1 2 ®s®i 2 *2*1	2 xix3 2 4 ^-2^3	H M M H w ь»	10 000 0 0	0 10000 0	0 0 10 000
A’ 	 B" 	  .	. C" 		2270,12950 1738,5396 3530,07914	1738,5396 36328,7482 5364,4960	3530,07914 5364,4960 10524,9928	10 000 0 )	0 10 000 0	0 0 10 000
A'"	 D	 B'"	 E		2270,12950 —1,00000 1738,5396 —1738,5396	1738,5396 —0,76583279 36328,7842 —1331,4306	3530,07914 -1,55501223 5364,4960 —2703,4503	10 000 —4,4050351 0 —7658,3279	0 0 10 000 0	0 0 0 0
F	 G	 G'"	 H	 I	,	.	0,0000 3530,07914 —3530,07914	34997,3536 —1,0000 5364,4960 —2703,4502 —2661,0458	2661,0457 —0,076035630 10524,9928 —5489,3261 —202,3343	—7658,3279 0,218825915 0 —15550,1223 582,3058	10 000 —0,28573589 0 0 -760,35630	0 0 10 000 0 0
	Г					
J	 К . . . .		0,0000	0,0000	4833,3424 1,00000	-14967.8165 -3.0967838	760,35630 -0,1573148	10 000 2,0689607
Li 	 l2 ........ Ls 		-	—1,0000 —1,0000 -1,0000	0,2354659 0,0119615 0,1573148	0,2188259	0,2857359	0,0
l; 	 l; 	 Ls' 			1,0000 1,0000 1,0000		0,0166400	0,2976974	—0,1573148
Mi 	 M2 	 M8 			—1,0000 —1,0000 —1,0000	—0,0127435 —0,2279864 0,1204768	4,8155366 0,2446251 —3,2172607	—4,4050351	0	0
Mi 	 M2 	 М3 	 $ CO	1,0000 1,0000 1,0000			0,2078282	0,0166397	-3,0967839
Сводим полученные решения в табл. XXIII-10 (все значения
умножены на 104).
ТАБЛИЦА ХХШ-10
1	1	2	3
	9,2078282	0,0166400	—3,967838
	0,0166397	0,2975974	—0,1573148
3	-3,0967839	—0,1573148	2,0689617
Подобно исходным уравнениям эта таблица симметрична; с21 =
= Ci2i С31 = С13» С32 ~ С23-
Хорошей проверкой правильности решения явится подстановка
в С" решения для сг В левой части уравнения мы получим:
(3530,07914 • 9,207822 + 5364,4960 • 0,0166397 —
— 10524,9928 • 3,0967839) • 104 = 0,00000025
Эта величина достаточно близка к ожидавшемуся значению,
равному нулю.
Теперь вычислим коэффициенты регрессии!
^1.23 = СЦ 2 УХ1 + С12 2 УХй + «13 2 УХ1 =
— (9,20782282 • 8477,0431 + 0,0166397 • 12186,1799 —
- 3,0967839 • 17329,3597) • 10’4 = 2,4592651
Ъз. 21 = «21 2 Vх! + «22 2 Ух* + с23 2 Ух* = °.Ю42687
62.31 = «31 2 УХ1 + с32 2 Ухъ + сзз 2 У'-^ = 0.7685143
Полезной проверкой последних операций явится подстановка
значений в уравнение:
61.23 2 XiX1 + &3.21 2 *2*3 + 62.13 2*1=2 УЪ
После подстановки числовых значений получаем:
17329,356 = 17329,3597
Расхождение в 0,003d незначительно и им можно пренебречь.
Отметим, что мы сохранили чрезмерное количество значащих
цифр; однако лучше опустить последние цифры в самом конце рас-
чета, а не в начале его.
Окончательный вид уравнения регрессии:
У— Y =	23 (-Х1 —Xj) +62.31 (% 2 — Х2) + 63.21 (-Уз — Хз)
700
или
'-TST	+we85li (x-IS<r) +
+ 0,104269 ( X
70 \
139 /
или, наконец:
у = 2,459X1 +.0,768Х2+0,104Х3 + 3,399
§ 8. ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ КОРРОЗИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ФАКТОРОВ
Образцы стали, содержащие серу, фосфор и медь, испытывались
на коррозию в растворе лимонной кислоты.
На основании 39 проб были получены следующие парные коэф-
фициенты корреляции:
Переменные г
KS
КР
КСи
SP
SCu
РСи
0,205
0,277
—0,504
0,810
0,663
0,369
Принятые здесь обозначения выражают: К — скорость коррозии;
Р — содержание фосфора; S — содержание серы; Си — содержа-
ние меди.
Каждый из этих коэффициентов корреляции (например, 0,277
между содержанием фосфора и скоростью коррозии), как известно,
не дает представления об их взаимной связи. При увеличении содер-
жания фосфора возрастает количество меди и серы, влияющих на
скорость коррозии, причем первая уменьшает, а вторая увеличивает
ее величину. Поясним, как определить частный коэффициент кор-
реляции между скоростью коррозии и содержанием фосфора в пред-
положении, что количества серы и меди в стали постоянны.
Припишем изучаемым переменным какие-либо индексы; пусть,
например, скорость коррозии определяется индексом 1, а содержа-
ния фосфора, серы и меди определяются, соответственно, индексами 2,
3, 4. Составим всевозможные «тройные» коэффициенты корреляции,
определяющие силу связи между двумя какими-либо переменными,
в предположении, что из остальных двух переменных одно является
постоянным.
Применяя формулу (15), найдем, например, что r12 8:
г12—г13г23
/(l-'bHl-'la)
7®1
Таким образом, найдем следующие коэффициенты корреляции:
Переменные г
KS.Ctl................. 0,8500
KS.P...................—0,0344
KP.Cu.................. 0,5853
KP.S................... 0,1933
KCu.P..................—0,6900
KCu.S..................—0,8870
SP.Cu ................. 0,8126
PCu.S .................—0,3828
SCu.P ................. 0,6681
Исключаемые переменные здесь отделены точками.
Эти коэффициенты корреляции позволяют установить, что вли-
яние, например, фосфора на скорость коррозии при постоянном
содержании меди больше, чем при переменном ее содержании, а вли-
яние фосфора на скорость коррозии при постоянном содержании
серы меньше, чем при переменном ее содержании»
rKP-S<,'KP<rKP.Cu
Частный коэффициент корреляции, составленный в предположе-
нии, что устранено влияние на коррозию двух переменных, может
быть вычислен по следующей формуле:
_	r12.4—Г13,4Г23,4
!2.34	(1-г2зл)(1-г3зл)
Это есть частный коэффициент корреляции, вычисленный в пред-
положении, что устранено влияние переменных 3 и 4.
Произведя вычисления, мы получим следующие значения частных
коэффициентов корреляции для нашего примера:
Переменные г
KS.CuP ............. 0,7922
KP.SCu .............—0,3428
KCu.SCu.............—0,8970
Таким образом, в результате применения метода корреляции
к опытным данным мы получили возможность установить характер
и степень влияния количества серы, фосфора и меди, содержащихся
в стали, на коррозию последней в растворе лимонной кислоты.
§ 9. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
При нелинейной корреляции между двумя переменными обычно
ограничиваются рассмотрением соотношений вида:
У = а-|-ЬХ + сХ2 + «гХЗ-|- . . . -\-кХп
Если степень п многочлена, стоящего в правой части этого равен-
ства, известна, то определение коэффициентов а, Ъ, с,. . ., к может
быть осуществлено методами множественной регрессии.
702
Пример. Данные о разности потенциалов пары электродов Sb — Н
в растворах с различной концентрацией водородных ионов пред-
ставлены в следующей табл. XXШ-11.
Средние значения величин Y, принадлежащие к одним и тем же
концентрациям водородных ионов, располагаются, как видно из
рис. ХХШ-З, на параболе второй
степени. Параболическая линия ре-
грессии характеризуется уравне-
нием:
У=а + &Х + сХ2
Если положить X = Хг и Xй ®
= Х2, то это уравнение можно за-
писать в следующем виде:
У = У + ЬХ (Xx-XiJ + MXa-Xa)
Тем самым задача сведена к оп-	Рис. ХХШ-З.
ределению коэффициентов множе-
ственной регрессии. Эти коэффициенты Ьх и bt вычисляем по фор-
мулам.
ТАБЛИЦА ХХШ-11
Х=рН	Ya разность потенциалов, мв	Х = рН	Y= разность потенциалов, мв
2,2	255,38	5,0	255,00
2,2	255,34	6,0	255,61
3,0	255,12	6,0	255,41
3,0	255,12	6,8	255,91
4,2	255,09	6,8	255,74
4,2	255,10	8,0	256,71
5,0	255,01	8,0	256,72
Пользуясь данными таблицы, найдем:
Хх = Х = 5,029; Х2 =	= 28,960; У = 255,519
^^? = 51,429;	2 ^1^2 = 519,552;	2*1^=11’424
2*1 = 5899,923;	2^ = 131,532; 2 У2 = 4.341
Подставляя эти величины в систему уравнений (12) и решая эту
систему, получим:
6Х=—0,85446;	= 0,10657
Следовательно	__
У= 255,519—0,85446 (X —5,029)+0,10657 (№ — 28,960)
Коэффициент корреляции, вычисленный по формуле (14), оказы-
вается равным:
г = 0,990
703
Пример. В табл. ХХШ-12 приведены опытные данные о содер-
жании смолы в выходящем из центробежного эксгаустера газе Y
в зависимости от температуры Х3 поступающего газа и от скорости
вращения рабочего колеса Xt. Рассматривая эту таблицу, можно
сделать следующие выводы:
ТАБЛИЦА ХХШ-12
	X,	X,	Y	Xt	X,	X,	У
0	0	14,5	60,0	675	455 625	17,0	33,5
50	2 500	16,0	61,0	700	490 000	17,5	24,0
50	2 500	18,5	65,0	750	562 500	24,0	44,0
100	10 000	3,0	30,5	800	640 000	17,0	33,0
100	10000	18,0	63,5	800	640 000	24,0	39,0
100	10 000	19,0	65,0	800	640 00Q	29,0	53,0
300	90 000	12,5	44,0	825	680 625	28,0	38,5
300	90 000	25,5	52,0	850	722 500	22,0	39,5
300	90 000	28,0	54,5	850	722 500	24,5	36,0
350	122 500	5,0	30,0	850	722 500	8,0	8,5
375	140 625	5,5	25,0	1100	1 210 000	20,0	30,0
400	16 000	8,0	23,0	1100	1 210 000	19,0	29,0
400	16 000	23,0	54,0	1100	1 210 000	18,0	26,5
500	250 000	18,5	36,0	1200	1 440 000	18,0	24,5
500	250 000	24,5	53,5	1500	1 440 000	21,0	26,5
600	360 000	26,0	57,0				
				Средние	494 980	18,41	40,95
				591,1			
1) с увеличением числа оборотов рабочего колеса содержание
смолы в выходящем газе уменьшается и зависимость между ними
лишь приближенно линейная;
2) при низких температурах поступающего газа содержание
смолы на выходе понижается.
В соответствии с этим целесообразно представить данные опытов
уравнением такого вида:
Y = a -j- b^X j -j- b^X^ -f- b3t
где Y — содержание смолы в выходящем газе, eZIOO м3;
Xt — скорость вращения рабочего колеса, об1мин',
t — температура поступающего газа, °C.
Примем Х2 = Xi и Х3 — t, причем для упрощения вычислений
вместо X! будем брать X t — 2400 об/мин. Мы придем к следующему
уравнению множественной регрессии:
Y — a -j- b^Xi -f- &2-^зН~ ЬдХ3
Вычисляя суммы, суммы квадратов и суммы произведений,
получим:
У> = 1269,5;	= 18 325;	2 хч = I5 344 375;	£*3 = 572,5
X у3 = 58 510,75;	2 Р*1 == 642 750;	2 Ухч = 499 783 125
704
2^3 = 24 374,25;	2 *?= 14 344 375;	2 *1*2 =14 882 171 875
2^3 = 308076 562,5;	2*з = 12°19.25
_	—5,811666 • 10» • 1,446468  10» —2,336613 • 10*  2,470061 - 10?
da-tai-	4,861067- 1021
= —1,610600-10-»
В итоге будем иметы
«и =+2,350385-Ю’8;	с12= —1,610600 • Ю’9;	с13 =—1,046452 • 10’8
«2! = -1,610600-10-3;	с22 =+1,230265-10’12;	с23 =+5,008837 • 10’»
«31 = —1,046452-10’8;	с32 =+5,008897  Ю"9; «зз=+7,748477 • 10-4
Для коэффициентов регрессии получаем следующие значения:
61 = —0,055721
Ь2=+0,000019893
Ь3=+1,20297
Уравнение регрессии представляется в следующем виде:
У - У = -0,05572 (Xi-Xi)+0,00001989 (Х2-Х2) + 1,203 (Х3-Х3)
или
У = 41,8274 — 0,05572-Yi +0,00001989-Yf +1,203*
45 Заказ 1708
Глава XXIV
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Опытное изучение какой-либо неизвестной закономерности у —
= / (х) дает результаты наблюдений в виде таблицы соответственных
значений и yt. По этим же значениям можно построить кривую
зависимости у от х. Эту же зависимость можно приближенно пред-
ставить некоторой эмпирической формулой у = (р (х). Очевидно, что
выбор той или иной эмпирической формулы диктуется требованием
наилучшего приближения <р (х) к / (х) в некотором интервале зна-
чений а^.х^ р.
Функцию / (х) можно выразить различными эмпирическими фор-
мулами. В некоторых задачах в качестве <р (х) берут функцию, для
Которой в заданном интервале а^х^р наибольшее значение
величины | / (х) — <р (х)| будет меньше, чем при выборе любой другой
эмпирической формулы. Более удобно производить оценку прибли-
жения по методу наименьших квадратов. В этом случае функцией,
дающей лучшее приближение, считается такая функция, для которой
величина
3
J [/ (*)—ф (^dx
а
имеет наименьшее значение. Так как обычно бывают известны зна-
чения функции лишь для отдельных значений х( в заданном интер-
вале, то искомую эмпирическую формулу у = <р (х) подчиняют
требованию: сумма
5 = 21/(««)-Ф(^)1а
1—0
должна иметь наименьшее значение из всех возможных.
§ 1. СТЕПЕННЫЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Во многих случаях ход изучаемого явления хорошо описывается
степенной, показательной функцией или же многочленом. Многочлен
степени п имеет следующий вид:
у — а-^-Ьх-^-сх2-[- , , , -J-ms"
706
В частном случае он может иметь вид!
у — к = т (х— l)n	(1)
При п = 1 многочлен
у = тх или у = а + тх
геометрически изображается прямой линией.
При п целом и большем единицы уравнение (1) представляет
кривую параболического типа; ее вершина находится в точке (/, А).
Частными формами этого уравнения являются:
у — тх^1', y — a-f-mx"
При п 0 уравнение (1) представляет кривую гиперболического
типа. К частным случаям относятся:
ху=а’	у=-^+ь
»	а I ъ
ху = Ъх + ау или-----1--= 1
х у
Функциональная зависимость, характеризующаяся дифферен-
циальным уравнением ку, изображается показательной функ-
цией вида:
у - аЪх или у = аеьх
Такие функции в химической практике встречаются весьма часто.
В более сложных случаях иногда оказывается удобным пред-
ставить эмпирическую зависимость в форме:
<р (я) =а1еЬ1Х + а2ег’2Х+ . . .
*
Если эмпирическую функцию <р (х) взять в виде многочлена
степени п
Ф(я) = <го+а1я + а2£2+ . . . -МпХ1	(2)
то, увеличивая степень этого многочлена, обычно можно добиться
любой степени приближения и даже полного совпадения между
опытными данными и формулой. Если имеется п -j- 1 паР соответ-
ственных значений аргумента х и функции у, то всегда можно подо-
брать <р (х) в форме такого многочлена ге-й степени, чтобы он принимал
заданные значения у- яри заданных значениях аргумента xt. Для
этого следует решить систему п + 1 уравнений у{ = <р (zz) с п 4-1 не-
известными, из которой, вообще говоря, можно определить постоян-
ные коэффициенты «0, аг, а2,. . ., ап. Необходимо отметить, что нет
нужды стремиться к полному совпадению всех данных с эмпириче-
ской формулой, так как в силу погрешности опытных данных такое
совпадение иногда даже уменьшает точность формулы.
45’
707
§ 2 ВЫБОР ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. МЕТОД ВЫРАВНИВАНИЯ
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может
быть произведен на основе теоретических представлений о характере
изучаемой зависимости или об изменении измеряемых величин.
В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая кри-
вую, построенную по данным наблюдений, с типичными графиками
формул. Такие графики приведены в справочниках. Иногда оказы-
вается, что эмпирическая кривая похожа на несколько кривых,
уравнения которых различны. С другой стороны, нередки случаи,
когда та или иная эмпири-
ческая формула достаточно
V точно выражает зависимость
между заданными числен-
ными значениями величин, но
' типичный график этой фор-
мулы совершенно не похож
на экспериментальную кри-
вую. Это может иметь место,
когда экспериментальная
1,2 кривая и график формулы
построены для разных проме-
жутков изменения аргумента.
’•° Изменение численных зна-
чений коэффициентов, вхо-
gg дящих в формулу, часто рез-
ко меняет вид ее графика.
Выбор масштаба координат-
ных осей отражается на фор-
ме построенной кривой, что
также может привести к ка-
жущемуся отличию экспериментальной кривой от графика вполне
соответствующей ей формулы.
Поэтому, прежде чем определять численные значения коэффи-
циентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить
возможность ее использования методом выравнивания. Лишь после
этого можно перейти к отысканию тех значений постоянных коэффи-
циентов, которые дадут наилучшее приближение опытных и вычи-
сленных величин.
Метод выравнивания заключается в преобразовании функции
у = <р (х) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию.
Достигается это путем замены переменных х и у новыми переменными
X *=± ф (х, у) и У = t, (х, у), которые выбираются так, чтобы получи-
лось уравнение прямой линии:
Y—A-\-BX	(3)
Вычислив значения Xt и Yt по заданным xt и yt, наносят их на
диаграмму с прямоугольными координатами (X, Y). Если построен-
708
ные таким образом точки располагаются вблизи прямой линии,
то выбранная эмпирическая формула у = <р (х) подходит для харак-
теристики зависимости у = / (х).
Пример. При изучении скорости химической реакции получены
данные табл., XXIV-1 (т — время от начала опыта, у — количество
вещества в реакционной смеси к моменту т).
ТАБЛИЦА XXIV-1
1	У	U У	т	У	1g У
3	57,6	1,7604	15	16,6	1,2201
6	41,9	1,6222	18	12,2	1,0864
9	31,0	1,4912	21	8,9	0,9494
12	22,7	1,3560	24	6,5	0,8129
Эти данные представлены на рис. XXIV-1 (кривая т, у). Пред-
полагая, что реакция мономолекулярна, проверить возможность
применения для ее характеристики формулы у = аеь\
Выравнивание производим путем логарифмирования:
In у — In а + Ьх или
lgy = lga+2b-T
Вычисляем значения >g у и наносим на диаграмму точки в коорди-
натах (т, lg у). Эти точки хорошо укладываются на прямую линию,
что доказывает применимость к данному случаю формулы у = аеь'
и мономолекулярный характер реакции.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ВХОДЯЩИХ
В ЭМПИРИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ. СПОСОБ СРЕДНИХ
После того как установлена пригодность выбранной формулы
для выражения изучаемой зависимости переменных, необходимо
определить численные значения входящих в формулу коэффициентов.
Наилучшие результаты дает использование способа наименьших
квадратов (см. гл. XXII).
Однако этот способ громоздок, и во многих случаях его можно
заменить более простым способом средних, дающим менее точные,
но вполне удовлетворительные результаты.
Способ средних заключается в следующем: использовав метод
выравнивания и получив линейную зависимость
Y=A+BX	(3)
составляют условные уравнения Y( = A	число п которых
равно числу имеющихся соответственных значений Xt и Y t. Услов-
ные уравнения разбивают на две приблизительно равные группы
709 -
и уравнения, входящие в каждую из этих групп, складывают. Полу-
чают два уравнения
^lYt=kA+B^lXf; '£1Yi = (n-k') A + B^Xi
1	1	fe+1	fe+1
из которых находят неизвестные коэффициенты А и В.
Группировку условных уравнений перед их суммированием
можно произвести различными способами, причем каждый из них дает
несколько отличающиеся значения коэффициентов. Лучшим спосо-
бом группировки будет тот, который приводит к решению, дающему
наименьшую сумму квадратов отклонений вычисленных значений
функций от опытных. Этот лучший способ может быть выбран только
путем сравнения результатов вычислений по всем возможным спо-
собам группировки, что является очень длительным делом. Поэтому
обычно группируют уравнения в последовательности опытных дан-
ных, разбивая их на равные или приблизительно равные группы.
Считается, что этот прием чаще всего дает наиболее удовлетворитель-
ные результаты, хотя теоретически обосновать это нельзя.
Отметим, что способ средних тем более надежен, чем больше
имеется опытных точек, числу которых соответствует число условных
уравнений.
Пример. Найти по способу средних численные значения коэффи-
циентов, входящих в формулу для скорости реакции по данным
предыдущего примера.
Имеется 8 пар значений т и 1g у. Разбиваем их на две равные
группы и составляем для каждой группы по 4 условных уравнения
lg = 1g я + - д03 а затем суммируем их:
4	4
1.7604 = lg a-f-ЗЬ	1,2201 = 1g я+ 15-2—6
•	ZjZvO
1,6222 = 1g <»+6 —4+ b	i,0864 = lga + 18^4«-b
1,4912 = lg«+9-y4+b	0,9494 = lg a + 21-^— 6
1,3560= Ige+12-1^-6	0,8129= lg a + 24 —b
I. 6,2298 = 41g a+ 30—4z-b	П. 4,0688 = 4 lg a + 78-=4+ 6
Решая систему двух уравнений I и II с двумя неизвестными,
1g а и Ь, находим:
lg а = 1,89525 а — 78,56
и
ь = -0,1037
Таким образом, эмпирическая формула, выражающая скорость
изученной реакции, будет:
j/ = 78,56e-0,1037t
710
В табл. XXIV-2 измеренные значения у сопоставлены с вычислен-
ными по этой формуле.
ТАБЛИЦА XXIV-2
	3	6	9	12	15	18	21	24
У	57,6	41,9	31,0	22,7	16,6	12,2	8,9	6,5
^выч	57,57	42,19	30,92	22,66	16,60	12,17	8,92	6,53
§ 4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ГРАФИКОВ И ОТЫСКАНИЯ ПО НИМ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
1.	Зависимость вида у = ах“
Логарифмируя эту формулу, найдем:
lg у = lg а + 61g я
Если при нанесении на график значений lg х и 1g у построенные
точки располагаются приблизительно на прямой линии, то это ука-
зывает на то, что переменные х и у действительно связаны зависи-
мостью данного вида.
Пример. Результаты опытов по испытанию пены в присутствии
0,25% лаурилсульфата приведены в табл. XXIV-3. Здесь у — ско-
рость потока жидкости, проходящей через слой пены, мл/мин, а х —
©бъем жидкости, содержащейся в пене, мл.
ТАБЛИЦА XXIV-3
У	X	1g У	1g х	Увыч [по фор- муле (4)]	А, %	Ивыч [по фор- муле (5)]	А, %
3,60	2,20	0,5563	0,3424	3,59	-0,3	3,65	1,4
5,00	3,80	0,6990	0,5798	4,95	—1,0	4,99	—0,2
7,00	7,00	0,8451	0,8451	7,10	1.4	7,10	1,4
7,70	7,70	0,8865	0,8865	7,51	-2,5	7,50	-2,6
9,30	11,50	0,9685	1,0607	9,52	2,4	9,45	1,6
11,30	15,20	1,0531	1,1818	11,19	-1,0	11,17	-1,2
12,20	18,00	1,0864	1,2553	12,39	1,6	12,25	0,4
					Дер =		Дер = 1>3
На рис. XXIV-2 представлен график зависимости между у и х,
из которого видно, что зависимость эта нелинейная. На логарифми-
ческой сетке (рис. XXIV-3) эта зависимость обращается в линейную.
Следовательно, можно принять:
1g У = 1g а + Ъ 1g х
711
Подставляя сюда данные табл. XXIV-3, находим семь уравнений:
0,5563 = 1g я+ 0,34246
0,6990 = lg а + 0,57986
0,8451 = 1g а+ 0,84516
0,8865 = 1g а+ 0,88656
0,9685= 1g а+ 1,06076
1,0531 = 1g а+ 1,18186
1,0864= 1g а+ 1,25536
Складывая отдельно первые три и последние четыре уравнения,
получим:
2,1004 = 3 1g а+ 1,76736
3,9945 = 4 1g а+ 4,38436
Из этой системы найдем:
а = 2,256;	6 — 0,5887
Следовательно, эмпирическая формула принимает вид:
g = 2,256*°15887	(4)
Если для одной группы возьмем первые четыре уравнения, а для
другой группы — последние три уравнения, то после суммирования
получим:
2,9869=4 1g а+ 2,65386
3,1080=3 1g а+3,49786
откуда найдем:
а = 2,315;	6 = 0,5759
Новая эмпирическая формула будет:
g= 2,315*01575!'	(5)
Средние отклонения в 1,5 и 1,3% показывают, что порядок груп-
пирования опытных данных лишь незначительно влияет на резуль-
таты вычислений.
Пример. В табл. XXIV-4 дана зависимость коэффициента тепло-
отдачи а (в ккал1м2-ч -град) от горизонтальной стенки к кипящей
712
воде в зависимости от разности температур At стенки и кипящей
воды. Обозначим At = х и а = у.
*	ТАБЛИЦА XXIV-4
У	 X	1g у	1g к	Увыч	д, %
3185	6,10	3,5031	0,7853	3150	-1,09
5 390	7,50	3,7316	0,8751	5000	-7,23
6 860	8,88	3,8363	0,9484	6 410	—6,40
10 045	11,10	4,0017	1,0453	10 400	3,55
12 740	12,20	4,1052	1,0864	12 300	-3,46
					Аср = 4,34
На логарифмической сетке
зависимость рассматриваемых
(рис. XXIV-4) получаем линейную
величин и, таким образом, имеем:
lgy=lg a4-61ga:
Используя данные табл. XXIV-4, напишем
следующие уравнения;
3,5031 = lg а 4-0,78536
3,7316 = 1g а 4-0,87516
3,8363 = Ig а 4-0,94846
4,0017 = 1g а 4-1,04536
4,1052 = 1g а 4-1,08646
Складывая эти уравнения по группам,
найдем
11,0710 = 31g а 4-2,60886
8,1069 = 2 1g «4-2,13176
откуда а =119,8; 6 = 1,853.
Эмпирическая формула имеет следующий
Рис. XXIV-4.
вид:
у=119,8а:Ь853
2.	Зависимость вида у = ахь 4- с
Логарифмируя это выражение, получим:
1g (У—c) = lg «'4-6 1g х
Это есть линейная зависимость между
Ig (V — с)	и 1g г
Определение коэффициентов следует начать с нахождения с.
Для этого отметим крайние точки (хх, ух) и (z2, г/2) и найдем из чер-
тежа значение у3 для х3 = ]/arxz2. Так как координаты этих трех
точек удовлетворяют уравнению кривой, то г/х — с — ах{, уг — с —
= Уз ~ с = «^з-
713
Возводя зависимость х3 = рла:1Х2 в степень Ъ и умножая на а,
получим:
= у ах}ах|
ИЛИ
Уз —с = /(У1 —с) (1/2 —с)
Решая это уравнение относительно с, найдем:
е._ У1У2 —у|
У1 + У2 —2Уз
ТАБЛИЦА XXIV-5
У	X	У—0,048	1g (У—0,048)	1g »	Увыч	А, %
0,10	250	0,052	—1,2840	2,3979	0,102	2,0
0,28	500	0,232	—0,6345	2,6990	0,273	-2,5
0,80	900	0,754	—0,1238	2,9542	0,808	1,5
1,38	1200	1,332	0,1245	3,0792	1,426	3,3
2,56	1600	2,512	0,4000	3,2041	2,552	-0,3
4,10	2000	4,052	0,6072	3,3010	4,020	—2,0
						Аср —1»9
Пример. Зависимость меж-
ду количеством раствора у,
уносимого из выпарного ап-
парата, и производительностью
его х приведена в табл.
XXIV-5, где у дано в %, а
х — в кг!ч на 1 м3 парового
пространства испарителя.
Найти эмпирическую формулу, определяющую зависимость
между у и х.
Приведенные в табл. XXIV-5 данные графически характери-
зуются параболой (рис. XXIV-5), причем на логарифмической сетке
714
график заметно отлйчается от прямой (рис. XXIV-6). Будем искать
эмпирическую формулу вида у = ахь + с для изучаемой нами зави-
симости. Выберем на графике (рис. XXIV-6) две крайние точки,
например: х = 250; у = 0,1 и х = 2000; у = 4,10. Пользуясь при-
веденными выше формулами, находим х3 = хгх2 = р4250 • 2000 =
= 707. На графике этому значению х соответствует у3 = 0,507.
Подставим эти величины в приведенную выше формулу для с:
с = У1У^~У1 = 0,1-4,10 -0,5072 =	„
У1-Н/2 — 2у3	0,10+4,10-2-0,507
Найдя с, мы сможем заполнить 3, 4 и 5-й столбцы табл. XXIV-5.
Подставляя данные 4 и 5-го столбцов в формулу
1g (у—0,048) = 1g а + 61g х
получим шесть уравнений:
—1,2840 = 1g а + 2,39796
—0,6345 = 1g а + 2,69906
—0,1238 = 1g а + 2,95426
0,1245=lg а + 3,07926
0,4000 = 1g а+ 3,20416
0,6077= 1g а+ 3,30106
Суммируя уравнения по три, найдем:
—2,0423 = 31g я+8,05116
1,1322 = 3 1g я+ 9,58436
Решая эти уравнения, получим:
а =5,789-10-’ и 6 = 2,071
Искомая эмпирическая формула будет:
у = 5,789*2 -0’1 -10-’ + 0,048
3.	Зависимость вида у = al0м
Логарифмируя это выражение, получим линейную зависимость
между х и 1g у.
1g У= 1g а+6®
ТАБЛИЦА XXIV-6
Пример. Найти эмпириче- скую формулу, определяющую зависимость между атмосфер-	р	h	lg р	рвыч
ным давлением р (в мм рт. ст.)	760,0 674,8		2,8808 2,8292	760,0 672,5
и барометрической высотой h		0 1		
(в км), на основании еле-	598,0	2	2,7767	595,1
дующих результатов опыта	528,9	3	2,7234	526,6
(табл. XXIV-6).	466,6	4	2,6689	466,0
Эти данные изображены на графике (рис. XXIV-7, а).	410,6 360,2	5 6	2,6134 2,5565	412,4 364,9
715
Искомую зависимость между h и р возьмем в виде!
р—а • 106й
или (рис. XXIV-7, б)
lgP=lga+^
Полагая h = Q, находим коэффициент а\
a = 760
Так как нам осталось определить только Ъ, то мы можем объеди-
нить все опытные данные в одну группу. Получим
2 ig Р = Х Jg в + Ь = 7 ’ 2,8808 + 6
или
19,0489 = 20,1656+216
откуда
Ъ = —0,0531
Таким образом, эмпирическая формула, удовлетворяющая опыт-
ным данным, имеет вид:
p=760-10"«>»53ia
ТАБЛИЦА XXIV-7
У	X	1g У	Увыч	А. %
3615	0,00	3,5581	3724	3,0
3650	0,61	3,5623	3621	—0,8
3605	1,04	3,5569	3551	-1,5
3445	1,68	3,5372	3449	0,1
3320	2,71	3,5211	3292	-0,8
2890	5,13	3,4609	2948	2,0
2685	7,86	3,4289	2604	-3,0
1360	21,50	3,1335	1399	2,9
925	31,00	2,9661	908	-1,8
				Аср — 2,0
716
Эта формула совпадает с формулой для барометрической высоты,
выведенной теоретически (см. гл. Ill, § 1).
4.	Зависимость вида у = 10а+6*.
Так как 1g у = а + Ьх, то при наличии зависимости данного
вида х и 1g у будут связаны линейной зависимостью.
Пример. Найти эмпирическую формулу, определяющую зависи-
мость между количеством поглощенного бензола в синтетическом
каучуке х (в %) и сопротивлением разрыву у (выраженным в услов-
ных единицах) на основании следующих результатов опытов
(табл. XXIV-7), изображенных на рис. XXIV-8.
Рис. XXIV-9.
Из рис. XXIV-9 видно, что зависимость у от х на полулогарифми-
ческой сетке является линейной. Таким образом, имеем:
1g у — а -|- Ъх
Подставляя сюда табличные данные, получим следующие урав-
нения:
3,5581 = а -)- 0,005
3,5623 = а 4- 0,615
3,5569 = а 4-1,045
3,5372 = а 4-1,685
3,5211 = а-|-2,715
3,4609=0 4-5,135
3,4289 = а 4-7,865
3,1335 = а 4- 21,505 .
2,9661 = а 4-31,006
Отсюда имеем:
17,7356= 5а 4-6,04&
12,9894 = 4® 4-65,496
Решая эти уравнения, получим
а = 3,5710;	6 =—0,01977
717
и, соответственно, эмпирическую формулу:
у = 103'5710-0.01977* — 3724 • 10"°'М977*
Пример. При опытных работах по сушке получены следующие
данные:
х . . . 0	20 40 60 80 100
у . . . 29,5 18,4 11,9 8,6 5,0 3,3
где х — время, сек,
у — содержание влаги, в % от массы сухого остатка.
Найти эмпирическую формулу по приведенным выше данным
для процесса сушки.
На рис. XXIV-10 изображен график этой зависимости, из кото-
рого видно, что с изменением
Рис. XXIV-10.
переменная у изменяется нелинейно.
На полулогарифмической сетке
(рис. XXIV-11) эта зависимость
обращается в линейную; поэтому
имеем:
1g у—а-[-Ьх
Рис. XXIV-11.
Пользуясь опытными данными, составим следующую
табл. XXIV-8.
ТАБЛИЦА XXIV-8
У	5С	1g У	Увыч	Д, %
29,5	0	1,4698	28,7	2,7
18,4	20	1,2648	18,6	1,08
11,9	40	1,0755	12,0	0,84
8,0	60	0,9031	7,82	2,50
5,0	80	0,6990	5,0	0
3,3	100	0,5185	3,3	0
				Дер = 1,18%
718
Напишем уравнения:
1,4698 = a-f-Ob
1,2648 = a + 206
1,0755 = а + 406
0,9031= а+606
0,6990 = « + 806
0,5185 = а +1006
Имеем:
3,8101= За+ 606
2,1206 = За+ 2406
Решая эти уравнения, получим:
а = 1,4568;	6 = —0,00938
Следовательно:
у = 1Q1,4568-0,00938-*
5.	Зависимость вида у = 10a+i* + в
Логарифмируя это выражение, получим:
1g (у — с) = а + Ьх
Прежде всего найдем с. Для этого выбираем на кривой крайние
точки хг, уг и ж2, уг. Вычисляем среднее арифметическое хг и х2
^+г2
*з— о
и определяем по кривой у3. Так как все три точки лежат на кривой,
то имеем:	Ух—с = Юа+Ьх'	1g (Ух — с) = a-j-bz1 Уъ—с=10а+Ьх* и 1g (у2 —с) =«+ Ъх2 Уз—с = 10а+Ьхз	1g (Уз —с) = в + 6я3
Так как	, ,	. « + « . , zi+z2 а + 6ж3=—5	F6- » ' -А	и
то	a+ta3 = — [(а+6а:1) + (а + 6а:2)]
т. е.	j 1g (уз—с)== у [1g (га—с) (М2— с)]
или	Уз —С= К (Ух —С) (У2—с)
Отсюда:	с	У1Уг—у! У1 + У 2 — 2уз
Пример. В табл. XXIV-9 приведены опытные данные о раствори-
мости натриевой соли хлорноватистой кислоты в воде у (в г/100 г
боды) в зависимости от температуры х (в °C).
719
ТАБЛИЦА XXIV 9
Рис. XXIV-12.	Рис. XXIV-13.
На рис. XXIV-12 изображен график, соответствующий данным
табл. XXIV-9. График зависимости у от х на полулогарифмической
сетке (рис. XXIV-13, 1) показывает, что связь между этими пере-
менными нелинейная. Если же у заменить переменной у — с, то
график, построенный по новым данным, близок к прямой линии
(рис. XXIV-13, 2).
Для отыскания значения с выбираем на кривой (рис. XXIV-12)
точки: хг = 10, уг =* 5,00; х2 — 60, у2 = 24,50. Далее находим:
10+60
жз=—£ =35; Уз = 12,15
Применяя полученную выше формулу для с, найдем:
= У1У2-У1 = 5,00 • 2;,50 —12,152 =
Ух + У2-2уз 5,00 + 24,50 -2 • 12,15
Следовательно
1g (У+4,82) = а + 6з
i720
Подставляя сюда данные табл. XXIV-9, получим:
0,9921 = а + 10&
1,0871 = ^+206
1,1853 = а +306
1,2747 = а + 406
1,3824 = а +506
1,4672 = а+ 606
Складывая отдельно первые три уравнения, а затем вторые три,
получим систему двух уравнений, из которой найдем:
а = 0,8973;	6 = 0,00955
Искомая эмпирическая формула будет:
у _ IQ0,8973+0,00955.» _ 4 82
или
у = 7,894е°’1939* —4,82
6.	Зависимость вида у — а + Ьх + сх2
Подставим в это уравнение вместо хи у какие-либо их значения хг
и уг иэ данной экспериментальной зависимости:
у У = а + Ьх1 + сх%
Вычтем это равенство из первого:
У — У1 = Ъ (х — х^+с (я2— х$
Разделив обе части этого равенства на х — xlt получим
уравнение
—---— =sb-{-C (л+Я!) = Ь-\- сх-}-сх1
в котором зависимость между
V — V1
X—х^
и х является линейной.
Пример. Имеются следующие опытные данные:
у	.	. .	0,59	0,95	1,43	2,05	2,78	3,65
х	.	. .	0	20	40	60	80	100
где у — процентное содержание воды в смеси эфира с водой;
х — температура кипения, °C.
Требуется определить эмпирическую зависимость между этими
величинами. На рис. XXIV-14 представлена кривая, построенная
по приведенным выше данным. Для ее выпрямления используем
формулу:
Выбираем точку: хг = 0, ух = 0,59 и составляем табл. XXIV-10
и график на рис. XXIV-15.
46 Заказ 1706
721
ТАБЛИЦА XXIV-10
У	X	У — У1	X	Х1	» к 1 1 5» К	Увыч	Д, %
0,59	0	0	0			0,590	0
0,95	20	0,36	20	0,0180	0,940	1,053
1,43	40	0,84	40	0,0210	1,415	1,05
2,05	60	1,46	60	0,0243	2,02	1,46
2,78	80	2,19	80	0,0274	2,74	1,29
3,65	100	3,06	100	0,0306	3,60	1,40 Аср = 1,04
Для определения а и с напишем уравнения!
0,0180 = а + 20&
0,0210 = а 4-406
0,0243 = а + 606
0,0274= а + 806
0,0306 = а + 1006
Складывая эти уравнения по группам, получим
0,0633 = 3«+1206
0,0580 = 2а+ 1806
откуда
а = 0,0143;	6 = 0,00016
Следовательно
У~~О— = 0,0143 + 0,00016®
или
у = 0,00016®а + 0,0143® + 0,59
722
7.	Зависимость вида у= , fl + У1
Я "т" ОХ
Переписывая это уравнение
X—S- = a + ta
V — У1
„	х—Xi
видим, что оно выражает линейную зависимость между -у_у ~ и ж.
Пример. Примем следующие данные:
т	П	4 О
у	29,18 25,68 22,84
где х—температура, °C;
у — объем воздуха (измерен-
ный при t °C и
15	20	25
20,55 18,68 17,08
Найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость рас-
творимости воздуха в воде от температуры.
Строим на графике точки, отвечающие всем данным опытов.
Мы получили кривую (рис. XXIV-16).
Принимая	= 5 и ух — 25,68, вычислим отношение	для
четырех точек (табл. XXIV-11):
ТАБЛИЦА XXIV-11
У	X	х—5	у—25,68	к—5	^ВЫЧ	А, %
				у—25,68		
 22,84	10	5	-2,84	—1,76	22,84	0
20,55	15	10	—5,13	—1,95	20,55	0
18,68	20	15	-7	—2,14	18,65	0,16
17,08	25	20	-8,6	—2,32	17,06	0,11
46*
723
Строим график: на оси ординат откладываем —ж 5  , а на оси
У
абсцисс х. Зависимость выражается прямой линией (рис. XXIV-17):
V— Vi
Значения коэффициентов а
—1,76= а + iob
-1,95= а 4- I5b
—3,71 = 2а + 25b
Решая, получим:
Х — Х1
- = а + Ьх
Ь определяем из уравнений:
—2,14= а + 20b
—2,32= а+ 256
—4,46 = 2а + 45b
а = —1,386;
й =-0,0375
Эмпирическая формула, дающая зависимость между раствори-
мостью воздуха в воде и температурой, принимает следующий вид:
и
V —1,386-0,0375х + 25,68
8.	Зависимость вида
X
V а-\-Ьх
Записывая это уравнение в виде
У X
1 1
получим линейную зависимость между переменными — и —.
Пример. В табл. XXIV-12 приведены данные о равновесном со-
стоянии системы: уксусная кислота — диацетат-а-пропиленгликоль.
Здесь жир представляют мольные доли уксусной кислоты, соответ-
ственно, в жидкости и в парах при атмосферном давлении
(рис. XXIV-18).
ТАБЛИЦА XXIV-12
У	м	1 У	1 ж	^ВЫЧ	А,	%
					уравнение (6)	уравнение (8)
0,572	0,100	1,748	10,000	0,570	—0,4	-0,7
0,748	0,200	1,337	5,000	0,479	0,1	-0,1
0,836	0,300	1,196	3,333	0,837	0,1	0,1
0,888	0,400	1,126	2,500	0,889	0,1	0,1
0,923	0,500	1,083	2,000	0,923	0,0	-0,1
0,947	0,600	1,036	1,667	0,948	0,1	—0,1
0,967	0,700	1,034	1,429	0,966	-0,1	-0,2
0,980	0,800	1,020	1,250	0,980	0,0	-0,2
					Дер = од	Дер =
724
1 л
На рис. XXIV-18 нанесены точки с координатами —. Они
расположены приблизительно на прямой линии. Следовательно,
эмпирическую зависимость нужно искать в виде!
значения табличных данных, по-
1,083= а'+2,0006'
1,056= а'+1,6676'
1,034= а' +1,4296'
1,020 = а'+ 1,2506'
Подставляя в это уравнение
лучим:
1,748 = а' + Ю,000Ь'
1,337 = а'+ 5,0006'
1,196 = а'+ 3,3336'
1,126 = а'+ 2,5006'
Суммирование по группам дает:
5,407 = 4а'+20,8336'
4,193 = 4а'+6,3466'
Решая последние уравнения, найдем:
а'=0,9153!	6'=0,0838
Следовательно
Решая это уравнение относительно у, получим:
0,0838 + 0,9153 л	w
Мы можем сопоставить полученные здесь результаты с формулой,
выведенной в гл. IV (стр. 168):
V~ 1 + (а — 1) х
(7)
где а — относительная летучесть.
Для вычисления а воспользуемся следующими опытными данными
(табл. XXIV-13).
ТАБЛИЦА XXIV-13
Темпе- ратура, °C	Давление паров, мм рт. ст.		0С
	уксус- ная кис- лота	диаце- тат- а- пропи- лен- гликоль	
110	410	32,5	12,62
116,5	700	63,2	11,08
			11,85
725
При сравнении этих двух формул имеем:
а = — = —I-= 0,084;
а 11,85
, а —1	11,85-1,00
о =-------=-----тттте---= 0,9156
а	11,85
Следовательно, для уравнения (7) найдем:
” 0,0844 + 0,9156а:	' '
Как видно из двух последних столбцов табл. XXIV-12 эмпирическая
•формула хорошо согласуется с теоретической.
х
Рис. XXIV-19.
Пример. При опытном исследовании процесса адсорбции SO2
силикагелем получены следующие данные:
у ... . 0 8,8 13,7 17,0 18,9 20,4
х .... 0 2 4	6	8	10
где у — количество адсорбированного SO2, % от массы силикагеля;
х — содержание SO2 в исходном газе, объемн. %.
Найти функциональную зависимость, соответствующую этим
данным. График на рис. XXIV-19 дает кривую. Для ее выпрямления
воспользуемся формулой
и построим прямую, изображенную на рис. XXIV-20.
Имеющиеся данные представим в следующем виде
(табл. XXIV-14).
Для определения а и 6 напишем следующие уравнения:
0,1135 = 0,50а+ Ь	0,0530 = 0,125а + Ь
0,0730 = 0,25а+ &	0,0490 = 0,10а+ &
0,0589 = 0,1б7а + &
726
ТАБЛИЦА XXIV-14
У	X	1 У	1 я	Увыч	л, %
0	0				
8,8	2	0,1135	0,50	8,9	1,13
13,7	4	0,0730	0,25	13,75	0,37
17,0	6	0,0589	0,167	16,80	-1,18
18,9	8	0,0530	0,125	18,80	-0,53
20,4	10	0,0490	0,10	20,40	0,00
					Дер = 0,64
Суммируя по группам, получим
0,2454= 0,917а+ 36
0,1020 = 0,225а+ 26
откуда находим:
а = 0,159; 6 = 0,033
Эмпирическая формула принимает такой вид:
х
У 0,159 +0,ОЗЗж
9.	Зависимость вида у *= а. Ьх 10с+</*
Иногда значительная часть точек, изображающих результаты
измерений, на графике располагаются на прямой линии, в то время
как остальные точки располагаются на кривой.
В этих случаях часто оказывается возможным связать изучаемые
переменные зависимостью вида:
y = a-}-bx-\-iQc+dx
Пример. Найти эмпирическую формулу, связывающую перемен-
ные у и ж, значения которых помещены в табл. XXIV-15.
ТАБЛИЦА XXIV-15
У	X	vr	8=1/—V'	Ig8	5ВЫЧ	Увыч	Д, %
15,22	500	=_					0,002	15,22	0,0
15,45	450	—	—	—	0,004	15,47	0,1
15,70	400	—		—	0,008	15,72	0,1
	350	—	—	—	0,016	15,97	0,1
16,37	275	16,32	0,05	—1,3010	0,048	16,37	0,0
16,83	200	16,69	0,14	—0,8539	0,145	16,84	0,1
17,50	125	17,06	0,44	—0,3565	0,440	17,50	0,0
							Дер = 6,1
727
График, изображенный на рис. XXIV-21, состоит из двух частей:
прямолинейной и криволинейной. Для прямолинейной части гра-
фика, охватывающей первые четыре точки, примем:
у1 = а + Ъх
Подставляя сюда опытные данные, составим следующие четыре
уравнения:
15,70= а+ 4006
15,95 = а + 3506
15,22 = а + 5006;
15,45 = а + 4506;
Рис. XXIV-21-
Рис. XXIV-22.
Складывая эти уравнения попарно, получим
30,67 = 2а+ 9506
31,65 = 2а+ 7506
откуда, после решения, имеем:
а = 17,67;	6 = -0,0049
Таким образом, уравнение прямой имеет вид:
у' = 17,67- 0,0049ж
Найдем отсюда значения у', соответствующие значениям х, рав-
ным 275, 200 и 125, и внесем их в третий столбец таблицы. Им соот-
ветствует пунктирная линия на графике. Разность б = у — у'
относительно х дает на полулогарифмической сетке прямую линию
(рис. XXIV-22). Следовательно, можно принять:
Ig 6=c+dx
728
Подставляя сюда значения 1g б и х из табл. XXIV-15, найдем:
—1,3010 = с+275d
—0,8539 = с + 200й
-0,3565 = с+ 125Й
- Складывая первые два уравнения, получим:
-2,1549 = 2^+475^
Решая это уравнение совместно с третьим, найдем.
с = 0,448; d = 0,00641
Таким образом
§ _ 1Q0-4448—0,00641*
Так как у = у' + б, то искомая эмпирическая формула будет:
!/= 17,67 — 0,0+9/: + 100-4448-0,00641*
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
ДЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим несколько примеров отыскания эмпирических фор-
мул, которые получаются из формул, рассмотренных выше, путем
некоторого преобразования одной или обеих переменных.
Рис. XXIV-23.
Пример. Имеется группа опытных данных, выражающих зависи-
мость у ОТ XI
у . . .	50	126	169	191	214	234
х . . .	121	248	342	414	510	700
Требуется определить эту зависимость в виде эмпирической
формулы.
Если нанести эти опытные данные на логарифмическую сетку
(рис. XXIV-23), то полученные точки расположатся на кривой,
близкой к параболе. Следовательно, можно принять:
lgy = a-j-blgx-]~c 1g2 х
729
Подставим сюда вместо х и у координаты {х', у') какой-либо
точки графика:
1g у' = я -J- Ь 1g х' -|- с 1g х'
Отсюда находим:
JgL-1?==6 + сig+сigx=Y
lgx—\gx ।	6 Г s
Величина У линейна относительно 1g х (рис. XXIV-24). Выберем
точку: ж' = 121 и у' = 50. Тогда постоянные коэффициенты а' и Ъ'
найдем из уравнения:
у Igy—Ig50 , , м
*	-j”	" -г . п . — Л Ч- О Iff Д?
1g х—Ig 121	6
Данные для расчета приведены в табл. XXIV-16.
ТАБЛИЦА XXIV-16
У	X	1g У	1g у— — 1g 50	1g X	1g sc— —Ig 121	Igy— Ig 50	^выч	Д, %
						Igx—Ig 121		
50	121	1,6990			2,0828					50	0,0
126	248	2,1004	0,4014	2,3945	0,3117	1,2880	127	0,8
169	342	2,2279	0,5289	2,5340	0,4512	1,1722	168	—0,6
191	414	2,2810	0,5820	- 2,6170	0,5342	1,0895	191	0,0
214	510	2,3304	0,6314	2,7056	0,6248	1,0106	213	—0,5
234	700	2,3692	0,6702	2,8451	0,7623	0,8792	235	0,4 Acp “ 0,4
При совместном решении двух суммарных уравнений
получим:
3,5497 = Зя' + 7,54556'
1,8898 = 2«'+5,55276'
я' = 3,4779;	6' = —0,9123
ТАБЛИЦА XXIV-17
в	t	57,29B+ 12	cos (57.29B+ 12)	Ввыч	Д. %
0,965	17,0	67,29	0,3861	0,972	0,7
0,900	19,5	63,56	0,4452	0,899	-0,1
0,815	22,5	58,69	0,5197	0,806	—1,1
0,670	26,5	50,39	0,6376	0,673	0,4
	85,5		1,9886		
0,600	28,5	46,37	0,6900	0,601	0,2
0,460	32,0	38,35	0,7842	0,461	0,2
0,320	35,0	30,33	0,8631	0,317	—0,9
	95,5		2,3373		Acp ==
730
Следовательно,
Ig у—1,699о _
1g х— 2,0828
3,4779 — 0,9123 Ig®
или
откуда:
Ig у = —5,5447 + 5,3780 Ig х - 0,9123 lga х
у= 5447+5,3780 Ig х-0,9123 lgs х
Пример. В табл. XXIV-17 даны значения плотности суспензии
(в условных градусах) В при различных температурах t, °C.
Ь для уравнения
При построении графика по
опытным данным (рис. XXIV-25)
будем принимать значения плот-
ности В в радианах. Построим
график изменения cos 57,29В от-
носительно 4,где 57,29 есть коэффи-
циент перевода радианов в граду-
сы. Этот график оказывается кри-
волинейным. Поэтому строим гра-
фик изменения cos (57,29В + а)
относительно t, где а имеет раз-
мерность градусов угла и опреде-
ляется методом подбора таким об-
разом, чтобы получить прямую
линию. После нескольких проб на-
водим, что а = 12 удовлетворяет
этому условию. Постоянные коэффициенты а и
cos (57,29В +12) = a-\-bt
определяем из двух суммарных уравнений
1,9886 =4a-f-85,56
2,3373 = За+ 95,56
решение которых дает:
а = —0,0791;	6 = 0,02696
Эмпирическая формула будет:
cos (57,29В +12) = —0,0791 +0,026964
Рассмотрим еще один прием нахождения эмпирической формулы,
используемый при определении зависимости между удельным весом
раствора и его температурой,
§ 6.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ РАСТВОРА
АЛЮМИНИЕВЫХ КВАСЦОВ И ЕГО ТЕМПЕРАТУРОЙ
Кривая на рис. XXIV-26 изображает изменение плотности рас-
твора алюминиевых квасцов (12 г/л) в зависимости от темпера-
туры t° С согласно опытным данным, приведенным в табл/ XXIV-18.
731
ТАБЛИЦА XXIV-18
Т, кг/ дм2	G °C	НО	а	1g а	ig ‘	Вычисленные значения			А, %
						а	НО	Y	
1,0064	10	10,0	0,0			0,1	10,1	1,0064	0,00
1,0056	15	15,3	0,3			0,4	15,4	1,0056	0,00
1,0046	20	22,0	2,0			1,5	21,5	1,0347	0,01
3,0166							47,0		
1,0036	25	28,7	3,7	0,568	1,398	3,7	28,7	1,0036	0,00
1,0022	30	38,0	8,0	0,903	1,477	7,9	37,9	1,0022	0,00
1,0004	35	50,0	15,0	1,176	1,544	15,0	50,0	1,0004	0,00
3,0062							116,6		Дср = 0,00
Исследование графика показывает, что он был бы линейным,
если бы значениям плотности 7 = 1,0004, 1,0022 и другим соответ-
ствовали температуры не 35, 30,. . ., 10, а / (7) = 50, 38,. . ., 10,
т. е. если бы имела место линейная
зависимость между у и / (7):
y=a + bf («)
Здесь неизвестными являются
постоянные а и Ь, а также функ-
ция / (7), значения которой поме-
щены в третьем столбце таблицы.
Постоянные а и b найдем, ре-
шая следующие два уравнения:
1,0064 = а+юь
1,0004= а 4- 50Ь
откуда
а = 1,0079: Ь = —0,0001504
Таким образом
7 = 1,0079—0,0001504/ («)
(9)
В четвертом столбце табл. XXIV-18 даны значения а = / (7) — 7.
Дополнительный график рис. XXIV-26 показывает, что на лога-
рифмической сетке а и t связаны между собой линейно. Следова-
тельно
lg а = lg т + п lg t; а = mtn
Постоянные т и п могут быть найдены вполне удовлетворительно
с помощью данных табл. XXIV-18, соответствующих точкам при 25,
30 и 35° С.
732
Последние три строки таблицы дают:
0,568 = lg m-f- 1,398га
0,903 = lg т 4- 1,477га
1,176 = 1g т +1,544»
Решая третье уравнение совместно с уравнением
1,471 = 1g т 4- 2,875га
полученным путем сложения первых двух, найдем:
т = 5,86 • 10’6; и = 4,15
Следовательно
а = 5,86 • 10'6«4-15
и
/(«) = «+ 5,86 • 10-в«4’15
Внеся эту функцию / (t) в формулу (9), найдем:
7 = 1,0079 — 0,0301504 (« + 5,86 • 1О’в«4’М)
§ 7.	ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ,
ОБРАЗУЮЩИХ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ С ВЫСТУПОМ
График, изображенный на рис. XXIV-27, согласно данным
табл. XXIV-19 показывает, что при значениях ж < 3 и ж> 8,5 мы
имеем линейную зависимость у от х.
Полагая, что в данном случае пра-
вая часть уравнения прямой линии
должна быть дополнена величиной 6,
получим:
у — а + Ьх+6
где а и Ъ — постоянные коэффициенты;
б= еп(Х-х) + еп(х-Х)	(10>
В этом выражении X есть значе-
ние х, отвечающее максимальному от-
клонению у от прямой линии: у' =
= а + Ь х; это максимальное отклонение
равно а/2. Постоянная п опреде-
эмпирических данных.
ляется методом подбора на основании
Используя первые три и последние три точки графика, находим
уравнение прямой:
/ = 0,017+ 0,5362л
В третьем столбце табл. XXIV-19 приведены значения у', полу-
чающиеся из этого уравнения. Четвертый столбец содержит
733
У	X	у'	у—у'	5,75—х	1,3 (5,75—х)
0,30	0,50	0,285		5,25	6,825
1,10	2,00	1,089		3,75	4,875
1,60	3,00	1,626		2,75	3,575
2,30	4,00	2,162	0,138	1,75	2,275
3,30	5,00	2,698	0,602	0,75	0,975
3,80	5,75	3,100	0,700	0,00	0,00
4,00	6,50	3,502	0,498	-0,75	—0,975
4,15	7,50	4,038	0,112	-1,75	—2,275
4,60	8,50	4,575		-2,75	-3,575
5,10	9,50	5,111		-3,75	-4,875
5,90	11,0	5,915		-5,25	—6,825
разности у — у', обозначенные символом 6. Максимальное значение
р — у — у' составляет 0,7, следовательно, а = 2-0,7 = 1,4. Этот
максимум соответствует X = 5,75. С помощью нескольких проб
найдем п — 1,3. Полученные значения п, а и X подставляем в фор-
мулу (10). Получим:
е1,3 (Х-5,75)_|_ 0-1,3 (Я-5,75)
1 4
0,017 + 0,5362ж+	8 (х-5 75)	(Х-5,75)
Такого рода эмпирические формулы широко используются при
обработке экспериментальных данных о вязкости разбавленных
растворов солей, а также о теплопроводности разбавленных раство-
ров глицерина.
Из табл. XXIV-19 видно, что опытные и вычисленные значения у
совпадают вполне удовлетворительно.
§ 8.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ РАСТВОРА ГЛИЦЕРИНА И ТЕМПЕРАТУРОЙ
Зависимость между коэффициентом теплопроводности (в ккал X
X см] сек'См-град) разбавленных растворов глицерина и темпера-
турой t выражается следующим соотношением:
Х=а + М.10~8
где а и b зависят от процентного содержания с глицерина в растворе.
На рис. XXIV-28 изображен график зависимости b от с в соответ-
ствии с данными, представленными в табл. XXIV-20.
Исследование этого графика показывает, что точки, соответ-
ствующие значениям с = 0, 5, 10, 45, 50, 60 и 65, лежат на прямой;
734
ТАБЛИЦА XXIV-19
gl,3	е1,3 (х—5,75)=в	А + В	S	У' + 2
920	0,0	920	0,002	0,287
- 131,5	0,0	131,5	0,011	1,100
35,7	0,0	35,7	0,039	1,665
9,7	0,1	9,8	0,142	2,304
2,6	0,4	3,0	0,462	3,160
1,0	1,0	2,0	0,700	3,800
0,4	2,6	3,0	0,462	3,964
0,1	9,7	9,8	0,142	4,180
0,0	35,7	35,7	0,039	4,614
0,0	131,5	131,5	0,011	5,122
0,0	920	920	0,002	5,917
линия, проведенная через точки, соответствующие значениям с = 15,
20, 25, 30, 35 и 40, образует выпуклость, а точки, соответствующие
с = 70, 75, 85 и 90, удаляются от прямой линии. В соответствии
с этими наблюдениями полагаем:
Ъ=Ъ’ -J- 61 6а
где
b' = / + gc
й =________«_______
1	е^(С-с)_^ еп(с-С)
и
6а = 1о“+0<;
Из графика имеем, что для с = 0
(вода) величина b — 367. Отсюда сле-
дует, что для точек, соответствующих
с = 5, 10, 45, 50, 55, 60 и 65, вели-
чина / равна 367. В то же время угло-
вой коэффициент g есть среднее зна-
чение угловых коэффициентов линий,
связывающих водную точку с каждой
из указанных выше семи точек; это
значение составляет —4,638. Таким
Рис. XXIV-28.
образом
Ь' = 367— 4,638с
Приведенные в табл. XIX-20 и изображенные в нижней части
графика значения б получены при вычитании Ь' из Ь; они действи-
тельны для точек, обозначающих концентрации с в пределах от 0
До 65.
Воспользуемся соотношением:
=_____________________________а_______
1	еМС-с)_|_ е«(с-С)
причем а примем равным 26.
735
ТАБЛИЦА XXIV-28
	Ф	ф	ф.	со	’’Н	©	со	як	ф	со	ф	о	ф Ф О	Ф	*к	Ф	TH	Q N	М*	ГН	о*	W	М*	ГН м	о' Illi	1	1	со II ® 1 8- 1 <
ь (12)	О-^СЧ^н-ч^СЧФСЧЮОФСОякФФФ ф*й*счфоофсо^оофсо^-*фф*^со СОМСОСОСЧСЧСЧСЧКККК	со у
	СО Ф Ф Г» Г* '^1Ф00ФСО<ФГ-»СЧЮф о О О ян О О О СЧ як ян ’гН со я-Т СЧ	ф со	0*0 os- 9Т = d:>V 	1
b (И)	ООЮСОСЧСЧСОФСОФякГ’-'^СЧОФяк Ф	СЧ Ф 00 Ф ^^ООФСОгнО^кЛ СО со СО СО со СЧ СЧ СЧ СЧ	«К як	ф
5 • д *с	^^СЧС010Г-»СЧФ<000^*СО ОООООо'яНягЧСО«<]7[>?сЧ ^-1	31,4 50,3
64 40	- 00 Ф сч	ф 00 Ф Ф СЧ	К К (> К 1	35,2 50,4
Р* 2 д ю	Ф.	К С1 Ч К SC К К Ф CQ К К О Ф ’К СЧ	00 _ С^'^ГоО’^ТЧяНООООО	0*0 0'0
J—3 + J?	_ ^а£2^СЧСЧччсО <О*^10ФСЧя-чгНСЧФЮ)*^ОФ со СЧ ио СО СЧ СЧ СО LO СЧ СО	яг-1 ю о. сч	ян сч	О 05 00 як СО О	3130 6320
t	АЛЛС*Ю«ОСЧФФ Ф Ф Ф як СО <>	00 О Ф	о Ф ФФФФФФяНСЧьО^нс0Г**^-ч-1*^Г'» як СЧ	Ф Ф 00 к СО о	3130 6320
%	Ф Ф сч с> ю о ©•^«ОС^ОО^С-^СО^Ф^ФООО© Сяясочкю’счя-^ооо о о о о о о о *<Г СЧ ян	О Ф,
к	1ОЮ1Л1ОЮЮ1ЛЮЮЮЮЮЮЮЮЮ 00 як	[> © СО СО	ф	О»	•<£	00	Ю	СЧ	ФФ СОСОСЧя^яг^ффяКямСЧСОСО^иОиОФ 1	1	1	1	1 1	1	1 1 1	—8,05 —8,75
27,5—с	Г"*	СЧ	Г*	СЧ	<> СЧ	СЧ	оГ СЧ сч <> сч <> сч СЧ	СЧ	к	ЯН	1	|-^я?-1сЧСЧСОСОя^я^ 1	1 1 1 1 1 1 1 1 1	—52,5 -57,5
«О	Ф	00	Ф	00_	ф	СЧ	*<?	Ф 00	ф	сч	Ф О	*к	со СЧ	ф	СЧ	Ф	СЧ	Ф	СЧ	'•sF	ягЧ Я-Н II	1	
ь	Ф^ООФЧрСЧФООФ^СЧОООФ^СЧФ £££2€>£--tf’’£t*:^s?oo’‘iO’4Hodioc4Ci Ф	СЧ Ф О Ю СЧ Ф 00 Ю СО к 00 Ф	К СОСОСОСЧСЧСЧСЧСЧ-'К-^яКягЧ	—27,2 -50,4
	ФЮФЮФЮФЮФЮФЮФЮФЮ як^счсчсосо-^я^ююффоо	Ю Ф 00 Ф
•а	£-счг*Ф^со*а<Г'-еоФсоФФс*фФ ^З^^ФООФСОягчоОЮСО^ФФЮСО СО СО СО СО СЧ СЧ СЧ М к К К К	00 Ф
Постоянная С есть значение концентрации с, отвечающей макси-
мальному бх. Из графика находим, что С равно 27,5. Методом под-
бора определяем п = 0,14.
Следовательно
» 26
е0,14 (27,5—С) _|_е0,14 (с-27,5)
Значения б2 в таблице получаем посредством вычитания Ь' из b
для второй группы значений с. Дополнительный график на
рис. XIX-28 показывает, что на полулогарифмической сетке между б 2
и с имеется линейная зависимость:
lg 6a = u+rc
Для получения уравнения прямой используем следующие точки
с = 75, 85 и 90. Складывая уравнения
lgll,0=«+75!>
1g 35,2= “+85t?
и решая полученное суммарное уравнение совместно с уравнением
1g 60,4 = и 90у
найдем в итоге:
б2 = 1 Q-l,970+°,04°84e
или
62 = 0,01064-10°-04084<!
Таким образом, имеем:
5 = 367 — 4,638с + е„,м (27,5-с)^е0,14 (С-27,5) + 0,01064-10°^	(И)
Значения Ь, вычисленные по формуле (11), дают отклонения,
главным образом, в сторону увеличения (табл. XXIV-20).
Исправляя, вычтем единицу из первого члена (11), который
станет равным 366. Теперь распределение ошибки является более
равномерным и приводимая ниже формула
5=366 — 4,638с+ е8>14 (ag,B_c)^g0,i4 (с-27,5) ' + 0,01064 • 10»,(12)
вполне удовлетворительна.
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Пусть функция у = / (ж) задана таблицей. Часто оказывается
необходимым вычислить значение функции при значении х, не поме-
щенном в этой таблице. Эта задача называется интерполированием.
Интерполирование табличных значений, разность между кото-
рыми мала, производится, обычно, с помощью пропорций, как,
47 Заказ 1706	^7
736
например, при вычислении логарифмов. Если же табличные разности
значительны и быстро изменяются, то интерполирование можно
осуществить путем нахождения приближенного аналитического пред-
ставления данной функции. Рассмотрим интерполяционную
формулу Лагранжа. Пусть при х = а1л а2,. . ., ап функция прини-
мает, соответственно, значения у^ у2,-  у п. Лагранж нашел выра-
жение для многочлена степени п — 1, который принимает те же
значения при х = а15 а2,. . ., ап, что и заданная нам функция.
Этот многочлен имеет следующий вид:
(х — а2) (х — а3)
1	(aj —а2) (aj —а3)
(х — ап)
(щ — ап)
(Д —Щ) (х — а3) , , . (х — ап)
2	(az — щ)	— аз)  • • (а2— ап)
+ (Д — Щ) (х — а2) . . , (я —an-1)
(ага а^) (ап а2) . . . (ап ап_1)
Для упрощения расчетов по этой формуле рекомендуется следу-
ющий прием вычислений.
Заполняется таблица (табл. XXIV-21) — левая часть позволяет
находить числители, а правая — знаменатели отдельных членов
формулы Лагранжа. Способ заполнения таблицы легко уяснить
при рассмотрении ее.
Для нахождения коэффициента при уг в формуле Лагранжа
нужно произведение выражений, помещенных в ячейки строки «ур)
левой части таблицы, разделить на произведение чисел, находя-
щихся в строке ах правой части таблицы. Аналогично находятся
и остальные коэффйциенты.
138
§ 10. КОЭФФИЦИЕНТ СЖИМАЕМОСТИ АЗОТО-ВОДОРОДНОЙ СМЕСИ
ТАБЛИЦА XXIV-22
t	Р, атм	Г	Р'
0,9609	100	-391	1
1,0264	200	264	2
1,1024	300	1024	3
?	400	?	4
1,2679	500	2679	5
1,3561	600	3561	6
1,5280	800	5280	8
В табл. XXIV-22 приведены опытные данные о зависимости
между коэффициентом сжимаемости азото-водородной смеси
/ (N2 : Н2 = 1 : 3) и давлением Р.
Вычислим значение / при
Р = 400 ат. Для удобства заме-
ним / на /' = 10 000 (/ — 1), а Р
на Р’ = Р/100.
Обычно при интерполировании
достаточно иметь четыре значения
определяемой функции — по два
с обеих сторон от места искомого
значения в таблице. В со-
ответствии с этим составляем
табл. XXIV-23.
Таким образом при Р' = 4 имеем:
Г =2468,7—637,5 = 1831,2
т. е. при Р = 400
/=1,1831
Числа в столбцах под знаками + и — вычислены следующим
образом:
264
«и
4Т
739
2679 ' у-= 1786,0
О * Л *	1
9 . 4 . —4
3561 - .	. =-593,5
4 • 3 • 1
1831,2
Опытным путем найдено, что при Р — 400 атм коэффициент
сжимаемости азото-водородной смеси / = 1,1833. Пользуясь дан-
ными для шести пар значений / — Р, мы получили бы по формуле
Лагранжа / = 1,1833.
§11. ПЛОТНОСТЬ РАСТВОРА ФОСФОРНОЙ кислоты
Определим плотность 26% раствора Н3РО4 при 20° С, пользуясь
следующими данными:
у (плотность)
Н3РО4)
. 1,0764	1,1134	1,2160	1,3350
. 14	20	35	50
Применим формулу Лагранжа, причем интерполирование произ-
ведем для дробной части с последующим прибавлением 1 к получен-
ному результату. Имеем:
, п „о, (26-14) (26-35) (26^50) ,
’	(20—14) (20 - 35) (20 - 50)
+02160	(2^20) (26~-50) 1
’	(35-14) (ЗЙ—20) (35 — 50)
+ п Ч«0 (26-*4) (26-20) (26-35) _
’	(50_14) (50-35) (50-20)
= 1,0 - V • 0,0764+• 0,1134+	- 0,2160-	• 0,3350 = 1,1528
/	25	175	25
Действительное значение плотности 26%-ной Н3РО4 составляет
1,1529 ке]дмй.
§ 12. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ
ФОРМУЛ ДЛЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Некоторые вопросы приводят нас к задаче о нахождении эмпири-
ческой зависимости, связывающей три переменных ж, у и z.
Для определенности будем считать ж и у независимыми пере-
менными, az — их функцией.
Общий метод решения таких задач состоит в следующем. Считая х
постоянным, свяжем z с у зависимостью
Ф (z) = а + bF (у)
740
ТАБЛИЦА XXIV-24
__	У					
X	2	3	/	5	а	ь
	Z					
1	0,9091	0,1111	1,2500	1,3510	0,5	1,2
2	0,3125	0,3571	0,3846	0,4032	2,0	2,4
3	0,1587	0,1754	0,1852	0,1916	4,5	3,6
4	0,0961	0,1042	0,1087	0,1116	8,0	4,8
которую определим, применяя какие-либо из вышерассмотренных
методов. Числа а и Ъ в этой зависимости являются функциями от х,
которые нужно найти эмпирически. Некоторые приемы нахождения
эмпирических формул для
трех переменных даны в ра-
зобранных ниже примерах.
В табл. XXIV-24 приве-
дены данные о зависимости
между тремя переменными.
Нанеся на диаграмму
значения z относительно у
для четырех значений х, мы
получим кривые, предста-
вленные на рис. XXIV-29, I.
На рис. XXIV-29, II даны
прямые линии, которые полу-
чаются при установлении
1 1
между — и — линейной за-
висимости вида:
1	. Ъ
— = «4—
Z V
Фиксируя х, вносим сю-
да табличные значения у и
г. Для каждого х получим
систему четырех уравнений с двумя неизвестными а и ft. Решая их
относительно а и Ь, найдем для них значения, помещенные в послед-
них двух столбцах таблицы.
Строя график а в зависимости от х (рис. XXIV-29, IV), убе-
ждаемся, что зависимость между ними--нелинейная, однако на лога-
рифмической сетке (рис. XXIV-29, III) находим прямолинейную
зависимость. Следовательно
lg а = lg т -|- п 1g х
Последнее выражение может быть написано так:
а = тх^
741
Находя значения т и п способом, описанным выше, получим:
w = 0,5; п=2
Таким образом
а = 0,5x2
Из рис. XXIV-29, IV легко видеть, что между b и х имеется
линейная зависимость
b=f + gx
и в соответствии с методом, указанным на стр. 709, определяем по-
стоянные / = 0 и g = 1,2. Значит:
6 — 1,2х
Подстановка значений а и Ъ в уравнение
1	. Ь
— — а -]-
z У
дает
1	„ _ , . 1,2®
— = 0,5®2 4- ——
z	У
или окончательно:
l,2x + 0,5x2j/
§ 13.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ РАСТВОРА
И ТЕМПЕРАТУРОЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КОНЦЕНТРАЦИЯХ СОЛИ
В табл. XXIV-25 приведены опытные данные о зависимости между
плотностью В, выраженной в условных единицах, и темпера-
турой t (в °C) при различных концентрациях С (в г/л) соли в раз-
бавленных растворах.
Рис. XXIV-31.
Построим графики плотности В относительно температуры t для
четырех концентраций С; мы получим кривые (рис. XXIV-30).
На рис. XXIV-31 видно, что при построении графика для В2 отно-
сительно t мы получим прямые; отсюда имеем:
В2 — а-\-ы
742
ТАБЛИЦА XXIV-25
В	вг	1	а	6	Ввыч	л, %
			С = 35,97			
2,957	8,744	20,8			2,964	0,2
2,800	7,841	24,9			2,810	0,4
2,643	6,986	29,0			2,645	0,1
	23,570	74,7				
2,429	5,900	33,7			2,447	0,7
2,243	5,031	38,0			2,249	0,3
2,086	4,351	41,0			2,100	0,7
	15,282	112,7	13,29	-0,2181		
			С = 29,96			
2,457	6,037	21,0			2,451	-0,2
2,343	5,490	24,0			2,343	0,0
2,200	4,840	28,0			2,188	-0,5
	16,367	73,0				
2,071	4,289	31,1			2,061	-0,5
1,843	3,397	36,0			1,843	0,0
1,700	2,890	39,4			1,680	-1,2
	10,576	106,5	9,662	-0,1729		
			С =23,9 7			
1,98	3,920	20,4			1,97	—0,5
1,80	3,240	24,5			1,82	1,1
1,70	2,890	28,0			1,69	-0,6
	10,052	72,9				
1,51	2,280	32,0			1,52	0,7
1,28	1,638	37,0			1,29	0,8
1,08	1,166	40,9			1,07	-0,9
	5,084	109,9	6,614	—0,1343		
			<7= 17,97			
1,46	2,132	20,5			1,46	0,0
1,36	1,850	24,0			1,35	-0,7
1,23	1,513	27,1			1,24	0,8
	5,495	71,6				
1,02	1,040	32,9			1,00	-2,0
0,70	0,490	38,7			0,69	-1,4
0,615	0,378	40,4			0,572	-7,0
	1,908	112,0	3,951	- 0,0888		Дер = 0,8
743
Разделим значения В и t на две группы применительно к каждой
величине С. Совместное решение суммарных уравнений дает числа а
и Ь, приведенные в табл. XXIV-25.
Переходя к установлению зависимости между а и С строим
(рис. XXIV-32) зависимость, связывающую lg С и 1g а. Из
рис. XXIV-32 видно, что эту зависи-
мость можно считать линейной:
lg а = Igm-kn lg С
Рис. XXIV-32.	Рис. XXIV-33.
В табл. XXIV-26 представлены данные,
вычисления т и п.
необходимые для
ТАБЛИЦА XXIV-16
а	С	1g а	1g С	авыч	А, %
13,29 9,662	35,97 29,96	1,1235 0,9851	1,5560 1,4766	13,29 9,674	0,00 0,12
		2,1086	3,0326		
6,614 3,951	23,97 17,97	0,8205 0,5967	1,3797 1,2546	6,566 3,983	-0,79 0,81
		1,4172	2,6343	Дер	= 0,43
Совместное решение суммарных уравнений дает нам 1g т =
= 1,5778 или т = 0,02644 и п — 1,736, следовательно
а=0,2644(№в
На рис. XXIV-33 представлена зависимость между b и С. Эта
зависимость может быть принята за линейную:
b = f+gC
744
В табл. XXIV-27 даны величины, с помощью которых могут быть
определены / и g.
ТАБЛИЦА XXIV-27
ъ	С	&выч	А, %
—0,2181	35,97	—0,2166	0,7
—0,1729	29,96	-0,1745	-0,9
—0,3910	65,93		
—0,1343	23,97	—0,1326	1,3
—0,0888	17,97	-0,0906	-2,0
-0,2231	41,94		Аср ~ 1,2
При совместном решении суммарных уравнений найдем/ = 0,0352
и g = —0,006999. Таким образом
6 = 0,0352 — 0.006999С
Подстановка выражений для а и Ъ в уравнение
£2 = а + bt
дает окончательно:
В2 = 0,02644СЬ73в_}. (0,352—0,006999(7)z
§ 14.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РАСТВОРИМОСТЬЮ ОКИСИ ХЛОРА
В ВОДЕ И ЕЕ ПАРЦИАЛЬНЫМ ДАВЛЕНИЕМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
Для иллюстрации другого способа отыскания эмпирической
формулы, связывающей три переменных,
между растворимостью S окиси хлора
(в г/100 г воды) и парциальным давле-
нием р (в мм рт. ст.). Опытные дан-
ные представлены в табл. XXIV-28.
Изотермы, приведенные на рисунке
XXIV-34, дают на логарифмической сетке
графики зависимости между S и р в виде
прямых линий (рис. XXIV-35). Поэтому
примем
lg р = 1g а + 6 1g 5
Составим два следующих уравнения
для 1 = 0:
1,6990 = 31g а + 3,47826
1,3010= 1g а+ 1,52636
Аналогично находим системы уравне-
ний и для остальных трех температур!
3,46, 10 и 20° С.
745
ТАБЛИЦА XXIV-28
р	S	ig р	ig 8	a	'o	рвыч	л, %
			, t = 0	c			
1	7,6	0,0000	0,8808			1,02	2,0
5	16,7	0,6990	1,2227			4,94	-1,2
10	23,7	1,0000	1,3747			9,95	-0,5
		1,6990	3,4782				
20	33,6	1,3010	1,5263	0,01757	2,0025	20,00	0,0
			i = 3,46° С				
1	6,5	0,0000	0,8129			1,00	0,0
5	14,78	0,6990	1,1697			4,96	-0,8
10	21,3	1.0000	1,3284			10,11	0,1
		1,6990	3,3110				
20	30,2	1,3010	1,4800	0,02579	1,9579	20,00	0,0
			1=10	° C			
1	5,2	0,0000	0,7160			0,93	—7,0
5	12,3	0,6990	1,0899			5,19	3,8
10	17,4	1,0000	1,2405			10,35	3,5
		1,6990	3,0464				
20	24,2	1,3010	1,3838 ~	0,03472	1,9948	20,00	0,0
			1 = 2C	° C			
1	3,5	0,0000	0,5441			0,95	—5,0
С	8,0	0,6990	0,9031			5,19	3,8
10	11,1	1,0000	1,0453			10,19	1,9
		1,6990	2,4925				
20	15,4	1,3010	1,1875	0,07163	2,0597	20,00	0,0
							Аср ~
Рис. XXIV-35.
746
Находим на графике (рис. XXIV-36) значения а и & относи-
тельно t. Нетрудно видеть, что четырех точек достаточно для того,
чтобы построить кривую Ъ — t, которая переходит в прямую линию
для большей части заданного предела температур. Между тем, зна-
чения а быстро изменяются с возрастанием Ь, и здесь требуются
еще три дополнительные точки, — обозначенные на графике тре-
угольниками, — для определения кривой. Последние находим интер-
полированием по методу Лагранжа (см. § 9).
§ 15.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ ФИЛЬТРА
И ПРИМЕНЯЕМЫМ ВАКУУМОМ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ КРУПНОСТИ
ЧАСТИЦ ПРОМЫВАЕМОГО ОСАДКА
В табл. XXIV-29 приведены опытные данные о зависимости
между производительностью фильтра w (в кг жидкости в 1 ч на 1 л2)
и величиной вакуума р (в мм рт. ст.) при различных значениях
размера d (в см), частиц промываемого на фильтре осадка.
ТАБЛИЦА XXIV-29
d	Р	W	d	р	W
	50	3114		50	6 998
0,250	75 100	3811 4402	0,375	75 100 .	8 579 9 886
	125	4976		125	И 075
	50	4847		50	9 535
0,313	75 100	5936 6853	0,438	75 100	11 680 13 486
	125	7662		125	15 073
	50	5883		50	12 537
0,344	75 100	7205 8320	0,500	75 100	15 252 17 616
	125	9302		125	19 694
Построив логарифмические графики для d относительно w при
постоянных значениях вакуума р, мы получим прямые линии
(рис. XXIV-37). Следовательно, формула, связывающая d и w при
постоянном р, будет:
Ig d— Ig « + b Ig w\ d=awb
Изображенные на рис. XXIV-37 прямые линии параллельны
между собой, и поэтому значение b не зависит от р. Разделив опыт-
ные данные для каждого р на две группы, получим значения коэф-
фициентов а и Ъ.
Результаты этих вычислений даны в табл. XXIV-30.
747
Примем Ъ равным 0,5. Тогда имеем:
где а есть неизвестная функция от р. Для ее нахождения построим
на логарифмической сетке график зависимости а от р; получим пря-
мую линию (рис. XXIV-37). Следовательно, можно принять:
ТАБЛИЦА XXIV-30	lg а= lg m-}-n 1g р;	а — трп
V	а	ъ	где п — отрицательная величина. Разделив данные табл. XXIV-30
50	0,00449	0,498	на две группы, составим два сум- марные уравнения. Решение их даст:
75	0,00405	0,499	
100	0,00378	0,498	т = 0,0119; п = —0,25
125	0,00356	0,501	Таким образом, имеем:
а = О,О119р-0’25
Подставляем полученное выражение для а в формулу
d== aw °’6
Найдем:
<7=0,0119p’°.aW.5
или
= 7056р°>5а?2
Если показатель степени Ъ оказался бы не одинаковым для всех
значений р, то эмпирическую зависимость Ъ от р пришлось бы искать
таким же образом, как и для а.
748
$ 16. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
Нередко при обработке числового материала приходится ветре- .
чаться с формулами, имеющими периодический характер.
Если Джр есть период функции у = / (ж), то
/ (а:+Д®р) = / (а:)
Так, например, если х есть угол (в радианах), то sin х и cos х
имеют период Джр = 2л, поскольку sin (ж + 2л) — sin ж
и cos (ж + 2л) = cos ж.
Другой пример: пусть у есть температура, значения которой
повторяются через каждые 24 ч. Тогда, если ж изображает время
(в часах), то периодическая функция имеет период Джр = 24. Обозна-
чим через 0 угол (в радианах), тогда однозначная ограниченная
периодическая функция от 0 периода 2л может быть пред-
ставлена бесконечным тригонометрическим рядом (см. гл. XIII)
в таком виде:
У= I (0) = «о+ aicos 6 — а2 cos 20+ . > , +
flp COS П 0 "j- ... "4—
4- sin 0 + b2 sin 20 +
-j- bn sin n0+ . . .
Соответственно эмпирическая формула периодического характера
включает в себя конечное число членов его, определяемое необходи-
мой степенью точности функции.
Если функция у = / (0) известна, то коэффициенты ряда могут
быть найдены следующим образом (см. гл. XIII)
2л
J У ^0
О
а°=—~
2л
J г/cos £0 <70
2л
J </sin/c0<70
Тригонометрический ряд может состоять только из косинусов
или же только из синусов угла ж, выраженного в радианах. Для
доказательства справедливости этого положения напишем:
Ук = ak cos *0 + bk sin kQ =

/ ak
bk
Val + b%
sin/c0
749
Обозначим
И
ф/г= arctg
ak
Тогда
Vk — Ck (cos Ф/г cos /c04-sin Фд, sin /св)
или
Vk= Ck cos U0 —
Последняя формула является уравнением волны, называемой
Л-й гармоникой с амплитудой Ck и фазой ФА; период этой волны
Эд,
составляет -г-, так как мы здесь имеем:
К
cos 1^/с	+	—®jQ = cos (/с052л— <Pfc) = cos (7с0—Фй)
Для к = 1, 2, 3, ... графики носят названия, соответственно,
основной волны, второй, третьей и т. д. гармоники. Таким образом,
тригонометрический ряд можно написать и в таком виде:
У ~ ^0 “Ь cos (0 — Ф1) “Ь ^2 cos (20 — Ф2) “Ь
+ Сзсов(30 — Ф3) + . • . 4~
+ Сп cos («0— Фп)+ . . .	(13)
В дальнейшем мы будем пользоваться этим тригонометрическим
рядом.
Если для периодической функции значения у известны при раз-
личных значениях х, то эмпирическая формула, удовлетворя-
ющая опытным данным, может быть найдена путем вычисления а0
амплитуд и фаз основной и последующих гармоник Clt Ф1(
С2, Ф2,. . .
Определим период Джр функции для полного цикла изменения у.
Переменная х может обозначать не только значения угла, но и зна-
чения любых, других величин; наиболее часто эта переменная в пери-
одической функции обозначает время.
Для того чтобы выразить значения угла через переменную х,
необходимо определить период функции, т. е. Джр.
Имеем:
Выражая 0 в	G — mz	(14) градусах 360 т=^ (15>
или в радианах:	2л т = —— Дхр
750
Разделим х на п равных промежутков для всего периода и обо-
значим ординаты кривой через у0, уг, у2,. . соответственно точкам
ж0, xi’ х2->  •  Тогда а0 будет выражать среднее значение п ординат,
a ak и bk — удвоенные средние значения произведений, образу-
ющихся при умножении каждой ординаты на cos kdk или sin kQk:
1 V? 1
яо — — £ У — — (уо + щ+ • • • +Уп-1)	(16)
2	2
<Чг = ~ У (У с°з/с0) =(г/° c°s Л:0 4-J/i c°s Л: 6Х 4- . . . + yn_t cos *0n_i)	(17)
=	sin/c0)=-^- (^sin^ + ^sin^-l- ••• +yn_isin/c0rt_i) (18)
§ 17. СУШКА ВОЗДУХОМ
Найти зависимость между температурой воздуха в сушилке у
и временем х в течение суток на основании результатов опыта, при-
веденных в табл. XXIV-31.
Используя величину периода функции хр 4- 24, найдем из (15):
.360
”" = *5
Согласно (14) имеем:
0 = 15z
Период времени сушки, считая от полудня, разделен на п = 24
равных промежутка; в соответствии с (16):
яо =	(У о + Vi + • • • + Угз)
Применяя формулу (17), получим:
1
«! = — (Уо cos 15^ + ^1,003 15^+ . . . +у2з cos 15ж2з)
и
«2 = ^2 (Уо COS Х0 + щ COS 30Xi+ . . . +^23 СОЗ 30^23)
Аналогично, пользуясь (18), имеем:
1
&! = —(г/о sin 15ж0 +г/131П 15^+ . . . + у2з sin 15х23)
и
1
i>2 = 7Y(.Vosin3Oxo + i/1sin30x1+ . . . +y23sinЗС<,3)
1 ы
751
ТАБЛИЦА XXIV-31
ег м	с* cmio.io.co см	со <ф оо сб^го’хрсмФГ’-х^-ч-чобибсмФГ'^ибибибсбФсбг’^смсоо' ффффффООООООГ’-Г-Г-СОсОсОСОсОсОфГ-Г'-ОООСФ	
у (sin ЗОх) 1	ФФФ-ч-чф	ФЮФСМьО	tO СО	О с©	tO С© t>. tO ч-ч ф	-чн -ч-ч	-ч-ч	СМ	ОО -ч-ч	ф чг	СО	1О	СМ СМ	хН О см х£ Ф нб О см Ф	об id со	О со	ю’ со	со о с©	г-	см to	to’ ЧГ Q0 Ф QO Xf	ХГ С—	Г-С©	СО	со Ю	СО Ю	со	СО	СО	00 t-	ХГ 1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	LVZ-
sin ЗОх	ФФФФФФФФФФФФОФФФФФФФОФФФ ОФСОФСОФФФСОФСОФФФСОФСОФФФСОФФФ ФФСОФСОФФФСОФСОФФФСОФСОФФФСОФСОФ фьОоОФоСиОФЮООФООЮФкОООФОСМиОФЮООфООю о о о б о 6 о 6	о 6 6 о о о 6 о 6 6 2 6 6 1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	
у (cos ЗОх) ।	О хГ tO	1Л	X О	СЗ О	С Q	О СО О	О СС	О С]	Ю	Ю СО ХГ Ь*	ф СМ	Ф 1О	СО. 1>	Ф.СО.ф	СО Г-	СМ СМ	с—	xf с© со см г-	О С©	Г-	СМ О О t-’ CM	Ci об СО Ф	СМ Г-*	ф СО	ОО Ф	со оо’ Ci 00 xf	кг	г-оо	г-хг	со со	со to со	со ю	со со	со	xrt- 1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	21,55
cos ЗОх	0S8SS88SS8SS8SS00SS 83с5S§ ОСОФФфсрфсОФ О-ф сООсОФОФсОФФОФФс© ооо to. o^ioоо Ф^оо юф ю оо.© ооto Ф tqoo ф оо ю ф to оо О ф <6 ф1 б о’ О О ф' б 6 0 б о б 2 6 б б б Ф Т 1 1 1 1	1 1 1 II	
у (sin 15х)	СМФсОСОСОФтЧСМСМЮф tO © фЙо253?емс?5ем§Е£ i> 06 to” со kF ф Ф 00” со об с© Г^оо <44 Q5 см СГ^<чЧ см.	чЧООхрЮСОсОС^СОЮхГСМ О кГ Г- СОФ СО Г- о to t- 00 О	I	1	I	1	1	I	1	I	I	1	i CM xt< С© 00 00 00 00 C* to со ^Ч	1	1	1	1	1	1	1	1	!	1	|	107,24
1 1 sin 15х	ОСОФч-чОффффч-чфоОФсОфч-чфффФОчнООО ОСООЕ*СОИ3010©£©СОООООГ*СОЮф1ПСОччСОО ОьОООсОСОФсОФОСыЛФЮООсОФ'ОсОСООфиО Ф CM tO Г^СО ф Ф Ф	CM О.СМ tO t* 60 Ci Ф ф ОО Г- to см d о 0* о* 0 ф чч б d © б о*©* 6 о 0 о 0 чч б о d d 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	
у (cos 15xi	ф to ф CM to Ф	Ф Ф СМ СМ СО Ф Ф СО СО О СО	Ф LO СМ СО ф Ф 00 CM CM	to СМ ф Ф СО -чЧ ф со СМ ООГ-^’-фСМЬ- сб^смсбс©сбф^ф1бкбфф^г^1бсм^фсюобоб1©ь^ Ф Ф 00 со xF CM CM Xf to СО Г- СО СО to к? СО ч-( -ч*ч СО Ю Г- 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	142,50
cos 15х	ФфФ'ч-чФООФОООчнОФФФФ^чФООФООФ’--'ФФ ФЮС©1^»С>ООФООФГ'-СО1ОФЮС©Г-ФООФООФГ'-С0 1-О ФсОФФФЮОиОФФсОФОсОСОООЮф^ОфО^ ф Ф 00 to.СМ Ф CM 10 00 Ф Ф Ф 00 Г- to СМФ СМ Ю Г* 00 Ф Ч-Ч ф ф сГ Ф* ф О ф ф ф о о Ч-Ч о ф Ф Ф Ф Ф ф” Ф ф' сГ Ф II 1 1 1 1 1 1 1 1 1	
	r^.CM to to to О CM CM ф -V4 CM to ф Г- ф Ф CM CM Ф to. CM ф 00 go to to xF см Ф i>“ xf ^4 об иб см Ф* c©” to td" co” Ф co см co’ ф’ ФФФФФФ00 00 00С—t’-r-CCcOCOCOcOcOCOt—C—СО00Ф	1919,7
к	Фт-1СМС'0«<Г1ЛС©Г*00ФФ-ч-ЧСМС0хГ1ОС0Г-00ФФчмсМС‘0 чЧ’ччЧчЧчЧ’ччЧчЧч^чЧМММ'М	
Для получения различных произведений и их сумм
в табл. XXIV-31 даны соответствующие значения. Из сумм, при-
веденных в этой таблице, имеем:
1919,7
ав = ——— = 80,0
2 м
= 11,88

, _ 107,24
61 = ^2~-8,94
Далее:
11,882 + 8,942 = 14,9
и
Ф1=ак‘«>Г37:
Подобным же образом получим:
21,55 , оп
1,80
62 = ^^- = -°,21
Рис. XXIV-38.
с2= 1,802 +(-0,26)2 = 1,8
—О 91
°2 = arctS—гдх“==353°
i.oU
Эмпирическая формула в соответствии с (13) будет:
у = 80.0+ 14,99 cos (15s—37) +18 cos (ЗОх—353)
Вычисленные с помощью этой формулы значения у дают отклоне-
ния не выше 0,1° С (табл. XXIV-31).
В этом случае удовлетворительное совпадение расчетных величин
с опытными данными достигнуто при использовании двух гармоник.
Однако во многих других случаях может оказаться необходимым
применение значительно большего числа гармоник. На рис. XXIV-38
изображен график периодической функции температуры от времени.
Здесь каждая ордината этой функции есть сумма средней ординаты
а0 = 80,0 и-ординат первой и второй гармоник.
§ 18. ТИПИЧНЫЕ ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛ
В Приложении приведены данные, облегчающие выбор вида
эмпирической формулы. Первая графа таблицы содержит графики
функций, помещенных во второй графе. Для каждой функции по-
строено несколько кривых, соответствующих разным значениям
752
48 Заказ 1706
753
постоянных коэффициентов. При выборе формулы следует учиты-
вать, что эмпирическая кривая может быть подобна лишь части
типичной кривой для некоторых пределов аргумента. Это является
достаточным для применимости формулы в данных пределах.
В третьей графе таблицы указаны приемы замены переменных,
приводящие к выравниванию, а в четвертой графе — вид получаемой
после выравнивания линейной зависимости. В последней графе даны
примечания, относящиеся к методам определения постоянных коэф-
фициентов, к приемам преобразования формул и вторичного
выравнивания.
Глава XXV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
При всех технических расчетах имеют дело с величинами, полу-
чаемыми в результате тех или иных измерений или наблюдений. Так
как никакие измерения не могут дать точного значения измеряемых
величин, то при расчетах пользуются приближенными значениями
этих величин, имеющими большую или меньшую степень точности.
Степень точности измерения зависит, главным образом, от совершен-
ства измерительного прибора и от надежности операции измерения.
Так, погрешность измерения температуры раскаленного тела опти-
ческим пирометром достигает десятков градусов, а термометром
сопротивления можно измерять температуру в пределах от 0 до 100°
с точностью до тысячных долей градуса.
В технике инженерных вычислений весьма редко приходится
пользоваться приемами и формулами, дающими точные решения.
В большинстве случаев методы решения уравнений, приводящие
к точным результатам, либо слишком сложны, либо вообще отсут-
ствуют. Обычно пользуются методами приближенного решения задач.
Естественно, что применение неточных методов и неточных зна-
чений исходных величин приводит к неточным, приближенным
результатам. Полученный при решении той или иной задачи резуль-
тат имеет ценность лишь в том случае, если известна степень его
точности. Решение любого вопроса путем экспериментальных и вы-
числительных операций может быть совершенно обесценено, если
неизвестна погрешность числа, выражающего искомый результат.
Абсолютное значение разности между приближенным и точным
(истинным) значениями величины называется абсолютной погреш-
ностью приближенного значения. Если приближенное значение
обозначим числом а, а точное — числом А, то абсолютная погреш-
ность А числа а равна:
Д = |а—А|	(1)
Отсюда следует, что:
Я = а±Д
(2)
755
48'
Например, если точное значение величины равно 1728, а ее при-
ближеннее значение равно 1730, то абсолютная погрешность
последнего числа равна:
11730-17281 = 2
если же взято приближенное значение 1700, то его абсолютная по-
грешность равна:
11700 —1728 | = 28
Число 1700 является приближением точного значения величины
(числа 1728) по недостатку, а число 1730 — по избытку.
Абсолютную погрешность приближенного числа, как правило,
вычислить невозможно, ибо неизвестно истинное значение вели-
чины А. Действительно, если мы измеряем какую-либо величину,
например температуру тела, мы не можем вычислить, чему равна
абсолютная погрешность, так как истинная температура тела неиз-
вестна. Мы можем судить о точности зафиксированной температуры,
лишь оценивая точность измерения. Если мы убеждены, что ошибки
при измерении температуры не больше 0,1°, то можно считать, что
абсолютная погрешность не превосходит 0,1°. Это и есть предельная
абсолютная погрешность.
Лишь в редких случаях, когда известно точное значение вели-
чины, можно вычислить значение истинной абсолютной погрешности.
Например, если известно, что за некоторый период времени с по-
мощью механического пресса выдавлено 2007 деталей, то, округлив
это число до 2000, можно найти истинную абсолютную погрешность
последнего числа:
А = ] я — А\— А—а = 2007 деталей — 2000 деталей = 7 деталей
Абсолютная и предельная абсолютная погрешности являются
числами именованными; они выражаются в тех же единицах, как
и определяемая величина.
В подавляющем большинстве случаев приходится иметь дело
с предельной абсолютной погрешностью, обозначаемой а. Абсолют-
ная погрешность приближенного числа всегда меньше или, в крайнем
случае, равна предельной абсолютной погрешности, т. е. А^а.
Если известны приближенное значение а числа А и его предель-
ная абсолютная погрешность а, то число А заключено между
ах = а — а и а2 = а-}-а, т. е.
а^—а — а<Л<<1-|-а = <12	-
В этом случае говорят, что а является приближенным значением
числа А с точностью до а. При этом
4U	л
(3)
Пример. Известно, что температура в печи не выше 1150 и не
ниже 1140°. Правильно ли утверждение, что температура в печи
известна с точностью до 10°?
756
Зная, что температуры 1150 и 1140° являются приближениями
истинной температуры в печи по избытку и по недостатку, можно
утверждать, что t =	_ Ц450 является приближением
истинной температуры с предельной абсолютной погрешностью
а =	= 5°. Температура в печи может быть принята рав-
ной 1145±5°, и, следовательно, она известна с точностью до 5°,
а не до 10°.
Абсолютная погрешность недостаточно характеризует точность
измер.ения. Например, чтобы судить о качестве взвешивания, недо-
статочно знать, что предельная абсолютная погрешность равна 1 г.
Еслй тело весит несколько десятков килограммов, то абсолютная
погрешность 1 г указывает на высокое качество взвешивания; такая
же абсолютная погрешность, когда тело весит 2—,3 г, указывает
на полную негодность результата взвешивания. Очевидно, что для
суждения о степени точности измерения необходимо сравнить вели-
чину абсолютной погрешности с измеряемой величиной, т. е. найти
величину относительной погрешности. Относительной погрешно-
стью числа а, являющегося приближенным значением величины А,
называется отношение абсолютной погрешности этого числа к самому
числу, т. е.:
Относительная погрешность является отвлеченным числом, и ее
значение не зависит от размерности измеряемых величин. Абсолют-
ная же погрешность одного и того же измерения может выражаться
различными числами, в зависимости от выбора единиц измерения.
Относительная погрешность обычно не может быть найдена по
той же причине, по которой не может быть найдена абсолютная
погрешность. На практике имеют дело с предельной относительной
погрешностью 6, т. е. с наименьшим числом, больше которого не
может быть относительная погрешность
Предельная относительная погрешность числа а есть отношение
предельной абсолютной погрешности этого числа ' к самому
числу, т. е.:
Предельная абсолютная погрешность равна произведению при-
ближенного числа на предельную относительную погрешность:
а = аб. Так как приближенное значение величины А заключено
между а - « и а + а, то, заменив а на аб, получим, что приближен-
ное значение числа А заключено между а (1 + б) и а (1 — б).
Предельную относительную погрешность часто выражают в про-
центах (%) или в промиллях (%о). Обычно предельная абсолютная
и предельная относительная погрешности называются просто абсо-
лютной и относительной погрешностями, так как с истинными
757
значениями абсолютной и относительной погрешностей почти не
приходится встречаться. В дальнейшем под абсолютной и относитель-
ной погрешностями мы будем понимать предельные погрешности.
Пример. Определить относительную погрешность взвешивания
1 л воды, если в результате взвешивания получено 999,847+0,002 г;
6 = 4- = J?’0!??.- -0,000002 = 2 • 10-е или 2.10-з»/,„
& УУи,о4»
Пример. Опытным путем найдено, что величина газовой постоян-
ной равна R = 1,986 кал/град. Зная, что относительная погрешность
этого значения равна 0,1 % , найти пределы, между которыми заклю-
чается R.
Имеем: а — 1,986; 6 — 0,001; абсолютная погрешность а = а8
0,002; следовательно, R меньше 1,988 и больше 1,984.
При определении относительной погрешности температуры при-
нято исходить из величины температуры в абсолютной шкале. Ввиду
того, что в разных шкалах нулю отвечают различные температуры,
относительные погрешности температуры данного тела, измеренной
в разных шкалах, будут различны. Например, если температура
близка к нулю по шкале Цельсия и измеряется с точностью до 0,1°,
то вычисленная обычным способом относительная погрешность будет
очень велика. Эта погрешность будет значительно меньше, если
пользоваться шкалой Фаренгейта.
Пример. Найти относительную погрешность измерения темпера-
туры тела, если установлено, что t = 4,2±0,1°С:
01
8~ '4,2 + 27345	"»
§ 2. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
Любые измеряемые и вычисляемые величины характеризуются
числами. Эти числа есть приближенные значения величин. Неопыт-
ные вычислители, стремясь получить более точный результат', часто
оперируют с приближенными величинами, сохраняя в числах излиш-
нее количество знаков. На такие вычисления, лишь кажущиеся
более точными, затрачивается много лишнего труда и времени.
Степень точности любого измерения или вычисления должна
соответствовать той цели, для которой оно предназначено. Так, при
определении плотности газа, собранного в газовой бюретке с водя-
ным затвором, необходимо из общего давления влажного газа вы-
читать величину давления паров воды, которая, например,
при 25° С равна 23,756 мм рт. ст. Однако нет смысла использовать
это число при подсчете суточного расхода воды, уносимой газом
из мокрого газгольдера с водяным затвором.
Для этой цели следует воспользоваться округленным числом 23,8
или 24, и результат вычисления будет достаточно точным.
Число округляется путем отбрасывания одной или нескольких
цифр справа. Если первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9,
758
то предшествующую цифру следует увеличить на единицу (правило
дополнения).
Таким образом, например, последовательные приближенные зна-
чения газовой постоянной R, выраженной в кал/град, равняются:
1,9866; 1,987; 1,99; 2,0; 2
Степень точности результата измерения или вычисления характе-
ризуется числом значащих цифр, которыми считаются цифры от 1
до 9, а также нули, стоящие между ними или сохраненные при округ-
лении числа. Так, в числе 2,0 — две значащие цифры, так как нуль,
стоящий после запятой, указывает на то, что данная величина выра-
жена с точностью до десятых долей единицы.
Если в результате измерения температуры некоторого тела запи-
сана величина 57,3°, то это означает, что температура определена
с точностью до 0,05%. Если же измерение производилось с точностью
до 0,005%), то следует считать, что измеренная температура
равна 57,30°.
В первом случае точное значение температуры тела находится
между 57,25 и 57,35°; во втором — между 57,295 и 57,305°.
Цифры, которые при округлении числа не были заменены нулями,
называются верными цифрами. Так, если величина, определенная
числом 43 714, выражена округленным числом 44 000, то в последнем
числе две первые цифры являются верными.
Пример. Производительность фасовочной машины, заливающей
жидкий продукт в тару, равна 2987 банок в смену. Вместимость
каждой банки 1 кг, и заливка производится с точностью до 10 г.
Какое количество продукта заливается в тару в течение смены?
Число банок 2987 является точной величиной. Тем не менее это
число целесообразно округлить, например до 3000. Общее коли-
чество продукта равно 2987 кг. Если пользоваться округленным
числом 3000, то вес продукта будет вычислен равным 3000 кг и допу-
щенная при этом погрешность: 3000 — 2987 = 13 кг. Между тем,
погрешность веса продукта в каждой банке 0,01 кг, и для 2987 банок
это составит
0,01-2987 = 29,87 кг
т. е. больше, чем в 2 раза превышает погрешность, допущенную
округлением числа банок до 3000.
Числа от 1 до 9 называются числами первого порядка, от 10
до 99 — второго, от 100 до 999 — третьего и т. д. Числа 1, 10, 100
соответственно называются единицами первого, второго и третьего
порядка. 0,1, 0,01, 0,001 называются единичными десятичными
дробями первого, второго и третьего порядка.
Большие и малые числа удобно записывать в виде произведения
числа единиц на 10 в степени, обозначающей порядок величины.
Так, 248 = 2,48-102, 24 800 = 2,48- Ю4, а 0,000248 = 2,48-10~4
и т. д.
759
Очевидно, что величину постоянной Планка удобнее записать:
h = 6,624-10"27 эрг- сек, чем в виде числа, имеющего перед первой
значащей цифрой 27 нулей.
Такой способ записи позволяет одновременно фиксировать число
верных цифр. Если в числе 2 480 000 верными являются лишь две
первые цифры, то его следует писать так: 2,5* 10е; если верны три
цифры, то 2,48 -Ю6; при четырех верных цифрах 2,480-10е. Число
0,00072 записывается 7,2-10-4, если в нем две верные значащие
цифры и 7,20 ЛО-4 при трех верных значащих цифрах и т. п.
При округлении числа путем отбрасывания нескольких десятич-
ных знаков или замены их нулями (по правилу дополнения) допу-
скается погрешность, не превосходящая половины единицы послед-
него из оставленных знаков. (Если при округлении числа правило
дополнения не используется, то погрешность не превосходит единицы
последнего оставленного знака).
Например, если число 5279 округляется до 5300, то абсолютная
погрешность последнего числа, равная 21, меньше — • 10а; при округ-
лении числа 0,48715 до 0,487 абсолютная погрешность, равная
0,00015, меньше у-10-3.
Если величина А выражается приближенным числом а, в котором
п верных знаков, причем первой значащей цифрой является Z, то
предельная относительная погрешность 6 числа а не превосходит
2. z • IO""1 ’ Т' е’
Так, для предыдущих примеров в первом случае относительная
погрешность, равная	«« 0,004 = 0,4%, меньше „	* ... =
5300	2  э • 102 1
= 0,01 = 1%; во втором случае относительная погрешность, равная
3-10-* = 0,03%, меньше „	= 0,00125^0,125%.
0,487	2*4* 10* 1
Для чисел, первая значащая цифра которых равна единице (на-
пример, 0,010237), относительная погрешность при округлении их:
до 2 верных знаков не превышает 5,0%
» 3	»	»	»	i>	0,50%
» 4	»	»	»	»	0,050%
Для чисел, первая значащая цифра которых равна 9, относитель-
ная погрешность при округлении их:
до 2 верных знаков не превышает 0,56% .
» 3	»	»	»	»	0,056%
» 4	»	»	»	»	0,0056%
Следовательно, для большинства технических расчетов пользова-
ние числами, имеющими всего три значащие цифры, дает вполне
достаточную точность; во многих случаях можно ограничиться
760
двумя значащими цифрами, а использование чисел с четырьмя, знача-
щими цифрами необходимо лишь в редких случаях.
Если известна предельная относительная погрешность численного
значения и величины, то можно сделать заключение о числе верных
знаков.
Именно, число верных знаков п равно по меньшей мере S +1,
если S — наибольшее численное значение показателя, при котором
выполняется неравенство:
(Z + 1) 6 sg 10-s	(7)
Практически, при малой величине первой значащей цифры число
верных знаков можно с достаточным основанием принимать на еди-
ницу больше, чем установленное таким способом.
Пример. Плотность вещества найдена равной 0,92 г/см9.
В этом числе две верные цифры. Найти его предельную относитель-
ную погрешность:
6 = 2 • Z • КГ’1 = 2-9-10‘21	0,005 = 0,5 %
Пример. Путем измерения и последующего вычисления объем
газгольдера определен равным V = 481 м3 с относительной погреш-
ностью 1%. Найти число верных знаков.
Подставляя в неравенство (Z 4-1) 6 sg 10~s величины Z = 4
и 6 = 0,01, находим 5 = 1. Число знаков, за верность которых
можно ручаться, п = S + 1 = 2. Следовательно, V = 48-10 м3.
Пример. Установлено с относительной погрешностью 0,5%, что
удельная теплоемкость вещества при 15° С равна 0,2386 кал!г-град.
Оценить число верных знаков.
Из неравенства (Z 4-1)6^ 10-s, при Z = 2 и 6 = 0,005, опре-
деляем S = 1 и п = S 4-1 = 2.
Поэтому С — 0,24 кал!г-град.
Поскольку при любых расчетах исходные величины выражены
приближенными числами, очевидно, что и результаты расчетов будут
приближенными, имеющими ту или иную погрешность.
Погрешность результата вычисления, естественно, тем больше,
чем больше погрешность исходных величин, и может быть найдена,
если известны погрешности этих величин. Следует помнить, что
в подавляющем большинстве случаев результат вычислений не может
быть точнее чисел, из которых он получен. Забывая об этом, вычисли-
тели иногда стремятся получить в результате больше значащих
цифр, чем имеется в исходных числах.
Знание погрешности результата вычисления очень важно. Оно
позволяет не только оценить точность полученной расчетной вели-
чины, но часто сократить вычисления, а также выбрать необходимые
для расчета исходные данные с такой степенью точности, чтобы
погрешность результата не превышала требуемой.
761
§ 3. ПОГРЕШНОСТЬ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ,
ЧАСТНОГО, СТЕПЕНИ И КОРНЯ
Абсолютная погрешность приближенных чисел может быть как
положительной, так и отрицательной. Поэтому при сложении этих
чисел возможна взаимная компенсация погрешностей, в результате
которой абсолютная погрешность суммы может оказаться меньше
суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Во всяком случае абсо-
лютная погрешность суммы не может быть больше суммы абсолют-
ных погрешностей слагаемых, т. е. если а — абсолютная погреш-
ность суммы а = аг + а2 + • • • + ап и ai, а2,- • м а« — абсолют-
ные погрешности приближенных величин а2,. . ., ап, то
а СЦ 4- я2 4- • • • 4-
Таким образом, за абсолютную погрешность суммы следует при.
нятр сумму абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность 6 суммы а вычисляется по формуле:
б=~~ 614—— 624-.--4—— 8п	(8)
а а	а
Из этой формулы следует, что относительная погрешность суммы
находится в пределах между наибольшей и наименьшей из относи-
тельных погрешностей слагаемых. Докажем, например, что относи-
тельная погрешность суммы не превосходит наибольшей относитель-
ной погрешности слагаемых. Допустим, что слагаемое ak имеет
наибольшую относительную погрешность 8k. Заменив в фор-
муле (8) все относительные погрешности 61; 62,. . ., 8п наибольшей
из них 8k, получим:
6 <	8k+	6,4- • •  4-^ 6,= ^-+й2 + -.:- + ^ 6, = 6,
Если порядок относительных погрешностей слагаемых одинаков,
то слагаемое, которое является самым большим, оказывает наиболь-
шее влияние на величину относительной погрешности суммы. Из фор-
мулы (8) видно, что, если, например, слагаемое аг больше, чем дру-
гие, то множитель — при будет также больше множителей —,
— И др.
а
При сложении приближенных чисел следует ограничивать число
знаков в каждом слагаемом так, чтобы все слагаемые заканчивались
на ©дном и том же разряде. Если, например, складываются дробные
числа, то следует во всех слагаемых сохранять одинаковое число
знаков после запятой.
Допустим, что требуется найти сумму следующих цифр, все знаки кото-
рых верны:
а = 872,35 4- 91,316 4- 4,0422 4- 0,76654
Так как тысячные доли первого слагаемого неизвестны, то нет смысла
оставлять цифры этого и следующих разрядов во всех остальных слагаемых,
762
Следует их отбросить, округлив числа по правилу дополнения, и произвести
сложение так:	g?2 у-
91’,32
4,04
0,77
968,48
В полученном результате верность последней цифры сомнительна. Поэто-
му необходимо сумму округлить, приняв ее равной 968,5.
Если число слагаемых не больше десяти, то абсолютная погреш-
ность суммы не превосходит пяти единиц последнего разряда, сохра-
ненного во всех слагаемых. Отбросив последнюю сомнительную
цифру суммы (по правилу, дополнения), допускаем новую погреш-
ность, также не превосходящую пяти единиц последнего разряда.
Следовательно, округленная сумма будет иметь абсолютную погреш-
ность в одну единицу оставшегося разряда, т. е. все цифры будут
верными.
Значит, число верных цифр суммы, в крайнем случае, лишь на
единицу меньше числа верных цифр в наибольшем из слагаемых.
Часто же эти числа одинаковы.
Чтобы получить сумму с п верными, цифрами, следует наибольшее
из слагаемых взять с п + 1 (или с п) верными цифрами, а в осталь-
ных слагаемых отбросить (по правилу дополнения) все цифры, сто-
ящие правее разряда, отвечающего последней из оставляемых цифр
в наибольшем слагаемом.
Пример. Найти общий вес контактного аппарата с точностью
до 5% по следующим данным:
Вес корпуса . . .............. 1483	кг
» катализатора................ 862	»
» изоляции.....................217	»
Так как суммарный вес требуется знать с точностью до 5 %, то
он может быть выражен числом с двумя верными цифрами. Следо-
вательно, согласно вышеприведенному правилу, в наибольшем из
слагаемых нужно сохранить максимально три цифры; соответственно
этому следует суммировать веса остальных частей аппарата, взятые
с точностью до десятков килограммов:
1480 кг
860 »
220 »___________
2560 кг 2600 кг
В ответе следует сохранить две цифры, округлив его до 26-102 кг.
Нетрудно видеть, что в данном случае число взятых цифр суммы
равно числу верных цифр в наибольшем из слагаемых. Поэтому с рав-
ным успехом можно было суммировать следующие округленные
числа:	1500 кг
900 »
200 »
2600 кг
7«Й
Вычитание можно рассматривать как алгебраическое сложение,
поэтому абсолютная погрешность разности определяется так же,
как и абсолютная погрешность суммы, — она равна сумме абсолют-
ных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Если уменьшаемое значительно больше вычитаемого, то относи-
тельная погрешность разности практически будет такой же, как
и относительная погрешность большей величины, т. е. уменьшаемого.
Число верных знаков разности в этом случае будет совпадать или
окажется на единицу меньше, чем число верных знаков уменьша-
емого. Таким образом, число верных знаков разности в рассматрива-
емом случае определяется по тому же правилу, как и число верных
знаков суммы.
Например, разность 3728,56 и 4,1328 равна:
3728,56
-4,13 (28)
3724,43
В этом примере абсолютная погрешность уменьшаемого равна
0,005, а вычитаемого 0,00005; абсолютная погрешность разности
равна 0,005 -{-0,00005	0,005, т. е. практически совпадает с абсо-
лютной погрешностью уменьшаемого. Так как разность мало отли-
чается от уменьшаемого, то и их относительные погрешности
практически равны и число верных знаков в разности такое же, как
и в уменьшаемом.
В тех случаях, когда уменьшаемое и вычитаемое отличаются
на небольшую величину, а разность, поэтому, оказывается сравни-
тельно малой, относительная погрешность разности сильно возрастает
по сравнению с относительными погрешностями исходных чисел.
Например, разность чисел 538,5 и 537,5 равна 1,0. Абсолютная
погрешность исходных чисел равна 0,05, а их относительная погреш-
ность меньше 0,01%. Абсолютная же погрешность разности будет
0,05 4-0,05 = 0,1, а ее относительная погрешность равна:
ол = ю %
10
т. е. в = 1000 раз больше относительной погрешности исход-
ных чисел.
В полученной разности можно ручаться за верность лишь одной
цифры; для того же, чтобы получить в разности четыре верных знака,
необходимо, чтобы исходные числа содержали по 6—7 верных зна-
ков. В инженерной практике с такими точными величинами почти
не приходится иметь дела.
Изложенное показывает, что возможны случаи, когда разность
окажется меньше, чем ее абсолютная погрешность, и не будет иметь
ни одной верной цифры. Например
0,98 ± 0,01
0,97 ±0,01
0,01 ± 0,02
764
Поэтому, во избежание потери точности при вычислениях, не сле-
дует применять формулы, в которые входит разность близких вели-
чин. Если же избежать вычитания невозможно, следует по возмож-
ности увеличить точность исходных данных, учитывая, что относи-
тельная погрешность разности во столько раз больше относительной
погрешности исходных чисел, во сколько раз сама разность меньше
каждого из них.
Наиболее точные результаты дают также приемы расчетов, с по-
мощью которых разность двух близких величин определяется непо-
средственно, без предварительного вычисления этих величин. Приемы
эти весьма разнообразны. Некоторые из этих приемов иллюстри-
руются следующими примерами.
Пример. При пропускании 10,3 л воздуха, загрязненного хло-
ром, через навеску активированного угля, равную 57,48 г, объем
воздуха уменьшился до 9,9 л, а вес угля повысился до 58,69 г. Срав-
нить относительные погрешности количества содержавшегося в воз-
духе хлора, вычисленного: 1) по изменению объема воздуха, 2) по из-
менению веса активированного угля и 3) полученного путем прямого
определения, с помощью которого количество хлора, содержащегося -
в 10,3 л загрязненного воздуха, найдено равным 1,214±0,001 г.
Количество хлора, равное разности объемов загрязненного и очи-
щенного воздуха, выражается числом:
10,3—9,9 = 0,4 л
Абсолютная погрешность измерений объема воздуха до и после
очистки равна 0,5-10-1л. Следовательно, абсолютная погрешность
разности объемов равна 0,05 4- 0,05 = 0,1 л, а относительная по-
грешность искомой величины (количество хлора):
Вес угля известен с точностью до 0,5 "Ю-2 г; абсолютная погреш-
ность разности весов равна 0,01 г, а сама разность (количество
хлора):
58,69—57,48=1,21 г
Следовательно, относительная погрешность искомой величины,
определяемой таким путем, будет:
o< = _L^1o/
1,21	121	/0
Относительная же погрешность прямого определения количества
хлора равна:
Как видно, наименее точным является определение искомой вели-
чины по разности объемов, так как эти исходные данные имеют
765
большую погрешность. Более точным является результат, получа-
емый из разности весов угля, — эти исходные данные имеют меньшую
погрешность. Наконец, наиболее точный результат дает прямое
определение исходной величины, не связанное с нахождением раз-
ности близких чисел. Этот третий способ дает результат в 250 раз
точнее, чем первый, и в 10 раз точнее, чем второй.
Пример. Сравнить точность двух одновременных определений
количества жидкости, вытекшей из напорного резервуара в реак-
ционный аппарат в течение определенного промежутка времени.
Первое определение выполнено с помощью поплавкового измерителя
уровня, каждое деление которого соответствует 10 л емкости напор-
ного резервуара; начальное показание измерителя 4875 л, конечное —
4810 л. Второе определение путем непосредственного замера объема
вытекшей жидкости дало величину 58,5 л.
Измеритель уровня дает показания с точностью до 5 л, поэтому
разность показаний измерителя, равная 4875 — 4810 = 65 л, имеет
абсолютную погрешность 10 л и относительная погрешность такого
10
измерения составляет — *=«0,15, или 15%.
Абсолютная погрешность второго определения (непосредствен-
ного замера) равна 0,5 -0,1 = 0,05 л, и следовательно, относительная
погрешность этого определения соответствует	0,001, или
Эо, о
0,1%. Таким образом, второе определение приблизительно в 150 раз
точнее.
Пример. Определить объем оболочки мягкого газгольдера шаро-
вой формы, если известно, что его наружный диаметр cZH = 2,010 м,
а внутренний диаметр cZB = 2,008 м. Толщина оболочки 1 мм.
Решение 1. Вычисляем наружный Ун и внутренний VB
объемы газгольдера:
Ун = т--2,0Ю3 = 4,25 л3; 7В =. 2,0083 = 4,24
О	о
Полученные значения объемов имеют по три верные цифры.
Искомая величина равна разности:
V— VB = 0,01 л3
Этот результат весьма неточен, его предельная относительная
погрешность равна 100%.
Решение 2. Находим поверхность шара S по одному из диа-
метров (например, dB): S = л-2,0102 — 12,7 лг2. Искомый объем обо-
лочки равен произведению ее поверхности на толщину: 12,7 -0,001 =
= 0.0127 м3. Более точные вычисления дают 0,01267 м3. Таким
образом, этот способ решения, где исключено вычисление разности
двух близких чисел, значительно точнее первого.
Вообще, если требуется найти разность двух значений функ-
ции / (а:) при значениях аргумента х, отличающихся на малую вели-
чину &х, следует вычислять эту разность как произведение /' (х) -Да:,
766
где / (ж) — производная функции. Это следует из основной формулы
дифференциального исчисления:
f (х 4- Дж) — f (х) f (х) • Д®
Обозначив в предыдущей задаче объем газгольдера функцией
/(d)=-^-d3, найдя ее производную /'(d) = y-d2 и умножив по-
следнюю на разность Ас? аргументов при двух значениях функции
(Ad = 0,002), получим искомую величину объема оболочки газголь-
дера, не прибегая к прямому вычислению разности объемов:
У„ - Гв = f (d)-&d=^- 2,0103 • 0,002 = 0,0127 л3
Изложенное показывает, что при необходимости вычислить ряд
мало отличающихся значений какой-либо величины целесообразно
вычислить непосредственно только одно из этих значений и те по-
правки, которые нужно к этому значению прибавить, чтобы получить
остальные значения.
Истинная величина произведения двух чисел Лг и,Ч2, выражен-
ных приближенными значениями ал и а2, относительные погреш-
ности которых б1 и 62, равна:
Л1Л2 = Я1 (1 4- 61) • 0,2 (1 + 62)
или
-4j42 —<zi<z2 (1 4- 6i "Ь 62 "Ь 6i62)
Так как 6t и 62 — малые величины, то произведение 6t62 весьма
мало по сравнению с суммой 6j 62 и им можно пренебречь.
Тогда
41Л2 = aia2 (1 -{- 614- 62)
Отсюда видно, что относительная погрешность произведения
равна 61 = 62, т. е. относительная погрешность произведения равна
сумме относительных погрешностей сомножителей.
Так как деление есть умножение делимого на величину, обратную
делителю, то относительная погрешность частного также равна сумме
относительных погрешностей делимого и делителя.
При нескольких последовательных действиях умножения и деле-
ния относительная погрешность полученного результата прибли-
женно равна сумме относительных погрешностей отдельных чисел.
Поэтому, чем больше произведено действий умножения и деления,
тем больше относительная погрешность вычисленного результата.
Для того чтобы относительная погрешность результата & дей-
ствий умножения и деления не превысила заданной величины 6,
необходимо, чтобы относительная погрешность исходных чисел была
6
менее -г .
к
Число верных цифр результата нескольких (не превышающих
десяти) последовательных действий умножения и деления на одну,
767
иногда на две цифры меньше наименьшего количества верных цифр
в исходных числах.
Поэтому, для получения результата с п верными цифрами, необ-
ходимо, чтобы исходные числа имели по п -J- 1 или п -J- 2 верные
цифры.
Пример. Объем газа, измеренный с точностью до 0,01 л, равен
3,43 л. Плотность газа 5,66 г/л известна с точностью до 0,01 г/л.
Найти массу измеренного объема газа.
Масса газа равна произведению 3,43-5,66. Так как в исходных
числах по три верных знака (все цифры верны), то в их произведе-
нии будут только две верные цифры. Следовательно, искомая
масса газа:
3,43-5,66=19 г
В этом произведении верны лишь две первые цифры. Действи-
тельно, истинное значение объема газа заключается между преде-
лами 3,42 и 3,44 л, а истинное значение плотности — между 5,65
и 5,67 г/л. Поэтому истинное значение искомой массы газа находится
между пределами 3,42-5,65 и 3,44-5,67, т. е. между числами 19,3230
и 19,5048. Следовательно, найденное число действительно имеет
только две верные цифры, и нет смысла писать произведение
3,43-5,66 = 19,4138 со всеми знаками.
Пример. Найти газовую постоянную R с погрешностью, не пре-
вышающей 3%, пользуясь формулой PV = RT, если известно, что
при 0° С (Т = 273,15° К) и нормальном давлении (Р — 10 333 кГ/м1 2)
объем 1 кг воздуха равен 0,7733 м3.
Чтобы величина R имела погрешность не более 3%, ее достаточно
выразить числом с двумя верными знаками. Следовательно, точность
исходных величин (Р, V и Т) можно ограничить тремя верными
цифрами. Поэтому:
„ PV 10 300-0,773 „п
й = ~ =------273---=29
Если относительная погрешность числа а равна 6, то относитель-
ная погрешность степени ап выразится суммой из п слагаемых,
каждое из которых равно 6, т. е. произведением п8.
Если показатель степени п отрицателен, относительная погреш-
ность степени а” будет равна |п| 6.
Извлечение корня n-й степени из числа а равносильно возведе-
1 гт	1 о
нию числа а в степень — . Поэтому погрешность корня равна —-о,
т. е. выражается частным от деления погрешности числа на пока-
затель корня.
Так как возвышение в степень сильно уменьшает точность резуль-
тата, то измерение величин, которые при дальнейших вычислениях
возвышаются в степень, должно производиться с особой тщатель-
ностью. Наоборот, величины, из которых извлекаются корни, могут
быть взяты с меньшей точностью.
768
Пример. С какой относительной погрешностью и со сколькими
верными знаками следует определить длину стороны фильтрующей
поверхности плоского вакуум-фильтра квадратной формы, если
поверхность фильтрации должна быть равной 5 = 1,50 №.
Искомая длина стороны фильтра Z =]А$. Относительная по-
грешность числа, выражающего площадь S, равна 6S= О’Р* =
*»ои
= 0,006.
Поэтому относительная погрешность искомого числа должна быть
не более:
6г = -у- =	= 0,003	0,3%
Так как первая значащая цифра числа I равна 1, т. е. Z = 1, то
число (Z 1) 6Z = 2-0,003 = 0,006 № 10-2. Следовательно, длину I
следует взять с тремя верными знаками. Значит, I =	,50 =
= 1,22 м.
Если выразить величину I числом, содержащим только два вер-
ных знака, т. е. числами 1,2 или 1,3 м, то величина поверхности
фильтрации может колебаться в широких пределах, от 1,22 = 1,4 №
до 1,За = 1,7 №, что не соответствует заданному условию, согласно
которому этими пределами являются 1,49 и 1,51 №. По этому усло-
вию истинное значение стороны квадратного фильтра должно лежать
между следующими пределами
V 1,49 = 1,220656 ... и УЦЙ = 1,228821 . ..
что доказывает достаточность трех знаков для выражения искомой
величины.
§ 4. ПОГРЕШНОСТЬ ФУНКЦИЙ
При отыскании какой-либо величины лишь в редких случаях
представляется возможным или практичным производить непосред-
ственное ее измерение; очень часто приходится измерять одну или
несколько других величин, находящихся в определенной законо-
мерной связи с искомой величиной. Так/при определении эквивалент-
ного веса натрия, вместо того, чтобы получать хлористый натрий
из взвешенных количеств натрия и хлора или разлагать навеску
NaCl на ее составные части, предпочитают определять количество
серебра, замещающее натрий, и затем уже, зная точный состав хло-
ристого серебра, косвенным путем находить искомую величину.
При измерении сопротивления с помощью компенсационного
мостика находят искомую величину не прямо, а вычисляя ее из
отношения длин ветвей мостика. Измерение Силы тока с помощью
тангенс-бусоли не производится непосредственно, силу тока вычис-
ляют из тангенса угла отклонения и т. д.
Для нахождения погрешностей, имеющих место во всех этих
случаях, могут служить методы, изложенные в этой главе; они дают
49 Заказ 1706	769
указания для целесообразной постановки опытов и для критического
рассмотрения результатов.
Пусть у — искомая величина, а х — величина, полученная не-
посредственным измерением; предположим, что у и х связаны зави-
симостью:
Если х является приближенным значением величины, точное
значение которой есть х + \х, то разность | \у | = | / (^4- Да:) — / (гс)|
равна абсолютной погрешности функции / (а:).
Мы можем считать Да: малой величиной (иначе измерение не дости-
гало бы цели) и поэтому вправе заменить приращение функции \у
ее дифференциалом dy:
by=f(x-lrkx') — f (х) — /' (ж) • \х
Если а есть предельная абсолютная погрешность аргумента,
то Да: + а и Д:/ + а; (Х), где a f - предельная абсолютная по-
грешность функции. Отсюда следует, что предельная абсолютная
погрешность функции приближенно равна произведению абсолютного
Вначения ее производной на абсолютное значение погрешности
аргумента:
a/<x) = l f (х) • а |	(9)
Относительная погрешность функции равна отношению ее абсо-
лютной погрешности к значению функции, т. е.
s I af
>z/-onz)-| Цх)
I f W
(10)
Формула (10) применяется очень часто при критическом сравне-
нии пригодности результатов, полученных различными путями.
Пример. При определении эквивалентного веса натрия найдено,
что х вес. частей хлористого натрия осаждаются в виде хлористого
серебра одной вес. частью серебра, находящегося в виде соли в рас-
творе. Предположим, что нам заранее известны эквивалентные веса
серебра и хлора и что они равны соответственно А и В. В таком
случае эквивалентный вес натрия у получится из пропорции:
(у + В) : А = х: 1 или у = Ах — В
Относительная погрешность согласно формуле (10) будет:
л = > ' ' а =  -—
У I Цх) I I Ах-В
a
или
a
X
у + В	22,997 + 35,457
~Т~ =----------22ДО7-----= 2>б4
В нашем примере
770.
Погрешность на 0,0001 в определении х дает для у погрешность
приблизительно в 2,5 раза большую, т. е. 0,00025. Поэтому невы-
годно, чтобы В было значительно больше у. В случае ВаС12, когда
137,36 ,	г, .
у = —(эквивалентный вес Ва), мы имеем
-^-=1,52
У
и, следовательно, тот же метод в случае осаждения серебром ВаС12
значительно точнее.
Пример. Предположим, что ко времени т химическое разложение
характеризуется значением х. В таком случае константа скорости
разложения у (обычно обозначаемая через К) будет представлена
в виде:
у= — Ч>М
где т — время, соответствующее х; а (р (х) — функция, зависящая
от природы протекающей реакции.
Чтобы найти у, нужно определить т и х, но в то время, как т
определяется настолько точно, что погрешности его определения
можно не принимать во внимание, определение х влечет за собой
обыкновенно очень заметную погрешность а (вследствие, например,
неточности, допускаемой при титровании). Поэтому:
«</ =
1 > / ,
— ф (ж)  а
При большом ряде наблюдений значения а рассматриваются
обыкновенно как равные друг другу, и погрешности констант ско-
рости реакции у, вычисленных из данных наблюдения, цропорци-
ф' (х)	Т
ональны а их вероятность пропорциональна , -
Поэтому, чтобы получить точное значение у, недостаточно взять
среднюю из всех полученных у, но нужно умножить каждое значе-
ние у на соответствующее ему  Д (т. е. «вес» одного наблюдения),
“	Ф (ж;
г
сложить эти проиэведения и разделить на сумму всех ,	.
Таким образом, получится формула:
+У2уткг+-"
21_+ л . + ...
ф (Ж!) ф (х2)
При вычислении по этой формуле каждое отдельное измерение
подвергается оценке по степени его вероятности (значимости). Оче-
видно, что в данном случае безразлично, вводим ли мы в вычисления
относительную погрешность ;8у = или, что проще, абсолютную
погрешность ау.
49*	771
Согласно (10) относительная погрешность растет, с одной стороны,
пропорционально абсолютной погрешности измерения а, а с другой
f (х)
стороны — пропорционально отношению Следует стремиться
/ (х)
по возможности уменьшать оба множителя. Для а это достигается
большей точностью измерения, а для-j-ф- выбором условий опыта,
при которых значение этой величины достигает минимума. Но по-
следнее условие выполняется, когда
d ( f (Ж) \	( f (х) V
dx\f(x)J \ f(x) )
Этому условию нужно по возможности удовлетворять, если нет
веских причин, устраняющих возможность его выполнения. Как
следует поступать в отдельных случаях, — видно из следующих
примеров.
Пример. Измерение сопротивления компенсационным мостиком.
Искомое сопротивление вычисляется по формуле:
v=i^=w-±_
где w — введенное сопротивление;
I — длина мостика;
х — значение координаты контакта в положении, дающем нуле-
вой ток.
Имеем
,	I f (х) I
(/—z)2 ’ f (х)	х (I—х)
и, наконец:
( г м V = / 2х~1
\ f (х) / X2 (Z —ж)2
Это выражение обращается в 0, когда х = Поэтому одинаковая
ошибка установки (например, 0,1 мм) вызовет наименьшую по-
грешность в конечном результате при установке на отсутствие тока
вблизи середины мостика, и это условие необходимо по возмож-
ности выполнять, определяя величину сопротивления, введенного
в цепь для сравнения.
Пример. Измерение силы тока тангенс-бусолъю. Искомая сила
тока пропорциональна тангенсу угла отклонения х, т. е.
У = t (х) = С tg х
Здесь
Г(ж) = _^_. гм г- 1
' ' ' cos2 х ’ f (х)	sin х • cos x
TS
(/' (x) sin2 x — cos2 x
f (x) ) sin2 x. cos2 x
772
Это выражение обращается в нуль, когда sin a: = cos х, т. е. для
угла в 45°. Следовательно, вблизи этого значения угла погрешности
измерения оказывают наименьшее влияние на конечный результат.
Пусть у = f (х, w, и,. . .) есть функция нескольких аргументов х,
w, v,. . абсолютная погрешность у выражается через погрешности
аргументов следующей формулой:
&У , &У , ду
аУ - Т +77 +77 “°+• • •
а относител ьная погрешность будет равна:
д _ а» — 1 а _1_А^Са 4.1_А.а 4-
6у~ у у дхЛх+у ди, а”+ у ди а“+--
Последняя формула дает возможность проанализировать влияние
погрешностей, получающихся при измерении каждой из величин х,
w, v. . ., причем в каждом отдельном случае нужно поступать, как
уже указано в двух предыдущих примерах. Но очень часто погреш-
ности, обусловленные aw, а„,. . ., настолько незначительны по срав-
нению с влиянием ах, что ими можно пренебречь. Так, строго говоря,
в примере с компенсационным мостиком в функции y=w — надо
считать неточными и w и I, так что
&у=Т(Г-х)' Ях+~Т а“' + т4та'
Эта формула вполне выясняет влияние погрешностей аргументов
на погрешность у. Величины w и I вообще определяются настолько
точно (калиброванием магазина сопротивлений и мостика), что их
можно считать установленными раз навсегда и на их погрешности
можно вовсе не обращать внимания.
То же самое относится и к примеру на стр. 771. Если не только х,
но и время т и начальная концентрация а (равная значению х при
т =0) заметно неверны, то
df (х, т, а) , df (х, Т, a) df (х, т, а)
аУ=—Гх— ах+—Тх—ах+—т—L
или, полагая у = -^/(ж, а):
1 df (х, а) 1	1 df {х, а)
ау-т—тг-ах^^х’ а^^+т-1-дТ1-^
Чтобы в данном случае иметь суждение о значимости погрешности
каждого отдельного определения, нужно знать погрешности ах,
сц и а«-
Так как абсолютная погрешность аргумента равна произведению
его относительной погрешности на абсолютную величину аргумента,
а = 6х |®|, то из формулы (10) имеем:
= (11)
773
Отношение производной некоторой функции к самой этой функ-
ции равно производной логарифма этой функции
j (х)	dx 1 'J
П0ЭТ0МУ1
а
е I din / (я) I
еМх> = |*---d7“|e*
Итак, относительная погрешность функции равна произведению
абсолютного значения аргумента на производную логарифма функции
и на относительную погрешность аргумента.
Применим эту теорему для определения относительной погреш-
ности некоторых часто встречающихся функций.
а) Погрешность логарифмов. Пусть / (х) — In х. Согласно (5)
-абсолютная погрешность логарифма:
а= | In х | • 6;(х)
Так как (1пж)'=-^, то, используя формулу (11), получим:
х Т  бх= бх
X  In X I
т. е. абсолютная погрешность натурального логарифма равна отно-
сительной погрешности числа.
Так как In х = 2,303 lg х и lg х = 0,434 In х, то абсолютная
погрешность десятичного логарифма равна приблизительно половине
относительной погрешности числа.
Следует учитывать, что при пользовании таблицами десятичных
логарифмов числа будут определяться с относительной погреш-
1
ностью, равной —где п — число знаков мантиссы логарифмов,
приведенных в таблице. Так, при пользовании трехзначными табли-
цами логарифмов числа определяются с относительной погреш-
ностью B-y^g-, т. е. с тремя верными знаками. Пятизначные таблицы
дают результат с пятью верными знаками. Поэтому, например, нет
смысла пользоваться пятизначными таблицами логарифмов для вы-
числений, в которых заданные числа имеют только три верных знака.
б) Погрешность тригонометрических функций. Пользуясь общей
формулой (11), нетрудно определить абсолютные погрешности три-
гонометрических функций. Они равны:
asin*=l cos-rl “х! «COSX = I sina:l
ах	_ ах
atg X COS2 х , actg X sin2 х
Здесь ах — погрешность аргумента, т. е. угла х, выраженного
в радианах.
774
ао1,
(12)
Так как sin х и cos х всегда меньше единицы, то из приведенных
формул следует, что абсолютная погрешность синуса и косинуса
меньше абсолютной погрешности их аргумента, а абсолютная по-
грешность тангенса и котангенса больше абсолютной погрешности
аргумента. Поэтому, например, при нахождении угла по тангенсу
погрешность всегда меньше, чем при определении его по синусу.
Погрешность тангенса наиболее велика для углов, близких к пря-
мому, так как для таких углов cos х очень мал; погрешность котан-
генса, наоборот, велика для малых углов, когда мало значение sin х.
Поэтому малые углы не следует вычислять по их котангенсу, а боль-
шие (близкие к 90°) — по тангенсу.
Из формул (12) следует, что
fsin I ctS х I «х! 6COS х = | tg х | ах и т. д.
Пример. Сравнить абсолютные погрешности определения угла,
близкого к 60°, при пользовании пятизначными таблицами логариф-
мов синусов и логарифмов тангенсов.
Если / (х) — lg sin х, то, согласно (9):
af (ху af (ху
а*= f (х)	0,434 ctg X
При пользовании пятизначными таблицами af (х) = 0,000005;
ctg60° = X^-. Поэтому ах — 	= 0,00002 радиана =«4'.
0,434-у^-
Если f (х) = lg tg х, то
aZU)sinxcosx 0,000005 1 /3
а* =-------0Л34----= “ОЛЗГ • 2 • — = 0 000005 РадиаНа =1
Таким образом, при пользовании таблицами логарифмов танген-
сов погрешность будет в 4 раза меньше, чем при пользовании табли-
цами логарифмов синусов.
в) Погрешность сложных вычислений. При сложных вычисле-
ниях, заключающихся в нескольких последовательных операциях,
например при вычислениях по формулам, обычно решается одна
из двух следующих основных задач. Или требуется определить
погрешность результата на основании известной точности исходных
величин, или, наоборот, при необходимости получить результат
с заданной точностью, определяется нужная точность исходных
данных. Решение этих задач основывается на использовании рас-
смотренных выше правил для элементарных математических опе-
раций:
= а — Ь	a — b
775
&ab — 6a + 6f>
6 a ~ ®a+ &b
T
6an = | n | • a
s	a
Исследовать точность вычислений необходимо лишь тогда, когда
имеются сомнения в возможности получения результата желаемой
степени точности. Обычно вполне достаточно вести вычисления
с числом знаков на один больше, чем их требуется в результате,
а затем округлять результат до нужного количества знаков. В тех-
нических расчетах очень часто приходится использовать эмпири-
ческие коэффициенты, точность которых весьма мала. При этом
вообще не имеет смысла вести вычисления больше, чем с двумя-тремя
знаками.
Пример. Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен
жидкостью,
вуара через
Данные для расчета: диаметр резервуара D = 1 ±0,01 м, высота
уровня жидкости Н — 2±0,02 м, диаметр отверстия в днище d =
= 0,03±0,001 м. Коэффициент расхода а = 0,61±0,02.
Расчет ведется по формуле:
2Д2 VTT
Т =----—сек
ad2 V2g
Определить время, необходимое для опорожнения резер-
круглое отверстие в днище.
Определим прежде всего относительную погрешность резуль-
тата 6Т и число верных знаков для т, которые можно получить при
данных условиях. Для этого вычисляем относительные погрешности
исходных величин:
100=1%; 6Н=• 100=1%;	100=3,3%
б“=Ж’100==з-3%
Примем значение g = 9,81 м!секг. Тогда 6g = 0,56 (см. стр. 760).
Численные множители 2, входящие в числитель и знаменатель
формулы, — точные числа и их погрешность равна нулю:
6х = 2бд±—6H = 60t±26(/+ -g- 6g
1	1
бт = 2-1±— •1+3,3 + 2-3,3+^.0,56 = 12,68 «*13%
При такой погрешности искомый результат в лучшем случае
может содержать одну верную цифру. Вычисление дает:
2	• I2 • V~2
т=------------	: я* 1200 сек = 20 мин
0,61 • 0.032 • 7 2.9,81
776
Ответ: т = 20 (1 ±0,13) мин или т = 20±2,6 мин.
Итак, истинное время опорожнения резервуара находится в пре-
делах от 17,4 до 22,6 мин. Разность этих пределов составляет более
5 мин. Поэтому нет смысла давать ответ в следующем виде
2.42. Уо”
т=-----——Цг--------= 1164 сек
0,61 • 0.032. у 2 • 9,81
т. е. производить вычисление с точностью до 1 сек.
Пример, Найти погрешность вычисления объема газа при темпе-
ратуре около 100° С по заданному его объему при 0° С. Вычисление
ведется по формуле:
Г=У0 (1 + а«)
где Уо —объем газа при 0° С;
t — температура газа, °C;
а =— коэффициент объемного расширения газа.
Относительная погрешность результата вычисления По приведен-
ной формуле равна:
бУ = 6Го + б(1++ =	б1 +	8xt
Так как = 0, a + 6/, то
бу = +тйа (б"+ б/) = +0-27 & +
Допуская, что погрешности измерения Vo, а и t не превышают
1%, получим:
бу = 1+0,27 (1 + 1)	1,5%
Пример. С какой точностью должны быть известны величины
Уо, а и t в предыдущем примере, чтобы погрешность вычисления
объема газа не превышала 1%?
При решении предыдущей задачи установлено, что
бу = буо + 0,27 (ба + б/)
Если принять, что величины Уо, а и t измерены с одинаковой
погрешностью 6, то
бу < 6+0,27 (б+б)
или
бу <1,546
Следовательно, для того чтобы бу было меньше 1%, достаточно,
чтобы погрешность исходных величин не превышала —г =0,65%.
Пример. Вычислить теплоемкость твердого тела на основании
данных измерения по способу смешения, т, е. по формуле!
__ (Мх + сЛГг) (t — tp)
771
где М — масса тела, Мг — масса воды, Мг — масса калориметра
с мешалкой, с — теплоемкость калориметра, Т — температура тела,
tQ — температура воды в калориметре до погружения тела, t —
окончательная температура воды.
Результаты измерения этих величин:
М = 165,4 ± 0,1 г; Mi = 440,3 ± 0,2 г; М2 = 187,5 ± 0,1 г
с = 0,094 ±0,001; Т =99,93 ± 0,004s; t0 = 11,6 ±0,05°-; t = 14,6 ± 0,05°
%г1+с.м2) + (5((чо) + (\и + (\т-о;
+	(6с + 6Мг) t • 6/ + to • 6,
7’-6Г+<-6/
“	Mr+cM2 1 г —10	T=~t
.	0,2+ 187,5 - 0,001+0,094 - 0.1, 0,05 + 0,05 . 0,1 ,0,004 + 0,05
440,3+0,094-187,5	+ 14,6-11,6 + 165,4	99,93—14,6
Приближенный подсчет дает
я _ °,4 . 0,1	0,1 . 0,05 _пп/_ ,0,
бх~46о+ 3 + 160 + 85	°’°4 4/о
Таким образом, вычисление х следует вести не более, чем с тремя
знаками, сохранив в окончательном результате не больше двух
знаков.
Вычисление дает:
_ (440,3 + 0,094-187,5) (14,6-11,6) _ (440 + 17,7) • 3_
Х	165,4 (99,93 — 14,6)	165-85,3	, й
Ответ-, х = 0,098 (1 ± 0,04) =0,098 ± 0,004.
Анализируя подсчет погрешности результата, видим, что для
ее уменьшения требуется увеличить точность измерения температуры
воды в калориметре.
Пример. При расчете абсорбционной колонны методом графиче-
ского интегрирования возникла необходимость вычислить площадь S
треугольника по двум сторонам и образованному ими углу, вели-
чины которых выражаются приближенными числами: а = 12 см,
Ь = 10 см, А = 38°. Найти абсолютные погрешности, которые можно
допустить при измерении этих величин так, чтобы искомая площадь
была определена с точностью до 0,5 см2 *:
5 = ya&sin Л = у • 12 • 10 • sin 38s «=>37 см?
6S = 6а + 8ь + 6sin А =	+ аА ctg А
где аа, аь и аА — абсолютные погрешности величин а, Ъ и А.
Так как площадь должна быть определена с точностью до 0,5 см2,
то as <” 0,5. Допуская, что относительные погрешности измеряемых
величин равны, получаем:
ССд _ 4. л 1 6
= аА - ctg А - у 6S
1 ras 1	0,5 ,1ПС.
аа = ^- а~с~ < -s- • 12  ~ = 0,054 см
ооо	о/
?78
10 5
cq> < -г • 10 • -^—=0,045 см
О	Ol
1 0 5
«А < -Q- 	38O = 0,0035 радиана — 12'
o «5/
Таким образом, определение площади с указанной выше точ-
ностью требует измерения сторон треугольника с точностью
до 0,5 мм, а угла между ними — с точностью до 12' или 0,2°.
Пример. При определении сопротивления электролита с помощью
компенсационного мостика подвижной контакт передвигается но гра-
дуированной шкале до положения, при котором гальванометр пока-
зывает отсутствие тока. Сопротивление г вычисляется по формуле:
Rx
.	г—-----
а — х
где R — известное сопротивление, включенное в цепь с помощью
магазина сопротивлений; а — длина градуированной шкалы, х —
расстояние от начала шкалы до подвижного контакта, при котором
погрешность определения сопротивления, являющаяся следствием
погрешности при измерении длины х, оказывается наименьшей.
Пользуясь формулой (10), имеем:
(—Y
Л	\ а — х ) __ аха
r х f{x	(а — х) х
а — х
Если погрешность ах при измерении длины считать постоянной,
то относительная погрешность 6Г определяемого сопротивления будет
наименьшей, когда знаменатель (а — х) х имеет наибольшее значе-
ние. Этот знаменатель достигает наибольшего значения при х=
Поэтому для получения наиболее точного результата сопротивле-
ние R следует выбрать так, чтобы ток исчезал при положении кон-
такта, возможно более близком к средине шкалы.
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
При вычислении значений сложной функции часто заменяют
эту функцию другой, более простой, дающей искомый результат
с некоторой погрешностью. Эти приближенные формулы получаются
обычно путем разложения в ряд данной функции. В гл. XIII были
указаны некоторые важнейшие из этих формул. Приведем наиболее
часто встречающиеся приближенные формулы.
В этих формулах величины хну — малые числа, и чем меньше
их абсолютные значения, тем меньше погрешность формулы:
(1 ± х)п = 1 ± пх	(13)
(14-Х) (1+у) = 1+г+у; (1.4-s) (1—у) = 14-я—У	(14)
779
'(14-®)2 “1-2®;
/14^=14-5-;
-J__=1_x.
Гж=14-~
Д '+•
1 — X
		-.= 1—Х-^у
1—У
1 — ®	i
— = 1 — х — у
14-У
<!-.>• 1+2’
У1 — Х = 1 — А
1 ®

УГ—х	п '
п
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Формулы (14) — (21) следуют из (13). Из этой же формулы
следует, что если b а (Ъ значительно меньше а), т®
/ b \п
(а ± b)n = ап ( 1 ± — \ ~an±nan~lb	(22)
Далее:
1	_ 1__ъ_'
а-]-Ь а а2 ’
)Лг24-& = а 4-	или
1	1__
Уа^Ь	а	2а» ’
1 _ 1 , 6
а — b а а2
Z \	и .
___i_ 1  ь
уа2 — Ъ а "г 2а3
In (1 ± х) = ±х
ех—1-}-х; ах — 1 4-х In а
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Для весьма малых углов, величина которых х выражена в
радианах
sinx = x; tg х= х\ cosx=l	(28)
или, с меньшей погрешностью:
sinx=x—tgx = x+-£-i соях = 1—~	(29)
о’	о ’	2
Примеры вычислений по приближенным формулам*:
(13)	1.0334 = (14- 0.088)4 =14-4 - 0,033 = 1,132
(14)	1,033 • 0,98 =(14- 0,038) (1 —0,02) = 14- 0,033 - 0,02 = 1,01
* С левой стороны указан № формулы.
780
(15)
(16)
(21)
(22)
1
1,0033
1
1+0.0033
1—0,0033 = 0,9967
S -LS = *1-»8
VT033=Vi+0,033 = i+=* i.oii
1	1	2
VT85= (8-0,15) 3 =83 —g--8 30,15 =
u
= 2—4-4-0.15= 1,988
3 4
(24)
___	,_____ 4
/629 =/252 + 4 = 25 += 25,08
2 • 2d
Пример. Вычислить площадь сечения кольцевого пространства
между цилиндрической стенкой контактного аппарата и расположен-
ной внутри катализаторной коробкой. Внутренний диаметр аппарата
D = 800 мм, наружный диаметр катализаторной коробки d =
= 760 мм.
Искомая площадь может быть вычислена по формуле:
5 = ^-(D2_d2)
Однако, так как заданные численные значения D и d не являются
абсолютно точными, то погрешность результата будет меньше, если
преобразовать эту формулу так, чтобы избежать вычитания близких
чисел (см. § 3). Обозначим через а расстояние между наружной
стенкой катализаторной коробки и внутренней стенкой контактного
аппарата (а = 20 мм). Тогда D — d + 2а:
5=-^- [(d + 2a)2— cZ2] = А (4а2 + 4ас/)=л (а2 + ас?)
Т-ак как а значительно меньше d (а < 0,03d), то величиной а2
по сравнению с ad можно пренебречь. Поэтому
£ = лас/=3,14- 760-20 = 48- 10» лс.и2
Пример. Привести к 0° С показание ртутного барометра, равное
738 мм при 24° С. Коэффициент расширения латунной шкалы баро-
метра «j = 0,00002; коэффициент расширения ртути а2 = 0,00018.
Формула для подсчета h0 имеет вид:
h°-ht-7+^F
Преобразуем эту формулу, пользуясь формулой (21):
h9 = ht [! + («! — а2) «]=*/ (1 — 0,000160
h0 = 738 (1—0,00016 • 24) = 735 мм
781
Вычисление по непреобразованной формуле дает h0 = 735,178,
а по преобразованной h0 = 735,166. Так как погрешность h0, вы-
численная, как указано в § 4, равна приблизительно 0,1%, то ре-
зультат должен быть записан тремя значащими цифрами, т. е. h0 =
= 735. Следовательно, пользование приближенной формулой не дает
дополнительной погрешности.
Пример. Уровень жидкости в резервуаре измеряется рейкой.
Показание рейки 155 см. Найти относительную погрешность этого
измерения, допуская, что рейка может быть опущена в резервуар
не строго вертикально и что при этом нижний конец рейки на 10 см
отклоняется от точки, которую он занимает при вертикальном поло-
жении рейки.
Обозначим длину рейки (показание) h = 155 см, а отклонение
а = 10 см. Очевидно, что вследствие отклонения рейки от вертикаль-
ного положения результат измерения окажется больше истинного
значения высоты уровня жидкости. Абсолютная погрешность равна
разности между показанием рейки и фактической отметкой
уровня жидкости. Значение уровня может быть определено из прямо-
угольного треугольника, у которого гипотенуза h и один из кате-
тов а.
Другой катет, определяющий фактический уровень, равен:
= 1-^- 
Пользуясь формулой (24), имеем:
Следовательно, абсолютная погрешность есть а поэтому
искомая относительная погрешность будет	Подставляя за-
данные числовые значения, получим:
а2
2fc2
Ю2
___ ^0,002 = 0,2 %
Таким образом, эта погрешность, обусловленная не строгой вер-
тикальностью рейки, оказывается меньше, чем погрешность самого
отсчета по рейке (если все знаки числа 155 верны, то его относитель-
ная погрешность около 0,3%).
§ 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
При решении химико-технических задач, связанных, в частности,
с химической кинетикой, с обработкой экспериментальных данных
и др., нередко возникает необходимость решения различных урав-
нений. Точное решение некоторых уравнений с одним неизвестным,
в частности алгебраических уравнений высших степеней, предста-
782
вляет в ряде случаев большие трудности, а иногда и вообще невоз-
можно. В этих случаях можно воспользоваться способами прибли-
женных решений, получая результаты с точностью, удовлетворя-
ющей поставленной задаче. Ниже рассматриваются три таких
способа — метод касательных (метод Ньютона), метод линейной ин-
терполяции (regula falsi) и метод повторения (итерации). Любой
из них требует предварительной грубой оценки корней уравнения.
Пусть имеется уравнение / (х) — 0, причем / (ж) — непрерывная
функция. Положим, что можно подобрать такие значения а и Ъ,
при которых / (а) и / (Ъ) имеют разные знаки, например f (а) О,
/ (Ь)	0. В таком случае существует по крайней мере один корень
уравнения f (ж) = 0, находящийся между а и Ь. Суживая интервал
значений а и Ь, можно найти корень уравнения с требуемой точ-
ностью.
а)	Графическое нахождение корней уравнения. Для решения
уравнения высших степеней очень удобно пользоваться графическим
методом. Пусть дано уравнение:
хп + а,/"'14- Ъхп~2 -|- . . .	—0
где а, Ь,. . ., р, q — заданные числа.
С геометрической точки зрения уравнение
у — хп-\- ахп~г -|- Ъхп~2 4- . . . -|- рх -|- q
представляет собой некоторую кривую; мы можем найти любое
число ее точек, вычисляя значения у, соответствующие произволь-
ным значениям х. Каждая точка пересечения кривой с осью ОХ дает
значение одного из корней данного уравнения. Поэтому нахождение
корней уравнения сводится к определению точек пересечения соот-
ветствующей кривой с осью ОХ.
б)	Метод касательных. Рассмотрим сначала уравнение 3-й сте-
пени, например:
х3 — 7х 4-1 = о
Уравнение соответствующей кривой будет:
у = х3 — 7 а: 4-1
Достаточно взять х = 10, чтобы х9 намного превосходило оба
следующих за ним члена; поэтому, если мы придадим х очень боль-
шое значение, х9 будет сильно превосходить эти члены и отсюда
можно заключить, что для положительных значений х, больших 10,
величины у также будут лежать над осью ОХ. Когда же х получает
большие отрицательные значения, то у — отрицательно и кривая
лежит под осью ОХ. Составим следующую табличку соответственных
значений х и у:
х = —3; — 2; —1; 0;	1; 2; 3
у = -5; 7; 7; 1; -5; -5; 7
783
Из этих данных следует, что кривая пересекает ось ОХ между
точками z = 2 и а: = 3, а также между х = 0 и х =1 и, наконец,
между х = —2 и х = —3, так как во всех этих случаях ордината
меняет свой знак.
Теперь попытаемся найти значения корня между 0 и 1. Положим
г=0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4
и определим соответствующие у.
г/ = 1; 0,301; —0,392 . . .
Отсюда мы заключаем, что значение корня находится между
0,1 и 0,2.
Очевидно, что можно продолжать такой прием и дальше, уточняя
значение корня, но, чтобы избежать необходимых для этого довольно
длинных вычислений, можно применить другой метод.
Предположим, что
7х+ 1 = /(х)
кроме того, обозначим величину корня, лежащего между 0,1 и 0,2,
через £, так, что:
/(С) = ?з-7С 4-1 = 0
Так как мы нашли, что корень лежит между 0,1 и 0,2, то можно
взять в качестве первого приближения число 0,1. Таким образом
$ = ai +
где а1 = 0,1 и — необходимая поправка.
Разложим функцию / (аг + Лх) в ряд Тейлора по степеням
/ (“1 + h-i) = f (ej) 4- hif (a±) 4- /" (щ) 4- • • •
Так как все производные функции / (£), начиная с производной
четвертого порядка, равны нулю, то
f (£)=/ (а1+^1) = /	(«1)4-	+ 1 • 2  3 J "	= ®
Ограничиваясь линейным относительно представлением, мы
с некоторым приближением найдем
/ (ai) 4- ^i/ (ei)= 0
откуда
h	f (ai)
1	f («0
В рассматриваемом нами случае
,	0,301
hl=~wT
откуда приближенно
7?! = 0,043
784
т. е. новое приближенное значение корня равняется 0,1 4- 0,043
= 0,143 = а2. Затем полагаем
£ = 02 -f- = 0,143 -f- h2
и для приближенного нахождения h2 пользуемся формулой:
л2=- f;&L
2	Г (02)
Отсюда для данного уравнения находим
А2=	-^0,00028
что даст значение корня 0,14328.
Продолжаем поступать также, т. е. полагая
С ~ 0,143284*^3 — аз4~^з
находим:
h3= —	0.0000026
1 (аз)
Отсюда для искомого корня получаем следующее значение:
S =0,1432774. . .
Значение корня с точностью до 8 знаков равно:
х =0,14327732
Следовательно, использованный нами приближенный способ дал
результат, верный до шестого десятичного знака включительно.
Этот способ был предложен Ньютоном.
Как мы видели, этот способ сводится к следующему. Сначала
находят грубое, приближенное значение аг искомого корня х и на-
ходят первую поправку hr по формуле:
_	/ (“i)
1—ТмТ
более точное значение корня:
02 = а1 + hx = а,!-
I (а1)
способом может быть найдено еще более Ton-
д., пока результат не будет отвечать требу-
Затем вычисляют
Далее, таким же
ное значение «3 и т.
емой степени точности.
И, вообще:
„ f Ы
ап-и — ап--,, , .
I (ап)
Заметим, что ряд последовательных приближений сходится, т. е.
корень х уравнения может быть найден с любой точностью, если
этот корень не кратный [т. е. /' (я)	0,], если первое приближенное
50 Заказ 1706	785
значение а± искомого корня мало отличается от истинного значения
корня и если, кроме того, / (04) и /" (аг) имеют одинаковые знаки.
Пример. Требуется найти корень уравнения:
/ (х) — х3— 4х2— 2х + 4 = 0
Составляем следующую табличку:
г = — 2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5
У — -16; 1; 4; —1; -8; —И; -4; 19
Как видно, кривая пересекает ось ОХ между абсциссами —2
и —1, между 0 и 1 и между 4 и 5; поэтому между каждой парой этих
чисел заключается по одному корню уравнения.
Вычисляем корень, лежащий
между 4 и 5. Мы найдем
х= 4.	4,1;	4,2; 4,3
у=— 4; —2,510; —0,872; 0,497
корень лежит между 4,2 и 4,3.
За первое приближение примем:
«1 = 4,25
Согласно формуле (30) най-
дем первую поправку:
f (ai>
1 Г («Г
1,015625 _
,1875
Второе приближение к корню равняется:
Находим далее
«2 = 4,249141
h2=	_ 0,0^083933 = _00000004б . . .
/ (а2)	18,172
откуда
«3 = 4,24914054
в)	Метод линейной интерполяции. По способу линейной интер-
поляции приближенным значением корня уравнения / (х) = 0 будет:
где а и b — грубые приближения, причем / (а) и / (д) имеют разные
знаки. Геометрически способ линейной интерполяции равносилен
замене кривой у =>= / (х) хордой, соединяющей точки [а, / (а)]
и [&, / (д)] (рис. XXV-1), а способ Ньютона равносилен замене той же
дуги касательной.
786
Пример. Решить уравнение / (х) — х3 — 2х — 2 = О способом
линейной интерполяции.
Так как / (1) = —3, а / (2) = 4-2, то корень х находится между 1
и 2. Поэтому
9__1
*1= 1,60; f (*i) = —1,10
Следовательно, искомый корень находится между 1,6 и 2. Сле-
дующее приближение: - •
а2=1'6-(-1-10)2_(_1м0)
*2 = 1,74; /(*2) =—0,212
Берем еще одно приближение к корню, лежащее между 1,74 и 2:
Ъ= 1,74 -(-0,212) •	2~-1’7?4|?, = 1,765
Так как / (х3) = 4-0,020, то это приближенное значение корня
дает достаточную точность решения уравнения.
г)	Способ повторения (итерации). Этот способ заключается
в том, что подлежащее решению уравнение / (х) = 0 преобразуют
в новое уравнение х = <р (х) и, задаваясь первым приближением х±,
последовательно находят более точные приближения х2 = <р (х1),
х3 = <р (х2) и т. д. Решение может быть получено с любой степенью
точности, при условии, например, что в интервале между первым
приближением и корнем уравнения | <р' (ж) | < 1. Для выполнения
этого условия иногда требуется предварительное преобразование
уравнения, например замена его обратной функцией.
Пример. Найти решение уравнения / (х) = у — In х = 0 спосо-
бом повторения.
Из заданного уравнения находим х = 3 In х = <р (х).
Задаемся приближенным значением хг = 4. Последовательно
находим;
*2 = 3 In 4	=4,158;	*8 = 4,500
*з=3 In 4,158 = 4,275;	*9 = 4,512
*4 = 3 In 4,275 = 4,359:	*io = 4,521
*6 = 31n 4,359 = 4,416;	*11 = 4,527
*e = 4,455;	*12 = 4,530
*7 = 4,482;	*13 = 4,533
	*14 = 4,533
В значении корня все знаки верные.
50*
787
д)	Отделение корней. Не всегда удается легко определить пре-
делы, между которыми лежат корни уравнения. Рассмотрим следу-
ющий пример.
Пример. Пусть дано уравнение:
/(х) = хЗ-7г+7 = 0
Составляем табличку значений х и у;
г=0; 1; 2; 3 . .,
у=Т, 1; 1; 13 . . .
Соответствующая кривая
у = г2 — 7*4-7
как выяснится дальше, пересекает ось ОХ в двух точках, лежащих
между точками с абсциссами х = 1 и х — 2, между тем из таблички
этого не видно. Из нее ясно лишь, что кривая достигает своего ми-
нимума между х = 1 и х = 2, но неизвестно, лежит ли этот минимум
выше или ниже оси ОХ. Чтобы выяснить этот вопрос, нужно вы-
числить минимум. Пользуясь методом, изложенным в гл. I, прирав-
ниваем нулю первую производную
/' (г)=3*2 — 7 = 0
откуда:
Нас интересует первое из этих значений:
^=/1 = 1,5...
Находим:
Так как уг отрицательно, то, значит, кривая, проходя под
осью ОХ, пересекает ее в двух точках между х = 1 и х = 2; следо-
вательно, в этих пределах лежат два корня уравнения.
Перейдем теперь к их нахождению. Так как минимум лежит
близко к х = 1,5, то мы составляем следующую табличку:
X ... 1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
у . . . 0,097 -0,056 —0,125 -0,104	0,013
Один корень лежит между 1,3 и 1,4, другой — между 1,6 и 1,7.
Вычислим второй из них, пользуясь уже знакомым нам методом
Ньютона:
/(r) = z3 —7г+7
/' (г)=3х2 —7
783
Полагая ах = 1,7, найдем:
,	/(«1)	0,013 _
А1—7кУ ~ ~ "йГ	°’008
Первое приближение равняется 1,7 = 0,008 = 1,692. Дальней-
ший ход вычисления остается прежний.
е)	Число действительных корней уравнения. Рассмотрим алгеб-
раическое уравнение четвертой степени ж4 + а3ж3 + а2ж2 + а±х +
+ а0 = 0. Обозначим его левую часть через у. Если х — очень боль-
шое по абсолютной величине положительное или отрицательное
число, то у также делается очень большим числом, притом положи-
тельным, так как первый чЛен ж4 становится значительно больше
остальных членов. Поэтому кривая, соответствующая этому уравне-
нию при больших положительных и отрицательных значениях х,
лежит над осью ОХ. Если же она пересекает эту ось и вследствие
этого переходит в область отрицательных значений у, то она необ-
ходимо должна пересечь ось ОХ в другом месте, чтобы опять попасть
в область положительных значений у, т. е. это уравнение имеет
или 4, или 2, или ни одного действительного корня. Это утверждение
справедливо для всех уравнений 4-й степени.
Иначе обстоит дело с уравнениями 3-й степени.
Выше было указано, что кривая
у — хз — 7г 4-1
при больших положительных значениях х проходит над осью ОХ,
при больших отрицательных значениях х — под осью. Это проис-
ходит от преобладающего влияния х3, которое будет положительным
при положительном х и отрицательным при отрицательном х. Сле-
довательно, кривая неизбежно должна хоть раз пересечь ось ОХ.
Если же она пересекает ее больше одного раза, то она должна пере-
сечь ее в 3 раза, т. е. рассматриваемое уравнение, как вообще всякое
уравнение 3-й степени, имеет 1 или 3 действительных корня.
Обобщая эти выводы, можно сказать, что уравнение нечетной
степени должно иметь один действительный корень или любое не-
четное число их; уравнение четной степени имеет всегда четное число
действительных корней или не имеет вовсе. Исключением будет
тот случай, когда кривая касается оси ОХ. Тогда в точке касания
совпадают две точки пересечения.
Из элементарной алгебры известно, что квадратное уравнение
имеет два корня, уравнение 3-й степени — три. В курсах высшей
алгебры доказывается, что всякое уравнение ге-й степени имеет
п корней. Среди этих корней могут быть кратные и комплексные
корни.
Геометрически это означает, что кривая
у = a/» -j- ax'1-1 -j- bxn~2 4~ • • • +.Ра:4-£
пересекается с осью абсцисс не более, чем в п точках.
78!)
ж)	Трансцендентные уравнения. Часто уравнение, составленное
в процессе решения той или иной технической задачи, оказывается
трансцендентным, т. е. содержащим логарифмы, тригонометрические
функции и др. При этом из условий задачи невозможно заранее
предвидеть, будет ли уравнение трансцендентным. Ниже приводится
задача, решение которой приводит к трансцендентному уравнению.
Пример. Гомогенное твердое тело, имеющее форму шара, рас-
творяется в химически активной жидкости, причем на растворение
одного моля твердого вещества расходуется один моль растворителя.
Требуется составить уравнение для определения коэффициента ско-
рости растворения твердого вещества.
Пусть г0 обозначает радиус шара в начале процесса при т = О,
аг — радиус этого же тела в момент времени т. Обозначим через V
объем 1 моль растворяемого вещества, через х — число молей ве-
щества, растворившегося ко времени т, и через а — начальное число
молей растворителя.
Скорость растворения в момент т пропорциональна поверхности
фазового контакта S и количеству оставшегося к моменту т раство-
рителя а — х. Так как объем шара равен у лг3, то объем х моль
растворившегося вещества равен Ух = -|-л(Го — г3)', откуда
_[ 3 ЗТг \ Т
r V0 4л /
Поверхность S шара к моменту т равна 4лг2 или
2
^У^У
Скорость процесса растворения будет равна
2
dx	, dx , „ / . ЗУх \ з
— = KS(a — xy, — —inKiri -—) (а — х)
dx	dx \ “4л J
откуда
dx	, T, ,
----------------— 4лл dx
У~^У^
(здесь К — коэффициент пропорциональности — искомый коэффи-
циент скорости растворения).
Для интегрирования этого уравнения сделаем следующие под-
становки:
ЗУ
г? = а0;  = b; a0 — bx — z3
4л.
, а	а0 —z3	,	3z2 dz
а0 — ао = п°; х — г ; dx =-g—-
790
Тогда получим:
— 4лЛ’т
f dx
J	A
(я0 — fez)3 (a— x)
Подставив принятые выше значения в подынтегральную функцию
получим:
С dz
.) П3—Z3
(z + 2га) dz
га2 + nz 4- za
dz	__ i С dz
(п— z) (п2 4- nz 4- z2)	n2 J n— z
Первый из этих интегралов равен —-^-ln(ra—z). Второй ин-
теграл преобразуем следующим образом:
1 С	2z4-n	3 С_________dz_
2n2 J z24-nz4-n2 Z‘ 2п .1 / . п \ 2
п2
= 2^2- ln (z2+ nz + и2) + arctg ^=1
Исходный интеграл оказывается, таким образом, равным:
„Г dz 1 V п2 4- nz 4- z2	2z 4- П
-z- In----1----5---k----arctg —4=- 4- С
п2	n—z	га2 8 /Зп
п3— Z3
Возвращаясь к
1
2
(ee — ab) 3
In
старому переменному х, получим:
а	1	1	2_
(a0 — ab) 3 -|-(д0— qfr) 3 (dQ — bx) 3	—6z) 3
1 _1
(а0 — аб) 3 — (а0 — Ьх) 3
4- /з arctg	3 + аЬ)2
К.З (a0 — ab) 3
4- С = 4лЛ’т
Для определения постоянной интегрирования С следует перемен-
ные величины взять при т = 0, т. е. положить х = 0 и г = г0.
Полученное нами уравнение относительно искомой величины К
не является трансцендентным. К легко вычисляется, если входящие
в это уравнение буквы заменить их численными значениями. Но
если К задано и требуется определить х, то относительно х это урав-
нение трансцендентно, так как содержит х под знаками
трансцендентных функций — логарифма и арктангенса. Транс-
цендентные уравнения решаются рассмотренными выше приближен-
ными способами.
ЛИТЕРАТУРА
Абельсон И. Б., Максимум и минимум, ОНТИ, 1935.
Арис Р., Анализ процессов в химических реакторах, Изд. «Химия», 1967.
Батунер Л. М., Процессы и аппараты органического синтеза и биохими-
ческой технологии, Изд. «Химия», 1966.
Батунер Л. М., Теория переходного режима в диффузионных аппаратах.
Адсорбция. Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. Ж., Гидродинамика пленочного аппарата для диазотирования,
Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. М., Горбачева Н. А., Моделирование ионообменных
фильтров, Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. М., Федоров К. С., Методы расчета промывки осадков,
Оборонгиз, 1939.
Безикович Я., Приближенные вычисления, Гостехиздат, 1949.
Бесков С. Д., Техно-химические расчеты, Госхимиздат, 1950.
Боев Г. П., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1950.
Б р а й н е с Я. М., Подобие и моделирование в химической и нефтехимиче-
ской технологии, Гостоптехиздат, 1961.
Бронштейн Ж. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике,
Гостехиздат, 1959.
Боревич 3. И., Определители и матрицы, Изд. ЛГУ, 1965.
Ватсон Д. М., Теория Бесселевых функций, ИЛ, 1949.
В е й л а с С., Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов,
Изд. «Химия», 1964.
Виньерон А., Обработка результатов физико-химических наблюдений,
ОНТИ, 1936.
Воскресенский К. Д., Сборник задач по теплопередаче, Госэнерго-
издат, 1951.
Г е л ь п е р и н Н. И., Выпарные аппараты, Госхимиздат, 1947.
Гельперин Н. И., Дистилляция и ректификация, Госхимиздат, 1947.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию
вероятностей, Гостехиздат, 1946.
Грей Э., Мэтьюз Г. Б., функции Бесселя и их приложения в физике
и механике, ИЛ, 1949.
Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному
исчислению, Высшая школа, 1965.
Додж Б. Ф., Химическая термодинамика в применении к химическим про-
цессам и химической технологии, ИЛ, 1950.
Жаворонков Н. М., Гидравлические основы скрубберного процесса
и теплопередача в скрубберах, «Советская наука», 1944.
3 е г ж д а А. П., Теория подобия и методика расчета гидротехнических моде-
ч лей, Госстройиздат, 1938.
Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
ИЛ, 1951.
Калихман И. Л., Линейная алгебра и программирование, Изд. «Высшая
школа», 1967.
Карапетьянц М. X., Химическая термодинамика, Госхимиздат, 1953.
792
Карман Т., Био М., Математические методы в инженерном деле, Гостех-
издат, 1948.
Карнелевич Ф. И., Садовский Л. Е., Элементы линейной ал-
гебры и линейного программирования, Изд. Физматгиз, 1963.
Касаткин А. Г., Основные процессы и аппараты химической технологии,
Госхимиздат, 1955.
К а ф а р о в В. В., Процессы перемешивания в Жидких средах, Госхимиздат,
1949.
К а ф а р ов В. В., Основы массопередачи, Изд. «Высшая школа», 1962.
К и р п и ч е в М. В., Теория подобия, Изд. АН СССР, 1953.
Кирпияев М. В., Михеев М. А., Моделирование тепловых устройств,
Изд. АН СССР, 1936.
Крамере X., Вестертерп К., Химические реакторы, расчет и упра-
вление ими, Изд. «Химия», 1967.
Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Гостехиздат, 1954.
Кузнецов М. Д., Определение коэффициентов скорости абсорбции по ме-
тоду подобия, ЖПХ, № 1 (1948).
Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
Левин В. И., Г росберг Ю. И., Дифференциальные уравнения мате-
матической физики, Гостехиздат, 1951.
Л е в и ч В. Г., Физико-химическая гидродинамика. Изд. АН СССР, 1952.
Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к задачам меха-
ники, Гостехиздат, 1951.
Лурье М. Ю., Сушильное дело, Госэнергоиздат, 1948.
Лыков А. В., Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1952.
Лыков А. В., Теория сушки, Госэнергоиздат, 1950.
Маркушевич А. И., Ряды, Гостехиздат, 1947.
Михеев М. А., Основы теплопередачи, Госэнергоиздат, 1949.
Михельсон Н. С., Краткий курс высшей математики, Гостехиздат, 1950.
Островский Г. М., Волин Ю. М., Методы оптимизации химических
реакторов, Изд. «Химия», 1967.
Павлов К. Ф., Ром а нк о в П. Г., Носков А. А., Примеры
и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии, Изд.
«Химия», 1969.
Партингтон Д. Р., Высшая математика для химиков, ГНХТИ, 1930.
Пиаджио Г., Интегрирование дифференциальных уравнений, Гостехиз-
дат, 1933.
Плановский А. Н., Специальная аппаратура промышленности органи-
ческих полупродуктов и красителей, Госхимиздат, 1940.
По зин М. Е., Копы л ев Б. А., Бельченко Г. В., Те-
рещенко Л. Я., Расчеты по технологии неорганических веществ,
Изд. «Химия», 1966.
Ра мм В. М., Абсорбция газов, Изд. «Химия», 1966.
Робертс С., Динамическое программирование в процессах химической
технологии и методы управления, Изд. «Мир», 1965.
Романков П. Г., Рашковская Н. Б., Сушка в кипящем слое,
Изд. «Химия», 1964.
Романков П. Г., Гидравлические процессы химической технологии,
Госхимиздат, 1948.
Романовский В. И., Элементарный курс математической статистики,
Госпланиздат, 1939.
Рыжик И. М., Г р а д ш т е й н И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведенпй, Гостехиздат, 1951.
Седов А. И., Методы подобия и размерностей в технике, Гостехиздат,
1954.
Семендяев К. А., Эмпирические формулы, Гостехиздат, 1933.
Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, Гостех-
издат, 1934.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, т, I, Ц, Гостехиздат, 1948,
т. III, 1949.
793
Справочник по математике для обогатителей, под ред. С. И. Полькина,
Металлургиздат, 1951.
Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1950.
Уиттекер Э., Робинсон Г., Математическая обработка результатов
наблюдений, Гостехиздат, 1933.
Федоров Н. Е., Аналитические расчеты сушильных установок, Изд.
«Пищевая промышленность», 1967.
.Френкель И. 3., Гидравлика, Госэнергоиздат, 1947.
Хальд А., Математическая статистика для инженеров, ИЛ, 1956.
Эйге неон Л. С., Моделирование, Промстройиздат, 1949.
Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г., Курс химической кинетики, Изд.
«Высн ая школа», 1962.
Яковлев К. П., Математическая обработка результатов измерений, Гостех-
издат, 1953.
A m a d и г J., Н a m m е s G. G., Chemical kinetics. Principles a. Selected
Topics, N. Y„ 1966.
Daniels F., Mathematical Preoaration for Physical Chemistry, N. Y.
— London, 1928.
Davies 0. L., Statistical Methods in Research and Production with Special
Reference to the Chemical Industry, London, 1949.
Denbigh K. G., The Principles of Chemical Equilibrium, N. Y., 1955.
Frost A. A., Pearson K. G., Kinetics a. Mechanism, N. Y., 1961.
Hitchcock F. L., Robinson C. S., Differential Equation in Applied
Chemistry, N. Y., 1936.
Jenson V. G., Jeffreys G. V., Mathematical Methods in Chemical
Engineering, London — N. Y., 1962.
Kasten P. R., Amundsen N. K., Ind. Eng. Chem., 44, 1704 (1952).
Le venspiel 0., Chemical Reaction Engineering, N. Y. — London, 1962.
Mellor J. W., Higher Mathematics for Students of Chemistry and Physics,
N. Y., 1946.
Mickle у H. S., Sherwood T. K., Reed С. E., Applied Mathe-
matics in Chemical Engineering, N. Y., 1957.
Munro W. D., Amundsen N. R., Ind. Eng. Chem., 43, 1481 (1950).
S i r k H., Mathematik fur Naturwissenschaftler und Chemiker, Dresden und
Leipzig, 1950.
Smith D. A., Chem. Eng. Progr., 45, 703 (1949).
Stabbings G. W., Engineering Formulae, their Meaning and Derivation.
London, 1943.
T г у b a 1 1 R. E., Mass-Transfer Operations, N. Y., 1955.
Wan der Waerden, Mathematische Statistik, Berlin, 1957.
ПРИЛОЖЕНИЕ Т
Таблица изображений и оригиналов некоторых функций*
Ks формул	Изображение »(P)=U(i)	Оригинал 1(1)	Примечание
			
1	а	а	a — постоянная
2	1_ р	t	
3	п! Р"	tn	n.— целое число ^0
4		t~n	Г (1 — n) — гамма- функция
	рп	Г(1-п)	
	1		
Б		1	
	Р	y~n,t	
6	_JL р 2	2 /Г	
7	р		
	р+«		
8	1	| — e~at	
	р+«	а	
9	1	t	1	. e~at	
	Р (р+«)	a a2 ' a2	
10	р2	cos at	
	р2_|_а2		
11	ар	sin at	
	р2-±а2		
12	Р2	cos h at	
	р2 — ц2		
13	ар	sin h at	
	р2— а2		
* Более полную таблицу см. в книге Б. А. Д и т к и н а, П. Иг К у з п е ц о в а, справоч-
ник по операционному исчезновению, 1951.
795
Продолжение
№ формул	Изображение F(p) = L/(O	Оригинал Г	Примечание
14	Р	e-bt_e-at	
	(р + а) (р+&)	а —Ь	
15	Р2	ae~at —be~bt	
	(р + а) (р + Ь)	а — Ь	
16	Р (р + Ь)	e~bt cos at	
	 (p+W+<*		
17	ра	e~bt sin at	
	(р+ь^+^		
18	р	te~at	
	(р + а)*		
19	Р	tn-ie-at	
	(р + а)п	(n —1)!	
20	Р*	e-a< —at)	
	(р + °)2		
21	р2	t . — sin at 2а	
	(р2_|_а2)2		
	ра2	1 (sin at — a t cos at)	
22	(р2 + «2)2		
23	Р	1 Г ,	— /	' r- ___ p-at+g2 ^cos-i/заг —	
	рЭ-^-а?		
		—/З sin ~ /З at^ J	
24	Р2	Ге"0* 4-e 2 (cos-^-/3 at 4-	
	рз + аз		
		+ 1^3 sin ~ }^3 at') J	
	р2 + ср	C + C~a e-o‘4- C~b e~b‘	
2о	Р (Р + а) (р + Ь)	ab ' a (a — b)	b (b — a)	
		2 У t	
26	1-е-У^	f e-^dn Уя J 0	
796
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Гамма-функция
X	Г (X)	X	Г (х)	X	Г (х)	а	Г (х)
1,00	1,00000	1,25	0,90640	1,50	0,88623	1,75	0,91906
1	0,99433	6	0,90440	1	0,88659	6	0,92137
2	0,98884	7	0,90250	2	0,88704	7	0,92376
3	0,98335	8	0,90072	3	0,88757	8	0,92623
4	0,97844	9	0,89904	4	0,88818	9	0,92877
1,05	0,97350	1,30	0,89747	1,55	0,88887	1,80	0,93138
6	0,96874	1	0,89600	6	0,88964	1	0,93408
7	0,96415	2	0,89464	7	0,89049	2	0,93685
8	0,95973	3	0,89338	8	0,89142	3	0,93969
9	0,95546	4	0,89222	9	0,89243	4	0,94261
1,10	0,95135	1,35	0,89115	1,60	0,89352	1,85	0,94561
1	0,94740	6	0,89018	1	0,89468	6	0,94869
. 2	0,94359	7	0,88931	2	0,89592	7	0,95184
3	0,93993	8	0,88854	3	0,89724	8	0,95507
4	0,93642	9	0,88785	4	0,89864	9	0,95838
1,15	0,93304	1,40	0,88726	1,65	0,90012	1,90	0,96177
6	0,92980	1	0,88676	6	0,90167	1	0,96523
7	0,92670	2	0,88636	7	0,90330	2	0,96877
8	0,92373	3	0,88604	8	0,90500	3	0,97240
9	0,92089	4	0,88581	9	0,90678	4	0,97610
1,20	0,91817	1,45	0,88566	1,70	0,90864	1,95	0,97988
1	0,91558	6	0,88560	1	0,91057	6	0,98374
2	0,91311	7	0,88563	2	0,91258	7	0,98768
3	0,91075	8	0,88575	3	0,91467	8	0,99171
4	0,90852	9	0,88595	4	0,91683	9	0,99581
1,25	0,90640	1,50	0,88623	1,75	0,91906	2,00	1,00000
797
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Продолжение
Бесселевы функции
X	Jo (Х>	Ji (х)	У о (х)	У, (X)	И, (х)	It (х)	X
0,0	+ 1,0000	—0,0000	— сю	— оо	+ 1,000	0,0000	0,0
0,1	0,9975	0,0499	— 1,5342	-6,4589	1,003	+0,0501	0,1
0,2	0,9900	0,0995	1,0811	3,3238	1,010	0,1005	0,2
0,3	0,9776	0,1483	0,8073	2,2931	1,023	0,1517	0,3
0,4	0,9604	0,1960	0,6060	1,7809	1,040	0,2040	0,4
0,5	+0,9385	+0,2423	-0,4445	—1,4715	1,063	0,2579	0,5
0,6	0,9120	0,2867	0,3085	0,2604	1,092	0,3137	0,6
0,7	0,8812	0,3290	0,1907	0,1032	1,126	0,3719	0,7
0,8	0,8463	0,3688	—0,0868	0,9781	1,167	0,4329	0,8
0,9	0,8075	0,4059	+0,0056	0,8731	1,213	0,4971	0,9
1,0	+0,7652	+0,4401	+0,0883	—0,7812	1,266	0,5652	1,0
1,1	0,7196	0,4709	0,1622	0,6981	1,326	0,6375	1,1
1,2	0,6711	0,4983	0,2281	0,6211	1,394	0,7147	1,2
1,3	0,6201	0,5220	0,2865	0,5485	1,469	0,7973	1,3
1,4	0,5669	0,5419	0,3379	0,4791	1,553	0,8861	1,4
1,5	+0,5118	+0,5579	+0,3824	—0,4123	1,647	0,9817	1,5
1,6	0,4554	0,5699	0,4204	0,3476	1,750	1,085	1,6
1,7	0,3980	0,5778	0,4520	0,2847	1,864	1,196	1,7
1,8	0,3400	0,5815	0,4774	0,2237	1,990	1,317	1,8
1,9	0,2818	0,5812	0,4968	0,1644	2,128	1,448	1,9
2,0	+0,2239	+0,5767	+0,5104	-0,1070	2,280	1,591	2,0
2,1	0,1666	0,5683	0,5183	-0,0517	2,446	1,745	2,1
2,2	0,1104	0,5560	0,5208	+0,0015	2,629	1,914	2,2
2,3	0,0555	0,5399	0,5181	0,0523	2,830	2,098	2,3
2,4	0,0025	0,5202	0,5104	0,1005	3,049	2,298	2,4
2,5	—0,0484	+0,4971	+0,4981	+0,1490	3,290	2 517	2,5
2,6	0,0968	0,4708	0,4813	0,1884	3,553	2,755	2,6
2,7	0,1424	0,4416	0,4605	0,2276	3,842	 3,016	2,7
2,8	0,1850	0,4097	0,4359	0,2635	4,157	3,301	2,8
2,9	0,2243	0,3754	0,4079	0,2959	4,503	3,613	2,9
3,0	—0,2601	+0,3391	+0,3768	+0,3247	4,881	3,953	3,0
3,1	0,2921	0,3009	0,3431	0,3496	4,294	4,326	3,1
3,2	0,3202	0,2613	0,3070	0,3707	5,747	4,734	3,2
3,3	0,3443	0,2207	0,2691	0,3878	6,243	5,181	3,3
3,4	0,3643	0,1792	0,2296	0,4010	6,785	5,670	3,4
3,5	-0,3801	+0,1374	+0,1890	+0,4102	7,378	6,206	3,5
3,6	0,3918	0,0955	0,1477	0,4154	8,028	6,793	3,6
3,7	0,3992	0,0538	0,1061	0,4167	8,739	7,436	3,7
3,8	0,4026	+0,0128	0,0645	0,4141	9,517	8,140	3,8
3,9	0,4018	—0,0272	0,0234	0,4078	10,37	8,913	3,9
4,0	—0,3971	-0,0660	—0,0169	+0,3979	11,30	9,759	4,0
4,1	0,3887	0,1033	0,0561	0.3846	12,32	10,69	4,1
4,2	0,3766	0,1386	0,0937	0,3680	13,44	11,71	4,2
4,3	0,3610	0,1719	0,1296	0,3484	14,67	12,82	4,3
4,4	0,3423	0,2028	0,1633	0,3260	16,01	14,05	4,4
4,5	—0,3205	—0,2311	-0,1947	-1-0,3010	17,48	15,39	4,5
4,6	0,2961	0,2566	0,2235	0,2737	19,09	16,86	4,6
4,7	0,2693	0,2791	0,2494	0,2445	20,86	18,48	4,7
4,8	0,2404	0,2985	0,2723	0,2136	22,79	20,25	4,8
4,9	0,2097	0,3147	0,2920	0,1812	24,91	22,20	4,9
X	J, (х)	J, (х)	Уо (х)	У» (х)	1а (х)	It (X)	X
5,0	—0,1776	-0,3276	-0,3085	+0,1479	27,24	24,34	5,0
5,1	0,1443	0,3371	0,3216	0,1137	29,79	26,68	5,1
5,2	0,1103	0,3432	0,3312	0,0792	32,58	29,25	5,2
5,3	0,0758	0,3460	0,3374	0,0145	35,65	32,08	5,3
5,4	0,0412	0,3453	0,3402	+0,0101	39,01	35,18	5,4
5,5	—0,0068	-0,3414	-0,3395	—0,0238	42,69	38,59	5,5
5,6	+0,0270	0,3343	0,3354	0,0568	46,74	42,33	5,6
5,7	0,0599	0,3241	0,3282	0,0887	51,17	46,44	5,7
5,8	0,0917	0,3110	0,3177	0,1192	56,04	50,95	5,8
5,9	0,1220	0,2951	0,3044	0,1481	61,38	55,90	5,9
6,0	+0,1506	-0,2767	—0,2882	-0,1750	67,23	61,34	6,0
6,1	0,1773	0,2559	0,2694	0,1998	73,66	67,32	6,1
6,2	0,2017	0,2329	0,2483	0,2223	80,72	73,89	6,2
6,3	0,2238	0,2081	0,2251	0,2422	88,46	81,10	6,3
6,4	0,2433	0,1816	0,1999	0,2596	96,96	89,03	6,4
6,5	+0,2601	-0,1538	—0,1732	-0,2741	106,3	97,73	6,5
6,6	0,2740	0,1250	0,1452	0,2857	116,5	107,3	6,6
6,7	0,2851	0,0953	0,1162	0,2945	127,8	117,8	6,7
6,8	0,2931	0,0652	0,0864	0,3002	140,1	129,4	6,8
6,9	0,2981	0,0349	0,0562	0,3029	153,7	142,1	6,9
7,0	+0,3001	—0,0047	-0,0259	-0,3027	168,6	156,0	7,0
7,1	0,2991	+0,0252	+0,0042	0,2995	185,0	171,4	7,1
7,2	' 0,2951	0,0543	0,0338	0,2934	202,9	188,3	7,2
7,3	0,2882	0,0826	0,0628	0,2846	222,7	206,8	7,3
7,4	0,2786	0,1096	0,0907	0,2731	244,4	227,2	7,4
7,5	+0,2663	+0,1352	+0,1173	—0,2591	268,2	249,6	7,5
7,6	0,2516	0,1592	0,1424	0,2428	294,3	274,2	7,6
7,7	0,2346	0,1813	0,1658	0,2243	323,1	301,3	7,7
7,8	0,2154	0,2014	0,1872	0,2039	354,7	331,1	7,8
7,9	.0,1941	0,2192	0,2065	0,1817	389,4	363,9	7,9
8,0	+0,1717	+0,2346	+0,2235	-0,1581	427,6	399,9	8,0
8,1	0,1475	0,2476	0,2381	0,1331	469,5	439,5	8,1
8,2	0,1222	0,2580	0,2501	0,1072	515,6	483,0	8,2
8,3	0,0960	0,2657	0,2595	0,0806	566,3	531,0	8,3
8,4	0,0692	0,2708	0,2662	0,0535	621,9	583,7	8,4
8,5	+0,0419	+0,2731	+0,2702	—0,0262	683,2	641,6	8,5
8,6	-0,0146	0,2728	0,2715	+0,0011	750,5	705,4	8,6
8,7	0,0125	0,2697	0,2700	0,0280	824,4	775,5	8,7
8,8	0,0392	0,2641	0,2659	0,0544	905,8	852,7	8,8
8,9	0,0653	0,2559	0,2592	0,0799	995,2	937,5	8,9
9,0	—0,0903	+0,2453	+0,2499	+0,1043	1094	1031	9,0
9,1	0,1142	0,2324	0,2383	0,1275	1202	1134	9,1
9,2	0,1367	0,2174	0,2245	0,1491	1321	1247	9,2
9,3	0,1577	0,2004	0,2086	0,1691	1451	1371	9,3
9,4	0,1768	0,1816	0,1907	0,1871	1595	1508	9,4
9,5	—0,1939	+0,1613	+0,1712	+0,2032	1753	1658	9,5
9,6	0,2090	0,1395	0,1502	0,2171	1927	1824	9,6
9,7	0,2218	0,1166	0,1279	0,2287	2119	2006	9,7
9,8	0,2323	0,0928	0,1045	0,2379	2329	2207	9,8
9,9	0,2403	0,0684	0,0804	0,2447	2561	2428	9,9
10,0	—0,2459	+0,0435	+0,0557	+0,2490	2816	2671	10,0
798
799
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ПРИЛОЖЕНИЕ V
	Функция <р (hr) =				2 V л	h*r* для hr через 0,01 *					Функция Ф (Лг)= —					hr Г е’/2 dt для hr через 0,01 * Л J					
hr	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9						0					
0,6	1,1284	1283	1279	1274	1266	1256	1243	1229	1212	1193	hr 0,0	0 0,00000	1 01128	2 02256	3 03384	4 04511	5 05637	6 06762	7 07886	8 09008	9 10128
0,1	1,1172	1148	1122	1095	1065'	1033	0999	0962	0924	0884	0,1	0,11246	12362	13476	14587	15695	16800	17901	18999	20094	21184
0,2	1,0841	0797	0751	0702	0652	0600	0546	0490	0433	0374	0,2	1,22270	23352	24430	25502	26570	27633	28690	29742	30788	31828
0,3	1,0313	0250	0186	0120	0052	9983	9912	9840	9767	9692	0,3	0,32863	33891	34913	35928	36936	37938	38933	39921	40901	41874
0,4	0,9615+	9538	9459	9379	9298	9215+	9132	9047	8962	8875+	0,4	0,42839	43797	47747	45689	46623	47548	48466	49375	50275	51167
0,5	0,8788	8700	8610	8520	8430	8338	8246	8154	8060	7967	0,5	0,52050	52924	53790	54646	55494	56332	57162	57982	58792	59594
0,6	0,7872	7778	7683	7587	7491	7395+	7299	7203	7106	7010	0,6	0,60386	61168	61941	62705	63459	64203	64938	65663	66378	67084
0,7	0,6913	6816	6719	6622	6526	6429	6333	6237	6141	6045+	0,7	0,67780	68467	69143	69810	70468	71116	71754	72382	73001	73610
0,8	0,5950	5855'	5760	5666	5572	5479	5386	5293	5202	5110	0,8	0,74210	74800	75381	75952	76514	77067	77610	78144	78669	79184
0,9	0,5020	4930	4840	4752	4664	4576	4490	4404	4319	4235’	0,9	0,79691	80188	80677	81156	81627	82089	82542	82987	83423	83851
1,0	0,4151	4068	3987	3906	3826	3747	3668	3591	3515-	3439	1,0	0,84270	84681	85084	85478	85865	86244	86614	86977	87333	87680
1,1	0,3365'	3291	3219	3147	3076	3007	2938	2870	2804	2738	1,1	0,88020	88353	88679	88997	89308	89612	89910	90200	90484	90761
1.2	0,2673	2610	2547	2485+	2425	2365+	2307	2249	2192	2137	1,2	0,91031	91296	91553	91805	92051	92290	92524	92751	92973	93190
1,3	0,2082	2028	1976	1924	1873	1824	1775-	1727	1680	1634	1,3	0,93401	93306	93807	94002	94191	94376	94556	94731	94902	95067
1,4	0,1589	1545+	1502	1460	1419	1378	1339	1300	1262	1225’	1,4	0,95229	95385	95538	95686	95830	95970	96105	96237	96365	96490
1,5	0,1189	1154	1120	1086	1053	1021	0990	0959	0930	0901	1,5	0,96611	96728	96841	96952	97059	97162	97263	97360	97455	97546
1,6	0,0872	0845'	0818	0892	0766	0741	0717	0694	0671	0549	1,6	0,97635	97721	97804	97884	97962	98038	98110	98181	98249	98315
1,7	0,0627	0606	0586	0566	0546	0528	0510	0492	0475-	0458	1,7	0,98379	98441	98500	98558	98613	98667	98719	98769	98817	98864
1,8	0,0442	0426	0411	0396	0382	0368	0355-	0342	0329	0317	1,8	0,98909	'98952	98994	99035	99074	99111	99147	99182	99216	99248
1,9	0,0305+	0294	0283	0272	0262	0252	0242	0233	0224	0215+	1,9	0,99279	99309	99338	99366	99392	99418	99443	99466	99489	99511
2,0	0,0207	0199	0191	0183	0.76	0169	0162	0155+	0149	0143	2,0	0,99532	99552	99572	99591	99609	99626	99642	99658	99673	99688
2,1	0,0137	0132	0126	0122	0116	0111	0106	0102	0097	0093	2,1	0,99702	99715	99728	99741	99753	99764	99775	99785	99795	99805
2,2	0,0089	0085+	0082	0078	0075’	0071	0068	0065+	0062	0060	2,2	0,99814	99822	99831	99839	99846	99854	99861	90867	99874	99880
2,3	0,0057	0054	0052	0050	0047	0045+	0043	0041	0039	0037	2,3	0,99886	99891	99897	99902	99906	99911	99915	99920	99924	99928
2,4	0,0036	0034	0032	0031	0029	0028	002.7	0025+	0024	0023	2,4	0,99931	99935	99938	99941	99944	99947	99950	99952	99955	99957
2,5	0,0022	0021	0020	0019	0018	0017	0016	0015+	0015-	0014	2,5	0,99959	99961	99963	99965	99967	99969	99971	99972	99974	99975
2,6	0,0013	0012	0012	ООН	ООН	0010	0010	0009	0009	0008	2,6	0,99976	99978	99979	99980	99981	99982	99983	99984	99985	99986
2,7	0,0008	0007	0007	0007	0006	0003	0006	0005+	0005	0005	2,7	0,99987	99987	99988	99989	99989	99990	99991	99991	99992	99992
2,8	0,0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003	0003	2,8	0,99992	99993	99993	99994	99994	99994	99995	99995	99995	99996
2,9	0,0003	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	2,9	0,99996	99996	99996	99997	99997	99997	99997	99997	99998	99998
3,0	0,0001	0001	0001	0001	• 0001	0001	0001	0001	0001	0001	3,0	0,99998	99998	99998	99998	99998	99998	99998	99999	99999	99999
3,1	0,0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0000	0000	0000	3,1	0,99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999	99999
											3,2	0,99999	99999	99999 Далее, при hr =			= 3,23, Ф (hr) = 1,00000				
	Допустима линейная интерполяция.											Линейная интерполяция допустима при hr					> 1,5.				
800												51 Заказ 1706									801
Критерий X2
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Критерий Стьюдента
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
Число степеней свободы	pz=0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01		Р = 0,3	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01
										6,63	Число степеней свободы						
1	0,00015	0,0006	0,0039	0,015	0,064	1,64	2,70	3,84	5,41								
2	0,02	0,4	0,10	0,21	0,44	3,21	4,60	5,99	7,82	9,21							
3	0,11	0,18	0,35	0,58	1,00	4,64	6,25	7,81	9,83	11,34							
4	0,29	0,42	0,71	1,06	1,64	5,98	7,77	9,48	11,66	13,27	1	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
										15,08	2	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
5	0,55	0,75	1,14	1,61	2,34	7,28	9,23	11,07	13,38								
										16,81	3	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
6	0,87	1,13	1,63	2,20	3,07	8,55	10,64	12,59	15,03		4	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
7	1,23	1,56	2,16	2,83	3,82	9,80	12,01	14,06	16,62	18,47	5	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
8	1,64	2,03	2,73	3,49	4,59	11,03	13,36	15,50	18,16	20,09	6	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
9	2,08	2,53	3,32	4,16	5,38	12,24	14,68	16,91	19,67	21,66	7	1,119	1,415 •	1,895	2,365	2,998	3,499
10	2,55	3,05	3,94	4,86	6,17	13,44	15,98	18,30	21,16	23,20	8	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
					6,98					24,72	9	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250
11	3,05	3,60	4,57	5,57		14,63	17,27	19,67	22,61			1,093 .					
										26,21	10		1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
12	3,57	4,17	5,22	6,30	7,80	15,81	18,54	21,02	24,05		И	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
13	4,10	4,76	5,89	7,04	8,63	16,98	19,81	22,36	25,47	27,68	12	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
14	4,66	5,36	6,57	7,79	9,46	18,15	21,06	23,68	26,87	29,14	13	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
15	5,22	5,98	7,26	8,54	10,30	19,31	22,30	24,99	28,25	30,57	14	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	20,46	23,54	26,29	29,63	32,00	15	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
					12,00		24,76			33,40	16	1,071	1 337	1,746	2,120	2,583	2,921
17	6,40	7,25	8,67	10,08		21,61		27,58	30,99		17	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898
18	7,01	7,90	9,89	10,86	12,85	22,76	25,98	28,86	32,34	34,80	18	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878
19	7,63	8,56	10,11	11,65	13,71	23,90	27,20	30,14	33,68	36,19	19	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
20	8,26	9,23	10,85	12,44	14,57	25,03	28,41	31,41	35,02	37,56	20	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845
21	8,89	9,91	11,59	13,24	15,44	26,17	29,61	32,67	36,34	38,93	21	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831
22	9,54	10,60	12,33	14,04	16,31	27,30	30,81	33,92	37,65	40,28	22	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819
								35,17			23	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807
23	10,19	11,29	13,09	14,84	17,18	28,42	32,00		38,96	41,63	24	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
24	10,85	11,99	13,84	15,65	18,06	29,55	33,19	36,41	40,27	42,98	25	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787
25	11,52	12,69	14,61	16,47	18,94	30,67	34,38	37,65	41,56	44,31	26	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
26	12,19	13,40	15,37	17,29	19,82	31,79	35,56	38,88	42,85	45,64	27	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
27	12,87	14,12	16,15	18,11	20,70	32,91	36,74	40,11	44,14	46,96	28	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
28	13,56	14,84	16,92	18,93	21,58	34,02	37,91	41,33	45,41	48,27	29	1,055	1,311 1	1,699	 2,045	2,462	2,756
								42,55	46,69		30	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750
29	14,25	15,57	17,70	19,76	22,47	35,13	39,08			49,58	ОО	1,03643	1,28155	1,64485	1,95996	2,32634	2,57582
30	14,95	16,30	18,49	20,59	23,36	36,25	40,25	43,77	47,96	50,89							
802
51*
803
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII
Критерий F для уровней
Число степеней свободы	Число степеней свободы						
для меньшей							
дисперсии	1	2	3	4	5	6	7
1	161	•	200	216	225	230	234	237
	4052	4999	5403	5625	5764	5859	5928
2	18,51	. 19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36
	98,49	99,01	99,17	99,25	99,30	99,33	99,34
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88
	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21
	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29
	10,56	8,02	6,99	6,42	.6,06	5,80	5,62
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92
	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65
14	4,60	3,74	•3,34	3,11	2,96	2,85	2,77
	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58
	8,28	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,85
значимости 0,05 и 0,01
для большей дисперсии
	8	9	10	12	16	24	40	100	СО
	239	241	242	244	246	249	251	253	254
	5981	6022	6056	6106	6169	6234	6286	6334	6366
	19,37	19,38	19,39	19,41	19,43	19,45	19,47	19,49	19,50
	99,36	99,38	99,40	99,42	99,44	99,46	99,48	99,49	99,50
	8,84	8,81	8,78	8,74	8,69	8,64	8,60	8,56	8,53
	27,49	27,34	27,23	27,05	26,83	26,60	26,41	26,23	26,12
	6,04	6,00	5,96	5,91	5,84	5,77	5,71	5,66	5,63
	14,80	14,66	14,54	14,37	14,15	13,93	13,74	13,57	13,46
	4,82	4,78	4,74	4,68	4,60	4,53	4,46	4,40	4,36
	10,27	10,15	10,05	9,89	9,68	9,47	9,29	9,13	9,02
	4,15	4,10	4,06	4,00	3,92	3,84	3,77	3,71	3,67
	8,10	7,98	7,87.	7,72	7,52	7,31	7,14	6,99	'6,88
	3,73	3,68	3,63	3,57	3,49	3,41	3,34	3,28	3,23
	6,84	6,71	6,62	6,47	6,27	6,07	5,90	5,75	5,65
	3,44	3,39	3,34	3,28	3,20	3,12	3,05	2,98	2,93
	6,03	5,91	5,82	5,67	5,48	5,28	5,11	4,96	4,86
	3,23	3,18	3,13	3,07	2,98	2,90	2,82	2,76	2,71
	5,47	5,35	5,26	5,11	4,92	4,73	4,56	4,41	4,31
	3,07	3,02	2,97	2,91	2,82	2,74	2,67	2,59	2,54
	5,06	4,95	4,85	4,71	4,52	4,33	4,17	4,01	3,91
	2,85	2,80	2,76	2,69	2,60	2,50	2,42	2,35	2,30
	4,50	4,39	4,30	4,16	3,98	3,78	3,61	3,46	3,36
	2,70	2,65	2,60	2,53	2,44	2,35	2,27	2,19	2,13
	4,14	4,03	3,94 х,	3,80	3,62	3,43	3,26	3,11	3,00
	2,59	•2,54	2,49	2,42	2,33	2,24	2,16	2,07	2,01
	3,89	3,78	3,69	3,55	3,37	3,18	3,01	2,86	2,75
	2,51	2,46	2,41	2,34	2,25	2,15	2,07	1,98	1,92
	3,71	3,60	3,51	3,37	3,19	3,00	2,83	2,68	2,57
804
805
ПРИЛОЖЕНИЕ IX
Графики формул и приемы их выравнивания
Типичные кривые		Формула	Способы выравнивания	Линейные уравнения, получаемые при выравнивании	Примечания
у| оЛ	X	I у = ахь (график дан для а = const)	н Л ьс ьс II II	Y = lg а+ЬХ	
У 0_	/ / ”7"	II у = аеЬх (график дан для а = const)	y=lgy	Y = lga + + 0,43436а: *	
У I	X	III __ 1 а-}- Ьх	У = — У	Y = а + bx	
		1		1	
					
У 0	X	IV 		X У а~-Ьх	У= — У	У = а + Ьх	
У с	X	V у = с+ ахь	Если Ъ известно: Х=хь. Если b неизвестно, находят с (см. примеча- ние) и тогда X=lgx Y = lg (у-с)	у = с-\-аХ Y— lga-\-bX	Кривые, аналогичные кривым формулы I, но смещенные в на- правлении оси OY. Для определения с на заданной кривой берут две точки с произ- вольными абсциссами хг и х2 и соответственными ординатами У1 и у2 и третью точку с абсцис- сой х3—У xj_x2 и ординатой у3; _ /Л .'/2 —Уз С У1 + У2 — 2уз
У 0	X	VI у = с4-ае4а: (график дан для с = const и а<0)	Находят с (см. приме- чание) и тогда y = lg (У-с)	y=ig«+ -{-0,4343ta	Кривые, аналогичные кривым формулы II, но смещенные в на- правлении оси OY. Для опреде- ления с на заданной кривой бе- рут две точки с произвольными абсциссами х± и х2 и соответствен- кыми ординатами yi и у2 и третью -	Х1 + х2 точку с абсциссой х3— ViVq — Vi и ординатой Уз; с-У1 + у2_2дз
1,4343 = 1g е.
Продолжение приложения IX
Типичные кривые		Формула	Способы выравнивания	Линейные уравнения, получаемые при выравнивании	Примечания
У 0	х~	VII ^ = a-|-ta-|-ca:2	У~У1 , X —X} где	—координаты произвольной точки за- данной кривой. При выборе значений х, образующих арифме- тическую прогрессию с разностью h,	У = (6 + схг) -|- сх Y=(bh+ch^) + + 2chx	После определения b и с нахо- дят а из уравнения 2^ — па + b	, где п—число заданных значе- ний X
У 0	X	VIII а-4-bx У~ c + dx	у х~х1 У~У1 где хг и У1 —координаты произвольной точки за- данной кривой	Y = A + Bx	Вместо коэффициентов а, Ь, с и d определяют А и В и пред- ставляют эмпирическую формулу . X — xj_ В ВИД6 У = У1 1 А + Вх
У О_	* X	IX У2 = а + Ьх + сх2			Введением новой переменной Z = y2 приходят к формуле VII
					
1	_____________________________________________________|________________________________________________________________________________________I_______________________________________________________________1
52 Заказ 1706
У О_	X	X у = аеЬх+сх! ИЛИ lgy=lga + + 0,43436а:+ + 0,4343са:2			Введением новой переменной Z = lgy приходят к формуле VII
У	X	XI 1 У a-f-bx-f-cx2			Введением новой переменной Z = X- приходят к формуле VII
У 0		XII X У	а + Ьх + сх2			Введением новой переменной Z = — приходят к формуле VII
у 0_	X	XIII , ь с У=а+ — +^			Введением новой переменной j Z=— приходят к формуле VII
Продолжение приложения IX
00
о
Типичные кривые		Формула	Способы выравнивания	Линейные уравне- ния, получаемые при выравнивании	Примечания
У 0_	X	XIV y = a + 61gz + 4- с 1g2 X			Введением новой переменной Z = lga: приходят к формуле VII
У 0				XV у = ахьесх	При выборе значений х, образующих арифме- тическую прогрессию с разностью h, X = Alga: V = Algy	У = 0,4343/IC 4-ЙХ	После определения b и с нахо- дят а из уравнения 21g^=relga+62j1g;r+ +0,4343с 2^ где п—число заданных значе- ний X
Й	X	XVI y=aeix<1 (график дан для Ь<0)			Введением новой переменной Z = 1g у приходят к формуле V
			1		
У 0	1	х	XVII у—аеЬе°х			Введением новой переменной Z — lgy приходят к формуле VI
	1 X	XVIII у = аеЪх -|- cedx (график дан для 6<0 и d<0)	При выборе значений х, образующих арифме- тическую прогрессию с разностью h, Y _ У1 Л — ~, У Y_ У2 У ’ где у,У! и уг — ординаты точек кривой для ка- ких-либо трех последо- вательных	значений абсцисс х, х± и i2	Y = (eWi -4- edl>) х — . gbh , gdh	Приведенное в предыдущей графе линейное уравнение позво- ляет определить коэффициенты Ь и d, после чего для определе- ния а и с вновь производят вы- равнивание с помощью переменных Х'=е(б-й>^, Y' — ye~dx, получая линейное уравнение Y'=c+aX'
У 0	1	1	XIX у = а + Ъх + cedx (график дан для а = const и Ь = const)	При выборе значений х, образующих арифме- тическую прогрессию с разностью h, V=lg Д2у	У = = 1g с (edh — I)2 + 4-0,4343dr	После определения коэффици- ентов с и d производят новое выравнивание, принимая Y' — y — cedx и получая линейное уравнение У' == а -j- Ьх, из которого определяют а а b
					
Продолжение приложения IX
< ф в © в © а © >&Я	-adno 0ИНЭН1			того в еляют и выс-	2 >4 Я Л м			еШ’Н gsg^-gS •» 3 и В _ к И			ф ч >> 3 ft
>©ч Л ф а . “Is «si g 11 § и и и - и О ® сб и ф о g н Я 5 « S о , со и 2 &		Т1 н о II <1 I 43 Н II и	получая линейное урав = афеХ', из которого ляют а и с	Из уравнения, приведен! едыдущей графе, опред эффициенты а„ и a„_j пр [х степенях х.	Я сб 0$ Ч Ф Я S ф Ен	к е е I ъ 1 а> II	сб Я Ф а .. 57 2 а >»я Я Ф 2 и Я ф Ен ф « 2 ч я со В" сб в Ч Я	. 1 к • Н + ” ’ е еч {±- <*>_!_ +” * к «л е । 4-е <?+ и : tss .	тем же способом опред	ZJ й ф	ф S « И « Н * BE к° и й з и S g'O 2 И! lL Й О Ч и Г4 ф	ф и н	кс В . ф О Ф о р^в ь* & 3 т в и • © Ен	- а ф ф ф ± м ьч ф ео л£,и «и й° и I S ф |	о >& в Ен Я ес ф и Я & в "м е а ^£7
в ф	3 и		а	ЙС Я й в в В со			о о *©*		В	е ф >» ф д I” е (и ео В >в< R и>	
равне- аемые ивании	1 С*"	х	+ Г ,	*е * t -	
й	04-		
ф Sm и § а	1 "® + О	II о с 1	£
|вЯ	*о 1		м е
ф -М В§5	II	X ~ и	+
	н*ч	II	
№ 99 В rt	В В Ф ’н Сб <Ь сб	1 1 S Г ± о 2 g pig g g. 5 Я в ф 2 В £ g я ео 2>е*3	
Я И Д С1 о. 3 м 3 ю о	и L s * s н я s && »28 а и и ,н 2 о ।	а о в н а ф и й н ° i ||	. ° ? § 8 § и £	у^дя-1^ — порядок, достоянное разностей ниях аргу ующих apHi ю прогрес ►стью h	
о й		2 2 2? £ sa Я 5 И Я © а £ сб А б 2	
	КС а « о \о >, и 2 ^ИйкЙСОО'5	КС Д- Я В VO Ф сб &0WS S К о-		 		
	с<? для 0)	К 1 Н + Т ее	
	у нА	• +	
ч &	х +й^ X 2 и ®	1*4 “]	1- е X © еч	
е	/ = < а фи >0	II « ее	
		О + 1 _	
812
ПЕРЕВОД НЕКОТОРЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ И ДРУГИХ ЕДИНИЦ
В ЕДИНИЦЫ СИ
Сила		1 кГ = 9,81 ч , кГ	_	_ „. л 1 	=1 мм вод. ст. =9,81 —т
Давление, напряжение ...	Л2	м? . «	кн 1 ат~ 9,81.104 —х- = 98,1 At2	м* кГ • сек Л , н • сек 1 	s— = 9,81	 At2	At2
Динамический коэффициент вязкости		кг	кГ • сек	н • сек 1 	= 0,102	z—= 1 —— At • сек	At2	At2 , Л п н • сек 1 спз - 1 • ю 3	5— At2
Работа, энергия, количество 1 теплоты	  .	. . |	1 кГ  м — 9,81 дж 1 ккал = 4,1868- 10s дж = 4,1868 кдж 4,19 кдж кГ.м	дж 1 		= 9,81	
Поверхностное натяжение	1 м2	’°	м2 ,	дин • см	, ,	дж 1 	5	= 1 • 10 А Т CM*	At2 ккал . кдж
Энтальпия		1 	= 4,19	 кг	кг , ккал	,	кдж
Теплоемкость 		1 	 =4,19	т- кг • град	кг • град , КГ • At Л Л . 1 	= 9,81 вт сек
Мощность 		1 л. с. = 736 вт ккал	, .	1 1 	=1,16 вт = —£- кет ч	860 ккал	t ifX вт
Теплопроводность 		1 	т = 1,16	-Т- At • ч ^град	At • град ккал	Л вт
Коэффициент теплопередачи	1 ,	„ — 1,16 „	д At2 • ч ’ град	At2 • град
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к пятому изданию......................................... 3
Из предисловия к первому изданию..................................... 3
Глава I
Дифференцирование
§ 1.	Производная ...........................................•.	5
§	2.	Производные элементарных функций	.	.	.................... 9
§	3.	Дифференциал ............................................. 14
§	4.	Производные высших порядков............................... 17
§	5.	Графическое дифференцирование ............................ 17
§	6.	Частные производные ...................................... 18
§	7.	Коэффициенты плоскостного и объемного	расширений.......... 19
§	8.	Максимум и минимум функции................................ 21
§ 9.	Нахождение оптимального промежуточного давления при двух-
ступенчатом сжатии газа....................................... 22
§ 10.	Задача об экстракции уксусной кислоты......................... 23
§ 11.	Нахождение максимальной скорости окисления окиси азота ...	24
§12.	Случай, когда в газовой смеси содержатся посторонние компоненты 25
§13	. Нахождение максимальной скорости окисления при смешении газа
с воздухом......................................................... 26
§14	. Задача о наивыгоднейшей форме сосуда........................ 27
§15	. Задача об изготовлении конусообразного фильтра.............. 28
§16.0	минимальном расходе материалов при изготовлении реакционных
аппаратов ............................................................ 30
§17.	Максимальная освещенность для	фотохимических процессов ...	31
§18.	Раскрытие неопределенностей.................................... 32
§19.	Задача из расчетной практики	по	абсорбции.................... 32
Г л а в а II
Интегрирование
§	1.	Две задачи, приводящие к интегралам......................  33
§	2.	Неопределенные интегралы .................................. 35
§	3.	Форма поверхности жидкости в сепарирующей	центрифуге ...	41
§	4.	Задача об истечении жидкости из сосуда.................... 44
§	5.	Интегрирование некоторых рациональных дробей.............. 47
§ _	6.	Химическая динамика процессов ионизации.................. 49
§	7.	Кинетика автокаталитических реакций....................... 50
§	8.	Потеря тепла в окружающую среду........................... 51
814
§ 9.	Определенный интеграл ....................................... 54
§ 10.	Связь между определенным и неопределенным интегралами ...	55
§11.	Задача о нагревании.......................................... 57
§ 12.	Истечение газов и паров из отверстий......................... 57
§13.	Константы скорости химических реакций........................ 60
§14.	Свойства определенных интегралов............................. 64
§15.	Среднее значение функции..................................... 65
§16.	Средняя скорость реакции..................................... 67
§17.	Средняя теплоемкость бензина................................. 68
§18.	Графическое интегрирование . . . .	........................ 68
§19.	Абсорбция хлора из воздуха раствором едкого натра (химическая
абсорбция) ......................................................... 70
§ 20.	Определение количества масла, протекающего в трубопроводе 73
§ 21.	Приближенное вычисление определенных интегралов.............. 74
§ 22.	Кинетика адиабатных химических реакций . .................... 75
Глава III
Приложения интегрального исчисления
§ 1.	Процессы первого порядка.....................................
а)	Радиоактивный распад .................................
б)	Средняя продолжительность существования атома радиоактив-
ного вещества ...........................................
в)	Изменение концентрации раствора......................
г)	Определение константы скорости реакции гидролиза двубром-
янтарной кислоты ........................................
д)	Задача о вентиляции цеха..............................
е)	Закон охлаждения тела.................................
ж)	Задача о барометрическом давлении....................
з)	Кинетика сушки .......................................
§ 2.	Процессы второго и третьего порядка........................
а)	Установление порядка реакции.........................
б)	Реакции второго порядка в случае эквивалентного количества
веществ .................................................
в)	Экстракция серы кипящим бензолом.....................
г)	Продолжительность реакции третьего порядка............
д)	Экстракция горячего плава в тонком слое..............
§ 3.	Одновременные процессы. Параллельные реакции...............
а)	Определение констант скорости реакции радиоактивного рас-
пада ....................................................
б)	Определение констант скорости реакции образования динитро-
бензола,.................................................
в)	Истечение воды из цилиндрического резервуара..........
§ 4.	Обратимые процессы.........................................
а)	Образование уксусноэтилового эфира....................
б)	Реакции окиси углерода................................
§ 5.	Задача о растворении соли..................................
§ 6.	Определение констант скорости реакции дифенилхлорметана
с этиловым спиртом ..............................................
§ 7.	Обратимые реакции .........................................
§ 8.	Последовательные процессы '................................
§ 9.	Последовательные и одновременно протекающие реакции . . . .
§ 10.	Процессы смешанного типа. Получение водяного газа..........
§ 11.	Термокинетика химических процессов. Реакция первого порядка
§ 12.	Термокинетика химических процессов. Реакция второго порядка
78
78
79
79
80
85
87
88
89
90
91
92
96
96
98
99
103
104
106
108
109
111
116
118
125
127
129
815
§13	. Термокинетика химических процессов. Реакция сложного харак-
тера. Каталитическое разложение сернокислой соли о-метоксифе-
нилдиазония ......................................................
§14	. Определение длины трубчатого реакционного аппарата........
§	15. Высота (длина) контактных экстракторов...................
§16	. Фильтрование суспензий ...................................
§17	. Кинетика периодической сушки твердых тел..................
132
137
141
147
158
Глава IV
Составление дифференциальных уравнении
§	1.	Процесс взаимодействия двух потоков............. 162
§	2.	Общие сведения о дифференциальных уравнениях. 165
§	3.	Материальный баланс процесса простой перегонки. 166
§	4.	Энергетический баланс. 168
§	5.	Выпаривание в неустановившемся состоянии............. 171
§	6.	Непрерывный процесс ионного обмена. 173
§	7.	Распространение тепла в стержне. 176
§	8.	Экстракция в шнековых (винтовых) аппаратах. 178
§ 9.	Определение потери бензола при его хранении в сосуде, сообща-
ющемся с атмосферой.............................................. 181
§10.	Общие уравнения для химических реакций в гомогенной среде 183
§11.	Система обратимых реакций, протекающих при постоянном объеме 185
§12.	Реакция при непрерывном транспортировании взаимодействующих
веществ под постоянным давлением..................................186
Глава V
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1.	Разделение переменных. Уравнения однородные и приводимые
к однородным ................................................  .	190
а)	Разделение переменных ............................................................. 190
б)	Однородные уравнения .............................................................. 191
в)	Уравнения первого порядка и первой степени с линейными
коэффициентами .......................................... 192
§	2.	Процесс хлорирования органических соединений. 193
§ 3.	Расход реагента при максимальном выходе целевого продукта
в сложных реакциях.............................................. 196
§ 4.	Непрерывный процесс гидролиза твердого жира в распылительной
колонне......................................................... 198
§	5.	Уравнения в полных дифференциалах..................................................... 202
§	6.	Линейные уравнения первого порядка.................................................... 222
§	7.	Некоторые типы уравнений второго порядка.............................................. 205
§	8.	Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ....	206
§	9.	Уравнения с постоянными коэффициентами................................................ 208
§	10.	Движение жидкости в капиллярах....................................................... 211
§ 11.	Уравнение, определяющее состав системы, в которой протекают две
последовательные реакции........................................ 213
§ 12.	Распространение тепла в стержне...................................................... 215
§ 13.	Решение уравнения для обратимых реакций, протекающих при
постоянном объеме............................................... 217
§ 14.	Осаждение твердых частиц в жидкости..................................................... 218
§15.	Скорость осаждения твердых частиц в суспензии........................................... 219
§ 16.	Приближенное решение дифференциальных	уравнений......................................... 221
§ 17.	Химическая реакция с диффузией в трубчатом	реакторе..................................... 225
816
Глава VI
Математическое моделирование химической кинетики	228
Глава VII
Определители и матрицы
§ 1.	Определители и миноры...................................... 235
| 2.	Расчет нитрующих смесей.................................... 238
§ 3.	Давление пара хлористого	метилена.......................... 240
§ 4.	Кинетика последовательно-параллельных химических реакций
первого порядка ................................................ 242
§ 5.	Понятие о матрице.......................................... 246
§ 6.	Определение кратности массообмена в ректификационных аппаратах 248
Глава VIII
Линейное программирование в химической технике
§ 1.	Основные свойства определителей............................ 254
§ 2.	Определители четвертого порядка и решение систем четырех уравне-
ний с четырьмя неизвестными...................................... 257
§	3.	Определители и системы n-го порядка........................ 260
§	4.	Линейное преобразование ................................... 263
§	5.	Обратная матрица .......................................... 264
§ 6.	Математическое решение уравнения материального баланса в про-
изводственном планировании ...................................... 268
Глава IX
Метод конечных разностей и его применение
в теории химико-диффузионных процессов
§ 1.	Конечные разности.................................... 274
§ 2.	Разностные таблицы........................-.......... 275
§ 3.	Оператор Е .........................	276
§ 4.	Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами 277
§ 5.	Противоточная экстракция жидкостей................... 278
§ 6.	Физико-химический процесс в системе последовательно располо-
женных реакционных аппаратов............................... 280
§ 7.	Определение числа тарелок (ступеней массообмена) в абсорбцион-
ных колоннах............................................... 282
§ 8.	Химическая абсорбция и десорбция в тарельчатой колонне . . .	284
§ 9.	Химические реакции, идущие последовательно в батарее реакторов 287
§10.	Процесс гидролиза животного жира с последующей экстракцией
в распылительной колонне................................... 290
§11.	Нелинейные уравнения в конечных	разностях............. 292
Графическое решение................................. 292
Аналитическое решение ...........„•................. 295
§12.	Ректификация бинарной смеси в тарельчатой колонне.... _98
§13.	Дифференциально-разностные уравнения ................ 300
817
Глава X
Операционное исчисление
§ 1.	Основные понятия...................—. ..........	306
§ 2.	Преобразование производных.............................. 307
§ 3.	Общий случай решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.................................. 309
§ 4.	Нахождение изображений некоторых элементарных функций . .	311
§ 5.	Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами ............................................... 314
§ 6.	Приложения операционного исчисления..................... 316
§ 7.	Диффузия, сопровождающаяся химической реакцией.......... 319
§ 8.	Растворение соли в бассейнах...........................  321
§ 9.	Вывод уравнения коэффициента абсорбции.................. 323
§ 10.	Теория переходного режима в диффузионных аппаратах. Адсорб-
ция .......................................................... 325
§11.	Адсорбция влаги из воздуха силикагелем.................. 331
§12.	Рекуперационная установка для бензола................... 334
§13.	Синтез хлористого винила................................ 335
Глава XI
Элементы векторного анализа
§ 1.	Понятие о скаляре и векторе. Сложение, вычитание векторов
и умножение вектора на скаляр.................................... 339
§ 2.	Скалярное произведение двух векторов........................ 341
§ 3.	Векторное произведение двух векторов........................ 342
§ 4.	Произведения трех векторов.................................. 343
§ 5.	Дифференцирование вектора по скалярному аргументу........... 344
§ 6.	Скалярное поле. Градиент..................................   345
§ 7.	Векторное поле. Дивергенция. Вихрь.......................... 346
§ 8.	Уравнения гидродинамики .................................... 350
§ 9.	Уравнение теплопроводности и диффузии....................... 352
Глава XII
Дифференцирование функций нескольких переменных и его применение
в химической термодинамике
§ 1.	Частные производные и дифференциалы. Полный дифференциал .	354
§ 2.	Дифференцирование сложных функций.......................  356
§ 3.	Переход от прямоугольной к цилиндрической системе координат 363
§ 4.	Дифференцирование неявных функций........................ 365
§ 5.	Уравнение состояния однокомпонентных систем.............. 366
§ 6.	Дифференцирование определенных интегралов по параметру . . .	367
| 7. Полные дифференциалы в термодинамике...................... 368
§ 8.	Преобразование независимых переменных в термодинамических
системах ...................................................... 372
§ 9.	Соотношения между термодинамическими функциями и их произ-
водными для однокомпонентных однофазных систем................. 373
§ 10.	Вывод соотношений между первыми производными для термодина-
мических величин ...........................................  .	376
818
Глава XIII
Ряды
§ 1. Исследование промывки осадка............................... 386
§ 2. Сходимость рядов........................................... 387
§ 3, Основные действия с рядами................................. 389
§ 4.	Степенные ряды ............................................ 390
§ 5.	Применение рядов к решению обыкновенных дифференциальных
уравнений ...................................................... 393
§ 6.	Пропорциональный расходомер со свободным сливом............ 395
§ 7.	Тригонометрические ряды.................................... 397
Глава XIV
Гиперболические функции
§	1.	Определение основных гиперболических	функций............. 402
§	2.	Дополнительные формулы .................................. 404
§	3.	Осаждение твердых частиц в жидкости.....................  406
§	4.	Задача о капиллярности .................................. 407
§	5.	Критическая угловая скорость вращения	центрифуги......... 411
|	6.	Определение константы ионизации газов.................... 413
Глава XV
Эллиптические интегралы и функции
§ 1.	Спрямление эллипса ......................................... 416
§ 2.	Эллиптический интеграл первого рода......................... 418
§ 3.	Эллиптические интегралы второго и	третьего	рода............. 422
§ 4.	Эллиптические функции ...................................... 423
§ 5.	Явление капиллярности между двумя параллельными вертикаль-
ными стенками .................................................. 424
§ 6.	Напряженность электрического поля	при	кольцевом токе ....	427
1.	Точка Р внутри круга.............................  .	.	427
2.	Точка Р вне круга..................................... 429
Глава XVI
Бесселевы функции и их применение
§ 1.	Дифференциальное уравнение Бесселя........................ 431
§ 2.	Решение дифференциального уравнения Бесселя с помощью рядов 432
§ 3.	Функция Бесселя порядка п второго рода.................... 434
§ 4.	Эквивалентные формы дифференциального уравнения Бесселя , 435
§ 5.	Бесселевы функции мнимого аргумента......................."	436
§ 6.	Рекуррентные формулы для Jn (х)........................... 436
§ 7.	Бесселевы функции Jn (х), индекс которых равен целому с полови-
ной ............................................................ 438
§ 8.	Разложение функций в ряды по	функциям Бесселя.............. 439
§ 9.	Теплопроводность в клиновидном	стержне..................... 442
§ 10.	Потеря тепла через стенку печи............................ 444
§ 11.	Цилиндрическое фильтрование	.............................. 446
819
Глава XVII
Дифференциальные уравнения с частными производными
§	1.	Простейшие примеры уравнений с частными производными . . .	450
§	2.	Линейные уравнения с частными производными первого порядка	451
§	3.	Уравнение материального баланса в дифференциальной форме	452
§	4.	Уравнение теплопроводности ............................................................   453
§	5.	Уравнения фильтрования .............................................................. 455
§	6.	Сферическое фильтрование ......................................................................................... 458
§	7.	Решение уравнения теплопроводности для случая бесконечной
пластины .......................................................................................................... 462
§	8.	Бесконечная пластина с неравномерно распределенной начальной
температурой ...................................................................................................... 465
§	9.	Взаимная диффузия двух газов . ................................................................................. 466
§ 10.	Решение уравнения теплопроводности для случая бесконечного
цилиндра .......................................................... 468
§ 11.	Сушка бесконечной пластины при постоянной скорости................................................................. 472
§ 12.	Теплопроводность при установившемся состоянии...................................................................... 473
§ 13.	Задача о массопроводности.......................................................................................... 475
§ 14.	Кинетика ионного обмена в процессах водоподготовки................................................................. 479
§15.	Графические способы решения задач по диффузии и теплопровод-
ности при неустановившемся состоянии............................... 485
Глава XVIII
Численное решение уравнений в частных производных
§ 1.	Замена уравнения в частных производных уравнением в конечных
разностях ...................................................... 492
§ 2. Теплообмен в регенераторе для холодильной установки...........	496
§ 3. Периодическая ректификация с возвратом флегмы.................. 502
Глава XIX
Теория подобия и метод анализа размерности
§ 1.	Движение вязкой жидкости..................................
§ 2.	Теория подобия ...........................................
§ 3.	Дифференциальные уравнения теплообмена для модели.........
§ 4.	Гидродинамическое подобие ................................
§ 5.	Тепловое подобие .........................................
§ 6.	Диффузионное подобие......................................
§ 7.	Диффузия в турбулентном потоке. Увлажнение воздуха........
§ 8.	Диффузия в турбулентном потоке. Вывод уравнения подобия . .
§ 9.	Тепло-диффузпонные процессы сушки твердых тел газом, проходя-
щим через слой материала.......................................
§ 10.	Поверхностное испарение влаги при неподвижном воздухе ....
§11.	Кондиционирование реакционной смеси в паровой фазе. Пригото-
вление воздушно-паровой смеси для непрерывного парофазного
каталитического окисления толуола..............................
§12.	Вывод уравнения проточной экстракции......................
§13.	Анализ условий моделирования теплохимических процессов, про-
текающих в тонком слое ........................................
§14.	Кинетика ионного обмена...................................
§15.	Моделирование ионообменных фильтров.......................
507
515
520
521
525
528
535
536
537
542
544
546
552
557
559
820
§16.	Определение постоянных величин в критериальных уравнениях 564
§17.	Метод анализа размерности................................... 569
§ 18.	Коэффициент теплоотдачи при конденсации паров............... 574
§19.	Поверхностные явления для струй из жидкостных капель ....	577
§ 20.	Принудительная конвекция при высокой скорости потока ....	578
§ 21.	Свободная конвекция ........................................ 580
§ 22.	Расход энергии для вентилятора . . .. ' .................... 581
§ 23.	Расход энергии на перемешивание жидкостей в реакционных аппа-
ратах ............................................................ 582
§ 24.	Определение ископаемых параметров для модели при исследовании
производственных процессов........................................ 583
Глава XX
Теория вероятностей
§ 1.	Общие понятия .............................................. 585
§ 2.	Основные теоремы теории вероятностей........................ 587
§ 3.	Редкие события ............................................. 596
§ 4.	Теорема Лапласа и интеграл вероятностей..................... 597
§ 5.	Применение теории вероятностей к кинетике смешения и эмульги-
рования ......................................................... 602
§ 6.	Процесс смешения при промывке масла водой................... 605
§ 7.	Процесс смешения газовой сажи с углекислым кальцием в смеси-
тельном аппарате................................................. 607
Глава XXI
Вероятностные методы в задачах теории ошибок
§	1.	Средние значения величин	................. 609
§	2.	Математическое ожидание и	дисперсия случайной величины . . .	621
§	3.	Плотность распределения и	кривая распределения....... 622
§	4.	Нормальное распределение	................. 625
§	5.	Закон распределения ошибок.................................. 627
§	6.	Наивероятнейшее значение	измеряемой величины....... 629
§ 7.	Оценка меры точности и средней квадратической ошибки отдельных
измерений ........................................................ 630
§ 8.	Распределение твердых частиц в жидкости в зависимости от их раз-
меров ............................................................ 633
§ 9.	Наибольшая возможная ошибка. Правило	трех сигм................... 636
§10.	Вероятная ошибка измерений р..................................... 636
§11.	Точность среднего арифметического................................ 637
§12.	Примеры обработки экспериментальных	данных..................... 638
§ 13.	О неравноточных наблюдениях...................................... 641
§ 14.	О среднем значении и о дисперсии функции нескольких независи-
мых случайных величин ...	  644
§15.	Критерий %2	  648
§ 16.	Критерий F и его применение при проверке	гипотез................. 653
§ 17.	Распределение Стьюдента ......................................... 654
§18.	Доверительные пределы ........................................... 656
§ 19.	Статистическая проверка гипотез.................................. 659
821
Глава XXII
Способ наименьших квадратов
§ 1.	Общие положения ............................................ 665
§ 2.	Приведение нелинейных уравнений к случаю линейных	уравнений	666
§ 3.	Приведение условных уравнений к нормальным............ 666
§ 4.	Доверительные границы для найденных значений.......... 668
§ 5.	Проведение прямой линии через заданные точки.......... 670
§ 6.	Измерение углов при определении кристаллографических	систем	670
§ 7.	Закономерность для процессов дробления и измельчения,в заданных
условиях ........................................................ 672
§ 8- Константы скорости реакции при различных температурах ....	673
Глава XXIII
Корреляция в химии и химической технологии
§ 1.	Парная корреляция	................................. 676
§ 2.	Корреляция трех переменных.................................. 688
§ 3.	Множественная регрессия .................................... 689
§ 4/	Частные коэффициенты корреляции............................ 691
§ 5.	Поглощение окислов азота с одновременным отводом тепла ....	692
§ 6.	Корреляция с четырьмя переменными........................... 694
§ 7.	Поглощение окислов азота с отводом тепла и учетом крепости ки-
слоты в абсорбционной башне.....................................  696
§ 8.	Зависимость скорости коррозии от нескольких факторов........ 701
§ 9.	Нелинейная корреляция ...................................... 702
Глава XXIV
Эмпирические формулы
§ 1.	Степенные и показательные функции.......................... 706
§ 2.	Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания............. 708
§ 3.	Определение коэффициентов, входящих в эпирическую формулу.
Способ средних .................................................. 709
§ 4.	Основные способы построения экспериментальных графиков и оты-
скания по ним эмпирических формул...............................  711
§ 5.	Специальные методы нахождения эмпирических формул для двух
переменных ...................................................... 729
§ 6.	Зависимость между плотностью раствора алюминиевых квасцов
и его температурой............................................... 731
§ 7.	Эмпирическая формула для опытных данных, образующих прямую
линию с выступом................................................. 733
§ 8.	Зависимость между коэффициентом теплопроводности раствора
глицерина и температурой......................................... 734
§ 9.	Интерполяционная формула Лагранжа.......................... 737
§10.	Коэффициент сжимаемости азото-водородной смеси............. 739
§11.	Плотность раствора фосфорной кислоты.....................   740
§12.	Специальные методы нахождения эмпирических формул для трех
переменных ...................................................... 740
§13.	Зависимость между плотностью раствора и температурой при раз-
личных концентрациях соли . . . . х.............................. 742
§14.	Зависимость между растворимостью окиси хлора в воде и ее пар-
циальным давлением при различных температурах.................... 745
§15.	Зависимость между производительностью фильтра и применяемым
вакуумом при различной крупности .частиц промываемого осадка 747
822
§ 16.	Эмпирические формулы периодического характера................... 749
§17.	Сушка воздухом.................................................. 751
§ 18.	Типичные графики некоторых формул..............................  753
Глава XXV~
Приближенные вычисления
§ 1.	Абсолютная и относительная погрешность приближенного значения
величин ...................................................... 755
§ 2.	Округление чисел................................................. 758
§ 3.	Погрешность суммы, разности, произведения, частного, степени и
корня ........................................................ 762
§ 4.	Погрешность	функций ............................................. 769
§ 5.	Применение некоторых	приближенных формул . . . .................. 779
§ 6.	Приближенное решение	уравнений................................... 782
Литература	..................................................... 792
Приложение	I.	Таблица изображений	и оригиналов	некоторых	функ-
ций...................................... 795
Приложение	II.	Гамма-функция.................................. 797
Приложение	III.	Бесселевы функции.............................. 798
Приложение	IV.	Функция <р (hr) — —e~h’r!	для	hr	через	0,01	.	.	.	800
У л
hr
Приложение V. Функция Ф (hr) =—e~i! dt для hr через 0,01	801
'У л J
о
Приложение	VI.	Критерий %2 ....................................... 802
Приложение	VII.	Критерий Стьюдента ................................ 803
Приложение	VIII.	Критерий F для	уровней	значимости	0,05	и	0,01	804
Приложение	IX.	Графики формул	и приемы	их	выравнивания	....	806
Лев Менделевич Батунер,
Макс Ефимович Бозин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ
Издательство «Химия»,
Ленинградское отделение
Невский пр., 28
с. 824
Редакторы: А. М. Протасов, Б. В. Филиппов,
Ю. К, Кузнецов
Техн, редактор 3. Е. Маркова
Корректоры: Л. А. Любович, В. Б. Генгут
Сдано в набор 14/VII 1970 г.
Подписано к печати 1/XII 1970 г.
Бумага типогр. № 2, 60х90*/ц. Печ. л. 51,5.
Уч.-изд. л. 44,73. М-58231. Тираж 10 500 акз.
Цена 2 р. 34 к. Заказ 1706.
Ленинградская типография № 14 «Красный Печатник»
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Московский пр., 91.
Опечатки
Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть
7	10 снизу	Q	Q’
70	6 снизу	У	У'
70	17 снизу	113,4 Т м^/ч	113,4 л<з/ч
98	7 сверху	• • • — со (х + У + z)	. . .	— (« + У + 2)
119	8 сверху	гq	Са Сь . . 	Тс ~ ^1 а Съ • • •
337	3 и	dT jdz	дТ/дг
	6 сверху		
795	1 снизу	исчезновению	исчислению
Зак. <7 06